Lecture Notes in Mathematics An informal series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zerich
12
m
m
Albrecht Dold Mathematisches Institut der Universit~t Heidelberg
Halbexakte Homotopi efu n kto re n
1966
9
Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
!
0.0
Inhalt.
Oe
Einleitung
1.
Darstellbare
2.
Multiplikative
3.
Die H o m o t o p i e e r w e i t e r u n g s e i g e n s c h a f t
4.
Die
5.
Halbexakte
6.
Beispiele
von halbexakten
7.
Vergleich
halbexakter
8.
Halbexakte
Funktoren
mit M o n o i d s t r u k t u r
I
.................
8.1
9.
11
II
II
11
II . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
lO.
II
II
I!
II
Rolle
Funktoren
...................................
1.1
.................................
2.1
Strukturen
des G r u n d p u n k t e s
......................
................................
Homotopiefunktoren
.............................
Postnikov-Paktoren
12.
"
13.
Hindernistheorie
14.
Die
15.
Produkte
16.
Darstellbarkeit
17.
Literatur
...........................
7.1
(III)
und
rationalen 10. I
.......................................
1 1. I
.....................................
12.1
..........................................
13.1
-Invarianten
Spektralsequenz
Anhang
5.1 6.1
Koeffizienten ll.
4.1
.......................
Funktoren
Funktoren
3.1
halbexakter
in der Spektralsequenz halbexakter
Monoidfunktoren
..........
...........................
Funktoren
....................
................................................
14.1 I~.I 16.1 17.1
O.1
Einleitung.
Ein grundlegendes Problem der Topologie ist die Homotopieklassifikation der stetigen Abbildungen eines topologischen Raumes einem anderen
Y , also die "Berechnung"
Homotopieklassen von Abbildungen
X
der Menge
so erkennt man schnell,
individuelle R~ume
X , Y
also die Transformationen
~(X'
untersuchen,
~(X , Y)
oder
aller
dass es verfehlt wgre,
zu betrachten. Vielmehr hat man X
in
> Y . Besch~ftigt man sich
mit diesem Problem,
als Funktor der Variablen
X
Y
~(X , Y)
(oder beider) aufzufassen,
, Y)<
~(X , Y)
die durch stetige Abbildungen
X'
> ~(X , Y') > X
bezw.
Y
zu > Y'
induziert werden. NatGrlich wird man die Klasse der zugelassenen (oder
Y)
X
beschr~nken mGssen, um konkrete Ergebnisse zu erhalten;
wir werden meist annehmen,
dass
X
ein zusammenh~ngender (kompakter
oder wenigstens endlich-dimensionaler)
CW-Raum ist. Ausserdem ist
es (aus technischen GrGnden) zweckm~ssig, Abbildungen und Homotopien mit Grundpunkt zu betrachten. Wir dr~cken das durch die Schreibweise ~(X , Y).
aus und benutzen ~berhaupt das Zeichen
*
stets als Hin-
weis auf den Grundpunkt.
Es sei also
W.
(bezw.
W~
bezw
.
_. W ~ )
die Kategorie der zusam-
menh~ngenden kompakten (bezw. endlich-dimensionalen bezw. beliebigen) es sei
CW-R~ume und ihrer stetigen Abbildungen mit Grundpunkt, und HtW.
(bezw.
HtW~
bezw.
HtW~ )
die Kategorie derselben
R~ume aber mit Homotopieklassen als Morphismen. F~r jeden CW-Raum W ~ Y ~ _.
ist
~(-, Y).
ein kontravarianter Funktor von
W.
in die
0.2
Kategorie der Mengen
Ens
; diese Funktoren wurden von E.H. BROWN
axiomatisch charakterisiert keitsvoraussetzung). Ein Funktor
(unter einer zusgtzlichen Abz~hlbar-
Wir nehmen Brown's Axiome als Ausgangspunkt:
t : W.
> Ens
heisst halbexakt, wenn er Brown's
Axiomen gen~gt. Die halbexakten Funktoren und ihre nat~rlichen Transformationen bilden selbst eine Kategorie nung
Y ~
~(-,Y).
BROWN ist
ist ein Funktor
> HEF . Nach
B bijektiv auf (Equivalenzklassen yon) 0bjekten und
surjektiv (aber nicht injektiv setzung
~ : HtW~
HEF , und die Zuord-
HtW. C H t W ~
B> HEF
!) auf Morhpismen. Die Zusammenist eine volle Einbettung,
also die Homotopietheorie kompakter CW-R~ume in ist. Beim Ubergang von
HtW ~ zu
HEF
HEF
so dass
enthalten
dagegen geht etwas verloren:
man vernachlgssigt Terme, die auf allen kompakten CW-Unterr~umen verschwinden.
HEF
ist eine (echte) Quotientenkategorie von
Es gibt verschiedene Gr~nde daf~r, neben die Kategorie
HEF
HtW .
auch
zu betrachten: Einmal lassen sich einige Kon-
struktlonen der Homotopietheorie ~ll
HtW____. ~ oder
HtW~ .
- 12) leichter in
(z.B. die Postnikovzerlegung
HE___F als in
HtW~
ausfGhren.
Zum anderen
gibt es wichtige halbexakte Funktoren (wie Kohomologie oder K-Theorie),
die von Natur aus in
ohne Anstrengung nach
HtW~
HEF
zuhause sind und die nicht
gebracht werden k~nnen. Ferner ~ber-
tragen sich Methoden und Ergebnisse ~ber halbexakte Funktoren auf andere, nicht mehr "darstellbare"
Situationen (vgl. Anhang,
insb.
Abschnitt 8). Schliesslich ist es wohl immer von Vorteil, wenn ein Problemkreis in verschiedenen
(aber ~quivalenten) Kategorien
behandelt werden kann (wie z.B. Homotopie in semi-simplizialen oder geometrischen Kategorien).
o.3
Ersetzt man in der Definition yon endlich-dimensionale
(also
W
HEF
durch
kompakte 0W-Rgume durch W~), so erh~lt man eine
ganz analoge Theorie (5.2). Lgsst man aber auch die Dimensionsbeschr~nkung fallen (und geht zu
W~
~ber), so entstehen wesent-
liche Enderungen und neue Schwierigkeiten,
die ich nicht systema-
tisch untersucht habe.
Der vorliegende Text ist im wesentlichen die Ausarbeitung einer Vorlesung,
die ich im Winter 1964/65 in Heidelberg gehalten habe.
Eine fr~here Vervielf~ltigung
(Amsterdam 1963) wurde benutzt und
in ver~nderter Form mit aufgenommen. Vortrags
Im Anhang ist ein Tell eines
(Seattle 1962) wiedergegeben,
der als einfache Einf~hrung
in die Theorie dienen kann. - Den Herren R. Fittler und F. Kraus, die Teile des Manuskripts gelesen haben, verdanke ich Berichtigungen und Verbesserungen.
1.1
1
Darstellbare
Funktoren
[ GROTHENDIECK
1.1 D E F I N I T I O N .
Es sei ~ [ e i n e
ein k o v a r i a n t e r universell
(1.2)
Palls
Kategorie
und F : ~
.> Ens
Ein E l e m e n t u e FK, K ~ ,
heisst
(f~r P), w e n n die A b b i l d u n g
[K,X] bijektiv
Funktor.
]
> Px
ist f~r alle X ~ .
ein solches
und wir sagen
Paar
(K,u)
(K,u)
existiert,
so h e i s s t P dars~eilbar,
- oder auch e i n f a c h K - stelle
den P u n k t o r
F dar. W e n n P dutch men zu
~ : K
(K,u) d a r g e s t e l l t > X vollkommen
1.3 SATZ:
ergibt
ein
~ : K
> X mit
des d a r s t e l l e n d e n
Objektes)
durch (K',u')
(K,u) als auoh
eine e i n d e u t i g b e s t i m m t e A q u i v a l e n z Zungchst gibt es n ~ m l i c h ~:
K'
. > K , ~'
(P~')u = u' also
ZZ,
: K
, also
= id
Kategorie.
dargestellt, ~:
K' ~
Wird F sowohl
dann ~ibt as
K mit
(F~)u' = u
eindeutig bestimmte Morphismen > K' mit
P(XM')
, Z'Z=
Die k o n t r a v a r i a n t e n eindeutig
(P~)u = x.
aioh leicht der
(Eindeutigkeit
duroh
dann sind also die M o r p h i s -
durch ihren E f f e k t auf u bestimm%;
jedem x e FX gibt es genau
Daraus
wird,
u = u
(Fx)u' ,
= u,
F(~'Z)
u' = u'
,
id.
Funktoren ~
den k o v a r i a n t e n
> Ens
Funktoren
Die D e f i n i t i o n e n
1.1,
tragen sich daher sinngem~ss.
~op
entsprechen umkehrbar > Ens
der dualen
1.2 und der Satz 1.3 ~ b e r -
1.2
Wir b e t r a c h t e n nun einige B e i s p i e l e 1.4 Die F u n k t o r e n mengenwertige hK(x)
.
hK, h K
durch
K e~
d e f i n i e r e n wit
hK(X ) = [K , X],
E i n E l e m e n t u a h K L = [K , L] ist genau dann
(fGr hK) , w e n n
, x] bijektiv
F~r jedes Objekt
Funktoren
= [X , K]
universell (1.5)
hK, h K .
>
, x]
,
ist ffir alle X. Das ist sicher der Pall, w e n n
eine A q u i v a l e n z Ist u m g e k e h r t
ist, u'
eine A q u i v a l e n ~
z.B. fGr
: K
> L
~ . 9 K
u = id K
(also L = K).
universell,
> L
mit
u : K~L
dann gibt es n a c h 1.3
~-id = u'
, also ist
u'
eine A q u i v a l e n z . Der F u n k t o r h K ist also stets d a r s t e l l b a r Umgekehrt
ist
~quivalent
jeder d a r s t e l l b a r e
(die A b b i l d u n g
Teilmengen wir
Pf
: PY
kontravarianten
F u n k t o r e n h K (vgl. auch 1.13).
> Y
f : X
> PX
eine Abbildung,
(Pf)B = f-lB.
durch
Funktor
P : Ens
u a PK, also eine T e i l m e n g e
universell,
w e n n die A b b i l d u n g e n
nur dann m~glich,
w e n n sowohl
bestehen.
2-Punkt-Menge
dargestellt.
1.7 I d e n t i f i k a t i o n s r a u m .
~f
Komposi•
: A
> X
> K
eineindeutig
sind. Das ist o f f e n b a r
P wird
K - u
A. F~r
aus genau
d e m n a c h durch eine
Es sei A ein t o p o l o g i s c h e r jedes X ~ Top
Raum und R sei
I R ( a , a ~) - - ~ fa = f a ' ~
von A b b i l d u n g e n
F : Top
> Ens.
r a u m A/R,
und die P r o j e k t i o n
Element 9
u C K, ist genau dann
ale auch
Der F u n k t o r
eine A q u i v a l e n z - r e l a t i w ~ i n FX =
u
Damit wird P mum
~ : X
charakterisiert
einem E l e m e n t
so d e f i n i e r e n
> Ens.
Ein E l e m e n t
d u r c h das Urbild ~ - l u
Entsprechen-
X a Ens ordnen wir die Menge PX ihrer
Jeder Menge
zu. Ist
F einem F u n k t o r h K
1.2 ist eine ~quivalenz).
des gilt f~r k o n t r a v a r i a n t e 1.6 P o t e n z m e n g e .
Funktor
(trivialerweise).
Er wird
macht
F mum k o v a r i a n t e n
dargestellt A
Funktor
dutch den I d e n t i f i k a t i o n s -
> A/R
ist ein u n i v e r s e l l e s
1.8 T e n s o r p r o d u k t . B
Es seien
zwei Moduln.
FX die M e n g e
F~r
~
jede a b e l s c h e
der b i l i n e a r e n
position
mit H o m o m o r p h i s m e n
F
> Ens
: Ab
A |
, und
selles
E&ement
1.9 Freie
Menge. M
~
Er wird
> X
rianten
jedes
X e ~
durch
bezw.
Sind
: ~"
> Ens
die G e s a m t h e i t
IF,T]
> T
viel
den f r e i e n k[M].
Beispiels
betrachten~
sagen,
und
bezeichne
. > X
.
Kom-
Funktur
ist ein u n i v e r -
nicht
der Gruppen,
k-Algebren
und M eine
feste
durch
F zum k o v a -
die freie
von M
von M e r z e u g t e n
~-Modul
Ein u n i v e r s e l l e s
Element
gegeben. finden
Funktoren
- Der L e s e r wird
k~nnen.
Im a l l g e m e i n e n
ist
reicht
-
gleicher
aller natGrlichen
einmal
bezw.
aller Abbildungen
von ~ macht
dargestellt
die I n k l u s i o n
dieses
F
A
das T e n s o r p r o d u k t
, b)~--~ a | b
mit M o r p h i s m e n
Varianten
F,T
durch
sei FX die Menge
die P o l y n o m a l g e b r a
jeweils
A N B
sei ~ die K a t e g o r i e
Er wird
Gruppe
(a
X a Ab
F zum k o v a r i a n t e n
dargestellt
kommutativen
. Komposition
erzeugte bezw.
Es
Funktor.
Gruppe
Eins,
F(A ~B).
in
bezw.
F~r
Ring mit
Abbildungen macht
die A b b i l d u n g
Strukturen.
~-Moduln,
ein f e s t e r
Varianz,
so k a n n m a n
Transformationen
l~sst
sich
ob sie eine Menge
dar~ber
ist.
nicht
Es gilt
aber
der 1.10
SATZ
:
F
Wird
T : ~"
> Ens
> TK
eine Bi~ektion.
jedem mit
Transformation, Diese
Formel
an, wie ~u
= a
man ; man
also
durch
ihren Wert
ist
dar-
auf dem
~: ~x
F
voraussetzen.
bestimmtes > T
= ~(F~)
u =
n~mlich
a ~ TK
ein
~
Zu
~ : K
> X
eine n a t ~ r l i c h e (T~)~u
dass ~ durch ~u b e s t i m m t
zu g e g e b e n e n setzt
Transformationen^eines
T als k o v a r i a n t
jetzt
dann gilt
zeigt,
und
ist
es ein e i n d e u t i g
. Ist
dargestellt
u klassifiziert. Fund
gibt
(K,u)
= rK(U )
F werden
Wir k ~ n n e n
~ = (F|) u
dann
Die n a t ~ r l i c h e n
Element
~ ~ F X
durch
, ~(Z)
Funktors
universellen Beweis:
> Ens
beliebig,
IF , T]
stellbaren
:~
~
ist und
sie gibt
c IF , T] findet
mit
1.4
(l.ll)
:
a
Zu b e w e i s e n nat~rlich F~r
z
.
ist nur,
ist,
e FX
dass diese F u n k t i o n
also v e r t r ~ g l i c h
T : FX
mit M o r p h i s m e n
> TX a : X
>Y
gilt abet
(Ta)T ~ = (Ta)(T~)
a = T(~)
a ~
T F(a~)
u = T(Fe)(F~)
u
=
also w i r k l i c h
(Ta)~ = T(Fa)
Wenden wit diesen
, wie behauptet.
Satz auf die Beispiele
1.4 an,
so erhalten
jeweils
durch Kom-
wir das 1.12
KOROLLAR:
[h K, hL]
~.~ [L , K]
[h K, h L]
~'~ [K , L]
Die A b b i l d u n g
von rechts
position
~ a[L
Z.B.
mit
entsprechen
(s. Beispiel
nach links wird
, K]
~' ~ [K , L]
die n a t ~ r l i c h e n
1.6) u m k e h r b a r
2-Punktmenge.
bezw.
ge~eben.
Transformationen
eindeutig
Es gibt daher folgende
P
den T e i l m e n g e n 4 natGrliche
> P der
Transfor-
mationen
wobei
(~
wie ~ b l i c h
Die Beispiele nen,
Ist K ~ ~ ist~
(1.14)
1.9 liefern weitere
die wir dem Leser Gberlassen.
folgende 1.13
das Komplement
yon
~ ~ PX bezeichnet.
interessante Wichtiger
f~r uns ist der
Gesichtspunkt.
F 9 ~-
> Ens
ein Funktor~
dann wird F ~enau dann durch
dar~estellt t wenn F dem Funktor h K bezw. d.h. wenn es eine natGrliche
[K, X] ~
Illustratio-
FX
bezw.
[X , K ] ~
h K ~quivalent
Bi~ektion
FX
gibt. Eine
solche
Bijektion
ist n ~ m l i c h
nach 1.10,
1.11 immer von
.
1.5
der Porm
[~---~ (F~) a
mit
1.1 besagt,
dass dann F durch
un•
Element
Wit k~nnen also (wenn
F
K
a ~ FK
und die Definition
(K,a) dargestellt wird. Das
a E PK
ist das Bild von
id K e [ K
, K].
dutch die Gleichung (1.14) definieren
gegeben ist). NatGrlich mGssen wit uns jeweils ~ber-
zeugen, ob ein solches 0bjekt wenn es existiert,
K
Gberhaupt existiert, abet
ist es dutch die Gleichung 1.13 bis auf
Aquivalenz festgelegt. Wir illustrieren die Methode an einigen Beispielen. 1.15 Punkt und Copunkt. Element
Sei
I~
(n~mlich ~) besteht.
wit den Funktor die Menge
X ~ - @ ~
~ ~ ~
In jeder Kategorie betrachten,
?~
Morphismen,
,
cpt E ~
[cpt , X] =
die durch
der jedem Objekt X
pt
dutch
~
faktorisieren,
Z.B. besteht das Punktobjekt von einem Element,
k~nnen
Wit definieren nun das Punktobjekt
bezw. Copunktobjekt
[X , pt] =
~
zuordnet. Je nach Belieben ist er kovari-
ant oder kontravariant. pt ~ ~
die Menge, die nut aus einem
Ens
heissen konstant.
oder
Top
aus genau
das Copunktobjekt ist leer (= ~). In der Kate-
gorie der abelschen Gruppen
Ab
stimmen Punkt- und Copunkt-
objekt mit der O-Gruppe Gberein. Situation sagen wir
0 e ~
In Verallgemeinerung dieser
sei ein Nullobjekt, wenn es zu-
gleich Punkt- und Copunktobjekt ist. In
Ens
gibt es also
kein Nullobjekt. Besitzt
~
ein Nullobjekt
zwei 0bjekten der durch Sind
U
0
X,Y ~ ~
8> Z
, dann gibt es zwischen je
genau einen Morphismus
faktorisiert;
Y> X , Y
0 e ~
0xy : X
> Y,
er heisst Nvllmorphismus.
beliebige Morphismen,
dann ist
~ * O x Y~ y = 0UZ . Wir schreibe~ abkGrzend 0 statt 0xy. 1.16 Direkte S~mme t direktes Produkt. wird die direkte Summe wie folgt definiert
A U B
FGr je zwei 0bjekte A,B e
und das direkte Produkt
(wenn sie existieren)
A n B
1.6
[AuB , X] = [A , X] X [B , X] IX , AnB] = Ix , A] x Ix , B] Rechts
stehen
jeweils
Die u n i v e r s e l l e n Paare
i : A
bezw.
p : AnB
die gewGhnlichen
Elemente
sind
> AuB, > A,
Sie werden Gblicherweise
) B
Injektion
der Summanden
In den Kategorien
Ens,
Top hat n die Bedeutung
und u ist die disjunkte
Vereinigung
bezw.
bezw. Pro~ektion
des Gblichen
die topologische
Produkts, Summe.
G__rrder Gruppen • u das freie und n das ~bliche In Ab stimmen u und ~ mit der ~blichen direkten
Die direkte Summe bezw. Ob jekten A7 e ~ y ~ [UTE~Ay
> AuB
q : AnB
genannt.
Produkte.
jeweils
j : B
auf die Fm~ktoren
In der Kategorie direkte Produkt. Summe Gberein.
mengentheoretischen
, X] = ~ e ~ [ A y
Ix , f] rAy] = Er[X
das direkte Produkt yon beliebig vielen wird dutch
, X] ,
A?]
definiert. FGr jedes Ny ~Ay
A
ist
A ~ cpt = A = A n pt. Ferner
Uy ~ A y
= cpt
= pt.
> B Morphismen in 1.17 Pasersumme und -produkt. Sind A
, X] =
I(~i~)
~ [A , X ~ B
, X]
Das universelle Element ist ein Paar j : B > A u~B , und is = j~ .
I~
i : A
= ~
I
) AaU ~B ,
,
1.7 ~t
Dual dazu iet die Situation A a~ M < B . Man definiert Paserprodukt ( = pullback) A m,~,B durch IX , A ~ , ~ , B B
=
~ (~'
, ~') ~ IX , A ] X [ X
Das universelle Element ist ein Paar q : AaI~,B > B , und a'p = ~'q .
, BS
das
I a'~' = ~"F' ~ .
p : Aa,n~,B
> A ,
Statt Auu~B schreiben wir auch AauB oder A u M B , wenn die anderen Data sich aus dem Zusammenhang ergeben; entsprechend fur Aa,~,B 9 Ist
M
ein Copunkt,
direkte Summe,
dann reduziert
A Ucp t B = A U B.
sich die Fasersumme Dual dazu ist
auf die
A nptB = A~
B .
In der Kategorie Gr der Gruppen h e i s s t ~ A u M B Ublicherweise freies Produkt mit Amal~amierung. Iet M ( P ~ e i n e Easerung (in der Kategorie Top), dann beisst A ,~ B I ~ ~ A Ublicherweise die durch a' induzierte
Faeerung.
Fixiert man ein 0bjekt M a ~ , so kann man die Kategorie ~ M der 0bjekte Uber M betrachten. Die 0bjekte in ~ M sind Pfeile Y ~> M von ~ , die Morphismen yon ~ M sind Pfeile ?: y ~ yt ! mit ~'~ = ~ . Das direkte Produkt von A ~> M undd B ~ > M in dieser Kategorie ~ M stimmt mit A ~ M B ~ M Uberein. Entsprechendes gilt fur A ~ M B.
1.18 Kern, Cokern. hat man also diff. coker
Stimmen im Beispiel 1.17 die 0bjekte A und B Uberein, A ~ M , dann kann man den Differenz-Cokern / (ate))durch
[diff coker (at~)
, X] =
I~ ~ [A , XS
I ~a = ~
~ t
definieren. Ebenso im dualen Pall diff. ker (a',~'), durch [X , diff ker (a',~')]= In der Kategorie
Ens
~'
A ~
E [X , AS
M
den Differenz-Kern
I a'~' = ~' ~ ' ~
9
z.B. stimmt diff. ker mit der'Koinzidenz-
,
1.8
menge" Eberein. Besonders wichtig ist der Spezialfall, dass ~ bezw. ~' mit dem Nullmorphismus Gbereinstimmt (wenn ~ ein Nullobjekt besitzt). In diesem Fall spricht man einfach von Kern, ker(a'), und Cokern,
coker (a),
[eoker(a)
also
, xS = ~
[X , ker(~')]
: A
= ~',
>x
I.I
= o}
X
In der Kategorie Ab der abelschen Gruppen haben Kern und Cokern die ~bliche Bedeutung. In der Kategorie G__:r der Gruppen stimmt coker(a : M ) A) mit der F ~ k t o r g r u p p e A /:m~-C~ ~berein, wobei im a den vom Bild, im(a), erzeugten Hormalteiler bezeichnet. Ubungsaufgabe: auf Fasersumme
Man reduziere und -produkt.
die Begriffe
diff.coker und diff.ker
1.19 Limites. Ist I ein teilweise geordnetes System, so versteht man unter einem projektiven System in ~ eine Abbildung A , die jedem i E I ein 0bjekt A i ~ ~" und jeder Relation i ~ j i id und einen Morphismus A~ .- Ai---~A j zuordnet, so dass A = A A~i = A ki . Ein induktives System ist dual definiert; es stimmt mit einem projektiven System in ~ o p Gberein. In der Kategorie Ens sind projektive und induktive Limites, ~im bezw li~ , gel~ufige Begriffe. Sie werden durch folgende Funktorgleichungen auf beliebige
Kategorien Gbertragen
IX , ~im IAi,A~ ] : ~
[X , A i]
[li_~IAi,AJ I, X]
[A i , X]
= ~
Dabei ist A ein projektives bezw. induktives System; auf der rechten Seite stehen gew~hnliche projektive Limites von Mengen. Ein projektives (induktives) System A ist nichts anderes als ein kontravarianter (kovarianter) Funktor A : I > ~" , wobei
1.9
als Morphismen yon I gerade die Relation i > j werden. Dies legt es nahe, das teilweise geordnete
betrachtet System I
durch eine beliebige Kategorie ~ zu ersetzen. [KAN, Chap. II] Im Palle der Mengen ist ohne weiteres klar, wie damn der Limesbegriff zu verallgemeinern ist : ~im ist nach wie vor ein Teil des P r o d u k t s ~ . A ( j ) l~dr beliebige Kategorien ~ und beliebige Funktoren A ~ > setzt man
[X , ~im A] = ~im [X , A] [li~ A , X] = ~im [A , X] Man beachte,
dass
[X , A]
ein Funktor
~
> Ens
ist (f~r jedes X).
2.1
2.
Multiplikative
[Literatur:
2.1 DEFINITION:
varianter
Es sei
Funktor.
ECKMANN-HILTON
~ Ist
Strukturen.
(a)]
eine Kategorie, ~
V : ~
eine weitere
) Ens
ein ko-
und
K E~@,
Kategorie,
so verstehen wir unter einer V-Struktur in K einen kontravarianten Funktor ~ : ~ ) ~ so dass V ~ = h K , also
[x , K] = v ~ x
f~r-
~'~
ist. In allen folgenden Anwendungen ist die Kategorie der Monoide,
V
ein'~ergiss"-Funktor
der (abelschen)
und
Gruppen,der Mengen
mit Operatoren o.~. Da der Funktor V dann also durch T festl gelegt ist, sprechen wir besser yon einer ~ - S t r u k t u r (statt V-Struktur). Ein T - O b ~ e k t ist damn ein 0bjekt K E~- zusammen mit einer 9 -Struktur. Konkret bedeutet dies, dass in der Menge (Monoid-,
Gruppen-
...Struktur)
bezGglich der Variablen Ein
~-Morphismus
Morphismus, [x
, f]
9 [x
:
[X,
eine T - S t r u k t u r
eingef~hrt ist, die natGrlich ist
X a ~ .
f : K
) K'
zwischen
T-0bjekten
ist ein
so dass , K]
fGr jedes X die sagen
Ix , KS
fS
> [x
, K']
T-Struktur muss im
erh~lt. V-Bild
Stattdessen kann man auch von
[~X,
sein. Folgende Beispiele fur
T
werden vorkommen
~'xS
enthalten
2.2
2.2
~=
Ens,, punktierte
0bjekte.
Die 0bjekte von
mit a u s g e z e i c h n e t e m Element,
die M o r p h i s m e n
dieses Element
T-0bjekte
Die
erhalten. Die
T-Struktur
besteht darin,
sind Abbildungen,
h e i s s e n punktierte
hat.
Transformation
(s. 1.15) in IX , K] vergibt,
also
gibt,
so entspricht
4 :
d.h. ein punktiertes
einem Morphismus pt
~
> IX , K] ~
ein Punktobjekt
T: pt
pt
> K (s. 1.10),
Objekt ist dann einfach ein 0bjekt
men mit einem Morphismus
K
zusam-
> K.
Die p u n k t i e r t e n 0bjekte v o n 9 bezeichnen.
des Punktfunktors
I~l
darstellbar ist, d.h. wenn es in ~
0bjekte.
Stattdessen kann man auch sagen,
dass man sich eine natGrliche
~~
die
dass man in IX , K] in n a t ~ r l i c h e r
Weise einen Punkt ausgezeichnet
Wenn
Ens, sind M e n g e n
bilden eine Kategorie,
In den sp~teren A N w e n d u n g e n
( ~ 3 ff~
die wir mit
~.
werden wir auch
das Punktobjekt pt meist mit * bezeichnen. Ein copunktiertes
0bjekt in
Objekt in ~ op . Falls
~
ist nach D e f i n i t i o n
K
>cpt.
= Mul, Ob~ekte mit Multiplikation. Menge
M
meist
u(x
plikation,
die
f(x 9 y) = (fx).(fy)
die Mul-Objekte
(von~).
gibt;
: IX
, K]•
entsprechend
IX
, K]
~
existiert,
~~
> M ; man schreibt
gen~gen,
f : M
> M',
bilden eine Kate-
h e i s s e n 0b~ekte mit Multi-
h e i s s e n 0b~ekte mit Comultiplia
in K
besteht also darin,
dass
Transformation > IX
, K]
> [K , El.
das direkte Produkt
K nK
dann ist (nach 1.12) eine
ein Morphismus
~
in einer
f~r eine C o m u l t i p l i k a t i o n
v = v x : [K , X] x [K , X] Wenn in
yon
yon
Eine M u l t i p l i k a t i o n
man sich eine nat~rliche u = ux
u : Mx M
, y) = x 9 y . Die m u l t i p l i k a t i v e n A b b i l d u n g e n
eben Mul. Die Mul-0bjekte
kation
Eine M u l t i p l i k a t i o n
ist einfach eine A b b i l d u n g
also diejenigen, gorie,
ein punktiertes
einen Copunkt besitzt, handelt es sich
einfach um die Situation 2.3
9
u : KnK
> K
bezw.
bezw. die direkte Summe (Co-) M u l t i p l i k a t i o n v : E
) KuK
K u K
einfach
2.3
Ein m u l t i p l i k a t i v e r K,K'
f~hrt d e f i n i t i o n s g e m ~ s s
KnK
u
~=
f : K
> K'
zwischen Mul-Objekten
zu einem k o m m u t a t i v e n D i a g r a m m
>K
K'nK'
2.4
Morphismus
> K'
H, H - 0 b j e k t e ~ .......... ,
Eine p u n k t i e r t e
k a t i o n heisst H-Menge
(oder Monoid),
neutral
der M u l t i p l i k a t i o n ,
ist b e z G g l i e h
H - M e n g e n und ihre M o r ~ h i s m e n H-Struktur handelt und 2.3.
Falls
Morphismen
u
w e n n der G r u n d p u n k t
: KnK
bilden die K a t e g o r i e H. Bei einer
pt
> K
e a M
e -m = m -e = m . Die
es sich o f f e n b a r um eine K o m b i n a t i o n
K n K und
die E i g e n s c h a f t ,
Menge M mit M u l t i p l i -
existieren, und
yon 2.2
ist die H - S t r u k t u r
e : pt
> K
gegeben;
durch
sie h a b e n
dass die Z u s a m m e n s e t z u n g e n
pt~K K
KnK %
>K
Knpt
mit dem i d e n t i s c h e n M o r p h i s m u s H'-Strukturen Kategorie
2.5
v
: K
> K~K,
Inversem.
Entsprechendes
L : K
> K ; falls
dass das D i a g r a m m
K (id,L~ K n K
pt --~-@ K
fGr
in der dualen
sind a s s o z i a t i v e
H - M e n g e n mit
gilt dann fGr die G r u p p e n o b j e k t e .
ist eine n a t ~ r l i c h e
dingung,
das sind H - S t r u k t u r e n
Gruppen
Transformation
mit der e v i d e n t e n Bedingung. mus
entsprechend
~P.
9 = Gr, G r u p p e n o b j e k t e . Inverse
~bereinstimmen;
KnK
Ihr entspricht und
pt
~ : IX , K]
Das > IX , K]
n a c h 1.12 ein M o r p h i s -
existieren,
besagt
die Be-
2.4
kommutativ ist ("Rechtsinverses");
ebenso f~r (~, id)
Ein Cogruppenobjekt ist, wie zu erwarten,
statt (id ,L).
ein Gruppenobjekt der dualen
Kategorie. 2.6 Operation eines 0b~ekts
K
auf einen anderen
L.
Dieser Begriff
ordnet sich nicht unmittelbar der allgemeinen Definition 2.1 unter. Man kann 2.1 entsprechend erweitern, aber da wit es nur mit einem Beispiel zu tun haben werden, verzichten wir auf diese Erweiterung. Es sei
K
ein Gruppenobjekt in
Eine Rechts-0peration von
~=
~x : I x
, T,],~[X
die fGr jedes Gruppe
X
, K]
K
auf
> [X
L
L
ein beliebiges 0bjekt.
ist eine natGrliche Abbildung
, T,]
,
eine Rechts-Operation
Ix , K] auf der Menge
dann entspricht
~ und
IX , L]
~ einem Morphismus
(im ~blichen Sinne) der ist. Wenn
~ 9 L nK
Ln K
existiert,
> L , dessen Eigen-
schaften wir nicht ausdrGcklich formulieren. Dual dazu ist eine (Rechts-) Co-Operation ~,
9 IT, , x ] x [ K
definiert ~'
: L
, x]
> IT, , X]
( K ein Cogruppenobjekt); > Lu
K
ihr entspricht ein Morphismus
.
Als Beispiele seien erw~hnt die Gruppenobjekte in den Kategorien Ens, Gr, Top, Diff (= differenzierbare Mannigfaltigkeiten), (= algebraische Mannigfaltigkeiten). folge Gruppen, abelsche Gruppen,
Alg
Sie heissen in dieser Reihen-
topologische Gruppen, Lie-Gruppen,
algebraische Gruppen. Die Cogruppen in der Kategorie der kommutativen (graduierten) Algebren heissen Hopf-Algebren.
Die H~0bjekte
in der Kategorie
Ht~ (= Homotopieklassen stetiger Abbildungen)
heissen H-R~ume,
die H'-Objekte heissen H'-R~umeo Beispiele yon
H'-R~umen werden in 2.7 DEFINITION:
Es sei
@ 4 eingehend diskutiert. ~
eine Kategorie, welche einen Copunkt be-
sitzt und in welcher alle endlichen ~
direkten Summen existie-
ren. Ein kovarianter bezw. kontravarianter Funktor
T : ~
>
2.5
heisst additiv~ wenn er endliche direkte Summen in direkte Summen (bezw. direkte Produkte) ein Co-Punkt-
GberfGhrt;
(bezw. Punkt-)
insbesondere
Injektionen direkter Summanden, TK~<
I-~T(KnL)~
dann heisst 2.8 SATZ:
T
Ist
) ~
die
dann sollen auch auf direkte F ~ k t o r e n ) .
Gilt
direkte Summen,
ein a d d i t i v e r Funktor und ist
(eine Cogruppenstruktur),
) T K u TK
eine H ' - S t r u k t u r Fall)
T : [K , X] ~ : L
L
Injektionen direkter S~Jmmanden sein (bezw.
(eine Gruppenstruktur). Ist
i> K u L < ~
Beziehung auch fGr unendliche
T : ~
im k o n t r a v a r i a n t e n bezw.
K
stren~ additiv.
eine H ' - S t r u k t u r Tv : TK
Sind
TL-~Projektionen
eine entsprechende
T(cpt)
Objekt sein. FUr zwei S u m m a n d e n ist
die Bedingung genauer die folgende: TK Ti) T ( K u L)
soll
> LuK
eine O p e r a t i o n ( ~
bezw.
eine H - S t r u k t u r
ist
T : [K , X]
eine m u l t i p l i k a t i v e
eine Cooperation~ ~o~=~(~z~
dann ist auch
> TK
X ~ ~
) [TX , TK]
$ KuK
(eine Cogruppenstruktur))
Tv : TK n TK Pfir ~edes
v : K
dann ist
T
)[TK,TX]
Abbildung. : TLnTK
) TL
~=e~)o
Der (leichte) Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe Wir stellen nun noch eine B e z i e h u n g
Gberlassen.
zwischen H- und H ' - O b j e k t e n her.
Zun~chst ein 2.9 LEMMA:
Es sei
u x : IX , L]~[X
L ~~
ein Ob~ekt mit M u l t i p l i k a t i o n
, L]
) IX , L]. Wenn
stimmt die A b b i l d u n ~ mit IX , L]x[Y
, L]x[X, ~x
Gberein.
UXu Y
Dabei ist
LIllY , ~ x
t
wit die M u l t i p l i k a t i o n (x , y).(x' Beweis:
, y ') =
Xu Y
: [XuY , L]X[XuY
, L] i d x t ~ i d , Ll~[Y
, L]
, y .y'
) [XuY , L]
, L~%-/~[x
der F~-ktoren.
generell mit einem
(x. x'
, ~[Y
Es genGgt,
IX , L],
diese K o m p o n e n t e n
, Ll
Bezeichnen
so lautet die B e h a u p t u n g
).
Beide A b b i l d u n g e n b e s t e h e n aus zwei Komponenten;
ist eine A b b i l d u n g in
d ann
>
, L~E~
die V e r t a u s c h u n g
existiert,
die erste
die zweite eine A b b i l d u n g in [Y , L].
zu vergleichen.
Die erste Komponente
2.6
von
Uxu Y
stimmt
die I n j e k t i o n
mit
[i , L] ~ U x u Y
bezeichnet.
[i , L] O U x u Y = Ux.([i
2.10
gerade
die
SATZ:
Es sei
(K , u) d a n n also
v K. W e n n
beiden
, L] x[ i
erste K o m p o n e n t e
. Wit haben und
Wegen
L ~ L
yon
auf den ~ o r p h i s m u s
und
und
v
S ei te
ist
davon
ein H ' - O b ~ e k t
[L , K], n g m l i c h dann
beide
kommutativ__und
: L
sind
stimmen
Wi r w e n d e n
) L uL
ist a b e r
wie b e h a u p t e t .
(L , v) in
u
> XuY
in uL
di es e assoziativ.
die N a t G r l i c h k e i t
an und
erhalten
ein kom-
Diagramm
[T, ~ T, , K ] ~, [ L ~ T, , K ]
(2.11)
L~',K]~,K]
> [T, , K] X [T, , K ]
UL~L
[T,-T,
von
existiert,
existiere~
LuL
i : X
(uXXUy).(idxt~id),
K, K
Nehmen
mutatives
Die r e c h t e
zwei H - S t r u k t u r e n
Beweis: u
, L]).
von
H-Strukturen_Gberein,
wenn
der N a t G r l i c h k e i t
ein H - O b ~ e k t
oder
w i r an
Gberein,
~
, K]
Wir schreiben
iv";E]
9
statt
u
und
>
+
UL
[T, , K ]
st at t
.
v. N a c h L e m m a
2.9 gilt
(x I , x 2) und (x~', x~) (x I , x2)'( ~' , x ~ ) = (Xl" ~ , x2"x~) fGr [L u L , K]. Die K o m m u t a t i v i t ~ t des D i a g r a m m s 2. 11 b e s a g t also aus (2.m2)
(x I .x~,) + (x 2 .~%,) = (x z + x 2 ) . ( x ~, + ~ ) Bezeichnen +
mit
a)
w i r das N e u t r a l e l e m e n t
O, so e r g i b t
x~
c)
x.y = (e + x ) - ( y
d)
= (x + e)-(e
9
mit
e, das b e z ~ g l i c h
sich nacheinander
e = e 9 e = (e + o).(o
b)
bez~glich
.
+ e) = e.O + O-e = 0 + 0 = 0
+ y) = x.e
+
e.y = x + y
+ e) = e-y + x.e = y + x = y . x
(x + y) + z = (x + y) + (0 + z) = (x + y ) . ( e =~x.e~+
(y-z)
+ z) = = x + (y + z)
2.7
2.13 Bemerkung:
Eine leichte A n a l y s e
auf f o l g e n d e m
einfachen Sachverhalt
Ist eine Men~e dass
u
Daraus
dass der v o r s t e h e n d e
beruht:
mit zwei H - S t r u k t u r e n > M
homomorph
dann ist
Im B e i s p i e l
u = u'
ist
Beweis
u, u'
versehen~
ist b e z G ~ l i c h
der
u'~u'
derart~ bezw.
und beide sind k o m m u t a t i v und asso-
M ~
[L
, K]
, u = u L , u' = v K .
folgt
2.14 SATZ: v
M
: MxM
u'-Struktur, ziativ.
zeigt,
Ist
: L
L e~
> L u L
v', v ' u v',
mit
zwei H ' - S t r u k t u r e n
ein H ' - M o r p h i s m u s
dann ist
v = v'
v, v'
bezG~lich
und beide
v e r s e h e n und ist
der S t r u k t u r e n
sind k o m m u t a t i v und asso-
ziativ. Als U b u n g Ist
L'
e m p f e h l e n wir dem Leser folgende K o n s e q u e n z ein H ' - O b j e k t
in der K a t e g o r i e
dann ist die S t r u k t u r von von
L'u L'
der H - O b j e k t e
k o m m u t a t i v und a s s o z i a t i v
sei n o c h f o l g e n d e r E i n d e u t i g k e i t s s a t z
F~r ~edes P a a r
H-Strukturen
m, n
X,Y ~ ~
seien in
H-Abbildun~en m = n
Zum Beweis
~,
(Existenz
eingef~Lhrt
sind. A u s s e r d e m
und beide
n
zwei n a t ~ r l i c h e
(m = n ist erlaubt). soll
X ~ X
oy
NatGrlichkeit
bezw.
stets
existieren.
Dann
sind k o m m u t a t i v und assoziativ.
b r a u c h t m a n nur v e r m ~ g e
und v e r m ~ g e
vermerkt
IX , Y]
b e d e u t e t t dass alle K o m p o s i t i o n s a b b i l d u n ~ e n ist
von
vorausgesetzt).
Schliesslich 2.15 SATZ:
L'
~'
von 2.14:
m
jedes Objekt als H - O b j e k t
jedes Objekt als H ' - O b j e k t
a u f z u f a s s e n und 2.10
anzuwenden. Als w e i t e r e A n w e n d u n g Eigenschaften -
von 2.10 ergeben sich z.B. die b e k a n n t e n
der H o m o t o p i e g r u p p e n
von H - R ~ u m e n
~STEENROD,
16.6
-
16.9].
2.16 U b u n g s a u f g a b e :
Ein Ring
~
kann als K a t e g o r i e
einem Objekt und den M o r p h i s m e n Komposition in ~ zeige,
fGr M o r p h i s m e n
k e~
sie nicht
Voraussetzung, GberflGssig
in 2.15
a u f g e f a s s t werden.
(in ~
Summen
existieren,
existieren
aus Als
Die A d d i t i o n +
wie in 2.15 beschrieben.
durch die M u l t i p l i k a t i o n
dass direkte
bestehend
dient die M u l t i p l i k a t i o n .
ist dann eine Z u s a t z s t r u k t u r dass
~
bestimmt
ist
Man ! Die
ist also nicht
sie nicht).
3.1
3.
Die Homotopieerweiterungseigenschaft
3.1 Wir wenden uns nun der Kategorie und
Htp
Top
(= HEE).
der stetigen Abbildungen
der Homotopieklassen stetiger Abbildungen zu. Letztere
ist bekanntlich eine Quotientenkategorie der ersteren; man erh~lt sie, indem man homotope Abbildungen identifiziert. Will man diese Betrachtungen einem allgemeinen Schema unterordnen, etwa yon der Funktion 0 ausgehen,
die jedem Paar
von stetigen Abbildungen die Menge @(f,g) fund und
so kann man
f,g : X
> Y
der Homotopien zwischen
g zuordnet. Man kann dann versuchen, Eigenschaften yon @
Top
als Axiome zu formulieren und darauf eine abstrakte Homoto-
pietheorie zu gr~nden. M~glicherweise nut Morphismen und Homotopien,
empfiehlt es sich auch, nicht
sondern auch Homotopien zwischen
Homotopien etc. zu betrachten. Man wird dann etwa darauf gef~hrt, eine Kategorie trachten, ordnet, :~x~
9
zusammen mit einer ~kmktion
die jedem Paar
so dass --@~
~ (X , Y) zu be-
X,Y a ~g eine semisimpliziale Menge zu-
IX , Y] = ~ o ( X
, Y). Genauer sollte
ein lhmktor in die Kategorie der semisimplizialen
Mengen sein, so dass
~- , -] = (0-Skelett).~
nicht in dieser abstrakten Weise vorgehen,
ist. Wir werden
aber immerhin versuchen,
die wichtigsten Definitionen und S~tze so zu formulieren,
dass sie
sich ohne Schwierigkeiten auf andere Situationen Gbertragen lassen. ~-,-I bezeichnet in diesem w stets die Menge der stetigen Abbildungen (also nicht etwa die Homotopieklassen). 3.2 Wie schon in 3.1 vorweggenommen, Menge aller Homotopien yon c [0 , 1] , so bezeichnet ~ ( ~ ) .
Sind
man ~ : f ~ g ~o = f , ~
f,g : X
X
bezeichnen wir mit
nach ~
: X
~ Y
Y . Ist > Y
~
@(X , Y)
a e(X , Y)
die
und
die Abbildung
stetige Abbildungen,
so schreibt
(lies " ~ ist eine Deformation von f in g"), falls
= g.
3.2
3.3 DEFINITION: i
Sei
i : A
) B
eine stetige Abbildung.
hat die H o m o t o p i e e r w e i t e r u n ~ s e i g e n s c h a f t
folgendes Gegeben
Wir sagen
(abgekGrzt
HEE),
wenn
gilt: 8 e [B , Y]
und d e e(A
, Y)
mit
d O = Boi,
dann existiert D E e(B
, Y)
mit
F~r A b b i l d u n g e n gebr~uchlich. Ist z.B.
B
Doi = d
(d.h.
und
Do = B .
mit der HEE ist auch die B e z e i c h n u n g
Der Quotient
B/iA
ein CW-Raum und
die I n k l u s i o n
Dti = d t )
i : A
~berdies
kompakt,
die HEE;
dies
) B
heisst
A
dann besitzt
die Cofaser yon i.
ein CW-Unterraum,
die HEE
(HILTON,
VII,
jede injektive
ist ein Spezialfall
eines
Cofaserung
dann besitzt 1.4).
Ist
Abbildung
allgemeineren
A
A
) B
Satzes
(3.15)
Gber ANR-R~ume. 3.4 SATZ:
Sind
die HEE~ Dabei
B (i
dann auch
bezeichnet
Beweis:
Seien
stetige A b b i l d u n ~ e n
j : C BUAC
) BUAC
, Y]
der Fasersumme
Well
i
und besitzt
("induzierte
die in 1.17 definierte und
d a e(C
ist
Y1 i = T2 f ' Y2 = T j" Ferner
d'o = dof
und
f~ C
y a [BuAC
Nach D e f i n i t i o n und
A
Cofaserung").
Fasersumme.
, Y)
y = (T1,T2) ist
i
mit
d o = T J-
~ [B, Y]x[C
d' = d f E e(A
, Y]
, Y) und
y j f = T2 f = T1 i die HEE besitzt,
D'
o
TI
gibt
es
D'
~ e(B, Y)
mit D'i = d' = d f
"
Dann ist aber
D t = (D~
, dt)
eine H o m o t o p i e
mit
Do = y
und
Di = d . D i e s e r Beweis induzierte Argumente
Faserung dieses
3.9 Beispiel: ~: B
ist n a t ~ r l i c h
~ A
i : A
mit
~i ~ id
r : B
) A
der gleiche
(a), 4.3].
w , und die Liste
Besitzt
Retraktion
[DOLD
formal
~ B
Dasselbe
liesse
wie der f~r die gilt fGr die m e i s t e n
sich noch verl~ngern.
die HEE und ~ibt
dann ~ibt
, ri = id.
es sogar
es eine A b b i l d u n ~
eine zu
~ homotope
Beweis:
Sei
d E e(A
Nach Voraussetzung Dann
3.6
ist
SATZ:
r = D~
Gegeben
bildung
f
> B'
gibt
Deformationen
dti
= i,
B = B'
d~i'
3.7 K O R O L L A R :
A
die
d
= i'
steti~e
Di = d
, d i = id. und
D o = ~.
Retraktion.
. Ist
und f
eine
stetige
Ab-
eine H o m o t o p i e g q u i f-
: B'
: f f - ~ id,
> B
mit
und
f i' = i,
.
: es g i b t
dann
eine
Homotopiegquivalenz
A i ' > B'
eine
Cofaserun~ ist
A
und
ist
starkes
i'
Gberdies
Deformationsretrakt
B~ .
Der Beweis bereits
SATZ:
ngmlich yon
unter
3.6
nur ist
B = A dual
Voraussetzung
Besitzt
i : A
ist
B ~ B/iA.
Beweis:
sei
d
konstante
Es
: idA=
Abbildung.
Dann
formation
D'
: B
> B/iA
Deformation ( d e n n ~ D'i induziert
auf
i A
und
, d.h.
faktorisiert
id B ~ ~ = ~ ~
Definition
Deformation gilt,
3.3
ist
~
, B/iA)
= ~ d' = ~ i d);
Sie
sie
ist
der Satz
der H E E l e g t
also
> B
ebenfalls
= ~
dort
kann
gefGhrt
werden.
von
id A
in eine
Deformation sich
von
zu e i n e r D e -
~i = D~i
= c'
ist
die P r o j e k t i o n
mit
~ = ~
konstant daher
durch
bewiesen.
Begriff
. Die
auf
. Da a u s s e r d e m
den folgenden
er
zusammenziehbar~
durch
faktorisiert
idB/iA
HEE
l~sst
Wegen
: B/iA
Wie
A
eine
erweitern.
es g i b t
~ D T ~ e(B
eine
c' = i C.
~ = D~
ist
Deformation
d' = i d
zu s e t z e n .
6.1].
"schwachen"
eine
ist
f = i'
(a),
die H E E und
c
in die K o n s t a n t e
konstant
[DOLD
einer
i = id~i
: id B =
, i = id,
zu
> B
A ~ 0, d a n n
Die
mit
i ~ B'
d'
d o = ~i
.
Ist
Man braucht
3.8
mit
Abbildung
= id,
eine. H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z ~ d a n n yon
A
fi = i'
: f~f
, A)
gesuchte
B
mit
es eine
Worten
rel.
> A
D ~ e(B
Cofaserungen
~
In a n d e r e n
eine D e f o r m a t i o n
existiert : B
: B
valenz r dann
, A)
nahe
i A ~
und
5.4
3.9 DEPINITION:
FGr jede stetige A b b i l d u n g
wir einen t o p o l o g i s c h e n Raum (3.10) [ Z f ,
X] = I ( ~ , ~ ) e
[B,
Zf
f : A
> B
durch die F u n k t o r g l e i c h u n g
X]Xe(A,
X)j~o
= ~f
(Die rechte Seite ist ein F u n k t o r in X verm~ge von
~ t ~ mit A b b i l d u n g e n
X
[0 , ~ , l o g i s c h e n Summe (0 , a)
e [0
I
der Z u s a m m e n s e t z u n g
> X'). Eine explizite K o n s t r u k t i o n
(und damit ein Existenzbeweis) Zf = ([0 , l ] x A ) ~
definieren
ist g e g e b e n durch
B , d.i. die Fasersumme von
io(a ) = (0 , a). Sie entsteht aus der topo([0 , 1 ] X A ) ~ B dutch I d e n t i f i z i e r e n yon
, 1]~A
Ist insbesondere
mit
A = B
f(a)
und
e B.
f = id , dann ist
Zf = ZB = [0 , 1]XB;
dies folgt aus 3.10 oder der expliziten Konstruktion. FGr jedes
f
ist
~ = (id X f ) U f ~ B :
Zf
> ZB
eine stetige Abbil-
dung und die D e f i n i t i o n 3.3 besagt nichts anderes als 3.11 SATZ:
Die A b b i l d u n g
es zu jedem 3.12 KOROLLAR:
~:
i : A
Zi
> Y
Die A b b i l d u n g
) B ein
E : ZB
i : A
und findet E =~L .
E ~
3.13 KOROLLAR:
Besitzt ) A
sion und ist iA
i =
~>
mit
i : A
> B
y
iA
yon
gibt mit
E,i, = ~ .
hat genau dann die HEE r w e n n
besitzt~
die HEE,
also Zi Retrakt ist
so setzt man
~ = idzi
L ,i, = id, dann 8etzt man
die HEE, dann gibt es eine abgein
B
und eine stetige A b b i l d u n g
~i = id . Die A b b i l d u n g
ist Umgebungsretrakt.
ausserdem
Wenn
eine abgeschlossene
i B
ist also eine Inkluhausdorffsch
Abbildung
ist,
(insbesondere
iA).
Beweis: B
iA
i
L
= id. Ist u m g e k e h r t
schlossene U m g e b u n g : V
Hat
> Y
> B
: Zi > ZB ein Linksinverses von ZB , i ~ = id. Beweis des Korollars:
hat ~enau dann die HEE t w e n n
Sei
L : ZB
[0 , I]~B
i
> Zi
eine Retraktion.
) [0 , l ] X A ~ i B ~ [ I
Wir betrachten
, I]XA
>A
,
3.5
wobei
tlb = (1 , b)
, E(t
V = (L ~,)-I @[1 , 1 ] x A ~ , l ) 2 Retraktion. Wir k 6 n n e n 3.14 SATZ. r : ~(t
, b) ~ [0 , l]xB
Anschaulich ( r, b ) ~ @
gesprochen
, 1] ~ a u f liegen,
L.
A
mist
Sind
b)
und
> B
gibt mit den ~ A.
von A, und
ist eine D e f o r m a t i o n s r e t r a k t i o n
(innerhalb
B) derart,
dass Punkte,
beschreiben.
3.14 auch n o t w e n d i g
und
r
gegeben,
> [0 , l]xB
von die nahe bei
- Die Bemerkung, ist, v e r d a n k e
dass
ich
, b)
Zi = [0 , 1]~A
b]) f I l r ~
dass
> [0 , 1]~B wir
~(b)
> 1
- 2t(~b) 2 , b]) ft~r I ( Wb (- i 2 r[t(~b) ,
%/ (0~ X B
L 1 : [0 , 1]*B
dann d e f i n i e r e n t e [0 , 1 ] ~ .
wir
fur
sich sofort,
L : [0 , 1]•
dann d e f i n i e r e n
durch
(0 ~ r[2t(~b)
=
Man G b e r z e u g t
nenten
> [0 , ~
~ die E n t f e r n u n g
((i - 2Tb).t,
in
hat g e n a u dann die
-
[o , 1]xB
, b)
B
I t <- ~ ( ~ < - - ~
des Satzes
(o L(t
i : A ~ B
~:
kurze D e f o r m a t i o n s w e g e
die B e d i n g u n g
Beweis :
die g e s u c h t e
~I A = 0 , r (0 , b) = b , r (~(b),b)
r (~T(b),
D. Puppe.
> A
L ~4: V
Inklusion
es steti~e A b b i l d u n ~ e n
Ei6enschaften
A
dann ist
3.13 noch v e r f e i n e r n :
Eine a b ~ e s c h l o s s e n e
HEE~ wenn
Setzen wir
, a) = a .
L
ist.
eine R e t r a k t i o n
[0 , l]xB
Ist u m g e k s h r t
eine solche R e t r a k t i o n
> [0 , l]
yon
und
= 2"Max ~It
mit den K o m p o -
L 2 : [0 , 1]•
- Ll(t
, b)l
> B,
, wobei
1 Ist~).t > i ~ ( b ) , dann ist Ll(t , b) > 0 , also L2(t , b) e A . Weil A a b g s s c h l o s s s n ist, folgt L 2 ( ~ ( b ) , b ) e A , falls ~ ( b ) < ~. Wit kGnnen
daher
r = L 2 setzen. |
~Aus der C h a r a k t e r i s i e r u n g
3.14 ergibt sich unschwer der folgende
Satz von D.Puppe 3.14'
SATZ:
Besitzen
auch
iI 9 A 1
(ilxid , idxi2)
Beweisskizze: 3.14 fGr
und
i l, i 2
existieren. dass
~(b~)
~ i
durch
3.1~ Beispiel:
Sind
Beweis: Seien ~: U ) A , ~: nehmen,
~ : Bl~B 2
t ~(bv)
) [0 ,~@)
und r : [0 , 1]~BixB 2
kompakte Teile des
(also ANR)j dann hat
U , V Umgebungen von V ~ B Retraktionen.
dass alle Segmente
Wir setzen
alle ~ l) durch
) BlXB 2
(rl(t)~bl) , r2(t)b2) ).
i : A @ B
Um~ebungsretrakte
die nach
nach wie vor nur fGr
gilt. Nun definiere man
r(t, bl, b 2 ) =
die Abbildungen,
ist (nioht nut f~r
, b~) E A
~(b I , b2) = Min(~lb I , ~2b2)
die HEEI dann
) BlXB 2
r~, ~= l, 2 , s
r~(~b~
) B2
Dutch eine naheliegende M o d i f i k a t i o n
b ) ~ [0 , 1]xB~ definiert
wobei allerdings
i2 : A 2
9 AlWB2WBlXA2
Seien Tl' rl' ~2' r2
kann man erreichen, ( ~,
) B1
uj~u
~b = 2 od(b' A)
i
~
und sind beide
die HEE.
A , B und Wir k6nnen
, u aU,
in
V
U
so klein an-
enthalten sind.
, d : Abstand.
U,A) Ist
~b (_ 1 ,
dann ist
auf jeden Fall r(t
d(b
, A) ( d ( ~ -
U, A)
oder
b a A ,
b ~ U. Wir definieren dann
, b) =$'[b + t ( ~ b ~b
- b)S
, t < ~b ( 1 , und v e r i f i z i e r e n --
leicht
die V o r a u s s e t z u n g e n von 3.14. 3~16 SATZ:
FGr jede A b b i l d u n ~
i : B
) Zf
und
i~: A
f : A
) B
sind die Inklusionen
) Zf , i~a = (1 , a) c [0, l~A ~ Z f
Cofaserun~en. Beweis" ~(~,
Betrachten wir zun~chst
a) = 2 7 ,
und v e r i f i z i e r e n
r(t , b ) = b
f~r
i. Wit setzen
~I B = 0 ,
t a) b E B , r(t, (~,a)) = (T- ~ , ,
die V o r a u s s e t z u n g e n von 3.14. Mit
i I verf~hrt
,
3.7
man analog, 3.17 KOROLLAR:
wobei man
~ durch
1 -~
Jede steti~e A b b i l d u n g
ersetzt. > B
f : A
ist einer Cofaserung
homotopie~quivalent. Beweis:
Man betrachte
das Diagramm f
A
>B
zf
Darin
ist
ii
eine Cofaserung
(man ziehe die Segmente
und
[0 , 1]xa
i
eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z
von
[0 , 1]xA
auf
(0 , a ) = fa
zusammen). 3.18 DE~INITION: der
Z(f, g)
wiederum
(3.19)
eines Paares
durch
von A b b i l d u n g e n
wir den A b b i l d u n ~ s z y l i n B
A
g~. C , und
zwar
eine F u n k t o r g l e i c h u n g
explizite
Konstruktion
Z(f, g) = Z f u A Zg d.h. man nimmt und heftet
sie l~ngs
HEE b e s i t z e n Offenbar
(i) ~ = pt Cf = Z(f
Inklusionen
Z(f ,idA)
Spezialf~lle
(einfachen)
des g e m e i n s a m e n
(vgl. Beweis
ist
ist gegeben
durch
,
die beiden
Man hat diverse
(3.21)
als 3.9 d e f i n i e r e n
[Z(f, g) , X] = I(~, ~ , ~ ) ~ [B , X]X[C , X]~@(A , X) l~o=~f, ~, =~g~ Eine
(3.20)
Allgemeiner
Abbildungszylinder Unterraums
A, B, C, Zf, Z g C Z ( f
A
Zf, Zg
zusammen. , g), die alle die
zu 3.16).
= Zf ,
Z(id A , g) = Zg. Andere
wichtige
sind ein Punkt,
, *)
heisst
g = * die konstante Abbildungskegel.
Seine
Abbildung. Gleichung
lautet
3.8
Er kann direkt an
B
e r h a l t e n werden,
anheftet,
der
(ii) und
Ist z.B.
T~o~-Raum
B = C = pt
Einh~ngung
von
lx A
CA = C(id A)
Cs = CA u f B . Die I n k l u s i o n
eine Cofaserung. Cf
indem man
von
f
L : B
eine S p h ~ r e n f a s e r u n g ,
l~ngs
A
> Cf
ist
dann heisst
f.
. In diesem Palle heisst A. Man erh~lt sie aus
~ A = Z ( * , *)
[0 , 1]~A,
die
indem man
jeweils zu einem Punkt i d e n t i f i z i e r t .
0 • A
Ihre P u n k t o r g l e i -
chung lautet (3.22)
[~ A, X] = ~ Alle
@(A
, X)
diese K o n s t r u k t i o n e n
rielle E i g e n s c h a f t e n ,
I ~ O konstant, ~ i Z(f
, g)
konstant
besitzen naheliegende
die w i t nicht a u s d r G c k l i c h
funkto-
formulieren
(ob-
w o h l wit einige davon s p ~ t e r b e n u t z e n werden). 3.23 N a c h 3.17 ist ~quivalent, nahe,
jede stetige A b b i l d u n g
n~mlich
der I n k l u s i o n
die C o f a s e r von
Cofaser
Zf/i~A
il
stimmt,
und die B e z e i c h n u n g
f : A ----> B
ii : A ~
einer C o f a s e r u n g
Zf. Es liegt daher
als C o f a s e r yon f zu bezeichnen. wie man leicht
sieht,
"Cf = Cofaser von f" wird
mit
Cf
Die
~berein,
durch f o l g e n d e n
Satz
gerechtfertigt 3.24 SATZ:
Ist
i : A
> B
eine Cofaserung,
eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z . ~ektion und Beweis:
*
=
lenz = b e s t e h t n a c h 3.8, 3.25 SATZ: A
f
9~dr ~ede A b b i l d u n g > B
~
~'
> Cf
> CL
homotopie~quivalent
zu
A
> E A
f
Dabei
> B
ist
L .> Cf
~
Dabei b e z e i c h n e t
die k o n s t a n t e
Ci = B u i CA
~
dann ist
Nullhomotopie
B u i CA/CA = B/iA
(~, 9 : Ci - - ~ B ~ A > B/iA
~ : B von
die Pro-
~i.
; die H o m o t o p i e ~ q u i v a -
denn CA = 0 . f : A 9 > B > CC
E B
ist die Fol~e
L > CL"
> ~. Cf
die P r o j e k t i o n - Cf - - - - ) C f / L B ~
>
...
> ....
A. p i e
zweite Folge
rGckt bei A n w e n d e n von ~ um drei S t e l l e n n a c h rechts.
3.9
Jede der beiden Folgen heisst Abbildun~sfolge von
f. Ein ausf~hrlicher
Die wesentlichen
Schritte
oder Puppe-Folge
Beweis von 3.25 findet sich bei [PUPPE]. (bis auf einige Vertr~glichkeiten)
er-
geben sich wie folgt: a)
C~ ~ Cf/~B = ~ A in M
b)
nach 3.24. Bei dieser Aquivalenz geht
Gber.
C U = C~/Cf = Cf u B CB/Cf = CB/B = ~ B; bei dieser ~quivalenz geht C in ~ f Gber. Daher ist C C ~ = C ~ f , und die fol-
genden Schritte ergeben sich (wegen der 3-er Periodizit~t) c)
U
aus
C ~ f = ~ C f . Dies ergibt sich aus der geometrischen Konstruktion yon
C
und
~
oder(instruktive~aus
3.26 Der Abbildungszylinder topieanalogen besitzen,
Z(f, g)
der Fasersumme
von
den Funktorgleichungen.
B ~f
A -~
B U A C ; wenn
dann kann man leicht beweisen
f
C und
ist das Homog
die HEE
(wie 3.24), dass
Z(f, g) ~ B u A C. Wit besprechen nun noch kurz das Homotopieanalogen T(f , g) des Differenzen-Cokerns (1.18) zweier Abbildungen A ~ B g
mit gleichem Start und Ziel. Wir definieren diesen
Abbildungstorus
(3.27)
durch die Punktorgleichung
[T(f,g), X] =~(~,~) ~ [B , X]XO(A , X) I ~o = ~f , ~ = Eine explizite Konstruktion
(3.28)
T(f, g) = B(f, g)U (i,)s
:, }
ist gegeben durch [0 , I]NA
,
d.i. die Fasersumme von B
A u A
Anschaulicher
(~o,L~~
[0 , 1]XA , ita = ( t , ~ .
entsteht
B ~ [0 , 1]~A, indem man
T(f, g)
aus der topologischen
(0, a) ~ [0 , 1]xA
mit
Summe
f(a) e B
und
(1, a) mit g(a) identifiziert. Ist f = g = id A , dann ist T(f, g) = S~XA ( S 9 die Kreislinie~ daher die Bezachnung Abbildungstorus.
4.1
4.
Die Rolle des Grundpunktes.
4.1 Betrachten wir anstelle von Top.
Top
und
Htp
die Kategorien
, Htp. der punktierten stetigen Abbildungen bezw. ihrer
Homotopieklassen, S~tzen des
so gndert sich an den Definitionen und
~ 3 nichts Wesentliches. Das ist von vornherein
zu erwarten, well diese Ergebnisse im Grunde formaler Art sind. Interessant sind aber die neuen Ph~nomene in
Htp.
insbesondere die Existenz zahlreicher Cogruppenobjekte rend
Htp
Sind mit
X , Y [X,
und
Top
ausser
~
,
(w~h-
keine Cogruppen besitzt~
punktierte topologische R~ume, so bezeichnen wit
Y], ~[X , Y],
IX,
Y]., ~ [ X ,
folge die Menge der Morphismen
X
Y].
in dieser Reihen-
> Y in Top, Htp, Top.,
Htp.. Analog bezeichnet
@(X , Y)~ die Menge der punktierten
Homotopien ~
, Y].
von
mit
~t E ~
Top. und Htp.
(also ein Punkt) wird mit
ebenso der Nullmorphismus Summe in
Top.
, 0 ~ t ! 1 . Das Nullobjekt
, Htp.
* - * -
X,Y
9 X
*
>Y
"
bezeichnet, Die direkte
entsteht aus der topologischen Summe
A U B, indem man die beiden Grundpunkte identifiziert; wird ~blicher-Weise mit
= A U B~* A = * B ~ Entsprechend fGr mehr Summanden. Anstatt "direkte Sum~i,e" sagen wit auch
V
bezeichnet,
also
sie
AvB
Bouquet.
4.2 Sin8 B
.
gleichung
[Z'(f , g), X]. =~(~.~0~) g [B , X].~[O, X]~@(A , X). ~ o = ~ .
(4.3)
Er
entsteht aus
fizieren von von
Z(f, g) = B u f ( [ O
[0 , 1]X~*~
, 1]xA)Ug
zu einem Punkt,
C
flurch Identi-
eben dem Grundpunkt
Z(f, g). Als Spezialf~lle ergeben sich wie in 3.18 ff der
reduzierte Abbildungszylinder
4.2
Z'f = ( B u f [ O
, I]XA)/[O
, 1 ] X ~*~
,
der reduzierte Abbildungskegel C'f = (B uf[O und die reduzierte
, 1]X~*~
Einh~ngung
[o
E'A
, 1] A)/~IlX A~/[O
' IJXA/~XALJ~I~ALJ[0
, i]~*~
9
Die ~unktorgleichungen (vgl. 3.10, 3.21, 3.22) bleiben formal dieselben, nur m~ssmn Morphismen in Top. genommen werden. In jedem Falle besteht die Reduktion darin, ein Intervall [0 , 1]xl*~ zu einem Punkt zu identifizieren. Bei "vernGnftigen" topologischen RRumen ~ndert sich dadurch der Homotopietyp nicht (s. 3.8) Entsprechendes gilt fGr den reduzierten Abbildun~storus T'(f, g) zweier punktierter Abbildungen f, g : A > B mit gleichem Start und Ziel. Er entsteht aus T(f, g) durch Identifizieren von S~X~ zu einem Punkt und ist i.a. nicht homotopie~quivalent zu T(f, g). - Zur Illustration m~ge der Leser die Gleichung T'(f , *) = C'f
beweisen.
4.4 DEFINITION: Sind ~ , ~ g [E'A , X ] . C @ ( A , X). zwei Nullhomotopien, so kann man die beiden nacheinander ausfGhren und erh~lt eine weitere Nullhomotopie (~'~)t = ~ 2 t
(4.5)
~-~ ~ @(A , X).
fGr
~2t-1
0 <_ 2t <_ 1
"
1 <_ 2t <_ 2 .
Dadurch wird eine nat~rliche V = ~X : [Y,'A , X ] ~ [ ~ ' A definiert,
, n~mlich
Multiplikation
, X].
> [Y,'A , X].
, V(~,~)
= ~'~
also (nach 1.12 bezw. 2.3) eine Comultiplikation V
: Y,'A
Diese Multiplikation
> Y'AvY'A
.
ist aber keine H'-Struktur
in
Top., weil
4.~
eben * ' ~ # ~ ' ~ ist. Die Homotopieklassen von ~.~ , ~ , ~ ' ~ jedoch sind gleich (wie man leicht sieht) und y ist mit der Homotopierelation vertr~glich, daher ist J
~ : ~[~'A , X].N ~[~'A , X]. ~(~,~)
= ~
>~[~'A , X],,
= Klasse von ~ . ~
eine H'-Struktur in
Htp..
Allgemeiner gilt
4.6 SATZ: p ist eine Gruppenstruktur, also eine Cogruppenstruktur in H t p . . Ist f tierte Abbildun~1 dann ist ~'f : ~'A > von Cogruppen r also Z' ein Funktor von der Cogruppen von H t p . .
w : ~'A > ~'Av~'A : A > B eine punk~'B eine Abbildun~ Top. in die Kategorie
Beweis: Die Punktorialit~t ist klar. Die Assoziativit~t folgt, weil ( ~ . ~ ) . y und ~-(~.~) sich nur durch eine Umparametrisierung des Einheitsintervalles [0 , l] unterscheiden. Das Inverse wird gegeben durch S - , wobei ~ = ~ l - t " Diese und einige der folgenden Beweise geh~ren zu den g~Lugigsten der Homotopietheorie [HILTON, Chap. II]; sie werden daher nicht genauer ausgef~hrt. 4.7 KOROLLAR: Die doppelte Einh~n~un~ ~'2A = ~'~'A Ist ein abelsches go~ruppenob~ekt, also ~[~'2A , X]. eine abelsche Gruppe. Beweis: In ~'~'A haben wir zwei Comultiplikationen, n~mlich ~'A und ~ A ) : ~'2A > ~'(~'Av~'A) = ~ ' 2 A v ~ ' 2 A , und ~(VA) ist eine H'-Abbildung, daher folgt die Behauptung aus 2.14 . Als Beispiel seien die klassischen Homotopiegruppen ~ 4 X = ~[S i, X]. genannt (HUREWICZ); man beachte, dass S i = ~'S i-1 = ~ ~ ist f~r i > 0 . Die Gruppen ~[~'A , X] wurden zum ersten Mal von M. BARRATT unter der Bezeichnung "track groups" systematisch untersucht. Relative Homotopie- oder Traokgruppen k~nnen analog in der Kate~orie der Paare punktierter R~ume behandelt werden. 4.8 Allgemeiner als die Comultiplikation in
~'A
kann man eine
4.4
Cooperation
yon ~'A auf dem Abbildungskegel In der Tat ist
definieren.
und wir kSnnen daher
~
wie folgt definieren
: [ C ' f , X].X[Z'A , X],
dabei ist
~'~
> [ C ' f , X].
wieder die Zusammensetzung
Gehen wir zu Homotopieklassen [c,f
,
, x].
~[C'f
, X].
: C'f
4.5 von Homotopien.
~ber, so wird daraus
'f
x].
~[Z'A
, X].
>
und es ist klar, dass die Gruppe rechts auf
C'f = C'(f~ A -~ B)
operiert;
9
verm~ge
von
anders gesagt
> C'fv~'A
ist eine Cooperation der Cogruppe ~'A auf C'f . - Ist dann reduziert sich C'f auf ~'A und ~ auf ~ . Die erste systematische Untersuchung von gef~lhrt.
B = * ,
~! wurde von PUPPE durch-
Wir kommen auf ~ und ~ und auf Exaktheitseigenschaften etwas allgemeinerem Rahmen zurGck.
in
w 5 in
4.9 Ein punktierter Raum A heisst wqhlpunktie~t, wenn die Inklusion i: * --> A die HEE besitzt. F~r wohlpunktierte R~ume wollen wit nun das Verh~ltnis yon wlr die Inklusion
~[A,X] Jl: A - - >
zu
~[A,X].
dlskutieren. Dazu betraohten
A v S 1 . Die 1-Sphare
S1
denken wir uns
aus [0,I] dutch ldentifizleren der Endpunkte entstanden; dann konnen wit die Inklusion J 2 : S 1 m > A v S 1 als De~ormatlon von JlOi: 9 ~ > A v S 1 auffassen. Well i die HEE besitzt, gibt es eine Homotopie D E ~(A,AvS l) mlt D i = J 2 llud D o = J l " Die Abbildung ~ = D1 [A,AvS1]. ist eine Cooperation der Cogruppe S 1 auf A ; ihr entspricht
(nach 1.12) eine naturliche Operation
~: ~[A,X],x~I X = ~[A,X],• ~[S1,X].
> ~[A,X].
, d . h . e i n e Operatlm der Ftm-
4.5
damentalgruppe Gegeben
~l x
f : A
aus
> X
~[A
und
, X]..
Explizit
a : [0 , 1]
.> X
sieht mit
~ so aus
:
a(O) = a(1) = * .
Man w~hle eine Homotopie ~ s @(A , X) mit ~ o = f und ~ t ( * ) = ~(t) (sie existiert wegen der HEE) und setze ~ (f ' a) = ~ l " Der Querstrich bezeichnet,
wie immer,
den Ubergang
zur Homotopieklasse.
4.10 SATZ: ~ ist eine nat~rliche Transformation (bezGglich X und bezf~glich w o h l p u n k t i e r t e r A's). I s t X bo~enweise zusammenh~n~end t dann induziert ~: ~[A , X]. > ~A , X~ (das Ignorieren des Grundpunktss)
eine Bi~ektion
die Menge Beweis:
der Bahnen
(orbits)
Wir Gbergehen
beliebig,
~:
~A
, X]~lX
von
den NatGrlichkeitsbeweis.
dann gibt es einen Weg
und
w : ~0 , 1]
~(fo)
~X
= ~(f~),
konstant
~
~l ~ ~[A
~ surjektiv.
Als Beispiel 4.11 SATZ: in
Ist
ist und daher
[vgl. SERRE,
ein bogenweise
Htp) T dann ist
~
~EA
A, B
zusammenh~n~ender Abbildungen y : A~B
mit > C
> X
mit ~
@(A
, X)
dass
~ auf den
Ist umgekehrt , X)
mit
ein geschlossener
Weg
, U]. = ~EA
, C]
Lemma,
wohlpunktierte
H-Raum und
a : A
H-Ra_um (ein H-Ob~ekt
fGr jede Wahl eines GrundRaum
A,
d.h. ~ C
das auch selbst~ndiges
Rgume r C
mit
~ I AvB C
> C, B : B ~
C
Inter-
stetige
= (~, B).
selbst wohlpunktiert,
ope-
ein bogenweise
a(*) = B(*). Dann gibt es eine A b b i l d u n g
(Ist insbesondere
mit
und
induziert. ~
w(o) = g(*),
@(A
, X~.
zusammenh~n~ender
Der Beweis beruht auf folgendem esse besitzt Es seien
g : A
IV, 31
punktes * ~ C und jeden w o h l p u n k t i e r t e n riert trivial auf ~ A , C]..
4.12 LEMMA:
Ist
"
sei erw~hnt C
steht
Es ist klar,
dann gibt es eine Homotopie
(~o' ~) = f~
; links
> X
~ o = fo ' ~I= f~ " Dann ist aber a(t) = ~t(*) und
, X]
eine Homotopie
~ t ( * ) = w(t). Dann ist
~(~l ) = ~ o = ~ ; also ist Bahnen von
a~A
~X.
w(1) = * . Wegen der HEE existiert ~o = g
~
dann gibt es eine
4.6
- zur A u s g a n g s m u l t i p l i k a t i o n
homotope
~:
= (id, id),
C•
., > C
mit
Wenn
C
~I
CvC
- Multiplikation also
eine H - S t r u k t u r
in,
op). B eweis:
ist
ein e c h t e s E i n ~ e l e l e m e n t
ist,
dann
hier
jedoch nut voraus,
g ibt mit Seien und
sei
a'
(s. 4.9)
: A
auf
aus
> C
dI
ist
bei der dl-T~ = ~v
ist
(~--)
d o : Av B
Weg; vw-
" Insbesondere besitzt
(a , ~)
v o n 4.11:
: [0 , 1] als A b b i l d u n g
d
dI
operiert
."
verm~ge ist
= e.B(b)
(dies
,
ist
mit
~(0)
der K r e i s l i n i e (~, B)
: AvS ~
eine H o m o t o p i e , also
= ~(1)
A•
auf
zu
,
d o , und
(3.14'),
~ , wi e b e h a u p t e t ~
ein g e s c h l o s s e n e r . Wi t b e t r a c h t e n
A X $~
, 1] - - @ C
~ ( ~ , ~) = ~ , wi e
a'
zeigt
die H E E hat
und
= a(*)
von
A x B, n ~ m l i c h
S * = [0 , 1 ] / ( 0 % > C
P:
auf
eine E r w e i t e r u n g > C
also
, C]..
zusammen
homotop
> AxB
a : A
*
ist
Beides
(a , ~)
AvB
beschreibt,
eine D e f o r m a t i o n also
bilden
I B , eine D e f o r m a t i o n
w w-
eine E r w e i t e r u n g
Gegeben
9 .> C
d
I B = ~ e ~[B
I A,
beschreibt,
selbst
auch
ist
von
besitzt
~t (*) = S(t)
= Wt(e),
~.(~-=)-l
(a, B) . B e i d e
von
den Weg
daher
. Weil
existiert
= B(*).
es eine D e f o r m a t i o n
mit
= ~ (~---)-l(~---) = ~ .
> C
sich
w(t)
wohlpunktiert
gibt
> C *
(a, b)~J~-~ a ' ( a ) . ~ ( b )
l ~sst
3.4),
W o B , gefolgt
I B, bei der
den W e g
, B) = ~l
Beweis
aus d er K l a s s e
Av B
= e
Wi t s e t z e n
e = ~(*)
= Vt(e),
~ ~l C
a(*)
: C --> C, V t : C --> C
= e.y,
d o ( a ) = ~'(a). e , do(b)
V o ~' , g e f o l g t
*
Weil
d I : AvB
einen nullhomotopen
~
Yt
v(t)
(~-=)-i
und
und
= Wl_t(*).
Ferner
in
Weiter
, C]..
mit
wit nun
ab. ~
und
der V o r a u s s e t z u n g
Vergleichen von
es H o m o t o p i e n
die W e g e
= w(1-t)
besitzt
eine E r w e i t e r u n g .
eine A b b i l d u n g
a ~ ~[A
dt(* ) =~-(t)
e
> C
> C
w-(t)
d t : AvB
in
dass
: [0 , 1]
ist
f olgt
, b) = ~ ( a ) . B ( b )
V o = id = V o , V 1 ( y ) = y.e, V ~ ( y )
v,w
dabei
y(a
e
= ~l~
behauptet.
B
. N a c h 4~
erweitern, mit
We g
~o
=
d.h. ~
es
= ~ '
4.7
4.13 Die S~tze 4.10 und 4.11 legen die folgende Definition nahe: Ein bogenweise
zusammenh~ngender
wenn ~ : ~[Y , B]. tierten Y .
punktierter Raum
> ~[Y , B]
B
heisst einfach,
bijektiv ist f~r alle wohlpunk-
Aus 4.10 folgt, dass jeder einfach zusammenhgngende (~ ~ B = ~ R a u m einfach ist, aus 4.11, dass jeder bogenweise zusammenhgngende H-Raum einfach ist. 4.14 SATZ:
Ein wohlpunktierter
i~ c E[B , B].
Raum
B
ist genau dann einfach, wenn
invariant ist bei der 0peration von
~l B
Dies folgt sofort aus der Nat~rlichkeit der Operation ~ (s. 4.9) und Satz 4.10 : Sind X f~ Y g) B punktierte Abbildungen, so besagt die Nat~rlichkeit det auf g = id B Behauptung.
folgt
~(g~,
y) = ~(~, T)@~ , y a ~l B . Angewen-
~(~, T) = ~(i-S, T)of , und daraus die
4.15 In den weiteren Paragraphen werden wir uns vor allem f~r
~[X , B].
interessieren, wenn X ein Polyeder (= CW-Raum) ist; besonders wichtig sind die Sphgren sn,n ~ o. Dies f~hrt zu folgender Definition : Ein bogenweise zusammenh~ngender punktierter Raum heisst n-einfach (n > o), wenn ~[S n, B]. = ~[S n, B] ist, also wenn ~iB t~ivial auf ~nB operiert. Attf den Grundpunkt kommt es dabei nioht an; ein CW-Raum X wird dutch jede Wahl yon . X wohlpunktiert.
5.1
5.
5.0 Es sei
W
Halbexakte Homotopiefunktoren.
die Kategorie der zusammenh~ngenden kompakten CW-R~ume
(= CW-Komplex$ und ihrer stetigen Abbildungen,
W.
die Kategorie
derselben R~ume und Abbildungen mit Grundpunkt. Die Kategorie der entsprechenden Homotopieklassen sei
HtW
bezw.
HtW,
. Lassen wir
allgemeiner (punktierte) R~ume zu, wenn sie nur vom Homotopietyp eines kompakten zusammenh~ngenden CW-Raumes sind (und nehmen wir wie vorher die - punktierten - Homotopieklassen als Morphismen), so erhalten wir eine ~quivalente Kategorie, Bezeichnung
HtW
den Grundpunkt
bezw.
HtW.
fGr die wir dieselbe
verwenden. Mit
(= Nullobjekt) in
W. , HtW.
*
, Ens.
bezeichnen wir und auch den
Nullmorphismus. F~r die Ergebnisse dieses Paragraphen 5 kann man ~brigens durch eine ganz beliebige Kategorie I v o n
W.
wohlpunktierten topolo-
gischen Rgumen ersetzen, wenn sie nur abgeschlossen ist bezGglich der Bildung von Abbildungskegel~,
-zylinder,
-torus. Erst ab
wird die Beschr~nkung auf CW-Rgume wesentlich. HtW
~7
- Die Kategorie
der endlichen CW-R~ume ist formal zu charakterisieren als
kleinste Unterkategorie von
Htp, die einen Punkt enth~lt und die
abgeschlossen ist bezUglich der Bildung von en@lichen direkten Summen und von Abbildungskegeln. 5.1 DEFINITION: t : W.
(vgl. E.H. BROWN,
> Ens
~l)
Ein kontravarianter ~unktor
heisst halb-exakt, wenn er den folgenden drei Be-
dingungen gen~gt
(h) d.h.
f =g t
-~
t f = tg,
ist homotopieinvariant,
W.
> HtW.
(a)
Sind
> Ens j, : X v
kann also in der Form
zerlegt werden. .> X l v X 2
,
~)=i,
2
,
die Inklusionen in das Bouquet (= direkte Summe), dann ist
5.2
(tJ I , tJ 2) : t ( X l v X 2) ~ d.h.
t
(e)
Sind
tXl~ tX 2 ,
ist additiv.
i~ : D
C> X
, ~=
l, 2 ,
das gleichbedeutend
mit Einbettungen;
j ~ : X~
die Inklusionen,
> Xl~X 2
(tJ 1 , tJ 2) : t ( X l ~ X 2) surjektiv,
> tXlX~
d.h. zu jedem Paar
existiert ein
u e t(XlU D X2)
von dieser Eigenschaft (tJl , tJ2 )
Cofaserungen
ist
dann ist tX 2 = tX l ~ t x mit
2
(t il)u I = (t i2)u 2
(t j~)u = u~ .
rGhrt die Bezeichnung
sogar bijektiv
W_.
vgl. 3.15), und sind
u~ e tX~ mit
(in
(fGr alle
"halb-exakt"
iv) , dann heisst
her. Ist t
exakt.
Ubrigens ist (tJl , tJ2) nach (a) immer dann bijektiv, wenn D nut aus einem Punkt besteht. - Statt (t~)u etc. schreiben wit auch
u I X~
etc. Die Bedingung
u I I Xlll x 2 = u 2 I Xln x 2 ~ 5.2 Ersetzt man
W.
(e) sagt also
3 u e t ( X l V X 2)
(h), (e) erf~llt, t(Vkx~)~
d.h. wenn
t
mit
u I x~ = u~ .
in 5.1 durch die Kategorie der zusammenh~ngenden
endlich-dimensionalen (statt kompakten) von einem halbexakten Funktor t : W_.
(A)
:
CW-Rgume, so spricht man > En__~s, wenn die Bedingungen
sowie die folgende Versch~rfung von (a)
~k t x ~ , streng additiv ist.
Diese Theorie verlguft ganz analog wie f~r kompakte CW-R~ume. Wit werden uns daher auf den kompakten ~all beschr~nken, aber immerhin an einer isolierten Stelle ( ~ 1 6 . 8 ) Ergebnisse der nichtkompakten Theorie benutzen.
Die meisten Beispiele
Ausdehnung auf den nicht-kompakten 5.3 Wenden wit 5.1(a) auf den Fall
(~ 6) haben eine
Pall.
X 1 = * = X2
an, so erhalten wit
5.3
t* = (t*)x(t*), Ist
t* = ~
also besteht
und
X E W.
eine A b b i l d u n g dlesem t*
trivialen
aus genau
induziert t
tX
t : ~.
und wenn die Cogruppe
dann operiert stets
die Gruppe
eine Gruppe;
dann co-operiert
auf
Insbesondere i
ist > 1
> 0, h e i s s e n
Ist
f : X
endlichen
Die Fol~e
t : H~W.
(d.h.
in Gruppen)
Y E HtW. tY .
cooperiert,
Z.B. ist
) Gr
> Y
--~Ens.
(abelsche)
t ~ X
ein gruppen-
eine Abbildung,
also operiert
(Urbild v o n . t ~ X
> C fv~X
(4.8)
auf
Die A b b i l d u n ~
zu unterscheiden.
) Y
eine Gruppe
t ~ X Ebenso
f~r
Gruppe.
f~r jedes
Diese Gruppen
des Funktors
Cf
3.25 von
wieder f
in
, d.h.
f~hrt
7 ~ t~X
t Si ,
zwischen
HtW. Wir k~nnen
anwenden. <
t~2X
Abbildun~).
sind G r u p p e n h o m o m o r p h i s m e n .
> tCf
<
Die C o - 0 p e r a t i o n
eine O p e r a t i o n die Gruppe
t ~ X
in
,'~
Alle
operiert
ver-
tCf. t~
> 0
dann sind auch A b b i l d u n g s -
= Bild der v o r a n g e h e n d e n liefert
i
t .
eine stetige A b b i l d u n g
t X ~ tf t Y < tL t C f < tz t~X r
rechts yon
t~
f : X
d.h.
Summen in Produkte
er daher
: W.
(s. 4.8),
und A b b i l d u n g s k e g e l
t ~ : (tC~(t~X) m~ge
Ist
CW-R~umen,
auf die Puppe-Folge
C f
t -~
die K o e f f i z i e n t e n g r u p p e n
daher
~:
ist
(S i = i-Sphere)
Zf
Pfeile
f~hrt
auf
-) *
, in Zeichen
Gruppen-0bjekte
~' nicht
zylinder
ist exakt
) Ens.
sogar eine abelsche
zusammenh~ngenden
5.6 SATZ:
> tX ,
X
und -kegel). tS i
5.5 Die Puppe-Folge.
t
Ens.
auf der Menge
Cf
Einh~ngung
Abbildungszylinder
i
tX
~unktor.
~X
t*
dass
(n.b. Wegen 3.8 brauchen wit zwischen Einh~ngung
und r e d u z i e r t e r
und f~r
in
X r HtW.
allgemeiner
wertiger halbexakter t Cf.
Grundpunkt
t : HtW.
in (abelsche)
von
wir daher annehmen,
t. = . . Nach 2.8 f~hrt
Cogruppen-0bjekte
> X
Abgesehen
(h) k~nnen wir auch schreiben
Funktor
und
.
t* = *. Die A b b i l d u n g
ein ~unktor mit Werten Wegen
t X = ~.
(und werden) besteht
einem Element.
die Inklusion
> t* = ~, also ist
Fall k~nnen
> Ens..
(5.1a),
auf
, dann liefert
einem Element
5.4 Ein h a l b e x a k t e r
~ber,
aus h~chstens
daher einen n a t ~ r l i c h e n
ist sogar
~ber
t*
(tZ)7 = *'7 = ( t ~ ) ( . , u
5.4
~ber. bei
Zwei Elemente
t~
atb a
tC f
haben ~ e n a u
I wenn es einen Operator
Gberf~hrt~
y ~ t ~ X
dann dasselbe
Bild
~ibt I der
in
(vgl. PUPPE)
Aus
gekehrt
y a t Y
(tf)y = . , dann stimmen
Y ~ t Y = t([O Durchschnitt also auf
und
~f ~ .
, ~]xXUfY)
in
Cf
zusammen,
also
Dies beweist
1]xX/~l~xX ~ auf
5.1e
(tL)z = y .
die Exaktheit
exakt.
an der Stellen punktierten
Homotopietyp;
Die G r u p p e n e i g e n s c h a f t e n
t Cf
nachzupr~fen.
Dass
a, b ~
t Cf
Einschr~nkungen
dasselbe auf
bedeutet in
haben,
Y' = [0 , l ~ x u f Y
nach
Bild der k a n o n i s c h e n
(tL)-Bild
im(tr)).
indem man zwei Kegel
dass ihre Dies
(a,b) ~ t ( O f v C f )
CfUy,
Cf
1 , 1 ]XX~l ~~ X [~
CX=
es
an der Stelle
bedeutet,
r : CfvCf
Dieser Raum
5.4;
Gbereinstimmen.
5.1e und a, dass
Abbildung
die Folge
sind klar nach
bleiben also nur noch die O p e r a t o r e i g e n s c h a f t e n
(genauer:
dem
z ~ t Cf
sind naeh 3.25 vom gleichen
wiederum
= * . Ist um-
und
t Y . Alle anderen
ist also
(tf)(tL)
(s. Pigur),
I~IXX, G b e r e i n
zu einem Element
folgt . a t([ 1 ,
und
sich daher nach Axiom
Stelle
b
a.y = b .
Beweis:
setzen
a
im
> CfUy,
Cf
entsteht
aus
l~ngs
liegen Y'
~ll~x
an-
enthaltenen
Kegel
heftet. Identifiziert C~X
man den im linken Summan~.
zu einem Punkt,
Andererseits
ist
dann ~ndert
C f
sich der Homotopietyp
(C f Uy, Cf )/~ X -~ C f v ~ X
geht dabei
in
( i e ~
C fvC~-~CfV~
Inklusion,
~ die Cooperation).
aus allen Paaren
(~j r'T)
also auch gerade
die Paare
und die A b b i l d u n g
X
Das Bild bei
mit
nicht.
~ber
(is = linke
t(i~,~)
besteht
x E t Cf , y ~ t ~X.
(a , b)
mit
(tL)a = (t~)b
Dies
sind
, wie
behauptet. Die A b b i l d u n g lenz)
~
schliesslich
mit der P r o j e k t i o n
Letztere
faktorisiert
kann man
Cs
wie folgt
> Cf~,
(bis auf H o m o t o p i e ~ q u i v a = ~.X
identifizieren.
5.5
Wendet man darauf
t
an, so folgt
Aus 5.6 folgt insbesondere, bei der O p e r a t i o n t ~ f
: t ~ Y ~
Wie verh~lt =
t~
(tz)y
..T
=
.
dass die Isot[opiegruppe von
. e t Cf
gerade mit dem Bild von
t ~ X
Gbereinstimmt.
es sich mit den I s o t o p i e g r u p p e n
IT e t ~ X
I z,y = z}
der anderen Elemente
D a r ~ b e r geben die folgenden S~tze 5.7, 5.18,
z a t Cf ?
5.19 Auskunft.
(vgl. BROWN, 2.6 und E O K M A N N T H I L T O N (b), P~'e 3.9) 5.7 SATZ: Mit den B e z e i c h n u n g e n von 5.6 sei W f der reduzierte A b b i l d u n g s torus von 0fv~
X
Cfi~
Cfv~
X . Anders ausgedr~ck_t entsteht
d ~ n h e f t e n
von
([0 , 1]MCf)
(~0%wC~((~xCf)
verm~ge
J : Cfv~X
die Inklusionp
(5.8)
> Wf
im (tJ) = ~(z
( ~, il)
, T) e (t C ~
Wf
aus
l~ngs
. Bezeiohnet
dan~ ist
~X)1
z.y = z~.
D.H.~ betrachten wir im Bild von t J alle Elemente mit fester erster Komponente
z e t C f I dann durchl~uft
die Iso~opiegruppe
von
Beweis:
W f
Man kann
schreiben,
z . auch in der Form
wobei n a t ~ r l i e h I d e n t i f i k a t i o n e n wie oben v o r z u n e h m e n
sind. Die linke Klammer mit 1
C fv~
X
zusammen),
ist bezw.
die zweite Komponente gerade
~berein
K~
stimmt bis auf H o m o t o p i e g q u i v a l e n z
(zie~e
[0,
die rechte Klammer
Kl~K 2 ~Cfv0f (id , id)
Wann l~sst sich
K2
auf ist
0
und
[~,
l]
(~, i~)
: CfvCf
~ K2 .
(z , T) e t K 1
Genau dann (5.1 e) wenn es ein
auf
Wf
erweitern ?
u E t K2 = t Cf
gibt,
sodass
I K l n K 2 9 Nun ist aber
(z , T) I K l ~ K 2 = (z'T , z)
und
u
auf
--~'Cf , der Durchschnitt
und die Inklusionen sind
: C fvCf
u I K l n K 2 = (z , y)
~]
I K l ~ K 2 = (u , u)
; die
> K1
5.6
Bedingung
lautet also gerade
5.9 Wenn die Gruppe
t ~ X
z y = z , wie behauptet.
abelsch
ist, so h~lugt die Isotopiegruppe 4
~z ' z e t Cf , nur von y = (t~)z e t Y ab. Sie kann dann direkt als Funktion von y beschrieben werden. Diese Beschreibung (5.19) ist interessant,
erfordert
aber einige kompliziertere
U b e r l e g u n g e n und wird nur im einem Beispiel Der eilige Leser kann sie also Gbergehen. Zun~ch~ige von
Vorbetrachtungen.
A g-~ B
schreibt
(13.15,
13.16)
Der Abbildungstorus
sich in der Form
T(f
geometrische benutzt.
T(f , g)
, ~) = B(f,g)W([0,1]xA)
(s. 3.28); wir benutzen daher die"Koordinanten"
b e B
und
(t, a) e [0 , 1]KA zur Beschreibung selner Punkte. NatGrlich m G s s e n wir dann die Identifizierungen (0 , a) = f(a) , (I , a) = g(a), (t , .) = (0 , .) = * Wir k~nnen
f : X
beaohten.
> Y
als Cofaserung
voraussetzen,
und wit benutzen wie oben die Bezeiohnungen Wir definieren
X ~@ Y A> Of ~
nun
j : T(id~lid Y) = S ~ Y / s , ~ ( ~
> T($, iI) = W f ,
(5.1o) j(8 Weil Ebenso
, y) = (s
S~Y
[:yr
ist L~ C X ~
eine Inklusion, Wf
wo
fl Y = i~ I Y , ist dies eine Inklusion.
j' : T ( 0 X
(5.11)
,
X) = W(idx)
und
-- i m ( j ) v i m ( j ' ) ~ t%W(idv) = S ~ X
S~•
W(idx)
>Wf
also
X ( Y , ~ X .
5.7
Beachten wir noch,
Z
x
=
'
dass
-
W(idx) = T ( C X ~ C X v ~ X) mit homotopie~quivalent ist, so erhalten wit
wegen 5.1 e 5.12 LEF~KA :
Das Bild yon
aus denjenigen auf
t W f
)
> t(S~xY/s~
t(S*~Y/sg•
im Bild yon
> t(S~X/s~
auch sagen (5.13)
Elementen von
SI~X/s~
t ~ X
tj : t W f
)
) , deren Einschrgnkung
t ~ X = t(S~X/sgxx)
> t X
besteht gerade
liegt. Well
exakt ist, kann man stattdessen
: Die Folge
t~
) t(S4~Y/s~,~)
t(*,~> t X
ist exakt. Perner gilt 5 914 LEF~MA :
(5.15)
S~'•
Die zusammen~esetzten
•
Abbildun~en
idxf> S~ ~y/s~x~, ~
J ~Wf
und
P-. s ~ X/s~ vX
(5.16)
i2
) Cfv~, X
J > W f
sind homotop. Beweis: (5.15) ist die Inklusion. kann man s i e / ~ a c h 5.1~durch dann folgt die Behauptung
Anstatt durch S I ~ Y / s ~ , ~ W(idx) = ~ X faktorisieren;
5.17 LEMP~: In der Puppe-Fol~e der Inklusion X (~'~ S~xX/s~x~ stimmt der Abbildun~ske~el C(*,id) bis auf H o m o t o p i e ~ u i v a l e n z mit ~ X ~berein~ und die Operation von t ~ X auf tC(.,id) = t ~ X wird durch inhere Automorphismen
gegeben.
Die erste Behauptung folgt aus 3.24; fGr die zweite muss man auf die Definition der Operation zurGckgehen. Sie folgt dann ebenso
5.8
wie das klassische Ergebnis, das besagt, dass die Operation yon ~l x auf ~i x fGr i = 1 durch innere Automorphismen gegeben ist. 5.18 SATZ: Es sei z e t C f , y = (tk)z e t Y , die Isotropiegruppe von z und
Fy : {
I[t(..
iay)]
Dann haben die zusammen~esetzten @z
&z = {y e t ~. X I z-y = z
=,
Abbildungen
C t ~ X ~-@ t ( S I X X / s ~ •
und Fy C t(S'xY/s~{,~)
t(ic~f~ t ( S { x X / s g x ~ )
dasselbe Bild. Zwei Elemente von t ~ X (tp)-Bild r wenn sie konju~iert sind.
haben genau dann dasselbe
Identifiziert man Elemente in ~z ' wenn sie konjugiert sind in t ~ X , dann stimmt die so entstehende Menge ~z also mit t(idxf)(Fy) Gberein. Ist insbesondere t Z X abelsch, also ~z = Gz ' so folgt 5.19 KOROLLAR:
Ist
y ~ ker(tY
> tX)
und
Fy = { ~ t(S~• I t(.,id)~ = y}, dann fGhrt t(idxf) diese Nenge in (aber i.a. nicht auf) k e r ( t ( S ~ x X / s i ~ ~) > tX) ~ber. Ist t ~ X abelsch~ dann stimmt dieser K__ern mit t ~ X Gberein (naoh 5.17) und [t(idxf)](Fy) = ~z = Isotro~iegruppe von z ~ (tL) -1 N . Beweis von 5.18:
Wir betrachten
t(S~xY/s~ x
(5.2o)
[~) ~ tj .
das Diagramm
tW
f
t(idxf)
t(S~xX/s~x~,~) ~
t ZX ~
Wegen 5.14 ist es kommutativ. Fz = ~
~ ~ t W f ] (ti~)(tJ)~
t Cfvt Z X Ist = z~
, dann ist
5.9
(ti2)(tJ)Fz seits
ist
= @z
die I s o t r o p i e g r u p p e
(tj)F z = Fy
nach
5.12.
Wir d i s k u t i e r e n
nun kurz die Rolle
der h a l b e x a k t e n
Funktoren.
5.21 DEFINITION:
Ein Funktor
t'
wenn die Z u s a m m e n s e t z u n g U~gekehrt einfach,
heisst wenn
legen l~sst. Beziehung
t ~ = t(~-y)
f~r alle
dann heisst
t
Es sei
jetzt
, Y].
(5.24)
t
t(L.k)
auf
Funktor
in der Theorie
halb-exakt,
t : HtW.
t : HtW. dies,
, y ~ ~l Y
~ ~ ~n Y
wieder
L'k a ~[X
: tX~tS ~
,
---~ Ens
> HtW dass
) Ens
, y c ~l Y
zer-
t~ = t(~.7)
X, Y ~ ~ . .
X = Sn
ist.
Besteht
diese
, ist also
, Y ~ W.
,
beliebig,
Die O p e r a t i o n
y ~ ~Y
, Y ~ ~..
die O p e r a t i o n
, X~S~].
bezw.
der Summanden.
Anwen-
liefert
der Gruppe
t(~oy)
= t~
stets ~.y
~berein.
t(~,?)=
t S~
auf
t X
ist genau dann trivial
Insbesondere
Die A b b i l d u n g
t(~'~') = t ( L - k )
die I n k l u s i o n
, X v S~].
t(L.~)
t(L.~)
L,~) X v S ~ (~'Y~ Y
LE~[X
> tX ,
Operation
= t~ ), wenn
X
die Behauptung.
halbexakt
f~r die n-Sphgre
X c ~.
t(Lo~)
Beweis:
. Anderer-
n-einfach
eine natGrliche 5.25 SATZ:
5.8
heisst
HtW.
~ ~[S ~, X v $I]. = ~l(X v S i) den yon
folgt
> Ens
Nach Satz 4.10 bedeutet
wenigstens
nach
des Grundpunktes
: HtW
ein h a l b e x a k t e r
~ ~ ~[X
z
Daraus
er sich in der Form
ist fGr alle
von
ist fGr alle ist
trivial
t
~
. (d.h. ~[X
, Y].
genau dann einfach~
,
wenn
ist.
stimmt mit der Z u s a m m e n s e t z u n g Daher ist
t(L) t ( ~ , y ) =
t[(~,y)~]
= t~ ,
wie behauptet. 5.26 Als A n w e n d u n g
b e w e i s e n wir nun noch,
dass
ein h a l b e x a k t e r
Funktor
t
5.10
mit M o n o i d s t r u k t u r struktur wobei
(= H-Struktur)
ist eine Zerlegung
H
wie in ( 2 ~
t(f
: X'
stets
die Inklusionen
homomorphismen
t(XvY)
5.27 SATZ:
des Axioms
Nach
betrachten
tXxtY
(5.1,a)
Funktor
C ' k ~. X x S
= (id,.)L
und
tc
im ~t(*,id)}
=
und
Insbeson-
) Xv Y
Monoid-
dass die B i j e k t i o n
ein M o n o i d i s o m o r p h i s m u s multipliziert.
mit M o n o i d s t r u k t u r
~l~ ~ tS ~
mit
dass
id X
(*,id)(c.k)
jedenfalls
gen aber das Monoid
auf
t(t.k)
bezw.
Gberein.
*
= (.,id)L
im ~t(id,.)~
ist einfach.
= tL
ist. Dazu
Gberein, . Also
= t X ~ ~l~
also
stimmen und
Diese beiden U n t e r m o n o i d e
tX x t S ~ = t ( X ~ S g ) ,
also
erzeu-
ist w i r k l i c h
= t L .
5.28 Wie sind halbexakte zu b e h a n d e l n CW-Rgume. O-Sphgren
~.
Man definiere
auf n i c h t - z u s a m m e n h ~ n g e n d e n
die Kategorie halbexakte
aller kompakter
Funktoren
man das A d d i v i t ~ t s a x i o m
~ : ~.
(a)
CW-R~umen
punktierter > Ens
wie
auf ein Bouquet
von
an, so findet man
~ E = [E , ~ s O ] . E ~ ~.
beliebiger
Funktoren
? Sei
in 5.1. Wendet
aus
t
ist.
X,Y
folgt,
ein Monoid
9 .,"
(id,*)(L.k)
falls
stets
und
wit die Z u s a m m e n s e t z u n g e n
(bis auf Homotopie)
(5.29)
sogar
es zu zeigen,
Sie stimmen
t(c.k)
(= Monoide)
tX
der Summanden
komponentenweise
5.25 genGgt
X
t(~.k)
dass
> tX, tY . Daraus
Jeder halbexakte
Beweis:
der H - M e n g e n
ein M o n o i d h o m o m o r p h i s m u s
dere i n d u z i e r e n
ist, wenn man in
t
einfach
ist. Dies bedeutet,
> X)
t(XvY)~tXxtY
ist. Eine M o n o i d Y in der Form W_. > H > Ens
die Kategorie
der V e r g i s s f u n k t o r und
von
stets
,
eine endliche
kompakter
punktierte
CW-Raum und
jeder,, B o g e n k o m p o n e n t e
Yk
Y/E = V k u k . Die Puppe-Folge
E ( Y
gerade
Menge
ist.
Sei nun
eine endliche
einen Punkt
der Inklusion
Merge,
enth~lt;
j : E ( Y
Y
ein die
dann ist
gibt eine
5 .II
exakte Folge 9 E ~. ~j Well
j
~Y <
r~,'E ~T~,~ Z'~,y .
~(Y/E) <
ein Linksinverses
besitzt,
wir erhalten eine zerfallende
(5.30)
* <
[~oY , ~ s ~
Sind nun die Werte von
sind
und
etwa Gruppen
* . (oder wenigstens Divisions-
monoide; s. 8.4-6), dann folgt ~ Y = [~o Y , ~ S ~ eine Reduktion auf den zusammenh~ngenden Fall. Ist
surjektiv,
exakte Folge
~ < z
~j, ~ ' j
X
~Yk
T S ~ = * , dann findet man eine andere Reduktion,
, also
n~mlich
T Y =~.)N ~Y#~s~ , insbesondere ~ Y = A ~ T Y k , wenn ~ sinf a c h ~ In Anbetracht dieser Wichtigen Spezialf~lle und weil der allgemeine Fall etwas undurchsichtig
scheint,
beschr~uken wir uns im folgenden
stets auf zusammenh~hugende CW-R~ume. Wir vermeiden damit einige Komplikationen, sind.
die zwar keine grosse Be@mtung haben,
aber doch l~stig
6.1
6.
Beispiele
6.1 H o m o t o p i e m e n g e n .
Es
sei
tierter
topologischer
tierten
Homotopieklassen.
Zum Beweis deren
von
Dann
~'.
ist also
: D
Funktoren.
ein b o g e n w e i s e
R a u m und
Beschr~nkungen
Homotopie
R
t X = ~[X
Die A x i o m e
(e) seien
Repr~sentanten.
von h a l b e x a k t e n
uv e t X
5.1
zusammenh~ngender , R].
= Menge
(h) und
, v=
1,2
Gbereinstimmen
ist
fl
I D
und
f~ = @o ~ @l
erweitern
und
@l
I D
und
~i~'e.
; wir
sie zu
I D = f2
@t
: X1
= ~[X
Nach
, R]
BROWN]
, R].
viele
6.2 F a s e r b ~ n d e l .
ist g e n a u
, wenn
Elemente
Es sei
F
von S T E E N R O D
dabei
ist
. e B
Faser
und
i.
jedes
(F-G)-Bttudeln id x
yon
zusammen
sei
~ t X
mit G r u n d f a s e r
definieren
wir
del~
wird
!) Ist tf t
: tY
solche
> R
. Dann
~[X
, R]. =
Polyeder.
sicher
t
dann
t Si
dann yon
nicht
mehr
haben.
F. Wir mit
) tX
zum F u n k t o r
eine i. dann
eine
erhalten.
eine ~ q u i v a l e n z
stetige
Ubergang
~. ---> Ens.
;
die K a t e g o -
der A q u i v a l e n z k l a s s e n
~ (n.b.
durch
: F --) F.
die d a r G b e r l i e g e n d e
, die die G r u n d f a s e r
) Y
topologi-
(F - G ) - B ~ n d e l
Wir b e t r a c h t e n
die M e n g e ~ber X
G
Grundfaser
F. = p-l(.)
~ ~'
f : X
Raum,
betrachten
einer
eine B ~ n d e l a b b i l d u n g ,
induzieren Damit
Funktor
die K o e f f i z i e n t e n
der G r u n d p u n k t ,
X a W.
eine
genGgt
wenn
kompakten
ein t o p o l o g i s c h e r
rie der B ~ n d e l a b b i l d u n g e n FGr
einfach,
zusammenh~ngenden
Transformationsgruppe
im Sinne
dann
ist ein h a l b e x a k t e r
t,v~[-
als a b z ~ b a r
sche
, R].
ist fGr alle
[E.H.
der F o r m
t = ~[-
~R
f v " X~
. Die H o m o t o p i e k l a s s e
u yon f : Xl~X 2 ) R , f I X 1 = @l ' f I X 2 = f2 der B e d i n g u n g (t j~)u = uv, wie es 5.1 (e) v e r l a n g t . Der F u n k t o r
evident.
, Homotopieklassen,
D = Xl~ X 2 I D --~ f2
der p u n k -
(a) sind
auf > R
punk-
yon muss
Abbildung,
zum i n d u z i e r t e n
so B~n-
6.2
Er gen~gt dem Homotopieaxiom
(h) nach dem covering homotopy theorem
(STEENROD, ll.3). Um (e) nachzuweisen, w~hlen wir eine Umgebung von
D = Xl~ X2
Sei
r : U
dann ist Ist
in
> D
Xl~X2,
die sich auf
D
r> D
~v ein BGndel Gber
~> X v
X v , die auf
D =
~I
Xv-
hinreichend klein,
X ~ , dann folgt daraus D
gbereinstimmen,
beiden wie folgt zu einem BGndel ~I X ~ -
U
homotop zur Inklusion
(wieder nach dem covering homotopy theorem). BGndel ~ber
retrahieren l~sst.
eine Retraktion. W~hlen wir
r~ : U ~ X ~
D ,
~
Gber
U ~ X v ( X~
~yl U ~ X ~ =
Sind jetzt
~,
r~I(~ID ) ~= ip2 ,
dann k~nnen wir die
XlV X2
~I U = r-l( ~ I
U
zusammensetzen
:
D) .
Es bleibt also nur noch Axiom (a) zu pr~fen und auch hier nur die Injektivit~t B~ndel
(Surjektivit~t ist in (e) enthalten),
~ , ~'
a t(XlVX2)
auf jedem Summanden
d.h. wenn zwei
X~
~quivalent sind, al
dann sollen sie ~quivalent sein. Das ist aber klar, well Aquivalenzen die Grundfaser duziert.
F.
erhalten und weil
Xl~ X2
Man kann diese Verifikation nat~rlich vermeiden, stenz des klassifizierenden Raumes
BG
benutzt
sich auf
Eo G
trivial auf
re-
indem man die Exi(MILNOR), also
tX = E[X , BG] ~. Man sieht dann auch sofort, dass i-einfach ist, wenn
.
t
Ei_l G , i > 0
genau dann operiert
(ver-
m~ge ~ e r e r Automorphismen). Ein direkter Beweis sei dem Leser als n~tzliche Ubungsaufgabe empfohlen. 6.3 Ein wichtiger Spezialfall ist die K-Theorie. Man erh~lt sie, wenn man f~r
G
die unendliche orthogonale Gruppe
unit~re Gruppe
U = li~ U(n)
dass die Elemente von werden; von
t X
zwei Vektorb~ndel
0 = li~ 0(n)
oder
nimmt. Etwas einfacher kann man sagen,
durch VektorbGndel Gber ~ , ~'
X
repr~sentiert
repr~sentieren dasselbe Element
t X , wenn es triviale VektorbGndel
9 , ~'
gibt, so dass
@T ~ ~'@7' ist. Die Aquivalenzklassen werden zu einem halbexakten Funktor wie oben. Je nachdem, ob man reelle oder komplexe VektorbGndel betrachtet,
erh~lt man die Funktoren
t = K~. bezw.
t = K c . Beide Funktoren haben abelsche Gruppen als Werte (vermGge der W h i t n e y - S u m m e @ ) ;
insbesondere sind sie einfach (5.27).
.
6.3
6.4 Lokal
triviale
Es sei
F
wieder
Faserungen L.
Faserungen.
: p
~
Eine V a r i a t i o n
ein topologischer
mit Faser
P
> F. = p-l(.)
Raum;
zusammen mit
. Diesmal
ist
zu 6.2 ist die folgende: man betrachte
lokal-triviale
einer G r u n d f a s e r
~.
einfach
ein H o m ~ o m o r p h i s -
rams.
Eine E q u i v a l e n z
~
~'
der die G r u n d f a s e r dieser Faserungen exakten darin,
ist ein fasertreuer
erh~lt. Gber
Funktor
Ist
tX
die Menge
nimmt
gesagt,
- obwohl von
F
6.5 F a s e r h o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z .
stetige A b b i l d u n g
schaft
Faserung,
(WCHP;
diese V a r i a t i o n
aufgefasst
Es sei
F
valenz
E
p = p' > E'
F~r jedes
X ~ W
Faserungen
~ber
definieren
wir
X
. Ist
tf : tY
Damit wird
t
das H o m o t o p i e a x i o m Zum Nachweis
von
CW-Unterraum
von
f : X
>
> tX
(h)
[DOLD
tionsretraktion,
dann sind auch U
ist,
so gilt
( d.h.
~i. = i'
eine stetige > Ens
)
schwacher
Abbildung,
zur i n d u z i e r t e n
so Fase-
. Die WCHP impliziert
. dass
D = Xl~X 2
ein
ist.
zusammenziehen
: X~
mit dem Urbild
eine F a s e r h o m o t o p i e ~ q u i -
erh~lt
Y
(a), ~.6]
D
r~
F
(his
b ~ B).
(e) k~nnen wit voraussetzen, Xl~ X 2
einer
ist eine
der K q u i v a l e n z k l a s s e n
W.
es eine a b g e s c h l o s s e n e
die sich auf
von
dutch U b e r g a n g
zum Punktor
w 5).
Raum.
zusammen mit
zusammenhgngend
fGr alle
die Menge
(s. STEENROD,
Die G r u n d f a s e r
ist nach D e f i n i t i o n
tX
als topologische
Homotopie-Hochhebungseigen-
die die G r u n d f a s e r
sei
als Trans-
(ein "Raum ~ber B") heisst
bogenweise
(a) 6,6~ p-l(b) ~ F
~"
Dann gibt
B
also
topologischer
> B
Homotopie~quivalenz
(Wenn
Eine E q u i v a l e n z
p : E
> B
F
werden kann
ein fester
(a) 5) besitzt.
bestimmte)
des Grundpunktes. nach DOLD
p : E
von
eben nicht
wenn sie die schwache
s. DOLD
auf H o m o t o p i e
rung.
besteht
sie i.a.
Wit b e t r a c h t e n schwache F a s e r u n ~ e n Grundfaser ~. : ~ ~ > p-l(.) .
schwache
,
der E q u i v a l e n z k l a s s e n
dass man die volle A u t o m o r p h i s m e n g r u p p e
Transformationsgruppe
E~ ~ E~,
X , dann erhalten wit wie in 6.2 einen halb-
t . Ungenau
formationsgruppe
Eine
Hom~omorphismus
> X~ ,
Umgebung l~sst.
r~
Sei
I Xv = i d
U
von
D
r : U ~D
,
r~
in
X l~X 2 ,
eine D e f o r m a -
I U - X~ =
r
I U - ~
6.4
Deformationsretraktionen.
Sind
p~ : E~
~ X v , ~ = 1,2 , schwache
Faserungen, die Gber D ~quivalent sind, sind auch die induzierten Faserungen (q~ : H ~ - - @ ~quivalent
Gber
U
X~U)
(wegen
: H
= r-l(p~
Pl
[ D ~ P2
: E~ ~
[ D , dann
X~)
U ~ D). Sei
> H
,
eine Faserhomotopie~quivalenz.
9 = q Wie in [DOLD (a), S. 233] betrachten
wir nun den Raum und er wird zum Raum ~ber
U
~:R
w(1) = ~ ( y ) ~ ;
verm6ge > U ,
~(y,w) = ql(y) = q2 w(0)
.
Wir haben H~ r R
verm6ge
y~-~(y
,~(y))
H~ r R
verm~ge
z~-~(~'(z)
und , ~z ) ;
dabei ist ~(y) als konstanter Weg aufzufassen, ~' : H~ ~ H~ ist homotopieinvers zu ~ , ~ : id = ~ ' ist eine Faserhomotopie, und ~ z ist der Deformationsweg, den z r H~ dabei beschreibt. Es ist klar, dass H~ ~aserdeformationsretrakt in R ist: man braucht nur jeden Weg w auf seinen Endpunkt zusammenzuziehen. Nach [DOLD (a), Lemma 3.4] ist aber auch trakt von R ~
H~
Faserdeformationsre-
Betrachten wir nun p : E
> XI~X 2
,
E = HI~H2~R
dabei ist zu beachten, Wegen
HN ~ R f o l g t
dass
,
P I H~ = q~
H~ ~ R = H~
p - l ( x p ~ u ) ~ H~
9
ist.
,
P
I R=
~ ;
6.5
Die Teile v o n ? ~ber I X~U I sind also faserhomotopie~quivalent zu schwachen Faserungen und daher selbst schwache Faserungen [DOLD
(a),
5.2]. Dann ist abet auch
p
eine schwache
Faserung,
denn ~ X v ~ U ] ist eine numerierbare Uberdeckung yon X l ~ X 2 [DOLD (~), 5.12] . Wegen p-l(xp) ~ q-f(X,) = E y haben wir damit Pl
und
Xl~X 2
P2
wie verlangt
zu einer schwachen
Faserung
p
~ber
zusammengefGgt.
Es bleibt
also nut noch das Axiom
(a) zu prUfen,
und zwar nur die
Injektivit~t. Es seien also p : E > X l v X 2 , p' : E' ---@ X l v X 2 schwache Faserungen, und ~: E > E' ~quivalenzen der Teile Gber X ~ , ~ = 1,2 . Wir haben
p ~ p'
zu zeigen.
Sei
Y2
der Raum,
der aus der topolo-
gischen Summe [0 , 1 ] u X 2 durch Identifizieren von 1 g [0 , 1] mit * g X 2 entsteht; Grundpunkt sei 0 e [0 , 1] c Y2 " Bilden wir [0 , 1] in den Grundpunkt ab, so erhalten wir Homotopie~quivalenzen f : Y2 ~ X2 und idvf : X l v Y 2 ~ XIV X2 " Da t ein Homotopiefunktor ist, genGgt es zu zeigen, dass die induzierten Faserungen Pid v f und P'id v f Gber X 1 V Y2 gquivalent sind. Beide sind trivial Gber [0 , 1] und die induzierte Equivalenz ~ id 2 v f hat die Form
2
id w f = i d x W
: [0 , I ] X
p-l(.
> [0 , l ] * p ' - l ( * )
)
, wobei
p-l(.) ~Y
Well die Grundfaser erh~lt, : [0 , 1Ix p-l(.) > p,-l(.)
gibt es eine Deformation von ~ I p-l(.) in ~ 2
Wir definieren
"\ p 'i d v f
nun
~:
Pidvf
I pildvf(Xy) = Tu , ~ ( t , ~ )
= (t,~t,x'))
wie folgt
fGr
:
(t ,~') a [0 , l ~ p - l ( * ) =
-i
= Pidvf Dies ist eine Faserhomotopie~quivalenz, jede Faser eine Homotopie~quivalenz Erg~nzend
sei noch folgendes
erw~hnt
ist. :
I m-l(.)
[o
'
i]
"
well die Beschr~hukung auf [DOLD,
c~)
6.3]
.
6.6
SATZ:
Jede schwache Paserung
B
p : E
ist einer Hurewicz-
Pas~run~ ~uivalentf t
Wir h~tten uns bei der Definition von
also auch auf Hurewicz-
Faserungen beschr~nken kSnnen. Beweis des Satzes:
Wie zu jeder stetigen Abbildung
p
gibt es ein
kommutatives Diagramm
E
fh E' B
in welchem
f
eine gew~hnliche
Hurewicz-Paserung ist nach
Homotopie~quivalenz und
(dual zu 3.17; s. CARTAN-SERRE,
Lemme 3). Nach [DOLD (a) 6.1] ist
f
p'
eine
construction
sogar eine Faserhomoto-
pie~quiyalenz. 6.6 Ist
h
eine
(aussergew~hnliche) Kohomologietheorie,
von kontravarianten Funktoren
h q : W.
also eine Folge
~ AG , die den Axiomen von
EILENBERG-STEENROD genGgen ausser evtl. dem Dimensionsaxiom, jeder einzelne der Funktoren exakt.
~q
(= reduzierte Kohomologie) halb-
In der Tat stimmt 5.1 (h) mit dem Eilenberg-Steenrod Axiom
5 c Gberein und (a), EILENBERG-STEENROD,
(e) folgen aus den anderen Axiomen wie in I, 15 ; wir werden sehen, dass man schon mit
erheblich schwgcheren Voraussetzungen auskommt sei noch, dass
~q-1
~qoz
logie; insbesondere 6.7 Ist
t Ens
~ Ens
dann ist auch
(s. 8.7). Hemerkt
gilt genau wie fGr gew~hnliche Kohomo-
~ - q = ~ o o Z q , q ~ 0 (Z = Einh~ngung)
ein halbexakter Funktor,
Homotopiefunktor, ~:
dann ist
~ : W.
~ W.
.
ein (kovarianter)
der Kofaserungen in Kofaserungen GberfGhrt und ein (kovarianter) Funktor, der Fasersummen erh~lt,
~ o t o ~
halbexakt
("die Zusammensetzung eines
halbexakten Funktors mit einem exakten Funktor ist halbexakt") Dies folgt leicht aus der Definition. ist das smash-Produkt
~X
= Xo~ X
insbesondere der Einh~ngungsfunktor santes Beispiel
~
Sind die Werte von
Beispiel eines l~mktors
mit einem festen E = Si ~.
X o r W. ,
Mir ist kein interes-
bekannt. t
.
abelsche Gruppen oder
P-Moduln,
also
6.7
t : W.
>F-Mod , dann k~nnen wir
t
mit elnem beliebigen
exakten
/
Funktor
g
:P-Mod
>F-'Mod zus-mmensetzen
NatUrlich kann man auch mehrere halbexakte Z.B. ist das Produkt yon halbexakten
~k
cJt t~
(z.B. 6" =
, F flach).
Funktoren kombinieren.
einer beliebigen
Funktoren wieder halbexakt;
|
Familie
(~tk)X-
~tk~ ~ c Jr
~k(tkX)
.
7.1
7.
7.1 SATZ:
[E.H. BROWN,
Transformation
(i)
V e r g l e i c h h a l b e x a k t e r Funktoren.
Ist
1.5].
dim X < n
(ii) Ist
~S j : tS j
~X : t X
> t'X
) t'S j
isomorph fGr
j > n
Sei nun
X e W_.
Xj
~>
A n w e n d e n von tS q-I < ta
xq-i ~
q
mit
X . Wir fGhren den Beweis von Wir erhalten a : ~ S q-I
X = X q aus ) X q-I eine
Ihre Puppefolge hat die Form
i> xq
> 7, xq-l.
~> ~ S q
ergibt ein kommutatives tX q-1 ~
t'Xq-1 ~ - -
Diagramm.
tX <----- ~ t S q ~
1 ~ t 'S q-I < s
X e E.
ist dann klar.
ein CW-Raum der D i m e n s i o n
das j - G e r ~ v o n
anheftende Abbildung. V~Sq-i
> 0 , dann ist
X bis auf HomotopieX = Yi S 1 , und
> ~ i t ' S 1 ; die Behauptung
und
X e E.
dim X ! n .
~X = Hi~S 1 : ~ i t S 1 > 1
und epimorph fGr
dim X <- i , dann ist
7.1 durch Induktion nach der Dimension. xq-1 dutch A n h e f t e n der q-Zellen; sei
(7.5)
j < n
bi~ektiv fGr alle n - z u s a m m e n h g n 6 e n d e n
ein Bouquet von l-Sph~ren,
n
eine natGrliche
bijektiv fGr alle
und sur~ektiv t falls
Ist
1 < q ! n . Sei
(7.2)
> t'
isomorph fGr
~X : tX
> t'X
fGr (i)
~quivalenz
> t'S j
dann ist
mit
Beweis:
~: t
zwischen h a l b e x a k t e n Funktoren.
~S j : tS j
j = n,
Es sei
t 7, X q-1
h
t'X<---- ~ t ' S q ~
h t'7, X q-1
mit exakten Zeilen. Zum Beweis der Surjektivitgt von grammjagd:
Gegeben
x'~ t'X
~ v e r a n s t a l t e n wir folgehde Dia-
W~hle
y a tX q-1
mit
(n.b. ~-l ist surjektiv nach Induktionsvoraussetzung).
~_ly = (t'i)x' Dann ist
7.2
$ _2(ta)y = ( t ' a ) ~ _ l y
= (t'a)(t'i)x'
ist i n j e k t i v ) ,
y = (ti)z
also
(t'i) ~ z = ~ _ l ( t i ) z haben tor
also u'e
dasselbe
~t'S q
d a n n gilt bild
Zum B e w e i s
von
(denn
ist
u e ~tS q
l~sst
(x',u') : X
~ t'Xxt'(~S
Satz
q-I
~-Urbild
von
w'
folgt
~
~ = u
o b e n fGr
x2
v
.
x 2
a t ~S q
=
fest.
ergibt Xl.U
= x' = ~ x I (denn statt
existiert
der O p e r a t o r dass
das E l e -
bei de n zwei A b b i l d u n g e n
(i I = I n k l u s i o n ,
r = K o-
.
w'e
t'(Wa)
~bergeht. nach
D a n n hat
(nach Satz
also
fo lg t
bedeutet,
Bi ld hat
existiert
Sei
, das bei w a t(Wa)
ein
Teil 1 des B e w e i s e s , (tJ)w = ( ~ , ~ ) e t X ~ V S q)
5.7) und
(wegen der N a t G r l i c h k e i t ist i n j e k t i v )
~ ), also
( t ~ x I : (ti)x 2
und
x I = ~-v
von
~).
Daraus
(ti)~ = (ti)x I
(wie
fGr ein g e e i g n e t e s
sich schliesslich
=
(die 4. G l e i c h u n g , wflns cht.
~l
also
q-l)
ein E l e m e n t (x',u')
~-~ = ~
ein U r-
voraussetzen.
, d.h.
Dies
bezeichnet)
dim W = dim X + i ~ n ist).
~l ~ = u',
Damit
in
~
also
ist
,
= ~x 2 = x'
x'
(ein s o l c h e s
die E i g e n s c h a f t e n
. Dann
~l(ti)x2
dasselbe
es also
J > Wa)
1 < q < n
q) = t ' ( X v ~ S
in 5.7 mit
5.7 g i b t
wir
Xl-U = x2 . Daraus
das E l e m e n t
u a ~ ? l ( u ') ,
Induktionsvoraussetzung),
= ~(Xl.U)
) X v ~ V S q-1
t'(Xv~VS weil
mit
t'X
5.6 ein O p e r a -
= x'. W i r h a b e n
~x 2 = ~'
nach
w ir n u n
also
~z, x'e
nach
I_2
wie gewILuscht.
k~nnen
~x I =
injektiv
multiplikation, Nach
und
= ( ~Xl)(~1~
u' = ~l u
= ~z.u'
= (t'i)~x I : (t'i)~x 2 =
~-l
x ' (~lu)
. W~hlen
gefunden,
der I n j e k t i v i t ~ t
ein O p e r a t o r
il,r
x'
existiert
(denn
z ~ tX,
. Die E l e m e n t e
daher
= x'
= ( ~ z).(~u)
x l, x 2 a tX
~_l(ti)xl
ment
(t'i)-Bild; ~z.u'
(ta)y = *
fGr ein g e e i g n e t e s
~_ly = (t'i)x'
mit
~(z-u)
x = z-u
Seien
=
= * , a ls o
=
weil
=
t VS q
=
kommutativ
=
x I
ist fGr
q
> 1), wie ge-
7.3
Zum Beweis des Teiles
(ii) benutzt man, dass yon einem n-zusammen-
h ~ n g e n d e n CW-Raum
(bis auf Homotopie~quivalenz)
kann, dass ~
X
X~ = *
ist. Man beginnt den Induktions-Beweis
dann mit
(statt mit l) und verf~hrt sonst wie in (i). - N a t G r l i c h kann man
die beiden ~glle 7.4 KOROLLAR:
(i) und
(ii) auch zusammenfassen.
~J.H.C. WHITEHEAD]
bildung zwischen (kompakten) ~jf : ~jY1
> ~jY2
epimorph fGr Beweis:
~=
gorie
W_~ f
Ist
) u
9 ~[-,YI] .
eine stetige Ab-
CW-Rgumen und ist
j ~ N = M a x ( d i m Yl' dim Y2)
j = N + 1 , dann ist ~[-,f].
f : Y1
zusammenh~ngenden
isomorph fGr
halbexakter Funktoren. ist
angenommen werden
f
eine Homotopie~quivalenz.
> ~[-,Y2] .
ist eine T r a n s f o r m a t i o n
Nach 7.1 ist sie eine Equivalenz
der CW-Rgume,
deren Dimension
eine H o m o t o p i e g q u i v a l e n z
nach
~.4~
N
in der Kate-
nicht Gbersteigt.
Also
8.1
Anwendung:
Halbexakte
Die folgenden
~w
Funktoren
t
der spgteren Paragraphen Ein Hauptergebnis
fGr Funktoren,
deren Koeffizienten
sind. Die Beweisidee
Komplikationen
empfohlen,
sich zun~chst
k~nnen
Struktur; w
t Sj
fGr
9 - lO ~ber-
ist der Einduutigkeitssatz
ist recht einfach,
technische
I~
des Isomorphie-
mit multiplikativer
gangen werden.
( ~ ,
mit Monoidstruktur
- l0 enthalten Anwendungen
satzes 7.1 auf Funktoren das Verstgndnis
t
10.7
rationale Vektorrgume sie wird
etwas verdeckt.
jedoch durch
Dem Leser wird daher
einmal mit dem entsprechenden
Satz
2.5, 2.6) f~r den einfacheren Pall der stabilen Funkto-
ren vertraut bereitende
zu machen.
Die
Betrachtungen,
w
die
8 - 9 enthalten vor allem vorjedoch auch selbst~ndiges
Inter-
esse haben.
8.1 Wir nehmen im ganzen gestatte
~ 8 an, der halbexakte
eine Multiplikation
als Funktor
t : HtW.
(~ H-Mengen,
Mon ~ H in 5 . ~ )
mit Eins
)Mon
Funktor
(s. 5.26),
in die Kategorie aufgefasst werden.
d~
t : H t W . - ~ Ens. er kann
der Monoide Explizit heisst
das, dass es eine natGrliche Multiplikation /%~X
: t Xxt
X
) t X
schreiben abk~rzend
Die Gruppenobjekte (vgl. 2.13).
mit
~(x,x')
in
Mon
~ x x'
~ x ~ ~(.,x)
insbesondere
H'~ HtW. ist
gibt. Wir
.
sind abelsche
F~r jede Cogruppe
abelsche Gruppe;
~(x,.)
t ~ Y
Gruppen bez~glich ist daher
t H'
~ eine
stets eine abelsche
,
8.2
Gruppe.
8.2
SATZ:
Ausserdem
(vgl.
JAMES
Translationen x ~
8.3
x a
gilt
(b),
mit
a
1.1).
, also
, bijektiv.
F~r
~edes
t X
> t X
Insbesondere
natGrliche
Linksinverse
KOROLLAR:
t X
und
ist g e n a u
a ~ t X ,
sind
x ~-)
besitzt
das
a x
die bezw.
Monoid
t X
Rechtsinverse.
dann
eine
Gruppe~
wenn
~
assoziativ
ist.
Beweis:
Die
Abbildung
~:
ist
eine
ist
X
> t X xt
Transformation
Sph~ren, also
t X~t
X = S i , ist
ist
~ immer
also
bijektiv
Element
x -1
fGr
* ~
(t f ) ( x
d.h.
x ~9
x -1
translation
und
jedes
x x -1 ~ .
Ist
gilt
f
x -1)
: Z =
und
Rechtstranslationen
F~r
jedes
b ~ M
hat
Die
, d.h.
ein
eine
(t f x)(t
ist
F~r
eine
Gruppe;
Linkstranslation gibt
eindeutig Abbildung
f x -1)
, also
- Entsprechend
y-~9
es g e n a u
,
(~ ~ - M e n g e )
M
bijektiv
sind,
bestimmtes in
~.
, dann
t f(x -1) ~
behandelt
Gleichung
'Cx ,
(tfx)-l;
man Rechts-
Cx , yx)
, in w e l c h e m heisst
die
.
Links-
Divisionsmonoid.
a x ~ b
xy
ein
verm~ge
)tX~tX
die
(x, xy)
Funktoren.
t Si
. Insbesondere
> X
Linksinverses
Ein Monoid
a,
x
~(x, y ) ~
denn
7.1.
ist n a t ~ r l i c h .
7' : t X ~ t X
8.4 D E F I N I T I O N :
nach
,
halbexakten
sie b i j e k t i v ,
bijektiv
mit
Rechtsinverses.
zwischen
X
bezw.
x a = b
8.3
genau
eine LSsung;
rechts
o d e r v o n links),
besagt, und
dass
t X
Schl~sse
8.~ SATZ:
Ist
d a n n sind
dividieren
ein D i v i s i o n s m o n o i d lassen
(von
D er Satz 8.2
ist.
Viele
Begriffe
sich auf D i v i s i o n s m o n o i d e
z.B.
auoh
> M'
ker(a)
Divisionsmonoide
gibt mit
eindeutig
die B e z e i c h n u n g .
der G r u p p e n t h e o r i e
a : M
genau
daher
stets
verallgemeinern,
haben
m a n k a n n also
=
ein H o m o m o r p h i s m u s {~ a M
I a(x)
(. = E i n s e l e m e n t ) .
dann dasselbe
Bild
von Divisionsmonoiden r
= . }
und
im(a)
Zwei E l e m e n t e
bei
a , wenn
( M'
x, y e M
es ein
a a ker(a)
x a = y .
Beweis:
Es ist klar,
zu p r G f e n
dass
ker(a)
und
im(a)
ist die D i v i s i o n s e i g e n s c h a f t .
Monoide
Zu jedem
sind;
x, y e M
gibt
3e~4~
es^ein
z e M
mit
x z = y . Sind
* = a(y)
= ~ ( x z) -- a(x)
besitzt
ker(a)
folgt
a(x)
schaft.
also
8.6 K O R O L L A R :
= a(y),
also
folgt
aus
a(z) = *
Ist
a(x) =
und
*
> M'
yon D i v i s i o n s m o n o i d e n eine A b b i l d u n 6
, also
besitzt
z e k e r a , so folgt
und u m g e k e h r t ist,
= a(z)
die D i v i s i o n s e i g e n s c h a f t .
a(z)
Ist
a(z)
x, y ~ ker(a),
a(y)
z e ker(~)
L> M
, dass
eine B i j e k t i o n l u n d
> M
,
~(z)
a(x)
a(z)
eine
exakte
= a(x),
= a(x)
.
~ > M"
> *
homomorph)
=
x, y
die D i v i s i o n s e i g e n -
und mit
ist ~'
dann ist : M" X M'
also
F~r b e l i e b i g e
= a(x z) = a(x)
und H o m o m o r p h i s m e n ~
(nicht n o t w e n d i ~
z e ker(a),
im(a)
a(y)
da nn folgt
(z,,').(
x,)
~'
Fo l6 e
: M" = id
) M ,
8 9162
) M'
M
,
x
ist linksinvers
Aus 8.5 folgt
alle
zu
in der Tat,
t : W.
)Mon
gekehrt
voraus,
heblioh
8.7 SA~Z:
M'
dass
~:
~x"~x M' ~
die Bijektivit~t
von
~
~-l(x '')
f~r
. Die z w e i t e B e h a u p -
durch Einsetzen.
Satz 8.2 besagt,
sind
x.(~' ~ x ) -1 E ker(~) ~
L .
x" ~ M", a l s o
tung folgt
noide
~
dass die Werte automatisch
Divisionsmonoide
dass die Werte von
(z.B. Gruppen),
einfacher
~:
dann l~sst
charakterisieren,
Ein k o n t r a v a r i a n t e r
dann h a l b e x a k t
eines h a l b e x a k t e n
als Funktor
Ens
sind.
Setzen wir um-
i) Mon
Divisionsmo-
sich die H a l b e x a k t h e i t
er-
nAmlich
Funktor in
W.
Funktoren
t : W_.
)Mon
ist genau
, wenn er den folgenden
Bedin-
gunmen genUgt
(d)
t X
ist stets
(h)
f ~g
(e')
Ist
: X
tp.
(p : X
Beweis:
) X'
i : A ( X
t(X/A)
Wenn
f
t
(d),
(h),
~
,
X 8 W.
.~ t f = t g
eine Cofaserung
t X ti~
~ X/A
(e') aus 5.6 und jetzt
ein D i v i s i o n s m o n o i d
t A
exakt,
d.h
die Pro~ektion)
halbexakt
ist,
(h) stimmt mit
W_. , dann ist
in
9
ker(ti)
,
.
dann folgt
(d) aus 8.2,
5.1 h ~berein.
(e') vorausgesetzt;
= im(tp)
wir m ~ s s e n
Umgekehrt
werde
5.1 a und
5.1 e
8.5
nachweisen. Setzen wir in (e') zun~chst exakte Polge dann
yon
t I.~ id) t~*~ id) t~*~,
(e') auf
t B
X ~ Av B
) t(AvB) AvB),
Der Nachweis
an,
also
t(A vB) ~
t A~t
B
Xr
k~nnen P' ~_P
I, 15.3,
(5)]. Gegeben
X~ ~ .
sind
das r-Skelett
annehmen, q
folgt
also
X p'q'
X pq ~ Xlv~.Durch doppelte wir Elemente
ist dann
Retrakt
ist
u pq a t X pq
X
bezeichnet;
aus
r X 2 . Aus
p q ~ dim X~ folgt p,q ~ 0
konstruieren
I xp~
, u~
und
u p-l'q
gesuchte E t X p-l'q
I xpq
= u 2 I x~
u~176~ u I I X l ~ X 2 ~ u 2 I X l ~ X 2 9 E r
p q )0
wir
I xpq ~ upq ~ uP'q+l
up o ~ Ul
mit
mit
(Xl X2)
X p~ ( X I , X ~
uP+l'q
u2 ~ t X2
xPq
von
X pq
mit
~vgl. E I L E N B E R G -
u E t ( X l V X2)
ist
u = u pq E t X pq ~ t ( X i ~ a s
Es seien also
A
u I ~ t X1,
Induktion nach
und mit dem I n d u k t i o n s a n f a n g insbesondere
. Wenden wir
(bei diesem Schluss wird
I X 2 ~ u 2 9 Wir setzen
wie ~blich
, q'(
(z.B. well
von 5.1 e ist etwas k o m p l i z i e r t e r
I XI ~ uI , u
wobei
*
dies ist 5.1 a.
u I I X l ~ x 2 = u 2 I X l ~ X 2 , gesucht u
t~*~
so erhalten wir eine exakte Folge
) t A , die zerf~llt
also
8.5 benutzt);
STEENROD,
A ~ X = * , dann erhalten wir eine
,
p,q ~ dim X~
Element. , uP'q-iE
t X p'q-I
P
uP-l'q
I xP-I'q-I
X pq ~ x P - l ' q v
~ up,q-i
( ~ S I)
9
, X p'q-I ~ x P - l ' q - l v
u p'q-I ~ (u p-l'q-l, v) , u p'q = (u p - l ' q , v )
I xp-l'q-I
v ~ t(~kS I)
setzen;
Ist
p = i , dann ist
(~kS I)
, also
, und wir k~nnen
dabei haben wir das bereits
bewiesene
8.6
Axiom
5.1 a benutzt.
Ist nun
p, q
Genauso
von
X1 - X2
eine anheftende kommutatives
wir, wenn
~ l, so bemerken wir zun~chst,
X p'q - X p-l'q = X p'q-1 ~e~
verfahren
- X p-l'q-1
besteht.
Abbildung
gerade
q = 1
ist.
dass
aus allen p-Zellen
Bezeichnet
~: ~ S p-1
f~r diese Zellen,
~ X p-1
so erhalten wir ein
Diagramm
(8.8)
t X p-l'q 4 tL
t Xp q
t( s p) t xP-I'q-I~ ---~ t X
Dabei
sind
L,L,,j, j,
durch A n w e n d e n 4: V~S p-1
von
t
R' = ~ : V~.S p - 1
Es folgt
(t~)u p-l'q
(t j)v
um einen Faktor aus t(~S~
mit
u pq ~ v.L(t~)w~
Zeilen
mit
~ (tj')(tL)v
u p'q-1
ker(tL')
sind
exakt
~ (tj')uP-l'q
unterscheiden
Axiom
.
= (tL')u p'q-1
sich also nur
(s. 8.5),
= u p'q-1
nach
(t ~') (t~)u p'q-1
(tt)v ~ u p-l'q
~ im(tZ')
~(tj)v~L(t~')w~
entsteht
von
(t~')(t j')u p-l'q
und
Zeile
genau so aus
. Die
v ~ t X pq
(tL')~(tj)vB
Die Elemente
wE
, die untere
) Xp - l ' q - 1
gibt es ein Element
die obere
auf die Puppe-Folge
) X p-l'q
(e'). Wegen
Inklusionen,
d.h.
. Setzen wir
, so folgt
(tL)uPq = ~ ( t L ) v ~ ( t ~ ) ( t ~ ) w ~
= (tL)v = u p-l'q
(t j)upq = E ( t j ) v ~ ( t j ) ~ t ~ ) W ~
~ u p'q-1 ,
mud
wie behauptet.
es gibt jetzt
8.7
Bemerkun~:
Die Monoidstruktur von
t
wurde im Beweis yon 8.6
nur indirekt benutzt. Was wirklich eingeht, Puppe-Folge,
8.9 SATZ:
so wie sie in 5.6 formuliert wurde.
Es seien
X, Y e
~.
und
XvY
die In~ektion bezw. die Projektion.
(8.10) * <
t(XvY)
~
t(XxY)
~tp
i> XxY
) XvY
P) X ~ Y
= XWY/xvy
Die Folge
t(X~Y)
(
ist exakt und zerf~llt in natGrlicher Weise~ o, 9 : X •
ist die Exaktheit der
*
sind
die Pro~ektionen auf die beiden Summanden r
dann ist
j : tXxtY
= t(XvY)
rechtsinvers daraus
(8.11)
zu
> t(XxY)
ti , also
,
(ti)j = id. Insbesondere
Beweis:
t(X~Y)
~t(XxY)
(t i)j ( x , y )
,
(a,b)
rechtsinvers
zu
A~
(j a)[(tp)b]
.
I (t i)[(t ~ x ) ( t Z y ) ]
= [t(~ i)x][t(~ i)y] ~ [ ( x , * ) ] [ ( . , y ) =
auoh
er6ibt sich
(nach 8.6) sine nat~rliche Bijektion
t(XvY)x
j
j(x,y) = ( t a x ) ( t w y )
t i . Insbesondere
(x,y) , ist
ti
also wirklich surjektiv,
also
(t ~)i = t(~ i) . Weil
t(XvY)
t(X~Y)
.tp. t ( X ~ Y )
(
t 7.(X v Y )
<
tT•
exakt ist (5.6), folgt die Behauptung.
8.12 Wendet man 8.6 auf Cofaserungen von
X
ist, dann srgibt sich
X' C X
an, wenn
t X ~ t X' X t ( X / x , )
X'
Retrakt
, analog zu
8.8
8.11; man muss n a t G r l i c h
beachten,
um M o n o i d i s o m o r p h i s m e n
handelt.
eine V e r a l l g e m e i n e r u n g
von 8.11.
X l X X2x.. X X n Dicke
die Bouquets
x E XlX X2x
dene K o m p o n e n t e n Wit behaupten, surjektiv
xi E Xi
r
setzt
, r <_ n , v e r s c h i e d e n e r Br(X1,...,Xn) r
von
die Menge .
verschie-
t Bs(X 1 ...Xn) , r <_ s <_ n
so~ar ein natGrliches
r = 1 , dann definiert
vX n
ist
Rechtsinverses.
man ein Rechtsinverses
die v e r s c h i e d e n e n
betrachtet (r)
und setzt
dann zwar
verschiedsnen
scheidet
j
, wo
x
vo,,,
j
Projektionen
die Behauptung.
=
... X X n )
. F~r beliebi~ : ~s B ---~B r
zu
ist. F~r ti
die in
aber
r
>
1
ist
(ti)j x
t Br_ 1
unter-
liegen.
kann man diese Terme beseitigen ist dieselbe
Satz 19 fGr den Fall
Hilfsmittel
(r , s)
a~l'''~r ...
t((/~)x
Die Beweisidee
(vgl. PUPPE,
die w i c h t i g s t e n
t(Xl~X2~
xt~
a~)x~
X~l~...~X/~ r C B r u n d
nur um Faktoren,
Induktionsvoraussetzung
alle F~lle
Summanden
nicht mehr rechtsinvers
sich von
von Gruppen
j(x) = ~ ( t
man die P r o j e k t i o n e n
j(x) = ~ ( t a ~ ) x ~
erh~lt
man im Produkt
> B 1 , /~= 1 ... n , in die Summanden von
in die
(8.13)
B~Xl,...Xn)
t Br(Xl...Xn)
B1 = XlvX2v...
Nach
Dazu betrachtet
ergibt sich
haben.
wie in 8.9" man betrachtet : Bs
Anwendung
... x X n , die h~chstens
und besitzt
Ist n~Lmlich
ges
Als weitere
("fat wedge~'). Dabei bezeichnet
aller
~
dass es sich dabei i.a. nicht
sind 8.2,
8.5,
wie im Falle
t = ~[-,~K].)
8.6. Kombiniert
, so erhglt man die Zerfgllungsformel
= ~t(Br+l/B o<_r
) r
und
man
,
~i
8.9
8.14 Wir wenden uns nun den reduzierten Potenzen Darunter versteht man den Raum, der aus wenn man n-Tupel
(Xl,... xn) E X n
X (n)
yon CJAMES a S
X n =XxXx...xX
entsteht,
identifiziert, die sioh nut dutch
die Position der *-Komponenten untersoheiden. Z.B. ist X (2) = XxX/~(x,,)~(.,x) ~
zu.
usw.; man darf also
*
X (1) =X ,
mit den anderen
Komponenten vertausohen, abet keine anderen Identifikatlonen vornehmen. Man hat
x(n) c X (n+l)
Der direkte Limes wird mit
verm~ge
CXl,... X n S ~ * ~ * , X l , . . .
X (~) = llm>X (n)
Xn3 .
bezeichnet und hei~t
nach James das "reduzlerte Produkt yon X ". ~interelnanderschreiben der Komponenten maoht von
X
X (~) zu elnem assoziativen H-Raum (= freles
erzeugtes assoziatives Monold mlt ~Ins). Das Hauptergebnls
von ~James a] besagt, da~
X (@0) einsohlie~lich seiner Multipllkation
zumWegeraum der Einh~ngung homotople~quivalent ist, 8.15 SATe. Die IdentifikationsabbildunKen Monomorphlsmen
t~n: tX (n) m >
~n: X n
tX n , also
> X (n)
X (~)--~Q~X . induzleren
tx(n) C tX n .
Bewels. Wit betrachten das kommutative Diagramm t(xCn)/x (n-l))
,>
~ t (Xn/Bn_l) in welchem
~n-I
tX (n)
~>
~t~ n tp
>
tX n
~tg n-I ___, txn-1
das dlcke ~ouquet (8.12) bezeichnet. Die erste
Zeile ist exakt (die zweite nlcht~), t~ n-1
tX (n-l)
tp
Ist injektiv nach 8.13 ,
ist inJektlv nach Induktlon, und der linke vertikale Pfell
ist bijektiv, well
xnIB
~ x(n)/x (n-l) n-l ~ehauptung mlttels elnfacher DiagrammJagd.
Daraus erglbt sich die
8.10
Welche Elemente von
tX n
liegen in
Im(tX (n) --> tX n) ~ tX (n) ?
Dies ergibt sich rekursiv aus 8.16 SATZ.
Die Folge
9 --> tx (~) , t~-l, 1 > t(xCn'l) xX)
t(i•
> t(x(n.a)xx )
t( n-2,1,,)> ist exakt, d.h.
t~ n-l,l
ist injektiv und
im(t~ n-l'l) = ~zEt(x(n-l)xx) Dabei ist
I t(ixid)z = t(~n-2,1,.)z
~n'l'l([xl,... Xn_l],X) = [Xl,... Xn_l,X ]
i = Inklusion;
[ ]
bezeichnet die Xquivalenzklasse
und .
(NB. Die beiden rechten Abbildungen der Folge kSnnen rekursiv und wegen 8.13 als bekannt angesehen werden; damit ist also Terme
dutch
t(xk/Bk.1 ) , k(~ , ausgedrGckt.)
Beweis.
Die Zusammensetzung
tX (n)
ist injektiv (8.15), also auch aus
tX (n)
x(n-1)xX
(i•
t~ n-l'l > t(x(n-l)xx) --> tX n
t~ n-l'l.
dutch Identifizieren von
Xn_21,x)
Der Raum
X (n)
entsteht
([Xl,... Xn.2S,x )
=
mi~ ([xl,... Xn_2,x1,* )
(~n-2'l,*)([Xl,... Xn_2],x).
Anstatt diese l~mkte zu identifizieren,
k~nnen wit sie (bis auf Homotopieaquivalenz;
auch dutch eine Strecke
verbinden; diese Strecke mu~ abet zu einem Punkt entarten, wenn die beiden Punkte yon vornherein ubereinstimmen, Genauer bedeutet dies, da~ wir den Raum x(n-2)xXx[0,1]
[o,I] x(n) ~
A
d.h. wenn
x= *
ist .
bilden, der aus
entsteht, indem man Jede Strecke
([Xl,,, Xn_2J,*)•
zu einem Punkt identifiziert, und da~ dann (x(n-I)xx)VA
, wobei
A
l~ngs Dach- und GTundfl~che an
8.11
x(n-l)xx wird
anzuheften ist vermoge
(x(n-1)xX)/~A
=
genommen wahlt man fur 1/3 <_t<_2/3 Nach 5.1e
ixid
resp.
(x(n'2)xX)~/v(n_2)x{.(x(n-2)xX)~j A
im(t~ n'l'l)
x(n-l)xx).
also aus denjenigen Elementen
z E t[x(n-1)xX), deren Einschrankung auf e~weitern last. Nun ist
(x(n-1)xX) ~ A
sich auf
A
A ~ x(n-2)xX , und die Inklusion
> A
j: (x(n-I)xX)DA
(genau
nut die Punkte des Zylinders mit
und schlagt die anderen zu besteh%
(~n-2,1,.) . Damlt
stimmt(bis auf Homotopie) mlt
~ Xc~'~X
(id,id):
(x(n'2)xX)~ f~.o~ (X(n-2)xX ~berein. Wir werden gleich X ~ ~lx *'n 2" "n 2 sehen, da B ein Element a6 t~(X ~ - )xX~J(X ( - )xX~ genau damn in im(tJ)
liegt, wenn seine Einschr&ukungen
Snmmanden
x(n'2)xX
aI , a 2
auf die beiden
~bereinstlmmen; amgewendet auf
a = z I (X(n-1)xX)DA
besagt dies
t(i•
=
t(~n-2,1,*)z , wie
behauptet. Die Implikation
a~ imttJ) ~
al= a 2 , damn stlmmen
a
und
al= a 2 [tJ)a I
ist klaz~ Is% umgekehrt
auf den S11mmanden x(n'2)xX
{{berein; wenn wit nun zeigen, da B
> t I(X(n'2) V (X(n-2) }
t .h,12), injektlv ist, damn folgt
a = (%J)al, im(tJ). Die InJektivitat
wlederum ergibt slch mittels einfacher Diagrammjagd aus %(x(n-2)xX) < t i I
t{(x(n-2)xX)v (xCn-21xX)~ ~t (il, i 2 )
4[
t txCn-2) ~ ~ ~ xX )
l'
man benutzt, da B die erste Zeile exakt (8.7e') und da B t(*,proj.) injektiv [8.9) ist.
8.12
8.17 KOROI/J~. Element
Zu Jedem
x E tX
gibt es ~
z E tX (n), so dap Pk: X n --> X
dabei sind
~n: X n __> x(n) ~r
dieses
X
> Xn
z
(t~n)z
(tPl)X-(tP2)X....
ttPn)X
;
die verschiedenen ProJektionen,und
ist die Identifikationsabbildung; n~l . gilt nat~rlich
zIX = x
auf die Glelohung an).
t n)z
=
eln eindeutlg bestimmtes
(man ~mde eine Inklusion
Nennen wir also
= -]'/-k=l(tPk) n (zIX)
z E t X (n)
primltlv ,
ist, dann konnen wit das Korollar
auch so formulieren 8.18 Die Inklusion yon
tX (n)
X --2 X (n)
bi~ektiv auf
bildet die Menge der primitiven Elemente tX
ab ; hA1 .
F~r spater sei noch angemerkt, dab die inklusionen
X (m) --> X (n) ,
l~m~n , primitive Elemente in primitive Elemen%e uberfhhrem (offenbar) und daher naeh 8.18 die Untermengen der primitiven Elemente blJektiv abbilden. Der Beweis des ~orollars ergibt sich leich~ aus 8.16 dutch Induktion nach
n
(unter ~enutzung yon 8.9).
9.1
9.
Es sei
lhmktoren mit Monoidstruktur
T : Htp.
> Mon
mit Monoidstruktur.
ein kontravarianter
T braucht
(muss aber dem Axiom
h
Homotopiefunktor
(zun~chst) nicht halbexakt
gen~gen),
tegorie von R~umen mit Grundpunkt, lich der Produktbildung;
II.
und
Htp.
zu sein
ist irgendeine Ka-
die abgeschlossen ist bez~g-
die Morphismen sind punktierte Homotopie-
klassen.
9.1 DEPINITION: Dann ist
Sei
~[-, ~
Y
ein H-Raum mit Multiplikation
verm~ge
2" ein Homotopiefunktor
~ : Y• Y
> Y.
mit Monoidstruk-
tur. Wir k~nnen also in der Menge der natGrlichen Transformationen [x[-,y],~] ~ aussondern.
TY
(s. 1.10) die multiplikativen
Diese Elemente
y e
TY
heissen primitiv
Die Menge der primitiven Elemente werde mit Ein Element
9.2 SATZ: so ist (T~)y
Beweis:
X
Sind
TpY
y ~ T Y ist also genau dann primitiv,
~[X
fGr jedes
Transformationen
, Y]
> t X ,
~4~9
ein Monoidhomomorphismus
p~ : Y•
y e TY
(bez~glich/~).
bezeichnet. wenn
(t a)y
ist.
> y , ~ m l, 2,
die beiden Projektionen~
~enau dann primitiv r wenn
~ ~(T pl)y ~ 9 ~(T p2)y ~
Primitivit~t
gilt.
bedeutet,
nat~rlichen Transformationen
dass das folgende Diagramm von
kommutativ ist
9.2
7[[-,Yx Y] -- [[-,Y] X ,[-,Y]
Y x7
,L-
~[-,Y]
Nat~rliche Transformationen serem Falle
~ [ - , Y x Y])
> l'•
Y
>
"E
von darstellbaren
Funktoren
stimmen nach 1.10 genau dann ~berein,
wenn sie auf dem universellen Element
(hier
stimmen. Wenden wir das Diagramm auf
idy •
linke Weg
, der rechte
gsgen
~
>
das Element
I(rpl)y~.
9.3 DEFINITION:
I(Tp2)y~
(Z~)y
Ist
Y
CW-Raum,
so setzen wir
idy x Y)
an, so ergibt der
ein beliebiger
t : W.
> Men
Y
selbst kompakt,
varianter Homotopiefunktor
ein halbexakter
~
Ya
von
t
(a)
=
Zusammen mit
w
aber i.a.
(e) .
XEW_~ . Die Folge der
~ X (~)
zu
ist selbst ein kontra-
Wir wenden num 9.1 - 9.3 auf das reduzierte Produkt
~9.4)
Y
dann ist natGrlich
Er gen~gt auch dem Additivit~tsaxiom
kompakten CW-Unterraume yon
von
(auf beliebigen CW-R~umen) mit Monoid-
nicht dem Exaktsheitsaxiom
wobei
da-
~ Y = ~im t Ya ' wobei der inverse Limes
Y = t Y . Diese Erweiterung
struktur.
>~
(nicht notwendig kompakter)
~ber das System aller kompakten CW-Unterr~ume nehmen ist. Ist
Gberein-
.
Es sei jetzt wieder
Funktor.
(in un-
X (n) X (~)
x (') an
(8.14;,
ist kofinal im System aller also
~(X(~)xX~))
=
wird sieh daraus der folgende Satz ergeben
9.3
9.5 SATZ.
Die Inklusion
~i : ~ ( ~ )
~
tX
i: X ~ >
induziert eine ~ijektion
zvrlschen den primitiven Elementen yon
und allen Elementen yon Beweis. Nach 9.2 ist beiden Elemente
X ~j
~)y
~X (~)
tX .
y~X
(~@) genau dann primitiv, wenn die
trod ~(~pl)y). ~(~p2)y I
yon
~(X(~
(~))
ubereinstimmen. Wegen der zweiten Limesformel 9.4 ist das genau dann der Fall, wenn die Einsohrankungen der beiden Elemente attf x ( J ) ~ (k) fur alle
J,k
gleich sind, Setzen wit
konnen wit dafur auch schreiben
Yn = (yJx(n)) s tx(n)
(t~Jk)yj+k
=
, dann
~(tPl)Yj~-~(tP2)Yk~ ,
wie aus dem kommutativen Diagramm wx
tx(J+k)
t~ jk
> t(x(J)xx (k))
hervorgeht. Iteration zelgt
t n)yn _(wo
Mn Xn
(tPl Yl . (tp2)yl .
> X (n)), d.h.
yn ~ tX (n)
.~
(tpn)y 1
ist primltiv im Sinne yon 8.18.
Die Umkehrung ist fast selbstverstandlioh, also ist dann prlmitiv (ira Sinne von 9.1), werm alle
y E ~ X (~)
Yn = YJ X(n)
genau
primitiv
sind (im Sinne yon 8.18). Da die primitiven Elemente bei allen Inklusionen
X C X (2) C X (3) C
...
biJektiv abgebildet werden
(vgl.8.18 und anschlie~ende Bemerkung), folgt die Behauptung aus der ersten Zimesformel 9.4 9 9.6 F ~
die Ergebnisse des folgenden Paragraphen ben~tigen wir auch
einige Eigenschaften von
~ K ( W , 2n+l)
wie ~blich einen Eilenberg-MacLane rationalen Zahlen,
n ~ 0 .
,
wobei
K ( @ , 2n+l)
Komplex bezeichnet,
Man konstruiert
K(@,
@ die
2n+l)
am
einfachsten als "Teleskop"
K = [0 , 1 ] X s2n+lu
(9.7)
Dabei ist
~t : s2n+l
und die Schreibweise mit
[1
,
2])~ s 2 n + l u
> S 2n+l
2n+l U %
dass
((,z) ~ [ ( - 1 , e ] X S 2n+l
zu idsntifiziersn
ist. Bei Beach-
tung dieser Identifikation kBnnen wir die Punkte aus dUrch swei Koordinaten
Das Teilteleskop Sphere Ke
k = e
> Ke+ 1
multipliziert
Eilenberg-MacLane folgt, dass
K~K(@
Insbesondere
ist
fGr
H2n+l K~ = Z
i = 2n+l
einen Isomorphismus sind primitiv,
beschreiben.
; die Inklusion
~ . Es folgt
die gleiche Homologie hat,
ist.
ein abelscher H-Raum.
t
sei ein halbexakter Funktor mit Monoid-
und teilbar,
Die Inklusion
~
und null sonst. Da der
K( @ , 2n+l)
, 2n+l) K
also
K
l~sst sich in die
ausserdem seien die abelschen Gruppen
torsionsfrei
K
z ~ S 2n+l
die Homologie mit
Komplex
Wir nehmen nun an,
9.8 SATZ:
und
Ks : I(k , z) I k ! ~
Hi K = li~ ~i Ks = @
struktur;
k ~ [0 ,~)
deformieren,
....
eine Abbildung vom Grad
9.7 bedeutet,
( ~ ,~(~)) ~ [ ~ , ( + l ] x S 2n+l
[2 , 3 ] •
also ~-Vektorr~ume.
S =I0~xS 2n+l
t Si , i > 0 ,
Dann gilt
> K = K(@,
2n+l)
induziert
K ( @ , 2n+l) ~ t S 2n+l. Alle Elemente von
%pK(~,
2n+l) = ~ K ( @ ,
2n+l)
.
9.S
Wegen
~[X , K] = H2n+l(x
mulieren:
kann man letzteres auch so for-
Alle K o h o m o l o g i e o p e r a t i o n e n
sind additiv
Beweis:
, W)
H2n+l(x
, @)
> t X
(= homomorph).
Die Inklusionen
Ke
der rationalen Kohomologie.
> Kf,~
induzieren Isomorphismen
Daraus folgt
(s. 13.6)
t Ke~ 4 ~ t K e , also
~ K = ~im t K e ~ t K e ~ t K o = t S 2n+l
Nun zur Primitivit~t.
Bekanntlich gibt es eine A b b i l d u n g
SX S
> S
vom Bigrad
eine A b b i l d u n g
(1, 2) (s. S T E S N R ~
: S~S-
> S
vom Bigrad
dann (nach homotoper Ab~nderung)
annehmen,
auf den beiden Summanden ~bereinstimmt, struktion ist Grad eine A b b i l d u n g Se•
a
> S(2)/S z S ~ S
: s (2)
) S ~ (S ~ S )
DimensionsgrLtnden in dung
~ : S (2)
nalen
(Ko-)Homologie,
t~ 8~
~ 2 ~ 0 . Wegen
des reduzierten Produktes
: s (2)
,
(~)
also
induziert
einfache halbexakte t Sj
t'S (2)
~ ;nach
Kon-
induziert
~i ~ ~2 (2) ~ : S
>S
.
dann ist
die sich aus
Isomorphismen der ratio-
~ t S (2) . Nat~rlich kennen wir schon aus Das Neue an dem jetzigen Beweis t
bei
~
nicht benutzt
t , wenn nur
isomorph abbildet),
wenn sie nicht multiplikativ von
~l z ~2
(s. 13.6 ff) auch
daher vertr~glich mit T r a n s f o r m a t i o n e n
t'S
dass
eine Abbildung,
ist, dass er die M o n o i d s t r u k t u r von
Koeffizienten
(2, 2); wit k~nnen
die Projektion;
eine derartige Aufspaltung.
f~r beliebige
also auch
S w ( S ~ S) deformieren l~sst. Diese Abbil-
~ Sv(S~S)
: t(Sv (S~S))
ZKu
.
2~ die
Die Aufspaltung ist ~ : t'
> t , auch
sind; insbesondere
in den Faktor
~
(er gilt
t S
geht der ~aktor
yon
t S (2)
~ber.
Speziell interessieren
wir uns fffr den Fall
t' X = IX , K ( ~ , 2n+l)] = H2n+l(x 9 a = (~ a)y , zeigen,
wobei
~
K
=
in den Faktor
Wegen
~ K 9 t S ,
(L,~)
~ t'(SvS)
wird
und die Transformation
festgew~hlt
ist. Wir haben zu
dass
( Lj L) ~ t' K X t '
bei
y ~ ~ K
; @)
t'(KVK)
~(KvK)
~(K~K)
von
~(KKK)
= t(S~S)
C t'(SwS)
(L = Inklusion
C t'(KXK)
bei
S ( K;
9
in
t(SvS)
~l
t ' ( S x S)
wissen
~l t' S C t S
8.16. Daher ist auch folgt
)
-3
) S (2) und
abgebildet
Diagr~mm
t S(2)
t ( S K S)
die Projektion
(t ~)~ S ) C t ( S v S )
~2(t' ~)L r t ( S v S )
~2(L,L ) ~ t ( S v S )
dass
der Beweis gilt jedoch fffr beliebige
t'(S (2)
~ : SK S
wird.
gen~gt es zu zeigen,
L ~ t' S). Dazu betrachten wir das kommutative
in welchem
abgebildet
, wie behauptet.
bezeichnet. , lstztsrss
. Wegen
Wir naoh
(t' ~)L = ( L ~ L )
lO.1
I0.
F u n k t o r e n mit M o n o i d s t r u k t u r
(III) und rationalen Koeffizienten.
Wit betrachten halbexakte M o n o i d f u n k t o r e n Koeffizienten
t Sj
teilbar und torsionsfrei
r~ume ~ber den rationalen Zahlen t : ~.
> Ens
10.2 Zun~chst noch eine Erg~nzung 9.7 ein Teleskop
=
> Mon
sind, also Vektor-
. Wir zeigen,
dass
Funktor durch seine K o e f f i z i e n t e n
ist nicht durch die K o e f f i z i e n t e n
zu Paragraph 9. Bilden wir wie in
[i , 2]x'S2nLJ?2 [2 , 3])~s2nIjq3
so erhalten wir einen CW-Raum
I
mit
Hi I =
@
f~r
und null sonst. Bilden wir dann das reduzierte Produkt Sinne von [JAMES a], so ist
H*(I (~ ; E )
H2n(I
H * ( K ( @ , 2n) ; Z )
;Z ) , also genau wie in einer U n b e s t i m m t e n
Eilenberg-MacLane Die Inklusionen k (_~
,
S~'e) Is
S 2n = S
~ = O, l,
Kohomologie;
Komplex,
...
nur
t .
(dieses Mal mit einer g e r a d - d i m e n s i o n a l e n
[0 , l ] ~ : s 2 n u q
@[u]
, deren
es gibt aber immer eine und (bis auf Equivalenz)
eine abelsche G r u p p e n s t r u k t u r f~r
I
@
als mengenwertiger
bestimmt ist. Die M o n o i d s t r u k t u r festgelegt,
t : W.
> I~
...
i=2n l@)im
die Tensoralgebra ~ber
u . Daher ist I (~) ~ K ( @ ,
Sphere)
2n)
ein Polynomring I ~@)
selbst ein
.
in die partiellen Teleskope
induzieren Isomorphismen der rati~nalen
ebenso die reduzierten Potenzen dieser Inklusionen
> --I) ~)
. Nach 13.6 ist dann auch
t --I~~) ~ t S ~'~
.
I0.2
Ubergang zum Limes ergibt
~ I (~) ~ ~ S (~) . Ebenso
I
.
Der Satz 9.5 impliziert
10.3 SATZ:
Die Inklusion
~p K ( @ ,
2n) ~ t S 2n
K( @ , 2n)
S 2n
Y
2n)
t S 2n .
die additiven Kohomologieoperationen
2n)~ = H2n(x
ein H-Raum,
induziert eine Bi~ektion
zwischen den primitiven Elementen yon
deutig den Elementen von
Ist
) K(@,
und allen Elementen yon
Mit anderen Worten: ~[X) K(~,
daher
, @)
~ t X
entsprechen umkehrbar ein-
t S 2n .
dann entsprechen die primitiven Elemente
IX , Y~
den natQrlichen Homomorphismen
verm~ge
~y[f] = (~ f)y . Wir w~hlen nun eine Vektorraum-Basis
Bn
t S n ~ ~p K ( @ ,
f~r
n)
~:
und f~hren in
Bn
nung ein. Dann definieren wir eine nat~rliche (i.a. kein Homomorphismus
(10.4)
) t X
ya~Y
~n
) t X
n)]
; fast alle
fb -- *)
auf den einzelnen Summanden homomorph,
nehmen,
~
= Ks b~B~
aber
~n
)
ist i.a. nur
nicht auf der ganzen Summe.
auf der rechten Seite ist in der Reihenfolge
die durch die Ordnung yon
schematisch:
~n ~fb~
die ~bliche direkte Summe (= Menge der B-Familien~
fb E ~X; K ( @ ,
Das Produkt
Transformation
!)
: b ~ B n IX ) K ( ~ ' n)]
Dabei ist ~
eine strenge Ord-
~
Bn
vorgeschrieben
[..-[ L-,-],-],--..-I-]
zu
ist;
9 Man muss beachten,
10.3
dass
t X
Wie die
i.a. weder kommutativ noch assoziativ ist. ~b
k~nnen wir nun auch die Abbildungen
s
zu einer
einzigen Abbildung
E : n
br
'
zusammensetzen.
n l
Setzen wit
~
= n~Ofn(~n )
ist sine Equivalenz.
X = S j , dann wird
IX , K ( @ ,
n)] =
@
f~r
und null sonst. Die Abbildung 10.5 reduziert sich also auf
~j : b ~ B j IS j, K ( @ ,
j)] = ~ b @
sche Gruppe ist und
~j
~j
> t X , ~(21,~2,...)
und es gilt
Die Transformation
Beweis: n = j
'
Diese Abbildung ist sine Transformation von halb-
exakten Funktoren,
10.6 SATZ:
K o
selbst homomorph.
ale Basis die durch i ~ ib : S j
> t S j . Da
Die links Seite b ~ Bj
~[S
j , K(@,
j)]
ist
besitzt
induzierten Inklusionen
b ~ (~ i)b
besondere bijektiv,
sine abel-
jeden Summanden homomorph abbildet,
> K ( @ , j), und die Abbildung
das Basiselement
t Sj
lj
~ber. Daher ist
also ist auch
~
f~[hrt ~j
ib
isomorph,
in ins-
bijektiv nach Satz 7.1 .
Betrachten wir zur Erl~uterung der Xquivalenz 10.5 noch den halbexakten ~hmktor t' X =
Dann ist
j
0
Hj(x
; t S j) =
t' Sn -- Hn(x
;@)@
j ~ > 0 HJ(x
;~)@(t
S j) "
t S n = t S n , besitzt also dieselbe
10.4
Vektorraumbasis Equivalenz
Bn
wie
t Sn . Also gibt es ~ a c h 10.6) eine
~' : ~ n > O { ~ b ~ B n [ X ,
(10.7)
t X
~
t'X
=
K ( @ ' n)] I =
~j>O
Hj(X
t X = [X , K ( ~ ,
es zeigt abet: zienten
2)XK(@,
dann sogar eine
4)]
(ein Gegenbeispiel
konstruiert werden),
Wenn ein halbexakter Funktor
t S j_ Moduln ~ber
@
also
; t S j)
Dies ist nat~rlich i.a. kein Homomorphismus kann mit
t' X ,
t ,dessen
Koeffi-
sind I eine Monoidstruktur besitzt~
@ -Vektorraum-Struktur.
Wir zeigen nun, dass dies die einzige abelsche Gruppenstruktur in t
ist.
10.8 SATZ:
Ist
t X
eine abelsche Gruppe
Satz abet auch f ~ d i v i d u e l l e bildung
t'
formulieren)~
X ; man kann den dann ist die Ab-
~ aus 10.6 ein Homomorphismus und unabh~ngi~ yon der
Wahl der geordneten Basen Ist
X
(fGr alle
Bn .
ein zweiter solcher Funktor und
~J : t S j --> t T S j
eine Polge von Homomorphismen I dann gibt es genau eine homomorphe nat~rliche Transformation
Beweis:
Wenn
t X
~ : t
> t'
mit
~(S j) = ~J .
eine abelsche Gruppe ist, dann ist
~ homo-
morph, weil die Beschr~nkung auf jeden Summanden homomorph ist. W~hlt man f~r
t Sn
eine andere Basis, so kann man mit Hilfe
der Transformationsmatrix die Unabh~ngigkeit v o n d e r sen. Es ist aber vielleicht interesaanter,
Basi~ bewei-
eine Definition von
E
I0.5
zu geben,
die ~berhaupt
keine Basis benutzt.
dass im abelschen Gruppenfall (Y ein H-Raum) Definition.
eine Untergruppe
P~r
isomorphismus
die primitiven
Y = K ( @ , n)
bilden;
Dazu bemerkt man, Elemente
~p Y
dies folgt sofort aus der
ergibt sich dann ein Gruppen-
~p K( @ , n) = t S n . Betrachten
wit nun die Ab-
bildung
~n
: IX , K ( ~ ,
n)])~p
Sie ist h o m o m o r p h
K(@,
n)
> t X ,
in der 2. Variablen
funktor ist, und sie ist h o m o m o r p h weil wir uns auf primitive also einen Homomorphismus
(10.9)
y , well
einstimmen.
Elemente
(i0.i0)
e
=
~en~
: ~n>
0
~
ein Gruppen-
beschr~Luken.
[f] ,
Sie induziert
des Tensorprodukts
leicht,
Daher stimmt
, y) ~ (~ f)y
in der 1. V a r i a b l e n
e n : [X , K ( @ , n)] @ t S n -----> t X
und man verifiziert
~n([f]
dass
en
,
und
en([f]@y)
s
= (~ f)y
(aus 10.4) ~ber-
~ mit
[X , K ( ~ ,
n)] | t S n
~ t X
~berein.
Aus der invarianten e
mit h o m o m o r p h e n
vertr~glich das Diagramm
Konstruktion nat~rlichen
ist, d.h.,
von
e
geht auch hervor,
dass
Traneformationen
~ : t' --@ t
dass f~r jede homomorphe
Transformation
,
9
10.6 e
[X , K ( @ , n)] | t Sn I~
(lo.n) ~[X
•
|
, K(@,
t X
~n
n)] @ t' S n
>
t' X
m
kommutativ Folge
•
( ~n =
~n : t S n
~(sn)).
> t' S n
Ist andererseits
eine beliebige
von Homomorphismen
gibt es ein eind~utig bestimmtes
~ ." t
gegeben,
> t' , welches
dann das
Diagramm 10.11 kommutativ macht.
F~r den zweiten Tell von 10.8 gen~gt es vorauszusetzen,
10.12 KOROLLAR:
t X
genauer
Sind
t,
t !
: W. --@A_~G
halbexakte
abelscher Gruppenstruktur I i s t
~J : t S j
eine Folge von Homomorphismen
und sind alle
torsionsfrei
(~
@-Vektorr~ume),
morphe nat~rliche
Beweis:
Aus 10.8 folgt zun~chst,
~ : t
X ~
> t'
teilbar und
mit
t' X
(t X)O @
ein halbexakter
seine Transformationen
in
eindeutig den Folgen
~(t s J ) - ~
die Behauptung.
t' S j
die Homomorphismen
(t X ) @ ~ t'
> t' S j , j > 0 ,
dass alle
eindeutig den Homomorphismen
Nun ist abet
Funktoren mit
dann ~ibt es genau eine homo-
Transformation
r~ume sind. Daher entsprechen umkehrbar
als abelsche Gruppe
~(S j) = ~J .
~-Vektort X
> t' X
> t' X . Funktor und
entsprechen nach 10.8 umkehrbar ) t' S ~
j>0
" Damit folgt
10.7
lO.13 Beispiel:
Die K o e f f i z i e n t e n der k e m p l e x e n K-Theorie,
t = Kc
(s. 6.3), haben nach einem bekannten Satz von Bott die Gestalt ~C s2j-1 = 0 ,
~C S2j ~ Z ,
einfachen Beweis] t' X = H2+(X
j > 0 Is. ATIYAH-BOTT,
f~r einen
. Setzen wir nun
; @) = i-~O H2i(x
; ~)
' dann ist
t' S 2j ~
es gibt nach lO.12 eine eindeutig bestimmte nat~rliche tion
ch ." ~c
> H2+( - , @ )
ch(S 2j) = Inklusion
: Z
@,
und
Transforma-
mit der Eigenschaft
> @ . Dieses
ch
ist der wohlbekannte
Chern-Charakter. Es erhebt sich die Frage, wie sich seine m u l t i p l i k a t i v e n Eigenschaften in die Theorie der h a l b e x a k t e n F u n k t o r e n einfGgen. r~ber geben die folgenden Abschnitte
lO.14 DEFINITION:
Es seien
mit Monoidstruktur. nat~rliche
r, s, t : W.
io.t~-fo,l~
>Mon
Ein ~usseres Produkt
Auskunft.
halbexakte
r~$
> t
Funktoren
ist eine
Transformation
7 z 7 X y : (r X ) X (s Y)
> t(X~Y)
die h o m o m o r p h ist in jeder V a r i a b l e n
,
("bilinear").
ein zweites solches Tripel mit ~usserem Produkt ~ : r
Da-
> rf , ~ : s
Transformationen, wenn das Diagramm
> s'
, T:
dann sagen wir
t
> t'
(~, ~, 7)
Ist
r', s', t'
T' , und sind
homomorphe nat~rliche sei produkttreu,
I0.8 Y
(r X ) X (s Y)
>
t(X~Y)
>
t'(X~Y)
(lO.15) yf (r' X) X (s' Y)
stets kommutativ ist. Aus einem ~usseren Produkt erh~lt man ein inneres Produkt indem man
X ~ Y
setzt und mit der Diagonale
Z~ : X (id,id); X X X
; X~X
zusammensetzt,
~ ~X : (r X ) X (s X) _19 t ( X ~ X )
UbunKsaufgabe: jektionen,
Sind
p : XxY
stimmt mit
~
also
t X .
> X ,
q : XxY
> Y
die Pro-
i : X v Y C X x Y , dann ist die Zussmmensetzung
X)X~ ~ (r p ) X (s q)) r ( X ~ Y ) X null, und
V
~(r y
s(X~Y)
p ) X (s q)] : ~ X ) ~
~
~ ) t(XXY) >
ker(t s ) ~
ti> t ( X v Y ) t(X~Y)
~berein. Man kann also das ~ussere aus dem inneren
Produkt zur~ckerhalten.
Das gel~ufigste Beis~iel f~r ein ~usseres Produkt ist das X-Produkt der (reduzierten) Kohomologie Hm(x ; A)X ~n(y ; B)
> Hm+n(x~Y
; A|
das zugeh~rige innere Produkt ist das V-Produkt.
;
In der K-Theorie
gewinn% man mit Hilfe des O-Produktes yon VektorbGndeln ein ~usseres Produkt, f~r dessert Definition wir auf [ATIYAH-HI,RZEBRUCH, 1] verweisen.
10.9
Der Chern-Charakter (~ = ~ = ~ =
Es seien
homomorphe toren
~- r
---@ t ,
y' : r ' • s' Gber
@
s.lO.8).
(r' si)w(s
f~r alle
s j)
i, j > 0
Beweis:
Gruppen)
~-
t
> t'
halbexakten
t'
im wesentlichen
yon
t'
rationale
ist
~
)
t S i+j
(~, ~,~)
~
> t'
t(si~s j )
si+J
ist. D.h.,
es gen~gt,
Produkttreue
zu verifizieren.
Wit fixieren
j > 0
und
b e s S j . Dann sind
t(X~S j )
r X
Punk-
mit ~usseren Produkten
> t' . ~ie Koeffizienten
(also
kommutativ
auf den Koeffizienten
> s'
wenn das Diagramm
S j)
,
~ 9 s
Unter diesen Voraussetzungen
genau dann produkttreuf
(r s i ) ~ ( s
dass man dies nur auf
Transformationenzwischen
(- abelsche
Kohomolo~ie;
ist produkttreu,
braucht.
> r'
~ AG
seien Vektorr~ume
'@ )
Satz zeigt,
zu verifizieren
nat~rliche
W.
y : r~s
> H2+(-
ch). Der folgende
den Koeffizienten
lO.16 SATZ:
KC
ch :
~b > (r X ) X (s S j)
s
t ' ( X ~ S j)
(r' x)x (s' sJ)
i0.i0
zwei homomorphe
nat~rliche
Transformationen,
zung auf den Koeffizienten
r Si ,
~bereinstimmen
> O,
i
die nach Voraussetund da-
her nach 10.12 ~berhaupt ~bereinstimmen. Dies gilt f~r alle den Paaren
b ~ s Sj
(X , S j)
also ist
produkttreu
(~, ~,~)
jedenfalls
auf
(d.h. lO.15 ist kommutativ f~r
diese Paare). Nun fixieren wir
X
und
a ~ r X
und finden wie eben, dass die
beiden Transformationen
t(x Y) s Y
a~
> (r X ) X (s Y)
Gbereinstimmen.
t'(X~Y)
Weil das fGr alle
a ~ r X
gilt,
folgt die Pro-
dukttreue.
lO.18 Bemerkung: ten
t Sj
Ein halbexakter Monoidfunktor nicht
teilbar und torsionsfrei
nicht als direktes scheint
jedoch,
Heidelberg),
Methoden folgendes Analogen
tionen
sind,
Funktoren
(i.a. nicht-homomorph)
Koeffizien-
l~sst sich i.a.
Produkt von Kohomologiegruppen
(Hoffmann,
Es gibt halbexakte
t ,dessen
schreiben.
Es
dass man mit den obigen
eines Satzes von Thom beweisen kann: u, ~ <
und nat~rliche u
t , wobei
Transforma-
mit ~
ein direktes
lO.11
Produkt von (gew~hnlichen) torsion"
ist
t
Kohomologiegruppen
doch nur gew~hnliche
ist. D.h.
Kohomologie.
"modulo
Ii .I
Ii.
Postnikov-Faktoren.
Ii.i SATZ und DEFINITION: dann auch
Ist
ein halbexakter
> Ens
t : E-
t In] : W.
> Ens
, t[n]x = Im(tX n
> tX n-l)
t[n ] : W.
> Ens
, t[n]X = I 4 t ~ / x n )
Funktor~
, n > 0
und
Dabei bezeichnet
Xn
Bild der Abbildung Inklusion nen
das n-Skelett
in der Klammer.
der Skelette
(und wollen)
induziert.
wir voraussetzen,
Da
X
dass
X~ = ,
(beide auch P o s t n i k o v f a k t o r e n
~.
Im(
zusammenh~ngend
-faser von
betrachten
und
, n _> 0 .
)
das
Diese A b b i l d u n g wird dutch die
t In]
Etwas allgemeiner
tin ]
X E E.
Die Funktoren t
bezw.
yon
> t(X/X n-l))
ist, k~n-
ist.
heissen n-te Postnikovbasis
wit Paare
von
(X , A)
bezw.
t ). yon CW-Rgumen
aus
und setzen t[n](x
, A) = I m [ t ( x n ~ A)
t[n](X
, A) : Im[t(X/Xn~A )
> t(xn-lvA)]
,
> t(~/xn-lvA)]
,
n > 0 .
Dies sind dann H o m o t o p i e f u n k t o r e n auf Paaren (X , A) , mit Additivit~ts- und Exaktheitseigenschaften, die wir nicht ausdrGcklich formulieren.
Wir nennen
sie ebenfalls
Postnikov-Faktoren
von
t .
t ~ t[n ] sind funktoriell, d.h. natGrliche Transformatione~D___~ : ~ z w i s c h e n ' h a l b e x a k t e n Funktoren induzieren ~[n] : sin] > t L~J bezw. ~[n] : Sin] > t[n] mit den E i g e n s c h a f t e n Die Zuordnungen
(~)[n]
t~
= ~[n]~[n]
t In]
und
bezw.
id[n] = id
(ebenso fGr
~[n]).
ii .2
Beweis: Wir schreiben abkGrzend X An = x n v A und X nA = X / x n ~ A 9 Ist f : (X , A) ) (Y , B) eine stetige Abbildung, dann gibt es eine homotope f zX~ ( Y ~ ) .
zellul~re Wend en wir
Abbildung t
fz : (X , A)
.) (Y , B)
auf das kommutative
(also
Diagramm
fn+l z > vn+l ~B
xn+l A
t n XA
n
) YB
fn Z
an, so ergibt sich t f nz
: I m ( t Y n+l B
Diese Abbildung natGrlich abh~ngt.
> t yB~
bezeichnen
> I m ( t k ~ +l
wir mit
mUssen wir zeigen,
tCn+l]f
) tX
) .
: tCn+lB(y,B)
dass sie nur von
f
--> t[n+l](x,A~
nicht von
fz
Ist f = g : (X , A) > (Y , B) , dann auch fz ~ gz ' und wit k~nnen sogar eine zellul~re Homotopie @ : fz ~ gz finden, also vn+l @(X x CO , 11) ( ~B . Dann sind also auch die beiden Zusammensetzungen n
n
n fz'gz) n XA YB homotop,
also
vn+l ) ~B
t f zn I t Cn+l~(Y I
t~n+l~f = tCn+l~g ist (man setze
' B) = t g ~ I tCn+l~( Y ' B) , also _
J
. Damit ist gezeigt,
dass
g = f), und gleichzeitig
t~n+l]f
wohldefiniert
ist das H o m o t o p i e a x i o m
5.1 (h) nachgewiesen. Wir ~berlassen es dem Leser, die Punktoreigenschaften und das A d d i t i v i t ~ t s a x i o m 5.1 (a) fGr t Cn+l~ nachzuprGfen; beide sind fast selbstverst~ndlich. Das Axiom (e) kostet etwas mehr Arbeit. Gegeben X l v X 2 = X und zwei Elemente v~ ~ t X ~ +l , ~ = 1,2 , deren Bilder bei t X n+l Ln+l ) tX n - ~ t(X~X~) ~bsreinstimmeno Gesucht ist n+l v ~ tX , das sich bei
11.5 .n
tX n+l
~n) t X n ~ @
tX~
in
L~vp abbildet.
Das folgende Diagramm soll den Beweis illustrieren: tX n+l I t~n+ll n
Ix#)
>
t Xn
.n+l J~
I
t X n +I
L#. >
II
~l~n+l n+l ~i ~ X2 )
)
.n J~
t Xn
ql :
x +i^ x !i t( n ~l ~
L~ >
> t
(X~nX~)
~
tC~s n)
X~
>$$ , also Die Elemente v ~ e t X #n+l haben dasselbe Bild bei auch bei $i ) . Die Zeilen (insbesondere die untere) sind partielle Puppe-Folgen (der anheftenden Abbildung VS n > X ~ n X n2 f~r die ~+l)-Zellen). Daher gibt es einen Operator +l x~+l w e t(X~ m n XI n X2
mit
(ilVl)-W = i 2 v 2 .
Nun ist
~n+lj A 1 /Xy
ein
Bouquet von Sph~ren und _n+l X1 n + ~ lA2 n
X1 ~
n+l w I e t(X 1 /X~)
ergibt
es daher .n n
Jl ~
dann
v e tX n+l n .n+l
(v) = ~I ~I
Die entsprechenden wir
sie
mit
il(Vl.Wl) mit
,t~
surjektiv;
=
~iWl = w . Die NatUrliohkeit = i2v 2 . Well
n+l
Jl
(v) = ~
.n Ln (v) = L n2 J2 _.n+l v J2
dass
"'
Daher ist
X2
es gibt Folge
ist ein T e i l b o u q u e t .
n
t
halbexakt
ist,
der Puppegibt
v = VlW 1 , J + l v = v 2 , a l s o
(Vl.W11 = ~nI
Vl
und
L2n v 2 , wie verlangt.
Beweise f~r den Funktor
fibergehen k~nnen.
tin ]
sind so ~hnlich,
Die Punktoreigenschaften
von
ll.4
t ~
ll.2
t [n]
t ~9
,
tin ]
schliesslich
sind
klar.
SATZ: (• Die n a t ~ r l i c h e T r a n s f o r m a t i o n x n = un(x , A; t) : t X ) tCnJ(x , A) , die durch
die I n k l u s i o n
n-I XA
(X , A)
~
X
induziert
dim{X
-A)<
n
und
(ii)
Die n a t ~ r l i c h e
~n = ~n (x ' A ; t) X/A
A 1 > Xn_
den
(X , A)
induziert
nutzt
dass y o n
werden
kann,
Zerlegt
Sj
tLnJS ~ = 0
Unter
allen
falls
mit
dim
(X-A)<_ n
.
> t(X/A),
die d u r c h
die P r o j e k t i o n
ist b i ~ e k t i v fGr alle
YJ
( B
aus der D e f i n i t i o n ; ist
zwei
ist fGr
n-zusammenh~ngen-
fGr Teil
Paaren
(Y , B)
(X , A).
(ii)
be-
angenommen
(bis auf H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z ) . S ~ = .~e
Zellen,
j ~ n;
h aP l b~ e x a k t e n
Funktoren
t Lnj bezw.
trn I L
fGr alle
(n-l~zusammenhgngenden
j-zusammenh~ngenden
in n u r
dass
ten k ~ n n e n
wird~
unmittelbar
dass
man
, A)
ist i n j e k t i v
folgt
f~r alle
Transformation
: t[n](X
und
ist b i j e k t i v
ist sur~ektivt
Der Beweis man,
wird~
ebenso mit
dann
j
t~n]SJ
diesen
so erkennt = 0
f~r
man,
j ~ n
.
Koeffizienteneigenschaf-
folgendermaSen
eharakterisiert
J
werden. ll.3
SATZ: (i)
(Eindeutigkelt Es sei
~ : t
Funktoren rund
der P o s t n i k o v f a k t o r e n ) . > u
es gelte
eine n a t ~ r l i c h e uS j = 0
f~r
Transformation
~n.
Dann
halbexakter
gibt
es eine
ein-
deutig bestimmte Transformation ~-r[ : t L n ~ > u , so dass ~ = ~n n Ist ~: t S i =~ u S i f~r ~n i < n , dann ist eine E ~ u i v a l e n z . (ii)
Sei
~ : v
Funktoren tund
> t
eine n a t ~ r l i c h e
es g e l t e
vS j = 0
f~r
Transformation j ~ n
deuti~ bestimmte Transformation ~n : v Ist ~ : vS i ~ tS i fGr i > n , dann ist Ist z.B.
t = [-,K]
dann ist
[-,p]
: t
und
ist
> [-,L]
p : K genau
> L
halbexakter
. D a n n ~ibt
es eine
ein-
> tin ] , so dass ~ = ~n~n ~n eine K ~ u i v a l e n z . eine
dann mit
stetige n
: t
Abbildung, .> t In]
.
ll.5
~quivalent,
wenn
xjL = 0
fGr
j ~ n und
Unsere Definition der Postnikov-Faktoren mit der Gblichen Gberein. Beweis:
(i)
Zun~chst die Existenz. t ~nt
p. : ~jK = ~jL
f~r
j < n
stimmt also in diesem Fall
Wir betrachten
das Diagramm
~ >u
,[
![ ~nu
ten]
)
n]
Die Transformation ~nu induziert Isomorphismen aller Koeffizienten, ist also eine Equivalenz. Wir k~nnen daher ~n = ( nu)-l~[n] setzen. Ist jetzt ~' : t In] > u eine beliebige Transformation = ~, n , dann betrachten wir das Diagramm
mit
> uX
tX
tEn]x
>
~,[n]
u[n]x
Das ~ussere Quadrat ist kommutativ und nach Voraussetzung auch das obere Dreieck. Zu zeigen ist, dass das untere Dreieck kommutativ ist, also ~ - ~ =- (~nu)-l~[n]. ~ - - - - ~ ~ ~Nun ' ist t[n]x = t[n]x n (nach Definition von ~ setzen,
n ] ~ d.h. wir k~nnen
; wir d~rfen also X durch dim X < n annehmen. D~nu ist abet
X n er~nt
m
surjektiv, und die Behauptung Dreiecks und des Quadrate. Ist
~ : tS i ~ uS i
fGr
alle
i , also ist
~n
i < n
folgt aus der Kommutativit~t
dann gilt
eine Equivalenz
des oberen
~n .- t[n]si ~ uSi
nach 7.1.
Teil (ii) ergibt sich in dualer Weise aus dem Diagramm
fGr
11.6
tX< ~nt I
vX
~
-~I~nV
t[n]X <~[n]
V[n]X
Der klassischen Postnikov-Faserung
t In+l], ll.4 SATZ:
t, t[n ]
entsprechend sind die Funktoren
durch eine Puppe-Folge v e r l ~ p f t .
Es gibt eine natGrliche
= Z~(X , A;t) : t[n+l]~(X
Genauer g i l t
der
(in (X , A) und t) Abbildung
, A) ~
t[n](X , A) ,
so dass die Folge ...
~ > t[n]Y.(X,~/2-~ t ~.(X,A) ~--~
t[n+l]7.(X , A)
a > t[n] (x , A)~n > t X ~ n+l > t [n+l] (X , A)
exakt ist. Alle Pfeile links von t[n+l]~ sind Gruppenhomomorphismen. Rechts yon t~n+l]~ stehen i.a. nut punktierte Men~en~ aber wie in 5.6 kann man Gber die Exaktheit an der Stelle t[n ] ~enauere AussaKen machen (wir fGhren das nicht aus). 11.5 Bemerkung:
FGr
n = 0
ist
t[n+l](x
X ~ = yS ~) und t[n](X , A) = t(X/A) w~hnlichen Puppe-Folge 5.6 , ........
; t ~ A
) t X/A
) t X
, A) = tA
(man beachte, dass
; die Folge wird dann zur ge-
> t A
Satz 11.4 ist also eine Verallgemeinerung von 5.6; im Gegensatz zu 5.6 ist er auch f~r A = ~ nicht trivial. Es erhebt sich nat~rlich die Frage, wie die Postnikov-Faktoren berechnet werden k~nnen; dayon handelt der n~chste w Beweis von ll.4: Wie schon frGher, benutzen wir die Abk~rzungen n A = XA = XnwA und X n X/xn w A .
11.7
Die Exaktheit mutativen
an der Stelle
t
ergibt
sich aus dem folgenden
Diagramm ~n+l
im[t(X/x~)
> t(X/x~_l)]
n- > t X
.. n+l > Im[ ~ A
t (X/x~)
Zu beweisen surjektiv,
>
tX~]
tX~
ist die Exaktheit
der Zeile.
die rechte injektiv
Die linke Vertikale
(trivialerweise),
Definition
von
a
und Exaktheit
an den Stellen
tln ] L
ergeben sich aus dem folgenden
kn-1
.
n ;
folgt die
und
t[n+l]~
J
Diagramm
~n-i > t ~ X ~ -1
~n t ~,x
kommutativen
ist
und die Polge
. / w ~9. _ist exakt als partielle Puppe-Folge. Daraus ~ B e h a u p t u n g dutch einfache Diagrammjagd.
t~X
kom-
t E xA
", t(X/x~-l)
~n
Ln-1 > t X
Ln t(X/xn)
> t X
Zeilen und Spalten sind partielle Puppe-Polgen. ~ induziert eine Abbildung der j-Bilder, und dies ist nach Definition n .,n+l a = ~ ." Im(j) > Im(j'); man beachte, dass ~ XA = (~ ~)~A ist. Zu beweisen ist die Exaktheit yon t ~X
k) Im(j)
Z ) Im(j')
L > t X . Es ist klar,
dass
~ k = * ist. Sei umgekehrt y z t(X/x~) und L(~'y)= Dann ist Lny = * , also y = ~nz fgr ein geeignetes
~
= ~
und
Ln-l(j'y) = n z z t ~ XA .
11.8
Es folgt lich
zn-l(jz)
= j'~nz
ker(~) = im(i)
~(jy) = I n - l j y
gewGnscht.
mit
y ~ t ~ X~
j,(~ny) = . , also
also wirk-
und
~ny
= i'z = an(iz)
knv = y(iz) -1. Dann ist aber
j[y(iz) -1] = (jy)(jiz) -1 = jy , also
Der Rest der Folge,
dem reohten AnfangsstGok, ersetzt;
j'y E im(~),
z ~ t ~(X~/x~-l ) . Well die zweite Zeile exakt ist,
v e t ~ X
kn-lv = j k n v =
also
. Sei schliesslich
= . . Dann ist
fGr ein geeignetes gibt es ein
= j'y,
links von
indem man
er ist daher ebenfalls
t[n+ll~,
(X , A)
exakt.
dutch
j y ~ im(k), wie ergibt sich aus ~(X,~,
~(X,~,...
12 .i
12.
Postnikov-lnvarianten.
In der Gblichen Homotopietheorie Raumes
K
selbst R~ume
Kohomologieklassen
sind die Postnikov-Paktoren eines
K In] P und die Postnikov-Invarianten
~[n] ~ Hn+l(K[n], ~nK)"
sind
Wir ersetzen R~ume durch
halbexakte Punktoren
t ; die Postnikovfaktoren sind dann ebenfalls
halbexakte Funktoren
t In] t
llche Transformationen
und die Postnikov-Invarianten
E[n]
: tin]
> Hn+l(- , tS n) .
gibt es duale Postnikov-Invarianten; tionen dass
~[n] t
: t[n]
sind nat~r-
Ausserdem
das sind natGrliche Transforma-
> Hn+l( - , tS n+l) . Wir m~ssen voraussetzen,
ein n-einfacher Funktor ist, oder wir m~ssen uns auf ein-
fach zusammenh~ngende CW-R~ume
X
beschr~nken. Diese Beschr~ukung
kann wohl vermieden werden, wenn man Kohomologie mit lokalen Koeffizienten heranzieht
(vgl. 0LUM); wegen der zus~tzlichen Komplikationen,
die dabei auftreten, gehen wlr nicht darauf ein. I
12.1Wir
betrachten ein Paar
(X , A)
Stellen ist es unwesentlich,
von CW-R~umen aus
dass
A
zusAmmenh~ngend
innern daran, dass die Homologie von des zellul~ren Kettenkomplexes
W. (an vielen
X mod A
ist). Wir er-
mit der Homologie
~Cn(X , A)= Hn(X~, x~-l)In ~ E
~ber-
einstimmt; der Randoperator ist die Zus~mmensetzung Hn(X ~, X~ -I)
> Hn_I(XA
)
Entsprechend stimmt die Kohomologie des Komplexes
>
_
H*(X, A ; G)
cn(X,A; G) = Hom[Hn(X ~, XAn-1), G] ,
(wie schon fr~her schreiben wir
X~ = X n ~ A ) .
) 9
mit der. Homologie n 92
,
~berein
12.2
Der Quotient
X~/x~-l
, n > 0 ,
ist ein Bouquet von n-Sph~ren.
Nach dem Satz von Hurewicz ist daher
~[8 n, X ~ / X ~ - I ] .
= ~n(X~A/x~-l)
= Hn(X~/x~-l)
= 0n(X , A) , n > 1 .
Die Evaluation E : t(X~/x~-l)X ~[S n, X~/x~-l] . ---@ t Sn, C (Y , f) = (tf)y
,
hat daher die Form ~ : t(X~/x~-I)XCn(X
, A)
> t Sn
(dies Ist auch noch richtig fGr n - l, well
t S1
abelsch ist).
Sie ist linear in der zweiten Variablen (nach 2.8) und in der ersten, well alle Argumente Einh~ngungen sind (n.b.
t ~
ist gruppenwertig).
Sie kann daher auch in der adjungierten Form alm Homomorphismus (12.3)
~ : t(X~/x~-l)
> Hom(On(X,A), t ~ ) =
cn(X,A; t sn), ( ~ y ) f = (t f)y
geschrieben werden. Dann gilt 12.4 LEMMA:
~ ist ein Isomorphismus,
Er ist nat~rlich in
t
(X , A)
.
> (X', A')
t(X~/x~-I ) ~ cn(x, A; t Sn) .
und b e z ~ l i c h zellul~rer Abbildungen
In der Tat sind beide Seiten das direkte Produkt von soviel Paktoren t Sn
wie es n-Zellen in
X - A
gibt.
Wir betrachten ferner die Zussmmensetzung t(X ) x n ~n+l~A(Vn+l;x~) idX~ t ( X ~ ) ) ~ n ( X ~ ) Wobei
~
~ > t Sn
/
wie immer die Evaluation bezeichnet; sie ist linear in
der zweiten Variablen. Die Hurewicz-Abbildung
12.3 n+l : ~n+l(X~ , X~)
.n+l ) Hn+l(A A , X~)mCn+I(X
und der Kern wird von den Elementen x a ~ n + l ~9.n+l A , X~) Ist
t
n-einfach,
T E ~l(X~) dann folgt
= t(~ x~- t~8 x ) ~ = Ker(~)
x - x~
, A)
ist epimorph
mit
erzeugt (siehe HU). t l a(x - xu
= t 18 x - ( 8 ~ y l ~
0 . Man kann also in 12.5 zum Quotienten nach
~bergehen und erh~lt eine Abbildung : t(X~)~
Cn+l(X
, A)
) t Sn ,
die linear ist in der zweiten Variablen.
Stattdessen kann man auch
schreiben
(12.6)
~
:
Hom(Cn+l(X,A),
dabei ist
t.n+l , X~) f c ~n+liAA
tS~
= cn+I(x,A; t S n) , (~y)z = [t(af)]y;
ein ~-Urbild von
~yn+l ' X~) . z ~ H n+l'"A
N
Diese Abbildung Abbildungen
Ist
t
Z ist nat~rlich in
(X , A)
A
und
X
und bezGglich zellul~rer
~ (X', A').
nicht n-einfach aber
nen, wenn
t
X1 = .
(was wir immer annehmen k~n-
einfach zusammenh~ngend
sind), dann k~nnen wir
natGrlich genau so schliessen; dann ist ja sogar x - xT selbst schon null. Noch allgemeiner gen~gt es, X nA als n-einfach vorauszusetzen.
12. 7 LEMMA:
Die Zusammensetzung
cn(X,A; t Sn) =~ t(X~/X~-I)
) t(X~)
etimmt mit dem Randoperator Beweis:
Es bezeichne
sein Bild in
t
y
~
cn+I(x,A; tS n)
or" ~berein.
ein Element aus
. Zu beweisen ist
t(X~/x~-I )
cy) = ~ y
und ebenso
. Es gen~gt, die
12.4
Werte dieser beiden Koketten auf einen Repr~sentanten f c ~n+l~.~AfVn+l, X~) ~(~
zu vergleichen.
y)~ f = ( ~ y ) ( 0
12.8 Bemerkun~:
Ist
~
(n+l)-Zellen yon : t(X~)
f)=
Man erh~lt
It(0 f)~ y = ( ~ y ) f, > X nA
: ~S n
wie behauptet.
sine anheftende Abbildung fffr die
X - A , dann sieht man leicht, dass
> on+l(x,A; t S ~
uns also die Definition von ~
mit
t~
ffbereinstimmt. Wir h~tten
leichter machen k~nnen. Es w~re
dann aber keineswegs klar gewesen, dass zellul~rer Abbildungen
g : (X , A)
~ natGrlich ist bezffglich
) (Y , B)
(denn
g
i.a. nicht mit den anheftenden Abbildungen vertauschbar).
ist ja Tats~ch-
lich ist dies sine Stells, wo n-Einfachheit wesentlich bsnutzt wird. Ehe wir das Hauptergebnis 12.10 dieses Paragraphen formulieren, sei noch einmal an die Definition der Postnikov-Faktoren t[n](x , A) = I m (tX nA
12.9 SATZ:
Es sei
t
erinnert,
) t X ~ -i) .
sin n-einfacher Funktor oder
(X , A)
sin sin-
n ~) t X A
induziert
fach zusammenhffngendes Paar. (i)
Die Abbildun~
~ ~ cn(x, A; tS n) ~ t(X /X -1)
sine natffrliche (bsz. (X , A)
und
A In] = A [ n ] ( X , A ; t )
: Hn(X,A;tS~
(ii) Die Abbildun~
~N : t X An
nat~rliche
(bsz. (X , A)
~[n] = ~ [ n S ( X , A ; t )
und
t ) Abbildun~ > t[n+l](x , A) .
> cn+l (X , A ; t S n)
induziert sine
t ) Abbildung
: t[n](x , A)
Diese natffrlichsn Transformationen heissen die Postnikov-lnvarianten
) Hn+l(x
,
~ In]: t[n~ von
t
.
A;tS n
)
9
> Hn+l( - ~ t S n)
12.5 (iii)
Die Eolge
(12.10) ... k[n]~ t[n+l]~(X, A) ~[n]~ t[n]~(X, A) ~[n~
>
H n C X , A ; t ~ ) k [ n S > t [n+l] ( x , ~ ~[n]> t[n] (X,A) , [ n l Hn+l(x,A;tS n)
ist exakt. Inklusion
r ] Dabei bezeichnet ~Lnj die Abbildung, die durch die n-1 n XA ~ X A induziert wird. Alle Pfeile links von
Hn(x, A; t S n) slnd Homomorphismen (alle, wenn struktur hat). Rechts yon
Hn(X,A; t S n)
t
eine Monoid-
stehen i.a. nur punk-
tierte Mengen, aber wie in 5.6 kann die Exaktheitsaussage an der Stelle
tLn+lJ(x , A)
verfeinert werden; letzteres wird in einem
besonderen Satz 12.15 formuliert. Diese Folge zeigt, wie
t = lim t [n] ( toren aufgebaut werden kann.
rekursiv aus Kohomologiefunk-
Zur Bezeichnung "Postnikov-Invarianten" ist noch zu bemerken, dass man sich Gblicherweise (fGr t = [- , K]) bei der Definition der Postnikov-Invarianten auf den absoluten Fall also auf die Transformation
t[n]x
A = ~
beschr~nkt,
> Hn+l(x , t S n) . In unserer
Darstellung w~re es gerechtfertigt, auch die
~[n]
unter die Be-
zeichnung "Postnikov-Invarianten" mit einzubeziehen. Beweis:
Wir betrachten zun~chst das DiagrAmm yn+l t-- A ~n+l
|2,11)
t Z(X~ -I)
~>
cn(X,A; t S ~ - ~ @
tX nA
~
> t(Vsn)=
cn+l(x,A;tS n)
tX~ -1 ~> cn(X,A; tS n-l)
12.6
Die Teile
>
~$
>
und
~
>
sind partielle Puppe-Polgen
(siehe 12.4 und 12.8) und daher exakt. Die Abbildung mlt dem Korand Uberein. P~r Kozyklen (~ z) = 0 , also ~ = (~(~))(~
~ ~
z ~ zn(x, A; t Sn)
stimmt gilt also
~ z a im(~) = t~*~(X , A) . Wegen ~) = 0 ,
ist
~
null auf Kor~ndsrn
Bn
und in-
duziert also wirklich eine Abbildung k[n+l] man beachte, dass dem
: Zn/B n = H n ~
> t~'~(X , A) ;
zwar i.a. kein Homomorphismus
k x = k x' ~ ),(x - x')e im(~ Z)
gilt (siehe 5.6) 9
Wegen der Exaktheit der Puppe-Polge t In
](X , A) = im(~ n)
0peratorgruppe
ist, aber trotz-
>~_.__>
kann
mit dem Quotienten von
t X nA
nach der
c n ( X , A ; t S n) identifiziert werden. Die Abbildung
ist eine 0peratorabbildung
(Beweis unten); sie induziert daher
eine Abbildung : t In
tX~ ](X , A) = cn(x,A;tsn)
Wir zeigen welter unten, dass zyklen
Z n+l
i =~[n] ~= ~: also
ab, und ~
: t[n](x , A)
in
> cn+l(xIA;tSn) ~C~X,A;tsn)
~
= 0
cn+l = Bn+~
ist, d.h. ~
zn+l/Bn+l = H n+l , also
9 $ Hn+l(x , A; t S n)
. Zum Bewsis, dass
0 ist, betrachten wir eine charakteristische Abbildung (Y , *)
o > (X , A)
f~r die
cn+2(X , A) ~ cn+2y
und
(n+2)-Zellen yon yn = . (y
hat nur
(n+2)-Zellen). Die Behauptung folgt aus dem Diagramm t X nA
0=tyn
bildet in Ko-
~ > cn+l (X , A ; t S n)
) cn+2(X , A ;t S n)
3 > cn+l( y; t S n )
) cn+2( Y; t S n ) .
X - A ; es ist (n+l)- und
12.7
Nun zur Exaktheit. [z] ~ Hn(x
z r zn(x , A ; t S n)
, A ; t S n)
und letzteres also
Ist
seine Klasse,
bedeutet
dann gilt
z = (~ ~.) y
[z] = (~[n]~,)[(Rn~,)y]
und
~n~ = 0
y = ~n+l(x) folgt
folgt
x[n]A[n]
a t[n+l](x
y - ~ z
und
, A)
also
~ ~ = 0
folgt
~ y E B n+l
[~x~.y]
Hn(x
0peratorabbildung also
und
x[nSy = 0 , also
.
Rny = 0 , damn
t [n+l~
x E On
= 0
~[n](~ny)
mit
~x
(man benutzt wieder,
ist; Beweis
folgt),
also
y - A[n][z]
.
.
= 0 . Ist umgekehrt
, dann gibt es eln
, A)
.
= 0 . Ist umgekehrt
~[n]x[n]
~ny = ~ n [ ~ ]
~n+lv ~ t [ ~ ( X
, A ;t S n)
~ z = ~ ~ z = ~ ~n+lx = 0 , also
= (- ~ x) + ~ y
y ~ t ~. (X~ -I),
[(~n~,)y] E t[n]~,(X , A)
Die Folge ist also exakt an der Stelle
Aus
A[n]z = 0 @ - @ ~ z = 0 ,
f~r ein geeignetes
Die Polge ist also exakt an der Stelle
Aus
und
= ~y
, also
dass ~
I(- x)l.y!
w 0 ,
eine
~n+l(v)
9
= ~n~n+l v = ~[n](~n+lv) ~-/und . Die Folge
ist also auch exakt an der Stelle
tin].
Der Rest der Folge,
links yon
rechten Anfangsst~ck, ~2(X
, A)
, ...
Hn(x
indem man
ersetzt.
, A ; t S n)
(X , A)
durch
Er ist daher ebenfalls
Es bleibt noch zu beweisen,
dass
~
deutet, dass das Diagramm
(12.12)
lr,
SvS
~"
)
-----@
~(X , A)
,
exakt.
eine Operatorabbildung
also ~ (y.x) -- ~ x + ~ y , x ~ t(X~/x~-l)
S
, ergibt sich aus dem
n
XA
XAV(X
/X
, y ~ t(X~)
. me8
ist,
be-
12.8
durch Anwenden von tende Abbildung
t
kommutativ wird; dabei ist
fGr die (n+l)-Zellen von
ein Bouquet von n-Sph~ren, (=~ in 4.8); ten, also
ebenso
S = Sn
und
r
die Behauptung
=
i)
t.V = ~ot)
x - x.y
S = Vs n
yon
kommutativ
t
zu betrach-
. Wir zeigen damn,
y E ~l[X~ v (X~/x~-l)]
wegen der Additivit~t
t(x - x.y) = t x (bezw.
und
X - A , also
eine einzige n-Sphere
(wegen
dass 12.12 bis auf Terme der Porm x E ~n[XAVn (X~/x~_I)]
eine anhef-
ist die Gbliche Komultiplikation
r' . Es gen~gt, anzunehmen
~
ist, wobei
. Daraus folgt dann
(vgl. 2.8), denn
t(x.~) = 0 ; letzteres weil
t
n-einfach
ist
.
Es ist klar, dass die Bilder von ~n[X~X(X~/xn-1)]
roa
~bereinstimmen.
und
( a v ~ s)~
in
Daher folgt die Behauptung
aus
folgendem allgemeinen 12.13 LEMMA:
Ist
der Kern yon x-
Y
bogenweise
L. : ~n(Y%sSn)
x.y , x e ~ n ( Y v S ~
Beweis:
zusammenh~Lnfiend und
Wir betrachten
> ~ n ( Y X S n)
n
yon Elementen der Form
, y ~ ~ I ( Y V S ~) , erzeugt.
das Diagramm
~n+l(YV Bn+l, Y v S n)
> ~n ( Y v S n )
Hn+l(Y~, B n+l, y v s n)
> Hn(Y ~'S n)
wo
Die Zeilen sind partielle
B n+l = (n+l)-Zelle.
bezw. Homologiefolgen, Ist
z ~ k e r [ ~ n ( Y V S n)
> 0 , dann wird
ll*) ~n ( Y v B n + l )
die vertikalen > ~n(YX sn)],
= ~n Y
exakte Homotopie-
Pfeile sind Hurewicz-Abbildungen. dann ist
il.z = 0
und
12.9
~'z = 0 , letzteres Also existiert
weil
H ( Y v S n)
w a ~ n + l ( Y V B n+l, Y v S n)
d. ~(w) = ~'~.w = 0 , also Nun ist
yon
=
a.w
12.15 SATZ:
=
Z(a.x
Sei
Hn(X
y ~ Hn(x
, A ;t S ~ , A ; t sn) A)
also
Man beachte
w
w = ~(x - x.y)
Operatorabbildung y e t X An . Ist
auf
(s.
i_.nn . .T
zun~chst,
, also auch
A).
Gber.
ist, also
, A ; t S n)
gibt,
dass nichts
~[n]
der
~[n] a
in
b
zu beweisen ist, falls
, A)
~(y.x) , A)
gesehen
=~y
, d.h.
(12.12),
+ ~x ~y
, d.h.
Zn
Hn(x
Bn
auf
= ..T
chenden Aussagen
und
~[n](a.y)
in der Puppe-Folge
= ~[n]a
, A ;t sn),
~(y.x)
= 0 , also
t In+l]. Wir zeigen
trivial
, A ; t Sn)
eine
= 0 , und
~ x = 0 , dann folgt
dass die Korgnder
dass ~
, x E cn(x
, d.h.
operiert
t
Fall beziehen wir uns auf
operieren,
auf
ziert wird. Da die Operation mit Repr~sentanten ~[n](y)
Die Abbildung
Zwei Elemente
, A ; t S n)
Wir haben bereits
lich eine Operation von
~en
nach dem relativen
5.4) i n d u z i e r t " e i n e Ope-
t[n+lB(x,
y e Hn(x
y E t[n+l](x
y.x E t[n+l](x
n t XA
auf
ist. l~dr den allgemeinen
das Diagramm 12.11.
welter unten,
, also ist
Homo-
a-u = b .
ein Monoidfunktor
x ~ zn(x
ist monomorph.
haben genau dann dasselbe Bild bei
wenn es einen Operator
Beweis:
Form
, A ; t S n)
a, b e t[n+l](x
~berfGhrt~
d.
und
wie in 12.10. Die 02eration von
t(X~/xn-1 ) = cn(x
fGhrt
~.w = z
ist.
-
t
ration yon
monomorph
die erste nicht verschwindende
( Y v B n+l, Y v S n)
Satz von Hurewicz v o n d e r
mit
~(w) = 0 , denn
~n+l ( Y v Bn+l, Y v S n)
topiegruppe
) H ( Y ~ S n)
t[n+l](x
also wirk, A)
definiert
indu-
ist, folg-
sofort aus den entspre-
5.6. Ist umgekehrt
~[n]a=~[n]b,
12.10
also
~ n a = ~nb
, dann existiert
a-x = b . W e n d e n wir
~
also
~a
J x = 0 , denn
darauf an,
sen K o h o m o l o g i e k l a s s e erf~llt,
dass
, A ; t S n) y
als Element
Dann entsteht
Y
~ll~X~ -1
t(Y/B)
= t(X~/x~-l)
wit b e t r a c h t e n ylB
und
B
x
= cn(x
auf
~berein
Daher ist
u E t[n+l](z
~a
+ ~x
=~b
ein Kozykel,
die Gleichung
,
des-
a.y = b
, D)
v
I ~0~X
ist
A = z I
n
t Z = t X~) und
operiert
mit
von
](ZlZD
y-x.
=
z
y
X - A
B
n z a t ZD = t Y
S n)
, und stimmt
. Das
= cn(x, A; t S n)
auf den a n h e f t e n d e n
(12.10,
, insbesondere
Abbildun-
ist also
iii)
existiert
existiert
~bereinstimmt.
sind h o m o t o p i e ~ q u i v a l e n t n
~OIXX~
Setzen wir
n I ~ l ~ X X A , denn Grund-
~01XX A
~-
t Y
a t Y . Auf
) = 0 , also
mit
also auf
[0 , 11~(X - A)),
~[n]u = zlZ~ -1 D
[0,i
. Die Gruppe
, dann ist
[0 , 1]• n
B--
und
. Ferner
der n - Z e l l e n yon
) cn+l ( Z , D ; t
~[n
Z = [0 , IIXx~
n
(man verifiziere
n A = v
Z
n A
~l~XX
mit
des Zylinders I ~O~X
falls
z = (yl Y).x
~l~klX~
v c t ~D~n+l = t Z , das auf
v
x
( denn
, A; t S u)
nun das Element
(n+l)-Zellen
ein Corand.
auf
durch A n h e f t e n
bei ~ : t ZnD
z
t Z
Y/B = X~/x~-I
~berein,
stimmt mit
Nun ist
ist
gilt,
n ~0~(X AV~I~XX~
D = [0 , 1]~A k l ~ O ~ X Bild von
y-x = y
von
aus
l~gs
gender
= 0 . Also
, y E t X nA. Wir setzen
Y = [0 , l ] x X - i k l
es mit
so erhalten wir
mit
wie gew~Luscht.
x E Bn(x
sei
=2b
, A; t S n)
T ~ Hn( x , A ; t S n)
Wir zeigen nun noch,
fassen
x ~ cn(x
und
mit
oder Deckfl~ohe Z . Andererseits
v l ~ l I ~ X ~ = z I ~llX~x~ = y-x,
wie behauptet.
12.16 Betrachtet
man statt der Skelette
X~ = X n ~ A
die "Coskelette"
.
12.11
A
Xn =
n V A ) , so erh~lt man duale Ergebnisse. Wir formulieren sie
ohne Beweis. Dual zu 12.11 benutzt man das Diagramm t XA n+l t ~ ( Xn A_ l )
cn(x , A ; t sn+~ ~-~ t Xn" n+l ~ t(X~ +l/x ~ ) = cn+l(x ' A; t sn+l )
~
t X1n-1 und beweist
12.17 SATZ:
Ist
zieren
n >0 und
oder ist
n = 0
und t S 1
nat~rliche Abbildungen
abelsch~ dann indu-
k[n ]
und
~[n]
' so dass
die Polge
...
~[n]~ t[n+l]Z( X , A) ~ ] Z
) t[n]~.(X , A)
Hn(x , A; t S n+l) k[n]~ t [ n + l ] ( X , ~ [ n ] )
~n]Z
t[n](X,A)~[n]IHn+I(x,A;tS n+l)
exakt ist.
Dies kann benutzt werden, um den Gruppen
H*(X , A ; t ~
t[n](X , A) = . dass
t
t[o](X , A) = t(X/A)
aufzubauen; man beachte, dass
ist fGr grosse
(ausser fGr
rekursiv aus
~ . Besonders bemerkenswert ist,
n = O) nicht einfach zu sein braucht.
13.1
13.
Anwendungen
; Hindernistheorie.
In den Anwendungen von Satz 12.9 spielt vor a11em die Exaktheit der Folge
(i3.i)
t[i+l](x
> t[i](x , A) ~[i]> Hi+l (X , A ; t
, A)
eine wichtige Rolle. Well
t(xi+lvA)
ist, ist sie gleichbedeutend
(13.2)
t(xi+lvA)
.
> t[i+l](x
S i) , A)
surjektiv
mit der Exaktheit der Hindernis-~ol~e > t(xi-lvA)] z[--~ Hi+l(x , A ; t S i) .
> Im[t(XiuA)
Sie drGckt einen vertrauten Sachverhalt aus: In der Mitte stehen die Elemente
y
von
t(xi-luA)
, die sich auf
XivA
lassen. Ein solches Element kann i.a. nicht auf tert werden; beim Versuch zu erweitern, ~[i]y ~ Hi+l(x , A ; t S i) nis verschwindet,
erweitern
xi+lvA
erwei-
tritt ein Hindernis
auf, und genau dann, wenn dieses Hinder-
l~sst sich
y
auf
xi+lvA
erweitern. Daraus
ergeben sich die folgenden Ergebnisse nach bekanntem Schema.
13.3 LEMMA:
Is_._~t Hi+l(x , A ; t si)= 0
n < i < n+q (oder t[n+q](x
, A)
(X , A)
und
t
i-einfach fflr
einfach zusammenh~LnKend), dann ist
> t[n](x , A)
sur~ektiv.
In der Tat, diese Abbildung ist die Zusammensetzung
(13.4)
t[n+q](x
, A)
> ... t[i+l](x
, A) ~[i] t[i](x , A)
> ... t[n](X,A);
aus der Exaktheit yon 13.1 und der Voraussetzung folgt, dass
~[i]
13.2
surjektiv ist.
13.5 LEMMA:
Ist
Hi(x
n <_ i < n+q
, A ; t Si) = 0
(oder
(X , A)
> t[n](x
und
t
i-einfach
fGr
einfach zus~mmenh~ugend)t
t[n+q](x
, A)
Beweis:
Wegen der Zerlegung 13.4 gen~gt es zu zeigen,
: tLi+l](x
, A)
aus 12.9 wegen
13.6 KOROLLAR: oder
Ist
in,~ektiv.
> t[i](x
, A)
dass
injektiv ist. Dies folgt
H i(x , A ; t S i) = 0 .
Es sei
(X , A)
, A)
dann ist
t
ein i-einfacher F u n k t o r ~
i ~ dim(X - A)
,
einfach zusammenhKngend.
Hi+1(x
, A; t S i) = 0
i , dann ist
f~r alle
t X
> t A
sur,~ ektiv. (ii) Ist
Hi(x
, A ; t S i) = 0
fGr alle
i , d~nu ist
t X
> t A
in ~ ektiv.
Dies folgt aus 13.3, chend kleines
n
13.5, well
und t[n+q~(x
Da man jede stetige A b b i l d u n g
t[n~(x
, A) = t A
, A) = t X
f : Y
ist f~r hinrei-
fGr hinreichend
> X
grosses
bis auf H o m o t o p i e ~ q u i -
valenz als I n k l u s i o n schreiben kann (So 3.17), gibt 13.6 auch ein K r i t e r i u m daf~r,
dass
t f
sprochen besagt es, dass
surjektiv bezw. injektiv ist. GrobgeH*f
: H*Y ~ H*X
)
t f : t Y ~ t X .
Die genaue Formulierung G b e r l a s s e n wir dem Leser. Als Spezialfall von 13.6 sei noch folgendes
13.7 KOROLLAR: und
Hi+l(x
Es sei
(X , A)
, A ; ~i A) = 0
erw~hnt
ein CW-Paar aus fGr
W,
i < dim(X - A)
. Ist
A
i-einfach
, dann gibt es eine
q .
13.3
Retraktion Hi(x
r : X
, A; ~iX) = 0
> A
. Ist a u s s e r d e m
f~r
i ~ dim(X - A)
auch
X
i-einfac h und
, dann ist
r
so~ar eine
Deformationsretraktion.
Beweis:
Setzt man
setzung,
dass
t =~[-, A]~, dann impliziert
IdAE t A
(j = Inklusion),
d.h.
ein Bild yon
es gibt
erreichen
(s. 3.5).
Setzt man nun
die zwelte Voraussetzung, wegen
(t'j)(j
13.8 Bemerkung: zu speziell
dass
Hi(x
i ! dim(X - A)
, A ; ~i(X
Es sei
menh~Lngend.
dann auch
: t'X
X - A
r j = id
> t'A
injektiv
folgt
J r = id X .
fGr P a s e r u n g e n
ist;
(die in unserer,
ist)
erhKlt m a n
unter der a d ~ q u a t e r e n
, A))= 0 , (X , A)
Hit
damn impliziert
Theorie nicht e n t h a l t e n
i-einfach
Voraus-
fGr
.
Wir geben nun eine A n w e n d u n g
13.9 SATZ:
t'J
ist
r j = id.
t' =~[-,X]~,
Aus der H i n d e r n i s t h e o r i e formulierten,
mit
kannman
r) = j r j = j = (t'J)(idx)
eine D e f o r m a t i o n s r e t r a k t i o n setzung
t j : t X --@ t A
r r [X , A]
der H o m o t o p i e e r w e i t e r u n g s e i g e n s c h a f t
die erste Voraus-
t
i-einfach
fGr den a b s o l u t e n
fGr
i ~ dim X
Pall
oder
F e r n e r gelte
i-1(x , t s i) -- o Hi(x
, t S i)
Hi+I(x
fGr
i < n
= 0
"
i ~n
, t S i) -- 0
"
i
> n
.
D n ~ n ist
~n+l t X ~
kin] t[n+l]x
Hn(x
, t S n)
.
X
A = . .
einfach
zusam-
13.4
Beweis:
Aus
Hi(X , t S i) = 0
fur
i < n
folgt
t[n]X ( t[1]X = 0
nach 13.5. Aus
Hi(~ X , t S i) = Hi-l(x
folgt genau so
t[n]~ X = 0 . Die exakte Folge 12.10 enthglt also
das St~ck
0
>Hn(X
wirklich bijektiv
, t S n) ~[n~ t[n+l] X
(12.15).
Dass
~n+l
ist, folgt aus 13.3 und 13.5, weil
13.10 KOROLLAR:
(Hopf-Whitney)
t X = Hn(x , t Sn) (n.b. ist
t
i ~ n t
Ist
fur alle
X
mit
(und t S 1
abelsch),
bijektiv
fGr grosse
q .
i < n , damn ist
n
> 1 ; im Palle
d.h.
n = 1
t als 1-einfach).
III• i0)
dann ist
ein Funktor mit. Monoidstruktur
fGr
k In]
dim X < n
als abelsch vorauszusetzen,
(vgl. EILENBERG-STEENROD,
i < n
) t[n+l]x
t X = t[n+q]x
t Si = 0
fur
> 0 ; also ist
: t X
ist automatisch einfach, wenn
t S1
13.11 KOROLLAR:
, t S i) = 0
Ist
t Si = 0
fur
t X = Hn(x , t Sn) . Palls
ist t handelt es sich dabei um
eine homomorphe Bijektion. FUr den Monoidfall hat man nur zu beachten, Homomorphismen
dass
=n+l
und
x[n]
slnd (s. 12.9).
Wie berechnet man
t [q+l],
wenn
gegeben sind ? Wenn der Punktor
t [q] t
und
~s
t [q]
eine Monoidstruktur
> H q + l ( - , t S q) zul~sst,
dann ergibt sioh die Antwort leicht aus der exakten Polge 12.10. Sie liefert eine natUrliohe
(13.12)
*
die
> coker(a [q] 7,)
exakte Folge
) t[q+l](x
, A)
> ker(~ [q])
tLq+ijrl bis auf ein Erweiterungsproblem
(X , A) einfach
und unter Vernachl~ssigung
> 0 ,
bestimmt,
l~dr festes
der Monoidstruktur
besagt sie
13.5
(13.13) 15.14
t [q+l](x , A) = ker(--IXq!A))~coker(~lq!A)~) F~r beliebiges
t
9
haben wir immer noch eine Surjektion
t [q+l] ~!q]> ker(~ [q]) . Die Prage lautet also, wi~ bestimmt man (u[q])-lb , wenn
b ~ t[q](x , A) , ~[q]b = 0
stimmt mit
Hq(X , A; t sq)/G
Urbild vom
b
von
a
also
und
Ga =
ist ? Dieses Urbild
Gberein, wean
{7 s Hq I a-y = a)
a E (~[q])-lb
elm
die Isotropiegruppe
bezffglich der Operation 12.15 bezeichnet. Wie bestimmt man G a ? DafGr gilt analog zu 5.1~ der folgende
13.1~ SATZ:
Es sei
t
ein ~-einfacher halbexakter Funktor r
a E t[q+l]x , b = ~[q]a E t[q]x Pb =
{m E t [ q ] ( s l x x / s ~
: t[q](s X/s
und
I t[q](.,
idx)Z = b 1 . Die Abbildung
> Hq+l(slxx/sl
, tsq) =
= Hq+l(x , t sq)@Hq+l(E X, t S q)
f~hrt
Fb
in den zweiten Summanden
~ber und es ~ilt
Beeitzt
t
Fb
t [q]~ X
mit
Hq+l(~x,t sq)= Hq(x, tS q)
~Lgr](Fb ) = Ga = Isotropiegruppe von
(also a~h
t [q]) eine Monoidstruktur,
identifizieren
(8.12)
und
~
a .
damn k~nn man mit ~ q ~
,
und man erh~lt 13.13. Der Satz 13.15 l~sst sich auch auf den relativen Fall verallgemeinern;
das macht keine Schwierigkeiten,
~ e r kompliziert die Schreibweise ein wenig.
Beweis:
Wir betrachten zun~chst das Diagr~mm
13.6 >
t sq) ~
Hq+l(*, id)
~[q] t [q] X
> Hq+1(x
Verfolgen wir wir
x a Fb
, t s q)
so erhalten
auf dem linken Weg
~[q]b = 0 , also ist wirklich
~[q]F b ( ker Hq+l(.
Ist
x E Fb
und
, id) = Hq+l(~,X, t S q) .
x' = x I slxxq-I/s~ ~
x' I ~*~ • xq-i = b . Ist umgekehrt
dann gilt
,
x' ~ t(slxxq-i/sl x~.~ )
und
x' I ~*~ • X q-I = b , dann gibt es eine Erweiterung y a t(sl• b
~.~I.~x
eine Erweiterung
(SIx xq-l)~( ~[q](x)
auf
zykel (s. Definition von tende Abbildung
(t~)x' ~.~wXq+l
~*~x X q+l
~*~• q+l) = ~.~XX q-I
a Hq+l(~,X,t S q)
Zellen yon
X q+l) ; dies folgt aus (5.1 e), well
~[q]
und 12.8)
f~r die
, slx)
anheftende Abbildung fGr die q-Zellen,
; die (q+l)-Zellen weil
~ : Y S q-1
dort die
J> X q-1
eine
dann hat man ein kommutatives
Diagr~mm
idx~
-" slxVs
in
x'
SIM xP-I/sI•~*S
S ~ V S q - 1 / s l x ~.~
(q+l)-
und bilde
besitzt. Bezeichnet
(bie auf Homotopie)
Ko-
: Man w~hle eine anhef-
braucht man nicht zu berGcksichtigen, y
und
ist. Das Element
> SI~ xq-I/slx~.~
e t(V S q) : C ~ ( s l x x
Erweiterung
(z[q]b = O)
besitzt folgenden reprgsentierenden
~: V sq
~Xq/SI•
besitzt
-i/sbV S q-1 = V sq
13.7
Man kazan also den Repr~sentanten (tp)-lt(id~)(x') t(~ S q)
erhalten
abelsch ist;
ieren, also
x'
dann liefert
in
von
~ [q](x)
(n.b.
s. 5.17)
t p
auch in der Form
ist monomorph,
9 L~sst man nun
x
gerade das Bild
Ubergang von den Repr~sentanten
zur Kohomologie).
durch Repr~sentanten a ~ t[q]x
15.16 KOROLLAR: X r ~.
Andererseits
t
ein einfacher halbexakter
Funktor und
(0 < n < q)
=
0
fGr
i < n
Hi-~(X , t S i)
=
0
fGr
i < n e~c~
~i
=
0
fGr
i ~ n , q
=
0
fGr
n < i < q ~
(X , t S i) , t S i)
t[q]x = Hn(x , t S n) , t[q+l]x = t X = Hn~sl~x;tsn)~
folgenden Eigenschaften
:
(i)
ker~q]:
m <~<9
q~
und
= Hn(X;tSn~Hn-l(x, auf
= t X
Hn(X,tSn)-@
mit dem Bild der zusammen~esetzten
kb : Hn-l(x; tS n) ~,id) ) Hn(x; t S n ~ H n - l ( x ; ~[q] ) Hq+l(slxx/s~.~
t S~
;
hat die
Hq+l(x, tsq)].
b e k e r ( ~ q]) , dann stimmt die Isotropiegruppe
a ~ (~[q])-lb ( t X
yon
~[q]F b , wie behauptet.
, t S i)
t X/Hq(X ' tsq) =
ist
definiert wird, ist also die Isotropiegruppe
die Operation 12.15 von--~H~(X , z ~ )
(ii) Ist
(nach
ist. Da die Operation 12.15
ein CW-Raum mit den Eigenschaften
Hi+g(X
t[q](sl•
a I xq-1 = b
gerade
Es sei
~i-Z(X
Dann ist
~[q]F b
= b~,
nach Satz 5.18 gerade die Isotropiegruppe
a E t X q = t(CT), weil
von
F b vari-
F~ = Ix' r t ( s i x q - 1 / S 1 x~.~ I t(.,id)x'
(t p)~lt(id~ ~)F~
(t p ) - l t ( i d •
in
weil
von
Abbildung
tS n) = Hn(sl•
; t S q) = Hq+l(x ; t sa)eHq(x ; t s q)
t S n) ~berein
13.8
(insbesondere liegt dieses Bild im zweiten S~mmanden also
(~[q])-lb = Hq(x ; t sq)/im(kb)
Beweis:
Die Isomorphien
t[q](slxX/sl•
.
t[q]x = Hn(X , t Sn)
= Hn(sI•215
Hq(x ; t sq)) ,
und
t Sn) = Hn(X; t S n ~ H n - l ( x ; t s n)
ergeben sich aus den Voraussetzungen und 13.9; die Relation HJ(slxx/s~.S; steht, well
A) = H J ( x ;A)~HJ(~x;A) X = ~xX
13.3 und 13.5 folgt
Retrakt von
= HJ(x ; A ) ~ H J - l ( x ; A ) sl•
~.~ist.
be-
Aus Lemma
t[q+l]x = t[q+2]~-- tLq+3]x = .... = t x .
Die Eigenschaften (i) und (ii) ergeben sich daher aus der Exaktheit von
t[q+l]x ~[q~ t[q]x ~[q~ Hq+l(x ; t S q)
13.17 Bemerkun6en:
Ist
Hq+l(sixx/~l~;
~[q]: Hn(slxX/sl~.~; t S n) t S q)
khx =
~
also ist
kb = k O
dann folgt
b,0)
(~[q]b,O)+ ko(X ) = koX
+ ~[q (0,x)=
unabh~u~ig von
> slxX/slvx ~ ~ X
Man erh~lt also
)
ein Homomor~hismus,
b .
wie man leicht aus der NatGrlichkeit von slxx/slx~.~
und aus 13.15 9
Ferner ist
ko ~ q x
] ,
~[q] , angewendet auf
sieht, also
im(k&) = im ~ q x ] .
t X = ker(~x[q])Xcoker(~qx~ ) , wie im Monoidfall
13.13. Ist
t Si z 0
f~r
von 13.16 fGr alle
i ~ n, q , dann bestehen die Voraussetzungen X
und ~[q]: Hn(x, tS n)
> Hq+l(x ; t S q)
ist eine natGrliche Transformation, also eine Kohomolo~ieoperation. Ist
t
ausserdem v o n d e r
Form
t X = ~[X , Xo]~, dann geht 13.16
in den Klassifikationssatz 14.2 yon EILENBERG-MACLANE Schreibt man kb(X ) = ~[q](b,x) = ~[q](o,x) +~[q](b,x)-~[q](o,x)~
= ~q~(x)+ {~[q](b,x)-~](x)~ ,
~er.
13.9
damn entspricht der erste Term ihrem ihrem
kq+l~(e
bemerkt, wenn
Aufgabe:
, f@i) ~[qS
. Der zweite Term verschwindet,
wie oben
elne additive Kohomologieoperatlon
Man untersuche,
homomorph let.
k q + l ~ e , der zweite
ob die Abbildung
kb
ist. -
yon (13.16 ii)
14.1
14.
Dis Spektralsequenz halbexakter Monoids
14.1 Ein (bigraduiertes) exaktes Paar ~
[MASSEY, Bezeichnung nach
HU, VIII, 5-7] ist bekanntlich eine Folge von exakten Folgen (14.2) ... _ ~
wobei (14.3)
DP_l,q jp-l,q E p'q kp q> Dp,q ipq> DP-l,q+l
p
und
jk) Ep q
o a o
q
jK. EP+l,q
jk. EP+2,q
i
~
E~ q = HP(E *q)
jK. I
(fGr jedes
o a D
q), dessen p-te Homologie-
bezeichnet wird. Setzen wir ausserdem
D~ q = im(i p+l'q-1 : D p+l'q-1 - - @ D pq), so werden durch Homomorphismen i
(i2' J2' k2)
(14.4) ... ~'~ D~-2'q+l
J2
>
k
~
(i, j, k)
induziert und die Folgen i
~q ~
D~-•
J2
>
~
...
sind exakt. D.H. wir haben (bis aul Umnumerierung der E-Terme) ein neues exaktes Paar ~2 = (E2' D2' i2' J2' k2 )
gewonnen, aas
ab~eleitete Paar. Der Prozess kann iteriert werden, und man erh~lt eine ~olge yon exakten Paaren O 1
= ~ , ~2, ~
.....
Die Doppelfolge yon Komplexen E~-r,q +r-1
dr> Ep q dr=~Er> EP+r,q-(r-l) r
heisst SpeKtralse~uenz yon ~ Er+ 1 = H(Er) 9
,..,
alle ganzen Zahlen durchlaufen. Die Folge
ist dann ein CoEetten-Komp• gruppe mit
j; Ep,q+l ~
dr> ...
r
; sie hat die Eigenschaft
14.2
Ein exaktes Paar ~ n ~ 2
Zahlen
~(n)
(14.5)
D p'n-p = 0
f~r
(14.6)
i : D P+I'n-p-I
heisst stark konver~ent, und
y(n)
i pq
~
D p'n-p
(14.7)
E pq
=
fGr
f~r
r ~
f~r grosse
r
"'"
ist
,
D pq = 0
f~r kleine
p . F~r stark konvergente
~(n)--Y~),
E pq = E pq r+l r+2 =
p ~ /U(n)
n = p+q
isomorph fGr grosse
p,n-p dr = 0
so dass
p ! Y(n)
d.h. bei festem Totalgrad und
gibt,
wenn es zu jedem
~
p gilt
also
E pq ~@
=
(bei festem
p,q)
.
Setzen wir
(14.8)
D n = ~ .im
D ~'n-~ = D p'n-p
f~r
p ~ ~(n)
und
(14.9)
FP+iDn = ker(D n ioioia..
) DP,n-p )
dann gilt a u s s e r d e m
(14.10)
(14.n)
~P~F
p+I
,
FPDn/FP+lDn
~FP
=
0
_-- EP~n-P
,
~
FPDn = D n
.
Diese Ergebnisse werden ~blicherweise
wiesen,
dass
E pq , Dpq
abelsche
unter der V o r a u s s e t z u n g
Gruppen sind.
Tats~chlich
be-
gen~gt
14.3
es abet vorauszusetzen, ein Divisionsmonoid
14.12 SATZ:
dass
E pq
eine abelsche Gruppe und
ist, also
Alle vorstehenden Ergebnisse gelten~ wenn die
abelsche Gruppen, i, j, k
D pq
die
D pq
Homomorphismen
ein Normalteiler von
Divisionsmonoide
sind. Insbesondere
E pq
(8.4) und die
ist
FP+lD n
PPD n (Normalteiler = Kern eines Homomorphis-
mus)~ und die Pormeln 14.10 1 14.11 implizieren~ aufl~sbares Divisionsmonoid
dass
Dn
ein
ist [vgl. hierzu auch G.W. WHITEHEAD,
2.14]. Der Beweis dieses Satzes unterscheidet Beweis
[HU, VIII,
5-7]; man hat 8.5 zu benutzen
Konstruktion von
Es sei jetzt wir wissen
sich kaum vom Gblichen (z.B. f~r die
.J2) v
t : W.
> Mon
(8.2) ist
t X
ein halbexakter Monoidfunktor;
stets ein Divisionsmonoid.
wie
Wir betrach-
ten das folgende exakte Paar
(14.13)
.. ~
t ~ X p+l ~
~> t Xp
> ~
Links yon
> t ~ Xp ~
~ p > zP+l(x, t S ~
Coker(~ y)
Z p+l
(IS,O).
> 0
(_p
~
t X p+l
Coker(~y)
(O,id)-
> 0 ....
handelt es sich einfach um die Puppe-Folge der
anheftenden Abbildung nung ist wie^12.9 Das Bild von ~
> t(xP+l/xp )
(mit
VsP---@ X p
der (p+l)-Zellen;
die Bezeich-
A = .).
besteht nach 12.9 ii wirklich aus Kozyklen.
Rechts
14.4
von
Zp+l
wurde die Polge k~nstlich so fortgesetzt, dass sie mit
Nullen ausklingt. Die Bigraduierung des exakten Paares ist wie folgt :
I
(i4.i4)D pq
fGr
p+q <__ 0
=
I t 2-~-q(xP/xp-l) -- ~P(x zP(x;tsp-I)
E pq =
(~4.15)
t F.-P-qxP
; ts-q)
0
(~
--
cCx
,
.))
f~r
P+q ! 0
"
p+q = l,p > 1
sonst
.
Dieses exakte Paar besitzt gerade die in 14.12 beschriebenen Eigenschaften. Daraus schliessen wir
14.16 SATZ: jedem
Zu ~edem halbexakten Monoidfunktor X a W.
t : W.
gibt es eine nat~rliche (bezffglich
>Mon X
konver6ente Spektralsequenz
E(t , X) =
{
d r : EPrq
> E~ +r'q-r+l ~
r = 2, 5 ...
mit den fol~enden Ei~enschaften
(i)
E~ q = HP(X , t S -q)
f~r
Epq = 0
sonst.
p+q <_ 1 , q ( 0
und
und t)
14.5
(ii)
Das Differential >Hm+2(X
d 2 : Hm(x , t S n)
, t S n+l)
n >m
stimmt mit der Zusammensetzun6 Hm(X ; tS n) = Hn(~n-mx ; t S n) k[n]F'n-m> t[n+l]F,n-mx
~[n+l]Tn-m > Hn+2(~,n-mx
; t S n+l) = Hm+2(X
; t S n+l)
Gberein; es ist also gegeben durch die Postnikov-Invarianten k ,~
(s. 12.9).
(lii)
FP+lt X ~ ker(t X FPt X
> t X p)
ist sin Normalteiler yon
und
fGr
EP~,n-p = Fp t ~.-n X/Fp+l t 7,-n X
(iV)
E p+l,-p ~ coker[x[P]
9 t[P]x
n <_ 0 .
> HP+l(x;tsP)]
p > 0 ;
P
die exakte Fol~e 12.10 kann also f~r Monoidfunktoren t am rechten Ends durch Hn+l(x ;tS n) > ~~n+l,-n ~> 0 erg~nzt werden.
Beweis: operators
E2
ist dis Homologie von dI = ~
E = E1
bezGglich des Rand-
(s. 14.3). Nach 14.15 besteht
Koketten bezw. -zyklen von
X
und nach 12.7 ist
E1
aus den
~ k =I
; da-
raus folgt (14.16 i). Allgemeiner ergibt eich unmittelbar aus den Definitionen, gen 12.10
dass das abgeleitete exakte Paar 14.13 mit den Fol-
(f~r
(uninteressanten)
A ~ *) Terms
~bereinstimmt, I~2+I'-p
und
jedenfalls bis auf die E~q = 0 = D~ q
mit
p+q
> I .
14.6
Insbesondere
sind
EPqr und
dem folgt daraus
d2 =
~k
dr
Weil
E~ q = 0
tiale
dr
D pq
dI - J
EP+I'-P = o @
r
und 14.9 - 14.11;
es
alle Differen-
also ist
k~nnen wir auch schreiben
HP+I(x't
z E im(~ [p])
W~hlt man
S~r>~2im(d r)
, also
z = ~[P](~
r 2 2 so, dass
{ry . 0
y) =
. Wegen
~ {iy . 0
dlX = 0 - d2x = ... dr_lX
f~r
und
mit
~ x = ~r-ly
~/r _ > 2 i m ( d r ) ( im(x [p])
14.17 Bemerkun~:
14.1~
haben wir in
(z.B.
w 13 bereits
fachen Funktors
t
i > 0
~y
mit
x y ~ z , also dann existiert
= z , also
~[P](~ y) = z ,
.
aus der Existenz
E2-Isomorphismus
der Spek-
=@t-Isomorphismus)
f~r den allgemeineren
bewiesen.
y ~ t Xp .
ist
z = drX,
Die Gblichen Folgerungen
tralsequenz
12.10 geht
und
mit
x e C p-r+l
drX =
im(~ [p]) Clr_>~/~m(dr%. Ist umgekehrt y s t Xp
~y
ist, dann folgt
e ker { = im ~ ; also existiert
x - ~r-ly
also
Die Aussage
im(dr) ~ zP+I(x, t s P ) / Q / i m ( d r ) 9 r>l /r>l
Wegen
{r-ly
von
p + q - 2 , verschwinden
E p+I'-p
o@
Sei
r _> 2 . Ausser-
(iV) nachzuweisen.
ist fGr
in
f~r
, wie in (ii) behauptet.
(iii) ist klar nach Definition bleibt also nur noch
funktoriell
Fall eines ein-
Das ist nicht ~berraschend,
ja gerade in das abgeleitete
exakte Paar ~ber,
denn wenn
14.7
t
eine Monoidstruktur hat. Es legt aber die Frage nahe, ob die
Theorie der exakten Paare nicht so verallgemeinert werden kann, dass die D-Terme nur Mengen mit Operatoren zu sein brauchen (w~hrend die E-Terme nach wie vor abelsche Gruppen sind).
14.18 Bemerkun~:
Ist
t
ein Kohomologiefunktor
Summe von solchen), dann ist
E 2 = E~
(oder eine direkte
und alle Differentiale
verschwinden. Aus der NatGrlichkeit der Spektralsequenz und aus lO.18 schelnt dann zu folgen, dass alle Monoidfunktoren sequenz
E(t , X)
14.19 Ubungsaufgabe: t : ~. (i)
>Mon
t ,
dr@ @
= 0
f~r
d.h. alle Differentiale der Spektral-
verschwinden "modulo Torsion".
Man zeige, dass die folgenden Eigenschaften von ~quivalent sind:
alle Postnikovinvarianten
(ii) alle Differentiale
Das exakte Paar von
dr
(t ~, X)
verschwinden
~[P]
der Spektralsequenz verschwinden.
ist offenbar in dem yon
(t , X)
enthalten; genauer gilt
14.20 SATZ:
Die Identit~t
induziert nat~rliche
t(~ X) -- (t Z)X
Monomo rphi smen EPq(t ~ , X) C EP'q-l(r t , X)
die isomorph sind fGr d
r
,
r_~2
,
p + q ~ 0 , und die mit den Differentialen
vertauschbar sind.
Beweis:
Es ist
DPq(t ~ , X) ~ DP'q-l(t
, X)
und
14.8
EPq(t ~ , X) = EP'q-l(t EP'-P+I(t~, Wegen
fGr
p+q ! 0 , und
X) = zP(x; t ~ S p-l) = zP(x; tS p) C c P ( x ; t s p) = EP'-P(t,~
EPq(t~,
X) = 0
ein Monomorphismus Unterhalb
, X)
f~r
~Pq
p + q > 1
: EPq(tZ,X)
des Totalgrades
1 wird
~
ist damit fGr alle
---9 EP'q-l(t
durch die A b b i l d u n g
zu einer Abbildung
von exakten Paaren erg~nzt,
dI ~Pq = ~P+l'qd I
fGr
fGr ~2
, X)
p + q ~ 0 ; dasselbe
p, q
definiert. der D-Terme
also ist
gilt aber auch noch
p + q > O, denn dann sind beide Seiten null. Also wird : E2(t ~ ' X)
d2 ~2 = T2 d2 p + q ~ 0
> E2(t
, usw.
, X)
Dass
sogar isomorph,
Diese Eigenschaft
vererbt
induziert,
~q
und wie eben folgt
stets m o n o m o r p h
folgt unmittelbar sich auf
ist auch noch isomorph f~r
T pq r
ist und fGr
aus der Definition.
f~r
r -> 2
(n.b " ~ pq 2
p + q = 1 , aber dies vererbt
sich
nicht).
Ganz analog
14.21 Bemerkung:
zeigt man
[vgl. ATIYAH-HIRZEBRUCH,
verallgemeinerte Der Satz 14.20 9 .. C E(h m-l)
Kohomologietheorie erlaubt
es daher,
w 2]
E(h)
E q = HP(x, h q S ~
, X)
Ist
(s. 6.6),
f~r
p + q < 0 .
h ~ {h m ~ dann ist
eine
~ m ~ z ~m-1
die Spektralsequenzen
C E(h m) C E(h m+l) C ...
genten Spektralsequenz schaften
EPr+l'q(t , 7~X)= EPq(t
zu einer einzigen konver-
zu vereinigen.
Sie hat die Eigen-
= FPhnX/Fp+l~nx , EP,n-P ~
.
15.1
15.
Produkte in der Spektralsequenz.
Wir betrachten halbexakte Monoidfunktoren
> Mort
r, s, t : W.
mit einem ~usseren Produkt (10.14)
(15.1)
Y ~ YX'Y " (r X)x(s Y)
Dieses die
~ S i+j,
(15.4)
in
wird
Y = T ij : (r si)•
i~.3 SATZ:
.
ist nichts welter als sine natGrliche Transformation,
homomorph i s t
X~Y
(15.2)
T
> t(X~Y)
jeder
7
Variablen.
Pt~r
X - Si ,
Y = Sj,
zu einer bilinearen Abbildung
S j)
> t S i+j ,
Jedes ~ussere Produkt
y
i, j > O .
induziert bilineare Produkte
P'q' (s, y) y~PqP'q': EPq(r,~ X))~E~
> EP~+P',q+q'(t, XSy)
der Spektralsequenzen mit den fol~enden Ei6enschaften
(i)
Y2
ist das Gbliche )f-Produkt !
Hi(x ; r sJ)~Hi'Cy
; s S j')
> Hi+i'(x~Y
; t S j+j )
bezG~lich der Paarung 15.2 .
(ii) d~
ist eine Derivation bezG~lich
d~ ~(x,y)
Tf , also
~(d~x , y) + (-I)l~l 7~(x, d~y) ,
,
:
also
15.2
|~.J
wobei
den Totalgrad von
x
bezeichnet. Mit anderen Worten ,
da~ Dia~ramm
u
p,n,
(~5.5)
' q+q'
i
J(d,@ id, (-l)P+qid | (E~+l,q-i+l@E~'q')~(E~q@E~'+l,q'-l+l)
dl
(TI'YI)> Elp+p'+l,q@q'-i+l
ist kommutativ.
(lii)
YI+I
(iV)
y
YI
wlrd induziert durch wird induziert durch
y
'
12 1
.
(s. 15.9).
e@
Der Beweis~erfordert
einige Vorbereitungen.
p, p' , ~ ,
dann ist
t'
>
O,
y
(~.~> (x",'x~)>~ "+"~Yp,)=ix'+' ~ Y'
'+~ ,~
J/~+,~< ~,',., x,, >~Y,,'+,'~
:(xP+(I~YPi+ili~"(X~Y)7(x,YP'vxP)((Y) wobei
o = p+p'+l+Min(~,~')
Ist n~mlich
ei~ e j
Sind
~
Z~hler ,
.
eine Zelle im Z~hler
Z
des letzten Aus-
drucks, die nicht im Zl~hler des zweiten Ausdruoks vorkommt, dann ist
i > p+i
j ~ p'
odor
oder
j > p'+~' . Wegen
i ~ p , also kommt
i+j ~ a
ei ~ e j
folgt daraus
auch im Nenner
N
Daraus folgt die behauptete Gleichung.
0ffenbar ist
(X ~Y)O C Z
q-) v~e ~ouADY, TA--./'~,A
und
(X~Y) p+p'+I
C
N ; wlr haben
vor.
15.3
also Abbildungen
> z/~
(X iY) ~/(X ~ty)p+p '+i und nach Anwenden von (15.7)
= IxP+ I/xp~IYP '+ i '/yP ~
t
r(xP+i/xp) • s (YP '+ ~ '/yp ')
) t(X p+IlX p
) t ~(X~Y)a/(X~y)p+p'+l
,
I
)~Yl~'+t'/yp')
~ ~ p+p'+l+Min(l,~')
Diese Abbildung 15.7, die wir ebenfalls mit natGrlich bezGglich zellul~rer Abbildungen und bezGglich Vergr~sserung yon
y X
.
bezeichnen, ist ) X' , Y ---@Y'
p, i , p', ~' 9 Z.B. haben wir
ein kommutatives DiagrAmm
r(X/xP-l) X s(Y/yp '-i )
T ~ t ~(X ~Y)/(X~ y)p+p'-I
(15.s) (r x) ~ (s Y)
."
t (X~Y)
Die Bilder der vertikalen Pfeile sind aber gerade (FPr X)• (FP'sY) (15.9)
T[(FPrX)•
und
FP+P't(X~Y)
Y)]
(
; also ist
Fp+p' t(X~(Y) 9
Auf diese Inklusion bezieht sich 15.3 (zv); die Behauptung ist, dass
7~
durch Anwenden yon
~
auf Repr~sentanten gegeben ist.
Die Spektralsequenz des exakten Paares 14.2 ist bekanntlich (und wie man leicht sieht) gegeben durch
E~ = Z~/B~ ,wobel
15.4
(l .lO)
Z~ q - k-I im[i ~-I : Dp+~-l,q-~+l
ker[i %-I : DP-I,q
> D p-~'q+~-l]
ist induziert durch
j.(i$'l)-ik .
B~ q ~ J
und
d
> D pq]
F~r das exakte Paar des Funktors
i~.Ii LEMMA:
r
,
gilt
Zp'-p
s
im[r(XP+~-I/xP-I)
~ )
r(xP/xp-l)S
B p'-p
=
im[r 7,(xP-I/xp-~ )
~ >
r(XP/xP-i )]
und
d
: E~# -p
(15.12) r(xP+~-l/xP-1 )
> E p+~'-p-~+I
wird induziert durch
> zP+~(X; r S p+~-I) s Zp+?'-p-~+I
> r X p+~-l
$
(n.b. dies entspricht den Definitionen auf S. 335 in CARTANEILENBERG). Beweis:
Aus dem Diagramm
r(XP+~-I/xP-i )
>
r X p+~-I
(15. 3) r(XP/xP-I)
folgt
im(~) ( Z p'-p
d~nn existiert
~
> r Xp
(s. 15.10) . Ist umgekehrt
y E r X p+~-l
Bis auf Homotopie~quivalenz
mit ist
x ~ Zp,-p
i~-l(y) ~ k(x) .
15.5
xP+~-I/xP-I
k
Die Elemente
xP+~-Iv~xP-I
y E r X p+~-I
dem Durchschnitt einem Element
Xp
=
und
xP+~-Iu(xPv(xP-I ) .
x E r(XPv ~X p-I)
stimmen auf
~berein, setzen sich also nach 5.1 e zu
z ~ r(xP+~-l/xP-1 )
zussmmen, also ist
~ ~(z) ~ im (~) . Aus dem gleichen Diagramm 15.13 folgt dann auch, dass
d~
(auf Repr~sentanten) mit der Zusammensetzung
15.12 ~bereinstimmt.
Die Gleichung
B~ '-p = im(B)
schliesslich folgt aus dem Diagramm
r ~(xP-i/xp-~ )
r ~ X p-I
) r(XP/xP-I)
J wegen
im(~') ~ ker(i~-l: r ~ X p-I
Beweis des Satzes 15.3:
> r Z x p-')
.
Wir betrachten zun~chst das kommutative
Diagramm
r (X p + ~ - I/X p_l ) | s (YP' + ~- i/yp, _i )
Y) t ~(X ~Y)P+P'+~-l/(x~y)p+p'-i 1
(15.14) r(XP/xP-I)
|
s(YP'/yp'-l)
I
~dr die Definition der horizontalen Pfeile vergleiche man 15.7 . Die Bilder der vertikalen Pfeile stimmen nach 15.11 mit Gberein; Beschr~nkung auf diese Bilder liefert also
Z*,-*
15.6
(15.15)
u : zP'-P(r,X)|
Zp+p''-p-p' (t, X~Y) .
Aus dem Diagramm
r ~(xP-I/xp-~)@ s(Y p'+~-I/Yp'-l) ~L@ t I ~
r(XP/xP-I ) @s(YP'/yp'-l)
Y)p+p'-I/(X~Y)p+p,-~
Y ) t ~(X~(Y)P+P'/(X~y)p+p'-I
folgt analog
(15.17)
B~+p',-p-p
T : B~ '-p @ Z~ ''-p' und symmetrisch dazu
(15.17,)
y : Zp'-p @ B
'-P
B p+p ',-p-p,
Aus 15.15, 15.17, 15.17' ergibt sich nun durch Ubergang zu den Quotienten, dass (15.18)
T~
:
T
tats~chlich ein Produkt
EP'-P( r, X)@E~''-P'(s, Y)
E~ +p''-p-p' (t , X~(Y)
induziert. Dieses Produkt wird gegeben durch Anwenden yon auf Repr~sentanten; insbesondere wird ziert. P~r grosse
~ ist
deflniert und wird durch
u
durch
~
y
indu-
E ,-e . E e, - e 9 daher ist auch
T~
T
u
induziert, l~dr ~ z 1
ist
offenbar das ~bliche x-Produkt yon Koketten, also ist
T2
das
~bliche X-Produkt der Kohomologie. Damit sind die Teile (i), (iii), (iV) yon 15.3 bewiesen f~r Terme vom Totalgrad null (d.h.
q - -p, q' = -p') . Die allgemeineren F~lle
p+q - - m ~ 0 ,
15.7
p'+q' - -n ~ 0 und
Y
durch
~ny
In den letztem p'+q' - 1 (15.19)
ergeben sich daraus, indem man
X
durch
~mx
ersetzt.
noch verbleibenden F~llen
p+q - 1
oder
definieren wir
71 : cP(x, rs-q)x ~P'(Y, s S -q')
> cP+P'(x~Y; t S -q-q')
durch das Gbliche Kreuzprodukt. Dies ist zwar nicht ganz ein Produkt fGr die E1-Terme , aber jedenfalls induziert es Produkte in
Z2
und
E2
und zwar for
letztere das ~bliche Kreuzprodukt 72 : HP(x; r s - q ) x HP'(Y; s S -q')
> H P + P ' ( x M Y ; t S -q-q') .
Die Frage ist nat~rlich, ob es auch Produkte in
Z~ , E$
indu-
ziert. Dies und mehr wird sich aus folgendem DiagrAmm ergeben
r(xP+~/xp) | s(yP'+~/yp,)
> t ~(X ~Y)P+P'+I+~/(X ~Y)P+P'+I
(15.2o) 71 [r(Vsp+~ ) | s(yp'+i/yp,)]~[r(xP+i/x p) |
Dabei ist
~ : VS p+~
> X p+~
die (p+~+l)-Zellen und
r(xP+~/xp)
Analog sind
]
> t(VSp+p'+I+~)
eine anheftende Abbildung for
die Zus8mmensetzung
> r(XP+~) r(~). r(~S p+~) - cP+~+l(x ; r Sp+~) .
~'
bezw.
~,'
definiert; man ersetzt lediglich
15.8
X
durch
Y
bezw.
das Differential
X XY d~
. wir erinnern daran, dass
induzieren.
(s. 15.12).
Wir beweisen nun, dass 15.20 kommutativ iet. Dazu betrachten wir charakteristische mit
Abbildungen von Zellen
i+j = p+p'+~+2
ei
~ X , ej
) Y
. Sie induzieren eine Abbildung von 15.20 in
das entsprechende Diagramm fGr (e i, e j) . Dabei wird der rechte untere Term
t ( ~ S p+p'+I+~)
auf den Paktor
ziert, der der Randsph~re von alle M~glichkeiten tionen yon
ei~ e j
durchlaufen,
t ( V S p+p'+I+~)
n~gt daher zu zeigen,
entspricht.
Wenn
projee i, e j
dann erh~lt man gerade alle Projek-
auf die verschiedenen Faktoren.
dass 15.20 kommutiert,
ist (denn dann kommutiert
t S p+p'+I+~
wenn
Es ge-
X = e i, Y = e j
das Diagramm nach Zusammensetzen mit al-
len Projektionen). Ist
X = e i , dann ist
X p+ ~/X p
zusammenziehbar
t(xP+~/X p) ~ 0 - , es sei denn
i = p+l
oder
brauchen also nur die beiden (symmetrischen) (i, j) = (p+l,p'+~+l) Nehmen wir den ersten YP'+~ ~ S j-1
oder
-
i u p+~+l
X p+~ = e i,
zu untersuchen.
X p+ ~/x p = S i,= Xf~r
und das Diagramm 15.20 reduziert sich auf
(r S i) ~ (s S j-l)
~
)
t S i+j-1
(r S i ) @ ( s
~
)
t S i+j-1
S j-l)
Damit ist die Kommutativit~t
. Wir
F~lle
(i, j) = (p+~+l,p'+l)
: Dann ist
also
von 15.20 bewiesen.
Schalten wir vor das Diagramm 15.20 die Abbildung
15.9
[~|
id : r(xP+~+i/xP)|
> r(xP+~/xp) @s(YP'+~/yp,)]
dann erhalten wir auf dem linken Weg ?io(
~,
~') , denn
Z~+l@B~+ 1
~
)
?l(Z~+l|
ist aber
) (im(~")
= B~+ 1 ;
E~+l-Terme.
Wie schon bemerkt ~nd benutzt), induzieren
~, ~', ~"
die Differen-
d~ . Die Kommutativit~t von 15.20 impliziert also
d~?~(x | y) f~r
~|
Tl(Bs+l@ Z~+l) ( B~+ 1 , also induziert das Produkt
15.19 tats~chlich Produkte fGr alle
tiale
die Abbildung
= 0 . Das Bild von
(vgl. 15.11), also ist
analog folgt
~
=
?~(d~x | y) + ?~(x | d~y)
x ~ EP+I'-p-I(s, X) , y a EP'+I'-p'-I(r,~ Y) , d.i. die Behaup-
tung 15.3 ii f~r Terme vom Totalgrad Null. ~dr Terme X
durch
x, y ~mx
vom Totalgrad und
Y
durch
-m 4_ 0 , -n ( O
braucht man nur
7.ny zu ersetzen. Dann ist
(7.mx) ~ (7.ny) = 7.m+n(x~y ) . Das Vorzeichen
(-i) ] ~
in der Deri-
vationsformel 15.3 ii erkl~rt sich - etwas informell - folgendermaven:
Das Differential
d~
erniedrigt den Totalgrad um l, d.h.
es verringert die Anzahl der Operatoren (einen Unterquotienten von) ten yon)
r 7.-l(XP/xP-1 )
zun~chst in
d~?~(x | y)
(einen Unterquotienr 7.m(xP/xP-i ) und
t ~-l~.m~.n((x~Y)P"/(X~y)p"-i )
t ~.mT.-17.n((x~ Y) P" / ( X ~ y ) p " - l )
Um den z w e i t e n A u s d r u c k i n den e r s t e n Anwendung von
in
~ber, allgemeiner
r 7.-I~m(xP/xP-I ) . Die Terme liegen also in
r(XP/xP-1 )
um I. Z.B. f~hrt es
7,-1
m vorangehenden Faktoren
?~(d~x @ y) s w~hrend
?~(x | d~y)
liegt.
~berzuff~hren,
den (m+l)-ten Paktor
in
7. in
muss man v o r d e r
~mT.n
mit den
7. .... 7. vertauschen. Dies ist eine
15 .I0
Abbildung vom "Grade"
(-i) m ; wendet man
h~it man
(-l)mld
(s. 2.8).
Der Pall
Ixl
oder
-
1
IYl
=
1
t
auf sie an, so er-
echliesslich sei
dem
Leser
lassen. Man kann ein zu 15.20 analoges Diagramm aufstellen, man kann sich mit der Feststellung begn~gen, henden Betrachtung
m
oder
n
~Iberoder
dass in der vorange-
auch negativ sein dUrfen.
16.1
16.
Darstellbarkeit halbexakter l~unktoren.
16.1 Wann ist ein halbexakter Funktor t X ~ ~[X , R]. , wobei
t : E.
R a Top.
> Ens
vonder
nicht unbedingt in
W.
Porm zu
liegen braucht ? +) Diese Prage wurde von [E.H. BROWN] untersucht. Seine Antwort ist positiv in den folgenden F~llen
(a)
W. ~ Kategorie der kompakten zus~mmenh~ngenden CW-R~ume, und die Mengen alle
(b)
t X
sind abz~hlbar (dann sind
abz~hlbar).
W. z W ~ = Kategorie der endlich-dimensionalen zusammenh~ngenden CW-R~ume,
(o)
t Sj , j > 0 ,
t
beliebig.
_W. = W. z Kategorie aller zusammenh~ngenden CW-R~ume und ~t in~ : t X (X , A)
>~im
t(XnvA)
von CW-R~umen in
das n-Skelett und
W..
in : X n ~ A
ist surjektiv f~r jedes Paar Dabei ist > X
Xn
wie ~blich
die Inklusion.
Der Vollst~ndigkeit halber reproduzieren wir Brown's Beweis f~r die F~lle (b) und (c).
16.2 DEPINITION: R e _..
+)
Sei
t : W~
Eine Polge
Man kann
R
> Ens
u n e t Rn
1
n z 1,2...mit
un+l
I Rn = un
stets als CW-Raum voraussetzen; wenn das zun~hst
nicht der Fall ist, so kann man Realisierung
ein halbexakter Punktor und
I s R I
R
z.B. durch die geometrische
des singul~ren Komplexes ersetzen.
16.2
heisst prouniversell,
wenn
bijektiv ist fGr alle
~n : ~[X , R].
X e W.
mit
> t X ,
dim X < n
~n(f) = (t f)un
und surjektiv,
falls
dim X ~ n .
16.3 SATZ:
(i)
Ist
die nat~rliche n > dim X
~u n E t Rnln = 1,2 ... Transformation
durch
prouniversell,
dann ist
~: ~[X , R]. --@ t X , die f~r
~[X , R]. = ~[X , Rn]. ~ n
t X
gegeben ist,
eine E~uivalenz. (ii)
Ist
Y ~ W~
und gen~gt
l y n a t Ynln = 1,2
...
tier V er-
tr~glichkeitsbedingung
yn+l
I y_n ~ yn , d~nu ~ibt es eine zellu-
l~re Abbildung
> R
mit
prouniversell~
Beweis:
h : Y dann ist
h
(t hn)u n - yn . Ist auch
eine Homotopie~quivalenz.
Teil (i) ist klar;
er beruht eben nur auf der Gleichung
%Ix , R]. = ~[X , Rn], , die f~r konstruieren hn+l
konstruiert,
und
~n+l
: yn+l
und
yn h ~
Rn
Effekt auf
u n+l , sind also homotop.
eigenschaft
von
Abbildung
hn+l
bildungen
~hn~
h : Y Ist auch
> R
yn ( yn+l : yn+l
> Rn fGr
mit
i < n
zungchst
> R n+l
schon
eine belie-
. Die beiden Abbildungen
c> Rn+l
haben denselben
Die Homotopieerweiterungs-
mit
hn+l
homotope
I yn = h n . Die Ab-
setzen sich nun zu einer einzigen Abbildung
universell,
Eigenschaften
dann induziert
h
zusammen. Isomorphismen
Homotopiegruppen: -
F~r (ii)
liefert daher eine zu ~ n+l
mit den gewCmschten
~yn I
hi
> R n+l
(t ~ n+l)un+l = yn+l
r > yn+l ~_~.@ Rn+l
besteht.
h n : yn
(t hn)u n = yn . Ist
dann sei
bige Abbildung mit yn
dim X < n
wir induktiv Abbildungen
I yn = h n
~yn~
i,
t si
i,
R .
der
16.3
Nach J.H.C.
Whitehead
[vgl. HILTON,
VII,
3.1~ ist
h
also eine
Homo~opiegquivalenz.
Wir zeigen nun,
16.4 SATZ:
Ist
dass es stets prouniverselle
t : W~
) Ens
halbexakt~
dann gibt es einen CW-Oberraum mit
v~ = a
un = vn
und
vn+l
I Rn)n = 1,2
R~A
I Rn~A
...
= vn
A E W.
Folge
und
und Elemente
a ~ t A , vn ~ t(Rn~A)
derart t dass
~rouniversell
stets eine prouniverselle
Polgen gibt.
ist.
(man setze
Insbesondere
existisrt
A = . , a = .) .
w
Ist
t
sogar auf
f~r
A E W~.
Beweis:
w.
Wir konstruieren
dem Induktionsanfang geben,
definiert;
Rn
und
:
~ n C R n v A)
(dieser Schritt
) t Sn
entf~llt
fGr
,
VS n
und eine Abbildung
X n ( V S n)
auf
ker(v n)
wn+l
Rn , vn
schon ge-
den Kern von
~ncf ) = (t f)v n
abbildet.
Y : VS n
) Rn ~A
, die
Heften wir dann (n+l)-Zellen
T an, d.h. bilden wit den Abbildungskegel
-- ( R n v A ) ~ y
Wegen
induktiv mit
n = 0). Wir w~hlen ein Bouquet yon
Sph~ren
C~
v n ~ t ( R n ~ A)
R ~ = A ~ , v ~ = a . Ist
dann betrachten wir zun~chst ~n
verm~
dann 6ilt d__er Satz auch noch
V e n+l
(tY)vn = 0 I Rn~ A = n
, dann wird
existiert
~n(C~)
w n+l E t(C~)
. Das Diagramm An
xj(Rn~A)
v - > t sj
~j
f j (CY)
sn+l
= ~ n ( R n ~ A)/ker($n ) mit
16.4
zeigt dann,
dass
Die Abbildung
~n+l
~n+l
nicht surjektiv
Rn+lvA
rschtsn Seits)
t
leicht,
~n+l
auf
f~r
> t S n+l
ganz
J ! n . wird im allgemeinen
: ~[X
L@
(z.B.
dass
definiert,
erzeugen.
f~r
j = n+l
> t X
eA,
Dann setzen
e t(C~)X~kt S n + l
: ~j(Rn+lvA)
, Rn+lvA].
dim X < n+l
~w k E t sn+llx
R n+l ~ (n+l)-Skelett
sn+l
und surjektiv
fGr W.
t S n+l
vn+l = ( w n + l , l w ~ )
j ! n
und surjektiv Ist
im(~ n+l)
und
Man verifiziert
aber auch
: ~n+l(C~)
= ( C ~ ) v ( ~ S n+l)
tiv ist fGr
~ t Sj
sein. Wir w~hlen nun Elemente
die zusammen mlt wir
: ~j(C~)
der
= t(Rn+lvA).
> t Sj
injek-
. Nach 7.1 ist dann
injektiv fGr
dim X _< n
.
dann gilt derselbe
Beweis auch f~r
W ~ 9 A ~ _.
16.~ SATZ:
Zu ~edem h a l b e x a k t e n
R r _. W~
und eine prouniverselle
~ : ~[X , R]. ~ t X . exakter Punktor r ~ : lenz und
~ : t
Ist
t'
> Ens
: W~
~[X , R']. = t' X
) t'
eine nat~rliche
h].o~ -I . Ist
~
> Ens
existiert
fun e t Rn I, also
Pol~e
~ibt es eine steti~e Abbildung = ~o~[-,
t : W.
Punktor
ein zweiter halb-
eine natGrliche
Kquiva-
Transformation~
damn
h : R
) R'
, so dass
eine Equivalenz,
dann ist
h
eine
Homotopie~quivalenz.
Beweis:
,~: x[X
Die Existenz
yon
, R']. ~= t' X , dann ist
eine prouniverselle eine zellul~re
t'-~olge
Abbildung
(t'hn)u 'n = ~(u n) e t' R n Ist also
~
eine Equivalenz, h
R , lun~
also
) R' ~o~
dann ist auch
eine Homotopiegquivalenz
Ist
u ' n = 9 [ i': R 'n ( R'] et'R 'n ,n=l,2...
(vgl. 1.10).
h : R y
ist in 16.4 enthalten.
Nach 16.3 ii gibt es
mit Z
~o
~ [ - , h].
~(un)~
nach 16.3 ii.
(vgl. 1.10)
prouniversell,
9
16.5
Wir wenden uns nun den halbexakten
Punktoren
In Ubereinstimmung
u ~ t R
~
mit 1.1 heisst
: ~[X , R]. ---9 t X , ~ ( f )
also
t
dutch
(R , u)
~ (tf) u
dargestellt
W ~4 t : ._..
> Ens
universell,
wenn
sine Equivalenz
wird
zu.
ist,
(in der Kategorie
~[-,-].).
W
16.6 SATZ:
Es sei
t : W.
(16.1 c I. Ein Element wsnn die Fol~e ist fGr
> Ens
Insbesondere
darstellbar
(in der Kate6orie
universelle
Folge
mit
Ww R ~ _.
u a t R,
prouniversell
sind diese ~[~-].)
~ un ~ t Rn B
(s. 16.2)
t : W.~ - - @
Ens
stets
: Man braucht nur sine pro-
zu nehmen
u I Rn - un; sin solches
Punktor wie in
ist genau dann universell,
~un ~ u I Rn~n = 1,2...
t I W~.
u ~ t R
sin halbexakter
(nach 16.5) und dann sin
u
existiert nach Voraus-
setzung 16.1 c .
Beweis: well
let
u
universell,
~[X , Rn].
injektiv fur Umgekehrt n~chst,
> ~[X , R].
dass ~
[ Rn B
prouniversell,
surjektiv ist f~r
fun ~ u I R ~
injektiv ist.
(t f ) u =
Wir betrachten
dim X <_ n
und
prouniversell.
Seien also
Wir zeigen zu-
f,g : X
(tg)u ; wir m~ssen zeigen,
> R
dass
Abbil-
f = g
ist.
den Abbildungstorus
T'(f, g) = R U ( f , g )
[0 , i] 4' X
(s. 3.27); der Strich bei
erinnert daran, dass das Intervall zu identifizieren
u r t R
r t([O , l] ~' X)
R /] ([0 , i] ~ ' X ) = zu einem Element
[0 , 1 ] ~ . ~
ist. Wir k~nnen annehmen,
rungen sind. Die Elements t f u m tgu
~u
dim X < n.
sei jetzt
dungen mit
dann ist
Xv~
zu einem PurLkt f, g
Oofase-
und
stimmen auf dem Durchschnitt
~berein,
v E t T'(f, g)
dass
setzen sioh also ( 5 . 1 )
zusAmmen;
T I ' )r
insbesondere
ist
16.6
(t J ) v ~ u, w e n n
j : R
~ T'
lun~
prouniversell
ist, gibt
dung
h
mit
: T'
) R
die I n k l u s i o n
bezeichnet.
ss (16.3 ii) eine zellul~re
folgt
16.3 ii),
ist.
k = h j
ein Homotopieinverses, j
eine Oofaserung
r : T'
[0 , 1] ~' X
) T'
) R
mit
D(Xv~)
wn = vn
r) R
fGhrt
I sn~
von
in
~,~
k-
j) ~ id. Weil
). Die Z u s a m m e n s e t z u n g
~[~ . Gegeben ist
vn
vn r t[snv(XvR)]
I (X v R )
v
= (x , u)
Homotopie
f ~ g .
x E t X , gesucht
un
Gber,
und
i : X
> S
, und so dass
~ v n . Die Inklusion
ist also
(t j)v = u . Sel jetzt
, die m i t - e i n a n d e r
ist. Nach V o r a u s s e t z u n g
I snv(xVR)
und
k : S
die Inklusion.
16.1 c gibt j : R
eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z ) R
homotopieinvers
) S (16.3 ii),
zu
j
Dann ist
t(k i)u = (t i) (t k)u = (t i)v = x , also gesuchte
Ist
eine R e t r a k t i o n
ist dann die gesuchte
prouniversell
mit
wn
(s.
(ebenfalls
(t f)u ~ x . Nach 16.4 gibt es einen CW-Raum
sind,
v ~ t S
(k-h)j = k-(h
gibt es nun sogar
und Elemente
vertr~glich
es
dann folgt
r j = id
Nun zur Surjektivit~t f : X
eine H o m o t o p i e ~ q u i v a l e n z
ist,
> R , also
Abbil-
(t hn)u n = v n , also
t(h j)u n = (t jn)(t hn)u n = (tjn)v n = u n . Daraus dass
Well
f = k i : X
) R
die
Abbildung.
16.7 Das Beispiel
6.2 der (F-G)-Faserb~tudel
ein h a l b e x a k t e r aussetzung
Funktor
der auf
16.1 c erfGllt
klassifizierenden
CW-Raum
man die Grundfaser, abbildungen,
_. W ~
im Sinne von STEENROD
definiert
(~bungsaufgabe R ,
definiert
~
ist und die Vor-
!). Es gibt also
: t X ~ uEX
, RS..
man also Equivalenz
die die Grundfaser
nicht
ist
zu erhalten
einen
Igmoriert
durch BGndelbrauchen,
so
16.7
erh~lt man einen neuen Homotopiefunktor Schwierigkeiten mit be). Die Equivalenz
t X/t S 1 ~
TX
, den man ohne
identifizieren kann (Ubungsaufga-
induziert daher eine Kquivalenz
: ~ X = ~[X , R]./~IR = ~[X , R]
mit den unpunktierten Homotopie-
klassen. Dies ist die Gbliche Form des Klassifikationssatzes Faserb~ndel
CSTEENROD,
w 19]. Es ist bemerkenswert,
fGr
dass der Be-
weis ohne das assoziierte Prinzipalb~ndel auskommt; tats~chlich ~bertr~gt sich das Ergebnis
ja auch auf das Beispiel 6.4 der
"FaserbGndel ohne Strukturgruppe".
Interessanter noch ist das Beispiel 6.5 der Faserhomotopie~quivalenz. Wir erinnern daran, dass serungen ~ber ist
F
X
t X = tFX
mit Grundfaser
F
aus allen schwachen Fa-
> p-l(.)
besteht. Dabei
ein fest~aber beliebig gew~hlter topologischer Raum. Der
halbexakte Funktor
t
ist auf
W.
definiert und g e n t
der Vor-
aussetzung 16.1 c. Letzteres beweist man ~hnlich wie die Eigenschaft (e) in 6.5. Man muss schwache Faserungen, ~pn . E n
> xnl
9
n
zusAmmenheften.
=
1,2
die miteinander vertr~glich sind,
...
Dazu kann man
X
durch den teleskopartigen
iterierten Abbildungszylinder yon .1
.2
xI ~ _ ~ x 2 ~ _ ~ x 3
>
. . . . .
ersetzen (analog 9.6), also durch
x~
[o , l ] •
Das Anfangsst~ck
k < n+l
kann also annehmen, dass
, 2]~x2~[2
, 3]xx3V
ist homotopie~quivalent pn
zu
. . . . .
X n ; man
dar~ber definiert ist und kann
dann sukzessive zusammenkleben wie in 6.5.
16.8 Der Satz 16.6 zeigt also
16.8 SATZ:
Zu ~edem topolo~ischen Raum
F
gibt es einen CW-Raum
Rp
und eine nat~rliche E~uivalenz
tpX ~ ~[X , Rp]. , X E W ~ .
Identifiziert man Elemente von
tpX , die ~quivalent sind bez~g-
lich der Operation yon piefunktor
tpS l, dann erh~lt man einen neuen Homoto-
~F ' und wie oben (16.7) kann man
TFX
mit der Menge
der schwachen P-Faserungen ohne Grundfaser identifizieren.
Aus
16.8 ergibt sich daher das
16.9 KOROLLAR:
~r
Polyeder
worden.
TpX ~ ~[X , Rp]
F
,
X r _. W ~ ,
F beliebig.
war dieser Satz bereits yon STASHEFF bewiesen
17 .I
17 .
Literatur.
ATIYAH-BOTT,
On the periodicity theorem for complex vector bundles, Acta mathematica ll2 (1964) 229-247.
ATIYAH-HIRZEBRUCH,
Vector bundles and homogenuous
spaces,
Proc. Symp. Diff. Geom. Tuscon 1960. BARRATT, M. G. ,
Track groups I, II. Proc. London Math. Soc. 5 (1955), 71-106, 285-329.
BROWN, E. H. ,
Cohomology theories, Ann. Math. 75 (1962) 467-484.
CARTAN-EILENBERG,
Homological Algebra,
Princeton University Press 1956. CARTAN-SERRE,
Espaces fibres et groupes d'homotopie, C.R. Acad. Science Paris 234 (1952) 288-290.
DOLD, A.,
(a) Partitions of unity in the theory of fibrations, Ann. of Math. 78 (1963) 223-255. (b) Relations between ordinary and extraordinary Coll. Alg. Topol. Aarhus 1962, 1-9. cohomology,
DOUADY, A.,
La suite spectral de Adams: structure multiplicative, s~m. H. Caftan ll (1958/59)
ECKMANN-HILTON,
l
exp. 19.
a) Group-like structures in general categories I multiplications and comultiplications),.
Math. Ann., 145 (1962), 227-255. (b)
Unions and intersections
in homotopy theory,
Comment. Math. Helv. 38 (1963/64)
293-307.
17.2
E I LENBE RG -MAC LANE,
On the groups H(~,n) Ann. Math. 60 ( 1 9 5 4 )
III, 513-557.
EILENBERG-STEENROD,
Poundations of algebraic topology, Princeton University Press (1952).
GROTHENDIECK, A.,
E14ments de g4om4trie alg4brique, Chap. 0, @ 8 : Vol. III, Publ. Math. ll (1961).
HILTON, P.,
An introduction to homotopy theory, Cambridge University Press, 1953.
HU, S.T.,
Homotopy theory, Academic Press, New York, 1959.
HUREWICZ, W.,
On the concept of a fibre space, Proc. Nat. Acad. Sc. USA 41 (1955), 956-961.
JAMES, I.,
(a) Reduced product spaces, Ann. of Math. 62 (1955) 170-197. (b) On H-spaces and their homotopy groups, Oxford Quart. J. ll (1960) 161-179.
KAN, D.M.,
Adjoint functors, Trans. Amer. Math. Soc. 87, (1958)
294-329.
MASSEY, W.
Exact Couples, Ann. of Math. 56 (1952) 363-396.
0LUM, P.,
Invariants for effective homotopy classification and extension of mappings, Memoirs AMS 37, Providence R.I 1961.
PUPPE, D.,
Homotop~snengen und ihre induzierten Abbildungen I, Math. Zeitschr. 69 (1958)
299-344.
17.3
SERRE ~ J. P.,
01asses de groupes ab~liennes et groupes d'homotopie, Ann. Math. 58 (1953) 258-294.
STASHEFP, J.,
A classification theorem for fibre spaces, Topology 2 (1963) 239-246.
STEENROD, N.,
The topology of fibre bundles, Princeton University Press 1951.
WHITEHEAD, G.W.,
On mappings into group-like spaces, Comment. Math. Helv. 28 (1954) 320-328.
WHITEHEAD, J.H.C., Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949)
213-245.
A.1
Anhang
Die Theorie halbexakter wenn die Werte
t X
Funktoren
und
t f
t
wird erheblich
Gruppen und -homomorphismen
oder auch wenn sie in einer abelschen Kategorie den und Konstruktionen dieser einfachere
sind
jedoch im Prinzip
Pall gut als Einf~hrung
liegen.
sodass
in die allgemeine
(~ber den einfacheren Pall)
Autor beim AMS summer institute
sind
Die Metho-
dieselben,
rie dienen kann. Aus diesem Grund wird hier im Anhang eines Vortrags
einfacher,
ein Teil
reproduziert,
for topology,
Theo-
den der
Seattle 1963,
ge-
halten hat. Der Auszug ist gegen~ber der urspr~Luglichen Vortragsvervielf~ltigung
fast unver~ndert.
sequenzen wurden weggelassen, formuliert
sind.
-
Zwei Abschnitte ~ber Spektral-
weil sie oben ( ~ ~ 14 - 15) ~nunlich
Auf den Haupttext wird mit
also z.B. mit M 1.1 auf "darstellbare
1. Half exact functors Let
W
M
Funktoren".
verwiesen, -
of spaces
be the category whose objects are finite CW-complexes
whose morphisms
are homotopy
abelian category.
A
classes
of maps.
(contravariant)
functor
Let
~
t : W
and
be an > ~
is
called half exact if the sequence
(i.i)
t(X/A) is exact for every The objects
X a W
> tX
> tA
and subcomplex
t(si), where
Si
denotes
A ( X . the i-sphere
i = 0,1,2,...
A.2
are called
the coefficients 1.1
If we apply
to
9
X = A = a point
X = AvB
If we apply it to
t
of
(wedge)
we find
we find
t(a point)
t(AvB)
= 0
= tA@tB
;
more generally
(1.2) I.e.,
t
takes
difference to write
sums into products.
betwemn
(finite)
the product
form if one wants
of
1.2
sums and products
sign in
1.2
because
to deal with infinite
thing that follows complexes
There is, of course,
holds
(of finite
in
~
complexes.
provided
; we chose
this is the adequate
for half exact functors
dimensions)
no
Indeed,
every-
on infinite
the "infinite
CW-
analogon"
is satisfied.
If
X c W
is arbitrary
in every component
of
X
and
then
A ( X X/A
contains
is connected
exactly and
one point
1.1,
1.2
imply tX = t(X/A) ~ a natural Moreover, connected
splitting. A =
VjS ~ , tA =
CW-complexes
sider it as obvious Another consider half
a single
remark concerns
However,
therefore
O-cell,
base points.
which are defined
look at
and shall concase.
One could
on h o m o t o p y
classes
it turns out that these are the same
on free h o m o t o p y
an additive
functors
having
. We shall
from 1.3 how to deal with the general
exact functo~s
as those defined
valued
~jt(S ~
only,
simplifying
with base points.
we assume
tA ,
domaine
the situation
classes,
the reason being that
category.
(cf. M,
is quite
different.
5.27) For set (cf. M,
w 4).
A.3
Let
(1.4) Examples: H-space
H
(e.g.
be a homotopy-associative,
H =~2y).
Then
homotopy-commutative
tX =~[X,H]/ Eo H
(homotopy classes
modulo those of constant maps) is half exact. If
A
is the
category of abelian groups then every half exact
t
with countable
coefficients is of this form
(1.5)
Let tX
L
be a fixed space (or a spectrum) and put
{X,L~ = limi[~ix,~iL] = group of stable homotopy classes.
(1.6)
Put over
tX = group of stable vector bundles
X ,
(1.7)
If in
~
i.e.,
h
t = E~
resp.
(real or complex)
K@ .
is a cohomology theory on pairs
(X,A)
with values
(satisfying the Eilenberg-Steenrod axioms except possibly
the dimension axiom) then reduced q-th cohomology of found in
(i.8)
[2].
If
tX = Coker[hq(point) X
--~ hqX] = B q x =
is half exact. Examples can be
[1], [4] st al. ~ : A
> A'
is an exact functor or
~ : W
>
W
a
functcr which takes cofibrations into cofibrations then composition
~t
resp.
t~
with every half exact
exact. Examples for
~
t
is again half
are: the suspension functor
~ , the
~-product with a fixed space, the passage to the n-dual in the sense of Spanier-Whitehead
(the last works in the stable category
only).
2. Comparing half exact functors 2.1 Proposition.
Let
~ : t
half exact functors. I f for all
i ~ n
then
> t'
be a natural transformation of
~(S i) : t(S i) ~ t'(S i)
~ : tX ~ t'X
for all
X
is an e~uivalence of dimension
~ n .
A.4
Proof:
The Puppe sequence [M, 5.6] A
f) B
) Cf
is defined for every continous map homotopy equivalence) any half exact
(2.2)
tA <
t
f , and every term is (up to
the cofibre of the preceding map. Applying
therefore gives an exact sequence
tB ~ ~
tCf (
t~A (
t~B (
".
Every CW-complex is obtained by successively attaching wedges of cells; let
~(X)
denote the number of such operations which
are required to construct only if
X
X . For instance,
is a wedge of spheres; further
proposition is proved by induction on X = Cf hence get
where
f: A
~ (~B) < V(X) tX = tX'
Application:
) B
and
y(X) ~ ~ V (~X) ~ F ( X )
. The
v. We can then assume
V(A) = 1 = Y(~A)
. We apply
if and
, V(B) ( ~ ( X )
~ to the exact sequence 2.2 and
by the five lemma, qed. A contravariant functor
t : W
) ~
is called
stable if there is a natural factorization t
LX,Y]
>
Hom(tY,tX) ~7
~
T
.-
where
s
is the passage to stable homotopy classes
examples 1.5, T
1.6,
1.7 are stable. If
t
is half exact then
is a homomorphism of abelian groups (see 3.3), and is therefore
adjoint to a morphism (2.3)
(1.5); the
e(X,Y,t)
: ~X,YI @ tY ~
tX 9
A.5
In particularjwe (2.4)
have a natural transformation
E(X,t) = le(X,Si,t)~ the "Hurewicz-map"
2.5 Proposition:
: ~i~x,si~|
i
) tX ,
.
I_~f @tS i
(a)
is an exact functor
(b)
kills finite groups
(i.e.
tS i
is flat),
then the morphism 2.4 is an isomorphism. Proof:
(a)
implies by 1.8 that
u(X) = ~ i
exact. It therefore suffices to show that for all
j.
If
j ~ i
~S j,Si~ @ tsi = 0
then
IS j ,S i ~
by (b), hence
~x'si~ @ tSi E(sJ,t)
is half
is isomorphic
is finite, hence
u(S j) = I Sj'Sjl | tsJ ~ tSj' qed.
More generally we have
2.6 )
Proposition:
Assume
t
is as in 2.~ and
half exact (additive suffices) ~i : tS i
) t'S i
is an arbitrary
stable functor.
is a sequence of mgrphisms
unique natural transformation Proof:
t'
~ : t
> t'
If then there ~S a
such that
~(S i) ~ ~i .
is the unique filler of the following diagram ~jix,sJl
tX
| tS j .~.i.d.
| ~J )
~j~x,sJI|
--~
t 'X
t ,S j
, qed.
(*IA more elaborate argument shows that 2.6 holds also for nonstable t,t' ; cf. M, w
A.6
(2.7) Example:
If
tX = K c X e Q
then
zero o t h e r w i s e
= Heven(sJ,Q)
unique
> ~even(_,~)
~ : t
the i d e n t i t y
3. Lemmas
on spheres,
on h o m o t o p y
3 91 Lemma.
tS j = Q where
for even
j > 0 , and is
~even = ~H2~
. There is a
, the Chern-character,
and it is an e q u i v a l e n c e
w h i c h extends
by 2.1
.
groups.
Assume
a diagram
Sn ~
B
> Cf = B y e n+l
> Cf/B = S n+l = 7.Sn
(3.2)
~_~,g' ,!
Vjs
' >
is g i v e n w h e r e
B'
) Cf'/B'
--~ Cf'
g : Cf
> Cf'
induced map on quotients;
i.e.,
of the form
but the defect
[(glB)f]
of the H u r e w i c z
e ~n B'
>~ ~n x
is a h o m o m o r p h i s m then
where
differ only
is half
and
by elements
y a ~i B'
exact
on the
of the form
(compare M, 12.3).
then the map
> H o m ( t X , t S n)
of a b e l i a n groups.
The proof relies
map
is generated
x ~ ~n+l(Cf',B')
t : W
x - x?
is not too bad.
> Hn+l(Cf',B' )
(3.4)
H'-space
[f'g'],
(it isn't
with
> 0
is the
the first square in 3.2 may not be c o m m u t a t i v e
~n+l(Cf',B')
If
~
, ? e ~ l B'
fact that the kernel
3.3 Lemma:
, and
x e ~n B'
in general)
x - x~
( B'
~g'~ ~ .
The two elements
by a sum of elements
g(B)
, n
the 2 nd and 3 rd square are then commutative.
g' has been so c h o s e n that Conclusion:
is such
-- V~S n+l = 7,(V~s n)
, [f]~
tf
More generally,
if
Y
is an
A.7
(3.4)
~[Y,X] is a
> Hom(tX,tY)
, [f]~9
t~
homomorphism. This holds
because
addition
on b o t h
sides
of 3.4'
X v X ->
X .
is b a s e d
on the diagram Y
> Yv Y
I_~f X = S n , and
3.5 Corollary: tf : tS n
> tS n
3.6 Corollary:
f : Sn
> Sn
is m u l t i p l i c a t i o n
Under the assumptions tS n
by
has degree
r
then
r .
of lemma 3.1 the diagram
(
tB
T t(VjS n) <
is commutative t i.e. This holds tCx-
=
3.7 Corollar2: : ViS n
Let
X
K e ~
xy
.
are freely homotopic,
be a CW-complex I
Then
> t(V~s .j n)
the a t t a c h i n g
C(X,tSn),
map
Xn
map for the
c(X) ~ t(V~S n)
hence
(n+l)-cells
is a functor
is a natural ~
its n-skeleton,
cohomology
(hence
on cellular maps,
transformation.
is not unique,
t~
from lemma 3.1 and Corollary
A slight g e n e r a l i z a t i o n If
and
an a t t a c h i n g
This follows
4. Cochains
x
= tCf)t(glB )
.
t ~ : t(X n)
although
tCg')t(f')
because
> xn
C~ = xn+l). and
o
tB'
I.e. I
is.
3.6
.
H*(X,tS n)
of a result
then there is a unique
of E i l e n b e r g
contravariant
and Watts functor
shows:
from
A.8
finitely generated (b) takes
~
abelian groups
into
~
which
K . It is denoted by
it the"symbolic
hom-functor".)
groups provided
one requires
all
to
(a) is left exact,
hom(-,K)
(P. Freyd calls
This extends to arbitrary abelian hom(~Gk,K ) =~khom(G
,K)
G~ m Z . It is in fact obvious how to construct
from a free resolution
of
whenever
hom(L,K)
L .
If now C : ... (
Cq_ 1 (
Cq ~
Cq+ 1 4
is a chain complex of abelian groups then hom(C,K)
: ...
) hom(Cq_l,K )
is a cochain complex in Applying
whose homology
this to cellular chains
cq(X,A;K)
and
4.1 Proposition: ~=
A
n TA
.9
Hq(X,A;K) Let
VjS n
(X,A)
cn(X,A;tS n)
(4.3)
cn+I(x,A;tS n)
Proof:
~
4.2 is clear because
Corollary
~
of ~jS n
C
Xn
XnvA
of
X , of
to cellular maps) isomorphisms
t( y j S n) ) C n+l
into the composite
Xn~A/xn-lvA
X-A . Further,
.
= ~I~S n k t
is true because
~ Xn~A/xn-l~
with one /
4.3 follows from
are the various degrees ~
the n-skeleton
t(~) ~ t ( V j S n)
3.7. The last statement
coefficients
.
defines
t(xn~ A/xn-l~ A) ,
~ : Cn
~ t(XnvA)
sphere for each n-cell in
(X,A)
H*(C~K)
an attachin~ map for the (n+l)-cells
(with respect
which take the coboundary
is denoted by
of a CW-pair
be a CW-pair t
(4.2)
t(xnv A/xn-l~ A)
C
hom(Cq+l,K)-~...
.
-) x n v A
X-A . There are natural
) hom(Cq,K)
the incidence
of the composite A =
,~I~Sn
A.9
and because of 3.5. 5. The obstruction sequence 5.1 Proposition:
There exists a natural (with respect to (X,A)
and
t ) exact sequence (5.2)
t(xn+lv A) In words:
> Im[t(xnv A)
~
> t(xn-luA)]
Hn+I(x,A;tS n)
the map ~ associates with every"element"
t(xn-lv A)
which admits an extension to
~(x)eHn+l(x,A;tS n) , and
~(x) = 0
XnvA
x
of
an obstruction
if and only if
x
extends to
xn+lv A . Proof;
If
~ : VjS n
(n+l)-cells of t(xn+lvA)
X-A
> Xn~A
is an attaching map for the
then we have an exact sequence
> t(xnvA)
Dividing by the image of
> t( VjS n) = cn+l(x,A;tS n) . K = t(xnvA/xn-lvA)
we get an exact
sequence t(xn+IvA )
> t(XnvA)/im(K)
hence by the exactness of
>
0n+l(x,A;tSn)/im(K)
t(XnvA/xn-lvA) --) t(XnvA) --) t(xn-lvA)
and by proposition 4.1, the exact sequence t(xn+lvA) ---) Im[t(XnvA) where
B
> t(xn-lvA)]
@~> cn+l/Bn+l
denotes coboundaries. It remains to show that
into cocycles, i.e., that
~'=
is zero.
maps
0 . This amounts to showing that
the composite t(xn A)
@'
t(~)~ cn+I(x,A;tS n) __~ ) on+2
A.IO
Let
Y =
(n+2)-cells note
V k en+2
of
~
x
X-A, where
that the n - s k e l e t o n
ty gives a commutative
e n+2 yn
is the standard
consists
(n+2)-cell;
of a single point.
t~) cn+l(x,A)
0 = t(Y n)
5.3 Corollary:
map for the
Naturali-
diagram
t ( x n v A)
which proves
be the characteristic
)
~
cn+l(Y)
cn+2(X,A)
~ cn+2(Y)
the assertion. If
Hn+l(x,A;tS n) = 0
for all
n
then
tX -~ tA -@ 0
is exact - because
all obstructions
5.4 Corollar2: Proof:
If
Take
Hn(y,ts n) ~ 0 A = Y
,
Hn+l(x,A;tSn)~R~(Y,tS 5.5 Corollary:
vanish.
If
for all
n
then
X = CA ~ cone over n) = 0 ,
f : A
) X
apply
5.3
tY = 0 .
A , remark that , and use
is a continuous
tX = tCA ~ 0 .
map such that for all
n
f* : Hi(x,ts n) ) Hi(A,tS n) is epimorphic for i ~ n-1 J isomorphic for i = n , and monomorphic for i = n+l then tf : tX ~ tA .
homology
In particular,
is mapped
isomorphically
theorem
then implies
Proof:
We can assume
mean
Hn(X,AltS n)
Therefore
tX
this applies
) tA
because
if ordinary
the universal
,
integral coefficient
the assumption. f
is an inclusion.
0 ,
Hn+l(x,A;tS n)
is monomorphic
The assumptions ~
0
for all
then
n .
by 5.4 and epimorphic
by 5.3
9
A.II
5.6 Proposition:
I_ff ~S i - 0
transformation Proof:
For every
Im[t(Xn~A)
X
i ( n
> Hn(A,tS n) Corollaries
then there exists such that
> H n+l
5.7 Corollary:
~ : tA
> Hn+l(x,A;tS n)
~(S n) = id .
= tA , so the obstruction
. Putting
X ~ CA
this is
(CA,A;tS n) ~ Hn(A,tS n) , as required. (Hopf-Whitney).
dim(A) (_ n
a natural
5.5 and 5.3 give
> t(xn-l~ A)] = t ( x n - l ~ A )
map becomes tA
f: tA
for
I_~f tS i = 0
for
i ( n
and
then tA ,, Hn(A;tS n)
5.8 Corollary: dimension
(Uniqueness axiom)
for all A (and
Another P. Peterson,
I_ff tS i = 0 ~
Both 0orollaries
becomes
i = 3,4,... and only if 5.11 Corollary: i = 3,4,...
0(7)
1 .
then
a
tA = Hn(A;tS n) ~*).
of 5.1 gives a result of
as follows. H2n+I(x,A;Z)
Assume
to
5.10 Corollary:
i = n
the coboundary homomorphism
application
Then a stable bundle
Chern class~
for
satisfying
follow from 5.6 and 2.1 .
typical
5.9 Proposition:
extension
of half exact functors
X 2n+l and If
~ ~ KcA A
which extends
if and only if
8* z coboundary H2i+l(x,A;Z)
, then
~*Cn( ~) z 0
~E
KcA
extends
where
(i-l)! to
is the trivial
(i-l)!
.
has an c n = n-th
X
, if
c = total 0hern class.
has no torsion dividin~
~ ~ KcA
~x2n-lv A
has no torsion dividing
J*c(~) ~ 0 , where H2i(A,Z)
to
(n-l)!
homomorphism.
, then a stable bundle
If
has no torsion dividing
,
bundle if and only if
A .12
This follows
to
x2n+l~A
then
For the converse, an extension t(x2nvA)
put
Cn(~)
extends
t ~ KC
' and let
A
is necessary:
to
X , hence
if
~*c n = 0 .
~' ~ t ( x 2 n - l ~ A )
of ~ . The exact sequence > t(x2n-lvA)
~' ~ I m [ t ( x 2 n v A ) sequence
X = CA = cone over
It is clear that the condition
Proof of 5-9: extends
from 5.10 by taking
> t( Vi S2n-l) = 0
> t(~2n-l~A)]
shows
, so we can use the obstruction
5.2 . We map it into the corresponding
t' = H2n(-,Z)
via the Chern class
cn : t
sequence
for
-> t' . As remarked
in the proof of 5.6 we have Im[t'(~2nvA)
> t'(x2n-l~A)]
so we get a commutative Im[t(x2nv A)
= t'A = H2n(A,Z)
diagram > t(x2n-l~A)l
~> H2n+l(x,A;tS2n)
~Cn
hence
~(~') = 0 ~
~ C n ~ Cn-1)" #~
HRn(A, Z)
;
(n-1)'~(~')
i
>
iI2n+ 1 (X ,A; t'S2n)
= 0 @ @ ~*Cn(7)
,
= 0 , qed.
8. Generalizations. One can generalize t : W
)~
where
one can take half-exactness
~
~ = ENS,
the preceding
results to functors
is not necessarily
abelian.
For instance,
the category of sets, provided we ~eplace
by the Meyer-Vietoris
condition
(e) of Brown [2]
also for most results we then have either to restrict to simply connected
CW-complexes
X
ourselves
or we have to assume that
t
A.13
is n - s i m p l e E ~n X
for all ~ ~l x
,
categories
and
n
; this means:
, and all
ENS
u : W
be half
and for every fibration. t(X,Y,a)
) B
Eor every
Iy) .
~
any c a t e g o r y
of
~
is an
E~ '-q = 0
for
~ : E
.~ B
let
~
--@ X
: E and
be a fibration,
Y ( X
of spaces
be the induced put
over
For instance,
~ 1 ; and
E p'-q
for
with a filtration
is the fibre,
a local c o e f f i c i e n t
Let
This is a f u n c t o r on triples
of pairs
object associated
u(sq•
the following:
system
one has a spectral
~l B
for
p-q ~ 1 ,
p-q ( 0 , is the of
u~q-P(E/F)
* = basepoint
(the group
(X,Y,a)
B) to w h i c h the
E~ '-q = H P ( B , ~ ( s q ~ F / * ~ F ) )
p-q
F ~ n-l(*)
by more general
let
results generalize. such that
consider
a : X --@ B
on the c a t e g o r y
sequence
can be replaced
exact,
a : X
~ u(E /E
preceding
W
As a guiding model
~ ~
Here
take for
category.
categories.
graded
for all
both abelian
of a b e l i a n group objects
On the other hand
(i.e.
X . Generalizing
one can p r o b a b l y
such that the c a t e g o r y abelian
t(~) = t(~.y)
and
~
operates
.
indicates on
= u qF uS q) Other possiblities
the c a t e g o r y of (free)
for
W
are the c a t e g o r y of spectra,
chain complexes
over a fixed ring. Dual
to section l, one could c o n s i d e r h a l f - e x a c t functors w h i c h are exact on fibrations Guided
by these
probably ing in "short
examples
W
a c e r t a i n class
exact sequences",
into exact
sequences.
functors
(instead
of S. Eilenberg)
of m o r p h i s m
X'
) X
t* , i.e.,
of c o f ~ b r a t i o n s ) .
one is lead to a x i o m a t i z e
(following a s u g g e s t i o n
or
W
, too,
by d i s t i n g u i s h ) X"
as
w h i c h the functor would have to carry
A.14
Re~erences
[i]
ATIYAH-HIRZEBRUCH,
Vector bundles and homogenuous spaces,
Proc. Symp. Diff. Geom. Tucson 1960.
ATIYAH, M.
Characters and cohomology of finite groups, Inst. Hautes Etud., Publ. Math., Paris 1961.
[2]
BROWN, E.,
Jr.,
Cohomology theories,
Annals of Math. 75(1962) 467-484.
[3]
CARTAN-EILENBERG,
Homological Algebra,
Princeton Univ. Press 1956.
[4]
DOLD, A.,
Relations between ordinary and extraordinary cohomology, Coll. on Algebr. TopologyjAarhus 1962, p. 1-9.
[5]
PUPPE, D.
Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen I, Math. Zeitsc~r. 69(1958) 299-344.
Of~setdruck: Julius Belrz, Welnheim/Bergsrr. Printed in Germany
