Quantenoptik 002

Quantenoptik Claus Zimmermann August 10, 2006 Contents 1 Feldquantisierung Quantisierung einer einzelnen Mode . . . . ...

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Quantenoptik Claus Zimmermann August 10, 2006

Contents 1 Feldquantisierung Quantisierung einer einzelnen Mode . . . . . . Schwarzkörperstrahlung . . . . . . . . . . . . . Vakuumsfluktuationen: Die Lamb-Verschiebung Vakuumsfluktuationen: Casimir-Kraft . . . . . Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 10 13 18 18

2 Hohlraum-Quantenelektrodynamik 24 Jaynes-Cummings-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Experimente zur Hohlraum-QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Kohärenz und Korellationen Kohärenz 1. Ordnung . . . . . . Klassische Felder . . . . . . Kohärenz mit Photonen . . Kohärenzgrad 2. Ordnung. . . .

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42 42 42 46 52

4 Strahlteiler und Interferometer 58 Strahlteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Mach-Zender-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Stehwellenresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Dekohärenz und Messprozess 72 Quantensprünge und Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Wigner Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 Photonenpaare Nichtlineare Optik mit Photonen . . Erzeugung von Katzenzuständen mit Quelle für Photonenpaare. . . . . . . Hong-Ou-Model-Interferometer . . .

. . . Hilfe . . . . . .

. . . . . . . . . . des Kerr-Eﬀekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Optische Tests der Quantenmechanik Strahlteiler mit Moden unterschiedlicher Polarisation Quanteneraser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induzierte Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überlichtschnelles Tunneln . . . . . . . . . . . . . . Fransons Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test lokal realistischer Theorien . . . . . . . . . . . .

1

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80 80 84 87 88

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90 90 92 92 94 95 97

8 Quantenkryptographie 100 BB84 Protokol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Symmetrischer Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Asymmetrischer Schlüssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2

Chapter 1

Feldquantisierung Quantisierung einer einzelnen Mode • Die quantenmechanische Beschreibung von Licht benutzt zunächst das klassische Lichtfeld. Ausgangspunkt sind also Lösungen der Maxwell-Gleichungen im strom- und ladungsfreien Raum: ∂B ∂t

∇×E

=

∇×B

= µ0 ε0

∇·B ∇·E

∂E ∂t

= 0 = 0

• Die Lösungen der Maxwell-Gleichungen hängt von den Randbedingungen ab. Einige (willkürliche) Beispiele sind: Laserresonator: Gaußmode mit Gaußförmigem Profil

Gaußstrahl

Totale interne Reflektion am Prisma. Reflektierter Gaußstrahl mit exponetiell abfallendem oszillierenden Feld außerhalb des Prismas (evaneszente Welle). evaneszente Welle

Stabantenne mit Dipolcharakteristik:

3

Stabantenne

Eine solche durch die Randbedingungen bestimmte Form des Lichtfeldes nennt man Mode. Aufgrund der Linearität der Maxwell-Gleichungen kann man aus Überlagerungen von Moden neue Moden konstruieren oder eine gegebene Mode in eine Linearkombination anderer Moden zerlegen. • Wir betrachten als einfachstes Beispiel die Lichtmoden für ein durch unendlich gut leitende parallel Platten abgeschlossenes Volumen. Außerdem betrachten wir nur eine Dimension, also Licht mit Ausbreitungsrichtung entlang z und einer Polarisation parallel zur x-Achse. Auf den Platten im Abstand L muß das Feld verschwinden.

x

z

y L

Das Feld läßt sich schreiben als Ex (z, t) =

µ

2ω 2m V ε0

¶1/2

q(t) sin(k · z)

mit den Randbedingungen n·

λm = L. 2

Die möglichen Wellenvektorn sind also km =

2π . λm

Für die Frequenz ergeben die Maxwell-Gleichungen π . L V ist das Volumen des Hohlraums und die Amplitude q(t) hat aufgrund des gewählten Vorfaktor die Dimension einer Länge. Die Amplitude kann sich zeitlich ändern. Das zum elektrischen Feld gehörige Magnetfeld erhält man aus der 2. Maxwell-Gleichung ³ µ ε ´ µ 2ω 2 ¶1/2 m 0 0 By (z, t) = q(t) ˙ cos(k · z). k V ε0 ω m = c · km = c · m ·

Warum die Amplituden so merkwürdig geschrieben sind, erklärt sich später. 4

• Die klassische Energie H

= =

¶ µ Z 1 1 ~2 2 ~ dV ε0 E (r, t) + B (r, t) 2 µ0 ¶ µ Z 1 1 2 2 B (z, t) dV ε0 Ex (z, t) + 2 µ0 y

der Mode ergibt (Übung) H=

1 2 (p + ω 2m q 2 ) 2

mit p := q. ˙ Diese einfache Form der Energie entsteht durch die entsprechende Definition von q. Diese Energie ist formal identisch mit der eines harmonischen Oszillators für ein Teilchen der Masse m = 1: H=

1 1 mv 2 + mω 2 r2 2 2

mit der Zuordnung v r

→ p/m → q.

• Quantisierung: Die klassischen Größen p und q werden als Operatoren qˆ und pˆ interpretiert. Für diese Operatoren muß man allerdings noch die Vertauschungsrelation festlegen. Man wählt [ˆ q , pˆ] = i~ • Dadurch werden die klassischen Größen zu Operatoren: H E B

ˆ = 1 (ˆ p2 + ω 2 qˆ2 ) → H 2 µ 2 ¶1/2 2ω ˆ → Ex (z, t) = qˆ(t) sin(k, z) V ε0 ¶1/2 µ µ0 ε0 2ω ˆ pˆ(t) cos(k · z) → By (z, t) = k V ε0

pˆ und qˆ sind hermitisch und damit Observable. • Ähnlich wie beim quantusierten harmonischen Operatur arbeitet man besser mit Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren. Sie sind definiert als: √ a+ = 2~ω(ω qˆ + iˆ p) Erzeuger √ 2~ω(ω qˆ − iˆ p) Vernichter a = Damit gilt: Ex (z, t) = ε(a + a+ ) sin(k, z) By (z, t) = −iβ(a − a+ ) cos(k, z) mit ε :=

r

~ω µ , β := 0 · ε0 V k 5

r

ε0 ~ω 3 . V

• Die Erzeuger/Vernichter sind dimensionslos. Sie beschreiben die zeitabhängige Stärke des Feldes in den Grundeinheiten ε und β. Es gilt (wie man leicht nachrechnet): [a, a+] ˆ H

= 1 1 = ~ω(a+ a + ). 2

• Hilbertraum: Die Erzeuger/Vernichter wirken in einem abstrakten Zustandsraum mit zeitunabhängigen Zuständen. Es gilt das Heisenberg-Bild mit einer intrinsischen Zeitabhängigkeit der Operatoren gemäß der Heisenberg-Gleichung: da dt

= = = = =

i ˆ [H, a] ~ 1 i [~ω(a+ a + ), a] ~ 2 iω(a+ aa − aa+ a) iω[aa+ ]a −iωa

mit der Lösung: a(t) = a(0) · e−iωt und ganz analog: a+ (t) = a+ (0) · eiωt • Energie-Eigenzustände existieren und erfüllen die Eigengleichung des Hamiltons: ˆ H|ni = En |ni. Dies ist die Definitionsgleichung für die Zustände |ni. Sie bilden ein Basissystem d.h. sie sind orthonormal. Um die Energie der Zustände zu berechnen benötigen wir die • Wirkung des Erzeugers auf |ni. Aus 1 ˆ H|ni = ~ω(a+ a + )|ni = En |ni, 2 erhält man durch Multiplikation mit a+ (von links) 1 ~ω(a+ a+ a + a+ )|ni = a+ En |ni. 2 Unter Verwendung des Vertauschers £ +¤ a, a = 1 ⇒ a+ a = aa+ − 1

erhält man

1 ~ω(a+ aa+ − a+ + a+ )|ni ⇒ En a+ |ni 2

und schließlich

1 ~ω(a+ a + )a+ |ni = (En + ~ω)a+ |ni 2 ˆ mit dem Eigenwert (En + ~ω). Der Erzeuger Der Zustand a+ |ni ist also auch ein Eigenzustand zu H führt zu einem Zustand mit einer um ~ω erhöhten Energie. 6

• Vernichter: Entsprechend gilt:

Ha|ni = (En − ~ω)a|ni.

Der Vernichter führt zu neuem Zustand mit um ~ω verringerter Energie. • Grundzustand: Es muss einen Zustand kleinster positiver Energie geben. Er sei |0i. Der Vernichter kann aus diesem Zustand keinen neuen Eigenzustand machen. Man muss also fordern: a|0i = 0. Damit gilt: 0

z}|{ 1 1 H|0i = ~ω(a a + )|0i = ~ωa+ a|0i + ~ω |0i 2 2 1 = ~ω|0i 2 +

Damit hat der Grundzustand die Energie 12 ~ω. • Energiespektrum: Durch wiederholtes Anwenden des Erzeugers auf den Grundzustand erhält man die Eigenzustände mit ihren Energien 1 En = ~ω(n + ) n = 0, 1, 2, ... 2 • Das Photon ist die Energieeinheit mit der die Mode besetzt werden kann. Der Zustand |1i ist der Zustand in dem die Mode mit einem Photon besetzt ist, der Zustand |2i ist der Zustand in dem die Mode mit zwei Photonen besetzt ist. Die Zustände |ni heißen Nummernzustände oder Fock-Zustände der Mode. Das Photon ist in diesem Bild kein an einem Punkt lokalisierten Teilchens, das den Raum entlang einer Bahn durchläuft, sondern einfach die Grundeinheit der Energie eines Lichtfeldes. Die Energie einer Mode ist in Einheiten ~ω gequantelt. Diese Energie ist delokalisiert und Eigenschaft eines globalen Objekts nämlich der Mode. Eine Mode ist unteilbar und kann beliebig groß sein. • Photonenzahloperator und Photon. Aus H|ni = En |ni 1 1 ~ω(a+ a + )|ni = ~ω(n + )|ni 2 2 folgt ~ωa+ a+ |ni = ~ωn · |ni a+ a|ni = n · |ni n ˆ |ni = n · |ni Man kann also den Operator n ˆ := a+ a als Photonenzahloperator interpretieren. Die Energieeigenzustände |ni heißen Nummerzustände. Ein Energiequant heißt Photon. • Welche Wirkung haben die Operatoren a und a+ auf die Nummernzustände? Durch Vergleich von ˆ Ha|ni = (En − ~ω)a|ni und ˆ − 1i = En−1 |n − 1i = (En − ~ω)|n − 1i H|n 7

folgt a|ni ∼ |n − 1i oder a|ni = Cn |n − 1i Mit noch unbekannter Proportionalitätskonstante Cn. Man erhält sie durch : hn|ˆ n|ni hn|a+ a|ni hna+ |ani Cn∗ hn − 1|n − 1iCn |Cn |2

= = = = =

n n n n n oder

Also: a|ni = und entsprechend

Cn =

√ n,

da n ∈ IN

√ n|n − 1i

√ n + 1|n + 1i

a+ |ni =

• Erzeugung beliebiger Nummernzustände ist möglich durch wiederholte Anwendung des Erzeugers auf den Grundzustand: (a+ )n |ni = √ |0i n! • Die Nummernzustände bilden eine vollständige Basis hn0 |ni = δ nn0 und

∞ X

|nihn| = 1

n=0

• Matrixelemente der Erzeuger und Vernichter in der Energiedarstellung: √ hn − 1|a|ni = n √ hn + 1|a|ni = n+1 alle anderen Elemente verschwinden. • Erwartungswerte des elektrischen Feldes von Nummernzuständen ˆx (z, t)|ni = ε sin(k, z)(hn|a|ni + hn|a+ |ni) hn|E = ε sin(k, z)(Cn hn|n − 1i + Cn∗ hn − 1|ni = 0 Der Mittelwert der Feldpmplitude verschwindet! • Feldfluktuation. Für den Betrag des Feldes erhält man ˆx2 |ni = ε2 sin2 (k, z)(hn|a+2 + a2 + a+ a + aa+ |ni) hn|E 1 .... = 2ε2 sin2 (k, z)(n + ) 2

8

und für die Fluktuationen: ˆx (z, t))2 i = hE ˆx2 (z, t)i − hE ˆx (z, t)i2 h(∆E Mit der Definition der Standardabweichung ∆E := erhält man also

q ˆx (z, t))2 i h(∆E

r q √ 1 2 ˆ ∆E = h(∆Ex i = 2ε n + · sin kz 2 r √ 1 ∆E = 2ε sin kz n + 2 √ Die Fluktuationen gehen mit n (für n À 1). Der Grundzustand |0i (n = 0) fluktuiert und bezieht daraus seine Energie von 12 ~ω.Dies sind die ”Vakuumsfluktuationen”! Das Vakuum rauscht! • Quadratur Komponenten: Manchmal zerlegt man des Feld in zwei Komponenten, die zeitlich mit dem sinus bzw. dem cosinus schwingen. Die Operatoren für die beiden sogenannten Quadraturamplituden sind x1 x2

1 (a + a+ ) 2 1 : = (a − a+ ). 2i : =

Einsetzen in das Feld ˆx (t) = ε(a e−iωt + a+ eiωt ) sin kz E ergibt: ˆx (t) = 2ε sin kx(x1 cos ωt + x2 sin ωt) E x1 und x2 sind oﬀenbar die Amplituden der beiden Quadraturkomponenten. Sie haben folgende Eigenschaften i [x1 , x2 ] = 2 1 h(∆x1 )2 ih(∆x2 )2 i > 16 1 hn|x21 |ni = (2n + 1) 4 1 hn|x22 |ni = (2n + 1) 4 1 h(∆x1 )2 ivac = = h(∆x2 )2 ivac 4 Der Grundzustand minimiert das Unschärfeprodukt beider Komponenten.

9

Schwarzkörperstrahlung • Ende 19. Jahrhundert ungelöstes Problem. Technische Motivation: thermische Quelle als Strahlungsreferenz. Lösung durch Planck. Beginn der Quantenphysik. • Problem: Wie lautet das Spektrum und die abgestrahlte Leistung einer perfekt absorbierenden Fläche im thermischen Gleichgewicht mit einer Temperatur T. • Perfekt absorbierende Fläche: Loch einer Kiste. Jeder Lichtstrahl, der rein geht wird nicht wieder herausreflektiert, sondern bleibt drin. Die dem Loch entweichende Strahlung stammt nur von den thermisch schwingenden Ladungsträgern in den Wänden. • Wir nehmen an, der Strahler lässt sich durch eine Mode beschreiben mit dem Energiespektrum 1 En = ~ω(n + ) 2 Kanonisches Ensemble: Die Mode sei als ”kleines System” an ein viel größeres Wärembad angekoppelt. Die Wahrscheinlichkeit für die Mode eine Energie E zu messen ist P (E) =

also

1 · P −E/k T B e Boltzmann-Faktor E | {z } −E/kb T |e {z }

Normierung

e−En /kb T Pn := P (En ) = P ∞ e−En /kB T n=0

Der Nenner ist die Zustandsumme Z

=

∞ X

e−En /kB T =

n=0 − ~2ω

= e

∞ X

e−~ω(n+1/2)/kB T

n=0 1 kB T

·

∞ X

e−~ωn/kB T

n=0

• Wieviel Photonen befinden sich im Mittel in der Mode? n ¯=

∞ X

nPn = e

−~ ω 1 2 kB T

n=0

Zuerst berechnen wir Z: Die Summe

∞ X

·

∞ 1 X −~ωn/kB T ne · Z n=0

e−~ωn/kB T

n=0

ist die geometrische Reihe

∞ X

(e−~ω/kB T )n

n=0

für e

−~ω/kB T

< 1 gilt

∞ X

(e−~ω/kB T )n =

n=0

10

1 1 − e−~ω/kB T

damit erhält man: Z=

e

−~ ω 1 2 kB T −~ ω

1 − e kB T

Berechnung des Zählers ∞ X

n=0

n · e−~ωn/kB T

∞ X

=

n=0

= − = − = wobei x :=

~ω bB T

n · e−n·x ∞

d X −nx e dx n=0 d 1 dx 1 − e−x e−x 2

(1 − e−x )

. Damit gilt:

e−~ω/kB T 1 = ~ω/k T −~ω/k T B B 1−e e −1 • Bei Raumtemperatur und Strahlung im sichtbaren Bereich gilt kT ¿ ~ω und ~ω n ¯' ' 10−40 kT Für Mikrowellen gilt kT À ~ω und damit kT À1 n ¯' ~ω Bei Raumtemperatur emittiert der Schwarze Strahler kein Licht sondern hauptsächlich niederfrequente Strahlung. n ¯=

• Sonnenoberfläche aht eine Temperatur von 6000K, die Emission ist jetzt im sichtbaren Bereich und die mittlere Besetzungszahl beträgt n ¯ ∼ 10−2 • Näherungsweise kann man Glühfäden, glühendes Metall, Flammen, Lebewesen etc. als Schwarze Strahler auﬀassen. Dem Spektrum des Schwarzen Strahlers sind dabei meist noch charakteristische Linien überlagert, die auf atomare oder molekulare Resonanzen zurückzuführen sind (z.B. in Flammen). • Die Besetzung kann man auch als Funktion von n ¯ angeben: n ¯n Pn = (1 + n ¯ )n+1 Größte Wahrscheinlichkeit erhält man für n = 0 0.18

Besetzung Pn

0.16

n=5

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0

2

4

6

Photonenzahl n

11

8

10

• Wie groß sind die Fluktuationen?

® ® (∆n)2 = n2 hni2

mit

hni2 = n ¯2

und

2® n =n ¯ + 2¯ n2

folgt

(Übung)

D E (∆n)2 = n ¯+n ¯2 p ∆n = n ¯+n ¯2

mit n ¯À1⇒

1 ∆n ∼ n ¯+ . 2 Die Fluktuationen sind etwa so groß wie die mittlere Photonenzahl. • Um die gesamte Energie des Strahlungfeldes zu bestimmen, muss man wissen, wie viele Moden im Kasten existieren. Wir sortieren die Moden nach Frequenzen und Fragen, wie viele Moden im Freuquenzinternal dω zu finden sind. Die spektrale Modendichte beträgt pro Volumen: ρ(ω)dω =

ω2 dω π2 c3

(siehe Experimentalphysik IV). • Damit ist die mittlere Energiedichte pro Frequenzintervall ¯ (ω) = ~ω¯ U nρ(ω) 3 1 ¯ (ω) = ~ω · U 3 ~ω/k T −1 B πc e Dies ist die Planck ´sche Strahlungsformel. Die Gesamtenergie ist integrierbar:

¯ U

=

Z∞

¯ (ω)dω U

0

Z∞

=

~2 π2 c3

ω3

=

4 4 T π2 kB 3 15c ~3

e+~ω/kB T

0

¯ U

−1

dω

Stefan-Boltzmann-Gesetz

12

Vakuumsfluktuationen: Die Lamb-Verschiebung • Eine direkte Konsequenz der Vakuumsfluktuationen ist die Lamb-Verschiebung. Aufgrund des mit der Vakuumsfluktuation verbundenen elektrischen Feldes werden die Wasserstoﬀ Energieniveaus mit l=0 (s-Zustände) angehoben und die Bindung gelockert. Willis Lamb hat den Eﬀekt 1945 erstmals beobachtet. Magnetfeld Ofen zur Dissoziation von Wasserstoff

Elektrometer

Elektronenkanone

Wolframblech Mikrowellenresonator

• In einem Ofen wird das Wasserstoﬀgas wird auf 2000◦ C erhitzt, so dass die H2 -Moleküle zu atomarem Waserstoﬀ dissoziieren. Es entsteht ein Wasserstoﬀ -Atomstrahl, der durch Elektronenbeschuss in den Zustände des n = 2 Niveaus angeregt wird.

2 p 3 /2

F e in s t r u k tu r (1 0 G H z )

2 s 1/2 L a m b - V e r s c h ie b u n g 2 p 1 /2 ( 1 G H z) τ = 1.2

τ = 0 .1 4 s

ns

2472 TH z (1 2 1 n m )

τ = 1 .2

ns

1 s 1/2

Die Zusände 2p1/2 und 2p3/2 zerfallen innerhalb 1 ns nach 1s1/2 . 2s1/2 zerfällt nur durch ZweiphotonenÜbergang. Der Einphotonenübergang ist paritätsverboten. Die Lebensdauer beträgt daher 0.14s. Der Zustand ist metastabil und man erhält einen Strahl angeregter Atome. Am Ende des Strahls prallen die 2s-Atome auf ein Wolframblech und geben dort ihre Anregungsenergie ab (ca. 10 eV). Mit dieser Energie werden Elektronen aus dem Blech geschlagen und das Blech lädt sich auf. Die Ladung wird mit einem hochohmigen Spannungsmessgerät (Elektrometer) gemessen. Zuvor durchlaufen die Atome die Wechselwirkungsregion. Das Magnetfeld verschiebt die Energien von 2p1/2 , 2p3/2 und 2s1/2 gemäß des Zeeman-Eﬀekts unterschiedlich. Die Energieabstände werden also durchgestimmt. Man erhält verschiedene Resonanzen mit der festen Mikrowelle je nach Wert des Magnetfeldes. In Resonanz gehen 2s1/2 -Atome nach 2p1/2 oder 2p3/2 über, die dann in wenigen Nanosekunden zerfallen. Durch genaues Ausmessen der Magnetfeld-Verschiebung im Zeeman und im Paschen-Back-Bereich, kann man auf die Energieen bei verschwindenden Magnetfeld extrapolieren. Als Ergebnis hat Lamb eine Verschiebungs des 2s1/2 -Zustands gegenüber dem 2p1/2 -Zustand von etwa 1GHz gemessen In der Dirac-Theorie ist 2s1/2 und 2p1/2 entartet. 13

• Eine Theoretische Beschreibung ist zunächst in einem einfachen halbklassischen Bild möglich. Sie geht auf Welton zurück. Physikalisches Bild: Die Vakuumsfluktuationen des Feldes rütteln am Elektron. Dadurch verschmiert das Elektron zu einer kugelförmigen homogenen Ladungsverteilung. Die über die Verteilung gemittelte potentielle Energie erweist sich als kleiner als für ein Punktteilchen am selben Ort. Die reduzierte Bindungsenergie lockert den 2s-Zustand. Folgende Rechnung erfolgt in cgs-Einheiten. • Berechnung der Amplitude der Feldfluktuationen: Die Modendichte in einem Volumen V im Frequen2 zintervall zwischen ν und dν ist 8π c3 ν dν (siehe Experiementalphysik VI, Schwarzkörperstrahlung). Für die Feldenergie im Volumen gilt Z 8π 1 1 Eν2 + Bν2 dν = 3 ν 2 dν · V · hν 8π c 2 {z } | |{z} υ M odenzahl

Vakuumsenergie pro M ode

Bei Vernachlässigung des B-Feldes und bei homogenem E-Feld folgt (

8π 2 1 1 2 ν dν · V ) hν = E ·V c3 2 8π ν

oder Eν2 =

32π 2 3 hν dν. c3

• Radius der verschmierten Verteilung. Das Feld bei einer Frequenz ν : E(t) = Eν · ei2πνt verschiebt das Elektron gemäß Newton: d2 (∆rν ) · m = e · Eυ · ei2πν·t dt2 mit der Lösung: ∆rν = −

e2 Eυ i2πνt e · m 4π 2 ν 2

Die mittlere quadratische Abweichung ist E D e2 Eν2 2 (∆rν ) = 2 m 32π 4 ν 4

=

↑ Ergebnis Schritt 1

e2 h π 2 m2 c3

dν ν

• Energie einer verschmierten Verteilung. Taylor-Entwicklung des Potentials: ∆V =

1 1 ∂2V ∂2V ∂2V 1 ∆x2 2 + ∆y 2 2 + ∆z 2 2 + .... 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z

Erste Ordnung verschwindet, da Verteilung homogen und daher h∆xi = h∆yi = h∆zi = 0 und damit h∆V i1.Ordnung = 0. Mit

2® 2® 2 ® 2® 1 ∆x = ∆y = ∆ z = ∆r 3 14

folgt

1 2® ∆r · ∇2 V. 6 Die Energieverschiebung erhält man als Erwartungwert von h∆V i : h∆V i2.Ordnun g =

= hnlml | h∆V i|nlml i

∆E

= hnlml |∇2 V |nlml i · Für das Coulomb-Potential V =−

1 2® ∆r 6

e2 r

und der Poission-Gleichung ∇2

1 = −4πδ(r) r

erhält man für das Matrixelement hnlme |∇2 V |nlml i = 4πe2 |Ψnlml (r = 0)|2 . Für Wasserstoﬀ haben nur s-Zustände einen endlichen Wert bei r = 0 |Ψn,0,0 (r = 0)|2 =

1 . πn3 a30

Damit gilt: ∆E =

1 1 h∆r2 i · 4πe2 3 3 . 6 πn a0

Einsetzen des Ergebniss für h∆r2 i aus Schritt 2 ergibt: µ 2 ¶ Z νo 2 e2 ~ hc dν ∆E = 3 ~c |{z} mc π2 n3 a30 ν u ν | {z } λc

α

• Abschneidefrequenzen. Welche Grenzen hat das Integral? Untere Grenze ist die GrundzustandsUmlauﬀrequenz e2 νu = 3 3 ~a0 n Obere Grenze ist durch die maximal mögliche Lokalisierungsenergie gegeben. Sie kann die Ruheenergie des Elektrons nicht überschreiten. mc2 = ~ω = hν o Eingesetzt als Grenzen des Integrals und mit der Definition für den Bohrradius, a0 = ∆E =

1 6π

µ

e2 ~c

¶3

me4 log ~2

für n = 2. Der 2p-Zustand bleibt unverschoben.

15

µ

mc2 hυ 0

¶

∼ 1GHz · h

~2 me2 ,

erhält man

• Aktuelle Experimente. Der Zweiphotonenübergang von 1s1/2 nach 2s1/2 wird mit optischen Licht bei 243nm angeregt. (Dieser Übergang wird beschrieben in zweiter Ordnung Störungstheorie, er basiert auf der Suszptibilität χ(2) , die quadratisch vom Feld abhängt.) Die Photonen zirkulieren dazu in einem Stehwellenresonator und treﬀen auf die Atome von zwei entgegengesetzten Richtungen. Der Dopplereﬀekt hebt sich daduch auf und alle Atome können angeregt werden unabhängig von ihrer Geschwindigkeit. Daneben gibt es noch die stark dopplerverbreiterte Resonanz mit einer Absorption von zwei Photonen aus derselben Richtung. An diesem Übergang ist aber immer nur eine bestimmte Geschwindigkeitsklasse beteiligt, was das Signal sehr schwach macht. Es kann vernachlässigt werden. Die Übergangsfrequenz wird mit Hilfe eines Frequenzkamms mit der Cäsium Uhr verglichen. Details siehe: M.Niering, R.Holzwarth, J.Reichert, P.Pokasov, Th.Udem, M.Weitz, T.W.Hänsch, P.Lemonde, G.Santarelli, M.Abgrall, P.Laurent, C.Salomon and A.Clairon, Phys. Rev. Lett. 84, 5496 (2000). Die Übergangsfrequenz von ν 1S−2S = 2466061413187103(46)Hz , kann so mit einer Genauigkeit von 47Hz gemessen werden (der Fehler wird in Klammern unmittelbar hinter dem Messwert angegeben). Die relative Genauigkeit beträgt 10−14 . Für die theoretische Beschreibung der Übergangsfrequenz schlägt die Lamb-Verschiebung mit etwa 8 GHz für den Grundzustand zu Buche. Korrekturen aufgrund der Quantisierung des Lichtfeldes können damit mit 7-stelliger Genauigkeit gemessen werden.

Bisher beobachtet man eine perfekte Übereinstimmung mit Theorie! Die vollständige Theorie wurde von Feynman, Schwinger und Tomonaga entwickelt. • In der Quantenelektrodynamik wird die Wechselwirkungen zwischen geladenen Teilchen und Licht durch Erzeugung und Vernichtung von Photonen beschrieben.

16

e γ

p

Die Korrekturterme (meist größere Integrale) kann man mit den Feynman Diagrammen veranschaulichen. Elektron und Kern werden durch horizontale Linien dargestellt. Der Austausch eines Photons ist eine Querverbindung. Eine gerade Querverbindungslinie stellt ein longitudinales Photon da, das im freine Raum nicht existieren kann, sondern nur in Anwesenheit zweier Ladungen. Es vermittelt die Coulomb Wechselwirkung. Die Summe aller topologisch unterschiedlichen Diagramme, die die Elektronenlinie mit der Protonenlinie verbinden ist äquivalent zur Lösung der Dirac-Gleichung im Coulomb Potential. e

e

e

+

+

p

p

e

e

+

... p

...

+ p

p

• Daneben gibt es strahlende Korrekturen, die durch transversale Photonen zustandekommen. Ein Teil davon ist die Lambverschiebung. Hauptterm ist die Selbstenergie des Elektrons. Selbstenergie des freien Elektrons e

Selbstenergie des gebundenen Elektrons e

Vakuumspolarisation e e+

p

p

e

p

• Ein weitere Beitrag zur Lamb-Verschiebung mit negativen Vorzeichen (Verstärkt die Bindung) sind virtuelle Teilchen-Antiteilchen Paare. Sie führen zur VakuumspolarisationElektron-Position Paare sind am häufigsten. Sie sind am leichtesten und verletzen die Energieerhaltung innerhalb der erlaubten Zeitunschärfe. Schwere Paare (z. B. µ− µ+ ) treten daher nur über kürzere Zeiträume auf und sind weniger sichtbar. Auch andere Paare möglich aber machen weniger Beitrag. Die Vakuumspolarisation verschiebt die Energieniveaus: Die virtuelle e, e+ -Wolke schirmt das Elektron ab. In großem 17

Abstand vom Kern wirkt die scheinbare Ladung e. In kleinem Abstand wird die ”wahre” Ladung wirksam. Sie ist größer als e. S-Zustände sehen viel von der wahren Ladung, da sie eine endliche Aufenthaltswahrschenlichkeit am Ort des Kerns haben. Sie sind also stärker gebunden.

Vakuumsfluktuationen: Casimir-Kraft • Ein weitere Eﬀekt der durch die Quantisierung des Lichtfeldes zustandekommt ist der Casimir-Eﬀekt. Auf zwei planparallele Platten wirkt eine Kraft aufgrund der Nullpunktsenergie des Vakuums. Die Anzahl der Moden zwischen Platten ist abhängig vom Abstand d. Je kleiner d, umso weniger Moden umso weniger Nullpunitsenergie. Die Energie kann verkleinert werden mit sinkendem d! Daruas ergibt sich die Casimir-Kraft. π2 ~c 1 F (d) = − . 240 d4 • Die Casimir-Kraft eng verwandt mit der van der Waals-Kraft. Auch die van der Waals-Kraft basiert auf Quantenfluktuation und der dadurch entstehenen induzierten Dipol-Dipol-Wechselwirkung.Rechnung siehe C. Gerry und P. Knight: ”Intoductiory Quantum Optics”, Cambridge, Seite 32.

Kohärente Zustände Für Nummernzustände verschwindet der Erwartungswert des elektrischen Feldes. Wie baut man eine Brücke zur klassischen Feldvorstellung, oder: Für welche Zustände ist der Feld-Erwartungswert einem klassischen Feld am ähnlichsten? • Es sind die kohärenten Zustände, |αi und hα|. Sie werden definiert sind als Eigenzustände des Vernichters a ˆ: a ˆ|αi = α|αi • Zur Erinnerung: Dirac-Notation (siehe auch: Nolting, Quantenmechanik I: Grundlagen. Kap. 3). — Bra-Ket |αi : Ket hα| : Bra — Skalarprodukt hα|βi : Skalarprodukt ∗ hα|βi = hβ|αi hα|cβi = c hα|βi = hc∗ α|βi — Adjungierte Operatoren A+ = (At )∗ adjungierter Operator ®∗ hα|A|βi = β|A+ |α

• Eigenwertsgleichung für den Erzeuger: Aus

hα|a|αi = hα|α|αi = α und folgt und schließlich

®∗ hα|a|αi = α|a+ |α + ® α|a |α = α∗

hα|a+ = α∗ hα|. 18

• Darstellung von |αi in der Energiebasis. Die |αi sind Linearkombinationen von Nummernzuständen: |αi =

∞ X

cn |ni

n=0

Die cn berechnen sich folgendermaßen: a|αi =

∞ ∞ X X √ cn n|n − 1i = α · cn |ni

n=0

= α· Vergleich beider Summen ergibt: oder

also

n=0

∞ X

cn−1 |n − 1i

n=0

√ cn n = α · cn−1

α α2 αn cn−2 = ... √ c0 cn = √ cn−1 = p n n(n − 1) n! |αi = c0 ·

∞ X αn √ |ni. n=0 n!

Die Konstante c0 erhält man aus der Normierungsbedingung hα|αi

=

XX α∗n αn0 √ hn|n0 i 1 = |c0 | 0 n!n ! | {z } n n0 2

δnn0

=

|c0 |2

∞ X

2n

|α| n! n=0 1

2

= |c0 |2 · e|α|

2

⇒ c0 = e− 2 |α| . Die Eigenzustände zu α lauten also: 1

|αi = e− 2 |α|

2

∞ X αn √ · |ni n=0 n!

• Der Erwartungswert des Feldes läßt sich jetzt für die α-Zustände direkt hinschreiben: r ´ ~ω ³ i(kr−ωt) ˆx (r, t) = − a+ e−i(kr−ωt) E ae 2ε v r 0 ³ ´ ˆx (r, t)|αi = i ~ω αei(kr−ωt) − α∗ e−i(kr−ωt) hα|E 2ε0 v mit α = |α| · eiθ gilt dann

r ~ω ˆ hα|Ex (r, t)|αi = 2|α| sin(ωt − k · r − θ). 2ε0 v

Dies entspricht dem klassischen Feld mit einer Amplitude proportional zu |α|.

19

• Wie groß sind die Feldfluktuationen um den Mittelwert? ˆ 2 (r, t)|αi = hα|E

¢ ~ω ¡ 1 + 4|α|2 sin2 (ωt − kr − θ) 2ε0 v

ˆ 2 i = hEi ˆ 2 − hE ˆ 2 i gemittelt über Zeit und Ort ergibt und mit h∆E

~ω sin2 (ωt − kr − θ) 2ε0 v ¢ ~ω ¡ + 1 + 4|α|2 sin2 (ωt − kr − θ) 2ε0 v ~ω = 2ε0 v r q ~ω 2 ˆ ∆E = h∆E i = 2ε0 v Dies entspricht genau dem Wert, den man für den Vakuumzustand erhält. (Berechnung der Vakuumsfluktuationen der hier behandelten laufenden Welle geht ganz analog zur am Anfang des Kapitels behandelten Stehwelle). ˆ 2 i = −4|α|2 h∆E

• Erwartungswert des Zahloperators für kohärente Zustände: ˆ|αi = α∗ hα|α|αi hα|ˆ n|αi = hα|ˆ a+ a = |α|2 hα|αi = |α|2 =: n ¯ |α|2 ist die mittlere Photonenzahl in einem kohärenten Zustand |αi. • Zahlfluktuationen: hα|ˆ n2 |αi = hα|ˆ a+ a ˆa ˆ+ a ˆ|αi + + = hα|ˆ a a ˆ a ˆa ˆ+a ˆ+ a ˆ|αi 4 2 2 |α| + |α| = n ¯ +n ¯ Damit erhält man: ∆n =

q 00 p √ hˆ n2 i − hˆ ni2 = n ¯2 + n ¯−n ¯2 = n ¯

• Poisson-Verteilung: Misst man für einen kohärenten Zustand |αi die Photonenzahl mit einem geeigneten Detektor, so ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl n zu messen durch die Projektion auf den Zustand |ni gegeben. Pn

1

= |hn|αi|2 = |hn|e− 2 |α| ∞ X

0

2

∞ X αn0 p |n0 i|2 n0 | n=0

n 2 α 1 e− 2 |α| √ hn|n0 i|2 n0 ! | {z } n0 =0

= |

δnn0

− 12 |α|2

= |e

= |e−¯n

2n 2 |α| αn √ |2 = e−|α| n! n0 !

n ¯n = Pn¯ (n). n! −

Dies ist die Poisson-Verteilung zum Mittelwert n. Die relative Breite lautet: √ 1 n ¯ ∆n = =√ . n ¯ n ¯ n ¯ 20

Dies entspricht der Situation von unendlich vielen gleichen Töpfen im Regen. Wartet man solange bis im Mittelwert über alle Töpfe n ¯ Tropfen in einen Topf gefallen sind, so ist die relative Anzahl von Töpfen mit n Tropfen gerade durch die Poisson-Verteilung gegeben: Pn¯ (n). Ein kohärenter Zustand entspricht einer ”Überlagerung” aller Töpfe. Eine Photonenzahlmessung entspricht dem zufälligen Herausgreifen eines Topfs. Läßt man die Töpfe sehr lang im Regen, sind alle Töpfe fast gleich voll. Befindet sich am Anfang nur ein Tropfen in einem Topf, so ist die Abweichung etwa so groß wie der Mittelwert. • Schrotrauschen: Die Genauigkeit einer Intensitätsmessung an einem Laserstrahl hängt von der Länge der Messung √ ab. Werden während der Messung insgesamt n Photonen eingesammelt, so ist die Unsicherheit n. Zahlen: 1mW ∼ 1016 P hotonen/s. Atom: Lebensdauer τ ∼ 20ns = 2 · 10−8 s entspricht, bei Sättigungsintensität, 2 · 108 Photonen ∆n ≈ 10−4 = 0.01%. n Die Photonenzahl ist also für typische atomare Vorgänge sehr genau bestimmt. Kurze Messungen bei kleinen Lichtintensitäten sind prizipiell schrotrauschbegrenzt. • Quadratur-Komponenten: Die Erwartungswerte der Quadraturkomponenten lauten: ˆ 1 |αi = hα|X ˆ 2 |αi = hα|X

1 1 hα|ˆ a+a ˆ+ |αi = (α + α∗ ) = Re(α) 2 2 1 1 + hα|ˆ a−a ˆ |αi = (α − α∗ ) = Im(α) 2i 2i

Für die Fluktuationen der Quadratur-Komponenten erhält man: h(∆X1 )2 iα ∆X1

= h(∆X2 )2 iα = =

1 4

1 = ∆X2 2

• Phasenraum-Darstellung kohärenter Zustände: Beschreibt man das Feld durch seine Quadraturkomponenten, erhält man für einen fixen Zeitpunkt: x2

∆x1=1/2

∆x2 =1/2

x1

Der kleine Kreis entpricht gerade den Vakuumsfluktuationen, die bei endlicher Photonenzahl vom Nullpunkt aus versetzt werden. • Phasenunsicherheit: In diesem Bild kann man die Phasenunsicherheit ablesen: In Polarkoordinaten entspricht die Phase des Felds und entsprechend der Kreis der Phasenunsicherheit.

21

y

ϕ

∆ϕ x

Phasenunsicherheit nimmt mit wachsender Photonenzahl auch absolut ab! ˆ 1 i = α cos ωt und hX ˆ 2 i = α sin ωt. • Zeitliche Bewegung: Da hX E(t)

x1

∆E x2

t

∆ϕ

Hier erkennt man direkt die Feld- und Phasenunsicherheit. • Ein Nummernzustand in diesem Bild ist ein Kreis ohne Ausdehnung, d. h. ohne Radius-Fluktuationen. x1

x2

Die Amplitude ist scharf, die Phase ist über 2π verschmiert und damit völlig unscharf. Der Feldmittelwert ist Null. • Gequetschter Zustand. Mit Hilfe verschiedener Tricks kann man auch sogenannte gequetschte Zustände herstellen, deren Unsicherheitsbereich nicht kreisförmig ist. Im Prinzip kann er beliebige Formen annehmen.

22

x2

∆ϕ

∆E

x1

Allerdings kann die Unsicherheitsfläche nicht beliebig klein werden. Sie ist durch eine UnschärfeBeziehung begrenzt: ∆n · ∆ϕ > 1 Photonenzahl und Feld-Phase können nicht gleichzeitig scharf sein. Ein Numernzustand ist demnach ein maximal amplitudengequetschter Zustand. Ein maximal phasengequetschter Zustand wäre eine Ursprungsgerade. Zur ausführlichen Beschreibung benötigt man eine Theorie des Phasenoperators (siehe Gerry and Knight, Kap. 2.7).

23

Chapter 2

Hohlraum-Quantenelektrodynamik Jaynes-Cummings-Modell Es beschreibt die Wechselwirkung eines Zweiniveausystems (z.B. Atom) mit einer einzelnen Mode des elektromagnetischen Feldes. • Die Wechselwirkung zwischen Mode und Atom wird durch den Operator → − − → ˆ 0 = dˆ · E ˆ H

beschrieben. Der Feldoperator mit Polarisation in Richtung des Einheitsvektors ~e lautet r → − ~ω ˆ = ~e · E (a + a+ ) sin kz. ε0 V Einsetzen ergibt ˆ 0 = dˆ · g · (a + a+ ), H wobei und

→ − → dˆ = dˆ · − e r

g=−

~ω sin kz. ε0 V

• Welche Form hat der Dipoloperator dˆ ? Dazu betrachten wir eine Zweiniveausystem mit Zuständen |gi und |ei. Der Dipoloperator hat die Matrixelemente ˆ hg|d|ei : =d ˆ he|d|gi : = d∗ ˆ he|d|ei : =0

ˆ hg|d|gi : =0

Aus Paritätsgründen hat ein atomarer Energieeigenzustand kein Dipolmoment. Daher verschwinden die Diagonalelemente. Der Dipoloperator wird also nur durch eine einzige komplexe Zahl d bestimmt. Man kann sie aber, ohne Verlust der Allgemeinheit, reell setzen. Dadurch vernachlässigt man einen → − − → ˆ einer entsprechenden möglichen Phasefaktor von d. Eine solche Phase würde aber im Produkt dˆ · E Phasenverschiebung von E entsprechen, die ja auch keine Rolle spielt. 24

• Als nächstes führen wir die ”Übergangsoperatoren” σ ˆ+

= |eihg| =

σ ˆ−

= |gihe| =

µ

µ

0 1 0 0 0 0 1 0

¶

,

¶

und den ”Inversionsoperator” σ ˆ 3 = |eihe| − |gihg| =

µ

1 0 0 −1

¶

ein. Der Operator σ ˆ + erzeugt eine atomare Anregung indem er den Grundzustand in einen angeregten Zustand überführt. Entsprechend vernichtet σ ˆ − die Anregung. Die Operatoren sind also die atomaren Gegenspieler zu den Erzeugern und Vernichtern a+ bzw. a. Die Operatoren genügen interesanterweise der Pauli Spin-Algebra: [σ + , σ − ] = σ 3 [σ 3 , σ ± ] = 2σ ± Man kann den Dipoloperator jetzt schreiben als: σ − + dˆ σ+ dˆ = d|gihe| + d+ |eihg| = dˆ = d(ˆ σ+ + σ ˆ−) Er hat die analoge Form zum elektrische Feld (a + a+ ). • Der Hamilton wird damit:

ˆ 0 = ~λ(ˆ σ+ + σ ˆ − )(ˆ a+a ˆ+ ) H

wobei λ = d · g/~ die Frequenz der Wechselwirkungsenergie ist. Die Energieskala wird so gesetzt, das die Energie zwischen den beiden Zustanden verschwindet.

Ee

E=0

hω

Eg

Dadurch läßt sich der atomare Hamilton schreiben als: 1 ˆ A = 1 (Ee − Eg ) · σ H ˆ 3 = ~ωˆ σ3 . 2 2 Der Gesamthamilton ˆ =H ˆA + H ˆF + H ˆ0 H wird damit

1 ˆ = 1 ~ω 0 σ ˆ 3 + ~ω(a+ a + ) + ~λ(ˆ ˆ − )(a + a+ ). H σ+ + σ 2 2 Der Summand 12 ~ω kann weggelassen werden. Er verschiebt lediglich die Energieskala. Die Energie der Vakuumsfluktuationen spielt keine Rolle. Die Vakuumfluktuationen des Feldes bleiben jedoch wichtig! 25

• Zeitabhängigkeiten und ”rotating wave approximation”. Die Feldoperatoren haben die Zeitabhängigkeit (siehe oben): a(t) = a(0) · e−iωt a+ (t) = a+ (0) · eiωt Für das Atom ohne Feld ergibt die Schrödingergleichung: ˆ ± (0) · e±iω0 t σ ˆ ± (t) = σ Die Produkte im Hamilton haben also folgende Zeitabhängigkeiten: σ ˆ+a σ ˆ − a+ σ ˆ + a+ σ ˆ−a

∼ ∼ ∼ ∼

ei(ωo −ω)t e−i(ωo −ω)t ei(ωo +ω)t e−i(ωo +ω)t

In der Nähe der Resonanz, also für ω 0 ≈ ω oszillieren die beiden letzten Terme schneller als die beiden ersten. Wie im Bloch-Modell können wir in der entsprechenden Schrödinger-Gleichung eine Zeitskalen-Trennung machen und im zeitlichen Mittel die beiden letzten Terme vernachlässigen. Die beiden vernachlässigten Terme entsprechen einer Anregung des Atoms bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons (ˆ σ + · a+ ) oder einer Abregung des Atoms bei gleichzeitiger Vernichtung eines Photons (ˆ σ − ·a). Beide Vorgänge verletzen die Energieerhaltung und sind nur im Rahmen der Unschärferelation also nur für sehr kurze Zeiten möglich. Für längere Zeiten sind sie vernachlässigbar. Damit erhalten wir den Hamilton des Jaynes-Cummings-Modells: ˆ = 1 ~ω 0 σ H ˆ 3 + ~ωˆ a+ a ˆ + ~λ(ˆ σ+a ˆ+σ ˆ−a ˆ+ ) 2 • Konstanten der Bewegung: Es gibt zwei Operatoren, die zwei zeitlich konstante Observablen entsprechen. Sie sind Konstante der Bewegung und vertauschen mit H: 1. Der ”Elektronenzahloperator” PE

= |eihe| + |gihg| µ ¶ 1 0 = =1 0 1

Wie für die Einheitsmatrix gilt [PE , H] = 0. 2. Der ”Anregungszahloperator” Ne = a+ a + |eihe| Im abgeschlossenen System ist die Zahl der Photonen und angeregten Elektronen konstant. Wenn das Elektron sich abregt, muss ein Photon entstehen und umgekehrt. Man kann auch direkt ausrechnen, dass gilt [Ne , H] = 0. • Welcher Teil des Hamiltons enthält die interessante Dynamik, also den Energieaustausch zwischen Atom und Mode? Dazu zerlegen wir des Hamiltons in zwei Teile, die miteinander vertauschen: H

= HI + HII

HI

= ~ωNe + ~(

HII

ω0 − ω)PE 2 = −~∆ + ~λ(σ + a + σ − a+ ),

wobei ∆ := (ω 0 − ω) · |gihg|. 26

Es gilt oﬀenbar (selber nachprüfen) [HI , HII ] = 0. und damit auch [H, HI ] = 0. Nur HII enthält die Wechselwirkung und damit die interessante Dynamik. HI ist eine Konstante der Bewegung. Für die Eigenzustände des Gesamthamilton kann man also (wie üblich für eine Summe von vertauschenden Operatoren) einen Separationsansatz machen Ψ := ΨI · ΨII , wobei HI ΨI HII ΨII

= EI ΨI = EII ΨII

Die zeitabhängige Lösung von HI enthält nur die intrinsische Zeitabhängigkeit e−iEI /~t . Für die Gesamtlösung spielt sie lediglich die Rolle eines Phasenfaktors, der bei der Bildung von Erwartungswerten wegfällt. Interessant ist also die Lösung ΨII . • Wir betrachten den Spezialfall ω 0 = ω, d.h. ∆ = 0 . Das Licht ist also in Resonanz mit dem Atom. Außerdem befindet sich das Atom anfänglich im angeregten Zustand und n Photonen in der Mode. Es werden dann genau zwei Zustände gekoppelt: Der Anfangszustand |ii := |ei|ni er hat die Energie Ei =

1 ~ω + n~ω 2

und der Endzustand |f i := |gi|n + 1i mit der Energie 1 Ef = − ~ω + (n + 1)~ω. 2 Die Energien beider Zustände sind gleich Ei = Ef . (Die Zustände sind genau die beiden des ”dressed state models”.) • Die allgemeine Lösung von HII ist also eine sich zeitlich ändernde Überlagerung: |Ψ(t)i = Ci (t)|ii + Cf (t)|f i. Eingesetzt in die Schrödingergleichung i~

d |Ψi = HII |Ψi, dt

ergibt: C˙ i C˙ f oder:

√ = −iλ n + 1Cf √ = −iλ n + 1Ci

√ C¨i + λ2 n + 1Ci = 0 27

Diese Gleichung hat die Lösung: und

√ Ci (t) = cos(λ n + 1 · t) √ Cf (t) = −i sin(λ n + 1 · t).

Für die Besetzungswahrscheinlichkeiten und die Inversion erhält man: Ω Pi (t) = |Ci (t)|2 = cos2 ( t) 2 Ω Pf (t) = |Cf (t)|2 = sin2 ( t) 2 W (t) = hσ 3 i = Pi (t) − Pf (t) = cos(Ωt) wobei die quantenelektrodynamische ”Rabi-Frequenz” lautet: √ Ω(n) := 2λ n + 1. • Bemerkungen:

√ 1. Die Rabi-Frequenz ist proportional zu n (für n À 1), d h. zur Wurzel der Energie , also zum Feld. Dies entspricht der klassischen Erwartung, obwohl das Feld des Jaynes Cummings Modells ein höchst unklassischer Nummernzustand ist. 2. Für n = 0 ist Ω = 2λ > 0, d.h. das Vakuum treibt eine Rabi-Oszillation. Es gibt eine VakuumsRabi-Oszillation! Sie ist experimentell beobachtbar.

• Wie ist die Dynamik für Linearkombinationen von Nummernzuständen? Atom:

|Ψ(t = 0)iAtom = Cg |gi + Ce |ei Feld: |Ψ(t = 0)iF eld = Zustand des Gesamtsystems:

∞ X

Cn |ni

n=0

|Ψ(t = 0)i = |Ψ(t = 0)iAtom ⊗ |Ψ(t = 0)iF eld Eingesetzt in die Schrödingergleichung führt zur Lösung: |Ψ(t)i =

∞ X

a(t)|ei|ni + b(t)|gi|ni

n=0

mit µ ¶ ¶ Ωn Ωn · t − iCg Cn+1 sin ·t 2 2 µ µ ¶ ¶ Ωn Ωn b : = −iCe Cn sin · t + Cg Cn cos ·t . 2 2

a : = Ce Cn cos

wobei wie oben

µ

√ Ωn = 2λ n + 1

Die Lösung ist eine Linearkombination von Produktzuständen, d. h. die atomaren und die Feldfreiheitsgrade sind verschränkt. 28

• Spezielle Anfangsbedingung: Atom ist bei t = 0 im angeregten Zustand |ei, also Ce = 1 und Cg = 0, und man kann schreiben: |Ψ(t)i = |Ψg (t)i|gi + |Ψe (t)i|ei mit µ

¶ Ωn |Ψg (t)i = −i Cn sin · t · |n + 1i 2 n=0 µ ¶ ∞ X Ωn Cn cos |Ψe (t)i = · t · |ni. 2 n=0 ∞ X

Als Observable betrachten wir z. B. die Inversion: W (t) = hΨ|σ3 |Ψi = hΨe (t)|Ψe (t)i − hΨg (t)|Ψg (t)i ∞ X |Cn |2 cos(Ωn t) = n=0

Sie setzt sich aus Frequenzen zusammen, die kein Vielfaches voneinander sind. Dies führt zu einer kuriosen Dynamik. 2

• Für einen kohärenter Zustand, also mit Cn = e−|α| −¯ n

Wcs (t) = e

/2

·

αn √ n!

erhält man

∞ X ¢ ¡ √ n ¯n cos 2λt n + 1 . n! n=0

• Für n ¯ = 5 sieht das so aus: 1

W(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10

20

λt

30

40

50

Durch Schwebung zwischen den verschiedenen Komponenten verschwindet die Rabi-Oszillation, um dann wieder aufzutauchen (”revival”). • Die revival-Zeit Tr läßt sich als die Zeit abschätzen, in der die Phase der benachbarten Komponenten um 2π auseinandergelaufen ist: Ω(n + 1) · Tr − Ω(n)Tr = 2π. 29

1

W(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10

20

λt

30

40

50

Figure 2.1: Entwicklung der Wurzeln ergibt Tr = 2π ·

1 √ ¯. · n λ

Mit der Vakuums-Rabioszillation 2π T0 √ 2π √ =⇒ Tr = 2 · n ¯ = 2 · T0 · n ¯. Ω0 √ Für eine große mittlere Photonenzahl n ist die revival-Zeit viel größer als die Vakuums-Rabiperiode T0 . Ω0

:

= 2λ =

• Thermischer Zustand: Genauso kann man die Dynamik eines Atoms unter Einfluss eines thermischen Zustands berechnen. Man erhält Wth (t) =

∞ X

n=0

mit der thermischen Verteilung Pn =

¡ √ ¢ Pn cos 2λt n + 1 , n ¯n . (1 + n ¯ )n+1

Für n ¯ = 5 sieht das so aus:Es gibt deutliche Unterschiede zum kohärenten Zustand! Die Photonenbesetzungszahlen haben also einen großen Einfluss auf die Dynamik mit der die Energie ausgetauscht wird. Diese Eﬀekte können klassisch nicht erklärt werden!

Experimente zur Hohlraum-QED • Eigenschaften von Rydberg-Atomen. Rydberg-Atome sind Atome mit einem Elektron in einem Zustand hoher Quantenzahl n. Im Prinzip eignen sich alle Alkaliatome. Sie haben ein Valenzelektron in einer

30

hohen Hauptquantenzahlen n. Ein experimentell leicht zu handhabend ist 87 Rb. Das Energiespektrum ist wasserstoﬀähnlich wie bei allen Rydbergatomen En '

1 2 α2 mc 2 . 2 n

Zwei benachbarte Rydberg-Zustände bilden ein Zweiniveaussystem. Der Energieabstand benachbarter Zustände ist 2Ry ω0 = ~n3 wobei Ry = 13, 6eV (Rydberg). S

P

D

n+1

n S

P

D

Auswahlregeln verbieten den s-s-Übergang und den s-d-Übergang. Damit kann der angeregte p-Zustand nur in den s-Zustand zerfallen. Der Übergang hat ein ungewöhnlich großes Dipolmatrixelement d ' n2 · q · a0 mit der Elementarladung q und dem Bohrradius a0 . Die Zustände haben eine lange Lebensdauer. Die spontane Zerfallsrate beträgt: d2 ω 30 . Γ= 3πε0 ~c3 Da d2 ∼ n4 und ω 30 ∼

1 n9

gilt Γ ∼ Γ0 · n−5 , wobei

1 cα4 ∼ 109 a0 s (α ist die Feinstrukturkonstante). Bei typischerweise n = 50 ist die Lebensdauer Γ0 =

τ=

1 ∼ 0.1s. Γ

• Nachweis durch Feldionisation. Durch äußeres Feld wird die Ionisationsschwelle abgesenkt und das Elektron kann dem Kern entkommen. Bei wachsender Feldstärke wird ein Rydberg-Zustand nach dem anderen ionisiert. 31

U

Potential aufgrund des äußeren Feldes r Potential ohne äußeres Feld

Zustand wird ionisiert Gesamtpotential

Dies kan man ausnutzen um die Besetzung der einzelnen Zustände zu messen. Dazu lässt man die Rydberg Atome durch eine räumlich anwachsendes elektrisches Feld laufen. Bei einer bestimmten Feldstärke wird das Atom ionisiert. Die Elektronen werden räumlich nachgewiesen, z.B. mit einem Phosphorschirm. Dies ist möglcih, wenn man das Elektron in einer Mikrokanalplatte vervielfacht. Die Platte besitzt ein Raster aus kleinen Röhrchen, die wie Elektronenvervielfacher wirken.

U keilförmige Löcher in Kondensatorplatten

+ -

Atomstrahl

Mikrokanalplatte Phosphorschirm

Die Atome werden an einer Stelle enstlang des Strahls ionisiert, an der das Feld gerade den besetzten Zustand freisetzt. Je größer die Hauptquantenzahl des besetzten Zustands umso weiter vorne im Strahl wird das Atome ionisiert. Die Besetzung des Rydbergzustände wird so auf die räumliche Achse abgebildet. Freigesetzte Elektronen werden ortaufgelöst nachgewiesen. • Mikromaser. Rubidium wird optisch mit Hilfe von Lasern in die Zuständen n = 50, 51 angeregt. Auf den Frequenzabstand von ω 0 = 2π · 51, 1GHz ist ein Mikrowellenresonator abgestimmt. Er wird auf wenige 100mK gekühlt um thermische Besetzung der Moden des Resonators zu vermeiden. Die Güte des Resonators ist extrem hoch (bist 109 ). Zusammen mit der großen Polarisierbarkeit der Rydbergatome erhält man eine starke Kopplung zwischen dem Atom und der Resonatormode. Die Atome fliegen einzeln durch den Resonator. Ihr Anregungszustand wird nach Austritt mit dem Ionisationsdetektor nachgewiesen. 32

Mikrowellenresonator optische Präparation kalter Rydberg-Atome

Ionisationsnachweis

• Merkmale: thermische Schwarzkörperstrahlung macht unerwünschte Übergänge zwischen den RydbergZuständen daher abkühlen auf unter 1K. Mikrowellenstrahlung muss lange im Resonator überleben. Güte >108 − 109

Spontane Emission soll nur in die Resonatormode gehen. Resonator möglichst geschlossen. • Ergebnisse der Gruppe an der ENS in Paris. Die obere Reihe entspricht einer thermischen Strahlung im Resonator mit einer mittleren Photonenzahl von n ¯ = 0.06. Mit kohärenten Zuständen im Resonator ändert sich die Dynamik und die Oszillationen verschwinden.

• Produktzustände. Zwei nicht verschränkte Teilchen bilden einen Produktzustand, z. B. zwei Teilchen, jedes entweder im Zustand mit der Quantenzahl q = +, oder q = −. Ψ=

|q1 i Raum von Teilchen 1 33

⊗

|q2 i Raum von Teilchen 2

also konkret: |+i|+i |−i|+i |+i|−i |−i|−i

beide Teilchen im Zustand plus Teilchen 1 in minus, Teilchen 2 in plus Teilchen 2 in minus, Teilchen 1 in plus beide Teilchen im Zustand minus

Beide Zustände sind unabhängig: Eine Messung an Teilchen 1 beeinflusst den Zustand von Teilchen 2 nicht. Für einem Zustand |q1 i|q2 i ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen 2 im Zustand |+i anzutreﬀen unabhängig von Teilchen 1: = +) = |h+|h+|q1 i|q2 i|2 + |h+|h−|q1 i|q2 i|2 ³ ´ = |h+|q2 i|2 |h+|q1 i|2 + |h−|q1 i|2

P (q2

2

= |h+|q2 i|

• Ein verschränkter Zustand ist eine Linearkombination von Produktzuständen: |Ψi = α|+i|+i + β|−i|−i Die Wahrscheinlichkeit Teilchen 2 im Zustand + zu messen berechnet sich jetzt für den ersten Fall so: P (q2

= +) = |h+|h+|Ψi|2 + |h+|h−|Ψi|2 2

2

= |h+|h+| (α|+i|+i + β|−i|−i)| + |h+|h−| (α|+i|+i + β|−i|−i)i| 2

2

= |αh+|h+|+i|+i + βh+|h+|−i|−i| + |αh+|h−|+i|+i + βh+|h−|−i|−ii| = |α|2

2

Entsprechend erhält man für die Wahrscheinlichkeit Teilchen 1 in Zustand + anzutreﬀen ebenfalls |α| . Zwar sind beide Wahrscheinlichkeiten gleich, was aber noch nicht bedeutet, dass im Einzelfall beide Teilchen denselben Zustand haben. Um das herauszufinden muss man die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, also die Wahrscheinlichkeit mit der sich beide Teilchen im selben Zustand befinden: P (q1

= +, q2 = +) + P (q1 = −, q2 = −) = |h+|h+|Ψi|2 + |h−|h−|Ψi|2

= |h+|h+| (α|+i|+i + β|−i|−i)|2 + |h−|h−| (α|+i|+i + β|−i|−i)|2 2

2

= |αh+|h+|+i|+i + βh+|h+|−i|−i| + |αh−|h−|+i|+i + βh−|h−|−i|−i| 2

2

= |α| + |β| = 1

Beide Teilchen sind also garantiert im selben Zustand. In welchem der beiden möglichen Zustände 2 2 weiß man nicht. Man kann lediglich eine Wahrscheinlichkeit angeben (|α| , bzw. |β| ). • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Teilchen im selben Zustand sind für den verschränkten Gesamtzustand |Ψi = α|+i|−i + β|−i|+i? (Übung) • Nicht jede Linearkombination ist verschränkt. Zum Beispiel kann man |Ψi = α|+i|−i + β|+i|+i umformen in: |Ψi = |+i · (α|−i + β|+i) , was ein Produktzustand ist. 34

• Erzeugung verschränkter Atompaare mit dem Mikromaser. Ein angeregtes Atom durchläuft den leeren Resonator. Im Resonator entwickelt sich der Gesamtzustand gemäß des obigen Ausdrucks für die allgemeine Lösung unter den speziellen Anfangsbedinungen, d. h. alle Cn = 0 bis auf C0 . µ µ ¶ ¶ Ω0 Ω0 |Ψ(t)i = −iC0 sin t · |1ic |gi1 + C0 cos t · |0ic |ei1 2 2 = C0 (−i sin(λt) · |1ic |gi1 + cos(λt) · |0ic |ei1 ) . Die Indizes c und 1 stehen für den Resonator (cavity) und das erste Atom (später kommt noch ein zweites). Stellt man die atomare Geschwindigkeit so ein, dass die Zeit im Resonator t1 gerade t1 · λ = π/4 erfüllt, verwandelt sich der Anfangszustand in: 1 |ei1 |0ic → √ (|ei1 |0ic − i|gi1 |1ic ) . 2 Schickt man, nachdem Atom 1 den Resonator verlassen hat, ein Grundzustandsatom hinterher (Index 2), erhält man zunächst den Zustand 1 √ (|ei1 |gi2 |0ic − i|gi1 |gi2 |1ic ) , 2 der sich, während Atom 2 im Resonator ist, zeitlich entwickelt. Der Zustand |gi2 |0ic ändert sich dabei nicht (Atom und Resonator beide im Grundzustand), wohl aber |gi2 |1ic → cos(λt2 )|gi2 |1ic − i sin(λt2 )|ei2 |0ic . Für λt2 = π/2 (anders als t1 !) erhält man schließlich µ ¶ 1 |ei1 |gi2 |0ic → √ |ei1 |gi2 + |gi1 |ei2 |0ic 2 d. h. der Resonator ist wieder leer, aber die Anregung hat sich auf beide Atome verteilt. Man kann nicht sagen welches der beiden Atome angeregt ist, sondern nur, dass eines der beiden angeregt ist das andere aber nicht. Dies ist ein verschränkter Zustand. Die beiden Atome stehen nicht in Kontakt miteinander sondern können räumlich weit getrennt sein (abhängig von der Lebensdauer des Photons im Resonator). Misst man eines der beiden Atome im angeregten Zustand so weiß man instantan, dass sich das andere im Grundzustand befinden muss. Beide Atome zusammen bilden einen räumlich ausgedehnten globalen Zustand, der bei einer Messung als ganzes reduziert wird, (Das ist die von Einsteins nicht akzeptierte ”geisterhafte Fernwirkung”). Zwei Atome sind durch einen ausgedehnten gemeinsamen Zustand miteinander verknüpft. • Kann man auch einen verschränkten Zustand zweier klassischer Zustände erzeugen? Eine solche Überlagerung wäre ein sogenannter Katzen-Zustand. Der Ausdruck stammt von einem Gedankenexperiment von Erwin Schrödinger, der damit die Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik ad absurdum führen wollte:

35

Ein radioaktives Isotop befindet sich während des Zerfalls in einer Überlagerung ΨKern = α · |Kerni + β · |T ochterkern + α-T eilcheni. Reduziert sich bei einer Messung der Zustand in seinen ersten Teil so lebt die Katze, findet man das System im zweiten Teil, so ist die Katze tot, da das α-Teilchen einen, durch einen Geigerzähler gesteuerten Giftmechanismus ausgelöst hat. Das Experiment startet im Zustand α = 1 und β = 0, also mit lebender Katze und nicht zerfallenem Kern. Wie fühlt √ sich die Katze √ nach einiger Zeit, in der sich der Zustand des Kerns verändert hat so, dass jetzt α = 2 und β = 2 ? Ist die Katze ebenfalls in eine Überlagerungszustand übergegangen ΨKatze = α · |lebendigi + β · |toti ? Da noch niemand eine Katze gesehen hat, die sowohl tot als auch lebendig ist war Schrödinger davon überzeugt, dass ein solcher Zustand nicht möglich ist und damit die Kopenhagener Deutung etwas übersieht. Heute ist allgemeine Lehrmeinung, dass es einen solchen Katzenzustand sehr wohl geben kann und dass die Kopenhagener Deutung stimmt. Natürlich sind Katzenzustände keine trivialen Objekte und daher nach wie vor ein spannendes Forschungsthema. Uns werden solche Zustände noch ausführlich in Kapitel 5 begegnen. Die Schwierigkeit Katzenzustände herzustellen liegt in ihrer enormen Empfindlichkeit auf Störungen durch die Umgebung. Unter normalen Umständen zerfällt daher ein Katzenzustand fast sofort. • Katzenzustand mit Photonen entspricht einer Überlagerung zweier kohärenter Zustände mit entgegengesetzter Phase: x2 "tote Katze" α

x1 −α "lebende Katze"

36

|Ψi = |αi ± | − αi

Dies entspricht einer elektromagnetischen Welle mit einer Phase, die um π unbestimmt ist • Herstellung eines Katzenzustands mit dem Mikromaser. Zwei Niveaus (|ei und |gi) werden durch die Mikrowelle im Resonator gekoppelt. Die Mikrowelle ist leicht verstimmt. Ein drittes Niveau ( |f i ) sieht die Mikrowelle im Resonator aufgrund der großen Verstimmung nicht.

δ

e g

f

Außerhalb des Resonators gibt es zwei zusätzliche Mikrowellen, die die Zustände |gi und |f i koppeln. Resonator Nachweis der Zustände g und f

Atomquelle

Mikrowelle 1 g <-> f (π/2)

Mikrowelle 2 g <-> f (π/2)

1. Das Atom wird in Überlagerung aus |gi und |f i gebracht. Im Resonator befindet sich eine klassicher Feldzustand |αi. 2. Das Atom durchläuft den Resonator und wirkt dort wie ein Medium mit Brechungsindex, falls es im Zustand |gi ist. Im Zustand |f i hat es keinen Einfluss auf das Feld im Resonator. Mit Atom verringert sich die Resonatorfrequenz und damit die Energie des Zustands |αi.Das Feld propagiert langsamer und sammelt um π weniger Phase auf als ohne Atom (bei richtig gewählter Durchflugszeit des Atoms). 3. Atom enthält nach Durchflug die Information über die Phase von |αi : Atom in |gi → | − αi Atom in |f i → |αi Diese Information wird durch zweite Mikrowelle vernichtet. Atom in |gi −→ |gi + |f i Atom in |f i −→ |gi − |f i. 37

Misst man im Detektor das Atom im Zustand |f i, so weiss man nicht, ob das Atom vorher in |gi oder |f i war, bzw. ob der Resonator in |αi oder | − αi ist. Resultat einer ausführlichen Rechnung (siehe Knight) ergibt: Atom in |f i Resonator in |αi + | − αi Atom in |gi Resonator in |αi − | − αi oder für den Gesamtzustand: |Ψi =

1 (|gi (| − αi − |αi) + |f i (| − αi + |αi)) . 2

Die beiden Resonatorzustände sind Katzenzustände. Der Gesamtzustand ist eine Verschränkung aus den beiden Atomzuständen mit den beiden Katzenzuständen. • Quantum Nondemolition Experimente. Der Quantenmessprozess reduziert den Zustand. Typischerweise wir bei einer Messung auch das System zerstört. Photonen werden z. B. bei der Messung mit einer Photodiode absorbiert. Das muss aber nicht notwendigerweise so ein. Ein Experiment , das das System nach der Messung im gemessenen Zustand lässt nennt man ”quantum nondemolition”Experiment oder qnd-Experiment. Wie kann man man z. B. die Photonenzahl im Resonator ohne Absorption messen? Dies geht durch die Rückwirkung des Resonatorfeldes auf das Atom: 1. Schritt: Das Atom wird durch einen externen π2 Mikrowellenpuls in einen Dipol-Eigenzustand gebracht, Ψ = α|gi + β|ei. Das Dipolmoment schwingt mit einer Frequenz, die dem Energieabstand zwischen den Eigenzuständen |ei und |gi entspricht.

2. Schritt: Das Atom durchläuft den Resonator, der mit einem Nummernzustand |ni gefüllt ist und rot gegenüber der atomaren Resonanz verstimmt ist. Die AC-Stark-Verschiebung, also die Energieverschiebung der atomaren Niveaus aufgrund der Mikrowelle im Resonator, vergrößert den Energieunterschied zwischen |ei und |gi und das Dipolmoment schwingt schneller.

3. Schritt: Nach dem Resonator durchläuft das Atom einen weiteren π2 Puls der externen Mikrowelle. Je nach relativer Phase zwischen Mikrowelle und atomarer Dipolschwingung wird das Atom entweder abgeregt oder angeregt. Die relative Phase hängt von der Schwingungsfrequenz des Dipols im Resonator ab und damit von der Photonenzahl n.

Solche Experiment wurde durchgeführt und man konnte messen, ob ein oder ob kein Photon im Resonator ist, ohne dabei das Photon zu absorbieren. Einzelne Photonen können durch einzelne angeregte Atome in den Resonator gebracht werden, die den Resonator im Grundzustand verlassen haben. • Dressed State Bild mit quantisiertem Licht: Übergänge können nur zwischen den Zuständen |ei|ni ⇔ |gi|n + 1i und |ei|n − 1i ⇔ |gi|ni stattfinden. Die beiden Fälle unterscheiden sich durch die atomare Anregung bei n-Photonen in der Mode. Wir betrachten hier nur den ersten Fall, der zweite ist analog. Der Hamilton ist H=

1 ~ω 0 σ 3 + ~ωa+ a + ~λ(aσ + + a+ σ − ), 2

38

Mit den Zuständen |Ψ1 i : = |ei|ni |Ψ2 i : = |gi|n + 1i, lauten die Matrixelemente: hΨi |H|Ψj i = Hij oder H =~

µ

√ ω0 nω √+ 2 λ n + 1 λ n + 1 (n + 1)ω −

ω0 2

¶

mit den Energiewerten 1 ~ E± = (n + )~ω ± Ω(∆) 2 2 q 2 2 Ω(∆) : = ∆ + 4λ (n + 1) ∆ := ω 0 − ω dressed states

bare states

h∆

hΩ

λ=0 λ>0

Die Eigenzustände lauten: φ φ |+i = cos |Ψ1 i + sin |Ψ2 i 2 2 φ φ |−i = − sin |Ψ1 i + cos |Ψ2 i 2 2 mit µ

¶ Ω(0) φ = arctan ∆ µ √ ¶ 2λ n + 1 = arctan ∆ Für kleine Photonenzahl ist φ klein und |+i → |Ψ1 i |−i → |Ψ2 i

angeregter Atomzustand Grundzustand

Für ∆ > 0 (rote Verstimmung) gilt dann: Durch die Kopplung an das Licht wird der Grundzustand energetisch abgesenkt und der angeregte Zustand angehoben. Dies ist der AC-Stark-Eﬀekt

39

• Erweiterung auf beliebige Lichtzustände. Der Lichtzustand |Ψi = angeregtem Atom: X |Ψitot = |Ψi|ei = Cn |ni|ei

P

n

Cn |ni kommt in Kontakt mit

n

Den Zustand |ni|ei kann man als Linearkombination der entsprechenden dressed states ausdrücken: µ ¶ µ ¶ φn φn |ni|ei = cos |+in − sin |−in , 2 2

so dass |Ψitot =

X n

Cn |ni|ei =

X

Cn cos

n

φn φ |+in − sin n |−in 2 2

Die zeitliche Bewegung des Vektors erhält man durch den Zeitpropogation-Operator: i

|Ψitot (t) = e− ~ H·t |Ψitot µ ¶ X φ φ = Cn cos n |+in · e−iE+ (n)t/~ − sin n |−in · e−iE− (n)t/~ , 2 2 n was man leicht numerisch auswerten kann. • Experimente im optischen Spektralbereich. 87

Rb-Atome werden vom Grundzustand aus angeregt. Aufgrund der großen Energiediﬀerenz zwischen Grund und angeregtem Zustand gibt es keine thermische Besetzung des angeregten Zustands. Die thermische Schwarzkörperstrahlung stört nicht und die Apparatur muss nicht gekühlt werden.

”Superspiegel” erlauben Güte von bis zu 106 . Ein Photon kann 106 mal umlaufen. Die Rabifrequenz eines Atoms im Resonator ist durch √ Ω = 2λ 1 + n gegeben, mit d·g d λ= = · ~ ~

r

~ω . ε0 · V

Je kleiner das Modenvolumen V, umso größer die Rabifrequenz. ”Starke Kopplung” erreicht man, wenn die Rabi-Oszillation, die ein Photon erzeugt größer ist als die Linienbreite des Resonators. Das Photon wird dann durch das Atom stärker beeinmfglusst als durch die Verluste an die Außenwelt. Man erreicht starke Kopplung mit kleinen Resonatoren mit Spiegelabständen im Bereich von unter 1 mm. Je kleiner der Resonator, umso höher die Intensität pro Photon. Das Photon kommt an einer Stelle ”öfters vorbei”. Atom kann im Feld der Vakuumsfluktuation gefangen werden. Der Grundzustand wird um ΩV = 2λ abgesenkt (dressed state Modell). Stärkste Absenkung erfolgt an der Stelle höchster Intensiät im Zentrum der Mode. Die Gesamtenergie hängt von Position ~r des Atoms ab was zu einem Potential U (~r) führt mit Minimum im Zentrum. Ein einziges Atom kann den Resonator aus der Resonanz verstimmen. Die Verschiebung der Resonanzfrequenz des Resonators ist genauso groß wie die Vakuums-Rabi-Oszillation. Bei starker Kopplung ist die Verschiebung größer als die Linienbreite. Einzelatomnachweis ist so möglich. Entweder dispersiv oder absorptiv. Resonatorkühlen mit einem Atom. Der Laser muss dazu rotverstimmt sein gegenüber dem leerem Resonator.

40

1. Fall: Laser ist auch rotverstimmt gegenüber der atomaren Resonanz. Atom befindet sich zunächst im Bauch der Stehwelle des Resonators (Potentialminimum). Resonator wird durch normale Dispersion des Atoms in Resonanz mit dem Laser gestimmt. Atom wandert aus dem Bauch und verliert kinetische Energie. Zeitverzögert reagiert der Resonator mit sinkender Intensität. Atom fällt aus dem Knoten in eine flachere Mulde und gewinnt weniger kinetische Energie als es verloren hat. 2. Fall: Laser blauverstimmt gegenüber Atom. Atom im Bauch verstimmt den Resonator noch weiter nach blau (anormale Dispersion). Beim Fall aus dem Bauch steigt Intensität zeitverzögert.

41

Chapter 3

Kohärenz und Korellationen Kohärenz 1. Ordnung Klassische Felder • Reelle Lichtquellen fluktuieren und rauschen. Welches statistische Maß ist geeignet, dieses Rauschen zu beschreiben? Wie sieht das Frequenzspektrum solcher Quellen aus? Beispiele: thermische Lichtquellen, ”Neonröhren” d. h. Gasentladungen, nicht ideale Laser.. • Korrelationsfunktion 1. Ordnung korreliert das elektrische Feld mit sich selbst. 1 hE (t) · E(t + τ )i := · T ∗

+T Z /2

E ∗ (t) · E(t + τ )dt

−T /2

Das Feld wird an einem bestimmten Ort eine zeitlang aufgenommen. Die Mittlung soll über eine Zeitspanne erfolgen, die länger ist als alle anderen Zeitskalen des Systems. Sind die physikalischen Eigenschaften der Quelle stationär, ist es egal wann man die Mittlungsperiode T ansetzt. • Der Kohärenzgrad 1. Ordnung ist die dimensionslose Größe g (1) (τ ) :=

hE ∗ (t) · E(t + τ )i , hE(t)∗ · E(t)i

die nur von der Zeit τ abhängt. • Monochromatische Schwingung: E(t) = E0 · eiωt RT 1 −iωt · E0 · eiωt+τ dt T E0 e 0 (1) g (τ ) = RT 1 −iωt · E · eiωt dt 0 2 E0 e 0

E02 T

=

RT · eiωτ dt

0 T E02 R dt T 0

42

= eiωτ

Die g (1) -Korrelation oszilliert mit der Frequenz der Schwingung ω. In diesem Beispiel ist |g (1) (τ )| = 1 und unabhängig von τ . Die Welle ist vollständig ”kohärent”. • Wiener Khintchine Theorem: Der Kohärenzgrad 1. Ordnung hängt mit dem Frequenzspektrum über eine Fouriertransformation zusammen: 1 2π

E(ω) =

+∞ Z

E(t) · eiωt dt =⇒

−∞

|E(ω)|2

1 4π2

=

0

+∞ Z +∞ Z

E ∗ (t) · E(t + τ )eiωτ dtdτ

−∞−∞

=t −t ⎛ ⎞ TZ/2 +∞ Z T 1 ⎜ ⎟ eiωτ ⎝ lim · E ∗ (t)E(t + τ )dt⎠ dτ = t→∞ T 4π2

mit τ

:

−∞

1 4π2

=

−T /2

⎛

+∞ Z

1 ⎜ eiωτ T ⎝ lim · t→∞ T

−∞

TZ/2

⎞

−T /2

⎟ E ∗ (t)E(t + τ )dt⎠ dτ

Für genügend großes T ändert sich am limes nichts mehr bei weiterer Vergrößerung von T: 1 lim · t→∞ T

TZ/2

1 · T

∗

E (t) · E(t + τ )dt '

−T /2

TZ/2

E(t) · E(t + τ )dt

−T /2

' hE(t) · E(t + τ )i Also: T |E(ω)| = 2 4π 2

+∞ Z

E ∗ (t) · E(t + τ )i · eiωτ dt

−∞

Integration über dω : Z

2

|E(ω)| dω

+∞ Z µZ

¶ E ∗ (t) · E(t + τ )eiωτ dω dτ

=

T 4π2

=

T hE ∗ (t) · E(t)i 2π

−∞

Damit kann man ein normiertes Spektrum definieren als: F (ω) :=

|E(ω)|2

=

+∞ R

|E(ω)|2 dω

−∞

1 2π

+∞ Z

g (1) (τ ) · eiωτ dτ

−∞

Das normierte Intensitätsspektrum ist die Fouriertransformation des Kohärenzgrades 1.Ordnung. • Den Kohärenzgrad einer Quelle kann man mit einem Interferometer messen. Er macht sich direkt im Kontrast des Interferometers bemerkbar. Wir betrachten dazu ein Mach-Zender-Interferometer:

43

Lichtquelle

Weg 1

Detektor

Weg 2 variable Weglänge

Die Weglängendiﬀerenz wird auf der Skala der Lichtwellenlänge kontrolliert variiert (z.B. mit einem Spiegel, der auf einem Piezoelement montiert ist). Das Feld nach dem zweiten Strahlteiler setzt sich aus den Feldern der beiden Wege zusammen. Eout (t) = E1 (t) + E2 (t) Falls die beiden Strahlteiler die Felder im gleichen Verhältnis teilen gilt Eout (t) = E1 (t) + E2 (t) 1 = (E(t) + E(t + τ )) , 2 wobei E(t)das Feld und I die Intensität der Quelle ist. Die Intensität am Detektor ist proportional zum Betragsquadrat des Feldes: ® 1 ® 1 ® 1 1 |E(t)|2 + |E(t + τ )|2 + hE ∗ (t) · E(t + τ )i + hE(t) · E ∗ (t + τ )i |Eout |2 = 4 4 4 4

wobei τ die zeitliche Verzögerung von Weg 2 gegenüber Weg 1 ist. Mit

hE(t)∗ · E(t + τ )i = g (1) (τ ) · hE ∗ (t) · E(t)i folgt

oder

® ® ® 4 · |Eout |2 = |E(t)|2 + |E(t + τ )|2 + g (1) (τ ) · hE ∗ (t) · E(t)i + g ∗(1) (τ ) · hE(t) · E ∗ (t)i ³ ´ ® ® = |E(t)|2 + |E(t + τ )|2 + hE ∗ (t) · E(t)i g (1) (τ ) + g ∗(1) (τ ) ¢ ®¡ = 2 |E(t)|2 1 + Re(g 1 (τ )) ¢ 1¡ 1 + Re(g 1 (τ )) 2 ´ 1³ = I· 1 + |g (1) (τ )| cos φ(τ ) . 2

Iout (τ ) = I ·

Im letzten Schritt ist die komplexe Zahl g 1 (τ ) in Betrag und Phase zerlegt worden. Für eine monochromatische Welle gilt g 1 (τ ) = eiωτ (siehe oben) und man erhält damit Iout (τ ) = I ·

44

1 (1 + cos ωτ ) . 2

• Der Kontrast oder auch die Sichtbarkeit eines Interferometers ist für den allgemeinen Fall definiert als normierte Diﬀerenz aus maximalen und minimalen Signal. V =

Imax − Imin . Imax + Imin

Analog zu obiger Analyse erwartet man im allgemeinen Fall p Imax / min = I1 + I2 ± 2 I1 I2 |g (1) |.

Die Intensitäten I1 und I2 berücksichtigen Strahlteiler mit beliebigen Teilungsverhältnis. Sie sind die Intensitäten, die man am Detektor misst, wenn man jeweils einen der beiden Wege unterbricht. Für die Sichtbarkeit erhält man also √ 2 I1 · I2 · |g (1) (τ )|. V = I1 + I2 Der Betrag des Kohärenzgrads gibt die Interferenzfähigkeit der Lichtquelle an! V kann von τ abhängen. • Als Beispiel für eine typische Lichtquelle betrachten wir eine stoßverbreiterte Lichtquelle (chaotisches Licht, klassisch). Sie besteht aus einer Ansammlung von Atomen, die zwischen den Stößen ebene Wellen abgeben. Das gesamte Feld ist eine Summe von Wellenzügen, deren Phasen sprunghaft wechseln: E(t) = E1 (t) + E2 (t) + ...En (t) = E0 · e−iω0 t {eiφ1 (t) + eiφ2 (t) + ...eiφn (t) } Für die Korrelationsfunktion erhält man: D E hE ∗ (t) · E(t + τ )i = E0 · e−iω0 ·τ · (e−iφ1 (t) + ... + e−iφn (t) )(eiφ1 (t+τ ) + ... + e+iφn (t+τ ) ) ⎛ ⎞ n D n E X D E X = E0 · e−iω0 ·τ · ⎝ αjk (eiφj (t+τ )−iφk (t) ⎠ (eiφj (t+τ )−iφj(t) + j=1

j,k=1

® mit den Binominal-Koeﬃzienten αjk ,deren Wert wir aber garn nicht wissen müssen, da (eiφj (t+τ )−iφk (t) für beliebig unkorrelierte Phasen φj (t + τ ) und φk (t) verschwindet. Daher hE ∗ (t) · E(t + τ )i = E0 · e−iω0 ·τ ·

n D E X (eiφj (t+τ )−iφj(t) j=1

D E = E0 · e−iω0 ·τ · n · (eiφj (t+τ )−iφj(t)

Das letzte Gleichheitszeichen gilt ® da alle Atome dasselbe mittlere Verhalten aufweisen und damit der Mittelwert (eiφj (t+τ )−iφj(t) für alle n Atome gleich ist. Da bei einem Stoß die Phase eines Atoms statistisch springt werden sich bei der Mittelwertsbildung die Beiträge aller Atome, die bereits gesprungen herausmitteln. Atome, die bis zum Zeitpunkt τ ihre Phase noch nicht geändert haben tragen mit einer 1 zum Mittelwert bei. Die Anzahl dieser Atome erhält man aus der Wahrscheinlichkeit, mit der ein Atom ein Interval τ stoßfrei überlebt. Aus der Theorie der Gase übernehemen wir den Ausdruck für diese Wahrscheinlichkeit p(τ )dτ =

1 −τ /τ 0 e dτ , τ0

wobei τ 0 die mittlere Freiflugzeit zwischen zwei Stößen bezeichnet.

45

Die Gesamtzahl überlebender Atome ist Z∞

0

p(τ )dτ

0

τ

=

Z∞ τ

0 1 · e−τ /τ 0 dτ 0 τ0

= −e−τ

0

/τ 0 ∞ ]τ

= e−τ /τ 0

Also hE ∗ (t) · E(t + τ )i = n · E02 e−iω0 τ −τ /τ 0 oder: g (1) (τ ) = e−iω0 τ −τ /τ 0 |g 1 (τ )| = e−τ /τ 0 . Das Spektrum erhält man durch Fouriertransformation mit dem Ergebnis F (ω) =

1/τ 0 1 · . π (ω 0 − ω)2 + (1/τ 0 )2

Dies ist eine Lorenzkurve mit der Breite 1/τ 0 . Um mit einer solchen Quelle Interferenzen sehen zu können, darf der zeitliche Gangunterschied zwischen Weg 1 und Weg 2 nicht größer sein als τ 0 . Oder andersherum: Durch Vermessen des Kontrasts bei verschiedenen Wegunterschieden, kann man die mittlere freie Weglänge des Gases bestimmen!

g(1)(τ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

2 3 4 Verzögerungszeit τ

5

Licht mit zerfallender Kohärenz heißt chaotisches Licht.

Kohärenz mit Photonen R ˆ Der Mitttelwert 1 • Anstelle eines kontinuierlichen Feldes tritt der Feldoperator E. T T dt wird durch den Erwartungswert für den Zustand |Ψi ersetzt. Beispiel Interferometer. Das Feld am Detektor ist die Summe zweier Felder. Jedes Feld gehört zu einer Mode. Es gibt zwei Moden:

46

Lichtquelle

Detektor

Mode 1

Detektor

Lichtquelle

Mode 2

Jede Mode hat ihren eigenen Erzeuger und Vernichter, aus dem sich Teilchenzahl und Feld ergeben. Das Feld am Detektor ist dann die Summe beider Felder. Für den Teil des Feldes mit positiver Frequenz, ˆ + , erhält man: E ˆ + = K1 · a E ˆ1 · eiφ1 + K2 · a ˆ2 · eiφ2 K1 und K2 sind durch die Strahlteiler gegeben. φ1 = k · s und φ2 = k · s2 sind die Phasen, die auf den Wegen aufgsammelt werden. Die Intensität am Detektor ist + ® + ® Iˆ = K12 · a ˆ1 a ˆ1 + K22 · a ˆ2 a ˆ2 ® +2K1 · K2 · cos(k(s1 − s2 )) a+ 1 a2 Zur Berechnung der Erwartungswerte hi benötigt man den Zustand. Wir betrachten einen Nummernzustand |ni, der die Moden durch n-malige Anwendung des Erzeugers a+ mit Photonen besetzt: 1 a+ )n |0i |ni = √ (ˆ n! wobei

1 + a ˆ+ = √ (ˆ a1 + a ˆ+ 2 ). 2 D. h. es werden Photonen zu gleichen Teilen in beiden Moden erzeugt. Für die Erwartungswerte erhält man dann: hn|ˆ a+ ˆ1 |ni = h0|ˆ an a ˆ+ ˆ1 (ˆ a+ )n |0i 1a 1a = ... =

1 n!

1 n. 2

Entsprechend erhält man ˆ2 |ni = hn|ˆ a+ 2a

1 n 2

ˆ2 |ni = hn|ˆ a+ 1a

1 n. 2

und

Damit lautet die Intensität am Dektektor: D E n u I = Iˆ = K12 · + K22 · + K1 · K2 · cos(k∆s) · n 2 2 ¶ µ q n 2 2 2 2 I = K1 + K2 + K1 · K2 · 2 cos(k · ∆s) , 2 47

was genau dem klassischen Ergebnis entspricht. Entsprechend kann man das Ergebnis auch umschreiben als: D E D E D E rD E D E Iˆ1 · Iˆ2 · 2 Re(g 1 ) Iˆ = Iˆ1 + Iˆ2 +

wobei

g (1)

E D ˆ+ ˆ− · E E 1 2 := q ® ®. + E1 · E1 · E2 · E2+

Dies ist die Definition des Kohärenzgrad 1. Ordnung im Photonenbild. Wieder gibt der Kohärenzgrad den Kontrast des Interferometers an. Die Erwartungswerte hängen natürlich vom Zustand ab also von der Art der Lichtquelle. • Alle Lichtfelder, die am Eingang des Interferometers aus nur einer einzigen Mode bestehen, die allerdings mit beliebiger Photonenzahl und deren Überlagerungen besetzt sein kann, ist kohärent in 1. Ordnung, d. h. |g (1) | = 1.Chaotisches Licht kann man im Einzelmodenbild nicht erklären, dazu ist eine Multmodenbeschreibung notwendig. • Dichtematrix. Beschreibung von Quantenzuständen mit dem Dichteoperator: 1) reine Zustände. Statt eines Zustands |Ψi beschreibt man das System mit dem so genannten Dichteoperator ρ := |ΨihΨ| Den Erwartungswert eines beliebigen Operators 0 erhält man dann durch h0i = T r(ρ · 0) wobei man zur konkreten Berechnung der Spur T r eine Basis |ϕn i benötigt. X hϕn |0|ϕn i . T r(0) := n

Damit kann man obige Aussage direkt zeigen: X T r(ρ · 0) = hϕn |ρ · 0|ϕn i n

=

=

X n

hϕn |ΨihΨ|0|ϕn i

n

hΨ|0|ϕn i hϕn |Ψi

X

= hΨ|0|Ψi Die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators ist durch die Heisenberggleichung gegeben: ρ˙ =

i [ρ, H] ~

Was sichwiederum leicht zeigen lässt: d ˙ ˙ |ΨihΨ| = |ΨihΨ| + |ΨihΨ| dt 1 1 = H|ΨihΨ| + |Ψi hΨ|H i~ −i~ 1 1 i = −i Hρ + i ρH = [ρ, H] ~ ~ ~ 48

(Als Übung kann man sich überlegen wie ein Zweiniveausystem im Dichtematrix-Formalismus aussieht.) Mit der Dichtematrix hat man zwar eine alternative Beschreibung von Quantensystemen, mit der allerdings noch nichts neues gewonnen ist. Der Witz erschließt sich erst durch den Begriﬀ des Gemischs. 2) Gemische. Es lassen sich mit dem Dichtematrixformalismus Quantensysteme beschreiben, die aus vielen Untersystemen bestehen, z. B. ein Photonengas oder ein atomares Ensemble. Die Dichtematrix eines Gemisches ist definiert als: X ρ= Pi |Ψi ihΨi |, i

mit den Wahrscheinlichkeiten Pi für die vernünftigerweise die drei Bedingungen gelten sollen: X

0 6 Pi 6 1 Pi

= 1

Pi2

6 1

i

X i

Das Gemisch ist also eine Überlagerung von Dichtematrizen reiner Zustände mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Pi . Für den Erwartungswert eines Operators gilt h0i = T r(ρ · 0) X = hϕn |ρ · 0|ϕn i n

=

XX n

=

X

i

Pi

X i

X n

i

=

Pi hϕn |Ψi ihΨi |0|ϕn i hΨi |0|ϕn i hϕn |Ψi i

Pi hΨ|0|Ψi .

Der Erwartungswert ist also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Erwartungswerte reiner Zustände. Die zeitliche Entwicklung gehorcht ebenfalls der Heisenberggleichung: ρ˙ =

i [ρ, H] ~

(selber rechnen als Übung!) • Die Dichtematrix wird oft als Matrix in einer bestimmten Basis |ϕi i geschrieben ® X ® ρjk = ϕj |ρ|ϕk = ϕj |Ψi Pi hΨi |ϕk i =

X i

Pi ·

(i) cj

·

i (i)∗ ck

wobei cn(i) := hϕn |Ψi i .

49

• Statistische Gemische: Wir berechnen den Erwartungswert von ρ2 . X ® T r(ρ2 ) = ϕn |ϕ2 |ϕn n

=

XXX n

=

i

XX i

≤ |

X i

j

j

Pi Pj hϕn |Ψi ihΨi |Ψj ihΨj |ϕn i

Pi Pj |hΨi |Ψj i|2

Pi |2 = 1

Gleichheitszeichen gilt, wenn für alle i und j gilt | hΨi |Ψj i |2 = 1, d.h., alle Ψi des Ensembles bis auf einen Phasenfaktor gleich sind. Solche Gemische heißen reine Gemische. Gemische mit T r(ρ2 ) < 1 sind statistische Gemische! • Beispiel: 2-Niveau-Atom mit einem Grundzustand |gi und einem angeregten Zustand |ei.Die Dichtematrix in dieser Energiebasis geschrieben lautet für ein einzelnes Atom: µ ¶ |c1 |2 c1 c∗2 ρ= c2 c∗1 |c2 |2 Für ein Ensemble aus vielen Atomen können wir zunächst das Skalarprodukt der Wellenfunktion des Atoms i und des Atoms j ausrechnen. ³ ´ ´³ ∗(i) ∗(j) (i) (j) hΨi |Ψj i = hg|c1 + he|c2 c1 |gi + c2 |ei ∗(i)

= c1

∗(i)

(j)

· c1 + c2

(j)

· c2 .

Damit erhält man für (i)

(j)

(i)

∗(i)

(j)

|hΨi |Ψj i|2 = |c1 |2 |c1 |2 + |c2 |2 |c2 |2 + c1 (i)

∗(i)

Das Produkt c1 · c2 eiϕi . Also:

(j)

(i)

∗(j)

· c1 · c2 · c2

(i)

∗(j)

+ c1 · c1

∗(i)

· c2

(j)

· c2 .

(i)

(i)

ist eine komplexe Zahl, die man in Betrag und Phase zerlegen kann: |c1 | · |c2 | · |hΨi |Ψj i|2

(i)

(j)

(i)

(j)

= |c1 |2 |c1 |2 + |c2 |2 · |c2 |2 (i)

(i)

(j)

(j)

+|c1 | · |c2 | · |c1 ||c2 | · ei(ϕj −ϕi ) .

Das elektronische Dipolmoment für ein Atom mit s- und p-Zustand ist proportional zu Re(c1 · c+ 2 ). Die Phase ϕj − ϕi ist damit die Relativphase, mit der Atome i und j relativ zueinander schwingen. |hΨi |Ψj i|2 wird nur dann maximal, also 1, wenn ϕj − ϕi = 0 , d.h. alle Atom in Phase schwingen. Die Dipole aller Atome schwingen paarweise synchron und damit alle synchron. Laufen die Dipole außer Phase, mitteln sich die Dipole gegenseitig heraus und es entsteht ein statistisches Gemisch. Bei vollständigem Zerfall der Phasensynchronizität ist die Dichtematrix diagonal: X µ |c1 |2 c1 c∗ ¶ 2 ρ = Pi c2 c∗1 |c2 |2 i i Ã P ! P (i) 2 ∗ (i) P |c | P (c · c ) i i 1 2 1 = Pi Pi (i) 2 ∗ i i Pi (c1 · c2 ) i Pi |c2 | P (i) (i) Die Nichtdiagonalelemente haben die Form i Pi |c1 ||c2 | · eϕi , die für beliebig verteilte Phasen ϕi verschwinden. Ã ! (i) X |c1 |2 0 ρstat = Pi . (i) 0 |c2 |2 i 50

Die Maztrix ist jetzt reell. Es gibt keine komplexen Zahlen mehr, keine Phase, keine Interferenz, keine Quantenmechanik, alles klassisch! Demnach ist die Messung eines quantenmechanischen Systems mit einer Dephasierung verbunden, die das Ensemble in ein klassisches statistisches Ensemble umwandelt. In diesem Bild kann man den Quantenmessprozess als Dephasierung verstehen: Ein Meßgerät ist ein Bad, das die Dephasierung bewirkt. • Beispiel: 2-Niveausystem mit einem Photon. Der Zustand ist eine Überlagerung aus keinem und einem Photon in der Mode: ¢ 1 ¡ |Ψi = √ |0i + eiϕ |1i . 2 Die Dichtematrix hat wieder 4 Komponenten: ρ = |ΨihΨ| =

¢ 1¡ |0ih0| + |1ih1| + eiϕ |1ih0| + e−iϕ |0ih1| 2

Nimmt man eine Ensemble solcher Photonen an, mit Relativphasen, die zwischen den beiden Zuständen statistisch verteilt sind, so lautet die Dichtematrix für diesen dephasierten Zustand: ρ=

1 (|0ih0| + |1ih1|) . 2

Dies ist ein statistisches Gemisch, denn ρ2

= =

1 (|0ih0| + |1ih1|) (|0ih0| + |1ih1|) 4 1 (|0ih0| + |1ih1|) 4

und

1 1 ·2= <1 4 2 Das Gemisch reduziert sich auf eine klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung. T r(ρ2 ) =

• Beispiel: Chaotisches Licht. Thermisches Licht wird durch die Boltzmann-Besetzung der Energiezustände beschrieben X Pn |nihn| ρ= n

mit

e−En /kB T Pn = P (En ) = P −E /k T . n B ne

In der Energiebasis ist diese Dichtematrix diagonal hi|ρ|ji = ρij = =

X

X n

Pn hi|ni hn|ji

Pn δ in δ nj

i

= Pi · δ ij . Es gibt keine Kohärenzen (Nebendiagonalelemente) • Beispiel: kohärenter Zustand.

ρ = |αihα|.

51

In der Energiebasis lautet die Matrix 1

hi|ρ|ji = hi|αi hα|ji = hi|e− 2 |α| 2 αi · α∗j = e−|α| · √ . i! · j!

2

∗n0 X αn 2 X α 1 √ |nihn0 |e− 2 |α| √ |ji n! n0 ! n n0

Sie hat überall Einträge. Die Kohärenzen sind wichtig. D E ˆ− · E ˆ + ist im Dichtematrixformalismus durch • Kohärenzgrad eines Gemischs: Der Erwartungswert E 1 2 die Spur gegeben ³ ´ ˆ− · E ˆ+ . Tr ρ · E 1 2 Man erhält also folgenden Zusammenhang zwischen Spur und Kohärenzgrad: g (1) = ³

ˆ− · E ˆ +) T r(ρ · E 1 2 ˆ + ) · T r(ρ · E ˆ− · E ˆ +) ˆ− · E T r(ρ · E 1 1 2 2

´1/2 .

Für ein reines Gemisch erhält man wieden den Kohärenzgrad 1. Für statistische Gemische läßt sich mit diesem Ausdruck der Kohärenzgrad mit Hilfe der Dichtematrix bestimmen. Dazu muss man die Dichtematrix für die beiden Moden eines Interferometers aufstellen, z. B. mit chaotischem Licht oder kohärentem Licht und damit dann die Spur berechnen. Als Ergebnis erhält man immer g (1) (τ ) = 1, also vollen Kontrast. Die Zeit τ ist durch die Phasendiﬀerenz φ1 − φ2 = k · s1 − k · s2 = k · ∆s gegeben (siehe Seite 78), wobei ω · τ = k · ∆s oder τ = ωk · ∆s = 1c · ∆s.Die klassische Situation für Licht einer Lampe erhält man erst, wenn man unendlich viele verschiedeneModen einführt. Jedes Atom in der Lampe definiert eine eigene Randbedingung und damit eine eigene Mode. Ein solches Multimoden-Lichtfeld haben wir nicht behandelt. Es ist aber eine einfache Erweiterung der bisherigen Physik. Es kann auch eine Multimode-Dichtematrix gefunden werden und dann damit die klassische Kohärenzfunktion auch quantenmechanisch hergeleitet werden. Das machen wir hier aber nicht. Erst im Multimodenbild wird die Dichtematrix statistisch, d.h. T r(ϕ2 ) < 1. Ähnlich wie die Dipole eines atomaren Ensembles erhält man räumlich verschiedene Phasen, die sich wegheben. g(1)(τ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

2 3 4 Verzögerungszeit τ

5

Kohärenzgrad 2. Ordnung. • Jedes Einmoden-Lichtfeld hat eine maximale Kohärenz 1. Ordnung von 1, egal ob chaotisch oder kohärent! Diese Eigenschaft des Lichtfelds kann mit einem Interferometer also nicht getestet werden.

52

Die statistische Natur der Photonenbesetzung einer Mode kann aber in einem Intensitätskorrelationsexperiment getestet werden. Man fragt: ”Wenn zu einem Zeitpunkt t die Intensität des LichtfeldsI(t) ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man zum Zeitpunkt t+ τ eine Intensität I(t + τ ) misst?” • Zunächst die klassische Version. Klassische Definition der Intensitätskorrelation: g (2) (τ ) = oder g (2) (τ ) =

hI(t) · I(t + τ )i hI(t) · I(t)i

hE ∗ (t) · E ∗ (t + τ ) · E(t + τ )E(t)i hE ∗ (t) · E(t)i2

• Beispiel: Für eine monochromatisch klassische Welle E(t) = E0 · eiωt erhält man g (2) (τ ) = =

E D Eo · e/−iωt · Eo · e/−iω(t+τ ) · Eo · e/iωt · e/iω(t+τ )

® 4

E0

2 hE02 i

hE0 · e−iωt · E0 · eiωt i

=

2

E04 = 1. hE04 i

g(2)(τ)

1

Verzögerungszeit τ

• Beispiel: Chaotisches Licht. Das Feld ist eine Summe einzelner Wellen X E(t) = Ei (t) i

Der zeitliche Mittelwert lautet: hE ∗ (t) · E ∗ (t + τ )E(t + τ )E(t)i =

n X i=1

+

hEi∗ (t) · Ei∗ (t + τ )Ei (t + τ )Ei (t)i

X ® Ei∗ (t) · Ej∗ (t + τ )Ej (t + τ )Ei (t) i6=γ

X ® + Ei∗ (t) · Ej∗ (t + τ )Ei (t + τ )Ej (t) i6=γ

+Terme, die sich herausmitteln 53

Nur Terme, in denen das Feld mit seinem komplex konjugierten multipliziert wird, tragen zum Mittelwert bei. Alle anderen Terme enthalten Relativphasen, die bei chaotischem Licht beliebig sind und zum Verschwinden des Mittelwerts führen. Da alle einzelnen Wellen Ei (t) zu den gleichen Mittelwerten führen, kann man, wie bei der Berechnung von g (1) die Summanden gleichsetzen: hE ∗ (t) · E ∗ (t + τ )E(t + τ )E(t)i = n · hEi∗ (t) · Ei∗ (t + τ )Ei (t + τ )Ei (t)i ® +n · (n − 1) |Ei (t)|2 · |Ej (t + τ )|2 +n · (n − 1)|hEi∗ (t) · Ei (t + τ )i|2

Da für chaotisches Licht die Intensitäten der einzelnen Wellenzüge völlig unkorelliert sind, gilt ® ® |Ei (t)|2 · Ej (t + τ )|2 = |Ei (t)|2 i · h|Ej (t + τ )|2 ® = |Ei (t)|2 i · h|Ej (t)|2 = h|Ei (t)|2 i2

Ausserdem gilt für n À 1 dass n · (n − 1) ∼ n2 . Damit wird hE ∗ (t) · E ∗ (t + τ ) · E(t + τ ) · E(t)i ' n2 (h|Ei (t)|2 i2 + h|Ei∗ (t) · Ei (t + τ )|2 i) Der erster Term ist linear in n und wird vernachlässigt. Schließlich ergibt sich für den Korrelationsgrad: g (2) (τ ) =

hE ∗ (t) · E ∗ (t + τ ) · E(t + τ ) · E(t)i 2

hE ∗ (t) · E(t)i 2 2 2 n h|Ei (t)| i n2 h|Ei (t) · Ei (t + τ )|2 i = + h|E(t)|2 i2 h|E(t)|2 i2 | {z } | {z } =1

|g (1) (τ )|2

Den zweiten Term kann man mit |g (1) (τ )|2 identifizieren (Übung) so dass für chaaotisches Licht. g (2) (τ ) = 1 + |g (1) (τ )|2 g(2)(τ) 2

1

Verzögerungszeit τ

Für chaotisches Licht ist die Intensitätskorrelation für τ = 0 doppelt so hoch, wie für ebene Wellen. • Aus der Messung von g (2) (τ ) kann man den Kontrast eines Interferometers, also die Interferenzfähigkeit des Lichts bestimmen. Korrelationsmessung:

54

Figure 3.1: Detektor 1

Lichtquelle

d

Detektor 2

Durch Verändern von d wird die Verzögerung τ = gemittelt und normiert.

d c

eingestellt. Beide Signale werden multipliziert,

• Michelsonsche Sterneninterferometer. Die Größe eines Sterns kann man, ohne direkte Abbildung, durch eine interferometrische Messung bestimmen. Licht deselben Stern wird über zwei kleine möglichst weit entfernte Spiegel (A und B) in ein Teleskop gelenkt und am Ort des Beobachters überlagert. Fällt das Licht unter einem Winkel α relativ zur Achse des Teleskops ein so ändert sich die Relativphase ϕ der beiden überlagerten Strahlen ϕ = α · k · a, wobei a den Abstand zwischen den beiden Spiegeln und k die Wellenzahl des Lichts bezeichnet. Ein Stern ist eine Ansammlung inkohärenter Lichtquellen, die vom Interferometer unter verschiedenen Winkeln α gesehen werden und deren Intensitäts-Interferenzmuster sich additiv überlagern, da alle Quellen relativ zueinander inkohärent sind. Ist der Stern so klein, dass alle Quellen praktisch aus derselben Richtung kommen und die Interferenzmuster alle gleich sind, ist der Kontrast des Gesamtmusters gut. Ist der Stern so groß, dass der Winkel α zu einer Phasenverschiebung von π führt, liegen die Muster gegeneinander verschoben verteilt. Intensitätsmaxima decken sich mit den Maxima und der Kontrast des Gesamtmusters verschwindet. Durch Messen des Kontrasts als Funktion von a, misst man die Interferenzfähigkeit der Quelle und damit den Durchmesser.

55

Kontrast 1 kleiner Stern großer Stern

Spiegelabstand a

• Hanburry-Brown & Twiss-Experiment. Die Interferenzfähigkeit und damit die Sterngröße erhält man aber auch viel einfacher durch eine simple Korrelationsmessung der Intensität an den Stellen der beiden Spiegel, die durch Detektoren ersetzt werden. Durch messen der g (2) -Korrelation lässt sich die Interferenzfähigkeit des Sternenlichts alternativ zum Michelson Interferometer messen und zur Größenbestimmung von Sternen verwenden. Hanburry-Brown und Twiss haben zunächst ein Test-Experiment im Labor aufgebaut (wie oben) und damit die g (2) -Korrelation einer Dampflampe gemessen. Dies war eines der ersten Quantenoptischen Experimente und hat eine breite Diskussion ausgelöst darüber ob das ganze auch mit einzelnen Photonen funktioniert, die in großem zeitlichen Abstand aus einer sehr schwachen Quelle kommen. • Korrelation 2ter Ordnung mit Photonen. Lichtquelle

Detektor 1

Mode 1 d

Mode 2

Detektor 2

Naive Überlegung: Photonen werden von der Lampe beliebig in die eine oder in die andere Mode abgegeben, so dass man auch für kleinste Zeitunterschiede (=Weglängenunterschiede) Photonen unabhängig an beiden Detektoren misst. Die g (2) -Funktion wäre damit konstant gleich 1. Tatsächlich gilt dies nur für eine kohärente Lichtquelle! Für eine chaotische Lichtquelle nimmt die g (2) (τ )-Funktion für τ → 0 zu. Experimentell beobachtet man eine erhöhte Korrelation für kleine Zeiten, genauso, wie man es klassisch ausrechnet! Photonen einer chaotischen Lichtquelle tendieren dazu, gemeinsam aufzutreten: ”Photon-bunching”. • g 2 (τ )-Funktion quantenmechanisch. Wir erweitern die quantenmechanische Definition der g 1 (τ )-Funktion entsprechend: ˆ − (t + τ )E ˆ + (t + τ )E ˆ + (t)i ˆ − (t)E hE ED E g 2 (τ ) = D ˆ + (t) E ˆ − (t + τ )E ˆ + (t + τ ) ˆ − (t)E E (Normalordnung: Vernichter stehen rechts, Erzeuger links. Damit vermeidet man, dass die Vakuumsenergie auftaucht).

• Beipiel: g 2 (τ )-Funktion für eine Mode. Besteht das System aus nur einer Mode erhält man mit E + = ikˆ aei(kr+ωt)

56

den Ausdruck g 2 (τ ) = =

hˆ a+ a ˆ+ aai 2

hˆ a+ a ˆi hˆ n(ˆ n − 1)i 2

hˆ ni ® ni (∆ˆ n)2 − hˆ = 1+ . 2 hˆ ni Hier geht der Teilchenzahloperator a+ a ein, die Vertauschungsrelationen für a und a+ und die Stan 2® 2® dardabweichung ∆ˆ n = n ˆ − hˆ ni2 . Für einen kohärenten Zustand gilt: p p h∆ˆ n2 i = hˆ ni =⇒ g (2) (τ ) = 1

und man erhält eine konstante Korrelation mit dem Wert 1. Analog erhält man für den thermischen Zustand: g (2) (τ ) = 2 (Rechnung als Übung). Ein chaotisches Multimoden-Feld sagt dieselbe Photonenkorrelation vorraus wie das klassische Modell: (was wir hier ohne Rechung glauben) g (2) (τ ) = 1 + |g (2) (τ )|2 • Warum Photon-Bunching für chaotisches Licht? Bunching entsteht durch chaotisches Intensitätsrauschen. Chaotisches Intensitätsrauschen entsteht durch zufällige Interferenz verschiedener Felder, d. h. verschiedener Moden. Ein rauschendes Feld hat mehr kurzzeitig eine höhere Internsität als ein ruhiges Feld gleicher mittlerer Feldstärke: Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit der Intensität vom Feld führt ein Feldüberschwinger zu einer überproportionalen Intensitätserhöhung und ein Feldunterschwinger zu einer unterproportionalen Intensitätsabsenkung. Die Feldschwankungsspitzen werden durch die Quadrierung überhöht. Da Intensität proportional zur gemessenen Photonenzahl ist, führt ein Feldrauschen zu einem Auftreten von Photonenbündeln. • Bei Einmodenlicht gibt es keine derartigen stochastischen Interferenzen von verschiedenen Moden. Hier gibt es nur das Rauschen aufgrund der quantenmechanischen Besetzung der Fockzustände. → Für thermisches Einmodenlicht erhält man ebenfalls überhöhtes Rauschen und damit PhotonBunching. Dies ist ein echtes Quantenrauschen ohne klassische Analogie! Die Dichtematrix enthält keine Nebendiagonalelemente, die Kohärenzen mitteln sich heraus. Es bleibt aber ein Rauschen um den verschwindenden Mittelwert. → Nur der kohärente Zustand hat eine unkorrelierte Photonenstatistik. Die Dichtematrix hat Diagonalelemente (enthält Kohärenzen), die Phasen sind im Mittelwert enthalten und verursachen eine makroskopische Phase. Es bleibt nur ein minimales Unschärferauschen. → Analogie: Dreikörperstöße im Bose-Kondensat 6-fach unterdrückt im Vergleich zum thermischen Gas. Im Kondensat sind die Atome unkorreliert, im thermischen Gas gibt es stärkere Dichteschwankungen in deren Maxima Dreikörperstöße überproportional begünstigt werden.

57

Chapter 4

Strahlteiler und Interferometer Strahlteiler • Wie kann man einen Strahlteiler im Photonenbild verstehen? Wir stellen uns zunächst eine dielektrische Grenzschicht vor an der ein Teil (z.B. 50%) des Lichts reflektiert und eine Teil transmittiert wird. Absorption, also diﬀuse Streuung oder Erwärmung, solle es keine geben.

a0 n>1 n=1 a1

a3

a2

Insgesamt erhält man 4 Moden, Mode 0 und Mode 1 an den beiden Eingängen und Mode 2 und Mode 3 an den beiden Ausgängen. Die Moden werden durch den Strahlteiler gekoppelt. Stellen wir uns ein Photon in Mode 1 vor. Ein Photon ist unteilbar. Es muss also an einem teildurchlässigen Spiegel entweder reflektiert oder transmittiert werden. Beides gleichzeitig sollte, nicht nur im statistischen Mittel, sondern auch im Einzelfall nicht vorkommen. Der Zustand der diese Eigenschaft liefert wäre ein verschränkter Zustand von der Form ¢ 1 ¡ |ϕi = √ |1i2 |0i3 + eiθ |0i2 |1i3 . 2

58

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ein Photon in Mode 2 zu finden und keines in Mode 3 wäre 2 h1|3 h0|ϕi

= = =

¢ 1 ¡ √ 2 h1|1i23 h0|0i3 + eiθ 2 h1|0i23 h0|1i3 2 1 √ (2 h1|1i23 h0|0i3 ) 2 1 √ . 2

Ebenso ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsamplitude kein Photon in Mode 2 zu finden und eines in Mode 3: ¢ 1 ¡ √ 2 h0|1i23 h1|0i3 + eiθ 2 h0|0i23 h1|1i3 2 h0|3 h1|ϕi = 2 ¢ 1 ¡ iθ = √ e 2 h0|0i23 h1|1i3 2 1 iθ = √ e . 2 Die Wahrscheinlichkeiten sind also beide 1/2. Die Wahrscheinlichkeit ein Photon in Mode 2 zu finden und eines in Mode 3 ist dagegen Null: 2 h1|3 h1|ϕi

¢ 1 ¡ √ 2 h1|1i23 h1|0i3 + eiθ 2 h1|0i23 h1|1i3 2 ¢ 1 ¡ = √ 2 h1|1i · 0 + eiθ · 0 ·3 h1|1i3 2 = 0

=

Wie kann man die Existenz eines solchen verschränkten Zustand |ϕi theoretisch begründen und wie groß ist die Relativphase θ ? • Eine konsistente Beschreibung erhält man, wenn man sich fragt wie ein Erzeuger einer Mode auf die anderen Moden wirkt. Ein Photon, das in Mode 1 erzeugt wird kann mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auch in Mode 2 und Mode 3 gemessen werden. Es wird also in Mode 2 und Mode 3mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ebenfalls ein Photojn erzeugt. Dies motiviert den Ansatz: a2 = ra1 + t0 a0 a3 = ta1 + r0 a0 . Die Reflektions- und Transmissionskoeﬃzienten, r, r0 , t, t0 , sind komplex und beschreiben damit auch einen möglichen Phasensprung der Felder an der Grenzfläche. Daher muss man die Reflektion/Transmission beim Übergang vom optisch dünnen zum optisch dichten Medium (r, t) grundsätzlich von der Situation unterscheiden, bei der das Licht vom optisch dichten zum optisch dünnen Medium übergeht (r0 , t0 ). • Wir fordern, dass die Erzeuger und Vernichter für verschiedene Moden miteinander vertauschen und außerdem für jede einzelne Mode den üblichen Vertauschungsrelationen gehorchen. ¤ £ = δ ij ai , a+ j £ ¤ + [ai , aj ] = a+ i , aj = 0 für i, j = 0, 1, 2, 3 Diese Relationen werden erfüllt, wenn die Beträge der Koeﬃzienten gleich sind |r0 | = |r| |t| = |t0 | , 59

und Leistung erhalten bleibt

2

2

|r| + |t| = 1. Außerdem muss noch gelten: r∗ t0 + r0 t∗ r∗ t + r0∗ t0∗

= 0 = 0.

• Für unsere Grenzfläche können wir die Koeﬃzienten mit den klassischen Koeﬃzienten für die Felder identifizieren, wie man sie aus den Maxwell-Gleichungen ausrechnet. Das Ergebnis sind die FresnelFormeln, die für die Transmission keinen Phasensprung und für die Reflektion am optisch dichteren Medium einen Phasensprung von π vorhersagen. Die Reflektion am optisch dünneren Medium erfolgt ohne Phasensprung. Also t0 = t = t∗ = t0∗ , und r |r| r0 |r0 |

= −1, = 1.

Die Reflektionskoeﬃzienten müssen also wie die Transmissionskoeﬃzienten reel sein: r r

∗

= − |r| ∗ = − |r| = − |r| = r,

(entsprechend r0). Allgemein ist das nicht so. Aus den Vertauchungsrelationen ergibt sich aus der Bedingung t0 = t = t∗ = t0∗ , lediglich dass r∗ + r0 = 0, woraus sich folgern lässt: r∗ r + r0 r r0 r 0 rr |r0 | |r| r0 r |r0 | |r|

= 0 = −r∗ r r∗ r = − 0 |r | |r| = −

2

r∗ r |r| = − 2 = −1. |r| |r| |r|

Dies wird z.B. auch erfüllt mit r = i |r| und r0 = i |r0|. (Siehe unten bei der Behandlung der λ/4Schicht.) • Für einen hypotetischen Strahlteiler mit einem Eingang und zwei Ausgängen lassen sich die Vertauschungsrelationen nicht erfüllen! Es muss also immer zwei Eingänge geben. Bei nur einem Lichtstrahl an einem der beiden Eingänge liegt am anderen Eingang immer auch Vakuum an. Man koppelt dadurch unvermeidliches Valuumrauschen ein • Bisher haben wir als Strahlteiler eine dielektrische Grenzschicht angenommen, an der das Licht gemäß der Fresnel-Formeln teilweise reflektiert wird. Das transmittierte Licht bewegt sich dann allerdings nicht im selben Medium wie das reflektierte Licht. Ein Strahlteiler, der zwei Moden koppelt, die im selben Medium propagieren, muß daher anders aussehen. Als einfachstes Model betrachten wir eine λ/4- Schicht, die sich z.B, in Luft befindet. 60

n=1

a1

n>1

n=1

π/2

π

π/2

konstruktive Interferenz

a3

a2 a0

L=λ/4

Mode a1 und a2 enden an der linken Seite der Schicht, Mode a0 und a3 an der rechten Seite der Schicht. Die Schichtdicke ist so gewählt, dass eine erhöhte Reflektion entsteht. Dazu muss die direkte Reflektion an der ersten Grenzschicht mit dem Licht konstruktiv inteferieren, das erst an der zweiten Grenzschicht reflektiert wird. Da bei direkter Reflektion die Phase um π verschoben wird muß die Schicht eine Dicke haben von λ/4 haben damit das Licht das den Weg über die zweite Grenzschicht nimmt ebenfalls eine Phase von π aufsammelt. Für das transmittierte Licht bekommt man daher beim Durchgang durch die Schicht eine Phasenverschiebung von π/2. • Ist der Brechungsindex n so gewählt, dass die Gesamtreflektion gerade 50% beträgt, erhält man folgende Beziehungen zwischen den Feldoperatoren (Erzeuger und Vernichter werden hier nicht extra unterschieden): 1 a2 = √ (−a1 + ia0 ) 2 und 1 a3 = √ (−a0 + ia1 ) . 2 Die Gleichungen kann man auch nach a1 und a0 auflösen: 1 a0 = − √ (a3 + ia2 ) 2 und

1 a1 = − √ (a2 + ia3 ) . 2 Die Erzeugung eines Photons in der Mode a1 wirkt wie die Erzeugung je eines Photons in Mode a2 und Mode a3 mit jeweils halber Wahrscheinlichkeit und einer relativen Phasenbeziehung von π/2.Die Ergebnisse ändern sich nicht, wenn man vom senkrechten Einfall hin zu einem Einfall unter einem Winkel, z.B. unter 45◦ , wechselt. Im Folgenden betrachten wir nur 50:50 Strahlteiler unter 45◦ , der verschiedene Moden koppelt, die sich im Vakuum befinden also unter einem Brechungsindex n = 1. Zusammenfassend kann man die Wirkung eines solchen Strahlteilers beschreiben durch µ ¶ ¶ µ ¶µ i a2 1 i a0 =√ , i 1 a3 a1 2

bzw.

µ

a0 a1

¶

−i =√ 2

µ 61

1 −i −i 1

¶µ

a2 a3

¶

.

Der globale Phasenvorfaktor i und −i vor den Matrizen spielt in den meisten Experimenten keine Rolle und kann weggelassen werden. Wir verwenden im folgenden daher die Gleichungen: a2

=

a3

=

a0

=

a1

=

1 √ (a0 + ia1 ) 2 1 √ (a1 + ia0 ) 2 1 √ (a2 − ia3 ) 2 1 √ (−ia2 + a3 ) . 2

und für die Erzeuger erhält man entsprechend: a+ 2

=

a+ 3

=

a+ 0

=

a+ 1

=

¢ 1 ¡ + √ a+ 0 − ia1 2 ¢ 1 ¡ + √ a1 − ia+ 0 2 ¢ 1 ¡ + √ a2 + ia+ 3 2 ¢ 1 ¡ + √ ia2 + a+ 3 . 2

• Betrachten wir das Beispiel eines Photons, das in Mode 1 erzeugt wird. Der Gesamtzustand des Systems lautet |0i0 |1i1 |0i2 |0i3 . Diesen Zustand kann man aus dem Vakuum erzeugen unter Anwendung eines Erzeugers auf Mode 1: |0i0 |1i1 |0i2 |0i3 = a+ 1 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3 . Den Erzeuger kann man aber auch gemäß der Strahlteilergleichungen als Erzeuger für Mode 2 und Mode 3 auﬀassen: 1 a1 = √ (−ia2 + a3 ) 2 woraus folgt: ¢ 1 ¡ + ia2 + a+ a+ 1 = √ 3 , 2 also a+ 1 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3

¢ 1 ¡ + √ ia+ 2 + a3 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3 2 ¢ 1 ¡ + = |0i0 |0i1 √ ia+ 2 + a3 |0i2 |0i3 2 ¢ 1 ¡ + = |0i0 |0i1 √ ia2 |0i2 |0i3 + a+ 3 |0i2 |0i3 2 1 = |0i0 |0i1 √ (i|1i2 |0i3 + |0i2 |1i3 ) 2 =

Ein Erzeuger angewandt auf Mode 1 führt also entweder zu einem Zustand mit einem Photon in Mode 1 oder zu einem Zustand in dem das Photon sich in einer Überlagerung der Zustände (ein Photon in Mode 2 und kein Photon in Mode 3) und (kein Photon in Mode 2 und ein Photon in Mode 3) befindet. 62

Bei einer Messung am System finde ich das Photon entweder in Mode 1 oder in der Überlagerung aus Mode 2 und Mode3, je nachdem ob ich vor oder hinter dem Strahlteiler meinen Detektor aufstelle. Sprechweise: Der Strahlteiler überführt das Photon in Mode 1 in einen verschränkten Zustand aus Mode 2 und Mode 3: 1 |0i0 |1i1 => √ (i|1i2 |0i3 + |0i2 |1i3 ) . 2 • Experimentell kann man die Antikoinzidenz der Photonen an den beiden Ausgängen tatsächlich beobachten. Man verwendet ein Atom (Kalzium) mit einem s-Zustand als Grundzustand und und einem s-Zustand als angeregten Zustand. Der Übergang erfolgt durch Zweiphotonenabsorption (ähnlich wie bei Wasserstoﬀ, siehe Kapitel 1) Zwischen beiden Energienieveaus gibt es noch einen p-Zustand in den der angeregte s-Zustand zerfällt. Der p-Zustand zerfällt dann schließlich in den Grundzustand. Diese Zerfallskaskade sendet zwei Photonen in entgegengesetzte Richtungen aus. s-Zustand p-Zustand

ZweiphotonenAnregung

s-Zustand

Eines der beiden Photonen dient als Nachweis für ein Zerfallsereignis. Es löst an Detektor D1 ein Signal aus mit dem der Koinzidenzzähler kurzzeitig angeschaltet wird. Der Koinzidenzzähler erzeugt ein Signal, wenn an beiden Detektoren D2 und D3 gleichzeitig ein Photon gemessen wird. Dieses Ereignis wird experimentell nicht beobachtet, d.h., man beobachtet Antikoinzidenz. Am Eingang des Strahlteilers hat man es also mit einem einzigen unteilbaren Photon zu tun. D1

Photonenquelle (Kalziumatome)

Triggersignal

Mode 0 Mode 1

D3

Mode 3

Mode 2 D2 gate Koinzidenzzähler

• Wie ändert sich der Zustand durch Wechselwirkung mit nur einem der beiden Detektoren hinter dem Strahlteiler? Welche Information kann man z.B. durch Detektor 3 erhalten und wie ändert sich dadurch der Zustand? Im Dichtematrixformalismus erhält man den neuen Zustand, der sich nach Wechselwirkung mit dem Detektor D3 ergibt durch Spurbildung über alle möglichen Messwerte für D3 . Dazu bilden wir zunächst die Dichtematrix des Zustand hinter dem Strahlteiler 1 |ϕi = √ (i|1i2 |0i3 + |0i2 |1i3 ) . 2 63

Für die Dichtematrix ergibt sich: ρ2,3

= |ϕihϕ| =

1 (i|1i2 |0i3 + |0i2 |1i3 ) (−i 2 h1|3 h0| + 2 h0|3 h1|) 2

1 (|1i2 |0i3 2 h1|3 h0| + i |1i2 |0i3 2 h0|3 h1| − i |0i2 |1i3 2 h1|3 h0| + |0i2 |1i3 2 h0|3 h1|) 2

=

Die reduzierte Dichtmatrix können wir in der Energiebasis der Nummernzustände berechnen: ρ2

= T r3 (ρ2,3 ) =

∞ X

n=0

=

∞ ∞ 1X i X hn|1i |0i h1| h0|ni + 3 3 hn|1i2 |0i3 2 h0|3 h1|ni3 2 32 3 3 2 n=0 2 n=0

− = =

3 hn|ρ2,3 |ni3

∞ ∞ i X 1X 3 hn|0i2 |1i3 2 h1|3 h0|ni3 + 3 hn|0i2 |1i3 2 h0|3 h1|ni3 2 n=0 2 n=0

1 3 h0|1i2 |0i3 2 h1|3 h0|0i3 + 2 1 1 |1i2 2 h1| + |0i2 | 2 h0| = 2 2

1 3 h1|0i2 |1i3 2 h0|3 h1|1i3 2 1 ( |1i2 2 h1| + |0i2 | 2 h0|) 2

Die Nebendiagonalelemenet sind verschwunden und damit die quantenmechanischen ”Kohärenzen”. Die Diagonalelemenet ergeben die Wahrscheinlichkeiten eines klassischen Gemischs. Das Photon befindet sich mit 50% Wahrscheinlichkeit in Mode 2. Die Verschränkung ist durch Wechselwirkung mit Detektor 3 zerstört! Stellt man statt des Detektors 3 einfach eine schwarze Platte hin, die das Photon absorbiert, ändert sich am Ergebnis nichts. Auch eine solche Platte ist in diesem Sinne eine Detektor, da er prinzipiell einen Nachweis erlaubt: Die Energie ist deponiert egal ob man sie nun in der Platte misst oder nicht. Jede Ankopplung an ein ”großes” System ist eine Messung und zerstört die Verschränkung. • Was erhält man, wenn die beiden Eingangsmoden mit je einem Photonen besetzt ist? Wie lautet der Zustand an den Ausgängen?

1

0

a0

1

1

a1

a3

a2

Wieder lässt sich der Eingangszustand auf den Vakuumszustand zurückführen + |1i0 |1i1 |0i2 |0i3 = a+ 0 a1 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3 .

64

Mit den Strahlteilerformeln

erhält man + a+ 0 a1 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3

= = = = =

oder

a+ 0

=

a+ 1

=

¢ 1 ¡ + √ a+ 2 + ia3 2 ¢ 1 ¡ + √ ia2 + a+ 3 , 2

¢ 1 ¡ + ¢ 1 ¡ + √ a+ ia2 + a+ 2 + ia3 √ 3 |0i0 |0i1 |0i2 |0i3 2 2 ¡ + + ¢ 1 + + + + + |0i0 |0i1 ia2 a2 + a+ 2 a3 − a3 a2 + ia3 a3 |0i2 |0i3 2 ¡ ¢ i + + + |0i0 |0i1 a+ 2 a2 + a3 a3 |0i2 |0i3 . 2 √ i |0i0 |0i1 2 (|2i2 |0i3 + |0i2 |2i3 ) 2 i √ |0i0 |0i1 (|2i2 |0i3 + |0i2 |2i3 ) . 2

i |0i0 |0i1 => √ (|2i2 |0i3 + |0i2 |2i3 ) . 2

Am Ausgang hat man also entweder beide Photonen am linken oder beide Photonen am rechten Strahlteiler. Je ein Photon an jedem Ausgang kommt nicht vor. Diese Möglichkeit interferriert destruktiv. Diese Interferenz ist nicht zu verwechseln mit der Interferenz klassischer Wellen. Hier interferieren Nummernzustände, deren Phasenerwartungswert völlig unbestimmt ist und die daher nicht im klassischen Sinne interferieren können. Denoch haben sind die Zustände komplexwertige Größen und haben daher eine Phase. Die Anwendung einer Linearkombination von Erzeugern oder von Vernichtern kann die Quantenphase entsprechend der komplexwertigen Linearkoeﬃzienten ändern. Der Phasensprung am Strahlteiler, der völlig klassische Ursachen hat (Fresnel-Formeln), wird durch die Quantisierung zur Quantenphase der Feldoperatoren. Bei jeder Anwendung kann sich daher die Phase des Zustands ändern. Die Quantenphase lässt sich natürlich immer in den zeitabhängigen Exponentialfaktor hineinschreiben und kann daher als eine Zeitphase interpretieren werden. • Die Erzeugung eines derart verschränkten Zustands funktioniert nur für zwei Photonen. Mit je n Teilchen an jedem Eingang erhält man einen Zustand der Form |2ni2 |0i3 + eiϕ |0i2 |2ni3 nur für n = 1! (selber nachrechnen) • Was erhält man wenn man einen kohärenten Zustand an einem Eingang des Strahlteilers hat? Zur Beantwortung der Frage verwenden wie den ”Verschiebeoperator”, der aus einem Vakuumzustand einen kohärenten Zustand macht: ˆ |αi = D(α)|0i. Diesen Operator gibt es und der lautet (hier ohne Beweis): + ∗ ˆ D(α) = eαa −α a .

65

Damit erhält man |0i0 |αi1 |0i2 |0i3

+

∗

= |0i0 eαa1 −α

a1

|0i1 |0i2 |0i3 ¢ 1 ¡ + ∗ 1 = |0i0 exp(α √ ia2 + a+ 3 − α √ (−ia2 + a3 ))|0i1 |0i2 |0i3 2 2 iα + (iα)∗ α ∗ a3 = |0i0 |0i1 exp( √ a2 − √ a2 ) exp( √ a+ 3 − α √ )|0i2 |0i3 2 2 2 2 iα α = |0i0 |0i1 | √ i2 | √ i3 . 2 2

Man erhält also am Ausgang je einen kohärenten Zustand mit halber mittlerer Photonenzahl wobei der reflektierte Strahl um 90◦ phasenverschoben ist. Das ist genau die klassische Erwartung. • Was geschieht mit einem Nummernzustand. Für die Rechnung können wir das Ergebnis für den kohärenten Zustand verwenden. Wir wissen dass iα α |0i0 |αi1 => | √ i2 | √ i3 , 2 2 was sich ausgeschrieben so liest: −|α|2 /2

e

√ ¢n ¡ √ ¢m ∞ ¡ ∞ ∞ X X X α/ 2 iα/ 2 αN −|α|2 /2 √ |0i0 |N i1 => e √ √ |ni2 |mi3 N ! n! m! n=0 m=0 N =0

Den rechten Teil kann man interessanterweise umformen in √ ¢n ¡ √ ¢m ∞ ¡ ∞ X ∞ X X iα/ 2 iα/ 2 2 αN −|α|2 /2 √ √ √ |ϕi23 |ni2 |mi3 = e−|α| /2 e n! m! N! n=0 m=0 N =0 wobei N =m+n und |ϕi23 := Damit erhält man 2

e−|α|

/2

1 2N/2

N X

n=0

n

i

s

N! |ni2 |N − ni3. n!(N − n)!

∞ ∞ X X 2 αN αN √ |0i0 |N i1 => e−|α| /2 √ |ϕi23 N! N! N =0 N =0

Vergleicht man beide Seiten der Gleichung sieht man, dass

|0i0 |N i1 => |ϕi23 . Die N Photonen des Eingangskanals werden binomial auf beide Ausgänge verteilt.

Mach-Zender-Interferometer • Mit der Kenntnis der Beschreibung eines Strahlteiler kann man jetzt auch kompliziertere Abfolgen von Strahlteiler beschreiben. Eine davon ist das Mach Zender Interferometer.

66

0 Phasenschieber

1

Detektoren

D2 D1

Die beiden Ausgänge eines Strahlteilers werden an einem zweiten Strahlteiler wieder zusammengefügt. Die relative Phase mit der die beiden Strahlen sich am zweiten Strahlteiler überlagern kann variiert werden. • Welche Moden kommen vor? In der Region vor dem ersten Strahlteiler und hinter dem zweiten Strahlteiler, haben wir es jeweils mit zwei Moden zu tun. Zwischen den beiden Strahlteilern haben wir zwei Wege. Der untere Weg entspricht einer Mode. Der obere Weg teilt sich in eine Mode vor und eine hinter dem Phasenschieber. Gehen wir die Elemente einzeln durch: • Erster Strahlteiler: Verfährt man wie oben beim Strahlteiler in dem man den Eingangszustand aus dem Vakuum erzeugt und dann die Operatoren ersetzt erhält man zunächst hinter dem ersten Strahlteiler den Zustand 1 |0iv |1iv => √ (|0iz |1iz + |1iz |0iz ) , 2 wobei der erste Term im Tensoprodukt die untere Mode, der zweite die obere Mode vor dem Phasenschieber ist. Die Indizes stehen für ”vor” und ”zwischen”. • Die Wirkung des Phasenschiebers erfassen wir wieder am einfachsten durch eine Operatorgleichung anach = avor e−iϕ . Die Wirkung des Feldoperators nach dem Strahlteiler entspricht der vor dem Strahlteiler zuzüglich eines Phasenfaktors eiϕ . Dies ist unser Ansatz. Der erste Summand entsteht durch Anwenden von a+ vor auf den Vakuumzustand |0i|1i = a+ vor |0i|0i. Nach dem Phasenschieber lautet der Zustand daher + iϕ iϕ a+ vor |0i|0i = avor e |0i|0i = e |0i|1i,

also macht der Phasenschieber ¢ 1 1 ¡ √ (|0iz |1iz + |1iz |0iz ) => √ eiϕ |0iz0 |1iz0 + i|1iz |0iz . 2 2

67

• Der zweite Strahlteiler macht aus

1 |0iz0 |1iz0 => √ (|0in |1in + i|1in |0in ) . 2

und

1 |1iz |0iz => √ (|1in |0in + i|0in |1in ) . 2

Damit erhält man am Ausgang ¶ ¶ µ µ 1 i 1 iϕ 1 √ (|0in |1in + i|1in |0in ) |ϕiout = √ e √ (|0in |1in + i|1in |0in ) + + √ 2 2 2 2 ¢ ¡ iϕ ¢ 1 ¡ iϕ = e − 1 |0i|1i + i e + 1 |1i|0i. 2

Die Wahrscheinlichkeit das Photon am Detektor 2 zu finden, also im Zustand |0i|1i erhält man durch Projektion und Betragsquadratbildung. PD2

2

= |h0|h1|ϕiout | ¯ ¯2 ¯ ¯ ¢ ¡ iϕ ¢ 1 ¡ iϕ ¯ = ¯h0|h1| e − 1 |0i|1i + i e + 1 |1i|0i¯¯ 2 ¯ ¯ ¯ 1 ¡ iϕ ¢¯2 ¯ = . ¯ e − 1 ¯¯ 2 =

1 (1 − cos ϕ) . 2

Entsprechend erhält man für D1

1 (1 + cos ϕ) . 2 Das Ergebnis entspricht genau der klassischen Interferenz. PD1 =

Stehwellenresonator Der bei weitem häufigste Resonator entsteht, wenn man zwei konkave Spiegel sich gegenüberstellt. Dieser Stehwellenresonator wird in den meisten Lasern verwendet, dient aber beispielsweise auch als ”optischer Spektrumsanalysator” mit dem man mehrere in einem Laserstarhl möglicherweise vorhandene Frequenzkomponenten untersuchen kann. Hier fassen wir nur einige klassischen Eigenschaften dieses Resonatortyps zusammen. Er ist hier vor allem wichtig, weil er die einfachste Möglichkeit ist, eine einzige, räumlich begrenzte und nahezu verlustfreie Mode im Labor zu realisieren. • Gaußstrahlen (Herleitung im Skript zur ”Nichtlinearen Optik”). Ein Laserstrahl ist idealerweise ein elektrisches Feld folgender Form: ~ r, t) = A ~ n (~r)ei(kn z−ωn t) + c.c. E(~ wobei z die Koordinate entlang des Strahls ist. Interessant ist vor allem die Einhüllende. Für den Spezialfall eines rotationssymmetrischen also kreisrunden Strahls erhält man in Zylinderkoordinaten: r2 r2 ~ z) = A ~ · wo · e− w(z)2 · eik 2R(z) A(r, · eiφ(z) , w(z)

wobei die Breite des Strahlprofils durch w(z) := wo

68

s

1+

µ

z zo

¶2

,

gegeben ist. Der Krümmungsradius der Wellenfronten ist µ ³ z ´2 ¶ o R(z) := z · 1 + . z Die sogenannte Guoy-Phase schließlich ist. φ(z) := − arctan(

zo ). z

Der überall auftretende Parameter z0 ist die Rayleigh-Länge und hängt mit der Strahltaille w0 über 2z0 = b = k · wo2 zusammen.Der Parameter b heißt konfokaler Parameter.

Im Fernfeld erhält man eine Kugelwelle mit einem Öﬀnungswinkel: tan θ

=

tan θ

=

wo wo = = z0 b/2 λ π · wo

2 wo = k · wo · w02

1 2k

Im Nahfeld sind die Wellenfronten planparallel. Der Krümmungsradius ist maximal für z = z0 : R(zo ) = Rmax . Mit der Definition der Intensität I=

nc ~ · |A(r, z)|2 2π 69

ergibt sich die Leistung eine Gaußstrahls als Integral über den Querschnitt: P

=

Z∞

=

1 ~2 ncwo2 |A| 4

I · 2πrdr

0

• Resonatormoden. Zwischen zwei konkaven Spiegeln bildet sich der Gaußstrahl aus, dessen Wellenfronten am Ort der Spiegel parallel zur Spiegeloberfläche verlaufen, also optimal ”passen”. Die Einhüllende wird dann perfekt in sich zurückgespiegelt. Neben den zylindersymmetrischen Moden gibt es noch ”transversale Moden” die wir hier nicht betrachten. • Spektrum. Für eine solche, durch Spiegelform und Spiegelabstand in seiner Form festgelegte Grundmode muss außerdem die während eines Umlaufs angesammelte Phase ein Vielfaches von 2π sein. Andernfalls zerstört sich die Mode durch destruktive Interferenz mit sich selber und existiert nicht als stabile Lösung der Maxwell-Gleichung. Bei Vernachlässigung der Guoy-Phase ist die aufgesammelte Phase k · 2l = n · 2π. Der Spiegelabstand ist l , der Wellenvektor des Lichts ist k. Für die Frequenz der Mode erhält man νn =

ωn c·k 2πc = =n· = n · ν0 2π 2π 2π2l

also eine äquidistantes Spektrum mit dem ”freien Spektralbereich” ν 0 :=

c . 2l

Im Resonator existieren also eine Vielzahl von Moden, alle gegeneinander frequenzverschoben um einVielfaches von ν 0 . Bei einem Spiegelabstand von l = 10cm beträgt ν 0 = 3GHz. Bei typischen optischen Frequenzen von 300T Hz = 3 × 105 GHz ist n ' 105 , d.h. es befinden sich etwa 100000 Knoten zwischen den Spiegeln. • Linienbreite. Beleuchtet man einen der Spiegel (teildurchlässig) von außen mit einem passenden monochromatischem Gaußstrahl einer Frequenz ν n wird das Licht in den Resonator gekoppelt und dort resonant überhöht. Schaltet man das Licht ab, so zerfällt das Lichtfeld im Resonator exponentiell mit einer Zeitkonstanten τ , die von der Reflektivität des Einkoppelspiegels abhängt. Aufgrund der Unschärferelation ist die Resonanzfrequenz und damit die Energie der gespeicherten Photonen innerhalb einer bestimmten Breite unscharf. Diese ”Linienbreite” ∆ν (volle Breite bei halbem Maximum) des Resonators hängt mit dem freien Spektralbereich ν 0 über die sogenannte ”Finesse” zusammen: F :=

ν0 . ∆ν

Die Finesse ist näherungsweise durch die Leistungsverluste pro Umlauf L gegeben: F :=

π . L

Für einen Einkoppelspiegel mit 99% Reflektivität und sonst vernachlässigbaren Verlusten beträgt die Finesse also etwa 314.Verluste entstehen durch Staub, Dreck oder Kratzer auf den Spiegeln, durch Absorption in der Luft zwischen den Spiegeln und letztendlich durch Lichtstreuung verursacht von Inhomogenitäten der Spiegeloberflächen. Typischerweise liegt die Finesse zwischen 100 und 1000. Der Weltrekord liegt für Spezialspiegel bei 106 . Für einen solchen 10cm langen extrem guten Resonator 70

beträgt die Linienbreite dann 3kHz. Um die Resonanzfrequenz des Resonators innerhalb einer solchen Linienbreite stabil zu halten, darf sich dessen Länge höchsten um einen Faktor 3kHz ∆ν ∆l = = = 10−11 l νn 300T Hz ändern, oder ∆l = 10−12 m = 1000f m, also etwa 1000 Kernradien oder 1% eines Atomdurchmessers. Dies ist mit einer elektronischen Regelung, die den Spiegelabstand aktiv nachregelt gut zu machen. Heute kann man Resonatoren auf wenige Hz genau stabilisieren. Allerdings müssen diese Resonatoren sehr stabil gebaut werden und möglichst gut thermisch und seismisch von der Umgebung isoliert sein. • Impedanzanpassung. Schließlich bleibt noch die Frage, wie man überhaupt das Licht in den Resonator bekommt bei einem Einkoppelspiegel mit einer Reflektivität von 99% und besser? Dazu betrachten wir das Feld, das am Resonator reflektiert wird. Es besteht aus dem Teil, der direkt am Einkoppler reflektiert wird plus dem Teil, der aus dem Resonator kommt und den Resonator in Richtung Quelle verlässt. In Resonanz interferieren beide Beiträg gerade destruktiv und können sich sogar vollständig auslöschen, so dass alles Licht in den Resonator geht (siehe Skript zur ”Nichtlinearen Optik”). Man kann zeigen, dass dies genau dann geschieht, wenn die Transmission des Einkopplers den Verlusten eines Umlaufs entspricht. Dies ist die Impedanzanpassungsbedingung für optische Resonatoren. Sie gilt sogar für den hypothetischen Grenzfall von Spiegeln mit 100% Reflektivität und keinen Verlusten. In Resonanz geht dann immer noch alles Licht durch den Resonator. Blockiert man einen impedanzangepassten Resonator z.B. mit der Hand zwischen den beiden Spiegeln wird kein Licht mehr eingekoppelt sondern alles am Einkoppler reflektiert. Das Photon ”weiß also bereits am Einkoppler” ob sich im Resonator ein Hindernis befindet. Hier zeigt sich der globale Charakter der Quantenmechanik. Mehr dazu im 7. Kapitel.

71

Chapter 5

Dekohärenz und Messprozess Quantensprünge und Mastergleichung Zur Untersuchung von physikalischen Vorgängen muss man diese zunächst vom Rest der Welt trennen, damit man weiß, wovon man eigentlich redet. Zumindest muss man sich, möglichst vollständig, Klarheit über den Einfluss der Umwelt verschaﬀen. Für Quantensysteme gilt das ganz besonders. Sie sind wesentlich empfindlicher auf Störungen als klassische Systeme und es weniger die Frage ob, sondern mehr in welchem Maße man überhaupt die Umwelteinflüsse heraushalten kann.

Verluste Gaußstrahl Spiegel

Eine Mode endet z.B. oft auf einem Detektor oder einfach nur an einer Wand oder einem Blech (jedes Labor ist endlich). Hier tritt also die Umwelt bereits in drastischer Form in Erscheinung. Eine besser isolierte Mode wäre die eines Resonators hoher Güte. Die Kopplung an die Umwelt tritt bei den besten Spiegeln hauptsächlich durch Streuung an den Spiegeloberflächen auf. Bei jeder Reflektion wird ein Photon mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit aus der Resonatormode gestreut. Besteht unser Quantensystem aus einem Photon im Resonator so zerfällt diese ”photonische Anregung” mit einer gewissen Rate durch Ankopplung an ein ”Resrvoir”, das aus allen Moden besteht, die außerhalb des Resonators liegen. Die zeitliche Entwicklung solcher ”kleinen Quantensysteme”, die an ein äußeres, ”großes” Reservoir angekopplt sind, wird allgemein durch eine sogenannte ”Master-Gleichung” beschrieben. Wir wollen hier aber keine umfangreiche Reservoirtheorie betreiben, sondern die Master-Gleichung mit Hilfe von Quantensprüngen zumindest motivieren. Diese Überlegungen bilden auch die Grundlage der ”Quanten Monte Carlo Methode” mit der sich vor allem Quantensysteme, die aus vielen Teilchen bestehen, numerisch sehr eﬃzient behandeln lassen. • Betrachten wir dazu unser Photon in einer der Moden im Resonator. Wir zerlegen die zeitliche Entwicklung in kleine Zeitschritte δt und fragen, was mit dem System in dieser Zeit geschehen ist. Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Das Photon wurde mit einer Wahrscheinlichkeit P (δt) aus dem Resonator gestreut. 2. Es ist noch im Resonator vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 1 − P (δt) . 72

Im ersten Fall lautet der neue Zustand a|ψi . |ψi → |ψ e i = p hψ|a+ a|ψi

Der Vernichter hat das Photon aus der Mode entfernt und der Nenner sorgt für die Normierung des neuen Zustands. Im zweiten Fall lautet der neue Zustand |ψ ne i : e−iHef f /~·δt |ψi . |ψi → |ψ ne i = q + hψ|eiHef f /~·δt e−iHef f /~·δt |ψi

Der Zustand entwickelt sich also gemäß eines eﬀektiven Hamiltonoperators. Der Nenner dient wieder der Normierung. • Der eﬀektive Hamiltonoperator lautet:

γ Hef f = H − i~ a+ a. 2

Dies ist der entscheidende Ansatz. Der eﬀektive Hamilton ist nicht hermitisch, er enthält einen komplexen Zerfallsterm der proportional zu einer neu eingeführten Zerfallskonstante γ ist. Wenn also innerhalb von δt kein Zerfall stattfindet entwickelt sich das System nicht einfach ungestört weiter. Die richtige Beschreibung erhält man nur, wenn man dem System erlaubt, vermittels des Zerfallsterms, das äußere Reservoir auch ohne Zerfall ”zu spüren”. • Mit diesem Modell kann man die Mastergleichung ableiten. Nach einer Zeit δt geht die Dichtematrix des Zustands in eine Überlagerung der beiden Möglichkeiten über: |ψihψ|− > |ψ(δt)ihψ(δt)| = P |ψ e ihψ e | + (1 − P )|ψ ne ihψ ne | wobei P =

γ· | |

hψ|a+ a|ψi · | {z }

δt

Besetzungszahl der M ode

{z {z

Photonenzerfallsrate

}

}

Zerfallswahrscheinlichkeit innerhalb δt

• Für kurze Zeiten kann man entwickeln e−iHef f /~·δt

= 1 − iHef f /~ · δt + ... = 1 − i/~ · H · δt − γ/2 · a+ a · δt + ...

• Einsetzen dieser Entwicklung und des Ausdrucks für P ergibt, unter Vernachlässigung aller höheren Terme in δt : |ψ(δt)ihψ(δt)| ' |ψihψ| − i/~ · δt · [H, |ψihψ|] ¢ ¡ +γ/2 · δt · 2a|ψihψ|a+ − aa+ |ψihψ| − |ψihψ|a+ a

• Diese Gleichung gilt für ein Einzelsystem, also für eine Mode im Resonator. Ein Ensemble (z.B. aus mehreren Moden) wird duch die Dichtematrix ρ eines Gemischs beschrieben also dem Mittelwert über die Dichtematrizen der Einzelsysteme. Wenn alle Einzelsysteme gleich häufig vorkommen ist die Matrix für das Einzelsystem identisch mit der Matrix für das Ensemble also ρ = |ψihψ|. 73

Damit erhält man ¢ ¡ ρ(t + δt) = ρ − i/~ · δt · [H, ρ] + γ/2 · δt · 2aρa+ − aa+ ρ − ρa+ a .

Im Grenzwert δt → 0 wird aus dem Diﬀerenzenquotient der Diﬀerentialquotient (ρ(t + δt) − ρ) /δt → dρ/dt: ¡ ¢ dρ/dt = −i/~ · [H, ρ] + γ/2 · 2aρa+ − aa+ ρ − ρa+ a . Dies ist die Mastergleichung. Sie ist die Heisenberg-Gleichung für die Dichtematrix erweitert um einen Term proportional zur Zerfallsrate γ. Man kann sie mit Hilfe einer Reservoirtheorie streng herleiten. Hier dient sie uns als Bestätigung für die Quanten Monte Carlo Methode.

• Quanten Monte Carlo Methode.Die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems kann man numerisch folgendermaßen berechnen: Man würfelt mit dem Rechner eine Zahl r zwischen 0 und 1 und vergleicht sie mit P . Ist r > P, so ersetzt man |ψi durch |ψ ne i. Ist r < P, so ersetzt man |ψi durch |ψ e i. Für den so bestimmten neuen Zustand berechnet man wiederum P und würfelt ein neues r, etc. Auf diese Weise erhält man eine der möglichen Zeitentwicklungen eines individuellen Systems. Den Erwartungswert für ein Ensemble (z.B. viele Moden im Resonator) ergibt sich durch Mittelung über die Einzelsysteme. Der Rechenaufwandt wächst oﬀenbar proportional zur Anzahl der Einzelsysteme. Berechnet man dagegen die Entwicklung der Dichtematrix durch numerische Integration der Heisenberggleichung so wächst der Rechenaufwand mit der Anzahl der Elemente der Dichtematrix also quadratisch mit der Dimension der Dichtematrix. Die Dimension ist aber proportional zur Anzahl der Freiheitsgrade also der Zahl der Einzelsysteme. Damit ist hier der Rechenaufwand quadratisch zur Anzahl der Einzelsysteme.

Beispiele • 1. Beispiel. Zeitliche Entwicklung einer Resonatormode, die mit einem kohärenten Zustand besetzt ist. Der Hamilton verschwindet, H = 0, man hat keine Wechselwirkung der Mode mit etwas anderem. Physikalisch erwartet man, dass das Feld im Resonator durch die Streuverluste an den Spiegeln exponentiell zerfällt. Gemäß obigem Rezept bleibt also ein eﬀektiver Hamilton Hef f = −i~ γ2 a+ a. Betrachten wir nun die beiden Möglichkeiten. Falls ein Quantensprung auftritt erhält man: 1 1 a|αi = √ ∗ α|αi = |αi. |αi → p + αα hα|a a|αi

Das Feld bleibt (bis auf einen möglichen Phasenfaktor für komplexe α) unverändert! Der Zerfall steckt also im zweiten Fall, in dem kein Quantensprung geschieht: +

e−γ/2·a a·δt |αi |αi → p = |α · e−γ/2·δt i. hα|e−γ·a+ a·δt |αi

Das Feld bleibt in einem kohärenten Zustand mit exponentiell zerfallenden mittleren Photonenzahl. Die Mastergleichung liefert für dieses Beispiel: ¢ ¡ dρ/dt = γ/2 · 2aρa+ − aa+ ρ − ρa+ a . Sie wird gelöst durch

ρ(t) = |α · e−γ/2·t ihα · e−γ/2·t |, was man durch Einsetzen leicht überprüfen kann. Die mittlere Photonenzahl im Resonator zerfällt damit exponentiell 2 n(t) = |α| · e−γ·t . (Selber nachrechnen: Erwartungswert des Teilchenzahloperators durch Spurbildung mit der Dichtematrix berechnen). 74

• 2. Beispiel. Entwicklung eines geraden Katzenzustands: |ψ g i = Ng (|αi + | − αi) . (Ng ist ein Normierungsfaktor). Mit Quantensprung: a (|αi + | − αi) = α (|αi − | − αi) . Der gerade Zustand wird also in einen ungeraden Katzenzustand überführt (”jumping cat transition”). |ψ g i → |ψ u i = Nu (|αi − | − αi) . Der Zerfall eines Photons ändert die interne Phase des Katzenzustands um π! Mit jedem Quantensprung springt auch die Phase maximal, so dass die Phase über den vollen Bereich fluktuiert und bald völlig ausgewaschen ist. Die Katze ist damit in eine klassische Wahrscheinlichkeitssumme aus ”tot” und ”lebendig” übergegangen. Ihr Zustand ist durch eine Messung nicht mehr zu ändern. Ohne Quantensprung: +

e−γ/2·a

a·δt

(|αi ± | − αi) = |α · e−γ/2·δt i ± | − α · e−γ/2·δt i.

Die Katze bleibt erhalten, schrumpft aber exponentiell. Die Mastergleichung liefert für die Katze: ρ(t)/Ng

= |α · e−γ/2·t ihα · e−γ/2·t | + | − α · e−γ/2·t ih−α · e−γ/2·t | ´ ³ ¡ ¢´ ³ + exp −2 |α|2 1 − e−γ·t · |α · e−γ/2·t ih−α · e−γ/2·t | + | − α · e−γ/2·t ihα · e−γ/2·t | .

Der Exponentialfaktor vor dem dritten Term lässt sich nähern als ´ ³ ³ ¡ ¢´ exp −2 |α|2 1 − e−γ·t ' exp −2 |α|2 γt .

Der Nichtdiagonalteil der Dichtematrix zerfällt also innerhalb einer Dekohärenzzeit Tdekoh :=

1 2

2 |α| γ

,

die um die mittlere Teichenzahl schneller ist als die Zerfallszeit der Teilchenzahl selber. (Nicht vergesen: α bezieht sich immer auf den Wert bei t = 0) . Je größer der Zustand umso schneller zerfallen seine quantenmechanischen Eigenschaften. • Erzeugung kohärenter Zustände in einem optischen Verstärker (optical balance). Ein Atom koppelt an das Lichtfeld in der Dipolnäherung durch den Hamilton: ˆ Hi = −dˆ · E. ˆ Uns interessiert hier nicht der vollständige Hamilmit dem Dipoloperator dˆ und dem Feldoperator E. ton, sondern nur der Teil, der auf die Photonen wirkt. Er hat die Form: ¡ ¢ Hi = ~ · G · a + a+ .

G ist der Teil, der auf das Atom wirkt. Er enthält das Dipolmatrixelement und wirkt im Hilbertraum des angeregbaren Elektrons. a + a+ ist proportional zum Feldoperator und wirkt auf die Photonenzustände. Die Mastergleichung für solch einen Hamilton lautet £ ¤ ¡ ¢ dρ/dt = −iG · a + a+ , ρ + γ/2 · 2aρa+ − aa+ ρ − ρa+ a , 75

was man umschreiben kann in

wobei

¡ ¢ dρ/dt = γ/2 · 2bρb+ − bb+ ρ − ρb+ b , b := a + iG/γ.

Im Gleichgewicht gilt dρ/dt = 0 und damit bρ = 0 und ρb+ = 0, bzw. ¢ ¡ (a + iG/γ) ρ = 0 = ρ a+ − iG/γ .

Diese Gleichungen werden gelöst duch:

ρ = |αihα|, mit α = −iG/γ. Ein kohärenter Antrieb durch einen atomaren Dipol führt zusammen mit einer Dämpfung zu einem kohärenten Zustand mit einer Feldstärke, die proportional zum Verhältnis aus Antrieb G und Verlust γ ist. Ein Laser erzeugt kohärentes Licht.

Wigner Funktion. Gesucht ist eine Funktion W (p, q), die die vollständige Information über das Quantensystem enthält, analog zur klassischen Phasenraumverteilung. Eine solche Funktion kann man finden. Sie kann aber negativ werden und ist daher nicht als Wahrscheinlichkeit interpretierbar. Man spricht von einer Quasiwahrscheinlichkeit. Das wichtigste Beispiel für eine solche Quasiwharscheinlichkeit ist die Wigner Funktion: Z ∞ 1 W (p, q) := hq + x/2|ρ|q − x/2i eipx/~ dx, 2π~ −∞ wobei |q ± x/2i Eigenzustände des Ortsoperators sind. Für einen reinen Zustand |ψi erhält man Z ∞ 1 ψ ∗ (q + x/2)ψ(q − x/2)eipx/~ dx, W (p, q) := 2π~ −∞ wobei ψ(q ± x/2) = hq ± x/2|ψi. Mittelt man W (p, q) über den Impulsraum, so erhält man die Ortsverteilung des Teilchens: Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 W (p, q)dp = ψ ∗ (q + x/2)ψ(q − x/2) eipx/~ dpdx 2π~ −∞ −∞ −∞ Z ∞ = ψ ∗ (q + x/2)ψ(q − x/2)δ(x)dx = |ψ(q)|2 . −∞

Entsprechend ergibt die Mittelung über den Ortsraum die Impulsverteilung: Z ∞ 2 W (p, q)dq = |ψ(p)| . −∞

Die Wigner-Funktion eines Systems ist eine andere Möglichkeit die quantenmechanischen Eigenschaften eines Systems zu visualisieren. Bereiche, in denen die Wigner-Funktion negativ wird markieren das auftreten quantenmechanischer Eﬀekte. Diese Bereiche zerfallen bei Ankopplung an ein Reservoir als erstes, ähnlich wie die Nichtdiagonalelemente der Dichtematrix. Im folgenden Bild sieht man die Wigner-Funktion für einen kohärenten Zustand und für einen Nummernzustand. 76

kohärenter Zustand mit n=10 x2

W (x 1,x2 )

x1 Nummernzustand mit n=3 x2

W(x1 ,x 2 )

x1

Die Überlagerung zweier kohärenetr Zustände kann kohärent sein, was zu Quanteninterferenzen im Überlappbereich führt. Die inkohärente Summe enthält keine Nebendiagonalelemente und entspricht der Summe der klassischen Wahrscheinlichkeiten.

77

statistisches Gemisch zweier kohärenter Zustände mit je n=5

kohärente Überlagerung zweier kohärenter Zustände mit je n=5 (gerader Katzenzustand)

Bei einer kohärente Überlagerung zweier kohärenter Zustände (Katze) zerfallen als erstes die Interferenzen.

78

Zerfall eines geraden Katzenzustands W(x1,x2) 0.5 0.25 0 -0.25 -1 W(x1,x2)

0 x2

1

1

2

0

2

0

-2

-4

-2

-4

-2

-4

-2

-4

x1

0.5 0.25 0 -0.25 -1 W(x1,x2)

0 x2

1

0 x2

1

0 x2

1

1

x1

0.5 0.25 0 -0.25 -1 W(x1,x2)

1

2

0

x1

0.5 0.25 0 -0.25 -1

1

79

2

0

x1

Zeit

Chapter 6

Photonenpaare Nichtlineare Optik mit Photonen • Lineare Optik: Wechselwirkung zwischen Licht und Materie weit entfernt von einer Resonanz, d. h. ohne Absorption: Licht induziert ein elektrisches Dipolmoment. In der linearen Optik macht man den Ansatz, dass die elektrische Polarisationswelle in der Materie proportional zum elektrischen Feld der Lichtwelle ist: P = κ (1) · E Die Energie in Dipolnäherung ist proportional zu −P · E = −κ (1) · E · E.

q ~ω ˆ=i a+a ˆ+ ) und einer Proportionalitätskonstanten K erhält man den Hamiltonoperator Mit E 2ε0 V (ˆ ˜ = K(a + a+ )(a + a+ ) H

Die Zeitabhängigkeiten der einzelnen Terme sind: a ∼ + a ∼ + a a ∼ aa+ ∼ aa ∼ + + a a ∼

e−iωt eiωt 1 1 e−2iωt e2iωt

Nach Mittelung über die Schwingungsperiode verschwinden die oszillierenden Terme und es bleibt nur D E ˜ = K(a+ a + aa+ ). H= H Mit

[a, a+ ] = 1 folgt 1 H = K · 2(a+ a + ). 2 Der zweite Term sind die Vakuumsfluktuationen, die wir vernachlässigen. Damit erhält man: H = 2K · a+ a. 80

Da die Erzeuger und Vernichter dimensionslos sind kann man die Konstante auch als Frequenz schreiben: H = ~Ω · a+ a. Dieser Wechselwirkungshamilton beschreibt den Brechungsindex. Es gibt keine Absorption also keinen Energieübertrag zwischen Atom und Licht. Damit kann sich nur noch die Phase der Lichtwelle ändern. Dieser Phasenversatz drückt sich im Brechungsindex aus. Die Frequenz Ω gibt die Stärke an, mit der das Feld an die Dipole des Kristalls koppeln. • Die Wechselwirkung kann man als Diagramm darstellen. Der Aufwärtspfeil entspricht einem Vernichter für eine Mode mit einer Frequenz, die durch die Länge des Pfeils gegeben ist. Entsprechend entspricht der Abwärtspfeil einem Vernichter. Das Produkt a+ a ist dann a+

a

Ein Aufwärtspfeil entspricht einem Term mit einer zeitlichen Abhängigkeit eiωt , ein Abwärtspfeil entspricht einem Term mit einer zeitlichen Abhängigkeit e−iωt . Die Summe der Pfeile muss Null ergeben, damit der Term nach zeitlicher Mittelung überlebt. • Wie wirkt der Brechungsindex auf einen kohärenten Zustand? Ein Zustand |αi entwickelt sich zeitlich gemäß U |αi = e−iH/~·t |αi. Mit

H = ~Ωˆ a+ a ˆ folgt +

U = e−iΩta

a

=

X 1 (−iΩt)k (a+ a)k · . k! k

Angewandt auf den kohärenten Zustand

|αi = e−|α|

2

X αl √ |li l! l

/2

ergibt e−iH/~·t |αi = Mit

X (−iΩt)k

e−

k!

l,k

|α|2 2

1 √ αl (a+ a)k |li. l!

(a+ a)k |li = n ˆ k |li = lk |li

folgt =

X (−iΩt)k l,k

=

k!

2

e−|α|

/2

1 √ αl lk |li l!

X e−|α|2 /2 X (−iΩt · l)k √ αl |li · k! l! l k | {z } (e−iωt )l

X e−|α| /2 √ (e−iΩt α)l · |li = |e−iΩt αi l! l 2

=

81

Die Phase von α wird um also Ω · t verschoben! Solange die Photonen mit einer Stärke ~Ω an den Kristall koppeln, wandert die Phase des kohärenten Zustands mit einer konstanten zusätzlichen Rate Ω. Die Gesamtverschiebung ist dann gegeben durch die Durchflugszeit l/c und Ω: ϕ = l/c · Ω. Sie entspricht der Phase, die das Licht aufgrund des Brechungsindex n zusätzlich entlang des Kristalls aufsammelt: ϕ = (n − 1) k · l. Aufgelöst nach n ergibt: n = Ω/ (kc) + 1 = 1 + Ω/ω. • Wirkung eines Brechungsindex auf einen Nummernzustand |N i : +

U · |N i = e−iΩta a |N i X 1 (−iΩt)j (a+ a)j |N i = j! | {z } j nj |Ni

=

X 1 (−iΩtN )j |N i j! j

= e−inΩt |N i

Die Quantenphase des Nummernzustands oszilliert mit der Frequenz N · Ω, also dem Produkt aus Energie des Zustands (Photonenzahl) und der Stärke des Brechungsindex (κ (1) ). Die Frequenz ~Ω ist die im Medium pro Photon enthaltene elektrodynamische Energie. • Nichtlineare Optik. Allgemein kann man die Funktion P (E) entwickeln nach E : P = κ (1) · E + κ (2) · E 2 + κ (3) · E 3 + ... Besteht das Feld aus mehreren Moden E = E1 + E2 + .. erhält man für die Energie = κ (1) (E1 + E2 + ...)(E1 + E2 + ...) +κ (2) (E1 + E2 + ...)(E1 + E2 + ...)(E1 + E2 + ...) +....

−P · E

• Die Terme proportional zu κ (2) enthalten bei zwei Moden Ausdrücke der Form + + + + + + + + + a+ 1 a1 a1 , a2 a2 a2 , a1 a2 a2 , ..., a1 a2 a2 ...a2 a2 a2

Die Diagramme für nichtverschwindende Mittelwerte sind: Frequenzverdoppelung

a1+

Summenfrequenz -Mischung

a2

a2+ a3

a2 a1+

parametrische Frequenzkonversion

a1+ a3

a1+

82

• Terme proportianal zu κ (3) bestehen aus Produkten von 4 Operatoren. Mögliche Diagramme sind: Summenfrequenz -Mischung

Frequenzverdreifachung

a3+

a 1+

a 1+

a2

a2+

a1+

a4

a1+

Grundsätzliche neue Phänomene entstehen durch Diagramme der Form:

a1+

a1+

a1

a1

a1+

a1

a1+

a1

Hier werden netto keine Photonen erzeugt oder vernichtet. Wiederum kann es sich nur um eine Phasenverschiebung des Lichtfeldes handeln. Diese Diagramme beschreiben den intensitätsabhängigen Brechungsindex, der die Grundlage für den Kerr-Eﬀekt und die Selbstphasenmodulation bilden. Der Operator hat die Form + a+ 1 a1 a1 a1 . Die Reihenfolge ist durch die Normalordnung gegeben. Bei dieser Ordnung stehen alle Erzeuger links. Vakuumsbeiträge fallen in der Normalordnung automatisch weg. Sind zwei Moden im Spiel können sie sich gegenseitig beeinflussen gemäß der Diagramme

a2+

a1+

a2 a1+ a1

83

a2

a2+

a1

Der Operator + a+ 1 a2 a1 a2

beschreibt entsprechend die Zweistrahlkopplung und den Kreuz-Kerreﬀekt. Diese nichtlinearen Effekte lassen sich auch völlig klassische verstehen und werden in der Vorlesung ”Nichtlineare Optik” ausführlich behandelt. Eine Mode moduliert den Brechungsindex für die andere Mode. Im folgenden betrachten wir ein Beispiel das auf dem Kreuz-Kerreﬀekt beruht. Anschaulich erzeugt die Intensität eines Strahls einen Brechungsindex für den anderen Strahl. Die Phase des zweiten Strahls nach durchgang durch den Kristall ist damit von der Intensität des ersten Strahls abhängig. Auf Photonenebene kann man theoretisch damit Katzenzustände erzeugen.

Erzeugung von Katzenzuständen mit Hilfe des Kerr-Eﬀekts • Vorschlag zur Erzeugung von Yurke-Stoler-Zuständen: Eine Mode wird für eine bestimmte Zeit einem Kerr-Medium ausgesetzt und macht entsprechend Phasenselbstmodulation gemäß H = ~Ω · a+ aa+ a = ~Ω · n ˆ2 mit Ω ∼ κ (3) . Die zeitliche Entwicklung eines kohärenten Zustands lautet unter diesen Umständen: |ψ(t)i = e−iH/~·t |αi ∞ n −|α|2 X α 2 √ e−iΩˆn t |ni. = e 2 n! n=0 Da |ni Eigenzustand zu n ˆ 2 , gilt: 2

e−iΩˆn t |ni =

∞ ∞ X X 1 1 (−iΩˆ n2 t)m |ni = |ni(−iΩn2 t)m m! m! m=0 m=0 2

= |ni · e−iΩn t .

π Ω,

Stellt man die Wechselwirkungszeit t so ein, dass t = 2

e−iΩn Also erhält man |ψ(t)i = e

−|α|2 2

t

folgt

2

= e−πn = (−1)n .

∞ X (−1)n · αn √ · |ni = | − αi. n! n=0

Jede einzelne Nummernzustandskomponente erhält durch den Kerr-Eﬀekt eine Phasendrehung gemäß ihrer Photonenzahl. Die Überlagerung ergibt einen kohärenten Zustand mit einer um π gedrehten Phase. Wählt man π t= , 2Ω folgt ¯ ½ ¯ 1 wenn n gerade −iΩn2 t −iπn2 /2 ¯ =e = e −i wenn n ungerade ¯ Also:

π 1 |ψ(t)i = √ e−i 4 (|αi + i| − αi) 2

Dies ist der Yurke-Stoler-Zustand. Er ist eine Überlagerung zweier um π gedrehter kohärenter Zustände. 84

x2

x1

• Erzeugung gerader und ungerader Katzenzustände: D1

1 b

b

Phasenschieber

0

c

c

c

c

b

α

Detektoren

D2

b

a

a Kerr-Medium

In einen Mach-Zender-Interferometer (MZI) wird ein Phasenschieber (linearer Brechungsindex) und ein Kerr-Medium (nichtlinearer Brechungsindex) eingefügt. Mode a wird zur Zeit t = 0 mit einem kohärenten Zustand |αi besetzt. Am oberen, linken Eingang des MZI wird die Mode b mit einem Photon besetzt. Grundgedanke: Ein Photon in Mode b verschiebt im Kerrmedium die Phase des kohärenten Zustands um 180◦ (so soll die Wechselwirkungszeit eingestellt werden). Da das Photon nur mit halber Wahrscheinlichkeit im Kerrmedium anzutreﬀen ist, wird die Phase des kohärenten Zustands nur mit halber Wahrscheinlichkeit verschoben und man erhält eine quantenmechanische Überlagerung zweier kohärenter ( = makroskopischer = klassischer) Zustände. Formal erhält man nach einer bestimmten Wechselwirkungszeit Ω · t = π das System in einem Zustand |outi =

1 ((|αi + | − αi) |10ibc − i(|αi − | − αi)|01ibc ) , 2

wobei der Zustand |10ibc := |1ib |0ic 85

ein Photon in Mode b, kein Photon in Mode c bezeichnet. Entsprechen |01ibc . Wie es zu diesem Ausgangszustand kommt, behandeln wir gleich. Wird bei einen solchen Zustand am Ausgang D1 ein Photon gemessen, d. h. verifiziert man das Photon des MZI in Mode b, also im Zustand |01ibc , so ist Mode a im geraden Katzenzustand |αi + | − αi. Mißt man das Photon in |01ibc , so reduziert man den Zustand |outi in den ungeraden Katzenzustand |αi − | − αi. • Herleitung von |outi: Die zeitliche Entwicklung durch das Kerr-Medium läuft gemäß: H ˆ Uk

= ~Ωˆ a+ a ˆˆb+ˆb + ˆ+ ˆ = e−iΩtˆa aˆb b .

Der Phasenschieber um eine Phase θ wird durch den Operator ˆP = e−iθc+ c U beschrieben. Der Zustand nach dem ersten Strahlteiler im MZI lautet: 1 |M ZIi = |αia √ (|10ibc + i|01ibc ) 2 Die zeitliche Entwicklung macht daraus:

Nach einer Zeit t =

π Ω

¢ 1 ¡ |Ωt, θi = √ |eiΩt αia |10ibc + ie−iθ |αia |01ibc . 2

haben wir den Zustand

¢ 1 ¡ |π, θi = √ | − αia |10ibc + ie−iθ |αia |01ibc . 2

Der zweite Strahlteiler überführt

|10ibc

→

|01ibc

→

1 √ (|10ibc + i|01ibc ) 2 1 √ (|01ibc + i|10ibc ) . 2

Hinter dem zweiten Strahlteiler sieht |π, θi daher so aus: |out, θi = =

¢ 1¡ | − αia (|10ibc + i|01ibc + ie−iθ |αia )(|01ibc + i|10ibc ) 2 ¡ ¢ ¢ ¢ 1 ¡¡ | − αia − eiθ |αia |10ibc + i | − αia + eiθ |αia |01ibc . 2

Stellt man den Phasenschieber so ein, dass θ = π folgt schließlich |outi =

1 ((|αia + | − αia ) |10ibc − i (|αia − | − αia ) |01ibc ) . 2

was zu zeigen war.

86

Quelle für Photonenpaare. Spontane parametrische Frequenzteilung. Photonen der Pumpmode mit der Frequenz ω p werden mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in ein Photonenpaar mit den Frequenzen ω s + ω i = ω p umgewandelt. Pumpstrahl ap Kristall

Signal

as

Idler

ai

Das entsprechende Diagramm sieht so aus:

as ap+ ai

Der Hamiltonoperator lautet entsprechend: ˆ = K · κ (2) a H ˆp a ˆ+ ˆ+ s a i + h.c. Wobei K eine Proportionalitätskonstante ist. Der Anfangszustand |1, 0, 0i = |1ip |0is |0ii mit lediglich einem Photon in der Pumpmode entwickelt sich zeitliche gemäß ˆ

·ta ˆp a ˆ+ ˆ+ e−iH/~t |1, 0, 0i ∼ (1 + Ω s a i )|1, 0, 0i |{z} k·κ (2)

= |1, 0, 0i + Ω · t · |0, 1, 1i

wobei Ω := k · κ (2) .

Die Wahrscheinlichkeit in der Mode des Signals und des Idlers je ein Photon zu finden, steigt zeitlich an. Bedingungen für Konversion ist die Phasenanpassung (siehe Vorlesung ”Nichtlineare Optik”), die die Impulserhaltung sicherstellt. Es gilt: 1) ~ω p 2) ~~kp

= ~ω s + ~ω i Energieerhaltung = ~~ks + ~~ki Impulserhaltung

Im Vakuum wären wegen ω = c · k beide Bedingungen für parallele Strahlen erfüllt. Im Kristall führt der Brechungindex dazu, dass der Vektor ~k länger sein kann als ωc . Damit erhält man Impulserhaltung im allgemeinen für nichtparallele Strahlen:

ks

ki kp

87

Dieses Diagramm ist rotationssymmetrisch um die Richtung von ~kp . Die beiden Photonen werden daher auf konzentrischen Koni in entgegengesetzten Richtungen abgestrahlt:

Signal

Pumpe

Idler

Da nur die Summe der Frequenzen festgelegt ist, erhält man für jede mögliche Kombination aus ω s und ω i zwei entsprechende Koni für die Abstrahlrichtungen. Durch Setzen entsprechender Blenden kann man sich für eine Kombination entscheiden. Insbesondere auch für zwei Photonen gleicher Frequenz und entgegengesetzter Richtung (entarteter Fall).

ωi = 0.5 ωp ωp ωs = 0.5 ωp

Hong-Ou-Model-Interferometer Was geschieht, wenn man beide entarteten Photonen auf einen Strahteiler einstrahlt?

DC

Signal

Koinzidenz-Zähler

Pump-Photon Idler

Strahlteiler (verschiebbar)

Wir wissen aus Kapitel 4, dass beide Photonen zusammen den Strahlteiler aus dem selben Ausgang verlassen und man deshalb nie eine Koinzidenz beider Detektoren sieht. Dies gilt für zwei Photonen derselben Frequenz und Polarisation, die ”gleichzeitig” an den Eingängen des Strahlteilers ankommen. Was geschieht, wenn man die optischen Weglängen variiert, indem man den Strahlteiler leicht verschiebt? Man beobachtet (aus Originalarbeit: Hong et al., Physical Review Letters, 59 2044 (1987).

88

Die Koinzidenzen verschwinden, wenn die Weglängendiﬀerenz kleiner ist als ein Wert ∆s, der durch die Frequenzungenauigkeit ∆ω der Photonen gegeben ist. c 1 = = ∆ω ∆s ∆τ oder

c ∆ω Die Photonenfrequenz wird durch die Richtung festgelegt, in die die Photonen aus dem Kristall austreten und damit durch die Richtungsakzeptanz des Interferometerafbaus. Die durch die Geometrie vorgegebene Frequenzunsicherheit beträgt in diesen Experimenten typischerweise etwa 1 − 2nm ∼ 1T Hz. Damit erhält man ∆s =

∆τ

1 1 1 = ≈ = 0, 17 · 10−12 ∆ω 2π · ∆υ 6T Hz ∼ 1 · 10−13 ∼ 100f s.

=

Dies entspricht der Zeitunschärfe mit der die beiden Photonen in die Moden entsandt werden und damit auch der maximalen Zeitdiﬀerenz, mit der die Photonen am Strahlteiler ankommen können. Ist die Laufzeitdiﬀerenz der beiden Wege größer als diese Unsicherheit in der Ankunftszeit, verschwindet die Antikoinzidenz.

89

Chapter 7

Optische Tests der Quantenmechanik Sind Photonen Teilchen, denen man eine Bahn zuordnen kann entlang der sie sich bewegen oder sind Photonen Besetzungszustände von Moden? Stimmt diese Modenbild wirklich? Das Modenbild kennt keinen Transport entlang einer Bahn solange nicht die Mode selbst eine Dynamik hat, die eine klassische Bahn simulierte, etwa in Form eines Pulses. Photonentransport entlang einer stationären Mode, z.B. einer laufenden ebenen Welle kann nur stattfinden, wenn das Photon am einen Ende lokal in die Mode gefüllt und an deren anderen Ende wieder entnommen wird. In der Mode ist das Photon aber überall gleichzeitig. Auf diese Weise würden z.B. auch die Photonen eines Laserpointers auf die Leinwand gelangen. Das Bild einer Bahn lässt sich trotzdem bis zu einem gewissen Grad verwenden, wenn man die Bahn als Pfad im Sinn von Feynman interpretiert. Demnach müssen die Wahrscheinlichkeitsamplituden für alle möglichen Pfade berechnet werden, die zwei Punkt A und B miteinander verbinden. Das Betragsquadrat der Summe ergibt die Wahrscheinlichkeit, mit dem das Photon von A nach B gewandert ist. Bei der Summenbildung müssen die Amplituden mit den richtigen Relativphasen addiert werden, die sich aus der Geometrie der Pfade ergeben. Im einfachsten Fall ist das gerade die Phase k · l, die sich entlang des Pfades für ein Teilchen der Geschwindigkeit v = ~k/m ansammelt. Dieses Rezept gilt nur für ununterscheidbare Pfade. Sind die Pfade unterscheidbar, müssen die Amplituden erst quadriert und dann addiert werden. Die Phasen fallen bei der Betragsquadratbildung heraus und addiert werden in diesem Fall dann nur ”klassische” Wahrscheinlichkeiten. In diesem Kapitel betrachten wir eine Reihe von Experimenten, bei denen sich das Modenbild und das Pfadbild gut gegenüberstellen lässt.

Strahlteiler mit Moden unterschiedlicher Polarisation Situation: Am oberen Eingang liegt der horizontal polarisierte Signalstrahl eines Parametrischen Frequenzteilers (DC) an. Vor dem unteren Eingang wird der zunächst horizontal polarisierte Idlerstrahl durch einen Polarisationsdreher um einen Winkel θ gedreht. Misst man die Photonenkoinzidenz an den Ausgängen genauso wie mit dem HOM-Interferometer, so verschwindet die Antikoinzidenz mit zunehmenden Drehwinkel θ. Für θ = π/2 ist keine Antikoinzidenz mehr zu beobachten. Interpretation im Pfadbild: Ohne Polarisator kann man am Ort der Detektoren nicht wissen, ob ein nachgewiesenes Photon aus dem Signal- oder aus dem Idlerstrahl kam. Man muss also beide Wahrscheinlichkeitsamplituden addieren und dann das Betragsquadrat bilden. Das haben wir bei der Interpretation des HOM-Interferometers auch so gemacht. Als Resultat erhält man Interferenz in Form einer Antikoinzidenz. Hier wird durch die Polarisation das Idlerphoton markiert und damit unterscheidbar vom Signalphoton. Am Ort der Detektoren kann man prinzipliell entscheiden aus welcher Strahl, das nachgewiesene Photon kommt. Damit müssen zunächst beide Amplituden quadriert und dann addiert werden. Die Interferenz verschwindet und man erhält die Summe der Transmissionswahrscheinlichkeiten für jedes einzelne Photon. Interpretation im Modenbild: Man hat jetzt für jeden Strahl zwei Moden, eine horizontal und eine vertikal polarisiert. Der Eingangszustand besteht also insgesamt aus 4 Moden, der Ausgangszustand ebenfalls. Am unteren Eingang liegt nach dem Polarisator der gedrehte Zustand an, der sich in der horizontal/vertikal-Basis 90

H

H

S

2

V

2

Polarisationsdreher

H

H

I

1

V

1

Figure 7.1: als

V |θii = cos θ · |1iH i + sin θ · |1ii

schreibt. Der Eingangszustand des Strahlteilers ist damit der Produktzustand H

θ

H

H

H

V

|ini = |1is |1ii = |1is |1ii cos θ + |1is |1ii sin θ. Er ergibt sich aus dem Vakuum durch ¡ ¢ H V H V H H V |ini = aH s ai cos θ + as ai sin θ |0is |0is |0ii |0ii .

Der Ausgangszustand berechnet sich unter Anwendung der Strahlteilerformeln (für 50/50 Teiler) ¢ 1 ¡ H a1 + iaH aH s = √ 2 2

¢ 1 ¡ H aH a2 + iaH i = √ 1 2 ¢ 1 ¡ aVi = √ aV2 + iaV1 . 2 ¡ H H ¢ H V Aus dem¡ Operator ¢am Eingang,¢ as ai cos¡θ + as ai ¢sin θ , ergibt ¡ ¡ ¢ sich der Operator der am Ausgang wirkt: 1 1 H H H H H H V V cos θ · a + ia + ia sin θ · a + ia + ia a + a 1 2 2 1 1 2 2 1 . Anwenden auf den Vakuumszustand des 2 2 Ausgangs ergibt den Ausgangszustand |outi = =

½

¾ ¢¡ H ¢ 1 ¢¡ V ¢ ¡ ¡ H 1 H V H V H H H V + ia + ia + ia + ia a + a |0i1 |0i1 |0i2 |0i2 cos θ · aH sin θ · a 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ¢ H V ¡ 1 H V H H H H H H H cos θ · aH 1 a2 − a1 a2 + ia2 a2 + ia1 a1 |0i1 |0i1 |0i2 |0i2 + 2 ¢ H V ¡ 1 H V V V H H V H V sin θ · aH 1 a2 − a1 a2 + ia2 a2 + ia1 a1 |0i1 |0i1 |0i2 |0i2 . 2

Für θ = 0 , d.h. ohne Drehung bekommt man die ursprüngliche Antikoinzidenz |outiθ=0

¢ H V 1¡ H H H V H ia2 a2 + iaH 1 a1 |0i1 |0i1 |0i2 |0i2 2 ´ 1³ H H H = i |2iH |0i + |0i |2i . 1 2 1 2 2 =

91

Für θ = π/2 verschwindet die Interferenz und man erhält die Summe alle Möglichkeiten: Zwei rechtwinklig V H V zueinander polarisierte Photonen am selben Ausgang (aH 1 a1 , a2 a2 ) und je ein Photon an jedem Ausgang H V V H (a1 a2 , a1 a2 ). |outiθ=π/2

= =

¢ H V 1¡ H V H V H V H V a1 a2 − aV1 aH 2 + ia2 a2 + ia1 a1 |0i1 |0i1 |0i2 |0i2 2 1 H V H V H V |1i |1i2 + |1iV1 |1iH 2 + i |1i2 |1i2 + i |1i1 |1i1 . 2 1

Quanteneraser Setzt man vor jeden Detektor einen Polarisator so erscheint die Antikoinzidenz wieder sofern beide Polarisatoren auf denselben Winkel eingestellt sind, der allerdings beliebig sein kann. Im Pfadbild verliert man durch die Polarisatoren die Unterscheidbarkeit und man hat prinzipliell keine Möglichkeit mehr zu entscheiden, ob man es mit einem Signal oder einem Idlerphoton zu tun hat. Die Amplituden müssen erst addiert werden und die Interferenz taucht auf. Im Modenbild kann man die Modenbasis parallel und rechtwinklig zur Richtung der Polarisatoren wählen. Da die Polarisatoren nur die parallele Richtung durchlassen, kann man alle dazu rechtwinkligen Polarisationen bereits im Signal- und Idlerstrahl vernachlässigen. Was übrigbleibt sind zwei gleichpolarisierte Eingangsstrahlen und man hat wieder ein normales HOM-Interferometer. Der Polarisationsdreher dämpft zwar, je nach Stellung, die parallele Polarisation des Idlerstrahls, so dass man man eine Wahrscheinlichkeit dafür erhält, dass ein paralleles Signalphoton allein am Strahlteiler ohne einen parallelen Idlerpartner auftaucht. Diese Ereignisse ergeben dann aber nur ein Photon an den Detektoren und werden dort wie eine Antikoinzidenz wahrgenommen (ein Photon an einem Detektor geht einher mit keinem Photon am anderen).

Induzierte Kohärenz Situation: Am ersten Strahlteiler ist der obere Eingang mit einem Photon besetzt. Die beiden Ausgänge füttern jeweils einen parametrischen Frequenzteiler (DC1 und DC2). Deren Signalstrahlen werden am zweiten Strahlteiler zur Interferenz gebracht. Ein Ausgang des Strahlteilers wird mit einem Detektor gemessen (DS ) Die Phase ϕ des zweiten Signalstrahls (S2 ) kann verändert werden. Die beiden Idlerstrahlen werden überlagert und mit einem Detektor nachgewiesen (Di ). Die Verbindung zwischen den beiden Idlerstrahlen können mit einem Strahlblocker unterbrochen werden (B). Ohne Strahlblocker beobachtet man ein interferometertypisches, von der Phase ϕ abhängiges Interferenzverhalten an DS . Mit Blocker ist die Interferenz verschwunden und man beobachtet keine Abhängigkeit von ϕ. Pfadbild: Im Falle des geblockten Strahls könnte man statt des Blockers auch einen Detektor einsetzen. Man kann dann messen, welchen Weg das am Anfang eingestrahlte Pumpphoton geht, üner DC1 oder über DC2. Für ein an DS gemessenes Photon weiß man dann ob es aus DC1 oder aus DC2 stammt und man muss die Amplituden erst quadrieren. Keine Interferenz. Bei überlagerten Idlerstrahlen weiß man an Di nicht ob das Idlerphoton aus DC1 oder DC2 stammt und damit auch nicht welchen Weg das eingestrahlte Pumpphoton gegangen ist. Die Amplituden an DS werden erst addiert und man erhält Interferenz. Kontraintuitive Merkwürdigkeit für klassische Denkweise: Wie kann eine Blocker, der nicht im Interferometerarm der Signalphotonen steht dessen Interferenzfähigkeit beeinflussen? Was geschieht, wenn man DC1 und DC2 gleich weit vom ersten Strahlteiler positioniert, so dass das Idlerphoton aus DC1 nach der Erzeugung des Signalphotons (von DC2) an DC2 ankommt (siehe Abbildung b). Diese Merkwürdigkeit entsteht nur wenn man Photonen als lokalisierte Teilchen auﬀasst, die mit Lichtgeschwindigkeit entlang von Strahlen bewegen. Im Modenbild kann man diesen Widerspruch nicht konstruieren, da das Photon überall in der Mode gleichzeitig ist. 92

a 1

Signal

Frequenzteiler DC1

Blocker (B) Idler

Ds

Signal

Phasenschieber Frequenzteiler DC2

0

ϕ

Idler Di

Figure 7.2:

b DC1

Ds

1

ϕ

B

0 DC2

Di

Figure 7.3:

93

DC

Signal

λ/4-Schicht Koinzidenz-Zähler

Pump-Photon Idler

Figure 7.4: Modenbild: Der parametrische Prozess der Strahlteilung ist ein Vorgang, der eignetlich nur zu einer Verstärkung der Signal und der Idlermode führt. Ohne Photon in einer oder beiden Ausgangsmoden speist sich der Vorgang aus dem Photon am Eingang und dem Vakuumrauschen der beiden Ausgangsmoden. Ein zufälliges ”Vakuumphoton” in den Ausgangsmoden wird verstärkt und startet den Konversionsvorgang. Im Ergebnis erhält man die Besetzung zweier Ausgangsmoden (Signal und Idler) mit der Bedinung, dass deren Frequenzen sich zur Frequenz des Pumpphotons addieren müssen. Die relative Phasen der Ausgangsmoden nehmen einen festen Relativwert an. Die Frequenz eines einzelnen Ausgangsstrahls ist nicht festgelegt sondern frei. Damit haben, bei geblocktem Idlerstrahl die beiden Signalstrahlen unterschiedliche Frequenzen, die außerdem unbestimmt sind. (Tatsächlich muss man sich eine Überlagerung von Moden verschiedener Frequenzen vorstellen auf die sich das Signalphoton als Linearkombination verteilt.) Eine Interferenz an DS ist bei solch unbestimmten Signalstrahlen nicht möglich. Verbindet man die beiden Idlerstrahlen, wird in DC1 und DC2 der Teilungsprozess durch dasselbe Vakuumphoton ausgelöst und beide Idlerstrahlen haben dieselbe Frequenz und dieselbe Phase. Tatsächlich bilden sie eine Mode, die mit zwei Photonen besetzt ist. Entsprechend entstehen auch zwei Signalphotonen mit gleicher Frequenz und festgelegter Phase (also in Moden mit derselben Frequenz). Diese Strahlen sind interferenzfähig und zeigen ein phasenabhängiges Interferenzsignal.

Überlichtschnelles Tunneln Situation: in einen HOM Interferometer stellt man in den Signalstrahl einen dielektrischen Spiegel, d.h. im einfachsten Fall eine λ/4-Schicht. Die Antikoinzidenz verschwindet, wird aber wiederhergestellt wenn man den geometrischen Weg des Signalstrahls etwas verlängert. Pfadbild: Für das Photon stellt die λ/4 Schicht eine Potentialbarriere da, die das Teilchen nur durch tunnelen überwinden kann. Es stellt sich also die Frage, wie schnell das tunneln dauert. Die Hypothese ist , dass das tunneln unendlich schnell geht. Damit gewinnt das Photon Zeit um die es dann früher am Strahlteiler ankommt. Da Koinzidenz nur bei gleichzeitigem Auftreﬀen von Signal und Idler am Strahlteiler auftritt, muss die Zeit, die das Signalphoton gewinnt, durch Verlängerung der Strecke ausgeglichen werden. Bemerkung: Hier zeigt sich die Schwierigkeit das Pfadbild konsequent anzuwenden. Die Frage ”Wie lange dauert tunnelen ?” läßt nur sinnvoll stellen, wenn man sich Photonen als lokaliesierte Teilchen vorstellt, die zu einem Startzeitpunkt am einen Ende der λ/4 Schicht losfliegt und zu einem bestimmten Zielzeitpunkt am anderen Ende ankommt. Das Photon ist aber kein lokalisiertes Teilchen, wodurch die Frage eigentlich sinnlos wird. Modenbild: Berechnet man mit den Maxwellgleichungen, wie ein zeitlich sich änderndes Feld durch die λ/4 Schicht propagiert findet man, dass es scheinbar in Ausbreitungsrichtung nach vorne geschoben wird. Die Ursache liegt darin, dass die zeitlich später an der Schicht auftreﬀenden Teile einer Feldstruktur mit dem Feld, das zwischen den beiden Grenzflächen im Inneren der Schicht bereits oszilliert destruktiv interferiert. Übrig bleibt der vordere Teil der einfallenden Struktur. Für den Fall eines Lichtpulses besteht der transmittierte Puls aus dem vorderen Ausläufer, aus dem durch die Interferenz in der Schicht ein neuer Puls 94

einfallender Puls

transmittierter Puls scheinbar verschobenes Maximum

Figure 7.5: ausgeschnitten wird. Er ist wesentlich kleiner und weist ein Maximum auf, der vor dem des ursprünglichen Pulses liegt. Der stark abgeschwächte Puls scheint daher schneller als Lichtgeschwindigkeit durch die Schicht zu ”tunneln”. Das funktioniert aber nur mit Pulsen, die unendlich ausgedehnet Flanken haben (Gaußpuls, Lorentzpuls), aus denen sich dann der avancierte Puls schnitzen lässt. Ein solcher unendlich ausgedehnter Puls ist strenggenommen bereits am Detektor angekommen bevor sein Maximum auf die Schicht triﬀt und transportiert daher keine Information mehr. Die Informationsgeschwindigkeit wird definiert durch die Bewegung des Punktes an dem das Feld zu ersten Mal von Null verschieden ist. Bei unendlichen Pulsen greift diese Definition nicht. Sie sind daher auch keine geeignete Modellfunktion für Datenübertragung mit Pulsen. Ein Puls mit endlicher Ausdehenung ist der sogenannte Blackman Puls mit einer einhüllenden Amplitudenfunktion A(x) = 0.42 + 0.5 · cos(2πx) + 0.08 · cos(4πx) mit x ∈ {−0.5, 0.5} . Eine interessante Frage, der man nachgehen kann (z.B. mit Maple) wäre, wie ein solcher Puls durch eine λ/4 Schicht propagiert? (Wenn sich jemand damit befassen will wäre ich am Ergebnis interessiert).

Fransons Experiment Situation: Die Photonen eine Frequenzteiler (DC) werden durch jeweils ein Mach Zender Interferometer geschickt. Die Weglängendiﬀerenz zwischen dem kurzen Weg S und dem langen Weg L durch das Interferometer ist länger als die Kohärenzlänge der Photonen. lc = 2πc/∆ω,die durch die Unbestimmtheit des Signalund Idlerfrequenz ∆ω bestimmt wird. (Nur die Summe ist festgelegt ω p = ω s + ω i . Die Frequenz des einzelnen Strahls kann experimentbedingt um ∆ω schwanken). Man erwartet für die Mach-Zender-Interferometer also keinerlei Interferenzeﬀekte. Signal- und Idlerphoton werden dann mit Detektoren nachgewiesen und die Koinzidenz wird aufgezeichnet. Als experimentellen Parameter verändert man die Wege L1 und L2 in den Mach-Zender-Interferometern. Man beobachtet eine Koinzidenzrate Pc , die mit der Summe der Wegänderungen ∆L1 und ∆L2 variiert: 1 Pc = (1 + cos (∆ϕ + ϕ0 )) 2 95

Pump-Photon

DC Idler

Signal L2

L1 S1

S2

Koinzidenz-Zähler

Figure 7.6: mit ∆ϕ = = '

ωs ωi ∆L1 + ∆L2 c c ωs + ωi ωs − ωi (∆L1 + ∆L2 ) + (∆L1 − ∆L2 ) 2 2 ωs + ωi ωp (∆L1 + ∆L2 ) = (∆L1 + ∆L2 ) . 2 2

(ω s − ω i ist wesentlich kleiner als ω s + ω i ). Die feste Phase ϕ0 ist unbekannt aber unabhängig von der Wegänderung ∆L1 und ∆L2 . Pfadbild: Es gibt zwei Pfade, die prinzipiell ununterscheidbar sind: beide Photonen gehen den kurzen Weg S1 und S2 oder beide Photonen gehen den langen Weg L1 und L2 . Wenn die Wegdiﬀerenz zwischen den beiden langen Wegen nicht zu groß ist, kommen in beiden Fällen die Photonen gleichzeitig an dem jeweiligen Detektor an. Da man prinzipiell nicht wissen kann, wann die beiden Photonen am Frequenzteiler starten sind beide Fälle nicht unterscheidbar. Die Fälle bei denen die beiden Photonen je einen kurzen Weg und einen langen Weg gehen führen zu unterschiedlichen Ankunftszeiten. Diese Ereignisse werden bei der Datenanalyse nicht mit berücksichtigt. Da hier wieder zwei Möglichkeiten interferieren besteht der Zustand aus einer Linearkombination der beiden Einzelfälle: |ψi =

¢ 1¡ |Si1 |Si2 + eiϕ |Li1 |Li2 . 2

Die Relativphase ϕ mit der die beiden Koinzidenzzustände überlagert werden müssen ergibt sich aus der auf den beiden Gesamtwegen unterschiedlich angesammelten Phase. ϕ=

ωs ωi L1 + L2 . c c

Experimentell wird lässt sich aber nur die Wegänderung genau kontrollieren sodass man die Phase zerlegt 96

in eine konstante aber unbekannt Oﬀsetphase ϕ0 und eine Phasenänderung, die von der Wegänderung ∆L1 und ∆L2 abhängt: ϕ = ϕ0 + ∆ϕ. Die Phasenänderung ∆ϕ berechnet sich wie oben angegeben. Die Summe der Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Koinzidenzzustände ist dann hS|1 hS|2 |ψi + hL|1 hL|2 |ψi =

¢ 1¡ 1 + eiϕ . 2

Die Koinzidenzwahrscheinlichkeit ist proportional zum Quadrat der Summe

Pc

= =

¢2 1¡ 1 + eiϕ 4 1 (1 + cos ϕ) , 2

was dem experimentellen Befund entspricht. Für ∆ϕ + ϕ0 = 0 erhält man voll Koinzidenz, das heißt beide Photonen gehen dieselben Wege (beide lang oder beide kurz). Für ∆ϕ + ϕ0 = π tritt dieser Fall nie auf und die Photonen müssen beide unterschiedliche Wege nehmen. Welchen Weg das Photon im linken Ast nimmt, hängt also von der Stellung der Spiegel im rechten Ast ab! Das widerspricht drastisch einer naiven klassischen Vorstellung, bei der die Photonen zwar als Paar lokal im Kristall erzeugt werden, dann aber ”getrennte Wege” gehen, auf denen sie sich nicht mehr gegenseitig beeinflussen können. Tatsächlich erhält man einen maximal verschränkten Zustand |ψi , der sich als gemeinsamer nichtlokaler Zustand ausbildet und den man als ganzes sowohl im linken wie im rechten Ast beeinflussen kann. Ohne diese, laut Einstein unsinnige, ”geisterhaften Fernwirkung” lässt sich der Befund nicht erklären. Modenbild: Es gibt vier Moden, für jeden Ast jeweils eine lange und eine kurze. Die beiden kurzen Moden kann man zu einer kurzen Zweiteilchenmode zusammenfügen mit eine SIgnalteil und einem Idlerteil, die zwar unterschiedliche Frequenzen haben, deren Relaticphase aber durch den Frequenzteiler festgelegt wird. Entsprechend erhält man eine lange Zweiteilchenmode. Der Frequenzteiler deponiert ein Photonenpaar mit gleicher Wahrscheinlichkeit in der lange und in der kurzen Zweiteichenmode. Der Hamiltonoperatur enthält beide Vorgänge: ¡ + +¢ ¡ + +¢ − H ∼ a− p as ai kurz + ap as ai lang Der Gesamtzustand |ψi ist somit eine Linearkombination beider Zweiteilchenmoden. Aus diesem Zustand bestimmt sich dann die Koinzidenzrate genauso wie im Pfadbild. Da die Relativphase hauptsächlich von der sehr gut festgelegten Pumpfrequenz ω p abhängt, können die Zweiteilchenmoden interferieren, auch wenn die Mach-Zender-Interferometer in den einzelnen Ästen nicht interferenzfähig sind da die Frequenzbreite der Einzelphotonen zu groß ist. Der verschränkte Zustand |ψi wird in aktuellen Experimenten zur Quantenkryptographie verwendet um einen Schlüssel abhörsicher auszutauschen. (siehe unten)

Test lokal realistischer Theorien Realistisch bedeutet: zu jedem Zeitpunkt hat jede Observable einen definierten Wert. Es gibt keine prinziplielle Unschärfebeziehung zwischen den Observablen. Lokal bedeutet: Es gibt keine instantane langreichweitige Beeinflussung physikalischer Objekte. Die Quantenmechanik ist nicht realistisch und nicht lokal in diesem Sinne. Es stellt sich nun die Frage ob es verborgene Parameter gibt, die den Wert aller Observablen zu jedem Zeitpunkt bestimmen. Eine solche Theorie wäre realistisch. Die experimentell beobachtete Unbestimmtheit z.B. des Impulses bei festgelegtem Ort würde dann durch die Unkenntnis eines verborgenen Parameters zustande kommen, der den Wert des

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Impulses festlegt aber statistisch für verschiedene Realisierungen desselben Experiments variiert. Würde man den Zusammenhang zwischen Impuls und eines dazugehörigen verborgenen Parameters kennen und könnte man außerdem den verborgenen Parameter kontrollieren, wäre man in der Lage, auch den Impuls vorherzusagen, trotz festgelegtem Ort. In diesem Absatz geht es um ein Experiment, das die Existenz verborgener Parameter, wie auch immer sie geartet sind, zumindest in diesem einen Szenario ausschließt. Situation: Ein parametrischer Oszillator vom Typ 2 erzeugt ein Photonenpaar mit rechtwinklig zueinander orientierter Polarisation. Die Polarisation des einzelnen Photons ist dabei völlig unbestimmt. In jedem der beiden Ausgangsstrahlen steht ein Polarisationsstrahlteiler. Er hat eine bauartsbedingte Achse. Photonen, deren Polarisation parallel zur Achse stehen werden durchgelassen. Photonen, deren Polarisation senkrecht zur Achse stehen werden um 90◦ abgelenkt. Hinter jedem der beiden Ausgänge des Polarisationsstrahlteilers steht ein Detektor. Für die beide Strahlen hat man also insgesamt 4 Detektoren. Die Achsen der Polarisationsstrahlteiler kann man drehen. Der Drehwinkel des Polarisationsstrahlteilers im Signalstrahl ist mit α bezeichnet, der im Idlerstrahl mit β. Die Winkel werden relativ zur horizointalen Richtung gemessen. Das am Polarisationsstrahlteiler durchgelassene Signalphoton befindet sich im Zustand |αi , das abgelenkte ¯ ⊥® ¯α . Entsprechend gibt es für das Idlerphoton die Möglichkeit im Zustand |βi oder im Zustand im Zustand ¯ E ¯ ⊥ nachgewiesen zu werden. Man führt das Experiment wiederholt für verschiedene Winkel α und β durch ¯β und beobachtet durch welchen Ausgang die Photonen den jeweiligen Polarisationsstrahlteiler verlassen. Die Daten fasst man in folgender Korelationsfunktion zusammen. C(α, β) := M ittelwert {A(α) · B(β)} , wobei A : = 1 wenn Zustand |αi gemessen wird ¯ ® A : = −1 wenn Zustand ¯α⊥ gemessen wird B : = 1 wenn Zustand |βi gemessen wird ¯ E ¯ B : = −1 wenn Zustand ¯β ⊥ gemessen wird.

Gemittelt wird über viele Einzelmessungen bei gleichen Winkelstellungen α und β. Welche Funktion für C(α, β) erwartet man theoretisch? Es stellt sich heraus, dass eine Theorie mit verborgenen Variablen für C(α, β) eine andere Vorhersage macht als die Quantenmechanik. Damit kann man für diesen Einzelfall experimentell klären welche Beschreibung richtig ist. Das Experiment steht im Widerspruch zu der Vorhersage der Theorie mit verborgenen Variablen und im Einklang mit der Quantenmechanik. ¯ ® ¯¯ E Quantenmechanische Analyse des Experiments: Für das Auftreten der Zustände |αi |βi und ¯α⊥ ¯β ⊥ ¯ E ¯ ® ¯ lautet A(α) · B(β) = 1. Für das Auftreten der Zustände |αi ¯β ⊥ und ¯α⊥ |βi lautet A(α) · B(β) = −1. Damit lautet ¯ E ¯ ® ¯¯ E ¯ ® ¯ C(α, β) : +1 · W (|αi |βi) + 1 · W (¯α⊥ ¯β ⊥ ) − 1 · W (|αi ¯β ⊥ ) − 1 · W (¯α⊥ |βi),

wobei W (|αi |βi) dieWharscheinlichkeit ist mit der der Zustand |αi |βi gemessen wird. Entsprechend die anderen Zustände. Um die Wahrscheinlichekeiten W zu berechnen benötigen wir zunächst den Ausdruck für den Zustand unmittelbar nach dem Frequenzteiler. In der horiziontal/vertikal Basis lautet er 1 |ψi = √ (|His |V ii − |Hii |V is ) . 2

Die Polarisation des Signalstrahls kann also horizontal oder vertikal stehen, in jedem Fall aber senkrecht zu der des Idlerstrahls. Die Polarisationen beider Strahlen sind maximal verschränkt. Der Zustand des Signalphotons wird jetzt in die α-Basis transformiert: ¯ ® |His = cos α · |αi + sin α · ¯α⊥ ¯ ® |V i = − sin α · |αi + cos α · ¯α⊥ . s

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Entsprechend wird das Idlerphoton in die β-Basis transformiert: |Hii |V ii

¯ E ¯ = cos β · |βi + sin β · ¯β ⊥ ¯ E ¯ = sin β · |βi + cos β · ¯β ⊥ .

Mit diesen Gleichungen kann man den Zustand |ψi in der α-Basis und der β-Basis darstellen: |ψi =

¯ E´ ¯ ®¢ ³ 1 ¡ ¯ √ cos α · |αi + sin α · ¯α⊥ sin β · |βi + cos β · ¯β ⊥ 2 ¯ E´ ¡ ¯ ®¢ 1 ³ ¯ − √ cos β · |βi + sin β · ¯β ⊥ sin α · |αi + cos α · ¯α⊥ 2

Die Wahrscheinlichkeit W (|αi |βi) erhält man durch Projektion von |ψi auf |αi |βi : |hα| hβ| |ψi|2

¯ ¯2 ¯ 1 ¯ = ¯¯ √ (cos α sin β − sin α cos β)¯¯ 2

1 2 sin (β − α) . 2 Entsprechend berechnen sich die anderen Wahrscheinlichkeiten W . Insgesamt erhält man C(α, β) = − cos (2β − 2α) . Analyse mit verborgene Variablen: Die verborgene Variable soll einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ(λ) folgen, die auf 1 normiert ist: Z ρ(λ)dλ = 1.

Damit lautet die Korrelationsfunktion

˜ C(α, β) =

Z

A(α, λ)B(β, λ)ρ(λ)dλ

Um zu einer Bellschen Ungleichung zu kommen startet man mit 4 völlig abstrakten Zahlen x,y,x’,y’, die ausschließlich die Werte ±1 annehmen können. Für die aus diesen Zahlen konstruierte Größe S S

= xy + x0 y + y 0 x − x0 y 0 = x (y + y 0 ) + x0 (y − y 0 )

gilt oﬀenbar S = ±2.

Jetzt identifiziert manin der Gleichung x mit A(α, λ), x0 mit A(α0 , λ), y mit B(β, λ), und y0mit B(β, λ). Nach Mittelung der Gleichung über ρ(λ) erhält man ˜ ˜ 0 , β) + C(α, ˜ ˜ 0, β0) ≤ 2 −2 ≤ C(α, β) + C(α β 0 ) − C(α Dies ist die Bellsche Ungleichung in der Form von Clauser, Horne, Shimony und Holt. Setzt man die quantenmechanischen Korrrelationen für die Werte α = 0, α0 = π/4, β = π/8 und β 0 = −π/8 in die Ungleichung ein erhält man √ C(α, β) + C(α0 , β) + C(α, β 0 ) − C(α0 , β 0 ) = 2 2 was die Bellsche Ungleichung oﬀenbar verletzt! Die Messung bestätigt das quantenmechanische Ergebnis und widerspricht der Bellschen Ungleichung um bis zu 20 experimentelle Standardabweichungen. Zumindest dieses Experiment lässt sich mit verborgenen Variablen nicht erklären. 99

Chapter 8

Quantenkryptographie BB84 Protokol. Einzelne Photonen kann man benutzen um Information zu übertragen. Die Polarisation des Photons lässt sich beispielweise als bit verwenden: horizontale Polarisation bedeutet 1, vertikale Polarisation bedeutet 0. Der Vorteil von Photonen besteht darin, dass man sie nicht teilen kann. Ein möglicher versteckter Mithörer muss immer ganze Photonen absorbieren und kann nicht etwa nur einen kleinen Teil abzweigen und das Signal entsprechend verstärken um den Verlust auszugleichen. Das beste was man mit Photonen machen kann ist es absorbieren, dessen Polarisation messen und ein gleiches Photon wieder auf die Reise zum Empfänger schicken. Da man quantenmechanische Zustände nicht ”clonen” kann wird das Photon bei der Messung verändert, so dass der Mithörer das Photon nicht in dem Zustand reproduzieren kann in dem er es empfangen hat. Das merkt dann der Empfänger und entlarvt damit den Mithörer. Es gibt mehrere Möglichkeiten dieses Konzept zu realisieren. Im BB84 Protokol (nach Bennet und Brassard 1984) geht das konkret so: Der Sender benutzt zwei Typen von Photonen: solche, die in der horizontal/vertikal Basis polarisiert sind und solche, die in der Diagonalbasis polarisiert sind. Er wechselt bei der Datenübertragung beide Basen statistisch und notiert sich für jedes abgeschickte Photon die Basis in der es polarisiert wurde. Der Empfänger analysiert die empfangenen Photonen ebenfalls mit statistisch wechselnder Basis. Am Ende der Übertragung telefonieren Sender und Empfänger über eine öﬀentliche Leitung und gleichen ab, welche Photonen in derselben Basis übertragen wurden, ohne dabei aber den Wert des Photons zu verraten. Der Sender sagt also z.B. : Photon Nr. 1 war in der Diagonalbasis, Photon Nr. 2 war in der Diagonalbasis, Photon Nr. 3 war in der horizontal/vertikal Basis, etc. Der Empfänger schmeißt alle Photonen, die er nicht in der Basis des Senders analysiert hat weg und informiert darüber den Sender: Also z.B. ”Photon 3,7,9 und 12 waren schlecht” . Die guten Photonen werden beibehalten und als korrekt übertragene Daten ausgewertet. Von diesen guten Daten nimmt man einen Teil weg und verwendet sie um Mithörer zu entlarven. Man tauscht sich über dessen Polarisationswerte öﬀentlich aus. Wenn alle guten Photonen bei Sender und Empfänger denselben Polarisationswert ergeben haben, war die Übertragung sauber. Wenn nicht sitzt jemand in der Leitung. Der Grund hierfür liegt darin, dass auch der Mithörer seine Basis statistisch wechseln muss. Damit liegt er aber im Mittel bei der Hälfte der Photonen falsch, auch bei denen, die Sender und Empfänger zufällig in der gleichen Basis übertragen haben und die aus deren Sicht gute Photonen sind. Ein in der horizontal/vertikal Basis abgeschicktes aber vom Mithörer in der Diagonalbasis abgefangenes Photon liefert dem Mithörer mit 50% er Wahrscheinlichkeit eine der beiden Diagonalwerte. Das beste was der Mithörer machen kann ist das Photon in der Diagonalbasis mit dem von ihm gemessenen Wert weiterzuleiten. Bei Empfänger, der ja auf horizontal/vertikal Basis geschaltet ist führt das mit 50%er Wahrscheinlichkeit zum Wert, den der Sender gesendet hat. Die andern 50% ergeben ein falsches Resultat, worüber sich dann Sender und Empfänger öﬀentlich klarwerden.

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Symmetrischer Schlüssel Mit dem BB84 Protokol kann man schlecht große Datenmengen schnell übertragen. Es eignet sich aber um einen Schlüssel auszutauschen, mit dem Sender un Empfänger mit einer klassichen Leitung ihre Daten verschlüsseln. Solche Verschlüsselungen können nicht geknackt werden, wenn der Schlüssel genügend groß ist und der Austausch absolut vertrauenswürdig erfolgt. Ein Beispiel für eine binäre Verschlüsselung besteht darin, die Daten in Portionen aufzuteilen, die genauso lang sind wie der Schlüssel also z.B. 8 bit. Daten und Schlüssel werden binär addiert modulo 2. D.h. 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und 1+1=0. Der so entstandene Code wird übertragen und vom Empfänger nach demselben Rezept entschlüsselt: addiert man an den Code den Schlüssel so entstehen die ursprünglichen Daten wieder. (selber ausprobieren). Sender und Empfänger benutzen also denselben Schlüssel.

Asymmetrischer Schlüssel Dieses Verfahren verwendet einen Schlüssel zur Verschlüsselung und einen anderen für die Entschlüsselung. Verliert der Sender also seinen ursprünglichen Text, so kann er den von ihm selbst erstellten Code nicht mehr entschlüsseln. Das kann nur der Empfänger mit seinem eigenen Schlüssel. Bei einem solchen Verfahren muss der Schlüssel nicht mehr ausgetauscht werden! Der Empfänger veröﬀentlicht seinen ”Verschlüssel” in einem öﬀentlichen Schlüsselverzeichnis, fügt ihn seiner email-Adresse zu, druckt ihn auf Visitenkarten und in seinen Briefkopf etc. Der Sender benutzt den Schlüssel und schickt den Code zum Empfänger. Nur der kann den Code entschlüsseln. Das ganze funktioniert wie ein Vorhängeschloss, das alle schließen können aber nur einer öﬀnen kann. Mathematisch benutzt man dazu zwei Primzahlen aus denen dann der ”Entschlüssel” berechnet werden kann. Der ”Verschlüssel” berechnet sich aber aus dem Produkt der beiden Primzahlen. Durch die Veröﬀentlichung des ”Verschlüssels” wird zwar das Produkt bekannt, nicht aber das Paar aus dem es besteht. Dieses Paar benötigt man aber zum entschlüsseln. Für den Codeknacker gibt es klassisch keine andere Möglichkeit als jede Kombination von Primzahlen durchzuprobieren. Die Anzahl der Versuche wächst mit der Länge des Produkts exponentiell und man kann gegenwärtig eine 2000stellige Zahl mit allen PCs der Welt zusammen nicht in Milliarden Jahren faktorisieren. Hier soll die Quantenmechanik helfen. Es gibt Algorithmen, mit denen Primzahlen in algebraischer Zeit faktorisiert werden können wodurch das Problem dann lösbar wird. Dazu benötigt man aber einen Quantencomputer. Doch dies ist eine andere Geschichte...

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