Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann Series: Mathematisches Institut der Universit~tt Bonn Adviser: F. Hirzebruch
55 D. Gromoll W. Klingenberg W. Meyer Mathematisches Forschungsinstitut D-762 Ol~erwol~ach-Walk¢ Lorermenhof
Riemannsche Geometrie im Gro6en Zweite Auflage
Springer-Verlag Berlin. Heidelberg- New York 1975
Prof. Dr. Detlef Gromoll Prof. Dr. Wolfgang Meyer Dept. of Mathematics State University of New York at Stony Brook Stony Brook, NY/USA Prof. Dr. Wilhelm Klingenberg Mathematisches Institut der Universit~t Bonn 53 Bonn/BRD
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Gromoll, Detlef. Riemannsche Theorie im Grosseno
(Lectnre notes in mathematics ; 55) i. Geometry, Riemannian. 2. Geometry, Differential. I. Klingenberg, Wilhelm, 1924joint author. II. Meyer, Wolf gang, 1937joint author. III. Title. IV. Series. Lecture notes in mathematics (Berlin) ; 55. QA3.L28 no. 55, 1975 ~A64~ 510'o8S ~16' .37~ 75-4704
AMS Subject Classifications (1970): 53-01, 53-02, 53C05, 53C20, 58-01, 58-02, 58A05, 58E05 ISBN 3-540-07133-4 2. Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-38?-07133-4 2nd edition Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin ISBN3-540-04225-3 1. AuflageSpringer-VerlagBerlin • Heidelberg• New York ISBN0-387-04225-3 1st editionSpringer-VerlagNew York . Heidelberg• Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1975. Printed in Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
Vorwo
r t
Globale Probleme der Differentialgeometrie erfreuen sich eines immer noch wachsenden Interesses. Gerade in der Riemannschen Geometrie hat die Frage nach Beziehungen zwischen Riemannscher und topologischer Struktur in neuerer Zeit zu vielen sch~nen und ~berraschenden Einsichten gef~hrt. Dabei denken wir hier vor allem an den Problemkreis: Welche topologischen Invarianten werden charakterisiert durch eine der wichtigsten isometrischen Invarianten, die Kr~mmung? Ziel der folgenden Noten ist, einige zentrale Resultate in dieser Richtung darzustellen. Im Sommersemester 1961 hielt W. Klingenberg eine Gastvorlesung gleichen Titels an der Universit~t Bonn. D. Gromoll und W. Meyer waren damals H~rer jener Vorlesung und schrieben in der Folge ein Manuskript auf, das zun~chst 1962 im Mathematischen Institut der Universit~t Bonn vervielf~ltigt wurde, jedoch bald vergriffen war. Die vorliegenden Noten sind eine Neubearbeitung des Benner Manuskripts. UrsprGnglich war eine wesentlich umfassendere Erweiterung geplant, die aber aus ZeitgrGnden bisher nicht realisiert werden konnte. Wir hoffen, da~ dleses Heft eine Hilfe ist f~r alle, die sich mit einem attraktiven und in lebhafter Entwicklung befindlichen Gebiet der Riemannschen Geometrie bekannt machen wollen. Es werden nur die einfachsten Grundlagen aus Analysis, linearer Algebra und Topologie vorausgesetzt. Wir besprechen zun~chst in den ersten drei Paragraphen die lokale Theorie differenzierbarer und Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit linearem Zusammenhang, jedoch in einer z e i t g e m ~ e n , auf globale Anwendungen zugeschnittenen Form. In den letzten Jahren haben sich viele L~cken der Lehrbuchliteratur geschlossen, dennoch stand eine solche BegrGndung der Differentialgeometrie bisher nicht zur Verf~gung. Dieses Heft kann daher auch als Einf~hrung in die Differentialgeometrie schlechthin dienen. In den beiden folgenden Paragraphen diskutieren wir Extremaleigenschaften yon Gecd~tischen und die natGrliche metrische Struktur elmer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Damit k~nnen wir uns dann den angek~ndigten globalen Problemen zuwenden, die wir in zwei Paragraphen behandeln, unter den Stichworten 'Vergleichss~tze' sowie 'KrWmmung und Topologie'. Im Anhang stellen wir einige Hilfsmittel zusammen, die an fr~herer Stelle gebraucht werden. Wir haben uns bem~ht, die Darstellung m~glichst elementar und in sich abgeschlossen zu halten und einen einfachen leistungsf~higen Kalk~l zu entwickeln. Andererseits schien es uns aber doch wichtig, dem Text weiterf~hrende Bemerkungen beizugeben, we immer sie sich nat~rlich einf~gten. Viele Beispiele bringen wir als Aufgaben u n d A n m e r k u n g e n . All dies findet sich am Ende der einzelnen Abschnitte unter dem Symbol [ ] . Wir m~chten an dieser Stelle Herrn Professor P. Dombrowski, K~in, fur manchen Hinweis herzlich danken. Herr Dr. H. Karcher, Berlin, hat uns wertvolle Korrekturbemerkungen zu dem ersten Bonner Manuskript Gbermittelt, wir danken ihm f~r seine M~he. Und nicht zuletzt schulden wir dem SpringerVerlag besonderen Dank f~r die Aufnahme dieses Manuskripts in die Reihe der Lecture-Notes. Berkeley - Princeton - Bonn, im September 1967 Detlef Gromoll
Wilhelm Klingenberg
Wolfgang Meyer
Inhalt
§ 1
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
und Abbildungen
1.1.
Definition differenzierbarerMannigfaltigkeiten
1.2.
Definition differenzierbarer Abbildungen
1.3.
Tangentenvektoren
1.4.
Induzierte Abbildungen
1.5.
Abbildungss~tze
1.6.
Untermannigfaltigkeiten
1.7.
Produktmannigfaltigkeiten
1.8.
Vektorfelder
1.9.
Das Liesche KIAmmerprodukt von Vektorfeldern
1.1&
Das TangentialbGndel
§ 2
und Tangentialr~ume
................
1
.......................
4
..........................
6
.........................................
................................................
10
........................................
12
......................................
17
...................................................
21
...................
einer differenzierbarenMsmnigfaltigkeit
..
23 27
Lineare Z u s a m m e n h ~ g e
2.1.
Definition linearer Zusammenh~nge
2.2.
Torsionetensor und KrGmmungstensor
..............................
35
.............................
37
2.3.
Lokalisierung von Tensorfeldern und linearen Zusammenh~gen
2.4.
Die Zusammenhangsabbildung
2.5.
Vektorfelder
.....
.....................................
l~ngs Abbildungen
38 43
.................................
46
...........................................
50
....................................................
56
2.6.
Parallelverschiebung
2.7.
Geod~tische
2.8.
Die Exponentialabbildung
2.9.
Der geod~tische Spray eines linearen Zusammenhangs
§ 3
8
eines Sprays
..........................
60
.............
64
.................
69
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
3.1.
Definition einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
3.2.
Isometrische Abbildungen
3.3-
Die Bogenl~uge differenzierbarer Kurven
.......................................
3.4.
Riemannsche Zusammenh~nge
71
........................
75
......................................
78
3.5.
Der Zusammenhan~ yon Levi-Civita .............................
82
3.6.
Kr~im~mgsidentit~tenund skalare ~ u n g s g r S B e n
91
.............
3.7.
Relative ~ u n g s g r S B e n
.....................................
102
3.8.
Verschiedene Anmerkungen .....................................
111
§ 4
Extremaleigenschaften yon Geod~tischen
4.1.
Variationen von Geod~tischen .................................
121
4.2.
Jacobifelder .................................................
127
4.3.
Konjugierte Punkte ...........................................
132
4.4.
Das Gau6sche Lemma und Folgerungen ...........................
156
4.5.
Die Indexform einer Geod~tischen .............................
142
4.6.
Das Morsesche Indextheorem ...................................
148
§ 5
Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische R~ume
5.1.
Die Abstandsfunktion einer Riemannschen Mannigfaltigkeit .....
156
5.2.
Konvexe Mengen ...............................................
159
5-3.
Vollst~udige Riemannsche Mannigfaltigkeiten ..................
164
5.4.
Der Schnittort einer RiemannschenMannigfaltigkeit
...........
169
§ 6
Vergleichss~tze
6.1.
Ein Indexvergleichssatz ......................................
174
6.2.
Der Vergleichssatz yon Morse-Schoenberg ......................
176
6.3.
Der Vergleichssatz yon Rauch .................................
178
6.4.
Der Winkelvergleichssatz yon Toponogoff ......................
182
§ 7
Beziehungen z w i s c h e n K r ~ u n d
7.1.
topologischer Gestalt
Deformationen yon Geod~tischen ...............................
197
7.2.
Der Satz yon Radamard-Cartan .................................
200
7.3.
~ungund
Dnrchmesser .....................................
212
7.4.
Orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeiten .................
218
7.5.
Der Injektivit~tsradius der Exponentialabbildung im Falle gerader Dimension ............................................
224
VI
7.6.
Ein Resultat der Theorie yon Morse
..........................
242
7.7.
Der Injektivititsradius der Exponentialabbildung im Falle beliebiger Dimension ........................................
255
7.8.
Der Sph~rensatz
.............................................
256
7.9.
Ausblicke
...................................................
265
§ 8
Anhang
8.1 .
Eine Hilfsfunktion
8.2.
Einige topologische Begriffe und Sitze ......................
..........................................
275
8.5.
Die Zerlegung der Eins
274
8.4.
S~tze aus der Theorie der Differentialgleichungen
8.5.
Integralkurven yon Vektorfeldern
8.6.
Der maximale Flus eines Vektorfeldes
...................................... ...........
............................ ........................
272
275 276 278
8.7.
Ein Fortsetzungssatz
........................................
279
8.8.
Einparameter-Gruppen
von Diffeomorphismen
281
Sachverzeichnis
...................
.....................................................
285
-
§
1.1.
I
1
-
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
Definition differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. l
Ist G offene Teilmenge yon R n, so heiBt eine Abbildung
f: G
>~k
differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung aller Komponentenfunktionen existieren und stetig sind. "Differenzierbar" steht also immer synonym fur "C ~''. Unter einer n-dimensionalen topologischen Manni~falti6keit verstehen wir einen Hausdorffraum mit abz~hlbarer Basis, der lokal homSomorph zu Sei M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. ein Koordinatens~stem von M i s t
~ n ist.
Eine Karte oder
ein HomSomorphismus x einer offenen Teil-
menge yon M auf eine offene Teilmenge von ~ n .
Eine Menge ~
yon Karten
hei6t ein differenzierbarer Atlas fur M, wenn gilt: (I)
Jeder Punkt yon M liegt im Definitionsbereich einer Karte
(2)
Sei ~ mit
~
Mist.
xE~.
FUr je zwei Karten x , y ~ -1 yo x differenzierbar. *)
ist die Abbildung
ein differenzierbarer Atlas fur M. Eine Karte x yon M heist vertr~glich, wenn aueh ~ u { x } Ist ~
ein differenzierbarer Atlas fur
eine Menge yon Karten, die mit ~
ist auch ~ u ~ e i n
differenzierbarer Atlas fur M.
renzierbare Struktur fGr M, wenn jede mit
~
vertr~glich sind, so ~
heist eine diffe-
vertr~gliche Karte zu ~
gehSrt. Jeder differenzierbare Atlas bestimmt eindeutig eine differenzierbare Struktur, deren Karten mit ihm vertr~glich sind, n~mlich die Menge aller Karten, die mit ihm vertr~glich sind. Eine differenzierbare Manni~faltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einer differenzierbaren Struktur. Im folgenden bezeichnet M immer eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. "Karte" heist stets "Karte der differenzierbaren Struktur". ~) Die Komposition bereich. Sind also Diese offene Menge renzierbare) leere
von Abbildungen hat den maximal sinnvollen Definitionshier x,y auf U,V definiert, so y o x auf x ( U ~ V ) . kann leer sein, dann ist y o x ~ die (nat~rlich diffeAbbildung.
-
(i)
-
Ist G offene Teilmenge von M, so wird G mit der Relativtopologie
zu einer n-dimensionalen differenzierbare
differenzierbaren Mannigfaltigkeit,
wenn man als
Struktur die Menge derjenigen Karten von M w~hlt,
Definitionsbereich (ii)
2
M = ~n.
deren
in G liegt.
Die Karte
nische differenzierbare
x = id liefert einen Atlas {x}, der eine kano-
Struktur bestimmt. ~-~ Pi2)~ : ~ j2. u~d llpII:(~
n :{pl p E ~ n + l M : S~:.
(iii) s e i ~ > 0 u n d
n+l
S~ mit der Relativtopologie des ~ heist die n-Sphere um 0 mit Radius ~, Sn:= S n1 auch die Standard-n-Sphere oder einfach die n-Sphere. Wir geben zwei Karten renzierbare (0,...,0,-~) tionen
x,y
an, die einen differenzierbaren
Struktur liefern:
Atlas und damit eine diffe-
Nennen wir (0,...,0,~)
den Nordpol und
den S~dpol yon S~,, so haben wir die stereographischen
x: U - - - ~
n vom Nordpol aus und
y: V - - - ~
Projek-
n vom S~dpol aus auf ~ n
mit
•
9Pi
xl(p):=
und
wobei
U:= S~-{Nordpol}
,
~ + Pn+I
V:= S~ -~S~dpol}
HomSomorphismen und die "Kartenwechsel" renzierbar, (iv)
da
x(U~V)
~Pi
yl(p):=
- Pn+1
= y(U~V)
und 1_~i_~n.
y o x -I =
x,y sind
x o y-1 = ~• id
diffe-
= ~n-[o}
Weil eine topologische Mannigfaltigkeit M lokal wegzusammenh~ngend
ist, stimmen die Begriffe zusammenh~ngend und wegweise zusammenh~ngend ~berein,
Zusammenhangskomponenten
Statt f~r Mannigfaltigkeiten
yon M sind offen und abgeschlossen in M.
eine abz~hlbare Basis zu fordern, kann man sie
auch allgemeiner als parakompakt voraussetzen,
vgl. 8.2.
adiquate Begriff, um fundamentale Konstruktionen (vgl. 8.3.) durchf~hren
zu kSnnen. Beispiel f~r einen zusammenh~ngenden
lokal euklidischen Hausdorffraum,
der nicht parakompakt ist (also auch keine
abz~hlbare Basis hat), ist d i e h a n g e Ordnungstopologie
Das ist der
wie die "zerlegung der Eins"
Gerade"~X[O,1)
bez~glich der lexikographischen
-~XO}
Ordnung, w e n n ~ e i n e
~berabzihlbare wohlgeordnete Menge mit dem ersten Element Abschnitte hSchstens abzihlbar,
sit der
~ , so da~ alle
etwa die sogenannte zweite Cantorsche Zahl-
klasse. Ein bekanntes Beispiel ist auch die "Pr~fersche Fl~che", R. Nevanlinna,
"Uniformisierung",
Springer-Verlag
vgl.
(1953), II. § 2.21.
Einen lokal euklidischen Raum, der nicht hausdorffsch ist, erh~lt man durch "Verdoppelung eines Punktes" aus dem schen Summe ~ n x wenn
p = ~ @ q •
{0} +
~n
X ~}
~n
Sei
q ~ n
in der topologi-
identifizieren wir (p,O) und (~,I), genau
Der so gewonnene Raum ist lokal homSomorph zu
die Punkte p,q lassen sich nicht trennen.
~n
aber
-3(v) Zeige, der Teilraum
M:= {p I p ~
2 3) = O} pl(Pl-P2
2, P2~O,
ist nicht lokal euklidisch, wohl aber
M -{0~
oder
(vi) Seien M,N topologische Mannigfaltigkeiten mit Eine stetige injektive Abbildung
f: M
~N
~p ~ p ~ M ,
yon
R2
Pl~O}.
dim M = dim N = n •
ist offen, insbesondere
f(M) offen in N und die auf dem Teilraum f(M) definierte Umkehrabbildung f-1 stetig. Das schlieBt man aus der wohlbekannten G~ltigkeit der Behauptung im Falle im
M = N = ~n
("Gebietstreue stetiger injektiver Abbildungen
A n "). Damit folgt auch, dab topologische Mannigfaltigkeiten
verschie-
dener Dimension nicht homSomorph sein kSnnen. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist eine topologische Invariante. (vii) Sei G offene Teilmenge yon bezeichne
Cr(G, ~ k )
~n.
Ist
r~(0,1,2,...,~,~,
die Menge der Abbildungen
f: G
die partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen einschlieBlich existieren und stetig sind, falls Menge ~/~Cr(G,
~k),
tischen Abbildungen,
falls
r =oO,
und fur
eine Potenzreihe darstellen lassen. Elemente in Cr-Abbildunsen,
fGr welche
bis zur Ordnung r
r~0,1,2,...},
r =~
deren Komponentenfunktionen
)~k
so
die
die Menge der analy-
sich also lokal durch Cr(G, ~ k )
hei~en auch
und C°-Abbildungen sind danach die stetigen Abbildungen.
Man hat cO(G, ~ k ) ~ CI(G, ~ k ) ~
... ~ C r ( G ,
~k) ~cr+S(G,
~ k ) ~ ...
• .. ~C@@(G, ~ k )
~ C ~ ( G , ~k)
.
Uberlege, dab an keiner Stelle dieser Inklusionskette Gleichheit bestehen kann. Eine differenzierbare
Struktur f~r eine topologische Mannigfaltigkeit
M in unserem Sinne nennt man auch C~-Struktur
f~r M, entsprechend definiert
man cr-strukturen als maximale Atlanten cr-vertr~glicher Karten und dann Cr-Mannigfalti~keiten.
C°-Mannigfaltigkeiten
schen Mannigfaltigkeiten, Manni~falti~keiten.
sind gerade die topologi-
C~-Mannigfaltigkeiten
heiBen auch anal~tische
Nun hat Whitney gezeigt: Existiert f~r eine topolo-
gische Mannigfaltigkeit
eine C1-Struktur,
dann auch eine C ~-Struktur,
mehr noch, man kann aus einem maximalen C1-Atlas einen Teilatlas C ~ - v e r tr~glicher Karten ausw~hlen
(H. Whitney, "Differentiable Manifolds",
Ann. of Math. 37 (1936), 645-680). Z.B. ist der in (iii) angegebene Atlas f~r S$ ein (noch nicht maximaler) C~J-Atlas. Es ist also ~berhaupt keine Einschr~nkung der Allgemeinheit, von vorneherein C~-Mannigfaltigkeiten
-4-
zu betrachten. Man kSnnte dann auch gleich analytische Mannigfaltigkeiten betrachten. Das ist aber nicht so z w e c k m ~ i g ,
da Analytizit~t fGr viele
Uberlegungen und Konstruktionen zu starr ist. (Das globale Verhalten analytischer Funktionen ist bekanntlich schon durch ihr Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines einzelnen Punktes festgelegt.) Es gibt fur alle
n~lO
topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n
die keine differenzierbare Struktur zulassen. Das erste Beispiel hat Kervaire 1960 angegeben. Dagegen existiert stets eine differenzierbare Struktur f~r eine topologische Mannigfaltigkeit M, falls
1.2.
dim M ~ 4 .
Definition differenzierbarer Abbildun~en.
Seien M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n,k und sei G offene Teilmenge yon M. Eine Abbildung
heist differenzierbar, -I wenn fur beliebige Karten x yon M und y yon N die Abbildung y o f o x aus
~n
in
~k
Mannigfaltigkeit der Dimension e und
f: A
~N
differenzierbar ist. Daf~r sagt man auch,
kalen Koordinaten differenzierbar"o
g o f: G
f: G
f sei "in lo-
Ist Q eine weitere differenzierbare g: N
,Q
differenzierbar, so auch
~Q. FUr eine beliebige Teilmenge A yon M heist eine Abbildung ,N
differenzierbar, wenn f sich zu einer differenzierbaren Abbil-
dung auf einer offenen Menge erweitern l ~ t . Eine Abbildung
f: M
,N
heist ein Diffeomorphismus von M a u f
N, wenn
f bijektiv ist und f,f-1 differenzierbar sind. Mit f ist auch f - 1 D i f f e o morphismus,
ebenso erh~lt man bei Hintereinanderschaltung zweier Diffeo-
morphismen wieder einen Diffeomorphismus. Die Diffeomorphismen yon M auf M bilden eine Gruppe. Eine Karte x mit dem Definitionsbereich U bildet U diffeomorph auf x(U) ab. FUr eine Teilmenge A v o n
M bezeichne ~A die Menge der reellwertigen dif-
ferenzierbaren Funktionen auf A. Funktionen aus ~A kSnnen wir in nat~rlicher Weise addieren und untereinander und mit reellen Zahlen multiplizieren: Sind f ~ g E F A
und~,
so erkl~rt man (f + g)(p):= f(p) + g(p),
:= f(p)g(p) und (~f)(p):= ~-Algebra~
~f(p)
f~r alle
p~A.
Dadurch w i r d ~ A
(fg)(P):= zu einer
also insbesondere zu einem R - V e k t o r r a u m und zu einem Ring ge-
macht. Ist x Karte mit dem Definitionsbereich U~ so gehSrt die i-te
-
Komponentenfunktion
x
i
offenbar zu
5
#U.
FUr eine offene Teilmenge G yon M und derjenigen Funktionen in der Algebra yon p verschwinden. -Algebra.
Der Quotient
-
p ~G #G,
~G
bezeichne
FOG das Ideal P die in jeweils einer Umgebung
:= ~ G / ~ G
ist wieder eine
Ihre Elemente hei~en differenzierbare
Funktionskeime yon G
in p. Ein solcher Keim ist also eine Klasse von Funktionen in ~ G .
Zwei
Funktionen in # G gehSren zum gleichen Keim in p, wenn es eine Umgebung yon p gibt, in der sie ~bereinstimmen. yon Funktionen in ~ M
Nun induziert die Einschr~nkung
auf G kanonisch einen Isomorphismus
denn zu jedem f~ ~ G gibt es ein g ~ M ,
~M---~G,
so da~ g in einer Umgebung von p
mit £ Ubereinstimmt. W~hle dazu nach 8.3. eine Funktion ~ M ,
die in
einer Umgebung yon p den Wert 1 hat und deren Tr~ger in G liegt und definiere g(q):= ~ ( q ) f ( q )
fur q E G
und g(q):= 0 sonst. Die letzte Aussage
ist nicht richtig, wenn man analytische Funktionen betrachtet,
(i)
Sind
M,N
cS-Mannigfaltigkeiten
mit
sE{0,1,...,~,~}
G offene Teilmenge yon M, so kann man natUrlich fur Cr(G,N) der Cr-Abbildun~en
f: G
,N
betrachten,
M,N.
(i).
und
r~ s
die Klasse fur die y o f o x -I
eine Cr-Abbildung euklidischer R~ume ist fur alle Karten Strukturen von
vgl.~
x,y
der C s-
Man hat wieder die Folge echter Inklusionen
C°(G,N)~ CI(G,N)~...~ cS(G,N) Wie eingangs festgelegt, betrachten wir durchweg den Fall umalle (±i)
r = s =o~,
Formulierungen m~glichst einfach zu halten. Zeige: Die Karten x I = id
men verschiedene
differenzierbare
und
x2:R
-~
mit
Strukturen auf R .
durch sie definierten differenzierbaren
x2(t):= t 3 bestimJedoch sind die
Mannigfaltigkeiten
diffeomorph.
Im allgemeinen gibt es auf einer topologischen Mannigfaltigkeit viele verschiedene
differenzierbare
gibt, v g l . [ ] ( v i i )
in
1.1.
Strukturen,
unendlich
wenn es Uberhaupt eine
Jedoch sind die durch sie definierten diffe-
renzierbaren Mannigfaltigkeiten meist diffeomorph wie im obigen Beispiel. Milnor hat zuerst gesehen,
da~ es differenzierbare Mannigfaltigkeiten
gibt, die homSomorph und nicht diffeomorph sind. 28 differenzierbare Mannigfaltigkeiten,
Z.B. gibt es genau
die alle hom~omorph zu S 7, aber
-6paarweise nicht diffeomorph sind (J. Milnor,
"Differentiable
structures
on spheres", Am. J. Math. 81 (1959), 962-972).
Jedoch sind die differen-
zierbaren Mannigfaltigkeiten
wenn sie hom~omorph sind
und
M,N
diffeomorph,
dim M = dim N ~- 3.
(iii)
Ist die Funktion f: S ~ - - ~ mit f(P):= ~=~#'Pi differenzierbar? n n n n Zeige, h: S1---@S ~ mit h(p):= -?p bildet S 1 diffeomorph auf GF ab.
1.3. Sei
Tangentenvektoren pC M
und
und Tan~entialr~ume.
~pM der ~-Vektorraum
der Funktionskeime
Tan~entenvektor an M in p ist eine Abbildung
(I)
v(~f + ~ )
(2) f~r
~, ~ e ~ u n d
: ~v(f)
~(fg) = f,gE~pM,
v: ~pM
yon M in p. Ein
,~
mit
+ ~v(g)
v(f)g(p) + f(p)v(g)
p heist auch Fu~punkt yon v. Ein Tangenten-
vektor an M in p ist also nach (1) eine Linearform auf dem Vektorraum mit der Derivationseigenschaft
(2). Die Menge M
bildet einen Vektorraum ~ber R v,W~Mp
und~E~,
=o~v(f)
fur alle
~M
der Tangentenvektoren in p P , den Tangentialraum an M in p : Sind
so erkl~rt man
(v + w)(f):= v(f) + w(f)
und
(~v)(f):=
f~pM.
Die obige abstrakte Definition yon Tangentenvektoren Tatsache ihre Motivierung:
findet in folgender
Zu jedem "klassischen Tangentenvektor"
gibt es eine ihn vollst~ndig charakterisierende
schaften (q) und (2), die jeder differenzierbaren die Ableitung in Richtung dieses Vektors,
im
~n
Abbildung mit den Eigenreellwertigen Funktion
also die Anderungsgeschwindig-
keit der Funktion im Fu~punkt l~ngs einer Kurve mit diesem Tangentenvektor zuordnet, und diese Ableitung hRngt nur vom Keim der Funktion im Fu~punkt ab. Aus (2) folgt gilt
v(q) = v(1.1) = v(1) + v(1), also v(1) = O.
v(c) = O, wobei
1,c
konstante Funktionskeime
Ist G offene Teilmenge von M und
p ~G,
in
Da
v
linear,
~pM.
so induziert der Tangentenvektor
v e M kanonisch eine Abbildung ~ G - - * R mit (I) und (2), die wir ebenfalls P mit v bezeichnen, durch v(f):= v(g) f~r f E ~ G , wenn g E r M nach 1.2. eine differenzierbare
Funktion ist, deren EinschrRnkung
g~G
den gleichen
-7Keim in
~G
hat wie f.
die p enth~lt, fC~A
Falls nun A eine beliebige
definiert man v auch noch auf
und je zwei differenzierbare
Mengen gilt
von M i s t ,
~A, wenn fur jede Funktion
Erweiterungen
v(g) = v(h). Man erkl~rt dann
Teilmenge
g,h
yon f auf offene
v(f):= v(g), vgl. auch ~ ( v )
in 1.6. F~r eine Karte x um p (d.h. p im Definitionsbereich die Funktionen
yon x) definieren wir
_~
%xilp
: ~M--* ~
durch
(f):= Oi( fox -1 )x(p) Man verwendet auch die Schreibweise u!~xl!p Tangentenvektor
~iJ p
'
statt
* ).
i = I .... ,n
~xl I p(f). Offenbar ist
in p.
Vor.:
PEM,
Beh. :
Jeder Tangentenvektor
x Karte um p. vCM
P
l~t
sich eindeutig als Linear-
kombination (3) darstellen,
wo
Die Tangentenvektoren Insbesondere Bew.:
gilt
v =
~
~,i = v ( x i ) . ~xl I P bilden also eine Basis des Tangentialraumes
dim M
P
~i ~U
OE•
n. FUr ~ U
mit
~(0)
= 0 gibt
mit n
(~)
Mp.
= dim M = n.
U sei eine offene Kugel um
es n Funktionen
ilp
.
~(u) = ~ u ~ i ( u ) 4
Man setze n/mlich
~i(u):= ~Di~(tu)dt.
Hierbei ist wesentlich,
eine Differenzierbarkeitsstufe Man kann x(p) = 0 annehmen. in einer Kugel U um o ~ n
Dann gilt ~ i ~ U
und
da5 man mit C~'-Funktionen arbeitet,
Di~{O = ~i(O). sonst kann
verloren gehen.
FUr eine Funktion
f~FM
li5t sich
fox
-I
nach (4) schreiben als fo X-I(U) = i ~ , u i ~ i ( U )
•
*) D. bezeichne die i-te partielle Ableitung im nutze~ wir meist D fur die gewShnliche Ableitung.
~n.
Im Falle
n = 1
be-
-8Also gilt v(f)
flx_1(U) = =
v(flx-1(U))
.
= ~v(xi)~±(O)
Mit (1) und (2) erh~lt man = 7q~v(xi)~xilp(f)
.
~xil P sind linear unabh~ngig, denn wegen ~ i l p (x ~) =
Die Tangentenvektoren =
£/r-~ 2 x i ~ i o x,~ I x - 1 ( U )
~
. (Kroneckersymbol) erh~lt man die eindeutige Darstellung des Null10 vektors. Damit ist das Lemma bewiesen. Sind
x,y
Karten um p ~ M, so ergeben sich f/r die Taagentenvektoren im
allgemeinen verschiedene Darstellungen b~z~glich der jeweiligen Karten. Es gelten folgende Transformationsgleichungen ~Y~I--"P
~YilP"
~Ip
,
i = 1 .... ,n •
n
Man . o ~ j ~x~l ~ ~ k wende ~x k ~oyi , I p = ~~_-~ P auf x k i = ~Y£1 P ' womit (5) bewiesen ist.
[]
(i)
Zeige:
falls
r = 0.
~n
Eine Abbildung
(ii)
kann beweisen, dab der
Wodurch unterscheidet sich
(iii)
,~
(k=l,...,n)
Cr(M,R)---*~
dungen unendlich dimensional ist, wenn
v: ~'M
an
,k~aMp
mit (1) und (2) ist O,
~-Vektorraum
n S~
und die Karte
m_it ~(p):= (pl,...,pn) H+:= [p ~ p E S~ ,
vonder
Menge aller Abbildungen
~-~7_~ip ayl
yon
[](iii)
pEM
?
in 1.1.
Dann ist
eine Karte auf der oberen Hemisphere
Pn+l ~ O} .
durch die Vektoren
y
solcher Abbil-
O ~ r<~.
, die (I) und (2) erfGllen mit beliebigem
Betrachte
und erh~lt
Dr~cke die Tangentenvektoren
und umgekehrt f~r
p~ H +
~
aus
@
1..4. Induzierte Abbildun~en. Eine fundamentale Eigenschaft differenzierbarer Abbildungen ist, dab sie sich linearisieren lassen. M,N
der Dimensionen
n,k .
Betrachte differenzierbare Mannigfaltigkeiten G offene Teilmenge yon M,
f: G
• N
diffe-
renzierbare Abbildung. FUr jedes
pEG
induziert f eine lineare Abbildung
raumes Mp in den Tangentialraum
Nf(p)
durch
f,p
des Tangential-
-9(1) vE Mp,~#N oder Sei
.
(f,pv)(T):=
Statt
,
f~p verwendet man auch ~ e
Bezeichnungen
f'p '
Df a p
T f . P x Karte um p,
.
y Karte um f(p). Zun~chst
~xilp
,
so erhalten wir
Die lineare Abbildung bzw.
v(Tof)
~yJlf(p)
findet man mit 1.3.(3)
v(YJ°f) =
f,p wird daher bezGglich
durch die Funktionalmatrix
Ip
"
B
der Basisvektoren
(Jacobimatrix)
yon
y o f ex -I
im Punkte x(p) gegeben. Die Identit~t
±d: M - - * M
induziert
denn mit (2) und 1.3.(3)
ergibt sich
(3) Ist
Q
und
g: N
id,pV
eine weitere ~ Q
f: M
f,p: Mp
differenzierbar,
folgt
•N
Mannigfaltigkeit
,
Falls nun A eine beliebige differenzierbar
der Dimension
so findet man mit (I) die Kettenregel g~f(p)O f~p
ein Diffeom@rphismus,
,Nf(p) dim Mp = dim Nz(p)
auf Mp,
v
(go f),p =
bijektiv und
Abbildung
=
differenzierbare
(4) Ist
f~r jedes p die Identit~t
so folgt mit (3) und (4), da~
(f,p)-1
also auch
Teilmenge
.
= (f-1),f(p)
ist. Insbesondere
dim M = dim N.
yon M mit
pC A
und
f: A
•N
ist, so haben wir auch in diesem Fall eine induzierte
f~p: Mp
Nf(p)
,
wenn nur jedes
vE Mp
auf
FA
definiert
ist, vgl. 1.3. Jeder
n-dimensionale
ferenzierbare E--*R n raum
reelle Vektorraum
Struktur,
erzeugt wird. FUr jedes
E
yon
E
in
v
v~ E
betrachten.
besitzt
eine nat~rliche
dif-
Isomorphismus Uv: E
kSnnen wir wieder den Tangential-
Wir konstruieren
V
(5)
E
die durch den Atlas der Vekterraum-Isomorphismen
• Ev
einen kanonischen
-
10
-
("Identifizieren durch Parallelverschiebung"). ein Diffeomorphismuso Zu jedem mit
~(t):=
v + tw
und setzen
vektor des Tangentialraumes Dann folgt mit (2), wenn =
also
=
~v
w~E
~vW:= ~,oDlo ,
~t
x: E
an ~
•
R -linear und injektiv.
Wenn und
~, ff > 0
c(t):= (~sin t, ~ cos t, St) und gib
(ii)
E = ~n, Dil v =
so
~xil v
~vei = Dilv, wobei mit
x = id, also
v~R n .
die Spirale o.t
sowie
p( G
und
c: ~ _ _ , ~ 3 ~;;t)c,t
mit
an bez~glich
(iii)
auf M
f~G
,
so nennt man die
df v:= v(f) fur alle v c M das Differential P P P P yon f in p. Zeige, da~ dfp = ~f(p)Of~p . Wie unterscheiden sich im Falle M = •
df
id .
id .
Ist G offene Teilmenge von M,
Linearform
der Basis-
in t bezGglich der Karte
Dil v die i-te partielle Ableitung im Punkt
der kanonischen Karten
D(t
:~'D<xi(v)+txi(w)) ~---X~V :~'xi(W)~xi'v '
~
Betrachte f~r
wobei
~ : ~-----*E
> R n Vektorraum-Isomorphismus,
ei der i-te Einheitsvektor yon ~ n
(i)
~v ist natSrlich auch
betrachten wir die Gerade
mit
die Ausdr~cke Sei
p~M,
f~p, Dflr
=
x Karte yon M u m
f'(p), dfp
?
>~n P ist eine Karte des Vektorraumes Mp, die
mit
p. Zeige, die Abbildung
~: M
H(v):= ~v(xl),...,v(xn))~ . die Basisvektoren Ip in die i-ten Einheltsvektoren yon ~
und
~v: Mp
yon
(Mp) v
1.5.
, (Mp) v
bildet die
~£~p
n
~berf~hrt,
auf die Basisvektoren
£1v
ab.
Abbildunsss~tze.
Eine differenzierbare Abbildung l ~ t
sich nach dem vorigen Abschnitt
linearisieren. Aus algebraischen Eigenschaften der induzierten Abbildung kann man h~ufig auf Eigenschaften der Abbildung selbst zur~ckschlie~en. M,N
differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen
Teilmenge yon M.
f: G
n,k .
G offene
differenzierbare Abbildung. Der Ran~ yon f in p ist der Rang der linearen Abbildung f,p: Mp Nf(p) , d.h. die Dimension des Bildes yon
•N
f,p .
-11
-
Aus der elementaren Analysis ist folgender Satz bekannt: (Umkehrsatz) Vor. :
G offene Teilmenge yon
Beh :
Hat
f
da5
flU
~n
f: G
~n
differenzierbare Abbildung.
in p HSchstrang (=n), so gibt es eine Umgebung U yon p, so ein Diffeomorphismus yon U auf eine Umgebung yon f(p) ist.
Wir erinnern noch einmal daran, da6 es sich hier um FHr differenzierbare Mannigfaltigkeiten
ELena !I
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
G offene Teilmenge yon M, Beh.~
Bewz:
folgern wir d~m~t
(Umkehrsatz auf Mannigfaltigkeiten)
M,N
Vor~ "
Cee-Aussagen handelt.
Hat
f
da6
flu
f: G
~N
gleicher Dimension n.
differenzierbare Abbildung.
in p HSchstrang (=n), so gibt es eine Umgebung U yon p, so ein Diffeomorphismus
yon U auf eine Umgebung yon f(p) ist.
Man betrachte Karten x um p und y um f(p) und wende den Umkehrsatz
auf die Abbildung ILEMMA 21 Vor.:
y o f o x -1
mit ~:
0 E S ~ n,
f: G - - ~
f(0) = 0 • Rn ~k Injektion ( n ~ k )
~U: R n
~k
(a) Ist
n~ k
Karte g yon
(b) Ist
n~ k
~k
=
~(u)
&(ul,...,un):=
mit Yg(ul,...,un):=
(u 1, .... un,0,.-.,0)~ (u I t ' " .,u k)
•
.
und f in 0 yon maximalem Rang (=k), so gibt es eine um 0, so da6 in einer Umgebung yon 0 e ~ n gilt = ~(u)
Nach Voraussetzung gilt
det(Djfil o)I ~ i,j ~ n ~ 0
baren Abbildung
mit
um 0, so da6 in einer Umgebung yon 0 E ~ n gilt
fob(u)
an, da6
differenzierbare Abbildung
und f in 0 yon maximalem Rang (=n), so gibt es eine
Karte h yon ~ n
(a)
k
Projektion ( n ~ k )
gof(u)
Bew.:
sind.
(Satz Hber implizite Funktionen)
G Umgebung von
Beh.{
an. Nutze aus, da6 x,y Diffeomorphismen
rang~Djfil~
>llilk o Ig~n
= n .
Wir nehmen
und erweitern f zu einer differenzier-
F: G x Rk'"--*~ k durch
F(~ 1 ,*..~ uk) := f( ~ 1 ,.. ' ' u n) + (0 ,...,0 ,u n+l ,...,u k)
•
-
Es ist
det(DjF-lo)l~i,j_~k~
=
12
-
det(Djfi~o)l%i,j
~ 0~ so da~ nach dem
Umkehrsatz lokal eine inverse Abbildung g yon F existiert mit gof(u) (b)
Wit nehmen an, da~
= goFo~(u)
Es ist
...
C(u)
det(Dj~Io)1~ i,jak
differenzierbare Abbildung F(ul,
=
F: G ~ - ~ R n
,1,,1.n) :=
(fl(u)
.
~ 0
und definieren eine
durch
....
, fk(u)
,,ttk+l ~, . . • ,,un)
.
det(Dj~lo)1~i,j~_ n ~ O, so da5 nach dem Umkehrsatz lokal eine
inverse Abbildung h yon F existiert mit fob(u)
1.6.
= ~@Foh(u)
= % (u)
.
Untermanni~falti~keiten.
Sehr oft sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten
nicht abstrakt gegeben,
sondern liegen in anderen umgebenden Mannigfaltigkeiten, R~umen wie die Sphere S~ in ~ n + 1 .
Das kann f~r viele Uberlegungen wichtig
sein. Betrachte differenzierbare Mannigfaltigkeiten ntk •
Eine differenzierbare Abbildung
f~r alle
pC M
etwa euklidischen
f: M
die induzierte Abbildung
f kann also nur Immersion sein, wenn
f,p: Mp
n<_k
Einbettung yon M in N ist eine Immersion,
,N
M,N
der Dimensionen
heist ImmersioA, wenn • Nf(p) injektiv ist.
ist. Eine differenzierbare die M homSomorph auf einen Teil-
raum yon N abbildet. Ist M kompakt ("geschlossen",
nicht kompakte Mannig-
faltigkeiten nennt man nicht ganz korrekt gelegentlich auch "offen"), ist jede injektive Immersion eine Einbettung. ist genau dann ein Diffeomorphismus,
Die Abbildung
f: M
so
tN
wenn f eine surjektive Einbettung ist.
Die letzte Aussage folgt mit Lemma 1 in 1.5.
Vor.:
f: M
~N
Immersion (also n ~ k ) ,
Beh. :
Es gibt eine Umgebung U yon p und eine Karte y yon N um f(p) mit Definitionsbereich
p~M
•
V, so da~
(1)
yn+l(q) . . . . .
(2)
flu
yk(q) = 0
ft~ alle
ist eine differenzierbare
qCV~f(U)
Einbettung.
,
-
Jede
-
Immersion ist also lokal eine differenzierbare
topologische Mannigfaltigkeit, f: M
13
>N
eine Abbildung,
Einbettung.
Ist M
N differenzierbare Mannigfaltigkeit und
dann gibt es hGchstens eine differenzierbare
Struktur fur M, so da~ f eine Immersion wird. Dies folgt unmittelbar aus Lemma I . Bew.:
Sei
~:~n
und ~ : ~ k
~k
~n
,un,o,
.,o
,0)
(u I ,. ..,un). W~hle
p mit x(p) = 0 und eine Karte ~ yon N um f(p) mit
Dann hat
~ o f o x -1 in 0 maximalen Rang (=n), denn
(~ o f o x -I )*x(p) = ~Y*f(p)°f~p°X~x(p) -1
ist injektiv,
X,p, Y,f(p)
Vektorraum-Isomorphismen.
Karte g yon
~k
= ~lW •
,un):= (u I I o o ,
die Projektion mit ~ ( u l , . . . , u k ) : =
eine Karte x yon M u m o f(p) = 0 .
die Injektion mit ~(u I ~ o , e
f~p injektiv und
da
Nach 1.5. Lemma 2(a) gibt es eine
um 0 und eine Umgebung W yon o E ~ n ,
so da~ g o ~ o f o x - l I w
Setze
U:= x-l(w)~ V:= f o x - l ( w ) und y:= g o ~ -1 (1) erf~llt, und (2) gilt wegen flu = y o ~ o x l U •
•
=
Offenbar ist
Ist die zugrunde liegende Menge yon M in der zugrunde liegenden Menge yon N enthalten,
so heist M eine differenzierbare
wenn die Inklusion
L : MC N
Untermannigfaltigkeit
eine differenzierbare
dann also die Relativtopologie
yon N,
Einbettung ist. (M tr~gt
von N. H~ufig verzichtet man auf die Forde-
rung, da6 eine Untermannigfaltigkeit
die Teilraumtopologie
tragen soll,
und verlangt nur, da~ die Inklusio~ eine Immersion ist.) Ist M eine Untermannigfaltigkeit y o n N, so gibt es zu jedem Punkt yon N um p mit Definitionsbereich (3)
yn+l(q) . . . . .
pE M
eine Karte y
V, so da~ yk(q) = 0
f~r alle
Dies folgt mit (I). Da n~mlich M die Relativtopologie
q EV~M
.
yon N tr~gt, gibt es
eine Umgebung U von p in M und eine Umgebung V yon p in N, so da~ U = V ~ M Sei M differenzierbare Untermannigfaltigkeit renzierbare Mannigfaltigkeit dung. Dann ist renzierbar, Sei
f: M
flM
und
f: N
bez~glich der differenzierbaren
denn mit der Einbettung >N
yon N, Q eine weitere diffe-
) Q eine differenzierbare Abbil-
differenzierbare
~ : M C N
Einbettung.
gilt
Struktur yon M diffeflM = fe~ .
f(M) ist als Teilraum yon N
homSomorphes Bild von M, also eine topologische Mannigfaltigkeit. net ~
die differenzierbare
Struktur fur M, so ist
(xo f-11xEOt}
Bezeicheine
.
-
differenzierbare
Struktur fur f(M), und man best~tigt sofort,
f(M) eine n-dimensionale f: M
, N
wenn
f,p: Mp
14-
dab damit
differenzierbare Untermannigfaltigkeit
differenzierbare Abbildung.
PE M
von N wird.
hei6t regul~rer Punkt yon f,
,Nf(p)__ surjektiv ist, sonst wird p ein kritischer Punkt
yon f genannt. Nur im Falle
n ~k
kann f regul~re Punkte haben,
ein re~ul~rer Wert von f, wenn jeder Punkt
q ~ N heist
P E f-1({q}) ein regul~rer
Punkt yon f i s t ,
sonst nennt man q einen kritischen Wert von f. Offenbar
ist jeder Punkt
q ~ N, der nicht im Bild von f liegt, ein regul~rer Wert
yon f. Wir haben in (3) gesehen, Nullstellenmenge
da6 sich jede Untermannigfaltigkeit
lokal als
einer Abbildung in einen euklidischen Raum darstellen l~6t.
Umgekehrt ist das Urbild eines Punktes (oder allgemeiner einer Untermannigfaltigkeit) unter einer differenzierbaren Abbildung wieder eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit,
wenn man geeignete Regularit~tsvorausset-
zungen ~ber die Abbildung macht. Nicht Bilder, aber Urbilder differenzierbarer Mannigfaltigkeiten larit~tsvoraussetzungen nicht nur wichtig,
unter differenzierbaren Abbildungen sind bei Reguwieder differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
um neue Mannigfaltigkeiten
leichtert oft auch,
zu konstruieren,
die Mannigfaltigkeitsstruktur
Das ist
sondern er-
bekannter R~ume nachzu-
weisen. Wir beweisen dazu IL E ~ L ~
Vor.:
2~
f: M
~N
q E f(M) Beh.:
Die Menge
differenzierbare Abbildung,
dim M = n,
dim N = k,
sei regul~rer Weft yon f (also n-~k). f-l(q)
ist zusammen mit der Relativtopologie
von M
eine topologische Mannigfaltigkeit A der Dimension n-k. Ferner gibt es eine eindeutig bestimmte differenzierbare
Bew° :
Struktur f~r A,
mit der A eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit
von M wird.
W~hle eine Karte y um q mit Definitionsbereich
y(q) = O. Zu
jedem Punkt
pEA
= f-l(q)
V und
w~hle eine Karte x um p mit Definitionsbereich
U
und
x(p) = O. Die Abbildung y @ f o x -I hat in 0 maximalen Rang (=k), denn -3 (yo f o x - 1),x(p ) = y,f(p) o f.peX,x(p ) ist surjektiv, da f~p surjektiv und
X,p, y@f(p)
Vektorraum-Isomorphismen.
und Inj ektionen ~ k x IR " ' k
Wir haben die nat~rlichen Projektionen
-
mit
~ ( u 1,...,un):= (u 1,...,uk),
15
-
~ ( u 1,...,un):= (uk+l,...,u n)
&2(u 1,...,un-k):= (0,...,0,u 1,...,un-~).
und
Nach 1.5. Lemma 2(b) gibt es
eine Karte h yon ~ n um 0 mit Definitionsbereich W, so da~
yofoxSetzen wir
~:=
Die Abbildung
hlW
~r2(W), so gilt z: W~-~M
mit
=
y ofox-~ho&21~
z:= x - ~ hoC21~
= ~1 o & 2 1 W =
0}~ .
bildet dann ~ homSomorph
auf eine in A offene Umgebung von p ab. Mit der Relativtopologie ist A also eine topologische Mannigfaltigkeit
der Dimension n-k. Konstruiert
man zu jedem p E A eine solche Parametrisierung z, so erzeugen die Karten -1 z eine differenzierbare Struktur fur A. Die Inklusion ~: A ~ M wird dann eine differenzierbare Einbettung.
[]
(i)
Die Lemniskate
eine Immersion, ebenso obwohl (ii)
cI(0,2~)
c:~
~2
mit
c(t):= (sin t, sin 2t) ist
c I(0,2~). Beides sind jedoch keine Einbettungen,
injektiv, dagegen ist
Jede offene Teilmenge G yon M i s t
c~(0,~) eine Einbettung. mit der natUrlichen induzierten
differenzierbaren Struktur von ~ ( i ) in 1.1. Untermannigfaltigkeit von M. A n wird f~r n ~ k durch (u l~...,u n) >(u 1,...,u n,0,...,0) differenzierbar in ~ k
eingebettet.
(iii)
n Die Sphere Sf ist differenzierbare Untermannigfaltigkeit
von
~n+1
denn 0 ist regul~rer Wert der Funktion f: ~ n + 1 ~C~ mit f(a):= 2 2 ~2 und S~ = f-l(0). Warum stimmt die so gewonnene = a I + ... + an+ 1 differenzierbare Struktur mit der frUher definierten Uberein? Trivialisiere auch
~(iii)
(iv)
Sei
in 1.2. auf Grund der Sberlegungen dieses Abschnitts.
f: M--,N
differenzierbare Abbildung und Q differenzierbare
Untermannigfaltigkeit von N. den Tangentialraum
Ist
C: Q c N
die Inklusion, so identifiziere
Qq mit dem linearen Teilraum
&~qQq von Nq fur
Nq/Qq heist der Transversalraum zu Q in q, ~q: Nq--~Nq/Qq natUrliche Projektion.
bezeichne die
f heist transversal regular zu Q in
falls die verl~ngerte Abbildung
~(p)f~p
in f(p) surjektiv ist, falls also
f~pMp
q ~Q.
p~f-1(Q),
in den Transversalraum zu Q und
Qf(p) zusammen Nf(p) auf-
spannen. Beweise folgende Verallgemeinerung von Lemma 2 : Wenn f transversal regular auf Q fur alle
P~f-I(Q),
so ist
f-1(Q)
in natUrlicher
-
16
-
Weise eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit Codimension wie Q in N, sofern (v)
f-l(Q) ~ .
M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten,
mannigfaltigkeit
yon M.
der differenzierbaren
yon M gleicher
Eine Abbildung
A differenzierbare Unter-
f: A--~N ist genau dann bez~glich
Struktur von A differenzierbar,
wenn f im Sinne
yon 1.2. differenzierbar ist, sich also zu einer differenzierbaren
Funktion
auf einer in M offenen Menge G erweitern l~Bt, und man kann dabei
G = M
w~hlen,
sobald A abgeschlossen in M.
Zeige dies etwa im Fall
N = ~,
verwende
(3) und eine geeignete Zerlegung der Eins auf Grund des Satzes
in 8.3.
Statt mit der Definition in 1.2. kann man auch mit der allge-
meineren Definition arbeiten: Menge A, wenn es zu jedem Funktion
g ~U,
so dab
f heiBt differenzierbar auf der beliebigen
p qA
eine Umgebung U yon p in M gibt und eine
glU~ A
=
fIU~A
.
Beide Definitionen
gleichwertig,
wenn A differenzierbare Untermannigfaltigkeit
beachte auch,
dab Ableitungen yon Funktionen aus ~ A
tiale Richtungen nicht v o n d e r
~n
Erweiterung auf in M offene Mengen abh~ngen.
die offen ist im Halbraum
Man sieht ziemlich leicht,
Man
in bezGglich A tangen-
Wir schlieBen hier noch folgenden allgemeinen Hinweis an: Teilmenge G von
sind
yon M.
dab eine Abbildung
~:= G--~ k
Betrachte eine
~Pl P E ~ n, P n ~ O ~
•
differenzierbar ist
im Sinne yon 1.2., wenn alle partiellen Ableitungen ihrer Komponentenfunktionen in G existieren und stetig sind, wobei man stets nur die rechtsseitigen n-ten partiellen Ableitungen in Randpunkten p bildet, wenn also Pn = 0 •
Damit hat man auch ein Kriterium, wann eine Abbildung
differenzierbar ist. Eine n-dimensionale keit W m it Rand
G--->N
differenzierbare Mannigfaltig-
~W
ist ein topologischer Raum, der lokal hom~omorph ist n zu einer offenen Teilmenge in ~ + , zusammen mit einem vollst~ndigen
Atlas yon Karten, sind. Der Rand
~W
so dab alle Kartenwechsel im obigen Sinne differenzierbar ist die wohlbestimmte
bare Mannigfaltigkeit yon
~n-1
= ~
(n-1)-dimensionale
differenzier-
ohne Rand, deren Punkte unter Karten mit Punkten
korrespondieren.
Ist nun A eine Unt ermannigfaltigkeit
mit Rand in M yon gleicher Dimension wie M, so l~Bt sich jede differenzierbare Abbildung
f: A--->N
auf eine in M offene Menge erweitern,
alle mSglichen Differentiationen h~ngen auf A nicht v o n d e r
in irgendwelchen
und
lokalen Koordinaten
speziellen Erweiterung ab.
Ist A eine allge-
-
meinere Menge,
17
-
dann m~ssen kompliziertere Differentiationen
in Randpunkten
stets gesondert betrachtet werden. (vi)
Whitney hat 1936 bewiesen,
zierbare Mannigfaltigkeit einbetten l ~ t .
da~ sich jede n-dimensionale
differen-
als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
Damit ist die Klasse der "abstrakten"
in ~ 2 n + 1
differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten
nicht grS~er als die Klasse der differenzierbaren Unter-
mannigfaltigkeiten
euklidischer R~ume und man kSnnte sich auf die Unter-
suchung solcher Mannigfaltigkeiten m~ig.
beschr~nken.
Das ist jedoch nicht zweck-
Viele intrinsece oder absolute Probleme f~r Mannigfaltigkeiten,
solche,
d.h.
f~r deren Formulierung kein umgebender Raum erforderlich ist, las-
sen sich auch intrinsec besser und einfacher behandeln, die Einbettbarkeit in andere Mannigfaltigkeiten kann es auch bei relativen Problemen, Mannigfaltigkeit
wenn also Beziehungen zwischen einer
und einer Untermannigfaltigkeit
einzelne Untersuchungen besser sein,
obwohl gelegentlich
wichtig ist. Umgekehrt
untersucht werden,
die umgebende Mannigfaltigkeit
gessen und mit der Untermannigfaltigkeit
f~r zu ver-
als abstrakter Mannigfaltigkeit
zu arbeiten.
1.7.
Produktmanni~falti~keiten.
M,N differenzierbare
Mannigfaltigkeiten
nun den Produktraum
M xN
der Dimensionen
n,k. Wir machen
zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit:
Betrachte zun~chst f~r Karten x yon M und y yon N mit Definitionsbereichen UCM
bzw.
V~N
= ~x(p),y(q))
•
die Abbildung Offenbar ist
x(U) ×y(V) ( ~ n + k . (x'x y ' ) o (x xy)-I renzierbar. offenbar von
:
UxV
~
,~n+k
M und N. Es ist
yon
und
ym~
Mannigfaltigkeit,
dim M x N
U xV
auf
x',y' yon M,N gilt
differenzierbare Atlanten yon M,N ,
~xxylx~
(x x y)(p,q):=
d.h. der Kartenwechsel ist diffeso bildet
einen differenzierbaren Atlas
M x N. Mit der hiervon erzeugten differenzierbaren
eine differenzierbare
mit
ein Hom~omorphismus
F~r zwei weitere Karten = (x,ox-1 y,oy-1),
Sind(~,
( X x ~ :=
x xy xxy
Struktur wird
die Produktmanni~falti~keit
M xN von
= n + k •
Man hat die nat~rlichen Projektionen
~1
und
~2
auf die beiden Faktoren
-
18
-
M~N
mit
~l(p,q):=
p
differenzierbar. bzw.
und
~2 (p'q):= q "
~I' ~2
sind yon H~chstrang n bzw. k
Denn fur Karten x und y yon M und N ist X O ~ l e ( x K y ) - 1 ~k+n ~n eine natUrliche Projektion aus in bzw. ~ k
Y O ~ 2 O ( X x y)-I
also yon HSchstrang differenzierbar. lineare Abbildungen
FLit 1.4.(4) und Rangbetrachtungen
folgt die Behauptung (x,y und
(x x y)-I
fur
sind Diffeo-
morphismen). Zu
p c M, q C N
haben wir die Injektionen
iq,jp
MxN
mit
iq(p'):= (p',q), jp(q'):= (p,q')
fur alle
p'¢ M, q'E N .
iq,jp sind
yon H6chstrang differenzierbar und d~m!t differenzierbare Einbettungen. -1 -1 Denn fur Karten x,y yon M,N sind ( x x y ) o i o x , (x xy) o jpO y natUrliche Injektionen aus
~n
~k
in
~n+k,qalso
yon H6chstrang differen-
zierbar. Wieder mit 1.4.(4) und Rangbetrachtungen ergibt sich die Behauptung.
iq(M),jp(N)
bare Untermannigfaltigkeiten
in
[]
(i)
Der Zylinder
sn-lx ~
sind abgeschlossene
ist diffeomorph zu an mit
differenzierbare
Einbettung
differenzierbare
Untermannigfaltigkeit
)MxN
Sn - {Nordpol,~Udpol}
f: M
durch
F(M) yon
,N
induziert
F(p):= (p,f(p)). M xN
eine Die
heist der Graph yon f.
Fist
transversal regular zu jeder "Faser"
jp(N)c M x N
PEM,
vgl.[](iv)
Abbildungen nennt man oft auch
in 1.6.
Differenzierbare
in allen Punkten
"glatt", well ihr Graph ±m anschaulichen Sinne glatt, d.h. eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
ist. Dagegen kann das Bild f(M) in N
"Ecken"
und "Kanten" haben, wenn f nicht von H6chstrang d~fferenzierbar ist, und selbst das Bild einer Immersion ist nur lokal "glatt". Schreibe hierzu Uberzeugende Beispiele hin.
•
A n - 0 .
Zeige: Eine differenzierbare Abbildung F: M
differenzier-
Mx N •
Gib explizit einen Diffeomorphismus (ii)
fur lineare Abbildungen
-
(iii)
Hat die n-dimensionale
lich eine Gruppenstruktur,
differenzierbare Mannigfaltigkeit
so hei6t G eine Lie-Gruppe,
operation mit der differenzierbaren die Abbildung ~n
~:
G xG
19-
~G
falls die Gruppen-
Struktur vertr~glich
mit ~ ( g l , g 2 ) = glg~ 1
sind, d.h. wenn
differenzierbar ist.
ist eine abelsche IAe-Gruppe mit der Vektoraddition.
gemeine lineare Gruppe
GL(n,~)
G zus~tz-
Stelle die all-
der Vektorraumisomorphismen
von ~ n
auf
sich kanonisch als offene Teilmenge yon ~ n~ dar und folgere, GL(n,~) 2 ist eine n -dimensionale nicht-abelsche L~-Gruppe. Zeige, S I c ~ 2 = ~ ist eine Lie-Gruppe bezUglich der Multiplikation komplexer Zahlen vom Betrage I, und
Tn:= slx ... x S 1
n-dimensionale Lie-Gruppe,
(n Faktoren) ist eine kompakte abelsche
der n-dimensionale
Torus. Gib eine kanonische
Einbettung yon T n in R 2n an. (iv)
Zeige: FUr ~ E ~
ist
f: ~
sion, aber keine Einbettung.
~T 2
fist
mit f(t):= (eit,e i~t) eine Immer-
genau dann injektiv~ wenn ~
dann liegt das Bild von f dicht. Wenn ~ = p/q Zahlen,
dann ist f "periodisch"
zierbare Untermannigfaltigkeit
und
p,q
irrational,
teilerfremde ganze
und das Bild yon f eine kompakte differenvon T 2, der Torusknoten vom Typ (p,q).
Wie sieht er anschaulich aus und was bedeuten die Zahlen p und q? (v)
Eine wichtige Verallgemeinerung von Produktmannigfaltigkeiten
differenzierbare
FaserbUndel,
die nur lokal eine Produktstruktur haben.
P,M,N differenzierbare Mannigfaltig~eiten. bare Abbildung ~ :
P
ist, heiBt differenzierbare
Faserung des Totalraumes P Uber dem Basisraum
gibt und einen Diffeomorphismus
~q~xN
x:~-l(u)
Eine surjektive differenzier-
~ M, die Uberall von maximalem Rang differenzierbar
M mit Faser N, wenn es zu jedem Punkt
rung")
~U~N,
abbildet fur alle
p~M
eine Umgebung U von p in M
("BUndelkarte"
q c U. Kann man dabei
Sei~
Es gilt
ein Atlas von BUndelkarten und x,y induzieren dann fur jedes
y o x-t1 ~P3 x N
Uber q diffeomorph auf U = M
M ~N
w~hlen, und ~
so heist
die Projektion
Im allgemeinen ist aber ein FaserbEndel nur lokal
trivial und im Gro~en "vertwistet".
J~-I(v).
oder "lokale Trivialisie-
der die Faser ~ - 1 ( q )
das B~ndel trivial, P ist einfach das Produkt auf den ersten Faktor.
sind
dim P = dim M + dim N .
x,y~, p~ U~ V
und damit einen Diffeomorphismus
Alle m~glichen solchen Diffeomorphismen
definiert auf ~ - I ( u ) , den Diffeomorphismus der Faser N auf sich.
erzeugen eine Untergruppe der
-
Gruppe
Diff N
20
aller Diffeomorphismen
gruppe des BUndels,
-
der Faser N auf sich, die Struktur-
die als Ma~ fHr die Abweichung yon der Trivialit~t des
BGndels dienen kann. Ein Faserb~ndel ist genau dann trivial, wenn es einen Atlas von BHndelkarten mit Strukturgruppe geometrie ist die Strukturgruppe
id
G c Diff N
gibt. In der Differentialeines differenzierbaren
b~ndels fast immer eine Lie-Gruppe (meist sogar Lie-Untergruppe
Faser-
einer
allgemeinen linearen Gruppe), und die gerade beschriebenen Abbildungen U ~V--,G
sind differenzierbar.
das Tangentialb~ndel
Als typisches Beispiel kann man hierzu
einer n-dimensionalen
differenzierbaren Mannigfaltig-
keit von 1.10. mit der kanonischen Strukturgruppe Ist G eine Lie-Gruppe und H abgeschlossene besonders schwierig zu beweisen, der Quotiententopologie
GL(n, ~ )
Lie-Untergruppe,
heranziehen. so ist es nicht
da~ die Linksrestklassenmenge
G/H
mit
in nat~rlicher Weise die Struktur einer differen-
zierbaren Mannigfaltigkeit
tr~gt und die Projektion
~:
G
• G/H
ein diffe-
renzierbares Faserb~ndel mit Faser H (und Strukturgruppe H) ist. Die Basismannigfaltigkeit
G/H heist ein homo~ener Raum~ vgl.[](iv)
und (v) in 7.5.
Wegen der Bedeutung der hier skizzierten Begriffe wollen wir noch zwei Beispiele anderer differenzierbarer
Faserungen ansehen und dabei weitere
Standardr~ume
der Geometrie einf~hren,
Bezeichne
einen der KSrper ~ (reelle Zahlen), ~ (komplexe Zahlen) oder
k
IN (Quaternionen), ~ C ~ C Vektorr~ume. ~ber ~ ,
kn= ~ n
~n,
Man hat kanonische Isomorphismen
im ersten Falle etwa
...,Im u n) ~¢ k
[H , und
die pro~ektiven R~ume.
mit
gibt mit
ui~ ~,
iHn cn
(Ul,...,Un)--*(Re
i = 1,...,n.
die zugehSrigen ~ ~2n
Ul,...,Re Un,Im Ul,...
Die Aussage
u = ~v" ist eine Aquivalenzrelation
finiert die Menge und die Projektion
pn(k) aller eindimensionalen ~ : k n+1- 0
pn(k) der n-dimensionale
und [H n ~ 2 n ~ n
"u~v auf
genau wenn es k n+l - O
~pn(k). Mit der Quotiententopologie
im Fall
k =~,~
u = (Uo,...,u n ) ~ n + l stens ein
ui # 0
heist
projektive Raum ~ber k, er tr~gt in nat~rlicher
Weise die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit n,2n,4n
und de-
linearen Teilr~ume ~ber k
,[~ • Denn ist etwa
0
k =~
der Dimension
und repr~sentiert
unter Jr einen Punkt in p n ( ~ ), so ist wenig-
und die Abbildung
(vo,...,v n)
~ v~(Vo,...,$i,...,Vn) l
("^" ~edeutet wie ~blich, v. ist auszulassen)
induziert eine Abbildung
l
einer Umgebung yon
~(u)
in pn(~ ) in den Vektorraum
~ n
die als Karte
-
yon P n ( c ) um
~(u)
21
-
gew~hlt werden kann~ und man erh~lt so einen diffe-
renzierbaren Atlas. Best~tige die Diffeomorphismen PI(IH) ~ S 4 .
Die Cayleysche Oktavalgebra
Ca
pl(~)
~ $I, p l ( ~ ) ~ S~
ist nicht mehr assoziativ,
deshalb lassen sich auf die beschriebene Weise keine projektiven R~ume aus ihr ableiten.
Es gelingt aber auf anderem Weg~ noch die 16-dimensio-
nale differenzierbare Mannigfaltigkeit Ebene,
pI(ca) = S 8.
p2(Ca)
zu erkl~ren,
die Cayleysche
Die projektiven R~ume (oder allgemeiner die Grass-
mann-Mannigfaltigkeiten
hSherdimensionaler
linearer Teilr~ume von k n+l)
sind auch Beispiele homogener R~ume, worauf wir hier nicht welter eingehen. Zeige, die Projektion ~
induziert durch Einschr~nkung auf die jeweiligen
Sph~ren in k n+1 (aufgefa~t als Vektorraum ~ b e r ~ ) differenzierbare Faserungen ~ : Sn ~pn(R), ~: $2n+1 ~ P n ( ~ ), 3U: S 4n+3 ~Pn(IH ) mit Fasern
S°,S 1 ("Hopf-Faserung"),S 3.
Damit folgt auch, da~ die projektiven
R~ume als Bilder kompakter R~ume unter stetigen Abbildungen kompakt sind. pn(k) ist zusammenh~ngend,
einfach zusammenh~ngend wenn
k =~
letzten Faserungen sind nicht trivial, also keine Produkte,
,I~ .
Die
z.B. w~re sonst
S n nicht zus~mmenh~ngend im ersten Fall und S 2n+I nicht einfach zusammenh~ngend im zweiten, n ~1 Ist ~ :
P
,M
differenzierbare
O-dimensionale Mannigfaltigkeit besteht,
Faserung und die Faser N eine diskrete (die aus hSchstens abz~hlbar vielen Punkten
da alle Mannigfaltigkeiten
so heist ~
eine differenzierbare
eine abz~hlbare Basis haben sollen),
Uberlagerung von M ~ber N, die Zahl der
Punkte der Faser nennt man auch Zahl der "BlOtter der Uberlagerung". Z.B. ist
Sn
•Pn(~)
mit ~(tl,...,tn)i=
eine zweibl~ttrige
(e it4 ,...,e itn)
~ber dem n-dimensionalen
1.8.
Uberlagerung
d.h. die Uberlagerungsr~ume
falls
n ~ 1
Sn bzw. ~ n
sind
im ersten Fall.
Vektorfelder.
Sei M eine differenzierbare Ein differenzierbares mit
eine differenzierbare
~T n
Torus mit unendlich vielen Bl~ttern. Beide Uber-
lagerungen sind universell, einfach zus~mmenh~ngend~
Uberlagerung, ~C: ~ n
Mannigfaltigkeit
und G offene Teilmenge yon M.
Vektorfeld auf G ist eine Abbildung
Xp:= X(p)E Mp, so da~ fur alle
f ~G
die Funktion
X: G Xf: G
~ kp ~~G M •~
P
mit
-
(I) ist.
~0 G bezeichne die Menge der differenzierbaren
In ~OG k6nnen wir addieren und mit Funktionen aus
mit reellen Zahlen multiplizieren, und
(~X)p:= ~(p)Xp fUr alle
j~G-Modul oder auch einen eine
-
(xf)(p):: xp(f)
differenzierbar felder auf G.
22
~-lineare
~
~-Vektorraum.
Abbildung
nition eines Vektorfeldes
wobei
jrG--*~G
~'G.
~0G bildet also einen
Ein Vektorfeld
durch
f
# G oder
(X + Y)p : = X P + Y P
wenn wir setzen
p~G,
Vektor-
X(~G
liefert
,Xf, wie man aus der Defi-
sieht. F~r Funktionen
f,g(#G
gilt wegen
1.3.(2)
die Produktregel (2)
X(fg)
=
(Xf)g + f(Xg)
F~r eine Karte x mit Definitionsbereich bare Vektorfelder
~x~
.
U definieren wir n differenzier-
auf U durch ~ x ~ (p):=
~x~l p
i=l,...,n
•
~-~i heist auch das i-9e Basisfeld der Karte x. Jedes Vektorfeld l~t
XEI~U
sich n~mlich mit 1.3.(3) in der Form ,
x : ~
(3) darstellen,
wobei
i
also eine Basis des
~
= XxiE ~U. Die Vektorfelder #U-Moduls
~x i (i=1,...
9n)
bilden
~OU.
af EL
a2f
[]
(i)
Man schreibt auch
statt
~J~xif und
wenn
x,y
Karten mit dem Definitionsbereich
~y~-y-y-y-y-y-y-y-~statt x~
U sind und
f~JrU.
K(
£f),
Gib ein
~f dab ~.-~N-.A und ~ y~ af im allgemeinen verschieden sind. Es ~fvj ~ ~f ~f gilt aber ~ x ~ x ~ = ~x--~T~x~ . Berechne die zweiten Ableitungen ~ x ~ x , ~f und ~x4-~-~ der Funktion f aus ~ ( i i i ) in 1.2. auf S 2 bez~glich der Beispiel,
Karte x von [](iii) id im ~ n
in 1.1. in
S 2 -(Nordpol).
bezeichnen wir mit Di, in ~
Die Basisfelder tier Karts
verwenden wir meist das Symbol D.
Bei der Notation von Summen halten wir uns, wenn es nicht zu unbequem ist, an die ~bliche Regel:
Falls Basisvektoren
und das geschieht bei Tangentenvektoren
einen unteren Index bekommen,
und Vektorfeldern
bei moderner funktorieller Auffassung "kovarianten"
("kontravarianten"
Objekten),
dann
-
23
-
erhalten die Koeffizienten
einen oberen Index, anderenfalls
oder anderen "kovarianten"
- eigentlich "kontravarianten"
(bei Formen
- Objekten) um-
gekehrt. Jedenfalls wird der Ubersicht wegen meist ~ber einen oberen und einen unteren Index summiert. Trotzdem benutzen wir nie die in einem invarianten KalkG1 kaum erforderliche
sogenannte "Einsteinsche
vention", unter der man v e r e i n b a r u n g s g e m ~
Summenkon-
keine Summenzeichen mehr schreibt,
sondern stets ~ber ein Paar verschieden stehender Indizes summiert. (ii)
Vektorfelder nannte man fr~her auch "infinitesimale Transformationen",
eine Bezeichnung,
die aus 8.4. bis 8.8. verst~ndlich wird. Man mache sich
an Hand dieser Abschnitte
schen jetzt den Zusammenhang zwischen Vektor-
feldern ("Richtungsfelder",
"Gechwindigkeitsfelder")
licher Differentialgleichungen
und Systemen gewShn-
("dynamische Systeme")
geemetrisch anschau-
lich und abstrakt genau klar, well das in der Differentialgeometrie
von
grundlegender Wichtigkeit ist. (iii)
Eine Derivation auf e i n e r R - A l g e b r a
mus, der bez~glich der multiplikativen
ist ein Vektorraumendomorphis-
Struktur die Produktregel
(2) er-
f~llt. Die Derivationen bilden offenbar wieder e i n e n ~ - V e k t o r r a u m . lege, eine algebraische Charakterisierung auf G i s t
nun, dab der ~ - V e k t o r r a u m
(iv)
der differenzierbaren
aller Derivationen auf der ~ - A l g e b r a
Funktionen auf G.
Gib die parametrisierten
X auf ~ 2 mit
Uber-
Vektorfelder
~gG aller differenzierbaren Vekter-
felder isomorph ist z u m ~ - V e k t o r r a u m ~G
differenzierbarer
Integralkurven des linearen Vektorfeldes
Xu:= u2D11 u - ulD21u an. Das Vekterfeld X ist vollst~ndig
und erzeugt die Einparametergruppe
cos t - sin t yen Drehungen,
1.9.
sin t ) . i d cos t
vgl. Anhang.
Das Liesche Klammerprodukt
yon Vektorfeldern.
Ein Liesches Klammerpredukt auf einem Vektorraum E Gber bildung
C ,]
: E x E---*E
mit
ist eine Ab-
-
wenn
(i)
[~x + o~, Y] =
(2)
[x,.~
+~]
(3)
[x,Y] : ÷
-
+ ~[~,Y]
= ~[x,Y]
(4)
X,X,Y,~E
~[x,~
24
+ ~,~]
- [Y,x]
[z,
und ~ , ~ .
+
:
[ , ]
o
,
ist bilinear nach (I),(2) und anti-
kommutativ wegen (3), nat~rlich folgt (2) aus (I) und (3). Die zyklische Relation (4) heist auch Jacobiidentit~t. Ein ~
-Vektorraum zusammen mit
einem Lieschen Klammerprodukt hei6t eine reelle Lie-Algebra. Z.B. ist das Vektorprodukt (~u6eres Produkt) ein Liesches Klmmmerprodukt f~r ~ 3 macht
~3
und
also zu einer Lie-Algebra.
Sei M differenzierbare Mannigfaltigkeit und G offene Teilmenge von M. FUr Vektorfelder XpY:
~pG
~R
X,Y(~G durch
erkl~ren wir zu jedem
p(G
eine Abbildung
(XpY)(f):= Xp(Yf). Man rechnet nach, dab
XpY - YpX
ein Tangentenvektor an M in p ist, nicht notwendig jedoch X Y. Wir verP kn~pfen dann X,Y zu einem Vektorfeld [X,~ E ~G, wenn wir setzen
(5)
[x,~]p:= XpY - Ypx
Die Festsetzung (5) macht den ~
.
--Vektorraum ~ G
zu einer reellen Lie-
Algebra, w~e man sofort best~tigt. Schreibt man fur wenn
f(~G,
X(Yf)
kurz
XYf,
so gilt also
(6)
[X,YSf'= XYf - YXf
Welter hat man
(7) (8) Denn
[fx,Y1 =
fix,Y] - (Yf)X
[X,fY]~ = X(fYT) - fY(X~,) = (Xf)Y~, + fX(Y~,) - fY(X~,) = (Xf)Y~ +
+ f[X,Y]~
mit ~ G ,
und (8) folgt aus (7) wegen tier Schiefsymmetrie des
Klsmmerprodukts. Sei x eine Karte mit Definitionsbereich U. Betrachte die Basisfelder Xi:=
~----xi~U, i=1,...,n.
Mit
Xi~
= Di(~ox-1)ox
und der Vertauschbar-
keit der partiellen Ableitungen im ~ n folgt (9)
[Xi,Xj]
=
0
.
Insbesondere gilt fur die kanonischen Basisfelder des
A n
also
[Di,Djl = O.
-
F~r Vektorfelder Y =~ix
i
X,YE~U
25
-
hat man die Darstellungen
mit differenzierbaren
Funktionen
i
X =~iX
= Xx i und i
i
und
= yx i .
Dann gilt nach (7),(8) und (9) die lokale Darstellung
ij-
[]
(i)
G offen in der n-dimensionalen
keit M und
X,Y E ~ G .
Wenn
differenzierbaren
LX,Y~ = O, so sagt man auch, die Vektorfelder
X und Y kommutieren auf G, well dann die Operationen einstimmen.
~X,Y~ = 0
Mannigfaltig-
XY
und
ist eine Integrabilit~tsbedingung:
auf G genau, wenn fur alle
pEG
YX
Uber-
X,Y kommutieren
die lokalen FiUsse ~ , ~ v o n
X,Y
in
einer Umgebung U von p in G f~r hinreichend kleine Zeiten kommutieren, also
CX,YJ = 0
genaul wenn
das, l~uft man yon q c U
~s°~t
= ~t
° ~s
l~ngs der Stromlinie
"
Geometriseh bedeutet
(Integralkurve)
von X eine
Zeit t entlang his ql und folgt dann der dortigen Stromlinie yon Y fur eine Zeit s bis q', oder umgekehrt yon q aus zuerst l~ngs Y in der Zeit s his q2 und dann l~ngs X f~r die Zeit t bis q", so schlie~t sich die Wegemasche, man gelangt also zum gleichen Punkt Tatsache gr~ndet sich die Frobeniustheorie der man allgemeiner als bei Vektorfeldern gleichungen)
q' = q".
involutiver Distributionen,
in
(also gew~hnlichen Differential-
in jedem Punkt yon M einen k-dimensionalen
des Tangentialraumes
Auf diese einfache
linearen Teilraum
von M auszeichnet und Integralmannigfaltigkeiten
sucht, d.h. k-dimensionale
differenzierbare
Untermannigfaltigkeiten
von M,
die gerade die vorgegebenen k-dimensionalen Vektorr~ume als Tangentialr~ume haben.
Wenn die FiUsse ~ ~
einer Umgebung von 0 in ~ 2 h, uD11 u = Xh(u) und
in M
kommutieren, mit
h~uD21u = Yh(u)'
h(t,s):=
hat man eine Abbildung h ~ s o ~t(p)~
so da~ dort
d.h. kommutierende Vektorfelder
kommen lokal ~ber differenzierbare Abbildungen von den Standardfeldern D euklidischer R~ume her. Die Umkehrung gilt auch, vgl. (iv).
Sind XI,...,X n
differenzierbare Vektorfelder auf G, deren Lieklammern paarweise verschwinden~
und
X1~p,...,Xnl p
linear unabh~ngige Vektoren,
dann lassen
sich die
X. in einer Umgebung yon p a l s Basisfelder einer Karte darstell len, und die Umkehrung yon (9) ist lokal m~glich. Damit haben wir das
Verschwinden kann man
des Kl~mmerprodukts
~X,Y~
*) Vgl. 8.5.
als Lie-Ableitung
~X,Y~ ~Y
charakterisiert.
Allgemeiner
yon Y bez~glich X verstehen,
d.h.
-
um
[X,~
in p ~ G zu berechnen,
26
-
bildet man den Limes eines Differenzen-
quotienten in Mp, wobei Vektoren in verschiedenen Tangentialriumen chen werden, indem man sie mit einem lokalen Flu~
~t
vergli-
von X um p nach Mp
verpflanzt: =
~'~Ip (ii)
=
~Ylp
Gib ein differenzierbares
nen Teilmenge G yon ~ 2 auftreten kann. Xul=Z0~iu
lira
Y
~o
-
P
~t*Yo~-t (p)
Vektorfeld ohne Nullstellen auf einer offe-
an, das nicht als Basisfeld einer Karte
x: G - * ~ 2
Zeige: FGr die linearen Vektorfelder X,Y auf ~ n
Dkl u ,
Yu:=
4,k.4
i u Dk~ u
' # i u i~mklu ' wobei [X,Y] u = 2~m-..,k
gilt
,
8 = [o~,~] : = ~
mit
i,k.4
-~o&.
X,Y kommutieren genau, wenn die Matrizen o~,
kommutieren. (iii)
Zu ~ ( i i i )
in 1.8. bemerke man jetzt noch: Die Derivationen auf
einer Algebra bilden durch die Festsetzung Algebra.
[X,Y] = XY - YX
Die reelle Lie-Algebra ~0G der differenzierbaren
eine Lie-
Vektorfelder
auf G
ist als Lie-Algebra kanonisch isomorph zur Lie-Algebra aller Derivationen auf der ~ - A l g e b r a (iv)
~G.
Eine differenzierbare
Abbildung
keine Abbildung der Vektorfelder f injektiv ist. Man nennt X ~ g M f~r alle p E M .
Zeige, sind
f: M--,N induziert im allgemeinen
~gM in die Vektorfelder und Y ~ N
f-verwandt,
X.cgDM und Y.~gDN l
~1,X2]
f~: ~0M--*~0N, wobei feld zu X ~ M .
translation mit h, also gilt
das jetzt wohlbestimmte [f~Xl,f~X2]
x(U)c~
f-verwandte Vektor-
= f~[X1,X 2] , d.h.
~g:=
L e = id
hg.
und
h E G mit sich selbst ~-verwandt, g--*Xg:= Lg,V
n abbildet,
Lie-Gruppe und
Kin Vektorfeld X ~ 0 G
eine n-dimensionale
so [Y1,Y2]of = O.
f4~ ein Lie-
F~r eine Karte x in M etwa, die ihren Definitionsbe-
Sei G eine n-dimensionale
e~G
so auch
i
Welter ist dann
reich U diffeomorph auf
morphismus.
f~pXp = Yf(p)
so hat man einen Vektorraum-Isomorphismus
~X~N
Algebraisomorphismus.
finiert
wenn
f-verwandt (i=1,2),
und [YI,Y2]. Wenn insbesondere XI,X 2 kommutieren,
Ist f ein Diffeomorphismus,
element
20N, selbst wenn
~
gilt
~:
X~x~
= Di@x
G--*G f~r h o G
ist differenzierbar,
~4h~
= ~ o ~
, d.h. ~
heist linksinvariant, also ~ , X
= X o ~.
alle linksinvarianten
reelle Lie-Algebra ~
= x~x~@X.
die Linksfir das Einsist ein Diffeo-
wenn X f~r alle
Zeige, f~r v c G e de-
Vektorfelder X auf G, die
bilden, denn das Liesche Klammer-
-
27
-
produkt zweier linksinvarianter Vektorfelder ist wieder linksinvariant. FUr die Lie-Gruppe G hat man also in der Lie-Algebra ~ G
aller Vektorfelder
die ausgezeichnete n-dimensionale Lie-Unteralgebra der linksinvarianten Vektorfelder, die man auch einfach die Lie-Algebra ~
der Lie-Gruppe G
nennt. Sehr viele Eigenschaften einer Lie-Gruppe kann man durch algebraische Eigenschaften ihrer Lie-Algebra beschreiben. Vektorfelder auf den abelschen Gruppen ~ n sind abelsch, d.h. E , ] = O merprodukt.
Gib die invarianten
und T n an, ihre Lie-Algebren
und isomorph zu ~ n mit dem trivialen Klam-
Die Lie-Algebra ~ ( n , R )
der allgemeinen linearen Gruppe
G L ( n , ~ ) ist isomorph zur Lie-Algebra aller Vektorraum-Endomorphismen ~:
~n____~n
mit
[~,~] :=~-~.
Noch ein letztes Beispiel in die-
sem Zusammenhang: Betrachte die Lie-Gruppe nionenmultiplikation. Die Inklusion
I~ ~ ~ ~ 4 - { 0 }
t : S3 C ~ @
mit der Quater-
induziert auf S 3 die
Multiplikation der Quaternionen vom Betrag I, und damit wird S 3 eine LieGruppe, die 3-dimensionale Spinorgruppe Ubliche Basis der ~ ~u: J H -
~u
-Algebra I~,
Spin(3). Sei el,e2,e3,e 4
e = e I das Einselement in J~@ und
der kanonisehe Isomorphismus mit
~uei = Di~ u. F~r
ist Y mit Yu = ~ u ua das linksinvariante Feld mit Y e = ~ e a" erh~lt man so eine Basis Y. der linksinvarianten Felder mit YI Y3
=
=
1
2
3
4
die aEI~
FUr a = el
l
u Dl+U D2+u D3+u D 4, Y2 = -u2D1+ulD2+u4D3-u3D4' 3 4 1 2 = -u Dl-U D2+u DB+U D4, Y4 -U4Dl+uBD2-U2DB+ulD4"
[yI,Y2] = [YI,Y3] = [Y1,Yj =
[Y2,YB] = 2Y~ ,
[YB,YO
0 ,
= 2Y2 '
[Y~'Y2]
Es gibt differenzierbare Vektorfelder
= 2Y3 "
X1,X2,X 3
auf S 3
L-verwandt mit
Y2,YB,Y4. Die X i sind linksinvariant und bilden also eine Basis der LieAlgebra yon S3, die isomorph ist zur eingangs dieses Abschnitts angef~hrten Lie-Algebra ~ 3 erh~lt man durch
1.10.
mit dem Vektorprodukt. Einen Lie-Algebraisomorphismus Xi__~2ei~ ~ 3 .
Das TangentialbUndel einer differenzierbaren Manni~faltigkeit~
Wir haben in 1.3. gesehen, da~ sich eine differenzierbare Mannigfaltigkeit "linearisieren" l ~ t ,
indem man jedem ihrer Punkte einen reellen Vektor-
raum, den Tangentialraum in diesem Punkte zuordnet. Sehr wesentlich ist
-
28
-
nun, da6 diese Zuordnung nicht willk~rlich ist, sondern in dem Sinne "differenzierbar"
vom Punkt abhingt,
da~ die Menge aller Tangentenvektoren
in ganz nat~rlicher Weise wieder die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkei t tr~gt. Das Tangentialb~ndel
TM einer differenzierbaren ~annigfaltigkeit
eine 2n-dimensionale
differenzierbare
Mannigfaltigkeit,
deren zugrunde
liegende Menge die Vereinigung aller Tangentenvektoren ren Topologie und differenzierbare
Mp__~nx
~n
VCMp,
Mp ist und de-
U bezeichne T die Abbildung
mit
(1) f~r
~
Struktur wie folgt gewonnen werden:
F~r eine Karte x yon M mit Definitionsbereich ~: ~
Mist
T ( v ) := also ~i(v) = xi(p)
(x(p) ,v(xl), und
• • • , v ( x n 1)
~n+i(v) = v(x i)
Offenbar ist • eine bijektive Abbildung yon
TU:= ~k~. cu M p
Wit nennen ~ die zu x assoziierte B~ndelkarte Karte von M mit Definitionsbereich
f~r i=l,...,n auf
.
x(U) ~ ~ n .
yon TM. Ist y eine weitere
V, so gilt f~r
(a,b)~y(U~V)~
n
nach 1.3.(5)
i-4 ---1
oy
ist also differenzierbar und wegen der Umkehrbarkeit
morphismus.
Daher kSnnen wir in --o.~/MMp
ein Diffeo-
eine Topologie so einf~hren,
da/~
die B~ndelkarten ~ HomSomorphismen werden. Bez~glich dieser (eindeutig bestimmten) Topologie bildet dann die Menge aller B~ndelkarten ~ einen differenzierbaren Atlas. Durch diesen Atlas wird eine differenzierbare
Struktur
f~r TM bestimmt. Die natUrliche Projektion
~:
seinen Fu6punkt zuordnet,
d.h.
(3)
TM--*M, die jedem Tangentenvektor
~r(v):= p
ist yon HSchstrang differenzierbar. Definitionsbereich
f~r
v~TU,
wenn
V~Mp,
Denn bezGglich einer Karte x um p mit
U und der assoziierten B~ndelkarte ~ auf TU gilt
~(v) = x - ~ 1 o f~r
an M
~1
~(v)
die Projektion von ~ n x R n
auf den ersten Faktor R n
-
bezeichnet.
29
-
Die letzte Gleichung zeigt au~erdem,
daS ~
eine offene Abbil-
dung ist, da ~C 1 eine offene Abbildung ist. Ist
pgM,
so heist M
= ~-l(p)
die Faser yon TM Uber p. Da jede Faser
P
einen n-dimensionalen reellen Vektorraum bildet, k6nnen wir Punkte in TM mit reellen Zahlen multiplizieren und, falls sie in der gleichen Faser liegen, auch addieren. FUr jedes p c M i s t differenzierbaren
die Faser M
mit der kanonischen P Struktur eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit
yon TM. Man best~tigt dies direkt oder wendet Lemma 2 yon 1.6. an, da p regul~rer Wert der Projektion ~ Diffeomorphismus
f: TM----~Mx~ n
p E M die Faser M
isomorph auf
ist.
TM heist trivial, wenn es einen
("Trivialisierung") p x ~ n abbildet.
gibt, der f~r jedes
Im allgemeinen ist TM
P nicht trivial. Ein Schnitt in TM Uber einer Teilmenge A yon M i s t
eine Abbildung
s: A--*TM mit (4)
~os
= id A
•
k Schnitte Sl,...,s k in TM Uber A hei~en linear unabh~ngig, p~A
die Vektoren s l ( P ) , . . . , S k ( P ) ~ M p
wenn fur jedes
linear unabh~ngig sind. M i s t
natUrlicher Weise durch den Nullschnitt
O: M--*TM
mit
in
O(p):= Op (Null
aus Mp) differeDzierbar in TM eingebettet. G offene Teilmenge von M, X: G--*TM eine Abbildung. differenzierbares Vektorfeld,
X ist genau dann ein
wenn X ein differenzierbarer
Schnitt ist.
Dazu gen~gt es, den Fall zu betrachten,
da~ G Definitionsbereich
Karte x ist. Jede Abbildung
mit ~ o X
X: G--~TM
einer
= id G schreibt sich in
der Form
(5) wo
xlp :~.Zf~~i(p) ~ I p
'
~ i ( p ) : = Xlp(Xi). Ist ~ die zu x assoziierte B~ndelkarte yon TM, so
gilt (6)
~oXox
Wenn X ein differenzierbarer der Funktionen
~i.
-I = ( x , ~ , - - - , T n ) ° x - 1
Schnitt ist,
Mit (5) ist daher X ~ G .
renzierbares Vektorfeld,
•
folgt die Differenzierbarkeit Ist umgekehrt X ein diffe-
so hat man fur X eine Darstellung (5) mit ~ i ~ F G .
-
30
-
Mit (6) ergibt sich dann, dab X: G--*TM differenzierbarer M heibt parallelisierbar,
wenn n linear unabh~ugige
Schnitte in TM Uber M existieren, (eine "Parallelisierung")
insbesondere
Vektorfelder
lelisierbar,
wenn TM trivial ist.
differenzierbare Abbildung
wenn es also Vektorfelder X 1 , . . . , X n a ~ M
wenn v E TM,
Ist M parallelisierbar,
in ~ M ohne Nullstellen.
Mannigfaltigkeiten
Abbildung.
f~: TM--*TN
differenzierbare
gibt, so dab fur jedes p ~ M die Vektoren
Xllp,...,Xnl p eine Basis yon Mp bilden.
M,N differenzierbare
Schnitt.
Mist
der Dimensionen
so gibt es
genau dann paral-
n,k.
f: M--*N
Mit 1.4.(I) gewinnen wir aus f eine induzierte
durch
p:= ~ (v). Man hat das kommutative
Diagramm
TM - - ~ T N
(8)
Nach Definition
~
ist
~
,
f.IMp = f~p, d.h.
Haben wir eine weitere
differenzierbare
und eine differenzierbare
(9)
Abbildung
(gof)~
also
Mannigfaltigkeit
= g~o f.
f: M--*N differenzierbare
Beh.:
f,: TM--,TN ist differenzierbar.
pew.:
Sei U Definitionsbereich
und
vETU.
Nach 1.4.(2) gilt Sind
Ti
: TU--~
.
Q der Dimension g
so gilt wegen 1.4.(4)
•
Abbildung.
einer Karte x yon M, so da~ f(U) im Defini-
tionsbereich V einer Karte y yon N liegt. delkarten.
f~
f~ ist auf jeder Faser ~ - l i n e a r .
g: N--*Q,
~0r.:
f o~ = ~o
~,y seien die assoziierten
f,v =~.v(yiof)~..£~f(p),--~j wobei definiert
durch
~(v):=
i
BUn-
p:= fC (v)
v(y of),
so finden
wir mit (1) y o f, ITU Es bleibt zu zeigen,
da~
= (yo fo~ITU,T 1 ~ , o , ~iE#TU.
, n)
•
Dies folgt aus der allgemeineren
Uber-
- 31 -
legung: Ist
g~U,
so ist die Abbildung ~ : TU ~ mit ~(v):= v(g) F~ n differenzierbar. Denn f~r (a,b) • x(U) ~ erh~lt man mit (I), dab ~o~-l(a,b) = ~ b i ~ x l O X ' 1 ( a )
.
1.4
[]
(i)
Wenn U offene Teilmenge einer parallelisierbaren Mannigfaltig-
keit, so ist TU trivial. Der kanonische Isomorphismus fert dutch
~:
RnxRn--,T~
n
mit ~(u,v):= (U,~uV)
~u: R n-'-*~nu lieeine Trivialisierung
yon T ~ n. Man kann nat~rlich auch sagen, dab A n parallelisierbar ist, well man die n linear unabh~ngigen Vektorfelder Di hat. Allgemeiner ist jede Lie-Gruppe parallelisierbar, eine Basis der linksinvarianten Felder bildet eine Parallelisierung. Die Tangentialb~ndel der geradedimensionalen Sph~ren S2n sind nicht trivial. Auf ihnen gibt es nicht einmal ein stetiges tangentiales Vektorfeld ohne Nullstellen, denn es war ein fr~hes Ergebnis der Topologie, dab im Tangentialb~ndel einer differenzierbaren kompakten Mannigfaltigkeit M elnstetiger Schnitt ohne Nullstellen genau dann existiert, wenn die Eulercharakteristik ~ ( M ) verschwindet, es gilt aber ~ ( S 2n) = 2. Auf S2n-1 existiert dagegen stets ein differenzierbares Vektorfeld ohne $n-4
Nullstellen, etwa das zu dem linearen Feld i-o~'(-l"i;u2n'i~i+l lu c-verwandte Feld X , &:s2n-lc Resultat, da~
R2n Inklusion.
auf R 2n
Jedoch ist es ein neueres
$1,$3,S 7 die einzigen parallelisierbaren Sph~ren sind (SI,s 3
sind Lie-Gruppen, wie wir gesehen haben, S 7 nicht, jedoch kann man leicht eine Parallelisierung mit Hilfe der Cayleyzahlen angeben). Auch yon allen projektiven R~umen aus ~ ( v ) p7(~)
in 1.7. sind nur
p l ( R ) ~ S 1, p 3 ( ~ )
und
parallelisierbar. Ein typisches Verfahren zu zeigen, da~ ein Tangen-
tialb~ndel nicht trivial sein kann, besteht darin, jedem B~ndel algebraische Invarianten ("charakteristische Cohomologieklassen") zuzuordnen, die verschwinden, wenn es trivial ist, und diese Invarianten im gegebenen Fall mSglicherweise als yon Null verschieden nachzuweisen. Der zuletzt genannte Satz ~ber die Sph~ren liegt aber tiefer. M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Sberlege, wenn M,N parallelisierbar, so
M xN. Sei
f: M--*N eine differenzierbare Sberlagerung, dann ist
mit N auch M parallelisierbar, im allgemeinen aber nicht umgekehrt. (ii)
F~r eine Immersion
f: M--*N
ist auch
f,: TM--,TN
Einbettung, falls f Einbettung. Wir haben in ~
Immersion und
(vi) in 1.6. bemerkt, da~
-
jede differenzierbare nigfaltigkeit
Mannigfaltigkeit
yon M u m
-
diffeomorph ist zu einer Unterman-
eines euklidischen Raumes.
renzierbare Untermannigfaltigkeit Beschreibe
32
yon ~ k
Sei M eine n-dimensionale und
diffe-
C: M C R k die Inklusion.
das Bild von TS 1 unter L
in T ~ 2 ~ ~ 4 . Wenn x eine Karte -1 -I p, so nennt man allgemein x oder in diesem Falle auch z:= Lox
eine lokale Parameterdarstellung (Djzilp)i=1,...,k Teilraum Ep yon
fGr ~k
von M. Dann spannen nach 1.4. die Vektoren
j = 1,...,n (Spalten) einen n-dimensionalen
auf, der unter dem kanonischen Isomorphismus
linearen
~p gerade
isomorph auf M
abgebildet wird. Die fr~here Differentialgeometrie arbeitete P meist mit E oder dem affinen Teilraum p + E yon R k als Tangentialraum P P ~k an M in p, der letztere hat als Untermannigfaltigkeit in den gleichen abstrakten Tangentialraum wie M in p, "ber~hrt" also M in p. Jedoch ist eine ~hnliche Betrachtung auf Mannigfaltigkeiten are Struktur,
unm~glich, well eine line-
also eine kanonische Parallelverschiebung
und Identifizierung
fehlt. Beachte auch, da~ die linearen oder affinen Teilr~ume E oder p + E k P P von ~ im allgemeinen nicht punktfremd sind f~r verschiedene p CM, im Gegensatz zu den Tangentialr~umen M . Erst mit "distinkt gemachten" TangenP tialr~umen l ~ t sich das Tangentialb~ndel als differenzierbare Mannigfaltigkeit konstruieren. (iii)
Zu der differenzierbaren Mannigfaltigkeit
tialb~ndel TTM betrachten, Mannigfaltigkeit zierbaren Schnitt
das also eine 4n-dimensionale
ist. Haben wir ein Vektorfeld X E ~ M , M--*TM,
X,: TM--*TTM. Allgemeiner Tangentialb~ndel
TM k~nnen wir das Tangen-
T~
so" induziert X die differenzierbare Abbildung k definiert man die 2 n-dimensionalen iterierten
yon M rekursiv durch TOM:= M und Tk+IM:= T T ~ .
Bedeutung liegt darin, da~ sich geometrische Probleme, h~herer 0rdnung enthalten, transformieren gewShnlicher
Ihre
die Ableitungen
oft in Probleme erster 0rdnung auf einem T~I
lassen, entsprechend dem Reduktionsverfahren
Differen~ialgleichungen
erster 0rdnung zur~ckf~hren diskutieren,
differenzierbare
also einen differen-
hSherer Ordnung,
f~r Systeme
die sich auf Systeme
lassen. Als typisches Beispiel werden wir in § 2
wie sich Geod~tische in einer Mannigfaltigkeit
Zusammenhang vorteilhaft mit Hilfe eines differenzierbaren
M mit linearem Vektorfeldes
auf TM untersuchen lassen. (iv)
An einer sp~teren Stelle verwenden wir folgende Uberlegung:
Betrachte
-
die Menge
TM • TM := [(v,w)~
yon M mit Definitionsbereich f(v,w):= x o ~ ( v )
- xo~r(w)
= f-1(O), wird T M ~ T M
(v)
TM~
TM--~TM
-
und
~(v)
U. Die Abbildung
= ~(w)}
. Sei x Karte
f: TU x TU
,•n
mit
hat 0 als regul~ren Wert. Da
(TM~
TM)~(TUxTU)=
mit Lemma 2 in 1.6. eine 3n-dimensionale abgeschlos-
sene Untermannigfaltigkeit bildung
v , w ~ TM
33
von TM x TM ("Whitney-Summe").
mit (v,w)
~v
+ ~w
Warumist
differenzierbar,
die Ab-
wenn
~,~?
Das Tangentialb~ndel ist ein wichtiges Beispiel eines differenzier-
baren Faserb~ndels, raumb~ndel, allgemeine
vgl.
[ ] ( v ) in 1.7. Es ist ein differenzierbares Vektor-
d.h. die Faser ist ein Vektorraum und die Strukturgruppe lineare Gruppe, wie die Konstruktion unmittelbar
TangentialbGndel
die
zeigt. Aus dem
lassen sich viele andere B~ndel gewinnen. Natdrliche geo-
metrische Objekte,
die man einem Vektorraum zuordnen kann - wie Tensoren,
d.h. multilineare Abbildungen in andere Vektorr~ume, f~gen sich meist zu einem differenzierbaren
projektive R~ume -
FaserbGndel ~ber M zusammen,
wenn man sie jedem M vgl.
N. Steenrod,
zuordnet. Es gibt daf~r universelle Konstruktionen, P "The topology of fibre bundles", Princeton University
Press (1951). H~ufig verwendete Beispiele der Differentialgeometrie der Phasenraum T*M yon M, ein Vektorraumb~ndel,
sind
das genau wie TM aus der
Vereinigung ~ber alle Dualr~ume Mp der Linearformen auf M p gewonnen wird, und das zu M assoziierte Prinzipalfaserb~ndel
PM aller Vektorraum-Isomor-
phismen
R n--*M mit Faser und Strukturgruppe GL(n,~q), P selbst durch Linkstranslation operiert. (vi)
Wir wollen schlieBlich noch erw~hnen,
dab die Beschr~nkung der mei-
sten grundlegenden Definitionen und Uberlegungen v o n § mensionale Mannigfaltigkeiten
die auf sich
1
auf endlich di-
nicht nStig ist. In letzter Zeit gewinnen
unendlich dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten Bedeutung.
Sie werden nach Banachriumen "modelliert",
m6omorph zu offenen Teilmengen von Banachr~umen, renzierbarkeitsbegriff global analysis",
wie im ~ n
hat. Vgl. z.B.
d.h. sind lokal ho-
in denen man einen DiffeJ. Eells,
Bull. Am. Math. Soc. 72 (1966), 751-807,
S. Lang, "Introduction to differentiable shers (1962). Tangentenvektoren
immer mehr an
manifolds",
"A setting of ferner auch
Interscience Publi-
muB man etwas anders definieren,
als wir
es in 1.2. getan haben. Wir legen dem Leser ~berhaupt nahe, gerade die grundlegenden Begriffe in verschiedenen Darstellungen anzusehen,
ummit
ihnen vertraut zu werden. Unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten
sind
-
34
-
in unserem Rahmen z.B. yon gro~er Bedeutung in der Morse-Theorie yon NO der Wegeraum
~pq
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
Struktur einer Hilbert-Mannigfaltigkeit
§ 7,
kanonisch die
tr~gt.
Die wesentlichen Definitionen und Begriffe dieses Paragraphen finden sich in neueren B~chern ~ber Differentialtopologie und Differentialgeometrie. Wir geben als allgemeine Quellen, in denen auf weitere Literatur hingewiesen wird, nur an: J.R. Munkres, "Elementary differential topology", Annals of Mathematics Studies 54 (1961), Princeton University Press. S. Kobayashi, K. Nomizu, "Foundations of differential geometry I", Interscience Publishers (1963), John Wiley & Sons, New York - London.
-
-
Lineare Zusammenh~nge
§2
2.1.
35
Definition linearer Zusammenh~n~e.
Wir f~hren jetzt auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
eine zus~tzliche
Struktur ein, die sich geometrisch als Parallelverschiebung
beschreiben
l~Bt. Von dieser Stelle an sollte man eher yon Differentialgeometrie yon Differentialtopologie
als
sprechen.
In einem reellen Vektorraum hat man einen nat~rlichen Parallelit~tsbegriff. FUr eine beliebige n-dimensionale
differenzierbare Mannigfaltigkeit
Mist
es dagegen zun~chst nicht sinnvoll zu fragen, ob zwei Tangentenvektoren an M parallel sind, wenn sie nicht zuf~llig den gleichen FuBpunkt haben. Ist M parallelisierbar,
so definiert jede Parallelisierung
einen anderen Parallelit~tsbegriff
dadurch,
XI,...,XnC?DM
dab v E M
und w E M parallel P q heiBen, wenn sie bez~glich der dortigen Basisvektoren der Parallelisierung die gleichen Koordinaten haben. Im allgemeinen ist aber M nicht parallelisierbar~ und dann l~Bt sich Parallelit~t nur noch so einf~hren,
dab man einen
Vektor v E M
l~ngs einer Kurve yon p nach q in den Tangentialraum M parallel P q verschieben kann, aber diese Verschiebung h~ngt meist v o n d e r Wahl des verbindenden Weges ab. Von eine~ nat~rlichen Parallelit~tsbegriff dann verlangen,
wird man
dab jedem differenzierbaren Weg c in M yen p nach q ein
Vektorraum-lsomorphismus
M --*M zugeordnet ist, so dab der Komposition P q von Wegen die Komposition der Isomorphismen und dem umgekehrt durchlaufenen
Weg der inverse Isomorphismus
entspricht. AuBerdem m~ssen noch bestimmte
Differenzierbarkeitsbedingungen von einer Umparametrisierung
erf~llt werden, und die Zuordnung sell nicht
der Wege abh~ngen. Auf diese Weise gelangt man
geometrisch axiomatisch zu einer Parallelverschiebung Zusammenhang"
oder einem "linearen
fur M.
Es zeigt sich jedoch, dab ein solcher anschaulicher Begriff weniger bequem zu handhaben ist als eine ~quivalente Ableitung".
Differenzierbaren
eines Parallelit~tsbegriffs zuordnen, pc M
formale Beschreibung,
die "kovariante
Vektorfeldern X,Y auf M kann man bez~glich
ein neues differenzierbares
Vektorfeld
die Ableitung von Y in Richtung X, so da6 der Wert
VxY
VxY im Punkte
linear nur ven dem Vektor Xp abh~ngt. Man verschiebt dazu Y l~ngs
- 36 einer Kurve mit Anfangsrichtung Xp parallel nach M
und bildet den Limes
des gewShnlichen Differenzenquotienten, vgl.[](ii) in 2.6.
Eine solche
kovariante Ableitung ist durch einfache Eigenschaften gekennzeichnet, wie wir gleich beschreiben werden, und bestimmt umgekehrt wieder eine Parallelverschiebung, vgl. 2.6.
Der Kalk~l, den wir hier entwickeln wollen, wurde
yon Koszul begr~ndet und hat sich als sehr leistungsf~hig erwiesen. H~ufig wird eine allgemeine und befriedigende Begr~ndung des Parallelit~tsbegriffs ~ber das Prinzipalb~ndel (siehe ~ ( v )
in 1.10.) gegeben, jedoch ist der
gr55ere Begriffsaufwand fur viele Zwecke nicht erforderlich, vgl. dazu auch die Literaturhinweise am Ende dieses Paragraphen. M differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein linearer Zusammenhang oder eine kovariante Ableitung auf M i s t
eine Abbildung
~:
~0M x ~ M
~M
(Schreibweise ~7(X,Y) =: VxY), fur die gilt:
(1)
Vx(Y 1 + Y2) =
(2) (3)
wobei
= (xf)Y + f V x Y
Vx(~)
= ~7X4 Y + ~ x Y
Vx4 + x,Y
(~)
~fx •
fE ~M. Das Vektorfeld
in Richtung X bez~glich ~ . V
VxY I + VxY 2
=
VxY
f ~X Y nennt man die kovariante Ableitung yon Y
verh~lt sich also ~M-linear im 1. Argument
("tensoriell") nach (3) und (4) und derivativ im 2. Argument nach (I) und (2),
(i)
Wenn M parallelisierbar und XI~...,Xn~ ~ M eine Parallelisierung,
SO ist ~ : ~ M X ~ M
~gM
mit
_VxY:=~'(X~I)Xi , wo
Zusammenhang f~r M, insbesondere
~X Xj = 0 .
Y =~,~ixi,
ein linearer
Ist M eine Lie-Gruppe, so
hat man einen kanonischen linearen Zusammenhang ~
fur M, wenn man eine
Parallelisierung mit linksinvarianten Feldern X. w~hlt. Speziell im Falle l X. = D. nennt man ~ den kanonischen linearen Zusammenhang l l
M = ~ n und fur ~ n . (ii)
Wir werden in
§ 3 sehen, dab es auf jeder differenzierbaren Mannig-
faltigkeit einen linearen Zusammenhang gibt, z.B. den Levi-Civita-Zusammenhang bezUglich einer Riemannschen Metrik.
-
2.2.
Torsionstensor
Setze ~M
~0oM:= ~ M
37
-
und Kr~mmun~stensor.
und ~ 0 k M : = ~ M x
...x~OM
(k Faktoren)
ist in kanonischer Weise ein ~M-Modul.
Sei
fGr
r ~1
k = 1,2,... und
s = 0,I .
Ein Tensorfeld auf M vom Typ (r,s) ist eine r-lineare Abbildung ~ber dem Ring (1)
~M,
d.h.
B(XI'''''Xi-I'Xi+Y'Xi+I'''''Xr
) = B(XI'''''Xi-I'Xi'Xi+I'''''Xr) + B(X1,...,Xi_I,Y
(2)
B(Xl,...,Xi_I,fXi,Xi+I,...,Xr)
f~r Sei
1 ~ i ~ r, Vein
Xi,Yg~M,
fg~M
f~r M. Definiere VxY
T:902M-~M
- 7yX
~(x,x)z::V x V x Z -
- [X,YJ
VyVxZ- V~,~z
Dann ist T ein Tensor vom Typ (2,1) und R e i n
1.9.) unmittelbar (5)
aus der Definition.
T(X,Y) = - T(Y,X)
,
R(X,Y)Z = - R(Y,X)Z
R der Kr~mmungstensor
Ist M parallelisierbar,
hangs ~
yon
[](i)
in 2.1.
Klammerprodukt
linearen Zusammenhang eindimensionalen hangs V
T(Xi,Xj)
= -~i,Xj]
yon M.
gegebenen Zusammen-
und
R = O •
so ist T gerade das negative
F~r M = R n und den kanonischen
~7 gilt T = O und R = O.
Mannigfaltigkeit
identisch?
XI,...,Xn(~M
und X i linksinvariant,
auf der Lie-Algebla
von ~ .
so gilt f~r Torsions- und Kr~mmungs-
tensor des durch eine Parallelisierung
Wenn M eine Lie-Gruppe
bei R nur die Linearit~t
zu pr~fen.
T heist der Torsionstensor,
(i)
f~r die Lie-Klammer
Dabei ist
und daher bei T nur die Linearit~t im 1. Argument, im 1. und 3. Argument
.
Tensor vom Typ (3,1). Dies
folgt mit den Regeln (q) bis (4) in 2.1. und den Regeln
[]
durch
durch
(~)
(vgl.
,Xi+1,..-,Xr )
= fB(XI,...,Xi_I,Xi,Xi+I,...,X r)
TCX,Y):=
R: ~ 3 M - * ~ g M
+
•
linearer Zusammenhang (3)
und
B: ~ r M ~ g s M
Warum verschwinden
T und R bez~glich
auf einer
jedes linearen Zusammen-
-
38
3
(ii) in
Betrachte ~ 3
~3
und definiere fur Vektorfelder
das vektorielle Produkt 3 X X Y := ~ -'~/(~+1~i+2
-
~
X : ~ , ~ i D i ' y : ~-~L~iDi
~2 ~
~
~
i+1)Di , Indizes mod 3-
4
"~"
ist ein schiefsymmetrischer
nische lineare Zusammenhang menhang
~
f~r ~ 3
f~r ~ 3
kano-
so gewinnen wir einen linearen Zusam-
1 := ~ x Y + ~ X × Y
FHr den Torsionstensor yon ~
(iii)
~der
indem wir setzen VxY
mungstensor
Tensor vom Typ (2,1). Wenn
folgt
R(X,Y)Z = ~ ( X × Y ) X Z
T(X,Y) = X × Y. Zeige fur den Kr~m•
Die Tensoren T,R kann man formal als Ma6 fGr die Abweichung ver-
schiedener Ableitungen v o n d e r sonders deutlich, wenn Beachte,
Vertauschbarkeit
X,Y Basisfelder
auffassen.
Dies wird be-
einer Karte, also IX,Y] = O.
da6 die Lie-Klammer kein Tensor ist, sondern sich in beiden Argu-
menten derivativ verh~lt. Wir kennen keine vSllig befriedigende vgl. aber etwa ~ ( i i i )
geometri-
sche Interpretation
des Torsionstensors,
Der KrHmmungstensor
hingegen hat eine sehr geometrische Bedeutung,
in 2.6. im Zusammenhang mit der Parallelverschiebung
in 2.6. wie wir
sehen werden. Er be-
herrscht viele Probleme der Differentialgeometrie. (iv)
Zeige, sind ~ ' , ~
lineare Zusammenh~nge auf M, so ist ~ - V
Tensorfeld vom Typ (2,1) auf M, und umgekehrt ist
~+
S
ein
ein linearer
Zusammenhang auf M fur jedes Tensorfeld S vom Typ (2,1) auf M. Damit hat man - wenigstens theoretisch - einen Uberblick Uber alle m6glichen linearen Zusammenh~nge auf M. Ist S symmetrisch,
so haben ~Y und
~+
S
den glei-
chen Torsionstensor.
2.3.
Lokalisierun~ von Tensorfeldern und linearen Zusammenh~ngen.
Wir haben ein Tensorfeld vom Typ (r,s) auf M definiert als multilineare Abbildung,
die r global definierten differenzierbaren
eine Funktion oder ein Vektorfeld zuordnet. lokalisieren, in p ab.
Vektorfeldern auf M
Ein Tensorfeld l~Bt sich nun
d.h. sein Wert in p E M h~ngt nur von den Werten der Argumente
-
39
-
Vor.~
L: ?OrM--*~sM
~M-lineare Abbildung ( r ~ l ,
Beh."
L(Xl,...,Xr)Ip = L(XI,...,Xr)Ip, wenn
Bew.:
Man kann
r = 1
s=0,1) .
Xilp = Xilp f~r i=1 .... ,r.
annehmen, der allgemeine Fall folgt durch Induktion.
Sei x Karte um p mit dem Definitionsbereich U. W~hle eine Funktion ~ M mit
~(p) = 1, so da~ der Tr~ger yon ~
niere X I , . . . , X n ~ M
in U liegt (vgl. 8.3.), und defi-
durch Xi[q:=~(q) ~x*Jq' wenn q E U , Xilq:= 0 sonst
f~r i=l,...,m. Dann hat man fur X,XE~)M Darstellungen
mit V I , ~ I E # M ,
undes
=~i(p)L(Xi)ip
,
ist aber ~ ( p )
gilt:
L(X)[p =T(p)L(X)Ip = (~L(X))~p = L(TX)Ip =
entsprechend
= ~i(p),
L(X)Ip = ~ i ( p ) L ( X i ) ~ p
•
Wegen
daher L(X)Ip = L(~)~p, und das Lemma ist bewiesen.
Ist G offene Teilmenge von M und Z¢;~G, so gibt es zu jedem p ~ G bung U yon p in G und ein Vektorfeld Y ~ M , lich eine Funktion T ~ M ,
Xp = ~p
so da~
eine Umge-
Z~U = Y~U. W~hle n~m-
deren Tr~ger in G liegt und die in einer Umgebung
U von p den Wert 1 hat. Setze
Yq:= ~(q)Zq
fur q a G
und Yq := 0 sonst.
Sei M°:= ~ und ~,~:= M X ... ~ M (k Faktoren). Auf Grund des Lemmas induP P P P ziert jedes Tensorfeld B vom Typ (r,s) auf M fur jeden Punkt p ~ M eine r-lineare Abbildung (1) wenn X1,...,Xr a ~ M
B : Mr--*M s P P P
durch
Bp(V 1 .... ,Vr):= B(XI~...,Xr)}p
,
und Xil p = v i fur i=l,...,r. Statt Bp werden wir meist
einfach wieder B schreiben. Ordnet man umgekehrt jedem p C M Abbildung
B : ~.~--*Ms P P P r-linearen Abbildungen
eine r-lineare
zu (oder "konstruiert einen Schnitt im B~ndel aller
Mr--~M s ")~ so erh~lt man ein Tensorfeld auf M, P P wenn die Zuordnung differenzierbar ist, d.h. aber im wesentlichen gerade wieder, Einsetzen differenzierbarer Vektorfelder liefert differenzierbare Funktionen oder Vektorfelder. Ein linearer Zusammenhang V von M i s t ~M-linear im ersten Argument. FUr X , Y E ~ M und p ~ M h~ngt ( ~ x Y ) p nach dem Lemma bez~glich X nur von Xp ab.
-
Ist v ~Mp,
40
-
so kann man also schreiben (2)
wenn Xg ~ M m it X
VvY:= ( V x Y ) p
P
,
= v. Diese Uberlegung ist auf das zweite Argument yon V
nicht anwendbar, denn dort verhilt sich V
derivativ, ( V x Y ) p wird also
wie die gewShnliche Ableitung einer Funktion bez~glich eines Tangentenvektors nur vom Keim yon Y in p abhingen, d.h. haben wir ein Vektorfeld ~M,
das mit Y in einer Umgebung U von p ~bereinstimmt, so gilt VvY = ~ v ~
f~r alle V g M p .
Denn w~hlt man eine Funktion ~ g ~ M
au~erhalb U verschwindet, so ist T Y = T ~" Daher folglich
~ ( p ) ~ v Y + (v~)Yp = T ( p ) V v ~
mit ~(p) = 1, die ~v(~Y) = ~v(T~)
und
+ (v~)~p. Mit Yp = ~p und ~ ( p ) = I
ergibt sich die Behauptung. Ist G offene Teilmenge yon M, so kSnnen wir dann f~r ein Vektorfeld Z ~ G Y ein Vektorfeld aus ~ M
erkl~ren
VvZ:= VvY, wenn p gG, v g Mp und
ist, das in einer Umgebung yon p mit Z ~berein-
stimmt. Wir haben oben ~berlegt, da6 es stets solche Vektorfelder gibt. Es folgt nun unmittelbar, daS man fGr jede offene Teilmenge G yon M eine Erweiterung der kovarianten Ableitung V
V :~)G X~)G
(3)
zu einer Abbildung
~OG
mit den Eigenschaften (I) bis (4) in 2.1. hat und fGr X , Y g ~ M ( VxY)IG = VxIGYIG
gilt
•
Ist U Definitionsbereich einer Karte x um p g M
und setzen wir Xi:= ~ x i ( D U ,
so hat man die Darstellung
VxiX j mit
k = ks~ [-ijXk
k ~ij:= (~X-IX j )xk E PU. Die Funktionen
k ~ij
des Zusammenhangs bez~glich der Karte x. Ist V
heiSen aueh die Komponenten "torsionsfrei", d.h. T = O,
so haben wir
VxIX j - V X X i = [Xi,X j] = O, da X i Koordinatenfelder, also
=~4 q j ~ k = ~
3~ k
und d~mit ji
[]
(i)
"
Mit einer Karte x definiert auf U C M und Basisfeldern X i : = ~ x i E ~ U
-
haben wir
R(Xi'Xj)Xk R.e
(ii)
=~
Rgijk Xe'
~k g
=
Die Vektorfelder
~k g
cos u
X21 u = -sin u bilden eine Parallelisierung menhang von
[] (i) in 2.1.
der Karte id. Warum ist ~ (iii)
M differenzierbare
XE~M, VxB
-
R¢ijk = (R(Xi,Xj)Xk)XCE~U. ~
+
e
r
1 I
Dll u +
sin u
Dll u +
cos u
f~r ~ 2 .
Sei ~
Berechne
[XI,Xg
1 1
D2[ u D21 u
der zugeh6rige sowie
~rM---*~s M
q~,
lineare Zusam-
R tijk bez~glich
nicht torsiensfrei? Mannigfaltigkeit
mit linearem Zusammenhang
B Tensorfeld vem Typ (r,s) auf M. Definiere :
Best~tige:
2 mit
XI,X2E~
Xlj u =
41
~ ,
eine Abbildung
durch
(~xB)(Y1 , • ..,Yr):= V x B(Y I ''" .,Yr ) - ~.~ ~ B ( Y ~ i'''''Yi-1 ,VxY i 'Yi+1''''' Yr ) ' wobei im Falle s = O f~r
Vxf:= Xf zu lesen ist.
halber nicht die volle Tansoralgebra - wobei r m e und s ~ O
- eingef~hrt,
(Wir haben der Einfachheit
aller Tensorfelder
denn mit den beschriebenen
man fast immer aus. Die differenzierbaren
Funktionen
soren veto Typ (O,O) und die differenzierbaren Statt "vom gemischten
h~ufig "r-fach kovariant
und s-fach kontravariant".) vom Typ (r,s),
~M
Typen kommt
kann man als Ten-
Vektorfelder
vom Typ (0,I) auffassen.
ist wieder ein Tensorfeld
vom Typ (r,s) auf M
~M
als Tensoren
Typ (r,s)" sagt man auch Verifiziere,
VXB
es heist die kovariante Ableitung
yon B bez~glich X. Damit erdnet man jedem Tensorfeld B vom Typ (r,s) ein Tensorfeld
VB
vom Typ (r+q,s) zu durch
(V~)(Yo,...,~r):= (Vy B)(~I,...,~r)
•
o
Best~tige im Falle T = 0 die Bianchi-Identit~t (VxR)(Y,Z,U)
+ (VyR)(Z,X,U)
f~r den Kr~mmungstensor
+ (VzR)(X,Y,U)
= 0
•
Warum gen~gt es, die letzte Relation nur f~r lokale Basisfelder nachzuprGfen?
yon Karten
-
(iv)
42
-
Tensorfelder vom Typ (r,O) nennt man auch Differentialformen vom
Grad r oder einfach r-Formen. Wenn f E ~ M ,
so ist df mit df(X):= Xf eine
1-Form auf M, das Differential von f. F~r eine Karte x um p • M hat man die Differentiale dx i mit d x i ( ~ x )
= ~ik' so da5 die dX~p_ also duale Basis
des Dualraums M ep der Linearformen auf Mp mit den Basisvektoren
ex'~---ilp
D
Ist B Tensorfeld vom Typ (r,1), so erkl~rt man f~r I ~ j~ r die Kontraktion c.B des Tensors B als Tensorfeld vom Typ (r-l,0) durch Spurbildung ~ber J das j-te kovariante und das kontravariante Argument, cjB(Y1,...,~j,...,Yr)~= = tr --__(v--~B(Y1,...,Yj_I,V,Yj+ 1 .... , Y r ~ .
f~r p ~ M
und v ~ M
Bez~glich einer Karte x mit Definitionsbereich u , ~ i : =
.
dx i pund Xi:= ~x i
gilt also auf U
Zeige,
ojB(YI,''',?j,''.~ r)
= 1.4 ~-3~ (B(Y "'''''YJ-I'Xi'YJ 4 +I''" .,Yr ))
~ x C j B = cj ~ X B
~Oj
und
= Oj+ 1 V
, d.h. Kontraktion und kovari-
ante Ableitung kommutieren. Ist B schiefsymmetrisch (oder alternierend),
so erkl~rt man noch die ~u~ere
(Cartansche) Ableitung dB als schiefsymmetrischen dB(Xo,...,X r) : = ~
(-1 )i~7xiB(Xo ,...,Xi,...,X r) + +o~i,~,r ~(-I
Wenn z.B.
(r+S,s)-Tensor durch
)i+JB( Ixi,xj] 'Xo' . . .'~i' . . . . . . '~j'
I der (1,1)-Tensor der Identit~t,
'Xr)
so T = dI. Ist T = 0 und
V B = O, so auch dB = O. Es gilt stets ddB = 0 im Falle s = 0 und f~r s = 1 unter der Voraussetzung c~ mit d ~
R = O. Eine alternierende Differentialform
= 0 hei6t geschlossen oder exakt, d ~
Ist umgekehrt die schiefe r-Form ~
geschlossen,
ist also geschlossen. so ist sie lokal ~u6ere
Ableitung einer schiefen (r-1)-Form. Global stimmt das nicht, es kann dann topologische Hindernisse geben. Als Ma~ daf~r dient - wenn M kompakt - die r-te de Rhamsche Cohomologiegruppe H r ( M , • ), der Quotientenraum des ~ - V e k torraums aller geschlossenen schiefen r-Formen auf M nach dem Unterraum derjenigen Formen, die ~uSere Ableitung yon schiefen (r-1)-Formen auf M sind.
-
2.4.
43
-
Die Zusammenhangsabbildung.
Ein Vektorfeld
Y(~M
liefert als differenzierbarer Schnitt M--->TM eine
induzierte Abbildung Y.v ~(TM)yp
Y.: TM--.TTM,
so da~ man also zu v ~ M p
einen Vektor
erhilt. Wir wollen jetzt eine andere ~quivalente Charakterisie-
rung eines linearen Zusammenhangs
~7 fur M geben, die nicht nur technisch
n~tzlich ist. Grob gesagt bilden wir statt
~ Z Y £ TM zun~chst die nat~rliche v Y ~ v ~ TTM und projizieren diese auf das richtige Niveau TM zur~ck,
Ableitung
nicht mit der Projektion dung
K: TTM--~TM,
zur Faser M
P
~r. , sondern mit einer differenzierbaren Abbil-
die geometrisch
Y.v die vertikale Komponente, d.h. die
tangentiale Komponente zuordnet.
HI LFSSATZ Vor. : ~Zlinearer Zusammenhang fur M, x Karte yon M mit Definitionsbereich U, p ~ U . Beh.:
Bew.:
Y,~,~U
(a)
Aus
Y.v = ~ . ~
(b)
Aus
Y.v = ~ . ~ + ~
und v , ~ , ~ M
folgt
v = ~ folgt
und
P
.
~v Y = ~TV~ •
~v Y = ~Z~ + ~
•
Wir lesen (a) und (b) aus lokalen Darstellungen ab. Betrachte die
zu x assoziierte B~ndelkarte ~ yon TM auf TU und setze X. := ~ x ~ U (i=I, •. • ,n),
Ak:= ~ T U
(k=l, • • • ,2n). Wir haben Darstellungen n
(1) mit
oti~,
und, da
v = ~ U .
IP '
Xj
Man erh~lt nun mit 1.4.(2)
~koy = xko2~ o y = x k
sammen mit (1) (2)
Y =
und
~n+ky
Y@v = ~v(x--koy)AkOy~p
= yx k = ~k (~k~=l.... ,n), zu-
n
Y~V
=
Z
<~kAk°Y + Z ~ i ( x i ~ ) A n + k ° ~ I p
"
Ebenfalls mit (1) und 2.3.(4) findet man
Entsprechend hat man f~r
~ = Z a i x i ~ p,
7 = ~.~JXj analoge AusdrScke der
Yp, also
Form (2) bzw. (3). Da Y~v = ~ ,
gilt zunachst Yp =
und dutch Koeffizientenvergleich
der Ausdr~cke f~r Y~v bzw. ~,v der Form
(2) erh~lt man
c(i = ~i. Mit (3) folgt dann
~J(p) = ~J(p),
~TvY = ~TVY , und (a) ist
-
bewiesen.
Zu (b):
Wegen
44
Y~v = L ~
+ ~
Wieder durch Koeffizientenvergleich ~=~iXilp,~
-
haben wir zun~chst Y
folgt
wenn P
P
P nicht
Y~v. Auf Grund des Hilfssatzes kSnnen wir eine Abbildung K: TTM
,TM
wie folgt definieren: Falls b = Y,v mit Y ~ M M (4)
und v ~ T M ,
setze
Kb:= ~ v Y
Wegen (b) des Hilfssatzes und der letzten Bemerkung list sich K dann eindeutig auf TTM so fortsetzen, da6 K auf jeder Faser (E4) w yon TTM eine lineare Abbildung (TM)w---->M~(w) wird.
K hei6t die Zusammenhanssabbil-
duns yon ~7.
Vor. :
U Definitionsbereich einer Karte x yon M, ~ assoziierte B~ndelkarte und Ak:= ~xk~mTU, wobei i=I ,...,n
auf TU. Wir setzen Xi:= Bx ~ und k=1,... ,2n. Beh."
Ist A ein Vektorfeld auf TU mit A = ~- a- K_ A_ k ~ und a k = A~k~/TU, so gilt (5) (6)
K:4 ~oA
=
KoA
aiX.o~ - , Z
(an+k T-~-~'i=n+j~'k°~') Xk°~" " Z_j~ ~ ~S
Insbesondere ergibt sich mit (6), daS K differenzierbar ist. Bew.:
Mit 1.4.(2) folgt ~r,~oA = ~ A ( x i o ~ ) X i o T C .
mit (5) bewiesen.
Zu (6):
Sei p ~ U ,
w~Mp
Wegen x i o ~
= ~i ist da-
und L: (TM)w--->M p die Abbil-
dung mit h
(7)
Lb:= ~ . ~ n + k
+ ~iw(xJ)qk(p)>
Xk,p
•
P
Y~v mit v ~ M
eine Basis von (TM)yp enthalten, aber z.B. ist An+kOY|p
yon der Form
---- y
Y =~JXj,----____woraus wir mit (3) die Behauptung erhalten.
Aus der Formel (2) ersieht man, da6 die Vektoren der Form und Y £ ~ M
=
,
Ln
wobei b = ~ k A k l w, also ~ k = b ( ~ ) . L und KI(TM) w sind lineare Abbil4 dungen yon (TM) w in Mp. F~r b = Y~v mit V ~ M p , Y~%0U und Yp = w folgt
-
aus (2),(3) und (4), da~ der Vektoren Darstellung
Lb = Kb.
45
-
Dann gilt
L = K~(TM)w,
da die Menge
Y~v eine Basis yon (TM) w enth~lt. Also KA w = LAw, und die (6) yon KA w ergibt sich aus der Darstellung
Aus (5) liest man ab, da~
~A
v = 0, genau wenn A v tangential
MX(v) yon TM liegt. Vektoren b E T T M mit Aus (6) ersieht man,
yon LAw in (7).
~.b
zur Faser
= 0 heiSen vertikal.
da~ Kb ~ O, falls b ~ 0 und b vertikal ist. Vektoren
b ~ T T M mit Kb = 0 hei~en horizontal. Mit den Bezeichnungen
des Lemmas sei ~ die Karte yon M
mit ~:= ~ I M und @~ i ~ P b =~. ~ilv P
c: M
P
~ TM die Inklusion._~. Dann gilt fur b ~(Mp) v mit
offenbar
&@b = ~',~iAn+i~v.
Mit (6) erhalten wir
Kc~b = ~ I X i l
Ferner gilt
U ~ lb = ~ h i l
yon 1.4.(5) ist,
~(v)'
Zusammenh~nge
wenn
U v der kanonische
KC~b =
~-lb v
•
stimmen die Zusammenhangsabbildungen
~x
K : TTM .
~ TM ~ TM
fGr a l l e v ~ TM einen Isomorphismus
differenzierbar
Vektoren yon (TM) w einen n-dimensionalen und den "Horizontalraum":
~ @ b = 0 surjektiv
bezeichne
und Horizontalraumes
Unterraum yon (TM)w,
(TM) w ist direkte
mit ~ , also h (v):=
Koh~.
= h
oK
~v.
.
sind linear auf (TM) w f~r alle w ~ T M , der Form Y@v ~(TM) w nachzuprGfen, mit Y ~ w )
= Ko(h oY)~v = K o(~Y).v (9) verifiziert.
= Kb = O.
K mit h , n~mlich
Beide Abbildungen
Y~MM
den "Verti-
yon (TM) w.
h~: TM--~TM die Homothetie
(9)
(9) fur Vektoren
als auch die horizontalen
K bildet die Menge der Vektoren b mit
surjektiv auf Mp ab und b = O, falls ~ @ b
Dann kommutiert
ist ~nd
auf Mp ab,~-@ bildet die Menge der Vektoren mit Kb = O
Summe des Vertikal-
enthalten,
linearer
(TM)v-----~M~v) X M ~ v ) induziert.
FEr jedes w g M p bilden sowohl die vertikalen
F~r a ( E ~
verschiedener
auf den vertikalen Vektoren ~berein. Wir haben damit gesehen,
da6 die Abbildung
kalraum"
Isomorphismus
so daS (8)
Insbesondere
~(v)
4
4
= w und v ~ M ~ ( w ) .
= ~v~Y
= ~v
und es gen~gt,
da diese eine Basis
Nun ist
Y = h~oK(Y@v).
Koh,c.(Y.v)
=
Damit haben wir
-
[]
(i) Sei
46
-
O: M--~TM der Nullschnitt und p EM. Warum ist O , Mp hori-
zontal fur jeden linearen Zusammenhang
~?
(ii) Umgekehrt zu unserem Vorgehen in diesem Abschnitt ordne man nun jedem Punkt v ~ T M als Horizontalraum raum ~ v C(TM)v differenzierbar gibt es n linear unabh~ngige spannen fur alle w ~V.
einen n-dimensionalen
zu, d.h. in einer Umgebung V yon v in TM
differenzierbare
Eine solche Zuordnung
sionale differenzierbare
Vektorfelder, ~
die ~ w auf-
nennt man auch eine n-dimen-
Distribution auf TM. Es sei stets ~ v
zum Vertikalraum in (TM)v, Horizontal- und Vertikalraum als direkte Summe aufspannen.
transversal
sollen (TM) v also
Durch eine solche Aufspaltung gewinnt man
eindeutig eine differenzierbare Abbildung (TM) v
linearen Teil-
K: TTM--~TM,
die jede Faser
~-linear in M ~ v ) abbildet, wenn man K dutch (8) auf dem Vertikal-
raum normiert und auf dem Horizontalraum 0 erkl~rt. setzung
Zeige: Durch die Fest-
~FXY:= KY~X erh~lt man einen linearen Zusammenhang
Zusammenhangsabbildung
K, sofern die Zuordnung
invariant ist unter Homothetien,
d.h.
K gem~
tiert. Um die Derivationsregel 2.1.(2) fur ~
~
~fUr
M m it
der Horizontalr~ume
(9) mit Homothetien kommuzu beweisen,
verwende man
etwa eine lokale Darstellung von Y~v bez~glich B~ndelkartenfeldern AI,...,A2n nach 1.4.(2) wie im Beweis des Hilfssatzes und die Relation h~oA
k = Ak o h
fur l ~ k ~ n
Wir habem damit beschrieben, die Zusammenhangsabbildung Tangentialb~ndels
sowie (9). wie man einen linearen Zusammenhang auch ~ber
definieren kann. Statt einer Zerlegung des
yon TM in Vertikal- und Horizontalr~ume
h~ufig eine solche Aufspaltung im Tangentialb~ndel Prinzipalb~ndels
2.5.
PM, vgl. auch die Einleitung zu diesem Paragraphen.
Vektorfelder
l~n~s Abbildun~en.
Wir besprechen jetzt eine wichtige Verallgemeinerung M,N differenzierbare Mannigfaltigkeiten, dung. Eine differenzierbare Abbildung
Vektorfeld l~n~s f.
eine Abbildung
~TM
X: N
wenn
von Vektorfeldern.
f: N--*M differenzierbare Abbil-
X: N--*TM
ein differenzierbares
l~ngs f i s t ,
benutzt man
des zu TM assoziierten
mit ~" o X = f
Wie in 1.10. ergibt sich, da~
genau dann ein differenzierbares
Xp~Mf(p)
renzierbar fur alle Funktionen
und
X~ : N
~'~M.
heist
Vektorfeld
, ~ mit (X~)ip:= Xp(~)
diffe-
-
47
-
Die Menge der differenzierbaren Vektorfelder l~ngs f bezeichnen wir m_it ~f. Ist G offene Teilmenge von M, V:= f-l(G), X ~1~f und~'~'G, XT~J~V dutch (X~.)ip:= X p ~ X e f: N--*TM mit
so erkl~rt man
fur p £V. Z.B. ist fur X~IOM die Abbildung
p---.Xif(p ) ein differenzierbares Vektorfeld l~ngs f.
Ferner ist fur A a ~ N
offenbar
f~A: N--*TM mit f~A:= f.eA ein differen-
zierbares Vektorfeld l~ngs f.
f.A heist ein tangentiales Vektorfeld l~ngs die Menge der tangentialen Vektorfelder l~ngs f bezeichnen wir mit ~ fT . ~f
ist in kanonischer Weise ein d~N-Modul, ein ~CM-Modul oder auch ein
R-Vektorraum:
Wenn X~l~f und ~ E ~ N ,
zu ~ f und f~r ~ E ~ M
~X mit(?X)p:= ?(p)Xp T daher ( ~ e f ) X ~ f . ~Df ist ein Unter-
ist ~ o f E ~ N ,
so gehSrt
modul yon ~f. Sei p ~ N und U Definitionsbereich einer Karte x um f(p). Dann haben wir mit X i : = ~ x ~ und V:= f-1(U) fur Y ~ $ f n
eine Darstellung
.
Y Iv = ~ X i o f , 4
wenn
~i:= yxi~ ~V gesetzt wurde.
Vor. : ~ l i n e a r e r Zusammenhang fur M, f: N---.M differenzierbare Abbildung. K Zusammenhangsabbildung yon ~r. Beh.:
Definiert man fur A~ION und Y ~ f ~AY:= KY~A
die Abbildung
,
so erh~lt man hierdurch eine Erweiterung yon ~
derart, dab fur alle (1)
A,~,B~I~N, alle Y , ~ f
~A(Y+~) =
~'AY + ~A~
(2)
~A~Y
=
~ A Y + (A~)Y
(3)
V A + ~" Y
=
rAY + ~'~Y
(4)
~'A
=
~A Y
Y
zu einer Abbildung
und alle ~ F N
gilt:
- 48 -
(5)
T(f.A,f~B)
= ~7Af~B-
(6)
I~ZB%A- f.[A,B]
=
(7)
.
FSr N = M und f = i ~
stimmt die Erweiterung yon V m it
dem urspr~nglichen Zusammenhang ~berein. Man nennt (5) und (6) auch die Cartanschen Strukturgleichungen f~r T und R. Bew.:
Zun~chst ist klar, dab KY@A: N--*TM als Zusammensetzung differen-
zierbarer Abbildungen differenzierbar ist. Au~erdem gilt (KY.A)p = K(Y.Ap) und wegen Y.Ap E (TM)y , also KY~Ap ~Mf(p), folgt ~-oKY~A = f. Daher ist r A Y ein differenzier~ares Vektorfeld l~Lugs f. Die Eigenschaften (3) und (4) ergeben sich sofort, da K und Y. faserweise linear sind. Die Eigenschaft (7) folgt unmittelbar aus der Definition yon K. Die ~brigen Eigenschaften pr~ft man mit Hilfe einer lokalen Darstellung fGr ~ A Y, die wir nun gewinnen: Sei U Definitionsbereich einer Karte x von M und ~ die assoziierte B~ndelkarte von TM auf TU, ferner Xi:=~xi, Ak:= ~ K ,
wobei i=1,...,n und k=1,...,2n.~ Es gen~gt anzunehmen, da~ f(N)
in U liegt. Dann erhalten wir hieraus
Y.A = ~ A ( ~ k o Y ) A k O Y . I
Mit 2.4.(6) folgt
n
K Y ~ A = ~ . ~(~n+koY) + ~ . A ( ~ i o Y ) ( Y x J ) q ~ o ~ o Y ] ~=4 ~,~
XkOa-oY
und mithin h
n .
Speziell findet man mit (9) n
VAX~Of = K(X~of) A = ~.
•
i ks4
Setzt man dies in (9) ein, so erh~lt man schlieSlich die lokale Darstellung n
(10)
~AY = ~,~A(yxk)XkOf + (Yx k)~AXkof>
.
Die Eigenschaften (I) und (2) folgen nun sofort mit (I0), da (Y+~)x k = = Yx k + T x
k una A((Y+T)x K)- = A(Xx k) + A(Tx k) bzw.
A(~Yx k) = F A ( Y x k) +
+ (Apl(yxk). Von den Relationen (5) und (6) beweisen wir nur noch (5) als Beispiel:
-
49
-
Zun~chst gilt f,A =
(11)
EA(xlof)Xiof
, f~B = ~B(xiof)Xiof
4
und
I
T(Xiof)Xjof ) = T(Xi,Xj)of = (VxiXj) of - (Vx.Xi)of (12)
T(f~A,f~B) = ZA(xiof)B(xJof)[VxiXj
- ~Zx.X~ of
%,~ -+
Da nun
J
%A(xiofl(Vx Xjlof = K_~A(xi°fl(~'kl0of) Xeof •
,
entsprechend
.i
= VA X.ofj
und
t,~-4
~B(x3of)(%.Xi)of
(13)
und daher
= V B Xiof
ist, hat man mit (12)
T(f.A,f.B) = ~B(xJof) K X.of 4
J
- Z A ( x i o f ) V B xiof +
Andererseits erh~lt man mit (10) und (11) wegen ( f e B ) x i = B ( x i o f )
(14)
K
fxB = ~ [
A~B(xi°f)) X i ° f + B ( x i ° f ) ~A X i ° f ]
,I
und entsprechend (15)
~ B f@A = ~ , ~(A(xiof)) Xiof + A(xi°f)~7B Xi°f]
•
4
Ferner gilt noch (16) 4
Aus (13) his (16) erh~lt man die Relation (5)-
(i)
Gib eine vollst~ndige Herleitung der Cartanschen Struktur-
gleichung (6) f~r den Kr~Jmmungstensor. (ii) Sei B ein Tensor vom Typ (r,s) auf M und Y1,...,Yr~f, f: N-===)M differenzierbare Abbildung. Warum ist B(YI,...,Yr ) differenzierbar, also in
~ f bzw. ~ N ?
(iii) f: N - ) ~ k differenzierbare Abbildung. Betrachte den kanonischen Zusammenhang V auf ~ k i:=iuiD. ~ ~0~ k und das "Ortsvektorfeld" I
I~11
I o f l~ngs f. Folgere, da5 ~7AI of = f,A f~r ein Vektorfeld A ~ N . Berechne mit 8 = o@D die Ableitungen ~ D 6 und VD~ZDC f~r den parametrisierten Kreis c: ~_=,~2 mit c(t) = (~sin t,~cos t) mit der kanonischen Ableitung und auch bez~glich der kovarianten Ableitung von ~ ( i i ) in 2.3.
-
(iv)
50
-
Wenn f: N---~M differenzierbare Abbildung, v ~ T N und Y ~ M ,
gilt
~ f ~ v Y = KY~f~v = K(Yof)@v =
Sind also Vektorfelder A ~ N hat man (v)
(~xY)of =
~v yof, so da~
und X ~ M
f-verwandt,
~f~v Y =
dann
~Zv yof.
f~A = XOf, so
~7A yof.
In der Sprache der VektorraumbtLudel sind differenzierbare Vektor-
felder l~ngs f: N--,M differenzierbare Schnitte im durch f aus TM induzierten B~ndel ~ber N, der Erweiterung einer kovarianten Ableitung ~ i n ~M
auf
~ f entspricht die Erweiterung eines linearen Zusammenhangs im
Tangentialb~ndel auf induzierte B~ndel.
2.6.
Parallelverschiebun~.
Eine kovariante Ableitung bestimmt einen Parallelverschiebungsbegriff l~ngs differenzierbarer Kurven. M differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Wir betrachten ein nicht entartetes Intervall J in ~ . Eine Kurve oder ein Weg in M i s t stetige Abbildung c: J
,M. Wenn J kompakt, J = ~ , ~
den Anfangspunkt und c(~) den Endpunkt yon c.
eine
, so nennt man c(~)
c heist geschlossen, falls
c(~) = c(~). Sei ~
linearer Zusammenhang f~r M und c eine differenzierbare Kurve in M.
Ein Vektorfeld
X~
c
heiBt parallel, wenn gilt
(I)
VDx
= o
Sind XI,X 2 parallele Felder l~ngs c und
~,~
reelle Zahlen, so ist auch
~ X I + ~ X 2 paralleles Vektorfeld l~ngs c. Die parallelen Felder bilden also einen Unterraum des ~-Vektorraumes
~. c
ISATZ I I ~or.:
~linearer to ~ J ,
Beh.:
Zusammenhang f~r M,
c: J--,M differenzierbare Kurve,
V ~ M c ( t o ).
Es gibt genau ein paralleles Vektorfeld X l~ngs c mit Xto = v .
-
Bew.:
51
-
W~hle Zahlen ~ y ~ J mit ~ < ~ y ÷ 1 ,
c([~,~y~1])
im Definitionsbereich
so da~
J = U~v~,]w
und
einer Karte liegt. Es genGgt,
hauptung fur den Fall zu beweisen,
die Be-
da~ c(J) im Definitionsbereich
U einer
Karte x liegt. Der allgemeine Fall folgt dann durch Induktion. Wir setzen Xi:=
~xl ~U
und betrachten ein Vektorfeld X ~ ) c . Dann ist nach 2.5.(9) n
h
Offenbar geh~ren die Funktionen ak:= Xx K und zu
~J,
und die Relation
~
-
3
= (
J oc)O(xi o c)
= 0 ist gleichwertig mit n
(3)
Dak
= ZB~
aj
k=l .... ,n •
Damit ist die Behauptung auf den EindeutigkeitsSysteme gewShnlicher Es gilt
Differentialgleichungen
v = ~ a" ~ . o c , _ 0
L~sungssystem~n
K
I ~0
k
mita
_0
~.
und Existenzsatz
f~r
I. Ordnung zur~ckgefUhrt.
Dann gibt es zun~chst genau ein
Funktionen EK ~ J o
mit a~k(to ) : a~, wobei Jo ein offe-
nes Intervall in J um to, vgl. auch 8.4.
Nun ist wichtig,
da~ in (3) ein
lineares System vorliegt,
denn es ist eine wohlbekannte Tatsache, da~ ~k sich die lokalen LSsungen a dann eindeutig zu globalen LSsungen a k ~ J fortsetzen lassen.
Auf Grund des Eindeutigkeits-
und Existenzsatzes
erh~lt man fur alle t l , t 2 ~ J
einen Isomorphismus
fur parallele Vektorfelder Mc(t~T--@Mc(~A)
. Man
betrachte n~mlich zu V ~ M c ( t ~ ) das parallele Vektorfeld X mit Xt = v und ordne v den Vektor X t ~ M c @ 1 )
zu. Man nennt diese Abbildung Parallelver-
schiebung von Mc(t~ ) in Mc(tl ) l~ngs c. Der reelle Vektorraum der parallelen Vektorfelder hat offenbar die Dimension n. Es ist oft n~tzlich,
ein Vektorfeld
Y ,N)
darzustellen bez~glich einer
C
Basis von parallelen Feldern. Felder fur alle
Zun~chst bemerkt man, da~ fEr parallele
Zl,...,Z n ~ 1Oc , die Vektoren
Zl~t,..., Znjt
linear unabh~ngig sind
t , J, sobald sie linear unabh~ngig sind fur elm
t = t ~ J. O
Dies folgt unmittelbar mit der vorangegangenen Y mit reellwertigen Funktionen sich sofort,
da~
ai m
#J,
a
= i
d.h.
~ auf ai
ai Zi J •
Bemerkung.
Wir haben d e s h a l b ,
,
Aus der fo~genden Bemerkung ergibt
differenzierbar°
- 52 -
Betrachte allgemeiner
eine differenzierbare
linear unabh~ngige Vektorfelder linear unabh~ngig
f~r alle
eindeutig schreiben als nitionsbereich V = f-l(u)
x
um
YIV
Y
,
%V~ = Z i x J e ~ v
ein uad vergleicht
so ergibt sich
(~(p))
umkehrbar ist f~r alle
durch rationale ~J
Parallelverschiebung
~7 linearer Sei
Beh. :
~.,~Jxj°f
und
Zl~p,... , Z ~ p
Sei
Y ~f
p ~N
Dann haben wir mit
und
U
Xi -
Defi-
~x ~ und
, ~J = Yx j E # V
,
sowie
Mithin
X ~
FUr alle
Da die Matrix
lassen sich die Funktionen
aus den differenzierbaren
ai
Funktionen
fur
~
.
Ableitung mit Hilfe der
M ,
c : J--*M
das parallele
gilt
(4)
.
werden kann, vgl. die Einleitung in
bezeichne
t ~ J o
mit denen der zweiten Dar-
j=l,...,n
wie die kovariante
Zusammenhang X
= ~ J ,
aim # N
ausgedr~ckt
,
Setzt man dies in die erste Darstel-
p eV,
Rechenoperationen
bestimmen.
.
~., a i ~
Wir zeigen jetzt umgekehrt,
Vor.:
:
die Koeffizienten
stelluag,
und
=
d.h.
sich jedes Feld
ai~N
f(p).
f : N---*M
.
= ~,~X~f
lung yon
Damn l ~ t
Y = ~a iz i ,
die Darstellungen
n
ZilV
Zl,...,Z n ~ ~ f ,
p eN .
einer Karte
Abbildung
differenzierbare
Feld in
~0c
mit
§2 .
Kurve.
Xt = Xt
~e; V~
it°
lira Xt.- Xt, t~ to t - t O
Bew.:
W~hle linear unabh~ngige " I"z i , X = i~,a
hat man
(tl
fur
(i) ~3
lira
V÷
und die Behauptung
[]
und
Felder
.
~(t)t -~(t.) - ~
i ÷ aiVDZi>
Da Zilt. = ~ i~+
=
Da Zi ,
•
Deshalb gilt
.
I Zi) ito
Zi paranel,
folgt.
Betrachte yon [ ]
Z~'''''Zn £ ~c " Nun
~X = ~ a i (t)] Z.
~
lira t~to ~X,.-X,. =
Anderer eit
parallele
" ~ j , al~
den nich torsionsfreien
(ii) in 2.2. und bere¢hne
linearen Zus~mmenhang
die parallelen Felder l~ngs der
-
Geraden
t-~at
+ b
mit a , b ~ & ~ 3 .
53
-
Z.B. ±st das parallele Feld Y l~ngs
der Geraden t--~te 3 mit Y(O) = DII ° gegeben durch Y(t) = c o s ~ D 1 ~ t e 3t - sin~D21t%. Der Vektor Y(O) wird also bei Parallelverschiebung "um die Kurve gedreht". (i±)
M differenzierbare Mannigfaltigkeit
f: N---~M differenzierbare Abbildung, liebige differenzierbare
mit linearem Zusammenhang
Y~f,
v ~TN.
~7,
Sei c: J--,N eine be-
Kurve mit ~(t o) = v fur t ~J und Y das eindeutig ~o foc mit Yt = Yoc(t). Schlie~e
bestimmte parallele Vektorfeld l~ngs mit Satz 2
~J ~v Y
Interpretiere
=
lim t-*t °
Y~-- Yc(~o) t - to
•
die Formel besonders auch ±m Spezialfall N = M und f = id.
Leite eine entsprechende Formel her f~r die kovariante Ableitung
~7xB
eines Tensorfeldes B vom Typ (r,s) auf M bezUglich eines Vektorfeldes X ~ % 0 M im Punkte p ~ M , (iii)
vgl. [ ] ( i i i )
Die Parallelverschiebung
in 2.3.
yon M
nach M
lings eines differenzierq baren Weges c von p nach q in M hHngt im allgemeinen v o n d e r Wahl des P
verbindenden Weges ab. Die Parallelverschiebung unabh~ngig, ~7
ist jedoch lokal vom Weg
genau wenn R = O, dann sagt man, ~ 7 sei flach und nennt M mit
auch eine flache Mannigfaltigkeit.
Intervall in ~ ,
H: [~,~J × J
Sei n~mlich J ein nicht entartetes
~ M eine differenzierbare Abbildung ("Homo-
topie") mit H(~,s) = p, H(@,s) = q fur alle s ~ J , zierbare Schar differenzierbarer das Vektorfeld in
~,
f~r jedes feste s ~ J
so da~
t--~Y(t,s)
und Y(~,s) = v, also
~TD~7DzY|t,s~ = O, d.h.
t--~H(t,s) und daher so daS auch
differen-
Kurven yon p nach q. Ist v ~ M p
so folgt im Falle R = 0 mit 2.5.(6) wegen offenbar
also H e i n e
parallel lings ~7D Y|t,s = 0 und ~I,D2]
t--~DiYlt,s
= 0 und
und Y
t--*H(t,s) ~TD Y | ~ 's = O, ~ ~TDA~Z~Ylt,s = 0
ist parallel lings
-~TD Yit,s = O, well dies Feld fur t = ~
verschv~ndet,
~TDAY|~,s = 0 und Y(~,s) konstant in s. Nun hat jeder Punkt
in M eine zu ~" diffeomorphe Umgebung U, und verschiedene Kurven yon p nach q in U lassen sich dort Uber eine differenzierbare zierbarer Kurven yon p nach q ineinander deformieren.
Schar H differen-
Daher ist die Paral-
lelverschiebung lokal unabhHngig vom Wege, wenn R = O. Es gibt einfache Beispiele
flacher Mannigfaltigkeiten
mit global nicht wegunabhHngiger
-
Parallelverschiebung.
54
-
Wenn umgekehrt die Parallelverschiebung
lokal weg-
unabh~ngig ist, so folgt durch Umkehrung der vorangegangenen Uberlegung genau so leicht, da~ R = O. Es ist ein schwieriges Problem, Bedingungen fur M anzugeben,
topologische
damit auf M ein flacher Zusammenhang existiert,
selbst wenn man zus~tzliche Forderungen an den Torsionstensor etwa T = 0 ( ~
heist in diesem Fall ein affiner Zusammenhang).
Im allgemeinen ist der KrUmmungstensor Abweichung der Parallelverschiebung folgenderma~en: um 0 in
O"
FUr p E M
ein infinitesimales MaS fur die
yon der Wegunabh~ngigkeit
und zwar
sowie ein offenes Intervall J P ~q2 sei f: J--~M differenzierbare Abbildung mit f(O) = p und
f~Dl| ° = u, Vektor,
stellt, also
und u , v , w £ M
f, D2| ° = v.
Wenn ( t , s ) ~ J ,
der l~ngs der Wegemasche
~f(t,~) bis f(t,s),
~
l~ngs ~
so bezeichne
~f(~,O)
Wt,s~Mp
den
yon p bis f(t,O),
~f(~,s) bis f(O,s) und l~ngs
l~ngs
6"
~f(O,¢)
wieder bis p in w parallel verschoben wird, man erh~lt also Wt,s' indem man w l~ngs der angegebenen Wegemasche in umgekehrter Richtung wieder nach Mp parallel herumschiebt. • Y(O,~) parallel l~ngs parallel l~ngs ly =
,f(~,6).
Betrachte das Vektorfeld Y ~ D f ,
~---~f(O,~)
so dab
mit Y(O,O) = w und ~--,Y(%',~)
Dann gilt nach 2.5.(6) also
R(u,v)w =
~ ~4 u~ Y~O " Zeige mit (ii) R(u,v)w
=
lim t,s
Die Schreibweise des KrUmmungstensors KrUmmungsendomorphismus
R(u,v) von M
wt, s - w ~
0
soil andeuten, geh~rt,
.
ts
da~ zu u , v ~ M
P
ein
dessen geometrische Bedeu-
P tung aus der letzten Formel klar wird. (iv)
Ein Tensorfeld B vom Typ (r,s) auf M heist parallel,
Dabei sollen differenzierbare
= O.
Funktionen und Vektorfelder nicht ausge-
schlossen sein, natUrlich ist ~ f : = X--)~TxY fur Y E ~ M ,
wenn ~ B
df fur f ~ ' M
und ~ Y
der (1,1)-Tensor
parallele Funktionen sind konstant. Im allgemeinen
existieren keine paralle]en Vektorfelder auf M, es gibt aber nach (iii) lokal stets genau n linear unabh~ngige die Integrabilit~tsbedingung einer Parallelisierung
parallele Vektorfelder,
R = 0 hat. Ist ~
falls man
der kanonische Zusammenhang
fur M, so sind die Felder der Parallelisierung
gerade parallel. Warum ist T parallel, wenn M Lie-Gruppe und ~ d e r
kano-
-
55
-
nische Zusammenhang einer linksinvarianten
Parallelisierung.
Setzt man
in einen parallelen Tensor parallele Vektorfelder auf M ein, so erh~lt man wieder parallele Vektorfelder
oder Funktionen.
sprechende Aussage gilt, wenn man zierbarer Kurven in M einsetzt, (v)
Uberlege,
parallele Vektorfelder
vgl.[](ii)
Man definiert Parallelverschiebung
da~ die ent-
l~ngs differen-
in 2.5.
auch l~ngs st~ckweise differen-
zierbarer Kurven (vgl. 3.3.) in nat~rlicher Weise durch sukzessive Parallelverschiebung
l~ngs der differenzierbaren
Wegabschnitte.
Wir beschreiben
jetzt noch ein globales Ma~ fEr die Abweichung der Parallelverschiebung auf M v o n d e r
Wegunabh~ngigkeit.
baren Wegeschleife
Sei p ~ M .
Jeder st~ckweise
differenzier-
von p nach p ist durch Parallelverschiebung
ein Iso-
morphismus M
~M zugeordnet~ und der Komposition yon Wegen entspricht P P die Komposition der Isomorphismen. Alle diese Isomorphismen bilden eine
Untergruppe
der allgemeinen
linearen Gruppe GL(Mp) der Isomorphismen von
Mp auf sich, die Holonomiegruppe h~ngend. Zeige, wenn q ~ M ~
~(p)
yon M in p. Sei nun M zusammen-
so ~(q) isomorph
identifizieren GL(Mp) mit G L ( n , ~ ) ,
~(p).
Fixieren wir p und
so ist also ~ ( p ) Untergruppe und sogar
eine (im allgemeinen nicht abgeschlossene)
Lie-Untergruppe
Ihre Bedeutung liegt darin, da~ sich die Strukturgruppe b~ndels TM auf ~ ( p ) statt mit G L ( n , ~ )
reduzieren l ~ t ,
vgl.[](v)
kommt man mit ~ ( p )
yon G L ( n , ~ ) .
des Tangential-
in 1.7. und 1.10.,
d.h.
als Strukturgruppe aus, wenn man
bei der Konstruktion von TM in 1.10. statt assoziierter B~ndelkarten in nat~rlicher Weise B~ndelkarten mit Hilfe der Parallelverschiebung struiert. Im allgemeinen Fall wird oder G L + ( n , ~ )
sein.
Wenn ~ ( p )
und TM trivial. Wenn umgekehrt
~flach,
nach (iii) flach
so h~ngt die Parallelverschiebung
Wege yon p nach p wegen (iii) nur von
ab, d.h. man hat einen "Holonomiehomomorphismus"
: --~(M'P)--~GL(Mp) ~ G L ( n , ~ )
der Fundamentalgruppe
von M in p in die
allgemeine lineare Gruppe, dessen Bild gerade die Holonomiegruppe ist. Wenn M flach und einfach zusammenh~ugend, ~(p)
1, und M i s t
kon-
die volle lineare Gruppe G L ( n , ~ )
= I~ so ist also ~
l~ngs st~ckweise differenzierbarer ihrer Homotopieklasse
~(p)
parallelisierbar.
also
~l(M,p)
~(p)
= 1, so auch
-
2.7.
56
-
Geod~tische.
M differenzierbare Intervall in
~,
Tan~entialfeld
Mannigfaltigkeit
der Dimension n, J nicht entartetes
c: J--*M differenzierbare
Kurve. Wir definieren
8 yon c als ein tangentiales
(1)
Vektorfeld
l~ngs c durch
~:= c~D
Man nennt c eine re~ul~re Kurve, wenn c yon H6chstrang bar und damit eine Immersion Ist J kompakt, schlossen,
J = [~,~],
so heist c periodisch
Abbildung c: ~ - - , M erweitern
ein linearer Zusammenhang
heiBt autoparallel
(=I) differenzier-
ist, wenn also 8(t) $ 0 fur alle t ~ J . oder differenzierbar
wenn c sich zu einer mit der Periode
periodischen Sei ~
das
~-~
differenzierbaren
l~Bt.
fur M. Die differenzierbare
oder eine Geod~tische,
ge-
Kurve c in M
wenn das Tangentialfeld
~ paral-
lel ist, wenn also gilt (2)
~7D~ = 0
Sei nun x eine Karte yon M mit Definitionsbereich
U. Wir setzen Xi:=
~ x L.
Nit 2.6.(2) und unter Verwendung yon 8(x k) = (e.D)(x k) = ( ~ . D ( x i @ c ) X i @ o ~ x k
= D(xk@o)
erh~It man %~(t) fur c ( t ) ~ U .
= ~
~D(xk@c)+
~D(xi@c)D(xJoc)~i~'c]t
Lokal ist also (2) gleichwertig
Xklc(t)
mit
n
(3)
DDCx o) ÷FD(xioo)D(xJ°e)
Dies sind die klassischen Aus bekannten benen p ~ M ,
@c
Differentialgleichungen
S~tzen ~ber Differentialgleichungen
v ~Mp
und t o ~ g ~
:
O
k:1
n
fur Geod~tische. folgt,
dab zu vorgege-
lokal eine (bis auf den Definitionsbereich)
eindeutig bestimmte Geod~tische
existiert mit c(t o) = p und 8(t o) = v.
In den beiden folgenden Abschnitten werden wir die Geod~tischen jektionen
der Integralkurven
erhalten,
so dab wir sofort eindeutig bestimmte maximal
als Pro-
eines global auf TM definierten Vektorfeldes definierte
Geo-
S
-
57
-
d~tische zur Verf~gung haben. Wichtig wird dabei sein, da~ die L~sungskurven global "differenzierbar
von den Anfangswerten
sogenannte Exponentialabbildung
abh~ngen",
um die
eines linearen Zusammenhangs als differen-
zierbare Funktion gewinnen zu k~nnen. Wir weisen ausdr~cklich tialgleichungssystem
darauf hin, da5 in (3) ein nicht lineares Differen-
vorliegt.
L~sungen solcher Systeme kann man im all-
gemeinen nicht beleibig welt fortsetzen. W~hrend etwa die Parallelverschiebung l~ngs einer differenzierbaren
Kurve so welt m~glich ist, wie
diese Kurve definiert ist, l~Bt sich eine Geod~tische gewisses Intervall (a,~) C ~
hinaus fortsetzen,
Man nennt einen linearen Zusammenhang auf J C ~ ?
~
c oft nicht Eber ein
auch wenn etwa M kompakt.
f~r M vollstHndig~
wenn sich jede
definierte Geod~tische in M zu einer GeodHtischen auf ganz
fortsetzen l~Bt. Eine Auszeichnung des Levi-Civita-Zusammenhangs eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M in § 3 Kompaktheit
[]
(i)
fur
besteht gerade darin, dab die
oder allgemeiner die metrische Vollst~ndigkeit
Vollst~ndigkeit
~
~?
yon M die
yon ~ i m p l i z i e r t .
BezUglich des kanonischen Zusammenhangs
~
fur ~ n
und der
ij = O, so da~ nach (3) alle GeodHtischen Karte x = id hat man ~ k
c: j _ ~ n
gegeben sind als Geraden mit c(t) = at + b, wobei a,b £ ~ n . (ii)
Hat man ein Vektorfeld X E ~ M
mit
~ X X = O, so ist jede Integral-
kurve c yon X (vgl. 8.5.) eine Geod~tische sind also D und X = ~ D Xoc =
yon V ,
c-verwandt und mit [ ] ( i v )
~D 8 .
Insbesondere
denn da
in 2.5. folgt
sind Integralkurven
Vektorfeldes GeodHtische. Wenn M parallelisierbar
Typ (2,1) auf M ?
der kanonische
~ZX. ~:=
des Zus~mmenhangs
mit
Tensorfeld yore
~7 f~r ~ 3
in 2.2. sind also wieder die Geraden yon (i). Uberlege allgemein: d~tischen yon ~
und ~ +
S
stimmen ~bereih,
oCi~#~.
~7 + S die gleichen
falls S ein schiefsymmetrisches
Die GeodHtischen
von ~ ( i i ) Die Geo-
genau wenn S schiefsymmetrisch.
Insbesondere hat der torsionsfreie Zusammenhang
~-
~ T
die gleichen
GeodHtischen wie ~ . (iii)
FUr den Zus-mmenhang
~7 fur ~ 2
aus ~ ( i i )
lich der Karte x = id die Differentialgleichungen c : j___~2
=
fur. M,. so sind alle
eines Vektorfeldes
Warum hat man in diesem Fall f~r den Zusammenhang Geod~tischen wie f~r ~ ,
O = (~)oc
eines parallelen
und ~
Zusammenhang einer Parallelisierung X I , • • • ,Xn ~ M GeodHtischen in M Integralkurven
X o c = c = c~D,
in 2.3. lauten bez~gf~r eine Geod~tische
-
+
6÷
:
o
,
~
_
~2
wenn u,v die Komponentenfunktionen u•2 + v.2 konstant. Ist u konstant,
58
-
=
o
,
yon c sind und ~ fur Du steht. Es ist etwa u(t) = Uo, so ist die Parallele
zur v-Achse (u,v) mit v(t) = =t + ~
eine LSsung des obigen Systems,
da-
gegen ist v nur fur eine konstante Geod~tische konstant. Bestimme und skizziere nach (ii) alle Geod~tischen von ~ . kurven yon X 2 Geod~tische,
Z.B. sind die Integral-
diese gen~gen dann den Differentialgleichungen
= - sin u ,
~ = cos u
•
Im Falle ~ = 0 erh~it man als Integralkurven v(t) = (-1)kt + ~
(u,v) die Geraden u(t) = k ~ ,
und f~r ~ @ 0 die Kurven
~-~"~ e
u(t) = 2 arctg e (-1)~t + k ~
,
v(t) = - log ( I + e ) 2e(.,)~6 + ~
'
mit k ganz und Gleiehung (iv)
~E~.
v = -~
u(t) : 2(-I)k 1 + ez('4)~* ,;-(t)
=
(-1)
k
1 -
e
1
e
+
Die Bilder der letzten Kurven werden durch die
log sin2u + p
c: J---*M differenzierbare
beschrieben~
u ~ kar.
Kurve. Dann ist das Tangentialfeld ~ eine
differenzierbare Kurve in TM, ~ eine differenzierbare Kurve in TTM, allgemein das k-fach iterierte Tangentialfeld ~ von c eine differenzierbare Kurve in T ~ . alle k ~ O .
Uberlege,
da6 c periodisch,
Jedes Vektorfeld X ~
genau wenn c geschlossen fur
ist eine differenzierbare
Nach Definition ist X parallel,
Kurve in TM. c genau wenn das Tangentialfeld X horizontal
in TTM. Warum ist X periodisch,
sobald X geschlossen?
ist ~quivalent mit ~" horizontal. sobald c und ~ geschlossen,
d.h.
Da~ c Geod~tische,
Dann ist die Geod~tische c periodisch, e(~) = c(~) und ~(~) = ~(~) mit J = ~ , ~ ] .
Im allgemeinen sind geschlossene Geod~tische nicht periodisch. (V)
Sei G eine Lie-Gruppe mit Einselement e und ~
ihre Lie-Algebra der
linksinvarianten Vektorfelder auf G. Der kanonische Zusammenhang lich einer linksinvarianten Parallelisierung, raum
~,
h~ngt nicht v o n d e r
den linksinvarianten von ~ g e g e b e n X~,
h~G
~bez~g-
also einer Basis im ~ - V e k t o r -
speziellen Basiswahl ab, wir nennen ~
kurz
Zusammenhang yon G. Nach (ii) sind alle Geod~tischen
als Integralkurven
linksinvarianter Vektorfelder.
und c: J---~M Integralkurve von X, so ist auch ~ o
Wenn
c Integral-
-
59
-
kurve von X auf Grund der Definition linksinvarianter
Felder. Wenn c
Integralkurve yon X durch e, J offenes Intervall um 0 in so gilt f~r
t,tl,t+t l ~ J
die Kurven
die Funktionalgleichung
t--~c(tl+t) und
t--~c(tl)c(t)
yon X, die f~r t = 0 ~bereinstimmen. kurve mit c(O) = e, dann J = ~ . so ist mit 0 ~ < ~
~und
c(O) = e,
c(tl+t) = c(tl)c(t) ,
sind n~mlich Integralkurven
Ist c maximal definierte Integral-
Denn falls
J = (~,~) und etwa ~ ' ~
die Kurve ci: (~+~, ~+~)--wG
,
mit c1(t) = c(~)c(t-~)
Integralkurve yon X mit c1(~) = c(~), so dab c ~ber ~ hinaus fortgesetzt werden kann im Widerspruch d~tischen in G auf
zur Maximalit~t yon J. Damit k~nnen alle Geo-
~erweitert
werden und der linksinvariante
hang einer Lie-Gruppe ist stets vollst~ndig.
Zusammen-
Gleichzeitig haben wir gesehen,
dab jede Geod~tische c: ~ - - ~ G mit c(O) = e ein Homomorphismus ist und nat~rlich eine Immersion, vgl. ~ ( i v )
in 1.7.
jedoch im allgemeinen keine Einbettung,
Das Bild yon c ist eine 1-dimensionale
gruppe von G oder eine Einparameter-Untergruppe, kehrt ist jede Einparameter-Untergruppe durch e. Das Bild einer Geod~tischen restklasse
das Bild einer Geod~tischen
c:R--~G
leeren offenen Teilmenge Zeige, ist ~ i r g e n d e i n Punkten Sl,S 2 E ~ e i n e Jedoch ist V
D ~
UC~
,~
nicht notwendig vollst~ndig. ~:~
~S 1 mit
die Links-
VDD
?
mit c(~) = Sl, c(~) = s 2.
Betrachte die differenzierbare
~
ist auf ~
definiert,
schlieBe, denn
bez~glich des entsprechenden Zusamerweitert werden.
kompakte Mannigfaltigkeiten
st~ndigen linearen Zusammenh~ngen.
I. Durch
f~r S 1 bestimmt. ~ n
= D, und c kann nicht auf ~
Damit gibt es zusammenh~ngende
affine Mannigfaltigkeit,
wenn U = ~ n
so gibt es zu zwei
mit einem Vektorfeld D I ~ S
c I = ~ o c, wo c eine Geod~tische in ~ mit
auf einer nicht
7~(t) = (cos t, sin t). Das Tangentialfeld
~-verwandt
keine nicht konstante Geod~tische c I yon ~
auf ~
f~r ~ n
n genau dann vollst~ndig,
Geod~tische c : ~ , ~ J
ist offenbar
~
V
linearer Zusammenhang f~r ~ ,
~DIDI:= D 1 wird ein linearer Zusammenhang
menhangs
mit c(O) = g i s t
H = L - l o c ( ~ ) . Untersuche die Geod~tischen g die wir als Beispiele angegeben haben.
Warum ist der kanonische Zusammenhang
Uberlagerung
wie man auch sagt. Umge-
gH der Untergruppe
einiger Lie-Gruppen, (vi)
Lie-Unter-
SIist
mit ~ n a t G r l i c h
d.h. R = 0 und T = O.
mit nicht vollsogar eine
-
2.8.
Die Exponentialabbildung
M differenzierbare
~'~oS
(2)
=
id
n. Kin Vektorfeld
S gilt
,
S °h~ = ~(h~oS
h~: TM--~TM die Homothetie
F~r alle
der Dimension
TM heiBt ein Spra[ f~r M, wenn f~r alle ~
(I)
wobei
-
eines Sprays.
Mannigfaltigkeit
auf dem Tangentialb~ndel
60
v ETM,~
Integralkurven
mit ~ ,
haben wir mithin
also h~(v):= ~ D bezeichnet. a'@S v = v, S v = ~(h~)@S v.
Die
eines Sprays gen~gen nun einer linearen Funktionalgleichung.
IUmMA I I Vor.:
S Spray fir M, v ~TM. maximal definierte
Cv:
J--~TM bezeichne
Integralkurve
die eindeutig bestimmte
yon S mit
Cv(0)
= v, vgl. 8.5.
Es gilt
Beh.:
(3)
4)~v(t) = S ~ v ( S t )
(4)
Bew.:
S ~
=
Zu (3): Betrachte
die Kurve
~:~J--.TM
Dann gilt 4(t) = ~ + D t = (s Sv).(SDst) = S(hs~O(~v)@Dst Integralkurve und
f~r s ~ : ~ ,
mit
*F(t):= s
= s(SSv)#Dst
= S(hs),~v(St ) = S ( h s ~ S e v ( S t )
von S. Da nun aber
~W(0) = S ~ v ( 0 )
(st)~ S ~o.
= S(hsO#v)+Dst
=
= So~(t). Also ist %W = sv = Ssv(O),
missen
~sv ~bereinstimmen.
Zu (4): Man hat
~ v
= ~*°S'~v
= ~v
"
Sei S ein Spray fur M. Auf Grund des Lemmas in 8.6. gibt es eine offene Menge W C ~ x T M da5 f~r t E ~
und eine differenzierbare und festes v ~ T M
(5) wenn
~(t,v)
~v: J--~TM die maximal
Abbildung
mit ( t , v ) E W = ~v(t)
definierte
,
Integralkurve
ist der maximale Flu5 des Sprays S. Bezeichnet nat~rliche
Projektion,
~ : W--,TM derart,
gilt
so kSnnen wir die Menge
yon S mit
~v(O)
pr: ~ kTM---~TM die
T~:= p r ( W n [ I } X T M ) < T M
= v,
-
betrachten. ~v ~ T ~
61
-
TM ist offen in TM. Ferner ist mit v ~ T M
auch jeder Vektor
f~r ~I~Ko, IS. Denn zun~chst liegt ~ im Definitionsbereich
yon
~v"
Mit (3) erh~it man (6)
~v(~)
=
~.v(1)
Also liegt 1 auch im Definitionsbereich Aus der letzten Bemerkung p ~M
eine sternfSrmige
Wir definieren
und daher
yon
folgt insbesondere,
Umgebung
da~
des Nullvektors
nun die Exponentialabbildung
~v ~TM.
M := T M ~ M P P 0 in M ist. P P
fGr jedes
exp: TM--~M des Sprays S
verm6ge (7)
exp(v):= ~ o ~ ( 1 , v )
f~r v ~ T~. Offenbar ist die Exponentialabbildung ~- und ~
sind differenzierbar.
differenzierbar,
H~ufig betrachtet
denn
man auch die Abbildung
eXpp: ~p--~M mit (8) also
eXpp:= e x p ~ p
exp~(v)(V)
= exp(v)
abbildung bez~glich
S Spray f~r M,
Beh. :
F~r jedes p ~ M
(b)
eXpp heist auch die Exponential-
p und ist mit exp differenzierbar.
Vor. :
(a)
f~r v ~ T~.
,
exp Exponentialabbildung
von S.
gilt:
exp hat in 0 ~ T M maximalen Rang (=n). P eXpp hat in Op~ Mp H~chstrang (=n) und ist in einer Umgebung von 0
(c)
in M umkehrbar. P P Die Abbildung ~ - x e x p : TM--~M × M
hat in Op maximalen
(=2n) und ist in einer Umgebung yon 0 Bew.:
Sei
in TM umkehrbar.
~ T M die Inklusion. Betrachte f~r v ~ M ein Intervall P P um 0 in ~ , so dab f~r alle t ~ J gilt t v E M • Wir haben dann differenP zierbare Kurven ~: J - ~ M und c: J--~M durch P (9)
~: ~
P
Rang
~(t):=
tv
und
c:= e x p o c o
J
-
62
-
Zun~chst gilt (10)
wobei
c(O) = exp.°~t@~.D ° = e x p ~ o o . @ U 0 v I P __Uor: Mp--~(Mp)op der kanonische Isomorphismus 1.4.(5). Bezeichnet
~ v die maximal definierte Integralkurve yon S mit
~v(O) = v, so findet
man andererseits mit (6),(7) und (9) (11)
c(t) = ~ O ~ v ( t
)
fGr t ~J, also (12)
:
OSv(O)
:
: %(0)
: v
(10) und (12) zusammen ergeben (13)
exp o ~ . o S 0 v = v P
fur v ~ M
• P Zu (a): Die Behauptung liest man unmittelbar aus (13) ab. Zu (b): Da (eXpp). = (expaa)~ = exp~@c., folgt aus (13), da6 eXpp in Op H~chstrang hat, und da
dim M
P
= dim M, erh~lt man mit dem Umkehrsatz den
zweiten Teil der Behauptung. Zu (c):
x Karte um p, ~ assoziierte BGndelkarte yon TM. Wir setzen
Xj:= ~xi ( j = l , . . . , n )
und Ak:= ~
die Produktkarte z:= x X ~ x von M X M Setzen wir noch (14) Nun ist
Zk:=
~
( k = l , . . . , 2 n ) . ¢ . N a c h 1.7. kbnnen wir um (p,p) = Q~(Op),exp(Op)~
(~-~exp)~Ak~Op =
Z~Jop(Z
j @(~Xexp))
Zj~(p,p)
zJo ( . ~ e x p ) = x J o ~~" und zn+Jo(~"~exp) = xJo exp
Man erh~it mit 1.10.(I)
(15)
betrachten.
(k=l,...,2n), so erhalten wir mit 1.4.(2)
xJ@~
= ~J
f~r j = l , . . . , n .
und daher
AkIOp(XJ°~)
= Jkj
f~r j=S,...,n und k=S,...,2n. Weiterhin gilt (16)
An+klO (xJ°exp) = ~ k j P fur j,k = 1,...,n. Denn betrachte die Kurven
~k: ~c:~-~Mpmit ~k(t):= tXk~ •
- 63
Dann ist.(&eWk)~Do = und
-
Do(~Je~@%-k)AjlOp
~n+J°&ePk(t) = tXklp x j = t~j k
Ak+n I Op , da ~JeCe~'k(t) = xJ(p)
fGr j=l,...,n |st. Weil andererseits
( c • Pk),Do = &-UOpXklp, gil~ also Ak+nlOp = &~°SOpXklp' und mit (13) hat man ( 17 )
exp*~+n |Op = Xk |p
"
Au~erdem gilt mit 1.4.(2) noch
exp A .~+nlup ... ,^ (xJeexp)Xj|p , woraus ~~ A _ ~+nlup durch Koeffizientenvergleich mit (17) die Behauptung (16) folgt. Aus (14), (15) und (16) liest man ab, da6 die Matrix der linearen Abbildung (~'Xexp)~o p
bez~glich der Basisvektoren A 1lOp, "''A2nlOp bzw. Z 1~(p,p),...,z2nj(p,p) die Form
(.4 }"" n0 4 _i 14j Oi . .0.~.0
,..,-.
1 }"
41
und also H~chstrang (=2n) hat. Wegen dim M XM = dim TM = 2n folgt nach dem Umkehrsatz der zweite Tell der Behauptung. Die Gleichung (17) zeigt noch einmal, da5 der Rang yon exp in Op maximal |st. Der Nullschnitt O: M--*TM bettet M auf eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit O(M) in TM ein, und ~-Xexp : T~--~MXM bildet O(M) diffeomorph auf die Diagonale yon M MM ab. Nach der Aussage (c) des letzten Satzes gibt es zu jedem p E M eine Umgebung von 0 in TM, die unter a-x exp diffeoP morph auf eine Umgebung yon (p,p) in M XM abgebildet wird. Nit dem folgenden topologischen Lemma erh~lt man dann: Es gibt eine Umgebung V von O(M) in TM, so da~ ~'Xexp|V ILE~
Vor.:
differenzierbare Einbettung.
21
M,N Hausdorff-R~ume, M lokalkompakt mit abz~hlbarer Basis, f: M--.N lokaler HomSomorphismus, A abgeschlossene Teilmenge yon M, so dab flA HonSomorFhismus auf den Teilraum f(A) yon N ist.
Beh.:
Es gibt eine Umgebung V yon A in M, so da~ f~V injektiv und damit ein HomSomorphismus auf f(V) |st.
-
Bew.:
64
-
W~hle wie im Beweis de8 Satzes in 8.2. eine aufsteigende
Folge
kompakter Mengen (Ci) i = 1 ,2,. .. , so dab C.~ im Innern von Ci+l liegt und ~C.
= M. Setze A.:= A ~ C . .
Wir konstruieren
zu jeder kompakten Teilmenge Naohbarschaft
C ~M,
Folgen (pv),(q~) mit lim p . = : p • C , Da f stetig,
schaft
so dab
injektiv.
[]
Ai+lUW i
in Ci+l,
so dab
(ii)
ist Nachbarschaft
Warum hat ~ x e x p
Uberlege,
sobald exp~r(v)
es gibt eine Umgebung U yon O(M) in TM, die yon
auf eine Umgebung der Diagonalen
U~ M
Der geod~tische
Wir gewinnen
Zusammenhang
d.h.
4
~'X exp
in M X M abgebildet ~'Xexp
(U)
wird,
l~Bt sich
Spray eines linearen Zusammenhan~s.
jetzt die Geoditischen
eines linearen Zusammenhangs
durch Projektion aus den Integralkurven
Beh. :
Es gilt
yon A in M und f~W
maximalen Rang (=2n) in v E ~ ,
sternfSrmig fur alle p ~M, P radial auf 4 in M X M retrahieren.
2.9.
1 = Ai+ 1
Rang (=n) in v hat?
diffeomorph so da~
... , und W : = . ~ W .
f-l(f(A))n~+
Man kann fur V den offenen Kern von W in M w~hlen.
(i)
maximalen
p. # q. und
und w~hle Wi+ 1 als kompakte Nachbar-
und f~Wi+ 1 injektiv und damit auch f ~ A ~ W i + 1 injektiv. W 1~... <W.~
existieren
denn in ~eder Umgebung yon p liegen Folgen-
. Setze nun Wo:= ~_
der kompakten Zenge
eine kompakte
Denn andernfalls
lim q . = : q ~ C ,
gibt es
folgt f(p) = f(q) und damit p = q, so dab f
kein lokaler HomSomorphismus, glieder p~,q
Zun~chst
fur die f~C injektiv,
yon C in M, auf der f injektiv.
f(p.) = f(q~).
V induktiv.
eines Sprays.
fur M und K die Zusammenhangsabbildung
Es gibt genau einen horizontalen KS v = O ~ v ~
f~r alle v ~ T M . S heiBt der geoditische
Spray yon V .
Sei
Vein
von V .
Spray S f~r M, d.h.
fur M linearer
-
Bew.:
65
-
Nach 2.4. induziert der Diffeomorphismus
f~r alle w g T M
einen Isomorphismus
~',x K : TTM
(TM)w----~M~(w) xM~(w).
~TMXTM
Daher gibt es
zu jedem v g T M genau einen Vektor Sv g(TM) v mit (1)
~S v = v
und
KS v = OF(v)
•
Die hierdurch eindeutig bestimmte Abbildung S: TM--~TTM ist offenbar ein Schnitt ~ber TM. Wir m~ssen nachweisen,
dab S ein differenzierbares Vektor-
feld ist und den Bedingungen (1) und (2) yon 2.8. genUgt. 2.8.(I) ist nach Konstruktion Um 2.8.(2) einzusehen,
Die Bedingung
erf~llt.
hat man nach 2.4. nur die Gleichungen
(2)
~'.(S ohm) =
(3)
K(s o h.) :
~'~(g(h~)~S)
,
K(~(~)~S)
zu pr~fen. Zu (2): Wegen ~ o h g
= a~ erh~lt man f~r v ~ T M
= ~ ( ~ O h = ) ~ S v = ~(a',Sv =
~v =
~(h~)~S
~,SKv = ~ , ( S o h ¢ ( v ) ) ,
v = ~'~(h~).S v = womit (2) gezeigt
ist • Zu (3): Nach (I) erh~lt man f~r die linke Seite von (3) K(S oh¢)v = Oa<~v ) = Oa
,
und f~r die rechte Seite ergibt sich zusammen mit 2.4.(9) K
(h~)~S v = ~
o(h~)
Sv = ~ h e K S v
v)
'
womit auch (3) bewiesen ist. Wir zeigen noch,
dab S differenzierbar ist. Dazu gewinnen wir eine lokale
Darstellung yon S. U Definitionsbereich
einer Karte x yon M, E assoziierte
B~ndelkarte auf TU. Setze Xi:= ~ x ~ und ~ : = FUr v und S
hat man Darstellungen
~x.~, i=q ..... n und .k=1.... ,2n.
v = k_~V(Xl)Xi|w(v)
= ~n+l(v)Xii~v
und Sv = Va'ak(v)Aklv mit v ~ T U und a ( ~ T U . Aus ~'@S.v = v, der Dar. stellung von v und der Gleichung 2.4.(5) folgt a m = ~n+l f~r i=1,...,n. Wegen KS v = O ~ v ) , ergibt sich (5)
der Gleichung 2.4.(6) und der Darstellung von Sv " n+i.n+j ~'k a"*"= - ~ - ~ ~ a~ . 0 ~ " f~r k=l ...,n. Wir haben also SITU
=
.4
ij
~ . ~n+kA k
-
'
~(~n+%n+j~ko f ,ij
~)
An+k
)
-
66
Aus (5) folgt die Differenzierbarkeit
-
yon S.
Die geometrische Bedeutung des geod~tischen Sprays findet im folgenden Lemma ihren Niederschlag.
Eine Kurve c: J--,M ist genau dann eine Geod~tische,
Beh. :
Integralkurve
~: J--,TM des geod~tischen
(6)
c = ~'° ~
wenn e s e i n e
Sprays S yon
~
gibt mit
,
und es gilt
(7)
~ = ~
•
Sei c: J--*M eine Geod~tische.
Bew.:
Dann hat man nach ~ dem Lemma in 2.5.
und nach 2.7.(2)
(8) und,
da
~D 8 = K ( ~ D )
~o~
= O
= c,
(9) Nach Definition des geod~tischen Sprays S im vorigen Satz folgt aus (8) und (9)
~D
c = ~ro~
der erste Teil der Behauptung klar.
= S @ ~, d.h. ~ ist Integralkurve yon S. Daher ist mit
Wenn umgekehrt
~:
J--~TM eine Integralkurve yon S, so erh~lt man
und daher
d.h.~@W
ist eine Geod~tische.
Nach 8.5. gibt es durch jeden Punkt v ~ T M maximal definierte Integralkurve
~:
und zu jedem t o G ~
J-~TM
Lemmas existiert dann zu jedem p GM, v ~ M p
mit
genau eine
~ ( t o) = v. Auf Grund des
und t o 6 ~
genau eine maximal
definierte Geod~tische c: J--~N mit c(t o) = P und ~(t o) = v. Man braucht nur die durch v laufende Integralkurve und c : = ~ Q ~
zu setzen.
~ mit
~ ( t o) = v
zu betrachten
-
Im folgenden bezeichnet
67
-
exp: T~--bM immer die Exponentialabbildung
geod~tischen Sprays S eines linearen Zusammenhangs bildung durch den Zusammenhang V die Exponentialabbildung
yon M. Da diese Ab-
eindeutig bestimmt ist, hei6t sie auch
des Zus,mmenhangs ~ .
sind untereinander ~quivalent:
V
des
Die folgenden drei Aussagen
~ ist vollst~udig,
exp ist auf ganz TM definiert, vgl. 2.7. und 8.7.
S ist vollst~ndig, Aus 2.8.(6) und 2.8.(7)
folgt, da~ (10)
exp(tv) = ~ , ~ v ( t )
wenn v ~TM und mit
,
~v: J--~TM die maximal definierte Integralkurve yon S
~v(O) = v bezeichnet. Also ist c: J--,M mit (11)
c(t):= exp(tv)
nach dem Lemma die eindeutig bestimmte maximal definierte Geod~tische mit c(O) = ~(v) und ~(0) = v. Uber die Exponentialabbildung lassen sich daher alle yon einem Punkt p ~ M
[
(i)
hangs ~ (ii)
ausgehenden Geod~tischen in Mp linearisieren.
]
Die Exponentialabbildung bez~glich des kanonischen Zusammen-
auf R n ist gegeben dutch
eXpp(V) = p + a, wenn v = ~ a i D i l
Die Bezeichnung "Exponentialabbildung"
P"
erkl~rt sich als Verallge-
meinerung eines charakteristischen Spezialfalles folgendermaSen: Sei G eine Lie-Gruppe mit Einselement e und linksinvariantem Zusammenhang V. Nach 2.7.[](v)
ist
eXPe: G e
linearen Teilraum yon G
-G definiert und auf jedem 1-dimensionalen
ein Homomorphismus,
d.h. es gilt die Funktional-
e
gleichung der Exponentialabbildung alle v ~ G e und t l , t ~ auf ganz G e. Bezeichnet
exp((tl+t)v ) = exp(tlv)exp(tv)
, jedoch ist exp e i m ~(~)
trizen, so ist G:= G L ( n , ~ )
fGr
allgemeinen kein Homomorphismus
den ~-Vektorraum aller reellen (n,n)-Ma-
offene Teilmenge yon 7~Tn(~) ~ ~ n~, und
damit G e kanonisch isomorph zu ~ n ( ~ ) .
Man definiert die gewShnliche
Exponentialabbildung Y ~ n ( ~ ) - - ~ G L ( n , ~ )
durch
e~:= ~
f~r jede Matrix
Km@
u(f~
n( ~ )
und hat damit eine differenzierbare Abbildung Ge---~G, die
auf jedem 1-dimensionalen linearen Teilraum die gleiche Funktionalgleichung wie eXPe erf~llt. Nach ~ ( v )
in 2.7. m~ssen dann beide Abbildungen ~ber-
einstimmen, d.h. eXPe auf der allgemeinen linearen Gruppe wird gerade durch
-
68
-
die Matrizenexponentialfunktion gegeben. Im F a l l e n plikative Gruppe ~ d e r exPl:~
~@wird
= 1 ist G die multi-
reellen Zahlen ungleich Null und G 1 ~ .
die gewShnliche reelle e-Funktion mit
exP1(t) = e t,
die ~
isomorph auf die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen abbildet. Es ist also t - ~ e t eine Geod~tische in R ~, bestimme ~ D D f~r den invarianten Zusammenhang (iii)
V von ~ .
Die Exponentialabbildung eXpp eines linearen Zusammenhangs ~
fGr M
bezGglich p G M ist im allgemeinen nicht injektiv und auch nicht ~berall yon maximalem Rang differenzierbar. Auch wenn ~Yvollst~ndig,
also~p
= Mp,
und M zusammenh~ngend, braucht eXpp nicht surjektiv zu sein, selbst nicht im Falle, da~ ~Y linksinvarianter Zusammenhang einer zusammenh~ngenden Lie-Gruppe, als Beispiel hierfGr hat man etwa die Zusammenhangskomponente GL+(2,~)
yon e in G L ( 2 , ~ ) ,
die Matrix
liegt nicht im Bild yon eXPe. Jedoch zeigt man, die Exponentialabbildung eXPe einer zus~mmenh~ngenden kompakten Lie-Gruppe ist stets surjektiv.
Literatur zu
§ 2 :
P. Dombrowski, "On the geometry of the tangent bundle", Journal f~r die reine und angewandte Mathematik 210 (1962), 73-88. S. Kobayashi und K. Nomizu, "Foundations of differential geometry I", Interscience Publishers ~963), J. Wiley & Sons, New York - London. S. Lang, "Introduction to differentiable manifolds", Interscience Publishers ~ 9 6 ~ K. Nomizu, "Lie groups and differential geometry", Publ. Math. Soc. Japan 2(1956).
- 69
§ 3
3.1.
-
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Definition einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
M differenzierbare
Mannigfaltigkeit.
Wir betrachten ein Tensorfeld g vom
Typ (2,0) auf M, also eine 2-Form auf M, d.h. eine ~ber dem Ring lineare Abbildung
~ M bi-
g: ~ M ~ 1 8 M - - ~ M m i t
(I)
g(x,Y) = ~(Y,x) ,
(2)
g(x,x)ip > o
fur alle X,Y E % g M und alle p ~ M mit X
~ 0. g i s t symmetrisch (I) und P g heist ein Fundamentaltensor fur M. Eine Riemannsche
positiv definit (2). Mannigfalti~keit
ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
zusammen mit
einem Fundamentaltensor. Statt g(X,Y) verwenden wir meist die Bilinearformschreibweise Nach 2.3.(I) gewinnt man fur jedes p ~ M •-Vektorraum
eine Bilinearform
:= <X,Y>p,
Mp durch
(X,Y>.
< , > auf dem
mit Xp = v, Yp = w.
wenn X , Y ~ M
Wegen (I) und (2) haben wir damit auf M
ein inneres Produkt definiert. P Wir erhalten also insbesondere eine Norm I a: M D ~ und eine euklidische P 4 Metrik ~: M~Mp--~R~ f~r Mp durch Mvu:= Z und ~(v,w):= llv - wU • Mp zusammen mit ~ ist ein euklidischer Vektorraum.
Man nennt einen Funda-
mentaltensor g der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M auch eine Riemann-
sche Metrik fur das Tangentialb~ndel
TM, da g in jeder Faser Mp eine eukli-
dische Metrik induziert. Wesentlich dabei ist, daS das zugehSrige innere Produkt "differenzierbar ist differenzierbar,
von p abh~ngt",
d.h. die Abbildung
wenn X,Y differenzierbare
Vektorfelder
p--~(Xp,Yp> auf M sind,
nach Definition eines Tensors. Riemannscne Geometrie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie. Man betrachtet in jedem Tangentialraum einer differenzierbaren abh~ngige euklidische F~r p ~ M
Mannigfaltigkeit
eine differenzierbar
Struktur.
hat man noch die Funktion
~
: M°XM°--~O,~ P P
durch ~V,W> (3)
vom Punkt
cos ~
(v.w):=
,v, ,wl
"
'
wenn M°:= M -~0}, p P
- 70 -
~(v,w)
heist der (nicht orientierte) Winkel zwischen v , w G M °. Zwei VekP toren ^ v , W , M p sind orthogonal, wenn ~v,w, = 0, also ~ ( v , w ) = -~ 2 ' falls
v,w~M~.r Sind Cl,C2: J--~M differenzierbare Kurven und toe J mit cl(t o) = c2(t o) und ~l(to) ~ 0, ~2(to) + O, dann heist ~(~l(to),~2(to) ) der Schnittwinkel yon Cl,C 2 in t o . Sei x Karte yon M mit Definitionsbereich U und Xi:= ~ x ~ U . N
felder X , Y E ~ U ~,
~J~rU. n
(X,Y~=
hat man die Darstellungen
.
X =~Xi4
und Y =
F~r Vektor-
~Jxj
mit
Mit der Bilinearit~t von g ergibt sich die Lokalisierung •
•
~l~Jgij
, wobei die Funktionen gij:= (Xi,Xj) E~'U auch die Kom-
ponenten des Tensors g bez~glich der Karte x hei~en. Definiert man fur Tensoren
~I' ~ 2 vom Typ (r,O),(s,0) das Tensorprodukt
~@W
2
als
(r+s)-Form durch ( a @ l @ ~2)(Xl,...,Xr,Y I .... ,Ys):= ~I(X1,...,Xr)~2(YI,..o,Y s) auf M, so kann man also schreiben m
ds2:= g]U = ~ . g i j d x ~ @ d x J
•
Die Bezeichnung ds 2 ist h~ufig noch ~blich, sie soll andeuten, da~ g l~ngs einer differenzierbaren Kurve das Quadrat des Differentials der Bogenl~nge (vgl. 3.3.) liefert, d.h. einen fur die gesamte Riemannsche Geometrie fundamentalen Begriff.
g nennt man auch die 1. Fundamentalform der Riemann-
schen Mannigfaltigkeit M, es gibt auch eine 2. Fundamentalform, die aber nicht intrinsec definiert, songern eine relative Gr6~e bez~glich einer Einbettung in eine andere Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, vgl. 3-7.
[]
(i)
X1,...,X n ~ M
M n-dimensionale parallelisierbare Mannigfaltigkeit,
Parallelisierung. Dann ist g mit g(Xi,Xj)ip :=
alle p E M eine Riemannsche Metrik f~r TM.
~.. ~J
fur
Wenn M Lie-Gruppe und die X i
linksinvariant, so erhHlt man auf diese Weise eine nat~rliche linksinvariante Riemannsche Metrik. Speziell im Fall M = R n und X. = D. heist g der kanonische Fundamentaltensor fur R n. (ii)
M,N Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Fundamentaltensoren gl,g 2.
Zu der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ~ N
gehSrt in nat~rlicher Weise
ein Fundamentaltensor g, die Produktmetrik fur M ~ N .
Setze n~mlich
-
71
-
g(X,Y):= gl(,~'I~X,~Y) + g 2 ( ~ X , ~ @ Y ) wenn
~1' ~'2
,
die Projektionen auf M,N sind und X , Y ~ ( M X
q ~ N hat man eine kanonische Isomorphie ( M ~ N ) p x q ~ M p X
N).
F~r p ~ M ,
Nq, und g indu-
ziert in ( M ~ N ) p ~ q gerade die euklidische Produktmetrik der Metriken, die gl fur Mp und g2 f~r Nq induziert.
3.2.
Isometrische Abbildungen.
Wir betrachten jetzt in der Klasse der Riemannschen Mannigfaltigkeiten Abbildungen, die mit der Riemannschen Struktur vertr~glich sind. M,N Riemannsche Mannigfaltigkeiten,
f: M--~N differenzierbare Abbildung.
f heiBt isometrisch, wenn fur alle p ~ M und alle v,w &Mp gilt (1)
4v,w~ = ~f~v,f~w>
.
Offenbar ist jede isometrische Abbildung eine Immersion. Man nennt M Riemannsche Untermanni~faltigkeit yon N, wenn die zugrunde liegenden Mengen ineinander enthalten sind und wenn die Inklusion
~: M C N eine isometri-
sche Einbettung ist. Isometrische Diffeomorphismen hei~en auch Isometrieno Sei f: M--~N eine differenzierbare Abbildung und B ein Tensorfeld vom Typ (r,s) auf N. Dann induziert f einen Tensor f ~
vom Typ (r,s) auf M
durch f~B(X1,...,X r):= B(f~Xl,...,f~X r) fur XI,...,X r ~ ~ M . Wenn g Fundamentaltensor f~r N und f Immersion, so ist f*g der eindeutig bestimmte Fundamentaltensor fur M, so da6 f isometrisch. Denn f~g ist mit g symmetrisch und positiv definit, da f~p injektiv f~r alle p ~M. Andererseits ist notwendig ~ = f~g, wenn ~ Fundamentaltensor fur M und f Isometrie.
f*g heist auch die aus g durch f induzierte
Riemannsche Metrik. Ist insbesondere M differenzierbare Untermannigfaltigkeit yon N, so gibt es also genau einen Fundamentaltensor f~r M, mit dem M Riemannsche Untermannigfaltigkeit yon N wird. Die Klasse der Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist eine echte Erweiterung der Klasse der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Das zeigt der folgende
-
Beh.:
72
-
Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit M gibt es einen Fundamentaltensor g fur M.
-Bew.: Um jeden Punkt q ~ M w~hle man eine Karte x q mit Definitionsbereich U q . x ist eine Einbettung yon U in R n und induziert daher aus der kanoniq q schen Riemannschen Metrik des R n einen Fundamentaltensor ~q auf Uq. Man "verschmiert" die lokal definierten ~q nun mit einer Zerlegung der Eins zu einer globalen Riemannschen Metrik. Sei (~q)qmM eine differenzierbare Zerlegung der Eins mit
Tr ~ q C U q ,
vgl. 8.3.
durch gq(X,Y)ip:= ?q(p)~q(Xp,Yp) fur p ~ U q dann
[]
g:=
Definiere
g : MM×MM
b#M
und gq(X,Y)ip:= 0 sonst. Setze
~,gq. Man sieht sofort, da5 g ein Fundamentaltensor f~r M i s t .
(i)
Betrachte
R k mit dem kanonischen Fundamentaltensor ( , ~
und
eine n-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit M, 6: M C ~ k Inklusion. Man hat dann die durch ~ aus aWk induzierte Fundamentalform g fur M.
x: U
b R n Karte in M und z:= x -I = ~ @ x -1 lokale Parametrisierung
von M, Xi:= ~x~, gij Komponentenfunktionen, von g bez~glich x. Dann ist gijf<&~X~,c, Xj> und = ~DiztD~oz
@~X i = ~-,ZXi(&t)Dt°~ naoh 1.4.(2), also
und wegen
&,Xioz =
= ~6m K
gijoz Z.B. erh~lt man im Falle
=
ZDiz~ D jz ~
"
@: S~ C ~ n+l fur die Karte x yon ~ ( i i i )
in 1.3.
auf der oberen Hemisphere H+ mit X(Ul,...,Un+ 1) = (Ul,...,u n) gij "z(v) = ~ij + ~~-- • v,(ii)
oder
gij (u) = ~.lj +
uLu} u~.,
M,N Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Fundamentaltensoren gl,g 2
und f: M---~N differenzierbare Abbildung. Die Einbettung F: M - - ~ M X N mit F(p):= (p,f(p)) induziert aus der Produktmetrik gl x g2
yon M N N
(vgl.~(ii)
in 3.1.) den neuen Fundamentaltensor g f~r M mit ~(x,Y) wenn X , Y ( ~ M ,
= ~1(x,Y)
+ ga(z~x,f.~)
,
so da~ F also M isometrisch bez~glich g auf die Riemannsche
Untermannigfaltigkeit
F(M) C M XN, also den Graph yon f abbildet, vgl. auch
-
[](ii) in 1.7.
Ist etwa N = ~
73
-
und g2 kanonisch, so g(X,Y) = gl(X,Y) +
+ Xf'Yf, und wenn au~erdem M offene Teilmenge yon ~ n und gl kanonisch, dann hat man (iii)
gij = ~ij + Dif'Djf
bez~glich der Karte x = id, vgl. (i).
M Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Fundamentaltensor g. Sei ~
arer Zus,mmenhang fur M, K die Zus~mmenhangsabbildung von ~ .
line-
Wir betrach-
ten das TangentialbGndel TM yon M mit der nat~rlichen Projektion ~-: TM--pM. F~r T M k ~ n n e n wir bez~glich ~
einen Fundamentaltensor ~ definieren durch
~(A,B):= g(~A,a-~B) + g(KA,KB) wenn A , B f ~ T M ,
vgl. 2.4.
,
Horizontalraum und Vertikalraum in (TM) v sind
also bez~glich ~ stets orthogonal fur a l l e v ~TM. Sei p aM. Die Einbettung 6: M p C T M
induziert aus ~ einen Fundamentaltensor < , > fGr Mp. Man hat
dann fur V ~ M p
und Vektoren a , b G ( M p ) v offenbar = g ( K ~ a , K ~ b ) .
Nach 2.4.(8) gilt Kc, a =~vla~- so da~ auch = <
, >
g(S;la,~;lb)
.
hei6t der kanonische Fundamentaltensor f~r Mp, der unabh~ngig yon ~Z
stets durch die letzte Gleichung definiert werde. < , > ist also nach Identifizierung aller (Mp) v mit Mp durch Parallelverschiebung gerade das durch g in Mp gelieferte euklidische Skalarprodukt. Dann wird ~: Mp C TM isometrische Einbettung, d.h. M
mit dem kanonischen Fundamentaltensor < , > P Riemannsche Untermannigfaltigkeit von TM bez~glich jedes linearen Zusammenhangs ~ . (iv)
Die Isometrien einer n-dimensionalen Riemannschen Mannig~altigkeit M
auf sich bilden eine Untergruppe der Gruppe
Diff M
aller Diffeomorphismen
von M auf sich. Im allgemeinen wird es auf M nur eine Isometrie, n~mlich die Identit~t geben. Je mehr Isometrien existieren, desto "symmetrischer" kann man sich M vorstellen.
S. Myers und N. Steenrod haben 1939 gezeigt,
dab die Gruppe der Isometrien yon M m it der kompakt-offenen Topologie in natGrlicher Weise die Struktur einer nicht notwendig zusammenh~ngenden Lie-Gruppe der Dimension ~ --(n~l) tr~gt. Zeige, f i s t
Isometrie yon ~" bez~glich der kanonischen Metrik, genau wenn Z(u)
=
~u
+
a
,
-
wo ~t~
u,a ~ ~ n
74
Spalten und ~ ~ G L ( n , ~ )
-
eine orthogonale Matrix, also
= e, wenn t~ die transponierte Matrix mit (t~)ij = ~ji"
von ~ n
Isometrien
sind also affine Abbildungen und speziell orthogonale lineare
Abbildungen gefolgt von Translationen. Die linearen Isometrien von ~ n bilden die orthogonale Gruppe O(n), eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L ( n , ~ ) .
Bezeichnet ~ s ( R ) den linearen Teilraum der symmetrischen n Matrizen im ~-Vektorraum aller reellen (n,n)-Matrizen I W n ( ~ ) ~ ~ n~, so best~tigt man sofort, da~
e~S(~)
regul~rer Wert der differenzierbaren
n
Funktion ist
h:~n(~)--~t~(~)
mit
h(~):= ~ t~ .
Nach Lemma 2 in 1.6.
O(n) = ~1(e) dann abgeschlossene differenzierbare Untermannigfaltig-
keit von ~ n ( ~ )
der Dimension I~) und beschr~nkte Teilmengs yon ~ n~, also
O(n) kompakte Lie-Untergruppe yon G L ( n , ~ ) . Warum induziert jede orthogonale A b b i l d u n g ~ E O(n+l) eine Isometrie der euklidischen Abstandssph~ren in ~ n + l faltigkeiten
n c~n+l S~
also der Riemannschen Untermannign Uberlege: Sind p q ~ S f und Vl,...,v n bzw.
~.
n
Wl,...,w n orthonormale Basen der Tangentialr~ume an S~ in p bzw. q ("orthonormale n-Beine"), so gibt es ~ ~ O(-÷,}mit w i = ~ v i f~r i=l,...,n. Die euklidischen Sph~ren S~ haben optimale Symmetrieeigenschaften, ihre Isometriegruppe operiert im gerade beschriebenen Sinne transitiv auf allen tangentialen orthonormalen n-Beinen. (v)
Sei G Lie-Gruppe. Ein Tensorfeld B vom Typ (r,s) auf G heist links-
invariant, wenn B(Xl,...,X r) konstant im Falle s = O, linksinvariant im Falle s = 1 f~r alle linksinvarianten Felder X1,...,Xra~G. invariant, genau wenn V B anten Zusammenhangs
~
B ist links-
= O, d.h. B parallel bez~glich des linksinvari-
f~r G, v g l . ~ ( i i i )
in 2.3.
Alle linksinvarianten
Tensoren werden charakterisiert durch ihr Verhalten in einem Punkt von G. r s Zu jeder r-linearen Abbildung Be: Ge--~G e gibt es offenbar genau ein linksinvariantes Tensorfeld B auf G, das in e m i t Fundamentaltensor f~r G i s t yon G fGr alle h ~G.
B
e
~bereinstimmt. Ein
genau dann linksinvariant, wenn ~
Isometrie
G operiert also bez~glich einer linksinvarianten
Metrik als Gruppe von Isometrien auf sich selbst durch Linkstranslation. Wenn G nicht abelsch, so sind die Rechtstranslationen ~ : Rhg:= gh im allgemeinen von den Linkstranslationen ~
G--*G mit
verschieden und
-
75
-
keine Isometrien von G bez~glich einer linksinvarianten Riemannschen Metrik. Auf Lie-Gruppen spielen nun biinvariante Metriken eine besondere Rolle, f ~ r d i e
Links- und Rechtstranslationen
Isometrien sind. Ist G kom-
pakt, so existiert stets eine biinvariante Riemannsche Metrik fGr G. Z.B. ist die aus der kanonischen Metrik f~r ~ 4 Gruppe S3 biinvariant,
vgl.[](iv)
induzierte Metrik f~r die Lie-
in 1.9.
Eine biinvariante Metrik f~r G
induziert auf dem homogenen Raum G/H der Linksrestklassen nach einer abgeschlossenen Lie-Untergruppe H in G eine sogenannte normale Riemannsche Metrik, so da~ G auf G/H durch Linkstranslation als Gruppe yon Isometrien operiert, v g l . ~ ( v ) (vi)
in 1.7.
Der Beweis des Existenzsatzes
f~r Riemannsche Metriken in diesem
Abschnitt wird trivial, wenn man den Whitneyschen Einbettungssatz ~(vi)
in 1.7. heranzieht,
yon
dann gibt es zu jeder differenzierbaren Mannig-
faltigkeit M eine Einbettung f: M
, R ~, die auf M einen Fundamentaltensor k aus der kanonischen Riemannschen Metrik f~r R induziert. Da~ umgekehrt jede Riemannsche Mannigfaltigkeit
isometrisch in einen euklidischen R a u m ~
eingebettet werden kann, hat arst in letzterer Zeit J. Nash bewiesen, vgl. J. Nash, "The imbedding problem for Riemannian manifolds",
Ann. of Math. 63
(1956), 20-63. Damit ist die Klasse aller Riemannschen Mannigfaltigkeiten nicht grSBer als die Klasse der Riemannschen Untermannigfaltigkeiten discher R~ume. Dennoch ist es oft zweckm~ig, als abstrakte Mannigfaltigkeiten
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
zu betrachten,
vgl. die entsprechende Be-
von 1.6.
merkung in ~ ( v i )
3.3.
eukli-
Die Bogenl~nge differenzierbarer
M Riemannsche Mannigfaltigkeit,
c: [L,~]
Kurven. ,M differenzierbare
Kurve. Die
reellwertige Funktion Icll auf [~,~J ist stetig, aber im allgemeinen nicht differenzierbar, L c : E~e~]
~~
wenn ~ Nullstellen hat. Wir betrachten die C1-Abbildung mit
C P
(1) Die reelle Zahl
Lc(t) := JM~(T)|I dT L(C):=
•
Lc(~) hei6t die L~nge der Kurve c. Man nennt c
-
76
-
eine regul~re Kurve, wenn c von HSchstrang Immersion ist.
c heist normal,
(2)
fur alle t E ~ , ~
Jede normale Kurve ist regular.
Ist c regular,
und injektiv.
Ist c normal,
N eine weitere Riemannsche Mannigfaltigkeit so
L(c) =
l(foc).
stetige Kurven.
Ist c: [~,~]
d.h. au6erhalb
auf Cm,~]
im Lebesgueschen
J:= ~(~).
Lco~= Lc°~
Kurve
(~'>_0) ,
Denn sei ~ = ~ 1
Ist
Klasse yon Wegen
durch (1) erkl~ren l ~ t ,
~ M absolut stetig,
sind absolut
so existiert
~ fast Uber(1) existiert
Sinne. ~ , ~: ~
• R differenzierbare
FUr eine differenzierbare
parametrisierte"
parametrisiert".
und f: M--pN eine isometrische
einer Menge vom Ma~ Null, und das Integral
kompaktes Intervall in dung,
so gilt Lc(t) = t-~,
Eine wichtige allgemeinere
in M, fur die sich die Bogenl~nge
all,
.
so hat ~ keine Nullstellen.
und man sagt deshalb auch, c sei "nach der Bogenl~nge
Abbildung,
also eine
wenn
~Ic(t)~ = 1
Dann ist L c differenzierbar
(=1) differenzierbar,
co/' : ~--~M.
monotoae
Abbil-
Kurve c: J--~M hat man die "um-
Dann gilt
Leo?= . L c o ~ + L ( c )
und ? monoton wachsend,
(~'~_0),
also
L(c) = L(co~)
also, J = [~(~),~(~)].
Dann ist
Lco,p(t) = ,~llcog'(~')U d~'= ~fl~.~°(~')'l'l~'(~)~ d'~= fl~o~o('t)li ~'(r)dm" = = J u~(~),~. und
= ~c.~(t)
I~'I
~allen~,
so ~rh~lt
, womit auch dann die Behauptung
Eine stetige Kurve eins natUrliche ... < ~ k : = ~
Wenn ~ ' m o ~ o t o n
c:[~,~]
~M heist
differenzierbare
differenzierba~,
~ .... '~k mit
9=1,...,k
Kurven sind. Man erkl~rt
~ = [~.(~J),~.(o~)]
folgt.
st~ckweise
Zahl k und reelle Zahlen
gibt, so da~ f~r alle
,.an
~=:
wenn es
~o < 71 • ...
dis Abbildungen
cv:= cl[~.,,~]
dann die L~nge yon c durch
k
(3)
L(C):= ~ L ( c , )
•
Ya4
Man kann durch (I) eine stetige Abbildung Abbildung
t-~Uc(t)~
eine Nullmenge wenn c v regular
Lc: C ~ , ~ ] - - ~ gewinnen,
ist bis auf endlich viele t ~ [~,~]
definiert (normal)
und stetig, f~r
c heist stUckweise
~ =1,...,k.
denn die
, also his auf regular
Seien J , Y k o m p a k t e
(normal),
Intervalle
-
in ~ .
77
-
Wir betrachten st~ckweise differenzierbare
~: ~--*M
und nennen c und ~ bo~enverwandt,
schwach monoton wachsende Abbildung J auf ~ mit c = ~ o ~
~von
Kurven c: J--~M,
wenn es sine differenzierbare
~ auf J mit ~ = c o ~
gibt. Sind c,~ bogenverwandt,
sondere in ihren Bildern,
oder
~
yon
so stimmen sie insbe-
I//ngen, Durchlaufungsrichtungen
sowie Anfangs-
und Endpunkten iberein.
.Beh. :
Jede stGckweise differenzierbare
Kurve c: C~,~]
verwandt zu einer differenzierbaren Bew.:
Es gibt reelle Zahlen ~ =
eine differenzierbare differenzierbare ~(~) in
= ~
y=O,...,k
fGr ~=l,...,k. Wir konstruieren
Dann kann man ~:= c o ~ ~
eine
W:~%~]--*Rmit
, so da~ die Ableitungen D r ~
da~ ~ in den Punkten
ist bogen-M .
= ~ ' so da~ c~:= cl[~,.,0~]
streng monotsn wachsende Abbildung
f~r
~verschwinden.
pr~fen,
~o ~ ~I ~ " ' ' < ~ k
Kurve in M i s t
,M
Kurve ~ : E % ~
jeder Ordnung r ~ 1
setzen, und es bleibt nur zu
differenzierbar ist. Hierzu betrachtet man
eine Karts x um ~ ( ~ ) und best~tigt, x i o ~ = X i o c o W in ~ v e r s c h w i n d e n d e
da~ f~r i=1,...,n die Funktionen links- und rechtsseitige Ableitungen
beliebiger Ordnung haben. %~ir konstruieren noch die Funktion differenzierbare f~r t ~ w
und
Funktion ~
~. W~hle nach 8.1. f~r
~:~,~--~mit
~(t)
y=1,...,k
= 0 f~r t ~ w _ ~ ,
streng monoton wachsend auf [ ~ . , , ~ .
eine
~(t)
= 1
Setze dann
~(t):= ~o + Z ( ~, -~,. ) ~ ( t ) . Schlie~lich ~berlegen wir, da~ sich jede regul~re Kurve nach der Bogenl~nge parametrisieren eine normale Kurve ci: Setze n~mlich
Sei c:[g,~--~M regulate Kurve. Dann gibt es
[O,~---,M,
so da~ c u n d c I bogenverwandt
~:= Lc(~) = L(c). Da c regular,
bare Abbildung L~I: [0,~] a u f ~ , ~
l~t.
[O,y~
abbildet.
• ~
sind.
existiert die differenzier-
, die mit L c streng monoton w~chst und
Definiere 01:= c o L -1 c
Dann hat man Lc~ = Lce L~' = L c o = id und daher l|c1(t)l| = L'c~ (t) = I . Der letzten Uberlegung entnehmen wir auch, da~ jede st~ckweise regul~re Kurve bogenverwandt ist zu einer st~ckweise normalen Kurve.
-
78
-
-t
t
[]
(i)
Die Kettenlinie
ist eine regul~re Kurve. metrisiere
c: C~,~]--~e 2 mit c(t):=
Berechne
c nach der Bogenl~nge,
wandte normale Kurve c1: [0,~] (i±)
Beachte,
(t,cosh t) = (t, e +e 2 die Bogenl~ngenfunktion L und parac d.h. gib explizit die zu c bogenver-
~ ~2
an.
dab die Bogenl~ngenfunktion
einer differenzierbaren o der Parametrisierung absolut zur~ckgelegten
Kurve c: J--~M den bez~glich Weg mi~t und die L~nge Kurve c in M abh~ngt.
L
L(c) von c nicht nur v o n d e r Gib Beispiele
Ist W kompakte k-dimensionale
f: W--,M differenzierbare
Abbildung,
das k-dimensionale
c(J) der
auch regul~rer
L~nge.
differenzierbare
evtl. mit Rand, M eine n-dimensionale
Bogenl~nge
Bildmenge
differenzierbarer,
Kurven mit gleichem Bild, aber verschiedener (±ii)
)
Riemannsche
Mannigfaltigkeit
Mannigfaltigkeit
und
so kann man in Verallgemeinerung
absolute Volumen yon f in M kanonisch
der defi-
nieren durch ein Integral ~ber eine schiefe k-Form auf W. Wir gehen darauf aber nicht ein.
3.4.
Riemannsche
Zusammenh~nge.
Auf Riemannschen Man~igfaltigkeiten
werden nat~rlich
sammenh~nge
eine besondere
vertr~glich
sind. Sei M eine Riemannsche
Zusammenhang ferenzierbare
Rolle spielen,
solche linearen Zu-
die mit der Riemannschen Mannigfaltigkeit.
~Y f~r M heist Riemannscher
Zusammenhang,
wenn f~r jede dif-
Kurve c: J--~M und je zwei parallele Vektorfelder
l~ngs c die Funktion (X,Y~ konstant ist. Dann ist f~r t l , t 2 ~ J lelverschiebung ist ±nsbesondere so ist ( X , ~ @ O), denn
Vor. :
UX~ = ( X , X ) A konstant.
und damit der Winkel ~ ( X ( t ) , ~ ( t ) ) ~
gibt mit |~(t)|
X~Y die Paral-
yon Mc(tl ) in Mc(t2 ) eine isometrische~ Abbildung. die Funktion
parallel,
Weiter
Falls c Geod~tische,
f~r t ( J
c ist normale Geod~tische,
Struktur
Ein linearer
konstant
(X @ O,
sobald es ein t ~ J
= I.
M Riemannsche
Mannigfaltigkeit,
~
linearer Zusammenhang
fur M.
-
Beh.:
79
-
~7 ist ein Riemannscher Zusammenhang, X,Y,ZaMM
genau wenn fir Vektorfelder
gilt
(I)
z<x,D
-- < V z x , Y >
+ <X,VzY>
.
Die Gleichung (1) ist die Produktregel fir das Skalarprodukt, auch Ricci-Identit~t genannt. Nach ~ ( i i i )
sie wird
in 2.3. ist (1) ~quivalent
mit ~Tg = O, also mit der Parallelit~t des Fundamentaltensors g yon M, vgl. auch ~ ( i v )
Vor. :
in 2.6.
Wir beweisen zun~chst das folgende
M Riemannsche Mannigfaltigkeit.
~F linearer Zusammenhang yon M,
fSr den die Produktregel (1) gilt. tigkeit, Beh.:
f: N--,M differenzierbare Abbildung.
Fir Vektorfelder A E ~ N (2)
Bew.:
N differenzierbare Mannigfal-
und X , Y ~ f
gilt
AKX,Y> = (~AX,Y) + (X,~AY~
•
Es genigt, die Gleichung (2) fir einen Punkt p ~ N zu prifen. Be-
trachte eine Karte x yon M u m Vektorfelder X . G ~ M ,
f(p) mit Definitionsbereich U. W~hle nach 2.3.
die in einer Umgebung V yon f(p) mit ~"~L iberein-
l
stimmen. Wegen 2.5.(9) gilt (~AX)p = ( N A"( X x ) Xkk O f
+ ~~A ( x ~ " f)(XxJ)(~IXj)'f'x )p
,
einen entsprechenden Ausdruck erh~it man fir (~AY)p. Berechne ~daraus die rechte Seite yon (2) an der Stelle p und setze die Werte Yp =E(YPX~)XP°f|Pe.,~ und Xp = ~ ( X p X t ) X ~ @ f l p
ein. Ferner berechne man Ap~X,Y~ =
A C~.(xxi)(YxJ)(Xi,Xj>-f) ---- re_it 1.3.(I) und 1.3.(2) und beachte, da~ Ap(Xi,Xj)of = (f~Ap)<Xi,Xj> = ~'4Ap(Xt. f)(X~Xi,Xj~)f(p). setzung gilt
Da nach Voraus-
X~<Xi,Xj> =<~Fx(Xi,Xj> +<Xi,~TxeXj> , erh~it man die Be-
hauptung. Beweis des Satzes:
Sei zun~chst (1) erf~llt. Wir zeigen, da~ das innere
Produkt unter Parallelverschiebung invariant bleibt. Betrachte eine diffe-
- 80 -
renzierbare Kurve c: J--~M und parallele Vektorfelder X,Y l~ngs c. Dann gilt nach dem Lemma
(3) Da
W~
Sei ~
D<x,Y> : < v ~ , Y > + <X,~DY>
= VD Y = O, folgt
•
D<X,Y> = 0. Also ist <X,Y> konstant.
Riemannscher Zussmmenhang und X , Y , Z ~ M .
Wir zeigen, da~ (I) er-
fSllt ist. Es genGgt offenbar, die Relation fGr ein p e M zu prUfen. W~hle eine differenzierbare Kurve c: [O,~I--,M
mit c(O) = p und ~(0) = Zp, also
etwa eine Integralkurve yon Z mit c(0) = p. Man hat = (C, Do)<X,y> = D(<X,Y>-C)jo (4)
l~ugs cmit
und daher
Zp<X,Y> =
Ftir t ~ [0,~]
seien X,Y E ~
Xt = Xc(t)
lira <Xc(t)'Yc(t)> - <Xp,Yp>
.
die eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder
sowie
<Xt,Yt> = <Xo,Yo>,
Zp<X,Y> = 6(O)(X,Y> =
Yt = Yc(t)"
Dann e r h ~ l t
man ~ i t
(4),
da
c,j c~
(X o, YO ) - < Xp, Yp> Zp(X ,Y> =
lira
@-b@
t <Xo,Yo> - 4Xp,Yo> + <Xp,Yo> - <Xp,Yp>
lira lim ~..@ [<X°~ xP
t , Yo>
+ <Xp,
Yo-Yp >] t
Nach Satz 2 in 2.6. erh~it man hiermit
(5)
zp<x,Y> -- <(v D x.C)o,Yp> + <xp,(v D Y-C)o>
•
Nach [ ] ( i v ) in 2.5. folgt (VD Xoc) O = ~C.Do X = ~ ( 0 ) x = ~Z X = (VzX)p und entsprechend (VD y-c) ° = (Vzy) p. Daher ist mit (5) die BPehauptung bewiesen.
(i)
Ist M n-dimensionale para!lelisierbare Mannigfaltigkeit und
Xl,...,X n e i n e Parallelisierung, so ist der zugehSrige lineare Zus-mmen-
-
hang ~ v o n
81-
[ ] ( i ) in 2.1. ein Riemannscher Zusammenhang f~r M bez~glich
der kanonischen Riemannschen M e t r i k m i t <Xi,Xj> = ~ j .
Der Zusammenhang
aus [ ] ( i i ) in 2.2. f~r ~ 3 mit dem kanonischen Fundamentaltensor ist Riemannsch. (ii)
f: N--.M differenzierbare Abbildung, ~
linearer Zusammenhang f~r M.
Sei r ~1, s = 0,1. Ein Tensorfeld l~ugs f vom Typ (r,s) ist elne ~ber dem r s Ring ~'N r-lineare Abbildung B: ~f---,~f , im Falle N = M sind die Tensorfelder l~ngs f = id gerade die Tensoren auf M. Definiere in Verallgemeinerung von [ ] ( i i i )
in 2.3. die kovariante Ableitung
eines Vektorfeldes A ~ N
V A B yon B bez~glich
wieder als Tensorfeld l~ngs f vom Typ (r,s) durch
(~AB)(YI '''''Yr ):= ~A B(YI'''''Yr ) - ~B(YI'''''Yi-I'~AYi'Yi+I'''''Yr ) ' wobei wieder
~ A ~ := A W
im Falle s = 0 zu lesen ist, ~ e J N . Wenn B Tensor-
feld vom Typ (r,s) auf M, so ist
B of
Tensor gleichen Typs l~ngs f.
Zeige: V v ( B " f) f~r v £TN, vgl. ~ ( i v )
in 2.5.
=
~Yf,vB
Warum impliziert die letzte Gleichung
sofort die Aussage des Lemmas in diesem Abschnitt als Spezialfall? Vgl. auch ~ ( i v ) (iii)
in 2.6.
Sei M n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Uberlege, die
Funktion ~ : T M - - * ~ mit
~(v):=
ist au~erhalb des Nullschnitts yon
maximalem Rang differenzierbar, so da~ das sogenannte tangentiale Sph~renb~ndel
TIM:= ?-1(1)
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit yon TM der Di-
mension 2n-1. Warum ist TIM kompakt, genau wenn M kompakt? Zeige, der geod~tische Spray S e i n e s Riemannschen Zusammenhangs ~Y fur M i s t tial l~ngs TIM, und schlie~e damit, da~ ~ v o l l s t ~ n d i g ,
tangen-
wenn M kompakt,
vgl. 2.9. und 8.7. (iv)
M n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannschem Zu-
sammenhang ~ . Wenn p EM, so ist die Holonomiegruppe
~ ( p ) Untergruppe
der orthogonalen Gruppe O(n). Da nach 3.5. Riemannsche Zusammenh~nge auf M existieren, l ~ t
sich insbesondere die Strukturgruppe des Tangentialb~ndels
TM auf eine Untergruppe yon O(n) reduzieren, vgl.
un~ ~ ( i v )
in 3.2.
~
(v)
in 2.6.
-
3.5-
Der Zusammenhan$
-
von Levi-Civita.
Unter allen Riemannschen
Zusammenh~ngen
tigkeit ist einer ausgezeichnet,
ILmwa
82
auf einer Riemannschen
Mannigfal-
der keine Torsion hat.
qI
Vor. :
M differenzierbare Abbildung,
Mannigfaltigkeit,
~ : ?~M---~M
also eine q-Form auf M. Sei < , >
eine
gM-lineare
ein nicht degene-
riertes Tensorfeld vom Typ (2,O) auf M, d.h. eine 2-Form mit
impliziert v = 0 in jedem Punkt p g M . P Es gibt genau ein bez~glich < , > zu ~ adjungiertes Vektorfeld
Ag~M, d.h. (q)
~(Z)
=
fur alle Z ~ S M . Bew. :
FUr p g M w~hle
eine Karte x um p mit Definitionsbereich
Xi:= ~x~. Dann hat man fur A ~ M
eine Darstellung
Lokal ist nach 2.3. die Gleichung (2)
~(Xi)
fur i=q,...,n ist <
, >
(q) ~quivalent = ~.4~j gi j
'
nicht entartet und daher
det(gij)lq
gij = (Xi'Xj>
eindeutig bestimmt
den differenzierbaren
Funktionen
M Riemannsche
Mannigfaltigkeit
Beh • :
Es gibt genau einen linearen Zus~mmenhang
+ IX,Y]
, d.h.
~
Nun
~J aus
also ~ g
g = ~ , > •
f~r M mit
, T(X,Y) = O
wenn T der Torsionstensor
ist also wegen der Ricci-Identit~t und nach (4) torsionsfrei,
Rechenoperationen
mit Fundamentaltensor
Z(X,Y> = (VzX,Y> + (X,~TzY>
fur alle X , Y , Z g ~ M ,
MU.
~ ( X i) und gij ergeben.
Vor. :
= V~
'
ist. Die Funktionen
da sie sich durch rationale
VxY
oder
@ 0 fur qaU, so da~ A
sind differenzierbar,
(4)
i ,Lit ~ i ~ g u .
~ ( X i) =
, denn die Vektorfelder X i bilden eine Basis yon
nach (2) zun~chst punktweise
(3)
A~U = mit
U und setze
yon ~..
(3) ein Riemannscher
= O, d.h. g parallel,
Zusammenhang
und T = O.
- 83 -
Dieser Zusammenhang
~
hei6t der Zusammenhan~
gegebene Parallelverschiebung Der kanonische Zusammenhang Bew.:
Zusammenhang
bez~glich
Eindeutigkeit:
yon Levi-Civita,
die durch
nennt man auch Levi-Civita-Parallelismus.
fur
~n
yon [ ] ( i )
der kanonischen
in 2.1. ist der Levi-Civita-
Riemannschen
Metrik.
Aus (3) folgt
(5)
x
=
(6)
Y
+
+
und aus (3),(5) und (6) erh~lt man mit (4)
(3')
z<x,Y~ : <~xZ,Y>
(6,)
Y
(5)-(3')+(6')
(7) Ist nun ~
+ ~[z,x],Y> + < x , ~ y z > - < x , [ Y , Z 1 >
- ~z,[x,Y]>
.
und Division mit 2 ergibt
<~xY,Z> = ~[x<~,z> ÷ Y~z,x> - z<x,~> ÷ + <~, [z,x]>- <x, [Y,z]>] ein weiterer
linearer Zusammenhang,
SO folgt aus (7) die G l e i c h u n g < ~ x Y , Z > : < V x Y , Z > f~r alle Z ~ M Existenz:
,
und daher
Betrachte
~X Y =
~xY
.
f~r den (3) und (4) gilt, , also(~xY
-~xY,Z>:
f~r feste X , Y E ~ M
die Funktion
~ : ~M
,#'M, die jedem
Z&IOM die durch die rechte Seite yon (7) gegebene Funktion aus net. Wir behaupten nun, da~ ~ ist unmittelbar
#~M-linear ist. Die Additivit~t
JrM zuordyon ~ in Z
klar. Zur Homogenit~t:
=
=
= ~(z) =
+ ½[(x~)
W~(z)
+ (~)
- (x~)-
f~r alle Z g ~ M .
(Y~)<x,z>]
:
•
Nach Lemma q gibt es nun genau ein Vektorfeld A g ~ M ,
~: ~M~M
0
D
Setze
w~M
~xY:=
erf~llt die unter 2.q. verlangten
bis (4). Die Additivit~t
in X und Y ±st klar,
man analog zur Homogenlt~t 2.~.(2) zu verifizieren:
so da~
~(Z) =
A. Die auf diese Art definierte Abbildung Eigenschaften
die Homogenit~t
(~)
in X pr~ft
in Z. Es bleibt noch die Derivationsregel
-
84
-
2<~Tx~Y,Z> = X(~Y,Z> + ~Y - Z<X,WY> + +
= 2<~xY,Z>
+ <~.Y,[z,x]> - ~x,[~Y,z]>
+ (x~)
- (zw)<x,Y>
= ~[@Vx~,Z> + <(x~)Y,Z>] : 2 @ V x ~ Al~o ~ t ~x~.Y
- ~ V X Y - (x~.)Y, z>= o ~ r
~l~
=
+ (x~)
+ (x,,)~,z> Z ~
+ (z~)<x,Y>
=
.
un~ dahe~
= ~,~x Y + (x~,)Y .
~F erf~llt auch die Eigenschaften (3) und (4):
(3) folgt unmittelbar,
indem man die durch die rechte Seite yon (7) gegebenen Ausdr~cke f~r ~7zX,Y >
und
(~zY,X>
= <~7yX,Z> + ~Z,~,Y]>.
addiert. F~r (4) zeigt man mit (7), dab ~ F x Y , Z > = Dann ist
woraus (4) offenbar folgt. Sei x Karte von M mit Definitionsbereich U und Xi:= ~-~. Wir gewinnen nun noch Relationen zwischen den Komponenten
~k des Levi-Civita-Zusammenhangs 13 und den Komponenten gij des Fundamentaltensors bez~glich der Karte x.
Aus der Formel (7) erh~lt man, weil [Xi,Xj] = 0 ist,
Xk X 2] Wegen
~7X X j = ~ j X
e und
~Xi,Xj> = gij
findet man
i
(8) Da
~g~kF~j
=
~.L~
. ~,
- ~.
~
,
,
det(g~k)ip ~ 0 f~r alle p GU, gibt es zu dem Gleichungssytem (8) genau
ein LSsungssystem von n 3 Funktionen
~ij k E JcU. Die Komponenten ~ij des Zusammenhangs von Levi-Civita sind die klassischen "Christoffel-Symbole zweiter Art". N differenzierbare Mannigfaltigkeit, Levi-Civita-Zus~mmenhang
~.
M Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
f: N--~M differenzierbare Abbildung. Dann
gilt analog zu (7) f~r alle Vektorfelder A,B,CG~@N (9)
<~Af~B,f~C> = l ~ < f ~ B , f , C > + B(f~C,f~A> - C(f~A,f,B> + (f~C,f~[A,B]~+ (f~B,f~[C,A~>- (f A,f~[B,C]>].
Die Gleichung (9) folgt sofort, wenn man beachtet, dab
-
85
-
A : <~ZAf.B,f.C> + = T(f~A,f~B)
= 0, vgl. 3.4.(2)
Wir werden jetzt sehen, Sinne invariant kung: feld
dab der Zusammenhang
ist. Dazu eine Vorbemer-
&: M--,M Immersion.
Zu einem Vektor-
X g ~9~ langs c existiert nach Lemma 1 ein differenzierbares
fSr alle C ~ M .
Komponente
d.h. die Projektionen
von X bez~glich
auf die tangentiale
lich & sind Tensorfelder induzieren
tialraumes M&(p) auf Wenn allgemeiner
&aMp
&(p)g~
Komponente,
bzw. orthogonale
f: N--@M differenzierbare
yon X bezHglich
c definiert,
hat man nat~rlich
= <X,~C>
T,~
: 9Dc-~c,
Komponente
~(ii)
in 3.4.,
die Projektionen
bzw. auf das orthogonale
tangen-
Xi:= X - X T
&. Die Abbildungen
m it p ~ M
co f, so sind auch dann tangentiale
dim M = dim ~
und ( ~ A , ~ D C >
vom Typ (1,1) l~ngs c, vgl.
in allen Punkten
xT,x~E~C.f
Ae~M
X r ~ 9 8 [ heiBt die tan$entiale
die ortho~onale
Falle
yon Levi-Civita in gewissem
Abbildungen
Mannigfaltigkeit,
tiales Vektorfeld X T l~ngs ~ mit X T = ~ A ,
l~ngs
~Af~B - ~Bf.A - f~[A,B] :
und 2.5.(5).
unter isometrischen
M Riemannsche
und
Komplement
bez~gsie
des Tangendazu in Me(p).
Abbildung und Xe~c.f Vektorfeld und orthogonale Komponente T T etwa ( X ) p : = (Xp) f~r p g N. Im
X T = X, X ~ = 0 .
ILEMMA 2~ yor.:
M,~ Riemannsche ~,~
Mannigfaltigkeiten
und Zusammenhangsabbildungen
mit Levi-Civita-Zusammenh~ngen K,~. c: M - - ~
isometrische
Abbildung. N differenzierbare
Mannigfaltigkeit,
f: N---~M differenzierbare
Abbildung. Beh. :
Es gilt c,.Kb
(10) f~r alle b E T T M
=
(K ~.~b )
und
(11) fur alle AEI~N, Yg%0f Im Falle
dim M = dim M
.
ist also das Diagramm
- 86 -
TTM
I
%m ~ TT~
1
TM & oK = ~o%., Bew.:
und man hat
Well ~ isometrisch,
kommutativ,
d.h.
• T~
& ~ A Y = ~A&aY
•
folgt fur alle X , Y , Z ( ~ M
durch Vergleich von
(7) und (9)
und ferner < V x Y , Z > (&.~y
_ %&.y)T
= <~x~Y,~,z
>
: <&.~TxY,&.Z > , so da~ <~.~xY - V x ~ . Y , & ~ Z >
= 0, also &~VxY = (~x&.Y)T,
N = M und f = id. Dann gilt aber
: 0. Daher
womit (11) gezeigt ist, wenn
&jKY~Xp = (~%.Y.Xp) T mit p ~ M ,
man nach 2.4. die Gleiehung (10) erhilt,
woraus
die wiederum (11) im allgemeinen
Fall impliziert auf Grund yon 2.5. Die Gleichung (11) in Lemma 2 war der Ausgangspunkt Levi-Civita,
der Entdeckung yon
der 1917 in einer berUhmten Arbeit darlegte, wie man auf jeder
Riemannschen Mannigfaltigkeit
intrinsec einen kanonischen Parallelit~ts-
begriff einfUhren kann, in moderner Sprache eben den nach ihm benannten Zusammenhang.
Auf jeder Riemannschen Untermannigfaltigkeit
schen Raumes ~ k haupts~chlich) gem~
(solche Mannigfaltigkeiten
M eines euklidi-
betrachtete man bis dahin
konnte man eine kovariante Ableitung einfEhren,
indem man
(11) jeweils die zu M tangentiale Komponente der trivialen kovari-
anten Ableitung in ~W k bildete. Parallelverschiebung
Die dann nach 2.6.(I) und (2) gegebene
l~ngs differenzierbarer
dem Sinne als yon dem umgebenden Raume ~ k
Kurven in M erwies sich in
unabh~ngig,
als sie mit (8)
allein aus der induzierten Riemannschen Struktur fur M berechnet werden konnte,
d.h. sie konnte der Riemannschen Mannigfaltigkeit
geordnet werden. Vgl. T. Levi-Civita,
M abstrakt zu-
"Nozione di parallelismo in una
varieta qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana",
Rend. Palermo 42 (1917),175-20~.
Wir geben noch einige Konsequenzen yon Lemma 2 an. Sei Ist c: J---,M eine differenzierbare
dim M = d i m ~
.
Kurve und X ein paralleles Vektorfeld
-
87
-
l~ngs c, so ist c~X ein paralleles Vektorfeld l~ngs =
~D~X
wegen (11). Der Parallelit~tsbegriff
invariant unter isometrischen Abbildungen,
denn 0 = c , ~
=
yon Levi-Civita bleibt also
die Parallelverschiebung kom-
i.
mutlert mit Isometrien. Man kann auch sagen, ~
coc,
6~,
ist horizontal,
d.h.
bildet die Horizontalr~ume in TTM isomorph auf Horizontalr~ume in TT~
ab. Wenn insbesondere
c: J--,M eine Geod~tische in M, so ist
eine Geod~tische in ~. F~r die Exponentialabbildungen
6oc:
J--~
exp,ex-'p yon ~ 7 , ~
hat man dann (12)
Sind R , ~ d i e
~-exp
KrUmmungstensoren
=
ex~-6~
yon
~7,~
.
und X,Y,Z ~ M ,
so folgt mit
2.5.(6) und (11)
(13)
~(x,Y)z
Gib Beispiele,
da~ alle zuletzt genannten Aussagen im allgemeinen nicht
richtig sind, wenn
(i)
= ~(%x,~x)~,z
dim M < dim ~ .
Verallgemeinere
den Satz dieses Abschnitts: Wenn T ein schief-
symmetrischer Tensor vom Typ (2,1) auf M, so gibt es genau einen Riemannschen Zusa~menhang
~
f~r M, der T als Torsionstensor hat. Der Beweis dazu
verl~uft ganz analog wie im Falle T = O, statt (7) gewinnt man die Formel
÷
z<x
>
+ + - <x, [Y,Z]> + - <X,T(Y,Z)>]
•
~w
Ist •
der Levi-Civita-Zusammenhang
yon M, so haben wir also
Sei f: N--~M differenzierbare Abbildung. und Y,Z ~ f
(15) Beachte,
Zeige, f~r Vektorfelder A G ~ N
gilt
( r A Y , Z > = <~TAY,Z> +
da~ z.B.
Z,T(f~,A,Y)>+-
Y nicht notwendig v o n d e r
Form
letzte Gleichung l~Gt sich etwa lokal best~tigen,
f~B mit B 6 ~ N .
Die
indem man wie im Beweis
-
-
des Lemmas in 3.4. Darstellungen (ii)
f~r
Riemannscher Zusammenhang
ist, d.h.
~A Y sowie (14) heranzieht
mit Levi-Civita-Zusammenhang
f~r M, dessen Torsionstensor
(T(X,Y),Y~ = O, oder in ~quivalenter Formulierung,
, ), ~
und ~
-
rAY und
M Riemannsche Mannigfaltigkeit
Sei ~
(T(
88
ist schiefsymmetrisch
die gleichen Geod~tischen.
so gilt mit (15) f~r alle Z G ~
in allen drei Argumenten. Dsnn ist c: J
~.
T orthogonal die 3-Form
Dann haben
,M Geod~tische yon ~ ,
c
=o
(iii)
~ Riemannsche Mannigfaltigkeit
faltigkeiten yon ~ m i t faltigkeiten
und M1,M 2 • ~ R i e m a n n s c ~ e
dim M 1 = dim M 2.
Wir betrachten auf allen Mannig-
den Zusammenhang yon Levi-Civita.
Sei c: J--,~ sine differen-
zierbare Kurve, so da~ sich M1,M 2 l~ngs c ber~hren, und
(M1)c(t) = (M2)c(t)
mannigfaltigkeit
fGr alle t G J ,
yon T~auffassen,
Untermannig-
d.h.
c(J) C M I n M 2
wobei wir kanonisch TM i als Unter-
i=1,2.
Dann sind nach Lemma 2 die
parallelen Felder l~ngs c in M 1 parallel l~ngs c in M 2, die Parallelverschiebung von M 1 und M 2 stimmt l~ngs c ~berein. (iv)
S 2 = S 21 als Riemannsche Untermannigfaltigkeit
Betrachte die SphHre
des euklidischen Raumes der parametrisierte ~G(O,1],~
~ 3 mit dem Levi-Civita-Zusammenhang.
Breitenkreis vom Radius ~ mit c(t):= (~cos t,~sin t,~),
(-1,1),
2+
= 1 •
X(t) = -sin t Dl-Clt + cos t D2eClt
Setze •
X:=
~c
t D2-Clt + ~ D 3 e C l t
•
~c'
also
Sei Y das zum Nordpol weisende
zu X orthogonale Feld der L~nge 1 l~ngs c in S 2, -~sin
Sei c: R--~S 2
Y(t) = - ~cos t D1oclt -
Zeige mit (11) in Lemma 2, da~ dann das
Vektorfeld Z 1Hngs c in S2 mit Z(t) = ~ ~ o s ( ~ e - ~ t ) X ( t )
+ sin(~-~t)Y(t)]
das parallels Feld 1Hngs c in S2 mit Z(O) = ~(cos ~ X(O) + sin ~. Y(0)), wobei hang ~
~, ~e ~
"
Man hat n~mlich mit dem kanonischen Levi-Civita-Zusammen-
yon R 3 und
Z =
Iec das Ortsvektorfeld
falls
sofort
Z(t) = - a ~ c o s ( ~ o - ~ t )
l~ngs c yon ~ ( ± i i )
Be± Parallelverschiebung die Kurve",
~D z
in 2.5.
l~ngs Breitenkreisen
~ @ O.
c sine normale Geod~tische,
und
Iec , wenn
Iec ~ =
0 •
rotieren Vektoren also "um
F~r ~ = 0 ist das Bild yon c sin Gro~kreis und denn c parallel. Wegen ~ ( i v )
in 3.~- sind
-
89
dann alle Geod~tischen in S2 periodisch, Man behandle und veranschauliche
-
ihre Bilder die Gro~kreise.
dieses Beispiel auch mit Hilfe von (iii)
sowie (iv) und (v) in 3.8., indem man im Falle den Zylinder in ~ 3
betrachtet,
~ @ 0 den Kegel und fur
der S 2 l~ngs c ber~hrt.
sind nun aber flach, d.h. nach 3.8. lokal isometrisch zu
~2
man "schneide
sie l~ngs einer Mantellinie auf" und f~hre die Parallelverschiebung c in ~ 2
durch. Eine solche geometrische Interpretation
schiebung l~ngs Breitenkreisen in S 2 l ~ t wickelbarer Fl~chen" (v)
M
V,
der Parallelver-
sich mit Hilfe "ber~hrender ab-
Riemannsche Mannigfaltigkeit
f: M
~differenzierbare
mit Levi-Civita-
Funktion.
ist das nach Lemma I bez~glich der Riemannschen Metrik rential df yon f adjungierte Vekterfeld fur alle X ~ M .
l~ngs
l~ngs allgemeinerer Kurven geben.
n-dimensionale
Zusammenhang
~= O
Kegel und Zylinder
Statt
~f
~fG~M
schreibt man auch
Der Gradient yon f ( , )
zum Diffe-
mit ( ~ f , X ~ = Xf = df(X) grad f .
~t
einer offenen
Teilmenge U von M und linear unabh~ngigen Vekterfeldern X I ~ . . . , X n ~ U gilt also die lokale Darstellung n
°
.
Vfl~
•
•
wenn g l ~
= ~g~(xif)x j l.j,~ ~U d i e K o e f f i z i e n t e n d e r z u r M a t r i x d e r K o m p o n e n t e n f u n k t i o n e n t
= ~ X i , X ~ inversen Matrix sind. p ~ M ist kritischer Punkt von f oder gij f stationer in p, genau wenn ~ f t p = 0 • Falls ~ = f(p) regul~rer Wert von f, kann man nach Lemma 2 in 1.6. die (n-1)-dimensionale bare Untermannigfaltigkeit
N:= f-1(~)
("Niveaufl~che")
differenzier-
betrachten.
lege, der Nullraum von dftp ist der genaue Tangentialraum yon N und
UberVftp
steht senkrecht auf N in M • Wenn V f t p ~ O, also f nicht stationer in p, ~f P P ~f ist ,V'-~-~-U tp die Richtung g r ~ t e n Wachstums, mVfN Ip die Richtung des st~rksten Gef~lles von f, d.h. f~r a l l e v • M
mit nv, = ~ gilt P Vf ~f f~- v f % f ~Vfi! Ip ~ f U Ip ~f ~f und Gleichheit nur f~r v = + denn z.B. vf = ~ f , v ~ ~ ~ f , ~ - ~ p = ~f - ~Vf,! Ip ' = ~f~jp f . Der Hessesche Tensor Hf ist ein Tensorfeld veto Typ (~,~) auf M mit mit
H~:=
hf(X,Y) = ( ~ X
~x~f
,
~f~Y~ "
Riemannschen Metrik,
d.h.
die Hessesche Form hf die zugehSrige 2-Form Zeige, Hf ist selbstadjungiert hf ist symmetrisch.
bez~glich der
Warum gilt in einem kriti-
-
schen Punkt p yon f stets feld Z ~ M
umgekehrt
Gradient
<~xZ,Y>
in 2.3.
man nennt
~
div ~ f
V,~
~X Y
M
g~
Berechne
X--,~xZ
ist
und
der Riemannschen
~(~)
Z~ f
~ =
+
= ~,~"P+ ~ 4 ~
+ 2(V~,VV>
differenzierbaren
wenn es eine differenzierbare
~ > O. Dann stimmen in jedem
und Winkel bez~glich
yon Levi-Civita
R,~ yon
g und ~ ~berein.
f~r g,~. Zeige mit (7)
~I ((X~)Y + (Y~)X - < X , Y > ~ )
f~r die Kr~mmungstensoren
Metrik.
auch in lokalen Koordinaten.
~,g, also
L~ngenverh~ltnisse
P
,
auf einer n-dimensionalen
die Zusammenh~nge = Vxy
bez~glich
M hei~en konform ~ u i v a l e n t ,
~ C ~ M gibt mit
Tangentialraum
tr Hf E ~ M
Berechne
Fundamentaltensoren
Seien
=
div ~Z = ~div Z + Z ~
Mannigfaltigkeit Funktion
auf M mit
Setze speziell
~',~ ~ IM und Z ~ M .
(vi)
Funktion.
div Z ~ =~M , die Diver~enz yon Z, vgl.
den Laplace-0perator
Best~tige,
Wenn fGr ein Vektor-
in X und Y, so ist Z lokal der
reellwertigen
Funktion
f :=
fur
symmetrisch
d.h. die Spur des (1,1)-Tensors
eine differenzierbare ~(iv)
-
hf(X,Y)ip = XpYf = YpXf ?
einer differenzierbaren
Die Kontraktion,
90
, wenn ~ : =
log ?
.
~r,~ ÷
+-Z~+ ((X~)F~r Gradient, ~f
= Vf
mit f ~ M
,
so da~
Sind M,N Riemannsche
~'~f = Z~f im F a l l e n
Mannigfaltigkeiten
nennt man die differenzierbare und die induzierte
Nat~rlich sn--,S~
Metrik
f~
p
,~p
.
Abbildung
f: M---~N konform,
konform ~quivalent
Abbildungen
~2,
g,~ , so
wenn f Immersion
mit g. Unter konformen
regul~rer Kurven invariant.
konform,
z.B. auch die Abbildung
Jede holomorphe Abbildung
yon ( in ~ ist eine konforme Abbildung bez~glich auf ( ~
= 2.
mit Fundamentaltensoren
bleibt also der Schnittwinkel
sind isometrische mit
•
Divergenz und Laplace-0perator bez~glich g,~ hat man ~n n div Z = div Z + ~ Z ~ und ~ f = d f + (~ - 1 ) < V f , V " ~ >
und Z ~ M ,
Abbildungen
(Y~,)<X,Z>)VV]
einer offenen Teilmenge
der euklidischen Metrik
sobald ihre komplexe Ableitung nicht verschwindet.
-
3.6.
KrUmmungsidentititen
Sei R der Kr~mmungstensor
91
-
und skalare Kr~mmunss~r55en. des Levi-Civita-Zusammenhangs
~Zauf
der n-
dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit M.
[c -2 Beh. :
FUr Vektorfelder X,Y,Z,U ( ~ M
gilt
(I)
R(X,Y)Z = - R(Y,X)Z
(2)
R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = O
(3)
= - < R ( x , x ) u , z >
(4)
(R(x,Y)Z,U> :
Dabei gilt (I) nach Definition yon R fur einen beliebigen Zusammenhang, (2) schon fur einen Zusammenhang mit verschwindendem Torsionstensor und (3) bereits fur einen Riemannschen Zusammenhang, Formulierung auch sagen, schiefadjungiert
man kann in ~quivalenter
die KrUmmungstransformation
Z--@R(X,Y)Z
bezSglich der Riemannschen Metrik fur alle X,Y.
innern in diesem Zusammenhang auch an die Bianchi-Identit~t
ist Wir er-
yon [ ] ( i i i )
in 2.3. Bew.:
Es gen~gt,
diese Identit~ten
weise verschwindenden
Lie-Klammern
fur Vektorfelder X,Y,Z,U mit paarzu zeigen, da man die Relationen nur
lokal, also fur Basisfelder
einer Karte,
Zun~chst gilt O = T(X,Y) =
VxY -
VxY
(5)
(6) Die Identit~t
zu pr~fen braucht.
~ZyX , da ~7 torsionsfrei,
= Vyx
also
,
RCx,~)z : ~x V y z -
vy V x Z
(2) folgt nun unmittelbar mit (5) und (6). Die Schief-
symmetrie (3) in den letzten beiden Argumenten ist ~quivalent mit
< R(x,Y)z,z> (7)
= 0 fur alle Z & ~ M .
Da ~
Riemannscher Zusammenhang,
: x -
(8) Mit (7) und (8) folgt
: ½
z,z> .
,
gilt
- 92
2 weil wir angenommen haben
-
= XY < Z , Z >
- YX
= 0
,
IX,Y] = XY - YX = 0.
Die Regel (4) f~r die blockweise Vertauschbarkeit der beiden Argumentpaare ergibt sich nun rein algebraisch aus den Identit~ten (1) his (3). Denn nach (I) und (2) gilt (9)
~R(x,Y)Z,U>
= -
=
~R(x,z)Y,U>
+
~(z,Y)X,U>
=-
=
(R(Y,U)X,Z>
+
und nach (3) und (2) (10)
(9) + (10) (11)
~R(X,Y)U,Z>
ergibt 2 ( R ( X , Y ) Z , U > = + < R ( Z , Y ) X , U > ++~R(U,X)Y,Z>.
Wird in (11) (12)
X mit Z und Y mit U vertauscht,
so hat man
2 = + < R ( X , U ) Z , Y > ++.
Die rechte Seite yon (11) geht aber in die rechte Seite yon (12) ~ber, wenn man auf
jeden Term (1) und (3) anwendet, und (4) ist bewiesen.
Mit Hilfe des Kr~mmungstensors R werden verschiedene andere Kr~mmungsgrS~en fSr M definiert. Betrachte zun~chst die "biquadratische Form" k:
~M x ~M
= k(Y,X).
,~M
mit
k(X,Y):: ~ R ( X , Y ) Y , X > •
Es zeigt sich nun:
Man hat k(X+Y,Y) = k(X,Y) =
R ist auf Grund der Krdmmungsidentit~ten
(1) bis (4) vollst~ndig durch k bestimmt. Zuerst ~berlegen wir, da~ sich R(X,Y)Z nach (1) und (2) dutch Vektorfelder der Form R(X,Y)Y ausdrScken list, es ist n/mlich R(X,Y+Z) Y+Z
=
R(X,Y)Y + R(X,Y)Z + R(X,Z)Y + R(X,Z)Z
R(X+Z,Y) X+Z
=
R(x,Y)x
0
:
+ R(x,Y)z
+ R(z,Y)x
R(x,Y)Z
+ ~(Y,x)z
+
R(z,Y)Z .
Addition der letzten drei Gleichungen liefert mit (2) und (1) (13)
3 R(X,Y)Z
=
R(X,Y+Z) Y+Z -
- R(X,Y)Y - R(X,Z)Z
R(Y,X+Z) X+Z
Ist ~ eine symmetrische Bilinearform,
so
- ~(Y,Y).
Nach (I),(3) und (4) ist
2~(X,Y)
+ R(Y,X)X + R(Y,Z)Z = ~(X+Y,X+Y)
-@(X,X)
-
symmetrisch in X und Y,
-
93
-
also (14)
2
Aus (13) und (14) ergibt (15)
6
:
k(X+Y,Z)
- k(X,Y+Z)
- k(U,Y+Z)
+ k(Y+U,X)
+ k(Y+U,Z)
+ k(Y,X+Z)
+ k(U,X+Z)
titen (I) his (4) erf~llt.
den 2 - d i m e n s i o n a l e n Basis yon
~,
kl(V,~)
so
= (det~)2kl(V,W),
symmetrisch
Teilraum
und GW:= ~P~2~wGp
weil
=
l|Xll2 IIYII2 - < X , Y > 2
also in p ~ M
das
Parallelogramms
zu-
K(V,~)
, und man
Spannen v,w
(det~)2k(v,w)
sowie
= K(v,w) Es sei
aller 2-dimensionalen WCM.
k1(v,w)>0
betrachten.
Vekto-
auf und ist ~ , ~ eine weitere P ~ : ~21 v + ~22 w und
fSr eine Teilmenge
eine reelle Zahl K ~ zuordnen,
- k(U,X)
linear unabh~ngige
Ungleichung
~'c M
sobald v,w orthonormal.
"Gra~mann-Mannigfaltigkeit"
, >,
= (det~)=
in X,Y und Z,U. Daher
K(v,w) = k(v,w),
<
und v , W ~ M p
~ : ~11 v + ~12 w,
k(~,W)
- k(Y,Z)
da~ R 1 an Stelle yon R die Kr~mmungsidenti-
Wenn p ~ M
linearen
+ k(U,Y)
,
K(v,w):= k(v,w)/k1(v,w)
also etwa
%~,,~,#
<X,Z> Y
bez~glich
so ist nach der C a u c h y - S e h w a r z s c h e n
kann die reelle Zahl
-
des yon Xp,Yp aufgespannten
sofort,
+ k(X,Z)
Sei R I der Tensor vom Typ (3,1) mit
kI(X,Y):=
Determinante
des Fl~cheninhalts
ordnet. Man best~tigt
=
- k(X+U,Z)
X
Form nit
die X,Y die Gramsche
ren,
- k(X+U,Y)
R = O, genau wenn k = O. RI(X,Y)Z:=
Quadrat
.
=
k(Y+U,X+Z)
k I die biquadratische
- k(Y,Z)
sich nun direkt
k(X+U,Y+Z)
Insbesondere
- k(X,Z)
und
(RI(X,Y)Z,U>
schief-
und insbesondere dim M-m2
und G
P linearen Teilr~ume
die
Man kann nun jeder Ebene ~ G
indem man linear unabhingige
yon M
P
M
Vektoren v , w ~ m "
w~hlt und definiert
k(v,w) (16) K~hei~t
K ~ := K(v,w)
die Riemannsche
=
kl(V,w )
= llWl*llWll-_~
Krtimmung yon M bez~glich
•
~'. Man spricht auch yon
-
"Schnittkr~mmumg" p ~M wird.
(sectional
94
curvature),
die Kr~mmung K ~ f~r verschiedene Die Begriffsbildung
enth~lt
-
da f~r
dim M ~ 3
"Ebenenrichtungen"
geht auf Riemann zur~ck.
jeder Tangentialraum
~
Kr~mmung
die Gau~sche Kr~mmung der Fl~chentheorie, Fall offenbar eine differenzierbare und (16), da~ sich Kr~mmungstensor
in Mp gemessen
Im Falle
genau einen 2-dimensionalen
raum, und der Begriff der Riemannschen
in jedem Punkt
dim M = 2
linearen Teil-
K ~ = K reduziert
vgl. auch 3.7.
Funktion aus
~M.
sich auf
K ist in diesem
Man sieht aus (15)
und Schnittkrth~mung wechselseitig
be-
stimmen. M heist Zahl
ein Raum konstanter
~ ~
gibt, so da~ K ~ = ~
Fall elliptisch einfache
Kr~mmung oder eine Raumform,
(~0),
Standardr~ume
geometrischen
f~r alle
hyperbolisch als Modelle
Eigenschaften
wie wir z.B. in § 6
alle
~
Gp~ d.h. (17)
vgl.~(iv).
Viele ihrer
sie spielen eine fundamen-
f~r allgemeine
Riemannsche
Mannigfaltig-
Kr~mmung bestimmen.
differenzierbare)
Sei allgemeiner
K: M - ~
Funktion mit K ~ = K(p) f~r
K ~ h~ngt nur yon p ab. Dann gilt R(X,Y)Z
Denn wenn Ro:= R - KR 1 ko(X,Y)
f~r Raumformen,
sehen werden. Wir wollen noch den Kr~mmungs-
tensor eines Raumes konstanter eine (nat~rlich notwendig
und man nennt M in diesem
O) oder flach ( ~ = 0). Es gibt
sind wohlbekannt,
tale Rolle als Vergleichsobjekte keiten,
~ ~GM,
(~
wenn es eine
= (Ro(X,Y)Y,X>
=
K RI(X,Y)Z
=
K ((Y,Z> X - (X,Z~ Y)
und ko:= k - Kk I die biquadratische
Form mit
, so erf~llt R ° mit R und R I die Kr~mmungsidenti-
t~ten (I) bis (4) an Stelle yon R und k ° = 0 wegen (16), und daher R ° = 0 nach (15), also R = KR 1. Der Kr~mmungstensor schen Mannigfaltigkeit mu~ K in (17) notwendig Riemannsche
ist mithin durch (17) gegeben. lokal konstant
Mannigfaltigkeit
SchnittkrUmmung
einer 2-dimensionalen Im Falle
Riemann-
dim M ~ 3
sein, d.h. eine zusammenh~ngende
ist ein Raum konstanter Kr~mmung,
sobald die
in jedem Punkt konstant ist. Dies hat zuerst Schur bemerkt,
vgl.~(v). Der Ricci-Tensor
auf M i s t
die Kontraktion
mit ClR (v,w) = tr ~u--,R(u,v)w I Betrachte
speziell die quadratische
ClR von R, also die 2-Form auf M
mit u , v , W ~ M p Form
und p ~ M ,
vgl.~(iv)
v--~ClR (v,v). Wenn V ~ M p
und
in 2.3.
- 95 -
v $ O, so heist die reelle Zahl
r(v):=
ClR (v,v) die Ricci-Kri~mmung UvI|~ yon M in Richtung v, sis ist also jedem 1-dimensionalen linearen Teilraum yon Mp zugeordnet. Sei u I, ... ,un orthonormale Basis yon % . Dann hat man n cIR (v,w) = ~ < R ( u i , v ) w , u i > , und daher ist der Ricci-Tensor insbesondere symmetrisch in v und w. Fundamentaltensors
•
Die Spur s(p) des Ricci-Tensors bez~glich des
, > , also
s(p) = ~-.~" r(uj)
heist die SkalarkrGmmung
yon M in p. Zusammenfassend haben wir die Relationen (18)
r(v) = i ~ k ( u ± , v ) , . = o
(19)
[]
(i)
s(p) = ~ r ( u j )
Sei p ~ M ,
3.8.~(ii). Mit
v = ~.X i l.
(~xiXj)p = 0
:
O'~G
Setze Xi:= p ,
falls U n = V
~K(u.,u.)
)
•
eine Ebene und x fast-normale Karte um p, vgl. ~-~ und w~hle eine orthonormale Basis v,w in o- .
~ i !p w = --~ix
zun~chst
(=~.K(u.,v)i., i
± K(ui,u j) = 2 =
"
K~=t,,~,,,~
(xix
>
erh~lt man aus (16) sowie 3.5.(7) wegen i
~j~k
t =
ixe j
_
x ),p
also nach Zusammenfassung der auSen stehenden Terme
:
und speziell im Fall
~x~ ~ x C
- ~
- ~" B x ~ ~ x " / I p
dim M ='2
/ ~12
K(p) = [ ~ x L
-~
i ~x' ~ x ~ - ~
Bx L~x~/I
Eine praktische Berechnung der Schnittkr~mmung yon M auf Grund dieser Formeln ist selten zweckm~Sig und selbst f~r Fl~chen sehr m~hsam. Uberhaupt kann die explizite Behandlung der Kr~mmungsgrSSen in konkreten Beispielen auSerordentlich schwierig sein, selbst wenn M sehr "symmetrisch" ist, vgl. (vii), oder durch einfache Gleichungen als Riemannsche Untermannigfaltigkeit eines euklidischen Raumes definiert ist, vgl. 3.7. (i±)
Sei W kompakte Teilmenge yon M, dann ±st K ~ beschr~nkt f~r alle • @ G W.
Denn wenn ~ : TM--~M die Projektion des Tangentialb~ndels yon M, so ist
-
die Abbildung
k: TM X T M
der orthogonalen
-
~ W mit (v,w)--.k(v,w)
Zweibeine
stetig, und die Menge
[(v,w) Iv,w ~ ~C-I(w), ~vll = llwll = 1, ~v,w~ = O }
ist kompakte Teilmenge yon T M M T M , einen Raum positiver (negativer) alle ~ G M ,
96
vgl.~(iii)
Kr~mmung,
in 3.4.
falls
Man nennt M
K~>O
(K~< O)
f~r
d.h. falls f~r alle p ~ M und w eMp mit w # 0 der selbstadjun-
gierte Kr~mmungsendomorphismus
mit v--,R(v,w)w positiv (negativ) P definit ist. In diesem Fall gibt es also reelle Zahlen 0 ~ (~ ~ ~O), so da~ (iii)
~ K ~
f~r alle
M
~M
P
~G
W.
M Riemannsche Mannigfaltigkeit
dim M = n ~ 2 .
mit Levi-Civita-Zusammenhang
Wir werden sp~ter an verschiedenen
~Z,
Stellen seh~n, welche
geometrische Bedeutung die Riemannsche KrUmmung hat, etwa in § 4 und § 6. Jetzt wollen wir nur eine lokale fundamentale Eigenschaft geben. Sei J kompaktes Intervall in ~ 2 dung. Man nennt Fl~cheninhalt
f: J---,M differenzierbare
F:= J~k1(f~D1,f~D2)'dt ds
der parametrisierten
Ilvll(~}
das absolute Volumen oder den
fur alle
~(0,~o).
Drei paarweise distinkte
Punkte in B~ bestimmen dann stets ein geod~tisches Dann existiert eine reelle Zahl Z~ in B~ mit Winkeln
Dreiseit in B~, vgl. 6.4.
~o zu ~o, so dab fur jedes geod~tische
~o , ~i,~2 bei den Eckpunkten po,Pl,P2 gilt
wenn
~:= ~o + ~ + ~ 2 - ~ -
yon A
, das heist im Falle n ~ 3
inhalt einer in A
eXpp die Kugeln
in Mp diffeomorph auf die stark konvexen Kugeln
B~:= exp(U~) in M abbildet
Dreiseit
Abbil-
Fl~che f in M. W~hle p ( M und nach 5.2.
eine reelle Zahl ~o> O~ so da~ die Exponentialabbildung Uj:= ~vl v ~ Mp,
ohne Beweis an-
der "Winkelexzess"
yon /% , F der "Fl~cheninhalt"
das Infimum aller Zahlen, die als Fl~chen-
eingespannten parametrisierten
eine SchnittkrUmmung yon M "in Richtung ~ " ,
d.h.
Fl~che auftreten,
und K ~
~ ist Ebene durch 0 in
M
, die yon den Tangentenvektoren an die Seiten aufgespannt wird, die Pi sich in Pi schneiden, i=0~1,2. In den klassischen Geometrien auf Standard-
modellen Riemannscher Mannigfaltigkeiten exakt
~=
~.
konstanter Kr~mmung
In einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
KrGmmung ist also nach (21) die Winkelsumme scher Dreiecke stets g r ~ e r SchnittkrUmmung yon M gelten
(K~O)
hat man
M positiver (negativer)
hinreichend kleiner geod~ti-
(kleiner) als ~ , K~O
~
und umgekehrt mu~ f~r die f~r alle
~(GM,
falls die
-
97
-
Winkelsumme aller geod~tischen Dreiecke in M nicht kleiner (nicht grS5er) ist als ~ .
Vgl. auch 6.4. und ~ ( i i i )
in 2.6.
Die Herleitung der Rela-
tion (21) ist nicht schwierig, vergleiche Abschnitt VII in Kapitel X des am Ende dieses Paragraphen zitierten Buches yon E. Cartan. (iv) M n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (n m2), positive differenzierbare Funktion und Riemannsche Metriken auf M, ~ : = yon Levi-Civita bezGglich g,~. orthonormale Basis yon (22)
~
log ~.
g, ~:= ~g
P E #M
konform ~quivalente
Betrachte die Zusammenh~nge ~Z ~
Wenn ~ E G M tangentiale Ebene und v,w
~, so erh~lt man mit [ ] ( v i ) in 3.5. die Relation ~I
= K¢-
[h~(
"W''2" ( v ' ) 2 -
v,v) + h~(w,w) +
(w')2]
2
fSr die SchnittkrEmmungen Kg,~g bez~glich g,~. Speziell im Fall n = 2 gilt daher ~
=
K
I
- ~-Alog~
,
multipliziert man also z.B. die kanonische Metrik einer offenen Teilmenge U in ~ 2 mit
~=
e~ , wobei ~ ' ~ U
harmonisch, d.h. ~ ' ~ =
O, so hat die
neue Metrik wieder verschwindende Gau~sche Krdmmung. Sei g die Standardmetrik auf ~ n Falle ~ 0 ,
U~:= {a I a ~ ~ n ,
Falle ~ < O. Erkl~re (23)
~fU
I~ eine reelle Zahl und
ma,%&}
U~:= awn
im
die offene Vollkugel um 0 g ~ n
im
durch
~(a):=
4 (1 +~la,2) 2
und
~:=
~g
•
Best~tige mit (22), da~ dann U~ bezSglich ~ die konstante Kr~mmung ~ = hat, insbesondere ist der Kr~mmungstensor yon ~ man auch direkt mit ~ ( v i )
durch (17) gegeben, wie
in 3-5- sehen kann.
Wir bestimmen jetzt den Krthnmungstensor der Riemannschen Untermannigfaltigkeit
s~n ~ g~n+l.
Mit ~ ( i v )
in 3.2. kann man zun~chst schlie~en, da~
S~ ein Raum konstanter Kriimmung ist, denn zu je zwei tangentialen Ebenen ~1 ~ Mp1' ~2 ¢ Mp~ gibt es eine Isometrie ~2 = ~ I '
~ ~ O(n+1) yon S~ auf sich mit
und die Riemannsche Krtimmung ist eine isometrische Invariante.
Damit hat man nach (17) den Kr~mmungstensor yon SFn , jedoch nur his auf die konstante Schnittkrttmmung K. Betrachte nun die Umkehrabbildung
- 98
f: Rn___~S~
~ ~n+l
in S~ aus auf
~n
der stereographischen Projektion x vom Nordpol
nach ~ ( i i i )
f(a) := Dann ist fur
-
llall2 +
in 1.1. mit
~2 ( 2 ~ a
,
D k ~ ( a ) = 2~ ~ mauZ- 2a~ + ~2
i % k~n,
Difn+l(a) = 4 ~ 3
= ~ = ~.., ~
~(a) -
ilaU2 _ ~2) Di~(a)
a~
(I + ~ " a " ~ )
= - 4 ~2
Daher
4
~0
.
aAa,
, so da~ f eine konforme Abbil~
dung ist bez~glich der euklidischen~Metrik g in
~n
und insbesondere
eine Isometrie bezGglich der zu g konform ~quivalenten Metrik auf
&qn.
Nach (23) gilt also
K~ =~
=
~ = Wg
f~r alle tangentialen Ebenen
an Sf und etwa nach (17) fur den KrGmmungstensor R von S (24)
R(X,Y)Z = ~ ( < Y , Z > X
- <X,Z>Y
)
.
Wir werden (24) in 3.7. noch bequemer herleiten k~nnen. Wir haben damit Modellr~ume der klassischen Geometrie als Riemannsche Mannigfaltigkeiten vor uns:
Die Sphere
(elliptische oder sph~rische Geometrie),
S~
mit konstanter Kr~mmung
~ > O
~~qn mit der konstanten Kr~mmung
= 0 (euklidische Geometrie) und die offene Vollkugel U~ in Metrik (23) als Raum der konstanten Krthumung
~n
mit der
~ < 0 (hyperbolische Geo-
mettle). Die Metriken (23) hat bereits Riemann angegeben. Ein anderes Modell fur die hyperbolische Ebene der konstanten Kr~mmung K = -1
liegt nach (22) etwa vor in der oberen Halbebene
plexen Zahlen
a+ib
in ~
mit
~ 2+ aller komb •0, wenn man die zur Standardmetrik g
konform aquivalente Metrik g : = ~ E g w~hlt. BezGglich der Karte id hat ~1 ~1 ~2 ~2 --'2 1 ~I ~1 --2 1 man L L ~ O, L , ~ L L 11 = 2 2 = 12 =_ 21 = 11 ='b" 12 = 2 1 = 2 2 = --b'-" Die Geod~tischen J ~ + mit Komponentenfunktionen u,v werden dann durch die Differentialgleichungen
~ 2 ~ = O, ~ + I-L(~2-~ 2) = 0 gegeben, v v erweitern. Die maximal definierten normalen
sie lassen sich alle auf ~ p Geod~tischen ~---*~+, fur die also gilt
~m+
v.
~J-
= I, berechnen sich his
auf Umparametrisierung zu u(t) = v(t) =
@~tanh t
+
i
oder
u(t) = v(t) = e t
mit~,~e~
und ~ > 0 .
-
99
-
Die Bilder in ~ 2+ sind Halbkreise um (2,0) mit Radius ac oder Parallelen zur zweiten Koordinatenachse.
Geod~.tische,
Es gibt daher im wesentlichen
die zwei beliebige
distinkte
P u n k t e Zl~Z 2 G ~ 2+ v e r b i n d e t ,
rechne ihre L~nge. Warum bildet die konforme Abbildung Riemannsche M a n n i g f a l t i g k e i t
eine normale
~ 2+ i s o m e t r i s c h
z ~
be-
die
z+i a u f U. 4 a b ? Wie s e h e n a l s o
die Geod~tischen yon U~ aus? Die Gruppe der Isometrien oder "Kongruenzen" der h y p e r b o l i s c h e n
Ebene U.~ s i n d d i e g e b r o c h e n r a t i o n a l e n Transformationen z-z des Einheitskreises auf sich, also z---.e i@ , wobei e reell und
~
p.o I (v)
1.
<
Sei M zusammenh~ngende
Zusammenhang
V
und
Riemannsche Mannigfaltigkeit
dim M = n ~3. Wenn K¢ in jedem Punkt p ~ M konstant,
hat man f~r den Kr~mmungstensor
R eine Darstellung (17) mit K e ~ M .
den Schurschen Satz, da5 dann K konstant. also ~ g
mit Levi-Civita-
Beachte dazu, g i s t
Beweise
parallel,
= 0 und daher auch V R 1 = O, so da6 mit (17) und der Bianchi-
Identit~t yon ~ ( i i i )
in 2.3. folgt
(XK) RI(Y,Z,U)
+ (YK) RI(Z,X,U)
+ (ZK) RI(X,Y,U)
= 0
fGr alle Vektorfelder X,Y,Z,U E ~ M . Zeige analog zum Schurschen Satz: Wenn die Ricci-Kr~mmung in jedem Punkt konstant ist, so ist sie ~berhaupt konstant. Ricci-Tensor ClR proportional
Denn in diesem Fall ist der
zum Fundamentaltensor
g, d.h.
ClR =
mit einer Funktion ~ eIM.
Schlie~e wieder mit der Bianchi-Identit~t
[](iv)
~ konstant.
in 2.3., da~ dann
und
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
konstanter Ricci-Kr~mmung hei6t auch eine Einstein-Mannigfaltigkeit. ist jede zusammenh~ngende
Ag
3-dimensionale
Einstein-Mannigfaltigkeit
Warum ein
Raum konstanter Riemannscher Kr~mmung? (vi)
M1,M 2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten,
mannigfaltigkeit
nach [ ] ( i i )
in 3.1.
M I X M 2 Riemannsche Produkt-
Zeige, fUr die Kr~mmungstensoren
R1,R2,R der jeweiligen Levi-Civita-Zusammenh~nge
(25)
=
yon MI,M2,MIX M 2 gilt
+
,
wenn X,Y,Z,U Vektorfelder auf M I X M 2 und X i = ~i,X, Yi = ~i~ Y' Zi = ~i* z' Ui = ~U
Vektorfelder
l~ngs der nat~rlichen Projektionen
~i: MlXM2"--*Mi'
-
100
-
die tangentialen Komponenten yon X,Y,Z,U bezUglich M i (i=1,2). Warum genUgt es, (25) in dem Fall zu beweisen,
Xpx q = Xll p X X2| q ?
also etwa
verschwindet in jedem Punkt
Schlieae mit (25), die $chnittkrUmmung K ~
p~q~MIXM
"tangential liegen zu M I und M2", d.h. Wenn M1,M 2 R~ume positiver mannsche KrUmmung ~
2 fur alle Ebenen dim ~ 1 , 6
O'G G p x q ,
die
= dim ~2,0" = 1 .
(negativer) KrUmmung,
>_0 (<_0), und K ~ =
genau dann, wenn Berechne
da~ Xi,Yi,Zi,U i Vektorfelder auf Mi,
so hat
M 1 X M 2 die Rie-
0 in jedem Punkt p x q ~ M I X M
2
tangential zu M 1 und M 2.
fur
S ~ x Sk?x SchnittkrUmmung und Ricci-KrUmmung. Die Gkalarkr~mn(n-1) k(k-1) ........ mung ist konstant s = ---EE-" + ~ • Die ~cLcc1-~rummung r ist stets y, ~;. n K . . . . . . n-1 positivk_1 fur n,k >1, falls S?~ und S?~ dle glelche Riccl-Krummung r = ~ '
=
~
(vii)
habenj
•
ist r konstant.
Wir weisen noch auf eine Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten
hin,
fur die eine Berechnung der Kr~mmungsgr6~en im Prinzip v e r h ~ l t n i s m ~ i g einfach ist, die symmetrischen und homogenen R~ume. Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal symmetrisch,
Sei M zusammenh~ngende
mit Levi-Civita-Zusammenhang
valenter Formulierung,
-c(t)
d.h. ist
M heist
wenn es zu jedem Punkt p G M eine Isometrie ~
Umgebung V yon p auf sich gibt mit Cp~V = -v f~r a l l e v
flektiert,
~.
einer P oder in ~qui-
fMp,
alle Geod~tischen durch p in V werden in sich re-
c:
[-~,~]
)M Geod~tische in V mit c(O) = p, so
~ ist also eine Spiegelung an p mit c oc = id und P P P P lokal einzigem Fixpunkt p. Kann man dabei V = M w~hlen fur jeden Punkt p (M,
= c(-t).
so nennt man M einen global symmetrischen
Raum. Z.B. sind offenbar Man weir,
~n
oder kurz symmetrischen
und S~ symmetrische R~ume, vgl. 3.8.(vi).
da~ ein einfach zusammenh~ngender
lokal symmetrischer Raum global
symmetrisch ist, sobald der Levi-Civita-Zusammenhang
vollst~ndig ist.
Warum sind andererseits alle Geod~tischen in einem global symmetrischen Raum auf ganz ~
erweiterbar?
Schlie~e mit den Folgerungen
zu Lemma 2
und (13) in 3.5., wenn M symmetrischer Raum und X paralleles Feld l~ngs der Geod~tischen c: ~---@M, p:= c(tl) , und dann ist
so gilt
&pX(t1+t)
= - X(tl-t)
konstant,
lele Felder l~ngs c. Deshalb hat man, da~ R parallel oder verfeinere
die letzte Uberlegung und folgere
kal symmetrisch.
fur tl,t ~ R,
falls Y,Z,U weitere paral-
VR
Es ist nicht schwer zu beweisen,
~R
= O. Man
= 0 bereits, wenn M loda~ umgekehrt
VR
= 0
-
impliziert,
Mist
lokal symmetrisch,
wenn R parallel,
vgl. ~ ( i i )
jetzt,
Riemannscher Metrik
< , >
[](v)
metrie,
Lie-Gruppe
ferner
= O, vgl.
sind Isometrien
Oe und
Damit ist
(v).
G mit biinvarianter Raum, vgl,
[](v)
~ : G==-wG an g E G erkl~rt durch g , so ~e~: Gg-=-~Gg_~ isometrisch, denn
&e die Einparameter-Untergruppen
in 2.7.
VR
ist ein global symmetrischer
alle Links- und Rechtstranslationen
vgl.
genau
Z.B. ist jeder Raum konstanter
jede zusammenh~ngende
Da ~e = L g - ~ e ° R g
f~r v E Ge) well
also lokal symmetrisch)
denn wegen (17) hat man
in 3.2., wenn man die Spiegelung ~gh:= gh-lg.
-
Mist
in 6.3.
Kr~mmung lokal symmetrisch, Wir ~berlegen
101
yon G und 6e v = -v
yon G in sich reflektiert,
folglich auch ~g = LgO~e-Lg. I Iso-
~ g) v = -v f~r v ~ G g • Sei ~ der Levi-Civita-Zusammenhang Metrik < , > und c: ~ )G eine G e o d ~ i s c h e mit c(O) = e.
der biinvarianten F~r t I ~ ~
wird c durch ~p im Punkte p = c(t 1) in sich reflektiert,
c(tl)c(t1+t)-Ic(tl ) = c(tl-t).
Damit erh~lt man induktiv
f~r jede ganze Zahl m, und es folgt c(t1+t) nale und wegen der Stetigkeit ist c ein Homomorphismus Untergruppe
yon G
X auf G mit X Geod~tischen
= c(tl)c(t)
yon c f~r beliebige
und das Bild yon
also
c(mt 1) = c(tl )m zun~chst
tl,t ~ .
f~r ratio-
Mithin
~ unter c eine Einparameter-
bzw. die Integralkurve
des linksinvarianten
Vektorfeldes
= ~(0). Wir sehen) die Geod~tischen yon V stimmen mit den e des kanonischen linksinvarianten Zusammenhangs auf G ~berein,
sie sind Integralkurven
linksinvarianter
Vektorfelder,
so da~ insbesondere
~TxX = O, wenn X linksinvariant,
vgl.~(ii)
Es seien X,Y,Z,U
Felder auf G. Folgere aus 3.5.(7) mit
~ X X = O, da~
linksinvariante
(~,Y],Y>
allen drei Argumenten. hangs yon G i s t auch ~ ( i i ) Best~tige
= 0
und damit
in 3.5.
<~X,Y~,Z>
Der Torsionstensor
also orthogonal
bezGglich
Welter ist dann
in 2.7.
schiefsymmetrisch
T des linksinvarianten einer biinvarianten
~X Y = ~
~X,Y]
in
Zus~mmen-
Metrik,
vgl.
linksinvariant.
nun direkt _- -
[tx,,J
, Z]
(26) =
Die Schnittkr~mmung nicht negativ,
-
einer Lie-Gruppe mit biinvarianter
sie kann f~r viele Ebenenschnitte
Metrik ist nach (26)
verschwinden,
z.B.
R = O
-
im Extremfall
G = ~n.
und SohnittkrGmmung
102
-
Berechne mit (26) noch einmal Kr~mmungstensor
der Lie-Gruppe
anten Metrik, vgl.[](iv)
in 1.9.
S3 ~ 4
mit der induzierten biinvari-
Zeige allgemeiner,
felder X1,X2,X 3 auf einer 3-dimensionalen
bilden die Vektor-
differenzierbaren
Mannigfaltig-
keit M eine Parallelisierung m it [Xi,Xi+1] = 2 Xi+ 2 (Indices mod 3, i=1,2,3), so ist M bez~glich des Levi-Civita-Zusammenhangs schen Metrik (X1,X2,X 3 orthonormal)
Andere noch nicht erw~hnte Beispiele kompakter die projektiven R~ume nat~rlichen Metrik,
der kanonischen Riemann-
ein Raum der konstanten Kr~mmung K = 1.
p n ( ~ ),pn(l H),P2(Ca)
symmetrischer R~ume sind
yon [ ] ( v )
in 1.7. mit einer
die etwa durch ihre Darstellung als homogene R~ume
bestimmt wird. Bei geeigneter Normierung ±st ihre Schnittkr~mmung positiv, und
in jedem Punkt durchlaufen ihre Werte genau das Intervall [ ~ ,1] .
Eine allgemeinere Klasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten
sind die homogenen
R~ume G/H einer Lie-Gruppe G nach einer abgeschlossenen Untergruppe H mit einer invarianten Metrik. Well G durch Linkstranslation
als Gruppe yen
Isometrien auf G/H wirkt, lassen sich alle Kr~mmungsgr~en liebigen Punkt q ermitteln,
in einem be-
indem man sie f~r einen einzigen Punkt p be-
rechnet, well es eine Isometrie
~ yon G/H auf sich gibt mit
6(p) = q.
Dar~berhinaus ist der Krt~mmungstensor yon G/H im Falle einer normalen Metrik durch verh~ltnism~ig in (26) gegeben und l ~ t aus den Lie-Algebren auf ~
berechnen.
~'i
einfache Ausdr~cke ~hnlich wie fur Lie-Gruppen
sich wieder allein durch algebraische 0perationen von G,H und dem invarianten Skalarprodukt
Trotzdem kann auch hier schon etwa die Absch~tzung
exakten Wertebereichs
des
skalarer Kr~mmungswerte m~hsam sein. Wenn G kompakt,
so ist G/H mit jeder normalen Metrik ein Raum nicht negativer SchnittkrGmmung,
es gibt aber nur sehr wenige Beispiele mit durchweg positiver
Kr~mmung,
vgl. auch 7 . 5 . ~ ( i v )
3.7.
und 7.9-
Relative Kr~mmungsgrS~en.
Oft hat man es mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten in anderen Riemannschen Mannigfaltigkeiten mannigfaltigkeiten
zu tun, die isometrisch
liegen, etwa Riemannsche Unter-
euklidischer R~ume, die durch Gleichungen definiert
sind. In solchen F~llen gibt der sogenannte
zweite Fundamentaltensor
ein
- ~o3 Ma~ dafUr, wie sich die eingebettete Mannigfaltigkeit relativ zur umgebenden Mannigfaltigkeit krUmmt. Bemerkenswert ist, da~ sich der intrinsec definierte Riemannsche Krtlmmungstensor der eingebetteten Mannigfaltigkeit durch den zweiten Fundamentaltensor und den KrUmmungstensor der umgebenden Mannigfaltigkeit berechnen l ~ t .
Dies hat Gau~ in seinem "Theorema egregium"
zuerst im Falle yon Fl~chen im ~ 3
gesehen. Der zweite Fundamentaltensor
li~t sich im allgemeinen praktisch leichter berechnen als der Riemannsche Kr~mmungstensor, man hat mit ihm ein wertvolles Hilfsmittel zur Bestimmung der skalaren KrthnmungsgrS~en, insbesondere wenn der Kr/mmungstensor der umgebenden Mannigfaltigkeit verschwindet, wie im Fall euklidischer R~ume. Wir betrachten etwas allgemeiner Riemannsche Mannigfaltigkeiten M,M und eine isometrische Immersion
~: M--~M, dim M = n.
~7,~
sind die Zusammen-
h~nge yon Levi-Civita und R,R die KrSmmungstensoren yon M,~. FUr ein Vektorfeld Y l~ngs gentialkomponente"
(1) Offenbar hat man Die Abbildung
(2)
Ty ~0M
~y
= yT
& definieren wir noch die "zurUckgeholte Tannach Lemma 1 in 3.5- durch die Gleichung =
und
S: ~ M × ~ - - * ~ M
fur alle
T(yT) = Ty, vgl. 3.5. mit
S(X,N):= T(VX~)
heist der zweite Fundamentalt4nsor yon ~. *) ~ber
X ~M
S ist eine bilineare Abbildung
a~, wie man sofort nachpr~ft, bemerkenswert ist die
~M-Linearit~t
im 2. Argument. Nach dem Lemma in 2.3. h~ngt S(X,N)Ip nur von den Werten N
und X ab. Daher gewinnt man sofort eine Abbildung P P wenn ~ das Normalenb~ndel yon c , vgl. 3.8.(iii).
S: T M ~ - - ~ T M ,
F~r ein festes Normalenfeld N £~0~gewinnen wir einen Tensor S N vom Typ (1,1) und eine symmetrische Bilinearform
%
auf M durch
(3)
sNx:= S(X,N)
(4)
eN(X,Y):: <SNX,Y>
, •
Die hier gegebene Beschreibung der Theorie des zweiten Fundamentaltensors verdanken wit P. Dombrowski, vgl. auch die am Schlu~ yon [ ] ( v i i ) zitierte Arbeit.
-
104
-
Die Symmetrie yon ~N wird folgenderma6en klar: Zun~chst liefern die Gleichungen (I) bis (4) zusammen mit
= O
und der Ricci-Identit~t
3.4.(2) (5)
=
Mit der Torsionsfreiheit
: -
yon ~
.
erh~it man welter
S N heist der zweite Fundamentaltensor,
-
=
~N die zweite Fundamentalform be-
z~glich N. F~r p ~ M
und u,v fMp,
w ~M~
sind in Eblicher Weise die Gr56en Sw(U) und
(u,v) definiert. Dabei ist M ~ das orthogonale Komplement von ~ M p in M~(p). P Sw: M~--~Mp ist dann ein bez~glich der Metrik von Mp selbstadjungierter Endomorphismus. Wenn
lwll = I, so hei~en die Invarianten yon S
relative W
KrGmmungsgr86en yon M in p bezGglich der Normalenrichtung w. Am wichtigsten sind die n reellen Eigenwerte von S w oder Hauptkr~mmungen vektoren der I//nge I hei~en Hauptkr~m~un~srichtun~en.
von M, Eigen-
Daraus abgeleitet
werden die mittlere Kr~mmung H w und die Gau~-Kroneckersche
Kr~mmun6 G w
yon M bez~glich w durch (6)
H := __I tr S w n w
,
G := det S w w
.
Bez~glieh einer orthonormalen Basis Vl,...,v n von Mp gilt Gw = det ~ w ( V i , V j ~ Ist die Codimension der Immersion orientiert,
& orientierungstreu
normalenfeld N l~ngs Richtung festgelegt,
I, also
dim M = n+l, und sind M und
(vgl. 7.4.),
@ auszeichnen.
so kann man global ein Einheits-
FUr p e M wird N
dab man verlangt,
dadurch in der P ( N p , ~ V l , . . . , ~ , v n) ist f~r jede po-
sitiv orientierte Basis Vl,...,v n von Mp eine positiv orientierte Basis von ~ ( p ) .
In diesem Fall bezeichnet S den zweiten Fundamentaltensor
die zweite Fundamentalform bezGglich N. zweite Fundamentaltensor
S heist dann auch einfach der
und ~ die zweite Fundamentalform
der Immersion &,
und die Invarianten yon S nennt man relative Kr~mmungsgrS~en von Die mittlere Kr~mmung H = ~-I tr S G = det S
yon
~
und die Gau6-Kroneckersche
sind differenzierbare
und
~ .
Kr~mmung
Funktionen auf M, G h~nEt f~r
gerades n nicht yon der speziellen Wahl des Einheitsnormalenfeldes
Nab,
-
lO5
-
wie man sofort sieht. Eine regul~re Kurve c: J--,M, deren normiertes Tangentialfe&d
~
fur jedes t • J HauptkrUmmungsriehtung in c(t) ist, heist
eine KrUmmungslinie. Wir gehen nun auf die Beziehung zwischen den KrUmmungstensoren vo~ M,M und dem zweiten Fundamentaltensor ein. Sie kommt in den folgenden Gleichungen zum Ausdruck, die das klassische "Theorema egregium" yon Gau~ enthalten. Dabei wird, grob gesagt,
die Differenz der intrinsecen KrUmmung yon
und M ausgedr~ckt durch die relative Krthnmung yon M in M. (Gau~-Gleichungen) Vor.
•
~: M--*~ isometrische Immersion, Codimension der Immersion
dim M ~ 2 ,
c . FUr p ~ M
m:=
dim ~ - dim M
und P NI,...,N m orthonormale Basisvektoren yon M~. BezUglich jedes N i hat man den Endomorphismus Si:= SNi yon Mp und die zweite Fundamentalform ~i:= ~Ni bezUglich N i.
seien u,v,w,z ~ M
k,~ sind die zu R,~ gehSrigen
biquadratischen Formen yon 3.6. Beh.: C
(9)
v)w
=
k(u,v)--
k(~,u,~v)+
det
~(u,v)
~(v,v
Der durch die linke Seite yon (7) gegebene Tensor heist auch "KrUmmungsdifferenztensor" der Immersion Bew.:
C.
(8) und (9) sind triviale Folgerungen yon (71. Zu (71:
Erweitere N1,...,N m lokal zu ebenfalls mit N1,...,N m bezeichneten orthonormalen Vektorfeldern in S~ und ~ e r w e i t e r n Wir zerlegen
~y~Z
~.
Erweitere u,v,w lokal zu Vektorfeldern X,Y,Z.
sich kanonisch zu Tensorfeldern. in tangentiale und normale Komponente und verwenden
Lemma 2 in 3.5.,
Kovariante Differentiation nach X liefert
-
I06
-
also
Holen wir die Tangentialkomponente zur~ck, so f o l g t mit (3) und (5)
Vertauscht
man X und Y, so ergibt sich die entsprechende
T(~y~x~Z)
' und wegen
mit der Definition
T(~[X,y]~Z)
= ~X,y]Z
des Kr~mmungstensors
o
Gleichung
fur
erhalten wir unmittelbar
und 2.5.(6)
Cg z) x
und damit ist das Lemma bewiesen. Wenn insbesondere
dim M = 2
so folgt mit (9) sofort,
und M = ~ 3
da5 Riemannsche
d.h.
M eine Fl~che im
~3,
und GauSsche Kr~mmung yon M ~ber-
einstimmen.
[]
(i)
Die einfachste
geometrische
tensors
l~t
sich fur eine isometrische
sion I geben. Ist N ein Normalenfeld tangential.
Einbettung
konstanter
Da die L~nge yon N konstant
"Kippgeschwindigkeit",
Deutung des zweiten Fundamental~ : MC~
L/nge,
ist, liefert
die letzte Interpretation,
konstanter
VyN
I//nge eine Normalkomponente
ner Einheitsnormalenvektor feld N erweitern,
so ist
~S~
=
so da~
N P •v N
(d.h. l~ngs der Inklusion
haben.
Es l ~ t
und dRm~t
folgt dann, auch geometrischen
~v
N
sich aber ein gegebe-
in p E M immer lokal zu einem Einheitsnormalenfur a l l e v ~ M p
tangential ist. Man konstru-
Y sei das Vektorfeld
l~ngs M
6 ), das man aus Np durch Parallelverschiebung
in M l~ngs der yon p ausgehenden Geod~tischen yon M gewinnt. y~ ~ in einer Umgebung yon p. Man hat ~vy~ = -- ~ y T v
Feld in
Bei hSherer Codimension
N:=
~yT
stets die
kann dann fur ein Normalenfeld
iere eine solches Feld auf folgende Weise:
da~
~X N ~X N
mit der N sich relativ zu einem parallelen
neigt, wenn man in Richtung X in M fortschreitet. versagt
der Codimen-
~,y~ tangential ist. y~ ist tangential.
Aus
v
v('YAII) =
Setze zeige weiter,
<~Y~'Y~>=
lly~l| Eine weitere MSglichkeit
Deutung des zweiten Fundamentaltensors
erh~lt man so:
der
o
107
-
-
Zu einem Vektor v G M
und einem Normalenvektor w E M & betrachte man eine P P differenzierbare Kurve c: [0,~] ----*M mit 6(0) = v sowie das bez~glich parallele Vektorfeld Y l~ngs c m i t
Y(O) = w. Man verifiziere die Glei-
chung Sw v = T ( ~ D y ~ ) ,
vergleiche
= _ T(~D~T),
~+o
dazu auch Satz 2 in 2.6.
TY(t) t
yTCt)
= - lim ist die Gecko t mit der Y aus der zu M normalen Lage herauskippt, wenn man
schwindigkeit,
in Richtung v fortschreitet. gesetzte Vorzeichenwahl (ii)
= _ lira
~SwV
Diese Interpretation kann auch eine entgegen-
f~r S motivieren.
Betrachte eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
und w~hle p a~.
~
sei ein
2-dimensionaler
und U eine Umgebung von 0 in
yon ~ diffeomorph in ~ eingebettet wird.
= ~.
Dimension n ~ 2
~, die unter der Exponentialabbildung
induzierten Metrik eine 2-dimensionale yon ~ und M
~der
linearer Unterraum yon
P exp
M:= exp(U) wird mit der aus
Riemannsche Untermannigfaltigkeit
Zeige: Die Riemannsche KrUmmung
K(p) = K ~
yon M
P in p stimmt mit der Riemannschen Kr~mmung Beachte dabei, da~ f~r
vE~
gilt
~
yon M bez~glich
~N(V,V) = ( ~ 6 ( 0 ) N , 6 ( 0 ) >
~
~berein.
= (~DNeO,6>Io
= D io = 0, wenn o(t) = exp(tv) und N ein beliebiges Normalenfeld in einer Umgebung von p in M. (iii)
Eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit
M einer Riemannschen Mannig-
faltigkeit ~ heist total geod~tisch in ~, wenn alle Geod~tischen in M auch Geod~tische in ~ sind. Zeige: M i s t alle zweiten Fundamentalformen (iv)
und ~ orientierbar.
N l~ngs
in 2.3.
Es folgt dann,
insbesondere
~: M--+M der Codimension
~, das global existiert,
S sei der zweite Fundamentaltensor
Best~tige die Codazzi-Gleichungen
(dS(X,Y),Z>
wenn
verschwinden.
Betrachte eine isometrische Immersion
und ein Einheitsnormalenfeld
~S
genau dann total geod~tisch,
= - (~(~X,~Y)~.Z,
R = O, also etwa im Falle
von
~ = ~n
symmetrisch in ~quivalenter Formulierung.
sobald M
bez~glich N.
dS(X,Y) = T ~ ( @ ~ X , L ~ Y ) N
ist die negative Normalkomponente
, vgl.
[](iv)
N > , d.h.
~(&.X,@.Y)~Z so ist
I
dS = 0
•
Wenn
oder
-
(v)
Geometrische
~08
-
Deutung der Gau~-Kroneckerschen
orientierte n-dimensionale
Kr~mmung:
M sei eine
Riemannsche Untermannigfaltigkeit
also eine orientierte Hyperfl~che.
des ~ n + l
Durch die Orientierungen yon M und ~ n + l
kSnnen wir dann, wie wir gesehen haben, ein globales Einheitsnormalenfeld N l~ngs M auszeichnen. ~:
T~n+!
~n+1
S sei der zweite Fundamentaltensor
die Projektion,
isomorph auf ~n+l abbildet. durch
F:=
Zeige,
~'2.N
~2 o~
bez~glich N,
die alle Fasern yon T ~ n+1 kanonisch
Die Gau~-Abbildung
~: M--,S n ist definiert
und heist auch "Abbildung durch parallele Normalen".
= ~,S
,
oder in etwas ungenauerer Formulierung,
nach Parallelverschiebung.
Die Gau~-Kroneckersche
Kr~mmung
ist daher das Ma~ f~r die infinitesimale Volumverzerrung
~=
S
det Sp = d e t ~ p
von M in p u n t e r
der Gau~-Abbildung. (vi)
Rotationsfl~chen
Komponenten
~1' W2
im ~3:
und
Sei ~ :
~1(t)>O
die man durch Drehung yon
~
das Bild der "periodischen"
j_.~2
f~r t ( J .
eine regul~re Kurve mit
Betrachte die Rotationsfl~che,
um die zweite Koordinatenachse Immersion
f(t~s) = ~ l ( t )
f: j ~ q _ _ _ , ~ 3
gewinnt,
mit
cos s, ~1(t) sin s, ~2(t))
Wir haben das Einheitsnormalenfeld
•
N l~ngs f mit
N(t,s) = (~12 + ~2)-~(~2(t)cos,D4of(t,s)@~2(L)sinSD~f(t~s)S sei der zweite Fundamentaltensor •
..
•
~l(t)D@'f(t~s)),
bez~glich N. Best~tige
.°
•
Die,, zeig~, f~r t oder s konstant sind die "Parameterlinien" nien der Rotationsfl~che.
Die Hauptkr~mmungen
f~r
R >r >0
~2(t) = r sin t
in R 3 eingebettet,
~
--1 ~1 = r als Hauptkr~mmungen,
'
R,r > O
und man findet =
2
f~r
Kr~im~ungsli-
ergeben sich daher zu
Der 2-dimensionale Torus T 2 wird durch Rotation der Kurve ?1(t) = R + r cos t ,
d.h.
cest R + r cos t
~
in R 3
mit abgebildet,
-
H = ~ (~1 + ~ 2 )
Io9
-
=
R + 2rcos t 2r(R + r c o s t }
als mittlere Kriimmung und G = K = ~1 ~2 ~ = als die Gau~sche positiver
und Riemannsche
Kr~mmung.
und negativer Kr~mmung.
fl~che der Kettenlinie
~
mit
cos t + r c o s t)
r(R
Veranschauliche
die Gebiete
Ein weiteres Beispiel ±st die Rotations-
~(t)
= (cosh t, t) , das "Katenoid".
Hier erh~lt man als Hauptkr~mmungen 1 cosh t
~1 =
'
1 cosh t
~2 -
Das Katenoid ist also eine Fl~che der konstanten mittleren Kr~mmung H = 0 1 (und damit eine "Minimalfl~che"), w~hrend G = K = cosh-~ ~berall negativ.
Bestimme
eine Rotationsfl~che
konstanter
negativer Gau~scher
Kr~mmung. (vii)
Berechnung
der Krt~mmungsgrS~en
eine Gleichung beschrieben sche Mannigfaltigkeit, f: ~
DR
sind:
l~ngs M.
sv
Metrik yon M eine n-dimenN:= ~Vf
yon M.
Zeige, wenn p G M
und
Folgere
,vfu
-
4 g(V,W) = U--~p hf(v'w) -
flp )
linearen Teilraums
= llVfUp
Vf))
fl~Tfllz Kr~mmungen ~ in M
P
K6,K~ yon M,M bez~glich
mit orthonormalen
Basisvek-
toren v,w : (13)
K~=
~ die
'
n JVfll
ferner f~r die Riemannschen
2-dimensionalen
ist ein
v,WaMp:
hf(Vf,v)
(Hfv
=
H
IM
S sei der zweite Fundamentaltensor,
(a z - hz( (12)
~ = ,~n+l
H die mittlere KrGmmung und G die Gauasche Kr~m-
mung yon M bezGglich N.
(11)
Riemannschen
Untermannigfaltigkeit
zweite Fundamentalform,
(1o)
Beispielen meist
Riemann-
Funktion und 0 regul~rer Wert yon f.
M:= f-l(0) ist mit der induzierten
Einheitsnormalenfeld
die durch
Sei ~ eine (n+l)-dimensionale
in praktischen
eine differenzierbare
sionale Riemannsche
fur Mannigfaltigkeiten,
~+
~ 4
det
~hf(v,w)/hf(v'v) hf(w,w)hf(v'w)~
•
des
-
110
-
Um eine explizite Formel fur die Gau~sche KrUmmung zu gewinnen, man einige Begriffe
der linearen Algebra.
der Dimension n, A: E--*E ein Endomorphismus, Polynom yon A mit dem yon
A
~(~)
das charakteristische
freien Koeffizienten
das eindeutig bestimmte Polynom mit finiert man einen Endomorphismus
(-1)ndetA
der transponierten
AV: E--~E
durch
AV:=
Matrix yon A, d.h.
~(A).
~(~) Dann de-
BezUglich
Komplemente
der Koeffizient
der Matrix yon A v ist die mit (-I) i+j multiplizierte Matrix,
und
A ~ (A) = det A - (-1) n ~ (A).
einer Basis yon E ist A v die Matrix der algebraischen toren)
benStigt
Sei E ein reeller Vektorraum
(Cofak-
~ v.. in ij der
Determinante
die man aus der Matrix yon A durch Streichen der i-ten Spalte und
j-ten Zeile gewinnt. Besitzt
E eine euklidische
Metrik
<
, >
und ist F ein (n-1)-dimensionaler
Unterraum yon E, so erh~lt man mittels der orthogonalen einen Endomorphismus
p o A: F--~F .
(14)
det ( P O A )
wenn w ein zu F orthogonaler
Es gilt dann
= ~AVw,w>
Einheitsvektor
G =
det S
=
,
ist. BerUcksichtigt
(10), so findet man fur die Gau~-Kroneckersche (15)
4 llVf@n+2
des regul~ren Wertes 0 einer differenzierbaren so hat man mit den Gradienten M = f-l(o).
~fl,...,~fm
Vf>
d.h. ist etwa M Urbild
Abbildung
explizite
l~ngs M, die man zusammen mit Formel
Formeln mit ausf~hrlicher gleichungsdefinierter
Mannigfaltigkeiten", (viii) auf mit
~n+l.
~ B p , q > = ~(p,q),
"KrUm-
Riemannscher
der DMV, 1967.
Betrachte
B sei der bezUglich
(9) ver-
Man findet
bei P. Dombrowski,
Untermannigfaltigkeiten
Jahresbericht
Einige Beispiele:
Diskussion
~m
erh~lt man m orthonor-
wenden kann, um eine zu (13) analoge Formel zu entwickeln.
mungsgrS~en
f: ~
eine Basis fur das Normalen-
Nach Orthonormalisierung
male Einheitsnormalenfelder
man jetzt
Krt~mmung yon M
Wird M durch mehr als eine Gleichung beschrieben,
b~ndel yon
Projektion P: E--,F
eine symmetrische
( ,>
Bilinearform
selbstadjungierte
f die zugeh6rige
quadratische
Endomorphismus
Form mit f(p)=~(p,p).
-
F~r einen regul~ren Wert faltigkeit
f-1(~2)
2
V f t p = 2Bp
~n+1.
,
nach kanonischer und
Hf = 2B
Ebene in M
fur
~ = <
, >
den Methoden
Mist
, dann
,
der Tangentialr~ume
det B
ap=
yon
iiBplln+ 2
,
~n+l
Basisvektoren
mit ~ n + l , v,w.
genau wenn
dann ein Ellipsoid.
l|~fi|ip = 2 ~
dieses Abschnitts
verwendet
2~
mit orthonormalen
und
Z.B. ist M die Sphere S~ 1 K d = ~ m . Best~tige auch mit
noch einmal 3.6.(24).
Da im Falle yon Fl~chen im ~ 3 stimmen,
hf=
P da~ M fin Raum positiver Kr~mmung,
Die Formel fur K ¢ zeigt, positiv definit,
,
~(v,w) @(w,w))
Identifizierung ~
Untermannig-
Zeige:
4
wenn p G M
-
yon f hat man die Riemannsche
yon
=:M
111
Gau~sche und Riemannsche
Kr~mmung Gberein-
man mit Vorteil die Formel (15) zur Berechnung
der
Riemannschen
KrUmmung. Man braucht dann keine Tangentenvektoren explizit XZ ~ ZA zu bestimmen. Verifiziere, das Ellipsoid -~L+ +'~A = S hat die Rie.. r. l L xyL z L -2 mannsche Krummung K = 4~pF(~,+-~,+-g,)] , das Hyperboloid ~ ~a .a ~ I° x A .a z ~ I_2 ~--~+ ~+ ~)J , das Paraboloid I dze Krummung K : - [=~#(~+ X ~ yA . .. XL ÷
3.8.
= o
K :
Verschiedene
÷ I)]
Anmerkun~en.
Nach einem allgemeinen Exponentialabbildung
Hinweis betrachten wir in diesem Abschnitt
in einigen Beispielen.
Insbesondere
die
erw~hnen wir da-
bei spezielle Koordinaten. (i)
Viele Uberlegungen
man die Riemannsche eine symmetrische,
positiv definite
baren Mannigfaltigkeit nicht entartet,
dieses Paragraphen
~bertragen
sich wSrtlich,
Geometrie in dem Sinne verallgemeinert,
M zu verwenden,
aber m~glicherweise
einen torsionsfrelen
Bilinearform
Zus~mmenhang,
gemeinen Relativit~tstheorie
g auf einer differenzier-
nur fordert,
indefinit.
wenn
da~ man, anstatt
g ist symmetrisch
und
Man hat dann ebenfalls
so da~ g parallel.
eine 4-dimensionale
Z.B. liegt der all-
"Lorentz-Mannigfaltigkeit"
-
zu Grunde mit symmetrischem dem Punkt p E M =
(ii)
Vs,V2,V3,V4
= 1 ,
Normalkoordinaten,
-
Fundamentaltensor
Basisvektoren
=
112
<
,
> , so dab es in je-
yon Mp gibt mit
= -1
und
fast normale Koordinaten, mit Fundamentaltensor
Zusammenhang
Exponentialabbildung
exp: T~--~M
@: ~ n
U& um 0 in
U heiBt normal in p,
R n und eine lineare Isometrie
~Mp gibt, so dab gilt:
expe6 U
&-Kugel
g und Levi-Civitayon V .
Sei p ~M. Eine Karts x um p mit Definitionsbereich wenn es eine offene
bildet U~ diffeomorph
heist dann eine "~-Kugel"
Riemannsche
auf U ab und
x = (expel| U6) -I
um p in M, die Funktionen
Normalkoordinaten.
eine normale Karte,
0ffenbar
existiert
da expp in 0 g M p maximalen
die Komponenten
gij von g und ~xJ yon ~
f~r i,j,k=l,...,n.
Um (1) zu pr~fen,
ci: (-E,E)--,U mit ci(t):= = ~e.. Andererseits = ~xi(p .
Da
a ~ ~n
um jeden Punkt p • M
Rang hat.
betrachte man die Geod~tischen
e x p @ ~ ( t e i) = exp(t~ei).
0ffenbar ist c.(O) = S hat man ci(t) = x-S(tei ), daher ~i(O) = x - ~ D i ~ ° =
C isometrisch,
ergibt sich die erste Gleichung yon (1).
sei nun c: J--bU eine Geod~tische
x @c(t)
= ta
und wegen 2.7.(3) hat man
ten wir speziell Geod~tische
mit c(t):= exp(tca).
cij(o) = p, erh~lt man mit 2.3.(5) Man verwende Normalkoordinaten
keitsaussage Dimension und
Abbildungen
zu beweisen: f,g: M--,~
•
mit
Dann
•
~aXaJ~k,c
cij: (- ~, ~)--~U
so folgt ~Ij - c . .l S + ~jk i°cij = 0 •
unter isometrischen
U, so gilt fur
bez~glich x
R
ist
.
x i nennt man auch
Ist x eine normale Karte um p G M mit Definitionsbereich
F~r
sonst.
Fermi-Koordinaten.
M Riemannsche Mannigfaltigkeit ~,
~Vs,Vs> =
= 0 . Betrach-
cij(t
Da nun f~r alle i,j=1,...,n
gilt
die zweite Gleichung in (1).
und die Invarianz nach 3.5.(12),
Sind M , ~ R i e m a n n s c h e isometrische
der Exponentialabbildung
um folgende EindeutigMannigfaltigkeiten
Abbildungen,
so gilt
gleicher
f = g, falls
-
~ 3
-
M zusammenh~ngend und ein Punkt p ~ M existiert mit f(p) = g(p) f~p = g,p.
und
Zeige dazu, die Menge der Punkte, auf denen f,f, mit g,g,
~bereinstimmen, ist offen und abgeschlossen in M. Sei p GM. Eine Karte x um p mit Definitionsbereich U heist fast normal in p, wenn (1) gilt und x(p) = 0. Eine in p normale Karte ist also fast normal. FGr praktische lokale Rechnungen leisten fast normale Karten h~ufig dasselbe wie Normalkoordinaten und sind einfacher zu gewinnen. Sei J offenes Intervall in ~
und c: J--~M eine normale Geod~tismhe.
Wir betrachten zun~chst Abbildungen
~ : ~n-~j
~TM mit:
(a)
F~r i=1,...,n-1 sind die Abbildungen X.: J--pTM mit X.(t):= l l = &(el,t) parallele Vektorfelder l~ngs c.
(b)
F~r jedes t ~ J bilden die Vektoren X1(t),...,Xn_1(t),~(t) eine orthonormale Basis yon Mc(t) und Rn'Ix~}
~ bildet jede Faser
linear in Mc(t) ab.
Es gibt Abbildungen mit den genannten Eigenschaften. Denn man erg~nze fur ein to~ J
den Vektor 8(t o) durch Vektoren Vl,...,Vn_ 1 E M c ( t )
orthonormalen Basis yon Mc( t )
zu einer
und betrachte die eindeutig ~estimmten
parallelen Vektorfelder X i m~t Xi(t o) = v i f~r i=1,...,n-1. Setze dann ~(a,t):= ~ a i X i ( t )
fur (a,t) ~ ~ ' " X J .
Eine Karte x mit Definitionsbereich U heist eine Fermi-Karte l~ngs c, wenn es eine offene
~-Kugel U£um 0 in
und eine Abbildung ~: ~ n - ~ J ~ T M
mit (a) und (b) gibt, so da~: expe~
-I bildet den Zylinder U~XJ diffeomorph auf U ab und x =(expo~l~xJ) •
U heist dann ein "~-Zylinder" l~ngs c, die Funktionen x
i
nennt man auch
Fermi-Koordinaten. Existenz von Fermi-Karten:
WHhle eine Abbildung
~: ~n-IKJ--~TM
(a) und (b). Dann gilt
~., ) , expQ~(a,t) = exp("'4aiXi(t)
ferenzierbar und wegen
expo ~(sei,t) = exp(sXi(t) )
expo~
nach ist dif-
und exp o~(0,t) = c(t)
folgt (2)
(expe~)~Di~o, t = Xi(t)
fur i=l,...,n-1. Daher hat expo~
und
fur to 6 J
(expe~)~Dnlo, t = ~(t) in (0,t o) f ~n-l~j maximalen
-
Rang und bildet also eine Umgebung einen
114
-
U~. ~ Jo
~-Zylinder l~ngs der Geod~tischen
von (0,t o) diffeomorph auf
cIJ ° ab. Lokal existieren daher
immer Fermi-Koordinaten l~ngs einer Geod~tischen. Schlie~e mit Lemma 2 in 2.8. weiter, da~ Fermi-Koordinaten l~ngs cll existieren, sobald ¢ injektiv und I kompakt. Eigenschaften yon Fermi-Koordinaten:
Ist x eine Fermi-Karte mit Defini-
tionsbereich U l~ngs der Geod~tischen c, so gilt fGr die Komponenten gij k yon g und q j yon ~ bezUglich x (3)
gij ec(t) = ~ij
fur i,j,k=l,...,n und t ~ J . (2)~_ erfUllt,_ida
~x~,t)~=
'
x -1. Di|o, t = Xi(t)
und
Wie im Beweis yon (I) erh~lt man
f~r k=1 ..... n. Weil nun cij(O) ~ c(t), hat man q k e c
fur i,j=1,...,n-l~ (~x.~X~)ec
und k=1,...,n.
= O.
= ~76(t) ~ x ~ = ~x, eC = c
f~r i=1,...,n-1
und t ~ J die Geod~tischen cij: (-2 ' 2 )'~M
cij(s):= exp(s(Xi+X j)t) .
lj ecij = O
= 0
Die erste Relation in (3) ist wegen (b) und
~ x , ~ , t ] = x ,Dn|o, t = c(t). Betrachte nun f~r i,j=1 .... ,n-1 mitF k
~~J 'kec
Ferner ist Fkecjn = ~n kj ec = O, da
Denn mit ~ ( i v )
~Dt (~xleC),
= O
in 2.5. folgt
und es sind ~xSec = X.
(~x.~X,)
ec(t) =
fGr j=l,...,n-1
und
parallele Vektor~elder l~ngs c. Damit ist die Behauptung be-
wiesen. Man konstruiere analog Fermi-Koordinaten l~ngs einer beliebigen normalen differenzierbaren Kurve c und best~tige (3), jedoch gilt dann j ec = O
im allgemeinen nicht mehr im Falle
i = j = n .
Vergleiche
hierzu auch (iii). (iii)
Die Exponentialabbildung
einer Untermannigfaltigkeit.
Die speziellen Koordinaten yon (ii) lassen sich in gewissem Sinn einer allgemeinen Konstruktion unterordnen. Sei M eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und N k-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeit, ~: N C M Inklusion. Die natUrliche Projektion Rang differenzierbar,
renzierbare Untermannigfaltigkeit in 1.6.
~:
so da~ die Einschr~nkung
Zeige, die Projektion
TM--~M ist yon maximalem ~'I(N) yon TM auf N diffe-
yon TM der Dimension n+k, vgl.[](iv)
f: ~'-I(N)---,TN auf die zu N tangentiale
-
115-
Komponente bezUglich der Riemannschen Metrik von M mit
f(v):= vv
ist
transversal regular zum Nullschnitt N in TN und damit das Normalenb~ndel y := f'l(N)
yon N in M
der Dimension n.
differenzierbare
Untermannigfaltigkeit
von Rr'l(N)
w kann man in natGrlicher Weise als VektorraumbUndel
~ber N auffassen,
die Faser Uber p m N ist das orthogonale Komplement N ~ P des Tangentialraumes N in M • Das Normalenb~ndel ~ yon N in M braucht P P global nicht trivial, d.h. kein Produkt N X 8 n-k zu sein in dem Sinne, da~ n-k linear unabh~ngige differenzierbare zu N orthogonale
Schnitte Eber N in
differenzierbare Vektorfelder l~ngs
ist das Normalenb~ndel
w
der Diagonale in
MXM
~ , also
@ existieren.
Z~B.
isomorph zum Tangential-
bEndel TM von M und insbesondere nicht trivial, wenn TM nicht trivial. Die Projektion
R'I~: T(M X M ) - - ~ T M
etwa induziert
einen Isomorphismus
Allgemeiner definiert man f~r jede Immersion ~:N--~M
w
~TM.
das NormalenbEndel
yon
~ in M als distinkte Vereinigung der orthogonalen Komplemente N ~ der P linearen Teilr~ume ~ N p in M~(p)__ und gewinnt die Struktur einer diffe-
renzierbaren Mannigfaltigkeit denn
sowie eines Vektorraumb~ndels wie vorher,
~ ist lokal eine Einbettung.
Betrachte die Exponentialabbildung Levi-Civita f~r M und exPN: ~
wM
~:=
W ~
exp: ~ - - ~ M .
yon N in M durch
des Zusammenhangs
von
Erkl~re die Exponentialabbildung
exPN:= e x p l ~
, falls N ein Punkt,
h~lt man gerade wieder die gew6hnliche Exponentialabbildung Punkt.
V
so er-
in diesem
exPN ist mit exp offenbar differenzierbar und bildet die yon O
in N l ausgehenden Strahlen in senkrecht zu N ausgehende Geod~tische in M P ab. Warum hat exPN auf dem Nullschnitt N C W maximalen Rang? Vergleiche den Satz in 2.8.
Nach Lemma 2 in 2.8. wird daher eine Umgebung yon N in
durch exPN diffeomorph auf eine Umgebung yon N in M abgebildet, abgeschlossen.
In Verallgemeinerung
wenn N
der speziellen Karten yon (ii) erh~lt
man mit exPN daher eine nat~rliche Parametrisierung yon Umgebungen l~ngs beliebiger Untermannigfaltigkeiten
N yon M, sobald man nur eine Parametri-
sierung yon N hat. (iv)
Die Exponentialabbildung
eines Zylinders.
Betrachte die Abbildung F: ~ - - - ~ l~rer Wert yon F. Der Zylinder
mit F(a):= a~ + a~ - 1 ,
0 ist regu-
C:= F'I(o) ist mit 1.6. Lemma 2 eine
-
116
-
2-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeit Zusammenhang =(coss
~. Die Sberlagerungsabbildung
, sins , t)
q:= &(p) eC yon C • q
sind
ist isometrisch,
b: ~2---*C
in 2.9.
eXpq(V) = (cos(S+So),
mit ~(s,t):=
denn fur p:= (So,t ° ) G ~ 2
w1:= ~,Dllp, w2:= ~,D21 p
Mit 3.5.(12) und ~ ( i )
yon ~ 3 mit Levi-Civita-
und
orthonormale Basisvektoren
erhalten wit fur
v = sw1+ tw 2 G C q
sin(S+So), t+to)
eXpq ist auf dem gesamten Tangentialraum Cq definiert, surjektiv und Gberall yon HSchstrang differenzierbar,
aber nicht global injektiv. Alle nicht
konstanten Geod~tischen in C sind Schraubenlinien, auf die periodische Kreislinie
die injektiv sind bis
s--,eXpq(SWl). Jeder Punkt q ' e C
l~t
sich durch beliebig lange Geod~tische mit q verbinden, (v)
Die Exponentialabbildung
eines Kegels.
Auf ~ 3 = { a ~ l a3 > 0 } betrachten wir fur ~>I die reellwertige Funk+ I tion F mit F(a):= a~ + a~ - ~ _ 1 a3 ' 0 ist regul~rer Wert von F. Den Halbkegel C:= F'I(o) kSnnen wir daher zu einer 2-dimensionalen Riemannschen Untermannigfaltigkeit hang yon C. h: U
Mit
, R 2 durch
yon R 3 machen,
~ + := {r I r > 0 }
und U:=
~7 sei der Levi-Civita-Zusammen• + X~
h(r,?):= (r cos~, r s i n ~ ) .
V:= ~ 2 _ {(s,t)~ t = 0 und s->O}
l~t
haben wir die Immersion
Auf der geschlitzten Ebene
sich eine Abbildung
~: V---~C de-
finieren durch (4)
&oh(r,~):=
f~r (r, ~) ~ ~+ X ( 0 , 2 ~ ) . gen~gt es auszurechnen,
( r cos~?,
r sinE?,
r ~-I
)
b ist surjektiv und ferner isometrisch. daS
~( &oh)~Di|p, ( ~oh).DjLp>
wenn p im Definitionsbereich yon
Dazu
= ,
&oh liegt. Falls ~(>I eine nat~rliche
Zahl, so liefert (4) fur (r, ~ ) ~ U sogar eine Uberlagerungsabbildung b: ~ - { O } - - * C
•
Wir setzen speziell
~ = 3
&(s,t) = C - s + 4 s 3 4 t~ 3 sa+t ~' t- ~ s ~ + t £ , FUr p:= (So,t o ) ~ 2 - ( 0 ~
und q:= ~ ( p ) ~ C
und erhalten 2 ~ ~ ) 3
.
sind w1:= ~Dll p, w2:=
~,D21p
orthonormale Basisvektoren yon C • Analog zu (iv) ergibt sich fur q v = sw1+ tw 2 ~ C q eXpq(V) = <-(
" ~ (s+s~3 ~ (~+te) ~ 2{~ ~ +t £~o) S+So)+J(S+So)*+(t+to )~' t+to-~(S+So)' @(t+to)*'--~' ~s+so)+(t
-
wenn
v @ A(-Sowl-toW2 ) f~r ~ 1 .
his auf eine Halbgerade, -Sowl-toW2
Geod~tischen
~(~)
c: ~--*C
~ ~(-~),
sal. Untersuche
tung der Geraden in
mit c(~):= eXpq(~Wl),
den Verlauf
82-~0}.
Kegel-
und ferner eine Immersion.
nicht injektiv.
d.h. die Geod~tische
allgemein
in Richtung
die auf die nicht zu C gehSrende
jedoch ist eXpq surjektiv
und
yon eXpq ist Cq
die yon q ausgehende Geod~tische
yon C sind im allgemeinen
s o = O, t o = 1 und
Der Definitionsbereich
ist eine Mantellinie,
spitze zul~uft,
117-
W~hlt man etwa
so
c(~
c durchschneidet
der Geod~tischen
Die
= ~(-~)
sich transver-
in C durch Betrach-
Warum gibt es keine periodischen
Geod~tischen
in C ? (vi)
Die Exponentialabbildung
Betrachte
die Riemannsche
Untermannigfaltigkeit
Levi-Civita-Zusammenhang. die differenzierbare
~e
und
und normal. ~
,
t cos ~ + ~
~e
Mit Lemma 2 in 3.5.
folgt sofort,
(i=1,...,n)
mit dem
t
. oder Gro6kreis
yon S t mit dem durch e
linearen Teilraum yon ~ n + l .
da6 c Geod~tische
des Tangentialfeldes
in M, weil die kova-
yon c in ~ n + l
senkrecht
zu M steht,
in 3-5.
Im Nordpol p = ( O , . . . , O , ~ ) ~ M
expp: Mp--~M
sin~
Das Bild yon c hei6t Meridian
2-dimensionalen
vgl.~(iv)
C ~n+1
e,~ e R n+1 hat man
mit
es ist der Durchschnitt
und ~ aufgespannten
riante Ableitung
M:= S~
Vektoren
c: [O,2~-~]--@S~
e(t):=
c ist periodisch durch
F~r orthonormale
Kurve
(5)
der Sphere S~ .
bilden die Vektoren
eine orthonormale berechnet
wi6Mp
mit ~wi:= Dil p
Basis yon M • Die Exponentialabbildung P 1 n v = a w I + ... + a w n a M p durch
sich dann mit
eXpp(V ) =
p c o s ~ ,all +
eXpp(O)
p
a ?,,a,,
sin U aU ?
f~r
v ~ O,
(6) Denn f~r jedes V ~ M p Geod~tische
:
•
ist die Kurve
c: ~ - - ~ M
mit c(t):= expp(tv)
die
mit c(O) = p und 8(0) = v, wie wir gerade gesehen haben.
eXpp ist auf dem ganzen Tangentialraum
definiert
Theorie differenzierbar,
hat insbesondere
von 0 in Mp. Man rechnet
leicht nach,
und nach der allgemeinen
HSchstrang in einer Umgebung
da~ expp f~r n >I genau dann nicht
-
maximalen n = 1
Rang hat, wenn
= ~
~vn
ist eXpp eine Immersion
N~I = ~
und
(6)
Y=q,2,...
und
Y • 0 ganze Zahl. Im Falle
und Uberlagerungsabbildung.
F~r v mMp,
hat man
expp(v) = (0 .... ,0,(-1)~)
Der Nullraum yon eXpp~ b 6 (Mp) v
~8-
,
rang eXppl v = 1
•
in v e Mp ist der reelle V e k t o r r a u m #A, p v
aller
mit (expp),b = O. Nach (6) gilt dim --J~v = n-1 f~r P dim~ v = 0 sonst. P
(7)
ItVII =
~
und
~=1,2,...
,
eXpp wickelt die yon 0 in M
ausgehenden Strahlen auf Gro~kreise in M ab. P Dabei werden die (n-1)-dimensionalen Sph~ren um 0 in M im Abstand g~r~ abP wechselnd auf Nord- und S~dpol yon M abgebildet, expp ist surjektiv, in ~v [ V { M p ,
Itvi|{~}
und [v I v { M p , Y ~ f < I v u < ( Y + l ) ~ }
Um die Exponentialabbildung w~hle man eine Isometrie also
in irgendeinem
~O(n+l)
eXpq = ~ @ eXpp, ~ £ 1 .
periodisch,
mit
~p
Insbesondere
ihre Bilder Gro~kreise
anderem Punkt q 6 M zu bekommen, = q. Dann ist nach 3.5.(12)
sind alle Geod~tischen
Nordpol p und verwenden
Auf V:= [b I b @ ~ n wir die Abbildung zk(b):=
Fall
rechnen kann, wenn
sehr einfach ist. Wir bestimmen
dazu in p fast normale Koordinaten.
d.h. im wesentlichen
ist m~hsamer
Mannigfaltigkeit
d.h.
Situation nicht
ist, zeigt es doch, wie man etwa im allgemeinen
auch dies Beispiel vergleichsweise
abbildung,
yon M auf verschiedenen
Obwohl das in der vorliegenden
einer abstrakt gegebenen Riemannschen
normale Karte,
~M
Wir wollen R jetzt noch einmal direkt bestimmen,
in lokalen Koordinaten. sehr vorteilhaft
~
oder Punkte.
Wir haben in 3.6. und 3.7. den Krthnmungstensor Wegen berechnet.
injektiv.
die Umkehrabbildung
Rim
Eine in p
der Exponential-
zu handhaben.
_~
z: V--~M
Ssin ~
z ist eine Einbettung und
-~
betrachten
mit
os_
(1~k~n)
,
z
b):= ~
os --
•
x:= z -I eine Karte yon M mit dem Definitions-
- Iq9-
bereich
[a ~ a eM, a n $ 0 oder an+ I > 0 ~ (am Aquator geschlitzte Sphere). i Die Funktionen x hei~en auch sph~rische Polarkoordinaten oder "geogra-
phische Koordinaten". Wir errechnen
~-~
gij @ z(b) = vgl.~(i)
in 3.2.
,
Fz[t 3.5.(8) ergibt sich ~x~
+
~x~
"
~x ~
und damit schlie~lich ~ijk . z ( b )
=
- ~I tg b~ ~ i(1-~i<J= k'~n) '
koz(b) C ~J
=
1--tg ~ ~Icos __ (1~k
ES ist also ~ik(p) = 0
V k
iJ °z(b) = - --tg _I _ ? b~ ~ (1-~j-i-k*n),
jSn)
oz(b) = 0
sonst.
~J
f~r den Nordpol p = (0 ..... ~) und i,j,k=l,...,n.
Setze Xk:= ~-~, • Die Vektoren Xk| p bilden eine orthonormale Basis yon Mp. x ist daher eine in p fast normale Karte, jedoch nicht normal. Dann gilt
~ Xelp R(Xi,Xj)Xkl p = . ~ R ijk
= (Di
k ez - DjqkeZ)Io
Daher
R(Xi,Xj)Xki p =
=
(
k
~-
und k
R ljkip ~ = (Xi~jk- X j q k ) i p = ~1 '
I?~ ~ ( ~ jkX lip -~ikXjlp)
--91--i(u -~u,w>v
vgl.~(i)
und mithin
in 2.3. R(u,v)w =
J
)
f~r alle
u,v,waMp,
denn die letzte Gleichung
gilt bez~glich einer speziellen Basis. Im Falle einer allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeit mu~ man eine solche Rechnung im Prinzip f~r jeden Punkt durchfUhren. Hier erh~lt man nat~rlich 3.6.(24) sofort mit der Kenntnis des Kr~{mmungstensors von M im Nordpol wegen der Homogenit~t der Sphere und 3.5.(13).
Literatur zu
§ 3 :
E. Cartan, "Lemons sur la geometrie des espaces de Riemann", Gauthier-Villars (1946), Paris. L.P. Eisenhart, "Riemannian geometry", Princeton University Press (1949).
-
120-
S. Helgason, "Differential geometry and symmetric spaces", Academic Press (1962), New York - London. S. Kobayashi und K. Nomizu, "Foundations of differential geometry I", Interscience Publishers (1963), J. Wiley & Sons, New York - London I. Singer und J. Thorpe, "Lectures on elementary topology and geometry", Scott-Foresman & Co. (1967), Glenview, Ill. T.J. Willmore, "An introduction to differential geometry", Oxford University Press (1959).
-
§ 4
4.1.
121
Extremaleigenschaften
-
yon Geod~tischen
Variationen von Geod~tischen.
Seit den Anf~ngen der Differentialgeometrie des Levi-Civita-Zusammenhangs
wei~ man,
da~ die Geod~tischen
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
M lokal
die Bogenl~nge differenzierbarer
Kurven minimalisieren,
d.h. f~r hinrei-
chend benachbarte Punkte p , q ~ M
gibt es eine Geod~tische c yon p nach q,
die kUrzer ist als alle anderen Kurven yon p nach q. Durch ein solches Variationsproblem wurde man ~berhaupt auf Geod~tische aufmerksam. ziemlich sp~t jedoch entwickelte
sich eine Variationsrechnung
Norse hat zuerst auf weittragende Konsequenzen hingewiesen, ergeben,
im GroSen,
die sich daraus
daS die Geod~tischen yon p nach q genau die Extremalen oder
"kritischen Punkte" des Bogenl~ngen~p
Erst
oder Energiefunktionals
aller st~ckweise differenzierbaren
Kurven
[O,I~-~M
auf dem Raum
von p nach q sind,
q vergleiche sein Buch unter der Literatur am Ende dieses Paragraphen. der Theorie yon Morse zeigt sich, da~ die Topologie v o n ~ q ~
In
und damit in
gewissem Sinn auch die Topologie yon M bestimmt ist allein durch die Geod~tischen yon p nach q und ihre zweite Variation,
sofern M vollst~ndig ist
und p,q geignet gew~hlt werden, vgl. insbesondere auch 7.6. Die wichtige Formel f~r die zwelte Variation enth~lt implizit die Schnittkr~mmung,
und darauf bauen direkt oder indirekt die st~rksten bisher be-
kannten Resultate ~ber Beziehungen Mist
in diesem Paragraphen eine n-dimensionale
keit mit dem Zus~mmenhang Sei
zwischen Kr~mmung und Topologie auf.
c:[=,~]--~M
um 0 in ~ .
V
Riemannsche Mannigfaltig-
von Levi-Civita.
eine differenzierbare
Kurve, J ein offenes Intervall
Eine Variation (oder Homotopie) yon c ist eine differenzier-
bare Abbildung
V:~,~]XJ--~M
V heist eigentlich, Vi:[a,~]--~M = V(t,g), und
mit V(t,0) = c(t) f~r alle t£~,~],
wenn gilt V(a,~) = c(~) und V(#,g) = c(#)
f~r alle EgJ.
bezeichne die Nachbarkurve yon c der Variation V mit L: J
~sei
die Abbildung mit
L(g):= L(V%),
Vg(t):=
die also
die L~nge der Kurve V5 zuordnet. Die erste Herleitung der Gleichung (2)
-
122
-
im folgenden Satz wurde yon Synge gegeben. ("Die erste und zweite Variation der Bogenl~nge") Vor. :
c:[~+@]--~M normale Geod~tische, V:~,~3 xJ---~M Variation yon c. Seien X,Y G ~ V die Vektorfelder l~ngs V mit X:= V@D I u n d Erkl~re
Beh.:
Y:= V~D 2.
~eg~ V durch ~:= Y - < Y , X > X .
Die Bogenl~ngenfunktion L yon V ist in einer Umgebung yon 0 in J differenzierbar,
und es gilt: I
(I)
L'(O)
(2)
L,,(o)= ~(-
= ~Y,X>it,ol~, ,
~(Y,x)x,Y>)it, ° dt
+ < VDY
'x>lt, o
Ist V eine eigentliche Variation yon o, so gilt:
Bew • :
(3)
L'(O) = 0
(4)
L"(O) = f ( < ~ D 4 ~ ,
Es ist
L(£) =
, VD4~>
- )jt,odt
#IIX(t,E)II dt .
und da IlXll stetig und Z~,~]
Da X EgD V
.
und |X(t,O)n = llS(t)U = I
kompakt, gibt es eine Umgebung J
yon O in J, O
so dab lIXll in
[ ~ , ~ I X J ° nicht verschwindet.
Dann ist L auf Jo differen-
zierbar, und es gilt fur ( ~ J o
L'(~)
~ D z < X , X> |+,I dt = q211X(t,~.)ll
nach der Ricci-Identit~t,
f<~Y~X, X >le,Idt
vgl. 3.4.(2). Nun ist ~
wir haben wegen 2.5.(5) und [DI,D2] = 0 so dab
,
= Jilx(t,()m
torsionsfrei
die Gleichung
*)~, und
~DAV, D1 = ~D+V~D2,
j
(.,,
(5)
L'(() = J l | X ( t , E ) l l
dt
•
e~
Ferner gilt (6) und daher
VD4XIt,o =
~D61t = 0
It,o = DI |t,o" AuBerdem ist UX(t,O)I| = 1, also
~J Beim Beweis wird nur ausgenutzt, dab der Torsionstensor orthogonal ist, also der Bedingung ( T ( A , B ) , B > = 0 gen~gt, da dann 4~nVwD~,V~DI> = = < V D V , D2,V~DI> • Vergleiche hierzu auch AL~(ii) in 3.5.~A "
- ~23-
also
L'(O) = it,ol,,~ womit (I) bewiesen ist.
Zu (2): D2
Mit (5) erh~It man
<~Y,X> qXl|
_
findet man
+ X,
D2
u Xll
= C
+ 2X>+
VD4X>)it, O = ( < V D 7, V D ~ > +
[t,o
~D4X|t,o =
<~ZD~~'X>~t,o = D1<~'X>It o = 0 wegen ~,X>it,o = 0,
und
VD V>it, o + < % 4 y , x > 2| t , o "
Nun ist
Zusammen mit (6)
~ZD4Xit,o = D I Xlt,o +
so da~ ~ V D Y, % , Y > | t , o
f -<~'o,Y,X> ~ dt • ~D2( lJXlJ 2|t,E
+ ~VD, Y,V@~X>=- <~%Y'X>*. I!XIJ l XU ~
= DI Xit,o
=
L"(£) =
= ~<~D
Damit ergibt sich
~ D Y' X > + ~ V D / ,
2
(D1 )2~X'X> )|t,o =
I
VDl~>)%t,o
, so da~
A
L"(O)
= ~<~D2~DI
Y'X> + <~D17' V D I Y > ) I t , o d t
•
o@
[DI,D2] : 0
Nun
also
(6) gilt < V D ~ D Y'X>it 1~ 2 ,O
-
Y)Y : -VD VD2Y ÷ VD2 DI I = Dlit,o , so daS
' una weg,n
Mit 3.6.(4) erh~lt man hieraus die Synge-Formel (2). Ist V eine eigentliche Variation, so hat man, da V(~,&) = c(~) und V(#,a) = c(~) fur alle
aeJ,
= Y(~,~) = O. Deshalb folgt
V~D2t~ ~ = Y(~,E) = O ~ZD2 Y i~,o =
und
V@D2i~,a =
~D 2Y |~,o = O, womit auch (3) und
(4) bewiesen sind. Sei I:=
[~,~]
und c: I---*M eine differenzierbare Kurve. Eine stUckweise
differenzierbare Kurve Y: I----TM mit :v-Y = c heist ein st~ckweise glattes Vektorfeld l~ngs c. Es gibt dann also eine endliche Menge I ° innerer Punkte in I, so da~ Y auf durch Y'(t):= auf I. so
VDY (t)
fur
I - I ° differenzierbar ist. Erkl~re Y': I--~TM t ~I-I o und erweitere Y' von links stetig
Y' ist nicht notwendig stetig in Punkten yon I o. Wenn
Y' = ~ZDY~gDc.
Y*39 c,
Die Menge der stUckweise glatten Vektorfelder l~ngs c
bildet einen ~-Vektorraum,
der ~ c als Unterraum umfa~t.
-
124-
Sei c: I--.M differenzierbare Kurve, J offenes Intervall um 0 in Eine stetige Abbildung
V: I × J
~.
; M heist eine gebrochene Variation
yon c, wenn es eine nat~rliche Zahl k und reelle Zahlen ~ = : ~ < . . . < ~ . : = # gibt, so da~ f~r
~=1,...,k
und
I~:= [~.,,~] die Abbildungen
Variationen yon cII~ sind. Die Nachbarkurven Variation V yon c sind wegen der S t e ~ k e i t zierbar. Bezeichnet
L~: J
die L/ngenfunktion renzierbar,
~
L:= ~ L .
sobald alle
V~: I--~M
VII~J
der gebrochenen
yon V dann st~ckweise differen-
die L/ngenfunktion von
V~I~ xJ, so ist
von V auf einer Umgebung von 0 in J diffe-
c~I w regul~re Kurven, da dann jedes L~ in einer
Umgebung yon 0 in J differenzierbar. Man erkl~rt eine stetige Abbildung VeD2: I X J---.TM VlI~ ~ J ( ~ , ~ )
durch
V~D21t, ~ := (VII. ~J)e D21t, &
= VII.~, ~ J ( ~ , ~ )
Y(t):= V~D21t, °
fGr
f~r t e I~, denn
w =I,...,k-I. Dann ist
Y: I--~TM
mit wir
X~:= ( V I I ~ D I
ein st~ckweise glattes Vektorfeld l~ngs c. Setzen
mit
Y~ := Y~- X~ nach (I) und (2), wenn c eine normale Geod~tische
,
Y.:= (VII,"~.D2
f~r
w=1,...,k
,
so gilt also
ist, L'(O) L"(O)
:
~:,
:
(
~.rkl~r.
t,o V @_,
. > - < R ( Y m , X . IX.,Y~>)Jt,odt
Y.:= ~ - ~y,a>~.
~.s i s t
VDAY~I2.,t =
V'D ~ . l t , ° -- Y ± ' ( t )
Y'l¥,,t
X~it, o = ~(t). Ferner hat man also
+ < V D Y.,X.~t,o
2
--4
~TDAY~.~,I~.,a •
L'(O) =
(8)
L"(O) =
I'
Y-*,l~,,,t
t~(~._,,~.)
f~r ~=I,...,k-I
und ,
zu
,
J( -)it
Falls V eigentlich ist, gilt
Y(~) : Y(~) = 0
und
~ZDzYII~,° = 0 sowie
l~,e VDaYk
= 0, also (3) und (4) entsprechend =
0
~,
Daher haben wir (I) und (2) f~r gebrochene
Variationen l~ngs c verallgemeinert (7)
:
f~r
I'?
(9)
,T, ~ , ~
,
(Io)
T.,,(o) = f(-)itat
Mit den Eigenschaften des Kr/mmungstensors folgt sofort
,
=
•
-
=
•
~ 5
F~r die Berechnung
-
der IntegralausdrHcke
Formeln (8) und (10) spielt also nur die zu 8 orthogonale
in den SyngeKomponente
von Y eine Rolle. Wir ~berl~gen
noch,
da~ sich jedes st~ckweise
einer differenzierbaren tion lings c gewinnen
Kurve
c:[~,~]
,M
Y, indem man fGr jedes t E [ ~ , ~ ]
Richtung Y(t) ausgehende
Geoditische
betrachtet.
stetig, kann man ein offenes Intervall im Definitionsbereich ~
[~,~]xJ.
Definiere
V(t,&):=
V ist eine gebrochene
(i)
Variation
,M
exp(tY(t))
yon c mit
kompakt und Y
finden,
exp yon ~
so da5
£Y(t)
liegt fur alle
durch •
lings c, und es gilt
V~D2|t, ° = Y(t).
f) Wenn p,q E M, so kann man aus dem Wegeraum J~pq aller st~ck-
weise differenzierbaren Weise eine unendlich struieren.
V:[~,~] ~ J
~
Varia-
die yon c(t) in
Da [ ~ , ~
J um 0 in
der Exponentialabbildung
(11)
[]
aus einer gebrochenen
li~t. Man erh~lt kanonisch Variationen
dem "Variationsvektor"
(t,()
glatte Vektorfeld Y l~ngs
Kurven
[0,1~--*M
dimensionale
yon p nach q in natUrlicher
differenzierbare
Dann sind f~r eine differenzierbare
weise glatten Vektorfelder
l~ngs c
Mannigfaltigkeit
Kurve c i n ~ p q
-Tangentenvektoren"
kon-
die stuck-
im Punkt c, eine
eigentliche Variation V yon c ist ein ,,differenzierbarer
Weg" durch den
Punkt c und das Variationsfeld
In einer Umge-
V,D 2 sein Tangentialfeld.
bung der regul~ren Kurve c g ~ p q zierbar,
und L'(0),L"(0)
l~ngs des Weges V i m (ii)
°
&
E(c):= T~acu tdt
zu L die Funktion
differenzierbare
.
dle E n e r ~ e
Geod~tischen
differen-
yon c.
Kurve,
so heist die
Sei c differenzierbar
gebrochene Variation yon c. Dann betrachte man analog E: J
,~,
so da~ E(~) die Energie
E ist offenbar immer differenzierbar, nicht regular.
~
Punkte c, siehe auch 7.6.
!
V:(~,~lxJ--PM
L:~pq
sind gerade erste und zweite Ableitung yon L
Wenn c:~,~l--~M~ st~ckweise
reelle Zahl und
ist die Bogenl~nge
Berechne E'(o),E"(o)
der Kurve V L.
nicht notwendig aber L, sobald c fur eine eigentliche Variation V einer
c. Zeige, wenn c differenzierbare
(regul~re)
Kurve und
-
E'(O) = 0
(L'(O) = O)
die "Eulerschen tische.
-
fur jede eigentliche
Gleichungen"
Berechne
Bogenl~nge
126
~D 8 = 0
dazu allgemein
E'(O),
Variation V yon c, so mUssen
erf~llt sein, und c ist Geod~L'(0) und verwende
(11).
und Energie haben also die gleichen Extremalen,
n~mlich
Geod~tische. (iii)
Sei c:~,~]--~M
Kr~mmung,
so
L"> 0
normale Geod~tische. fur jede eigentliche
Wenn M ein R a u m n e g a t i v e r
Variation V yon c, alle hinrei-
chend nahen Nachbarkurven
yon c sind l~nger als c.
leles Feld Y l~ngs c m i t
< Y , ~ > = O, Ityq = 1
Richtung Y g e m ~
(11).
Ist
Betrachte
ein paral-
und eine Variation V in
~(t) die yon Y(t),~(t)
aufgespannte
Ebene
in Mc(t) , dann folgt nach (7) und (8) (12)
L'(0) = 0
,
U'(0) = -
In Richtung l~ngs c paralleler staucht), (iv)
Geod~tischen
wenn M ein Raum negativer
Sind M 1 ,M 2 Riemannsche
eine gebrochene Variation
sein, die senkrecht
und
w E(M2)c(~) ,
hat man also
V gebrochene
l~ngs
und
solcher Variationen,
also
Sei nun c normale Geod~tische
und <~(~),v> = < ~ ( # ) , w > = 0
L'(0) = 0
~M
V l~ngs M 1 und M2, so mu~ c Geod~tische
steht auf M 1 und M 2.
mit c(~)e MI, c ( ~ ) ~ M 2
von M, so heiBt V
Kurve c:[m,~l
V~ yon c gilt V ~ ( ~ ) 6 M 1
Zeige, ist c regular und Extremale
(ge-
Kr~mmung.
Untermannigfaltigkeiten
der differenzierbaren
L'(O) = 0 fur alle Variationen
.
wird c also gestreckt
(positiver)
M 1 und M2, wenn fur alle Nachbarkurven VE(~) ~ M 2.
_ J K ~ t ) dt
fur alle
v ~(M1)c(~)
Variation yon c l~ngs M 1 und M 2.
und mit dem st~ckweise
Dann
glatten Feld Y l~ngs c
wie in (8) (13)
wobei
~,
L"(0) =
~2
J(-
die zweiten Fundamentalformen
lich der Normalenvektoren lokales Normalenfeld Identit~t
~R(Y,6)c,Y>)|t
~(a),~(~),
N zu M~ mit N - - = 8(~),
<~V.DDj[2'N>I#,~^ = -/~V@D2' ~ D ~ N ~ o
+
yon M1,M 2 in c(~),c(~)
vgl. 3.7.
c(A)
dt
Betrachtet
bsz~g-
man etwa ein
so folgt mit der Ricci-
= - ~2
-
127
-
ergibt sich unmittelbar aus (8). Die zweite Variation der Bogenl~nge h~ngt also in diesem Falle wesentlich yon den Randtermen in (13) ab, die durch das relative Kr~mmungsverhalten
yon M1,M 2 in Richtung des Variationsvek-
tors bestimmt werden.
4.2.
Jacobifelder.
Wir wenden uns jetzt den "Jacobischen
Differentialgleichungen"
Extremale des vorliegenden Variationsproblems
der Bogenl~nge
gewissem Sinne ausgezeichnete Variationsvektoren
einer zu, die in
mit extremaler zweiter
Variation darstellen, wie wir bald sehen werden. Ist c: J--*M eine differenzierbare
Kurve und Y ein Vektorfeld l~ngs c,
so schreiben wir von nun an auch Y' fur Sei c: J--~M eine Geod~tische. feld
YE~
(~)
raumes VD6
Y,, +
=
FUr ~ E ~
.
~6
ein Jacobifeld l~ngs c, da
so ist
) =
-
Gibt es
von 3.6. ~,~mJ
nit
Insbesondere ~Y,6>I
Ebenso ist
gibt mit
stant und daher
~Y,6>=
l~ =
kon-
+ - < Y ' , X ' > - < Y , X " >
<X",Y> = - ~R(Y,5)6,X> + ~R(X,~)6,Y> = 0
und
~Y',c>
< Y ' , 6 > | ~ = O, so
Uberlegung hat man
0 = =
O, sobald es zwei verschiedene
< Y , c > l ~ = O. Denn
D(Y,~>
=
Zahlen ist kon-
< Y , ~ > eine lineare Funktion.
Wir Gberlegen jetzt, daS (1) lokal ~quivalent ist mit einem linearen System gew~hnlicher Differentialgleichungen
=
auf Grund der
folgt fur X:= 6, da5
= 0
= 0, denn nach der vorangegangenen
= D. ~,~CJ
o
Sind X,Y m~c'
D(-
KrUmmungsidentit~ten konstant.
=
ist offensichtlich
und R(6,6)6 = O.
denn
-
R(z,6)&
2c der Jacobifelder lings c ist ein Unterraum des ~ - V e k t o r -
~@c"
= O
stant,
Ein Jacobifeld l~ngs c ist ein Vektor-
mit
c
Die Menge
~ D Y.
2. Ordnung.
-
128
-
(Existenz umd Eindeutigkeit yon Jacobifeldern) Vor.:
c : J-~M
Beh.:
Es gibt genau ein Jacobifeld
Y
(2)
Y'(t o) = w
Bew.:
Geod~tische,
tom J
Y(t o) = v
,
Betrachte parallele Felder
Xl~t ,... , Xnlto Xll t ,..., Xnlt
und
v, w m Me(to )
l~ngs
c mit .
XS,...,X n
eine orthonormale Basis yon orthonormal fur alle
t ~J
,
l~ngs
c , so da6
Me(t@ ) bilden.
Dann sind
und f~r jedes Feld
Y ~
hat man
wobei
~i
=
~Y, X i ~
#J .
Weil X i
parallel ist, ergibt sieh fur die
erste und zweite Ableitung yon Y , °
Y , :
,
k"l .
Ferner kSnnen wir den KrUmmungsterm in (1) bezUglich der Basis ausdrUcken.
R(Xi, ~)~ mit
k a. =
XS,...,X n
Zun~chst ist
~R(Xi,c)c,
Xk~
~
=
a ki X k
E#J.
Dann erh~it man mit (3)
l
(6)
R(Y,&)~
=
~f~a
Xk
•
i,k+i
Die Jacobigleichung (I) nimmt jetzt die Gestalt an: (1')
(DD~k
+
~
W i a ki ) Xk
=
0
Damit ist (S) ~quivalent mit dem homogenen System von n Differentialgleichungen (7)
Do
~k
linearen
zweiter Ordnung +
~ )oi ak
=
0
,
k=l,...,n
•
-
129-
Wie Hblich fUhrt man das System (7) auf ein System yon 2n linearen Differentialgleichungen erster Ordnung zurUck, indem man setzt Nach (2) sell
¥(t o)
v
nun
Y(to) = v
gelten
und
Y'(t O) = w ,
)xk,t..
:
~n+k:= D ~k •
also mit (~) ,
, . ( t o) = - -
k(to)xkJto Differential-
HAeraus e r g e b e n s i e h d i e A n f a n g s w e r t e fur d s s r e d u z i e r t e
gleichungssytem e r s t e r Ordnung, ~k(t o) = ~ v ,
Xk[t~
,
~ n + k ( t o) = ~ w ,
Xk~t2
,
k = 1 .... ,n
Zu diesen Anfangswerten gibt es nun zun~chst genau ein lokales L6sungssystem yon Funktionen
~k, ~n+k ~ ~j mit J C J, vgl. 8.4. Well das o o ~ k ~n+k System nun linear ist, lassen sich die eindeutig zu LSsungen
in
~J erweitern.
Sei c: J---*M eine Geod~tische. Dann hat der
~-Vektorraum
~c der Jacobi-
felder l~ngs c die Dimension 2n. Dies folgt unmittelbar aus dem letzten Lemma. Die Menge der Jacobifelder,
die in to ~ J verschwinden,
bar einen n-dimensionalen Unterraum yon
[
]
(i)
Verallgemeinere den Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Abschnitts und aus 2.6. in folgender Weise: faltigkeit mit linearem Zusammenhang Kurve,
~,
c:'J
X G~/~c Vektorfeld l~ngs c.
Vo,...,Vr_ 1 ~ M c ( t e )
gibt es genau ein Vektorfeld
) = v f~r i=O,...,r-1 o i variante Ableitung yon Y.
Y(i)(t
M = ~n,
c: j___,~n
Bestimme a,b E ~ n , A:= ~ a i D l o c .
differenzierbare
und
Y g~c
mit
= X
Dabei bezeichnet y(i) die i-te ko-
Da R = O, werden alle Jacobifelder!
Y" = 0. W~hle t o ~ J
und v , w g M c ( t o ) •
so da~ f~r die parallelen Vektorfelder A,B l~ngs c und
Jacobi£eld Y l~ngs c m i t durch
•
Gecd~tische.
l~ngs c nach (1) gegeben durch
mit
~M
Zu t o ~ J
BrY(r) + Br_lY(r-1)+ ... + BIY, + BoY
(ii)
dieses
M differenzierbare Mannig-
Bo,B1,...,Br Tensorfelder vom Typ (1,1) auf M (oder l~ngs c) mit
(det Br)OC @ O,
und
bilden offen-
~c"
B:= ~..~biD'°cl gilt Y(t o) = v, Y'(t o) = w
v = A(to), w = B(t o) •
Das
ist linear in A,B gegeben
-
(8)
13o
-
Y(t):= (t-to)B(t) + A(t)
•
0der, die gleiche Situation in etwas allgemeinerer Formulierung: E n-dimensionaler reeller Vektorraum mit euklidischer Metrik und zugeh6rigem Levi-Civita-Zusammenhang, hende Strahl
~: ~0,~]
~E
lineare Vektorfeld B l~ngs
mit
v,w ~ E.
Dann ist der yon 0 ~ E
ausge-
Geod~tische in E und das
~(t):= tv
~ m it B(t):= t ~tv w
(9)
~u: E--,E u der kano-
das Jacobifeld mit B(O) = 0 und B'(O) = ~ w
,
wenn
nische Isomorphismus yon 1.4.(5) fur u ( E .
Das Feld
t --* ~tv w
ist
parallel. (iii)
Sei
dim M = 2,
l~ngs c mit
~X,6~ = 0
c: J--,M und
normale Geod~tische, X paralleles Feld
UXll = 1 ,
t E J •
F~r die Jacobifelder Y
O
l~ngs c mit
~Y,8> = 0
gilt also
Y = ~'X
mit
~ = ~Y,X~
~ ~J, und daher
ist (I) in diesem Fall ~quivalent mit der klassischen gewShnlichen Jacobischen Differentialgleichung yon Geod~tischen auf Fl~chen, (10) wobei
~"
+ K~
= 0
,
K(t) die GauSsche oder Riemannsche KrUmmung der Fl~che im Punkt c(t).
In (10) liegt die Gleichung einer unged~mpften Schwingung vor, die L6sungen verhalten sich oszillEtorisch fur fur
K~-O.
K ~ ~ > 0, nicht-oszillatorisch
Gib die allgemeine L~sung yon (10) an f~r Fl~chen konstanter
KrGmmung. (iv)
M = S~,
W~hle
v,w~M
Y(O):= w.
c: [ 0 , ~ ]
,M normale Geod~tisehe, p:= o(O), u:= ~(0).
. Seien X,Y die parallelen Vektorfelder l~ngs c mit X(O):=~v, P Falls 4 v , u > = ~ w , u > = O, folgt fur das Jacobifeld Z l~ngs c
mit Z(O) = v und Z'(O) = w (11)
Z(t) =
t ~Y(t) sin V
+ ~X(t)
t cos V
•
t t Da n~mlich X'= Y'= O, hat man Z'(t) = Y ( t ) c o s ~ - X(t)sin~ und Z"(t) = 1 . t 1 t Y(t) s~.,.,.T =¥ X(t) oos..T . Mit 3 . 6 . (24) folgt z,, + R(z,~)~ = o •
131
-
Ferner ist Z(0) =~X(0) = v
und
-
Z'(0) = Y(0) = w. Beliebige Anfangswerte
v,w spalte man auf in zu c tangentiale Komponenten vT,w v Komponenten
v~,w ~ .
v ~ = v - v T,
Man hat also
w ~ = w - wT .
Jacobifeld Z ~
nach (11).
Z'(0):= w
w v = 4w,u~ u
ZT(t):=
ist das Jacobifeld l~ngs c m i t
ZT(0) = vT und
Das Jacobifeld Z l~ngs c mit den Anfangswerten
wird dann gegeben durch
und
v&,w ~ bestimme man das
Das Vektorfeld ZT l~ngs c mit
= < w , u > t~(t) + { v , u > ~(t) Zr'(0) = w ~.
vT = gv,u> u ,
Zu den Anfangswerten
und orthogonale
Z:= Z ~ + Z ~ •
Z(0):= v,
Im folgenden sind aber
stets nur zu ~ orthogonale Jacobifelder yon Bedeutung. (v)
Da~ sich die Jacobifelder in den Beispielen
explizit berechnen lassen, liegt daran, dab sind, vgl. [ ] ( v i i )
in 3.6.
normale Geod~tische,
(1) in n gew6hnliche fizienten.
(ii) und (iv) so einfach und S~ symmetrische R~ume
Ist allgemein M lokal symmetrische n-dimen-
sionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, c: J--*M
~n
d.h.
R parallel oder
~R
= 0, und
so zerf~llt das Differentialgleichungssystem
lineare Di£ferentialgleichungen
mit konstanten Koef-
FUr p g M und v,w • M p ist der Endomorphismus
v---,R(v,w)w
von M nach den KrUmmungsidentit~ten selbstadjungiert bez~glich der RieP mannschen Metrik. Wenn t o £ J , p = c(t o) und Vl,...,v n orthonormale Eigenvektoren
dieses KrUmmungsendomorphismus
zu den Eigenwerten
~I ''''' ~ n
fur w = 8(t o) mit v n = 8(t o)
~ n = 0, so betrachte man die paral-
mit
lelen Felder X1,...,X n l~ngs c mit Xi(t o) = v i. R(Xi,~)~
parallel l~ngs c, daher
Y = ~ , ~iXi
l~ngs c,
~i:=
R(Xi,~)~ =
Weil R parallel,
~iXi
•
so
Das Vektorfeld
< Y,Xi~ g fJ, ist nach (1) genau dann Jacobi-
feld, wenn
(12)
÷~ + h i ' i = °
Die Eigenwerte
~.
i=l~oeo~n
sind offenbar die Schnittkr~mmungen
•
K~i(t), wobei
l
~i(t)
die yon den Eigenvektoren Xi(t) und ~(t) aufgespannten Ebenen in
Mc(t) ,
l~i~n-1,
sinh~t
,
fur
~i>O
t ~J.
cosh ~ t
sowie
1,t
Fundamentalsysteme f~r
fur
~i < 0
~ i = 0.
und
yon LSsungen in (12) sind
sin ~ i
t ,
cos ~ i
t
-
4.3.
Konjugierte
~32
Punkte.
In diesem Abschnitt
bringen wir Jacobifelder
in eine wichtige Beziehung.
von c Geod~tische
c:
[0,~)
~M Geod~tische,
kansnischen
in
~
p:= c(O) und v , w ~ M
F~r
Y:
(q)
Y(t):: e X p p t
[O,~J
~TM
mit ~tv w
l~ngs c mit Y(O) = 0 und Y'(O) = w •
f~r ein hinreichend
die Variation
V:
(2)
[O,~1 x j V(t,()::
Wir haben Vektorfelder
kleines
X,~ l~ngs V durch X:= V~D I und ~:= V.D 2. ~ t
wir
= V.D2|t, ~ = e X p p . ~ t ( v + g w ) t W
f~r alle F~r
~ ~J
daher auch =
t g [O,~J •
Nun ist
ist 4:[O'~J
.M
,
~D~D4X
= 8(t) gilt dann
R(~,X)X =
Isomorphismus
erhalten
so da~
~FDZDIX-
eine Geodgtische,
= O. Au~erdem hat man vergleiche
frei ist. Daher ergibt sich
da
des kanonischen
der
Y(t) : ~(t,O) = V.D2|t, o
~D4~DIV. D2 = ~D4~FDI~,
ist
J um 0
exp(t(v + ~w))
und nach Definition
(3)
offenes Intervall
~ M yon c mit
Kettenregel ~(t,g)
mit v:= ~(0), P ~u: Mp--~(Mp)u den
u (Mp bezeichnet
Die Abbildung
Betrachte
l~ngs einer Geod~-
so da~ alle Nachbarkurven
Isomorphismus.
ist das Jacobifeld Bew.:
gewonnen,
sind.
also c(t) = exp(tv).
Beh.:
und die Exponentialabbildung
Dabei werden Jacobifelder
tischen c aus speziellen Variationen
Vor. :
-
~D4~D X, da [Dq,D2] = 0 .
also gilt ~D4~DmX
2.5.(5)und
=
~FD4X = 0 ~DI~FDmV~DI
beachte,
dag ~
und Y'(O) =
V~DILt, $ = e X p p 2 t ( v + E w ) V + g W
Damit ist das Lemma bewiesen.
=
torsions-
~D4~DI~ + R(~,X)X = O. Wegen (3) und X(t,O)
Y" + R(Y,~)~ = O, Y ist also ein Jacobifeld.
Y(O) = V~D2|o, ° = O
und
und
~D4V~D2Lo, ° =
Welter
~D~V~D1|o,o
V~DI|o, ~ = eXpp~°~ o v+Ew
=
= w , = v + gw
.
-
133
-
Ist c: J--,M Geod~tische, so nennt man to und t I in J konjugiert bez~glich c, wenn es ein nicht identisch verschwindendes Jacobifeld Y lgngs c glbt mit Y(t o) = 0 und Y(t I) ~ O.
Sind to,t I~ J verschieden und nicht
konjugiert bezGglich c, so gibt es zu V E M c ( t ^ ), W g M c ( t l ) Jacobifeld Y l~ngs c m i t Abbildung
~:
Y(t o) = v
~c----,Mc(to)XMc(tl )
und Y(tl~ = w. mit
Denn die lineare
~ Y : = (Y(to),Y(tl))
injektiv, weil es kein vom Nullfeld verschiedenes Feld ~Y
tI (J
ist dann
Y E ~c
= (0,0) gibt, und aus Dimensionsgr~nden folgt, daS ~
und
genau ein
mit
Isomorphismus.
heist auch einfach ein konjugierter Punkt yon c, falls J = [~,~] to:= ~- ,t I
konjugiert bez~glich c. Konjugierte Punkte yon Geod~-
tischen lassen sich nun durch die Exponentialabbildung kennzeichnen.
Vor. :
c:
~O,~--~M Geod~tische,
Sei ~ 4
p:= c(O), t I ~(0,~], u:= tlc(0)6Mp.
der ~-Vektorraum aller Jacobifelder Y l~ngs c mit
Y(O) = Y(t 1) = 0
und~p u
eXpp~ in u, also
der Nullraum yon
e x p p b = O.
der Unterratu~ aller Vektoren b in (Mp) u mit Beh.:
Es gilt .
Bew.:
Mit dem kanonischen Isomorphismus
lineare Abbildung ~ : ist
vc--'*J|P~t4 A m " durch
0 = Y(tl) = eXpp~tl~uY'(O), also
~u: Mp ~Y:=
~(Mp) u
UuY'(0).
~uY'(O)E~
haben wit eine Denn nach (1)
, da t I @ O.
ist injektiv und nach dem Eindeutigkeitssatz fur Jacobifelder auch surjektiv, denn wenn
b E~4~,
so folgt fGr das Jacobifeld Y l~ngs c
mit Y(O) = 0 und Y'(O):= ~ u ~
wegen ( 1 ) a l s o
= tleXpp b = O, daher
und offenbar
Y E~'
Y(t 1) = eXppNtlb = ~Y
= b.
~ ist mithin ein
Isomorphismus, und wir haben (4) bewiesen. Sei c: [O,~J ---~M Geod~tische, p:= c(O), v:= ~(0). Es gilt also c(t) = ~exp(tv). Nach dem Satz ist t I ~ ( 0 , ~
genau dann konjugierter Punkt yon c,
wenn der Rang der Exponentialabbildung eXpp in u:= tlv
nicht maximal, d.h.
u kritischer Punkt yon eXpp ist. In einer Umgebung yon 0 in Mp hat eXpp HSchstrang auf Grund des Satzes in 2.8.
Daher gibt es eine Zahl
/*20,
134-
-
so da5 alle yon p ausgehenden normalen Geod~tischen
[O,/~]--~M
keine
konjugierten Punkte haben. Insbesondere hat jedes nicht identisch verschwindende Jacobifeld Y l~ngs c nur endlich viele Nullstellen,
denn sonst
h~tten die Nullstellen einen H~ufungspunkt ~ in dem kompakten Intervall [0,~]
mit Y(~) = O, im Widerspruch
zur letzten Uberlegung,
fur den Punkt c(~), vgl. auch ~ ( i v ) .
angewendet
Wit werden in 4.6. sehen,
da~ c
Uberhaupt nur endlich viele konjugierte Punkte haben kann, d.h. die kritischen Punkte yon eXpp liegen auf jedem yon O in Mp ausgehenden isoliert.
Ist t I konjugierter Punkt yon c, so heist die Zahl
dim.hpu ~
=
[]
(i)
n-1
in (4) die Multiplizit~t
exp(t~)
~(0)
verwenden,
~
=
.
speziell die Kurve
~O,~] XJ---~M
mit
V(t,~):=
wenn J hinreichend kleines offenes Intervall
~:
differenzierbare Kurve mit ?(0) = ~ v , P Denn dann ist V~D21t, ° = eXpp,t UtvW = Y(t), wir hatten 6--.~(v+~w)
~0,#]---~ Mp
mit
gew~hlt. Wir bemerken noch folgendes: ~(t):= tv
kanonischen Levi-Civita-Zusammenhangs Variation
V:
(2) im Be-
und ~Y: J--,M
~v#W
Der Strahl
yon t I.
Voraussetzungen wie im Lemma. Statt der Variation
weis des Lemmas kann man jede Variation
um 0 in
Strahl ~t~ = dim c
¢:
~,~]XJ
Jacobifeld B l~ngs
~Mp yon
fur M
~ mit
~ durch B(t) =
Unter der Exponentialabbildung
ist Geod~tische bezUglich des
und c = exp @ ~ , aus der P ~(&) ~(t,g) = t-~--- gewinnt man das
~,D21t, ° = t ~tv w , vgl. 4.2.(9).
geht die Variation
~
yon
~,
bei der also
alle Nachbarkurven Geod~tische in M
sind, Uber in die Variation V = expo P c = exp o ~, bei der alle Nachbarkurven yon c Geod~tische in M sind,
yon
und das Jacobifeld B l~ngs l~ngs (ii) V&
Y = eXpp~B
c = expoW. Zeige, wenn
f~r
V:
[O,~] X J--*M eigentliche Variation von V ° und alle
£ • J Geod~tische,
schen Vg. (iii)
~ geht Uber in das Jacobifeld
so ist
~
konjugierter Punkt jeder Geod~ti-
Warum sind alle V~ gleich lang?
Keine Geod~tische in
p = (0,...,O~?)
~n
hat konjugierte Punkte. Wenn
M = St ,
der Nordpol und k eine natUrliche Zahl, so hat jede nor-
male Geod~tische 4.2.(11) im Falle
c: [ O , k ~ ] - - * S ~ n >1
mit c(O) = p nach 3.8.(vi) oder
genau die konjugierten Punkte
yE~
der Multi-
-
plizit~t n-1 f~r
w=l,...,k.
135
-
Die konjugierten
wechselnd auf Nordpol und SEdpol abgebildet. konjugierten
Punkte werden yon c abFalls
n = I, so hat c keine
Punkte.
Zeige mit [ ] (v) in 4.2. allgemeiner: normale Geod~tische,
Ist M symmetrischer
so sind to,t I ~ ~
wenn es einen positiven Eigenwert
~
Raum, c: ~ - - , M
genau dann konjugiert
bez~glich
c,
des Kr~mmungsendomorphismus
X--bR(X,8)~ da~
auf dem Vektorraum der parallelen Felder l~ngs c gibt, so v2" t I- t o - ~_~ mit einer ganzen Zahl F$ 0.
(iv)
c: J--~M Geod~tische.
man auch oft die Bildpunkte
Sind to,t l £ J p:= C(to),
konjugiert
bez~glich
q:= c(t 1) in M konjugiert
lich c. Da es viele nicht bogenverwandte
Geod~tische
Geod~tischen
"konjugiert"
bez~g-
yon p nach q geben
kann, mu~ man hierbei besonders genau darauf achten, verbindenden
c, so nennt
bez~glich welcher
zu verstehen ist,
etwa wenn c
periodisch. Jacobifelder
sind wie Geod~tische
sierungen,
d.h. ist ~ I n t e r v a l l
=
und
~t + ~
~(~)
laufungsrichtung
(v)
c o~
bezUglich
bildung,
und
ye~
~: ~ - - ~
Jacobifeld
Abbildung mit
l~ngs der Geod~tischen
und c umorientiert,
c, wenn
to,t 1 ~ J
~-l(to) , ~-1(tl)
sind
konjugiert
Punkte von eXpp in Mp f~r p ~ M
nennt man
Ort yon M in Mp, sein Bild in M unter der Exponentialab-
in M bez~glich p. Eine besondere
Rolle spielt der sogenannte
gierte Ort yon expp in Mp, d.h. die Menge aller kritischen
dem Lemma und 4.2.(10),
da~ der konjugierte
Mannigfaltigkeit
aber auf jedem yon O in M Sei allgemeiner
P N Riemannsche
der kritischen Punkte yon
Strahl diskret
Untermannigfaltigkeit
w C TM und Exponentialabbildung exPN in
Y
erste konju-
Zeige mit
Ort einer 2-dimensionalen
M in Mp keine isolierten
ausgehenden
0rt
Punkte v yon
eXpp, so da5 tv regul~rer Punkt von eXpp f~r jedes t (CO,I).
b~ndel
die Durch-
also die kritischen Werte yon expp, auch den konjugierten
Riemannschen
Y'(t)=
.
Die Menge der kritischen
den kon~ugierten
R
unter linearen Umparametri-
l~ngs c, dabei wird also im Falle ~ 0
yon c gewechselt
genau dann konjugiert bezGglich
in
= J, so ist
coy, , wenn Y Jacobifeld
invariant
Punkte enth~lt, liegt.
yon M mit Normalen-
exPN , vgl. 3.8.(i±i). nennt man den Brennort
Die Menge von exp N in ~,
-
136
-
sein Bild in M unter der Exponentialabbildung, yon exPN , auch den Brennort yon N in M. Ist
also die kritischen Werte
v E ~
und c:
[O,~]
,M
die orthogonal yon N ausgehende Geod~tische mit c(t) = exp(tv), so heist tI ~ ~,~]
Brennpunkt oder Fokus yon c bezUglich N, wenn tlv im Brennort
yon N in w
liegt. Falls N ein Punkt, so sind die Brennpunkte von c bezUg-
lich N gerade die konjugierten Punkte yon c. Betrachte speziell die Situation
M =
t I f [0,~]
~n
und
~vg = I. SchlieBe mit [ ] ( i )
in 2.9. sowie 3.7., da~
genau dann Brennpunkt yon c bez~glich N, wenn es einen negativen
Eigenwert
A des zweiten Fundamentaltensors S von N bezGglich v gibt I v mitt I = - ~. Die Brennpunkte yon c sind also gerade diejenigen KrUmmungsradien yon N bezUglich v, so da~ sich N l~ngs der zugehSrigen HauptkrUmmungsrichtungen konvex verh~lt, also in Richtung v kr~mmt. Wir werden in den folgenden Abschnitten am Beispiel der konjugierten Punkte diskutieren, da~ der Brennort yon exPN die Menge derjenigen Punkte in
~
ist, fur die exPN nicht lokal injektiv ist. D.h. wenn t I Brennpunkt
der Geoditischen c bezUglich N, so schneiden sich in jeder Umgebung yon c(t 1) in M verschiedene senkrecht yon N ausgehende zu c beliebig benachbarte Geod~tische. Man kann dabei an Lichtstrahlen denken, die sich um einen Brennpunkt fokussieren. Ist welter t I der erste Brennpunkt yon c bezUglich N, dann sind alle zu c hinreichend benachbarten nicht bogenverwandten stUckweise differenzierbaren Kurven yon N nach c(t) l~nger als cliO,t]
fur
O~t~t
1, aber genau nach jedem Brennpunkt t~ gibt es in
wohlbestimmtem Sinne immer mehr Nachbarkurven zu c yon N nach c(t), die kUrzer als c~[O,t]
4.4.
sind fur t > t ~
•
Das Gau~sche Lemma und Fol~erunsen.
Eine wichtige Eigenschaft der Exponentialabbildung zeigt das folgende
JLE~ Vor.:
lJ
("Gau~-Lemma")
Sei p ~M,
v ~Mp im D e f i n i t i o n s b e r e i c h
der S t r a h l mit mentaltensor,
~(t):=
tv.
vgl. ~(iii)
yon eXpp
und ~ :
[O,1]--bMp
W~hle f ~ r M den kanonischen FundaP in 3.2.
-
Beh.:
F~r
b,a ~(Mp) v mit
(1)
a:=
137
-
~(1) gilt
~ b,a > = ~ e x p p b ,
eXppa~
Man kann eXpp wegen (I) auch "radial isometrisch" nennen. Die Komponente eines Tangentenvektors an M
in v in Richtung eines yon 0 ausgehenden P Strahls durch v wird von eXpp~ l~ngentreu abgebildet. Schneidet insbesondere eine differenzierbare Kurve so schneidet
~ in M
exp e~, die Geod~tische
NullraumJ~ vp yon eXpp,
in V ~ M p
die Kurve ~ in v orthogonal, P exp o ~ ebenfalls orthogonal. Der
liegt in (Mp) v orthogonal zu ~(1),
d.h. senkrecht zu der jeweils radialen Richtung. Bew.:
~v: Mp
~(Mp) v
kanonischer Isomorphismus.
l~ngs der Geod~tischen c:= e x p e ~
Sei Y das Jacobifeld
mit Y(O) = 0 und Y'(O) = w:= ~-qb V
.
Nach 4.3.(1) gilt (2) Da
D(Y,6>
Y(1) = eXpp =
konstant, ist
Wegen Y(0) = 0 haben wir also und daher
|l = <w,v> .
= <exppb,
eXpp a > .
tensors fur Mp gilt
~vW = eXpp b
.
eine lineare Funktion.
fur t~[0,1]
und (2) folgt
<w,v~ =
Da nun nach Definition des kanonischen Fundamental-
< w , v > = <~v w, 7 v V > = , ist die Behauptung
bewiesen. Mit Hilfe des GauSschen Lemmas gewinnen wir nun weitere Aussagen 5ber Extremaleigenschaften
yon Geod~tischen.
~LEMMA 2~ Vor___A.: Sei p E M, M~p der Definitionsbereich yon eXpp, v ~ p . den kanonischen Fundamentaltensor.
Kurve mit P st~ckweise differenzierbare Kurve
(t):= tv. "~': ~0,1]--~M mit ~'(0) = Beh.:
@(0) = 0
P und 7 ( 1 )
~:
W~hle fur Mp
[0,1~--,~
= ~(1) = v .
Es gilt stets (3)
L(expo~)
~
L(expo~)
und sch~rfer
138
-
(4)
L(expo~r)
>
Die zur Radialkomponente
expp~ nicht a n n u l i e r t Die Eigenschaft
L(expo?)
,
orthogonale
~,
tom (O,I] gilt:
wenn f~r ein
Kompnente
<~(to),
oder
des Strahls
-
(~
b o yon ~ ( t o)
(to)>~O
eine Kurve k~rzester
wird yon
•
L~nge zwischen 0
und v zu sein, bleibt also unter expp invariant. Bew. :
Nach dem Lemma in 3.3. ist jede st~ckweise
bogenverwandt dab ~ dab
mit einer differenzierbaren
differenzierbar v @ O
und
~(t)
ist. Offenbar gen~gt es auch, ~ 0
gung ist" Man projiziert die unter
exp
l~nger als exp o ~
~
.
den Fall zu betrachten,
~
und erh~lt eine Kurve,
expos, ist, die aber auch nicht
da der Betrag jedes Tangentenvektors
des entsprechenden
Tangentenvektors
gibt es orthonormale
+
yon
Lemma grS~er ist als der Betrag der radialen yon ~M.
Vektoren b,a G ( M p ) ~ t ), so dab
~v( t ) radial gerichtet ist und. wir aufspalten kSnnen ~(t)llV(t)li
= (~(t),b)b
Kurve
Die Idee der weiteren Uberle-
radial auf den Strahl
sicher nicht kGrzer als
expo~M sein kann,
F~r t ((0,~] a:=
f~r t ~(O,11
nach dem Gau~schen
Komponente
differenzierbare
Kurve. Wir kSnnen daher annehmen,
(~(t),a)a
.
Da
liex~po~ 2 = ~ e X p p ~ @ ,
~(t)
=
eXpp,~'~),
erhalten wir mit (~)
(5)
llexp-"f(t)ll 2 = ~@(t) ,.b)2~SXpp,b, eXpp b>+ ~ ( t ), a~2~ ~ ( t ), a~ 2 •
Nun gilt
(6)
~@(t),a)
= D ll~lilt
,
~ it = K~(t), ~(t),,~(---~-~/' ~en~ DII~VUt = D ~ ~' ~k t =
Aus (5) und (6) erhalten wir
(7)
I
L(expo~) = j~lexp-~o~M(t)II dt ~-
OllVllltldt
Da II~II in t=O stetig und (8)
JDII"~Ult dt
fD II~fllt dt
•
@
o
~(0)
= 0 hat man
= II~(I}II = llvU = L(expo ~)
@
und mit (7) und (8) ist (3) bewiesen. ausgeschlossen
ist, folgt auch (4).
Da in (5) fur t=t O die Gleichheit
-
Die Voraussetzung
zu der Aussage
139
-
(4) ist etwa erfGllt,
wenn eXpp in ~'(t o)
maximalen Rang hat und ~ ( t o) nicht radial gerichtet ist. Sobald die Bilder yon ~ u n d
~in
Mp verschieden
sind, existiert
ein t o G(0,1],
~ ( t o) nicht radial gerichtet ist. Denn andernfalls t ~(0,1] nach (6) also (9)
so da6
h~tte man f~r alle
ll~(t)ll = Dll'~Uit und
L(~)
= ~U@(t)Jldt
= U~(1)I|
.
o
Well die Bildmengen
von ~, und
da~ ~'(~) nicht im Bild yon euklidischen
Raumes M
(10)
~
verschieden
liegt. FLit der Dreiecksungleichung
P
+
Ja~l'(1) -I"(~), • U~'(1)n
~'o:= "~'J[O,~] und
L(~'o) ~ll~'(~)il
und
sind, gibt es ~ ~(0, I), so
mannsche Mannigfaltigkeit
M
= L(~'o ) + L('~,I) ~ ~%~(1)IJ fGr (4) ist wesentlich.
P
.
'~'1:= "~'I[~,I] hat man andererseits
L('~'1)~||%~(1 ) - ~'(~)~
ein yon 0 ausgehender
des
folgt dann
U~,(~)U
F~r die Kurven
~
anwendet.
Mit (10) folgt daher
im Widerspruch
Betrachte
, wenn man (3) f~r die RieL(~,) =
zu (9). Die genannte Bedingung
dazu etwa S~. Sei p der Nordpol und
Strahl in Mp, so da6
expo~
von p zum S~dpol q ist. Alle anderen Halbmeridiane
ein Halbmeridian yon p nach q sind
gleich lang und treten unter eXpp als Bilder nicht regul~rer Kurven mit gleichem Anfangs-
und Endpunkt wie
Hat man topologische
~
auf.
R~ume A,E,F und stetige Abbildungen
A---g--*E mit
hog
= f, so sagt man,
Wenn c: [0,~]
f sei durch h zu g in F "geliftet".
~M eine Geoditische,
p:= c(O) und q:= c(~), so l~Bt sich
c offenbar durch eXpp in den Tangentialraum ~:
[O,~]
~Mp mit
eine st~ckweise
~(t):=
t6(O) ~ l t
differenzierbare
Mp liften,
expo~
= c .
mit
~(0)
= ~(0) und ~ ( ~ )
L(~) ~ L(c). Im allgemeinen
= ~(~),
kann man nicht
Kurve durch eXpp in Mp so liften,
Ist
~:
Kurve mit ~(0) = p, ~(~) = q
sich ~ durch eXpp in Mp liften zu einer stGckweise Kurve ~
da f~r den Strahl ~,~
,M
und l ~ t
differenzierbaren
so gilt nach Lemma 2 also jede in M yon p nach q laufende
da5 die geliftete
Kurve in Mp yon O
-
nach
140
-
w(#) l~uft. Man gebe hierzu ein Beispiel auf S~ . Das Liften einer
Kurve von M in Mp durch eXpp kann nat~rlich schon deshalb unmSglich sein, well eXpp nicht surjektiv ist.
Vor.:
c: [O~#]
~ M Geod~tische ohne konjugierte Punkte und V:
~,~I~J--~M
eigentliche gebrochene Variation von c. Beh.:
Es gibt ein offenes Intervall J gilt
L(E) ~ L(0)
und
um O in J, so da5 fGr alle E ~J o o L(~) > L(O), falls die Kurven V E und V o= c
nicht bogenverwandt sind. Bew.:
Setze p:= c(0) und betrachte den Strahl
= t6(O), in
~: [O,~]---,M mit ~(t):= P c hat keine konjugierten Punkte, also ist eXpp fEr jedes t~[0,@]
~(t) yon HSchstrang differenzierbar, und es gibt nach dem Umkehrsatz
eine Umgebung yon
~(t) in Mp, die yon eXpp diffeomorph auf eine Umgebung
yon c(t) abgebildet wird. Da die Bildmenge yon ~ kompakt, kann man dann reelle Zahlen
0 =:t o • t I < ... ~tk:= ~
des Bildes yon [t,.1,t~] unter ~
und f~r w=l,. .., k
in Mp finden, so da~
Umgebungen U v
h,:= expIU~
eine
Einbettung ist. Da V stetig, gibt es zu dem kompakten Intervall [t,_4,t,] eine Zahl
~>0,
so dab
:= min {~I''''' ~ k } Variation
V~ [t~,,t,]~(-~,,~,)) C exp(U~) • Setze und
V~[0,~] X Jo
Jo:= (- ~, ~ ). Die eigentliche gebrochene
yon c l~Bt sich nun durch expp zu einer eigent-
lichen gebrochenen Variation
~ von
des Satzes folgt dann mit Lemma 2. ~ ( t , ~ ) : = h'~eV(t,E),
falls
~ in M Erkl~re
P
liften, und die Behauptung ~ : [0,~] × Jo
,Mp
durch
(t,E) ~ t ~ , , t ~ ] X J O •
Der Satz bleibt nicht mehr allgemein richtig, wenn die Geod~tische c konjugierte Punkte hat, wie wir im n~chsten Abschnitt sehen werden, Beispiele auf S~. []
(i)
d~tische
Wir k~nnen die Aussage des Satzes versch~rfen, falls die Geoc: [ 0 , ~ ]
Ist p:= c(O) und
~:
~M injektiv ist und keine konjugierten Punkte besitzt. ~O,~]--*Mp der Strahl mit
~(t):= t~(O), so g~bt es
nach Lemma 2 in 2.8. eine Umgebung U des Bildes yon ~
in Mp, die yon eXpp
diffeomorph auf eine Umgebung G der Bildmenge von c abgebildet wird.
-
F~r jede s t ~ c ~ e i s e
differenzierbare
und Endpunkt wie c gilt bogenverwandt
differenzierbare
zu jeder Geod~tischen
bogenverwandt
im R a u m ~
eine Geod~tische
gibt es ~ 0 ,
v:= h-1(q)
c: ~0,1]--~B~
~0,1~--*M
so dab dort
sobald ~ nicht
~ diffeomorph
Betrachte
Ist
q ~B~,
U~:=
auf eine Umgebung
so existiert
genau
jede yon c
yon p nach q muB also notwendig ein-
dazu die Einschr~nkung
h yon exp auf U~ und
sowie c(t):= h(tv). Wenn c1: ~0,1]--~B~ eine weitere
mit c1(0) = p
und c1(1) = q, so hat man c1(t) = exp(tvl), h-~c1(t)
= tvl~
offen und ab-
in [O,1] und nicht leer, also gleich der zusammenh~ngenden
differenzierbare und
Kurve
~:
= v
~O,1]--*M
und mit
c I = c. ~(0) = p,
FUr jede stEckweise ~(1) = q
L(~) ~ L(c), falls "g nicht bogenverwandt
~" ganz in B~ verl~uft,
Es gibt dann t o ~(0,#), Man hat einen Strahl
gilt
mit c • Sofern
folgt dies wie in (i) direkt aus Lemma 2, indem
man c,~ durch eXpp in U~ liftet. Andernfalls
(iii)
Topologie
mit c(O) = p und c(1) = q,
~0,I] • Daher v I = h-loc1(1)
= Iv It>LtvU o
differenzier-
so dab eXpp die offene Kugel
Vl:= ~1(0). Nun ist die Menge {t ItEm,l],
L(ho~)
Uberlege
Punkte eine Umgebung,
0 in M p mit Radius
Geod~tische
mal B~ verlassen.
L(~) ~ L(c)
sobald c nicht injektiv
so lang sind wie c und l~nger,
B~ yon p abbildet nach dem Satz in 2.8.
Menge
die kUrzer
aller st~ckweise
c ohne konjugierte
= {v I v ~Mp, I v M - ~ } u m
geschlossen
so kann es in G
mit c •
FUr jedes p ~ M
Geod~tische
wird,
dazu auf Zylinder und Kegel in 3.8.(iv),(v).
alle Kurven ~ wenigstens
sich durch
Ist U eine Umgebung der Bildmenge yon auf G abgebildet
Pq ~0,1~---vM yon p nach q mit der kompakt-offenen
baren Kurven
verschiedene
falls ~ nicht
Kurven yon p nach c(~) geben,
aber, es gibt f~r feste p , q ~ M
setze
L(g) ~ L(c),
sind. NatErlich ist dies stets der Fall,
ist. Beispiele
(ii)
und
mit c. Dies folgt sofort mit Lemma 2, denn ~ l ~ t
eXpp in U liften zu (exp~U)-1o~.
alsc
-
Kurve ~ in G mit gleichem Anfangs-
L(~) ~ L(c)
in Mp, die nur lokal diffeomorph st~ckweise
141
so dab f~r ~V: ~0,1]
sei
~:= s u p { t ~ ( ~ O , t ] ) C B ~ } .
Vo:= h-le~(to ) gilt lVoU > llv~ • ,Mp
nach Lemma 2. Damit ist
durch
~V(t):= tv °
und
L(~l[O,to])~
L(~) ~ L(~l[O,to]) ~ L ( h o ~ )
=
= L(c).
Sei c: ~0,1]--~M
st~ckweise
differenzierbare
Kurve mit c(0) = p,
-
c(1) = q.
142
-
Gilt fSr alle Kurven ~ einer Umgebung yon c i m
stSckweise differenzierbaren offenen Topologie,
da~
Kurven
L(~) ~ L(c), so ist c bogenverwandt
zu einer Geo-
falls c st~ckweise normal war.
da~ c nach (ii) lokal bogenverwandt mit Geod~tischen ist.
Im allgemeinen lassen sich zwei Punkte in einer zusammenh~ngenden schen Mannigfaltigkeit etwa in
4.5.
aller
[0,1]--~M yon p nach q mit der kompakt-
d~tischen und also eine normale Geod~tische, Man verwende,
RaUm~pq
~-{0},
Riemann-
nicht durch eine Kurve k~rzester I/~nge verbinden,
man vergleiche hierzu
§ 5.
Die Indexform einer Geod~tischen.
Wir diskutieren nun Extremaleigenschaften
einer Geod~tischen mit konju-
gierten Punkten. Ist E ein Vektorraum ~ber ~ , einer symmetrischen bilinearen Abbildung
so heist die Einschr~nkung
f: E x E - - + ~ auf die Diagonale
eine quadratische Form auf E. Man nennt f positiv (semi)definit bzw. negativ (semi)definit, alle X + O .
wenn f(X,X) > 0 ( ~ 0 )
bzw. f ( X , X ) ~ O
Ist f positiv oder negativ definit,
(&O)
fur
so heist f definit, andern-
falls indefinit. Sei c : ~ , ~ ]
~ M normale Geod~tische und
~@' der
R - V e k t o r r a u m aller
C
stGckweise glatten Vektorfelder Z l~ngs c mit < Z , 6 > = 0 • Es liegt nahe, die Synge-Formel (4) bzw. (10) in 4.1. fur die zweite Variation der Bogenl~nge zu bilinearisieren, (1)
I(X,Y):=
d.h. eine Abbildung
~<X',Y'>-
I:
~, x ~ , c
c
,~
durch
~R(X,6)6,Y>)itdt
o&
zu erkl~ren.
Iist
bilinear und symmetrisch und heist die Indexform von c.
FUr differenzierbare Vektorfelder X , Y ~ '
erhalten wir mit
D<X',Y>
=
o
= ~X",Y> +~X',Y'>
aus (I) die Formel
A !
(2)
I(X,Y) =
~X',Y) i
-
io&
~<X
" + R(X,6)6,Y>|t dt
und wegen der Symmetrie yon I auch (2') Sind X,Y ~ '
I(X,Y) =
O
(X,Y'>
I'
-
, Y" + R(Y,c)c>|tdt
differenzierbar und ist Y ein Jacobifeld,
so folgt aus (2')
-
(3)
I(X,Y) =
143
-
<X,Y,>l~
.
Die letzte Gleichung gilt dann natUrlich auch, wenn XGIO' o renzierbar ist. Die zur Indexform I yon c gehSrige quadratische Form auf
nicht diffe-
A0~ ordnet nach
4.1.(8)
jedem stUckweise glatten Vektorfeld Yet0, die zweite Variation c L"(O) der Bogenl~nge L zu bezUglich der kanonischen gebrochenen Variation
V:
[~,@] x J - - ~ M
von c m i t
Variationsvektor Y in 4.1.(11),
so daS also
mit 4.1.(7) (4) 9~
L'(O) = 0 ,
bezeichnet den
L"(O) = I(Y,Y)
~-Vektorraum
fur V(t,~) = expirY(t)), V, D21%2Y(t) .
aller zu ~ orthogonalen Variationsvek-
toren eigentlicher gebrochener Variationen yon c, d.h. den Unterraum aller Felder Y in
~i
tes Feld Y e ~ " mit c gebrochene Variation in J gilt
mit
Y(~) = Y(~) = 0.
I(Y,Y) < O,
Hat man ein stUckweise glat-
dann gibt es nach (4) eine eigentliche
V:[~,~]XJ---,M yon c, so dab in einer Umgebung yon O
L(a) < L(O) fur & @ 0 , weil L in 0 ein echtes Maximum annimmt.
Man hat nun das folgende
lu m II Vo__~r.: Sei c:[~,~]----bM Punkt Beh.:
normale Geod~tische mit einem konjugierten
tI ~(~, ~).
Es gibt eine eigentliche gebrochene Variation so dab in einer Umgebung yon 0 in J gilt
Bewt:
V:[~,~]XJ
L(E) < L(O)
Nach 4.3. existiert ein Jacobifeld Y l~ngs c mit Y @ 0
,M, f~r E # O . und
Y(~) = Y(t 1) = O • Wir konstruieren mit Y ein stUckweise glattes Vektorfeld ~ a ~
, derart dab
I(~,~) ~ 0 • Dann folgt die Behauptung aus den
Uberlegungen zu (4) im letzten Absatz. Auf Grund yon 4.2. hat man gilt Z ~l@"c
~ Y , 6 > = O,
also auch
Y'(t 1) # O, da sonst Y = O. Wegen t I &(~,~) mit
Zun~chst
gibt es ein Vektorfeld
Z(t 1) = - Y'(tl). Denn ist Z 1 das parallele Vektorfeld l~ngs c
mit Zl(tl):= _ y,(tl) und ~F eine differenzierbare auf [~,~]
< Y ' , ~ > = O.
mit
~(~)
= ~(~) = 0
und
~ ( t I) = 1
reellwertige Funktion (vgl. 8.1.), so kann
-
man
144
-
Z:= ~,Z 1 setzen. F~r jede Zahl ~ ~ 0 erkl~ren wir nun ein st~ckweise
glattes Vektorfeld
Y ~ 9 # c'' durch
und
wenn t ~[tl, ~] . Mit (I) und (3) folgt
Y~(t):=~Z(t),
= It + 2~
Y~(t):= Y(t) + ~Z(t), wenn
t e [ ~ , tl] ,
I(Y~,Y~) =
+ ~2I(Z,Z). Wegen Y(t I) = 0 und Z(t 1) = - Y'(t I)
I(Y~,Y~) = - 2~It
+ %2I(Z,Z) < 0
f~r hinreichend
q • 0 •
Das n~chste Lemma charakterisiert
die Jacobifelder
im Raum der Variations-
vektoren eigentlicher Variationen
einer Geod~tischen
als Entartungsraum
der Indexform. ILEMMA 2J Vor.:
c:~,~]
;M
normale Geod~tische,
9~,, der R-Vektorraum
aller
C
st~ckweise glatten Vektorfelder yeg~, mit Y(~) = Y(~) = O. C
Beh.:
F~r Y ( ~ "
sind folgende Aussagen gleichwertig: C
(a) Y ist ein Jacobifeld l~ngs c. (b) FGr alle Z £ ~ "
c
gilt I(Y,Z) = O.
Gilt (b) f~r Y # O, so sagt man, die Indexform sei in Y "entartet". Bew.:
Aus (a) folgt (b) nach (3).
Aus (b) folgt (a): Es gibt Zahlen
6=: ~ o ~ I ~
Y~:= YI[¥~.,,~p] ein differenzierbares
... < ~ k : = ~
Vektorfeld ist f~r
, so da~ y=1,...,k.
W~hle differenzierbare
Funktionen
~:[#~_~,~]---~W
und
~=1,...,k.
Mit c,:= ci[¥,.,,¥,] erkl~re
=
"M,(t) > 0 sonst,
"~',(Y" + R(Y~,6~)6,)
Nach ( 2 ) f o l g t also
0 = I(Y,Z) =
zEg0 c ~Y"
(t) < Y", + R(Y~,~p)6,,
Y~ + R(Y~,~,)6, r ~I,.
,,
,k-l}
= O,
durch
, Z ~ I ~" - ~ J ( Y ~ " Y," + R(Y,,c,"
~ @ r.
~ • ~ "C
Z,:=
Z(t):= Z,(t), falls t E [ ~ ° , , ~ ] .
so da~ Y, ein Jacobifeld
und ein Vektorfeld
und ~(~,) = 0, falls
= ~
und
mit "~(~o,) = "V(~) = 0
+ R(Y,,6,)6,, dt
= 0 und daher
f~r ~=1,...,k. !
mit ~(Fr ) = Yr+l(~r
Nach (3) erhalten wir
Z,>itdt,
W~hle )--
! Yr(~ r)
0 = I(Y,~) =
[ -] = - Z,Y;+I-(;fr) - Y;(Fr), ~ ( ~ r ) >
=
=- ' so daI~ Yr(a,r ) = Yr+l ( ' ~r ) • Nach dem Eindeutigkeitssatz f~r Jacobifelder ist Y in ~r differenzierbar, und die Behauptung
folgt.
-
145
-
Wir kSnnen nun Geod~tische ohne konjugierte Punkte durch die Indexform kennzeichnen.
Vor. :
c:[~,~1--.M
Beh. :
Die folgenden Aussagen sind ~quivalent:
Bew.:
normale Geod~tische.
(a)
c hat keine konjugierten Punkte.
(b)
Die Indexform I v o n
c ist positiv definit auf ~ "c
Aus (a) folgt (b): Es gilt I(Y,Y) >0_ fur alle yEg~,'c ' denn sonst
steht (4) und die dort anschlieSende Y g~@"
und
Uberlegung im Widerspruch
Satz in 4.4.
Sei nun
I(Y,Y) = 0,
dann
F~r Z g M " und jedes q e ~ gilt 0 ~ I(Y-~Z,Y-~Z) 2 c + ~ I(Z,Z) Daher I(Y,Z) = 0 fur alle Zg~"
zu dem
wir m~ssen zeigen, da5
c
Y = O. 2~I(Y,Z)
Lemma 2 ist Y ein Jacobifeld. folgt
= und nach
Da aber c keine konjugierten Punkte hat,
Y = 0.
Aus (b) folgt (a): Sei t q g ( ~ , ~ ]
konjugierter Punkt yon c. Nach 4.3.
gibt es ein nicht identisch verschwindendes Y(a) = Y(t 1) = 0. Z(t):= 0
Erkl~re
Z Eg0"c
durch
Jacobifeld Y l~ngs c mit Z(t):= Y(t) fur t ( [ ~ ,tl]
und
sonst. Es ist I(Z,Z) = 0 und Z ~ 0.
Als wichtige Folgerung des letz%en Satzes gewinnen wir eine Minimaleigenschaft yon Jacobifeldern.
Ist c : ~ , ~ 1 - - ~ M
jugierte Punkte und Y ~90, ein Jacobifeld, c x ¢~' mit x(~) = Y(~) un~ x(~) : Y(~) c (5) falls
X @ Y.
normale Geod~tische
so gilt f~r alle Vektorfelder
I(X,X) > I(Y,Y) Denn es ist
X-Y(90"
c
und
ohne kon-
, X-Y % O,
daher
I(X-Y,X-Y)>O.
Mit (3) erhalten wir (6) da
I(X-Y,X-Y)
= I(X,X) - I(Y,Y)
,
I(X-Y,X-Y) = I(X,X) - 2 I(X,Y) + I(Y,Y) : I(X,X) - 2 ~ X , Y ' >
+
= I(X,X) - I:= I(X,X) - I(Y,Y), und (5) ergibt sich aus (61.
=
-
[]
(i)
146
-
Wenn M ein Raum nicht positiver Kr~mmung,
vall in
R
auf ~ '
nach (1) positiv definit und auf Grund des Satzes kann c keine
c
und c: J---,M normale Geod~tische,
J kompaktes Inter-
so ist also die Indexform I
konjugierten Punkte haben. Mit 4.3. ergibt sich daraus: FUr jeden Punkt p EM
ist die Exponentialabbildung
expp ~berall in ihrem Definitionsbereich
yon maximalem Rang differenzierbar. Sei
M
mit
=
S~
und
l~ngs c m i t
[0,~]
o:
~Wl,~(O)> =
~M normale Geod~tische. W~hle wl,w 2 ~ M c ( 0 )
,w2,~(O)>
= O.
YI(0) = Y2(O) = 0
und
Dann geh~ren die Jacobifelder Y1,Y2 Y~(O) = w 1, Y~(O) = w 2 zu ~'c ' und
es gilt wegen (3) und 4.2.(11) I(YI,Y 2) = ~9 sin a_~ ~ < w I ,w2>
(7)
•
Mit (5) ist I also positiv definit auf dem Unterraum aller Felder X in mit
X(O) = 0,
~c!
0 ~ ~ 4 ~--~ I i s t etwa negativ definit auf 2 " dem Unterraum der Jacobifelder Y in ~ ' mit Y(O) = 0 f~r - ~ < ~ • c Bestimme fur 0 < ~ ~ ~ und u G Mc(~) mit ~u,c(~)> = 0 daSuu,~Jac°bifeld
Y in ~'c (ii)
sobald
mit Y(O) = O,
c: [~,~]--~M
Y(~) = u
Geod~tische.
positiv semidefinit,
und best~tige
SchlieBe,
die Indexform I i s t
aber nicht positiv definit,
konjugierter Punkt von c • In (5) gilt
I(Y,Y) = - ~
genau wenn
ctg ~
•
auf ~@" c ~ einziger
I(X,X) ~ I(Y,Y), falls I positiv
semidefinit. Wann liegt Gleichheit vor? Wir haben inzwischen einige in 4 . 3 . ~ ( v ) jugierter Punkte einer Geod~tischen
angekEndigte Eigenschaften kon-
c best~tigt.
N~mlich,
dab
die eindeutig bestimmte kErzeste st~ckweise differenzierbare
c ~ [~ ,t] Kurve von
c(~) nach c(t) ist, verglichen mit hinreichend benachbarten nicht bogenverwandten Kurven, sofern kein konjugierter Punkt in den Satz und ~ ( i )
[~,t]
liegt, vgl.
in 4.4., und ferner, da~ es zu c beliebig benachbarte
k~rzere Kurven yon c(~) nach c(t) gibt, sobald t > t I und t I konjugierter Punkt yon c, vgl. Lemma 1 und den Satz in diesem Abschnitt. (iii)
Wir weisen noch einmal auf die Bemerkung
c eine nicht konstante Geod~tische, l~nge
L: ~ p q
,~
[](i)
von 4.1. hin. Wenn
also ein kritischer Punkt der Bogen-
(oder auch der Energie) im Wegeraum
~pq
, so ist
die Indexform I gerade die Hessesche Form yon L in c, vgl. 3 . 5 . [ ] ( v ) und 7.6., d.h. der Operator der zweiten Ableitungen yon L auf
~
q, der
147
-
-
vollst~ndig ~ber das Wachsen und Fallen yon L im kritischen
Punkt c Aus-
kunft gibt, sobald I nicht entartet ist. (iv)
Wir ~berlegen
Sinn Brennpunkte
jetzt noch, da~ konjugierte
sind, vgl. wieder [ ] ( v )
Punkte im geometrischen
in 4.3.
Es gilt, v ~ M p
ist
kritischer Punkt von expp fur p G M, genau wenn expp in jeder Umgebung yon v in Mp nicht injektiv ist, d~h. falls eXpp lokal injektiv, eXpp sofort eine Immersion. injektive
differenzierbare
differenzierbaren
Das gilt natUrlich nicht allgemein Abbildungen
Hom~omorphismus
Nehmen wir also an, V ~ M p
aus
~
~ ,~
ist kritischer
Kugel um v in Mp, so da~ explU injektiv yon U in M, v g l . ~ ( v i )
in 1.1.
Beweis der Behauptung. trachte den Strahl Geod~tische
W~hle
~Mp
mit
Z(t) = 0
kleines Feld
und damit hom~omorphe
mit
,
etwa den
Einbettung
einen Widerspruch
so dab
~(t):= t ~
Wie im Beweis yon Lemma I
Punkte yon eXpp auf der Geraden ~(~) G U
R n, betrachte
m i t t - - ~ t 3 in O.
Wir konstruieren
bifeld l~ngs c mit Y(O) = Y(t 1) = O.
so da~
in
fur lokal
Punkt yon expp und U eine offene
~ • Itvtl =:t I
~': [0,~]
c:= exp o~,.
~n
so ist
~ v
v
ilVll
~ U
sowie die normale sei
Y ~ 0
ein Jaco-
Nach 4.6. liegen die kritischen
t--~tv in Mp isoliert.
W~hle
O ~ t
kein kritischer Punkt yon eXpp, und ein Vektorfeld fur
~ ~0
t ~[0,~]
und
gilt dann also
als
und be-
I,
Z ~@"c
Z(t 1) = - Y'(t I) . F~r hinreichend
I(~)
~ 0
fur das stGckweise
glatte
~ ~"
mit ~(t):= Y(t) + ~Z(t) , wenn t ~ O , t l ~ und ~(t):= c = ~ Z(t) , wenn t a[tl, ~] . Betrachte die differenzierbare Kurve "~,: ~--*U,
so dab ~ offenes Intervall
expo~,=:~"
Geod~tische
liche gebrochene = exp_Qt~j
in M mit
Variation £Ur
um 0 in-"~,
V: ~ O , ~ J X J - - , M
t E~O,~] und
"~(O) =
~(0) = Y(~) • Definiere
V(t,~):=
yon c
dureh
exp(a~(t))
mit einem offenen Intervall
J um 0 in ~, so da~ [~,~] X J
abgebildet
V, D21t, ° = ~(t) , L'(O) = 0
wird.
= I(~,~) ~ 0. Voraussetzung stetigen Kurve ~(~)
=
Dann gilt
W~hle
£ mJ,
so da~
l~6t sich die Nachbarkurve
V(t,t):=
f~r
Vavon
t e~,~]
yon V in exp(U) und
L"(O) =
~(~) . Das steht abet im Widerspruch
st~ckweise
und
c durch eXpp zu einer
~a in Mp liften, also V E = e x p o ~ E , so da~
ist nieht notwendig
und
L(V~) ~ L(c). Nach Konstruktion
Lemma 2 in 4.4., auf die wir abschlie~end ~~ , ~1
~(~)
nun eine eigent-
~(0)
= 0 und
zu einer Versch~rfung
noch hinweisen wollen. differenzierbar.
yon
Beachte,
-
Sei allgemein p ~ M , ~: ~0,1]
~p
-
M~p Definitionsbereich
der Strahl mit
Kurve mit ~ ( 0 )
148
=
~(t):=
~(0) = 0
weise differenzierbar.
und
~(1)
Dann gilt
von exp
und v ~
tv
und
, ferner ~.P "~: [O,1]-~Mp eine stetige
=
~(I)
= v,
P
so da~
L(expo~,) ~ L ( e x p o W )
folgt off~nbar aus Lemma 2 in 4.4., wenn man zeigt, es eine st~ckweise ~(I)
differenzierbare
= "~'(1) und
IL(expe~)
Kurve
des Graphs von ~
st~ck-
zu jedem
~
0 gibt
~0,1]--~
- L(expo~)l~
man leicht mit einem sehr allgemeinen Approximation
~:
expo~
. Die Behauptung
~
•
Argument,
mit ~ ( 0 ) P Solche Kurven ~
= ~(0) , erh~lt
etwa durch geeignete
~ber eine transversale
Regularisierung
yon eXpp. Im Falle
dim M = 2
l~t
sich eine sch~rfere Aussage ~ber die Singulari-
t~ten der Exponentialabbildung ~v~w
und
#~|Ivll =:tl,
~,: J---~p
machen.
~:
etwa der Kreisbogen
Sei V ~ M p
kritischer
[O,~1--~p
der Strahl mit
mit ~ ( 1 ) : =
~
v
wobei J gen~gend kleines offenes Intervall um 0 in naler Einheitsvektor c:= e x p e W
mit
4.2.~(iii) existiert
: dann
in Mp, ferner
V(t,~):=
V~
transversal
schneidet.
4.6.
die Geod~tische
~ und w zu v orthogo-
[O,~I~J---~M
die Variation
yon
Zeige mit dem Lemma in 4.3. sowie nahe b e i t I gelegenen
so da~ f~r jede Zahl
Geod~tische
fallen,
exp(t~).
F~r alle hinreichend ~0,
V:
Punkt yon eXpp, v ~(t):= t ',vu '
~J
mit
~(t~,~]
0 ~ |~I~
die
V ° = c jeweils in genau einem t ~ ~t 1,~]
Diese Schnittpunkte
kSnnen alle in t I zusammen-
z.B. wenn M = S~.
Das Morsesche
Wir werden
Indextheorem.
jetzt ein Ma~ daf~r diskutieren,
kurven eine Geod~tische Sei E ein Vektorraum Der (erweiterte)
~ber
Form auf ~ "
c
Punkten besitzt.
und f eine quadratische die kleinste
Form auf E.
obere Schranke
yon E, auf denen f negativ
der Dimen-
(semi)definit
ist.
eine normale Geod~tische
raum aller Vektorfelder (erweiterten)
~
Index yon f i s t
sionen aller Unterr~ume Wenn c : ~ , ~ - - * M
mit konjugierten
"wie viele" k~rzere Nachbar-
Y ~c
Index der zu
' I:
mit
und ~ " wie in 4.5. der Unterc Y(~) = Y(~) = 0 , so nennt man den
~,, X~,, ) ~ gehSrigen quadratischen c c auch den (erweiterten) Index yon c • Wir schreiben Ind c
-
f~r den Index und
Ind c
149
-
f~r den erweiterten
Index yon c . Offenbar
o
gilt
Ind
Vor.:
c ~ Ind
o
c.
Die folgenden
c: [O,~]---,M
Aussagen
normale Geod~tische,
gehen
~
auf
Morse
zur~ck.
der Unterraum aller Jacobi-
felder in ~ " .
c
Beh. :
Ind c,
Ind e o
sind endlich,
(1)
und es gilt
Indoc = Ind c
Bew____.:.: Zun~chst gibt es Zahlen keine konjugierten
0 ~ t~-t~.4<~ w~hlt.
~>0
dim
Y=l,...,k.
der kompakten
Nach 4.3. existiert
Z(t, .i ) = v,
Z(t~) = w . ~c'
so dab
~¢"
Z l~ngs cIKt~,, t~] mit
der endlich dimensionale
Y~[t~.,,t,]
ein Jaoobifeld,
= (n-1)(k-1) . Wit haben eine lineare Abbildung wir f~r
X~@"
cIKt~.,,t,] mit Es gilt
~X
erkl~ren:
c
Y~(t~. 4) = X(tw. ,)
(2) wenn
X ~c
und
= O,
also
Widerspruch dim A
zu
<-- d i m ~ c
X ~ .
Y,(t,) = X(t,)
X~c
~iA injektiv,
, so da~
I(X,X)<--O.
ten) Index der Einschr~nkung
I(X,X)>
I(~X,~X)= Ind c
~c'
und
0
Also
f~r die Berechnung "Approximation"
Ind c = Ind'c
und
W~hle weitere Zahlen
~ cIt
und
wegen (2), im endlich, den (erweiter-
so haben wir also gezeigt,
Indoc = Ind'co "
des Index von c ausreichende
yon
mit X @ 0
Indoc
Ind c <_ Ind'c , Indoc <_ Indoc • Da ~ "c ~I@ c , gilt auch Ind o'c ~- Indoc.
~=S,...,k.
~"c ' auf dem I negativ
Ina'c (Zndoc)
Bezeichnet yon I auf
fur
folgt
sonst g~be es X 6 A
Daher sind
= (n-1)(k-1).
=
,
Sei A ein Unterraum yon
Dann ist
dim~c
~:
X 6 ~ " c . Mit 4.5.(5)
I(X,X) > I ( ~ x , @ x )
(semi)definit. ~X
und
Unterraum
~" ,~" , indem c c ist das Jacobifeld Yw l~ngs
~X~[t~.,,t,]
= X , genau wenn
yon c bestimmt und
~=I,... ,k und beliebige
W ~ M c ( t , ) genau ein Jacobifeld Sei dann
Dies folgt mit 5.2., wenn
Bildmenge
fGr
V~Mc(tv., ) ,
aller Felder Y in
.
0 = : t o ~ t S < ... ~tk:= ~ , so da6 clKt~.,,t,]
Punkte hat f~r
man die E l e m e n t a r l ~ g e
+
Ind'c ~ Ind c , ~"c ist eine
endlich dimensionale
•
0 = : S o ~ S l ~ ... ~ s ~ : = ~
mit
0 < s~ - ~ . , < j
f~r
- 150
~=1
'''''
~
und
(Sl,
.,Sg_l} . .
.
~ . {tl,
-
.,tk_l}
raum aller Vektorfelder Y g ~ "c ' so da6 ~
~
Bo < ~ c"
mit
dim ~o =
Wegen (2) ist dim B ° =
" Sei
der Unter-
Y ~[s~.,,s~] Jacobifelder.
Man hat
mit X
•
Indo c , so da~ I auf ~ o negativ semidefinit.
~ I ~ O injektiv.
Setze Bo:=
~o
' sir haben
Indoc • Sei B komplement~rer Unterraum zu B° =
Mit (2) folgt nach Konstruktion
B • ~
mit
sofort, da~ I negativ definit auf B.
dim B' =
dim B,
dim B O =
~c in Bo ' also
•
Die Gleichung (1) ergibt sich aus (3), wenn ein Unterraum B' C ~ " c finit. W~re dim B' ~
~--" c
Uberlegungen gibt es einen linearen Teilraum
(3)
so auch
dim B =
Ind c.
Nun existiert
Ind c , so da~ I auf B' negativ dedim B ' @ ~ :
Dies kann nicht sein, da mit 4.5.(3) folgt, auf
~
und demnach gilt (2) fur alle X g ~c
Nach den vorangegangenen
=
=
Iist
~
dim B @ ~ :
= Indoc.
negativ semidefinit
B' @ ~ .
Von sehr gro~er Bedeutung ist nun der folgende ("Indextheorem" ) c:
Vor. :
~,~]
~M
normale Geod~tische,
f~r t E(0,~]
Vektorraum aller Jacobifelder Y l~ngs c mit Beh.:
sei
~
der
Y(O) = Y(t) = 0 •
c hat nur endlich viele konjugierte Punkte, und es gilt (4)
Ind c = ~ d i m
Sind ~I,...,~ r
~
,
Indoc = ~ ,
dim
~
die konjugierten Punkte yon c in (0,~) mit den Multiplizi-
t~ten ml,...,mr,
so gilt also
Ind c = ~ m
i • Der Index von c ist die
Gesamtzahl der konjugierten Punkte in (0,~), gez~hlt mit ihren Vielfachheiten. Bew.:
Seien
~1,...,~r ~ ( 0 , ~ ]
yon c. Nach 4.3. ist
t I g(O,~]
paarweise
distinkte konjugierte Punkte
genau dann konjugierter Punkt yon c, wenn
dim
~ tl ~ 1 . Wir haben die lineare Einbettung &: 7 ~ t - - ~ c = Yt fGr t ~[0,tl] und (6Y) t = 0 sonst. Betrachte fur Unterraum Also
Indoc
Ai:= ~
~
von
~.
Wenn
Z ~ A 1 e ... • Ar,
durch
i=1,...,r
den
so I(Z,Z) = 0.
dim A I + ... + dim A r ~ r • Da nach dem Lemma
endlich, kann c nur endlich viele konjugierte Punkte haben.
(~Y)t:=
Indoc
151
-
-
Auf Grund des Lemmas kSnnen wir Funktionen
~' ~o : (0, ~]---*~
Zahlen mit diskreter Topologie) erkl~ren durch ~o(t):=
IndocI[0,t]
in (0,~].
•
Seien
Wegen (1) haben wi~
so daS . ~ (
~ (t)-~(t))
da~ ~ linksseitig,
~I ~ "'" ~ r
ganze
Ind c ~[O,t] ,
die konjugierten Punkte yon c
~o(t)-~(t)
= ~(
~(t):=
(Z
= 0
f~r alle t E(O,~]-(~,...,~T}
~ (y.)-~(y.)).
Wir werden ~berlegen,
~o rechtsseitig stetig ist. Dann gilt
~o(~i ) = ~(~i+1 )
f5r i=l,...,r-1. Es folgt ~ " ( ~o(~i )-W(~i )) = Y'o(Fr)-~(~I ) • Da ~ linksseitig stetig, ergibt sich mit dem Satz in 4.5. sofort ~(~1 ) = 0 • ~o ist auf [~r,#]
konstant, so dab wir also mit (I) erhalten ~dim~. =~3
~'o(~) =
Damit ist (4) bewiesen, denn die erste
= ~(~°o(t)-~(t)) Gleichung folgt mit (1) unmittelbar aus der zweiten. Wir zeigen noch, dab ~ linksseitig, sind
w
~
schwach monoton wachsend. Denn mit tl,t 2~(0,~]
o1:= c~[0,tl] , c2:= c~[O,t2] durch
(~Y)t := Yt
fGr v=1,...,k.
,
so dab
0:= to< t1~ ... < tk:= ~
mit
cl~,.,,t,] also keine konjugierten Punkte hat
Sei J ein in (0,~]
~t- tk_1{ < ~ ,
~W~"c~
sonst, und es gilt
a~e Elementarl~nge der kompakten Bildmenge
yon c . W~hle ~ ~(0,~] und Zahlen 0 ~ tw- t,.,< ~
t I ~ t2 ,
hat man die lineare Einbettung t:~"c~
f~r t g[O,t I] , (&Y)t:= 0
I(Y,Y) = I(~Y,~Y) . Sei ~ > 0
und
Wo rechtsseitig stetig ist. Zun~chst
wenn t £ J .
offenes Intervall mit ~ g J, tk_ I $ J
Setze ct:= c~[O,t] . F~r jedes t g J betrachten wir den (n-1)(k-1)-dimensionalen Unterraum
7"
cA
yon ~ "
felder Y l~ngs c t , so dab (~=I,...,k-1) und
aller VektorY~.,,tw]
Yl[tk_l,t ]
Jacobi-
felder. Nach dem Beweis des Lemmas ist ~(t) der Index,
~Po(t) der erweiterte Index der
Einschr~nkung von I auf ~"~,
t ~ J . Man
hat einen Isomorphismus
¢(o)
~t" 7c~-----*Mc(t~)~ " " XMc(tk_1) == E durch ~tY:= (Y(t I ) ..... Y(tk_1) ) sowie eine quadratische Form Qt auf E durch Qt(u,v)== I(~i'U,~t'v) , und
~(t) ist der Index,
Die Abbildung
%Oo(t) der erweiterte Index yon Qt'
Q: E XE xJ
~R
mit
Q(u,v,t):= Qt(u,v)
Denn wenn B der Vektorraum aller Felder wir einen Isomorphismus
~: B---~E durch
Y~[O,t k i] mit -
t g J.
ist stetig. Y m ~ c ' so haben
~Z:= (Z(t 1) .... ,Z(tk_l)),
und
,
-
es gilt
~52
-
Q(u,v,t) = I( ~';u, ~t~v) = I( ~'% , ~'~ ) + I(Xu,t, Yv,t ) =
= I(@"u ,@"v ) + ~Xu,t, Y'v,t > e,., wegen 4.5.(3), wobei X u ,t := ~tu~[t,.,,t],
~,t:= ~t v l[t~_~,t] aaco~iZel~er. Die A~il~ung Cu,v)--.~C#"u ,@'v ) ist offenbar eine Bil~nearform auf E X E ,
also (u,v,t)--~I(~"u ,~"v )
stetig. Nun ist allgemein ein Vektorfeld Z l~ngs einer Geod~tischen [O,~]---~M ein
genau dann ein Jacobifeld, wenn das Feld Z
mit Z (t):= Z(~-t)
Jacobifsld l~ngs der umorientierten Geod~tischen ist, v g l . ~ ( i v )
in 4.3.
Daher folgt mit 4.3.(1) die Stetigkeit der Abbildung (u,v,t)---~<X~.~,Y'~>
,
und wir haben also gezeigt, da~ Q stetig ist. Die verlangten Stetigkeitsaussagen fur
~' ~o ergeben sich nun sehr ein-
fach, indem man die stetige Schar Q quadratischer Formen auf dem festen Vektorraum E betrachtet. W~hle etwa die Produktmetrik als euklidische Metrik fur E. Sei A Unterraum yon E mit
dim A =
~(~), so dab Q~ auf A
negativ definit, also Q~(u,u) • 0 f~r alle u ~ A , S:= [ u l u G A , ~uu = I~. Jo yon W i n
u @ O.
Setze
Da Q stetig und S kompakt, gibt es eine Umgebung
J, so da~ Q(u,u,t) = Qt(u,u) • 0
damit auch Qt(u,u) < 0
f~r alle u ~ A ,
~(t) ~ ( ~ ) ,
t £J . Andererseits war ~
~(t) = ~(~)
fur t GJo,
f~r alle u ~ S ,
u # O,
t ~Jo.
t ~ J ° und
Also gilt
schwach monoton wachsend, daher
O
t~,
und ~ i s t
Sei schlie~lich s~ Folge in J mit s ~ > ~ lim
~Po(S~) =
~Po(~), dann ist
linksseitig stetig in ~ . und
lim s~ = ~ .
Wir zeigen,
~Po rechtsseitig stetig in ~ .
Da
~o
schwach monoton wachsend und nur ganzzahliger Werte f~hig ist, kSnnen wir annehmen
~o(~) = k ~ 0
f~r alle ~ .
W~hle k-dimensionale Unterr~ume A ~ semidefinit, also
Q~(u,u) ~ 0
normale Basis yon A~.
Es gilt also
~'o(~) ~ k.
yon E, so da~ Q ~
fur alle u e A
auf A~ negativ 1 k . Sei a~,...,a~ ortho-
Wir nehmen an, da5 die Folgen ~
fur i=1,...,k
konvergieren, sonst greife man sukzessiv Teilfolgen heraus. Mit ai:= lim a~ o 1 k ist ao,...,a ° orthonormale Basis eines k-dimensionalen Unterraums A ° v on E.
Zu
i
u = .~4'=ioa ~ Ao
haben wir
Wegen der Stetigkeit yon Q folgt ist ~
auf A ° negativ semidefinit,
ergibt sich schlie~lich ist.
u~::
"
~ia~
i
• A/~
mit
lira u~= u .
Q~(u,u) = lim Q(u~,u~,$~) ~ 0 . Daher also
~o(~) ~ k,
und wegen
~o(~) ~ k
~o(~) = k = lim ~'o($~), womit der Satz bewiesen
-
153
-
Wir weisen noch einmal darauf hin, dab nach dem letzten Satz die kritischen Punkte der Exponentialabbildung eXpp f~r p 6 M
auf jeder Geraden
durch 0 in M isoliert liegen, sie k~nnen sich aber zum Rande des DefiniP tionsbereiches yon eXpp hin in Mp h~ufen.
[]
(i)
Wenn c:[O,~]
Indextheorem und ~ ( i i i )
wobei
~ ~ O
,S~
normale Geod~tische,
dann gilt nach dem
in 4.3.
Ind c
=
~(n-1)
,
falls
~
~
(~÷I)~)
Ind c o
=
~(n-1)
,
falls
~ . ~ <
(~+4)~,
eine ganze Zahl. Jede normale Geod~tische in
~n
hat den
(erweiterten) Index O . (ii)
Sei c: ~ , ~ ] - - - ~ M normale Geod~tische, c(O) =:p, c(~) = : q .
Der Index von c ist ein Ma~ f~r die Menge derjenigen Nachbarkurven von c mit Anfangspunkt p und Endpunkt q, die k~rzer sind als c~ v g l . r ~ ( v ) in 4.3.
Denn wenn
B C~" c
linearer Teilraum mit
dim B = ind c =:m
und I negativ definit auf B , so kann man jedem Feld sche Variation von c g e m ~
Y a B
eine kanoni-
4.5.(4) zuordnen und erh~lt so eine "m-dimen-
sionale Spindel" zu c benachbarter k~rzerer st~ckweise differenzierbarer Kurven von p nach q.
In Erg~nzung zu ~ ( i i i )
in 4.5. bemerken wir, dab
der Index von c gerade der Index des kritischen Punktes c der Bogenl~nge L (oder auch der Energie E) auf dem Wegeraum
~
ist, d.h. die Dimension Pq eines maximalen linearen Teilraumes solcher Vektoren im Tangentialraum an~
in c , in deren Richtung L f~llt, also ein echtes relatives MaxiPq mum in c hat~ siehe auch 7.6. Sobald
Ind c ~ 1 , gibt es also zu c beliebig benachbarte st~ckweise dif-
ferenzierbare Kurven yon p nach q,
die kUrzer sind als c.
k~rzeste Geod~tische von p nach q, so Punkte in (0,~), es kann aber ~
Ist c in M
Ind c = 0 , c hat keine konjugierten
konjugierter Punkt von c sein, wenn etwa
c Halbmeridian auf S~. (iii)
c:[~,@]--~M normale Geod~tische,
d~tische mit = Indoc -
?
o_: [~,~]---PM
c_(t):= c(~+ ~--t) • W a r u m gilt Best~tige f~r ~ ( ~ , @ )
zu c inverse Geo-
Ind c = Ind c
und o1:= cl[~,~],
,
Indoc =
c2:= o ~ V , @ ]
, dab
-
Ind c I + Ind c 2 ~ I n d (iv)
c,
154
-
Indoc I + Indoc 2 ~ I n d o c .
Eine Verallgemeinerung
des Indextheorems
f~r Brennpunkte
(vgl.[](v)
in 4.3.) findet man bei
W. Ambrose, "The index theorem in Riemannian
geometry",
73 (1961), 49-86 . Im Falle einer periodischen
Ann. of Math.
Geod~tischen
c interessiert man sich auch f~r den Index der Einschr~nkung
der Indexform auf den Unterraum aller geschlossenen Felder in hat Bott ein Indextheorem bewiesen,
/0'. Hier c den Index beliebig
das es gestattet,
h~ufig durchlaufener periodischer Geod~tischen mit der Kenntnis der Jacobifelder nach dem ersten Umlauf zu bestimmen,
siehe
R. Bott, "On the
i~ration of closed geodesics and the Sturm intersection
theory",
Comm. on
Pure and Applied Math. IX (1956), 171-206. (v)
In diesem Zusammenhang erw~hnen wir noch folgendes: Wenn p,q & M
q regul~rer Wert yon eXpp , dann ist f G r / 4 E ~ [0,1]
~ M yon p nach q,
deren L~nge ~
und
die Menge der Geod~tischen
nicht ~berschreitet,
endlich.
Wenn q kritischer Wert yon exp_, so ist die letzte Aussage im allgemeinen 2 P nicht richtig, wie man auf S? sieht, p:= Nordpol, q:= Sudpol. Notwendig ist auch,
da~ man nur Geod~tische beschr~nkter L~nge z u l ~ t ,
dazu etwa den Zylinder von 3.8.(iv). ci: [0,1]
LM von p nach q
mit
einen Konvergenzpunkt v mMp, /~um
OEMp
L(c i) "~_/~ , so hat die Folge vi:= ~i(O)
da a l l e v i in der kompakten Kugel vom Radius
liegen. Nun ist die Abbildung c:[O,I]
offenbar eine Geoditische
betrachte
Gibt es abz~hlbar viele Geod~tische
,M
mit c(t):= exp(tv)
yon p nach q, also hat nach Voraussetzung eXpp
in v maximalen Rang und ist daher nach dem Umkehrsatz in einer Umgebung yon v injektiv,
im Widerspruch dazu, dab exp(v i) = q
vergleiche auch [ ] ( i v )
Literatur zu
f~r alle i . Man
in 4.5. sowie [] (iii) in 5.3-
§ 4 :
R. Bishop und R. Crittenden, "Geometry of manifolds", Academic Press (1964), New Y o r k . O. Bolza, "Vorlesungen ~ber Variationsrechnung", B.G. Teubner (1909), Leipzig und Berlin .
-
155
J. Milnor, "Morse theory", Princeton University
-
Press (1963),
Princeton.
M. Morse, "The calculus of variations in the large", AMS Colloquium publications XVIII (1934), New York . H. Seifert und W. Threlfall, "Variationsrechnung Chelsea Publishing Co. (1951), New York.
im Gro~en",
S. Sternberg, "Lectures on differential geometry", Prentice-Hall (1964), Englewood Cliffs, N.J.
-
5
§
5.1.
Riemannsche
Eine Abbildung
(1)
?(P,q)
=
~(q,p)
(2)
~(p,q) ~
~(p,r)
(3)
?(p,q) =
O,
~: E W E
~(p,q)<~
~
genau wenn
nun sine zusammenh~ngende
,M
gend, ist ~ p q
heist sine Abstandsfunk-
p = q. ~
sine Abstandsfunktion,
Raum, wenn die Kugeln
um Punkte p ~ E mit Radius
Betrachte
~0,1]
zuordnen kann.
(Dreiecksungleichung)
~ : E xE
sin metrischer
yon E bilden.
~
die
(Symmetrie)
Topologie
FUr p,q & M bezeichne
~R
Struktur,
gilt:
+ ~(r,q)
Raum und
so heist E zusammen mit
metrischen
Riemannschen Mannigfaltigkeit
tion auf E, wenn fur alle p,q,r E E
Ist E sin topologischer
R~ume
Manni~faltigkeit.
uns jetzt mit der natUrlichen
Sei E sine Menge.
Kurven
als metrische
einer Riemannschen
man jeder zusammenh~ngenden
= {q ~ q ~ E ,
-
Mannigfaltigkeiten
Die Abstandsfunktion
Wir besch~ftigen
156
Riemannsche
~0
Pq mit Anfangspunkt
sine Basis fur die
Mannigfaltigkeit
die Menge der stUckweise p und Endpunkt
M.
differenzierbaren
q . Da M zusammenh~n-
nicht leer. Erkl~re sine Abbildung
?(p,q):= inf { ~(c)l o~pq}
Bi(p):=
~ : M~M----b~
durch
,
wobei L(c) wieder die L~nge der Kurve c bezeichnet.
Man hat dann das
felgende
Behd:
M zusammen mit
Wir nennen Bew~:
~ die Abstandsfunktion
Die Eigenschaften
Man beachte
(1) und (2) folgen unmittelbar
sine Kurve aus ~ q p ,
und c 2 £ ~ r q
Raum.
von M.
dazu: Wenn c sine Kurve in ~ p q ,
c (t):= c(1-t) Cl ~ p r
~ ist sin metrischer
, so ist
aus der Definition.
so ist c_: ~,I]---~M
und es gilt c:~O,1]---,M
L(c) = L(c_). mit
m.it Wenn
c(t) = c1(2t)
fur
-
f~r t ~ O , ~
157
=
und c(t) = c2(2t-1) fGr t ( ~ ,
1~ eine Kurve in ~pq und
L(c) = L(c I) + L(c2). Zu (3): folgt
Offenbar ±st p = q.
~(p)p) = 0.
Es bleibt zu zeigen,
Dazu w~hle man eine
Exponentialabbildung
£-Kugel U£
eXpp des Levi-Civita-Zusammenhangs
auf eine Umgebung yon p abgebildet differenzierbare l~nger als d~tische
Kurve)
£ ) und f~r
q E exp(U z)
Wit mEssen noch schlie~en,
die
?(p,q)
= 0
J-Kugeln
und jede Umgebung eines Punktes p ~ M
(p,)q,)
aus
FIx M
dab
mit
~
st~ckweise in 4.4.
ist die yon p nach q laufende GeoWeil aber L(c) = O,
daher
p = q.
Bj(p) um Punkte p E M
eine Basis f~r die Topmlogie yon M, d.h. die Kugeln
~berlegen wir zun~chst,
= O
f~r M diffeomorph
ist nach ~ ( i i )
k~rzeste Verbindung.
folgt aus
~(p,q)
die v o n d e r
Jede von p ausgehende
die exp(U£) v e r l ~ t ,
c:[O)1~--=,exp(U a)
genau wenn c konstant,
wird.
aus
um 0 in Mp,
enth~lt eine
bilden
B~(p) sind offen, J-Kugel
um p . Dazu
stetig ist. F~r eine Folge yon Punkten
limp,
= p ) lim q, = q
wendung der Dreiecksungleichung
findet man unter Ver-
und Symmetrie
~(P~)q~)
~
~(P,q)
+ ~(p,p~)
+ ~(q,q~)
,
~(P~)q~)
~ ~(P,q)
- ~(p,p~)
- ~(q,q~)
•
Deshalb genGgt es, f~r eine Folge p~
in M mit
lim p~ = p
zu zeigen,
lim ~ (p,p~) = O • Betrachte wieder eine Kugel U um 0 in Mp , die von eXpp diffeomorph (5)
in M eingebettet ~(P,q)
Da f~r fast alle
=
wird. Nach ~ ( i i )
ll(exp~u)-l(q) II
in 4.4. hat man
f~r alle
~ die Punkte p~ in der offenen Menge
erh~lt man mit (5) die Stetigkeit
yon
q ~ exp(U)
exp(U)
~ wegen der Stetigkeit
.
liegen, yon
ll(explu)-lll. Da ~
stetig,
sind die
J-Kugeln
jede Umgebung V yon p enth~lt eine phes Bild einer offenen W~hle ~ so, da~ renzierbare
BS(p) offen. Wir ~berlegen J-Kugel
um p, die man als diffeomor-
~-Kugel U 8 um 0 in Mp unter eXpp gewinnt.
exp(U~) in der Umgebung V yon p liegt und
Einbettung.
schlie~lich)
Dann gilt
finder man wegen (5) zun~chst
B~(p) = exp(U~).
expIU~ diffe-
Denn mit VI:= exp(U~)
V S C B~(p). Ferner ±st V~ offen in M,
- ~58 also auch offen in B£(p). Andererseits Denn wenn q~ eine Folge in V~ mit Konvergenzpunkt daher
v ~$
ist VI auch abgeschlossen
lim q, =:q ~ HI(P),
der Folge
~Vll =
Stetigkeit
~(p,q)<~
yon exp mithin
mit L ( c ) ~
VI = Bi(p),
, und man hat
yon ~
v~UI,
Mit (5) erh~it man lim
||v~u = 9(P,q)"
so da~ wegen der
exp(v) = q . Nun ist BI(p) wegzusammenh~ngend,
also auch zusammenh~ngend. c ~pq
so gibt es einen
v, := (expIUj)'1(qy).
~(p,q~) = ~v~N und wegen der Stetigkeit
Also folgt
in BZ(p).
Denn wenn
q ~Bi(p) ,
, d.h. c verl~uft
so gibt es eine Kurve
ganz in B~(p).
Damit folgt
und das Lemma ist bewiesen.
Wir Uberlegen noch, dab 9 2 fur jeden Punkt p ~ M auf einer Umgebung yon (p,p) in M X M in 2.8.
differenzierbar
die Abbildung
in TM umkehrbar ist. ~ x exp (W) , U
um O in M q4
~xexp
in einer Umgebung W yon 0
exp%. fur j e d e s
umkehrbar.
yon p mit
ql ~ Bt(p)T
i n der
Be(p) B~(p) 2~
-~-- Kugel
Es gilt dann nach (5)
ql
?(ql,q2 ) =
ql,q2 ~ B~(p),
sieht man,
dab
differenzierbar Au~erhalb
keit und
woraus die Differenzierbarkeit
ist, da
(~xexp|w)'l(ql,q2)
einer hinreichend
(i) ~
f~r p,q ~ N .
Ist
ll(expluq4)-~q2)N = ll(rxexpLW)-1(ql,q2)ll yon
~2 folgt.
~ his auf die Punkte der Diagonalen in
9 2 im allgemeinen
~ 0
fur
Ferner
B~(p) x B~(p) ql ~ % q2 "
kleinen Umgebung der Diagonalen
in M X M
ist
nicht mehr differenzierbar.
N ~ M
zusammenh~ngende
die Abstandsfunktion Gib ein Beispiel,
wendig Ubereinstimmen,
wenn
d~tisch in M, v g l . [ ] ( i i i ) wenn M und N vollst~ndig, (ii)
: T~---~MXM
W~hlt man eine ~ -Kugel B ~ ( p )
so ist
(6) fur
ist. Dazu beachte man, dab nach dem Satz
Sei allgemeiner
zierbare Abbildung.
Untermannigfaltig-
yon N, so folgt u n m i t t e l b a r ~ ( p , q ) R ~ ( p , q ) dab ~ und ? auch dann auf N x N
dim N = dim M
oder allgemeiner
nicht notN total geo-
in 3.7. und (iii), im letzteren Fall auch nicht, siehe 5.3.
N zusammenh~ngende
die Abstandsfunktion
Riemannsche
yon N und
Es folgt sofort
p,q a N • Falls f isometrischer
Riemannsche
f: N---~M
Mannigfaltigkeit,
eine isometrische
~(p,q) ~ ( f ( p ) , f ( q ) )
Diffeomorphismus
differen-
fur alle
von N auf M, gilt die
c
-
159
-
letzte Ungleichung auch in umgekehrter Richtung, (7)
so da~
~(p,q) = ~(f(p),f(q))
f~r alle
also f eine Isometrie im metrischen Sinne. Sei umgekehrt und f eine Isometrie im metrischen Sinne, fist
stetig und injektiv,
nach ~ ( v i ) vgl.
in 1 . 1 .
p,q~N, dim N = dim M
d.h. es gelte (7).
Zeige,
daher offen und eine topologische Einbettung
Es ist nicht schwer zu sehen,
R. Palais, "On the differentiability
da~ f differenzierbar,
of isometries",
Proc. AMS 8
(1957), 805-807 . Schlie~e unter Verwendung normaler Koordinaten g e m ~ 3.8.(ii), wenn f differenzierbar,
so ist f isometrische Abbildung im
Riemannschen Sinne. Uberlege direkt,
eine isometrische Abbildung im metrischen Sinne yon
,~n+l
in sich bez~glich der kanonischen Metrik ist affin und ihr linearer Teil orthogonal. sphere
Man folgere damit, da~ eine metrische Isometrie
Transformation von schen Isometrie (iii)
N C M
~n+1
F:
~n+l
,IR
zusammenh~ngende
standsfunktion
~.
Uberlege,
5.2.
= ~ IVXV,
n+1 erweitert. Riemannsche Untermannigfaltigkeit
N ist genau dann total geod~tisch in M,
vergleiche auch (i).
Konvexe Mengen.
Abstandsfunktion
Riemannsche Mannigfaltigkeit M mit
~ und legen den Levi-Civita-Zusammenhang
Sei G offene Teilmenge von M.
zu Grunde.
G heiBt einfach, wenn es zu zwei Punkten
h~chstens eine Geod~tische c: ~,I]---,G
gibt. Mit G i s t
mit c(O) = p
und c(1) = q
auch jede offene Teilmenge yon G einfach. Wir nennen G
konvex, wenn es f~r je zwei Punkte p,q ~ G mit
mit Ab-
eine Umgebung V yon p in N gibt, so da~
Wir betrachten eine zusammenh~ngende
p,qEG
linearen
auf sich ist, indem man f radial zu einer metri-
wenn es zu jedem Punkt p ~ N ~IVxV
f der Standard-
S n C ~ n+1 in sich Einschr~nkung einer orthogonalen
L(c) = ~(p,q)
eine Geod~tische c yon p nach q
gibt, die ganz in G verl~uft.
wenn G konvex und einfach ist und au~erdem alle
G heist stark kon~ex~ ~-Kugeln
Bj(p) C G
konvex sind. Ist G stark konvex, so auch jede konvexe Teilmenge yon G .
-
160
-
Wir wollen jetzt die Existenz stark konvexer Umgebungen f~r jeden Punkt p•M
nachweisen. Die Grundidee zu den folgenden Aussagen geht auf
Whitehead zur~ck, der als erster das entsprechende Problem f~r allgemeine lineare Zusammenh~nge behandelt hat, vgl. J.H.C. Whitehead, "Convex regions in the geometry of paths", The Quarterly J. of Math. 3 (1932), 33-42 . FOr eine normale Geod~tische c: [0,~3
*M
bezeichne Ic die Einschr~nkung
der Indexform auf den Vektorraum der Jacobifelder Y l~ngs c m i t und
= 0
Y(O) = 0.
Vor--:
B~(p) sei eine offene
~-Kugel um p ~ M, derart da~ f~r alle q a B~(p) die
2J- Kugel Uq um 0 in Mq yon eXpq diffeomorph auf B2~(q)
ahgebildet wird. F~r jedes v ~ M
mit KVll = I p die normale Geod~tische mit Cv(t):= exp(tv). dieser Geod~tischen die Indexform I
bezeichne c :~O,~J---,N v Ferner sei f~r jede
positiv definit.
Beh.:
ov Die Kugel B~(p) ist konvex und einfach.
Bew.:
Zun~chst folgt mit den Uberlegungen yon [ ] ( i i ) in 4.4. sofort,
da~ B~(p) einfach und jede Geod~tische in B£(p) K~rzeste in M i s t . noch zu zeigen, Bj(p) ist konvex. Dazu betrachte man f~r q ~ B j ( p )
Es bleibt die nicht
leere Menge A der Punkte in B4(p), die sich mit q durch eine Geod~tische in Bi(p) verhinden lassen. Das Lemma ist bewiesen, wenn wir schlie~en, da~ A offen und abgeschlossen in B~(p) ist, da Be(p) zusammenh~ngend. A ist offen: Sei q ' ~ A
und c Geod~ische yon q nach q' in B~(p). Lifte c
durch eXpq zu einem yon 0 ausgehenden Strahl ~ in Mq. U~gebung der kompakten Bildmenge yon ~
eXpq bildet eine
diffeomorph auf eine Umgebung der
Bildmenge yon c in B~(p) ab. A ist abgeschlossen in Bj(p): Sei q'£B~(p) H~ufungspunkt von A und q~ eine Folge in A mit konvergiert die Folge
lim q, = q'. Da expIUq u~:= (explUq)-1(q~)
Dann verl~uft die Geod~tische
diffeomorphe Einhettung, gegen
c:[0,1~---~B2~(q )
u:= (expIUq)-l(q ') mit c(t):= exp(tu)
Uq
yon q
nach q' ganz in Bs(p). Dies folgt wegen q,~ A durch ein Stetigkeitsargument, wenn wir zeigen, es existiert to~(O,1) c den Rand yon B~(p) trifft. Wenn aber f~r so betrachte die normale Geod~tische cv f~r
mit C(to) ~ ~ ( p ) ,
Eo~ (0,1) gilt
sobald
~(p,C(~o))= ~ ,
v:= ~I (exp~Up)-~ c(ao)
und
-
161
-
definiere mit einem hinreichend kleinen offenen Intervall J
um 0 in O
eine Variation V: [O,~JxJ ° )M yon c v dutch V(t,a):= = e x p ( ~t (explUp)-1 c( E+ go )) • Da f5r die Bogenl~ngenfunktion L yon V gilt
L(O) = ~ , ist die letzte Aussage klar im Falle L'(O) @ 0.
L'(O) = O, Y(O) = O,
so ist
Y e~c v
= O,
mit
Y ~ 0
Y(t):= V~D2~t, °
und
Wenn
ein Jacobifeld mit
L"(O) = Icv(Y,Y) > 0
nach Vorausset-
zung, so da5 L in 0 ein relatives Minimum hat. Mit Hilfe des Lemmas erhalten wir den wichtigen
Beh.:
Zu jedem Punkt p ~ M
so da~ die Kugel B;(p)
gibt es ~ > 0 ,
stark konvex ist. Bew. :
Die Abbildung
a-xexp : T~
eine Umgebung von 0 in M X M ~':=
P ab. Man w~hle
~"/3.
F~r
~"
Cv: ~0,~']--,M
so da~
B~,,(p)XB~,,(p) C G
qeB~,(p)
mit
~(v) =
re_it Cv(t):= exp(tv)
und
bildet nach dem Satz in 2.8.
die Kugel
und setze
B2~,(q)
diffeo-
2~'- Kugel um 0 in Mq unter eXpq.
v,w ~ - 1 ( ~ , ( p ) )
Yvw(O) = 0
>0,
Dann ist fGr jedes
morphes Bild der
,M X M
in TM diffeomorph auf eine Umgebung G yon (p,p)
Y'vw(O) = w.
(v,w,t)--~Yvw(t)
und
~(w)
hat man die Geod~tische
und das Jacobifeld
Yvw l~ngs c v mit
Zun~chst sind die Abbildungen (v,w,t)-@Yvw(t),
(v,w,t)--~Yvw(t)
= - R(Yvw,~v)~v~ t
stetig, wie
man etwa mit dem Lemma in 4.3. sofort sieht, denn die Abbildung (v,w,t,e)
~ t ( v + EW )
Dann ist die Funktion
D < Yvw' Yvw >, o A:=
=
~ Yvw ~vw >, o
~E(O,I'],
D ~Yvw,Yvw>it
> 0.
~(v)=
= ~w~ 2
wegen
Daher wachst
und die Menge
Uv" = "w" = I}
t~[O,~] auf
und
kompakt,
(v,w)eA
gilt
[0,~3 streng monoton,
I c (Yvw,Yvw) = |~ > 0
Die Behauptung folgt Vnun f~r ~
in 1.10.
stetig, und weil
Yvw(O) = 0
~(w)(BL,(p),
so daS fur alle
und mit 4.5.(3) hat man dann (v,w)~A.
vgl. hierzu ~ ( i v )
(v,w,t)--,D |t
{(v,w)~v,weTM,
gibt es
ist differenzierbar,
f~r alle
aus dem Lemma.
A
F~r jedes p E M bezeichne r(p)~ ~
das Supremum aller Zahlen ~ ,
Bj.(p) s t a r k konvex i s t ,
~
dabei i s t
f~r die
d i e Z w e i p u m k t - K o m p a k t i f i z i e r t m g yon I~.
-
r(p) hei6t der Konvexit~tsradius Satz ist r(p) > 0
Falls
Denn mit
und es folgt
~
Br(p)(p) ist auch
r(q) ~ r(p)- ~(p,q),
r(q) > r(p) , hat man auch
mit (1) die Stetigkeit
Br(p)_q(p,q)(q) r(p)- r(q)
also
p ~Br(q)(q)
und also
stark
~f(p,q).
r(q)- r(p)%~(p,q),
der Abstandsfunktion
nun fur p E M die Menge der Zahlen UI
~-Kugel
~>
ergibt sich
O, fur die
exp|U~
dell-
um O in Mp . Das Supremum dp dieser
~ nennen wir den Injektivit~tsradius
vom Radius d
Ist r(p) endlich
yon r.
niert und injektiv ist, Zahlen
p--,r(p)
~(p,q)
(I) gezeigt ist. Aus der Stetigkeit
Betrachte
mit
gibt mit r(Po) = @o, so sind alle Kugeln
Ir(p) - r(q)l
q EBr(p)(p).
womit
r: M - - , ~
so gilt
(1)
konvex,
Die Abbildung
und es gilt dann r(p) = o@ fur jedes p e M .
fur alle p f M ,
wenn
-
yon M im Punkte p. Nach dem letzten
fur jedes p £ M .
ist stetig: Falls es ein Po ~ M in M konvex,
162
yon eXpp. Sei U die Kugel
und B(p) die Kugel um p in M vom Radius d . Nach P P dem Lemma in 5.3. l~Bt sich p mit jedem Punkt q ~ B(p) durch eine kUrzeste Geod~tische v ~U explU
um 0 in M
P
verbinden.
[O,I]--,M
sind dann eindeutig bestimmte KUrzeste. Uberall maximalen
vgl. auch ~ ( i v )
mit
t--,exp(tv)
Nach 4.3. und 4.5.
Rang, ist also ein Diffeomorphismus
in 4.5.
dA:= inf {dp~ p E A } l~t
Die Geod~tischen
fur
hat
auf B(p),
Man nennt f~r eine Teilmenge A yon M die Zahl
, die ElementarlKnge
yon A in M. Jeder Punkt p E A
sich also mit einem q & M durch genau eine k~rzeste Geod~tische
c:[0,I]-
,M
verbinden,
sobald
~(p,q) < d A.
Falls A kompakt,
so
dA >
O.
Denn fur p E M gilt r(p) ~ dp, und die a~etige Funktion r nimmt auf A ein positives Minimum an.
[]
(i)
FUr alle p E ~ n
FUr
p f ~n-{o}
ist
FUr
p ES~
dp = ~
ist
2-dimensionale ein
p&M.
dab
r(p) = T
ist d p =
dp = #pK,
Riemannsche
, also
(O] offenbar
~,
also auch d A = ~ , d A = O, wenn
dA : m'~,
A ~ S~
A =
A c ~ n beliebig.
~ n _ (O~.
beliebig.
Gib e i n e
Mannigfaltigkeit
M an, so dab d = ~ P in 4.5. fur den Konvexit~tsradius
Folgere mit [ ] ( i )
Warum ist jede yon S~
Teilmenge in einer Hemisphere •n
also
enthalten?
r(p) = ,p,l.
fur genau auf S~,
verschiedene
konvexe offene
In
r(p) = @@,
,~n gilt
in
-
(ii)
M zusammenh~ngende
mit Abstandsfunktion
163
Riemannsche
~,
p ~M.
-
Mannigfaltigkeit
Sei r ° > O
fene Kugel Uro um O in Mp mit Radius r ° diffeomorph in M abbildet.
Die Funktion
wegen 5.1.(5)
differenzierbar
von
~,
~:B r (p)---~W O
fur
denn die Ableitung yon
verschieden.
mit
q @ p
und
~(q):=
tenfeld yon
~ sofort,
~'l(r)
ist
regul~rer Wert
kompakten
yon M betrachten,
Nach dem Gau6schen
~q
~(p,q)
r e(O,r o)
~ in radialer Richtung ist offenbar yon 0
Sr(P):=
sph~ren um p mit Radius r.
dab expp die of-
auf die Kugel Bro(P)
Daher kann man die (n-1)-dimensionalen
Untermannigfaltigkeiten
der Dimension n
so gew~hlt,
Riemannschen
die Abstands-
Lemma folgt fur das Gradien-
ist der Tangentenvektor
im Bildpunkt
q der
in B r (p) verlaufenden normalen Geod~tischen c yon p nach q, also ~ W l = . . . des . . Einheltsnormalenfel d es Sei ~o die zweite Fundamentalform bezugllch V~
yon Sr(P) in M,
tangential
zu Sr(P),
E(v,w)
= ~v~Ze,w>
vgl. 3.7.
Zeige,
wenn X,Y die Jacobifelder Y(r) = w.
l~ngs c m i t
fur q e S r ( P )
e(v,w) =
X(O) = Y(O) = 0
also nach dem Lemma Br(P) konvex und einfach,
und v , W a M q
~X',Y~r
Sobald expp die Kugel U2r diffeomorph
= I(X,Y)
und X(r) = v,
auf B2r(P) abbildet,
Tangentialraum
des zweidimensionalen
yon Sr(p) in q
kr~mmungen K ~ yon M , (2)
Man ~berlege, und
A
(n •2),
= K~ +
det
linearen Teilraums
O ~
r
~ K~ ~ ~r
~
(I(X,X) \I(X,Y)
fSr alle hinreichend kleinen
, so dab
Sind v,w ortho~
im
dann hat man zwischen den Schnitt-
K~ yon Sr(P) bez~glich ~¢
ist
falls die zweite Fundamen-
talform in allen Punkten der Sphere Sr(P) positiv definit. normale Basisvektoren
1.
nach 3.7.(9)
die Beziehung
I(X,Y)~ I(Y,Y)/ r • O
gibt es Zahlen
fur jede zu Sr(P) tangentiale
~r Ebene
r
und (3)
lim
Man kann v,w so w~hlen,
r2 ~ dab
=
Sei pEN,
N C M u~Mp
1/r 2
Riemannsche
r2 A
=
~(v,w) = I(X,Y) = 0,
Nach (3) haben die Abstandssph~ren konstante Kr~mmung
lim
~r
--
well
~
= 1
.
symmetrisch.
Sr(P) um p in M asymptotisch
wie im euklidischen Untermannigfaltigkeit
Einheitsnormalenvektor
lim
zu N,
Raum
~n
der Codimension also
die gleiche
.
.uu = 1
und
1 in M, ~u,v> = 0
-
fur a l l e v es gibt
164-
~ N p , e die zweite Fundamentalform auf Np bezSglich u • Zeige, r o > 0,
so daS Br(p)
konvex und einfach ist und
genau zwei Zusammenhangskomponenten
G+r ' Gr-
Br( p ) - N
zerf~llt fur alle
in
r a(O,ro] ,
wobei u nach G- weisen soll. Dann ist G + konvex fur alle hinreichend r r kleinen r, wenn ~ positiv definit. Umgekehrt ist e positiv semidefinit, falls G + r (iii)
konvex.
Ist A kompakte Teilmenge der zusammenh~ngenden
Riemannschen Mannig-
faltigkeit M und dA die Elementarl~nge yon A, so schlie~e man ohne Verwendung des Konvexit~tsradius dab (iv)
direkt mit dem Satz und Lemma 2 in 2.8.,
dA > 0 , man vergleiche hierzu auch 5.4. M,N zusammenh~ngende
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
sion mit Abstandsfunktionen trische Abbildung. metrischen Sinne, in N ,
so da~
Zeige,
9, ~ fist
und
f: N--,M
differenzierbare
isome-
lokal eine isometrische Abbildung ±m
d.h. zu jedem Punkt p ~ N
~(ql,q2 ) =
gleicher Dimen-
~(f(ql),f(q2))
gibt es eine Umgebung V yon p fur alle q l , q 2 ~ V ,
vgl.~(ii)
in 5.1.
5.3-
Vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Ein metrischer Raum E heiBt vollst~ndig,
wenn jede Cauchy-Folge in E
konvergiert.
Riemannsche Mannigfaltigkeit
Sei M eine zusammenh~ngende
mit Abstandsfunktion bezUglich
~.
M heist vollst~ndig,
p vollst~ndig ist. Wenn M kompakt,
rerseits ist etwa
R n vollst~ndig,
falls M als metrischer Raum so ist M vollst~ndig.
Wir wollen jetzt den f~r die gesamte globale Riemannsche Geometrie mentalen Satz yon Hopf-Rinow ableiten, yon M charakterisiert Levi-Civita,
funda-
der die metrische Vollst~ndigkeit
durch die Vollst~ndigkeit
d.h. durch die Vollst~ndikeit
des Zus~mmenhangs yon
des zugeh~rigen geod~tischen
Sprays. Von de Rham st-mmt eine vereinfachte Argumentation, Beweis des folgenden Lemmas find~t.
Ande-
aber nicht kompakt.
die sich im
-
Vor.:
-
M zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion ?
und Levi-Civita-Zusammenhang.
die offene Kugel vom Radius offene Kugel vom Radius Beh.:
165
Wenn fur
~> 0
~ um 0 in Mp und B~(p) wieder die
die Kugel U~
ganz im Definitionsbereich der Expo-
~(0,~) Bew.:
FUr
sich p mit jedem Punkt
durch eine Geod~tische c verbinden, so da~
Insbesondere ist
L(c) = ~(p,q) •
eXpp: U~--,Bg(p) surjektiv. Ferner ist fur jedes
die abgeschlossene
~E(0,¢)
sei U@
~ um p in M.
nentialabbildung eXpp liegt, so l ~ t qgBg(p)
FUr p ~ M und ~ > 0
~-Kugel~(p)
kompakt.
bezeichne CI die Menge der Punkte
qg~g(p),
mit p durch eine Geod~tische Cq verbinden lassen, so daS Wir zeigen, da~ C~ kompakt und
C~ = ~I(p)
fur jedes
~(p,q) = L(Cq) •
~((0,~) .
Sei q H~ufungspunkt yon C8,
q~ Folge in C8 mit
lim q~ = q.
findet man ein
exp_(v~) = q~
Mv, M = ~(p,q~).
v~G~
mit
und
die sich
Zu jedem q~ Die Folge
1J
v~ hat in der kompakten Menge U@ einen Konvergenzpunkt v. keit yon eXpp und
~ gilt fur die Geod~tische
= exp(tv) offenbar
Betrachte die Menge A der Zahlen ~((O, ~) nach 5.1. eine Umgebung yon O. Intervall. Denn wenn und gilt
C~ = ~
mit
L(Cq) = ~(p,q), so da~ C~ abgeschlossen in
und damit kompakt ist, da C~ in der kompakten Menge
C~ = ~go(p) ,
Wegen der Stetig-
Cq: [O,I]---~M
fur
mit
Cq(t):= ~@(p)
exp(~@) enthalten ist.
C~ = ~S(p) • A enth~lt
Ferner ist A ein in (0,£) abgeschlossenes
C~ = ~so(p) , 0<~<~
so auch
C~ = ~@(p) fur 0 < ~ < ~
, dann folgt
weil C~ abgeschlossen.
B@o(p) ~ C ~
g
,
und
Das Lemma ist bewiesen, sobald man
zeigt, da~ A auch of fen ist. Sei ~ o E A .
Die stetige Funktion
r: M - - ~
yon 5.2., die jedem Punkt p E M
den Konvexit~tsradius yon M bez~glich p zuordnet, nimmt auf der kompakten Menge so gilt
C~ = ~ ( p )
ein positives Minimum ~' an. W~hlt man
C~,.~ = ~8.+~(p) • Da C~+ 1 abgeschlossen,
B~.~(p) ~ C~o÷~ zu best~tigen und wegen B~,+ ( p ) - ~ I ( p ) ~ C4÷~ nachzupr~fen. eine Folge yon Kurven etwa so, daS
c,:[~,~1
,M
L(c~) --~~(p,q) + ~ •
0 < ~ < min(~',~-~o),
gen~gt es, die Inklusion
B@(p) ~ C~+~ bleibt nur noch
Sei also
q(B~÷
yon p nach q mit
(p)-~(p)
•
Betrachte
lim L(c~) = ~(p,q),
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es
-
t~e[~,~]
mit
?(p,c,(t~)) = 4 "
pakten Menge
~#o(p) - B~(p)
(I)
166
-
Die Folge
~:=
c~(t~) hat in der kom-
einen H~ufungspunkt ~ .
~(p,q)
= ~(p,~)
+
~(~,q)
Dann gilt
.
Denn zun~chst ist L(c~) ~ ? ( p , ~ ) + ~ ( ~ , , q ) , nach Wahl yon c~ also 1 ~-+~(P,q) ~ ? ( p , ~ , ) + ~ ( ~ , , q ) • Andererseits gibt es zu jeder natGrlichen Zahl m eine Zahl >
~m
mit
?(~,~)<~
$(P,~) +~(~,~) +~(~,~) +~(~,q)
I ,
3 + ?(p,q) > so da6 -~
m P(P,~) +~(~,q) • Daher
p(p,q) ~_.
~_ ?(p,~)+?(~,q) , und mit der Dreiecksungleichung folgt (I). Nach Konstruktion yon ~ gilt Geod~tische nun
c: [O,~o]
9(~,q)<~
,
,M
~(p,~) = ~ . Daher gibt es eine normale o von p nach ~ . Mit (1) folgt wegsn ?(p,q)<~,.~
q liegt also in der stark konvexen Kugel B~(~), und es
existiert genau eine normale Geod~tische
~: [~o'~]--~M
der I//nge ~(~,q)
yon ~ nach ~ . Die Zusammensetzung yon c und ~ ergibt eine st~ckweise normale Kurve ~ yon p nach q mit
L(~) = 9(P,q)
normale Geod~tische, v g l . ~ ( i i i )
in 4.4.
wegen (I), so dab
Wir haben im Beweis den Konvexit~tsradius verwendet, das war nicht nStig. Man kann f~r ~' nat~rlich ebenso die Elementarl~nge dA der kompakten Menge A = C~
w~hlen, und es ist
dA >
0
etwa auf Grund yon ~ ( i i i )
in 5.2.
odor nach 5.4.
[me] Vor • :
(H. Hopf, W. Rinow) M zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion ~ und Levi-Civita-Zus~mmenhang.
Beh.:
Folgende dre± Aussagen sind gleichwertig: (a)
Mist
vollst~ndig.
(b)
F~r jedes p g M ist die Exponentialabbildung eXpp auf ganz M
(c)
definiert. P Jede bez~glich ~ beschr~nkte Menge G C M i s t d.h.
relativ kompakt,
~ ist kompakt.
Ferner impliziert jede der drei Aussagen (a),(b),(c) die Aussage (d)
Je zwei Punkte p,q g M lassen sich in M durch eine Geod~tische der IXnge
~(p,q) verbinden.
-
167
-
Der urspr~ngliche Beweis dieser Aussagen in H. Hopf und W. Rinow, "Uber den Begriff der vollst~ndigen differentialgeometrischen Fl~che", Comm. Math. Helv. 3 (1931), 209-225, fGr den Fall
dim M = 2
lieB sich in nahezu
gleicher Formulierung auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension Ubertragen. Vergleiche auch
G. de Rham, "Sur la r@ductibilit~
d'un espace de Riemann", Comm. Math. Holy. 26 (1952), p. 341 • Bew.:
Zun~chst ist die Implikation "aus (c) folgt (a)" klar, da eine
Cauchy-Folge beschr~nkt ist und daher in einer beschr~nkten abgeschlossenen Menge liegt, die nun nach Voraussetzung kompakt ist. In einer kompakten Menge konvergiert aber jede Cauchy-Folge. Aus (a) folgt (b): Es genUgt zu zeigen, dab fur ein v m M abbildung eXpp auf dem ganzen Strahl 2.9.(10) gilt
exp(tv) = ~ O ~ v ( t ) ,
[tv I t ( n ~ + )
wenn ~ v die maximal definierte Inte-
gralkurve des geod~tischen Sprays S mit zu zeigen, dab alle
t C ~+
Der Definitionsbereich yon
~v(O) = v
ist. Es gen~gt daher
zum Definitionsbereich yon
~v geh~ren.
~v ist zun~chst ein offenes Intervall J um 0
in ~ . Es bleibt zu ~berlegen, da~
J ~ ~ + abgeschlossen in
Sei daher ~0,~) ~ J . Wir schlieBen,
~÷.
~ v ist dann auch in ~ definiert.
Dazu betrachte man eine Folge t~ in ~O,~) mit ~exp(t,v),exp(t~v))
die ExponentialP definiert ist. Nach
lira t w = ~ .
~ ~t~-t~l l|vl| ~ also die Bildfolge
Nun ist p,:= exp(t~v)
eine Cauchy-Folge in M ~ die wegen (a) gegen einen Punkt q ~ M konvergiert. FUr die Folge punkt in TM,
v := ~v(t~)
gibt es dann wenigstens einen Konvergenz-
denn man hat |Iv~|~ = IvJ|, und f~r eine kompakte Nachbar-
schaft W von q & M
ist auch
~-I(w)~
gleiche auch K ~ ( i i i ) in 3.4. ~v
in ~ definiert, da
~w ~ w ETM,|lwi| = llvu] kompakt, ver-
Nach dem Fortsetzungssatz in 8.7. ist dann
~ v maximal definierte Integralkurve war.
Es bleibt zu zeigen, da~ aus (b) die Aussagen (d) und (c) folgen. Weil eXpp auf ganz Mp definiert ist, folgt nach dem Lemma, dab sich jeder Punkt q ( M mit p durch eine Geod~tische der L~nge
~(p,q) verbinden l ~ t ,
gilt (d). Wenn p ~ M, so liegt fur genEgend gro~es
~ eine beschr~nkte
Menge G in der Kugel
B~(p) um p . Nach dem Lemma ist
also auch
kompakt.
~ ~i(p)
also
~6(p) kompakt,
-
Die Aussage
168
-
(b) ist mit folgender Aussage ~quivalent:
(b')
Es gibt einen Punkt p c M, so da6 die Exponentialabbildung eXpp auf ganz M
definiert ist. P Es folgt n~mlich aus (b') die Vollst~ndigkeit Folge in M .
Dann ist die Folge
$(p,q,)
von M.
Sei q~ eine Cauchy-
beschr~nkt.
Da es nun zu jedem
q~ nach dem Lemma eine Geod~tische c~ yon p nach q~ gibt mit =
?(p,q~),
existiert
v~ ~ M p
mit
urals =
9(P,q~)
und
Die Folge v, liegt in einer beschr~nkten Menge von Mp, einen Konvergenzpunkt
v in Mp,
Aus der Vollst~ndigkeit
also konvergiert
yon M folgt andererseits
L(c,) =
exp(v~) = q~. und sie hat daher
die Folge q, gegen exp(v). nach dem Satz wieder die
Aussage (b).
[
(i)
N ( N
zusammenh~ngende
vollst~ndig, mit
t
(ii)
]
M zusammenh~ngende
vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit,
Riemannsche Untermannigfaltigkeit.
wenn N abgeschlossen in M ?
b sin ~
in
ist vollst~ndig,
Nit dem Whitneyschen
Der Graph der Funktion
~+-~ R
aber nicht abgeschlossen in
Einbettungssatz yon [ ] ( v i )
folgt, auf jeder zusammenh~ngenden
Warum ist N
differenzierbaren
2
in 1.6. und (i)
Nannigfaltigkeit
sich die Struktur einer vollst~ndigen Riemannschen Mannigfaltigkeit
l~6t
ein-
fUhren. (iii)
Nit Methoden der algebraischen
Topologie und Norse-Theorie kann
man ein Teilergebnis dieses Abschnittes versch~rfen. Wenn N vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit, einer Dimension
i• 0
die nicht azyklisch ist, d.h. in wenigstens
verschwindet
die i-te Homologiegruppe
Hi(N,Z)
yon M mit ganzzahligen Koeffizienten nicht, dann ist fur alle p ~ N Exponentialabbildung
die
eXpp au6erhalb jeder kompakten Teilmenge in Mp sur-
jektiv, je zwei Punkte p , q E N lassen sich also durch beliebig lange und insbesondere
unendlich viele verschiedene Geod~tische verbinden.
"nicht azyklisch" kann man auch "nicht Uber sich zusammenziehbar" voraussetzen,
Statt f~r M
das ist gleichwertig damit, da6 die i-te Homotopiegruppe
~i(M)
von M nicht trivial ist fur wenigstens ein
hierzu
j.-P. Serre, "Homologie singuli@re des espaces fibr@s", Ann. of
Math. 54 (1951), 425-505 •
.
i ~ 0.
Vergleiche
-
169
-
A
(iv)
M,M zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ~: M--~M
Riemannsche Uberlagerung, d.h. rungsabbildung yon M auf M,
X differenzierbare isometrische Uherlage-
vgl. ~ ( v )
in 1.7.
Zeige, M i s t
vollst~ndig,
genau wenn M vollst~ndig.
5.4.
Der Schnittort einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. bezeichnet in diesem Abschnitt die Zweipunkt-Kompaktifizierung yon ~ .
Sei M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion Betrachte das tangentiale Sph~renb~ndel T I M = aus~(iii)
in 3.4.
~v I v ~TM , IIviL = 1}
Wir definieren eine Funktion
s(v):= sup {tl ~ w ( v ) , e x p ( t v ) )
= t~
~ • yon M
s: TIM---*~ durch •
s(v) ist also der grSBte Parameterwert t, so dab die yon ~(v) mit Anfangsrichtung v ausgehende normale Geod~tische bindung zwischen hSrt c
Cv:~0,~)---~M
k~rzeste Ver-
Cv(0) und Cv(t) ist, oder mit anderen Worten, nach s(v)
auf, K~rzeste zu sein.
FUr p E M erkl~rt man den Schnittort von
v
eXpp im Tangentialraum Mp durch
cp:= [s(v)vlv ~Mp sein Bild
C(p):= exp(Cp)
TIM}
in M unter der Exponentialabbildung heist der
Schnittort ("cut locus") yon M bezGglich p.
Der Begriff geht auf Poincar~
(ligne de partage) und J.H.C. Whitehead zur~ck. Die folgende Aussage wurde zuerst yon Klingenberg angegeben.
Beh. :
Die Abbildung
Bew.:
Sei
Annahme
vETIM
s: TIM ---*~ und
v~TIM
lim s(v~ ) @ s(v)
s(vy) konvergiert in ~ .
ist stetig. Folge mit
lim v~ = v . Wir f~hren die
zum Widerspruch, dabei kSnnen wir annehmen, Setze noch
~(v~) =:p~,
~(v) =:p,
T:= s(v) ,
T~:= s(vw) , T : = lim~'~. Wenn ~ < T
, so w~hle eine Zahl
Geod~tischen
Cv~[0,T,+~]
q>0
yon p, nach
mit ~ + ~ < ~
und betrachte die
q := Cv ( V w + ~ ) • Auf Grund der
-
Definition
von s und ~
sind die c
Vy
170
-
keine KHrzesten.
ist, gibt es aber nach 5.3. kHrzeste Geod~tische p~ nach q~ mit KHrzeste
@
eine Umgebung
morph in M X M
des Strahls
ein, so da~
die Folge ~
~:=
Wenn
~ •~
eine Folge d~tischen daher auch zu
da p~:=
mit
lim ~
s(v) = r ~ + ?
konvergent,
s(v) = Z ~ ~ + ~ ~ ~0
K~rzeste.
mit ~ • ~ + ~
und betrachte
und wegen der Stetigkeit
eine kHrzeste
Geod~tische
c~[O,~'+~
yon p nach c ( ~ + ~ ) ,
= ~ + ~ . Dann sind fHr fast alle
KHrzeste,
cv ~ 0 , ~ + ~ ]
wobei wit wieder annehmen
~(V~)
kHrzeste Geod~tische
, so w~hle man eine Zahl ~
Cv~O,~]
{tv ~ O ~ t~r~ in TM nach 2.8. diffeo-
dazu, da6 c noch bis
Cv~[O,#,]
yon
Punkte in [0,~), also bettet
lira ~, @ v,
konvergiert,
ist dann eine yon c verschiedene im Widerspruch
c ~ ~[0, 9(P~,q,)]
v~ . Nun ist die Geod~tische
und hat daher keine konjugierten
~" ~ exp
k~nnen,
V~ ~ TIM , ~
Weil M vollst~ndig
yon
~ ~
die Geomu6
sein, im Widerspruch
•
KOROLLAR A
Die Abbildung
d: M - - * ~
, die jedem Punkt p E M den Injektivit~ts-
radius dp yon eXpp zuordnet, Diese Aussage
folgt unmittelbar
dp = inf und das tangentiale Ganz allgemein
ist stetig, vgl. 5.2.
aus dem Lemma,
denn man hat
s(v l v c M p ^ T I N
Sph~renb~ndel
,
TIM hat lokal eine Produktstruktur.
gilt aber etwa fHr Hausdorffr~ume
NI,N 2 mit N 2 kompakt
A
und eine stetige Funktion p - - ~ i n f f(p,q) q,w~
f: N 1 M N 2 - - + ~
, da~ die Abbildung
stetig auf N 1 .
Wir halten noch einmal fest, der Injektivit~tsradius gerade der Abstand d P
~(p,C(p))
yon p zum Schnittort
dp yon eXpp ist C(p) yen M bezHglich p,
= inf ~(p,q). ? • c(~)
Wenn M kompakt und p E M , M beschr~nkt, sphere in M
so ist die stetige Abbildung
also auch die stetige Einschr~nkung
S n'1 = M p ~ T I M
in Mp beschr~nkt.
q---*9(P,q)
auf
yon s auf die Einheits-
Der Schnittort Cp yon eXpp
ist mithin eine kompakte topologische Untermannigfaltigkeit yon M P sn_ I P und die Abbildung v--,s(v)v ein HomSomorphismus yon auf C . P
-
Offenbar berandet C
-
die kompakte sternf6rmige Nachbarschaft
= ~tv Iv E S n'l, O ~ s ( v ) ] zur n-Zelle
171
von 0 in Mp,
Dn:= { v l V ~ M p , I l v , ~ 1 }
W:=
die kanonisch homSomorph ist
.
Nach 5-3. bildet expp die Menge W surjektiv auf M ab, insbesondere ist expIW - Cp
differenzierbare Einbettung, aber
Die Funktion
s: sn-1---~
expICp
nicht injektlv.
ist im allgemeinen nicht differenzierbar, d.h.
Cp keine differenzierbare Untermannigfaltigkeit yon Mp, auch wenn @xpp ~berall auf C
maximalen Rang hat. Eine Folgerung aus den letzten UberleP gungen ist noch, da~ man jede n-dimensionale kompakte differenzierbare
Mannigfaltigkeit durch Identifikation yon Randpunkten aus der n-Zelle gewinnen kann.
[
]
(i)
F~r p ~ M grenzt der Schnittort Cp yon eXpp in Mp die maximale
zusammenh~ngende Umgebung in
W - Cp
W- C yon O ~ M ab, so da~ jeder yon 0 nach u P P ausgehende Strahl unter eXpp die eindeutig bestimmte k~rzeste
Verbindung yon p nach exp(u) ist, verglichen mit allen st~ckweise differenzierbaren Kurven in M yon p nach exp(u).
Das Bild unter eXpp jedes yon
0 ausgehenden Strahles in Mp, der Cp trifft, schneidet in jedem Punkt nach C
eine kUrzere yon p in M ausgehende Geod~tische auf Grund des Satzes P yon Hopf-Rinow. Dies erkl~rt die Bezeichnung "Schnittort" f~r C oder C(p). P Der erste konjugierte Ort yon eXpp in __M aus [ ] ( v ) in 4.3. ist durch die schw~chere Eigenschaft gekennzeichnet, da~ jeder yon 0 nach u E Mp ausge-
hende Strahl
~, der den konjugierten Ort yon eXpp nicht trifft, unter
expp k~rzeste Verbindung yon p nach exp(u) ist, jedoch nur verglichen mit zu
exp o ~
hinreichend benachbarten st~ckweise differenzierbaren Kurven
yon p nach exp(u).
Der Strahl
~ trifft den Schnittort C
notwendig nicht P sp~ter als den ersten konjugierten Ort yon eXpp, beide Schnittpunkte kSn-
hen aber zusammenfallen, nat~rlich kann der konjugierte Ort leer sein, ebenso auch C • P Auf jeder kompakten zusammenh~ngenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, die nicht homSomorph zu S2 ist, gibt es eine Riemannsche Struktur und einen Punkt p • M ,
so da~ der Schnittort Cp und der konjugierte Ort yon
eXpp in Mp punktfremd sind, d.h. die F.~:ponentialabbildung eXpp hat ~ b e r a l l auf C
P
maximalen Rang, vgl.
A. Weinstein, "The cut locus and conjugate
-
172
-
locus of a Riemannian manifold", Thesis, University of California (1966), Berkeley. Dagegen enth~lt C
fEr alle p f M wenigstens einen kritischen P Punkt yon eXpp, wenn M Riemannsche Mannigfaltigkeit hom~omorph zu S 2, nach einem Satz yon Myers. Weitere Untersuchungen Uber den konjugierten Ort, insbesondere globale Resultate, findet man etwa bei
F.W. Warner, "The
conjugate locus of a Riemannian manifold", Am. J. Math. 87 (1965), 575-604, sowie
F.W. Warner, "Conjugate loci of constant order", Ann. of
Math. 86 (1967), 192-212. Falls M kompakt, so ist die Struktur des Schnittortes
Cp C Mp
in dem
Sinne bekannt, da~ C
immer homSomorph zu Sn-1 ist und die kompakte sternP fSrmige Nachbarschaft W yon O berandet, wie wit bemerkt haben. Sehr wenig
wei~ man Uber den Schnittort C(p) = exp(Cp) yon M bezUglich p , vgl. aber (iii). Wenn
dim M = 2 , dann l ~ t
sich eine Aussage Uber die lokale Struk-
tur yon C(p) machen, C(p) ist ein 1-dimensionaler simplizialer Komplex, d.h. ein linearer Graph, vgl. auch
S. Myers, "Connections between dif-
ferential geometry and topology I", Duke Math. J. 1 (1935), 376-391. (ii)
Es gilt
qCC(p),
normale Geod~tische
genau wenn
c: ~ , ~ - - - * M
p~C(q).
Betrachte dazu eine kUrzeste
yon p nach q.
Ist ~
nicht konju-
gierter Punkt yon c, so gibt es eine yon c verschiedene normale Geod~tische ~ gleicher L~nge
~ = ~(p,q) yon p nach q,
vergleiche den Beweis
des Lemmas. Folgere die Behauptung aus (i) und ~ ( i v )
in 4.3., falls
konjugierter Punkt yon c • (iii)
Zeige, der Schnittort C(p) yon M bez~glich p ~ M ist im Falle M
kompakt starker Deformationsretrakt yon stetige Abbildung q E M ~ und
H: M ~ X I
H(q,t) = q
,M~mit
M,:= M-|p}, H(q,O) = q,
d.h. es gibt eine H(q,1) G C(p) fur alle
fur alle q ~ C ( p ) und t ~I:=~0,1] • Ziehe dabei M~
l~ngs der von p ausgehenden Geod~tischen auf C(p) zusammen. Insbesondere sind M ~ u n d (W,C)
C(p) homotopie~quivalent, vgl. 7.6.
,(M,C(p))
Warum induziert
Isomorphismen der Homologiegruppen
Hi(M,C(p) )
fur alle
i ~O
?
Hi(sn , ~ ),
wenn , ein Punkt der Standard-n-Sphere, und
Hi(M,M ~) .
Mit
(explW - C p )-1
Dabei ist
eXpp:
H~(W,C_) ~
Hi(W,C p) ~Hi(Dn,sn-1) Hi(M,C(p) )
gewinnt man kanonisch eine stetige Ab-
-
bildung
~M,C(p))--,(S n
~ ) , und
173
-
M--,S n
hat den Abbildungsgrad
1
wenn etwa M orientiert. (iv)
Sei M nicht notwendig vollst~ndige
Mannigfaltigkeit
mit Abstandsfunktion
zusammenh~ngende
~ .
Definiere
Riemannsche
eine Funktion a: M - ~
wie folgt: FUr p E M ist a(p) das Supremum aller derjenigen fGr welche die offene Kugel vom Radius yon eXpp liegt. Wir ~berlegen, Es genGgt zu zeigen, Die Stetigkeit radius in 5.2. nitionsbereich
E um 0 in M
da~ a stetig.
da~ fur p E M
und q ~ B a ( p ) ( p )
definiert ist,
CO, a(p)-?(p,q)).
also ist auch den Strahl die Folge da ~ ( q )
Wenn
des Konvexit~ts-
• um 0 ~Mq.
Der Defi~,
ein nicht leeres offenes Intervall in da~ A auch abgeschlossen
Wir nehmen dazu an, eXpq sei fur ~ ( O , a ( p ) - ~ ( p , q ) )
Zun~chst
liegt B~(q) in der Kugel vom Radius
um p , die nach dem Lemma in 5.3. relativ kompakt ist, B~(q) relativ kompakt.
t-~tv.
FUr eine gegen
exp(t,v)
Betrachte nun fur v ~ M q ~
konvergente
eine Cauchy-Folge
in Bj(q),
Folge
mit ~v~ = I
t~(O,~)
ist
die in M konvergiert,
kompakt. Wie im Beweis des Satzes yon Hopf-Rinow in 5.3. schlie~t
man, da~ die maximal mit
a(q)~a(p)-~(p,q).
deshalb ist die Menge A der Zahlen
(0, a(p)-?(p,q)) . Es bleibt daher zu schlie~en,
?(p,q) + ~ a ( p )
gilt
Sei U~ die offene Kugel vom Radius von eXpq ist offen,
auf U~ definiert.
~ ~0 ,
im Definitionsbereich
yon a folgt dann analog wie die Stetigkeit
fur die eXpq auf ~
in
P
Zahlen
~v(O) = v
in
definierte 8
Integralkurve
und damit eXpq in
inf a(p) ~ O, so M vollst~ndig,
~v des geod~tischen
Sprays
~v definiert ist.
also
a(p) = ~
fur alle
pGM.
PCM
Ist M nicht vollst~ndig,
so kann man zwar wie im vollst~ndigen
Fall sinn-
A
gem~
A
eine Funktion
s: T I M - ~
definieren,
jedoch wird s dann nicht A
mehr notwendig
stetig.
jedem Fall stetig,
Zeige, die Abbildung
dp der Injektivit~tsradius
Literatur
zu
M-~
mit
p--,d
P
ist in
von eXpp.
§ 5 :
R. Bishop und R. Crittenden, "Geometry of manifolds", Academic Press (1964), New York. S. Kobayashi und K. Nomizu, "Foundations of differential geometry I", Interscience Publishers (1963), New York - London.
-
§
6.1.
6
174
-
Vergleichss~tze
Ein Indexver61eichssatz.
Auf den bisher begangenen Wegen, topologische Eigenschaften vollst~ndiger RiemannscherMannigfaltigkeiten
durch die Kr~mmung zu charakterisieren,
ist es ein entscheidender Schritt, N~mlich,
das Problem zun~chst zu relativieren.
entsprechende differentialgeometrische
oder topologische Eigen-
schaften zweier Riemannscher Mannigfaltigkeiten
auf Grund yon KrHmmungs-
relationen miteinander zu vergleichen und dann die guten Kenntnisse ~ber Standardr~ume,
etwa Modellr~ume konstanter Kr~mmung,
zu investieren.
Aussagen in dieser Richtung nennt man sinnvoll Vergleichss~tze.
Sie haben
in der Riemannschen Geometrie eine selbst~ndige Bedeutung gewonnen. Es sollen in diesem Paragraphen werden. Eine wesentliche und Vergleichstheorie
einige wichtige Vergleichss~tze
dargestellt
Rolle spielt dabei im folgenden die Randwert-
f~r Jacobifelder,
schen Liouville-Sturm-Theorie
eine Verallgemeinerung
f~r gewShnliche
der klassi-
lineare Differentialglei-
chungen zweiter Ordnung, an die wir hiermit erinnern. Wir betrachten in diesem Paragraphen stets n-dimensionale Mannigfaltigkeiten
mit
n ~ 2 .
Es liegt der
~ineare
Riemannsche
Zusammenhang yon
Levi-Civita zu Grunde. M Riemannsche Mannigfaltigkeit, bezeichne
Gc, t die Menge aller 2-dimensionalen
mit & ( t ) ~
Vor. :
c: J--,M normale Geod~tische.
und
G := c
M,~Riemannsche c:[O,~J--~M,
UG
~,y
linearen Tsilr~ume ¢¢Mc(t)
c,t"
Mannigfaltigkeiten
~:[0,~]
b~
der gleichen Dimension n .
normale Geod~tische.
Die Kr~mmung von M
l~ngs c sei nicht gr6~er als die KrGmmung yon M l~ngs ~, es gebe eine lineare Isometrie so da~ (I)
F~r t ~ J
K a, ~
K~
~: Mc(o)
~M~(o)
d.h.
mit ~ ( o )
= ~(o),
-
fur alle
~Gc,t'
~:=
175
-
~t ~ e G~, t
und alle t a[O,~]
, wobei
~t mit & in (3) definiert wird. Beh.:
FUr den (erweiterten)
Index yon c und ~ gilt
(2)
Ind ~
Ind c ~
Bew___t: FUr jedes
t E [O,~J
(3)
,
Ind c ~ o
'
erst lings c parallel verschieben mit der Isometrie
U Mc (o)*---- Mc(t)
•
gewinnen wir eine Abbildung
~t: Mc(t)-'--~M~'~(t)
indem wir u eMc(t)
Ind ~ o
bis nach Mc(o) , dann
& in M~(o) abbilden und schlie~-
lich l~ngs ~ bis in ~g(t) wieder parallel verschieben.
i
~t ist eine Isometrie, Betrachte
insbesondere
__~o = 6
@
die R-Vektorriume
orthogonalen
9~, ~& der zu c,~ c ~ c glatten Vektorfelder l~ngs c,~.
stUckweise
Wir erhalten nun eine Abbildung c
durch
fur jedes
X E ~' . Durch die letzte Gleichung c glattes Vektorfeld l~ngs ~ definiert, das differenzier-
(@X)t:= " StXt
wird ein stUckweise
bar ist, sobald X differenzierbar. Basis yon Mc(o) mit lings c m i t
von Mc(t) fur jedes =
dX,Zi>
stUckweise
(5) ~.
t • ~,~1
, und man hat
FUr die Indexform
fur
lings %" mit ~. (0) =
~x,
orthonormale
parallele
Vektorfelder
eine orthonormale
X = ~iz:
, wobei
i=l,...,n.
Basis
~i:=
Dann gilt
,~"4"i~i
~'c isomorph auf den
(6)
Zl,...,Z n
Zl(t),...,Zn(t)
differenzierbar
fX,Y> = <~X, ~Y>
(7)
und
so ist
~X
parallele Felder
~-Vektorraum telbar
v n = 6(0)
Zi(O) = vi,
Denn wenn v I , • • • ,v n
f~r alle
~v..
~-Vektorraum
Offenbar bildet ~
X , Y ~ ' c • Ferner folgt mit (5)
-- ( @ x ) ,
.
ergibt sich nun I(X,X) m - I ( @ X , ~ X )
,
X~%#'
. c
Denn sind R,~ die KrUmmungstensoren
~
yon M,~ und
den
ab. Man erhilt unmit-
t ( [O,~] , so
-
lt =
~t
erh~It man mit 3.6.(16)
-
= 0 , wenn
|t
--~-K ( ~ X , ~ ) < ~ X , ~ X > i t
(8)
176
X(t) = O.
Im Fall X(t) % 0
= K(X,6) <X,X>It
= < ~ ( ~ X , ~ ) # , ~ X > | t , und es folgt mit (6)
I(X,X)=
~(<X',X'>- )|tdt a oa
~-- ~ ( < ( ~ X ) ' , ( ~ X ) ' > - < R ( ~ X , ~ ) # ,
~X>)l t d t = I(@X,$X).
@
Betrachte
den Unterraum
und entsprechend
~
~" e C ~c
der Vektorfelder .
Nun gilt
~
~,,c
=
X ~9~, mit X(O) = X ( # ) = 0 c ~ , und ~ bildet also
~"
isomorph auf 90~ ab. Sei nun A c9#,' ein Unterraum maximaler Dimenc c sion, so da~ I negativ (semi)definit auf A • Dann ist ~A C~ ein Unterraum gleicher Dimension wie A , und I i s t finit auf
wegen (7) negativ (semi)de-
~ A • Damit haben wir (2) bewiesen.
Wir formulieren die Folgerung des Satzes etwas um. Ist die Kr~mmung von M l~ngs c nicht gr6~er als die Kr~mmung yon M l~ngs ~,
so ist nach dem
Indextheorem in 4.6. die Zahl der konjugierten Punkte l~ngs c (gez~hlt mit ihren Vielfachheiten)
hSchstens gleich der entsprechenden
Zahl fur ~ •
Insbesondere kann c nicht frUher einen konjugierten Punkt besitzen als ~ .
6.2.
Der Vergleichssatz von Morse-Schoenberg.
Die Anwendung der Uberlegungen in 6.1. auf Sph~ren f~hrt zu folgendem (M. Morse, Vor."
I. Schoenberg)
M Riemannsche Mannigfaltigkeit
der Dimension n,
c: [0,~]
,M
normale Geod~tische. Beh.:
(a)
Ist
l>O,
Ko.<--~t. fiir a l l e
L(c) -~ ( ~ + 1 ) ~
o"~G c
und
mit einer ganzen Zahl
L(c) < ( ~ + 1 ) ~
Ind c -~ Ind c ~ w(n-1) bzw. Ind c ~ ( n - 1 ) o keine k o n j u g i e r t e n P u n k t e , wenn L ( c ) <: ~ - • (a')
Falls Punkte,
K~
0
fur alle
~
Ind c = Ind c = O. o
bzw.
~>-0 , so , und c hat
G c , dann hat c keine konjugierten
-
(b)
Wenn
0<~
~ K~
L(c) > ~
177
-
fGr alle
~G
c
mit einer ganzen Zahl
und
L(c)~
~---..bzw.
~ ~I , so
Ind c E ~ ( n - 1 ) bzw. Ind c =~_Ind c ~ w(n-1), und c besitzt o o w e n i g s t e n s e i n e n k o n j u ~ i e r t e n P u n k t i n ( 0 , ~ ] bzw. i n ( 0 , ~ ) • Bew.:
n in 4.6. gilt f~r eine normale Geod~tische S: ~,~]---*S~
Nach ~ ( i )
Zu (a):
Ind ~
=
~(n-1)
im Falle
~<[email protected])~,
Ind ~ o
=
v(n-1)
im Falle
y~(,÷4)~,w~O
Betrachte
S~
mit der nach 3.6. konstanten Kr/mmung
jede normale Geod~tische Ind ~ ~ w(n-1). Zu (a'): A > 0
ganze Zahl.
~: ~ , ~ ]
,S~
Mit dem Satz in 6.1.
ist
A.
Indo~ ~ Y ( n - 1 )
F~r
bzw.
folgt die Behauptung.
Die Aussage ist unmittelbare
Folge yon (a). ~ n
kann
~ = 0
und
beliebig klein w~hlen.
Zu (b):
S n~
Betrachte
Geod~tische
mlt der konstanten
~: ~,~] ---~S~ n
~st
Kr~mmung
Indo~ ~ w ( n - 1 )
~.
bzw.
Mit Satz 6.1. ergibt sich wieder die Behauptung,
F~r jede normale
Ind ~ ~ ( n - 1 ) .
indem man die Rollen
yon M,~ vertauscht. Sei
normale Geod~tische
c: [O,~]--~M
und
0 ~ ~ ~ K~ ~ f~r alle bald
~eG
c
• Hat c konjugierte
L(c) ~ )
Punkte (dies ist sicher der Fall, so-
und ist t S E ( O , ~ ]
der erste konjugierte
Punkt yon c ,
dann gilt nach (a) und (b) (1)
~
"~tl~
~
•
Wir halten noch einmal fest: Ist die Kr~mmung yon M l~ngs c nicht kleiner (nicht grS~er) als die der Sphere S T mit der konstanten kommt der erste konjugierte der erste konjugierte
Punkt irgend einer normalen Geod~tischen
zum Anfangspunkt
die Ungleichungen
des Satzes k6nnen im allgemeinen
M Riemannsche
1/~ 2 , so
Punkt yon c nicht sp~ter (nicht fr~her) als
der den Antipoden
[]
Kr~mmung
im Abstand
Mannigfaltigkeit
~
bestimmt.
[0,~]
,S T ,
Man sieht auch,
nicht verbessert
der Dimension n , c: [0,~]
~M
werden.
nor-
178
-
male Geod~tische. Bezeichne
rt
f~r
-
t ~[0,~]
in c(t) bez~glich des Einheitsvektors ~(t),
die Ricci-Kr~mmung von M
vgl. 3.6.
Man kann leicht
eine zu (b) im Vergleichssatz yon Morse-Schoenberg analoge schw~chere Aussage beweisen,~ wenn nur
r t ~ (n-l) ~ > 0
Myers bemerkt hat. Dann ist L(c) >_ w ~
~ und L(c) > w-~-~
bzw.
und dem Indextheorem und
Indoc ~ ~
t 2- t I = ~ ,
f~r alle bzw.
~ ~1
Indoc ~ Ind c ~
c ~1,t2~
tl,t 2 ~[0,~] , t l < t 2 beschr~nken und m~ssen
wegen des Satzes in 4.5. nur ~berlegen, die Indexform I i s t ~
durch
.~, I(Xi,X i)
Zl,...,Zn_ 1 E ~ , c
X.(t):=~ sint~i~Zi(t) = .~,
nicht positiv
•
W~hle orthonormale parallele Felder Xi(~"c
in 4.6.
wenigstens einen konjugierten
Punkt. Wir k6nnen uns also auf den Fall ~ = ~
definit auf dem Vektorraum
, sobald
ganze Zahl. Nach ~ ( i i i )
gen~gt es zu zeigen, wenn
dann hat
t c [0,~] , wie zuerst
~c°s2t~"
sin2t~
= f~(n-1)wcos2t~
- rt s i n 2 t ~ ) d t
= (n-l) ~ fcos 2 t ~
dt
= 0 ,
f~r
~
I~±~n-1
und erkl~re . Dann gilt
~t)dts (n-1)~f(cos2t~'~
also gibt es ein X i mit
=
- sin2t~)dt=
I(Xi,X i) ~ 0 .
@
6.3.
Der Vergleichssatz yon Rauch.
Man kann Jacobifelder auf Grund von Kr~mmungsrelationen
dem Betrage nach
vergleichen. (H.E. Rauch) Vor. : M,M Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension. c: ~0,~] ,M, ~: [0,~] IM normale Geod~tische. Y,~ Jacobifelder l~ngs c,~ mit
Y(O) = 0,
~(0) = 0
Io ='~''~>|o
IIY'(O)I| =
II~,(O)ll .
= 0
sowie
und
habe keine konjugierten Punkte in (0,~) • Beh.:
Ist die Krttmmung yon M l~ngs c nicht gr65er als die Kr~mmung yon ~ l~ngs ~, und alle (I)
d.h.
K s- ~
K~
f~r alle ~eGc, t , ~ G ~ ,
t
t 6 [0,~] , so gilt IIY(t)ll ~
|I~(t)I|
,
ta[O,~]
•
-
Siehe
179
-
H.E. Rauch, "A contribution to Riemannian geometry in the large",
Ann. of Math. 54 (1951) , 38-55 • Im Falle
dim M = 2
reduziert sich der
Rauchsche Satz auf den klassischen Vergleichssatz yon Sturm f~r gewShnliche Differentialgleichungen
zweiter Ordnung, vgl. ~ ( i i i )
in 4.2.
Beachte,
dab (1) nach der ersten positiven Nullstelle yon ~ nicht mehr notwendig richtig ist. KOROLLAR Vor.:
M,M wie im Satz, p ~ M , Sei u ( M
P eXpp,eXp~ ~,~:
[0,~]
,Mp,
P u , cu
~ M - lineare Isometrie. P im Definitionsbereich yon ~:= llu*|-O u
mit
?(t):= t ~
,
die Strahlen
~:= ~
und die nor-
o:= eXppO~ , ~:= exp~o~'.
Hat ~ keine konjugierten Punkte in (0,~), d.h. im Bild des Strahles ~" ist hSchstens alle
kritischer Punkt yon exp,,
tteXpp~bll ~
f~r alle
~gGc,t,
Beweis des Korollars: Wenn
~(#)
u = 0
so gilt f~r
b ~(Mp) u
(2)
und
c: M
liegen. Betrachte im Falle
malen Geod~tischen Beh.:
~ .
derart gew~hlt, dab
und
~ £ GE, t,
|texp~ Libll t ~[0,~
,
falls
K~
K~
•
W~hle f~r Mp,M~ die kanonischen Fundamentaltensoren.
b g(Mp)o,
so
eXpp b = ~ o l b
lleXpp bli= Iba = U e x p ~ , ~ b l .
Sei nun
und
u ~ 0
exp~,%b und
=~olc~b
b e(Mp) u.
Nach
dem GauBschen Lemma in 4.4. brauchen wir nur den Fall zu behandeln, dab
3 u > = O. Definiere Jacobifelder Y,~ l~ngs c,~ durch Y(O):= O, b , ~'(0):= ~ I c ~ • Nach 4.3.(I)haben wir ~(o):= uo und Y'(o):= ~ 1 ~dann Y(t) = eXppwt ~b
(3) f~r alle
t ([0,~]
und
,
|o = 0,
?(t) : e x p ~ , ~ t ~ ~'(0) =
6Y'(O).
b
~ hat keine
konjugierten Punkte in (0,~), und (2) ergibt sich mit (3) aus (I) fur t = ~ Bevor wir den Satz beweisen, bringen wir eine wichtige geometrische Anwendung. L: M "~: J
M,~ Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension, p g M, ~ e M. P
, M - lineare Isometrie. Sei J kompaktes Intervall in ~ und P ~Mp eine st~ckweise differenzierbare Kurve, so dab die Bildmengen
•
-
yon
~, ~
:= ¢"M
~80
-
im Definitionsbereich von eXpp,eXp~
exp~ maximalen Rang auf der sternfSrmigen Menge
liegen. Hat dann
{t ~(s) | t ([O,S),
s eJ] ,
so gilt (4) fur alle wobei
L(expp@~)
~- L ( e x p ~ @ ~ )
,
falls
K ¢ ~-- K
~(G
~, f f ( G ~ _, t ~[0,~ 3 , s ( J mit ~ := l|~(s)W > O, Os.~ ~ ~ --S S Cs.~s: ~O,~s]--.H,~die normalen Geod~tischen mit Os(t):= e X p p ~ t ~ ; ) .
~(~ -~5)
Cs(t):= e x p ~ t
.
•
.
.
.
Exne bezelchnungstechnlsch
andere Verszon von (4)
erh~lt man durch Vertauschung der Rollen yon M und M : Hat eXpp auf { t ~ ( s ) [ t ([O,S),
s *J}
(5) fur alle
HSchstrang,
L(exppO'~)
~, ~ wie in (4).
~
so gilt
L(exp~ o~)
,
falls
Denn wir k~nnen annehmen,
~
K~ ~
K~
ist differenzier-
bar, und nach Definition der Bogenl~nge brauchen wir nur zu zeigen
lt e x ~ ( s ) I I
||eX~pO~(s)l, ~ fur alle
xpp
s (J,
-~-
,
also ,leXppf4(s)ll >--ilexp~.~."~.(s)ll
und dies gilt wegen (2).
.
.
.
.
.
.
T
-
P
-
Die Ungleichungen (4) und (5) bringen den geometrischen Gehalt des Satzes yon Rauch zum Ausdruck. Im Vergleich zu einer Mannigfaltigkeit ~ durchweg gr~erer
(kleinerer) KrUmmung als M wird eine Kurve in Mp unter eXpp
ge-
streckt (gestaucht). Dies gilt notwendig nur fur hinreichend kleine Umgebungen yon p , wie man etwa sieht, wenn M,M Sph~ren verschiedener Kr~mmung sind. Beweis des Satzes: so auch
Y = 0
Nach 4.2. ist zun~chst
wegen
IIy'(o)I| = li~,(O)It ,
~Y,~> = ~ , ~ > =
0 • Wenn ~ = 0 ,
und die Behauptung ist trivial.
- ~8q
-
Sei nun Y nicht das Nullfeld.
W~hle t g(O,B) und betrachte die paralo lelen Felder X,~ l~ngs c,~ mit X(tc):= Y(t c) und ~(to):= ~(t c) . t c ist nicht kcnjugierter Punkt yon c und ~,
also
Y(t c) ~ O
und
~(t o) @ 0.
Wir linden dann eine lineare Isometrie 6: Mc(c)----.Mg(o) X(O) ~ Nach 6.1.(4) hat man mit mit ~6(c) = @(c) und ~ IIX' -X"("O~I=HX(O)II" durch Parallelverschiebung einen Isomorphismus ~: ~'c ) ~ "c. Nach 4.3. gibt es ein Jaccbifeld Z l~ngs ~ mit Z(O):= O Auf Grund der Wahl vcn ~ sind
~(to),Z(t O)
und
Z(to):= (~Y)to.
und damit
~,Z
Uber ~ linear
abh~ngig, und es gilt also
~" ~,
sc dab ~Z,Z'>t/~,~>to = < Z ' Z > t ~ ' ~ ' > t . " = t~ erhalten wir dann
(6)
t~'~>t,
Wegen
t o = <@Y' ~ Y > t :
to <~'~'>t,
=
"
Andererseits fclgt tom-to
(7)
Denn mit
Cc:= c~[O,t c]
und
~o:= ~[O,to~
" ist
(Y,Y'> t. = I(YlCc,YICc )>>-- I( @YL~ c, @Yl~ o) wegen 6.1.(7) und I ( @ Y I ~ c, @YI~ o) ~ I(Zl~c,Zl~ c) = = (Z,Z'>to nach 4.5.(5), da ~c keine konjugierten Punkte hat. AuBerdem gilt (8)
lira
+.-,.o
~Y'Y~
<~,~'h
=
lira
.c-,.o
~ + (Y',Y'~*
<~,T">~
+
~Y',Y'>,
=
IIy'(o)u~
ii?,(o)il~ =
1
nach der Regel von l'Hcspital (zweimaliges Differenzieren). Aus (6) und (7) ergibt sich nun
( y , y , > t < ~ , ~ t - ~Y,Y~t~Y,Y')t-->O D ~Y'Y> <~,T>
f~r alle (9)
It
>0 -
t ~(0,~). Daher k~nnen wir mit (8) schlie6en ~Y*Y> It
=
"Y(t)H* 11~(t)l|z
~ 1
und die Behauptung (q) fclgt aus (9) fur alle
(i)
und damit
, t • [O,~] •
Best~tige mit (2) im Kcrcllar zum Vergleichssatz yon Rauch,
Riemannsche Mannigfaltigkeiten M,~ gleicher Dimension und gleicher kon-
-
stanter Schnittkrt~mmung
~
182
-
sind lokal isometrisch,
gibt es einen isometrischen
Diffeomorphismus
d.h. zu p G M,
f: V - - ~
, wobei V,~ Umge-
bungen yon p,~ in M,M • W~hle dazu eine lineare Isometrie und setze
f:= e x p ~ o c
o exp~11V-
f~r hinreichend
da~ M und M global nicht isometrisch wenn sie vollst~ndig
sind, etwa
M = ,~n
n-Torus mit der aus S 1 induzierten weiter (ii)
diffeomorph und
~ •
6: M
P
kleines V .
~P Beachte,
zu sein brauchen,
M = Tn
auch
der kompakte
flachen Produktmetrik,
vergleiche
dazu
§ 7Wir betrachten in diesem Zusammenhang
Mannigfaltigkeit
noch einmal eine Riemannsche
M mit parallelem KrUmmungstensor
R,
also
~ R = 0,
und ~berlegen,
da~ M lokal symmetrisch
Sei p E M
c: M ---.M die Isometrie mit cv = - v • F~r hinreichend P~p:=Pexpp I|BE( isb @ 6 @ exp~ p) eine Isometrie der offenen
kleines
und ~0
im Sinne yon [ ] ( v i i )
in 3.6.
Kugel B~(p) auf sich und eine Spiegelung mit einzigem Fixpunkt p . Denn nach dem Lemma in 4.3. gilt f~r jede normale Geod~tische mit
c(0) = p , da~ mit Y auch
und
Y-t = (@p~Y)t
f~r alle
cp,Y
ist (cp,)q
isometrisch
klassisches
f~r alle
Resultat yon E. Cartan,
6.4.
wegen
l~ngs c , wenn
~(v)
Auf dem Vergleichssatz
da~ n~mlich M sogar global symmetriund einfach
zusammenh~ngend.
yon Rauch baut ein sehr starkes globales
auf. Wir erinnern zun~chst an ~ ( i i i )
gebnis l ~ t
durch die Schnittkr~mmung
M zusammenh~ngende Sind p , q ~ M ,
Riemannsche
paarweise
ci:CO,IJ---,M
~
f~r
Dreiecke Dieses Er-
und versch~rfen. mit Abstandsfunktion
~.
?(p,q) .
distinkte Punkte Pi f~r yon Pi+l nach Pi+2
Mannig-
Wir hatten
yon M bestimmt wird.
Mannigfaltigkeit
so schreiben wir auch
Wir betrachten Geod~tische
in 3.6.
sich in gewissem Sinne globalisieren
Resultat
Riemannschen
da~ der Exzess hinreichend kleiner geod~tischer
im wesentlichen
Verglei-
von To~ono~off.
~ber die Winkel eines Dreiseits in einer vollst~ndigen faltigkeit
Y(O) = 0 , Daher
in 7.3.
Der Winkelvergleichssatz
dort bemerkt,
in 4.2.
q c Be(p) . Es folgt dann leicht ein
scher Raum ist, sobald M vollst~ndig che auch ~ ( i i i )
Jacobifeld
t ~(-~,~)
c: (-~,~)---,M
i=O,I,2
und k~rzeste
(Indices mod 3), also
-
und
ci(O) = Pi+l ' ci(1) = Pi+2
183
-
L(c i) = Tripel
~(Pi+l,Pi+2 ) . Man nennt das
~:=
(co,cl,c 2)
ein Dreiseit in M
mit Seiten c i , Ecken Pi
und Winkeln
~i:= ~ " - ~ 6 i + 1 ( I ) , 6 i _ 1 ( O ) ) ~ [O,~] bei Pi" Die ~i sind also die zu ~ komplement~ren
¢. cI
Schnittwinkel
der Seiten in den Eckpunk-
ten Pi " Es gilt die Dreiecksungleichung (I)
L(c i) + L(oi+ 1) ~--- L(ci+ 2)
Wenn in (I) Gleichheit ~i+2 = ~ ist bogenverwandt
zu einer Geod~tischen.
vorliegt,
' und die Komposition Aus
Fi+2@~"
• so
yon ci,ci+ 1
folgere man, da~
es eine streng k~rzere Kurve als ci+ 2 yon Pi nach Pi+l gibt. Beachte au~erdem, da~ im Falle den Rein kSnnen, dian. Ist
~i+2 = ~"
die Winkel
etwa wenn ~
~i+2 = ~
die Komposition ~i+2 = 0
ein Dreiseit auf
differenzierbare
S~ und ci+ 2 ein Halbmeri-
geschlossene
~
eines Dreiseits ~
zu vorgegebenen
Eckpunkten
distinkte Punkte po,Pl,P2
in M • Es kann verschiedene
geben, betrachte
z.B.
S~
und SEdpol als zwei Ecken. Falls genau ein Dreiseit
ein "Dreiec~'
wird man das Tripel (po,Pl,P2)
mit den Ecken
oder einfach po,Pl,P2
Dreiseite in vollst~ndigen
nicht negativer Kr/mmung mit Dreiseiten
euklidischen
Raum.
(A.D. Alexandroff, M vollst~ndige K~ ~ ~ ~ 0 ~
und w~hle Nordpol ~
faltigkeiten
Sei
Dreiseite
in M nennen.
Der folgende Satz vergleicht
Vor. :
Im Falle
~i+1 =~" ' ~i = 0 ,
liegen im Bild seiner l~ngsten Seite.
so sind drei paarweise
immer Eckpunkte
existiert,
Warum ist
Fi+2 @ 0 ?
oder
Bei-
yon Co,Cl,C 2
Kurve in M.
sofern
~i+I = 0 , ~i = ~t"
und alle Ecken des Dreiseits
po,Pl,P2
yon Null verschie-
Die Zusammensetzung
yon ci,ci+ 1 stets injektiv,
folgt notwendig
Wenn M vollst~ndig,
~i+1
' so hat man in (1) nicht notwendig Gleichheit,
spiele auf dem Zylinder aus 3.8.(iv). ist eine st~ckweise
~i'
Mannig-
auf Sph~ren bzw. im
V.A. Toponogoff)
Riemannsche Mannigfaltigkeit
f~r alle zu M tangentialen
= (Co,Cl,C 2)
Riemannschen
der Dimension
Ebenen
n.
~.
ein Dreiseit in M mit den Winkeln
~o' ~1' ~2 "
-
Beh.:
Ist
~ ~0
~:= S~
( ~ ~- 0) , so gibt es ein Dreiseit
(M:= ~n)
i=O,1,2
184 -
mit den Winkeln
~o' ~ ' ~2'
so da6 f~r
gilt
(2)
L(c i)
(3)
=
Fi
L(c" i )
,
~- ~ i
"
Wir schlie~en hier zun~chst einige Bemerkungen und Folgerungen an. 0ffenbar liegt
~
in einer total geod~tisohen zweidimensionalen R~emann-
schen Untermannigfaltigkeit S~
(~2)
yon
M,
die isometrisch diffeomorph zu
ist, und alle K~rzesten in N sind auch K~rzeste in S n ,
auch ~ ( i i i )
in 5.1.
so formulieren, Sei
N
da~
vgl.
Wir k~nnen dann die Aussage des Satzes gleichwertig ~
ein Dreiseit in
~ > 0 • Wegen (2) gilt
N = S~
0 < L(S i) ~ ~
.
(~2)
ist.
Man hat den Seitencosinus-
satz der sph~rischen Trigonometrie (4)
cosa i =
cosai+ 1 cosai+ 2 + sinai+ 1 sinai+ 2 cos ~i
2~ mit ai:= ~ L ( ~ i ) . Zun~chst ist L(~ i) + L(~i+ I ) + L(~i+ 2) ~ ~ . Denn wenn L(~ i) < ~ f~r i=0,I,2 und wenigstens ein ~ i ~ , so kann man aus
~
sofort ein Dreiseit in
S~
struieren, so da6 eine Seite die L~nge
mit streng grS~erem Umfang kon~
erh~lt. Wenn n~mlich
~-'i<~
,
dann "verl~ngere" man Si+l Gber ~i hinaus bis Pi ' so da6 ~(~i.I~) = ~ , und betrachte ein Dreiseit auf S~z mit den Ecken ~p~,Pi+l,Pi+2 ~ -. Ist etwa L(~i+ 1) = ~
, so liefert (4), da6
L(I i) + L(~i+ 2) = ~
•
Falls
&
cosa i = - cosai+ 2 , = ~I = ~2 = ~ '
also
so ist die Komposition
yon So,~1,$2
bogenverwandt zu einer periodischen Geod~tischen in S2u. , 2~ einem Gro~kreis der L~nge ~ . Wir k6nnen daher mit (2) und (3) f~r den
Umfang des Dreiseits (5) und damit
~
in M folgern
L(Co ) + L(Cl) + L(c2)
L(c o) + L(c I) + L(c 2) = ~i = mr f~r ein i oder
p,q,r £ M (6)
2~ ~
,
~o =
~
2~~
'
genau wenn gilt ~1 =
~2 = ~r
@
L(c i) = ~
FGr beliebige Punkte
haben wir wegen (2) und (5) also stets ~(p,q) +
~(q,r) +
~(r,p) -~ - ~2~r
und
•
- 185 Mit (2),(3) und (4) ergibt sich unmittelbar (7)
cosa i ~
wobei wieder
ai =
(8) Sei
~0
wenn und
cosai+ I c o s a i + 2
~'~L(c i) =
+ sinai+ I sinai+ 2 cos #i
~L(~i).
L(ci+1) ~ 2 ~ '
Aus (7) liest man ab,
L(ci+ 2) ~ - ~
und ~ i ~ "
' so L ( c i ) ~ a ~ .
bi:= L(~ i) = L~¢ i) . Es gilt nach dem Cosinussatz
ebenen Trigcnometrie
b i~ = bi+1 + b~+2 - 2 b i + I b i + 2 c o s ~ i
der
und mit (3)
also
(9)
h~l
Der yon Toponogoff
~-- bi+1 2 2 + b i+2 - 2 bi+lbi+2cos ~i
ursprUnglich
angegebene
dazu stammen yon A.D. Alexandroff, gewonnen hatte,
Beweis des Satzes,
der das Resultat
f~hrte zun~chst an wesentlicher
des Beweises - auf eine Schwierigkeit, lieB. Wir werden dem Ansatz Toponogoffs
"
einige Ideen
f~r konvexe Fl~chen
Stelle - hier Teil (b)
die sich aber nachtr~glich folgen, allerdings
umgehen
den Beweis
etwas modifizieren. Man vergleiche 674-676, Uspechi
und
V.A. Toponogoff,
Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R.
Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R.
14 (1959),
87-130
(in russischer
spaces having their curvature Soc. Transl.
extension
of Rauch's metric comparison
Zun~chst
IU~A Vor.:
Sprache),
115 (1957),
719-721, oder
sowie
"Riemannian
bounded below by a positive number",
Am. Math.
Illinois J. of Math.
120 (1958),
37 (1964), 291-336.
6 (1962),
Siehe auch
M. Berger,
theorem and some applications",
7OO-712.
einige Vor~berlegungen.
Il M Riemannsche Sei
Mannigfaltigkeit,
( ~ O derart gew~hlt,
Kugel
~¢ vom Radius
G kompakte
Teilmenge yon M •
da~ fur jeden Punkt q • G die kompakte
~ um O ~ M q im Definitionsbereich
yon eXpq
liegt. Beh.:
"An
Es gibt eine Zahl
6 , so da~ fur alle q ~ G
gilt: Wenn ~ ( 0 , ~ ]
-
und ~: [~,~]
~Uw
(lo)
186
-
stGckweise differenzierbare Kurve in Mq, dann - L("w)J
IL(exp=~)
~ f2eL(~)
.
In (lo) hat man, gleichzeitig f~r alle q eG , ein MaB der Verzerrung der Bogenlinge yon Kurven in Mq unter eXpq in Abh~ngigkeit des Abstandes der betrachteten Kurven yon O ~ M Bew.:
Seien
a ~(Mq) u,
q~G,
ILa, = 1
~c(O,~], und
•
q
u~U~CMq,
w:= gula,
also
L~ngs der normalen Geod~tischen
[0,~]
mit 4.3.(1) ein Jacobifeld
durch
also da~
Y~w(O) = w
und
Yvw
1~w, = I. ,M
mit
t--.exp(tv)
Yvw(t):= expp t ~tv w,
YveS)= eXpp. ~ a .
D lo = ~ < Y v w , Y v w > l o
1 ~:= ~lu11, v:= ~ u ,
u # O,
= 0.
~~ D 4 < Y v w , Y v w > @ ~
~2 +
=
~2 + ~~@ D 4 ~ Y v w , Y v w > @ ~
Nun ist die Abbildung Menge
mit
Da weiter
%~6(0,1) . Also
und daher
(v,w,t)
~
lo =
stetig und nimmt dort ihr Supremum weis des Satzes in 5.2.
I"e*pp.a"2
Wegen
insbesondere
b ~ (Mq) u
III e x p p b ,1 - ,Lbli I ~ ~ 2 8 lIIexpp.~(s)11
~2 ~eXpp wa'expp a >
VW
~
=
Yvw
auf der kompakten llvll =
llw.
=
1 }
gilt
l,expp.a,-
Damit haben wir also fur beliebige
(11)
= ~(w) EG ,
=
@ an, vergleiche hierzu etwa den Be-
~ ( 0 , ~)
_ 1 1 4-- 8 2 e
!M
IIexpp all 2
D4 It
[(v,w,t) ~ T M X T M ~ 0 , E] , ~ v )
wobei
Mit 4.2.(1) sieht man sofort,
= llwll2 = 1 , erhalten wir nach der Taylorschen Formel =
haben wir
- "~(s)lll ~
11 <-- IIexpp.all + 1 -
;$.
gezeigt
I|bll
,
128
n.~(s),1
fur alle s&[~,~],
woraus (lo) unmittelbar folgt. Wir geben zwei einfache Folgerungen zu Lemma 1 an. M Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion gegen p konvergente Folge in M. so gibt es eine Nullfolge
~.
Konvergieren
~.
Sei p • M
uw,v~e Mq. gegen
reeller Zahlen mit
und qw 0 • Mpin TM,
-
(12) ~:=
~(exp(u~),exp(v~))
max(|tu~Ii,,v~,),
sobald
187 =
-
"U~-
u.,v~
v~'l
+ J 2
,
zum Definitionsbereich
yon exp ge-
hSren. Denn sei G die kompakte Vereinigung der Menge der Folgenglieder [q.} mit
p
. Es gibt
pakten Kugel
~¢
(>0,
so da~
vom Radius
morph auf eine stark konvexe Kugel F~r alle gen~gend gro6en in
U~£.
und
um q G M
@
= 0 , da
auf der kom-
B~,~
U., L
diffeo-
abbildet, vgl. 5.2.
u.,v~(U~,~ .
L(P.) ~
~
definiert ist und
c. K~rzeste in
erhalten wir aus (lo), wenn
lim L ( ~ )
B~ t
~ gilt nun
yon u. nach v.,
~.:= ( e x p l U . , ~ ) ' ~ c . • Nit
Nun ist
eXpq. fur alle
E um 0 ( M q .
Sei
yon
~
K~rzeste
exp(u.) nach exp(v~)
L(~. ) , L(exp-~)
nach Lemma 1 fur G und
~ L(exp-~#)
~ bestimmt wird,
lim L(c~) = 0 . Die Behauptung (12) folgt
dann aus (13). Ein wichtiger Schritt zum Beweis des Satzes ist das geometrisch interessante [LEMMA2 I Vor.:
M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit p,q,r d i s t i n k t e P u n k t e
in M .
b,c: [0,1]
tische von p nach r, p nach q.
,M
,M
~.
k~rzeste Geod~-
Sei r nicht Bildpunkt von c •
q~ Punktfolge im Bild yon c mit a,:[0,1]
mit Abstandsfunktion
q.@
p
und
lim q. = p .
k~rzeste Geod~tische von q~ nach r.
Schnittwinkel von b und c in p,
~
Schnittwinkel von a. und c
in q.. Beh.:
Die Folge
Bew.:
Wir kSnnen uns auf den Fall beschr~nken,
0 ~
~ < ~,
~ . ist konvergent,
O ~ ~ ~r.
und f~r
~ := da6
b:[O,1] - - * M
0
~
~
•
konvergiert und a~ konvergiere
yon p nach r , sonst
w~hle man eine Teilfolge aus. Offenbar mu~ gelten ~>
~
gilt
Ferner d~rfen wir voraussetzen,
gegen eine kGrzeste Geod~tische
Zu jeder reellen Zahl
lim ~
~ ~ ~ ~
haben wir fur fast alle
f~r alle
~ die Punkte s.
~ •
-
auf a~ und tv auf b mit = lim t~ = p. abbildungen Mp,Mq.
188
-
q.s~ = ~ pq.
und
~
W~hle wie in (12) eine Zahl eXpp , eXpq~ die Kugeln
diffeomorph
E >0,
U a , U~,e vom Radius
~ die Dreiecke
(0,u.,v~)
lim s~ =
so dab die Exponential~ um 0 in
auf stark konvexe Kugeln in M abbilden.
alle gen~gend groBen eXpq (u~) = p,
= ps~ , also
in
Betrachte
U.,~ c M %
fGr
mit
eXpq (v.) = s~.
Auf Grund des Cosinussatzes der ebenen Trigonometrie 2 __2 2 --2 ps~ = pq~ +q.s~ - 2 pq.q~s, c o s ( ~ - ~ ) + pq, ~
und (12) erhalten wir und
lim ~. = O,
daher (14)
p--~2 =
pq----2(1 + ~ 2
+ 2WCOS
~
+ ~)
,
Ebenso wenden wir den Cosinussatz
und (12) auf das Dreieck
in
eXpp(V~) = t.
U a ( Mp
q--j~2 = Well
mit
eXpp(~)
p-T2 + -pq. -2
+ %%
= (1+~)
q~t, 2 =
~T2
~,
+ -p -q 2
s.r
~ ~I~-~, andererseits
t,r ~
~
s~r - q~t~ + q~s~ , so dab
q,t. ~ q.s, •
und (15) f~r fast alle ~
--2 + pq~
- 2 ~
sur
2 ~
I +
~2
q~2
~
qvr = ~ t~
= ~2(1
+ 2~cos~+~
und
lira ~. = 0 .
~" , lim ~ =
pt. + t~r ,
q.s. + s.r
+~2 cos~
also
und daher
~ sw---r - q~t~ + q.s~
q--~t~2 ~ q.s. 2 =
Wir haben deshalb
(0,~., V. )
COSC~ + p-q-,2
ps~ + s.r ~ pr =
+ ~.r
~2 ~
und
und m it (14)
+ 2~cos~
+ ~D
+ Pq~ 2 ~y, ~
--
~2
+
~ 9
also
Durch Grenz~bergang
und Division mit ~
(16)
I +
Nun konnte
~
in
--~ c o s =
cos ~
Vergleiche
-- COSe~
.J 1
folgt + ~2 C O S ~
beliebig groB gew~hlt werden, ,
zu Lemma 2
das heiBt
•
folgt
- 2 p--~
Nun liefert die Dreiecksungleichung
= 0
an, es ergibt sich
cos @~ + max 2 ( p - ~ ,-p-q ~ ) ~
- 2 p-~. p %
pt~ = p s ~ _ ~ p % (15)
= q.,
lira ~
f~r
+ ~1 ' COSOC ~'--*~
•
geht (16) ~ber
~ ~-- e~ .
die Skizze auf der folgenden
~-- O
Seite.
O.
-
189
-
T
s
\\
p
ely
Skizze zu
Lemma 2
Skizze zu
Lemma 3
Der Beweis der folgenden Aussage ist eine einfache elementargeometrische Uberlegung, die wir dem Leser ~berlassen, vgl. auch Geometrie der metrischen R~ume", New York,
W. Rinow, "Die innere
Springer-Verlag (1961), Berlin-Heidelberg-
zweiter Teil yon Satz 2
auf Seite 3 1 4 .
ILENNA 3J Vor____t.: pqs und
und
qrs
pr's
Dreiecke in
das Dreieck mit
Die S~Jmme der Winkel yon Beh.:
Das Viereck pqs , qrs bei
p,r
~ ~0
bzw.
~2
mit
p-~' = pq + qr , ~qs , qrs
ist konvex,
p-~ + q--~ ~ ~ r's = r s .
und die Winkel von
Wir f~hren den Beweis im Falle
~ >0
pr's
~ ~O
pqrs
bei p,r' .
und f~gen Ande-
in Klammern bei. Dabei bedeutet der Vermerk
"( ~ ~ 0)",
fortzulassen ist.
Die Grundidee des Beweises ist, G r ~ e n r e l a t i o n e n neter Weise auf G r ~ e n r e l a t i o n e n
~r.
d.h. auch die Sum~e der Winkel von
sind nicht kleiner als die Winkel von
da~ die betreffende Aussage im Falle
+ s-~
bei q sei nicht gr~6er als
bei s ist nicht gr86er als ~ ,
Beweis des Satzes: rungen fGr
pqrs
S~
zwischen Winkeln in geeig-
zwischen Bogenl~ngen yon Kurven zur~ckzu-
spielen und dann die Folgerungen zum Vergleichssatz yon Rauch anzuwenden. Dabei beweisen wir den Satz in (a) bis (c) zun~chst unter der Annahme,
-
2~
L(c o) + L(c I) + L(c 2) ~ ~
~90
-
(~0).
In (a) ~berlegen wir, wie man
Winkelrelationenaus L~ngenrelationen ableiten kann, und folgern damit in (b) die Behauptung des Satzes f~r "lange schmale" Dreiseite,
d.h. wenn
eine Seite hinreichend kurz ist. Hierbei wird die Betrachtung ein wenig dadurch kompliziert,
da~ die l~ngeren Seiten einen konjugierten Punkt
haben kSnnen. In (c) globalisieren wir dann (b) mit
Lemma 2
einen Fortsetzungsprozess~
und (d), (e) sind schlie~lich 2~r L(c o) + L(c I) + L(c 2) ~ - ~ zu behandeln.
den Fall
und 3
durch
erforderlich,
um
Alle auftretenden Kurven sind auf ~0,I] definiert.
(a)
(a,b,c) Dreiseit in M mit Umfang
ein Dreiseit
~
2~"
(~0).
Dann gibt es
(~,~,~) in M mit entsprechend gleichen Seitenl~ngen,
~:= ~(0) • Betrachte ein weiteres Dreiseit
(a',b',~)
in M mit
L(b') =
= L(~) , so da~ der Winkel bei ~ gleich dem Winkel
~
ist, ~
Sei U eine bez~glich 0
bezeichne den Winkel yon
sternfSrmige Umgebung der Menge lineare Isometrie.
Denn wenn
~ ~ ~
,
so
~
in U mit
(5) zum Vergleichssatz L(exp~o~) (b)
in M
P
und
~: M
bei p
P
,~
eXpp auf U yon HSchstrang differenzierbar und ver-
l~uft a' in
setzung die Kurve
bei ~ .
(a,b,c)
Dann gilt:
Ist (17)
(~,~,~)
~0, -b(1) , ~(0))
yon
p:= ~(0),
exp~(~U),
L(~) ~ L(a').
so ~ ~
Andererseits hat man nach Voraus-
e x p ~ o c ~ = a' , so da~ mit der Ungleichung
yon Rauch in 6.3. gilt
= L(a'),
•
L(~) = L(a)
~
L(exp~)
und das ist ein Widerspruch.
Es sei der Umfang eines Dreiseits (a,b,c) in M mit Ecken p,q,r 2~ ~ (~ O) , r nicht Bildpunkt yon c . Betrachte
streng kleiner als
eine gegen p konvergente Folge von Punkten q~ auf c m i t Seien
a,, %
q~ ~ p .
k~rzeste Geod~tische yon qy nach r , p nach q,
die Winkel des Dreiseits
(a~,b ,c~)
bei
p,q,,r
und
~,,~
und ~,#w~2~ entspre-
chende Winkel eines Dreiseits gleicher Seitenl~ngen in M , der Umfang 2~ yon (a,,b,c,) ist offenbar ebenfalls kleiner als ~ ( ~ ~ O). Dann gilt f~r unendlich viele
P
191
-
Denn zun~chst gen~gt es anzunehmen,
-
a~ ist konvergent,
- ~,(1)
konver-
giert also in M
• Auf Grund yon Lemma 2 brauchen wir weiterhin nur noch r den Fall zu betrachten, da~ a, gegen die invers durchlaufene Seite b kon-
vergiert,
- lim ~,(I) = b(0) . Sei
~
0
die Elementarl~nge
einer kom-
pakten Kugel um p in M m it so gro~em Radius, da~ alle Dreiseite (a,,b,c,) in ihr liegen, vergleiche 5.2. und 5.3. W~hle eine Zahl q~(O,1) (p,p,)~ f~r alle
mit
und
q~:= ab(~) , p':= b(1-~)
~, es ist
ten nun Dreiseite /~
lim q~ = p' . Wir betrach-
! A , m it Eckpunkten p I ,q~,r
mit Eckpunkten
Seite a~ yon qw nach r p,q,,r
punkten Seien
~,,
l~ngen wie
~
Bilder der Seiten
a,, b
, ~'
~,
und der
A~
mit Eck-
Dreis~ite gleicher Seiten-
/~ , A~
durch 0 in
in M ab, und
p',q,,r sowie
und der Seite b yon r nach p.
tialabbildungen A,, B
derart, da~ ~ ( q , , q ~ ) ~ r
in ~ .
eXpq~ , eXpp, Mq~ ,Mp,
Die Exponen-
bilden Strecken
bijektiv auf die
eXPr bildst einen yon O in M r aus-
gehenden Strahl C bijektiv auf den zwischen r und p' liegenden Tell des Bildes der Seite b a b . und r
bzw.
r und p
eXpp, , eXPr bildung
auf
~exp
C ~ B ~A~
~Xexp
C ~B ~ ~A, offenen
A~, B, C
C TM
bzw. b
k~rzeste Geod~tische
nicht Randpunkt von ~0,1~ ,
und
: TM--bM X M
Fundamentaltensor so da5
a~
Da
maximalen Rang f~r alle
haben
eXpq~ ,
Dann hat die Ab-
in einer Umgebung der kompakten Menge
H~chstrang,
vgl. 2.8.
f~r TM yon ~ ( i i i )
Zieht man etwa den kanonischen
in 3.2. heran, so gibt es also
auf allen Kugeln in TM mit Radius H~chstrang hat. Betrachte in
~-Kugeln um Punkte in Av,
um Punkte in B
w .
zwischen q,
~ • 0 ,
£ um Punkte in
Mq~ die Vereinigung
U waller
in Mp, die Vereinigung V aller
£-Kugeln
in C . Dann sind also
die Vereinigung W a l l e r a-Kugeln um Punkte r eXpq~ , eXpp, , eXPr auf U~,V,W von maximalem
Rang differenzierbar.
Mit (17) aus Teil (a) des Beweises folgt nun, indem
wir
4~,~
gend gro~en dazu
sowie in M
sowie y, wenn
lim q--~T= O.
eXPr ~
und W betrachten,
da~
F~ ~
f~r alle gen~-
der F~ entsprechende Winkel in ~
Analog schlie~t man mit (17) f~r
ist, beachte
eXpq~ und Uw,
da~
-
der Winkel yon yon
~u
~
bei
q~
f~r fast alle
, lim p'q~' = O
Dreiecks
p'q.q~
Wegen
Dreiecks in M mit gleichen ~
lim p'q.
ist, Y
Seitenl~ngen,
~ ~
~
, wenn auf
~
der eXpp,
+ lim p T ~
eines Dreiecks in ~ m it gleichen
schlie~t man
~
pq 'p' , pq~q~
(c)
Wir behandeln
und setzen voraus ein Dreiseit
~
endlich
Z~.
und
gro~.
Mit Lemma 3
~y entsprechende
9~nkel in ~ :
= lim qwr.
da~ der
Winkel in
betrachtet.
¥o = 0
t~I
~i
w~hlen,
Po,c2(t~)
t~ ~ I,
Po,C2(t)
und der Seite c I v o n
~
mit Ecken
Po,C2(t'),p 2
nicht kleiner gleicher
lim t, = t'
nicht kleiner
~o = 0 . Sei also P2
Po,C2(t),P2
nicht kleiner sind als die
~
dann
mit Ecken
P2 nach Po ' so da~ die Winkel von
in M .
Ist
~ '
Beachte dazu,
A,
Winkel eines
ein Dreiseit in M
~'
so kSnnen die Winkel yon
sein als die entsprechenden
Seitenl~ngen in M .
Nach
sup I =:t' .
und Dreiseite
und sind die Seiten yon ~,
in M .
yon I in (0,1],
sind als die entsprechenden
gleicher Seitenl~ngen
Seiten yon
Bild-
sowie der Seite c 2 yon Po nach Pl im
t'a I .. Denn wenn t' H~ufungspunkt
Dreiseits
entsprechender
Wenn P2
Winkel eines Dreiseits gleicher Seitenl~ngen
gibt es eine Folge Po,C2(tv),p2
so da~ (2) er-
~o"
gibt es ein Dreiseit in M mit den Ecken P2 nach Po
Yi
m O) • Dann kann man
(18) in Tell (b) des Beweises ist I nicht leer, setze gilt
~., ~ "
folgende Teilmenge I yon (0,1] :
t = I , so daS die Winkel bei
Zun~chst
Ganz analog
in M m it Winkeln
(3), etwa f~r
und offenbar auch
yon c 2 . Betrachte
und der Seite c I v o n entsprechenden
.
w, indem man
(~
in ~ mit Winkeln
punkt yon c 2 ist, gilt
F~r jedes
ergibt sich nach nochmaliger
~ = (Co,Cl,C 2)
L(cI) + L(c2) ~
L(c O) +
Winkel
Dsm~t ist (18) bewiesen.
jetzt das Dreiseit
= (~o,~'1,~2)
~
Da im Dreieck
f~r fast a l l e v
f~r alle gen~gend gro~en
die Ungleichung
nicht Bildpunkt
,
Winkel eines
und V, folgt weiter,
Seitenl~ngen, ~ ~ ~.
f~llt ist. Wit beweisen
bei
= p'p < ~
wieder alle Winkel nicht kleiner sind als die entsprechenden
Anwendung yon Lemma 3
Falle
w hinreichend
~
nicht kleiner als der entsprechende
gro~, beachte dazu,
pq.p'
lim (p'p + ~ )
sind als die entsprechenden
ist. Erneut mit (17), angewendet Winkel bei p' in
~
Winkel
folgt wieder mit (17), daS alle Winkel des
nicht kleiner
schlie~en wir dann
-
nicht kleiner ist als der entsprechende
w.
q.q~ ~ ~
192
H~ufungsgeod~tische ~'
bei Po,C2(t')
Winkel eines Dreiseits
~'
die L~ngen entsprechender
- 193 Seiten von
Z~
konvergieren
Seiten des Dreiecks ( x > 0),
gegen die yon Null verschiedenen
~ ' , und der Umfang yon
deshalb konvergieren
Winkel yon
~' . W~re nun
in M mit Ecken
also (d)
Seitenl~ngen
~ ~0
und
f~r alle Seiten c i, Bezeichne +
A
~p2,%
eine Folge
Dreiecke auf
~o
) _-
ty
~
To
.
Z~'
bei
t ~0,1]
mit
Sei schlie~lich
sich zun~chst funktion
mit
gilt
9(po,p~)
als ~ ,
wenn
und
ist
lim t v = t'
konvergiert,
po,p~,p~.
pop~ = -~-
Vollst~ndigkeit
t' ~" 0.
Auf Grund von
" Im Falle,
und mithin
oder
daS etwa
" Die Be-
~
S2
auf
pop~ = ~~"
"
so
Es ergibt
der Abstands-
p4:= c2(t'), p~:= Cl(1-t')
2~c. . Sei
Nach (d) ist
~
~o = ~
" Denn wegen der Stetigkeit
=
Winkel
lim ~ P o , C 2 ( t , ) ) •
L(c o) + L(c 1) + L(c 2) TM 2V'~ ~
+ ~(p~,po)
+
und w~Lhle Dreiseite
~,.
well
~o = ~
t'~ (0,1) , so da5 f~r
+ ~(p4,p~)
in M mit Eckpunkten
~o =x" .
~Po,C2(t))
L(cl)~
L(c 1) "~ L(c 2) = ~
~o = ~1 = ~2 = ~
~ existiert
L(c i) ~
Yo nicht kleiner als der entsprechende
x>0
und
t" • I,
. Wenn
hauptung des Satzes folgt sofort, man kann das Dreiseit ~ und ; 1 = wihlen, da6 Fo = ~ 2 = 0. (e)
Po,C2(t') Winkel zweier
und der Seite c I yon P2 nach Po " A kleiner als ~~a ' seien ~ ,
Daher haben wir also
i s t auch
zwischen
folgt dann
2• ~
mit gleich langen Seiten wie
~
~"
bewiesen.
Wegen
Po,C2(t~),p2
der offenbar gegen
L(Co) = ~
~"
Mit Lemma 3
ist der Umfang yon
S2
9(p2,Po)<
2~
in (0,t')
Tell (c) des Beweises ist ~,,
und
~'
sowie auf
~o = ~1 = ~2 = ~" " Wir zeigen etwa
in M mit Eckpunkten
Nach Konstruktion
von
in ~ .
t' das Infimum aller Zahlen
pCc2(t),p2 ) +
Betrachte
~'
L(Co) + L(Cl) + L(c 2) -
dann
gegen die
und ein Dreiseit
und gleicher Seite wie
so da6 die Winkel yon
t' = 1 , und wir haben Sei nun
t"E(t',l]
nicht kleiner sind als die entsprechenden
Dreiseite gleicher
~
und der Seite c I yon P2 nach Po
c2(t'),c2(t"),p2
c2(t'),c2(t")
Winkel yon
t' ~ 1 , so findet man also ein Dreiseit
P,c2(t'),p2
c2(t') und P2'
ist kleiner als
auch entsprechende
Grund yon (18) in Tell (b) des Beweises in M mit Ecken
~'
I//ngen der
d '
~o hSchstens
ein Dreiseit dann kleiner
. Nun hat man aber wegen der
von M nach dem Vergleichssatz
yon Morse-Schoenberg,
der Abstand je zweier Punkte in M nicht gr55er als ~
sein kann,
da5
,
-
194
-
vergleiche 5.3. und 6.2. sowie den Satz yon Myers in 7.3. Daher
~
, pop~ < PoP2 ~ und ~ o = ~ . Analog zeigt man, ~1 = ~2 =~r . Sei t" ~[0,1) das
~ poP1 ~_ ~
Supremum aller Zahlen
t e [0, I] , so dab 2~ (Po,C2(t)) + ~(c2(t),p 2) + ~(P2,Po ) = ~ W~hle nun eine Folge t ~ ( t " , l ) mit lira t, = t" , setze = c2(t")
P.
Ecken
q := c2(t~) , q:= lim q~ =
und betrachte Dreiseite
po,q,,p2
~I~ mit
und der Seite c I yon P2
nach Po"
Der Umfang eines jeden Dreiseits ~I, 2~ ist grSBer als ~ , so daa nach den voran-
CA
gegangenen Sberlegungen alle Winkel von 4~
p, also
gleich ~
qPl + PlP2 = qP2 ' so dab
sind. Daher
q~Pl + PlP2 = q,P2'
L(Co) + L(Cl) + L(c2) =
Po q + qPl +
+ PlP2 + P2Po = Po q + qP2 + P2Po = ~ ' im Widerspruch zur Annahme. Damit ist der Satz vollst~ndig bewiesen.
[]
(i)
Der Winkelvergleichssatz dieses Abschnitt~ gilt in genau der-
selben Formulierung auch, wenn nur
K r ~ ~ und
~ negativ vorausgesetzt
wird. Als Vergleichsraum M dient dann der n-dimensionale hyperbolische Raum oder einfach wieder nur die 2-dimensionale hyperbolische Ebene der konstanten negativen Kr~nmung Standardmodells
U~
in ~ ( i v )
~, vergleiche etwa die Beschreibung des von 3.6.
Warum ist
Riemannsche Mannigfaltigkeit ? Jede yon einem Punkt
U~ eine vollst~udige p • U~
ausgehende
maximal definierte Geod~tische ist unendlich lang, ihr Bild in Ua
ein
euklidischer Kreisbogenabschnitt oder ein Strahl, der den Rand der Vollkugel
U~
Zahlen
senkrecht trifft, siehe ~ ( i v )
ao,al,a 2
= (~o,Cl,C2) und
•
ai =
~
in
mit
ai + ai+ 1 ~ ai+ 2
~ = U~
in 3.6.
Zu je drei positiven
gibt es ein Dreiseit
mit den Winkeln
~i
~
bei den Eckpunkten
= ~i
L(~i) , ~ ist bis auf Kongruenz, d.h. his auf Transforma-
tion mit einem Element der Isometriegruppe yon U~, eindeutig bestimmt, zu je drei paarweise distinkten Punkten Dreiseit
4
~o,~1,~2
existiert genau ein
mit diesen Eckpunkten. Man hat den Seitencosinussatz der
-
der hyperbolischen cosha i
195
-
Geometrie =
coshai+ 1 coshai+ 2
Als Folgerung des Winkelvergleichssatzes
-
sinhai+ 1 sinhai+ 2 cos ~i
von Toponogoff im Falle
"
~
O
ergibt sich dann (19)
cosha i
~
coshai+ 1 cosh ai+ 2
dabei liegen alle Voraussetzungen Der Beweis der Aussage (ii)
(3) f~r
Man kann die Forderung,
des Winkelvergleichssatzes
und Bezeichnungen ~ • 0
Aus der Durchf~hrung
eXppA ist f~r den Eckpunkt Pi des Dreiseits gro~em Radius Ebenen
B~(Pi)
liegt. Man kann etwa
dann gilt die Aussage
~um
~
ein Dreiseit in M,
gro~en relativ kompakten metrischen schr~nkt ist, w~hrend wenn M kompakt, Dreieckswinkel Schranken
l~t
und
Kugel
voraussetzen,
"
Beachte das
in 7.3.
Die letzte
M vollst~ndig,
so liegt 4
in einer hinreichend
Kugel,
auf der
noch verbessern,
aber
K ¢ nach unten be-
zu sein braucht.
sich mit dieser Bemerkung die Absch~tzung
mSglicherweise
K~--.~
Falls z.B.
K~ auf M nicht beschr~nkt
Selbst
(3) der
well man grS~ere untere
f~r die Kr~mmung auf kleineren kompakten Kugeln in der GrS~en-
ordnung der betrachteten
Dreiseite verwenden kann.
Ein verallgemeinertes
po,Pl,P2
~i+1 ' ~i+2
und ~ ( i l )
des Satzes ist oft wichtig.
nicht kompakt und ~
auf einer offenen
L(c o) + L(c I) + L(c 2)
Lemma in 5-3. sowie r-~1(iv) in 5.4. Versch~rfung
~
0 in MpA definiert
(3) des Satzes fur
des
Die Exponentialab-
~, deren Fu~punkt in der metrischen 2a
0 .
ist, in der Voraussetzung
da~ es gen~gt anzunehmen:
fur alle tangentialen
'
des Satzes zu Grunde.
ist der gleiche wie f~r ~ =
da~ M vollst~ndig
Kugel yon hinreichend
(iii)
sinhai+ 1 sinhai+ 2 cos ~i
etwas abschw~chen.
Beweises sieht man n~mlich, bildung
-
Dreiseit
4 = (Co,Cl,C 2)
wird definiert wie elm Dreiseit
durch nicht konstante Geod~ti-
sche c i , jedoch verlangt man nur yon zwei Seiten) sie K~rzeste nach Pl sein,
mit Eckpunkten
etwa c o u n d c I , da~
sind. Die Seite c 2 darf eine beliebige Geod~tische Po = Pl ist zugelassen,
(1) fur alle i gelten.
yon Po
es mu~ aber die Dreiecksungleichung
Beweise den Winkelvergleichssatz
f~r das verall-
-
gemeinerte
Dreiseit
d
in M,
die anliegenden Winkel vorausgesetzt
wird
196
-
wobei aber die Ungleichung
~o' 21
yon c 2
L(c2) -~ ~ ~
.
behauptet und im Falle
Man unterteile
yon
~
fGr ~ ~ O
den Fall, dab der Umfang yon ~ 2~L(c o) + L(c I ) + L(c 2) > ~
gleich
2~ und fUhre die ~'~ ' entsprechend wie in (e) zum
MSglichkeit Widerspruch
(~ • O).
an und schlieBe welter
zun~chst wieder unter der Annahme, der Umfang 2~ ~ . Behandle damit analog zu Toil (d) des
ist kleiner als
Beweises
Beachte
dabei stets,
fur verallgemeinerte
sind notwendig nur Aussagen Uber zwei Winkel mSglich, Argumentation
~ ~ 0
die Seite c 2 in KUrzeste,
wende den Satz auf die so gegebenen Teildreiseite mit Lemma 3,
(3) nur fur
Dreiseite
jedoch gilt die
yon (d),(e) w~rtlich auch hier, wenn man die Formulierung
an einigen Stellen sinngem~B modifiziert. (iv)
Hat man eine obere Schranke
k~nnte man erwarten,
f~r die Schnittkr~mmung
die Winkel eines Dreiseits
analog zu (3) durch entsprechende l~ngen in den R~umen konstanter im Falle einer positiven existiert,
faltigkeiten
Winkel eines Dreiseits gleicher
oberen Schranke
ein Vergleichsdreiseit
Uberhaupt
nicht zu groB ist. Das ist aber nicht
Krthnmung,
FUr gen~gend kleine Dreiecke,
durch die Exponentialabbildungen
Seiten-
sofern
es gibt keinen globalen Winkelvergleichssatz
mit nach oben beschr~nkter
nogoff entspricht.
so
in M lieBen sich
Krthnmung nach oben absch~tzen,
also der Umfang yon ~
allgemein m~glich,
~
auf M,
fur Mannig-
der dem Satz yon Topoderen Seiten sich alle
der Eckpunkte in die Tangentialr~ume
liften lassen, kann man natUrlich in vielen F~llen mit dem Vergleichssatz yon Rauch,
analog zu Tell (a) des Beweises bier,
gen nach oben finden. FUr allgemeinere liche Voraussetzungen.
Aussagen
M diffeomorph
zu S 3 mit
Geod~tische
der L~nge ~ 2 ~
alle gleich
~
als
2~
[](vi)
in M,
kompakte Riemannsche
0 ~ K~ ~ 1
Mannig-
und eine periodische
die Dreiseite
~
liefert,
deren Winkel
sind, aber jedes Dreiseit in S 2 yon kleinerem Umfang
hat einen Winkel in 7.2.
braucht man starke zus~tz-
Es genUgt nicht, M als einfach zusammenh~ngend
vorauszusetzen : Es gibt eine 3-dimensionale faltigkeit
direkt Winkelabsch~tzun-
sowie
<~.
Vergleiche
Y. Tsukamoto,
Memoirs of the Faculty of Science
hierzu
[](iii)
in 7.5.
und
"On a theorem of A.D. Alexandrov",
15 (1961), 83-89,
Kyushu University .
197
-
§ 7
7.1.
-
Beziehungen zwischen Kr~mmung und topologischer Gestalt
Deformationen yon Geod~tischen.
Wir wenden uns jetzt dem Problem zu, topologische Eigenschaften vollst~ndigen Riemannschen Mannigfaltigkeit charakterisieren.
einer
durch die SchnittkrGmmung zu
Insbesondere gehen wir auf die Frage ein, welche diffe-
renzierbaren Mannigfaltigkeiten
gestatten eine vollst~ndige Metrik defi-
niter, also durchweg negativer oder positiver Krllmmung?
Zu den st~rksten
bisher bekannten Resultaten in dieser Richtung kommt man durch Untersuchung der Geod~tischen Extremaleigenschaften,
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
im wesentlichen Eber die Morse-Theorie in Verbin-
dung mit den Vergleichss~tzen
des letzten Paragraphen.
FGr alle topologischen Begriffe sei etwa verwiesen auf "Algebraic
topology",
und ihrer
Mc G r a w - Hill (1966).
mannsche Mannigfaltigkeiten
betrachten,
E. Spanier,
Wenn wir im folgenden Rie-
liegt immer der lineare Zusammen-
hang yon Levi-Civita zu Grunde. M differenzierbare Mannigfaltigkeit st~ckweise differenzierbare Eine stetige Abbildung
und
p,q E M.
Co,C1:~=,~3
Seien
M
Kurven mit Anfangspunkt p und Endpunkt q .
H:[a,~
x [0,1]
•M
zwischen c o u n d c I , wenn die Abbildung
heist eine
Hs:~,~]--*M
(p,q)-Homotopie
mit
Hs(t):= H(t,s)
eine st~ckweise differenzierbare Kurve yon p nach q fur alle und
•
s ~[0,1]
Ho = c o , H I = c I . Dabei nehmen wir zus~tzlich immer an, die Bogen-
l~ngenfunktion keit.
s
~L(Hs)
c o u n d c I hei~en
ist stetig,
sobald M Riemannsche Mannigfaltig-
(p,q)-homotop,
falls es eine
zwischen c o und c I gibt. Man ~berlegt sofort, Aquivalenzrelation Kurven
~,I]---,M
in der Menge ~ von p nach q.
(p,q)-Homotopie
"(p,q)-homotop"
ist eine
aller st~ckweise differenzierbaren
Pq Eine (p,q)-Homotopie H zwischen C o , C l m ~ p q
kann man in nat~rlicher Weise auffassen als stetige Kurve mit Anfangspunkt c o und Endpunkt c I im Wegeraum ~ p q und 7.6.
, vergleiche auch [ ] ( i )
in 4.1.
-
Wir beweisen
zun~chst
eineTRiemannschen tion l ~ t
198
-
eine Aussage ~ber Homotopien
Mannigfaltigkeit,
sich durch einfache
zwischen Geod~tischen
das Supremum ihrer Bogenl~ngenfunk-
Daten der Exponentialabbildung
nach unten
absch~tzen.
Vor. :
M Riemannsche
Mannigfaltigkeit,
p ~ M.
eXpp sei auf der offenen Kugel U z Uberall auf U t
Die Exponentialabbildung
um 0 in Mp definiert und habe
maximalen Rang. Wir betrachten tionsbereich
¢4
•
von eXpp mit
exp(v) = exp(w) =:r,
! t
= exp(toV).
Beh.:
Es gibt ein
die b e i r
Geod~tische
yon p nach q ,Lit
= exp(2tw)
f~r
t e[O,~]
s
o
f~r
~
2~
fur alle zu M tangentialen
Ebenen
~,
so kann man
K ~
E = ~
A
vom Radius ~
um 0 in Mp ~berall mximalen Rang. Im allgemeinen w~hlen,
in 6.2. hat expp in der offenen Kugel
•
n
M = $4__
etwa fGr zwei verschie~ene
u n d c I , die sich zu einem Gro~kreis
Bew.:
.
wie man am Be~splel
A ~berlegt,
Denn
und nach dem
yon Morse-Schoenberg
q = r
,
mit A ~ 0
w~hlen.
Vergleichssatz
pol,
tC[~,1]
.
nach dem Satz yon Hopf-Rinow ist expp auf ganz Mp definiert,
Krt~nmung
cl(t):=
eine (p,q)-Homotopie
Wenn M vollst~ndig ist und fur die Kr~mmung yon M gilt
konstanter
gebrochene
~[0,1] , so da~ L(c o) + L(Hso)
als ~
yon p
zwischen c o und c I .
(I)
nicht g r ~ e r
q:=
cl(t):=
und
= exp([1 - (2t-I)( 1-to)] v )
,M
und ,
sei die Geo-
Co(t):= exp(ttoV)
Cl:[0,1]---,M
H: [0,1] ~[0,1] ¢o
v @ w
t oe[0,1]
Co:[O,q]---.M
d~tische mit nach q,
v,w •Mp im Defini-
zusammenschlie~en,
kann man t ..
der Sphare yon Geod~tische
c
o so ~a6 p der Nord-
der S~dpol.
Angenommen,
fur alle
s ~[0,1]
finden wir wegen der Stetigkeit
gilt
der Funktion
L(Co ) + L(Hs) 4 2 L. s---,L(H s)
eine Zahl
Dann ~
mit
-
(2)
L(c o) +
199
sup
-
L(H s)
< 21
< 2¢
,
also insbesondere (3)
L(Co> = L(Ho) < I
.
Nach Voraussetzung hat eXpp in UE Uberall maximalen Rang. Analog wie beim Liften einer Variation
im Beweis des Satzes aus 4.4. folgt, die Menge J o ~ E[0,1] , so dab man HI[0,I]X[O,~] zu einer stetigen Ab-
aller Zahlen bildung
~:[0,1]X[0,~]
,U~
liften kant, also
mit stUckweise differenzierbaren Kurven ~s(t) =
~(t,s)
fur
s E[O,~],
offenes Intervall in in [0,1] und daher
yon ~ mit
noch i n ~ I
~s:[O,1]---,UI
[0,1] • Wir ~berlegen, Jo =[0,1] . Denn ist
liften zu
@([0,1]X[O,~))
= HI[O,I]x[O,~] von 0 nach toy ,
~(t):=
in lim
Joist
auch abgeschlossen
tO,q) C Jo' ~
so liegen alle
C U t , und man kann die Kurve
~s(t) , da eXpp in den Randpunkten
maximalen Rang hat. Wir m~ssen noch schlieBen,
verl~uft sogar ganz in UI • Anderenfalls gibt es n~mlich ~(to)
,
ist ein auf Grund yon (3) nicht leeres
H~ufungspunkte yon ~(Eo,I]x[o,~}> H~
exp.~
= ~ , so dab nach Lemma 2
in 4.4. gilt
t o E [0,1]
L(Co) + L(H~)
~
21,
und das ist wegen (2) nicht mSglich. Damit haben wir gezeigt, dere also
HI = cI
Deshalb folgt, fur
H l~Bt sich vollst~ndig in U~
zu einer Kurve
~1(t) = 2tw
fur
t ¢[{ ,1] , also erh~it man
liften, insbeson-
@1 yon 0 nach toY. mit t ~[0,~]
v = w
fur
exp o ~1 = ci "
und
~1(t)=[1-(2t-1)(1-to)~V i t = ~ , im Widerspruch zur
Voraussetzung.
M differenzierbare Mannigfaltigkeit. baren Kurven
Co,Ci:£~, ~]
~M
von p nach q
Die stUckweise differenziersind genau dann (p,q)-homo-
top, wenn sie im allgemeinen topologischen Sinn homotop sind bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt, d.h. wenn wie vorher eine Homotopie ~ yon c o nach c I nur als stetige Abbildung existiert ohne weitere Differenzierbarkeitseigenschaften. Abbildung
~:[~.~
~s(t):= ~(t,s)
Wir Uberlegen dar~ber hinaus, jede solche stetige
X[O,1]
und
,M
Ho = Co'
mit den stetigen Kurven ~1 = c1' l ~ t
~s:[~,~
~M,
sich beliebig genau approxi-
mieren durch eine (p,q)-Homotopie H yon c o nach c I , die stEckweise differenzierbar ist~ d.h. es gibt Zahlen
~=
t o • t I • . . . •t k = ~
und
- 200 0 = s o < s I < . . . < s I = 1 , so da~ fur
I ~Y
~
tE[~,~]
k,
Riemannschen E° > Sei
0
1 ~/4~
, s ~[0,1~
1
HI~,.,,t~] ~[s~.,,s~1 differenzierbar
und
bezUglich
Metrik f~r M,
~(~(t,s),H(t,s)) < a ° der Abstandsfunktion
und
0~
( ~ ~
nicht grS~er als das Infimum aller
die der Konvexit~tsradius
menge
yon I in M annimmt.
~(I)
Funktion
IXI---,R
mit
~(a),~(a'))<
Col[t..,,t ] , fur alle
,~(~(a),~(a'))
fur alle und
a,a' 6 I
1 ~/~ ~ 1 .
Hs : [ ~ , ~ - - * M ,
wobei
fur
I ~/~ ~1-I
, 1 ~_w~
nach
~(t,,~).
Erkl~re
von
k
Ho:= Co,
H
(t)
Nach Konstruktion
hat H die verlangten
5.2. und verwende
die Abbildung
s---~H(t,s)
7.2.
st~ckweise
~exp
differenzierbar
stGckweise und
Geod~tische
da6
differenzierbare
Hs~,_,,t,1 in M von~(t,.,,s~)__
H| t X [s~.,,~]
fGr alle
die kUrzeste
tm[~,~3
Eigenschaften, . Insbesondere
,
1 ~ / ~ ~ 1.
beachte 5.1. sowie sind die Kurven
und sogar "gebrochene
In diesem Abschnitt behandeln wir vollst~ndige
Eine zusammenh~ngende zusammenh~n6end,
Geod~tische".
Riemannsche
Mannigfaltig-
Schnittkr{Jmmung.
differenzierbare
wenn jede geschlossene
Mannigfaltigkeit st~ckweise
M heist einfach
differenzierbare
Co: J---*M mit Anfangs- und Endpunkt p in M zusammenziehbar,
(p,p)-homotop Man Gberlegt
ist zur konstanten sofort, M i s t
je zwei stUckweise sind
so
. W~hle
Der Satz von Hadamard-Cartan.
keiten mit nicht positiver
Kurve
~>0,
ua - a'l! 4 ~
der
(t,- tw.,)2 + (s~- s~.,)2< ~ 2
HI:= c I
die kUrzeste
nach
existiert
mit
und
Betrachte
dann H dadurch,
Hs~.~t)
Stetigkeit
0 =:s o • s 1 ~ .o. •Sl:= 1 , so da~
c 1~[t~.,,t,] differenzierbar
1 ~ w ~ k,
Geod~tische
r aus 5.2. auf der kompakten Bild-
Wegen der g l e i c h m ~ i g e n
(a,a')
E
a = : t o ~ t 1< ... < t k : = ~
Kurven
annehmen und
belilbig vorgeben.
I:= [~,~JX[0,1]
nun
fur alle einer fixierten
man kann M als zusammenh~ngend
Zahlenwerte,
da~
~
Kurve
c1: J--~M
m.it cl(t) = p .
genau dann einfach zus-mmenh~ngend,
differenzierbare
(p,q)-homotop , beachte
[]
Kurven
in 7.1.
Co,C1:
d.h.
J--,M
wenn gilt,
yon p nach q
-
201
-
Sei M zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Man nennt den Punkt p ~M
einen Pol yon M,
falls die Exponentialabbildung eXpp auf Mp defi-
niert ist und ~berall maximalen Rang hat. Existiert ein Pol in M, so folgt nach (b') in 5.3. zun~chst, da6 M vollst~ndig ist, und welter:
Vor. :
einfach zusammenh~ngende n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit,
p Pol von M .
Die Exponentialabbildung
Beh.:
eXpp: Mp
,M
ist ein Diffeomorphismus
und damit M diffeomorph zu ~". Bew.:
Da eXpp lokaler Diffeomorphismus und surjektiv wegen der Voll-
st~ndigkeit yon M ,
bleibt zu zeigen,
eXpp ist injektiv.
Angenommen, es gibt v , w E M mit exp(v) = exp(w) =:q und v ~w P Dann w~hle man den Voraussetzungen des Lemmas in 7.1. entsprechend und
Co: [0,11--~M,
f~r
t ~0,~
,
ci: ~0,I~
cl(t):= q
,M f~r
mit
Co(t):= exp(tv),
t ~C~,1~.
nach Voraussetzung eine (p,q)-Homotopie
to = 1
c1(t):= exp(2tw)
Zwischen c O und c I existiert
H: ~ 1 ~ x ~ 0 , 1 ~
,M.
Da eXpp
auf ganz M
definiert ist und dort Gberall maximalen Rang hat, gibt es P nach 7.1.(1) f~r jede Zahl ~ • 0 ein s o ~ 0 , 1 ~ , so da~ L(c o) + L(Hs ) 2~. gro~es
Da die Abbildung
s--*L(H s)
~ einen Widerspruch, denn
stetig ist, erh~lt man f~r gen~gend ~L(Hs)~ s m ~ O , l ~
ist beschr~nkt.
Der folgende Satz wurde zuerst yon Hadamard f~r Fl~chen bewiesen, Cartan hat ihn sp~ter auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten hSherer Dimension verallgemeinert. (J. Hadamard, E. Cartan) Vor • :
M vollst~udige einfach zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension
n ~ 2.
Es sei die SchnittkrGmmung
fGr alle zu M tangentialen Ebenen Beh.:
F~r jedes
p ~M
ist
eXpp: Mp--~M
Insbesondere ist M diffeomorph zu
K~ ~ 0
~. ein Diffeomorphismus. ~n.
- 202 Bew.:
M erfGllt die Voraussetzung
des Vergleichssatzes p aM
~berall in M
[
(i)
ebenso die Sphere pn(IH),
p2(Ca)
yon Morse-Schoenberg maximalen
P
Zeige,
des Lemmas,
]
fur
n ~2
von [ ] ( v )
Wenn M zusammenh~ngende
(a')
in 6.2. hat eXpp f~r jedes
Rang. Jeder Punkt yon M i s t
der euklidische Sn
denn nach Aussage
Raum
~n
also ein Pol.
ist einfach zusammenh~ngend,
und die projektiven
R~ume
pn( ~ ) ,
in 1.7.
differenzierbare
bilden die Aquivalenzklassen
Mannigfaltigkeit
und p ~ M,
nach der Relation "(p,p)-homotop"
so
in der Menge
aller stGckweise differenzierbaren geschlossenen Kurven ~O,I~--~M PP mit Anfangs- und Endpunkt p eine Gruppe ~l(M,p) , die Fundamentalgruppe von M mit Basispunkt anderschaltung
p , wobei die Verkn~pfung
das inverse Element bestimmt. hat man die Gruppe renzierbarer ~l(M,p)
BezEglich
durch Hinterein-
Kurven
C0,I~
,M
yon p nach q
Man kann daher
yon M bezeichnen.
= 1 . ~I(M) -Best~tige, da~ W I ( M ~ N )
st~ckweise
q•M diffe-
liefert einen Isomorphismus
~I(M):~
Mist
einer Kurve
eines weiteren Basispunktes
~l(M,q) , jede (p,q)-Homotopieklasse
~ ~l(M,q).
mentalgruppe
kanonisch
yon Wegen induziert wird und Umorientierung
~(M,p)
als die Funda-
also einfach zusammenh~ngend,
genau
wenn
~
~I(M) X ~ ( N )
, N zusammenh~ngende
differen-
zierbare Mannigfaltigkeit. Mit Hilfe der Fundamentalgruppe
lassen sich Sberlagerungen
klassifizieren.
A
Sei
R:
M-~M
differenzierbare
Eine differenzierbare
Sberlagerung,
Sberlagerung
vgl.
~ : ~--,M
~(v)
in 1.7.
heist ~quivalent
zu ~ ,
A
wenn es einen "fasertreuen" ~o
f = ~
, im Falle
~=
Diffeomorphismus ~
nennt man einen solchen Diffeomorphismus
von M auf sich eine Decktransformation. lagerungen besagt nun: der Fundamentalgruppe
Der Klassifikationssatz
Zu jeder Klasse yon konjugierten ~I(M)
renzierbarer
Sberlagerungen
Menge
p ~M
gen damit umgekehrt
Untergruppen
M--~M,
yon
r
diffe-
A
so da~ M zusammenh~ngend,
in umkehrbar
der Rechtsrestklassen
fur Sber-
gibt es genau eine Klasse ~quivalenter A
und die Faser ~ber
f von M auf M gibt, also
~ in
eindeutiger ~I(M) .
alle differenzierbaren
Beziehung
~I(M) ~ P steht zur
Bis auf Aquivalenz
Sberlagerungen
~--.M
lie-
mit
- 203 A
zusammenh~ngendem
M vor. Falls
[" eine invariante
Untergruppe
A
so ne~nt man die zugeh6rige prinzipal oder regular,
Uberlagerung
von
~I(M) ,
A
M--~M
mit
~rl(M) ~ [" auch
es operiert in diesem Fall
~I(M)/F
als Gruppe
A
der Decktransformationen
auf M und d~m!t auf der Faser, also auf sich A
selbst, fGr
durch Linkstranslation.
P=
1
die universelle
F~r
r'=
Sberlagerung
~1(~)
hat man
~: ~--.M
M = M
und
mit einfach zusammen-
A
h~ngendem M .
Man vergleiche weiter auch (iii) •
Warum ist M kompakt,
genau wenn M kompakt und
Die differenzierbare
Sberlagerung
universell,
daher
~1(S 1) ~ ~
identifizierung versell,
~ --~ S 1 ~
, wobei
Zahlen. FGr den n-dimensionalen --_-27 n • Die zweibl~ttrige
Z
Torus gilt also
Sberlagerung
mit
R'I(T n) =
sn___~pn(~)
~"ICPI(IR))
und
g~ 2
ist
~rl(Sl~ ... ~$1) ~
ist f~r
so da~
n ~- 2
~1 ( P n ( ~ ) )
uni-
=~" ~ 2
=
''~-- '~'1(S 1 ) "~ ~' •
differenzierbarer
scher Fundamentalgruppe
t---*e2 ~ i t
durch Diametralpunkt-
in der Sphere S n von [ ] (v) in 1.7.
Einfache Beispiele
vom Geschlecht
~/~
endlich?
die additive Gruppe der ganzen
da dann S n einfach zusammenh~ngend,
= ~'/2 7
~l(M)/r"
Mannigfaltigkeiten
mit nicht abel-
liegen in den kompakten
orientierbaren
vor, ihre Fundamentalgruppe
~ 1 (M2)
Fl~chen ~g
wird erzeugt
yon 2g Elementen al' i ..,a g ,b ~ ,...,b 1 g mit der einzigen Relation • -1. -1 . -1. -1 alola I o I a2o2a 2 o 2 .. a g bg g a- b-g = 1 . Wenn M ,M 2g die universelle Sberlagerung, so M diffeomorph zu ~ L weil ~l(~g) nicht endliche Ordnung hat, also ~ nicht kompakt und einfach zusammenh~ngend,
vergleiche
auch (v). (ii)
Zeige,
die Pole einer vollst~ndigen
bilden eine abgeschlossene zu geben,
z.B. auf
yon M Pole sein, wie
M = ST
Teilmenge. fSr
der Satz
n~2 zeigt,
x
+
y
-
2z
keine Pole
, es k6nnen aber auch alle Punkte etwa
einzige Pol des Rotationsparaboloides 2 2
=
Riemannschen Mannigfaltigkeit
Es braucht Uberhaupt
M = R n • Warum ist 0 der
f'1(0) C ~ 3
mit
f(x,y,z) =
?
Man nennt h~ufig auch diejenigen Punkte
p eM
injektiv ist, d.h. alle yon p ausgehenden zwischen p und jedem ihrer Bildpunkte.
Pole,
fSr die
Geod~tischen
expp: Mp
sind K~rzeste
Pole in diesem strengeren Sinne A
sind dann gerade die Punkte p mit
dp = ~
, wenn
d: M
~R
wieder
)M
- 204 die Abstandsfunktion
zum Schnittort
oder den Injektivit~tsradius
aus dem
Korollar yon 5.4. bezeichnet,
und sie bilden offenbar eine Teilmenge
Pole in unserem obigen Sinne,
die ebenfalls abgeschlossen
(iii)
M zusammenhingende
Dimension n . Zeige, sche
c: [0,q]--~M
vollst~ndige
Riemannsche
fur je zwei Punkte
p,q ~ M
ist, d a d
von p nach q in jeder Aquivalenzklasse
Kurven des Wegeraumes ~ p q .
Sei / ~
0
stetig.
Mannigfaltigkeit
existiert
der
der
eine Geod~ti(p,q)-homotoper
da~ Infimum der Bogenl~ngen
aller
Kurven einer solchen festen (p,q)-Homotopieklasse
und c i Folge von Wegen
dieser Klasse mit
E >0,
lim L(c i) = ~
in der kompakten metrischen verlaufen. t~rliche
Betrachte
Zahl
von i,
c(t j ) ( W
k
Kugel
W:=~+E(p)
die Elementarl~nge
und fur
0 ~jek
vom Radius /~+ ~
~>
Zahlen
so daS alle c i
O
um p
von W und w~hle eine na-
t~ ~ C0,1]
mit
0 =:t~... l ~ f~r
I so da~ L ( c i ~ - l , t ~ ] ) l = 1 ' I ~j ~k. Da [0,1] und W kompakt,
L ( c i ) ~< _~ k findet man eine Teilfolge
so da~
cD(t~,)
t~,
konvergiert
c:~,I]---~M
• Es gibt ein
gegen
fur
tJ £[0,1]
0 ~j ~ k .
und
Erkl~re
gegen Punkte
die gebrochene
Geod~tische
dadurch, da5 c ~ t J - l , t j] fHr j=l .... ,k Pq eindeutig bestimmte k~rzeste Geod~tische von c(t j'l) nach c(t j)
Uberlege, ci
und
in ~
c liegt in der gleichen L(c) = ~
.
(p,q)-Homotopieklasse
Dann mu~ aber c bereits
liege sich c durch eine (p,q)-homotope ±m Widerspruch Einfacher
Geod~tische
sein, sonst verk~rzen,
zur Wahl v o n / ~ .
gewinnt man Geod~tische
Wegen in ~ rung
ist.
wie die Kurven
eine Geod~tische
gebrochene
die
c in jeder (p,q)-Homotopieklasse
aus der abstrakten
Pq
~ : M--.M,
Konstruktion
der universellen
nach der bei festem p die Faser
~-l(q)
von Uberlage-
^
Uber q in M
gerade als Menge der (p,q)-Homotopieklassen gew~hlt werden kann. Die TopoA logie auf M wird erkl~rt, indem man fur jedes ~ G M ein Umgebungssystem angibt:
Betrachte
Umgebung U yon klassen
ql
q:=
~(~)
mit ql g U
die Zusammensetzung weise
eine Kurve
und
c g ~ . FUr jede einfach zusammenh~ngende
in M
sei die Menge aller
c 1G ql
(p,ql)-Homotopie-
eine Umgebung yon q in M,
wobe± Cq
von c mit irgend einer ganz in U verlaufenden
differenzierbaren
Kurve von q nach ql " Uberlege,
~
st~ck-
wird bezHglich
- 205 dieser Topologie
A
fur M ein lokaler HomSomorphismus
die Struktur einer zusammenh~ngenden faltigkeit
auf M , so da~
~
und induziert kanonisch
vollst~ndigen
differenzierbare
Riemannschen
isometrische
Mannig-
Uberlagerungs-
A
abbildung,
vergleiche
auch ~ ( i v )
in 5-3-
Ferner ist M einfach zusammen-
A
hingend, mit
die Uberlagerung
~(~)
= p
~: M--,M
daher universell.
die Klasse nullhomotoper
sind zur konstanten
Kurve
A
von p nach
yon p nach q mit
c ~
t--@p
A
q,
Wege,
, so existiert
und
c:=
Bezeichnet
ist
eine Geod~tische d a n n Qeod
tische
~I(M) ~
formationen
~1(M,p)
frei auf M,
operiert
indem
zugeordnet wird, n~mlioh
~
f E ~1(M,p)
die (p,q)-Homotopieklasse A
(~l(M,p)
mit
fl ~ f2
Decktrans-
der Punkt f(~)
der Zusammensetzung
Dabei bedeutet "frei" , zu jedem
Punkt ~ in ~ gibt es eine Umgebung V yon ~ in ~, fl,f2
die Fundamen-
als Gruppe isometrischer durch
eines Weges in f mit einem Weg in q.
mente
in M
.
Im Anschlu6 an die letzte Uberlegung halten wir noch fest, talgruppe
~ e
die also (p,p)-homotop
gilt
so da~ fur je zwei Ele-
fl(V) ~ f2(V) = ~
sondere hat unter der obigen Operation nut das Einselement
yon
, insbe~I(M),
A
also die Identit~t
auf M,
Operiert
auf einer Riemannsohen
Gruppe
umgekehrt r
durch Isometrien
phismus yon
~
~:
~ in ~, A
M--*M
Fundamentalgruppe Im allgemeinen mehrere,
der nat~rlichen
einer Riemannschen
viele verschiedene
auch ~ ( i i i )
genau eine Geod~tische
eine solche Geod~tische
Projektion so da~ so gilt fur die
in 5.3.
yon Wegen in
Geod~tische,
Pq
etwa fur
Falls aber p ein Pol yon M ,
in jeder (p,q)-Homotopieklasse
Es bleibt dafSr naoh den letzten Bemerkungen hSohstens
yon M
~r1(M) ~ ~" •
gibt es in jeder (p,q)-Homotopieklasse
sogar unendlich
Homomor-
If(p) ~ f ~ P }
Mannigfaltigkeit,
A
War M einfach zusammenh~ngend,
von M gerade
M = S 2 , vergleiche existiert
Diffeomorphismen
also die Menge aller Orbits
mit der Quotiententopologie
Uberlagerung.
M eine diskrete
frei auf ~ vermSge eines injektiven
M:= ~/~ ,
die Struktur
isometrische
Mannigfaltigkeit
in die Gruppe der isometrischen
auf sich, so tr~gt yon
Fixpunkte.
nur zu ~berlegen,
yon ~ da~ es
geben kann, und dies folgt sofort mit
dem gleichen SchluB wie im Beweis des Lemmas oder auch direkt aus dem
Pq
.
- 206 Lemma Gber die angegebene
Konstruktion
der universellen
Uberlagerung
M--~M • Als Folgerung hat man, da6 f~r jeden Pol p e M ^ abbildung expp: Mp ~M differenzierbare isometrische
die ExponentialUberlagerung
ist,
Mp mit der durch eXpp aus M induzierten
Rie-
A
wenn
Mp
den Tangentialraum
mannschen Metrik bezeichnet.
Denn f~r irgend eine einfach zusammenh~ngende ^ Umgebung U eines Punktes in M gilt, jede Zusammenhangskomponente U des Urbildes
exp-l(U)p
G~be es n~mlich
in M
wird
Vl,V 2 e ~
yon expp diffeomorph
mit
so h~tte man zwei verschiedene
v I @ v2
und
Geod~tische
exp(v 1) = exp(v 2) =: q,
yon p nach q , die (p,q)-homo-
top sind, well sich v I und v 2 durch eine st~ckweise Kurve "~ in ~ verbinden nullhomotop
in U.
Da
~ ~n P^ expp: Mp---.M
sche Uberlagerung
sem Fall geometrisch konstruierten (iv)
lassen und M
M vollst~ndige
eXpp o W~
Riemannsche
Mannigfaltigkeit
mard-Cartan
Uberlagerung
Fundamentalgruppe
K(~,I)
endliche
die Cohomologie
fGr alle
einer endlichen
~I(M)
~--~M
zu
~n
H@(M,~)
~r =
~I(M)
unendliche
die
--~'H~(~,Z) •
Element in
~I(M)
0rdnung erzeugt
F yon
un-
eine
~'I(M) , zu der
geh~rt mit
Mannigfaltigkeit,
zyklischen
ist
yon M sind dann die
daher
.I~I(M)~P H~(~,~[)
i > n , und das ergibt einen Widerspruch,
Zeige auch direkt auf geometrischem Wege, Element in
~,
endlicher
Uberlagerung
Nun ist aber ~ eine n-dimensionale = 0
vor, wobei
zyklische Untergruppe
nach (i) eine isometrische
n ~2
liegt in M ein
dab jedes yon 1 verschiedene
0rdnung hat. Denn ein Element
= ~(~,~)
M von M diffeomorph
der abstrakten Gruppe
Dar&us folgt welter,
nicht triviale
der Dimension
~ber sich zusammenziehbar, vom Typ
abstrakt
Da nach dem Satz yon Hada-
yon M • Die Gohomologiegruppen
Cohomologiegruppen
endliche
universell und eine in die-
der vorher allgemein
Schnittkr~mmung.
Eilenberg- McLane - Raum
(q,q)-
ist die Riemann-
~--*M.
mit ~berall nicht positiver
und damit insbesondere
nach Voraussetzung
insbesondere
Uberlagerung
die universelle
differenzierbare
einfach zusammenh~ngend,
konkrete Realisierung
universellen
auf U abgebildet.
= well
Gruppe nicht abbricht. da~ jedes yon I verschiedene
0rdnung hat. Betrachte
dazu die universelle
A
Riemannsche
Uberlagerung
M yon M , auf der nach (i) und (iii)
frei als Decktransformationsgruppe
.
durch Isometrien
operiert.
~I(M) G~be es
- 207 ein Element
f (~I(M)
von endlicher Ordnung k mit
f@
1 , also eine
yon der Identit~t versohiedene periodische Isometrie von ~ mit so w~hle
po • ^M
[po,...,Pk_l}
und setze
pi:= fi(po)
ist invariant unter f.
fGr
O~i~k-1
~=
id ,
, die Punktmenge
Weil M vollst~ndige einfach zusam-
menh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nicht positiver Kr~mmung, A
ist also jeder Punkt und ~ ( i i )
pEM
Pol und
eXpp injektiv, so dab nach dem Lemma
in 5.2. in Verbindung mit einem Vergleich der Indexform wie
in 6.1. folgt, alle metrischen Kugeln in M sind konvex und einfach. a F~r ein ~ • 0 und p ~ M liegen die Punkte po,~..,Pk_1 in der kompakten Kugel
B~(p).
Die Menge A aller Punkte q mit
i=O,1,...,k-1 tion qo ~ A
A---~
mit
q
~(q,f(q))
annimmt. Es mub
Widerspruch dazu, dab
/~= 0 ~I(M)
ihr Minimum
E,
/~
0
in einem Punkt
frei auf M operiert. Wenn n~mlich .qo,f(qo),f2(q o)
Sei ~ ein Punkt auf der K~rzesten yon qo nach f(qo )
konvex sind, und offenbar ~(qo,f(qo)) =i~
~
~,f(qo
)) + ~(f(qo),f(W)~ ~
M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension
~:= ~ n pEM,
abbildungen ~(i)
und yon beiden End-
, weil alle metrischen Kugeln
~(~,f(~))
K¢ = ~
sionalen hyperbolischen Raum und
~A
eXpq ° injektiv.
, womit endg~ltig ein Widerspruch vorliegt.
mit konstanter Kr~mmung
Raum
~ ,
~
M:= U ~
siehe ~ ( i v )
in 3.6.
0.
Betrachte fGr und f~r
~ = 0
~ < 0
n•2 den n-dimen-
den euklidischen
Falls M einfach zusammenh~ngend
~: M p - - - ~
eXpp,
in 6.3.
0 ,
l
punkten verschieden, dann gilt
(v)
/~
bei f(qo )
sonst liegen alle Punkte f (qo) auf einer nicht konstan-
ten geschlossenen Geod~tischen, was unmSglich ist, da
=
f~r
sein und damit qo Fixpunkt yon f , im
so ist der Winkel des Dreiseits mit Ecken kleiner als
fl(q) e ~ ( p )
ist daher nicht leer und kompakt, so dab die stetige Funk-
exp~
lineare Isometrie, so sind die Exponential-1 injektiv, und e x p ~ e 6 • eXpp bildet M nach
isometrisch diffeomorph auf M ab. Die universelle Rie-
mannsche Uberlagerung M von M i s t
also stets isometrisch diffeomorph zum
Standardraum gleicher Krimmung, also zum hyperbolischen oder euklidischen RalM~.
Uber die Struktur yon M i s t
auch einiges bekannt, wenn M nicht notwendig
einfach zusammenh~ngend, wenigstens im Falle
~=
0 . M heibt dann eine
-
2o8
flache Riemannsche Mannigfaltigkeit. Uberlagert und l~Bt sich g e m ~ Fundamentalgruppe
Sie wird also yon
R'I(M) gewinnen,
die Holonomiegruppe
~
operiert,
~n
~
nach der
vgl. [ ] ( i v )
~(M)
• O(n)
yon [ ] ( v )
das Bild von
~ in O(n), also ~
~ n , die Fundamentalgruppe
O - - * Z n,
maximal
~I(M) , isomorph zum n-dimensionalen yon ~ ist insbe-
sondere eine endliche Extension der freien abelschen Gruppe hat die exakte Folge
frei
in 3.2.
ist endlich und der Kern yon
abelsche normale Untergruppe yon ganzzahligen Gitter
~:
so kann man zeigen,
yon M,
~n
die als Decktransformationsgruppe ~n
Betrachte den Holonomiehomomorphismus Wenn M kompakt,
~ n isometrisch
(iii) als 0rbitraum yon
durch euklidische Bewegungen auf
in 2.6.
-
,~I(M)
sprechende Riemannsche Uberlagerungen
~~
~1
~n
~n.
Man
von Gruppen und ent-
• Tn
, M.
Eine flache kom-
pakte Riemannsche Mannigfaltigkeit wird also immer vom Torus endlich ~berlagert,
so da~ die Holonomiegruppe
isometrisch auf T n operiert.
~
yon M als Decktransformationsgruppe
Zu jeder endlichen Gruppe
flache kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit,
die
~
~
gibt es eine
als Holonomiegruppe
hat, in jeder Dimension existieren nur endlich viele Hom~omorphieklassen flacher kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Die einzige kompakte orientierbare Fl~che M, Metrik gestattet,
ist nach der letzten Bemerkung und (i) der Torus T 2,
die Fl~che vom Geschlecht yon Gaul-Bonnet, form und
~
die eine flache Riemannsche
g = 1.
nach dem stets
Dies folgt ebenso leicht mit dem Satz ~K~
die Eulercharakteristik
=
von M.
2~
,
wobei
Wenn
K = 0,
~ die Volumso
X = O
und
damit M diffeomorph T 2 . Zur Theorie der flachen Riemannschen Mannigfaltigkeiten etwa das am Schlu~ von
§ 1
vergleiche man
zitierte B~ch "Foundations of Differential
Geometry I" , dort finden sich auch weitere Literaturhinweise. Im Falle
~ ~ O
hat man eine Darstellung der Fundamentalgruppe
als Decktransformationsgruppe, sionalen hyperbolischen Raum
die durch Isometrien frei auf dem U ~ operiert,
Quotienten des konkreten Modellraumes
~'I(M) n-dimen-
so da~ M isometrisch zu einem
U~.
Trotz dieser ziemlich expli-
ziten Beschreibung hyperbolischer Raumformen ist ein allgemeiner Klassifikationssatz der mSglichen Diffeomorphietypen
nicht bekannt. Man findet
- 209 ?--~.
viele weitere Hinweise zu dieser Anmerkung in dem in 7.3. A~J(iii) zitierten Buch von Wolf. Jede kompakte orientierbare Fl~che ~ vom Geschlecht g a2 ist diffeog morph zum Orbitraum der hyperbolischen Ebene nach der freien Operation einer~eigneten
Gruppe yon Isometrien,
theorie beweist, beachte dazu ~ ( i v )
wie man etwa in der Funktionenin 3.6.
Deshalb existiert auf
eine Riemannsche Metrik mit konstanter nagativer Krt~mmung (vi)
Wir welsen abschlie~end auf eine Eigenschaft
vollst~ndiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten SchnittkrUmmung hin.
Sei M vollst~ndig,
tangentialen Ebenen Z~ = (Co,Cl,C 2)
~
dim M ~ 2 , K r e ~
L(c i) = L(~i),
Diffeomorphismus,
~0
und zun~chst M einfach zusammenh~ngend.
~
in der hyperbolischen Ebene so da~
der Fundamentalgruppe
mit Uberall negativer
ein Dreiseit in M mit Winkeln
so existiert ein Dreiseit
= (~o,Cl,C2) U~
~i
fur alle Wenn
bei den Eckpunkten Pi'
mit entsprechenden Winkeln ~ i 2 ~ ~ 0 bzw. in ~ fur ~ = 0,
im Falle
beachte ~ ( i )
M2 g
~.
in 6.4.
Da
eXpp : Mp~
folgt direkt mit dem Vergleichssatz
~M
yon Rauch analog
zum Tell (a) im Beweis des Satzes von Toponogoff in 6.4. die Winkelrelation
~i ~ ~ i
nicht entartet, d~tischen,
und sch~rfer
vergleiche auch
~(iv)
dann, die Winkelsumme von A wenn
K~<
0
~i ~ ~ i
und
[3 := (Co,Cl,C2,C 3)
sche mit
ci(O) = Pi
= ~ nicht
und
2~
und
d~tischen.
in 6.4.
Vergleich mit
po,Pl,P2,p 3 in M,
wobei
ci(1) = Pi+l'
des Vierseits
- ~i_1(I),~i(0)
nicht entartet,
K~ < ~ ~ 0
ist nicht grS~er als ~
Vierseit
~i
falls
und
Z~
und
~2
liefert
~o + ~1 + ~2 4 ~
~ nicht entartet.
Vier paarweise distinkte Punkte
den Winkel
'
d.h. die drei Eckpunkte liegen nicht alle auf einer Geo-
[3
bestimmen ein geod~tisches ci:[O,1]
alle Indices
~M
mod 4.
beim Eckpunkt Pi durch
) . Zeige, die Winkelmlmme yon
~o + ~I + ~2 + ~3 ~
2~r,
sofern
K~
die Geod~ti-
~] <
Erkl~re
~i:= ~berschreitet 0
und
[~
d.h. die vier Eckpunkte liegen nicht alle auf einer Geo-
Zerlege dazu
~
po,Pl,P2
und
Vektoren
u , v , w ~ A ~ gilt
durch eine Diagonale in Dreiseite mit Ecken
p2,P3,Po . Beachte weiter, ~(u,w)
ecksungleichung auf der Sphere unmittelbare Anwendung:
~
Sn-1 •
da~ fur drei yon 0 verschiedene
~(u,v)
+
~(v,w)
nach der Drei-
Die letzte Uberlegung hat eine
'
-
210
-
Das Bild einer nicht konstanten Geod~tischen
c: ~---*M
heiBe eine
Gerade in M und eine Isometrie f yon M auf sich ohne Fixpunkte
eine Trans-
lation, wenn es eine Gerade C in M gibt, die unter f invariant bleibt, f(C) = C • Sei nun ~berall eine Gerade C invariant,
K~ < 0 .
Dann l~Bt jede Translation f genau
es gibt also keine "parallelen"
Geraden in M 6
W~re n~mlich C' eine weitere von C verschiedene Gerade in M mit so w~hle Punkte
p ~C , p'~C'
Im geod~tischen Vierseit Winkel bei
p,q
~3 mit Ecken
sowie bei
C,C' unter f invariant,
und setze
p',q'
f(C') = C',
q:= f ( p ) ~ C , q':= f ( p ' ) ~ C ' .
p,q,~',p'
jeweils zu
so dab die Winkelsumme
erg~nzen sich die
~ , da f Isometrie und yon
E3 gleich
2~-,
das
ist aber ein Widerspruch. Sei nun (iii).
~
eine Gruppe yon Isometrien,
Falls
~
jetzt schlieBen,
die frei auf M operiert, vergleiche
abelsch ist und eine Translation f enth~lt, kSnnen wir dab notwendig
~
unendlich zyklisch sein muB,
Denn wenn C die unter f invariante Gerade in M und g ~ r" , so = g(f(c)) = f(g(c)) . Daher ist auch die Gerade also
g(C) = C , alle v o n d e r
r ~ ~
.
g(c) =
g(C) unter f invariant,
Identit~t verschiedenen Isometrien in
r
sind Translationen mit der gleichen invarianten Geraden C . Die Gruppe f operiert mithin frei auf der Geraden C durch Translation,
folgere daraus
die Behauptung. Sei nun M nicht notwendig einfach zusAmmenh~ngend, all negativer Schnittkrthnmung.
aber kompakt mit ~ber-
Dann erhalten wir aus den letzten Uber-
legungen eine bemerkenswerte Aussage ~ber die Fundamentalgruppe Jede abelsche Untergruppe
~ von
~'I(M)
ist unendlich zyklisch,
Betrachte dazu die universelle Riemannsche Dberlagerung operiert
~I(M)
nach (iii).
frei als Decktransformationsgruppe
Wir ~berlegen,
yon M :
alle Decktransformationen
~---,M,
~ ~ Z auf
durch Isometrien sind Translationen,
d-mit folgt die Behauptung Zun~chst eine allgemeine Bemerkung: und
Co,Cl:t~.J~
mit
Co(~) = Co(~) =:Po'
PM
H:~,~M~,I]
,M
die Abbildung
Hs:[~,~]
M differenzierbare Mannigfaltigkeit
st~ckweise differenzierbare
geschlossene Kurven
c1(~) = c1(~) =:Pl " Eine stetige Abbildung
heiBt eine freie Homotopie zwischen c o und c I , wenn IM
mit
Hs(t):= H(t,s)
eine stEckweise diffe-
.
211
-
-
renzierbare geschlossene Kurve fur jedes
s ~[0,I]
und
Ho = Co,
H 1 = c I . Dabei nehmen wir wieder an, die Bogenl~ngenfunktion ist stetig, wenn M Riemannsche Mannigfaltigkeit, Wege c o u~d c I hei~en frei homotop, nach c I gibt,
"frei homotop" ist eine Aquivalenzrelation geschlossenen Kurven
Die Kurven c o und c I sind nicht notwendig und c I frei homotop und
Po = Pl"
homotop zur konstanten Kurve Homotopieklasse ?
bestimmt,
Zeige,
in der Menge [0,1]
(po,Po)-homotop,
,M.
wenn c o
Warum ist aber c o genau dann
t--,po,
(po,Po)-
wenn c o eine triviale freie
also frei homotop ist zu einer Pur~ktkurve
jede Aquivalenzklasse
frei homotoper Kurven in
enth~It eine differenzierbar geschlossene, minimaler Bogenl~nge,
7.1.
falls es eine freie Homotopie yon c
aller st~ckweise differenzierbaren
t--,p • M
vergleiche
s--~L(Hs )
also periodische Geod~tische
sobald M kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Schlie~e entsprechend wie in (iii).
Wenn M nur vollst~ndig,
gilt dies
im allgemeinen nicht mehr, wie man etwa am Beispiel des Rotationshyperboloides
z2(x 2 + y2) = I
im Halbraum
Kehren wir nun zur Ausgangssituation ziere
~I(M)
=
~ 3+
zur~ck. Fixiere
~1(M,p) . Repr~sentiert
verschiedene vorgegebene
sieht.
die Kurve
(p,p)-Homotopieklasse
in
p EM coE~
M--bM
c ~ ~
•
eine yon 1
~¢1(M) , so ist c o
frei homotop zu einer nicht konstanten differenzierbar d~tischen
und identifi-
geschlossenen Geo-
Das Urbild des Bildes yon c bezEglich der Projektion
ist dann eine Gerade in M,
die invariant bleibt unter der durch c o A
induzierten Decktransformation
f yon M a u f
sich nach der expliziten Kon-
struktion der universellen Riemannschen Uberlagerung in (iii) vom Punkte p aus. Denn betrachte eine freie Homotopie H yon c o nach c , q:= c(0) = = c(1)
und
Die Kurve c
c+, c_ ~ p q
mit
ist offenbar
o gesetzten Weg.
c+(s) = H(0,s) , c_(s) = H(O,1-s).
(p,p)-homotop
~4'
~
stanter negativer Kr~mmung n a c ~ r ~ ( v i ) eine Metrik,
so da~ Uberall
K¢~
c+,c,c_
zusAmmen-
zweier kompakter ga gl,g 2 k 2 mit konvom Geschls~ht
Zum Beispiel hat man auf dem Produkt orientierbarer Fl~chen
zu dem aus
M:= ~g
in 3.6.
in nat~rlicher Weise
0 , jedoch kann wegen des letzten Re-
sultats auf M keine Metrik existieren mit
K~ • 0
fur alle tangentialen
-
Ebenen
~,
well
(i) und (v). Torus
~rl(M)
212
-
eine Untergruppe isomorph zu 2Z 2 besitzt,
vgl.
Ebenso gibt es keine Metrik negativer Kr/mmung auf dem
T n . Warum ±st die Fundamentalgruppe
mannschen Mannigfaltigkeit
~I(M) einer kompakten Rie-
durchweg negativer Kr~mmung immer nicht abelsch?
Folgere mit (iv), eine Produktmannigfaltigkeit trik negativer Schnittkrimmung,
wenn
M,N
M xN
gestattet keine Me-
kompakte differenzierbare Man-
nigfaltigkeiten.
Zu diesem Abschnitt vergleiche man
A. Preissmann,
"Quelques propri~t~s
globales des espaces de Riemann", Comm. Math. Helv.
15 (1943),
175-216 •
Dort findet sich auch eine Zusammenfassung vieler bis zu jenem Zeitpunkt bekannter Ergebnisse aus der globalen Riemannschen Geometrie.
7.3.
Kr~mmung und Durchmesser.
W~hrend fSr vollst~ndige
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
mit ~berall nicht
positiver Schnittkrthnmung wenigstens die universelle Uberlagerung rentialtopologisch
diffe-
immer als euklidischer Raum bekannt ist, hat man eine
~hnliche Aussage im Falle positiver Kr/mmung nicht. Wir werden uns jetzt mit diesem Problem in den folgenden Abschnitten ausfShrlicher besch~ftigen. Sei M eine zusammenh~ngende menge yon M.
~A T M
sup
Riemannsche Mannigfaltigkeit
9(p,q)
kompakte Teilmenge A yon M i s t mit
~A =
~(Po'qo )'
da
und A eine Teil-
heist der Durchmesser yon A. ~A
endlich, und es gibt
Fir eine
po,q ° e A
~ stetig.
Der folgende Satz verallgemeinert
ein klassisches Resultat von Bonnet
~ber konvexe Fl~chen. ISATZ 11 Vor. :
(S.B. Myers) M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit, Sei
Beh.:
K ~ --~ ~ ~ O
FUr alle
(I)
p,q~M
dim M ~ 2 •
f~r alle zu M tangentialen Ebenen gilt
~(P,q) -~ ~ M -~ ~
"
•.
-
2q3
-
Nach Tell (c) des Satzes yon Hopf-Rinow in 5.3. ist M insbesondere kompakt. Da auch die universelle Riemannsche Uberlagerung M---~M die Vorausset^ zungen des Satzes erfGllt, folgt welter, daS M kompakt und damit die Fundamentalgruppe
~(M)
endlich ist, vergleiche
~(iv)
in 5.3. und
~(i)
in 7.2.
Bew.:
Auf Grund des Satzes yon Hopf-Rinow existiert eine normale Geod~-
tische
c: [0,~]
~M
von p nach q mit
4.5. keine konjugierten Punkte in
L(c) =
[0,~ ) •
~(p,q) , und c hat nach
FLit dem Vergleichssatz
Morse-Schoenberg in 6.2. erh~lt man daher
~(p,q) = ~
~_
~
yon
und die
Behauptung (1).
Sei M Riemannsche Mannigfaltigkeit,
dim M ~ 2
Zahl. Man sagt, die Schnittkrt~nmung yon M sei eine reelle Zahl / ~ > 0
SchnittkrUmmung
~-beschr~nkt,
Mannigfaltigkeiten
eine reelle wenn es
K~/~
statt des Fundamentaltensors
~ K ~
~
g die Metrik
tive reelle Zahl. Insbesondere
l~t
da~ ~berall
vergleiche
~(ii)
M
~-be-
Denn falls
nach 3.6.(22), wenn man kg
auf M betrachtet,
A
posi-
sich die Riemannsche Metrik yon M ~ ~ K¢ ~ 1 .
K @ > 0 , so ist die Kr~mmung von M
~>0,
R~ume der konstanten
eine schwache konforme Invariante.
, so gilt
immer so normalisieren,
1-beschr~nkter
FGr eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
schr~nkter Krt~nmung ist ~ @~
~.
sind gerade elliptische Raumformen,
positiven Kr~mmung /~.
Zahl
1
~/~ ~ K ~ ~ / ~
f~r alle tangentialen Ebenen
durchweg
0 ~
gibt, so da~
(2)
~berall
und
Wenn M kompakt und
~ -beschr~nkt mit einer
in 3.6.
In (I) wird die obere Schranke f~r den Durchmesser angenommen auf der Sphere
M = Sn
der konstanten Kr~mmung
ren Riemannschen Mannigfaltigkeit, Myers gen~gt, ist kleiner als ~ .
~.
Der Durchmesser
die den Voraussetzungen
jeder ande-
zum Satz yon
Dies zeigt der folgende
(V.A. Toponogoff) Vor.:
M vollst~ndig, Es sei
~M - ~
K~ ~ "
~ O
f~r alle zu M tangentialen Ebenen
~.
-
Beh.:
Mist
isometrisch
214
diffeomorph
-
n S~
zur Sphere
der konstanten
Kriimmung ~ . Bew.: (a)
W~hle
p,q £ M
mit
Wir zeigen zun~chst)
c: [O)~]
)M
~:= ~
so da6 fur
r:= c(t o)
yon r nach q
@(p,r)
9(p,r)
+
+
2~
~(r,q)
die aus
gilt mit
Kugel U vom Radius
Zun~chst
)M
gilt
oder aus
~ = ~
w~re.
(b)
c1~[t1,~I
)M
im Widerspruch
eine beliebige
gilt deshalb nach [ ] ( i i ) (3)
mu6,
ist. W~re
von
~
nicht
Cl|[O)tl]
und c2~[t2, ~]
Kurven kGrzer als mit
c2~[t2, ~ ]
yon p nach q der L~nge
~ =
Folglich
~(p,q)
stimmen c I
fur alle Ebenen
normale Geod~tische
~
der L~nge
G c , wobei ~
mit Anfangs-
zwischen p und q ) fur den Index yon c
in 4.6. = 0
• ~:= S1
und eine normale Geod~tische ~ yon ~ n a c h ~
ferner einen Isomorphismus to~[0,~J
expLU
mit c1(t 1) = c2(t 2) • c1~[0,t13
zusammengesetzten
K ~ = ~
Ind c
Krthnmung
so da2
normale Geod~tische
nun den Nordpol ~ und den S~dpol ~ in der Sphere
konstanten
es gibt
~(p,q) , und
zur Annahme.
punkt p . Nach (a) ist c KErzeste
Betrachte
F(r,q)
eXpp auf der offenen
in 4.4. eine normale Geod~tische.
Wir Eberlegen nun, da~
c:[0,~J
+
Kurve ist eine K~rzeste und
tl,t2e(O,~)
Dann ist die Zusammensetzung
u n d c 2 ~berein)
p(p,r)
verschiedene
eine stEckweise normale Geod~tische und nach ~ ( i i i )
t o + L(c o) =
t o + L(c o) =
da sonst eine der aus
und
t o e (0,/~),
gilt andererseits
um 0 in Mp umkehrbar
yon p nach q und
02~[0)t2]
Nun ist
dab die Exponentialabbildung
t I = t2)
W~hle
in 4.4.
so g~be es voneinander
ci,c2:[0,~]
q.
die dann mit c ~bereinstimmen
~(iii)
Es folgt unmittelbar,
injektiv,
Nach 6.4.(6) 2~ ~ , also
u n d c o zusammengesetzte
also normale Geod~tische,
normale Geod~tische
Ferner sei c o eine normale
L(c o) = ~(r,q).
~(q,p)~
vergleiche
"
hat den Endpunkt
~(p,q) . Daher hat man
c|[0,t o]
c(~) = q,
~M = ~
t o = ~(p,r).
>- ~(p,q).
~(r,q)+
- ~(p,q) =
=
jede yon p ausgehende
der I~nge
Geod~tische =
~(P'q)
und
~:
~
U(Mc(~)
)~' mit
der in M',
nach 6.1.(4) • Nehmen wir an, o uuu = 1 und ~u,~(to)> = 0 9
-
so dab
2~5
-
K(u,~(to) ) > ~ , man kann dabei aus StetigkeitsgrUnden
w~hlen. Nach ~ ( i v ) Y(0) = 0
t o c (O,~)
in 4.2. gibt es ein Jacobifeld Y l~ngs ~ m i t
Y(~) =
0
'
Y(t o) = ~:= $ - 1 u '
.
Wegem 6.1.(7) gilt zun~chst
te
I(Y,Y) ~ I ( $ Y , SY) , diese Ungleichung wurde mit 6.1.(1) gewonnen. Da K(u,C(to)) = K(@Y (to),~(to)) > ~ = K(Y(to),~(to)) , erh~lt man bei der Absch~tzung 6.2.(8) an Stelle gibt sich also
" ~_"
die strenge Relation
0 = I(Y,Y) > I ( $ Y , ~ Y )
und damit
" >" ,
Ind c > O ,
es er-
im
Widerspruch zu (3)(o)
Nun k6nnen wir zeigen, M i s t
= S~
der konstanten Krthnmung ~ .
U die offene Kugel yore Radius ~ Radius ~
um 0 in Mq.
~ $ ~
und
phismus auf
h(~):= q.
M -(q}
b:= (exp~LU)~1~ .
Seien
~,~ Nord- und S~dpol yon M ,
um 0 in ~ ,
V die offene Kugel yore
W~hle eine lineare Isometrie
definiere die stetige Abbildung fur
isometrisch diffeomorph zur Sphere M =
h: ~--~M
dnrch
Nach (a) ist damn
~: M~--~Mp
h(~):= exp~.(exp~|U)'(~}~ ~
h|W-~}
und weiterhin isometrisch:
und
ein Diffeomor-
Denn wenn
v EMF,
setze
|lexp~ bll = llexpp~%b ~
Auf Grund yon 6.3.(2) ist
da M nach (b) l~ngs aller yon p ausgehenden normalen Geod~tischen die konstante KrUm~ung ~ hat. Mithin wegen
2
riant, so da~
uv# = ~h~vJ ,
h~
l~t
die Norm Und
i~v + wl12 . Rvi12 _ a;wll2 auch das Skalarprodukt inva-
h|M-
(q}
Es bleibt zu zeigen,
eine Isometric.
h ist auch in einer Umgebung yon ~ differemzierbar
und isometrisch. Um dies einzusehen, w~hle man eine lineare Isometrie ~: Mq fur
~
und definiere
r @ p
und
f: M--~M
f(p):= ~,
fIM-(p|
durch
f(r):= exp~°~'(eXpq|V)-1(r)
erweist sich wie
h|M-~|
als
isometrische Abbildung. Nun ist
F:= f • h : ~--~M
st~nde invariant l ~ t . r 1,r 2 ~ M
- (p~ (4)
ein Automorphismus der Sphere M ,
Denn zun~chst gilt f~r
~1,~2 ~
-~|
und
offenbar
~(~I,~2) =
~(h(~1),h(r"2)) ,
~(rl,r 2) =
Mit einem Stetigkeitsargument folgen dann auch fur r I = p , r2aM =
der die Ab-
~(F(~I),F(r~2 ))
die Gleichungen (4), und man hat f~r alle
~I,~2~.
Fist
~(f(rl),f(r2))
~1 = ~ ' ~2 ~
•
bzw.
~(~1,~2) =
deshalb eine orthogonale
Abbildung der euklidischen Sphere M auf sich, also ein isometrischer Diffeomorphismus, vgl. ~ ( i i )
in 5.1.
F-I~ f
ist die Umkehrabbildung
-
von
h und F-le f ~ M -{p}
h~
-{~}
[]
(i)
Riemannsche Mannigfaltigkeit,
aller Richtungen
~ O,
Diffeomorphismus,
so da5 auch
Isometrie.
M Vollst~ndige
r(v) ~ ( n - 1 ) ~
-
ein isometrischer
und damit h e i n e
Es gelte bez~glich
216
vergleiche
0 % v ~ TM
3.6.
dim M = n ~ 2 •
f~r die Ricci-Kr/mmung
Best~tige
mit [ ]
in 6.2. wie im
Beweis von Satz I , da5 auch unter dieser schw~cheren Voraussetzung Absch~tzung
(I) gilt.
Vollst~ndige positive
die
Riemannsche
Mannigfaltigkeiten,
deren Ricci-Kr~mmung
untere Schranke hat, sind also insbesondere
eine
kompakt und haben
eine endliche Fundamentalgruppe. Das Paraboloid
yon ~ ( v i i i )
nicht kompakte Riemannsche (ii)
M zusammenhingende
Es sei
p(M,
> 0
Fu~punkt
Mannigfaltigkeit
die offene Kugel U~
exp(Ua).
fSr eine vollst~ndige
positiver Kr~mmung.
Mannigfaltigkeit, vom Radius
Uberlege,
dim M ~ 2 .
&>O
der Exponentialabbildung
fdr die Schnittkr~mmung
in
ist Beispiel
Riemannsche
ganz im Definitionsbereich Kr ~ ~
in 3-7-
um 0 in Mp liege eXpp , und es gelte
yon M bez~glich aller Ebenen
Mist
kompakt,
sobald
E ~
~ mit
• Beachte
hierzu das Lemma in 5.3. (ii±)
Sei M vollst~ndige
mit konstanter
Kr~mmung
Riemannsche K~ = ~ > 0 •
von Myers und die Fundamentalgruppe sammenh~ngend, konstanter Satz 2,
~,
Weise:
W~hle
Dann ist ,--,
~kp)
also kompakt nach dem Satz endlich.
diffeomorph
der Sphere
der Dimension n ~-- 2
~:= S ~
•
Falls M einfach zu-
zum Standardraum
O
Vergleichssatz q:= fo(~)
~ a~, di
us
P M ~- ~
"
erhilt man etwas leichter und direkter in folgender
f := exp
vom ~a
gleicher
Dies folgt etwa aus
denn nach dem Satz in 7.7. gilt fGr den Durchmesser
Das letzte Resultat
-
Mist ~I(M)
so ist M isometrisch
Kr~mmung
Mannigfaltigkeit
p EM e
und eine lineare Isometrie
exp~ 1
p~
~o o
~
um
~e~
yon Raueh in 6.3.
und betraehte
= fo v . Die Abbildung
isometrische
Immersion
in M , vergleiche Sei
~EB~(~)
Co: ~ - - ~ M p . der offenen Kugel
hierbei und
~(i)
~ $ ~.
zum Setze
die lineare Isometrie ~I: ~---~Mq mit -I fl := eXpq e ~1 • exp~ bildet dann B ~ ( ~ )
61v:= iso-
-
metrisch in M ab, und
217
-
fo~ B ~ ( ~ ) ~ B ~ (~~ ) ~
= fl ~ B ~ ( ~ ) ~ B ~ ( ~ )
dem Eindeutigkeitssatz fHr Isometrien in 3.8.(ii). ~berdecken, definieren
fo,fl
nach
Da beide Kugeln
somit eine isometrische Immersion f: ~ - - * M .
Nun sind ~,M kompakt, deshalb mu~ f eine Sberlagerungsabbildung sein, wie man sehr leicht sieht. Weil aber M einfach zusammenh~ngend, ist f triviale Sberlagerung, also isometrischer Diffeomorphismus. Wir haben Hberlegt, die universelle Riemannsche Uberlagerung ~ yon M is~ isometrisch diffeomorph m it
S~
, die Fundamentalgruppe
~'I(M) operiert als Decktransformationsgruppe frei durch orthogonale Abbildungen
auf
S~
.
Eine Klassifikation der Isometrieklassen vollstHndiger Mannig-
faltigkeiten konstanter positiver Kr~mmung und damit insbesondere die Frage, welche endlichen Untergruppen der orthogonalen Gruppe frei auf euklidischen Sph~ren operieren, ist im Falle ungerader Dimension schwierig und wurde erst k~rzlich von Wolf gegeb~n. Wir verweisen auf eine sehr frUhe grundlegende Arbeit ~ber vollst~ndige elliptische Raumformem yon H. Hopf, "Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem", Math. Ann. 95 (1926), 313-339,
sowie auf das sehr reichhaltige Buch yon
of constant curvature",
M c G r a w - Hill
verschiedene Hinweise in dem am Ende von
J.A. Wolf, "Spaces
Book Co.(1967). § I
Man findet auch
zitierten Buch yon
Kobayashi-Nomizu. Beispiele nicht einfach zusammenh~ngender kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter positiver KrGmmung 1
sind etwa die reellen pro-
jektiven R~ume
72,
pn(~)
gonale Involution
mit Fundamentalgruppe
a--~- a
die durch die ortho-
frei auf der Standardsph~re S n operiert.
Zu teilerfremden positiven ganzen Zahlen p,q hat man den dreidimensionalen Linsenraum
L(q,p)
mit zyklischer Fundamentalgruppe •
als multiplikative Gruppe
~ e ~
0 ~
@ q-l~
~
q
. Man kann
q
der q-ten Einheits-
wurzeln auffassen, die frei auf S3 orthogonal operiert vermSge (Zl,Z2)----~(zle~,'-~ z 2 e "z~)'-:~" ~ , wird durch
wobei
Zl~ 1 + z2~ 2 = 1 . Dann ist
S3 C ~ 4 ~ L(q,p)
~2
beschrieben
der Quotientenraum yon S3
nach dieser Gruppenoperation mit der induzierten Riemannschen Struktur. Es gibt auch einfache nicht abelsche Gruppen, die frei und orthogonal auf S3 operieren, siehe auch (iv).
-
(iv)
218
-
Wenn M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit
,Lit ~-beschr~nkter
Schnittkr~Jmmung und
durchweg positiver Kr~mmung, mentalgruppe sion n e i n e Im Falle
~I(M)
bekannt,
der Dimension n ~ 2
~ > 0 , also M kompakt und yon
so ist kaum etwas ~ber die endliche Fundasofern n ungerade, w~hrend fGr gerade Dimen-
sehr einfache vollst~ndige Beschreibung vorliegt, ~
> 1/4
vgl. 7-5-
ist nach dem Sph~rensatz in 7.8. die universelle A
Riemannsche Uberlagerung M von M hom~omorph mit der Sphere S n, man kann dann wenigstens mit allgemeinen Methoden der algebraischen Topologie schlieBen,
jede abelsche Untergruppe
man die $pektralsequenz
Y yon
der Uberlagerung
letzte Aussage allgemein ohne Beschr~nkung interessante
~I(M) ist zyklisch, indem
sn--.sn/F f~r ~
offene Frage yon Chern. Es gen~gt,
untersucht.
0b die
richtig bleibt, ist eine die Uberlagerung
A
M
k ~/r
zu betrachten,
also anzunehmen,
dab bereits
kann jedoch jetzt einen yon Sn verschiedenen Wenn n gerade, so ist die Antwort positiv, Mannigfaltigkeiten
P~
~I(M) abelsch.
topologischen Typ haben.
Gbrigens auch f~r kompakte
durchweg negativer Krtlmmung, siehe ~ ( v i )
Sollte jede abelsche Untergruppe Riemannschen Mannigfaltigkeit
der Fundamentalgruppe
in 7.2.
einer kompakten
mit ~berall positiver Kr~mmung zyklisch
sein, so w~rde zum Beispiel in vielen F~llen folgen, da~ auf dem Produkt zweier nicht einfach zusammenh~ngender
kompakter Mannigfaltigkeiten
keine
Riemannsche Metrik durchweg positiver Kr~mmung existiert.
7.4.
0rientierbare Manni~falti~keiten.
Wir erinnern zun~chst an einen Begriff der linearen Algebra. Sei E ein reeller Vektorraum der Dimension n und phismus. wenn
F~r T
el,...,e n
erkl~rt man die Determinante eine Basis yon E und
des Dualraumee E * ist. Basis
el,...,e n.
orientierungstreuer Seien
E1,E 2
T
dutch
@1 ...,@n
det ~
ein Endomor:= d e t ( ~ i ( ~ e j ~
die dazu duale Basis
Die Definition ist unabh~ngig yon der Wahl der heiBt orientierungstreu,
wenn
Endomorphismus ist insbesondere
zwei reelle Vektorr~ume
f: E1-.-.E 2 , g: E2--,E 1 treu, ferner
T : E--*E
T : E2---~E2
detE
>
so dab
ein orientierungstreuer
Ein
ein Isomorphismus.
der gleichen Dimension
lineare Abbildungen,
O.
g of
n und orientierungs-
Isomorphismus.
Dann
,
219
-
ist auch
g o ~ o f : E1----~E1
-
orientierungstreu.
In der Menge aller geordneten Basen yon E betrachte man folgende Aquivalenzrelation:
Zwei geordnete Basen
e I .... ,en
und
~1 .... '~n
hei~en
~quivalent oder gleich orientiert, wenn es einen orientierungstreuen Isomorphismus
~: E--*E
gibt mit
~ e i = ~i " Eine Aquivalenzklasse
gleich orientierter Basen heist eine Orientierung yon E • Es gibt genau zwei verschiedene
Orientierungen yon E,
Sei nun M eine n-dimensionale Orientierun~
~
fur M i s t
des Tangentialraumes P folgenden Sinne:
sofern
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
eine Funktion, M
n > 0.
zuordnet,
Eine
die jedem p ~ M eine Orientierung
die "stetig von p abh~ngt" im
P
Zu jedem p ( M gibt es eine Umgebung U yon p und stetige Basisfelder Xl,...,X n a ~ U ,
so da~ f~r alle q • U
yon Mq die Orientierung M heist orientierbar,
~q
genau dann orientierbar,
wenn jede Zusammenhangskomponente 2k
Orientierungen
nalzahl der Zusammenhangskomponenten
von M,
Mist
orientierbar
f~r M,
wobei
n > 0 •
Die orientierbare
k
die Kardi-
Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Orientierung
fGr M heist eine orientierte Mannigfaltigkeit. differenzierbare
Xllq,...,Xnl q
falls eine Orientierung fur M existiert.
ist, es gibt dann gerade
differenzierbare
die Basis
repr~sentiert.
Mannigfaltigkeit M i s t
Jede parallelisierbare
orientierbar,
da man in diesem
Fall sogar global definierte Basisfelder hat. M orientierte n-dimensionale tierung
(T,
[O,1]---~TM
c:[O,1]---~M
t o • [0,13
Xl(t),...,Xn(t)
so da5
T: Mp
c geschlossen, bMp
mit
fur alle
~c(t)'
Xi:
und
f~r alle
t ~tO,1] •
zur Orientierung
t f~O,l~
~(%~
die Basen
wie man sofort best~tigt.
p:= c(O) = c(1),
TXi(O)
mit Orien-
seien
~oX i = c
Mc(t)
Xl(to),...,Xn(t o)
dann repr~sentieren die Orientierung
Wenn insbesondere
rungstreu.
i=1,...,n
Basis des Tangentialraumes
yon Mc(~) gehSrt,
morphismus
stetige Kurve. FUr
stetige Basisfelder l~ngs c , also
Xl(t),...,Xn(t) Gibt es ein
differenzierbare Mannigfaltigkeit
= Xi(1)
so ist also der Iso-
fur i=l,...,n
orientie-
- 220 M , ~ orientierte
zusammenh~ngende Mannigfaltigkeiten
mit Orientierungen
~, ~ .
Man nennt eine Immersion
rungstreu, wenn fGr alle tierungsumkehrend. existiert mit
p aM
gilt
M zusammenh~ngende
=
•
f: M--*M
~ f(p),
orientie-
anderenfalls orien-
sobald ein Punkt po E M
~f(po ) ?
differenzierbare Mannigfaltigkeit,
tierung yon Mp • Jeder stetige Weg induziert aus
f~ ~ p =
Warum ist f orientierungstreu,
f~ %.
gleicher Dimension
c:~,l]--~M
eine Orientierung
~
mit c(O) = p
OrienP und c ( 1 ) = : q
• Betrachte dazu stetige q q l~ngs c , die in p die Orientierung (Y repr~P ist dann durch XI(1),...,Xn(1) bestimmt und h~ngt offen-
Basisfelder
P XI,...,X n
sentieren,
~q
~
p m M,
yon M
bar nicht welter v o n d e r
speziellen Wahl der X. ab. Man findet solche Fell der X. etwa durch direkte Konstruktion nach Zerlegung yon ~0,I~ in endlich I
viele Teilintervalle so da~ c jedes
~.~,~v~
[t,.,~t~J
mit
I ~ ~ ~ k
und
in den Definitionsbereich
Wir w~hlen jetzt irgendeinen linearen Zusammenhang die Kurve c ±st st~ckweise differenzierbar. den Isomorphismus
~: M
V
=
P und also
~
differenzierbare
~
einer Karte abbildet. V
f~r M und nehmen an,
Dann hat man insbesondere
~M der Parallelverschiebung l~ngs c bez~glich q • Es sei ~:[O,1]---,M eine weitere st~ckweise
P q Kurve mit
verschiebung l~ngs ~ .
0 = : t o ~ t l ~ ... ~ t k : = l ,
~(0) = p,
Wenn c,~
~(I) = q
(p,q)-homotop,
und
~:
M
,M ParallelP q so induzieren c und
aus
(Y die gleiche Orientierung ~ yon M , denn es gibt dann nach P q q der Bemerkung in 7 . 1 . ~ eine stGckweise differenzierbare (p,q)-Homoto-
pie : M
H:[O,I]X[O,I] ,M
s p q alle s ~ [0,1~
zwischen c , ~ ,
und die Parallelverschiebung
h~ngt stetig yon s ab, so da~ f~r
s die Bilder einer Basis yon M
sind in Mq • Wegen Identifiziere
~M
l~ngs der Scharkurve H
~=
~'o'
~ = ~1
die Fundamentalgruppe
den Orientierungshomomorphismus als multiplikative Gruppe
p
hat man also ~I(M)
mit
~I(M)--,~2
~-1 , 1) ,
,
~
yon M
wieder
~
gleich orientiert =
~(M,p).
~p
=
~q •
Wir erkl~ren
~2
aufgefa~t wird
Ordne einem bei p ge-
c:~0, I] ~
s
~p
wobei
wie folgt:
schlossenen st~ckweise differenzierbaren Weg c aus einer Orientierung
unter
~M
induziert,
zu
1 ,
wenn
anderenfalls
P P P Diese Zuordnung h~ngt nach der vorausgegangenen Uberlegung nur yon der (p,p)-Homotopieklasse
von c a b
und ist multiplikativ.
- ~.
-
Vor. :
M zusammenhNngende
Beh.:
Es sind ~quivalente Aussagen:
221
-
differenzierbare Mannigfaltigkeit,
(a)
Mist
(b)
Der Orientierungshomomorphismus
orientierbar.
Wenn zum Beispiel
~(M)
~(M)---~
2
ist trivial.
endliche Gruppe ungerader 0rdnung,
tierbar. Insbesondere ist jede einfach zusammenh~ngende Mannigfaltigkeit Bew.:
p~M,
so M orien-
differenzierbare
orientierbar.
(a) impliziert
(b), wie wit im dritten Absatz dieses Abschnitts
bemerkt haben. Es sei nun der 0rientierungshomomorphismus
trivial. Zeichne
eine Orientierung 6r yon M aus. Wenn q E M, so findet man einen stHckP P weise differenzierbaren Weg c:[O,1]---~M von p nach q , der eine Orientierung
~
yon M induziert. Jeder andere st~ckweise differenzierbare q q Weg ~:[0,1]---~M yon p nach q induziert aus G die gleiche 0rientierung P ~ q , denn ~ ist offenbar (p,q)-homotop zu einer aus in der Reihenfolge , c-, c
zusammengesetzten
Kurve
[O,1]--,M
yon p nach q , wobei c-
der
Weg yon q nach p , den man aus c durch Umorientierung erh~lt, c'(t):= = c(1-t) • Da eine aus [0,1]--*M
~ , c-
zusammengesetzte bei p geschlossene Kurve
nach Voraussetzung aus
~
wieder
~" induziert, folgt die BeP hauptung. Man best~tigt sofort, die Zuordnung q - - - ~ q definiert eine 0rientierung fdr M • Damit folgt (a) aus (b), und das Lemma ist bewiesen. P
Wir verwenden im folgenden Absatz Anmerkungen zur Uberlagerungstheorie aus ~ ( i )
und (iii) in 7.2.
M zusammenh~ngende p ~ M,
~(M)
~
nicht orientierbare
differenzierbare
~l(M,p) . Man kann M kanonisch eine orientierbare
h~ngende differenzierbare Mannigfaltigkeit ~ zuordnen, ~berlagert.
Mannigfaltigkeit,
Der Orientierungshomomorphismus
trivial, also surjektiv,
sein Kern
vom Index 2 .
Die Fundamentalgruppe
mationsgruppe
durch Diffeomorphismen
zusammen-
die M zweibl~ttrig
~I(M)--~Z 2
ist nicht
r eine invariante Untergruppe in ~I(M) ~I(M)
operiert als Decktransfor-
frei auf der universellen Uberlage-
- 222 rung ~ yon M.
Man hat die differenzierbare zweibl~ttrige regul~re 0rien-
tierungs~berlagerung
M:= ~/P
eines Punktes in ~ unter r net,
~I(M)/P
= ~Z2
, M/~I(M)
= M ~ indem man jedem Orbit
den entsprechenden Orbit unter ~I(M)
zuord-
operiertin natGrlicher Weise als Decktransforma-
tionsgruppe dieser Uberlagerung auf der zusammenh~ngenden Mannigfaltigkeit ~ , sion
m~l(~) ~ P
~1(~) ~ F
Die 0rientierungs~berlagerung induziert die Inklu-
,~(M)
homomorphismus phismus yon ~,
•
,
die Zusammensetzung mit dem 0rientierungs-
~I(M)--,~Z 2
liefert offenbar den 0rientierungshomomor-
der nach Definition yon ~
aber trivial ist, so da~ ~ auf
Grund des Lemmas orientierbar. Wir wollen schlie~lich noch eine gleichwertige direkte Definition der 0rientierungs~berlagerung ~ von M angeben. Betrachte ~ als Menge aller 0rientierungen f: ~--,M
~" der Tangentialr~ume M mit der nat~rlichen Projektion q q und f~hre dieTop~ogie auf ~ ein durch Angabe eines Umgebungs-
systems fEr jeden Punkt
~ m ~ : F~r jede Karte x um q mit Definitionsq ~ deren Koordinatenfelder XI:= ~x' ' "'" ' Xn:= ~x" in q
bereich U,
die 0rientierung
~q repr~sentieren, sei die Menge aller durch die Basen
Xllq4, ... , Xnlq4 bestimmten 0rientierungen
~q4 yon Mql f~r ql ~ U
eine
Umgebung yon
~" in M • f wird bez~glich dieser Topologie f~r ~ ein lokaq ler HomSomorphismus, der die Struktur einer zusammenh~ngenden orientier-
baren differenzierbaren Mannigfaltigkeit auf ~ induziert, so dab f differenzierbare Uberlagerungsabbildung.
~(M)/~
~ ~2
= ~- 1 , 1)
operiert
als Decktransformationsgruppe frei durch orientierungsumkehrende Diffeomorphismen auf ~ , 0rientierung
~ -q
indem
-1
zuordnet,
einer Orientierung
~ +q
yon M q
die andere
~/Z 2 ~ M •
[
(i)
]
R~ume
pn(~) , pn(iH) , p2(Ca) sind orientierbar. Nicht orientierbar i st
Die euklidischen R~ume
A n, die Sph~ren Sn und die projektiven
zum Beispiel das offene MSbiusband, das man etwa beschreiben kann als die zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit als Gruppe ~I(M) ~ Z
C 10 (01)") +(01
M = ~2/2z
affiner Transf°rmati°nen frei auf
. Der Kern des Orientierungshomomerphismus
die Untergruppe der geraden Zahlen
F = 2Z,
, wobei 2Z ~ 2 °periert
m'l(M) -'*•2
ist
die OrientierungsGberlagerung
-
= ~/~
= ~2/2~
kehrend durch M--~M (ii)
-
der Zylinder,
(z,t)--,( - z , - t )
auf dem ~ 2
orientierungsum-
als Decktransformationsgruppe
n
die reellen projektiven
ungerade,
lich ihre universelle (iii)
Mist
existiert mit
~, 0
P
sind orientierbar,
im Falle gerader Dimension n. pn(~)
Mannigfaltigkeit,
genau wenn eine schiefe
f~r alle
ist nat~r-
Sn .
differenzierbare
orientierbar, ~
pn(~)
der nicht orientierbaren
Uberlagerung
M zusammenh~ngende
Uberlege,
R~ume
dagegen nicht orientierbar
Die 0rientierungsGberlagerung
dim M = n .
n-Form
~
auf M
p 6M.
A
(iv)
yon
operiert. Zeige,
wenn
SI x~
2a3
A
M zusammenh~ngende
renzierbare
Mannigfaltigkeit, M-~M diffe^ Warum ist mit M auch stets M orientierbar ?
Uberlagerung.
A
Sei nun M orientiert,
die Gruppe
treue Diffeomorphismen. ,~/F
differenzierbare
r
operiere auf ~ frei durch orientierungs-
Dann induziert
die differenzierbare
in kanonischer Weise eine 0rientierung
Mannigfaltigkeit
~/r
. SchlieBe,
falls
P
Uberlagerung
fGr die differenzierbare
einen orientierungsumkehrenden A
Diffeomorphismus
yon M auf sich enth~lt,
so ist
M/r
nicht orientierbar.
A
Betrachte da
etwa die universelle
I(M) = I .
Mist
Uberlagerung
orientierbar,
M--bM,
Mist
orientierbar,
genau wenn jedes Element der als A
Decktransformationsgruppe orientierungstreuer (v)
M zusammenh~ngende
Zusammenhang
~,
differenzierbare
p C M • Betrachte
yon M in p bezUglich
~
schnitts entnimmt man, yon
frei auf M operierenden
Fundamentalgruppe
~(M)
Diffeomorphismus. Mannigfaltigkeit
die Holonomiegruppe
gem~
~(v)
Mist
orientierbar,
GL+(Mp) ~ GL+(n,~) ,
in 2.6.
mit linearem ~(p)
Den Uberlegungen genau wenn
~(p)
~GL(Mp) dieses AbUntergruppe
der Gruppe aller orientierungserhaltenden
Automorphismen
yon M ~ ~ n . Die Strukturgruppe des Tangentialb~ndels P TM einer orientierbaren differenzierbaren Mannigfaltigkeit l~Bt sich damit immer auf
GL+(n,~)
Beschreibung
reduzieren,
der 0rientierbarkeit
und dies ist wiederum yon M .
eine ~quivalente
- 224 -
7.5.
Der Injektivit~tsradius der Exponentialabbildun~ im Falle gerader Dimension.
In 7.3. haben wir optimale Absch~tzungen nach oben f~r den Durchmesser einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ~berall positiver Schnittkrt~mmung abgeleitet. Es ist schwieriger, universelle untere Schranken anzugeben. Wir gewinnen in diesem Abschnitt zwar sch~rfer untere Schranken fur den Injektivit~tsradius der Exponentialabbildung,
jedoch
ohne weitere Voraussetzungen nur im Falle gerader Dimension, vgl. auch 7.7. und [](i~i) in diesem Abschnitt. Zun~chst eine Aussage ~ber periodische Geod~tische:
ILEMF~ 1 I Vor.:
(J.L. Synge)
M orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension nit durchweg positiver Schnittkrthnmung. c:(0,~J
,M
differenzierbar geschlossene, also periodische
Geod~tische. Beh.:
Es gibt eine Variation
V: ~ , ~ ]
X j
~M
yon c , so da~ alle Nach-
barkurven V~ von c differenzierbar geschlossene Kurven sind und L(t) ~ L(0) = ~ Bew.:
Setze
in einer Umgebung yon 0 in J,
p:= c(0) = c ( ~ )
und betrachte den
~@
0.
(n-1)-dimensionalen
Unterraum
M ~ aller v ~ M mit < v , ~ ( 0 ) > = ~ v , ~ ( ~ ) > = 0. Durch ParalP P lelverschiebung l~ngs c erhalten wir eine orthogonale Abbildung ~: MA--,M A • P P Die komplexe Zahl A ist Eigenwert yon T , wenn det(T - Aid) = 0 . Seien
und Ist da ~
AI''''' A n - 1 det T = 1
A
die Eigenwerte yon
T.
Man hat
wegen der 0rientierbarkeit yon M , also
Eigenwert von
~1 "'" A n - 1
~1 "'" A n - 1
T , so auch die konjugiert komplexe Zahl ~
eine orthogonale Abbildung, gilt
sein, denn
= 1 .
, und
Deshalb mu6 wenigstens
gleich
ungerade. Es folgt
id) = 0 , und wir finden
det(T-
1
A ~ = 1.
einer der Eigenwerte yon T
und
det T =
n-1
=
dim M ~ ist P u GM mit ~ u = u P
u @ 0 , ~ hat also yon 0 verschiedene Fixpunkte.
Sei Y das parallele Vektorfeld l~ngs c mit offenes Intervall J um 0 in Exponentialabbildung
exp
~,
so da~
Y(0) = Y ( ~ ) = u • Es gibt ein
aY(t)
yon M liegt fur alle
im Definitionsbereich der ~ ~J,
t ~ [0,~3
•
-
Definiere Es gilt
durch
V~D21t, ° = Y(t) , daher
parallel, alle
V:~,~]XJ---bM
also
Y' = 0
und
(t,~) g[O,~] X J ,
t • [0 ~I.
225
V(t,£):= L'(O) = 0
~Y,~> = O,
da
~
-
exp(@Y(t)),
nach 4.1.(7) • Nun ist Y
ferner
~V(t,~)
Mit 4.1.(8) erhalten wir deshalb
siehe 4.1.(11) .
~DJ,
D2~t,~ = 0
eine Geod~tische L' (0) = -
~R(Y,c)c,Yh~ d t ~ O ,
well die Kr~mmung l~ngs c nach Voraussetzung positivist. ein relatives Maximum,
fur
f~r jedes
L hat in 0
und das Lemma ist bewiesen. Man vergleiche ~ ( i i i )
in 4.1. KOROLLAR Beh.:
Eine zusammenh~ngende
kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit
M
gerader Dimension mit durchweg positiver Schnittkr~mmung ist einfach zusammenh~ngend,
falls M orientierbar.
Danach ist M auf Grund yon 7.4. sogar genau dann einfach zusammenh~ngend wenn M orientierbar.
Falls M nicht orientierbar,
bl~ttrige Riemannsche Orientierungs~berlagerung
so betrachte die zwei~ yon M.
Korollar einfach zusammenh~ngend und also universell, talgruppe der Mannigfaltigkeit
so dab die Fundamen-
M zyklisch yon der Ordnung 2 , ~ ( M ) ~ ~ 2
Beispielehier£~r sind die reellen projektiven R~ume
Pn(R)
mension mit ihrer nat~rlichen Metrik konstanter KrMmmung, [](ii)
in 7.4.
damentalgruppe
~ ist nach dem
gerader Divgl. auch
~hnlich einfache und vollst~ndige Aussagen ~ber die Funeiner kompakten Mannigfaltigkeit
positiver Kr~mmung hat
man im Falle ungerader Dimension nicht, siehe 7.3. Bew~:
Jede nicht triviale freie Homotopieklasse
st~ckweise differenzierbaren
in der M e n g e ~ a l l e r
geschlossenen Kurven
[O,1]--,M
eine periodische Geod~tische c minimaler Bogenl~uge / ~ 0 ~(vi)
in 7.1.
Kurven i n ~
enth~lt
, vergleiche
Dies ist aber unmSglich wegen Lemma 1 . Daher sind alle
frei homotop zu konstanten Wegen, und die Behauptung folgt.
Wir ~berlegen jetzt, dab sich in gewissen F~llen verschiedene k~rzeste Geod~tische zwischen zwei Punkten einer Riemannschen Mannigfaltigkeit einer periodischen Geod~tischen folgende
zus~mmenschlieBen,
zu
und beweisen dazu das
"
226
-
Vor.:
M Riemannsche Mannigfaltigkeit Co,C1:[0,1]---@M Ferner sei
Beh.:
Wenn
Geod~tische
und
Co,Cl:[O,1]---~M
< ~
,
und
so gibt es Geod~tische
~(~o(I),~I(I))
der Injektivit~tsradius
von
Nach dem Gau~schen
phismus.
, falls
da
I nicht konjugierter
~v: Mp
~eXpp,~j,
nalen
(n-1)-dimensionalen
V ~M P $ O , denn die zu
81(1)>
den zu v orthogonalen
isomorph auf den zu ~ (I) P o ,(Mp) v kanonischer Isomor-
Es gibt daher einen Vektor
und
eXpp hat
Punkt yon c o und c I .
eXpp, • ~ v
linearen Teilraum yon M
Unterraum yon Mq ab,
L(c o) = L(c I) = dp
dazu auch 5.2.
Die Exponentialabbildung
Lemma in 4.4. bildet
(n-1)-dimensionalen orthogonalen
Rang,
= ~
eXpp , vergleiche
~o(0) =:v , ~1(0) =:w.
in v und w maximalen
p und Endpunkt ~ , so dab
L(~ I) ~ L(c I) .
Es folgt insbesondere
Setze
co ~ c I .
Punkt yon c o und c I .
,Lit Anfangspunkt
L(~ o) = L(c o)
Bew':
p, q ~ M •
yon p nach q mit
1 nicht konjugierter
~(Co(I),cI(I))
-
mit
~,v>
= 0 , uVm = Rvm
~o(I) , ~i(1)
jeweils orthogo-
setzung nicht Gberein.
linearen Teilr~ume von M stimmen nach Vorausq Betrachte nun fEr hinreichend kleines E >O die
Kurve
mit
c: ~- ~ , ~
,M
~(0) = e X p p , ~ v V. kehrbar.
Dann folgt wegen
det den Strahl
t--,tw
so E ~ - E , ~ ]
~(0),~1(I)> Lemma,
=
die Kurve
nicht orthogonal mit
und
~:=
und
exp(~) = exp(~) =:~.
Co(t):=
+~
sins ) , man hat
Sei U eine Umgebung yon w in Mp,
wieder mit dem Gau~schen
deshalb
c(s):= exp(v c o s s
exp(t~),
~eXpp,~v~ ~:=
in
Setzt man ~11
Die Geod~tischen
cl(t):= exp(t~)
exptU
, ~1(I)>
(expIu)-le c
um-
$ 0
schneiP und es gibt
w = ~(0),
ll~(So)U < u w l .
~(So) , so gilt offensichtlich
so da~
in M
~:= v cOSSo + ~
= u~11 =
11v11,
Co,Cl:[0,1]--.M
11~I~
sin~
< ~w~!
mit
yon p nach ~ haben die verlangten
Eigenschaften.
M zusammenh~ngende dann ein Punkt
p
kompakte mit
EM
radius d nach dem Korollar Vektoren
v,w E Mp
Man hat Geod~tische
mit
Riemannsche dp =
p 'inf E~
Mannigfaltigkeit.
dp, = : ~ O ,
Es existiert
well der Injektivit~ts-
zum Lemma in 5.4. stetig ist. Ferner gibt es
exp(v) = exp(w)
co,cl:[0,1]--.M
mit
und
v @ w , l|vl! = ~wJ = ~
co(t):= exp(tv),
.
c1(t):= exp(tw)
- 227 yon p nach q:= exp(v) Lemma 2
gilt
und
L(c o) = L(c 1) = J .
~6o(I),61(1))
= ~ ,
yon c o u n d c I • Nun ist aber und q vertauschen Geod~tischen
mengesetzte
und statt
Co,C 1
und damit eine periodische
Geodatische
geschlossene
Geod~tische
in zwei Teilgeod~tische
der L~nge
Geod~tische,
•
Mit dem Lemm~
Kurve differenzierbar
der L~nge
der L~nge
gewonnenen
Also ist die aus c o und
differenzierbare
keine nicht konstante Jede geschlossene
die durch Umorientierung
= ~.
Punkt
man kann die Rollen yon p
yon q nach p betrachten.
"~6;(1),~(1))
st~ckweise
S nicht konjugierter
dp = d q = ~ ,
o;, c~ :~,I]--*M
folgt dann auch
sofern
Nach der Folgerung in
2~
2 ~.
0~ zusam-
geschlossen
Offenbar existiert
die k~rzer ist als
ist periodisch,
ohne konjugierte
2~.
sobald sie
Punkte zerf~llt.
Wir kSnnen jetzt die zu Beginn dieses Abschnitts
erw~hnte Absch~tzung
des Injektivit~tsradius
herleiten.
der Exponentialabbildung
(W. Klingenberg) Vor. :
M zusammenh~ngende
kompakte
orientierbare
Riemannsche
Mannigfaltig-
keit gerader Dimension. Es sei Ist
Beh.:
0 ~ K¢ ~ ~
d: M---*~
Durchmesser
f~r alle zu M tangentialen
der Injektivit~tsradius
yon M,
(I)
so gilt f~r alle ~M
Die 0rientierbarkeit
~
yon M i s t ,
da~ M einfach zusammenh~ngend. wie das Beispiel
der Sphere
man kann die Absch~tzung von
§ 6
Bew. :
d p ~
yon
exp
und
~. ~M
der
p eM
•
wie wir gesehen haben, Die Schranke
M = S~
Ebenen
~
gleichwertig
damit,
des Satzes ist optimal,
mit der konstanten
Kr/mmung
(I) auch wiederum als Vergleichssatz
~
zeigt,
im Sinne
auffassen.
Nach dem Vergleichssatz
normalen Geod~tischen Angenommen,
~:=
von Morse-Schoenberg
in M der L~nge
qcM inf d q ~
V'~ ~" "
~ ~
in 6.2. haben alle
keine konjugierten
Auf Grund der Folgerung
Punkte.
zu Lemma 2
es dann eine periodische normale Geod~tische c: [ O , ~ - - - ~ M der L~nge 2 ~ ~:= 2~ ~ . W~hle g e m ~ Lemma 1 eine Variation V:[O,~JXJ--~M yon c mit differenzierbar fur
~ ~ 0.
geschlossenen
Kurven Vt
Dabei werde J so klein angenommen,
und
L(£) ~ L(O) = ~
da5 die Abbildung
gibt
- 228 ~V(O,E) durch
injektiv ist. Erkl~re nun die Abbildung
V(t,¢):= (V(O,~), V(t,~)) .
um 0 in Kurve V t
~ ( O , & ) " Well
Sei die offene Kugel vom Radius
L(~) < ~
= 2~
fur
£ % O,
ganz im diffeomorphen Bild
B~(~)
yon
U~(~)
Die Abbildung auf
Uj(~)
~'Xexp : TM --~M X M
W:= t~yUM(~) )V(O,~)
Abbildung
hat, da
maximalen Rang.
injektiv, ist auch
~[O,@]X(J-~)))
~: ~ , ~ ] X ( J - ( O } )
Da ferner
liften, mit
~(0)
Rang, so da~ in 2.8.
um 0 in
~ X exp
Deshalb l ~ t
geschlossenen Kurve und
{~(t,~)}
~-o~(t,£) = V(O,O) . Wegen
~o
auf
(V(O,~)}
~l[o,~J x(j-[o%)
t C[O,~
in TM.
(~(t,¢))
zu der
und
hat
0 ~ ~ ~ J t--*O
~ ~(t,~)i| 4 ~ exp|~6(O)
die in der
und
Uberall maximalen
maximalen Rang hat, siehe ~ ( i )
sich auch
~ ~[0,~3x(o} noch zu einer differenzierbar
~o: ~'~]
bTM
mit
verl~uft ganz in der Faser
im Widerspruch dazu, da~
~o(t):= lim ~(t,E)
~(0,0)
exp O~o = Vo
yon TM.
liften,
Das steht aber
eine yon V(O,O) ausgehende Geod~-
tische ist, die sich nur zu einem Strahl liften l~St, vergleiche hierzu den Beweis des Lemmas in 7.1.
M kompakte einfach zusammenh~ngende Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit Punkt
p ~M
0 ~ Kr~A
Uberall. Nach dem letzten Satz ±st fur jeden
der Injektivit~tsradius dp von eXpp nicht kleiner als der
Injektivit~tsradius der Exponentialabbildung eines Punktes in S n Eine analoge Aussage erhalten wir damit auch fur den Konvexit~tsradius r: M
~
aus 5.2.
(2)
Es gilt r(p)>_.
alle metrischen Kugeln
~r 2~
fur jeden Punkt
p~M,
B~(p) in M sind also stark konvex, wenn
~ --~ 2 ~ "
Im Falle ungerader Dimension yon M felgt dies mit dem Satz in 7.7. unter der sch~rferen Voraussetzung, da~ durchweg Schranke
2~
~/4 ~ K~--- •
.
differenzier-
Diese liegen fur
~ ( 0 , 0 ) ' da I ~
und
~(t,,):= ( ~ X e x p | W ) - l ~ ( t , E ) ~|(t) := #(t,|)
bar geschlossen. Wir betrachten jetzt fur
kompakten Kugel
~(U~(,)) =
kann man ,TM
exp.
Diffeomorphismus,
injektiv. Wegen
~¢:[0,@]---~
H~ufungspunkte der Menge
exp~Ui(~)
verl~uft die unter
~'Xexp|W
C (~exp)(W)
Dabei sind die Kurven
lim
~: [ 0 , ~ ] N J - - ~ M X M
•
Die untere
fur den Konvexit~tsradius kann ±m allgemeinen nicht ver-
- 229 bessert werden, wie man wieder auf der SphKre
S~
sieht. Die Absch~tzung
(2) ergibt sich aus (S) und dem Lemma in 5.2. Dazu ~berlegen wir noch, da6 f~r jede normale Geod~tische
c:~O, JS---*M
mit
@r~ ~ dsCi e
Einschr~n-
kung der Indexform auf den Vektorraum der Jacobifelder Y l~ngs c m i t Y(O) = 0 n
M:= S ~
und
~Y,8~
=
0
positiv definit ist. Betrachte die Sphere
, elne normale Geod~tische
und eine Isometrie
c: M
i~
P den Isomorphismus
6.1.(4) Y(O) = 0.
S: ~ , J S - - * ~ ,
mit
P @:
~(0)
20~--*?~
p:= ~(0) , ~:= ~(0)
= ~(0). .
Wir finden ein Jacobifeld ~ in
Dann hat man gem~6
Sei Y Jacobifeld in 20~
mit
~(0) = 0
2@'c mit
und
C
~(~) =
~Y(~).
Naeh 6.1.(7)
m~_ I(~,~) . Mit 4.5.(7) falls
Y ~ O.
(i)
und 4.5.(5)
folgt dann
I(Y,Y) > O,
in 5.2.
Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit
nicht einfach zusammenh~ngende
wenn
dim M = n
M durchweg positiungerade.
ungerader Dimension oder etwa die R~ume aus [ ] ( i i i )
tierungshomomorphismus
Als
Beispiele hat man die projektiven R~ume
Zum Beweis gen~gt es anzunehmen,
~I(M)
I(Y,Y) ~ I ( ~ Y , ~ Y )
I(~,~) ~ 0 , also auch
Vergleiche auch ~ ( i )
ver Schnittkr~mmung ist orientierbar,
pn(~)
gilt
Mist
~s(M)--*~ 2
eine geschlossene Kurve,
zusammenh~ngend.
in 7.3.
Zeige, der Orien-
ist trivial. Anderenfalls enthielte
die frei homotop ist zu einer nicht kon-
stanten periodischen Geod~tischen c minimaler L~nge in der freien Homotopieklasse von c , so da~ in einem Punkt l~ngs c in dem zu 8(t) orthogonalen
p = c(t)
die Parallelverschiebung
(n-S)-dimensionalen
linearen Teilraum
M ~ yon M einen orientierungsumkehrenden Automorphismus ~ induziert. P P Man leite damit wie beim Lemma yon Synge einen Widerspruch zur Minimalit~t von c her, es mu6 n~mlich
~
einen Fixvektor
u ~ 0
in M ~ haben, da P ist orthogonal, also gibt es
dim M ~ = n-S = 2k gerade. Beachte dazu, ~ P 2-dimensionale euklidische Teilr~ume E1,...,E k ~ ~ M~ , d~e unter riant sind und
M~
= ES @
...
@ E k.
Nun ist
det ~ = .VKdet ~IE.
P
so da~ fur wenigstens ein i gilt
Az4
det ~ E .
~
= -S .
inva= -1
l
Eine orthogonale orien-
l Abbildung der euklidischen Ebene E. ist aber eine Drel hung gefolgt yon einer Spiegelung und hat offenbar einen yon Null verschietierungsumkehrende
denen Fixpunkt. (ii)
M zusammenh~ngende kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit
der Dimen-
- 230 sion n
mit
0 • K¢ ~ k
Uberall.
Ist n gerade und M nicht orientierbar
oder in nach dem Korollar gleichwertiger gilt die Absch~tzung
schen OrientierungsUberlagerung
dp Raum
2~' pn(~)
~ yon M .
und diese Ungleichungen der komstanten
erh~lt man entsprechend
r(p)~
~ .
4~"
gend, existiert im allgemeinen
Sberlege,
~I (M) ~
~2
universellen
' so
Riemann-
fur M hat man
~M ~
sind scharf auf dem projektiven
Kr~mmung
FUr den Konvexit~tsradius
Falls dagegen n ungerade,
zwar M nach (i) stets orientierbar,
Injektivit~tsradius
Formulierung
(S) also auf der zweibl~ttrigen
so ist
aber selbst wenn M einfach zusammenh~n-
keine universelle
der Exponentialabbildung
untere Schranke
fur den
auf M ohne zus~tzliche
Voraus-
setzungen Uber die Beschr~nkung
der Krthnmung nach unten,
und 7.7.
Dies gilt erst recht,
sobald M nicht einfach zusammenh~ngend.
Best~tige
etwa, da~ auf den Linsenr~umen
aug [ ( i i i )
in 7.3.
fur die Absch~tzung
gilt
d
~M
Problem,
untere Schranken
und auch fur den Injektivit~tsradius
oberen und unteren Schranken (iii)
der konstanten
Ein interessantes,
der SchnittkrUmmung
Geod~tische
0 ~
existieren,
K~
zu finden,
die kUrzer sind als
die nur yon °
zitiertes Beispiel yon
Mannigfaltigkeit
I Uberall,
fur den Durch-
abh~ngen.
schon verschiedentlich
Berger zeigt , auf der differenzierbaren mannsche Metriken mit
KrUmmung
= ~ . Allerdings ist kein Gegenbeispiel q in (I) bekannt, wenn M einfach zusammenh~n-
P
~M ~
gend. Es ist ein interessantes messer
L(q,1)
siehe (iii)
S 3 gibt es Rie-
so dab aber periodische 2~ •
In (iv) finden sich
notwendige VorUberlegungen. Betrachte
die Lie-Gruppe
S 3 aus [ ] ( i v )
invarianten Metrik yon 3 . 2 . [ ( v ) sind orthonormal.
in 1.9.
mit der gewShnlichen
, die linksinvarianten
Auf der Lie-Gruppe
G:= S 3 X ~
Felder
und die orthonormale
Basis linksinvarianter
felder
fur
Z4:= (O,D).
die Integralkurve in 2.7.
yon X 1 mit
sowie
c1(0):= e
ist c I Lie-Gruppenhomomorphismus
dische Geod~tische tige es direkt.
der L~nge
Die Abbildung
~ 0 , ~ • 0 , ~2 + ~2 tische,
i=I,2,3
= I
2~, h:
Einselement
Sei
c1:
VektorR--*S 3
in S 3 , nach [ ( v )
und welter eine normale perio-
siehe etwa A--*G
Xl,X2,X 3
hat man die biinva-
riante Produktmetrik Zi:= (Xi,O)
bi-
mit
3.6.[](vii)
oder best~-
h(t) = (Cl(~t), ~ t )
ist Lie-Gruppeneinbettung
und
und normale Geod~-
die mit dem ersten Faktor S 3 den konstanten Winkel
0 ~ ~ ~ "~ 2
1
- 231
mit
sin ~ = ~
yon G,
bildet.
H:= h ( ~ )
wir untersuchen
ist abgeschlossene
den homogenen Raum
mannschen Metrik aus (iv) , f: G--~M M diffeomorph
zu S 3 , im Falle
Die Geod~tische
c: ~---bG
recht,
die Projektion
I~nge
2~
,
mit
f oc
~
des o~thogonalen
c(t+~)
Z:=
in (5) berechnen
yon M .
2 + 2~3Z
In der
~ Z 1 + ~ Z4
~ Z 1 - ,~Z 4 , Z 2 , Z 3
3
,
mit
Basis
sind Basisfelder
• F~r normale Felder
' ~ 3 = /~1w2 -/~2 wl "
der
zum ersten Mal fur
Felder ist
A = ~1 z +/~2Z2 + ~3Z3
A,B ~
B = ~1Z + ~2Z2 + w3Z3 ~1 =
/~2w3 -/~3~2
Die Ausdr~cke
'
der rechten Seite
sich damit zu
II[A'B]J'~I2 = 4 ~ 2 ( : ~ 1 2 +:~22 +:~32 ) ||AII2|tB~2 _ ~ A , B ~ 2 Somit liefert
schneldet H senk-
normale Geod~tische
= c(t).h(~)
yon I in ~
Offenbar ist
sogar isometrisch.
fur die Schnittkr~mmung
yon H ,
2 ~1Zl + 2 ~ 2 Z
~ 2 = /~3~1 - ~ 1 ~ 3
mit der normalen Rie-
c(t):= ~Cl(~t) , - ~ t )
Komplements ~
hat man Darstellungen [A,B] =
nat~rlich
yon G aller linksinvarianten /
Lie-Untergruppe
Projektion.
ist in M periodische
denn es gilt
der Lie-Unteralgebra
umd
M:= G/H
nat~rliche
oc= 0
Wir bestimmen nun die Schranken Lie-Algebra
-
,
|i[A,B]T~| 2 = 4 ~ 2 ~ 21
+ ~22 + ~ 3 2
= ~2
~
0
sobald
ferner
'
A,B linear unabh~ugig.
(5) K( f@A,f.B) =
~a~
Ko " #._ I + 3 ~ 2
bez~glich aller Ebenenschnitte Nach Multiplikation
der Riemannschen =
1 + 3~ ~ Die L~nge der Geod~tischen
0 ~ ~ ~o:=
schranke ist Wenn
~" ~ ~ o '
sind als
2~.
~o = 1/9 ,
Metrik yon M mit
1 + 4 ctgaW f oc
Beachtet man die Bedingungen genau wenn
~, und die Schranken werden angenommen.
fur
I/~.
~
K~--I
in dieser Metrik ist oc und
~
Die zu
der Winkel
,
so gilt
erh~lt man
.
2~ ~1
~1 + 3 ~ ~' . + 3 ~ ~' ~ 1 ,
~o gehSrige untere Kr~mmungs-
~o ist gegebsn durch
findet man also periodische Die Projektionen
:= ~
1 + 3~c2
Geod~tische
der Integralkurven
in M,
sin ~'o = ~o" die k~rzer
yon Z2,Z 3 etwa sind
- 232 periodische Geod~tische
der L~nge
2~1
+ 3~.
Uberlege, bezGglich
der urspr~nglichen Metrik von M sind unter allen periodischen Geod~tischen solche der'L~nge
2~'~
die kGrzesten,
diejenigen der L~nge
2~
die
l~ngsten. (iv)
Sei G eine n-dimensionale
geschlossene
Lie-Untergruppe
Lie-Gruppe und H e i n e
yon G,
Auf der Linksrestklassenmenge
siehe [ ] ( i i i )
und (v) in 1.7. ~)
fGhren wir die Quotiententopologie
im folgenden die Struktur einer (n-k)-dimensionalen ein. Man hat die natGrliche
wir schreiben auch
~:= f(g),
Reehtstranslationen
~,~:
Auf dem homogenen Raum
G--*G
G/H
mit
h~G
k~Rh U
offen, denn f~r eine offene Teilmenge
~1 @ ~2
in G/H . Da U1XU 2
W~hle
g~g2 ~ H
GXG--~G
= hg,
~g
= gh.
U~G
ist
f-1(f(U)) =
Nach Definition der Identi-
man mu~ zeigen, zu je zwei
und H abgeschlossen in G , existiert eine Umgebung
mit
, die das Urbild von H u n t e r (g,h)--*g-lh
der stetigen
nicht trifft, also
U~Iu2~H
=
WI:= f(U1) , W2:= f(U 2) .
Die Lie-Algebra
~
yon G enth~lt die Lie-Unteralgebra / yon H,
mit dem Tangentialraum G e von G im Einselement tangentialen linearen Teilraum in 1.9.
~g
jede Linkstranslation
gibt es punktfremde Umgebungen W 1 yon gl und W 2 yon ~2
yon (gl,g2) in G X G
Abbildung
der Links- und
hat demnach G/H mit G eine abz~hlbare Basis offener
Ferner ist G/H ein Hausdorffraum,
Punkten
f: G-*G/H,
yon G/H auf sich. Die Projek-
offen in G , also f(U) offen in G/H.
fikationstopologie Mengen.
dureh
operiert G transitiv,
und
differenzierbaren
stetige Projektion
sowie die Diffeomorphismen
yon G induziert einen HomSomorphismus ~ tion f i s t
ab-
G/H , also den Orbits der Operation yon H
auf G durch Rechtstranslationen,
Mannigfaltigkeit
k-dimensionale
He~ Ge
W~hle einen z u / k o m p l e m e n t ~ r e n
Exponentialabbildung bung U von 0 in ~
yon G aus ~ ( i i )
man kann
e und / mit dem zu H
identifizieren,
vgl.
~(iv)
linearen Teilraum ~ c ~
.
Die
in 2.9. bildet zun~chst eine Umge-
diffeomorph auf eine Umgebung yon e in G a b ,
setze
V :=~U. Die Abbildung y: V xV---*G mit ~(v,w):= exp(-v)exp(w) o o o ist differenzierbar und transversal regular zu H in 0 , denn Y ( O X V o) schneidet H transversal in e , da gibt es eine Umgebung
V 1XV 1
/0~
von 0 in
=~
• Aus Stetigkeitsgr~nden
V o X V ° , so da~
regular auf H in allen Punkten des Durchschnitts
4
Y transversal
yon V I x V 1 mit
Y-I(H) .
•) Man kann zeigen: Elm injektiver stetiger Homomorphismus einer LieGruppe H a u f eimen abgeschlossenen Teilraum der Lie-Gruppe G i s t notwendig eine differenzierbare Einbettumg.
- 233 Daher ist
4
in natUrlicher Weise abgeschlossene
mannigfaltigkeit
gleicher Codimension
n-k
differenzierbare
in V 1X V 1
Unter-
wie H in G.
Nach
1.6. muB dann in einer Umgebung V X V von 0 in V I X V I die Untermannigfaltigkeit aller Diagonalelemente exp(-v)exp(w)
= (exp(v))-lexp(w) ----1
Die stetige Abbildung bettet
----I
x
x
die in ~
mit
malen Rang n, in exp(v)
weil
Es gilt also
, genau wenn
v = w.
ist deshalb injektiv.
ist injektiv
Nun
schneidet nach Konstruktion
yon H in G a b ,
V XH
und mit z ist ~-I
W:= ~-I(v) = f • z ( V x H )
exp(v)H
von V • ~ t h i n
diffeomorph
genau bildet z
auf eine "Tuben-
offen. Die auf der Umgebung
yon ~ in G/H definierte Umkehrabbildung
in den Vektorraum
~-~g~
Abbildung
und hat Uberall maxi-
jede Restklasse
Mannigfaltigkeit
ein Hom6omorphismus
v,w~V
Die differenzierbare
exp(v)h
z(Vx e) = exp(V)
transversal
sche~ Karten"
fur
Ubereinstimmen.
:= f o exp : V---*G/H
~-I ist offen.
z(v,h):=
die differenzierbare umgebung"
~ H
4
offene Menge V auch hom6omorph in G/H ein. Dazu
bleibt zu Uberlegen, z: V X H - - * G
(v,v) mit
g~G~
~.
Man prUft sofort,
• ist
die "kanoni-
bilden einen differenzierbaren
Atlas,
der
so den homogenen
Raum G/H in nat~rlicher Weise zu einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit
macht,
morphismen,
dim G/H =
dim ~
Wir haben gleichzeitig bares Faserb~ndel
d.h. die Abbildung
mehr bewiesen,
)- z-l: f-l(w)
Atlas
id).XOLg
~WXH
~ gEG~
Wir nemen jetzt an, es existiert f~r G, zu / .
yon G sind und
vgl.
~(v)
operiert.
kanononischer
W~hle
das orthogonale
Der Diffeomorphismus
Riemannsche
den Komplement~rraum
Da alle Rechtstranslationen f o~
die bei BUndelkarten-
BUndelkarten.
eine biinvariante
in 3.2.
man kann
liefert den differenzierbaren
~
f~r h • H
Metrik ~in
~
Isometrien
= f , gibt es zu jedem Punkt ~ fur den Tangential-
raum yon G/H in ~ genau eine euklidische
abbildet.
mit (g,~)-~gh.--
ist ein differenzier-
die Faser H selbst w~hlen,
x:= (foexp ~ i d
, >
G ~G/H--@G/H
f: G--,G/H
wechseln auf sich durch Linkstranslation
~(~I~
und damit auch die
mit Faser H , sogar ein Prinzipalfaserb~ndel,
n~mlich als Strukturgruppe
<
die ~g werden Diffeo-
f ist von maximalem Rang differenzierbar
Operation yon G auf G/H,
orthogonal
= n-k ,
Komplement
Die Zuordnung
g
Lg ~ ~<
yon , >-g
Metrik Lg~l
< , >~
,
so dab
fog
in Gg orthogonal auf (G/H)~
ist eine Riemannsche
Metrik,
-
eine sogenannte <
, >
234
-
normale homo~ene Metrik fur G/H , die wir wieder mit
bezeichnen.
Damit wird G/H eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit
und
heist auch ein normaler homogener Raum, die Diffeomorphismen ~ sind g mit den Linkstranslationen L isometrisch. Wir betrachten die Levi-Civita-g Zusammenh~nge ~,~ und die zugehSrigen Exponentialabbildungen exp, ex--~ yon
G , G/H • Jedem differenzierbaren
Normalkomponente
bezUglich
zierbare Vektorfeld g •G ,
XT:= X - X ~
nennen X normal,
X~
mit
f~X
Komponente
Vektorfeld
Umgekehrt
Vektorfeld ~ auf also f~Z>
~xf~Y
Insbesondere
X g - X ~g C L g , ~
fur alle
von X . Wir
G/H
G/H,
aber man
gibt es jedoch offenbar genau ein normales
f~Xg = ~ . =
auf
Auf Grund yon 3.5.(9) f~Z>
fur alle normalen
auf G und daher
(3)
Nun gilt
f-verwandtes
~Vxf~Y,
d.h. das differen-
Zu einem normalen Vektorfeld X auf G
Vektorfeld X auf G,
X,Y,Z
zuordnen, und
l~ngs f betrachten.
hat man die Beziehung Felder
X ~g ~ L g , ~
X = X ~.
zu jedem differenzierbaren f-verwandtes
L H g
ist die "fasertangentiale"
falls
gibt es im allgemeinen kein kann das Feld
Vektorfeld X auf G kSnnen wir die
der Fasern
=
f~,(V x Y )~"
sind die linksinvarianten
VxX
= 0
nach
yon X sind Geod~tische
[](vii)
•
X ~ normal. e in 3.6. , und alle Integralkurven c
in G , so da~
Felder X auf G mit
f oc
Geod~tische
in G/H , denn
mit (3) folgt 7 D f~'clt = ~ D f~°ctt = ~xf*Xlc(t) = f ~ V x X t c ( t ) = O, ferner ~ u = Uf~-ci! . Alle Geod~tischen in G/H erh~lt man also durch Projektion
der in G senkrecht
Geod~tischen,
Anfangsrichtung
in 44~.
Exponentialabbildung
L g H verlaufenden yon Einparameteruntergruppen mit
Da G/H homogen,
exp
(4)
zusammenh~ngend,
genUgt es wegen 3.5.(12),die
etwa im Punkt ~ anzugeben, exp o f@~4@
Warum ist G/H vollst~ndig, G/H
zu den Linksrestklassen
d.h. der Linksrestklassen
=
f. exp,44@
und man hat mithin .
sobald G/H zusammenh~ngend ?
Zeige,
sind
G ,
so ist der metrische Abstand yon gl und g2 in G/H
gerade der metrische Abstand
der Untermannigfaltigkeiten
gl H
und
g2 H
in G , der angenommen wird. Wir berechnen noch die Schnittkr~mmung
yon G/H . Seien
X,Y,Z
normale
- 235 linksinvariante Vektorfelder auf G. n~chst Z = Y
R(f~X,f~Y)f.Z = ~ x f . V y Z und beachte,
f~[X,Y]
sammen mit ( 3 ) a l s o
z - ~,y~f~Z
.
ist wieder linksinvariant
Setze aber im
~yY = 0 , vergleiche__wieder 3 . 6 . ~ ( v i i ) .
~(f.X,f~Y)f~Y = - ~ V ~
~[X,y~f~Y = ~ y
- ~yf~x
V x Y = ~I [X,Y~
allgemeinen nicht normal, Es folgt
Mit (3) und 2.5.(6) erh~lt man zu-
f~ IX,Y]
+ f~ fIX,Y], Y]
- ~,y]f~Y
,
und da
nach 2.5.(5), ergibt sich zu-
~(f~X,f.Y)f@Y = - ~
f.[Y ,[X,Y~ ~] - f~ [[X,Y],Y]
so da~ wegen der Schiefsymmetrie der Form
~ [ . ~ , > in allen drei Argu-
menten schlieSlich folgt
Damit ist die SchnittkrGmmung yon G/H Gberall bekannt, man braucht sie nat~rlich wegen der Homogenit~t und 3.5.(13) nur in einem Punkt zu beschreiben.
Im Falle, da~
H = ~e~
die triviale Untergruppe yon G , also
G/H = G , ist (5) in 3.5.(26) enthalten.
Jeder normale homogene Raum
hat also nach (5) durchweg nicht negative Schnittkr~mmung, jedoch kommen in den meisten F~llen Kr~mmungswerte 0 vor, vergleiche auch 7.9.
(v)
Im Anschlu~ an die Anwendung der vorangegangenen Bemerkungen (iv)
in (iii) wollen wir noch kurz auf weitere Beispiele hinweisen. Auf der __~n+1'~) ~
Lie-Algebra GL(n+I,~) form
7Y~n+l( ~ )
der allgemeinen linearen Gruppe
hat man die Killing-Form, n~mlich die symmetrische Bilinear-
~ , ~
mit R÷4
(6)
2
:=
-
tr
:
- Z
ij
ji
Da die Spur eines Endomorphismus Yon ~n+1 invariant ist unter Konjugation mit Automorphismen, erh~it man durch Links- oder Rechtstranslation dieselbe biinvariante 2-Form
~ , >
f~r GLn+ 1
und damit durch Einschr~n-
kung f~r jede Lie-Untergruppe, vgl. auch ~ ( v ) Form meist ausgeartet. ~(iv)
in 3.2.
G
Sei nun
wird durch die Gleichung
tialraum an G in e daher durch Algebra ~ in
yon G i s t
G:= O(n+l) ~ + t~
= 0
in 3.2.
Jedoeh ist diese
die orthogonale Gruppe yon ~tg
= e
und der Tangen-
beschrieben, d.h. die I~e-
die Unteralgebra aller schiefsymmetrischen Matrizen
7 ~ n + I ( ~ ) . Die Killing-Form (6) ist offenbar auf ~
positiv definit
- 236 und bestimmt mithin eine biinvariante Riemannsche Metrik f~r G • Sei
H ~ O(n)
die abgeschlossene Untergruppe
0
O(n)
in G.
Der
normale homogene Raum G/H hat die Dimension dim O(n+1) - dim O(n) = n+1 = ( 2 ) - C~) = n • Se± / die Lie-Unteralgebra yon H in ~ aller Matrizen 0 (o
O)
mit *
in
~n (~)
schiefsymmetrisch,
Killing-Form orthogonale Komplement von l i n a • ~n
~
~
alas bez~glich der
aller Matrizen
_t a
(Zeile). Wir berechnen die SchnittkrGmmung yon G/H auf ~0 a) I 0 b) F~r ~ , ~ m ~ mit ~ = -~a 0 ' # = -~b O
Grund von (5). ~ , ~ in
= ~a,b~
~n.
, w~hle
~,~
orthonormal in ~ ,
Man rechnet leicht nach,
C~,~3
= ~ - ~
,
folgt
also a,b orthonormal C/
und | ~ , ~ U 2 =
I.
Somit besagt (5), da6 G/H ein Raum der konstanten Krt~nmung 1 . Zeige, G/H = O(n+l)/O(n) sphere ordnet,
ist kanonisch isometrisch diffeomorph zur Standard-
Sn , ±ndem man jeder Restklasse
gH
den Vektor
gel ~ ~ n + l
zu-
e I = (I,0,...,0).
Wir besprechen jetzt das wichtige Beispiel des komplexen projektiven Raumes
pn( ~ ) .
Die allgemeine lineare Gruppe
GL(n+I, • )
aller komple-
xen linearen Automorphismen des (n+l)-dimensionalen komplexen Vektorraumes ~n+l Algebra aller
ist eine Lie-Gruppe der reellen Dimension ~(n+1,
~) ~
?~tn+l( • )
2(n+I) 2
mit der Lie-
aller Endomorphismen yon ~ n + l
(n+l,n+l)-Matrizen mit komplexen Koeffizienten,
~,~
oder
= ~
- ~
f~r ~,~ t ~ n + 1
, wie man wie im reellen Fall best~tigt. Auf der Lie-
Algebra
hat man wieder die Killing-Form
~n+l (6')
2
~,#~
:= - Re tr ~
die eine biinvariante symmetrische 2-Form jede IAe-Untergruppe ±nduziert, einer komplexen Zahl. yon GL(n+I, ~ ) t~
= e.
~ , ~
f~r
#j±
,
GL(n+I, ~ )
und
bezeichnet die Bildung des Realteiles
Betrachte die kompakte Lie-Untergruppe
aller unit~ren Automorphismen
Matrizen in ~ n + l ( ~ ).
yon G i s t
G:= U(n+1)
~ von ~n+l , also
Der Tangentialraum yon G in e wird gegeben durch
d.h. die Lie-Algebra ~
f~r d i e
Re
= - Re ~ j
~ + t~ = 0,
die Unteralgebra aller schiefhermiteschen
Die letzten Aussagen verifiziert man analog wie
orthogonale Gruppe im Reellen,
dim G =
Die Killing-Form (6') ist positiv definit auf ~
dimR~
= (n+l) 2 •
und bestimmt daher eine
- 237 biinvariante
Riemannsche
Metrik f~r G.
plexen Zahlen vom Betrage Untergruppe
1 . Sei
~U(1) 0 ) O U(n)
Dimension
U(1) ~ S 1
H:~ U ( 1 ) × U ( n )
in G.
ist kanonisch
Raum
pn( ~ )
aus ~ ( v )
g~G
die komplexe Gerade
die abgeschlossene
=
2n.
diffeomorph
Zeige,
zum komplexen
g~e I
zuordnet,
~
~
und
Geometrie
yon Fubini-Study.
wieder auf Grund yon (5) die Schnittkr~mmung
und ~
in
yon H in ~ ~n ( ~ )
orthogonale (Zeile). ,~
= Re
a,b
,a,b~
mit
(o_ ~
~ =
, wobei
von a und b in
~@~,~/
o)
,
Ka,b> = ~ a i ~
reell orthonormal in
Es gilt wieder nach
O)
mit
, also
~:n. ~:n
llg~,~ll 2 = 1 + 3 ~ a , b ~ l 2 •
~,~
~/,
Re u = 0
der Killing-Form a) n 0 ' a ~ folgt hermite-
das gewShnliche
i
W~hle
Beachte,
Wir berechnen
C~ o
~=
orthonormal in ~ ,
|lau2 = ILbU2 = I
~,--~
fGr
ist die klas-
u ~ ,
schiefhermitesch, ~ das bez~glich / (0 yon in ~ aller Matrizen -~
~ , ~
sche Skalarprodukt d.h.
~u0
aller Matrizen
gH
von G/H . Sei / die Lie-
Komplement
FEr
projektiven
e I = (1,0,...,0)
~ n+l . Die normale Riemannsche Metrik auf pn( ~ ) = G/H
Unteralgebra
G/H =
in 1.7. , indem man jeder Restklasse
sische Metrik der projektiven
der kom-
Der normale homogene Raum G/H hat die
dim U(n+l) - dim U(n) - dim U(1)
= U(n+S)/U(1)XU(n)
ist die Gruppe
und
Re K a , b > = 0.
und man reehnet direkt dab
~a,b~
rein imagin~r.
~thin =
wobei
"~0,
~S
1-dimensionalen Winkel zwischen Teilraum E und Der Winkel ~ ist
~=
mit
.
=
cos ~ = l,a,b>L
linearen Teilr~umen
~a
I~ • C~,
dem yon a,b aufgespannten iE
in
C n,
cosy
=
= 1 + 3 cos2~
,
zwischen den komplexen
~/~bI/4.~~ ~ oder auch tier
reellen 2-dimensionalen
= I cos ~(ia,b)l
linearen
= Icos ~ ( a , i b ) l .
mi6t, wie sehr E yon einer komplexen Geraden abweicht.
~ (E,iE) = 0 , genau wenn
eine "holomorphe" orthogonal,
der Winkel
= I + 3 1
Ebene.
genau wenn
dann eine "reelle" Schnittkr~mmung,
Es gilt
~=
E = iE, ~
also E komplexe
(E,iE) = - ~
oder
Es
Gerade,
E,iE
~ a , b ~ = O , also a,b komplex orthogonal,
reell E heist
Ebene. Nach (5) und (7) hat G/H ~berall positive
die zwischen
Iund
4 liegt, und diese Schranken werden
- 238
im Falle
-
n > I angenommen genau fur tangentiale Ebenen, die ~ber ~
reellen bzw. holomorphen Ebenen in U(2)/U(1) × U ( 1 )
= pl(~)
etwa nach ~ ( i i i )
zu
~ n korrespondieren.
hat die konstante Kr~mmung
in 7.3. isometrisch diffeomorph
~
und ist deshalb
zur Standardsph~re
S2 .
Wir stellen schlie~lich einige fundamentale geometrische Eigenschaften des projektiven Raumes Die Isometrie
G/H = pn( ~ )
&s von ~
zusammen.
[l_i.O~ I 0 ~) ( 0 ~a1
mit
bestimmt durch Linkstranslation Isometrien
~g yon L g " *~ f~r alle g ~ G , die invariant sind unter Rechtstranslationen ~ f~r h e H , da c e und
Konjugationen in ~ m i t
Elementen in H kommutieren.
h~It man daher auf G/H ein differenzierbares mit
j2 = _ id ,
Tensorfeld J vom Typ (1,1)
eine sogenannte fast-kom~lexe
zierbare Mannigfaltigkeit eine komplexe Struktur,
Durch Projektion er-
Struktur f~r die differen-
G/H , denn J bestimmt in jedem Tangentialraum
die Multiplikation mit
i •
Tats~chlich ist J
sogar eine komplexe Struktur f~r G/H , d.h.
J wird induziert durch eine
natGrlich unterliegende
als komplexe Mannigfaltigkeit,
Struktur von pn( ~ )
worauf wir nicht eingehen. und
~J
= 0,
Man hat
~JX,JY> = ~X,Y> ,
~JX,Y> = - <X,JY>
also J parallel, was mit (3) leicht folgt.
nun die Riemannsche Metrik von
pn( ~ )
Normalisiere
durch Multiplikation mit
4,
dann gilt fur die SchnittkrSmmung nach dem letzten Absatz (8) Dabei ist also
4 K~ -~:=
=
1 + 3 cos2~"
~(~,J~)
wenn v,w orthonormal in
~.
~ [0,~-] Man hat
1 ~ ~ K~&
, und
K~ = 1
cos~=
1
• ~v,
Jw>~ ,
genau fur holomorphe Ebenen
= J~ und K ~ = I/4 genau f~r reelle Ebenen, <~, J ¢ > = O . pn( C ) ist ein Raum ~ - beschrinkter Kr~mmung, nach dem Sph~rensatz in 7.8. gibt es auf pn( ~ ) I>
keine Metrik
~-beschr~nkter
Kr~mmung mit
I/4.
pn( ~ )
ist ein global symmetrischer Raum, siehe ~ ( v i i )
Spiegelung an einem Punkt wird durch Spiegelung yon
in 3.6.
chenden komplexen Geraden gegeben. In der homogenen Darstellung = G/H
ist diese Spiegelung im Punkte
~
Die
C n+l an der entspre-
die Isometrie
pn( C ) =
L-'ghg., yon G/H
- 239 -
mit
h =
(1_1 0 ~ ~ H .
Untersuche
\ 0 ".~/
l~ngs einer normalen Vergleiche
Geod~tischen
in
von
pn( C )
~2k
mit (8) und ~ ( v )
ist durch (4) bestimmt,
f~r die unit~re Gruppe G ermittelt
, und
pn( ~ )
und Jacobifelder in 4.2.
dazu auch den folgenden Absatz.
Die Exponentialabbildung exp~
den Kr!immungstensor
(o
= ( .1)k+1~2,
_0
~2k-1
exp(t ~ )
~(0)
(t~|
Sei
= ~
in
~=
) ,
(_0
k > 0 .
gegeben
~
: _
Nach [ ' ~ ( i i )
und normale Geod~tische c(O) = e
0)~
_.,
- aia j = (-1)k+1~ fiir
in 2.9. wird die Einparameter-Gruppe l~.t Anfangsrichtung
hat.
sobald man
durch
c: ~---~G c(t)
=
also
MIO
(9) Well
c(t) = exp(t,c)
c(t)~H
genau f~r
t = k~
alle normalen Geod~tisohen
~
e + ec sint
k ~
und
~pn( ~ )
man beachte die Normalisierung Die Exponentialabbildung
=
c(t+~)
expp: Mp---~M:= p n ( ~ )
•
, sind 2E,
hat etwa mit den Uberlev ~ Mp
mit
llvU ~ k ~
maxi-
k positive ganze Zahl, in allen anderen Punkten nicht maxiyon
1
2n-I
i|vU = ( 2 k - 1 ) ~
Die Abstandssph~ren auf p abgebildet. vom Radius
= c(t)c(~)
periodisch mit der Periode
malen Rang, und zwar hat der Nullraum ~ v P fur
)
der Metrik.
gungen des vorigen Absatzes in allen Punkten malen Rang,
+ ~2( 1 -cost
und die Dimension
um 0 in Mp vom Radius
Nun ist
Yc injektiv,
• |Lv|| 4 2 k E Geod~tischen.
2k~
fur
in v
Die Sphere
L~v, = 2 k ~ . alle
nach (I) auf der offenen Kugel um 0
in pn( C ) S =
die Dimension
werden unter eXpp
bettet also auch die "Ringgebiete"
diffeomorph
erster konjugierter
expp
expp~
(2k-I)~ <
ein wegen der Periodizit~t
{ v ~ |Ivll = ~ }
0rt yon expp in Mp,
ist zugleich
das Bild
der
Schnittort
C(p) = exp($)
und
der
Schnittort yon M bez~glieh p , siehe 5.4. Uberlege allgemein, isometrischen
jede Zusammenhangskomponente
Diffeomorphismus
einer Riemannschen
sich ist eine total geod~tische tigkeit.
Weil
symmetrischen
[p~ ~ C ( p ) Raumes
pn(~)
der Fixpunktmenge
abgeschlossene
Mannigfaltigkeit
Riemannsche
die genaue Fixpunktmenge an p,
ist
C(p)
eines auf
Untermannigfal-
der Spiegelung
des
mithin total geod~tische
- 240 Untermannigfaltigkeit = J~
yon M.
Betrachte
jetzt die holomorphen Ebenen
in Mp , d.h. die komplexen Geraden yon Mp mit der durch J gege-
benen komplexen Struktur.
Konstruiere - analog wie die Spiegelung an Punkm
ten im vorigen Absatz - eine Isometrie mit dem Fixpunkt
p = ~,
so da~
wenn v orthogonal zu ~ . Dann ist der Fixpunktmenge yon F u n d
F = L h g . 4 yon
F,v = v
fur
N:= e x p ( Y )
v • ¢
1 = K~,
dann der Kreis und der Nullraum ordnung
~--*q
F@v = - v ,
Zusammenhangskomponente
also isometrisch diffeomorph zu
~S
und
auf sich
total geod~tische Untermannigfaltigkeit
Ferner sind alle Tangentialebenen yon N holomorph, KrGmmung
M = G/H
von expp auf einen Punkt
yon M.
so dab N von konstanter S2 ~ pl( ~ ).
q ~ C(p)
Es wird
abgebildet,
~v
in v ~ ~ S ist tangential zu ~ S. Die ZuP liefert dann eine Abbildung des projektiven Raumes pn'I(c)
aller komplexen Geraden
•von
in M, die von maximalem Rang differenP C(p) diffeomorph Uberlagert, da pn-l( ~ ) einfach
zierbar ist und deshalb zus~mmenh~ngend.
M
Dieser Diffeomorphismus
pn-1( ~ ) ~ C(p)
bez~glich der nach der Normierung (8) aus M
ist isometrisch
induzierten Metrik f~r P
pn-l(~)
, wie man leicht sieht.
Wir halten noch einmal fest, man kann sich den komplexen projektiven Raum pn( ~ )
yon jedem Punkt p aus vorstellen als einen "Strau~" total geod~-
tischer holomorpher Sph~ren
S2 ~ p1( ~ )
der konstanten KrUmmung I , die
genau in p zus~mmenh~ngen und deren Antipoden zu p den Schnittort C(p) pn-l( ~ )
bilden,
der total geod~tisch und isometrisch in pn( ~ ) liegt.
In jeder Richtung ist der Abstand yon p zum Schnittort C(p) gleich ~ , daher gilt fur den Durchmesser
(vi)
Wir haben in diesem Abschnitt und an fr~herer Stelle schon mehrfach
periodische Geod~tische betrachtet,
hervorgeht, tierung,
fur alle
auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten M t ~
, ~ > 0 .
Wir wollen eine
die durch affine Parametertransformation
aus c
also insbesondere mehrfache Uml~ufe, much mit umgekehrter 0rien-
jetzt nicht yon c unterscheiden und au~erdem mlle konstanten
Kurven ausschlie~en. ,M
c: ~---*M
c(t+~) = c ( t )
periodische Geod~tische,
S1
?M = ~"
verstehen.
Man kann c natGrlich auch als "affine" Abbildung Es ist eine sehr interessante Frage, ob auf M immer
periodische Geod~tische
existieren und wieviele. Allgemeine Aussagen sind
nur mSglich, wenn M kompakt,
siehe [ ] ( v i )
in 7'2.
Wir haben dort much
-
241
-
den ersten Tell der Frage positiv beantwOrtet, gruppe
sobald die Fundamental-
~I(M) ~ 1 . Es existiert dann in jeder nicht trivialen freien Ho-
motopieklasse von Wegen in der Menge ~
[0,1]
differenzierbaren Kurven
,M
aller geschlossenen st~ckweise wenigstens eine differenzierbar ge-
schlossene Geod~tische minimaler I£Wmge und mithin eine periodische Geod~tische. Die fr~ien Homotopieklassen yon Wegen in ~
stehen kanonisch in
umkehrbar eindeutiger Beziehung zur Menge der Konjugationsklassen Gruppe
~I(M) =
~(M,p).
Deshalb bestimmen Elemente
der
a,b ~ ~I(M),
die
nicht konjugiert sind, jedenfalls verschiedene periodische Geod~tische, sobald keine Relation der Form denen ganzen Zahlen /~,Y
.
a#b ~ = I
besteht mit yon Null versmhie-
Folgere mit [ ] ( i )
in 7.2., auf jeder 2-dimen-
sionalen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ~ , ist mit S2 oder p 2 ( ~ ) ,
die nicht homSomorph
gibt es unendlich viele periodische Geod~tische.
Es genGgt, den Fall zu behandeln, dab ~
orientierbar, anderenfalls gehe
man zur Riemannschen Orientierungs~berlagerung ~ber. Wenn M einfach zus~mmenh~ngend, wird das Problem wesentlich schwieriger. Poincar$ bewies zuerst die Existenz einer periodischen Geod~tischen fSr jede analytische Riemannsche Struktur auf S2, und Birkhoff erweiterte dies Resultat fGr S n.
Erst 1952 haben Fet und Lyusternik gezeigt, dab
es auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit M eine periodische Geod~tische gibt. In neuerer Zeit wurden yon Alber, Fet und Klingenberg bessere untere Absch~tzungen fSr die Anzahl periodischer Geod~tischen auf M angegeben, die v o n d e r
topologischen Struktur, zum Tell aber auch
noch yon der Riemannschen Struktur von M abh~ngen. Die beste ziemlich universelle untere Schranke ist dabei 3 • KSrzlich konnte f~r eine sehr groSe Klasse kompakter einfach zusammenh~ngender Riemannscher Mannigfaltigkeiten M die Existenz unendlich vieler periodischer Geod~tischen sichergestellt werden, z.B. wenn M den Homotopietyp eines Sph~renprodukts s m x s k hat, siehe
D. Gromoll und W. Meyer, "Periodic geodesics on compact
Riemannian manifolds", Preprint, University of Calif., Berkeley. Eine sinnvolle Vermutung ist, dab es auf M immer unendlich viele periodische Geod~tische gibt, wenn
dim M > 1 ,
Resultat von Serre in 5 . 3 . ~ ( i i i ) zwei festen Punkten
vergleiche auch das entsprechende f~r Geod~tische
~0,1~
~M
zwischen
p,q c M • Ein wesentliches Hilfsmittel beim Beweis
aller Aussagen in dieser Richtung ist die Morse-Theorie auf dem W e g e r a u m ~ .
- 242 -
7.6.
Ein Resultat der Theorie yon Morse.
Wir besprechen in diesem Abschnitt einige topologische Begriffe und ein fundamentales Ergebnis der Morse-Theorie,
auf das wir im folgenden zurUck-
greifen. Ist X ein topologischer Raum und A Unterraum von X , so nennt man (X,A) ein Raumpaar und identifiziert Eine stetige Abbildung
f: (X,A)---,(X',A')
Abbildung f von X in X' mit f,g: (X,A)--+(X',A') dung
X = (X ,~) , ~
fund
fGr alle
von Raumpaaren ist eine stetige
f(A) c A' • Zwei stetige Abbildungen
hei~en homotop,
f~g,
H: C X X [ 0 , 1 ] , A X [ 0 , 1 ] ) - - ~ ( X ' , A ' )
H(a,1) = g(a)
der leere Unterraum yon X .
aEX,
wenn es eine stetige Abbil-
gibt mit
H(a,0) = f(a)
g oder eine stetige Deformation von f in g.
"~
lenzrelation in der Menge aller stetigen Abbildungen
"
gibt, die homotopieinvers
f: (X,A)--*(X',A')
zueinander sind, d.h.
und
(X,A)--*(X',A'). (X,A)~(X',A'),
f': (X',A')--*(X,A)
f', f ~ id(x,A )
f .f,,v id(x, A, ) . Man nennt dann f,f' Homotopie~quivalenzen auch,
(X,A) und
(X',A')
topie~quivalenz
(X,A)---~(X',A') X--,X'
und
etwa, ~ n ferner
Seien X,X'
Die wichtigsten algebraischen
topologischer R~ume wie Homologie- und
sind schon Invarianten ihres Homotopietyps.
hat den Homotopietyp ~n_~o}~
Sn-1
und
Rn
D n) ~ (Dn sn-1).
B Teilraum yon X' und
Abbildung. Man kann einen topologischen Raum man
" X und X' mittels f verheftet" :
X + ( X' - B )
~X+(X'-B)
betrachten wir die Summentopologie,
U~X
offen in X und
kationstopologie
fur
U~X'
fur
a~B
indem
und
X + X' ,
g(a):= a
U offen in
X+X'
die gr6~te Topologie,
genau wenn g-l(v) offen,
durch gewonnene topologische Raum.
definieren,
sonst.
, genau
offen in X' • Wir w~hlen die Identifi-
X + (X' - B) , d.h.
stetig wird, also V offen,
stetige
Man hat die Abbildung
In wenn
g(a):= f(a)
f: B--,X
Betrachte die Mengen
als disjunkte Vereinigungen. mit
X ~fX'
g: X + X ' X+X'
Best~tige
des Punktraumes oder ist "kontrahierbar",
(Rn
topologische R~ume,
Eine Homo-
induziert nat~rlich insbesondere Homoto-
A--,A'.
Invarianten des HomS0morphietyps Homotopiegruppen
und
und sagt
haben den gleichen "Homotopietyp".
pie~quivalenzen
zwischen
ist eine Aquiva-
Die Raumpaare (X,A) und (X',A') hei~en homotopie~quivalent, wenn es stetige Abbildungen
und
man nennt H auch eine Homotopie
X ~fX'
so da~ g
ist der da-
243
-
F~r eine ganze Zahl
k ~ 0
hat man die "Standard-k-Zelle"
~a, ~ 1 } mit der Relativtopologie mit
~-I
= (a~ a G ~ ,
l|a,= 1}
Sei X topologischer Raum und nennen
ek:= (Dk,f)
eine
des ,
~
f: Sk-1
Raum
~X
X u e2
eine stetige Abbildung. Wir
X u ek:= X ~f D k •
X + D ° • Wenn z.B.
homSomorph zu
sk-l= ~ D k ~ D k S -I = ~ .
X ~ e°
ist einfach
X der Punktraum,
X u ek
so l ~ t
S1--*S 1
S 1 v S 2, der Einpunktidentifizierung
Heftet man dagegen D 2 mit der Identit~t homSomorph zu D 2, und
SIv S 2
lent, da sonst die Fundamentalgruppen
sich
ist hom6omorph zu ~ .
X = S 1, so ist mit jeder konstanten Abbildung
X v e2
mit S2.
und den Teilraum
die mit f an X geheftet wird", und
Dk nut auf eine Weise an X heften, und Falls etwa
D k = ~a | a e ~ k,
D ° ist der Punktraum,
"k-Zelle,
definieren den topologischen Raum die topologische S11mme
-
S1--*S q
der
yon S 1
an X, so wird
und D 2 sind nicht homotopie~quivaisomorph sein m ~ t e n ,
aber
~ : l ( S I v s 2) ~ ~ ~ 1 = ~I(D 2) • Ein Weg in einem topologischen R a u m X und X heist wegzusammenh~ngend, Weg
h:[O,1]---~X
gibt,
ist eine stetige Abbildung
wenn es zu je zwei Punkten
der a mit b verbindet~
also
h(O) = a,
X ist disjunkte Vereinigung yon Wegzusammenhangskomponenten, lenzklassen von Punkten nach der Relation sich durch einen Weg in X verbinden",
"a ~ b : i
~
~O~I]--~X,
a,b a X
einen
h(1) = b.
also Aquiva-
a und b lassen
S~o(X) bezeichne die Menge der Weg-
zusammenhangskomponenten
yon X • Wir schreiben
= 1 , falls
nur ein Element enth~lt,
d.h.
Jede stetige Abbil-
dung
f: X--*X'
~ (o X ) X wegzusammenh~ngend.
induziert eine Abbildung
man der Wegzus~mmenhangskomponente nente yon offenbar
~ro(X') , indem
yon a in X die Wegzusammenhangskompo-
f(a) in X' zuordnet, und wenn f. = g@ .
f~: ~o(X)
g: X--*X'
homotop zu f,
dab f eine Homotopie~quivalenz mit Homotopieinversem
dungen
= (f.o f). = id~ f. , f~
so
Die induzierte Abbildung der Komposition stetiger
Abbildungen ist die Komposition der induzierten Abbildungen.
f~of.
~o(X)
und entsprechend
f.of~
= id.,
sind bijektiv und zueinander invers.
X wegzusammenh~ngend,
Im Falle,
f! , gilt also d.h. die Abbil-
Insbesondere ist dann
genau wenn X' wegzusammenh~ngend.
Betrachte eine
k-Zelle ek , die .Lit einer stetigen Abbildung an X geheftet wird. Die nat~rliche Inklusion bijektiv,
sofern
i: X - ~ X k ~ 2 .
ve k
ist stetig und
i.: ~o(X)
Denn der wegzus-mmenh~ngende
~ T ¢ o ( X V ek)
Raum D k wird an
- 244 -
genau eine Wegzussmmenhangskomponente yon X geheftet, weil der Rand Sk-1 wegzusammenhingend. surjektiv,
fGr
X v e I = S ° u id
F~r k = 0 ist
k = 1 D1
i~
offenbar injektiv, aber nicht
surjektiv, aber nicht notwendig injektiv,
etwa
"
Die Grundidee der Morse-Theorie besteht darin, den Homotopietyp - und bei verfeinerter Betrachtung sogar den Diffeomorphietyp - einer m-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit N zu charakterisieren durch das Verhalten einer differenzierbaren Funktion sofern
~: N
,~
in ihren kritischen Punkten,
~ nur nicht degenerierte kritische Punkte hat, d.h. die Hessesche
Form yon
~
ist in jedem kritischen Punkt nicht entartet, siehe [ ] ( v )
in 3.5. und beachte, der Begriff "nicht degenerierter kritischer Punkt von ~ "
h~ngt nur yon der unterliegenden differenzierbaren Struktur
auf N a b . Zu jeder reellen Zahl ~ yon N .
Wenn ~
fl~che"
betrachte man den Teilraum
regul~rer Wert im Bild yon
~-1( ~ )
nach 1.6.
faltigkeit mit Rand
tischen Werte von feldes N~ ~
~N ~ =
~ und ~,
- ~/|JV~II 2 N~
[a ~ ~ ( a ) ~ }
~ , dann ist die "Niveau-
abgeschlossene differenzierbare Untermannig-
faltigkeit yon N der Codimension 1
Wert im Bild yon
N~:=
und N ~
~-1(~)
.
~-I ~,~]
Sei
differenzierbare Untermannig~ ~
kompakt.
so kann man N ~
ein weiterer regul~rer Enth~It
~,~I
keine kri-
l~ngs der Integralk~rven des Vektor-
kanonisch in N ~
deformieren, und die Inklusion
ist eine Homotopieiquivalenz. Die letzte Aussage ist jedoch im
allgemeinen nicht mehr wahr, wenn
~ kritische Punkte in
~-1 [ ~ , ~
hat,
ihre Anzahl mu5 endlich sein, weil wir angenommen haben, alle kritischen Punkte sind nicht degeneriert und deshalb isoliert. Ist etwa a der einzige kritisehe Punkt yon ~
in
~-1 [~,~
,
so erh~it man lq~
Homotopietyp, indem man eine Zelle ek an N ~
heftet,
bis auf den
N#,~ N ~ e k , wobei
k der Index des nicht degenerierten kritischen Punktes a,
das heist die
maximale Dimension aller linearen Teilriume des Tangentialraumes N a , auf denen die Hessesche Form
h~
negativ definit ist oder in deren Richtungen
f~llt, also ein echtes Maximum annimmt. Es gibt eine Karte x um a in N, so da~
~ o x -I
=
-x~
--
.. •
--
2+1+ x~ + X k
o o ,
2 + xm
•
Etwas allgemeiner
ist das wichtigste Resultat der Morse-Theorie, n~mlich der folgende
- 245 -
ISATZ 11 Vor.:
( M. Morse
)
N Riemannsche Mannigfaltigkeit,
~: N
~
differenzierbare
Funktion mit nur nicht degenerierten kritischen Punkten. Seien
~<~
~,
~ - 1 [ ~ ~]
die kritischen Punkte von ~ in
al,...,a r ~ ~(al) Beh.:
regul~re Werte yon
~ ~ ( a 2) ~
...
~(ar)~
kompakt und
W-I[~,~]
~
Es gilt (N #, N ~) N wobei
ki
(N~Vek
~ ... v e k T , N ~ )
der Index von a i und
ekK
t
Zellen der Dimension k i ,
die mit bestimmten Abbildungen nacheinander an N ~ werden,
geheftet
I~ ± ~ r .
Dabei wird der Fall nicht ausgeschlossen, kritischen Punkte in
~-I[~,~]
valenzen und Homotopien w~hlen, Betrachte als Beispiele
N = Sn
daS N ~
oder auch die Menge der
leer ist. Ferner kann man Homotopie~quidie N =
fest lassen.
mit der Abstandsfunktion
einer affinen tangentialen Hyperebene in ~ n + l
etwa
~: sn--,R
~(a):=
yon
1 + an+ 1 ,
hat genau S~dpol und Nordpol als nicht degenerierte kritische Punkte vom Index 0 und n , in denen das absolute Minimum und Maximum angenommen wird,
der Satz besagt also
ist der Torus ~:
T2--~
also
N = T 2 in ~ 3
Sn ~
eoven
aus
" Ein anderes einfaches Beispiel
3.7.~(vi)
mit der Abstandsfunktion
yon der affinen tangentialen Ebene im Punkt
~(a):= R+r-a I , ~ hat 4 nicht degenerierte kritische Punkte,
Minimum vom Index 0 , zwei Sattelpunkte vom Index 1 vom Index 2,
so daS nach dem Satz
T2
~ e
o
Bew.:
m
yon
ein
und ein Maximum
u e l u e 1~ e 2 ,
in diesem Fall auch alle auftretenden Homotopietypen N ~ Werte
(R.r,O,O) ,
beschreibe
f~r regul~re
~ explizit.
Vergleiche
J. Milnor, "Morse theory", Ann. of Math.
(1963), Primceton University Press.
Studies 51
Dort findet man unter anderem auch
mehrere Abschnitte Gber Riemannsche Geometrie.
Es ist bemerkenswert,
da~ der letzte Satz in nahezu gleicher Formulierung
noch gilt, wenn N eine unendlich dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit,
- 246 -
allerdings mu~ man zus~tzliche Voraussetzungen haben, um die Kompaktheit yon
W-Ic~,~
im Falle endlicher Dimension zu ersetzen, siehe
R. Palais,
"Morse theory on Hilbert manifolds", Topology 2 (1963), 229-340, ferner auch in allgemeinerem Zus~m~enhang W.A. Benjamin (1967), New York. sind die Weger~ume ~ Mannigfaltigkeit M,
R. Abraham, "Foundations of mechanics",
Besonders wichtige Beispiele hierfGr
einer n-dimensionalen vollst~ndigen Riemannschen
Pq wobei ~
die Menge aller st~ckweise differenzierPq baren Kurven [0,1]---*M yon p nach q. Die Komplettierung ~ p q vOn~pq durch alle absolut stetigen Kurven
[O,1]---*M
yon p nach q , deren
Energie existiert, tr~gt ziemlich kanonisch die Struktur einer HilbertMannigfaltigkeit, die Energiefunktion
-"~ wird differenzierbar, Pq und die kritischen Punkte von E sind genau die Geod~tischen i n ~ l und Pq alle nicht degeneriert, s o b a l d ~ nicht entartet ist, vergleiche die Pq folgenden Abs~tze sowie [ ] ( i ) und (ii) in 4.1. Dann ist die Verallgemeinerung yon Satz 1 N =
und
~ = E
E:~
fur Hilbert-Mannigfaltigkeiten anwendbar im Falle und besagt entsprechend, da~
,~ ( ~ p q V e k 4 v
q ) , wobei
kritischen Punkte yon E in
E'4[~,~
Cl,...,c r
mit
( P~q'
P~q
) ..,
die endlich vielen
~E(Cl)~
... % E ( C r ) ~ ~
und ferner k i der Index des kritischen Punktes ci , das ist aber gerade der Index der Geod~tischen c i i m und 4 . 6 . ~ ( i i ) .
Sinne yon § 4 ,
vgl. auch
4.5.~(iii)
Wir batten Indexform und Index dort, um die Schreib-
weise zu vereinfachen, fur normale Geod~tische erkl~rt, der Index einer nicht konstanten Geod~tischen
c':[O,1]---,M ist natirlich der Index der
bogenverwandten normalen Geod~tischen
[O,L(c)]---*M,
konstanten Geod~tischen wird als 0 definiert.
und der Index der
FUr die Morse-Theorie der
Weger~ume ist es aus verschiedenen Grinden natirlicher und zweckm~iger, A
die Energie E statt der Bogenl~nge L a U f ~ q =
zu betrachten, zum Beispiel
ist L nicht iberall differenzierbar, wie wir in 4 . 1 . [ ]
angedeutet haben.
Die letzten Bemerkungen sollten aber nur unser weiteres Vorgehen motivieren. Sei M eine zusammenh~ugende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Abstandsfunktion
~,
die Emergie
c:~,~'~ von
c
•M
stickweise differenzierbare Kurve. Wir hatten
erkl~rt durch
Schwarzschen Ungleichung gilt
E(c):=
[N611~ dt ,
auf Grund der Cauchy-
~ fl",|cl t dt )2 ~ ~ fl d t ) ( ~ f l c ~
dt) ,
- 247 also
(~)
72(c(¢),c(~')) g T,2(c) ~-- (~'-~) E(c)
Dabei liegt Gleichheit auf der rechten Seite vor, genau wenn
II~M kon-
stant oder c "proportional zur Begenl~nge parametrisiert" ist, und insbesondere, falls c eine Geod~tische. Links hat man Gleichheit, genau wenn c bogenverwandt zu einer kUrzesten Geod~tischen yon c(~) nach c(~'), vergleiche auch 4.4. gilt daher
Nur im Falle, dab c Geod~tische der L~nge ~c(T),c(~')),
~2(c(~),c(~')) = ( ~ ' - T ) E(c).
verwandte Kurven W~hle p , q g M .
[~,~,I
,M
Auf der Menge
~
Kurven [O,1]--,M
yon p nach q
Abstandsfunktion
~
(2)
Uberlege, es gibt zu c bogen-
mit beliebig gro~er Energie. aller stUckweise differenzierbaren Pq f~hren wir eine Topologie mit Hilfe der
ein,
~(c°'cl):=~¢Eo,,jsup~(Co(t),c l(t)) +
Man macht ~ p q
ll~oll-H~lll ) dt
zu einem metrischen Raum, indem man die Kugeln bezEglich
um Punkte von ~ als Basis fur die Topologie w~hlt. Der zweite Term Pq auf der rechten Seite yon (2) verfeinert die kompakt-offene Topologie fur ~
Pq
und gew~hrleistet, da~ die Energie
stetig wird. Welter ist auch die Bogenl~nge stetig, da
E: ~
b~
mit
c --*E(c)
L:
~
mit
c--*L(c)
/ZPq
IL(Co)-L(cI)~2 = [/(I|~oM-ll~ln) t dt~P--~ q ~(ll~oU-U~lll~t dt
.
@
Wir halten noch einmal fest, nach (I) gilt L2m fur Geod~tische
Cg~pq.
E
,
ferner
Jeder Weg
bestimmt eine (p,q)-Homotopie Sinne yon 7.1. durch kehrt die Abbildung
L2(c) = E(c) h:[0,1]--*~pq
H: [O,11X [O ,I] --* M
v o n c o nach c I
zwischen c o und c I i m
H(t,s):= [h(s)](t) , abet nicht notwendig ist umge[O,1]-~pq
H zwischen c o u n d c I stetig.
mit
s--.H s
f~r eine (p,q)-Homotopie
Man hat eine innere Verkn~pfung im "Schlei-
fenraum" ~ durch Hintereinanderschaltung yon Wegen, mit der - ~ PP PP ein H-Raum wird, eine topologische Gruppe "bis auf Homotopie". Diese VerknUpfung induziert eine Gruppenstruktur in
~ o ( ~ p p ) , und nach Defi-
nition gilt f~r die Fundamentalgruppe yon M gerade =
m~o(~pp) , vergleiche
7.2.
und beachte:
~I(M) ---_ ~-1(M,p) =
Sind c ,c I g / ~ o pq
(p,q)-
- 248 -
homotop,
so gibt es nach 7 . 1 . ~
auch eine st~ckweise differenzierbare
(p,q)-Homotopie H zwischen c o und c I , die Abbildung s--,H s
[0, I ] - - ~
Pq
mit
ist dann stetig und ein Weg in ~
von c nach c~. pq o ~,~ Wir erw~hnen in diesem Zusammenhang noch, bezeichnet ~A die Menge aller Pq Wege ~0,1]--,M von p nach q mit der kompakt-offenen Topologie, dann ist die natErliche Inklusion nism~ig
Zu reellen Zahlen von-~
~* stetig und, wie man verh~itPq Pq eine Homotopie~quivalenz.
leicht beweist, ~
betrachten wit die Teilr~ume
- ~ = := ~c ~ E(c) ~ ~ } Pq nicht entartet, wenn f~r jede Geod~tische
. Man nennt ~
Pq
c ~-~
Pq 1 ist nicht konjugierter Punkt yon c . Nach 7.7. existie-
gilt,
Pq ren zu jedem
i:~
pGM
Punkte
q~M,
so da~ ~
nicht entartet. Falls ~ Pq Pq ~ nur endlich viele Geod~tische in
nicht entartet, gibt es f~r jedes -~q,~
vgl. ~ ( v )
in 4.6.
Insbesondere
liegt dann die Menge aller Zah-
len ~ , so da~ ~ pq keine Geod~tische der Energie ~ enth~lt dicht in ~ . Wir werden jetzt eine Version von Satz I f~r die Energie E : _ ~ • Pq herleiten, indem wir die U n t e r r ~ u m e ~ q ~ yon ~ p q durch homotopie~quivalente endlich dimensionale Mannigfaltigkeiten ersetzen und dann Satz 1
anwenden.
yon gebrochenen Geod~tischen
Die Auszeichnung
der Energie vor der
Bogenl~nge besteht dann im wesentlichen darin, da~ e i n e r s e i t s ~ ~ eine Pq Menge yon "gleichgradig stetigen" Abbildungen ist und zum anderen, da~ die Metrik
~ yon M nur in einer Umgebung U der Diagonalen yon M X M
Ausnahme der Diagonalpunkte ist.
Die T e i l r ~ u m e ~ q ~
selbst,
~2 aber auf ganz U differenzierbar
, die~pq
sionale Modelle zu approximieren,
mit
"aussch~pfen",
durch endlich dimen-
ist die ursprUngliche Methode yon Morse
beim Studium der topologischen Struktur von Weger~umen vollst~ndiger Riemannscher Mannigfaltigkeitem, Seifert-Threlfall [ SATZ
21
Vor. :
vergleiche auch die B~cher yon Morse und
unter der Literatur zu § 4 .
( M. Morse
)
M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit _~
nicht entartet,
Pq oc 4 ~ in ~ p q
so gew~hlt, gibt, und
4E(Cl)~
E: ~
)~
und
Pq da~ es keine Geod~tischen
Cl,...,c r
... ~--E(Cr)< ~
p,q ( M ,
die Energie.
der Energie
die Geod~tischen in •
Seien die Zahlen
E-1[a,~]
a,~
- 249 Beh.:
Es gilt (~pq# , ~ p q ) wobei
~
(~pq~ek~...~ekv,~pq)
ek~ Zellen der Dimension
k i = Ind ci , die mit bestimmten
Abbildungen nacheinander angeheftet werden,
1g i ~ r . oder die Menge
Dabei ist wieder der Fall nicht ausgeschlossen, dab ~ = Pq der Geod~tischen in E - I [ ~ , ~ leer ist. KOROLLAR Vor. :
M einfach zus~mmenh~ngende vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit und
nicht entartet. Sei ~ reelle Zahl, so dab Pq keine Geod~tischen der Energie c~ enth~It.
-~
p,q g M ,
~
Pq Beh. : Wenn fur alle Geod~tischen
c E~
mit
Pq wegzusammenh~ngend.
dann ist - ~ = Pq Beweis des Korollars:
E(c) > c~
gilt
Wir m~ssen schlieBen, je zwei Punkte
Ind c ~ 2 ,
Co,C 1
Pq
lassen sich durch einen Weg in ~ w
verbinden. Weil M einfach zusammenPq wegzus,mmenh~ngend, und man findet einen Weg h in ~ p q
h~ngend, ist ~ p q
von c o nach c I • W~hle
~ ~ sup {E(h(s))I s ~[0,I]},
Geod~tische der Energie
~ enth~lt. Die Behauptung folgt, wenn wir zeigen,
keine
die Inklusion
j: _ ~
j,:
, ~ o ( ~ p q ) : Auf Grund des Satzes gibt es eine Homotopie-
~o(.~Apq)
,quivalenz
C _~pq
so dab ]Ipq
Induzlert e~ne injekt~ve Abbmldung
f: ( ~ p q , - ~ p q ) - - * ( - ~ p q V e k ' . . .
"ek ,apq) orausse
erse
die Homotopie~quivalenz der Einschr~nkung yon f.
un
Induktion folgt also, jektiv,
i: ~ p q
= i~,
daher
~o(X) ~
sei
Wir hatten frGher in
diesem Abschnitt ~berlegt, die natGrliche Inklusion stets eine bijektive Abbildung
mit Homotopiein-
X--~X v e k
~e(X ~ e k) , wenn
k -~2 . Durch
i,: ~o ( ~ p q ) - - - ~ o (~-pqV e k ~ " " " ~ eke)
~_O_~pq~ e k e . . , u ek~ f,.f.j
=
f'-i~,
Inklusion. Man hat nun so dab
j ~f'-i-~
induziert
ist bif -j =
und
j, = ( f ' . i - ~ ) , = f'-i~.f--~ bijektiv. Beweis des Satzes: Satz 1.
W~hle
Wir folgen im wesentlichenMilnor,
~ >~
in M m it Radius ~ ,
siehe Zitat zu
und betrachte die offene metrische Kugel B u m ~ ist kompakt, well M vollst~ndig.
Sei
0 ~
p
- 250 nicht grS~er als das Infimum aller Zahlenwerte, die der Konvexit~tsradius r aus 5.2. auf ~ annimmt. also
~2
Wenn
auf der offenen Menge
bar, vergleiche 5.1. = E-I[0,~)
~ die Abstandsfunktion yon M , so ist (BXB)~-I[O,g)
in
M~M
differenzier-
Wir wollen jetzt den offenen Teilraum
_flo:=
von - ~
his auf Homotopie~quivalenz durch eine endlich Pq dimensionale Mannigfaltigkeit darstellen, alle Kurven aus ~ verlaufen O
wegen (1) ganz in B. Fixiere eine Zerlegung des Intervalls t, - tw-4< ~A
mit
baren Kurven (3) Denn
und erkl~re zu
cy:= c~[t~,,t~]
fur
~(c(t~,) , c(t)) < g
[0,1] c C~
durch
die st~ckweise differenzier-
°
I ~ w ~ k. ,
Es gilt
t~[t~,,t~]
~c(t..,),c(t)) ~ L(c.) , sit (1) folgt also
L2(c~) ~ (t~-t..~) E ( c . ) ~
~E(c)
< ~ 2
gradige Stetigkeit" der Funktionenmenge ~ Das Bild jeder Kurve c~ Kugel um
sche mit
.
~2~c(t~.,),c(t))
Die fr~her erw~hnte "gleichkommt in (3) zum Ausdruck.
g.
-~1 aller Wege c in ~ o
L(c~) = ~(c(t..~),c(t.))
~
o
, I~ ~ • k
liegt nach Konstruktion in der stark konvexen
c(t~.~) mit Radius
Man hat den Unterraum
0 =:to~ t 1~ . . . ~ t ~ = 1
f~r
' so da~ c~
1 ~ w ~ k .
die Geod~ti-
Die Inklusion
ist nun eine Homotopie~quivalenz, wir geben eine zu i homo-
i:~1 o topieinverse stetige "Retraktionsabbildung" c f-~
g: ~ o - - - @ ~ I
an, indem wir
die wegen (3) eindeutig bestimmte gebrochene Geod~tische
g(c) =
O
= c ~
I
offenbar Nun ist
mit
c"(t.) = c(t,)
f~r alle
0 ~ ~ ~k
zuordnen, und es gilt
E(c ~) ~ E(c). gel
die Identit~t auf ~ 1 ' eine Homotopie
zwischen der Identit~t auf ~
und
leg
H: ~ o M [0,11--+~ o
erh~lt man folgenderma~en:
O
Erkl~re
H(c,s) = c s C ~ o
so, da~
Cs~[O,t.. 4] := c*~[0,t..4], Cs~[tv.4,s~ c(t~.,) nach c(s) und Cs1[S,13:= ol[s,11,
die kUrzeste Geod~tische von wenn
s • [t~.,,tv3 •
ferner
H(c,O) = c,
Well die Abbildung in sich Gberf~hrt,
wobei ~
:= ~ I m
Es ist
E(c s) ~ E ( c ) ~
H(c,1) = g(c)
c --~H(c,s) s ¢[o,q] ,
~mpq
,
.~:=
~
f~r alle
s g~O,1] ,
und H stetig, wie man sofort best~tigt.
auch die Unterr~iume 0 q , -0-~Pq von _0. ° l i e f e r t i m£thin eine Homotopie~qu£valenz
_~q~ . ~ p q
Te±lr~ume yon ~ ' 1 "
-
Im Falle
k = 1
Die nat~rliche
a51
-
bleibt nichts zu beweisen,
Abbildung
F: ~ I
sei
~Mx... xM
= (c(tl) , .... c(t~.,)) ist ein HomSomorphismus menge N in versehen.
Erkl~re
%~(a) = Es gilt N = [a
M x ... x M,
[
(k-1
Faktoren)
9(a)<~}
'
,~
ao:= p
~ ist nach Konstruktion Wir wollen Satz 1
Riemannschen
Mx... X M
~ p~a~o~ a~) t~-t~.~ ~
~(al,...,ak_1):= und
~:
mit
F(c):=
yon "~I auf eine offene Teil-
die wir mit der induzierten
die stetige FunMtion
%~@F = E,
k~2.
Struktur
durch
und
~:=
q.
auf N differenzierbar,
auf N und
~
anwenden.
Zun~chst
hat man mit F einen HomSomorphismus
(5)
~-1[~,~
Welter ist
abgeschlossen
in der kompakten Menge
also selbst kompakt.
Wir ~berlegen,
genau wenn
und
a = F(c)
c ~I
Sei ~ stark konvexe metrische zierbare Funktion mit Form yon ~'.
c(T) = r
und
V: (T,~'] xJ
:~
Kugel in M und
Betrachte
c(~') = r'
sowie
B x ... x ~ ,
ist kritischer Punkt yon w ,
Geod~tische.
~'(r,r'):=
Hessesche
a •N
Dazu eine Vorbemerkung:
~': ~ x ~ - - - * ~
~2(r,r') , wir bestimmen
die differenGradient und
die Geod~tische
c: [ T , ~ , I - - ~
u ~Mr,
und eine Variation
u' eMr,
yon c , J offenes Intervall um 0 in ~ ,
mit
so da~
,~ mit V~(t):= V(t,~) V~D21T, ° = u, VwD21~, o = u' und V~: ~T,T'3 Geoditische fur alle ~ ~ J, insbesondere V = c. Dann hat man T~
~v(V(r,~),V(T',~))
= (T'-T)
0
|IV%II~ ~
= f(~),
£,V'~) r x r '
des Gradienten und der Richtungsableitung T' = f'(0) = ( T ' - T ) £ D 2 < V w D i , V ~ D l > i t , o d t
also nach Definition
•
Weil
' uxu'>
= (uxu')%v=
D2
=
T
=
2
V04V~D 1 = 0 = 2(T'-T)
(6)
folgt
=
2
<~Irxr',
<-6(T) X6(T'),
uXu'>
V'~irxr
Nach der vorangegangenen
uxu'>
,
= 2DI~V~D1,V,
D2>
= 2(T'-~)
und deshalb = 2(~'-T)
Rechnung gilt
(-~(~),
~'~V(~,~)
~(z')>
XV(W',~)
=
wegen ~'0o = '~', •
252
-
= 2(~,-~)
(-V~D~I~,~, %D~I~,,~ ) ,
-
so da6 H~(uxu') = V u x u , V ~ =
=
)
V D V~D2Iz,,o ). = V.D21t, O
=
0.
ein Jacobifeld,
da
VD,%
V . D 2 + R(V. D 2 , V . D 1 ) V . D I
wobei Y das Jacob i f e l d
lings c mit
=
F(c) = a ,
2 (c1(tl)-~2(tl)
....
c~ = c ~ Its. 4't.] ,
1 ~w
c~(t,) = 6~+I(t,)
tische.
Y(T') = u' . V e r g l e i c h e
R e c h n u n g e n in 4.1. und 4.3.
fSr alle
~
a = F(c)
, Ck_l(tk_l)-6k(tk_1) ) ~ k.
f~r
De shalb i st V ~ la = O ,
li~@k-1
v,weN a
h~(v,w)
(8) X . , Y.
= wv. 4 und
,
,
mit
genau
also genau w e n n c Geod~~
in einem kriti-
v = (Vl,...,Vk_1) ,
ZU
w = (wl,...,Wk_ I)
die J a c o b i f e l d e r
= 2
h~
<X~,Y~>
lings c~
X,(t,) = v, , Y~(ty) = w w
= 0 ~ Mq • 0ffenbar ist d~tische,
sowie
zu
Mit (7) b e s t i m m t man die H e s s e s c h e Form yon
schen Punkt
wobei
,
in 5.2.
Nach (6) berechnet sich der Gradient von
wenn
Y"+R(Y,6)6=
(-Y,(Z),Y,(~,))
Y(~) = u ,
zu d i e s e m Absatz die e n t s p r e c h e n d e n
~la
=
Tensor erhalten wir daher
H~,(uxu') = 2 ( ~ ' - = )
(7)
Y(t):=
V, D1 - ~ % z V . D1 = O und mithin
F~r den H e s s e s c h e n
auch [ ] ( i i )
-VD
Nu~ i~t a~er das VektorZeZd Y Z~ngs ~ mit
V D V D,v,D2 + ~ I D
=
=
mit
mit
,
X.(ty.,) = v..4 , Ym(tv. I) =
v ° = Wo:= O ~ M P ~ v k = Wk:=
positiv definit in a , wenn c k o n s t a n t e Geo-
der Index yon a ist dann 0
und nach Definition gleich dem
Index von c . A n d e r e n f a l l s kann man den T a n g e n t i a l r a u m von N im Punkte a in eine direkte Summe zerlegen, =
~v
~
ment zu N ~a .
6(t~)>
Man b e s t ~ t i g t
h ~ ( N ~ , NTa ) = 0 , suchen.
Sei
: [0,L(c)]
= 0
N a = NaJ-O N ar '
1 ~ v~k-1}
und
sofort
h~
~
daS
N aT
~[0,1]
die zu c b o g e n v e r w a n d t e U m p a r a m e t r i s i e r u n g mit
NA:= a
das orthogonale Komple-
N Ta X N T a
daher b r a u c h e n wir nur noch
c e i
wobei
positiv
h ~ := h ~ N ~ X N
definit und aA
zu unter-
normale Geod~tische, ~(s):=
S
L(c)
Aus (8)
- 253 -
und 4.5.
tl,...,tk_ 1 Y~[t~,,t,~ artet,
1 2 L(c)
folgt
h~(v,w) = l(Xek , YoA)
gebrochenen
Jacobifelder
= Y, , 1 ~ ~ i k •
denn auf Grund yon Lemma 2
entartet,
well nach Voraussetzung
~O,L(c))
liegen.
auf den Unterraum felder.
ceA
~"ce ~
~
ist
die bei
X~[t,.,,t,3 = X,, und damit
h~
nicht ent-
ist die Indexform I nicht
alle konjugierten
Punkte yon
c-A
O~ceA"
Ind c :=
aller bei
L(c)t,
der Index yon ~
Ind c ok
in
erh~lt man den
bereits als Index der Einschr~nkung
Damit haben wir gezeigt, a = F(c)
in 4.5.
h~
X,Y
Nach dem Beweis des Lemmas in 4.6.
Index der Geod~tischen
Punkt
l~ngs c,
Deshalb ist
, wenn
yon I
gebrochenen
Jacobi-
in einem kritischen
.
Wir kSnnen jetzt Satz 1 auf N und ~" anwenden, danach hat man eine Homo.. ~ c& topieaquivalenz (N , N ) ,~ ( N " U e ~ v . . . u e k ,N =) Mit (4) und (5) ergibt sich sohlie~lich ..s ( N ~ e k v . . .
~ek,
(..0. fl
N~)
Pq
~ F
,..0. ~ 4 ) ,.~ ( N ~ Pq
(~vek~...uek
N~ ) ~ ' ,~
(npq~ ek4v ... ~ ek~, ~ q i und der Satz ist bewiesen.
),
7.7.
der Exponentialabbildung
Der Injektivit~tsradius beliebi~er
dabei werden F u n d
erweitert,
im Falle
ten Riemannschen Mannigfaltigkeit
der Exponentialabbildung
fur die KrGmmung.
mit Hilfe einer oberen Schranke
Jetzt wollen wir das entsprechende
liebiger Dimension
behandeln.
~ber differenzierbare
Problem im Falle be-
Zun~chst geben wir ein bekanntes Resultat
Abbildungen
M,N differenzierbare
einer kompak-
gerader Dimension und ~berall positiver
Krthnmung in 7.5. nach unten abgesch~tzt
Beh.:
i kanonisch
Dimension.
Wir hatten den Injektivit~tsradius
Vor. :
) "~
an.
Mannigfaltigkeiten
gleicher Dimension,
f: N--~M
differenzierbare
Abbildung.
Die Menge
der regul~ren Werte yon f liegt ~berall dicht in M.
- 254 Bew.:
Die Aussage ist unmittelbare Folge eines allgemeineren Satzes yon
A. Sard , vergleiche & Cie.
G. de Rham, "Vari~t~s diff6rentiables",
Hermann
(1960), Paris, p. 10, Th~or~me 4.
Nach dem Lemma liegen die regul~ren Werte der Exponentialabbildung eXpp: Mp---,M
einer vollst~ndigen Riemannschen Mannigfaltigkeit M dicht
in M f~r jeden Punkt Punktes
r ~M
yon p nach q
p m M • Das heist, in jeder Umgebung U irgendeines
gibt es ein q , so da~ alle Geod~tischen nur konjugierte Punkte in
(0,1)
c:~O,1]---~M
haben, der Wegeraum Pq
ist also nicht entartet in der Terminologie yon 7.6. ( W. Klingenberg Vor. :
)
M einfach zusammenh~ngende keit der Dimension
n ~ 2 .
Es gelte
K~ ~ k
0 < ~
<
vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltig-
f~r die Schnittkr~mmung von M bezGg-
lich aller tangentialen Ebenen Beh. :
Ist
d: M
,~
~.
der Injektivit~tsradius
Durchmesser yon M , so gilt f~r alle
yon
exp
und
~M
der
p ~M
~T
(I)
e M ~- dp >_
Man beachte die f~r gerade Dimensionen sch~rfere Aussage des Satzes in 7.5. und die weitere Diskussion dort. Bew.:
Zun~chst normieren wir die Riemannsche Metrik yon M durch Multipli-
kation mit
~,
nur den Fall Sei
pEM
so da5 also n E 3
und
U¢
men an,
explU~
v° ~ w°
und
1/4 < K ~ ~ I . Ferner brauchen wir nach 7.5.
zu betrachten. die offene Kugel vom Radius
ist nicht injektiv.
Dann gibt es
Vo,W ° ~ U ~
mit
exp(v o) = exp(w o) =:r ° . Nach dem Vergleichssatz yon Morse-
Schoenberg in 6.2.
hat eXpp maximalen Rang auf
Umgebungen V yon v ° und W von Wo, eine Umgebung yon r annehmen.
~ um 0 in Mp • Wir neh-
. Es existieren daher
die yon eXpp jeweils diffeomorph auf
abgebildet werden,
o Nun ist die Menge
U~
dabei kann man
~:= [tu ~ u ~ V ,
tE(0,1]3
exp(V) = exp(W) offen in Mp, und
es gibt deshalb nach dem Lemma einen regul~ren Wert yon eXpp in der f~r
alle
0 ~ E @~
offenen Menge
255
-
exp(~U
t)
yon M.
Auf Grund des Satzes yon Myers in 7.3. ist M kompakt, deshalb hat man ~:=
inf~ K ~
ferner
veV
~ 1/4 und
und damit
2~ - ~
toE(0,1] , so dab
gul~rer Wert yon
eXpp.
~0.
W~hle
toVm~U
Man hat den Vektor
O~ E~
2~- ~
und
exp(toV) =:q
w ~W
mit
exp(w) = exp(v)=:r
mnd wie in den Voraussetzungen zum Lemma in 7.1. Co: ~O,1]--~M
yon p nach q
und eine bei r gebrochene Geod~tische
von p nach q
mit
und
bar gilt
L(c o) = toUvll ,
Co(t):= exp(ttoV) , cl(t):= exp(2tw)
cl(t):= e x p ~ l - ( 2 t - 1 ) ( 1 - t o ) ] V )
(2) _ILpq
+ L(co)~
~
fGr
L(Cl) = IIwll + (1-to)llv~
L(c o) + L(c 1) ~
Der Wegeraum
re-
eine Geod~tische
Cl:[O,1]--~M t~0,~]
,
~
2~
tE~,
1].
f~r
Offen-
und
.
ist nach Konstruktion nicht entartet. Wegen (2) und
+ ~
~
2~
kann man eine Zahl
~
~ L(c 1) w~hlen
mit (3)
~=r ~- ~ 2 z .
-- ~(c o)
,
so dab ~
keine Geod~tische der Energie ot enth~lt. Dann haben alle Pq Geod~tischen in ~ p q , die l~nger sind als ~ , auf Grund yon (3) und 6.2.
einen Index nicht kleiner als
menh~ngend, Sei
n-1 ~-- 2 ,
folgt mit dem Korollar in 7.6.,
s-*H
~
und well M einfach zusam-
ist wegzusammenh~ngend. Pq H: [O,1]X~0,1]--~M mit
ein Weg yon c nach c I in ~ s o pq ' H(t,s):= Hs(t) ist eine (p,q)-Homotopie zwischen c o u n d c I , L 2 ( H s ) ~ E(Hs)~
cC
. Nach 7.1.(1) 2~
gibt es
~--- L(c o) + L(Hso)
im Widerspruch zu (3).
So~O,1] ~---L(c o) + ~
mit ,
- 256 -
7.8.
Der Sph~rensatz.
Das Hauptergebnis dieses Abschnitts ist der folgende
Vor.
M einfach zus~mmenh~ngende vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension schr~nkt mit
~
n ~_2.
-'~--~--~ alle tangentialen Ebenen
fGr
Mist
~-be-
1/4 , also
(1)
Beh.:
Die Schnittkr~mmung von M sei
K 6,
_
~.
homSomorph zur Standardsph~re S n .
Dieses Resultat - der "Sph~rensatz" - wurde zuerst von Rauch unter Annahme einer grS~eren unteren Schranke
~
1
in (I)
in voller Sch~rfe bewiesen, vergleiche
und dann yon Klingenberg
H.E. Rauch, "A contribution to
differential geometry in the large", Ann. of Math. 54 (1951), 38-55, und
W. Klingenberg, "Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver
Kr~mmung", Comm. Math. Helv. 35 (1961), 35-54 • Im Falle
n = 2
K ~
voraussetzt, well dann M kompakt nach 7.3.
0
gilt die Aussage des Satzes, wenn man statt (1) nur Jede 2-dimensionale
kompakte einfach zusammenh~ngende topologische Mannigfaltigkeit ist aber homSomorph zu S2 . Es l~Bt sich sogar noch mehr sagen, ist M kompakt und K ~0
mit
K(p) ~ 0
fur wenigstens ein
p ~M ,
so gilt fGr die Euler-
charakteristik der kompakten Riemannschen Orientierungs~berlagerung von M
auf Grund des Satzes von Gaul-Bonnet
2 ~
=
~K~
• 0 , wobei
d ie Volumform auf ~M , nach der Klassifikation der kompakten ~ F l~chen ist dann M homSomorph zur Sphere S2 oder zum projektiven Raum p 2 ( ~ )
,
jenachdem ob M orientierbar oder nicht. Wenn man im Sph~rensatz auf die Voraussetzung
~I(M) = 1
verzichtet,
zun~chst, die universelle Riemannsche Uberlagerung M yon M i s t zu Sn . F~r
~I(M) ~
Z 2
ergibt sich damit,
M homSomorph
folgt
homSomorph
pn(~).
In 7.5. hatten wir gesehen, ist n gerade, so M orientierbar, genau wenn ~ I ( M ) = 1 , w~hrend M stets orientierbar f~r n ungerade. Im Falle gerader Dimension n haben wir also,
M homSomorph zu S n oder
pn(~),
jenachdem
- 257 -
ob M orientierbar oder nicht. Sei nun
n~2
und
gerade,
n = 2k
dann l~Bt sich die Voraussetzung
(I)
nicht abschw~chen zu (2)
43- ~ K ~ ~ I
,
wie das Beispiel des komplexen projektiven Raumes schen Metrik gem~6 7.5.(8) zeigt, denn Sn , etwa well die Eulercharakteristiken verschieden sind.
Hat man
~
~
pk( C )
pk( ~ )
ist nicht homSomorph zu
~pW( ~ ) = k+1
in (1),
mit der kanoni-
und
~S" = 2
dann gilt:
Falls M nicht homSomorph zur Sphere Sn, so ist M isometrisch zu einem symmetrischen Raum vom Rang 1 , d.h.
zu
pk( ~ )
diffeomorph
oder zum quater-
nionalen projektiven Raum entsprechender Dimension oder zur Cayley-Ebene, siehe [ ] ( v )
in 1.7.
Die letzteren Mannigfaltigkeiten
wie der komplexe projektive Raum in 7 . 5 . [ ] ( v ) ~ als normale homogene R~ume. manniennes
Vergleiche
tragen, ~hnlioh
eine nat~rliche Struktur
M. Berger, "Les vari~t~s Rie-
1/4 - pinc&es", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa III, 14 (1960),
161-170 • F~r ungerade Dimensionen n kann man (I) abschw~chen zu (2), siehe W. Klingenberg,
"Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben be-
schr~nkter Kr~immung", Annali di Matematica 60 (1963), 49-59. bekannt,
ob sich die Schranke
noch verkleinern l ~ t ,
I/4
vgl, auch 7.9.
Da es auf einer kompakten topologischen Mannigfaltigkeit 3 ist M
genau eine Aquivalenzklasse f~r
n = 2,3
Es ist nicht
in (1) im Falle ungerader Dimension
differenzierbarer
der Dimension
Strukturen gibt,
sogar diffeomorph zu Sn . Wir gehen in 7.9-
auf die Frage ein, ob man im Sph~rensatz allgemein "homSomorph"
kurz durch
,,diffeomorph" ersetzen kann. Wir werden jetzt den Satz unter der Voraussetzung (1) beweisen,
und zwar
zun~chst direkt durch explizite Konstruktion eines HomSomorphismus ~ber einen Atlas yon zwei normalen Karten um geeignete "Pole". Vor~berlegungen notwendig.
Es sind einige
Die folgende geometrisch interessante Aussage
wurde im Fall nicht negativer KrUJnmung yon Berger angegeben.
In~A I I Vor.:
M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Es seien
p,q ~ M
- ~58
Punkte, so dab die Abbildung
-
M
,~
mit
p'
,~(p',q)
in p
ein relatives Maximum hat. Beh.:
Zu jedem mit
veM
mit
v # 0
c(@)=
q,
P
c(O) = p,
gibt es eine Geod~tische L(c) =
~(p,q)
und
G:~O,~]--,M
~v,6(O)>
~
0 ,
also (3)
" --
Bew.:
c :~,#v ]
so klein, dab f~r
IIvM = 1
Es gen~gt,
sche
alle
,M
mit
anzunehmen. Betrachte eine normale Geod~tiCv(O) = p
pCP,Cv(S) ) = s,
mit
L(c s) =
und
~v(O) = v,
Cv(S) ~ q
s E [O,#v] . Zu jedem
Satz yon Hopf-Rinow in 5.3. nach q
2.
und
s C(O,# v]
w~hle dabei
~v>O
~ C v ( S ) , q ) ~ ~(p,q)
finden wir dann nach dem
eine Geod~tische
Cs:[O,~]---.M
yon Cv(S)
~ C v ( S ) , q ) . Sei ferner B eine genGgend gro~e metri-
sche Kugel um p in M,
so dab alle vorkommenden Geod~tischen in B ver-
laufen und die Absch~tzung der Winkel aller Dreiseite mit Eckpunkten p,q,Cv(S) ~ 0 ~(i)
nach 6.4.(19)
mSglich wird bez~glich einer unteren Schranke
f~r die Schnittkr/mmung von M auf der kompakten Menge B, und (ii) in 6.4.
Da
cos ~ ( - C v ( S ) ,
hat man auf Grund yon 6.4.(19) mit
Nach Wahl von cv ist
cosh ~ s
+
sinh~Cv(S),q
) sinh = s (Cv(S) ' n ~6,(o) ( o )ii/"
~CCv(S),q ) ~ ?(p,q) , eaher
(1 - eosh ~s ) c o s h ~ C v ( S ) , q
) ~ sinh~Cv(S),q)
sinh ~ S (Cv(S),
6 ~ >
und sinhms 1 + cosh ~s
(4)
Da die Menge der Zahlen s~
in
Vektor
(O,#v)
mit
coth~@(Cv(S),q )
tl~s(O)||
~ <6v(S) 6,(o) > -' ,6,(o)"
lim s~ = O , so da~
c(t) = exp(tw)
~V, C(O) \ ic-~/=
lim
<
Ov(%) ,
womit alles gezeigt ist.
~ >
"
beschr~nkt ist, existiert eine Folge ~$~ (O)
w ~Mp konvergiert. Dann konvergieren die
sche c mit
,
~:=~'~
cosh g~(p,q) _~-cosh~@(Cv(S),q) +
Cs(O)) : -
vgl.
&.(o) > ~
in TM c,~
gegen einen
gegen die Geod~ti-
yon p nach q , und es gilt wegen (4) ~ - lim
sinh-sw coth~(Ov(S~), 1+ cosh ~s v
q) = O,
-
Wir Uberdecken
259
-
jetzt die Mannigfaltigkeit M des Satzes mit zwei n-Zellen,
das heist mit zwei Teilmengen,
die homSomorph zu
zeichnet die offene metrische Kugel vom Radius ~LEM~
~n
M einfach zusammenh~ngende keit der Dimension alen Ebenen
Beh. :
be-
E ~ 0 um p c M •
n~2
vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigmit
I/4 ~ #
~ Kg~l
Es gibt Punkte
p,q ~ M , oder
so da~ fur jeden Punkt
~(q,r) < ~" B~(p)
(5)
,
v B~(q)
=
nach ~ ( v )
Durchmesser
I/4 ~ K ¢ ~ 1
,
~M =~
hat,
chenden Schnittorte daher Bew.:
p,q m M
und
~(p,r) =
~M • 2~
. Sei etwa
~(p,r) ~ m :
co:[O,1]--~M
von r nach p
~(q,r)
Lemma 1
mit
L(Co) =
eine Geod~tische
e(P,q)
und
,
= ~
•
L(Cl) =
•M m~
goff erh~it man damit
B~(p)
6.4.(8)
~(q,r) = L(c o) ~ r
, B~(q)
nentialabbildung und daher n-Zellen.
r @ q.
Cl:[O,l~--*M
~(r,p) , ferner nach mit
. Es gilt
L(c 2) =
?(p,q)
= e M ~r
im Falle gerader Dimension. ~ = (Co,Cl,C 2)
mit
zum Vergleichssatz yon Toponound die Aussage des Lemmas.
in (5) sind nach 7.7.(1)
Bilder euklidischer Kugeln vom Radius
und
yon p nach q
oder auch yon 7.5.(I)
Aus der Folgerung
p,q E M , so da~
wit kSnnen annehmen,
yon q nach r
der Winkel bei p in dem Dreiseit
p,q,r.
Die Kugeln
c2:[0,1]
~o:= ~ - c I ( 1 ) , c 2 ( 0 ) )
auf Grund yon 7.7.(I) ~o
und
der entspre-
in M nicht leer, es gibt
~(q,r)
Betrachte dann Geod~tische
nur den
ist (5) nicht mehr richtig,
Nach dem Satz yon Myers ist M kompakt, w~hle
~(P'q) =
Nun ist
in 7-5-
ist der Durchschnitt
C(p) = C(q) = p n - l ( c )
r g C(p)~C(q)
gilt
M
M = pn( C )
Denn fur je zwei Punkte
r EM
also
Obwohl der projektive Raum
n ~I .
fur alle tangenti-
@.
~(p,r) ~ ~
Ecken
Be(p)
2 1
Vor.:
=
sind.
~ um 0 in
sogar diffeomorphe
Mp , Mq
unter der Expo-
Allgemein wei~ man, eine kompakte
c
n-dimensionale Uberdecken l ~ t ,
topologische Mannigfaltigkeit,
die sich durch zwei n-Zellen
ist hom6omorph zu Sn , und deshalb haben wir den Sph~ren-
- 260 satz yon unserem Standpunkt wiesen.
Andererseits
morphismus
Vor. :
besonders
M einfach zusammenh~ngende keit der Dimension
Beh.:
~.
n >-2
Seien
Der "Aquator"
mit
=
Sn-l,
~(q,r)}
Mannigfaltigkeit,
zwei Teilr~ume
W ° C B~(p)
Ferner hat man kanonische und
Bew. : von
man kann
7.7.(1)
U ~ , V~
oder auch 7.5.(1)
~: M---*~
mit
~oc
streng monoton.
Gleichheit k~rzesten ~(P'q)
=
zun~chst
ausgeschlossen,
~M"
=
9(p,c(t'))-
=
~oc(t')
.
c(t)
t ~(0,~)
=
mit
=
M
~-
existiert
genau ein
p-nkt q,
so schlie~t man entsprechend,
vergleiche
um 0 in
~-c
Mp , Mq
werden
abgebildet
nach
n .
= C
ist mit M kompakt.
,
p w~chst
folgt mit der Dreiecks-
~(c(t),c(t'))
, dabei ist
und damit p im Bild einer im Widerspruch
zu
p(q,c(t))=
~(p,c(t'))-
c (~) > 0
c(t) ~ C
auch 7.9.
die stetige Funktion
~(p,c(t))-
~(q,c(t))~
(0) ~ 0 ,
W 1
mit Anfangspunkt
O~t4t'!~
~oc(t)
u
Untermannigfaltigkeit
yon q nach c(t') liegen wGrde,
~c(t),c(t'))~oc
~
~'1(0)
~ ~(q,c(t))+
well sonst
Daher gilt Da
,
c: [ O , ~ 3 - - * M
Denn wenn
Geod~tischen
W°
B~(p) , B~(q)
Betrachte
~(p,r)-~(q,r)
~(q,c(t'))
normale Geod~ti-
HomSomorphismen
im Falle gerader Dimension
F~r jede normale Geod~tische
unglsichung
auf
C C B~(p)t% B~(q) • ~(r):=
homSo-
C zerlegt M in
w~hlen,
vom Radius
jeweils diffeomorph
=~M"
ho(S n-l) = hl(S n-l) = C.
als Diffeomorphismen
Die offenen Kugeln
Wegen (5) hat man
mit
da~ C sogar differenzierbare
ho,h I
eXpp, eXpq
,
hi: Dn--~W1 ,
Es ist leicht zu sehen, yon M ,
W I C B~(q)
< ~.
W O t% W I =
~(P'q)
ist als Unterraum
topologische
sche schneidet C genau einmal im Abstand
ho: Dn--,Wo
also
und jede yon p oder q ausgehende
C.
Mannigfaltig-
f~r alle tangenti-
"Diametralpunkte",
C:= ~r ~ ~(p,r)
einen HomSo-
nat~rlicher
Riemannsche
1/4~K¢~1
p,q £ M
schon be-
durchf~hren.
vollst~ndige
yon M eine (n-1)-dimensionale morph zu
Situation
einfach und in geometrisch
so daH wir die Konstruktion
alen Ebenen
im wesentlichen
kann man in der vorliegenden
M--*S n
Weise angeben,
aus mit Lemma 2
und
~-c
~(q,c(t'))= stetig,
= ~ - 1 ( 0 ) • Hat c den Anfangsf~llt streng monoton,
da
-
dann streng monoton w~chst.
--~oc
WI:=
•
{r ~ ~ ( r ) - - ~ O } C B ~ ( q )
lineare Isometrien, die Kugeln in
261
~n
ab.
~o o (expIU~)-1 ' Dn =
~n,
} ~ Ba(p) , ~n
&l: Mq
gl := &l °(exp~V~)-1 die kompakte
als Teilraum von
des Unterraumes fi
i=0,1.
~n.
gi(C) von
folgt, well
Die stetige Uberlegungen
Q%n auf S n-l,
gi(C)
mit C
kom-
Wir setzen nun fi radial fort zu
Fi : ~ n _ _ , ~ n
Fi(O):= 0.
{a i 1~am--- 1}
ist nach den vorangegangenen
der Umkehrabbildung
einem HomSomorphismus und
go T M
~D n = S n-1
pakt und S n-1 Hausdorffraum,
a ~ O
&o: Mp
~ id I gi(C)
also HomSomorphismus
die Stetigkeit
Wo:= [r %~(r) ~ 0
homSomorph auf jeweils eine Umgebung yon 0
mit Rand
f?l I "-
Setze
Sind
Es bezeichnet wieder
Standard-n-Zelle Abbildung bijektiv,
so bilden
B~(p) , B~(q)
-
durch
Fi(a):=
IIfi~11a~)Ha
fur
Dann wird D n yon F i homSomorph auf
bildet, und wir k~nnen
hi: Dn--,Wi
gi(Wi) abge-I hi:= gieFi IDn ,
erkl~ren durch
womit das Lemma vollst~ndig bewiesen ist. Beweis des Sph~rensatzes:
Die Behauptung
ergibt sich aus Lemma 3
in Ver-
bindung mit der folgenden allgemeinen Aussage:
~LEMNA Vor. :
4~ M topologische
Mannigfaltigkeit
ho,h1: Dn--,M
HomSomorphismen
yon M,
so da~
der Dimension
n.
auf die Teilr~ume
ho(D n) ~ h1(D n)
= M
Seien
ho(D n) , h1(Dn)
und
ho(Dn) ~ hl(D n) = ho(S n-l) = h1(Sn-1 ) . Beh. :
Mist
homSomorph
Bew.:
Betrachte
vom Nordpol, sphere sn:= +
fur
zu Sn •
S n ~ ,W n+l
die stereographischen
y vom S~dpol aus nach [ ] ( i i i )
Die s~dliche Hemi-
sn:=_ {a ~ a • S n, an+ I ~ O} wird yon x , die nSrdliche Hemisphere [ a l a ~ S n, an+ 1 ~ 0 }
stimmen auf dem Aquator D n ist, Uberein.
yon y homSomorph auf D n abgebildet, und x, y S n_ r~ S+n , dessert Bild die Randsph~re S n-1 yon
Setze nun den HomSomorphismus
radial fort zu einem HomSomorphismus durch
in 1.1.
Projektionen x
F(a):=
Hom~omorphismen
f:= h11o h : S n-1 O
F: Dn--~D n , also
ilal! f(1~a11)
fur
a ~ 0
~.:= h o o x
yon
Sn
auf
und
F(O):= O.
ho(D n)
und
,S n-1
F~S n-1 = f, Dann hat man die ~+.'= hlO F o y
- 262 -
von Sn+
h1(D n )
auf
I
ferner stimmen
Wir kSnnen deshalb eine Abbildung fur
r e S n_ und
~(r):=
~+(r)
@: fur
Da S n kompakt und M Hausdorffraum, da~
~
auf
sn--*M
erkl~ren mit
r ~S n ,
~
Uberein. $(r):=
~ (r)
ist stetig und bijektiv.
folgt die Stetigkeit yon
@-1 ,
so
ein HomSomorphismus.
Die Aussage yon Lemma 4 bare Mannigfaltigkeit
l~t
und
sich nicht versch~rfen,
ho,h I
differenzierbare
genau dann einen Diffeomorphismus auf
n S n ~ S+
~_ , ~+
Sn'l
falls M differenzier-
Einbettungen.
sn--,M , wenn der "Twist"
Es gibt
h~ l o h °
zu einem Diffeomorphismus auf D n fortgesetzt werden kann, das
ist aber im allgemeinen nicht mSglich fur Mit einem Diffeomorphismus
F: Dn--~D n , der
iert man leicht einen Diffeomorphismus "zusammengeklebten"
n ~ 7 , siehe auch 7.9.
Abbildung
~
sn---~M
h~
h°
fortsetzt,
konstru-
durch "Gl~ttung"
der
des letzten Beweises l~ngs des
Aquators von Sn .
Wir weisen noch auf einen etwas anderen Beweis des Sph~rensatzes hin, der direkt Uber die Morse-Theorie gleichstheorie aus 6.4.
f~hrt, ohne Verwendung der Winkelver-
Allerdings erh~lt man auf diese Weise zun~chst
nur Aussagen Uber den Homotopietyp. Wir nennen eine kompakte n-dimensionale M,
differenzierbare Mannigfaltigkeit
die den gleichen Homotopietyp hat wie S n, eine Homotopiesph~re.
Mist
genau dann Homotopiesph~re,
~k(M)
wenn fur die Homotopiegruppen
gilt
= 0 , 0 ~ k ~ n - 1 . Man wei~ seit einigen Jahren, eine Homotopie-
sphere M i s t
sogar homSomorph zu Sn , jedenfalls fur
Resultat yon Smale best~tigte die Poincar&-Vermutung Verallgemeinerung J. Milnor,
fur h6here Dimensionen,
dim M @ 3,4 • Dieses in einer natUrlichen
vergleiche die Darstellung in
"Lectures on the h-cobordism theorem",
Princeton University
Press (1965). Betrachte eine vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit M und Punkte p,q c M ,
so dab der Wegeraum
-~M:= -(~ nicht entartet, Pq Wir erw~hnen in diesem Zusammenhang, alle Weger~ume ~ q der homotopie~quivalent folgt nun sehr leicht
siehe 7.6. sind
unt ereinan-
bei beliebiger Wahl yon p,q • Aus Satz 2
in 7.6.
- 263 -
(6)
~M
.O.M
,-.,'
e
~,e
k4
,,., . . . , , J e .
k~
hat den Homotopietyp eines
,~,...
~
,
CW-Komplexes mit abz~hlbar vielen Zellen
ek£ ,
die nacheinander mit bestimmten Abbildungen angeheftet werden,
wenn
Cl,...,c i ....
und
die Geod~tischen in
k i = Ind ci , k I = O.
schwache Topologie: Teilraum und alle
Dabei tr~gt
Setzt man
U C X = . ~ X.
i=I,2,...
-~M,
E(Cl)'~ ... ~ E ( c i ) ~
X = eklu.., v e k ~ . . ,
Xi:= ek4u.., v e k L ,
offen, genau wenn
so ist
Ur~X
... ,
die
XiCXi+ I
offen in X.
Vergleiche wieder das Zitat zu Satz 1
fur
in 7.6.
Im allgemeinen muB man auf der rechten Seite yon (6) unendlich viele Zellen einer Dimension k anheften, etwa Falls jedoch
dim M -> 2
tangentialen Ebenen
•
1 , v e ~ e v ... o o und fur die SchnittkrGmmung yon M bezGglich aller
gilt
~S
K ¢ >- ~ • 0 , folgt mit dem Vergleichssatz
yon Morse-Schoenberg aus 6.2. sofort, da~ in jeder Dimension endlich viele
k>-O
nur
k-Zellen in (6) auftreten, und das gilt nach 6 . 2 . ~
auch noch, wenn nur die Ricci-Kr~mmung von M ~berall nicht kleiner ist als eine feste positive reelle Zahl. Mit 4 . 6 . ~ ( i )
ergibt sich zum
Beispiel _ ~ Sn ~
e o
en_ I ~
und man entnimmt 7 . 5 . ~ ( v ) A~pn(() n-~1 fur
und M = Sn
...
.., e o ~ e l V e 2 n U e 2 n + l
U
'''Ue2inUe2in+l
Untersuche damit die Homologie
des Sph~rensatzes gen~gt. W~hle
pEM,
und nach dem Lemma in 7.7. einen Punkt ?(p,q) •
2::-~.
Wegen 7.7.(I)
Ubrigen Geod~tischen in ~ p q ,., e k u e - ~ . . . u e _ u ...
Daher gilt
...
H,(.~.M,~)
~k_l(~IM) = O,
die den Voraussetzungen
eine Zahl q ~M,
so da~ ~
mit ~
kI = 0
~
2~
nicht entartet nur eine,
und deshalb haben alle
nach 6.2. einen Index , wobei
~ • O
Pq enth~lt dann.~.~q
n~mlich die kUrzeste Geod~tische vom Index O,
-~M
u
M = pn(~).
Sei jetzt M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,
und
,
, da~
i=0,1,2,... und
. . . ~ ei(n-1 )~/
und
~_ n-1 • Mit (6) folgt, ko ~
n-1
f~r i > - 2 .
l ~ k ~ - n - 1 , fur die reduzierten Homologie-
gruppen und auf Grund des Hurewicz-Satzes auch
~k_l(~M)
= O,
l~k~n-1
.
- 264 -
Nach Definition der Homotopiegruppen k~l
,
also
~k(M) = O,
hat man nun
0 &k~n-1
,
und M i s t
~k(M) ~
~k_l(~M),
eine Homotopiesph~re.
SchlieSlich noch eine weitere Bemerkung zum Durchmesserproblem. gesehen,
der Durchmesser
tigkeit M i s t
~M
Wir hatten
einer vollst~ndigen Riemannsohen Mannigfal-
nach oben beschr~nkt,
wenn die SchnittkrUmmung von M eine
untere positive Schranke hat, w~hrend man in diesem Falle natUrlich
~ M
nicht nach unten absch~tzen kann. Das folgende Ergebnis yon Berger zeigt, da~ der topologischen sobald
Struktur yon M starke Bedingungen auferlegt werden,
~ M nicht zu klein ist.
Sei M
Vor. :
eine vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltig-
keit der Dimension Ebenen Beh.:
~ und
~M
n ~ 2 >
2~
mit
0 ~
K¢
fur alle tangentialen
"
Mist
eine Homotopiesph~re,
wenn
n # 3,4.
also homSomorph zu Sn, jedenfalls
Nach dem Satz yon Myers ist M kompakt und
Die Aussage des Satzes verallgemeinert in 7.3.
und auch den Sph~rensatz,
den Durchmessersatz
denn die Voraussetzungen
zieren Uber 7.7.(1) die Voraussetzungen fur ~ M
=
~
yon Toponogoff dort impli-
dieses Satzes. Beachte, bereits
bleibt die Behauptung nicht notwendig richtig, wie wieder
das Beispiel des komplexen projektiven Raumes zeigt. Bew.:
W~hle Punkte
Injektivit~tsradius
p,rmM
mit
~(p,r) =
~M"
der Exp6nentialabbildung
yon p in M,
so da5
cos ~ p ( q , r ) cos~'~(p,r) r~um~ _6~pq
>
cos~
~(p,q)~ ~ , fur alle
eine Geod~tische
~(q,r)
~
p,q,r
0 ~ ~ ~
der
2~
und
q~U.
c 2 mit
Dann enth~lt keiner der Wege~. ~ ~ L(c2)~ ~ , q a U • Denn ande-
renfalls betrachte man ein verallgemeinertes mit Ecken
Sei
eXpp und U eine Umgebung
und kUrzesten Geod~tischen
Dreiseit Co~-/~'qr
A = (Co,Cl,C2) '
ClC~rP
- 265 und w~hle c I dabei g e m ~ gilt
~o~
•
Lemma 1
derart, da~ f~r den Winkel von ~
Wir kSnnen den Winkelvergleichssatz yon Toponogoff auf
anwenden, siehe 6 . 4 . [ ] ( i i i ) . cosa ° ~ cosa I cosa 2 , cos~(q,r) cos~9(p,r)
=
beip
cos s~ ~ cosa 4
ai:=
Mit 6.4.(7)
~
cosa 2
folgt dann
L(c i) , also =
cos ~ L ( c 2) ~
cos#~
,
im Wider-
spruch zur Wahl yon q . Nach dem Lemma in 7.7. findet man nun einen Punkt
qtU,
so d a 6 ~ p q
nicht entartet. Alle Geod~tischen i n ~ p q ,
Ausnahme der minimalen vom Index 0 , sind l~nger als ~ auf Grund des Satzes yon Morse-Schoenberg einen Index ergibt sich mit (6) , wie wir gesehen batten,
7.9.
Mist
mit
und haben deshalb ~
n-1.
Daraus
eine Homotopiesph~re.
Ausblicke.
Wie sich Probleme der Riemannschen Geometrie, die wir hier er6rtert haben, in den allgemeinen Rahmen der Differentialgeometrie einordnen und welter charakterisieren lassen, wird besprochen yon of G-structures",
S.S. Chern, "The geometry
Bull. AMS 72 (1966), 167-219.
Auf diese reichhaltige
zusammenfassende Arbeit weisen wir besonders hin, ferner auch auf eine Sammlung verschiedener offener Fragen bei
S. Kobayashi und J. Eells,
,'Problems in differential geometry", Proceedings
U.S.-Japan Seminar on
Differential Geometry, Kyoto (1965), 167-177. Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit ~berall (nicht) negativer oder (nicht) positiver Schnittkr~mmung sind vom lokalen Standpunkt aus nat~rliche Verallgemeinerungen
der Raumformen,
die Untersuchung ihrer Strukturen im
Vergleich zu den entsprechenden Standardgeometrien mu~ man als wichtige Aufgabe der Riemannschen Geometrie ansehen. Viele Anstrengungen sind gemacht worden, die vollst~ndigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten positiver Kr~mmung oder wenigstens ihre Homotopietypen zu Gberblicken, H. Hopf
die jetzt schon klassische Frage gestellt hatte:
der differenzierbaren Mannigfaltigkeit
S2 X S2
seitdem
Giht es auf
eine Riemannsche Metrik
positiver Kri~mmung ? Aber man wei~ immer noch ziemlich wenig, es ist fur S2X S2
nicht einmal bekannt, ob die kanonische Produktmetrik der KrGmmung
- 266 -
K~ ~ 0
in eine Metrik positiver KrSmmung deformiert werden kann oder nicht.
Die Vermutung liegt nahe,
etwa auf Grund der G~ltigkeit der analogen Aus-
sage im Falle negativer KrGmmung nach 7 . 2 . ~ ( v i ) faltigkeit
M~ N
mSglicherweise nie eine Riemannsche Metrik durchweg po-
sitiver KrUm~mung gestattet, faltigkeiten,
, da~ eine Produktmannig-
wenn
M,N
kompakte differenzierbare
Mannig-
vergleiche auch die Frage yon Chern in 7 . 3 . ~ ( i v )
•
Alle Beispiele einfach zusammenh~ngender kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit positiver
~-beschr~nkter
sind diffeomorph zu homogenen R~umen die symmetrischen P~ume vom Rang 1 mal
~=
1 ,
maximal
G/H , und zwar treten genauer nur
pn( C ) , pn(IH )
1/4 , sowie zwei "Ausnahmer~ume"
der Dimension 7
und
SU(5)/Sp(2)XS I
Darstellungen von H in G.
die man bisher kennt,
auf, n~mlich die Sph~ren Sn mit maxi-
die projektiven R~ume
~=
Krllmmung,
und p2(Ca)
vom Typ
mit
Sp(2)/SU(2)
in der Dimension 13
in
mit bestimmten
Die letzten beiden Mannigfaltigkeiten
haben
positive Kr~mmung als normale homogene R~ume, nach Eliasson gilt maximal =
1/37
fur normale Metriken auf
Kr~mmungsschranken
f~r
Sp(2)/SU(2) , w~hrend scharfe
SU(5)/Sp(2)xS 1
kann man Klassifikationss~tze
nicht v o r l i e g e n ~ ) Umgekehrt
fur Lie-Gruppen heranziehen,
da~ unter allen einfach zusammenh~ngenden
um zu zeigen,
normalen homogenen R~umen nur
solche vom gerade erw~hnten Diffeomorphietyp ~berall positive Schnittkrt~mung haben,
siehe
M. Berger, "Les vari&t~s Riemanniennes homog@nes
normales simplement connexes ~ courbure strictement positive",
Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa 15 (1961), 179-246. Es ist eher unwahrscheinlich, Diffeomorphietypen
da~ mit den genannten Beispielen schon alle
einfach zusammenh~ngender kompakter Riemannscher Mannig-
faltigkeiten positiver Kr~mmung bekannt sind. Die Aussage des Sph~rensatzes in 7.8. l ~ t lenzklassen diffeomorpher schen Mannigfaltigkeit
sich versch~rfen.
differenzierbarer
S n stehen fur
n @ 4
in umkehrbar eindeutiger Be-
ziehung zu den Elementen einer endlichen abelschen Gruppe durch Milnor, stwa
~7
=
Smale und andere weir,
~'28 ~ r 8 = ~'2, r l l
lichen differenzierbaren
*)
N&©h Helntze
°) v¢l.
r n = 0
fur
1 ~ n~6
Pn,
wie man
, ferner
= 7/992 . Dabei entspricht deT gewbhn-
Struktur auf S n
(1969)
Die Aquiva-
Strukturen auf der topologi-
das Nullelement in
gilt f~r den letzteren Raum:
~n •
~ = 16/29.37 •
- 267 Man kann nun eine universelle
Zahlenfolge
...
lira
Wenn M einfach zusammenh~ngende n ~ 2
mit
~-beschr~nkter
Zk
=
;k I,
so
~ ...
und
rk
= O
f~r
daa M diffeomorph ist zur Standardsph~re z.B. 11
__~5 i O,819
Dxfferenzlerbare "
"
und
~9 ~
~"
~k'
F k n
r n , wobei
yon
k ~ n-2. S n, sobald
Insbesondere
folgt,
~ m ~n-2 ' man hat
O,916 • Vergleiche hierzu
D. Gromoll,
Strukturen und Metriken positiver KrU~nmung auf Sph~ren",
Math. Annalen 164 (1966), 353-371. in einer Art Iterationsverfahren,
Der Beweis des letzten Satzes besteht bei dem durch Verfeinerung der Konstruk-
tionen, wie wir sie bier verwendet haben, der "Twist" ho,h I
der Dimension
dann ist M
Struktur yon M wird charakte-
risiert durch ein Element einer Untergruppe r~ ~r~
I/4 =: ~q < ...
it:
Riemannsche Mannigfaltigkeit
SchnittkrtLmmung und
homSomorph zu Sn , und die differenzierbare
rn =
konstruieren,
auf dem Aquator in 7.8. Lemma 3,
zierbare Struktur yon M in f-n auch 7.8. Lemma 4.
bestimmt,
h~lo h °
der im wesentlichen
der Karten
die differen-
sukzessiv aufgel6st wird, siehe
M_it einer etwas anderen Methode,
die allerdings keine
quantitative Behandlung erlaubt, hat Calabi ein ~hnliches Resultat gefunden, und es ist vielleicht notwendig, n immer n~her bei 1
da~ man
~ f~r gr6aere Dimensionen
w~hlen mu~, um den Diffeomorphietyp
yon M durch die
KrGmmung eindeutig festlegen zu kSnnen. Diese Vermutung mag berechtigt sein, schon well die Ordnung der Gruppe
f-n
mit n sehr schnell w~chst.
~)
Andererseits kennt man keine Beispiele f~r Metriken positiver Kr/mmung auf exotischen Sph~ren.
Brieskorn und andere haben viele dieser Sph~ren
durch sehr einfache Gleichungen beschrieben als affin algebraische Untermannigfaltigkeiten
euklidischer Riume mit der reellen Codimension 3,
aber
die induzierte Metrik liefert stets Kr{immungswerte ,beiderlei Vorzeichens. Auch in Milnors erster expliziter Darstellung exotischer 7-Sph~ren als differenzierbare Faserb~ndel M 7 • S4 mit Faser S3 und Strukturgruppe SO(4)
scheint die Konstruktion yon Metriken positiver Kr/mmung auf M 7
schwierig zu sein.2) Man sollte im Sph~rensatz weiterhin das Problem untersuchen, ob M f~r hinreichend groSes reellen projektiven Raum gezeigt,
pn(R)
~
1
ist, wenn
diffeomorph
zum gewShnlichen
~I (M) -~ ~ 2 "
Sullivan hat
f~r gewisse Dimensionen n gibt es sogar unendlich viele zu p n ( ~ )
homotopiegquivalente hom6morph sind. ~),z) v g l - [ ]
differenzierbare
Mannigfaltigkeiten,
die paarweise nicht
-
268
-
Selbst bei Beschrinkung auf die Aufgabe, nur notwendige Bedingungen fSr die algebraischen Invarianten des Homotopietyps einer zusammenh~ngenden kompakten n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit M positiver SchnittkrUmmung anzugeben, ist man kaum Uber die schon behandelten Ergebnisse hinausgekommen. Im Prinzip kann die Theorie der harmonischen Differentialformen von
H o d g e - de Rham
Zahlen
yon M
bk
findet bei
zu machen, unter Verwendung von Methoden, wie man sie
S. Bochner und K. Yano, "Curvature and Betti numbers", Ann.
of Math. Studies 32, Es folgt etwa
und
Princeton University Press (1953), Princeton N.J.
b I = 0 , was man nat~rlich auch ,Lit dem Satz yon Myers
erh~it, nach dem endlich
ein Hilfsmittel sein, Aussagen ~ber die Betti-
~
=
~I(M)
HI(M,Q) falls
endlich, also
HI(M,~)
~
~/[~,~]
= O • Das beste Resultat in dieser Richtung ist,
dab
b 2 = O,
und
n ungerade , n = 2m+I , vergleiche
~
2m-2/8m-5,
wenn die Kr/mmung
~-beschr~nkt
M. Berger, "Les vari6t~s Rie-
manniennes dont la courbure satisfait certaines conditions", Proc. Intern. Congress Math. (1962), 447-456. der Dimension
n = 5
mit der Poincar~-Dualit~t
b 2 = b 3 = 0 , sobald sphere" ,
Hk(M, Q )
Zum Beispiel ergibt sich daraus im Fall
~> = 0
2/11 , f~r
Mist
2 ~k~4.
bI = b4 = 0
und
dann eine "rationale HomologieIn hSheren Dimensionen sagt das
Ergebnis in Anbetracht des Sphirensatzes allerdings immer weniger aus. Eine besonders wichtige Invariante von M i s t
die Eulercharakteristik
XM
= ,~.,(-1)~k ' wegen der Poincar&-Dualit~t
XM
= 0 , falls
dim M = n
ungerade.
man schon seit langem, dab S 2 oder p 2 ( ~ ) und
~M
und
~ M ~ 0.
~M = 2
= bo + b2 + b4
=
yon Gaub-Bonnet l~bt sich
bzw.
X M
gilt immer
FUr gerade Dimensionen vermutet FUr
X M = 1,
2 + b2 ~ 2 .
b k = bn_ k
n = 2
ist M diffeomorph zu
wenn
n = 4,
so
b I = b3 =0
Nach dem verallgemeinerten Satz
als Integral Uber eine allein aus den Kom-
ponenten des KrUmmungstensors berechenbare n-Form auf M ausdrUcken, M orientierbar.
Aber es ist bis jetzt nur fur
n ~ 4
gelungen, aus dem
Vorzeichen der Schnittkr/mmung auf das Vorzeichen des Chern-Integranden zu schlieben, und das Problem der Eulercharakteristik bleibt weitgehend offen. Weinstein hat bemerkt, dab in jeder geraden Dimension n zuvorgegebenem
-
~>
0
269
-
nur endlich viele verschiedene Homotopietypen vollst~ndiger Rie-
mannscher Mannigfaltigkeiten mit positiver stieren.
~-beschr~nkter Krt~mmung exi-
Denn der Konvexit~tsradius yon M i s t
kleiner als
~/4
,
nach 7 . 5 . [ ] ( i i )
der Durchmesser nicht grS~er als
~/~
nicht
, ~
K dgl ,
man konstruiert dann leicht eine Uberdeckung yon M mit einer universell beschr~nkten Anzahl stark konvexer Kugeln, der Nerv dieser Uberdeckung ist homotopie~quivalent zu M • FUr ungerade Dimensionen n kann man eine analoge Aussage hSchstens erwarten, falls M einfach zusammenh~ngend, siehe etwa
7.3.[](iii).
Sei M vollst~ndige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n ~ 2 die Kr~mmung
K~ ~
0
fur alle tangentialen Ebenen. Genau wenn
und
Kgk~
O,
ist M kompakt, wir haben diesen Fall eingehend diskutiert. Als Alternative hat man, da~ M nicht kompakt, genau wenn eine Folge gentialb~ndel TM existiert mit Paraboloid aus 3 . 7 . ~ ( v i i i ) . pakt. FUr
n = 2
wu~te man,
K~
~ 0,
~w von Ebenen im Tan-
typisches Beispiel ist das
Nur wenig war bekannt, falls M nicht komMist
diffeomorph zu ~2.
Nach einem Satz
yon Cohn-Vossen hat M immer nur ein Ende im Sinne von Freudenthal, die Menge der Pole von M i s t 7.2.~(ii).
kompakt, kann aber leer sein, vergleiche auch
Uberraschenderweise
land die Klassifikationsfrage hier vor
kurzem eine befriedigende LSsung. Es stellte sich heraus, da~ M kontrahierbar und fur
n ~ 3
im Unendlichen einfach zusammenh~ngend sein mu~.
Auf Grund eines Resultats yon feomorph zu
~n
W. Browder ergibt sich damit,
n ~ , 3 , 4 • Man vergleiche hierzu
dif-
D. Gromoll und
W. Meyer, "On complete open manifolds of positive curvature", in Ann. of Math.
Mist
erseheint
Die Existenz beliebig gro~er Entfernungen in M erweist
sich im Falle positiver KrU]mmung als sehr starke ,'Randhedingung im Unendlichen".
Rein formal verwandt mit dem letzten Satz ist ein Ergebnis ~ber
berandete konvexe Riemannsche Mannigfaltigkeiten M • Dabei heist M konvex, sohald die zweite Fundamentalform bezUglich des nach a ~ e n senden Einheitsnormalenfeldes l~ngs des Randes definit.
~M
yon M
wei-
positiv semi-
Die Konvexit~t ist eine notwendige Bedingung fur die Vollstgn-
digkeit yon M in dem Sinne, da~ sich je zwei Punkte durch eine kUrzeste Geod~tische in M verbinden lassen.
Zum Beispiel ist die n-Zelle D n G ~
oder auch jede kompakte metrische Kugel vom Radius
~/2
in Sn a l s
n+q
- 270 Riemannsche Untermannigfaltigkeiten
konvex, siehe 5.2.[](ii) • Auf jeder
kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M mit Rand mannsche Metriken,
so da~ M konvex wird und
~M
gibt es Rie-
D M sogar total geod~tisch.
Wenn nun M eine kompakte konvexe Riemannsche Mannigfaltigkeit sion
n • 2
beweisen,
mit positiver Schnittkr~mmung und
die R~ume
(M, ~M)
Daraus folgt mit dem n ~ 3,4,5 • Es l ~ t Kr~mmung auf proximieren, Siehe
und
(Dn,S n'l)
h-Cobordismus-Theorem,
~M @~
der Dimen-
, so kann man
sind homotopie~quivalent. Mist
diffeomorph zu D n ,
sich also etwa die Produktmetrik nicht negativer
M = S2 X D 2
nicht durch eine Metrik positiver KrUmmung ap-
ohne die Konvexit~t
des Randes
~ M = S2 x S I
D. Gromoll, "Convex Riemannian manifolds",
zu zerst~ren.
Preprint,
University
of Calif., Berkeley. NatUrlich hat man auch Riemannsche Mannigfaltigkeiten betrachtet, tigkeiten,
positiver Kr~mmung
die zus~tzliche Strukturen tragen. Vor allem K~hler-Mannigfaldas heist holomorphe Riemannsche Mannigfaltigkeiten
leler komplexer Struktur,
sind geometrisch sehr interessant,
mit paral-
und es liegen
einige Untersuchungen ~ber ihr globales Kr~immungsverhalten vor. Das Standardmodell pn(c )
fur Vergleichszwecke
konstanter holomorpher Kr~mmung,
ist der komplexe projektive Raum siehe 7.5.[](v) • Als allge-
meine Referenz in unserem Zusammenhang mag dienen "Curvature and homology",
S.I. Goldberg,
Academic Press (1963), New York,
sowie
S. Kobayashi und K. Nomizu, "Foundations of differential geometry II", Intersoience Publ., das letzte Buch erscheint voraussichtlich Ende 1968. Charakteristische und S.I. Goldberg,
Arbeiten in der genannten Richtung sind
of positive curvature", W. Klingenberg, curvature",
Proc. AMS 16 (1965), 119-122,
ferner
"On compact Kaehlerian manifolds with positive holomorphic
Proc. AMS (1961), 350-356,
und
positiveley pinched Kaehler manifolds", 121-139 •
R.L. Bishop
"On the second cohomology group of a Kaehler manifold
S. Kobayashi,
"Topology of
Tohoku Math. J. 15 (1963),
An dieser Stelle sei au~erdem hingewiesen auf eine Arbeit yon
J. Cheeger, "Comparison and finiteness theorems for Riemannian manifolds", Thesis (1967), Princeton University. neue Aspekte zu den Vergleichsmethoden, graphen verwendet wurden.
Dort findet man unter anderem einige die in den letzten beiden Para-
-
271
-
Zum Abschlu~ stellen wir noch einmal zwei Probleme heraus, teren Studium vollst~ndiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten
die beim weipositiver
KrSmmung besonders dringende Aufgaben sind, n~mlich sch~rfere homologische Bedingungen fur diese Mannigfaltigkeiten geben und Beispiele neuer Diffeomorphietypen
]
Wir zitieren hier neuere Arbeiten,
nicht vorlagen und die einige Bemerkungen
0)
oder ihre Weger~ume anzuzu suchen.
die bei der ersten Auflage noch dieses Abschnittes
erg~nzen.
N. Wallach, Compact homogeneous riemannian manifolds with strictly positive curvature, Ann. of Math. 96 (1972), 277-295. and S. Alof, An infinite family of distinct 7-manifolds admitting positively curved riemannian structures, Preprint (197 3), Rutgers University. J. Cheeger, Some examples of manifolds of nonnegative curvature, J. of Diff. Geom. 8 (1973), 623-628.
1)
M. Sugimoto, K. Shiohama, and H. Karcher, On the differentiable pinching problem, Math. Annalen 195 (1971), 1-16. E. Ruh, Krt~nmung und differenzierbare Strukturen auf Sph~ren II, Math. Annalen 205 (1973), 113-129. H. Grove, H. Karcher, and E. Ruh, Group actions and curvature, Inventiones Math.
2)
D. Gromoll and W. Meyer, An exotic sphere with nonnegative curvature, Ann. of Math. (1974).
sectional
3)
J. Cheeger, Finiteness theorems for riemannian manifolds, of Math. 92 (1970), 61-74.
4)
J. Cheeger and D. Gromcll, On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Ann. of Math. 96 (1972), 413-443.
Amer. J.
- 272 -
§ 8
8.1.
Anhang
Eine Hilfsfunktion.
FUr einen Punkt
a g ~n
sei
=
max lai~ • FUr r > 0 ~ n mit der Kantenl~nge 2r,
Wit konstruieren
bezeichne J
a ,
also
den offenen WUrfel um
r J := ~ a | , a @ r
eine differenzierbare ~(a)
(1)
llalt die WUrfelnorm yon
~r}
@al| := 0 g~n
.
Funktion
= 1
fur
ag~q
0 ~ ~'(a) ~ 1
f~r
a @J2-~1
"~(a) = 0
fur
a g R n - J2
~:
~n___.~
mit
"
Die Existenz einer solchen Funktion ist fur viele globale Probleme auf C ~ - Mannigfaltigkeiten
yon fundamentaler Bedeutung.
Warum gibt es keine
analytische Funktion "~" mit (1) ? Betrachte
fur
ac~
zun~chst die Abbildung
h: ~ - - * ~
mit
4
%-z-E+~ ~
fur
h(t) := h ist differenzierbar und fur
k=1,2, ...
sonst . h(t)>O
Definiere
auf
~
,~1
erkl~re ~ : fur
,d ~h(T)
No differenzierbar,
0 < ~(t) < 1
t >0.
fur
ti(~,~)
, D~I~
~(t) = 0
und es gilt
fur
t ~
fur
~ " ~
t~0,
"~ ist differenzierbar, ~(t)
~(t) ~: ~"
~R
= 1
fur
< I
fur
= 0
fur
~(t)
fur
und es gilt It! • 1 1 ~|t|~ |t| >-. 2
erkl~ren durch
2 o
t ~
,
• Dabei w~chst ~"
streng monoton. W~hle nun speziell ~(t):=
= 0
dT
~ : = -2 ,
durch
= D~I~
durch
t g(~',~) , ?(t) = 1
0 <~(t)
Nun kann man
fur
~.~ ~ - - * ~
~(t):=
Dann ist
t
~:= -1
~(t):=
und
~(-t)
- 273 -
aM(a):= ~ ( a
i)
,
und "~ hat die in (I) genannten Eigenschaften.
8.2.
Einige to?olo$ische Be~riffe.
Sei M ein topologischer Raum. Eine Uberdeckung
(U~)~(A
von M heist
lokal endlich, wenn jeder Punkt yon M eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele Mengen
U~
ist eine Uberdeckung
(V~)~C B
enthalten ist.
trifft. Eine Verfeinerun$ der Uberdeckung ( U ~ A von M , so da5 jedes
V~
in einem
U~
M heiBt parakompakt, wenn M hausdorffsch ist und zu jeder
offenen Uberdeckung yon M eine lokal endliche offene Verfeinerung existiert. Wenn M parakompakt und
(UK)~ A
eine offene Uberdeckung yon M , so gibt
es eine lokal endliche offene Verfeinerung
(V~)~ e A
mit
V~¢U~
Denn zu einer beliebigen lokal endlichen offenen Verfeinerung finden wit eine Abbildung
v ~ •-- ~ ~z ~,W
~: B--~A
mit
W~ ~ U~(~),
.
(W~)~ ~ B
und man kann
setzen.
Vor.:
M lokal kompakter Hausdorffraum mit abz~hlbarer Basis.
Beh.:
Mist
parakompakt.
Jede topologische Mannigfaltigkeit ist also parakompakt. Bew.: ~.
Man w~hle eine Basis
~G i ~ i=I,2,... ~
der Topslogie yon M
m_it
kompakt. Wir schSpfen M durch eine aufsteigende Folge kompakter Men-
gen
Ci
aus, so dab C i i m
Innern yon C±+ 1 liegt~ i=I,2,...
Setze C1:= ~I"
Sei C. definiert und G. c C.. Dann nehme man die kleinste Zahl k mit l~ l l C i • ~ G j =:V i und setze Ci+l T M ~i ~ Gi+l" Sei
(Ua)~ • A
offene Uberdeckung von M • Man ~berdecke die kompakten
C i-I °
Mengen C i W±I ' "'"' W i r ~ ' -
Menge
Ct+ 1 -Ci_ 2
(Ci:= ~
f~r
so da~ jedes liegt.
i~ 0 ) Wi~ ~
(Wi~ ~)
mit endlich vielen offenen Mengen in einem U~ und in der offenen
ist eine Verfeinerung von (U~)
ist lokal endlich, da nach Konstruktion sogar jedes viele Mengen der Verfeinerung trifft.
und
Wi$ ~ nur endlich
- 274 -
KOROLLAR Vor.:
M differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Beh.:
Zu jeder offenen Uberdeckung (U~)~e A v o n
Bew. :
endliche Verfeinerung
(W~)~ I ,
reich einer Karte x~
ist f~r alle
(a)
x~(W~)
(b)
die Mengen
M gibt es eine lokal
so da~ Wc @ ~I
der Definitionsbe-
und
= J3 '
x~l(J1 ) Gberdecken M.
Wir schlieBen wie beim Beweis yon Satz I , w~hlen die
dar~ber hinaus als Definitionsbereich f~llt wird und auch die Mengen
yon Karten
x._ __iy~ ' X~11 (J1) , .... xi~ (J I)
Wi? ~ aber
so dab (a) ernoch
Ci-CI_ I
Uberdecken. Jeder parakompakte Raum ist normal. Man beweist dies leicht, indem man zun~chst zeigt, da~ er regular ist. Eine topologische Mannigfaltigkeit ist also normal.
8.3.
Die Zerlegung der Eins.
Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
nicht negative Funktion auf M • Der T~ger yon ~ =
{p I ~ ( P ) > 07 • Eine differenzierbare
eine Familie
( ~w)~
A
so da~
M
=
~ ( p )
1
eine reellwertige
ist die Menge
Tr ~ :=
Zerlegung der Eins auf M i s t
yon reellwertigen nicht negativen differenzierbaren
Funktionen auf M, und
~
(Tr ~ A ist f~r
eine lokal endliche Uberdeckung yon p E M • Die letzte Summe ist erkl~rt,
da
f~r jedes p nur endlich viele S11mmanden yon 0 verschieden sind.
Vor. :
M differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Beh. :
Zu jeder offenen Uberdeckung der Eins
(~)~A
auf M mit
(U=)~ 6A Tr ~
von M gibt es eine Zerlegung
~ U~,
d.h. die Tr~ger ver-
feinern die Uberdeckung. Bew.:
W~hle nach dem Korollar zum Satz in 8.2. eine lokal endliche offene
- 275 -
Verfeinerung W~
(W~)cE I
von
Definitionsbereich
Mengen
(Ua),G A
einer Karte xc
x~l(J1 ) ~berdecken M.
"~ox~(p)
f~r
Abbildung mit
pEW~,
W~ ~ UA(c)
A
differenzierbare
und setze
~(p):=
fur
von
Funktionen
,
. Sei
ist
"~(p):=
A : I---*A
(V~)~EA
vgl. 8.2.
f=: M - - * ~
f~(p)
durch
dann ist
(U~)~ A ,
cml
die Funktion von 8.1.
M---*~
p~M-W~
~.,Wc, Va := ~,~
und
f~(p)/ ~ .
~:
FGr jedes
xc(W~) = J3 ' und die
J~
Funktionen
~,~(p):= 0
endliche offene Verfeinerung ~
yon M mit
Sei "~: ~ n
Wir erkl~ren differenzierbare =
so da6 gilt:
,
lokal
Definiere
durch
f~(p):=
fur
~-~.~(p)
die S~mme des Nenners ist endlich
und positiv. K0 RO LLA R M differenzierbare
Vor.:
A abgeschlossene
G offene Teilmenge von M,
Mannigfaltigkeit, Teilmenge
ACG.
yon M mit
f: G - - ~
differen-
zierbare Abbildung. Beh.:
Es gibt eine differenzierbare und
g(p) = 0
Es gibt insbesondere ~(p)
= 1
Bew.:
f~r
Betrachte
f~r
p~M-G
p~A
und
~(p) = 0
also
g:=
~I ~ .
g~A = f~A.
der Eins
Funktion p~M-G
und
~2|A = O,
gig
gIA = f|A
( ~1 '~2 )
folgt
differenzierbar
mit
• yon M
mit
~l(p) = 1 da
und w~hle
Tr ~ 1 C 6
f zu einer beliebigen Abbildung Da
mit
~: M - - ~
( G , M-A )
Ferner ist g differenzierbar,
p ~ M - Tr ~1 ~ M - G
8.4.
fur
die offene Uberdeckung
Tr ~ 2 ( M - A • Erweitere
g: M - - * ~
.
eine differenzierbare
nach dem Satz eine Zerlegung
und setze
Abbildung
und
~: M - ~ fur
und
p~A,
g(p) = 0
fur
ist.
S~tze aus der Theorie der Differential~leichun~en.
In diesem Abschnitt Theorie
formulieren wir zwei fundamentale
der gew6hnlichen
Differentialgleichungen
S~tze,
bekannt
die aus der
sind.
("Existenz der L~sungen eines Systems gew~hnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung und differenzierbare Abh~ngigkeit yon den Anfangswerten.") Vor.:
G offene Teilmenge yon
R n,
F: G - - * ~ n
differenzierbare
Abbildung.
276
-
Beh.:
-
Zu jedem Punkt a in G gibt es eine Umgebung W yon a und ein offenes Intervall J um O in ~P: J X W
+G
,
~
so dab
(I)
~P(o,u)
(2) ueW
und
Differentialgleichungssystems u ~W
,
Fo~(t,u)
t EJ.
Eine differenzierbare Kurve ~ :
~u(t):=
= u
~t (t,u)=
ftir alle
F~r jedes
und eine differenzierbare Abbildung
J--*G F ,
heiBt eine Integralkurve des d~L dt
wenn
=
~o~
ist also die differenzierbare Kurve
~(t,u)
Integralkurve yon
, i=1,...,n. ~Pu: J--*G
mit
F •
("Eindeutigkeitssatz") Vor.:
G offene Teilmenge yon
Beh.:
Sind
~ P , ~ : J--*G
f~r ein
8.5.
t
o
eJ,
R n,
F: G - - + ~ n
differenzierbare Abbildung.
Integralkurven von F u n d
so folgt
+=~
gilt
~ ( t o) =
~ ( t o)
•
Integralkurven yon Vektorfeldern.
Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und X ein differenzierbares Vektorfeld auf M . renzierbare Kurve
Ist J ein offenes Intervall in ~ , ~:
J--*M
eine Inte~ralkurve yon X , '~
=
=
XoW
• + + D das Tangentialfeld yon ~'.
so heist die diffewenn gilt
,
Zun~chst ~bertragen wir den Exi-
stenzsatz von 8.4. auf Mannigfaltigkeiten.
i mm 11 Vor. :
M differenzierbare Mannigfaltigkeit,
X differenzierbares Vektor-
feld auf M . Beh.:
Zu jedem Punkt q aus M gibt es eine Umgebung V yon q und ein offenes Intervall J um 0 in : J XV
~M,
so dab
~
und eine differenzierbare Abbildung
- 277 (1)
~(o,p)
(2)
~t,p
fGr alle ip~D t mit
p ~V
an
und
JXV
p6V
Die Integralkurven ~t: V--~M
und
~t,p
~p: J--~M
Die Abbildung
~p
der Tangentenvektor ip: J - - ~ J ~ V
mit
~
@t(p):=
a:= x(q)
Injektionen
k6nnen nun
@(t,p)
~(t,p)
V:= x-l(w)
offenbar
und die Abbildun-
"Str~mungsfronten"
yon ~ .
q mit Definitionsbereich
und betrachte die Abbildung
,G
= x-1@~t,x(p))
~p(t):=
nennt man einen lokalen Flu~ yon X.
Nach Satz 1
ein offenes Intervall J um 0 in
Funktion "~: J x w
mit
von X hei~en auch "Stromlinien"
F(u):= (xxl,...,xxn)~x-1(u) . W yon a,
(t,p)
im Punkte (t,p) ist,
W~hle eine Karte x yon M u m
G:= x(U)
X@~
t • J , wenn
ist die Kurve
Integralkurve yon X .
Bew. :
=
,
ip(t):= (t,p).
FUr jedes
gen
-- p
U.
Setze
F: G - - * ~ n
in 8.4. gibt es eine Umgebung ~ und eine differenzierbare
mit den Eigenschaften
(1) und (2) in 8.4.
setzen und
,M
definieren.
~:
mit
JXV
durch
Wir
~(t,p):=
Die Gleiehungen (I) und (2) verifiziert
man unmittelbar. Wir geben noch die Version des Eindeutigkeitssatzes
f~r Mannigfaltig-
keiten.
|~A
2L
Voro : M differenzierbare
Mannigfaltigkeit,
X differenzierbares
Vektor-
feld auf M. Beh.: Sind
~,~
fur ein
: J--~M t ~J,
Integralkurven yon X und gilt so folgt
~=
~(t o) =
~ ( t o)
~.
O
Bew. : Sei J
das grS~te Intervall um t O
stimmen.
J
o hausdorffsch.
ist sicher abgeschlossen in J,
also
Definitionsbereich n
auf dem ~ da W und
~
Wir zeigen nun, da6 Jo auch offen in J ist:
Punkt aus Jo'
F: G - - ~
in J,
und
~
~berein-
O
mit
~(tl)
stetig und M Sei t I ein
= ~ ( t 1) . W~hle eine Karte x um
U und setze
~(t 1)
mit
G:= x(U) . Betrachte die Abbildung
F(u):= (Xx 1,...,Xxn)~x.4(u ) .
Definiere
fur ein offenes
- 278 Intervall ~,~
J1 um t I in J mit
: J1---*G
~',~
durch
~(J1 ) C U
die differenzierbaren
~'(t):= x e ~ ( t )
Integralkurven
und
~(t):= xo~(t)
des Differentialgleichungssystems
~'(t 1) = ~ ( t 1) . Nach dem Eindeutigkeitssatz also auch t E J o o wiesen.
~J1
=
~J1
"
Daher ist
und J zusammenh~ngend,
Aus dem Eindeutigkeitssatz
Kurven
. Offenbar
F ~ und es gilt
haben wir damlt
"W=~
8.6.
eindeutig
folgt
J
o
= J , und die Behauptung ist be-
folgt unmittelbar,
bestimmt
,
J1 ~ Jo ' mithin Jo offen in J • Da
da~ ein auf
JXV
definier-
ter lokaler Flu~ von X eindeutig bestimmt ist, da die Stromlinien Flusses
sind
des
sind.
Der maximale Flu~ eines Vektorfeldes.
Jedes Vektorfeld bestimmt
Vor. :
eindeutig einen "maximalen"
M differenzierbare
Mannigfaltigkeit,
feld auf M • FUr jedes p ~ M und
~p: Jp--*M
Integralkurve
"maximal definiert", einer Integralkurve Beh.:
Es existiert
X differenzierbares
in 8.5. eindeutig bestimmte
yon X mit
Abbildung
~: W--*M
W
~ ~ ×M
(2)
~(t,p)
Ferner ist bildung
~
kurven
~p
gilt dann
~O}XM =
CW
= und
X@~(t,p)
~p(t) ~(O,p)
fur
zu geben mit
= P
(t,p) E W .
von X sind die Stromlinien von ~
zu
und genau eine
f~ fur
den maximalen Flu~ des Vektorfeldes
Intervall J um 0 in
~p
mit
apx~p} = C ~ x ~ p ~ ) ~ w
__~@~It,p
yon
yon X .
CI~
Insbesondere
ma-
~p(O) = p • Dabei heist
es gibt keine echte Erweiterung
genau eine offene Menge
differenzierbare
Vektor-
sei Jp offenes Intervall um 0 in
die nach Lemma 2
ximal definierte
Flu~.
~.
JXMCW,
X.
pcM, (t,p) a W .
fur alle
p~M.
Wir nennen die AbDie maximalen
Integral-
Es braucht kein offenes d.h. eine wirkliche
Bewe-
gung yon ganz M l~ngs der Stromlinien ,Lit der durch X gegebenen Geschwindigkeit kann fur jedes Zeitintervall
unmSglich
sein. Man nenne Beispiele,
-
etwa auf ~ . J XM CW ,
279
-
Sobald es ein offenes Intervall J um 0 in ~ gibt mit
also etwa wenn M kompakt ist, folgt offenbar
jede Integralkurve von X kann dann auf R Bew.:
Notwendig ist
Die Abbildung
H W = o~J~Jp....X{p}.
@ : W--~M
~XM
Deshalb ist W eindeutig bestimmt.
und
und J die Menge aller
len Flu~
~ differenzierbar ist.
t ~ Jp , so dab
O ~ J . Nach Lemma I
~': J'XV'--bM
und es ist
(t,p)
eine Umgebung in
mit
(O,p)~J'XV' • Offenbar liegt
~' = ~ J ' % V ' ,
da die Stromlinien yon
~'
J'XV'
W~hle einen H~ufungspunkt
to yon J in Jp . Betrachte zu
lokalen FluB ~ " : J" X V "
bM
finden, so da~
O ~J"
t o - t lIJ''
und
von J in Jp und die Integralkurve und
und
~p(t 1)~V'',
J ist auch J = J
~p(t o)
~p(t o) ~ V " .
~p stetig ist.
in W,
Integralkurven
J ist nach Definition offen in J . Wir zeigen, P abgeschlossen in J Mit dem Zusammenhang von J folgt dann P P damit die Behauptung.
mit
J ist
in 8.5. gibt es n~mlich einen loka-
yon X sind.
tl~J
denn
erweitert werden.
Xi~A besitzt, die in W liegt und auf der ~ differenzierbar. nicht leer, denn
,
ist durch (2) eindeutig bestimmt. Es bleibt nur
zu zeigen, da~ W offen in Sei p • M
W = ~XM
und
P
einen
Man kann ein
da to H~ufungspunkt
Nun gilt f~r
t - t I • J,,
@(tl,q) ~V" (3)
~(t,q) = @ " ( t - t 1 ,
@(tl,q) )
Denn ~ " ( t - t I , ~(tl,q) ~ = @ " ~ ( t l , q ) ( t - t Abbildung
t--~@"@q(t4) (t - t 1)
X M
in einer Umgebung
bung yon
,
so dab
(to,P)
in
differenzierbar, also
8.7.
J1 ~ V
~q(t) = ~(t,q) yon (tl, p)
definiert und differenzierbar, da
Jo um t o C R
t - t lIJ'' AXM
und
I) = @ " ~ q ( t l ) ( t - t l ) .
Die
ist Integralkurve yon X , d i e mit
an der Stelle t I ~bereinstimmt. Wegen Nun ist ~
•
f~r
t ~Jo.
Jo % V C W .
hat man (3) •
mit ~ ( t I ~ V ) CV,'
t I • J.
@q
in
W~hle eine Umgebung
Dann ist
JoXV
Mit (3) ist @ auf
eine UmgeJo ~ V
t • J. o
Ein Fortsetzun~ssatz.
Um zu entscheiden, ob Integralkurven eines Vektorfeldes bereits maximal definiert sind oder sich noch erweitern lassen, ist das folgende Kriterium wichtig.
-
28o
-
("For tsetzungssat z" ) Vor.
:
M differenzierbare Mannigfaltigkeit, X differenzierbares Vektorfeld auf M,
%°: [~,~)
eine Folge in p~:= Beh. :
~(t~)
(a)
~M
[~,~ ) mit
Integralkurve yon X . Ferner sei t~ lira t~ = ~
einen Konvergenzpunkt
derart, da~ die Bildfolge
p ~M
hat.
Zu jeder Umgebung U yon p gibt es ein
alle
t([s,~)
gilt
~(t)~U
sg[~,~)
d.h. es gilt
(b)
~(~):= p Bezeichnet
von X mit Bew. :
so dab fGr
lim~(t) = p.
l~St sich also zu einer stetigen Abbildung durch
,
~: L ~ , ~ a
~M
erweitern. c: J--~M
c(~) = p ,
die maximal definierte Integralkurve
so gilt [~,~] ~ J
und
c~[~,~] = ~ .
Zu (a): Wir nehmen an, es gibt eine Umgebung U von p und eine
Folge ~w in
[~,~)mit
lira ~v = ~
und
~(~) ~U
f~r alle ~ .
Offsnbar
kann man U dann so w~hlen, da5 U Definitionsbereich einer Karte x mit x(p) = 0
ist.
Nun w~hle man Zahlen ~ > ~ > 0 derart, da~ die kompakte um 0 in • n ganz in x(U) liegt, und Teilfolgen t~1 , "tv~ der
~-Kugel ~ Folgen
ty, ~.
wenn B t die
mit
und
si~[tv£ , ~m&]
mit
[tv&, si])s ~ x-1(~4) . Bezeichnet
so hat man
~(t~i)~x-1(Bt) , ~ ( ~ ) - ~ x ' I ( B ~ )
(-Kugel um 0 in R n bezeichnet.
eins kleinste Zahl ~(
t~&'t~i.,
~ U x ~ ( t ) | | dt
~
,
Da ~ stetig, gibt es dann
~(si)~x-1(~j-B~)
,
also
? die Abstandsfunktion dee ~ n ,
~(x-'(ty~) , x . ~ ( s i ) ) ,
mit der Dreiecks-
u~lei~hu~g folgt ~(x.*(t~), x.*(s~)) ZI~(O, ~.'(si)) -daher
~Ux.~(t)|| dt ~ - ~
erh~it schlie~lich
mO,
und man
~ $&
(~) Nun ist und
~x@X~ : U
~x.~(t)| ,~
auf
dt
~-- k ( ~ - ~ )
x-~(~)
l|x@X|| stetig. Andererseits hat man
also ist f~r
~
|Ix.%&,! auf
t e .~[t~,,
si]
%~-~(x-~(~a)) •
.
beschrankt, da ~ = Xo~
,
beschr~nkt, etwa
x-~(~)
kompakt
da %~ Integralkurve, %%x~(t)||~2 ~
SO ergibt sich
s-m4
was offenbar f~r gen~gend groSes k einen Widerspruch zu (~) liefert.
a81
-
Zu (b):
Wegen
= ]i~X~(t)
=
fort durch und in
~(t)= X~(~),
lim ~ ( t ) =
zierbar ist und
xlo~
fur
ist in ~
~= X o~
hat man
lira ~ ( t ) =
stetig. Setzt man nun ,
und es gilt
X%~(~).
(~) = X~(~).
xio~
t~[~,~)
t~J-~,~
differenzierbar,
ferner hat man zu prUfen,
f~r
well X und ~
~(t):= c(t)
J- @ |
Dann ist
X~(t)
-
so ~ = c.
~ zu ~: J--~M
Denn
~(t) = X~(t)
~ist
f~r
Wir zeigen, dab ~ in ~
stetig
t ~
,
differen-
Man hat bezUglich einer Karte~_x um p nut
einmal differenzierbar und
D x-og#~= D xioc,~o
offenbar auch belimbig h~ufig differenzierbar.
stetig in
~,
xl.~(~ ) - xlo~( t )
=
Da
findet man mit dem Mittelwertsatz D xl'~(~) , wobei ~i(t,~)
fur
t~
bzw.
~E(~,t)
~-t
fur
~ • t •
Also
Wenn M k o m p a k t e Vektorfeld noch
auf
einmal,
D xio~(~) =
lira D xio;(~)
differenzierbare M,
jede
so erh~lt
und ~(~) = X~(~) = Xc(~) •
Mannigfaltigkeit
man m i t
und X differenzierbares
einem anderen
maximale Integralkurve
Argument als
%o y o n X i s t
auf
ganz
in ~
8.6. defi-
niert. Denn zun~chst ist der Definitionsbereich von %° ~in nicht leeres offenes Intervall in ~ ,
das nach dem Lemma auch abgeschlossen in ~
ist,
well in M jede Folge einen Konvergenzpunkt hat. Jedes Vektorfeld auf M i s t also vollst~ndig, vgl. 8.8.
8.8.
Einparameter-Gruppen yon Diffeomorphismen.
Sei M differenzierbare Mannigfaltigkeit. ~: ~XM
•M
Eine differenzierbare Abbildung
heist eine Einparameter-Gruppe yon Diffeomorphismen auf M,
wenn fur die Abbildungen
~t: M--*M
mit
tE~
und
~t(p):=
~(t,p)
gilt
(I)
~o =
id
(a)
tl,t 2 6 R des t ~
. Wegen ~t ° ~-t = ~-t ° ~ t = ~o = id ±st @t f~r jeein Diffeomorphismus yon M auf M • $ kann man als "differen-
zierbaren" Homomorphismus der Lie-Gruppe
R in die Diffeomorphismengruppe
- 282 -
Diff M
von M auffassen.
Vektorfeld X auf M,
Durch
wenn man
Man sagt,
X sei durch
gewinnt man ein differenzierbares
Xp:=
der maximale Flu~ yon X , die 8.6.
S
t~t~o,p
setzt.
@
ist offenbar
S t sind die StrSmungsfronten S
yon
S,
Zu einem differenzierbaren Vektorfeld X auf M
(einer "infinitesimalen
Transformation")
gibt es im allgemeinen keine Einparameter-Gruppe
Diffeomorphismen,
die X induziert.
von Diffeomorphismen
in diesem Fall kann also jede Integralkurve yon X auf
tert werden. Umgekehrt ist X vollst~ndig, kurve von X ganz
~
(3) (4)
= p
erwei-
hat. Denn dann ist der maximale
Abbildung
S(O,p)
~
sobald jede maximale Integral-
als Definitionsbereich
Flu6 von X eine differenzierbare
yon
Das Vektorfeld X heist vollst~ndig,
wenn der maximale FluB yon X eine Einparameter-Gruppe auf M i s t ,
vgl.
induziert.
@ : ~XM
~M , und es gilt
,
S ( t 1 + t2,P) = ~ ( t I, S(t2,P))
,
wobei (3) nach Definition des maximalen Flusses yon X erfGllt ist und (4) auf Grund des Eindeutigkeitssatzes t--~(t+t2,P) fGr
t = O
und
t
folgt, well fur festes p und festes t 2
~ S ( t , ~(t2,P) )
durch den Punkt
~(t2, p)
Integralkurven von X sind, die
laufen.
Nit (3) und (4)
hat man
(1) und (2). Insbesondere ist also der maximale Flu~ eines differenzierbaren Vektorfeldes auf einer kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit Einparameter-Gruppe
yon Diffeomorphismen
auf M •
s~ets eine
-
283
-
Sachverzeichnis
Abbildung -
cr
Eckpunkte eines Dreiseits
- geliftete
139
einfach zusammenh~ngend
200, 225
- isometrische 71, 158
Einsteinmannigfaltigkeit
- konforme 90
Einsteinsche
Ableitung (Cartansche)
- kovariante
42
Summenkonvention
Abstandssph~ren
- Untergruppe
156, 251
Elementarl~nge
163
32
125, 246
Eulercharakteristik
Bettizahlen 268 41
- yon
77
yon
Sn
117
-
- Singularit~ten
136, 147, 154 19
173
pn(~) 239
Brennpunkt
147
- eXpp als Uberlagerungsabbildung
Cartansche Strukturgleichungen
48
FaserbGndel
Christoffel-Symbole
84
fast-komplexe
107
Fermi-Koordinaten
Cr-Abbildungen 3, 5
Struktur 238 113
FluB, maximaler 278
Strukturen 3
Derivation 23, 26
Fortsetzungssatz
280
Frobeniustheorie
25
Fubini-Study-Metrik 4
237
Fundamentalform
Differential yon f 10, 42
-
Differenzierbare
- zweite 104
Struktur 1,5,266
Distribution 25
erste und zweite 70
Fundamentalgruppe
eines Vektorfeldes
Dreiseit 183 verallgemeinertes
206
19
Codazzi-Gleichungen
Diffeomorphismus
exp 67
- Definitionsbereich
Brennort 135
BGndelkarte
268
Exponentialabbildung
Bianchi-ldentit~t bogenverwandt
einer Lie Gruppe 59 162
Elliptische Geometrie 98 Energie
"berGhren"
281
Ellipsoid 111
Anheften yon Zellen 243
-
23
- Gruppen von Diffeomorphismen
35, 36, 41
Abstandsfunktion
Divergenz
99
Einparameter
- ~uBere
-
183
Einbettung 12
5
90
einer Mannigfaltigkeit
- nicht positiver KrGmmung 206 - positiver KrGmmung 218
195
Durchmesser 212, 254 , 264
Fundamentaltensor - indefiniter
69
111
-
-
zweiter 104
284
-
Hyperbolischer
Fundamentalsatz Morse-Theorie
der 245
Funktionalmatrix
Hyperboloid
9
Funktionskeime
5
GauS-Abbildung
108
Immersion
Raum 98, 194
111
12
Index - einer Geod~tischen
GauBsche
Gleichungen
GauSsches
Lemma 136
Geod~tische
- eines kritischen Punktes 105
150
infinitesimale Vektorfelder
154, 240, 241
Integralkurve
89
- der Abstandsfunktion Graph einer Funktion
Transformationen 23
Injektivit~tsradius
18
251
18
244
142, 145
Indextheorem
glatt = differenzierbar Gradient
Indexform
56
- periodische
148
=
162, 170, 227, 254
276
intrinsec
17
Isometrie
71, 159
Isometriegruppe einer Riemannschen Mannfgfaltigkeit 73 HauptkrGmmungen
104
isometrisch
HauptkrGmmungsrichtungen Hessische
Form
Jakobifelder
- einer differenzierbaren on 89 - der Abstandsfunktion
Funkti-
Holonomiegruppe
-
K~hler_Mannigfaltigkeit 89
55, 208, 223
in. O(n)
81
homogener Raum 20, 102, 232, 236 - normaler 234, 235, 266 homotop 242 homotopie~quivalent Homotopie
127, 130, 131
als Entartungsraum
242
Killing-Form
235
konform ~quivalent
90
konforme Abbildung
90
konjugierter
0rt 135, 172
konjugierter
Punkt 133
Kontraktion
42
242
konvex 159, 269 konvexe Fl~chen
-
(p,q)
197
stGckweise
- Typ 142, 269 -
zwischen Geod~tischen
Hopf-Faserung
189
Konvexit~tsradius differenzierbare
21
Hopf-Rinow
(Satz von) 166
horizontal
45
162, 228
199 Koordinaten -
198
270
Kegel 116
- freie 210 -
der Indexform 144
251
Hessischer Tensor einer differenzierbaren Funktion
Holonomie
71, 158
104
-
-
fast normale Ferminormale
- Polarkritiecher
113
113 112 119 Punkt,
nicht degenerierter 244
-
KrGmmung -
-
- K~hlersche 270
als MaB des Winkelexcessee
- ~ - beschr~nkte -
285
96
- mit Rand 16
213
GauB-Kroneckersche
- nicht hausdorffsche 104
- Riemannsche
69
- unendlich dimensionale
- homogener R~ume 235
- Raum positiver
(negativer)
96
metrischer Raum 156
- R~ume konstanter 94,216,207
Morse-Schoenberg
- Ricci 95, 178, 216
Morse-Theorie
relative 104
KrGmmungsidentit~ten
Myers 212
91
105 Nash-Einbettungssatz
KrGmmungsteneor 41 - yon Produktmannigfaltigkeiten
-
99
NormalenbGndel
geschlossene
n-Sphere sn,s;
50
75
115
Normalkoordinaten
Kurve -
176
121, 245
Multiplizit~t eines konjugierten Punktes 134
Riemannsche 93
KrGmmungsgrGBen,
KrGmmungslinie
35
Metrik siehe Riemannsche Metrik
- mittlere 104
-
2
112
2,117,1}0,146,176,2}6
normale 76
- stGckweise differenzierbare
76
Orientierung 219 Orientierungshomomorphismus
L~nge einer differenzierbaren ve
"lange Gerade"
Paraboloid
90
Levi-Civita Parallelismus
111
parallelisierbar
83
- Ableitung 25 Algebra 27
35,51,53,88
Parameterdarstellung,
lokale 32
Phasenraum 33
217
lokal symmetrisch 100, 131
Polarkoodinaten PrinzipalbGndel, Produktmetrik
Mannigfaltigkeit analytische
54
Parallelverschiebung
Parametrisierung nach der Bogenl~nge 76, 77
- Gruppe 19
-
30
parallele Tensorfelder
- historisch 86
Linsenr~ume
222
85
parakompakt 273
Lie
-
OrientierungsGberlagerung
2
Laplace-Operator
-
Kur-
Orthogonale Komponente
75
220
assoziiertes
70
Projektive R~ume 20,223,238
3
- flache 208 gleichungsdefinierte
119
109
Rauch 178
33
-
regul~res
Urbild 14
2
8
6
-
TangentialbGndel
Ricci
-
- Identit~t
79
Tensor 94
-
KrGmmung 95, 178, 216
-
tangentiale
69
konvexe mit Rand 269 offene positiver KrGmmung
-
vollst~ndige
- fur
-
269
-
paralleles
71
Toponogoff
182, 215
Torus
19
Tn
Torusknoten
75, 234
Schnittort
Schurscher
total geod~tisch
108
Transversalraum
169, 172
trivial
zweier Kurven 70
95
Sph~renbGndel,
tangentiales
Sph~rensatz
29
- mit Zellen 259 - lokal endliche Verfeinerung 81
Uberlagerung
256, 263
- verschirfter
Umkehrsatz
267
273
21,169,204,222
11
unit~re Gruppe 236
100
Spinorgruppe
Spin(5) = S 3
27
Variation
Spray 60
- eigentliche
- geod~tischer Stereografische Symmetrischer
Synge-Lemma
19
Uberdeckung 184
SkalarkrGmmung
Synge-Formel
regular 15
Satz 99
Seitencosinussatz
_ pn(®)
107, 158 14
Trivialisierung
Seiten 183
Spiegelung
74
19
transversal Schnittwinkel
54
- linksinvariantes
TM 73
normale
32
Theorema egregium 105
75
Rotationsfl~chen
85
6
- klassischer
164
Metrik 69
- Induzierte
einer Kurve 56
Tensorfeld
-
- biinvariante
52
Komponente
Tangentialraum
Mannigfaltigkeit
Riemannsche
TkM
Tangentialfeld
-
Riemannsche
hSheres
28
64 Projektion
-
2
-
Raum 100, 135
122 224
21
-
f -verwandte
26
-
kommutierende
-
l~ngs Abbildungen
- linksinvariante
6
- Transformationsgleichungen
121 124
l~ngs einer Untermannigfaltigkeit 126
Vektorfelder
238
Tangentenvektoren
gebrochene
8
-
parallele
50
25
26
47
- 287 -
-
stGckweise glatte
- vollst~ndige
123
282
Vergleichssatz -
yon M o r s e - S c h o e n b e r g
-
yon R a u c h 178
- yon T o p o n o g o f f Vergleichstheorie
176
182 174
vertikal 45 V i e r s e i t 209
W e g 50 W e g e r a u m 125 - als C W - K o m p l e x
263
- nicht e n t a r t e t e r 248 - I~A
247 Pq Whitneyscher Einbettungssatz "Whitney-Summe"
17
33
Winkel 70 - im D r e i s e i t Winkelexcess
183
96
Winkelvergleichssatz
Zerlegung der E i n s Zusammenhang,
274
linearer
- linksinvarianter -
yon T o p o n o g o f f
Riemannscher
58
78
- yon L e v i - C i v i t a
83
Zusammenhangsabbildung Zylinder 115
35
44
182
Vol. 277: S6minaire Banach. Edit~ par C. Houzel. VII, 229 pages. 1972. DM 20,-
Vol. 309: D. H. Sattinger, Topics in Stability and Bifurcation Theory. Vl, 190 pages. 1973. DM 18,-
Vol. 278: H. Jacquet, Automorphic Forms on GL(2). Part II. XlII, 142 pages. 1972. DM 16,-
Vol. 310: B. Iversen, Generic Local Structure of the Morphisms in Commutative Algebra. IV, 108 pages. 1973. DM 16,-
Vol. 279: R. Bott, S. Gitler and I. M..James, Lectures on Algebraic and Differential Topology. V, 174 pages. 1972. DM 18,-
Vol. 311: Conference on Commutative Algebra. Edited byJ.W. Brewer and E. A. Rutter. VII, 251 pages. 1973. DM 22,-
Vol. 280: Conference on the Theory of Ordinary and Partial Differential Equations. Edited by W. N. Eyeritt and B. D. Sleeman. XV, 367 pages. 1972. DM 26,-
Vol. 312: Symposium on Ordinary Differential Equations. Edited by W. A. Harris, Jr. and Y. Sibuya. VIII, 204 pages. 1973. DM 22,-
Vol. 281 : Coherence in Categories. Edited by S. Mac Lane. VII, 235 pages. 1972. DM 20,Vol. 282: W. Klingenberg und P. Flaschel, Riemannsche Hilbertmannigfaltigkeiten. Periodische Geod~.tische. VII, 211 Seiten. 1972. DM 20,Vol. 283: L. Illusie, Complexe Cotangent et D~formations II. VII, 304 pages. 1972. DM 24,Vol. 284: P. A. Meyer, Martingales and Stochastic Integrals I. Vl, 89 pages. 1972. DM 16,Vot. 285: P. de la Harpe, Classical Banach-Lie Algebras and BanachLie Groups of Operators in Hiibert Space. III, 160 pages. 1972. DM 16,Vol. 286: S. Murakami, On Automorphisms of Siegel Domains. V, 95 pages. 1972. DM 16,Vol. 287: Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations. Edited by H. Komatsu. VII, 529 pages. 19?3. DM 36,Vol. 288: Groupes de Monodromie en Geom6trie AIg~brique. (SGA 7 I). Dirig~ par A. Grothendieck. IX, 523 pages. 1 g72. DM 50,Vol. 289: B. Fuglede, Finely Harmonic Functions. III, 188. 1972. DM 18,Vol. 290: D. B. Zagier, Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to Orbit Spaces. IX, 130 pages. 1972. DM 16,Vol. 291: P. Orlik, Seifert Manifolds. VIII, 155 pages. 1972. DM 16,Vol. 292: W. D. Waltis, A. P. Street and .1. S. Wallis, Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. V, 508 pages. 1972. DM 50,Vol. 293: R. A. DeVore, The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators. VIII, 289 pages. 1972. DM 24,Vol. 294: Stability of Stochastic Dynamical Systems. Edited by R. F. Cur~in. IX, 332 pages. 1972. DM 26,Vol. 295: C. Dellacherie, Ensembles Analytiq ues, Capacit~s, Mesu res de Hausdorff. XlI, 123 pages. 1972. DM 16,Vol. 296: Probability!and Information Theory I1. Edited by M. Behara, K. Krickeberg and J. Wolfowitz. V, 223 pages. 1973. DM 20,Vol. 297: .1. Garnett, Analytic Capacity and Measure. IV, 138 pages. 1972. DM 16,Vol. 298: Proceedings of the Second Conference on Compact Transformation Groups. Part 1. XlII, 453 pages. 1972. DM 32,Vol. 299: Proceedings of the Second Conference on Compact Transformation Groups. Part 2. XlV, 327 pages. 19'72. DM 26,Vol. 300: P. Eymard, Moyennes Invariantes et Representations Unitaires. I1.113 pages. 1972. DM 16,VoL 301: F. Pittnauer, Vorlesungen iJber asymptotische Reihen. VI, 186 Seiten. 1972. DM 1,8,Vol. 302: M. Demazure, Lectures on p-Divisible Groups. V, 98 pages. 1972. DM 16,Vol. 303: Graph Theory and Applications. Edited by Y. Alavi, D. R. Lick and A. T. White. IX, 329 pages. 1972. DM 26,Vol. 304: A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy Limits, Completions and Localizations. V, 348 pages. 1972. DM 26,Vol. 305: Th~orie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas. Tome 3. (SGA 4). Dirig~ par M. Artin, A. Grothendieck et .I.L. Verdier. VI, 640 pages. 1973. DM 50,Vol. 306: H. Luckhardt, Extensional GSdel Functional Interpretation. Vl, 161 pages. 1973. DM 18,Vol. 307: J. L. Bretagnolle, S. D. Chatterji et P.-A. Meyer, Ecole d'~t~ de Probabilit~s: Processus Stochastiques. VI, 198 pages. 1973. DM 20,Vol. 308: D. Knutson, ~.-Rings and the Representation Theory of the Symmetric Group. IV, 203 pages. 1973. DM 20,-
Vol. 313: K..16rgens and .1.Weidmann, Spectral Properties of Hamiltonian Operators. III, 140 pages. 1973. DM 16,Vol. 314: M. Deuring, Lectures on the Theory of Algebraic Functions of One Variable. VI, 151 pages. 19?3. DM 16,Vol. 315: K. Bichteler, Integration Theory (with Special Attention to Vector Measures). Vl, 357 pages. 1973. DM 26,Vol. 316: Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity. Edited by R..I. Knops. V, 176 pages. 1973. DM 18,Vol. 317: S~minaire Bourbaki - voL 1971/72. Exposes 400-417. IV, 361 pages. 1973. DM 26,Vol. 318: Recent Advances in Topological Dynamics. Edited by A. Beck, VIII, 285 pages. 1973. DM 24,Vol. 319: Conference on Group Theory. Edited by R. W. Gatterdam and K. W. Weston. V, 188 pages. 1973. DM 18,Vol. 320: Modular Functions of One Variable I. Edited by W. Kuyk. V, 195 pages. 1973. DM 18,Vol. 321 : S~minaire de Probabilit~s VII. Edit6 par P. A. Meyer. VI, 322 pages. 1973. DM 26,VoL 322: Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology. Edited by I. Stakgold, D. D. Joseph and D. H. Sattinger. VIII, 357 pages. 1973. DM 26,Vol. 323: J. L. Lions, Perturbations Singuli~res dans les Probl~mes aux Limites et en ContrSle Optimal. XII, 645 page s. 1973. DM 42,Vol. 324: K. Kreith, Oscillation Theory. VI, 109 pages. 1973. DM 16,Vol. 325: Ch.-Ch. Chou, La Transformation de Fourier Complexe st L'Equation de Convolution. IX, 137 pages. 1973. DM 16,Vol. 326: A. Robert, Elliptic Curves. VIII, 264 pages. 1973. DM 22,Vol. 327: E. Matlis, 1-Dimensional Cohen-Macaulay Rings. XII, 157 pages. 1973. DM 18,Vol. 328: J. R. B0chi and D. Siefkes, The Monadic Second Order Theory of All Countable Ordinals. VI, 217 pages. 1973. DM 20,Vol. 329: W. Trebels, Multipliers for (C, ¢)-Bounded Fourier Expansions in Banach Spaces and Approximation Theory. VII, 103 pages. 1973. DM 16,Vol. 330: Proceedings of the Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory. Edited by G. Maruyama and Yu. V. Prokhorov. VI, 550 pages. 19?3. DM 36,Vol. 331: Summer School on Topological Vector Spaces. Edited by L. Waetbroeck. VI, 226 pages. 19?3. DM 20,Vol. 332: S~minaire Pierre Lelong (Analyse) Ann6e 1971-1972. V, 131 pages. 1973. DM 16,Vol. 333: Numerische, insbesondere approximationstheoretische Behandlung yon Funktionalgleichungen. Herausgegeben yon R. Ansorge und W. TSrnig. VI, 296 Seiten. 1973. DM 24,Vol. 334: F. Schweiger, The Metrical Theory of Jacobi-Perron Algorithm. V, 111 pages. 1973. DM 16,Vol. 335: H. Huck, R. Roitzsch, U. Simon, W. Vortisch, R. Walden, B. Wegner und W. Wendland, Beweismethoden der Differentialgeometrie im GroSen. IX, 159 Seiten. 1973. DM 18,Vol. 336: L'Analyse Harmonique dans le Domaine Complexe.Edit~ par E. J. Akutowicz. VIII, 169 pages. 1973. DM 18,Vol. 33?: Cambridge Summer School in Mathematical Logic. Edited by A. R. D. Mathias and H. Rogers. IX, 660 pages. 1973. DM 42,Vol: 338: J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach Spaces. IX, 243 pages. 1973. DM 22,Vol. 339: G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford and B. Saint-Donat, Toroidal Embeddings I. VIII, 209 pages. 1973. DM 20,Vol. 340: Groupes de Monodromie en G~om~trie AIg6brique. (SGA 7 II). Par P. Deligne et N. Katz. X, 438 pages. 1973. DM 40,Vol. 341: Algebraic K-Theory I,' Higher K-Theories. Edited by H. Bass. XV, 335 pages. 1973. DM 26,-
Vol. 342: Algebraic K-Theory II, "Classical" Algebraic K-Theory, and Connections with Arithmetic. Edited by H. Bass. XV, 52? pages. 1973. DM 36,Vol. 343: Algebraic KoTheory III, Hermitian K-Theory and Geometric Applications. Edited by H. Bass. XV, 572 pages. 1973. DM 38,Vol. 344: A. S. Troelstra (Editor), Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysis. XVlI, 485 pages. 1973. DM 34,Vol. 345: Proceedings of a Conference on Operator Theory. Edited by P. A. Fillmore. Vl, 228 pages. 1973. DM 20,Vol. 346: Fu~ik et al., Spectral Analysis of Nonlinear OperatorS. II, 267 pages. 1973. DM 26,Vol. 347: J. M. Boardman and R. M. Vogt, Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces. X, 257 pages. 1973. DM 22,Vol. 348: A. M. Mathai and R. I~;~Saxena, Generalized Hypargeometric Functions with Applidations in Statistics and Physical Sciences. VII, 314 pages. 1973. DM 26,Vol. 349: Modular Functions of One Variable I1. Edited by W. Kuyk and P. Deligne. V, 598 pages. 1973. DM 38,Vol. 350: Modular Functions of One Variable III. Edited by W. Kuyk and ,I.-P. Serre. V, 350 pages. 1973. DM 26,VoL 351 : H. Tachikawa, Quasi-Frobenius Rings and Generalizations. XI, 172 pages. 1973. DM 18,Vol. 352: J. D. Fay, Theta Functions on Riemann Surfaces. V, 137 pages. 1973. DM 16,Voi. 353: Proceedings of the Conference on Orders, Group Rings and Related Topics. Organized by J. S. Hsia, M. L. Madan and T. G. Ralley. X, 224 pages. 1973. DM 20,VoI. 354: K..1. Devlin, Aspects of Constructibility. XlI, 240 pages. 1973. DM 22,Vol. 355: M. Sion, A Theory of Semigroup Valued Measures. V, 140 pages. 1973. DM 16,Vol. 356: W. L. ,i. van der Kallen, Infinitesimally Central-Extensions of Chevalley Groups. VII, 147 pages. 1973. DM 16,Vol. 357: W. Borho, P. Gabriel und R. Rentschler, Primideate in EinhLillenden aufl6sbarer Lie-Algebren. V, 182 Seiten. 1973. DM 18,Vol. 358: F. L. Williams, Tensor Products of Principal Series Representations. Vl, 132 pages. 1973. DM 16,Vol. 359: U. Stammbach, Homology in Group Theory. VIII, 183 pages. 1973. DM 18,Vol. 360: W. J. Padgett and R. L. Taylor, Laws of Large Numbers for Normed Linear Spaces and Certain Frechet Spaces. Vl, 111 pages. 1973. DM 16,Vol. 361 : .1. W. Schutz, Foundations of Special Relativity: Kinematic Axioms for Minkowski Space Time. XX, 314 pages. 1973. DM 26,Vol. 362 : Proceedings of the Conference on Numerical Solution of Ordinary Differential Equations. Edited by D. Bettis. VIII, 490 pages. 1974. DM 34,Vol. 363: Conference on the Numerical Solution of Differential Equations. Edited by G. A. Watson. IX, 221 pages. 1974. DM 20,VoI. 364: Proceedings on Infinite Dimensional Holomorphy. Edited by T. L. Hayden and T. ,i. Suffridge. VII, 212 pages. 1974. DM 20,Vol. 365: R. P. Gilbert, Constructive Methods for Elliptic Equations. VII, 397 pages. 1974. DM 26,Vol. 366: R. Steinberg, Conjugacy Classes in Algebraic Groups (Notes by V. V. Deodhar). Vl, 159 pages. 1974. DM 18,Vol. 367: K. Langmann und W. LDtkebohmert, Cousinverteilungen und Fortsetzungss~tze. Vl, 151 Seiten. 1974. DM 16,Vol. 368: R..1. Milgram, Unstable Homotopy from the Stable Point of View. V, 109 pages. 1974. DM 16,Vol. 369: Victoria Symposium on Nonstandard Analysis. Edited by A. Hurd and P. Loeb. XVlll, 339 pages. 1974. DM 26,-
Vol. 370: B. Mazur and W. Messing, Universal Extensions and One Dimensional Crystalline Cohomology. VII, 134 pages. 1974. DM 16,Vol. 371 : V. Poenaru, Analyse Differentielle. V, 228 pages. 1974. DM 20,Vol. 372: Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups 1973. Edited by M. F. Newman. VII, ?40 pages. 1974. DM 48,Vol. 373 : A. E. R. Woodcock and T. Poston, A Geometrical Study of the Elementary Catastrophes. V, 257 pages. 1974. DM 22,Vol. 374 S. Yamamuro, Differential Calculus in Topological Linear Spaces. IV, 179 pages. 1974. DM 18,Vol. 375: Topology Conference 1973. Edited by R. F. Dickman Jr. and P. Fletcher. X, 283 pages. 1974. DM 24,Vol. 376 : D. B. Osteyee and I. ,i. Good, Information, Weight of Evidence, the Singularity between Probability Measures and Signal Detection. Xl, 156 pages. 1974. DM 16.Vol. 377: A. M. Fink, Almost Periodic Differential Equations. VIII, 336 pages. 1974. DM 26,Vol. 378: TOPO 72 - General Topology and its Applications. Proceedings 1972. Edited by R. Al5, R. W. Heath and,l. Nagata. XlV, 651 pages. 1974. DM 50,Vol. 37g: A. Badrikian et S. Chevet, Mesures Cylindriques, Espaces de Wiener et Fonctions Aleatoires Gaussiennes. X, 383 pages. 1974. DM 32,Vol. 380: M. Petrich, Rings- and Semigroups. VIII, 182 pages. 1974. DM 18,Vol. 381 : S~minaire de Probabilit~s VIII. Edit~ par P. A. Meyer. IX, 354 pages. 1974. DM 32,~/ol. 382: ,i. H. van Lint, Combinatorial Theory Seminar Eindhoven University of Technology. Vl, 131 pages. 1974. DM 18,Vol. 383: Seminaire Bourbaki - vol. 1972/73. Exposes 418-435. IV, 334 pages. 1974. DM 30,VoI. 384: Functional Analysis and Applications, Proceedings 1972. Edited by L. Nachbin. V, 270 pages. 1974. DM 22,Vol. 385: J. Douglas ,ir. and T. Dupont, Collocation Methods for Parabolic Equations in a Single Space Variable (Based on C ~Piecewise-Polynomial Spaces). V, 147 pages. 1974. DM 16,Vol. 386: J. Tits, Buildings of Spherical Type and Finite BNPairs. IX, 299 pages. 1974. DM 24,Vol. 38?: C. P. Bruter, Elements de la Th~orie des Matrd(des. V, 138 pages. 1974. DM 18,Vol. 388: R. L. Lipsman, Group Representations. X, 166 pages. 1974. DM 20,Vol. 389: M.-A. Knus et M. Ojanguren, Th{~orie de la Descente et Algebres d' Azumaya. IV, 163 pages. 1974. DM 20,Vol. 390: P. A. Meyer, P. Priouret et F. Spitzer, Ecole d'Et~ de Probabilites de Saint-Flour III - 1973. Edite par A. Badrikian et P.-L. Hennequin. VIII, 189 pages. 1974. DM 20,Vol. 391 : J. Gray, Formal Category Theory: Adjointness for 2Categories. XII, 282 pages. 1974. DM 24,Vol. 392: Geometrie Differentielle, Colloque, Santiago de Compostela, Espagne 1972. Edite par E. Vidal. VI, 225 pages. 1974. DM 20,Vol. 393 : G. Wassermann, Stability of Unfoldings. IX, 164 pages. 1974. DM 20,Vol. 394 : W. M. Patterson 3rd, Iterative Methods for the Solution of a Linear Operator Equation in Hilbert Space - A Survey. III, 183 pages. 1974. DM 20,Vol. 395: Numerische Behandlung nichtlinearer Integrodifferential- und Differentialgleichungen. Tagung 1973. Herausgegeben yon R. Ansorge und W. TOrnig. VII, 313 Seiten. 1974. DM 28,Vol. 396: K. H. Hofmann, M. Mislove and A. Stralka, The Pontryagin Duality of Compact O-Dimensional Semilattices and its Applications. XVI, 122 pages. 1g?4. DM 18,Vol. 397: T. Yamada, The Schur Subgroup of the Brauer Group. V, 159 pages. 1974. DM 18,Vol. 396: Theories de I'lnformation, Actes des Rencontres de Marseille-Luminy, 1973. Edite par J. Kampe de Feriet et C. Picard. XII, 201 pages. 1974. DM 23,-
Vol, 399: Functional Analysis and its Applications, Proceedings 1973. Edited by H. G. Garnir, K. R. Unni and J. H. Williamson. XVII, 569 pages. 1974. DM 44,Vol. 400: A Crash Course on Kleinian Groups - San Francisco 1974. Edited by L. Bers and I. Kra. VII, 130 pages. 1974. DM 18,-
Vol. 429: L. Cohn, Analytic Theory of the Harish-Chandra CFunction. IV, 154 pages. 1974. DM 18,-
VoL 401: F. Atiyah, Elliptic Operators and Compact Groups. V, 93 pages. 1974. DM 18,-
Vol. 431 : S~minaire Bourbaki - vol. 1973/74. Exposes 436-452. IV, 347 pages. 1975. DM 30,-
Vol. 402: M. Waldschmidt, Nombres Transcendants. VIII, 277 pages. 1974. DM 25,-
Vol. 432: R. P. Pflug, Holomorphiegebiete, pseudokonvexe Gebiete und das Levi-Problem. VI, 210 Seiten. 1975. DM 23,-
Vol. 403: Combinatorial Mathematics - Proceedings 1972. Edited by D. A. Holton. VIII, 148 pages. 1974. DM 18,-
Vol. 433: W. G. Fads, Self-Adjoint Operators. VII, 115 pages. 1975. DM 18,-
VoL 404 : Theorie d u Potentiel et Analyse Hormonique. Edite par J. Faraut. V, 245 pages. 1974. DM 25,VoL 405: K. Devlin and H. Johnsbr&ten, The Souslin Problem. VIII, 132 pages. 1974. DM 18,VoL 406: Graphsand Combinatorics - Proceedings 1973. Edited by R. A. Bari and F. Harary. VIII, 355 pages. 1974. DM 30,-
Vol. 434: P. Brenner, V. Thom~e, and L. B. Wahlbin, Besov Spaces and Applications to Difference Methods for Initial Value Problems. II, 154 pages. 1975. DM 18,-
Vol. 407 : P. Berthelot, Cohomologie Cristalline des SchV~masde Caracteristiclue IO > o. VIII, 598 pages. 1974. DM 44,-
Vol. 436: L. Auslander and R. Tolimieri, Abelian HarmonicAnalysis, Theta Functions and Function Algebras on a Nilmanifold, V, 99 pages. 1975. DM 18,-
Vol. 408: J. Wermer, Potential Theory. VIII, 146 pages. 1974. DM 18,Vol. 409 : Fonctions de Plusieurs Variables Complexes, Seminaire Franqois Norguet 1970-1973. XIII, 612 pages. 1974. DM 47,Vol. 410: S~bminaire Pierre Lelong (Analyse) Annee 1972-1973. VI, 181 pages. 1974. DM 18,Vol. 411: Hypergraph Seminar. Ohio State University, 1972. Edited by C. Berge and D. Ray-Chaudhud. IX, 287 pages. 1974. DM 28,Vol. 412: Classification of Algebraic Varieties and Compact Complex Manifolds. Proceedings 1974. Edited by H. Popp. V, 333 pages. 1974. DM 30,VoL 413: M. Bruneau, Variation Totale d'une Fonction. XIV, 332 pages. 1974. DM 30,VoL 414: T. Kambayashi, M M;yanishi and M. Takeuchi, Unipotent Algebraic Groups. VI, 165 pages. 1974. DM 20,Vol. 415: Ordinary and Partial Differential Equations, Proceedings of the Conference held at Dundee, 1974. XVII, 447 pages. 1974. DM 37,Vol. 416: M. E. Taylor, Pseudo Differential Operators. IV, 155 pages. 1974. DM 18,VoI. 417: H. H. Keller, Differential Calculus in Locally Convex Spaces. XVI, 131 pages. 1974. DM 18,Vol. 418: Localization in Group Theory and Homotopy Theory and Related Topics Battelle Seattle 1974 Seminar. Edited by P. J. Hilton. VI, 171 pages. 1974. DM 20,Vol. 419: Topics in Analysis - Proceedings 1970. Edited by O. E. Lehto, I. S. Louhivaara, and R. H. Nevanlinna. XIII, 391 pages. 1974. DM 35,VoL 420: Category Seminar. Proceedings, Sydney Category Theory Seminar 1972/73. Edited by G. M. Kelly. Vl, 3?5 pages. 1974. DM 32,Vol. 421: V. Poenaru, Groupes Discrets. Vl, 216 pages. 1974. DM 23,Vol. 422: J.-M. Lemaire, AIgebres Connexes et Homologie des Espaces de Lacets. XlV, 133 pages. 1974. DM 23,Vol. 423: S. S. Abhyankar and A. M. Sathaye, Geometric Theory of Algebraic Space Curves. XlV, 302 pages. 1974. DM 28,VoL 424: L. Welss and J. Wolfowitz, Maximum Probability Estimators and Related Topics. V, 106 pages. 1974. DM 18,Vol. 425: P. R. Chernoft and J. E. Marsden, Properties of Infinite Dimensional Hamiltonian Systems. IV, 160 pages. 1974. DM 20,Vol. 426: M. L. Silverstein, Symmetric Markov Processes. IX, 287 pages. 1974. DM 28,Vol. 427: H. Omori, Infinite Dimensional Lie Transformation Groups. XII, 149 pages. 1974. DM 18,Vol. 428: Algebraic and Geometrical Methods in Topology, Proceedings 1973. Edited by L. F. McAuley. XI, 280 pages. 1974. DM 28,-
Vol. 430: Constructive and Computational Methods for Differential and Integral Equations. Symposium 1974. Edited by D. L. Colton and R. P. Gilbert. VII, 476 pages. 1974. DM 37,-
Vol. 435: C. F. Dunkl and D. E. Ramirez, Representations of Commutative Semitopological Semigroups. Vl, 181 pages. 1975. DM 20,-
Vol. 437: D. W. Masser, Elliptic Functions and Transcendence. XIV, 143 pages. 1975. DM 18,Vol. 438: Geometric Topology, Proceedings 1974. Edited by L. C. Glaser and T. B. Rushing. X, 459 pages. 1975. DM 37,Vol. 439: K. Ueno, Classification Theory of Algebraic Varieties and Compact complex Spaces. XlX, 278 pages. 1975. DM 28,Vol. 443: M. P. Lazard, commutative Formal Groups. II, 236 pages. 1975. DM 23,Vol. 444 : F. van Oystaeyen, Prime Spectra in Non-Commutative Algebra V, 128 pages. 19"75. DM 18,-
