Riemannsche Hilbertmannigfaltigkeiten. Periodische Geodätische (Lecture Notes in Mathematics)

+gr also

(Y~). DZv(p ~X~p) )+g~<~(p)(Y~(p),~(~
-

(2')

23-

Dgr

:

gr

+

gr

%f(p))(D(~~176

FGr (3) ergibt sich speziell die folgende Darstellung

(T~: id):

(3') Dgr162

),Z~t)+ gr

) ) (Y~t ' % ( 0 (t)) ( (~oc/(t) ,Z~t ) ).

Auf Grund der Existenz yon genGgend vielen Kurven c:I---~M und Vektorfeldern igngs dieser Kurven (es genGgt die jeweilige Betrachtung innerhalb einer Trivialisierung), folgt aus (3') und (2') die Equivalenz yon (2) und (3) zur folgenden Identit~t (2) ~(3)~(3')~--'2(4)~'2(2')==~(2); mentiert werden):

(4)(auf Grund folgender SchluSweise: ~hnlich kann auch Gber f=id M argu-

FGr alle p e M, alle Trivialisierungen gilt: Dgr162 Damit gilt "(2)K

~(3)", so da~ noch "(I) "--->(3)" nachzuweisen bleibt: d ~-t-gc(Y,Z)It ~

Seien X , Y ~ ( c ) . lim t-->t~

(~,~,U) um p und alle u~4,v,w~S + g~(~)(v,~(~)(u,w)) (4).

FGr alle toeI gilt:

gc(t)(Yt,Z t)

-gc(to)(Yto,Zto)(~: lim

t-

~o

gc(tc)(Yt

t-~t o

~

,Zt )-gc(t )(Yt^,A) o ~ t- t o

(wo Y bzw. Z der parallele Schnitt l~ngs c mit Yt:Yt bzw. Zt:Z t ist.) lim t~t o

gc(t^)(Yt ,Z t ) - gc(t )(Yt ,Zt ) + gc(t )(Yt ,Zt )-gc(t )(Yt ,Z t ) ~ o c ~ - . . . . . . . . c o t -- ~o

gc(t^)(Yt - Yt 'Zt ) + gc(t )(Yt 'Zt^ - Zt ) ~ o o o ~ c ~ o : % -- t o ~) @o) @) C~) Yt "Yt Zt -Zt ~C(to)(lim o o ,Zto) + gc" "(Y ,lim c o ) = lim t~t o

t~t o

t-t

o

(to)

t o

t~t ~

t-t

o

,d ~t o. d ~%. (Vcy ,Zto ) + gc (to) Q ~ Q c 'Y Ito'Zto)+gc (to)(Yto'd-~c " ~ I t ~ g c ( t o ) It o + gc(to)(Yto,~cZIt o) ; beim Beweis der G l e i c h ~ ) m u ~

yon der rechten

Seite der Gleichung ausgegangen werden. q.e.d. 13Z9 Anmerkun~e~ : (i) FGr alle riemannschen sammenhang:

BGndel (~,g) gibt es einen riemannschen

Zu-

-

24

-

Zum Beweis w~hle man gem~& [29], S. Io3 eine Hilberttrivialisierung, also eine trivialisierende Uberdeckung ~(~,~i,Ui)}__ von E, so dab fur alle i und alle peU i __.~IP:(Ep'gp) ~ (~,<..,..>) isometrisch ist (<..,.~ ein fest gew~hltes Skalarprodukt fur das Modell ~ von ~i ). Die in 2.7(i) durchgeffihrte Konstruktion einer Zusammenhangsabbildung ffihrt dann sogar zu einem bzgl. g riemannschen Zusammenhang K, da bzgl. der obigen Trivialisierungen ~ i ~ o und g@i- ~ <..,..> gilt, die Gleichung (4) also in trivialer Weise erfHllt ist. (ii) Ist E f > E' f ~, Vektorraumb~ndelisomorphismus M

o

> M'

und K Zusammenhang fHr E, so ist K' := foKoTf -I Zusammenhang fur E;,denn: FUr jede Trivialisierung (~,~,V) yon E' ist (~of,~ofo,fol(V)) Trivialisierung von E, und es gilt K ~ ::~DoK'oT~-l:~ofoKoT(~of) -I = K~Ofo, woraus die Behauptung sofort ersichtlich ist (induziertes Christoffelsymbol ~ ( p ) : ~ O f o ( f ~ ( p ) ) fur alle p eV). Sind g,g' riemannsche Metriken fHr ~,~', und ist K riemannsch bzgl. g und f isometrisch bzgl. g,g' (d.h. fp ist isometrisch bzgl. gp,g~o(p ) fur alle p ~ M), so ist K' sogar riemannscher Zusammenhang fGr (E',g'), denn fur alle c * C~(I,M) gilt: gc(X,Y) = gf oc(foX,foY), und X,Y*~E(C) o sind genau dann parallel l~ngs c bzgl. K, falls foX,f.Y parallel l~ngs foOC bzgl. K' sind, woraus die GHltigkeit yon 3.7(I) fur K' folgt. (iii) Wir betrachten erneut 3.5, 3.6, wobei jetzt zus~tzlich eine riemannsche Metrik g fur ~ gegeben sei. Die Abbildung c*g:(~,~) > L2(c~E)'ts I > gc(t)o~f~f definiert eine riemannsche Metrik fur das Bfindel c*~ (es handelt sich um das Zur~ckziehen des Schnittes goc l~ngs c in den Pull-back c~L~ (E)=L2(c~E)s , vgl. die Einleitung zu diesem Paragraphen)o . Analog definiert

t e (~,~) ,

~ gc(to) 9215

Pr2~ L~((t} • Ec(to))

eine riemannsche Metrik auf dem B~ndel pri:(~,~)• Ec(to )

} (~,~). Ist

K nun riemannscher Zusammenhang f~Ir (x,g), so ist die Abbildung Qc aus 3.5 bzgl. dieser Metriken sogar Isometrie (fUr alle t 6 (~,~) ist (Qc)t Isometrie). Sei l=[a,~ , d,e ~C~(I,Ec(~ )), X,Y~ ~E(C) un~ bezeichne d~),..,~X,., die k-te Ableitung bzw. k-re kovariante Ableitung bei diesen Abbildungen. Die folgenden reellwertigen Abbildungen auf ~E(C) bzw. C~176 )) definieren fGr alle ~ g ~ Skalarprodukte bzw. Normen auf diesen Vektorr~umen

, so dab Qc aus 3.6 bzgl. jeweils analog gebildeter

auf ~e(C) und C~(I,Ec(to )) zur Isometrie wird (da 3.6(ii) per Induktion

-

25

-

auch fGr alle h~heren Ableitungen gilt):

(1)

~=on ~abge(to)(d(~t)'e~)(t))dt

(2)

= ~ O t sup ~[a,b] II~]( t )IIC(to)

bzw. ~:on ~ a g c ( t ) ( ~ X ( t ) , ~ y ( t ) ) d t '

bzw.

~n

t --__ %U~a, bill ~F~X(t)IIc(t)"

Weitere (meist sofort als zu den obigen ~quivalent nachweisbare) Skalarprodukte oder Normen erh~It man, wenn man irgendwelche der Summanden mit Ausnahme des letzten durch den Funktionswert an einer Stelle t I~ I der in ihnen auftretenden Funktionen oder ~ durch sup ersetzt. ~:o~..F Wir bemerken, da~ die vollst~ndigen HGllen der mittels C~(I,Ec( t )),~E(C) und (I) bzw. (2) gebildeten normierten R~ume durch die sog. H n - ~ -Felder bzw. die Cn-Kurven,-Felder (l~ngs C(to),C) gebildet werden, die beiden Ausgangsr~ume also nie bereits schon vollst~ndig sind. Nimmt man auf C~(l,Ec(to )) bzw. ~E(C) die gr6bste Topologie, die feiner als alle durch (2) jeweils induzierten Topologien ist, so wird C~(l,Ec(to )) bzw. ~E(C) zum vollst~ndigen, lokalkonvexen, topologischen Vektorraum (es handelt sich dabei um die Gbliche zu einem System von Halbnormen {~..l(n/n~N} betrachtete Topologie eines linearen Raumes, vgl. [27], Kapitel IV; die Inklusion in die durch l(..~n normierten R~ume C~ ist fHr jedes n E ~ stetig). Diese topologischen Vektorr~ume sind metrisierbar, z.B. werden (translationsinvariante) Metriken auf ihnen durch die mittels (2) nach folgendem Verfahren bildbaren Fr~chet-Normen ~ 1 II~((n U~[I := ~ 1 V 1+II~ induziert n (beachte: die in (2) betrachteten Normen erfOllen in beiden F~llen ~II ~ II~[l 2 ~...

). Diese topologischen Vektorr~ume C~(I,Ec(to)),~E(C)

sind damit sogar Fr~chet-R~ume.

Sie sind jedoch nicht normierbar, da

f~r solche Normen ~..II nach [27~,w 18,1 ~ ~I ~ l(~In f~r ein n ~ (und also fGr alle grSSeren n) auf C~(I,Ec( t )) bzw. ~E(C) gelten w0rde, also nach Wahl der Topologie die Norm ~..V sogar zu II.-~ ~quivalent n w~re (in Widerspruch dazu, dab alle II..IIn-TOpologien und die Fr@chetRaum-Topologie voneinander verschieden sind). Nach [27], w 15,12 folgt damit welter, da5 die Fr~chet-R~ume C~(I,Ec(to )) und ~E(c) nicht derart banachisierbar sind, daS die Inklusionen in die oben erw~hnten Banachr~ume der Cn-Kurven bzw. Cn-Felder stetig sind, d.h. C~I,Ec(to)),~E(C) k6nnen, wenn sie letztere Eigenschaft haben sollen, nur noch zu Fr@chetR~umen gemacht werden. Die Abbildung Qc ist auch bzgl. der Fr@chet-Normen Isometrie. Die vord her nur bzgl. ~..~n,II..Un_l aus (2) stetigen Epimorphismen ~-~,~Zc sind auf diesen R~umen stetige, surjektive Endomorphismen. (iv) Die Ausf~hrungen in 1.6(ii) lassen slch sofort auf beliebige Ten-

-

sorfelder A:N ausdehnen.

>L(~i,..,~r;%)

26

-

und Y e ~.~f)

l~ngs Morphismen f:N

F~r alle C~-Schnitte ~ in L(~l,...,~r;~O,

>M

alle Vektorfel-

der Yi ~ ~ M ) und alle v e TN gilt dann als Verbindung zwischen den beiden Definitionen: (~v~of)-(Y1of,..,Yr.f)

= (%ZTf(v)~)(Y I .... ,Y~).

Dieser Zusammenhang zwischen den kovarianten Differentiationen und id M impliziert

l~ngs f

ebenfalls die in 5.8 beschriebene Gleichwertigkeit

der Regel 5.8(2) zu der Einschr~nkung dieser Regel auf den Fall f=id M. 4. Sprays und ihre Exponentialabbildung Sei M Banachmannigfaltigkeit,~:TM T:TTM

> M das Tangentialb~ndel

>TM das doppelte Tangentialb0ndel,

K:TTM

yon M,

> T M Zusammenhang

auf M mit dazugehSriger kovarianter Differentiation ~ und I offenes oder abgeschlossenes Intervall in ~. [4.1Definitionl : Eine Kurve c e C ~ I , M ) das Tangentialfeld

heist Geod~tische

6g~s

(bzgl. ~Z,K) :~<---~V~=o, d.h.

von c ist parallel l~ngs c.

Bem.:Mit Hilfe lokaler Darstellungen

erh~It man fGr Geod~tische c : =

und diese lokale Gleichun~ ist ~quivalent

o

,

zur Differentialgleichung

~t

so da5 die lokale Existenz von Geod~tischen zu Anfangswerten v ~TM wie bei endlicher Dimension gegeben ist. Wit werden im folgenden die etwas elegantere Einf~hrung yon Geod~tischen mit Hilfe eines Sprays betrachten: 14.2 Definitionl : Ein Spray S Gber M i s t ein Vektorfeld S auf TM, welches die beiden folgenden Bedingungen erfGllt: (i)

T~oS : id

(dies besagt: S i~t Di@fe~en%ialgleichung

(ii)

j~Soh<=~.Th~.S:h~.Th~oS

2ter Ordnung)

(h~,h~ bzgl. TM bzw. TTM wie in 2.6)

(Zur Diskussion weiterer ~quivalenter Bedingungen

siehe [29], S.68).

Ben.: Nach Lang [29] haben wir die folgenden elementaren Aussagen Gber Sprays:

(i) F0r jede Integralkurve ~ yon S gilt:

~-~:~.

(ii) Zu jedem v ~ T M gibt es eine eindeutig bestimmte In tegralkurve von S mit Anfangswert

v (der hierbei maximal gew[hlte Definitionsbereich

ist offenes Intervall in ~ um o; Bezeichnung

(t-(J,t+(v))

).

Sei TM die Menge der v 6TM,

so da6 der De~initionsbereich

Intervall

ist offen in TM, und die Abbildung

[o,13 enth~it. ~ exp:T'M

ist Morphismus.

>M,

definiert dutch

exp(v)

yon ~v das

:: ~ v ( 1 ) ,

Sie hei5t die Exponentialabbildun~

des Sprays S.

(iii) F~r die Integralkurven ~v aus (ii) gilt: ~sv(t) = S~v(S.t) , also insbesondere ~O~sv(t) = ~',~v(S.t) f0r alle s,t, fdr die ~v(S.t)

27 -

definiert

ist (was genau dann der Fall ist, wenn s im Definitionsbereich

von ~tv liegt). (iv) FHr den Null&chnitt der Hblichen

o:M

Identifizierung

(v) Wie 0blich bezeichnet

>TM gilt:

expoo=idM,

auch einfach:

eXpp die Einschr~nkung

also auf eine offene Teilmenge

(also auf Grund

explM=id). von exp auf ~ : = ~ n M p ,

von Mp, die sternfSrmig

um Op liegt.

r.J

eXpp:Mp-

."Mist

feomorphismus

auf einer geeigneten

(unter der kanonischen

Identifikation

(vi) Die nach (v) gegebenen natHrliche

Umgebung U(Op) yon Op i n Mp D i f -

auf eine Umgebung U(p) von p in M, da Texpplop :id

S).

gilt

von (T~p) ~

mit Mp). P ~ U ( O p ) von M heiBen

Karten exp~1:U(p)-~

Karten yon M: ihre Gesamtheit

lichen Atlas yon M bzgl.

Mp

bildet

FHr die Abbildung

den sogenannten

natHr-

exp des Sprays S gilt

nun weiter : 14.5 Satzl : Es gibt eine Umgebung U von M=o(M) feomorphismus Bew.: I)

in TM, so da5 (~,exp):U

auf eine Umgebung der Diagonale

FHr die Inklusionen

(Einbettungen)

T(~,eXP)oOTi ~ :T(~roi,expoi)o

P

P

:(T(~rOi)o

P

von M•

ist.

>TM

und o:M

X:Mp

,T(expoi)o

P

~ M x M Dif> T M gilt:

):(~

) und

P

P

Ti ~ (Mp):Kern T~ ~ , also ist T(~,exp) ~ topologischer Isomorphismus P P P von Kern TTg~ auf o~M und 2) T(~,exp) ~ ~ :T(~oo,expoO)p: P P P P :(T(~OO)p,T(expoO)p):(idMp,id M )~also ist T(~,eXP)opauch topologischer P Isomorphismus yon dem topologisch-direkten Summanden Bild Topvon Kern T~ o

auf die Diagonale

yon M ~ M

p

topologisch-direkter folgt: T(~,eXP)o~ (in jedem p 6M). in M•

in M~MD,~

so da5 also insgesamt

Isomorphismus

Nach dem Umkehrsatz

ist (~,exp)

auf M • % P P somit Di~feomorphis-

P finslerschen

Metrik

yon TM

in TM auf eine Umgebung V

P P kann nach 5.7 Einleitung mittels

Dieses U

ist aber P

Summand yon O•

von o

von M_•

~

ist topologischer

mus von einer Umgebung U w~hlten)

. Die Diagonale

~

~..~ v o n d e r

einer

yon (p,p) D (beliebig ge-

Gestalt B(U(p),s

~_J

BE(o q)

qGU(p) gew~hlt werden.

U::nk~e M ~-- Up erfflllt dann die Behauptung

FHr alle q~U(p) ist expq:Bs (~C,exp)/UnMp injektiv, also auch dung ist als

> M injektiv, i,als~ ist auch (gr,exp):U >D~MVp.~ Letztere

lokaler Diffeomorphismus

Abbil-

damit abet global Diffeomor-

phismus,

q.e.d.

Wir zeigen jetzt, Integralkurven der bekannte

unseres Satzes:

dab die Geod~tischen

eines bestimmten

Zusammenhang

gen hergestellt

ist.

von ~,K als Projektionen

Sprays gewonnen werden kSnnen,

zwischen

Geod~tischen

der womit

und Exponentialabbildun-

28

-

~.4 Satzl: Es gibt genau einen Spray S auf M, der K.Sv=%t~v ) fHr alle v~TM erf~llt, also horizontal bzgl. K ist. Dieser heist der ~eod~tische Spray yon K (bzw.~).

Bew.: Die Abbildung S':TM istdifferenz4erbarer Vektorfeld

~TM

Schnitt

9 TM),v I

auf TM. Dieses Vektorfeld

und es gilt T~oS:id.

> (v,v,oTc(v)) , vgl.

in diesem BGndel,

2.4,

also ist (~,Tm, K)-]oS'

liegt per Konstruktion

Es bleibt also f~r alle ~ e ~

horizontal;

zu zeigen:

Soh~:~.Th~-S, d.h. (~v,~v,O~(v)) : (~,T~,K)(S v ) : ( ~ , T ~ , K ) ( T h ~ S v ) : ~ ( T h x ~ S v) : ~ v folgt, da T h ~ : T M v ~ b T M v , die zweite Gleichung folgt, da T~(Th~.~Sv) : T(~oh~)(~.Sv) : Tm(~Sv) Gleichung folgt sofort aus Regel 2.6.

: ~T~(Sv)

: ~.v, und die letzte

t4.5 sat~i : Eine Kurve c:I

>Mist

genau dann Geod[tische

Integralkurve ~ : I ~ > T M Es gilt dann ~=~. Bew.:

des geod[tischen

Ist c Geod[tische,

so gilt

Ko~-~-~(t) = Ko~(t)

wenn es eine

Sprays S von ~ gibt mit c=~o~.

(~,T~,K)(~)

a~so ~ = S~, d.h. s ist Integralkurve Umgekehrt folgt f~r I n t e g r a l k u r v e n ~ S

bzgl. V ,

= (~,~,o c) = (~,T~,K)(S~),

von S der gewHnschten Art. aus ~=S~ wegen 4.2 Bem.(i)

= KoS~ = O~o~, also die Behauptung: ~ o ~ Geod~tische.

14.6 Bemerkun~enl : Wir haben damit wieder die eindeutise Cv:(t-(v),t+(v)) ~ M zum vorgegebenen und ihre Darstellung dutch

Existenz maximaler Anfangswert

8eod~tischer

v~TM: ~

v

(o) = v #

Cv(t) = exp(t.v) von Null verschiedenen

(bei Vorgabe irgendeiner reellen Zahl t sind o Geod~tische c durch Anfangsbedingungen vom Typ "s o) = vmTM" ebenfalls eindeutig best~mmt und zwar lautet die dazugeh~rige Geod~tische nach obigem:

c(t) : Cv(t-t o) : exp((t-to).V ) ). Auf Grund elementarer

schaften von Integralkurven bzgl.

yon Vektorfeldern

bzw. wegen 4.2(iii)

g~it

der obigen Schreibweise

c a (s)(t) v f~r alle s,t ~ Geod~tische

: Cv(t+S)

mit s+t bzw.

stets entweder

bzw.

Cs.v(t)

s.t ~(t-(v),t+(v)),

Punktkurven

so wird im folgenden unter exp:TM

tialabbildung

des geod[tischen

hangsabbildung

K bzw.

: Cv(S-t)

insbesondere

(v=o) oder Immersionen

K vorgegeben,

>M

(v~o).

Ist

Die Zusammen-

Spray S ist genau dann vollst[n-

ist.

Sei II..II~ eine Norm auf M~ und wie bei 3.7 Bs163 := Rd Bs ~ Bs SE(Op). Das Supremum fHr die eXpp auf ganz B[(Op)

sind also

immer die Exponen-

Sprays S von K verstanden.

ihr geod[tischer

dis, wenn exp auf ganz TM definiert

~+,

Eigen-

definiert

~p)

,S~(Op) der Zahlen

und Diffeomorphismus

eine offene Menge von M, die wir mit Bg(p) bezeichnen)

(auf

ist, heist der

-

29

-

Diffeomorphieradius von eXpp (bzgl.

~..~p;S6(p) :: eXpp(SE(Op)) ,

KE(p) := eXpp(BE(Op)) = Bs163

beachte, da~ nicht klar ist, ob

K~(p) = ~

B~--~-~, gilt stets). Nach 4.2(v)

gilt, vgl. 6.g, Ks

ist ~(p) wohldefiniert, und eXpp:B~(p)(~p) phismus, und fHr alle E ~ ( p ) FHr alle q s

~B~(p)(p) Diffeomor-

gilt:

gibt es genau eine Geod~tische c : [ o , ~

c(o)=p,c(1)=q, die ganz in Bs

>M mit

verl~uft.

~ew.: Die ~urc~ e x % < t . ~ p ~ % ~ gege~e~e ~urve i~t eine solc~e ~eo~ti-1 sche. Sei nun c eine weitere solche GeodMtische und ~ := eXpp ~c. Es gilt: eXpp(t-d(o)) = eXppo~(t) fur alle t ~ , l ] , also t.~(o) = ~(t), solange t.~(o) in BE(o p) liegt. Da aber Bild ~ kompakt ist, liegt Bild ~ sogar in einem B~(Op) mit ~<s , so dab also t.~(o) hie in B~(Op) - B~(Op) liegen kann, also fHr alle t~ [o,1] ebenfalls in B~(Op) liegen mu~. Damit folgt aber ~(o) = eXpp~q), also die eindeutige Bestimmtheit von c. Die eben bewiesene Aussage gilt allgemeiner fur alle normalen Umgebungen U(p) yon p, das sind Umgebungen von p, zu denen es eine sternf~rmige Umgebung U(Op) yon Op gibt, so da5 eXpp:U(Op) morphismus ist (es reicht sogar Hom6omorphismus). Ist

I..~ finslersche Metrik auf M und ~(p) durch

jedes p ~ M

>U(p) Diffeo-

|..[Ip=l]..lI/Mp

fur

definiert, so gilt nach 4.3 Bew.: Die Abbildung ~:M

ist lokal yon o~IR wegbeschr~nkt, d.h. fur alle p ~ M

>I~+

gibt es eine Um-

gebung U(p) von p und r~ ~+, so dab fur alle q ~ U(p) gilt: ~ ( q ) ~ r (man beachte, dab zwischen |..~ und S,exp keine Beziehung vorausgesetzt wird). 4.3 impliziert dar~berhinaus, dab U(p) sogar so gew~hlt werden kann, dab f~r ein ~ ~ + mit o ~ < i n f ~(p) gilt: FUr alle q ~U(p) liegt U(p) P~Cr~

-1

ganz im Definitionsbereich der nat~rlichen Karte expq

:Bs

>Bg(Oq).

Bew.: Nach 4.3 gibt es zu jedem p ~ M eine Umgebung V(p) yon p und ~ > o , so daS (~,exp): q ~ J B~(o ) >~_~ ~q,B~(q)) Diffeomorohismus zwischen diesen -1 eXpq : B ~ ( q )

q~V(p) ~ ~ ~eV(p) o f f e n e n Mengen a u s 'I'M bzw M~M i s t >B[(Oq)

W~hle nun

%g(o,~)

U(p)•

yon ( p , p )

Dieses

da~

fur

und e i n e

U(p) e r f G l l t

tion (q,U(p))c (q,Bs

jedes

Umgebung U ( p ) yon p ,

i n dem o s die

(insbesondere

qgV(p) n a t [ r l i c h e

Behauptung,

ist

K a r t e um q ) .

so d a b d i e

Umgebung

Teil

~ (q,Bs y o n M• l i e g t . q~V(p) da f ~ r a l l e q~U(p) p e r K o n s t r u k -

gilt.

Die obige Behauptung impliziert, dab dieses U(p) einfach ist, d.h. f~r alle q,q'~U(p) gibt es h~chstens eine Geod~tische c:[o,~ von S mit c(o)=q,c(1)=q', die ganz in U(p) verl~uft.

>M von

-

3o

Bew.: Ist c eine solche Geod~tische, Bild cr Bs

-

so gilt nach Wahl yon U(p)

so da6 die hier behauptete Eindeutigkeit

oben bzgl. Bs

aus der welter

gezeigten folgt.

Bem.: Die letzten drei Aussagen 0ber Umgebungen U(p) von p gelten natUrlich erst recht fur jeden offenen Teil solcher U(p). Beachte, da6 in diesem Abschnitt

und im folgenden bei Zugrundelegung

irgendeiner natUrlichen Karte eXpp:U(Op)

> U(p)

dieser gemeint ist, also die Umkehrabbildung

expo I stets bzgl.

yon eXpp/U(Op)

bezeichnet.

14.7 Anmerkunsenl : (i) Sei v Zusammenhang auf M. Der Torsionstensor T:X(M)~(M)

>~(M)

T yon v:

ist definiert durch

(I) T(X,Y) :: ~ZxY - ~ X - IX,Y]. Seine lokale Darstellung lautet in Trivialisierungen

(2)

T(X,Y)4(p):~(p)(Xr162

V~(p)(Yr162

-

ES folgt, da~ T schiefsymmetrisch

und ~(M)-bilinear

T ist als C~~

auffa~bar

in L~(TM;TM)

(T~,~,U) um p:

ist und starker:

(V,lo), indem man diesen

Schnitt lokal definiert dureh

%<x)(u,v)g<x)(v,u) (Aus der Transformationsregel 1.5 - bzw. 2.1 bei Zugrundelegung Zusammenhangsabbildung

- folgt die Unabh[ngigkeit

einer

des dadureh fiber

U c M induzierten Schnlttes yon der speziellen Wahl deT lokalen Darstellung, so da5 sieh diese lokal in L~(TM;TM) definierten Schnitte zu einem globalen Schnitt in diesem B~ndel zusammensetzen Sei K die zu ~ gehSrige Zusammenhangsabbildung

lassen).

und U ~ M

offen. Die zu

K/TTU gehSrige kovariante Differentiation ~ U und ihr Torsionstensor TIU verhalten sich nat~rlich hinsichtlich Einschr~nkung, d . h . z . B , f~r den Torsionstensor:

Ist V offene Teilmenge von U, so gilt fHr alle X,Y~(U):

TIv(XIv,YIv) : TIu(X,Y)Iv Hieraus folgt ebenfalls die Deutung von T als C~176

(vgl.~aueh 1.4). in L~(TM;TM),

da auf genUgend kleinen offenen Mengen U in M stets Lemma 1.3(ii) gGltig ist und zwar folgt diese-wie oben bei Zugrundelegung einer Zusammenhangsabbildung K- unabh~ngig v o n d e r

Existenz von Partitionen der Eins auf M,

w~hrend nat~rlich die Existenz von Partitionen der Eins vorausgesetzt wird, wenn man sie analog zu dem in 1.6(i) Gesagten durch direkte Anwendung von 1.3(ii) auf M beweist). Es ergeben sich damit folgende Eins unabh~ngige)

Charakterisierungen

(a) T : O ~ L ~ ( T M ; T M ) ( M ) , trisch 2.7),

(vonder

Existenz yon Partitionen der

yon "torsionsfrei":

(b) Alle Christoffelsymbole ~ ( p )

(fUr den zu K geh6rigen linearen Zusammenhang (c) Alle TIU:~(U)• ~(U)

>~(u)

verschwinden.

slnd symme-

C gilt: C=C ~, vgl. Aus 8.1 folgt noch

-

51

-

eine weitere Charakterisierung: (d) FUr alle C~-Abbildungen~: [~',~']~[a',b~

~ M gilt: xYs

(oder "groSzfigiger": Ffir beliebige Morphismen f:N gilt: X Z x T f - Y - ~ y T f . X -

~ Vt~ s

~ M und alle X , Y ~ ( N )

Tf.[X,Y] = o, vgl. 8.1 (6), (8)).

(ii) Zur Umkehrun~ yon 4.4: Sei S Spray fflr M. Beh.: Es gibt genau einen torsionsfreien (star~ifferenzierbaren) menhang K fflr M, der S als geod~tischen Spray besitzt. Bew.: Sei f 2 : ~ ( U ) ~

Zusam-

>~ die zweite Komponente des Hauptteils des

Sprays S in den Trivialisierungen (Tr162

von TM bzw. TTM,

vgl. [29], S. 71. Wegen 4.2(ii) gilt fflr alle s~ ~: f2(x,s.v) = s~f2(x,v) ~ und daraus folgt durch zweimalige Differentiation der folgenden Komposition von C~-Abbildungen an der Stelle s=o: s ~ I ~ S . V ~ I > f2(x,s.v) : s~f(x,v)e~ ffir jedes x & r und v ~ d~e Gleichung f2(x,v) : D~f(x,o)o(v,v). Die Abbildung f2(x,..) ist also in Verbesserung des in [29], IV, w 5, S. 72 Gesagten stets quadratische Form. Die Definition

(3)

Ur

:: -D f2(x,o)

liefert nun die gewfinschten Christoffelsymbole: Da eine solche Erweiterung der quadratischen Form -f2(x,..) zu einer symmetrischen bilinearen Abbildung eindeutig bestimmt ist, erffillen die durch (1) definierten ~(x) die Transformationsregel 1.5 und definieren damit nach dem in 2.2 Gesagten eindeutig eine stark-differenzierbare Zusammenhangsabbildung K:TTM >TM. Es bleibt zu zeigen, daS S der geod~tische Spray yon K ist, d.h. nach 4.4: KoS : oo~: KoS schreibt sich lokal mittels der obigen Trivialisierungen (x,v) I S >(x,v,v,f2(x,v)) I K )(x,f2(x,v)+~--r (~) (x,o), [293,S.71 2.1 woraus die gewfinschte Gleichung (und auch die eindeutige Bestimmtheit yon K durch S) folgt. (iii) Die Aussagen 4.4 und (ii) ergeben die Existenz einer kanonischen Bijektion zwischen der Menge der torsionsfreien Zusammenh~nge und der Menge der Sprays fflr M, lokal beschrieben durch (4) = 1 + bzgl. der durch die Trivialisierung (T6,~,U) induzierten Trivialisierungen. Ist K schwach-differenzierbarer Zusammenhang fflr~E--~M~so ist der durch 2.3 erkl~rte bijektive Morphismus (~,T~,K):TE >~r~(TM 9 E) stets noch Diffeomorphismus, denn lokal gilt mit den dortigen Bezeichnungen ~ • T~• ~(~,T~,K)oT~-I= (T~ , T ~ , K~) :~(U)~ ~ x ~ >~(U)~x(E~IM~ ~

(x ,~,y,~) w---> (x ,~ ,x,y,x,?+\'~(x) (y,~)),

-

52

-

und diese Abbildung besitzt die differenzierbare

Umkehrung

(x,~,x,y,x,w), >(x,~,y,w-V~(x)(y,~)). Damit l~Bt sich 4.4 auf alle schwach-differenzierbaren K:TTM

-->TM ausdehnen,

Zusammenh~nge

also sind Geog~%isehe und die Exponentialabbildung

auch fNr diese Wie gehabt definierbar.

Aus dem vorangegangenen

folgt welter, da5 ~ede r schwach-differenzierbare

torsionsfreie

Beweis Zusammen-

han$..K stark-differenzierba r i s t . (iv) Seien v , ~ Zusammenh~nge auf M. Die Abbildung D:~(M)• D(X,Y)r162162

lautet lokal

ist also als Tensorfeld,

>-~(M),D(X,Y)

:: ~Y-~TxY - ~.(p)(X~(p),Y~(p))

also als C~-Schnitt

4.7(i)). Da bekanntlich gilt

L2(TM;TM)

in L~(TM;TM)

= L~(TM;TM)

,

deutbar

(vgl.

@ L~(TM;TM)

, l~5t

sich D eindeutig als Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensorfeldes

schreiben

(zur Schreibweise vgl. V. Io):

D : D~+Da,Ds(U,V) :: 89 ) :: 89 Dabei gilt fHr die zu v,~ geh6rigen Torsionstensoren T,~: Da =

89

Die Zusammenh~nge ~ , ~ haben n~n genau dann dieselben Geod~tischen, gilt: D(v,v)=o fHr a l l e v ~ T M

(d.h. wenn D =o oder D=D S

wenn

erfHllt ist). a

Dies folgt, da auf Grund der obigen lokalen Darstellung fHr alle c eC~(I,M) die Gleichung D(~(t),~(t)) = ~Zc~It - ~ c ~ I t erf0llt ist. Auf Grund der obigen Darstellung yon D a folgt welter: Die Zusammenh~nge ~ , ~ stimmen Hberein, wenn sie dieselben Geod~tischen definieren und ihre Torsionstensoren ~bereinstimmen. dene Geod~tischenmengen. (v) Zusammenfassend auf M i s t

Je zwei Sprays definieren somit verschie-

gilt: Die Menge der kovarianten Differentiationen

ein affiner Unterraum des Raumes der ~-bilinearen Abbildungen

yon ~(M) in sich mit dem linearen Unterraum (M) : ~ ~ L 2 (TM ;TM)

2 (M) @ ~ 2 (M) als Richtungsraum, L a (TM ;TM) L s (TM ;TM)

X,Y~(M) wobei ~

eine beliebige,

auf M i s t .

d.h.

(TM;TM) aber fest gew~hlte kovariante Differentiation

Welter gilt:

Die M e n g e ~ d e r

Sprays auf M i s t

ein affiner Teilraum des ~-Vektorrau-

mes ~(TM); man pr~ft dazu: F~r alle Sprays SI,S 2 auf M und alle t6 gilt: toS 1 + (1-t).S 2 ist Spray auf M (der Richtungsraum wird von den vertikalen Feldern, die Th<(~ S v) = S~v erf~llen, gebildet). Die lokale Darstellung

(4) zeigt sofort: Die in 4.4 beschriebene Abbil-

dung v w--->S ist affine Surjektion.

Die zu einem Spray S gehSrigen ko-

varianten Differentiationen V bilden also ebenfalls einen affinen Unter-

-

33

-

raum mit Richtungsraum ~LO(TM;TMa )(M); eine aff~ne Bijektion auf den Richtungsraum wird durch ~!

~T

(: 2D a = ~ - ~ F o , ~ der torsionsfreie

sammenhang des Sprays S) gegeben.

Die zum Richtungsraum --s]ET2(TM;TM)(TM)

geh~rigen affinen Unterr~ume yon ~ werden unter "~, morph a u f ~ a b g e b i l d e t ; ~ 2La(TM;TM)

Zu-

sie sind die Urbildmengen

~S" affin iso-

in ~ der Punkte yon

(M) unter der affinen Surjektion ~---~T.

Damit ist die Struk-

tur yon ~ hinsichtlich der durch seine Elemente definierten Geod~tischen (und Torsionstensoren)

bestimmt.

Sprays sind wiederum nur "~quivalente"

Umdeutungen yon Zusammenh~ngen

zum Zwecke der Untersuchung yon Geod~tischen, oder nur schwach differenzierbare angesehen werden mGssen;

wobei nicht torsionsfreie

Zusammenh~nge als ungeschickt

sie k6nnen "symmetrisiert"

die dazugeh~rigen Geod~tischen

gegeben

werden, ohne da~

sich ~ndern.

5. Die Levi-Civita-Differentiation ~.1 Theore~

:

Sei (M,g) riemannsche Mannigfaltigkeit.

Es gibt genau einen Zusammen-

hang ~,K auf M, der riemannsch und torsionsfrei hang heist der Levi-Civita-Zusa~nenhan~

ist. Dieser Zusammen-

yon (H,g).

Bem.: Dieser Satz ben~tigt keine Partitionen der Eins, falls man die dayon unabh~ngigen Charakterisierungen zugrundelegt

yon riemannsch und torsionsfrei

(also die mittels Christoffelsymbolen

oder mittels der "NatHrlichkeit offene Teilmenge U von M i s t

oder mittels Kurven

hinsichtlich Einschr~nkungen":

K/T2~der Levi-Civita-Zusammenhang

FHr jede yon

(U,glu), vgl. 3.7, 3.8 und 4.7(i); die gesuchten ~r werden nur mittels der gr konstruiert

und bestimmen auf Grund der an sie gestellten Bedin-

gungen nicht nur V,

sondern stets auch das dazugeh~rige

K eindeutig).

Die in 5.1(I) benutzte Darstellung der kla~sische~ Definitionsgleichung m ~i 1 r~g~k ~gki ~gi~-~ ~i,j~k~_~m ~ glk'\ij = ~ ~xi + ~ ~x ~J der Christoffelsymbole

dieses Zusammenhangs

findet man auch bei Nevan-

linna [36~ im Falle endlicher Dimension und bei Haahti beliebiger Hilbertr~ume; ferenzierbare L ~ s u n g ~

[1~

im Falle

dort wird gezeigt, da~ sie eine einmal difbesitzt. Das Folgende zeigt, da~ die (nach dem

Satz yon Riesz punktweise eindeutig l~sbare)

Gleichung 5.1(1) eine

stark-differenzierbare LSsung ~ besitzt, so da~ die starke Differenzierbarkeit des Levi-Civita-Zusammenhangs auch folgt aus der starken Differenzierbarkeit

der ihn definierenden riemannschen Metrik

Ausnutzung yon 4.7(iii) aus seiner Torsionsfreiheit Differenzierbarkeit;

(statt durch

und seiner schwachen

man beachte, da~ nach dem in 4.7(iii) Gesagten,

-

34

-

schwach-differenzierbare riemannsche Metriken, also Morphismen g:TM @ TM >Z, die faserweise die Topologie induzierende Skalarprodukte definieren, stets auch riemannsche Metriken in unserem Sinne definieren (stark differenzierbar sind). Bew.: Sei (~,U) Karte von M (Modell ~4) und g@ der Hauptteil von g bzgl. der Karte (~,U), d.h. f~r alle p e U gilt: gr :: g~Ir = gp~T~pi~T~pl~ L2(~),und dies ist ein mit der Topologie des Modelles vertr~gliches Skalarprodukt auf ~. Die Gleichung I (I) g~(p)(~(p)(u,v),w) : ~[Dg~(p:U.(V,W) + Dg~(p).v.(u,w)-og~(plW.(U,V ~ definiert eine stetige bilineare Abbildung~(_), L2(~;~), und die damit gegebene Abbildung ~ :~(U) ~ ~: , ~(p) > L 2 (~M;~), ~(p) ist C~: Bei der ersten Aussage handelt es sich um eine Anwendung des Inversen des durch gr fHr jedes r~ ~ gegebenen topologischen Isomorphismus von Lr-i(l~;l~) auf Lr(~M): b~Lr-l(~;l~) | >gr : : gr 7 im Falle r:3. Die zweite Aussage folgt ebenfalls mit Hilfe dieser Isomorphismen aus den bekannten Kompositionsregeln fNr C~-Ab bildungen: Ist (..,..> yon der Wahl yon p eU unabh~ngiges Skalarprodukt f(ir ~, das die Topologie yon ~ induziert und bezeichnet b die rechte . r Seite der oblgen Deflnltionsgleichung (I), so gibt es C~-Funktionen ~(p) i A) A~(p)g L(~;LM),~(p) ; B > B ~ ( p ) ~ L2(~;~) mit g~(p) = 9

=
.

....> bzw. be(p) =KBr

topologischer ~(p) I > (Ar

. Ar

Isomorphismus, weshalb auch die Funktionen )-I und ~(p) I ~: (A~(p))-loBr C~~

ist stets sind.

Die letzte Funktion ist aber gerade unser ~ , da g~(p)((A~(p) ( ..... ),..) : 4B~(p)( ..... ),..~ : b~(p) gilt.

)'-loB~(p)

Wir untersuchen jetzt das Transformationsverhalten der ~(p): Sei (~,V) weitere Karte von M und p~UnV. Wegen gqp(p) : g~((~o~,-1)(qp(p))).(D(~o~p-l)~(p)(...),D(~o~-l)w(p)(...)) folgt Dg~(p) : Dg~(p)OD(~o~-1)~(p)(...).(D(~o-1)~(p)(...),D(~o~1)~(p)(...))+ + g~(p)(D2(~o~-l)~(p)( .... ...),D(~o~l)~(p)(...)) + g~(p) (D(~o: I gilt

)~(p) ( ... ),D2(~o~ -1 )3~(p)(...,...)),

g~p)(~p)(U',V'),w')

+ d.h. fHr alle u' ,v',w'

= g:(p)(D(~o~-l)~(p)~

(unter Verwendung yon u:=D(~o'~-1)~p).U',V::

D ( ~ o ~ 1)~(p)v. '

w~) --

-

: ~[Dgr

35

-

+ gr

+

+ g~(p)(V,D2(~o~l)~(p).(u',w')) + Dgr

+ g~(p)(D2(r

)~,(p).( u'

,v'),w)

+

gr162

-

- gr162

-

+

- Dgr

-1

+

- gr162 +

gr

:

: also

gr =

folgt

+

d.h. die V~ genfigen der Transformationsregel 1.5 (beachte: T~F : D ( ~ ~ da E=TM) und definieren deshalb dutch Kr 3 ~ ~(U)~, (x,~,y,~) I ~ (x,~ +~(x)(y,~)) genau einen globalen Zusammenhang K:TTM ~ TM mit diesen lokalen Darstellungen. Da die ~ ( p ) nach 5.1(1) alle symmetrisch sind, ist dieser Zusammenhang torsionsfrei; er ist auch riemannsch, da aus der GGltigkeit von 5.1(1) fGr die ~ ( p ) sofort die G~itigkeit von 3.8(4) fflr die ~ ( p ) folgt. Zur Eindeutigkeit: Sei K' ein weiterer riemannscher und torsionsfreier Zusammenhang auf M und ~r das Christoffelsymbol von K' bzgl. der Trivialisierung (T~,~,U): Aus 3.8(4) und 4.7(i) folgt: 1

[Dgr

+

Dgr

1[g #(p) (V~(p) (u,v),w)~ gr

: 7

- Dg~(p).W.(U,V~

(V~(p) (U,W),V)

+

:

gr

V~ p)(V,U),W)

+

!

! ,

=

!

= g~(p)(~(p)(u,v),w),

d.h. die Bedingungen "riemannsch" und "torsions-

frei" implizieren, da~ ~ , ) ebenfalls der Definitionsgleichung (1) gel ~[P V~ =Vr , also K = K' folgt. Q.E.D.

nGgen mu~, weshalb

[5.2 Bemerkun~ : I [Xg(Y,Z) + Yg(Z,X)

Zg(X,Y) + g(Z,[X,Y]) + g(Y,[Z,X]) - g(X,[Y,ZU

lautet lokal

1 [ Dg~(p) - X~(p) 9 ( Y~(p) ,Z ~(p ~+Dg#(p) "Y~(p)'(Xr ng]~(p)'Z~(p)'(Xr162 und dies

ist

+ gr162

f~r den Levi-Civita-Zusammenhang ~ v o n

gO(p) (V'C(p)(•162

~'Zq~[,))

§ DYr

g gleich

,zr

-

d.h. die Definitionsgleichung (2)

1 = ~EXg(Y,Z)

K(~xY,Z)

Die dazugeh~rige Variablen

-

(1) d e r ~

schreibt

zeigt, daS die rechte Seite bzgl. der

in L(TM) aufgefa~t

werden kann und daS ~X Y ge-

rade das zu diesem Schnitt geh~rige Vektorfeld das nichtentartete

sich global

+ Yg(X,Z)-ZK(X,Y)+K([X,Y],Z)+g([Z,X3,Y)-K([Y,~,X~

lokale Gleichung

Z als Schnltt

36

bilineare

Tensorfeld

X I

In Verallgemeinerung

yon (2) gilt fHr beliebige Morphismen

X,/~y,ze~( )

g (~xTf "Y, Tf'Z)

- Zg(Tf.X,Tf.Y)

(vgl.

bzgl.

[ 2 ~ , VII,

= I[XK(Tf.Y,Tf.Z)

+ g(Tf.Z,Tf.[X,Y])+

Obiges ~ e r f H l l t insbesondere

Lc]~,~

g(Tf.X,Tf.[Y,Z]~

Zusammensetzung

Parallelverschiebung gc(6,~)

zur Bo~enl~nse

t "-.- ~ogc(t)(e(t),~(t)~/2dt

.

von 3.8(2)

8.1(6).

von v besagt dies speziell

yon c ist proportional

f:N w > (M,g):

+ Yg(Tf-Z,Tf-X)

alle frHheren Aussagen Hber kovariante

ist die dazugeh~rige

die Geod~tischen Parameter

Strukturgleichung

yon

w 5).

g(Tf.Y,Tf.[Z,X~-

Dies folgt wegen T = o sofort durch geeignete und der Cartanschen

der durch

Identifizierung

~(M) mit ~L(TM)(M):

(3)

~ g(X,..)

auf M i s t

g gegebenen

Differentiationen, isometrisch.

= konst

FGr

, d.h. de__~r

von c:

: gc(o)(~(o) , ~(o~1/2t 9

: [I~ (o)Ilc (t)

t,

und dies besagt: Ist v e T M Anfangswert der Geod~tischen c, also ~(o) = v, so existiert diese wenigstens bis zur L~nge von v: ~vl(= g(v,v) I/2 F~r die natHrlichen

Karten

(r

g~(p) als weiteres 4.2 Bem.

Merkmal

des Levi-Civita-Zusammenhangs :

gp und

\~(p)

ihrer "NatHrlichkeit"

(Zur ersten Gleichung

(v), die zweite folgt aus 4.1 Bem., wegen

(~oc)" ~ o, da damit fHr alle V g M p

folgt:

also auch fflr jeden anderen Zusammenhang sionsfreien

Zusammenh~nge

Sprachgebrauch

die Invarianz

Abbildungeni~d.s.

(auch bei unendlicher jektiv und spaltend.

Dimension)

Sei

Mannigfaltigkeit

(M,g) riemannsche

~(p)(V,V)

vgl.

= t.~(o),

also

= o, erstere gilt

auf M, letztere

von 3.9 (ii) Ti isometrisch

kann angenommen werden:

r

fHr alle tor-

auf M).

Der folgende Satz beschreibt tion unter isometrischen

gilt

: o

der Levi-Civita-DifferentiaAbbildungen,

stets Immersionen,

i Inklusion,

bei denen nach

ist. Solche Abbildungen

und i:~ also McM).

>M

sind

d.h. Ti ist stets inImmersion

Sei ~p:Mi(p)

(o.B.d.A. >Mi(p)

die Orthogonalprojektion auf Ti(M p) bzgl. gi(p),p~M. Ist veMi(p) , so heist v T := ~ (v) bzw. v~:= V - ~ p ( V ) die tansentiale bzw. ortho~onale KomP ponente von v (bzgl. i,g). Nach

[29], S. 45

und Chap. Vii gilt:

so TM als UnterbHndel

o

yon i*TM auffa~bar.

> TM (~;Ti) TM. i*TM ist exakt, alSei iWg die auf iWTM dutch g

-

57

-

und i induzierte riemannsche Metrik. FGr die HilbertbHndel

T~ und i~TM

Hber M folgt damit: Es existiert ein zu T~ orthogonales BHndel TM ~ in i~TM mit TM ~ T~ z : i~TM, das sogenannte NormalenbHndel

yon TM bz~l.

i;5

(die obige Sequenz spaltet also), und die eben definierten Orthogonalprojektionen ~p lassen sich zu einem C~-Schnitt zusammensetzen

(vgl.

~:~

[29], S. lo4/5; es handelt

deutung des dort (bzgl. i'g) angegebenen in einen C~-Schnitt).

y L(i*TM;iWTM)

sich um die Hbliche Um-

VektorraumbHndelmorphismus

Diese Zerlegung von i~TM induziert

h

eine entspre-

chende Zerlegung des dazu geh~rigen Schnittraumes ~iWTM(M): ~i~TM(~) : ~(M) ~ ~ T ~ ( M ) , dargestellt durch X = (u-#.X,(id - ~ - X ) . Verm~ge der Identifizierung ~i,TM(M) = ~(i) aus w 3 Einleitung deuten wir das bisher 0esagte jetzt fHr Vektorfelder in TM l~ngs i: Der C~-Schnitt ~ i{L(TM;TM)

in L(i*TM;i*TM)

= L(i*TM;i~TM)

induziert auf Grund der Identifizierung

sofort einen C~-Schnitt~:M

> L(TM;TM)

l~ngs i:p | >u~p. Damit ist jedes Vektorfeld Xe-~(i) zerlegbar in seine tangentiale und seine orthogonale Komponente (bzgl. i,g): X r := ~.X, X ~ :: X- ~ u n d Summanden:

wir erhalten die folgende Zerlegung von ~(i)

in direkte

X (i ) : ~( i )~ 9 ~(i )~ , X : (~ X,(id - ~)-X). Die Abbildung Y ~M(M) I kation ~i~TM(M)

> Ti.Ye3[(i~

ist Einschr~nkung

:~6(i) a~f ~(~), also ebenfalls

Isomorphismus,

dere gibt es damit zu jedem tangentialen Vektorfeld zu jedem obigen X r - genau ein Vektorfeld Y ~ ( M ) Ist f : N (id - ~ ) . X

> M Morphismus und Xe ~(iof),

der Identifiinsbeson-

Z l~ngs i -also

mit Ti.Y = Z.

so sind ~.X := (Wof).X und

:= X - (~of).X ebenfalls in ~(i~f),

so da6 auch dieser

Raum eine Zerlegung in die direkten Summanden der tangentialen bzw. orthogonalen Vektorfelder l~ngs i~f gestattet: ~(i~ : ~(iof) T @ ~(iof) ~. ~.5 Satzl: Sei zus~tzlich zu dem bereits Gegebenen noch eine riemannsche Metrik auf M gegeben und i:(M,g) i~g=~; Spezialfall:

~(M,g)

isometrische Abbildung

i isometrische Einbettung,

Untermannigfaltigkeit

von (M,g)).

also

(also

(M,~) riemannsche

Seien ~,@ bzw. ~,~ bzgl. ~,M wie in

w 4, f:N > M Morphismus und ~,K die Levi-Civita-Zusammenh~nge (~,~), (M,g). Beh.: ~ Tio~(b) b(TT~

: (KoTTi(b)) TM

Bem.: FHr die dazugehSrigen fHr alle X & ~ ( N ) , Y ~ ( f ) :

(~)

(~)

kovarianten Differentiationen

~i.~x~ : (~x~i.~)~(io~)

also l[ngs C~-Kurven c:I

von

>M fHr alle X6~(c):

,

lautet

(1)

-

(3)

Ti.~X

58

-

= ~ZiocTi. X)T

Aus (3) folgt: Ist Ti.X bzw. ioc paralleles Vektorfeld bzw. Geod~tische bzgl.

(M,g), so aueh X bzw. c bzgl. (M,g). Ist Ti

for alle p @ ~ surjekP tiv, also topologischer Isomorphismus, so gilt aueh die umgekehrte Richtung dieser Behauptung (die Parallelverschiebung kommutiert mit lokalen Isometrien TioPcl[o,t].v : Pioc[ ~ , t f Ti'v' und es gilt: ioexp~ : exPMoTi ~ und wit haben das folgende kommutative Diagramm TTi

TTM

>TTM

TM

~ TM

(dies folgt auch aus 3.9(ii), da es in diesem Fall fGr alle p6M eine Umgebung U yon p gibt, so dab i/U Diffeomorphismus auf eine offene Menge V yon M i s t ,

der in beide Richtungen isometrisch ist, so da5

also durch K' := Ti,KoTTi

--I

ein riemannscher und torsionsfreier Zusam-

menhang auf (V,giv)Ndefiniert wird, der nach 5.1 mit K/TTV 8bereinstimmen mu6, woraus Ti,K = KoTTi auf TTU, also auf TTM folgt). Bew.: Da i Immersion ist, gibt es zu p : = ~ o ~ ( b ) ~ Karten (~,U),(~,V) um p bzw. i(p) yon M bzw. M mit Modell ~ bzw. ~, so dab ~ topologischdirekter Summand v o n ~ ist und voi-~ -I Einschr~nkung der Inklusion j ~ ~ > ~ . Da i isometrisch ist, gilt auBerdem: ~(q):~ g~ritq~Ojxj~ ~ ~, f~r alle q~U,i-l(V). Die linke Seite yon (I) lautet trivialisiert (bzgl. TT~,T~,(x~,y,~) :: TT~(b),~:~(p)):

(x,~ + ~(x)(y,~)), fGr die rechte ergibt sich wegen

TT~oTTi~

= TT(~i~162 -1)(x,~,y,~) ~9

(u162162

=

(x,~,y,~) folgender Ausdruck (wobei die Pro~ektion ~ = ~ noch nicht berGcksichtigt worden ist):

(x,~ + W(x)(y,g)). Die Projektion w q fst lokalisiert for obige q durch die Orthogonalprojektion ~(q): M > ~ auf ~ bzgl. g ~ i ( q ) ) gegeben. Da ~ , y , ~ e ~ , bleibt somit zu zeigen

ES gilt f~r alle u e ~ :

g~(x(~(p)(y,~),u) 1

~

§

ID ~[ g~lx'~(~, ~)

D~ +

5~I -

Dg~x'~Y,U)

-

D g ~ x.u- ( Y , ~

-

59

-

(da es sich um Richtungsableitungen der Funktionen g~x(~,u) : g~x(~,u),.. in Richtung y,... handelt) : : also gilt fGr alle u6~: ~[x(~(p)(y,~)

-tOe(p). [~(i(p))(y,~),u) : o, woraus (.) folgt.

15.4 Anmerkun~en} : (i) Mit der Existenz des Levi-Civita-Zusammenhangs K auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit

(M,g) haben wir nach 4.4 auch die Existenz eines

kanonischen Sprays auf (M,g). Dieser Spray stimmt mit dem in Lang [29], S. Io9 beschriebenen "Geod~tischen Spray von g" Hberein (so dab also nach 4.7(ii) der Levi-Civlta-Zusammenhang auch 0ber diesen Spray h~tte gewonnen werden kSnnen). Bew.: Nach 4.7(ii) ist zu zeigen, dab f~r die charakteristischen Teile f 2 '_~ des Langschen Sprays bzw. des Levi-Civita-Zusammenhangs yon (M,g) bzgl. Trivialisierungen vom Typ (T~,~,U),(TT~,T~,TU) von TM bzw. TTM die Gleichung f2(x,v) = - ~(x)(v,v)

erf~llt ist.

Die in Lang, S. 111 gebrachte Bestimmungsgleichung f0r x schreibt sich in unserer Schreibweise: I gr : D ~ I x . Y - ( V , V ) - Dg~Ix.V.(v,y) - ~ mg~ix.Y.(V,V) :

-7

§

-D

1

Y(v,v)

:

woraus durch Vergleich mit 5.1(1) die Behauptung folgt. (ii) In Verallgemeinerung von 5.1 gilt: Ist T schiefsymmetrisches Tensorfeld in LR(TM;TM)

: T~ o (M), so gibt es genau einen riemannL ] (TM;TM) schen Zusammenhang K auf (M,g), der T als Torsionstensor besitzt. Der Beweis hierzu verl[uft analog zu 5.1, indem man zur rechten Seite yon 5.1(I) den Term 1 ~[g~(p)(W,T~(p)(U,V)) + g~(p)(v,Tr

- gr162

hinzufGgt (wobei der Hauptteil T6(p)~. von T wie bei gr Tr

:: Tr162

in 5.1 durch

: T C p o T p o T ~ , T ~ p I gegeben ist).

Ist K der Levi-Civita-Zusammenhang von (M,g), so folgt f~r die zu K,~ gehSrigen kovarianten Differentiationen aus dem Vergleich der Definitionsgleichungen ~er

~,~

g(VxY,Z) : g(~xY,Z) +

sofort: 1 g[g(Z,T(X,Y))

+ g(Y,T(Z,X)) - g(X,T(Y,Z))

f~r alle X,Y,Z e~(M), sowie allgemeiner f0r alle Vektorfelder Y,Z ~X(f) l~ngs Morphismen f:N -->M und alle X ~ ( N ) :

-

g(VxY,Z) = g ( ~ Y , Z )

4o

-

+ i[g(Z,T(Tf.X,y))

+

g(Y,T(Z,Tf~

Einsetzung yon 5.2 (2) bzw. 5.2 (3) in den ersten der rechts stehenden Summanden liefert zu 5.2 (2) bzw. 5.2 (3) analoge globale (Definitions-) Gleichungen f~r ~7xY. (iii) Seien ~Z,~ zu T , ~

^ (M) g e m ~ L~(TM;TM)

(ii) gegeben. In Verallgemei-

nerung des am SchluS von (ii) Festgestellten gilt mit den dortigen Argumenten (~)

g(TxY,Z) = g(~xY,Z) + 89

+ g(Y,(T-~)(Z,Tf-X))

-

- g (Tf- ~(T-~) (Y, Z) ~ fHr alle Morphismen f:N ---~M und alle X ~ ( N ) , Y , Z ~ ( f ) . FHr Cm-Kurven f=c:I --->M und Z ~ ( c )

ergibt sich daraus speziell:

+ ~l[ge( z (T-~)(~,~))+gc(~,(T-~)(Z,~))-gc(~(T-~)(~,Z)~

gc(~Zce,Z)=gc(~ZcS,Z)

= gc(~ZcS,Z) + gc(5,(T-~)(Z,~)), woraus folgt, daS ~,~ genau dann dieselben Geod~tischen definieren, falls die 3-Form g(..,(T-T)(..,..))E~L 3 (M), sogar Schnitt in L (M) (TM) ist. Ist dies erf~llt, so gilt nach (~) ~ X Y = VxY + (T-~)(X,Y). (iv) Durch Auswertung yon (ii) und (iii) folgt: Die Menge der riemannschen Zusammenh[nge einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) ist ein affiner Unterraum ~ d e s in 4.7(iv) betrachteten affinen Raumes ~ aller Zusammenh~nge auf M. F~r die in 4.7(iv) betrachtete affine Abbildung ~:~>~

L~(TM;TM)

(M) @)(L

2(TM;TM)

(M),~I

>V-V o = m

a

+ D

s

S

gilt bzgl. der Levi-Civita-Differentiation

IZ~ von (M,g): 1

L ~ (TM;TM) Bijektion. Die auf den Torsionstensoren, ~quivalenzrelation

R~

also auf ~ o

L[ (TM;TM)

(M) erkl~rte

"T~~ :<-~-> g(..,(T-T)( ..... )) = 2g(..,(Da-~a)( ..... )' ist Schnitt in L~(TM)"

ist mit der Vektorraumstruktur von ~ 9 (M) vests[g' L ~ (TM;TM) lich, und die dadurch bestimmte Zerlegung yon ~ in affine Unterr[ume (der Richtungsraum ist die Restklasse der o!) stimmt mit der aus 4.7(v), also der Zerlegung in die affinen Unterr~ume yon ~, auf denen V ~ - - ~ S konstant ist, ~berein (obiges D s ist durch D a stets eindeutig bestimmt und genau auf jedem dieser Unterr[ume konstant). Die Elemente D:Da+D s des Richtungsraumes v o n ~ sind genau die Schnitte in L2(TM;TM), die der Gleichung g(D(u,v),w) : - g(D(u,w),v) gen~gen.

-

41

-

(v) Seien i:M ~ M,g,~,V,~ wie in 5.5, X ~ ( i ) und bezeichne TX&X(~) das nach dortigem zu X-raY(i) geh6rige Vektorfeld auf M (die zurHckgeholte Tangentialkomponente von X: Ti-TX = XT, I X ~) = rX), f0r alle Y@~(~) gilt: ~(~X,Y) = g(X,Ti-Y)). Die Abbildung

(I)

s:~(~)~(i) ~ ---~(~), S(X,N) :: ~r

lautet n a c h w 5 Einleitung und 5.5 Beweis lokal (bzgl. der in 5.5 gew~hlten Karten wegen ~(q)-N~(q) = o): S(X,N)~(q) : be~(q)(DNr162

+ ~(i(q))(Xr

= -D~(q)(X~(q))N~(q))

+cO~(q)-<(i(q))(X~(q),Nr

Es folgt, dab S als C~-Schnitt in L(TM,TM~;TM) aufgefaSt werden kann. Der zweite Fundamentaltensor S N und die zweite Fundamentalform ~N bzgl. einem Normalenfeld N l~ngs i: (2) ~ SNX :: S(X,N),~N(X,Y) :: [(SNX,Y) X,Y ~ ( ~ ) sind damit ebenfalls C~-Schnitte -in L(TM;T~) bzw. L2(T~,T~). Letzterer ist sogar C~-Schnitt in L2(TM;TM) (d.h. ersterer ist faserweise selbstS adjungiert bzgl. ~). Die Symmetrie yon ~N folgt dabei aus: 3f

~(SNX'Y) : g(VxN'Ti'Y) -g(N,~Ti-X+Ti.[X,Y])

~I Xg(N,Ti-Y) - g(N,~Ti-Y) = -g(N,~yTi-X)

~m~)

~'(~ g(~TyN,Ti-X) = ~(SNY,X).

In 5.5 wurde gezeigt: T i . % Y = (~xTi-Y) r. Die letzte Rechnung ergibt fur den dabei ~e~gefallenen Normalteil ~(X,Y) := (VxTi.Y)&e~(i~ (die zweite Fundamentalform yon M bz~l. i) die Beziehung (5) g(N,~(X,Y)) = - @N(X,Y) f~r alle N ~ ( i ) ~. Nach w 3 Einleitung gilt mit den in 5.3 gebrauchten Karten (vgl. die dortigen Ergebnisse): (~xTi-Y)~(p) = D(Ti.Y)~(p).X~(p) § %(p)(Ti-X)~(p),(Ti-Y)~(p)) : DYr (VxTi-Y)~(p) : DYr (VxTi . y ~) r

+ ~(p)(X~(p),Y~(p))

und

+~(p)'~(p)(X~(p),Y~(p)),

= (id-~@(p) ) ' ~ ( p) ( X(~Z~(p ),Yr

).

ist also ebenfalls als C~176 L2(TM;TM~) - auffa~bar. ZusammenS fassend gelten also die folgenden Gleichungen zwischen den kovarianten Differentiationen v,V yon (M,g) bzw. (M,g): (4) Ti-gxY + ~(X,Y) = VxTi-Y und (5)

Ti.SNX § (VxN) ~ : VxN

-

42

-

Wir bemerken erg~nzend, da~ ( T y N ~ eine kovariante Differentiation f~r das B~ndel TM ~ Qber M definiert (beachte: ~(i) • : ~ T ~ ( M ) ), die (~ZxN)~ N fur alle N ~ ( i ) ~ mit g(N,N) ~ I erfGllt (2g(VxN,N) : Xg(N,N) m o!) und riemannsch bzgl. der durch g induzierten Metrik ist. Sei M jetzt speziell riemannsche Untermannigfaltigkeit von (M,g), i also zus~tzlich Inklusion und Einbettung (also auch Ti; das folgende l~St sich jedoch fGr den allgemeinen Fall unter Einf~gung yon i,Ti ebenso formulieren~ Nach 5.3 gilt: Jede C~-Kurve auf M, die Geod~tische yon (M,g) -also des Levi-Civlta-Zusammenhanges yon (M,g)- ist, ist aucb Geod~tische von (~,~); beachte: im Falle won Einbettungen i i s t jede C~-Kurve c auf M mit Bild c c M bereits C~-Kurve auf M. heiBt total-se0d~tische Untermannisfalti~keit von (M,g), wenn alle Geod~tischen von (M,g) auch Geod~tische yon (M,g) sind (oder ~quivalent: wenn alle Geod~tischen c yon (M,~), die fur ein t ihres Definitionsbereiches c ( t ) ~ M und 6(t)s M c ( t ) C M c ( t ) finieren).

erfHllen, lokal eine Kurve auf M de-

FGr total-geod~tische Untermannigfaltigkeiten gilt also (mit naheliegenden Bezeichnungsweisen, vgl. w 4): exp = exp/TM = exp/TM,TM. Jede offene Untermannigfaltigkeit U yon M i s t als riemannsche Untermannigfaltigkeit von (M,g) total-geod~tisch. L~ngs Kurven c:I > M gilt (auch bzgl. beliebiger isometrischer Abbildungen z und l~ngs beliebiger Morphismen f:N ~ > ~ ) f~r alle N ~ ( i ~ und alle Y ~ ( c )

analog zu dem bei (2) AusgefHhrten folgende Rechnung:

gioc(t)(ViocTi'~t'Nc(t) ) :~gioc(t)(Ti'Y~,XZcN~

(S)~'~

-gc(t)(Yt,SN(~(t))) = -~N(Yt,6(t)) = ~ioc(t)(Nc(t),~(Yt,L(t)))~ so da6 also der Normalteil (~ZiocTi.Y)~ v o n ~ i o c T i - Y genau dann stets verschwindet (also Tio~cY =~Z~ocTi.Y gilt), wenn @:o g~It (oder alle ~N oder alle S N verschwinden). Damit folgt: totalgeod~tisch in (M,g)E~-----~ Die zweite Fundamentalform ~ von M bzgl. M verschwindet ~---:'z Die durch (M,g) definierte Parallelverschiebung von Tangentialvektoren aus T M c T M l~ngs Kurven c:l ~ M c M stimmt mit der dutch ~ auf M gegebenen Gberein: P~cI~,~.v = Pcl~,t]'v fGr alle V~Mc(o). Auf solchen Untermannigfaltigkeiten M gilt au~erdem: Die nach 6.4 durch g,g auf M,M definierten Metriken d,d stimmen auf M lokal ~berein ( auf Grund der Beziehung i~g = ~ gilt bereits schon fGr alle p,q gM: d(p,q) g d(p,q)). Dies folgt sofort mit Hilfe der in w 7 definierten konvexen B~lle, vgl. [2o], Prop. 14.~.

-

43

-

6. Das Gau~-Lemma. Folgerungen Sei (M,g) riemannsche Mannigfaltigkeit und ~F,K der Levi-Civita-Zusammenhang von (M,g). Sei p ~M und exp p :Mo ~ M die Exponentialabbildung von xy, also Texpp:~p~M P >TM. Die Metrik gp yon M D induziert eine kanonische riemannsche Metrik gP auf M ." gP:Mp >L : Mp~L2(Mp), v ~. ~ (V,gp) :: gv" Sei [a,b] kompaktes Intervall in ~ und c: [a,bU . >M C~-Kurve in M. Lcl[tl,t2] :=~agc(t)(~(t),~( t);/~dt ; Lc:= Lcl[a,b] I hei8t L~nge yon c zwischen tl,t2e[a,b],tl~ t 2. Die L~nge ist invariant unter Parametertransformationen mittels monotoner C~-Funktionen T: Lc~

[tl,t2]

:

.

[6.1 Lemma I : (Gau6) FUr alle v~ Mo,W~Mp gilt gPv((V,V),(v,w)) : gp(v,w) = gexpp(v)(Texpp(V)'V'Texpp(V)'W)' d.h. eXpp:(~,gP) > (M,g) ist "radial isometrisch" (die Komoonente eines Tangentenvektors an ~ in v in Richtung eines yon v ausgehenden P Strahls durch v wird dutch Texp o l~ngentreu abgebildet. Bew.: Sei o.B.d.A, v,w ~ o angenommen und a := IIVtfp/[lwt[ o. Da v ~ M o und offen und sternfSrmig bzgl. o in M ist, gibt es ein ~>o, so da5 P P ~:[o,1]•163 -->Mo' ~(t,~) := t.(cos~.v+a, sin~.w), also auch c := eXppo~ :~o,1]x(-s >M, wohldefiniert ist. Fall I: gp(V,W) = o.Mit den in V.11 festgelegten Bezeichnungen f0r partielle Ableitungen gilt dann fgr die L~nge der Oeod~tischen c~ auf Grund der Wahl von a fGr alle ~&(-~,+g):

I

~c

~c

Lc~ = 3ogc(t ,~)(~-~(t ,~),~-~(t ,~) ~&dt

gc(o,~)(~ (~

~-II~-K(o,~)II

~W o,~)

0 ~B-~d ~ogc(t,~)l (~(t,~),~-K(t,~) :

(~c,

~c

2gc (o,~) ;~to,~) ,~-~(o,~)

~c

p

-~Vllp, also gilt

dt : Io~[gc(t,~)

,~(t,~)

)~/~~o~(gc(t,~) (~(t ,~) ,~-K(t,~<)))dt ,x y ~ ( t

,~) )dt

c~ ~'~ ~i-V~p "1

(~

i ~c ,~))dt Iogc( t ,~) _(~(t ,~) , Vt~-~(t

"~'~: I1% 1 "~0(~~" tg cr :

'

~c ,~<)~dt ,~) (~(t,~<),~(t,~))-gc (t,~)(Vt~(t '~),~(t

Io~t (gc (t ,~) (~W (t '~) ,

-

, ~ ( o

,

-

44

-

~c ~c also folgt gc(i,~)(~-6-(l,~),~(l,~))-o. Da aber nun c(1,o) = eXpp(V) und ~t~C(l",o) = Texpp(V).V und ~c ~-~(I,o) = Texpp(V). (aw) gilt, folgt gexp_(v)(Texpp(v).v,Texpp(v).(aw)) p also die Behauptung im betrachteten Fall. Fall 2: w=v (und damit auch w= konsfi.v): gexpp(v)(Texpp(V).v,Texpp(v).w) ~c

9 .o.

= o,

) c

= gc(l,o)(~(1,o),/-~(l,o))

~c

~ gc(o,o) (~-@(o,o) ,~@(o,o) ) = gp(v,v). Fall 5: Ist w ~M

P

beliebig,

so l~6t sich w folgenderma6en

darstellen:

w = vl+v2, v I = konst-v, v 2 ~ Qv~• , so dab also der allgemeine Fall auf die F~lle 1,2 reduziert werden kann. q.e.d. I~.'2 Satz I : (Vergleichssatz ff~r L~ngen) Sei I :: [a,b], ~,d~C~(I,Mp), mit ~(t) : b-'a "v't-a ~(a):~(a):oo, d(b):~(b):v c : eXppoS, d : exp od e C~(I,M) und ~(P) wie in ~.6. Beh.: L c ~- L d. Bild c # Bild d A~Vllp<~(p) ~ L c < Ld . Bew.: Es gen~gt, I = [o,1] zu betrachten. Da eine Kurve der L~nge o stets Punktkurve ist, k~nnen wit welter o.B.d.A, annehmen: v~op und d(t)~Op f~r alle tG~O,~] (indem man ~ geeignet "verkflrzt"). In (o,I] gilt dann mit a'(t) und u(t) :: ~'(t) - gp(~'(t),r(t)).r(t), also r(t) := ll~(t)II gp(U(t),r(t)) ~ o~ die folgende Absch~tzung: gd(t)(d(t)'d(t)) = gd(t)(Texpp(~(t))'di(t)'Texpp(d(t))~ = gd(t)(Texpp(d(t)). [gp(~'~t),r(t)).r(t) ~ gp(~/(t),r(t))2.gp(~(i~O)+ ->gp (~(t)'r(t))2 Es folgt

+ u(t)~ ,Texpp(d(t))-[ ....])

gd(t)(Texpp(d(t)).u(t),~-~)

= II~(tl)ll~"gp (~1(t)'~(t)) =[d~ gp(d(t)'d(t))~/a] 2

~ ~ )~/~dt ~Itgd(t)(~(t),~(t)~adt _> ~ d~-~-gp(d(t),d(t)

f~r alle t @ (o,1], also mittels Grenzwertbetrachtung Ld~ gp(~(t),~(t)) ~ 1OI- gp (v'v)~a : LC' womit die erste Behauptung gezeigt ist. Gilt nun L c = Ld, so folgt gd(t)(Texpp(d(t)).u(t),Texpp(~(t)).u(t)) = o auf [o,I] und Bild d CB~(p)(Op) (da sonst nach dem ersten Teil der Behauptung nach Voraussetzung Ld-~ ~(p) >IIV~p = L c (~) gelten wGrde, wie man durch Betrachtung einer geeigneten Teilkurve ~: [O,to-] > B~(p)(Op) einsieht). Da exp p /B ~ ( p )

( op)

Diffeomorphismus ~

(also ,Texp~(~(t)) --.~ ~ .

folgt u=o. Oaraus fol~t d ' ( t ) : g p ( d ' ( t ) , ~

.

) ~ ~

stets injektiv)

ist

auf (o,1], also

r'(t) = - $(,d(t)~l-3).2g (d'(t),d(t)).d'(t) +Plld(t)II-lod'(t) = o auf P v P ~ ~ v P 9 (o,1], also r(t) = ~v--~' ~VIlp also d(t) = |d(t)I(p "17-~" ~vl/p Nach der ~n (~) an-

,

45 gewandten Schlu5weise gilt welter <(t)

:: lld(t)llp 6[o,1~,

IlVllp'

(da Bildo< zusam~nenh~ngend und ~(o),~(1)=1): tion

~:[o,I]

also gilt~

~ [o,~ Surjek-

(die auf [o,I] vom Typ C ~ ist!). Damit gilt: ~ = ~o~ und d = co~,

also folgt die 2. Behauptung. ~ . 3 Bemerkungl : 1) Per Beweis von 6.2 zeigt genauer: dem eXpp keine monokonjugiertem

liegt v in einem ~-Ball um o , in

Punkte hat

(vgl. 6.77, so gilt L c = L d

gemau dann, wenn d = C o ~ = eXpp(~.v) mit einer monoton C~-Surjektion ~:[o,13

steigenden

> [o,I] erfHllt ist.

2) Mit Hilfe des letzten Satzes lassen sich die Geod~tischen der LeviCivita-Differentiation c e C~([a,b~,M) dingung

folgendermaSen

charakterisieren:

ist genau damn Geod~tische,

Eine Kurve

wenn sie die folgende Be-

(GI) erf0llt:

F0r alle t o~ [a,b] gi6t es ein nichtentartetes so dab fHr a',b'

(und damit fHr alle t I W t 2 e

inf [ L 5 / $ ~ C ~ ( [ a ',b'] ,M),~(a') und es ist gc(~,~) ist proportional

= konst

Intervall

[a',b~um

to,

[a',b']) gilt: Lcl~, b q =

= c(a'),~(b')

= c(b')~ ~

d(c(a'),c(b')),

(c ist lokal KHrzeste und der Parameter yon c

zur Bogenl~nge

3) 6.2 gilt in analoger Weise

von c).

(umd analogem Beweis)

fHr das sogenannte

Ener5ieintegral von Kurven c: [a,b] ---~M: ._ 1 ct~ Ecl~l,t ~ .- y.~tlgc(t)(5(t),5(t))dt ff~r alle t l , t 2 ~ [a,b] mit t1~ t 2. Die (G1) entsprechende Charakterisierung Hilfe des Energieintegrals

(G2) von Geod~tischen

lautet: Das Energieintegral

minimal und der Parameter von c ist proportional

c mit

von c ist lokal

zur Bogeml~nge yon c.

16..4 De finitio~ : Die riemannsche Metrik g auf M induziert d:M~M -. ~ p,q~M d(p,q)

folgenderma~en eine Metrik

auf (jeder Zusammenhangskomponente := inf({Lc/C e C ~ ( [ a , b ] , M ) ^ c ( a )

es sind also auf riemannsche Mannigfaltigkeiten Begriffe wie Abstand,

Beschr~nktheit,...

von) M:

: p,c(b)

= q}v(+~});

in kanonischer Weise

definiert.

mit der urspr~nglichen Topologie von M vertr~glich

Diese Metrik ist (vgl. [38], VI; die

Definition wird dort bzgl. beliebiger Finslermetriken

fur M gegeben).

Die B~lle in dieser Metrik bezeichnen wir mit

D (p) (:= FGr diese B~lle gilt

: ~

(wie bei allen normierten Vektorr~umen):

~/d(p,q)~}

, also ~d D~(p)

: {~ ~ / d ( p , q )

:

~}

(dies ist bei Metriken auf ~annigfaltigkeiten nicht selbstverst~ndlich, wie man z.B, mittels d:~• ~IR,~(p,q) := ~Ix-yl fHr I• 1 einf~r Ix-yl ~ 1 L 1 sieht: d induziert die nat(~rliche Topologie auf ~, hat abet nicht obige

-

Eigenschaft, falls

46

-

E:I).

Bew.: Da ~q ~ M / d ( p , q ) ~

stets abgeschlossen ist, bleibt fur die Me-

trik d einzusehen, da~ gilt: {q ~M/d(p,q)

= ~ c ~ .

Sei q ~ M mit

d(p,q) =s . FUr alle ~> o gibt es eine C~-Kurve c:[a,b] > M von p nach q mit L ~ s +~. Auf Grund der Stetigkeit von d:MxM > ~ gibt es c dazu t S ~ (a,b) mit d(p,c(tg) = ~ - ~ (fflr alle hinreichend kleinen ~). Damit folgt: c(t$)e Dc(p) und d(q,c(ts))AncI[t~,b]

= Lc-ncI[a,t~

E*%-

- d(p,c(~)' = 2~ , woraus die Behauptung ersichtlich ist. Wir wollen jetzt die Gflltigkeit der Gleichung Ds

= BE(D) zwischen den

obigen und den in 4.6 definierten r untersuchen und untersuchen dazu zun~chst die OUltigkeit der schon in 4.6 erw~hnten Oleichung: Ks :: eXpp(B~--~--~) ~ BE(p) :: e X p p ( B E ( O p ) ) . Auf Grund der Stetigkeit von expp gilt stets eXpp(Bs Bc-~-T, so da6 fur (I) noch "=" zu zeigen bleibt: Da M metrisierbar ist, ist M insinsbesondere regul~r (T3) , d.h. insbesondere gibt es elne Umgebung U(p) von p mit u - T ~ B g ( p ) ( p ) . Fflr hinreichend kleines ~ o liegt aber Bs stets ganz in U(D), so da5 fflr diese s gilt Bs Bg(D)(p) , woraus durch Ausnutzung der Stetigkeit yon expDIIB~(p)(D)~ die umgekehrte Inklusion folgt (vgl. hierzu und zu 6.5 auch die in Palais: Critical point theory and the minimax principle, Proc. Symp. Pure Math., Vol. XV, S. 2oi formulierte allgemeinere Aussage bzgl. beliebiger Karten (~,U) von regul~ren Banachmannigfaltigkeiten M). Bei endlicher Dimension folgt die GHltigkeit yon (I) f~]r alle s e(o,~(p)) -und sogar fur alle ~ o mit ~ ) c ~p- sofort aus der Kompaktheit von Bs also aus einem Argument, das in unserer allgemeineren Situation nicht mehr verfHgbar ist. Trotzdem dflrfte auch bei unendlicher Dimension (1) im Diffeomorphiebereich erff|llt sein, was im Folgenden vorausgesetzt wird (sonst mHSte man bei den folgenden Aussagen fiber die ~-B~lle Bs

& obigem entsprechend noch kleiner w~hlen).

16.5 Lemm~ : Sei ~ ~ (o,~(p)) und e:[a,b]

~ M

C~-Kurve mit e(a)=p und Bild e ~ B s

Dann gibt es t o ~(a,b~ mit e ( ~ , t o ) ) ~ B E ( P ) eXpp(Ss Bew.: Sei J := (t ~ [a,b]/e(t)~Bs

und e(t o)~ S&(D)

und t o := inf J. Es gilt t o > o

und toe J. Da per Konstruktion gilt e([a,to))CBs e ( t o ) G R d BE(p) = ~ = eXpp(Bs

- Bs

Bt(p)

::

~'

eXpp(B~--~)

folgt - eXpp(B~(op)) =

= S6(D).

Kor.: FUr obiges e gilt: L ~ s e

Bew.: Sei t o zue wie oben gew~hlt, v :: exp-1((e(to))p und

~:[a,t_]--->~_o_p

-

47

-

definiert durch eXpploe/[a,t~ o 6.2 ergibt dann angewandt auf diese Kurve 4: Lel[a,to] ~ ~Vnp = ~, also die Behauptung. FGr die B~lle B~(p) gilt nach 4.6 fHr alle E~(o,~(p)] : Jeder Punkt q ~ B~(p) := expp(B%(Op)) kann durch genau eine Geod~tische der Form c:[o,I]

%B~(p) mit p verbunden werden:

lautet c(t) = eXpp(t.exppi(q)); also B ~ ( p ) ~ D % ( p ) fHr alle ~

c(o)=p,c(1)=q.

Diese

nach 5.2 folgt somit L c = {lexppl(q)U,

(letzteres gilt in der Form e X p p ( B g ( O p ) ) ~ D ~ ( p )

sogar

o).

16.6 Sat~ : Sei g g (o,~(p)). Es gilt Bew.: Sei q g D t ( p )

Bs

= Ds

und e:[a,b]--@ M C'-Kurve von p nach q mit Le<s .

6.5 angewandt auf $'~ (Le ~) liefert, daS Bild e in B a , ( p ) ~ B E ( p ) muS, woraus insbesondere q = e ( b ) g B s folgt.

liegen

Kor.: Mit den in 4.6 benutzten Bezeichnungen lautet 6.6 auch: St(p) :: eXpp(S~(Op)) : ~ q ~ M / d ( p , q ) :g}, und dies besagt insbesondere, da~ die obige Geod~tische c, die die Punkte p,q GBg(p) verbindet und in Ba(p) verl~uft, global von minimaler L~nge ist: L c = d(p,q); sie ist einzige Geod~tische von p nach q dieser L~nge. Zusammenfassend folgt damit fGr die Umkehrung des Diffeomorphismus eXpp und die zu g gehSrige Finslerstruktur ~..li und Metrik d: ~eXpp1(q)~ = ll(%,exp)-l(p,q)ll = d(p,q) - "exp_ radial isometrisch"-f~r 2 ~.P alle q ~ D ~ ( p ) ( p ) , so da~ damit d vom Typ C ist auf der in 4.3 angegebenen Umgebung der Diagonalen yon MxM, auf der (~,exp) -I Diffeomorphismus ist. ~. 7 Anm~rkungenl : Ein Punkt V ~ M p heist monokonjugiert bzw. epikonjugiert(zu o ~ Mp), wenn Texpp(V) nicht injektiv bzw. nicht surjektiv ist, vgl. Grossman [16]. Nach [8] ist das Jacobifeld Y ~ ( c ) l~ngs einer Geod~tischen c~I] ~M,c(t) = eXpp(tV) zu den Anfangswerten u , W ~ M p (d.h. das Feld Y m i t ~ c Y + ( R . c ) - ( Y , ~ , ~ )

= o,Y o = u,XTcYlo = w, hinsichtlich R vgl.

8. I) durch (i) Yt = Texp~ = Texpo(~,~r,K)-l(tv,u,o)

+ Texpp(tV).tw

gegeben (und Geod~tische bzgl. K T aus 8.3), wie man mit Hilfe yon Variationen von c erkennt. Das Jacobifeld Y l~ngs c mit den Anfangswerten o,w erh~lt man mittels der Variation V(t,~)

:= exp(tv+~w) yon c folgen-

derma~en : Yt = TRV(t2~ Die mit d~zsen speziellen Jacobifeldern konstruierte Abbildung

-

(2)

48-

w :VYloeMp

stimmt auf Grund von

I

> Yle Mc(1)

(1) mit der Abbildung Texpp(V) Gberein,

ist also

linear und stetig. Es folgt: v ist genau dann mono- bzw. epikonjugiert, wenn es ein Jacobifeld Y ~ o l~ngs c m i t bzw. wenn es ein ~ g M c ( 1 )

Yo = o m M p

und Y1 = o @Mc(1)

und kein Jacobifeld Y mit Yo = ~

Wie bei endlicher Dimension folgt nun (bei Einschr~nkung

= ~ gibt.

auf monokon-

jugierte Punkte in der zweiten Behauptung!): (3)

Sei c die obige Geod~tische,

brochene)

V:[o,1]•

Variation yon c - d.h. V(..,o)

--->M eigentliche

(ge-

= c,V(o,..) ~ c(o) und

V(I,..) _----c(I) -

und bezeichne V := V(..,s) die dutch V gegebene s Nachbarkurve yon c zum Parameterwert s @~,-~). Beh.:

c hat keine konjugierten

Isomorphismus

Punk~e

fHr alle t e [ o , l ] ) ~ LV > Lc = LV

s e (-~,+6) entweder

s

oder V s = V o o~

Surjektion ~ gilt

c hat einen monokonjugierten

nicht injektiv)

>Es

V : [ o , ~ • (-~,+s

>M

s ~(-~,o) v (o,+s f~r beliebige

g@(o,~,

ist topologischer so dab fGr jedes

mit einer

(st0ckwei-

o

se) differenzierbaren monotonen (4)

(d.h. Texpp(tV) Es gibt

(vgl. 6.2).

Pun~t t l e (o,I) (d.h. Texpp(tlv)

ist

gibt eine eigentliche gebrochene Variation von c, so dab

erfGllt ist.

Intervalle

L V s < LVo = L c f~r alle

Diese S~tze lassen sieh natGrlich

[a,b] anstelle yon

felder sind -als Geod~tische-

invariant

[o,1] formulieren

auch

(Jacobi-

unter linearen Umparametrisie-

rungen)2und beim Beweis yon (4) m~ssen zun~chst die Oblichen Variationsformeln

fGr die Bogenl~nge

Mit Hilfe des zu Texpp(v)

aufgestellt werden

adjungierten Operators Texpp(V)*:Mc(1)----~Mc(o)

und dazugehSriger Jacobifelder epikonjugiert

sind (vgl.

lich Bild Texpp(V)

(vgl. [13], w

folgt, dab monokonjugierte

Punkte v stets

[16]); das Umgekehrte gilt nur, falls zus~tz-

abgeschlossen

gierten, nicht monokonjugierten

in Mc(1) ist. Beispiele yon epikonjuPunkten v auf Hilbertmannigfaltigkei-

ten finder man in [163. Bild Texpp(V) enthalten in Mc(1). Die Existenz solcher Punkte

ist in diesem Fall dicht und echt

(und der Verlust

der Offenheit bei steti-

gen Injektionen yon M

in M bei Hilbertmannigfaltigkeiten M) lassen P die im Endlichdimensionalen gegebene 0bereinstimmung des Injektivit~tsradius mit dem Diffeomorphieradius

Oberhaupt

im allgemeinen,

halten der monokonjugierten Verhalten

yon eXpp fragwOrdig erscheinen.

so scheint die Injektivit~t

Punkte und die Surjektivit~t

der epikonjugierten

Wenn

yon eXpp zum Ver-

Punkte zu korrespondieren.

yon eXpp zum

-

49

-

7. Konvexe Umgebungen (M,g),v, exp,p,d,Bs163 wie im letzten Paragraphen. Far alle a <~(p) ist Ss Untermannigfaltigkeit von M und eXpp:Ss > Ss Diffeomorphismus. Ein Tangentialvektor v~ Mq yon M in q~ Ss ist genau dann tangential an die Untermannigfaltigkeit Ss falls gp(exppl(q),Texppl(q).v) =o gilt (dies ist unmittelbare 0bertragung der bekannten Situation bei S~(Op) in (Mp,gp) mit Hilfe der natarlichen Karte (exppl,Bg(p)(p))). I Lemmal : Far alle hinreichend kleinen s ist S~(p) strikt konvex, d.h.: Ist e: ~ , ~ . > M nichtkonstante Geod~tische und gibt es t o 6(o,I), so da~ c(t o)& Ss und ~(t o) tangential zu Ss in c(t o) gilt, so gibt es eine Umgebung U von to, so da5 dort d(p,c(t))>% f~r t ~ t o gilt.

Bew.: Far alle ~ <~(p) ist ~ = expplec in einer Umgebung von t o erkl~rt und vom Typ C m. Far die Funktion F, gegeben durch F(t) := gp(~(t),~(t)), gilt nach Voraussetzung F'(to) = 2gp(~'(to),~(to)) F"(to) = 2[gp(~'(to),~to))

= o

sowie

+ gp(~"(to),~(to)~,

so da~ nach dem in 6.6 Festgestellten wegen F(t o) = ~2 noch F"(to)> o far alle hinreichend kleinen s nachzuweisen bleibt. Sei : = (exp I ,B~(p)(p)). Es gilt nach Voraussetzung bzgl. dem Christoffelsymbol ~ yon v bzgl. (~,U): ~"(t) = -~(~(t))(~'(t),~t)), also F"(t e) = 2[gp(~'(to),~'(to))

~ t o))(~'(to),C~' (to)),~(to) ~ - g p ( ~ (c(

= 2[gp(~'(to),C~'(t o) - (~(c(~ to)).~'(t o))~5(to~, wobei (~(~(to)).~'(to)~die Adjungierte zu ~(q(to))(~'(t o) .... ) bzgl. gp bezeichnet, d.h. mit den~zgl. ~p gebildete~ stetigen linearen Abbildungen L(Mp;Mp) J% L(Mp;Mp) L2(Mp;Mp) = L(Mp;L(Mp;Mp)) J >L(Mp;L(Mp;Mp)) und A

~

gilt:

>

A*

b

ist

>j~

(~(~(to)).~'(t o)~.~(t o) = J(~(~(to)))-(~'(to),~(to)).

Die Funktion f:q ~ ~J(~(q)).(..,~(q)); vom Typ C~ ,

$< I

~

und es g i l t

f(p)

E o> o so, da5 (bzgl. ~p)

B

(p)

9
[[f(q)ll~$

-~L(Mp;Mp)

= Op.

W~hle nun

far alle q ~ B ~ o

Far alle

6~s

o

folgt dann

zu

(p) gilt.

-

5o

-

F"(t o)->2[gp(@'(t o ),~"(to)) - ~gp(~'(t o ),~'(t o ))~ = 2(1-~)gp(~'(to),~'(to))>o,

da nach Voraussetzung ~'(t O) ~ o gilt9

Bem.: Der Beweis zeigt, daS die Behauptung f~r beliebige Sprays und deren Exponentialabbildung auf beliebigen (regul~ren, vgl. 6.4ff.) Hilbertmannigfaltigkeiten gHltig ist: Man w~hlt ein Skalarprodukt C..,..7 (Norm II..II) f~r den hilbertisierbaren topologischen Vektorraum M

und definiert P wie in 4.6 bzgl. ~..,..> . Die

niert BE(Op),SK(Op),Bs163

Tangentialvektoren v an die Untermannigfaltigkeit S~(p) in q ~ S ~ ( p ) sind dann wieder durch <eXpp-lq ,Texp p1(q) .v > : o bestimmt, und die Behauptung des Satzes lautet: Es gibt eine Umgebung U yon to, so daS f~r t ~ t O gilt: c(t)~B~--~--~, d.h. IIeXpploCll/U-{to} 17.2 Definitionl : Sei G ~ M offen (und zusammenh~ngend). ~ heist konvex, wenn es zu je zwei Punkten q,q'eG eine Geod~tische c yon q nach q' mit L c : d ( ~ ~) gibt, die ganz in G verl~uf%. y.3 Satzl : Zu jedem p ~ M

gibt es s

so daS Bg(p) konvex ist fHr alle o < s 1 6 3 o.

Bew. : W~hle eine Umgebung U(p) : B~(p) von p, so da~ ~exp~l:B~(q) ~. ~B~(Oq) fHr alle q e B~(p) Diffeomorphismus ist. Sei S >o so gew~hlt, daS fHr alle o ~ $ _ ~ Wir setzen: 3 . s

die Aussage von 7.1 bzgl. p gilt.

} . Sei o ~ _ ~ E o

und q e B a ( p ) .

Dann gilt:

B2~(q)~B3K(p). Sei ~ B E ( p ) . Dann gilt ~ B 2 c ( q ) . Nach ~& gibt es genau eine Geod~tische c:[o,1] ~ M mit c(o) : q und c(1) : ~ und L c : d(q,~) (6.6 bzgl. B2E(q) verstanden). Zu zeigen bleibt: Bild c c B ~ ( p ) (wir wissen bereits: Bild c cB2s cB3%(p)!). Annahme: Es gibt t o e ( O , 1 ) mit d ( c ( t o ) , p ) ~ . Wir k6nnen dann t o so w~hlen, daS fHr alle t ~[o,I] d(c(to),p)_>d(c(t),p) gilt (da d(c(o),p)<~ und d(c(1),p)~K). Wegen 6.6 gilt das Gleiche auch fHr gp(eXp P loc(t),eXpploC(t)), d.h. es gilt ~-~gp(eXp d plO c (t) ,eXpploC (t) It :t :o , O

also ist 7.1 fHr s

= UeXpp1(C(to))~p ~ c ( t

o) erfHllt, d.h.

es gibt t ~(o,I) mit d(c(t),p) >E' im Widerspruch zur Wahl yon t O Bern.: Wir haben sogar gezeigt, daS durch die Bedingung Bild c cB~(p) die Geod~tische c bereits eindeutig bestimmt ist, B~(p) somit auch einfach ist, vgl. 4.6. Sei wieder die allgemeinere Situation: "S Spray auf einer Hilbertmannigfaltigkeit M mit Exponentialabbildung exp" zugrundegelegt. Eine offene (zusammenh~ngende) Menge ~ aus M heist konvex, wenn je zwei Punkte q,q' aus ~

durch eine ganz in ~

verlaufende Geod~tische verbunden werden

kSnnen. Es gilt wieder: FHr alle p e M gibt es ein Eo> o, so daS f~r al-

-

51

-

le s ~(o,s o) gilt: BE(p) ist konvex (und einfach). Einen Beweis dafGr mit Hilfe von 4.6 und der verallgemeinerten Aussage 7.1, der analog zu dem obigen verl~uft, findet man in

[28], S. 149 - 151, vgl. Lemma 2(I)

und den daran anschlieSenden Beweis von 8.7. 1i.4 De_flnit i$'nl : Eine offene, konvexe Menge G yon (M,g) heiBt stark konvex , wenn sie einfach ist und auBerdem alle s Bs um beliebige q ~G, die ganz in G liegen, konvex sind. Alle offenen~konvexen Teilmengen von G sind dann ebenfalls stark konvex. Die Zahl r(p) :: s u p ~ & & ~ v {+--]/Bs

stark konvex}

heist der Konvexit~tsradius yon (M,g) im Punkte p. Die dadurch gegebene Abbildung r:M ----~IR+u ~o~ u i+-~} ist stetig, denn entweder gilt r oder r ist stets endlich, und es gilt Ir(P) - r(q)I ~__d(p,q) f~r alle p , q ~ M , wegen r(q)_~r(p) - d(p,q) fur alle p,q ~ M (man beachte, dab hierbei der Begriff "stark konvex" ausgenutzt wurde, so dab die Stetigkeit der analog nur mit konvexen Mengen bebildeten Abbildung s:M ,~ nicht -wie in [31], S.16 behauptet- folgen muB). Der folgende Satz zeigt: Bild r c ~ + u ~ * ~ (d.h. r ist lokal stets von Null wegbeschr~nkt), indem er das in 7.3 benutzte Verfahren versch~rft (entsprechendes gilt wiederum f~r beliebige Sprays S:TM

->T2M):

17'.'5 sat zl : Sei p ~M. Es gibt Bew.: Sei ~ > o

s

so dab Bs

stark konvex ist.

so, da5 ( ~ , e x p ) / q ~ p ) B 3 ~ ( o

q) Diffeomorphismus ist,

d.h. insbesondere gilt ~<-~(q)/3 f0r alle q ~ B ~ ( p ) , vgl. 4.6. Sei ~Fq -I die durch eXpq auf B3[(q) definierte Karte. Die Abbildung ~ : (q,~)~ B~(p)~B2~(P) ~ ~ q %~q(~) &L2 (Mq;Mq)~ L 2 (TM;TM) ist wohldefiniert und vom Typus C~, wie man mittels der Transformationsregel 1.5 einsieht:

fGr h := (~,exp)-l~(id,exp)

: B~(p)xB2~(o p)

%~l(B~(p))

gilt: h ist

fasertreuer Diffeomorphismus auf einen offenen Teil yon T6-1(B~(p)), und es gilt: h(q~ .. ) = ~qo~pl,h I = ~kpO I, d.h. die in der obigen

Transformationsregel auftretenden Ableitungen sind einfach die Faserableitungen der Abbildungen h,h -I Es gilt: ~' I,, (p): o, also gibt es zu der durch g auf L2(TM;TM) induP zierten Finslerstruktur II II'L2(TM;TM) > ~ ein 6o~ (o,~), so dab [l~q(~)II
-

II..[Io~:B[(p) ~B~[(D)

>R

52

-

ist stetig). Ist nun zus~tzlich ge<1 voraus-

gesetzt, so gilt ffr die analog zu ~ in 7.1 ffr jedes ~eB&,(p) gebildete Funktion %:~gB~,(q) ~ >%([7q(~))-(..,I/~q(~)) bzgl. der durch [(fq~l~-II~ka(~)I I. ~q(~)II< 1"~' <1

gq induzierten Normen:

folgt: Die Aussage 7.1 ist fHr ~edes

qs

mit

, und daraus

s

und qGBr

gfltig. Damit ist aber auch die Wahl yon %o in 7.3 v o n d e r

speziellen

Wahl von q eB6,(p) unabhMngig, somit folgt die Behauptung. [7~6 SatTl : Sei (N,g) bzw. (M',K') riemannsche Mannigfaltigkeit, d bzw. d' die dau.

Beh.:

f

d' (f(q), f(~) ) --~C- d(q,~)

Bew.: Sei U konvexe Umgebung von p, so dab es (natfrliche Karten)(~,U) bzw. (~,V) von M bzw. M' um O bzw. f(o) gibt, so da6 ~ofo~-I:~(U)--9~(V) definiert und D(~ofo~'1):~(U)

I )L(Mp)Mf(D)) beschr~nkt ist und die Me-

' bzw. M O ~ l e i c h m ~ i g ~quivatriken ~ ( ~ ) , r e V bzw. g~(s) ,s e U auf Mf(p) lent sind (diese Wahl ist mSglich unter Ausnutzung yon Stetigkeiten und Finslerstruktureigenschaften). Sei c die "kfrzeste Geod~tische" yon q nach ~ in U. Dann gilt d~(f(q),f(~))_LLfo c :

--

ogfoc(t)(Tf o ~(t),Tfo~(t))I/2dt =

og~foe(t))(D(.~ofo~-l)~oe(t).(~~

~-

~ C1" ~1o g , f(p)(D(~~176176 ogp((r :

Cs-L c

:

,..~) 1 / 2 d t (

/2dt_~C 3. og~(c(t))((r

c~.d(q,~'),

also folgt die Behauptung, da C 3 nicht von c o d e r ~ abh~ngt. Bem.: Die Bedingung "U konvex" ist im vorausgegangenen Beweis fiberflfissig, wie man mit Hilfe einer FolFe c n von q,~ verbindenden Kurven mit lim L c n ~

= d(q,~) einsieht. Man braucht also nur "U zusammenh~ngend". n

8. Erg~nzungen I. Sei M Banachmannigfaltigkeit, ~:E >M Vektorraumbflndel fber M und V kovariante Differentiation ffr E. Die AbbildunF~ (I)

~ :~(~)~ ~ ) ~ e E

(~) ---> ~ E (M)

heiBt der Krfmmungstensor yon ~. R ist in ~eder Komponente ~(~)-linear und erffillt (2)

R(X,Y,~) : -R(Y,X,~) ffr alle X,Ye~[(M),~&~V(M).

-

55

-

Beides folgt z.B. aus der lokalen Darstellung von H: (3) R(X,Y,~)r

-~

D~p~Xr162

das Cbristoffelsymbol

)) - DV

yon V

und diese imDliziert au~erdem Deutung Yon R als C~-Schnitt

bzgl.

)-(X.

(~,#,U) und D ~ ( p ) : : D ~ l ~ p

) -

(analog wie beim Torsionstensor ~) die in L(TM,TM,E;E),

bzgl. der durch (T#,~,U),(~,~,U) L(TM,TM,E;E)

.Y

indem man R lokal, also

induzierten Trivialisierung yon

definiert durch: (u,v,w)

: D

(v,w>

-

u,w5

Erst diese Deutung l~St R zum brauchbaren Begriff auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten

werden.

Aus der lokalen Darstellung

folgt, daS R mit Einschr~nkungen

Teilmengen U yon M vertr~glich

sot yon EF/U. Ist auf M zus~tzlich ein torsionsfreier gegeben, tungen

auf offene

ist, d.h. R/U liefert den KrNmmun~stenZusammenhan~

~

so lautet R mit Hilfe der in ].6 beschriebenen bSheren Ablei-

und im Falle ~F:XZ' -also insbesondere E : TM - ~ilt die sogenannte Bianchi-Identit~t:

(5)

(Vx~)(Y,Z,U)

+ (~y~5(z,x,u5

§ (Vz~5(x,Y,U5 : o

Sei N weitere Banachmannigfaltigkeit, ~die

f:N

>M MorDhismus und bezeichne

Erweiterung der gegebenen kovarianten Differentiation

die Schnitte l~ngs f (oder im Pull-back f~E, vgl. w folgenden sog. Cartanschen Strukturgleichungen T (E=TM dabei, vgl. 4.7(i) ) und R yon ~ : (65

T(Tf-X,Tf.Y)

: ~Tf-Y

-~Tf-X

fNr E auf

Es gelten die

fflr die Tensoren

- Tf-[X,Y]

(7) R(Tf-X,Tf.Y,~) : ~ X V y ~ - V y V x ~ - ~ [ X , y ] ~ fNr alle X , y e ~ ( N ) und ~ E ( f ) . Die Gleichung (7) besagt in der Schreibweise yon w ~inleitung: ~.R~(X,Y,~)=R(Tf-X,Tf.Y,m~f.~),~-~f~E(N) stellt also eine Beziehung zwiscben den KrNmmungstensoren yon , ~ , V a u f f~E bzw. TM her; beachte: Tf.X,Tf- Y ~ ( ( f ) . Bew.: Sei (T~,~,V) Trivialisierung

yon TM und (~,U) Karte yon N mit

f(U)c V. Nach w

Einleitung und 4.7(i) ergibt sich ffJr den Hauptteil

des Vektorfeldes

T(Tf.X,Tf-Y)

l[ngs f an der Stelle

T(Tf-X,Tf-Y)~(D):~(f(p))(D(}r162162162

~(p) (vgl. V.1o):

,

- 54 -

F~r d~e rechte Seite in (6) ergibt sicb entsprechend: (~xTf-Y)~(D) --

D2(%~~176162

+ D(~of~162

§

*~'~.(f (p)) (D (~~ f*~-l)~(p)'Xr ,D(~~176 "Y~(p) ) -sowie Analoges fffr (VyTfX)~(p)- und (Tf. [X,Y])r = D('~ofo~ -1)~(p).(DY~(p).X~(p) - DX~(p).Y~(p)). Zusammengesetzt folgt damit T(Tf-X,Tf.Y)~(p)-- (~xTf-Y)f~(n) -~yTf.X)~(p) - (Tf'[X,Y3)~(p), da D2(~,fo~-1)~(p) symmetrische,bilineare Abbildung ist, somit gilt (6). Analog beweist man (7) durch Zusammensetzumg der folgenden lokalen Termen: R(Tf.X,Tf-Y,~)r = D~v%~(f(P))'(D(~'~176162

)' (D('~'f~162

D~V~(f(p))'(m(}~176162

-

"(D(~~176

+~(f(p)) (D (Vofo~-1)~(p).Xr

),~p))

§

,~f(p) ) (D (~* fo~-l)~(p).y~(p), ~(p) ) ) _

- ~ f ( P ) ) (D (~'~176 ' ~(f(P) ) (D (@~ f~162 '~(P) ) ) und (unter Beachtung von D%(f(p)) := DV4~f(p) ) und ~_~(f(p)) = :~~176176162

hei Ableitungen yon ~):

(VXVy~)~(p) =

D (Vy~)~ (p ~Xr

+ ~~f (p)) (D (I~of.{-1 )+(n)'X~(n) ' (~TY~)6(p)) :

= P2~r

Yr

+ D~D)-

(DY~(D)-X~(p))

+

+ (P~-'~(f(p))OD(%~ofo~-1)r162

+

*V?(f(p)) (D2(~ofo~'I)~(D)-X/(p),Yr162 +~f(p)) (D(~-ofo~-l)~(D) -Yr §

,D~r

,~(p) ) + +

f (p)) (D (~o fo ~-I )~(p).X0(p ) ,D~O(p).Y~(p) + ~_~(f(D)) (D (~o f- ~-1 )~(P)'Y~(Dy~]~kp,)]

-sowie Analoges f~r ( ~ ) ~ ( p ) -

und

(V~,y~)~(p)=D~p).(DY~p).X~(p)-DX

+ ~ f ( p ) ) (D (~-of~

~(m)-Y~(p)) +

(DY~(p).X~(p)-DX~(p)-Y~(p)) ,~(p) )

q.e.d. Bem.: Sei (~,~)• offenes Intervall in lR2 und V:(~<,[~)~(a,b) ~E, (s,t) ~ ) V(s,t) vom Typ C ~, ~:= ~roV und bezeichne ~-{ bzw. ~zs die partielle Ableitung bzw. partielle kovariante AbleitunK nach s bei solchen Kurvenscharen (Entsprechendes gelte fHr t, vgl. auch V.11). Die Formel (6) ergibt angewandt auf f=w mittels der Basisfelder

-

)~2,(s,t)

xi:(~,~)

~

55

-

> ei;el=(1,o),e2=(o,1)

Zusammenh~nge ~z f0r TM (als ~quivalente sammenh~nge,

Pormel(7)

siehe den vorstehenden

ergibt

~s~t v

Die Gleichungen schlossenen

(8),

(9)

Zusammenh~nge V

gelten auch f~r alle V:[~',$']~[a',b']

FHr den KrHmmungstensor

C~176

stets auf ein Intervall

R des Levi-Civita-Zusammenhangs (M,g) gelten

zus~tzlich

die zweite fHr beliebige

riemannsche

Zusammenh~nge

(Io) (11)

R(x,Y,Z) + R(Y,Z,X) + R(z,x,Y) g(R(X,Y,Z),U) = -g(R(X,Y,U),Z)

(12)

g(R(X,Y,Z),U)

3 Be-

Zusammenhang

auf M,

auf B(Indeln):

: o fflr alle

= g(R(Z,U,X),Y)

diese Gleichungen

der Modelle nachzuordfen

X,Y,Z,Ug~(M) (lokalen)

Basisfeldern

zu Basen B

(IBIbeliebig!) , da sie nut punktweise

Deshalb

in obigen Gleichungen

auf den

~Z einer rie-

die folgenden

(die erste sogar fHr jeden torsionsfreien

zu werden brauchen.

auf abge-

sind.

mannschen Mannigfaltigkeit

Es genGgt,

f ~ r E:

> E, ~ : = ~ o V :

2 M, da solche Abbildungen

vom obigen Typ erweiterbar

ziehungen

solcher Zu-

~7t~sV + R "tB~ 9~-V)

Intervallen

[~',~'3~[a',b'3

Charakterisierung

Beweis):

analog f~r beliebige

(9)

im Falle torsionsfreier

kann o.B.d.A,

auftretenden

angenommen

Lieklammern

werden,

verschwinden,

gezeigt

da~ alle so da6 al-

so der Beweis genau dem Beweis bei endlicher Dimension folgt. Sei nun @ linearer Unterraum von M der Dimension 2, also TangentialP ebene an M in p @ M und [u,v} Basis v o n @ . Die Zahl (13)

K(U,V)

:: k(u~v)

:: g(R(u~v~v)~u) :: ~ull2 ~vll2 -

k1(u,v) ist dann wohldefiniert V.lo) und h~ngt(nach wahl ab, weshalb (14)

(zur vereinfachenden

bekanntem

Beweis)

Schreibweise

nicht v o n d e r

siehe auch

speziellen

Basis-

auch

K 4 := K(u,v),

wohldefiniert

g(u,v) 2

~u,v}

Basis von

ist. Kd heist d~e riemannsche

KrHmmung

(SchnittkrHmmun~)

von M bzgl. der Ebene ~. Die Zuordnung R~)6 5 (~) ~ ~ k : ~ 6 ( M ) ~ J M ) ~ L (TM ;TM) ist auf den Tensorfeldern R, die (2),

tiv, d.h. R ist vollst~ndig dann Null,

~(~),k(u,v)

(Io),

dutch k bestimmt

(11),

:: g(R(u,v,v),u),

(12) erfHllen,

(und insbesondere

falls k Null ist; vgl. die DarstellunK

injek-

genau

von g(R(u,v,w),z)

dutch k in ~ 5 ] , S. 95). Da insbesondere Rl(U,V,W) := g(v,w).u-g(u,w).v Tensorfeld von diesem T y p i s t , gilt dies auch fHr die dazugeh~rige "bi-

quadratische

Form" kl(~,v)

Quadrat des Fl~cheninhalts

= ~[uII2.1(v~I2 - g(u,v)2:

kl(U,V)

des dutch u,v aufgesDannten

ist das

Parallelogramms.

- 56

-

Die obigen KrHmmungszahlen

vergleichen

dem kanonischen Tensorfeld

R I.

Ist K

in jedem D E M

konstant,

mit K(p) = K6 fHr alle ~ 6 2 ( M D )

also in gewisser Weise R mit

d.h. gibt es eine Abbildung

K:M.

>~9

, d.i. die Grassmann-Mannigfaltigkeit

der Ebenen in MO, so fol~t sogar R=K.RI,

denn R ~ := R-K.R i i s t

feld vom "Typ R" und seine biquadratisehe woraus nach dem oben Festgestellten

R

Tensor-

Form k ~ lautet ko=k-K.kl=o ,

= o folgt. O

Nach Schurs Theorem Geometry,

Vol.

Foundations

of Differential

I; der Beweis flbertr~gt sich naeh Vorausgegangenem

fort auf unendliche menhangskomponente Seien i:(M,g)

(vgl. Kobayashi-Nomizu: Dimension)

yon konstanter

>(M,g),~,~,S,~

so-

folgt, dab M dann sogar auf ~eder ZusamKr0mmung

ist

(falls Dim M-~3 gilt).

wie in 5.4(v) und u,v,w,z ~

die KrNmmungstensoren ~,R yon ~ , V gilt die folgende (15) g(R(Ti.u,Ti.v,Ti.w) , Ti.z) = ,. N g(R(u,v,w),z) +g(s

s

c T M . F~r P (Gau6-)Gleichung:

)-g(~(v,w)

,~(u,z)

)

Bew.: Seien U,V,W,Z ~][(~) mit U p :u,V p -v,W ---~ p :w,Z m :z. Es gilt dann: R(Ti" u,Ti 'v,Ti " w ~ = (R* (Ti 9U,Ti'V,Ti "W)D)' ~ (EZU~V Ti. Wlp)'r - (~V%TuTi 9W Ip~r _ (~[U,v]T i.wlp) T =

( WTi.wlp - ( +

Ti.wlp<-

uVTi.wb)'§

Zgu i-wlpY ( (Ti vW § {(v,w))IpF=

Ti.~Zu~TvW Ip + Ti.S(U,@(V,W))p

~ ~

- Ti.

- Ti.S(V,~(U,W))p

9v u%

-

-Ti.~[u,v/w[p : Ti.~(u,v,w)~ + Ti.(s(u,e(v,w))p - s(v,e(u,wl)p). Eingesetzt

in g ergibt

sich damit

g(R(Ti.u,Ti.v,Ti.w),Ti.z)

g(Ti.(S(U,e(V,W))p

= g(Ti.~(u,v,w),Ti.z)

- S(V,s

+

=

~(~(u,v,w),~) + ~(S~(v,w)Uip,z) - ~(S~(u,w)Vi~,~) : ~(R(u,v,w),z)

+ g(~(U,W)Ip,~(V,Z)Ip)

woraus die obige Behauptung Folgerungen:

- g(~(V,W)ID2~(U,Z)ID) ,

folgt.

a) Ist ~ total-geod[tische

Untermannigfaltigkeit

der rie-

mannschen Mannigfaltigkeit (M,g), so folgt nach 5.4(v) unter Ausnutzung yon Ti:id und g/TM 9 T ~ = ~: g(R(u,v,w),z)

: g(R(u,v,w),z)

fNr alle u , v , w , z ~

also aufgel~st D ~

(16)

~(U,V,W)

: R(U,V,W) ~ .

Damit sind in diesem Fall die SchnittkrNmmungen entsprechend

gebildeten

von

(~,g) gegeben:

yon

(M,g) durch die

K'~ = Kg ff~r alle an ~ tan-

-

57

-

gentialen Ebenen g (im allgemeinen Fall gilt bzgl. der Ebenen Spann [ u , v ~ C M p , 6 =

~:

Spann { T i . u , T i . v } ~ M i ( p ) , auf Orund der Gau~-Glei-

chung fHr die Krflmmungen von M,M: (17) K~ : ~g + g(~(u,v),s - g(@(u,u),e(v,v~) ~(u,u)~(v,v) - ~(u,v) 2

)

b) Sei (~, <..,..> ) Hilbertraum. Als riemannsche Mannigfaltigkeit hat (~, ~..,..> ) die Abbildung :'~(~)• "~(E) , > 9(f~) : C~o(~.,E), (X,Y) ; als Levi-Civita-Zusammenhang ~id ----o), also gilt: R ~ o Die Abbildung f:E

und K ~ = o

>R,x~

alle S r := f-l(r2) mit r > o

> DY.X

(K:T2~=E~---~ TE=E 2,K=(pr 1,prY) und fflr alle tangentialen Ebenen @.

> ~ x , x > hat nur o ~

als kritischen Wept,

sind also riemannsche Untermannigfaltigkei-

ten von (~, ~..,..>) der Kodimension I, die Sph~ren vom Radius r. Auf S r | gibt es genau ein NC~[(Sr)-- mit : I, definiert durch Np := P . ~ besitzt damit eine Darstellung der Form e: N mit einem < :

TSre TS r

> R. Nach 5.4(v),(3) :

so

suP

g(N,~.N)

esti=ung von

:

folgt fflr c< :

-~N'

nur

x-also

alle

X E~[(S r) -berechnet werden muB; N':E- {o} > F., die natflrliche Erweiterung von N. Es gilt ql "~ ~ _ ~q DNp 9Xp

~

2

P

'

da X p ~ (Sr) p = grad ~p~= p J-gilt. Es folgt also ~N(U,V ) = <~_~_,_,~u ,v> = rl < u , v > fflr alle p eSr und u , v g p j" = (Sr) pFormel (17) ergibt damit fflr die Schnittkrfimmungen von S ~

:

o - ~ ~u~v> -~u~u>.-~ . - < u , v > 2

: ! r2

r

:

'

S r hat also die konstante Krfimmung ~2" Erg~nzend

sei noch eine weitere Darstellung des Krflmmungstensor im ~

Falle riemannscher Untermannigfaltigkeiten M von (~, ~..,..>) aufgefflhrt (die ebenfalls zu einer leichten Berechnung der Krfimmung von S fflhrt) : r Sei ~ : ~ - - - ~ L ( E ; E ) , ~ ( E ) : ~ p fflr alle p & M , der in 5.3 eingefflhrte C~-Schnitt der Orthogonalprojektionen bzgl. ~..,..>. Die Levi-CivitaDifferentiation ~z von (~, <'.~,..'~/TM 9 TM) lautet damit : / 'Ye)~(M / ~ - - ) X~ Y : ~.(dY.X) X, wobei dY die Umdeutung yon TY:TM > E 2 zu einem C~~

in L(TM;~)

bezeichnet. Es folgt weiter (18)

X~Y : dY.X - (id-~)-(dY.X)

: dY.X - d~.(X,Y)

unter der zu dY analogen Deutung von T~ als Schnitt in L(TM,~;E) wegen

-

58

-

(id-~)-Y ----o. Sei c: [a,b]

~ M

also Y6~[(c).

C~-Kurve und Y:[a,b~

5.5 impliziert

~ZcYit = COc(t).DY(t)-I Aus

; ~ vom Typ C~~

Yt~[Oc(t)(~)~

hierfUr = DY(t)

- dt~c(t).(6(t),Yt)

.

(9) folgt damit fur den KrGmmungstensor ~ yon ~(mittels

geeigneter

Kurvens charen ) : (19)

u,v,w~

~(u,v,w) : d~(u,d~(v,w)) - d~(v,do~(u~w)). Im Beispiel P "Sphere S r ergibt sich speziell (wieder): a)0~ : ~ / S r, wobei ~o:~ -~o} ~ L ( ~ ; ~ ) durch ~ .w : w - ~P>-p f~r pe~-{o},~e~

gegeben ist.

b) d~p = Dk~/L(Mp,~;~) d~u,w)

fGr alle p e M, also

: - ((w~u>.p + <w~p>.u)~p~p>

2

= - .p + <w;p>.u c) R(u,v,w)

fGr alle u ~

: ~.d~(u,p)

- <w~p>p.2

= pm und alle w e ~.

P

- -.d~(v,p) < P, P>

:-~ I ~.u - .v) for alle u , v , w ~ p l r

d) ~

1 = V

fGr alle tangentialen

2. (M,g) zusammenh~ngende,

riemannsche

die(in den P a r a g r a p h e n ~ 6 (I) Die riemannsche vollst~ndiger

Ebenen ~ an S r.

eingefUhrten)

Mannigfaltigkeit

metrischer

Mannigfaltigkeit

und V, e X p p , d ~

dazugehSrigen

Abbildungen.

M heist vollst~ndi~,

falls

(M,d)

Raum ist, sie heist geodZtisch-vollst~ndi~,

falls alle Geod~tischen yon (M,g) auf ganz ~ definiert sind, also T~=TM gilt (in der Sprechweise von 4.5: ~ o d e r der dazugehSrige Spray S sind vollst~ndig).

Es gilt:

(2) Ist (M,g) vollst~ndig, Bew.:

Sei c v die Geod~tische

im Definitionsbereich stets

so ist (M,g) geod~tisch

6> o gibt,

Cauchyfolge

von c

V

zum Anfangswert enthalten.

~v(O)=V eTM und

Es genUgt

:

(o)II. ~sds

ist Cauchyfolge

st~ndig ist. Der Grenzwert speziellen Wahl, d.h.

[o,L),L>o

zu zeigen, da5 es

so dab ~ sogar auf ~o,L+6) definiert

in [o,L), die gegen L konvergiert.

d.h. ~Cv(tn)}n~N

vollst~ndig.

ist. Sei ~tn}ne N

Es gilt fur alle i,j eN:

l=,,v,, "Itj-til

in (M,d), also konvergent,

p dieser Folge ist unabh~ngig

da M voll-

yon ihrer

es gilt lim Cv(t)= p. Die gew0nschte Erweiterung

t~L der Geod~tischen chen Karte

cv folgt damit

(eXpp,B&(p))

um p.

sofort mittels der Wahl einer natUrli-

-

59

-

Bei endlicher Dimension gilt der sog. Satz yon Hopf-Rinow. (3) Ist (M,g) geod~tisch vollst~ndig, dutch eine Oeod~tische c:[o,I] binden

(oder ~quivalent:

so lassen sich je 2 Punkte p , $ & M

% M minimaler L~nge: L

so ist eXpp:Bg(Op)

%Ds

= d(p,q) verc fHr alle ~ o

surjektiv;

vgl. die schw~chere Aussage 6.6).

Nach

[31] ist dieser Satz bei unendlicher Dimension i.a. nicht

~6],

mehr richtig

(ob nicht wenigstens

nicht bekannt).

eXpp:Mp

% M stets surjektiv ist, ist

Die Behauptung des Satzes von Hopf-Rinow l~St sich auf

die folgende metrische Bedingung reduzieren: (4) n./~o~ p,q M o <s Bew.:

p '~Ss

p

"~": Sei c zu p,q gem~5

d(q ,Bs

: d(q,p')

(3) gew~hlt und

[&(o,~(p)),[
Es gilt dann Lcl[o,6/r ] =[ , d.h. p' := c(E/r)QSs d(q,Bs

und

= d(q,p').

"~": Seien p , q ~ M P,q gew~hlt. und eXpp(s

und r := d(p,q).

Sei V ~ M p

Sei K~o und p' ~ SE(p) gem~5

definiert dutch v := exp~l(p'/E),

Dann gilt

eXpp(r.v)=q

(~)

da5 die Geod~tische c, definiert dutch c(t) bindung

von p nach q ist, d.h. es folgt

bier betrachteten unendlichdimensionalen

(4) zu

llvllp:1

, und damit folgt sofort, k~rzeste Ver-

(3). Der Beweis von (4<) ergibt vom Io.9 in [54] auf den

Fall unter Benutzung des fol-

genden Spezialfalles von 6.5: Ist c: [o,b~ L c = d(c(o),c(b))

also

:= eXpp(t-v),

sich dutch direkte 0bertragung des Beweises

l~nge

=: r.

) M

C~-Kurve, die

erfOllt und deren Parameter proportional

ist (II~(t)]I = const), so ist c eine Oeod~tische

zur Bogen-

(von minimaler

L~nge). Bem.: Bedingung

(4) ist z.B. auf riemannsche Mannigfaltigkeiten

M er-

f011t, bei denen dle dutch die abgeschlossenen ~-B~lle B6(p~ erzeugte Topologie ~ auf M (oder eine feinere) die Eigenschaft hat, da6 alle (hinreichend kleinen) Bt(p) bzgl. ~ nigfaltigkeiten,

kompakt sind (also auf riemannschen Man-

auf denen eine Art "schwache Topologie"

Denn sind p,q ~ M gegeben und ist s 2 4 7

hinreichend klein, also B~-~)

kompakt bzgl.~ -~ , so gilt: F0r alle genHgend gro5en r ~ + B-~p) m ~ )

nicht leer und abgeschlossen b z g l . r ,

B~--~-~- kompakt bzgl. ~.

existiert). ist

also -da Teil von

Dann ist abet auch der Durchschnitt

set Mengen nicht leer (und, falls ~ hausdorffsch

aller die-

ist, auch kompakt),

und jeder darin enthaltene Punkt ist als p' fHr (4) geeignet. Der aus dem Satz yon Hopf-Rinow resultierende vollst~ndige riemannsche Mannigfaltigkeiten

SchluS, da6 geod~tisch-

auch vollst~ndig

sich nach dem oben Gesagten bei unendlicher Dimension analog durchfHhren, klar ist.

sind, l~St

i.a. nicht mehr

weshalb die G0ltigkeit dieser Implikation nicht

-

Grossman und McAlpin

[163,

Gilt K ~ < o

stets surjektiv verbinden),

-

[31~ beschreiben Spezialf~lle vollst~ndiger

riemannscher Mannigfaltigkeiten, ist:

6o

fGr die der Satz yon Hopf-Rinow gOltig

for alle an M tangentialen Ebenen E, so ist eXpp:Mp--~M (d.h. alle p,qc M lassen sich durch eine 8eod~tische

und (Mp,eXpp)

ist stets universelle Uberlagerung von M (eXpp

besitzt keine kritischen Punkte, ist also lokal Diffeomorphismus). M zus~tzlich einfach zusammenh~ngend,

Ist

so lassen sich je zwei Punkte

p,q & M durch genau eine Geod~tische der L~nge d(p,q) verbinden, und expp:Mp ----~M ist dann sogar global Diffeomorphismus mard-Cartan).

(Satz von Hada--

Weitere Beispiele liefern die im n~chsten Kapitel definierten Kurvenmanmanigfaltigkeiten;

Genaueres vgl. [lo~ und III.3.8(iii),

5.8.4.

Neben dem Aufspalten der konjugierten Punkte in mono- und epikonjugierte Punkte liegt also bei dem hier betrachteten

Satz yon Hopf-Rinow ein wei-

terer Verlust an Aussagen gegenGber dem Endlichdimensionalen scheint es sinnvoll zu sein, anzunehmen, gierten, nicht monokonjugierten

Punkten -vgl. 6.7- zum Verlust der Sur-

jektivit~t von eXpp in 8.2(3) fGr gewisse also ein Zusammenhang

vor. Dabei

dab die Existenz yon epikonjut>~(p) korrespondiert,

dab

zwischen diesen Schwierigkeiten besteht; die mono-

konjugierten Punkte haben wie bei endlicher Dimension die bekannte Beziehung zur ~ o ~ a l e ~ Minimalit~t yon Geod~tischen, stets diskret verteilt

sind jedoch nicht mehr

(auf den Geod~tischen))v~. ~ .

Nach Kuiper gilt fGr jeden unendlichdimensionalen,

separablen Hilbert-

raum H (sowie vermutlich auch fGr beliebige Hilbertr~ume unendlicher Dimension; da~ die

vgl. [38~), da~

Gl(H) contractible

dazu betrachteten HilbertbGndel

tialbGndel von Hilbertmannigfaltigkeiten

ist, und dies impliziert,

(also i~sbesondere die TangenM mit solchen Modellen bei

Existenz von Partitionen der Eins auf M) trivial sind. Wit haben also abschlie~end

im Verglelch zur endlichen Dimension noch die Besonderheit,

da~ unendlich-dimensionale

Hilbertmannigfaltigkeiten

i.a. wohl paralleli-

sierbar sind, was sich z.B. auch darin ~u~ert, da~ eine Unterteilung orientierbare und nichtorientierbare

Mannigfaltigkeiten

in

hier nicht

mehr m8glich ist. 3. Zum SchluR betrachten wir noch auf TE dvrch Strukturen yon TM und E induzierte Strukturen, die eine wichtige Anwendung in Kapitel II besitzen. Generalvoraussetzung: torraumb~ndel

sa~enhangsabbildungen tiationen ~ V ' ; zeichnet):

(M,g) riemannsche Mannigfaltigkeit, ~:E--->M Vek-

~ber M mit riemannscher Metrik g'. Seien die folgenden ZuK,K' gegeben

(dazugeh~rige kovariante Differen-

analog werden weitere dazugeh~rige Abbildungen gekennKl--~ E ~ ~ ~ ~ ~E

-

6!

-

Sei weiter ~2:TTE )TE das TangentialbHndel von TE; im Falle E=TM reithen die Bezeichnungen: ~i:Ti+IM----->TiM. Satz: Die Abbildung K":E (I)

,,~

>L2(TE)

,, gv(A,B)

definiert durch

s

/~ :: g~(v)(T~A,TmB)+g~v)(K'A,K'B), vgE A,B~TE v ist eine riemannsche Metrik f0r die Mannigfaltigkeit E. Bew.: Wegen 2.3 bleibt die Differenzierbarkeit dieses Schnittes nachzuweisen: Bzgl. der Trivialisierung (@,~,U) von E, also unter Verwendung der induzierten Trivialisierungen (T~,~,U),(T~,~,Tg-I(U)) von TM bzw. TE, gilt mit den Bezeichnungen von 2.1,2.3: g~ =(g~o~r qk~ + ( ~ o ~ r wobei T ~ , K ~ ~etzt als C'~ bildungen von r w

in L(~• ~ )

bzw. L ( M ~ ; S )

Einleitungen; und wobei ~ : ~ ( U ) ~ ~

>~U),

aufgefaSt werden (vgl. gr162

~L~@M),

g~ :~(U) ~ L~(E), g~:r 9 L2(~)s ebenfalls C~-Abbildun~en sind). Damit folgt die Behauptung auf Grund der bekannten Kompositionsregeln,

[29], s.9. Bem.: Die Konstruktion von g" (bei der K noch nicht benStigt wird) l[Bt sich auch folgendermaBen besch~eiben: Zu (M,g) und (E,g') haben wir das riemannsche B~ndel (TM ~ E,g 9 g') und damit das induzierte riemannsche BOndel (~*(TM 9 E), ~ ( g ~ g')), da sich der Schnitt g 9 ~' ebenfalls zur~ckziehen l ~ t und einen Schnitt ~*(g 9 g') im Pull-back X-~L2(TM $ E) ergibt (vgl. ~5), und da ~d* mit L 2 vertauschbar ist, vgl. [29], S. 47. Die Metrik g" ist dann die (eindeutig bestimmte) Metrik auf E, die den Vektorraumb~ndelisomorphismus (~I,T~,K') : TE .> ~*(TM 9 E) (s. 2.4) zur Isometric macht. Dabei wird das "Horizontal-" bzw. "VertikalraumbNndel" von TE isometrisch auf ~ T M bzw. ~*E abKebildet, und diese beiden Paare komplement[rer Bf]ndel sind ~jeweils orthogonal zueinander. Herleitung: Zu den bisher betrachteten BOndeln TM,E und TM e E haben wir nach 2.7 (ii) die weiteren Bf]ndel TTo:TTM

>TM, Tm:TE ----~TM,

T(~ o 9 ~):T(TM e E) : ~ T M sowie T~ o 9 T~:TTM e T M T E - - b T M (man beachte, da~ die letzte Summe nicht bzgl. der ursprf]ng!ichen Vektorraumbf~ndelstrukturen von TTM und TE gebildet ist, was durch eTM symbolisiert wird). Fflr diese Bf[ndel gilt: Es gibt einen kanonischen VektorraumbNndelisomorphismus T(TM ~ E) i > TTN eTMTE

I

z

T(To e ~')

$

TM der lokal gegeben ist durch

~'~o ~ %%~

id

~

TM

,

(X,~o,~o,Y,~l,~l) m--> (x,Y,~o,~l,~o,~ 1)

-

62

-

bzgl. der durch eine Trivialisierung

(~,~,U) yon E induzierten Triviali-

sierungen dieser Bfndel, vgl. auch Eliasson

[83. Es folgt, da6 die Ab-

bildung K 9 K' := K 9 K'o i : T(TM 9 E) - - 3 T M

9 E

Zusammenhangsabbildung

ffr das Bfndel TM 9 E ----> M i s t

dem Christoffelsymbol

~:

(~,r

~(U) - - - > L ~ M •

mit dem folgen-

bzgl. der durch

induzierten Trivialisierungen:

Nach ~3 Einleitung bekommen wir damit einen induzierten Zusammenhang 9:~(K 9 K') ffr das Bfindel ~ ( T M

s E) fiber E m i t

dem folgenden kommuta-

tiven Diagramm:

T( ~ ( T M

| E) ) .... ~*(K,---Y-Z' )

[) (,~ ~)'~=: pr

>

~(~.

~o~rI TTM

eTMTE

We

K'

~

TM~

und mit Hilfle des in 2.4 beschriebenen Vektorraumbfindelisomorphismus (T1,Tnf, K'):TE

~ ~(TM

ffir die MannigfaltiKkeit nicht benStigt).

(2)

~ E) fiber E auch einen Zusammenhang K " : T T E - - b T E TE (vgl. 3.9(ii); die Existenz von ~ ,~ wird

Ffir dieses K" gilt per Konstruktion:

K" : (TI,T~,K')-lo~-~(~---K')

oT(~I,~b~,K')

(3)

: (~I,T~,K')-Io(~IOT~I,KoTT~,K'oTK')

(4)

: (~I,T~,K')-lo(~lO~2,KoTT~,K'oTK').

Sind K,K' riemanmsch bzgl, g,g',

so auch K 9 K', ~ ( K

9 K') und K"

bzgl. g 9 g',~:~(g ~ g') bzw. g" (zu letzterem vgl. 3.9(ii)

).

Beim Beweis der folgenden weiteren Behauntun~en fiber K" wird auch das bisher Behauptete nochmal bewiesen, Kontruktion yon K" angesehen Satz:

(i) Der Zusammenhang

rentiation l[ngs Morphismen (5)

~YI

so dab obiges nur als Motivation der

zu werden braueht.

K" lautet dargestellt f:N - - ~ E

~N:

9 bzw. y2 := K' o Y, d.i. die vertikale bzw. die hori-

zontale Komponente yon Y, C~-Schnitte (ii) Die Exponentialabbildung T~(w) ~ TM definiert~ Exp

fflr alle X ~ ( N ) , Y ~ ( f ) , D

: (~I,T~,K')-I(f(D).X;~.YI,n,~.Y21 p ~ ) ~ .~ '

IP wobei y1 := T ~ Y

(6)

als kovariante Differen-

l~ngs ~of in TM bzw. E sind.

Exp:T~---~E von K" ist ffir alle w ~ T E mit

und es gilt:

(w) = P'cT~(w)lI[o,1]-(~l(W)

wobei c v die Oeod~tische

+ K'(w)),

in M zum Anfangswert v , T M

bzgl 9

Parallelverschiebung

l~ngs c v in E bzgl. K' bezeichnet,

K und P'c

die v

Bem.: L~ngs Kurven ~:I - ~bE lautet die obige kovariante Differentiation also ffr alle Y , ~ ( ~ ) :

-

(7)

63

-

~,,y = (~I,T~,K , )-I ~ (~, ~ o ~ y ,

~.~K'Y)

Bew___._.:Die Gleichheit von (2) und (4) folgt aus dem folgenden kommutativen Diagramm ~*(TM e E ) ~ - ~(~e--K' ) T ( ~ ( T M 9 E))~ T ,~.y ~ I ; T ~ ,v ~TTE

I ~(~o * ~)

m~(T! e E) -

und die Gleichheit yon (3) und (4) aus: T2E

(K~176

9

~.~ (~1 ~T~Y;K') IT2 TE

TTE -~]---> TE

E

TE ~ - - > E TE

'~o~

~

~M

ist als elementare Zusammensetzung yon Vektorraumb~ndelmorphismen ebenfalls Vektorraumbflndelmorphismus, also auch (~Io~2,KoT~,K'oTK'), wie aus dem fol~enden Vektorraumb~ndeldiaKramm durch Liftung wie in 2.4(~) fol~t (beachte: ~ I = ~ o T ~ =XoK'): ( K K ~ T A , ~ , K ' ~ T K ')

T2E "~'%oT 2,Ko'2~,K ' .T~,), > ~(TM , E)

I TE

........

/-~

E

Damit ist aber auch K" Vektorraumb~Indelmorphismus (l~ngs ~1 auf Grund der Darstellung (4) ). Mittels (4) folKt weiter: K"oTY.X v = (~I,T~,K')-I (yIoT(~IoY)-Xv,KoT(TmoY).Xv,K'oT(K'oY).Xv) also die in (i) behauptete Beziehung zwischen K",~z" (womit auch ~7~Y~(f) gezeigt ist). Urn das Christoffelsymbol von K" bzKl. der durch (~,r induzierten Trivialisierung (T~@, ,~-I(U)) von ~rl.'TE --->E, zu bestimmen, ist

T{~

I ,~,K' )-~(~T~ ~)-~ ~ T ~

auszurechnen.

~o( ~IoT ~I ,K~

.~K, )oTT{-I

Wegen

T ~ . ( ~ , ~ , K ' )-~ o(~T+~) -~ (~,~],x,y,~,?)

: (~,~],y,~- V~'(~) (y,%)),

~O'rlOT~-loT(~OTlOT[-1)(x I .... x 8) : (Xl,X2) , T~oKoTT~IoTT(~~176

i ..... x8 ) : (xl,x7 + ~ ( x l )(x5,x3))

~,K'oT$-loT(~K'~ /

,

I ..... x 8) : (Xl,X 8 + O~(Xl)-Xs-(x3,x 2) + ! !

ist der obige Ausdruck durch

-

64

-

(xi , ....x 8) ~--> (x~,x2,xT+ ~(x I ) (x5,x 3) ,x~ +D~(x~).x~.(• -~'(xl ) (~(x a ) <x5 ,x?) ,x2) ) gegeben, und daraus ist das gewfinscbte Christoffelsymbol und die Behauptung: K" Zusammenhangsabbildung unmittelbar ablesbar (sowie: K" i.a. nicht torsionsfrei, auch falls K,E' dies sind!). Zu (ii): Wir mflssen zeigen dab durch ~(t):=P ' , Ot.T~(w)I[o,13-(% (w) +t- K' (w)) eine C"-Kurve ~:[o,lq

> E definiert wird, die OeodAtische ist und

1,k(o)=w erfGllt: Die C~-Eigenschaft folgt nach 5.6 wegen P'

=P'

ct T~(w)l~o,1] eT~(w)l[o,t~

Weiter gilt:

._a.__

T~o~ = 7r~

= ~T~(w) und ~Z~T~(w)=O, sowie E'o~(s) =

K'( d--(P' I ,t3.tK,(w))~:s),~ d t . K '(w))It=s dt CT~(w),[o ~ p,CT~(w)l[o,s~( =

I. ..K'(w), also CT~(w)| to, sJ

P'

~'(K'-~) = o,

also ist m Geod~tische bzgl. ~', und obige Rechnung liefert speziell (~1,TTr,K')(~(o)) = (~l(w)/~T~(w),K'(w)), so da~ ~ auch den richtigen / Anfangswert hat. Es bleibt der Nachweis zu erbringen, da5 (g",K") RMZ-Struktur ist, falls man yon RMZ-Strukturen (g,E),(g',E') ausgeht, d.h. wir m0ssen zeigen: K" riemannsch bzgl. g" (wir zeigen 3.8(3) und wissem, da5 dann unabh~ngig v o n d e r Existenz yon Partitionen der Eins auch alle weiteren Cbarakterisierungen yon "riemannsch" erf~illt sind). Sei also ~:I ---'TE beliebige C~-Kurve und Y,Z&~s :=~oo<~ :I --->M: d "'Y Z) = d .yI,z 1) + d , ~-~g~<( , ~-~gc ~ ~ g c ( Y 2 , Z 2) ~.~ :

gc(~ ~'z~) + gc(~'~ z~) + gc(~ ~,z~)'

§ ~'(~'v~ z~>oc

=

a.e.d. Bern.: (i) Eliasson gibt in [81 (ebenfalls f~ir beliebige Banachmannigfaltigkeiten) zu jedem torsionsfreien Zusammenbang K:T2M--->TM fGr M einen induzierten torsionsfreien Zusammenhang ET:T3M--->T2M f(Ir TM an, der aus dem oben konstruierten (bei E=TM!) ents~eht durch Hinzuf~Igen eines mit Hilfe des KrGmmungstensors R yon K gebildeten Terms. Dieser Zusammenhang lautet allgemeiner bei Vorgabe von zwei torsionsfreien Zusammenh~ngen K,K':T2M----~TM und y1 y2 ... wie ira Satz vorher:

(8) %:= (~a,T~o,~')-a(~C'~,~.T2%,~'oT~'-~'.(T%.Ta%,~a.T'fl,'5.T~,) und bei Darstellung mittels kovarianter Differentiationen:

-

(9)

65

-

X~xYIv = (~I,T~o,K')-I(V,~xYIIv,V~Y21v-R'(XI,v,YI)) v v

wobei R' bei K T als 3-1ineare B~ndelabbildung R':TM 9 TM 9 TM ---bTM aufgefaSt wird

(vgl. V.1o, ~i+1:Ti+lM ~ - b T i M ,

i=o,I,2).

Mit Hilfe der lokalen Darstellungen des vorausgegangenen hilt man fir die Christoffelsymbole

Beweises er-

yon K T folgenden Ausdruck

(vgl. 8.3

(v~(• I) (x5,x 3) ,~ (xl)(x5,x4)+v~(x3,x~)-~(x1)(x2,~(xl (x5,x3)) +v~ (xl) (x2 ,~' (xI ) (x5,x 3 ) )§

(xl)- x 2 "(•

)'

woraus sich das bisher ~Iber K T behauptete unmittelbar ablesen l~5t, da auch K T als Komposition von Vektorraumb~Indelmorphismen raumbGndelmorphismus

wieder Vektor-

(Gber ~I) ist; unter V e r w e n d u n g o o d e sbei K" Gezeig-

ten, gen~gt es hier zu zeigen, da5 R'o(T~ooT~go,~I-TTI,~IoT~o):T3M---bTM Vektorraumb0ndelmorphismus Ober ~ooT~o : Took ' = ~oO~I ist. Dieser Zusammenhang ist aber nicht riemannsch, wie man durch Vergleich mit dem vorausgegangenen Beweis sofort sieht, u n d e r hat nicht dieselben Geod~tischen wie K", falls R' ~ o gilt, da der damit hinzugef~gte Term einen symmetrischen Tell enth~it, vgl. 5.4. Sei f:N 9 Morphismus. Mittels (8) berechnet man f(]r die Vektorfelder !~ngs f, also f(Ir alle X ~ ( N ) ,

Y~(f)

i :

-

also f~r f : : ~ : I X~

,p &N:

>TM

C~-Kurve,

Y~[(~),c

:: ~oO~

:

: I

Ylt (~I'TTo'K')-I(~(t)'~cYIIt'~cY21t-R'(~'~(t)'Yt))

und speziell f~r Y:~:(T1~T~o,K')-1(~(t),Vc~It,~y~It-R'(~(t),~(t),~(t))). Damit folgt: I) ~

ist Geod~tische von K T zum Anfangswert w ~T2M ~ > ~

ist das Jacobifeld bzgl. K' l~ngs der Geod~tischen

c yon K zum Anfangs-

wert ~(o) = T~o-w mit den Anfangswerten ~(o) = ~1(w),X~c~Io=K'(w) 2) T y ~ I ( ~ ) ~ T ~ M .

und

Im Falle K=K' folKt f~r die Exponentialabbildungen

exp, exp T von K,K T und die kanonische exp~

Involution ~, vgl. 2.7(ii)

(11):

= TexD

(vgl. [8], S. 18o, dort wird die Abbildung exp T zur Berechnung verschiedener Ableitungen von exp sowie zur Trivialisierung

bei gewissen

B~ndeln wie bei uns Exp benutzt.) (ii) Mit Hilfe des torsionsfreien Torsionstensor

Zusammenhangs

ma5en: (lo)

K T berechnet

von K" (im Falle E=TM und K,K' torsionsfrei)

. . T"(Xv 'Yv ) : V x .Y I.v . VyXIv

mit X , Y ~ K ( T M ) , v ~ T M

~ x Y I v + ~ yX Iv

und X 1 y1 wie in 8.3(5) V' V

sich der folgender-

-

AIs Anwendung von 4.7(iv),(v)

66

-

folgt damit, da~ M" i.a.

(bis auf R'=o,

also T"=o) nicht dieselben Geod~tischen wie der Levi-Civita-Zusammenhang von g" besitzt, da sonst ~ZxY : : V ~ Y

- ~T (X,Y) diesen Levi-Civita-

Zusammenhang definieren mfi~te (was aber wie bei K T als nicht richtig nachgewiesen werden kann). Sind K,K' zus[tzlich riemannsch

(also die Levi-Civita-Zusammenh~nge

yon g,g'), so folgt die Verschiedenheit

der Oeod~tischenmengen

auch

aus 5.4(iii), da sonst die 3-Form g"(..,T"( ..... )) auf (T2M) 3 schiefsymmetrisch sein m~1~te: Fflr alle u,v,w~ TM x r T2M,x ~ T M gilt jedoch g"(u,T"(v,w)) : g'(K', u,R'(T~o.V,x,T~o.W) - R'(TTo.W,X,T~ ~ v)). Man sieht abet, da5 diese 5-Form eingeschr[nkt auf die Horizontalteile bzw. Vertikalteile

sich alternierend

tiseh verschwindet), Richtungen

verb[It

(da sie dort sogar iden-

womit nach dem in 5.4(iii) Oesagten,

die in diese

startenden Geod~tischen von K" und dem Levi-Civita-Zusammen-

hang fibereinstimmen mNssen. Da5 KT nicht dieselben Oeod~tischen wie der Levi-Civita-Zusammenhan~ von g" definiert, Widersprueh

ist nach ~.7(iv)(v)

unmittelbar klar, da sonst K T i m

zu dem in (i) Gesagten bereits der Levi-Civita-Zusammen-

hang wire. (iii) Wir haben im Vorausgezangenen

den bz~l. ~" einfachsten riemann-

schen und den einfachsten aus K,K' gebildeten torsionsfreien hang beschrieben und mit dem Levi-Civita-Zusammenhang Der Vollst~ndigkeit hang noch bestimmen.

Zusammen-

yon g" verglichen.

halber wollen wir jetzt auch letzteren ZusammenDabei setzen wir voraus, da6 K,K' die Levi-Civita-

Zusammenh[nge bzgl. g,g' sind, also insbesondere E=TM. Man verf~hrt am zweckm~Sigsten

folgenderma~en

genNber K" (ersterer torsionsfrei,

(vgl. 5.~): Der Zusatzterm von Km geletzterer riemannseh):

(v,o, -R' (X~,v,Y~)) wird in seinen symmetrischen und schiefsymmetriscben Tell zerlegt: + (yI,v,X1)), v

+

und man versucht durch geeignete Ab~nderung des symmetrischen Tensors wieder die Bedingung "riemannsch"

herzustellen,

wobei ja "torsionsfrei"

erhalten bleibt, also dann der Levi-Civita-Zusammenhang

entsteht. Auf

diesem Wege ergibt sich: (11) Satz: Die folgende Abbildung K:T3M ---~T2M beschreibt den LeviCivita-Zusammenhang

von (TM,g"):

K= (~I 'T%o'K' )-Io (~Io ~2,KoT2.ro+ 89 %~

+~} ~ (~~

~ (TI~

,K'- T~, *~ .T% ~ ) , ~'o T~'- 89

~TK' 'TZo~

(T%.~%

) +

~ , ~~

Die l~ngs beliebiger Mornhismen f:N---bTM durch K induzierte Differentiation ~ lautet fflr alle X ~(N),Y~(f),p~N:

~oT~

) ).

kovariante

-

67

-

+ -~,,R'(f(p),(Tf.X)p2,y ),~y21p 2 ((Tf-X)p,Y ,f(p))) Dabei bedeutet der Index I bzw. 2 wieder, da5 es sich um die vertikale bzw.

(bzgl. K') horizontale Komponente des betz'effenden Vektorfeldes

TTM handelt

in

(die beidemal Vektorfeld l~ngs yoof ist), und ~ meint den

folgenden VektorraumbHndelisomorphismus: ~ = 6 - ~ ' : T M - - - - > T M ,

6 bzw. ~'

die durch g bzw. g' induzierten Identifizierungen von TM mit -~I* : v I ~ g(v,..) bzw. v.~ > g'(v,..) L~ngs Kurven f : = ~ : Y (-~((~),t e I:

N := I --->TM ergibt sich damit speziell for alle

~eY)t = ('rl'T~o'K')-l(~ ~ 2

1]t+89

2 .I

'(~(t),Yt,~et)

+

1

(~e(t) ,~et ,Yt ) , V,' Noo~Y2It

+ 89

also lautet die Bestimmungsgleichung

fur G e o d ~ t i s c h e ~ : I

~TM

9

+

~ (~e,K'o-~,

),W-,~,oo~ei<'~ ) : o~E(~),

oder einfacher unter Verwendung von c :: ~roO~e:

~o~

+ ;~.R,(~,v~,~)

: o(-~E(c), v ~ :

o~(c).

Es folgt, da5 insbesondere alle bzgl. K' parallelen Felder Y~B6(c) l~ngs Geod~tischer c:l

> M bzgl. K Geod~tische von (TM,g") sind.

Bew.: Wir zeigen zun~chst die Beziehung zwischen K und ~z :

//~

X(-~(N )

~

/A, I(oTY-Xp:'~Ylp (vgl. 2.2),

Y ~(f) p(N d.h. wir brauchen nut zeigen:

(ii) K'oi-TY.Xp : ~ y 2 1 p - 7 R '1( T f - X ) p ,

1 y1p,f(p)).

Zu (i): Es gilt: [KOT%o+ 89176

I) +

+ 89 + 89

-

- R'(~I(T(~oY)-X p),K'(T(~IoY)-Xp),mI(T(TYo~Y)-Xp)) : ~xYIIp+ 89 ~(R'(f(p),y2p,(Tf.X)

=

10)+R'(f(p),(Tf-X)p2,y1.p))

wie aus den dazugeh~rigen kommutativen Diagrammen ersichtlich ist. Es folgt (i). Zu (ii): [ K ' , T K ' - 8 9

IoT2Yo,~I-T~!)](TY-xp):K'(T(K'-Y).Xp)

i , - ~R (T~o(T(TIeY)- Xp) , TI(T(TICooY)'Xp) ,'tI(T(~I~Y) -Xp)) :

-

-

= ~}y2[p

_

68

-

~R'((Tf.X)p,1 y1p,f(p))

Unter Ausnutzung des bei K" und K T Gesagten folgt nun unmittelbar: Abbildung

T3M

K

Die

>T2M

ist VektorraumbUndelmorphismus l~ngs ~1' also ist v als Abbildung von ~(N)~s in ~(f) fur alle Morphismen f:N - - ~ T M (also insbesondere im Falle f=idTM und im Falle von C~-Kurven f=~:I---->TM) wohldefiniert. Wir zeigen (I) / ~ T(X,Y) = o (~torsionsfrei) X,Ye~(TM) (2) / / ~ Xg"(Y,Z) = g"(~Y,Z) + g"(Y,~Z) (v riemannsch) X,Y,Z~(TM) und haben damit auf Grund der in S.I formulierten Eindeutigkeit von Levi-Civita-Zusammenh~ngen gezeigt, daS K der Levi-Civita-Zusammenhang von g" ist, falls M Partitionen der Eins gestattet, da TM dann Lemma 1.5(ii) erfUllt. K ist aber auch im allgemeinen Fall, falls also keine Partitionen der Eins auf M nachweisbar sinR, der Levi-Civita-Zusammenhang yon (TM,g"). Dies folgt, da fur jedes offene U in M die kovariante Differentiation des eingeschr~nkten Zusammenhangs K/TTU wie in (11) gegeben ist und die zu den obigen Formeln (1) (2) entsprechenden Formeln bzgl. (TU,g"IT U) erfUllt, also jeweils den Levi-Civita-Zusammenhang bx~. dieser riemannschen Untermannigfaltigkei~von TM darstellt, vgl. g.l (da bei hinreichend kleinem U die Mannigfaltigkeit TU 1.3(ii) erf~lllt). Zu (1): Nach dem in %.~ Festgestellten, genflgt es zu zeigen, da~ ~ Y - ~ X Y = ~ y X - ~ y X gilt. FUr die linke Seite dieser Gleichung ergibt sich an tier Stelle v eTM: (~1. TTo, K. )-l(v,89 (v 'y2v ' M Vg ) + R'(V,Xv,Y 2 v1)) , ~R1,( v v' Y IXI,v) + R'(X$,v,Y$)) : (T1,TTo,K,)-I(v,89 -

r.

(~I,T~o,K')-I(v, 89

&) XI~v" + R'(v'X2'y1))v v ' -

§

§

.,

+ R'(V X2 Y~)),89189 '

V'

:

V

V

'(X~,v,Y~

Aus dem letzten Ausdruck ist die gewUnschte Symmetrie sofort ersichtlich. Zu (2): Es gilt Xg"(Y,Z)= X(g(YI,Z I) + g'(y2,z2)) : g(X~Y-~,Z 1) + g(yI,~z~) + g'(~xY2,Z 2) + g'(y2,VxZ2) und

9

-

69

-

+'(~,Z)~v+~(~,~Z)Iv:+(~,z~)Iv+~g(~< ~'(+,~,~)v ~ + (v,x,~)),

+g,

-~g'(~'(•

+ R' (v,X~v,Z1v))) +

v + ~g(Yv'~(~'(v'Zv

g'(~,vlz2)Iv

_ ~g I ,(y~,R,(X ~ ZI,v) ). Nun gilt aber " v' v

2

g(~(~'(V'~v'~v) + ~'(v'x~'~))'z~ ) v

g(~(~,(v, z~,

~)~ ,Z~+v) +

•

,~)

+ ~' (v,x~ ,z~))

- ~' (R' (Xvi,Yv~,V),Z 2) + - g'(R'(Xv~,Zvl,V),Yv2) --

g,(R,(v 'x v' 2 Y~) 'zvI )

+ g'(R'(v,

Y~,x~) v v 'z~) - g ' (R,< "Xlv, ZI'v)'Y~)

nach 8.1(11),(12),

woraus die Oleichheit

der beiden obizen AusdrNcke

folgt,

g.e.d.

Bem.: Als Anwendung

der in 4.7, 5.5 angestellten

wir drei Zusammenhangsabbildungen einander verschiedene der verschiedene

definieren

Sprays besitzen).

~z'

und sie sind zum Anfan~swert

(T~o(W),K'(w))

Anfangswert

~

der Geod[tischen

fort T o O ~ ~ o

horizontalem

~

o ~M~o~(w

AnfanKswert

die Oeod[tische

lautet

~i(w)

fangswerten ~(o) Fall verl[uft ~ allerdings

falls w ~ T T M

der

: w.

w~T2M

ganz ~n einer Faser yon TM). in allen drei F~llen dann

). Damit i s t ~

auf~efaZt bei vertikalem

;~(t) = ~ ( w )

+ t.K'(w)

(bzgl. K': K'(w)=o)

zum Anfangswert

ersten und letzten Fall das bzgl. Anfangswert

zu l~sen,

als Kurve in M

wert w in allen drei F~llen durch daZ ~

Reihenfol~e

~) : (o,o)

in TM ist: ~(o)

(w) (d.h. ~ verl[uft

o, also, da ~

kann, einfach ~'

(also drei voneinan-

in T2M: T'ro(W) : o, so folgt in allen drei F~llen so-

~

Die zweite Bestimmungsgleichung , ~7' o , ~ =

die drei von-

Die drei Bestimmungsglei-

lauten in entspreehender

(~,V'~o~,~),~_

Liegt w vertikal

f~berlegun~en haben

K",KT,K auf TM gefunden,

Oeod~tischenmengen

geod[tische

chungen der Oeod~tischen

~o

+

T~o(w)

Anfangsgegeben. Bei

folgt in allen 3 F[llen,

bzgl.

K ist, und ~

K' Darallele Feld links ~o-~

und im zweiten das Jaeobifeld

werden

bzgl.

im

zum

K' zu den An-

= ~i(w), ~ c ~ o = o ist, d.h. nut im ersten und dritten auch im weiteren ganz in horizontaler Richtung. Liegt

der Anfangs~unkt

~i(w)

sogar in M c T M :

Ti(w)

: o, so ist

-

in allen

70

drei F~llen das Nullfeld o

-

c

l~ngs c, verl~uft also dann stets

horizontal und zwar in M (die Fasern und M sind also in allen drei F~Ilen "total-geod~tisehe"

(abgesehlossene)

im letzten Fall sogar total-geod~tische

Untermannigfaltigkeiten

riemannsehe Untermannigfaltig-

keiten im Sinne von 5.5(v), da i:(MD,g p) - - > ( T M , ~ " ) i:(M,g) --->(TM,g")

isometrische Einbettungen

nutzung der Hblichen Identifizierungen Bem.: Der Zusammenhang

von TM,

und

slnd, wie man unter Aus-

leicht nachDrf~ft, v~l. 2.3).

K":TE --->E ist genau dann vollst~ndig,

wenn

K:T2M - - > M vollst~ndig ist. GleiChes gilt fNr den Zusammenhang KT:T3M - - b T 2 M (beides folgt aus der globalen Definiertheit yon parallelen Feldern bzw. Jacobifeldern

l~ngs Kurven bzw. Geod[tischen).

bei K ddrfte Zhnliches gelten. Dort gilt iedoch darNberhinaus g = g'):

(TM,g") ist genau dann vollst~ndig,

falls

ist (die eine Richtung ist trivial, da d=d"/M• sen in TM ist). Da M trivialerweise

Auch

(f0r

(M,g) vollst[ndig

gilt und M abgeschlos-

genau dann (weg)zusammenh[nKend

ist, wenn TM dies ist, ergibt sich daraus ein weiterer Beweis ff~r 8.2(2): (M,g) vollst[ndig

-=9~(M,g) geod[tisch vollst[ndig:

Ist c v Geod~tische von (M,g) zum Anfangswert sche von (TM,g")

v ~TM,

so ist 6v geodMti-

(zum Anfangswert ~v(O)) mit demselben maximalen Defi-

nitionsbereich wie c v. Nach der in 8.2(2) angewandten SchluSweise existiert nicht nur lim Cv(t) , sondern auch lim ~ (t). Da ~v aber t <---->L t~-->L v Integralkurve des geod~tisehen

Sprays S yon K ist, ist nach einem be-

kannten Satz Ober L~sungskurven yon Vektorfeldern

(vgl. [29], S.65),

~v sogar in einer Umgebung yon [o,L], also auf ganz ~ definiert.

-

II.

DIE

RIEMANNSCHE

o. Generalvoraussetzun~:

71

-

MANNIGFALTIGKEIT

E,F,...

HI(I,M)

bezeichnen im folgenden stets eukli-

dische Vektorr~ume,

sind also yon endlicher Dimension und mit (irgend-)

einem Skalarprodukt

<..,..> versehen

bezeichnen

(dazugehSrige Norm:

"euklidische Manni~falti~keiten",

nale~hausdorffsche

C~-Mannigfaltigkeiten

das seien endlichdimensio-

ohne Rand (Modelle ~,N,...

euklidische Vektorr~ume der Dimension m,n,...), Metrik g besitzen

~..II); M,N,...

die eine riemannsche

(was genau dann der Fall ist, wenn die Mannigfaltig-

keiten M,N,... parakompakt oder metrisierbar sind oder Partitionen der gestatten ~ abz~hlbare Basen besitzen;~4Awerden stets nur abz~hlbar viele Zusammenhangskomponenten VektorraumbGndel",

betrachtet~:~-->~,~,F-->Nj..,

~:TM

Faser gemeint sind (Modelle E,F,..

> M). Die Totalr~ume E,F,.. yon

euklidische Mannigfaltigkeiten~und RMZ-Struktur

"euklidische

womit C~-BOndel Gber euklidische Mannigfaltigke~ten

M,N,... mit endlichdimensionaler Beispiel:

bezeichnen

sind wieder

jedes solche Bflndel besitzt eine

(g,~7), vgl. 1.3.7~35~8.3

folgende das geeignetste

~,..

;

(RMZ-Strukturen

stellen fGr das

-nicht immer schw~chste - Konstruktionshilfs-

mittel dar). Ein Morphismus yon M in N oder E in F i s t bildung aus der zu M,N bzw. E,F geh~rigen Kategorie, Typ C ~.

stets eine Abalso stets vom

I=La,b] bezeichnet ein nichtentartetes, kompaktes Intervall aus ~,to~I einen fest gew~hlten Punkt daraus und ck(I,M) fGr k=o,1,2,...,~ die Menge der ck-Kurven c:I

> M.

I. Der Modellfall HI(I~E) Die folgenden Aussagen sind bis auf I.~ elementar und sie skizzieren die fGr euklidische Mannigfaltigkeiten

anzustellenden

Betrachtungen

im

Spezialfall eines euklidischen Vektorraumes (erg~nzende Erl~uterun~en finder man in Palais [3~sowie im Anhang zum 3. Kapitel; in den Beweisen braucht o.B.d.A, nut E=~ n betrachtet zu werden). 1. Sei Ho(I,E) der Vektorraum der quadratisch-integrierbaren f:I

> E (sonst Gbliche Bezeichnung:

dann, wenn alle Komponentenfunktionen aus L2(I,E) sind). Die Funktion

<..,.~o

Funktionen

L2(I,E); es gilt fe L2(I,~) genau bzgl. einer beliebigen Basis yon

: Ho(I'~)• Ho(I'E)

~ %.

(f,g) | ist ein Skalarprodukt raum ( = T 2) macht unterscheiden,

> ~dt

fGr Ho(I,~) , das Ho(I,~)

(falls Funktionen,

als identifiziert

zum separablen Hilbert-

die sich nut auf einer Nullmenge

betrachtet werden),

ll..IIo bezeichne die

- 72 -

zu 4..,..>o geh6rige Norm. 2. C~ durch

ist der Raum der stetigen Abbildungen f:l ---~. Dieser wird IIffl~ := max Uf (t)~{ zum separablen Banachraum. t*l

Ist fi ir~ C~ kanntlich:

g.(fl,...,fr):t

und es gilt Funktionen

) fHr i=o,..r und g ir~ C~ ~g(t).(fl(t),...,fr(t))

g'(fl'''''fr ) g Ho(I'F)'

:: If:l

verlangt wird.

> ~/f absolut

stetig und f'~ Ho(l,~)~ ~

versehen mit der Metrik ~..,..>> : H I ( I , E ) • (f,g) ' ist ein separabler Hilbertraum zes yon Lebesgue,

ist in C~

falls f~r eine der beteiligten

nur noch die Ho-Eigenschaft

3. Der Raum HI(I,F~)

, so gilt be-

.>~

>+~a
(= (2). Dies ist sofortige Folge

vgl. 111.7, der in leichter Ab~nderung

dt~

des Sat-

folgendes be-

sagt: Die AbbildunF ~ : H I ( I , E ) - - - ~ H o ( I , E ) , f ~ (f(to),f') ist wegen f(t):f(to)+I~f'(~)d~ eine Isometric (also die Abbildun~ D : HI(I,E) ) gilt f~ HI(I,~. ) beliebigen Basis start C ~ Gberall

Ho(I,E) , f i ) f' linear, stetig und von Norm 1). Es genau dann, wenn alle Komponentenfunktionen bzgl. einer yon E aus HI(I,~) sind, und 2. gilt analog, wenn man H 1 schreibt, denn starker gilt sogar: Ist f:I > U~F

vom Typ H 1 und G:U 9 ) ~ vom Typ C ~, so ist gof:l > F vom TYD H 1. Der Raum C~(I,E) ist ein dichter Unterraum von HI(I,~) und Ho(l,~). 4. Sind t l , t 2 e l

mit tl_~ t2, so gilt f~r Lfl[tl,t~ :: I t2 llf'(t)IIdt: t1

IIf(t2) - f(tl)~2 A (Lfl[tl,t2] und damit folgt sofort (4a)

S ( t 2 - t 1)

~f'(t)II2dt,

(Gen/~ueres vgl. III.7.2.11): //

~

2a

2

fgH I(I,F) ~fIIm- 2k. IIlfUl

(IU..I~ die Norm zu < .... .~> und k := max {(b-a),(b-a)-l}). Die ToDologie Yon (HI(I,~) , lll..~) ist also feiner als die Topologie yon (HI(I,F~) , II..U~ ), die B~lle B~(f) :: { g / g ~ H l ( l , ~ ) ^ ~g-fll~<s sind somit offen in

(H1 (I,F,), l~..Ill ). 5. Das S k a ~ t

~'''''~1 f~r HI(I,E) , definiert

f,ggHl(i,E)l ist zu ~<..,..~ ~quivalent,

:= ~ f ( t ) , g ( t ) ~ d t

durch

+~bKf,(t),g,(t)>dt, -a

denn fNr die Norm II..II1 von ~ " ' " > 1

fe H 1 (I ,~)

gilt:

(3k) -1" IIIf~l g IIfII~~ 3k.Illf~l2

Sch~rfer als es (4a) und 5. zeigen, gilt noch die folgende Absch~tzung

-

(5a)

73

-

2k. f 21

f~HI(I,E)

(doch lassen sich alle Ungleichungen hinsichtlich k oder der anderen Faktoren auch noch weiter verbessern, vgl. z.B.[~],~). Wir kSnnen also im folgenden ~..,..~ oder C'''''>1 zur Betrachtung der topologischen Struktur von HI(I,E ) verwenden, und diese h~ngt auch nicht yon der Wahl von ~..,..} ab (wie auch die yon Ho(l,~) und C~ ). 6. Sei U c I~E offen und U t := P r 2 ( t ~ a U) ~ r f~r alle t ~ I. Die Menge

HI(U ) := {f ~HI(I,E)

/ f(t) ~ U t f~r alle t ~ I}

ist offen

in (HI(I,E) , 11..II~), also auch in HI(I,S),I[..II1) und nicht leer. Ist U yon der Gestalt I ~V,

somit V ~

offen, so schreiben wir HI(I,V)

start HI(I~V ) = { f ~ HI(I,E ) / Bild f ~ V } .

HI(I,V) ist also Untermannig-

faltigkeit von HI(I,E) mit einer einzigen Karte, der Inklusion, und fHr jedes f g HI(I,V ) kSnnen wir die Tangentialvektoren X ~HI(I,V) f kanonisch als Elemente von HI(I,E) interpretieren und damit als Vektorfelder l~ngs f. Diese Interpretation wird sp~ter auch bei beliebigen Mannigfaltigkeiten V mSglich sein und ein einfaches Modell der Tangentialmannigfaltigkeiten THI(I,V ) ergeben. 7. Die kanonische Identifizierung Hi(I,EI•

) '

> Hi(I,EI)•

c ~.

ist stets Isometrie (bzgl. <''''~i bzw. 8. Die linearen Inklusionen (wegen k-l.llfI[o _

~..,.~,

HI(I,E )C C~

~ (Prloc , Pr2oc)

i = o,1).

Ho(I,~ )

sind stetig

-ill[fill ~ ; erstere ist sogar kompakt, d.h. die

beschr~nkten Mengen yon HI(I,~) sind als Teilmengen yon C~ kompakt, wie man mittels Arzela-Ascoli zeigt).

relat~v

9. Es gelten folgende Verallgemeinerun~en des Lemmas von P a l a i s ~ 9 ] , w 11.1 Lemm~: Sei U t i l e D~F:U

wie in 6. und F : U

> L(~I,..,~r;F)

~LS(~;L(~I,..,~r;F))

Beh.: Die Abbildung F : HI(U) c ~

vom Typ C ~, also auch

: L(E,..,E,~I,..,~r;P)

) vom TFp C ~.

~ L(HI(I,~I) .... HI(I,~r);HI(I,~)) ~ Fc

Fc'(fl .... fr)(t)

,

gegeben durch

:: F(t,c(t)).(fl(t),..,fr(t)) ,

ist (wohldefiniert und) eine C~-Abbildung, und f~r alle s ~ DS~

gilt:

s = D2F.

Analoges gilt bei Einschr~nkung auf symmetrische Operatoren. Zum Beweis reduzieren wir diese Behauptung auf die des Lemmas in [39]~

-

74

-

das bier in III. 7.2.1 formuliert und bewiesen ist: Ist c~HI(U) , so gibt es einen "g-Schlauch" um c in U der Form V c := ]l(t,Bg(c(t))) ~U. Da Vg abgeschlossen in ~x~ ist (wie man mit Hilfe der stetigen Abbildung (t,x)~Ix~ l--~llx-c(t)IIeR einsieht), ~ibt es eine C~-Er weiterung G yon F/Va auf ~• Das in III, 7.2.1 bewiesene Lemma gilt natGrlich auch fHr beliebige euklidische Vektorr~ume ~ statt der dort benutzten Typen ~n, also gilt: G:HI(I,U)--->L(HI(I,~I),..,HI(I,Sr);HI(I,F)) ist vom Typ C 1 und D~=~-~. Nun ist i:HI(Vs c ~---~ (idl,c) vom Typ C ~ und HI(V ~) offen in HI(U), also f~bertra~en sich die Eigenschaften yon ~ wegen F=~oi sofort auf ~ (es gilt: DFc=D(Goi)c= DGiocODic=D2bi(c)=D2Fc).

Der Rest fol~t mittels vollst~ndiger

Induktion.

F = id : L(~I,..,Fr;~ ) ~L(~I,..,Er;F) liefert als Spezialfall yon 1.1: Die Abbildung ir:Hl(l,L(~ I .... ~r;F)) >L(HI(I,~I),..,HI(I,Er);HI(I~p)) A

definiert

durch

~'

)

~

~(fl .... fr )(t) :: A(t)'(fl(t) .... fr (t))

,

(~)'

ist eine steti~e lineare Inklusion. Die Vorschrift

(~) definiert

Jr : HI(I'L(F'I .... Er;~))

auch eine steti~e lineare Inklusion. ) L(HI(I,~I) .... Ho(l,~i) .... HI(I,~r);Ho(I,F))~

wie die folgende Rechnung zeigt: W~hle zu den Skalarprodukten ~..,..~

4..,..7 yon E1,..,~r,~

ein Skalarprodukt

f~r L(EI,..,~r;F) , welches f~r alle L ~ L ( ~ l , . . , E r ; F ) , v i ~ i : llL(v I .... Vr)[l-~l[L[I-llVllI.....-IiVrll

Diese Wahl ist nach 5. zulSssig,

erf~llt

(fILl1 :--
und es folgt damit

ll~(f1 .... fr )I12 0 =~b[I~(fl,..,fr )(t)l[2dt ~_~b]iA(t)[12 IIfl(t)~2"'''[Ifi (t)ll'2"'''Ilfr(t)ll2dt ,IAII2 9 ,(fill2....-l(fi Iio2-...-~frll2

(2k) r. IIAII .

2

.-IIfrlI~ , also

[I A(I 2~ (2k) r" IIAI[ 2 also die behauptete Stetigkeit (man h~tte auch die Stetigkeit von i r auf diese Art beweisen k@nnen und dabei U[~2_< (2k)r+l. IIAll2 erhalten). Mit Hilfe yon Jr folgt, da5 Lemma 1.1 in gleicher Form auch f~r : HI(U)

>L(HI(II~ I) ..... Ho(I,E i) ..... HI(I,Er);Ho(I,~))

gGltig ist.

Das Lemma von Palais liefert unmittelbar den folgenden wichtigen Satz: [~.2 Satz I : Sei O[ bzw. ~ die Kategorie der offenen Mengen und C~-Abbildungen euklidischer Vektorr~ume bzw. unendlich-dimensionaler separabler Hilbert-

-

r~ume.

-

Seien U,V Objekte von ~, f~ Mor(U,V), und sei F : I x U

finiert durch F(t,x) Beh.:

75

(i) HI(f)

:= f(x), F i s t

: HI(I,U) 9

>V

de-

also ebenfalls C~-Abbildung.

) Hi(I,V) , definiert durch

ist wohldefiniert und C ~, und fur alle r e ~

c I

)foc,

gilt:

DrHl(f) : ~ 2 F = ir-Hl(Drfi) , also DrHl(f)c.(gl,..,gr)(t)

= Drfc(t).(g1(t) .... gr(t)).

(ii) H I :~X ) ~ , definiert durch U I kovarianter Funktor.

>HI(I,U),f I

) HI(f) , ist ein

Io. Sei A(~) := [ f ~ H l ( I , E ) / f ( a ) : f(b)~. A(E) ist (abgeschlossener) Teilraum yon HI(I,E) der Kodimension dim ~, denn es gilt A(E) = Kern S, S : HI(I,E)

) ~ die stetige lineare Abbildung c I

> c(b) - c(a).

Der Raum der "Strahlen" in HI(I,E): {fv:I

)S,

fv(t) :: (t-to).V/V e ~

ist das orthogonale Komplement yon A(~) in (HI(I,S),~..,..>>). A(E) ist also ebenfalls wieder separabler Hilbertraum unendlicher Dimension, der sogenannte Raum der seschlossenen Kurven auf ~. Die bisher fur H~(I,E) und HI(I,U) angestellten Betrachtungen gelten in analoger Weise fur A, insbesondere kann auch A als Funktor der oben genannten Kategorien erkl~rt werden: A(U) : HI(I,U)n A(~), A(f) = HI(f)/A(U). Ii. Ein weiterer interessanter Teilraum yon HI(I,E) ist der Raum

Ao(E)

:: { c ~ A ( E )

/ c(a) : c(b) : o }

mit der Kodimension 2dim ~ in HI(I,S) und dem orthogonalen Komo!ement ~fvw:I FGr alle v , w ~ Av(E)

>~,

fvw(t)

ist Avw(E)

:= Avv(~)

:= v + tw / v , w & ~ } b z g l .

:= {c~ HI(I,S)/c(a)

~ .... ~

und to:O.

= v,c(b) = w},

i.a. nur abgeschlossener affiner Unterraum yon

HI(I,E) der Kodimension 2dim ~ (nur Ao(S) =Aoo(E) ist nach folgendem linearer Raum): Avw(g) : S-1(v,w)

, S:HI(I,~)

> E•

die stetige, affine Abbildung

c

I > (c(a) ,c(b)) Hinsichtlich der sp~teren Verallgemeinerung kann man formulieren: Avw(E) ist abgeschlossene Untermannigfaltigkeit Ao(~)

von H!(I,~) mit Modell

(welches hier Richtungsraum des affinen Unterraumes Avw(~) yon

HI(I,E) ist). Ist f wie in 1.2, so gilt Hi(f)/Ao(E)

: Ao(E)

~Af(o)(~) , damit also

A ~ wie A zum Funktor wird, mu6 fGr die Morphismen f zus~tzlich f(o)=o verlangt werden (und mGssen U,V Nullumgebungen sein, es wird also nur

-

76

-

noch eine Teilkategorie von ~ zugrundegelegt). yon nut interessant, dab Morphismen f aus ~ Ao(f):Ao(U)

Fdr das folgende ist da-

C e-Abbildungen

2 Af(o)(V) sowie Avw(f):Avw(U)

> Af(v)f(w)(V)

induzie-

ten (falls o,v,w~ U gilt). 2. Grundle~ende Ubertrasun~en Seien M , ~ : E

> M und l,t ~ wie in o. und (g,V) bzw.

Voraussetzung existierende)

12.1,

(auf euklidische Manni~falti~keiten) (g,K) eine (nach

RMZ-Struktur ff]r ~.

Definitio~ :

(i) Eine Abbildung c:I

) M heist Hi-Kurve auf M, wenn f~r alle Karten

(~,U) yon M die Abbildung ~oc yon der Klasse H 1 (auf jedem kompakten Teilintervall ihres Definitionsbereiches

im Sinne yon w ]) ist. Es ge-

nGgt, dies fGr eine Menge von Karten (~1,UI), .... (~n,Un) zu prf]fen, f~r die es eine Zerlegung a=t o < t I< ...
bM

wohldefiniert und

vom Typ H 1 ist (eine solche Menge existiert stets), da Kartenwechsel die H1-Eigenschaft f:M

erhalten (allgemeiner gilt: Ist c H1-Kurve auf M und

> N Morphismus, so ist foc

H1-Kurve auf N),

HI(I,M) bezeichnet die Menge der HI-Kurven auf M. Es gilt: C~(I,M)c...~ CI(I,M) ~ H I ( I , M ) ~ C ~ (ii) Sei c ~HI(I,M).

X ~HI(I,E)

heist HI-Schnitt l[nss c, falls gilt:

E ~oX = e. Die Menge der HI-Schnitte l~ngs c: Hl(C) ist ~-Vektorraum bzw. Hl(I,~)-Modul

(mittels punktweiser Verkn0pfung; o e bezeiehnet die Null

in H 1E(c): Oc(t) HI(e)

:= oc(t); ~m Fall E=TM sehreiben wir vereinfaehend

). Als technisches Hilfsmittel ben~tigen wit noch: X:I

>E

heist H -Schnitt l[n$s c, falls gilt: ~oX = c und~o~{ ~st vom Tvp H --o

fdr alle Trivia!isierungen

'

o

(~,~,U) des B0nde!s E. Es genHgt wieder,

dies f0r eine Biid X dberdeckende Menge von Trivialisierungen dern, da bei Kartenwechseln vom Typ ~ die Ho-Eigenschaft

zu for-

erhalten

bleibt

(vgl. w I; H -Kurven auf M kSnnen nicht analog erkl~rt werden). o Wir haben also auch die ~-Vektorr[ume HE(c)o , Ho(C), wobei Ho-Schnitte, die sich nut auf einer Nullmenge von I unterscheiden,

als ident~fiz~ert

-

angesehen werden. zierbar:

6(t)

77

-

Ist C e H l ( ! , M ) , so ist c in fast allen t ~ I differen-

:= Tc(t).l(t)

(ansonsten definieren

wir diese Ableitung

durch Null), und es folgt: das Tangentialvektorfeld

6 von c (weitere

dc Bezeichnung ~-~)ist in H ~ (c) . Die Vektorr[ume Hl(C) , H (c) sind die Vervollst[ndigungen yon ~ ( c ) , dem Pr~hilbertraum der C~-Schnitte l[ngs c bzgl. der in 1.3.9(iii) genannten Metriken (n = o,I, c~ C~(I,M)), was wir mit Hilfe der folgenden Erweiterungen yon Vc,~ c aus 1.3 und den modellfillen zeigen werden.

12.2 Sat zl : ( i ) Die d u r c h ~TcY := KoY f ~ r bildung

jedes

c eHi(I,M)

und sie erf~llt

~-lineare

die in 1.3.1 genannten

Regeln.

(ii) FHr alle @ e I, Yo 9 Ec(d) gibt es genau einen parallelen Yc H~(c)

l~ngs c m i t

Ab-

> HE(c) o

E(c)

XTc : HI ist wohldefiniert

definierte

Schn~tt

Yt' = Yo"

(iii) FGr alle t" ~ I ist die Abbildung Pc}~,@']: Ec(tl) ------>Ec(t~)' Yo

> YtH

(Y zu t',Y~ wie in (ii)

),

Isomorphismus von Ec(t, ) auf Ec(t,,), die sogenannte Parallelverschiebung l&ngs c von tI nach ~. Sie erf~llt die in 1.3.4 aufgef~hrten Regeln. gilt d (iv) FHr alle X,Y ~ H E(c) 1 ~-~gc(X,Y) : gc(~ZcX,Y) + gc(X,~ZcY), insbesondere Bem.:

ist die Parallelverschiebung

(i) - (iv) sind elementare

C~-Kurven und Felder gemachten Aussagen niertheit

yon X7c folgt n a c h w

l~ngs Hi-Kurven

Erweiterungen

auf den H1-FalI:

1,2, da K faserweise

Die Wohldefi-

linea~ und Y

Kurve ist. Die Regeln f~r ~zc (Produkt- und Kettenregel) (ii) - (iv) gelten sogar f~r alle nur absolut

isometrisch.

der in I, w 3 ff]r H o-

wie auch

stetigen Kurven und Fel-

der (vgl. dazu z.B. die S~tze ~ber Differentiation und Differentialgleichungen in [32] oder 111.8.1.2; die lokale Darstellung ( ~ +Y ) ~,= Y:~ t + ~(c(t))((r

von~VcY

liefert darHberhinaus,

da5 parallele

Felder Y l[ngs c vom Typ H 1 sind, falls c vom Typ H 1 ist). Absolute Stetigkeit stellt den allgemeinsten Funktionsbegriff dar, unter dem 2.2 noch g~Itig ist

(au~erdem gelten

nat~rlich auch fHr beliebige genden als Mode!!e ben6tigten Metriken jedoch vollst[ndig existieren schr[nken

soll),

gc(~,s

Schnittr~ume

sein mGssen

ist es n~tig,

und gc(~,~)I/2

-sowie 2.3(i),(ii)'(~,K) fqr E). Da die im folbzgl. der oben erw[hnten

(und das Energierintegral

sich auf HI-Kurven und Felder

(also yon nur summierbaren

griebaren ~berzugehen)

(i)r

Zusammenh~nge

Ableitungen

9 Die Funktionen

gc

(•

zu be-

zu quadratisch-inte-

gc(•

%(~X,~cY)

von I in ~ sind dann stets summ~erbar

(die er-

-

78

-

sten beiden sogar H 1 bzw. Ho) , wie bei den vier ersten sofort aus lokalen Darstellungen und bei der letzten aus O ~__ ~ c ( ~ E ~ / ~ max { ~ ~r folgt. [2.3 Satzl : Sei c ~HI(I,M) und (H%(l,Ec(to)) , ~ ....>i ) der zu (Ec(to),gc(to)) gem~B w gehGrige Hilbertraum der H.-Kurven (i = o,I). l (i) Die Abbildung ~c : H~(c) > Hi(I,Ec(to)) , gegeben durch Y ' ) (Pcl~,to~ "Yt )t~I ' ist wohldefiniert und Isomorphismus (i = o,I). (ii) FGr alle Y ~ HI(c) gilt (iii) Die Pr~hilbertr~ume

(Qc Y) = Qc(~cY).

(H~(c),

gi,c ): "

9

)

gi , c (X,Y) := ~~ :-o I~g c (t) (X~c X ( t ) , ~ Y ( t ) ) d t

sind unter ~c isometrisch isomorph zu (Hi(I,Ec(to~,K .....~i ) und damit ebenfalls separable Hilbertr~ume; Bezeichnung der Normen II..Ui,c. Bew.: Zu (i) ist nur zu zeigen, dab Hi-Kurven mittels ~c bin und zurGck in H.-Kurven GberfGhrt werden, was jeweils lokal~im H o -Fall nach 1 w und im H1-Fall wie in 1.3.5, 3.6 mittels der Differentialgleichung S' = A(t)oS, A(t):=-~(~oc(t))((r und ihrer LGsung t I ~ C ( t o ) ' P c l ~ , t ~ ~ 1~(t) zum Anfangswert S(t o) = id folgt (indem man zeigt, da~ diese L~sungTalso auch t I

>~c(t)oPcl~o,t]

~ ~-i

c(t o)

vom Typ H 1 ist, vgl. [32]). Bei (ii) genGgt es nach 1.3.6, die folgende Gleichung nachzuweisen d ~ Q c Y I t o = Qc(XTcY)Ito Sei (~,~,U) Trivialisierung yon E um C(to). Dann gilt wie in 1.3.6 ~C(to).~_~Qcyl t o = ~_~(~C(to)OPcl~,to~t)O~c(t).Yt)ito d d ~ und durch geeignete Anwendung der Kettenregel fGr Kompositionen gof, wo g vom Typ C ~ und f vom Typ H 1 ist (beachte: t w-~ ~ C ( t o ) O P c l ~ , t ^ ~ t und Yr sind nach (i) bzw. per Definition vom Typ H I) ergibt sich mit den in I, w gebrauchten Bezeichnungen weiter: = d~(~e(to)OPei~,to]O~-Ic(t))itoYCto § Y~tot =

-

~t(~c(t)~

o-Y~to+ __Y~to

(und damit auch) (also wie in 1.3.6)

: ~C(to)'(~C'~cYlto )Behauptung (iii) folgt wieder sofort aus (il) und 2.2(iv).

)

-

79

-

12.4 Bemerkunsenl : (i) Die in (iii) angewandten Hilfsmittel liefern analog: Qc: (HE(c)'g~) > (H1(I'Ec(to))'~ .... ">>)' gc1 1 gc(X,Y)

:: gc(to)(X(to),Y(to))

gegeben durch

+ 5bgc(t)(~ZcX(t),~ZcY(t))dt

,

ist isometrischer Isomorphismus (Bezeichnung der Norm II .Ife ~ fflr diese gilt nach w (3k)-l.|XIIl,c-~IIIX~c ~-3k.t[XIll,c fflr alle X ~H1(c) sowie ~c: (HE(c)'~''~,c) ist normerhaltender llXll2 c ! 2k.f'X~

> (Hl(I'Ec(to))'ll''It~)'llXII~O,c ::sup IIX(t)Uc(t) ' tg [a,b] Isomorphismus (und ffir alle X& HE(c) gilt , B~(X) ist also stets offen im Hilbertraum HE(c),

[tIx
Die Abbildung

gc
x

> HEo(C), ist isometrischer Isomorphismus (insbesondere ist ~7c: H E(c) i X t V ~c X linear, stetig und yon Norm I). (iii) Die Topologie der Hilbertr~ume HoE(c), HE(c) h~ngt nicht v o n d e r o speziellen Wahl der RMZ-Struktur (g,v) ab, d.h. alle Metriken gc bzw. I gl,c' gc sind ~quivalent (ebenso alle II..~ c). Im ersten Fall folgt dies auf Grund der Kompaktheit von Bild c, da wegen dieser ffir j ede weitere RMZ-Struktur (g',~7~) von E eine Konstante K existiert, so da6 c f~ir alle teI, VgEc(t) Kcl.llVl[c(t) ~_~vIl'c(t)_~KcJlV][c(t) woraus

erfflllt ist,

Kcl"llXI{o,c~l[x l[o,c-~Kc'IIX[[o,c (und Kc1.11XlI c_~fIXII~,c~_Kc-[IX~I ,c) folgt.

Es bleibt noch ~XII' 1 ,C-~ K.~XIII 'C also nach obigem ]IVcXI[2o,c-~-I[XII 2l,c fGr alle x~HE(c) nachzuweisen: Die Abbildung D := ~ ' - ~ ist ein Differentialoperator o-ter Ordnung, also ein C~-Schnitt in L(TM,E;E) (vgl. 1.4.7(iv) ). Damit folgt

cXllo,c (llvoxIIo,c§ l~ !2(ll~ZcXIro, c2

ll o,c)

+ IIxII2,c"I[~II2,c"~bIIDc(t) II2dt) -~

also die gewflnschte Ungleichung (wobei zus~tzlich eine RMZ-Struktur (~,~) ffir TM und die durch g,~ induzierte Finslerstruktur ffir L(TM,E;E) verwandt wurden; llDc(t)II2 ist dann stetig in t, das Integral ~bl[Dc(t)ii 2dt also endlich ).

-

8o

-

Das folgende Lemma macht I.I in Verbindung mit 1.3.5, also hinsichtlich C'-Kurven c:(~,8) > M und den dadurch induzierten C~-Bflndeln c~ E (~,~)

~c e

>E >

f~r beliebige euklidische Mannigfaltigkeiten und Bflndel nutzbar: 12.5 Lemm~ : Seien r ~ , ~ : E i >Mi,~:E > M wie in o., ci~ C~(I,Mi) , ceC~(I,M)

i

und p := c{%Ei, p:= ceE die dazugeh6rigen Pull-backs 0her einem (allen gemeinsamen) Intervall (~,8)~I, i=o,...,r. Sei U c p ~ offen, so dab ee~(U)=(a'8)o , also stets U t := Un Pt ~ ~ ist und sei F : U .... ~L(pl,..,pr

p) fasertreuer Morphismus, also insbesondere r I r > L(p I ,... ,p ;p)t=L(Pt , ... ,pt;Pt) vom TyD. C~.

F t := F/Ut: U t

Wir haben dann auch den fasertreuen Morphismus o ,p I , . . , p r ; p ) ~ D F : U >LS(p .... pr;p)):L(p~

O;L(pl

definiert durch D~F(t,v) Ordnung yon F. Beh,:

(i) Die Menge

in (HE ~

HI(U ) := {a~HEo(co ) / ~

(t,a(t)) eUt~

ist offen

ll~o,cO )- also auch in (HE~c o) , II..II1,Co)- und nicht leer.

(ii) Die Abbildung

I L(HE~(cI)''''HE~(cr);HIIIE(c) )

I Fa(Xl,..,X r)(t)

:= DSFt(t,v) , die vertikale Ableitung s-ter

>

Fa' gegeben durch

:= Pr2{F(t,a(t)).[(t,X1(t)) .... (%,Xr(t))]},

ist wohldefiniert,

C ~, und fflr alle s e ~

gilt:

DsF = D2F

Analoges gilt bei Einschr[nkung auf symmetrische 0peratoren. Bew. : Seien Qci,Qe die bzgl. irgendwelcher RMZ-Strukturen der Bf]ndel Ei,E g e m ~ 1.3.5 definierten (g!oba!en) Trivialisierungen der Bgndel pi, p. Sei Q der dureh die Qei,Q c induzierte Vektorraumbfindelisomorphismus von L(p I ,..,p r ;p) auf (a,8)xL( p~.I ,..,Pto;ptr ). Die Abbildung o o G::PrR~176176 ~o

Qc (U) 9 o

> L(PtI .... Pt ;Pto)'O(t'~(t))'(fl (t) .... fr (t)): o o

= Polrt ,t oS'pr2{ F(t 'Pool[to, t]'a (t)). [(t,s genfigt den Voraussetzungen

~to ,t~.fl (t)) .... (t ,Per [to, t]'fr (t))])

in l.i, also folgt: die Abbildung

-

: HI(Qco(U))

81

-

> L(HI(I'P~o)''''HI(I'~[o);HI(I'~to ))'

Gj(fl .... fr )(t) :: G(t'~(t))'(fl(t)''''fr(t))' ist vom Typ C ~ und sie erf~llt DSG = DSG ffir alle s e ~ . s Sind nun ~Qc1.'Qc wie

in 2.3,

und bezeichnet Q den durch die Qc 1 ' ~ "''Oc r ~ '~c

induzierten topologischen Isomorphismus

L(H~r so gilt

>L(HI(I,~ ~ ) , . . , H I ( I , ~ ~ );HI(I,P t )), o o o F : Q-loGoQ c o

, also DSF : D2F,S da D~F : pr2oQoD~G-Q~I , o

wobei bei diesem Q noch s-mal Qc

beteiligt ist. Damit folgen die Ofo fenheit von HI(U) und behaupteten Eigenschaften der obigen Abbil-

dung F. Der Fall eines H -Terms wird analog auf 1.1 zur~ckgespielt. o Q.E.D. Bem. : Als Spezialfall des Lemmas erhalten wir wieder: Die Abbildung ir : nI'L(Ea.... E~,E)(c )

A(X 1 .... Xr)(t)

p L(HE
:= A(t).(Xl(t),..,Xr(t))

ist stetige lineare Inkusion (Mi:M , ci:c ~C~(I,M) in diesem Fall; analoges gilt bei Einschr~nkung auf symmetrische Operatoren oder bei Beteiligung von hSchstens einem Ho-Term sowie fur beliebige c ~HI(I,M) (zu letzterem vgl. 49]; eine Ausdehnung yon 2.5 auf beliebige cie HI(I,Mi) , c ~HI(I,M) ist jedoch beweistechnisch nicht mehr yon Interesse ). E Wir erw~hnen noch die folgenden linearen Inklusionen: HI(c) C C Eo( C )~ H Eo(C)~ die nach der in 2.4 benutzten ~bertragung von w

ebenfalls stetig sind.

12~6 Bemerkun~ : Bevor wir jetzt mit der EinfOhrung einer differenzierbaren Struktur auf HI(I,M) beginnen, wollen wir noch andere (grSbere) Topologien auf HI(I,M) betrachten. Se~ g riemannsche Metrik fur M und d die dazugeh~rige Metrik auf M (vgl. 1.6.4). Die Vorschrift d~(c,e) := sup d(c(t),e(t)) t~I definiert eine Metrik auf HI(I,M) (die auch den Wert ~ annimmt, falls M nicht zusammenh~ngend ist). Mit Hilfe "gebrochener Geod~tischer" (Genaueres vgl. V.12) zeigt man leicht (indem man jede der abz~hlbar vielen Zusammenhangskomponenten yon M extra betrachtet - was im Folgenden stets geschehen kann und soll): Es gibt eine abz~hlbare, dichte Teilmenge

-

82

-

von HI(I,M), die aus st~ckweise differenzierbaren Kurven besteht; (Hl(l,M),doo) besitzt also eine abz~hlbare Basis (und obige dichte Men~e kann sogar aus C~(I,M) ausgew~hlt werden). Die Topologie des metrischen Raumes (HI(I,M),d~)" (vgl. Milnor ~4] ) d~(c,e) :: d~(c,e) + (3a(It~(t)Ilc(t)-II@(t)IIe(t))2dt) 1 / 2 ~ ist ebenfalls gr6ber als die der im folgenden betrachteten differenzierbaren Struktur auf HI(I,M) , jedoch gerade fein genug, dab die Abbildungen E,L:(HI(I,M),d~) >~, c i 7 E(c),L(c) stetig sind: 2 )dt, Eol~ta,t23 :-- i/2 ~ I [ ~(t)llo(t

E
Lcl[tl,t2] := ~211~(t)I 1 o(t )dt

,

:: Lcl a,b

Wit bemerken erginzend zu 1.6.3ff, dab sich an der Metrik d und der Minimalisierungseigenschaft der Geoditischen yon (M,g) (bzgl. der Lingenoder Energiefunktion) nichts indert,wenn man statt der iiblichen stockweise) C~-Kurven s~mtliche H1-Kurven zugrunde legt." 0eod~tische sind also gerade die Hi-Kurven , die lokal minimale L~nge oder Energie haben, und deren Parameter proportional zur Bogenl~nge ist (beachte: der Ausdruck xz~ ist nicht fur alle HI-Kurven bildbar, wenn er ,~edoch existiert, (d.h. & absolut stetig) und gleich Null ist, so ist c Geod~tische, also insbesondere vom Typ C ~, vgl. dazu 111,w 3. Die Hilbertmanni~falti~keit HI(I~M). Die Funktoren H1,H ~ Sei I,M,y:TM >M,m wie in 0., (g,~z) bzw. (g,K) eine RMZ-Struktur auf M mit dazugeh~riger Exponentialabbildung exp : TM ~ M und c~ C~(I,M). Es sei eine C~~ c:(~,~) > M yon c:I > M , e > o und eine Umgebung U yon M in TM, auf der exp Diffeomorphismus ist, gew~hlt, so dab U n t ~ ) M c ( t )

: ~)Bs

gilt (diese Wahl ist nach 1.4.3

Bew. m6glich, falls (~,~) so gew~hlt ist, dab c auch noch auf [~,~]erweiterbar ist). 15"1 Definitionl: (vgl.~gi~6~)gilt nut,falls K Levi-Civita-Diff.) B~(o c) := {X~Hl(c)I J ~t 6 1 X(t)6 B:(o (t))~={Xc-H~(c)/ IIXII__ < g }) t C i ~-~)~ B~(C) ~.= ~e ~HI(I,M) / t/~ei e ( t ) ~ B 6 ( c ( t ) ) ~ { e ~ H l ( I , M ) eXPc: B~(o c)

>B~(c),

X I

>eXPcX

/ d~o(c,e)<~,

:= expoX = (eXPc(t)X(t))te I.

13-2 Herleitun~}Die eben definierten Abbildungen exp c sind Bi,~ektionen, die miteinander vertr~glich vom Typ C ~ sind: Zur Bijektivit~t ist nach 2.1(i) zu zeigen, da~ die Abbildung L._ ~ (t,B~(Oc(t))) ~ (o<,~)• Gc := (c*~'exp~ : 0c := te(o<,~)

-

elm Diffeomorphismus ne Teilmenge Uc:= ~

83

-

yon der offenen Teilmenge 0 c yon c*9M auf die offe(t,B~(c(t))) von (~,~)~M ist (da X,e in ~qui-

valenter Weise als H~-Schnitte in den Bi~ndeln c*TM bzw. ( ~ , ~ ) ~ ~ber (~,~) auffaBbar sind). Die Offemheit yon 0 c bzw. U c folgt unmittelbar aus der Stetigkeit yon ~*c: c*TM ~ TM bzw. (c,id):(~,~)~N ~M~M, da U und V := (~,exp)(U)r offen sind. Nun ist c*TM Untermannigfaltigkeit yon (~,~)~TM (vgl. I~ Einleitung), u~d (~,~)~N ist Untermannigfaltigkeit yon (o%~)xN~M -te(~,~) ~---~ (t,c(t))~(~,~)• ist bekanntlich Einbettung. 0 c bzw. U c ist also Untermannigfaltigkeit yon (~,B)~TM bzw. (~,~)xM~N, also auch yon (~,~)• bzw. (~,~)•165 Nach I.~.3 ist nun id• : (~,~)xU > (~,~)• Diffeomorphismus, also auch ~c' da wegen der obigen Identifikation ~c= id~(~,exp)/U ~ gilt (und Gcbijektiv ist). F~r jede weitere C -Kurve ~:I > M gilt bei analog gew~hlten Bezeichnungen (bzgl. einem gemeinsam gew~hlten Hilfsinter~all (~,~)): Die Abbildung F := G ~ c : G~(Uc~Uc)~C*'s ~G~(Uc~Uc)~*T~ ist Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen dieser B~ndel), also ist die nach 2.5 dadurch induzierte Abbildung ,> e x p ~ ( ~ Z o ) ~B~(~)) exp~-~ ~eXPc : e x p ~ (B~(c)~B~(~)) C~-Abbildung zwischen offenen ~eilmengen der Hilbertr~ume H~(c),H~(~). Damit ist die eingan~s gemachte Behauptung gezeigt und es folgt: ~.~ Satzl: H~(I,M) kann in eindeutiger Weise zur (hausdorffschen) Hilbertmannigfaltigksit gemacht werden, so dab ~(exp~ ~,B~(c))/c~C~I,M), ewie vorher~ C~-Atlas dieser Mannigfsltigkeit ist. Dieser"nat~rliche Atlas" besitzt einen abz~hlbaren Teilatlas, die Hilbertmannigfaltigkeit H~(I~M) auf Grund der Separabilit~t der Modelle also eine abz~hlbare Basis. C~(l,M) ist dicht in H~(I,N) (da ~(c) dicht in H~(c) f~r alle c ~ C ~ I , ~ ) , w Bew.: Bezeichne D~(o) d~n ~-Ball um c in (Hq(l,M),d=~). Es genNgt zu zeigen, dab jedes B~(c) ein D~(c) enth~it, denn dann folgt aus 2.6, dab eine abz~hlbare Teilmenge yon (2): {B~(c)/c e C~(I,M), a wie vorher} bereits Hq(l,~i) ~berdeckt, woraus die obige Behauptung mittels [29~, il.q unmittelbar ersichtlich isto D~(c)~B~(c) ist aber gleichwertig zu / ~ D$(c(t))~BE(c(t)) -Notationen wie in 1.6.~- und letzteres IEBt tel sich realisieren, da U c := t ~ (t,B&(c(t))) als offen in (~,~)~M

)

nachgewiesen v~rde, vgl. die A~'gumentation in 3o4Bew. Bem.: Unter Hq(l,~) wird im folgenden stets obige ;!annigfaltigkeit verstanden, falls nichts anderes gesagt wird. Der erste Teil des folgenden Beweises zeigt noch (f=id~l): Die durch (*) erzeugte Topologie ist ste~s die d~-Topologie (kompakt-offene Topologie), letztere also imsbesondere echt grSber als die Topologie der Mannigfaltigkeit Hq(I,M). Sei f:M--~N Morphismus,also nach 2.1 foc vom ~yp H ~ f a l l s c vom Typ H~.

-

Die Abbildu~g Kq(s

: Hq(I~N)

Bew.: FU.r alle c ~ C ~ l ~ i )

gilt

84

-

>H~(I~N)~., e ~ ~,roC i s t Eosphismus.

~a~d E'>o gibS es ~>o~ so da~ s

f(B~(c(t)))~B~(foo(t));

dies folgt,

alle ~ e E ~ , ~

da f - q ( % ~ 3 ( ~ , B ~ , ( f - c ) ( t ) ) )

offen in ~,~]~M ist dutch Betrachtung im Pullback c*T~ mittels dem bei q.9 Hber ~ Festgestellten (a',~ seien so klein gew~hlt, dab sie die Voraussetzungen yon 3.~ erf~llen). Dami% gilt: H1(f)(B~(c))~B~(foc),d.h. die Abbildung Hq(f) ist stetig.Nach 3.2 ist auSerdem die folgende Abb. F: ((foc)*~,expo~foc)~1o(id~f)o(c*~,expo~c)

: 0C ~e*TM > (foe~TN wohldefiniert und fasertreuer Horphismus w ~ der offenen Menge 0 . _ k (~,~)(t,Be(~(t))), J in (foc)~TN, d.h. F gen~gt den Voraussetzumc'-t gem yon 2.5, die Abbildung : HI(0 c) = B~(c) } Hi(foc) ist also vom Typ C ~. Diese stimmt aber gerade mit der Abbildung expf~coHff(f)oexp c ~ ~bereim (exp bezeichnet sowohl die Exponentialabbildung in M als auch in ~ bzgl. irgendweleher RMZ-Struktu~en in TM bzw. TN). 13.~ Bemerkun~ Die differenzierbare Struktur (Topologie) yon Hff(I,M) h~ngt nieht yon der auf M gew~hlten RMZ-Struktur ab (dies folgt sofort aus 3.4 mittels f : idM), wit haben somit einen wohldefimierten kovarianten Fumktor H~s M I ~ Hff(I,M), f , - ~HI(f) yon der Kate$orie der euklidischen Mannigfaltigkeiten in die Kategorie der auf ~2 modellierten Hilbertma~nisfaltigkeiten gegeben (dim M ~ if). Dieser Funktor respektiert die Eigenschaften "in.~ektiv", "offene Untermannigfaltigkeit" sowie "abgeschlossene Untermanmigfaltigkeit" (also auch "abgeschlossene Einbettung", da Diffeomorphismen unter H feomorphismen ffbergehen):

in Dif-

Ist U bzw. A offene bzw. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit elmer euklidischen Mannigfaltigkeit M, so gibt es RMZ-Strukturen auf U, M bzw. A,H, so da~ U bzw. A totalgeod~tische riemannsche Untermannigfalt igkeit yon M wird. Es gibt damn f~r alle e ~C~(I,M) ein ~>o, so da~ (mit jeweils naheliegenden Bezeichnungen) B~(c(t)) = B~(c(t)) bzw. Bi(c(t)) = A aB~(c(t)) ffir alle t ~I, also B~(c;U) = B~(c;M) bzw. B~(c;A) : HI(!,A)~B~(e;M) , erffillt ist. Da die (zu den oben jeweils gew~hlten Levi-Civita-Zusammenh~ngen gehSrigen) Exponentialabbildungen yon U,A gerade die Eimschr~nkumg derjenigem yon M sind, gilt gleiches fGr die in 3.1 definierten natfirlichem Karten yon H~(I,U), H~(I,A), mithin folgt: H~(I,~) bzw. H~(I,A) ist offene bzw. abgeschlossene Untermannigfaltigkeit vo~ H~(I,H) (wobei^^im zweiten Fall noch: HI(I,A) abgeschlossen in HI(I,M) sowie (H~(c),g~, c ) _ _ ist abgeschlossener topologischer Unterraum - also topologisch-direkter Summand - yon (H~(c), g~ c ) bzgl. der oben gew~hlten RMZ-Struktur eim-

-

85

-

zusehen ist; dies folgt aber sofort aus: HI(I,A) abgeschlossen in (HI(I,M),d~) bzw. ~ )

gl,cA(X,X) -mgl,cM(X,X)).

Aus dem eben Gezeigten folgt, da~ die Zusammenhangskomponent~von M eine Zerlegung in unzusammenh~ngende (also offene und abgeschlossene)Untermannigfaltigkeiten von HI(I,M) induzieren, also bei allen Betrachtungen Hber HI(I,M) o.B.d.A auch~M zusammenh~ngend~vorausgesetzt werden kann. Bekanntlich ist mit M,N auch M*N euklidische Mannigfaltigkeit. Es gilt: Die kanonische Identifikation HI(I,M~N)

~ HI(I,M)•

C ~ > (PrlOC , Pr2oc ) ist Diffeomorphismus, wie man mittels der Produktsstrukturen auf M~N einsieht. Sei ~: E HI(I,E)

:

> M euklidisches VektorraumbNndel. Es gilt: c~HI~I,M) HI(c)'E

H E (c) : H:(~)-1(c)

: {X~H:(I,E)/~oX

= c},

und diese Darstellung legt es nahe, daS zus~tzlich zu den bereits gegebenen differenzierbaren Strukturen bei Hi(~() : HI(I,E) > Hl(I,M)eine kanonische VektorraumbNndelstruktur f0r HI(I,E) einfNhrbar ist: 15.6 Vorbereitun~e~ Sei (g,K) RMZ-Struktur fNr T: TM ~:E

> M und (g',K') RMZ-Struktur ff]r

.~M. Nach 1.8.3 haben wir eine kanonisch induzierte RMZ-Struktur

(g",K") auf dem Tangentialb~ndel ~I : TE > E von E. Seien Pc' P' P" C' C die Parallelverschiebungen in TM bzw. E bzw. TE und exp :T'~ > M, Exp :T~ > E die Exponentialabbildungen der obigen Zusammenh~nge (cv bezeichnet wie Nblich die Geod~tische mit Anfangswert v: ~v(O)=V). Sei o:M > E der Nullschnitt, ceC~(I,M), o :=oocgC~(I,E), und (~,~),~ c zu c wie bei 3.1 gew~hlt. Die Abbildung (i): i : o~TE > c*(TM~E), (t,w)'~ > (t,T~r-w,K'-w) C

ist VektorraumbGndelisomorphismus Nber (~,~), wie mittels dem folgenden kommutativen Diagramm yon Vektorraumbdndelisomorphismen folgt: o~cTE i cW(TM ~E)

Q"Oc+I

~Q id • it

(~'~%)XTEoc(to)

o ~ (~'@) XMc(t o)

I Dabei s i n d Qc,Qc,Q c11 d i e T r i v i a l i s i e r u n g e n

der beteiligten

Ec(to)"

Pull-backs

mittels der Parallelverschiebungen Pc' P'c' P"c von K,K',K" (die also mit den durch den Vektorraumb~ndelisomorphismus (~I,T~,K'):TE )~TM@E) induzierten VektorraumbNndelisomorphismen i, id• kommutieren (vgl. 1.3.5, 1.8.3 und beachte: o ~ ( T M ~ E )

: c*(TM|

: c~TM~c*E

). Nach

-

86

-

5.2 haben wir die offenen Mengen ) c c~TM und Oc := ~. ) (t,B ~(~ U c := ~ ) ( t , B g ( c ( t ) ) ) Diffeomorphismus G

c (~,~)~M und den

:: (c*~,expo~c)

: 0

C

V c ""- ~t r

> U . Es folgt, da~ C

(t 'Bg(~

C

)~E c (t) ) und W c :: ~

) (t,Tg1(Bt(c(t))))

offen sind in c~(TM@E) bzw. (a,~)~E (wegen (2),bzw. da auch id• (~,~)• V (~,~)• ein VektorraumbGndel ist, also i d • sondere stetig, also das Urbild der offenen Menge U unter i d • C ist). Damit ist auch V'c := i-l(Vc ) offen in ~ Die folgenden kommutativen Diagramme yon Morphismen sind wohldefiniert (vgl. 1.8.3) und entsprechen sich unter der Identifikation i, vgl. (2): (3)

V (Prl,pr 2)

Hc

1c

1c

Hc(t,u,v)

id~C

0

Go

:: (t, '

[o,13.v)

~ U

C

(4)

) W

C

V'

H'

O~(TT~) I

e

> ic

H'o

0c

Ge

~ Uc

o~(T~)(t,w)

H'(t,w) : (t,Exp(w)), also C :

-c~~-~~176

und

: (t,T~(w)).

Um H c' analog zu Gc verwenden zu kSnnen, mdssen wir zeigen, da6 H'c (oder Hc) Diffeomorphismus ist (daS belde bijektive Morphismen sind, ist auf Grund yon (3) bzw. (4) bereits klar). Da aber Vc (pr~,pr~)>~ ~ Oc und Wc- id•

>Uc

unmittelbar als Vektorraumbdndel aufgefaSt werden k6nnen (unter Beibehaltung der bereits vorhandenen differenzierbaren Strukturen) und da H c und H' faserweise linear sind, folgt aus G Diffeomorphismus, H c H' C C ~C VektorraumbGndelisomorphismus, also insbesondere das gewOnschte Resultat. Die Abbildung H' ist damit jetzt wie G in 3.2 verwendbar, und wir beC C kommen nach dem dortigen Verfahren die folgenden (mit der bereits vorhandenen Struktur vertr~g!ichen) Karten yon HI(I,E): Exp~ 1 : HIC~)-IcB~(c))

% H I ( V ~)~HI(oc),

C

die dem folgenden kommutativen Diagramm gen~gen 9

(~)

EXpol

Hi (~)-l(B'~(c))

~)~

BT(c )

C

,.

exp.

>B~(o c ;

-

87

-

Damit haben wir als Vektorraumbflndeltrivialisierungen geeignete Karten der Mannigfaltigkeit HI(I,E) konstruiert. ~:7 Satzl : (i): HI(~) : HI(I,E)

>HI(I,M) ist --bei geeigneter Deutung der eben

konstruierten K a r t e n -

HilbertbGndel Hber HI(I,M) mit den Hilbertr~umen

T~

(H~(e),gl, e) als Fasern (e ~ H I ( I , M ) ) . (ii) Ist

EI

f >E' !

Vektorraumb~ndelmorphismus

~ II

fo>~' M

euklidisches BOndel ~':E ........ >M',

so ist auch

HI(I,E)

Hl(f)

> HI(I,E')

HI(~ ) ~

~

HI(I,M )

Hl(fo)

in ein

Vektorraumb~ndel-

HI(~,)

morphismus.

> HI(I,M)

Bew.: Um die eingef~hrten Karten besser handhaben zu kSnnen, benutzen wir noch die folgende durch TE = ~ T M | induzierte Identifizierung: Das Diagramm

H1ioc)

{

~H 1

HI(T~)/HI(O c)

i [c)• HE(c) Dr 1

\

HI(C )

id

> Hl(C )

ist kommutativ und i Isometrie bzgl 9 ~ ' gl,c • g'l,c (Gleiches 1 'Oc gilt bei Verwendung von g und beides folgt unmittelbar aus 3.7(2) ). Damit hat die "Trivialisierung" 3.7(5) jetzt die folgende Gestalt:

E(c) HI(~)

Pr 1

B~(C)

eXPo

--

2 B~(O ) C

(wobei ExPol(X)(t) wieder durch E xp~l(t)(X(t)) C

gegeben wird).

C

Zu (i): Seien c,~ wie in 3.2 und F : 0 1 ~ > 0 2 der dazu in 3.2 betrachtete Diffeomorphismus. Wir definieren analog: , V 1 := (o~T1,Expo~Oc)-l(Wc n W~) , V 2 := (o~T1,Expo~Oc)-l(w cn W~) -also

V i = (Prl,Pr2)-l(0i) - und

H :: ( o ~ l , E x p o ~ o ~ ) - l o

H : V I ~>V

(O~l,Expor~Oc)

2, Es gilt:

V i i s t Vektorraumb0ndel ~ber 0 i und H VektorraumbGndelisomorphlsmus, H induziert also insbesondere einen fasertreuen Morphismus:

-

L : 01~ c~TM

88

-

) L(c~E;~E),

(t,v) I

~ H(t,v )

,

H(t,v ) .(t,w) := (t,P'cu ~-l,l]OP'c@~,~.w),I- u:=Pr2.F(t,v ). Die Abbildung L : HI(01 )

>L(H~(o);H~(~))

stimmt mit der Abbildung

exp c-I(B~(c)~ B~(~)) ---~L(H~(o);H 1E([)) ~ > d = eXPc~ u > (ExPo-~ oEXPo c )d

Uberein,

sie ist nach 2.5 vom Typ C~und auf Grund ihrer zweiten Darstellung gerade die Obergangsabbildung der Trivialisierungen EXPo ,EXOo ~ von c c HI(I,E) , wit haben also gezeigt: {(ExPol,Hl(~)-l(B~(c)))/c~ C~(I,M)} c bildet eine trivialisierende Oberdeckung f~r HI(I,E) , induziert also eine eindeutig bestimmte Vektorraumb~ndelstruktur auf HI(I,E). DaS die Topologie der Fasern H~(e) von HI(I,E) gerade die in w eingefGhrte Hilbertraumtopologie yon H~(e) ist, folgt fur e~C~(I,M) unmittelbar aus der Gleichung .(ExPo )e : id.E, und f~r die Ubrigen Kurven

c

e analog mittels

Hl/e)

d e r nach 3 . 1 o b i l d b a r e n

"kleineren"

K a r t e n Exp~l:B~(Oe ) e

P U(Oe,Oe)~ H I ( e ) ~ H E1 ( e ) ,

da d e r V e r g l e i c h

d e r b e i d e n a u f H~(e) e i n -

gefHhrten Topologien nur lokal durchgefHhrt zu werden braucht. Zu (ii): Es genGgt, die in I, w Einleitung angegebene C~-Eigenschaft der lokalen Darstellung von Hl(f) nachzuweisen, da Hl(f) trivialerweise faserweise linear und nach 3.4 bereits Morphismus ist. Der Nachweis der C~-Eigenschaft folgt aber analog zu (1) mittels c, foOC, s wie in 3.4. Bem.: Die im VektorraumbUndel HI(I,E ) auftretenden differenzierbaren Strukturen sind die bereits in 3.3 eingefUhrten, und f=~d E zeigt, da~ die VektorraumbUndelstruktur von HI(I,E) nicht v o n d e r Wahl der RMZStrukturen abh[ngt: H 1 ist also auch kovarianter Funktor yon der Kate~orie der euklidischen BUndel in die Kate~orie der HilbertbUndel (mit Modell [2). 13"8 Sat~ : (i) Die Menge Projektion

Ho(I,E ) := c~HI(I,M) HE(c) o

Ho(~ ) : Ho(I,E)

>HI(I,M),

zusammen mit der nat~rlichen X I

}~oX

kann in kanoni-

scher Weise zum VektorraumbUndel ~ber der Mannigfaltigkeit HI(I,M) gemacht werden. (ii) Die Abbildung Ho(i,E) Ho(f) ) Ho(i,E') Ho(f)(•

HI(I,M )

Hl(fo)

bHI(I,M,)

:= foX

- 89 -

ist VektorraumbQndelmorphismus. Die VektorraumbHndelstruktur von H o (I,E) ist wieder von den speziellen Konstruktionshilfsmitteln unabh[ngig, so daS wir erg~nzend einen kovarianten Funktor H ~ yon der Katesorie der euklidischen B~ndel in die Katesorie der Hilbertb~ndel bekommen. Die Topologie der Fasern HE(c) ist O die fr~here Hilbertraumtopologie (vgl. w Bew.: Die fr~her erkl[rte Abbildung HI(~)-IB~(c)) HI(~~(C)

EXp~1

> B~(o c )~ HI(c)

~lPrl

exp~ lc

> B~(o c ) ist faserweise auch bzgl. der r topologischer Isomorphismus und l~Bt sich (faserweise) zu einer Bijektion mit dem folgenden kommutativen Diagramm erweitern Ho(T~)-l(B~6(c))

Exp71 ~

H~

\I B~(c)

-{ ~•

~

B~(o )~HE(c) ~.

C

O

I Dr1 ~ ( o c)

Diese erweiterten "Trivialisierungen" liefern nun die BehauDtungen analog ~ 5.7 mittels der "H o -Form" des Lemmas 2.5 (unter Verwendung der gleichen Ausgangsabbildungen H,...; die Stetigkeit der linearen Abbildungen Ho(f) c : H~(c) > H~'(fooC) folgt durch sofortige Normabsch[tzung. 13.9 Erg~nzun~e~ : 1. Mit den eingefGhrten Trivialisierungen folgt sofort: Die natGrliche Inklusion HI(I,E) i > Ho(I,E )

HI(~)1 HI(I,M )

~Ho(~) id

> HI(I,M )

ist VektorraumbGndelmorphismus Hber HI(I,M) (jedoch ist HI(I,E) weder UnterbHndel (vgl. 5.) noch Untermannigfaltigkeit yon Ho(I,E) ; man beachte, da~ die Menge Ho(I,M) nicht in Analogie zu HI(I,M) erkl~rt und zur Mannigfaltigkeit gemacht werden kann (vgl. 2.1), weshalb erstere Bezeichnung in 3.8 fHr andere Zwecke genutzt werden konnte. 2. Nach Vorausgegangenem haben wir die Bfindel HI(I,L(E1,..,Er;E)) und L(HI(I,E I)

,HI(I Er);HI(I,E)) mit den Fasern ~L(E~''E~;E)(c) bzw.

L(HI~c) .... H~4(c);H~(c)) 0ber c eHI(I,M). Damit erweitert sich 2.5Bem.

-

zu der Aussage:

9o

-

Die Abbildung

A gHI(I,L(E1,..,Er;E))

i

) ~cL(HI(I,E1),..,HI(I,Er);HI(I,E))

A(X 1 . . . . X r ) ( t ) ist

injektiver

:: A(t).(Xl(t)

.... Xr(t)),t

V e k t o r r a u m b N n d e l m o r p h i s m u s Hber H I ( I , M )

~I

(analoges

gilt

beim A u f t r e t e n e i n e s Ho-Terms o d e r fHr s y m m e t r i s c h e O p e r a t o r e n ) . Zum Bew e i s v e r g l e i c h e man [ 9 ] , 1 . 2 ; es w i r d d a b e i e i n e k a n o n i s c h i n d u z i e r t e RMZ-Struktur auf L(Ei,..,Er;E) 3. Nach Lang [ 2 9 ] ,

III,

w

benutzt.

heist

eine Teilmenge S ~E e i n e s

~:E ---~M U n t e r b G n d e l von ~, f a l l s der Form

o

eindeutiger

> ~'

f> ~

es e i n e e x a k t e

gibt mit f(E'):S.

Weise zum VektorraumbHndel

die Inklusion

lente) Charakterisierung

Hber M gemacht werden,

S von E Hber M: FHr alle D~M

tur).

Untermannigfaltigkeit

VektorraumbHndelstruktur

Sind ~,~' euklidische

induzierten

BHndel,

tend, d.h. es gibt einen surjektiven (mit spaltendem

Kern),

~(~-I(U) n S) =r

von S sind topologisch-direkte

P von Ep, und S ist abgeschlossene

durch&eine

(~quiva-

(~,#,U) um p yon E und einen topologisch-

direkten Summanden ~ des Modells ~ von ~, so daR gilt. Es folgt: Die Fasern S

so dab

wird.

zeigt man leicht die folgende

der UnterbHndel

gibt es eine Trivialisierung

B N n d e l s e q u e n z fiber M

Eine solche Menge S kann in

i:S -->E VektorraumbHndelmorphismus

Mit Hilfe des in Lang Gesagten

BNndels

Summanden

von E (bzgl. der

differenzierbaren

so ist die obige Sequenz

sogar sDal-

VektorraumbHndelmorphismus

der gof=id erfHllt

(vgl. [29]~III,

Struk-

w

g:~--2~' Es gilt

dann ~ = Bild f e K e r n g. FHr die induzierte Sequenz

H1(f ) o ~ ~ HI(~') < :HI(~) folgt deshalb Hi(g) Bild Hl(f) c ~ K e r n Hl(g) c : H E(c), i also da Hl(f) c

fNr alle c GHI(I,M):

injektiv und Kern Hl(g) c abgeschlossener H~(c)

Unterraum des Hilbertraumes

ist: Die durch den Funktor H i aus einer exakten Sequenz o --~'

induzierte

Sequenz

ist exakt

(und spaltend).

Insbesondere

f >~

haben wit da-

mit gezeigt, da~ der Funktor H i die Eigenschaft "UnterbGndel" erh~It sowie mit der Whitneysummenbildung vertr~glich ist (zu letzterem folgt genaueres

in 4.6). Weiter folgt:

Bild Hl(f)

Kern Hl(g) : Hl(I,Kern g) und damit: FaktorbHndelbildung ([29], III, w Ebenso gilt, da5 exakte Sequenzen HI(~)

H l ( g ) > HI(~')

o --9 ~'

f > ~ g>~"

c ~HI(I,M) g > ~"

Hl(g)c:

~ ~"

> o 0bergehen

: Hl(I,Bild

f) sowie

Der Funktor H 1 kommutiert

mit der

--->o in exakte Sequenzen

(und ebenso exakte Sequenzen

---~o) ; es genHgt dabei einzusehen, da5 fGr alle E E" HI(c) > H i (c) surjektiv ist. Dies folgt, da mit

~ o auch die Sequenz o

> Kern g

i~ ~ $ ~ ~,,

> o exakt

-

91

-

(und spaltend) ist, also ein UnterbHndel 9 yon ~existiert, fHr das gilt: Kern g | und g:p --> ~" VektorraumbHndelisomorphismus (vgl. [1], w Das hier Hber BHndel und den Funktor H 1Ausgesagte gilt in analoger Weise fHr den Funktor H o und findet sp~ter in den Spezialf~llen TM, TTM und den UnterbGndeln Kern T~, Kern K von TTM sowie bei der EinfHhrung induzierter RMZ-Strukturen Verwendung. 4. Der obige Funktor kann noch auf FaserbHndel ~:E -->M ausgedehnt werden (vgl. dazu [38], S.166); die Faser Hl(~)-l(c) von HI(I,E) ~ber c wird wieder yon der Menge der H1-Schnitte l~ngs c in E gebildet (ein erstes Ergebnis in dieser Richtung liefert 3.11, wo gezeigt wird, dab HI(~) mit ~ Submersion ist, also alle HI(I,E) c abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von HI(I,E) sind; man beachte, da~ bei solchen Mornhismen ~ die Surjektivit~t unter H 1 erhalten bleibt). ~.lo Lemm~ : Sei c ~HI(I,M) und sei E> o so, da5 (~,exp) auf einer Umgebung U von k-JBr c (t)) c T M erkl~rt und Diffeomorphismus (auf eine Umgebung V von t~I tk~ic(t)~Bc(c(t))

) ist.

Beh.: Die Abbildung

eXPc: BT(o c)

~ B~(c), X I

> expoX(t)

ist Dif-

feomorphismus, d.h. wit haben jetzt zu jeder H1-Kurve c ~ c zentrierte natGrliche Karten (exp~ l'B~(c))c yon HI(I,M) gegeben. Bew.: Nach Voraussetzung ist Hl(~,exp) : HI(I,U) > HI(I,V) Diffeomorphismus. Da abet nach Vorausgegangenem B~(o c) (mit der Hilbertraumtopologie) Untermannigfaltigkeit yon HI(I,TM) , also auch yon HI(I,U) ist und ebenso B~(c) Untermannigfaltigkeit yon HI(I,M)• = HI(I,M~M) E also von HI(I,V) ist, folgt die Behauptung, da eXPc: B~(o c) ~B~(c) offensichtlich Bijektion ist und eXPc= Hl((~,exp))/B~(o c) gilt (beachte: Definitions- und Bildbereich von eXPc sind nach frHherem bereits offen!). 13.11 Sat~ : Sei M euklidische Mannigfaltigkeit mit dem TangentialbHndel ~:TM --~M und sei T:THI(I,M) > HI(I,M) das TangentialbHndel von H~(I,M). ~xp~l,B~(c);X~e

bezeichnet den dureh das Tripel (exp~l,B~(c),X)

be-

stimmten Tangentialvektor an e (vgl. [29]) und Texp~l:T-~(BT(c) -I B~(oc)• die Hbliche, durch das Tangential yon eXPc induzierte Trivialisierung von THI(I,M): [exp~l,B~(c);X~e~ HI(I,M) e t > (eXPc-1 e ,X) ~ H 1 (c)~Hl(C) Auf Grund yon 5.1o kGnnen wit jetzt definieren iT: THI(I,M )

iT/HI(I,M) c : (Texp~l)c , d.h.

>HI(I,TM )

iT([exp~l,B~(c);X]c

dutch

) : X9

-

92

-

Sei N weitere euklidische Mannigfaltigkeit, analog zu iT bzgl. N gebildet. Beh.: THi(I,M)

iT

> HI(I,TM)

id

HI(I,M) ist VektorraumbHndelisomorphismus

~:M -->N Morphismus und i~

~ HI(I,M)

Hber HI(I,M ~ und es gilt

Hl(Tf) = i~oTHl(f)oiT1. Die Tangentialvektoren an c ~HI(I,M) sind also durch die Hl-Vektorfelder l~ngs c darstellbar~ und bei dieser Identifikation geht das Tangential von Hl(f) THI(f ) THI(I,M) ~ THI(I,N)

!

Hl(f)

HI( ,M)

> H1

(~

,N)

in den Vektorraumbflndelmorphismus HI(Tf) HI(i'TM)

> HI(i,TN)

Hl(f)

HI(I,M)

>-HI(I,N)

Hber, kurz: Die Funktoren HI~T kommutieren. Mittels f:id M folgt: Die Abbildung iT h~ngt nicht v o n d e r Wahl der RMZ-Struktur auf M ab (ist also kanonische Identifizierung, analog zu [eXpp,Be(p);v~ p eTM J id > v~TM!). Bew.: zu (i): Da iT: HI(I,M) c > (Hl(C),gl, c) nach Definition von THI(I,M) topologischer Isomorphismus ist, bleibt wieder nur die C~-Ei genschaft der lokalen Darstellung von iT nachzuweisen: Sei c ~C~(I,M). Der Kartenwechsel Exp~IoiToTexPc:

B~(o c) ~HI(C)

>Bt'~(Oc)KHI(C)

C

induziert eine Abbildung q~)

d eB~(Oc) ~

> (Exp~loiToTexPc)d ~L(HI(C);HI(e))

,

C

die als C ~ nachzuweisen bleibt. Es gilt mit d = expod : (Exp~loi~TexPc)d.X(t) = (ExPol)do(TexPdl)do(TexPc)d.X(t) C

(Exp[1)~(D(exp]loexPc)aK)(t) uc u u :

=

C a.~

~ Pr2~

-1 ~

(D (exPd(t)~ -1

~(t))

Pr2~Exp~l(t)(TexPc(t)[~(t).X(t)). C

Diese Abbildung induziert einen fasertreuen Morphismus F : U ~ c~TM ) c~TM, U :: t~,~)(t,B~(Oc(t))), also einen fasertreuen Morphismus G : U ~L(c ~TM;c~TM), also folgt die Behauptung wieder aus 2.5, da G mit (e) flbereinstimmt.

-

Zu (ii): (i~oTHl(f)oiT1)coX(t)

95

-

: D(exp~]cOHl(f)oeXPc)oc-X(t)

:

D(expf~c(t)ofoexPc(t)) O (t)oX(t) = TfoX(t) fGr alle c 6 HI(I,M),X[ Hi(e I . c Bem.: Ist f:M --e N Immersion (Submersion), so ist auch HI(f):HI(I,M ) ---> HI(I,N) Immersion (Submersion): Denn nach Lang [29],III, w impliziert f die folgende exakte Sequenz o ---~TM (T;Tf)> f~TN ( TM (T~Tf)>f~TN --wo ) , also haben wit nach 5.9.3 folgende exakte Sequenz o --->H~TM) Hw(T~Tf) (KI(T),HI(Tf))>HI(I,f~TN) = HI(f)*HI(I,TN)

bzw.

HI(I,TM) H~(x,Tf) (~I (T)'H I(Tf))>H1 (I'f~TN) = H l(f)~H I(I,TN) -->o. Daraus folgt aber fHr alle c eHI(I,M):

Die Abbildung

Hl(Tf)c:H1(c) >Hl(foc) ist injektiv (surjektiv) und sDaltend, also folgt die obige Behauptung (auf Grund der im obigen Satz durchgefHhrten Identifikation). 13.12 Bemerkun~ : Sei x: ~, ~ > HI(I,M) C~-Kurve, d.h. x ist auch als Abbildung ~:[~,~]xI ~ M, ~(s,t) = ~(s)(t) auffaSbar (welche in der ersten Komponente vom Typ C~ ist). Nach 3.3 gilt weiter: ~:[~,B] - - > (Hl(I,M),d~)ist stetig (Topologie der gleichm[Sigen Konv@rgenz!), also ist ~: [~,~3~I ~M (simultan) stetig, also als Homotopie zwischen x(m) und ,(8) deutbar. Die Identifikation THI(I,M ) = HI(I,TM ) ergibt bzgl. der beiden Auffassungen der obigen Kurve

(*) ~(s) : ~ ( . wie man z.B. mit der Submersion Pt:Hl(I,M) --->M, c ~ > c(t), vgl. 4.5, einsieht: ~9~ (s,t) :i(Pto x)(s) : pt o ~ ( s ) : ~(s)(t), ( Tp :HI(I,TM) --> TM hat dieselbe Form wie Pt' ist also durch X ~ > X(t) gegeben und T i bezeichnet die i-re partielle Ableitung auf Mannigfaltigkeiten; die Gleichung (e) kann umgekehrt auch zur Identifikation von THI(I,M ) mit HI(I,TM) verwandt werden, wenn man bei THI(I,M) die Definition mittels ~quivalenzklassen von Kurven zugrundelegt). Da ~ C~-Kurve ist, ist auch (simultan) stetig und Vektorfeld l~ngs x:[~,8]• >M, die Deformationswege x(..,tl) haben also wohldefinierte (endliche) L~nge, die stetig yon t I abh~ngt. Das Studium der C~~ auf HI(I,M ) entspricht somit dem Studium gewisser Homotopien auf M, was im dritten Kapitel mit Hilfe spezieller Kurven zur Gewinnung spezieller Homotopien ausgenutzt werden wird. Mit Hilfe von (~) folgt noch, da~ die Trivialisierungen Texp~ 1 von THI(I,M) unter iT in durch die Faserableitung T2ex p von e x p : ~ - - > M induzierte Trivialisierun~n von HI(I,TM) Obergehen: TexPc(U,X)(t) =

-

T2exp(u(t),X(t))

94

-

: T(exPc(t))(u(t),X(t)) , wobei T2ex p : Texp/Kern T~.

4. Riemannsche Metriken und Zusammenh~n~e Seien ~:TM

>M,

x:E

Gber HI(I,M)

~ M wie in o. mit irgendwelchen

RMZ-Strukturen

(~,~) bzw. (g,K) versehen und die daraus abgeleiteten Hilfsmittel wie in w bezeichnet. Sei TI:TE > E das TangentialbGndel yon E und XZcdie zu K geh8rige kovariante Differentiation l~ngs Kurven c cHI(I,M). Nach w gilt: ~c ~L(H~(c);H E(c)) O . Die folgenden Herleitungen riemannscher Metriken und Zusammenh~nge bauen auf den in [7],[~angestellten Sberlegungen unter Benutzung der Trivialisierungen EXOo auf. c 14.1 Lemm~ : Die Abbildung ~:HI(I,M ) ~ Ho(I,TM) , d ~ ~ d ist ein C~-Schnitt im BGndel Ho(I,TM). Bew.: Zu zeigen ist, dab der Hauptteil dieses Schnittes vom Tyo C~ ist: Dieser lautet bzgl. der Trivialisierung (ExPol,exp~l,B~(c)) von Ho(I,TM) c um c ~ C~(I,M) unter Benutzung yon TTM = ~ ( T M ~ T M ) : u ~B~(o c) t.. > (Pr2~

(t) (Texp~

~I ~No(c)

= (Pr2~

gI

c Die Abbildung Fc: ~ ) ( t , B c ( O c ( t ) ) ) c

c*TM

> L(c~TM;c~TM)

(t,u) I

~ (t,Pr2oExp~1(t)(Texp(u,~(t),..9) c induziert also nach 2.5 eine C~-Abbildung

ist fasertreuer Morphismus,

Fc : B~(~

>L(Ho(C);Ho(C))"

Obiger Hauptteil wird damit durch u >Fc(U).VcU gegeben, ist also als Komposition yon C~-Abbildungen vom Typ C ~. 14.2 L e m m ~ : Die Abbildung ~:HI(I,M ) ---~L(HI(I,E);Ho(I,E)~ im BGndel L(HI(I,E);Ho(I,E))

d ,

> V d ist C~-Schnitt

(fGr jeden Zusammenhang

K yon E).

Bew.: Wir zeigen wieder, daS u ,

~ e X P c u'

|

l)u > (Exp~ c ~ >

u~ )

c

)u

vom Typ C ~ i s t

)

bzgl. Trivialisierungen gilt

~c(U)'X(t)

(ExPol,exp~l,B~c))um c ~C~(I,M): c : Pr2oExPol(KoT(Exp ~ ( u , X ) ) ( t ) c c : Pr2~

(t)(KoTExp~176

=

F0r XeriC(c)

-

95

-

= Pr2oExPoi(t)(K,TExpo(Oc,U,X,s r : Pr2~

i(t)(K~176176176 c

c)(t)) +

+ Pr2oEXPo1(t)(KoT2Expo(Oc,U,X,~cU)(t))

+~cX(t)

c

auf Grund der Identifikationen TE : ~*(TMe E), TTE : T(~*(TMs E)) : ~(,*(TM~E)~,*(TM~E)) : (,oT1)*(TM~E | | : (~oTI)*(TM~E) ~(,o~I)*TM ~(,oTI)*E

bzgl.

(TI,T,,K) bzw.

(~2,T~i,~)

(vgl. I, w > TE die Projektion, TiExp die Einschr[nkung yon TExp auf das i-te der drei UnterbHndel der letzten Whitneysumme und K zu K,K g e m ~

I, w

und wegen

: KoT2(EXPoc(t))(u(t),X(t))oVcX(t) also wieder fasertreue Morphismen c*TM FI (t,u) t

: EXPo (t)(u(t),~cX(t)). c

F2

Wir haben

' "" , ~ ( t ) , O c ( t ) ) ) )

'

> L(c*TM,c*E;c*E)

> (t,Pr2oExPol ( t ) (KoT2Exp(oc(t),u , . . . . . c

auf t< '~~ (~,8) (t,B E (Oc(t)))

=

>L(c*E;c*E),

- 1 (t) ( K . T 1 E x p ( o c ( t ) , u

) (t'Pr2~

c c*TM (t,u) ~

KoT3Expo(oc,u,X,~cX)(t)

)))

also nach 2.5 Morphismen

E(c);H~(c)), fGr die gilt woraus

die

@c(U).X

Behauptung

: Fl(u)-X + F2(u).(~cU,X) f~r

~c

ersichtlich

die lineare stetige Inklusion i:H E(c) 1

ist

+ NZcX ,

(bei

>HE(c) o

F1 wurde

zus~tzlich

benutzt) "

14.3 Bemerkun~ : Sei t ~I, i:M >HI(I,M) die Abbildung p ) ~ c ~ p und D~:H](I,M) > M die Abbildung c I > c(t). Die erste Abbildung ist Einbettung auf die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Punktkurven in HI(I,M) (also: M c H I ( I , M ) ) , die zweite ist surjektive Submersion, und es gilt ntoi:id M. Diese Behauptungen sind sofort aus der lokalen Darstellung mittels Exponentialkarten eXpp,eXPc ersichtlich, insbesondere sieht man dabei, daS die Tangentialabbildung yon Pt dieselbe Gestalt wie Pt hat. Die Abbildung J HliI'E)

> P~E~Ho(I,E)

HI(I,M )

id

JIH (c) : H (c)

> HI(I,M) > Ec(t) HE(c) o ' X t

,> (x(t),VcX)

-

96

-

ist VektorraumbGndelisomorphismus: Dies folgt, da Pt:H1(I,E) > E und V:HI(I,E) > Ho(I,E),X [ > ~ o X X VektorraumbGndelmorphismen sind (letztere~ ~ Umdeutung yon @ g e m ~ I. w Einleitung), also auch J = (pt,~ VektorraumbGndelmorphismus ist, der nach w faserweise topologischer Isomorphismus, also damit insgesamt Vektorraumb~ndelisomorphismus ist. ~. 4 Satz~ : Seien x:E > M und (g,K) wie zu Beginn des Paragraphen gew~hlt. Beh.: Die Abbildungen a)

c gHI(I,M) : g c b

go,c ~ L2(HE(c))Cs o

L~(Ho(I'E))

b)

c eHI(I,M) : gl'gl~gl,c(bZw., g~)gL~(H~(c))

~

L~(HI(I,E))

sind riemannsche Metriken fGr die BGndel Ho(I,E) bzw. HI(I,E) Gber HI(I,M) (vgl. 2.3, 2.4; dazugeh5rige Normen ll..IIo,c , II..IIl,c , llI..~Ic ). Bew.: Es ist jeweils nur noch die Eigenschaft "Morphismus" nachzuweisen: Der Hauptteil von go lautet bzgl. Trivialisierungen (Exp; I ,eXPc,Bc(c)): -1 c u ~ > d = eXPcU I > go,d((Exp o )d(..),(EXPoc)d(..)) ~ c B~E(Oc) (gc)o > L2(H~(c)), also (go)c(X,y) = lagd(t)b(Exp oe(t)(u(t),X(t)),Expoc(t)(u(t),Y(t)))dt. Da g auch als Morphismus yon EeE in ~ aufgefa6t werden kann, ist auch (t,u,v,w) gc~(TMr t >g(Exp(oc(t),u,v~Exp(oc(t),u,w))e Morphismus, also auch Gc: ~ B r 1 7 6 ~ c~TM > L2(c~E)s = c~L2(E)s (t,u) I

> (t,g(Exp(oc(t),u,..),Exp(oc(t),u,..))). 2 Ls(E) Damit bekommen wit nach 2.5 einen Morphismus Gc:Be(%) ~ H1 (c). L2(E) Die Abbildung HlS (c) A(X,Y)

i

2 E ~ Ls(Ho(C) ,

:= 5~A(t).(X(t),Y(t))dt

A I

> A,

ist linear und stetig: 2

I~x,~

2

2

i ~ ~ ~'~,~" ~l ~,c "1'~1~o,~ -~ ~.I1~ ~J~,~"~,c'~I o, c, also ~,~,, - ~~'~ 1,c"

Damit folgt: (go)c : i2oG ist Morphismus! c I Mit Hilfe von go folgt nun die Eigenschaft "Morphismus" bei gl,g : Die Abbildung i:HI(I,E) ....>Ho(I,E) ist Vektorraumb0ndelmorphismus, also ist auch L2(i) : L (Ho(I,E))

~

Ls(HI(I,E)) VektorraumbGndelmorphismus

s

d.h. go ist auch differenzierbarer Schnitt in L~(HI(I,E)). Nach 4.3 ist ~: HI(I,E) > Ho(I,E) VektorraumbGndelmorphismus, also auch L2(~)s : L2(Ho(I'E))s

> L~(HI(I'E))"

-

Damit

gilt gl : go + L~(~)~

97

-

d.h. gl ist Morphismus.

Im BGndel p~o E 9 Ho(I,E) haben wir die C~-Metrik p~o g 9 go: (p~o g 9 go)e((U,X),(v,Y))

= gc(to)(U,V)

b + ~age(t)(X(t),Y(t))dt-

Da aber J bzgl. gl und dieser Metrik faserweise isometrischer VektorraumbGndelisomorphismus ist (vgl. 2.4), folgt die Behauptung auch fflr g 1 mittels L~(J) ~4.5 Bemerkun~e~

:

I) Auf Grund der Darstellung THI(I,M)

= c~H~I,M)HI(c)

= HI(I,TM)

lie-

fert 4.4 insbesondere riemannsche Metriken fGr H~(I,M): Die riemannschen Mannigfaltigkeiten (HI(I,M),gl),(HI(I,M),g I) sind auf jeder Zusammenhangskomponente kanonisch metrisierbar: dl,dl (vgl. 1.6.4), und fGr diese Metriken gilt nach 2.4(i) f~r alle c,e ~HI(I,M): -~-d1(c,e)~dl(C,e)

~ 3k. d1(c,e)

, d.h.

sie sind ~quivalent, der Begriff der Cauchyfolge also yon der Wahl yon d I oder d I (i.a. jedoch nicht yon (g,K) ) unabh~ngig. Die Existenz elher riemannschen Metrik ist (wegen der Separabilit~t der Modelle) ~auivalent zur Existenz von Partitionen der Eins auf HI(I,M) (sowie sogar zur Parakompaktheit von HI(I,M)) , 4.4 impliziert also, da~ HI(I~M) stets metrisierbare~Partitionen der Eins gestattende Hilbertmannigfaltigkeit (mit abz~hlbarer Basis) ist. 2) (M,g) ist riemannsche Untermannigfaltigkeit yon HI(I,M) bzgl. gl und g 1 (ersteres nut, falls I = [O,1] gilt). Ist i:M ) ~ isometrischer Morphismus bzgl. gegebener Metriken g,~, ~o gilt bzgl. der Levi-Civita-Zusammenh~nge x~z,~von (M,g) bzw. (~,~) fGr alle c~HI(I,M)

und alle X,HI(c):

gl,c(X, X) = ~agc(t)(X(t),X(t)dtb

+ ~gc(t)(VcX(t),VcX(t))dt

=

I~gioc(t)(Ti~176

+~agioc(t)( b~ (X~ioCTioX)T(t),(~iocTioX)T(t))dt b (TioX(t),TioX(t))dt + ~a~ioc(t ) (~i.cTloX(t),~i9 .

la~ioc(t ) b

und hieraus folgt, da~ Hl(i) : HI(I,M) ~ HI(I,M) i.a. nicht isometrisch bzgl. g1,~i ist (sondern nur falls z.B. dim M = dim M gilt oder M zusammenh~ngende vollst~ndige totalgeod~tische Untermannigfaltigkeit yon M i s t , vgl. [2o~, S.8o; gleiches gilt bei Verwendung von gl ~I). Der Einbettungssatz yon Nash liefert also i.a. keine kanonischen Metriken auf HI(I,M) (da Hi(i) jedoch stets Immersion ist, sind alle durch diese - und beliebige andere Immersionen i - gewonnenen Metriken faserweise ~quivalent, d.h. der letzte der obigen AusdrGcke (i*g)c(X,Y) :=

-

~ioc(TioX,Ti-Y) definiert -

98

-

fur alle Immersionen i:M

> ~ - eine rie-

mannsche Metrik auf HI(I,M) ). Die Isometriegruppe I(M) yon M geht unter H i in eine Untergruppe der Isometriegruppe von HI(I,M) bzgl. gl und auch gl Ober; die Isometrien von M lassen sich kanonisch auf ganz HI(I,M) ausdehnen. 3) Ist[~,8] Intervall in ~ und x:[a,83 ----~HI(I,M) C~~ so berechnet sich die L~nge yon , g e m ~ 3.12 z.B. bzgl. gl dutch L I~,B] =

~(~ag.(s,t)b ("~"(s,t),~"(s,t))2q /~ + g.(s,t)(~"(s't)'~z2~x(s't))d~l/2ds Analoges gilt ffr die Energie E~I~,~].. Erg~nzung: Nach 5.12 ist obige partielle kovariante Ableitung des Vektorfeldes 2-~.. ~72~ ~ x = K'~-~, wohldefiniert. Da ~_. :~ox gilt (vgl. 4.1), ist

auch ~71~x wohldefiniert, und es gilt (m) ~ j2~ ~.(s,t) : ~ x ( s , t )

als Verallgemeinerung einer bekannten Regel fur beliebige torsionsfreie Zusammenh~nge ~Z,K, vgl. [22], Chap. VIII. FOr beliebige Zusammenh~nge K ffr ~ : E > M gilt (ebenfalls in Verallgemeinerung von Bekanntem) for alle C~ ~:ta,8] >HI(I,E),~o~ :x:

die

ffr gemischten partiellen kovarianten Ableitung~n von ~ und den KrGmmungstensor R von K, vgl. [22]; die Wohldefiniertheit der beiden Terme folgt wegen ~ k ~ ~Zo~, ~7~ ~ HI(K)oi (C~-Kurven auf H~(I,E),Ho(I,E) ) 14.6 Lemmal : Der Funktor H Iis t vertr~glich mit Whitneysummenbildung und Pullbacks, d.h. sind E,E' BOndel fiber M und ist f:N >M Morphismus, so gilt unter kanonischen (isometrischen) VektorraumbOndelisomorphismen: HI(i, EeE'):HI(I,E)iHI(I,E')

HI( ,f~E) :HI (f)~H i

Hl(ie~')

HI (i"~) : HI (f)*Hl('~)

HI(I,M )

:

HI(1)eHI(~') id ) HI~I,M )

H~(I,N)- ~

=Hl(~f)

~ H!(I,N)

H!i'~) H:(f)

~ HI(I,M) "

i

Dabei bedeutet "isometrisch" grob gesagt:

(L (~f)~

: L2(Hl(~f))ogloHl(f) s

bzgl

(g @ g')l : gl 9 gl' bzw der auf Whitney-Summen und

Pullbacks induzierten RMZ-Strukturen, vgl. 1.8.3. Analoges gilt bzgl. g I sowie for den Funktor H~ u n d go" Bew.: Die obigen Identifizierungen sind faserweise durch HE@E'(c) : ~ H~(c)@H~'(c)bzw. H{~E(e):i _ (e,H~(f-e))

-

gegeben.

99

-

DaB diese Identifizierungen

men darstel!en,

folgt mit Hilfe der erw~hnten

ren sowie der ~blichen Beispiel:

insgesamt

induzierten

Wir haben bekanntlich

induzierten

RMZ-Struktu-

Trivialisierungen.

die Identifizierung

Kern K ~ Kern T~, die also die folgende HI(~I,T~,K)

Vektorraumb~indelisomorphis-

= (HI(~I),HI(T~),HI(K))

TE =

Identifizierung oder

HI(I,TE)

~TM

= HI(I , ~(TM~E))

HI(~)~(HI(I,TM) 9 HI(I,E)) = Hl(!,Kern M) 9 Hl(l,Kern T~). Es handelt sich um die Aufteilun~ in horizontale und vertikale bzgl.

des ~etzt

folgenden

erst bei Vorgabe unabh~n~ig

Zusammenhangs

von (auch beliebigem)

K f~r ~:E

=

Vektoren

HI(K) , der~im Gegensatz g und K induzierten

von g f~'ir jeden Zusammenhang

9 E) =

induziert:

zu den,

Metriken

> M gegeben

gl,g~

ist.

Ein Zusammenhang dieses Typs reicht aber noch nicht aus, um zusammen i mit gl bzw. g aus RMZ-Strukturen ([,K) fqr ~ RMZ-Strukturen f(ir HI(~) zu gewinnen:

~.17 satzl

:

Sei v,K Zusammenhang

fflr ~:E

tel I daraus abgeleiteten Beh.: vgl.

und seien S,exn,T,R

die g e m ~

Kani-

fur HI(I,E)

mit

Abbildungen.

(i) HI(K):HI(I,TE)

dem Kr~Immungstensor

>M

~ HI(I,E)

ist Zusammenhang

HI(R):HI(I,M ) ==~ L(HI(I,TM),HI(I,TM),HI(I,E);HI(I,E~

3.9.2, dessert kovariante

Differentiation

~

f~Ir alle Vektorfelder

vom Tyn HI(X)e ~(HI(I,~{)),HI(Y)e ~HI(I,E)(HI(I,M)) , also f~ir alle X~(M),Y~E(M),

die 01eichung

~HI(x)HI(Y)

= HI(~xY)

erf~illt.

(ii) Im Falle E = T~{ ist HI(S),HI(exn),HI(T) die Exnonentialabbildung HI(K) torsionsfrei falls K dies ist.

bzw. vollst~ndig,

Bem.: Als direkte,

weitere

Karten des Zusammenhangs definierten

der geod~tische

bzw. der morsionstensor (genauer:

Konseauenzen

HI(K) , vgl.

Karten ~berein.

ergeben

Snrav bzw.

von HI(K) , also ist

HI(I,T~)

: ~_ _)

),

sich: Die nat(lrlichen

1.4, stimmen m~t den in 3.1 zu K

D~e @eodStischen ~ : [ o , ~

> HI(I,~)

von

HI(K) genfigen der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ~ s ( S , t ) = o , sind also zerade die Deformationen ~, bei denen alle Deformationswege @eod~tiache in M bzgl. K sind (~x(S)(t) = cz(t)(s) fqr alle X * H I ( C ~ . Ist K Levi-CivftaZusammenhang bzgl. der riemannschen Metrik g, so gilt bzgl. der nach w

induzierten

Metriken:

d~(~(o)%_,~(S)) : d~,o(~(o),exp~(o)S.~(o)) : ~I~(o)ll ,c =[I~(s)l]~,c = = s u p l l $ ~ ( s , t ) I I f ( i r obige G e o d ~ t i s c h e ~ und s < ~ ( ~ ( o ) ) . t~l Aus (i) folgt, da~ HI(I,M) bzgl. gl und gl flach ist, falls (M,g) flache Mannigfaltigkeit Zusammenhang

bzgl.

ist, da HI(K) dieser Metriken

dann(und nur dann)

der Levi-Civita-

fst. Die obigen @eod~tischen

(Varia-

- loo

-

tionen) sind ,~edoeh auch bei nieht flachem (M,g) kurz genug, um in wichtigen F~llen als Ersatz der OeodMtischen von (HI(I,M),g 1) oder (HI(I,M),gI) dienen zu kSnnen (vgl. Kap. Ill sowie [22], 8.23ff). Bew.: F~]r die lokale Darstellung yon HI(K): ~HI(C ) • H E(C) >B~(o c) • H~(o), EXPoI~ ) : B~(o c) • E(c) 1 1 C

C

ergibt sich per Definition und wegen 3.12 : Exp:loHl(K)oT(EXPo )(U,X,V,Y)(t) = C

C

~ (t))(U(t)'X(t)'V(t)'Y(t))

Exno I(t)~176 C

(U(t),Y(t)

-~'~.~.~

C

+ ~Exp

(t) (U(t)).(X(t),V(t))).

Der fasertreue Mornhismus F: ~_J(t,B~(c(t))) cc~TM tel

-.>L(c~TM,c~E;c~E) (t)(4) oor2•

(t,u) ~::~ (t,~Fx D

2)

induziert nach 2.5 eine C~-Abbildung F: B~(o c) --->L(HI(C),H 1E(c);H~(c)), die gerade das Christoffelsymbol ~ E x ~ von HI(K) zur obigen lokalen OC

Darstellung liefert. Der Vektorraumb~]ndelmorphismus HI(K) ist also (stark differenzierbarer) Zusammenhang f(~r HI(I~E). Aus der obigen Darstellung von ,xp folgt nach 2.5 die Gleichung D~Exo-m(u)-v.(wl,w2)(t) = D(~Exn-~ (u(t))-v(t)-(wl(t),w2(t)), o c Oc(~) und damit folgt durch lokale Darstellung von HI(T),HI(R) bzgl. Exn: 1, c daS es sich bei diesen Abbildungen gerade um den Torsionstensor bzw. den KrHmmungstensor von HI(K) handelt (vgl. 1.4.7, 8.1). Die restlichen Aussagen sind direkte Konseauenz der Funktoreigenschaft yon H 1 und seiner Vertauschbarkeit mit dem Funktor T (sowie von 3.12). 14.8 Bemerkun~ : Sei K torsionsfreier Zusammenhang auf M. Nach 4.7 gilt f~ir die Lieklammer ~ . , . ~ zweier Vektorfelder Z,Y e ~(HI(I,M)): [X,Y]c(t)

= (HI(K)(TYc.Xc) = (Ko(TYc.Xc)

- HI(K)(TXc-Yc))

- K~

(t)

(~)

(t)

= K(TIY(c,t)-X c) - K(TIX(c,t)-Y c) = K(~(Yo~)(o,o,t) : ETr(Yo~)(o,o,t)

- ~s(Xo~)(o,o,t)) -

~7s(XO~)(o,o,t )

f~r ,~ede Abbildung ~:U(o,o)~ ~2 >HI(I,M) vom TYn C ~ mit ~(o,o) : C,~r ~-~ro,o) : Xc,~-~ <~176 : Yc (Yow,X.~ sind g e m ~ 3.12 als Funktionen dreier Variabler (r,s,t) aufgefa~t). Nach (,) gilt speziell:

[HI(X),HI(Y~

: HI([X,y~)

fHr alie X,Ye~(M).

-

l o l

-

Wir bemerken erg~nzend zu 4.5, da5 ffir alle s

~: ~ , ~ ] - - > H I ( I , M )

i.a. nur Z ~ s ~ bzw. ~ 2 ~ und ~ I ~ definiert und C~-Kurven in H i(I,TM) bzw. H (I,TM) sind (vgl. insbesondere 4.7 und 4.9; die beiden letzten o stimmen im Falle torsionsfreier Zusammenh~nge K, wie bereits bemerkt, fiberein). i4~9 Sat~ : Sei K,~Zusammenhang f~r ~:E ~=~M. Es gibt einen Zusammenhang H ( K ) , ~ o ffir H (I,E), dessen Christoffel-Symbole durch Erweiterung der in 4.7 o beschriebenen Christoffel-Symbole yon HI(K) gewonnen werden. Bew.: Die in 4.7 definierte Abbildung F induziert nach 2.5 auch eine C~-Abbildung F : m~(c) ~h(Hl(C)' oHE(c);H~ (c))" Wit definieren damit: Exp-loHo(K)oTExPo (u,x,v,y) := (u,y + F(u)(v,x)), also ~ c Exp-I~ c o(K)~ = (u(t),y(t) +~Exp ~j (t) (u(t)) (x(t),v(t))). Es folgt, daZ diese lokale Definition yon Ho(K) nicht yon der sneziellen Wahl der Trivialisierung Exn-j abh~ngt, so dab wir damit eine global definierte Abbildung Ho(K) : THo(I,E) .~>Ho(I,E) erkl~ren k6nnen, die auf Grund ihrer lokalen Darstellung Zusammenhangsabbildung ist (mit dem Christoffel-Symbol F bzgl. Exp~l). c Bem.: Da THo(I,E) ~ Ho(I,TE) gilt, handelt es sich bei Ho(K) nicht einfach um die durch den Funktor H aus K : TE ----~E induzierte Abbildung o (im Unterschied zu HI(K) ; die Funktoren T,H ~ kommutieren auf Orund der "unsymmetrischen" Definition von Ho(I,E) nicht). Man kann jedoch folgendermaSen einige Analogien retten: Nach 1.2.7(ii) ist T~:TE >TM als Vektorraumbfindel WME fiber TM deutbar, so da5 ~I,K:TE-

9E VektorraumbflndelmorDhismen sind. Der Funktor H o in-

duziert nun einmal einen Vektorraumbilndelmorphismus Ho(~ I) : Ho(I,TME) -=> Ho(!,E) , der sich wieder als Vektorraumbfindel deuten l~St, welches kanonisch isomorph zum Tangentialbflndel von Ho(I,E) ist, und zum anderen einen Vektorraumbfindelmornhismus Ho(K) : Ho(I,TME) > H o ( I , E ) , der dem in ~.9 eingefflhrten Zusammenhang unter der erw~hnten Identifizierung entsnricht. Die in 4.9 benutzte B~zeichnung Ho(K) ist damit gerechtfertigt. Fflr unsere Zwecke reicht aber die in 4.9 gemachte Aussage zusammen mit einem Teil der folgenden (n~mlich Ho(K) = Pr2oi o, was mittels obiger lokaler Darstellung sofort ersichtlich ist): Sei %: ~,~] :=~H (I,E) C~-Kurve o im B0ndel Ho(m):Ho(l,E) > HI(!,M). Die !dentifizierung (Vektorraumbflndelisomorphismus Nber Ho(I,E)!): i(s) ~ THo(I,E) ~ L > (~(s),~(~o])(s,..),~(s,..))~Ho(~)*(H I(I,TM)~Ho(I,E)), liefert eine weitere Darstellung des TangentialbNndels yon Ho(I,E) , bzgl. der Ho(K) in pr 3 flbergeht. Diese Identifizierung entsDricht der Aufspal-

lo2

-

-

tung in horizontale und vertikale Vektoren: alle c ~HI(I,N). 14.1o Satz] : (i) Ist K riemannsch bzgl.

(io) c : (THo(~),Ho(K))c ff]r

(~,~), so ist Ho(K) riemannsch bzgl. (Ho(~g),~o)7

zur Definition von go durch g v~l. 4.2~ (ii) Ist K torsionsfrei, so gilt: ~5 ~ = (vgl. 4.1, 4.2 und 1.1.6(i); E : TM jetzt!). Bew.:Zu (i): Seien )-i,~2"e C~( [~,~,3 ,Ho(I,E)) Darallel bzgl. Ho(~) l~ngs ~ C ~ ( [~,~] ,HI(I,M)) , d.h. nach den vor 4.1o Festgestellten gilt

d g o (i 1 (s),~2(s)) ~

~1~i = o fiir i = 1,2. Damit folgt :

~(bg

=

=

,

~s]a ~(s,t)(~l(s't)'~2 (s,t))dt ~u.~.zla~g~(b#s,t)(#l(s't)'~2(s t))dt

:

(da der Integrand nach folgendem f.fi. gleich Null ist) =Sa[g~(s,t)(~l~l(s,t),]2(s,t)) + g~(s,t)(]1(s,t),x~2(s,t))~ dt : o, also folgt H (K) riemannsch. o Zu (ii): Sei c ~ H I ( I , M ) , X ~ H I ( C ) und ~(o) = X. Es gilt:

und ~ C ~ ( ( - E , + ~ ) , H I ( I , ~ ) )

mit ~(o) = c

io(T~-o.X) -- i o ( ~ ( o ) ) V ( ~ - ~ ( o , . . ) , ~ ( ~ o ~ ~ ),~i(~o~)(o,.. )) -(d,X,Vl~(o,..)) *'~ (~,X,~]~'(o,..)) : (@,X,~cX) , also Ho(K)(T~c'X)

= nr3oio(T~c.X) = ~'Xc

Herleitung: Im Unterschied zum bisher l~']ckenhaften H1-Fall 4.7 induzierem also bei H ~ RMZ-Strukturen (g,K) f~'ir~ unmittelbar RMZ-Strukturen (go,Ho(K)) fflr Ho(~r). Die folgende Definition des Integrals ffir Vektorfelder X ~HE(c)o ,c ~HI(I,M) mittels der nach 2.3 gegebenenl Abbildung ~c dient u.a. zur anschlie6enden Darstellung eines bzgl. g riemannschen Zusammenhangs K R: ~-1 t ~ti die nicht Diese(unbestimmten) Integrale definieren Funktionen aus H E(c), 1 i

vonder

Wahl yon t o bei Qc abh~ngen, an der Stelle t I verschwinden und = -~t

,

X(s)ds

= X(t),

~t~cY(S)ClS

= Y - Y ( t 1)

ffir alle x eHE(c)'Y(-o H IE(c) erf~'illen. Dabei meint Y(t I) -da es mit einem Vektorfeld verknflpft wird -(wie fiblich) das parallele W~id iNngs c mit Wert Y(t 1) an der Stelle t I. Die Unterscheidung

~,$ ist notwendig, da :

also i.a. ~oIX(s)ds ~ }olX(s)ds gilt; wir benutzen jedoch meist f f~lr f , da ~ nicht welter gebraucht wird. Als Beispiel beschreiben wir die Umkehrbildung j-1 des Vektorraumb~'indelisomorphismus J aus 4.3: (v,X) ( P t* E ~ Ho(I,E) ~-> v+~t X(s)ds ~ HI(I,E) o o

-

1o3-

Ein Zusammenhang K f(]r m induziert nach 4.9 einen Zusammenhang Ho(K) fqr Ho(z) und -wie in 1.3, 1.8.3 ausgeffihrt- Zusammenh~nge K:T(p~ E)

) Pt~ E sowie K ~ Ho(K)

O

: T(p~ E ~ Ho(I,E))

O

~,nt~ EeHo(I,E)

O

mit den bekannten kommutativen

Diagrammen

O

(p~ :HI(I,M)

>M wie in 4.3).

O

Nach 1.3.9(ii) liefert die in 4.3 definierte Identifizierung Z:HI(I'E) ~ ~tn~ E ~ Ho(I'E) folglich einen Zusammenhang K R fqr HI(I,E) o 1 der auf Grund seiner Herleitung riemannsch bzgl. g sein sollte (falls K riemannsch bzgl, gist): 14.11 Satz 1 : Sei (g,K) RMZ-Struktur

ff]r ~, R der Kr~Immungstensor von K, to, gl wie

in 2.4, 4.4 und X~((HI(I,M)), Beh.: Die Abbildung definiert durch

~

Y~(HI(I,E)(HI(I,M)).

: ~((HI(I,M))•

~xYIc(t)

'

= VyYlc(t)

+ It R(Xc(T),d(T),Yo(~))dT , O

vgl. 4.7, ist die zu K R gehSrige kovariante Differentiation; sie ist riemannsch bzgl. gl jedoch i.a nicht torsionsfrei (im Falle E = TM) Bew.. : Wir wollen zun~chst noch Genaueres zur Definition von K R sagen: Nach Definition des Funktors T sind TPt~ E bzw. THo(I,E) B~ndel ~ber O

DeE

bzw. HoI,E) ; da Pt~F, und Ho(I,E) Bfindel fiber HI(I,M)

O

sind, sind

O

ihre Tangentialbfindel nach 1.2.7(ii) auch Bqndel ~ber HI(I,TM). diesbezfiglich gebildete Whitneysumme

Tnt~oE ~HI(I,TM)THo(I,E)

Die

ist kano-

nisch isomorph zu T(Pt*0E e Ho(I,E)), und zwar derartig, da~ ffir jede Kurve ~ : (~,~) in Pt~F, ~ Ho(I,E ) bzgl. dieser Identifizierung gilt: = (~,~), vgl. [8],I.~.~ Mit Hilfe der bei 4.9 genannten Darstellung des Zusammenhangs H0(K):

:= Ho(~).~ = ~i~, ~ = H o folgt damit aus der Definitionsgleichung KR := ~ - 1 ~ 9 Ho(K) o T ~ fflr alle C~-Kurven ~: [~,~ ----~HI(I,E) , ~:= Hl(~C)~ (wegen ~o~(s) : (~(s),'k(S,to),'~(s,..))~ ~ t o~ = K o T ( ~ n t ) ): 0

~z~Xls(t)

:= (~.k(s))(t)

v -~ ( K - ~ ( S , t o ) ,

0

=

(Ho(~)-~w2~(s,..))

~l~(S ,to ) + Itto V I V

(t)) --

: 2~ (s '~c)dT *r

t ~ Z"~(S'to ) + I t 2 2 ~ 1 ~t(s'~)dT * I~ R(~s(s'~r)'~rt'(s'~)'~(s'~))d~ 0 :

v k(S,to> § h (s,t : ~Is(t)

-

k(S,to

+

~ ~ ( ~ ( s ,~ ) '~t

+ )toR(~,~(S,'r),l$-~(S,t'),~-(s,~)) d ' c . _ ~

--

lo4 Nach 1.3.1 gilt YIc = V~Yo~Io fgr die Integralkurve ~ yon X zum Anfangswert ~(o) : c, also folgt die behauptete Darstellung von ~z aus dem soeben Hergeleiteten wegen ~(o) : ~ ( o , . . ) :oX c und ~ ( o , .) = ~. K R riemannsch: Sei ~ weitere Kurve m~t HI(~) ~ = ~ und s ~ [~,~] Es gilt:

g ~ i ( ~ Is,~(s)) + g~(~(s),~z~ Is) : g(~

b (S,to),~(S,to)) + [ag(X~2~(s,t),~2~t(s,t))dt

+ g(~(S,to),~t(S,to))

+

~sg(3k(S,to),~(S,to )) + ~d

g(~(s,t),~lV

+

(s,t))dt

~ J k

bg (V2Ct(s ,t) ,V2~( S ,t ))dt :

d-~g~
- yXlc(t) - [x,Y]c(t)

+ Itt R(•

R(~c(~)'~(~)'•

o~t o : o + R(Xc(~),Yc(~),d(m))d~ , to so da~ T R = o nur im bereits in 4.7 betrachteten Fall R = o erfUllt ist, also falls ~ mit dem torsionsfreien Zusammenhang ~ ,[]bereinstimmt. Bern.: 1) Eine C~-Kurve ~: E~,~3 : ~ H I ( I , M ) ist Geod~tische bzgl. KR:HI(I,TTM) 9 ~ HI(I,TM) genau dann, wenn ~(..,t o) Geod[tische auf M bzgl. K ist und ~l~2~s~(S,t) ~ o erffillt ist. 2) Nach 1.4.7(iv), (v) errechnet man leicht: Der zu K R ~quivalente, torsionsfreie Zusammenhang (mit gleichem Snrav S!) ist nicht mehr riemannsch (auf diesem Wege der Levi-Civita-Zusammenhang yon (HI(I,M),gl) also nicht gewinnbar). Wir haben bis jetzt den einfachsten torsionsfreien und den (bzgl. gl) einfachsten riemannschen Zusammenhang bestimmt und wenden jetzt 1.5.4(ii)ff. an, um noch die Levi-Civita-Zusammenh~nge von HI(I,M) bzgl. 1 g und gl zu bestimmen. Um HI(K) zu einem riemannschen Zusammenhang zu ver~ndern, ohne die Torsionsfreiheit zu zerst~ren, m(issen wir also einen symmetr~schen Tensor B ~ L a s ( H 1 (I'TM) ;H I(I,TM))(H1 (I'M)) ~nstelle des f~r K R hinzugef~gten n~chtsvmmetrischen Tensors A) hinzuf~gen. Wir bemerken, daZ man den bzgl. gl einfachsten riemannschen Zusammenhang mittels Ersetzung des in 4.11 gebrauchten C~-Schnittes

Io5 A : c :

~ Ae'Ae(u'v)

:= ~tt R(u(s),d(s),v(s))ds

dureh die folgende Umdeu-

O

tung yon A zu einem C~-Sehnitt ~ 9

erh~It:

gl(~(..,..),..) := gilA(..,..),..). Die Bestimmung yon B kann in ~hnlicher (aber wegen der Svmmetriebedingung nat0rlich komplizi~terer) Weise vorgenommen werden. Das folgende Resultat stammt yon H.Karcher. ~.12 Sat~ : (M,g), T : TM ~ M wie stets und ~,K der Levi-Civita-Zusammenhang (M,g) mit dazugeh~rigem Krf]mmungstensor R.

von

Beh.: D~e durch (I)

~7"xY :: ~ Y

+ BiX,Y)

und

~ i (2) c~HI(I'M) vI'V2'W~HI(C) gc(B(v1'v2 ) ,w):= bzw. gl,c iBi v1'v2 ),w):: lb ZIa[gc(t)(R(~(t),vv2(t),vl(t)),w(t)) + gc(t)(R(~(t),~l(t),v2(t),w(t))+

+gc(t)(Rivl(t)'d(t)'v 2it)),vw(t))+gcit)(Riv 2it),d(t),v l(t)),vwit)~dt definierte kovariante Differentiation V:~(HI(I,M))~ M(HI(I,M))-->~(HI(I,M) ist die Levi-Civita-Differentiation der riemannschen Mannigfaltigkeit (HI(I,M),g i) bzw. (HI(I,M),gl). Bew.: Da HI(I,M) Partitionen der Eins gestattet, genqgt es zu zeigen, dab v jeweils 1.3.8(3) erff[llt, da f[lr die Christoffelsvmbole d~eser V dann 1,5.1(I) erf[[llt sein muB (vgl. den dortigen Beweis), also insbesondere folgt, daZ ~ eine Abbildung in ~(HI(I,M)) definiertt beachte dabei: ~ torsionsfrei ist unmittelbar klar, da ~ torsionsfrei ist und dutch (2) naeh dem Satz von Riesz (dessen Voraussetzung ansehlie~end noch verifiziert wird) auf jedem Tangentialraum Hl(c) yon HI(I,M) eine symmetrische, bilineare Abbildung B definiert wird(bzgl, gl sowie bzgl.g~! Die Abbildung l:w ~Hl(c) ~--~ g~(B(vl,v2),w) = gl,c(B(Vl,V2),w)( IR ist (linear und) stetig, denn ff]r alle vl,v 2 * Hl(C) gilt(wegen (a+b) 2~_ 2(a2+b 2) und IIXIIo,c eHo(l,R) f~]r alle X~ Ho(e) ): b Igl,c(B(Vl,V2),w)l 2 ~ ([age(t)(R(cit),~v2(t),vl(t)),w(t))dt)2 + + (~gc(t)(R(d(t),~vl(t),v2(t)),w(t))dt)2 + b + (~agc(t)(R(vl(t),d(t),v2(t)),~w(t))dt) 2 + b + (~agc(t)(R(v2(t),d(t),vl(t)),Vw(t))dt)2 ~'~ 12 VlII~,e 9( ~II~v2 (t )If"~ (t)IIdt )2. IIw II~,c + ~RocI~,c"I + I,R~cl,~,c-]Iv211~,e 9 (~l,vv l(t)II- IIs

dt)2. iiw~, c +

-

lo6

-

+ IIR'clI2~,C'I'VlII2~,c'Ilv2U~, c "(3abll~(t)l{HVw(t)Udt)2 +

2 ll v211~,o 9( Sbatl~(t )11.11~ w(t)ll ~t )2 ~" + IIR~ 51~,o. ~lhll~,o-~ 4 llR~

IIallo,c"ilvlu21,c'llv2I12,c lwli~ ,c"

B{vl,v 2) ist also bzgl. g~ wie auch bzgl. gl,c wohldefiniert. xZ riemannsc h bzgl. gl: Sei ~: [%~g] ->HI(I,M) ,O~-Kurve undl,~*~(~). Es gilt nach Definition yon B fqr alle se [-~,~U:

g~(s) i (V~s,~(s)) :

= g~(s) (v~ll~'~(s))

+ g~(s) (B(~(s),l(s)),~(s)) =

b (X~2~I~(s, t ) ,X72~(s, t ) )d t + g~(s,to)(~l~(S,to),~(S,to )) + ~ag~(s,t) ~#a [g~(s,t) (R

~(s ,t) ,~2~(s,t)

~(s,t)),](s,t)) §

+g~(s,t)(R(~--~'~(s't)'~'2~(s't)'~L(s't))'~(s't))

s +g~(s,t)(R(~-~s~(s,t),~-t-~(,t),~t(s,t)) +g~(s,t)(R()t(s,t),~(s,t),~s

+

, v ~ ( s ,t )) + , ,t)),X72~(s,t

Ents~rechendes gilt fqr g~(s)(~(s) I~) Wie bereits in 4.11 begr~ndet, gilt welter: d gl ~-~ ~(s)(~(s),l(s)) : =

d ~ ~L Iag~(s,t) b (~(s,t) ~ ( s , t ) ) d t ~-~g~(s,to)(](S,to),~(S,to)) + ~-~

:

= g~r(S,to)(~l](S,to),~(S,to)) + g~(s,to)(~(S,to),~F2~(S,to)) + b ~ + 3a[g~(s,t)(~'IV2](s,t),~2~(s,t)) + g~(s,t)(V2](s,t),~l~2-)~(s,t))~ dt, so da~ der Nachweis der Gleichung ~g~(s)(~(s)'~(s)) = g~(s) 1 ~ 1 (~-Lis,~.(s))

+ g~(s)(l(s),~.lls ) sich reduziert auf den Nachweis der folgenden Gleichung (vgl. 4.5 Erg.): + t ) (R(~~---'~(s't ) ,V2~(s,t ) '~s ' ,t)),~(s,t))

/ +g~(s, t) (R(~t ;~(s't) '~a ~rs~e(s't ) '~(s ,t)) ,](s,t))

-

-~-~t-~( ,;~(s,t)) ,~2~(s,t) -g~( s, t) (R (~s~(S't) ,)-~-~~-~-~-t~s,

)

+

+g~(s,t ) (R (~(s, t ),~-~t~( s ,t) ,~--~( s ,t ) ) ,V2~(s,t) ,9+g ~( s, t ) (R(~-~(s, t ) ,V2/~(s,t) ,~s ~(s ,t)),A(s,t))

)

+

~

+g~( s, t )(R(~---~@(s,t), 2~-~s,t),~(s ,t)),Tt(s,t)) -g~(s,t) (R(~s~(S,t),~(s,t),~(s,t) ) ,~Y2~L(S,t ) )

+

+

+g~(s,t ) (R(~(s,t) ,~-~{s,t) ,~s~ffs,t) ) ,72~(s ,t ) )-] dt =

O

-

lo7

-

deren O~itigkeit aus 8.1(lo)-(12) sofort ersichtlich ist (man beachte die durch die Pfeile gesetzten Zuordnungen). Der Beweis im Falle gl verl~uft v~llig analog. Bem____~.:Sei ~: [%~7 =~>Hi(I,M) Ceod~tische bzgl. ~ d.b. es gilt ~ s + B(~(s),~(s)) ~- o. Bzgl. g ergibt sich damit fflr solche Kurven~:

= g~(S,to)

( ~:Y~ ) a , S<, t o ) , W ( t o ) )

+ ~ag~(s,t) b (~~(s,t),Vw(t))

u>av(,t) s ~-~{s +g~(s , t)(R(a~tae(s't)'~2~ ,t)),w(t)) '.9-s " +g~(S, t ) (R (~S~( S, t ) ,~F~ ~

+ga~(s,t)(~(

=

+ ~ag~(s,t) ( 2 l~s

+

,~S~

ae(s,t),a-~a~S { ~ ,t ) , ~ ( s,t)),Vw(t))~dt

g.a(S,to)(V~--ga<S,to),W(to))

=

+

s, t) + R(~s~e(s,t),~

,t)

+

,~2~(s,t

~ ,t),

(s,t)),Vw(t))dt

),2~s~(s,t)),w(t))dt

+

=

= gae(S,to) (Vi~-~(s,t o ) ,V2~-~ (s, t ) ,~a(( s, t ) ) ,w(t ) )dt f~r a!le we~(~(s)),s ~ [~,~. Damit folgt: Ist c : ~ , b ] ~ > M ~:(-s ~ [a,b] -->M,~(s,t) wohldefiniert und als C~-Murve (exp~l-~e(s))(t) = s.~(t) ) und

Oeod~tische bzgl. g, so ist := c(s+t) fqr hinreichend kleines <> o ~:(-a,+a) ~ H I ( I , M ) auffa~bar (beaehte: Oeod~tische yon HI(I,M) bzgl. gl (da

~S~(S,t) = ~ ( s , t ) gilt). Bzgl. gl ergibt sich EntsDrechendes, da in der obigen Rechnung jeweils b (~s~(s,t),w(t))dt ersetzt werden nur der erste Term dutch ~g~(s,t) mu~. In beiden F~llen folgt damit: (M,g) ist (abgeschlossene) total-geod~tische riemannsc~e Untermannigfaltigkelt yon HI(I,M), vgl. !.5.~l(v); hinsichtlich der Eigenschaft "riemannsche Untermannigfaltigkeit" beachte 4.5.2. Nach 1.8.1(15)ff. gilt somit, ~aS die Kr~immung yon (M,g) mit den durch gl bzw. gl auf dem Wege ~Iber HI(!,~) gegebenen Werten ~ibereinstimmt, also (M,g) (genau damn) flach ist, wenn (HI(I,M),g 1) bzw. (HI(I,M),gl) flach ist, wenn also der in ~.7 definierte Zusamme~hang HI(K)

-

lo8

-

hzgl.

gerade der Levi-Civita-Zusammenhan~

gl bzw. gl ist.

Wir werden im Kapitel 1!1.1 zei~en, da6 M sogar total-~eod~tische mannigfaltigkeit

im Sinne von

auf HI(!,M) , die lokal in M verl~uft, 14.13 Anmerkunge~

~anz in M verlaufen mu~.

:

Das Folgende soll kurz auf m6gliche Verallgemeinerungen hinweisen

Unter-

[2o7 ist, das heist, da~ eine Geod~tische

(vgl. dazu Genaueres

im Vorausgegangenen

z.B. in [8], [9]) und gleichzeitig die

benutzten Konstruktionsverfahren

Sei N zusammenh~ngende,

von KaDitel II

kompakte riemannsche

deutlicher machen.

C~-Mannigfaltigkeit

Rand ~N und Dimension n), M parakompakte Banachmannigfalti~keit Typ C ~ (ohne Rand), ~:E ~ > N

Vektorraumb~ndel

[~ber N, ~

(mit vom

die Mate~orie

der (reellen) banachisierbaren

topologischen Vektorr~ume und VB(N) die

Kategorie der Vektorr~umb~ndel

Hber N mit Fasern in ~

VB(N,~)

(analog ist

f~r jede volle Unterkate~orie ~ von ~ , die abgeschlossen bzgl.

der Bildung yon direkten Summen, Produkten und von R~umen stetiger linearer Abbildungen

ist, aufzufassen).

D_~ef__~.: (i) Ein kovarianter Funktor ~:VB(N,~)

---~

heigt Schnittfunktor,

falls gilt: I. F~r jedes E ~ V B ( N , ~ )

gilt

C~(E)~(E)~ o (d.h. ~(E)

st~ndigung

bzgl.

gibt es einen linearen Raum ~ ( E ) ,

C~(E) und ~(E) ist ein Vektorraum einer

Norm

aus

so da~

dicht in ~(E) yon Schnitten in E, der

einem

Raum

von

durch

Vervoll-

C~-Schnitten in E, der entsteht).

alle C~-Schnitte ~ mit Tr~ger ~ ~ ~ = N - ~ N enth~it, 2. F~r alle E , F e V B ( N , ~ ) ist

~

: C~(L(E;F))

-:-~L(~(E);~(F)),

~(~) := A-~ Inklusion.

stetige~lineare

(ii) Ein Schnittfunktor I. }(E) ~C~ und dies ist

stetige,

lineare

f~r alle

A m--~,

~}~(E),

T heist Manni~faltizkeitsmodell, eine s~teti_~g~, lineare Einbettung

Einbettung

f~r alle

falls ist.

gilt:

E,F eVB(N,~).

3. Ist ~E offene Umgebung des Nullschnltts in E (~p := &~ E ~[o~ ffir alle p ~N) und f:~---~F fasertreue ~bbildung vom Typ C~ so ist fo~(F) f~r alle ~(E) mit Bild %~e (die Menge dieser ~ bezeiehnen wir mit ~(~). 4. Die Satz:

Sei

bildung keit

Abbildung

-~)~(F),~-~

M auf ~ modelliert,

exp

@(N,M) exp h

~f):~)

und ~ wie vom

=

Typ

~(eXD)

in

C ~,

(ii).

fo~

K Zusammenhang Es gibt

~enau

ist

stetig.

f(lr M mit eine

Exponentialab-

Banachmannigfalti~-

so da~

: ~(h~U) ----> ~(N,M),~ ~ - ~ e x p o ~

-

Karte von @(N,M)

lo9

-

ist fflr alle h ~ C~(N,M) und eine Umgebung U des Null-

schnittes o in ~:TM --~ M, auf der

(~,exp) Diffeomorphismus

ist.

Bem.: Der Beweis beruht auf dem fol~enden Lemma: Die in (ii) betrachtete Abbildung DS~f)

~(f) ist vom Typ C ~, und es gilt

: ~(D2f)

f(ir alle s ~ I " ,

denn damit braucht man die Kartenwechsel ~(N,M) nur noch auf die Form ~(f)

der obigen Mannigfaltigkeit

zu reduzieren:

D_~azu fol~end_~es: Analog zu frflherem dient als Modell yon ~(N,~) um h ~ C~(N,M) der Raum der Schnitte

im Pull-back h ~ : T M

--~N yon

vom T y p e ;

nach Voraussetzung.

!st U wie im Satz

beachte:

h~VB(N,~)

und h~U die Liftung yon U in h~TM, so ist auch Diffeomorphismus

~

~:TM --> ~

(h~T,exp):h~U ---> N ~

auf eine offene Umgebung U h des Oraphen yon h. Da-

mit ist jeder Kartenwechsel

exPh, o exp~ I

durcb ~ aus ~h, ~ ~ I

im

Sinne des obigen Lemmas induziert und also vom Typ C ~. ~-(N,M) kann nun als Menge der Abbildungen f(ir die es ein h ~ C~(N,M) und

~hO(id,g)e4-(h~U)

@(exp),~(h~(U))

gilt

).

Damit sind die Grundzflge zur Herstellung

yon AbbildunF~smannigfaltigkei-

Der folgende Satz liefert entsprechendes

solchen MannigfaltiF~keiten induzierte Satz:

definiert werden,

(diese g sind gerade die in der Karte

um h lieF~enden g ~ ( N , M )

ten dargestellt.

F~e C~

gibt, so da~ der GraDh von g in U h lieF~t

Sei ~- Schnittfunktor und ~ ~annigfaltigkeitsmodell

und ~:E --->M Vektorraumb~ndel h ~ C~(N,M)

fiber Y modelliert

ist h~E aus VB(N,~),

f(~r (~'iber

) Bfindel : auf VB(N,ff)

auf ft. Ff~r jedes

also ~(h#E) definiert.

Sei weiter f~r

alle E , F ~ VB(N,~) ~(L(E,F) ) ~ L(4(E) ,@(F) )

erfflllt

und diese Inklusion stetig und linear. Beh.: ~ kann auf alle f#E,f& ~(N,~4) werden,

in eindeutiger Weise erweitert

so daS

~(f(N,M)~E)

::

~_~

9c( f* E)

~ f~(N,~4)

.

e i n C -VektorraumbGndel flber ~(N,M) d e f i n i e r t

( d a b e i wird z u s ~ t z l i c h

ein Zusammenhang K' f~r E ben~tiF~t!). Kor.: Die Voraussetzung des obigen Satzes ist insbesondere ~ : ~ erfHllt.

im Falle

Im SDezialfall E:TM ergibt sich als induziertes

das Tangentialb~ndel

Identifiziert man

von ~(N,M)

Bf~ndel

(bzgl. einer einfachen Identifizierung):

f e ~( ~ ,",~) ~(f~E) noch mit dem Raum ~E(f) der Schnitte l~'ngs

f:N --~M in E vom Tyn ~, so ergibt sich vereinfachend

die Darstellung

-

1 1 o

-

f r ? (N,~) die Projektion lautet dann ~(9)

: Z ~--)~oX.

Bem.: I. Mit Hilfe des erw~hn%en Lemmas folgt welter, da~ Morphismen @:M --~ M' Morphismen ~ ( @ ) : ~ N , M )

---~(N,M'),f ~-~of

induzieren; ~lei-

ches gilt ffir Vektorraumbfindelmorphismen bzgl. der im letzten Satz beschriebenen Sahnittfunktoren +. Damit folgt, da~ die Definition der Banachmannigfaltigkeit ~(N,M) nicht yon der Wahl yon K abh~n~t, die Zuordnung M ~--~ ~(N,~) ,@ ~--> [(@)

also einen kovarianten Funktor ~ der Kategorie der Banacbmanni~faltigkeiten, die mit einem Zusammenhang versehen werden kSnnen,~n sich (vg!(~) darstellt; gleiches l ~ t

sieh ff[r Bfindel und jeden Schnittfunktor

formulieren. Bzgl. der im voraus~ezangenen Korollar vorgenommenen Identifizierung ergibt sich welter T~(~) = ~(T@). Schlie~lich folgt~J: ~(exp) ist die Exponentialabbildung des Zusammenhangs ~(K) auf ~(N,M). Damit haben wir insbesondere die Existenz von Zusammenh~ngen auf ~(N,M) gegeben, die Konstruktion von ~(N,~(N,M)), etc.., kann also nach Vorausgegan~enem ausgefflhrt werden. Hinsichtlich weiterer Verallgemeinerun~en

(auch bzgl. K a p . ~

vgl.[8],[9].

2. Beispiele yon Mannigfaltigkeitsmodellen sind durch die Schnittfunk1 toren ck,o ~ k < ~ und Hk(k >~dim N und M endlich-dimensional z.B.) gegeben; wir haben in diesem Kapitel nur HI im Falle N=I betrachtet sowie zus[tzlich den, dem letzten Satz genf]genden Schnittfunktor H o. Man sieht daran, dab ffir die Bildung yon Vektorraumbf]ndeln fiber den, durch ~4annigfaltigkeitsmodelle

erzeugten Mannigfaltigkeiten ~(N,M) auch

schw[chere Schnittfunktoren als die durch Mannigfaltigkeitsmodelle gegebenen herangezogen werden kSnnen. 3. Es k6nnen auf diesen induzierten Mannigfaltigkeiten und Bfindeln wieder finslersche oder riemannsche Strukturen induziert werden und weitere dazugeh~rige Objekte betrachtet werden (vgl. [8]; w Zum Beispiel haben wir auf C~

~..~:C~

die Fins[ermetrik

---->~,l{XIl~ :: supl[X(t)Jt , I I . . t ] , / C ~ : ~..l{~, e t~I bei Vorgabe einer Finslermetrik ~..]/ :TM - ~ > M a u f M.

(vgl.

2.~)

Der Funktor C ~ kann also nach Eliasson sogar zu einem Funktor der Kategorie der Banaehmanni~faltigkeiten, die mit einer Finslermetrik

II..~

und einer Zusammenhangsabbildung K versehen werden k~nnen, in sich erkl~rt werden. Sei (M,g) jetzt riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang K und kanoniseher Abstandsfunktion d. Es gilt dann f~]r alle

-

c,e~C~

1 1 1

-

und alle c,e-verbindenden

d~(c,e)

C~-Kurven

-->C~

d(c(t),e(t))~L~:: ~I

:: sup t~l d.h. fur die durch die Finslermetrik standsfunktion

sun~s~(s,t)llds ' o t~l [I..U~ auf C~ induzierte

Ab-

d~ gilt stets:

(~)

d~(c,e) ~

Gleichheit

~,13

~:

gilt

(wenigstens)

k~rzeste Geod~tische

~(c,e). dann, wenn es ein ~ gibt,

von c(t) nach e(t) in (M,d) sind

e in einer nat~rlichen

Marte von C~

die durch d~,d~ induzierten gie der differenzierbaren

(also z.B. wenn

um c enthalten

Topologien

so dab alle ~t ist; dies besagt:

stimmen ~berein - mit der Topolo-

Struktur von C~

Bew.: t~l

t~l

sup d(c(t),e(t)) Die durch C~

definierten

der Metriken d~ und ~ , (exp~l,B~(c))

t

: d~(c,e)

(vgl. auch h.7).

Geod~tischen

und die zu C~

sind also lokal KOrzeste bzgl. geh6rigen

nat(Irlichen Karten

sind radial normerhalt end :

d~(c,exocX) = Ilxll~, c ff~r alle X m B~(o c) (B~(c) bzw. B~(o c) wie bei 3.1 definiert). Ist (M,g), d.h. (M,d) vollst~ndig, so ist bekanntlich auch vollst~ndig.

Auf Grund des nach

FinslermannigfaltiKkeit st~ndigkeit metrischer digkeiten

(#) Festgestellten

(C~

II..II~) vollst~ndig,

imnliziert

wieder die yon

Teilraum von

(cO(I,M),~)

bedinKen

und letztere Voll-

(M,d), da (M,d) abgeschlossener ist. Diese verschiedenen

slch also gegenseitig

sionalem M genau dann,

von C~

yon K oder

flberall definiert

Damit ist das in 2.6 und 3.3 fiber die d~-~Getrik qesagte zu dem bei HI(I,M)

Dargestellten

h. Die in 1.3.9(iii) me C~(I,Ec( t )),~E(C)

angestellten

ist).

in gntsprechun~

verallgemeinert. Untersuchungen

lassen sich vermutlich

fiber die Fr6chetr~u-

ebenfalls

sichtlich de~ Einf(]hrung von "Fr@chetmanni~faltigkeiten" also von MannigfaltiKkeitsmodellen

Vollst~n-

(und gelten bei endlich-dimen-

falls die Exoonentialabbildung

falls die Exponentialabbildung

(C~

ist dann auch die

vom Typ C ~~

fortsetzen

hin-

C~(I,M),C~(N,~),

-

III. ~ERIODISCHE

GEODA~ISCHE

1 1 2

AUF

-

KOMI~

RIEM~D~SCHEN

iviAl~'i i GFALTIGKEI TEa~ O. Voraussetzun~en~ Vorbemerkungen: F~r das folgende seien ~i,~:Tm

~m

und ~:E ---~i~ wie in II.o gew~hlt mit ~VIZ-Strukturen (g,K) bzw. (g',K') und dazugeh~rigen sormen ll..I(, I{..II',kovarianten Differentiationen ~,~' und Exponentialabbildungen exp, Exp (ab w betrachten wit nut noch E=~M, g=g' und den Levi-Civita-Zusammenhang K=K' yon g). Zu [ a , b ~ und t o ~ [a,b~ haben wir nach Kapitel II (vgl. V.13) danm die foigenden induzierten 0bjekte: C O ( ~ , b ~ , M ) , d~, H1(fia,b],~l), HI(~),

HI(~)' H1(exp)' go' II''Iio' gl' gl, ll..II1, l[l..ll[, a~, d ~ , HI(K) , ... (beachte: M wird erst ab der EinfHhrung yon Bediugu~g (C) als kompakt vorausgesetzt, kann abet o.B.d.A, stets als (weg-)zusammenh~mgend vorausgesetzt werdem, da eiuer Zerleguug vom M iu Zusammemhamgskompouemten stets eine Zerlegung der dazugeh~ri~en Kurveumanuigfaltigkeiten in u~zusammenh~ngemde Teile entspricht, also jede Zusammemhaugskomponente yon M fHr sich betrachtet werdea kann, vgl. II.3S). Sei [a',b'~ weiteres kompaktes Intervall in R und F:[a,b~ ~ [a',b'] t-a.(b,_ a ,)" T induziert eimen Diffeo~ der Diffeomorphismus t ~---~ a' + ~-a morphismus ~:H1([a',b'~,M ) ) Hq([a,b~,M), c ~ ~ coF, wie mam sofort mittels der mat~rlichem Kartem yon HI(K) eimsieht (T~ = ~ T ~ T anal~ zu ~ bzgl. TM defimiert). Dieser Diffeomorphismus respektiert die im folgendem festgestelltem Umtermannigfaltigkeitsstrukturem, so da~ wit jetzt stets o.B.d.A. I=[o,I~ anstelle yon [a,b] zugrundelegen k~nnem. fHhrt Geod~tisehe (hin umd zur~ck) in Geod~tische ~ber (~-1=~-'I). Zus~tzlieh zur Normierung I=[o,1~ betrachtem wit im folgendem die Metrik ~1 der Einfaohheit halber nur noch bzgl. to=O (wie auch andere damit zusammeuh~ngende Gr~Ben):

da sie (sinnvollerweise) in Zusammenhang mit dem im folgenden eingef~hrten Raum ~pq(M) benutzt werden soll, wo sie einfach dutch gegebem ist (wit lassen also die ande~en (~quivalentem) riemannschen Metriken jetzt weg; w[hlt man to*(O,1] , so bekommt man eine besonders einfache Metrik auf den Teilraum der Kurven yon H1(l,i~), die am der Stelle t o einem festen Punkt p ~ passierem. Wir bemerken, dab dab Normeab~ndel dieses Teilraumes vom HI(I,M) bzgl. (HI(I,TM),g ~) gerade durch die paralleleu Felder l[ngs dieser Kurven gegebeu ist). Wit erinmerm noch an die vor II.~.11 bzgl. c~ HI(i,M), ~ H q ( c ) gemachte Definition:

11~

-

I.

Die U n t e r m a n n i g f a l t i ~ k e i t e n

-

~(M),~AB(M ) yon H I ( I , M )

Die j e t z t ( i n V e r a l l g e m e i n e r u u g e n yon I I . I ) e i n z u f f i h r e u d e n U n t e r m a n n i g f a l t i g k e i t e a yon H I ( I , M ) s i n d das e i g e n t l i c h e Z i e l d e r i n I I gemachten A u s f ~ h r u n g e n , da aus H l ( i , m ) n i c h t v i e l I n f o r m a t i o n fiber ~ a b l e s b a r i s t ; H I ( I , M ) i s t t o p o l o g i s c h g e s e h e n n i c h t i n t e r e s s a u t e r a l s M und d i e n t uns nur als "Container" der interessauten Strukturen. ~.1 Defiuitio~ : A(~)

:=

{C,~l(I,M)/c(o)

= c(I)},

analog A(E)

bzgl.

E.

A(c) := {X~HI(C)/X(o) = ~(1)} = A(T~),HI(O) fiLr c~A(m), E analog AE(c) mittels HI(C) ; beachte A(c) = ATe(c). Es gilt C~(S1,M) cA(m); erstere Kurven hei2eu differenzierbar geschlossen, und A(M) heiBt der Raum der geschlosseuen Kurven auf M. A~ bezeichuet die eutsprecheudeu Gebilde vou stetigen Kurveu. Nach II.2.a, 4.5 habeu wir (z.B.)die folgenden stetigen Inklusioneu (im ersteu Fall zus~tzlich linear, im zweiten Fall auch differenzierbar bzgl. der uach 1.2 bzw. II.a.13 dazugehSrigeu differenzierbareu Strukturen:

(AE(c),I..IlI,c)

~(A~(c),ll..ll

, o)

uu~

(A(~),d I) ~ (A~

Wenn wit Riume stetiger Kurven ben6tigen, so stets nur mit den in II.2.4 0zw. II.2.6 definierten Topologien der gleichmiBigen Konvergenz, d.h. das in II.a.13 Festgestellte diente nur zur geuaueren Information fiber solche R~ume uud wird im folgendeu nicht ausgenutzt. Der folgende Satz faBt die wichtigsten, aus HI(I,M) fir A(M) ablesbaren Eigenschaften von A(~i) zusammen. 11.2 Sat~ : (i) A(m) ist abgeschlosaene Uutermauuigfaltigkeit yon HI(I,M) der Kodimension dim m mit den auf A(M) eingeschrinkten uatfirlichen Karteu yon Hl(I,m) als natfirlichem Atlas (die Modelle ~(c) sind also abgeschlossene Teilriume yon Hl(C) ). Wit bekommen damit eiuen kovariauten Funktor A v o u der Kategorie der euklidischeu iviannigfaltigkeiten in die Kategorie der separablen, par~kompakten Hilbertmannigfaltigkeiteu. Dieser Fuuktor respektiert iujektiv, offene und abgeschlossene Einbettuugem und cartesische Produkte. C~(SI,m) liegt dicht in A(~). Unter A(m) versteheu wit im folgenden stets diese Hilbertmannigfaltigkeit, falls uichts auderes gesagt wird. (ii) A(~):~(E) ~ ~(m) ist mit den induzierten Trivialisierungen wieder Hilbertbfindel fiber ~(i~), Fasern ~E(e), uud die(faserweisen) Eiuschr~nkungen yon gl,g I definieren riemannsche metriken ffir diese B~ndel. Der obige Fu~ktor erweitert sich also ebenfalls auf Bfindel, wobei er mit exakten Sequenzen und Pull-Oack- und Whitneysummenbildung vertr[glich ist, jedoch nicht mit dem Funktor L r kommutiert.

-

114- -

(iii) Die ~ m k t o r e n T und A kommutieren (vermittels der Einschr~nkung der frHhereu Ideutifizierung), d.h. ist f:m ~ ~ morphismus, so ist die Tangentialabbilduug yon ~(f) durch das folgenue kommutative Diagramm gegeben:

~(T~) A(~)

ml(Tf)

,[ A(m) -

=

A(~)

c~(M)d(o)

A(f) = il(f)/~(m) (analog der Rest)

A(f)

"~ A ( ~ ) (A(m),gfl),(A(M),g I) sind also riemannsche Mannigfaltigkeiten und riemamusohe Untermannigfaltigkeiten von Hq(l,i~) bzgl. gl bzw. gq doh es gilt ffir alle c,e ~ A(~) z.B. im Falle d1: d~(l'~0(c,e)

~ d~(m)(c,e)

(bei naheliegender -im folgenden abet uuterdrfickter- Bezeichnuugsweise s die dutch die gegebenen riemannschen Metriken induzierteu Abstaudsfumktioueu). Wie bei HI(I,M) in 11.4.5.1 gilt auch bei ~(M) ffir d~ (m) d I ' A(i~L): c,e~4(~)

( i v ) (M,g) i s t abgeschlosseue, t o t a l - g e o d ~ t i s c h e riemannsche Uutermannigfaltigkeit auch yon (A(M),g 1) und (A(M),gq), und die durch g induzierte Abstandsfuuktion d stimmt mit der Einschrinkung vou d I u n d d I auf M• iberein. BeWl'lll: ZU (i~: FHr die in II.3.1o erklirten uatHrlichen Karten von Hq(I,M) g i l t : eXPc:B~(Oc)nA(c ) > B~(c)nA(M) ist f ~ r alle c~A(M) B i j e k t i o n , a l s o K a r t e f f i r A(M), da A(c) = Kern S a b g e s c h l o s s e n e r T e i l raum des H i l b e r t r a u m e s H l ( c ) i s t ; S:Hq(c) ~ mc(o) d i e s t e t i g e ~ l i n e a r e S u r j e k t i o n X ~ ~X(q) - X ( o ) . ~(M) i s t a l s o U n t e r m a n n i g f a l t i g k e i t yon HI(I,M)~ s i e i s t a b g e s c h l o s s e n , da s i e abgeschlos~4en i n ( H I ( I , M ) , d ~ ) i s t , v g l . I I . 3 . 3 . Die r e s t l i c h e n Behauptuugen aus ( i ) sowie ( i i ) , ( i i i ) G b e r t r a g e n s i c h a n a l o g yon Hq(I,M) bzw. Hq(Z,E) a u f A(M) bzw. A(E). ZU ,,(iv): Die Eiubettung yon M in ~(M) lautet wie bei Hfl(l,~I) in 11.4.3: p~Ml ) c ~ pea(M); sie ist trivialerweise isometrisch, und die Punktkurvem siud abgeschlossen in A(M), da sie abgeschlossen in (A(M),d~) sind (der Taagemtialraum in c ~ p~M an M ~ ( M ) ist durch die koustanten Vektorfelder in ~(c), also durch ~ gegeben). P Da die Einbettung von ~i in ~(M) isometrisch bzgl. gq,g ist, gilt f f i r alle c,e ~ M a A ( M ) : d(c,e) ~ dl(C,e),dl(e,e). Andererseits gilt f~r alle C~-Kurven ~ : ~ , ~ ] ~ m(~) yon c nach e und die damit ffir alle t ~ I bildbaren C~-Kurven ~(..~t): ~,~] ~m

-

115

-

von c nach e auf Grund bekannter Ungleichuugen: 1

L~

~3

1

= ~0 1L ~(..,t) dt -> L~(. . ,t O) fur ein geeignetes

t o e I,

da L~(. t) nach 11.5.12 stetig yon to abhingt (Entsprechendes folgt sofort f~r gl und das to, bzgl. dem gl definiert wurde, woraus jetzt insgesamt d = d~/M• = dq/Mxi~ folgt. Ist ~: ~,~3 > m~A(~.~) nun Geoditische von (ivY,g), so ist ~ lokal KUrzeste in (M,d), also auch lokal KUrzeste in (A(~),d I) bzw. (A(M),dl), also ist ~ auch Geoditisehe in A(M) bzgl. gl und g l da der Parameter I yon ~ bzgl. gl und g ebenfalls proportional zur Bogenlinge ist, vgl. 1.6.3. Damit ist N[ total-geoditische Untermannigfaltigkeit yon (A(M),g 1) bzw. (A(i~i),gI) in dem in 1.5. 5 definierten Sinne (und jede Geod{{tische ~ in M liBt sich nieht in A(M) - ~ bzgl. gl oder gl fortsetzen, da M abgeschlossen in A(M) ist). D a s hier fur A(M) AusgefUhrte gilt vSllig analog auch fiir H1(I,2~i).

Das folgende Lemma dient der 0-bertragung yon (riemannschen) hingen und Gradienten yon HI(I,I~) auf A(~I).

q.e.d. Zusammen-

11.~ Lemm~ : Das orthog0nale Komplement ~E(c)~ von ~E(c),c ~ A(1) in (H~(c),gl, o) besteht genau aus den X ~H1(c ) der folgenden Gestalt: (I) x(t) := - cost(I-t) v+(t) + oosh(t) v-(t), wobei v + bzw. v- das bzgl. K' parallele Feld lings e in E m i t v+(o)=v bzw. v-(~)=v zu (beliebigem) v ~ E c ( o )

= Ec(1) bezeiohnet.

Bem.: Bzgl. (H~(c),g~) gilt analog: (2) x(t) :: ~-u(t) + (U(o) - u(1))(t), wobei U irgendein paralles Feld lings c und U(o) - U(1) (wie Ublich) das parallele Feld lings c m i t (U(o) - U(q))(o) = U(o) - U(1) ist.

Damit sind insbesondere die Normalenb~ndel und (Hq(l,M),g I) bestimmt.

von A(m) in (Hq(I,M),g 1)

Bew.: Die in (I) definierten X bilden einen (dim Ee(o))-dimensionalen E Unterraum yon HI(e); Basen yon Ec(o) induzieren gemiB (I) sofort Basen dieses Umterraumes. Wegen codim Am(c) = dim Ec(o) (denn ~E(c) ist der

-

116

-

Kern der stetigen, liueareu

Surjektiou

bleibt

die

far

obige

X nut

noch

S:H~(c)lll>~(O)~'

~

~(0)--~(~))

Gleichung

ffir alle Y~ M ~c) nachzuweisen: (*) stimmt auf Grund you II.2.2(iv) und v X ~ H ~ ( c ) mit I~[g(A(t),Y(t)) - g(~2X(t),Y(t)~dt + g(Y(1),VX(1)) - g(Y(o),~X(o)) fibereiu, uud daraus ist die Behauptung wegen ~ X ( t ) = siuh(1-t).v+(t) + siuh(t).v-(t) , ~72z(t) = - cosh(1-t).v+(t)

+ cosh(t).v-(t)

und

vX(o) = VX(1) = siuh(1).v sofort ersiohtlich. Analog folgt (2). [1.4 ~emerkun~

:

(i) Es gilt HI(K')/~(TE ) = A(K'), also ist auch A(K') eine ZusammenhaLigsabbildung (fUr A(E)). FUr die dazugeh~rige kovariaute DifferenA tiation~z gilt

=v z (bei ~ wird Y als Vektorfeld in HI(I,E) l~ngs i:A(M) >HI(I,M) augesehen). Das fur HI(K') iu II Festgestellte ~bertr~gt sich vollst~ndig auf A(K'), und es gilt unter uaheliegender Verallgemeinerung vou 1.5.4(iv): A(M) ist total-geod~tische Untermaunigfaltigkeit you HI(I,M) bzsl~ HI(K');E=TM jetzt. (ii) Die Levi-Civita-Zusammemhinge~ yon (~(M),g 1) uud (~(M),g I) siud nicht einfach die Einschrinkungen der fur HI(I,M) in 11.4.12 ermittelten V ( b e a c h t e die dortigeu Voraussetzungen), sonderu sie m~sseu ~ber ~.3 gemiB 1.5.3 gewonnen werden (dies folgt, da die bei HI(19M) aufgestellteu Bestimmungsgleichungen II.4.12(I),(2) auch auf den Fall ~(M) zutreffen -nut c~ ~(M),vl,v2,w @A(e) jetzt- jedoch die damit ermittelten B nicht durch Eimschrinkumg der in 11.4.12 ermittelten entstehen: B(vl,v 2) mu~ nicht ges~hlosseu sein, Falls vl,v 2 dies simd). DarHberhinaus gilt sogar, da~ A(M) uicht eimmal total-~eod~tische riemannsche Untermannigfaltigkeiten yon HI(I,M) bzgl. gl oder gq ist, denn mit 1.5.4(v) ergibt sich (z.B. im Falle gl):

~ (x,Y) + gl(~(x,~),~) ~'~ gl(~(~,~),~) : -g1(~(x,Y),~)~o fur alle A , Y s und alle ~ ~ ( A ( M ) ) ~. [iii) Im Falle (A(m),gq) ist der Zusatzterm des Levi-Civita-Zusammenhangs B(vg,v 2) dutch L~sung der folgenden Differentialgleichuug ermittelbar:

-

117

-

-~(Vl,~,v 2) - ~(v2,~,Vl)~ , Aufangswerte:

B(vl,v2)(o ) = B(vl,v2)(1),vB(vl,v2)(o)

=VB(vl,v2)(1).

Analoges liBt sich in den auderen Fillen und auch bei den in 4.~2 Bem. aufgestellten Geoditischengleichungen durchffihren. (iv) Ist c:I > M periodische Geoditische (also c:S ~ ~ M insbesondere vom Typ C~), so ist auch die folgende C~-Kurve ~ yon I in A(M) oder H1(I,m) periodische Geod~tische bzgl. gl oder g l

/~

/~

~(s)(t) := c(s+t-Is+t])

,

s~I t~I und ~ hat die gleiehe Linge wie c (bzgl. gfl bzw. gfl). Dies folgt wie in ~.Q2 ~em., da die dort ermittelten Bestimmungsgleichungen der Geoditischen auch bei A(M) diese Gestalt haben. Das folgende Lemma untersucht das Konvergenzverhalten yon Folgen auf H~(I,M), A(M) uud findet wichtige Anwendungeu im darauffolgenden Satz (Beh. (a)) sowie beim ~achweis der Vollstindigkeit you HI(I,M),A(~i) (Beh. (c)) uud der Bedingung (C) fur das (in 11.2.6 definierte) Energieintegral E auf HI(I,M),A(M) (Beh. (b)). FUr den Rest dieses Paragraphen werden nur noch RZZ-Strukturen (g,K), we K der Levi-Civita-Zusammenha~g yon g i s t , benutzt. 11.~

(a)

Lemm~

:

Sei (cu~nE N eine gegen c ~H1(I,~I) kouvergente

Folge in

(H1(l,m),d~) ; X m := exp~flc n ist also ffir hinreichend groBe neN als Element yon Hl(C) definiert (uud ~ullfolge bzgl. Ibli~ -vgl. II.3.3). ~eh.: Es gilt: lIXn~I2 ~II~n(o)II 2 + coust-E(o)

+ coust. E(c n) sowie

wobei { h ~ n ~ N eiue ~ulls ist und Yn ein mittels X n geeignet gewihltes Vektorfeld aus H1(c n) mit supl[IY~lII~coust-sup~IXnIIl. n~N n~N Zusatz: Da exp -I Karte um c ist, gilt trivialerweise: {cu~ kouvergiert gegen c in (Hl(l,~i),d 1) genau damn, wenn IIIX~II~ullfolge imIR ist. ~

(b) Sei ~c~n~R Folge in H~(I,m), die in (C~ komvergiert, dab die Folge {E(cn)~u~N , beschrinkt ist. Sei c := lira Cn,C~ Xku := exp~jcu,~(s)~

:= eXPck(S-~ku) , also ~ die Ck,C n verbindende

d~tische bzgl. HI(K) (fUr geuGgend groBe k , n ~ N vgl. 1.4.3 ~ew. und II.3.1 oder II.4.~3). Beh.: Ist {l~IXk~l~ ~ullfolge,

so und Geo-

ist dies wohldefiniert,

so ist {eu}n~ ~ Cauchyfolge

in (Hl(l,~i),dl).

-

118

-

Die Absch~tzuugeu in (a) gelteu aualog fur Xkn bzw. ck austelle vou X [l bzw. c. (c) Sei {Chine ~ Folge im Hq(l,~a) , die iu (C~ kouvergiert und Co~Hl(I@i) so mahe bei c := lira c *C~ (bzgl. d~), dab Xm := exp-lc-~H~(oo ~ 9 c o ) fur fast alle ue~

definiert ist

Beh.: ~Cu}u, N Cauchyfolge in (Hl(l,m),dl)@~Xm~ a ~

komvergeute Folge

iu (Hl(Co),ll..111). (d) Die in (a), (b), (c) f~ir H1(l,m),C~ geaaohte~ Behauptu~geu ~bertragen sich unmittelbar auf A(~w),~~ umd lassen sich nat~rlich in ~hnlicher Weise f~r ((..Ilq,dfl anstelle yon I~..III,dI formulieren. Bew.: Zu (a): Da cud'~ c, gibt es eine kompakte umgebung A you Bild (c,c) in ivlxM, auf der (~,exp) -1 erkl~rt und Diffeomorphismus ist und die Bild (C,Cn) ffir alle hinreichend groBen n euth~it. Ffir solche n gilt :

~x ( t ) = ~ ~

),cn(t) )-(a(t),~

(t)) :

KoT1(~,exp)-1(c(t),cu(t)).~(t ) + KoT2(~,exp) -l(c(t),cu(t)).~u(t),

also

I1ogc(t)(~Xu(t),vXn(t))dt = ~ogc(t)d(VXn(t),KoT1(~,exp)-q(c(t)~cu(t)).8(t))dt -~ ( t ) , cu (t))~'vXn( t ) , ~ (t))~t + flogcu(t)((K~ T2( ~, exP)(c

-1

supIK'Tl(~'exp)(c(t) + Ix~ll~ " t,T

c(t))

-1

- K'Tq(~'exp)(c(t),c(t))

I1"~-~-~ '

wobei Ym ~HI(cn) das eiudeutig (mittels Parallelverschiebuug) bestimmte Vektorfeld mit (KoT2(~ ,exp)(c(t),cn(t))).VXu(t) -q =VYn(t),Yu(o) = o ist; beachte KoTq(~,exp)~Ic(t),c(t))

= - idMc(t)). Es gilt ~X |o_~l~n~o uud

supllKoTl(~,exp)~dc(t),om(t) ) - KeTq(~,exp)-d t~z (~(t),c(t) )If

> o fur ~

~

(auf Gruud der gleichm~Rigeu S t e t i g k e i t you KoTi(~,exp) -I auf A) uud -1 ~Yulll-~ u,sup ( IlK~t T2)(~' texp) (c ' on (t))11" 11~ x ~ IIo -~ sUp(p,q)eAIl K ~T2 (lr, exp )

-l(p,q)ll.lllxJI/

womit die zweite Absch~tzuug gezeigt ist. Welter gilt

IIlXu~f2 -~ d(c(o) ,cu(o) )2 + + 11o[IK~ TI (T, exp) -1 (c(t), cu(t))'~( t)

z

-1 6m(t)lladt + KoT2(~, exp )(c(t),cn(t))"

d(o(o),c (o)) 2 + k~.Ilall2 + ksll~ il~o

mit geeigmeteuKoustauteu folgt.

k 1,k 2 ~ R

, woraus die erste Absch~tzung

-

~9

-

Zu (b): Sei o.B.d.A. Xkn/O , also Ck/C n und damit ~(s) / o stets. Dann gilt:

~-~dI~1~( s )Ul ~=

I I 2111~(s)lll -2. g~(s)(KR.~(s) ,f~(s))

9 ~

~

,~s~.-~(s,t)),V2Fs ~ ,t))as,

~

~(sl)}il-lll~(o)lll] =

also folgt mittels Integration fur alle s I e [o,q]: fill

RRII 9%( ck,

2.

-i7 as,

t/R][

:= sup lIRpll4oo ,11..1I die zu g geh6rige Finslerstruktur von p~B L3(TM;TM),R 9 = ~L~(T~;~;%i)(M) der Kr~mmungstensor yon K und B kompakte Umgebung yon Bild c, die alle ck(t),Cn(t) und die diese Punkte verbindenden kHrzesten Geod~tischen von K enth~It. Es folgt wobei

dfl(Ck,Cn ) ~ I1olll~(s)lllas = T,~ ~ ]IRII. d,(Ck,Cn )2.

max V2E(~(s))' +][Xknl//. s .Eo, 1] Die in w bewiesene Absch~tzung ] ~ V ~ ] ~_ dq(c,e) liefert angewandt auf ~ : max l~2E(~(s)) - V2E(~o))I-~L~, woraus mittels

s9 der Absoh~tzung

(*) folgt

max ~.(fl-liR[1-doo(Ck,Cn s~Eo,17 Damit ist abet die Beschr~nktheit

)2) ~ ~ +

~lXknl[l .

der Zahlen max

~2E(~(s))'

und

die

s~Eo,1] Behauptung "Icn~n~N ist Cauohyfolge" ersiohtlich, da lllXknll I besohr~nkt und Cauchyfolge in lq ist. Der Rest ist naoh (a) bereits klar (unter Verwendung yon c k anstelle YOn

O ).

Zu (c): Die Behauptung ist direkte Folge yon 1.7.6 ~o (f = expcl:Bs ) >Hj(o o) ), wend man das dortige B~(p) gleich 0

(irgendeinem) BT(c o) w~hlen darf. Dazu ist nach dem dortigen Beweis nur eiuzusehen, dab die Metriken

(Ooo

( gl )exp~ ~ (X) ,x

~o

gleichm~Big ~quivalent

)

(*)

sind ( ~= eXPc1,> = id).

o

gl

Die GGltigkeit von (*) fGr go anstelle von ist sofort aus II.4.# ersichtlich. Bei geeignet gew~hlten ~> o ist aber der Hauptteil yon aus II.$.2 beschr~ukt (wie aus dem dortigen Beweis ersichtlich ist),

-

12o

-

also folgt die beuStigte gleichm~Bige ~quivaleuz fur gl (uud damit auch fur gl) aus der folgenden global wie auch lokal -bzgl. Trivialisieruugeu (exp~1,B~(Co))- g~itigen Darstelluag von gl bzw. des Haupttells yon gl: o

gl

: go + go ~

"

q.e.d. 11.6 Sat zl : Die stetige Iuklusiou i:Hl(I,~i ) >C~ (~letrikeu dd,dl bzw. d~) ist eiue Homotopie~quivaleuz, d.h. es gibt eiue stetige Abbildung h:C~ > Hl(I,m) , ffir die gilt hoi~idHl(i,m),ioh~idco(i,~ 0. Da h uud die benutzteu Deformatiouen so gew~hlt werdeu kSnneu, dab sie die Endpuukte der Kurveu fortlasseu, gilt diese Behauptung analog fur die ebeu eiugeffihrte Uutermanuigfaltigkeit A(M). Bew.: (vgl. Milnor [34~, S.93; dort wird Aualoges ffir eineu Teilraum von HI(I,M) mit der grSbereu d.-Topologie, vgl. II.2.6, gezeigt). W~hle eiue Dberdeckung voa m mit offeueu, koavexen Mengeu N~. Sei k, N und C~k diejeuige Teilmenge stetiger Kurveu aus C~ die die Iatervalle [(j-1)/2k,j/2k],j=1,...,2 k, jeweils ganz iu eine der ~engem N~ abbildeu. Dauu ist C~(I,M) ~C~(I,M) cC~(I,M) .... eiue aufsteigende Folge offener Teilmengen vou C~ die C~ "ausschSpft". Es gilt: i : HI(I,~) ~C~ ist stegig, also auch o > C~(I,M) . Wit zeigen obige Behauptuug i~: H~(I,M) := i -1 (Ck(I,M)) zun[chst ffir ik fur ein beliebiges k ~ N. Sei e ~C~(I,M) und hk(e) die nach Voraussetzuug eindeutig bestimmte l[ngenminimale gebroohene Geod[tische durch e(o),e(1/2k),...,e(q). Wit zeigen, dab die damit gegebene Abbilduug (*) hk : C~(I,~) >H~(I,M) stetig ist. Sei eu,e {C (I,M) m i t e u

d~> e. Zu zeigeu ist hk(eu)=:Cn dl>hk(e)=:c.

Nach 1.5(a) ist dazu uur uoch ~[Xulll

> o, also

II~gck(t)(~Xu(t),~(t))dt I + l~ogcu(t)(VYu(t),6n(t))dt 1 I

* o

ffir X u := exp~Ic u uachzuweisem (da die Euergiewerte der Kurven cu bebeschr~akt siud). Nun gilt fur den ersten Summanden ~gc(t)(VXu(t),~(t))dt = gc(t)(Xn(t),~(t))l o' 1 woraus (*) wegeu Xn(o),Xu(1) ~ o folgt (ebeuso erledigt sich der zweite Summand). Ffir die Abbildung ikOh k : C~(I,M) bC~(I,M) ist ikOhk~idc{(i,M) nach [9~

bereits klar. Es bleibt also nooh

-

hk.i k : Hk(I,M)

121

-

> Hk(I,M) "~ i ~ ( l , l ~ i )

nachzuweisen:

Sei tj := j/2 k f~r ~ = 1/-~2k uud Hk:I • durch rhk(e)(t) ffir o-~t_~tj_ 1

>Hk(I,M) defiuiert

wobei tj_ 1 durch tj_l<~-
Hk(~, e)(t)

:= c(t)

bestimmt ist.

ffir t j_ I L__t_~T, C: [tj_ 1 , ~ > ~ die Geoditische minimaler Linge yon e(tj_ 1) nach e(T)

~(t)

Hk(O,e)(t)

ffir ~-t -~1 := e(t), Hk(1,e)(t) := hk(e)(t) ,

also Hk(O,..) = id, Hk(1,..) = hk.i kWir zeigen mittels 1.5(a), dab H k stetig ist, d.h., dab ffir alle {en],e aus H~(I,M),{Yn],T aus I gilt: (beaohte: d~(Cn,C) .) o folgt wie in [35] ): Xn := exp;qCn

~l..nl)o, falls 5~

WihIe zu T ~ I das j ~ {o,..,2

und )T := Hk(T, e) t j _ l < T ~ t j bzw. t j _ l ! ~ < t j. Es

genfigt, Folgen i%n} zu betrachten, die yon unten bzw. von oben gegen T kouvergiereu. Dabei kaun die Betrachtung auf das Iutervall [tj_1,t j] eiugeschr~ukt werden, da in den restlichen analog zum vorausgegangenen bereits alles klar ist. Nach 1.5 (a) bleibt also II~;_lgc(t)(VXn(t),~(t))dtl

+ )~;_lgcn(t)(VYn(t),6n(t))dt I

>o

einzusehen. Dies geschieht dutch Aufspaltung dieser Integrale in jeweils 3 Integrale bzgl. der Zerlegung tj_l,Tn,T,t j bzw. tj_l,T,~n,t j you ~j_1,tj]; die beiden zu den Randpunkten geh6rigen Intervalle lassen sich analog vorausgegangenem behandeln, beim mittleren ist nur zu zeigen, daS der Integrand beschrinkt ist. Es gilt also: ik : H~(I,~I) ----eC~(I,~0 ist Homotopie~quivalenz. Da HI(I,~i) bzw. C~ der homotop-direkte Limes der H~(I,M) bzw. C~(l,m) ist, vgl. Beispiel I, S.149 in [34], gilt also nach dem dort folgenden Theorem A auch i : HI(I,~) >C~ ist Homotopieiquivalenz.

1!.7 Sat~ : Der Homotopietyp der ~annigfaltigkeiten HI(I,M) bzw. A(M) h~ngt nur vom Homotopietyp der zugrundeliegenden ~annigfaltigkeit ~ ab. Bew.: Nach 1.6 genfigt es, dies ffir (C~ bzw. (A~ einzusehen. ~Seien i,N euklidische lannigfaltigkeiten und f:~ ) N (stetige) Homotopieiquivalenz, d.h. es gibt eine stetige Abbildung g:N >

-

mit f o g ~ i d N und g . f ~ i d ~ . c ~C~

122

-

Die dadurch induzierten Abbildungen

CO(f) ~ foce C~

eC~

C~

goe e C~

siud bzgl. der d~-Topologien trivialerweise stetig (vgl. auch II.4.3). Gleiches gilt ffir die durch stetige kbbildungen h : [ o , 1 ] ~ > ~, h':~,l]x~ >M (mit h ( o , . . ) = f o g , h ( q , . . ) = i d l ~ , h ' ( o , . . ) = gof, h'(1,..) = id~)induzierten kbbildungen

~: ~,q]~c~

~ c~

h ' : [o,I]~C~

> C~

(~,c) I > h~oc , (~,e) I > h~o e (da sie als Einschrinkungen yon Abbildungen vom Typ C~176 ') dargestellt werdeu kSnnen). Fir diese Abbildungen gilt ~(o,..) = C~ ~(1,..) = idce(l,m), etc. also folgt C~176 = C~ ) und

C~176

= C~

also:

C~ i s t homotopie~quivalent zu C~ Der Beweis f~r A(M) v e r l ~ u f t genauso. Bem.: 1) Da es mSglich ist, f,g,h,h' dutch gleichgeartete C~-Abbildun gem ~,~,h,~' zu ersetzen, so dab bzgl. h,~' wieder ~ o ~ i d ~ , ~ o ~ i d ~ gilt, kann der vorstehende Beweis auch genauso mit Hilfe des Funktors Hq bzw. A geffihrt werden. 2) Die in 1.6 angegebenen Abbildungen induzieren Bijektionen zwischen den Zusammenhaugskomponenten von Hl(l,m) und C~ sowie A(m) und Ao(m), insbesondere ist also Hl(l,m) genau damn zusammenhingend, wenn dies ist und A(m) genau damn zusammenhingend, wenn m einfach zusammenhingend ist. Eine Haupteigenschaft der d~-Topologie ist die folgende ~ C~176 ~-~ ~e C~ i,m) , d.h. Homotopien zwischen stetigen Kurven Cl,C 2 sind gerade stetige Kurven auf C~ die Cl,C 2 verbiuden. Betrachten wir dasselbe bzgl. ~o(~), so haben wir entsprec~end die sog. freien Homotopien auf m als Kurveu auf ~~ 1.6 ergiOt bach obigem, dab die dutch C~-Kurven auf HI(I,M) bzw. ~(M) gegebeneu Homotopien auf M keine st~rkere, sondern die gleiche (freie) Homotopieklasseneinteilung wie beliebige (freie) Nomotopien definieren: Cq,C 2 liegeu in der gleichem Zusammeuhangskompouente vou HI(I,M) bzw. A(M) < > d l ( C l , C 2 ) < ~ v d 1 ( C l , C 2 ) ~ ~___h~ Cl,C 2 sind (frei) homotop.

~-->~(cI,02)~o~

(vgl. II.a.13)

3) ~aoh [6], [6a3 gilt: Sind A,Y parakompakte C ~ l a u n i g f a l t i g k e i t e u mit Modell ~2 und ist ~:X > Y Homotopieiquivalenz, so ist T homotop zu eiuem Diffeomorphismus vou X auf Y. In unserem Fall ergibt sich damit: Sind M,N vom gleichen Homotopietyp,

so siud Hq(I,M),HI(I,N )

-

123

-

bzw. A(M),A(N) diffeomorph. Ffir solche A,Y,.. gilt welter, dab sie C~-Einbettuugen auf offene Mengeu des ~2 gestatten (also iusbesondere parallelisierbar sind, dab sie stabil sind (X diffeomorph zu X • uud dab gilt: Ist A ~ X abgeschlossen und lokal-kompakt, so ist i:X-A > A Homotopieiquivalenz (also i homotyp zu einem Diffeomorphismus you X-A auf X; Beispiel: M ~ H I ( I , M ) oder ~ c A ( M ) oder auch: ~2 ist diffeomorph zu der in ihm euthalteuen Sphere. ~.8 Anmerkuuge~

:

I) Seieu A,B totalgeoditische Untermanuigfaltigkeiten vou m (bzgl. irgendeiuer riemaunschen Metrik g ffir M; z.B. A,B offen oder A,B abgeschlossen uud disjuukt - oder gleich).

AAB(C) := [ X e HI(C)/X(o ) ~ A c ( o ) ~ X ( 1 ) e B c ( 1 ) } ffir C6AA~(M) = ATA,TB(Tm) - HI(c ) Im F a l l e A =
{xe~(~176176176

U

o (~M) o H~(o),A ~p o q (~:.0= c~~_/ J (M)Ao(O).

p q

Analog b e z e i c h n e n w i t d i e e n t s p r e c h e n d e n G e b i l d e aus C -Kurven bzw. s t e t i g e n Kurven ( l e t z t e r e m i t t e l s z u s i t z l i c h e m I n d e x o w i e d e r ) ; es g i l t

c~B(M) ~ AAB(~)~ A ~ ( ~ )

.

Da ~:[o,1~ >[o,1],t ~ >q-t einen Diffeomorphismus ~:HI(I,M) >HI(I,M),~(c) = co~ definiert, der die betrachteten Teilriume ineinander fiberffihrt, hingt AAB(M) nicht wesentlich yon der Reihenfolge yon A,B ab. 2) Die in 1.2 aus HI(I,M) ffir A(M) gewonnenen Behauptungen gelten meist analog auch fGr AAB(I~I); wit erwihnen folgende Besonderheiten (die Bedingung A,B total-geoditisch wird gebraucht,um die Karten (exp~1,B~(c)) von HI(I,M) eiuschriuken zu kSnneu!): Siud A,B offeu (abgeschlossen), so ist ~AB(~,~) offen (abgeschlossen) in Hl(I,Id) , lokale Modelle AA~(C), uud es gilt: codim ~AB(~0 = codim A + codim ~ (eodim bzgl. Hl(I,m) bzw. ivl). Das Funktorverhalteu yon A ist hier nicht mehr ganz vollstiudig gegeben, doch gilt z.B. wieder, da~ 1~orphismeu f:M > N ,~orphismeu A(f) : ipq(M) ~Af(p)f(q)(N),c , ~ f~ induziereu(durch Eiuschrinkung yon

H 1 (f) ! )

Die Identifizierung

THI(I,M)

= HI(I,TM)

liefert, da2 die Tangential-

abbildung yon A(f) durch das folgende kommutative

Diagramm gegeben

-

ist: c~/~pqOW)

Ao(c) = Aopoq(~o

Ap ~)

124

-

Z(~f) ~Of(p)Of(q)(~)

A(f)

i

d(~)

> A (~) f(p)f(q)

Aualoges ergibt sich bei AAB(M),~A,B,(~), falls f ( A ) ~ A ' , f ( B ) c ~ ' . Es gilt M ~ A B ( M ) = A ~B, so da~ die Aussage (iv) bzgl m entf~llt. 3) AAB(~) ist ebeufalls iu trivialer Weise riemauusche Uutermauuigfaltigkeit vou HI(I,~); es gilt bzgl. g1: AAB(C)

= ~keH1(c)/X(t ) := U(t) + V(t) + t.V(t)},

wobei U,V parallel l~ngs c uud U(o)e A o(o) • & 'v(1)~ ~0(I)" Damit lasseu sich Gradieuteu uud Zusammeuh~uge aus den auf HI(I,M) gegeheuen berechuen, insbesondere also die Levi-Civita-Zusammenh~uge von (AA~(~),gl) uud (~AB(~),gl) aus den ffir Hl(l,m) bestimmten; vgl. die bei A(~) in 1.4 gemachten Bemerkuugen. Grossmau [18] gibt einen riemauuschen Zusammeuhaug ffir (~pq(~),gl) an, der auf Gruud eines Irrtums uicht torsionsfrei ist uud starke Ahulichkeit zu dem in II.4.11 auf H1(I,m) konstruierten Zusammeuhaug K R besitzt. 1.5, 1.6 gelten nat~rlich in analoger Weise auch f~r ~AB(~). 4) Die iu diesem Paragraphen eiugeffihrteu Untermannigfaltigkeiten haben z.B. die folgeuden Anwendungen (in Verbinduug mit dem in II.2.6 eingeffihrteu Euergieiutegral E): A(M)

im Studium periodischer Geod~tischer auf M, passeude Metrik gl (da 0(2) - iuvariaut)

~pq(~1)

im Studium der p,q-verbiudeudeu Geoditischen; passeude metrik gl (da diese sich hier auf eiuen Summanden reduziert)

~(~i) := A~,~(M) im Studium der Lotgeoditischen you N (N kompakte Untermanuigfaltigkeit von ~, vgl. [45]). 5) Wit haben die folgendeu disjunkteu Zerlegungeu yon HI(I,M),A(M) , AAB(M) in abgeschlosseue (riemaunsche) Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 2dim M, dim A + dim B, dim ~i (mit den Eiuschriukungen der natfirlicheu Karteu als Atlas; die Projektionen auf M• bzw. A• bzw. m siud Submersioueu!):

Rach Serre

[2~

~ ,q)~A• p~ ~ (vgl. auch [2~]) versteht man unter einem FaserbGudel

- 125 p:E > B eine stetige Abbildung p zwischen topologischen R~umen E,B, die ffir alle topologischea R~ume P die folgende Bedingung erffillt: Jedes kommutative Di~gra:mm stetiger Abbildungen F

,

~

P•

>E

)B

l~Bt sich zu einem Diagramm stetiger Abbildungen der folgenden Art P•

h

>E

P~I

f

)B

erweitern (hOil=g ; Homotepien sind liftbar!). Legt man bei deu in (*) angedeuteten Faserungen alle stetigen Kurven c:I ~ m (statt nur die HI-Kurven) zugruude, so gilt nach [24], da~ es sich bei (*) um Faserungen in dem eben genaunten Sinne (jedoch nicht im Sinne von Trivialisieruagen) fiber M ~ Diagonalen von M• haudelt.

bzw. A~B bzw. M (oder der

Da die in 1.6 erkl~rteu Abbildungen i,h fasererhaltend sind, liegen ab aber auch bei den in (*) dargestellteu F~llen Faserungen im Sinne von Serre vor. Ist f:~ ~ N Morphismus, so hat man weiter folgende kommutative Diagramme von Morphismen (Faserbfindelabbilduugen!):

HI(:,~0

l~M

i~(f)

HI(:,~ )

fx f

a(M)

\

a(f)

VA(~)

f

HI~A kSunen damit auch als kovariante Fuuktorem in die Kategorie der obigen Faserbfndel gedeutet werden. 6) Ist M Liegruppe (mit Einselemeut e), so siud auch HI(I,M),A(~) und Ae(m) Liegruppen, denu (c.d)(t) := c(t)-d(t),'c-l(t) := c(t) -1 defiuieren differeuzierbare Gruppenoperationen auf HI(I,~) bzw. A(M) bzw. A~(~) (es handelt sich einfach um die durch den Funktor H I bzw.A iuduzierten Abbilduugen; die restlichen Ap(m) sind keine Liegruppeu mehr, aber A~(M) ist Lietrausformationsgruppe yon jedem Ap(~) bzgl. der obigeu Operation "."). Die Abbildung A(~) yM• ~ (c(o),c(o)-1.c) ist Diffeomorphismus (d.h. ist m Liegruppe,

so lassea sich die eben beschriebeuen

-

1 2 6

-

Faseruugen global trivialisieren). 7) Aus 5) ergeben sieh nach [2a], [25~ noch die folgenden Aussagen: Alle Faseru ~pq(m),Ap(m) you Hj(I,m) sind vom gleicheu Homotopietyp, sie habeu also isomorphe Homologie- und Homotopiegruppeu. N ist Deformationsretrakt yon Hj(I,m), jedoch i.a. nicht vou A(M) (dort sind uur Ret~aktiouen (Submersionen) Ps : ~(M) > m , c , > c(s) a~gebbar ). Wie in 1.7 folgt (mittels geeigueter Homotopien): Der Homotopietyp von Apq(~) hingt nur vom Homotopietyp von m ab (uud nicht -wie gerade bemerkt- v o n d e r Wahl vou p,q e~). Das uach 1.7 Bemerkte ~bertrigt sich auf Apq(m), insbesondere gilt: Apq(m) ist zusammenhingend genau dauu, wenn ~ einfach zus~m~enhingend ist, sowie: ~n+j(m)

= ~n(~p(m))

2. Das Energieintegral

fur alle n ~ N

u [o},peM.

E und seine kritischen Punkte

FUr den Rest yon Kapitel III ben~tigen wit an B[ndeln dber der riemannsohen mannigfaltigkeit (m,g) nur noch das Tangentialb~ndel ~:TM ----->M zusammen mit dem Levi-Civita-Zusammenhang v,K yon g.

p.1 Sat~ : Die Abbildung

E : H1(l,m )

~

~1o ist ein morphismus alle X e H~(c) gilt:

(das sogenannte gnergieintegral

auf Hfl(I,i,~) ). Fdr

TEc. X = ~flogc(t)(~TcX(t),~(t))dt

(unter den kanouischen Identifizierungen THI(I,M) = Hj(I,T~)~RE(c)= R). Gleiches folgt per Einschrinkung sofort fdr A(M). Bew.: Es gilt

J o~ • E = ~go

also

auf Grund der in II.4 gezeigten Eigenschaften von ~,@ und~(ffir deren G~itigkeit "Vriemannsch" und "V torsionsfrei" ben~tigt wird). 12.2 Bemerkun~ : Sei (X,g) riemannsche Mannigfaltigkeit und f:X > ~ Morphismus[ p 6 X heist kritischer Punkt yon f : ~ - ~ Tfp=o ~ r - ~ grad f)p =o. ~=f(p) heist dann kritischer Weft yon f. Alle anderen Punkte p yon X bzw. Werte in ~ heiSen re~ulir; Tfp ist dann also surjektiv (und zerfallend) bzw. f[~) besteht dann nut aus reguliren Yunkten. Ist ~ regul~rer Weft von f, so ist f-J(~) abgeschlossene Untermannigfaltigkeit yon x der Kodimension I, eine sog. Niveaufliche von f, deren Tangentialraum in p~f-fl(~) duroh Kern Tfp =
(X,g) = (HI(I,M),gl) und f=E. Es gilt: grad Eft{t)

=

~6(s)ds

-

ffir alle c~ H I ( I , M ) , t ~ i

~27

-

(wie man sofort nachrechnet),

also IIIgrad EicII(~ = E(c). Die Menge der kritischen Puukte yon E: HI (I,~)--~ ist also dutch die Untermauuigfaltigkeit M=E-I(o) der Punktkurveu in H1(I,~l) gegebeu; o ist eiuziger kritischer Weft yon E. Wir haben hier eiue vollstindige Aufteilung in uneudlich-dimensionale "regulire Uutermannigfaltigkeiteu" uud eine endlich-dimeusiouale

"kritische Unterman-

nigfaltigkeit" vorliegen (alle Niveaufl~cheu yon (H~(I,~),E) siud Untermaunigfaltigkeiten). Der Gradient von E/A(M) bzgl. gl ist bekanntlich die an A(~) tangentiale Kompouente des obigen Feldes Grad E, er ist also nach 1.3 Bem. you der Gestalt: (~) Grad EIc(t) = I ~ ( s ) d s - t U(t) - (U(o) - U(~))(t); fur den Anfangswert U(o) des parallelen Feldes U ergibt sich aus der Geschlosseuheit vou Grad EIc die(eindeutig 18sbare) Gleichung 3U(o) - Pcl ~,o] "U(~

- PcE [ o , ~ "U(~

= Pcl~,oj~o ~(s)ds"

Auf Hq(l,i), also auoh auf A(M) gilt we~en

/T~cO~/2 ~ go,o(~,~)go,c(~oX,VcX) ~ 2E(c). ~l~cX Ill2 die Abschitzung Ilgrad E ]c II 1 ~ ~

Ilgrad Elclll ~ V ~ - C ~ )"

(ebenso f o l g t

~iittels (fl) ergibt sich ffir die kritischen Punkte von E:A(m)

~.

~.3 Sat~ : TEc=O<-->c ist differenzierbar-geschlossene (periodische) Geoditische yon (~,g) (d.h. insbesoudere: der Parameter yon c ist proportional zur Bogenl~nge yon c). Bew.:

" -~":

Aus (I) ergibt sich gem~B Voraussetzung

mit Hilfe lokaler Darstelluugen folgt: c:I > m i s t vom Typ C ~ und V~ ~ o (d.h. c:I

6 ~

> ~v~ ist Geoditische).

Ist aber ce A(M) kritischer Punkt yon E/A(M), so auch ~,~(t) c(t+s - It+s]) fdr jedes s e ~

((Grad E ~ ( H ~ ( i , ~ ) )

U , woraus

:=

ist iquivariant

bzgl. 0(2), w Damit folgt in Verbindung mit dem vorherigen: Z:I V m i s t Geoditische, d.h. c ist periodische Geoditische. "~ " FGr das in (~) definierte U folgt uach Voraussetzuug U(o) = 6(o) = ~(~) (da ~ parallel linES c u n d geschlossen ist), also U=~, also Grad EIc(t) = ~ ( s ) d s

- t.~(t) - ~(t) + ~(t) = o.

Bem.: Es gibt auch hier F~lle, wo f,~cA(~) die Gesamtheit der kritischen Punkte von E/A(~) darstellt (z.B. ~I = Rn), jedoch werden i.a. weseutlich mehr kritische Punkte als bei H~(I,M) vorliegen (z.B. existieren auf allen kompakten ~i uichttriviale periodische Geoditische, vgl. ff).

-

1 2 8

-

DaB bei HI(I,~L) nur triviale kritische Punkte vorliegen, korrespondiert (wie nooh ersichtlich wird) zu der in w gezeigten Aussage: ~i ist Deformationsretrakt yon HI(I,~). Bei kompakten mannigfaltigkeiten M gilt ihnliches auch bei A(f~i) ffr Kurven hinreiohend kleiner Energie:

12.4

Sat~ : Ist ~ kompakt, so ist o isolierter kritischer Wert yon E/~(~), d.h. die Energieintegrale (Lingem) der nichttrivialen periodischeu Geoditischen k6nnen nicht beliebig klein werden. Bew.: Sei ~ > o, so da~ ffir alle p 9 eXpp/B~/2(o p) injektiv ist. Wir zeigen indirekt, dab es keiue periodische Geoditische mit o~L(c)~ gibt, woraus wegen L(c) = ~ die Oehauptuug folgt. Denu ist c eiue solche Geoditische, so gilt Bild c ~ B ~ / 2 ( c ( o ) ) und {~(o)/%-6(o)/2} c B~/2(Op) - lop}, also exp ~6(o)/2) = exp (-~(o)/2) im Widerspruch zur Wahl won ~. ~ . ~ Def.I : Sei (X,g) riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang ~ und f:X > ~ iorphismus. ~ach l.q.6(i) ist ~Z(grad f) als C~-Schnitt im Bfudel L(TX;T~) fiber X auffa~bar; Bezeichnung: Hessesches Tensorfeld Hf yon f. Die dazugeh6rige Hessesche~ Form hf ist dutch hf := g(Hf(..),..) definiert und C~-Schnitt in L~(TX), also ~syymetrisches (2,o) - Teusorfeld. Die Symmetrie von hf(p) ~ L~(Xp)_ erkennt man folgendermaSen: Ffr alle u,v~(X) (wie auch ffr alle lokaleu Vektorfelder) gilt: [u,v~f = u(vf) - v(uf) una u(vf) = u(Tf.v) = u(g(grad f,v)) = g(~u(grad D,v) + g(grad f,~uV), also gilt g(Vu~rad ~,v) - g(~Zu~rad ~,v) = ~u,v~f - g(grad f,~u v - ~ v u) = g(grad f , ~ v

- ~ v u - [u,v]) = o, da ~ t o r s i o n s f r e i

ist.

Ist nun p 9 kritischer Puukt you f, so folgt insbesondere eine vou der Wahl yon (g,v) unabhingige Darstelluug der Hesseschen Form: hf(u,V)lp=hf(u_ ~ ) = u,(vf) also bzgl. eiuer Karte (~,U) 'vp um p e X:

= Vp(Uf),

hf(u~,Vp) = D2(for162162 Die Hessesche Form von f gibt weiteren Aufsohlu~ ~Jber das Verhalten der Fuuktiou f in der Umgebuug kritischer Punkte p ~ A. ~Vir definieren dazu:Eiue zusammenhingeude (abgeschlosseue) Uutermannigfaltigkeit Y von X, die nur aus kritischen Puukten besteht, heist uichtdegeuerierte kritische Untermannigfaltigkeit yon (~,f), falls in jedem p ~ Y Hf(p)

"129

-

-

auf Yp injektiv , also hf(p) dort nicht entartet ist. Dies gilt (genau) daun auch ffir jeden anderen topologisch-direkten Summanden Zp yon Yp in Xp

und ist (im Falle endlicher Dimension genau dann) erffillt, falls

die Tangentialr~ume Yp yon Y mit den ~ullr~umen yon hf(p) ~bereinstimmen (vgl. [53, [33]). Im Fall Y = ~p} sprechen wir speziell yon uichtdegenerierten kritischen Punkten p yon f; man weiB, dab solche Punkte wie auch die obigem Untermannigfaltigkeiten stets isoliert liegen. Der Index yon Y ist der (yon p e Y unabh~ngige) Wert des Indexes der Bili~earform hf(p) : Xp• ~p >~. In nichtdegenerierteu kritischen Punkten yon f v o m Index o liegen stets lokale minima yon f vor.

p.6 Sat~ Die Hessesche you E:A(m)

>IR lautet in kritischen Punkten c ~ A ( m ) :

hE(O)(U,V ) = go,c(XTcU,Vc v) - go,e(R(u,6,6),v) (ffir alle u,v ~ A(c); R der Krfimmuugsteusor you (m,g)). Bew.: Sei ~:U(o,o) >A(m) die dutch ~(r,s) := eXPc(r~ + s.v) auf elmer Umgebuug yon oe]R 2 uach 1.2 defiuierte C~-Abbildung. Es gilt ~(o,o) = c, s

= u,~r

fGr alle X , Y ~ ( ( A ( ~ ) )

(~ ~s.ogr

~o~o

= v. i~ach 11.3.12, 4.5 folgt damit

mit ]~c=U,Yc=V:

(v.~ H ~ *~r ,s , t ) , ~ t ~ ( r , s , t ) ) d t /(o,o,t)

, o, t ) ( v 2 v S ; ~~- ~ ( , oo, t )

?o~4(o ,o ,~ ) % ~

,~o,o,,)>~

o,o,~ >>~=

o, o, ~>, ~

f o ~ o )o)t ) % ~ o ,

+

, ~,~,o,o,~>)~ +

o t ~ ~l~

<'~,~,~r ,o,t)(vs~r

,o, ),VSNr

,o,t

,o, ) , v ~ r

= ,o,t))dt +

i~o ~g~(d o,o,t>%~C~~176176176 uud t i

+

~logc(t)(R(v(t),~(t),u(t)),~(t))dt + ~ogc(t)(VcU(t),~cV(t))dt, d~mit folgt die Behauptuug, da p V ~ ( ~ 1 7 6 = V6(t) - 0 und > gc(t)(~(o,o,t),6(t))~__ :

~

o,o)~

Ffir die Hessesche yon E:H~(I,iu)

geschlossen ist: A(~l~)

>19 ergibt sich auf Grund derselben

Rechnuug derselbe Ausdruck, wobei der zweite Term hier wegen 6=o entf~llt.

15o

-

~.7 Bemerkun~

-

:

1. Die abgeschlossene

riemanusche

Untermannigfaltigkeit

m von Hq(l,m)

oder A(m) ist nichtdegemerierte

kritische Umtermannigfaltigkeit

vom Index o. Denn ist c ~ p Em,

so gilt hE(C)(U,V)

bzgl. E

= [~gp(U'(t),v'(t))dt!

da u,v als Kurvem in mp aufgefaBt werden kSnnen, und man ersieht,

dab

gerade die konstantem Vektorfelder

Vek-

lings c (also die tangemtialen

totem an m in c) den Nullraum you hE(C) bilden. Es folgt(schwicher Abstand v o n d e r

als in 2.~, aber ffir beliebiges

m), dab m positiven

~ienge der restlichen kritischen Pumkte yon E:~(m)

hat (doch braucht

o~

wie man am Beispiel

~

micht isolierter kritischer Wert vom E zu sein, "Traktrix"

sieht).

Hat (~,g) durchweg uicht positive KrOmmumg, so gilt go,c(R(u,6,8),u)~ o ffir alle U ~ H l ( C ) , also ist damn auch der Index aller weiteren kritischen Untermannigfaltigkeiteu ~ach w

bestimmt

vou A(~) gleich ~ull.

jede michttriviale

periodische

von (~,g) eine nichttriviale

periodische

~(s)(t)

:: c(s+t)

von (A(~),gl) ; es gilt exp~l(~(s)) ~(s)(t)

= 6(s+t - Is+t]). >~(M)

c:S 1 ---@~

Geod~tische ~:S 1

>A(M)

ffir hinreichend

Die Geod~tisohe ~

fl) wie c und ist innerhalb ~:~,~]/{o,~}

= s.6

Geod~tische

kleine s und

hat die gleiche Periode o~

elmer Periode doppelpunktfrei,

ist Einbettung~

Bild ~

d.h.

also Untermannigfaltig-

keit yon ~(m). Jede periodische Geod~tisohe o bestimmt also eine kompakte, zusammenh~ngende kritische Untermamnigfaltigkeit K von ~(~) mit dem Tangentialraum K~(s) = Spann { (6(s+t - [s+t]))tmi~ Wie im trivialen Fall HI(I,M) gibt es also auch auf s generierten kritischen Punkte c. Im Falle S~ z.B. sind auch die eben betrachteten faltigkeiten

K degeneriert

an der Stelle ~(s) keine nichtde-

kritischen Untermannig-

(sie liegen nicht isoliert!).

Ist (M,g) jedoch von strikt negativer KriLmmung, alle s ~ I auf @(s) ~ positiv definit,

so ist hE(~(s))

fiir

also auf K~(s) nicht entartet,

mit sind hier die kritischen Untermannigfaltigkeiten

so-

K nicht degene-

riert (und liegen damit isoliert). 2. Wir hattem bereits die Vektorraumbfiude,l Ho(~):Ho(l,Ti~i) uud ~(~):A(TM) folgt sofort,

> Hl(l,m) > A(i~I). Mit Hilfe der dortigen Trivialisierungeu

dab auoh

Ho(~)-l(A(~vi)) = ~

Ho(O)

o ~ A(~v~)

F ~ := H o ( ' ~ ) - I ( M ) =

k,~

> A(II),

Ho(C ) = i ~

FI

:= A ( ~ ) - ~ ( M )

C~-Vektorraumbiindel

=

~

4(0)

c - - p ~ iVi

H (l,IVl~)

<

IVi

pr=lVl u

o --- p ~ lVi

= L__/A(~,_) peNi

simd. Der Schmitt c ~ ~

---->~

i~

> 6 in Ho(l,Tivi) ergibt

und

-

durch Einschrinkung

131

einen C~~

-

~:A(M)

) Ho(~)-1(A(m)).

Die mittels Qc aus II.2.3 (to=O!) folgendermaBen

gebildete Abbildung

>A(~) :

~:Ho(~)-~Ol(~))

Y ~ Ho(C)~

~ Z ~A(c)

q cosh(1)"~71. {~cl~,oi[~c(~)(s).~cosh(~+s_t)+cosh(s_t~ds. t~ z(t):=2-2 + I~c(Y)(s).~os~(~-s+t)

- (-cos~(-s+t~ ds}

ist wohldefiniert (Z(o) = Z(1)!) und(zumindest stetiger) VektorraumbUndelmorphismus fiber A(M), wie aus dem folgendeu Diagramm ersichtlich ist:

Ho(~)-J(A(m)) (Ho(~r),~.)yPoF ~

A(M)

id

(id,~opr)~PoFj

> A(~)

id

>

(A(r oQ)-J> A(T~I)

)

id

) A (wi)

~(X) := ~oX(X) f~r X~Ho(m)-~(A(M)) bzw. X~4(TM) und

~(~)

[oosh (1-~+t)

- cosh ( - s + t ~ d s

f~

X~F o

(beachte: die beiden [u2eren kbbildungen sind Vektorraumb~ndelisomorphismen und po:A(~) > M i s t die Abbildung c l > c ( o ) , vgl. I I . a . 3 ) . Wit haben damit gezeigt, da2 fo~:~(M) )A(T~) eiuen(stetigen) Schnitt in A(Tm) definiert. Dieser Schnitt stimmt mit dem bzgl. gq gebildeten C~-Schnitt grad E: A(~) >A(TM) Uberein. Bew.: Auf Grund der Stetigkeit yon fo~ genfigt es, dies fur alle c ~C~(SI~) nachzuweisen, d.h. wir mfssen die folgende Gleichung fur alle solchen c und Y = f~ umd alle X ~ A ( c ) zeigem:

= ;ogc(t)(Y(t),x(t))

I~gc(t)(~(t),~Zc~(t))dt

~ach 11.2.2 ist diese Gleichung iquivaleut

gc(1)(~(1),X(1))

-

gc(o)(VcZ(O),x(o))

gc(o)(~(o),i(o)) =

o

-

+ gc(t)(~ZcY(t),~Zc~(t))dt. zu der folgenden

gc(1)(VcY(1),X(1))

+

,

da fur c~ C~(SI,m) auch Y und ~ vom Typ C ~ sind. i~ittels 11.2.3 folgt welter (auf Grund bekannter Ableitungsregeln):

VcY(t)=

2-2

cosh(~)

,~

~c(~)(s)~iuh(~+s-t)-

sinh(s-t~ds

*

- ~32

I

:

Qo

+ l~%(~)Ecosh(~-~+t~ so ~ a ~

-

§

- oos~ ( - s + t ) ~

wege~ ~(o):~(I)

~s} + ~ ( t ) ,

voY(~)=~cY(O),~(o)~(~)

und

C -t l s

u~d ~c Y -

Y

-Wc~

~

o

die Gfiltigkei~ der Gleichung (*) f o l g t . Wit habem d a m i t g r a d E auch b z g l . de Fall

(Hfl(l,~i),g~)

und hitteu

2-2.oosh(~)

(~(1~),~I) b e s t i m m t ( d e r v e r b l e i b e u -

ist komplizierter

also auch die Gleichung

und nicht welter wichtig) grad Elc(t)

%~'(PcI[~,0~'~oQo (~)(s)[-c~ + ~o

+ ~

+

(~) (s) [o os~( ~-s+t ) - oos~( =s+t )] d~ }

zum Beweis yon 2.3 zugrundelegen aus wichtig, da - wie bereits als gq der Situation angepaBt

kSnnen

(sie ist aber auch dardberhin-

bemerkt - bei A(m) die M e t r i k gq b e s s e r ist) vgl. w

3. Die eben fHr jedes c ~ ~(~) konstruierte f:Ho(o)

=

stetige,

lineare Abbildung

> ~(c) hat die Eigenschaft V~f

u~H1(c)

u - f u = ~ZcU

,

s i e b e s t i m m t a l s o zu gegebeuem u~H1(c) d i e p e r i o d i s c h e O

Differentiaigleichung~z~X Schreibt

- X

man in ihrer D e f i n i t i o n s g l e i c h u u g

erh~lt man analog stetige, der Eigenschaft

~

u

Mit Hilfe dieser Abbilduugen stelluug der Hesseschen winuen:

sinh anstelle

lineare Abbilduugen

> ~f,.

- f,.

u

:

#:Ho(C)

li2t sich eiue weitere

Form vou E in kritischen

Xc: A(c)

nfitzliche Dar-

Punkten

c yon E ge-

R:TM r Tm 9 T~j11> TM

und es gilt

hE(c)(u,v) ~ gl,c(Ac.U,V) , >~(c)

der folgende

(selbstadjungierte

A c := id + f'o(K c + id) (beachte: f' ist als Abbildung yon ~(c) > ~(c) uud linear). Z_um Bew. yon (*)(weiteres

vgl. ET]):

so

~ ~(c) mit

.>d(c),Xc.U := R-(u,~,~)

stetig und linear~

(*) wobei Ac: ~(c) Operator ist:

yon cosh,

u.

In solchen c ist die mit Hilfe des Krtimmuugstensors yon (M,g) definierte A b b i l d u n g wohldefiuiert,

LSsuug d e r

= VcU-

Fredholm-)

erst recht

stetig

Es geufigt, die u,v zu betrach-

-

teu,

11.w

133

-

die als Elemeute yon C~(S1,T~i) aufgefaBt werdeu kSuuen. ~aoh gilt ffir solche u,v:

gl,c(Ac.U,V) go,c(Ac.U,V) go,c(Vc(Ac.U),~v) =

+

=

= go,c(~,v) + go,c(~U,XTcv) + go,c(f/o(Kc+id)-u,v) § + go,c(~c(f'o(Kc+id)-u),~cV)

= g~,c(U,V) +

+ go,c(f'o(Kc+id).u - V ~ ( f ' ~

+ t=l

+ gc(t)(Vc(f'O(Kc+id).u)(t),v(t))

I

=

t=O

= gl,c(U,V) - go,c((Kc+id).u,v) = go,c(XTcU,~Zcv) - go,c(R(u,~,~),v), also folgt (*). Eliasson [7] zeigt bei kompakten ~ mittels (*) noch: Ist c kritischer Punkt you E, so habem wit die (bzgl. gl ) orthogouale Zerleguug: C "0

9

C ~

d.h. ~(c) ist Summe vou Eigeur~umeu vou Ac, die zum Eigeuwert o bzw. negativen Eigeuwerteu bzw. positivem Eigeuwerten g e h S r e u ; ~ ist Eigenwert yon A c genau daun, weuu es u , A ( c )

- ~o} gibt mit

hE(c)(u,v) : ) g l , e ( U , V ) f f i r alle v6 J(c), d.h. geometrisch:

das Vektorfeld grad E sieht lings eiuer Kurve ~ mit ~(o)=c,~(o)=u um o aus wie t I ~ t.A.u bis auf Terme hSherer 0rdnuug: y/~(~) gl,c(g tad Eo~(t),Y(t)) = t ~ gl,c(U,Y(o)) + o(t). Es gilt weiter: T ~ stellt gerade den Nullraum you hE(C) dar uud T c c T +o den Raum auf dem hE(C) uegativ bzw. positiv defiuit ist (die ersteu beideu R~ume besteheu uur aus periodischen C~176 und Nulliter (c) = dim T ~ ludex (c) = dim T - ~ . c 7 c Damit ergibt sich: (A(~vi),E) besitzt uur uicht degenerierte kritische Umtermamuigfaltigkeiteu, falls (m,g) eiue sog. Eigenschaft (~) besitzt, d.h. falls es ffir periodische Geod~tische c und periodische Jacobifelder ~ l~ngs c auf (M,g) stets eiue infinitesimale Isometrie auf M gibt mit u : ~ oc; vermutlich besitzt jeder (irreduzible) globalsymmetrische Raum (m,g) die Eigemschaft (~). lu Erg~uzung zu 1. ist damit auch bei ~(S w) (uud ~(P~)) die ~euge der kritischen Punkte Vereiniguug (isoliert !iegemder) michtdegenerierter kritischer Umtermaunigfaltigkeiten yon E; bei ~(S ~) z.B. sind dies eiufach die Uutermauuigfaltigkeitem der Dimension 2n-1, die aus den proportioual zur Bogeul~uge q-fach durchlaufeuen GroBkreisen (d.s.

-

13a

-

die periodischeu Geod~tischem von S ~ der L~nge 2~q) bestehen sowie die Umtermanmigfaltigkeiten voa S ~. ~'J8 Aumerkumge~ : Im Falle der Uutermannigfaltigkeiteu ~ q ( m ) yon HI(I,~) ist gl der Situatiom besser angepaBt als gl Und yon sehr eimfacher Form s

g~(X,Y) = ~logc(t)(~cX(t),~cY(t))dt Per

~p~q

= go,c(VcX,~ZcY).

Einschr~nkung folgt sofort: Die Ahbildung

E:/[pq(~) ist morphismus (vom Typ C~),

'pR, c I

)E(c)

deren Tangentialabbildumg dutch

TEc. X = ~gc(t)(~(t),~TcX(t))dt = go,c(~,~c X)

,

dessen Gradient bzgl. gl analog zu 2.2 duroh

grad Elf(t)

=

-

(u das parallele Feld liags c mit U(1) = ~ ( s ) d s ) und dessert Hessesche Form in kritischea Punkten c von E: ~q(iVi) durch

hE(C)(X,Y)

=

go,o(XTcX,~c Y)

-

>

go,c(R(X,6,6),Y)

gegeben sind. Dabei ist c genau damn kritisch bzgl. E, wenn c: [ o , I ] - - ~ Geod~tische iu (i~,g) ist, die vou p nach q verl~uft (dies folgt sofort aus der obigeu Darstellumg des Gradieuten). Die kritischeu Puukte von E: Ap(~) > ~ sind somit zwar geschlossen, aber i.a. uicht mehr periodische Geod~tische, falls die Holonomiegruppe nioht trivial ist. Im Falle p=q, also bei ~ ( M )

ist c ~ p

einziger trivialer (uichtdege-

aerierter) kritischer Punkt (vom Index o), dessen kritischer ~Vert o isoliert liegt (auch bei uicht kompaktem M); im Falle p#q gibt es keime trivialen kritischen Pumkte; die Energiewerte~ der C e ~ p q ( ~ ) sind dana sogar vom o wegbeschr~nkt: E ( c ) ~ ~d(p,q) 2. Die folgemden Aussagen Gber die Hessesche yon E:~pq(~) ---@R siud wohlbekamut; sie werden meist fiber die L~ageufunktion L auf dem ~ i v e a u ~ gewouueu (in umserer Situation - also auf dem Niveau ~ q ( ~ ) ist L jedoch uicht so geeigaet, da L:~pq(1~) > IR aicht mehr morphismus, sondern global nur noch stetig ist, die Differenzierbarkeitseigenschafteu von L aber etwas komplizierter aussehen): Der Nullraum der Hessescheu you E in eiuem kritischen Puukt c ist gerade durch die Jacobifelder l~mgs c, die in o,I verschwinden, gegebem. Sind p,q ~ M uud ist v @ exp~1(~q~), so ist die Geod~tische c: ~ , 1 3 > M , c(t) := eXpp(t.v) genau dann degenerierter kritischer Punkt vom E:~pq(M) - - ~ , wenu v koujugierter Vektor bei p ist, d.h. E:~pq(M)

>R

hat nut nichtdegenerierte kritische Puukte, gemau

-

-

135

-

weun q kein koujugierter Punkt vou p ist (die ivlenge der konjugierteu Punkte q vou p ist vom NaB 0!). FUr obiges v gilt weiter:

dann,

Es gibt nur endlich viele t ~ (0,1), so dab t.v konjugierter Vektor bei p ist (also dim Kern T(expp)(tv) > o gilt) und: der Index yon hE(C) in dem zu v gehSrigen kritischen Punkt c yon E ist durch ~ _ dim Kern T(expp)(tv) o,t~q gegeben, also insbesondere endlich, [39]. Gibt es kein t ~ (0,I], so dab t v konjugierter Vektor bei p ist, so ist hE(C ) also sogar positiv definit, d.h. c ist lokal in Apq(M) yon minimaler Energie (und umgekehrt vgl. 1.6.7(3),(4) ). Bei Mannigfaltigkeiteu (M,g) mit Gberall uicht-positiver SchnittkrGmmung ist diese Eigenschaft vou hE(C) in allen kritischen Puukten c you E : ~ q ( M ) ~ trivialerweise erfGllt, Geod~tische auf solchen Mannigfaltigkeiten sind also stets ohue konjugierte Punkte. ~. Vollst~ndi~keit. Die Bedingun~ (C) f~r E Wir brauehen im folgenden den Raum (C~ seneu metrischen Teilr~ume (~~

sowie die abgeschlosstetiger Kurven

auf M als beweistechnische Hilfsmittel und erinnern kurz an die Bemerkungem in ll.4.q3, wonach diese R~ume sogar zu Finslermannigfaltigkeiteu gemacht werden kSnnen, deren natGrliche Atlanten Erweiterungen der in 11.3.1 fur HI(I,M) bzw. ~I fHr A(M),Apq(M) definierten natHrlichen Atlanteu simd. (~~ sind bzgl dieser natOrlichen Atlanten in unmittelbarer Weise Uutermannigfaltigkeiten von C~ umd die Inklusion i i:H1(l,~) ~C~ ist Morphismus - folglich auch die anderen Inklusionen - da sie lokal als stetige, liueare Inklsuion darstellbar ist; dies ist elm weiterer beweistechnischer nGtzlicher Aspekt, vgl. 3.8(iii) ). FUr die folgendeu Ausf~hrungeu gen~gt die Keuutnis der ~ i ~ e u metrischeu R~ume und der Stetigkeit der luklsuion i:HI(I,M) > C~ vgl. 11.3.3. ~.1Lemm~

:

F~r alle c~ HI(I,M) gilt

L(c) ~

~

. Gleichheit gilt genau danu,

wenu gc(t)(~(t),6(t)) = komst, d.h. wenn'der Parameter yon c proportional zur Bogeul~nge ist.

und Gleichheit Rilt iu der Cauchy-Schwartzschen Ungleichung genau daun, wenn I und Vgc(t)(~(t),~(t)) ~ linear abh~ugig als Elemente yon H o ( I ~ ) sind.

-

Bem.:

Genauer folgt:

136

-

d(c(tq),c(t2))~Lol [tq,t2~--~(t2-tl ) I / 2 " ~

in Verallgemeinerung yon II.I.4 (d,L wie in II.2.6).

[>.2 ~ e ~ : Ffir alle c,e eHl(I,IJ) gilt:

I ~

- ~-~l-~d~(c,e)

9

Bew.: Es genOgt, Kurven c,e zu betrachten, die in derselben Zusammenhaugskomponeute yon Hq(I,i~{) liegen; es gibt also einen C~-Weg ~: [o,1] ~, Hq(I,M) yon c nach e. Wit kSnnen o.B.d.A, annehmen _~ ~ . Zu zeigen ist ( * ) : ~ ~~__L(~). Dazu setzen wir zunichst voraus, dab ~ keine Punktkurve durchliuft, also E(~(s))>o f~r alle s~ [O,fl] gilt. In diesem Falle gilt: a

d

-

,~'~ ~-62~'(w(s))

~Z~(s)~(s)

(2E(~(s)))-4/g.( ~og~(s,t)1( ~

s,t)

, 2}-6 ~

(s, t),~-~ (s,t))dt) 4/~

J 9(Iog~(s,t) ( v 2 ~~<

s, t) ,V2~s~(S, t) )dt)4/~

_~ (2~(~(s)))-la(2~(~(s)J,~ ([ogm(s,t)(~s I ~ (s,t) ,~(s, t))dt + , t j (~c,~ ~s't)' Integration zwar

auch

dieser in

2~S--

Absohitzung

dem F a l l ,

in

'

,~(s) liefert,nun

dem g e n a u

ein

die

Behauptung

Randpunkt

der

(*),

Kurve ~

und entartet

ist (E(c)=o o.B.d.A.), wie man dutch Limesbildung einsieht (der Fall E(c) = E(e) = o ist trivial). Wir reduzieren nun den Fall "~ beliebige c,e verbindende Kurve" auf das vorausgegangene: Sei t o 6 I bzw. t~& I der grS~te bzw. kleiuste Wert t in I, der E(~(t)) = o erfGllt; beachte: die ~lenge der entarteten Bildpuukte von ~ ist kompakt! Dann gilt: JE(e) - E(c)l_~(e)-E(~(tl))l +IE(~(to))-E(c)l _~ ~ [ t I , 1 ]+L~i[O,to] gL(w), womit (*) vollstindig bewiesen ist. Bern.: Da die dutch die riemannsche Metrik gq yon ~(ivi) induzierte Metrik die metrik dl/A(Iv0 xA(M) majorisiert (denn (A(~i),g1) ist riemannsche Untermannigfaltigkeit von(Hj(I,M),gj) ), gilt obige Behauptung erst recht bzgl. (A(l~{),gl). Gleiches gilt fiir die jetzt folgeude Behauptuug, eiue direkte Verallgemeinerung der Ungleichuug ~xU~-~V-~ [IxII1,X ~H I(I~E), vgl. II.1.4a. ~:3 Satzl : F~r alle c,e cHI(I,M) gilt:

d~(c,e) ~ d 1 ( c , e ) .

- 137 -

Bew.: Da I kompakt ist, gibt es t I~ I so dab gilt: 1 ~ (s ,t 1),~~~ (s,tl))~/Zds) 2 d~(c,e) = d2(c(tl),e(tq) ) ~ L2(~tl ) = '(%o~(~-~ ~10 max ~s~(S,t)}Ids) 2 ~7~2 (Slo,11<(s)ii~ods)2 t~I

fGr alle C~-Kurven ~ von c nach e (~tl ist die C~-Kurve in M mit ~tl(S)

= ~ ( s , t I) ).

I~.4 Satz1 : Sei (M,g) jetzt vollst~udi~e riemanusche Manuigfaltigkeit. Beh.: Die Inklusion i : HI(I,M ) >C~ ist kompakt, d.h. das Bild einer beschr~ukteu Meuge aus (HI(I,M),dl) ist relativ kompakt iu (C~ gleiches gilt ffir i : A(M) >A~ Bew.: Ist A c H I ( I , M ) beschr~nkt, so gibt es Co~ A uud r > o , so dab ffir alle c ~ A d1(C,Co)~r erf~llt ist. Es folgt ffir alle tl,t2~I, t 1-~ t 2 (vgl. 3.1 uud 5.2: dl-Beschr~nktheit impliziert E-Beschr~uktheir) : t d(c(t 1),c(t2))-~L c[[t I,t2~ ~(t2-t I)~ (~tlgc(t)(~(t),~(t)dt) I/2

-~(t2-tl)d/m'l~~( I ~ -Z(dl(C,C o) + ~

- ~ I

+ ~ ( - - ~ o) )'(t2-tl )~l~-

)'(t2-tl)4/~( r + ~ ) ' ( t 2 - t l f / z ,

d.h. A ist eine Familie you Kurveu, die gleichm~Big-gleichgradig stetig ist. Gleiches gilt fGr die abgeschlossene Hfille ~ iu C~ ([23], S.2~o). ~eiter gilt fGr alle t e I sup

~(c(t),Oo(t))

~ sup d~(c,c o) -~ ~ - % ( c , c o) _~ t~2. r,

ceA ceA d.h. die ,aengeu A(t) := {c(t)/c ~A} sind (gleichm~ig) beschr~nkt und also uach Hopf-Rinow relativ-kompakte Teilmengen yon ~. ~ach dem Satz vou Arzela-Ascoli folgt damit die Behauptuug. Bem.: Der Beweis zeigt genauer: FGr alle E-beschr~nkten Mengen A~HI(I,~) bzw. A(Ivl) (und ihre bzgl. d~ in C~ bzw. A~ abgeschlossenen Hiillen ~) gilt: A ist eiue gleichm~Big-gleichgradig stetige Familie you Kurven, d.h.

(*) ~

V

//~

//~ It2-t11<~ ~/~ d(c(tq),c(t2))<~"

~o s t 1,t 2 el ceA Ist .4i kompakt, so reicht f~r ~.4 Beh. sogar die Annahme der E-Beschr~uktheit, da der letzte Teil des Beweises damn aus der Kompaktheir yon ~,~ fol~t.

-

~38

-

J375 Sat~ : (~,g) vollst~mdig ~ - - ~ (~(M),g~) vollst~ndig ( ~ (H~(i,}~i),gq) vollst~ndig). Bew.: " ~ " : Sei ~Cn] Cauchyfolge in (~(f~i),dq). • 3.3 ist ~ c # damn auch Cauchyfolge in (~(M),d~o), also konvergent in ( A ~ da (~,d) vollst~ndig ist. Da die C~~ dicht in A~ liegen, gibt es zu ~edem [>o ein Co~ C~(Sq,i~i), so da~ der f-Ball D~(Co) um c o in ( A ~ fast alle e m enth~it. ~ach II.3.3-5 gibt es damit eine nat~rliche Katie_q ( e x p ~O ~ , B ~ ( C o ) ) yon A(M) um CO~ die fast alle c n enth~It: X n := eXPc c n i s t

also nach q.5(c) konvergente Folge in dem

o

Hilbertraum ~(Co) , deren Limes in B~(o c ) lie~en muB, da A n auch

kon-

o

vergent bzgl. II.,I/~ ist. Die Abbildung ~(exp) : A(TM) ~A(~) ist stetige Erweiterung von eXPc , weshalb o n eXPc (Xn) konvergent o o sein muB (gegen expoX~ A(Co) ). "~ "" trivial, da (~i,g) abgeschlossene tigkeit yon (A(i~I),gI) ist.

riemannsche Untermannigfal-

i>'.6 Definitio~

: Sei (X,g) vollstindige riemannsche ~[annigfaltigkeit umd f : X >IN Morphismus. \Vir sagen: Das Paar (X,f) erf~llt Bedim~un~ ( C ) : ~ > Jede Folge ~ x ~ in X, bei der f(Xn) beschr~nkt ist und bei der grad flx n gegen Null konvergiert, besitzt eine in X konvergente tischer Punkt yon s ist).

Teilfolge

(deren Limes damn kri-

Bem.: Diese Bedingung ist starker als die yon Palais in [39] verwandte (*): Jede 2eilmenge S yon X, a u f d e r f beschr~nkt, aber grad f nioht yon Null wegbeschr~nkt ist, besitzt einen kritisohen Punkt in ihrer Abschlie~ung (die Palais'sche Bedingung ist bei ~eder konstantem Funktion f erfHllt!). iVir werden deshalb aus 3.6 auch st~rkere Folgerungen (als es (*) gestarter) hinsiohtli6h der kritischen Punkte yon f ziehen kSnnen (w Da Bedingung (C) bei kompaktem X oder eigentlichen Abbildungen f trivialerweise erf~llt ist~ is~ sie bei endlichdimensionalen ~annigfaltigkeiten dutch Kompaktheitsargumente ersetzbar; ihre GHitigkeit bei ~iorphismen auf unemdliehdimensionalen fviannigfaltigkeiten Hberbr~ickt in geeigneter SVeise das Fehlen lokaler Kompaktheit hinsichtlich der Anpassung der ~.iorse-Theorie am unendliche Dimension. ~.9 Theore~ : Sei m kompakt, also N(~i) (umd ebenso Hq(l,m)

) imsoesondere v o l l s t ~ i g .

-

139

-

Beh..: (A(~;i),E) erfdllt Bedingung (C) (bzgl. gl und g q

ebenso

(~(I,~),~)).

Bew.: Bach 1.2(iii) g~n[gt es, den Fall gq zu betrachten: Ist {c# eine Folge in A(~I), die den Voraussetzungen der ~edingung (C) gen~gt, so besitzt
Ilxkn/ll 2~l~kn(o)l12

+

I~ok-Xknl

+

l~%~'Yk~/

+

Z- l]Xkn(O)ll2 + ~l grad E]ckll] l[IXknlII +]{Igrad Elc nIII und

~YrCSs 9~kn lllrk~O

+

~

'

h

k

~

l[IXknlll2{lIXkn(O)ll2 + const,E(Ck) + const.E(Cn).

Nun gilt d~(Ck,C n)

> o, also d(Ck(O),Cn(O))-----9 o , also konver-

giert ( C n ( O ) } n ~ in (M,d)

gegen p& M), also gilt

llXkn(O)ll

> o,

da II..~ : Tm > ~ stetig ist. Damit folgt aus der letzten Abschitzung gemiB Voraussetung, daZ{~[Xkn[[[ 2} beschrinkt ist (also nach J.5 auch ~[Ykn[ll 2} ), so dab jetzt aus der ersten Abschitzung und der Voraussetzung ~[XknllI ~ o folgt. q.e.d. I~.8 Anm erkunge~ : (i) Ist M nioht kompakt, so gibt es eine Folge in M, also eiue Folge von Punktkurven in A(M), die keine konvergente Teilfolge besitzt, woraus folgt, dab bei solchen ivl hie Bedingung (C) f~r (A(M),E) erfHllt sein kann. (ii) Die in diesem Paragraphen bzgl. gl,dl gemachten Behauptungen gelten in gleicher Weise auch fQr gq,~ und ~bertragen sich auch auf (%q(M),gl),E/Apq(M), wobei fir 3.4 jetzt nut noch die E-Beschrinktheit, also fur 5.7 nut noch die Voraussetzung (M,g) vol!stindig benStigt wird. (iii) Eliasson beweist in ~o] das folgende allgemeine Kriterium fHr Bedingung (C), das die beim Beweis yon 9.7 gegebene Situation verallgemeinert: Satz: Seien X,X ~ Banachmannigfaltigkeiten und X "schwache Untermannigfaltigkeit" yon X ~ Sei f:X 9 ~ Morphismus, der "lokal koersiv" bzgl. X ~ ist. Sei ~Xn] Folge in X, die in X ~ konvergiert, derart, dab {f(Xn) ~ beschrinkt ist und df(x n) gegen(ein Element des) Nullschnittes in T'X) konvergiert.

-

Beh.: ~ n } konvergiert Punkt yon f).

q ~ o

-

auch in k (und zwar gegen einen kritischen

Bem.: Der Begriff "schwaohe Untermannigfaltigkeit"

verallgemeinert

die

bei A(m)~A~ voriiegende Situation (vgl. ~.13), indem er verlangt, dab die Modelle eines Atlasses yon A in denen eines Atlasses yon ~o linear und stetig eingebettet sind und ersterer Atlas dutch Einschrinkung yon letzterem gegeben ist. f "lokal koersiv" auf X bzgl. X ~ fordeft dann die GUltigkeit yon Abschitzungen fur die Ableitung yon f bzgi. der obigen Atlanten, und zwar vom Typ O (af(y) - af(x) ) (y-x) ~ ~ Ity-x 112 - c Ity-x ll~ (oder iquivalent d2f(x)(~,~)~A[1~ll 2 - C [[~ll~), genaueres vgl.

[Io].

Als Anwendung dieses Satzes zeigt Eliasson, dab im Fall einer kompakten, zusammenhingenden riemannschen i~annigfaltigkeit (M,g) der Raum ~c,e(A(N) flit alle c , e & ~ ( M ) erklirt und (wie Apq(M)) zur riemannschen C~-~annigfaltigkeit, auf der das bzgl. der riemannschen Metrik yon ~c,e(A(M)) gebildete) Energieintegral E eine C~-Funktion definiert, O gemacht werden kann, so dab mittels ~c,e(A~ - aus ~.13 - folgt: (~c,e(~(M)),E) erfdllt Bedingung (C); analoges zeigt er fdr ~ ~(A~a(M)) fur alle vollstindigen riemannschen i~lannigfaltigkeiten (~,g). Der folgende Paragraph ist somit auch aus solche iterierten Kurvenmannigfaltigkeiteu anwendbar. (iv) Wir haben in w Beispiele von ~annigfaltigkeiten (M,g) aufgefUhrt, bei denen sich die Menge der kritischen Punkte yon (A(~{),E) vollstindig in nichtdegenerierte kritisohe Untermannigfaltigkeiten (stets von Dimension ~I) aufspalten list. Auf solche Fille list sich (bei kompaktem i!) die yon Palais in [39] fur Untermannigfaltigkeiten X entwickelte Morse-Theorie nichtdegenerierter kritisoher Punkte (eines Morphismus @:X - >R) verallgemeinern. Es gilt der folgende allgemeine Satz ([9], S.79o, genaueres vgl. [33]): Sei (X,g) vollstindigeriemannsche Hilbertmannigfaltigkeit und @:X > I~orphismus, der Bedingung (C) erfUllt und der nUT nichtdegenerierte kritische Untermannigfaltigkeiten besitzt. Dann gilt: (1) FUr alle a ~ b ist die kritische Punktmenge in f-l([a,b]) Vereinigung yon endlich vielen, disjunkten, kompakten (isoliert liegenden) kritischen Untermannigfaltigkeiten yon (X,f). (2) Enthilt [a,b] keine kritisohen Werte yon f, so ist f-l(a) diffeomorph zu f-l(b). (5) Ist c & (a,b) der einzige kritische Wert yon f in [a,b] und sind (Yj)l~jer die kritischen Untermannigfaltigkeiten von (A,f) vom ~iveau c, so ist f-~(b) diffeomorph zu einer ~lannigfaltigkeit, die aus

1r

-

-

f-1(a) durch distinktes, differenzierbares Anheften yon r Henkeln entsteht. 4. Sind a < b keine kritisohen Werte yon f u n d sind (Yj)q~j-~r die kritischen Untermannigfaltigkeiten yon (X,f) yon endliohem Index (k~)4~<~!), ~_~ -0-~

deren •

in (a,b) liegen, so gilt fir jedes k ~ v < o ~ : ~

~

> und Gleichheit gilt, falls k hinreicheud groS ist. Auf kompakten zusammenhingenden ~[annigfaltigkeiten (~;1,g) strikt n e g a tiver Kriimmung gibt es (hath w also stets nur endlioh viele nichttriviale "geometrisch verschiedene" periodische Geoditische uuterhalb eiuer vorgegebenen Energieschwelle. In den Spezialfillen M=S n und M=P n und bei Linsenriumen i~1 k~nnen Klingenberg [26a], [26b-] und Craemer [3a~ die damn bei A(M) vorliegende Nichtdegeneriertheit der kritischen Untermannigfaltigkeiten nutzen, um mit Hilfe der Hesseschen welter ~etrachtungen ~ber A(M) (und ~(M), vgl. ~6) anzustellen, die insbesoudere zu Berechnungen der Homologie yon A(IVl),~(M) in diesen Filien fiihren (vgl. auch Eliasson [7~). Wirhaben gesehen, dab Morse-Theorie nichtdegenerierter kritischer Punkte Gberhaupt nicht und nichtdegenerierter kritischer Uutermannigfaltigkeiten nut in beschr/nktem MaBe bei Hilbertmaunigfaltigkeiten und Morphismen yon Typ (A(M),E) anwendbar ist (beim Typ (~pq(~,0,E) liegen die Verhiltnisse schon weseutlich besser, wie in w ausgef~hrt wurde~ Da wit im folgenden A(M) fGr beliebige kompakte riemannsche Mannigfaltigkeiteu (M,g) betrachten wolleu, verzichten wir auf die weitere Diskussion mittels Nichtdegeneriertheit, uutersuchen also das Verhalten der kritischeu Punkte yon E (in Verbindung mit dem topologischen Verhalten yon A(M)

) ohne RGckgriff auf die Hessesche

yon E. Die dann noch mSglichen Aussagen stellen wir im folgeudeu Paragraphen f~r beliebige vollstindige riemaunsche Manuigfaltigkeiten (A,g) und Morphismen f:A

>~R, die Bedinguug (C) erf~lleu, dar

(Ljusterni]~-Schnirelman-Theorie). Im darauffolgenden Paragrapheu werden wieder Anwendungen auf (A(~),E) betraehtet. 4. L~usteruik-Schnirelmam-Theorie Sei (A,g) vollstindige riemammsche Mannigfaltigkeit mit dazugeh~riger Norm J4..[I uud Metrik d, E:A > ~ Morphismus, der Bediuguug (C) uud iuf ~ E(c)/o 6~] = o erf~llt. Sei X := - grad E ~ ( A ) und K die Meuge der kritisohen Punkte vou E. Wit setzen auf A nicht die Existenz einer abzihlbaren Basis voraus, wie sie bei dem f~r ums wichtigsten Beispiel A(M) gegebeu ist (A(M) ist also zusitzlich separabel umd b e -

-

sitzt P a r t i t i o n e u A. Grundlegende ~~

-

der Eins~

Folgerungeu

aus Bedin~ung

(C):

Satzl:

Sei k ~

uud K k die ~enge

K k : ~c~A/llXcll =

K k ist kompakt~

~ew.:

Nach

= k}. Beispiel:

Teilfolge

der Bedingung

geu, dereu Limites

enth~lt:

Allgemeiuer

Ffir k ~

seien

im Falle N=A(~).

dab jede Folge

iu K k eine

iu K k geufigeu den Voraus-

also stets komvergente

c auf Gruud der Stetigkeit

folgt

you E vom E-~ert k:

M = E-1(o)

Folgeu

(C), besitzen

= k uud X c = o erfGllen,

Bem.:

Puukte

[23], S.138 genfigt es zu zeigeu,

iu K k kouvergeute setzumgeu

der kritischen

o AE(c)

Beh.:

E(c)

142

Teilfol-

vou X,E ebeufalls

also zu K k gehSrem mGsseu.

analog:

E:K

Ak, A k- defiuiert

A k := ~ c ~ A / S ( o ) ~ k } ,

>R

ist eigeutlich.

dutch

A ~- := ~ o ~ / E ( o ) < k }

=

lut(Ak).

Es gilt: A k- ist offeEe U u t e r m a n n i g f a l t i g k e i t von ~; bei regul~rem k ist Rd~ k = ~k _ Ak- = E-l(k) abgeschlosseue U n t e r m a n u i g f a l t i g k e i t yon A~ (eiue sog. ~iveaufl~che)

uud ~k beraudete

(Unter-)Mannigfaltigkeit

mit

Ramd E-l(k). ~.2 Satzl : Zu jeder Umgebuug U(Kk) se dab (jk+~ Bem.:

_ ~(k-~)-)~ ~U(Kk)

IIXII ist auf dieser ~euge

abgeschlosseu Bew.: - -

der in 4.1 definiertem

ist (Bediugung

Auuahme:

~

die ~lenge

enthilt. die gilt C

keiue kritischen

Spezialfall

dadiese

Kk=~,U(Kk)= ~.

U(Kk) vou Kk, so daZ f[r alle

[~o

~(k-

~

(Ak+'Q - A(k-~)b

~

~U(Kk) , d.h.

(C) hat diese Folge

ge; fGr dereu Grenzwert

gilt:

folgt c ~ K k im W i d e r s p r u c h ~ = E-1(o) kleiue

Dieses Resultat gezeigt.

E(c)

isoliert

[ E(c n)

eine kouvergeute

Teilfol-

Dam

liegt,

vo~ K k-

als Eichtdegenerierte folgt nach 4.2,

g> o iu 4(i~)~ - m keiueu kritischen wurde bereits

k I~,

= k uud ~c = o. Da abet c@~-U = ~U,

zur Defiuitiom

= ~(iv~)O~A(~):

Uutermauuigfaltigkeit reicheud

enth~it.

[~ E)-)~U(Kk) wenigstens einen kritischen Punkt Es gibt dann eine Folge vou kritischen Punkten { c u } [ ~ , fGr

Auf Gruud yon Sediuguug

Beisp.:

Puukte

dann sogar you o wegbeschr[nkt,

(C)!); w i c h t i g e r

Es gibt Umgebuug

--k+~

menge K k gibt es ~ o ,

kritische

dag es ffir hiu-

Puukt yon E gibt.

in 2.4 auf geometrischem

Wege mittels

-

~
-

Korolla~ : Die ~enge E(K) der kritischeu Werte von E ist abgeschlossen in ~+v{o]. ~..>

Bew.: W~hlt man zu regul~reu Werten keIR U(K) = ~ uud dazu gem~B 4.2 s so folgt, dab in [k-~,k+~] kein kritischer Wert von E liegt. Bem.: 1) Ist E auf einer Zusammenhangskomponente vonj(lokal) konstant, so ist diese nach 4.1 (lokal) kompakt, also endlich-dimensionale offeue Untermaunigfaltigkeit von ~. 2) Sind alle Zusammeuhangskomponenten von A uneudlichdimeusional, so euth~lt K keine inneren Punkte (da E auf keiner offenen i~lenge koustaut ist). Zu c ~ A bezeichne

~c stets die maximale

LSsungskurve yon X mit

~c(o) = c (auch Tra,jektorie von ~ durch c genannt) und (~r-(c),-g+(c)) ihren Definitionsbereich. Tc : [o,~g+(c)) heiBt "umterer Ast" yon ~~ vgl. 4.~: ~.4 Lemm~: FGr alle Beh.:

~,~,~2 ~(9.-(c),~+(c))

nit

qZI_Lq~2gilt:

-llx~o(~) ~2

(i) (E.~c)/('r) =

Bem.: Die Energie fillt also l[ngs der Trajektoren monoton, wit bezeichnen diese deshalb auch als "Fallinien yon E". Bew.:

(i)

(Eoh)'(T)

= TE(~c(Y)).gc(~ ) :

g~fc(9) (grad ETc(~)'~c(Y)) = gsoc(m)(-Xgoc(m),X~c(~)). (ii) Integration von (i). (iii)

d(~c (~1), ~c(qS2))2

I~. ~ Satz i : FGr alle c @A gilt: Bew.: Auuahme:

T * (c) =oo.

es gibt cc-A nit ~+(c)<~o. •

nio t

onverge

+

gen ~ (c) konvergiert Audererseits

i k%)il (

(LFj [~ ,,~27

ist ~II~%~

t

(Q: < ~

olge +

[29list die Folge von unten

(c)). besoh_r~nkt (l~n~]:m_>O o.B.d.A.):

ge-

-

E(Yc(o)) - E(~c(~n))

d.h. ~ c ( % n ) } zur Auuahme.

144-

-

+ E(~c(O)) - E(~c(Tm))~2E(~o(O))

ist Cauchyfo!ge

in ~, also konvergent,

= 2E(c),also gilt

im Widerspruch

Bem.: ~) Die eindeutige Bestimmtheit maximaler Integralkurven yon Vektorfeldern durch ihren Anfangswert impliziert, da~ die Trajektorieu dutch kritische Punkte c vo~ X global konstant (stationir) sind uud somit Trajektorien dutch regulire Punkte (im endlichen) keineu kritischen Punkt enthalteu. E ist also auf den ersteren konstant und auf letzteren stren5 monoton falleud, ist E auoh nach oben beschrinkt, so folgt analog: ~ - ( o ) = - ~ u u d damit die Vollstindigkeit des Vektorfeldes X (hierbei wird Bedingung (C) nicht ben~tigt). 2) Definiert man zu ~

~y:=

{c~A/

~ - ( c ) & T ~ T+(c~,

so gilt bekauut-

lich (vgl. [sg]) ~:~Z

>/%_~, c ~

~

~(c)

:= ~C(~)

offenen Teilmengen yon ~; es gilt ~o = id

ist Diffeomorphismus und ~ ( ~ z ( c ) )

(zwisohen

=~g+T(c)

falls beide Seiten dieser Gleichung definiert sind - s o w i e ~ -I = ~_y). Wegen 4.5 gilt f~r alle ~ o ~T = ~ (jedoch nicht for ~ o , dort bleibt die Alternative "entweder lim E(~O(T)) = ~ oder T-(C) = -~' -

~-~(c)

bestehen; l e t z t e r e s i s t z.B. in k r i t i s c h e n Punkten c you E e r f f i l t t ) . Der globale FIuB ~ yon ~ ergibt eiugeschrinkt

mus~:(~+~{o}~A

>A, ~(~,o)

:= ~ ( o )

iusbesondere den ~orphis-

= ~o(~).

3) Liegt in ( ~ , ~ ) ~ kein kritischer Weft vou E, so ist das folgende Vektorfeld Y:=X/(XE) ~ ( E - I ( ~ , ~ ) ) , Y c = gc(Xo,/c)-l-xc wohldefiniert; es gilt IIYII2 ~ I , insbesondere ist also Y beschrinkt. Der globale FIuB yon Y stellt eine geeignete Normierung (Umparametrisierung und Umorientierung!) der Trajektorien yon ~ dar: ~Ur ali e a ~ (~'~) i S t ~ : Ell (a)~(~ ,~) ) ~l~(~,~) , ( C ,~ ) / > ~C (~) Diffeomorphismus, der f~r alle b ~(~,~) einen Diffeomorphismus yon E-1(a) = E-l(a)~
~/}I_~1 ~1~A~I ~fll//~Cl]~l ~ ~1] liegt.

die

E-1(a) enthilt und in E-I(~,~)

-

~ 5

-

~iit Hilfe geeigneter Ausdehnungen v o n ~ mittels einer C~-Funktion h:~ ) ~ zeigt man auBerdem leicht, dab die Mannigfaltigkeiteu~-l,A ~ 1 ~bzw. A~',~ ~i fir alle ~1 ~ 1 & (~'~) diffeomorph siud (letzterer Diffeomorphismus ist eiufash Eiuschrinkung yon ersterem) und: A~l-ist Deformationsretrakt von A~I] vgl. [393,s.51o. Im ersteu Fall kaun man die Niveauflichen so ver~chiebeu, dab soga~ folgt: ~ 1 ist starker Defor1 1mationsretrakt von A (und auch you A ; ~ mud #1 dGrfen dabei auch sein).

~.6 ~at~ E nimmt auf A sein Infimum o an: E-d(o) / ~. Bew.: Wihle Folge {Cn} mit lim E(Cn) = o. F~r jedes n 6 ~ ist n-->~

nicht

wegbeschrinkt

yon ~ull,

denn s o n s t

wfirde g e l t e n

n

f~r ein geeignetes

~ > o , was implizieren wfirde

E(~ c ( T ) ) ~ E ( c n) - 2 2 T

>-~

fir ~

~u~o

nit

>~.

n

Deshalb gibt es ffir jedes n ~

Die Folge [~c ( ~ ) ) n ~

llXFc (Tn) ll
e=fUllt Bedingung (C), u~d ihr H~ufungspunkt

n

ist (kritischer Punkt) vom E-?/ert o. Analog sieht man sofort: E nimmt auf jeder Zusammenhangskomponente von A seiu dortises Infimum an (welches i.a. nicht gleich o zu sein braucht). Diese Punkte minimaler Euergie sind k r i t i s c , denu es gilt:

~.7 Satzl : Ist c~A , so dab E minimal (maximal) in c bzgl. eiuer Umgebung U von c in A ist, so ist c kritischer Puukt yon E. Bew.: Auderenfalls wdrdeu liugs der Trajektorie dutch c in U noch kleinere (grSBere) E-:Jerte auftreteu. Beisp.: E-l(o) ist kompakte Menge kritischer Punkte (uicht notwendig isoliert oder Untermannigfaltigkeit wie %m frfiheren Beispiel). B em.: Wit haben also: ~ K ~ r ) (erste Morsesche Ungleichung), also insbesoudere die ~~xlstenz von kritischen Punkteu. Die Menge der Zusammenhaugskomponenteu von ~ ist abzihlbar, da auf Gruud yon Bedingung (C) die minimaleu Werte you E auf diesen Zusammeuhangskomponenten iuIR keinen Hiufuugspunkt besitzen und zu jedem Niveau nut endlich viele Zusammenhaugskomponenteu gehSren kSunen, die dieses Niveau als miuimaleu E-~ert besitzen. Dies gilt insbesoudere

- q46 fur die Z u s a m m e m h a n g s k o m p o n e n t e n , Wir haben gesehem, und

auf demen E konstant

[4~).

dab auf dem u n t e r e n Ast der T r j e k t o r i e n E b e s o h r i n k t

IIX~ nicht vom Null w e g b e s c h r i u k t

immer eine P u n k t f o l g e der B e d i n g u n g

ist (vgl.

ist, also auf einer T r a j e k t o r i e

ausgesucht w e r d e n kann,

(C) erf~llt.

die die V o r a u s s e t z u n g e n

Wit d e f i n i e r e n deshalb:

j~.8 Defimitionl : Sei c ~

. Der ~ - ~ e r t

yon c ist die lim

e~

heist ~ - P u n k t

+~ konvergiert, Es gilt:

nach f r ~ h e r e m w o h l d e f i n i e r t e )

Zahl

E(~o(~>).

yon c, falls

es elne Folge

so dab die Folge

{Z~ n ~

i~c(~n)~gegen

gibt,

die gegen

e konvergiert.

Jeder ~-~Jert ist k r i t i s c h e r Weft yon E und jeder kritische

Wert ist ~ - W e r t

jedes seiner k r i t i s c h e n Punkte.

Die A b s c h l i e B u n g

u n t e r e n Astes der Trajektorie

dutch c ist kompakt und entsteht

durch H i n z u n a h m e

yon c, jedoch hat dieser Ast keine

fiche L~nge,

der ~ - P u n k t e

falls

und 4.9(i),(ii)). nau ein ~ - P u n k t

c mehr als einen ~ - P u n k t b e s i t z t Bei endlicher L~nge dieses Astes

e ~ yon c umd $.9 impliziert:

des

gerade end-

(vgl. ~.4(iii) existiert

e o = lim To(T).

also geeo braucht

aber nicht i s o l i e r t e r Punkt von K k zu sein. I~-~ Theorem~ : Sei c ~A

und k der ~ - W e r t yon c.

(i) Die i~lenge der ~ - P u n k t e ~ c

yon c ist nicht leer, kompakt und enthal-

ten in der ~emge K k der kritischen P u n k t e vom E-Weft k. (ii) Ist U U m g e b u n g vom Kk, so gilt fur alle g e u ~ g e n d groBem ~: ~ ( r ) ~ U . (iii) Sind K q , K 2 c K k a b g e s c h l o s s e n

und disjunkt,

so gibt es disjunkte

U m g e b u n g e n Uq,U 2 yon K~ bzw. K 2 und es gilt: ~c(~)~ U i f~r genau ein i ~ { q , 2 } und alle genNgend groBen ~. Ist K k i n s b e s o n d e r e

diskret

g e n a u eimen ~-Punkt

e ~ yon c, so dab fur jede U m g e b u n g U(e o) gilt

(also weil kompakt

endlich),

so gibt es

~ c ( ~ ) ~ U(e o) fur alle gem~gemd groBen ~, d.h. damn gilt lira ~ ~( T ) ~_~

= e O ~ K k-

Bern.: Aus

(ii) folgt:

so dab Bild

limll~, {~II = o, d.h. fHr alle ~ o gibt es ~o~O ~ rc ~ ~ (IIX~clI / [~o,~)) C ( o , 6 ) gilt. Es folgt die GNltigkeit

yon (ii) sogar fGr_~ c anstelle yon Kk, also i s t J ~ c zusammenh~ngeud, also ganz im eiuer Z u s a m m e n h a n g s k o m p o n e n t e es gibt keine isolierten

yon K k enthalten

- oder n i c h t d e g e n e r i e r t e n

~c

> q

- k r i t i s c h e n Punkte

yon E in_~c). Bew.:

zu (ii): Annahme:

Es gibt eine gegen + ~ k o m v e r g i e r e n d e

Folge

-

147

-

~T'n} , fur die gilt: ~c(~n) @ U. • Voraussetzung gibt es a > o , dab d(~U,K k) = 3a gilt, also ist die offene Menge U i U' := {e eA/d(e,Kk)< a} in U enthalten, und es gilt d(Rd U,Rd U')_>a. ~ach 4.2 gibt es s so dab in

so

T n' nit 5Do(~[)e U', also auoh ein erstes !

q~n >~n' so dab ~c(~fn)6 Rd U' gilt. Per Konstruktion gilt also d(~c(~n),~c(qfn))_~ a~und wit k~nnsn annehmen, dab der folgende Fall vorliegt : ' ' Abet: " " " ~ n < ~ n < "rn+l < ~ n + 1 < . . . . a _~ d(~c(Z n ), )oc(~ n ) ) ~_ (~n-T'n)[znJ~[[A~c(T )II2dr : ( T n - ~ ) " (E(Tc (Yn))-E(~o (~n)])~

a.h. es gilt:

(~n-z~)

Da Bild ( ~ c / [ ~ T ~

>~,

aa ~ ( ? o ( ~ ) )

~ (Ak+~-~ (k-&)-)" n~U'

- ~(~c(q))

>k-~ : o.

f~r genfi~end groBe n erf~llt

ist, folgt andererseits

fur ein geeignetes ~> o, woraus ( ~ n - % ) ~ o folgt. Die obige Annahme ist also falsch, also gilt (ii). (i) ist nun direkte Folge yon (ii) und &.7~em. Zu (ii!): Da A normal ist, folgt die Existenz der behaupteten Umgebungen und damit, da Bild (~c/[yo,~)) zusammenhingend ist und f~= hinreichend gro~es ~o in Uqu U 2 liegt, auch die restliche Behaup
[~.1o Satz[ : Sei

[-~,~]~19 frei yon kritischen V{erten und ~>o untere Schranke fHr

~X II/,r ~eh.:

~. (i)

~(A~)~A ~

fur alle ~-> ~ .

(ii) i:(A~,A ") > (A~,~ ~) ist Homotopieiquivalenz (also auch i:A~-eA~), Homologie und Kohomologie dieser Riume sind also insbesondere gleich, also bei (A~,I ~) trivial. ~ew.:

(i) Annahme:

Es gibt e & j # - ~ ~ nit

E(e) - E ( y z ( e ) )

=

~z(e)4A ~

]gllX?s(e)llas _> 22.~,

E(~z(e) ) z E(e) - 2 2 ~

_z ~ -

(z wie oben).Dann gilt

da ~e(~-o,Z2)=~B-/~<,

also

(~-w) =~<, im 3 i d e r s p r u c h zu obigem.

(ii) ~ekanntlich ist fdr alle t ~ + ~ { o }

y:[o,~x~ t

~ A t wohldefi-

-

148

-

niert und stetig, woraus die gewUnschte Homotopieiquivalenz ablesbar ist.

sofort

Bern.: ~ittel T:[o,x],A ~ >• folgt, dab A~ in A~deformierbar ist, jedoch ist ~ , ~ w i e in (i), keine Retraktion, weshalb die ~ehauptung "A ~ Deformationsretrakt yon A g'' hier nut allgemein aus (ii) und [463, S.5":, [383, S.~o5,6 gefolgert werden kann (oder man muS mit Hilfe des in 4.5.3 angedeuteten Verfahrens arbeiten, siehe auch die dortigen Ergebnisse). 4.1o gilt auch fur die ~aare ( ~ - , A ~ - ) , (A~-,~ <) und ( A ' , ~ - ) , bei letzteren, falls T > w B. ~-Familien )4.11Definitio~

:

Sei ~ @(A) - { @ } nichtleere Menge kompakter Teilmengen yon A und ~,~ wie vorher. (i) ~ heist z-F~iilie, falls fiir alle ~ m o gilt: Sei n u n ~ & ~ , so dab f~r ein ~ > o in (~,~-+ ~ k e i n e yon E liegen (z.B. ~ nicht kritisoh).

kritisehen Werte

(ii) ~

heist ~-Familie yon ~ m o d A ~ falls zus~tzlich gilt: Es gibt kein ~ Z m i t I~A ~+s FHr < < o erhalten wit wieder die Definition (i). ~.12 Beispielel : (i) Sei c&A : ~ := { ~ c ( ~ ) / ~ z o } ist T-Familie, womit die Beziehung zu Vorausgegangenem hergestellt ist. 4.11(ii) ist fur alle ~, die kleiner als der ~-Wert yon c sind, reaiisierbar. Analoges ist f~r ~ede Vereinigung yon Trajektorien gUltig. (ii) Sei h:S k

~A

stetig:

~ := {h'(sk)/h':S k

tQp zu h] ist y-Famiiie, da mit h' auch ~oh' sondere hat man also auch die ~-Familie = {%oh(Sk)/~ ~ 0}.

> A stetig und homohomotop zu h i s t .

Insbe-

(iii) Wit betrachten nun singulire Homologie mit beliebiger Koeffizientengruppe G. Sei @k : ~k >~ ein singul~res k-Simplex und c = ~gi~k,i~=, eine singulire k-Kette (gi @ G, ~ k , i singulires k-Simplex). I~kl

:= ~ ( g k )

bzw.

Icl = ~ I~k,il heist T r ~ e r m e n ~ e des i=4 k-Simplexes ~k bzw. der k-Kette c. Sei zk e Hk(A) - {o}, d.h. zk ist eine menge niehttrivialer Zyklen Vk:

:: (da~

Zk} ist

homotop zu ~o = id ist, also (~T).z k = zk gilt).

-

149

-

man analog relative Homologie, also Zk~ Hk(~,A~) - ~ o ~ , ~ , so dab ( ~ , ~ + ~ frei yon kritischen Werten ist und A, ~+~ homotopie~quivaleut sind, vgl. 4.~oBem., so gilt

Verwendet

:: {LVkl/Vk~ Zk} ist F-Familie yon A m o d ~ ~, d.h. die Zyklen dieser Klasse bleiben Hber dem N i v e a u ~ h ~ n g e n . Analoges gilt natfirlich uicht ffir die Zyklen der Klassen Z k ~ H k ( ~ - ~ ) - ~ o ~ . Beispiel (i) legt die folgende Definition nahe (vgl. die Definition des 0o-Wertes) : ~.I~ Definitio~ : Sei ~ wie in 4.J1(ii) u n d ~ ~-Familie v o n A m o d A ~. Die Zahl inf (max E(c)) @lq + ~ i O ] heiBt der kritische Weft ~ der ~ - F a m i l i e ~ .

f~.14 ~heore~ : Fiir den kritischen Wert ~ der ~-Familie ~ gilt:

(i) ~ . (ii) Die menge K ~ der kritischen Punkte vom E - W e r t ~

ist nicht leer.

(iii) Ist U Umgebung von K~, so gibt es ~ , so dab ~ U v ~ alle geniigend groBen ~(also bach fr(iherem ~ ( # ) n (U-A ~-) ~z r

~- f~ir gilt.

(iv) Ist K ~ diskret(endlich), so gibt es eo~ ~ , so dab zu jeder Umgebuug U von e o eiu ~ Y existiert mit U ~ TY(~) /~ ffir alle gem(igend groBen T (wir sagen:~ bleibt an e ~ h~ngen). Bew.: (zu i): W~re ~ , so g~be es also ~ - ~ s im Widerspruch zur Definition yon ~.

mit ~ + ~

ffir alle

Zu (ii): Ist K = ~ , so gibt es g>o, so da~ ~e-#,~+~] keine kritischen Werte enth~it~ und es gibt ~ e ~ nit ~ c ~ + ~ und es gibt T~ o, so dab b%(~ ~ + ~ ) ~ - ~ gilt. Dann wfirde gelten: ~ ~ - ~ im V~iderspruch zur Definition von ~. Zu (iii): Nach friiherem gibt es ~>o, so dab IIXII auf der menge ~+~ (~ ~) (~ - ~ - -) n ~ U von Null wegbeschrinkt ist, und es gibt ~ mit ~ c ~ ~+~ (nach Definition yon ~,). Wir zeigen indirekt: Fir alle genfigend groBen r gilt: ~ ~ ~ t ~ / k ~-. Augeuommeu, es gibt Folgen [Cu} auf@und{%u} auf R+,lim T~a=~ , so dab gilt:

%~162

Da ~ kompakt ist, gibt es einen Hiufungspunkt ffir desseu ~-Wert ~e(c) also gilt

c,~

Uv~ ~-. der Folge ~cu] ,

~+~_~M(c)_~ ~. Da aber die kritischen Punkte vom ~iveau ~(c) in U liegen mfissen, gilt ~x(c) = T c ( T ) , U ffir alle geu~gend groBen ~, also auch ~ T ( c n ) @ U

-

150

-

ffir gen[~gend groBe ~ und gewisse cn, im Widerspruch zur obigen Annahme. (iv) Spezialfall von (iii), vgl. auch 4.9. Bem.: ~immt man die ~-Punkte zu allen c 6 ~ , ~ e ~ , so mHssen diese nicht alle auf einem (kritischen) ~iveau liegen, und ~ nimmt bzgl. der E-Terte dieser Punkte keine ausgezeichnete Lage elm. Ist ~ , so erzeugt ~ eine "Teil-)~-Familie" yon ~ : ~ ( ~ ) / z ~ o}, die wieder ~-Familie von ~ m o d ~ ~ ist. Die Menge der dazugehSrigen ~-Punkte bzw. Werte ist jetzt kompakt, und letztere enthilt ~ als maximales Element~ falls ~ wie in a.~a(iii) gewihlt ist: inf max E(c) = max inf E(~c(~)) (es gibt also ~-Punkte yon ~ v o m veau ~ ) .

~i-

Dieses ~ erzeugt also eine ~-Familie (GroB-Vieh erzeugt

Klein-Vieh-Familie) yon ~ m o d A ~ besitzt.

die denselben kritischen Weft wie

C. Zur Existenz mehrerer kritischer Punkte yon E Mittels B. sind auch auBerhalb der Betrachtung yon Zusammenhangskomponenten yon ~ Existenzaussagen ~ber eine grSBere Anzahi yon kritischen l~ yon E mSglich: ~.J> Vorbemerkun~ : Sei R unitirer, kommutativer Ring, X topologischer Raum und A c X Teilraum. ~ir betrachten im folgenden stets singulire Homologie und Kohomologie yon (X,A) mit Koeffizienten in R (Genaueres vgl. [463): H,(X,A) := 9 Hq(X,A), H (X,A) := 9 Hq(X,A). Die Abbildung u : cP(x)•

>CP+q(x),

(f,g) ~

> fug,

definiert

( b e i den Cp(~) bzw. cP(x) den R-~odul d e r q - d i m e n s i o n a l e n s i n g u l i r e n K e t t e n bzw. K o k e t t e n auf X,~ p+q e i n s i n g u i i r e s ( p + q ) - S i m p l e x und p~ p+q bzw. ~ + q das F r o n t - p - S i m p l e x bzw. das RNcken-q-Simplex yon ~P+q bezeichnet), i n d u z i e r t e i n e Abbildung (q)

u : HP(x,A)~Hq(X,A)

>HP+q(X,A)

,

das sogenannte cup-Produkt. Diese Abbildung ist bilinear und assoziativ, und es gilt stets uuv = (-fl)Pqvuu sowie im Falle A = ~: ~uv=vu~=v. Analog gewinmt man das sogenannte cap-Produkt: (2) n : Hq(X,A)~H~(X,A) >H

n-q

Diese Abbildung ist ebenfalls bilinear; es gilt (uku ul)mCk+l+ m = u k m (ul~ Ck+s

(X,A) 6n J ~v

(**). = v

(A = ~) und

[uk,uln Ck+l] = Lukuul,Ck+l U

als Verbindung zwisohen den beiden Produkten ( 5 . , . ~

das Kronecker-

-

151

-

letztere Gleichuug ist Spezialfall von ersterer (m=o) bei

produkt;

geeigneter Beziehuug zwischen R und Ho). H*(A,A) ist also zusammen mit dem cup-Produkt autikommutative, graduierte R-Algebra (einfachere Bezeichnung: Kohomologiering). Stetige Abbildungem f:~ ~ Y induzieren Algebrahomomorphismeu H*(f) : H*(Y) >H*(X), H* ist also kontravarianter Funktor yon der Kategorie der topologischen Riume in die Kategorie der graduierten R-Algebren. ~hmliches gilt fur n bzgl. H* umd H,. Die Abbildung Produktes:

(**) gestattet auch die folgende Definition des cap-

n: Hq(~)•

>~n q(x,A)

(Eigenschaften wie gehabt, vgl. [q2],S.q5~). Wir habeu damit die fur uns wichtigen Spezialfille (3) u : Hk(A-A~)• ~) > Hk-I(A-A~) (4)

(5)

HI(A,A~)•

n: (auf Orund

(~): uud

)

> Hk(A,A~) sowie letzterer Definition des cap-Produktes)

~ : HI(A-A~)~Hk+I(A-A~,A~-A~)

fur al-

> H k ( A - A % A~-A~).

Ist ~ , ~ ] frei yon kritischen E-Werten und ~ , nach 4.qo f~r das Tripel I ~ A ~ A :

so gilt

H*(A-A~,A~-A~)

(6)

H*(A,A ~) m H*(A,A ~) ~ - und ebenso fUr H, - unter kamonischen (aus den jeweiligen Inklusionen induzierten) Isomorphismen, wie man aus der exakten Ko- und Homologiesequenz bzw. dem Ausschneidungssatz sofort abliest. Damit ist auch

(7)

n : HI(J-AW)• ~) > Hk(A,A~ ) als Umdeutung yon (5) f~r alle nicht kritischen wohldefiuiert (da dazu stets ~ wie oben gew~hlt SchlieBlich: Da (*) auch eine Abbildung v : HP(A)~Hq(X,A) defiuiert (Eigenschafteu wie gehabt), haben wir

(8)

u : Hk(A-A~)•

u: Hk(~- ~)~HI(A,A ~)

>HP+q(A,A) auch

>Hk+I(~-~%A@-A~ )

und damit wie bei (7) fUr alle nicht kritischen (9)

Werte~ werden kann).

~@~:

>Hk+I(A,A~).

~.~6 Definitio~ : (i) Sei Z k ~ H k ( J , A ~ ) - { ~ ~k heiBt subordiniert

, Zk+l~Hk+l(A,A~)-
zu Zk+ 1 vom T~p ~ bzw. 2: z k < Zk+l, falls es

Z~ ~l(A,j~) b~. ~l~ ~l(~_~) gibt nit z~ : ~l~+l.

-

152

-

Beachte, dab im zweiten Fall ~ als regul~r bzgl. E vorausgesetzt werden mu~ und stets ~l ~ o gilt. "Subordiniert" ist eine Ordnung im starken Sinne (transitiv und antireflexiv), jedoch keine lineare Ordnung. Erg~nzend zu diesem Begriff definieren wir: (iX) Die Cup-L~nge eines Raumpaares ( ~ ) : c-long(X,A) ist die maximale Zahl r ~ ( o d e r ~, falls keine solche existiert) zu der es r Kohomologieklassen ~e~,..,~EH*(X,A)-H~ mit ~ . . u ~ e ~ o gibt (ix=dimmeSt; c-long(X) := c-long(X,r ). Beisp.:

q) c-long (~pq(m)) = c-long(~q(~))_

=~,

falls ~i einfach zu-

sammenhingende, kompakte ~iannigfaltigkeit und R kommutativer KSrper ist, vgl. [~7]. 2) c-long(~(sn)) = , falls n = 2k+J und R = ~ (ansonsten 2; bei R =~2 stets ~, falls n I ~ ; R = Q~R,@, so ~ bzw. o fHr ungerades u bzw. gerades n). 3) c-loug(~(~0,~i) = ~ , falls nut c-loug(A(m)) = ~, geuauer c-long(A (f~[),~) ~ c-long(A (m))-dim i~jc-long(A (~i)-M) ~c-long(A(~i) ). Die Zahlen c-long(A),c-long(X), c-long(X-A) und c-long(~,A) sind i.a. nicht vergleichbar (spezielle Aussagen vgl. ff), jedoch sind sie im Falle (X,A) = (A,A ~) in jedem (bzgl E) regul~ren Intervall um ~ yon der der speziellen Wahl yon ~ unabh~ngig (vgl. 4.qo; im dritten Fall 4.5.3). Analoges gilt bei Verwendung yon ~-. Wit definieren schlieBlich noch: (iii) cc-long(A,A ~) ist die gr~Bte Zahl r ~ ~I~,..,~ Ir ~ H*(A,A~)-H~

(oder oo), zu der es

~) gibt, so dab

:

( A, A ) -->

(

A

nicht trivial ist (ix> o). Analog seX c c - l o n g ( A - ~ ) bzgl. (7) defiuiert (~ nicht kritisch ist dann notwendig; ersteres ist -wie auch bei (i) - ft[r beliebige Paare (X,A) definierbar. Beachte:

cc-long(~-~ ~) / cc-long(~-~,~)! Es gilt: c c - l o n g ( ~ , ~ ) ~ c-long(~,~ ~) und c c - l o n g ( ~ - ~ ) ~c-long(~-~ ~) (jedoch i.a. nicht das Gleichheitszeichen, vgl. ff.) und cc-long ist ebenfalls yon der speziellen Wahl yon ~ iunerhalb eines reguliren Intervalls unabhingig i man kaDn in An~logie zu (iX) hier von capL~nge sprechen, da (~ ~ . . 9 ~5~• }o = e• ~ 1 2 ~...<~ ,~ir~...}..) gilt. ~ ~C~ Bem.: Es kann auch ~ aus 4.~5(8),(9) zur Definition der c-L~nge bzw. cc-L~nge verwandt werden, was jedoch auf Grund der unsymmetrischen Form dieses cup-Produktes nicht besser sein dGrfte. Dieses cup-Produkt verbiudet jedoch subordinierte Homologieklassen verschiedeueu Types

-

153

-

z k = ~ i Z k + I vom Typ 2 und Zk+ 1 = ~mnZk+l+m

Ist

z k = (~]iu'~m) n Zk+l+ m

vom Typ 1, so ist vom Typ 2.

~.17 Satzl : cc-long(~,A~)+1 bzw. cc-long(A-A ~) ist das Supremum der Michtigkeiten der linear geordneten Teilmengen yon (H.(A,fi~),<), "<" wie in 4.16(i) vom Typ I bzw. Typ 2; es gibt also Ketten sukzessiv subordiuierter Homologieklassen v o u A m o d A ~ b i s zur Liuge cc-long(~,A~)+l bzw. cc-long(A- A~) +I. Bew.: Seien ~11, .. , @ r * H * ( A , A ~ ) -

H~

so dab (~llu..u~Ir) m Zr~O

f~r z r ~H.(I,A ~) erf~llt ist. Sei z i := (~li+qu .. .u~ It) n z r. Es gilt fHr alle o_~i~ j _mr:

# r))~Zr

z i : (~li+lu ..~ ~ Ir) n z r : ((~li+t ..u% lj ) ~ (~lj+l~ . . :

..

d.h. z i i s t

~ . . ~

subordiuiert

die Dimension:

).z r :

~..o

:

).zj,

zu zj, da mit z ~ alle zi,z j / o sind (z i hat

dim z r -(li+ 1 + ..+lr)).

Ist umgekehrt eiue solche Kette subordinierter Homologieklassen ~egeben, also Zo,...,Zre H.(A,A~) - ~o~ mit z i = ~ li+Inzi+ 1(i=o,..,r-1;l~.~ = dim zi+ 1 - dim z i > o), so gilt auf Grund der Rechenregeln .

Zo

=

11

12

ir n

o<

~ir) ~ zr)'")

:

womit die Behauptung bzgl. oo-long~,A~) Der andere Fall folgt analog. 14.18 Bemerkunge~

f~r c undn:

...o

, zr

o

gezeigt ist.

:

I) Sei [~,~] f rei vou kritischeu E-7~erten und ~<~. Zerfillt die zu A~_A~ z > /I_A~ P > (A-A ~, A~-A ~) gehSrige exakte Kohomologiesequenz voilstindig in kurze exakte Sequenzen, d.h. gilt: p* ist injektiv und i* ist surjektiv, also

~*(~-A~)/~*(A-A~,A~-A ~)

~ ~,(~_~)

~ ~*(E-~(~))

: ~*(~(~-A~))

,

so folgt aus der in 4.15 erwihnteu Beziehung zwischen H*(f) und u: c-loug(A-~) k o-long(A , A~). Dies ist z.B. der Fa~l, wenn ~-A~ Retrakt von~-A ~ ist (die exakte Homologiesequenz zerfillt dann ebenfalls - i. injektiv und p. surjektivuud f~ir die yon uus gebrauchteu Zykleu gilt: H.(~, ~ ) = H . ( ~ - A ~ ) / H . ( ~ F - ~ ). Aus der Beziehung zwischeu H*(@) und n (vgl. [46] ,S.254) folgt unter der obigeu Voraussetzuug noch: cc-long(A-A ~) k cc-long(A,A ~ ) (da (p*(glq)v..~p*(~Ir))m z : (~llu..u~ It) ~ z gilt).

-

154

-

Ist der Koeffizieuteubereich R zus~tzlich kommutativer KSrper, so sollte in der letzten Umgleichung sogar die Gleichheit erffillt seiu, da damn die betrachteten kurzen exakten Sequenzen spaltend siud. 2) Ist R kommutativer KSrper, so gilt: co-long(A,A~)+ 1 ~ c-long(A,A ~) ~ cc-long(~,A~). Bew.: Es bleibt die obere Ungleichung

Sei ~1 gilt

....

(z

u~ r #

o

exist!err,

isomorph s i n d

und

z~

zu umtersuchen:

HI+~

,

so das[~ll,

da H 11+''+Ir( 4,j ~) und Ell+. . ir(J,A

gilt d nm

lr

..,~

~) *

,z]

~ o

unter ~.,..-]

I

[Z n(~lflu.o.v~tr-1),~lr~

= [z,(~llu..

also ist (~•

:

)u

H.(A,A~) . ~H.(A,~ 4)

= [z,~llv.ou~lr~

o,

nicht trivial.

Bem.: Im umteren Fall tritt gemau damn Gleichheit ein, falls c-long(~,A ~) = c - l o n g ~ - A ~ ) gilt, wobei A~K die Vereinigung der zu A~ gehSrigen Zusammemhamgskompouenten bezeichnet, da 1 u v -- v uud 1~ z = z nur noch a~f den zu ~ - ~ gehSrigen direkten Summanden yon H*(A,~ ~) nzw. H.(A,A ~) erffillt ist und dort dauu also 1 anstelle yon Ir im obigeu Beweis verwandt werden kaun. Die gezeigte Ungleichung gilt nicht analog fur ~ - ~ anstelle yon ( ~ , ~ ) , wie das folgende Beispiel zeigt: Sei N! beliebige kompakte riemanusohe l~lannig~altigkeit: Nach 1.7.3 gilt HI(I,~i)~ HI(I,M ) - i~I und HI(I,M)~- M, also cc-long(Hl(l,~),~Jl ) = cc-long(Hl(l,~vi)-tl ) = c-long(Hl(l,M),M) und

c-long(Hl(l,M)-M)

: c-long(~i)

= o

,

also kSnneu c-long(Hl(l,tl)-M ) und cc-long(Hl(l,IV~)-M) welt auseinanderliegen.

beliebig

14.19 Theoren~ : Seiem Zl,Zk+ I subork~iniert vom Typ I oder 2 (mittel ~i und ~ jetzt in beiden F~llen regul~r!)

uud ~k,~k+l

die kritischem Werte der zu Zk,Zk+ I

gehSrigen F-Familien von ~mod~4(vgl. 4.12). i~ach Voraussetzung ~>~, so dab ~ , ~ 3 frei yon kritischeu Werten ist. Beh.:

gibt es

(i)~m ~k-~k+l

(ii) Ist ~k = ~ k + l '

so gilt fur jede Umgebuug U c ~ - ~ ~ vou K~k (der

Menge der kritischen Punkte vom E-Weft ~k): HI(u) # o d.h. damn gilt: #K~k Die Existenz

eiues Paares subordinierter

Homologieklasseu

in H , ( ~ , ~

- ~55 -{o}

impliziert

also

stets

die

-

Existenz

zweier

verschiedeuer

kritischer

Punkte yon E (vom E-Wert ~ ) , Be___w.: Sei Vk+ 1 @ Zk+ 1

uud

~l

~l

also nach Voraussetzuug

v k := ~ l n Vk+l~ zk (in Falle ~l~ H.(~,A~),

den audereu Fall siehe (~)).

Nach Definition yon n in ~.q5(**) besagt dies: max E ( c ) ~ max E(c) , also

c~

IVkl c IVk+ll , also

c~Ivk+ll

~ k = inf max E(c)_~ inf max E(c) VkCZ k c~v~ Vk+l~ Zk+ I c~i~InVk+lI inf max E(c) = ~ k + l Vk+ls Zk+ 1 c~Vk+ll

"

Die restliche Ungleichuug ~ k > ~ ist bereits uach friiherem klar. (*) Die Subordiniertheit vou Homologieklasseu ist also ein Spezialfall der(in [5o~ betrachteten) "mengentheoretischen" Subordiniertheit ( A c ~ ( A ) heiBt subordiuiert zu B c @ ( A ) , falls es fGr alle b 6 B eiu a~A gibt mit a cb), wie wit mittels der Triger der Zykleu dieser Homologieklasseu gerade gesehen haben. Wir mGsseu letztere Subordiuiertheit uoch bei subordiuierteu Homologieklassen vom Typ 2 uachweiseu: Nach 4.15(6) gibt es zu jedem Vk+le Zk+ 1 eiu ~k+l ~ Zk+ 1 mit

[~k+11~ A-A~nlVk+l I , so da~, also gilt:

max E ( c ) ~ max E(c). c ~ IVk+l[ c *i~k+l i n~k+l zeigt dann wieder die "meugeutheoretische"

Subordiuiertheit.

(ii) Sei U ~ A - A ~ Umgebung vom K~k uud Hl(u) = o. Nach 4.12(iii), 4.~4(iii)

gibt es eine Kette Vk+ l ~ Zk+ 1 mit IVk+ll c U u A ~'~

.

(k+l)-Simplex) kauu so gew~hlt Dieses Vk+ I = 7~~ #~Y ( r ~ e R.9 @ v regulates ~ werdem, dab [~Vlc U oder ~ Y [ c ~ ~K+I f~r jedes v erf~llt ist (wie man mittels der offenen Oberdeckung ~U,~~k+l ] von U u ~ ~k+l einsieht). Da Hl(u) = o gilt, kanu ~ l ~ ~l so gew~hlt werdeu, dab ~l(g) = o fHr alle 1 - S i m p l e x e $ m i t {@IcU erf~llt ist. D a m i t gilt fGr Vk:=~ 1 nVk+l~Zk: IVklCU~~ + l

d.h

es folgt:

max E ( c ) < ~k+l' c ~ [v~

da IVkl kompakt ist

Es folgt: ~k < ~ k + l . Besteht K~k+l nut aus eudlich vielen Elementeu, liche Dberdeckung vou aus ~ - ~ ,

so gibt es eiue eud-

mit offeuen, paarweise disjuukten B~lleu K~k+ 1 deren Vereiuiguug U die Gleichuug H~(U) = o ft~r alle 1 > o

-

156

-

erfUllt, d.h. Zk+ I steht bzgl. betrachteten

Ordnung 4.16(i) mit keiuem

Element von H*(A,~ ~) in Relation.

q.e.d. Bem.: I) 0biges zeigt stirker, daS unter der Voraussetzuug Mk = ~k+l sogar dim K ~ l i:U

~1

folgt (da fur jede Umgebuug U von ~ k

und

> A - A ~ bzw. (~,A ~) sogar i*~ 1 ~ HI(u) - {o}gilt, also ~ i ( ~ ) / o I%

folgt, vgl. auch Riede [~5]). 2) Ist A ~ - A ~ Retrakt von A - A ~, so ist der erste Subordiniertheitsbegriff Spezialfall des zweiten (uuter Verwendung von p.~l anstelle von ~ l vgl. 4.18.1); 4.19 braucht daub nur fur "Typ 2" formuliert zu werden (ist R zusitzlich K~rper, so stimmt dieser sogar mit "Typ I" Uberein).

"Typ 1" ist unter Umstinden noch fHr ~ e ~

wie iu 4.11(ii)

anwendbar (solche Zyklen brauchen i.a. keiue ~-Familien zu seiu, genUgen aber -zum Tell- 4.19). ~.2o Korolla~ : Sei ~ e R

regulirer Wert von E.

Es gibt weuigstens max{cc-loug(A-A~), dene kritische Punkte in A - A ~.

cc-long(~,A~)] + 1

verschie-

Bew.: vgl. 4.17, ~.19. Bem.: Ist R kommutativer KSrper, so ist die Zahl der kritischen Punkte in A-A ~ auch dutch c-long(A,A~)+l nach unten abgeschitzt (vgl. 4.18). Die Zahl c-long(A-A ~) ist fGr diese Zwecke unbrauchbar:

(A,E) ~(~Rn, ll.J[~

erfGllt die fHr 4.2o notwendigen Voraussetzungen und hat o als eiuzigen kritischen Punkt, wihrend c-long(A-A *) = c-long(S n) = 2 fur alle ~ > o gilt (und A~-A ~ stets Retrakt von A - A ~ ist). Eime andere wichtige, aber stets auf ganz A bezogene untere Abschitzuug der Anzahl der kritischen Punkte yon E finder man in [4~ : Sei cat(A) die kleinste natUrliche Zahl n ( o d e r ~ ) , so dab es n abgeschlossene in A contraktible iengeu A 1 , . . . , A n C A gibt, die A Uberdecken. Dann gilt: E hat wenigstens cat(A) kritische Punkte und c-long(A)+1 ~ c a t ( A ) & dimA+l,

falls A

zusammeuhiugend ist.

~eachte, dab unter diesen Voraussetzungen -uud R KSrper- c-long(A)+1 in ~.2o als (maximale) Abschitzung gewihlt werden kanu; cat(A) ist also geuauere Abschitzung als c-long(~), letztere abet i.a. leichter bestimmbar (vgl. auch [5~,S.785). Seine wichtigste Auweuduug findet 4.2o bei ~_Ao bzw. (A,~o), da die Teilmenge E-l(o) der "~enge der kritischeu Punkte K oft bekannt ist uud deshalb nur noch die M~chtigkeit von K - E-1(o) abzuschitzen ist (Beispiel ( A ( ~ ) , E ) ) ,

beachte E-q(o) ist

i~a. kein Retrakt von ~. Wit

-

157

-

bemerken dazu uoch: Ist die cap-L~nge you ~ u~endlich, so folgt, da~ ~ ( K - E-l(o)) = ~ i s t -4.19Bem. zeigt a l l g e m e i u e r : ~ ( K - E-1(o))~__ cc-loug(A) - dim E-l(o) - so da~ also vou cc-loug(A) auch auf die Anzahl der kritischeu Puukte mit positivem E-Wert geschlosseu werden kaun. 5. Auwemdungea auf (A(m)IE), . . . . Wit spezialisieren w

Der Satz von Fet und L~usteruik

jetzt auf den in w

eingefGhrten Fall (A(~),E),

wobei eiue zusammenh~ugende, kompakte riemannsche manmigfaltigkeit (~,g) zugruudegelegt ist, die Voraussetzumgeu zu w

also erf~llt sind. Es er-

geben sich damn mittels (A(m),E) die folgenden Aussageu Gber die periodischeu Geod~tischen von (~,g): (~.1 Sat~ : (i) Es gibt eiue kanouische Bijektion v o n d e r ~enge der Konjugationsklassen von ~(M) auf die ~euge der Zusammenhangskomponenten yon ~(M), d.h. E hat wemigsteus so viele kritische Punkte wie die Fuudamentalgruppe vou M koujugierter Elemente. (ii) Seieu al,a 2 e ~ ( ~ ) nicht konjugiert uud Cl,C 2 kritische Punkte (periodische Geod~tische auf ~) aus den entsprechenden Zusammenhangskompoueuten you A(~). Es gilt: F}, w ~-_ ~ o

a~-a~ I l ~ B i l d

c I ~ Bild c 2 ,

d.h. solche Geod~tische siud geometrisch verschieden (uud bzgl. ihrer Zusammenhangskompouente in A(m) von minimaler Energie w~hlbar, vgl. #.7). Bew.: Zu (i): FGr die Fundameutalgruppe ~(m) : ~l(m) := ~ ( A ~ ( ~ ) gilt bekanutlich: Die Komjugatiousklassen vou ~(m) siud iu kauonischer Weise bijektiv zu den freien Homotopieklasseu der stetigeu geschlosseneu Wege auf m, also zu den Wegzusammenhangskomponeutem von A~ und zwar unabh~mgig v o n d e r speziel!en Wahl von p ~ m, d a m wegweise zusammenh~ngeud ist. ~ach w gilt aber ~o(A~(m)) = ~o(Ap(~i)) uud ~go(A~ umter kanonischen Bijektiomen, und nach a.7 gilt: @ K ~ ~ o ( ~ ( m ) ) , folgt die Behauptung.

also

Zu (ii): ~ichttriviale periodische Geod~tische sind genau dauu geometrisch verschieden, wenn sie nicht durch eine affine Parametertrausformation W:SI--~S 1 w(t) = • + b (mod~,m@~,be]R) in ein und dieselbe einfach periodische Geod~tische ~berfGhrt werden kSnnen. Gilt aber Bild c I = Bild c2, also c1(• + b 1) = c2(•176 + b 2) fur alle t e R uud gewisse m l , m 2 , ~ , bl,b 2 e ~ , und liegen Cl,C 2 in verschiedenen Zusammenhangskomponeuten von A(M) (o.B.d.A. kann bl,b 2 = o vorausgesetzt werdeu, da damit nur

-

158

-

audere periodische Geod~tische aus denselben Zusammenhaugskomponentea zugrundegelegt werdeu), so folgt ffir die dazugehSrigen uichtkoujugierten Elemeute al,a 2 e ~ ( M ) : Es gibt b ~ ( M ) mita I = b• a~ = • Es folgt die Behauptuug. Die uach 4.7 gegebene Existenz vou periodischen Geod~tischen iu jeder freieu Homotopieklasse you M l~2t sich also auch mit Hilfe der Elemeute der Fuudameutalgruppe vou ~ diskutiereu. Iusbesoudere ergibt sich: i~.2 Korolla~ : Auf jeder kompakten, zusammeuh~ugendeu, uicht eiufach-zusammenh~ngenden riemanuschen Mauuigfaltigkeit (M,g) gibt es eiue aichttriviale einfach-periodische (Periode 4!) Geod~tische. Bew.: ~(M) ~ I impliziert die Existenz elmer periodischen Geod~tischeu, die uicht frei-homotop zu einer Punktkurve ist, da a , ~ ( M ) , a J l die Voraussetzuug zu 5.1(ii) erffillen; zu I korrespoudiert g e m ~ 5.1(i) gerade die Zusammenhaagskomponeute voa A(M), die s~mtliche (!) Punktkurveu enth~lt, deren Puukte also (frei-)uullhomotop siud. 5.3 Beispiel~ : Sei ~2. Es gilt: ~(S n) = ~, ~(Pn(~R)) = 7 2 und m(T n) = ~ ( $ I ~ ..~S 1) = m(S1)~..x~(S I) =TL u, also ist 5.4 im ersten Fall uubrauchbar uud liefert im zweiten bzw. dritteu die Existenz you einer bzw. uneudlich vieleu geometrisch verschiedenen, schen nichttrivialea Geod[tischen.

einfach-periodi-

Zur Existenz der uneudlich vielen Geod[tischen kaun man genauer feststellen: Es gilt stets ~ ( ~ N ) = ~ ( M ) ~ ( N ) . Euthalten nun die Untergruppen ~(M),~(N) yon ~ ( ~ N ) je ein Element a bzw. b unendlicher 0rdnung (die also als Elemente von ~(MxN) nicht konjugiert sind), so genfigen (bei kommutativem ~(M),~(N)

) je 2 Elemente der Form

aP. bq,aP~ q, p,q,~,~ ~

nit

p.~ / ~ . q

der Voraussetzung yon 5.1(ii) - falls N wie M gew~hlt ist, also auch M ~ zusammenhgugeud und kompakt ist - so daS wir auf solcheu Produktmannigfaltigkeiteu 2tets uneudlich viele, paarweise uicht frei-homotope, geometrisch verschiedene, eiufach-periodische Geod~tische vorliegen habea (eiufach-periodisch eutspricht dabei der zus~tzlicheu Wahl p,q bzw. ~ , ~ teilerfremd). Die gleiche Aussage gilt ffir die kompakten, orientierbaren Fl~chea vom Geschlecht h ~ 1

(vgl. die Darstellung der Fundameutalgruppe ia

~3], S.2o3; h=1 siehe oben). ~an beaohte, da~ diese Aussageu nur vom Homotopietyp der betrachteten

- 159

-

Manuigfaltigkeiteu abhingeu, also iusbesondere nicht vou der Wahl der beteiligten ~letriken. I~.4 Satz] : Ist ( o , ~ frei von kritischen Werten yon E:A(M) > ~ (solche E > o existieren uach 2.4), so ist M (starker) Deformatiousretrakt vou A(M) ~. Bew____L.:Nach [46],S.3o genUgt es wieder, "M homotopieiquivaleut zu A(NI)s nachzuweiseu. Nach 4.qo ist A(M) ~ homotopieiquivaleut zu A(i) ~ fur alle $&(o,z), so dab die Behauptung nur fur irgeudeins dieser ~ nachzuweisen ist. Sei ~ o so gewihlt, dab (~(~),~(exp)) -q auf A = ~_J~p}~B~(p) pei A(M)• Diffeomorphismus ist (vgl. w sowie 1.4.3 und beachte, dab M ~ompakt ist). Sei g := ~ , d.h. fur alle c ~ A ( M ) $ gilt: L(c)A~~ 2 . Bild c mu2 also stets im Diffeomorphiebereich der -q J ~~ Karte (exPcro~,B~(c(o)))~ you ~(~) um c(o) liegen. Die Abbildung H : I • A(My >/(M) ~

(~,C) '

>~(exp)((q-r)-(A(X),m(exp))-qO(Po,id)(c)),

bei der (Po,id):~(i) >A(M)• den Morphismus c I >(c(o),c) bezeichnet, ist Morphismus, also folgt (in Verbindung mit den ~iorphismen i:M

>A(M), po:~(M)

> ~): i~ ist homotopieiquivalent zu ~(M) $ .

Bem.: Mit analogen ~li~telu kann man zeigeu: ~i ist Deformationsretrakt von Hq(I,M), was aber nach w bereits klar ist. Karcher [21] zeigt fur alle genHgend kleinen s dab alle in A(M) ~ startendeu Trajektorien yon -grad E gleichmiBig beschriukte L~nge haben, also nach ~.9 lim ~c(T) fur alle c & A ( M ) ~ wohldefinierb und ~-)~ Punktkurve ist. Wir kSnnen deshalb definieren: ~ : A(~)g > A ( M ) g, o ~ > ~ ( c )

:= lira ~z(c),

und bekommeu damit eine stetige Abbildung

~ : Eo,~U•

>A(~) ~ ( ~ , c ) ,

woraus wiederum (in gesch!ossener Weise)

"Mist

~ ~(c), starker Deformations-

retrakt von A(M) g'' folgt! AuBerdem zeigt dies, dab diese Trajektorieu vou -grad E Uiber der nichtdegenerierteu kritischen Untermauuigfaltigkeit M yon A(M) nicht wesentlich oszillieren. Weitere Aussageu (Abschitzuugen) fiber (die Trajektorien von) -grad E findet man in [22~. Wir betrachten jetzt den bisher vSllig uubeachtet gebliebeuen Fall einfaoh-zusammemhingender Mannigfaltigkeiten M, also den Fall: A(M) zussmmenhingend. I>-> Herleitun~ : Sei i ~ 2 und s l c ~ l + 1

die l-Sphire. Sei R I ~ R I+I mit Spann {EI+I~

-

160

-

als orthogoualem Komplemeut uud Rl+ der abgeschlossene positive Halbraum von Rl*~zgl. El+ q (E1,..,EI+ 1 die kanonische Basis des El+q). Dl-1 := S 1 ~ l + ist danu Retrakt von S 1 9 eine sogeuaunte sionale Halbsphire auf S 1. Eiue Retraktion p wird durch (Xl,..,Xl+l) I P ~

(Xl,..,~

Wit benStigen die folgende =

(Xq,..,xl)~o 1 - 1

,o)

stetige Iujektion 1)

(1-1)-dimen-

gegeben. i you D 1-1 in ~(S l)

L i >~A(s

A

~(t) := (Xl,..,Xl_l, oos(2~.Xl, si~2~t)xe) (diese Abbildung geht in den Teilraum A(S l) yon A~R 1+1) uud ist stetig, da sie als Abbildung in den letzteren Raum stetig ist: ~[{~1 { ~1 2 : ~I { ~- ~ ~l 2 * ~ (X~ -- X ~ ) 2 ; ~ i e ~ S t am f Rd D 1-1 = D 1-1 n~Rl-1) ~ die Ideutit~t). Sei h:S 1 > ~ Morphismus, also auch A(h) : ~(S l) >A(M) Morphismus. h iuduziert eine Abbildung h A : D1-q > A(M) d u t c h ~1 > A ( h ) ~ i (~) = h - ~ (analog sei h A zu jeder stetigen kbbilduug h:S I >~, die ho~ ~ A ( ~ ) fGr alle ~eD 1-I erfGllt, defiuiert; beachte A(h) muB danu nicht defiuiert seiu). I~.6

~emm~

:

S e i ~ a o und s e i T~ wie i n w162 b z g l . (A(M),E) und g l ( o d e r g l ) g e b i l det; die Abbildungen ~ o h a : D I-1 > A(M) beschreibeu also eine Deformation des "siugul~reu (1-1)-Diskus" h A. Beh.: Es gibt eiue zu h homotope stetige Abbildung hy : S 1 ~ M, so dab (h~)^ : D 1-q )~(M), ~ , 7h~oi(~) wohldefiuiert ist uud die Gleichuug erf~llt

(es folgt:

(h~)a = ~. " h A (hT) a ist stetig).

Bew.: Die Abbildung H: ~ , ~ x ( S I - s l n (t,x)

~I-I)

I

~ M

> (~o(pr 1,h aopopr 2)(t,x))(~(x)),

die mittels der folgenden Abbilduug ~ defiuiert (iop)(x)(~(x))

: s I _ sl

ist (beaohte

= x!):

1-I

> sI

> (

,

"2

l/Y

2

~

l+Xl+1,Xl
2

l+

2

~

1) ,

ist als Komposition stetiger Abbildungen stetig (beaohte: Slx A(M) > M, (s,c) ! > c(s) ist stetig!) uud auf ~ o , ~ S 1 stetig fortsetzbar, da ~.(Prl,h 9 dort stetig ist und auf s l ~ 1-1 nut Zuuktkurven als Bilder hat (also die dortige Unstetigkeit von gar nicht "merkt", somit die gewGuschte Fortsetzung liefert). Die stetige Abbilduug h~ := H(T,..) ist also homotop zu h = H(o,..)

-

- beachte die Identifizierung

161

-

~,~]/~o,~} t'

~ S ~ R 2, > (cos(2~t),sin(2~t)).

Es gilt f~r ~eD I-~ ~ R I - ~ : (hroi(~))(s) = h~(i(~)(s)) : ( ~ o h op(i(%)(s)))(~(i(~)(s)))=(~oh^)(~)(s) wie auch f~r ~ e D l - j . ~ l - ~ uuter Fortlassung des dritten Ausdrucks.

-

q.e.d. 15.7 Theorem:

(Fet uud Ljusternik)

Auf jeder eiufach-zusammeuh~ugendeu, kompakteu riemannschen ~lannigfaltigkeit (~,g) existiert eine uichttriviale eiufach-periodische Geoditische. Bem.: Wit haben damit iusgesamt auf jeder kompakten riemaunsohen Mannigfaltigkeit (~,g) eine uichttriviale periodische Geoditische nachgewiesen. Naoh w kann diese stets yon minimaler (positiver) Euergie gewihlt werdeu. Bew.: ist dim m = m, so ist auf Grund der Poincar@schen Dualitit Hm(M,~ 2) J o, also ist ~vi uicht contraetibel, d.h. (vgl. [38~, S.134) es existiert i > ~, so dab TcI(~J) / o gilt. Wihle Po E D I-I und einen ~vlorphismus h:S I > Ivl, der ein nichttriviales Element aus 7r~(~I) repr~seutiert, also nioht homotop zur koustanten Abbildung you S I auf x o := h(Po) ist. Annahme: E : A(~d) >JR hat keinen positiven kritischen Wert. ~ach 4.40 angewandt auf ~:= max ~E(c)/c eBild h a } sowie 5.6 (1_>2!) kann h f~r jedes

~> o durch eine stetige Abbildung h~:S I

> i~i er-

setzt werden, so da~ die dazugehSrige stetige Abbilduug (h~) A : D I-I ~ A(IVi) Bild (h~) -- /~(M)g erf~llt (falls tour %- emtspreohend groB gewihlt ist). Seien g uud H wie in 5.4Bew. gewihlt. Die Abbildung G : I~(s I - ( s l ~ m l - ~ ) ) >~vI, ~ ( s , x ) := H ( s , ( ( h ~ ) A o p ) ( x ) ) ( ~ ( x ) ) ist (in Analogie zu 5.6) zu einer stetigeu Abbilduug G:IxS I

> ivi

fortsetzbar (die Fortsetzuug lautet: H(((h~)^.p)(..),..)/I• 1-I ), und es gilt: __I(h~)A~p)(x)(~(x)) = hy(x) f~r alle x ~ S I - sl~lq l-q G(~

fGr alle x ~ SIn]R I-I

G(1,x) = ((hr)aop)(x)(o) = ht(p(x)) = (htop)(x) -sowie G(s,p O) = x O. h~op reprisentiert aber die i~ull iu ~l(i~) (da p : S I > D I-~ stetig und D I-~ contractibel ist), also auch h i m 5.6, 5.7 liefern, da~ die ~-Familie

Widerspruch zur Annahme.

q.e.d. ~ := {(T~ h ) ( D l - ~ ) / b z o }

eiuen

kritischen 'iVert> o hat, also an eiuem positiven kritischen l~iveau you E hingenbleibt (Beispiel ~.~2(ii) hat in obigem Beweis also Auweudung

-

162

-

gefuudeu). Da die iu 5.6, 5.7 verwandte Deformation y auch durch jedes beliebige T, das ':Mist starker Deformationsretrakt vou A(M)" realisiert, ersetzt werden kauu, folgt bei kompakten, zusammeuh~ugeuden Mannigfaltigkeiteu M, dab M u i e

starker Deformatiousretrakt von A(M) ist (bei

~(M) # 1 folgt dies auch sofort aus 5.1(i) uud 5.2). Nach [46], S.3o ist folglich A(M) sogar uie iu M deformierbar, d.h. A(M) uud M habeu verschiedeneu Homotopietyp (uud wohl auch Homologietyp, vgl. die folgeuden Anmerkungen). I~.8 Anmerkuuge~ : I) Nach Greeuberg

~2], S.48 gilt (bei zusammenh~ugeudem M): Es gibt

einen surjektiveu Homomorphismus ~:~(M)

~HI(M,~) , dessert Kern gera-

de die Kommutatoruntergruppe vou ~(M) ist, der also Isomorphismus ist, falls ~(M) kommutativ ist (was z.B. stets der Fall ist, weuu M topologische Gruppe ist). Da das Bild jeder Koujugationsklasse vou ~(M) unter ~ eiuelementig ist, ist dereu Anzahl weuigstens geuauso groS wie ~ H I ( M , ~ ) ,

und die Impli-

kation in 5.1(ii) gilt vSllig analog f~r alle al,a2e HI(M,-~) mit a1#a 2 uud periodische Geod~tischeu c I bzw. c 2 aus den zu ~-I(a 1) bzw. ~c-l(a 2) gehSrigen Zusammenhaugskompouentea yon A(M). 2) 4.19, 4.2o gestatteu aicht wie die 1.Morsesche Ungleichung (5.1) eiue uumittelbare Auswertuug bzgl. (A(M),E), da die zu subordiuierteu Zyklen gehSrigea kritischen Punkte you E aicht notwendig geometrisch verschiedeue periodische Geod~tische darstellen mGsseu (und eiu 5.1(ii) eatsprecheudes Kriterium hier nicht formuliert werdea kauu). Auch bei cc-loug(~(M),M) =~ braucht i.a. nicht mehr als die Existenz eiuer nichttrivialen periodischen Geod~tischen zu folgen (deun aach 5.1(ii) Bew. gehSren zu eiuer solcheu Geod~tischeu stets uaendlich viele kritischen Niveaus you E m i t jeweils Gberabz~hlbar vielen kritischen Punkten). Man muB also die in w

entwickelte Technik noch verfeineru, weuu

man mit IIilfe subordiuierter Zyklen geometrisch verschiedene periodische Geod~tische bestimmeu will. Die im folgeudeu Paragrapheu durchgefGhrte Koustruktioa ist ein erster Schritt in diese Richtuug, da die dort eiagefGhrten "Niveaus" uur noch geometrisch verschiedene Geod~tische enthalteu. Es lassen sich jedoch uoch folgende Erg~uzuugen zu w formulieren:

im Falle (~(M),E)

Die Abbildung p : A(M) ~ M , c ~ ~ c(o) ist C~-Retraktiou, und gem~B 5.4 ist M = E-l(o) = A(M) ~ Deformationsretrakt you ~(M~ ffir genfigead kleiue ~ o , also ist w im Falle (~(M),E) auBer fGr die bzgl. E re-

-

guliren ~ @ ~

~enerell fGr

~=

163

-

o g~itig. Aus 4.18.1 folgt dana:

H*(A(M)-M)/H*(A(M),M) ~ H ' ~ ( M ~ - M ) ~ H*(M) ~ H*(A(M))/H*(A(M),M) uud H, (A (M)-M)/H, (A (M) ~ -M) = H, (A(M) ,i) = H, (A (i))/H, (M) fiir hinreichead kleines s (A(M)-M bzw. A(M) ~- ist diffeomorph zu A(M) bzw. ~(M)~--M, vgl. 1.7.3 uud A(M~-M,~(M)~--M,E-I(~) uud M siud vom gleichen Homotopietyp, vgl. w w analoges gilt allgemein ffir alle ~ , fdr die es % > o gibt, so dab ( ~ , ~ + ~ frei von kritischen Werteu vou E ist und die "A < homotopieiquivalent zu A~ ' ' erfGlleu). Ist der Koeffizieutenbereich R you H.,H* kommutativer KSrper, so folgt weiter:

c c - l o o g ( d ( M ) , M ) + l k c - l o n g ( ~ ( M ) , M ) ~ec-loug(A(M),M) = cc-long(A(M)-M) uad c-long(d(M) ,M) ~' c-long(A(M)-M) = c-long(A(M)) ~ c-long(A(M) ,M)+c-long(N) man beachte, da2 cc-long(A(M)-M) aicht mit cc-loug(A(M),~) fibereiuzustimmen braucht. Zusammenfassend l~2t sich aber feststellen, dab die vielfach berechnete cup-Limge von A(M): c-loug(~(M)) i.a. uur eine obere Schranke f~r die Anzahl subordiuierter Homologieklasseu abgibt (vgl. (*) und 4.17, 4.18), also f~r die Existeuz genGgend vieler solcher eine entsprechend gro2e cup-Linge yon A(M) zwar notwendig, abet nicht hinreichend ist. Wit betouen daher, da2 die Uutersuchungen mittels subordiuierter Homologieklassen (Theorem 4.19) den primireu Tell, die dar~berhinaus angestellten Betrachtungen mittels c-long, cc-long den sekundireu Teil des Vorausge~augeneu darstellen (c-long(A(M)) ist vou allen Lingen am leichtesteu berechenbar, aber i.a. die schwichste Vergleichszahl hiusichtlich subordinierter Zykleu). Im Falle topologischer Gruppeu M gilt H*(4(M)) = H*(M) 9 H*(~pq(M)), ebenso H, (vgl. 1.8.5ff., A(M) ist dana ebeufalls topologische Gruppe uud die Faseruug yon A(~) ~ber M trivial; genaueres vgl. ~2~], dort wird diese Gleichuug allgemeiner ffir sog. H-Riume gezeigt). Es gilt also H*(~(M),M) = H*(Apq(M)), also nach Beispiel 4.16.1 c-long(A(~)) : c-long(A(M),M) : ~o falls M zusitzlich einfach-zusammenhingend ist (~insichtlich weiterer Berechnungen vou cup-Liugeu vgl. [3a~, [73, [2a], [26a3, [26b~). 3) Ist i:M >A(M) die Inklusion und p:A(M) wegen p o i = idM, da~ i, : H,(M)

> H.(A(M)),

p* : H*(M)

> M wie in 2), so folgt - > H*(A(M)) injektiv und

~, : H.(A(M)) ----e H,(M), i* : H*(A(M)) y H*(M) surjektiv siud~ nach Vorausgegangeuem ist darfiberhinaus zu erwarten, da~ (bei kompaktem M) uie "bijektiv" eintreten kann, also stets H,(M) / H,(A(M)) (*) gilt

-

164

-

(im Falle ~(M) / fl ist dies klar, da damn bereits Ho(A(M),M) / o gilt). Elm Beweis voa (*) liefert uach #.f14 uumittelbar eiuen auderen Beweis f~r den Satz you Fet uud Ljusteruik, da es damn stets relative Zykleu gibt, die als T -Familien you A(M) mod M ~ber M h~ugen bleiben m~sseu. 4) Im Falle ( ~ q ( M ) , E ) , p , q ~ M dere gilt hier sogar:

@i~(M)(*)und

l~Bt sich w

~hnlich auswerteu,

insbesou-

c-long(A~.(M),E-1(o)) = c-long(A~.(M)) im Falle p=q~

fl 2 im auderen Falle muB man ~statt E die Abbilduug E ~:= E-~d(p,q) zugru~delegen, damit s~mtliche Voraussetzungeu you w erffillt siud: 4.6 liefert dann -ffir alle vollst~ndigeu (M,g), vgl. 3.8(ii)- die Existenz (weuigstems) elmer p,q-verbiudemdeu Geod~tischen der L~uge d(p,q), also eiuen weitereu Beweis des Satzes yon Hopf-Rinow. Die Ungleichumg (*) folgt sofort aus 4.6Erg~mzuug, da uach 1.8.7 ~o(~pq(~)) = ~o(~p(M)) =

= ~ o ( ~ ( M ) ) = ~(M) gilt. Sie liefert den folgendeu Satz: In jeder Homotopieklasse von p,q-verbindeuden Hfl-Kurven gibt es eine p,q-verbindende Geod~tische, die bzgl. dieser Homotopieklasse minimale Energie (L~mge) hat. Hiusichtlich weiterer Anwendungen auf (~q(~),E)~ vergleiche man [21], IV-VII und ~ 9 ] , [4o~, [~7~ (deft sind auch noch weitere Beitr~ge zu w eathaltea) sowie [25], E24] uad die Bemerkungen in U 3 ~ , S . 2 o 4 f Q Nach 3.8(iii)

l~2t sich w

auch auf die dort gebildeteu Maunigfaltig-

keiten ~c,e(~pq(M)) und ~c e (~(M)) aawenden, und es folgt aach obigem insbesondere, dab auch ~pqIM) uad ~(M) bei vollst~udigem bzw. kompaktem den in 1.8.2 formulierteu Satz you Hopf-Riaow erffillen (Je 2 Puakte ein uud derselben Zusammenhangskomponente der riemanuscheu mannigfaltigkeit ~pq(~) bzw. ~(M) kSnnen durch eine Geod~tische miuimaler L~mge verbuaden werden - und ~pq(~),~(~) sind geod~tisch-vollst~mdig), also Beispiele unendlich-dimensionaler Mannigfaltigkeitea darstellen, auf deueu dieser Satz aoch gfiltig ist. Weitere riemaansche Untermaunigfaltigkeiten yon (HI(I,M),g ~) und die dazugeh6rigen kritischea Punkte von E (n~mlich solche, die orthogouale Geod~tische zwischeu Untermanuigfaltigkeiten V,V' vou M bzw. solche, die A-invariaate Geod~tische auf M mit TAc(o).~(o) = ~(1) - A:M~M Isometrie- beschreibea, betrachtet K. Grove ia "Condition (C) for the energy-integral ou certain path-spaces and apllicatious to the theory of geodesics" Aarhus Universitet, Reprint Series 1971-72, No. 4. Er benutzt dabei das yon Eliassou aufgestellte allgemeine Beweisverfahren fur Bedinguug (C), vgl. 3.8(iii), uud gewiuut durch Speziali~eruug auf A=idm insbesoadere eimen weiteren Beweis des Satzes von Fet und Ljusternik (5.7).

- 165

-

6. Der Raum ~(M). Ljusternik - Schnirelman - Theorie auf ~(M) Die folgendeu Koustruktioneu verbesseru die -hinsichtlich der Auswertung vou 4.19, 4.2o- bei (A(M),E) vorliegende Situation dahingeheud, dab sie die auf eiuem kritischeu ~iveau you E liegendeu,geometrisch ~bereiustimmenden periodischeu Geod~tischeu yon (M,g) identifiziereu, ohue die Anweudbarkeit you 4.19, 4.2o aufzuhebeu. Damit wird das in w Dargestellte, das in w keine Auweuduug findeu kouute, welter ausgewertet. Die Voraussetzuugeu seieu wie bei w gew~hlt (vgl. auch w Wir fasseu S 1 := ~ / ~ auch in fiblicher Weise als Teilraum des ~ 2 auf (Ideutifizierung: t ~ ~ (sin(2~t), cos(2~t)) ). ~.1 Lemm~ : (i) Ist w:S I

> S q i~iorphismus (Diffeomorphismus),

~:~(M) > A(M),~(o) :: o o ~ . ~s gilt ~ (und bei Diffeomorphisme~ ~ - I =~-~I).

: ~

so auch

: ~(~vi)

~ A(~),~

~--~~.f

(ii) Ist T isometrisch (also Isometrie) bzgl. der natGrlichen i~etrik von S I so auch ~ bz~l. gl (aber nicht bzgl gl) Bew.: Ffir alle C o @ A(i~) und alle hinreichend kleinen) q ~ o gilt ~(B~(Co) ) c B ~ ( O o ) ) ) , wie man mit Hilfe der d~-metrik sofort einsieht. -1 Es folgt, dab exp~(c~176176 fGr alle X @ B ~ ( o c ) wohldefiniert O

ist und dab gilt

exP~co)OToeXPoo- (X) = ~ o F = @ ( ~ )

9 : ~ ( c o) >~(~(Co)) Es folgt (i).

. Die Abbildung

ist abet linear und stetig, also vom Typ C ~.

Ist y:S 1 > S 1 isometrisch, so ist T sogar Isometrie (also zus[tzlich Diffeomorphismus). Die ~enge dieser Isometrien ist bekauntlich gefade durch die Einschr~ukuugeu der Elemeute der orthogoualeu Gruppe 0(2) des ~2 auf $ I ~ 2 gegebeu, also bei Zugruudelegung der Darstellung S I = ~ / ~ v o n d e r Gestalt {~ : S 1 7 S j/ ~(t)=• nod ~, ~ * ~). Ffir diese T gilt (betrachtet als Abbildungeu you [o,I] in ~'= • woraus sofort die Gleichuug:

gq,c(X,Y) = g q , ~ ( o ) ( ~ ( X ) , ~ ( Y ) ) ersichtlich

= gI,~(c)(T~-X,T~'Y)

[o,1] )

(*)

ist.

Wit bemerkeu e r g ~ n z e n d , (da2 j e d e s ~ period~ische G e o d ~ t i s c h e s t e t s a u f p e r i o d i s c h e G e o d ~ t i s c h e d e r g l e i c h e n P e r i o d e a b b i l d e t uud) dab 0 ( 2 ) kompakte Liegruppe der Dimension 1 ist, die aus den folgenden beiden, jeweils zu S 1 diffeomorphen Zusammeuhaugskompouenten besteht: S0(2) Die d u t c h ( i i )

gegebeue A b b i l d u n g you d e r i s o m e t r i e g r u p p e 0(2) yon S I

-

166

-

in die Isometriegruppe von (A(M),gl) : T 7~ erffillt ffir alle ~ ' T 2 ~ 0 ( 2 ) d i e G l e i c h u n g ~ 2 - ~ I = ~1o~2 , i s t a l s o n u t a u f S0(2) Homomorphismus, ihr Bi!d ~edooh trotzdem Untergruppe der Isometriegruppe you ~(M),gl) , da sich diese Abbildung leicht zu einem Monomorphismus ab~udern l~Bt: y >~-1 = 9-I. Diese Ab~nderung muB auch bei dem folgenden Satz berficksichtigt werden:

~.Z Sat~l : Die riemannsche Mannigfaltigkeit (A(N),g I) ist riemannsoher O(2)-Raum auf Grund der folgenden stetigen O(2)-Operation auf A(N): (~,c)=(• ~O(2)~(Ivl) I ~.c:=~-l(c)=(c(• 4 @~(M). Bem.: Es gilt trivialerweise

id-c = c und ~-(~2.c)

= (~1-~2)-c fGr alle

~ , ~ 2 ~ 0(2) und c~A(M) sowie ffir alle s "$.(..)=~-I:A(M)--~) ist Isometrie"; zu letzterem vgl. die in 6.~(*) beschriebeue "0(2)Aquivariamz" yon ~1" Es folgt, dab dl:A(M)xA(M)II ) ~ "0(2)-invariant" ist, Y'(..) also auch Isometrie bzgl. d I (jedoch nicht bzgl. dl!)~ Die obige Operation ist auch stetig bzgl. (A(M),d~), und s ist Isometrie bzgl. d~. Bew.: Es bleibt also die Stetigkeit der obigen Operation nachzuweisen: Da A(M) eine abz~hlbare Basis besitzt und

dl(gn" cn' t "c) = dl(f-~ Z-E ) . c ~

~e l ( c n , c ) + d 1(~--< ~n) .c,c)

gilt, bleibt d1(~n.c,c) >o f~r jedes c ~ A ( M ) und ~n >id~SO(2) nachzuweisen. Es gilt: (*) : XTc(~,exp)-1(C,~n-C)It = KoT(~,exp)-l(6(t),6(t+su)); s u e S 1 defiuiert durch ~n(t)=t+Sn,

denn es geuGgt die zu id geh6rige

Zusammenhangskomponente S0(2) = S ~ / ~ yon 0(2) zu betrachten. Ist c eC~(Sq,m), so folgt, dab die durch (*) mittels der Variablen t,s n gegebene Funktion auf einer Teilmenge yon SdxS I vom Typ S~U(id)=SI~U(o) defiuiert und dort gleichm~2ig stetig ist. Damit folgt, dab ggc(t)(Vc(~,exp)-fl(o,~n-c)(t),

~Zc(~,exp)-q(C,~n.C)(t))dt

mit S n gegen o geht, d.h. es konvergiert

auch lI[(~,exp)-1(C,~n.C)lll ge-

gen Wull, also nach 1.5(a)Zusatz auch d1(C,~n.C),

also auch d1(C,~n.C).

Da C~(SI,M) in ~(M) dicht liegt, erweitert sich das eben Gesagte abet sofort auf ganz A(~): W~hle zu c~ ~(M) und E>o ein U ~ C ~ S d , M ) und n o e ~ , so da~ ft~r alle n~ n o dq(~n.~,~)< ~ und dl(C,~)~ ~ gilt. Es gilt dann: dl(fn-o,c)~d1(~n-c,~n.~)

+ dl(~n.~,~)

+ dl(~,c)=2dl(~,c)+dl(~n.~,~)

9

-

167

-

~.~ Elementare Aussagen fiber G-R~ume im Falle G : 0~2~ (vgl.[al],[~): o.) Das 0bige uud das in dieser Nummer Festgestellte gilt in uumittelbarer Weise auch fur alle uicht kompakten Maunigfaltigkeiteu (M,g) endlicher Dimension. I.) Eine Abbildung f:~

>Y

zwischen 0(2) -R~umen ~,Y heist

invariant bzgl. 0(2) [quivariaut bz~
:<---~//~

f~

:<--~ j / ~

fo~ = ~ o f

~0(2 )

= f

(im ersteu Fall kann Y beliebiger topologischer Raum seiu). Beisp.: Ist N weitere riemauusche Mauuigfaltigkeit eudlicher Dimension uud f:~ > ~ Morphismus, so ist A(f):A(M) ~ A(N) iquivariaut, iusbesondere ist also die Projektiou A(~) yon A(TM) auf A(M) stets iquivariant. E:A(M) ) ~ ist invariant (wie aus der Regel f~r Parametertransformatiouen sofort folgt), also gilt, da gl iquivariant ist, daS das Vektorfeld A:=-grad E : A(M) ~A(TM) und seiu FluS, also insbesondere 9~: A(M) > A ( M ) , ~ z o (vgl. ~.~) ~quivariant sind. Dies gilt nieht analog bzgl. g l diese etwas einfachere Metrik ist dem periodischen Verhalten der c 6 A(M) uicht angepaBt. 2.) Die Orbiten yon 0(2) (dutch beliebige c e A ( M ) ) : 0(2)c := { g - c / g ~ ) ~ bilden eine disjunkte Zerlegung yon A(M) in kompakte Teile. Die Menge dieser Orbiten bildet den sogenaunteu Orbitraum

Y(M)

:=

A(~#)/O(2)

der Operation yon 0(2) auf A(M), den wit den Raum der unparametrisier~ ten geschlossenen Kurven auf M nennen. Dieser Raum sei in bekamuter Weise mit der Quotiententopologie versehen (diese ist eindeutig durch die Forderung "Die kanonische Projektion ~:A(M) >~(M), a ~---~O(2)a ist stetig und offen" bestimmt). Die Projektlon ~ ist darfiberhiuaus auch abgeschlossen uud eigentlieh. In Verallgemeinerung der Orbiten betrachtet man zu beliebigem A ~ A ( M ) die Menge

O(2)A die

sogenanute

kbs~ttigun~

der Abbilduug ~ eutsprecheu ist

auch die Abs~ttiguug

r

:= ~F c / o ~ A ^ yon A unter unmittelbar

yon A offeu

0(2).

, Die o b i g e u E i g e u s c h a f t e n

den f o l g e u d e u

bzw.

abgeschlosseu

Aussagen:

Mit A

bzw. k o m p a k t .

Die stetigem invarianten Abbilduugen yon A(M) in einem topologischen Raum X korrespoudieren in kauonischer Weise zu den stetigeu Abbildungeu yon ~(M) in a. Ist g:A(M) ---@ ~(N) stetige, ~quivariaute Abbilduug, so gibt es geuau eiue stetige Abbilduug ~:~(M) ~7~(N), die das f o l -

-

gende kommutative

1 6 8

-

Diagramm erffillt: AGO

'

g

) /l(~)

\

Im Falle g=~(f),f:M N Morphismus, definieren wit speziell ~(f) := ~; es gilt also ~(f) : ~(M) >~(N),O(2)al >O(2)f(a). Die Zuordnung ~, >~(M), f ~ >~(f) ist ein kovarianter Funktor yon der Kategorie der euklidischen ~annigfaltigkeiten (~.o 0 in die Kategorie der topologischen 2iume. 3-) Da die Operation von 0(2) auf (A(i),d 1) isometrisch ist, ist

d~: ~)• (r,s)

~ f

> inf{d1(c,e)/c~r^e~s}

Metrik fGr ~(M), die mit der oben eingefGhrten Topologie vertr~glich ist (uud die den Wert ~ annehmen kann). ~(M) ist separabel, besitzt also eine abz~hlbare Basis, ist aber nicht lokal-kompakt. Analoges gilt bzgl. d~. Identifiziert man die Zusammenhaugskomponenten yon ~(M), die zueinander inverse Elemente enthalten (im Sinne der VerknGpfung geschlossener Kurven mit gleichen Anfangspuukten), so steht die Meuge dieser Aquivalenzklassen von ~e(~(~)) in kanonischer Bijektion mit der Menge der Zusammenhangskomponenten yon T(M) : ~o(F(m)); r,s @~(M) liegeu genau dann in derselben Zusammenhangskomponenten vou ~(M), wenu d ~ ( r , s ) ~ gilt. ~(M) ist also wie A(~) genau damn zusammenh~ngend, falls M einfach zusammenh~ngend ist. M i s t aueh abgeschlossener Teilraum von ~(M) uud d~/M~m = d. mit Hilfe der in I~ erw~hntem Morphismen ~,~... folgt schlieBlich, dab der Homotopietyp yon ~(M) ebenfalls nur vom Homotopietyp yon abh~ngt. Das bisher Gesagte l~Bt sich auch auf (A~ vgl. w Hbertragen: Die 0(2)-0peration (~,c)~ 0 ( 2 ) ~ M ) i ~ ~-I(c) := c o ~ - 1 ~ A ~ ist ebenfalls stetig (und jedes ~ isometrisch bzgl. d~). Der Orbitraum ~o(~) dieser Operat%on ist analog durch d~metrisierbar: dv.(r,s) := inf{d~(c,e)/cer,ees}, u~d die stetige Inklusion i:(~(M),d~) >(~~ ist Homotopieiquivalenz. 4.) Wir haben die folgenden Typen von Isotropiegruppen: 0(2),~1,~2,..,~,... , sowie gewisse Erweiterungen der (als diskrete Untergruppen you S0(2) aufgefaBten) zyklischen G r u p ~ ~ $ der 0rduung q in die Zusammenhaugskomponente ~)S0(2) von 0(2)

-

169

-

die aus den zu-Flq geh~rigen geschlossenen Kurven der Periode q gewisse nullhomotope, bzgl. Umorientierung (yon einem bestimmten Kurvenpunkt aus) symmetrische Kurven aussondern. Die Gesamtheit dieser "entarteten" Kurven, eimschlie~lich der zur Isotropiegruppe 0(2) geh~rigen Punktkurven, ist abgesohlossen in ~(iv~): Bezeichnung ~(M)- (diese ~enge enth~it keine miohttrivialen kritischen Punkte von E). Die zu den restlichen Isotropiegruppen ~ , . . . , ~ q , . . . typen sind alle verschieden;

geh~rigen Orbit-

sie bestimmen eine disjunkte Zerlegung

vom A(~) - A(m)- in invariante Teilmengen:

A(~) I , o , 6 ~

~(~)q,

e~e

hinsichtlich der Periode der Kurven aus ~(~i) - A(m)-. Die Orbiten solcher Kurven liegec also jeweils ganz in einer dieser ~eilmengen und sind stets vom HomSomorphietyp S ~ SI Umgebungen der Punktkurven zeigen, da~ die Orbitstruktur yon ~(~I) nicht lokal endlich ist. Die Kurven aus ~(m) q heiBen q-fach ~berlagerte periodische Kurven und im Fall q=~ auch eiufach-periodische Kurven. A(m) Iist offene, dichte ~eilmenge von A(m), also Untermannigfaltigkeit, die kanonisch hom~omorph zu ~edem der Teilriume A(~i)q von A(i) ist (wie man mittels y(t) =~q.t+b zeigt). Weiteres dazu siehe [26]; zur Darstellung der kritischen Orbits vgl. 2.7.1. Da die oben angedeutete Zerlegung yon A(m) O(2)-invariant ist, ~bertrigt sie sich aus ~(~); wit haben somit insbesondere den offeuen, dichten Teilraum

~(m~von

~(m) der einfach-periodischen unparametri-

sierten geschlossenen Kurven auf ~i. Der Beweis des folgenden Theorems, das die Ubertragung der LjusternikSohnirelman-Theorie yon (A(M),E) auf ([(M),E) erm~gliebt, beruht auf Vorschligen yon W.Klingenberg. Einen ihnlichen Beweis findet man in[22]. 16.4 Theore~ : Der Raum ~(M) ist lokal kontraktibel, d~

jeder I~unkt ~ ( M )

besitzt

eine Umgebung U, die homotop zu {~] ist. Bew.: Es gen~gt, die ~ ~ ( M ) zu betrachtem, die Projektionen yon C ~Kurven c ~ ( M ) sind, da letztere dieht in ~(M) liegen. Sei K der LeviCivita-Zusammenhang yon (M,g), B~(o c) := { x ~ ( c ) / ~ x I I ~ , c ~ ~ eXPc:B~(o c) ~U(c) nat~rliche Karte von ~(M) bzgl. ~(K) um c (vgl. w und i c die Isotropiegruppe yon c bzgl. 0(2). Es gilt ffir alle x~A(c) o(2)x

~^(o)

: ~ x C

(wegen ~(~ X) = c ~C ~.c = c), und dutch Einschr~nkung der 0(2)-0peration 0 ( 2 ) • ~ ~(TM) erh~lt man die folgende wohldefinierte stetige Operation

I c • B~(Oc)

~ B~(Oe) , ( ~ , ~ ) ,

~ ~.X

-

170

-

(deun es giltll~klIfl, c : IIX~, c ). Analog operiert I c auf U(c)~A(i~), die Karte eXPc induziert einen HomSomorphismus [exp~

: Bg(oc)/l c

d.h "

~ U(e)/I c.

~um ist B~(oc) bekanntlich koutraktibel:

(~ ,~) ~ [ o , 1 ~

B~(o c) ~ - - - ~ ( ~ - ~ ) - x ~ B~(oc).

Da diese Kontraktion mit der Operation yon I c auf B~(o c) vertr~glich ist (beachte: die Homothetien von ~(c) siud Ic-~quivariaut , die Vektorraumaddition ist es nicht!), folgt, dab aueh B~(Oc)/l e uud somit aueh U(c)/i c kontraktibel ist. Damit ist der Beweis im Falle yon Punktkurven c, also fGr I c = 0(2) bereits geffihrt, da U(c)/I c damn Umgebung yon ~(c) ist (in diesem Fall sind sogar die B~(c)/l c kontraktibel). Es kann also im Folgenden ~ # o vorausgesetzt werden. Es gilt damn: A~ := { ~

A(c)/go,c(X,c)

= o} ist topologisch-direkter

Summand yon

S p a n n ~ } in A(c) der Kodimension ~ und: Die Operation you I c auf A(c) ist auf A~ eimschr~nkbar (/~ ~@I

go,c(~,c)

= o ~-~ go,c(~.X,c)

B~(o c) := B a ( O c ) a ~ 6 ,

U~c)

= o), d.h. mit Hilfe der ~engen

:= eXPc(B~(Oc~-~) erh~it man auch einen Ho-

mSomorphismus [eXPc~

:

B~(Oc~)/I c

dessen Definitions- und Bildbereich

>Ur~c)/tc

,

ebenflalls kontraktibel

siud~

Wir zeigen nun,daB ffir himreichend klein gew~hltes E~ o der topologische Raum U(c)/l c hom~omorph zu einer Umgebung von ~(o) in ~(~) ist umd haben damit die Behauptung des Satzes bewiesen. Zun~chst~ gilt: Da ~/U~c) stetig und iuvariant bzgl. I c ist, ist auch ~:~/I c ~(M) stetig. Wir betrachten jetzt die folgende Abbildung (q)

(s,e) :

~

~ go,c(eXp~q(s.e),~) ~ ~.

Diese Abbildung ist auf einer Teilmenge yon ~• vom Typ E-F,+~]x DF(c),Dp(c) := {e/dq(e,c)~ 2] wohldefiniert uud stetig, und alle bei festem e gebildeten partiellen Funktionen sind differenzierbar. Die Abbilduug~-~ : [-~,+~]x D~(c) > R ist ebenfalls stetig, und es gilt: ~(o,c)

= Ts )ogc(t)< gl "ex Po(t)c
1~

:

-1

~o~gc(t)(eXPc(t)c(t+s),~(t))dt

= ~ogo(t)(K T(exPc(t))e(t)'~(t),~(t))dt

-

z~z~ I1ogc(t)(~(t),~(t))dt

171

-

= go,c (~'~) ~ ~

Es folgt, dab #,~ so gew~hlt werden kSuuen, d a B ~~-s~ ,e) iu obigem Defiuitiousbereich stets >o ist. Da ~ die Voraussetzumgeu des Satzes Gber implizite Fuuktioueu erf~llt, kSuuen ~,~ sogar so gew~hlt werden, dab es eiue eiudeutig bestimmte stetige Abbilduug ~: D~(c) > (-~,+~) gibt, so dab ~(~(e),e)/e ~D~(c)~ in obigem Defiuitiousbereich you ~ liegt uud ~(~(e),e) = o fHr alle e 9 gilt. Sei 9 die Periode you c uud ~ , ( o , ~ ) derart, dab fGr alle s~Eo,~)cEo,~l~o,~ sI so(2) gilt =

=

d1(o,s.o)~ 2S --p s ~ (diese Wahl ist mSglich, da s ~ [o,R~/~o,~ ~ ~ s - c ~ S 0 ( 2 ) c HomSomorphismus ist, deuu diese Kurve ist auf [o,9) doppelpuuktfrei!), uud sei ~> o (siehe vorue) so gew~hlt, dab U ( c ) C D g ( c ) erfHllt ist. Aumahme: ~ : U(c)/l c ~ ~(M) ist uicht iujektiv, d.h. es gibt g~ 0(2) - i c uud e~U~cc), so dab ~.e ~U(c~ - ~e~ gilt. Da f~r alle f@U(c~) uud alle ~el c gilt: ~ f e U ~ ) (deuu eXPc~(~.f) =

Gestalt ~(t) = t+s, s @(o,~); Damit folgt

also iusbesoudere

d~(c, ~.c)=d~(c,s.c)~ d~(c,@.e)+d~(~.e,f.c) also folgt uach Wahl you ~, da~ s auc~ s ~ Abbilduug

~@S0(2)

= 2d~(g~

ist. = 2d~(c,e)~2~

erf~lleu muB. Nun ist die

s ~ ~,+~ ~ ~(s,e)~ streug mouotou uud es gilt ~(o,e) = o, also fur uuser s uotwendig ~(s,e) ~ o, woraus abet s.e ~U~c) im Widerspruch zur obigeu Auuahme folgt. Es bleibt zu zeigeu, dab ~ eiue offene Abbilduug ist: Die Abbilduug e ~D~(c) ~ r exp~(~(e).e) ~d ist wohldefiuiert

uud stetig uud B&(Ocf-~) ist offen iu ~

und (nach

Wahl yon ~) gilt: Bs Bild ~ . Damit l~Bt sich eiue Umgebuug V vom c iu ~(M) fiudeu, auf der die Abbilduug e ~ V, >~(e).e ~U(c) wohldefiuiert, stetig uud surjektiv ist. Die offeueu Mengeu ~ in U~c) siud mittels ~2 nun erweiterbar zu offeueu Meugeu V~ you ~(M), derart, dab gilt

womit die Aussage

"~ offeu" gezeigt ist (da Offeuheit in U~c) unmit-

-

172

-

telbar zur 0ffenheit in U(r-c~c/Ic derart korrespondiert, tionen mittels ~ Gbereinstimmen). q.e.d. 16.5 Definition:

(Ljusternik-Schnirelman-Theorie

Sei M jetzt stets kompakt,

dab die Projek-

auf [(M)

).

also Bedingung (C) fGr (A(M),E) erffillt.

(i) Da das Energieintegral E auf ~(M) O(2)-invariant und sein Flus iquivariant ist, haben wit nach frfiherem die durch folgende kommutativen Diagramme definierten stetigen Abbildungen auf ~(M): A(M)

E

~

m

E

A(M)

~" T~_O

,~ A(M)

~

~'~-o

sowie zu jedem r & ~ ( M )

den unteren Ast der Trajektorie ~

yon

E : "ff(~i)--~ ~{:

~Yr: Eo,~) >T(M), ~r(~) := ~P~(r) 3~r(O) = r, l~ngs der E monoton fallend ist (vgl. die entsprechemden Definitionen von~z,~ c in $.A). Die Orbiten der Operation 0(2) enthalten entweder nur kritische oder nut regulire Punkte yon E: A(M) >~, wit haben also eine entspreohende Uuterteilung bei E:~(M) ---@R: Die kritisohen Punkte yon E:~(M~ ~]R sind gerade die (unparametrisierten) periodischen Geoditischeu auf (M,g). Sei ~ := Tg(i~). Analog zu A~,A~- bilden wir hier ~ := ~ < M ) ~ -- ~(A(~O ~) = ( r ~ ( M ) / E ( ~ ) ~ } = ~ una

(ii) Sei ~elR, so dab ffir elm E>o das Intervall (~,~+~] frei yon kritischen Werten yon E:~--@]R ist. Eine ~ - F a m i l i e ~ yon ~ m o d ~ ist eine nichtleere l~ienge~ yon nichtleeren, kompakten Teilmengen ~ v o n ~ ffir die gilt : (a) ~ u ~ ~ _ _ _ ~ % ~ ) ~ ffir alle ~zo (b) Es gibt kein ~ & ~ mit ~ + r Die Zahl ~ := inf sup E(r) heist der kritische Weft der ~ - F a m i l i e ~ . Beisp.:

(~) Sei c eA(M) regulir,~ der ~-Wert yon c und r := ~ c ) . := {~T(r)lYz o} ist ~-Familie von ~ m o d ~ ~

(~)

Zk6}tk(T,~)

Ist

- tO}

, SO i s t

(falls

c< r e g u l i r e r

Wert y o n E)

die Menge := {IV~ /V k Zykel aus Zk~ eine ~-Familie

von ~ m o d ~ .

(iii) Sei [~,~]clR frei yon kritischen Werten yon E. Da 4.~o sich auf Grund der ]iquivarianz der YT auf die ~r fibertrigt, gilt

-

173

-

i : ([~, ~ ) - - > ( ~@, ~ ) ist Homotopieiquivalenz (es gilt sogar " fF~ ist starker Deformationsretrakt von ~ " , vgl. 4.5, 4.1o). Deshalb Ubertr~gt sich auch die in 4.C benutzte spezielle Form von u und n auf ]Y, d.h. auf ( ~ , ~ ) , und wit kSnnen defiuieren:

(~,~)

anstelle yon ( ~ , ~ ) ,

Sei z k ~ Hk(~, ~ ) - { o } ,

Zk+ l* Hk+l(?~, ~)-~o} , 1 >_J uud ~ regular.

z k hei~t subordiniert gibt mit

zu Zk+l, falls es ~ l ~ H I ( ~ _ ~ ) ( o d e r

Zk = ~l n Zk+ I

(A,A~),

Hl(~,~ ~) )

(~i / o also).

Bem.: Durch direkte Obertragung von 5.4 folgt: Ist (O,~o~ frei you kritischen Werten, so ist die kompakte kritisohe Teilmenge bl von?F Deformationsretrakt v o n ~ ~~ (Nach frUherem existiert stets ein solches ~o ). Die vorausgegangene Definition ist also auch ~Ur ~=o wieder gUltig. ~.6 Satzl : Sei ~ eine ~-Familie von ~ m o d ~ . gilt (i)

~ >~

Sei ~ der kritische ~Vert yon ~. Damn

.

(ii) Die i~ienge K~ der kritischen Punkte auf ~ yore E-Wert ~ ist nicht leer. (iii) Sei V Umgebung K ~ in~. Dann gibt es ~ , ~(~) ~ V n ~ -

(insbesondere

also

so dab for alle T z o

~z(~)~ V / 4

gilt).

(iv) Ist K ~ endlich, so gibt es r ~ K ~ , so dab ffir alle Umgebungen V(r) yon r e i n ~ e x i s t i e r t , das ~ ( ~ ) ~V(r) / ~ fur alle ~ z o erffillt ("V/bleibt an r hingen"). Bew.: T : = ~ 4 ( ~ ) / ~ & ~ } i s t eiue F-Familie yon A(2~) mod ~(M) ~, da eigentlich, ~r iquivariant und E invariant ist. Da die kritischen ~Verte yon ~ und IF Gbereinstimmen, folgt die gesamte obige Behauptung aus der fur ~ , vgl. 4.~4, mittels der obigen Eigenschaften von F~,E. Sat l :

Sei z k subordiniert

zu Zk+ I (mittels ~I) und ~k bzw. ~k+l der kriti-

sche Wert yon zk bzw~ Zk+ 1 (z k und Zk+ 1 aufgefaBt als ~-Familien vou " ~ m o d ~ . Sei ( ~ , ~ + ~ frei von kritischen Werten und ~ h o m o t o p i e ~ q u i valent zu~ ~+~ , (z.B. also ~ nicht kritisch). Es gilt: (i) (ii)

~ +g ~ k ~ k + l

.

Ist ~k = ~k+l' so gilt fur jede Umgebung U ~ - ~

Menge der kritischen Punkte vom E-Wert ~k):

~ yon K~k(der

-

174

HI(u) ~ o, d.h. es s

-

@K~I * =

(was bei ~ mit der Existenz yon unendlich vielen geometrisch verschiedenen periodischen Geoditisohen gleichbedeutend ist; der Fall (i) liefert jedooh nur die Existenz zweier, nicht notwendig geometrisch versohiedener periodischer Geoditisoher). Bew.: Genau wie in 4.79, da ~ lokal kontraktibel ist. Bem.: q) Bei (ii) gilt sogar stirker, dab K~k dana die topologische Dimension p ~ l

hat, (vgl. ~.19Bem.).

2) Die ia 4.C eingeffihrten Zahlen c-long(..),cc-long(..)

sind gemiB

ihrer Konstruktion und wegeu 6.5(iii) auch ffir Paare ( ~ , ~ ) (ffir~wie iu 6.7) definiert, stimmen aber i.a. uicht mit den Werten der entsprechead gebildeten Paare (A(M),A(M) ~) Hberein (und brauchen sich z.B. im Falle (~(M),~) nicht mehr so elementar wie die yon (A(M),m) in 5.8.2 zu verhalteu, da M i.a. kein Retrakt v o n ~ ( M ) ist uud der in 5.8.2 beuutzte Diffeomorphismus you A(M)-~I auf A(M) nicht notweadig iquivariant sein muB). 6.7 liefert analog zu 4.2o insbesondere die Aussage: Es gibt wenigstens max ~cc-long (~(M)-M), cc-long(~(M)} kritische Punkte des Euergieiutegrals E:~(M)

~.

~.8 Aumerkuage~ : 7) Wir haben gesehen, dab die Dbertragung der Ljusteraik-SchnirelmanTheorie von (A(M),E) auf (~(M),E) i.a. auch nicht mehr als die Existenz einer nichttrivialen periodischen Geoditisehen auf (M,g) liefert, da die versohiedenen Dberlagerungen einer periodischen Geoditischen auch bzgl. E:~(M) --e~ als versohiedene kritische Punkte gezihlt werden mfissen. 0bwohl also auf ~(M) voneinander verschiedene kritische Punkte des gleichen Niveaus stets geometrisch verschiedene periodische Geoditische als Reprisentanten besitzen, und nur die subordiniertea Homologieklassen Zk,Zk+ I Schwierigkeiten machen k~nnen, deren kritische Werte ~k' ~ k + l eine Beziehung vom Typ ~#~k+l

= m/n;m'n

~,

m
erffille~l, kommt man nicht umhin, wesentlich kompliziertere Methoden zu entwickeln, um den Fall auszuschlieBen, dab ein Paar subordiuierter Homologieklassen an "nur arithmetisch verschiedenen" periodischen Geoditischen hingenbleibt. Diese Ldcke im bisher Festgestellten wird besonders deutlich im Falle dim M=q, der im Ladle der Untersuchungen wohl im wesentlichen mi~behandelt worden ist. In diesem Fall gilt: ~i ~ S I. Alle Geoditischen sind periodisch (liefern also gerade Diffeomorphismen von S fl auf M) und stimmen (geometrisch gesehen) fiberein.

-

175

-

Hier kanu es also gar nicht gelingeu, d~tische

zu fiudeu,

Die allgemeiueu

mehr als "eiue" periodische

algebraischen Methodeu

zur Koustruktiou mehrerer perio-

discher Geod~tischer vou (~,g) siud also erschSpft, versucheu,

(bei ~annigfaltigkeiten

gruudeliegendeu

subordiuierteu

Homologieklassen

zur Koustruktion

so speziell

Eigenschafteu

periodischeu Geod~tischea mSglich werden solcher Homologieklassen abzusch~tzen). fiadet man in [ ~ ] ;

uud man muB nun

der Dimeasiou ~ 2) die bei 6.7 zu-

dab Aussageu fiber die geometrischeu

Eine ~Sglichkeit

Geo-

obwohl die bisher gebrachteu S~tze anwendbar siud .

zu w~hleu,

der dazugehSrigeu

(sowie versucheu,

die Anzahl

solcher speziellen Homologieklasseu

mit Hilfe geeigueter Deformatioueu wird in eiuem

gleichnamigeu~epriut

zu dieser Arbeit au~erdem gezeigt,

in [~&] verwaudten ~ethodeu

da~ sich die

zur Absch~tzung yon cc-loug(~(~)-m)

bei eiu-

fach-zusammeuh~ngenden maunigfaltigkeiteu zu Existenzaussagen fiber eine gewisse Anzahl geometrisch verschiedeuer eiufacher (d.h. doppelpunktfreier) periodischer Im Spezialfall ~6a],

Geod~tischer verfeiueru

"m Sphere"

[26b] Homologieuntersuchungeu

aichtdegeuerierteu A(m) bzw. ~(~);

Gber ~(m), ~(~)

ein Tell der dort dargestellten

Untermauuigfaltigkeit

Aussagen gilt auch bei

Koeffizieutenbereich

o. Gromoll uud Meyer

einfach-zusammeuh~ugeude

riemannsohe

falls die Folge der (endlicheu!) ist. Diese Voraussetzung

die vom Homotopietyp

eiufach-zusammenh~ngender teiliges

Manuigfaltigkeiten

R~ume vom Rang I bekaunt,

R hier kommuta~5]

Die Bettizahleu

(M,g),

Geod~-

Bettizahleu vou

ist z.B. bei allen ~anzweier kompakter

siud, erffillt, uud Gegeuvom Homotopietyp

der

bei deuen aber auf anderem

Wege bewieseu worden ist, da~ sie die obige Behauptuug bestimmter kauouischer ~etriken

zeigen fiir

periodische

eiues Produktes

ist bisher uur bei Mannigfaltigkeiteu

symmetrischen

kritischen

Manuigfaltigkeiten

dab auf M uuendliche viele gemetrisch verschiedeue

uigfaltigkeiteu,

vou

you ~(m) bzw. ~(~i).

tiver KSrper der Charakteristik

A(M) uicht beschr~nkt

(vgl. w

eiuer uichtdegeuerierteu

2) Sei der in 5.C zugrundegelegte

tische existieren,

nit Hilfe der

kritischeu Uutermanmigfaltigkeiteu

beliebigem ~ bei Zugruudeleguug

kompakte,

lassen.

oder :'m projektiver Raum" fiudet man in [3a],

zumiudest bzgl.

erf~lleuj

liefern auch im Falle yon uur eudlicher Fundamental-

gruppe ein ~huliches Kriterium

(da die universelle

riemanusche

Ober-

lagerung damn ebeufalls kompakt ist). Im Falle uneudlicher Fundamentalgruppe ist 5.1(ii)

abet iu den meisten F~llen schon gut auwendbar,

dab iusgesamt geseheu bis auf verh~ltuism~Big

so

wenige F~lle der Nach-

weis mehrerer (uud sogar uueudlich vieler) periodischer mSglich seiu sollte).

Geod~tischer

-

176

-

Die obige Aussage yon Gromoll und Meyer Hber die Existenz unendlich vieler geometrisch versohiedeaer periodischer zur Zeit umfassendste

Resultat

dieser Richtung

angegebene weitere Arbeit dieser Autoren: geodesics").

iterierter periodischer

eine Erweiterung

der nichtdegenerierten

der bei (~(i~I),E) vorliegenden werden die in w rianz!)

~orse-Theorie

zugrunde

~ber gewisse

sowie

[33] hinsichtlich

degenerierten Situation,

vgl.

Hber Darstellungen

(und zwar auch hinsichtlich

sowie Untersuchungen

Geod~$ischer

on closed

Diskussion des Indexes

Geod~tischer

gemachten Untersuchungen

seschem von E fortgesetzt

ist das

(vgl. auch die dort

"Some remarks

Ibm liegt eine ausfHhrlichere

und der Nullit~t

Geod~tischer

[14]; es der Hes-

0(2)-Aquiva-

typische Zahlen periodischer

angestellt.

Neben der (wohl m~hseligen)

gemaueren

Diskussion

subordinierter

Homo-

logieklassen yon z.B. A(~) mod M zeigen die in I), 2) beschriebenen weiters

Untersuchungen

Hber die Anzahl periodischer

sober yon (M,g), dab solche Untersuchungen kussion der Hesseschen yon E auskommen, riemannsche Mannigfaltigkeiteu

wohl nicht ohne die Dis-

also man sich entweder auf

(~,g) beschr~nken muB, bei denen die

Menge der kritischen Punkte yon E in nichtdegenerierte Untermanmigfaltigkeiten der Morse Theorie Situation in [7],

zerfallen

[21],

kritische

oder man eine weitere b~ertragung

auf die bei (~(M),E)

mit Hils

~5],

Geod~ti-

i.a. vorliegende

degenerierte

der Hessesohen yon E versuchen mu~ (vgl. dazu die [26],

[26a] angegebene Literatur).

-

ANHANG

177

-

(von H. Karcher)

Um die in diesem Band dargestellten Entwicklungen von einer anderen Seite zu beleuchten, zeigen wir in 7., wie Ran die differenzierbare und die riemannsche Struktur des RaumesA(M) hit Hilfe des Whitneyschen Einbettungssatzes und anderen extrinsischen Hilfsmitte~n erhalten kann. A(M) dient uns nur als Beispiel; andere Randbedingungen und andere Parametermannigfaltigkeiten (statt S 1) k~nnen analog behandelt werden. 8. bringt Anwendungen und Erg~nzungen.- Da d~eser Anhang unabh~ngig lesbar sein soll, treten einzelne Wiederholun~en auf; diese sind dutch die erreichte Unabh~ngigkeit und den meistens etwas anderen Standpunkt hoffentlich gerechtfertigt. 7- Ein anderer Zugang z u A ( M ) 7.1 Im Fall M:~ n (mit der kanonischen Metrik (..,..) und der dazugehSrigen Norm I..I) ist A(~):{f;f:s I , ~ f mit dem Skalarprodukt ein

bekannter

Hilbertraum.

absolut stetig, f quadratintegrierbar~

W ir

m~ehten hinzuffigen,

dag

zum V e r s t ~ n d n i s

des folgenden sehr viel weniger Integrationstheorie notwendig ist, als es auf den ersten Bliek den Anschein hat, und wit wollen das durch einige Bemerkungen erl~utern. f: ~ , ~ _ _ ~ n heist absolut stetig, falls gilt: Zu jedem E~o gibt es ein ~>o, so da~ fHr alle Einteilungen r if(t2i+l)_f(t2i)l~ ~ o ~ to~ tlL... ~ t 2 r + l ~ 1 aus .~ It2i+l-t2i I~$ folgt .~-~ i=O

i=O

Nach einem Satz yon Lebesgue ist f genau dann absolut stetig, wenn es eine summierbare Funktion g gibt mit f(t) = f(o) +~tg(s)ds. Lebesgues Satz besagt auSerdem: f ist fast Gberall differenzierbar und f'=g fast Gberall, d.h. f(t) = f(o) +~f'(s)ds. Die Vollst ~ndigkeit yon/\(8 n) ist ein weiteres Resultat der Integrationstheorie. Ebensogut kann man sich A(~ n) jedoch als Vervollst~ndigung des Vektorraums der C~-Abbildungen f:S1--)~ n bezGglich der Norm IIfll = < f , f > I / 2 vorstellen. Repr[sentieren wir S I durch ~,1]/[o,1} (bei anderer Parametrisierung [ndern sich die Konstanten), so gilt z.B. fGr stetig differenzierbare f:S1--)Rn: (vgl. 7.2.11) 7.1.1 Ilfll~:= m~x If(t)l~2n _~2ilfll2 denn ~f(t) 12 =If(Z)12+~(f,(s),f(s))ds, If(t)' 2 ~ ' f ( ~ ) ' 2 d ~

also

+~l(~sllf'(s)'2+I f (s)I~ds)d~211fI' 2

9

-

7.1.2

F~r ~ k < t k ~ - k + l <

N /f(tk) k=l

~78

-

tk+l(k=l,..,N) , o ~

m _ f(Vk)j, ~ (~-/tk_Vi l~ k

)1/2

1, t N ~

,~t

,N ~kl~(t)l dr)2 denn (N~Ck=llf(tk) - f(~k)I )2~tk~--lJ~k

Wegen 7.1.1 i s t jedell

gilt

ll-Cauchyfolge von Cr

:

auch][ iI~-Cauchy-

folge, hat also als gleichm~Big konvergente Folge jedenfalls eine stetige Grenzfunktion. Wegen 7.1.2 bleibt auch die Absolutstetigkeit der Glieder der Cauchyfolge beim Grenz~bergang erhalten. Mit anderen Worten: definiert m a n A ( ~ n) als II II-Vervollst~ndigung der C~-Abbildungen, so kann man sich die Elemente von/~(~ n) jedenfalls als absolut stetige Abbildungen repr~sentieren. Die Tatsache, da~ nicht jede absolut stetige Abbildung zu ~(~n) geh6rt (f mu~ ja quadratintegrierbar sein) st6rt in keinem Beweis.- Wir werde~ in der Formulierung unserer Beweise die Integrationstheorie voraussetzen; man kann sie jedoch mGhelos "Hbersetzen", indem man zun~chst zu den Voraussetzungen "stetig differenzierbar" hinzuf~gt und dann durch das Cauchyfolgenargument wieder beseitigt. Man Hberlege sich z.B.: ist F:~n---~B n stetig differenzierbar und f~ ~(~n), so ist Fof ~ z ~ n ) . Wir nehmen nun einige Uminterpretationen vor, die hier (M=~ n) trivial sind, sich aber in der neuen Formulierung wSrtlich in die allgemeinere Situation (M#~ n) Hbernehmen lassen. Zun~chst geben wir die Identifikation yon ~(~n) mit seinen Tangentialr~umen auf. Die Kurve ~:I--~A(~n),~(s) = f+s.v (fGr f,ve A(~ n) und I=[o,lJ) hat den Tangentialvektor v. Ebenso natHrlich ist es jedoch, v als Vektorfeld l~ngs f anzusehen, so dab ~ definiert wird dutch ~(s)(t) := f(t) +s.v(t) (+ bezeichnet das in der affinen Oeometrie des ~n ~bliche Abtragen des Vektors s.v(t) vom Fu~punkt f(t)~ ~n aus). Dann ist also der Tangentialraum in f der folgende z u A ( ~ n) isometrische Hilbertraum, dessen Elemente Vektorfelder l~ngs f sind: TfA(~ n ) = (v; v ~ A ( T R n) und v(t)g Tf(t)~n}. 7.1.3 AIs n~chstes sollen stetige Kurven k : I -~A(~ n) im ~n interpretiert werden. Wegen 7.1.1 und 7.1.2 gilt: 7.1.4 i~(s)(t) _ ~(s,)(t,)i n ~ Ii~(s)ii.it_t,1 1/2+ 2!i~(s) _ ~(s,)ii, d.h. stetige Kurven ~ werden durch gewisse stetige Homotopien in ~n repr~sentiert. Dabei geh~ren zu differenzierbaren Kurven Homotopien mit (gleichm~Sig in t) differenzierbaren "Deformationswegen" (t: const.);

-

sei n~mlich ~'(s) Tangentialvektor s

l[ngs ~(s)(...) in Hn),

7.1.5

maxI~(s')(t) t

179

-

von ~ in~(s)

(also ~'(s)(...) Vektor-

so ist

- ~(s)(t)

- ~'(s)(t).(s'-s)~ ~n (7.1.1)

- •

- •

=

o(

s,-s0,

und 7.1.5 zeigt, da~ f~r jedes t die partielle existiert,

n[mlich ~-~(s)(%)

Ableitung ~s~(S)(t)

: Z'(s)(t).

7.2 Wir betrachten zun[chst riemannsche Mannigfaltigkeiten (M,g), die ck+2-diffeomorph zu B n sind. Jeder ck+2-Diffeomorphismus F:M---e~ n induziert auf R n e i n e isometriseh

riemannsche

Metrik F, lg, so da~

sind. Wir werden ohne M~he sehen, da~

ck-diffeomorph

sind,

(M,g) und

A(M)

und

(~n,F]lg)

A(~ n)

so da~ alles in 7.1 Gesagte wieder zur Verf~gung

steht. Wir definieren dann eine riemannsche Metrik G f~r A(M), die durch die Metrik g yon M bestimmt ist. Die metrischen Resultate ~ber ~(M)

lassen sich in diesem Abschnitt

mit einem einzigen

Koordinatensystem

tate werden anschlieZend

zur Behandlung

in dem die differenzierbare Grundlegend

[Z9 ](vgl. [3?]hier

sehr einfach beweisen, ~berdeckt

Struktur

f~r die Betrachtung

die ~hnlichkeit

des allgemeinen

von ~(M)

von~(M)

Falles benutzt,

nicht mehr trivial

ist.

ist das folgende Lemma aus

mit 7.2.6), dessen ausf~hrlicher

noch einmal wiederholt

da A(M)

werden kann. Diese Resul-

Beweis aus

wird:

7.2.1 Lemma yon Palais Zu jeder CI-Abbildung G : ~n__~ Ls(~n ~m) definiere

G :

durch G(f).(v I .... Vs)(t)

A(~n)--~ LS(A(~n);A(~m)) := G(f(t))'(Vl(t) .... vs(t)).

Behauptun$: (i) G i s t steti~; (ii) falls G sogar C3-Abbildung ist, so ist G stetig differenzierbar und dG : d--~. (iii) Insbesondere gilt f~r jede ck+2-Abbildung F:~n--~ ~m: die Abbildung F:A(~)--gJ(~

TM) (definiert dutch F(f) : For) ist eine ck-Abbildung und

f[]r alle r ~ { 1 .... k] und Vl,..,v r e A(~ ~) gilt: drF(f).(Vl,..,Vr)(t) : drF(f(t)).(vl(t) .... vr(t)). Bemerkung: Dasselbe Resultat gilt - mit v~llig analogem F:HI(I,Rn)--* Hl(i,~m), ~(f) = Fof.

Beweis

- f~r

Beweis: Durch vollst~ndige Induktion folgt (iii) sofort aus (i) und (ii), denn fNr s = o,l,...,k-1 erfNllt dSF die fHr O gemachten Voraussetzungen. Um (i) zu beweisen,

mu~ zun~chst

die s-lineare Abbildung

gezeigt werden,

den, fHhren wir gleich die Absch[tzung ~G(f+h)

- ~(f)I]LS(A(~n

da~ f~r jedes f s

G(f) stetig ist. Um Wiederholungen

) ;A~R m ) )

n)

zu vermei-

der Norm

vor. Da G und dG auf der kompakten Menge

-

180

-

f([o,1]) beschr~nkte Normen haben, zeigt dieselbe Rechnung, Norm von G(f) beschr~nkt, also G(f) stetig ist.

Jo1 l(G(f(t)+h(t))

da~ die

- G(f(t))).(vl(t) ,... ,Vs(t))12 ,~m dt +

Id

]ol~-t-(G(f(t)+h(t))

j

- O(f(t)))'(vl(t)

Die Menge B :: ~p&~Rm;

~/

Vs(t)) 1 mdt L (s.u.)

If(t) - PI6 I~ ist kompakt, daher defi-

niere CI:= maxildG(p)ll ; au~er~m p6B L s+l (Rn;R m) m[~igen Stetigkeit

gi~t es wegen der gleich-

von dG auf B eine Funktion C:IR--~IR mit lim C(r)=o r->o

und

- wir setzen Ilhii~4-1 voraus -

I) ~ C(IlhlL,). - dO(f(t))J/LS+l([Rn;LRm ` s+2 Wir benutzen ( ~ xi)2--~(s+2)-~x ~ und i=1 i-:I": dG(f(t)+h(t))-(f(t)+h(t)) - dG(f(t))'f(t) : dG(f(t)+h(t)).h(t) + (dG(f(t)+h(t))-dG(f(t))).f(t). Damit setzen wir die begonnene Absch[tzung fort: 2 ~ Illvj[12.Solh2(t)dt + (s.o.)~_ c1.j: /~

tE [o,1

l]dG(f(t)+h(t))

.s~i~ vj...o 2 ~1~2 (t)d t

.

+

d-~

-k

+

Diese

c2(IIhII~) ~],_,1 . ~ Tllvj f I12 -o~lf2(t)dt j: O'[o]}h

Vil~o~ l @j (t) I

"~

(7.1.1)

--~

s 2 s 2 (s+2)(s+1)-2 C 1 j=-~=1~vJ 9 ]lhll2

+

(S+2) 2S'~olf2(t)dt"

Ungleichung

+

~lllvjlj2. C2(l~llhll).

J=

beweist

II~(f+h)

- O(f)ll 2

L 2 (A(~ n ) ;A0R TM))

~-~

~___(s§247 und damit die Stetigke~t yon G bei f. (ii) Die Voraussetzung, dab G eine C3-Abbildung sei, ist mehr, als fGr die stetige Differenzierbarkeit von G n~tig ist. Daher ist der Beweis einfach: Wir definieren eine C1-Abbildung: R : ~{n X ~n__~ L2(~n; LS(~n;~m)) durch 9

1

R(p,y) ":~o d2G{p+Y'~)'(l-t)dt" Dann gilt (siehe Beweis der Taylorformel) G(p+y) - O(p) - d G ( p ) . . y : R ( p , y ) . ( y , y ) .

-

1 8 1

-

Auf R wenden wir (i) an, es folgt G(f+h) - G(f) - ~ ( f ) . h

= R(f,h).(h,h).

Da R stetig ist und fHr IJhlI~gl eine beschr~nkte Norm hat, d.h. IIR(f,h)'(h,h)ULs(A(~n);~(Am))_~ C 2" Ilhll2, ist G differenzierbar und dG : d-~. Wieder wegen (i) ist ~ 7.2.2 Satz:

stetig, also G eine C1-Abbildung.

Sind F1, F2:M--) An ck+2-Diffeomorphismen, so gilt: A(M) :: {f; f:S1--)M, f absolut stetig, f lokal quadratintegrierbar} = :{f; f:sl-~ M, FlO fgn(~n)}

:}f; f:s1-~ M, F~ 0 f g A(an)} n n ) C k -Dlffeomorphlsmus, . 9 Nach 7.2.1 ist 1oF-I 2 :~(~ n )'--)A(~ so da5 man k . eine C -dlfferenzierbare Struktur fHr ~(M) durch die Identifizierung FI:A(M)--~ A(~ n) mit Fl(f) = Flof erh~it, die unabh~ngig yon der Wahl des Diffeomorphismus F 1 ist. 9 ~ --1 Wir definieren in 7.2.4 zu jeder der rlemannschen Metrlken Fi, g fHr IRn -1 -1 riemannsche Metriken G i f~r A(An). Da F 1o F 2- I :(~ n ,F2~g)--~ (An ,Fl, g) eine Isometrie ist, folgt aus 7.2.4 unmittelbar die Isometrie yon FI~ F21: (A(~n),G2)---~(A(An),G1) , so da5 deren Unterscheidung ~berflds-

sig ist und wir yon (~(M),G) sprechen k~nnen. Eine riemannsche Metrik g f~r A n (wir verzichten auf die ausfOhrlichere Bezeichnung F~lg) ist eine ck+l-Abbildung g: ~n--~ L2(~n;z), so da~ f~r alle p6 A n g(p) eine positiv definite symmetrische Bilinearform ist. Zu einer riemannsehen Metrik hat man die ck-Abbi!dung yon Christoffel :An---gL2(An;~ n) (~(p) [a,b] = ~(p) [b,a]) , mit der for Vektorfelder u,v l~ngs Kurven f eine kovariante Ableitung Dv(t) = 9(t) + ~(f(t))[f(t),v(t)] definiert ist. FOr diese gilt mit g(f(t))(u(t),v(t)) =: (u(t),v(t))g 7.2.3 dd__t(u(t),v(t))g:(Du(t),v(t))g+(U(t),Dv(t))g. Auf jedem Tangentialraum TfA(A n) (vgl. 7.1.3) definieren wir eine positiv definite Bilinearform, die durch die Metrik g auf A n bestimmt ist: 7.2.4

g :: s/l(V (t) ,w(t ) )g+ (Dv (t) ,Dw(t )~dt ,

2 : g. ~Iv;g Wit werden in 7.2.1o und 7.2.12 zeigen, da5 <.,>g eine riemannsche Metrik fNr/k0R n) definiert. Vorher wollen wir die Differenzierbarkeit der Energiefunktion 7.2.5 E:/~M)--~A, E(f) :: ~ g(f(t))(f(t),f(t))dt beweisen. Da die kritischen Punkte von E genau die geschlossenen Geod~tischen von M sind (8.4.3), dient die Energiefunktion dem Studium der geschlossenen Geod~tischen. Die Hauptschwierigkeiten bei der Anwendung der Theorie der Hilbert- und Banachmannigfaltigkeiten auf h 6 -

-

1 8 2

-

herdimensionale Variationsprobleme besteht darin, geeignete Energiefunktionen zu finden. Die riemannschen (bzw. finslerschen) Metriken dienen dann als technische Hilfsmittel, die man sich in verschiedener Weise verschaffen kann. 7.2.4 scheint eine der bequemsten riemannschen Metriken fOr A(M) zu definieren; in den ersten Arbeiten auf diesem Gebiet wurden andere Metriken benutzt. Satz: 7.2.6 Die Energiefunktion E ist ck-differenzierbar. 7.2.7(i)

dEf(v) = s~l(f(t),Dv(t))gdt ~ ' ~ V ~ g .

Ist dEf = o, so ist die hessische Form dieses kritischen Punktes zeichnet den Kr~mmungstensor von g): (ii)

d2Ef(v,w)

(R be-

: s~sl(DV(t),Dw(t))g - (R(v(t),f(t))f(t),w(t))gdt.

Beweis: 7.2.6 ist ein Resultat vom Typ des Palais-Lemmas 7.2.1. Wir zeigen die Differenzierbarkeit der Funktion H: A(~ n) ~ A(~ n) ~ A ( ~ n ) - - ~ definiert durch H(a,b,c) :: /g(a(t))(b(t),~(t))dt. Dann ist E Einschr~nkung yon H auf die Diagonale von ~ x A ~ A , also differenzierbar. Da H in b und c linear ist, wird durch H(a)[b,c~ :: H(a,b,c) eine Abbildung ~:A(~n)__~ L2(A(~n);~) definiert. Differenzierbarkeit von ~ impliziert Differenzierbarkeit yon H. Wir zeigen, da~ ~ eine ck-Abbildung mit den folgenden Ableitungen ist: 7.2.8

d~a(h)~'~

: 4 ldga(t)(h(t))(~(t)'~(t))dt

d2H~a(h,k)[b,c]

: ~sid2ga(t)(h(t),k(t))($(t),$(t))dt

usw..

Dazu genGgt es, die Differenzierbarkeit von dH : A(~ n) --~ L(A(~n);L2(A(~n);~)) ~ L3(A(~n);jR) vorzufHhren, alles ~brige ergibt sich durch triviale Modifikationen dieses Beweises. Behauptun~: Die Norm der trilinearen Abbildung d H%+ k- d~ a - d 2 ~ a ( . . , k ) ist ~ const..Ilk~2; dabei bedeutet d2g zun~chst die durch 7.2.8 gegebene quadrilineare Abbildung, aber das Restglied zeigt, da~ dies in der Tat die Ableitung von d~ ist. Beweis: 2~ l(dHa§ Ha(h,k))[b,e] =

I

I~s1~ga(t) +k(t) (h(t)) - dga(t)(h(t)) (Differenz in L20Rn;~) L1

- d2ga(t)(h(t),k(t)))(b(t),c(t))dt'

!)

dt[max" IIdga(t ) +k (t)-dga (t)-d2ga (t) ("'k (t) )IfL3 (N ;N) , ts I (7.1.1) Wir haben f~r g eine Differenzierbarkeitsordnung mehr vorausgesetzt, als wir f~r ~ b e w e i s e n wollen. Daher ist d3g gleichm~ig stetig in einer kompakten Umgebung N der Menge a(S i) in ~n. Aus der Taylorformel mit

-

~83

-

Restglied f~r dg folgt dann: ~.~max pGN Ild3gp~L5 (iRn IR) . llkli2"1h~"#I Ib(t)l"I c(t)l dt const 9 II k~12." I]hll" llbll" (7.1.1)

(Absch~tzung

Naeh dem B e w e i s Ableitungen gen 7.2.1

11oll

der

gesuchten

Norm)

der Differenzierbarkeit

7.2.7

sehr

einfach.

differenzierbare

Q.E.D. 7.2.6

Ffir v E T f

ist

(~n)

die

Bereehnung

definieren

der

wir eine

we-

Kurve

7.2.9 ~:l--,A(~n), ~(s)(t) := expf(t)s.v(t ) (exp:~nx ~n__~ An Exponentialabbildung yon g). FHr diese gilt (vgl. 7.1.5) : ~(o)(t) = v(t),~-~s(S)(t)Ig =Iv(t)Ig unabh~ngig von s, denn s)(t) = o ( kovariante Ableitung l~ngs der Deformationswege t = const., das sind hier geod~tische Linien). Dann ist dEf(v) = ~-~ E(~(s)) s=o= ~ s=o

~:,.~1)

D (f(S) (t), ~f(S) (t))gdt ]S:O

-- #l(f(s)(t)'

~%~(s)(t))ftls:o

: #l(f(t)'Dv(t))g dt

f

1 (/If(t)12g dt)71.([IDv(t)12gdt )~.

(Schwarz' Ungl.) In einem kritischen Punkt ist die zweite Ableitung eine unabh~ngig vom Koordinatensystem definierte symmetrische Bilinearform, daher folgt (ii) wegen 7.2.6 aus: d2Ef(v,v) -- d2ds2E(~(s))i s : o : /1 d(?(s)et),~ (s)(t))gdt s:o =

1

(Dv(t),Dv(t))gdt <wegen (~s ~t : #1

(f(s)(t)'~s ~t ~s

~t ~S ) --= R(~,~)~

und ~

(s)(t)=

g

s=o

o>

(Dv(t),Dv(t))g - (f(t),R(f(t),v(t))v(t))g dt.

Wir kommen auf die Energiefunktion in 8. zurGck. 7.2.1o Satz: Die Abbildung G:A(~n)--~L2(A(Rn);~), definiert durch (vgl. 7.2.4) G(f)Ev,w ] ::g, ist Ck-I differenzierbar. Beweis: Wir schreiben G als Summe aus den Abbildungen G. :A(~n)--# L2(A(S n) ;~) mit i

Go(f)[v,w] : Jgef(t)(v(t),w(t))dt, Gl(f) Iv,w] : Jg(f(t))(v(t),w(t))

dt,

-

184

-

G3(f) [v,w; = . / g ( r ( t ) ) ( F ( f ( t ) ) [ ~ - ( t ) , v ( t ) J , r ( f ( t ) ) [ 9 ( t ) , w ( t ~ Wir gehen genauso vor wie beim Beweis der Differenzierbarkeit

)dt.

yon E:

start G 2 bzw. G 3 werden Abbildungen a u f A ~ A ~ A bzw. A x ]k( A ~ A ~ betrachtet, die auf der Diagonale mit G 2 bzw. G 3 ~bereinstimmen; dann werden alle linearen Argumente gleichbereehtigt behandelt und genau wie in 7.2.6 folgt ( ~ i s t ck-Abbildung), dab G o und G I ck-Abbildungen, G 2 und G 3 ck-i-Abbildungen sind. (Ein Leser, der die Einzelheiten auszuf~hren w~ns~ht, beweist am besten: ist m:~ n=--) Ls(~n;~) eine ck+1-differenzierbare Abbildung in die~-linearen Abbildungen von A n in R, so is: m : A(~n)-=->LS(A(IR n);~), definiert dureh m(f)[u i, .... u s] := 41m(f(t))[ui(t),u2(t),u3(t) ..... Us(t)~dt,eine ck-Abbildung). Damit 7.2.4 eine riemannsehe Metrik auf~(IR n) definiert, muB auBer 7.2.1o noch die ~quivalenz (7.2.12) der Normen II Ilund II fig auf jedem Tangentialraum gezeigt werden. Dazu verallgemeinern wir 7.1.1 zu 7.2.11 Lemma: FUr jedes f 6 A ( ~ n) und v~ TfA(~ n) gilt: ilv~I ,g := max.t6s llv(t)

~

lVllg

Bemerkun~: Hat man statt geschlossener Kurven Verbindungskurven fester Endpunkte, also im Tangentialraum die Randbedingung v(o) : o : v(l), so gilt dieselbe Ungleichung. Ohne Randbedingungen folgt nur 2 Beweis :

]v(t)lg~Iv(t')lg+~'t t ,IDv(~-)IgdW lv(t')lg+

(Schwarz" Ungl. ) Wegen 41 ~t-t'[ dt' = 2 folgt Iv(t)Ig -~ und mit (a

g

~

IDv(t)lg)

_ 9 ~S 1 lDv(Z')lg2clt')//a

i ~dx

s Iv(t,)Igdt'

)2 _~ a 2 + @

l t - t ' l ~ .' (

d lv(t)l (denn ~-F

+ 2-

=

(aber nur

It-t'l~/~dt'~_~)

~si lDv(r)[2gd r ~

'

-b ~ ~{a +D )

schlieBlich

7.2.12 Voraussetzuns: yon g u n d ~

Es sei B kompakt in ~n. Wegen der Stetigkeit

gibt es Konstanten c ~ ] , ~ B ~ O , so dab gilt A A c -I. lal 2 ~ g(p)(a,a) ~ CB-lal2 n und p6B a~9 n ~ ' ~9n -p& B

a, b ~ ~n

~n

iRn

-

~85

-

Behauptun~: Auf jeder Menge {f~-A(~n);

f(S 1) t-B und / I f(t)[ 2dr4 A }

sind die Normen ~ Z-Igund /I #gleichm~Sig ~quivalent. Mitn r 2 := 2c-(I + 1192 . A) gilt n~mlich f~r alle uE T f A ( R ): Beweis: Wir benutzen 7.2.11, die Absch~tzungen aus der Voraussetzung und [a _+ b I 621alg2 + 2 1 6 2lg :

Ilull2g :

~S1 tlu(t)lg 2 +

-Z/:u(t)~g2 _~

+

IDu(t )I 2gldt

21~(t)l g2

o=.S[l=(t)12

I r~(t),u(t,~~71,g2 + 2,r(~(t))

+ 21a(t)l 2

! ~ 2. A) 2cBilu~ 2"" (1 + ! ~6B

=

c=

~

+

dt

~--

2:),ll~(t)121=(t)12}dt_~

e

/i lu(t)l~= 21>=(t)l==+ +

u <"III

2

Wir haben damit eine allein durch die riemannsche Metrik g von I n bestimmte riemannsche Metrik G (7.2.1o) fHr/~(~ n) definiert und damit das im Anschlu~ an Korollar 7.2.2 beschriebene Ziel erreicht. Wir bezeichnen die auf M bzw. /~(M) durch die riemannschen Metriken g bzw. G induzierten Metriken mit ~ bzw. d. F0r den Hilbertraum A(~ n) bekannte Ungleichungen verallgemeinern sich sofort auf A(M): 7.2.15 Voraussetzun~: f u n d h seien aus derselben Zusammenhangskomponente von A(M) und ~ s e i eine differenzierbare Kurve (vgl. 7.1.5) mit )~(o)=f, X.( 1 ) :h. 11 d 2 (f,h). Behauptuns: d2(f,h) := max, 92(f(t),h(t))Z-~ t~ S ~ Bemerkun~: Dieselbe Absch~tzung gilt, wenn f u n d h Kurven mit festen Endpunkten P , q E H sind. Beweis: ~(f(t),h(t)) ist kleiner gleich der L~nge des Deformationsweges )~(.-)(t). Daher max%2(f(t), h(t))~ tll(~o11~s~(S)(~)IgdS)2 ~(mit 7.1.5, 7.2.11) t~ ~

(folllx , (s)ll| aber d(f,h) : inf~ 1

~;-o I1•

7.2.14

s)

11 .tl,,. , 2 _~ T~jo~X (=)l/gds) 2,

lg~=.

Fir rk,t k wie in 7.1.2 gilt: N ~__z~(~t~(~-~.~ ~: I ~ ( ~ ) ~ ~ _~ ~N It~-~l) ~/~. ( ~ ) ) ~ k:l

k

~

~ k:l ~ (Schwarz 'Ungl. )

9

-

7.2.15 Satz:

(M,s

186

ist isometrisch zu

-

{f6A(M);

f(S I) ist einpunktig}

als metrischer Teilraum von (A(M),d). Beweis: Es sei ~:I---)A(M) eine differenzierbare Kurve mit K(o)(t) = p ~ M, X(1)(t) = q 6 M; c:I--~M sei eine k~rzeste Geod~tische von p nach q auf M und ~:I--)A(M}sei definiert durch ~(s)(t) := c(s). Dann ist (i) 2 (P,q)& L(~) (: L~nge von X), denn wegen 7.1.5 gilt fHr jedes t ~ S I

~(p,q)

=

]~ I c " ( S ) l g d S - # o6m~~l" ~ (~s ) ( t ) ] g d S , lg s) t { 5II,

also

llg s 9

(Schwarz' Ungl. film 4 1 ) AuSerdem gilt (ii)

2 (p,q) = L ( ~ ) , ~ f ~ :

r (~l ~I ~s

o)

(l~s<S)
Aus (i) und (ii) folgt ~(p,q) = d(X(o),X(1)), also 7.2.15. 7.2.16 Lemma: Fflr eine differenzierbare Kurve ~ gilt:

d )~ -~'~E llg ~T (2E(~(s)) = (2E(~(s))) "ds (K(s)) /-- II~J(s)

9

Insbesondere I(2E(f)<~- (2E(h)~l~d(f,h). 7.2.17 : /k(M) ist vollst~ndig, wenn M vollst~ndig ist; wegen 7.2.15 auch genau dann. Beweis: {fn} sei Cauchyfolge in einer Zusammenhangskomponente von A(M). Dann gibt es Kurven Knm:I--)A(M) yon fn nach fm mit einer L~nge L(~nm)~ 2d(fn,fm). Nun folgt aus der Beschr~nktheit von Cauchyfolgen und 7.2.15, da5 alle Punkte ~nm(S)(t) in einer beschr~nkten, und wegen der Vollst~ndigkeit yon M also auch in einer kompakten Teilmenge B von M liegen. Wegen 7.2.16 ist die Energie auf beschrZnkten Mengen von A ( M ) beschr~nkt; d.h. in unserem Fall E ( ~ n m ( S ) ) { ~ fqr alle Kurven Knm und alle s 6 I. Mit der Konstanten cB aus 7.2.12 ist dann fl~nm (s)(t)I2~ndt~2cB~- =: A. Daher sind die Normen und If" II l~ngs

]l"I]g

aller Kurven Mnm g l e i c h m ~ i g

~quivalent,

insbesondere

~ll~m(S)ll ~ ll~'nm(S)IIg. Damit ist schlie~lich m

fml~(zn) ~ L(Knm )~ 2d(fn,fm), also { fn} Cauchyfolge in dem (vollst~ndigen) Hilbertraum~(~n),

etwa

-

mit dem Grenzwert duziert,

~87

-

f. Da die Metrik d dieselbe Topologie wie II"II indu-

ist auch lim d(fn,f)

7.3 Wir verallgemeinern

= o.

nun die Resultate aus 7.2 auf den Fall einer

liebigen riemannschen ck+5-Mannigfaltigkelt

be-

M. Die ck+5-Voraussetzung

ist beweistechn~sch besonders bequem; ob eine durch 7.2 nahegelegte Abschw~chung auf C k+2 m6glich ist, ist nicht klar. 7.5.I Zun~chst wird M mit Hilfe des Whitneyschen Einbettungssatzes

(in

seiner einfachsten Form)-ohne RHcksicht auf die riemannsche Metrik von M-als abgeschlossene, nen ~N eingebettet.

ck+5-differenzierbare (J. Munkres:

Untermannigfaltigkeit

Elementary Differential Topology,

in eiw 2).

7.3.2 FHr das NormalenbHndel ~ dieser Einbettung hat man die folgende ck+4-differenzierbare Abbildung in zN: FOr p ~ M & ~ N u n d eE 9 p C ~ d e f i n i e r e die Normalenabbildung

n: ~___~N,

hat l~ngs des Nullschnittes bung u ~ d e s

Nullschnittes

Normalenabbildung

n(p,e)

:= p+e. Die Normalenabbildung

den H~chstrang N. Es gibt daher eine Umge-

yon 9 in dem Totalraum yon 9, die durch die

n diffeomorph auf eine Umgebung U von M in A N abgebil-

det wird. 7.3.3 W~hle eine offene Oberdeekung

~0i~ von M,

so da5 die Einschr~nkun-

gen 9/0~ triviale B~ndel sind. W~hle fdr jede der Produktmannigfaltigkeiten

9/~

eine riemannsche Metrik gi' und zwar eine Produktmetrik,

so da5 die konstanten Sehnitte von 9/0~ - insbesondere der Nullschnitt isometrisch zu ~i sind. - Da konvexe Metriken

(~gi

mit o~ ~ i , ~ i

Linearkombinationen

riemannscher

= I) wieder riemannsche Metriken ergeben,

kann man mit einer Partition der E i n s { ~ ordiniert

-

die der Oberdeckung f~i} sub-

ist, eine riemannsehe Metrik ~ =$~ig i for den Totalraum des

Normalenb~ndels ~ konstruieren,

so da6 der Nullschnitt

d~tische und zu M isometrische Untermannigfaltigkeit Konstruktion ~ = ~ i g i den Nullsehnitt vial, da lokal die Nullschnitte

von 9 totalgeo-

ist.- Da5 die

isometriseh zu M macht, ist tri-

von Q / ~

mit der durch giinduzierten

Metrik isometrisch zu O. sind. Da~ der Nullschnitt yon 9 totalgeod~ti1 sche Untermannigfaltigkeit ist, liegt daran, da5 eine beliebige Kurve, die zwei Punkte des Nullschnittes verbindet, auf den Nullschnitt projiziert werden kann (Bdn4elprojektion) und die projizierte ~urve keine ~r~ere

L~nge hat als die urspr~ngliche

7.5.~ Der Diffeomorpb~smus

n:~

Kurve.

induziert ~uf U eine riemannsehe Me-

trik h, so da5 M totalgeod~tische Untermannigfaltigkeit von U mit der ursprOnglich auf M ge~ebenen Metrik ist. Sehlie61ich sei ~:~N__~ eine C~-Funktion mit ~ / ~ _ u = O , ~/V=I (VageU sei Umgebung von M in S N) und m die Standardmetr~k

f~r 8N. Dann definiert ~=(l-F).m+ Z h e i n e

Metrik for Z N, so da6 M totalgeod~tische keit ist.

ck+3-riemannsehe

riemannsche Untermannigfaltig-

-

1 8 8

-

7.3.5 AIS Beispiel geben wir eine riemannsehe Metrik fHr ~N an, so da5 die Einheitssph~re totalgeod~tische Untermannigfaltigkeit ist. Wir f0hren Polarkoordinaten (r,~) mit ~ & S N-I f~r ~ N eln. Die Standardmetrik fHr ~?~ ist dann ds 2 = ~r 2 + r2n-2(dw)2 ( (d~) 2 bezeichnet das Linienelement der Einheitssph~re). Welter sei G : ~ C~-Funktion mit G ' ( r ) l o und G(r) = r fur o ~ r ~

G(r) : I fur ~ r ~_

I

,

%~

eine

G(r) : r fur ~ r

9

Dann hat die Metrik ds 2 = dr 2 + G2n-2(r).(d~)2 die gewUnschten Eigenschaften. 7.3.6 Wit gehen v o n d e r

in 7.3.4 konstruierten Metrik g fur ~N aus und

betrachten die in 7.2 konstruierte riemannsche Metrik G fUr A(~N). Behauptung: A(M) := { f E A ( ~ N ) ; f ( S 1 ) c M} ist eine abgeschlossene, riemannsche, ck-differenzierbare Untermannigfaltigkeit v o n ~ ( A N ) , deren riemannsche Metrik dutch 7.2.4 gegeben ist, insbesondere also unabh~ngig v o n d e r Ubrigen Konstruktion dutch die riemannsche Mannigfaltigkeit M bestimmt ist. Die Energiefunktion (7.2.5) auf A(M) ist Einschr~nkung der Energiefunktion yon (A(zN),G) auf die Untermannigfalk tigkeitA(M), also C -differenzierbar. Dami% gelten 7.2.7, 7.2.8, 7.2.11-7.2.17 mit unver~nderten Beweisen auch fur den allgemeinen Fall einer beliebigen riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g). Beweis: A(M) ist abgeschlossen: denn s e i f EA(M), {f } Cauchyfolge, n n so existiert lim f = fE A(zN); wegen 7 2 13 (fUr A(~N)) und der Abgen "" schlossenheit von M in IRN ist f ( S I ) C M , also folgt fe~(M). ~(M) ist k C -differenzierbare Untermannigfaltigkeit v o n ~ ( ~ N ) : Dazu geben wir zu jedem f E ~ ( M )

eine ck-Koordinatenabbildung F einer Umgebung U yon f in

~(~N) an, deren Bild eine Nullumgebung 0 in einem Hilbertraum Hf ist, so da5 auSerdem ein abgeschlossener Unterraum H M existiert mit F:~(M)~U)--) O n H M. Beweis: Die Menge f(S 1) ist kompakt in A N, daher gibt es eine kompakte Umgebung B yon f(S I) und ein ~ >o, so da~ fur alle p ~ B jede in p beginnende Geod~tische (bzgl. der Metrik g aus 7.3.4) mindestens his zur L~nge ~ eindeutig bestimmte kQrzeste Verbindung ihrer Endpunkte ist. Damit definieren wir U :={ h 4 ~ ( ~ N ) ; ~

~(f(t),h(t))<~3

(wegen 7.2.13 ist U offen in A(~N)). Weiter sei

Hf := { v6 ~(qlRN); v(t)g Tf(t)~N ~ mit dem Skalarprodukt 7.2.4 (also der Tangentialraum v o n ~ ( Z N) in f, vgl. 7.1.5 und 7.2.2). Mit exp : qlRN-~ N . bezeichnen wir die C k+2 -dlfferenzlerbare Exponentialabbildung der Metrik g. Dann definiert -1 ) (h(t)) v(t) := expf(t

eine bi~ektive Abbildung

F:U--> 0 :={ vEHf;IlvII~,g < E } 7.2.9)

(vgl. 7.2.11 und

yon U auf die offene Nullumgebung 0 in Hf. Auf Grund des Lemmas

-

189

-

von Palais (7.2.1) ist exp :A(T~N)-->A(~ N) eine ck-Abbildung, also auch F

-I

N

N

= exP/H . Andererseits ist auf der in IR XSR offenen Menge f o {(p,q) 61RNxIRN; p6 B , ~ ( p , q ) < C ~ a u c h die Abbildung -I N N N -- -I -I k+2 exp : ~ X 8 --+ TB , exp (p,q) := (eXpp) (q) eine C -Abbildung. Nach 7.2.1 ist exp-leine ck-Abbildung und damit auch F = exp-l~cf~A(zN)'ll Schlie61ich ist F(UnA(M))

= On{v6

Hf; v ( t ) ~ T f ( t ) M } =

O~HM,

denn wegen der totalgeod~tischen Einbettung yon M in zN liegt fur hgUnA(M)

jede der kOrzesten Geod~tischen von f(t) nach h(t) ganz in M,

so da5 in der Tat (expf(t))-l(h(t))g Tf(t)M

(start 6 Tf(t)IRN!) gilt;

aus v(t)6 Tf(t)M folgt andererseits auch expf(t)(v(t))6M. Dabei ist H M wegen 7.2.11 abgeschlossener Unterraum yon Hf.- Damit ist A(M) als ck-differenzierbare Untermannigfaltigkeit von A(~N) nachgewiesen. Wir zeigen, dab die auf ~(M) als riemannsche Untermannigfaltigkeit von A(~ N) induzierte riemannsche Metrik allein durch die riemannsche Metrik ~ von M unabh~ngig v o n d e r Konstruktion in 7.5.4 bestimmt und durch die Formel 7.2.4 gegeben ist. Damit sind dann alle Behauptungen aus 7.5.6 bewiesen.- Well M totalgeod~tisch (bzgl. g) in ~N ist, folgt fur ein Vektorfeld v mit v(t) & T f ( t ) M , dab auch die kovariante Ableitung (bzgl. g) l~ngs f tangential an M i s t , also Dv(t)g Tf(t)M ; dabei ist Dv(t) bereits durch die durch g auf der Untermannigfaltigkeit M induzierte Metrik, d.h. durch gM' bestimmt. 8. Kritische Punkte und zweite Ableitun$ der Enersiefunktion ; PalaisSmale-Bedinsun~ Morsescher Indexsatz Der funktionalanalytische Beweis des Morseschen Indexsatzes (fUr Oeod~tische von p nach q, nicht fHr geschlossene Geod~tische) ist bis auf 7.2.11 unabh~ngig von dem Hbrigen Stoff dieses Bandes. Wir glauben, dab dieser Beweis erstens den Umgang mit der Energiefunktion und ihren Ableitungen verdeutlicht und zweitens eher kHrzer als der Hbliche Beweis mit gebrochenen Jacobifeldern ist. Um einen besseren Anschlu6 an das Vorhergehende zu haben, stellen wir noch drei fur den Indexsatz nieht benStigte Resultate voran. 8.1 Behauptuns: Zu jedem f E HI(I,M) gibt es n(= dim M) Vektorfelder pl,...,pn l~ngs f, die bzgl. der riemannschen Metrik g von M parallel und orthonormal sind. Jedes Vektorfeld v l~ngs f hat dann eine Darsteln 2 +x~(t ), lung v(t) = xi(t)'Pi(t)'i=l & Dabei ist Iv(t)Ig2 +iDv(t)12g = i~__ixi(t) also v& TfHI(I,M) genau dann, wenn fur die Komponenten X := (xl,..,Xn) gilt X e Hl(I,~n). Au6erdem sind f(~r ll-.~g-beschr~nkte v die X gleichgradig absolut stetig, n~mlieh (mit ~k < t k wie in 7.1.2 und 7.2.14)

-

190

-

8.1.1 N IX(tk) _ X(1~k)~ (Z{tk_Tk ])~.IlvIlg" k:1 Beweis: Die letzten Behauptungen folgen aus ~ ". J D v ( t ) ] g2 : Il(xi(t)'Pi(t) + xi(t)'DPi(t))I 2g : ~ 2i ( t"

)

und

t k

( N iX(tk) - X(~.k)I )2 ~ (k~__lSrkl~(r)idT)2 k=l 2d~,I

N

,,

~_ (Schwarz' Ungl.)

,~,2

8.1.2 Der folgende Beweis f~r die Existenz paralleler Vektorfelder l~ngs H1-Kurven benutzt kaum Kenntnisse aus der Integrationstheorie auBer der Vollst~ndigkeit von Hl(I,~n). Da wit nach 7.3 M als totalgeod~tische riemannsche Untermannigfaltigkeit yon (~n g) auffassen ~nnen, ist es am Gbersichtlichsten, 8.1 fGr faHl(I,IRn) zu beweisen (abet der folgende Beweis gilt ebenso fGr die endlich vielen lokalen Koordinatensysteme, die man zur Oberdeckung yon fEHI(I,M) braucht). Die Differentialgleichung fGr parallele Vektorfelder Du(t) = o oder ~(t) : -~(f(t))[f(t),u(t)J , u(o) : u o ist v o n d e r Form ~(t) = A( @ ,u(t)), u(o) = u o mit folgenden Voraussetzungen Gber A: a) folA2(t,o)dt <~; b)

es gibt eine Funktion c(t) mit

IA(t,x) A(t,y)l~ c(t)-Ix-yl -

und SolC2(t)dt

" eq.

Wegen a) und b) ist fGr stetiges u auch $1 A 2 ( t , u ( t ) ) d t ~ . Daher kann die LindelSffabbildung L:Hz(I,~ n) ~ HL(I,E~) dutch (Lv)(t) = Uo+foA(r,v(r))dr definiert werden. Jede L6sung u& HI(I,Zn) der Differentialgleichung u(t) = A(t,u(t)) ist Fixpunkt u = Lu yon L u n d umgekehrt. Wir werden eine zu H"~I ~quivalente Norm~..~I angeben, bezGglich der L kontrahierend ist, also einen eindeurig bestimmten Fixpunkt besitzt. FGr jedes ~ > o definiert ~lvlil2 := m a x e-~t~o{IV(~)l 2 +J@(T)J 2} d'U tG[o,1] eine Norm (die Dreiecksungleichung folgt aus ]e -xtrt(v,w) + (@,@)d~12z [e -Xt ~ot v 2 +v.2a'r].[r-%t ~ot w 2 +w.2 dl~J ) ~o mit e'Tt~v~2~_ ~Iv~2@ I~v|2, also ~quivalent

zu~"~ .

Daf~c2(~)d~~ als Integral einer integrierbaren Funktion gleichm~Big stetig auf [o,1] ist, gibt es 7t>o so groB, dab (nach zun~chst passender Wahl yon ~ > o ) gilt: t

ao

t #~-~

Bei dieser Wahl yon ~ ist L kontrahierend:

-

191

-

max

+

t

(mit der

chwar sc en

2 Z-~ J'tof2(%')d"g

n lei hun

fHr das erste Integral und der Lipschitzvoraussetzung:)

max e -At ~ ~tc2(T)e~Te-~Tlv(T)-w(T)l O • _-"

__13 3 9

"Y

(7 92.11:

2d'ff

.ltfv_wttl2.max .~toO2(~)e-i(t-z)dz.

lu(r)[2L

t

%"

~ ~ttt,,43 _ w~/~

-

-

Q.E.D.

13 ~o lu(t)l2 +[Du(t)12dt) _ ~--

8.2 Satz: Die stetige Bilinearform d2Ef(7.2.7 (ii)) wird bzgl. des Skalarproduktes <.-,.-~g (7.2.4) durch einen Operator id+k repr~sentiert; der Operator k ist kompakt. (7.2.7 (ii) gibt die zweite Ableitung yon E in den in 7.3.6 beschriebenen Koordinaten F:U-~O an). Beweis: d2Ef(v,w) = <(id+k)v,W>g impliziert ~kv,W>g :-~Sl{(v(t),w(t))g

+ (R(v(t),f(t))f(t),w(t))gldt.

Da (R(a,b)b,c) fGr jedes feste b symmetrische Bilinearform in a u n d c ist, gilt I(R(a,b)b,c)I~lal, Ib I 2 ] cl.max]K]. (K bezeichnet die SchnittkrHmmungen von R, also fGr lineadunabh~ngige a,b:K(a,b).(a2b 2 - (a,b)2)= (R(a,b)b,a)) maxiK I bezeichnet das Maximum der Schnittkrilmmungen l~ngs f). 2 [Kl~dt. Daher folgt lgl z_~(~ (t)I~(t )[g+I(v((~,g-[[w((~, .If(t) I g-max also erstens

8.2.1 ]gl ~ II vile, g" I1 wll%g(t+max IKI- 2E(f)), und zweitens mit w:kv und 7.2.11 8.2.2 IlkVllg ,: Ilvll,~,g.(l+ y2 "~-~"maxlK].E(f)). Jede Teilmenge von TfA(M) mit I~Vl/g~c besteht nach 8.1.1 aus gleichgradig stetigen Vektorfeldern, besitzt also nach dem Satz yon Arzela eine !I..ll~,g-Cauchy-Teilfolge; diese Teilfolge wird durch k nach 8.2.2 auf eine H..~Ig-Cauchyfolge abgebildet. Daher bildet k beschr~nkte Mengen auf relativ kompakte ab. 8.3 Mit Hilfe von 8.2 kann man die Palais-Smale Bedingung beweisen, falls M kompakt ist. N~mlich: Satz: Jede Folgeifn} inA(M) mit 2E(fn)~_ A und lim II dEf II : o ist relativ kompakt, n~ n Beweis: Wegen 7.2.14 sind die fn gleichgradig stetig in M und besitzen nach Arzela-Ascol~ eine d~-Cauchy-Teilfolge (Definition in 7.2.15), also - wenn die Teilfolge wieder mit {fn} bezeichnet wird - lim d~(fn,fm)=O. Die Ungleichung 8.3.5 zeigt, daS aus lim IIdEf II=o auch lim d(fn,fm)=~ folgt, und die Palais-Smale Bedingung fHr die Energiefunktion E auf

-

192

-

A(M) ist bewiesen.f~r die folgenden Ungleichungen ist: dm(f,h) sei kleiner als die Elementarl~nge von M, so daB~:[o,1] --~A(M), y(s)(t) := -1 := expf(t)(s.expf(t)(h(t))) eine differenzierbare Verbindungskurve von f nach h ist (vgl. 7.2.9). Dann gilt wegen 7.2.16 : 8.3.1 2E(~(s)) z ( ~ + n(~)) 2 z 4E(f) + 2L2(~). Mit 8.2 haben wir (wobei der kompakte Operator k von s abh~ngt)

Voraussetzung

d-2 E(~(s~):<(id§ ds 2 und daraus mit 8.2.1 (f~r ~(s) statt f), 8.3.1 und dm(f,h) = ~/'(s)I/m,g: 8.3.2 II~ ' (s)~ 2~ -da E(~(S)) + d2(f,h).(l+ max ~Kl 9 (4E(f)+2L2(~)) 9 ds 2 Integration ergibt die wichtige Absch~tzung: 8.3.3 dEh(~'(1)) - dEf(~'(o))

L2(F)_~#Zll#,(s)ll2~sZ-

+

wir m~ssen noch I#~'(I)B und ly'(o)N mit L(~) verglei~hen. Wegen (vgl. Beweis zu 7.2.7(ii)) D ~, D ~,, d% : 2"~o~(R(~',~)~ ' D ~ '

d~,(s)ll2 : 2[~(~s

~11~ (s)ll,~ maxIKl"

)

+

(~))

)dt ist mit 7.2.16:

also

I II~'(~)II-L<@)]~ foIIS~s~IIY'(~')ild~'Ids Z ~1 maxlKl.(~ + L(#)).d2(f,h)

8.3.4

Setzt man I dEh(~' (1))I -~ llIdEhll2+ 111~,(1)~12 unter Benutzung yon 8.3.4 in 8.3.3 ein, so erh~It man

L2(~)'(1-Cl"d2(f,h))~UdEha 2§

8.3.5

(mit nur von maxlK I u n d 8.3 bewiesen.

c2"d~(~,h)

E(f) abh~ngigen Konstanten Cl,C2). Damit ist

8.4 Der Rest dieses Abschnittes dient dem Beweis des Morseschen IndexSatzes. Wit ffihren einige Bezeichnungen ein: H l ( I , M } a , b ) :: {f:I-->~; 5 i I f I R d t < ~ , f(o) : a, f(1) = b } , H i :: [ v:I--) TM;v(t)&Tf(t)M,v(o):v(1):o,41v(t)Ig (H i

ist also Tangentialraum von Hl(I,M;a,b)

{v:i

in f)

VU o:

H ~ und H 1 sind Hilbertr~ume. Die Levi-Civita-Ableitung l~ngs f definiert eine stetige, lineare Abbildung D:H1--~ H ~ und die adjungierte Abbildung D ~ : H~ - - - ~ H ~1 . Bekanntlich ist Bild D = (Kern D~) J'. Mit Hilfe der Skalarprodukt~ werden H ~ bzw. H 1 mit ihren Dualr~umen H o bzw. H t identifiziert und im folgenden nicht mehr unterschieden.

-

8.4.1 Lemma:

193

-

Kern D*: { w ~Ho;

~ ~i(w(t),Dv(t))gdt : o v~H 1 = { p ~ Ho;DP = o}(= parallele Vektorfelder l~ngs f).

Bemerkun~:

Ist f~ ~(M) und H i :: TfA(M),

so hat man ebenfalls die Abbil-

dungen D und D*. Kern D ~ ist damn die Menge der geschlossenen parallelen Vektorfelder Beweis:

l~ngs f.

Es sei w E Kern D ~, d.h.

fur alle v e H 1 sei y(w(t),Dv(t))gdt=o.

Nach 8.1.2 15sen wir die Differentialgleichungen Du(t)

: w(t),w(o)

Dp(t)

= o,p(1)

: o

und

= w(1).

Definiere v:v(t) := u(t) - t.p(t).

Dann ist v(o) = v(1) = O und

Dv(t) = w(t) - p(t), also v ~ H 1. Daher gilt

y(w(t),Dv(t))dt

= o. Weiter

gilt fHr jedes parallele Feld p l~ngs f (f0r die Bemerkung beachte: falls f & A ( M )

ist, werden an dieser Stelle nicht nur geschlossene

parallele Felder betrachtet): F(p(t),Dv(t))dt

1 : (p(t),v(t))Io- $(Dp(t),v(t))dt

= o

(wegen v(o) = v(1) = o). Damit haben wir: 1 ~o(W(t) - p(t),Dv(t))dt Damit ist w=p

: ~ vI Jw(t)

- p(t)Ig2dt : o.

(als Elemente yon H o) und f~r alle f e Hl(I,M;a,b)

Beweis beendet.

Ist fgy~(M),

so kann man die Integration

jedem Punkt yon f(S i) beginnen;

ist der

l~ngs f in

Kern D * besteht dann nur aus geschlos-

semen parallelen Vektorfeldern, 8.4.2 Korollar:

Es seien u , w 6 H ~ und f~r alle v @ H 1 sei

J(w(t),Dv(t))gdt

:/(u(t),v(t))gdt. Dann ist w ~ H 1 und Dw : -u .

Zun~chst Beweis:

sei f ~ H l ( l , M ; a , b ) . X sei eine L6sung von DX = u(8.1.2).

Dann gilt f~r alle v ~ H 1

wegen v(o) : v(1) = o: :

f

o(W + X,Dv)dt

=

: o.

w+X :: p ist parallel.

Wegen

+

o'

also

8.4.1 ist w + X 6 Kern D ~, d.h.

Daher hat w=p-X eine quadratintegrierbare

Ablei-

tung, n~mlich Dw : -DX = -u. Ist f~ A(M),

so gilt mit derselben Rechnung

v ~ H 1 mit wenigstens

einer Nullstelle.

$(w+X,Dv)dt

: o fHr alle

Daraus folgt abet bereits

den Beweis zu 8.4.1), da5 w+X ein geschlossenes

(vgl.

paralleles Feld l~ngs f

ist, also wieder Dw : -DX : -u. 8.4.5 Korollar:

Die kritischen Punkte yon E auf Hl(I,M;a,b)

Geod~tischen yon a nach b; a u f A ( M ) tischen.

sind die

sind es die geschlossenen

GeodM-

194

-

Beweis:..Aus dEf(v) f~H1,Df=o,

: ld( ft' D vV) g

: o : (Jo , v ) d t _

also f Oeod~tische

8.5 Von jetzt an bezeichnet der L~nge L = ~ . Die Bilinearform

f: ~,1]--~ M eine Geod~tische definieren

ist die bekannte

Indexform von f:

= I(v,w).

Indexform von fr ist

Iz(v,w) trisierung

yon a nach b

wir f~ := f/~o,~;L(f~)=~'L.

d2Ef(v,w) =S(Dv,Dw)gDie Hbliche

folgt nach 8.4.2

in M.

FHr o ~ I 7.2.7(ii)

-

= ~J~'(Dv'Dw)g-

(R(v,f)f,w)gdt,

nicht normalisiert

also, da die Parame-

ist, nur bis auf einen Faktor ~ gleich

d2Ef 9 8.5.1 Lemma:

Es gibt eine Orthonormalbasis

{Vk}k=l,2. "" f0r HI(Definition

in 8.4), so da5 fGr alle w ~ H 1 gilt: I(Vk,W) Beweis:

: Ak.~Vk,W>__

Nach 8.2 ist I(v,w)

mit lim ~. : I. k~ m K = <(id+k)v,W>g. Jeder symmetrische,

Operator besitzt

ein vollst~ndiges

deren Eigenwerte

eine Nullfolge

wachsende

Nullfolge

negativer

Orthonormalsystem

kompakte

von Eigenvektoren,

bilden.

(Genauer hat man die monotOn

Eigenwerte

und die fallende Nullfolge

po-

sitiver Eigenwerte.). 8.5.2 Korollar:

Der Index von I (= maximale Dimension

von H1, auf dem I negativ definit ven Eigenwerte von I:

ist) ist gleich der Anzahl der negati-

ind I = ~ I; wegen ~k~1 insbesondere Ak
Die Eigenvektoren

eines Unterraumes

zu negativen

ind I <~. Der Index von I heist

Eigenwerten

spannen einen Unter-

raum N der endlichen Dimension

~ I auf, auf dem I negativ definit ist. ~k
semidefinit

auf N ~.

Bemerkuns: Ist I(v,v) < o , so gibt es "in Richtung v" Kurven kleinerer Energie als f, also wegen L2(h)~ 2 E ( h ) < 2E(f) = L2(f) k~rzere Verbindungskurven als f yon a nach b in M. 8.5.5 Satz: Die Eigenvektoren

von I sind differenzierbare

Vektorfelder

l~ngs f, n~mlich L~sungen der Differentialgleichung Beweis:

(l-~k)D2Vk+R(vk,f)f+~kVk=O. Fflr alle w 6 H 1 gilt o : I(Vk,W)

-Ik'

=

-

-

-'N%,.}

} at.

Aus 8.4.2 folgt die Behauptung. Bemerkuns:

1.

8.5.3 macht deutlich,

hen den Index nicht ~ndert,

warum man bei dem Hblichen Vorge-

wenn man die Indexform auf einen passend

k o n -

-

struierten Vektorraum

195

-

G aus gebrochenen

von den differenzierbaren

Vektorfeldern

ve Eigenraum N yon I bildet torraum G der gebrochenen

Jacobifeldern {Vk;~k~OJ

Jacobifelder,

2: f heist entarteter

von I i s t . mit v(o)

= o = v(1).

ist.

kritischer

Punkt, wenn o Eigenwert

Die Endpunkte

Jacobifelder

l~ngs f

yon f heiBen in diesem Fall konju-

f.

8.5.4 Satz: L sei die L~nge der Oeod~tischen bezeichne

negati-

dab I auf einem Unterraum yon G

Nach 8.5.5 gibt es dann nichttriviale

gierte Punkte bezHglich

aufgespannte

Der

in H I einen so kleinen Winkel mit dem Vek-

derselben Dimension wie N negativ definit Bemerkun~

einschr~nkt:

f, also L = Ifl ; max(K,o)

das Maximum aus o und dem Maximum der SchnittkrHmmungen

l~ngs f. Es sei 9- := (I+W2) -I'(~2 _ max(K,o).L 2)
I hat keinen Eigenwert < ~ .

Geod~tische

(L2. m a x ( K , o ) < ~ 2) keine Eigenwerte

Beweis: 8.5.1

Es sei v e i n

Eigenvektor

Insbesondere go,

zum E i g e n w e r t / ~ < 1 .

hat I fNr "kurze" also ind I = o. Dann gilt wegen

(w:v)

Wegen v(o):v(1):o

kann man entweder wie in 7.2.11 beweisen:

Jo '2t t.Jo

1 vl

+

:~I ~ ! )Dvl 2dt o oder man erh~It mit 8.1 und Fourierentwicklung der Komponenten optimale Absch~tzung ~ 2 jIv(t)Ig./"2 g 71Dv(t)~g2dt " Damit folgt wegen ~ v ( t ) SchlieSllch

aus (~)

% ~/~.

erinnern wir an die Courantsche

des k-ten Eigenwertes 8.5.5 Satz: genvektoren.

von I, die < 1

... ~ I

die (endlich oder unendlich

sind, und vl,v2,..,

Mit [YI'''''Yk~ bezeichnen

Unterraum.

(i) . ~ --_

Minimax-Charakterisierung

von unten:

Es seien ~ l & ~ , 2 ~

len) Eigenwerte gespannten

12gdt > o

die zugehSrigen

wir den von YI'''''Yk ~ H i

Dann gilt:

inf Yl''" 'Yk

max

I (w,w)

w E ~Yl ~$~'Yk7 , und

offenbar (i i )

die

ist wegen 8.5.1 max

I(w,w)

=

~,.~

fh,..,vk]

Iwll ~ t

und:

vieEiauf-

-

(iii)

falls

max

I(w,w)

w~[y . . llwt~=i•

. . .

so liegt ein Eigenvektor Beweis:

Wegen

ger { y l , . . , y k ]

--

196

=

~k

ist,

y~

zu ~k in [Yl .... Yk~"

(ii) mHssen wit nur noch fHr jede Wahl linear unabh~ngizeigen max

I(w,w)

-~

k

w & ~ 1 , 9 . ,Yk ] I1~T1:•

k Dazu w~hle w : ~-- clY 1 so, da~ < v i , w > : o f~r i:1,..,k-1 gilt 1:1 (d.h. [Ck} sei eine nichttriviale LSsung des Gleichungssystems

~--k c ~ < y ~ , v i~ : o (i:l,..,k-1), die wegen der linearen Unabh~ngigkeit 4=1 der Yk noch auf ilwll = I normiert angenommen werden kann). Dann ist w~[vl,..,Vk_l]

und daher I ( w , w ) ~ k .

Um (iii) zu beweisen,

bezeichnen

wir m i t ~ l ~ / ~ 2 ~ .. ~ 1 die Hbrigen Eigenwerte von I und mit Ul,U2... zugehSrige orthonormierte Eigenvektoren. Dann ist wegen ~w,vi>

: o (i:I .... k-l)

~

: Z hVl§

b u mit a +Tb :nwR 2:

l:k

3 J

j:l

also wegen 8.5.1 l(w,w)--l:k ~ ~la~

+j~l/~jb~

"

Daher ist I ( w , w ) > ~ k -au6er wenn alle bj = o sind und fur a l l e ~ l ~ k auch a I = o gilt, d.h. au6er wenn w Eigenvektor Z U ~ k ist. 8.6 Morsescher

Indexsatz

F~r die Bilinearformen

mit anderen Worten:

aus 8.5 gilt

I~d I = ~ Nullit~t I ~ , ~<1 der Index von f i s t gleich der Anzahl -gez~hlt mlt

Multiplizit~ten- der zum Anfangspunkt (Bemerkung 2 in 8.5.3). Beweis:

Es sei ~k der k-te Eigenwert

f(o) bzgl.

yon I~, monoton wachsend

wie in 8.5.5. Wir werden zeigen, daS ~ und stetig(8.8) von T abh~ngt. folgt: Betrachte die Funktion

f konjugierten

streng monoton

Daraus ergibt

fallend

Punkte

nummeriert (8.7)

sich der Indexsatz wie

d : /o,I3 -gZ mit d(s)

::

ind I s - Z Nullit~t T<s

IJ':m~ ~

< I

1 -~nul T~s

I~ .

Nach 8.5.4 gilt fur kleine s (d.h. fHr s 2. max(K,o).L 2<~2): AuSerdem ist d stetlg -also konstant,

also d(1) = o, wie behauptet-,

falls nul I = o ist, folgt die Stetigkeit s

d(s) : o.

yon d bei s allein aus der

denn

S~ Stetigkeit der Eigenwerte ~k' und falls nul I S : n > o ist, etwa S S S ~,,1,..,Zk
S

S

~k+n = o, O < ~ k + n + 1 ~ a l l e flbrigen E i g e n w e r t e yon I s , so gibt es ein ~>o, so da~ fflr ~ ( s - ~ , s ) wegen der Stetigkeit und strengen Monotonie gilt ~ , . . , X ~ o , o ~ + l ~ a l l e flbrigen Eigenwerte yon I~f, d.h. aber d(~) = d(s); und ebenso gibt es e i n ~ > o , so da6 -wieder wegen der Stetigkeit und strengen Monotonie- fflr alle ~'E(s,s+~) gilt 0" .... ,~k§ < o , o < ~ k + n + l , d.h d(s)=clagl wegen ind I ~ i n d I s + nul I s"

8.7 Di@_Monotonie der Eigenwerte

(~<~

~

~[ > ~

).

Es seien v,w Tangentialvektoren in fr, also Hi-Vektorfelder l~ngs f~

mit

v(o) = w(o) = v(TY) = w(~) : o. Wir benutzen das Skalarprodukt

8.7.1 Die ~

~:=

~oZ/(v(t),w(t))g + (Dv(t),Dw(t))g Jdt.

sind die Eigenwerte yon I T (8.5) bezfiglich dieses Skalarproduk-

tes. (Die Eigenwerte ~ o einer Bilinearform h~ngen vom verwendeten Skalarprodukt ab, insbesondere auch deren Monotonieverhalten. Im Indexsatz 8.6 kommen die Skalarprodukte 8.7.1 nicht vor; 8.7.1 wurde gew~hlt, weil sich die Monotonie besonders einfach ergibt.) Zu jedem Hi-Vektorfeld wlYl~ngs fr definieren wit fflr q [ ~ e i n torfeld W ~ l~ngs fo" durch 8.7.2 ~ ( t ) : ~w~'(t) ffir o _~ t,'~"

H1-Vek-

to

f~r Z" L t .-~ Dann gilt -da die Integrale ~ r n u r f~r t ~-Z"Integranden

Weiter

seien v~,..,v

o" gehSrigen

kr dze" zu %.7~ . . s

~ o haben-

Eigenvektoren

von I~.

bezfiglich <--,.-~r und V 1,..,v k dze nach 8.7.2 konstruierten Vektorfelder l~ngs f . Wegen 8.5.5(i) gilt dann mit einem geeigneten W ~ : ~k alV~,ll~6~;l:!:~

~it ~-

I ,(W,W) : I ,(W~

max

~ ,~,.

Q')

. ,v~ ]

Da ~ ' d a s

nach 8.7.2 konstruierte Bild von w %" :~T. alv~ ist - insbeson1:I dere also bei t = ~ n i c h t differenzierbar ist-, ist W nach 8.5.3 kein Eigenvektor z u X ~ . Daher folgt die Behauptung aus

~~'.~.yc;i&9''~

(4~I)

~

-

w

~,=4-

8.8 Die Stetiskeit der ~

2"

.....

vN

in~.

Wir konstruieren mit Hilfe von n orthonormalen parallelen Vektorfeldern Pi l~ngs f ([hnlich wie in 8.1) eine bijektive, lineare, involutorische

-

198

-

Abbildung der H1-Vektorfelder l~ngs f (mit Randbedingung o). Es wird nicht wie in 8.7 12 _~vorausgesetzt. Es sei v ~ t ) = ~ xi(t).Pi(t) f0r o_zt4 or" Z.S.~

I

i xi(o) : xi(~) : o. ~Definiere vT(t)::ln_~l xi(~.t).Pi(t) f~r o~-tL-Z".

Bemerkun~: Mit einem etwasanderen Skalarprodukt als 8.7.1 ist 8.8.1 sogar eine Isometrie; aber dann h~ngen nicht mehr alle Eigenwerte monoton von %" ab. Lemma: Mit m := max (~,~,) gilt 8.8.2 Beweis:

~ l[v~ 20~~-~vTII2-~mllv~

IIv~ll~

: Yo~JV~Ct)l 2 + /Dv~(t)12dt :

+

~"

dr.

Lemma: Die Abbildung 8.8.1 ~ndert die Werte der Indexform stetig, n~mlich (m = max (~{)) 8.8.5 IZz(v~,vr)--"- Ia.(v~,v~)I _~ ~ llv~ 2) Beweis:

Mit

(R(a,c)c,a)

-

(R(b,c)(c,b)

(andernfalls vertausche q" und ~ i n

= (R(a-b,c)c,a+b)

u n d ~_L O-

allen Rechnungen) ist

Der erste Summand wird wie in 8.%2 durch Reparametrisieren behandelt. F~r die beiden letzten erinnern wit an I(R(a,c)c,b)i _~ (max IKI )'lal-lbl'lcl 2, ill : L,IIv'~'ll 2 c~.,.,~= ~v~ll ~.~-IIv~ ,~,,d IvT(t) - v~ ~-t :

Damit folgt 8.~.5 aus

max,

(/oSV Vl Iv §

~__I~Vhl~, ~v%']ITCm-1 ) + max,K]. L 2. ( ~ - ~ 9~--+ ~O'-"~'~.~)>. Aus 8.~2 und 8.8.5 folgt die Stetigkeit der Eigenwerte, n~mlich -wir kSnnen nen %- ~ ~,'annehmen8.8.4 Satz: o _ w ~ k - a ~ & m ~ - m (2+~alil + 5-maxJKl'L2). Beweis: Es seien]K~176 k kleinsten Eigenwerte yon Io, und v~,..,Vkzugeh~rige orthonormierte Eigenvektoren. Mit v~ .... v~bezeichnen wir die nach 8.8.1 aus den v~konstruierten Vektorfelder l~ngs (die v.~" 1 sind also nicht unbedingt Eigenvektoren yon IZ). Welter sei

-

199 -

W~Y : e = ~ a 1-VT, ~wt'~I = 1 SO g e w ~ h l t , Iy.(wZ',w ~')

: max

Ir (w,w)

w ~ C v r .... v ~ 3

w

da5

:~--" al.v oI~i s t dann

.~.

~'l~.

c~.~ ~ , ~

Vrbild von w T bez(]glich der Abbildung 8.8.1;

au~erdem

~ ~',w~'~.Ow~

~ax Z~.l~,w~ = ~ w ~ [ vo-" 1 ' ' " 'v~3 C,.~.~O) Il w ll =

Damit ist o ~_

"4--

%k ~ - ~ # ~ I ~ ~T'~T~ - I~,<~%w~.llw~g 2

~"

C8,~)

~- ~ - ~ . V ~

(I+3 maxlKl-L 2) +(m-l).max(1,1~k111)

(mit 8.8.2, 8.8.3 und~TL~J~max ( I ~ ] ) )

.

- 200 Literaturverzeichn~s [I] R. Abraham:

Lectures of Smale on differential Columbia University,

[~

M. Berger: Lectures on geodesics Institute, Bombay,

[~

in Riemannian geometry, Tata

1965.

N. Bourbaki: Vari@t~s diff@rentielles de R@sultats~Hermann,

[3~ D. Craemer:

topology, Notes at

New York, 1962 - 63.

et analytiques,

Der Raum der geschlossenen Bonner Mathematische

Fascicule

Parish1967. Kurven auf Linsenr~umen,

Schriften, Nr. 50.

[~

J. A. Dieudonn@:

Foundations of modern analysis, Academic Press,

~]

New York, 196o. J. Eells: A setting for global analysis,

[~

Vol. 72, No. 5, 1966. J. Eells + K. D. Elworthy: On the differential topology of Hil-

Bull. of Am. Math. Soc.,

bertian manifolds,

in Proc. Summer

Institute on Global Analysis, [6~] J. Eells + K. D. Elworthy:

folds, Cornell University, [~

H. Eliasson:

Manchester,

1969. Morse theory for closed curves, Symposium for inf. dim. Topology, Louisiana State University,

[~

H. Eliasson:

1968.

Onen embeddings of certain Banach mani-

1967.

On the geometry of manifolds of maps, Journal of Diff. Geom., 1, 1967.

[2

H. Eliasson: Variational

integrals in fibre bundles,

Pure Math. AMS XVI, 67 - 89, 197o. Condition (C) and geodesic completeness

~

H. Eliasson:

~

manifolds, Bonn, 197o. H. Eliasson: ~ber die Anzahl geschlossener

Proc. Symp. of Hl-curve -

Geod~tischer

sen Riemannschen Mannigfaltigkeiten,

in gewis-

Math. Annalen

166, 119 - 147, 1966. Lectures on algebraic topology, W. A. Benjamin Inc.,

~

M. Greenberg:

~

1967. D. Gromoll, W. Klingenberg,

W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Grossen, Lecture Notes, Springer, 1968.

~

D. Gromoll, W. Meyer: On differentiable

~

critical points, Topology 8, 361 - 369, 1969. D. Gromoll, W. Meyer: Periodic geodesics on comnact Riemannlan manifolds, 1969.

functions with isolated

J. of Diff. Geom.

3, 493 - 51o,

-

201

-

~6] N. Grossman: Geodesics on Hilbert manifolds, P h . D .

Thesis, Univer-

sity of Minnesota, Minneapolis, 1964. ~

N. Grossman: Hilbert manifolds without epiconjugate points, Proc.

~

of A.M.S., 16, 1365 - 1371, 1965. N. Grossman: Geodesics on certain Riemannian Hilbert manifolds of

~

paths, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, 1966. H. Haahti: Ober konforme Differentialgeometrie und zugeordnete VerjHngungsoperatoren in Hilbert-R~umen, Ann. Acad. Sci.

~

Fenn., A. I. 358, 1965. S. Helgason: Differential geometry and symmetric spaces, Academic

~

Press, 1962. H. Karcher: Closed geodesios on compact manifolds (8.tes Kapitel aus J. T. Schwartz: Nonlinear functional analysis,

~

Gordon and Breach, 1969). H. Karcher: On the Hilbert manifolds of closed curves HI(SI,M), Comm. Pure Appl. Math., Bd. 23, Nr. 2, 197o.

~ ~

J. Kelley: 0eneral topology~van Nostrand, 1955. P. Klein: Singul~re Kohomologie - Algebren von R~umen geschlossener Wege, Diplom thesis, Bonn, 1968.

~

J. P. Serre: Homologie singuli@re des espaces fibr@s, Ann. of

~

Math. 54, ~25 - 5o5, 1951. W. Klingenberg: Closed Geodesics, Ann. of Math., Vol. 89, No. I,

1969. ~ 6 ~ W. Klingenberg: The space of closed curves on the sphere, Topology, Vol. 7, 1968. ~ 6 @ W. Klingenberg: The space of closed curves on a projective snace, Ouart. J. Math. Oxford (2), 2o, 1969. ~ ~

G. KSthe: Topologische lineare R~ume, Springer Verlag, 196o. S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of differential geometrv, Vol. I + II, Interscience, 1969.

~

S. Lang: Introduction to differentiable manifolds, Interscience,

~

1962. L. A. LFusternik:

The topology of function spaces and the calculus of variations in the large, Translations of Math. Monographs Vol.q6, Am. ~lath. Soc., ~966.

~

J. Mc Alpin: Infinite dimensional manifolds and Morse theory, P h . D . Thesis, Columbia University, New York, 1965.

~

J. Mc Shane: Integration, Princeton University Press, 1944.

~

W. Meyer: Kritische Mannigfaltigkeiten in Hilbertmannigfaltigkeiten, Math. Ann. 17o, 1967.

-

~4]

2 0 2

-

J. Milnor: Morse theory, Princeton University Press, 1963.

~ 4 ~ J. Milnor:

On spaces having the homotopy type of a CW - complex, Trans. Amer. Math. Soc. 90, 272 - 28o, 1959.

~

R. Munkres:

Elementary Differential

Topology,

Princeton University

Press, 1963. ~6~ F. und R. Nevanlinna: ~

R. Olivier:

Absolute Analysis,

Die Existenz geschlossener Mannigfaltigkeiten,

Springer,

1959.

Geod~tischer auf kompakten

Comment. Math. Helv. 35, 146 - 152,

1961. ~

R. Palais: Lectures on the differential

topology of infinite dimen-

sional manifolds,

notes by S. Greenfield,

Mimeographed

Brandeis University,

Waltham, Mass.,

1964 - 65.

~ 8 @ R. Palais + S. Smale: A generalized Morse theory, Bull. Amer. Math. ~

Soc. 7o, 413 - 414, 1964. R. Palais: Morse theory on Hilbert manifolds, Topology, Vol. 2,

~

1963. R. Palais: Lusternik - Schnirelman theor~ on Banach manifolds, Topology, Vol. 5, No. 2, 1966.

~

R. Palais: The classification

~

Math. Soc., No. 36, 196o. J. - P. Penot: Connexion lin@aire d@duite d'une famille de con-

of G - spaces, Memoirs of the Am.

nexions lin@aires par un foncteur vectoriel multilin@aires,

C. R. Acad. Sc. Paris A 268, lop - Io3,

~

1969. J. - P. Penot: De submersions en fibration, S@minaire de geom. diff. de M elle Libermann, Paris, 1967.

~

J. - P. Penot: Sur le th@or@me de Frobenius, Canada,

Sherbrooke P. Q.,

1968 - 69.

~

A. Riede: Lotgeod~tische,

~

E. Spanier: Algebraic topQlogy, Mc Graw Hill, 1966.

Dissertation,

Heidelberg,

~

J. T. Schwartz:

Generalizing Lusternik-Schnirelman

1965. theory of cri-

tical points, Comm. Pure. Ap~l. Math. 1~, 196~o ~

A. Wasserman:

Morse theory for G-manifolds, Soc., No. 71, 1965.

Bull. of Am. Math.

- 203 -

Konventionen~ Notationen etc. 1.Die durchgehende Numerieruug ist vou der Form

1.8.2

, und dies be-

deutet: Kapitel I, Paragraph 8, Punkt 2. Die Kapitelangabe wird weggelassen, falls die Verweise inuerhalb des benutzten Kapitels liegen. bedeutet Warnuug. 2.Die Anzahl der notwendigen Klammern (bei Kompositionen) wird reduziert, falls keine Verwechslungen zu befUrchteu siud. 3.~ bezeichnet die reellen Z a h l e n , ~ + die Teilmenge der positiven, ~ - die Teilmenge der negativen Zahlen u u d N die natGrlichen Zahlen. 4.~@,~

bezeichnet die Projektion bzw. Iuklusiou auf die jeweilige

j-te Komponente. Bei Abbilduugeu f bezeichnet f0 bzw f (:= pr~ f bzw. :=f o ij) die jte Kompouentenfunktiou bzw. die j-teJ partie~le Fuuktiou. FUr letztere werden z.B. bei Funktiouen f vom Typ (s,t) ~ > f(s,t) auch die Bezeichuungen fs,ft verwandt. 5 . A , ~ , ~ A , ~ A bezeichnet die abgeschlosseue HGlle, das Innere~das Komplemerit bzw. den Raud bei Teilmengen A you topologischeu Riumen. Der Begriff Umgebung meiut, wenn er ohne Zusatz steht, stets "offene Umgebung". 6.~,~, .... bezeiehnen Modellriume, also Banachr~ume, E,~,... bezeichnen VektorraumbGndel Gber Mannigfaltigkeiten M mit Modellen E~F, . . . . Sei ~:E > ~ eiu solches: Eine Abbildung

~..~ :E

~

heist Fiuslerstruktur fur E, falls es fGr

jedes p ~ M eine Trivialisierung (~,r yon E um p gibt (mit Modell ~), so dab gilt: U..IIr definiert duroh v * ~ , ~II~-l(q,v)II, ist eine "zulissige" Norm f U r ~

fGr alle q ~ U (d.h.

II..~p := II..II/Ep ist eiue

"zulissige" Norm fGr Ep fur alle p ~ M ) , und fGr alle q ~ U k >1 gibt es eine Umgebung U ( q ) ~ U vou q, fur die gilt:

% ~''I[r

~/~ ' ll''IIr 9. L(E~, I ~ i F )

k 9 ~..llr

uud alle

f~r alle r ~ U ( q ) .

ist das B~ndel der stetigen r-linearen Abbildungen auf

deu BUndeln EI,..,E r uud F Uber M mit Modell L(~I,..~Er~F); Spezialfall [~(E~) = L ( ~ ; F ) , UuterbGndel ~(e;~)~ ~ Q E ~ ) der alteruiereuden bzw. symmetrischen Abbildungen der Fasern E~vou E in die Fasern Fp von F, p ~ ~; ~(E~F) := t(~Y) ~----~ Ist F = M• so bezeichnet L~(E) := Lr(E;F) das BUndel der r-Linearformen auf E. Unter topologischen Isomorphismen verstehen wit lineare HomSomorphismen bzsl. der gegebeneu Strukturen, und eiu topologisch--direkter Summamd ist ein abgeschlossener linearer Unterraum, der eineu abgeschlossenen Komplementirraum besitzt. 8."lokal gilt" bedeutet"~zgl, der dutch die Karten (~,U) yon M,... bzw. die Trivialisierungen (~,~,U) yon E,... iuduzierten Trivialisieruugeu

-z.B. (Tr

oder (T~,~,TU)- gilt".

-

2 0 4

-

Zur Kennzeichnun~ yon Hauptteilen (oder Lokalisierungen) bzgl. ({,r .... genfgt fur unsere Zweoke stets r statt ~(obwohl letzteres beim Auftreten yon Ubergangsabbildungen die exaktere Bezeichhung ist), vgl. die Beispiele in w Xr A~, ~ , T r K@,... , z.B. Xr :: Pr2o ~ o X bei Schnitten X:M ---~E i n ~ . 9.Steht bei einer Abbildung nichts fiber ihren Typ dabei, so handelt es sich stets tun eine Abbildung vom Typ C~o lo.Das Folgende gibt mehrere abkfirzende Schreibweisen beim Gebrauch yon multi!inearen Abbildungen an (vgl. auch 2.): A(vq,..,Vr) = A.(vl,..,Vr) := A((Vl,..,Vr) ) bei Abbildungen A

L(~q,.~

f~r alle ( v q , . . , v )

~d

~ ~r~

.(X;

A(xl,..,x r) = A.(xl,..,X ~) : Ao(X~,..,xr):p:

~Ap

..

,.

r

,Xp)

bei Schnitten A,XI,..,X r l~ngs f:N ~ M in B~ndeln L(EI,..,Er;F) bzw. EI,...,Er,F Hber M. Diese verschiedenen Schreibweisen erkl~ren sich zum Teil aus den mSglichen Umdeutungen des C~-Schnittes A in L(EI,..,Er;F) l~ngs f: zu einer r-linearen Abbildung yon dem Schnittraum ~ 1 (f)•215 r (f) in ~F(f) oder zu einem r-linearen Ivlorphismus von in f*F. Die obige Schreibweise behalten wir auch Schnitt in L(E1,..,Er;F) (also l~ngs id) ist; es lich Aof in den obigen Kompositiouen stehem, was

f*E 1 9 .. 9 f*E r bei, falls A mfBte daun eigentwit, wenn es nStig

wird, dutch Af abkfirzeu: Af.(X I, ,Xr) Da Vektorraumbfndelmorphismen f:E ~ F fiber fo:M ~ M' als Schnitte in L(E;f~F) gedeutet werden kSnnen, schreibeu wir auch dort f.v statt f ( v ) , v ~ E , sowie f-X statt foX for Schuitte X - ~ E ( M ) . Ffir die Hauptteile X;,...,X~,A~,A(XI,..,xr)~ der in der obigen Komposition beteiligten Schnitte hat man bzgl. der durch die Trivialisierungen (~,U),(~i,~i,v),(~,w,V),f(U)~V vou N,EI,..,Er,F induzierten Trivialisieruugen auf L(EI,..,Er;F) -genauer f*L(Eq,...Er;F) = L(f*E1,...,f*Er;f*F)- die (obigem entsprechende) Gleichung o e o

A(x~,...,X~)~

9

= A~(X~,..,%)

a u f Grund der Definition dieser induzierten Trivialisierungen. In dem oben aufgeffihrten Falle A o f , A e % ( E I ' 9 .,Er ;F~(M)/ ergibt sich speziell:

A(X1,..,Xr)@ = (A~~176

Beachte:

:= X i

9

A~ :: p~2 o L(1,,I,.. ; ~ T )

A~f(p))

.

:=

o ~o~-~,

A~l~(f(p))=~f(p).Af(p).(~f(p))-fl~..~(?f(p)

Genaueres dazu vgl. Laug ~29].

.

- 205 11.Ableitungen bei Banachr~umeu werden wie Ublich mit: Df(x).v = Dfx.V = Df~x.V (hShere bzw. partielle mit D k bzw. D k) bezeichnet, und lings Kurven ~ : I ~ R ~ , t I 7~(t) benutzen wir speziell (t O , I):

~'(t o) = ~ ( t o) := o~(to).l (~'(t o) = ...) und bei Kurvenschareu ~ : I x I ' ~ R 2

~,

z.B.:

~ ( s o, t o ) := o1~( So, t o ) 9I ~= D~to (So).1 9 Entsprechend schreiben wir fur Ableitun~en bei Manni~falti~keiten: Tf(x)-v = Tfx-V = Tflx-V

~(to) ~~-~-~(s s o

(Tk,T k) , sowie

: ~-~ct~t, o"~ :: T~(to)'l(t o) una

,to) = T1~(So,t6)-I

XTs,~t bei den in w

(So) % T~ t (So).~(So)(Und eutsprechend o definierten kovarianten Ableitungeu) \

sowie bei reellwertigen Morphismen f:M-->]R df fur die Umdeutuug von Tf:TM 9 ~ zu einem C~-Schnitt in dem BUndel L(TM)=L(TM;R)=TM*. 12.(HI~,M),d ~) ist separabel, besitzt also eine abzihlbare Basis (vgl. II.2.6; I = [o,13 o.B.d.k.). Bew.: Sei A eiue abzihlbare, dichte Teilmenge you M. Die Meuge der endlichen Folgeu [an}n~ ~ in A (fUr jede solche Folge gibt es eiu n o ~ N , ab dem sie konstant ist) ist danu ebenfalls abzihlbar, also auch :={[an]neN~/ai+l

~B%
fur alle i ~ } ;

zur Definition yon Bg(ar i) vgl. I.$.6. Sei obiges n o stets minimal gew~hlt. FUr jede Folge ~ a ~ n & ~ ~ gibt es genau eine "gebrochene" Geod[tische c: ~ , I ~ > M mit c(~/~o) = ai,i = q,..,n o und L c = ~~=~ d(ai,ai+ 1) Zu zeigen ist: FUr alle e ~ HI(I,M),E> o gibt es ~ a n ] u ~ e ~ , so dab fur die dazugehSrige gebrocheue Geoditische c gilt: d ~ ( e , c ) < g : Da dim M < ~ , gibt es eine kompakte Umgebung K vou Bild e, auf der 9 you o wegbeschrinkt ist: ~ / K z ~ > o. Sei ~ = min~ ~,~,d(Bild e,YK)~ und n o e ~ , so dab d ( e ( ~ ) , e ( t ) ) < ~ / ~ fur t ~ [~/~,~+~,o3 und q ~ i ~ n o - 1. Zu zeigen bleibt, dab fur die zu ~au]n~ N gehSrige Geoditische c gilt d ~ ( c , e ) ~ (denn c ~ H I ( I , M ) ist klar): t ~ l > ~..,~} t ~ [ d(e(t),c(t))Sd(c(t),ai)

+ d(ai,e(~/~))

d(ai,ai+ 1) + d ( a i , e ( ~ ) )

+ d(s(r + d(e(~/%),e(t))

(d -wie stets- die zur riemannschen Metrik g gehSrige Abstandsfunktiou; als HilfsgrSSe liegt diesem Beweis der Levi-Oivita-Zusammenhang yon (~,g) zugrunde). q.e.d.

- 206 -

I.~3.~. Wichtige~ im Text, eiugeffihrte S,ymbole go,gl,gl ,dq,d q H 1 (K), ~

Pol o,t %c,qc

K2,x7R Io3

20

21

A(M), AE(c) ,A(f), A~O,0 I"t3

TI~I 26 eXpp- I 27

AAB(M) ,Apq(M), ~ (M), ~AB(C)

28

vT,v ~

36

SN,eN,~

4-3, 82

Eel [tq,t2~'

q'5, 82, 126

E(c)'E c

45

~, ~ 71 ck(I,M) 71

Ho(I,~),Hq(I,~)

7qf.

<..,..>o, <..,..>1,44..,..>> //.. ~o, [1.. IIq, Ill..~1 U..II~

72

H1(f),AOS),ll(f)

75, 8~

ck(I.,Ivi).,HI(i,LO 76, 83 E HE(c),Ho(C) 76 q 79 gc'gq ~e,go,c ~ III ..U[e' I[.. IIq, e' II..II o, c' il.- I1~, o B'~.(o~.c)'B~(c)'exp o,d~ 82 Hq (I,E), EXPOc Ho(I,E)

#,|

94

88

~c,yZ,('z"(o),~*(o))

~43, q44

n, u,~, (z,A),~* (x,A)

~51f.

c-loug(x,i), ec-long(X,a)

41

Lcl[tq,t2]' L(c),L c

d,ng(p)

123

hf,Hf 128 Ak,# - 142

28

~(p)

99

5

BE(Op) , Sa(o p)

cV

96, 97

87

lr(~),0(2>.,tr(f),~,r 11, -

Iv>

~68f.

q53

- 207 Sachverzeichnis abgeschlossene Hfille Ableitungen bei Banachriumen 2o6 bei Banachmannigfaltigkeiten 206 Absittigung 168 ~quivariant 168 2 o ~

-

Bille 21, 45, 82 Banac~:lanuigfaltigkeit Bedingung (C) 129 Bianchi-Identitit 53

I

cap-L~nge 155 cap-Produkt 15~f. Cartansche Strukturgleichungen Christoffel-Symbol 3, lo cup-Linge 153 cup-Produkt 151f.

53, 55, 98

Derivation 2 ~iffeomorphieradius 29 differenzierbar geschlossen 115 Differenzierbarkeit 2o5 schwache 3~ 7f. starke 4, 7f. -

-

einfach (bei nat~rlichen Karten) 29 einfach-periodisch 159, 17o Energie(integra! yon Kurven) 45, 82, 126 epikonjugiert 47 euklidische iannigfaltigkeit 71 euklidisohes Vektorraumb~ndel 71 exakt 9o Exponentialabbildung 26 Fallinie 143, 173 W-Familie (von ~ m o d # ) 149 ~-Familie (yon ~ m o d ~ ) 173 FaserbGndel (Serre) 124 Fet und Ljusternik (Satz vou) 162 Finslermetrik (-struktur) 21, 2o4 Fundamentalform (zweite) 41 Fuudamentaltensor (zweiter) 41

-

208

-

Fuuktor H 1 75 -

A

76

-

~

169

GauB-Gleichu~g

56f.

GauB-Lemma 43 Geod~tische

26

- , periodische

127

117,

geod~tischer Spray 28, 31 geod~tisch-vollst~udig Hadamard-Cartau Hauptteil

(Satz vou) 6o

(eiues Schmittes)

- l~ugs Abbildungen HI-Kurve

58f.

2, 2o5

17, 18, 2o5

76

HI-Schuitt 76 Hessesche (Form) 128 Hessesches

Teusorfeld

128

Hilbertmaumigfaltigkeit -

21

H1(I,m) 82f.

Hilbertb~ndel

21

- H o ( I , E ) 81 - HI(I,E)

88

Homotopie

122

- freie 122 Hopf-Riuow (Satz you) 59 Horizoutalraum 11 Index (bei kritischem Untermamuigfaltigkeiten) Iuneres 2o4 invariant

168

Imvolutiou,

kauouische

isometrisch

(bei Immersiouem)

16

Jacobifeld 47 Komplemeut(~rmeuge)

2o4

konjugiert 47, 48 kovariaute

Differeutiatiou

- l~ugs Abbilduugeu - l~ngs Furveu 18s - iuduzierte

61f.

- hSherer 0rduung 6

17 77

2

36, 37

q29

- 209 konvex 5o Konvexititsradius 51 kritischer Puukt 126 Wert 126 kritischer Wert (elmer ~-Familie) 15o (eiuer T-Familie) ~73 Krthnmungstensor 52 -

Kurve vom Typ H 1 76 Kurvenmannigfaltigheiten 83, 113 Linge (einer Kurve) ~3, 82 Lebesgue (Satz yon) ~78 Levi-Civita-Zusammenhang 33 - induzierter 66f. Lieklammer 2 lineare Abbildungen (Schnitte) 2o4, 2o5 Ljusternik-Schuirelmau-Theorie 1~If. lokal gilt 2o4 lokal koersiv 139, 14o ~annigfaltigkeitsmodell Io8 ~anuigfaltigkeit, riemannsche 21 - , euklidische 71 - , Hilbert- 21 -

, Bauach- I

metrik, riemanusche 21 - Abstandsfunktiou eiuer 45 ~odell(riume) 1 monokonjugiert 47 morphismus 71 ~1orsescher Indexsatz ~97 morse-Theorie 14of. morsesche Ungleichung (erste) 145 multilineare Abbildungen (Schuitte) 2o5 natHrlicher Atlas 27 natHrliche Karten 27 -

yon

H 1 ( l , m )

-

you

A(~)

83, 9!

113

uicht-degeueriert (bei kritischeu Uutermaunigfaltigkeiten, Punkten)' ~iveaufliche 126, I~2 128, 129 ~ormalenb~indel 37 ~ullschnitt 12, 27

-

2 1 0

-

Orbit 168 Orbitraum 168 orientierbar 6o orthogonale Palais

Kompoueute

36f.

(Lemma yon) 73, 8o, 18o

parallel

(l~ngs Kurveu)

parallelisierbar

19

6o

Parallelverschiebung 19, 77 Partitioueu der Eius 2, 6f. periodische Geod~tische Pull-back 9 ~-Puukt

117, 127

146

radial isometrisch 43 Rand 2o4 Raum der geschlosseueu Kurveu 75, 113 der unparametrisierteu regul~rer Punkt 126 Wert 126 -

geschlosseuen

Kurven 168

-

riemannsche ~annigfaltigkeit

21

- metrik 21 - , induzierte 61f. -

KrGmmung 55

- Untermanuigfaltigkeit

37

- s BGudel 21 ~ Z - S t r u k t u r 22 Schuitt 1 - l~ugs Abbildungeu

17

- vom Typ H 1 76 - vom Typ H 76 o Schuittfuuktor lo8 Schnittkrthnmung

55

Schurs Theorem 56 schwache Uutermanuigfaltigkeit siugul~re Homologie -

Kohomologie

139, 14o

151f.

151f.

spalteud 90 Spray 26 - geod~tischer subordiniert

28, 31

(bei Homologieklasseu)

stark kouvex 51

152, 174

-

211

-

strikt kouvex 49 Taugentialabbilduug

lo

tangeutiale Kompoueute TaugentialbGudel

1

Taugeutialvektorfeld Tensorfelder

36f.

(eiuer Kurve)

77

6

Tensoren vom Typ ( ,s) 6 topologisch-direkter topologischer torsionsfrei

204

30

Torsioustensor

3o

total-geoditisch Triger(menge, Trajektorie

Summand 204

isomorphismus

42

bei Simplexen,

Ketten)

149

143, 173

Transformationsregel Trivialisieruug

(f~r Christoffelsymbole)

(lokale)

[boergangsabbilduug

5

I

1

Umgebuug 204 UuterbGndel

90

Untermannigfaltigkeit, , schwache

-

Vertikalraum

37

139, 1~o 11

Vektoren, tangeutiale - , horizontale 11 - , vertikale Vektorfeld

riemaunsche

11

11

1, 2

VektorraumbHndel - , euklidische

71

- , Hilbert- 21 VektorraumbGndelmorphismus -

8

Gber M 9

Vergleichssatz fdr Lingen 4~ vollst~ndig (bei Zusammenhingen) - (bei riemannschen Metriken)

28

58

~- Wert 146 Whituey-Summe Zusammeuhaug

9 lo

liuearer 15 - iuduzierter 61f.

-

Zusammeuhaugsabbildung -

, riemannsche

22, 77

9