Skript zur Versicherungsmathematik I und II
Manfred Riedel
2
Inhaltsverzeichnis 0 1
2
3
4
5
Einführung
5
Zinsrechnung
7
= >
1.1
Fall 1: Zinsperiode
Konversionsperiode
. . . . . . . . . . . . .
Konversionsperiode
7
1.2
Fall 2: Zinsperiode
1.3
Kontinuierlicher Fall
1.4
Vorschüssiger Zins
1.5 1.6
Zeitrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.7
Renditenzinssatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.8
Sparpläne und Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Ewige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Lebensdauerverteilung
15
2.1
Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Gestutzte Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Charakterisierungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4
Populationsmodell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Kapitalversicherungen
23
3.1
Einführung und einfache Beispiele
. . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Stetiger Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Allgemeine Todesfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.4
Einige Standardtypen
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leibrenten
33
4.1
Zeit- und Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2
Die einfachsten Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3
Allgemeine Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.4
Varianzen von Leibrenten
4.5
Einige Standardtypen
4.6
Rekursionsformeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Prämienberechnung
47
5.1
Nettoprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2
Berechnung weiterer Nettoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.3
Prämienrückgewähr
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4
6
7
8
INHALTSVERZEICHNIS
Das Nettodeckungskapital
55
6.1
De nition des Deckungskapitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.2
Das Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.3
Die Zuteilung des Verlustes
62
6.4
Der technische Gewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.5
Das kontinuierliche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene Ausscheideursachen
75
7.1
Das Modell
75
7.2
Ganzzahlige Lebensdauer
7.3
Deckungskapital
7.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Das kontinuierliche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Versicherungen auf mehrere Leben
83
8.1
Zustand mehrerer Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
8.2
Der Zustand des letzten Lebens . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
8.3
Formel von Schuette-Nesbitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
8.4
Der allgemeine Zustand
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 0
Einführung Versicherungsmathematik 1762: englisches Versicherungsunternehmen kalkuliert erstmalig Prämien. Bis zum 20. Jahrhundert: deterministische Modelle letzten 60-70 Jahre neue Gebiete: Krankenversicherungsmathematik Unfallversicherungsmathematik Pensionsversicherungsmathematik Kraftfahrzeugversicherungsmathematik Feuerversicherungsmathematik Rückversicherungsmathematik Hauptsächlich werden hierbei Methoden der Stochastik und der Entscheidungstheorie benutzt. Die Methodik dieser Versicherungen wird in der Risikotheorie behandelt. Gliederung der Versicherungsmathematik:
•
Personenversicherung: Leben, Unfall, Kranken
•
Sachversicherung: See, Hagel, Feuer, Kasko, Sturm
•
Haftp ichtversicherung
•
Sonderfälle: Luftfahrt, Kredit
•
Rückversicherung
Andere Gliederung: Leben-Versicherungsmathematik (Lebensversicherungen):
•
Anzahl der Schäden
•
feste Höhe der Schäden
•
zufällige Zeitpunkte der Schäden
N = 0, 1 X
Nichtleben-Versicherungsmathematik (Sachversicherungen):
•
zufällige Anzahl der Schäden
N 5
6
KAPITEL 0.
•
zufällige Höhe der Schäden
•
zufällige Zeitpunkte der Schäden
EINFÜHRUNG
X
Beispiel 0.0.1 Temporäre Todesfallversicherung. Eine Person des Alters
x
schlieÿt folgende Versicherung ab:
Sie zahlt dem Versicherer einen Betrag
b
monatlich und erhält die Zusicherung,
dass ihre Erben am Ende ihres Todesjahres, das erhalten. Wird sie älter als
x+n
≤ x+n
ist, den Betrag
s
Jahre, so erhält sie nichts.
Diese Versicherung ist auch als Risikolebensversicherung bekannt. In diesem Fall gilt:
N =0
oder
N =1
sowie
X=0
oder
X = s.
Zufällig ist nur der Zeitpunkt des Todes. 1-Jahresversicherung:
X = sN S - Beitrag der Versicherung N - Indikator für die Fälligkeit der Versicherung X - Schadenshöhe 1 wenn Versicherungsnehmer nicht N= 0 wenn Versicherungsnehmer
überlebt überlebt
P (N = 1) = q , P (S = s) = 1 EX = sq;
V arX = s2 q(1 − q).
Probleme der Versicherungsmathematik (1) Einschätzung der Lebensdauerverteilung (2) Festlegung der Prämienhöhe (3) Rückstellungen der Versicherungsunternehmer (4) Mehrere Ausscheideursachen (5) Kollektive Versicherungen Wichtige Charakteristika:
•
Lebensdauerverteilung
•
Prämien
•
Deckungskapital
2
Kapitel 1
Zinsrechnung Grundbegrie:
•
Zinssatz
•
Zinsperiode
•
Konversionsperiode
1.1 Fall 1: Zinsperiode = Konversionsperiode Fk Stand des Fonds am Ende des k-ten i eektiver jährlicher Zinssatz rk Zahlung im k-ten Jahr (am Ende)
Jahres
Rekursion:
Fk = Fk−1 + iFk−1 + rk = (1 + i)Fk−1 + rk , Fn = (1 + i)n F0 +
n X
k = 1, 2, ..., n
(1 + i)n−k rk
k=1
Fn
Endwert
Spezialfälle:
rk = 0 Fn = (1 + i)n F0
1+i 1 v = 1+i
Aufzinsfaktor Abzinsfaktor,
i=
1−v v
n
B0 = v Fn = F0 +
n X
v k rk
k=1
B0
Barwert
Andere Interpretation: Rückzahlung einer Schuld S.
Fn = 0,
F0 = −S .
Somit gilt
S=
n X k=1 7
v k rk
(1.1.1)
8
KAPITEL 1.
−Fk =: Sk
wird als Restschuld zum Zeitpunkt
k
ZINSRECHNUNG
de niert. Deshalb erhalten wir
aus (1.1.1)
Sj = v −j S −
j X
v k−j rk =
k=1
n X
v k−j rk −
k=1
j X
v k−j rk
k=1 n X
=
v k−j rk
k=j+1
Beispiel 1.1.1
S = 1.
Es gelte
rk = i, k = 1, 2, ..., n − 1,
rn = C
1 = iv(1 + v + v 2 + ... + v n−2 ) + v n C = iv
1 − v n−1 + v n C = 1 − v n−1 + v n C = 1 + v n−1 (vC − 1) 1−v
Folglich
C =1+i Beispiel 1.1.2
S = 1,
Es gelte
rk = C, k = 1, 2, ..., n. Dann haben wir
1 = Cv(1 + v + v 2 + ... + v n−1 ) = Cv
1 − vn 1−v
Folglich
C= C
1−v i(1 + i)n = (1 − v n )v (1 + i)n − 1
Annuität
1.2 Fall 2: Zinsperiode > Konversionsperiode m Anzahl der Konversionsperioden i eektiver jährlicher Zinssatz i(m) nomineller Zinssatz pro Jahr
pro Jahr
i(m) m nomineller Zinssatz pro Konversionsperiode Zusammenhang: (m) m
1+
i
m
=1+i
Folglich
i(m) = m[(1 + i)1/m − 1] Bekanntlich ist
y = f (x) =
ex − 1 x
1.3.
KONTINUIERLICHER FALL
9
monoton wachsend. Deshalb ist
i(m) = ln(1 + i)f
ln(1 + i) m
monoton fallend. Somit gilt
lim i(m) = ln(1 + i) =: δ.
m→∞
δ
heiÿt Zinsintensität. Es gilt
eδ = 1 + i bzw.
e−δ = v.
1.3 Kontinuierlicher Fall F (t) Fondsfunktion r(t) momentane Zahlungsintensität δ(t) momentane Zinsintensität Betrachtung für das Intervall [t, t + dt] dF (t) = F (t)δ(t)dt + r(t)dt + o(dt) Folglich
F 0 (t) = F (t)δ(t) + r(t), was umgeschrieben werden kann:
d − [e dt
Rt 0
δ(u) du
−
F (t)] = e
Rt 0
δ(u) du
r(t).
Folglich
−
e
Rh 0
δ(u) du
h
Z F (h) − F (0) =
−
e
Rt 0
δ(u) du
r(t) dt.
0 Hieraus ergibt sich für
r(t) = 0 Rh − δ(u) du e 0 F (h) = F (0),
d. h für den Barwert gilt
−
B0 = e
Rh 0
δ(u) du
h
Z F (h) = F (0) +
−
e
Rt 0
δ(u) du
r(t) dt.
0 Analog erhalten wir für den Endwert:
Z Rh δ(u) du 0 F (h) = e F (0) +
h
Rh δ(u) du e t r(t) dt.
0 Spezialfall
δ(t) = δ F (h) = ehδ F (0) + eδh
Z 0
h
e−δt r(t) dt.
10
KAPITEL 1.
ZINSRECHNUNG
1.4 Vorschüssiger Zins d
Vorauszinsrate
F0 = F1 − dF1 = F1 (1 − d) = (1 + i)F0 (1 − d). Folglich
i=
d , 1−d
d=
Gedankliche Konstruktion: Investition von
i < i. 1+i C.
C + dC + d2 C + d3 C + ... = C Analog wird
d(m)
1 = C(1 + i). 1−d
eingeführt. Wegen des Ansatzes
1 = 1 + i(m) /m = (1 + i)1/m 1 − d(m) /m folgt
d(m) = m[1 − (1 + i)−1/m ] bzw.
d(m) =
i(m) < i(m) . 1 + i(m) /m
Somit gilt
1 1 1 = + . m i(m) d(m)
1.5 Ewige Renten Eine Rente ist ein Zahlungsstrom. Es interessiert der Barwert solcher Renten. vorschüssige Renten:
= 1 + v + v 2 + ... =
1 1 = . 1−v d
a∞ = v + v + v 2 + ... =
v 1 = 1−v i
ä∞ nachschüssige Rente
Unterjähriges Experiment:
a ¨(m) ∞ =
1 1 1 1 1 1 1 + v 1/m + v 2/m + v 3/m + ... = = (m) m m m m m 1 − v 1/m d
Analog ergibt sich für nachschüssige Renten.
a(m) ∞ =
1 1/m 1 1 1 1 (m) v + v 2/m + v 3/m + ... = ä∞ − = (m) m m m m i
Grenzübergang ergibt
Z a ¯∞ = 0
∞
e−δt dt =
1 . δ
1.6.
ZEITRENTEN
11
Verallgemeinerung: Zahlungsstrom
{rk : k = 0, 1, 2, ...}
vorschüssiger Barwert:
a ¨=
∞ X
v k rk .
k=0 Unterjährige Zahlungen: m unterjährige Zahlungen. Es sei
r(t)
eine momentane Zahlungsintensität.
Im Intervall
[k/m, (k + 1)/m] erfolgen Zahlungen in etwa von
r(k/m)1/m.
a ¨(m) =
∞ X
Für den Barwert erhalten wir
v k/m r(k/m)
k=0 Grenzübergang:
1 . m
∞
Z
e−δt r(t) dt.
a ¯= 0
1.6 Zeitrenten Barwert einer vorschüssigen Zeitrente mit jährlichen Zahlungen 1 (sonst als Faktor z zu berücksichtigen)
a ¨n = 1 + v + v 2 + ...v n−1 =
1 − vn 1 − vn = 1−v d
Analog: Barwert einer nachschüssigen Zeitrente mit jährlichen Zahlungen 1
an = v + v 2 + ...v n = v
1 − vn 1 − vn = 1−v i
Analog gilt:
(m)
än
a(m) n
1 − vn d(m) 1 − vn = (m) i =
1.7 Renditenzinssatz F0 Investition rk Zahlung zum
Zeitpunkt
tk
Problem: Wie ist die Rendite? Für welches
a(δ) =
n X
v tk rk =
k=1 Renditenzinssatz:
i = eδ − 1.
n X
v = e−δ
gilt
e−δ tk rk = F0 .
k=1
Setze
r := r1 + r2 + ... + rn
Hilfsfunktion
f (t) = ln
a(t) . r
und betrachte die
12
KAPITEL 1.
ZINSRECHNUNG
Es gilt oenbar
f (0) = 0, f 00 (t) =
Folglich ist
f <0
a0 (t) <0 a(t) ! 2 a0 (t) > 0. a(t)
f 0 (t) =
a00 (t) − a(t)
konvex, und es ist
f (t) t monoton nicht fallend. Somit gilt
f (u) f (t) f (s) < < , u t s
0 < u < t < s.
Dies ist gleichwertig mit
f (t) f (t) s>t> u, f (s) f (u) d. h. für
t=δ
ln(F0 /r) ln(F0 /r) s>δ> u. ln(a(s)/r ln(a(u)/r
Deshalb de nieren wir rekursiv
wk+1 = Lemma 1.7.1 (1) Ist (2) Ist
w0 > δ
Beweis: Da
f
, so ist
ln(F0 /r) f (δ) wk = wk ln(a(wk )/r) f (wk )
w0 < δ , so ist {wk } monoton {wk } monoton fallend.
monoton fallend ist, folgt aus
wachsend.
w0 < δ
f (δ) < f (w0 ), d. h.
w1 > w0
und
w1 < δ
...
Beispiel 1.7.2 F0 = 5250, Tk = k, k = 1, 2, ..., 9, rk = 300, k = 1, 2, ..., 8, r9 = 5300, r = 7700 i0 = 10% ergibt nach 4 Schritten i = i∞ = 5, 2875%
1.8 Sparpläne und Deckungskapital Vertrag mit der Bank: Sparplan
i Zinsrate r = 1 + i Aufzinsfaktor v = 1/r Abzinsfaktor a) Kapitalplan ,
Beispiel 1.8.1
Pj = P, j = 0, 1, 2, ..., n − 1 Prämie Cj = 0, j = 0, 1, 2, ..., n − 1, Cn = K rj = Cj − Pj resultierende Zahlung aus Sicht der Bank Bestimmung der Prämie:
0=
n X j=0
rj v j ,
1.8.
SPARPLÄNE UND DECKUNGSKAPITAL
d. h.
P =K
vn v n (1 − v) i =K =K a ¨n 1 − vn r(rn − 1)
Deckungskapital zum Zeitpunkt
tV
Eigenschaften: 0 V
13
t:
= Kv n−t − P (1 + v + · · · + v n−t−1 ) 1 − v n−t = Kv n−t 1 − v t 1 − vn
= 0, n V = K
De nition 1.8.2 (prospektive Methode) Deckungskapital t V zum Zeitpunkt
t
ist gleich der Dierenz der Barwerte der künftigen Leistungen und der künftigen Prämien.
De nition 1.8.3 (retrospektive Methode) Deckungskapital t W zum Zeitpunkt t ist gleich der Dierenz der Endwerte der schon gezahlten Prämien und der schon gezahlten Leistungen.
Beispiel 1.8.4 (oben) Deckungskapital zum Zeitpunkt t: tW Eigenschaften: 0 W
= P (r + r2 + · · · + rt ) = P
rt − 1 r i
= 0, n W = K .
Zum Kapitalplan
Beispiel 1.8.5
K = 1000, i = 6%, n = 10 P =K
Bestimmung der Prämie:
i = 71.57 − 1)
r(rn
Tabelle:
t W t
0 0
1 76
2 156
3 242
4 332
5 428
6 529
7 636
8 751
9 872
10 1000
Allgemeine Analyse: Wir führen das Deckungskapital nach den beiden Methoden wie folgt ein:
tV =
n X
v j−t rj
j=t tW
=
t−1 X
rt−j (−rj )
j=0
Satz 1.8.6 Ist der Barwert des resultierenden Zahlungsstromes tW
=t V,
t = 0, 1, 2, ...
0,
so gilt
14
KAPITEL 1.
Beweis: Wegen
0=
n X
v j rj =
t−1 X
j=0
v j rj +
n X
j=0
v j rj
j=t
erhalten wir
−t tV = v
n X
v j rj
j=t
= v −t
t−1 X
v j (−rj )
j=0
=
t−1 X
v j−t (−rj ) =t W
j=0 b) Zeitrentenplan Zahlungsplan:
Pj = P, Pj = 0,
j = m, m + 1, ...n
Cj = 0, Cj = C, Wie groÿ ist
j = 0, 1, ...m − 1
j = 0, 1, ...m − 1 j = m, m + 1, ...n
P? P = Cv m
1 − v n−m+1 . 1 − vm
Deckungskapital:
tV tV
=C
= Pr
rt − 1 , i
1 − v n−t+1 , 1−v
j = 0, 1, ...m − 1, j = m, m + 1, ..., n.
ZINSRECHNUNG
Kapitel 2
Lebensdauerverteilung 2.1 Modellannahmen Restalter eines x-jährigen:
Alter
Tx =
Alter beim Tod ist also:
{Tx : x ≥ 0}
−x
falls Person x Jahre gelebt hat
0
falls Person nicht x Jahre gelebt hat
x + Tx
Familie von Zufallsgröÿen.
De nition 2.1.1 Die Funktion
Gx (t) := P (Tx ≤ t|Tx > 0) heiÿt Lebensdauerverteilung eines x-jährigen bzw. Sterbewahrscheinlichkeit. Es sei
x∞ := sup{x : P (Tx > 0) > 0} Es gilt
Gx (0) = 0.
(a) Aus
x1 ≤ x2
(b) Wenn
Voraussetzungen: folgt
Tx+s > 0,
Gx1 ≤ Gx2
so folgt
für alle
x < x∞ .
Tx+s = Tx − s:
Also
P (Tx+s > t|Tx+s > 0) = P (Tx > t + s|Tx > s), Setze:
T := T0
und
G := G0 ,
so gilt
Tx = max(T − x, 0). Lemma 2.1.2
(2.1.1)
{Tx : x ≥ 0}
erfülle (b), so folgt
Gx+s (t) =
Gx (t + s) − Gx (s) 1 − Gx (s)
bzw.
1 − Gx+s (t) =
1 − Gx (t + s) 1 − Gx (s) 15
x, s ≥ 0
x, s ≥ 0.
x < x∞ ..
16
KAPITEL 2.
LEBENSDAUERVERTEILUNG
Satz 2.1.3 Die Familie {Gx : x ≥ 0} erfüllt genau dann die Bedingungen (a) und (b), falls eine Verteilungsfunktion G mit G(0) = 0 existiert, so dass für alle t ≥ 0 die Funktion 1−G(t+x) 1−G(x) fallend ist und dass
Gx (t) =
G(t + x) − G(x) 1 − G(x)
x≥0
1 − G(t + x) 1 − G(x)
x ≥ 0.
bzw.
1 − Gx (t) =
De nition 2.1.4 Die Sterblichkeitsintensität auch Ausfallrate genannt
u ∈ [0, ∞) → µu ∈ [0, ∞) für die Verteilungsfunktion G ist durch −
1 − G(t) = e
Rt 0
µu du
de niert.
Bemerkung: a) Ist
µ·
stetig, so folgt
µt = −[ln(1 − G(t)]0 b) Besitzt
G
eine stetige Dichte
g,
so ergibt sich
g(t) . 1 − G(t)
µt =
Eine etwas allgemeinere Überlegung zeigt, dass die vorhergehende Formel gilt, falls eine Dichte
g
existiert.
Satz 2.1.5 Die Familie
{Gx : x ≥ 0}
erfülle die Bedingungen (a) und (b).
(1) Existiert eine Sterblichkeitsintensität
µx,t
Gx ,
von
so gilt
µx,t = µx+t (2)
µt
ist wachsend, falls
µ·
stetig ist.
Beispiel 2.1.6 Sterbegesetz von De Moivre (1724):
ω
Höchstalter
gx (t) =
1 ω−x
falls
0
0
sonst
Es gilt dann
¯ x (t) = ω − (x + t) G ω−x und
µx+t =
1 . ω − (x + t)
.
2.1.
MODELLANNAHMEN
17
Versicherungsmathematische Gröÿen: t qx x-jähriger überlebt nicht die nächsten
t Jahre p x-jähriger überlebt die nächsten t Jahre t x s|t qx x-jähriger überlebt die nächsten s Jahre und stirbt innerhalb der darauf folgenden t Jahre px =1 px , qx =1 qx , 0 px = 1 Folgerung 2.1.7 Es gelten folgende Zusammenhänge (1) t qx
= Gx (t),
(2) t px
= 1 − Gx (t),
(3) s|t qx
=s px t qx+s .
(4) Es gilt folgende Rekursion: s+t px
=t px s px+t = P (K = k|Tx > 0).
Weitere analytischen Sterbegesetze: (1) Gompertz (1824):
µt = Bct ,
(2) Makeham (1860):
µt = A + Bct ,
(3) Weibull (1939):
µt = ktn ,
Schätztheorie: Nach Folgerung 2.1.7 gilt
k px
= px px+1 px+2 ... px+(k−1)
(2.1.2)
Man schätzt aus der Sterbetafel (eine Schätzung von (1)
pˆx+j
p
wird mit
pˆ bezeichnet.)
j = 0, 1, 2....
(2) Nach (2.1.2) schätzt k p ˆx den Parameter k px . (3) Nach der Approximation
µx+k ≈ schätzt man
−k qx 1 −k qx
k+1 qx
µ ˆx+k .
(4) Mit der Methode der kleinsten Quadrate werden die Parameter der entsprechenden Modelle geschätzt. Erwartungswert:
Z
∞
e˙ x := E(Tx |Tx > 0) =
Z u gx (u) du =
0
u u px µx+u du 0
Lemma 2.1.8 Es gilt
Z e˙ x =
∞ u px
0
du
∞
18
KAPITEL 2.
Beispiel 2.1.9 Gompertz (1824):
Z
t x
µt = Bct
Somit gilt
t
Z
eu ln(c) du =
µx+u du = Bc 0
LEBENSDAUERVERTEILUNG
0
Bcx t (c − 1) ln(c)
Folglich erhalten wir
t px
= e−
Bcx (ct −1) ln(c)
und
gx (t) =t px µx+t = Bcx+t e−
Bcx (ct −1) ln(c)
der Erwartungswert muss numerisch berechnet werden.
2.2 Ganzzahlige und Bruchteil der Lebensdauerverteilung Im weiteren wird der ganze Teil von
Tx
eine wesentliche Rolle spielen:
De nition 2.2.1 Die ganzzahlige gestutzte Lebensdauer eines x-jährigen ist als
K := [Tx ]
de niert und der Bruchteil eines Jahres, den der x-jährige im Todes-
jahr noch erlebt, als
S := Tx − K .
Lemma 2.2.2 Es gelten folgende Zusammenhänge (a
∈ [0, 1]):
P (S ≤ a, K = k|Tx > 0) =k px a qx+k , P (K = k|Tx > 0) =k px qx+k , k = 0, 1, 2... ∞ X P (S ≤ a|Tx > 0) = k px a qx+k , k=0
P (S ≤ a|K = k) = Wir untersuchen nun die Unabhängigkeit von
S
und
a qx+k
qx+k
.
K.
Lemma 2.2.3 Die Zufallsgröÿen eine Verteilungsfunktion
H
mit
K und S sind genau dann unabhängig, H(0) = 0 und H(1) = 1 existiert, so dass
u qx+k
falls
= H(u)qx+k
gilt. Im Fall der Unabhängigkeit ist
H
die Verteilungsfunktion von
S.
Beweis:... Weitere Möglichkeiten den Bruchteil eines Jahres durch den Ganzteil zu ersetzen: a)
µx+a = C = konstant
für
0 ≤ a < 1. a px
Es folgt dann
= pax = C a
2.2.
GESTUTZTE LEBENSDAUER
19
Folglich
P (S ≤ a, K = k|Tx > 0) =k px (1 − pax+k ), ∞ X a P (S ≤ a|Tx > 0) = 1 − j px px+j , j=0
P (S ≤ a|K = k) = Folglich besitzt
S
unter
K=k
die Dichte
pS|K=k (a) =
pax+k (− ln px+k ) 1 − px+k
Daraus erhalten wir das erste Moment von
m1 = Für
px+k = 0.5
gilt
1 − pax+k . 1 − px+k
S
unter
K = k:
1 px+k − − ln px+k 1 − px+k
m1 = 0.44
b) Balducci-Voraussetzung:
1 1−t t = + 1 − G(x + t) 1 − G(x) 1 − G(x + 1) Wir betrachten die Population der
0−Jährigen als Bernoulli-Versuch. x überlebt. Es gilt
Es sei
Zx
die erste Person, die den Zeitpunkt
P (Zx = n) =x p0 (x q0 )n−1 ,
n = 1, 2, ...
Oensichtlich gilt
EZx =
1 x p0
und wegen
Zx ≤ Zx+t ≤ Zx+1 ,
0 ≤ t ≤ 1,
erhalten wir
EZx ≤ EZx+t ≤ EZx+1 ,
0 ≤ t ≤ 1.
Die Voraussetzung von Balducci besagt, dass die monoton wachsende Funktion
g(t) := EZx+t sich als konvexe EZx+1 darstellen lässt.
Linearkombination von
g(0) = EZx
und
Satz 2.2.4 Die Balducci-Voraussetzung ist gleichwertig damit, dass t px
= 1 − Gx (t) =
d. h u qx
=
1 − qx , 1 − (1 − t)qx
uqx , 1 − (1 − u)qx
g(1) =
20
KAPITEL 2.
LEBENSDAUERVERTEILUNG
Beweis: Aufgrund der Balducci-Voraussetzung gilt t px
1 − G(x + t) 1 = 1−G(x) 1 − G(x) (1 − t) + t 1−G(x+1)
= 1 − Gx (t) =
Bemerkung: Insbesondere folgt
1−u qx+u d. h. 1−u qx+u ist linear in
u.
= (1 − u)qx ,
Denn wir haben
1−u px+u
=
1 px u px
Sterbeintensität:
µx,t =
= 1 − (1 − u)qx
qx 1 − (1 − t)qx
2.3 Charakterisierungen Bezeichne
¯ := 1 − G(t). G(t)
(2.3.3)
Satz 2.3.1 Die Bedingung
¯ + t) = (1 − t)G(k) ¯ ¯ + 1), G(k + tG(k
k
ganz
0≤t≤1
ist genau dann erfüllt, wenn (1)
S
und
(2)
G
stetig ist und
(3)
S ∼ U (0, 1).
Beweis:
⇒
K
unabhängig sind,
Wegen (2.3.3) gilt
G(k + t) = t(G(k + 1) − G(k)) + G(k). Folglich
G(k−) = lim G(k − 1 + t) = G(k), t→1−
d.h.
G
ist stetig.
Betrachte nun
P (S ≤ t|K = k) = ⇐
t qx+k
qx+k
=
G(x + k + t) − G(x + k) =t G(x + k + 1) − G(x + k)
Es gilt bekanntlich
¯ x (k + t) = P (Tx > k + t|Tx > 0) G = P (Tx > k + t, K = k|Tx > 0) + P (Tx > k + t, K ≥ k + 1|Tx > 0) = P (S > t, K = k|Tx > 0) + P (K ≥ k + 1|Tx > 0) = P (S > t|Tx > 0)P (K = k|Tx > 0) + P (Tx > k + 1|Tx > 0) = (1 − t)G(k + 1) − G(k)) + 1 − G(k + 1)
2.4.
POPULATIONSMODELL
21
Satz 2.3.2 Die Bedingung s px+t
=s px
ist genau dann erfüllt, wenn (1)
S
und
(2) ein
K
unabhängig sind, und
0
existiert, dass
P (K = k|Tx > 0) = (1 − p)pk , d. h.
K
ist geometrisch verteilt
P (S ≤ a|K = k, Tx > 0) =
1 − pa . 1−p
Insbesondere gilt
µx,t = ln p
2.4 Populationsmodell l0 Neugeborene einer Population Lx Anzahl der x-jährigen der Population Voraussetzung:
T0,j , j = 1, 2, ..., l0
sind unabhängige und identisch nach G verteilte Zufallsgrö-
ÿen. Setze
Yj :=
1 0
T0,j > x T0,j ≤ x
Dann gilt
Lx =
l0 X
Yj
j=1 und somit
−
lx = ELx = l0 (1 − G(x)) = l0 e
Rx 0
µu du
= l 0 x p0
Wir führen nun eine modi zierte Statistik ein:
n Dx Anzahl der Gestorbenen, die älter als x geworden sind, aber nicht älter als
x + n.
Man sieht analog
n dx
= E(n Dx ) = l0 (G(x + n) − G(x)) = lx − lx+n
Bestimmung der versicherungsmathematischen Gröÿen durch lx und n dx .
Lemma 2.4.1 Es gelten folgende Beziehungen: t qx
=
lx − lx+t t dx = lx lx t px
s|t qx
=
=
lx+t lx
lx+s − lx+s+t t dx+s = lx lx
22
KAPITEL 2.
LEBENSDAUERVERTEILUNG
Beweis: Man benutze x+t p0
=x p0 t px
Anwendung: Aus der Sterbetafel werden lx durch die entsprechenden Schätzun-
lx ersetzt. gen ˆ
Weitere Eigenschaften von lx .
Lemma 2.4.2 Es gilt folgende Beziehung x+t
Z lx+t − lx =
lu µu du x
Beweis: Es gilt oenbar
Z
x+t
Z
x+t
lu µu du = x
Z
l0 u p0 µu du x
x+t
l0 g(u) du = l0 (G(x + t) − G(x)) = lx+t − lx .
= x
Kapitel 3
Kapitalversicherungen 3.1 Einführung und einfache Beispiele Bei der Kapitalversicherung besteht die Leistung des Versicherungsunterneh-
Versicherungssumme, falls der Versicherungsfall eintritt. Dabei ist der der Zeitpunkt mens in der Bezahlung einer einzigen Summe, der so genannten
der Zahlung zufällig. Man unterscheidet diskrete und stetige Kaptitalversicherungen. Tritt der Versicherungsfall ein, so wird bei einer diskreten Kaptitalversicherung die Versicherungssumme am Ende Jahres, in dem der Versicherungsfall eingetreten ist, gezahlt. Also erfolgt die Zahlung nachschüssig. Bei einer stetigen Kaptitalversicherung erfolgt die Zahlung sofort nach Eintritt des Versicherungsfalles. Der Barwert wird wie folgt de niert. Z:= Barwert der vereinbarten Summe bezüglich des angenommenen Zinssatzes
i Der Erwartungswert des Barwertes eine Kapitalversicherung heiÿt
Nettoein-
malprämie. Beispiel 3.1.1 (lebenslange diskrete) Todesfallversicherung eines x-jährigen Der Auszahlungsbetrag sei
C.
Der Barwert der Versicherungssumme, die am Ende des Todesjahres ausgezahlt wird, ist
Z = Cv K+1 Die Verteilung des Barwertes ist
P (Z = Cv k+1 ) = P (K = k) =k px qk+x ,
k = 0, 1, ..
Für die Nettoeinmalprämie erhalten wir
CAx := CAx (δ) := EZ = C
∞ X
v k+1 k px qk+x
k=0
=C
∞ X
e−δ(k+1) k px qk+x = Ax (δ)
k=0 Die Varianz des Barwertes ergibt sich aus
V ar(Z|Tx > 0) = C 2 Ax (2δ) − Ax (δ)2 23
24
KAPITEL 3.
KAPITALVERSICHERUNGEN
Beispiel 3.1.2 Temporäre Todesfallversicherung eines x-jährigen mit Dauer n Auszahlungsbetrag
C=1
Auszahlung von C am Ende des Todesjahres, falls Todesjahr
< n vom Abschluss,
sonst nichts
Z1 =
v K+1 0
K
P (Z1 = v k+1 ) = P (K = k) =k px qk+x ,
K = 0, 1, ..., n − 1
P (Z1 = 0) = P (K ≥ n) =n px . A1x:n| := EZ1 =
n−1 X
v k+1 k px qk+x = A1x:n| (δ)
k=0 Analog gilt
2 V ar(Z1 |Tx > 0) = A1x ,n (2δ) − A1x ,n (δ) Beispiel 3.1.3 Erlebensfallversicherung eines x-jährigen (Dauer n) Auszahlungsbetrag
C=1
Auszahlung von C am Ende des n-ten Jahres, falls Todesjahr
Z2 =
0 vn
≥ n,
sonst nichts
K
1 Ax:n| := EZ2 = v n n px Analog erhalten wir für die Varianz:
V ar(Z2 |Tx > 0) = v 2n n px n qx Beispiel 3.1.4 Gemischte Versicherung eines x-jährigen (Dauer n) Auszahlungsbetrag
C=1
Auszahlung von C am Ende des n-ten Jahres, falls Todesjahr
≤ n
sonst am
Ende des Todesjahres
Z=
v K+1 vn
K
Folglich
Z = Z1 + Z2 und
Ax:n| := A1x:n| + Ax:n|1 = EZ =
n−1 X
v k+1 k px qk+x + v n n px .
k=0 Varianzermittelung:
V ar(Z|Tx > 0) = V ar(Z1 |Tx > 0) + V ar(Z2 |Tx > 0) + 2Cov(Z1 , Z2 ) = V ar(Z1 |Tx > 0) + V ar(Z2 |Tx > 0) − 2A1x:n| Ax:n|1
3.2.
STETIGER FALL
25
Beispiel 3.1.5 Wir betrachten die aufgeschobene Todesfallversicherung eines x-jährigen um m Jahre. Auszahlungsbetrag
C = 1.
Auszahlung von C am Ende des K-ten Jahres, falls die restliche Lebensdauer
K ≥ m,
sonst nichts.
Z=
0 v K+1
K<m K≥m
Folglich
m| Ax
:= EZ =m px v m Ax+m .
Analog
m| Ax
= Ax − A1x:m| .
3.2 Stetiger Fall: Auszahlung unmittelbar nach dem Tode Leistung:
Z = v Tx NEP:
A¯x =
Z
∞
∞
Z
v t gx (t) dt =
0
v t t px µx+t dt
0
Approximation des stetigen Falls durch den diskreten Fall Lemma 3.2.1 Es sei
K
und
S ∼ U (0, 1)
unabhängig. Dann gilt
i A¯x = Ax > Ax δ Beweis: Oenbar gilt wegen der Unabhängigkeit von
K
und
S
A¯x = E(v Tx |Tx > 0) = E(v K+S |Tx > 0) = E(v
K+1+S−1
|Tx > 0) = E(v K+1 |Tx > 0) · E(v S−1 |Tx > 0) = = Ax · E((1 + i)1−S |Tx > 0)
Wegen
S ∼ U (0, 1)
folgt weiter
E((1 + i)1−S |Tx > 0) =
Z 0
1
i (1 + i)1−u du = . δ
Wegen
ei > 1 + i folgt
i > ln(1 + i) = δ und somit die letzte Behauptung. Wir wenden uns nun zwei Abschätzungen der NEP für verschiedene Zinsintensitäten zu. Wir benötigen dazu folgende Hilfsresultate:
26
KAPITEL 3.
KAPITALVERSICHERUNGEN
Lemma 3.2.2 (Jensensche Ungleichung) Es sei
g : (−∞, ∞) → (−∞, ∞) eine konvexe Funktion und
X
die Zufallsgröÿe
A ein Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit. E|X| und E|g(X)|. Dann gilt
Für
existiere
g[E(X|A)] ≤ E[g(X|A)]. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Tangenteneigenschaft der konvexen Funktion
g.
Wir führen nun folgende Funktion ein:
f (t) = Ee−tTx
1/t
,
t > 0.
Es gilt oenbar
A¯x (δ) = f (δ)δ . Lemma 3.2.3 Die Funktion
f
ist monoton wachsend.
Beweis: Wir wenden die Jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion
g(x) = xw/u
mit
0
und
X = e−uTx
an. Dann ergibt sich
f (w)w = E(e−wTx |Tx > 0) = E([e−uTx ]w/u |Tx > 0) = E(g(X)|Tx > 0) ≥ g(E(X|Tx > 0)) = [E(e−uTx |Tx > 0)]w/u = f (u)w . Wir kommen nun zur ersten Approximationsmethode. Es seien Zinsintensitäten, für die NEP
A¯x (δj ) j = 1, 2
A¯x (δ) = f (δ)δ Somit gilt für
δ ∈ (δ1 , δ2 ) f (δ1 ) < f (δ) < f (δ2 ),
d. h. folgende untere und obere Schranken
A¯x (δ1 )δ/δ1 < A¯x (δ) < A¯x (δ2 )δ/δ2 . Beispiel 3.2.4 Es sei
A¯50 (0, 04) = 0, 41272,
A¯50 (0, 05) = 0, 34119
Dann folgt
0, 37039 < A¯50 (0, 045) < 0, 37904 Zur Ableitung weiterer Schranken benötigen wir
Lemma 3.2.5
A¯x (t)
δ1 < δ2
zwei
bekannt sind. Es gilt oenbar
ist monoton fallend und konvex
3.3.
ALLGEMEINE TODESFALLVERSICHERUNG
Beweis: Wir dierenzieren
27
A¯x (t) zweifach und erhalten daraus die Behauptun-
gen
∞
Z
A¯x (t)0 = −
e−tu u gx (u) du ≤ 0
0 und
∞
Z
A¯x (t)00 =
e−tu u2 gx (u) du ≥ 0
0 Die zweite Methode beruht darauf, dass wir ausnutzen, dass Oenbar gilt für
A¯x (t)
konvex ist.
δ ∈ (δ1 , δ2 ) δ=
δ2 − δ δ2 − δ δ1 + (1 − )δ2 δ2 − δ1 δ2 − δ1
Folglich ergibt sich die obere Schranke
δ2 − δ ¯ δ − δ1 ¯ A¯x (δ) ≤ Ax (δ1 ) + Ax (δ2 ) δ2 − δ1 δ2 − δ1 Sind zusätzlich
A¯x (δj )0
bekannt, so ergeben sich aus der Tangenteneigenschaft
konvexer Funktionen für
j = 1, 2
die unteren Schranken
A¯x (δ) ≤ A¯x (δj )0 (δ − δj ) + A¯x (δj ). Beispiel 3.2.6 Fortsetzung von Beispiel 3.2.4. Es folgt
A¯50 (0, 045) ≤ 0, 37684
3.3 Allgemeine Todesfallversicherung Wir betrachten zunächst den diskreten Fall.
De nition 3.3.1 Eine allgemeine Todesfallversicherung liegt vor, falls der Versicherungsnehmer im (im Todesjahr) j-ten Jahr mit den Betrag cj versichert ist. Für den Barwert gilt:
Z = cK+1 v K+1 Für die NEP erhalten wir
EZ =
∞ X
ck+1 v k+1 k px qx+k
k=0 Die NEP kann mit Hilfe der aufgeschobenen Todesfallversicherung ausgedrückt werden. Wir setzen
c0 := 0 und
0| Ax
:= Ax
Satz 3.3.2 Es gilt folgende Darstellung
EZ =
∞ X
(cj+1 − cj ) j| Ax ,
j=0
falls
lim
k→∞
k| Ax ck+1
= 0.
28
KAPITEL 3.
KAPITALVERSICHERUNGEN
Beweis: Wir erinnern daran, dass gilt j| Ax =
∞ X
v k+1 k px qx+k .
(3.3.1)
k=j Oenbar haben wir
k X
(cj+1 − cj ) j| Ax
j=0 k X
=
cj+1 j| Ax −
j=0
=
k+1 X
k X
cj j| Ax
j=0
cl l−1| Ax −
k X
cj j| Ax
j=0
l=1
=
k X
cj ( j−1| Ax −j| Ax ) + ck+1 k| Ax
j=1
=
k−1 X
cj+1 (j| Ax −j+1| Ax ) + ck+1 k| Ax
j=0
Wegen(3.3.1) folgt dann
k X
(cj+1 − cj ) j| Ax
j=0
=
k−1 X
cj+1 v j+1 j px qx+j + ck+1 k| Ax
j=0
Nach Grenzübergang
k→∞
folgt die Behauptung.
Beispiel 3.3.3 Die allgemeine temporäre Todesfallversicherung mit Dauer n ist de niert durch:
Z = cK+1 v K+1 ,
K ≤n−1
Sie lässt sich als als allgemeine Todesfallversicherung auassen: Wir setzen
cn = 0 und führen eine allgemeine Todesfallversicherung mit
dj+1 = cmin(j+1,n) ein. Dann folgt
Z = dK+1 v K+1 . Wenden wir Satz 3.3.2 an , so ergibt sich
EZ = −cn−1 n−1| Ax + (cn−1 − cn−2 ) n−2| Ax + ... + (c2 − c1 ) 1| Ax + c1 0| Ax
3.3.
ALLGEMEINE TODESFALLVERSICHERUNG
29
Verwenden wir nun
j| Ax
= Ax − A1xj ,
so folgt
EZ = cn−1 A1x(n−1) + (cn−2 − cn−1 )A1x(n−2) + ... + (c1 − c2 ) A1x2 Wir diskutieren nun den stetigen Fall.
De nition 3.3.4 Eine allgemeine stetige oder kontinuierliche Todesfallversicherung ist dadurch de niert, dass am Todestag der Betrag
c(t)
t
des Versicherungsnehmers
ausgezahlt wird.
Wir zeigen nun, dass jede stetige Todesfallversicherung als spezielle diskrete Todesfallversicherung aufgefasst werden kann.
Lemma 3.3.5 Jede stetige Todesfallversicherung mit Barwert
Z = c(Tx )v Tx hat den gleichen Barwert wie die diskrete Todesfallversicherung mit
ck+1 = E(c(k + S)(1 + i)1−S |K = k, Tx > 0) Beweis: Nach den Satz der totalen Erwartung folgt
E(Z|Tx > 0) =
∞ X
E(Z|K = k, Tx ) P (K = k|Tx > 0)
k=0
=
∞ X
E(c(k + S)(1 + i)1−S |K = k, Tx > 0) P (K = k|Tx > 0)
k=0
Wir diskutieren nun zwei wichtige Beispiele für die Bestimmung von
cj
aus
Lemma 3.3.5
Beispiel 3.3.6 Die Sterblichkeitsintensität sei in einem Intervall konstant, d. h.
µx+k+u = µx+k ,
0 < u < 1.
In diesem Fall gilt
P (S ≤ U |K = k, Tx > 0) = Die Zufallsgröÿen
K
und
S ∼ U (0, 1)
1 − pux+k 1 − px+k
seien unabhängig. Auÿerdem gelte
c(t) = eτ t Dann folgt nach längerer Rechnung
ck+1 = eτ k
µx+k eδ px+k − eδ 1 − px+k τ − µx+k − δ
30
KAPITEL 3.
Beispiel 3.3.7 Die Zufallsgröÿen
KB
und
KAPITALVERSICHERUNGEN
S ∼ U (0, 1)
seien unabhängig. Au-
ÿerdem gelte
c(t) = eτ t Dann folgt nach einfacher Rechnung
ck+1 = eτ k
eδ − eτ δ−τ
Insbesondere ergibt sich in dem schon behandelten Spezialfall
ck+1 =
c(t) = 1:
i eδ − 1 = δ δ
3.4 Einige Standardtypen Wir beginnen erneut mit den diskreten Fällen. a)
Lebenslange Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing
Sie ist de niert durch
cj = j Es gilt dann für den Barwert
Z = (K + 1)v K+1 Für die NEP ergibt sich
(IA)x = EZ =
∞ X
(k + 1)v k+1 k px qx+k
k=0
Befristete Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing Dauer n b)
Sie ist de niert durch
cj =
j ,j ≤ n 0 j>n
Es gilt dann für den Barwert
Z=
(K + 1)v K+1 0
,K ≤ n − 1 K≥n
Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich
(IA)1x = EZ =
n−1 X
(k + 1)v k+1 k px qx+k
k=0 Wir sehen leicht folgende Darstellungen:
(IA)1x:n| = Ax +1| Ax + ... +(n−1)| Ax − n n| Ax bzw.
(IA)1x:n| = nA1x:n| − A1x:n−1| − ... − A1x:1|
3.4.
EINIGE STANDARDTYPEN
31
Befristete Todesfallversicherung vom Typ Standard decreasing Dauer n c)
Sie ist de niert durch
cj =
n − (j − 1) , j ≤ n − 1 0 j≥n
Es gilt dann für den Barwert
Z=
(n − K)v K+1 0
,K ≤ n − 1 K≥n
Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich
(DA)1x:n| = EZ =
n−1 X
(n − k)v k+1 k px qx+k
k=0 Wir sehen leicht folgende Darstellungen:
(DA)1x:n| = A1x:n| + A1x:n−1| + ... + A1x:1| d)
Stetige Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing
Sie ist de niert durch
c(t) = [t + 1] Es gilt dann für den Barwert
Z = (K + 1)v Tx Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich
¯ x = EZ (I A) Berechnung nur möglich, wenn zusätzliche Voraussetzungen an werden. Sind z. B.
K
und
S ∼ U (0, 1)
K
unabhängig, so folgt
¯ x = (IA)x i (I A) δ Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing, wachse m-mal pro Jahr e)
Es gilt dann für den Barwert
Z = (K + S (m) )v Tx Ihre Nettoeinmalprämie wird mit
Satz 3.4.1 Sind
K
und
¯x (I (m) A)
S ∼ U (0, 1)
bezeichnet. Es gilt
unabhängig, so folgt (m)
¯ x = (I A) ¯ x − A¯x + Ax i − d (I (m) A) , d(m) δ wobei
d(m) = m[1 − (1 + i)−1/i ]
und
S
gestellt
32
KAPITEL 3.
Beweis: Wir führen den diskreten Bruchteil
S (m) =
k , m
wenn
KAPITALVERSICHERUNGEN
S (m)
gemäÿ
k−1<S ≤k
und zerlegen den Barwert wie folgt:
Z = (K + 1)v Tx − v Tx + S (m) (1 + i)1−S v K+1 Für die Nettoeinmalprämie erhalten wir somit
¯ x = (I A) ¯ x − A¯x + E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) E(v K+1 |Tx > 0) (I (m) A) ¯ x − A¯x + Ax E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) = (I A) Folglich genügt es
E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) =
i − d(m) d(m) δ
zu zeigen. Nach dem Satz der totalen Erwartung folgt
E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) =
m X
E(S (m) (1 + i)1−S |S (m) =
k=1
=
k k , Tx > 0)P (S (m) = |Tx > 0) m m
m X k k 1 E((1 + i)1−S |S (m) = ) m m m
k=1 Es gilt nun
E((1 + i)1−S |S (m) = Z
k/m
(1 + i)1−u du m = m
(k−1)/m
k )= m
v (k−1)/m 1/m [v − 1] v ln(v)
Setzen wir ein, so folgt
E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) ∞ 1 v 1/m − 1 X (k−1)/m = kv m v ln(v) k=1
Wegen
m X
kv (k−1)/m =
k=1
mv 1+1/m − (m + 1)v + 1 (v 1/m − 1)2
erhalten wir schlieÿlich
E(S (m) (1 + i)1−S |Tx > 0) = Hieraus folgt (3.4.2).
1 m(v 1/m − 1) − 1 + 1/v ln v m(v 1/m − 1)
(3.4.2)
Kapitel 4
Leibrenten 4.1 Zeit- und Leibrenten Neben dem Problem eines Versicherungsunternehmens, den Barwert einer vereinbarten Versicherungssumme zu berechnen, muss natürlich der Preis für eine solche Versicherung ermittelt werden. Auÿer den Ausgaben müssen also die Einnahmen ermittelt werden, und diese Berechnung erfolgt nach dem
Äquiva-
lenzprinzip: erwarteter Barwert der eingezahlten Prämien = erwarteter Barwert der auszuzahlenden Versicherungssumme. Die auf diese Weise ermittelten Nettoprämien werden dann noch mit Zuschlägen versehen, damit Verwaltungskosten, das übernommenen Risiko etc. gedeckt werden können. Auf diese Weise entstehen dann Bruttoprämien. Wir befassen und hier nur mit der Berechnung der Nettoprämien. Die von dem Versicherungsnehmer zu zahlenden Prämien sind bekanntlich regelmäÿig wiederkehrende Zahlungen konstanter oder variabler Höhe. Wir bezeichnen eine solche Zahlungsfolge als Rente.
De nition 4.1.1 Eine in gleicher oder variabler Höhe periodisch erfolgende Zahlung heiÿt Rente. Wird die Zahlung zu Beginn (am Ende) einer Periode geleistet, so heiÿt die Rente vorschüssig (nachschüssig). Ist die Dauer der Zahlungen endlich und erfolgt eine feste Anzahl von Zahlungen, etwa
n,
so sprechen wir von einer Zeitrente.
Ist die Dauer der Zahlungen endlich, aber die Anzahl zufällig (vom erreichten Lebensalter einer Person abhängig), so sprechen wir von einer Leibrente. Sind Dauer und damit Anzahl der Zahlungen nicht endlich, so liegt eine ewige Rente vor.
4.2 Die einfachsten Leibrenten a)
Vorschüssige, lebenslängliche Leibrente
De nition 4.2.1 Regelmäÿige vorschüssige Zahlungen der Höhe
C,
die erst
mit dem Tode enden, de nieren eine vorschüssige lebenslängliche Rente. 33
34
KAPITEL 4.
LEIBRENTEN
Vereinbarung:
C = 1. Zeitpunkte der Zahlungen:
0, 1, 2, . . . , K
Rentenbarwert:
Y = 1 + v + v 2 + . . . + v K =: a ¨K+1 = Es gilt auch:
Y =
∞ X
1 − v K+1 . 1−v
v k · I{K≥k} .
k=0 Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der De nition der Indikatorfunktion. Es ist nämlich
, falls K ≥ k , falls K < k
1 0
I{K≥k} =
Es gilt für die Einzelwahrscheinlichkeiten:
P {Y = a ¨k+1 } = P {K = k} =k px · qx+k De nition 4.2.2 Die Nettoeinmalprämie einer Rente (NEP) ist der erwartete Barwert der Rente. Für die NEP
a ¨x
einer lebenslangen Rente ergibt sich:
a ¨x = E(Y ) =
∞ X
a ¨k+1 ·k px · qx+k
k=0
a ¨x = E
∞ X
! k
v · I{K≥k}
=
∞ X
v k · E(I{K≥k} )
k=0 ∞ X
k=0 ∞ X
=
v k · P {K ≥ k} =
k=0
v k ·k px
k=0
Satz 4.2.3 Zwischen den NEP
a ¨x
Ax (lebenslängliche Todesfallversicherung) und besteht der folgende Zusammenhang: 1=d·a ¨ x + Ax
Beweis: Oenbar gilt nach De nition
a ¨K+1 = Y =
1 − v K+1 1−v
Benutzen wir weiter, dass der Barwert einer lebenslänglichen Todesfallversicherung gegeben ist durch:
Z = v K+1 ,
so erhalten wir
Y (1 − v) = 1 − Z. Wegen
d := 1 − v
folgt die Behauptung durch Erwartungswertbildung.
Für die Varianzen des Barwerte
Z
der Leistungen bei einer lebenslangen Todes-
fallversicherung und des Barwertes
Y
der Zahlungen folgt
V ar(Y ) d2 = V ar(Z) b)
Vorschüssige, temporäre Leibrente der Dauer
n
4.2.
DIE EINFACHSTEN LEIBRENTEN
35
De nition 4.2.4 Erfolgen Zahlungen der Höhe
1,..., n − 1,
C =1
zu den Zeitpunkten
0,
aber höchstens bis zum Tod, so sprechen wir von einer temporären
Leibrente. Rentenbarwert:
K ≤n−1 K≥n
a ¨K+1 a ¨n
Y =
Die NEP einer solchen Versicherung ist gegeben durch:
a ¨x:n| = EY =
n−1 X
a ¨k+1 ·k px · qx+k + a ¨n ·n px
k=0 Es gilt sogar
a ¨x:n| =
n−1 X
v k ·k px .
k=0
Beweis: Wir erinnern an folgenden Fakt: Für eine monotone Folge
0, 1 . . .}
{an : n =
sei
∆an := an+1 − an , Die Zufallsgröÿe Zufallsgröÿe
aK
K
a−1 = 0.
sei auf den natürlichen Zahlen konzentriert. Existiert für die
die Erwartung, so gilt
EaK = a0 +
∞ X
[1 − G(k)]∆ak .
(4.2.1)
k=0 Denn es gilt
∞ X
P (K ≥ n)(an − an−1 ) =
P (K = j)(an − an−1 )
n=0 j=n
n=0
=
∞ X ∞ X
∞ X
P (K = j)
j X
(an − an−1 ) =
n=0
j=0
∞ X
P (K = j) aj .
j=0
Wir wenden die Formel (4.2.1) für die Folge
ak =
k ≤n−1 k≥n
a ¨k+1 a ¨n
an und erhalten
∆ak = ak+1 − ak =
vk 0
k
Satz 4.2.5 Die NEP a ¨x:n| einer temporären Todesfallversicherung und die NEP
Ax:n|
einer gemischten Versicherung genügen der Beziehung:
1 = d¨ ax:n| + Ax:n| Beweis: Der Barwert einer gemischten Todesfallversicherung hatte die Gestalt
Z=
v K+1 vn
K ≤n−1 . K≥n
36
KAPITEL 4.
Deshalb lässt sich der Barwert
Y
LEIBRENTEN
unserer temporären Leibrente darstellen durch:
Y =
1−Z . 1−v
Die Behauptung folgt. c)
Nachschüssige lebenslängliche Leibrente
De nition 4.2.6 Eine nachschüssige lebenslängliche Leibrente ist dadurch de niert, dass zu den Zeitpunkten
1, 2, . . . , K
Zahlungen der Höhe 1 getätigt wer-
den.
Y = v + v2 + . . . + vK . ax = a ¨x − 1.
Barwert: NEP:
Satz 4.2.7 Zwischen ax und der NEP rung besteht die Beziehung:
Ax
einer lebenslangen Todesfallversiche-
1 = i · ax + (1 + i) · Ax Beweis: Wir hatten gezeigt:
1=d·a ¨ x + Ax . Folglich ergibt sich
1=
i · (ax + 1) + Ax 1+i
1 + i = iax + i + (1 + i) · Ax 1 = iax + (1 + i) · Ax . 2 d) Um m Jahre aufgeschobene, vorschüssige Leibrente mit gleichen jährlichen Zahlungen der Höhe 1
De nition 4.2.8 Beginnend mit dem Zeitpunkt
m
leistet der Versicherungs-
nehmer jährliche Zahlungen der Höhe 1, die erst im Todesjahr enden, so spre-
m
chen wir von einer um
Jahre aufgeschobenen, vorschüssigen Leibrente.
Barwert:
Y =
0 v m + v m−1 + . . . + v K
, falls K ≤ m − 1 . , falls K ≥ m
Für die NEP m| a ¨x gilt die folgende Beziehung.
Satz 4.2.9
¨x m| a Beweis: Wir schreiben
Y
Y =
=m px v m · a ¨x+m = a ¨x − a ¨x:m| . zunächst in der Form
0 vm a ¨K−m+1
, falls K ≤ m − 1 . , falls K ≥ m
4.2.
DIE EINFACHSTEN LEIBRENTEN
Damit wird
E(Y |Tx > 0) = v
m
∞ X
·
37
a ¨k−m+1 k px qx+k .
k=m Setze
l := k − m,
so folgt
E(Y |Tx > 0) = v
m
·
∞ X
a ¨l+1 ·l+m px · qx+l+m .
l=0 Wegen l+m px
=m px ·l px+m
erhalten wir
E(Y |Tx > 0) =m px v m ·
∞ X
a ¨l+1 ·l px+m · q(x+m)+l =m px · v m · a ¨x+m .
l=0 Das ist die erste der beiden Behauptungen. Stellen wir nun die Dierenz
a ¨x:m|
a ¨x −
dar, so erhalten wir:
a ¨x − a ¨x:m| =
∞ X
vkk px −
k=0 Setze erneut
l := k − m,
m−1 X
∞ X
vkk px =
k=0
v k ·k px .
k=m
so erhalten wir
a ¨x − a ¨x:m| = v m
∞ X
vl ·
l+m px ,
l=0 und wegen
l+m px
=m px ·l px+m
ergibt sich
a ¨x − a ¨x:m| = v m ·m p
∞ X
v l ·l px+m = v m ·m px · a ¨x+m .
l=0
2 e)
Lebenslängliche Rente mit unterjährigen Zahlungen
Es mögen nun zu den Zeitpunkten
0, 1/m, 2/m, . . . , K + S (m) − 1/m Zahlungen statt nden. Dabei werde wie früher im Zeitraum der Länge 1 der Betrag 1 gezahlt, d.h. die m Zahlungen, die innerhalb dieses Zeitraumes statt nden, haben alle die Höhe Barwert:
Y =
1/m.
i (m) 1 h 1 + v 1/m + v 2/m + . . . + v K+S −1/m m =
1 1 − [v 1/m ]m[K+S m 1 − v 1/m =
1 − v K+S d(m)
(m)
(m)
]
38
KAPITEL 4.
LEIBRENTEN
d(m) = m[1 − (1 + i)−1/m ] = m[1 − v 1/m ]. (m) Bestimmung der NEP a ¨x : Wir erhalten mit
1 − E(v K+S E(Y |Tx > 0) = d(m) wobei
(m)
Ax
(m)
(m)
)
(1 − Ax ) =a ¨x(m) , d(m)
=
die NEP einer Todesfallversicherung darstellt, bei der die Auszah-
lung der Versicherung zum Zeitpunkt
K + S (m)
statt ndet. Folglich gilt
d(m) a ¨(m) + Ax(m) = 1. x
(m)
a ¨x berechnen zu können, S und K sind unabhängig,
Um
treen wir wieder die Voraussetzungen
und
S ∼ U[0,1]
Zunächst gilt allgemein:
1
a ¨(m) = x
d(m)
−
1 d(m)
Ax(m)
Unter den obigen Voraussetzungen haben wir
A(m) = x
i
· Ax .
i(m)
Benutzen wir schlieÿlich noch die allgemeine Beziehung
Ax = 1 − d¨ ax , so erhalten wir nacheinander
a ¨x(m) = =
die Werte
α(m)
und
1 1 i − (m) (m) [1 − d¨ ax ] d(m) d i
id i − i(m) · a ¨ − x d(m) · i(m) d(m) · i(m) =: α(m)¨ ax − β(m).
β(m)
werden in praxi durch die folgenden Grenzwerte
angenähert:
id , δ2
lim α(m) =
m→∞ So erhalten wir für
i = 5%
i−δ . δ2
die folgende Tabelle:
m 12 ∞
α(m) 1, 0001972 1, 0001984
Mit diesen Vereinfachungen lässt sich f)
lim β(m) =
m→∞
(m)
a ¨x
β(m) 0, 46651 0, 50823 leicht ermitteln.
Lebenslängliche Rente mit kontinuierlichen Zahlungen
Finden zu jedem Zeitpunkt Zahlungen statt, so ist der Barwert einer solchen Rente gegeben durch:
Z Y = 0
Tx
v t dt =
1 − v Tx δ
4.3.
ALLGEMEINE LEIBRENTEN
39
Bestimmung der NEP:
a ¯x = E(Y |Tx > 0) =
1 1 E(1 − v Tx ) = (1 − A¯x ). δ δ
Es gilt somit
δ¯ ax + A¯x = 1 Oenbar kann man die Formeln für Barwert und NEP durch Grenzübergang
m→∞
im Fall e) erhalten.
4.3 Allgemeine Leibrenten De nition 4.3.1 Eine allgemeine vorschüssige Leibrente ist durch Zahlungen der Höhe
r0 , r 1 , r 2 , . . . entsprechend zu den Zeitpunkten
0, 1, 2, . . . de niert. Barwert:
Y =
∞ X
v k rk I{K≥k}
k=0 NEP:
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
v k rk P (K ≥ k) =
k=0
∞ X
v k rk k px .
k=0
Allgemeine unterjährige Leibrente Wir betrachten jetzt den Fall, dass unterjährige Zahlungen (m Stück pro Jahr) der Höhe
z0 , z1/m , z2/m , . . . zu den Zeitpunkten
0, 1/m, 2/m, . . . , K + S (m) − 1/m
statt nden. Wir wollen
diesen Fall auf den obigen zurückführen. Dazu sind zwei Dinge nötig: 1. Wir ersetzen die
m
Zahlungen eines Jahres durch eine einzige Zahlung zu
Beginn des Jahres: Die Zahlungen
zk , zk+1/m , zk+2/m , . . . , zk+(m−1)/m des Jahres
k
werden also ersetzt durch
rk :=
m−1 X
zk+j/m · v j/m ,
k = 0, 1, 2, . . .
j=0
im Todesjahr k+1 eventuell zu hoch ausgefallene Zahlung: k + 1, 0 < u < 1, so ist der zu korrigierende auf den Zeitpunkt k + u) X c(k + u) := v j/m−u · zk+j/m .
2. Wir korrigieren die Ist
u
der Todeszeitpunkt im Jahre
Wert (bezogen
{j: m−1≥j>u m}
40
KAPITEL 4.
c(K + S) · v K+S .
Der Barwert dieser Zahlung beträgt:
LEIBRENTEN
Seinen Erwartungswert
ermitteln wir ähnlich wie früher
∞ X
E[c(K + S)v K+S ] =
E[c(K + S)v K+S |K = k] · P (K = k)
K=0
=
∞ X
E[c(k + S)(1 + i)1−S |K = k] · v k+1 · P (K = k).
K=0 Setzen wir voraus, dass
S ∼ U[0.1]
(in
[0, 1]
K
S
und
unabhängige Zufallsgröÿen sind und dass
gleichmäÿig verteilt ist), so erhalten wir:
Z
ck+1 := E[c(k + S)(1 + i)1−S ] =
1
c(k + u)(1 + i)1−u du
0 1
Z
X
=
(1 + i)1−u v j/m−u zk+j/m du
0 {j: j>um}
Z
1
X
=
(1 + i)1−j/m zk+j/m du
0 {j: j>um}
=
m Z l/m X
m X
(1 + i)1−j/m zk+j/m du
(l−1)/m j=l m X m X
l=1
=
(1 + i)1−j/m zk+j/m
l=1 j=l j
m
=
1 m
1 XX (1 + i)1−j/m zk+j/m m j=1 l=1
=
1 m
m−1 X
j(1 + i)1−j/m zk+j/m .
j=1
Für die NEP dieser allgemeinen Leibrente mit unterjähriger Zahlung erhalten wir schlieÿlich
∞ X
E(Y |Tx > 0) =
v k · rk k px − E[c(K + S) · v K+S ]
k=0
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
v k · rk k px −
k=0
∞ X
ck+1 v k+1 k px qx+k .
k=0
Stetiger Fall Im Fall kontinuierlicher Zahlungen bedient man sich der gleichen Methode. Wir nehmen an, dass Zahlungen der Intensität r(t) zum Zeitpunkt
t erfolgen. Barwert
und NEP dieser Zahlungen sind gegeben durch
Z
Tx t
Y =
Z
v r(t)dt = 0
und
∞
v t r(t)I{Tx >t} dt
0
Z E(Y |Tx > 0) = 0
∞
v t r(t)EITx >t dt =
Z 0
∞
v t r(t)t px dt.
4.4.
VARIANZEN VON LEIBRENTEN
Satz 4.3.2
41
(1) Für die NEP einer kontinuierlichen Leibrente mit Zahlungs-
intensität
r(t)
gilt
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
v k rk k px ,
k=0
wobei
1
Z
v u r(k + u) u px+k du,
rk = 0
d.h die NEP stimmt mit einer allgemeinen diskreten Leibrente überein. (2) Es gelte zusätzlich:
S
und
K
sind unabhängig,
und S ∼ U[0,1] Dann folgt für die NEP
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
v k · rk k px −
k=0
∞ X
ck+1 v k+1 k px qx+k ,
k=0
wobei
Z
1
rk =
v u r(k + u) du
0
und
Z
1
ck+1 =
u (1 + i)1−u r(k + u) du
0
Beweis: (1) Oenbar haben wir
E(Y |Tx > 0) =
Z ∞ X k=0
Substituieren wir
u := t − k
!
k+1 t
v r(t) t px dt
k
und berücksichtigen wir k+u px
=k px u pk+k , so folgt
die Behauptung. (2) Unter den Voraussetzungen gilt u px+k
= 1 − uqx+k .
Demnach folgt durch
2
Einsetzen die Behauptung.
Beispiel 4.3.3 Es sei
r(t) = eτ t ,
τ 6= δ
und es gelte die Zusatzvoraussetzung aus (2). Dann folgt
rk =
1 − eτ −δ τ k eδ−τ − 1 − (δ − τ ) τ (k+1) e , ck+1 = e δ−τ (δ − τ )2
4.4 Varianzen von Leibrenten
Diskrete Versicherung
Wir betrachten eine diskrete Versicherung mit dem Spektrum dem Abzinsfaktor
v.
{rk }k=0,1...
und
Dann gilt für ihren Barwert
Y =
∞ X k=0
rk v k I[k,∞) (K)
(4.4.2)
42
KAPITEL 4.
LEIBRENTEN
Hieraus folgt für die Nettoeinmalprämie
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
rk v k k px
(4.4.3)
k=0 Zur Bestimmung der Varianz benutzen wir die Darstellung
V ar(Y ) = E(Y 2 |Tx > 0) − (E(Y |Tx > 0)2 Es gilt
E(Y 2 |Tx > 0) =
∞ X
rk v k k px
+
rk v 2k+1 k+1 px
∞ X
rl v l
l=0
k=0 ∞ X
k X
rk+1+l v l l px+k+1
l=0
k=0 oder äquivalent dazu
E(Y 2 |Tx > 0) =
∞ X
rk v k k px
k X
rl v l +
l=0
k=0
∞ X
rk v k
k=0
∞ X
rk+1+l v k+1+l k+1+l px
l=0
Wir berechnen nun zu Aufgabe 10.1 die Nettoeinmalprämie und die Varianz. Es gilt
k
0 1
k px
E(Y |Tx > 0) =
∞ X
1 0, 8
2 0, 6
3 0, 3
rk v k k px = 2+3v 1 px +4v 2 2 px = 2+3v 1 px +4v 2 2 px = 6, 104
k=0 Weiter folgt
E(Y 2 |Tx > 0) = 2 ∗ 2 + 3 px v(2 + 3v) + 4 2 px v 2 (2 + 3v + 4v 2 ) +2(3v px + 4v 2 2 px ) + 3v ∗ 4v 2 2 px = 43, 04416. und somit
V ar(Y |Tx > 0) = 5, 785344
Stetige Versicherung Wir betrachten eine stetige Versicherung mit dem Spektrum zinsfaktor
v.
r(·)
und dem Ab-
Dann gilt für ihren Barwert
Z Y =
∞
r(t)v t I[t,∞) (Tx ) dt
(4.4.4)
0 Hieraus folgt für die Nettoeinmalprämie
Z E(Y |Tx > 0) = 0
∞
r(t)v t t px dt
(4.4.5)
4.5.
EINIGE STANDARDTYPEN
43
Zur Bestimmung der Varianz benutzen wir die Darstellung
V ar(Y ) = E(Y 2 |Tx > 0) − (E(Y |Tx > 0)2 Es gilt
Z t Z ∞ E(Y 2 |Tx > 0) = r(t)v t t px r(u) v u du dt 0 0 Z ∞ Z ∞ 2t + r(t)v t px r(t + u) v u u px+t du dt 0
0
oder äquivalent dazu
∞
Z
2
E(Y |Tx > 0) = Z +
Z
t
0 ∞
t u
r(t)v t px r(u) v du dt Z ∞ 0 t u r(t)v r(u) v u px du dt
0
t
Wir berechnen nun zu Aufgabe 10.2 die Nettoeinmalprämie und die Varianz. Es gilt
t px
= e−µx t ,
t>0
und somit
Z E(Y |Tx > 0) =
∞
Z
r(t)v t t px dt =
0
∞
e−(µx +δ)t dt =
0
1 = 10 µx + δ
Weiter folgt
Z
2
E(Y |Tx > 0) = Z +
∞ −(µx +δ)t
e 0 ∞
t −δu
e
du dt ∞ e−(µx +δ)u du dt
e−δt
t
Z ∞ e−(µx +δ)t 1 − e−δt dt + e−δt dt δ µx + δ 0 0 1 1 1 1 = − + δ µx + δ µx + 2δ (µx + δ)(µx + 2δ)
=
∞
e−(µx +δ)t
1 1 + = 125 (µx + δ)(µx + 2δ) (µx + δ)(µx + 2δ)
und somit
V ar(Y |Tx > 0) = 25.
4.5 Einige Standardtypen a)
0
Z
0
Z
=
Z
Typ Standard Increasing:
rk = k + 1 NEP:
(I¨ a)x =
∞ X k=0
v k (k + 1) k px .
44
KAPITEL 4.
LEIBRENTEN
Satz 4.5.1 Es gilt auch
(I¨ a)x =
∞ X
a ¨x+k · vkk px .
k=0
Beweis: Oenbar gilt ∞ X
(I¨ a)x =
v k k px
l := k − j ,
∞ X
vj
j=0
=j px l px+j (I¨ a)x =
1 =
∞ X ∞ X
v k k px
j=0 k=j
so folgt
(I¨ a)x = Wegen l+j px
j=0
k=0 Ersetze nun
k X
∞ X
v l l+j px .
l=0
folgt
∞ X
v j j px
j=0
∞ X
v l l px+j . =
∞ X
v j j px a ¨x+j
j=0
l=0
2 Satz 4.5.2 Zwischen (I¨ a)x und der NEP einer allgemeinen Todesfallversicherung vom Typ Standard Increasing (IA)x , besteht die folgende Beziehung:
a ¨x = d · (I¨ a)x + (IA)x . Beweis: Wegen
d = 1−v
und der De nition von
(IA)x
folgt für die linke Seite
der Behauptung
d · (I¨ a)x + (IA)x =
∞ X
v k (k + 1)k px
k=0
−
∞ X
v k+1 (k + 1)k px +
k=0
∞ X
v k+1 (k + 1)k px qx+k .
k=0
Folglich
d · (I¨ a)x + (IA)x =
∞ X
v k (k + 1)k px −
k=0 Folglich wegen k px px+k
=k+1 px
d · (I¨ a)x + (IA)x =
∞ X
v k+1 (k + 1)k px px+k
k=0 und
l := k + 1
v k (k + 1)k px −
k=0 b)
∞ X
∞ X
v l (l)l px =
l=1
∞ X k=0
Typ Standard Increasing - Unterjährige Zahlungen:
Im Jahr
k
nden
m
Zahlungen konstanter Höhe,
zk+j/m = (k + 1)/m,
j = 0, 1, . . . , m − 1,
vkk px = a ¨x
4.5.
EINIGE STANDARDTYPEN
45
statt. NEP:
(I¨ a)(m) x
=
∞ X
k px
(m)
· vk · a ¨x+k ,
k=0 (ohne Beweis!)
(m)
(I¨ a)x
Die exakte Berechnung von
ist etwas umständlich. Es ergibt sich: (m)
rk = (k + 1)d ck+1 =
k+1 i(m)
i i(m)
1 + im , i(m)
+
i − i(m) −1 , m
und folglich
(I¨ a)(m) = x
∞ X
rk v k k px −
k=0
=
d i(m)
i i + m i(m)
∞ X
ck+1 v k+1 k px qx+k
k=0
(I¨ a)x −
1
i(m)
i
+
i(m)
i − i(m) −1 a ¨x . m
Unter den Voraussetzungen
K und S unabhängig, S ∼ U[0,1] ,
lässt sich diese NEP, genauer die Gröÿe
∞ X
(I¨ a)(m) = x
k px
(m)
a ¨x+k ,
leichter bestimmen. Wir erhalten
· v k {α(m)¨ ax+k − β(m)}
k=0
= α(m)
∞ X
k px v
k
a ¨x+k − β(m)
k=0
∞ X
k px v
k
k=0
= α(m)(I¨ a)x − β(m)¨ ax , wo
id , (m) d i(m)
α(m) =
β(m) =
i − i(m) . d(m) i(m)
m → ∞ ergibt sich eine Rente mit kontinuierlichen Zahlungen der Intensität r(t) = [t + 1]. Hier ergeben die exakte bzw. näherungsweise Berechnung die
Für
folgenden Resultate:
Z rk = 0
Z ck+1 =
d v u r(k + u)du = (k + 1) , δ
1
u(1 + i)1−u r(k + u) du =
0 und somit
1
k+1 i ( − 1), δ δ
id i−δ (I¨ a)x − 2 a ¨x (exakt), δ2 δ i−δ di (I¯ a)x = α(∞)(I¨ a)x − β(∞)¨ ax = 2 (I¨ a)x − 2 a ¨x δ δ (I¯ a)x =
46
KAPITEL 4.
LEIBRENTEN
4.6 Rekursionsformeln Lemma 4.6.1 Es gelten folgende Beziehungen (1)
a ¨x = 1 + v¨ ax+1 px (2)
δ¯ ax = 1 + Beweis: (1) Spalte in der De nition von Formel k px
d a ¯x − µx a ¯x dx a ¨x
das erste Glied ab und benutze die
=k−1 px+1 px .
(2) Dierenziere
a ¯x ,
so folgt
Z ∞ Rt d d − µ du a ¯x = e−δt e 0 x+u dt dx dx 0 Z ∞ Z ∞ R x+t R x+t d d µs ds µs ds −δt − x −δt − x = e e e e dt = dt dx 0 dx 0 Wegen
Z x Z x+t d ( µs ds − µs ds) = µx+t − µx dx 0 0 folgt
d a ¯x = − dx und schlieÿlich
Wegen
A¯x + δ¯ ax = 1(
Z
∞
−
e−δt e
Rt 0
µx+u du
µx+t dt + µx a ¯x
0
d a ¯x = −A¯x + µx a ¯x . dx Beispiel f ) aus 4.2) folgt die Behauptung.
2
Kapitel 5
Prämienberechnung 5.1 Die Nettoprämie Wir kommen jetzt zu dem Problem, die Leistung des Versicherungsunternehmens zu bewerten, die in der Übernahme des Risikos besteht. Wir wollen also den Preis bestimmen, den ein Versicherungsnehmer für seine Versicherung zu zahlen hat. Wir hatten schon erwähnt, dass Grundlage für die Berechnungen der so genannte
Nettoprämie (Preis ohne jegliche Bearbeitungs-, Verwaltungskos-
ten) das Äquivalenzprinzip ist: erwarteter Barwert der eingezahlten Prämien = erwarteter Barwert der auszuzahlenden Versicherungssumme. Die Bezahlung einer Versicherung kann auf verschiedene Arten erfolgen: (1) Durch eine einmalige Prämie, einer so genannte Einmalprämie. (2) Durch periodische Prämien konstanter Höhe. (3) Durch periodische Prämien variabler Höhe. Prämien werden grundsätzlich
vorschüssig gezahlt. Bei (2) und (3) müssen
auch die Dauer und der Modus der Zahlungen (jährlich oder unterjährig) festgelegt werden. Die Dierenz (Barwert der Leistungen - Barwert der Prämien) := L heiÿt
totaler Verlust und ist eine Zufallsgröÿe.
Eine Nettoprämie ist durch die Bedingung:
EL = 0
de niert.
Falls konstante periodische Prämien gezahlt werden, kann man aus
EL = 0 die Prämienhöhe bestimmen. Falls variable periodische Prämien gezahlt werden, sind zur Bestimmung der Prämienhöhe zusätzliche Bedingungen erforderlich. Die Bestimmung der NEP ist in Kapitel 4 erfolgt, deshalb befassen wir uns jetzt mit der Berechnung von Prämien konstanter Höhe, die periodisch zu zahlen sind.
Beispiel 5.1.1 Temporäre Todesfallversicherung eines 40-jährigen, Dauer 10 Jahre. 47
48
KAPITEL 5.
C,
Versicherte Summe: jährliche Prämie:
Π,
PRÄMIENBERECHNUNG
zahlbar am Ende des Todesjahres,
zahlbar am Anfang jedes Jahres, aber höchstens 10-mal.
Dann gilt: Barwert der Todesfallversicherung:
Z=
C v K+1 0
, ,
Π¨ aK+1 Π¨ a10
, ,
falls falls
K≤9 K>9
Barwert der Prämien:
Y =
L erhalten wir: C v K+1 − Π¨ aK+1 L= −Π¨ a10
falls falls
K≤9 K>9
Für den totalen Verlust
, ,
falls falls
K≤9 K>9
L ist also eine diskrete Zufallsgröÿe, die 10 Werte annimmt. Die zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten sind:
P (L = C · v k+1 − Π · a ¨k+1 ) = P (K = k) =k p40 q40+k , k = 0, 1, . . . , 9, P (L = −Π · a ¨10 ) = P (K ≥ 10) =10 p40 . Die jährliche Nettoprämie ergibt sich aus dem Äquivalenzprinzip.
EL =
9 X
(Cv k+1 − Π¨ ak+1 )k p40 q40+k − Π a ¨10 10 p40
k=0
= CA140:10 − Π¨ a40:10 ; Aus der Bedingung
EL = 0
folgt nun sofort:
Π=C
A140:10 . a ¨40:10
Numerische Illustration: Voraussetzungen:
i = 0, 04, T40 ∼ U (0, ω − 40), ω = 100. Es folgt,
1 , 0 ≤ t ≤ 100 − 40 = 60, ω − 40 t G40 (t) = = 1 −t p40 , 0 ≤ t ≤ 60, 60 1 P (K = k) = Gx (k + 1) − Gx (k) = , 0 ≤ k ≤ 59. 60 g40 (t) =
Folglich
1 (v + v 2 + . . . + v 10 ) = 0, 1352 (v = 0, 9615), 60 10 50 1 1 10 = 0, 5630, A40:10| = v 10 p40 = 1, 04 60
A140:10| =
5.1.
NETTOPRÄMIE
49
1 1 A40:10 = A40:10| + A40:10| = 0, 6982.
a ¨40:10| =
1 [1 − A40:10| ] = 7, 847, (d = 1 − v). d
Daraus ergibt sich eine jährliche Nettoprämie von
Π=C
A140:10 = C · 0, 0172. a ¨40:10|
Bemerkungen zur Bruttoprämie Die Nettoprämie stellt das Äquivalent zur auszuzahlenden Versicherungssumme dar, wenn keinerlei Verwaltungsgebühren berücksichtigt werden. Sie ist natürlich nicht ausreichend. Es gibt verschiedene Methoden, Prämien zu bestimmen, die kostendeckend sind. Wir wollen hier nur einige dieser Methoden andeuten. Eine genauere Beschreibung und Analyse von Prämienberechnungsprinzipien erfolgt in der Vorlesung Risikotheorie. Möglichkeiten: 1. Addition eines Sicherheitszuschlages zur Nettoprämie, 2. groÿzügige Wahl der Rechnungsgrundlagen bei der Berechnung der Nettoprämie (zugrunde liegender Zinssatz, Sterbetafel), führt zu implizitem Sicherheitszuschlag, 3. Pämienberechnung mit Hilfe einer Nutzenfunktion. Eine zweimal stetig dierenzierbare Funktion
on, wenn gilt:
u0 > 0,
u:R→R
heiÿt
Nutzenfunkti-
u00 < 0.
Um die Bedeutung dieser Funktion zu erläutern, betrachten wir den Nutzen, d.h.
G = −L, den das Versicherungsunternehmen erzielt. Wir tragen x-Achse und u(G) auf der y -Achse eines Koordinatensystems ab. Die Funktion u1 (G) = G wertet den Gewinn des Versicherungsunternehmen oenbar einfach. Gilt für eine beliebige Nutzenfunktion u(0) = 0, so ergibt sich folgendes Bild: Die Funktion u bewertet jeden positiven Gewinn G niedriger und jeden
den Gewinn
G
auf der
Verlust (negativer Gewinn) höher. Die Prämien sind dann so zu bestimmen, dass bezüglich des Nutzens eine Äquivalenz besteht: Erwarteter (bewerteter) Nutzen Dies ist das so genannte
= u(0).
Nullnutzenprinzip.
Beispiel 5.1.2
u(x) = Oenbar ist
u
1 (1 − e−ax ) a
konkav.
Der Parameter
a
ist hierbei ein Maÿ für die Risikobereitschaft des Versiche-
rungsunternehmens: Je gröÿer
a
ist, um so niedriger wird der Gewinn des Ver-
sicherungsunternehmens bewertet und um so höher der Verlust. Ist das Versicherungsunternehmen also wenig bereit, ein hohes Risiko zu übernehmen, wird es ein relativ groÿes
a
wählen. Wir wenden nun das Nullnutzenprinzip an:
1 Eu(−L) = E[ (1 − eaL )] = 0 bzw. E(eaL ) = 1. a
50
KAPITEL 5.
PRÄMIENBERECHNUNG
Beispiel 5.1.3 Rückkehr zum Beispiel 5.1.2. Für die temporäre Todesfallversicherung eines 40-jährigen, Dauer 10 Jahre, versicherte Summe
C
ergibt sich
nach dem Nullnutzenprinzip:
9 X
exp{a · C · v k+1 − a · Π · a ¨k+1 } ·
k=0 Oenbar lässt sich die Prämie
Π
1 50 + exp{−a · Π · a ¨10 } = 1. 60 60
hieraus nur näherungsweise bestimmen, etwa
mit dem Newtonschen Verfahren. Für eine numerische Illustration setzen wir willkürlich
a = 10−6 . C 100000 500000 1000000 2000000 4000000
Π 1790 10600 26400 85900 523300
Prämie in % der Nettoprämie
104 123 153 250 764
Aus der Tabelle ist zu erkennen, dass die Prämie nicht proportional zum versicherten Kapital ist, sondern progressiv mit wachsendem aus sinnvoll: Ein versichertes Kapital von
100000DM
C
steigt. Das ist durch-
stellt für den Versicherer
natürlich ein kleines Risiko dar, was den bescheidenen Sicherheitszuschlag von nur
4%
erklärt. Eine 4 Millionen-Police ist dagegen ein beträchtliches Risiko,
664% nötig. Verwendet der Versicherer 153% der Nettoprämie, so heiÿt das, Million DM überschreiten, nicht mehr gedeckt
dafür ist ein Sicherheitszuschlag von z.B. für jedes
C
eine Prämie in Höhe von
dass Versicherungshöhen, die 1
werden können. Sie bedürfen einer so genannten Rückversicherung. Bei Policen mit einem Wert unter 1 Million ist eine Bruttoprämie dieser Höhe zwar etwas zu hoch, sie wird zum Abdecken eventuell weiterer Unkosten genutzt.
5.2 Berechnung weiterer Nettoprämien a) lebenslange Todesfallversicherungen Betrachtet wird zunächst eine lebenslange Todesfallversicherung, versichertes Kapital 1, zahlbar am Ende des Todesjahres, der Barwert dieser Versicherung:
Z = v K+1 ; K = 0, 1, . . .
jährliche Nettoprämie:
Px .
Totaler Verlust:
L0 = v K+1 − Px · a ¨K+1 , Aus dem Äquivalenzprinzip folgt:
Px =
E v K+1 Ax = . E¨ aK+1 a ¨x
Wir zeigen: Es ist für den Versicherer ein gröÿeres Risiko, wenn die Prämien jährlich gezahlt werden als wenn die Prämie in Form der NEP entrichtet wird. Im letzteren Fall gilt für den totalen Verlust:
L = v K+1 − Ax .
5.2.
BERECHNUNG WEITERER NETTOPRÄMIEN
Verwenden wir für
a ¨K+1
die Beziehung
Form
L = (1 +
a ¨K+1 = (1 − v K+1 )/d,
51
so erhält
L
die
Px Px ) · v K+1 − . d d
Daraus ergibt sich unmittelbar
V arL =
Px 1+ d
2
V ar(v K+1 ).
Dagegen folgt
V arL = V ar(v K+1 ). 2 b) Temporäre Todesfallversicherung Jährliche Nettoprämie
( L=
1 Px:n| 1 v K+1 − Px:n| a ¨K+1 1 −Px:n| a ¨n
, f alls K ≤ n − 1 . , f alls K > n − 1
Folglich
n−1 X
EL =
1 1 (v k+1 − Px:n| ·a ¨k+1 ) ·k px qx+k − Px:n| ·a ¨n ·n px
k=0
=
n−1 X
v
k+1
·k px qx+k −
k=0
n−1 X 1 Pxn| ( a ¨k+1 ·k k=0
px qx+k + a ¨ n n px )
1 ·a ¨x:n| . = A1x:n| − Px:n| Also
1 Px:n| =
A1x:n| a ¨x:n|
.
c) Erlebensfallversicherung Das versicherte Kapital sei 1, die Dauer
( L=
1 −Px:n| a ¨K+1 n 1 v − Px:n| a ¨n
n.
Jährliche Nettoprämie
, ,
f alls K ≤ n − 1 f alls K > n − 1
1 Px:n| :
Folglich
EL =
n−1 X
1 1 ·a ¨k+1 )P (K = k) + (v n − Px:n| ·a ¨n )P (K ≥ k) (−Px:n|
k=0
=
1 −Px:n|
n−1 X
! a ¨k+1 k px qx+k + a ¨ x n px
k=0 1 1 = −Px:n| ·a ¨x:n| + Ax:n| ,
+ v n n px
52
KAPITEL 5.
Also
1 Px:n| =
1 Ax:n|
a ¨x:n|
PRÄMIENBERECHNUNG
.
d) Gemischte Versicherung Jährliche Nettoprämie
L=
Px:n| : v K+1 − Px:n| a ¨K+1 v n − Px:n| a ¨n
, f alls K ≤ n − 1 , f alls K > n − 1
Folglich
EL =
n−1 X
¨k+1 )P (K = k) + (v n − Px:n| · a ¨n )P (K ≥ k) (v k+1 − Px:n| · a
k=0
=
n−1 X
v
k+1
k px qx+k
+
vnn px
− Px:n|
n−1 X
! a ¨k+1 k px qx+k + a ¨ n n px
k=0
k=0
1 = A1x:n| + Ax:n| ¨x:n| = Ax:n| − Px:n| a ¨x:n| − Px:n| a Also
Px:n| =
Ax:n| . a ¨x:n|
5.3 Prämienrückgewähr Für den Versicherten ist es in der Regel beruhigend, wenn vereinbart wird, dass z.B. bei einer reinen Erlebensfallversicherung (oder bei einer temporären Todesfallversicherung) im Fall
{K ≤ n − 1}
(oder im Fall
{K ≥ n})
die schon
bezahlten Prämien zurückerstattet werden. Da es für solche Vereinbarungen eine groÿe Anzahl von Möglichkeiten gibt, wollen wir ihr Prinzip nur an einem Beispiel erläutern. Die Grundlage ist wiederum das Äquivalenzprinzip:
EL = 0.
Beispiel 5.3.1 Wir untersuchen eine n-jährige Erlebensfallversicherung mit der Höhe 1. Die bezahlten Prämien sollen im Fall des vorzeitigen Ablebens der versicherten Person ohne Zinsen zurückerstattet werden. Um die anfallenden Kosten zu decken, kalkuliert das Versicherungsunternehmen mit Prämien, die
40%
höher als die Nettoprämien sind. Wir suchen die jährliche Nettoprämie.
Wir bezeichnen den Barwert dieser Versicherung wie üblich mit
P. Dann gilt: (K + 1)1, 4 P v K+1 Z= vn
Z , die
jährliche
Nettoprämie mit
, ,
falls
K = 0, 1, ..., n − 1 falls K ≥ n
Der Barwert der Prämien ist gegeben durch
Pa ¨k+1 Pa ¨n
, ,
falls
K = 0, 1, ..., n − 1 falls K ≥ n
Der totale Verlust des Versicherungsunternehmens ergibt sich als Dierenz dieser beiden Barwerte,
L=
(K + 1)1, 4 P v K+1 − P a ¨k+1 vn − P a ¨n
, ,
falls
K = 0, 1, ..., n − 1 falls K ≥ n
5.3.
Für
PRÄMIENRÜCKGEWÄHR
EL
53
erhalten wir:
EL =
n−1 X
[(k + 1) · 1, 4 · P · v k+1
k=0
−P · a ¨k+1 ] · P (K = k) + (v n − P · a ¨n ) · P (K ≥ n) = 1, 4 · P
n−1 X
(k + 1)v k+1 · P (K = k) + v n n px
k=0
−P
n−1 X
! a ¨k+1 k px qx+k + a ¨ n n px
1 = 1, 4P (IA)1x:n| + Ax:n| − Pa ¨x:n| .
k=0
EL = 0
ist gleichbedeutend mit
h i 1 =P a ¨x:n| − 1, 4(IA)1x:n| , Ax:n| woraus folgt:
P =
1 Ax:n|
a ¨x:n| − 1, 4(IA)1x:n|
Diese NEP ist nur dann de niert, falls der Nenner
. >0
ist.
54
KAPITEL 5.
PRÄMIENBERECHNUNG
Kapitel 6
Das Nettodeckungskapital 6.1 De nition des Deckungskapitals Wir hatten de niert: Totaler Verlust
L
= Barwert der Leistungen - Barwert der Prämien;
Nettoprämien waren durch das Äquivalenzprinzip gegeben:
E(Barwert
der Leistungen)
= E(Barwert
der Prämien).
Zu einem späteren Zeitpunkt besteht im allgemeinen keine Äquivalenz mehr zwischen den zukünftigen Leistungen und den zukünftigen Prämien. Wir hatten z. B. gezeigt, dass zwischen den Prämien für eine lebenslange Todesfallversicherung der Höhe Beziehung besteht:
1 eines x-jährigen und eines (x + k)-jährigen Px < Px+k Damit folgt zum Zeitpunkt k :
die folgende
Erwartete zukünftige Leistungen - erwartete zukünftige Prämien
= Ax+k − Px a ¨x+k > Ax+k − Px+k a ¨x+k = 0. Der Versicherungsnehmer bzw. der Begünstigte kann demnach während der Vertragslaufzeit eine höhere Leistung vom Versicherungsunternehmen erwarten als er selbst durch seine Prämienzahlungen einbringt. Diese Tatsache spricht für die Aufrechterhaltung der Versicherung. Wir betrachten noch ein zahlenmäÿiges Beispiel.
Beispiel 6.1.1 Temporäre Todesfallversicherung eines 40-jährigen, Dauer
10
n=
Jahre, versicherte Summe 1, zahlbar am Ende des Todesjahres, jährliche
Prämie:
Π. L=
v K+1 − Π · a ¨K+1 −Π · a ¨10
Unter den Voraussetzungen
, ,
K = 0, 1, ..., 9 K ≥ 10
i = 0, 04, G40 = U (0, 60) (vgl. Beispiel 5.1.1) folgte:
E(Leistungen) = A140:10 = 0, 1352, E(Prämien) = Π · a ¨40:10 = Π · 7, 848. Für
Π
ergab sich:
Π=
A140:10 = 0, 0172. a ¨40:10 55
56
KAPITEL 6.
Nach
1, 2, 3, . . .
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Jahren erhalten wir dagegen die folgenden Zahlenwerte:
nach k Jahren
A140+k:10−k Π·a ¨40+k:10−k
0 1 0, 1352 0, 1260 0, 1352 0, 1248
Hat der Versicherte den Zeitpunkt
t
2 3 0, 1161 0, 1053 0, 1138 0, 1020
erreicht, d. h. gilt
4 0, 0936 0, 0898
Tx > t,
so de nieren wir
eine Zufallsgröÿe
Lk = Barwert
der zukünftigen Leistungen
−Barwert
der zukünftigen Prämien.
In den in der Praxis auftretenden Versicherungen ist der Erwartungswert von
Lt
in der Regel nicht negativ, d. h. die erwarteten Leistungen sind mindes-
tens so groÿ wie der Erwartungswert der einzuzahlenden Prämien. Damit wird das Interesse des Versicherungsnehmers hervorgerufen. Das Versicherungsunternehmen muss andererseits diese erwartete Dierenz der Zahlungen als Reserve bereitstellen.
De nition 6.1.2 kV
=k Vx := E(Lk |Tx > k)
heiÿt Nettodeckungskapital oder kurz Deckungskapital.
Beispiel 6.1.3 Berechnung des Nettodeckungskapitals einer temporären Todesfallversicherung eines versicherte Summe sei
1.
40-jährigen
mit einer Dauer von
n = 10
Jahren. Die
Die Versicherung werde am Ende des Todesjahres ge-
Π40::10| .
zahlt. Die jährliche Prämie sei
Es gelte
i = 4%
und
T40 ∼ U (0, 60).
Wir betrachten eine gemischte Versicherung eines 40-jährigen, Dauer 10 Jahre, versicherte Summe 1, zahlbar am Ende des Todesjahres. Jährliche Prämie Deckungskapital (zum Zeitpunkt
P40:10 ,
k) :k V40:10 .
Allgemein gilt:
= Ax+k:n−k = Px:n| a ¨x+k:n−k|
Barwert der zukünftigen Leistungen Barwert der zukünftigen Prämien
Somit ergibt sich (vgl. Beispiel 5.1.1)
k Vx:n|
0 Vx:n| Um
=0
= Ax+k:n−k| − Px:n| a ¨x+k:n−k| ,
folglich
a ¨40+k:10−k , A40+k:10−k
Px:n| =
Ax:n| 0, 6982 = = 0, 08896. a ¨x:n| 7, 847
und k V40:10 berechnen zu können, verwenden wir die
folgenden Rekursionen:
a ¨40+k:10−k =
A40+k:10−k =
a ¨40+(k−1):10−(k−1) − 1 vp40+(k−1)
A40+(k−1):10−(k−1) − vp40+(k−1) . vp40+(k−1)
6.2.
DAS DECKUNGSKAPITAL
Eine andere Möglichkeit
57
A40+k:10−k zu berechnen ergibt sich aus dem folgenden Ax:n| = 1 − d¨ ax:n| .
bekannten Zusammenhang:
Entwicklung des Deckungskapitals:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A40+k:10−k 0, 69815 0, 72144 0, 74599 0, 77189 0, 79925 0, 82815 0, 85871 0, 89104 0, 92527 0, 96154 1
ä40+k:10−k
7, 84805 7, 24269 6, 60433 5, 93076 5, 21956 4, 46813 3, 67365 2, 83306 1, 94305 1 0
k V40:10
0 0, 07699 0, 15833 0, 24417 0, 33481 0, 43058 0, 53183 0, 63895 0, 75238 0, 87256 1
Auswertung: Das Deckungskapital wächst von Jahr zu Jahr und hat schlieÿlich die gleiche Gröÿenordnung wie das versicherte Kapital. Das Deckungskapital von der Prämie von
0, 08898
0, 87256
am Ende des 9. Jahres ergibt zusammen mit
1
- beide für
Jahr verzinst den am Ende des 10. Jahres
fälligen Betrag von 1:
(0, 87256 + 0, 08898) · 1, 04 = 1.
6.2 Das Deckungskapital für eine allgemeine Versicherung Wir betrachten die allgemeine Todesfallversicherung, die den Barwert
Z = cK+1 v K+1 , besitzt. Ist
Πk
die zum Zeitpunkt
k
K = 0, 1, 2, . . .
zu zahlende Prämie, so gilt für den totalen
Verlust des Versicherungsunternehmens zum Zeitpunkt
L = cK+1 v K+1 −
K X
Πk v k ,
0
K = 0, 1, 2, . . .
k=0 Wir fragen, wie
Lt
zum (ganzzahligen) Zeitpunkt
Lt =
cK+1 v K+1−t −
PK
k=t
t
aussieht. Oenbar gilt:
Πk v k−t 0
K≥t . K
Wir zeigen
Satz 6.2.1 Das Deckungskapital für eine allgemeine Todesfallversicherung ergibt sich aus
tV =
∞ X k=0
ct+k+1 v k+1 k px+t qx+t+k −
∞ X k=0
Πt+k v k k px+t .
(6.2.1)
58
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Beweis: Zunächst bemerken wir, dass wegen der Ganzzahligkeit von
{Tx > t} = {K ≥ t}
t
gilt:
{Tx > t} ∪ {Tx > 0} = {Tx > t}.
und
Wir erhalten:
P (K = k|Tx > t) = P (K = k|K ≥ t) P (K = k, K ≥ t, Tx > 0) P (K = k, K ≥ t|Tx > 0) = = P (K ≥ t, Tx > 0) P (K ≥ t|Tx > 0) ( P (K=k|Tx >0) k px qx+k , falls k ≥ t P (K≥t|Tx >0) = t px = . 0 sonst Wir zerlegen t V nach De nition in zwei Teile:
K X K+1−t V = E(c v |T > t) − E( Πk v k−t |Tx > t) =: a − b. t K+1 x k=t 1. Wir erhalten für
a
j := k − t
nach Transformation
a=
∞ X
ck+1 v k+1−t P (K = k|Tx > t)
k=t ∞ X
=
ck+1 v k+1−t
k px qx+k t px
k=t
=
∞ X
cj+t+1 v j+1
j+t px qx+j+t t px
j=0
.
Wegen
j+t px
=j px+t t px
können wir also schreiben:
a=
∞ X
cj+t+1 v j+1 j px+t qx+j+t
j=0 2. In ähnlicher Weise ergibt sich
b=
∞ X
k X
k=t
=
∞ X
Πj v j−t P (K = k|Tx > t) =
j=t
l+t X j=t
Πj v
j−t l+t px qx+l+t t px
) =
k X
∞ l X X l=0
Πj v j−t
j=t
k=t
l=0
∞ X
k px qx+k t px
) !
Πk+t vlk px+t qx+l+t )
k=0
Wir vertauschen nun die Reihenfolge der Summation und erhalten
b=
∞ ∞ X X k=0
l=k
! Πk+t vlk px+t qx+l+t )
=
∞ X
Πk+t v
k
∞ X
! l px+t qx+l+t )
l=k
k=0
=
∞ X k=0
Πk+t v k k px+t .
6.2.
DAS DECKUNGSKAPITAL
59
Satz 6.2.2 k V und k+1 V genügen der folgenden rekursiven Beziehung: kV
+ Πk = (ck+1 qx+k +k+1 V px+k )v.
(6.2.2)
Interpretationen: 1. Summe von Deckungskapital und Prämie zum Zeitpunkt = erwarteter Barwert des zum Zeitpunkt
k+1
k
notwendigen Kapitals.
2. Die Summe von Deckungskapital und Prämie im Jahre
ck+1
eine temporäre Todesfallversicherung der Höhe
k
reicht gerade für
und eine Erlebensfallversi-
cherung der Höhe k+1 V , jeweils der Dauer 1.
Beweis: Zum Beweis der Gleichheit betrachten wir die Gleichung (6.2.1). Wir spalten den ersten Summanden bei beiden Summen der rechten Seite ab und erhalten:
= ck+1 vqx+k − Πk ∞ X Πk+j v j j px+k . ck+j+1 v j+1 j px+k qx+k+j − kV
+
∞ X
j=1
j=1
j 0 := j − 1:
Nun wird ein neuer Summationsindex eingeführt,
kV
+
∞ X
+ Πk = ck+1 vqx+k
ck+j+2 v j+2 j+1 px+k qx+k+1+j −
j=0
∞ X
Πk+1+j v j+1 j+1 px+k .
j=0
Wegen der Faktorisierung
j+1 px+k
= px+k j px+k+1
können wir aus beiden Summen den Ausdruck
kV
+px+k v
∞ X
px+k v ausklammern und erhalten:
+ Πk = ck+1 vqx+k
ck+j+2 v j+1 j px+k+1 qx+k+1+j −
j=0
∞ X
Πk+1+j v j j px+k+1
j=0
= v(ck+1 qx+k + px+k k+1 V ).
Eine etwas andere Interpretation von (6.2.2) erhalten wir, wenn wir
px+k = 1 − qx+k benutzen:
kV Das zum Zeitpunkt
+ Πk = v [k+1 V + (ck+1 −k+1 V )qx+k ] . k+1
notwendige Kapital setzt sich zusammen aus dem
Deckungskapital k+1 V , das in jedem Fall bereitzustellen ist, und einem Betrag
(ck+1 −k+1 V ),
der nur bei Tod des Versicherungsnehmers anfällt. Gleichung
(6.2.2) erlaubt es, auch die Prämie
Πk
in zwei Komponenten zu zerlegen:
Πk = (vk+1 V −k V ) + (ck+1 −k+1 V )vqx+k . =: Πsk + Πrk Wir führen in diesem Zusammenhang die folgenden Begrie ein.
60
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
De nition 6.2.3 ck+1 −k+1 V heiÿt Risikosumme Πsk := vk+1 V −k V heiÿt Sparprämie. Πrk := (ck+1 −k+1 V )vqx+k heiÿt Risikoprämie. Die Sparprämie ergibt zusammen mit dem alten Deckungskapital das auf den Zeitpunkt
k
bezogene neue Deckungskapital:
Πsk +k V = v k+1 V Interpretationen: a) Risikosumme
≥0
Die Risikoprämie stellt die Nettoeinmalprämie einer einjährigen Todesfallversicherung in Höhe der Risikosumme dar. Das Geschehen im Versicherungsjahr
k+1
kann also zerlegt werden in einen reinen Sparprozess und eine einjährige
Todesfallversicherung in Höhe der Risikosumme. b) Risikosumme Benutzen wir
<0
qx+k = 1 − px+k kV
, so können wir (6.2.2) schreiben
+ Πk = ck+1 v + (k+1 V − ck+1 )vpx+k .
(6.2.3)
Diese Gleichung kann wie folgt interpretiert werden: Es wird auf jeden Fall bereitgestellt, im Überlebensfall wird zusätzlich der Betrag k+1 V Das Geschehen im Versicherungsjahr
k+1
− ck+1
ck+1
fällig.
kann zerlegt werden in einen reinen
Sparprozess und eine einjährige Erlebensfallversicherung in Höhe der negativen Risikosumme.
ˆ s := ck+1 v −k V heiÿt modi zierte Sparprämie. Π k r ˆ Πk := (k+1 V − ck+1 )vpx+k heiÿt Überlebensrisikoprämie.
De nition 6.2.4
Es gilt dann die Zerlegung
ˆ sk + Π ˆ rk Πk = Π Wir kommen nun zum Nettodeckungskapital zurück und zeigen, dass es sich allein aus den Sparprämien ermitteln lässt. Wir haben nämlich
Satz 6.2.5 Es gilt kV
=
k−1 X
(1 + i)k−j Πsj ,
(6.2.4)
j=0
d. h. das Deckungskapital ist der aufgezinste Wert der Sparprämien.
Beweis: Wir multiplizieren über
Πsj =j+1 V v −j V
mit
(1 + i)k−j
und summieren
j = 0, 1, . . . , k − 1. k−1 X
(j+1 V v −j V )(1 + i)k−j =
j=0 k−1 X
j+1 V
v j−k+1 −
j=0
=
l=1
(j+1 V v −j V v j−k
j=0
= k X
k−1 X
lV
v l−k −
k−1 X
jV
)v j−k
j=0 k−1 X j=0
jV
v j−k =k V −0 V v −k =k V,
6.2.
DAS DECKUNGSKAPITAL
61
da wegen des Äquivalenzprinzips 0 V
=0
gilt.
Das folgende numerische Beispiel zeigt, wie die Zerlegung einer Prämie in Sparund Risikoprämie aussehen kann.
Beispiel 6.2.6 Wir betrachten wieder die gemischte Versicherung eines 40jährigen der Dauer 10, Höhe 1 000. Unter den Voraussetzungen
gx (t) = i = 0, 04
1 , 100 − x
können wir die Prämie
0 < x < 100,
1000 P40:10 = 88, 98
ermitteln. Wegen
ck+1 = 1000 >k+1 V, k = 0, 1, . . . , 9, r ist Πk > 0. Wir erhalten (wie aus unten stehender Tabelle zu ersehen ist): Die Sparprämie wächst von Jahr zu Jahr bis sie im neunten Jahr den Wert 88,98 erreicht hat. Zusammen mit dem Deckungskapital 9 V ergibt sich bei einjähriger Verzinsung der im 10. Jahr fällige Betrag von 1 000.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kV
0 76, 99 158, 33 244, 17 334, 81 430, 58 531, 83 638, 95 752, 38 872, 56 1000
Πrk Πsk 74, 03 14, 95 75, 25 13, 73 76, 45 12, 53 77, 76 11, 22 79, 21 9, 22 80, 795 8, 185 82, 545 6, 435 84, 49 4, 49 86, 62 2, 39 88, 98 0 − −
Die Zerlegung der Prämie in eine Spar- und eine Risikoprämie zeigt, dass die Sparprämie eigentlich dem Versicherungsnehmer gehört. Damit gehört auch das Deckungskapital k V wegen Formel (6.2.4) eigentlich dem Versicherungsnehmer; denn es gilt:
kV =
k−1 X
(1 + i)k−j Πsj .
j=0 Das Deckungskapital kann aus diesem Grund zur Umwandlung einer Versicherung genutzt werden, d. h. es steht bei Abschluss einer neuen Versicherung (anstelle der alten) zur Finanzierung mit zur Verfügung. Wir wollen die zugrunde liegende Methodik einer solchen Umwandlung einer Versicherung am Beispiel einer lebenslangen Todesfallversicherung erläutern. Der Versicherte möge zum Zeitpunkt
k
noch leben und keine weiteren Prämien mehr zahlen wollen oder
können. Dann gilt:
Satz 6.2.7 Eine lebenslange Todesfallversicherung der Höhe 1, die am Ende des Todesjahres zahlbar ist, kann nach
k
Jahren in eine prämienfreie lebenslange
Todesfallversicherung der reduzierten Höhe
(1 −
Px ) · Ax+k Px+k
62
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
umgewandelt werden.
Beweis: Es ist
= Ax+k − Px a ¨x+k .
k Vx Mit
Px+k =
Ax+k a ¨x+k
bzw.a ¨x+k
=
Ax+k Px+k
erhält k Vx die Gestalt
k Vx = Ax+k −
Px Px Ax+k = Ax+k 1 − . Px+k Px+k
Bemerkung: 1. Damit ist k Vx genauso groÿ wie die Nettoeinmalprämie einer lebenslangen Todesfallversicherung für einen (x+k)-jährigen der Höhe
1−
Px Px+k
2. Aus der letzten Darstellung von k Vx folgt unter Berücksichtigung von
Px+k a ¨x+k
die so genannte
Ax+k =
Prämiendierenzformel: k Vx
= (Px+k − Px )¨ ax+k
k Vx
= Ax+k − Px a ¨x+k
bzw.
Ax+k =k Vx + Px a ¨x+k . Sie hat folgende Interpretation: k Vx ist die Nettoeinmalprämie für die fehlenden Prämien (zu
Ax+k
gehört eigentlich die Prämienhöhe
Px+k > Px ).
6.3 Die Zuteilung des totalen Verlustes auf die Versicherungsjahre Wir wollen untersuchen, welcher Anteil des totalen Verlustes im Versicherungsjahr
k
zu tragen ist. Wir fragen also nach Zufallsgröÿen
L=
∞ X
Λk
mit der Eigenschaft:
Λk v k .
(6.3.1)
k=0 Wir zeigen:
Satz 6.3.1 Die Zufallsgröÿen
Λk =
Λk
seien für
k = 0, 1, . . .
0 ck+1 v − (k V + Πk ) k+1 V v − (k V + Πk )
Es sind also 3 Fälle zu berücksichtigen:
gegeben durch
K
k falls
falls
(6.3.2)
6.3.
DIE ZUTEILUNG DES VERLUSTES
63
•
der Versicherungsnehmer stirbt vor dem Jahr
•
der Versicherungsnehmer stirbt im Jahre
•
der Versicherungsnehmer überlebt das Jahr
k
k k
Beweis: Oenbar erstreckt sich die Summation in (6.3.1) nur auf die Werte
k = 0, 1, . . . , K. Setzen wir (6.3.2) in die Summe von (6.3.1) ein, so erhalten wir: K X
Λk v k =
k=0
K−1 X
[k+1 V v − (k V + Πk )]v k + [cK+1 v − (K V + ΠK )]v K
k=0
=
K−1 X
k+1 V
v k+1 −
=
(k V + Πk )v k + cK+1 v K+1
k=0
k=0 K−1 X
K X
k+1 V
v
k+1
−
k=0
K X k=0
kV
k
v −
K X
Πk v k + cK+1 v K+1
k=0
Die ersten beiden Summen heben sich auf; denn es ist 0 V
K X
Λk v k = cK+1 v K+1 −
K X
= 0.
Übrig bleibt
Πk v k = L.
k=0
k=0
Über die Kenngröÿen von
Λk
und
L
gibt der folgende Satz Auskunft.
Satz 6.3.2 (Satz von Hattendorf ) Es gelten folgende Beziehungen (1)
E[Λk ] = 0, k = 0, 1, 2, . . .
(2)
Cov(Λk , Λj ) = 0,
(3)
V ar[Λk ] = (ck+1 −k+1 V )2 v 2 k+1 px qx+k , k = 0, 1, 2, . . . P∞ V ar[L|Tx > 0] = k=0 v 2k+2 (ck+1 −k+1 V )2 k+1 px qx+k .
(4)
k 6= j ,
Beweis: (1) Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit folgt
EΛk = E[Λk |K < k]P (K < k) + E[Λk |K = k]P (K = k) +E[Λk |K > k]P (K > k). Der erste Summand verschwindet aufgrund der De nition von
Λk .
Deshalb er-
gibt sich:
EΛk = [ck+1 v − (k V + Πk )]P (K = k) + [k+1 V v − (k V + Πk )]P (K ≥ k + 1) Die Werte der Zufallsgröÿe
Λk
können wie folgt ersetzt werden:
ck+1 v − (k V + Πk ) = (ck+1 −k+1 V )v px+k
(6.3.3)
64
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
und
k+1 V
v − (k V + Πk ) = −(ck+1 −k+1 V )v qx+k
(6.3.4)
Wir erhalten:
EΛk = (ck+1 −k+1 V )v px+k k px qx+k − (ck+1 −k+1 V )v px+k k px qx+k k+1 px = (ck+1 −k+1 V )v qx+k (k+1 px −k+1 px ) = 0 (2) Wegen (1) gilt
Cov(Λk , Λj ) = E(Λk · Λj ) k < j.
Es sei
Dann gilt
E(Λk Λj ) = E(Λk Λj |K ≥ j)P (K ≥ j) + E(Λk Λj |K < j)P (K < j). Da für
K < j Λj = 0,
erhalten wir wegen
K>k
E(Λk Λj ) = E(Λk Λj |K ≥ j)P (K ≥ j) = (k+1 V v − (k V + Πk ))E(Λj |K ≥ j)P (K ≥ j) = 0 (3) Es gilt oenbar
V ar(Λk ) = E[Λ2k ] = [ck+1 v − (k V + Πk )]2k px qx+k + [k+1 V v − (k V + Πk )]2k+1 px Wegen (6.3.3) und (6.3.4) erhalten wir
V ar(Λk ) = E[Λ2k ] 2 = (ck+1 −k+1 V ))2 v 2 p2x+k k px qx+k + (−(ck+1 −k+1 V ))2 v 2 qx+k k+1 px 2 = (ck+1 −k+1 V ))2 v 2 [p2x+k k px qx+k + qx+k k+1 px ]
= (ck+1 −k+1 V ))2 v 2 k+1 px qx+k [px+k + qx+k ] = (ck+1 −k+1 V ))2 v 2 k+1 px qx+k (4) Wegen (3) folgt
V ar[L] = V ar
∞ X
! Λk v
k
k=0
=
∞ X
V ar(Λk )v 2k
k=0
Folgerung 6.3.3 Es gilt für die bedingte Varianz des Verlustes zum Zeitpunkt
t V ar(Lt |Tx > t) =
∞ X k=0
v 2k+2 (ct+k+1 −t+k+1 V )2 k+1 px+t qx+t+k .
6.3.
DIE ZUTEILUNG DES VERLUSTES
65
Beweis: Aufgrund der De nition von t L haben wir
cK−t+t+1 v K−t+1 −
Lt = Somit entspricht
Lt
PK−t j=0
Πk+t v k 0
K>t K≤t
dem totalen Verlust einer Versicherung zum Zeitpunkt
0
mit den Auszahlungen
c˜k = ck+t und den Prämien
˜ k = Πk+t Π und mit
k≥0
der Sterbewahrscheinlichkeit
˜ = k|Tx+t > 0) = P (K − t = k|Tx − t > 0) P (K k+t px qx+k+t
=
t px
=k px+t qx+k+t
Aufgrund von Satz 6.2.1 erhalten wir danach
˜ =k+t V.
kV
Hieraus und aus Eigenschaft (4) ergibt sich die Folgerung.
Beispiel 6.3.4 Eine Versicherung garantiert im Falle des Todes innerhalb der nächsten n Jahre 1 plus das Deckungskapital am Ende des Todesjahres. Wie groÿ muss die konstante jährliche Prämie und das Deckungskapital sein? Es gilt also
ck = 1 +k V. Es gilt dann wegen
Π := Πk = (vk+1 V −k V ) + (ck+1 −k+1 V )vqx+k . Π = (vk+1 V −k V ) + vqx+k . Multiplizieren wir mit
Π¨ an =
vk
n−1 X
und summieren von
v k+1 k+1 V −
n−1 X
k=0
k = 0...n − 1,
vk k V +
k=0
= vn n V − v0 0 V +
n−1 X
so folgt
v k+1 qx+k
k=0 n−1 X
v k+1 qx+k .
k=0 Also:
Π= Summieren wir über
vn n V +
k = 0...j − 1
Pn−1 k=0
v k+1 qx+k
a ¨n
.
, so erhalten wir
¨j Π − jV = s
j−1 X
(1 + i)j−k−1 qx+k
k=0 Das folgende Lemma hilft das Deckungskaptital zu verschieden Zeitpunkten und die Prämie zu bestimmen.
66
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Lemma 6.3.5 Das Deckungskaptital 1 V ,..., n−1 V einer allgemeinen Todesfallversicherung und die einheitliche Prämie Π sind durch das Deckungskapital 0 V und n V eindeutig bestimmt.
Beweis: Es gilt (6.2.3). Für
k=0
erhalten wir daraus
1 1 (Π +0 V ) + 1 − c1 v px px =: a1 0 V + b1 Π + d1,1 c1
1V =
mit
b1 > 0. Wenden wir (6.2.3) für
k=1
an, so folgt nach einfacher Rechnung die Darstel-
lung
2V
= a2 0 V + b2 Π + d2,1 c1 + d2,2 c2
mit
b2 > 0. Folglich erhalten mit Induktion
kV
= ak 0 V + bk Π +
k X
dk,j cj
(6.3.5)
j=1 mit
bk > 0. Dann ist
Π
eindeutig bestimmt, wenn wir (6.3.5) für
k=n
anwenden.
6.4 Der technische Gewinn Modi kation: Der tatsächliche Zinssatz im Jahr
k+1
ist
i0 ≥ i.
Dann wird der technische Gewinn durch
Gk+1 =
(k V + Πk )(1 + i0 ) − ck+1 (k V + Πk )(1 + i0 ) −k+1 V
falls falls
K=k K>k
gegeben. Zerlegung des technischen Gewinns: 1. Methode:
Gk+1 = (k V + Πk )(i0 − i) − Λk (1 + i) Interpretation: Der technische Gewinn setzt sich zusammen aus Zinsgewinn und Sterblichkeitsgewinn. 2. Methode:
Gk+1 = Gsk+1 + Grk+1 = (k V + Πsk )(i0 − i) + Πrk (i0 − i) − Λk (1 + i). Wegen der De nition von
Grk+1 =
Λk
folgt
Πrk (1 + i0 ) − (ck+1 −k+1 V ) Πrk (1 + i0 )
falls falls
K=k . K>k
6.5.
DAS KONTINUIERLICHE MODELL
67
und für den Spargewinn
Gsk+1 =k+1 V v(i0 − i) Interpretation: Die Leistung kann um
v(i0 − i)100%
erhöht werden, wenn der
Versicherungsnehmer (im Überlebensfall) damit einverstanden ist, die Prämien zu erhöhen:
˜ k+h = v(1 + i0 )Πk+h Π
c˜k+1+h = v(1 + i0 )ck+1+h ,
Im Todesfall bekommt der Versicherungsnehmer zusätzlich
Gsk
ausgezahlt.
Beispiel 6.4.1 Eine reine Erlebensfallversicherung ist de niert
ck = 0,
k = 0, 1, ...
Sie ist sinnvoll zur Beschreibung von laufenden Renten. Dann ist
Πk = −rk , wobei
rk
die Zahlung im Zeitpunkt
kV
k
k = 0, 1, ..., ist. Wegen der Rekursion gilt dann
+ Π = px+k k+1 V v
und somit für den technischen Gewinn
Gk+1 =
px+k k+1 V v(1 + i0 ) 0 k+1 V (px+k v(1 + i ) − 1)
falls falls
K=k . K>k
px+k = 1 − qx+k und 1 = v(1 + i), so erhalten wir px+k k+1 V v(1 + i0 ) falls K = k = . −k+1 V (qx+k v(1 + i0 ) +k+1 V v(i0 − i) falls K > k
Ersetzen wir
Gk+1
Demnach kann man den technischen Gewinn wiederum zerlegen, und zwar
Gk+1 = GIk+1 + GII k+1 , wobei
GIk+1 = und
I GII k+1 := Gk+1 − Gk+1
k+1 V
0 v(i0 − i)
K=k . K>k
falls falls
gesetzt wird.
6.5 Das kontinuierliche Modell Wir betrachten die allgemeine stetige Todesfallversicherung mit der Leistungsfunktion
c(t),
die den Leistungsbarwert
Z = c(Tx )v Tx . besitzt. Ist die Funktion
Π(t)
die zum Zeitpunkt
t
zu zahlende Prämie, so gilt
für den totalen Verlust des Versicherungsunternehmens
L = c(Tx )v
Tx
Z − 0
Tx
Π(u)v u du
68
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Lt zum Zeitpunkt t aussieht. Oenbar gilt RT c(Tx )v Tx −t − t x Π(u)v u−t du falls Tx > t Lt = . 0 falls Tx ≤ t
Wir fragen, wie
Wir zeigen
Satz 6.5.1 Es gelte
Z
∞
∞
Z
c(u)v u u px µx+u du < ∞
Π(u)v u u px du < ∞.
und
0
(6.5.1)
0
Dann existiert das Deckungskapital
Z
V (t)
für eine allgemeine Todesfallversiche-
t≥0
rung und es gilt für alle ∞
∞
Z
c(t + u)v u u px+t µx+t+u du −
V (t) = 0
Π(t + u)v u u px+t du.
(6.5.2)
0
Beweis. 1. Oenbar gilt für
u>t
P (Tx ≤ u|Tx > t) = P (0 < Tx − t ≤ u − t|Tx − t > 0) = P (Tx+t ≤ u − t|Tx+t > 0) = Gx+t (u − t). Also folgt
P (Tx ≤ u|Tx > t) = 2. Wir substituieren in (6.5.2)
Z
Gx+t (u − t), 0,
w := u + t
wenn wenn
u>t . u≤t
(6.5.3)
und erhalten
∞
∞
Z
c(w)v w−t w−t px+t µx+w du −
Π(w)v w−t w−t px+t du. t Z Zt ∞ ∞ −t w =v c(w)v w−t px+t µx+w du − Π(w)v w w−t px+t du .
V (t) =
t
t
Auÿerdem gilt für
w>t w−t px+t t px
=w px
und es folgt die Darstellung
v −t V (t) = t px
∞
Z
c(w)v
w
Z w px
∞
µx+w du −
t
Π(w)v
w
w px
du .
(6.5.4)
t
Nach den Voraussetzungen (6.5.1) existiert die rechte Seite von (6.5.2) für alle
t ≥ 0. Wir zerlegen
V (t)
in zwei Teile
V (t) = E c(Tx )v
Tx −t
|Tx > t − E
Z
!
Tx
Π(u)v
u−t
du|Tx > t
=: a − b.
t Im Weiteren bestimmen wir
a
und
b.
3. Wegen (6.5.3) gilt
Z a=
∞
c(u)v 0
u−t
Z Gx+t (du − t) = t
∞
c(u)v u−t Gx+t (du − t).
6.5.
DAS KONTINUIERLICHE MODELL
69
Wir erhalten daraus nach Transformation von
Z
∞
c(t + w)v w Gx+t (dw) =
a= 0
Z
w := u − t
∞
c(t + u)v u u px+t µx+t+u du.
(6.5.5)
0
b
2. Nach De nition von
und (6.5.3) folgt
∞
Z
w
Z
Π(u)v u−t du Gx+t (dw − t).
b= t
t
z := w − t
Es gilt nach Transformation von
Z
∞
z+t
Z
Π(u)v u−t du Gx+t (dz).
b= 0
t
Nun substituieren wir im inneren Integral
Z
∞
und erhalten
z
Z
Π(s + t)v s ds Gx+t (dz).
b= 0
s := u − t
0
Vertauschen wir auf Grund des Satzes von Fubini die Reihenfolge der Integration, so ergibt sich
∞
Z
Z
b= 0
∞
Z Π(s + t)v s Gx+t (dz) ds =
s
∞
Π(s + t)v s (1 − Gx+t (s)) ds
0
und somit
∞
Z
Π(t + u)v u u px+t ds.
b=
(6.5.6)
0 Aus (6.5.5) und (6.5.6) folgt die Behauptung. Wir leiten nun das Analogon zu der Rekursion im diskreten Fall her.
Satz 6.5.2 (Thielsche Dierentialgleichung) Es gelte (6.5.1) und die Dichte
gx (t),
das Leistungsspektrum
c(t)
und die Prämienfunktion
Π(t)
seien stetig.
Dann gilt
Π(t) + δV (t) = V 0 (t) + (c(t) − V (t))µx+t
(6.5.7)
Beweis. Wir benutzen die Darstellung (6.5.4)
V (t) =
v −t t px
Z
∞
c(w)v w w px µx+w du −
Z
∞
Π(w)v w w px du .
(6.5.8)
t
t
Um die Behauptung zu erhalten, dierenzieren wir (6.5.8) nach
t.
Wegen
(t px )0 = −t px µx+t folgt
v −t t px
0 =
v −t (δ + µx+t ). t px
(6.5.9)
70
KAPITEL 6.
V (t)
Nach Voraussetzung ist nun
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
dierenzierbar und wir erhalten
v −t (Π(t)vtt px − c(t)v t t px µx+t ) t px = (δ + µx+t )V (t) + (Π(t) − c(t)µx+t )
V 0 (t) = (δ + µx+t )V (t) +
Dies ist die Behauptung (6.5.7). Wir gehen noch auf eine Anwendung der Thielschen Dierentialgleichung ein und leiten eine Darstellung für die Varianz des Verlustes her.
Satz 6.5.3 Es gelte das Äquivalenzprinzip. Auÿerdem gelte (6.5.1) und die Dichte gx (t), das Leistungsspektrum c(t) und die Prämienfunktion stetig. Weiterhin wird vorausgesetzt, dass ∞
Z
u
Z
0
Π(w)v w dw
Π(t)
seien
2 u px
µx+u du < ∞,
(6.5.10)
0 ∞
Z
c2 (u)v 2u u px µx+u du < ∞,
(6.5.11)
0 2
lim (V (u)v u )
u→∞ Z u
und
Z
(6.5.12)
(6.5.13)
c(w)v w µx+w dw V (u)v u u px = 0
(6.5.14)
0 u
lim
u→∞
= 0,
Π(w)v w dw V (u)v u u px = 0,
lim
u→∞
u px
0
L
erfüllt sind. Dann gilt für die Varianz von ∞
Z
v 2t (c(t) − V (t))2 t px µx+t dt.
V ar(L|Tx > 0) =
(6.5.15)
0 Wir benötigen folgendes
Lemma 6.5.4
(Π(t) − µx+t c(t))vtt px = V (t)v t t px
0
(6.5.16)
Beweis: Wir betrachten die rechte Seite von (6.5.16) und erhalten
V (t)v t t px
0
= V 0 (t)vtt px + V (t)v t (−δ)t px + V (t)v t (−t px µx+t ).
Es folgt also
V (t)v t t px
0
= vtt px (V 0 (t) − (δ + µx+t )V (t))
Nach Satz 6.5.3 folgt weiter
V (t)v t t px
0
= (Π(t) − c(t)µx+t ) vtt px ,
d. h. es gilt (6.5.16).
Beweis des Satzes 6.5.3: Es gilt wegen
EL = 0
und den Voraussetzungen
(6.5.10) und (6.5.11)
V ar(L|Tx > 0) = E
c(Tx )v
Tx
Z −
!2
Tx u
Π(u)v du 0
6.5.
DAS KONTINUIERLICHE MODELL
∞
Z
c2 (u)v 2u gx (u) du − 2
=
Z
0
71
∞
c(u)v u
0 ∞
Z
Π(w)v w dw
+ 0
Π(w)v w dw gx (u) du
0
u
Z
u
Z
2 gx (u) du =: A + B + C.
0
L
Wir zerlegen also die Varianz von
gemäÿ
V ar(L|Tx > 0) = A + B + C. 1. Wir betrachten zunächst den Term
2
u
Z
w
C=−
(1 −
Π(w)v dw
C.
(6.5.17)
Nach partieller Integration folgt
Gx (u)) |∞ 0
Z
∞
Z
u
+2
0
0
Π(w)v w dw u px du
0
Wegen (6.5.10) und der Ungleichung
∞
Z
u
Z
t
Π(w)v w dw
2
Z gx (u) du ≥
t
Π(w)v w dw
2 t px
≥0
0
0
erhalten wir
2
u
Z
w
lim
Π(w)v dw
u→∞
u px
= 0,
0
und somit folgt
∞
Z
u
Z
C=2 0
Π(w)v w dw Π(u)v u u px du
0
2. Wir bilden
∞
Z
u
Z
Π(w)v dw [Π(u) − µx+u c(u)] v u u px du
C +B =2 0
w
(6.5.18)
0
Wegen Lemma 6.5.4 gilt die Identität
0
(Π(w) − µx+w c(w))v w w px = (V (w)v w w px )
und nach Division durch w px und Integration von 0 bis u folgt
Z
u
Z
Π(w)v w dw −
0
u
Z
µx+w c(w)v w dw =
0
u
0
(V (w)v w w px )
0
1 dw w px
(6.5.19)
und somit
Z
u
Π(w)v w dw =
u
Z
0
1 dw + w px
0
(V (w)v w w px )
0
Z
u
µx+w c(w)v w dw.
0
Ersetzen wir dies in (6.5.18), so erhalten wir
Z
∞
Z
C +B =2 0
Z
∞ Z
+2 0
0
u
0
(V (w)v w w px )
0
u w
1 0 dw (V (u)v u u px ) du+ w px 0
µx+w c(w)v dw (V (u)v u u px ) du =: D1 + D2
72
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Um den Beweis abzuschlieÿen, leiten wie Darstellungen für
D1
3. Wir betrachten das Integral
D1
D2
und
ab.
und integrieren partiell. Dann erhalten wir
D1 u
Z
1 dw V (u)v u u px |∞ (V (w)v w px ) 0 −2 w px 0
w
=2 0
∞
Z
0
(V (u)v u u px ) V (u)v u du
0
Wegen (6.5.13),(6.5.14) und (6.5.19) erhalten wir
Z
u
0
(V (w)v w w px )
lim
u→∞
0
1 dw V (u)v u u px = 0. p w x
Hieraus folgt
Z D1 = −2
∞
(V (u)v
0
u
∞
Z
u
V (u)v du = −
u px )
0
h
2
(V (u)v u u px )
0
i0 1 du. u px
Wir integrieren nun partiell und erhalten
2
D1 = − (V (u)v u u px )
1 ∞ |0 + u px
Z
∞
2
(V (u)v u )
u px
µx+u du.
0
Wegen (6.5.12) folgt
∞
Z
V 2 (u)v 2u u px µx+u du.
D1 =
(6.5.20)
0
D2 ,
4. Wir betrachten das Integral
integrieren partiell und erhalten
D2 Z
u
=2
Z c(w)v w µx+w dw V (u)v u u px |∞ − 2 0
0
∞
c(u)v 2u µx+u V (u) u px du.
0
Wegen (6.5.14) folgt
Z D2 = −2
∞
c(u)v 2u µx+u V (u) u px du
(6.5.21)
0 5. Wir benutzen (6.5.17),(6.5.20) und (6.5.21) und erhalten
∞
Z
2 c (u) − 2c(u)V (u) + V 2 (u) v 2u u px µx+u du
V ar(L|Tx > 0) = 0
Z =
∞
2
[c(u) − V (u)] v 2u u px µx+u du;
0 damit ist die Behauptung (6.5.15) nachgewiesen. Abschlieÿend geben hinreichende Voraussetzungen für die Voraussetzungen von Satz 6.5.3.
6.5.
DAS KONTINUIERLICHE MODELL
73
Lemma 6.5.5 a) Es gelte
Z
und
Z
Π(u)v u du < ∞
(6.5.22)
c(u)v u µx+u du < ∞.
(6.5.23)
Dann sind die Voraussetzungen (6.5.1), (6.5.10) (6.5.12), (6.5.13)und (6.5.14) erfüllt. b) Gilt (6.5.23) und ist
c(u)v u
beschränkt, so ist (6.5.11 erfüllt.
Beweis: a) Wegen (6.5.22) und (6.5.23) folgt sofort (6.5.1) und (6.5.10). Dann folgt aus (6.5.4)
V (u)v
u
Z u px
∞
=
c(w)v
w
Z w px
∞
µx+w du −
Π(w)v
t
w
w px
du .
(6.5.24)
t
Daraus folgt sofort
lim V (u)v u u px = 0
u→∞
und somit sind die Voraussetzungen (6.5.13) und (6.5.14) erfüllt. Auÿerdem folgt aus (6.5.24) die Ungleichung
V (u)v u ≤
1 u px
Z
∞
c(w)v w w px µx+w du ≤
Z
t
∞
c(w)v w µx+w du
t
Folglich ist
lim V (u)v u = 0
u→∞ und damit ist (6.5.12) erfüllt. b) Ist
c(u)v u < D
chung
Z
für eine gewisse Konstante
∞
c2 (w)v 2w w px µx+w du ≤ D
0 und wegen (6.5.23) folgt (6.5.11).
d > 0, Z 0
so erhalten wir die Unglei-
∞
c(w)v w µx+w du
74
KAPITEL 6.
DAS NETTODECKUNGSKAPITAL
Kapitel 7
Verschiedene Ausscheideursachen 7.1 Das Modell Für das Ausscheiden eines x-jährigen gibt es m Ursachen
J
- Ausscheideursache, Zufallsgröÿe mit
1, 2, ..., m
Werten.
Klassisch zwei Ursachen: Invalidierung Tod als Aktiver Wir betrachten die gemeinsame Verteilungsfunktion von
Tx
und
J . Bei Existenz
einer Dichte gilt
Z
t
P (Tx ≤ t, J = j|Tx > 0) =
gx,j (u) du. 0
gx,j Z ∞
Es sei bemerkt, dass
eine defekte Dichte ist, da
gx,j (u) du = P (J = j|Tx > 0) < 1. 0
De nition 7.1.1 Wir führen die folgende versicherungsmathematischen Gröÿe ein: t qx+s,j
= P (Tx ≤ s + t, J = j|Tx > s)
und die Ausscheideintensität bezüglich der Ursache
µx+t,j =
j
gx,j (t) 1 − Gx (t)
Wir fassen die Eigenschaften dieser Gröÿen in folgendem Resultat zusammen.
Lemma 7.1.2 Es gelten folgende Zusammenhänge (1)
gx (t) =
m X j=1
75
gx,j (t)
76
KAPITEL 7.
VERSCHIEDENE AUSSCHEIDEURSACHEN
(2)
µx+t =
m X
µx+t,j
j=1
(3) Es sei
gx,j
stetig. Dann gilt
P (J = j|Tx = t) =
gx,j (t) µx+t,j = gx (t) µx+t
(4)
R s+t t qx+s,j
s
=
gx,j (t) dt 1 − G(s)
(5) t qx+s
=
m X
t qj,x+s
j=1
Beweis: Die Aussagen (1) und (2) folgen unmittelbar aus der De nition. (3) Betrachte
P (J = j, Tx ∈ (t, t + dt)) P (Tx ∈ (t, t + dt) R t+dt gx,j (u) du P (J = j, Tx ∈ (t, t + dt)|Tx > 0) = = Rt t+dt P (Tx ∈ (t, t + dt)|Tx > 0) gx (u) du P (J = j|Tx ∈ (t, t + dt)) =
t
Dividieren wir nun durch
dt
und bilden den Grenzübergang
dt → 0
, so folgt
die Behauptung. (4) Oenbar gilt
t qx+s,j
= P (Tx ≤ s + t, J = j|Tx > s) =
P (s < Tx ≤ s + t, J = j) P (Tx > s)
R s+t =
s
gx,j (u) du 1 − Gx (s)
(5) folgt unmittelbar aus (4).
7.2 Ganzzahlige Lebensdauerverteilung und Bruchteil der Lebensdauerverteilung De niere die von
K = [Tx ]
ganzzahlige Lebensdauerverteilung als bedingte Verteilung unter
Tx > 0
Es gilt folgende Aussage
Lemma 7.2.1 Die Verteilungsfunktion
Gx
sei stetig.
P (S ≤ u, K = k, J = j|Tx > 0) =k px u qx+k,j P (K = k, J = j|Tx > 0) =k px qx+k,j u qx+k,j P (S ≤ u|K = k, J = j) = qx+k,j
7.2.
GANZZAHLIGE LEBENSDAUER
77
Beweis (1) Es gilt oenbar
P (S ≤ u, K = k, J = j|Tx > 0) =
= (2) folgt bei
P (k < Tx < k + a, J = j) P (Tx > 0)
P (Tx < k + u, J = j, Tx > k) P (Tx > k =u qj,x+k k px P (Tx > k) P (T0 > 0)
u = 1.
(3) Oenbar gilt
P (S ≤ a, K = k, J = j) P (K = k, J = j)
P (S ≤ u|K = k, J = j) =
=
P (S ≤ a, K = k, J = j|Tx > 0) u qj,x+k = P (K = k, J = j|Tx > 0) qj,x+k
Lemma 7.2.2 Der Zufallsvektor
(K, J) und die Zufallsgröÿe S sind genau dann H mit H(0) = 0 und H(1) = 1
unabhängig, wenn eine Verteilungsfunktion existiert, dass u qx+k,j
Im Fall der Unabhängigkeit ist
H
= H(u)qx+k,j
die Verteilungsfunktion von
S.
Der Beweis wird genauso geführt wie bei einer Aussscheideursache.
Beispiel 7.2.3 Wir betrachten den Fall u qx+k,j
= uqx+k,j
Dann folgt aus dem ersten Lemma nach Dierentation bezüglich
(u qx+k,j )0 = qx+k,j =
u
gx,j (k + u) 1 − G(k)
d. h.
gx,j (k + u) =k px qx+k,j Insbesondere folgt
µx+k+u,j =
qx+k,j 1 − u qx+k
und
P (J = j|K = k, S = u) = P (J = j|Tx = k + u) = ist unabhängig von
u.
qx+k,j qx+k
78
KAPITEL 7.
VERSCHIEDENE AUSSCHEIDEURSACHEN
7.3 Deckungskapital Allgemeine diskrete Versicherung: Barwert:
Z = cJ,K+1 v K+1 Nettoeinmalprämie:
EZ =
m X ∞ X
cj,k+1 vkk+1 px qj,x+k
j=1 k=0 allgemeine stetige Versicherung: Barwert:
Z = cJ (Tx )v Tx Nettoeinmalprämie:
EZ =
m Z X
∞
cj (t)v t gx,j (t) dt
0
j=1
Zur Berechnung dieses Integrales ist es angebracht, folgende Darstellung zu wählen.
EZ =
m X ∞ Z X j=1 k=0
Sind
K
und
S ∼ U (0, 1)
1
cj (k + u)v k+u gx,j (k + u) du
0
unabhängig, so folgt, dass die NEP einer stetigen
Versicherung gleich einer diskreten Versicherung ist, und zwar mit
1
Z
cj (k + u)(1 + i)1−u du
cj,k+1 = 0
Wir de nieren nun analog das Deckungskapital und erhalten.
kV =
m X ∞ X
cj,k+h+1 v h+1 h px+k qj,x+k+h −
j=1 h=0
∞ X
Πk+h v h h px+k
h=0
Hieraus ergibt sich mit den gleichen Mitteln wie bisher die Rekursion:
kV
+ Πk =k+1 V vpx+k +
m X
cj,k+1 v pj,x+k
j=1 Wir schreiben diese Gleichung um:
k V + Πk =k+1 V vpx+k +
m X
(cj,k+1 −k+1 V )v qj,x+k
j=1 Hiernach kann die Prämie wieder aufgespalten werden in Risikoprämie und Sparprämie gemäÿ
Πrk =
m X j=1
(cj,k+1 −k+1 V )v qj,x+k
7.3.
DECKUNGSKAPITAL
79
und
Πsk =k+1 V v −k V Ähnlich verläuft die Analyse des totalen Verlustes: Oenbar gilt
L = CJ,K+1 v K+1 −
K X
Πk v k
k=0 Die Zerlegung in den totalen Einzelschaden im k-Jahr gemäÿ
L=
∞ X
Λk v k
(7.3.1)
k=0 ist erfüllt für
Λk =
0 K k
Wir überprüfen (7.3.1):
∞ X
Λk v k = (−Πrk + (cJ,K+1 −K+1 V )v)v K + −
K−1 X
k=0
Πrk v k
k=0
= cJ,K+1 v
K+1
−K+1 V v
K+1
−
K X
Πrk v k
k=0
= cJ,K+1 v K+1 −K+1 V v K+1 −
K X
Πk v k +
k=0
= cJ,K+1 v K+1 −
K X
Πsk v k
k=0 K X
Πk v k .
k=0 Auÿerdem gilt
E(Λk |K ≥ k) =
m X
(−Πrk + (cj,k+1 −k+1 V )v)P (K = k, J = j|K ≥ k)+
j=1 ∞ X m X
(−Πrk )P (P (K = h, J = j|K ≥ k)
h=k j=1
= −Πrk P (K ≥ k, J ∈ {1, ..., m}|K ≥ k) m X j=1
cj,k+1
P (K = k) P (K = k, J = j) −k+1 V v P (K ≥ k) P (K ≥ k)
= −Πrk +
m X
(cj,k+1 −k+1 V )v)qx+k,j = 0.
j=1 Deshalb erhalten wir für die Varianz
V ar(Λk |K ≥ k) =
m X j=1
(cj,k+1 −k+1 V )v)2 qx+k,j
80
KAPITEL 7.
VERSCHIEDENE AUSSCHEIDEURSACHEN
Dies folgt aus folgenden Überlegungen:
V ar(Λk |K ≥ k) = EΛ2k |K ≥ k) = P (K < k|K ≥ k) +
m X
(−Πrk + (cj,k+1 −k+1 V )v)2 P (K = k, J = j|K ≥ k)
j=1
+(−Πrk )2 P (K ≥ k + 1|K ≥ k) =
m X
(−Πrk + (cj,k+1 −k+1 V )v)2 P (K = k, J = j|K ≥ k)
j=1
+(Πrk )2 P (K ≥ k + 1|K ≥ k) =
(Πrk )2
+
m X
((cj,k+1 −k+1 V )v)2 P (K = k, J = j|K ≥ k)
j=1
−2Πrk
m X
((cj,k+1 −k+1 V )v)P (K = k, J = j|K ≥ k)
j=1
=
m X
((cj,k+1 −k+1 V )v)2 qj,x+k ) − (Πrk )2 .
j=1 Genauso wie im Modell mit einer Ursache sieht man, dass Die Zufallsgröÿen
Λj
für
j 6= k
unkorreliert sind. Denn: es
k < j.
Λk ,
Dann folgt
Cov(Λk , Λj ) = EΛk Λj = E(Λk Λj |K ≥ j)P (K = j|Tx > 0) = −Πrk E(Λj |K ≥ j)P (K = j|Tx > 0) = 0. Daraus folgt für die Varianz des totalen Verlustes
V ar(L) =
∞ X
V ar(Λk )v 2k
k=0
=
∞ X
V ar(Λk |K ≥ k)v 2k k px .
k=0 Der jährliche Verlust lässt sich ebenfalls auf die einzelnen Ursachen zerlegen: Setze zunächst für die die j-te Komponente der Risikoprämie
Πrj,k = (cj,k+1 −k+1 V )vqj,x+k und dann
Λj,k =
0 −Πrj,k + (cJ,k+1 −k+1 V )v −Πrj,k
K k
Oenbar gilt
Λk =
m X j=1
Λj,k .
7.4.
DAS KONTINUIERLICHE MODELL
81
Die Schlussweise zum technischen Zins lässt sich übertragen:
Gk+1 =
(k V + Πk )(1 + i0 ) − cJ,k+1 (k V + Πk )(1 + i0 ) −k+1 V
falls falls
Der technische Gewinn wird in analoger weise wie bei
K=k . K>k
M =1
zergliedert.
Z. B. Zerlegung des technischen Gewinns nach der ersten Methode:
Gk+1 = (k V + Πk )(i − i0 ) −
m X
Λj,k (1 + i)
j=1
7.4 Das kontinuierliche Modell Wir betrachten die allgemeine stetige Todesfallversicherung mit der Leistungsfunktion
cj (t)
bei j-ter Ausscheideursache, die den Leistungsbarwert
Z = cJ (t)v Tx , besitzt. Ist
Π(t) die zum Zeitpunkt t zu zahlende Prämie, so gilt für den totalen
Verlust des Versicherungsunternehmens
L = cJ (Tx )v Tx −
Z
Tx
Π(u)v u du
0 Wir fragen, wie
Lt
Lt =
zum Zeitpunkt
cJ (Tx )v Tx −t −
t
aussieht. Oenbar gilt:
R Tx t
Π(u)v u−t du 0
falls falls
Tx > t . Tx ≤ t
Wir zeigen
Satz 7.4.1 Das Deckungskapital für eine allgemeine Todesfallversicherung ergibt sich aus
V (t) =
m Z X j=1
∞
cj (t+u)v u u px+t µx+t+u,j du−
0
Z
∞
Π(t+u)v u u px+t du.
(7.4.2)
0
Beweis. Wir betrachten zunächst das bedingte Deckungskapital
E(Lt |Tx > t, J = j) Für diesen Begri können wir die bekannt Formel anwenden. Der Satz der totalen Erwartung bringt dann die Behauptung. Nach dem gleichen Schema folgt
Satz 7.4.2 (Thielsche Dierentialgleichung) Es gilt
Π(t) + δV (t) = V 0 (t) +
k X j=1
(cj (t) − V (t))µj,x+t
82
KAPITEL 7.
VERSCHIEDENE AUSSCHEIDEURSACHEN
Für die Varianz ergibt sich ebenfalls
V ar(L|Tx > 0) =
m Z X j=1
∞
v 2u (cj (t) − V (t)) t px µx+t,j dt
0
Wir geben eine Anwendung der Thielschen Dierentialgleichung.
(1)
Satz 7.4.3 Geben sei eine kontinuierliche Versicherung mit der Leistung cJ
Π(t). (1) Sterbeintensität µx+t,J
(t)
und der Prämie Die
werde nun verändert in
(2)
µx+t,J .
Dann gilt für die
Leistung
(2) cJ (t)
=
(1)
(1)
Vx (t) +
µx+t,J (2) µx+t,J
(1)
(1)
(1)
(cJ (t) − Vx (t)) µx+t,J 6= 0 0
.
sonst
die Beziehung
Vx(1) (t) = Vx(2) (t) Beweis: Oenbar gilt m X
(1)
(1)
µx+t,j (cj (t) − Vx(1) (t)) =
m X
j=1
(2)
(2)
µx+t,j (cj (t) − Vx(1) (t)).
j=1
Auÿerdem gelten die Thielschen Dierentialgleichungen
Π(t) + δV
(1)
(t) = (V
(1) 0
) (t) +
m X
(1)
(1)
(cj (t) − V (1) (t))µx+t,j
j=1
Π(t) + δV (2) (t) = (V (2) )0 (t) +
m X
(2)
(2)
(cj (t) − V (2) (t))µx+t,j
j=1
= (V (2) )0 (t) +
m X
(2)
(2)
(cj (t) − V (1) (t))µx+t,j +
j=1
m X j=1
Setzen wir nun
a(t) := V (1) (t) − V (2) (t), so folgt aus der Dierenz beider Dierentailgleichungen
(2)
δa(t) = a0 (t) + a(t)µx+t . Dann erhalten wir die Lösung von
a0 (t) (2) = δ − µx+t a(t) in der Gestalt
mit
a(0) = C = 0.
Rt (2) (δ−µx+u ) du a(t) = Ce 0 Also ist
a = 0.
(2)
(V (1) (t) − V (2) (t))µx+t,j
Kapitel 8
Versicherungen auf mehrere Leben 8.1 Zustand mehrerer Versicherungen Wir gehen von
m
Personen aus mit anfänglichem Alter
x1 x2 , ..., xm . Zunächst betrachten den Zustand der verbundenen Leben.
De nition 8.1.1 Der Zustand der verbundenen Leben
x =: x1 : ... : xm ist dadurch charakterisiert, dass der Zustand genau dann ausscheidet, wenn mindestens eine Person von
m
Personen stirbt.
In der Menge dieser Zustände de nieren wir die Addition:
x1 : ... : xm + y1 : ... : ym = (x1 + y1 : ... : (xm + ym ). Gilt
xj = t,
so schreiben wir
t := t(m) := t : ... : t. Bezeichne mit
Tk := Txk , k = 1, 2, ..., m
die Restlebenszeit der m Personen.
Dann gilt für den Zustand der verbundenen Leben folgende Restlebenszeit:
T (x1 : ... : xm ) := min(T1 , T2 , ..., Tm ). Dadurch haben wir die Restlebenszeit auf den Zustand verbundener Leben ausgedehnt. Im folgenden Lemma fassen wir einige Eigenschaften der Restlebenszeit der
m
Personen zusammen:
Lemma 8.1.2 Die Restlebenszeiten
T1 , T2 , ..., Tm
der Versicherten seien be-
dingt unabhängig, d. h.
P (T1 ≤ t1 , T2 ≤ t2 , ..., Tm ≤ tm |T1 > 0, T2 > 0, ..., Tm > 0) = P (T1 ≤ t1 |T1 > 0)P (T1 ≤ t2 |T2 > 0)...P (T1 ≤ tm |Tm > 0). 83
84
KAPITEL 8.
VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN
Dann gilt: a)
P (T (x1 : ... : xm ) ≥ t|T (x1 : ... : xm ) > 0) =t px1 :...:xm =
m Y
t pxj .
j=1
b) Für die Sterbeintensität erhalten wir
µx+t(m) = µx+t =
m X
µxk +t .
k=1 Da die NEP auf den ersten Tod
Ax1 :...:xm und die so genannte Verbindungsrente
a ¨x1 :...:xm nur von der Verteilungsfunktion von
T (x1 : ... : xm )
abhängt, übertragen sich
die Formeln.
Beispiel 8.1.3 Wir beschäftigen uns nun mit der Frage: Lassen sich die Charakteristika auf den Fall eines Lebens zurückführen? Es gelte das Gompertzsche Sterbegesetz (B
> 0, c > 0, c 6= 1): µx+t = Bcx+t ,
De niere nun
w
durch
w=
ln
t>0
Pm
x k=1 ck
ln c
Dann gilt
µx+t(m) = µx+t = µw+t Beispiel 8.1.4 Wir beschäftigen uns nun mit der Frage: Lassen sich die Charakteristika auf den Fall eines Lebens zurückführen? Es gelte das Makehamsche Sterbegesetz (A
> 0, B > 0, c > 0, c 6= 1): µx+t = A + Bcx+t ,
De niere nun
w
durch
w
mc =
m X
t > 0.
cxk .
k=1 Dann gilt
µx+t(m) = µx+t = µ(w+t)(m) .
8.2 Der Zustand des letzten Lebens De nition 8.2.1 Der Zustand des letzten Leben
x := x1 : ... : xm ist dadurch charakterisiert, dass der Zustand genau dann ausscheidet, wenn alle
m
Personen ausscheiden.
8.2.
DER ZUSTAND DES LETZTEN LEBENS
85
Es gilt für den Zustand des letzten Lebens folgende Restlebenszeit:
T (x1 : ... : xm ) := max(T1 , T2 , ..., Tm ). Dadurch haben wir die Restlebenszeit auf den Zustand verbundener Leben ausgedehnt. Im folgenden Lemma fassen wir einige Eigenschaften der Restlebenszeit der
m
Personen zusammen:
Lemma 8.2.2 Die Restlebenszeiten
T1 , T2 , ..., Tm
der Versicherten seien be-
dingt unabhängig, d. h.
P (T1 ≤ t1 , T2 ≤ t2 , ..., Tm ≤ tm |T1 > 0, T2 > 0, ..., Tm > 0) = P (T1 ≤ t1 |T1 > 0)P (T1 ≤ t2 |T2 > 0)...P (T1 ≤ tm |Tm > 0). Dann gilt: a)
P (T (x1 : ... : xm ) ≥ t|T (x1 : ... : xm ) > 0) =:t px1 :...:xm =
m X
(−1)k+1 Skt ,
k=1
wobei
Skt =
X
t pxj1 :...:xjk ,
j1 <j2 <...jk
wobei die Summation sich über alle Kombinationen von
n
zu
k
erstreckt.
b) Für die NEP einer Rente, die an das letzte Leben gebunden ist, gilt:
a ¨x1 :...:xm =
m X
(−1)k+1 Ska¨ ,
k=1
wobei
Ska¨ =
X
a ¨xj1 :...:xjk .
j1 <j2 <...jk
c) Für die NEP einer Todesfallversicherung der Höhe 1 gilt
Ax1 :...:xm =
m X
(−1)k+1 SkA ,
k=1
wobei
SkA =
X
Axj1 :...:xjk .
j1 <j2 <...jk
Beispiel 8.2.3 Zur Illustration beschäftigen wir uns mit den Fall gilt
a ¨x1 :x2 :x3 = S1a¨ − S2a¨ + S3a¨ . Wir haben
S1a¨ = a ¨x1 + a ¨x2 + a ¨x3 , S2a¨ = a ¨x1 :x2 + a ¨x1 :x3 + a ¨x2 :x3 und
S3a¨ = a ¨x1 :x2 :x3 .
m = 3. Dann
86
KAPITEL 8.
VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN
8.3 Formel von Schuette-Nesbitt Es seien
B1 , B2 ,...Bm
m beliebige Ereignisse und Es sei
N ∈ {0, 1, ..., m}
die
Anzahl der Ereignisse, die eintreten. Es gilt also
m X
N=
IBk
k=1 Deshalb gilt für die Erwartung
EN =
m X
P (Bk )
k=1 und für das zweite Moment
2
EN =
m X
X
P (Bk ) + 2
k=1
P (Bk ∩ Bj )
0≤k<j≤m
Folglich ergibt sich für die Varianz
V ar(N ) =
m X
[P (Bk )(1 − P (Bk )] + 2
k=1 Da
N
X
[P (Bk ∩ Bj ) − P (Bk )P (Bj )].
0≤k<j≤m
eine beschränkte Zufallsgröÿe ist, ist ihre Verteilung eindeutig durch ihre
Momente bestimmt. Diese wiederum sind durch die Wahrscheinlichkeiten
P (Bj1 ∩ Bj2 ∩ ... ∩ Bjk ) N in Abhängigkeit {B1 , B2 , ..., Bm } her.
erklärt.Deshalb leiten wir die Verteilung von scheinlichkeiten des Systems
von der Wahr-
Satz 8.3.1 Es gilt m X
cn P (N = n) =
n=0
wobei
=
j=1
X
Sk :=
m Y
m X
[∆k c0 ]Sk ,
k=0
P (Bj1 ∩ Bj2 ∩ ... ∩ Bjk )
1≤j1 <j2 <...jk ≤m Zunächst betrachten wir die Menge
{c0 , c1 , ...}
und de nieren den
F
aller unendlichen Folgen der Bauart
Shift-Operator
Eck = ck+1 Folglich ist
E
auf
F
durch
Ec := {c1 , c2 , ...} de niert und surjektiv. Analog de nieren wir den
Dierenzenoperator
∆ck = ck+1 − ck
c=
8.3.
FORMEL VON SCHUETTE-NESBITT
Folglich ist
∆
F
auf
87
durch
Ec := {c1 − c0 , c2 − c1 , ...} de niert und surjektiv. Schlieÿlich bezeichne
id
den identischen Operator auf
F,
d. h.
idc = c. alle drei Operatoren sind linear. Folglich bilden sie einen linearen Raum. Insbesondere gilt
E = id + ∆ Weiterhin führen wir als Multiplikation die Verknüpfung ein. wir beginnen mit
m X
I{N =n} E n =
n=0
m Y
([1 − IBj ]id + IBj E) =
j=1
m Y
(id + IBj ∆).
j=1
N (ω) = n. Dann existieren n von m Ereignisse Bj1 , Bj2 ,... ,Bjn , die ω enthalten, und die restlichen Ereignisse Bjn+1 ,... ,Bjm enthalten nicht ω . Somit sind n von den m Faktoren auf der linken Seite gleich E und der Rest gleich id. Dies ist leicht zu sehen: Sei
Wir zeigen nun durch Induktion, dass
m Y
(id + aj ∆) =
j=1 Für
m = 1
m X
X
aj1 aj2 aj3 ...ajk ∆k
k=0
(8.3.1)
1≤j1 <j2 <...jk ≤m
ist dies trivial, falls eine Summe mit leerer Indexmenge gleich 1
gesetzt wird. Gelte nun die Aussage für
A :=
m+1 Y
m.
Dann folgt für
(id + aj ∆) =
j=1
m Y
m+1
(id + aj ∆)((id + am+1 ∆)
j=1
Nach Induktionsvoraussetzung erhalten wir
A=(
m X
X
aj1 aj2 aj3 ...ajk ∆k )(id + am+1 ∆)
k=0
=
1≤j1 <j2 <...jk ≤m m X
X
k=0
+am+1
m X
aj1 aj2 aj3 ...ajk ∆k
1≤j1 <j2 <...jk ≤m
X
k=0
aj1 aj2 aj3 ...ajk ∆k+1
1≤j1 <j2 <...jk ≤m
1 ≤ j1 < j2 < ...jk ≤ m + 1 entweder die Eigenschaft hat, dass jk < m + 1 oder jk = m + 1. Letztere Folgen lassen sich eindeutig auf eine Folge 1 ≤ j1 < j2 < ...jk−1 ≤ m zuordnen. Deshalb gilt weiter m+1 X X A= aj1 aj2 aj3 ...ajk ∆k Da jede Folge
k=0
1≤j1 <j2 <...jk ≤m
88
KAPITEL 8.
VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN
und die Behauptung (8.3.1) ist gezeigt.
aj = IBj m m X X I{N =n} E n =
Folglich erhalten wir für
n=0
die Identität
X
IBj1 ∩Bj2 ∩...∩Bjk ∆k .
1≤j1 <j2 <...jk ≤m
k=0
Bilden wir den Erwartungswert, so folgt
m X
n
P (N = n)E =
n=0 Wegen
n
E c0 = cn
m X
Sk ∆ k .
k=0
folgt die Behauptung.
Beispiel 8.3.2 Anwendung auf das Hüteproblem. Es werden vertauscht. Es sei
Bj
m
Hüte zufällig
das Ereignis, dass der j-te Hut nicht vertauscht ist. Dann
gilt
1 m(m − 1)...(m − (k − 1))
P (Bj1 ∩ Bj2 ∩ ... ∩ Bjk ) = Also folgt
Sj = Wähle nun
ck = z k
m 1 P (Bj1 ∩ Bj2 ∩ Bjk ) = . k! j
, dann folgt
∆k c0 = (z − 1)k
erzeugende Funktion
Ez N =
m X (z − 1)k
k!
k=0 Für
m→∞
und somit ergibt sich für die
ergibt sich
lim Ez N = ez−1 ,
m→∞
d. h. die Grenzverteilung ist die Poissonverteilung mit dem Parameter 1 Das folgende Lemma zeigt, wie man den Dierenzoperator berechnen kann.
Lemma 8.3.3 Für eine Folge r
{ck : k = 0, 1, 2, ...}
∆ cn =
r X r k=0
Beweis Für
k
gilt
(−1)r+k cn+k
r = 1 ist dies oensichtlich erfüllt. Es gelte die Aussage für r. Dann
folgt
∆
r+1
r
cn = ∆[∆ cn ] =
r X r k=0
=
r+1 X k=1
(−1)
cn+1+k −
r X r k=0
k
(−1)r+k cn+k
r+1 r X X r r (−1)r+1+k cn+k − (−1)r+k cn+k k−1 k
k=1
=
k
r+k
k=0
r r r r+1+k + (−1) cn+k + (−1)r+1+k cn+k k−1 k 0
8.4.
DER ALLGEMEINE ZUSTAND
=
r+1 X r+1 k=0
Die folge
{cn }
89
k
(−1)r+1+k cn+k
ist sogar durch die Dierenzen einer beliebigen Ordnung festge-
legt. Dies zeigt die Darstellung:
cn =
r X r
k
k=0
(−1)r−k ∆r−k cn+k ,
r = 1, 2, ...
Beispiel 8.3.4 Als Anwendung zeigen wir den folgenden Spezialfall:
P (N = n) =
m−n X k=0
ck = δn,k .
Dazu wählen wir
∆r c0 =
n+k (−1)k Sn+k . k
Nach dem Lemma folgt
r X r k=0
k
(−1)r+k δn,k =
r (−1)r+n . n
Folglich erhalten wir
P (N = n) =
m X k
n
k=0
(−1)k+n Sk
m−n m X k + n X k k+n (−1)k Sk+n . (−1) Sk = = n n k=0
k=n
Insbesondere gilt
P (N > 0) = 1 − P (N = 0) = 1 −
m X k k=0
k
(−1)k Sk . =
m X
(−1)k+1 Sk .
k=1
die so genannte Siebformel.
8.4 Der allgemeine Zustand Wir führen folgenden Zustand ein:
k x1 : ... : xm Dieser Zustand dauert solange an, bis mindestens
k
von
sind. Dann gilt:
x1 : ... : xm
1 = x1 : ... : xm
x1 : ... : xm
m = x1 : ... : xm
und
m
Personen am Leben
90
KAPITEL 8.
VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN
Auÿerdem führen wir den Zustand ein:
[m] , x1 : ... : xm der solange intakt ist, bis genau
k
der m Personen leben. Wir leiten folgendes
Resultat her:
Satz 8.4.1 Für beliebige Koe zienten cj m X
ck p
k=0
und
m X
ck a ¨
k=0
j = 0, 1, ..., m
[k] = x1 : ... : xm
[k] = x1 : ... : xm
m X
gilt
[∆j (c0 )] Sjt
j=0
m X
[∆j (c0 )] Sja¨
j=0
Der Beweis Folgt sofort aus dem Satz von Schuett-Nesbitt, und zwar setze
{Tj > t}. Folgerung 8.4.2 Für beliebige Koe zienten m X
dk p
k=1
dk a ¨
k=1
m X
k =
k=1
[∆j−1 (d1 )] Sjt ,
m X
[∆j−1 (d1 )] Sja¨
j=1
x1 : ... : xm
dk A
m X j=1
x1 : ... : xm
m X
und
k =
dj j = 0, 1, ..., m
k =
m X
[∆j−1 (d1 )] SjA
j=1
x1 : ... : xm
Beweis: Wir wählen die Folge
c0 = 0,
ck = d1 + ... + dk .
Dann gilt
∆(c0 ) = d1 und folglich Dann gilt
∆j (c0 ) = ∆j−1 d1 Wegen
p
k = x1 : ... : xm
folgt die Behauptung.
m X j=k
p
[k] x1 : ... : xm
gilt
Bj :=
8.4.
DER ALLGEMEINE ZUSTAND
91
Folgerung 8.4.3 Es gilt
k =
p
T
j−k
[(−1)
j=k
x1 : ... : xm Beispiel 8.4.4 Es
m X
j−1 Sjt . k−1
die Restzeit des letzten Lebens. Dann gilt
t px:y:z
= S1t − S2t + S3t .
Hieraus folgt für die Dichte der Restlebenszeit
g( t) = (−1) S1t − S2t + S3t
0
Beispiel 8.4.5 Wir betrachten eine Versicherung auf alter
w, x, y , z .
4 Leben mit dem Anfangs
Die Versicherung sei stetig und die Zahlungsintensität werde
mit jedem Tod um
a ¯ = 8¯ a
50%
reduziert. Es gilt also für die NEP
[4] [4] [4] + 8¯ a + 4¯ a w:x:y:z w:x:y:z w:x:y:z +2¯ a
[4] [4] +a ¯ w:x:y:z w:x:y:z
Folglich gilt für die Folge
c0 = 0,
ck = 2k−1 ,
k = 1, 2, 3, 4,
Folgende Tabelle enthält die zu berechnenden Gröÿen
k ck ∆(c0 ) ∆2 (c0 ) ∆3 (c0 ) ∆4 (c0 )
∆j (c0 )
0 1 2 3 4 0 1 2 4 8 1 1 2 4 −8 0 1 2 −12 8 1 1 −14 20 −8 0 −15 34 −28 8
5 0 0 0 0 0
Hieraus folgt
a ¯ = S1a¨ + S3a¨ , wobei
S1a¨ = a ¯w + a ¯x + a ¯y + a ¯z und
S3a¨ = a ¯wxy + a ¯wxz + a ¯wyz + a ¯xyz . Beispiel 8.4.6 Wir betrachten eine Versicherung auf 3 Leben mit dem Anfangsalter
x, y , z .
Die Versicherung sei stetig und die Beiträge 2 beim ersten
Tod, 5 beim zweiten Tod und 10 beim dritten Tod jeweils am Ende des Jahres ausgezahlt werden. Es gilt also für die NEP
A = 2A
2 3 + 5A + 10A x:y:z x:y:z x:y:z
92
KAPITEL 8.
VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN
Folglich gilt für die Folge
d1 = 10, d2 = 5, d3 = 2 Folgende Tabelle enthält die zu berechnenden Gröÿen
∆j (c0 )
k 1 2 3 4 5 dk 10 5 2 0 0 0 ∆(d1 ) −5 −3 ∆2 (d1 ) 2 Hieraus folgt
A = 10S1A − 5S2A + 2S3A , wobei
S1A = Ax + Ay + Az , und
S2A = Axy + Axz + Ayz , und
S3A = Axyz . Abschlieÿend für wir die so genannten asymmetrische Versicherungen ein. Sie beruhen auf kollektive höherer Ordnung. Werden z.B. zwei verbundene Leben mit Alter
x
und
y
bzw.
r
und
w
durch eine Versicherung letzten Lebens zusam-
mengefasst, so ergibt sich für die neue Restlebenszeit
T = max(Tx:y , Tr:w ) Dann gilt
tq
:= P (T ≤ t|T > 0) =t qx:y t qr:w
und es kann die gleiche Methodik wie bisher benutzt werde.
Beispiel 8.4.7 Wir haben ein Kollektiv aus einem x-,y- und z-jährigen. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Z P (A) = Z =
A = { Tx < Ty < Tz < n} Z n n P (A|Ty = t) gy (t) dt = P (Tx < t, 0 < Tz < n − t) gy (t) dt
0 n
0
Z
0
n
(1 −t px ) (t pz −n pz ) gy (t) dt
t qx t pz n−t pz+t gy (t) dt = 0
1 1 =n qyz −n qxyz −n pz (n qy −n qxy1 )
Literaturverzeichnis [1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C Hickmann, D. A. Jones, C. J. Nesbitt.
Acturial Mathematics. Society of Acturies, Itasca, 1987. [2] Hans U. Gerber. Lebensversicherungsmathematik. Springer, Berlin, 1986.
nd
[3] Hans U. Gerber. Life Insurane Mathematics. Springer, Berlin,3
Edition,
1997. [4] H. Milbrodt und M. Helbig. Mathematische Methoden der Personenversi-
cherung. Verlag Walter de Gruyter, Berlin, 1999. [5] Kurt Wolfsdorf. Versicherungsmathematik, Teil 1 und 2. Teubner, Stuttgart, 1988.
93
Index Äquivalenzprinzip, 33
nachschüssige, 10, 33 vorschüssige, 10, 33
Abzinsfaktor, 7
retrospektive Methode, 13
Annuität, 8
Risikoprämie, 60
Aufzinsfaktor, 7
Risikosumme, 60
Ausscheideursache, 75 Satz von Hattendorf, 63 Barwert, 7
Shift-Operator, 86 Sparplan, 12
Deckungskapital, 13, 56
Sparprämie, 60
Dierenzenoperator, 86
Standard Increasing, 43, 44 Sterblichkeitsintensität, 16
Endwert, 7
Thiel, 69
Fondsfunktion, 9 Formel von Schuette-Nesbitt, 86
Verlust totaler, 47
Gompertz, 84
Vorauszinsrate, 10
Gröÿen versicherungs-
Zahlungsintensität, 9
mathematische, 17
Zeitrente, 33 vorschüssige, 11
Kapitalplan, 12
Zeitrentenplan, 14
Konversionsperiode, 7
Zinsintensität, 9
Konversionsperioden, 8
Zinsperiode, 7 Zinssatz, 7
Leibrente, 33
eektiver, 7, 8
lebenslängliche, 33, 36
nomineller, 8
temporäre, 34 Makeham, 84 Nettoeinmalprämie, 34 Nettoprämie, 47 Nullnutzenprinzip, 49 Nutzenfunktion, 49 Prämiendierenzformel, 62 prospektive Methode, 13 Renditenzinssatz, 11 Rente, 10, 33 ewige, 33 94
