Riemannsche Geometrie 002

Riemannsche Geometrie Andreas Gastel Wintersemester 2004/05

Dieses Skript ist eine nicht besonders gut korrektur-gelesene Kurzfassung der Vorlesung. Es gibt die Vorlesung auch deshalb nur sehr unzureichend wieder, weil ich nicht vorhabe, die Bilder elektronisch aufzuarbeiten. Quellen: B¨ucher von doCarmo und Gallot & Hulin & Lafontaine sowie Vorlesungen von Steffen und Gudmundsson.

1 1.1

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Der Begriff einer Mannigfaltigkeit

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sollen “n-dimensionale Fl¨achen mit Kr¨ ummung” sein. Ohne weiteres vorstellen k¨onnen wir uns nur (Kurven oder Fl¨achen) in R3 . Als Beispiel wollen wir die Einheitssph¨are S 2 := {x ∈ R3 : |x| = 1} im Hinterkopf behalten. Intuitiv ist eine regul¨are Fl¨ache in R3 lokal diffeomorph zu einer offenen Menge in R2 (aber global m¨oglicherweise nicht). Das wird konkretisiert in der Definition (regul¨ are Fl¨ ache in R3 ) Eine Teilmenge M ⊂ R3 des Raums heißt regul¨are Fl¨ache, falls zu jedem Punkt x ∈ M eine Umgebung V von x in R3 und eine Abbildung ϕ : R2 ⊃ U → M ∩ V einer offenen Menge U existiert, so dass (i) ϕ glatt und ein Hom¨oomorphismus ist und (ii) das Differential dϕ(u) : R2 → R3 f¨ ur jedes u ∈ U injektiv ist. Die Abbildung ϕ heißt dann eine lokale Parametrisierung von M bei x. Vereinbarung: Unter glatt oder differenzierbar wollen wir in dieser Vorlesung immer C ∞ verstehen, obwohl die meisten Konzepte der Differentialgeomtrie schon f¨ ur (sagen 2 wir) C -Objekte Sinn machen (was nur technische, aber keine prinzipiellen Schwierigkeiten mit sich bringen w¨ urde). Unter einem Diffeomorphismus verstehen wir immer ∞ einen C -Diffeomorphismus. 2 1

Beispiel (Einheitssph¨ are als regul¨ are Fl¨ ache): Wir parametrisieren Halbsph¨aren 2 2 als Graphen. Sei B := {x ∈ R : |x| < 1} die Einheitskugel in R2 , dann definieren wir die sechs Parametrisierungen q + 2 2 ϕ3 : B → S , ϕ1 (u1 , u2 ) := (u1 , u2 , 1 − u21 − u22 ), q 2 2 ϕ− : B → S , ϕ (u , u ) := (u , u , − 1 − u21 − u22 ), 1 1 2 1 2 3 q 2 2 + ϕ1 (u1 , u2 ) := (u1 , 1 − u21 − u22 , u2 ), ϕ2 : B → S , q 2 2 ϕ− : B → S , ϕ (u , u ) := (u , − 1 − u21 − u22 , u2 ), 1 1 2 1 2 q + 2 2 ϕ1 : B → S , ϕ1 (u1 , u2 ) := ( 1 − u21 − u22 , u1 , u2 ), q 2 2 ϕ− : B → S , ϕ (u , u ) := (− 1 − u21 − u22 , u1 , u2 ). 1 1 2 1 Dann liegt jeder Punkt von S 2 im Bild einer dieser Parametrisierungen. Wegen   1 0  0 1  dϕ+ 3 (u) = u1 2 − √... − √u... hat dϕ+ ur alle x ∈ B 2 den Rang 2 und ist daher injektiv. Außerdem ist ϕ+ 3 (u) f¨ 3 offensichtlich bijektiv und glatt, und auch glatt umkehrbar durch −1 (ϕ+ 3 ) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 ). ∞ Folglich ist ϕ+ ullt damit beide Bedingungen aus der 3 ein C -Diffeomorphismus und erf¨ Definition. Da dasselbe f¨ ur die anderen Parametrisierungen gilt, ist S 2 also eine glatte Fl¨ache. 2

Die Parametrisierung hilft uns, alle Konzepte der Differentialrechnung auf der Fl¨ache zu benutzen, indem wir alles auf Mengen in R2 zur¨ uckholen und dort differenzieren. F¨ ur (Kurven und) Fl¨achen im Raum liefert das die Konzepte der klassischen Differentialgeometrie, die nicht der Gegenstand unserer Betrachtungen sein wird. (Wir setzen aber auch keine Kenntnisse aus der klassischen Differentialgeometrie voraus.) Uns interessiert vielmehr eine abstraktere Herangehensweise. Da die “inneren” Eigenschaften wie Kurvenl¨angen, Winkel, Volumina von “Kreisscheiben” in M u.¨a. nur von der Fl¨ache, nicht aber vom umgebenden Raum R3 abh¨angen, sollte es auch Methoden geben, diese ohne Bezug auf den, ja sogar ohne Kenntnis des R3 zu definieren und zu berechnen. Dazu brauchen wir aber (nicht nur, aber) zuallererst eine Definition von Fl¨achen, die keinen Bezug auf den umgebenden Raum nimmt. Die Definition oben bezieht sich zweimal auf R3 ; zun¨achst bei der Forderung der Existenz einer Umgebung V (die wir mit Hilfe einer geeigneten Topologie von M umgehen k¨onnen) und dann bei der Rangbedingung. Letztere ersetzen wir durch eine ihrer Folgerungen. Sind n¨amlich 2

zwei verschiedene lokale Parametrisierungen ϕ1 : U1 → M , ϕ2 : U2 → M wie in der Definition gegeben und gilt ϕ1 (U1 ) ∩ ϕ2 (U2 ) =: W 6= ∅, dann ist −1 −1 p−1 2 ◦ ϕ1 : ϕ1 (W ) → ϕ2 (W )

glatt (und damit C ∞ -Diffeomorphismus). Es stellt sich heraus, dass diese Folgerung genug ist, um viele Konzepte der Differentialrechnung auf “Fl¨achen” zu u ¨bertragen. Außerdem ist klar, dass man sich nicht auf den zweidimensionalen Fall beschr¨anken muss, wenn der anschauliche R3 ohnehin geopfert worden ist. Das motiviert die folgende Definition: Definition (differenzierbare Mannigfaltigkeit) Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n ist eine Menge M zusammen mit einer Familie von injektiven Abbildungen (ϕi : Ui → M )i∈I offener Mengen Ui ⊆ Rn , so dass die im Folgenden aufgez¨ahlten Bedingungen (i)–(iv) gelten. S (i) i∈I ϕi (Ui ) = M ; −1 (ii) f¨ ur jedes Paar i, j ∈ I mit ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) =: W 6= ∅ sind ϕ−1 i (W ) und ϕj (W ) −1 −1 offene Teilmengen von Rn und die Abbildungen ϕ−1 j ◦ ϕi : ϕi (W ) → ϕj (W ) sind (C ∞ -)differenzierbar;

(iii) Die Familie (Ui , ϕi )i∈I ist maximal bzgl. der Bedingungen (i) und (ii). Sie heißt eine differenzierbare Struktur auf M . Jedes Bild einer offenen Teilmenge U ⊂ Rn unter einem ϕi heißt offen in M . Diese Mengen bilden die Basis der (genauer: einer) Topologie auf M (d.h. die offenen Mengen auf M sind das kleinste unter beliebigen Vereinigungen und endlichen Schnitten abgeschlossene System, das die oben beschriebenen Mengen enth¨alt). Wir fordern: (iv) M (mit der gerade definierten Topologie) ist ein Hausdorff-Raum mit abz¨ahlbarer Basis der Topologie. Jedes der ϕi (i ∈ I) heißt eine (lokale) Parametrisierung von M . Die ϕ−1 heißen Kari ten. Ein System von parametrisierungen, die (i) und (ii) erf¨ ullen, heißt ein Atlas von M ; eine differenzierbare Struktur ist also ein maximaler Atlas. In der Praxis kann man zu einer Mannigfaltigkeit nat¨ urlich nie die differenzierbare Struktur, sondern meistens einen Atlas explizit angeben. Die zugeh¨orige Differenzierbare Struktur ist der maximale Atlas, der den gegebenen enth¨alt (was, wie man leicht sieht, wohldefiniert ist). Erinnerung: Ein topologischer Raum X heißt Hausdorff-Raum, wenn zu je zwei Punkten x, y ∈ X disjunkte Umgebungen U von x und V von y existieren. Das schließt z.B. “Doppelpunkte” aus. Die Bedingung der abz¨ahlbaren Basis ist, da wir uns im Endlichdimensionalen bewegen, f¨ ur alle Mannigfaltigkeiten, die wir uns u ¨berhaupt vorstellen wollen, erf¨ ullt. Sie schließt nur pathologische F¨alle wie die “lange Gerade” aus, oder “Mannigfaltigkeiten”, die aus u ¨berabz¨ahlbar vielen nicht zusammenh¨angenden Komponenten bestehen. 2 Bemerkung: Man sieht leicht, dass man die offenen Mengen in M wie folgt charakterisieren kann: Eine Menge A ⊆ M ist offen genau dann, wenn f¨ ur jedes ϕi in einem 3

Atlas von M die Menge ϕ−1 i (A ∩ ϕi (Ui )) offen ist. Damit ist auch klar, dass M und ∅ stets offen in M sind. 2 Beispiel (Die Sph¨ are als diffbare Mannigfaltigkeit): Wir haben oben schon einen Atlas der S 2 angegeben, bestehend aus sechs lokalen Parametrisierungen. Die Vert¨aglichkeitsbedingung (ii) liest man sofort an den expliziten Formeln ab, der Rest ist klar. Auf dieselbe Art und Weise k¨onnen wir sofort einen Atlas von 2(n + 1) Karten f¨ ur die Einheitssph¨are S n := {x ∈ Rn+1 : |x| = 1} hinschreiben. Also ist S n eine diffbare Mannigfaltigkeit. Man braucht aber l¨angst nicht so viele Parametrisierungen f¨ ur einen Atlas der S n . Es stellt sich heraus, dass immer zwei Parametrisierungen gen¨ ugen, die sogenannten stereographischen Parametrisierungen:  2  |u|2 − 1 n n , u1 , . . . , un ; σ− : R → S \ {(1, 0, . . . , 0)}, σ− (u) := 1 + |u|2 2  2  1 − |u|2 σ+ : Rn → S n \ {(−1, 0, . . . , 0)}, σ+ (u) := , u , . . . , u . 1 n 1 + |u|2 2 Die Umkehrungen sind die stereographischen Projektionen Σ± : S n \ {(∓1, 0, . . . , 0)},

Σ± (x0 , x1 , . . . , xn ) :=

(x1 , . . . , xn ) . 1 ± x0

Sie sind winkelerhaltend (wie wir sp¨ater verstehen werden) und deshalb auch von Bedeutung f¨ ur Karten in der Seefahrt. 2 Beispiel (Projektiver Raum): Mannigfaltigkeiten m¨ ussen nicht in nat¨ urlicher Weise Teilmengen eines Rn+k sein. Als Beispiel betrachten wir den reellen projektiven Raum RP n : Dies ist die “Menge aller eindimensionalen Unterr¨aume von Rn+1 ”. Genauer han¨ delt es sich also um dem Quotientenraum (Rn+1 \ {0})/ ∼ unter der Aquivalenzrelation (x1 , . . . , xn+1 ) ∼ (λx1 , . . . , λxn+1 ) f¨ ur alle λ ∈ R \ {0}. ¨ Die zugeh¨orige Aquivalenzklasse bezeichnen wir mit [x1 : . . . : xn+1 ]. Falls xi 6= 0, so gilt hx xi−1 xi+1 xn+1 i 1 : ... : :1: : ... : . [x1 : . . . : xn+1 ] = xi xi xi xi Definieren wir die Mengen V1 , . . . , Vn+1 durch Vi := {[x1 : . . . : xn+1 ] : xi 6= 0}, so k¨onnen wir diese auffassen als die Menge der Geraden, die nicht in der Hyperebene x1 = 0 liegen. Wir definieren nun Abbildungen ϕi : Rn → Vi durch ϕi (u1 , . . . , un ) := [u1 : . . . : ui−1 : 1 : ui : . . . un ] 4

und behaupten, dass (Rn , ϕi )i=1...n+1 ein Atlas von RP n ist, der also RP n zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit macht. Nat¨ urlich ist jedes der ϕi bijektiv, jeder Punkt in (Rn+1 \{0}) eine Komponente Sn+1 und weil n n 6= 0 hat, ist auch RP = i=1 ϕi (R ). Bleibt die Vertr¨aglichkeitsbedingung (ii) zu zeigen. F¨ ur i > j (der Fall i < j geht ganz analog) ist n ϕ−1 i (Vi ∩ Vj ) = {u ∈ R : uj 6= 0}

offen. Und es gilt ϕ−1 j ◦ ϕi (u) =

u

1

uj

,...,

uj−1 uj+1 ui−1 1 ui un  , ,..., , , ,..., , uj uj u j u j uj uj

das ist eine glatte Funktion auf {uj 6= 0}. Genau wie RP n kann man auch die Menge CP n der (komplex) eindimensionalen Unterr¨aume von Cn+1 zu einer 2n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit machen (mit demselben Beweis). Dieser komplexe projektive Raum spielt eine sehr prominente Rolle als der Raum, in dem sich in der algebraischen Geometrie fast alles (?) abspielt. 2 Wir werden noch viele Beispiele differenzierbarer Mannigfaltigkeiten kennenlernen, f¨ uhren aber vorher noch ein paar grundlegende Begriffe ein. Eine differenzierbare Struktur erm¨oglicht es uns (wie der Name schon sagt), Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten zu differenzieren: Definition (differenzierbare Abbildungen) Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m bzw. n. Eine Abbildung f : M → N heißt differenzierbar in x ∈ M , falls eine lokale Parametrisierung ψ : V → N mit f (x) ∈ ψ(V ) und eine lokale Parametrisierung ϕ : U → M mit f (ϕ(U )) ⊆ ψ(V ) existieren, so dass ψ −1 ◦ f ◦ ϕ : Rm ⊇ U → Rn differenzierbar ist. f heißt differenzierbar auf einer offenen Teilmenge von M , wenn f in jedem ihrer Punkte differenzierbar ist. Bemerkungen: Aus der Vertr¨aglichkeitsbedingung (ii) folgt, dass diese Definition nicht von der Auswahl der Parametrisierungen abh¨angt. Wir bemerken noch, dass Rn f¨ ur jedes n ∈ N eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n ist. (Ein einfacher Atlas besteht nur aus der Identit¨at von Rn .) Wir haben damit also auch differenzierbare Abbildungen M → Rn oder Rm → N definiert. 2 Beispiel: Die Abbildung π : S n → RP n ,

π(x1 , . . . , xn+1 ) := [x1 , . . . , xn+1 ]

5

ist differenzierbar. Denn jeder Punkt von S n ist im Bild einer der Parametrisierungen ϕ± i , o.B.d.A. (bis auf Variablen- und Vorzeichenvertauschungen) im Bild von p  2, u , . . . , u (u , . . . , u ) := ϕ+ 1 − |u| 1 n 1 n . 1 Außerdem betrachten wir ψ1 : Rn → RP n , ψ1 (u1 , . . . , un ) := [1 : u1 : . . . : un ] mit der Umkehrabbildung ψ1−1 ([y1 : . . . : yn+1 ]) =

y

2

y1

,...,

yn+1  , y1

die f¨ ur y1 6= 0 definiert ist. Damit haben wir   u1 un p p , ψ1−1 ◦ π ◦ ϕ+ (u , . . . , u ) = , . . . , 1 n 1 1 − |u|2 1 − |u|2 was f¨ ur alle u ∈ B n definiert und differenzierbar ist. Analoges gilt f¨ ur die anderen Indizes, also ist π eine differenzierbare Abbildung. Sie ist eine “zwei-zu-eins”-Abbildung S n → RP n , mit π(x) = π(−x) und heißt auch die Projektion von S n auf RP n . 2

1.2

Tangentialr¨ aume und das Differential

Wenn Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten in einem Punkt differenzierbar sind, dann sollte man dort auch ihre Ableitung ausrechnen k¨onnen. Die Ableitung einer differenzierbaren Abbildung Rm → Rn ist an jedem Punkt x ∈ Rm eine lineare Abbildung Rm → Rn , dargestellt durch eine n × m-Matrix, n¨amlich die Jacobi-Matrix. Diese lineare Abbildung ist die “Linearisierung”, d.h. die beste lineare Approximation von f bei x. Etwas ¨ahnliches wollen wir f¨ ur Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten definieren. Hier m¨ ussen wir allerdings zun¨achst Vektorr¨aume definieren, die die “Ableitung” nat¨ urlicherweise aufeinander abbilden sollte. Es handelt sich um die R¨aume der “an M tangentialen Vektoren”. Aber was heißt schon tangential (oder auch Vektor), wenn die Mannigfaltigkeit nicht in einem Rn+k liegt? Zur Motivation betrachten wir differenzierbare Kurven c : ] − ε, ε[ → Rn mit c(0) = x. Dann ist c0 (0) := (c01 (0), . . . , c0n (0)) ein Vektor in Rn , nennen wir ihn v. F¨ ur jede auf einer Umgebung von x definierte Funktion f ist dann nach der Kettenregel (f ◦ a)0 (0) = f 0 (x) · c0 (0) = v · f 0 (x) = ∂v f (x). Also ist die Ableitung von Funktionen in Richtung einer Kurve nur abh¨angig von der Ableitung der Kurve im Punkt wo abgeleitet wird, aber ansonsten unabh¨angig von der ¨ Kurve. Wir k¨onnen den Vektor v deshalb mit ∂v und auch mit der Aquivalenzklasse von Kurven mit c(0) = x, c0 (0) = v identifizieren. Das motiviert die Definition von Tangentialvektoren: 6

Definition (Tangentialraum) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Eine differenzierbare Abbildung c : (−ε, ε) → M heißt (differenzierbare) Kurve in M . Sei c(0) =: x und Dx die Menge von Funktionen M → R, die in x differenzierbar sind. Der Tangentialvektor der Kurve c bei t = 0 ist die Funktion c0 (0) : Dx → R, die gegeben ist durch c0 (0)f := (f ◦ c)0 (0). Ein Tangentialvektor an M in x ist ein Tangentialvektor c0 (0) irgendeiner differenzierbaren Kurve in M mit c(0) = x. Die Menge aller Tangentialvektoren an M in x heißt Tangentialraum von M in x und wird mit Tx M bezeichnet. Bemerkung: Tangentialvektoren sind also nach dieser Definition nichts anderes als Richtungsableitungen. In der Differentialgeometrie wird tats¨achlich nicht zwischen Vektoren und den entsprechenden Richtungsableitungen unterschieden. Entsprechend der Motivation ist es aber auch erlaubt (und vielleicht auch geometrischer), sich einen Tan¨ gentialvektor als eine Aquivalenzklasse von Kurven in M mit gleicher Richtung und Geschwindigkeit in x vorzustellen. 2

Proposition (Tx M ist Vektorraum) Ist M differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n, so tr¨agt jeder Tangentialraum Tx M auf nat¨ urliche Weise die Struktur eines R-Vektorraums der Dimension n. Beweis: Wir w¨ahlen eine Parametrisierung ϕ : U → M von M bei x mit (o.B.d.A.) ϕ(0) = x. Sei v ∈ Tx M , also v = c0 (0) f¨ ur eine Kurve c : ] − ε, ε[ → M , dann berechnen wir f¨ ur h ∈ Dx mit der Kettenregel vh = c0 (0)h = (h ◦ c)0 (0) = ( h ◦ ϕ ◦ ϕ−1 ◦ c )0 (0) | {z } | {z } Rn ⊃U →R

=

n X

]−ε,ε[→U ⊂Rn

(ϕ−1 ◦ c)0i (0)

i=1

 ∂ h ◦ ϕ. ∂ui |u=0

Also h¨angt v nicht von der Kurve c, sondern nur von den n reellen Zahlen (ϕ−1 ◦ c)i (0) ab, und die Abbildung v 7→ (ϕ−1 ◦ c)0 (0) ist eine wohldefinierte Abbildung Tx M → Rn . Diese erlaubt uns, Tx M mit Rn zu identifizieren und so mit einer R-Vektorraumstruktur zu versehen. Diese ist aber nur dann nat¨ urlich, wenn sie unabh¨angig von der Wahl der Parametrisierung ist. F¨ ur eine andere Parametrisierung ψ (mit denselben Eigenschaften) erhielten wir die Abbildung v 7→ (ψ −1 ◦ c)0 (0). 7

Wegen (ϕ−1 ◦ c)0 (0) = D(ϕ−1 ◦ ψ)(0)(ψ −1 ◦ c)0 (0) unterscheiden sich die beiden Identifikationen mit Rn aber nur um die Multiplikation mit der festen Matrix D(ϕ−1 ◦ ψ)(0), entsprechen also lediglich einem Basiswechsel in Tx M und definieren damit dieselbe Vektorraumstruktur. 2 Bemerkung: F¨ ur eine Untermannigfaltigkeit M von Rn+k (die wir schon aus der Grundvorlesung kennen), insbesondere auch f¨ ur eine regul¨are Fl¨ache M , kann Tx M n+k mit dem n-dimensinalen Unterraum von R identifiziert werden, der im geometrischanschaulichen Sinne tangential zu M in x ist. 2 Jetzt k¨onnen wir sagen, was die “Ableitung” einer differenzierbaren Abbildung sein soll: Proposition (und Definition des Differentials) Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m und n, und sei f : M → N eine in x ∈ M differenzierbare Abbildung. Durch die folgende Vorschrift wird eine lineare Abbildung df (x) : Tx M → Tf (x) N definiert: Zu v ∈ Tx M w¨ahle eine Kurve c : ] − ε, ε[ → M mit c(0) = x und c0 (0) = v. Dann setze df (x)v := (f ◦ c)0 (0). Dies ist unabh¨angig von der Auswahl von c. Beweis: Seien ϕ : Rm ⊃ U → M mit ϕ(0) = x und ψ : Rn ⊃ V → N mit ψ(0) = 0 Parametrisierungen von M bei x bzw. von N bei f (x). Dann ist F := ψ −1 ◦ f ◦ ϕ eine Abbildung zwischen Teilmengen von Rm und Rn , deren Ableitung F 0 (0) existiert und durch eine n × n-Matrix dargestellt wird. Nach der vorigen Proposition sind die Abbildungen `(c0 (0)) := (ϕ−1 ◦ c)0 (0), L(γ 0 (0)) := (ψ −1 ◦ γ)0 (0)

` : Tx M → Rm , L : Tf (x) N → Rn ,

linear. Die in der Proposition beschriebene Abbildung ist dann, mit L verkn¨ upft, gleich L(df (x)c0 (0)) = = = =

L((f ◦ c)0 (0)) L((ψ ◦ F ◦ ϕ−1 ◦ c)0 (0)) (F ◦ ϕ−1 ◦ c)0 (0) F 0 (0)`(c0 (0)),

also erkennen wir df (x) als Hintereinanderausf¨ uhrung der drei linearen Abbildungen 0 −1 `, F (0) und L . df (x) ist also selbst linear und h¨angt insbesondere nicht von der Auswahl von c ab (da c0 (0) einfach in die lineare Abbildung eingesetzt wird). 2 8

1.3

Vektorfelder und das Tangentialbu ¨ ndel

Die Gesamtheit aller Tangentialr¨aume einer Mannigfaltigkeit kann in geometrisch nat¨ urlicher Weise selbst als Mannigfaltigkeit der doppelten Dimension aufgefasst werden: Definition (Tangentialbu ¨ ndel) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Das Tangentialb¨ undel T M von M ist die disjunkte Vereinigung der Tangentialr¨aume Tx M , T M := {(x, w) : x ∈ M, w ∈ Tx M }, versehen mit der wie folgt beschriebenen Struktur einer 2n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit: Es sei (Uα , ϕα )α∈I ein differenzierbarer Atlas von M . F¨ ur festgehaltenes α seien in jedem Punkt x ∈ ϕα (Uα ) die Vektoren ∂i (x) ∈ Tx M (i = 1, . . . , n) definiert als die Urbilder der Einheitsvektoren ei ∈ Rn unter der fr¨ uher gemachten Identifikation Tx M ∼ = Rn , die wir berechnen als ∂i (x) := dϕα (ϕ−1 α (x))ei . Damit definieren wir n

ψα : Uα × R → T M,



ψα (u, v) := ϕα (u),

n X

 vi ∂i (ϕα (u)) .

i=1

Der Atlas (Uα × Rn , ψα )α∈I definiert dann die differenzierbare Struktur von T M . Die Abbildung π : T M → M,

π(x, w) := x

heißt die Projektion des Tangentialb¨ undels. Bemerkung: Das Tangentialb¨ undel ist (deshalb der Name) ein Vektorb¨ undel , das ist grob gesagt eine Mannigfaltigkeit, bei der man in jedem Punkt in differenzierbarer Weise einen Vektorraum anklebt. Wir kommen darauf evtl. sp¨ater noch zur¨ uck. 2 Bemerkung: Dass (Uα × Rn , ψα )α∈I tats¨achlich ein Atlas von T M ist, ist eigentlich ¨ noch zu zeigen. Das ist aber leicht, wenn man einmal die Ubergangsabbildung   −1 ψβ−1 ◦ ψα (u, v) = ϕ−1 ◦ ϕ (u), d(ϕ ◦ ϕ )(u)v α α β β ausgerechnet hat. Hier steht in der ersten Komponente ein Diffeomorphismus, weil (Uα , ϕa )α∈I ein Atlas von M ist. In der zweiten Komponente wird der lineare Isomorn phismus d(ϕ−1 β ◦ ϕα )(u) von R auf v angewendet. Zusammen ergibt sich ein Diffeomorphismus zwischen Teilmengen von R2n . 2 Ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ordnet jedem Punkt einen Vektor aus dem zugeh¨origen Tangentialraum zu: 9

Definition (Vektorfeld, Koordinatenvektorfelder) Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung X :→ T M , die jedem x ∈ M ein X(x) ∈ Tx M zuordnet, also π ◦ X = idM erf¨ ullt, heißt Vektorfeld auf M . Die in der vorigen Definition definierten Funktionen ∂i : M ⊇ ϕ(U ) → T M sind dann auch Vektorgelder; sie hießen die Koordinatenvektorfelder zu ϕ. Ein Vektorfeld heißt differenzierbar, falls es als Abbildung M → T M differenzierbar ist. Bemerkung: Durch die Koordinatenvektorfelder wird f¨ ur jedes x ∈ ϕ(U ) eine Basis von Tx M ausgezeichnet. Es ist bequem zum Rechnen, Vektorfelder lokal in diesen Basen auszudr¨ ucken, d.h. n X X= Xi ∂i i=1

auf ϕ(U ) zu schreiben. Dies nenntr man Darstellung von X in lokalen Koordinaten. Es entspricht exakt den fr¨ uher gemachten Identifikationen Tx M ∼ = Rn mittels ϕ. Ein Vektorfeld X ist genau dann differenzierbar auf M , wenn in lokalen Koordinaten jeweils die Xi differenzierbare Funktionen M ⊇ ϕ(U ) → R sind. 2 Bemerkung: Wir hatten schon gesehen, dass Vektoren und Richtungsableitungen dasselbe sind. Also k¨onnen wir auch Vektorfelder als Differentialoperatoren erster Ordnung auffassen. Dazu sei D die Menge der (C ∞ -)differenzierbaren Funktionen M → R. Dann identifizieren wir das Vektorfeld X mit der Abbildung X : D → D,

(Xf )(x) :=

n X

Xi (x)∂i f (x),

i=1

wobei die “partielle Ableitung” ∂i f mit Hilfe einer (d.h. jeder) Parametrisierung ϕ : U → M ausgedr¨ uckt wird als ∂i f (x) := (∂i (f ◦ ϕ))(ϕ−1 (x)). Das erkl¨art auch die etwas ungew¨ohnlich wirkende Bezeichnung ∂i f¨ ur die Koordinatenvektorfelder. 2 Im Gegensatz zu “Vektoren” kann man Differentialoperatoren hintereinander ausf¨ uhren. Allerdings erh¨alt man dabei im Allgemeinen Differentialoperatoren h¨oherer Ordnung, die keine Entsprechung unter den Vektorfeldern haben. Aber die Differenz XY − Y X (als hintereinander ausgef¨ uhrte Differentialoperatoren aufgefasst) stellt sich wieder als Operator erster Ordnung (i.A. 6= 0) heraus, der einem Vektorfeld entspricht: Proposition (Kommutator von Vektorfeldern) Seinen X, Y differenzierbare Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Dann gibt es ein eindeutiges differenzierbares Vektorfeld Z auf M , so dass Zf = (XY − Y X)f 10

f¨ ur alle f ∈ D.

Beweis: In lokalen Koordinaten X X= Xi ∂i ,

Y =

i

X

Yi ∂i

i

berechnen wir f¨ ur f ∈ D XY f = X

X

Yj ∂f



j

=

X

(Xi ∂i Yj ∂j f + Xi Yj ∂i ∂j f ),

i,j

Y Xf = Y

X

Xj ∂j f



j

=

X

=

X

(Yi ∂i Xj ∂j f + Xj Yi ∂i ∂j f )

i,j

(Yi ∂i Xj ∂j f + Xi Yj ∂j ∂i f ).

i,j

Die Vertauschbarkeit partieller Ableitungen in Rn impliziert auch ∂i ∂j f = ∂j ∂i f , also folgt X (XY − Y X)f = (Xi ∂i Yj − Yi ∂i Xj )∂j f. i,j

Das bedeutet: Falls Z existiert, ist Z in lokalen Koordinaten durch X Zj = (Xi ∂i Yj − Yi ∂i Xj ) i

gegeben. Das beweist Eindeutigkeit von Z. Um Existenz von Z zu zeigen, definieren wir Z im Bild jeder Parametrisierung aus einem Atlas durch die gerade hergeleitete Formel, die ja das gew¨ unschte leistet. Diese ¨ lokalen Definitionen m¨ ussen auf den Uberlappungsbereichen der Koordinatenumgebungen zusammenpassen wegen der gerade bewiesenen Eindeutigkeit. Damit existiert das behauptete Vektorfeld Z auf ganz M . 2 Definition (Lie-Klammer) Das durch XY − Y X eindeutig definierte Vektorfeld wird mit [X, Y ] bezeichnet und heißt die Lie-Klammer von X und Y . Es gibt auch eine Interpretation von [X, Y ] als eine Art “Richtungsableitung von Y in Richtung X”, aber wir begn¨ ugen uns mit obiger Interpretation. Bemerkung: Im vorigen Beweis haben wir uns u ¨berlegt, dass [∂i , ∂j ] ≡ 0 f¨ ur die Koordinatenvektorfelder wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in Rn gilt. 2 11

Proposition (Rechenregeln fu ¨ r die Lie-Klammer) Seien X, Y, Z differenzierbare Vektorfelder auf M , a, b ∈ R und f, g : M → R differenzierbare Funktionen. Dann gelten (i) [X, Y ] = −[Y, X]

(Antikommutativit¨at),

(ii) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]

((Bi-)Linearit¨at),

(iii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0

(Jacobi-Identit¨at),

(iv) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X

(eine Art Produktregel).

Beweis: (i), (ii) und (iv) sind straightforward. F¨ ur (iii) berechnen wir [[X, Y ], Z] = [XY − Y X, Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] = XY Z − XZY − Y ZX + ZY X + Y ZX − Y XZ − ZXY + XZY = XY Z + ZY X − Y XZ − ZXY 2

und benutzen (i).

In den Rechenregeln spiegelt sich eine allgemein wichtige algebraische Struktur wider: Definition (Lie-Algebra) Ein K-Vektorraum (K = C oder K = R) L mit einer bilinearen Abbildung [ · , · ] : L × L → L heißt Lie-Algebra u ¨ber K, falls (i) [X, Y ] = −[Y, X]

(Antikommutativit¨at) und

(ii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0

(Jacobi-Identit¨at)

f¨ ur alle X, Y, Z ∈ L gelten. Bemerkung: Also bilden die differenzierbaren Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine (unendlichdimensionale) Lie-Algebra u ¨ber R. Dies ist u ¨brigens ∞ ein Beispiel einer Aussage, die nur dann gilt, wenn “differenzierbar” als C aufgefasst wird, denn f¨ ur zwei C r -Vektorfelder ist die Lie-Klammer i.A. nur C r−1 . 2

1.4

Diffeomorphismen, Immersionen und Einbettungen

Definition (Diffeomorphismus) Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung f : M → N heißt ein Diffeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohl f als auch f −1 differenzierbar ist. f heißt lokaler Diffeomorphismus bei x ∈ M , fallses Umgebungen U von x in M und V von f (x) in N gibt, so dass fU : U → V ein Diffeomorphismus ist. Bemerkung: Die Kettenregel zeigt: Ist f : M → N ein Diffeomorphismus, dann ist df : Tx M → Tf (x) N f¨ ur alle x ∈ M ein Isomorphismus. Folglich kann es nur dann einen Diffeomorphismus M → N geben, wenn M und N dieselbe Dimension haben. 12

Der Umkehrsatz aus der Analysis l¨asst sich mittels ϕ und ψ (ganz im Stil der letzten beiden Propositionen) auf Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten u ¨bertragen: Satz (“Umkehrsatz” fu ¨ r Mannigfaltigkeiten) Ist f : M → N differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, und gilt f¨ ur ein x ∈ M , dass df (x) : Tx M → Tf (x) N ein Isomorphismus ist, dann ist f ein lokaler Diffeomorphismus bei x. Bilder von Mannigfaltigkeiten unter glatten Abbildungen m¨ ussen nicht glatt sein (Beispiele . . . ). Deshalb brauchen wir Begriffe von Abbildungen, die die “Glattheit” der differenzierbaren Struktur besser erhalten. Vor allem denken wir dabei an Abbildungen M → Rn , die uns erm¨oglichen, die Mannigfaltigkeit in einem (evtl. hochdimensionalen) euklidischen Raum zu “veranschaulichen”. Die Definitionen sind etwas allgemeiner f¨ ur Abbildungen M → N : Definition (Immersion, Einbettung, Untermannigfaltigkeit) Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung f : M → N heißt eine Immersion falls df (x) : Tx M → Tf (x) N f¨ ur alle x ∈ M injektiv ist. Wenn f zus¨atzlich ein Hom¨oomorphismus M → f (M ) (letzteres mit der von N induzierten Topologie) ist, so heißt f eine Einbettung. Ist M ⊆ N , und ist die Inklusion i : M → N eine Einbettung, dann heißt M eine Untermannigfaltigkeit von N . Die Zahl dim N − dim M heißt Kodimension der Immersion bzw. Untermannigfaltigkeit. 2

Beispiele: (Kurven . . . )

Beispiel: Der projektive Raum RP 2 ist keine Untermannigfaltigkeit von R3 . Wir k¨onnen ihn aber als Untermannigfaltigkeit von R4 vorstellen (genauer: eine Einbet¨ tung RP 2 → R4 angeben), siehe n¨achstes Ubungsblatt. 2 F¨ ur lokale Betrachtungen ist eine Immersion genauso gut wie eine Einbettung. Proposition (Immersionen sind lokal Einbettungen) Sei f : M → N eine Immersion zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m ≤ n. Dann gibt es zu jedem x ∈ M eine Umgebung U ⊆ M , so dass f|U : U → N eine Einbettung ist. Beweis: Sei x ∈ M fest gew¨ahlt. Seien ϕ : Rm ⊇ V → M , ψ : Rn ⊇ W → N lokale Parametrisierungen von M und N mit ϕ(0) = x, ψ(0) = f (x). Da f Immersion ist und ϕ und ψ vollen Rang haben, ist f¨ ur f˜ := ψ −1 ◦ f ◦ ϕ Rang df˜(0) = m. Nach Variablenvertauschungen sind die ersten m Zeilen dieser Matrix linear unabh¨angig, und wir erg¨anzen die Abbildung f˜ durch zus¨atzliche Variablen zu einer Abbildung 13

fˆ : V × Rn−m → Rn verm¨oge fˆ(u, t) = fˆ(u1 , . . . , um , tm+1 , . . . , tn ) := (f˜1 (u), . . . , f˜m (u), f˜m+1 (u) + tm+1 , . . . , f˜m+n (u) + tm+n ). Diese Abbildung ist gerade so konstruiert, dass Rang dfˆ(0) = n; beachte, dass dfˆ(0) eine n × n-Matrix ist. Nach dem Umkehrsatz existieren Umgebungen Y ⊆ V × Rn−m von 0 und Z ⊆ Rn von 0, so dass die Einschr¨ankung fˆ|Y : Y → Z ein Diffeomorphismus ist. Da fˆ|V = f˜, ist also auch f˜ lokaler Diffeomorphismus bei x; schilesslich f = ψ ◦ f˜ ◦ ϕ−1 , und da ϕ und ψ Diffeomorphismen V → ϕ(V ) bzw. W → ψ(W ) sind, folgt die Behauptung u 2 ¨ber f . (Anmerkung: Dieser Beweis aus do Carmo’s Buch vermeidet den Satz u ¨ber die implizite Funktion nur oberfl¨achlich durch die R¨ uckf¨ uhrung auf den Umkehrsatz mit Hilfe von redundanten Variablen. Erfahrungsgem¨aß ist aber der Umkehrsatz f¨ ur viele leichter zu verstehen.)

1.5 1.5.1

Wichtige Beispiele von Mannigfaltigkeiten Regul¨ are Fl¨ achen in Rn

Wir verallgemeinern das Konzept der regul¨aren Fl¨ache in R3 zu m-dimensionalen Fl¨achen in Rn . Definition (regul¨ are Fl¨ ache in Rn ) Sei m ≤ n. Eine Teilmenge M ⊂ Rn heißt regul¨are Fl¨ache der Dimension m in Rn , falls zu jedem x ∈ M eine Umgebung V von x in M und eine Abbildung ϕ : Rm ⊇ U → M ∩ V einer offenen Menge U mit Bild M ∩ V existiert, so dass (i) ϕ ein differenzierbarer Hom¨oomorphismus ist und (ii) dϕ(u) : Rm → Rn injektiv ist f¨ ur alle u ∈ U . Der folgende Satz holt nach, was wir f¨ ur zweidimensionale Fl¨achen in R3 schon behauptet haben: Satz (regul¨ are Fl¨ achen sind Mannigfaltigkeiten) Jede m-dimensionale regul¨are Fl¨ache in Rn ist eine n-dimensionale differenzierbare (Unter-)Mannigfaltigkeit. ¨ Im Beweis ist nur noch zu zeigen, dass jede Ubergangsabbildung von zwei verschiedenen lokalen Parametrisierungen ein Diffeomorphismus ist. Das geht mit dem Umkehrsatz, mit genau demselben Trick wie im Beweis der vorigen Proposition. 2 14

1.5.2

Urbilder von regul¨ aren Werten

Definition regul¨arer Wert Sei V ⊆ Rm offen und F : v → Rn eine differenzierbare Abbildung. Ein Punkt v ∈ V heißt kritischer Punkt von F , falls dF (v) : Rm → Rn nicht surjektiv ist. Das Bild F (v) eines kritischen Punkts von F heißt kritischer Wert von F . Jeder nicht kritische Wert von F heißt regul¨arer Wert von F (das schließt die Punkte außerhalb F (V ) mit ein!). Bemerkung: Man sieht sofort, dass regul¨are Werte im Bild von F nur im Fall m ≥ n existieren k¨onnen. 2 Der folgende Satz ist eine einfache Folgerung bzw. Umformulierung des “impliziten Funktionensatzes” und sollte aus der Analysis-Grundvorlesung bekannt sein: Satz (Urbilder regul¨ arer Werte sind Mannigfaltigkeiten) Sei V ⊆ Rm offen, F : V → Rn differenzierbar und a ∈ Rn ein regul¨arer Wert von F . Dann ist F −1 (a) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (sogar Untermannigfaltigkeit von Rm ) der Dimension m − n. Beweis: Falls a ∈ / F (V ), ist F −1 (a) = ∅, und die leere Menge ist differenzierbare Mannigfaltigkeit jeder Dimension. Im nichttrivialen Fall sei x ∈ F −1 (a). Dann ist dF (x) surjektiv, und der Satz u ¨ber die implizite Funktion gibt lokale Parametrisierungen von F −1 (a) als Graphen, die einen Atlas von M bilden. 2 Hier noch der Beweis aus do Carmo, der den Satz u ¨ber die implizite Funktion wieder vermeidet: Beweis: o.B.d.A. seien die ersten n Zeilen der Matrix JF (x) (die df (x) darstellt) linear unabh¨angig. Jetzt definieren wir f : Rm ⊇ V → Rm durch f (v1 , . . . , vm ) := (F1 (v), . . . , Fn (v), vn+1 , . . . , vm ) und sehen, dass df (v) invertierbar ist. Nach dem Umkehrsatz ist also f ein Diffeomorphismus einer Umgebung Y von p auf eine Umgebung Z von f (x). Sei W n ⊂ Z ein W¨ urfel mit Zentrum f (x); wir setzen Q := f −1 (W n ) ∩ Y . Dann ist die Einschr¨ankung von f ein Diffeomorphismus Q → W n = W m × W m−n . Durch ϕ : W m−n → Q,

ϕ(w1 , . . . , wm−n ) := f −1 (a1 , . . . am , w1 , . . . , wm−n )

wird dann eine lokale Parametrisierung von M (denn F (ϕ(w)) ≡ a) bei p definiert, die die Bedingungen (i) und (ii) aus der Definition einer regul¨aren Fl¨ache in Rn erf¨ ullt. Damit ist M eine regul¨are Fl¨ache, also nach dem vorigen Satz eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. 2

15

1.5.3

Lie-Gruppen

Definition (Lie-Gruppe) Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe G, versehen mit einer differenzierbaren Struktur (die sie zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit macht), so dass die Gruppenverkn¨ upfung (g, h) 7→ gh und die Inversenbildung g 7→ g −1 differenzierbare Abbildungen G × G → G bzw. G → G sind. ¨ Bemerkung: Aquivalent kann man fordern, dass (g, h) 7→ gh−1 differenzierbar ist. 2 Bemerkung: Ist H ⊂ G Untermannigfaltigkeit und gleichzeitig Untergruppe von G, dann sind die Einschr¨ankungen der Verkn¨ upfung und Inversenbildung von G auch stetig auf H, H ist also Lie-Gruupe und heißt eine Lie-Untergruppe von G. 2 Eine von vielen bemerkenswerten Eigenschaften von Lie-Gruppen ist die Tatsache, dass sich die Gruppenstruktur zu einer Lie-Algebren-Struktur auf den Tangentialr¨aumen u upfung sorgt zun¨achst daf¨ ur, dass alle Tangenti¨bertragen l¨asst. Die Gruppenverkn¨ alr¨aume kanonische Isomorphismen untereinander haben. Dazu definieren wir zun¨achst die Linkstranslation Lg : G → G f¨ ur jedes g ∈ G durch Lg (x) = gx. Weil Lg differenzierbar umkehrbar ist durch Lg−1 , ist dLg (x) f¨ ur alle g, x ∈ G ein Isomorphismus Tx G → Tgx G. Ein Vektorfeld X auf g heißt linksinvariant, wenn dLg (x)X(x) = X(gx)

f¨ ur alle g, x ∈ G

oder kurz geschrieben dLg X = X ◦ Lg f¨ ur alle g ∈ G. Die Lie-Klammer von zwei linksinvarianten Vektorfeldern X und Y ist selbst linksinvariant, denn f¨ ur alle g ∈ G ¨ gilt (wobei der erste Schritt auch etwas Uberlegung erfordert) dLg [X, Y ] = [dLg X, dLg Y ] = [X ◦ Lg , Y ◦ Lg ] = [X, Y ] ◦ Lg . Da Linearkombinationen von linksinvarianten Vektorfeldern wieder linksinvariant sind, bilden sie einen Vektorraum. Außerdem ist jedes linksinvariante Vektorfeld durch seinen Wert in e ∈ G (dem Einselement) der Gruppe eindeutig bestimmt, denn es muss von der Form X(x) = dLx X(e) sein. Dies gibt uns einen Isomorphismus zwischen Te G und dem Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder. Auf letzterem ist, wie wir gerade festgestellt haben, eine LieKlammer definiert, die wir mittels des Isomorphismus auf Te G u ¨bertragen. Wir haben damit bewiesen: Satz (Lie-Algebra einer Lie-Gruppe) Sei G eine Lie-Gruppe und e ihr Einselement. Die Identifikation von Te G mit dem Raum der linksinvarianten Vektorfelder auf G macht Te M zu einer endlichdimensionalen Lie-Algebra, die wir Lie-Algebra der Gruppe G nennen und mit g bezeichnen. Beispiele: (1) Rn mit der Addition ist Lie-Gruppe. Die linksinvarianten Vektorfelder sind genau die konstanten Vektorfelder. Da Richtungsableitungen vertauschbar sind, 16

kommutieren alle linksinvarianten Vektorfelder, und die Lie-Algebra zu Rn ist langweilig: Rn mit der trivialen Bilinearform [X, Y ] = 0. (Interessantere Lie-Algebren weiter unten?) (2) S 1 ∼ = SO(2) ist auch Lie-Gruppe, das haben wir auf Blatt 1 nachgerechnet. Da das produkt von Lie-Gruppen wieder Lie-Gruppe ist, ist auch der Torus T n := S 1 × . . . S 1 (n Faktoren) eine Lie-Gruppe, sogar (was selten ist) eine abelsche Lie-Gruppe. (3) Die Menge aller invertierbaren linearen Abbildungen Kn → Kn (K = R oder C) ist eine Gruppe mit Hintereinanderausf¨ uhrung (d.h. Matrizenmultiplikation) als Verkn¨ upfung. Sie heißt allgemeine lineare Gruppe GL(n, K). Im reellen Fall ist GL(n, R) = {A ∈ Rn×n : det A 6= 0} eine offene Teilmenge von Rn×n und damit Mannigfaltigkeit. Die Matrizenmultiplikation ist differnzierbar (klar, da polynomial). Dasselbe gilt f¨ ur die Inversenabbildung A 7→ A−1 , die wegen der Cramerschen Regel eine rationale Funktion ist. Folglich ist GL(n, R) eine Lie-Gruppe der Dimension n2 . F¨ ur GL(n, C) muss man etwas mehr arbeiten. Identifiziere Cn ∼ = R2n ; dann bilden 2 2 die komplexen n × n Matrizen einen (reell) 2n -dimensionalen Unterraum von R4n . Dessen durch det A 6= 0 beschriebene offene Teilmenge ist GL(n, C), eine Lie-Gruppe, aus demselben Grund wie oben, der Dimension 2n2 . (4) Die speziellen linearen Gruppen sind die entsprechenden Lie-Gruppen der Matrizen mit Determinante 1: SL(n, R) := {A ∈ GL(n, R) : det A = 1}, SL(n, C) := {A ∈ GL(n, C) : det A = 1}. Der Beweis, dass es sich um Lie-Gruppen handelt, benutzt 1 als regul¨aren Wert der Funktion det und ist etwas einfacher als das n¨achste Beispiel, weshalb wir ihn weglassen. SL(n, R) hat die Dimension n2 − 1 und SL(n, C) die Dimension 2n2 − 1. (5) Die orthogonale Gruppe O(n) ist die Gruppe aller orthogonalen n × n-Matrizen, d.h. aller n × n-Matrizen mit Atr = A−1 , d.h. Atr A = In . Um sie als differenzierbare Mannigfaltigkeit zu sehen, betrachten wir die Abbildung F : Rn×n → Sym(n),

F (A) := Atr A − In .

Dabei sei Sym(n) ∼ = Rn(n+1)/2 der Raum der symmetrischen n × n-Matrizen. Man berechnet dF (A)H = Atr H + H tr A f¨ ur jedes A ∈ Rn×n . Ist speziell A ∈ O(n) und S ∈ Sym(n), dann gilt (unter Benutzung von Atr = A−1 AS dF (A) = s, 2 damit ist dF (A) f¨ ur alle A ∈ F −1 (0) = O(n) surjektiv, und 0 ein regul¨arer Wert von -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. F , folglich O(n) = F −1 (0) eine n(n−1) 2 Als Untergruppe von GL(n, R) ist also O(n) Lie-Gruppe. Ihre offene Teilmenge SO(n) = {A ∈ O(n) : det A = 1} 17

heißt spezielle orthogonale Gruppe und ist auch Mannigfaltigkeit der Dimension O(n) und SO(n) sind kompakt.

n(n−1) . 2

(6) Analog gibt es die unit¨are Gruppe tr

U (n) := {A ∈ GL(n, C) : A A = In } und die spezielle unit¨are Gruppe SU (n) := {A ∈ U (n) : det A = 1}. Beides sind kompakte Lie-Gruppen. U (n) ist n2 -dimensional, w¨ahrend SU (n) die Dimension n2 − 1 hat. Und es gibt auch entsprechende Gruppen, symplektische Gruppen genannt, der entsprechenden Matrizen f¨ ur die Quaternionen. (Es gibt aber keine “spezielle symplektische Gruppe”, weil alle Elemente der symplektischen Gruppe automatisch Determinante 1 haben.) 2 Es stellt sich die Frage, wie die Lie-Algebren zu den in (3)–(6) aufgef¨ uhrten LieGruppen aussehen. Dazu brauchen wir zun¨achst eine Beschreibung der Tangentialr¨aume, “mit der man rechnen kann”. Gl¨ ucklicherweise hilft die lineare Algebra hier weiter. Wir erinnern an die Exponentialfunktion f¨ ur Matrizen n×n

exp : K

n×n

→K

∞ X 1 k A , exp(A) := k! k=0

,

wobei A0 als die Einheitsmatrix En definiert ist. Dabei darf K wieder R oder C sein. Die wichtigsten Rechenregeln f¨ ur die Exponentialfunktion sind f¨ ur A, B ∈ Kn×n tr

tr

exp(A ) = exp(A) , exp(A) exp(B) = exp(A + B) = exp(B) exp(A) det(exp(A)) = eSpurA .

falls AB = BA,

Der Tangentialraum Te GL(n, R) kann mit Rn×n identifiziert werden, weil GL(n, R) einfach eine offene Teilmenge von Rn×n ist. F¨ ur den Tangentialraum von SL(n, R) ist die Exponentialabbildung n¨ utzlich: F¨ ur eine Martrix A ∈ Rn×n mit Spur A = 0 definieren wir eine Kurve c : R → Rn×n durch c(t) := exp(tA). Diese Kurve erf¨ ullt c(0) = En , c0 (0) = A und det(c(t)) = det(exp(tA)) = eSpur(tA) = e0 = 1 f¨ ur alle t ∈ R. Also ist c tats¨achlich eine Kurve c : R → SL(n, R). Und A ist der Tangentialvektor einer Kurve in SL(n, R), folglich ein Element des Tangentialraums Te SL(n, R) (denn das neutrale Element ist e := En ). Diese Identifikation von spurfreien 18

Matrizen mit Tangentialvektoren in Te SL(n, R) ist offensichtlich linear und injektiv. Da dim Te SL(n, R) = dim SL(n, R) = m2 − 1 und das auch die Dimension des Raums der spurfreien n × n-Matrizen ist, ist sie auch surjektiv und damit ein Isomorphismus. Wir haben also gezeigt: Te SL(n, C) = {A ∈ Rn×n : Spur A = 0} (eigentlich “nur” isomorph, aber mit so nat¨ urlichem Isomorphismus, dass wir die R¨aume als gleich ansehen). Als n¨achstes wollen wir Te O(n) bestimmen. Dazu betrachten wir zun¨achst eine Kurve C : ] − ε, ε[ → O(n) mit C(0) = e = En und C 0 (0) =: A. Weil C in O(n) verl¨auft, gilt C(t)C(t)tr = En f¨ ur alle t. Differenzieren ergibt d (C(t)C(t)tr ) = (C 0 (t)C(t)tr + C(t)C 0 (t)tr )|t=0 = A + Atr . 0= dt t=0 Also wird jeder Tangentialvektor in Te O(n) durch eine schiefsymmetrische n×n-Matrix A dargestellt. Sei umgekehrt eine schiefsymmetrische Matrix A gegeben. Die Kurve c : R → Rn×n aus dem vorigen Beispiel, c(t) = exp(tA) ist dann tats¨achlich eine Kurve nach O(n), denn f¨ ur alle t ∈ R gilt c(t)c(t)tr = = = = =

exp(tA) exp(tA)tr exp(tA) exp(tAtr ) exp(t(A + Atr )) exp(0) En .

Also ist A ∈ Te O(n) wegen c(0) = e und c0 (0) = A. Folglich ist Te O(n) der Raum der schiefsymmetrischen n × n-Matrizen. Weil SO(n) eine offene Teilmenge von O(n) ist, die e enth¨alt, ist dieser Tangentialraum auch gleich Te SO(n). Wir haben damit die ¨ Tangentialr¨aume von GL(n, R), SL(n, R), O(n) und SO(n) bestimmt. In den Ubungen werden wir dasselbe f¨ ur die entsprechenden Gruppen komplexer Matrizen tun. Damit ist dann der erste Teil des folgenden Satzes bewiesen: Satz (Lie-Algebren der klassischen Lie-Gruppen) Die Lie-Algebren der Lie-Gruppen GL(n, R), SL(n, R), O(n), SO(n), GL(n, C), SL(n, C), U (n), SU (n) sind als Vektorr¨aume gegeben durch gl(n, R) sl(n, R) o(n) so(n) gl(n, C) sl(n, C)

= = = = = =

Rn×n , {A ∈ Rn×n {A ∈ Rn×n {A ∈ Rn×n Cn×n , {A ∈ Cn×n

u(n) = {A ∈ C

n×n

: Spur A = 0}, : Atr = −A}, : Atr = −A}, : Spur A = 0}, tr

: A = −A}, tr

su(n) = {A ∈ Cn×n : A = −A und Spur A = 0}. 19

Die Lie-Algebrenstruktur auf allen diesen R¨aumen wird durch [A, B] = AB − BA mit Hilfe der Matrizenmultiplikation beschrieben. Beweis: Es ist nur noch die letzte Aussage zu zeigen. Wieder beweisen wir nur den ¨ reellen Fall und lassen den komplexen f¨ ur die Ubungen. Es gen¨ ugt, den Beweis f¨ ur GL(n, R) zu f¨ uhren, denn SL(n, R), O(n) und SO(n) sind Untergruppen, auf die sich die behauptete Eigenschaft einfach u ¨bertr¨agt. Seien X, Y linksinvariante Vektorfelder auf GL(n, R), f : U → R eine glatte Funktion, die auf einer Umgebung U von e in GL(n, R) definiert sei, u ∈ U beliebig. Dann ist d f (u exp(tX(e))) dt |t=0 = df (u)(dLu (e)X(e)) = df (u)X(u)

(Xf )(u) =

(beachte: t 7→ x exp(tX(e)) ist eine Kurve in GL(n, R) mit c(0) = x und c0 (0) = 2 xX(e) = X(x)). Da U eine Teilmenge von Rn×n = Rn ist, gelten alle bekannten Regeln der Differentialrechnung. Wir berechnen die zweite Ableitung an der Stelle e als d (Xf )(exp(tY (e))) dt |t=0   d df (exp(tY (e)))X(exp(tY (e))) = dt |t=0   d = df (exp(tY (e))) exp(tY (e))X(e) dt |t=0 = Y (e) · Hf (e)X(e) + df (e)(Y (e)X(e))

(Y Xf )(e) =

und folgern mit der Symmetrie der Hesse-Matrix Hf (e) [X, Y ]f (e) = (XY − Y X)f (e) = df (e)(X(e)Y (e) − Y (e)X(e)), 2

woraus die Behauptung folgt.

2 2.1

Riemannsche Mannigfaltigkeiten Riemannsche Metriken

Definition (Riemannsche Mannigfaltigkeit) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Eine Riemannsche Metrik auf M ist eine Abbildung g, die jedem x ∈ M ein Skalarprodukt gx ( · , · ) (d.h. eine positiv definite symmetrische 20

Bilinearform) auf Tx M zuordnet. Das Subskript x l¨asst man dabei u ¨blicherweise weg, wenn der Kontext es erlaubt. In lokalen Koordinaten ist g(X, Y ) =

n X

gij Xi Yj ,

wobei gij := g(∂i , ∂j ),

ij=1

f¨ ur Vektorfelder X, Y auf M und es wird verlangt, dass g glatt ist in dem Sinne, dass die gij (bez¨ uglich allen Koordinaten) glatte Funktionen M ⊇ U → R sind. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, g) aus eine differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einer Riemannschen Metrik darauf. Ist die Metrik kanonisch oder aus dem Zusammenhang klar, so bezeichnet man auch die Riemannsche Mannigfaltigkeit mit M . Die gij bilden an jeder Stelle eine positiv definite n × n-Matrix. Die Komponenten der dazu inversen Matrix werden oft mit g ij bzw. g ij (x) bezeichnet. Definition (Isometrie) Seien (M, g) und (N, γ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Ein Diffeomorphismus f : M → N heißt Isometrie , falls gx (X, Y ) = γf (x) (df (x)X, df (x)Y ) f¨ ur alle x ∈ M und alle X, Y ∈ Tx M gilt. Dann heißen (M, g) und (N, γ) isometrisch. Erf¨ ullt ein lokaler Diffeomorphismus dieselbe Gleichung, so heißt er lokale Isometrie. Existiert zu jedem x ∈ M eine lokale Isometrie M → N bei x und umgekehrt, so heißen (M, g) und (N, γ) lokal isometrisch. Beispiele: (1) Das fast triviale Beispiel ist Rn mit dem Skalarprodukt, also gx (X, Y ) := X · Y f¨ ur alle Vektoren X, Y ∈ Tx Rn = Rn . Da die ∂i (bez¨ uglich der kanonischen Parametrisierung von Rn mit der Identit¨at) hier einfach die Einheitsvektoren ei sind, gilt gij = g(ei , ej ) = ei · ej = δij f¨ ur alle i, j ∈ Rn . Wir werden aber sehen, dass Rn noch andere geometrisch interessante Riemannsche Metriken tr¨agt, z.B. die elliptische Metrik  2 2 X ·Y gx (X, Y ) := 1 + |x|2 oder die hyperbolische Metrik auf B n ⊂ Rn ,  2 2 gx (X, Y ) := X · Y. 1 − |x|2 (2) Immergierte Mannigfaltigkeiten: Sei f : M → N eine Immersion. Dann induziert die Metrik γ von N eine Metrik g auf M in folgender Weise: F¨ ur x ∈ M , X, Y ∈ Tx M definiere gx (X, Y ) := γf (x) (df (x)X, df (x)Y ). 21

Diese Metrik heißt die durch f induzierte Metrik , und f (jetzt als Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) und (N, γ) betrachtet, heißt eine isometrische Immersion. Dies kann insbesondere mit N = Rn dazu benutzt werden, Untermannigfaltigkeiten von Rn nat¨ urliche Riemannsche Metriken zu geben. Dazu f¨ uhrt man einfach die obige n Konstruktion f¨ ur f := i durch, wobei i : M → R die Einbettung sei. Konkret wollen wir das f¨ ur die Sph¨are S n−1 ⊂ Rn durchf¨ uhren. Sei x ∈ S n−1 . Die Elemente von Tx S n−1 sind Ableitungen (im Punkt x) von Kurven, die in S n−1 verlaufen, also immer senkrecht zu x. Wir k¨onnen daher Tx S n−1 ∼ = {Y ∈ Rn : x · Y = 0} identifizieren, und unter dieser Identifikation ist di(x) = id : Tx S n−1 ,→ Rn . Also ist die induzierte Riemannsche Metrik auf der Sph¨are einfach durch das Skalarprodukt auf Rn gegeben: gx (X, Y ) = X · Y, wenn X, Y wie oben beschrieben als Vektoren im Rn aufgefasst werden. Genauso erh¨alt man die induzierten Metriken auf jeder anderen Untermannigfaltigkeit von Rn , indem man die Tangentialvektoren als Vektoren in Rn auffasst und ihr euklidisches Skalarprodukt bildet. Ist ϕ : Rm ⊇ U → M ⊂ Rn eine Parametrisierung von M , dann gilt f¨ ur u ∈ U gij (ϕ(u)) =

∂ϕ ∂ϕ (u) · (u), ∂ui ∂uj

und g (manchmal auch g ◦ ϕ) wird erste Fundamentalform von M (oder auch von ϕ) genannt. (3) Sind (M, g) und (N, γ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, dann ist die Produktmetrik auf M × N gegeben durch h(x,w) ((X, W ), (Y, Z)) := gx (X, Y ) + γw (W, Z) f¨ ur x ∈ M , w ∈ N , X, Y ∈ Tx M , W, Z ∈ Tw N . (4) Auf Lie-Gruppen haben wir bekanntlich die Linkstranslationen und Rechtstranslationen Lg : G → G, Rg : G → G,

Lg (x) := gx, Rg (x) := xg.

Eine ideale Riemannsche Metrik γ auf einer Lie-Gruppe w¨are sowohl linksinvariant, γx (X, Y ) = γgx (dLg (x)X, dLg (x)Y ), 22

als auch rechtsinvariant, γx (X, Y ) = γgx (dRg (x)X, dRg (x)Y ). So eine Metrik nennt man bi-invariant. Existenz von linksinvarianten Metriken ist leicht einzusehen: W¨ahle irgendein Skalarprodukt h · , · i auf Te G und definiere γx (X, Y ) := hdLx−1 (x)X, dLx−1 (x)Y i. Aber im Allgemeinen kann man h · , · i nicht so w¨ahlen, dass γ auch rechtsinvariant ist. Auf kompakten Lie-Gruppen ist das allerdings immer m¨oglich (sogar explizit konstruierbar), also haben kompakte Lie-Gruppen immer eine bi-invariante Riemannsche Metrik (manchmal viele, z.B. wenn G ein Produkt ist). Wir werden das sp¨ater beweisen. (5) Anstelle der positiven Definitheit von gx an jedem Punkt x kann man auch folgendes fordern, mit n := dim M , m ≤ n: Die Tx M haben Orthonormalbasen {bi (x)}i=1...n so dass gx (bi (x), bi (x)) > 0 f¨ ur i = 1 . . . n−m und < 0 f¨ ur i = n−m+1 . . . n. Eine solche Struktur heißt pseudo-Riemannsche Metrik und (M, g) eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ist m = 1, so heißt g eine Lorentz-Metrik . In der allgemeinen Relativit¨atstheorie ist die Raumzeit eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit. Die Theorie der pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten geht weitgehend analog zur Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die hier im Mittelpunkt steht. 2 Hat eigentlich jede Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik? Ja: Proposition (Existenz Riemannscher Metriken) Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es eine Riemannsche Metrik. Beweis: Wir fangen mit einem allgemein n¨ utzlichen Konzept an, der Zerlegung der ¨ Eins: Sei (V S i )i∈I eine lokal endliche Uberdeckung von M , d.h. die Vi sind offen in M , M = i∈I Vi , und jedes x ∈ M liegt nur in endlich vielen Vi . Dann kann man zeigen (durch mehr oder weniger explizite Konstruktionen): Es gibt eine Familie von Funktionen fi : M → [0, 1] (i ∈ I) mit den folgenden Eigenschaften: (i) fi ist glatt und fi ≡ 0 außerhalb Vi , P (ii) i∈I fi ≡ 1. Jetzt nehmen wir einen Atlas (ϕi )i∈I von M , so dass die ϕi (Ui ) eine lokal endliche ¨ Uberdeckung von M sind. (Damit das geht, muss M hausdorffsch sein und abz¨ahlbare Basis der Topologie haben.) Diese nehmen wir als Vi und erhalten eine Familie von Funktionen (fi )i∈I mit obigen Eigenschaften. Diese Familie ist die Zerlegung der Eins. Zur¨ uck zum Beweis der Proposition: Fixiere einen Atlas von M mit Zerlegung der Eins wie oben. Auf jedem ϕi (Ui ) definiere gϕi i (u) (X, Y ) := dϕi (u)−1 X · dϕi (u)−1 Y und dann g :=

X i∈I

23

fi g i

auf ganz M (macht Sinn, denn wo g i nicht definiert ist, wird es mit 0 multipliziert). Dann ist g eine Riemannsche Metrik auf M . 2 Mit Riemannschen Metriken kann man L¨angen, Volumen, Winkel etc. messen. Wir fangen mit Kurvenl¨angen an. Definition (Vektorfelder l¨ angs Kurven, Kurvenl¨ angen) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, I ein Intervall in R, c : I → M eine differenzierbare Abbildung, d.h. c eine Kurve in M . Ein Vektorfeld l¨angs der Kurve c ist eine Abbildung V , die jedem t ∈ I einen Vektor in Tc(t) M zuordnet. V heißt differenzierbar, falls f¨ ur jede differenzierbare Funktion f : M → R auch t 7→ V (t)f (c(t)) differenzierbar auf I ist. ∂ Das Vektorfeld dc := dc ∂t heißt das Geschwindigkeits(vektor)feld von c. Die Eindt schr¨ankung einer Kurve auf [a, b] ⊂ I heißt ein Segment. Die L¨ange des Segments c|[a,b] definieren wir dann als

`ba (c)

Z := a

b

 dc dc 1/2 , dt. g dt dt

Bemerkungen: (1) Die Kurvenl¨ange ist parametrisierungsinvariant, d.h. f¨ ur monotone “Umparametrisierungen” τ : [A, B] → [a, b] hat c : [a, b] → M dieselbe L¨ange wie c ◦ τ : [A, B] → M . F¨ ur viele Zwecke ist es daher n¨ utzlich, Kurven in einer speziellen Parametrisierung zu betrachten, der Parametrisierung nach der Bogenl¨ange: Dazu sei c : [a, b] → M eine Kurve und σ(t) := `a+t a (c). Man rechnet leicht nach, dass c˜ := c ◦ σ −1 : [0, `ba (c)] → M außerhalb endlich vieler “Knickstellen” (die nur auftauchen, wenn c0 Nullstellen hat) c | ≡ 1 erf¨ ullt. | d˜ dt (2) Man kann jede wegzusammenh¨angende Riemannsche Mannigfaltigkeit auf nat¨ urliche Weise zu einem metrischen Raum machen durch die Riemannsche Abstandsfunktion d(x, y) := inf{L(c) : c st¨ uckw. C 1 -Kurve von x nach y in M } Die Topologien von M als Mannnigfaltigkeit und M als metrischem Raum stimmen u ¨berein. Und man kann sich u ¨berlegen, dass die Riemannsche Metrik durch die Riemannsche Abstandsfunktion eindeutig bestimmt wird. 2 Aber mit der Riemannschen Metrik kann man nicht nur L¨angen, sondern auch Volumina offener Teilmengen und allgemeiner Inhalte von Untermannigfaltigkeiten jeder Dimension messen. Dazu m¨ ussen wir aber etwas arbeiten: Definition (Dichte) Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Dichte σ auf M ordnet jedem x ∈ M eine absolute n-Linearform σx auf Tx M zu; das ist eine Abbildung (Tx M )n → R≥0 der Form ε(v1 , . . . , vn ) := |hδ; v1 , . . . , vn i| 24

mit einer Determinantenform δ auf Rn ∼ = Tx M ; hierbei nehmen wir wieder an, dass δ differenzierbar von x ∈ M abh¨angt. Das Integral der Dichte σ u ¨ber eine messbare Teilmenge A ∈ ϕ(U ) ⊆ M im Bild einer Parametrisierung ist Z Z σ := σϕ(u) (∂1 , . . . , ∂n ) du1 . . . dun ; A

ϕ−1 (A)

dies k¨onnen wir mit einer Zerlegung der Eins auch f¨ ur beliebige messbare A ⊆ M fortsetzen (wobei die Wohldefiniertheit eine nichttriviale Rechnung erfordert). (Die BorelAlgebra der messbaren Mengen auf M wird durch die Bilder der meßbaren Mengen in den Ui mittels eines Atlas erzeugt.) Dann wird durch Z µ(A) := σ A

das zu σ geh¨orende glatte Maß zu σ definiert. Das Beispiel, das man hierbei zur Illustration im Hinterkopf haben sollte ist Rn mit der Dichte σx = | det | f¨ ur alle x ∈ Rn . Das zugeh¨orige Maß ist einfach das Lebesgue-Maß. Zur Riemannschen Metrik gibt es in nat¨ urlicher Weise eine Dichte: Definition (Riemannsches Maß) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n. Die Riemannsche Dichte ist die Dichte auf M mit σx (b1 , . . . , bn ) = 1 f¨ ur ONB {bi }1=1...n in Tx M. (Dabei heißt {bi }1=1...n Orthonormalbasis falls gx (bi , bj ) = δij .) Das zugeh¨orige glatte Maß heißt das Riemannsche Maß µg auf M . Inhalte und Integration bez¨ uglich Untermannigfaltigkeiten von M werden mit Hilfe des Riemannschen Maßes zur induzierten Metrik erkl¨art. Bemerkung: Damit sind Integration auf Mannigfaltigkeiten und deren Untermannigfaltigkeiten erkl¨art, denn bzgl. dem Riemannschen Maß kann man nat¨ urlich auch integrieren. Und es handelt sich sogar um recht nat¨ urlichen Integrationsbegriff, denn sie verallgemeinern die Integration u ¨ber Mannigfaltigkeiten aus der Analysis-Grundvorlesung. F¨ ur Parametrisierungen ϕ : Rn ⊇ U → M ⊂ K von Untermannigfaltigkeiten von K k¨onnen wir n¨amlich die Riemannsche Dichte ausrechnen und erhalten f¨ ur messbare A ⊆ ϕ(U ), f : A → R Z Z f dµg = f (ϕ(u))Jg ϕ(u) du1 . . . dun A

ϕ−1 (A)

mit der Jacobischen q Jg ϕ(u) := det[gϕ(u) (∂i ϕ(u), ∂j ϕ(u))]i,j=1...n 25

bez¨ uglich g. Im Fall K = Rk ist g einfach das Skalarprodukt in Rk , und die Jacobische ist die altbekannte; die Formel oben wird die Fl¨achenformel , mit der u ¨blicherweise in der Analysis Integrale u ¨ber Untermannigfaltigkeiten berechnet (oder auch definiert) wurden. Oft (besonders in der Physik) nennt man Jg ϕ(u) du1 . . . dun das Volumenelement von M . 2 Außer Volumina k¨onnen wir mit g auch Winkel definieren: Definition (Winkel) Seien b, c zwei Kurven in (M, g) mit b(t) = c(t) = x. Der Winkel zwischen b und c ist der Winkel der Tangentialvektoren in Tx M (wenn diese 6= 0 sind), also gx (b0 (t), c0 (t))

∠(b0 (t), c0 (t)) := arccos p

gx (b0 (t), b0 (t))gx (c0 (t), c0 (t))

.

Wie man sieht, ist folgende Abk¨ urzung praktisch: p |v|g := g(v, v) . Wir kommen jetzt auf die Isometrien zur¨ uck. Isometrien erhalten also, nach dem gerade Gesagten, L¨angen, Winkel, Volumina. Es ist klar, dass die Isometrien eine Gruppe bez¨ uglich der Hintereinanderausf¨ uhrung bilden. Es gilt sogar mehr (was wir nicht beweisen): Satz (von Meyers und Steenrod) Die Gruppe Isom(M ) der Isometrien einer zusammenh¨angenden Riemannschen Mannigfaltigkeit M ist eine endlichdimensionale LieGruppe. F¨ ur “zuf¨allig ausgew¨ahlte” Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist Isom(M ) trivial, d.h. gleich {id}. Ist Isom(M ) gr¨oßer, so bedeutet das, dass M Symmetrien hat. Die Operation von Gruppen auf Mannigfaltigkeiten ist uns einen eigenen Abschnitt wert.

2.2

Gruppenoperationen

Definition (Gruppenoperationen) Sei M eine Mannigfaltigkeit und G eine Gruppe. Eine Operation von G auf M ist eine Abbildung G × M → M , (g, x) 7→ gx, so dass ex = x f¨ ur alle x ∈ M, (gh)x = g(hx) f¨ ur alle g, h ∈ G, x ∈ M. Ist G zus¨atzlich Lie-Gruppe, so heißt die Gruppenoperation differenzierbar, falls (g, x) 7→ gx differenzierbare Abbildung ist. Die Bahn von x ∈ M ist Gx := {gx : g ∈ G}. Zu jedem Punkt x ist Gx := {g ∈ G : gx = x} eine Untergruppe von G und heißt die Isotropiegruppe zu x. 26

Der Orbitraum oder Quotientenraum ist M/G := {Gx : x ∈ M }. Ist M Riemannsche Mannigfaltigkeit und die G-Operation differenzierbar, so wird M/G auf nat¨ urliche Weise metrischer (und damit auch topologischer) Raum verm¨oge d(Gx, Gy) := inf{d(ξ, η) : ξ ∈ Gx, η ∈ Gy}. Die Projektion π : M → M/G ist π(x) := Gx. Die Operation ist transitiv, falls M = Gx f¨ ur ein (und damit alle) x ∈ M . Die Operation heißt frei, wenn gx = x (f¨ ur ein x) schon g = e impliziert. Sie heißt effektiv, wenn x 7→ gx nur f¨ ur g = e die Identit¨at ist. Die Operation heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn zu allen x, y ∈ M Umgebungen U, V existieren, so dass gU ∩ V 6= ∅ nur f¨ ur endlich viele g ∈ G gilt. Die Operation heißt eigentlich, wenn f¨ ur jede kompakte Menge K ⊆ M gilt: {g ∈ G : gK ∩ K 6= ∅} ist kompakt in G. Ist M Riemannsche Mannigfaltigkeit und x 7→ gx f¨ ur jedes g ∈ G eine Isometrie von M , so heißt die Gruppenoperation isometrisch. Eine Operation einer Lie-Gruppe G auf einem Vektorraum V heißt eine Darstellung von G, wenn x 7→ gx f¨ ur alle g ∈ G linear ist. Beispiele: (1) Jede Lie-Gruppe operiert auf sich selbst, z.B. durch Linksmultiplikation (g, x) 7→ gx

f¨ ur g, x ∈ G

oder durch Rechtsmultiplikation (g, x) 7→ xg −1

f¨ ur g, x ∈ G.

(Beachte, dass man das Element invertieren muss, wenn die Gruppe nicht kommutativ ist.) Analog operiert G × G auf G durch ((g, h), x) 7→ gxh−1 . (2) Die Gruppen O(n) oder SO(n) operieren auf S n−1 ⊂ Rn durch Multiplikation von Matrizen und Vektoren. Diese Operationen sind transitiv. 2 Die einfachste Situation, in der der Orbitraum selbst wieder Mannigfaltigkeit ist, ist die folgende: Satz (Quotienten nach eigentlich diskontinuierlicher freier Gruppenoperation) (i) Die Gruppe G operiere differenzierbar, eigentlich diskontinuierlich und frei auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Dann gibt es eine eindeutige differenzierbare Struktur auf M/G, f¨ ur die die Quotientenabbildung π : M → M/G differenzierbar ist. (ii) Hat zus¨atzlich M eine Riemannsche Metrik γ, und operiert G auf (M, γ) isometrisch, dann gibt es eine eindeutige Riemannsche Metrik auf M/G, f¨ ur die π Riemann¨ sche Uberlagerung ist, d.h. dπ(x) ist orthogonal f¨ ur alle x ∈ M . 27

Beweis: (i) Zu x ∈ M gibt es eine Umgebung A mit gA ∩ A 6= ∅ f¨ ur alle g ∈ G bis auf endlich viele. Wegen gx 6= x f¨ ur alle g 6= e kann man A sogar soweit verkleinern, dass gA∩A = ∅ f¨ ur alle g 6= e. Folglich ist π : A → π(A) ein Hom¨oomorphismus. Wir nehmen nun einen Atlas {ϕi : Ui → M }i∈I , f¨ ur den alle ϕi (Ui ) die Bedingung an A oben erf¨ ullen (gibt es) und definieren einen Atlas f¨ ur M/G durch ψi := π ◦ ϕi . Dies ist ein Atlas, bez¨ uglich dessen π stetig ist, und die Eindeutigkeit dieser differenzierbaren Struktur ist klar. Da I als abz¨ahlbar angenommen werden kann, hat M/G abz¨ahlbare Basis der Topologie. Da es zu y ∈ / Gx Umgebungen V von x, W von y mit gV ∩ W = ∅ f¨ ur alle g gibt (a priori mit endlich vielen Ausnahmen, die man aber durch Verkleinern von S S W eliminiert), haben Gx, Gy disjunkte G-invariante Umgebungen g∈G gV , h∈G hW in M , denn gV ∩ hW = h(h−1 gV ∩ W ) = ∅. Folglich sind π(U ), π(V ) disjunkte Umgebungen von π(x), π(y) in M/G, und M/G ist hausdorffsch. ¨ (ii) ist klar. Uberlege, dass durch γ˜π(x) (dπ(x)X, dπ(x)Y ) := γx (X, Y ) eine Metrik auf M/G wohldefiniert ist, die die geforderte Eigenschaft hat und dadurch eindeutig charakterisiert ist. 2 Beispiele: (1) Die Gruppe Z/2Z operiert auf S n frei, eigentlich diskontinuierlich und isometrisch, indem 0 als die Identit¨at und 1 als die Antipodenabbildung x 7→ −x aufgefasst wird. Folglich ist der Orbitraum eine Mannigfaltigkeit, und die kennen wir nach einem fr¨ uheren Beispiel schon: Es handelt sich um den projektiven Raum RP n . ¨ Die Metrik, die π : S n → RP n zu einer Riemannschen Uberlagerung macht, ist eine n ausgezeichnete Riemannsche Metrik auf RP . (2) Die Gruppe Zn operiert auf Rn durch Addition frei, eigentlich diskontinuierlich und symmetrisch. Der Quotient Rn /Zn ist diffeomorph zum n-Torus T n = (S 1 )n . 2 Der vorige Satz hat ein Analogon f¨ ur kontinuierliche Gruppenoperationen. Wir verzichten auf den Beweis, der etwas aufw¨andiger ist als im diskontinuierlichen Fall. Satz (Quotienten nach eigentlicher und freier Gruppenoperation) (i) Sei G Lie-Gruppe der Dimension ≥ 1, die eigentlich, frei und differenzierbar auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M operiere. Dann tr¨agt M/G eine eindeutige differenzierbare Struktur, f¨ ur die die Projektion π : M → M/G eine Submersion ist, d.h. dπ(x) ist f¨ ur alle x ∈ M surjektiv. (ii) Ist zus¨atzlich γ eine Riemannsche Metrik auf M und die Gruppenoperation isometrisch bzgl. γ, dann gibt es auch eine eindeutige Riemannsche Metrik auf M/G, bez¨ uglich derer π eine Riemannsche Submersion ist, d.h. dπ(x) eine orthogonale Projektion. Die wichtigsten Anwendungen dieses Satzes beschreiben Quotienten aus Lie-Gruppen: Korollar Ist G Lie-Gruppe und H ⊂ G abgeschlossene Lie-Untergruppe, dann tr¨agt G/H genau eine differenzierbare Struktur, f¨ ur die die Quotientenabbildung G → G/H eine Submersion ist. 28

Beweis: Wir nehmen dim H ≥ 1 an (sonst geht alles ¨ahnlich als Korollar des vorletzten Satzes). H operiert auf G durch (h, g) 7→ gh−1 . Die Operation ist differenzierbar nach Definition und offensichtlich frei. Sie ist auch eigentlich, denn wenn K ⊆ G kompakt ˜ −1 ∈ H : k, ˜ k ∈ K}, und dies ist H ist, dann ist {h ∈ H : Kh−1 ∩ K 6= ∅} = {kk ˜ k) 7→ kk ˜ −1 , also geschnitten mit dem Bild von K × K unter der stetigen Abbildung (k, kompakt in H. Damit folgt die Behauptung aus dem Satz. 2 Dieser Satz liefert Beispiele f¨ ur transitive Gruppenoperationen. Definition (homogener Raum) Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M mit transitiver differenzierbarer Operation einer Lie-Gruppe G heißt ein homogener Raum. Bemerkung: Im vorigen Satz operiert G transitiv auf sich selbst (durch Multiplikation von links), und damit auch transitiv auf G/H. Dass die Operation von G auf G/H auch differenzierbar ist, sieht man so: Ist N eine hinrechend kleine zu H transversale Untermannigfaltigkeit durch e ∈ G, dann ist π|N : N 3 g 7→ gH ∈ G/H Diffeomorphismus, also (k, gH) 7→ (k, g) 7→ kg 7→ k(gH) (letzteres mit π|N ) differenzierbar. Also ist die Operation G × G/H → G/H differenzierbar nahe G × {eH} und damit u ¨berall. Also ist der Quotient einer Lie-Gruppe nach einer abgeschlossenen Lie-Untergruppe immer ein homogener Raum. Der folgende Satz sagt, dass auch die Umkehrung gilt: Satz (Charakterisierung der homogenen R¨ aume) Jeder homogene Raum M mit transitiver Operation von G ist diffeomorph zu G/H, wobei H = Gx f¨ ur ein x ∈ M . Der Diffeomorphismus kann G-¨aquivariant gew¨ahlt werden. Beweis: Die Isotropiegruppe Gx ist f¨ ur jedes x ∈ M abgeschlossene Untergruppe von G. Fixiere ein x ∈ M und setze H := Gx . Betrachte die Abbildung µx : G → M mit µx (g) := gx. Weil µx surjektiv ist und k(gx) = (kg)x, hat dµx konstanten Rang dim M auf ganz G, und deshalb ist H = µ−1 x {x} Untermannigfaltigkeit von G der Dimension dim H = dim G − dim M . Die Abbildung f : G/H → M mit gH 7→ gx in M ist bijektiv, G-¨aquivariant und wohldefiniert (letzteres, weil aus gx = kx f¨ ur g, k ∈ G auch −1 g k ∈ H, also gH = kH folgt). Sie ist auch differenzierbar, weil µx = f ◦ π das ist und hat den Rang dim M u ¨berall auf G/H, weil Rang(f ) ≥ Rang(f ◦ π) = Rang(µx ) = dim M . Wegen dim G/H = dim G − dim H = dim M folgt, dass f ein lokaler Diffeomorphismus ist (Umkehrsatz), also wegen Bijektivit¨at ein globaler Diffeomorphismus.2 Viele homogene R¨aume haben “kanonische” Riemannsche Metriken. Um das zu verstehen, brauchen wir noch ein paar Begriffe. Definition (Isotropiedarstellung, irreduzibel) Die Isotropiedarstellung eines homogenen Raums M = G/H ist die Operation von H auf T[e] M (mit [e] := eH, e ∈ G das Einselement), die durch (h, v) 7→ dLh ([e])v gegeben ist. Ein homogener Raum G/H heißt isotropie-irreduzibel, falls die Isotropiedarstellung keine nichttriviale invariante Unterr¨aume hat. 29

Beispiel: Die Sph¨are S n hat die transitive Gruppenoperation von SO(n + 1) durch Multiplikation von Matrizen an Vektoren. Die Isotropiegruppe eines fest gew¨ahlten Punktes, o.B.d.A. x = (1, 0, . . . , 0) ist die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen, die diesen Vektor fest lassen; und das sind genau die Matrizen der Form   1 0t mit A ∈ SO(n). 0 A Diese Gruppe ist offensichtlich isomorph zu SO(n), also haben wir S n = SO(n + 1)/SO(n) f¨ ur alle n ∈ N. Wie operiert nun ein Element dieser Isotropiegruppe auf einen Vektor in T(1,0,...,0) S n ? Offensichtlich durch Anwendung der entsprechenden Drehung des Tangentialraums, d.h. der Matrix A. Die Isotropiedarstellung von S n = SO(n + 1)/SO(n) ist also die nat¨ urliche Darstellung von O(n) auf dem n-dimensionalen Vektorraum T(1,0,...,0) S n . Die hat keine invarianten Unterr¨aume außer {0} und dem ganzen Raum, also ist S n = SO(n + 1)/SO(n) isotropie-irreduzibel. ¨ Ubrigens ist auch S 2n+1 = U (n + 1)/U (n), und diesmal hat die Isotropiedarstellung einen 1-dimensionalen invarianten Unterraum. Das zeigt, dass Isotropie-irreduzibilit¨at von M = G/H keine Eigenschaft von M , sondern eine von G und H ist! Es kann halt passieren, dass eine Mannigfaltigkeit M auf zwei verschiedene Arten homogener Raum ist (d.h. mit verschiedenen transitiven Gruppenoperationen). 2 Bemerkungen: (1) Jede Lie-Gruppe operiert auf ihrer Lie-Algebra in nat¨ urlicher Weise wie folgt: F¨ ur g ∈ G, v ∈ g fasse v als linksinvariantes Vektorfeld auf G auf und betrachte die Operation (g, v) 7→ (Ad g)v := dRg−1 (g)v(g). Dies definiert lineare Abbildungen Ad g : g → g und heißt die adjungierte Darstellung von G. F¨ ur G ∈ {O(n), SO(n), U (n), SU (n)} (und viele mehr) k¨onnen wir die Elemente von G und von G als n × n-Matrizen schreiben; dann ist einfach (Ad A)V = AV A−1 ; man kann die adjungierte Darstellung also oft explizit “ausrechnen”. (2) Die adjungierte Darstellung k¨onnen wir jetzt benutzen, um die Isotropiedarstellung von G/H zu beschreiben. Wir identifizieren den Tangentialraum T[e] (G/H) mit dem Quotienten (Te G)/(Te H) = g/h. Weil H Lie-Untergruppe von G ist, ist AdH h = AdG h|h f¨ ur alle h ∈ H. Folglich ist die Quotientenabbildung aus AdG h unter der Quotientenbildung nach h wohldefiniert, d.h. AdG h induziert eine eindeutige Abbildung AdG/H h : g/h → g/h. Es stellt sich heraus, dass diese “adjungierte Darstellung von H auf g/h unter obiger Identifikation der Vektorr¨aume exakt der Isotropiedarstellung von H auf T[e] G/H entspricht. 2

30

Definition (invariante Metrik) Die Gruppe G operiere auf der Mannigfaltigkeit M . Eine G-invariante Riemannsche Metrik γ ist eine solche, f¨ ur die G isometrisch auf (M, g) operiert. Satz (invariante Metriken auf homogenen R¨ aumen) (i) Es gibt eine G-invariante Riemannsche Metrik auf dem homogenen Raum G/H, genau wenn AdG/H H beschr¨ankt ist in GL(g/h). (ii) Ist G/H isotropie-irreduzibel, dann ist diese Metrik sogar eindeutig bis auf einen Faktor r > 0. Bemerkung: Ist H kompakt, so ist die Voraussetzung von (i) trivialerweise erf¨ ullt. 2 Beweis: (i) Ist γ so eine Metrik, dann ist die adjungierte Operation von H auf g/h isometrisch, also ist AdG/H H Untergruppe der zugeh¨origen orthogonalen Gruppe, also beschr¨ankt. Ist umgekehrt AdG/H H beschr¨ankt, dann nennen wir seinen Abschluss K; und K ist kompakte R Lie-Untergruppe von GL(g/h). Zun¨achst sei µK ein linksinvariantes Maß auf K mit K dµK = 1. Sei h · , · i irgendein Skalarprodukt auf T[e] G/H. Setze Z γ[e] (v, w) := hkv, kwi dµK (k). K

Dies ist K-invariantes Skalarprodukt auf T[e] G/H, also insbesondere auch H-invariant bzgl. der Operation mittels AdG/H . Dies setzen wir zu einer glatten (was eigentlich noch zu zeigen w¨are) G-invarianten Metrik γ auf G/H fort wie folgt: γ[g] (v, w) := γ[e] (dLg−1 ([g])v, dLg−1 ([g])w), was sonst? γ ist wohldefiniert. (ii) Seien β, γ zwei G-invariante Metriken. Dann gibt es eine symmetrische Matrix A, die β[e] bez¨ uglich γ[e] darstellt: f¨ ur alle v, w ∈ T[e] G/H.

β[e] (v, w) = γ[e] (v, Aw)

Jeder Eigenraum von A ist invarianter Unterraum der H-Operation (die ja durch orthogonale Matrizen erfogt). Da es nur {0} und den ganzen Raum als invariante Unterr¨aume gibt, kann also A nur einen (nat¨ urlich positiven) Eigenwert haben. Folglich ist A ein Vielfaches der Identit¨at, also β ein Vielfaches von γ. 2 ¨ Ubrigens folgt jetzt auch, was wir fr¨ uher ohne Beweis behauptet hatten: Korollar Jede kompakte Lie-Gruppe hat (mindestens) eine biinvariante Riemannsche Metrik.

31

Beweis: G = (G×G)/G mit Operation ((g, h), x) 7→ gxh−1 . Die Isotropiegruppe von e ist tats¨achlich isomorph zu G und liegt als Untergruppe der Elemente (g, g −1 ) in G×G. Auf diese Weise wird G zu einem homogenen Raum, und wegen Kompaktheit von G folgt Existenz einer G × G-invarianten Riemannschen Metrik g. Diese ist linksinvariant (wegen des ersten Faktors von G × G) und rechtsinvariant (wegen des zweiten Faktors), also biinvariant. 2

2.3

¨ Uberlagerungen

f, M differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine ¨ Definition (Uberlagerung) Seien M f → M heißt Uberlagerung, ¨ glatte Abbildung p : M wenn jeder Punkt x ∈ M eine −1 Umgebung U in M besitzt, so dass p U in offene Mengen Ui , i ∈ I zerf¨allt, f¨ ur die p : Ui → U f¨ ur jedes i ∈ I ein Diffeomorphismus ist. Hat I nur n < ∞ Elemente, so ¨ heißt p eine n-fache Uberlagerung. f und M Riemannsche Mannigfaltigkeiten und p lokale Isometrie, dann heißt p Sind M ¨ eine Riemannsche Uberlagerung. ¨ Beispiel: Die kanonische Abbildung S n → RP n ist zweifache (Riemannsche) Uberlagerung. Bemerkungen: Allgemein ist (vgl. den entsprechenden Satz im vorigen Kapitel) die ¨ Projektion M → M/G (Riemannsche) Uberlagerung, wenn G frei und eigentlich diskontinuierlich (und isometrisch) auf M operiert. f → M eine Uberlagerung, ¨ Ist umgekehrt p : M dann versteht man unter einer Deckf transformation einen Diffeomorphismus von M auf sich, der jede Faser p−1 {p(x)} auf f sich transformiert. Die Decktransformationen bilden nat¨ urlich eine Gruppe. Wenn M zusammenh¨angend ist, operiert diese sogar frei und eigentlich diskontinuierlich, so dass ¨ die zusammenh¨angenden Uberlagerungen u ¨ber einer Riemannschen Mannigfaltigkeit durch diese Gruppenoperationen beschrieben werden k¨onnen. 2 ¨ Zwei grundlegende Eigenschaften von Uberlagerungen sind: f → M Uberlagerung. ¨ Lemma (Lift-Eigenschaft) Sei p : M Dann gilt die LiftEigenschaft: Zu jedem differenzierbaren Weg c : [0, 1] → M mit c(0) = a und jedem a ˜ f mit p(˜ a) = a gibt es genau einen differenzierbaren Lift c˜ des Wegs c, d.h. c˜ : [0, 1] → M mit c˜(0) = a ˜ und p ◦ c˜ = c. f → M surjektiver lokaler DiffeomorLemma (Lift von Homotopien) Sei p : M ¨ phismus mit der Lift-Eigenschaft (z.B. eine Uberlagerung). Dann kann man jede Homotopie von Wegen (ct )0≤t≤1 mit festen Endpunkten simultan liften und erh¨alt als Lift f. der Homotopie wieder eine Homotopie (˜ ct )0≤t≤1 mit festen Endpunkten in M

32

Die Beweise sind straightforward. Kleine St¨ ucke des Wegs oder der Homotopie kann f man mit lokalen Diffeomorphismen liften; diese Lifte lassen sich differenzierbar in M zusammensetzen. 2 Eine Konsequenz des zweiten Lemmas ist, dass zum ersten Lemma eine gewisse Umkehrung gilt: f, M diffe¨ Satz (lokaler Diffeo mit Lifteigenschaft ist Uberlagerung) Seien M f → M lokaler Diffeomorphismus mit Liftrenzierbare Mannigfaltigkeiten und p : M ¨ Eigenschaft. Dann ist p eine Uberlagerung. Beweis: Sei x ∈ M , V eine einfach zusammenh¨angende Umgebung von x in M . Zerlege [ p−1 (V ) = Vi i∈I

in paarweise disjunkte offene (weg)zusammenh¨angende Vi (“Zusammenhangskomponenten”). Zu zeigen ist unter anderem p(Vi ) = V f¨ ur alle i ∈ I. Dazu bemerken wir, dass p(Vi ) ⊆ V trivial ist. F¨ ur die andere Inklusion nehmen wir an, dass y ∈ V \ p(Vi ) existiert. Da V zusammenh¨angend ist, existiert eine Kurve c : [0, 1] → V , die ein z ∈ p(Vi ) mit y verbindet. f, und dieser Lift muss ganz in der ZusammenLiften dieser Kurve ergibt c˜ : [0, 1] → M −1 hangskomponente Vi von p (V ) verlaufen. Also y = c(1) = p(˜ c(1)) ∈ p(Vi ) im Widerspruch zur Wahl von y. Wir wissen also jetzt p(Vi ) = V ; und p|Vi : Vi → V ist lokaler Diffeomorphismus mit Hochhebeeigenschaft. Um zu zeigen, dass p|Vi ein Diffeomorphismus ist (dann sind wir fertig), muss also nur noch Injektivit¨at von p|Vi gezeigt werden. Nehmen wir also p(u) = p(v) =: a f¨ ur u 6= v in Vi an. Da Vi zusammenh¨angend ist, existiert eine Kurve γ˜ : [0, 1] → M mit γ˜ (0) = u, γ˜ (1) = v. Die Kurve γ1 := p ◦ γ ist dann geschlossene Kurve in V von a nach a. Da V einfach zusammenh¨angend ist, existert dazu eine Homotopie (γt )0≤t≤1 von geschlossenen Wegen in V von a nach a, wonei γ0 ≡ a konstant ist. Die Hochhebbarkeit von Homotopien gibt eine Homotopie zwischen γ˜ und einem konstanten Weg, folglich muss auch γ˜ geschlossen sein, und das ist u = v, also die zu beweisende Injektivit¨at. Damit ist der Beweis komplett. 2 Aus dem Argument im Beweis k¨onnen wir noch etwas lernen: f und M differenzierbare Mannigfaltigkeiten, p : M f → M eine Uber¨ Lemma Seien M f lagerung. Ist M einfach zusammenh¨angend und M zusammenh¨angend, dann ist p ein Diffeomorphismus.

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Beweis: p ist surjektiver lokaler Diffeomorphismus, also ist nur Injektivit¨at von p zu zeigen. Diese folgt genauso wie im vorigen Beweis die lokale Injektivit¨at (denn diesmal l¨asst sich jeder Weg in M zusammenziehen, nicht nur Wege in kleinen Umgebungen). 2

3 3.1

Kovariante Ableitung und Geod¨ atische Zusammenh¨ ange und kovariante Ableitung

Wir bezeichnen mit Γ(T M ) die Menge der glatten Vektorfelder auf M . Auf einer Mannigfaltigkeit M gibt es a priori keine kanonische Art und Weise, Vektorfelder zu differenzieren. Wir nennen daher zun¨achst einmal “alles, was bilinear ist und die Produktregel erf¨ ullt”, eine Ableitung von Vektorfeldern: Definition (Zusammenhang) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein (affiner) Zusammenhang auf M ist eine Abbildung D : Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ),

(X, Y ) 7→ DX Y

mit den folgenden Eigenschaften: (i) (ii) (iii)

Df X+gY Z = f DX Z + gDY Z, DX (Y + Z) = DX Y + DX Z, DX (f Y ) = f DX Y + (Xf )Y

f¨ ur alle X, Y, Z ∈ Γ(T M ) und alle f, g ∈ C ∞ (M ). Man nennt DX Y auch eine kovariante Ableitung von Y in Richtung X. Bemerkungen: (1) Wir brauchen zum Rechnen eine Formel f¨ ur die kovariante Ableitung in lokalen Koordinaten. Ab jetzt folgen wir der in der Differentialgeometrie u ¨blichen Konvention und nummerieren die Komponenten eines Vektorfelds durch hochgeP P stellte Indizes. Also sei X = i X i ∂i und Y = i Y i ∂i . Wir entwickeln D∂i ∂j ebenfalls in lokalen Koordinaten X D∂i ∂j = Γkij ∂k . k

Γkij

Dann sind die differenzierbare Funktionen; sie heißen die Koeffizienten des Zusammenhangs (in lokalen Koordinaten). Außerdem k¨ urzen wir D∂i =: Di ab. Damit berechnen wir X  X DX Y = X i Di Y j ∂j i

j

=

X

=

X

i

j

X (∂i Y )∂j +

i,j

X

X i Y j Di ∂j

i,j

XY k +

X i,j

k

34

 X i Y j Γkij ∂k .

(2) Die vorige Formel zeigt, dass DX Y (x) von X(x), Y (x) und den Richtungsableitungen XY k (x) abh¨angt. Wir k¨onnen daher DX Y (x) auch dann als definiert ansehen, wenn X(x) nur ein Vektor in Tx M ist, ohne dass X(x) der Wert eines spezifizierten Vektorfelds X bei x sein muss. (3) Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit existiert ein Zusammenhang. Zur Existenz im Riemannschen Fall sp¨ater mehr. 2 Proposition (kovariante Ableitung l¨ angs einer Kurve) Sei M differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang D, und c : I → M sei eine glatte Kurve. Dann D gibt es einen eindeutig definierten Operator dt auf dem Vektorraum der Vektorfelder l¨angs c, genannt kovariante Ableitung l¨angs c, mit den folgenden Eigenschaften: D D D (V + W ) = dt V + dt W f¨ ur alle Vektorfelder dt D D (ii) dt (f V ) = f 0 V + f dt V f¨ ur alle Vektorfelder V

(i)

V, W l¨angs c; l¨angs t und alle f ∈ C ∞ (I).

(iii) Ist das Vektorfeld V l¨angs c induziert von einem Vektorfeld Y auf M , d.h. V (t) = D Y (c(t)) f¨ ur alle t ∈ I, dann ist dt V (t) = Dc0 (t) Y (c(t)) f¨ ur alle t ∈ I. Beweis: In (iii) macht der Ausdruck Dc0 (t) Sinn wegen der obigen Bemerkung (2). Zun¨achst zeigen wir Eindeutigkeit und nehmen daf¨ ur an, dass (i)–(iii) schon gelten. In lokalen Koordinaten ist dann  DX j D V = V ∂j ◦ c dt dt j X X D = (V j )0 ∂j ◦ c + V j (∂j ◦ c) dt j j X X = (V j )0 ∂j ◦ c + V j (Dc0 ∂j ) ◦ c j

j

=

X

X

=

X

(V j )0 ∂j ◦ c +

j

V j (ci )0 (Di ∂j ) ◦ c

i,j

k

k 0

(V ) +

X

i 0

(c ) V

j

Γkij



◦ c ∂k ◦ c,

i,j

D womit Eindeutigkeit bewiesen ist. Außerdem haben wir damit eine Formel f¨ ur dt V erhalten, die wir zur lokalen Definition benutzen k¨onnen. Es ist dann Routine, nachzurechnen, dass (i)–(iii) gelten, allerdings zun¨achst nur im Bild einer Parametrisierung. D Aber wegen der Eindeutigkeit passt dieses dt mit den in anderen Koordinatenumgebungen analog definierten zusammen, und die Proposition ist bewiesen. 2

Ein paralleles Vektorfeld entlang einer Kurve soll eines mit Ableitung Null sein: Definition (paralleles Vektorfeld) Sei M eine differenzierbare Mannifgfaltigkeit, D ein Zusammenhang auf M und c : I → M eine differenzierbare Kurve. Ein VektorD V = 0 auf I gilt. feld V l¨angs c heißt parallel (bez¨ uglich D), wenn dt 35

Proposition (Paralleltransport l¨ angs Kurven) Sei M eine differenzierbare Mannifgfaltigkeit, D ein Zusammenhang auf M und c : I → M eine differenzierbare Kurve, t0 ∈ I. Dann gibt es zu jedem Vektor v ∈ Tc(t0 ) M ein eindeutiges Vektorfeld V l¨angs c mit V (t0 ) = v. Dieses V heißt der Paralleltransport von v l¨angs c. Beweis: Wie oben gen¨ ugt es, den Beweis im Bild einer einzigen Parametrisierung von M durchzuf¨ uhren. Wir rechnen also in lokalen Koordinaten. Hier bedeutet die D V) Behauptung aber (wegen der in der letzten Proposition bewiesenen Formel f¨ ur dt einfach, dass das System von n = dim M linearen gew¨ohnlichen Differentialgleichungen X (V k )0 (t) = − (ci )0 (t)Γkij (c(t)) V j (t), k = 1, . . . , n i,j

eine eindeutige L¨osung auf I zu den Anfangswerten V k (t0 ) = v k hat. Das gilt, denn f¨ ur lineare Differentialgleichungen wissen wir eindeutige L¨osbarkeit des AWP auf vorgegebenen Intervallen. 2 Es gibt eine Gr¨oße, die uns sp¨ater helfen wird, einen kanonischen Zusammenhang f¨ ur Riemannsche Mannigfaltigkeiten zu definieren: Definition (Torsion) Sei D ein Zusammenhang auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M . Die Funktion T : Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ) mit T (X, Y ) := DX Y − DY X − [X, Y ] heißt die Torsion von D. Gilt T ≡ 0, so heißt D torsionsfrei (oder symmetrisch). Bemerkung: Ist D torsionsfrei, dann gilt zwar nicht allgemein DX Y = DY X (solche Zusammenh¨ange heißen flach und sind und sagen nicht viel u ¨ber die Geometrie einer (nicht flachen) Mannigfaltigkeit aus), aber immerhin Di ∂j − Dj ∂i = [∂i , ∂j ] = 0 und folglich Γkij = Γkji f¨ ur alle i, j, k. Das erkl¨art die Bezeichnung “symmetrisch”.

3.2

2

Der Levi-Civita-Zusammenhang

Gibt es eine Riemannsche Metrik, so sind die Zusammenh¨ange ausgezeichnet, f¨ ur die mit der Riemannschen Metrik als Produkt eine Produktregel gilt: Definition (metrischer Zusammenhang) Ein Zusammenhang D auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) heißt metrisch, falls Xg(Y, Z) = g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z) f¨ ur alle X, Y, Z ∈ Γ(T M ) gilt. 36

Bemerkung: F¨ ur Vektorfelder V, W l¨angs einer Kurve c : I → M gilt dann auch D    d D gc(t) (V (t), W (t)) = gc(t) V (t), W (t) + gc(t) V (t), W (t) dt dt dt f¨ ur alle t ∈ I.

2

Eine der zentralen Beobachtungen der Riemannschen Geometrie ist die Existenz eines kanonischen Zusammenhangs auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Satz (Levi-Civita) Auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es genau einen metrischen torsionsfreien Zusammenhang. Definition (Levi-Civita-Zusammenhang) Diesen Zusammenhang nennen wir den Levi-Civita-Zusammenhang, oft auch Riemannscher oder kanonischer Zusammenhang ¨ genannt. Ublicherweise schreiben wir D f¨ ur diesen Zusammenhang, und immer wenn D f¨ ur eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nicht n¨aher spezifiziert ist, verstehen wir es als den Levi-Civita-Zusammenhang. Beweis: Es handelt sich um einen in der Riemannschen Geometrie h¨augfig benutzten Vertauschungstrick. Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zun¨achst zeigen wir wieder Eindeutigkeit und nehmen an, dass es schon einen metrischen und torsionsfreien Zusammenhang D gibt. Dann Xg(Y, Z) = g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z), Y g(Z, X) = g(DY Z, X) + g(Z, DY X), Zg(X, Y ) = g(DZ X, Y ) + g(X, DZ Y ), und wir ziehen die dritte Zeile von der Summe der ersten und zweiten ab: Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) = g([X, Z], Y ) + g([Y, Z], X) + g([X, Y ], Z) + 2g(Z, DY X). Es folgt g(Z, DY X) =

1n Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) 2 o − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X) − g([X, Y ], Z)

und damit eine Formel f¨ ur (DY X). Also haben wir wieder aus der Eindeutigkeit eine explizite Formel erhalten, von der wir leicht nachrechnen, dass der zugeh¨orige Zusammenhang metrisch und torsionsfrei ist. 2 Bemerkung: Wir brauchen wieder Formeln in lokalen Koordinaten. Dazu setzen wir Z = ∂k , X = ∂i , Y = ∂j in die vorige Formel ein und beobachten, dass die LieKlammern dann alle verschwinden. Wir erhalten X 1 Γ`ij g`k = (∂i gjk + ∂j gki − ∂k gij ), 2 ` 37

also durch Anwenden der inversen Matrix (g km ) zu (g`k ) Γm ij =

1 X km g (∂i gjk + ∂j gki − ∂k gij ). 2 k

F¨ ur den Levi-Civita-Zusammenhang heißen diese Koeffizientenfunktionen auch die Christoffel-Symbole. Wie im vorigen Abschnitt ausgef¨ uhrt, reicht ihre Kenntnis, um lokal alle kovarianten Ableitungen mittels expliziter Formeln auszurechnen. 2 Die Definition der kovarianten Ableitung mit dem Levi-Civita-Zusammenhang mag zwar elegant sein, verschleiert aber ein wenig die Tatsache, dass diese spezielle kovariante Ableitung auch eine “unmittelbare geometrische Bedeutung” hat. Dazu u ¨berlegen wir zun¨achst, dass es zu jedem Punkt einer Riemannschen Mannigfaltigkeit “sch¨one” Parametrisierungen gibt. Definition (von erster Ordnung euklidische Parametrisierung) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit und a ∈ M . Eine Parametrisierung ϕ : U → M von M mit a ∈ ϕ(U ) heißt von erster Ordnung euklidisch bei a, falls gij (a) = δij ,

∂k gij (a) = 0

f¨ ur alle i, j, k gelten. Proposition (Existenz derselben) Ist M (glatte, wenigstens C 2 ) Riemannsche Mannigfaltigkeit und a ∈ M , so existiert eine bei a von erster Ordnung euklidische Parametrisierung von M . Beweis: Starte mit irgendeiner Parametrisierung von M bei a; nach Verschiebung von U und linearer Abbildung darf ϕ(0) = a und gij (a) = ga (∂i , ∂j ) = δij angenommen werden. Diese Parametrisierung wollen wir jetzt so modifizieren, dass zus¨atzlich noch die Ableitungen in a verschwinden. Die modifizierte Parametrisierung soll von der Form ϕ˜ = ϕ ◦ Φ mit einem lokalen Diffeomorphismus Φ bei 0. Da von Φ nur die ersten beiden Ableitungen eingehen werden und die erste Ableitung die Identit¨at sein muss, d¨ urfen wir von vorneherein 1X ` p q ` ` γ uu, γpq = γqp Φ` (u) := u` + 2 p,q pq annehmen; das ist als “kleine St¨orung der Identit¨at” automatisch lokaler Diffeomorphismus bei 0. In den folgenden Rechnungen beziehen sich Gr¨oßen mit Schlange auf ϕ˜ und Gr¨oßen ohne auf ϕ. Nahe u = 0 gilt X ` q ∂i Φ` (u) = δi` + γiq u q

38

und damit g˜ij (ϕ(u)) =

X

   X X m p m ` q ` γpj u , δj + γiq u g`m (ϕ(u)) δi + p

q

`,m

d.h. an der Stelle a gelten schon einmal g˜ij (a) = gij (a) = δij ,

∂˜k (a) = ∂k (a).

Folglich ∂˜k g˜ij (a) = ∂k g˜ij (a)  X ` m ` m ` m = ∂k g`m (a)δi δj + g`m (a)γik δj + g`m (a)δi γkj `,m j i + γkj . = ∂k gij (a) + γik

Also m¨ ussen wir nur noch das lineare Gleichungssystem f¨ ur die γijk l¨osen, das durch j i ∂k gij (a) + γik + γkj = 0, k γijk = γji

f¨ ur 1 ≤ i, j, k ≤ dim M gegeben ist. Dieses hat die eindeutige L¨osung  1 γijk = − ∂i gkj (a) + ∂j gik (a) − ∂k gij (a) = −Γkij (a), 2 hier tauchen also ganz nat¨ urlich die Christoffel-Symbole wieder auf! W¨ahlt man diese k 2 γij , dann ist ϕ˜ die gesuchte Parametrisierung. Es folgt aus der Rechnung im Beweis: Korollar (geometrische Interpretation des Levi-Civita-Zusammenhangs) Kovariante Ableitung bez¨ uglich des Levi-Civita-Zusammenhangs an einer festen Stelle a entspricht komponentenweise der gew¨ohnlichen Ableitung im Euklidischen Raum, wenn man eine bei a von erster Ordnung euklidische Parametrisierung der Mannigfaltigkeit w¨ahlt. Bemerkung: Zusammen mit der schon bekannten Tatsache, dass die kovariante Ableitung nicht von der Auswahl der Parametrisierungen abh¨angt, folgt also, dass der Levi-Civita-Zusammenhang durch obige Eigenschaft bereits charakterisiert ist. 2 Geometrisch anschaulicher ist das Korollar (Levi-Civita-Zusammenhang fu ¨ r Untermannigfaltigkeiten) Sei M ⊂ Rn Untermannigfaltigkeit, dann gilt f¨ ur alle X, Y in Γ(T M ), alternativ aufgen fasst als Funktionen M → R mit Werten (bei x ∈ M ) in Tx M ⊂ Rn , die Beschreibung DX Y = (∂X Y )> des Levi-Civita-Zusammenhangs, wobei ∂X komponentenweise wirkende Richtungsableitung in Rn ist und > die Projektion Rn → Tx M . 39

Beweis: Fixiere a ∈ M und eine hinreichend kleine Umgebung V von a in M , dann ist die Projektion auf a + Ta M ein lokaler Diffeomorphismus, dessen Umkehrung ϕ eine lokal euklidische Parametrisierung von M bei a ist. In diesen Koordinaten entspricht DX Y (a) der komponentenweisen Richtungsableitung in a + Ta M ∼ = Rn , und weil dϕ−1 in a die Projektion > ist, folgt die Behauptung. 2 Bemerkung: Analog gilt D V (t) = (V 0 (t))> dt f¨ ur Vektorfelder V l¨angs einer Kurve.

2

Beispiele: (0) Der Levi-Civita-Zusammenhang ∂ auf Rn wird nach obiger Interpretaur alle i, j, k. tion trivialerweise beschrieben durch Γkij ≡ 0 f¨ (1) Die Sph¨are S n (ohne einen Punkt) ist, wie schon beobachtet, isometrisch zu Rn mit der elliptischen Metrik  2 2 gij (x) := δij . 1 + |x|2 Dazu berechnen wir ∂k gij (x) = −

16xk δij , (1 + |x|2 )3

und folglich, zusammen mit der Inversen der Metrik g ij (x) =

 1 + |x|2 2 2

δ ij ,

die Christoffel-Symbole Γkij =

1 X k` g (∂i gj` + ∂j g`i − ∂` gij ) 2 `

=

2 (xi δjk + xj δki − xk δij ). 1 + |x|2

Sie charakterisieren den Levi-Civita-Zusammenhang, den wir uns auch besser mit S 2 ⊆ R3 veranschaulichen k¨onnen. (Aber Formeln f¨ ur die Projektion in Koordinaten sind trotzdem n¨ utzlich.) 2

3.3

Geod¨ atische

Geod¨atische spielen auf Mannigfaltigkeiten weigehend die Rolle, die (affine) Geraden in Rn spielen. Geraden (in Parametrisierung proportional zur Bogenl¨ange) sind durch (c0 )0 = 0 charakterisiert, wobei wir c0 als Vektorfeld auffassen und (c0 )0 als dessen gew¨ohnliche (also auch kovariante) Ableitung. Eine analoge Beschreibung haben Geod¨atische: 40

Definition (Geod¨ atische) Eine Kurve c : I → M in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) mit Levi-Civita-Zusammenhang D heißt Geod¨atische, falls D 0 c (t) = 0 dt

f¨ ur alle t ∈ I.

Eine Geod¨atische c heißt geschlossen, falls c periodisch ist, also I = R und es existiert ein p ∈ R mit c(t) = c(t + p) f¨ ur alle t ∈ R. Dabei legen wir uns nicht fest, ob I offenes oder abgeschlossenes Intervall ist. H¨aufig bezeichnen wir auch (etwas ungenau) das Bild einer Geod¨atischen in M als eine Geod¨atische, und im Fall I = [α, β] sprechen wir von einer Geod¨atischen von c(α) nach c(β). Bemerkungen: (1) Mit der Produktregel f¨ ur metrische Zusammenh¨ange finden wir   d 0 2 D |c (t)|g = 2gc(t) c0 (t), c0 (t) = 0 dt dt f¨ ur alle t, d.h. |c0 (t)|g ist konstant. Diese Durchlaufgeschwindigkeit darf nach der Definition auch 0 sein (also die Kurve konstant); wir nehmen aber diesen degenrierten Fall meist stillschweigend aus. (2) Aus der Formel f¨ ur (ck )00 +

D dt

X

folgern wir sofort die Differentialgleichung f¨ ur Geod¨atische: (Γkij ◦ c)(ci )0 (cj )0 = 0,

k = 1, . . . , dim M.

i,j

Mit dem lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz f¨ ur Systeme von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen folgt sofort: Satz (Lokale Existenz von Geod¨ atischen) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert zu jedem x ∈ M und jedem v ∈ Tx M ein δ > 0 und eine Geod¨atische c : ] − δ, δ[ → M mit c(0) = x, c0 (0) = v. Bis auf eventuelle Vergr¨oßerung oder Verkleinerung des Definitionsbereichs ist c hierdurch eindeutig bestimmt. Bemerkungen: (3) F¨ ur Geod¨atische in Untermannigfaltigkeiten M ⊂ Rn ist die Differentialgleichung nach der Interpretation der kovarianten Ableitung ¨aquivalent zu der Bedingung c00 (t) ⊥ M f¨ ur alle t, wobei c00 die zweite Ableitung von c aufgefasst als Kurve in Rn ist. (4) Isometrien f¨ uhren Geod¨atische in Geod¨atische u ¨ber, d.h. ist f : M → N Isometrie und c Geod¨atische in M , dann ist auch f ◦ c Geod¨atische in N . Dies ist so, weil df mit D vertauscht. dt (5) Geod¨atische kann man nat¨ urlich bzgl. jedem Zusammenhang definieren, nicht nur mit dem Levi-Civita-Zusammenhang. Vieles geht genauso (außer dass die Γkij nicht durch dieselben Formeln gegeben sind), aber z.B. nicht Bemerkung (3). 2 41

Beispiele: (0) Die Geod¨atischen auf Rn sind genau die (proportional zur Bogenl¨ange parametrisierten) affinen Geraden. (1) Die Geod¨atischen auf S n kann man mit Bemerkung (4) wesentlich bequemer bestimmen als u ¨ber die Differentialgleichung. Wir m¨ochten die Geod¨atische mit c(0) = n x ∈ S und c0 (0) = v ∈ Tx S n berechnen, dann ist v ⊥ x. Nehmen wir an, dass v 6= 0 (sonst ist die Geod¨atische konstant), dann spannen x und v eine Ebene E in Rn+1 auf, und die Spiegelung σ an dieser Ebene ist eine Isometrie von S n . Mit c muss also auch σ ◦ c Geod¨atische in S n sein. Und es gilt (σ ◦ c)(0) = σ(x) = x und (σ ◦ c)0 (0) = dσ(c(0))c0 (0) = dσ(x)v = v, folglich ist σ ◦ c = c. Das heißt, dass c in der Fixpunktmenge von σ in S n verlaufen muss, diese ist der Großkreis S n ∩ E (eindimensional!). Folglich ist c die Parametrisierung dieses Großkreises mit konstanter Geschwindigkeit, und alle Geod¨atischen auf S n sind (falls nichtkonstant) in diesem Sinne Großkreise. Umgekehrt rechnet man sofort nach (am besten mit Bemerkung (3)), dass jeder Großkreis bei Parametrisierung proportional zur Bogenl¨ange Geod¨atische auf S n ist. 2 Wir hatten schon gesehen, dass die Exponentialabbildung, eine Art kanonische Abbildung von Lie-Algebren in dazugeh¨orige Lie-Gruppen, damals gegeben durch die Exponentialabbildung von Matrizen, n¨ utzlich f¨ ur das Verst¨andnis der Beziehungenb von Mannigfaltigkeit und Tangentialr¨aumen ist. Diese Abbildung k¨onnen wir jetzt verallgemeinern, wobei wir den Namen beibehalten: Definition (Exponentialabbildung) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Exponentialabbildung von (M, g) ist diejenige Abbildung exp : T M ⊇ Def(exp) → M , die gegeben ist durch exp(v) := c(1) f¨ ur die Geod¨atische c mit c0 (0) = v und c(0) = x, wobei x durch v ∈ Tx M bestimmt wird. Die Einschr¨ankung von exp auf Tx M ∩Def(exp) wird wieder mit exp oder auch mit expx bezeichnet. Bemerkungen: (1) Die lokale Eindeutigkeit von Geod¨atischen, zusammen mit der Erkenntnis, dass mit t 7→ c(t) auch t 7→ c(λt) Geod¨atische ist f¨ ur alle λ ∈ R, bedeutet, dass exp den Strahl von 0 ∈ Tx M nach v ∈ Tx M in T M auf die Geod¨atische von x nach expx (v) in M abbildet, und zwar proportional zur Bogenl¨ange parametrisiert (falls diese Geod¨atische existiert). Mit v enth¨alt Def(exp) dann auch immer die Strecke von 0 nach v in Tx M ; man sagt, dass Def(exp) sternf¨ormig bez¨ uglich des Nullschnitts in T M ist. (2) Aus dem Satz u ¨ber differenzierbare Abh¨angigkeit der L¨osung eines Differentialgleichungssystems von den Anfangsdaten und Koeffizientenfunktionen folgt, dass Def(exp) offen in T M ist und dass exp differenzierbar ist. (3) Ist 0x die 0 in Tx M , dann ist (d expx )(0x )v = dtd |0 expx (tv) = dtd |0 c(t) = c0 (t) = v, wobei c die Geod¨atische mit c(0) = x und c0 (0) = v sei. Das beweist: f¨ ur alle x ∈ M.

d expx (0x ) = idTx M

Mit dem Umkehrsatz f¨ ur Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten folgt daraus: 42

Proposition (exp als lokaler Diffeomorphismus) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zu jedem x ∈ M gibt es ε > 0, so dass expx : Tx M ⊃ Bε (0) → M ein Diffeomorphismus von Bε (0) zu einer offenen Menge in M ist. 2 Definition (Normalkugel, Injektivit¨ atsradius) Wir nennen expx (Bε (0)) mit solch einem ε > 0 eine Normalkugel von x in M und die Parametrisierung dieser Umgebung durch expx : Bε (0) → M eine Normalparametrisierung, die Umkehrung als Normalkoordinaten. Das gr¨oßtm¨ogliche ε, f¨ ur das expx eingeschr¨ankt auf Bε (0) noch Diffeomorphismus ist, heißt Injektivit¨atsradius von x in M . Das Infimum dieser Radien u ¨ber alle x ∈ M heißt der Injektivit¨atsradius von M ; er kann f¨ ur nicht kompaktes M Null sein. Korollar (lokal eindeutige Verbindbarkeit durch Geod¨ atische) Jedes x ∈ M hat eine Umgebung V in M , so dass jeder Punkt y ∈ V mit x durch eine Geod¨atische c in V verbindbar ist und dass diese eindeutig ist in dem Sinne, dass jede Geod¨atische von x nach y, die nicht Umparametrisierung von c ist, V verl¨asst. Beweis: W¨ahle V als Normalkugel von x. Dann entsprechen die Geod¨atischen in V durch a genau den Strahlen in Bε (0) durch 0, und exp−1 (b) liegt auf genau einem solchen Strahl. 2 ¨ Beispiel (Ubungsaufgabe 12): Nicht-euklidische Geometrie von Lobatschewski (a) Wir betrachten die Lie-Gruppe H, deren Elemente die eigentlichen affinen Funktionen sind, d.h. die Funktionen g : R → R mit g(t) := yt + x, x ∈ R, y > 0. Die Gruppenverkn¨ upfung ist die Hintereinanderausf¨ uhrung. Als differenzierbare Mannigfaltigkeit ist H einfach die obere Halbebene H := {(x, y) ∈ R2 : y > 0} mit der differenzierbaren Struktur, die von R2 induziert wird. Die Gruppenoperation wird in dieser Notation wie folgt gegeben: (x, y)(ξ, η)(t) = y(ηt + ξ) + x = (x + yξ, yη)(t). Es folgt L(x,y) (ξ, η) = (x + yξ, yη) und (identifiziere H mit seinem Tangentialraum) dL(x,y) (ξ, η)v = yv

f¨ ur v ∈ R2 .

Damit ist die linksinvariante Metrik g durch ihre Gestalt bei e = (0, 1) bestimmt, n¨amlich −1 g(x,y) (v, w) = ge (dL−1 (x,y) (x, y)v, dL(x,y) (x, y)w) =

43

v·w v w · = 2 . y y y

Folglich ist die “kanonische” linksinvariante Riemannsche Metrik auf H durch gij (x, y) =

δij y2

beschrieben. (b) Als n¨achstes zeigen wir: Identifiziert man (x, y) mit x + iy ∈ C, so ist f¨ ur alle a, b, c, d ∈ R mit ad − bc = 1 die Abbildung z 7→ f (z) :=

az + b cz + d

eine Isometrie von (H, g). Der Vorteil der komplexen Schreibweise ist, dass Multiplikation mit der Matrix df (x, y) ganz einfach der komplexen Multiplikation mit der Zahl x + iy entspricht. Wir berechnen zun¨achst (az + b)(cz + d) |cz + d|2 ac|z|2 + bcz + adz + bd Im |cz + d|2 (ad − bc) Im z |cz + d|2 Im z , |cz + d|2 acz + ad − caz − cb (cz + d)2 1 . (cz + d)2

Im f (z) = Im = = = f 0 (z) = = In komplexer Schreibweise ist

gz (v, w) =

Re(vw) , (Im z)2

und wir berechnen damit Re(f 0 (z)vf 0 (z)w) (Im f (z))2 |f 0 (z)|2 Re(vw) = (Im f (z))2 |cz + d|4 Re(vw) = |cz + d|4 (Im z)2 = gz (v, w),

gf (z) (f 0 (z)v, f 0 (z)w) =

was nach R2 zur¨ uck¨ ubersetzt bedeutet, dass gf (x,y) (Df (x, y)v, Df (x, y)w) = g(x,y) (v, w) 44

f¨ ur alle (x, y) ∈ H, v, w ∈ R2 . Also ist f Isometrie. (c) folgt aus (f): Bilder der halben y-Achse sind wieder Geod¨atische, also Halbkreise, die die x-Achse senkrecht schneiden. (d) Mit der Formel Γkij =

1 X `k g (∂i gj` + ∂j g`i − ∂` gij ) 2 `

∂ (wobei hier einfach ∂1 = ∂x und ∂2 = Christoffel-Symbole auszurechnen:

Γ111 = Γ122 = Γ212 = 0,

∂ ∂y

sowie g ij (x, y) = δ ij y 2 ) ist es Routine, die

Γ211 =

1 , y

1 Γ121 = Γ112 = Γ222 = − . y

Wir illustrieren das nur an einem Beispiel: g 12 g 22 (∂1 g11 + ∂1 g11 − ∂1 g11 ) + (∂1 g12 + ∂1 g21 − ∂2 g11 ) 2 2 y2 (∂x 0 + ∂x 0 − ∂y (y −2 )) = 2 1 = . y

Γ211 =

(e) Damit schreiben wir das Differentialgleichungssystem f¨ ur Geod¨atische explizit hin. Es lautet bekanntlich X (ck )00 + Γkij (ci )0 (cj )0 = 0 i,j

f¨ ur k ∈ {1, 2}. Mit den oben ermittelten Werten f¨ ur Γkij erhalten wir (beachte, dass der 2 Index 12 zweimal gez¨ahlt wird und dass y = c ) 2 1 0 2 0 (c ) (c ) = 0, c2 1 (c2 )00 + 2 ((c1 )02 − (c2 )02 ) = 0. c (c1 )00 −

(f ) Damit wollen wir jetzt alle Geod¨atischen in (H, g) bestimmen. Weil wir schon ziemlich viele Isometrien kennen, brauchen wir nur f¨ ur eine Geod¨atische das System explizit l¨osen. Dazu machen wir einfach mal den simplen Ansatz mit c1 ≡ 0 und finden die Differentialgleichung (c2 )02 (c2 )00 = c2 f¨ ur die wir nach wenigen Sekunden die L¨osung et raten. Eine Geod¨atische parametrisiert also die positive imagin¨are Achse (ab jetzt schreiben wir wieder alles komplex) durch c(t) = et i,

45

t ∈ R.

Jedes Bild einer Geod¨atischen unter Isometrien ist selbst wieder eine Geod¨atische, folglich ist f¨ ur a, b, c, d ∈ R mit ad − bc = 1 die Kurve c(t) :=

aet i + b cet i + d

ebenfalls Geod¨atische (und alle Geod¨atische sind hier auf ganz R definiert). Nat¨ urlich wollen wir wissen, wie das Bild dieser Kurve geometrisch aussieht. Wir wollen zeigen: c(t) parametrisiert eine Parallele zur positiven y-Achse oder einen Halbkreis mit Mittelpunkt auf der x-Achse. 1. Fall: c, d 6= 0. Dann bestimmen wir den mutmaßlichen Mittelpunkt, indem wir f¨ ur t → ±∞ die Schnittpunkte der Geod¨atischen mit der x-Achse bestimmen, diese sind (setze einfach ±∞ in die Kurve ein) ac und db . Folglich muss der Mittelpunkt (falls es sich tats¨achlich um einen Halbkreis handelt) 1  a b  ad + bc + = 2 c d 2cd sein. Wir berechnen aet i + b ad + bc − cet i + d 2cd 2acdet i + 2bcd − acdet i − ad2 − bc2 et i − bcd = 2cd(cet i + d) t acde i + bcd − bc2 et i − ad2 = 2cd(cet i + d) 1 cet i − d = . 2cd cet i + d Es folgt aet i + b ad + bc 1 − , ≡ t ce i + d 2cd 2|cd| d.h. die Geod¨atische parametrisiert einen Halbkreis mit Mittelpunkt ad+bc und Radius 2cd 1 . Das gibt alle Mittelpunkte auf der reellen Achse und alle Radien! 2|cd| 2. Fall: c = 0 oder d = 0. Dann ist die Geod¨atische von der Form c(t) =

b a t e i+ d d

oder

c(t) =

und parametrisiert eine senkrechte Halbgerade durch

b d

a b −t − e i c c

oder durch ac .

Man u ur jeden Anfangspunkt z ∈ H und jede Anfangsrich¨berlegt sich leicht, dass f¨ v tung |v| mit v ∈ Tx H = R2 jetzt eine Geod¨atische gefunden ist. Wir haben also alle Geod¨atischen in (H, g) bestimmt. (g) Die Kenntnis der Christoffel-Symbole erm¨oglicht auch die Berechnung von Paralleltransporten. Wir wollen den Vektor v = (0, 1) ∈ Te H vom Punkt e = (0, 1) l¨angs der Geraden t 7→ c(t) := (t, 1) parallelverschieben zum Punkt (a, 1). Anders als in R2 46

bleibt der Vektor dabei nicht gleich (0, 1). Vielmehr ist er gleich V (a) f¨ ur das parallele Vektorfeld V l¨angs c mit V (0) = (0, 1). Die Differentialgleichung f¨ ur Parallelit¨at von D V l¨angs c lautet allgemein dt V (t) = 0, also (V k )0 (t) +

X

Γkij (ci )0 (t)V j (t) = 0

i,j

f¨ ur k ∈ {1, 2}. Hier gibt das also (mit y = c2 (t) = 1, c01 ≡ 1, c02 ≡ 0) (V 1 )0 (t) − V 2 (t) = 0, (V 2 )0 (t) + V 1 (t) = 0. Dieses lineare Gleichungssystem hat die allgemeine L¨osung V 1 (t) = a sin(t−ϕ), V 2 (t) = a cos(t − ϕ), und die Anfangswerte V (0) = (0, 1) sind f¨ ur a = 1 und ϕ = 0 gegeben; wir finden also V (t) = (sin t, cos t) und folglich V (a) = (sin a, cos a) (und der Hinweis zu der Aufgabe war reichlich u ¨bervorsichtig). (h) In Wirklichkeit haben wir hier etwas u ¨ber hyperbolische Geometrie gelernt. Denn (H, g) ist isometrisch zum hyperbolischen Raum H 2 . Von letzterem wissen wir bereits, dass er verm¨oge seiner kanonischen Koordinaten isometrisch zur offenen Einheitskugel B 2 ⊂ R2 mit der hyperbolischen Metrik  2 2 hij (u) = δij 1 + |u|2 ist. Eine Isometrie J : (H, g) → (B 2 , h) ist die Abbildung J(z) :=

iz + 1 , z+i

wie man mit hinreichend viel Geduld nachrechnen kann. Man findet eine solche Isometrie, indem man sich u ¨berlegt, dass Geod¨atische durch 0 in (U, h), das sind Geradenst¨ ucke durch den Nullpunkt, auf Geod¨atische in (H, g) abgebildet werden m¨ ussen, und dass man den Nullpunkt am besten auf e = (0, 1) = i abbildet. Also nimmt man die gebrochen lineare Abbildung J mit den Eigenschaften J(0) = −i, J(i) = 0 und J(∞) = i.

Alles (außer der Gruppenstruktur) geht auch f¨ ur H n statt H 2 , mit einem Modell auf dem Halbraum Rn−1 ×R>0 . Die Riemannsche Metrik ist gij (x1 , . . . , xn ) = x12 δij , und die n Geod¨atischen sind die Halbkreise, die die Hyperebene Rn−1 × {0} senkrecht schneiden, oder die Halbgeraden senkrecht zu dieser Hyperebene. 47

3.4

Geod¨ atische als ku ¨ rzeste Verbindungen

Wie das im Rn f¨ ur Geraden der Fall ist, sind Geod¨atische in Riemannschen Mannigfaltigkeiten diejenigen Kurven, die k¨ urzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten realisieren. Allerdings stimmt diese Aussage im Allgemeinen nur lokal. Mit diesem Aspekt wollen wir uns im Folgenden besch¨aftigen. Wie beim Riemannschen Abstand arbeiten wir mit st¨ uckweise C 1 -Kurven statt glatten Kurven, weil man diese leichter “zusammensetzen” kann. Definition (Energie von Kurven) Sei c : [α, β] → M st¨ uckweise C 1 -Kurve in der Riemannschen Mannigfaltigkeit M . Dann heißt die Gr¨oße Z 1 β 0 2 E(c) := |c (t)|g dt 2 α die Energie von c. Bemerkungen: (1) Die Minimierer der Energie bei festgehaltenen Endpunkten c(α) und c(β) in Rn sind genau die proportional zur Bogenl¨ange parametrisierten Geraden, d.h. genau die Geod¨atischen mit den richtigen Parametrisierungen (w¨ahrend jede monotone Umparametrisierung davon die Kurvenl¨ange minimiert). In diesem Sinne ist die Eigenschaft “energieminimierend” enger mit Geod¨atischen verkn¨ upft als “l¨angenminimierend”. Das wird auch in Mannigfaltigkeiten so sein. (2) Wir schreiben L(c) := `βα (c) f¨ ur die L¨ange der Kurve aus der Definition. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung f¨ ur Funktionen auf [α, β] liefert die Ungleichung p p L(c) ≤ 2(β − α) E(c), mit Gleichheit genau dann, wenn |c0 (t)|g konstant ist. Also ist jeder proportional zur Bogenl¨ange parametrisierte Minimierer von L ein Minimierer von E. Wir verlieren also durch Betrachtung von E statt L keine Information u 2 ¨ber L¨angenminimierer. Definition (Variation) Sei M eine (Riemannsche) Mannigfaltigkeit, c : [α, β] → M eine st¨ uckweise C 1 -Kurve. Eine Variation von c ist eine 1-Parameterschar von Kurven cs : [α, β] → M , s ∈ ] − δ, δ[ f¨ ur ein δ > 0, so dass c0 ≡ c, (s, t) 7→ cs (t) ist C 0 und sogar C 1 f¨ ur alle t außer den Knickstellen von c, und ∂s ∂t cs (t) sowie ∂t ∂s cs (t) sollen bei s = 0 und allen t außer den Knickstellen von c existieren und stetig sein. Das st¨ uckweise C 1 -Vektorfeld V (t) := zu der Variation.

∂ c (t) ∂s |s=0 s

l¨angs c heißt das Variationsvektorfeld

Wir sprechen von Variation mit festen Endpunkten, falls cs (α) = c(α) und cs (β) = c(β) f¨ ur alle s ∈ ] − δ, δ[ gilt. Bemerkung: Man muss sich zun¨achst kurz davon u ¨berzeugen, dass es u ¨berhaupt (viele) Variationen gibt. Verl¨auft c ganz im Bild einer Parametrisieruing ϕ : U → M , dann kann man z.B. cs (t) := ϕ(ϕ−1 (c(t)) + sW (t)) 48

f¨ ur eine C 1 -Funktion W (t) ansetzen. Oder f¨ ur ein vorgegebenes (st¨ uckweise) C 1 -Vektorfeld V l¨angs c definiert man cs (t) := expc(t) (sV (t)), 2

dann ist V auch tats¨achlich das Variationsvektorfeld zu dieser Variation.

Im folgenden Satz heißt “st¨ uckweise C 2 ”, dass die Kurve C 2 ist bis auf eventuelle endlich viele Knickstellen, wo sie nur C 0 ist. Satz (Minimierer von L¨ ange oder Energie sind Geod¨ atische) Es sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit und a, b ∈ M gegeben. Ist c : [α, β] → M mit c(α) = a, c(β) = b eine st¨ uckweise C 2 -Kurve, die bei festen Endpunkten die Energie minimiert (d.h. E(c) ≤ E(γ) f¨ ur alle st¨ uckweise C 2 -Kurven γ : [α, β] → M mit γ(α) = a und γ(β) = b), dann ist c Geod¨atische (und insbesondere glatt ohne Knickstellen). Im Fall c0 6= 0 u uckweise C 2 -Kurve, die bei festen Endpunkten die L¨ange mini¨berall ist jede st¨ miert, monotone Umparametrisierung einer Geod¨atischen. Beweis: Die Energieminimierer-Eigenschaft bedeutet, dass die differenzierbare Funktion s 7→ E(cs ) bei s = 0 ein lokales Minimum annimmt, folglich muss die erste Variation d E(cs ) f¨ ur alle Variationen von c mit festen Endpunkten Null sein. der Energie ds |s=0 Wir berechnen zun¨achst 1 Z β  d d E(cs ) = |c0s (t)|2g dt ds |s=0 ds |s=0 2 α Z 1 β d = g(c0 (t), c0s (t)) dt 2 α ds |s=0 s Z β   D ∂ 0 cs (t) dt = g c (t), ds |s=0 ∂t α Z β   D ∂ = g c0 (t), cs (t) dt dt ∂s |s=0 α Z β  D  = g c0 (t), V . dt α Dabei garantieren die Voraussetzungen an Variationen, dass wie benutzt ∂ D D ∂ cs (t) = cs (t), ds |s=0 ∂t dt ∂s |s=0 denn in bei c(t) euklidischen Koordinaten haben beide die Koeffizienten

∂2 i c (t). ∂s∂t

Sind t1 < t2 < . . . t` die Knickstellen, t0 := α, t`+1 := β, dann folgt mit partieller Integration auf den Intervallen [tk , tk+1 ] d E(cs ) = − ds |s=0

Z

β

g α

D

0

dt

c ,V

49



+

` X k=0

t%tk+1 g(c , V ) . 0

t&tk

Nach obiger Bemerkung kann man zu jedem st¨ uckweise C 1 -Feld mit V ≡ 0 auf [α, β] \ [tk , tk+1 ] f¨ ur ein k ∈ {0, . . . , `} eine Variation cs von c = c0 konstruieren, so dass d cs = V auf [tk , tk+1 ]. ds |s=0

cs ≡ c auf [α, β] \ [tk , tk+1 ],

Dann folgt aus obiger Berechnung der ersten Variation (und der Tatsache, dass sie gleich 0 sein muss) Z tk+1   D 0 g 0= c (t), V (t) dt dt tk D 0 c (t) = 0 auf ]tk , tk+1 [ folgt; dieser Schluss heißt auch Fundamenf¨ ur alle V , woraus dt tallemma der Variationsrechnung. Also haben wir schon bewiesen, dass c st¨ uckweise geod¨atisch ist. Wir schließen jetzt noch die Existenz von Knickstellen aus wie folgt: Diesmal sei V ≡ 0 auf [α, β] \ [tk−1 , tk+1 ] (aber V (tk ) 6= 0 wird ausdr¨ ucklich erlaubt). Mit der schon bewiesenen Tatsache, dass c st¨ uckweise geod¨atisch ist, folgt wieder aus der Berechnung der ersten Variation

0 = g(c0 (tk +), V (tk )) − g(c0 (tk −), V (tk )). Hier ist V (tk ) beliebig, also folgt c0 (tk +) = c0 (tk −), d.h. c0 ist stetig. Dann sorgt die D 0 c stetig ist (n¨amlich ≡ 0, und damit auch alle Differentialgleichung daf¨ ur, dass auch dt h¨oheren kovarianten Ableitungen). Folglich ist c glatt und hat gar keine Knickstellen; c ist damit als Geod¨atische bewiesen. F¨ ur das L¨angenintegral geht alles weitgehend analog. Die erste Variation ist hier d L(cs ) = − ds |s=0

Z

β

α

`  D c0  X  c0  t%tk+1 g , V + g , V . 0| dt |c0 |g |c t&tk g k=0 0

Aus der Minimierereigenschaft folgert man Stetigkeit von |cc0 |g und Umparametrisierung von c nach der Bogenl¨ange ist Geod¨atische.

D c0 dt |c0 |g

= 0, d.h. die 2

Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt i.A. nicht, d.h. Geod¨atische m¨ ussen nicht (global) Minimierer von L¨ange oder Energie sein. Aus der Berchnung der ersten Variation folgt aber sofort: Jede Geod¨atische ist station¨ar f¨ ur L¨ange und Energie, d.h. d E(cs ) = 0 ds |s=0

und

d L(cs ) = 0 ds |s=0 2

f¨ ur alle Variationen cs von c.

Wir wollen genauer verstehen, wie weit Geod¨atische die L¨ange (oder auch Energie) minimieren. Ein wichtiges Hilfsmittel ist Proposition (Gauß-Lemma) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, x ∈ M , v ∈ Tx M ∩ Def(exp), w ∈ Tv (Tx M ) = Tx M . Dann gilt gx (d expx (v)v, d expx (v)w) = gx (v, w). 50

Mit anderen Worten: d expx (v) erh¨alt Skalarprodukte mit v (aber i.A. nicht irgendwelche anderen). Beweis: Zerlege w = w> + w⊥ in Anteile parallel und senkrecht zu v. Weil d expx (v) linear ist und gx (d expx (v)v, d expx (v)w> ) = gx (v, w> ) direkt aus der Definition von expx folgt, m¨ ussen wir nur noch die entsprechende Behauptung f¨ ur w⊥ zeigen (rechte Seite ist dann 0). Sei s 7→ v(s) eine Kurve in Tx M mit v(0) = v, v 0 (0) = w⊥ . Weil Def(exp) offen ist, existiert δ > 0, so dass f (t, s) := expx (tv(s)) definiert ist f¨ ur alle t ∈ [0, 1] und |s| < δ. Die Kurven t 7→ f (t, s) sind dann Geod¨atische bei festgehaltenem s. Und es ist  ∂f  ∂f (1, 0), (1, 0) . gx (d expx (v)v, d expx (v)w⊥ ) = gx ∂s ∂t Da f¨ ur alle (t, s)  D ∂f ∂f   ∂f D ∂f  ∂  ∂f ∂f  gx , = gx , + gx , , ∂t ∂s ∂t dt ∂s ∂t ∂s dt ∂t und der letzte Term verschwindet (weil t 7→ f (t, s) Geod¨atische), folgt mit der Symmetrie der zweiten Ableitung (wie im vorigen Beweis) gx

 D ∂f ∂f  1 ∂  ∂f ∂f   D ∂f ∂f  , = gx , = gx , = 0. dt ∂s ∂t ds ∂t ∂t 2 ∂s ∂t ∂t

Folglich h¨angt gx ( ∂f , ∂f ) nicht von t ab. Wegen ∂s ∂t ∂f = lim d expx (tv)tw⊥ = 0 t→0 ∂s t→0

lim

folgt daraus gx ( ∂f (1, 0), ∂f (1, 0)) = 0, womit die zum Beweis noch fehlende Gleichung ∂s ∂t gezeigt ist. 2 Korollar (untere Schranken fu ange und Energie) F¨ ur jede st¨ uckweise C 1 ¨ r L¨ Kurve γ : [α, β] → Tx M ∩ Def(exp) mit γ(α) = 0x , γ(β) = v gelten |v|2g E(expx ◦γ) ≥ , 2(β − α) L(expx ◦γ) ≥ |v|g . Beweis: Zerlege γ 0 (t) (γ(t) 6= 0x vorausgesetzt) gx -othogonal in γ 0 (t) = a(t)

γ(t) + γ⊥0 (t). |γ(t)|g 51

Dann ist

1 d d |γ(t)|2g = |γ(t)|g |γ(t)|g , 2 dt dt

a(t)|γ(t)| = gx (γ 0 (t), γ(t)) = also

d |γ(t)|g . dt Mit dem Gauß-Lemma (beim dritten =) folgt auch a(t) =

|(expx ◦γ)0 |2g = |d expx (γ(t))γ 0 (t)|2 2 γ(t) = d expx (γ(t))a(t) + d expx (γ(t))γ⊥0 (t) |γ(t)|g g 2 0 2 = a(t) + |d expx (γ(t))γ⊥ (t)|g ≥ a(t)2 . Wir nehmen v 6= 0x an (sonst trivial), dann ist α ˜ := inf{t ∈ [α, β] : γ(t) 6= 0x } < β. Integration von α ˜ nach β gibt Z

β

2E(expx ◦γ) ≥ α ˜

≥ = = ≥ L(expx ◦γ) ≥

a(t)2 dt hZ β

i2 1 a(t) dt β−α ˜ α˜ 1 (|γ(β)|2g − |γ(˜ α)|2g ) β−α ˜ |v|2g β−α ˜ 2 |v|g , β−α Z β a(t) dt α ˜

= |γ(β)|g − |γ(˜ α)|g = |v|g , 2

also die Behauptung.

Der folgende Satz sagt etwas dar¨ uber aus, wann Geod¨atische, die vollst¨andig mit einer Exponentialabbildung expa beschrieben werden, minimierend sind. Unter “minimierend” in A ⊆ M verstehen wir dabei “energieminimierend (oder ¨aquivalent l¨angenminimierend) unter allen st¨ uckweise C 1 -Kurven in A mit denselben Endpunkten”. Ist das Bild von c dadurch schon eindeutig bestimmt, so sagen wir “eindeutig minimierend”. Satz (minimierende Geod¨ atische) Es sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit, v ∈ Tx M ∩ Def(exp) und c : [0, 1] → M die Geod¨atische c(t) := expa (tv) von a nach b := expa (v). 52

(i) c minimiert unter allen st¨ uckweise C 1 -Kurven der Form expa ◦γ mit st¨ uckweise 1 C -Kurve γ : [0, 1] → Ta M , γ(0) = 0a , γ(1) = v. (ii) Verl¨auft c in einer Riemannschen Normalkugel zu a, so ist c eindeutig minimierend in M . (iii) Ist expa auf [0a , v] von maximalem Rang, so ist c st¨orungs-minimierend in dem Sinne, dass c unter allen st¨ uckweise C 1 -Kurven minimiert, die im Sinne der gleichm¨aßigen Konvergenz hinreichend nahe bei c liegen. (Beachte: Wir verlangen nicht, dass c injektiv ist!) Beweis: (i) folgt sofort aus dem letzten Korollar, denn die dort angegebenen unteren Schranken sind die Energie und die L¨ange von c. (ii) Mit demselben Argument ist zun¨achst c minimierend in der Normalkugel; nennen wir sie V . Eine (nicht zu aufw¨andige) Inspektion des Gleichheitsfalls im Beweis des vorigen Korollars (hier braucht man, dass d expa u ¨berall vollen Rang hat) zeigt, dass c sogar eindeutig minimierend in V ist. Wir m¨ ussen also c nur noch mit Kurven vergleichen, die V verlassen. F¨ ur solche gibt es aber β ∈ ]0, 1[ und γ : [0, β] → Ta M ∩Def(exp) mit |γ(β)|g > |v|g . Dann zeigt wieder die Absch¨atzung des vorigen Korollars, dass Energie und L¨ange gr¨oßer sind als die von c. Folglich ist c eindeutig minimierend auf ganz M. (iii) Da expa nahe [0a , v] lokaler Diffeomorphismus ist, kann jede im Sinne der gleichm¨aßigen Konvergenz nahe bei c liegende Kurve c˜ mit expa geliftet werden, c˜ = expa ◦γ f¨ ur 1 eine st¨ uckweise C -Kurve γ in Ta M . Dann folgt die Behauptung aus (i). 2 Weil es um jeden Punkt in M eine Normalkugel gibt, folgt sofort aus (ii): Korollar (kurze Geod¨ atische minimieren) Jeder gen¨ ugend kleine Abschnitt einer Geod¨atischen ist minimierend in M . 2 Minimierende Geod¨atische von a nach b haben die L¨ange d(a, b), wobei d die Riemannsche Abstandsfunktion auf M ist. Deshalb folgt aus (ii) auch Korollar (Normalkugeln sind Abstandskugeln) Die Normalkugeln expx (Bε (0x )) sind gleichzeitig die entsprechenden Kugeln im metrischen Raum (M, d), d.h. expx (Bε (0x )) = {y ∈ M : d(x, y) < ε} f¨ ur (abh¨angig von x) hinreichend kleine ε > 0.

2

Jetzt kommen wir zur Umkehrung von (iii): Satz (erster konjugierter Punkt) Sei c(t) = expa (tv), t ∈ [0, 1], eine Geod¨atische in der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). expa sei von maximalem Rang auf [0, v[ , aber nicht mehr in v (dann heißt v “erster konjugierter Punkt”). Dann ist c auf keinem Intervall [0, 1 + ε] st¨orungs-minimierend (geschweige denn minimierend auf M ). 53

Beweis: Die Voraussetzung impliziert Existenz von w ∈ Ta M \ {0a } mit ga (v, w) = 0, d d so dass f¨ ur cs (t) := expa (t(v + sw)) gilt ds c (1) = 0 (*) (aber ds c (t) 6= 0 |s=0 s |s=0 s f¨ ur t < 1). W¨ahle α < 1 so nahe bei 1, dass f¨ ur |s| < s0 > 0 um jedes cs (α) eine Normalkugel existiert, die b := c(1) enth¨alt. Ersetze nun cs auf [α, 1] durch die minimierende Geod¨atische c˜s : [α, 1] → M von cs (α) nach b (existiert nach (ii) des vorigen Satzes). Setze c˜s auf [0, α] durch cs st¨ uckweise 1 C fort, also c˜s : [0, 1] → M mit Endpunkten a und b. Wegen (*) ist cs (1) = b + o(s). Wegen Differenzierbarkeit von exp−1 p q in p und q folgt −1 exp−1 cs (α) cs (1) = expcs (α) b + o(s).

Das wiederum bedeutet, dass der Abstand in (Tcs (α) M, gs( α) ) zwischen c0s (α) =

1 exp−1 cs (α) cs (1) 1−α

und˜ c0s (α) =

1 exp−1 cs (α) b 1−α

von der Gr¨oßenordnung o(s) bei s → 0 ist. Die Variationsformel f¨ ur die L¨ange von Geod¨atischen liefert (beachte die festgehaltenen Endpunkte)  c˜0 (α+)   c0 (α)  d d d , , L(˜ cs ) = −g 0s cs (α) + g 0s cs (α) , ds |˜ cs (α+)|g ds |cs (α)|g ds ¨ was wir nach obiger Uberlegung bei 0 erneut differenzieren k¨onnen: d2 L(˜ cs ) = 0. ds2 |s=0 Also ver¨andert die Modifikation die L¨ange von zweiter Ordnung nicht, hat aber im Gegensatz zu (cs )s1 feste Endpunkte. Setze β := 1 + ε. Betrachte nun eine weitere Modifikation cˆ vob cs (diesmal aufgefasst als cs : [0, β]), n¨amlich cˆs = cs auf [0, α] und auf [α, β] (geht wenn ε klein genug) die eindeutige minimierende Geod¨atische von cs (α) nach c(β). Wir definieren ferner W (s, β) :=

cˆ0s (β) ∈ Tc(β) M. |ˆ c0s (β)|g

Betrachte auch die Schar von Geod¨atischen, bei der β in obiger Konstruktion durch t ∈ [1, β] erstetzt worden ist, bei festgehaltenem s. Die Variationsformel f¨ ur diese Schar liefert Z β L(ˆ cs ) − L(˜ cs ) = gc(t) (W (s, t), c0 (t)) dt; 1

beachte, dass der Raum, in dem auf der rechten Seite die Vektoren sind, unabh¨angig von s ist. Deswegen darf unter dem Integral differenziert werden, und wir erhalten Z β  ∂2  d2 0 [L(ˆ c ) − L(˜ c )] = g W (0, t), c (t) dt. s s c(t) ds2 |s=0 ∂s2 1 54

d Wegen ds c (α) 6= 0 und (s 7→ cs (α)) ⊥ c folgt nach dem Gauß-Lemma, dass |s=0 s 0 exp−1 c(t) cs (α) ⊥ c (t) bei s = 0, mit Ableitung nach s bei 0, die nicht verschwindet. Dasselbe gilt dann f¨ ur W (s, t) (das ist minus dieser Vektor auf L¨ange 1 gebracht). Wir wissen jetzt

|W | = 1,  ∂W  g , W = 0, ∂s  ∂2W   ∂W ∂W  g , = 0, ,W + g ∂s2 ∂s ∂s c0 (t) W (0, t) = 0 , |c (t)| ∂W (0, t) 6= 0c(t) , ∂s alles in von s unabh¨angigen Tangentialr¨aumen. Es folgt  ∂2W  0 g (0, t), c (t) <0 f¨ urt ∈ [1, β], ∂s2 ¨ also mit obiger Uberlegung L(ˆ cs ) − L(˜ cs ) < −Cs2 bei s  1 mit einer Konstanten C > 0. Zusammen mit obiger Erkenntnis, dass L(˜ cs ) = 2 L(cs ) + o(s ) auf [1, 0] folgt L(ˆ cs ) < L(c) − Cs2

auf [0, β] f¨ ur s  1.

Folglich ist c|[0,β] nicht st¨orungsminimierend.

2

Beispiel: Auf S n ist expa (tv) = a cos t + v sin t f¨ ur jeden Einheitsvektor v ∈ Ta S n . Es gilt f¨ ur p ⊥ v (p parallel zu v ist nach dem Gauß-Lemma uninteressant) d expa (tv)p = p sin t, also ist f¨ ur t ∈ ]0, π[ (und trivialerweise f¨ ur t = 0) d expa (tv) invertierbar. F¨ ur t = π haben wir sin t = 0 und deshalb hat d expa (πv) nur den Rang 1. Also ist expa (πv) = −a erster konjugierter Punkt f¨ ur alle v. Jede Geod¨atische ist also solange minimierend, bis sie den Antipodenpunkt passiert. (Ist auch anschaulich klar, denn danach ist es k¨ urzer, in die entgegengesetzte Richtung zu laufen.) 2 Wir sind immer noch nicht viel schlauer bez¨ uglich der Frage nach der Existenz von minimierenden Geod¨atischen zwischen zwei Punkten a, b ∈ M . Erstaunlicherweise hat diese Frage damit zu tun, ob man Geod¨atische beliebig weit fortsetzen kann: Definition (geod¨ atisch vollst¨ andig) Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt geod¨atisch vollst¨andig, falls jede Geod¨atische in M zu einer auf ganz R definierten Geod¨atischen fortgesetzt werden kann. 55

Beispiele: Keine echte Teilmenge von Rn ist geod¨atisch vollst¨andig. Rn und S n sind geod¨atisch vollst¨andig. Und aus der n¨achsten Bemerkung folgt, dass jede kompakte Mannigfaltigkeit geod¨atisch vollst¨andig ist. 2 Bemerkung: Ist (M, d) vollst¨andig als metrischer Raum, dann ist (M, g) auch geod¨atisch vollst¨andig (und nur dann, was wir hier nicht zeigen, ist aber auch nicht zu schwer). Denn ist c(t) Geod¨atische mit |c0 | ≡ 1, definiert f¨ ur t < T < ∞, dann gilt f¨ ur tk % T d(c(tk ), c(t` )) ≤ L(c|[tk ,t` ] ) = |tk − t` |. Also ist (c(tk )) Cauchy-Folge in (M, d), also konvergent. Das Argument zeigt, dass das maximale Definitionsintervall von c abgeschlossen ist. Offen ist es sowieso, also ganz R. 2

Satz (Hopf und Rinow) Ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) geod¨atisch vollst¨andig, dann gibt es zu jedem Paar von Punkten in M eine minimierende Geod¨atische, die sie verbindet. Bemerkung: Diese muss nicht eindeutig sein, betrachte z.B. Nordpol und S¨ udpol in 2 S , minimierend verbindbar durch jeden Meridian. Beweis: Wir wollen zu gegebenem a ∈ M zeigen: Das Intervall I := {r ≥ 0 : F¨ ur alle b ∈ Br (a) gibt es min. Geod. von a nach b} (mit Br (a) := {x ∈ M : d(x, a) < r}) ist [0, ∞[ . Wir wissen schon, dass I ein Intervall [0, ε[ enth¨alt, m¨ ussen uns also nur um den “rechten Rand” des Intervalls k¨ ummern. 1. Schritt: I ist abgeschlossen am rechten Rand: Falls r ∈ I f¨ ur alle r < R, dann betrachte b ∈ ∂BR (a). Dann gibt es zu jedem k ∈ N eine Kurve γk von a nach b mit L¨ange L(γk ) ≤ R + k1 und einen Punkt bk auf γk mit d(a, bk ) = R − k1 . Es folgt d(bk , b) ≤ L(γk ) − (R − k1 ) ≤ k2 , also bk → b. Nach Annahme gibt es eine minimierende Geod¨atische ck : [0, 1] → M von a nach bk . Die Folge (c0k (0))k∈N verl¨auft in einer urfen kompakten Teilmenge von Ta M , die 0 nicht enth¨alt (denn |c0k (0)| ∼ R), also d¨ ¨ wir annehmen, dass nach Ubergang zu einer Teilfolge limk→∞ c0k (0) = v ∈ Ta M \ {0}. Die Geod¨atische c(t) := expa (tv) ist nach Voraussetzung auf ganz R definiert. Auf [0, 1] folgt ck → c, und w¨are c nicht minimierend, dann w¨are auch ck das nicht f¨ ur hinreichend große k. Also R ∈ I. 2. Schritt: I ist offen am rechten Rand: Sei r ∈ I; dann ist Br (a) kompakt und hat deshalb Injektivit¨atsradius > 0; sei δ kleiner als dieser, b ∈ Br+δ (a). Dann gibt es Kurven γk von a nach b mit L(ck ) ≤ d(a, b) + k1 und darauf Punkte bk mit d(a, bk ) = r, also d(bk , b) ≤ L(γk ) − r ≤ d(a, b) + k1 − r ≤ δ f¨ ur k  1. In der kompakten Menge Br (a) konvergiert eine Teilfolge der bk gegen ein b∗ ∈ Br (a), und dann gibt es eine minimierende Geod¨atische von a nach b∗ , ebenso von b∗ nach b weil d(b∗ , b) ≤ δ kleiner als der Injektivit¨atsradius ist. Beide zusammen setzen wir zu einer gebrochenen 56

Geod¨atischen zusammen, die tats¨achlich schon eine Geod¨atische ist, wenn sie die L¨ange d(a, b) hat. Das folgt aus d(a, b) ≤ d(a, b∗ ) + d(b∗ , b) = lim [d(a, bk ) + d(bk , b)] k→∞

≤ r + d(a, b) − r = d(a, b), folglich muss u ¨berall “=” gelten, und die erste Zeile gibt die Behauptung.

4 4.1

2

Kru ¨ mmung Viel zu wenig u ¨ ber Vektorbu ¨ ndel und Tensoren

Vektoren sind Objekte der linearen Algebra, und als Vektorfelder tauchen sie in der Geometrie auf. Es stellt sich aber heraus, dass man f¨ ur die Differentialgeometrie auch Objekte der multilinearen Algebra ben¨otigt, n¨amlich Tensoren, genauer Tensorfelder. Zun¨achst m¨ ussen wir das Tangentialb¨ undel besser verstehen. Es handelt sich um ein Vektorb¨ undel. Definition (Vektorbu ¨ ndel) Seien E und B glatte Mannigfaltigkeiten und π : E → B eine glatte Abbildung. Das Tripel (π, E, B), oft auch als π : E → B notiert, heißt ein (reelles) Vektorb¨ undel vom Rang n (mit Basis B, Totalraum E, Projektion π und n Faser R ) falls: (i) π ist surjektiv. ¨ (ii) Es gibt eine offene Uberdeckung (Ui )i∈I von B und Diffeomorphismen hi : π −1 (Ui ) → n Ui × R , so dass f¨ ur alle x ∈ Vi gilt: hi (π −1 {x}) = {x} × Rn (“hi ist fußpunkttreu”). Die hi heißen “lokale Trivialisierungen”. ¨ (iii) Außerdem verlangen wir f¨ ur die Ubergangsabbildungen n n hi ◦ h−1 j : (Ui ∩ Uj ) × R → (Ui ∩ Uj ) × R ,

dass sie von der Form hi ◦ h−1 j (x, v) = (x, gij (x)v) sind, mit glatter Funktion aij : Ui ∩ Uj → GL(n, R). Definition (Schnitt) Sei π : E → B ein Vektorb¨ undel. Ein Schnitt ist eine (hier immer als glatt vorausgesetzte) Abbildung X : B → E mit π ◦ X = idB , also eine Abbildung, die jedem x ∈ B ein Element der Faser u ¨ber x zuordnet. Der Vektorraum der Schnitte in (π, E, B) wird mit Γ(π, E, B) oder einfach Γ(E) bezeichnet.

57

Beispiele: (0) Das Produkt B × Rn mit der Projektion auf den ersten Faktor heißt das triviale Vektorb¨ undel vom Rang n u ¨ber B. (1) Vektorb¨ undel vom Rang 1 u ¨ber S 1 “sind” Zylinder und M¨obiusband. (Bilder!) ¨ (2) Uber der Mannigfaltigkeit B kann man Vektorb¨ undel konstruieren, indem man die ¨ Uberdeckung (Ui )i∈I und die Abbildungen aij angibt. Genau dann wird dadurch ein Vektorb¨ undel wohldefiniert, wenn die aij die “Kozykelbedingung” aij (x)ajk (x) = aik (x) f¨ ur alle x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk und die Bedingung aij (x) = aji (x)−1 f¨ ur alle x ∈ Ui ∩ Uj erf¨ ullt. (3) Ist M differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n, dann ist das Tangentialb¨ undel T M (genauer: π : T M → M ) ein Vektorb¨ undel (wie der Name schon sagt) vom Rang n u ¨ber M . Die Schnitte in T M sind die Vektorfelder u ¨ber M . (4) Bekanntlich ist jeder endlichdimensionale R-Vektorraum V isomorph zu seinem Dualraum V ∗ (d.h. zum Vektorraum der linearen Abbildungen V → R). Ein kanonische Isomorphismus wird durch ein (beliebiges) Skalarprodukt gegeben, indem man v mit w 7→ hv, wi identifiziert. Ist nun M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann identifizieren wir Tx M mit seinem Dualraum Tx∗ M mittels des Skalarprodukts gx . Das gibt uns ein Vektorb¨ undel T ∗ M (das als Mannigfaltigkeit und als Vektorb¨ undel gleich T M ist, nur die Interpretation der Elemente ist anders), das Kotangentialb¨ undel. Seine Schnitte sind Abbildungen Γ(T M ) → C ∞ (M ), die eingeschr¨ankt auf jede Faser Tx M eine lineare Abbildung ergeben (“Kovektorfelder”). 2

Definition (Tensorprodukt) Seien V1 , . . . , Vn Vektorr¨aume u ¨ber K. Das Tensorprodukt V1 ⊗ . . . ⊗ Vn ist der K-Vektorraum, der erzeugt wird von Elementen der Form v1 ⊗ . . . ⊗ vn (den sogenannten zerlegbaren Tensoren), wobei genau die Relationen gelten, die die kanonische Abbildung V1 × . . . × Vn → V1 ⊗ . . . ⊗ Vn zu einer n-linearen Abbildung machen, d.h. v1 ⊗ . . . ⊗ (avk +bwk ) ⊗ . . . ⊗ vn = a(v1 ⊗ . . . ⊗ vk ⊗ . . . ⊗ vn ) + b(v1 ⊗ . . . ⊗ wk ⊗ . . . ⊗ vn ) f¨ ur a, b ∈ K (und sonst keine Relationen). Dann faktorisiert jede n-lineare Abbildung V1 × . . . × Vn → W eindeutig durch eine lineare Abbildung V1 ⊗ . . . ⊗ Vn → W , und dadurch kann man das Tensorprodukt auch definieren. Wir schreiben ∗ . . ⊗ V} . ⊗sr V := V . . ⊗ V }∗ ⊗ V | ⊗ .{z | ⊗ .{z s−mal

r−mal

Die Elemente von ⊗sr V heißen Tensoren vom Typ (r, s) oder auch r-fach kovariante und s-fach kontravariante Tensoren. Wir k¨ urzen ⊗r V := ⊗0r V , ⊗s V := ⊗s0 V ab und identifizieren ⊗1 V = V , ⊗1 V = V ∗ . Offensichtlich definiert ⊗ auch eine (bilineare) Multiplikation ⊗ : ⊗qp V × ⊗sr V → ⊗q+s p+r V. 58

F¨ ur λ1 ⊗ . . . ⊗ λn ∈ ⊗n V und v1 ⊗ . . . ⊗ vn ∈ ⊗n V ist die nat¨ urliche Paarung gegeben durch n Y 1 n hλ ⊗ . . . ⊗ λ , v1 ⊗ . . . ⊗ vn i := λi (vi ). i=1

Analog gibt es eine nat¨ urliche Paarung zwischen

⊗sr V

und ⊗rs V .

Im Fall r, s ≥ 1 k¨onnen wir zu jedem p ∈ {1, . . . , r}, q ∈ {1, . . . , s} einen Spuroperator (oder Kontraktionsoperator) Spurqp : ⊗sr V → ⊗s−1 r−1 V definieren durch Spurqp (λ1 ⊗ . . . ⊗ λs ⊗ v1 ⊗ . . . ⊗ vr ) := hλp , vq iλ1 ⊗ . . . ⊗ λq−1 ⊗ λq+1 ⊗ . . . ⊗ λs ⊗ v1 ⊗ . . . ⊗ vp−1 ⊗ vp+1 ⊗ . . . ⊗ vr . Tensorfelder auf einer Mannigfaltigkeit sind Schnitte in entsprechenden B¨ undeln, die wir zun¨achst definieren: Definition (Tensorbu ¨ ndel, Tensorfeld) Sei M eine n-dimensionale Riemannsche undel Mannigfaltigkeit und r, s ∈ N0 . Das Vektorb¨ undel π : ⊗sr T M → M ist das Vektorb¨ s n mit Faser ⊗r R und Basis M , das als Menge die disjunkte Vereinigung der ⊗sr Tx M ist. Die Vektorb¨ undelstruktur wird dadurch beschrieben, dass f¨ ur jede lokale Trivialisierung Tx M 3 v 7→ (x, ϕx (v)) von TM die Abbildung ⊗sr T M ⊃ π −1 (x) 3 w 7→ (x, ⊗sr (ϕx )(w)) eine lokale Trivialisierung von ⊗sr T M sei, wobei ⊗sr (ϕx ) der komponentenweisen Anwendung von ϕx entspricht. Ein Tensorfeld vom Typ (r, s) ist ein Schnitt in ⊗sr T M , also ein Element von Γ(⊗sr T M ). Sind ∂i lokale Koordinatenvektorfelder auf M und ∂ i die dazu dualen Tensorfelder, gegeben durch ∂ i (∂j ) = δji , dann kann man f¨ ur X ∈ Γ(⊗sr T M ) die Komponenten ...ir Xji11...j := hX, ∂j1 ⊗ . . . ⊗ ∂js ⊗ ∂ i1 ⊗ . . . ⊗ ∂ ir i s

definieren, die die Koeffizienten bzgl. der rechts in der Klammer stehenden Basisfelder darstellen. Nat¨ urliche Paarung h · , · i, Tensormultiplikation ⊗ und Spurbildung sind offensichtlich auch f¨ ur Tensorfelder sinnvoll. In ein Tensorfeld in Γ(⊗s T M ) kann man s Vektorfelder einsetzen, um eine Funktion aus M zu erhalten. In ein Tensorfeld in Γ(⊗s1 T M ) kann man s Vektorfelder einsetzen, 59

um ein Vektorfeld auf M zu erhalten. Bemerkungen: (1) Tensorfelder sind charakterisiert durch Linearit¨at in allen Komponenten, auch bzgl. Multiplikation mit Funktionen, d.h. S ist ein Tensorfeld in Γ(⊗sr T M ), falls hS, . . . ⊗ (f X + gY ) ⊗ . . .i = f hS, . . . ⊗ X ⊗ . . .i + ghS, . . . ⊗ Y ⊗ . . .i f¨ ur alle X, Y ∈ Γ(T M ) oder X, Y ∈ Γ(T ∗ M ) (je nach Typ) in allen Positionen gilt (wobei an den Stellen mit P¨ unktchen immer dieselben Vektorfelder oder Kovektorfelder eingesetzt werden). Bei den folgenden Beispielen rechnen wir diese Eigenschaft nicht nach, weil wir sp¨ater mit dem Kr¨ ummungstensor ein ausf¨ uhrliches Beispiel haben werden. (2) Ist aber ein vermeintliches Tensorfeld nur in lokalen Koordinaten gegeben, so muss zus¨atzlich zur oben beschriebenen Linearit¨at auch noch das richtige Transformationsverhalten bei Koordinatenwechseln nachgewiesen werden. F¨ ur Tensorfelder T ∈ ...jr bez¨ u glich lokaler KoordinatenvektorΓ(⊗sr T M ) mit Komponentenfunktionen Tkj11,...,k s ...ks bez¨ uglich anderer Koordinatenfelder ∂˜1 , . . . ∂˜n gilt im felder ∂1 , . . . , ∂n und Tejk11,...,j s Schnitt der beiden Definitionsbereiche die Umrechnung X ,...,`r j1 ,...,jr Z`1 . . . Z`jrr , Wki11 . . . Wkiss Tei`11,...,i = Tkj11,...,k s s i1 ,...,is ,`1 ,...,`r

wobei W und Z = W

−1

die Matrizenfunktionen f¨ ur die Basiswechsel sind, d.h. X X ∂˜k = Wki ∂i , ∂k = Zki ∂˜i . i

i

Erf¨ ullt eine in Koordinaten gegebene Gr¨oße diese Umrechnungsformeln nicht, dann handelt es sich nicht um die Komponenten eines Tensorfelds, vgl. das nachfolgende Beispiel (2). 2 Beispiele: (1) Die Riemannsche Metrik g einer Riemannschen Mannnigfaltigkeit M kann als ein Tensorfeld vom Typ (0, 2), also als g ∈ Γ(⊗2 T M ) aufgefasst werden (nat¨ urlich kein beliebeiges, sondern eins mit zus¨atzlichen Eigenschaften). (2) Die Christoffel-Symbole Γkij sind nicht die Komponenten eines Tensorfelds Γ ∈ Γ(⊗21 T M ). Ihr Transformationsverhalten bei Koordinatenwechsel ist nicht das f¨ ur Tensoren g¨ ultige, sondern (in der Notation der obigen Bemerkung, und mit der Konvention, dass u ber schr¨agstehende Indizes summiert wird) ¨ ek = Z k (W ` W r Γt + ∂` W t ), Γ ij t i j `r j was man abliest aus D∂˜i ∂˜j = DWi` ∂` Wjr ∂r = Wi` (Wjr Γt`r ∂t + ∂` Wjt ∂t ) = W ` (W r Γt + ∂` W t )Z k ∂˜k =

i j `r k ` Zt (Wi Wjr Γt`r

60

j

+

t t ˜ ∂` Wj )∂k .

(3) Ist D ein Zusammenhang auf M , dann ist die bereits definierte Torsion T (X, Y ) = DX Y − DY X − [X, Y ] 2

ein Tensorfeld T ∈ Γ(⊗21 T M ). Wie Vektorfelder kann man auch Tensoren kovariant differenzieren:

Definition (dualer Zusammenhang, Zusammenhang von Tensorbu ¨ ndeln) Ist D ein Zusammenhang auf der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M , so ist der duale Zusammenhang ein Differentialoperator D∗ : Γ(T M ) × Γ(T ∗ M ) → Γ(T ∗ M ), wobei D∗ Xω f¨ ur X ∈ Γ(T M ) und ω ∈ Γ(T ∗ M ) charakterisiert ist durch ∗ ∂X hω, Y i = hDX ω, Y i + hω, DX Y i

f¨ ur alle Y ∈ Γ(T M ).

Oft schreibt man einfach D statt D∗ Mit der Forderung der Derivationsregel DX (S ⊗ T ) = (DX S) ⊗ T + S ⊗ (DX T ) l¨asst sich daraus die kovariante Ableitung zu einem typerhaltenden Ableitungsoperator D auf allen Γ(⊗sr T M ) fortsetzen. Insbesondere k¨onnen wir dies mit dem Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Mannigfaltigkeit durchf¨ uhren und erhalten eine kovariante Ableitung D f¨ ur Tensorfelder, f¨ ur die alle nur w¨ unschbaren Produktregeln f¨ ur die Produkte h · , · i, ⊗ und g( · , · ) gelten. Letztere m¨ ussen wir noch definieren: Definition (induzierte Riemannsche Metriken fu ¨ r Tensoren) Die Riemannsche Metrik g einer Riemannschen Mannigfaltigkeit induziert Metriken auf ⊗sr T M , die in lokalen Koordinaten wie folgt definiert sind: F¨ ur S, T ∈ ⊗sr Tx M sei X X j1 ...jr r g(S, T ) := gi1 j1 . . . gir jr g k1 `1 . . . g ks `s Ski11...i ...ks T`1 ...`s . i1 ,...ir ,j1 ,...jr k1 ,...ks ,`1 ,...`s

Bemerkung: Mit Tensoren k¨onnen wir auch die “totale kovariante Ableitung” (insbesondere auch von Vektorfeldern) sauber definieren. Ist S ∈ Γ(⊗sr T M ), dann ist DS ∈ Γ(⊗s+1 r T M ) gegeben durch f¨ ur alle T ∈ Γ(⊗rs T M ).

hDS, X ⊗ T i = hDX S, T i

Beispiel: Als Beispiel differenzieren wir das Tensorfeld g auf M mit irgendeinem metrischen Zusammenhang (insbesondere z.B. dem Levi-Civita-Zusammenhang): (DX g)(Y, Z) = = = =

hDX g, Y ⊗ Zi ∂X hg, Y ⊗ Zi − hg, DX Y ⊗ Zi − hg, Y ⊗ DX Zi ∂X g(Y, Z) − g(DX Y, Z) − g(Y, DX Z) 0.

Wir halten also fest: F¨ ur jeden metrischen Zusammenhang ist Dg ≡ 0. 61

4.2

Der Riemannsche Kru ¨ mmungstensor

Es ist historisch gesehen ein Problem gewesen, Kr¨ ummung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ohne Bezug auf einen umgebenden Euklidischen Raum zu definieren. Fl¨achen im R3 haben eine sogenannte Gauß-Kr¨ ummung, die sehr anschaulich ist: In jedem Punkt hat die Fl¨ache eine Richtung gr¨oßter und eine Richtung kleinster Kr¨ ummung (gemessen als orientierte inverse Radien von ber¨ uhrenden Kreislinien); und Gauß bewies, dass ihr Produkt (die Gauß-Kr¨ ummung) allein durch die gij der Fl¨ache (die damals noch E, F und G hießen) ausgedr¨ uckt werden kann. Also ist das Produkt eine innere Eigenschaft der Fl¨ache, die nicht von ihrer Realisierung im Raum abh¨angt (das theorema egregium von Gauß). Folglich kann man zu einem Punkt x in einer Riemannschen Manigfaltigkeit (M, g) zwei Richtungen u, v ∈ Tx M vorgeben und das Bild von expx , eingeschr¨ankt auf den von u und v aufgespannten Unterraum von Tx M , ist eine Fl¨ache in M , deren Gauß-Kr¨ ummung man die Schnittkr¨ ummung zu x und der Ebene nennt. Dieses Konzept stammt von Christoffel (nur in einem sehr speziellen Fall von Riemann), und sp¨ater stellte sich heraus, dass die gesamte Information der Schnittkr¨ ummungen einer Mannigfaltigkeit in einem einzigen Tensor zusammengefasst werden k¨onnen: Definition (Kru ¨ mmungstensor) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der (Riemannsche) Kr¨ ummungstensor R ∈ Γ(⊗31 T M ) von M ist mit dem Levi-Civita-Zusammenhang D definiert durch R(X, Y )Z := DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z f¨ ur X, Y, Z ∈ Γ(T M ). (Oft wird dies auch mit −R bezeichnet. Die Schreibweise R(X, Y )Z hat historische Gr¨ unde.) R an der Stelle x ∈ M schreiben wir auch manchmal als Rx . Bemerkung: Die Definition behauptet, dass das so definierte R ein Tensor(feld) ist. Das ist noch zu zeigen, d.h. man muss sich (durch Nachrechnen mit den verschiedenen Produktregeln f¨ ur R und Lie-Klammer) davon u ¨berzeugen, dass R(X, Y )Z tats¨achlich linear (bzgl. Multiplikation mit Funktionen) von X, Y und Z abh¨angt: R(f X, Y )Z = Df X DY Z − DY Df X Z − D[f X,Y ] Z = f DX DY Z − DY (f DX Z) − Df [X,Y ]−(∂Y f )X Z = f DX DY Z − (∂Y f )DX Z − f DY DX Z − f D[X,Y ] Z + (∂Y f )DX Z = f R(X, Y )Z und analog f¨ ur R(X, f Y )Z, sowie R(X, Y )(f Z) = DX DY (f Z) − DY DX (f Z) − D[X,Y ] (f Z) = DX ((∂Y f )Z + f DY Z) − DY ((∂X f )Z + f DX Z) − (∂[X,Y ] f )Z − f D[X,Y ] Z = (∂X ∂Y f − ∂Y ∂X f − ∂[X,Y ] f )Z + f DX DY Z − f DY DX Z − f D[X,Y ] Z = f R(X, Y )Z. 62

Man braucht auch noch R(X + W, Y )Z = R(X, Y )Z + R(W, Y )Z und so weiter, aber das ist hier trivial. 2 Eine wichtige Symmetrie von R ist Proposition ((erste) Bianchi-Identit¨ at) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 f¨ ur alle X, Y, Z ∈ Γ(T M ). Beweis: R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z + DY DZ X − DZ DY X − D[Y,Z] X + DZ DX Y − DX DZ Y − D[Z,X] Y = DX [Y, Z] + DY [Z, X] + DZ [X, Y ] − D[Y,Z] X − D[Z,X] Y − D[X,Y ] Z = [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, 2

letzteres wegen der Jacobi-Identit¨at. Eine zweite Symmetrie folgt sofort aus der Definition, n¨amlich Proposition R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z

2

f¨ ur alle X, Y, Z ∈ Γ(T M ).

Weitere Symmetrien werden erst dann deutlich, wenn man g-Skalarprodukte mit Vektorfeldern betrachtet. Proposition (weitere Symmetrien von R) g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z), g(R(X, Y )Z, W ) = g(R(Z, W )X, Y ), f¨ ur alle X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ). Beweis: Die erste Gleichung folgt aus g(R(X, Y )T, T ) = 0 mit T := Z + W , und dies zeigt man wie folgt: g(R(X, Y )T, T ) = g(DX DY T, T ) − g(DY DX T, T ) − g(D[X,Y ] T, T ) = Xg(DY T, T ) − g(DY T, DX T ) − Y g(DX T, T ) + g(DX T, DY T ) 1 − [X, Y ]g(T, T ) 2 1 1 1 = X(Y g(T, T )) − Y (Xg(T, T )) − [X, Y ]g(T, T ) 2 2 2 = 0. 63

Hat man dies bewiesen, so schreibt man die erste Bianchi-Identit¨at in vier zyklisch permutierten Varianten auf, g(R(X, Y )Z, W ) + g(R(Y, Z)X, W ) + g(R(Z, X)Y, W ) g(R(Y, Z)W, X) + g(R(Z, W )Y, X) + g(R(W, Y )Z, X) g(R(Z, W )X, Y ) + g(R(W, X)Z, Y ) + g(R(X, Z)W, Y ) g(R(W, X)Y, Z) + g(R(X, Y )W, Z) + g(R(Y, W )X, Z)

= = = =

0, 0, 0, 0,

und summiert unter Beachtung aller schon bewiesenen Symmetrien: 2g(R(Z, X)Y, W ) + 2g(R(W, Y )Z, X) = 0, 2

woraus die zweite Gleichung mit der ersten folgt.

Nat¨ urlich wollen wir auch Formeln f¨ ur den Kr¨ ummungstensor in lokalen Koordinaten haben. Nach unserer Notation heißen die Komponenten bez¨ uglich Koordinatenvektorfeldern X ` Rijk ∂` , R(∂i , ∂j )∂k = `

so dass R(X, Y )Z =

X

` Rijk X i Y j Z k ∂` .

i,j,k,` ` Zur Berechnung der Rijk beachte einmal mehr, dass [∂i , ∂j ] ≡ 0. Wir finden

R(∂i , ∂j )∂k = Di Dj ∂k − Dj Di ∂k X  X  = Di Γsjk ∂s − Dj Γsik ∂s , s

s

was wir mit Produktregel und Definition der Γkij erneut durchdifferenzieren, um zu erhalten: Proposition (R in lokalen Koordinaten) X ` (Γsjk Γ`is − Γsik Γ`js ). Rijk = ∂i Γ`jk − ∂j Γ`ik + s

Schreiben wir g(R(∂i , ∂j )∂k , ∂` ) =

X

s g`s Rijk =: Rijk` ,

s

dann werden die oben bewiesenen Symmetrien von R durch die Formeln Rijk` + Rjki` + Rkij` = 0, Rijk` = −Rjik` , Rijk` = −Rij`k , Rijk` = Rk`ij 64

beschrieben. Man kann den Kr¨ ummungstensor “geometrisch” interpretieren als Parallelverschiebung l¨angs infinitesimalen Parallelogrammen: Satz (Geometrische Interpretation des Kru ¨ mmungstensors) Sei (M, g) Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zu gegebenen x ∈ M , u, v ∈ Tx M sei c : [0, 1]2 → M eine ∂c (0, 0) = u und ∂c (0, 0) = v. glatte Abbildung (mindestens C 2 ) mit c(0, 0) = x, ∂s ∂t Mit Φs,t : Tx M → Tx M bezeichnen wir f¨ ur s, t ∈ [0, 1] die Parallelverschiebung l¨angs der durch einfaches Durchlaufen von ∂([s, 0] × [0, t]) erhaltenen Kurve. Dann gilt (gleichm¨aßig in c, auf dessen Wahl es also nicht ankommt) f¨ ur alle w ∈ Tx M : 1 [Φs,t (w) − w]. s,t&0 st

Rx (u, v)w = − lim

Beweis: Mit Ψσ,τ s,t bezeichnen wir im Fall s = σ oder t = τ die Parallelverschiebung l¨angs der Kurve von c(s, t) nach c(σ, τ ), bei der der eine Parameter festgehalten wird. Dann wird durch s,0 W (s, t) := Ψs,t s,0 (Ψ0,0 (w)) ein Vektorfeld l¨angs c(s, t) (analog zu Vektorfeldern l¨angs Kurven) definiert. Aus dem Satz u ¨ber differenzierbare Abh¨angigkeit der L¨osungen von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen von den Anfangsdaten folgt, dass W so glatt wie c, insbesondere C 2 ist, und nach Definition von W ist D W = 0, ∂t 0,0 Ψ0,t (W (0, t)) = w, 0,0 Ψs,0 (W (s, 0)) = w, 0,t Ψ0,0 0,t (Ψs,t (W (s, t))) = Φs,t (w).

Wir berechnen (ab jetzt ohne Klammern f¨ ur die Ψ und Φ) Ψ0,0 0,t

also

1 D 0,0 W (s, t) = Ψ0,t lim [Ψ0,t W (s, t) − W (0, t)] s&0 ∂s |0 s s,t 1 0,t 0,0 = lim [Ψ0,0 0,t Ψs,t W (s, t) − Ψ0,t W (0, t)] s&0 s 1 = lim [Φs,t w − w], s&0 s

D D D ∂ ∂2 W (s, t) = Ψ0,0 W (s, t) = Φs,t w. ∂t |0 ∂s |0 ∂t |0 0,t ∂s |0 ∂t∂s (0,0)

Mit Φs,0 w = w = Φ0,t w und

∂ Φ w ∂t 0,t

Z Φσ,τ w − w = 0

τ

=

∂ w ∂t

= 0 ist andererseits in Tx M Z τZ σ 2 ∂ ∂ Φσ,t w dt = Φs,t w ds dt. ∂t 0 0 ∂s∂t 65

Wie W ist auch (s, t) 7→ Φs,t w mindestens C 2 . Deshalb (unter Benutzung von

D W ∂t

≡ 0)

1 ∂2 [Φs,t w − w] = Φs,t w s,t&0 st ∂s∂t |(0,0) DD = W ∂t ∂s |(0,0) D D D D − W = − ∂s ∂t ∂t ∂s |(0,0)  ∂c  ∂c = −Rx (0, 0), (0, 0) W (0, 0) ∂s ∂t = −Rx (u, v)w. lim

Hier haben wir benutzt, dass D D ∂s ∂t

−

 ∂c ∂c  D D Z = (R ◦ c) , Z ∂t ∂s ∂s ∂t

f¨ ur alle Vektorfelder Z und alle glatten c : [0, 1]2 → M gilt. Dies kann man in Koordinaten nachrechnen. 2

4.3

Schnittkru ¨ mmungen

Jetzt kommen wir zu den oben angek¨ undigten Schnittkr¨ ummungen: Definition (Schnittkru ¨ mmung) Es sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 2, x ∈ M und E ⊆ Tx M ein zweidimensionaler Unterraum. Ist {u, v} eine gx -Orthonormalbasis von E, so nennen wir K(E) = K(u, v) := gx (Rx (u, v)v, u) die (Riemannsche) Schnittkr¨ ummung von M bei x bez¨ uglich E. Proposition (Schnittkru ¨ mmung in irgendeiner Basis) Ist in der obigen Definition {a, b} irgendeine (nicht notwendigerweise orthonormale) Basis von E, so ist K(E) =

gx (Rx (a, b)b, a) =: K(a, b). |a|2 |b|2 − gx (a, b)2

Beweis: Falls {a, b} ONB ist, ist der Nenner 1, also passt die Formel mit der Definition zusammen. Um zu zeigen, dass sie f¨ ur irgendeine Basis gilt, erinnern wir daran, dass jede Basis von E in jede andere durch Hintereinanderausf¨ uhrung von Transformationen der Form {a, b} → {b, a} , {a, b} → {λa, b} , {a, b} → {a + λb, b} 66

u uhrt werden kann. Jede dieser Transformationen l¨asst aber K(a, b) invariant, wie ¨berf¨ man leicht sieht. 2 Bemerkung: Die Rechnung zeigt auch, dass es in der Definition der Schnittkr¨ ummung (wie dort suggeriert) tats¨achlich nicht auf die Auswahl der ONB ankommt. 2 Die Gesamtheit der Schnittkr¨ ummungen bestimmt den Riemannschen Kr¨ ummungstensor. Das folgt aus folgendem Lemma: Lemma Sei V ein Vektorraum der Dimension ≥ 2 mit einem Skalarprodukt h · , · i. Seien R, Q : V × V × V → V zwei trilineare Abbildungen, so dass r(x, y, z, w) := hR(x, y)z, wi,

und

q(x, y, z, w) := hQ(x, y)z, wi

dieselben Symmetrien erf¨ ullen wie R im vorigen Abschnitt. Falls q(x, y, y, x) r(x, y, y, x) = 2 2 2 2 2 |x| |y| − hx, yi |x| |y| − hx, yi2 f¨ ur alle x, y ∈ V , dann gilt r = q und folglich R = Q. Beweis: Die letzte Voraussetzung ist nat¨ urlich ¨aquivalent zu r(x, y, y, x) = q(x, y, y, x) f¨ ur alle x, y ∈ V . Es folgt r(x + z, y, y, x + z) = q(x + z, y, y, x + z), also (mit einer der Symmetrien) r(x, y, y, x) + 2r(x, y, y, z) + r(z, y, y, z) = q(x, y, y, x) + 2q(x, y, y, z) + q(z, y, y, z) und folglich r(x, y, y, z) = q(x, y, y, z) f¨ ur alle x, y, z ∈ V . Hier ersetzen wir y durch y + w und erhalten r(x, y + w, y + w, z) = q(x, y + w, y + w, z), also r(x, y, y, z) + r(x, y, w, z) + r(x, w, y, z) + r(x, w, w, z) = q(x, y, y, z) + q(x, y, w, z) + q(x, w, y, z) + q(x, w, w, z), woraus wieder mit der drittletzten Gleichung folgt, dass r(x, y, w, z) − q(x, y, w, z) = q(x, w, y, z) − r(x, w, y, z). 67

Mit einer der Symmetrien folgt r(x, y, w, z) − q(x, y, w, z) = r(w, x, y, z) − q(w, x, y, z) f¨ ur alle x, y, z, w ∈ V , d.h. die linke Seite ist invariant unter zyklischen Vertauschungen der ersten drei Variablen. Daraus folgt aber wegen der “dreifachen” Symmetrie, dass sie konstant 0 ist, und das ist die Behauptung. 2 Bemerkung: Das Lemma suggeriert die Existenz einer Formel f¨ ur Rx durch die Schnittkr¨ ummungen zu Ebenen in Tx M . Eine solche erh¨alt man durch rein kombi¨ natorische LA-Uberlegungen als X 24gx (Rx (u, v)w, z) = στ [gx (Rx (u+σz, v+τ w)v+τ w, u+σz) σ,τ =±1

− gx (Rx (u+σw, v+τ z)v+τ z, u+σw)]; 2

auf der rechten Seite stehen nur Schnittkr¨ ummungen.

Von geometrischem Interesse sollten die Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkr¨ ummung sein (d.h. alle Schnittkr¨ ummungen sind gleich einer fest gew¨ahlten Zahl K0 ). Ein erster Schritt zu deren Charakterisierung ist die folgende Proposition, die auf dem vorigen Lemma basiert: Proposition (Kru ¨ mmung von Mfgkten mit konstanter Schnittkru ¨ mmung) Genau dann hat (M, g) konstante Schnittkr¨ ummung K0 , wenn g(R(X, Y )Z, W ) = K0 (g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )) f¨ ur alle X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ) gilt, d.h. wenn Rijk` = K0 (δi` δjk − δik δj` ). Beweis: Es sei K(u, v) = K0 f¨ ur alle u, v ∈ Tx M , x ∈ M . Die Quadrilinearform Q(X, Y, Z, W ) := g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )) hat alle vier Symmetrien von g(R(X, Y )Z, W ) und erf¨ ullt außerdem Q(X, Y, Y, X) = g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )2 =

g(R(X, Y )Y, X) K0

woraus mit dem Lemma folgt, dass g(R(X, Y )Z, W ) = K0 Q(X, Y, Z, W ), 2

was zu beweisen war.

68

Beispiele: (0) Weil in Rn alle kovarianten Ableitungen (d.h. die Richtungsableitungen) vertauschen, ist der Riemannsche Kr¨ ummungstensor von Rn konstant 0, und Rn hat konstante Schnittkr¨ ummung 0. (1) Die Sph¨are S n hat ebenfalls konstante Schnittkr¨ ummung. Denn die Schnittkr¨ ummung ist (offensichtlich) invariant unter Isometrien. Es gibt aber zu je zwei Punkten a, b ∈ S n und je zwei Ebenen E ⊂ Ta S n , F ⊂ Tb S n eine orthogonale Abbildung L : S n → S n mit L(a) = b und dL(a)E = F . Folglich sind alle Schnittkr¨ ummungen gleich; nennen wir ihren Wert K0 , also g(R(X, Y )Z, W ) = K0 ((X · W )(Y · Z) − (X · Z)(Y · W )). Aber um K0 zu berechnen, m¨ ussen wir doch die Definition von R bem¨ uhen. Dabei erinnern wir daran, dass DY X die Projektion von ∂Y X auf die Tangentialr¨aume ist. Dazu sei N (x) := x das “¨außere Normalenvektorfeld” auf S n , P die Projektion P V := V − (N · V )N, dann ist DX Y = P ∂X Y = ∂X Y − (N · ∂X Y )N. F¨ ur differenzierbare X, Y, Z ∈ Γ(T M ) folgt R(X, Y )Z = DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z = DX [∂Y Z − (N · ∂Y Z)N ] − DY [∂X Z − (N · ∂X Z)N ] − P ∂[X,Y ] Z = P [−(∂X N · ∂Y Z)N − (N · ∂Y Z)∂X N +(∂Y N · ∂X Z)N + (N · ∂X Z)∂Y N ] (wegen ∂X ∂Y − ∂Y ∂X − ∂[X,Y ] = 0, zweimal angewendet) = −(N · ∂Y Z)P ∂X N + (N · ∂X Z)P ∂Y N (wegen P N = 0) = −(N · ∂Y X)P X + (N · ∂X Y )P Y = (∂Y N · Z)X − (∂X N · Z)Y = (Y · Z)X − (X · Z)Y. Das bedeutet g(R(X, Y )Z, W ) = (Y · Z)(X · W ) − (X · Z)(Y · W ), folglich hat S n konstante Schnittkr¨ ummung 1. (2) Der hyperbolische Raum H n hat aus denselben Gr¨ unden konstante Schnittkr¨ ummung. Den Kr¨ ummungstensor berechnet man v¨ollig analog zu dem der Sph¨are; man muss nur das Skalarprodukt den umgebenden Rn+1 durch das hyperbolische Skalarprodukt (x, y)h := x1 y1 + . . . + xn yn − xn+1 yn+1 ersetzen und erh¨alt R(X, Y )Z = (X, Z)h Y − (Y, Z)h X. 69

(3) Man kann zeigen (vielleicht werden wir das noch tun), dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkr¨ ummung lokal isometrisch zu Rn oder skalierten n n Versionen von S oder H ist. 2 Die geometrische Interpretation der Schnittkr¨ ummungen ist etwas indirekt; hier ist eine weitere, die auch ohne Kenntnis klassischer Differentialgeometrie einleuchtet: Proposition (Schnittkru angen-/Fl¨ achenmessung) Sei x ∈ M , ¨ mmung und L¨ E E E ⊂ Tx M eine Ebene, Sr (x) und Br (x) seien die Sph¨aren bzw. Kugeln um x mit Radius r < r0 in der zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit expx {v ∈ E : |v| < r0 }. Dann ist die Schnittkr¨ ummung K(E) charakterisiert durch   K(E) 2 E 2 r + o(r ) , L¨angeg (Sr (x)) = 2πr 1 − 6   K(E) 2 Fl¨acheg (BrE (x)) = πr2 1 − r + o(r2 ) . 12 Beweis(skizze): In Riemannschen Normalkoordinaten zu x vereinfacht sich die Berechnung der Rijk` an der Stelle x (und i.a. nur dort!) zu Rijk` (x) = ∂j ∂` gik (x) − ∂j ∂k gi` (x) bzw.

 1 Rikj` (x) + Rjki` (x) . 3 Wir w¨ahlen die Normalkoordinaten so, dass E von ∂1 (x) und ∂2 (x) aufgespannt wird, dann liefert uns Taylor-Entwicklung der gij ∂k ∂` gij (x) =

1 R1212 (x)(u2 )2 + o(|u|2 ) 3 K(E) 2 2 1− (u ) + o(|u|2 ), 3 1 1 + R2121 (x)(u1 )2 + o(|u|2 ) 3 K(E) 1 2 (u ) + o(|u|2 ), 1− 3  1 R1221 (x) + R2112 (x) u1 u2 + o(|u|2 ) 6 K(E) 1 2 u u + o(|u|2 ). 3

g11 (u1 , u2 , 0) = 1 + = g22 (u1 , u2 , 0) = = g12 (u1 , u2 , 0) = =

F¨ ur die Fl¨achenberechnung brauchen wir die Jacobische J(u1 , u2 ) = [g11 (u1 , u2 , 0)g22 (u1 , u2 , 0) − g12 (u1 , u2 , 0)2 ]1/2 h i1/2 K(E) 1 2 = 1− ((u ) + (u2 )2 ) + o(|u|2 ) 3 K(E) 1 2 = 1− ((u ) + (u2 )2 ) + o(|u|2 ). 6 70

Damit ist Fl¨acheg (BrE (x))

Z

J(u1 , u2 ) du1 du2

= (u1 )2 +(u2 )2 ≤r2

Z

2π

Z rh

i K(E) 2 ρ + o(ρ2 ) ρ dρ dϑ 6 0 0   K(E) 2 2 2 = πr 1 − r + o(r ) . 12 =

1−

¨ Ahnlich wird die L¨ange der Kreislinien integriert: Z 2π d E L¨angeg (Sr (x)) = expx (r cos ϑ, r sin ϑ, 0) dϑ dϑ g 0 = ...   K(E) 2 = 2πr 1 − r + o(r2 ) , 6 2

mit Details, die nur Geduld erfordern.

4.4

Ricci-Kru ¨ mmung und Skalarkru ¨ mmung

Durch Spurbildung erh¨alt man aus dem Riemannschen Kr¨ ummungstensor zwei weitere wichtige Kr¨ ummungsgr¨oßen, die nur einen (wichtigen) Teil der Information u ¨ber die Kr¨ ummung beinhalten: Definition (Ricci-Kru ¨ mmung, Skalarkru ¨ mmung) Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit, x ∈ M , und {ei } eine ONB von Tx M . Dann heißt X Ricx (u, v) := gx (Rx (u, ei )ei , v) i

f¨ ur u, v ∈ Tx M die Ricci-Kr¨ ummung von M in x. Die Koeffizienten von Ricx bez¨ uglich lokalen Koordinatenvektorfeldern ∂i werden mit Rij (x) bezeichnet. Die Spur X X X S(x) := Ricx (ej , ej ) = gx (Rx (ej , ei )ei , ej ) = K(ei , ej ) j

i,j

i6=j

heißt Skalarkr¨ ummung von M in x (oft auch mit R bezeichnet). Vorsicht! W¨ahrend u ¨ber die Vorzeichen von Ric und S ausnahmsweise einmal Einigkeit besteht, definieren viele Autoren diese Gr¨oßen alsPMittelwerte statt als Spuren, d.h. P 1 Ricx (u, v) = n−1 i gx (Rx (u, ei )ei , v) und S(x) = n1 j Ricx (ej , ej ) f¨ ur n := dim M . 2 Bemerkung: Da Ric als Tensor vom selben Typ ist wie g, ist es eine interessante Frage, f¨ ur welche Mannigfaltigkeiten Ric = λg ist f¨ ur ein λ ∈ R. Solche Mannigfaltigkeiten heißen Einstein-Mannigfaltigkeiten. 2 71

4.5

Jacobi-Felder

In diesem Abschnitt geht es um den Zusammenhang zwischen Kr¨ ummung und Geod¨atischen. Grob gesagt bestimmt die Schnittkr¨ ummung in x zu E, wie schnell sich Geod¨atische mit Startpunkt x und Anfangsvektoren in E voneinander entfernen. Wie fr¨ uher im Beweis des Gauß-Lemmas betrachten wir zu x ∈ M (M eine Riemannsche Manigfaltigkeit) und v ∈ Tx M , w ∈ Tv (Tx M ) = Tx M die parametrisierte Fl¨ache f : [−ε, ε] × [0, 1] → M mit f (s, t) := expx (t(v + sw)) mit ε und |v| klein genug, dass f definiert ist. Dann ist d expx (tv)tw =

∂f (0, t) =: J(t) ∂s

ein Vektorfeld l¨angs der Geod¨atischen c(t) := f (0, t) = expx (tv). Es misst, intuitiv gesprochen, die Rate, mit der die Geod¨atischen f (s, · ) nahe s = 0 (d.h. nahe c) auseinanderstreben. Weil f (s, · ) f¨ ur alle s Geod¨atische ist, gilt D ∂f =0 ∂t ∂t und deshalb (mit der Formel f¨ ur das Vertauschen von kovarianten Ableitungen aus dem vorletzten Abschnitt und der aus dem Beweis des Gauß-Lemmas bekannten Identit¨at D ∂f D ∂f = ∂s ) ∂t ∂s ∂t  ∂f ∂f  ∂f D D ∂f D D ∂f 0= = +R , . ∂s ∂t ∂t ∂t ∂t ∂s ∂s ∂t ∂t F¨ ur das Vektorfeld J l¨angs c haben wir damit (setze s = 0) die Differentialgleichung D2 J(t) + R(J(t), c0 (t))c0 (t) = 0 dt2 hergeleitet. Diese Differentialgleichung heißt die Jacobi-Gleichung. Definition (Jacobi-Feld) Sei c : [0, a] → M Geod¨atische im M . Ein Vektorfeld J l¨angs c heißt Jacobi-Feld, wenn es die Jacobi-Gleichung auf [0, a] l¨ost. Jacobi-Felder stellen wir uns nach der Herleitung als “Variationsvektorfelder zu Variationen durch Geod¨atische” vor. Ein Jacobi-Feld J ist durch die Anfangsdaten J(0) und DJ (0) (wof¨ ur wir ¨ofters J 0 (0) schreiben werden) eindeutig bestimmt. Um “Kodt ordinatenformeln” zu erhalten, w¨ahlen wir orthonormale Vektorfelder ei l¨angs c, i = 1, . . . n := dim M , und schreiben X J(t) = J i (t)ei (t), aij (t) := gc(t) (Rc(t) (ei (t), c0 (t))c0 (t), ej (t)). i

72

Damit transformiert sich die Jacobi-Gleichung zu einem linearen Dgl.-System zweiter Ordnung: X (J j )00 (t) + aij (t)J i (t) = 0, f¨ ur k = 1, . . . , n. i

Dies ist f¨ ur jedes Paar von (jeweils n-dimensionalen) Anfangsdaten eindeutig und glatt l¨osbar, und die L¨osungen bilden einen 2n-dimensionalen Vektorraum. Bemerkung: Es gibt also zu jeder Geod¨atischen c : [0, a] → M einen 2n-dimensionalen Vektorraum von Jacobi-Feldern l¨angs c. Dieser enth¨alt allerdings auch die beiden trivialen Jacobi-Felder J(t) = c0 (t) und J(t) = tc0 (t), die keine neue geometrische Information enthalten. Von Interesse sind nur die Jacobi-Felder, die senkrecht zu c0 sind. (Tats¨achlich ist jedes Jacobi-Feld mit J 0 (0) ⊥ c0 (0) schon u ¨berall senkrecht zu c0 .) Und sie passen nur dann zur Einleitung, wenn J(0) = 0. Wir haben also effektiv einen (n−1)-dimensionalen Vektorraum von Jacobi-Feldern, die uns interessieren. (Aus Dimensionsgr¨ unden folgt auch, dass alle Jacobi-Felder mit J(0) = 0 und J ⊥ c0 aus der in der Einleitung beschriebenen Konstruktion hervorgehen.) 2 Aus der Bemerkung (zusammen mit der Einleitung) halten wir fest: Korollar Sei c : [0, a] → M eine Geod¨atische. Das Jacobi-Feld l¨angs c mit J(0) = 0 und gegebenem J 0 (0) ∈ Tx M ist gegeben durch J(t) = d expx (tc0 (0))(tJ 0 (0)) 2

f¨ ur t ∈ [0, a].

Beispiel: Auf Mannigfaltigkeiten M konstanter Schnittkr¨ ummung K0 lassen sich die Jacobi-Felder explizit bestimmen. Sei c : [0, `] → M eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte (|c0 |g ≡ 1) Geod¨atische. Sei J ein Jacobi-Feld senkrecht zu c0 . Nach dem Satz u ummungstensor von Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkr¨ ummung ¨ber den Kr¨ ist g(R(J, c0 )c0 , W ) = K0 [g(c0 , c0 )g(J, W ) − g(c0 , W )g(c0 , J)] = K0 g(J, W ) und deshalb R(J, c0 )c0 = K0 J. Damit vereinfacht sich die Jacobi-Gleichung zu D2 J + KJ = 0. dt2 Hierzu kann man die L¨osungen einfach hinschreiben: Sei w ⊥ c0 ein paralleles Vektorfeld l¨angs c. Dann ist √  sin(t K0 )  falls K0 > 0,  √K0 w(t), tw(t), falls K0 = 0, J(t) = √  −K0 )  sinh(t √ w(t), falls K0 < 0, −K0 die L¨osung der Jacobi-Gleichung mit Anfangsbedingungen J(0) = 0, J 0 (0) = w(0). 2 73

Der Betrag der Jacobi-Felder (also das Maß, wie schnell die Geod¨atischen von x auseinanderdriften) h¨angt mit der Kr¨ ummung wie folgt zusammen: Proposition (Betrag von Jacobi-Feldern) Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit, c : [0, a] → M Geod¨atische, x := c(0), v := c0 (0), w ∈ Tv (Tx M ) = Tx M , |w| = 1. Dann gilt f¨ ur das Jacobi-Feld l¨angs c, das durch J(t) = d expx (tv)tw gegeben ist, die Taylor-Entwicklung |J(t)|2 = t2 −

1 g(R(w, v)v, w)t4 + o(t4 ). 3

Beweis: Zur Abk¨ urzung schreiben wir 0 auch f¨ ur kovariante Ableitungen und h , i f¨ ur 0 2 g. Wegen J(0) = 0 und J (0) = w mit |w| = 1 ist hJ, Ji(0) = 0, hJ, Ji0 (0) = 2hJ, J 0 i(0) = 0, hJ, Ji00 (0) = 2hJ 0 , J 0 i(0) + 2hJ 00 , Ji(0) = 2. Unter Benutzung von J 00 (0) = −R(J, c0 )c0 (0) = 0 gilt weiter hJ, Ji000 (0) = 6hJ 0 , J 00 i(0) + 2hJ 000 , Ji(0) = 0. F¨ ur die vierte Ableitung ben¨otigen wir Dc0 (R(J, c0 )c0 )(0) = R(J 0 , c0 )c0 (0), was man wie folgt sieht: Bei t = 0 gilt h(R(J, c0 )c0 )0 , W i = hR(W, c0 )c0 , Ji0 − hR(J, c0 )c0 , W 0 ) = h(R(W, c0 )c0 )0 , Ji + hR(W, c0 )c0 , J 0 i = hR(J 0 , c0 )c0 , W i, f¨ ur alle W , woraus man die vorletzte Gleichung abliest. Aus dieser folgt J 000 (0) = −R(J 0 , c0 )c0 (0) und damit hJ, Ji0000 (0) = 6hJ 00 , J 00 i(0) + 8hJ 000 , Ji(0) + 2hJ 0000 , Ji(0) = −8hR(J 0 , c0 )c0 , J 0 i(0) = −8hR(w, v)v, wi. Mit dem Satz von Taylor folgt die Behauptung.

74

2

Korollar Ist zus¨atzlich |v| = 1 (d.h. c nach der Bogenl¨ange parametrisiert) und g(v, w) = 0 (beides ist keine Beschr¨ankung der Allgemeinheit, s.o.), dann gilt |J(t)|2 = t2 −

1 K(v, w)t4 + o(t4 ) 3

und folglich |J(t)| = t −

1 K(v, w)t3 + o(t3 ). 6

Wir hatten schon von “ersten konjugierten Punkten” entlang Geod¨atischen gesprochen; das waren Punkte, an denen die Exponentialabbildung aufh¨ort vollen Rang zu haben. Jetzt betrachten wir diese konjugierten Punkte genauer, wobei wir bald sehen werden, wie die neue Definition mit der alten zusammenpasst: Definition (konjugierte Punkte) Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit, c : [0, a] → M Geod¨atische. F¨ ur t0 ∈ ]0, a] heißt c(t0 ) konjugiert zu c(0) l¨angs c, falls es ein nicht identisch verschwindendes Jacobi-Feld J l¨angs c gibt mit J(0) = 0 = J(t0 ). Die JacobiFelder mit dieser Eigenschaft bilden einen Vektorraum, dessen Dimension die Vielfachheit des konjugierten Punkts c(t0 ) heißt. Bemerkung: Aus der Dimensions¨ uberlegung weiter oben und der Tatsache, dass das triviale Jacobi-Feld tc0 (t) außer 0 keine Nullstellen hat, folgt, dass die Vielfachheit eines kritischen Punktes nie gr¨oßer als dim M − 1 ist. 2 Beipiel: Wir wissen bereits, dass alle Schnittkr¨ ummungen von S n gleich 1 sind. Damit folgt aus dem vorigen Beispiel, dass die Jacobi-Felder mit J(0) = 0 und J 0 (0) ⊥ c0 (0) durch J(0) = J 0 (0) sin t gegeben sind. (J 0 (0) als konstanter Vektor in Rn+1 definiert ein paralleles Vektorfeld l¨angs c.) Alle diese Felder haben bei π ihre erste Nullstelle in R>0 , folglich ist c(π) = −c(0) der erste konjugierte Punkt mit der Vielfachheit n−1. Weitere Nullstellen von J liegen bei allen Vielfachen von π, aber diese entsprechen immer wieder den beiden Punkten ±c(0). 2 Definition (konjugierter Ort) Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit, x ∈ M . Der konjugierte Ort zu x ist die Menge der ersten konjugierten Punkte zu x l¨angs allen Geod¨atischen, die bei x starten. Beispiel: Nach dem vorigen Beispiel ist der konjugierte Ort von x ∈ S n die Menge {−x}. Dies ist in zweierlei Hinsicht untypisch: In den meisten Mannigfaltigkeiten ist der (oft schwer zu berechnende) konjugierte Ort typischerweise “(n−1)-dimensional”. Außerdem unterscheidet sich der konjugierte Ort meistens (anders als hier) vom Schnit¨ tort (wie Beispiele aus den Ubungen zeigen). 2 Jetzt wird klar, dass beide Definitionen des ersten konjugierten Punktes dasselbe liefern: 75

Satz (Exponentialabbildung und Jacobi-Felder) Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit, c : [0, a] → M Geod¨atische mit c(0) =: p. Der Punkt q := c(t0 ) mit t0 ∈ ]0, a] ist konjugiert zu p l¨angs c, genau wenn t0 c0 (0) kritischer Punkt von expp ist. Ferner ist die Vielfachheit von q als konjugierter Punkt von p l¨angs c gleich der Dimension des Kerns von d expp (t0 c0 (0)). Beweis: Genau dann ist q konjugiert zu p l¨angs c, wenn ein Jacobi-Feld J 6≡ 0 l¨angs c mit J(0) = 0 = J(t0 ) existiert. Setze v := c0 (0), w := J 0 (0). Wegen J(t) = d expp (tv)tw f¨ ur t ∈ [0, a] ist J 6≡ 0 genau wenn w 6= 0. Folglich ist q genau dann konjugiert zu p, wenn 0 = J(t0 ) = d expp (to v)t0 w, w 6= 0, also genau wenn t0 v kritischer Punkt von expp ist. Das beweist die erste Behauptung. Die zweite folgt aus dem gerade durchgef¨ uhrten Beweis, wenn man bedenkt, dass J1 , . . . , Jk (mit obigen Eigenschaften) genau dann linear unabh¨angig sind, wenn 2 J10 (0), . . . , Jk0 (0) das sind.

4.6

Der Satz von Hadamard/Cartan

Der Satz von Hadamard ist das erste Beispiel eines Satzes, bei dem aus einer Kr¨ ummungsvoraussetzung (die der Natur nach lokal ist) eine (globale) Aussage u ¨ber die Topologie einer Mannigfaltigkeit folgt: Satz (Hadamard/Cartan) Sei M einfach zusammenh¨angende (geod¨atisch) vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkr¨ ummungen K(E) ≤ 0 f¨ ur alle Ebenen E ⊆ Tx M und alle x ∈ M . Dann ist M diffeomorph zu Rn , n := dim M , und f¨ ur jedes n ∼ x ∈ M ist expx ein Diffeomorphismus zwischen R = Tx M und M . ¨ Ist M nicht einfach zusammenh¨angend, so ist expx eine Uberlagerung Rn → M . Im Beweis wird auf zwei (auch f¨ ur sich gesehen interessante) Lemmata zur¨ uckgegriffen: Lemma Sei M vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit und alle Schnittkr¨ ummungen ≤ 0. Dann gibt es keine konjugierten Punkte l¨angs Geod¨atischen; insbesondere ist expx f¨ ur alle x ∈ M ein lokaler Diffeomorphismus. Beweis: Sei J 6≡ 0 mit J(0) = 0 ein Jacobi-Feld l¨angs einer Geod¨atischen c : [0, ∞[ → M mit c(0) = x. Unter Benutzung der Kr¨ ummungsvoraussetzung und der JacobiGleichung folgt 2

(|J|2g )00 = 2| DJ |2 + 2g( Ddt2J , J) dt g = 2| DJ |2 − 2g(R(J, c0 )c0 , J) dt g |2 − 2K(c0 , J)[|c0 |2g |J|2g − g(c0 , J)2 ] = 2| DJ dt g ≥ 0. 76

uhere Proposition) folgt, dass J außer 0 Zusammen mit J(0) = 0 und (|J|2g )0 (0) = 0 (fr¨ keine Nullstellen haben kann, und damit die Behauptung. 2 Lemma Sei M vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit und f : M → N surjektiver lokaler Diffeomorphismus auf die Riemannsche Mannigfaltigkeit N mit folgender Eigenschaft: F¨ ur alle x ∈ M und alle v ∈ Tx M gilt |df (x)v| ≥ |v|. Dann ist f eine ¨ Uberlagerung. Beweis: Nach dem Satz aus Abschnitt 2.3 gen¨ ugt es zu zeigen, dass f die LiftEigenschaft hat, d.h. dass zu jeder Kurve c : [0, 1] → N und jedem a ∈ M mit f (a) = c(0) eine Kurve c˜ : [0, 1] → M existiert mit c˜(0) = a und p ◦ c˜ = c. Da f lokaler Diffeomorphismus ist, gibt es zu einem ε > 0 einen Lift c˜ von c eingeschr¨ankt auf [0, ε], und die maximale Menge, auf der das geht, ist rechts offen (relativ offen in [0, 1]), d.h. c : [0, t0 [ → M kann sogar geliftet werden (mit maximalem t0 , falls t0 < 1). K¨onnen wir den Lift zu einem Lift auf [0, t0 ] fortsetzen, so haben wir gezeigt, dass t0 = 1 sein muss und sind fertig. Sei tn % t0 steigende Folge in ]0, 1[ . Dann ist die Folge (˜ c(tn ))n∈N beschr¨ankt in M , denn ansonsten d(˜ c(tn ), c˜(0)) bei n → ∞ beliebig groß w¨ urde; das wiederum w¨ urde wegen der Voraussetzung bedeuten, dass Z tn L(c|[0,tn ] ) = |c0 (t)| dt Z0 tn |df (˜ c(t))˜ c0 (t)| dt = Z0 tn |˜ c0 (t)| dt ≥ 0

≥ d(˜ c(tn ), c˜(0)) → ∞, ein Widerspruch. Folglich verl¨auft die Folge (˜ c(tn ))n∈N in einer kompakten (benutze Vollst¨andigkeit von M ) Teilmenge von M und hat einen H¨aufungspunkt p ∈ M . Fortsetzung von c˜ durch c˜(t0 ) := p gibt die gesuchte Fortsetzung auf [0, t0 ] als Lift von c.2 Beweis des Satzes von Hadamard (dim M = 2, 1898) und Cartan: Da (M, g) vollst¨andig ist, ist f¨ ur beliebig gew¨ahltes x ∈ M die Exponentialabbildung expx : Tx M → M definiert und surjektiv (nach dem Satz von Hopf/Rinow); außerdem ist expx lokaler Diffeomorphismus nach dem vorletzten Lemma. Wir k¨onnen deshalb Tx M mit einer Riemannschen Metrik γ versehen, so dass expx : (Tx M, γ) → (M, g) lokale Isometrie ist, n¨amlich γξ (u, v) := gexpx (ξ) (d expx (ξ)u, d expx (ξ)v) f¨ ur ξ ∈ Tx M , u, v ∈ Tξ Tx M (die von (M, g) mit expx zur¨ uckgeholte Metrik auf Tx M ). F¨ ur diese Metrik sind die Geod¨atischen durch 0 ∈ Tx M immer noch die Geraden durch 0, folglich ist (Tx M, γ) vollst¨andig (wieder nach Hopf/Rinow). Deshalb ist nach dem vorigen Lemma ¨ expx eine Uberlagerung. Ist M einfach zusammenh¨angend, dann folgt aus dem letzten 77

Lemma von Abschnitt 2.3, dass expx sogar Diffeomorphismus ist.

2

Bemerkung: Wir haben sogar etwas mehr gezeigt als nur den Satz: Ist M vollst¨andige einfach zusammenh¨angende Riemannsche Mannigfaltigkeit und hat nur ein Punkt x ∈ M keine konjugierten Punkte, dann ist M schon diffeomorph zu Rn (n = dim M ).2

4.7

Kru atstheorie ¨ mmung in der Allgemeinen Relativit¨

In diesem Kapitelchen, das ich nicht in das Skript integrieren werde, erz¨ahle ich ansatzweise, welche Rolle die Kr¨ ummung von Lorentz-Mannigfaltigkeiten in der Relativit¨atstheorie spielt. Der interessierte Leser sei auf das (sehr sch¨one und von der Notation gut zur Vorlesung passende) Buch Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff verwiesen.

78