Differentialgeometrie 012

Differentialgeometrie Carsten Ebmeyer Mathematisches Seminar der Landwirtschaftlichen Fakult¨at Universit¨at Bonn Sommersemester 2005

Inhaltsverzeichnis 1 Kurven in der Ebene und im Raum 1.1 Parameterdarstellung von Kurven . . . . . . . . . . 1.2 Tangentenvektor und Normalebene . . . . . . . . . 1.3 Kr¨ ummungsvektor und Kr¨ ummung . . . . . . . . . 1.4 Das begleitende Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Frenetsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Geometrische Deutung von Kr¨ ummung und Torsion

. . . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

2 Fl¨ achentheorie 2.1 Fl¨achen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die erste Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Regelfl¨achen und Torsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Regelfl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Torsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Zweite Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Normalkr¨ ummung, Hauptkr¨ ummungen . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Normalkr¨ ummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Hauptkr¨ ummungen, Kr¨ ummungslinien . . . . . . . . 2.6 Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Geod¨atische Kr¨ ummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Geod¨atische Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Geod¨atische Linien als k¨ urzeste Verbindung . . . . . . . . . 2.10 Geod¨atische Linien auf Rotationsfl¨achen . . . . . . . . . . . 2.11 Ableitungsgleichungen von Weingarten, Theorema egregium von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Abbildungen von Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1 Isometrische Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 . 2 . 5 . 7 . 9 . 12 . 14

. . . . . . . . . . . . . .

15 15 17 20 20 21 22 23 23 24 28 29 32 34 35

. . . .

36 38 38 39

1

Kurven in der Ebene und im Raum

1.1

Parameterdarstellung von Kurven

Eine Kurve im R2 k¨onnen wir in der Form y = f (x) , a ≤ x ≤ b darstellen. 2 2 Die Darstellung ist in dieser Weise oft √ unpraktisch, da z. B.√der Kreis x +y = 2 2 2 2 2 r zwei Funktionen, n¨amlich y = r − x und y = − r − x erfordert. Zweckm¨aßiger ist hier die Parameterdarstellung, die f¨ ur einen Kreis in der x-y-Ebene lautet: x(t) = r cos t , y(t) = r sin t , z(t) = 0

0 ≤ t ≤ 2π 0 ≤ t ≤ 2π

In Vektornotation k¨onnen wir schreiben:     x(t) r cos t  y(t)  =  r sin t  z(t) 0 Definition: Unter einer Kurve der Klasse C k , k ∈ N im R3 verstehen wir eine k-mal stetig differenzierbare Abbildung γ : I → R3 τ 7→ γ(τ ) von einem Intervall I in den R3 . Wir schreiben auch   x1 (τ ) τ 7→ x(τ ) =  x2 (τ )  x3 (τ ) mit folgenden Eigenschaften 1. Die Komponentenfunktionen xi (t), i = 1, 2, 3 sind k-mal stetig differenzierbar 2. Die Ableitung  x01 (τ ) x0 (τ ) =  x02 (τ )  x03 (τ ) 

ist verschieden vom Nullvektor. Eine Darstellung mit der Eigenschaft 2 wird auch regul¨are Darstellung einer Kurve genannt. Beispiel 1: Ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (0, 0, 0) hat die Darstellung   r cos τ x(τ ) =  r sin τ  . (1) 0 2

Beispiel 2: Durch 

 r cos τ x(τ ) =  r sin τ  hτ wird f¨ ur feste Werte r, h > 0 eine Schraubenlinie definiert. Die Projektion auf die (x1 , x2 )−Ebene ist ein Kreis gem¨aß Gleichung (1). Mit wachsendem Parameter t steigt die x3 Koordinate gleichm¨aßig an. Beispiel 3: Durch die Gleichungen √

t

πτ 2 dτ, 2 0 Z t √ πτ 2 sin x2 (t) = a π dτ, 2 0 x3 (t) = 0 Z

x1 (t) = a π

cos

wird eine Klothoide erkl¨art. Beispiel 4: Die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten a, b ∈ Rn kann in der Form x(τ ) = a + (b − a)τ, 0≤τ ≤1 parametrisiert werden. Parametertransformationen. Eine Kurve l¨asst sich auf verschiedene Weise in Parameterform darstellen. Es soll nun gek¨art werden, wann zwei Kurven mit verschiedenen Darstellungen als gleich angesehen werden k¨onnen. Zu diesem Zweck machen wir die Definition: Sei x : I → R3 eine Kurve der Klasse C k . Eine Funktion ψ : J → I auf einem Intervall J in das Intervall I heißt Parametertransformation, falls gilt: a) ψ ist k-mal stetig differenzierbar, b) ψ ist bijektiv und c) ψ 0 (σ) 6= 0 f¨ ur alle σ ∈ J. Wir nennen die Transformation i) orientierungserhaltend, falls ψ 0 (σ) > 0, ii) orientierungsumkehrend, falls ψ 0 (σ) < 0 f¨ ur alle σ ∈ J gilt. Durch die Parametertransformation τ = ψ(σ) wird die Kurve x(τ ) u uhrt in ¨bergef¨ ¯ (σ) = x(ψ(σ)) x Es gilt nach der Kettenregel: ¯ 0 (σ) = x0 (ψ(σ))ψ 0 (σ) x ¯ ebenfalls eine regul¨are Darstellung Die Eigenschaft c) garantiert nun, dass x einer Kurve ist. 3

Definition: Zwei Kurven heißen ¨aquivalent, falls sie durch eine orientierungserhaltende Parametertransformation hervorgehen. Bogenl¨ ange einer Kurve Definition: Ist



 x1 (τ ) x(τ ) =  x2 (τ )  x3 (τ )

eine Kurve, so wird ds =

p x01 (τ )2 + x02 (τ )2 + x03 (τ )2 dτ

Bogenelement genannt. Das Integral Z Z q 02 02 ds := x02 1 + x2 + x3 dτ γ

I

heißt Bogenl¨ange der Kurve. Beispiel 5: Wir berechnen die Bogenl¨ange des Kreises   r cos τ x(τ ) =  r sin τ  , 0 ≤ τ ≤ 2π. 0

(2)

Es gilt: 

 − sin τ x0 (τ ) = r  cos τ  , 0

dx(τ ) dτ = r

Z2π und s =

r dτ = 2πr. 0

Beispiel 6: Die Bogenl¨ange der Schraubenlinie   r cos τ x(τ ) =  r sin τ  , 0 ≤ τ ≤ 2π. hτ berechnet sich aus

und |x0 (τ )| =



 −r sin τ x0 (τ ) =  r cos τ  h p √ r2 sin2 τ + r2 cos2 τ + h2 = r2 + h2

F¨ ur eine volle Umdrehung folgt Z2π √ √ s= r2 + h2 dτ = 2π r2 + h2 . 0

Satz 1: Die Bogenl¨ange ist invariant gegen¨ uber Parametertransformationen. Beweis: Ist x : [a, b] → R eine Kurve und ψ : [α, β] → R eine Parametertransformation, so folgt mit der Substitution τ = ψ(σ) Zb a

|x0 (τ )|dτ =

Zβ

|x0 (ψ(σ)) ψ 0 (σ)|dσ =

α

Zβ

|¯ x0 (σ)|dσ.

α

2 4

Bogenl¨ ange als Parameter. Ist x : I → R3 eine Kurve und a ∈ I ein fester Wert, so k¨onnen wir die Bogenl¨ange als Funktion des Parameters τ betrachten. Wir erhalten Zτ s(τ ) =

|x0 (τ 0 )|dτ 0 .

a

Dann gilt wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Regularit¨atsbedingung: s0 (τ ) = |x0 (τ )| > 0 . Somit ist s(τ ) eine stetig differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion mit einer Umkehrfunktion τ = τ (s) mit den gleichen Eigenschaften. Wir setzen ¯ (s) = x(τ (s)). x Es folgt ¯ 0 (s) = x0 (τ (s))τ 0 (s) = x

x0 (τ (s)) x0 (τ (s)) = . |s0 (τ )| |x0 (τ (s))|

Somit kann die Bogenl¨ange als Kurvenparameter verwendet werden. Durch diese Parametertransformation geht eine regul¨are Kurvendarstellung x(τ ) ¯ (s) = x(τ (s)) u stets wieder in eine regul¨are Darstellung x ¨ber, bei der wegen dτ > 0 die Orientierung erhalten bleibt. x(s) heißt nach der Bogenl¨ange ds parametrisiert. Definition: Eine Parameterdarstellung x : I → R3 heißt eine nat¨ urliche Parameterdarstellung einer Kurve, wenn f¨ ur alle τ ∈ I gilt: |x0 (τ )| = 1

(3)

Aus unseren Betrachtungen folgt, dass die Bogenl¨ange s stets als nat¨ urlicher Parameter verwendet werden kann. Bemerkung: 1. Die nat¨ urlichen Parameter einer C 1 -Raumkurve unterscheiden sich (abgesehen von der Orientierung) von der Bogenl¨ange nur durch eine additive Konstante. 2. Wenn s = s1 + const gilt, so wird die Bogenl¨ange s1 von einem anderen Punkt der Kurve aus gemessen.

1.2

Tangentenvektor und Normalebene

Definition: Es sei x(s) eine C 1 -Kurve, die nach der Bogenl¨ange parametrisiert ist. Die Ableitung von x(s) nach der Bogenl¨ange t(s) :=

dx(s) ds

heißt Tangentenvektor an die Kurve im Punkt x(s). 5

Lemma 1: Der Tangentenvektor t ist ein Einheitsvektor. Beweis: Dies ergibt sich unmittelbar aus Gleichung (3)

2

Definition: (Tangentengleichung einer Raumkurve). Es sei eine C 1 -Kurve x(s) gegeben. Die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt x(s0 ) lautet y(s) = x(s0 ) + (s − s0 )t(s0 ), s ∈ R.

(4)

Bemerkung: Wir k¨onnen die Tangentengleichung auch in der Form y(s) = x(s0 ) + st(s0 ), s ∈ R.

(5)

Die Gleichung (4) hat jedoch den Vorteil, dass der Ber¨ uhrpunkt x(s0 ) auf der Kurve und auf der Tangente den gleichen Parameterwert s0 haben. Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Schnittkurve der Tangenten der Kurve   τ x(τ ) =  Bτ 2  τ ∈ R Cτ n f¨ ur B, C =const6= 0, n ∈ N mit der x-y-Ebene. L¨ osung: Die Tangentengleichung im Punkt x(τ0 ) lautet     1 τ − ∞ < λ < ∞, τ ∈ R. y(τ ) = x(τ ) + τ t =  Bτ 2  + τ  2Bτ  n−1 n nCτ Cτ F¨ ur den Schnittpunkt mit der x-y-Ebene muss die dritte Komponente null werden, also Cτ n−1 (τ + λn) = 0. Es folgt τ λ=− . n Die Schnittkurve in der xy-Ebene hat dann die Gleichung         τ x τ 1 τ (1 − 1/n) = − = . y Bτ 2 Bτ 2 (1 − 2/n) n 2Bτ Damit ergibt sich als Schnittkurve f¨ ur n = 1 die y-Achse, f¨ ur n = 2 die x-Achse, und f¨ ur n ≥ 3 die Parabel B(1 − 2/n)x2 y= . (1 − 1/n)2 Definition: Als Normalebene der Kurve x im Punkt x(t0 ) wird die Ebene bezeichnet, die den Kurvenpunkt enth¨alt und deren Fl¨achennormale die Richtung von t hat. Der Ortsvektor y der Normalebene kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden: hy − x(τ0 ), t(τ0 )i = 0. In der Gleichung kann t durch x0 (τ ) ersetzt werden, da t und x0 (τ ) proportional sind. 6

1.3

Kru ¨ mmungsvektor und Kru ¨ mmung

Definition: Es sei x(s) eine C 2 -Kurve. Der Vektor k :=

d2 x = t0 (s) = x00 (s) ds2

heißt der Kr¨ ummungsvektor der Kurve im Punkt x(s). Die Zahl κ := |k| = |t0 (s)| = |x00 (s)| heißt die Kr¨ ummung der Kurve und die Gr¨oße ρ :=

1 κ

f¨ ur k 6= 0

heißt der Kr¨ ummungsradius. Satz 2: Der Kr¨ ummungsvektor k und der Tangentenvektor t sind zueinander orthogonal. Beweis: Aus hx0 (s), x0 (s)i = 1 folgt mittels Differentiation nach s 2hx0 (s), x00 (s)i = 0, also gilt ht(s), k(s)i = 0.

2

Beispiel 7: Wir berechnen den Kr¨ ummungsvektor eines Kreises in der Ebene   r cos τ x(τ ) =  r sin τ  0 mit Radius r. Es folgt   −r sin τ x0 (τ ) =  r cos τ  0

 − sin τ x und t = 0 =  cos τ  . |x | 0 0



Hieraus ergibt sich 

 − cos τ dt dt dτ dt 1 1 k= = = =  − sin τ  . ds dτ ds dτ r r 0 Wir erhalten die Kr¨ ummung κ = |k| =

1 r

und den Kr¨ ummungsradius ρ = r.

Satz 3: Eine Kurve ist genau dann eine Gerade, wenn entlang der Kurve κ = 0 gilt. Beweis: Sei die Kurve x = x(s) in nat¨ urlicher Darstellung.

7

1. Ist κ = 0, dann folgt ¨ = t˙ = k = 0, x x˙ = t = a = const mit |a| = |t| = 1, x = s·a+b mit b = const. 2. Ist die Kurve eine Gerade, so gilt: x(s) = s · a + b

mit |a| = 1,

b = const,

dann folgt daraus u ¨berall auf der Geraden x0 (s) = a x00 (s) = k = 0. 2 Der folgende Satz dient dazu, die Kr¨ ummung zu berechnen, auch wenn die Parameterdarstellung nicht die nat¨ urliche Form hat. Satz 4: Es sei x(τ ) die Darstellung einer zweimal stetig differenzierbaren Kurve. Dann gilt: |x0 × x00 | κ = |k| = . (6) |x0 |3 Beweis: Durch eine Parametertransformation τ = τ (s) k¨onnen wir die Bogenl¨ange s als Parameter einf¨ uhren. Wir setzen ¯ (s) = x(τ (s)) x Durch Differentiation folgt: ¯ 0 (s) = x0 (τ (s))τ 0 (s) x ¯ 00 (s) = x00 (τ (s))τ 0 (s)2 + x0 (τ (s))τ 00 (s) x Nun wird das Vektorprodukt berechnet: ¯ 0 (s) × x ¯ 00 (s) = τ 03 (s)(x0 (τ ) × x00 (τ )) x Wegen |x¯0 | = 1 folgt ¯ 00 (τ )| = |x0 (τ )|3 κ. |¯ x0 (τ ) × x L¨osen wir nach κ auf, so folgt die Behauptung unter Ber¨ ucksichtigung von 0 0 |τ ||x (τ )| = 1 gilt. 2 Beispiel 8: Gegeben sei eine ebene Kurve   τ x(τ ) =  f (τ )  . 0 8

Es soll die Kr¨ ummung berechnet werden. Es gilt:       1 0 0 x 0 =  f 0 (τ )  , x 00 =  f 00 (τ )  , x 0 × x 00 =  0  , 0 0 f 00 (τ ) also k=

|f 00 (τ )| |x 0 × x 00 | = p 3. |x 0 |3 1 + (f 0 (τ ))2

Satz 5: Eine Kurve x = x(τ ) ist eine Gerade, wenn f¨ ur alle τ die Vektoren x 0 und x 00 . linear abh¨angig sind. Beweis: Sind die Vektoren linear abh¨angig, so folgt x 0 × x 00 = 0 und nach (6) folgt κ = 0 und damit ist die Kurve eine Gerade. Umgekehrt gilt f¨ ur eine Gerade κ = 0, woraus mit Hilfe von (6) die lineare Abh¨angigkeit der beiden Vektoren folgt. 2 Beispiel 9: F¨ ur das Geradenst¨ uck x = a + cos τ b (mit b, a = const) gilt: x 0 = − sin τ b und x 00 = − cos τ b. Somit sind die Vektoren x 0 und x 00 linear abh¨angig.

1.4

Das begleitende Dreibein

Definition: Sei k 6= 0 der Kr¨ ummungsvektor einer zweimal stetig differenzierbaren Kurve im Punkt x(s). Dann heißt der Einheitsvektor n=

k |k|

der Hauptnormalenvektor der Kurve im Punkt x(s). Definition: Es sei x(s) eine nat¨ urliche Darstellung einer zweimal stetig differenzierbaren Kurve. Es sei κ(s) 6= 0. Der Vektor b=t×n heißt Binormalenvektor. Bemerkungen: 1. Es gilt |b| = 1, da t ⊥ n und |t| = |n| = 1. 2. Die Vektoren t, n, b sind Einheitsvektoren und stehen paarweise senkrecht aufeinander, sie bilden das begleitende Dreibein der Kurve. Durch das begleitende Dreibein werden in jedem Kurvenpunkt mit k 6= 0 drei Ebenen festgelegt (der Ortsvektor sei jeweils y). 9

Definition: Die Ebene, welche durch t(s) und n(s) im Kurvenpunkt x(s) einer glatten Kurve aufgespannt wird, heißt Schmiegebene der Kurve im Punkt x(s). Die Ebene, die vom Normalenvektor n und dem Binormalenvektor b aufgespannt wird, heißt Normalebene. Die Ebene, die vom Tangentenvektor t und dem Binormalenvektor b aufgespannt wird, heißt rektifizierende Ebene. F¨ ur die Punkte y der drei Ebenen gilt mit (λ, µ ∈ R): Normalebene: hy − x(s), t(s)i = 0 , y = x(s) + λn + µb , |y − x(s), n, b| = 0 . Schmiegebene: hy − x(s), b(s)i = 0, y = x(s) + λt + µn , |y − x(s), t, n| = 0. Rektifizierende Ebene: hy − x(s), n(s)i = 0, y = x(s) + λt + µb , |y − x(s), t, b| = 0. Dabei kann eine Ebene durch jeweils eine der drei Gleichungen beschrieben werden. Satz 6: Eine ebene Kurve liegt stets in ihrer Schmiegebene. Beweis: Die Kurve liege in einer Ebene durch den Punkt e und werde von den Vektoren c und d aufgespannt. Die Kurve l¨asst sich dann in der Form x(s) = α(s)c + β(s)d + e schreiben. Wir erhalten t = x 0 (s) = α 0 (s)c + β 0 (s)d κn = x 00 (s) = α 00 (s)c + β 00 (s)d

Hieraus folgt f¨ ur den Binormalenvektor b: κb = κ(t × n) = (α 0 β 00 − α 00 β 0 )(c × d) Somit ist b konstant und orthogonal zu der durch c und d aufgespannten Ebene. 2

10

Beispiel 10: Wir berechnen die Schmiegebene der Schraubenlinie mit der Darstellung   a cos τ x(τ ) =  a sin τ  bτ f¨ ur a > 0, b 6= 0 und τ ∈ R. Es folgt 

 −a sin τ x 0 =  a cos τ  , b √ √ Wegen |x 0 | = a2 + b2 k¨onnen wir mit τ = s/ a2 + b2 die Bogenl¨ange Parameter einf¨ uhren. Es folgt   −a sin τ 1  a cos τ  , t = √ a2 + b 2 b   cos τ dt 1 a dt  sin τ  , = = −√ k = 0 ds dτ |x | a2 + b 2 0

(7)

s als

(8)

(9)

Schließlich folgt 

 − cos τ k n= =  − sin τ  . |k| 0

(10)

Die Gleichung der Schmiegebene bei festem τ lautet |y − x(s), t, n| = 0. Also gilt: y1 − a cos τ y2 − a sin τ y3 − bτ −a sin τ = 0. a cos τ b − cos τ − sin τ 0 Multipliziert man die letzte Zeile mit a und subtrahiert sie von der ersten, erh¨alt man y y y − bτ 1 2 3 −a sin τ a cos τ = 0. b − cos τ − sin τ 0 Satz 7: Der Binormalenvektor b(s) ist entlang einer Kurve genau dann konstant, wenn eine ebene Kurve vorliegt. Beweis: 1. Sei x eine ebene Kurve. Laut Satz 6 ist b der Normalenvektor der Ebene, in der die Kurve liegt. 2. Es sei b = const. Dann liegen t und n stets in ein und derselben Ebene, in der auch die Kurve liegt. Insbesondere folgt hb, x 0 i = 0. 11

Hieraus folgt hb, xi = 0 und wir sehen, dass die Kurve in einer Ebene liegt, die orthogonal zum Binormalenvektor b ist. 2

1.5

Frenetsche Formeln

Sei x(s) Kurve in nat¨ urlicher Darstellung und x00 (s) 6= 0. Dann gilt: t = x 0 (s), κn = x 00 (s), b = t × n. F¨ ur einen Moment setzen wir v1 = t, v2 = n, v3 = b und machen den Ansatz vi0

=

3 X

aik vk ,

i = 1, 2, 3

k=1

Durch skalare Multiplikation mit vk folgt wegen der Orthogonalit¨at der drei Vektoren hvi0 , vk i = aik Die Orthogonalit¨atsbedingung hvi , vk i = 0

liefert:

hvi0 , vk i + hvi , vk0 i = 0 . Hieraus folgt: aik = −aki . Insgesamt gibt es somit drei unbekannte Koeffizienten a12 , a13 , a23 . Mit der Beziehung t0 = κ · n folgt v10 = κ · v2 und wir erhalten a12 = −a21 = κ, a13 = −a31 = 0. Somit sind alle Koeffizienten mit Ausnahme von a23 = −a32 bestimmt. Definition: Die Gr¨oße w = hv20 , v3 i = hn 0 , bi heißt Torsion oder Windung der Kurve. Auf diese Weise erhalten wir den Zusammenhang zwischen den Gr¨oßen t = v1 , n = v2 , b = v3 und ihren Ableitungen nach der Bogenl¨ange s. 12

Formeln von Frenet t0 = κn , 0 n = −κt +wb , 0 b = −wn . Satz 8: Eine Kurve ist genau dann eben, wenn f¨ ur alle s gilt: w(s) = 0 Beweis: Mit Hilfe der dritten Frenetschen Formel folgt, dass w(s) = 0 genau dann gilt, wenn b = const gilt. Mit Hilfe von Satz 7 folgt nun die Behauptung. 2 Berechnung der Torsion 1. F¨ ur eine Kurve in nat¨ urlicher Darstellung folgt x0 x00 x000 x0 × x00 h(x0 × x00 ), x000 i

= = = = =

t, t0 = κn , κ0 n + κn 0 = κ0 n + κ(−κt + wb) , κb , κ2 w = |x00 |2 w .

Hieraus folgt f¨ ur die Torsion: w=

|x0 , x00 , x000 | . |x00 |2

(11)

2. F¨ ur eine Kurve in allgemeiner Darstellung x(τ ) f¨ uhren wir τ = τ (s) als Funktion der Bogenl¨ange und setzen: x ¯(s) = x(τ (s)) Zur Anwendung von Gleichung (11) auf x ¯ bilden wir x ¯0 (s) x ¯00 (s) x ¯000 (s) |¯ x0 , x ¯00 , x ¯000 |

= = = =

x0 τ 0 , x00 τ 02 + x0 τ 00 , x000 τ 03 + 3τ 0 τ 00 x00 + x0 τ 000 , τ 06 |x0 , x00 , x000 |.

Mit Hilfe von Satz 4 folgt unter Ber¨ ucksichtigung von τ 0 |x0 | = 1 w=

|¯ x0 , x ¯00 , x ¯000 | |x0 , x00 , x000 | 06 |x0 , x00 , x000 | = τ = 0 κ2 κ2 |x × x00 |2

Satz 9: Es sei x(τ ) die Darstellung einer dreimal stetig differenzierbaren Kurve und x00 (τ ) 6= 0. Dann gilt: w=

|x0 , x00 , x000 | |x0 × x00 |2 13

(12)

1.6

Geometrische Deutung von Kru ¨ mmung und Torsion

Mit Hilfe des Satzes von Taylor folgt: x(s) = x(0) + sx0 (0) +

s2 00 s3 x (0) + x000 (0) + O(s4 ) . 2 6

Mit den Beziehungen f¨ ur die Ableitung des Ortsvektors und den Frenetschen Formeln folgt: x0 = t , x00 = κn , x000 = κ0 n + κn 0 = κ0 n + κ(−κt + wb) . Hieraus erhalten wir x(s) = (s −

s2 κ0 s3 κw 3 κ2 3 s )t + ( κ + )n + s b + O(s4 ) . 6 2 6 6

F¨ uhren wir ein neues Koordinatensystem ein durch x(s) = ξ1 t + ξ2 n + ξ3 b, so folgt die kanonische Darstellung der Kurve: κ2 2 s ), 6 κ κ0 s = s2 ( + ), 2 6 κw = s3 . 6

ξ1 = s(1 − ξ2 ξ3

1. N¨aherung : Kurve l¨auft in Richtung der Tangente 2. N¨aherung : Kurve verl¨auft in der Ebene von Tangente und Normale (Schmiegebene) Wir sehen, dass die Kr¨ ummung κ die Abweichung von der Tangente bestimmt. Duch die Torsion w wird der Abstand von der Schmiegebene beschrieben. F¨ ur den Kurvenverlauf erhalten wir als Grobdarstellung: ξ1 = s, κ 2 ξ2 = s, 2 κw 3 ξ3 = s. 6

14

2 2.1

Fl¨ achentheorie Fl¨ achen im R3

Definition: Sei G ein Gebiet im R2 , d. h. eine offene und zusammenh¨angende Menge. Eine Abbildung X : G → R3



 x1 (u1 , u2 ) (u1 , u2 ) → 7 X(u1 , u2 ) =  x2 (u1 , u2 )  x3 (u1 , u2 ) heißt Parameterdarstellung einer Fl¨ache der Klasse C k , falls die Komponentenfunktionen x1 (u1 , u2 ), x2 (u1 , u2 ), x3 (u1 , u2 ) k-mal stetig differenzierbar sind und gilt: ∂X ∂X × 2 6= 0. (1) 1 ∂u ∂u Definition: Die Kurven u1 7→ X(u1 , u2 ) heißen u1 -Linien, die Kurven u2 7→ X(u1 , u2 ) heißen u2 -Linien. Die Ableitungsvektoren X1 := Xu1 =

∂X ∂X und X2 := Xu2 = 1 ∂u ∂u2

heißen Tangentialvektoren. Beispiel 1: Eine Kugelfl¨ache kann durch die Parameterdarstellung x1 = r cos u1 cos u2 , x2 = r sin u1 cos u2 , x3 = r sin u2 . beschrieben werden. Die u1 -Linien mit u2 = const. werden hier als Breitenkreise bezeichnet. Die u2 -Linien mit u1 = const. heißen Meridiane. Es gilt x21 + x22 + x23 = r2 Beispiel 2: Eine Ebene in Parameterdarstellung ist gegeben durch X = u1 a + u2 b + c Die Bedingung (1) ist genau dann erf¨ ullt, wenn a × b 6= 0 gilt. Beispiel 3: Ein Drehkegel ist gegeben durch X(u1 , u2 ) = (u1 cos u2 , u1 sin u2 , au1 ) Die u1 -Linien u2 = const sind Geraden durch den Nullpunkt, w¨ahrend die u2 -Linien Kreise parallel zur x1 , x2 -Ebene bilden.

15

Im Folgenden verwenden wir die Kuzschreibweise X1 := Xu1 =

∂X ∂X 2 = und X := X 2 u ∂u1 ∂u2

Diese Vektoren spannen die Tangentialebene auf: y(q 1 , q 2 ) = X + q 1 Xu1 + q 2 Xu2 Eine Kurve in der Fl¨ache k¨onnen wir durch ihre Koordinaten beschreiben: u1 = u1 (t), u2 = u2 (t) Die Parameterdarstellung der Kurve im R3 lautet dann: x(t) = X(u1 (t), u2 (t)) Die Tangente an die Kurve ist gegeben durch: ¯0 = x

∂X du1 ∂X du2 + 2 ∂u1 dt ∂u dt

Der Tangentenvektor ist Linearkombination der Tangentialvektoren X1 und X2 , d. h. er liegt in der Tangentialebene. Definition: Der Normalenvektor ist definiert durch N=

Xu1 × Xu2 . |Xu1 × Xu2 |

Beispiel 4: Die Kugelfl¨ache 

 r cos u1 cos u2 X =  r sin u1 cos u2  r sin u2 hat die Tangentialvektoren 

 −r sin u1 cos u2 X1 =  r cos u1 cos u2  0 und



 −r cos u1 sin u2 X2 =  −r sin u1 sin u2  r cos u2

F¨ ur die Richtung des Normalenvektors ergibt sich     cos u1 cos u1 cos u2  = r2 cos u2  sin u1  sin u1 cos u2 X1 ×X2 = r2  sin u2 sin2 u1 cos u2 sin u2 + cos2 u1 cos u2 sin u2 Definition: Die Vektoren X1 , X2 , N . werden Dreibein der Fl¨ache genannt. 16

Es gelten die Beziehungen hX1 , Ni = hX2 , Ni = 0 . w¨ahrend im Allgemeinen hX1 , X2 i = 6 0 gilt. Definition: ui = ui (¯ u1 , u¯2 ), i = 1, 2 heißt eine zul¨assige Parametertransformation, falls die Fumktionen ui mit ihren zugeh¨origen Umkehrfunktionen k-mal stetig differenzierbar sind und gilt: ∂u1 ∂u1 ∂(ui ) ∂ u¯1 ∂ u¯2 = 6= 0. ∂(¯ ur ) ∂u2 ∂u2 1 2 ∂ u¯ ∂ u¯ In den neuen Koordinaten lautet die Fl¨ache X = X(u1 (¯ u1 , u¯2 ); u2 (¯ u1 , u¯2 )). Daraus folgt Xr =

∂X ∂ui = X i ∂ u¯r ∂ u¯r

Summationskonvention: Tritt ein Index auf (einmal als oberer und einmal als unterer), so wird u ¨ber diesen Index summiert. X1 × X2 = Xi

∂ui ∂uj ∂(ui ) × X = X × X j 1 2 ∂ u¯1 ∂ u¯2 ∂(¯ uk )

i

∂(u ) Dabei bezeichnet ∂(¯ die Funktionaldeterminante. uk ) Der Normalenvektor ist invariant (bis auf das Vorzeichen) gegen¨ uber Parametertransformationen.

2.2

Die erste Fundamentalform

Wir betrachten die Fl¨ache X = X(u1 , u2 ) mit dem Differential dX := Xi dui = X1 du1 + X2 du2 und eine Fl¨achenkurve x(t) = X(u1 (t), u2 (t)) x0 (t) = Xi ui0 2

hx0 , x0 i = hX1 , X1 i(u10 )2 + 2hX1 , X2 iu10 u20 + hX2 , X2 i(u20 ) . Somit erhalten wir f¨ ur das Bogenelement X hXi , Xk iui0 uk0 dt2 . ds2 = |x0 |2 dt2 = i,k

17

und die Bogenl¨ange ergibt sich zu Zt s(t) =

|x0 (τ )|dτ .

t0

Die Gleichung dui = ui0 dt liefert ds2 = gik dui duk , wobei wir die Gr¨oßen gik = hXi , Xk i eingef¨ uhrt haben. Definition: Die quadratische Form ds2 = gik dui duk heißt erste Grundform, erste Fundamentalform oder metrische Grundform der Fl¨achentheorie. ds2 = hdX, dXi ≥ 0 Es gilt sogar das >-Zeichen, da |dX| = 6 0, sonst w¨aren X1 und X2 linear abh¨angig (was wir bei der Fl¨achendefinition ausgeschlossen hatten). Die Kenntnis der gik erlaubt nicht nur L¨angenmessung, sondern auch Messung von Winkeln und Fl¨achen. Wir stellen uns vor, dass wir die Fl¨achenkoordinaten um du1 bzw. du2 ¨andern. Der Fl¨achenpunkt ¨andert sich ¨ dann um X1 du1 bzw. um X2 du2 . Die beiden Anderungsvektoren spannen ein Parallelogramm auf. Wegen g := = = =

det(gik ) 2 g11 g22 − g12 |X1 |2 |X2 |2 − hX1 , X2 i2 hX1 × X2 , X1 × X2 i > 0

k¨onnen wir den Fl¨acheninhalt auch mit Hilfe der Determinante g der ersten Fundamentalform ausdr¨ ucken. Definition: Der Ausdruck dF = |X1 × X2 |du1 du2 =

√

g du1 du2

wird Fl¨achenelement genannt. Das Fl¨achenelement liefert den Fl¨acheninhalt des Parallelogramms, das von ¨ den beiden Anderungsvektoren aufgespannt wird. Der Fl¨acheninhalt einer Fl¨ache ergibt sich zu Z Z √ F = g du1 du2 G

18

Wir betrachten nun zwei Fl¨achenkurven ui = f i (t) , ui = hi (t) die dann als Raumkurven die Darstellung xf (t) = X(f 1 (t), f 2 (t)) xh (t) = X(h1 (t), h2 (t)) besitzen. Der Winkel γ zwischen beiden Kurven ist gleich dem Winkel zwischen den Tangentenvektoren. Auf diese Weise erhalten wir hx0f , x0h i hXi f i0 , Xk hk0 i p = |x0h | · |x0h | Xi Xk f i0 f k0 Xl Xm hl0 hm0 gik f i0 hk0 = p gik f i0 f k0 glm hl0 hm0

cos γ =

Invarianz bei Parametertransformationen F¨ uhren Fl¨achenkoordinaten u ¨ber die Transformation

wir

neue

ui = ui (¯ u1 , u¯2 ) ein, so erhalten wir als Koeffizienten der ersten Grundform g¯ik = hXi , Xk i ∂ul ∂um = hXl i , Xm k i ∂ u¯ ∂ u¯ ∂ul ∂um = hXl , Xm i i k ∂ u¯ ∂ u¯ l ∂u ∂um = glm i k ∂ u¯ ∂ u¯ Um die erste Fundamentalform wieder mit Hilfe von dui auszudr¨ ucken, berechnen wir d¯ u

i

d¯ uk

∂ u¯i j = du , ∂uj ∂ u¯k n = du ∂un

und erhalten ∂ul ∂um ∂ u¯i ∂ u¯k j n du du ∂ u¯i ∂ u¯k ∂uj ∂un = glm δjl δnm duj dun

g¯ik d¯ ui d¯ uk = glm

= gjn duj dun Es folgt, dass die erste Grundform invariant gegen¨ uber Parametertransformationen ist. 19

2.3 2.3.1

Regelfl¨ achen und Torsen Regelfl¨ achen

Regelfl¨achen sind Fl¨achen, die durch Bewegung einer Geraden entstehen. Definition: Sind u1 7→ y(u1 ) eine Kurve und z(u1 ) Vektoren im R3 mit y0 × z 6= 0,

(2)

dann heißt die Fl¨ache X(u1 , u2 ) = y(u1 ) + u2 z(u1 ) Regefl¨ache. In jedem Punkt der Kurve y(u1 ) ist eine erzeugende Gerade u2 7→ y(u1 ) + u2 z(u1 ) angeheftet. Die Tangentenvektoren Xu1 = y0 (u1 ) + u2 z0 (u1 ) und Xu2 = z(u1 ) haben das Kreuzprodukt Xu1 × Xu2 = y0 × z + u2 z0 × z, das heißt f¨ ur betragskleine u2 ist wegen (2) die Regularit¨atsbedingung f¨ ur Fl¨achen erf¨ ullt. erf¨ ullt. Beispiel 5: (Kegel) Alle Erzeugenden eines allgemeinen Kegels gehen durch einen Punkt X(u1 , u2 ) = u2 z(u1 ) + y0 , wobei die Kegelspitze durch den Punkt y0 gebildet wird. Beispiel 6: (Allgemeiner Zylinder) Alle Erzeugenden sind bei einem allgemeinen Zylinder parallel und gehen durch eine Kurve y(u1 ). Die Gleichung lautet X(u1 , u2 ) = y(u1 ) + u2 z Beispiel 7: (Tangentenfl¨ache) Die Erzeugenden bestehen aus den Tangenten einer festen Raumkurve. X(u1 , u2 ) = y(u1 ) + u2 y0 (u1 ) u1 sei Bogenl¨ange, b der Binormalenvektor Xu1 × Xu2 = (y0 + u2 y00 ) × y0 = −u2 κb Fl¨ache ist l¨angs der Kurve singul¨ar. Man spricht daher von einer Gratlinie. Normalenvektor N(u1 , u2 ) = ±b(u1 ) 20

2.3.2

Torsen

Definition: Eine Regelfl¨ache heißt Torse, wenn alle Punkte einer Erzeugenden die gleiche Tangentialebene haben. Beispiel 8: Tangentenfl¨achen sind Torsen (der Normalenvektor h¨angt nicht von u2 ab). Beispiel 9: Bei einer Zylinderfl¨ache X(u1 , u2 ) = y(u1 ) + u2 z ist der Normalenvektor durch die Gleichung Xu1 × Xu2 = y0 (u1 ) × z gegeben. Auch hier h¨angt der Normalenvektor nicht von u2 ab, also sind Zylinderfl¨achen ebenfalls Torsen. Beispiel 10: Bei Kegelfl¨achen X(u1 , u2 ) = y0 + u2 z(u1 ) h¨angt die Richtung des Normalenvektors Xu1 × Xu2 = u2 z0 × z nur von u1 ab, also sind Kegelfl¨achen Torsen. Satz 1: Eine Regelfl¨ache X(u1 , u2 ) = y(u1 ) + u2 z(u1 ) ist genau dann Torse, wenn |y0 , z, z0 | = 0

(3)

gilt, d. h. y0 , z, z0 linear abh¨angig sind. Beweis: Die Tangentialebene im Punkt mit den Fl¨achenkoordinaten u1 , u2 wird von den Vektoren Xu1 = y0 (u1 ) + u2 z0 (u1 ) und Xu2 = z(u1 ) aufgespannt. Damit die Tangentialebene im Punkt (u1 , 0) gleich der im Punkt (u1 , u2 ) ist, muss z0 eine Linearkombination von y0 und z sein, d. h. die drei Vektoren y0 , z und z0 m¨ ussen linear abh¨angig sein. Umgekehrt folgt aus der linearen Abh¨angigkeit, dass f¨ ur festes u1 alle Tangentialebenen gleich sind. 2 Bemerkung: 1. Man kann zeigen: Torsen sind entweder Kegel-, Zylinder- oder Tangentenfl¨achen. 2. Es gibt Regelfl¨achen, die keine Torsen sind, wie das einschalige Hyperboloid oder die Wendelfl¨ache. 21

2.4

Zweite Fundamentalform

Wir m¨ochten nun das Verhalten einer Fl¨ache in der Umgebung eines Fl¨achenpunktes untersuchen. Insbesondere sind wir daran interessiert, wie die Fl¨ache von ihrer Tangentialebene abweicht. Mit der Taylorentwicklung erhalten wir unter Beachtung der Summationskonvention 1 X(u1 + du1 , u2 + du2 ) = X(u1 , u2 ) + Xi dui + Xik dui duk + O(|du|3 ) 2 Dabei haben wir

∂2X ∂ui ∂uk gesetzt. Die beiden ersten Terme auf der rechten Seite der Taylorentwicklung spiegeln das Verhalten der Tangentialebene wieder, w¨ahrend der quadratische Term die Abweichung von der Tangentialebene zeigt. Wir definieren Lik := hN, Xik i Xik =

Definition: Die Lik heißen die zweiten Fundamentalgr¨oßen, die quadratische Form II := Lik dui duk heißt zweite Fundamentalform. Aus den Betrachtungen folgt, dass abgesehen von Termen h¨oherer als zweiter Ordnung und einem Faktor 1/2 durch die zweite Fundamentalform die Abweichung einer Fl¨ache von der Tangentialebene beschrieben wird. Denn Multiplikation der Taylorentwicklung mit N liefert (N ist orthogonal zu Xi ) 1 II = hX(u1 + du1 , u2 + du2 ) − X(u1 , u2 ), N i + O(|du|3 ). 2 Bemerkung: Die zweite Fundamentalform ist invariant gegen¨ uber orientierungserhaltenden Parametertransformationen. Definition: Wir definieren L := L11 L22 − L212 . Falls L < 0 im Punkt X(u1 , u2 ), heißt die Fl¨ache hyperbolisch gekr¨ ummt in 1 2 1 2 X(u , u ). Dann heißt X(u , u ) ein hyperbolischer Fl¨achenpunkt. Falls L = 0, heißt die Fl¨ache parabolisch gekr¨ ummt in X(u1 , u2 ). Falls L > 0, heißt die Fl¨ache elliptisch gekr¨ ummt in X(u1 , u2 ). Beispiel 11: Kreiszylinder:   cos u1 X(u1 , u2 ) =  sin u1  , u2

0 ≤ u1 ≤ 2π,

22

−∞ < u2 < ∞.

Es folgt 

 − sin u1 X1 =  cos u1  , 0   − cos u1 X11 =  − sin u1  , 0



 0 X2 =  0  , 1   0  0 , X12 = 0

L11 = X11 N = −1,

L12 = 0,



 cos u1 N =  sin u1  , 0   0  0 . X22 = 0 L22 = 0.

Also gilt L = 0, die Fl¨ache besteht nur aus parabolischen Punkten. Die zweite Fundamentalform lautet II = −(du1 )2 = 0.

2.5 2.5.1

Normalkru ¨ mmung, Hauptkru ¨ mmungen Normalkru ¨ mmung

Im Folgenden geht es um die Kr¨ ummung von Kurven auf Fl¨achen. Sei x(τ ) = 1 2 X(u (τ ), u (τ )) eine Fl¨achenkurve mit Kr¨ ummungsvektor k. Dann heißt κn := hk, Ni die Normalkr¨ ummung der Kurve, wobei N der Normalenvektor der Fl¨ache ist. Bemerkung κn h¨angt nicht von der Orientierung der Kurve ab, weil k unabh¨angig davon ist. Aber κn h¨angt von der Orientierung von N ab. Satz 1: Es gilt L11 du1 du1 + 2L12 du1 du2 + L22 du2 du2 II = . κn = hk, Ni = I g11 du1 dul + 2g12 du1 du2 + g22 du2 du2 Beweis: Es gilt   2  d2 d 1 2 = hk, Ni = x(τ ), N = X(u (τ ), u (τ )), N ds2 ds2       ds dui Xik dui duk d2 ui = Xi ,N = , N + hX , Ni i ds ds (ds)2 ds2 II Lij dui duj = = . I gkl duk dul 

κn

2 Bemerkung: 1. κn ist invariant gegen¨ uber orientierungserhaltenden Parametertransformationen, weil I und II das sind.

23

2. Sei du1 6= 0, dann liefert k¨ urzen durch (du1 )2 2

κn =

2

du du 2 L11 + 2L12 du 1 + L22 ( du1 ) 2

2

g11 + 2g12 du + g22 ( du )2 du1 du1 2

. 2

du du Also h¨angt κn nur von u1 , u2 und du 1 ab. Nun ist hier du1 die Richtung des Tangentenvektors der Kurve. Also gilt folgender Satz:

Satz 2:(Meusnier) Alle Kurven auf einer Fl¨ache, die in einem Punkt dieselbe Tangente haben, besitzen dort dieselbe Normalkr¨ ummung. Bemerkung: Es gilt k = κn, wobei κ die Kr¨ ummung der Kurve und n der Hauptnormalenvektor sind. Wegen |n| = |N| = 1 folgt κn = hκn, Ni = κ cos α , wobei α der Winkel zwischen n und N ist. Das liefert κn κ= . cos α Also h¨angt die Kr¨ ummung der Fl¨achenkurve im betrachteten Punkt nur ab von du2 i) der Richtung des Tangetenvektors, also von du 1; ii) vom Winkel α (= Winkel zwischen n und N). Deshalb folgt: Alle Fl¨achenkurven durch X(u10 , u20 ) mit der gleichen Schmiegebene (aufgespannt von t und n) haben in X(u10 , u20 ) dieselbe Kr¨ ummung κ. Beispiel 12: Auf dem Kreiszylinder   cos u1 X(u1 , u2 ) =  sin u1  , 0 ≤ u1 ≤ 2π, u2

−∞ < u2 < ∞

sei durch u2 = 3u1 eine Fl¨achenkurve festgelegt. Wir besimmen κn : 2

κn =

2

+ L22 ( du )2 L11 + 2L12 du du1 du1 2

2

g11 + 2g12 du + g22 ( du )2 du1 du1

.

2

du Wegen u2 = 3u1 folgt du 1 = 3. Ferner ist g11 = g22 = 1, L11 = −1 und g12 = L12 = L22 = 0. Also gilt κn = −1 . 10

2.5.2

Hauptkru ¨ mmungen, Kru ¨ mmungslinien 2

Die Normalkr¨ ummung κn h¨angt ab von u1 , u2 und du (du1 6= 0). Sei ein du1 Punkt auf der Fl¨ache gew¨ahlt. Dann h¨angt κn nur noch von der Richtung 2 λ := du ab: du1 L11 + 2L12 λ + L22 λ2 κn = κn (λ) = . g11 + 2g12 λ + g22 λ2 Entweder ist κn konstant, oder κn hat ein Maximun und ein Mininmum. 24

Definition: Sei in einem Fl¨achenpunkt X(u10 , u20 ) die Normalkr¨ ummung rich1 2 tungsunabh¨angig. Dann heißt X(u0 , u0 ) ein Nabelpunkt. Beispiele: Die Ebene und die Sph¨are bestehen nur aus Nabelpunkten. Bei einem Rotationsparaboloid ist der Pol ein Nabelpunkt. Satz 3: Sei X(u1 , u2 ) fest gew¨ahlt und kein Nabelpunkt. Dann gibt es genau eine Richtung in der Tangentialebene, so dass κn maximal wird, sowie genau eine Richtung, so dass κn minimal wird. Definition: Seien u1 , u2 fest gew¨ahlt und λ eine beliebige Richtung in der Tangentialebene. Dann heißen κ1 := max κn (λ) und κ2 := min κn (λ) λ

λ

die Hauptkr¨ ummungen der Fl¨ache im Punkt X(u1 , u2 ). Die zugeh¨origen Richtungen λ1 , λ2 heißen Hauptkr¨ ummungsrichtungen in X(u1 , u2 ). Bemerkung: 1. Falls X(u1 , u2 ) kein Nabelpunkt ist, sind die Hauptkr¨ ummungsrichtungen orthogonal (Beweis Satz 4 unten). 2. Falls X(u1 , u2 ) ein Nabelpunkt ist, gilt κ1 = κ2 . Dann ist jede Richtung eine Hauptkr¨ ummungsrichtung. Definition: Eine Fl¨achenkurve, bei der in jedem ihrer Punkte die Richtung der Tangente eine Hauptkr¨ ummungsrichtung ist, heißt Kr¨ ummungslinie. Differentialgleichung der Kru ¨ mmungslinien: Wir bestimmen die ExL11 +2L12 λ+L22 λ2 trema von κn (λ) = g11 +2g12 λ+g22 λ2 . Es gilt κ0n (λ) =

1 (g11 + 2g12 λ + g22 λ2 )(2L12 + 2λL22 ) µ2 1 − 2 (L11 + 2L12 λ + L22 λ2 )(2g12 + 2λg22 ) µ

mit µ = g11 + 2g12 λ + g22 λ2 . Wegen µ 6= 0 ist κ0n (λ) = 0, falls pλ2 + qλ + r = 0 mit p = (g12 L22 − g22 L12 ) ,

q = (g11 L22 − g22 L11 ) ,

r = (g11 L12 − g12 L11 ) .

Wir setzen in der Gleichung pλ2 + qλ + r = 0 du2 du1

f¨ ur λ ein und multiplizieren mit (du1 )2 . Es folgt

(g12 L22 −g22 L12 )(du2 )2 +(g11 L22 −g22 L11 )du1 du2 +(g11 L12 −g12 L11 )(du1 )2 = 0. 25

Dies ist die Differentialgleichung der Kr¨ ummunglinien. Sie l¨aßt sich schreiben als (du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11 g12 g22 = 0 . L11 L12 L22 2

2

u Falls keine Nabelpunkte vorliegen, gibt es genau zwei L¨osungen du und d˜ . du1 d˜ u1 Durch jeden Punkt der Fl¨ache gehen dann genau zwei Kr¨ ummunglinien.

Beispiel 13: Die Fl¨ache 

 ρ cos φ X(ρ, φ) =  ρ sin φ  f (ρ)

mit ρ > 0 ,

0 ≤ φ ≤ 2π

ist eine Rotationsf¨ache. Berechnung der Kr¨ ummungslinien:       cos φ −sinφ −f 0 cos φ ρ X1 =  sin φ  , X2 = ρ  cos φ  , N = √  −f 0 sin φ  , g f0 0 1 g = 1 + (f 0 )2 ,  X11

 0 = 0 , f 00



X12

 − sin φ =  cos φ  , 0



X22

 cos φ = −ρ  sin φ  . 0

Es gilt g12 = 0 und L12 = 0. Also lautet die Differentialgleichung der Kr¨ ummunglinien (g11 L22 − g22 L11 )dρ dφ = 0

(4)

Die Klammer ist nie null, falls kein Nabelpunkt vorliegt, denn die Klammer  L11 −g11 ist die Determinante von und das Gleichungssystem L22 −g22    L11 −g11 x =0 L22 −g22 y hat genau dann eine nichttriviale L¨osung, falls gilt: y y L11 = g11 und L22 = g22 . x x Wegen L12 = 0 = g12 bedeutet dies: Im betrachteten Punkt gilt f¨ ur alle Richtungen II = c I mit der Konstanten c = xy . Dies gilt nur in Nabelpunkten. Falls kein Nabelpunkt vorliegt, folgt aus (4) dρ = 0

oder

dφ = 0.

Die Kr¨ ummunglinien sind also die Linien ρ = const und die Linien φ = const. Die Linien φ = const heißen Meridiane, die Linien ρ = const heißen Breitenkreise. Also sind bei einer Rotationsfl¨ache die Meridiane und Breitenkreise die Kr¨ ummunglinien. 26

Satz 4: Sei X(u1 , u2 ) kein Nabelpunkt. Dann sind die beiden Kr¨ ummungs1 2 linien, die durch den Punkt X(u , u ) gehen, orthogonal. Beweis: Die Kr¨ ummungslinien seinen die Parameterlinien der Fl¨ache. Also 1 ist die Linie u = c Kr¨ ummunglinie. Aus u1 = c folgt du1 = 0. Somit lautet die Dgl der Kr¨ ummungslinien (g12 L22 − g22 L12 )(du2 )2 = 0 . Wegen du2 6= 0 folgt L22 g12 − g22 L12 = 0 . Analog folgt f¨ ur die Linie u2 = c dann du2 = 0 und L11 g12 − g11 L12 = 0 . Diese beiden Gleichungen als Gleichungssystem geschrieben lauten    L22 −g22 g12 = 0. L11 −g11 L12 Wegen Det 6= 0 (kein Nabelpunkt, siehe Bsp. zuvor) muss g12 = L12 = 0 gelten. Aus g12 = 0 folgt, dass die Parameterlinien orthogonal sind. Weil die Parameterlinien die Kr¨ ummungslinien sind, folgt die Behauptung. 2 Definition: Die Zahl K :=

L g

heißt Gaußsche Kr¨ ummung, die Zahl 1 (L11 g22 + L22 g11 − 2g12 L12 ) 2g

H := heißt mittlere Kr¨ ummung.

Bemerkung: Man kann zeigen: K = κ1 κ2 und H = 21 (κ1 + κ2 ). Bemerkung: Ein Fl¨achenpunkt ist ein • elliptischer Punkt, falls K > 0, • parabolischer Punkt, falls K = 0, • hyperbolischer Punkt, falls K < 0. Geometrische Deutung: F¨ uhren wir neue Koordinaten in Richtung der Hauptkr¨ ummungen ein, so l¨asst sich die Fl¨ache lokal durch 1 z = (κ1 (v 1 )2 + κ2 (v 2 )2 ) 2 beschreiben. Dabei bedeutet z den Abstand von der Tangentialebene. In einem elliptischen Punkt haben die Hauptkr¨ ummungen gleiches Vorzeichen und die zweite Fundamentalform ist positiv definit. In der Umgebung eines 27

solchen Punktes liegt die Fl¨ache auf einer Seite der Tangentialebene. Lokal sieht die Fl¨ache ¨ahnlich wie ein Paraboloid aus. F¨ ur parabolische Punkte ist eine Hauptk¨ ummumg gleich null und die Fl¨ache sieht ¨ahnlich wie eine Zylinderfl¨ache aus. F¨ ur hyperbolische Punkte haben die Hauptkr¨ ummungen unterschiedliches Vorzeichen und die Fl¨ache hat lokal die Form eines Hyperboloids. Satz 5: Eine Regelfl¨ache ist genau dann Torse, wenn in allen Fl¨achenpunkten f¨ ur die Gauß’sche Kr¨ ummung K = 0 gilt. Beweis: Sei y(s) eine regul¨are Kurve, |y0 | = |z| = 1 und F(s, λ) = y(s) + λ z(s). Wir finden X1 = t + λz0 ,

X2 = z ,

X11 = t0 + λz00 ,

X1 × X2 = t × z + λz0 × z , X12 = z0 ,

X22 = 0 .

Daraus folgt L22 = 0, also L = −L212 ≤ 0 . Ferner gilt 1 1 L12 = X12 √ (X1 × X2 ) = √ ([z0 , t, z] + λ [z0 , z0 , z]) . | {z } g g =0

Also ist K=

−L212 L = g g

genau dann null, wenn L12 null ist, also [z0 , t, z] null ist. Genau dann ist F eine Torse. 2

2.6

Christoffelsymbole

Zerlegt man die zweiten Ableitungen Xik der Fl¨achenvektoren in einen tangentialen und einen normalen Anteil, erh¨alt man die Ableitungsgleichung von Gauß: Xik = Γrik Xr + Lik N. Die Koeffizienten Γrik (1 ≤ i, k, r ≤ 2) heißen Christoffelsymbole zweiter Art. Um diese Gr¨oßen zu berechnen, multiplizieren wir die Ableitungsgleichung mit Xl und erhalten hXik , Xl i = Γrik hXr , Xl i = Γrik grl := Γik|l Definition: Die Gr¨oßen Γik|l = Γrik grl heißen Christoffelsymbole 1.Art. 28

Die Christoffelsymbole (erster und zweiter Art) sind wegen Xik = Xki symmetrisch in den beiden ersten unteren Indizes. Aus gik = hXi , Xk i folgt durch Differenzieren: ∂gik = hXil , Xk i + hXi , Xkl i = Γil|k + Γkl|i . ∂ul Durch Vertauschen der Indizes folgen die Gleichungen ∂gik = Γil|k + Γkl|i ∂ul ∂glk = Γli|k + Γki|l ∂ui ∂gil = Γik|l + Γlk|i ∂uk Wegen der Symmetrie folgt Γik|l

1 = 2



∂gil ∂gik ∂glk − + ∂uk ∂ul ∂ui



Mit g ik bezeichnen wir die inverse Matrix zu gik . Es gilt:  11 12    1 g g g22 −g12 = g 21 g 22 g −g12 g11 Es folgt g lr Γjk|l = g lr Γijk gil = Γijk δir = Γrjk und damit ergibt sich Γrik

g lr = 2



∂gil ∂gik ∂glk − + ∂uk ∂ul ∂ui



Die Gr¨oßen auf der rechten Seite h¨angen nur von den metrischen Gr¨oßen gik ab. Es zeigt sich, dass die Christoffelsymbole bereits bei Kenntnis der ersten Fundamentalform berechnet werden k¨onnen. Satz 1: Die Christoffelsymbole sind Gr¨oßen der inneren Geometrie, d. h. sie sind durch die gik und ihre Ableitungen bestimmt.

2.7

Geod¨ atische Kru ¨ mmung

Sei x(s) = X(u1 (s), u2 (s)) eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Fl¨achenkurve. Sei t der Tangentenvektor von x. Dann bilden die drei Vektoren t, N, (N × t) eine Orthonormalbasis. Der Kr¨ ummungsvektor k der Kurve l¨aßt sich bez¨ uglich dieser Basis darstellen: k = a1 t + a2 N + a3 (N × t) . Berechnung der Koeffizienten a1 , a2 , a3 : 29

i) Aus k⊥t folgt a1 = 0 . ii) Multiplizieren mit N liefert a2 = hk, Ni = κn

(=Normalkr¨ ummung).

iii) Multiplizieren mit N × t liefert a3 = hk, N × ti = [k, N, t] = hN, t × ki. Definition: Sei x(τ ) = X(u1 (τ ), u2 (τ )) eine Fl¨achenkurve mit Tangentenvektor t und Kr¨ ummungsvektor k. Die Zahl κg := hN, t × ki =

1 hN, x0 × x00 i |x0 |3

heißt geod¨atische Kr¨ ummung. Folgerung: i) Es gilt k = κn N + κg (N × t). ii) Sei κ die Kr¨ ummung der Fl¨achenkurve und α der Winkel zwischen N und k. Es gilt κn = κ cos α , κg = κ sin α κ2g + κ2n = κ2 . iii) κg ist invariant gegen¨ uber orientierungserhaltenden Parametertransformationen. Beispiel 14: Geod¨atische Kr¨ ummung der Kurve z = φ2 auf der Fl¨ache   R cos φ X(φ, z) =  R sin φ  . z Wir berechnen κg = |x10 |3 hN, x0 × x00 i . Es gilt       −R sin φ −R cos φ 2R cos φ + 2φR sin φ x0 =  R cos φ  , x00 =  −R sin φ  , x0 ×x00 =  −2φR cos φ + 2R sin φ  , 2φ 2 R2   cos φ p 2R N =  sin φ  , |x0 | = R2 + 4φ2 , κg = p 3 . R2 + 4φ2 0 Lemma 1: Sei x(τ ) = X(u1 (τ ), u2 (τ )) eine Fl¨achenkurve. Dann gilt √ κg = g{(Γ2ik u˙ i u˙ k + u¨2 )u˙ 1 − (Γ1ik u˙ i u˙ k + u¨1 )u˙ 2 } wobei u˙ i =

0

dui ds

die Ableitung nach der Bogenl¨ange ist; bzw. √ g 0 0 0 0 00 0 00 0 κg = 0 {(Γ2ik ui uk + u2 )u1 − (Γ1ik ui uk + u1 )u2 } , |x |

wobei ui =

dui dτ

die Ableitung nach τ ist. 30

(5)

Beweis: Berechnung von k: Es ist t=

d ∂X dui X(u1 (s), u2 (s)) = = Xi u˙ i ds ∂ui ds

(6)

und d d t = [Xi (u1 (s), u2 (s)) u˙ i (s)] , ds ds d j = [Xij u (s)] u˙ i (s) + Xi u¨i ds = Xij u˙ i u˙ j + Xi u¨i .

k =

Mit den Ableitungsgleichungen von Gauß Xij = Γkij Xk + Lij N folgt k = (Γkij Xk + Lij N)u˙ i u˙ j + Xk u¨k = Xk (Γkij u˙ i u˙ j + u¨k ) + NLij u˙ i u˙ j .

(7)

Berechnung von N × t: Es gilt (a × b) × c = −ha, b · ci + hb, c · ai f¨ ur beliebige Vektoren a, b, c, d ∈ R3 . Wir verwenden N = (6) und erhalten

√1 (X1 × X2 ) g

1 N × t = √ (X1 × X2 ) × Xm u˙ m g m u˙ = √ (X2 g1m − X1 g2m ) . g

und

(8) (9)

Mit (7) und (9) finden wir κg = hk, N × ti u˙ m = √ (Γkij u˙ i u˙ j + u¨k ){g2k g1m − g1k g2m } . g Ferner gilt {g2k g1m − g1k g2m } =

 

0 f¨ ur k = m −g f¨ ur k = 1, m = 2 .  g f¨ ur k = 2, m = 1 2

Satz 1: Die geod¨atische Kr¨ ummung ist eine innergeometrische Gr¨oße.

31

2.8

Geod¨ atische Linien

Definition: Eine Fl¨achenkurve heißt geod¨atische Linie, falls κg = 0 gilt. Satz 1: Geod¨atische Linien sind durch das Differentialgleichungssystem ur00 + Γrjk uj 0 uk0 = 0, r = 1, 2

(10)

charakterisiert. Beweis: Setzen wir κg = 0 in Gleichung (5), so folgt die Behauptung.

2

Satz 2: Von jedem Punkt einer Fl¨ache geht in jeder Fl¨achenrichtung genau eine geod¨atische Linie aus. Beweis: O. B. d. A. k¨onnen wir u1 = u2 = 0 annehmen. Wir geben eine Fl¨achenrichtung durch v = v i Xi vor mit hv, vi = gik v i v k = 1 Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz f¨ ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen ist das System von zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei diesen Anfangsbedingungen eindeutig l¨osbar. Wir behaupten, dass durch s die Bogenl¨ange gegeben ist. Um das zu zeigen, setzen wir f (s) = gik (u1 (s), u2 (s))ui0 uk0 Es gilt f (0) = 1. Durch Differentiation erhalten wir f 0 (s) =

∂gik j 0 i0 k0 u u u + gkr ur00 uk0 + gik ui00 uk0 ∂uj

Ber¨ ucksichtigen wir nun die Beziehung ∂gik = Γij|k + Γkj|i = gkr Γrij + gir Γrkj , j ∂u so erhalten wir nach Einsetzen und Umnummerierung der Indizes

f 0 (s) = gkr Γrij ui0 uj 0 + ur00 uk0 + gir Γrkj uj 0 uk0 + ur00 ui0 = 0 Hieraus folgt f (s) = 1.

2

Beispiel 15: Wir bestimmen die geod¨atischen Linien in der Ebene  1  u 1 2  u2  . X(u , u ) = 0 F¨ ur die Tangentialvektoren erhalten wir     1 0    0 1 . X1 = , X2 = 0 0 32

Da alle gij konstant sind, folgt f¨ ur die Christoffelsymbole Γik|l = 0, also Γlik = 0 f¨ ur beliebige Indizes i, k, l. Die Differentialgleichung (10) der geod¨atischen Linien liefert u¨1 = 0, u¨2 = 0. Die L¨osungen sind u1 = a s + c und u2 = bs + d mit Konstanten a, b, c, d, wobei a2 + b2 = 1 gelten soll, damit die Parametrisierung nach der Bogenl¨ange erfolgt. Dies sind Geraden in der Ebene. Beispiel 16: Um die geod¨atischen Linien der Zylinderfl¨ache   R cos φ X(φ, z) =  R sin φ  z zu berechnen, bilden wir die Tangentialvektoren     −R sin φ 0    R cos φ 0  X1 = , X2 = 0 1 und bekommen

 (gij ) =

R2 0 0 1

 .

Weil alle gij konstant sind, sind die Christoffelsymbole null. Die Differentialgleichung der geod¨atischen Linien lautet wie im Fall der Ebene u¨1 = 0, u¨2 = 0. Die L¨osungen sind u1 = as + c und u2 = bs + d, wobei a2 + b2 = 1 gelten soll. Wir unterscheiden zwei F¨alle 1. Wenn a = 0 gilt, folgt φ = u1 = const. In diesem Fall erhalten wir Geraden die parallel zur Zylinderachse sind als L¨osungen. 2. Im Fall a 6= 0 folgt z = u2 = αu1 + β. Das sind die Kurven 

   R cos φ 0 X(u1 , u2 (u1 )) = X(u1 , αu1 + β) =  R sin φ  +  0  , αφ β also Schraubenlinien. 33

2.9

Geod¨ atische Linien als ku ¨ rzeste Verbindung

Gegeben seien zwei Punkte auf einer Fl¨achenkurve ui (t0 ): ui (t0 ) , ui (t1 ) Wir stellen die Frage, wann eine Fl¨achenkurve k¨ urzeste Verbindung zwischen den Punkten ist. Zur L¨osung des Problems betrachten wir die Variationsmethode. Sei v i (t) so gew¨ahlt, dass v i (t0 ) = ui (t1 ) = 0 gilt. Wir betrachten die Kurven ui (t) + v i (t) und nehmen an, dass t die Bogenl¨ange bei  = 0 darstellt. Es gilt: ds2 = gik (u1 + u1 , u2 + u2 )(ui0 + ui0 )(uk0 + uk0 ) Wir setzen

Zt1 L() =

Zt1 ds =

t0

wdt , t0

wobei nach Vorraussetzung w = 1 bei  = 0 gilt. Notwendige Bedingung f¨ ur 0 ein Minimum ist L (0) = 0. 0

Zt1

1 2w

L (0) =



 ∂gik i0 k0 j i0 k0 u u v + 2gik v u dt ∂uj

t0

Partielle Integration liefert 1 L0 (0) = 2

Zt1 

∂gik i0 k0 d(gij ui0 ) u u − 2 ∂uj dt



v j dt

t0

Da die Funktionen v j beliebig gew¨ahlt werden k¨onnen, folgt: 1 ∂gik i0 k0 d(gij ui0 ) u u − =0 2 ∂uj dt oder

1 ∂gik i0 k0 ∂gij k0 i u u − k u u − grj ur00 = 0 . j 2 ∂u ∂u Durch Symmetrisierung des zweiten Terms folgt   1 ∂gik ∂gij ∂gkj − k − ui0 uk0 − grj ur00 = 0 2 ∂uj ∂u ∂ui und somit grj ur00 + Γik|j ui0 uk0 = 0 oder ul00 + Γlik ui0 uk0 = 0

34

2.10

Geod¨ atische Linien auf Rotationsfl¨ achen

Wir betrachten eine Rotationsf¨ache 

 f (z) cos φ X(z, φ) =  f (z) sin φ  z

Um die Christoffelsymbole zu berechnen, bilden wir die Tangentialvektoren  0    f (z) cos φ −f (z) sin φ X1 =  f 0 (z) sin φ  , X2 =  f (z) cos φ  1 0 und bekommen f¨ ur die Koeffizienten der metrischen Fundamentalform   1 + f 0 (z)2 0 (gij ) = . 0 f (z)2 Zur Berechnung der Christoffelsymbole bilden wir  00    f (z) cos φ −f 0 (z) sin φ X11 (z, φ) =  f 00 (z) sin φ  , X12 (z, φ) =  f 0 (z) cos φ  , 0 0   −f (z) cos φ X22 (z, φ) =  −f (z) sin φ  . 0 Da die Tangentialvektoren zueinander orthogonal sind, erhalten wir f¨ ur die zum zweiten Vektor geh¨orenden Christoffelsymbole hX11 , X2 i = 0, hX1 , X1 i hX12 , X2 i = = f 0 (z)f (z), hX1 , X1 i hX22 , X2 i = =0 hX1 , X1 i

Γ211 = Γ212 Γ211

F¨ ur die Differentialgleichung der geod¨atischen Linie folgt d2 φ f 0 (z) dφ dz + 2 =0 dt2 f (z) dt dt Multiplikation mit f (z)2 liefert   d d2 φ dφ dz 2 dφ f (z) = 2 + 2f 0 (z)f (z) =0 dt dt dt dt dt Es folgt, dass f (z)2

dφ = const. dt 35

Satz 1:(Clairaut) Der Kosinus des Winkels einer geod¨atischen Linie auf einer Rotationsfl¨ache mit einem Breitenkreis ist umgekehrt propotional zum Abstand r = f (z) des Punktes zur Rotationsachse. Beweis: F¨ ur den Winkel zwischen geod¨atischer Linie mit der Richtung  0  z φ0 folgt cos γ =

√

g22

dφ dφ = f (z) . dt dt 2

2.11

Ableitungsgleichungen von Weingarten, Theorema egregium von Gauß

¨ Ahnlich wie wir bei den Ableitungsgleichungen von Gauß die zweiten Ableitungen der Fl¨achenvektoren in einen tangentialen und normalen Anteil zerlegt haben, zerlegen wir nun die Ableitungen des Normalenvektors Ni Satz 1: (Ableitungsgleichung von Weingarten) Es gilt Ni = −Li k Xk , wobei Li k = Lij g jk gesetzt wird. Beweis:Wir machen den Ansatz Ni = bi k Xk + ci N Durch skalare Multiplikation mit N folgt wegen hN, Ni = 1 und hN, Ni i = 0 die Gleichung ci = 0. Skalare Muliplikation mit Xj liefert hNi , Xj i = −Lij = bi k gkj Hieraus folgt die Behauptung.

2

Differentiation der Ableitungsgleichung von Gauß liefert ∂Γrik ∂Lik Xr + Γlik Xlj + N + Lik Nj j ∂u ∂uj
∂Γrik ∂Lik = Xr + Γlik Γrlj Xr + Ljl N − Lik Lj r Xr + N j j ∂u ∂u r   ∂Γik ∂Lik l r r = + Γ Γ − L L X + + Γlik Ljl N ik j r ik lj j j ∂u ∂u

Xikj =

36

Vertauschung von k und j liefert wegen Xikj = Xijk :  r    ∂Γij ∂Lij l r r l + Γij Γlk − Lij Lk Xr + + Γij Lkl N Xikj = ∂uk ∂uk Wegen der linearen Unabh¨angigkeit von X1 , X2 , N erhalten wir die Gleichungen von Mainardi-Codazzi ∂Lik ∂Lij − + Γlik Ljl − Γlij Lkl = 0 ∂uj ∂uk und die Gleichungen von Gauß r Rikj − (Lik Lj r − Lij Lk r ) = 0,

wenn wir die nachfolgende Definition beachten. Definition: Die Gr¨oßen r Rikj

∂Γrij ∂Γrik l r = + Γik Γlj − − Γlij Γrlk l k ∂u ∂u

werden Riemanscher Kr¨ ummungstensor genannt. Da auf der rechten Seite nur Gr¨oßen vorkommen, die von der ersten Funr damentalform abh¨angen folgt, dass Rikj eine Gr¨oße der inneren Geometrie ist. Mit Lj r = Ljl g rl Lk r = Lkl g rl und den Gleichungen von Gauß folgt: r = (Lik Ljl − Lij Lkl )g rl Rikj

oder r = Lik Ljm − Lij Lkm gmr Rikj

F¨ ur i = k = 1, j = m = 2 folgt: r g2r R112 = L11 L22 − L212 = L

und K=

L g2r r = R g g 112

Satz 2: Die Gaußsche Kr¨ ummung ist eine Gr¨oße der inneren Geometrie.

37

2.12

Abbildungen von Fl¨ achen

Seien F = X0 (u1 , u2 ) und F ∗ = X1 (u1∗ , u2∗ ) zwei Fl¨achenst¨ ucke. Sei φ : F → F∗ X0 (u1 , u2 ) 7→ X1 (u1∗ , u2∗ ) eine bijektive Abilldung (Bijektiv bedeutet, zu jedem Punkt X0 (u1 , u2 ) ∈ F gibt es genau einen Bildpunkt X1 (u1∗ , u2∗ ) ∈ F ∗ ). Weil u1∗ und u2∗ Funktionen von u1 und u2 sind, gibt es eine Parametrisierung X2 (u1 , u2 ) von F ∗ mit X2 (u1 , u2 ) = X1 (u1∗ (u1 , u2 ), u2∗ (u1 , u2 )). Also lassen sich die Fl¨ache F = X0 (u1 , u2 ) und die Bildfl¨ache F ∗ = φ(X0 (u1 , u2 )) = X2 (u1 , u2 ) auf die gleichen Parameter beziehen. Beispiel 17: Seien 0 < u1 < π, 0 < u2 < 1,  1    u cos u1 F = X(u1 , u2 ) =  u2  , F ∗ = X∗ (u1 , u2 ) =  sin u1  0 u2 und φ(X(u1 , u2 )) = X∗ (u1 , u2 ). F ist ein Ebenenst¨ uck, F ∗ ein St¨ uck auf einem Kreiszylinder. Die u1 Linien von F werden auf die Breitenkreise abgebildet, die u2 -Linien auf die Meridiane. Insbesondere werden Gerden in F auf Schraubenlinien abgebildet, also geod¨atische Linien auf geod¨atische Linien! Ferner gilt f¨ ur die Metrikkoeffizienten gij von F und gij∗ von F ∗ in allen Punkten   1 0 (gij ) = = (gij∗ ). 0 1 2.12.1

Isometrische Abbildungen

Definition: Eine bijektive Abbildung φ : F → F ∗ heißt isometrisch oder l¨angentreu, wenn f¨ ur jede Kurve x auf F das zugh¨orige Bild x∗ auf F ∗ dieselbe L¨ange wie x hat. Satz 3: Sei F ein Fl¨achenst¨ uck mit Metrikkoeffizienten gij und erster Fundamentalform I. Ferner sei F ∗ ein Fl¨achenst¨ uck mit Metrikkoeffizienten gij∗ und erster Fundamentalform I ∗ . Eine bijektive Abbildung φ : F → F ∗ ist genau dann isometrisch, wenn in allen Punkten I = I∗

bzw.

gij = gij∗

f¨ ur 1 ≤ i, j ≤ 2 gilt. Beweis: Seien F und F ∗ durch gleiche Parameter aufeinander bezogen. Sei x(t) = X(u1 (t), u2 (t)), t0 ≤ t ≤ t1 , eine Fl¨achenkurve auf F und x∗ (t) = X∗ (u1 (t), u2 (t)) die Bildkurve auf F ∗ . F¨ ur die Bogenl¨angen Zt1 √

∗

∗

∗

Zt1 √

Idt und s = s (x ) =

s = s(x) =

t0

t0

38

I ∗ dt

folgt s = s∗

⇔

I = I ∗. 2

Bemerkung: Biegungsinvariante bleiben bei isometrischen Abbildungen erhalten (weil gij = gij∗ gilt). Somit werden geod¨atische Linien auf geod¨atische Linien abgebildet, denn κg ist biegungsinvariant. Aber Kr¨ ummungslinien werden nicht auf Kr¨ ummungslinien abgebildet, denn κn ist nicht biegungsinvariant. Satz 4: Eine Fl¨ache, die sich isometrisch in die Ebene abbilden l¨asst, ist eine Torse. Beweis: Die Fl¨achenst¨ ucke F und F ∗  seien isometrisch und auf die gleichen  u1 Parameter bezogen. Ferner sei F =  u2  ein Ebenenst¨ uck. Dann gilt 0   1 0 (gij ) = = (gij∗ ). Also sind alle Christoffelsymbole null, also R1221 = 0 1 0. F¨ ur die Gaußsche Kr¨ ummung folgt: K=

R1221 = 0. g

Da K eine Biegungsinvariante ist, gilt K ∗ = K = 0 auf F ∗ . Somit ist F ∗ eine Torse. 2 Bemerkung: Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Jede Torse l¨asst sich isometrisch in die Ebene abbilden. Satz 5: Die Kugelfl¨ache l¨asst sich nicht isometrisch in die Ebene abbilden. Beweis: F¨ ur die Ebene gilt K = 0, f¨ ur die Kugelfl¨ache K = R12 > 0. Unter einer isometrischen Abbildung muss K aber invariant bleiben. 2 2.12.2

Konforme Abbildungen

Definition: Eine bijektive Abbildung φ : F → F ∗ heißt konform oder winkeltreu, wenn der Schnittwinkel zweier beliebiger Kurven auf F , die sich in einem Punkt P0 schneiden, gleich dem Schnittwinkel der Bildkurven auf F ∗ im Punkt P0∗ ist.  1  u  u2  Darstellung der Ebene. Die Abbildung φ : Beispiel 18: Sei X = 0 1 2 1 2 X(u , u ) 7→ X(5u , 5u ) ist konform. Bemerkung: Isometrische Abbildungen sind konform. (Dies folgt z.B. aus dem nachfolgenden Satz) 39

Satz 6: Eine Abbildung φ : F → F ∗ ist genau dann konform, wenn eine Funktion λ(u1 , u2 ) > 0 existiert, so dass in allen Punkten I ∗ = λI

bzw.

gij∗ = λgij ,

1 ≤ i, j ≤ 2,

gilt. Beweis: Seien x1 (t) = X(u1 (t), u2 (t)) und x2 (t) = X(v 1 (t), v 2 (t)) zwei Fl¨achenkurven. Die Tangentenvektoren im Schnittpunkt seien T1 = Xi

dui dt

und T2 = Xk

dv k , dt

dui dt

und T2∗ = X∗k

die im Bildpunkt seien T1∗ = X∗i

dv k . dt

∗ a) Sei gik = λgik . Dann folgt

gik dui dv k T1 T2 p cos γ = =p |T1 ||T2 | gij dui duj gkl dv k dv l ∗ λgik dui dv k gik dui dv k p q = p = p ∗ λgij dui duj λgkl dv k dv l gij∗ dui duj gkl dv k dv l T1∗ T2∗ = cos γ ∗ |T1∗ ||T2∗ | ⇒ γ = γ∗. =

b) Sei φ konform und 0 ≤ γ ≤ π. Es gilt s |T1 × T2 | |T1 |2 |T2 |2 − (T1 T2 )2 p = = 1 − cos2 γ = sin γ. |T1 |2 |T2 |2 |T1 ||T2 | Ferner gilt 1 2 dui du dv − du2 dv 1 dv k |T1 × T2 | = Xi × Xk = |X1 × X2 | dt dt dt dt 1 2 √ du dv − du2 dv 1 = g . dt dt Es folgt √

g |du1 dv 2 − du2 dv 1 | |T1 ||T2 | √ ∗ g ∗ = sin γ = ∗ ∗ |du1 dv 2 − du2 dv 1 |, |T1 ||T2 |

sin γ =

also

r |T1 ||T2 | = r

F¨ ur T1 = T2 folgt I =

g ∗ ∗ |T ||T |. g∗ 1 2

g ∗ I . g∗

2 40

Lemma 2: Sei φ : F → F ∗ konform und es gelte I ∗ = λI f¨ ur konstantes λ. Dann bildet φ Geod¨aten auf Geod¨aten ab. Beweis: F¨ ur eine geod¨atische Linie auf F gilt Γkij u˙ i u˙ j + u¨k = 0,

k = 1, 2.

Sind beide Fl¨achen auf gleiche Parameter bezogen, so gilt auf F ∗ (Γkij )∗ u˙ i u˙ j + u¨k = 0,

k = 1, 2.

Die Behauptung folgt, falls Γkij = (Γkij )∗ ist. Es gilt gij∗ = λgij ,

(g ij )∗ =

1 ij g , λ

also 1 km ∗ ∗ ∗ ∗ (g ) (gjm,i + gmi,j − gij,m ) 2 1 g km = λ(gjm,i + gmi,j − gij,m ) = Γkij . 2 λ

(Γkij )∗ =

2 Bemerkung: Sei 

 u1 F ∗ =  u2  0 die Ebene und φ : F → F ∗ eine konforme Abbildung. Dann gilt I ∗ = (du1 )2 + (du2 )2 , also I = λ(u1 , u2 )[(du1 )2 + (du2 )2 ] (11) Es ist immer m¨oglich, eine kleine Umgebung eines Punktes einer beliebigen Fl¨ache so zu parametrisieren, dass (11) erf¨ ullt ist. Deshalb gilt: Jedes hinreichend kleine St¨ uck einer beliebigen Fl¨ache ist konform auf ein Ebenenst¨ uck abbildbar. Insbesondere gibt es vielf¨altige konforme Abbildungen der Kugelfl¨ache in die Ebene, zum Beispiel die stereographische Projektion.

Literatur [1] B. Klotzek. Einf¨ uhrung in die Differentialgeometrie, Band I und II in einem Band. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt/Main, 3. Auflage, 1997. [2] W. Sch¨one. Differentialgeometrie. Teubner Verlag, Leipzig, 5. Auflage, 1990. [3] V. W¨ unsch. Differentialgeometrie. Teubner Verlag, Leipzig, 1997.

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