Einführung in die moderne
Differentialgeometrie Differentialtopologie und Riemannsche Geometrie
Tx M
TN TM
X
dF (X ) dF
πM M
x
F
πN F (x )
dY X
∇Y X
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N
D IFFERENTIALGEOMETRIE D IFFERENTIALTOPOLOGIE
UND
R IEMANNSCHE G EOMETRIE
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cipri
22. März 2014
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1
Einleitung
2
1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 1.1 Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Teilmengen topologischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Trennungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Abzählbarkeitseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Abbildungen zwischen topologische Räume . . . . . . . . . . . . 1.1.6 (Für uns) Wichtige topologische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Definition und Eigenschaften topologischer Mannigfaltigkeiten 1.2 Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . .
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3 3 3 5 6 7 9 9 10 12
2 Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 2.1 Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tangentialräume und Differentiale . . . . . . . . . . . . . 2.3 Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten . 2.4 Einbettungen in einem flachen Raum RN . . . . . . . . .
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22 22 24 36 51
3 Tangentialbündel und andere Faserbündel 3.1 Das Tangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Andere Vektorraumbündel . . . . . . . . . . . . . 3.3 Allgemeine Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel 3.4.1 Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Hauptfaserbündel (Prinzipialbündel) . .
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55 55 58 67 70 70 71
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74 74 78 85 92
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4 Einführung in die Riemannsche Geometrie 4.1 Riemannsche Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Lineare Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen 4.4 Parallelverschiebung und Geodätische . . . . . . . . . . . 5 Übungen
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Literaturverzeichnis
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Index
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Vorwort Dieses Buch basiert auf eine Vorlesung in Differentialgeometrie gehalten von Prof. Dr. Helmut Pabel mit dem Ziel diese Vorlesung möglichst gut wiederzugeben, insbesondere auch die graphische Darstellung. Falls etwas an diesem Buch gut gemacht ist, dann ist das Prof. Pabel zu verdanken, alles andere was möglicherweise nicht so gut gelungen ist, insbesondere Fehler, nehme ich gerne auf mich, da Prof. Pabel dieses Buch nicht korrektur-gelesen hat. Meine tiefe Überzeugung ist, dass ein Lehrbuch der Mathematik, insbesondere eine Einführung, nicht auf die farbige Gestaltung verzichten sollte, auch wenn der LATEX-Aufwand noch so groß sein möge. Es nimmt zwar dem Autor viel zeit in Anspruch, spart aber vielen Studenten viel Zeit, die ohnehin sehr knapp bemessen ist. Die Abbildungen und die Farb-Codes erleichtern nicht nur das Lesen, das Verstehen und das Merken der Sätze, sondern auch das schnelle Wiederfinden der Sätze. Es wird nicht immer alles genau bewiesen, oft sind nur Beweis-Skizzen angegeben, und ganz selten nur Sätze zitiert. Die Begründung ist, dass dies eine möglichst zügige Einführung darstellen soll, sodass der Leser nicht geneigt ist an einer Stelle nicht mehr weiterzukommen. Denn das Ziel dieses Buches ist mehr, den Leser mit den Begriffen der modernen Differentialgeometrie vertraut zu machen. Der interessierte Leser wird in Michael Spivak’s Buchreihe “A Comprehensive Introduction to Differential Geometry” eine Vervollständigung dieses Buches finden. Auch “Einführung in die Differentialtopologie” von Theodor Bröcker ist sehr zu empfehlen. Ein besonderes Buch ist “Topics in Differential Geometry” von Peter W. Michor. Das vorliegende Buch, sollte den Zugang zu dieser weiterführenden Literatur deutlich vereinfachen. Ein weiter Grund, dieses Buch zu verfassen, liegt in meiner Überzeugung, dass ein Lehrbuch möglichst wenig kosten soll. Das gilt insbesondere für ebooks, da hier sehr viele Kosten entfallen. Deshalb will ich das Kopieren dieses Buches nicht verbieten, sondern sogar fördern und unterstüzen. Da das Verfassen dieses Werkes viel (unbezahlte) Zeit in Anspruch genommen hat, freue ich mich über jedes verkaufte Exemplar, aber jeder andere der sich das nicht leistet bzw. den Kaufpreis als nicht angemessen empfindet, der kann (und soll!!) es von nedisan.eu/books/ umsonst herunterladen. Dieses Buch kann ohne Einschränkung kopiert und auf beliebig andere Internetseiten vertrieben werden, solange aus diesem Buch dieses Vorwort nicht entfernt wird. LYX in verbindung mit TexLive 2013 auf Ubuntu wurden für die Erstellung dieses Dokuments eingesetzt, deshalb an dieser Stelle auch ein großes Dankeschön an die gesamte Open Source Community. Man kann mit Gewissheit sagen, dass die Open Source Bewegung nicht mehr zu stoppen ist und noch viel Gutes uns bringen wird. In diesem Sinne ist auch der LATEX bzw. LYX Source Code dieses Buches frei Verfügbar ohne irgendwelche Einschränkungen und kann beliebig kopiert und weiterwendet werden. Bitte kontaktiert mich dazu unter
[email protected] und es muss kein besonderer Grund angegeben werden. Auch bin ich dankbar für das Aufdecken von Fehlern und für Verbesserungsvorschläge. Viel Spaß beim Lesen,
cipri
Einleitung Dieses Buch gibt eine Einführung in die • Differentialtopologie [ = Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten ] • Riemannsche Geometrie [ = punktal euklidische Geomtrie auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ] Grundsätzlich wird vom Leser nicht viel vorausgesetzt, außer Grundlegendes aus Analysis, Lineare Algebra und gewöhnliche Differentialgleichungen. Insbesondere wird die klassische Differentialgeometrie nicht vorausgesetzt. Als Ziel hat dieses Buch den Leser schnell mit wichtigen Themen der modernen Differentialgeomtrie vertraut zu machen. In diesem Sinne wird nicht immer alles bewiesen sondern mache starke Sätze einfach nur zitiert und im Gegesatz gibt es viele farbige Abbildungen die das Lesen, das Verstehen und das Merken der Sätze deutlich erleichtern.
Hintergrund In der klassichen anschaulichen Differentialgeomtrie (Vorlesung Einführung in die Differentialgeomtrie) werden parametrisierte (Kurven/) Flächen x :G ⊂ Rp → M := x (G) ⊂ Rn untersucht (z.B. Kugelstücke, Zylinder, etc.) Rp G x
M
Rn
Unzulänglichkeiten i) Alle Definitionen / Konstruktionen benutzen wesentlich den umgebenden Raum Rn . Viele (sog. innergeometrische) Begriffe lassen sich aber schon in dem p-dimensionalen Parametergebiet G formulieren, das mit einer geeigneten Metrik ausgestattet ist, und sind unabhängig von der Einbettung des Bildes M = x (G) in einem Rn . Ein umgebender Raum wird gar nicht benötigt! Damit können die Parametrisierungen x :G → M = x (G) n Rn+1 als bijektiv angenommen werden (notfalls “Entfaltung” R ). Die “Fläche M” ist -1 dann über x und x (falls diese stetig) homöomorph zu einem Gebiet des Rp . ii) Aber nicht jede konkrete Fläche kann global so dargestellt werden (z.B. Kugelfläche / Torus). Die abgeschwächte Forderung, M soll nur lokal homöomorph zu einem Gebiet des Rp sein, führt zum Begriff einer topologischen Mannigfaltigkeit (mit weiteren Zusatzeigenschaften, um exotische Sonderfälle auszuschließen), eine zusätzliche Differenzierbarkeitsstruktur zum Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
1
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 1.1 Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”) 1.1.1 Topologische Räume Ein topologischer Raum ist nichts weiter als eine Menge, in der (mehr oder weniger) gewisse Teilmengen als “offen” ausgezeichnet werden. 1.1 Definition: topologischer Raum Ein topologischer Raum (X , T(X )) besteht aus einer nicht-leeren Menge X und einem System T(X ) ⊂ P (X ) [Potenzmenge] so genannter offener Teilmengen, so dass gilt (O1) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (Insbesondere ist die Leermenge ∅ = ∪∅ offen) (O2) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (Insbesondere ist der Gesamtraum X = ∩∅ offen) Schöne Beispiele 1.2 Beispiel: Metrische Räume / Quasimetrische Räume Metrische Räume (X ,d ), also Mengen X , ∅ versehen mit einer Metrik (Abstandsfunktion) d :X × X → R mit den Eigenschaften (M1a) Positivität, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) ≥ 0 (M1b) Definitheit, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) = 0 =⇒ x = y (M2) Symmetrie, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) = d (y,x ) (M3) ∆-Ungleichung, d.h. ∀x,y∈X : d (x,y) + d (y,z) ≥ d (x,z) Verzichtet man auf die Definitheit (M1b), so erhält man Quasimetrische Räume. In solche metrische bzw. quasimetrische Räume sind definiert
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
4
• ε-Umgebungen Uε (x ) := y ∈ X d (x,y) < ε von x ∈ X • Umgebungen U von x ∈ X als Obermengen von ε-Umgebungen von x ∈ X .
x
x
• Offene Mengen Q ⊂ X , die Umgebungen jedes ihrer Punkte sind
Q
Die dadurch induzierte Topologie Td (X ) erfüllt (O1) und (O2) . Noch schönere Spezialfälle 1.3 Beispiel: Normierte (Vektor-)Räume Normierte (Vektor-) Räume (X , |·|) versehen mit einer (positiv definiten, homogenen) Norm (Längenfunktion, mit ∆−Ungleichung). Diese induziert durch d (x,y) := y − x eine Metrik und damit eine Topologie Td . 1.4 Beispiel: Standard-Topologie Der Rn mit seiner Standard-Topolgoie Tnat erzeugt von den üblichen (topologisch äquivalenten) Normen v t n X ∀r ∈N: |x |r := r und |xi |r |x | ∞ := max |xi | i∈{1,...,n}
i=1
Weniger schöne Spezialfälle 1.5 Beispiel: Diskrete Topologie Die diskrete Topologie
Tdis (X ) := P (X )
auf einer Menge X (alle Teilmengen sind offen) wird erzeugt von der Metrik 0 d (x,y) = 1
für x = y für x , y
1.6 Beispiel: Indiskrete Topologie Die indiskrete Topologie (“Klumpentopologie” / “Triviale Topologie”) Tind (X ) := {∅,X } (nur ∅ und X sind offen) wird erzeugt von der (echten) Quasimetrik d (x,y) = 0 .
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
5
Ganz hässliche Beispiele 1.7 Beispiel: Cofinite Topologie Die cofinite Topologie
( Tcof (X ) := Q ⊂ X | {Q = X \ Q
auf einer unendlichen Menge X .
) endlich ∪ {∅}
1.8 Beispiel: Co-Abzählbare Topologie Die co-abzählbare Topologie
( Tcoab (X ) := Q ⊂ X | {Q = X \ Q
auf einer überabzählbaren Menge X .
) abzählbar ∪ {∅}
In allgemeine topologische Räume (X , T(X )) gibt es i.a. keine ε-Umgebungen, aber doch Umgebungen von Punkten x ∈ X . 1.9 Definition: Umgebung und Umgebungssystem Eine Teilmenge U ⊂ X eines topologischen Raumes (X , T(X )) heißt eine Umx Q U gebung des Punktes x ∈ X , wenn eine offene Menge Q ∈ T(X ) mit x ∈ Q ⊂ U existiert. Alle Umgebungen eines Punktes x ∈ X bilden das sogenannte Umgebungssystem U (x ) von x .
1.1.2 Teilmengen topologischer Räume 1.10 Definition: abgeschlossen und kompakt Sei (X , T(X )) ein topologischer Raum. Dann heißt • A ⊂ X abgeschlossen, wenn das Komplement {A = X \ A offen ist. • K ⊂ X (quasi-) kompakt, wenn jede offene Überdeckung (Qi )i∈I von K (d.h. K ⊂ S i∈I Qi und Qi offen) eine endliche Teilüberdeckung enthält.
[Heine-Borel] In (Rn , Tnat (Rn )) gilt K kompakt ⇐⇒ K abgeschlossen und beschränkt Kompakte topologische Räume (also X selbst kompakt) sind recht harmlos, aber seltener anzutreffen. Eine Abschwächung ist
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
6
1.11 Definition: lokalkompakter topologischer Raum Ein topologischer Raum (X , T(X )) heißt lokalkompakt wenn jeder Punkt x ∈ X eine kompakte Umgebung besitzt.
1.12 Beispiel (Rn , Tnat (Rn )) ist nicht kompakt, da unbeschränkt, aber lokalkompakt weil Uε (x ) eine kompakte Umgebung von x ∈ Rn ist. (Nicht leere) Teilmengen eines topologischen Raumes sind selbst topologische Räume (ohne zusätzliche Vorgaben). 1.13 Definition: Spur-/Relativtopologie Auf einer Teilmenge A , ∅ eines topologischen Raumes (X , T(X )) wird durch T(A) := Q ∩ A Q ∈ T(X ) ⊂ P(A)
eine Topologie definiert, die sogenannte Spur- oder Relativtopologie. (A, T(A)) heißt dann topologischer Unterraum von (X , T(X )) , kurz A ⊂: X
1.14 Beispiel i) ]0, 1] ist nicht offen in (R, Tnat (R)) , aber (relativ) offen in A := [-1, 1] ⊂: R denn ]0, 1] = ]0, 2[ ∩ A . ii)
S1
relativ offen in S 1 ⊂: R2
1.1.3 Trennungseigenschaften 1.15 Definition: Hausdorffraum Ein topologischer Raum (X , T(X )) heißt Hausdorffraum (T2 -Raum, erfüllt das 2-te Trennungsaxiom T2 ), falls sich je zwei verschiedene Punkte durch offene Umgebungen trenV U y x nen lassen
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
7
1.16 Beispiel Jeder metrische Raum (X , Td (X )) ist hausdorffsch, insbesondere (Rn , Tnat (Rn )) . Ein echt quasimetrischer Raum (X , Td (X )) ist kein Hausdorffraum [ Punkte x,y mit d (x,y) = 0 lassen sich nicht trennen ]. Auch (X , Tcof (X )) ist nicht hausdorffsch, falls X unendlich. Eine Verschärfung ist 1.17 Definition: normaler Hausdorffraum Ein Hausdorffraum heißt normal (T4 -Raum), falls sich je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen durch offene Umgebungen trennen lassen.
U
A
B
V
1.18 Beispiel Metrische Räume erfüllen T4 .
1.1.4 Abzählbarkeitseigenschaften 1.19 Definition: Basis Eine Teilsystem B(X ) ⊂ T(X ) heiße eine Basis der Topologie T(X ) auf X , wenn sich jede offene Menge Q ∈ T(X ) als Vereinigung von Basismengen Bi ∈ B(X ) darstellen lässt, d.h. [ Q= Bi i∈I
Nicht jedes beliebige System B(X ) ⊂ P (X ) von Teilmengen ist als Basis einer Topologie auf X geeignet (Es gibt Schwierigkeiten bei der Durchschnittsbildung, (O2) ist i.a. verletzt). Eine Abschwächung ist 1.20 Definition: Subbasis Eine Subbasis S(X ) für eine Topologie auf X ist eine Menge von Teilmengen von X deren Vereinigung ganz X ist. Die Topologie generiert von der Subbasis S(X ) ist definiert als die Menge T(X ) welche alle endliche Durchschnitte der Elemente von S(X ) enthält. Erst alle endlichen Durchschnitte von Subbasismengen bilden eine Basis einer Topologie auf X . Eine Subbasis kann beliebig vorgegeben werden.
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
1.21 Definition: 2. Abzählbarkeitsaxiom Z 2 Man sagt, ein topologischer Raum erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom Z 2 , wenn seine Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
1.22 Beispiel i) Im Rn bilden die offenen Quader ]a 1 ,b1 [ × · · · × ]an ,bn [ mit rationalen ai ,bi ∈ Q (oder die Umgebungen U1/n (a) mit n ∈ N, a ∈ Q) eine abzählbare Basis der natürlichen Topologie Tnat . Benutzt wird wesentlich, dass Q dicht in R liegt. ii) Ein diskreter überabzählbarer Raum (X , Tdis (X )) besitzt keine abzählbare Basis. Diese müsste alle offenen Einermengen {x } (x ∈ X ) erzeugen .
1.23 Definition: Umgebungsbasis Ein Teilsystem B(x ) ⊂ U (x ) des Umgebungssystems eines Punktes x ∈ X heißt eine Umgebungsbasis von x , wenn jede Umgebung U ∈ U (x ) eine Basisumgebung B ∈ B(x ) enthält.
1.24 Definition: 1. Abzählbarkeitsaxiom Z 1 Ein topologischer Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom Z 1 , wenn jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
1.25 Beispiel In einem metrischen Raum (X ,d ) besitzt jeder Punkt x ∈ X die abzählbare Umgebungsbasis B(x ) = U1/n (x ) n ∈ N aber nicht unbedingt eine abzählbare Basis der induzierten Topologie. Es gilt aber Z 2 =⇒ Z 1 . Weitere Eigenschaften von Z 2 -Räumen sind • Sie sind separabel, d.h. sie besitzen eine abzählbare dichte Teilmenge. [ So wie Qn ⊂ Rn ]
• Jede offene Überdeckung einer Teilmenge enthält zumindest eine abzählbare Teilüberdeckung. [ vergleiche “kompakt” ]
8
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
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1.1.5 Abbildungen zwischen topologische Räume 1.26 Definition: stetig Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologische Räume (X , T(X )) und (Y , T(Y )) heißt stetig im Punkt x ∈ X , wenn es zu jeder Umgebung V von f (x ) eine Umgebung U von x mit f (U ) ⊂ V gibt.
U
f
x
f (x ) f (U )
V
i) Bei Abbildung zwischen metr. Räume kann man das übliche ε-δ -Kriterium verwenden. ii) Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann (überall) stetig, wenn das Urbild f -1 (Q ) jeder in Y offenen Teilmenge Q ⊂ Y offen in X ist. (Das Bild einer offenen Menge braucht nicht offen zu sein.)
1.27 Definition: Homöomorphismus Ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räume (X , T(X )) und (Y , T(Y )) ist eine Bijektion f :X → Y , so dass f und f -1 stetig sind.
Er induziert eine Bijektion T(X ) 3 Q 7→ f (Q ) ∈ T(Y ) der zugehörigen Topologien. Wie in Rn gilt allgemein: Stetige Bilder kompakter Teilmengen eines topologischen Raumes sind wieder kompakt.
1.1.6 (Für uns) Wichtige topologische Sätze 1.28 Satz In einem lokalkompakten Hausdorffraum besitzen jede abgeschlossene Teilmenge A und jeder Punkt y < A disjunkte offene Umgebungen [ “T3 -Eigenschaft” ].
U2
A
y
U1
Beweis. Sei K eine kompakte (also nach Übung 1 auch abgeschlossene) Umgebung von y • Fall 1: A ∩ K = ∅ Dann ist U1 := {K eine offene Umgebung von A und K enthält eine offene Umgebung U2 von y , so dass U1 ∩ U2 = ∅ . • Fall 2: A ∩ K , ∅ Dann ist A ∩ K (siehe Übung 1) ebenfalls kompakt und es gibt disjunkte offene Umge bungen Q 1 ⊃ A ∩ K und Q 2 ⊃ y . Dann ist U1 := Q 1 ∪ {K eine offene Umgebung von A und U2 := Q 2 ∩ K eine Umgebung von y mit U1 ∩ U2 = · · · = ∅ .
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
10
1.29 Satz: Lemma von Tychonoff A1
Besitzt der Raum zusätzlich eine abzählbare Basis, so ist er sogar normal, d.h. beliebige disjunkte abgeschlossene Teilmengen lassen sich durch offene Umgebungen trennen. [ T3 ∧ Z 2 =⇒ T4 ]
A2 y
Der Beweis ist sehr technisch und wird deshalb hier nicht vorgeführt. Er benutzt wesentlich, dass in einem Z 2 -Raum jede offene Überdeckung einer Menge, eine abzählbare Teilüberdeckung enthält.
1.30 Satz: Urysohnscher Metrisationssatz Jeder normale Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist metrisierbar. (D.h. er besitzt eine Metrik, die seine Topologie erzeugt.)
Beweis. Wir zeigen hier nur die grobe Beweisidee. Man zeigt, dass der Raum X homöomorph zu einem topologischen Teilraum T des “Hilbertswürfels” [0, 1]N (mit seiner natürlichen Topologie) ist. Dann gilt: [0, 1] ⊂: (Rn , Tnat (Rn )) ist metrisierbar H d(x,y) H 1+d(x,y)
] daraus folgt P dass [0, 1]N als abzählbarer Produktraum metrisierbar ist [ setze d ? (x,y) := i∞ 21i d (x,y) ] . Weiter folgt, dass T ⊂: [0, 1]N als topologischer Teilraum metrisierbar ist und dies impliziert dass X (homöomorph zu T ) metrisierbar ist.
[ es existiert sogar eine Metrik d mit ∀x,y : d (x,y) ≤ 1 ; setze d (x,y) :=
Aus den obigen Sätzen folgt lokalkompakt + T2 + Z 2 =⇒ metrisierbar
1.1.7 Definition und Eigenschaften topologischer Mannigfaltigkeiten 1.31 Definition: Topologische Mannigfaltigkeit Eine (reelle) topologische Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum (M, T(M )) mit den Eigenschaften (1) M ist lokal homöomorph zu einem Zahlenraum Rn , d.h. zu jedem Punkt x ∈ M ex. ein HomöomorU phismus φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rn einer offenen Umgebung U von x auf eine offene Menge UH eines Rn (versehen mit der Standard-Topologie)
(2) Die Topologie T(M ) ist hausdorffsch
(3) Die Topologie T(M ) besitzt eine abzählbare Basis
x
H φ U
Rn φ (x )
1.1. Topologische Grundbegriffe (“Märchenstunde”)
Eigenschaften • Aus (1) folgt, dass eine topologische Mannigfaltigkeit lokalkompakt ist. • Erst aus (1) + (2) + (3) folgt, dass eine topologische Mannigfaltigkeit metrisierbar ist (dass ihre Topologie nicht allzu pathologisch ist). • Nur lokale Eigenschaften einer topologischen Mannigfaltigkeit können aus lokalen Eigenschaften des Rn abgeleitet werden. [ M sieht lokal aus wie ein Stück eines Rn ]
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1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
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1.2 Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit Sie ist möglich auf der Grundlage einer topologischen Mannigfaltigkeit (differenzierbare Mannigfaltigkeit = topologische Mannigfaltigkeit + zusätzliche verträgliche Differenzierbarkeitsstruktur). Praktischer ist: Einführung einer Differenzierbarkeitsstruktur auf einer Menge, die dann automatisch eine Topologie induziert. 1.32 Definition: Karte / Koordinatensystem Sei M eine nicht leere Menge. Eine Karte oder ein (lokales) Koordinatensystem der H ⊂ Rn einer TeilmenDimension n ∈ N \ {0} von M ist eine Bijektion φ :U ⊂ M → U H := φ (U ) des Rn . Das n-tupel φ (x ) liefert die ge U von M auf eine offene Menge U Koordinaten x 1 , . . . ,xn eines Punktes x ∈ M bezüglich dieser Karte φ .
1.33 Definition: C r -Diffeomorphismus Sei f eine Abbildung dann definieren wir f C r -Diffeomorphismus : ⇐⇒ f bijektiv mit f und f -1 r -mal stetig differenzierbar.
1.34 Definition: C r -Verträglichkeit und Kartenwechsel Sei M eine nicht leere Menge. Zwei Karten φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rn
und
φ 0 :U 0 → UH0 ⊂ Rn
0
von M heißen miteinander C r -verträglich mit r ∈ {0, 1, . . . , ∞,ω} , wenn ihre Definitionsbereiche U und U 0 disjunkt sind oder φ (U ∩ U 0 ) offen in Rn
und
φ 0 (U ∩ U 0 ) offen in Rn
0
sind sowie der Kartenwechsel oder die Koordinatentransformation φ 0 ◦ φ -1 : φ (U ∩U 0) ⊂ Rn → φ 0 (U ∩ U 0 ) ⊂ Rn xi 7→ x 0j x i
0
φ
H U
U U0
φ 0 ◦ φ -1 φ0
H0 U
ein C r -Diffeomorphismus (für r = 0 ein Homöomorphismus) ist.
Rn
Rn0
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
13
0
i) Zwei Karten φ,φ 0 von M mit U φ ∩U φ = ∅ sind stets C r -verträglich (für alle r ). Deswegen ist die C r -Verträglichkeit von Karten keine Äquivalenzrelation. φ 1 vertr. φ 2 und φ 2 vertr. φ 3 =⇒ 6 φ 1 vertr. φ 3 U φ2
U φ 1 Ärger
U φ3
ii) Die Einschränkung einer Karte auf das Urbild einer offenen Teilmenge ist mit ihr C r -verträglich (für alle r ), genauer: H ⊂ UH offen mit Q := φ -1 Q H , dann ist Sei φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rn eine Karte und Q φ U 0 r H φ := φ Q :Q → Q mit φ C -verträglich Q H Q H φ0 U Die Koordinatentransformation ist die Identität. 0
iii) Zwei verträgliche Karten φ,φ 0 mit U φ ∩ U φ , ∅ besitzen die gleiche Dimension, da sonst keine Diffeomorphismen (auch keine Homöomorphismen) existieren können ). (wohl aber stetige Abbildungen
1.35 Definition: C r -Atlas Ein C r -Atlas A (M ) einer Menge M ist ein System paarweise C r -verträglicher Karten von M, deren Definitionsbereiche M überdecken. D.h. [ A (M ) C r -Atlas : ⇐⇒ ∀φ,ψ ∈A(M ): φ,ψ sind C r -vertr. Karten von M und Uφ = M φ∈A (M )
1.36 Definition: Karte verträglich mit C r -Atlas Sei M eine Menge. Eine Karte ψ von M heißt verträglich mit einem C r -Atlas A (M ), wenn A (M ) ∪ ψ wieder ein C r -Atlas von M, also wenn ψ mit jeder Karte aus A (M ) C r -verträglich ist.
1.37 Definition: C r -Struktur Eine C r - (Differenzierbarkeits-) Struktur C (M ) auf M ist ein maximaler (gesättigter) C r -Atlas von M, d.h. ein C r -Atlas, der alle mit ihm verträglichen Karten schon enthält.
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
14
1.38 Satz Zu jedem C r -Atlas A (M ) einer Menge M gibt es genau eine C r -Struktur C(M ) auf M , die A (M ) enthält, nämlich C (M ) := φ φ ist Karte von M und ist verträglich mit A (M ) ⊃ A (M )
Beweis. “Existenz”: Wir zeigen, dass die obige Menge C(M ) ein C r -Atlas von M ist, sogar ein maximaler. • Je zwei Karten φ 1 ,φ 2 ∈ C(M ) sind miteinander C r -verträglich: U1
φ1
Uφ φ ∈ A (M ) φ2
φ1 ◦
φ -1
φ2 ◦
φ -1
U2 • φi (U1 ∩ U2 ) ist offen in Rni (i = 1, 2) : Für alle φ ∈ A (M ) gilt
H1 ⊂ Rn1 U
Hφ ⊂ Rnφ U
H2 ⊂ Rn2 U
φ 2 ◦ φ -1 1
φ (U1 ∩ U φ ) ,φ (U2 ∩ U φ ) offen in Rnφ [ da φ 1 mit φ und φ 2 mit φ verträglich ] =⇒ φ (U1 ∩ U φ ) ∩ φ (U2 ∩ U φ ) = φ (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rnφ =⇒ φi ◦ φ -1 (φ (U1 ∩ U2 ∩ U φ )) = φi (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rni (i = 1, 2) S Wegen M = φ∈A(M ) U φ ist also auch [ φi (U1 ∩ U2 ) = φi (U1 ∩ U2 ∩ M ) = φi (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) offen in Rni (i = 1, 2) φ∈A(M )
• φ 2 ◦ φ 1-1 :φ 1 (U1 ∩ U2 ) → φ 2 (U1 ∩ U2 ) ist ein C r -Diffeomorphismus: Zu jedem x i ∈ φ 1 (U1 ∩ U2 ) existiert eine Karte φ ∈ A (M ) mit x := φ 1-1 x i ∈ U φ . Die Einschränkung -1 φ 2 ◦ φ 1-1 = φ 2 ◦ φ -1 ◦ φ 1 ◦ φ -1 :φ 1 (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) → φ 2 (U1 ∩ U2 ∩ U φ ) | {z } | {z } C r -diffbar C r -diffbar ist dann in x i C r -differenzierbar. Analog für die Umkehrabbildung φ 1 ◦ φ 2-1 . S • Wegen A (M ⊂ C(M )) ist φ∈C(M ) U φ = M , d.h. C(M ) ist ein Atlas. • Er ist maximal wegen Def.
φ verträglich mit C(M ) =⇒ φ verträglich mit A (M ) ⊂ C(M ) =⇒ φ ∈ C(M ) “Eindeutigkeit”: H ) eine weitere C r -Struktur auf M mit A (M ) ⊂ C(M H ) . Wegen Sei C(M
Def. H ) =⇒ φ verträglich mit A (M ) ⊂ C(M H ) =⇒ φ ∈ C(M φ ∈ C(M )
H ) ⊂ C(M ) , und wegen gilt C(M
H ) ⊂ C(M ) φ ∈ C(M ) =⇒ φ verträglich mit C(M
H ) = C(M ) . sogar C(M
H ) max. C(M
=⇒
H ) φ ∈ C(M
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
15
Zu einer vorgegebenen C r -Struktur C(M ) auf M suchen wir eine Topologie T(M ) , so dass die Definitionsbereiche aller Karten aus C(M ) offen sind [Existenz klar, setze T(M ) = P (M ) , aber albern]. Eine gröbste Topologie (mit den wenigsten offenen Mengen) ist die von der Basis B(M ) := U φ | φ ∈ C(M ) erzeugte (“initiale”) Topologie. 1.39 Satz Das System B(M ) := U φ | φ ∈ C(M ) der Definitionsbereiche aller Karten einer Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) auf einer Menge M bildet eine Basis einer (eindeutig bestimmten) Topologie auf M, die von der Struktur C(M ) induzierte Topologie T(M ) . Jede offene Menge aus T(M ) ist also Vereinigung von Definitionsbereichen von Karten aus C(M ) . Bezüglich dieser Topologie sind alle Karten aus C(M ) Homöomorphismen. Beweis. • Es ist zu zeigen, dass das System B(M ) als Basis einer Topologie T(M ) geeignet ist. Bedingungen dafür sind nach Übung 4 S i) φ∈C(M ) U φ = M (erfüllt!) ii) U1 ,U2 ∈ B(M ) , U1 ∩ U2 , ∅ =⇒ U1 ∩ U2 ∈ B(M ) Seien also U1 ,U2 Definitionsbereiche von Karten φ 1 ,φ 2 ∈ C(M ) mit U1 ∩ U2 , ∅ . Dann ist etwa φ 1 (U1 ∩ U2 ) offen und damit φ 0 := φ 1 U1 ∩U2 eine mit φ 1 und damit mit sogar ganz C(M ) verträgliche Karte. Da C(M ) maximal, ist φ 0 ∈ C(M ) und U φ0 = U1 ∩ U2 ∈ B(M )
• Jede Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rn aus C(M ) ist ein Homöomorphismus, wegen:
i) φ ist stetig (d.h. das Urbild jeder offenen Menge ist offen), denn H ⊂ UH offen =⇒ Q := φ -1 Q H ist Definitionsbereich der Karte φ Q :Q → Q H, Q die (siehe oben) wieder in C(M ) liegt und somit Q ⊂ U offen.
ii) φ -1 ist stetig (d.h. das Bild jeder offenen Menge unter φ ist offen), denn [ Q ⊂ U offen =⇒ Q = Ui mit Karten φi ∈ C(M ) (i ∈ I ) =⇒ i∈I
=⇒
φ (Q ) = φ (Q ∩ U ) =
[ i∈I
φ (Ui ∩ U ) | {z }
offen
offen
Beim Beweis wurde stillschweigend benutzt i) Für offene Teilmengen U ⊂ X eines topologische Raumes (X , T(X )) gilt Q (relativ) offen in U ⇐⇒ Q offen in X ii) [Übung]
[Übung]
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
16
1.40 Folgerung Die von einer Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) auf einer Menge M induzierte Topologie T(M ) lässt sich aus einem Teilatlas A (M ) ⊂ C(M ) gewinnen. Das System ( ) H ) := φ -1 Q H φ ∈ A (M ) , Q H offen ⊂ B(M ) B(M aller Urbilder offener Mengen unter Karten aus A (M ) bildet bereits eine Basis für T(M ).
Beweis. Für jeden Definitionsbereich U ψ ∈ B(M ) einer Karte ψ ∈ C(M ) gilt [ [ φ -1 (φ U ψ ∩ U φ ) Uψ ∩ U φ = Uψ = Uψ ∩ M = | {z } φ∈A(M ) φ∈A(M ) offen
Damit ist jedes H ). B(M
Uψ
und folglich jede offene Menge Q ∈ T(M ) Vereinigung von Mengen aus
1.41 Beispiel: Kreis
cos t + * M= t ∈ R ,sin t -
H Q
φ1
M
U1
-π U2
Q
φ2
0
0
π 2π
π
H1 ⊂ R U H2 ⊂ R U
φ 1 (U1 ∩ U2 ) = ]-π , 0[ ∪ ]0,π [ offen in R φ 2 (U1 ∩ U2 ) = ]0,π [ ∪ ]π , 2 π [ offen in R t + 2 π für t ∈ ]-π , 0[ -1 C r -Diffeomorphismus φ 2 ◦ φ 1 (t ) = t für t ∈ ]0,π [ A (M ) = φ 1 ,φ 2 ist ein 2-kartiger Atlas. Die induzierte Topologie T(M ) ist die Relativtopologie von M ⊂: R2 bezüglich Tnat . 1.42 Beispiel: “Acht” - cos t + * M = sin t t ∈ R , |sin t | -
M
U φ
Q
-π
H Q 0
π
H⊂R U
A (M ) = φ ist ein 1-kartiger Atlas. Bezüglich der induzierten Topologie T(M ) ist Q := φ -1 (U2 (0)) offen, aber nicht (relativ) offen in M ⊂: R2 bezüglich Tnat : Es gibt keine offene Menge Qˆ in R2 mit Q = Qˆ ∩ M . Die induzierte Topologie ist feiner als die Relativtopologie.
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
Noch eine Karte von M ist ψ . φ und ψ sind nicht verträglich, denn
17
M ψ
t + 2π für t ∈ ]-π , 0[ 0 ψ ◦ φ -1 (t ) = π für t = 0 t für t ∈ ]0,π [ ist unstetig. Die Karten erzeugen unterschiedliche Strukturen.
π
2π
1.43 Beispiel: Gerade mit Doppelpunkt M = (R \ {0}) ∪ {0+ , 0− }
M
Die beiden Karten
x → 7 x φ + : M \ {0− } → R , x → 7 0
x → 7 x φ − : M \ {0+ } → R , x → 7 0
für x , 0+ für x = 0+ für x , 0−
für x = 0−
bilden einen C ∞ -Atlas A (M ). Die induzierte Topologie T(M ) ist nicht hausdorffsch: 0+ und 0− lassen sich nicht durch offene Umgebungen trennen. ( =⇒ M nicht metrisierbar) 1.44 Beispiel: Die Prüfersche Fläche H := R3 bilden die Karten Auf M φHz :
R3
R2
→ (z ∈ R) (x,y,z) → (x,y) 7
einen überabzählbaren C ∞ -Atlas (aus 2-dim. Karten). BezügH ) besitzt M H überabzähllich der induzierten Topologie T(M bar viele Zusammenhangs-Komponenten; insbesondere gibt es keine abzählbare Basis der Topologie. Durch geeignete “Verklebungen” der Halbräume ( ) Hz := (x,y,z) ∈ R3 y > 0
H zusammenhängend gemacht werden. kann M Konstruktion: [ A := (x,y) y > 0 M := A ∪ Bz mit Bz := (x,y,z) y ≤ 0 z∈R
H = R3 M
y x
y M
x
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
18
Für alle z ∈ R definieren wir Parametrisierungen fz :
Parameterlinien:
R2
→ A ∪ Bz ⊂ M (x,y,z) ∈ Bz , falls y ≤ 0 (x,y) 7→ (z + x · y,y) ∈ A , falls y > 0
y
R2
v =y
M
A
fz
x
u
z
φz
Bz Diese liefern Karten φz :=
fz-1
2
:A ∪ Bz → R ,
(u,v) (u,v,z) ∈ Bz 7→ (u,v) ∈ A 7→ 1 (u − z) ,v v
, falls v ≤ 0
, falls v > 0
Sie sind miteinander verträglich, denn für z , w gilt auf (A ∪ Bz ) ∩ (A ∪ Bw ) = A [ mit φz (A) ,φw (A) offen ] ! z −w -1 ,y (C ∞ -Diffeomorphismus da y > 0) φw ◦ φz (x,y) = x + y A (M ) := φz z ∈ R bildet also einen überabzählbaren C ∞ -Atlas. Induzierte Topologie T(M ): Es genügt rechteckige Basisumgebungen mittels φz-1 bzw. fz vom R2 nach M zu übertragen: y
R2
M fz
0
a
b
x
φz
v =y
A z + ay
z
z + by u
Bz
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
19
Eigenschaften des topologischen Raumes (M, T(M )): A
i) M ist (bogenweise) zusammenhängend (klar)
z w Bz /Bw
ii) M ist hausdorffsch ◦ Zwei Punkte, von denen einer in A oder in einem Bz liegt, lassen sich offensichtlich trennen A
Bz Kritische Fälle sind Punkte, die beide auf einer Grenzgerade y = 0 liegen. Fall 1.
(x 1 , 0,z) , (x 2 , 0,z) ,x 1 , x 2 x1
A
x2 z
Fall 2.
Bz
(x 1 , 0,z 1 ) , (x 2 , 0,z 2 ) ,z 1 , z 2 a
A
ε z1
b Bz 1
z2
a
z 1 + bε < z 2 + aε =⇒ ε <
x1
z 2 −z 1 b−a
x2
b Bz 2
iii) M besitzt keine abzählbare Basis: ◦ Es gibt überabzählbare viele disjunkte offene Blätter Bz (z ∈ R) [dies beweist aber noch nicht, dass M nicht metrisierbar] iv) M ist nicht normal [dies beweist, dass M nicht metrisierbar] Bz z
z
x
z0 x A
Ax = { (x, 0,z) | z ∈ R}
Ax z0
y
Die abgeschlossenen Geraden
z
lasse sich nicht trennen (?).
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
Wegen den Beispielen 1.43. und 1.44. ist üblich die 1.45 Definition: C r -Mannigfaltigkeit Eine C r -Mannigfaltigkeit (r ∈ {0, 1, . . . , ∞,ω}) ist eine nicht leere Menge M , versehen mit einer C r -Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) dergestalt, dass die induzierte Topologie T(M ) hausdorffsch ist und eine abzählbare Basis besitzt. Sind die topologischen Zusatzeigenschaften nicht erfüllt, nennen wir M eine Prä-Mannigfaltigkeit.
i) Jede (echte) C r -Mannigfaltigkeit mit r ≥ 0 ist eine topologische Mannigfaltigkeit im Sinne von Kapitel 1.1 und als solche metrisierbar. ii) C ∞ -Mannigfaltigkeiten bezeichnet man oft einfacher als “differenzierbare Mannigfaltigkeiten” [ bei uns vorläufig mindestens C 1 ]. Warum: siehe später. iii) Die topologischen Zusatzeigenschaften sind oft (z.B. bei lokalen Konstruktionen) unwesentlich (und brauchen dann auch nicht verifiziert zu werden) iv) In jeder (Prä-)Mannigfaltigkeit bleibt die Kartendimension in den einzelnen Zusammenhangs-Komponenten konstant. Mannigfaltigkeiten mit konstanter Kartendimension heißen auch reine Mannigfaltigkeiten und diese Dimension dann die Dimension der Mannigfaltigkeit. [ Bei uns im Folgenden (meist) vorausgesetzt ]
Zwei starke Existenzsätze (ohne Beweis) 1.46 Satz Wenn auf einer Menge M eine C 1 -Struktur existiert, dann auch eine C r -Struktur mit r ∈ {1, 2, . . . , ∞,ω} . Man kann sogar aus einer C 1 -Struktur einen solchen C r -Atlas (insbesondere einen C ∞ -Atlas) auswählen [ Whitney 1936 ] .
1.47 Satz Für alle n ≥ 10 gibt es topologische (C 0 -)Mannigfaltigkeiten der Dimension n die keine (verträgliche) Differenzierbarkeitsstruktur zulassen [ Kervaire 1960 ] . Für alle n ≤ 4 gibt es auf einer topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension n auch eine (verträgliche) Differenzierbarkeitsstruktur.
20
1.2. Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
Zusatz Die Flächenstücke der klassischen Differentialgeometrie werden meist als orientiert vorausgesetzt (man lässt nur Parametertransformationen mit positiver Funktionaldeterminante zu). Übertragung auf Mannigfaltigkeiten: 1.48 Definition: Orientierter Atlas / orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit Ein Atlas A (M ) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M heißt orientiert, wenn die Funktionaldeterminanten aller (nicht-trivialer) Koordinatentransformationen ψ ◦ φ -1 positiv sind, wobei φ,ψ ∈ A (M ) . M selbst heißt orientierbar, wenn ihre Struktur einen orientierten Atlas enthält. [ M besitzt dann genau zwei verschiedene Orientierungen. ]
Ergänzungen i) Ersetzt man in der Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit den “Modellraum” Rn durch Cn und lässt nur biholomorphe Koordinatentransformationen zu, so erhält man komplex-analytische Mannigfaltigkeiten. ii) Beliebige Banachräume als Modellräume führen zu ∞-dim. Mannigfaltigkeiten. iii) Lässt man (zusätzlich zum Rn ) auch abgeschlossene reelle Halbräume als Modellräume zu, kommt man zu (reellen) Mannigfaltigkeiten mit Rand. (Wichtig für Integrationstheorie)
21
2
Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 2.1 Differenzierbare Abbildungen 2.1 Definition: differenzierbare Abbildung Seien M, N C r -Mannigfaltigkeiten (r ≥ 1) mit dim M = m und dim N = n . Eine Abbildung F : M → N heißt im Punkt x 0 ∈ M differenzierbar, wenn F dort “in lokalen Koordinaten” differenzierbar ist, d.h. wenn (a) eine Karte φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rm aus C(M ) um x 0 und eine Karte ψ : V ⊂ N → VH ⊂ Rn aus C(N ) um F (x 0 ) mit F (U ) ⊂ V existiert und (b) für diese (und damit für alle solche) Karten die Koordinatendarstellung FD := ψ ◦ F ◦ φ -1 : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn
von F in φ (x 0 ) differenzierbar ist.
U
M
N
F
x0
F (x 0 )
φ H U
V
F (U )
ψ Rm
φ (x 0 )
FD
ψ(F (U )) ψ(F (x 0 ))
H V
Rn
2.1. Differenzierbare Abbildungen
23
i) Forderung (a) ist nur dann trivial, wenn man F als stetig voraussetzt. Sonst liefert sie F in x 0 differezierbar =⇒ F in x 0 stetig ii) Analoge Definition für höhere C s -Differenzierbarkeit (1 ≤ s ≤ r )
iii) Offensichtlich gilt
F : M → N in x 0 differenzierbar und G : N → P in F (x 0 ) differenzierbar =⇒ G ◦ F : M → P in x 0 differenzierbar iv) F : M → N heißt ein C s -Diffeomorphismus, wenn F bijektiv sowie F und F C s -differenzierbar.
-1
überall
2.2 Beispiel Auf der Menge R sind die beiden Karten id :t ∈ R 7→ t ∈ R und φ :t ∈ R 7→ t 3 ∈ R nicht C r -verträglich, da id ◦ φ -1 =
√ 3
(in t = 0) nicht differenzierbar.
·
Die von den Atlanten A (R) := id und A 0 (R) := φ erzeugten C ∞ -Strukturen sind also verschieden (die induzierten Topologien stimmen aber überein!) Die zugehörigen Mannigfaltigkeiten R und R0 sind jedoch C ∞ -diffeomorph unter der Ab√ 3 bildung F : R → R0 , t 7→ t F R R0 id Die Koordinatendarstellung
ist ein C ∞ -Diffemorphismus.
R
FD
φ R
FD = φ ◦ F ◦ id -1 = id : R → R
Im Allgemeinen gibt es auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ∞-viele verschiedene Differenzierbarkeitsstrukturen. Die zugehörigen Mannigfaltigkeiten sind aber meist diffeomorph, für dim M ≤ 3 immer [Munkres / Whitehead 1960/61] . Es gibt aber Beispiele differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph sind (“Exotische Sphären” mit dim M = 7 , [Milnor 1956]). Vereinbarung Im Folgenden sei der Rn immer mit der natürlichen, von der Karte id induzierten Differenzierbarkeitsstruktur versehen.
2.2. Tangentialräume und Differentiale
24
2.2 Tangentialräume und Differentiale Bei den parametrisierten Flächen x :G ⊂ Rp → M ⊂ Rn der klassischen Differentialgeometrie ist invariant definiert • der Tangentialraum Tu0 x ⊂: Rn in x 0 := x (u 0 ) DD EE Tu0 x = ∂1x (u 0 ) , . . . , ∂p x (u 0 ) • die Ableitung dX f (u 0 ) etwa einer in u 0 differenzierbaren Funktion f : G ⊂ Rp → R in Richtung eines Tangentialvektors X ∈ Tu0 x. Es gilt dX f (u 0 ) =
p X ρ=1
ρ
X · ∂ρ f (u 0 )
wenn X =
p X ρ=1
X ρ · ∂ρ x (u 0 ) ∈ Tu0 x
G ⊂ Rp u0
x
M ⊂ Rn
X x0
Tu0 x
Gesucht: Entsprechende Begriffe bei abstrakten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (ohne “Außenraum”). Verschiedene äquivalente Definitionen sind möglich, hier eine algebraische. Beobachtung bei klassischen Flächen: Eine “innere” Eigenschaft eines Tangentialvektors X ∈ Tu0 x ist, dass er jeder in u 0 differenzierbaren Funktion f :G → R eine Richtungsableitung dX f (u 0 ) zuordnet. Eigenschaften des Operators dX : f 7→ dX f := dX f (x 0 )
X fest
i) Linearität in f ii) dX f = 0 , falls f stationär in u 0 (d.h. ∂ρ f (u 0 ) = 0 für ρ = 1, . . . ,p) . Wir definieren einen abstrakten Tangentialvektor als einen solchen Differentialoperator, als eine sogenannte Derivation. (Ein Tangentialvektor liegt nicht einfach herum, sondern tut etwas!) Im Folgenden sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dim M = m und x 0 ∈ M fest gewählt. 2.3 Definition: DM (x 0 ) : Menge aller differenzierbarer Abbildungen in x 0 Sei M eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei x 0 ∈ M fest gewählt, dann bezeichnet DM (x 0 ) die Menge aller Abbildungen welche in einer Umgebung U von x 0 definiert und in x 0 differenzierbar sind, d.h. DM (x 0 ) := f f :U ⊂ M → R mit U Umgebung von x 0 , f differenzierbar in x 0 Die Menge DM (x 0 ) besitzt keine vernünftige algebraische Struktur (Schwierigkeiten mit den Definitionsbereichen bei Addition / Multiplikation). Abhilfe: Einführung einer Äquivalenzrelation auf DM (x 0 )
2.2. Tangentialräume und Differentiale
25
2.4 Definition: Äquivalenz auf DM (x 0 ) Sei M eine Mannigfaltigkeit und x 0 ∈ M . Dann heißen zwei Abbildungen f ,д ∈ DM (x 0 ) äquivalent, symbolisch f ≈ д , falls eine Umgebung U ⊂ M von x 0 existiert, so dass f und д in U übereinstimmen, d.h. f ≈ д : ⇐⇒ ∃U ⊂M : x 0 ∈ U und f U = д U 2.5 Definition: Funktionskeim f / Menge aller Funktionskeime EM (x 0 )
Sei M eine Mannigfaltigkeit, x 0 ∈ M und f ∈ DM (x 0 ) . Ein (differenzierbarer) Funktionskeim in x 0 ist eine Äquivalenzklasse f := д ∈ DM (x 0 ) д ≈ f
Mit EM (x 0 ) bezeichnen wir die Menge aller Funktionskeime in x 0 , d.h. ( ) EM (x 0 ) := f f ∈ DM (x 0 ) 2.6 Definition: stationärer Funktionskeim Sei M eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und x 0 ∈ M . Ein Funkti-
onskeim f ∈ EM (x 0 ) in x 0 heißt stationär, wenn
• für einen (und damit jeden) Repräsentanten f ∈ f • bezüglich einer (und damit jeder) Karte φ um x 0 gilt m
∀:
i=1
j ∂ fD j ∂ -1 x f ◦ φ x0 = 0 = ∂x i 0 ∂x i
Mit E 0 (x 0 ) bezeichnen wir die Menge aller stationären Funktionskeime in x 0 , d.h. M
( ) 0 (x 0 ) := f ∈ EM (x 0 ) f stationär EM
Die Unabhängigkeit der Definition von der Kartenauswahl folgt aus ∂ ∂ -1 -1 -1 (ψ (x )) (ψ (x 0 )) = f ◦ ψ = f ◦ φ ◦ φ ◦ ψ 0 ∂yk ∂yk m X ∂ ∂ -1 -1 i (φ (x )) (ψ (x 0 )) = 0 = f ◦ φ · φ ◦ ψ 0 k ∂x i {z } ∂y i=1 | =0
Jetzt gilt
2.2. Tangentialräume und Differentiale
26
2.7 Hilfssatz M sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und x 0 ∈ M i) Die Menge EM (x 0 ) aller (differenzierbaren) Funktionskeime in x 0 bildet einen Vektorraum, sogar eine Algebra [d.h. Vektorraum + Ringstruktur] über R, wenn Addition, Vervielfachung und Multiplikation durch entsprechende Operatoren auf geeigneten Repräsentanten erklärt sind [ f + д := f + д, usw. ] . ii) Die Teilmenge E 0 (x 0 ) ⊂ EM (x 0 ) aller stationären Funktionskeime in x 0 bildet eine M Unteralgebra von EM (x 0 ) . Beweis. Im Prinzip ist nur zu zeigen, dass die erklärten Operatoren wohldefiniert sind und mit f ,д auch f + д, λ · f , f · д zu diesen Räumen gehören. 0 (x ) sind i.Allg. sehr unendlich. • Die Dimensionen der Vektorräume EM (x 0 ) und EM 0
• Die Querstriche der Funktionskeime werden später oft unterdrückt. 2.8 Beispiel i) Die Komponentenfunktionen φ i :U ⊂ M → R, Funktionskeime φ i , denn φ i ◦ φ -1 : UH ⊂ Rm → R ,
x 7→ x i von Karten φ um x 0 erzeugen x 1 , . . . ,x m 7→ x i
ist in x 0i differenzierbar mit
∂D φ i j ∂x i j x 0 = k x 0 = δki k ∂x ∂x ii) Konstanten c ∈ R erzeugen stationäre Funktionskeime c .
2.9 Definition: Tangentialraum Tx 0 M Der Tangentialraum Tx 0 M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M im Punkte x 0 ∈ M sei der Vektorraum aller Derivationen auf EM (x 0 ) , d.h. aller Abbildungen f g mit X : EM (x 0 ) → R , f 7→ X f = dX f x 0 i) X ist linear, d.h. X λ · f +µ ·д = λ ·X f +µ ·X д
für f ,д ∈ EM (x 0 ) und λ, µ ∈ R
ii) X verschwindet auf den stationären Funktionskeimen, d.h. 0 (x 0 ) =⇒ X f = 0 f ∈ EM
2.2. Tangentialräume und Differentiale
27
Tangentialvektoren / Derivationen in x 0 sind nach Definition Linearformen auf dem 0 (x ) verschwinden. Damit ist die Vektorraum EM (x 0 ) , die auf dem Untervektorraum EM 0 Vektorraum-Struktur von Tx 0 M ⊂: L(EM (x 0 ) ; R) klar.
2.10 Hilfssatz Sei M eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und x 0 ∈ M, dann gilt i) Eine Derivation X ∈ Tx 0 M genügt der Produktregel X f · д = X f · д(x 0 ) + f (x 0 ) · X (д) für f ,д ∈ EM (x 0 ) ii) Bezüglich einer Karte φ um x 0 sind die partiellen Ableitungen ∂ : EM (x 0 ) → R , ∂x i x 0
spezielle Derivationen.
f 7→
∂ fD j ∂ ∂ -1 (φ (x )) f = f ◦ φ = x 0 ∂x i x 0 ∂x i ∂x i 0
(i = 1, . . . ,m)
Beweis. i) Es gilt f · д = f − f (x 0 ) · д − д(x 0 ) + f · д(x 0 ) + f (x 0 ) · д − f (x 0 ) · д(x 0 ) also wegen der Linearität X f · д = X ( f − f (x 0 ) д − д(x 0 ) ) + X f · д(x 0 ) + f (x 0 ) · X (д) + X ( f (x 0 ) · д(x 0 ) ) | {z } | {z } stationär stationär denn ∂ fD x j − fD x 0j · дD x j − дD x 0j j j = 0 ∂x i (x )= x 0
ii) Die partiellen Ableitungen sind offensichtlich linear und verschwinden (nach Definition von “stationär”) auf stationäre Funktionskeime. Oft wird bei der Definition einer Derivation statt Eigenschaft ii) aus Definition 2.9 die Gültigkeit der Produktregel aus Hilfssatz 2.10 i) gefordert. Dann lässt sich aber der folgende Satz nur für C ∞ -Mannigfaltigkeiten beweisen (siehe Diskussion bei GRAY: Differentialgeometrie).
2.2. Tangentialräume und Differentiale
28
2.11 Satz Für eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M gilt i) Bezüglich einer Karte φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rm um den Punkt x 0 ∈ M bilden die partiellen Ableitungen ∂ ∂ , . . . , ∂x m x 0 ∂x 1 x 0
eine Basis des Tangentialraums Tx 0 M , genannt natürliche / kanonische Basis bezüglich dieser Karte. Für jeden Tangentialvektor X in x 0 gilt X =
ii) Bei einem Kartenwechsel
m X ∂ X φi · ∂x i x 0 i=1
φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U 0 → φ 0 U ∩ U 0 ,
x j 7→ x 0k x j
mit x 0 ∈ U ∩ U 0
transformieren sich die natürlichen Basisvektoren ∂ ∂x i x 0
bzw.
∂ ∂x 0k x 0
(i,k = 1, . . . ,m)
mit der Funktionalmatrix der Koordinatentransformation in x 0 , d.h. ∂ ∂x i
x0
=
k m ∂ φ 0 ◦ φ -1 X ∂x i
k=1
iii) Für die Koordinaten X = X φi i
m X ∂x 0k j ∂ ∂ (φ (x 0 )) · = x · ∂x 0k x 0 k=1 ∂x i 0 ∂x 0k x 0
bzw.
X
0k
= X φ 0k
eines Tangentialvektors m X ∂ ∂ 0k ∈ Tx 0 M X = X · = X · ∂x i x 0 ∂x 0k x 0 i=1 k=1 m X
i
gilt bei einem solchen Kartenwechsel die kontravariante Transformationsregel X
0k
m X ∂x 0k j = x · Xi 0 i i=1 ∂x
2.2. Tangentialräume und Differentiale
29
Beweis. i) Lineare Unabhängigkeit: Aus X =
m X i=1
Xi ·
∂ =0 ∂x i x 0
folgt für alle Koordinaten-Funktionen U 3 x 7→ φ k (x ) = x k ∈ R :
m m X ∂ k X i ∂ k -1 (φ (x 0 )) = X φk = Xi · φ = X · φ ◦ φ ∂x i x 0 ∂x i i=1 i=1 m m k X X ∂x = X i · i x 0j = X i · δik = X k = 0 ∂x i=1
i=1
Erzeugenden-Eigenschaft: Ist X ∈ Tx 0 M vorgegeben und
so folgt für alle f ∈ EM (x 0 ) :
H := X
m ∂ X X φk · k ∂x x 0 k=1
m ∂ X f H f X −X = X f − X φk · k ∂x x 0 k=1 m X ∂ k + f ·φ = X *f − Xi · i ∂x x 0 , i=1
H linear X
=
Das Argument ist stationär, da für alle i ∈ {1, . . . ,m} gilt 0 (x 0 ) EM
m
X ∂ ∂ -1 (φ (x 0 )) · φ k ◦ φ -1 + (φ (x 0 )) = f ◦ φ ⊂ EM (x 0 ) i * f ◦ φ -1 − ∂x , ∂x k k=1
m
X ∂ ∂ -1 (φ (x 0 )) δik f ◦ φ = i f ◦ φ -1 (φ (x 0 )) − k ∂x ∂x
= 0
i=1
Damit ist Pm H d.h. X = X = k=1 X φ k ·
∂ . ∂x k x 0
H f =0 ∀ f ∈EM(x 0 ): X − X
ii) Nach der Kettenregel gilt für alle f ∈ EM (x 0 ):
∂ ∂ ∂ -1 0-1 0 -1 (φ (x )) (φ (x 0 )) = f = f ◦ φ = f ◦ φ ◦ φ ◦ φ 0 ∂x i x 0 ∂x i ∂x i 0 ◦ φ -1 k m X ∂ φ ∂ (φ (x 0 )) = = f ◦ φ 0-1 φ 0 (x 0 ) · 0k ∂x i ∂x k=1 k m ∂ φ 0 ◦ φ -1 X ∂ f (φ (x )) = · 0 0k ∂x i ∂x x 0 k=1
iii) Lineare Algebra.
2.2. Tangentialräume und Differentiale
30
2.12 Beispiel In M = R2 betrachten wir die beiden verträglichen Karten (φ 0 =) id : und
M → R2 (x,y) 7→ (x,y)
(Kartes. Koordinaten)
φ : U := M \ { (x, 0) | x ≤ 0} → R+ × ]-π , +π [ (x,y) = (r · cos t,r · sin t ) 7→ (r ,t )
(Polarkoordinaten)
In einem Punkt p0 = (x 0 ,y0 ) ∈ U besitzt der Tangentialraum Tp0 M die natürliche Basis
Die natürliche Basis
* ∂ , ∂ + , ∂x p0 ∂y p0 -
bezüglich der Karte id.
* ∂ , ∂ + bezüglich der Karte φ , ∂r p0 ∂t p0 errechnet sich wegen id ◦ φ -1 (r ,t ) = (x (r ,t ) ,y(r ,t )) = (r · cos t,r · sin t ) zu ∂x ∂ (r 0 ,t 0 ) · = ∂r p0 ∂r ∂ ∂x (r 0 ,t 0 ) · = ∂t p0 ∂r
∂y ∂ + (r 0 ,t 0 ) · ∂x p0 ∂r ∂y ∂ + (r 0 ,t 0 ) · ∂x p0 ∂r
∂ ∂ ∂ = cos t 0 · + sin t 0 · ∂y p0 ∂x p0 ∂y p0 ∂ ∂ ∂ = -r 0 · sin t 0 · + r 0 · cos t 0 · ∂y p0 ∂x p0 ∂y p0
Interpretation: Identifiziert man, wie üblich, die Basisvektoren bezüglich id mit den Einheitsvektoren des R2 , so sind die Basisvektoren bezüglich φ gerade die (klassischen) Tangentialvektoren an die neuen Koordinatenlinien.
∂ ∂t p 0
y0 r 0 t0 0 x0
∂ ∂y p
∧
0
= e2 ∂ ∂r p 0
∧ ∂ = ∂x p 0
e1
2.2. Tangentialräume und Differentiale
31
Weitere Möglichkeiten, Tangentialvektoren zu bestimmen, sind: • die “geometrische Methode”: Ein Tangentialvektor in x 0 ist eine Äquivalenzklasse [c ] von differenzierbaren Wegen c :U (0) → M durch x 0 = c (0) mit “gleicher Richtung” in x 0 , d.h. mit gleicher Ableitung d ( f ◦ c)(0) dt
c u0
M x0 f
für alle Funktionskeime f in x 0
• die “Physiker-Methode”: Ein Tangentialvektor X in x 0 ist (bzgl. eines festen Koordinatensystems) ein m-tupel 1
*. X +/ .. ... // ∈ Rm m ,X -
,
dass sich bei einer Koordinatentransformation kontravariant nach Satz 2.11 iii) transformiert.
2.2. Tangentialräume und Differentiale
32
Zum Differential einer Abbildung F : M → N
Bei differenzierbaren Abbildungen F : Rm → Rn ist in jedem Punkt x ∈ Rm die Funktionalmatrix (Jacobimatrix) DF (x ) definiert. Sie kann aufgefasst werden als lineare Abbildung DF (x ) : Rm = Tx Rm → Rn = Tx Rn Gesucht: Eine entsprechende lineare Abbildung bei differenzierbaren Abbildungen F : M → N zwischen Mannigfaltigkeiten. N Y ∈ TF(x ) N M X ∈ Tx M F
x
F (x )
f
R
Beobachtung: Ein Funktionskeim f ∈ EN (F (x )) liefert einen Funktionskeim f ◦ F ∈ EM (x ) . Durch die Festsetzung Y f := X f ◦ F für alle f ∈ EN (F (x )) kann man jedem X ∈ Tx M ein Vektor Y ∈ TF(x ) N zugeordnet werden. 2.13 Satz Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten sowie F : M → N eine in x ∈ M differenzierbare Abbildung. Dann gilt: i) Durch
∀X ∈Tx M ∀ f ∈E N (F(x )): dF x (X ) f := X f ◦ F
wird eine lineare Abbildung
dF x : Tx M → TF(x ) N ,
X 7→ dF x (X )
φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm ,
x 7→ x i =: xD
definiert, genannt Differential oder Linearisierung von F in x . Andere Bezeichnungen: Tangentialabbildung Tx F oder induzierter Homomorphismus F? |x ii) Bezüglich Karten und
ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rn ,
y 7→ (y α ) =: yD
mit F (U ) ⊂ V
gilt für die Bilder der natürlichen Basisvektoren in x ∈ U dF x
! X n ∂FDµ ∂ ∂ = (D x) · . µ i ∂y ∂x i x ∂x ) F(x µ=1
Die Darstellungsmatrix von dF x ist also gerade die Funktionalmatrix der lokalen Darstellung FD = ψ ◦ F ◦ φ -1
2.2. Tangentialräume und Differentiale
Schematisch X ∈ Tx M
dF x
33
Y ∈ TF(x ) N
Übergang zu lokalen Koordinaten X =
D FD(D x)
D ∈ Rm X
Y = dF x (X ) ⇐⇒ (invariant)
YD ∈ Rn
D YD = D FD(D x) · X
Y =
Di · ∂ X ∂x i x i=1
m X
∂ YDµ · ∂y µ F(x ) µ=1
n X
[Koordinatentransformation unnötig]
(in lokaler Koordinaten)
Beweis. i) dF x ist wohldefiniert, d.h. dF x (X ) ist eine Derivation aus TF(x ) N : a) Linearität:
dF x (X ) λ · f + µ · д = X (λ · f + µ · д) ◦ F = X λ · f ◦ F + µ · д ◦ F = X lin. = λ · X f ◦ F + µ · X д ◦ F = λ · dF x (X ) f + µ · dF x (X )(д)
b) f stationär =⇒ f ◦ F stationär =⇒ dF x (X ) f = X f ◦ F = 0
c) dF x ist linear in X , denn für alle f ∈ EN (F (x )) gilt dF x (λ · X + µ · Y ) f = (λ · X + µ · Y ) f ◦ F = = λ · dF x (X ) f ◦ F + µ · dF x (Y ) f ◦ F = = λ · dF x (X ) f + µ · dF x (Y ) f = = λ · dF x (X ) + µ · dF x (Y ) f
ii) Die Kettenregel liefert für alle f ∈ EN (F (x )) ! ∂ ∂ ∂ -1 (φ (x )) dF x f = f ◦ F = f ◦ F ◦ φ ∂x i x ∂x i x ∂x i ∂ -1 -1 (φ (x )) = f ◦ ψ ◦ ψ ◦ F ◦ φ ∂x i µ n ∂ f ◦ ψ -1 X ∂ ψ ◦ F ◦ φ -1 (ψ (F (x ))) · (φ (x )) = ∂y µ ∂x i =
µ=1 n X µ=1
∂ FDµ ∂ (D ) x · f ∂x i ∂y µ F(x )
2.2. Tangentialräume und Differentiale
34
2.14 Folgerung M, N und P seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten, dann gilt i) F : M → N , G : N → P differenzierbar =⇒ G ◦ F : M → P differenzierbar, und es gilt die Kettenregel d (G ◦ F ) x = dG F(x ) ◦ dF x lokal
D FM (x ) · D FD(D D GE ◦ F (D x ) = DG x)
ii) Aus F : M → N C 1 -Diffeomorphismus folgt dass
dF x : Tx M → TF(x ) N
ein Vektorraum-Isomorphismus mit dF -1 ) = dF x -1 . F(x Insbesondere ist dim Tx M = dim TF(x ) N . Beweis. Etwa durch Übergang zu lokalen Koordinaten.
In einem beliebigen n-dim Vektorraum V liefert jede Basis (e 1 , . . . ,en ) eine globale Karte φ: x=
V Pn
i=1 x
i
· ei
Da der Isomorphismus X :
Tx V i i=i X ·
Pn
∂ ∂x i x
→ Rn 7→ xD = x i → V Pn i 7 → i=1 X · ei
von der speziellen Basiswahl unabhängig ist (siehe Übung), kann auch hier Tx V mit V selbst identifiziert werden.
2.15 Definition: dualer Tangentialraum / Cotangentialraum T? x M in x Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und x ∈ M. Dann heißt der Vektorraum T? x M := L(Tx M; R) aller Linearformen auf Tx M der duale Tangentialraum oder der Cotangentialraum in x . Bekanntermaßen liefert jede Basis in einem endlich-dimensionalen Vektorraum V eindeutig eine Dualbasis in V ? = L(V ; R) . Im Falle des Tangentialraums einer Mannigfaltigkeit findet man sie auf ganz natürlicher Weise:
2.2. Tangentialräume und Differentiale
35
2.16 Satz Für eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M gilt i) Bezüglich einer Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm , x 7→ x 1 , . . . ,x m um den Punkt x 0 ∈ M erfüllen die Differentiale der Koordinatenfunktionen φ k :U → R ,
x 7→ x k
d.h. die Linearformen dx k
x0
die Dualrelationen
:= dφk : Tx 0 M → R (= Tx k R) x0
(k = 1, . . . ,m)
k ◦ φ -1 ∂ φ ∂ + (φ (x 0 )) · 1 = δik . ∀ : dx k * = i x 0 ∂x i ∂x i,k=1 x 0 , m
Sie bilden also die zur Karte φ gehörende natürliche Dualbasis des Cotangentialraums T?x 0 M , somit gilt T?x 0 M =
dx 1 , . . . , dx m x 0
x0
.
Jede Linearform ξ : Tx 0 M → R hat dann die Basisdarstellung m X
ξ =
k=1
ξk · dx k x0
∂ ξk = ξ * k + , ∂x x 0 -
mit den Koordinaten
ii) Bei einem Kartenwechsel
φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U 0 → φ 0 U ∩ U 0 ,
x i 7→ x 0k x i
gelten für die dualen Basisvektoren dx k
dx 0l
bzw.
x0
mit x 0 ∈ U ∩ U 0
x0
sowie für die Koordinaten ξk bzw. ξl0 von Linearformen ξ =
m X k=1
ξk ·
dx k x0
=
m X l=1
ξl 0 · dx 0l ∈ T?x 0 M x0
die kovarianten Transformationsregeln dx 0l
x0
=
m X ∂x 0l j x · dx k x0 0 k k=1 ∂x
bzw.
ξk =
m X ∂x 0l j x · ξl 0 0 k l=1 ∂x
Neben dem Cotangentialraum T?x M lassen sich aus Tx M noch eine Reihe weiterer Vektorräume konstruieren (Tensorräume, Äußere-Produkt-Räume), die dann ebenfalls induzierte natürliche Basen besitzen (siehe später).
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
36
2.3 Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten Viele konkrete Mannigfaltigkeiten M (z.B. die S n ) sind Teilmengen einer anderen umgebenden Mannigfaltigkeit N (z.B. den Rn+1 ). Frage: Welche Beziehung besteht zwischen den Differenzierbarkeitsstrukturen auf M und N bzw. den induzierten Topologien? Zunächst einige Vorbereitungen: 2.17 Definition: regulär in x ∈ M Eine differenzierbare Abbildung F : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M, N heißt im Punkte x ∈ M regulär, wenn ihr Differential dF x : Tx M → TF(x ) N
dort den Höchstrang r = min dim M, dim N besitzt.
2.18 Definition: Immersion und Submersion Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine überall reguläre Abbildung F : M → N heißt • im Falle dim M ≤ dim N eine Immersion (“immersion”) • im Falle dim M ≥ dim N eine Submersion
Die lokalen Funktionalmatrizen Höchstrang.
∂ FD1 ,...,∂ FDn ∂x 1 ,...,∂x m
regulärer Abbildung besitzen also überall
Wir beschäftigen uns zunächst mit Immersionen: Diese brauchen nicht injektiv zu sein (Selbstdurchdringungen). Ist F : M → N eine injektive Immersion, so wird M mitsamt seiner Topologie T(M ) bijektiv auf die Teilmenge F (M ) ⊂ N abgebildet. N M F F (M )
Problem: Die von M auf F (M ) übertragene Topologie braucht nicht die Relativtopologie von F (M ) als topologischen Teilraum von N zu sein R2 R
F
0 0
nicht realtiv offen
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
37
Sie kann feiner als die Relativtopologie sein, klar mehr offene Mengen enthalten (denn relativ offene Teilmengen sind auch in der übertragenen Topologie offen, da F : M → F (M ) ⊂: N stetig ist!). Andere Formulierung: F -1 : F (M ) → M braucht bezüglich der Relativtopologie von F (M ) ⊂: N nicht stetig zu sein bzw. F : M → F (M ) ⊂: N braucht nicht offen zu sein (also auch kein Homöomorphismus). 2.19 Definition: Einbettung Eine Immersion F : M → N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M, N heißt eine Einbettung (“embedding”), falls sie injektiv ist und die Bijektion F : M → F (M ) ⊂: N eine offene Abbildung ist, das Bild F (Q ) jeder offenen Menge Q ⊂ M also offen im topologischen Teilraum F (M ) ⊂: N ist.
Zusammen mit der Stetigkeit einer Einbettung ist also F : M → F (M ) ⊂: N ein Homöomorphismus. Noch einmal zum Vergleich F : M → N Immersion ⇐⇒ F regulär ⇐⇒ ∀x ∈M : rg dF x = dim M F : M → N Einbettung ⇐⇒ F regulär, injektiv und offen
M
F
N
Immersion
M
N F
Einbettung
Spezialisierung auf Teilmengen M ⊂ N [ setze M = F (M ) ] . 2.20 Definition: immersierte Mannigfaltigkeit Eine (nichtleere) Teilmenge M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit N heißt eine immersierte (Unter-) Mannigfaltigkeit, wenn sie eine Differenzierbarkeitsstruktur besitzt, so dass die Inklusionsabbildung i :x ∈ M 7→ x ∈ N eine Immersion ist.
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
38
2.21 Definition: Untermannigfaltigkeit Eine (nichtleere) Teilmenge M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit N heißt eine (eingebettete) Untermannigfaltigkeit, wenn sie eine Differenzierbarkeitsstruktur besitzt, so dass die Inklusionsabbildung i :x ∈ M 7→ x ∈ N eine Einbettung ist.
2.22 Beispiel: Kurven M in N = R2 Sei I ⊂ R offen. Jede injektive Parametrisierung t ∈ I 7→ c (t ) ∈ M liefert bezüglich der Karte φ := c -1 : M → I eine Differenzierbarkeitsstruktur auf M . Die Inklusionsabbildung i : (x,y) ∈ M 7→ (x,y) ∈ N besitzt die lokale Darstellung
1
D i (t ) = id ◦ i ◦ φ -1 (t ) = c (t ) , 2
t2 c (t ) = * 3 + ,t -
N
- cos t + c (t ) = sin t * , sin t -
M
M keine immersierte Mfk. D i = c in t = 0 singulär
(t ∈ I ) . 3 N
cos t + c 1/2 (t ) = * , sin t -
M
M immersierte Mfk.
D i = c C 1 -diffbar und regulär (Beweis!)
N M
M Untermannigfaltigkeit D i = c regulär,
T(M ) ist die Relativtop.
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
39
Zu 1) Immersierte Mannigfaltigkeiten können durch “falsche” Kartenwechsel Singularitäten bekommen. t2 c (t ) = φ -1 (t ) = * 3 + ,t -
Bsp.
Zu 2) Mannigfaltigkeiten können bezüglich verschiedener Differenzierbarkeitsstrukturen immersiert sein. Bsp:
Zu 3) Die Differenzierbarkeitsstruktur einer echten Untermannigfaltigkeit ist aber eindeutig bestimmt! (siehe später) Zum Beweis wichtiger Eigenschaften von Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten wird ein starker Satz der reellen Analysis benötigt. 2.23 Satz: Rangsatz für diffbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten M und N seien C s -Mannigfaltigkeiten mit s ≥ 1 , dim M = m und dim N = n . F : M → N sei eine C s -differenzierbare Abbildung, deren Linearisierung dF x : Tx M → TF(x ) N in einer Umgebung von x 0 ∈ M konstanten Rang r ≤ min {m,n} besitzt. Dann existieren Karten φ : U ⊂ M → UH ⊂ Rm x 7→ (x 0 )
um x 0 mit φ (x 0 ) = 0
ψ : V ⊂ N → VH ⊂ Rn y 7→ (y α )
um F (x 0 ) mit F (U ) ⊂ V und ψ (F (x 0 )) = 0 ,
so dass die lokale Darstellung
gerade die Abbildung ist, wobei sogar gilt
Zusatz: Es gilt demnach
FD = ψ ◦ F ◦ φ -1 : UH ⊂ Rm → UH ⊂ Rn x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x r , 0, . . . , 0 | {z } n−r , falls n>r
(
F (U ) = y ∈ V yr +1 = · · · = yn = 0 !
)
FD = i ◦ p UH : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn
mit der Koordinatenprojektion
p : Rm → Rn ,
x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n
und der Koordinateneinbettung i : Rr → Rn ,
x 1 , . . . ,x r 7→ x 1 , . . . x r , 0, . . . , 0
wobei die Koordinatenumgebungen UH, VH jeweils quaderförmig angenommen werden können.
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
40
Wir brauchen an sich nur die 2.24 Folgerung Jede Immersion F :M → N
(mit r = m = dim M ≤ dim N = n)
lässt sich lokal durch die Koordinateneinbettung FD = i |UH : x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x m , 0, . . . , 0
darstellen,
jede Submersion
F :M → N
(mit m = dim M ≥ dim N = n = r )
durch die Koordinatenprojektion FD = p UH : x 1 , . . . ,x n , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n . Ergebnis: Jede Immersion / Submersion lässt sich durch geschickte Koordinatenwahl lokal trivialisieren. Auf der nächsten Seite, werden die Fälle für m,n ≤ 2 veranschaulicht.
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
41
Veranschaulichungen 1
m = n = 2, r = 1 M
U
F (U )
F
F (M )
F (x 0 )
x0
φ
H U
0
2
ψ FD = i ◦ p
ψ(F (U )) 0
x 1 , x 2 7→ x 1 , 0
N
V
H V
ψ(F (M ))
m = r = 1, n = 2 (Immersion) F (U )
M
F
U
F (M )
N
V
F (x 0 )
x0 ψ
φ H U
0
3
FD = i
x 7→ (x , 0)
ψ(F (U )) 0
H V
ψ(F (M ))
m = 2, n = r = 1 (Submersion) U
M F
x0
F (M )
F (x 0 ) φ
0
N
H U
FD = p
x 1 , x 2 7→ x 1
V = F (U )
ψ
0
H = ψ(F (U )) V
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
42
Beweis. [des Rangsatzes] Sei F : M → N eine C s -Abbildung (s ≥ 1) mit rg dF = r ≤ min {m,n} in der Umgebung von x0 ∈ M . i) Rückführung auf ein Problem der reellen Analysis Es existieren zunächst Karten φ 0 :U 0 ⊂ M → UH0 ⊂ Rm ψ 0 :V 0 ⊂ M → VH0 ⊂ Rn
mit φ 0 (x 0 ) = 0 mit F U 0 ⊂ V und ψ 0 (F (x 0 )) = 0 ,
so dass die lokale Darstellung
0 FD : UH0 ⊂ Rm → VH0 ⊂ Rn
(0 7→ 0)
C s -differenzierbar mit rg D FD0 = r in der Umgebung von 0 ∈ UH0 .
ii) Anwendung des Rangsatzes für C s -Abbildungen (s ≥ 1) f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn
(0 7→ 0)
f
hier f = FD0
g
Er liefert die Existenz einer offenen Umgebung U ⊂ G von 0 ∈ Rm und eines C s Diffeomorphismus д :U ⊂ Rm → UH ⊂ Rm mit д(0) = 0
und die Existenz einer offenen Umgebung V ⊂ H von 0 ∈ Rn mit f (U ) ⊂ V und eines C s -Diffeomorphismus
so dass die Abbildung durch gegeben ist, wobei sogar
h :V ⊂ Rn → VH ⊂ Rn
mit h(0) = 0
fH = h ◦ f ◦ д-1 : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn
xH1 , . . . ,H x m 7→ xH1 , . . . ,H x m , 0, . . . , 0 | {z } n−r
) ! ( f (U ) = y ∈ V hr +1 (y) = · · · = hn (y) = 0
[ Zum Beweis siehe iv]
In unserem Falle existieren also Diffeomorphismen
mit wobei
д : UH00 ⊂ UH0 ⊂ Rm → UH ⊂ Rm h : VH00 ⊂ VH0 ⊂ Rn → VH ⊂ Rn FH := h ◦ FD0 ◦ д-1 ,
(0 7→ 0) 0 7→ 0 und FD0 UH00 ⊂ VH00
x 1 , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x r , 0, . . . , 0 | {z } n−r
yH ∈ FH0 UH00 ⇐⇒ yH ∈ VH00 ∧ hr +1 (H y ) = · · · = hn (H y) = 0
iii) Rücktransformation auf die Mannigfaltigkeiten: Setze U := ψ 0-1 UH00 , V := ψ 0-1 VH00 und
φ := д ◦ φ 0 U :U → UH
Beides sind zulässige Karten mit
,
offen in M bzw. N
ψ := h ◦ ψ 0 V :V → VH
φ (x 0 ) = 0, ψ (F (x 0 )) = 0 und F (U ) ⊂ V
⇔ FD0 UH00 ⊂ VH00 .
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
43
Die lokale Darstellung von F bezüglich dieser Karten ist FD = ψ ◦ F ◦ φ -1 = h ◦ ψ 0 ◦ F ◦ φ 0-1 ◦ д-1 = h ◦ FD0 ◦ д-1 = FH , wobei
y ∈ F (U ) ⇐⇒ ψ 0 (y) ∈ ψ 0 ◦ F (U ) = ψ 0 ◦ F ◦ φ 0-1 UH00 = FD0 UH00 ⇐⇒ ⇐⇒ ψ 0 (y) ∈ VH00 ∧ hr +1 ψ 0 (y) = · · · = hn ψ 0 (y) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y ∈ V ∧ ψ r +1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 iv) Beweis des Rangsatzes für C s -Abbildungen f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn
(0 7→ 0)
mit s ≥ 1 , rg D f = r = const in der Umgebung von 0 ∈ G : Ohne Einschränkung sei det
∂ f 1, . . . , ∂ f ∂x 1 , . . . , ∂x r
r!
,0
r ×r
(sont Umnummerierung)
z}|{ REG ?+ Df = * ?, ?
also
a) Definiere
mit
also
д x 1 , . . . ,x m := f 1 (x ) , . . . , f r (x ) ,x r +1 , . . . ,x m =: xH1 , . . . ,H xm *. .. . Dд(x ) = .. .. ..
z
r
}|
∂f 1 ,...,∂f r ∂x 1 ,...,∂x r
m-r
(x )
{ z }| {
?
1
0
,
..
.
1
! ∂ f 1, . . . , ∂ f r (x ) , 0 det Dд(x ) = det ∂x 1 , . . . , ∂x r
=r = m-r - +/ // // // // /
in der Umgebung von 0 . Der lokale Umkehrsatz liefert: д :U ⊂ G ⊂ Rm → UH ⊂ Rm
(0 7→ 0)
ist ein C s -Diffeomorphismus. b) Betrachte l := f ◦ д-1 : UH ⊂ Rm → Rn . Wegen
! r ∀ : l k (H x ) = f k д-1 (H x ) = дk д-1 (H x ) = xHk
k=1
gilt mit
l xH1 , . . . ,H x m = xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 (H x ) , . . . ,l n (H x)
r
*. .. Dl (H x ) = ... .. . ,
n-r }|
z }| { z 1
...
?
{
0
1
∂l r +1 ,...,∂l n ∂H x r +1 ,...,∂H xm
0 7→ 0
,
(H x)
+/ // // // // -
=r = m-r
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
44
Es ist mit x := д-1 (H x) rg Dl (H x ) = rg (D f (x ) · (Dд(x )) -1 ) = rg D f (x ) = r , | {z } regulär
also ∀µ,ν >r : und damit
∂l µ (H x) = 0 ∂H xν
n ∀ : l µ xH1 , . . . ,H x m = l µ xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 | {z } µ=r +1 m−r ∈ Rn
c) Definiere in einer genügend kleinen Umgebung von 0 h y 1 , . . . ,yn := y 1 , . . . ,yr ,yr +1 − l r +1 y 1 , . . . ,yr , 0, . . . , 0 , . . . . . . . . . , yn − l n y 1 , . . . ,yr , 0, . . . , 0 mit
*. .. . Dh(y) = .. .. ..
r z }| { z n-r }| {
, Der lokale Umkehrsatz liefert wieder: h :V ⊂ H ⊂ Rn → VH ⊂ Rn
1
..
.
?
0
1
1
..
.
1
=r = n-r - +/ // // // // /
ist ein C s -Diffeomorphismus Durch verkleinern von U bzw. UH erreicht man f (U ) = l UH ⊂ V .
d) Für
(0 7→ 0)
fH := h ◦ f ◦ д-1 = h ◦ l : UH → VH
gilt dann fH xH1 , . . . ,H x m = h xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 (H x ) , . . . ,l n (H x) = x r , 0, . . . , 0 , . . . = xH1 , . . . ,H x r ,l r +1 xH1 , . . . ,H x m − l r +1 xH1 , . . . ,H ! = . . . ,l n xH1 , . . . ,H x m − l n xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 = ! = xH1 , . . . ,H x r , 0, . . . , 0 nach (2.1), d.h fH = i ◦ p UH
д
0
h H U
fH
0
H V
(2.1)
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
45
e) Zur Gestalt der Definitionsbereiche: Die Bildbereiche UH von д und VH von h können offensichtlich quaderförmig angenommen werden (mit VH beginnen!) H × Rn−r p U H ⊂ Rm U 0
Falls setze
fH
0
H ⊂ Rn V
H p U
Rr
H0 = p U H × Rn−r ) ∩ V H V
) ( fH UH $ yH ∈ VH yHr +1 = · · · = yHn = 0
,
VH0 := p UH × Rn−r ∩ VH ,
ebenfalls offen und quaderförmig, sowie V 0 := h -1 VH0 offen im Rn . Dann gilt
y ∈ f (U ) = h -1 ◦ fH ◦ д (U ) = h -1 ◦ i ◦ p UH ⇔ y ∈ V 0 ∧ hr +1 (y) = · · · = hn (y) = 0
1. Anwendung: Immersionen sind lokal Einbettungen 2.25 Satz Jede Immersion F : M → N ist lokal eine Einbettung, d.h. jeder Punkt x 0 ∈ M besitzt eine offene Umgebung U , so dass F |U :U → N eine Einbettung ist. Weiter gilt mit einer geeigneten Karte ψ :U ⊂ N → Rn um F (x 0 ) ( ) F (U ) = y ∈ V ψ m+1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 d.h. F (U ) ist das Nullstellengebilde der Abbildung ψH :V ⊂ N → Rn−m , y 7→ ψH(y) := ψ m+1 (y) , . . . ,ψ n (y)
2.26 Satz Bei einer Einbettung F : M → N existiert zu jedem Punkt x 0 ∈ M eine Karte ψ :V ⊂ N → Rn um F (x 0 ) mit ( ) F (M ) ∩ V = y ∈ V ψ m+1 (y) = · · · = ψ n (y) = 0 . “ F (M ) liegt lokal in N wie der Rm in Rn ”
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
46
Unterschied • Immersion M
F (U )
F
F (M )
F (x 0 )
V
N ψ
x0
ψ(F (U )) 0
H ⊂ Rn V
ψ(F (M ))
(“Doppelpunkte” und topologische “Grenzpunkte” sind vorhanden, lassen sich aber ausblenden). • Einbettung M
N
V
F
F (M )
ψ
ψ(F (M ) ∩ V ) 0
H ⊂ Rn V
Beweis. [Satz 2.25] Bezüglich der Karten φ,ψ aus dem Rangsatz gilt ψ ◦ F ◦ φ -1 = i |UH , also F |U = ψ -1 ◦ i ◦ φ . Damit ist F |U :U ⊂ M → F (U ) ⊂: V ⊂: N injektiv und offen als Verkettung solcher Abbildungen, denn die Koordinateneinbettung i : UH ⊂ Rm → i UH ⊂: VH ⊂: Rn ist offen wegen
H Q
H U
i
H) i (Q
H V
+ *. H ⊂ UH offen =⇒ i Q H =. Q H × Rn−m ∩ VH// ∩ i Q H relativ offen [ in VH und Rn ] Q .| {z } / Rn , offen im | {z }offen in VH
Beweis. [Satz 2.26] Bezüglich Karten wie oben, gilt: F Einbettung
=⇒ =⇒
F (U ) ist offen in F (M ) ⊂: N =⇒ es ex. offene Menge Vˆ aus N mit F (U ) = F (M ) ∩ VD und o.E. YD ⊂ V
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
M
F
U
47
ψD := ψ UD ist dann eine zulässige Karte mit
H D V
N
D V
F (M )
ψ
H V
H V
) ! ( F (U ) = F (M ) ∩ VD = y ∈ VD ψDm+1 (y) = · · · = ψDn (y) = 0
2. Anwendung: Eindeutigkeit einer Untermannigfaltigkeit Auf einer Teilmenge M , ∅ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit N braucht keine Struktur zu existieren, so dass M Untermannigfaltigkeit von N ist (aus topologischen Gründen). Falls aber eine solche existiert, dann ist sie eindeutig bestimmt. Dazu zunächst der 2.27 Hilfssatz M,M und N seien C r -Mannigfaltigkeiten (r ≥ 1), F : M → N eine C r -Immersion und G : M → M stetig. Dann gilt
M
F
N
G
G C r -differenzierbar ⇐⇒ F := F ◦ G C r -differenzierbar
M
F = F ◦G
“Gegenbeispiel”: F (x ) = x 2 , G (x ) = |x | , F (x ) = (F ◦ G)(x ) = x 2 Beweis. Sei x 0 ∈ M . Da F C r -Immersion, existieren Karten φ : U → UH von M um G (x 0 ) und ψ :V → VH von N um (F ◦ G)(x 0 ) mit F (U ) ⊂ V und ψ ◦ F ◦ φ -1 = i |UH . Da G stetig, existiert eine H von M um x mit G U ⊂ U . Für die lokale Darstellung von F = F ◦ G in der Karte φ :U → U 0
Umgebung U von x 0 folgt dann
d.h.,
D D , F = FE ◦ G = ψ ◦ (F ◦ G) ◦ φ -1 = ψ ◦ F ◦ φ -1 ◦ φ ◦ G ◦ φ -1 = i ◦ G
D: Also gilt in U und damit in U :
D DD F D x = G x , 0, . . . , 0 .
D D C r -differenzierbar F C r -differenzierbar ⇐⇒ G
F C r -differenzierbar ⇐⇒ G C r -differenzierbar
Daraus erhält man
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
48
2.28 Satz Ist M eine nicht-leere Menge, N eine C r -Mannigfaltigkeit mit r ≥ 1 und F : M → N eine injektive Abbildung, so gibt es höchstens eine C r -Struktur auf M , so dass F : M → N eine C r -Einbettung ist.
Spezialfall Auf einer nicht-leeren Teilmenge M einer C r -Mannigfaltigkeit N (r ≥ 1) existiert höchstens eine C r -Struktur, so dass M Untermannigfaltigkeit von N ist. Beweis. [Satz 2.28] Seien C(M ), C(M ) zwei solche Strukturen, M und M die zugehörigen (als Punktmengen identische) Mannigfaltigkeiten und F : M → N und F : M → N C r -Injektionen (mit gleichen Werten). Da F : M → N eine Einbettung, F -1 : F (M ) → M stetig, also auch id = F -1 ◦ F : M → M .
M
F
N
id M
F = F ◦ id
Hilfssatz 2.27 liefert: Mit F : M → N ist auch id : M → M C r -differenzierbar. Vertauschen von M und M zeigt, dass id : M → M sogar ein C r -Diffeomorphismus ist. Folglich sind auch alle lokalen Darstellungen D = φ ◦ id ◦ φ -1 = φ ◦ φ -1 id
mit φ ∈ C(M ) , φ ∈ C(M )
C r -Diffeomorphismen. Damit sind die Strukturen C(M ) und C(M ) miteinander C r -verträglich und, da maximal, sogar identisch.
3. Anwendung: Kennzeichnung von Untermannigfaltigkeiten 2.29 Satz Sei N eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit mit r ≥ 1 . Eine nicht-leere Teilmenge M ⊂ N ist genau dann eine m-dimensionale C r -Untermannigfaltigkeit von N (wobei m ≤ n) , wenn um jeden Punkt x 0 ∈ M eine Karte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rn
aus der Struktur C(N ) existiert mit ( ) M ∩ V = x ∈ V | ψ m+1 (x ) = · · · = ψ n (x ) = 0
Eine solche Karte heißt Schnittkarte von N für die Untermannigfaltigkeit M . M
N
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
49
Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit N ist also lokal Nullstellenmenge einer Abbildung ψH :V → Rn−m , x 7→ ψ m+1 (x ) , . . . ,ψ n (x ) . Umgekehrt definiert jede solche lokale Nullstellenmenge eine Untermannigfaltigkeit.
Beweis. (“ =⇒ ”): Klar nach Satz 2.26. Setze F (M ) = i (M ) = M (“⇐=”): Jede Schnittkarte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rm von N für M liefert eine Karte φ :U := M ∩ V → UH ⊂ Rm , x 7→ ψ 1 (x ) , . . . ,ψ m (x ) von M. Die C r -Verträglichkeit von Schnittkarten ψ ,ψ 0 liefert: ψ 0 ◦ ψ -1 :ψ V ∩ V 0 → ψ 0 V ∩ V 0 ,
(y α ) 7→ y 0β (y α )
ist ein C r -Diffemorphismus, also auch die Abbildung ψ M ∩ V ∩ V 0 3 yi , 0 7→ y 0k yi , 0 , 0 ∈ψ 0 M ∩ V ∩ V 0 . Weglassen der überflüssigen Nullen zeigt, dass auch der Kartenwechsel φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U 0 → φ U ∩ U 0 , yi 7→ y 0k yi in M ein C r -Diffemorphismus ist. Damit ist auf M ein C r Atlas definiert. Bezüglich der induzierten Struktur ist die r Inklusion i : M → N eine (injektive) C -Immersion, denn lokal gilt D i yi = ψ ◦ i ◦ φ -1 yi = yi , 0 , also rg DD i =m . Es bleibt zu zeigen, dass die induzierte Topologie T(M ) H ⊂ UH ⊂ Rm ofdie Relativtopologie bezüglich N ist. Sei Q H eine Basismenge aus T(M ). Dann ist fen und B := φ -1 Q H × Rn−m ∩ VH offen in Rn und es gilt B = ψ -1 (Q ) ∩ M Q := Q
mit der offenen Menge ψ -1 (Q ) aus T(N ). Damit ist eine Basismenge B relativ offen und damit jede Menge aus T(M ).
ψ -1 (Q ) V B
ψ H Q
U
M
φ Q
H ⊂ Rn V
H ⊂ Rm U
4. Anwendung: Konstruktion von Untermannigfaltigkeiten Unter bestimmen Regularitätsvoraussetzungen sind bei einer differenzierbaren Abbildung F : M → N die Urbilder F -1 (y0 ) von Punkten y0 ∈ N Untermannigfaltigkeiten von M . 2.30 Definition: regulärer Wert / kritischer Wert Sei F : M → N eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Ein Punkt y ∈ F (M ) ⊂ N heißt regulärer Wert von F , wenn F in jedem Urbild x ∈ F -1 (y) (mit F (x ) = y) regulär ist, andernfalls ein kritischer Wert.
Jetzt gilt
2.3. Immersionen, Einbettungen, Untermannigfaltigkeiten
50
2.31 Satz: Satz vom regulären Wert Ist y0 ∈ F (M ) regulärer Wert einer C r -Abbildung F : M → N mit r ≥ 1 und m = dim M ≥ dim N = n , so ist die Urbildmenge F -1 (y0 ) eine C r -Untermannigfaltigkeit von M der Dimension m − n . Spezialfall: Bei einer Submersion F : M → N sind alle Urbildmengen F -1 (y0 ) mit y0 ∈ F (M ) Untermannigfaltigkeiten von M . Beweis. Ist F in x 0 ∈ F -1 (y0 ) regulär, so besitzt dF x 0 in einer ganzen Umgebung von x 0 den Höchstrang n. Also gibt es nach dem Rangsatz • eine Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm um x 0 mit φ (x 0 ) = 0
• eine Karte ψ :V ⊂ N → VH ⊂ Rn um y0 = F (x 0 ) mit F (U ) ⊂ V und ψ (y0 ) = 0 ,
so dass
FD = ψ ◦ F ◦ φ -1 : UH ⊂ Rm → VH ⊂ Rn gerade die Koordinatenprojektion p : x 1 , . . . ,x n , . . . ,x m 7→ x 1 , . . . ,x n ist. M
U
x0 F
φ 0
-1 (y
V
F
0)
N
y0
H⊂ U
Rm
ψ
FD = p
0
H ⊂ Rn V
Jetzt gilt x ∈ F -1 (y0 ) ∩ U ⇐⇒ x ∈ U ∧ F (x ) = y0
⇐⇒ x ∈ U ∧ p(φ (x )) = ψ ◦ F ◦ φ -1 (φ (x )) = ψ (F (x )) = ψ (y0 ) = 0 ⇐⇒ x ∈ U ∧ φ 1 (x ) = · · · = φ n (x ) = 0 .
φ ist also (bei anderer Koordinatennummerierung) eine Schnittkarte von M für F -1 (y0 ) . Satz 2.29 liefert: F -1 (y0 ) ist eine (m − n)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M . 2.32 Beispiel Die n-Sphäre S n ⊂ Rn+1 ist Urbild F -1 (0) unter der C ∞ -Abbildung F :R
n+1
→R,
n+1 X 2 i x 7→ xi − 1 . i=1
0 ∈ R ist regulärer Wert von F , denn grad F x i = 2x 1 , . . . , 2x n+1 hat auf S n = F -1 (0) den maximalen Rang 1 . Damit ist die S n eine n-dimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rn+1 , in diesem “eingebettet”.
2.4. Einbettungen in einem flachen Raum RN
51
2.4 Einbettungen in einem flachen Raum RN Man kann jede (echte) differenzierbare Mannigfaltigkeit in einem RN einbetten. Die stärkste Aussage macht der 2.33 Satz: Einbettungssatz von WHITNEY (1936) Jede n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit lässt sich als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in den R2n+1 einbetten.
2.34 Beispiel Die “Acht” passt als Untermannigfaltigkeit in den R3 .
Wir beweisen nur eine “schwache” Version 2.35 Satz Jede kompakte C r -Mannigfaltigkeit mit 1 ≤ r ≤ ∞ lässt sich C r -differenzierbar in einem RN einbetten. Beweis. Sei M eine m-dimensionale kompakte C r -Mannigfaltigkeit. Zu jedem x ∈ M wählen wir eine Karte φ :U ⊂ M → UH ⊂ Rm mit φ (x ) = 0 und K 1 := {x ∈ Rm | |x | ≤ 1} ⊂ UH . U ⊂M
φ
W x
H ⊂ Rm U
K1 0 K 1/2
V
f f
1 0
Setze V := φ -1 (K 1 ) und W := φ -1 K 1/2 . Das System {Wx | x ∈ M } bleibt eine offene Überdeckung von M und es existiert eine endliche Teilüberdeckung {W1 , . . . ,WN }. Die zugehörigen Karten seien für i = 1, . . . , N φi :Ui → UHi
mit φi (Vi ) = K 1 und φi (Wi ) = K 1/2
Sei jetzt f : Rm → R eine C ∞ -Funktion mit f (D x) = 1 f (D x) = 0 f (D x ) ∈ ]0, 1[
1 für xD ≤ 2 für xD > 1
für
1 < xD < 1 2
d.h. xD ∈ K 1/2
d.h. xD ∈ {K 1
-1
-1/2
0
1/2
1
2.4. Einbettungen in einem flachen Raum RN
52
(Eine analytische Funktion mit dieser Eigenschaft gibt es nicht!) Sie liefert für i = 1, . . . , N C r -Abbildungen f (φi (x )) x 7→ 0
fi : M → R , Definiere jetzt die C r -Abbildung
für x ∈ Ui
für x ∈ M \ V i
.
F : M → RN × (Rm ) N = RN x 7→ ( f 1 (x ) , . . . , f N (x ) ;ψ 1 (x ) , . . . ,ψ N (x )) mit
fi (x ) · φi (x ) ψi (x ) = 0
also
ψDi (D x ) = f (D x ) · xD
Es gilt
für x ∈ Ui
,
sonst
für xD ∈ UHi .
i) F ist injektiv Sei F (x ) = F (y) , also insbesondere n
∀ : fi (x ) = fi (y) .
i=1
Dann liegen x und y in einer gemeinsamen Umgebung W k mit einem k ∈ {1, . . . , N } , denn x ∈ W k und y < W k =⇒ fk (x ) = 1 , fk (y) . Aus ψk (x ) = ψk (y) folgt dann wegen
fk (x ) = fk (y) = 1 φk (x ) = φk (y) , also x = y . ii) F ist regulär Sei etwa x 0 ∈ Wk . Wir benutzen die Karte φk :Uk → UHk . In der Umgebung von x 0 gilt dann
(k )
(k )
F (x ) = ( f 1 (x ) , . . . , 1 , . . . , f N (x ) ;ψ 1 (x ) , . . . , φk (x ), . . . ,ψ N (x )) =⇒ FD(D x ) = F ◦ φk-1 x 1 , . . . ,x m = . . . ; . . . , x 1 , . . . ,x m , . . .
und dies impliziert
*. D DF (D x ) = .. . ,
1
..
.
1
+/ // / -
=m , also rg DFD(D x) = m .
Zusammen ist also F eine injektive C r -Immersion. Zu zeigen bleibt: F : M → F (M ) ⊂: RN ist auch offen, also ein Homöomorphismus. Dies liefert der folgende topologische
2.4. Einbettungen in einem flachen Raum RN
53
2.36 Hilfssatz Sei X ein kompakter topologischer Raum, Y ein topologischer Hausdorffraum und F :X → Y eine stetige Bijektion. Dann ist F auch offen, also sogar ein Homöomorphismus. Beweis. Sei Q offen in X , also A := X \ Q abgeschlossen. Da X kompakt, ist auch A kompakt (siehe Übung 1), ebenso F (A) ⊂ V , da f stetig. Weil Y ein Hausdorffraum, ist F (A) auch abgeschlossen in Y (siehe Übung 1), also f bij.
f (Q ) = f (X \ A) = f (X ) \ f (A) = Y \ f (A) offen in Y .
2.37 Folgerung Eine injektive Immersion einer kompakten Mannigfaltigkeit ist automatisch eine Einbettung.
2.38 Beispiel: Die Projektive Ebene P2 Sie entsteht aus der affinen Ebene R2 durch Hinzunahme einer “Ferngeraden”, damit sich alle Geraden, eventuell “im Unendlichen”, auf dieser Ferngeraden schneiden. ( ) ( ) ∧ ( ) P2 := x,y,z (x,y,z) ∈ R3 \ {0} = x,y,z (x,y,z) ∈ S 2 = {x, -x } | x ∈ S 2 .
Die Karten
y z y z φ x : x,y,z = 1, , 7→ , ∈ R2 x x! " x x# x z x z φy : x,y,z = , 1, 7→ , ∈ R2 y y y y x y x y φz : x,y,z = , , 1 7→ , ∈ R2 z z z z
machen P2 zu einer 2-dimensionalen C ∞ -Mannigfaltigkeit. Eigenschaften i) P2 ist nicht in den R3 einbettbar Weglassen überflüssiger Diametralpunkte auf der S 2 liefert eine Halbkugel, bei der Diametralpunkte auf dem Äquatorkreis zu “verkleben” sind. Dies ist im R3 ohne Selbstdurchdringungen nicht möglich. ii) P2 ist in den R4 einbettbar
(wobei x , 0) (wobei y , 0) (wobei z , 0)
2.4. Einbettungen in einem flachen Raum RN
54
Die Abbildung 2
4
f :P → R ,
! 1 2 2 x,y,z 7→ y · z,z · x,x · y, · x − y 2
ist wohldefiniert, injektiv, regulär, also eine Einbettung, da P2 kompakt. iii) Es existiert eine Immersion der P2 in dem R3 Projektion der Einbettung f auf die ersten 3 Koordinaten liefert die Steinersche Römerfläche (Jakob Steiner 1838). Diese besitzt aber 6 Singularitäten (keine Immersion!) Parameterdarstellung:
д : P2 → R3 ,
x,y,z 7→ (y · z,z · x,x · y) .
”Glätten” dieser Spitzen liefert die Boysche Fläche. (Werner Boy 1901, sollte zeigen, dass es keine Immersion gibt). Explizite Parameterdarstellung erst 1978. Eine Variante der Römerfläche ist die Kreuzhaube, ebenfalls mit Singularitäten. iv) P2 ist nicht orientierbar Veranschaulichung
Halbkugel
abgeschlossene Kreisscheibe
enthält ein Möbiusband
Ergänzungen • Jeder projektive Raum Pn ist in den R2n einbettbar. • Jeder projektive Raum P2n+1 ist orientierbar (siehe Übung für n = 1) • Jeder projektive Raum P2n ist nicht orientierbar.
3
Tangentialbündel und andere Faserbündel 3.1 Das Tangentialbündel Die Tangentialräume Tx M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M in verschiedenen Punkten x ∈ M sind definitionsgemäß disjunkt (sieht man von Identifikationen in trivialen Mannigfaltigkeiten ab). Ihre Vereinigung [ • TM := Tx M x ∈M
kann in natürlicher Weise mit einer Differenzierbarkeitsstruktur versehen werden Tx M TM
X
U
π x
H × Rm U
φ
M
xi
U
3.1 Satz M sei eine m-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit mit m r ≥ 1 , [ • Tx M TM := x ∈M
die (disjunkte) Vereinigung ihrer Tangentialräume und π : TM → M , die natürliche Projektion. Dann gilt:
xi , X i
X ∈ Tx M 7→ x ∈ M
H U
Rm
3.1. Das Tangentialbündel
56
i) Eine Karte
m φ : U ⊂ M → UH ⊂ R x 7→ x i
von M induziert eine Karte
m 2m φ : U := π -1 (U ) ⊂ TM → UH × R ⊂ R Pm i ∂ X = i=1 X · ∂x i 7→ x i ,X i x
von TM der Dimension 2m, genannt die zu φ assoziierte Karte. Die Menge A (TM ) := φ φ ∈ C(M )
aller assoziierten Karten bildet einen C r −1 -Atlas von TM, wodurch TM zu einer 2mdimensionalen C r −1 -Mannigfaltigkeit wird, genannt das Tangentialbündel von M. ii) Die Projektion π : TM → M ist für r ≥ 2 eine C r −1 -Submersion. Die einzelnen Fasern Tx M := π -1 (x ) bilden dann also jeweils eine C r −1 -Untermannigfaltigkeit von TM . Beweis. i) Für assoziierte Karten φ,φ 0 gilt: 0 φ U ∩ U = φ U ∩ U 0 × Rm ist offen in R2m . φ,φ 0 sind C r −1 -verträglich, denn für die Koordinatentransformation 0 0 φ 0 ◦ φ -1 :φ U ∩ U = φ U ∩ U 0 × Rm → φ 0 U ∩ U 0 × Rm = φ 0 U ∩ U gilt nach Satz 2.11 iii) m m m X X -1 ∂ ∂ φ 0 * 0k j X ∂x 0k j i + i 0k i i φ = → 7 X = 7 x x , x ·X x ,X → X · X · ∂x i x ∂x i ∂x 0k x , i=1 k=1 i=1
dies ist ein C r −1 -Diffeomorphismus
U
U
0
TM
φ φ
π
0
M
H × Rm U H0 × Rm U
ii) Bezüglich Karten φ,φ gilt für die Projektion π : TM → M: πD = φ ◦ π ◦ φ -1 :φ U = UH × Rm → φ (U ) = UH , x i ,X i 7→ x i .
Sie besitzt also überall Höchstrang m. Demnach ist jeder Punkt x ∈ M regulärer Wert von π . Anwendung von Satz 2.31 liefert das gewünschte.
3.1. Das Tangentialbündel
57
3.2 Folgerung Jede C r -Koordinatentransformation xD 7→ T (D x ) := φ 0 ◦ φ -1 (D x)
induziert im Tangentialbündel die C r −1 -Koordinatentransformation D 7→ T xD, X D = T (D D xD, X x ) , DT (D x ) ·X Der assoziierte Atlas A (TM ) ist im allgemeinen nicht maximal! So wie die punktalen Tangentialräume Tx M können auch die punktalen Differentiale dF : Tx M → TF(x ) N x
einer differenzierbaren Abbildung F : M → N “gebündelt” werden Tx M
TN
TM
X
dF (X ) dF
πM M
x
πN
F
F (x )
N
3.3 Satz M, N seien C r -Mannigfaltigkeiten mit r ≥ 1 und F : M → N eine C r -Abbildung. Dann ist dF : TM → TN , eine C r −1 -Abbildung mit der Eigenschaft
X 7→ dF (X ) := dF π M(X ) (X )
π N ◦ dF = F ◦ πM
(Fasertreue) ,
genannt das Differential von F . Beweis. Für assoziierte Karten
φ :U → UH × Rm ,
ψ :V → VH × Rn ,
(mit F (U ) ⊂ V =⇒ dF U ⊂ V ) gilt:
X 7→ x i ,X i
Y 7→ (y α ,Y α )
L = ψ ◦ dF ◦ φ -1 : UH × Rm → VH × Rn dF m m X X dF | x φ -1 ψ ∂ FDµ j ∂ i i i ∂ (X ) x ,X 7→ X = X x 7 → → 7 dF = x i i µ ∂x x ∂x ∂y F(x ) i=1 i=1 m X ψ ∂ FDµ j i + µ j * D 7→ F x , x ·X i ∂x , i=1 L xD, X D = FD(D D Diese Abbildung ist C r -differenzierbar. Es gilt also dF x ) , D FD(D x ) ·X
3.2. Andere Vektorraumbündel
58
3.2 Andere Vektorraumbündel Die Konstruktion einer Differenzierbarkeitsstruktur auf dem Tangentialbündel kann fast wörtlich auf andere Vektor(raum)-Bündel übertragen werden. 3.4 Definition: Vektorraumbündel (E, M, π ) Ein Vektorraumbündel (E, M, π ) besteht aus • einem Basisraum M
[ = m-dim. differenzierbare Mannigfaltigkeit ] • S
• einem Bündelraum E =
Ex
[ = disjunkte Vereinigung N -dim. VR Ex ]
x ∈M
• einer (surjektiven) Projektion π : E → M mit Fasern Ex = π -1 (x )
für x ∈ M
so dass gilt: • Jede Karte φ von M induziert für x ∈ U φ eine (wohlbestimmte) Basis (e 1 |x , . . . , e N |x ) von Ex und • jede Koordinatentransformation φ 0 ◦ φ -1 in M induziert für x ∈ U φ ∩ U φ0 eine (wohlbestimmte) – Basistransformation e I |x =
N X K=1
aKI x i · eK0
x
– also auch eine (lineare) Koordinatentransformation der Gestalt N X I 0K i J * X 7→ X x ,X = aKI x i · X I + , , I =1 -
d.h.
D0 xD, X D = A(D D X x ) ·X
Ex
D = T (D D T xD, X x ) ,A(D x ) ·X
bzw.
E X
U
π x
D xD, X
M U
H ⊂ RN U T
φ xD
H ⊂ Rm U
T
D0 xD0 , X xD0
Zur Konstruktion von Beispielen machen wir einen Ausflug in die multilineare Algebra.
3.2. Andere Vektorraumbündel
59
Ausflug in die multilineare Algebra [Zunächst einmal eine meist ausreichende “Schmalspur”-Fassung] Gegeben: • Vektorraum V (über R) mit dim V = m, Basis (e 1 , . . . ,em ) P k • Basisdarstellung von X ∈ V : X = m k=1 X · ek Eine Basistransformation ek =
m X l=1
alk · el0
liefert eine (kontravariante) Koordinatentransformation
X 0l =
m X
k=1
al · X k k
f g D0 = A· X D X
Aus V lassen sich eine Reihe weiterer Vektorraumkonstruktionen mit induzierten Basen und induzierten Koordinatentransformation erzeugen.
0. Dualraum V ? von V Der Dualraum von V ist der Vektorraum aller Linearformen auf V , d.h. V ? := L(V ; R) = ξ :V → R ξ linear
Induzierte Dualbasis von V ? : 1 ϑ , . . . , ϑ m , definiert durch ∀i,k : ϑ k (ei ) := δik ,
also dim V ? = m
Basisdarstellung von ξ ∈ V ? :
ξ =
m X
k=1
ξk · ϑ k
mit ξk = ξ (ek )
Die induzierte Basistransformation: 0l
ϑ =
m X
k=1
al · ϑ k k
liefert eine (kovariante) Koordinatentransformation ξk = l -1 bzw. mit a k := alk :
und in Matrix-Notation:
ξ0 = l
ξD0 = A? · ξD
mit
m X
k=1
Pm
k
a l · ξk
T A? := A-1
l l=1 ak
· ξl0
3.2. Andere Vektorraumbündel
60
1. p-faches Tensorprodukt von V ? Das p-fache Tensorprodukt von V ?, auch kovarianter Tensorraum der Stufe p über V genannt, ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen Multilinearformen auf V , d.h. Op V ? := L(V , . . . ,V ; R) = ω :V × · · · × V → R ω p-fach linear | | {z } | {z } p-mal
p-mal
Op
Ein Element aus V ? wird auch kurz als p-Linearform oder p-Form bezeichnet. Spezielle p-Linearformen sind Tensorprodukte ξ 1 · · · ξp
definiert durch
von Linearformen ξ 1 , . . . ,ξ p ∈ V ?
ξ 1 · · · ξp
X 1 , . . . , Xp := ξ 1 (X 1 ) · · · ξ p Xp
Op Induzierte Basis von V? : k ϑ 1 · · · ϑ kp 1 ≤ k 1 , . . . ,kp ≤ m Op also dim V ? = mp . Basisdarstellung einer p-Form ω ∈ ω=
m X
k 1 ,...,kp =1
k k ϑ 1 · · · ϑ kp ei 1 , . . . ,eip := δik11 · · · δipp
mit
Op
V? : ωk1 ...kp := ω ek1 , . . . ,ekp
mit
ωk1 ···kp · ϑ k1 · · · ϑ kp
Die induzierte (p-fach kovariante) Koordinatentransformation lautet:
ω 0l1 ···lp
=
m X
k 1 ,...,kp =1
k1
kp
a l1 · · · a l · ωk1 ···kp p
2. p-fach äußeres Produkt von V ? Das p-fach äußere Produkt von V ? ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen alternierenden Multilinearformen auf V , d.h. ^p Op V ? := AL(V , . . . ,V ; R) := ω ∈ V ? ω schiefsymmetrisch | {z } p-mal
Spezielle schiefsymmetrische p-Formen sind äußere Produkte X ξ 1 ∧· · ·∧ξ p := sgn π · ξ π(1) · · · ξ π(p) von Linearformen ξ 1 , . . . ,ξ p ∈ V ? π ∈Sp
mit
ξ 1 ∧· · ·∧ξ p X 1 , . . . ,Xp =
X π ∈Sp
sgn π · ξ π(1) (X 1 ) · · · ξ π(p) Xp = det ξ k (Xi )
ξ 1 (X ) · · · ξ 1 X p 1 . .. = p p ξ (X 1 ) · · · ξ Xp
i,k=1,...,p
=
3.2. Andere Vektorraumbündel
Induzierte Basis von
also dim
^p
m V? = * + ,p -
^p
Grenzfälle dim
^1
dim
^m−1
dim
^m
V?
V?
V? : k ϑ 1 ∧· · ·∧ϑ kp 1 ≤ k 1 < · · · < kp ≤ m
*m+ ,1-
=
V?
61
m + = * ,m − 1*m+ ,m-
=
=m
1-Formen = Linearformen
=m
(m − 1) - Formen
=1
Determinantenformen
^p Basisdarstellung einer alternierenden p-Form ω ∈ V? : X ω= ωk1 ···kp · ϑ k1 ∧ · · · ∧ ϑ kp 1≤k 1 <···
Die induzierte (p-fach kovariante, schiefsymmetrische) Koordinatentransformation lautet:
ω 0l1 ···lp =
X
k1
1≤k 1 <···
kp
a l1 · · · a l · ωk1 ···kp p
Unter Benutzung der Bidualität
id
V ?? = V erhält man auch
3. p-faches Tensorprodukt von V
=
V ??
Das p-fache Tensorprodukt von V , auch kontravarianter Tensorraum der Stufe p über V genannt, ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen Multilinearformen auf V ?, d.h. Op V := L(V ?, . . . ,V ?; R) Krücke! | {z } Induzierte Basis von
also dim
Op
Op
V = mp .
p-mal
V : ei 1 · · · eip i 1 , . . . ,ip = 1, . . . ,m
Basisdarstellung eines Tensors T ∈ T =
Op
m X
i 1 ,...,ip =1
V : T i 1 ···ip · ei 1 · · · eip
3.2. Andere Vektorraumbündel
62
Die induzierte (p-fach kontravariante) Koordinatentransformation lautet:
T
0 j 1 ···jp
m X
=
i 1 ,...,ip =1
4. p-fach äußeres Produkt von V
j i1
a 1 ···a
jp ip
·T
i 1 ···ip
= V ??
Das p-fach äußere Produkt von V ist definiert als der Vektorraum aller p-fachen alternierenden Multilinearformen auf V ?, d.h ^p V := AL(V ?, . . . ,V ?; R) Krücke! | {z } Induzierte Basis von
also dim
^p
^p
m V =* + . ,p -
p-mal
V :
ei 1 ∧ · · · ∧ eip 1 ≤ i 1 < · · · < ip ≤ m
Basisdarstellung eines (alternierenden) p-Vektors X ∈ X =
X
1≤i 1 <···
^p
V :
X i 1 ···ip · ei 1 ∧· · ·∧eip
Die induzierte Koordinatentransformation lautet:
X 0 j1 ···jp =
X
1≤i 1 <···
j i1
a 1 ···a
jp ip
·X
i 1 ···ip
Auch “gemischte” Tensorräume lassen sich definieren. Oft gebraucht wird:
5. Tensorraum der Stufe (1,q) über V Der Tensorraum der Stufe (1,q) über V ist Oq V V ? := L(V , . . . ,V ; V ) | {z } q-mal
f
g = L V ?,V , . . . ,V ; R | {z } q-mal
d.h. der Vektorraum aller q-fach linearen Abbildungen nach V . Induzierte Basis von V
mit
Oq
V? :
ei ϑ k1 · · · ϑ kq i,k 1 , . . . ,kq = 1, . . . ,m
k ei ϑ k1 · · · ϑ kq ei 1 , · · · ,eiq := δik11 · · · δiqq · ei Oq also dim V V ? = m · mq .
3.2. Andere Vektorraumbündel
63
Oq
Basisdarstellung eines Tensors T ∈ V m X
T =
Ti
k 1 ···kq
i,k 1 ,...,kq =1
V? :
· e 1 ϑ k 1 · · · ϑ kq
Induzierte (1-fach kontravariante, q-fach kovariante) Koordinatentransformation:
0j T l 1 ···lq
m X
=
i,k 1 ,...,kq =1
j i
k1
kq
a · a l1 · · · a l · T i q
k 1 ···kq
Die allgemeine Form ist:
6. Tensorraum der Stufe (p,q) über V Der Tensorraum der Stufe (p,q) über V ist definiert als Op Op Oq V := V V ? := L(V ?, . . . ,V ?,V , . . . ,V ; R) | {z } | {z } q p-fach
q-fach
und sagen dieser sei p-fach kontravariant und q-fach kovariant. Induzierte Basis von
mit
Op
q
V :
ei 1 · · · eip ϑ k1 · · · ϑ kq i 1 , . . . ,ip ,k 1 , . . . ,kq = 1, . . . ,m
k ei 1 · · · eip ϑ k1 · · · ϑ kq ei 1 , . . . ,eiq := δik11 · · · δiqq · ei 1 · · · eip Op also dim V = mp · mq = m (p+q) . q
Op
Basisdarstellung eines Tensors T ∈ m X
T =
q
T
i 1 ,...ip ,k 1 ,...,kq =1
i 1 ···i q
k 1 ···kq
V : · ei 1 · · · ei p ϑ k 1 · · · ϑ k q
Induzierte (p-fach kontravariante, q-fach kovariante) Koordinatentransformation:
T
0 j 1 ···jp l 1 ···lq
=
m X
i 1 ,...ip ,k 1 ,...,kq =1
j i1
a 1 ···a
jp ip
k1
kq
· a l1 · · · a l · T q
i 1 ···ip
k 1 ···kq
3.2. Andere Vektorraumbündel
64
Ergänzung Die Benutzung der Bidualität V ?? = V bei der Definition kontravarianter Tensoren und pVektoren ist unbefriedigend. Eine elegante aber abstrakte Definition liefert der 3.5 Satz: Satz über die universelle Eigenschaft Zu je p endlich-dimensionalen Vektorräumen V1 , . . . ,Vp (über R) existiert bis auf Isomorphie eindeutig Op • ein Vektorraum V1 · · · Vp =: Vi i=1
• eine p-fach lineare Abbildung :V1 × · · · × Vp → V1 · · · Vp mit der sogenannten “universellen Eigenschaft”: Jede p-lineare Abbildung ϕ :V1 × · · · ×Vp → W in einem Vektorraum W lässt sich als lineare Abbildung φ :V1 · · · Vp → W realisieren: Es gilt ϕ = φ ◦ , also ϕ x 1 , . . . ,xp = φ x 1 · · · xp V1 × · · · × Vp ⊗ V1 ⊗ · · · ⊗ Vp
Ähnliches gilt für
^p
ϕ
W φ
V
Anwendung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten M
Setzt man V := Tx M , ei := ∂x∂ i , ϑ k := dx k usw., so erhält man in jedem Punkt x ∈ M eix x ne Reihe (disjunkter) Vektorräume Ex mit bezüglich Karten ausgezeichneten Basen, die sich nach dem Vorbild von Satz 3.1 zu ein Vektorraum-Bündel E (als differenzierbare Mannigfaltigkeit) mit Fasern Ex zusammenfassen lassen, z.B.: • das Cotangentialbündel T?M Op Op • die Tensorbündel T?M [ bzw. allgemein TM ] q
• die Äußere-Produkt-Bündel
^p
T?M
[ oder
^p
TM ]
Dies ist möglich, da alle Vektor-Koordinatentransformationen differenzierbar von Punktkoordinaten abhängen.
3.2. Andere Vektorraumbündel
65
3.6 Definition: Schnitt im Vektorraumbündel (E, M, π ) Ein Schnitt in einem differenzierbaren Vektorraum-Bündel (E,M,π ) ist eine differenzierbare Abbildung Z :M → E mit der Eigenschaft
π ◦ Z = idM
d.h. ∀x ∈M : Z (x ) ∈ Ex .
Ex
Ex E
E
so!
so nicht!
Z (x )
π
Z x
π
Z
M
M
x
3.7 Beispiel i) Schnitt in (TM, M, π ) : (Tangential-) Vektorfeld auf M lokal:
x 7→ X (x ) =
∂ Xi xj · ∂x i x i=1
m X
f
bzw.
g D(D xD 7→ xD, X x)
ii) Schnitt in T?M, M, π : 1-Form auf M [ = kovariantes Vektorfeld auf M ] lokal:
iii) Schnitt in
Op
q
iv) Schnitt in
lokal:
k=1
φk x j · dx k x
TM, M, π : Tensorfeld der Stufe (p,q) auf M
lokal: x 7→ T (x ) = ^p
x 7→ φ (x ) =
m X
X
i ···i T k1 ···kpq x j · 1
T?M, M, π
∂ ∂ dx k1 · · · dk kq · · · i p x x ∂x i 1 x ∂x x
: Differentialform auf M
x 7→ ω (x ) =
X k 1 <···
wk1 ···kp x j · dx k1 ∧. . .∧ dx kp x x
3.2. Andere Vektorraumbündel
66
Anwendungen in der Riemannschen Geometrie / klass. Differentialgeometrie • Maßtensorfeld Ist das Feld von Bilearformen дx : Tx M × Tx M → R lokal:
x 7→ дx =
m X i,k=1
O2 дik x j · dx i dx k ∈ T?M x x
• Shape-Operator Ist das Feld von linearen Abbildungen Ax : Tx M → Tx M lokal:
x 7→ Ax =
O1 ∂ k ∈ TM dx aik x j · x 1 ∂x i x i,k=1 m X
• Riemannsches Krümmungstensorfeld Ist das Feld von 3-fach linearen Abbildungen Rx : (Tx M ) 3 → Tx M lokal: (siehe später)
x 7→ Rx =
O1 ∂ Rk i r s x j · dx k i dx r x dx s x ∈ TM x 3 ∂x x i,k,r ,s=1 m X
3.3. Allgemeine Faserbündel
67
3.3 Allgemeine Faserbündel Hier verzichtet man auf die Vektorraum-Struktur der Fasern 3.8 Definition: Faserbündel Ein differenzierbares Faserbündel
E, M, π , F ,G, B(E)
besteht aus
• einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit E , genannt Bündelraum • einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M , genannt Basisraum • einer differenzierbaren und surjektiven Submersion π : E → M , genannt Projektion von E auf M, mit Fasern Ex = π -1 (x ) für x ∈ M (diese sind Untermannigfaltigkeiten) • einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit F , genannt Standardfaser • einer Untergruppe G der Diffeomorphismengruppe Diff(F ) von F , genannt Strukturgruppe • einer G-Bündelstruktur B(E) . Eine G-Bündelstruktur wird erzeugt von einem Atlas fasertreuer Bündelkarten von E, d.h. Diffeomorphismen ϕ : π -1 (U ) ⊂ E → U × F
mit ∀x ∈U : ϕ(Ex ) = {x } × F
auf Urbilder offener Mengen U von M unter π mit der Eigenschaft der G-Verträglichkeit, d.h. bei einem Kartenwechsel 0 ϕ 0 ◦ ϕ -1 : (U ∩ U 0 ) × F → (U ∩U ) × F (x,Y ) 7→ x,дϕϕ 0 (x )(Y )
liegen die induzierten Übergangsfunktionen дϕϕ 0 (x ) : F → F in der Strukturgruppe G . U × F π -1 (U )
π -1 (U 0 )
Ex
(x ,Y )
E
ϕ
U
0
U0 × F (x ,Y 0 )
π x
Y
ϕ
x
U
U0
F
F Y0
M x
дϕϕ 0 (x )
U0
3.3. Allgemeine Faserbündel
68
• Der Bündelraum E eines Faserbündels ist also lokal eine Produktmannigfaltigkeit ϕ
π -1 (U ) ≈ U × F
f
wobei π -1 (U ) ⊂ E und U ⊂ M
g
Je kleiner die Strukturgruppe G ist (oder gewählt werden kann), desto ähnlicher ist E einer Produktmannigfaltigkeit. • Ist die Standardfaser F ein endlich-dimensionaler Vektorraum und G eine Untergruppe der Allgemeine Lineare Gruppe GL(F ) erhält man ein Vektorraumbündel (E,M,π [,G ]) 3.9 Beispiel: Tangentialbündel Das Tangentialbündel TM einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist ein Vektorraum f g Bündel TM,M,π , Rm , GLm (R) , B(TM ) Bündelkarten: ϕ:
π -1 (U ) ⊂ TM P ∂ i X = m i=1 X · ∂x i
x
→ U × Rm 7→ x,X i
vergleiche assozierte Karte
Übergangsfunktionen für x ∈ U ∩ U 0: m дϕϕ 0 (x ) : Rm → R P k ∂x j i X j 7→ X 0k = i ∂x i x · X D 7→ X D0 = D φ 0 ◦ φ -1 (φ (x )) · X D X | {z } ∈GL(m,R)
[ Analog die anderen Tensorbündel; es ist meist G ⊂ GL (N , R) ] 3.10 Beispiel: Produktmannigfaltigkeit Eine Produktmannigfaltigkeit E = M × N ist ein triviales Faserbündel über M: F = N und π = P1 : M × N → M und G = id . Es gilt G = id ⇐⇒ es ex. eine globale Bündelkarte ϕ = id : π -1 (M ) = M × N → M × N Beispiele:
Zylinder : S 1 × I
Torus : S 1 × S 1
3.3. Allgemeine Faserbündel
69
3.11 Beispiel: Möbiusband E Ein weiteres Faserbündel ist ein Möbiusband E mit Basis M = S 1 , Standardfaser F = I und Bündelkarten ϕ 1 : π -1 U02π → U02π × I ϕ 2 : π -1 U-ππ → U-ππ × I “Verkleben” mit Hilfe geeigneter Übergangsfunktionen i·t ,y e für t ∈ ]0,π [ i·t -1 ϕ 2 ◦ϕ 1 : e ,y 7→ ei·t , -y für t ∈ ]π , 2π [ id für t ∈ ]0,π [ дϕ1ϕ2 ei·t = -id für t ∈ ]π , 2π [ G = (id, -id) Z2
-π
0
π
0
π
2π
3.12 Beispiel: Kleinsche Flasche E Ein weiteres Faserbündel ist die Kleinsche Flasche E mit Basis M = S 1 , Standardfaser F = S 1 und Bündelkarten: ϕ 1 : π -1 U02π → U02π × S 1 ϕ 2 : π -1 U-ππ → U-ππ × S 1 sp “Verkleben” nach einer Achsenspiegelung ei·s 7→ e-i·s i·t , ei·s e für t ∈ ]0,π [ ϕ 2 ◦ ϕ 1-1 : ei·t , ei·s 7→ ei·t , e-i·s für t ∈ ]π , 2π [ дϕ1ϕ2 ei·t : S 1
ei·s G = (id, sp) Z2
→ S1 ei·s 7→ e-i·s
für t ∈ ]0,π [
für t ∈ ]π , 2π [
-π
0
π
0
π
2π
3.4. Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel
70
3.4 Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel 3.4.1 Lie-Gruppen Oft wird bei der Definition eines Faserbündels verlangt, dass die Strukturgruppe selbst eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. 3.13 Definition: Lie-Gruppe Eine Gruppe G heißt eine Lie-Gruppe, wenn sie eine (analytische) Differenzierbarkeitsstruktur besitzt, so dass die Gruppenoperationen selbst analytisch sind, also die Abbildung (д,h) ∈ G × G 7→ д ◦ h -1 ∈ G
analytisch ist.
Eine Forderung “nur C r mit r ≥ 0” ist nicht wesentlich, denn C 0 impliziert schon C ω . [ Fünftes Hilbertsches Problem ] 3.14 Beispiel i) Diskrete 0-dim. Gruppen id , Z2 , . . . (uninteressant!) ii) Bezüglich Addition: R, C,S 1 (= R mod 2π ) , . . . , Rn , . . . , Cn , . . . iii) Bezüglich Multiplikation: GL (n, R) , SO(n, R) , . . . (siehe Übungen) Eine Lie-Gruppe G wirkt dann (so wird weiter verlangt) als Liesche Transformationsgruppe auf den Standardfasern F des Faserbündels, d.h. die Abbildung G×F →F ,
(д,Y ) 7→ д(Y )
ist differenzierbar und für jedes д ∈ G ist die Abbildung Y ∈ F 7→ д(Y ) ∈ F ein Diffeomorphismus.
3.4. Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel
3.4.2 Hauptfaserbündel (Prinzipialbündel) Ist die Strukturgruppe G eines Faserbündels eine Lie-Gruppe, kann man sie selbst als Standardfaser eines assozierten Hauptfaserbündels benutzt werden (F → G) E,M,π , F ,G, B(E) → H ,M,π ,G, B(H ) G wirkt dann auf sich selbst als “Linkstranslation” ∀д∈G : h ∈ G 7→ д(h) := д ◦ h ∈ G (dies ist ein Diffeomorphismus!) Hintergrund: Manchmal ist nur wichtig, welche Strukturgruppe zu einem Faserbündel gehört. Beispiel: • TM und T?M besitzen beide die gleiche Strukturgruppe G = GL (m, R) ; beide Bündel unterscheiden sich ( wie V und V ? ) nicht sehr. • Ebenso besitzen Möbiusband und Kleinsche Flasche die gleiche Strukturgruppe G = e,д ( mit д2 = e ) Das Standardbeispiel eines Hauptfaserbündels ist 3.15 Beispiel: Reperbündel Das Reperbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist ein Hauptfaserbündel mit: • Basisraum: M • Fasern: Px M := Menge aller (geordneten) Basen ( "Reper’s") von Tx M = ex := (e 1 , . . . ,em )|x ex Basis von Tx M
• Bündelraum: PM :=
• S
Px M
x ∈M
• Projektion: π : PM → M ,
ex ∈ Px M 7→ x ∈ M
• Bündelkarten: Jede Karte φ von M liefert für x ∈ U := U φ eine Standardbasis ! ∂ ∂ , . . . , m ∈ Px M . ∂x x ∂x 1 x
Dadurch lässt sich jede Basis ex ∈ Px M eindeutig durch eine Matrix A ∈ GL (m, R) beschreiben ! ∂ ∂ , . . . , m ·A . (e 1 , . . . ,em )|x = ∂x x ∂x 1 x Durch ϕx :ex ∈ Px M → ϕx (ex ) := A ∈ GL (m, R)
71
3.4. Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel
72
wird insgesamt eine Bündelkarte ϕ : π -1 (U ) → U × GL (m, R) ,
ex 7→ (x,A)
mit Standardfaser F = GL (m, R) definiert. • Kartenwechsel: 0 Sei φ 0 eine weitere Karte von M mit U 0 := U φ , U ∩U 0 , ∅. Für x ∈ U ∩U 0 und ex ∈ Px M gilt dann ! ! ∂ ∂ ∂ ∂ , . . . , 0 m ·T ·A , . . . , m ·A = ex = ∂x x ∂x x ∂x 1 x ∂x 0 1 x mit T ∈ GL (m, R) . ϕ 0 ◦ ϕ -1 : (U ∩ U 0 ) × GL (m, R) → (U ∩ U 0 ) × GL (m, R) ϕ -1 ϕ0 (x,A) 7→ ex = ∂x∂0 1 , . . . , ∂x∂0 m ·T ·A 7→ (x,T ·A) x x
liefert dann die Übergangsfunktionen
T :A ∈ GL (m, R) 7→ T ·A ∈ GL (m, R) die selbst in GL (m, R) liegen und auf sich selbst wirken.
3.16 Beispiel: Konstruktion eines Hauptfaserbündels Konstruktion eines assoziierten Hauptfaserbündels gebenem Faserbündel E, M, π , F ,G, B(E) .
H , M, π ,G, B(G)
zu einem vorge-
Sei A (E) ein Bündelatlas von E aus Bündelkarten ϕ : π -1 U ϕ ⊂ E → U ϕ × F ⊂ M × F mit Übergangsfunktionen дϕ1ϕ2 (x ) : F → F Setze
X :=
für x ∈ U ϕ1 ∩ U ϕ2 . [ • Uϕ ×G .
ϕ∈A (E)
Durch (x 1 ,h 1 ) ∈ U ϕ1 × G ≈ (x 2 ,h 2 ) ∈ U ϕ2 × G : ⇐⇒ x 1 = x 2 ∧ h 2 = дϕ1ϕ2 (x 1 )(h 1 ) wird dann eine Äquivalenzrelation auf X definiert (“Verkleben”). Der Faktorraum H := X | ∼ ist dann Bündelraum eines Hauptfaserbündels: Die Bündelkarten kann man mit Hilfe von Repräsentanten definieren.
3.4. Ergänzung: Lie-Gruppen und Hauptfaserbündel
73
3.17 Beispiel: HF-Bündel des Möbiusbandes bzw. der Kleinschen Flasche M = S 1 , G = e,д ( mit д2 = e ) und F = I bzw. F = S 1 ϕ 1 : π -1 (U1 ) → U1 × F -1 ϕ 2 : π (U2 ) → U2 × F · X = (U1 × e,д ) ∪ (U2 × e,д )
дϕ1ϕ2 e
i·t
e = д
U1 × F 0
U2 × F
für 0 < t < π für π < t < 2π
2π
π
-π
0
U1
π
U2
e
д
Verkleben
e
H
д S 1 (Basis)
Das Ergebnis ist eine “Doppelschleife”.
4
Einführung in die Riemannsche Geometrie In diesem Kapitel beschränken wir uns (aus Bequemlichkeit) auf C ∞ -Mannigfaltigkeiten der Dimension n ∈ N .
4.1 Riemannsche Metriken 4.1 Definition: Riemannsche Metrik / Riemannscher Raum Eine Riemannsche Metrik auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M ist ein (globaler) C ∞ -Schnitt д :M → im Tensorbündel
O2
O2
T?M ,
x 7→ дx
T?M,M,π , so dass in jedem Punkt x ∈ M die Bilinearform дx : Tx M × Tx M → R
symmetrisch und positiv definit ist. Das Paar (M,д) heißt dann Riemannscher Raum ( der Klasse C ∞ ) . Die Riemannsche Metrik д nennt man auch Fundamentalfeld oder Maßtensorfeld des Riemannschen Raumes.
i) Jeder Tangentialraum Tx M ist also ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt дx , dass C ∞ -differenzierbar vom Punkt x ∈ M abhängt. Bezüglich einer Karte φ von M hat man die Basisdarstellung дx =
n X i,k=1
дik x j · dx i dx k x x
mit C ∞ -Komponentenfunktionen x j 7→ дik x j = дx dx i , dx k . x
Mit дx kann man
x
4.1. Riemannsche Metriken
75
• Längen, Winkel, Flächeninhalte / Volumen tangentialer Objekte messen und durch Integration (in lokaler Koordinaten) • Längen von Kurvenstücken auf M bzw. den Flächeninhalt / das Volumen geeigneter Teilbereiche. ii) Eine Riemannsche Metrik д ordnet je zwei C ∞ -Vektorfeldern X ,Y : M → TM eine Funktion
д(X ,Y ) : M → R ,
x 7→ дx (X x ,Yx )
zu. Bezeichnet • X(M ) den Vektorraum aller C ∞ -Vektorfelder auf M • F(M ) den Vektorraum aller C ∞ -Funktionen auf M , so kann д auch als Abbildung д :X(M ) × X(M ) → F(M )
aufgefasst werden. Als solche verhält sie sich linear über den C ∞ -Funktionen, d.h. es gilt д( f 1 · X 1 + f 2 · X 2 ,Y ) = f 1 · д(X 1 ,Y ) + f 2 · д(X 2 ,Y )
usw.
für f 1 , f 2 ∈ F(M ) .
Die Auswertung wird punktal durchgeführt (eine typische Eigenschaft von Tensorfeldern). iii) Lässt man für die punktalen Bilinearformen дx auch andere Signaturen zu und verlangt nur, dass sie nicht degeneriert sind, erhält man Pseudo-Riemannsche Räume. Die 4-dimensionale Raum-Zeit-Welt der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt Bilinearformen der Signatur (− + ++) , sogenannte Lorentz-Metriken (Gravitationspotentiale). In ihr gibt es “lichtartige” Vektoren X , 0 mit дx (X ,X ) = 0 . Die einzelnen Tangentialräume sind Minkowski-Räume. 4.2 Beispiel Der Rn versehen mit einem beliebigen C ∞ -Feld x 7→ дik (x ) von symmetrischen, positiv definiten Matrizen. ( ) Spezialfall: Die Poincare’sche obere Halbebene M = (x,y) ∈ R2 y > 0 , versehen mit der durch 1 1 0+ (дik (x,y)) = 2 * y ,0 1 gegebenen Metrik. (Dies ist auch ein Beispiel eines Raumes, in dem das Parallelaxiom verletzt ist)
4.1. Riemannsche Metriken
76
Zur Existenz Riemannscher Metriken auf einer vorgegebenen Mannigfaltigkeit M Riemannsche Metriken können immer mit Hilfe einer “Zerlegung der Eins” aus lokalen euklidischen Skalarprodukten konstruiert werden. 4.3 Definition: Träger Bei einer Funktion f : M → R heißt der topologische Abschluss supp f := x ∈ M | f (x ) , 0
der Träger (“support”) von f .
4.4 Definition: Zerlegung der Eins Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Familie differenzierbarer Funktionen fi : M → [0, 1] ⊂ R heißt eine differenzierbare Zerlegung der Eins, wenn gilt i) ( fi )i∈I ist lokal endlich, d.h. jeder Punkt x ∈ M besitzt eine offene Umgebung U mit U ∩ supp fi = ∅
für fast alle i ∈ I
(bis auf endlich viele Ausnahmen)
Es ist also fi U ≡ 0 für fast alle i ∈ I . P ii) i∈I fi ≡ 1 (lokal stets eine endliche Summe) 4.5 Hilfssatz Auf einer (echten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit M existiert zu jeder offenen Überdeckung (Qi )i∈I von M, eine untergeordnete (“subordinierte”) differenzierbare Zerlegung der Eins mit ∀i∈I : supp fi ⊂ Qi . Insbesondere existiert eine Zerlegung der Eins, so dass jeder Träger in einer Kartenumgebung eines Atlas von M enthalten ist. Beweis. [Beweisidee] Für den Spezialfall, dass M kompakt, wurde schon im Beweis des Einbettungssatzes 2.35 eine (sogar endliche) Zerlegung der Eins konstruiert: Man setze mit den dortigen Funktionen fi (i = 1, . . . , N ) fHi :=
U x
1
0
fi f1 + · · · + fN
PN H Dann gilt Definition 4.4 (ii) und (i) ist automatisch erfüllt. i=1 fi ≡ 1 Im allgemeinen Fall kann man ( mit Hilfe von T2 ,Z 2 ) eine kompakte Ausschöpfung (Kn )n∈N von M mit K 1 ⊂ K 2 ⊂ · · · ⊂ M konstruieren und erhält eine (sogar abzählbare), z.B. eine aus Atlas von M untergeordnete Zerlegung der Eins (vgl. Jänich: Vektoranalysis).
K1 K2 · · · M
4.1. Riemannsche Metriken
77
Damit lässt sich beweisen 4.6 Satz Auf jeder (echten) C ∞ -Mannigfaltigkeit M existiert eine Riemannsche Metrik д .
Beweis. Sei ( fi : M → [0, 1])i∈I eine C ∞ -Zerlegung der Eins, so dass supp fi ⊂ Ui mit einer Karte eines Atlas von M. Setze für x ∈ M , X ,Y ∈ Tx M
φi :Ui ⊂ M → UHi ⊂ Rn ∂ X = X · k ∂x x k=1 n X
mit Basisdarstellung:
und i ∈ I дx(i) (X ,Y )
k
Pn (i) k l (x ) f · i k,l=1 дkl · X · Y := 0
,
Y =
n X l=1
Yl ·
∂ ∂x l x
für x ∈ Ui sonst
mit festen symmetrischen und positiv definiten Matrizen X (i) дx(i) (X ,Y ) дkl und дx (X ,Y ) := k,l=1,...n
i∈I
(lokal eine endliche Summe). Offensichtlich ist дx bilinear und symmetrisch mit дx (X ,X ) ≥ 0 . дx ist auch positiv definit, denn aus дx (X ,X ) = 0 für ein X ∈ Tx M folgt zunächst ∀i∈I : дx(i) (X ,X ) = 0 . Da wegen
i fi
P
≡ 1 ein j ∈ I existiert mit f j (x ) > 0 , ist n X k,l=1
(j)
дkl · X k · X l = 0 ,
also X j = 0 und damit X = 0 .
Der Beweis funktioniert nicht bei indefiniten Metriken! Hintergrund: Eine endliche Summe positiv definiter Matrizen ist wieder positiv definit, aber eine endliche Summe regulärer Matrizen nicht unbedingt regulär. Bsp.:
1
-1
+
-1
1
=
0
0
Tatsächlich gib es nicht auf jeder Mannigfaltigkeit M eine Lorentz-Metrik (M muss topologisch harmlos sein).
4.2. Lineare Zusammenhänge
78
4.2 Lineare Zusammenhänge dY X
Die einzelnen Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit haben bisher nichts miteinander zu tun. Wir wollen sie “zusammenhängend” machen, indem wir vorgeben, wie sich tangentiale Vektorfelder relativ zueinander ändern. Vorbild: Bei klassischen Hyperflächen setzt man
X ∇Y X
Y
∇Y X := dY X T
Unabhängig von Vorhandensein einer Riemannschen Metrik ist die 4.7 Definition: linearer Zusammenhang Ein linearer Zusammenhang (“linear connection”) auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung ∇ : X(M ) × X(M ) → X(M ) , (X ,Y ) 7→ ∇Y X die sich im Argument X additiv und derivativ über F(M ) verhält, d.h. ∇Y (X 1 + X 2 ) = ∇Y X 1 + ∇Y X 2
,
sowie im Argument Y linear über F(M ), d.h
∇Y ( f · X ) = dY f · X + f · ∇Y X |{z} =Y( f )
∇ f1 ·Y1 +f2 ·Y2 X = f1 · ∇Y1 X + f2 · ∇Y2 X
Das Vektorfeld ∇Y X heißt kovariante Ableitung des Feldes X in Richtung des Feldes Y.
• Wegen der Linearität von ∇Y X über F(M ) bezüglich Y hängt der Wert ∇Y X |x nur vom Wert Yx ∈ Tx M ab (Punktalität in Y wie bei Tensorfeldern). Dies ist falsch bezüglich des Arguments X . • ∇Y X |x hängt aber nur von den Werten des Vektorfeldes X in einer Umgebung U von x H ein weiteres Vektorfeld mit X |U = X H , so wähle ab ( Lokalität in X ). Ist nämlich X U man eine Funktion f ∈ F(M )
mit
f (x ) = 1
und
(sie existiert; siehe Beweis des Satzes 2.35). Dann ist
f M\U ≡ 0
H f ·X = f ·X
auf M, also
! H + f · ∇Y X H = ∇Y f · X H . ∇Y ( f · X ) = Y ( f ) · X + f · ∇Y X = Y ( f ) · X
Hx und f (x ) = 1 folgt Wegen X x = X
H ∇Y X |x = ∇Y X
x
Der Operator ∇ ist also auch für lokale Vektorfelder X :Q ⊂ M → TM definiert!
4.2. Lineare Zusammenhänge
79
• Zur lokalen Darstellung von ∇Y X : Für X ,Y ∈ X(M ) gilt im Definitionsbereich einer Karte φ um x : X =
n X i=1
also ∇Y X |x
Setzt man
∂ X · i ∂x i
,
Y =
n X k=1
Yk ·
∂ ∂x k
n X ∂ + i * = ∇ ∂ X · i · Yh xj = ∂x - ∂x h , i=1 h=1 x ! n n n X X X ∂X i ∂ ∂ h j k j j ·Y x + X x ·∇ ∂ x · = ∂x i x ∂x h ∂x h ∂x k x k=1 h=1 i=1 n X
∇
∂ ∂x h
n X ∂ ∂ =: Γk i h x j · i ∂x ∂x k x x i=1
mit den lokalen Zusammenhangskoeffizienten x j 7→ Γk i h x j so folgt
"
n n X ∂ ∂X i j X k j i j h j ∇Y X |x = x + X x · Γ x · Y x · k h h ∂x i x ∂x i,h=1 k=1
# ∂ auf M unabhängig von der Fortsetzung der Basisfelder x 7→ ∂x i x
• Lineare Zusammenhänge lassen sich auch als Schnitte in geeignete Faserbündel (TTM !) beschreiben. 4.8 Beispiel i) Im Rn definiert die gewöhnliche Richtungsableitung einen linearen Zusammenhang ∇Y X := dY X , den kanonischen Zusammenhang des Rn [ mit Γk i h = 0 in der Standardkarte ] . ii) Im R3 ist aber z.B. auch
1 ·X ×Y 2 ein linearer Zusammenhang (diese sind aber nicht eindeutig). ∇Y X := dY X +
4.2. Lineare Zusammenhänge
80
Allgemein gilt Die Differenz S := ∇ − H ∇ zweier linearer Zusammenhänge ist ein (über F(M ) lineares) Tensorfeld S :X(M ) × X(M ) → X(M ) . Lokal gilt
n X
S (X ,Y ) =
i,k,h=1
∂ X k · Γk i h − H Γk i h · Y h · i ∂x
Umgekehrt definiert jedes solches Tensorfeld S zu einem linearen Zusammenhang ∇ einen weiteren: Setze H ∇Y X := ∇Y X + S (X ,Y ) Um einem linearen Zusammenhang wichtige Tensorfelder zuordnen zu können, benötigen wir das “Lie-sche Klammerprodukt” von Vektorfelder. 4.9 Satz Auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M wird je zwei Vektorfelder X ,Y ∈ X(M ) durch [X ,Y ] ( f ) := Y (X ( f )) − X (Y ( f )) wieder ein Vektorfeld
für alle f ∈ F(M )
[X ,Y ] ∈ X(M )
zugeordnet, genannt Kommutator oder Lie-Klammer von X und Y . Die lokale Darstellung lautet [X ,Y ] =
n f X
i,k=1
g ∂ ∂k X i · Y k − ∂k Y i · X k · ∂x i
Beweis. Übung. Im Rn gilt einfach [X ,Y ] = dY X − dX Y . Eigenschaften der Lie-Klammer i) Bilinearität über den Konstanten (nicht über den C ∞ -Funktionen!). Die Lie-Klammer verhält sich in beiden Argumenten derivativ (siehe Übung). ii) Schiefsymmetrie [X ,Y ] = - [Y ,X ] iii) Jacobi-Identität [[X ,Y ] ,Z ] + [[Y ,Z ] ,X ] + [[Z ,X ] ,Y ] = 0
4.2. Lineare Zusammenhänge
81
Bemerkung zur Lie-Klammer • Ein Vektorraum mit einem solchen Klammerprodukt (bilinear, schiefsymmetrisch, Jacobi-Identität) heißt auch eine Lie-Algebra. Einfaches Beispiel: Der R3 mit dem Vektorprodukt [X ,Y ] := X × Y
• Gilt [X ,Y ] ≡ 0 für Vektorfelder X ,Y ∈ X(M ), so sagt man, sie kommutieren. Lokale f gkanonische Basisfelder (auf ganz M fortgesetzt) kommutieren stets, somit ∂ ∂ , =0. ∂x i ∂x k
• Oft wird eine andere Definition benutzt (etwa bei Kühnel)
X ,Y ] ( f ) := X (Y ( f )) − Y (X ( f )) = - [X ,Y ] [I
Ähnliches findet man auch bei anderen Größen.
Kurze Formelsammlung ∇Y (X 1 + X 2 )
=
∇Y X 1 + ∇Y X 2
∇Y ( f · X )
∇Y1 +Y2 X
=
∇Y1 X + ∇Y2 X
∇ f ·Y X
=
Y ( f ) · X + f · [X ,Y ]
=
-X ( f ) · Y + f · [X ,Y ]
f · X ,Y
X, f · Y
= Y ( f ) · X + f · ∇Y X =
f · ∇Y X
Unter Verwendung der Lie-Klammer können einem linearen Zusammenhang Tensorfelder zugeordnet werden. 4.10 Satz Auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit mit linearem Zusammenhang ∇ wird durch T (X ,Y ) := ∇Y X − ∇X Y − [X ,Y ] ein Tensorfeld
T : X(M ) × X(M ) → X(M )
definiert, genannt Torsion des Zusammenhangs, und durch R(Y, Z) X := ∇Z ∇Y X − ∇Y ∇Z X − ∇[Y,Z] X ein Tensorfeld
R : X(M ) 3 → X(M )
genannt Krümmung des Zusammenhangs.
O1 T ist also ein Schnitt in TM,M,π , 2 O1 R ein Schnitt in TM,M,π 3
4.2. Lineare Zusammenhänge
82
Beweis. [Beweismöglichkeiten für die Tensoreigenschaft von T und R] i) Invariant durch Beweis der Homogenität über F(M ) (heute üblich): Zu zeigen ist: Für alle f ∈ F(M ) usw. usw. (siehe Übungen)
T ( f · X ,Y ) = f · T (X ,Y ) R(Y ,Z )( f · X ) = · · · f · R(Y ,Z ) X
ii) In lokaler Koordinaten (klassischer Tensorkalkül): Man rechnet etwa nach (ohne Summenzeichen, Einstein-Notation!) T (X ,Y ) = T k i h · X k · Y h ·
∂ ∂x i
R(Y ,Z ) X = · · · R j i kl · X j · Y k · Z l · mit Es ist also
mit T k i h = Γk i h − Γh i k
∂ ∂x i
R j i kl = ∂l Γ j i k + Γ j r k · Γr i l − ∂k Γ j i l + Γ j r l · Γr i k . ∂ ∂ , T ∂x k ∂x h
!
∂ = Tk h · i ∂x i
,
! ∂ ∂ ∂ ∂ i R , = R · j kl ∂x j ∂x k ∂x l ∂x i
4.11 Beispiel Für den kanonischen Zusammenhang d im Rn gilt T ≡ 0 und R ≡ 0 (d.h. er ist “symmetrisch” und “flach”). Der Zusammenhang 1 ∇Y X := dY X + (X × Y ) 2 im R3 ist dagegen weder symmetrisch noch flach (siehe Übung). Allgemein misst T die Symmetrie des Zusammenhangs ( ∇Y X ↔ ∇X Y ) und R die Vertauschbarkeit der 2. kovarianten Ableitungen ( ∇Z ∇Y X ↔ ∇Y ∇Z X ) , wenn man kommutierende Vektorfelder benutzt. Oft sind auch andere Definitionen gebräuchlich: • TH(X ,Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [I X ,Y ] = -T (X ,Y )
H ,Y ) Z := ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇ I Z = -R(X ,Y ) Z • R(X [X ,Y ]
Die kovariante Ableitung ∇ für Vektorfelder kann auf beliebige Tensorfelder T fortgesetzt werden, indem man die Gültigkeit der Produktregel fordert.
4.2. Lineare Zusammenhänge
83
Konstruktion anhand von Beispielen 4.12 Beispiel Die kovariante Ableitung eines Feldes д von Bilinearformen д :X(M ) × X(M ) → F(M ) ist definiert durch (∇Z д)(X ,Y ) = Z (д(X ,Y )) − д(∇Z X ,Y ) − д(X , ∇Z Y ) und liefert ein Tensorfeld Mit der lokalen Darstellung:
∇д :X(M ) 3 → F(M )
(∇Z д)(X ,Y ) = ∂j дik − дrk · Γi r j − дir · Γk r j · X i · Y k · Z j | {z } =∇j дik − дik;j
Beweis. [Beweis der Tensoreigenschaft (invariant)]: Es genügt zu zeigen: (∇Z д)( f · X ,Y ) = Z ( f · д(X ,Y )) − д(Z ( f ) · X + f · ∇Z X ,Y ) − f · д(X , ∇Z Y ) = ( ( (( (( ) ·( ) ·( Z ((f ( д(X ,Y ) Z ((f ( д(X ,Y ) + f · Z (д(X ,Y )) − ( = ( −f · д(∇Z X ,Y ) − f · д(X , ∇Z Y ) = f · (∇Z д)(X ,Y ) 4.13 Beispiel Die kovariante Ableitung eines Feldes R von trilinearen Abbildungen R :X(M ) 3 → X(M ) ist definiert durch (∇W R)(Y ,Z ) X = ∇W (R(Y ,Z ) X ) − R(∇W Y ,Z ) X − R(Y , ∇W Z ) X − R(Y ,Z ) (∇W X ) und liefert ein Tensorfeld mit der lokalen Darstellung:
∇R :X(M ) 4 → X(M )
∇W R(Y ,Z ) X = R j i kl ;m · X j · X k · Z l · W m · mit R j i kl ;m = · · ·
(Compute!)
∂ ∂x i
4.2. Lineare Zusammenhänge
84
4.14 Beispiel Die kovariante Ableitung eines Kovektorfeldes ξ : M → TM
bzw.
ξ :X(M ) → F(M )
ist definiert durch (∇Z ξ )(X ) = Z (ξ (X )) − ξ (∇Z X )
und liefert ein Feld
∇ξ :X(M ) 2 → F(M )
mir der lokalen Darstellung: (∇Z ξ )(X ) = Z ξk · X k − ξk · ∂l X k + X j · Γ j k l · Z l = ∂l ξk · X k · Z l − ξk · ∂l X k · Z l − ξ j · X k · Γk j l · Z l = (∂l ξk ) · X k · Z l − ξ j · Γk j l · X k · Z l = ∂l ξk − ξl · Γk i l · X k · Z l = (∇l ξk ) · X k · Z l
4.15 Beispiel Kovariante Ableitung eines Tensorfeldes T :M → Wegen kann man verwenden
O2 1
TM
T =T
ij
k
∂ ∂ · i j dx k ∂x ∂x
!
2 Tx : T?x M → T?x M (∇Z T )(ξ ,η) = ∇Z (T (ξ ,η)) − T (∇Z ξ ,η) − T (ξ , ∇Z η)
oder auch wegen kann man verwenden
Tx : T?x M × Tx M → Tx M
(∇Z T )(ξ ,X ) = ∇Z (T (ξ ,X )) − T (∇Z ξ ,X ) − T (ξ , ∇Z X )
.
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
85
4.3 Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen Eine “Kopplung” zwischen einer Riemannschen Metrik д und einem linearen Zusammenhang ∇ auf einer Mannigfaltigkeit M kann man herstellen, in dem man fordert: Bei geodätischer Parallelverschiebung von Tangentialvektoren bleiben Längen und Winkel erhalten.
4.16 Definition: geodätisch parallel Sein M eine Mannigfaltigkeit, dann heißt ein Vektorfeld X : M → TM geodätisch parallel, wenn ∇Z X ≡ 0 für alle Vektorfelder Z Es wird also д(X ,Y ) = const für Parallelfelder X ,Y verlangt, d.h. Z (д(X ,Y )) = (∇Z д)(X ,Y ) + д(∇Z X ,Y ) + д(X , ∇Z Y ) = (∇Z д)(X ,Y ) = 0
für alle Vektorfelder Z . Dies ist für alle Parallelfelder X ,Y richtig, wenn ∇д ≡ 0 ist. 4.17 Definition: metrischer Zusammenhang Ein linearer Zusammenhang ∇ in einem Riemannschen Raum (M,д) heißt metrisch (mit der Metrik g verträglich), wenn ∇д ≡ 0 ist.
Für den kanonischen linearen Zusammenhang ∇Y X := dY X T
dY X
in der klassischen Hyperflächentheorie ist diese Bedingung erfüllt und wird auch als Ricci-Lemma bezeichnet.
∇Y X
Metrische Zusammenhänge sind immer noch nicht eindeutig, aber es gilt 4.18 Satz: Hauptsatz der Riemannschen Geometrie In einem Riemannschen Raum (M,д) gibt es genau einen metrischen und torsionsfreien linearen Zusammenhang ∇ , d.h ∇д ≡ 0
und
T ≡0
genannt Levi-Civita-Zusammenhang in (M,д) . Beweis. Eindeutigkeit: Falls ein solcher Zusammenhang ∇ existiert, muss für alle X ,Y ,Z ∈ X(M ) gelten: Y (д(Z ,X )) = д(∇Y Z ,X ) + д(Z , ∇Y X ) Z (д(X ,Y )) = д(∇Z X ,Y ) + д(X , ∇Z Z ) X (д(Y ,Z )) = д(∇X Y ,Z ) + д(Y , ∇X Z )
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
86
Unter Verwendung von ∇Y X − ∇X Y = [X ,Y ] folgt: Y (д(Z ,X )) − Z (д(X ,Y )) + X (д(Y ,Z )) = = д(∇Y Z − ∇Z Y ,X ) + д(∇Y X − ∇X Y ,Z ) + д(∇X Z − ∇Z X ,Y ) = = д([Z ,Y ] ,X ) + 2 · д(∇Y X ,Z ) − д([X ,Y ] ,Z ) + д([Z ,X ] ,Y ) also д(∇Y X ,Z ) =
1 Y (д(Z ,X )) − Z (д(X ,Y )) + X (д(Y ,Z )) 2 −д([Z ,X ] ,Y ) + д([X ,Y ] ,Z ) − д([Z ,X ] ,Y )
Die (bei festem X ,Y ) für alle Z ∈ X(M ) gültige Gleichung д(∇Y X ,Z ) = ω (Z ) ist linear in Z über F(M ) und kann wegen der Regularität von д punktal eindeutig nach ∇Y X aufgelöst werden ∇Y X |x = дx-1 (ωx ) (∗)
Existenz: Definiert man ∇Y X durch die Gleichung (∗), so können die Eigenschaften eines metrischen und torsionsfreien linearen Zusammenhangs (mühsam) nachgewiesen werden. Zum Beispiel gilt: 1 ( (( ) ·( Z ((f ( д(X ,Y ) − f · Z (д(X ,Y )) Y ( f ) · д(Z ,X ) + f · Y (д(Z ,X )) − ( 2 ( (( ) ·( Z ((f ( д(X ,Y ) − f · д([Z ,X ] ,Y ) + Y ( f ) · д(X ,Z ) +f · X (д(Y ,Z )) + ( +f · д([X ,Y ] ,Z ) − f · д([Z ,Y ] ,X ) = Y ( f ) · д(X ,Z ) + f · д(∇Y X ,Z ) = д(Y ( f ) · X + f · ∇Y X ,Z )
д(∇Y ( f · X ) ,Z ) =
• Setzt man X =
∂ ∂x k
,Y =
∂ ∂x h
,Z =
∂ ∂x l
, so erhält man
! ! ! ∂ ∂ ∂ ∂ i д ∇ ∂ , l = д Γk h · i , l = дil · Γk i h =: Γklh k h ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 1 ∂h дkl − ∂l дkh + ∂k дlh = 2 bzw. mit der inversen Matrix дil := (дil ) -1 Γk i h =
1 il · д · (∂h дkl − ∂l дkh + ∂k дlh ) 2
• Der Beweis bleibt auch bei indefiniten Metriken richtig, etwa bei Lorentz-Metriken.
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
87
Eigenschaften Im folgenden werden nützliche Eigenschafen aufgelistet bezüglich • Krümmungstensor
R : X(M ) 3 → X(M )
• Levi-Civita-Zusammenhang ∇ • (4-lineare) Krümmungsform R:
X(M ) 4 → F(M ) (Y , Z , X ,W ) 7→ R(Y , Z )(X ,W ) := д(R(Y , Z ) X ,W )
mit der lokalen Darstellung
Rrs,kl = дis · Rr i kl
(1) R(Y , Z ) X = -R(Z ,Y ) X (2) R(Y , Z )(X ,W ) = -R(Y , Z )(X ,W ) (3) 1. Bianchi - Identiät R(Y , Z ) X + R(Z , X ) Y + R(X ,Y ) Z = 0 (4) 2. Bianchi - Identiät (∇X R)(Y , Z ) W + (∇Y R)(Z , X ) W + (∇Z R)(X ,Y ) W = 0 (5) R(Y , Z )(X ,W ) = -R(Y , Z )(W , X ) (6) R(Y , Z )(X ,W ) = R(X , Z )(Y ,W ) Beweis. Es genügt den Beweis für paarweise kommutierende Vektorfelder, etwa Basisfelder zu führen. (1) - (4) sieh Übung. Beweis (5) : Die Schiefsymmetrie einer Bilinearform b, also b (X ,Y ) = -b (Y ,X ) , ist wegen b (X + Y ,X + Y ) = b (X ,X ) + b (X ,Y ) + b (Y ,X ) + b (Y ,Y ) äquivalent zu b (X ,X ) = 0 für alle X . Es ist also zu zeigen R(Y ,Z )(X ,X ) = д(R(Y ,Z ) X ,X ) = 0 : ∇д=0
д(R(Y ,Z ) X ,X ) = д(∇Z ∇Y X ,X ) − д(∇Y ∇Z X ,X ) = ( ( (( (( = Z (д(∇Y X ,X )) − ( д(∇ X( ,∇ д(∇ ,∇ (Y( (Z(X( Z X ) − Y (д(∇Z X ,X )) + ( YX ) 1 1 = Z (Y (д(X ,X ))) − Y (Z (д(X ,X ))) wegen Y (д(X ,X )) = 2д(∇Y X ,X ) 2 2 1 = · [Y ,Z ] (д(X ,X )) = 0 2 |{z} =0
Beweis (6) : Es gilt R(Y ,Z )(X ,W )
(2)
(3)
R(Y ,Z )(X ,W )
(5)
(3)
= -R(Z ,Y )(X ,W ) = R(X ,Z )(Y ,W ) + R(Y ,X )(Z ,W ) = -R(Y ,Z )(W ,X ) = R(Z ,W )(Y ,X ) + R(W ,Y )(Z ,X )
daraus folgt 2 · R(Y ,Z )(X ,W ) = R(X ,Z )(Y ,W ) + R(Y ,X )(Z ,W ) + R(Z ,W )(Y ,X ) + R(W ,Y )(Z ,X )
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
88
Und analog ist (X ↔ Y ,Z ↔ W ) 2 · R(X ,W )(Y ,Z ) = R(Y ,W )(X ,Z ) + R(X ,Y )(W ,Z ) + R(W ,Z )(X ,Y ) + R(Z ,X )(W ,Y ) und damit folgt mit (2) und (5) die Behauptung.
Durch sogenannte Kontraktionen (“Verjüngungen”) des Krümmungstensors lassen sich weitere Krümmungsgrößen definieren. Es gibt zwei zunächst unterschiedliche “Stränge”
1. Möglichkeit (vergleiche Allgemeine Relativitätstheorie) 4.19 Definition: Ricci-Tensor Der Ricci-Tensor ist definiert als die Abbildung Ric : X(M ) 2 → F(M ) (X ,Y ) 7→ Ric(X ,Y ) := tr(Z 7→ R(Y , Z ) X ) und hat die lokale Darstellung R jk = R j l kl .
• Der Ricci-Tensor ist symmetrisch wegen (6)
R jk = R j l kl = дlm · R jm,kl = дlm · Rkl,jm = Rk m jm = Rkj . • Durch
д(Ric(X ) ,Y ) := Ric(X ,Y )
definiert er ein Feld linearer Abbildungen Ric : X(M ) → X(M ) Lokal gilt
дij · Ri k = R jk ⇐⇒ Ri k = дij · R jk
4.20 Definition: Skalarkrümmung R Die (Einsteinsche) Skalarkrümmung R ∈ F(M ) , ist definiert als R := tr(X 7→ Ric(X )) und hat die lokale Darstellung R = Rk k = д jk · R jk = д jk · R j l kl = д jk · дml · R jm,kl
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
89
• Bei Funktionen ist das Vorzeichen wichtig! H ,Y ) Z = ∇X ∇Y Z − · · · = -R(X ,Y ) Z • Bei anderer Notation, R(X definiert man g ,Z ) = tr X 7→ R(X H ,Y ) Z Ric(Y und erhält
g ,Z ) = -tr(X 7→ R(X ,Y ) Z ) = +tr(X 7→ R(Y ,X ) Z ) = +Ric(Y ,Z ) Ric(Y
H = +R . Auch die Krümmungsform R(X H ,Y )(Z ,W ) definiert man meist so, und damit R H ,Y )(Z ,W ) = +R(X ,Y )(Z ,W ) . dass R(X 4.21 Definition: Einstein-Raum Riemannsche Räume (M,д) mit der Eigenschaft Ric = γ · д
mit γ ∈ F(M )
heißen Einstein-Räume.
• Es gibt auch “2-stein-manifolds”, sogar “n-stein-manifolds” • Für die Skalarkrümmung eines Einstein-Raumes gilt R = д jk · γ · дjk = δ k k · γ = n · γ mit n = dim M , d.h. γ =
1 n
·R .
4.22 Folgerung Die Metrik eines Einstein-Raumes ist vollständig durch die Krümmung bestimmt.
Beweis. Für n ≥ 3 kann man zeigen, dass γ eine Konstante ist (falls M zusammenhängend).
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
90
2. Möglichkeit 4.23 Definition: Schnittkrümmung Seien Y ,Z ∈ X(M ) linear unabhängige Vektorfelder, dann ist die Schnittkrümmung definiert durch K (Y , Z ) :=
R(Y , Z )(Y , Z ) a 2 (Y , Z )
Tx
Yx
∈ F(M )
wobei a(Y ,Z ) =
q
д(Y ,Y ) · д(Z ,Z ) − д(Y ,Z ) 2
den Flächeninhalt des von Y und Z in einem Punkt x ∈ M aufgespannten Parallelograms bezeichnet (GRAMsche Determinante).
Zx
In jedem Punkt x ∈ M ist die Schnittkrümmung unabhängig von der Basisauswahl in der 2-dim. Ebene EX = hh Yx ,Zx ii ⊂ Tx M : Zähler und Nenner des Quotienten transformieren sich bei einem Basiswechsel mit dem gleichen Faktor (=Quotient der Übergangsdeterminante). Kx ist also auf der Graßmann-Mannigfaltigkeit Gx aller 2-dim. Teilräume in Tx M definiert Kx :Gx → R und K selbst auf dem Graßmann-Bündel G =
• S
Gx .
x ∈M
Aus der Schnittkrümmung K kann der vollständige Krümmungstensor R rekonstruiert werden. Nachrechnen zeigt, dass mit S (Y ,Z ) := R(Y ,Z )(Y ,Z ) gilt (“Polarisierung”) R(Y ,Z )(X ,W ) =
1 [ S (Y + X ,Z + W ) − S (Y − X ,Z + W ) − S (Y + X ,Z − W ) + 24 +S (Y − X ,Z − W ) − S (Y + W ,Z + X ) + +S (Y − W ,Z + X ) + S (Y + W ,Z − X ) − S (Y − W ,Z − X ) ]
4.24 Definition: Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung Sei (M,д) ein Riemannscher Raum, dann heißt die Riemannsche Mannigfaltigkeit M von konstanter (Schnitt-) Krümmung K ∈ R , falls für alle x ∈ M und für alle Ex ⊂ Tx M die Schnitt-Krümmung Kx (Ex ) = K ist.
Bis auf Skalierung д 7→ λ2 · д gibt es dann nur drei “Raumformen” K = +1 K = 0 K = −1
: : :
Modell Modell Modell
Mühsam kann man beweisen
M = Sn M = Rn M = Hn
elliptischer Raum flacher Raum hyperbolischer Raum
4.3. Der Levi-Civita-Zusammenhang und seine Krümmungen
4.25 Satz: Satz von Schur Sei M eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit dim M ≥ 3 . Ist dann die Schnittkrümmung für alle x ∈ M bezüglich aller Ebenen Ex ⊂ Tx M konstant, also ∀x ∈M : Kx (Ex ) = Kx , so ist sie sogar auf M konstant, also ∀x ∈M : Kx = K .
Beweis. [Beweisidee] Es wird wesentlich die 2. Bianchi-Identität benutzt und die Tatsache, dass es für dim M ≥ 3 lokal mindestens drei linear unabhängige Vektorfelder gibt. Der Satz ist falsch für dim M = 2 ! Zum Spezialfall dim M = 2 (klassische Flächentheorie) Dann ist Ex = Tx M für x ∈ M, und man erhält eine Krümmungsfunktion K :x ∈ M 7→ Kx ∈ R mit der lokalen Darsstellung Kx = Kx
! R 12,12 ∂ ∂ , = , det (дik ) ∂x 1 x ∂x 2 x
der Gaußschen Krümmung der Mannigfaltigkeit. (“ Theorema egregium ” von Gauß in der klassischen Flächentheorie) Übrigens gilt dann K =
1 2
· R mit der Skalarkrümmung R . (Siehe Übung)
91
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische
92
4.4 Parallelverschiebung und Geodätische Eine kovariante Ableitung ∇Y X für Vektorfelder X ,Y ∈ X(M ) liefert auch eine kovariante Ableitung für C ∞ -Vektorfelder
X (t ) c (t )
t ∈ I ⊂ R 7→ X (t ) ∈ Tc (t ) M
.
c (t )
die nur längs einer C ∞ -Kurve t ∈ I 7→ c (t ) ∈ M gegeben sind. Man setze etwa in lokalen Koordinaten ! ∇X .i dX i ∂ k i (t ) := + X (t ) · Γk h (c (t )) · c (t ) · dt dt ∂x i c (t ) wenn n X .i . c (t ) · dx i c (t ) = dc t dt t = dc t (1) = c (t ) i=1
H ∈ X(m) mit ∀t : X H(c (t )) = X (t ) gilt Für ein globales Vektorfeld X ∇X dt
H = ∇c.X
(auch als Definition verwendbar)
4.26 Definition: geodätisch paralleles Vektorfeld Ein C ∞ -Vektorfeld t 7→ X (t ) längs einer C ∞ -Kurve t 7→ c (t ) heißt geodätisch parallel, wenn gilt: ∇X ≡0 dt
In lokalen Koordinaten gilt also
.i
.h
∀t : X (t ) + X k (t ) · Γk i h (c (t )) · c (t ) ≡ 0
(i = 1, . . . ,n)
Dies ist ein lineares Differentialgleichungssystem 1.Ordnung für die Komponentenfunktionen t 7→ X i (t ) , das unter Anfangsbedingungen X i (t 0 ) = X 0i eindeutig und global gelöst werden kann (auch über mehreren Karten hinweg).
4.27 Folgerung Ein Tangentialvektor lässt sich längs jeder Kurve eindeutig geodätisch parallel verschieben.
Y0
X0
X (t )
c (t )
Dabei bleiben die Längen der Vektoren und Winkel zwischen ihnen erhalte (nach Definition des Levi-Civita-Zusammenhangs).
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische
93
4.28 Definition: Geodätische / Geodäte Eine Geodätische (auch Geodäte genannt) in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist eine reguläre C ∞ -Kurve t 7→ c (t ) mit . ∇T c , also geodätisch parallelem Tangentialvektorfeld T := q ≡0 . . dt дc c, c
. . . . Aus c = w ·T mit w := c folgt ∇dtc =w ·T + w · ∇T dt und wegen T ! ∇д=0 ∇T д(T ,T ) = 1 =⇒ 2 · д T , =0 dt . gilt ∇c . ∇T = 0 ∧ w= 0 = 0 ⇐⇒ dt dt ⇐⇒ c ist Geodätsiche, proportional zur Bogenlänge . mit c = w = const parametrisiert.
∇T dt
Die Lokale Darstellung lautet
. .. .k .h ∂ ∇c i =0 (t ) = c (t ) + Γk i h (c (t )) · c (t ) · c (t ) · dt ∂x i c (t )
Zur Existenz: Es ist lokal ein i.a. nicht-lineares autonomes Differentialgleichungssystem 2.Ordnung zu lösen. Sätze über Differentialgleichungen zeigen 4.29 Satz Zu jeden Punkt x ∈ M und zu jeder Richtung X ∈ Tx M \ {0} auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M gibt es genau eine maximal fortgesetzte Geodätsiche t ∈ IX 7→ cX (t ) ∈ M proportional zur Bogenlänge parametrisiert, mit cX (0) = x
und
X
x
.
c X (0) = X .
. • Es gilt also ∀t ∈IX : c X (t ) = |X | . • Für X = 0 erhält man die konstante Lösung cX ≡ x mit IX = R . Sie wird im Folgenden zu den Geodätischen gerechnet.
4.30 Folgerung Zu jeden Punkt x und jeder Einheitsrichtung X , d.h. |X | = 1 , gibt es genau eine maximal fortgesetzte Geodätische s 7→ c (s) in Bolgenlängenparametrisierung, d.h. ∀s : |c 0 (s)| = 1 . Sie braucht nur auf einem Teilintervall ]s - ,s + [ & R definiert zu sein, kann also endliche Länge besitzen. Riemannsche Mannigfaltigkeiten, in denen jede Geodätische R2 “unendlich lang” ( mit I = R ) ist, heißen geodätisch vollständig.
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische
94
Geodätische sind nach Definition “möglichst gerade” ( Zunächst gilt der
∇T dt
= 0 ) . Sie sind auch möglichst kurz?
4.31 Satz In einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist jede kürzeste C ∞ -Verbindungskurve zwischen zwei (verschiedenen) Punkten notwendig eine Geodätische. ( möglichst kurz =⇒ möglichst gerade ) Beweis. Sei t ∈ [a,b ] 7→ c (t ) ∈ M eine “Kürzeste” zwischen den Punkten p,q ∈ M X
c a
b
q
p
Wir betrachten ein C ∞ -Feld von Vergleichskurven t 7→ ε c (t ) = z(t,ε )
mit ∀ε : ε c (a) = p, ε c (b) = q, ε c |ε=0 = c . Sie definieren ein Variationsfeld d
t ∈ [a,b ] 7→ V (t ) :=
(ε ∈ U (0))
∂ ∂ε ∈ Tc (t ) M z(t, 0) = c (t ) ∂ε ∂ε ε=0
mit V (a) = V (b) = 0 . d b ε Da c kürzeste Verbindung von p nach q, muss gelten dε La ( c) = 0 . ε=0 Berechnung: # "ˆ b q . . d d b ε ε ε = д ε c (t ) c (t ) , c (t ) · dt = La ( c) dε dε a ε=0 ε=0 ˆ b f g √ = ∂ε · · · · dt ε=0 a ˆ b f . . g 1 1 = · √ · ∂ε д ε c (t ) ε c (t ) , ε c (t ) · dt ε=0 ··· a 2 ˆ b ! . ∇ ∂ 1 = q . . · дc(t ) c (t ) , dε ∂t z(t,ε ) ε=0 · dt a ε ε дc(t ) c (t ) , c (t ) " # ∇ ∂z ∇ ∂z ∂z ! ∂z Da ∇ torsionsfrei, gilt = ∇ ∂z = ∇ ∂z = ∂ε ∂t ∂t ∂ε dε ∂t dt ∂ε ! ˆ b ∇V (t ) · dt = дc (t ) T (t ) , dt a !# ˆ b" ∇T d ∇д=0 (t ) ,V (t ) · dt = дc (t ) (T (t ) ,V (t )) − дc (t ) dt dt a ! ˆ b b ∇T (t ) ,V (t ) · dt = дc (t ) (T (t ) ,V (t )) − дc (t ) dt a | {z }a ˆ
=
−
a
=0
b
дc (t )
∇T dt
!
(t ) ,V (t ) · dt
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische d b ε ( dε La c) ε=0
95
wird als die 1.Variation der Länge einer Kurve c
bezeichnet. Ist diese gleich Null für alle Vergleichskurven, also alle Variationsvektorfelder V , muss notwendig ∇T dt ≡ 0 sein, sonst ließen sich lokal Gegenbeispiele konstruieren.
Man kann auch die 2.Variation
d2 b ε L ( c) dε 2 a ε=0
∇T i dt
t0
(t 0 ) > 0
U
berechnen, um genauere Informationen zu
erhalten. Hier taucht der Krümmungstensor auf! Die Bedingung ∇T dt ≡ 0 ist nicht hinreichend für Kürzeste (siehe Großkreis auf einer Kugel), aber doch wenigstens lokal: Wir betrachten noch einmal ( bei festem x ∈ M ) die allgemeine Lösung (charakteristische Funktion, “Fluss”) (t,X ) 7→ cX (t ) des Anfangswertproblems
.
∇c ≡0 dt
und
.
( wobei c (0) = x )
c (0) = X
Sie ist definiert auf der offenen Menge W := { (t,X ) | X ∈ Tx M, t ∈ IX } ⊂ R × Tx M und dort (nach allen Argumenten) C ∞ -differenzierbar. R 1
W
IX
0
Wichtige Eigenschaft:
V
∀α ∈R: c α ·X (t ) = cX (α · t )
Tx M
X
(∗)
Beweis. d d d c α ·X (t ) = α · X = α · cX (t ) = cX (α · t ) dt dt t=0 t=0 dt t=0 und Geodätische mit gleichen Anfangsbedingungen stimmen überein.
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische
96
∀α ∈R: t ∈ Iα ·X ⇐⇒ α · t ∈ IX
Es folgt:
(∗∗)
Den Definitionsbereich W und die charakteristische Funktion (t,X ) ∈ W 7→ cX (t ) ∈ M kennt man schon vollständig, wenn die Menge V := {X ∈ Tx M | (1,X ) ∈ W } und die Abbildung
X ∈ V ⊂ Tx M 7→ cX (1) ∈ M
bekannt ist, denn (0) V , ∅ , da (1, 0) ∈ W
(1) (t,X ) ∈ W ⇐⇒ t ∈ IX ⇐⇒ 1 ∈ It ·X ⇐⇒ (1,t · X ) ∈ W ⇐⇒ t · X ∈ V (2) cX (t ) = ct ·X (1) 4.32 Definition: Exponentialabbildung Die in einer offenen Umgebung V von 0 ∈ Tx M definierte C ∞ -Abbildung X ∈ V 7→ expx (X ) := cX (1) ∈ M heißt Exponentialabbildung im Punkt x ∈ M .
• Es gilt also nach (2)
cX (t ) = expx (t · X )
• Zur Bezeichnung In bestimmten Lie-Gruppen [ etwa SO(n, R) ] wird expx tatsächlich durch eine Exponentialreihe dargestellt. • Geometrische Beschreibung ◦
Für X , 0 sei X := |XX | der zugehörige Einheitsvektor. Dann gilt nach (∗) , mit α = |X1 | und t = |X | , expx (X ) = cX (1) = c ◦ (|X |) X
(Bogenlängenparametrisierung!) Man trägt auf der Geodätischen in Richtung X das Stück |X | ab. Jetzt gilt der wichtige
X
x |X |
expx (X )
4.4. Parallelverschiebung und Geodätische
97
4.33 Satz In jedem Punkt x einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M ist die Exponentialabbildung expx :U ⊂ Tx M → UH ⊂ M
in einer Umgebung U von 0 ∈ Tx M ein C ∞ -Diffeomorphismus. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass e := expx in 0 ∈ Tx M regulär ist, d.h. dass de x : T0 Tx M Tx M → Te(0) M = Tx M
ein Isomorphismus ist; dann Anwendung des lokalen Umkehrsatzes. Für die Abbildung t 7→ e (t · Y ) = cY (t ) (mit Y ∈ Tx M und t genügend klein) gilt nach der Kettenregel d !. d.h. de 0 =id Tx M . [e (t · Y ) ] = de 0 (Y ) =c Y (0) = Y , dt t=0 4.34 Folgerung 1. Jeder Punkt p einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M besitzt eine Umgebung UH ⊂ M , so dass jeder andere Punkt q ∈ UH eindeutig durch eine Geodätische erreichbar ist. In dieser Umgebung sind die Geodätischen wirklich kürzeste Verbindungen.
p q
H U
2. Die Umkehrabbildung H ⊂ M → U ⊂ Tp M Rn expp-1 : U
der Exponentialabbildung in einem Punkt p ∈ M definiert eine Karte der Mannigfaltigkeit um p. Die zugehörigen Koordinaten heißen Riemannsche Normalkoordinaten.
4.35 Beispiel Auf der Sphäre S 2 ⊂ R3 kann man für UH eine offene Halbsphäre nehmen. Bemerkung zu 2. Verschärfend liefert das sogenannte “Gauß-Lemma” der Differentialgeometrie: Um jeden Punkt p einer Riemannschen C ∞ -Mannigfaltigkeit existieren geodätische Polarkoordinaten, erzeugt von radialen Geodätischen und dazu orthogonale geodätische Sphären.
5
Übungen 1)
a) Zeigen Sie, dass in einem Hausdorffraum (X , T(X )) jede kompakte Teilmenge K ⊂ X auch abgeschlossen ist, und folgern Sie daraus, dass jede Kompakte Teilmenge K und jeder Punkt y < K disjunkte offene Umgebungen besitzen. b) Beweisen Sie, dass umgekehrt in einem topologischen Raum jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ebenfalls kompakt ist.
2) Sei (X ,d ) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine nicht leere Teilmenge Zeigen Sie: a) Die Abbildung
fM : (X , Td ) → (R, Tnat ) ,
x 7→ fM (x ) = d (x,M ) := inf d (x,y) ∈ R y ∈ M
ist stetig. [ Hinweis: ε-δ -Kriterium! ]
b) Es gilt für Punkte x ∈ X genau dann d (x,M ) = 0 , wenn x in der abgeschlossenen Hülle M von M liegt. Zusatzfrage: Gelten die obigen Aussagen auch in echt quasimetrischen Räume? 3) Folgern Sie aus Aufgabe 2, dass jeder metrische Raum (X ,d ) normal ist, sich also je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen A1 ,A2 ⊂ X durch offene Umgebungen trennen lassen. Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung x ∈ X 7→ f (x ) := d (x,A1 ) − d (x,A2 ) ∈ R Zusatzfrage: Sind echt quasimetrische Räume ebenfalls normal? 4) B = { Bi ∈ P (M ) | i ∈ I } sei ein System von Teilmengen der nicht leeren Menge M mit den Eigenschaften S (1) i∈I Bi = M (2)
∀i,j∈I : Bi ∩ B j , ∅ =⇒ Bi ∩ B j ∈ B
Zeigen Sie, dass dann durch
[ T(M ) := Bi i∈J
eine Topologie auf M definiert wird.
J ⊂ I
99
5) Auf einer Menge M seien ein Atlas A (M ), eine Karte φ ∈ A (M ) und eine Teilmenge H := φ (Q ) gegeben. Q ⊂ U φ mit offenem Bild Q Zeigen Sie, dass dann die Einschränkung φ 0 := φ Q eine mit ganz A (M ) verträgliche Karte ist. 6) Konstruieren Sie
a) für die n-Sphäre S n ⊂ Rn+1
) ( b) für die Würfeloberfläche W n := x ∈ Rn+1 max {|x 1 | , . . . , |xn+1 | = 1} jeweils einen aus zwei Karten bestehenden C ∞ -Atlas. 7) Konstruieren Sie für den Torus ( 2 T := (x,y,z) ∈ R3
q
x 2 + y2 − b
2
!
2
+z = a
2
) (0 < a < b)
einen möglichst kleinen C ∞ -Atlas aus 2-dimensionalen Karten. Hinweis: Die Karten brauchen nicht explizit angegeben zu werden; es genügen Skizzen.
8) Zeigen Sie: Jede (echte) C r -Mannigfaltigkeit (r ≥ 0), deren Topologie eine abzählbare Basis besitzt, besitzt auch einen mit ihrer C r -Struktur verträglichen abzählbaren (Teil-) Atlas. 9) Beweisen Sie: Für jede offene Teilmenge Q einer C r -Mannigfaltigkeit M (r ≥ 0) mit Differenzierbarkeitsstruktur C(M ) bildet C(Q ) := φ ∈ C(M ) U φ ⊂ Q
eine C r -Struktur auf Q. Die induzierte Topologie T(Q ) ist dabei die Relativtopologie auf Q bezüglich T(M ) .
10) Der reelle projektive Raum Pn besteht aus allen (nicht orientieren) Geraden [x ] := R · x
mit x ∈ Rn+1 \ {0}
durch 0 ∈ Rn+1 . Konstruieren Sie auf Pn einen C ∞ -Atlas aus n-dimensionalen Karten. Hinweis: Betrachten Sie Schnitte mit geeigneten achsenparallelen Hyperebenen. Wem n zu groß ist, der versuche n = 1. 11) Untersuchen Sie, ob die Abbildung F :S 2 → R ,
(x,y,z) 7→ x + y + z ( ) auf der Sphäre S 2 = (x,y,z) ∈ R3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 differenzierbar ist. Dabei besitze S 2 die von stereographischen Projektionen erzeugte C ∞ -Struktur.
12) Sei (e 1 , . . . ,en ) eine Basis des reellen Vektorraumes V und φ :x =
n X i=1
x i · ei ∈ V 7→ x i ∈ Rn
die induzierte globale Karte. Zeigen Sie, dass in jedem Punkt x 0 ∈ V der Isomorphismus X =
n X i=1
n X ∂ ∈ Tx 0V 7→ X i · ei ∈ V X · ∂x i x 0 i
i=1
von der speziellen Basiswahl unabhängig ist, Tx 0V also mit V identifiziert werden kann.
100
13)
a) Zeigen Sie, dass in der abgeschlossenen komplexen Ebene C := C ∪ {∞} die beiden Karten φ :x + i · y ∈ C 7→ (x,y) ∈ R2 1 ψ : ∈ C \ {0} 7→ (x,y) ∈ R2 , ψ : ∞ 7→ (0, 0) ∈ R2 x +i ·y einen C ∞ -Atlas bilden, wodurch C zu einer (reellen) C ∞ -Mannigfaltigkeit wird. b) Untersuchen Sie, ob und wie oft die Abbildungen F :z ∈ C 7→
1 ∈C z
und
G :z ∈ C 7→ z ∈ C
differenzierbar sind. c) Berechnen Sie in den Fixpunkten z der Abbildungen F :z 7→
14)
1 ∈C z
bzw.
G :z ∈ C 7→ z 2 ∈ C
die Linearisierungen dF z bzw. dG z und stellen Sie sie koordinatenfrei dar.
a) Schreiben Sie den Rangsatz samt Beweisskizze sinngemäß ab für Abbildungen f :G ⊂ Rm → H ⊂ Rn die speziell Immersionen bzw. Submersionen sind. Wie sind insbesondere die Funktionen д und h zu wählen? b) Versuchen Sie, den Satz über implizite Funktionen der reellen Analysis aus dem Rangsatz für Abbildungen aus dem Rm in den Rn herzuleiten.
15) Bestimmen Sie für den projektiven Raum P3 einen orientierten Atlas, der mit der StandardDifferenzierbarkeitsstruktur verträglich ist. 16) f : M → N sei eine beliebige C 1 -Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie, dass durch F (x ) := (x, f (x )) eine Einbettung F : M → M × N definiert wird. Dabei sei M × N mit der von Produktkarten φ × ψ : (x,y) 7→ (φ (x ) ,ψ (y))
mit
φ ∈ C(M ) , ψ ∈ C(N )
erzeugten Differenzierbarkeitsstruktur versehen. 17) Beweisen Sie: a) Jede (nichtleere) offene Teilmenge Q einer C r -Mannigfaltigkeit M (r ≥ 1) ist eine C r Untermannigfaltigkeit von M . Wie sehen die Schnittkarten von M für Q aus? b) Ist P Untermannigfaltigkeit von M, M Untermannigfaltigkeit von N , so ist auch P Untermannigfaltigkeit von N .
101
18) Die Funktion f : R2 → R sei gegeben durch 2 f (x,y) = x 2 + y 2 − 4 · x 2 − y 2 . a) Bestimmen Sie das Bild W := f R2 ⊂ R .
b) Bestimmen Sie die Menge K ⊂ W der kritischen Werte von f .
c) Geben Sie für z ∈ K eine explizite Darstellung der Urbildmenge f -1 (z) an (wenn möglich eine Parameterdarstellung) und skizzieren Sie diese.
d) Für welche z ∈ W ist f -1 (z) eine Untermannigfaltigkeit des R2 ? 2
19) Die Menge M (n, R) aller quadratischen (n × n)-Matrizen kann mit Rn identifiziert werden und bildet damit eine C ∞ -Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie: a) Die Teilmenge
GL+ (n, R) := A ∈ M (n, R) | det A > 0
ist eine (offene) C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n 2 . ( ) Sym(n, R) := A ∈ M (n, R) | A> = A
b) Die Teilmenge
ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n · (n + 1) /2 .
c) Die Teilmenge
( ) SO(n, R) := A ∈ M (n, R) | A·A> = E, det A = +1
ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit der Dimension n · (n − 1) /2 . Hinweis: Die Abbildung f : GL+ (n, R) → Sym(n, R) ,
A 7→ f (A) := A·A>
ist eine Submersion! 20) Beweisen Sie: a) f : Rn+1 → R , x 7→ |x | bezeichne die euklidische Norm. Dann ist die Sphäre S n = f -1 (1) eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit von Rn+1 := Rn+1 \ {0} und von Rn+1 . 0 H n ) bezeichnet. ] [ Die zugehörige C ∞ -Struktur sei mit C(S b) C(S n ) sei die von den stereographischen Projektionen φ ± :S n \ {±en+1 } → Rn erzeugte C ∞ -Struktur auf der Sphäre S n ⊂ Rn+1 . 0 Die von diesen Karten induzierten Abbildungen n n+1 ψ ± : V± := Rn+1 \ { ±λ · en+1 | λ > 0} → R 0 ∞[ ⊂ R × ]-1, x 7→ φ ± |xx | , |x | − 1
sind mit der kanonischen Struktur von Rn+1 verträgliche Karten mit der Eigen0 schaft ( ) S n ∩ V± = x ∈ V± | ψ ±n+1 (x ) = 0
c) Auch (S n , C(S n )) ist eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit von Rn+1 und Rn+1 . 0
H n ) sind identisch. d) Die Strukturen C(S n ) und C(S
102
21) M sei eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und X ,Y : M → TM zwei C ∞ -Vektorfelder. a) Zeigen Sie, dass für jede C ∞ - Funktion f : M → R durch (X f ) x := X |x f
wieder eine C ∞ -Funktion X f : M → R definiert wird mit der lokalen Darstellung (X f ) x =
X i
∂ fD Xi xj · i xj ∂x
b) Iterieren Sie dies, indem Sie das Vektorfeld Y wie unter (a) jetzt auf die Funktion X f : M → R anwenden. Wie sieht Y (X f ) x in lokalen Koordinaten aus? c) Zeigen Sie, dass durch [X ,Y ] ( f ) := Y (X f ) − X (Y f )
für alle C ∞ -Funktionen f : M → R
ein tangentiales C ∞ -Vektorfeld [X ,Y ] : M → TM definiert wird. [ Genannt Kommutator oder Lie-Klammer von X und Y ]
d) Beweisen Sie möglichst ohne Verwendung von lokalen Darstellungen: Der Kommutator von X und Y verhält sich derivativ in beiden Argumenten, d.h. es gilt д·X ,Y = Y (д) · X + д · [X ,Y ] sowie
X ,д · Y = -X (д) · Y + д · [X ,Y ]
für alle C ∞ -Funktionen д auf M .
22) Beweisen Sie koordinatenfrei, dass die Lie-Klammer auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit die Jacobi-Identität [[X ,Y ] ,Z ] + [[Y ,Z ] ,X ] + [[Z ,X ] ,Y ] = 0 erfüllt. 23) (X ,Y ) 7→ ∇Y X sei ein linearer Zusammenhang auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit M . Zeigen Sie, dass durch T (X ,Y ) := ∇Y X − ∇X Y − [X ,Y ] R(Y ,Z ) X := ∇Z ∇Y X − ∇Y ∇Z X − ∇[Y ,Z ]X
Tensorfelder T : X(M ) 2 → X(M ) und R : X(M ) 3 → X(M ) auf M definiert werden, in dem Sie die Homogenität über den C ∞ -Funktionen zeigen (die Additivität ist klar). 24) Berechnen Sie im R3 T (X ,Y ) sowie R(Y ,Z ) X für den linearen Zusammenhang ∇Y X := dY X +
1 ·X ×Y 2
25) Beweisen Sie die folgenden (Schief-) Symmetrien des Krümmungstensors R des LeviCivita-Zusammenhangs ∇ eines Riemannschen Raumes (M,д) : Für beliebige C ∞ -Vektorfelder X ,Y ,Z ,W auf M gilt (1)
R(Y ,Z ) X = -R(Z ,Y ) X
(2)
R(Y ,Z ) X + R(Z ,X ) Y + R(X ,Y ) Z = 0
(3)
(∇X R)(Y ,Z ) W + (∇Y R)(Z ,X ) W + (∇Z R)(X ,Y ) W = 0
(1.Bianchi-Identität) (2.Bianchi-Identität)
26) Zeigen Sie. dass in einer 2-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeit für die Gaußsche Krümmung K und die Einsteinsche Skalarkrümmung R gilt: R = 2 · K .
Literaturverzeichnis [Br1]
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Michor, Peter W. Topics in Differential Geometry
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[Spivak] Spivak, Michael Introduction to Differential Geometry Vol.1-5
Index Äquivalenz auf DM (x 0 ), 25 Abbildung differenzierbar, 22 Koordinatendarstellung, 22 stetig Abbildung, 9 abgeschlossen, 5 Ableitung klassisch, 24 kovariante Ableitung, 78 Abzählbarkeitsaxiom Z 1 , 8 Algebra Lie-Algebra, 81 Atlas C r -Atlas, 13 orientiert, 21 Bündel Äußere-Produkt-Bündel, 64 Bündelraum, 67 Bündelstruktur, 67 Cotangentialbündel, 64 Faser, 56, 58, 67 Faserbündel, 67 Fasertreue Bündelkarte, 67 G-Verträglichkeit, 67 Graßmann-Bündel, 90 Reperbündel, 71 Schnitt im VR-Bündel, 65 Standardfaser, 67 Tangentialbündel, 56 Tensorbündel, 64 Vektorraumbündel, 58 Bündelraum, 58 Basis, 7 Induzierte Dualbasis von V ?, 59 kanonische Basis von Tx 0 M, 28 natürliche Basis von Tx 0 M, 28 natürliche Dualbasis, 35 Subbasis, 7 Umgebungsbasis, 8 Basisraum, 58, 67 Boysche Fläche, 54
Derivation, 24 Diffeomorphismus C s -Diffeomorphismus, 23 C r -Diffeomorphismus, 12 Differential, 32 einer Abbildung zw. Mfkten., 57 Differentialgeometrie klassische, 24 differenzierbare Abbildung Immersion, 36 regulär, 36 Submersion, 36 Dualbasis natürliche Dualbasis, 35 Dualraum, 59 Dualrelation, 35 Einbettung, 37 Exponentialabbildung, 96 Faser, 56, 58, 67 Faserbündel, 67 Standardfaser, 67 Fasertreue, 57 Feld (Tangential-) Vektorfeld, 65 kovariantes Vektorfeld, 65 Tensorfeld, 65 Variationsfeld, 94 Fluss, 95 Form p-Form, 60 1-Form, 65 Differentialform, 65 Funktionskeim, 25 Menge aller Funktionskeime, 25 stationärer Funktionskeim, 25 Geodäte, 93 geodätisch vollständig, 93 Geodätische, 93 Hilbertswürfel, 10 Immersion, 36
Karte, 12 assoziierte Karte, 56 verträglich mit Atlas, 13 Kartenwechsel, 12 Kommutator, 80 kompakt, 5 kompakte Ausschöpfung, 76 Koordinaten geodätische Polarkoordinaten, 97 Riemannsche Normalkoordinaten, 97 Koordinatendarstellung, 22 Koordinateneinbettung, 39 Koordinatenprojektion, 39 Koordinatensystem, 12 Koordinatentransformation, 12 kontravariant, 59 kovariant, 59 kovariante Ableitung, 78 Krümmung, 81 Gaußsche Krümmung, 91 Skalarkrümmung R, 88 Kreuzhaube, 54 kritischer Wert, 49 Kurve 1.Variation der Länge einer Kurve, 95 Vergleichskurve, 94 Lemma Gauß-Lemma, 97 Lemma von Tychonoff, 10 Ricci-Lemma, 85 Lie Lie-Algebra, 81 Lie-Gruppe, 70 Lie-Klammer, 80 Liesche Transformationsgruppe, 70 linearer Zusammenhang, 78 Linearform p-Linearform, 60 Linearisierung, 32 lokalkompakt, 6 Maßtensorfeld, 74 Mannigfaltigkeit C r -Mannigfaltigkeit, 20 differenzierbare Mannigfaltigkeit, 20 Dimension der Mannigfaltigkeit, 20 Einbettung, 37 Graßmann-Mannigfaltigkeit, 90 immersierte Mannigfaltigkeit, 37 ∞ - dim. Mannigfaltigkeit, 21 komplex-analytische Mfk., 21 konstanter Krümmung, 90 mit Rand, 21
orientierbare differenzierbare Mfk., 21 Prä-Mannigfaltigkeit, 20 reine Mannigfaltigkeit, 20 topologische Mannigfaltigkeit, 10 Untermannigfaltigkeit, 38 Menge aller Funktionskeime, 25 aller stationären Funktionskeime in x 0 ∈ M, 25 diffbarer Abbildungen in x 0 ∈ M, 24 Metrik Lorentz-Metrik, 75 Riemannsche Metrik, 74 metrisch, 85 parallel geodätisch parallel, 85 Produktregel, 27 Projektion, 58, 67 natürliche Projektion, 55 Raum Bündelraum, 67 Basisraum, 67 C ∞ -Funktionen, 75 C ∞ -Vektorfelder, 75 Cotangentialraum T?x M in x, 34 dualer Tangentialraum T?x M in x, 34 Einstein-Raum, 89 Hausdorffraum, 6 lokalkomapkter top. Raum, 6 metrischer Raum, 3 Minkowski-Raum, 75 normaler Hausdorffraum, 7 Pseudo-Riemannscher Raum, 75 quasimetrischer Raum, 3 Riemannscher Raum, 74 Tangentialraum, 26 topologischer Unterraum, 6 Raum topologischer Raum, 3 Regel kontravariante Transformationsregel, 28 kovariante Transformationsregeln, 35 regulärer Wert, 49 Ricci-Tensor, 88 Riemann Fundamentalfeld, 74 Maßtensorfeld, 74 Pseudo-Riemannscher Raum, 75 Riemannsche Metrik, 74 Riemannsche Normalkoordinaten, 97 Riemannscher Raum, 74
Literaturverzeichnis
Satz über die universelle Eigenschaft, 64 Einbettungssatz von Whitney, 51 Satz von Schur, 91 Urysohnscher Metrisationssatz, 10 Schleife Doppelschleife, 73 Schnitt, 65 Schnittkarte, 48 separabel, 8 Skalarkrümmung R, 88 Steinersche Römerfläche, 54 Struktur C r -Struktur, 13 Strukturgruppe, 67 Submersion, 36 Tangentialabbildung Tx F , 32 Tangentialraum, 26 kanonische Basis, 28 klassisch, 24 natürliche Basis, 28 Tensorraum kontravarianter Tensorraum, 61 kovarianter Tensorraum, 60 Topologie co-abzählbare Topologie, 5 cofinite Topologie, 5 diskrete Topologie, 4 indiskrete Topologie, 4 initiale Topologie, 15 Klumpentopologie, 4 Relativtopologie, 6 Spurtopologie, 6 Standard-Topolgoie, 4
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Triviale Topologie, 4 Torsion, 81 Träger, 76 Transformationsregel kontravariant, 28 kovariant, 35 Umgebung, 5 Umgebungssystem, 5 universelle Eigenschaft, 64 untergeordnete Zerlegung der Eins, 76 Untermannigfaltigkeit, 38 eingebettete Untermannigfaltigkeit, 38 immersierte Untermannigfaltigkeit, 37 Variationsfeld, 94 Vektorfeld geodätisch parallel, 92 kommutierende Vektorfelder, 81 Vergleichskurven, 94 verträglich G-Verträglichkeit, 67 Verträglichkeit C r -Verträglichkeit von Karten, 12 vollständig geodätisch vollständig, 93 Zerlegung Zerlegung der Eins, 76 Zusammenhang kanonischer Zusammenhang des Rn , 79 Krümmung, 81 Levi-Civita-Zusammenhang, 85 linearer Zusammenhang, 78 metrischer Zusammenhang, 85 Torsion, 81
