Riemannsche Flachen

Springer-Lehrbuch

Grundwissen Mathematik Ebbinghaus et al.: Zahlen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie Hämmerlin† /Hoffmann: Numerische Mathematik Koecher† : Lineare Algebra und analytische Geometrie Lamotke: Riemannsche Flächen Leutbecher: Zahlentheorie Remmert/Schumacher: Funktionentheorie 1 Remmert: Funktionentheorie 2 Walter: Analysis 1 Walter: Analysis 2 Herausgeber der Grundwissen-Bände im Springer-LehrbuchProgramm sind: F. Hirzebruch, H. Kraft, K. Lamotke, R. Remmert, W. Walter

Klaus Lamotke

Riemannsche Flächen Mit 53 Abbildungen

123

Klaus Lamotke Universität zu Köln Mathematisches Institut Weyertal 86–90 50931 Köln, Deutschland e-mail: [email protected]

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Mathematics Subject Classification (2000): 30Fxx, 32C15

ISBN 3-540-57053-5 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: 10070447 44/3142YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Riemanns Idee, die Funktionentheorie nicht auf den klassischen Fall ebener Definitionsgebiete zu beschr¨anken, sondern auf beliebige Fl¨ achen auszudehnen, ist 150 Jahre alt und hat seither die Entwicklung der Mathematik stark beeinflußt. In dieser dem Grundwissen der Mathematik gewidmeten Lehrbuchreihe folgt daher auf die Darstellung der klassischen Funktionentheorie durch R. Remmert der vorliegende Band u ¨ber Riemannsche Fl¨ achen. Große Teile des Stoffes wurden zwischen 1961 und 2001 in Vorlesun¨ gen vorgetragen oder in Ubungen, Seminaren und Hausarbeiten von Studenten bearbeitet. Die Erfahrung, daß man nur bescheidene Vorkenntnisse erwarten darf, wenn man einen gr¨ oßeren Kreis von Interessenten erreichen will, hat sich in diesem Buch niedergeschlagen. Nur die Grundlagen der reellen Analysis und komplexen Funktionentheorie, der Algebra und der Allgemeinen Topologie werden bis zu folgenden Niveaus vorausgesetzt: klassische Residuentheorie; endliche K¨ orpererweiterungen; Hausdorffr¨ aume, Kompaktheit und Zusammenhang. Die Stoffauswahl orientiert sich an den bedeutenden Ergebnissen, die Riemann, Weierstraß und ihre Nachfolger erreichten. Das ist der Stoff, den H. Weyl in sein einflußreiches Buch von 1913 aufnahm (Entwicklung der allgemeinen Theorie bis zur Uniformisierung und zur Formel von Riemann -Roch) und das, was er im Vorwort erw¨ ahnte, aber bewußt wegließ: projektive Kurven, elliptische Funktionen, die Theta -Funktion. W¨ ahrend sich Riemanns Ver¨ offentlichungen und Weyls Buch auf die Darstellung der allgemeinen Theorie beschr¨ anken, wird sie im vorliegenden Buch h¨ aufig unterbrochen, um spezielle Fl¨ achen und ihre Funktionen zu betrachten. Dazu geh¨ oren die elliptischen Funktionen (Kapitel 2), die einfachsten Modulfunktionen und ihre Anwendungen (Kapitel 5) sowie spezielle Fl¨ achen mit vielen Symmetrien. Sie werden unter anderem benutzt, um den Leser mit neu eingef¨ uhrten Begriffen (z.B. Differentialformen in Kapitel 7) und allgemein g¨ ultigen Theoremen anhand von Beispielen vertraut zu machen. Die Riemannschen Fl¨achen leben von ihren zahlreichen Beziehungen zu mathematischen Nachbargebieten. Um sie zu erfassen, wird in den folgenden Kapiteln auch die Topologie kompakter Fl¨ achen entwickelt, wird die Funda¨ mentalgruppe mit ihrer Beziehung zur Uberlagerungstheorie behandelt, werden Garben, Homologie und Cohomologie definiert und werden Einf¨ uhrungen

VI

Vorwort

in so verschiedene Gebiete wie die projektive Geometrie und die Potentialtheorie geboten. Einige Nachbargebiete haben ihre historischen Wurzeln in der Theorie Riemannscher Fl¨ achen. Bei anderen wurden die Beziehungen im Laufe der Zeit gekn¨ upft. Insgesamt durchziehen viele mathematische Ideen, die manchmal bis in die Antike zur¨ uckreichen und sich im 19. Jahrhundert h¨ aufen, wie die F¨ aden eines Kn¨auels die Entstehung und Entwicklung der Riemannschen Fl¨ achen. Zahlreiche in den Text eingestreute historische Bemerkungen weisen bei passenden Gelegenheiten darauf hin. Die Ergebnisse, welche im folgenden pr¨ asentiert werden, sind zum großen Teil mehr als 100 Jahre alt. Trotz aller R¨ ucksicht auf die Historie werden sie in der mathematischen Sprache und mit Beweisen des ausgehenden 20. Jahrhunderts formuliert. Das vorliegende Buch wurde vor 10 Jahren als gemeinsames Projekt von Reinhold Remmert und dem Autor begonnen. Erste Entw¨ urfe von Kapiteln mit vorwiegend analytischen Aspekten wurden von R. Remmert und solche mit topologischen Aspekten vom unterzeichnenden Autor verfaßt und anschließend vom Partner eingehend kritisiert. Bei mehreren Aufenthalten im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach konnten wir uns in intensiven Gespr¨ achen austauschen, um eine optimale Darstellung zu erreichen. ¨ Außere Umst¨ande f¨ uhrten dazu, daß die Herstellung der finalen Version allein dem unterzeichnenden Autor zufiel und er damit die Verantwortung f¨ ur die vorliegende Gestalt des Buches u ¨ bernimmt. Es ist nicht m¨ oglich, alle Kollegen und Studenten zu nennen, deren Hinweise und kritische Bemerkungen im Laufe der Jahre dieses Buch beeinflußten. Die Volkswagen-Stiftung erm¨ oglichte im Rahmen des Programms Research in Pairs” die erw¨ ahnten Aufenthalte in Oberwolfach. Frau A. ” Rother (K¨ oln) schrieb mit großer Sorgfalt und Geduld die sich wandelnden Versionen des Textes. Ihnen allen, den Mitarbeitern des Springer-Verlages, welche das Projekt auch in kritischen Phasen wohlwollend unterst¨ utzten, und ganz besonders Reinhold Remmert, ohne den das Buch nicht begonnen und vollendet worden w¨ are, gilt mein herzlicher Dank. K¨ oln, im Mai 2004 Klaus Lamotke. Hinweise zur Gliederung. Die 15 Kapitel sind in Paragraphen und diese in Abschnitte unterteilt. Zweistellige Hinweise beziehen sich auf ganze Paragraphen, z.B. 13.1, und dreistellige auf einzelne Abschnitte oder Aufgaben, z.B. 13.1.5 oder 13.7.6. Kleingedruckte Passagen enthalten historische Bemerkungen und Ausblicke, die Ausf¨ uhrung spezieller Beispiele und marginaler Bez¨ uge zum Haupttext sowie topologische Beweise, deren Methoden sonst nicht gebraucht werden.

Inhaltsverzeichnis

1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Riemannsche Fl¨ achen und ihre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . 1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Holomorphe Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.4 Endliche Abbildungen. Uberlagerungen .................. 1.5 Deckgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 7 11 14 17 20 22

2

Tori und elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die ℘-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Abelsches Theorem f¨ ur elliptische Funktionen . . . . . . . . . . . . 2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Reduzierte Basen. Torusabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Normale Abbildungen der Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 24 26 30 33 36 39 41

3

¨ Fundamentalgruppe und Uberlagerungen ............... 3.1 Fundamentalgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.3 Holomorphe Uberlagerungen ........................... 3.4 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Abz¨ ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.6 Unverzweigte normale Uberlagerungen .................. ¨ 3.7 Konstruktion von Uberlagerungen ...................... 3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 47 52 53 55 58 60 62 66

4

¨ Verzweigte Uberlagerungen ............................. 4.1 Orbitprojektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel . . . . . . . 4.3 Diskontinuierliche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 69 76

VIII

Inhaltsverzeichnis

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Komplexe Mannigfaltigkeiten und Garben . . . . . . . . . . . . . . . Orbitfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Verzweigte normale Uberlagerungen ..................... ¨ Universelle verzweigte Uberlagerungen ................... Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 81 82 85 88 91

5

Die 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

J - und λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulgruppe und Modulbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reduktionstheorie bin¨ arer Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die J-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften der λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen der λ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 97 99 103 105 108 112 115

6

Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 6.1 Funktionen auf endlichen Uberlagerungen ................ 6.2 Riemannsche Gebilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Puiseux-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Minimalpolynome und Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Funktionenk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 117 120 125 126 129 132

7

Differentialformen und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen . . . . . . . . . . 7.3 Residuum. Invariante Formen. Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Die Abelsche Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Eine Charakterisierung der Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Homologie und Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 135 138 142 144 147 149 151 153 155

8

Divisoren und Abbildungen in projektive R¨ aume . . . . . . . 8.1 Positive Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Holomorphe Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Abbildungen in projektive R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Schnittdivisoren und Linearscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Multiplizit¨ at. Schnittzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Anzahl der Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 160 162 166 169 173 175

Inhaltsverzeichnis

9

IX

Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Projektive und affine Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Normalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Schnitt-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Singularit¨ aten. Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Pl¨ uckersche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177 178 180 182 186 187 191 195

10 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Die Poissonsche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Dirichletsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Subharmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Gelochte Fl¨ achen. Abz¨ ahlbarkeit der Topologie . . . . . . . . . . . 10.6 Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Elementarpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 198 201 204 206 208 211 213 216

11 Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung . . . . . 11.1 Der Abbildungssatz f¨ ur reiche Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Der Abbildungssatz f¨ ur arme Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Uniformisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Abelsche Fundamentalgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Der Satz von Poincar´e-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Dreiecksgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Dreiecksparkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218 219 220 222 223 225 228 235 238

12 Polyederfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Fl¨ achenkomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Kombinatorische Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Fundamentalgruppe und Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Die Zerschneidung Riemannscher Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Riemannsche Periodenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240 240 245 248 251 253 255

13 Der 13.1 13.2 13.3 13.4

258 258 261 263 264

Satz von Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweis des Satzes von Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die kanonische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellungen der Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

Inhaltsverzeichnis

13.5 Weierstraß-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 13.6 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 13.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 14 Der 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

Periodentorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vom Additionstheorem zum Periodentorus . . . . . . . . . . . . . . . Perioden. Abelsches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytische Eigenschaften der Periodenabbildung . . . . . . . . . Symmetrische Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273 273 275 278 281 284 286

15 Die 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8

Riemannsche Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Weg zur Riemannschen Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung meromorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Uber das Verschwinden der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . Der Torellische Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Polarisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Schottkysche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288 288 291 295 300 303 307 309 311

Literaturverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Namensverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

1. Grundlagen

Bernhard Riemann wurde am 17.9.1826 als Sohn eines Predigers in Breselenz (heute Jameln-Breselenz in Niedersachsen) geboren. Nach dem Abitur in L¨ uneburg begann er Ostern 1846 in G¨ ottingen mit dem Studium der Theologie, wechselte aber seinen Neigungen entsprechend nach einem Semester zur Mathematik und Physik. Schon in den Herbstferien 1847 entwickelte er Ideen f¨ ur eine neue Grundlage der komplexen Funktionentheorie. Nachdem er zum Wintersemester 1847/48 nach Berlin gegangen war, er¨ orterte er seine Vorstellungen mit dem drei Jahre a¨lteren Eisenstein, der sich gerade habilitierte. Eisenstein scheint die Ideen nicht gebilligt zu haben. Er beharrte auf dem formalen Rechnen mit Reihen als Grundlage. Riemann fiel es schwer, seine Gedanken zu formulieren. Erst im November 1851 reichte er in G¨ ottingen seine Dissertation [Ri 2] u ¨ber Grundlagen ” f¨ ur eine allgemeine Theorie der Functionen einer ver¨ anderlichen complexen Gr¨ oße“ ein. Gutachter war der bereits 74 Jahre alte Gauß. Er ging auf den Inhalt der Arbeit u ¨berhaupt nicht ein, lobte aber die gr¨ undlichen und tief ” eindringenden Studien des Verfassers in demjenigen Gebiete, welchem der zu behandelnde Gegenstand angeh¨ ort“ ; siehe dazu [Re 2], S. 158 f. Seine h¨ ochste Anerkennung teilte er Riemann m¨ undlich mit: Er bereite seit Jahren eine Schrift u ¨ber denselben Gegenstand vor. In den ersten vier Abschnitten der Dissertation stellt Riemann die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen als Grundlage der komplexen Funktionentheorie vor. Der 5. Abschnitt beginnt: F¨ ur die folgenden Betrachtungen ” beschr¨anken wir die Ver¨ anderlichkeit der Gr¨ oßen x, y auf ein endliches Gebiet, indem wir als Ort des Punktes O nicht mehr die Ebene A selbst, sondern eine u ¨ber dieselbe ausgebreitete Fl¨ ache T betrachten. Wir w¨ ahlen diese Einkleidung, bei der unanst¨ ossig sein wird, von aufeinander liegenden Fl¨ achen zu reden, um die M¨ oglichkeit offen zu lassen, dass der Ort des Punktes O u ¨ber denselben Theil der Ebene sich mehrfach erstrecke, setzen jedoch f¨ ur einen solchen Fall voraus, ... .“ Hier schließt eine l¨angere Er¨ orterung an, in welcher Weise T u ¨ber A ausgebreitet ist. Im weiteren Verlauf der Dissertation bem¨ uht sich Riemann, die Neuartigkeit seiner Ideen herunterzuspielen und dem Leser klarzumachen, daß man auf der Fl¨ ache T genauso einfach wie in der Zahlenebene eine Funktionentheorie aufbauen kann. Gauß meinte: ... der gr¨ oßte Theil der ”

2

1. Grundlagen

Leser m¨ochte wohl in einigen Theilen noch eine gr¨ oßere Durchsichtigkeit ¨ der Anordung w¨ unschen.“ Uber 100 Jahre sp¨ ater schreibt Dieudonn´e [Di 2], p. 48: L’on voit Riemann, pr`esque syst´ematiquement, penser a ` cˆ ot´e (suivant ” l’expression de Hadamard), abordant chaque probl`eme d’une fa¸con `a laquelle aucun de ses pr´ed´esseurs n’avait song´e.“ In der Tat wurden Riemanns Ideen von seinen Zeitgenossen zwar bewundert, aber kaum angenommen. Erst durch Felix Kleins beredtes Eintreten wurden die Riemannschen Fl¨ achen gegen Ende des 19. Jahrhunderts verbreitet anerkannt. Ein wichtiges Ereignis war Weyls Buch von 1913, in dem er die Riemannschen Fl¨ achen von der Ausbreitung u ¨ber der Zahlenebene l¨ oste und sie als Mutterboden ansah, auf dem die analytischen Funktionen wachsen und gedeihen k¨ onnen, vergleiche [Wyl 1], S. VII. Welchen Nutzen eine Funktionentheorie auf nicht-ebenen Bereichen hat, erl¨ autert Riemann in seiner Dissertation nicht. Dies wird erst in seiner großen Abhandlung Ueber die Theorie der Abel’schen Funktionen [Ri 3] deutlich, die er sechs Jahre sp¨ater ver¨ offentlichte : Dank seiner Fl¨ achen gelingt es, die Schwierigkeiten zu u ¨berwinden, welche die Mehrdeutigkeit der algebraischen Funktionen a¨lteren Mathematikern bereitete, als sie versuchten, solche Funktionen zu integrieren, vgl. Kleins Bericht u ¨ber Jacobis Integrationsversuche, [Klei 5], S. 110 ff. Riemann erkennt als Ursache der Mehrdeutigkeit die topologische Gestalt der Fl¨ ache. Daher spielt im vorliegenden Buch die Topologie eine wichtige Rolle. Wir setzen die Grundbegriffe der allgemeinen Topologie als bekannt voraus und beginnen die Entwicklung weiterer topologischer Methoden mit der Fundamentalgruppe im 3. Kapitel.

1.1 Riemannsche Fl¨ achen und ihre Abbildungen Zu den Grundbegriffen der Funktionentheorie geh¨ ort die Holomorphie f¨ ur Funktionen f : U → C , deren Definitionsbereich U ⊂ C offen ist. Holomorph in diesem Sinne wird im folgenden als klassisch holomorph bezeichnet. Es war Riemanns Idee, statt der Ebene C auch andere Fl¨ achen X zuzulassen und die Holomorphie f¨ ur Funktionen f : U → C zu erkl¨ aren, deren Definitionsbereich U ⊂ X offen ist. So entstehen Riemannschen Fl¨ achen. 1.1.1 Holomorphe Atlanten. Riemannsche Fl¨ achen. Ein holomorpher Atlas A = {(Ui , hi )} auf einem topologischen Raum X besteht aus einer ¨ Uberdeckung von X durch offene Mengen Ui ⊂ X und Hom¨ oomorphismen aglich sind: hi : Ui → hi (Ui ) ⊂ C , die im folgenden Sinne holomorph vertr¨ ur jedes Paar i, j ist Die Bilder hi (Ui ) sind offen in C , und f¨ (1) hj ◦ h−1 : hi (Ui ∩ Uj ) → hj (Ui ∩ Uj ) i

klassisch biholomorph, siehe die Figur 1.1.1. Man nennt die Paare (Ui , hi ) Karten von A und die Abbildungen (1) Kartenwechsel.

1.1 Riemannsche Fl¨ achen und ihre Abbildungen

hi

Ui

3

hi(Ui) hj°hi-1

Uj

hj(Uj)

hj Fig. 1.1.1 Zwei Karten (Ui , hi ) , (Uj , hj ) und ihr Kartenwechsel hj ◦ h−1 i .

Sei U ⊂ X offen. Eine Funktion f : U → C heißt holomorph bez¨ uglich A , wenn f¨ ur jede Karte (Uj , hj ) ∈ A die Funktion hj (U ∩ Uj ) → C , z → f ◦ hj−1 (z) , klassisch holomorph ist. Wenn U ⊂ Uk liegt, gen¨ ugt wegen der Biholomorphie der Kartenwechsel, daß f ◦ h−1 auf h (U ) klassisch holomorph ist. k k S¨ amtliche Funktionen f : U → C , die bez¨ uglich A holomorph sind, bilden einen Ring O(U, A) . Er enth¨ alt alle konstanten Funktionen und ist daher eine C-Algebra. Alle Funktionen f ∈ O(U, A) sind stetig. Genau dann, wenn f ∈ O(U, A) keine Nullstelle hat, geh¨ ort 1/f zu O(U, A) . Zwei Atlanten A und B f¨ ur X heißen a¨quivalent, wenn A ∪ B ein holomorpher Atlas ist, d.h. wenn f¨ ur je zwei Karten h aus A und k aus B der ¨ holomorpher Kartenwechsel h ◦ k −1 biholomorph ist. Eine Aquivalenzklasse Atlanten heißt holomorphe Struktur auf X . Die Vereinigung aller Atlanten einer holomorphen Struktur heißt maximaler Atlas. Wenn A und B ¨aquivalent sind, gilt O(U, A) = O(U, B) f¨ ur jede offene Menge U ⊂ X . Nach Festlegung einer holomorphen Struktur geh¨ ort also zu jeder offenen Menge U ⊂ X die Algebra O(U ) := O(U, A) der holomorphen Funktionen. Dabei ist A irgendein Atlas der Struktur. Folgendes aus der klassischen Theorie, d.h. f¨ ur offene Mengen in C bekannte Ergebnis u ¨bertr¨ agt sich nach Festlegung einer holomorphen Struktur auf offene Mengen in X . Lokal-Global-Prinzip. ur jede Familie {Uj } von offenen Mengen und
F¨ ihre Vereinigung U = Uj gilt: Eine Funktion f : U → C ist genau dann
holomorph, wenn alle Beschr¨ ankungen f |Uj holomorph sind.

Die fundamentale Definition lautet: Eine Riemannsche Fl¨ ache ist ein Hausdorff raum X zusammen mit einer holomorphen Struktur auf X . Unter einer n-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit versteht man oomorph ist: Jeder Punkt in einen Hausdorff-Raum X , der zum Rn lokal hom¨

4

1. Grundlagen

X besitzt eine Umgebung, die zu einer offenen Menge des Rn hom¨oomorph ist. Riemannsche Fl¨ achen sind also zweidimensionale Mannigfaltigkeiten. Die Zahlenebene C ist eine Riemannsche Fl¨ache. Jede offene Teilmenge einer Riemannschen Fl¨ ache ist selbst eine Riemannsche Fl¨ache. Folgende offene Teilmengen von C sind daher Riemannsche Fl¨ achen: ur r > 0 , die Kreisscheiben Er := {z ∈ C : |z| < r} f¨ insbesondere die Einheitskreisscheibe E := E1 , die obere Halbebene H := {z ∈ C : Im z > 0} und die punktierte Ebene C× := C \ {0} .

Historisches. Atlanten finden sich in Kleins G¨ottinger Vorlesungen des Wintersemesters 1891/92 u ¨ber Riemannsche Fl¨ achen, siehe [Klei 4], S. 26: Eine zweidimen” sionale, geschlossene, mit einem Bogenelement ds2 ausgestattete Mannigfaltigkeit [= kompakte Fl¨ ache mit einer Riemannschen Metrik], welche keine Doppelmannigfaltigkeit [d.h. orientierbar] ist, ist jedenfalls dann als Riemannsche Fl¨ache zu brauchen, wenn man sie mit einer endlichen Zahl von Bereichen dachziegelartig u ¨berdecken kann, deren jeder eindeutig und konform auf eine schlichte Kreisscheibe abgebildet werden kann.“ Die Dachziegel¨ uberdeckungen sind holomorphe Atlanten. ¨ Der Ubergang zwischen Dachziegeln (Kartenwechsel) ist wegen der Konformit¨ at automatisch biholomorph. Atlanten mit unendlich vielen Karten sind f¨ ur Klein noch suspekt.– Weyl vergißt in [Wyl 1] das Hausdorffsche Trennungsaxiom zu fordern. Die Karten nennt er Ortsuniformisierende.

 := C ⊎ {∞} entsteht aus der 1.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel C Zahlenebene C , indem man einen unendlich fernen Punkt ∞ hinzuf¨ ugt und  mit folgender Definition zun¨ C achst zu einem Hausdorffraum macht:  sind die offenen Mengen in C und die Mengen Die offenen Mengen in C (C \ K) ∪ {∞} , wobei K alle Kompakta in C durchl¨ auft. Die Umgebungen von ∞ sind also die Komplemente der Kompakta in C .  besteht aus den zwei Karten (C, id) und (C  \ {0}, h) , Ein Atlas f¨ ur C wobei h(z) = 1/z f¨ ur z = ∞ und h(∞) = 0 ist. Der Kartenwechsel  zu h ◦ id−1 : C× → C× , z → 1/z , ist holomorph. Der Atlas macht C einer Riemannschen Fl¨ ache, die zur Sph¨ are S 2 := {(w, t) ∈ C × R : |w|2 + t2 = 1} hom¨oomorph ist. Denn die stereographische Projektion (Figur 1.1.2)  , π(w, t) := w/(1 − t) f¨ (1) π : S 2 → C ur t = 1 und π(0, 1) := ∞ ,  wie ist bijektiv und stetig, also ein Hom¨ oomorphismus. Insbesondere ist C angend. S 2 kompakt und zusammenh¨

Wir geben die Umkehrabbildung π −1 explizit an: Sei N := (0, 1) ∈ S 2 der Nordpol. Die Gerade durch N und x = (w, t) = N besteht aus den Punkten sx + (1 − s)N = (sw, st + 1 − s) , s ∈ R . ¨ Sie schneidet die Aquatorebene {t = 0} in π(x) = (z, 0). Das trifft f¨ ur z = sw mit s := 1/(1 − t) zu. Aus |w|2 + t2 = |x|2 = 1 und w = (1 − t)z erh¨ alt man nach kurzer Rechnung f¨ ur die Umkehrabbildung neben π −1 (∞) = N die Gleichungen

1.1 Riemannsche Fl¨ achen und ihre Abbildungen

5

t-Achse

x

w-Ebene

•

• /(x)

Fig. 1.1.2. Die stereographische Projektion π : Man zieht eine Gerade durch den Nordpol und x ∈ S 2 . Sie trifft die komplexe w-Ebene in π(x) .

|z|2 − 1 2z 2z |z|2 − 1 . + N , d.h. w = , t = |z|2 + 1 |z|2 + 1 |z|2 + 1 |z|2 + 1  ist somit ein reell-analytischer Isomorphismus, Die Abbildung π : S 2 → C 2 der S \ {N } konform, d.h. winkel- und orientierungstreu, auf C abgebildet. π −1 (z) = x =

Riemann f¨ uhrte die Zahlenkugel im Wintersemester 1858/59 in seinen Vorlesungen u ¨ber die hypergeometrische Reihe, ein [Werke, 3. Aufl., S. 678/79]. In seinen Publikationen kommt sie nicht explizit vor. Die erste Ver¨offentlichung, die (unter Berufung auf Riemanns Vorlesungen) die Zahlenkugel enth¨ alt, stammt von Neumann [Neu], S. VI und S. 131 ff., siehe auch [Klei 1] II, S. 256.

1.1.3 Holomorphe Abbildungen. Eine stetige Abbildung η : X → Y zwischen Riemannschen Fl¨achen heißt holomorph, wenn sie die holomorphen Funktionen in Y zu holomorphen Funktionen in X liftet: ur jede  offene  F¨ Menge V ⊂ Y und jede Funktion g ∈ O(V ) ist g ◦ η ∈ O η −1 (V ) . Das Lokal-Global-Prinzip gilt auch f¨ ur holomorphe Abbildungen. Jede Hintereinanderschaltung holomorpher Abbildungen ist holomorph. Die holomorphen Abbildungen X → C sind die auf X holomorphen Funktionen. Eine bijektive, holomorphe Abbildung η : X → Y , deren Umkehrabbildung η −1 : Y → X holomorph ist, heißt biholomorph oder Isomorphismus. Die Fl¨ achen X und Y heißen dann isomorph, kurz X ≈ Y . F¨ ur jedes r > 0 ache U heißt Scheibe (mit dem Zentrum gilt Er ≈ E . Eine Riemannsche Fl¨ a) , wenn es einen Isomorphismus η : U → E (mit η(a) = 0) gibt. Die obere Halbebene ist wegen der Cayleyschen Abbildung H → E , z → (z − i)/(z + i) , eine Scheibe mit dem Zentrum i. Wir nennen η bei a ∈ X biholomorph, wenn a eine Umgebung U besitzt, so daß η(U ) ⊂ Y offen und die Beschr¨ ankung η : U → η(U ) biholomorph ist. Wenn η bei jeder Stelle biholomorph ist, heißt η lokal biholomorph. Isomorphismen X → X heißen Automorphismen. Sie bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verkn¨ upfung die Automorphismengruppe Aut(X) . Zu jeder holomorphen Abbildung η : X → Y geh¨ ort die Deckgruppe D(η) := {g ∈ Aut(X) : η ◦ g = η} . Ihre Elemente heißen Deckabbildungen zu η .

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1. Grundlagen

Beispiele. Die Exponentialabbildung exp : C → C× , z → ez , ist lokal biholomorph. Die Translationen z → z + 2πin, n ∈ Z , geh¨ oren zu D(exp) .– Bei ur n = 1, 2, . . . geh¨ ort zu jeder der Potenzabbildung ηn : E → E, z → z n , f¨ n-ten Einheitswurzel ω die Deckabbildung z → ωz . In beiden F¨ allen gibt es keine anderen Deckabbildungen, also D(exp) ∼ =Z und D(ηn ) ∼ = µn := multiplikative Gruppe der n-ten Einheitswurzeln. 1.1.4 Meromorphe Funktionen. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt lokal endlich, wenn in jedem Kompaktum K ⊂ X nur endlich viele Punkte von A liegen. Sei f : X \A → C holomorph, wobei A lokal endlich in X ist. F¨ ur jedes a ∈ A und jede Karte z : (U, a) → (E, 0) mit hinreichend kleinem Definitionsbereich U ist f auf U \{a}  holomorph und hat dort eine normal ∞ konvergente Laurent-Darstellung f = j=−∞ cj z j . Genau dann, wenn ihr  stetig fortsetzen. Hauptteil endlich ist, l¨ aßt sich f mit einem Wert f (a) ∈ C Man nennt diese Fortsetzung meromorph. Falls f (a) = ∞ ist, heißt a ein Pol von f . Wenn sich f in alle Punkte a ∈ A meromorph fortsetzen l¨ aßt, heißt die fortgesetzte Funktion meromorph. Die meromorphen Funktionen  , deren Polstellenmenge sind genau die holomorphen Abbildungen f : X → C −1 f (∞) lokal endlich ist. Satz. Die Menge M(X) aller auf X meromorphen Funktionen ist ein Ring, welcher O(X) umfaßt. Wenn f ∈ M(X) eine lokal endliche Nullstellenmenge hat, geh¨ ort 1/f zu M(X) .
1.1.5 Lokale und globale Funktionentheorie. Jeder Punkt einer Riemannschen Fl¨ ache ist Zentrum einer Scheibe, die in X offen ist. Daher lassen sich alle S¨ atze der klassischen Funktionentheorie, die im Kleinen g¨ ultig sind, auf Riemannsche Fl¨ achen u ¨bertragen. Interessant werden diese Fl¨ achen erst dann, wenn man fragt, welche Auswirkungen ihre globale topologische Gestalt auf die Funktionentheorie hat. Auf kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen sind alle holomorphen Funktionen konstant, siehe 1.3.5. F¨ ur eine reichhaltige Theorie muß man meromorphe Funktionen einbeziehen. Auf der Zahlenkugel sind diese genau die rationalen Funkionen, siehe 1.6.5. Jede kompakte zusammenh¨angende Riemannsche Fl¨ache ist eine Brezelfl¨ ache. Solche Fl¨ achen werden topologisch durch ihr Geschlecht g unterschieden, welches anschaulich die Anzahl der L¨ ocher oder der Henkel angibt, siehe Figur 1.1.5. Kapitel 12 enth¨ alt die genaue Darstellung. In einem Vortrag vor Gymnasiallehrern sagt Weyl, [Wyl 2] III, no. 95, S. 354 unten: Wie ein ” Sauerteig durchdringt die Geschlechtszahl die ganze Theorie der Funktionen auf einer Riemannschen Fl¨ ache. Auf Schritt und Tritt begegnet man ihr, und ihre Rolle ist unmittelbar, ohne komplizierte Rechnungen, verst¨ andlich von ihrer topologischen Bedeutung her.“

1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip

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Fig. 1.1.5. Kompakte Fl¨ achen vom Geschlecht 0 (Sph¨ are), 1 (Torus), 2 und 3 (Brezelfl¨ achen).

Bereits bei den Tori (g = 1) ist die Funktionentheorie reichhaltig (2. Kapitel). Je zwei Tori sind hom¨ oomorph, aber als Riemannsche Fl¨ achen i.a. nicht isomorph. Im 5. Kapitel betrachten wir ihre holomorphe Klassifikation. ¨ In den Kapiteln 3, 4 und 6 werden verschiedenen Methoden (Uberlagerungen, Gruppenoperationen, L¨ osungen algebraischer Gleichungen) entwickelt, um weitere Riemannsche Fl¨achen herzustellen. Vom 7. Kapitel an wird f¨ ur beliebige Fl¨ achen systematisch untersucht, wie ihre topologische Gestalt die Funktionentheorie beeinflußt.

1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip Bei gegebener Abbildung η : X → Y soll eine auf Y bzw. X vorhandene holomorphe Struktur nach X hochgehoben (Liftungsprinzip 1.2.1) bzw. nach Y abgesenkt (Quotientenprinzip 1.2.5) werden, so daß in beiden F¨ allen η zu einer lokalen biholomorphen Abbildung zwischen Riemannschen Fl¨ achen wird. Beide Prinzipien liefern neue Riemannsche Fl¨ achen. 1.2.1 Das Liftungsprinzip geht auf Riemanns Dissertation [Ri 2], 5. Abschnitt, zur¨ uck, wo er eine Fl¨ache T u ¨ber der Ebene A ausbreitet und sodann holomorphe Funktionen definiert, deren Definitionsbereiche in T liegen. Eine Abbildung η : X → Y zwischen topologischen R¨aumen heißt lokal topologisch, wenn jeder Punkt in X eine Umgebung U besitzt, die durch η hom¨oomorph auf die offene Menge η(U ) ⊂ Y abgebildet wird.

Liftungsprinzip. Sei η : X → Y eine lokal topologische Abbildung von einem Hausdorff raum X in eine Riemannsche Fl¨ ache Y . Dann gibt es auf X genau eine holomorphe Struktur, so daß η lokal biholomorph wird. Beweis. Jeder Punkt in X liegt in einer offenen Menge Ui , welche durch η hom¨oomorph auf dem Definitionsbereich einer holomorphen Karte (Vi , ki )

8

1. Grundlagen

von Y abgebildet wird. Mit hi := ki ◦ η|Ui erh¨ alt man den Atlas A = {(Ui , hi )} f¨ ur X . Seine Kartenwechsel hj ◦ h−1 = kj ◦ ki−1 sind holomorph. i Wenn man X mit der durch A bestimmten holomorphen Struktur versieht, wird η lokal biholomorph. Umgekehrt: F¨ ur jede holomorphe Struktur O auf X , welche η lokal biholomorph macht, sind die oben beschriebenen Karten
(Ui , hi ) holomorph. Daher ist O eindeutig bestimmt. Das Liftungsprinzips wird benutzt, um Riemannsche Fl¨ achen durch Polynome zu definieren. Die n¨ achsten beiden Abschnitte dienen der Vorbereitung. 1.2.2 Absch¨ atzung der Wurzeln. Sei Q := w n +c1 wn−1 +. . .+cn ∈ C[w] . F¨ ur jede Wurzel u von Q gilt |u| ≤ 2 max{|cj |1/j : j = 1, . . . , n} . Wenn umgekehrt alle Wurzeln von Q durch R beschr¨ ankt sind, gibt es eine nur von R abh¨ angige Schranke M , so daß |cj | ≤ M f¨ ur j = 1, . . . , n gilt. 1/j Beweis. Sei r := max{|cj | : j = 1, . . . , n} > 0. F¨ ur v := u/r ist dann rn + (c1 /r)v n−1 + . . . + (cn /rn = 0 , somit |v|n ≤ |v|n−1 + . . . + |v| + 1 . Im Falle |v| > 2 w¨are 1 ≤ |v|−1 + . . . + |v|−n < 2−1 + . . . + 2−n < 1 . Es folgt |v| ≤ 2 , also |u| ≤ 2 r .– Die umgekehrte Behauptung ist klar, da die Koeffizienten cj die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln von Q sind.
1.2.3 Holomorphie der Wurzeln. Wir betrachten ein normiertes Polynom (1) P (y, w) := w n + a1 (y)wn−1 + . . . + an−1 (y)w + an (y) , dessen Koeffizienten aν holomorphe Funktionen auf einer Riemannschen Fl¨ ache Y sind. F¨ ur jeden Punkt (b, c) ∈ Y ×C bezeichnen wir mit k(b , c) ∈ N die Vielfachheit von c als Wurzel von P (b, w) ∈ C[w] . Satz. Sei b ∈ Y , und sei f holomorph um c ∈ C . Es gibt Scheiben V um b und W um c , so daß die endliche Summe  k(y, w)f (w) (2) F (y) := w∈W

holomorph von y ∈ V abh¨ angt. Beweis. Sei W eine Scheibe um c , so daß f holomorph in W und P (b, w) nullstellenfrei in W \ {c} ist. Es gibt eine Scheibe V um b , so daß P auf V × ∂W keine Nullstellen hat. Nach [Re 1], Abschnitt 13.2.1, l¨ aß sich F (y) f¨ ur y ∈ V als Integral darstellen, welches holomorph von y abh¨ angt:  Pw (y, t) 1 f (t) dt mit Pw := ∂P/∂w .
F (y) = 2πi ∂W P (y, t)

Folgerung. Sei k := k(b, c) . Es gibt Scheiben V um b ∈ Y und W um c ∈ C , so daß f¨ ur jedes y ∈ V genau k mit Vielfachheiten gez¨ ahlte Wurzeln von P (y, w) in W liegen. F¨ ur k = 1 ist die Funktion g : V → W , die jedem y die einzige Wurzel g(y) ∈ W von P (y, w) zuordnet, holomorph. Beweis : F¨ ur die erste Behauptung wendet man den Satz auf f (w) := 1 an und f¨ ur die zweite auf f (w) := w .


1.2 Liftungs - und Quotientenprinzip

9

C f c X d b

Y

Fig. 1.2.4. Reelles Bild der Nullstellenmenge eines Polynoms 3. Grades mit einfachen Wurzeln.

1.2.4 Nullstellengebilde. Wir behalten die Bezeichnungen aus 1.2.3 bei und bilden, vgl. Figur 1.2.4, die Nullstellenmenge X := {(y, w) ∈ Y × C : P (y, w) = 0} mit den beiden stetigen Projektionen η : X → Y , (y, w) → y , f : X → C , (y, w) → w . Lemma. Die Projektion η : X → Y ist endlich, d.h. jede η-Faser ist endlich, und f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ Y ist η −1 (K) ⊂ X kompakt. Beweis. Jede η-Faser hat ≤ n Punkte. Wenn man die Koeffizientenfunktionen von P auf K beschr¨ankt, ist ihre Wertemenge beschr¨ ankt. Aus 1.2.2 → C ist beschr¨ a nkt, d.h. es gibt ein Kompakfolgt: Die Funktion f : η −1 (K)  tum L ⊂ C mit f η −1 (K) ⊂ L . Dann ist η −1 (K) ⊂ K × L kompakt.


Satz. Wenn das Polynom P f¨ ur alle y ∈ Y einfache Wurzeln hat, gibt es auf X genau eine holomorphe Struktur, so daß η : X → Y lokal biholomorph und f : X → C holomorph ist. Jede Faser η −1(y) wird durch f bijektiv auf die n Wurzeln von P (y, w) abgebildet. Beweis. Sei (b, c) ∈ X . Wir wenden die Folgerung in 1.2.3 an. Es gibt Umgebungen V von b und W von c , so daß P (y, w) f¨ ur jedes y ∈ V genau eine Wurzel g(y) ∈ W besitzt. Diese h¨angt holomorph von y ab. Die Umgebung (V × W ) ∩ X von (b, c) wird durch η hom¨oomorph auf V abgebildet. Die  Umkehrabbildung lautet y → y, g(y) .– Nach dem Liftungsprinzip 1.2.1 wird X zu einer Riemannschen Fl¨ ache und η zu einer lokal biholomorphen Abbildung. Die Funktion f ist holomorph; denn in der Umgebung von (b, c) gilt f = g ◦ η .
Wir nennen (X, η, f ) das Nullstellengebilde des Polynoms P .– In 6.2.5 wird die Konstruktion solcher Gebilde unter Einbeziehung mehrfacher Wurzeln des Polynoms fortgesetzt. 1.2.5 Quotientenprinzip. Sei η : X → Y eine lokal topologische Abbildung von einer Riemannschen Fl¨ ache X auf einen Hausdorff raum Y . Wenn es zu je zwei Punkten a und b aus X , die in derselben η-Faser liegen, Umgebungen U bzw. V und einen Isomorphismus ϕ : U → V mit ϕ(a) = b und η ◦ ϕ = η|U gibt, existiert auf Y genau eine holomorphe Struktur, so daß η lokal biholomorph ist.

10

1. Grundlagen

Beweis. Die Fl¨ ache X besitzt einen holomorphen Atlas A = {(U, h)} , dessen Kartenbereiche U so klein sind, daß η : U → η(U ) ein Hom¨oomorphismus ur Y . Sind n¨ amlich ist. Dann ist {(η(U ), h◦(η|U )−1 } ein holomorpher Atlas f¨ (U, h), (V, k) ∈ A und a ∈ U , b ∈ V mit η(a) = η(b) := c , so gibt es Umgebungen U ′ ⊂ U und V ′ ⊂ V von a bzw. b sowie eine biholomorphe Abbildung ϕ : U ′ → V ′ mit η ◦ ϕ = η|U ′ und ϕ(a) = b . Dann ist (η|V ′ )−1 ◦η|U ′ = ϕ|U ′ . In einer Umgebung von h ◦ (η|U )−1 (c) ist der Kartenwechsel k◦(η|V )−1 ◦(η|U )◦h−1 die biholomorphe Abbildung k ◦ ϕ ◦ h−1 . Da h ◦ (η|U )−1 und h biholomorph sind, ist η|U biholomorph, also η lokal biholomorph. Die Eindeutigkeit der holomorphen Struktur auf Y folgt direkt.
1.2.6 Komplexe Tori. Die Kreislinie S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe C× aller komplexen Zahlen = 0 . Das kartesische Produkt S 1 × S 1 ist ein Torus, siehe Figur 1.1.5. Um ihn mit einer holomorphen Struktur zu versehen, bilden wir mit zwei reell linear unabh¨ angigen Zahlen ω1 , ω2 ∈ C das Gitter Ω = Zω1 + Zω2 ⊂ C aller ganzzahligen Linearkombinationen n1 ω1 +n2 ω2 , siehe Figur 1.2.6. Jede komplexe Zahl l¨ aßt sich eindeutig als z = t1 ω1 + t2 ω2 mit reellen tj darstellen. Folgende Torusprojektion ist ein Gruppenepimorphismus mit dem Kern Ω :  1 1 (1) η : C → S × S , t1 ω1 + t2 ω2 → exp(2πit1 ), exp(2πit2 ) .

t2 •

°

•t 1 Fig. 1.2.6. Die Ecken der Parallelogramme bilden das Gitter Zω1 + Zω2 ⊂ C .

Satz. Der Torus S 1 ×S 1 besitzt genau eine holomorphe Struktur, so daß η lokal biholomorph ist. Die Deckgruppe D(η) besteht aus allen Translationen C → C, z → z + ω , mit ω ∈ Ω . Beweis. Jeder Punkt in C besitzt eine Umgebung U , so daß U ∩(ω +U ) = ∅ f¨ ur alle ω ∈ Ω, ω = 0 gilt. Das Bild η(U ) ⊂ S 1 × S 1 ist offen, und U wird durch η hom¨oomorph auf η(U ) abgebildet. Daher ist η lokal topologisch. Zu je zwei Punkten a, b in derselben η-Faser gibt es ein ω ∈ Ω mit b = a + ω . Die Isomorphismus-Bedingung in 1.2.5 wird durch U = V = C und die Abbildung ϕ(z) = z + ω erf¨ ullt.– Weil η ein Gruppenepimorphismus mit dem Kern Ω ist, besteht D(η) aus den Translationen z → z + ω .


Mit dem durch (1) induzierten Isomorphismus ηˆ : C/Ω → S 1 × S 1 der Gruppen wird die topologische und holomorphe Struktur von S 1 × S 1 auf

1.3 Holomorphe Abbildungen

11

die Faktorgruppe C/Ω u ¨bertragen. Die u ¨bertragenen Strukturen h¨ angt nur von Ω und nicht von der Wahl der Basis ω1 , ω2 ab, die zur Definition von η benutzt wurde. Denn mit der Restklassenprojektion p : C → C/Ω  −1gilt:  −1 V ⊂ C/Ω offen ⇔ p (V ) ⊂ C offen. f ∈ O(V ) ⇔ f ◦ p ∈ O p (V ) . Somit ist C/Ω eine wohldefinierte kompakte Riemannsche Fl¨ ache. Sie heißt (komplexer) Torus. Tori zu verschiedenen Gittern sind zwar hom¨ oomorph, aber im allgemeinen als Riemannsche Fl¨ achen nicht isomorph, siehe 3.3.2. Die Funktionentheorie der Tori ist Gegenstand des 2. Kapitels.

1.3 Holomorphe Abbildungen Holomorphe Abbildungen haben lokal dieselbe Gestalt wie E → E, z → z n , f¨ ur n ∈ N . Dieses Ergebnis wird im folgenden pr¨ azisiert, bewiesen und angewendet.– Mit W, X, Y und Z werden Riemannsche Fl¨achen bezeichnet. Wir benutzen bei stetigen Abbildungen folgende Notation und Terminologie: Wenn η : X → Y bei a ∈ X den Wert b = η(a) hat, schreiben wir η : (X, a) → (Y, b) . Wir nennen η bei a konstant, wenn η auf einer Umgebung von a konstant ist. Wenn η bei keiner Stelle konstant ist, heißt η nirgends konstant. Die Abbildung η heißt offen (abgeschlossen), wenn jede offene (abgeschlossene) Teilmenge A ⊂ X ein offenes (abgeschlossenes) Bild η(A) ⊂ Y hat. 1.3.1 Lokale Darstellung. Windungszahl. Sei η : (X, a) → (Y, b) stetig. Wir w¨ ahlen Karten h : (U, a) → (U ′ , a′ ) und k : (V, b) → (V ′ , b′ ) auf X bzw. Y und erreichen η(U ) ⊂ V durch Verkleinern von U . Die Funktion (1) f := k ◦ (η|U ) ◦ h−1 : (U ′ , a′ ) → (V ′ , b′ ) zwischen offenen Mengen in C heißt (lokale) Darstellung von η . Sie ist genau dann klassisch holomorph, wenn η|U holomorph ist. Wenn man andere Karten (U∗ , h∗ ) und (V∗ , k∗ ) w¨ahlt, besteht zwischen den Darstellungen f und f∗ := k∗ ◦ η ◦ h−1 die Gleichung ∗ (2) f∗ ◦ (h∗ ◦ h−1 ) = (k∗ ◦ k −1 ) ◦ f auf h(U ∩ U∗ ) . Dabei sind h∗ ◦ h−1 : h(U ∩ U∗ ) → h∗ (U ∩ U∗ ) und k∗ ◦ k −1 : k(V ∩ V∗ ) → k∗ (V ∩ V∗ ) biholomorphe Abbildungen zwischen offenen Mengen in C . Wenn η holomorph und bei a nicht konstant ist, hat f − b′ bei a′ eine ur Ordnung n = o(f − b′ , a′ ) ∈ {1, 2, · · ·} , welche dadurch definiert ist, daß f¨ die Ableitungen f ′ (a′ ) = . . . = f (n−1) (a′ ) = 0, f (n) (a′ ) = 0 gilt, siehe [Re 1], Abschnitt 8.1.4. Wir definieren die Windungszahl v(η, a) := o(f − b′ , a′ ) und setzen v(η, a) := ∞ , wenn η bei a konstant ist. Satz. Die Windungszahl ist unabh¨ angig von der Darstellung. Sie ist genau dann = 1 , wenn η bei a biholomorph ist. Mit ζ : (Y, b) → (Z, c) gilt: (3) v(ζ ◦ η, a) = v(ζ, b) · v(η, a) .

12

1. Grundlagen

Bez¨ uglich jeder Darstellung (1) gilt mit der f′  ′ Ableitung  v(η, a) = 1 + o f , h(a) . Beweis. Wegen (2) ergeben zwei Darstellungen f und f∗ dieselbe Windungszahl. Die u ¨brigen Aussagen folgen mittels lokaler Darstellungen aus dem klassischen Fall.
Die Punkte x ∈ X , wo v(η, x) ≥ 2 ist, heißen Windungspunkte und ihre Bilder η(x) ∈ Y Verzweigungspunkte von η . Der Verzweigungsort B ⊂ Y ist die Menge aller Verzweigungspunkte. Zum Beispiel ist πZ die Menge der Windungspunkte der Cosinusfunktion cos : C → C und {1, −1} ihr Verzweigungsort. 1.3.2 Lokale Normalform. Zu jeder holomorphen Funktion f : (X, a) → (C, 0) mit n := v(f, a) ≥ 1 , gibt es ein r > 0 und eine Karte h : (U, a) → (Er , 0) , so daß f |U = hn ist.

Beweis. Sei z : (U, a) → (E, 0) eine Karte. Dann ist f |U eine Potenzreihe in z , welche mit der n-ten Potenz beginnt, also f |U = z n · g mit g ∈ O(U ) und g(a) = 0 . Nach Verkleinern von U kann man aus g die n-te Wurzel ziehen: Es gibt ein h ∈ O(U ) mit hn = f |U , und v(h, a) = 1 . Insbesondere ist h bei a biholomorph, d.h. eine verkleinerte Umgebung U wird durch h
biholomorph auf eine Kreisscheibe Er abgebildet. Folgerung. Sei η : (X, a) → (Y, b) holomorph und v(η, a) ≥ 1 . F¨ ur jede hinreichend kleine Scheibe U um a gilt: ur alle x ∈ U\{a} ist v(η, x) = 1 .– η|U ist offen.– η −1 (b) ∩ U = {a} .– F¨ Genau dann, wenn η bei a biholomorph ist, gilt v(η, a) = 1 .

Beweis. Man w¨ ahlt eine Karte k : (V, b) → (E, 0) und benutzt die lokale
Normalform f¨ ur f := k ◦ η auf η −1(V ) . Die Folgerung ergibt sofort den 1.3.3 Offenheitssatz. Jede nirgends konstante holomorphe Abbildung η : X → Y ist offen. Jede Faser und die Menge aller Windungspunkte ist lokal endlich. Wenn η injektiv ist, wird X biholomorph auf die offene Menge η(X) ⊂ Y abgebildet. Der Verzweigungsort ist i.a. nicht lokal endlich, siehe Aufgabe 4.9.9. 1.3.4 Analytische Mengen. Eine abgeschlossene Menge A ⊂ X heißt analytisch, wenn jeder Punkt in A eine Umgebung U besitzt, so daß U ∩ A die Nullstellenmenge N (f ) einer Funktion f ∈ O(U ) ist. Satz. Sei X zusammenh¨ angend und A ⊂ X analytisch. Dann ist entweder A = X , oder A ist lokal endlich in X . Beweis. Die Menge M ⊂ X der H¨ aufungspunkte von A ist abgeschlossen und liegt in A. Zu jedem a ∈ M gibt es eine Umgebung U ⊂ X und ein f ∈ O(U ) mit U ∩ A = N (f ) . Nach dem klassischen Identit¨atssatz ist a

1.3 Holomorphe Abbildungen

13

ein innerer Punkt von N (f ) . Daher ist M offen in X , also M = X , oder M = ∅ . Im ersten Fall ist A = X . Im zweiten Fall ist A lokal endlich.
Folgerung (Identit¨ atssatz). Sei X zusammenh¨ angend und seien η, ϕ : X → Y zwei holomorphe Abbildungen. Wenn A := {x ∈ X : η(x) = ϕ(x)} einen H¨ aufungspunkt hat, ist η = ϕ . Insbesondere ist jede nicht-konstante holomorphe Abbildung η offen. Beweis. Die Menge A ist abgeschlossen. Jeder Punkt in A besitzt eine Umgebung U , so daß η(U ) und ϕ(U ) im Definitionsbereich einer Karte (V, h) von Y liegen. Wegen U ∩ A = N (k ◦ ϕ − k ◦ η) ist A ⊂ X analytisch, und die erste Behauptung folgt aus dem Satz.– Insbesondere ist jede nicht-konstante Abbildung nirgends konstant, also offen wegen 1.3.3.
1.3.5 Maximumprinzip. Sei X zusammenh¨ angend und f : X → C holomorph. Wenn |f | oder Re f oder Im f an einer Stelle in X ein lokales Maximum hat, ist f konstant. Auf kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen ist jede holomorphe Funktion konstant. Beweis. Wenn es ein lokales Maximum bei a gibt, kann f nicht offen sein, da keine Umgebung von f (a) in f (X) enthalten ist. Wegen der letzten Folgerung ist f dann konstant.
1.3.6 Hebbare Singularit¨ aten. Folgendes Ergebnis l¨ aßt sich direkt aus der klassischen Funktionentheorie u ¨bertragen. Fortsetzungssatz. Jede Funktion f ∈ O(X\{a}) , die um a beschr¨ ankt ist, l¨ aßt sich holomorph nach a fortsetzen.
Folgerung (Hebbarkeitssatz). Sei η : X → Y eine stetige Abbildung zwischen Riemannschen Fl¨ achen, die außerhalb einer lokal endlichen Teilmenge A ⊂ X holomorph ist. Dann ist η auf ganz X holomorph.
1.3.7 Zwei Holomorphiekriterien. Die Hintereinanderschaltung holomorpher Abbildungen ist holomorph. Wir beweisen zwei Umkehrungen. (1) F¨ ur jede stetige Abbildung ϕ : W → X und jede offene holomorphe Abbildung η : X → Y gilt: Wenn η ◦ ϕ holomorph ist, dann auch ϕ . Beweis. Sei c ∈ W , ϕ(c) = : a und η(a) = : b . Wenn η◦ϕ bei c lokal konstant ist, gibt es eine Scheibe V um c mit ϕ(V ) ⊂ η −1 (b) . Da die Faser η −1 (b) lokal endlich ist, folgt ϕ(V ) ⊂ {a} . Somit ist ϕ bei c konstant und daher holomorph.– Wenn η ◦ ϕ bei c nicht lokal konstant ist, gen¨ ugt es wegen des Hebbarkeitssatzes, eine Umgebung V von c zu finden, so daß ϕ an jeder Stelle w ∈ V \ {c} holomorph ist: Nach den Folgerungen in 1.3.2 gibt es eine Umgebung U von a mit v(η, x) = 1 f¨ ur alle x ∈ U \ {a} , sowie eine Umgebung V von c , so daß ϕ(V ) ⊂ U und b ∈ η ◦ ϕ(V \ {c}) ist. Dann gilt v(η, ϕ(w)) = 1 f¨ ur alle w ∈ V \ {c} . Daraus folgt, daß ϕ bei w holomorph ist. Denn auf einer Scheibe S um ϕ(w) ist η biholomorph, und auf ϕ−1 (S) ist dann ϕ = (η|S)−1 ◦ (η ◦ ϕ) holomorph.


14

1. Grundlagen

(2) F¨ ur jede surjektive, offene holomorphe Abbildung η : X → Y und jede stetige Abbildung ψ : Y → Z gilt: Wenn ψ ◦ η holomorph ist, dann auch ψ . Beweis. Die Menge A der Windungspunkte von η ist lokal endlich in X . aßt sich Daher ist B := {y ∈ Y : η −1 (y) ⊂ A} lokal endlich in Y . Denn X l¨ durch offene Mengen U u ¨berdecken, f¨ ur die A ∩ U endlich ist. Dann wird Y durch die offenen Mengen η(U ) u ¨berdeckt, und jeder Durchschnitt B ∩ η(U ) ist endlich.– Wegen des Hebbarkeitssatzes gen¨ ugt es zu zeigen, daß ψ bei jeder Stelle y ∈ Y \ B holomorph ist. Es gibt ein x ∈ X\ A mit y = η(x) . Eine Umgebung U von x wird durch η biholomorph auf die Umgebung η(U ) von y abgebildet wird. Daher ist ψ|η(U ) = ψ ◦ η ◦ (η|U )−1 holomorph.
1.3.8 Faktorisierungssatz. Sei η : X → Y surjektiv, offen und holomorph. Sei ζ : X → Z holomorph und auf jeder η-Faser konstant. Dann faktorisiert ζ u ¨ber η , d.h. es gibt genau eine holomorphe Abbildung ψ : Y → Z , so daß ζ = ψ ◦ η ist. Wenn ζ und η dieselben Fasern haben, ist ψ ein Isomorphismus. Beweis. Die Existenz und Eindeutigkeit von ψ ist klar. F¨ ur jede offene Menge W ⊂ Z ist ζ −1 (W ) ⊂ X offen, also ψ −1 (W ) = η(ζ −1 (W )) ⊂ Y offen, weil η offen ist. Daher ist ψ stetig und wegen 1.3.7(2) holomorph. Bei gleichen Fasern ist ψ bijektiv, also nach dem Offenheitssatz ein Isomorphismus.
Beispiel. Sei ζ : C → C eine 1-periodische holomorphe Funktion. Dann gibt es genau eine holomorpheFunktion ψ : C× → C , so daß ζ(z) = ∞ n die Laurent-Reihe. Dann ist ψ ◦ exp(2πiz) ist. Sei ψ(w) = n= −∞ an w ∞ ζ(z) = n=−∞ an exp(2πinz) die Fourier-Reihe.

¨ 1.4. Endliche Abbildungen. Uberlagerungen Aus Riemanns Beschreibung der Ausbreitung einer Fl¨ ache u ¨ber der Zahlen¨ ebene in [Ri 2], Abschnitt 5, ist der Uberlagerungsbegriff entstanden. Um seine genaue Definition zu motivieren, beginnen wir mit Windungsabbildungen.– Mit X, Y und Z werden Riemannsche Fl¨achen bezeichnet. 1.4.1 Windungsabbildungen. Eine holomorphe Abbildung zwischen Scheiben η : (U, a) → (V, b) heißt Windungsabbildung, wenn es Isomorphismen h : (U, a) → (E, 0) und k : (V, b) → (E, 0) gibt, so daß k ◦ η = hn gilt, wobei die Windungszahl n := v(η, a) ≥ 1 ist: (U,⏐a) ⏐ h ≈ (E, 0)

η

−−−→ z →z n

(V,⏐b) ⏐ k ≈

−−−→ (E, 0) .

Jede Faser u ¨ ber V \ {b} hat genau n Punkte. Aus dem Lemma in 1.2.4, angewendet auf Y = E und P (y, w) = w n − y , folgt: (1) Windungsabbildungen sind endlich.


¨ 1.4. Endliche Abbildungen. Uberlagerungen

15

Satz. Sei η : X → Y holomorph und offen. (i) Wenn durch Beschr¨ ankung von η eine Windungsabbildung U → V entsteht, ist U eine Komponente von η −1 (V ) . (ii) Zu jedem b ∈ Y und jeder endlichen Menge {a1 , . . . , am } ⊂ η −1 (b) gibt ankung es Scheiben (V, b) und (U1 , a1 ), . . . , (Um , am ) , so daß jede Beschr¨ ηj : (Uj , aj ) → (V, b) von η eine Windungsabbildung ist. Beweis. (i) Es gen¨ ugt zu zeigen, daß f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ η −1 (V ) der Durchschnitt K ∩ U kompakt ist. Denn dann ist U abgeschlossen in η −1 (V ) und somit eine Komponente. Das Bild L := η(K) ist kompakt. Dasselbe gilt f¨ ur (η|U )−1 (L) = η −1 (L) ∩ U , weil die Windungsabbildung η|U eigentlich ist. Dann ist auch K ∩ U = K ∩ η −1 (L) ∩ U kompakt. (ii) Es gen¨ ugt, den Spezialfall (Y, b) = (C, 0) zu betrachten. Sei nj := → v(η, aj ) . Wegen der lokalen Normalform 1.3.2 gibt es Karten gj : (Wj , aj )√ n n (Eρj , 0) , so daß η|Wj = gj j ist. Sei s := min{ρj j : j = 1, . . . , m} , rj := nj s ankung ηj : und Uj := {x ∈ Wj : |gj (x)| < rj } . Dann ist jede Beschr¨ (Uj , aj ) → (Es , 0) eine Windungsabbildung.
1.4.2 Eigentliche Abbildungen sind stetige Abbildungen, bei denen die Urbilder kompakter Mengen kompakt bleiben. Lemma. Jede eigentliche Abbildung η : X → Y ist abgeschlossen. Beweis. Sei A ⊂ X abgeschlossen. Wir finden zu jedem b ∈ Y \ η(A) eine Umgebung W , die η(A) nicht trifft: Es gibt eine Umgebung V von b mit also auch V¯ ∩ η(A) = kompakter H¨ ulle V¯ . Daher ist η −1 (V¯ ) ∩ A kompakt,   −1 ¯ ¯ η η (V ) ∩ A . Dann ist W := V \ V ∩ η(A) die gesuchte Umgebung.
1.4.3 Endliche Abbildungen. Zu jeder offenen holomorphen Abbildung η : X → Y mit endlichen Fasern definieren wir die Gradfunktion v(η, x) . Y → N , y → gr (η, y) := x∈η −1 (y)

Satz. Folgende Aussagen sind a ¨quivalent: (1) η ist endlich. (2) Die Gradfunktion ist lokal konstant. (3) Jeder Punkt b ∈ Y ist Zentrum einer Scheibe V , deren Urbild η −1 (V ) ur welche die eine disjunkte, endliche Vereinigung von Scheiben Uj ist, f¨ Beschr¨ ankungen von η Windungsabbildungen (Uj , aj ) → (V, b) sind. Beweis. Sei b ∈ Y und η −1 (b) = {a1 , . . . , am } . Wir w¨ ahlen Scheiben V, U1 , . . . , Um gem¨aß Satz 1.4.1. Sei U := U1 ⊎ . . . ⊎ Um .– (1) ⇒ (3) . Es gen¨ ugt, U = η −1 (V ) zu zeigen. Sei A eine Komponente von η −1 (V ) . Dann ist η(A) ⊂ V offen und wegen des Lemmas abgeschlossen, also η(A) = V , ur ein j und somit A = Uj ⊂ U . insbesondere b ∈ η(A) , also aj ∈ A f¨ (2) ⇒ (3). Wir w¨ ahlen die Scheibe V so klein, daß die Gradfunktion auf V konstant = gr(η, b) ist. Es gen¨ ugt wieder, U = η −1 (V ) zu zeigen. Wenn es ein x ∈ A, ∈ / U gibt, f¨ uhrt y := η(x) zum Widerspruch gr(η, b) = gr(η, y) ≥ v(η, x) + gr(η|U, y) ≥ 1 + gr(η, b) .– (3) ⇒ (2) ist trivial.

16

1. Grundlagen

(3) ⇒ (1). Da Windungsabbildungen eigentlich sind, siehe 1.4.1(1), hat jeder Punkt in Y eine Umgebung V , deren η -Urbild eine kompakte H¨ ulle besitzt. F¨ ur jedes Kompaktum L ⊂ Y wird daher η −1 (L) durch endlich viele Kompakta u ¨berdeckt und ist dann als abgeschlossene Teilmenge eines Kompaktums selbst kompakt.
Folgerung. Jede offene holomorphe Abbildung η : X → Y einer kompakten Fl¨ ache X ist endlich.
1.4.4 Abbildungsgrad. Jede endliche Abbildung η : X → Y mit zusammenh¨ angender Basis Y hat eine konstante Gradfunktion = 0 . Ihr Wert heißt Abbildungsgrad von η , kurz gr η . Endliche Abbildungen vom Grade n heißen n-bl¨ attrig. Genau dann wenn η biholomorph ist, gilt gr η = 1 . Beispiele. (1) Die Abbildung η : X → Y im Nullstellengebilde (X, η, f ) eines Polynoms P ∈ O(Y )[w] vom Grade n , welches keine mehrfachen Nullstellen hat, ist n-bl¨ attrig, vgl. 1.2.4.– (2) Jedes Polynom p ∈ C[z] vom Grade  → C  n wird durch p(∞) := ∞ zu einer n -bl¨ attrigen Abbildung p : C fortgesetzt, vgl. 1.6.5.

Satz. Seien η : X → Y und ϕ : Y → Z zwei holomorphe Abbildungen. (i) Wenn η und ϕ endlich sind, ist auch ϕ ◦ η endlich. Wenn Y und Z außerdem zusammenh¨ angen, gilt gr(ϕ ◦ η) = gr ϕ · gr η . (ii) Wenn ζ := ϕ ◦ η endlich ist, gilt dasselbe f¨ ur η und, falls η surjektiv ist, auch f¨ ur ϕ . Beweis. (i) folgt aus der Produktformel 1.3.1(3) f¨ ur Windungszahlen.– Zu (ii). Beweis f¨ ur η : F¨ ur jedes Kompaktum L ⊂ Y ist η −1 (L) abgeschlossen und im Kompaktum ζ −1 (ϕ(L)) enthalten, also selbst kompakt. Somit ist η eigentlich. Da ζ endliche Fasern hat, gilt dasselbe f¨ ur η .– Beweis f¨ ur ϕ : Aus η(X) = Y folgt erstens: Die ϕ-Fasern sind wie die ζ-Fasern endlich. Zweitens: F¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ Z ist ϕ−1 (K) als abgeschlossene Teilmenge des
Kompaktums η(ζ −1 (K)) ebenfalls kompakt.

U1 U2 U3 d V

¨ Fig. 1.4.5. Veranschaulichung der elementaren Uberlagerung von V als Plattenstapel. Die Platten Uj sind die Komponenten des Urbildes η −1 (V ) .

¨ 1.4.5 Uberlagerungen. Eine Abbildung η : X → Y zwischen Riemann¨ schen Fl¨achen heißt Uberlagerung, wenn jeder Punkt b ∈ Y eine Umgebung V besitzt, die in folgendem Sinne elementar u ¨berlagert wird (Figur 1.4.5):

1.5 Deckgruppen

17

Das Urbild η −1 (V ) ist eine Vereinigung von Scheiben (U, a) , f¨ ur welche die Beschr¨ ankungen η : (U, a) → (V, b) Windungsabbildungen sind.

¨ Uberlagerungen sind offene, holomorphe Abbildungen. Die Scheiben U sind nach Satz 1.4.1(i) die Komponenten von η −1 (V ) . Das Bild η(X) ist abgeschlossen in Y . Daher ist η surjektiv, wenn Y zusammenh¨angt. Der ¨ Verzweigungsort ist lokal endlich. Die Uberlagerung η heißt unverzweigt, wenn sie lokal biholomorph ist, also keine Verzweigungspunkte hat. F¨ ur jede Komponente Z von X und f¨ ur jede offene Menge W ⊂ Y blei¨ ben die Beschr¨ankungen η : Z → Y bzw. η : η −1(W ) → W Uberlagerungen. ¨ Die Hintereinanderschaltung zweier Uberlagerungen ist im allgemeinen ¨ keine Uberlagerung, siehe Aufgabe 4.9.9.– Aus Satz 1.4.3 folgt: ¨ (∗) Jede endliche Abbildung ist eine Uberlagerung.
¨ Beispiele unendlich bl¨ attriger Uberlagerungen folgen in 1.5.4. Zu ihnen geh¨ ort die Exponentialfunktion exp : C → C× . ¨ 1.4.6 Gleichverzweigte Uberlagerungen η : X → Y haben l¨ angs jeder Faser gleiche Windungszahlen. Die Funktion S : Y → N>0 , S(y) := v(η, x) f¨ ur η(x) = y, heißt Verzweigungssignatur. ¨ Beispiel. Die dreibl¨ attrige Uberlagerung η : C → C, η(z) = z 3 − z 2 , ist nicht −1 gleichverzweigt, da l¨angs der Faser η (0) die Windungszahlen v(η, 0) = 2 und v(η, 1) = 1 verschieden sind. Zusammenhangskriterium. Wenn bei einer gleichverzweigten, endlichen ¨ Uberlagerung η : X → Y die Fl¨ ache Y zusammenh¨ angt und die Menge {♯η −1 (y) : y ∈ Y } teilerfremd ist, h¨ angt auch X zusammen. Beweis. F¨ ur jedes y ∈ Y gilt gr η = S(y)·♯η −1 (y) . Sei gr η = pt11 ·. . . ·ptrr die t Primzerlegung. Zu jedem pj gibt es ein y ∈ Y , so daß S(y) von pjj geteilt wird. Sei X∗ eine Komponente von X . Die Beschr¨ankung η∗ := η|X∗ hat t dieselbe Signatur S . Daher wird gr η∗ von allen Potenzen pjj geteilt. Somit
ist gr η ein Teiler von gr η∗ . Es folgt X∗ = X .

1.5 Deckgruppen Wir betrachten die Deckgruppen D von offenen holomorphen Abbildungen η : X → Y und ihre Standgruppen. Die besondere Aufmerksamkeit gilt den normalen Abbildungen η , bei denen D auf jeder Faser transitiv operiert. 1.5.1 Bahnen und Standgruppen. Jede Gruppe G von Hom¨ oomorphismen γ : X → X eines topologischen Raumes heißt Transformationsgruppe von X . Man sagt auch: Die Gruppe G wirkt oder operiert auf X . Man definiert f¨ ur jeden Punkt x ∈ X die G-Bahn (oder den G-Orbit) G(x) := {γ(x) : γ ∈ G} ⊂ X

18

1. Grundlagen

und die Standgruppe (oder Isotropiegruppe) Gx := {γ ∈ G : γ(x) = x} < G . F¨ ur je zwei Punkte auf derselben G-Bahn sind die Standgruppen konjugiert: Gγ(x) = γ · Gx · γ −1 . Je nachdem, ob Gx = {id} oder Gx = {id} ist, heißt G(x) Hauptorbit oder Ausnahmeorbit. Wenn es keine Ausnahmeorbiten gibt, sagt man: Die Gruppe G operiert frei.– Die Abbildung G → G(x), γ → γ(x) , ur die Menge G/Gx der Restklassen. induziert eine Bijektion G/Gx → G(x) f¨ Wenn G endlich ist, folgt die Bahnengleichung (1) ♯ G = ♯ Gx · ♯ G(x) . 1.5.2 Die Ableitung. Sei Aut(X) die Automorphismengruppe einer Riemannschen Fl¨ ache X . Sei h : (U, a) → (E, 0) eine Karte von X . Zu jedem γ ∈ Aut(X)a gibt es eine Umgebung V von a in U mit γ(V ) ⊂ U . Die holomorphe Funktion h ◦ γ ◦ h−1 : (h(V ), 0) → (E, 0) hat eine Ableitung (1) γ ′ (a) := (h ◦ γ ◦ h−1 )′ (0) = 0 , die nur von γ und a , nicht aber von (U, h) und V abh¨ angt. × ′ (2) Die Ableitung Aut(X)a → C , γ → γ (a) , ist ein Homomorphismus. (3) F¨ ur jedes ϕ ∈ Aut(X) gilt (ϕ ◦ γ ◦ ϕ−1 )′ (ϕ(a)) = γ ′ (a) .
1.5.3 Standgruppen von Deckgruppen. Sei η : (X, a) → (Y, b) eine offene holomorphe Abbildung zwischen zusammenh¨ angenden Fl¨ achen mit der Deckgruppe D . Sei n := v(η, a) die Windungszahl. Nach Satz 1.4.1 gibt es Karten h : (U, a) → (E, 0) und k : (V, b) → (E, 0) mit η(U ) = V und ur solche privilegierte Karten gilt zus¨ atzlich: k ◦ η = hn . F¨ ur γ ∈ D \ D a . (1) γ(U ) = U f¨ ur γ ∈ Da und γ(U ) ∩ U = ∅ f¨ (2) h ◦ γ(x) = γ ′ (a) · h(x) f¨ ur γ ∈ Da und x ∈ U (Linearisierung) . (3) Die Ableitung Da → µn , γ → γ ′ (a), ist ein Monomorphismus in die multiplikative Gruppe der n-ten Einheitswurzeln. Beweis. Nach Satz 1.4.1(i) ist U eine Komponente von η −1 (V ) , die η −1 (b) nur in a trifft. F¨ ur jedes γ ∈ D ist γ(U ) auch eine Komponente von η −1 (V ) . Daraus folgt (1).– (2) Die Abbildung h ◦ γ ◦ h−1 ist ein Automorphismus von E mit dem Fixpunkt 0 , also nach dem Schwarzschen Lemma eine Drehung z → ωz . Dabei ist ω = γ ′ (a) .– (3) Aus k ◦ η = hn , (1) und (2) folgt ur jedes x ∈ U , also γ ′ (a) ∈ µn . Wenn γ ′ (a) = 1 ist, h(x)n = γ ′ (a)n · h(x)n f¨ gilt γ|U = id wegen (2), also γ = id nach dem Identit¨ atssatz .
Folgerung. Jede Standgruppe Da ist zyklisch. Ihre Ordnung teilt die Windungszahl v(η, a) .
1.5.4 Normale Abbildungen. Eine surjektive, offene, holomorphe Abbildung η : X → Y zwischen zusammenh¨ angenden Fl¨ achen heißt normal, wenn jede Faser ein Orbit der Deckgruppe D ist. Normale Abbildungen mit zyklischer Deckgruppe heißen zyklisch. Die Exponentialfunktion exp : C → C× ,

1.5 Deckgruppen

19

die Potenzen C → C, z → z n , f¨ ur n ≥ 1 und alle Windungsabbildungen sind zyklisch. Die Torusprojektionen C → C/Ω von 1.2.6 ist normal, aber nicht zyklisch. ¨ Satz. Jede normale Abbildung η : X → Y ist eine gleichverzweigte Uber′ ur lagerung. Die Ableitungen sind Isomorphismen Da → µn , γ → γ (a) , f¨ n := v(η, a) . Beweis. Zu b ∈ Y w¨ahlen wir ein a ∈ η −1 (b) und Scheiben (U, a), (V, b) , so daß η : (U, a) → der Normalit¨ at  
(V, b) eine Windungsabbildung ist. Wegen ist η −1 (V ) = γ∈D γ(U ) . Jede Beschr¨ankung η : γ(U ), γ(a) → (V, b) ist eine Windungsabbildung. Daher wird V elementar u ¨berlagert.– Wenn η(x1 ) = η(x2 ) ist, gibt es ein ϕ ∈ D mit ϕ(x1 ) = x2 . Dann ist v(η, x1 ) = v(η ◦ ϕ, x1 ) = v(η, x2 ) · v(ϕ, x1 ) = v(η, x2 ) . Die zweite Behauptung folgt aus 1.5.3(3), wenn wir zeigen, daß γ → γ(a) surjektiv ist. Seien h und k Karten wie in 1.5.2. Sei ω ∈ µn . Zu jedem x ∈ U gibt es ein x′ ∈ U mit h(x′ ) = ω · h(x) . Wegen k ◦ η = hn ist η(x′ ) = η(x) . Es gibt also ein γ ∈ D mit γ(x) = x′ . Daher ist γ(U )∩U = ∅ , also γ(U ) = U
und somit γ ∈ Da . Aus 1.5.2(1) folgt γ ′ (a) = ω. ¨ Folgerung. Eine normale Abbildung ist genau dann eine unverzweigte Uberlagerung, wenn ihre Deckgruppe frei operiert.


¨ ¨ 1.5.5 Endliche normale Uberlagerungen. Bei jeder endlichen Uberlagerung η : X → Y zwischen zusammenh¨ angenden Fl¨ achen teilt die Ordnung ♯ D der Deckgruppe den Abbildungsgrad gr η . Genau dann, wenn η normal ist, gilt ♯ D = gr η .

Beweis. Jede Faser ist eine disjunkte Vereinigung F = F1 ⊎ . . . ⊎ Fr von ur alle D-Bahnen. Wenn F keine Windungspunkte enth¨ alt, gilt ♯ Fj = ♯ D f¨ j . Daher ist gr η = ♯ F = r ·♯ D .– Genau dann, wenn η normal ist, gilt r = 1 f¨ ur jedes F . Aus der Normalit¨ at (r = 1) folgt also ♯ D = gr η .– Umgekehrt ur sei gr η = ♯ D . Sei kj die gemeinsame Ordnung der Standgruppen Dx f¨ der Bahnengleichung 1.5.1(1) ist k · ♯ F = ♯ D . Andererseits x ∈ Fj . Nach j j   ur x ∈ Fj , letzteres nach der ist gr η = j x∈Fj v(η, x) und v(η, x) ≥ kj f¨  Folgerung in 1.5.3. Daher ist gr η ≥ j kj · ♯ Fj = r · ♯ D , also r = 1 f¨ ur ♯ D = gr η .
¨ Folgerungen. (1) Jede endliche Uberlagerung vom Primzahlgrad mit einer Deckabbildung = id ist zyklisch.
¨ (2) Zweibl¨ attrige Uberlagerungen η : X → Y sind stets zyklisch. Beweis zu (2). Jede Faser η −1 (y) besteht aus ein oder zwei Punkten. Die Abbildung γ : X → X vertausche sie. Man pr¨ uft anhand einer elementar u ¨berlagerten Scheibe um y , daß γ holomorph ist.
Die Untersuchung normaler Abbildungen wird in 3.6 und 4.7 fortgesetzt.

20

1. Grundlagen

1.6 Meromorphe Funktionen Die Existenz nirgends konstanter meromorpher Funktionen auf beliebigen Fl¨ achen X liegt tief, siehe 10.7.2. Aber in vielen F¨ allen sind solche Funktionen explizit bekannt. 1.6.1 Der Ring der meromorphen Funktionen. Wenn X zusammenh¨ angt, ist der Ring M(X) aller meromorphen Funktionen einen K¨ orper.

Beweis. Jede Funktion f = 0 hat nach dem Identit¨ atssatz eine lokal endliche Nullstellenmenge. Nach Satz 1.1.4 geh¨ ort dann 1/f zu M(X) .
Fortsetzungssatz. Eine Funktion f ∈ M(X \ {a}) l¨ aßt sich genau dann meromorph nach a fortsetzen, wenn es eine bei a holomorphe Funktion v = 0 gibt, so daß vf um a beschr¨ ankt ist.

Beweis. Nach 1.3.6 l¨ aßt sich vf zu einer bei a holomorphen Funktion h fortsetzen. Dann ist h/v die meromorphe Fortsetzung von f nach a .
1.6.2 Die Ordnung. F¨ ur jede Stelle x ∈ X , wo f ∈ M(X) nicht konstant Null ist, definiert man mittels der Windungszahl die ganzzahlige Ordnung ⎧ 0 , falls f (x) = 0 , = ∞ , ⎨ v(f, x) , falls f (x) = 0 , (1) o(f, x) = ⎩ −v(f, x) , falls f (x) = ∞ .   Wenn x im Definitionsbereich der Karte h liegt, ist o(f, x) = o f ◦h−1 , h(x) die klassische Ordnung, vgl. [Re 1], Abschnitt 10.3.4. Es gilt (2)

o(f · g, x) = o(f, x) + o(g, x) und o(1/f , x) = −o(f, x) .




Satz. Auf jeder kompakten Fl¨ ache X ist jede nirgends konstante meromorphe  mit ¨ Funktion f eine endliche Uberlagerung f :X→C   o(f, x) = − o(f, x) . (3) grf = x∈f −1 (0)

Insbesondere gilt (4)



x∈f −1 (∞)

o(f, x) = 0 .




x∈X

1.6.3 Liftung, K¨ orpererweiterung. Wenn η : X → Y offen und holomorph ist, entsteht aus jeder meromorphen Funktion g auf Y die geliftete meromorphe Funktion g ◦η auf X . Wenn Y zusammenh¨angt, ist die Liftung

(1) η ∗ : M(Y ) → M(X) , g → g ◦ η , eine Erweiterung des K¨ orpers M(Y ) zum Ring M(X) , d.h. wir k¨ onnen M(Y ) ⊂ M(X) als Teilk¨orper auffassen.– Die Produktformel f¨ ur Windungszahlen 1.3.1(3) ergibt   (2) o(g ◦ η, x) = o g, η(x) · v(η, x) f¨ ur x ∈ X .

1.6 Meromorphe Funktionen

21

Wenn X zusammenh¨angt, ist M(X) auch ein K¨ orper. Wir zeigen in 6.5.1, daß alle endlichen K¨ orper-Erweiterungen M(Y ) ֒→ L Liftungen zu endli¨ chen Uberlagerungen X → Y sind.– Aus der Faktorisierung 1.3.8 folgt der

¨ Satz. Bei jeder normalen Uberlagerung η mit der Deckgruppe D ist   ∗ ur γ ∈ D} (3) η M(Y ) = MD (X) := {f ∈ M(X) : f ◦ γ = f f¨ der Teilk¨ orper der D-invarianten Funktionen.




1.6.4 Divisoren. Ein Divisor auf der Fl¨ ache X ist eine Funktion D : X → Z , deren Tr¨ ager Tr(D) := {x ∈ X : D(x) = 0} lokal endlich ist. Bei kompakten Fl¨ achen ist Tr(D) endlich. Man nennt dann  D(x) (1) gr D := x∈X

den Grad des Divisors. Zu jeder meromorphen Funktion f , die nirgends konstant Null ist, geh¨ ort der Hauptdivisor (f ) mit (2) (f ) : X → Z , x → o(f, x) . F¨ ur ihn gilt (3) (f · g) = (f ) + (g) und (1/f ) = −(f ) .
(4) Wenn X kompakt ist, hat jeder Hauptdivisor den Grad Null. Wenn X außerdem zusammenh¨ angt, folgt aus (f ) = (g) , daß g = cf mit c ∈ C× gilt. Beweis. Die erste Aussage gilt wegen 1.6.2(4), die zweite folgt, weil f /g keine Null-und Polstellen hat und daher konstant ist.


1.6.5 Rationale Funktionen. Jedes Polynom p ∈ C[z] ist eine meromor . An jeder Stelle a ∈ C ist o(p, a) die phe Funktion auf der Zahlenkugel C Vielfachheit von a als Nullstelle von p . Der einzige Pol liegt in ∞ . Dort ist o(p, ∞) = −gr p der negative Polynomgrad. Daher stimmen Polynom- und Abbildungsgrad u ¨berein. Rationale Funktionen sind Quotienten f = p/q von Polynomen. Sie bilden  . F¨ den K¨ orper C(z) ⊂ M(C) ur die Ordnungen gilt o(f, a) = o(p, a) − o(q, a) gem¨aß 1.6.2(2). (1) F¨ ur Polynome ohne gemeinsame Nullstelle ist gr (p/q) = max {gr p, gr q} .  vom Grade Null ist Hauptdivisor der rationalen (2) Jeder Divisor D auf C

Funktion (z − a)D(a) .
a∈C

 eine Insbesondere gibt es zu jeder meromorphen Funktion f = 0 auf C rationale Funktion h , so daß (f ) = (h) ist. Mit 1.6.4(4) folgt daraus:  sind genau die rationalen Funktio(3) Die meromorphen Funktionen auf C  nen, kurz M(C) = C(z).
 isomorph ist, gibt es Divisoren (4) Wenn die kompakte Fl¨ ache X nicht zu C vom Grade Null, die keine Hauptdivisoren sind.

22

1. Grundlagen

Beweis zu (4). Seien a, b ∈ X und a = b . Wenn der Divisor D mit dem Tr¨ager {a, b} und den Werten D(a) = 1, D(b) = −1 ein Hauptdivisor (f )  den Grad eins und w¨ w¨are, h¨ atte f : X → C are also ein Isomorphismus.


 sind die rationalen 1.6.6 Die Automorphismen der Zahlenkugel C Funktionen vom Grade eins. Sie haben wegen 1.6.5(1) die Gestalt (1) z → (az + b)/(cz + d) mit ad − bc = 0 .
Man nennt sie auch M¨ obius-Transformationen, siehe [M¨ o] 2, S. 243 - 314. Die    , die jeder Matrix a b den Automorphismus Abbildung GL2 (C) → Aut(C) cd (1) zuordnet, ist ein Epimorphismus mit dem Kern   { λ0 λ0 : λ ∈ C× } .  auf Matrizen mit der Determinante 1 Die Beschr¨ankung SL2 (C) → Aut C bleibt epimorph. Die Fixpunkte jeder M¨ obiustransformation =id lassen sich durch L¨ osung einer quadratischen Gleichung berechnen. Daraus folgt:  hat mindestens einen und h¨ (2) Jedes Element = id aus Aut(C) ochstens zwei Fixpunkte. Zwei M¨ obiustransformationen stimmen bereits dann u ¨berein,  gleiche Werte haben. wenn sie an drei verschiedenen Stellen in C
 isomorph. Folgerung. Kein Torus C/Ω ist zu C Denn jedes a ∈ / Ω bestimmt wegen 1.3.8 den fixpunktfreien Automorphismus z + Ω → a + z + Ω des Torus.


 operiert dreifach transitiv: Zu je zwei Tripeln (a, b, c) (3) Die Gruppe Aut(C)  gibt es genau eine und (a′ , b′ , c′ ) von jeweils drei verschiedenen Punkten in C M¨ obiustransformation f mit f (a) = a′ , f (b) = b′ , f (c) = c′ . Beweis. Wir k¨ onnen a′ = 0, b′ = 1 und c′ = ∞ annehmen. Man setzt  g(z) − g(a) 1/(z − c) , c = ∞ und f (z) := g(z) := .
z , c=∞ g(b) − g(a)

1.7 Aufgaben. 1)


die stereographische Projektion. Berechne f¨ Sei π : S 2 → C ur die Antipoden
→C
. Kann Abbildung A : S 2 → S 2 , x → −x , die Abbildung π ◦ A ◦ π −1 : C
→ Y geben, so daß die Fasern von η ◦ π es eine holomorphe Abbildung η : C genau die Paare antipodischer Punkte (x, −x) sind?

2)


\ {a, b} , wobei a, b ∈ C verschieden sind. Zeige: Die NullstellenSei Y := C menge des Polynoms w 2 − (z − a)(z − b) ∈ O(Y )[w] ist zu C× isomorph.– Hinweis: Transformiere a, b nach 0, ∞.

3)


mit genau einem Fixpunkt haben unendZeige: Alle Automorphismen von C liche Ordnung.

1.7 Aufgaben.

23

4)

Zeige, daß die endlichen holomorphen Abbildungen f : C → C genau die nicht konstanten Polynome sind.– Hinweis: Zeige zun¨achst, daß sich f meromorph nach ∞ fortsetzen l¨ aßt.

5)

Sei X zusammenh¨ angend und kompakt, seien f, g, f + g ∈ M(X) nicht konstant. Zeige: gr(f + g) ≤ gr f + gr g .

6)

Zeige: F¨ ur z1 , . . . , zn ∈ E ist das Blaschke-Produkt n  z − zν z → 1 − z¯ν z ν=1 ¨ eine n-bl¨ attrige Uberlagerung E → E . Bestimme ihre Windungspunkte und ¨ den Verzweigungsort. Ist diese Uberlagerung normal ?

7)

Zeige: Die Sinusfunktion sin : C → C ist normal. Bestimme die Deckgruppe D(sin) und alle Standgruppen.– L¨ ose die entsprechende Aufgabe f¨ ur die Tangensfunktion .

8)

¨ (i) Gib gleichverzweigte Uberlagerungen an, die nicht normal ist.– (ii) Warum
→ Y biholomorph ? ist jede unverzweigte, normale Abbildung C

9)

Zeige, daß die rationale Funktion 2 3
→C
, η(z) := 4 (z − z + 1) , η:C 2 2 27 z (z − 1) normal ist und ihre Deckgruppe D aus allen M¨ obius-Transformationen besteht, welche 0, 1, ∞ permutieren. Bestimme alle Standgruppen Da und den Verzweigungsort von η .


eine zusammenh¨ ¨ 10) Zeige: Wenn η : X → C angende, n-bl¨ attrige Uberlagerung ist, hat jeder Automorphismus α ∈ Aut(X) \ D(η) h¨ ochstens 2n Fixpunkte. Hinweis. Vergleiche die Fixpunktmenge mit der Nullstellenmenge der Funktion h := η − η ◦ α ∈ M(X) und benutze das Ergebnis der Aufgabe 5).

2. Tori und elliptische Funktionen

Nach einer langen Vorgeschichte, die um 1650 mit Integralformeln f¨ ur die L¨ange eines Ellipsenbogens begann, wurden zu Beginn des 19. Jahrhunderts bei der Untersuchung solcher Integrale doppelt-periodische Funktionen entdeckt, welche Jacobi wegen ihrer Herkunft elliptisch nannte. Darunter versteht man auf C meromorphe Funktionen f , deren Werte sich bei den Translationen durch Elemente eines Gitters Ω wiederholen: f (z+ω) = f (z) f¨ ur alle z ∈ C und alle ω ∈ Ω . Die Theorie der elliptischen Funktionen geh¨ ort zu den großen mathematischen Sch¨ opfungen des 19. Jahrhunderts. Sie beeinflußte maßgeblich die gleichzeitige Entwicklung der allgemeinen Funktionentheorie und fand durch Weierstraß’ Vorlesungen eine bis heute g¨ ultige Gestalt. Eine elementare Darstellung, die keine Vorkenntnisse u ¨ber Riemannsche Fl¨ achen voraussetzt, enth¨ alt Kapitel 5 in [FB].

2.1 Elliptische Funktionen Die elliptischer Funktionen zu einem Gitter Ω < C entsprechen umkehrbar eindeutig den meromorphen Funktionen auf dem Torus T := C/Ω . Dieses Wechselspiel erm¨oglicht elegante Schlußweisen, die bei Weierstraß und seinen Nachfolgern verp¨ ont waren, da sie Riemannschen Fl¨ achen ablehnten. Wie in 1.2.6 bezeichnet η : C → T die Torusprojektion. Sie ist eine nor¨ male, unverzweigte Uberlagerung, deren Deckgruppe D(η) aus allen Translationen C → C, z → z + ω , f¨ ur ω ∈ Ω besteht. 2.1.1 Doppelt-periodische Funktionen. Eine Funktion in M(C) heißt Ω-periodisch, wenn f (z + ω) = f (z) f¨ ur alle z ∈ C und alle ω ∈ Ω gilt. Ohne das Gitter Ω zu nennen, spricht man auch von doppelt-periodischen ort auch Funktionen. Sie bilden einen Teilk¨ orper MΩ (C) ⊂ M(C) . Mit f geh¨ die Ableitung f ′ , ferner f (z + a) f¨ ur jedes a ∈ C und g ◦ f f¨ ur jede rationale Funktion g zu MΩ (C). Die Funktionen in MΩ (C) werden aus historischen Gr¨ unden, siehe 2.4, auch Ω-elliptisch oder kurz elliptisch genannt. Nach Satz 1.6.3 bildet die Liftung η ∗ : M(T ) → MΩ (C) , g → g ◦ η , den K¨ orper M(T ) isomorph auf MΩ (C) ab. Wenn f = g ◦ η ist, schreiben  nach Satz 1.6.2 eine wir auch g = fˆ. F¨ ur nicht-konstante f ist fˆ : T → C ¨ endliche Uberlagerung. Wir definieren den Grad grf := grfˆ.

2.1 Elliptische Funktionen

25

Satz. Jede nicht-konstante Funktion g ∈ M(T ) besitzt Windungspunkte und hat daher einen Grad ≥ 2.

are Denn sonst h¨ atte die elliptische Funktion (g ◦ η)′ keine Nullstellen und w¨ folglich konstant.
Die Existenz nicht-konstanter elliptischer Funktionen vom Grade 2 wird in 2.2 bewiesen. 2.1.2 Funktionen vom Grad 2. Wenn eine Ω-elliptische Funktion f vom Grad 2 existiert, gibt es genau eine mit der Polstellenmenge Ω , deren Laurent-Reihe um 0 die Form z −2 + a2 z 2 + a4 z 4 + . . . hat. Diese Funktion wird nach Weierstraß mit ℘ bezeichnet. Beweis. Die Funktion f hat einen Windungspunkt a ∈ C . Durch Nachschalten einer M¨ obiustransformation erreichen wir f (a) = ∞ . Wir ersetzen f (z) durch f (z + a) . Dadurch werden alle ω ∈ Ω zu doppelten Polstellen. Wegen grf = 2 gibt es keine anderen Pole. Wir ersetzen f (z) durch f (z) + f (−z) . Dabei a¨ndern sich die Pole nicht, und f wird eine gerade Funktion. Ihre Laurent-Reihe bei 0 hat die Gestalt a−2 z −2 + a0 + a2 z 2 + a4 z 4 + . . . mit a−2 = 0 . Durch Subtraktion der Konstanten a0 und Division durch a−2 wird die gew¨ unschte Form erreicht.– Zur Eindeutigkeit: F¨ ur zwei Funktionen ℘ und ℘∗ der angegebenen Gestalt hat die Differenz ℘−℘∗ keine Pole, ist also konstant, und zwar = 0 .
aßt 2.1.3 Struktur des Funktionenk¨ orpers. Jede Funktion f ∈ MΩ (C) l¨ sich eindeutig als f = u + v℘′ mit u, v ∈ C(℘) darstellen. Dabei ist f genau dann gerade, wenn v = 0 ist. ur alle z ∈ C . Jede gerade Beweis. Da ℘ gerade ist, gilt ℘−1 (z) = {±z}+Ω f¨ elliptische Funktion g ist l¨angs der ℘-Fasern konstant und l¨ aßt sich daher nach 1.3.8 als g = R ◦ ℘ mit R ∈ C(z) faktorisieren. Weil ℘′ ungerade ist, haben alle ungeraden elliptischen Funktionen die Gestalt v℘′ mit v ∈ C(℘) . Aus der eindeutigen Darstellung einer beliebigen Funktion f als Summe einer geraden und ungeraden Funktion folgt die Behauptung.
Folgerung. Die K¨ orpererweiterung von C(℘) zu MΩ (C) hat den Grad 2 . 2.1.4 Verzweigung und Differentialgleichung. F¨ ur jede Funktion  vier Win¨ fˆ : C/Ω → C f ∈ MΩ (C) vom Grade 2 hat die Uberlagerung ˆ  . Mit dungspunkte a1 , a2 , a3 , a4 mit verschiedenen Werten ej := f (aj ) ∈ C einer Konstanten c = 0 gilt (1) f ′2 = c(f − e1 )(f − e2 )(f − e3 )(f − e4 ), wenn e1 , e2 , e3 , e4 ∈ C , (2) f ′2 = c(f − e1 )(f − e2 )(f − e3 ), wenn e4 = ∞ . Beweis. Seien a1 , . . . , an die Windungspunkte. Wegen grf = 2 ist v(fˆ, aj ) = 2 , und alle Werte ej sind paarweise verschieden. Angenommen, kein ej ist ∞ . Dann hat fˆ zwei einfache Pole b1 = b2 . Die von Null verschiedenen

26

2. Tori und elliptische Funktionen

  Werte des Hauptdivisors f′ sind 1 bei a1 , . . . , an und −2 bei b1 , b2 . Da Hauptdivisoren den Grad Null haben, folgt n = 4 . Die beiden Funktionen (f′ )2 und (fˆ − e1 ) · . . · (fˆ − e4 ) haben denselben Hauptdivisor. Daraus folgt ¨ (1). Ahnlich argumentiert man, wenn en = ∞ ist, und erh¨ alt (2).
Ein genaueres Ergebnis f¨ ur die ℘-Funktion folgt in 2.2.4.

2.2 Die ℘-Funktion Die Existenz der ℘-Funktion beweisen wir  durch explizite Angabe ihrer uhrt nicht direkt Hauptteil-Reihe. Der naheliegende Ansatz ω∈Ω (z −ω)−2 f¨ zum Ziel, weil diese Reihe divergiert; man ben¨otigt konvergenzerzeugende Summanden. ur die Zω1 + Zω2 2.2.1 Konstruktion. S¨ amtliche Paare (ω1 , ω2 ) ∈ C2 , f¨ ein Gitter ist, bilden eine offene Menge D ⊂ C2 . (1) Zu jedem Kompaktum K in D existiert ein t > 0, so daß gilt |xω1 + yω2 |2 ≥ t(x2 + y 2 ) f¨ ur alle (x, y, ω1 , ω2 ) ∈ R2 × K . 2 Beweis. Die in (R \ (0, 0))×D stetige Funktion |xω1 + yω2 |2 /(x2 + y 2 ) hat auf S 1 × K ein Minimum t > 0 . Da sie homogen in x, y ist, folgt (1).
′ Wir bezeichnen mit die Summation u ¨ber alle Punkte ω = 0 des Gitters ur alles weitere ist folgendes Ω = Zω1 + Zω2 . Grundlegend f¨ Konvergenzlemma. Sei K ⊂ D kompakt und k > 1 reell. Dann gibt es eine Schranke M > 0 , so daß gilt: ′ −2k (2) |ω| < M f¨ ur alle (ω1 , ω2 ) ∈ K .

Beweis (nach [Wst] 5 , S. 117 ): Wegen x2 + y 2 ≥ |xy| folgt mit (1): |mω1 + nω2 |−2k ≤ t−k |mn|−k f¨ ur (ω1 , ω2 ) ∈ K und (m, n) ∈ Z2 \ {(0, 0)} .

Die Reihe(2) wird also ur alle (ω1 , ω2 ) ∈ K durch konvergente Produktreif¨ ∞ ∞
hen t−k ( 1 m−k ) · ( 1 n−k ) majorisiert.

Konvergenzsatz. In C × D konvergiert folgende Reihe normal:  ′  1 1 1 (3) ℘(z; ω1 , ω2 ) := 2 + − 2 . z (z − ω)2 ω Beweis. Sei r > 0 und K kompakt in D . Die Menge der Paare m, n ∈ Z ur alle (ω1 , ω2 ) ∈ K ist wegen (1) endlich. F¨ ur mit |mω1 + nω2 | < r + 1 f¨ |z| ≤ r und |ω| ≥ r + 1 gilt:  |2 − zω −1 | |z| 1 3r(r + 1)2 1   = − ≤ .   (z − ω)2 ω2 |1 − zω −1 |2 |ω|3 |ω|3 3 Nach (2) mit k := 2 konvergiert die Reihe also nach Fortlassen der endlich
vielen Glieder mit |ω| < r + 1 normal in Er × K .

2.2 Die ℘-Funktion

27

Die durch (3) definierte Funktion heißt Weierstraßsche ℘-Funktion. Sie ist aufgrund der normalen Konvergenz meromorph in allen drei Variablen z, ω1 , ω2 im Bereich C×D ⊂ C3 . Da ℘(z; ω1 , ω2 ) neben z nur vom Gitter Ω abh¨ angt, schreiben wir auch ℘(z; Ω) oder einfach ℘(z) bei festem Gitter. 2.2.2 Eigenschaften. Die Funktion ℘(z; Ω) ist gerade und Ω-periodisch vom Grad 2 . Alle Perioden von ℘ liegen in Ω . Es gilt ℘−1(∞) = Ω und (1) ℘(cz; cΩ) = c−2 ℘(z, Ω) f¨ ur alle c ∈ C× . Die Ableitung ℘′ ist ungerade und Ω-periodisch vom Grad 3 . Sie lautet  (2) ℘′ (z; Ω) = −2 (z − ω)−3 . ω∈Ω

Beweis. Bis auf die Periodizit¨at von ℘(z) folgen alle Behauptungen aus 2.2.1(3), durch gliedweises Differenzieren. Die Ableitung ℘′ ist wegen (2) ur die Gitterbasis Ω-periodisch. Daher gilt ℘(z+ωj ) = ℘(z)+cj mit cj ∈ C f¨ ω1 , ω2 , insbesondere ℘(ωj /2) = ℘(−ωj /2)+cj . Da ωj /2 kein Pol ist und ℘ gerade ist, folgt cj = 0, d.h. ℘ ist Ω-periodisch. Wegen ℘−1 (∞) = Ω liegen alle Perioden in Ω.
Nach dem Konvergenz-Lemma 2.2.1(2) sind alle Eisenstein-Reihen ′ −k ω , k = 3, 4 . . . (3) Gk := Gk (Ω) := absolut konvergent; f¨ ur ungerades k gilt Gk = 0. ∞ Wegen (1 − x)−2 = ν=1 νxν−1 erh¨ alt man aus der ℘-Reihe 2.2.1(3) die

Laurent-Entwicklung. F¨ ur alle z ∈ C× mit |z| < min {|ω| : ω ∈ Ω, ω = 0} gilt ∞  1 (2n − 1)G2n z 2n−2 .
(4) ℘(z; Ω) = 2 + z n=2 ¨ 2.2.3 Die Uberlagerung ℘ ˆ . Sei η : C → T := C/Ω die Torusprojektion zum Gitter Ω = Zω1 + Zω2 . Zu ℘(z) := ℘(z, Ω) ∈ MΩ (C) geh¨ ort nach 2.1.1 ℘ˆ ∈ M(T ) .

 ist eine zweibl¨ ¨ Satz. Die Funktion ℘ˆ : T → C attrige Uberlagerung, deren Deckgruppe D(℘) ˆ aus der Identit¨ at und σ : T → T , σ(x) = −x, besteht. Die Windungspunkte von ℘ˆ sind die Fixpunkte von σ . Sie bilden die Untergruppe {x ∈ T : 2x = 0} < T mit den Elementen   a1 := η( 21 ω1 ) , a2 := η( 12 ω2 ) , a3 := η 12 (ω1 + ω2 ) , a4 := η(0) . Sie liegen u ¨ber den vier paarweise verschiedenen Verzweigungspunkten   e1 := ℘( 21 ω1 ) , e2 := ℘( 12 ω2 ) , e3 := ℘( 21 ω1 + ω2 ) , e4 := ℘(0) = ∞ . Beweis. Da ℘ gerade ist und den Grad 2 hat, ist ℘ˆ zweibl¨attrig und normal mit der Deckgruppe {id, σ} . Daher sind die Verzweigungspunkte von ℘ˆ genau die Fixpunkte von σ , d.h. die oben angegebenen Punkte aj . Wegen gr ℘ˆ = 2 k¨ onnen verschiedene Windungspunkte nicht denselben ℘-Wert ˆ haben. Da Ω die Polstellenmenge von ℘ ist, folgt ℘(0) = ∞ .


28

2. Tori und elliptische Funktionen

Die Halbperiodenwerte e1 , e2 , e3 ∈ C sind bis auf die Reihenfolge eindeutig durch das Gitter Ω bestimmt. 2.2.4 Differentialgleichungen. Die ℘-Funktion erf¨ ullt die beiden Differentialgleichungen (1) ℘′ 2 = 4(℘ − e1 )(℘ − e2 )(℘ − e3 ) , (2) ℘′ 2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 mit g2 := 60 G4 , g3 := 140 G6 . Dabei sind e1 , e2 , e3 die Halbperiodenwerte und G4 , G6 die Werte der Eisenstein-Reihen 2.2.2(3). Beweis. (1) Die Funktionen (℘ˆ′ )2 und (℘ˆ − e1 )(℘ˆ − e2 )(℘ˆ − e3 ) haben denselben Hauptdivisor mit dem Tr¨ ager {a1 , a2 , a3 , a4 } und den Werten 2 in a1 , a2 , a3 sowie −6 in a4 . Mit einem Faktor c ∈ C× gilt daher ℘′ 2 = c(℘ − e1 )(℘ − e2 )(℘ − e3 ) . Der Vergleich der Koeffizienten von z −6 in den Laurent-Entwicklungen ℘3 = z −6 + . . . und ℘′2 = 4z −6 + . . . gibt c = 4 . Zu (2). Aus der Laurent-Reihe 2.2.2(4) von ℘ folgt ℘′ (z) = −2 z −3 + 6 G4 z + 20 G6 z 3 + . . . und 24G4 9G4 4 1 ℘3 = 6 + 2 + 15G6 + . . . , ℘′ 2 = 6 − 2 − 80G6 + . . . z z z z Daher ist ℘′ 2 − 4 ℘3 + 60 G4 ℘ = −140 G6 + n≥1 an z n . Die elliptische Funktion auf der rechten Seite hat keine Pole und ist also konstant.
Aus (2) entsteht durch Differenzieren: (3) ℘′′ = 6℘2 − 12 g2 = 6℘2 − 30G4 . 2.2.5 Relationen zwischen g2 , g3 und e1 , e2 , e3 . Da ℘ nicht konstant ist, folgt aus beiden Differentialgleichungen die Polynom-Identit¨ at 3 (1) 4X − g2 X − g3 = 4(X − e1 )(X − e2 )(X − e3 ) . Der Koeffizientenvergleich gibt: (2) e1 + e2 + e3 = 0 , e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 = − 41 g2 , e1 e2 e3 = 14 g3 . Elementares Rechnen f¨ uhrt zur Diskriminantenformel (3) ∆(g2 , g3 ) := g23 − 27g32 = 16(e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 = 0 . Aus (2) und (3) folgt 3 2 2 2 (4) 2 g2 = (e1 − e2 ) + (e2 − e3 ) + (e3 − e1 ) . 2.2.6 Gitter-Invarianten. Wenn man in ℘′′ = 6℘2 − 30G4 , siehe 2.2.4(3), die Laurent-Reihe der ℘-Funktion eintr¨ agt, entsteht   2n−4 (2n − 1)(2n − 2)(2n − 3)G2n z + 30G4 = 12 (2n − 1)G2n z 2n−4 n≥2

+6



p,q≥2

n≥2

(2p − 1)(2q − 1)G2p G2q z 2p+2q−4 .

Der Koeffizientenvergleich f¨ uhrt f¨ ur n ≥ 4 zur Rekursionsformel  (1) (n − 3)(2n + 1)(2n − 1)G2n = 3 · p,q≥2 (2p − 1)(2q − 1)G2p G2q . p+q=n

2.2 Die ℘-Funktion

29

Mit ihr kann man aus G4 und G6 alle Koeffizienten G2n berechnen, z.B. 7G8 = 3G24 , 11G10 = 5G4 G6 , also G2n ∈ Q[ G4 , G6 ] = Q[ g2 , g3 ] f¨ ur n ≥ 2 . Wir nennen g2 = 60 G4 und g3 = 140 G6 Gitterinvarianten, siehe 2.2.4(2), und schreiben gj = gj (Ω) , um die Abh¨ angigkeit vom Gitter zu betonen. (2) g2 (cΩ) = c−4 g2 (Ω) und g3 (cΩ) = c−6 g3 (Ω) f¨ ur c ∈ C × , ∗ ∗ (3) g2 (Ω) = g2 (Ω ) und g3 (Ω) = g3 (Ω ) ⇔ Ω = Ω ∗ . Beweis. Aus den Eisenstein-Reihen 2.2.2(3) f¨ ur Gk folgt (2). Wegen der Rekursion (1) f¨ ur die Laurent-Koeffizienten ist ℘ und damit Ω = ℘−1 (∞) durch g2 und g3 eindeutig bestimmt, wie in (3) behauptet wird.
2.2.7 Jacobisches Problem. Folgende Aussagen sind ¨ aquivalent:  ist der Verzweigungsort einer ellipti(1) Jede vierpunktige Menge M ⊂ C schen Funktion vom Grad zwei. (2) F¨ ur jedes Polynom P (w) dritten oder vierten Grades mit einfachen Nullstellen besitzt die Differentialgleichung w ′ 2 = P (w) eine elliptische Funktion vom Grad 2 als L¨ osung. (3) Jede Differentialgleichung w ′ 2 = 4w3 − a2 w − a3 mit a32 = 27a23 besitzt eine ℘-Funktion als L¨ osung. Beweis. (1)⇒(2). Sei M die Nullstellenmenge von P ; f¨ ur gr P = 3 sei zus¨atzlich ∞ ∈ M . Es gibt eine elliptische Funktion f zweiten Grades mit dem Verzweigungsort M . Nach 2.1.4 gilt f ′2 = a2 P (f ) mit a ∈ C× . Dann ist f (az) eine gesuchte Funktion. (2)⇒(3). Wegen a32 = 27a23 hat das Polynom 4w 3 − a2 w − a3 drei einfache Nullstellen in C . Daher gibt es eine elliptische Funktion f zweiten Grades, welche die Differentialgleichung l¨ ost. Sei a ein Pol von f , also o(f ′ , a) = o(f, a) − 1 . Wegen der Differentialgleichung folgt o(f, a) = −2 . Wir ersetzen f (z) durch f (z − a) . Dabei a¨ndert sich die Differentialgleichung nicht, das Periodengitter Ω von f wird zur Polstellenmenge, und ur ℘ := ℘(−, Ω) die Laurent-Enwicklung von f bei 0 beginnt mit z −2 . F¨ hat b := f −℘ einen Grad ≤ 1 und ist daher konstant. Der Vergleich von (℘′ )2 = 4(℘ + b)3 − a2 (℘ + b) − a3 mit (℘′ )2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 gibt b = 0 und gj = aj . (3)⇒(1). Es gibt eine M¨ obius-Transformation, die M auf eine Menge ugt, die BehaupM ∗ = {e1 , e2 , e3 , ∞} mit e1 + e2 + e3 = 0 abbildet. Es gen¨ tung f¨ ur M ∗ zu beweisen. Die Koeffizienten des Polynoms 4w 3−a2 w − a3 := ullen a32 = 27a23 , weil seine Nullstellen paarweise 4(w −e1 )(w −e2 )(w −e3 ) erf¨ verschieden sind. Die ℘-Funktion hat den Verzweigungsort M ∗ .
Das Jacobische Problem f¨ ur elliptische Funktionen fragt, ob die Aussagen (1) -(3) zutreffen. Es hat f¨ ur die Entwicklung der Funktionentheorie im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle gespielt, siehe 2.4.3, 5.3.4 und 5.4.5 f¨ ur historische Bemerkungen. F¨ ur die Antwort ja“ gibt es heute viele Beweise, von ” denen wir drei in sp¨ ateren Kapiteln ausf¨ uhren, siehe 5.3.4, 7.6.3 und 14.3.1.

30

2. Tori und elliptische Funktionen

2.3 Abelsches Theorem f¨ ur elliptische Funktionen Kein Torus T ist zur Zahlenkugel isomorph. Nach 1.6.5(4) muß daher jeder Hauptdivisor D auf T außer grD = 0 zus¨atzliche Bedingungen erf¨ ullen. Wir finden sie durch Integration u ¨ber den Rand des Parallelogramms in Figur 2.3.1 a.– Sei Ω ein Gitter. Sei η : C → C/Ω =: T die Projektion. 2.3.1 Parallelogramme. Jeder Punkt c ∈ C zusammen mit einer Basis ω1 , ω2 von Ω bestimmt das Parallelogramm (Figur 2.3.1 a) P := {c + t1 ω1 + t2 ω2 : t1 , t2 ∈ (0, 1]} . Die Projektion η bildet P bijektiv auf T ab. Alle vier Ecken der H¨ ulle P¯ haben denselben Bildpunkt. Die u ¨brigen Randpunkte werden durch η paarweise identifiziert, η(c + tω1 ) = η(c + tω1 + ω2 ) und η(c + tω2 ) = η(c + ω1 + tω2 ) . Figur 2.3.1 b zeigt, wie C/Ω aus P¯ durch Randverheftungen entsteht.

c+w 1+w 2 c+w 2

c+w1 c

Fig. 2.3.1 a. Das Parallelogramm zur Gitterbasis ω1 , ω2 mit der Ecke c ist der Ausgangspunkt zur Herstellung eines Torus. Man muß beliebige Parallelogramme und nicht nur Rechtecke betrachten, um alle Tori mit ihren verschiedenen komplexen Strukturen zu erreichen.

2.3.2 Abelsche Relation. Sei g ∈ M(T ) eine Funktion mit den Nullstellen a1 , . . . , an und den Polstellen b1 , . . . , bn , wobei jede so oft notiert ist, wie ihre Vielfachheit angibt. In der abelschen Gruppe T gilt dann (1) a1 + . . . + a n = b1 + . . . + b n . Beweis (nach [HC], S. 159). Wir w¨ ahlen ein Parallelogramm P ⊂ C gem¨aß 2.3.1, so daß der Rand ∂P die Null- und Polstellen von f := g ◦ η nicht trifft. Dann gibt es zu jedem aj und bj genau ein αj bzw. βj ∈ P mit η(αj ) = aj und η(βj ) = bj . Aus dem Residuensatz folgt    f ′ (z) I := z dz = 2πi( αj − βj ) , f (z) ∂P siehe [Re 1], Abschnitt 13.2.1. Wegen der Periodizit¨ at von f ist c+ω c+ω 1 2   f ′ (z) f ′ (z) dz − ω2 dz ∈ 2πiΩ ; I = ω1 f (z) f (z) c

denn die Integralwerte liegen in 2πiZ .

c




2.3 Abelsches Theorem f¨ ur elliptische Funktionen

31

2

3

Fig. 2.3.1 b. Herstellung des Torus aus einem Rechteck durch Randverheftungen.

F¨ ur einen anderen Beweis ohne Integrale siehe Aufgabe 3.9.6.– Die Abelsche Relation wird in 7.5.3 zu Integralrelationen f¨ ur beliebige kompakte Fl¨ achen verallgemeinert. Um jede Vorgabe von Null- und Polstellen, welche die Relation (1) erf¨ ullt, durch eine Funktion f ∈ M(T ) zu realisieren, benutzen wir folgende SigmaFunktion. 2.3.3 Die σ-Funktion zum Gitter Ω wird durch ein unendliches Produkt

′ u ¨ber alle ω ∈ Ω \{0} definiert:  

′

′ E(z/ω) mit (1) σ(z) := z (1 − z/ω) exp z/ω + 12 (z/ω)2 = z (2) E(z) := (1 − z)exp (z + z 2 /2) .

Satz. Das Produkt konvergiert auf C normal gegen eine ganze Funktion. Sie hat in den Punkten ω ∈ Ω einfache und außerhalb von Ω keine Nullstellen. ′ [E(z/ω) − 1] nachBeweis. Es gen¨ ugt, die normale Konvergenz der Reihe zuweisen. Diese folgt wegen der Absch¨atzung ur |z| ≤ 1 (3) |E(z) − 1| ≤ |z|3 f¨

aus dem Konvergenzlemma in 2.2.1. Der Beweis zu (3) geht von der Ableitung E ′ (z) = −z 2 exp(z + z 2 /2) aus. Alle Koeffizienten in der Taylor-Reihe von exp(z + z 2 /2) sind positiv. Daher gilt ∞ ∞ E ′ (z) = − n=3 nbn z n−1 , also E(z) = 1 − n=3 bn z n mit bn ≥ 0 .   F¨ ur |z| ≤ 1 folgt |1 − E(z)| ≤ |z|3 bn = |z|3 wegen 0 = E(1) = 1 − bn .

32

2. Tori und elliptische Funktionen

2.3.4 Die Zeta-Funktion ist die logarithmische Ableitung   1 1 z 1 ′ ′ + + (1) ζ(z) := σ (z)/σ(z) = + . z z − ω ω ω2 Diese Reihe konvergiert auf C normal. Durch gliedweises Differenzieren folgt (2) ℘(z) = −ζ ′ (z) . Da die Ableitung von ζ(z + ω) − ζ(z) verschwindet, gilt (3) ζ(z + ω) = ζ(z) + h(ω) . Dabei ist h : Ω → C ein additiver Homomorphismus. F¨ ur die SigmaFunktion folgt mit einer weiteren Abbildung k : Ω → C , welche kein Homomorphismus ist, die   Periodenrelation σ(z+ω) = σ(z) · exp h(ω)z + k(ω) f¨ ur z ∈ C, ω ∈ Ω . Beweis. Die logarithmische Ableitung von σ(z + ω)/σ(z) hat den konstanten Wert = h(ω) . Daraus folgt die Behauptung.
2.3.5 Vorgabe der Null- und Polstellen. Es seien endlich viele Punkte a1 , . . . , aq ∈ C gegeben, deren Bilder η(a1 ), . . . , η(aq ) ∈ T paarweise verschieden sind. Jedem aj sei eine Ordnung nj ∈ Z, nj = 0 , zugeordnet. Es sei n1 + · · · + nq = 0 und ω := n1 a1 + · · · + nq aq ∈ Ω . Dann ist q σ(z + ω)  σ(z − aj )nj f (z) := σ(z) j=1

eine Ω-elliptische Funktion mit den Ordnungen o(f, z) = nj f¨ ur z ∈ a j + Ω und o(f, z) = 0 f¨ ur z ∈ / {a1 , . . . , aq }+Ω . Beweis. Aus der Periodenrelation f¨  ur σ folgt f ∈ MΩ (C) . Der Vorfaktor σ(z + ω)/σ(z) = exp h(ω)z + k(ω) hat keine Null- und Polstellen.


2.3.6 Abelsches Theorem. Ein Divisor D auf dem Torus T ist genau dann ein Hauptdivisor, wenn gilt:   D(x) = 0 und D(x) · x = 0 . grD := x∈T

x∈T

Beweis. Sei {b1 , . . . , bq } ⊂ T der Tr¨ ager von D . Wir w¨ ahlen je einen Punkt aj ∈ η −1 (bj ) und setzen nj := D(bj ) . Dann sind die Voraussetzungen in 2.3.5 erf¨ ullt. Die dort angegebene elliptische   Funktion f bestimmt die Funktion fˆ ∈ M(T ) mit den Hauptdivisor fˆ = D .
Das Abelsche Theorem l¨aßt sich nach einem umfangreichen Ausbau der Theorie auf beliebige kompakte Fl¨ achen u ¨bertragen, siehe 14.2.4.

2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen

33

2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen Wir beschr¨ anken uns auf einige H¨ ohepunkte der Entdeckungsgeschichte. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung findet man im Beitrag Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale von C. Houzel zu [Di 1].

2.4.1 Elliptische Integrale. Mit der Darstellung von Kurvenl¨angen durch Integrale befaßten sich in der zweiten H¨ alfte des 17. Jahrhunderts viele Mathematiker. Dabei stieß man f¨ ur die Ellipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 auf x  2 a − k 2 u2 b2 du mit k 2 = 1 − 2 (1) 2 2 a −u a 0

als L¨ ange des Bogens zwischen den Punkten (0, b) und (x, y) .

b °

(x,y) · x·

(x,y) ·

r ·

a

P

°

·

Q

Fig. 2.4.1. Ellipse und Lemniskate. Wallis (1655) und Newton (1669) kannten die Formel (1). Von a ¨hnlichem Typ, aber etwas einfacher, ist das Integral f¨ ur die L¨ ange des Lemniskatenbogens, mit dem sich Jakob und Johann Bernoulli ab 1679 besch¨ aftigten: Die Lemniskate ist der geometrische Ort aller Punkte in der (x, y)-Ebene, deren Abst¨ ande von den Punkten √ √ (−1/ 2, 0) und (1/ 2, 0) das konstante Produkt 1/2 haben. Mit r := x2 + y 2 wird die Lemniskate durch 2y 2 = r2 + r4 (2) 2x2 = r2 − r4 in Parameterform dargestellt. Das ergibt f¨ ur die Bogenl¨ ange die Formel r du √ (3) L(r) = . 1 − u4 0

Man fand bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts noch eine ganze Reihe von Problemen aus der Geometrie und Mechanik, die auf Integrale vom Typ  (4) R(u, v)du f¨ uhren, wobei R eine rationale Funktion ist und v 2 = P (u) mit einem Polynom 3. oder 4. Grades gilt. Schon fr¨ uh erkannte man, daß solche Integrale nicht elementar berechnet werden k¨ onnen: Stammfunktionen des Integranden lassen sich nicht rational aus elementaren Funktionen zusammenzusetzen. Nach dem Prototyp (1) b¨ urgerte sich f¨ ur (4) der Name elliptische Integrale ein. Aufbauend auf Ergebnissen von Euler und Lagrange stellte Legendre 1793 eine Liste von grundlegenden elliptischen Integralen zusammen, aus denen alle anderen durch Transformationen gewonnen werden k¨ onnen. F¨ ur das Polynom P benutzte er dabei die Normalform

34

2. Tori und elliptische Funktionen

(5) P (u) = (1 − c2 u2 )(1 ± k 2 u2 ) , die auch in (1) auftritt, wenn man dort den Integranden als a2 − k 2 u 2  2 (a − k2 u2 )(a2 − u2 ) schreibt.– Fagnanos (1716) Verdoppelung des Lemniskatenbogens, 4t2 (1 − t4 ) , (6) L(r) = 2L(t) f¨ ur r 2 = (1 + t4 )2 f¨ uhrte zu Fortschritten in einer anderen Richtung. Euler verallgemeinerte dieses Ergebnis 1753 zu einem Additionstheorem, siehe [Eu] XX, S. 58-79:  √ x 1 − y 4 + y 1 − x4 (7) L(z) = L(x) + L(y) f¨ ur z = . 1 + x2 y 2

2.4.2 Lemniskatischer Sinus. C. F. Gauss befaßte sich seit Januar 1797 mit der Lemniskate und betrachtete den Abstand r (mit negativem Vorzeichen in der linken Halbebene) als Funktion der Bogenl¨ange ϕ , also die Umkehrfunktion zu ϕ = L(r) . Er nannte sie lemniskatischen Sinus r = sl ϕ in Analogie zur Kreisfunktion Sinus. Offenbar ist sl eine (reelle) ungerade periodische Funktion mit Werten zwischen −1 und +1 . Die Periode ist die Gesamtl¨ange der Lemniskate 4L(1) = 12 πΓ (1/4)2 ; Gauss berechnete sie bis zur 24ten Stelle hinter dem Komma.– Als Umkehrfunktion von L erf¨ ullt sl die Differentialgleichung (sl ′ )2 = 1 − sl4 . Wenn man dies mit dem Eulerschen Additionstheorem kombiniert, erh¨alt man das Additionstheorem slu · sl′ v + sl′ u · slv . (1) sl(u + v) = 1 + sl2 u · sl2 v In der Hoffnung, eine bemerkenswerte unendliche Reihe zu entdecken, berechnete Gauss die Taylor-Reihe von sl . Da der Weg durchs Komplexe Rechenvorteile versprach, setzte er sl(iy) := i · sly und definierte im Einklang mit (1) die erste doppelt-periodische meromorphe Funktion slx · sl′ y + i sl′ x · sly (2) sl(x + iy) := . 1 − sl2 x · sl2 y

2wi

°

w+ ° · ´ · ´ ° ´ · ´ · w°-

°

2w Fig. 2.4.2. Das Periodengitter Zω+ + Zω− des lemniskatischen Sinus. In dem von ω+ und ω− aufgespannte Quadrat sind die Nullstellen ◦ , die Polstellen • und die Windungspunkte × angegeben.

Man kann dies leicht verifizieren: Sei ω := 2L(1) . Da die reelle Funktion sl die Periode 2ω hat, ergeben sich bei der komplexen Funktion direkt die Perioden 2ω

2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen

35

und 2ωi . In Wirklichkeit ist das Periodengitter Ω engmaschiger: Bereits ω± := (1 ± i)ω sind Perioden, also Ω = Zω+ + Zω− , siehe Figur 2.4.2. Mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen pr¨ uft man nach, daß sl außerhalb der Nullstellen des Nenners von (2) holomorph ist. Die Nullstellenmenge ist {0, ω} + Ω , die Polstellenmenge {± 12 ω+ , ± 21 ω− } + Ω . Alle Null- und Polstellen sind einfach. Die Windungspunkte sind die Nullstellen der Ableitung sl ′ . Sie liegen also dort, wo sl4 z = 1 ist. Das sind die Punkte {± 12 ω , ± 2i ω} + Ω . Alle Windungszahlen sind = 2, weil sl′′ = −2sl3 in den Windungspunkten = 0 ist. Der Verzweigungsort von sl ist µ4 = {±1, ±i} . Da es zwei einfache Polstellen modulo Ω gibt, hat sl den Grad 2. Diese Ergebnisse stehen bei Gauss zum Teil nur zwischen den Zeilen. Er berechnet die Taylor-Reihe von sl , stellt sl = P/Q als Quotienten ganzer Funktionen dar und berechnet f¨ ur P und Q die Taylorreihen sowie unendliche Produktdarstellungen. Er trug seine Entdeckungen am 19.03.1797 in sein Tagebuch ein, siehe [Ga] 10,1; no. 51, 60, 63. Zwei Jahre sp¨ ater (In der Zwischenzeit promoviert er mit einem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra) dehnte er seine Untersuchung auf allgemeinere elliptische Integrale  dx  (3) (1 − x2 )(1 ± µ2 x2 ) aus, siehe [Ga] 3, S. 404 ff. Von allen Entdeckungen ver¨offentlichte er nichts. Crelle bat ihn dreißig Jahre sp¨ ater um einen Beitrag u ¨ ber elliptische Funktionen f¨ ur sein Journal. Gauss lehnte ab; mittlerweile habe Abel denselben Weg eingeschlagen und dieselben Ergebnisse scharfsinnig und elegant erzielt.

2.4.3 Von Abel bis Weierstraß. Abel und Jacobi studierten ab 1827 zun¨achst unabh¨ angig und bald in gegenseitiger Kenntnis voneinander das Integral 2.4.2(3) als Funktion der oberen Integrationsgrenze. Sie hatten wie Gauss die Idee, die Umkehrfunktion zu bilden und sie ins Komplexe fortzusetzen. Dabei entdeckten sie wieder wie Gauss dreißig Jahre zuvor, daß doppelt-periodische Funktionen entstehen. Jacobi nannte sie elliptische Funktionen, eine Bezeichnung, die sich trotz Legendres Protest durchsetzte. Die Umkehrung des Integrals 2.4.2(3) entspricht der L¨ osung der Differentialgleichung x′2 = (1 − x2 )(1 − µ2 x2 ) durch elliptische Funktionen. Jacobi gelang die L¨ osung nur f¨ ur reelle µ ∈ (−1, 1) , vgl. 5.4.5. Er konnte die Frage, ob alle komplexen µ ∈ {0, ±1} zul¨ assig sind, nicht beantworten. In der Tat ist das L¨osungsproblem zum Jacobischen Problem 2.2.7 ¨ aquivalent, siehe Aufgabe 2.7.5. Die direkte Untersuchung doppelt-periodischer Funktionen zu vorgegebenem Gitter und nicht als Umkehrung elliptischer Integrale begann mit Liouville (1844) und Eisenstein (1847). Liouville entdeckte, daß nicht-konstante doppelt-periodische Funktionen einen Grad ≥ 2 haben. Er gab solche Funktionen durch unendliche Reihen trigonometrischer Funktionen an. Die Konstruktionsidee f¨ u r die ℘-Funktion −n stammt von Eisenstein. Er bewies die absolute Konvergenz von f¨ ur ω (z − ω) n > 2 und machte diese Reihe auch f¨ ur n = 2 durch eine passende Summationsvorschrift konvergent. Eisensteins Verdienste werden in [Wil 1] gew¨ urdigt. Weierstraß hat seine endg¨ ultige Theorie der elliptischen Funktionen nie publiziert. Die wesentlichen Teile diktierte er 1863. Andere trug er nur in Vorlesungen vor, siehe [Wst] 5. Er begann mit dem schwierigeren Teil, n¨amlich die Differentialgleichung (x′ )2 = 4x3 − g2 x − g3 f¨ ur vorgegebene komplexe Zahlen g2 , g3 durch eine doppeltperiodische Funktion ℘ zu l¨ osen, deren Perioden erst gefunden werden m¨ ussen. Damit l¨ oste er das Jacobische Problem. Umgekehrt konstruierte er die ℘-Funktion zu vorgegebenen Perioden. Eine wichtige Rolle in seiner Darstellung spielen seine Funktionen σ(z) und ζ(z), die wir in 2.3.3-4 benutzten.

36

2. Tori und elliptische Funktionen

2.5 Reduzierte Basen. Torusabbildungen. Mit der Exponentialfunktion, den Torusprojektionen C → C/Ω und den ℘-Funktionen lassen sich alle normalen Abbildungen C → X angeben, siehe 2.6. Daß es keine anderen M¨ oglichkeiten gibt, liegt an einem Ergebnis u ¨ber lokal endliche Untergruppen der additiven Gruppe C , das im ersten Abschnitt bewiesen wird. Die weiteren Abschnitte behandeln die Darstellung von Torusabbildungen durch lineare Funktionen. 2.5.1 Reduzierte Basen. Jede additive, lokal endliche Untergruppe Ω = 0 von C ist unendlich zyklisch oder ein Gitter. Genauer gilt: Sei ω2 ∈ Ω\{0} ein Element von minimalem Betrag. Aus Ω ⊂ R ω2 folgt Ω = Z ω2 .– Wenn Ω ⊂ R ω2 ist, sei ω1 ∈ Ω \ R ω2 ein Element minimalen Betrages mit τ := ω1 /ω2 ∈ H . Dann ist Ω = Z ω1 + Z ω2 und (1)

Im τ > 0 , |τ | ≥ 1 , |Re τ | ≤

1 2

.

Beweis. Sei Ω ⊂ R ω2 . Dann gibt es zu jedem ω ∈ R ω2 ein ω ′ ∈ Z ω2 ⊂ Ω , so daß |ω − ω ′ | ≤ 21 |ω2 | ist. Im Falle ω ∈ Ω ist ω − ω ′ ∈ Ω , also ω = ω ′ ∈ Zω2 .– Wenn Ω ⊂ R ω2 ist, liegt jeder Punkt ω ∈ C in einem Parallelogramm, dessen Ecken zu Z ω1 +Z ω2 geh¨oren und dessen Diagonalen amlich eine die L¨angen |ω1 ±ω2 | haben. Daher gibt es ein ω ′ ∈ Z ω1 +Z ω2 , n¨ Ecke des Parallelogramms, so daß |ω −ω ′ | ≤ 21 |ω1 ±ω2 | < 12 |ω1 |+ 21 |ω2 | ≤ |ω1 | angig sind, ist die zweite Ungleichung gilt. Weil ω1 und ω2 reell linear unabh¨ strikt. F¨ ur ω ∈ Ω ist ω − ω ′ ∈ Ω . Wegen der Ungleichung ω − ω ′ ∈ R ω2 und nach dem ersten Fall gilt sogar ω − ω ′ ∈ Z ω2 . Zu (1). Wegen |ω1 | ≥ |ω2 | ist |τ | ≥ 1 . Aus ω1 ± ω2 ∈ Ω \ R ω2 folgt
|ω1 ± ω2 | ≥ |ω1 | , also |τ ± 1| ≥ |τ | ; das ist zu |Re τ | ≤ 21 ¨aquivalent. Jede Gitterbasis (ω1 , ω2 ) , deren Modul τ := ω1 /ω2 die Ungleichungen (1) erf¨ ullt, heißt reduziert. Durch (1) wird der Modulbereich beschrieben, siehe Figur 5.1.3. Er bildet einen Grundstein der Modultheorie (Kapitel 5), die u.a. eine L¨osung des Jacobischen Problems liefert. Zun¨ achst interessiert nur die ¨ Folgerung. Bei jeder unverzweigten, normalen Uberlagerung η : C → X, die kein Isomorphismus ist, besteht die Deckgruppe D(η) aus Translationen z → z + ω , wobei die Elemente ω eine unendlich zyklische Untergruppe oder ein Gitter Ω in der additiven Gruppe C bilden. Im ersten Fall ist X zu C × und im zweiten Fall zum Torus C/Ω isomorph. Beweis. Die Deckgruppe D(η) besteht aus Transformationen z → az + b. Sie haben keine Fixpunkte, weil η unverzweigt ist. Daher ist stets a = 1 , und alle b bilden die additive, lokal endliche Untergruppe η −1(0) < C . Diese ist eine unendlich zyklische Gruppe Zω , oder ein Gitter Ω . Im ersten Fall induziert die Funktion C → C× , z → exp(2πiz/ω) , und im zweiten Fall die TorusProjektion C → C/Ω einen Isomorphismus X → C× bzw. X → C/Ω .


2.5 Reduzierte Basen. Torusabbildungen.

37

2.5.2 Affine Torusabbildungen. Seien Ω und Ω ∗ zwei Gitter. Eine holomorphe Funktion f : C → C induziert genau dann eine holomorphe Abbildung ϕ : C/Ω → C/Ω ∗ , ϕ(z + Ω) := f (z)+Ω ∗ , wenn f (z) = az+b affin und aΩ < Ω ∗ ist. Genau dann, wenn aΩ = Ω ∗ gilt, ist ϕ biholomorph. Beweis. Ist f (z) = az + b und aΩ < Ω ∗ , so induziert f nach dem Faktorisierungssatz 1.3.8 die holomorphe Abbildung ϕ . Sie ist genau dann bijektiv, also biholomorph, wenn aΩ = Ω ∗ gilt. Umgekehrt induziere f ∈ O(C) eine holomorphe Abbildung ϕ . Dann gilt ur jedes ω ∈ Ω . Weil f stetig und Ω ∗ lokal endlich ist, f (z+ω)−f (z) ∈ Ω ∗ f¨ h¨ angt die Differenz nur von ω und nicht von z ab. F¨ ur die Ableitung folgt f ′ (z + ω) = f ′ (z) ; d.h. f ′ ist Ω-periodisch und holomorph, also konstant. Daher ist f (z) = a z+b linear. Aus aω = f (z+ω)−f (z) ∈ Ω ∗ folgt aΩ < Ω ∗ . ¨ Der Beweis der letzten Behauptung ist eine Ubungsaufgabe.
Wir nennen die durch f (z) = az + b induzierten Torusabbildungen ϕ affin. Aus dem Monodromiesatz wird folgen, daß jede holomorphe Torusabbildung affin ist, siehe 3.3.2. 2.5.3 Isomorphismen und Automorphismen. Zwei Gitter Ω und Ω ∗ heißen a ¨quivalent, wenn aΩ = Ω ∗ f¨ ur ein a ∈ C× gilt. Aus 2.5.2 folgt: ∗ (1) Die Tori C/Ω und C/Ω zu zwei a ¨quivalenten Gitter sind als Riemannsche Fl¨ achen isomorph. (2) Die affinen Automorphismen des Torus C/Ω sind genau die Abbildungen z + Ω → az + b + Ω f¨ ur a, b ∈ C mit aΩ = Ω .
Automorphismen der Form z +Ω → z +b+Ω heißen Torustranslationen. Sie bilden eine abelsche Untergruppe von Aut(C/Ω), welche transitiv operiert. Die Translationen = id haben keine Fixpunkte. 2.5.4 Quadratische und hexagonale Gitter. Die Symmetriegruppe S(Ω) := {a ∈ C : aΩ = Ω} < C× eines Gitter Ω ist die Gruppe der Einheitswurzeln µ2 , µ4 oder µ6 . Beweis. Wir w¨ahlen 0 = ω ∈ Ω von minimalem Betrag. Aus a ∈ S(Ω) folgt |aω| ≥ |ω| und |a−1 ω| ≥ |ω| , also |a| = 1 , d.h. S(Ω) < S 1 . Wenn ♯S(Ω) > 6 ist, gibt es zwei Elemente a = b in S(Ω) , so daß |a − b| < 1 ist. Dann w¨ are 0 = (a−b)ω ∈ Ω , aber |(a−b)ω| < |ω| . Das ist ein Widerspruch. Somit ist ♯S(Ω) ≤ 6 . Weil stets −1 ∈ S(Ω) ist, folgt die Behauptung.
F¨ ur jedes Gitter gilt µ2 < S(Ω) . Wenn S(Ω) = µ4 ist, heißt Ω quadratisch, wenn S(Ω) = µ6 ist, heißt Ω hexagonal. Das quadratische bzw. hexagonale Standardgitter ist Ωi = Z + Zi bzw. Ωρ = Z + Zρ mit ρ = eπi/3 , siehe Figur 2.5.4. Jedes quadratische bzw. hexagonale Gitter ist zum entsprechenden Standardgitter a¨quivalent.– Aus 2.2.6(2)-(3) folgt: Satz Das Gitter Ω ist genau dann hexagonal bzw. quadratisch, wenn
g2 (Ω) = 0 bzw. g3 (Ω) = 0 .

38

2. Tori und elliptische Funktionen

·

·

·

·

·

·

·

·i

·

·

·

·

·

·

·

·

· 1 ·

·

·

·

·

·

·

· r

1

·

Fig. 2.5.4. Das quadratische Gitter Ωi und das hexagonale Gitter Ωρ . Bemerkung. Bei einem Kristall K ⊂ R3 ist K ∩ E f¨ ur jede affine Ebene E ⊂ R3 ein zwei -dimensionales Gitter oder leer. Wegen des letzten Ergebnisses hat K nur 2 - , 3 - , 4 - oder 6 -fache Symmetrieachsen. Man nennt dies die kristallographischen Beschr¨ ankungen.

2.5.5 Komplexe Multiplikation. Die (eventuell nicht umkehrbaren) affinen Selbstabbildungen ϕ : C/Ω → C/Ω werden gem¨aß 2.5.2 von den linearen Funktionen az + b induziert, f¨ ur die aΩ < Ω gilt. Der Unterring R(Ω) := {a ∈ C : aΩ < Ω} von C umfaßt Z . F¨ ur jedes c ∈ C× gilt R(cΩ) = R(Ω) . F¨ ur a¨quivalente ∗ Gitter Ω, Ω folgt R(Ω) = R(Ω ∗ ) . Man nennt C/Ω einen Torus mit komplexer Multiplikation, wenn R(Ω) = Z . Satz. Sei Ω = Zω1 + Zω2 und τ := ω1 /ω2 . Genau dann, wenn Q(τ ) ein imagin¨ ar quadratischer Zahlk¨ orper ist, gestattet der Torus C/Ω komplexe Multiplikationen. F¨ ur jedes a ∈ R(Ω) \ Z ist Q(a) = Q(τ ) , und es gilt a2 +pa+q mit p, q ∈ Z.

Beweis. Aus τ ∈ R folgt Q(τ ) ⊂ R. Wenn [Q(τ ) : Q] = 2 ist, gibt es ur a := kτ folgt aΩ < Ω. ganze Zahlen k, m, n , so daß kτ 2 = m + nτ . F¨ Umgekehrt gilt f¨ ur jedes a ∈ R(Ω)

(1) a ω1 = α ω1 + β ω2 und a ω2 = γ ω1 + δ ω2 mit α, β, γ, δ ∈ Z . Die zweite Gleichung ergibt a = γτ + δ ∈ Q(τ ). F¨ ur a ∈ Z ist γ = 0, daher   τ ∈ Q(a), also Q(a) = Q(τ ) . Wegen (1) ist a ein Eigenwert der Matrix αγ βδ und somit eine Wurzel ihres charakteristischen Polynoms z 2 − (α + δ)z + (αδ − βγ) . Aus a ∈ Z folgt, daß Q(τ ) = Q(a) imagin¨ ar quadratisch ist.
F¨ ur quadratische bzw. hexagonale Gitter ist R(Ω) der Ring Z[i] bzw. Z[ρ]. Diese Ringe sind in ihren Quotientenk¨ orpern ganz abgeschlossen. Die komplexe Multiplikation wurde von Abel entdeckt. Kronecker bemerkte die Beziehung zur Zahlentheorie. Bis heute ist die komplexe Multiplikation ein bl¨ uhendes Gebiet, wo sich Funktionentheorie, Algebra und Zahlentheorie harmonisch erg¨ anzen.

2.6 Normale Abbildungen der Zahlenebene

39

2.6 Normale Abbildungen der Zahlenebene ¨ Alle normalen Uberlagerungen C → X werden klassifiziert. Als Deckgruppen treten Symmetriegruppen von Ornamenten auf, die sich u ¨ber die Ebene periodisch ausbreiten.– Wir benutzen, daß Aut(C) aus allen linearen Funktionen z → az + b mit a ∈ C× und b ∈ C besteht und identifizieren b ∈ C mit der Translation z → z + b . 2.6.1 Kanonische Zerlegung. Sei G < Aut(C). Dann ist h : G → C× , (z → az + b) → a , ein Homomorphismus, dessen Kern GT aus allen Translationen in G besteht. Die Bildgruppe G× := h(G) < C× transformiert GT in sich, d.h. a · b ∈ GT f¨ ur a ∈ G× und b ∈ GT . Wir nennen (GT , G× ) die kanonische Zerlegung von G. Lemma. Wenn G die Deckgruppe einer normalen Abbildung η : C → X oglichkeiten: ist, gibt es f¨ ur (GT , G× ) nur folgende M¨ (1) (0, µn ) mit n = 1, 2, 3, · · · ; (2) (Z · b, µn ) mit b ∈ C× und n = 1, 2 ; (3) (Ω, µn ) mit einem Gitter Ω und n = 1, 2, 3, 4, 6 , wobei n = 4 nur bei quadratischen und n = 3, 6 nur bei hexagonalen Gittern m¨ oglich ist. Beweis. Jede Bahn G(c) ist lokal endlich. Dasselbe gilt f¨ ur c + GT ⊂ G(c) T T und damit f¨ ur G . Nach 2.5.1 ist G = 0 , = Z · b oder = Ω wie in (1)–(3). Im Falle GT = 0 haben alle Elemente von G denselben Fixpunkt c . Denn wenn f, g ∈ G verschiedene Fixpunkte h¨ atten, w¨ are f gf −1 g −1 ∈ G eine × Translation = id. Aus 1.5.3(3) folgt G = µn . ochstens aus ±1 . F¨ ur GT = Ω ergibt sich F¨ ur GT = Z · b besteht G× h¨ × ankungen.
aus 2.5.4 G = µn mit den unter (3) genannten Einschr¨ 2.6.2 Punkt-, Band- und Fl¨ achengruppen. Die im Lemma angegebenen M¨ oglichkeiten werden durch folgende Deckgruppen realisiert: (1) Punktgruppen Pn := {z → cz : c ∈ µn } , n = 1, 2, . . . (2) Bandgruppen B1 := {z → z + q : q ∈ Z} , B2 := {z → ±z + q : q ∈ Z} , (3) Fl¨ achengruppen Fn (Ω) := {z → cz + ω : c ∈ µn , ω ∈ Ω} , n = 1, 2, 3, 4, 6. Bei n = 4 ist Ω quadratisch und bei n = 3, 6 hexagonal. ¨ Die zugeh¨origen Uberlagerungen lauten (1) (2) (3)

ur P n ; C → C , z → z n , f¨ ur B 1 ; C → C× , z → exp(2πiz), f¨ C → C , z → cos(2πz), f¨ ur B 2 ; η : C → C/Ω (Torusprojektion) f¨ ur F1 (Ω) ;  ηn : C → C gem¨ aß folgender Tabelle f¨ ur Fn (Ω) :

40

2. Tori und elliptische Funktionen

n 2 3 4 6 ηn ℘ ℘′ ℘2 ℘3 Die n¨ achste Tabelle enth¨alt in der zweiten Zeile die Anzahl der Ausnahmebahnen und in der dritten Zeile die Windungszahlen ≥ 2 , d.h. die Ordnungen der Standgruppen l¨ angs jeder Ausnahmebahn. In der letzten Zeile stehen noch einmal die Basisfl¨ achen. Pn B1 B2

F1

1 n

0 –

0 –

C C×

2 2,2

F2

F3

F4

F6

4 3 3 3 2,2,2,2 3,3,3 2,4,4 2,3,6     C C/Ω C C C C

2.6.3 Klassifikation. Jede Deckgruppe G < Aut(C) einer normalen Abbildung C → X ist zu einer Punktgruppe Pn , einer Bandgruppe B1 , B2 oder achengruppen Fn (Ω) und einer Fl¨ achengruppe Fn (Ω) konjugiert. Zwei Fl¨ ¨quivaFm (Ω∗ ) sind genau dann konjugiert, wenn n = m ist und die Gitter a lent sind. Sonst gibt es zwischen den Gruppen Pn , Bj , Fn (Ω) keine Konjugationsbeziehungen. Beweis. F¨ ur die kanonische Zerlegung von G bestehen die in Lemma 2.6.1 genannten M¨ oglichkeiten. Durch Konjugation mit einer Translation erreicht man, daß 0 ein Punkt mit n-fach zyklischer Standgruppe wird. Im zweiten Fall (Z · b, µn ) konjugiert man noch mit der Homothetie z → z/b , um b = 1 zu erreichen. Nach diesen Konjugationen wird G zu Pn , Bn bzw. Fn (Ω) . Wenn G = Fn (Ω) und G∗ = Fm (Ω∗ ) konjugiert sind, also gGg −1 = G∗ mit g(z) = az + b gilt, ist n = ♯G× = ♯G× ∗ = m und aΩ = Ω∗ . Umgekehrt u ¨berf¨ uhrt die Konjugation mit g(z) = az die Gruppe Fn (Ω) in Fn (aΩ).
Die Band- und Fl¨ achengruppen klassifizieren die Band- und Fl¨ achenornamente ohne (Gleit-)Spiegelsymmetrien. Wenn man letztere ber¨ ucksichtigt, gibt es 17 (statt 5) doppelt-periodische Fl¨ achenornamente mit wesentlich verschiedenen Symmetrien, siehe [Klem]. 2.6.4 Dreiecksparkettierungen. Es gibt nur drei Tripel (p, q, r) ganzer amlich (3, 3, 3), (2, 4, 4) Zahlen mit 2 ≤ p ≤ q ≤ r und p1 + 1q + 1r = 1 , n¨ und (2, 3, 6). Zu jedem Tripel w¨ ahlen wir ein Dreieck ∆ ⊂ C mit den Innenwinkeln π/p , π/q und π/r . Fortgesetzte Spiegelungen an den Seiten des Dreiecks erzeugen eine Parkettierung der Ebene C durch kongruenten Bilder von ∆ . Die Teildreiecke der Parkettierung werden schachbrettartig schwarz und weiß gef¨ arbt, siehe Figur 2.6.4. Diese Parkettierungen veranschaulichen die Fl¨ achengruppen F3 , F4 , F6 . Denn es gilt der Satz. Die Parkettierung zu (p, q, r) wird einschließlich ihrer F¨ arbung durch eine Fl¨ achengruppe Fr (Ω) in sich transformiert.

2.7 Aufgaben

41

Fig. 2.6.4. Dreiecksparkettierungen der Ebene der Typen (3,3,3), (2,4,4) und (2,3,6). Andere M¨ oglichkeiten gibt es nicht.

Beweis. Die Spiegelungen σa , σb und σc an den Seiten von ∆ ergeben drei Drehungen ρA = σb ◦ σc , ρB = σc ◦ σa und ρC = σa ◦ σb um die Ecken des Dreiecks ∆ , deren Drehwinkel 2π/p , 2π/q und 2π/r die doppelten Innenwinkel an den entsprechenden Ecken sind. Offenbar ist ρA ◦ ρB ◦ ρC = id. Diese Drehungen erzeugen die Fl¨ achengruppe Fr (Ω) . Zum Beweis legt man C in den Ursprung. Dann wird die Drehgruppe µr durch ρC erzeugt. Die −r/p −r/q Zahlen r/p , r/q sind ganz, und ρA ◦ ρC , ρB ◦ ρC sind zwei Translationen, die Ω aufspannen.
 und der hyperEntsprechende Dreiecksparkettierungen der Zahlenkugel C bolischen Ebene H werden in 4.2.7 -8 bzw. 11.7 gewonnen.

2.7 Aufgaben 1)

Man zeige: Zu jeder elliptischen Funktion f vom Grade 2 gibt es ein a ∈ C
mit f (z) = A ◦ ℘(z + a) . und ein A ∈ Aut(C)

2)

Zeige f¨ ur den Halbperiodenwert ek , daß ℘ − ek ein Quadrat in M(C) , aber kein Quadrat in MΩ (C) ist.

3)

Betrachte in C2 mit den Koordinaten (u, v) die komplexe Gerade L mit der Gleichung v = mu + n . (i) Zeige: Es gibt h¨ ochstens drei Stellen zj + Ω ∈ C/Ω mit zj ∈ Ω , so daß die Punkte Pj = (uj , vj ) mit den Koordinaten uj = ℘(zj ), vj = ℘′ (zj ) auf L liegen.– Im folgenden seien u1 , u2 , u3 paarweise verschieden. (ii) Zeige: (u − u1 )(u − u2 )(u − u3 ) = u3 − 14 m2 u2 + au + b , wobei a und b nicht weiter interessieren. (iii) Folgere z1 + z2 + z3 ∈ Ω aus der Abelsche Relation, angewendet auf ℘′ − m℘ − n .

42

2. Tori und elliptische Funktionen (iv) Gewinne aus (ii) und (iii) das Additionstheorem  2 1 ℘′ (z) − ℘′ (w) − ℘(z) − ℘(w) . ℘(z + w) = 4 ℘(z) − ℘(w)

(v) Beweise die Verdopplungsformel  2 1 ℘′′ (z) − 2℘(z) ℘(2z) = 4 ℘′ (z) und stelle ihre rechte Seite als rationale Funktion von ℘(z) dar. 4)

Zeige: F¨ ur jede ganze Zahl n ist ℘(nz) eine rationale Funktion von ℘(z) .

5)

Zeige, daß folgende Aussage zu den Aussagen 2.2.7 des Jacobischen Problems a ¨quivalent ist: ur jede komplexe Die Differentialgleichung w ′ 2 = (1 − w2 )(1 − k 2 w2 ) besitzt f¨ Konstante k = 0, = ±1 eine elliptische Funktion zweiten Grades als L¨ osung.

6)

Man begr¨ unde, daß die σ-Funktion ungerade ist. Verbessere ihre Periodenformel zu ur 12 ω ∈ Ω , und − sonst. σ(z + ω) = exp(h(ω)z ± 12 ω) · σ(z) , mit + f¨

7)

F¨ ur den Homomorphismus h in der Periodenformel der ζ-Funktion und ω, ω1 , ω2 ∈ Ω beweise man h(ω) = 2ζ(ω/2) sowie h(ω1 )ω2 − h(ω2 )ω1 ∈ 2πiZ . Dazu forme man σ(z + ω1 + ω2 ) in verschiedener Weise um.

8)

Man stelle ℘(z)−℘(w) als σ-Produkt im Sinne von 2.4.4 dar.

σ(z − w) · (z + w) σ(z)2 · σ(w)2 σ(2z) ℘′ (z) = − . σ(z)4 10) Folgere aus dem Abelschen Theorem: Zu jedem positiven Divisor D vom Grade ≥ 2 auf einem Torus T gibt es ein f ∈ M(T ) mit D(x) = max {0, o(f, x)} f¨ ur alle x ∈ T .

9)

Beweise:

℘(z) − ℘(w)

=

−

11) Beweise die letzte Behauptung in 2.5.2. 12) Ordne den lemniskatischen Sinus sl in die Klassifikation 2.6.3 der normalen ¨ Uberlagerungen C → X ein.

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

¨ Die topologische Theorie unverzweigter Uberlagerungen η : X → Y wird von der Fundamentalgruppe π(Y ) beherrscht. Nach der Definition dieser Gruppe ¨ in 3.1 stellen wir in 3.2 ihre Beziehung zur Uberlagerungstheorie her, welche im Monodromiesatz gipfelt. Dieses nach heutigem Verst¨andnis rein topologische Ergebnis entstand historisch aus Problemen der analytischen Fortsetzung. Wir betrachten sie und andere funktionentheoretische Anwendungen in 3.3-5. Anschließend werden die topologischen Untersuchungen fortgesetzt, um weitere Ergebnisse zu erzielen, die in den n¨ achsten Kapiteln f¨ ur Riemannsche ¨ Fl¨ achen relevant werden.– Im vorliegenden Kapitel sind alle Uberlagerungen ¨ unverzweigt. Im 4. Kapitel folgt das Studium verzweigter Uberlagerungen.

3.1 Fundamentalgruppen Wir entwickeln nach Jordan (1866) einen Kalk¨ ul der Homotopieklassen stetiger Wege und fassen ihn im Begriff der Fundamentalgruppe (Poincar´e, 1892/95) zusammen. 3.1.1 Homotope Wege. Eine stetige Abbildung w : [α, β] → X eines Intervalls [α, β] ⊂ R mit α < β in einen topologischen Raum X heißt Weg vom Anfangspunkt w(α) zum Endpunkt w(β) , siehe Figur 3.1.1 a. Man kann das Intervall [α, β] durch [0, 1] ersetzen, indem man linear   umparametrisiert: Aus w wird w ∗ : [0, 1] → X , w ∗ (s) := w (1 − s)α + sβ . Man nennt X wegzusammenh¨ angend, wenn zu je zwei Punkten a, b ∈ X einen Weg von a nach b existiert. Jede Mannigfaltigkeit ist genau dann zusammenh¨ angend, wenn sie wegzusammenh¨ angend ist. Zwei Wege w0 , w1 : I := [0, 1] → X von a nach b heißen homotop (w0 ∼ w1 ) , wenn sie sich durch eine Schar von Zwischenwegen wt , 0 ≤ t ≤ 1 , ineinander deformieren lassen, siehe Figur 3.1.1 b. Damit ist gemeint: uhrt wie w0 und w1 von a nach b . (1) Jeder Zwischenweg wt f¨ (2) Die Abbildung h : I 2 := I ×I → X , h(s, t) = wt (s) , ist stetig. Man nennt h eine Homotopie von w0 nach w1 . Die Forderung (1) bedeutet h(0, t) = a und h(1, t) = b f¨ ur alle t ∈ I .

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

44

w1

®

®

·b

a ·

wt

· b

®

u

·a Fig. 3.1.1 a. Das Bild w([α, β]) eines Weges u von a nach b.

w0 Fig. 3.1.1 b. Die Homotopie h von w0 nach w1 und die Zwischenwege wt .

¨ (1) Die Homotopie ist eine Aquivalenzrelation. Beweis. Die Reflexivit¨ at w ∼ w folgt aus der konstanten Homotopie h(s, t) := w(s) . Die Symmetrie beweist man, indem man die Homotopie h von w0 nach w1 zur Homotopie (s, t) → h(s, 1 − t) von w1 nach w0 umdreht. F¨ ur die Transitivit¨ at setzt man die Homotopien h1 von w0 nach w1 und h2 von w1 nach w2 zu folgender Homotopie stetig zusammen:  h1 (s, 2t) f¨ ur 0 ≤ t ≤ 12 (s, t) →
h2 (s, 2t − 1) f¨ ur 12 ≤ t ≤ 1. ¨ Die Aquivalenzklasse [w] des Weges w heißt Homotopieklasse. Sei ϕ : I → I eine stetige Abbildung, so daß ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1 ist. Aus dem Weg w : I → X entsteht der umparametrisierte Weg w ◦ ϕ : I → X .  Er ist zu w homotop verm¨oge h(s, t) = w tϕ(s) + (1 − t)s .

(2) Bei jeder stetigen Abbildung η : X → Y haben zwei in X homotope Wege w0 und w1 die in Y homotopen Bildwege η ◦ w0 und η ◦ w1 . Denn die Homotopie h von w0 nach w1 ergibt die Homotopie η ◦ h von
η ◦ w0 nach η ◦ w1 .

3.1.2 Wegeprodukt. Wenn der Endpunkt des Weges u : I → X der Anfangspunkt des Weges v : I → X ist, definiert man den Produktweg  u(2s) f¨ ur 0 ≤ s ≤ 21 u · v : I → X , s → v(2s − 1) f¨ ur 21 ≤ s ≤ 1 . Man beachte die Reihenfolge von links nach rechts: Erst wird u und dann v durchlaufen. Aus zwei Homotopien u0 ∼ u1 und v0 ∼ v1 folgt u0 · v0 ∼ u1 · v1 . Daher macht es Sinn, das Produkt [u] · [v] := [u · v] der Homotopieklassen zu definieren. Wenn sich f¨ ur drei Wege u, v, w die Produkte u · v und v · w bilden lassen, kann man auch (u·v)·w und u·(v·w) bilden. Diese beiden Wege gehen durch st¨ uckweise lineares Umparametrisieren auseinander hervor. Insbesondere sind sie homotop. Das Produkt von Homotopieklassen ist also assoziativ.

3.1 Fundamentalgruppen

45

3.1.3 Schleifen, nullhomotope Wege, inverse Wege. Ein Weg heißt geschlossen oder Schleife, wenn sein Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Dieser Punkt heißt auch Basispunkt der Schleife. Eine Schleife, die zum konstanten Weg homotop ist, heißt nullhomotop. Wenn w ein Weg von a nach b ist und a ˆ den konstanten Weg a ˆ(t) := a bezeichnet, l¨aßt sich w in den Produktweg a ˆ ·w st¨ uckweise linear umparametrisieren. Entsprechendes gilt f¨ ur w · ˆb . F¨ ur jede bei a bzw. b nullhomotope Schleife u bzw. v ist daher [u] · [w] = [w] = [w] · [v]. Zu jedem Weg w : I → X von a nach b geh¨ ort der inverse Weg w − : − ur I → X, w (s) := w(1 − s) von b nach a . Offenbar ist w − − = w . F¨ das Produkt gilt (u · v)− = v − · u− . Wenn w0 und w1 homotop sind, sind die inversen Wege w0− , w1− ebenfalls homotop. Der Produktweg w · w − ist nullhomotop: Die Homotopie vom konstanten Weg nach w · w − l¨ auft u ¨ber die Zwischenwege wt · wt− , wobei wt (s) := w(s t) ist.– Insgesamt gilt die Rechenregel: In einem Produkt von Homotopieklassen kann man Faktoren [w] mit nullhomotopen Schleifen w , insbesondere Faktoren [u]·[u − ] einf¨ ugen oder weglassen, ohne das Produkt zu ¨ andern.
3.1.4 Verschiebung der Endpunkte. F¨ ur zwei Punkte a, b ∈ X bezeichnet π(X; a, b) die Menge der Homotopieklassen [u] aller Wege u von a nach b. Wie diese Menge von der Wahl der Endpunkte a, b abh¨ angt, zeigt folgende ¨ Uberlegung: Angenommen, es ist je ein Weg v von a nach c und w von b nach d gegeben. Dann ist folgende Abbildung bijektiv: Φ : π(X; a, b) → π(X; c, d) , [u] → [v − ] · [u] · [w] .

Wir nennen Φ Verschiebung der Endpunkte, siehe Fig. 3.1.4. Man beachte den Spezialfall a = b, v = w . Dann heißt Φw := Φ Verschiebung des Basispunktes l¨ angs w.

w

·d

®

u ¯

®

b· u

·c

a·

®

· a

w ®

·c

v Fig. 3.1.4. Verschiebung der Endpunkte. Die rechte Figur ist der Spezialfall v = w der linken.

3.1.5 Definition der Fundamentalgruppe. F¨ ur jeden wegzusammenh¨ angenden Raum X mit einem Basispunkt a ∈ X setzen wir π(X, a) := π(X; a, a) . Aus den bisherigen Ergebnissen folgt der

46

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

Satz. Die Menge π(X, a) wird mit der Verkn¨ upfung [u]·[v] := [u·v] zu einer Gruppe. Das neutrale Element ist die Klasse der nullhomotopen Schleifen. Das inverse Element zu [w] ist die Klasse der inversen Schleife [w]−1 := [w− ]. Jede Verschiebung des Basispunktes l¨ angs eines Weges w von a nach c ist ein Isomorphismus ∼ = Φw : π(X, a) −→ π(X, c) , [u] → [w − ] · [u] · [w] , der Gruppen, und zwar f¨ ur a = c ein innerer Automorphismus.
Man nennt π(X, a) die Fundamentalgruppe von X mit dem Basispunkt a. Sie h¨ angt bis auf Isomorphie nicht vom Basispunkt ab. Jede stetige Abbildung η : (X, a) → (Y, b) induziert den Homomorphismus (1) η∗ : π(X, a) → π(Y, b) , [w] → [η ◦ w] ,

der Fundamentalgruppen. Offenbar gelten id∗ = id und (ϕ ◦ η)∗ = ϕ∗ ◦ η∗ f¨ ur eine weitere stetige Abbildung ϕ : (Y, b) → (Z, c). 3.1.6 Einfacher Zusammenhang. Ein Raum X heißt einfach zusammenh¨ angend, wenn er wegweise zusammenh¨angt und je zwei Wege mit gleichem Anfangspunkt und gleichem Endpunkt homotop sind, d.h. wenn jede Menge π(X; a, b) aus genau einem Element besteht. Wegen der Verschiebung der Endpunkte h¨ angt ein wegzusammenh¨ angender Raum X bereits dann einfach zusammen, wenn f¨ ur ein Punktepaar (a, b) die Menge π(X; a, b) nur ein Element hat. Insbesondere gen¨ ugt es, daß alle Schleifen mit einem festen Basispunkt a nullhomotop sind: (1) Genau dann, wenn π(X, a) die triviale Gruppe ist, h¨ angt X einfach zusammen.
(2) Jede sternf¨ ormige Menge X ⊂ Rn insbesondere C und alle Scheiben h¨ angen einfach zusammen. Beweis. Sei w eine Schleife, deren Basispunkt a ein Zentrum von X ist. Dann ist h(s, t) = tw(s) + (1 − t)a eine Homotopie vom konstanten Weg a ˆ
nach w . Die Sternf¨ ormigkeit wird gebraucht, damit h(I 2 ) ⊂ X ist. 3.1.7 Zerlegung in Teilwege. Sei w : I → X ein Weg und U eine offene ¨ Uberdeckung von X. Dann gibt es eine Zerlegung 0 = t0 < t1 . . . < tn = 1, so daß jede Teilkurve w([tν−1 , tν ]) in einem U aus U enthalten ist. ¨ Das folgt unmittelbar aus dem Lebesgueschen Uberdeckungslemma, siehe z.B. [Kel], p. 154.
3.1.8 Vermeidung isolierter Punkte. Sei A ⊂ X eine lokal endliche Menge in einer Fl¨ ache. Zu jedem Weg w in X, dessen Anfangs- und Endpunkt nicht in A liegen, gibt es einen homotopen Weg v , der A nicht trifft. Beweis. Es gibt paarweise disjunkte Scheiben Ua , deren Zentren a die Punkte von A sind. Ganz X wird durch X \ A und alle Scheiben Ua u ¨berdeckt. Nach 3.1.7 ist w ein Produkt endlich vieler Teilwege wν , so

3.2 Monodromie

47

daß jedes wν in X \A oder einer Scheibe Ua l¨auft. Wir k¨ onnen annehmen, daß unmittelbar aufeinander folgende Teilwege nie in derselben Scheibe Ua liegen. Denn anderenfalls kann man sie zu einem Weg in Ua zusammenfassen. Kein Teilungspunkt liegt dann in A . Jeder Teilweg wν trifft h¨ ochstens einen Punkt a ∈ A . Wenn dies eintritt, ersetzen wir wν durch einen anderen Weg vν in Ua mit gleichem Anfangs- und Endpunkt, der a nicht trifft. Weil Ua einfach zusammenh¨angt, ist vν zu wν homotop. Das Produkt der beibehaltenen und ersetzten Teilwege ist der Weg v .
Folgerungen: (1) Mit X h¨ angt auch X\A zusammen. Die Einbettung induziert einen Epimorphismus der Fundamentalgruppen π(X\A, c) → π(X, c).  h¨ (2) Die Zahlenkugel C angt einfach zusammen.


3.2 Monodromie Gegeben seien zwei stetige Abbildungen η : X → Y und ϕ : Z → Y . Jede stetige Abbildung ϕˆ : Z → X , f¨ ur die ϕ = η ◦ ϕˆ gilt, heißt η-Liftung von ϕ. Wir fragen nach der Eindeutigkeit und Existenz von η-Liftungen einer vorgegebenen Abbildung ϕ , und bezeichnen diese Untersuchungen mit dem Schlagwort Monodromie, da ihre Ergebnisse, auf die Funktionentheorie angewendet, einen Beweis des Monodromieprinzips f¨ ur analytische Fortsetzungen ergeben, siehe 3.4.3. Die Liftungsergebnisse im vorliegenden Paragraphen beruhen teilweise auf subtilen Voraussetzungen, die von a¨lteren Funktionentheoretikern nicht immer beachtet wurden, siehe 3.4.4. Topologen haben genau untersucht, welche Voraussetzungen notwendig bzw. hinreichend sind, siehe z.B. [Mass], p.145. Wir begn¨ ugen uns mit hinreichenden Bedingungen, die f¨ ur Mannigfaltigkeiten stets erf¨ ullt sind. 3.2.1 Eindeutigkeit der Liftung. Sei η : X → Y eine lokal topologische Abbildung zwischen Hausdorff r¨ aumen. Wenn Z zusammenh¨ angt, sind zwei η-Liftungen ϕ0 , ϕ1 : Z → X derselben stetigen Abbildung ϕ : Z → Y gleich, sobald sie an einer Stelle c ∈ Z denselben Wert haben. Beweis. Die Koinzidenzmenge W = {z ∈ Z : ϕ0 (z) = ϕ1 (z)} ist abgeschlossen, weil X hausdorffsch ist, und offen, weil η lokal topologisch ist. Wegen c ∈ W folgt W = Z aus dem Zusammenhang .
¨ 3.2.2 Uberlagerungen. Eine Abbildung η : X → Y zwischen Hausdorff¨ r¨ aumen heißt (unverzweigte, topologische) Uberlagerung, wenn Y wegzusammenh¨ angend ist und jeder Punkt in Y eine zusammenh¨angende Umgebung V besitzt, die in folgendem Sinne trivial u ¨berlagert wird, siehe Figur 1.4.5: −1 (1) Das Urbild η (V ) ist die Vereinigung offener Mengen Uj , und jedes Uj wird durch η hom¨ oomorph auf V abgebildet.

48

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

Durch (1) wird die Forderung η ist lokal topologisch“ wesentlich versch¨arft. ” Wegen der Eindeutigkeit der Liftung gilt Uj ∩ Uk = ∅ oder Uj = Uk .– Jede −1 Umkehrung s := (η|Uj ) : V → Uj ֒→ X ist ein lokaler η -Schnitt, d.h. eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft η ◦ s = idV .– Aus (1) folgt direkt: (2) F¨ ur jeden wegzusammenh¨ angenden Teilraum V ⊂ Y ist die Beschr¨ ankung ¨ ¨ η : X → Y auch eine Uberlagerung.
η : η −1 (V ) → V einer Uberlagerung

¨ Die unverzweigten holomorphen Uberlagerungen zwischen Riemannschen Fl¨ achen, die in 1.4.5 eingef¨ uhrt wurden, ordnen sich den gerade definierten ¨ topologischen Uberlagerungen unter. Dazu geh¨ oren insbesondere (a) alle endlichen holomorphen Abbildungen ohne Verzweigungspunkte, z.B. ur n = 1, 2, . . . , die Potenzfunktionen η : C× → C× , z → z n f¨ × z (b) die Exponentialfunktion η : C → C , z → e , (c) die Torusprojektionen η : C → C/Ω aus 1.2.6. Eine lokal topologische Abbildung η : X → Y zwischen Hausdorffr¨ aumen heißt unbegrenzt, wenn Y wegzusammenh¨angend ist und folgende, zueinander a¨quivalente Voraussetzungen erf¨ ullt sind: (i)

Zu jedem Weg v in Y und jedem Punkt a u ¨ber dem Anfangspunkt von v gibt es eine η-Liftung vˆ , die in a beginnt. (ii) Jeder Weg u : [0, 1) → X ohne Endpunkt l¨ aßt sich stetig nach 1 fortsetzen, sobald dies f¨ ur v := η ◦ u gilt. ¨ Aquivalenzbeweis. (i) ⇒ (ii) ist klar; zu (ii) ⇒ (i) : Sei

s = sup {t : v|[0, t] hat eine Lif tung, die in a beginnt} . Es gibt eine Liftung u : [0, s) → X von v|[0, s), so daß u(0) = a ist. Wegen (ii) kann u stetig nach s fortgesetzt werden. Wir zeigen, daß s = 1 ist: Man w¨ahlt einen Schnitt σ : (V, v(s)) → (X, u(s)) . Wenn s < 1 ist, gibt es ein t > s, so daß v([s, t]) ⊂ V . Dann wird u durch σ ◦ v|[s, t] zu einer Liftung von v|[0, t] fortgesetzt, die in a beginnt. Das widerspricht s = sup.
¨ Satz. Jede Uberlagerung ist unbegrenzt. Beweis Wir zeigen (ii). Es gibt eine Umgebung V von v(1) , die trivial u ¨berlagert wird. Man w¨ ahlt ε < 1 so, daß v([ε, 1]) ⊂ V ist und w¨ ahlt den Schnitt σ : V → X so, daß u(ε) ∈ σ(V ) ist. Dann wird u durch u(1) := σ ◦ v(1) ¨bereinstimmen.
stetig fortgesetzt, da u und σ ◦ v auf [ε, 1) nach 3.2.1 u 3.2.3 Liftungssatz f¨ ur Homotopien. Sei η : X → Y unbegrenzt. Zwei Wege u0 , u1 in X mit gleichem Anfangspunkt a sind homotop und haben insbesondere denselben Endpunkt, sobald ihre Bildwege vj := η ◦ uj in Y homotop sind. Beweis. Sei k : I 2 → Y eine Homotopie von v0 nach v1 . Alle Zwischenwege vt : I → X, vt (s) := k(s, t) , haben denselben Anfangspunkt b := η(a) und denselben Endpunkt c . Weil η unbegrenzt ist, l¨ aßt sich jedes vt zu einem Weg vt liften, der in a beginnt. Wir definieren

3.2 Monodromie

49

h : I 2 → X, h(s, t) := ut (s), α = sup{s : h ist auf [0, s] × I stetig} zeigen nacheinander: α > 0; Zu jedem τ ∈ I gibt es Intervallumgebungen S von α und T von τ , so daß h auf S × T stetig ist; (5) h ist auf I 2 stetig; (6) h ist eine Homotopie von u0 nach u1 . Zu (3): Es gibt einen lokalen Schnitt σ : (V, b) → (X; a) . Wegen k({0} × I) = {b} gibt es ein ε > 0 mit k([0, ε] × I) ⊂ V . Wegen der Eindeutigkeit der Liftung folgt ut (s) = σ ◦ k(s, t) f¨ ur s ∈ [0, ε] und t ∈ I . Daher ist h = σ ◦ k auf [0, ε] × I stetig, also α ≥ ε > 0 .

(1) (2) und (3) (4)

T

t

b

a

S

Fig. 3.2.3. Zum Beweis der Stetigkeit der Homotopie h in einer Umgebung des Punktes (α, τ ) wird mittels der Eindeutigkeit der Wegeliftung h = σ ◦ k auf S × T gezeigt.

    Zu (4). Es gibt einen lokalen η-Schnitt σ : V, k(a, τ ) → X, h(a, τ ) . Man w¨ahlt S, T so, daß k(S × T ) ⊂ V . Wegen (3) gibt es ein β ∈ S mit β < α . Wir erreichen jeden Punkt (s, t) ∈ S × T ausgehend von (α, τ ) u ¨ber die Zwischenpunkte (β, τ ) und (β, t) , siehe Figur 3.2.3. Aus der Stetigkeit von h l¨ angs S × τ , β × T und t × S folgt wegen der Eindeutigkeit der Liftung, ¨ daß sich die Ubereinstimmung von h und σ ◦ k bei (α, τ ) u ¨ber die beiden Zwischenpunkte auf die Stelle (s, t) u ¨bertr¨ agt. Daher ist h = σ ◦ k auf S × T stetig. Zu (5). Nach (2) ist h auf [0, α) × I stetig. Die Rechtecke S × T gem¨aß (4) u ¨berdecken α × I . Daher ist h auch auf einer Umgebung W von α × I stetig. Somit ist h auf [0, α) × I stetig. Außerdem ist α = 1 . Denn sonst g¨abe es ein γ mit α < γ ≤ 1 , so daß h auf [0, γ] × I ⊂ ([0, α) × I) ∪ W stetig w¨are. Das widerspricht (2). Zu (6). Wegen (1) und (5) muß nur noch gezeigt werden, daß h(1, t) ∈ angt. Weil alle h-Fasern lokal endlich sind, folgt dies η −1 (c) nicht von t abh¨ aus der Stetigkeit in t .
3.2.4 Folgerungen. Sei η : X → Y unbegrenzt. (1) Jede η-Liftung einer nullhomotopen Schleife ist nullhomotop. (2) Sei X wegzusammenh¨ angend. Dann ist der Homomorphismus der Fundamentalgruppen η∗ : π(X, a) → π(Y, b) injektiv.

50

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

(3) Sei Y eine einfach zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit. Dann ist X auch eine Mannigfaltigkeit, und η ist trivial, d.h. jede Komponente Z von X wird durch η hom¨ oomorph auf Y abgebildet. × (4) Die punktierte Ebene C und alle Tori h¨ angen nicht einfach zusammen. (5) Jede unbegrenzte Abbildung η : X → Y zwischen Mannigfaltigkeiten ist ¨ eine Uberlagerung. Beweise. (1) ist ein Spezialfall des Liftungssatzes 3.2.3.– (2) folgt aus (1).– Zu (3). Entscheidend ist die Injektivit¨ at von η|Z . Alles u ¨brige folgt direkt. Sei η(x) = η(x′ ) . Es gibt einen Weg u in Z von x nach x′ . Sein Bild η ◦ u ist nullhomotop. Nach (1) ist u nullhomotop.– (4) folgt aus (3).– Zu (5). Jeder Punkt in Y besitzt eine einfach zusammenh¨angende Umgebung. Diese wird wegen (3) trivial u ¨berlagert.
¨ 3.2.5 Faktorisierung von Uberlagerungen. Seien η : X → Y und ϕ : Y → Z stetige, surjektive, offene Abbildungen zwischen Mannigfaltig¨ keiten. Genau dann, wenn ϕ ◦ η eine Uberlagerung ist, gilt dasselbe f¨ ur η und ϕ. Beweis. Wegen 3.2.4(5) gen¨ ugt es, die Unbegrenztheit nachzuweisen. Wir f¨ uhren nur den Schluß von ϕ ◦ η auf ϕ und η durch und u ¨berlassen die etwas leichtere Umkehrung dem Leser. Wenn eine offene Menge U ⊂ X durch ϕ ◦ η hom¨oomorph auf die offene Menge W ⊂ Z abgebildet wird, sind die Beschr¨ankungen η : U → η(U ) und ϕ : η(U ) → W bijektiv, also wegen der Offenheit Hom¨ oomorphismen. Daher sind η und ϕ lokal topologisch. Aus der Unbegrenztheit von ϕ ◦ η folgert man diejenige von η und ϕ .
3.2.6 Monodromiesatz. Der Raum Z heißt lokal wegzusammenh¨ angend, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die aus wegzusammenh¨angenden Mengen besteht. Mannigfaltigkeiten sind lokal wegzusammenh¨ angend. Jeder zusammenh¨angende und lokal wegzusammenh¨ angende Raum ist wegzusammenh¨angend. Satz. Die Abbildung η : (X, a) → (Y, b) zwischen wegzusammenh¨ angenden Hausdorffr¨ aumen sei unbegrenzt. Der Raum Z sei zusammenh¨ angend und lokal wegzusammenh¨   angend. Die Abbildung ϕ : (Z, c) → (Y, b) sei stetig. Wenn ϕ∗ π(Z, c) eine Untergruppe von η∗ (π(X, a)) ist, insbesondere wenn Z einfach zusammenh¨ angt, gibt es genau eine η-Liftung ϕˆ : (Z, c) → (X, a) von ϕ . Beweis. Die Eindeutigkeit wurde in 3.2.1 bewiesen. Um ϕˆ zu konstruieren, w¨ahlt man zu jedem z ∈ Z einen Weg wz von c nach z und liftet ϕ ◦ wz zum Weg w ˆz in X , der in a beginnt. Wenn wz′ ein anderer Weg von c nach ˆ Denn die ˆz′ denselben Endpunkt ϕ(z). z ist, haben die Liftungen wˆz und w ′ − asentiert das Element [wz′ · wz− ] ∈ π(Z, c) . Daher gibt Schleife wz · wz repr¨ es eine Schleife u in X von und nach a , so daß ϕ∗ [wz′ · wz− ] = η∗ [u] . Dann ist ϕ · wz′ zu (η ◦ u) · (ϕ ◦ wz ) homotop, und nach dem Homotopieliftungssatz 3.2.3 hat w ˆz′ denselben Endpunkt wie u · w ˆz . Damit ist eine Abbildung

3.2 Monodromie

51

ϕˆ : (Z, c) → (X, a) definiert, f¨ ur die η ◦ ϕˆ = ϕ gilt. Es bleibt zu zeigen, daß ϕˆ an jeder Stelle z0 stetig ist: Dazu w¨ahlt man einen lokalen Schnitt σ : (V, ϕ(z0 )) → (X, ϕ(z ˆ 0 )) . Es gibt eine wegzusammenh¨angende Umgebung W von z0 , so daß ϕ(W ) ⊂ V ist. Es gen¨ ugt ϕ|W ˆ = σ ◦ϕ|W zu zeigen: Man w¨ahlt zu jedem z ∈ W einen Weg vz in W von z0 nach z und bildet den ˆz = w ˆz0 · (σ ◦ ϕ ◦ vz ) . Insbesondere ist Produktweg wz := wz0 · vz . Dann ist w der Endpunkt ϕ(z) ˆ von w ˆz gleich dem Endpunkt σ ◦ϕ(z) von σ ◦ϕ◦vz .
¨ 3.2.7 Isomorphie. Zwei Uberlagerungen η1 : X1 → Y und η2 : X2 → Y derselben Mannigfaltigkeit Y heißen isomorph, wenn es einen Hom¨oomorphismus ϕ : X1 → X2 gibt, so daß η1 = η2 ◦ ϕ ist. Satz. Wenn X angen und bei passend gew¨ ahlten Basispunk  1 , X2 zusammenh¨  ten η∗ π(X1 ) = η∗ π(X2 ) ist, sind η1 und η2 isomorph.

Beweis. Durch j → 3 − j werden 1 und 2 vertauscht. Nach dem Monodromiesatz 3.2.6 gibt es eine η3−j -Liftung ηˆj : (Xj , aj ) → (X3−j , a3−j ) von ηj . Wegen der Eindeutigkeit der Liftung (3.2.1) gilt ηˆ3−j ◦ ηˆj = idXj ,. Daher ist ϕ := ηˆ1 der gesuchte Hom¨oomorphismus.
¨ ¨ 3.2.8 Universelle Uberlagerungen. Eine Uberlagerung η : X → Y heißt zusammenh¨ angend , wenn X und Y zusammenh¨angen. ¨ Eine zusammenh¨angende Uberlagerung ζ : Z → Y zwischen Mannigfaltigkeiten heißt universell, wenn sie folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jedem c ∈ Z mit b := η(c) und zu jeder zusammenh¨ angenden ¨ ¨ Uberlagerung η : (X, a) → (Y, b) gibt es genau eine Uberlagerung ϕ : (Z, c) → (X, a) , so daß ζ = η ◦ ϕ ist. ¨ Die universelle Uberlagerung von Y ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Ihre Existenz wird in 3.7.1-2 bewiesen. ¨ Satz. Die Uberlagerung ζ : Z → Y ist genau dann universell, wenn Z einfach zusammenh¨ angt. Beweis. Wenn Z einfach zusammenh¨angt, gibt es nach dem Monodromiesatz 3.2.6 zu ζ genau eine η-Liftung ϕ mit ϕ(c) = a . Wegen 3.2.5 ist ϕ eine ¨ Uberlagerung.– Die Umkehrung wird in 3.7.2(3) bewiesen.
¨ ¨ 3.2.9 Normale Uberlagerungen. Analog zu 1.1.3 heißen bei einer Uberlagerung η : X → Y die Hom¨oomorphismen γ : X → X mit η ◦ γ = η (topologische) Deckabbildungen. Sie bilden die (topologische) Deckgruppe ¨ D(η) . Die Uberlagerung heißt normal , wenn sie zusammenh¨angt und zu je zwei Punkten x, x′ ∈ X mit η(x) = η(x′ ) eine stetige Abbildung γ : X → X mit γ(x) = x′ und η ◦ γ = η existiert. Nach 3.2.1 ist γ eindeutig bestimmt und geh¨ ort zu D(η) .

52

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

¨ Hom¨ oomorphie-Kriterium. Wenn die Deckgruppen der normalen Uberlagerungen η1 : X → Y1 und η2 : X → Y2 gleich sind, gibt es einen Hom¨ oomorphismus ϕ : Y1 → Y2 mit ϕ ◦ η1 = η2 . ¨ Beweis. Die Uberlagerungen haben dieselben Fasern. Daher gibt es eine bijektive Abbildung ϕ mit ϕ ◦ η1 = η2 . Weil η1 und η2 lokal topologisch sind, ist ϕ ein Hom¨oomorphismus.
¨ (1) Jede universelle Uberlagerung ζ : Z → Y ist normal. (2) Bei der universelle Eigenschaft in 3.2.8 ist ϕ : Z → X ebenfalls universell. Die Deckgruppe D(ϕ) ist eine Untergruppe von D(ζ).


¨ 3.3 Holomorphe Uberlagerungen Wir erg¨ anzen die topologischen Resultate des Monodromiesatzes und seiner Konsequenzen um Holomorphieaussagen. ¨ 3.3.1 Liftung der Holomorphie. Sei η : X → Y eine topologische Uberlagerung der zusammenh¨ angenden Riemannsche Fl¨ ache Y . Nach dem Liftungsprinzip 1.2.1 gibt es auf X genau eine holomorphe Struktur, die η zu ¨ einer unverzweigten holomorphen Uberlagerung macht. Jede stetige Abbildung ϕ : Z → X eine weitere Riemannschen Fl¨ache Z ist nach 1.3.7(1) holomorph, sobald η ◦ ϕ : Z → Y holomorph ist. Im holomorphen Fall ist bei der universellen Eigenschaft in 3.2.8 die ¨ Uberlagerung ϕ holomorph; alle topologischen Deckabbildungen sind biholomorph, und im Hom¨ oorphiekriterium 3.2.9 ist ϕ biholomorph. 3.3.2 Torusabbildungen. Jede holomorphe Abbildung ϕ : C/Ω → C/Ω ∗ zwischen Tori ist affin. Zwei Tori C/Ω und C/Ω ∗ sind genau dann als Riemannsche Fl¨ achen isomorph, wenn aΩ = Ω ∗ f¨ ur ein a ∈ C× gilt. Beweis: Seien η : C → C/Ω und η ∗ : C → C/Ω ∗ die Projektionen. Nach dem Monodromiesatz l¨ aßt sich ϕ ◦ η zu einer holomorphen Funktion f : C → C
liften, so daß η ∗ ◦f = ϕ ◦ η ist. Mit 2.5.2-3 folgt die Behauptung. ¨ 3.3.3 Uberlagerungen punktierter Scheiben. Jede unverzweigte zusam¨ ¨ menh¨ angende Uberlagerung η : X → E× ist zur universellen Uberlagerung × iz ¨ attrigen Uberlagerung ηn : E× → E× , ζ : H → E , z → e , oder zu einer n-bl¨ n ur C× statt E× . z → z , mit n ∈ N>0 isomorph. Entsprechendes gilt f¨ Beweis. Nach 3.2.8 kann man faktorisieren: ζ = η ◦ ϕ mit ϕ : H → X. Andererseits ist ζ = ηn ◦ ϕn mit ϕn : H → E× , ϕn (z) = eiz/n . Sei ϕ0 := id. Die einzigen Untergruppen der Deckgruppe D(ζ) = {z → z + 2πk : k ∈ Z} ur n ∈ N . Daher sind die Deckgruppen D(ϕn ) = {z → z + 2πnk : k ∈ Z} f¨ gibt es ein n mit D(ϕn ) = D(ϕ). Nach 3.2.9 gibt es einen Isomorphismus ψ : X → E× f¨ ur n ≥ 1 bzw. X → H f¨ ur n = 0 mit ψ ◦ ϕ = ϕn . Dann gilt ηn ◦ ψ = η f¨ ur n ≥ 1 bzw. ζ ◦ ψ = η f¨ ur n = 0.


3.4 Analytische Fortsetzung

53

 . Jede h¨ ¨ 3.3.4 Verzweigte Uberlagerungen von C ochstens u ¨ber 0 und  ist ¨ ∞ verzweigte holomorphe zusammenh¨ angende Uberlagerung η: X → C  → C,  z → z n , mit n ≥ 1 isomorph. zu einer Potenz¨ uberlagerung ηn : C Beweis. Die Beschr¨ankung X ′ := X \η −1{0, ∞} → C× von η ist nach 3.3.3 zu exp : C → C× oder zu ηn : C× → C× isomorph. Da eine Scheibe Er durch η elementar u ¨ berlagert wird, ist exp unm¨ oglich. Im zweiten Fall gibt es einen Isomorphismus ϕ : X ′ → C× mit ηn ◦ ϕ = η|C× . Durch ϕ(a) := 0 ur b ∈ η −1 (∞) setzt man zur holomorphen f¨ ur a ∈ η −1 (0) und ϕ(b) := ∞ f¨  fort. Sie ist endlich und hat den Grad 1. Abbildung ϕ : X → C


3.4 Analytische Fortsetzung Die Grundlage der Weierstraßschen Funktionentheorie bilden die konvergen ten Laurent-Reihen f (z) = ak (z − c)k mit endlichen Hauptteilen. Um f u ¨ber den Konvergenzkreis A dieser Reihe hinaus fortzusetzen, betrachtet Weierstraß Kreisketten, d.h. endliche Folgen von Kreisscheiben A = ur j = 1, . . . , n ; D0 , D1 , . . . , Dn mit Verbindungspunkten cj ∈ Dj−1 ∩ Dj f¨ siehe Figur 3.4.1. Eine Folge von Laurent-Reihen f = f0 , . . . , fn = g nennt er eine analytische Fortsetzung von f l¨ angs der Kreiskette, wenn jedes fj auf Dj konvergiert und fj−1 an der Stelle cj dieselbe Reihenentwicklung wie fj hat.– Wir zeigen, wie sich nach [Wyl 1] die analytische Fortsetzung als ¨ Wege-Liftung in die Uberlagerungstheorie Riemannscher Fl¨ achen einordnet.

D2 D1 ·c1 A=D0

· c2

c3·

D3 c4 · D4

Fig. 3.4.1. Eine auf dem Kreis A als Laurent-Reihe definierte Funktion wird l¨ angs einer Weierstraßschen Kreiskette analytisch fortgesetzt.

3.4.1 Funktionenkeime. Seien U und V Umgebungen desselben Punktes a einer Riemannschen Fl¨ ache X . Zwei Funktionen f ∈ M(U ) und g ∈ M(V ) heißen a-¨ aquivalent, wenn sie auf einer Umgebung W ⊂ U ∩ V ¨ von a u ¨bereinstimmen. Die a-Aquivalenzklasse von f wird Keim von f bei a genannt und mit fa bezeichnet. Der Wert f (a) und die Ordnung o(f, a) h¨ angen nur vom Keim ab. Wenn o(f, a) ≥ 0 ist, heißt der Keim fa holomorph. Die Addition und Multiplikation von Funktionen u ¨bertragen sich auf die Keime. Dadurch wird die Menge Ma aller Keime meromorpher Funktionen

54

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

bei a zu einem K¨orper. Mit Oa ⊂ Ma wird der Teilring der holomorphen Keime bezeichnet. Die Keimbildung M(U ) → Ma , f → fa , ist ein Homomorphismus von C-Algebren. Wenn U zusammenh¨angt, ist er wegen des Identit¨atssatzes 1.3.4 injektiv.– F¨ ur X = C und a = 0 ist Ma der  K¨ orper aller konvergenten Laurentreihen an z n mit endlichem Hauptteil. 3.4.2 Die Fl¨ ache der meromorphen Keime. Wir bilden die Menge  Mx (1) M := x∈X

aller meromorphen Funktionenkeime an allen Stellen x einer zusammenh¨angenden Riemannschen Fl¨ ache X . Die Projektion p : M → X ordnet jedem Keim die Stelle zu, an der er gebildet wird. Lemma. Es gibt auf M genau eine Topologie, so daß p lokal topologisch ist. Sie macht M zu einem Hausdorff raum. Beweis. Wir bilden f¨ ur jede offene Menge U ⊂ X und jedes f ∈ M(U ) die Basismenge (2) (U, f ) = {fx : x ∈ U } ⊂ M .

Zu jeden Keim κ ∈ (U, f ) ∩ (V, g) bei x ∈ U ∩ V gibt es eine Scheibe W ⊂ V ∩ U um x mit (3) κ ∈ (W, h) ⊂ (U, f ) ∩ (V, g) f¨ ur h := f |W = g|W . Man nennt diejenigen Teilmengen von M offen, welche Vereinigungen von Basismengen sind. Die Axiome einer Topologie sind erf¨ ullt; denn der Durchschnitt zweier offener Mengen ist wegen (3) offen. Die Projektion p : M → X bildet jede Basismenge (U, f ) hom¨ oomorph auf U ab und ist daher lokal topologisch. Zu zwei Keimen fa , gb an verschiedenen Stellen a = b gibt es disjunkte Umgebungen von a und von b . Ihre p-Urbilder sind disjunkte Umgebungen von fa und gb .– Wenn a = b ist, gibt es eine gemeinsame Scheibe (U, a) mit f, g ∈ M(U ) . Aus (3) und der Injektivit¨ at der Keimbildung M(U ) → Mx f¨ ur jedes x ∈ U folgt f = g oder (U, f ) ∩ (U, g) = ∅ . Daher ist die Topologie hausdorffsch.
Mit dem Liftungsprinzip 1.2.1 folgt unmittelbar der Satz. Der Raum M der meromorphen Keime auf X ist eine Riemannsche Fl¨ ache. Die Projektion p : M → X ist lokal biholomorph.
3.4.3 Auswertungsfunktion und analytische Fortsetzung. Die Aus ordnet jedem Keim fx den Wert wertungsfunktion (Evaluation) e : M → C f (x) zu. Auf jeder Basismenge (U, f ) ist e = f ◦ p . Daher ist e meromorph und o(e, fx ) = o(f, x) .– Die holomorphen Funktionenkeime bilden die Teilmenge O := {κ ∈ M : o(e, κ) ≥ 0} . Die Differenz M \ O ist die lokal endliche Menge der Polstellen von e . Insbesondere ist O ⊂ M offen.

3.5 Abz¨ ahlbarkeit

55

Sei w : I → X ein Weg , und sei κ ein Keim bei a := w(0) . Wenn sich w zu einem Weg w ˆ in M liften l¨ aßt, der in κ beginnt, sagt man: Der Keim w(1) ˆ geht aus κ durch analytische Fortsetzung l¨ angs w hervor. F¨ ur festes κ bilden diese Keime w(1) ˆ eine Komponente Zκ von M. Sie wird genau dann durch p biholomorph auf X abgebildet, wenn κ der Keim einer auf ganz X meromorphen Funktion ist. Wenn die eingeschr¨ ankte Projektion p : Zκ → X unbegrenzt und damit ¨ eine (unverzweigte) Uberlagerung ist, sagt man: Der Keim κ l¨ aßt sich in X unbegrenzt fortsetzen. Aus dem Monodromiesatz folgt direkt das Monodromieprinzip der Funktionentheorie. Wenn X einfach zusammenh¨ angt und der Keim κ unbegrenzt fortgesetzt werden kann, ist κ der Keim einer auf ganz X meromorphen Funktion.
3.4.4 Historisches. Die ¨alteste Form des Monodromieprinzips steht in Weierstraß’ Vorlesung Einf¨ uhrung in die Theorie der analytischen Functionen, die er zw¨ olf mal von 1861/62 bis 1884/85 an der Berliner Universit¨at hielt. Bei der Betrachtung der analytischen Fortsetzung beantwortet er 1868 die Frage nach ihrer Eindeutigkeit mit dem Satz: Wenn ein Teil der Ebene einfach begrenzt ist und ” man kann f¨ ur jeden Punkt derselben ein Functionenelement erhalten, so werden wir st¨ ats zu demselben gelangen, also die Funktion eindeutig sein“. Weierstraß und seine Sch¨ uler konnten diesen Satz nicht beweisen. Dies gelang erst, als H. Weyl erkannte, daß das Problem der Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung in seinem Kern topologisch ist und durch die Liftung einer Abbildung gel¨ ost wird, nachdem ¨ man zuvor s¨ amtliche Funktionenelemente zu Punkten einer Uberlagerungsfl¨ ache gemacht hat, siehe [Wyl], S. 52 ff. Das Wort Monodromie benutzt Weierstraß nicht. Riemann nennt den Wert einer Funktion ein¨ andrig oder monodrom, wenn dort keine Verzweigung stattfindet [Ri 4], S. 68. Der heute u ¨bliche Gebrauch des Wortes geht auf Weyl zur¨ uck. Er nennt das Monodromieprinzips der Funktionentheorie den Monodromiesatz [Wyl 1], S. 54. Im Anschluß daran wurde es u ¨ blich, die dahinter stehenden topologischen Aussagen mit dem Schlagwort Monodromie zu belegen. Das Monodromieprinzip wurde selbst von erstrangigen Funktionentheoretikern nicht immer korrekt angewendet. So behauptet Carath´eodory, [Cy 1] Band I, S. 230, daß eine lokal biholomorphe Abbildung h : G → h(G) zwischen Gebieten in C global biholomorph sei, sobald h(G) einfach zusammenh¨ angt. Die globale Umkehrabbildung gewinnt er mit dem Monodromieprinzip aus dem Keim einer lokalen Umkehrung, ohne zu pr¨ ufen, ob dieser Keim unbegrenzt fortgesetzt werden kann. Diese Beweisl¨ ucke l¨ aßt sich nicht schließen, da die Behauptung falsch ist, wie die surjektive Abbildung C \ {±1} → C, z → 13 z 3 − z , zeigt.

3.5 Abz¨ ahlbarkeit Aus einem meromorphen Funktionenkeim k¨ onnen an derselben Stelle h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Keime durch analytische Fortsetzung entstehen. Hinter diesem Ergebnis steht ein Satz der Topologie .

56

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

3.5.1 Abz¨ ahlbare Topologie. Eine Menge U von offenen Mengen = ∅ eines Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn jede offene Menge W ⊂ X eine Vereinigung von Mengen U ∈ U ist. Wenn es eine abz¨ ahlbare Basis gibt, nennt man die Topologie abz¨ ahlbar. Alle Kugeln mit rationalen Radien, deren Zentren rationale Koordinaten haben, bilden eine abz¨ ahlbare Basis des Rn . (1) Wenn abz¨ ahlbar viele Unterr¨ aume A1 , A2 , . . . von
X abz¨ ahlbare Topologien haben, ist die Topologie der Vereinigung Aj abz¨ ahlbar. Wenn die Topologie von X abz¨ ahlbar ist, ist die Spurtopologie jeder Teilmenge A ⊂ X auch abz¨ ahlbar.
In einer Mannigfaltigkeit X hat jede Koordinatenumgebung eine abz¨ ahlbare Topologie, weil sie zu einer offenen Menge des Rn hom¨oomorph ist. Jede relativ kompakte Menge A ⊂ X hat eine abz¨ ahlbare Topologie, weil sie durch endlich viele Koordinatenumgebungen u ¨berdeckt werden kann. (2) Jeder Raum mit abz¨ ahlbarer Topologie enth¨ alt eine abz¨ ahlbare, dichte Teilmenge. Beweis. Sei U eine abz¨ahlbare Basis. Man w¨ ahlt aus jedem U ∈ U je einen Punkt. Die abz¨ ahlbare Menge T dieser Punkte ist dicht. Denn jede offene Menge W = 0 umfaßt ein U ∈ U und trifft daher T .
(3) Sei A ⊂ X ein Teilraum mit abz¨ ahlbarer Topologie in einer Mannigfaltigkeit X . Sei U ⊂ X offen. Dann wird A von h¨ ochstens abz¨ ahlbar vielen Komponenten von U getroffen. Beweis. Nach (2) gibt es eine abz¨ahlbare, dichte Teilmenge T ⊂ A . Man definiert die Abbildung ϕ : T ∩ U → {Komponenten von U , die A treffen } durch ϕ(x) := Komponente, in der x liegt. Jede Komponente von U ist offen. Wenn sie A trifft, dann auch T . Daher ist ϕ surjektiv. Weil T ∩ U
abz¨ahlbar ist, folgt (3). (4) Jede lokal endliche Teilmenge S eines Raumes X mit abz¨ ahlbarer Topologie ist abz¨ ahlbar. Beweis. Sei U eine abz¨ahlbare Basis der Topologie. Zu jedem x ∈ S gibt es ein Ux ∈ U, so daß die Ux paarweise disjunkt sind. Die Abbildung S → U,
x → Ux , ist daher injektiv. 3.5.2 Satz von Poincar´ e-Volterra. Sei η : X → Y eine stetige Abbildung von einer zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeit X in einen Hausdorffraum Y mit abz¨ ahlbarer Topologie. Wenn alle Fasern von η lokal endlich sind, ist die Topologie von X abz¨ ahlbar. Beweis. Sei V ein abz¨ ahlbare Basis von Y , und sei U die Menge aller relativ ur V ∈ V. kompakten Komponenten von η −1 (V ) f¨ (a) U u ¨berdeckt X. (b) Wenn die Topologie von A ⊂ X abz¨ ahlbar ist, wird A von h¨ ochstens abz¨ ahlbar vielen U ∈ U getroffen. Zu (a). Sei x ∈ X und y = η(x). Weil f −1 (y) lokal endlich ist, gibt es eine relativ kompakte Umgebung W von x , so daß der kompakte Rand

3.5 Abz¨ ahlbarkeit

57

∂W = W \ W die Faser η −1 (y) nicht trifft. Dann ist η(∂W ) kompakt, also ist Y \ η(∂W ) eine Umgebung von y . Es gibt ein V ∈ V , so daß alt, y ∈ V ⊂ Y \ η(∂W ) . Die Komponente U von η −1 (V ) , welche x enth¨ liegt in W . Daher ist U wie W relativ kompakt und folglich x ∈ U ∈ U . Zu (b). Sei V ∈ V . Nach 3.5.2(3) wird A von h¨ ochstens abz¨ahlbar vielen Komponenten von f −1(V ) getroffen. Da V abz¨ahlbar ist, folgt (b). Wir w¨ ahlen ein U0 ∈ U und definieren induktiv die offenen, nicht-leeren Mengen A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ X sowie die Folge U0 ⊂ U1 ⊂ · · · ⊂ U durch
A0 = U0 , Ur = {U ∈ U : U ∩ Ar = ∅} , Ar+1 = Ar ∪ U ∈Ur U . Alle U ∈ U haben abz¨ ahlbare Topologie, weil sie relativ kompakt sind. Wegen ahlbare Topologie, und Ur ist (b) folgt durch Induktion: Jedes Ar hat abz¨
∞ abz¨ahlbar. Somit ist A = r=0 Ar ⊂ X eine offene Menge mit abz¨ ahlbarer Topologie. Da X zusammenh¨angt, folgt X = A , wenn noch gezeigt wird: (c) A ist abgeschlossen in X . ¯ Zu (c). Zu jedem x ∈ A gibt es nach (a) ein U ∈ U mit x ∈ U . Dann ur große r . Das bedeutet U ∈ Ur , also ist U ∩ A = ∅, also U ∩ Ar = ∅ f¨ x ∈ Ar+1 .
3.5.3 Anwendungen auf Riemannsche Fl¨ achen. (1) Sei η : X → Y eine nicht konstante holomorphe Abbildung zwischen zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen. Wenn die Topologie von Y abz¨ ahlbar ist, gilt dasselbe f¨ ur X , und jede η-Faser ist abz¨ ahlbar. Beweis. Die erste Behauptung folgt aus 3.5.2, weil die η-Fasern lokal endlich sind (1.3.3). F¨ ur die zweite Behauptung benutzt man noch 3.5.1(4).
 ergibt: Der Spezialfall Y = C (2) Wenn auf der zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X eine nicht konstante meromorphe Funktion lebt, ist die Topologie von X abz¨ ahlbar.

Die Voraussetzung von (2) ist immer erf¨ ullt, siehe 10.7.2.– Weil die Projektion  p : M → C , siehe 3.4.2, nirgends konstant ist, gilt: (3) Jede Zusammenhangskomponente von M hat abz¨ ahlbare Topologie.


Die Abz¨ahlbarkeit der p-Faser bedeutet in diesem Falle: , (4) Die Menge aller meromorphen Funktionenkeime an einer Stelle a ∈ C die aus einem festen Keim durch analytische Fortsetzung hervorgehen, ist abz¨ ahlbar.
3.5.4 Historisches. Der Satz, den Poincar´e und Volterra 1888 unabh¨angig voneinander bewiesen, ist die letzte Aussage (4). Tats¨achlich stammt das Ergebnis von G. Cantor, der es schon Jahre vorher Weierstraß mitgeteilt hatte. Der topologische Kern des Satzes von Poincar´e und Volterra in der Gestalt 3.5.2 wurde von Bourbaki [Bou], Chap. 1, 11.7, herausgearbeitet. Mehr zur Geschichte findet man in [Ul].

58

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

¨ 3.6 Unverzweigte normale Uberlagerungen Wir erg¨ anzen die Ergebnisse in 3.2.9 durch eine Beziehung der Deckgruppe ¨ einer normalen Uberlagerung zur Fundamentalgruppe ihrer Basis. ¨ Mit η : X → Y wird eine topologische Uberlagerung zwischen zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeiten bezeichnet. ¨ 3.6.1 Normalit¨ atslemma. Die Uberlagerung η : X → Y ist bereits dann normal, wenn es f¨ ur einen Punkt a ∈ X zu jedem a′ mit η(a′ ) = η(a) eine Deckabbildung g mit g(a) = a′ gibt. Beweis. F¨ ur x, x′ ∈ X gelte η(x) = η(x′ ) . Man verbindet x mit a durch einen Weg u . Es gibt einen Weg v u ¨ber η ◦ u , der in x′ beginnt. Er endet in ′ ′ ur die Deckabbildung g mit g(a) = a′ einem Punkt a mit η(a ) = η(a) . F¨ ′ gilt dann g(x) = x , da aus der Eindeutigkeit der Liftung g ◦u = v folgt.
3.6.2 Wechsel des Basispunktes. Sei η(a) = b . Wenn a′ die Faser auft, erh¨ alt man mit η∗ π(X, a′ ) alle zu η∗ π(X, a) konη −1 (b) durchl¨ jugierten Untergruppen von π(Y, b) .

Beweis. Die η-Liftungen der Schleifen v in Y mit dem Basispunkt b , welche in a beginnen, sind genau die Wege u , die in Punkten a′ ∈ η −1 (b) enden. Mit den Verschiebungen Φu und Φv , siehe 3.1.5, ist das Diagramm kommutativ: Φu π(X, a′ ) π(X, a) −→ η∗ ↓ ↓ η∗ Φv π(Y, b) −→ π(Y, b) .       ′ −1 ist η∗ π(X,a) ⊳ Es folgt η∗ π(X, a ) = [v] ·η∗ π(X, a) ·[v]. Insbesondere   ur π(Y, b) genau dann ein Normalteiler, wenn η∗ π(X, a′ ) = η∗ π(X, a) f¨ alle a′ ∈ η −1 (b) gilt. Letzteres ist nach dem Monodromiesatz 3.2.6 zur Existenz einer Deckabbildung g mit g(a′ ) = a ¨aquivalent. Mit 3.6.1 folgt der ¨ Satz.  Die Uberlagerung η : (X, a) → (Y, b) ist genau dann normal, wenn
η∗ π(X, a) ⊳ π(Y, b) ein Normalteiler ist.

3.6.3 Der Poincar´ esche Epimorphismus. Sei η : (X, a) → (Y, b) eine ¨ normale Uberlagerung. Es gibt genau einen Epimorphismus (1) P : π(Y, b) → D(η) ,

so daß f¨ ur jede Schleife v mit dem Basispunkt b ihre in a beginnende   Liftung u in P [v](a) endet. Der Kern von P ist die Bildgruppe η∗ π(X, a) . Genau dann, wenn P ein Isomorphismus ist, h¨ angt X einfach zusammen. Beweis. Man definiert g := P [v] als die Deckabbildung, deren Wert g(a) der Endpunkt von u ist. Nach dem Homotopie-Liftungssatz 3.2.3 h¨ angt g nur von der Homotopieklasse [v] ∈ π(Y, b) ab, und P ist wohldefiniert. Dies ist die einzig m¨ogliche Definition von P .

¨ 3.6 Unverzweigte normale Uberlagerungen

59

Homomorphie. F¨ ur j = 1, 2 seien vj zwei Schleifen und uj ihre Liftungen, die in a beginnen. Sei gj := P [vj ] und g := P [v1 · v2 ] . Dann ist u1 · (g1 ◦ u2 ) die Liftung von v1 ·v2 , die in a beginnt. Ihr Endpunkt g(a) ist der Endpunkt von g1 ◦ u2 , also der Punkt g1 ◦ g2 (a) . Surjektivit¨ at. Sei g ∈ D(η) . Man verbindet a mit g(a) durch einen Weg u . F¨ ur v = η ◦ u gilt P [v] = g . Kern. Genau dann, wenn  P [v] = id ist, wird v zu einer Schleife u geliftet, d.h. [v] = η∗ [u] ∈ η∗ π(X, a) . Isomorphismus. Der Kern von P ist genau dann trivial, wenn X einfach
zusammenh¨ angt. Denn nach 3.2.4(2) ist η∗ injektiv. Wir nennen P den Poincar´eschen Epimorphismus. Er h¨ angt von der Wahl des Basispunktes a ab und wird daher genauer mit Pa bezeichnet. Sei v ein Weg von a nach a′ in X . F¨ ur die Verschiebung Φw : π(Y, b) → π(Y, b′ ) l¨ angs w = η ◦ v gilt Pa = Pa′ ◦ Φw . 3.6.4 Beispiele. Der Poincar´esche Epimorphismus erm¨oglicht die Berech¨ nung der Fundamentalgruppe π(Y, b) , wenn eine universelle Uberlagerung ζ : (Z, c) → (Y, b) und ihre Deckgruppe D(ζ) bekannt sind.

(1) Die Fundamentalgruppe π(C× , 1) ist unendlich zyklisch und wird von der Homotopieklasse des Weges u : [0, 2π] → C× , u(s) = exp(is) , erzeugt. (2) Die Fundamentalgruppe des Torus T = C/Ω zum Gitter Ω = Zω1 +Zω2 ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2 . Die Homotopieklassen der Schleifen uj : [0, 1] → T , uj (t) = η(tωj ) , bilden eine Basis von π(T, a). Beweis. Man benutzt bei (1) die Exponentialfunktion exp : C → C× und ¨ bei (2) die Torusprojektion η : (C, 0) → (T, a) als universelle Uberlagerungen.
3.6.5 Historisches. C. Jordan [Jo] stand 1866 mit seinem Kalk¨ul der Wege

und ihrer Homotopien kurz vor der Definition der Fundamentalgruppe. Sogar die Einsicht, sich auf Schleifen zu beschr¨ anken, hatte er bereits. Es mag daher verwundern, warum er nicht die Fundamentalgruppe erfand. Aber Gruppen waren damals noch Substitutions- oder Transformationsgruppen und nicht Mengen mit einer Verkn¨ upfung f¨ ur je zwei Elemente. Es dauerte noch 26 Jahre, bis H. Poincar´e 1892 die Fundamentalgruppe in einer kurzen Note definierte. Dieser Note folgte 1895 eine ausf¨ uhrliche Abhandlung und 1904 eine Erg¨ anzung, siehe [Po] IV, p. 183 ff . Den Namen groupe fondamentale pr¨ agte er 1895. ¨ Zehn Jahre vorher hatte Poincar´e, teilweise im Wettstreit mit Klein, Uberlagerungen kompakter Riemannscher Fl¨achen R vom Geschlecht ≥ 2 durch die obere Halbebene H untersucht. Die Deckgruppen nannte er Fuchs’sche Gruppen. Klein protestierte vergeblich: Fuchs hat hier keine Verdienste.“ [Klei 5], S. 374 ff. ” Nach der Definition der Fundamentalgruppe erinnerte Poincar´e an die Fuchs’schen Gruppen und stellte fest [Po] VI, S. 247: Ce groupe fuchsien ne sera, d’ailleurs, ” ´evidemment autre chose que le groupe fondamental g, r´elatif ` a la surface R consider´ee comme une vari´et´e a ` deux dimensions.“ Kurz gesagt: Die Fundamental¨ gruppe ist die Deckgruppe der universellen Uberlagerung.

60

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

¨ 3.7 Konstruktion von Uberlagerungen Wir realisieren alle Untergruppen der π(Y ) einer Man Fundamentalgruppe  ¨ nigfaltigkeit Y als Bildgruppen η∗ π(X) zusammenh¨angender Uberlagerungen η : X → Y und verallgemeinern die Ergebnisse auf den unzusammenh¨ angenden Fall. ¨ 3.7.1 Uberlagerungen zu vorgegebenen Untergruppen. Zu jeder Untergruppe H < π(Y, b) gibt es bis auf Isomorphie an genau eine zusammenh¨ ¨ gende Uberlagerung η : (X, a) → (Y, b) mit η∗ π(X, a) = H. Der Index von H in π(Y, b) ist die Bl¨ atterzahl von η . Beweis. Zur Isomorphie siehe 3.2.7.– Zur Existenz: Zwei Wege u und v, die in b beginnen, heißen H-¨ aquivalent, wenn sie denselben Endpunkt haben und die Homotopieklasse der Schleife u · v − in H liegt. Insbesondere sind zwei Schleifen mit dem Basispunkt b genau dann H-¨aquivalent, wenn ihre Homotopieklassen in derselben Restklasse modulo H liegen. Sei kl v die ¨ ¨ H-Aquivalenzklasse von v , sei X die Menge aller H-Aquivalenzklassen , und sei η : X → Y die Abbildung η(kl v) := Endpunkt von v. Sei U eine einfach zusammenh¨ angende Umgebung des Endpunktes y von v. Wir lassen u alle Wege in U durchlaufen, die in y beginnen, und bilden die Menge Uv := ¨ {kl (v ·u)} ⊂ X der H-Aquivalenzklassen der Produktwege, siehe Figur 3.7.1. Durch η wird Uv bijektiv auf U abgebildet.

v · y ·b

U · u

¨ Fig. 3.7.1. In der Uberlagerungsfl¨ ache X ¨ besteht eine Umgebung der H-Aquivalenzklasse kl v aus allen Klassen kl(v · u) , wobei u ein Weg in U ist, der in y beginnt.

S¨ amtliche Mengen Uv bilden die Basis einer Topologie auf X. Bez¨ uglich dieser Topologie ist η stetig und offen. Da U einfach zusammenh¨angt, wird ¨berlagert. U durch η −1 (U ) trivial u ¨ Der Basispunkt a ∈ X ist die H-Aquivalenzklasse kl b des konstanten Weges. Jeder Weg v in Y , der in b beginnt, hat genau einen η-Lift vˆ, der in a beginnt. Der Endpunkt von vˆ ist kl v ∈ X. Daher h¨ angt X zusammen. ¨ Aus den Aquivalenzen [v] ∈ η∗ π(X,a) ⇔ vˆ ist eine Schleife ⇔ kl v = a = kl b ⇔ [v] ∈ H folgt η∗ π(X, a) = H. Da die Nebenklassen von H in π(Y, b) umkehrbar eindeutig den Punkten der Faser η −1 (b) entsprechen, ist die Bl¨ atterzahl von η der Index von H in π(Y, b).


¨ 3.7 Konstruktion von Uberlagerungen

61

3.7.2 Folgerungen. (1) Zu jedem Epimorphismus h : π(Y, b) → G gibt es ¨ bis auf Isomorphie genau eine normale Uberlagerung η : (X, a) → (Y, b) mit der Deckgruppe G und dem Poincar´eschen Epimorphismus h. (2) Jede zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit Y wird durch eine einfach zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit Z u ¨berlagert. ¨ (3) Bei jeder universellen Uberlagerung X → Y h¨ angt X einfach zusammen. Beweis. (1) Man wendet 3.7.1 auf die Untergruppe H = Kern h an und ¨ erh¨ alt wegen 3.6.2-3 die gew¨ unschte normale Uberlagerung.– (2) folgt aus (1), angewendet auf h = id .– (3) Nach (2) gibt es eine einfach zusammenh¨ angende ¨ ¨ Uberlagerung. Nach 3.2.7 ist diese universell und daher zur Uberlagerung X → Y isomorph.
3.7.3 Historisches. Um die besonderen Eigenschaften einfach zusammenh¨angender Fl¨ achen auch f¨ ur nicht-einfach zusammenh¨ angende Fl¨ achen nutzen zu k¨ onnen, zerlegte Riemann letztere durch Querschnitte in einfach zusammenh¨angende St¨ ucke, siehe [Ri 2], Artikel 6. Hieran kn¨ upfte H. A. Schwarz dreißig Jahre sp¨ ater ¨ mit der Konstruktion einfach zusammenh¨ angender Uberlagerungen an. Er teilte seinen Gedankengang F. Klein m¨ undlich mit. Dieser beschrieb ihn am 14.5.1882 in einem Brief an H. Poincar´e folgendermaßen, [Klei 1], Band 3, S. 616 : Schwarz denkt sich die Riemannsche Fl¨ ache in geeigneter Weise zerschnit” ¨ ten, sodann unendlich-fach u ¨ berdeckt und die verschiedenen Uberdeckungen in den Querschnitten so zusammengef¨ ugt, daß eine Gesamtfl¨ ache entsteht, welche der Gesamtheit der in der Ebene nebeneinander zu legenden Polygonen entspricht. Diese Gesamtfl¨ ache ist, sofern man von solchen Attributen bei unendlich ausgedehnten Fl¨ achen sprechen kann (was eben erl¨ autert werden muß), einfach zusammenh¨ angend, ... – Dieser Schwarzsche Gedankengang ist jedenfalls sehr sch¨on.“ Poincar´e antwortete umgehend (18.5.1882): Les id´ees de M. Schwarz ont une ” port´ee bien plus grande.“

¨ ¨ 3.7.4 G -Uberlagerungen. Wir betrachten Uberlagerungen, bei denen nur noch Y zusammenh¨angt. Diese Verallgemeinerung wird in 3.8.2 ben¨otigt. ¨ Wir nennen η eine G-Uberlagerung, wenn G < D eine Untergruppe der Deckgruppe ist, so daß zu je zwei Punkten x, x′ mit η(x) = η(x′ ) genau ein ¨ ist g ∈ G mit g(x) = x′ existiert. Bei zusammenh¨angenden Uberlagerungen dies wegen der Eindeutigkeit der Liftung nur f¨ ur G = D m¨oglich. ¨ An die Stelle des Poincar´eschen Epi morphismus tritt bei G-Uberlagerungen η : (X, a) → (Y, b) der analog definierte Poincar´esche Homomorphismus P : π(Y, b) → G . ankung Sei X0 die Komponente von X, in der a liegt. Dann ist die Beschr¨ ¨ von η eine normale Uberlagerung η0 : X0 → Y mit der Deckgruppe G0 := {g ∈ G : g(X0 ) = X0 } = P (π(Y, b)) < G. Insbesondere gilt: (1) Genau dann, wenn X zusammenh¨ angt, ist P surjektiv.
¨ Eindeutigkeitssatz. Zu zwei G-Uberlagerungen η : (X, a) → (Y, b) und η ′ : (X ′ , a′ ) → (Y, b) mit demselben Poincar´eschen Homomorphismus P : π(Y, b) → G gibt es genau einen Hom¨ oomorphismus ϕ : (X, a) → (X ′ , a′ ) ′ mit η ◦ ϕ = η und ϕ ◦ g = g ◦ ϕ f¨ ur alle g ∈ G.

62

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

¨ Beweis. Die analog zu η0 gebildete normale Uberlagerung η0′ hat denselben Poincar´eschen Epimorphismus wie η0 und ist daher zu η0 isomorph: Es gibt genau einen Hom¨ oomorphismus ϕ0 : (X0 , a) → (X0′ , a′ ) mit η0′ ◦ϕ0 = η0 und ϕ0 ◦g = g◦ϕ0 f¨ ur g ∈ G0 . Zu jeder Komponente X1 von X gibt es ein g ∈ G ¨berlassen dem mit g(X0 ) = X1 . Wir definieren ϕ|X1 := g ◦ ϕ0 ◦ g −1 und u Leser nachzupr¨ ufen: Die Definition h¨ angt nicht von g ab und ergibt einen
Hom¨oomorphismus ϕ : X → X ′ mit allen behaupteten Eigenschaften. ¨ 3.7.5 Existenz der G -Uberlagerungen. Bei einer zusammenh¨ angenden Mannigfaltigkeit Y ist jeder Homomorphismus h : π(Y, b) → G der ¨ Poincar´esche Homomorphismus einer G-Uberlagerung η : (X, a) → (Y, b). ¨ Beweis. Sei G0 := Bild h < G. Nach 3.7.2(1) gibt es eine normale Uberlagerung η0 : (X0 , a) → (Y, b) mit dem Poincar´eschen Epimorphismus h : asentantenmenge f¨ ur die Restklassen π(Y, b) → G0 . Sei M ⊂ G eine Repr¨ ur G 0 . von G modulo G0 . Dabei sei das Einselement 1 der Repr¨asentant f¨ Wir versehen M mit der diskreten Topologie, bilden X := M ×X0 mit dem ¨ Basispunkt (1, a) und die Uberlagerung η : X → Y , η(m, x) := η0 (x) f¨ ur m ∈ M und x ∈ X0 . Wir definieren den Monomorphismus G → D(η) durch g(m, x) := (m0 , g0 (x)), wobei m0 ∈ M und g0 ∈ G0 durch gm = m0 g0 ¨ eindeutig bestimmt werden. Dadurch wird η zu einer G-Uberlagerung mit
dem Poincar´esche Homomorphismus h : π(Y, b) → G0 ֒→ G.

3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung Seifert (1931) und van Kampen (1934) fanden eine Methode, um die Fundamentalgruppe π(U ∪ V ) einer Vereinigung zu bestimmen, wenn man π(U ), π(V ) und π(U ∩ V ) kennt. Wir berechnen damit die Fundamentalgruppen der mehrfach punktierten Ebene (3.8.4) und der kompakten Fl¨ achen (12.3.6).

C

a

b B

j y Dia. 1

C

A A

a j f

D

C

b D h G Dia. 2

y

B

a

j¢

b

g B

A

y¢

D¢

Dia. 3

3.8.1 Amalgierte Produkte. Das kommutative Diagramm 1 von Gruppen und Homomorphismen heißt amalgiertes Produkt, wenn es zu jeder Gruppe G und zu jedem Paar von Homomorphismen f : A → G und g : B → G, f¨ ur

3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung

63

die f ◦ α = g ◦ β gilt, genau einen Homomorphismus h : D → G gibt, so daß f = h ◦ ϕ und g = h ◦ ψ ist, siehe Diagramm 2. Wenn das Diagramm 3 auch ein amalgiertes Produkt ist, gibt es genau einen Isomorphismus h : D → D ′ , so daß ϕ′ = h ◦ ϕ und ψ ′ = h ◦ ψ gelten (Eindeutigkeit). Beispiel: Sei α : C → A ein Homomorphismus, und sei N der von α(C) in A erzeugte Normalteiler. Sei ϕ : A → A/N =: D die Projektion auf die Faktorgruppe. Mit B := {1} entsteht ein amalgiertes Produkt. 3.8.2 Satz von Seifert und van Kampen. Die Mannigfaltigkeit X sei die Vereinigung U ∪ V von zwei offenen, zusammenh¨ angenden Mengen, so daß auch U ∩ V zusammenh¨ angt. Das durch die Einbettungen induzierte Diagramm der Fundamentalgruppen mit einem Basispunkt a ∈ U ∩ V ist ein amalgiertes Produkt: α π(U ) π(U ∩ V ) −→ ⏐ ⏐ ϕ β π(V )

ψ

−→ π(U ∪ V )

Beweis (nach Grothendieck, siehe [Go], S. 143 f). Es seien f : π(U ) → G und g : π(V ) → G zwei Homomorphismen, so daß f ◦ α = g ◦ β gilt. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß genau ein Homomorphismus h : π(U ∪ V ) → G mit h ◦ ϕ = f und h ◦ ψ = g existiert. ¨ Nach 3.7.5 gibt zwei G-Uberlagerungen η1 : (Z1 , c1 ) → (U, a) und η2 : (Z2 , c2 ) → (V, a) mit den Poincar´eschen Homomorphismen f bzw. g. ¨ Wegen f ◦ α = g ◦ β und der Eindeutigkeit der G-Uberlagerung sind η1 und ¨ber U ∩ V kanonisch isomorph. Mit dem eindeutig bestimmten Isomorη2 u ¨ η : (Z, c) → (U ∪ V, c) phismus werden η1 und η2 zu einer G-Uberlagerung verschmolzen, so daß Z = Z1 ∪ Z2 und η|Zj = ηj ist. Der Poincar´esche Homomorphismus von η ist der gesuchte Homomorphismus h . Er ist eindeutig bestimmt. Wir erl¨ autern die Verschmelzung ausf¨ uhrlicher: Es gibt genau einen Isomorphismus q : η1−1 (U ∩ V ) → η2−1 (U ∩ V ) ur alle γ ∈ G . Auf Z1 ⊎Z2 wird durch mit q(c1 ) = c2 , η1 = η2 ◦q und q ◦γ = γ ◦q f¨ ¨ erzeugt. Sei Z die Menge z1 ∼ q(z1 ) f¨ ur z1 ∈ η1−1 (U ∩ V ) eine Aquivalenzrelation ¨ der Aquivalenzklassen und p : Z1 ⊎ Z2 → Z die Projektion, die jedem z seine Klasse p(z) zuordnet. Wir identifizieren Zj mit p(Zj ) ⊂ Z durch die injektive Beschr¨ ankung p|Zj . Mit folgender Topologie wird Z zu einem Hausdorff-raum: ur j = 1, 2 . U ⊂ Z offen ⇔ u ∩ Zj ⊂ Zj offen f¨ Insbesondere ist Zj ⊂ Z offen, und Z = Z1 ∪ Z2 ist eine Mannigfaltigkeit. Man definiert η : Z → U ∪ V durch η|Zj := ηj und verifiziert, daß η eine ¨ Uberlagerung ist. Wegen q ◦ γ = γ ◦ q f¨ ur γ ∈ G setzen sich die beiden Hom¨ oomorphismen γ : Z1 → Z1 und γ : Z2 → Z2 zu einem Hom¨ oomorphismus γ : Z → Z zusammen. Dadurch wird G zu einer Untergruppe von D(η) , die η zu ¨ einer G -Uberlagerung macht. Sei h ihr Poincar´escher Homomorphismus. Dann ist ¨ h◦ϕ der Poincar´esche Homomorphismus f der G -Uberlagerung η1 . Entsprechend folgt h ◦ ψ = g .

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

64

Zur Eindeutigkeit: Angenommen, es gibt zwei Homomorphismen h und h′ . ¨ Beide sind Poincar´esche Homomorphismen zu G-Uberlagerungen η bzw. η ′ von ′ ′ ¨ ¨ber U ∪ V . Wegen h ◦ ϕ = h ◦ ϕ und h ◦ ψ = h ◦ ψ sind diese Uberlagerungen u U und u ¨ber V isomorph. Damit sind η und η ′ u ¨ber U ∪ V isomorph und haben
denselben Poincar´eschen Homomorphismus h = h′ .

3.8.3 Freie Produkte und freie Gruppen. Man nennt das amalgierte Produkt des Diagramms 1 in 3.8.1 ein freies Produkt, wenn C = {1} trivial ist. In diesem Falle schreibt man D = A ∗ B und faßt, da ϕ und ψ injektiv sind, A und B als Untergruppen von A ∗ B auf. Im Satz von Seifert und van Kampen gilt (1) π(U ∪ V ) = π(U ) ∗ π(V ) , wenn U ∩ V einfach zusammenh¨ angt. Man sagt: Die Gruppe G wird von der Teilmenge M ⊂ G frei erzeugt, wenn sich jede Abbildung ϕ : M → H in eine Gruppe H zu genau einem Homomorphismus f : G → H fortsetzen l¨aßt. In diesem Fall heißt G freie Gruppe. F¨ ur ♯M = 1 ist G unendlich zyklisch. F¨ ur ♯M ≥ 2 ist G nicht ahlt zwei Elemente abelsch, da es einen Epimorphismus G → S3 gibt: Man w¨ a = b in M und definiert ϕ(a) := (12), ϕ(b) := (23), ϕ(x) := (1) f¨ ur x ∈ M \{a, b} . Wenn zwei Gruppen G und H von gleichm¨ achtigen Teilmengen M ⊂ G und N ⊂ H frei erzeugt werden, sind sie isomorph. Wenn die Gruppen G und H von M bzw. N frei erzeugt werden, wird das freie Produkt G ∗ H von der disjunkten Vereinigung M ⊎ N frei erzeugt. Satz. Die Fundamentalgruppe π(C \ {a1 , . . . , ar }) der r-fach punktierten Ebene wird von r Elementen frei erzeugt. Im n¨achsten Abschnitt wird ein genaueres Ergebnis bewiesen. 3.8.4 Punktierte Fl¨ achen. Sei A ⊂ X eine lokal endliche Menge in einer zusammenh¨ angenden Fl¨ ache. Sei U eine Scheibe um a ∈ A mit U ∩A = {a} , und sei v eine Schleife in U × := U \{a} . Jeder Weg u in X \ A der Gestalt u = w · v · w− wird a-Schleife genannt, siehe Fig. 3.8.4 a.

v

°a ·

®

®

U

w ·

Fig. 3.8.4 a. Eine einfache a - Schleife wvw − beginnt mit einem Weg w , der in einer punktierten Scheibe U um a endet. Daran schließt sich der Weg v an, welcher den Kreis um a einmal positiv durchl¨ auft. Dann kehrt die Schleife l¨ angs w − an ihren Ausgangspunkt zur¨ uck.

Die Schleife u heißt einfach, wenn es eine Karte h : (U, a) → (E, 0) gibt, so daß h ◦ v zu γ : [0, 1] → E× , γ(t) = h(v(0)) · exp(2πit) , homotop ist. Da π(E× ) von [γ] erzeugt wird, ist die Homotopieklasse jeder a-Schleife eine Potenz der Homotopieklasse einer einfachen a-Schleife.

3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung

65

Wenn man den Basispunkt x0 l¨ angs eines Weges in X\A nach x1 verschiebt, gehen (einfache) a-Schleifen mit dem Basispunkt x0 in solche mit dem Basispunkt x1 u ¨ber. Insbesondere ist die Menge der Homotopieklassen aller (einfachen) a-Schleifen in π(X \A, x0 ) unter Konjugation invariant. Hier ist eine genauere Version des Satzes in 3.8.3, die in 4.7.4 bei verzweigten  ben¨ ¨ Uberlagerungen von C otigt wird.

 paarweise verschieden, 1 ≤ r < ∞ . Zu jedem Satz. Seien a0 , . . . , ar ∈ C  \ {a0 , · · · , ar }) j = 0, . . . , r gibt es eine einfache aj -Schleife uj , so daß π(C von den Klassen [u1 ], . . . , [ur ] frei erzeugt wird und [u0 ] · . . . · [ur ] = 1 gilt.  erreichen wir a0 = ∞ und Beweis. Durch einen Automorphismus von C paarweise verschiedenen Realteile der Punkte a1 , . . . , ar . Sei R ein achsenparalleles Rechteck, so daß A := {a1 , . . . , ar } im Innern von R liegt; sei x0 ein Basispunkt auf dem Rande ∂R . Sei u die Schleife von und nach x0 , welche ∂R einmal positiv durchl¨ auft. Sei S = {z ∈ C : α < Re z < β} ein Streifen mit A ⊂ S ; dabei sind α = −∞ und β = ∞ zugelassen. (1) In S \A gibt es zu jedem Punkt aj ∈ A eine einfache Schleife uj , so daß π(S \ A, x0 ) von [u1 ], · · · , [ur ] frei erzeugt wird und bei eventuell ge¨ anderter Reihenfolge [u1 ] · . . . · [ur ] = [u] gilt.

S+

u_ ¯

°

¬

x0 · w

R+

°

ar°+1

am° °

°a

m+1 °

¯

¬ ° a1

° a1

v

u+

R_

¬

u

S_ Fig. 3.8.4 b. Die linke Figur zeigt den Induktionsbeginn und die rechte den Induktionsschluß des Beweises zu (1).

Wir beweisen (1) durch Induktion u ¨ber r . F¨ ur den Beginn bei r = 1 siehe die linke Figur 3.8.4 b: Eine radiale Homotopie vom Zentrum a1 aus zeigt: Der Weg u ist zur einfachen a1 -Schleife u1 = wvw− homotop, bei der w auf einem Strahl durch a1 liegt. Also gilt [u1 ] = [u] . Es gibt einen Hom¨oomorphismus (S, a1 ) → (C, 0) , der v in den Weg γ : [0, 1] → C, γ(t) := exp (2πit) , u ¨berf¨ uhrt. Die Gruppe π(C× ) wird durch [γ] frei erzeugt. Daher wird π(S \{a1 }) durch [v] und nach Basispunktverschiebung durch [u1 ] frei erzeugt.

66

¨ 3. Fundamentalgruppen und Uberlagerungen

Schluß von r auf r+1 , siehe die rechte Figur 3.8.4 b: Wir u ¨berdecken S durch zwei u ¨berlappende Streifen S− und S+ , so daß S− ∩ S+ ∩ A = ∅ aber S− ∩ A = ∅ =

S+ ∩ A gilt. Wir zerlegen R in zwei Rechtecke R± ⊂ S± . Wir numerieren so, daß A+ := S+ ∩ A = {a1 , . . . , am } und A− := S− ∩ A = {am+1 , . . . , ar+1 } . Nach der Induktionsannahme gibt es einfache aj -Schleifen uj , so daß π(S+ \ A+ ) durch [u1 ], . . . , [um ] und π(S−\A− ) durch [um+1 ], . . . , [ur+1 ] frei erzeugt werden, wobei [u1 ]·. . .·[um ] = ur die Randwege der Teilrechtecke R± [u+ ] und [um+1 ] · . . . · [um+1 ] = [u− ] f¨ gelten. Da S− ∩ S+ keine L¨ ocher enth¨ alt und einfach zusammenh¨ angt, folgt nach 3.8.3, daß π(S \A) = π(S \A+ ) ∗ π(S \ A− ) das freie Produkt ist und somit von [u1 ], . . . , [ur+1 ] frei erzeugt wird. Weil u zu r+ · r− homotop ist, gilt [u] = [u1 ] · . . . · [ur+1 ]. Die inverse Rechteckschleife u− ist eine einfache a0 -Schleife. Aus (1) folgt daher die Behauptung des Satzes mit einer Einschr¨ankung: Die Reihenfolge der Punkte a0 , . . . , ar ist im Produkt [uσ(0) ] · . . . · [uσ(r) ] = 1 permutiert. Aber mit x · y = xyx−1 · x l¨ aßt sich die vorgegebene Reihenfolge herstellen. Denn mit [uj ] ist auch x · [uj ] · x−1 die Homotopieklasse einer einfachen
aj -Schleife.

3.9 Aufgaben 1)

Begr¨ unde, daß jeder Weg in einem Gebiet X ⊂ C zu einem Polygonzug, d.h. zu einem st¨ uckweise linearen Weg homotop ist.

2)

Beweise in Erg¨ anzung zu 3.1.2, daß das Produkt [u] · [v] := [u · v] wohldefiniert und assoziativ ist.

3)

(i) Seien u und v zwei st¨ uckweise stetig differenzierbare Wege in C× mit gleichem Anfangs- und gleichem Endpunkt. Benutze die Exponential× u ¨berlagerung, um  zu zeigen:  Die Wege u und v sind genau dann in C homotop, wenn u dz/z = v dz/z gilt. (ii) Beschreibe die Umlaufzahl ind(u, a) einer Schleife u in C \{a} durch die ¨ η -Liftung u
in einer unverzweigten Uberlagerung η : X → C\{a} .

4)

5)

(i) Begr¨ unde: Außer Isomorphismen gibt es keine holomorphen, unverzweig
→ Y eine Riemannsche Fl¨ ¨ ten Uberlagerungen C ache Y .
(ii) Zeige: Jede holomorphe Abbildung C → Torus ist konstant.

¨ Zeige: Außer der universellen Torus-Uberlagerung u : C → T gibt es bis auf ¨ Isomorphie nur folgende zusammenh¨ angende, unverzweigte, holomorphe Uberlagerungen: ¨ (1) unendliche Uberlagerungen η : C× → T , (2) Torusabbildungen T ′ → T . ¨ Alle Uberlagerungen sind normal. Wie lauten ihre Deckgruppen?

3.9 Aufgaben 6)

67

Sei f eine nicht konstante meromorphe Funktion auf einem Torus T . Zeige: Die Abbildung


→ T, z → v(f, x) · x , C x∈f −1 (z)

ist holomorph und daher konstant, siehe Aufgabe 4(ii). Folgere die Abelsche Relation 2.3.2 f¨ ur elliptische Funktionen. 7)

Sei X ⊂ C ein Gebiet, sei f eine Laurent-Reihe an der Stelle a ∈ X mit dem alt. Zeige: Keim fa ∈ M . Sei Z die Komponente von M , welche fa enth¨ ¨ Die Projektion p : Z → X ist genau dann eine Uberlagerung, wenn sich f l¨ angs jeder Kreiskette in X im Weierstraßschen Sinne analytisch fortsetzen l¨ aßt. Wenn dies der Fall ist und X einfach zusammenh¨ angt, gibt es genau eine meromorphe Funktion auf X , die bei a die Laurent-Entwicklung f hat.

8)

Sei f auf dem Gebiet X ⊂ C meromorph. Zeige: Wenn κ der Keim einer lokalen Stammfunktion von f ist, gilt dasselbe f¨ ur alle Keime, die in derselben Komponente Z von M liegen. Wenn das Residuum von f an allen Polstellen verschwindet, ist p : Z → X ¨ eine Uberlagerung. In diesem Falle gilt  f (z)dz = e(ˆ u(1)) − e(ˆ u(0)) u

9)

f¨ ur jeden Integrationsweg u : [0, 1] → X , der die Pole von f meidet, seine Liftung u ˆ nach Z und die Auswertungsfunktion e .   Folgere: Wenn u und v in X homotop sind, ist u f (z)dz = v f (z)dz . Sei S := {z ∈ C : |z| = 1} . Berechne die Fundamentalgruppe des punktierten Torus (S × S) \ {(1, 1)} . ¨ den punktierten Torus durch S o × S Hinweis: Sei S o = S \ {1} . Uberdecke und S × S o .

10) Sei X eine zusammenh¨ angende Fl¨ ache. Zeige: F¨ ur jeden Punkt a ∈ X induziert die Einbettung X \{a} ֒→ X einen Epimorphismus der Fundamentalgruppen π(X \{a}) → π(X) , dessen Kern der von der Homotopieklasse [u] einer einfachen a-Schleife erzeugte Normalteiler ist. Verallgemeinere das Ergebnis auf mehrfach punktierte Fl¨achen X\{a1 , . . . an } . Wie lautet beim punktierten Torus (Aufgabe 9) die Homotopieklasse einer einfachen (1, 1)-Schleife ?

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

¨ In diesem Kapitel werden verzweigte Uberlagerungen η : X → Y zwischen Riemannschen Fl¨ achen konstruiert. Wir unterscheiden zwischen Konstruktionen von oben (4.1-4.5) und von unten (4.6-4.8), je nachdem ob die u ¨berlagernde Fl¨ ache X oder die u ¨berlagerte Fl¨ ache Y gegeben ist. Im ersten Fall geh¨ort zu den Vorgaben eine Untergruppe G < Aut(X) , ¨ und es soll eine normale Uberlagerung η : X → Y mit der Deckgruppe G gefunden werden. Diese Aufgabe l¨ aßt sich f¨ ur kompakte X genau dann l¨ osen,  durch eine rationale Funktion η . wenn G endlich ist, und zwar f¨ ur X = C Bei beliebigem X wird Y erst als topologischer Raum konstruiert und dann mit garbentheoretischen Methoden zu einer Riemannschen Fl¨ ache gemacht. Wenn X nicht kompakt ist, gen¨ ugt statt der Endlichkeit die Diskontinuit¨ at der Gruppe G . Im zweiten Fall geh¨ort zu den Vorgaben der Verzweigungsort B ⊂ Y . Mittels der Untergruppen der Fundamentalgruppe findet man alle unverzweigten ¨ Uberlagerungen der punktierten Fl¨ ache Y \ B . Diese werden durch zus¨atz¨ liche Fasern u ¨ber B zu verzweigten Uberlagerungen η : X → Y fortgesetzt. Wir benutzen diese Fortsetzung in 6.2.5, um die in 1.2.4 begonnene Konstruktion der Nullstellengebilde von Polynomen mit einfachen Wurzeln auf solche mit mehrfachen Wurzeln auszudehnen.

4.1 Orbitprojektionen Zu jeder Transformationsgruppe G eines topologischen Raumes X wird eine stetige Abbildung η : X → Y konstruiert, die G als Deckgruppe besitzt. Wir benutzen dazu die Begriffe und Bezeichnungen aus 1.5.1. 4.1.1 Quotientenprinzip. Eine surjektive, stetige und offene Abbildung η : X → Y , deren Fasern die G-Bahnen sind, heißt G-Orbitprojektion. Man nennt Y Orbitraum. Aus den Eigenschaften von η folgt direkt der Satz. Wenn die stetige Abbildung ζ : X → Z auf jeder η-Faser konstant ist, gibt es genau eine stetige Abbildung ϕ : Y → Z , so daß ζ = ϕ ◦ η gilt. Ist ζ auch eine G-Orbitprojektion, so ist ϕ ein Hom¨ oomorphismus.


4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel

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4.1.2 Existenz der Orbitprojektion. Zu jeder Transformationsgruppe G von X existiert eine G-Orbitprojektion η : X → Y .

Beweis. Sei Y die Menge der Orbiten. Dann ist η : X → Y , η(x) := G(x) surjektiv. Man nennt V ⊂ Y offen, wenn η −1 (V ) ⊂ X offen ist. Die Axiome f¨ ur offene Mengen sind erf¨ ullt, Y wird zu einem topologischen Raum und η zu einer stetigen Abbildung. Sie ist offen. Denn f¨ ur jede offene Menge U ⊂ X und jedes g ∈ G sind alle Mengen g(U ) ⊂ X offen. Daher ist
−1 g(U ) = η (η(U )) ⊂ X offen und damit auch η(U )⊂Y .
g∈G Der bis auf Hom¨ oomorphie bestimmte Orbitraum wird auch mit X/G statt Y bezeichnet. Er kann selbst in scheinbar harmlosen Situationen pathologisch, z.B. nicht-hausdorffsch sein, siehe Aufgabe 4.9.3. Der Vergleich mit 1.5.4 liefert 4.1.3 Holomorphe Orbitprojektionen. Eine holomorphe Abbildung η zwischen zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen ist genau dann eine ¨ normale Uberlagerung, wenn sie eine D(η)-Orbitprojektion ist.


4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel  eine rationale Wir konstruieren zu jeder endlichen Untergruppe G < Aut(C)   Orbitprojektion C → C und geben alle diese Gruppen G bis auf Konjugation an. Unter ihnen befinden sich die Drehgruppen Platonischer K¨ orper. Die Operation der Gruppe G wird durch G-invariante Dreiecksparkettierungen der Sph¨ are veranschaulicht. 4.2.1 Rationale Orbitprojektionen. Seien A und B verschiedene Bah . Durch nen einer endlichen Untergruppe G < Aut(C) ur z ∈ A , D(z) := −♯Gz f¨ ur z ∈ B und D(z) := 0 sonst D(z) := ♯Gz f¨  der Hauptdivisor D = (f ) einer rationalen Funktion f definiert. wird auf C →C  ist eine G-Orbitprojektion. Jede solche Funktion f : C

Beweis. Die Ordnung ♯Gz ist l¨angs jeder Bahn konstant. Wegen der Bahnengleichung 1.5.1(1) ist gr D = 0 . Nach 1.6.5(2) gibt es eine rationale Funktion f mit dem Hauptdivisor (f ) = D . Sie hat den Grad grf = ♯ G . F¨ ur jedes g ∈ G gilt (f ) = (f ◦ g) , also cg · f = f ◦ g mit cg ∈ C× , siehe 1.6.4(4).  . Daf¨ ur gilt f (ag ) = cg f (ag ) . Jedes g ∈ G hat einen Fixpunkt ag ∈ C Es folgt cg = 1 , falls f (ag ) = 0, = ∞ ist. Dies trifft sicher zu, wenn A und B Hauptorbiten sind, denn dann gilt ag ∈ A ∪ B . In diesem Fall ist f also auf allen G-Bahnen konstant, d.h. es gilt G < D(f ) , folglich grf = ♯G ≤ ♯D (f ) ≤ grf , also G = D(f ) , siehe 1.5.5.

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¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

Da G endlich ist und jedes g ∈ G h¨ ochstens zwei Fixpunkte hat, gibt es mindestens zwei Hauptorbiten. Nach dem Bewiesenen existiert daher eine →C  . Seien nun A und B zwei beliebige rationale G-Orbitprojektion η : C  erreicht man Orbiten. Durch Nachschalten eines Automorphismus von C η(A) = 0 und η(B) = ∞ . Es folgt (f ) = (η) also f = c · η , d.h. auch f ist eine Orbitprojektion.
Aufgabe 4.9.8 bringt eine explizite Anwendung.– Der Satz stammt von F. Klein [Klei 2], S.31: F¨ ur jede ... Gruppe von [gebrochen] linearen Substitutionen [wird] ” eine zugeh¨ orige rationale Funktion Z = R(z) gefunden ... , welche die verschiedenen zur Gruppe geh¨ origen Punktgruppen [= Bahnen] repr¨ asentiert, indem man sie einer wechselnden Constanten gleichsetzt.“

 der Ord4.2.2 Zyklische Gruppen. Jede zyklische Gruppe G < Aut(C) nung n < ∞ ist zu Cn := {z → ωz : ω ∈ µn } konjugiert. Diese Gruppe hat  → C,  z → z n , ist zwei Ausnahmebahnen {0} und {∞} . Die Funktion C eine Cn -Orbitprojektion. Beweis. Durch Konjugieren erreicht man g(∞) = ∞ f¨ ur ein erzeugendes Element g von G . Wegen g n = id ist g keine Translation z → z + b mit b = 0 . Also hat g einen zweiten Fixpunkt. Durch nochmaliges Konjugieren erreicht man unter Erhalt des Fixpunktes ∞ , daß g(0) = 0 ist. Es folgt g(z) = ωz , wobei ω die Gruppe µn der n-ten Einheitswurzel erzeugt. Dann ist z → z n eine Orbitprojektion.
4.2.3 Nicht-zyklische Gruppen. Jede nicht-zyklische, endliche Gruppe  der Ordnung N hat genau drei Ausnahmeorbiten Σ1 , Σ2 , Σ3 . G < Aut(C) ur die Ordnungen nj := N/sj F¨ ur deren M¨ achtigkeiten sj := ♯Σj ≥ 1 und f¨ der Standgruppen Ga von a ∈ Σj gibt es h¨ ochstens folgende M¨ oglichkeiten: Typ q-Dieder, q ≥ 2 Tetraeder Oktaeder Ikosaeder

N

s1 s2 s3 n1 n2 n3

2q q q 12 6 4 24 12 8 60 30 20

2 4 6 12

2 2 2 2

2 3 3 3

q 3 4 5

Sei gj ein erzeugendes Element der Standgruppe von aj ∈ Σj . Dann wird  G von {g1 , g2 , g3 } erzeugt. Zwei Gruppen desselben Typs sind in Aut (C) zueinander konjugiert. →C  vom Beweis. Nach 4.2.1 gibt es eine rationale G-Orbitprojektion f : C Grad N . Die Zahl k der Verzweigungspunkte von f ist endlich und ≥ 2 .  \ {a} ≈ C durch f Denn bei nur einem Verzweigungspunkt a w¨ urde C unverzweigt u ¨berlagert, und es w¨ are N = 1 . Somit gibt es k ≥ 2 Ausnah . F¨ ur z ∈ C ur z ∈ Σ j meorbiten Σ1 , . . . , Σk . Wir setzen n(z) := ♯ Gz f¨ h¨ angt nj := n(z) nur von j ab. Wir bestimmen die M¨ achtigkeit der Menge  × (G \ {id})  g ∈ Gz \{id}} ⊂ C M := {(z, g) : z ∈ C,

4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel

71

auf zweierlei Weise: Jedes Element g ∈ G\{id} hat genau zwei Fixpunkte;  daher ist ♯M = 2(N − 1) . Andererseits gibt  es zu z ∈ C genau n(z) − 1 n(z) − 1 . Da die Punkte Elemente in Gz \ {id} ; daher ist ♯M = z∈ C z mit n(z) > 1 genau die Punkte aus den Orbiten Σ1 , . . . , Σk sind, folgt k 2(N − 1) = ♯M = 1 sj (nj − 1). Division durch N = sj nj gibt k  2 1 + k − 2. = (1) n N j=1 j

Wegen nj ≥ 2 ist die linke Seite von (1) nicht gr¨ oßer als 12 k . Das ergibt k ≤ 3. Im Fall k = 2 f¨ uhrt (1) wegen 1/nj = sj /N zu s1 + s2 = 2 , also s1 = s2 = 1 . Der Orbit Σ1 besteht dann aus einem einzigen Punkt a , und G = Ga w¨are zyklisch. Es folgt k = 3 und 1 1 1 (2) + + > 1. n1 n2 n3 aßt (2) nur die in der Wir numerieren so, daß 1 < n1 ≤ n2 ≤ n3 ist . Dann l¨ alt N aus (1) und sj Tabelle angegebenen Tripel (n1 , n2 , n3 ) zu. Man erh¨ aus nj sj = N . Sei G′ die von {g1 , g2 , g3 } erzeugte Untergruppe. Sie besitzt drei Ausorigen Standgruppen G′aj = Gaj haben die nahmeorbiten G′ (aj ) . Die zugeh¨ Ordnungen nj . Da der Typ durch (n1 , n2 , n3 ) bestimmt ist, haben G und G′ denselben Typ und insbesondere dieselbe Ordnung. Daher ist G′ = G . Die Konjugiertheit von Gruppen desselben Typs wird aus der Eindeutig¨ keit universeller verzweigter Uberlagerungen am Ende von 4.8.3 folgen.
Die Gleichung (1) ist ein Spezialfall der Riemann-Hurwitzschen Formel ¨ 7.2.1(RH) f¨ ur gleichverzweigte Uberlagerungen. In den Abschnitten 4.2.4-5 werden alle laut der Tabelle m¨ oglichen Typen  realisiert. als Untergruppen von Aut(C) ur ω ∈ µq bilden 4.2.4 Diedergruppen. Die Automorphismen z → ωz ±1 f¨  . Ihre Ausnahmebahnen sind µq , µ2q \ µq eine q-Diedergruppe Dq < Aut(C) und {0, ∞} . Beweis. Ersichtlich ist Dq eine Gruppe mit den angegebenen Ausnahmebahnen. Nach der Tabelle kommt nur der q-Diedertyp infrage.


4.2.5 Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppen. Um diese Grup die Sympen zu realisieren, bilden wir zu jeder endlichen Menge T ⊂ C  metriegruppe Sym(T ) := {g ∈ Aut(C) : g(T ) = T } . F¨ ur ♯T ≥ 3 ist jedes g ∈ Sym(T ) durch g|T eindeutig bestimmt, und Sym(T ) ist daher endlich.

ur Satz. (i) F¨ ur T := µ3 ∪ {∞} ist Sym(T ) eine Tetraedergruppe.– (ii) F¨ T := µ4 ∪{0, ∞} ist Sym(T ) eine Oktaedergruppe.– (iii) F¨ ur ε := e2πi/5 und T := {εµ + εν : 0 ≤ µ < ν ≤ 4} ∪ {0, ∞} ist Sym(T ) eine Ikosaedergruppe. Beweis. Wir zeigen durch Angabe spezieller Automorphismen: Die Gruppe Sym(T ) ist nicht zyklisch. Die Menge T ist ein Orbit. Die Ordnung der

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¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

Standgruppe eines Elementes von T wird von 3, 4 bzw. 5 geteilt. Nach der Tabelle kommt dann f¨ ur Sym(T ) nur der Tetra-, Okta- bzw. Ikosaedertyp infrage.– Die speziellen Automorphismen sind (i) die Drehungen z → ωz f¨ ur ω ∈ µ3 und die Doppeltransposition z → (z + 2)/(z − 1) , welche 1 mit ∞ sowie e2πi/3 mit eπi/3 vertauscht; (ii) die Drehungen z → ωz f¨ ur ω ∈ µ4 und der Automorphismus z → (−z + i)/(z + i) , welcher 0, 1, i und gleichzeitig ∞, −1, −i zyklisch vertauscht; (iii) die Drehungen z → ωz f¨ ur ω ∈ µ5 , z → −1/z  und g(z) := − z + ε + ε4 / (ε + ε4 )z + ε . Durch g werden 0, ε + ε4 , 1 + ε2 zyklisch vertauscht. Außer f¨ ur g pr¨ uft man m¨ uhelos, daß die angegebenen Automorphismen zu Sym(T ) geh¨oren. F¨ ur g enth¨ alt Aufgabe 4.9.2 eine Anleitung.
4.2.6 Unit¨ are M¨ obius-Transformationen. Durch die stereographische  wird die Gruppe SO(3) zu einer Untergruppe von Projektion π : S 2 → C  Aut(C) gemacht: Wir betrachten R3 als euklidischen Vektorraum  mit dem 3 inneren Produkt x, y := ν=1 xν yν und der Norm x := x, x . Wir ¨bertragen versehen die Einheitssph¨ are S 2 mit der induzierten Metrik und u  sie durch π nach C . Dabei entsteht die chordale Metrik d mit 4|z − w|2 f¨ ur z, w ∈ C , d(z, w)2 = (1 + |z|2 )(1 + |w|2 ) 4 d(z, ∞)2 = und d(∞, ∞) = 0 . 1 + |z|2 Zum Beweis rechnet man mittels 1.1.2(1) nach:  2 ur x, y ∈ S 2 . d π(x), π(y) = 2(1 − x, y) = x − y2 f¨ Die spezielle unit¨ are Gruppe SU(2) besteht aus allen komplexen Matrizen   ¯ = d, b = −¯ c und ad − bc = 1 . Die entsprechenden M¨ obiusA = ac db mit a Transformationen z → A(z) = (az + b)/(cz + b) heißen unit¨ ar.

Lemma. (a) are M¨ obius-Transformation z → A(z) ist eine Isome Jede unit¨ trie, d.h. d A(z), A(w) = d(z, w) .  → C,  z → z¯ mit ∞ = ∞ , ist eine Isometrie. (b) Die Konjugation C (c) Jede Isometrie hat die Gestalt z → A(z) oder z → A(¯ z ) mit A ∈ SU(2) .

Beweis. (a) Wegen ad − bc = 1 ist A(z) − A(w) =

z−w . F¨ ur (cz + d)(cw + d)

|z|2 + 1 . Aus (1) folgt die Behauptung.– |cz + d|2 (b) ist trivial.– (c) Da es zu jeder Isometrie ϕ ein B ∈ SU(2) mit ϕ(∞) = B(∞) gibt, kann man ϕ(∞) = ∞ annehmen. Dann gilt |ϕ(z)| = |z| und weiter |ϕ(z) − ϕ(w)| = |z − w| . Daher gibt es ein ω ∈ C mit |ω| = 1 , so daß ϕ(z) = ωz oder = ω¯ z ist.
A ∈ SU(2) gilt |A(z)|2 + 1 =

4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel

73

Satz. F¨ ur jedes T ∈ SO(3) ist ϕ := π◦T ◦π −1 eine unit¨ are M¨ obius-Transfor mation. Die Zuordnung SO(3) → Aut(C), T → ϕ , ist ein Monomorphismus. Beweis. Da ϕ eine Isometrie ist, gibt es nach Lemma (c) ein A ∈ SU(2) obiusmit ϕ(z) = A(z) oder = A(¯ z ) . Jedenfalls ist ϕ2 = ϕ ◦ ϕ eine M¨ Transformation. Da es zu jedem T ∈ SO(3) ein U ∈ SO(3) mit U 2 = T gibt, ist ϕ eine M¨ obius-Transformation.
4.2.7 Dieder. Wir teilen die Sph¨ are S 2 durch 2q Großkreise, die durch den Nord- und S¨ udpol laufen, in kongruente Sektoren und halbieren sie durch ¨ arische Dreiecke zerden Aquator. Dadurch wird S 2 in 4q kongruente sph¨ legt, die schachbrettartig abwechselnd schwarz und weiß gef¨ arbt werden, siehe Figur 4.2.7. Die Innenwinkel dieser Dreiecke sind π/2 bei den Ecken auf ¨ dem Aquator sowie π/q beim Nord- und S¨ udpol. Diese Zerlegung heißt qDiederparkettierung.

Fig. 4.2.7. Die 3-Dieder-Parkettierung, Typ (2,2,3).

Die Untergruppe Dq < SO(3) aller Drehungen, welche die Parkettierung in sich transformieren, heißt orthogonale q-Diedergruppe. Die Achsen dieser Drehungen laufen durch den Nordpol und durch die in zyklischer Folge ¨ Die Drehungen um numerierten Ecken A0 , . . . , A2q = A0 auf dem Aquator. die Pol-Achse haben die ganzzahligen Vielfachen von 2π/q als Drehwinkel. Wir nennen diese Achse q-z¨ ahlig. Die Ak -Achsen sind zweiz¨ahlig. Somit hat  durch die stereograDq die Ordnung 2q . Wir identifizieren S 2 und C phische Projektion. Wegen Satz 4.2.6 wird Dq zu einer Untergruppe von  mit den Ausnahmeorbiten {Nordpol, S¨ Aut(C) udpol } , {A1 , A3 , . . . , A2q−1 } und {A2 , A4 , . . . , A2q } . Sie hat den q-Dieder-Typ. 4.2.8 Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. Von den f¨ unf Platonischen K¨ orpern Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, W¨ urfel und Dodekaeder haben die drei ersten eine aus Dreiecken zusammengesetzte Oberfl¨ache. Wir betrachten je ein Exemplar dieser K¨ orper, wobei das Zentrum im Ursprung und die Ecken orper geh¨ ort eine endliche Unauf der Einheitssph¨ are S 2 liegen. Zu jedem K¨ tergruppe G < SO(3) , welche aus allen Drehungen besteht, die ihn in sich

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¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

transformieren. Die entsprechenden Drehachsen laufen durch die Ecken, die Kantenmitten und die Dreieckszentren. Um die Kantenmitten und Dreieckszentren den Ecken gleichberechtigt zur Seite zu stellen, wird jedes Dreieck der Oberfl¨ ache in 6 Teildreiecke baryzentrisch zerlegt. Die Teildreiecke werden schachbrettartig abwechselnd schwarz und weiß gef¨ arbt, siehe die linken Figuren 4.2.8 a-c. An ihnen lassen sich die ¨ weiteren Uberlegungen anschaulich verfolgen.

Fig. 4.2.8 a. links: Tetraeder mit baryzentrisch unterteilten Dreiecken; rechts: Tetraeder-Parkettierung der Sph¨ are, Typ (2,3,3).

Die Achsen durch die Ecken sind beim Tetraeder 3-z¨ ahlig, beim Oktaeder 4-z¨ahlig und beim Ikosaeder 5-z¨ ahlig, weil jeweils 3, 4 bzw. 5 Kanten in einer Ecke zusammenstoßen. Die Achsen durch die Kantenmitten und die Dreieckszentren sind stets 2- bzw. 3-z¨ahlig. Die baryzentrische Unterteilung wird einschließlich ihrer F¨ arbung durch G in sich transformiert.

Fig. 4.2.8 b. links: Oktaeder mit baryzentrisch unterteilten Dreiecken; rechts: Oktaeder-Parkettierung der Sph¨ are, Typ (2,3,4).

4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel

75

Fig. 4.2.8 c. links: Ikosaeder mit baryzentrisch unterteilten Dreiecken; rechts: Ikosaeder-Parkettierung der Sph¨ are, Typ (2,3,5).

Die Kantenmitten liegen paarweise auf einer Achse. Beim Oktaeder und Ikosaeder gilt Entsprechendes f¨ ur die Ecken und f¨ ur die Dreieckszentren. Beim Tetraeder l¨auft jede Achse durch eine Ecke gleichzeitig durch das Zentrum des gegen¨ uber liegenden Dreiecks.– Die Elemente von G lassen sich abz¨ahlen: Tetraeder: Es gibt 4 Ecken, 6 Kanten und 4 Dreiecke. Zu den 4 Achsen durch die Ecken geh¨ oren jeweils 2 und zu den 3 Achsen durch die Kantenmitten geh¨ ort jeweils 1 Element von G\{id} . Hinzu kommt die Identit¨ at. Die Gruppe hat also die Ordnung 4 · 2 + 3 · 1 + 1 = 12 . Oktaeder: Es gibt 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Dreiecke und jeweils halb so viele Achsen. Die zum Tetraeder analoge Rechnung ergibt die Gruppenordnung 3 · 3 + 6 · 1 + 4 · 2 + 1 = 24 . Ikosaeder: Es gibt 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Dreiecke. Die Gruppenordnung ist 6 · 4 + 15 · 1 + 10 · 2 + 1 = 60 . Wir projizieren die baryzentrisch unterteilte Oberfl¨ ache jedes Platonischen K¨ orpers vom Ursprung aus radial auf S 2 und erhalten eine schwarz-weiß gef¨ arbte Parkettierungen der Sph¨ are, welche durch G in sich transformiert wird; siehe die rechten Figuren 4.2.8 a-c. (Nach baryzentrischer Unterteilung und radialer Projektion ergibt der W¨ urfel bzw. das Dodekaeder dieselbe Parkettierung und Gruppe wie das Oktaeder bzw. Ikosaeder.) Jedes Teildreieck der Parkettierung ist sph¨ arisch, d.h. seine Seiten liegen auf Großkreisen. Seine drei Ecken sind eine K¨ orperecke, eine projizierte Kantenmitte und ein projiziertes Dreieckszentrum. Seine Innenwinkel sind π/2 bei den Kantenmitten, π/3 bei den Dreieckszentren und π/3 (Tetraeder), π/4 (Oktaeder) bzw. π/5 (Ikosaeder) bei den K¨ orperecken.  durch die stereographische ProWie in 4.2.6 identifizieren wir S 2 mit C  . Sie hat drei jektion und machen so G zu einer Untergruppe von Aut(C) Ausnahmeorbiten: die Menge der Ecken, die Menge der projizierten Kantenmitten und die Menge der projizierten Dreieckszentren. Der Typ der Gruppe G gem¨aß der Tabelle in 4.2.3 entspricht ihrem Platonischen K¨ orper.

76

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

4.2.9 Historisches. Platon l¨aßt Timaios, einen fiktiven Pythagor¨aer, im gleichnamigen Dialog vier der f¨ unf regelm¨ aßigen K¨ orper beschreiben, indem er ihre begrenzenden Fl¨ achen aus Dreiecken baryzentrisch zusammensetzt. Bei den F¨ unfecken des Dodekaeders wurde ihm das offenbar zu kompliziert. Statt dessen schreibt er mythenbildend [Timaios, 55c]: Es war noch eine f¨ unfte Zusammensetzung u ¨ brig; ” diese benutzte Gott f¨ ur das All, als er es ausmalte.“ Die Vollkommenheit der Sch¨ opfung, die Timaios im Dialog schildert, wird dadurch begr¨ undet, daß Gott die vier Elemente durch die vier sch¨onsten K¨ orper gestaltet: Das Feuer wird aus Tetraedern, das Wasser aus Ikosaedern, die Erde aus W¨ urfeln und die Luft aus Oktaedern zusammengesetzt. Das 13. Buch der Elemente des Euklid enth¨ alt eine mathematische Beschreibung der regul¨ aren K¨ orper, die an Vollst¨ andigkeit und Genauigkeit Platons Darstellung weit u ¨ bertrifft. Die gruppentheoretische Beschreibung der Platonischen K¨ orper bis hin zur Klassifikation aller endlichen Untergruppen von SO(3) wurde durch kristallographische Ergebnisse von Hessel (1830), Bravais (1849) und andere angeregt. Sie fand durch Kleins Vorlesungen u ¨ber das Ikosaeder (1884), siehe [Klei 2], weite Verbreitung.

4.3 Diskontinuierliche Gruppen Diskontinuierliche Transformationsgruppen charakterisiert Klein [Klei 5] , S. 341, dadurch, daß die verm¨oge der Gruppe a¨quivalenten Punkte getrennt ” liegen“ , w¨ ahrend Poincar´e formuliert: groupe discontinu, tout groupe qui ” ne contient pas d’operation infinit´esimal, c’est-`a-dire d’operation changeant z en une quantit´e infiniment voysine de z“, siehe [Po] II, p.1f. Wir betrachten nur lokal kompakte Hausdorff r¨ aume X und benutzen folgende Definition der 4.3.1 Diskontinuit¨ at. Eine Transformationsgruppe G von X heißt diskontinuierlich, wenn {g ∈ G : g(K) ∩ K = ∅} f¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ X endlich ist. Dann ist jede Standgruppe Gx endlich und jede G-Bahn lokal endlich.– Endliche Transformationsgruppen sind diskontinuierlich. Bei kompakten R¨aumen X ist umgekehrt jede diskontinuierliche Transformationsgruppe endlich. Schließlich gilt der Satz. Der Orbitraum jeder diskontinuierlichen Transformationsgruppe G ist hausdorffsch. Beweis. Sei η : X → Y eine G-Orbitprojektion. Es gen¨ ugt, zu je zwei Punkten x, y ∈ X mit η(x) = η(y) Umgebungen U bzw. V anzugeben, so daß η(U ) ∩ η(V ) leer ist. Man beginnt mit einem Kompaktum K , so daß x, y innere Punkte von K sind. Die Menge M := {g ∈ G : g(K) ∩ K = ∅} ist endlich. Wegen η(x) = η(y) ist g(x) = y f¨ ur g ∈ M . Es gibt Umgebungen ur alle g ∈ M gilt. Man kann U von x und V von y , so daß g(U ) ∩ V = ∅ f¨ U ∪V ⊂ K annehmen. Dann ist g(U )∩V f¨ ur alle g ∈ G leer, weil sich g(K) und K f¨ ur g ∈ G \ M nicht treffen. Daraus folgt η(U ) ∩ η(V ) = ∅ .


4.3 Diskontinuierliche Gruppen

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4.3.2 Privilegierte Umgebungen. Sei G eine Transformationsgruppe von X . Eine Umgebung U von a ∈ X heißt privilegiert, wenn sie bez¨ uglich der ur jedes g ∈ G \ Ga der DurchStandgruppe Ga invariant ist und wenn f¨ schnitt U ∩ g(U ) leer ist. Durch Beschr¨ ankung entsteht aus der G-Orbitprojektion η : X → Y die Ga -Orbitprojektion η|U : U → η(U ) . Existenzsatz. Wenn G diskontinuierlich operiert, besitzt jeder Punkt a ∈ X eine Umgebungsbasis von privilegierten Umgebungen. Beweis. Sei W eine Umgebung von a , deren H¨ ulle kompakt ist. Dann ist M := {g ∈ G : W ∩ g(W ) = ∅} endlich. Weil X hausdorffsch ist, gibt es eine Umgebung W ∗ ⊂ W von a und zu jedem g ∈ M \ Ga eine Umgebung Ug von g(a) , die W ∗ nicht trifft. Dann ist  V := W ∗ ∩ g∈M \Ga g −1 (Ug ) ⊂ W

eine Umgebung von a , die f¨ ur alle g ∈ G\Ga nicht von g(V ) getroffen wird. ur g ∈ M \ G Denn V ∩ g(V ) ⊂ W ∗ ∩ Ug = ∅ f¨ a und V ∩ g(V ) ⊂ W ∩ g(W ) = ∅ f¨ ur g ∈ G \ M . Der Durchschnitt U := g(V ) u ¨ber alle g ∈ Ga hat die gew¨ unschten Eigenschaften. Da W beliebig klein gew¨ ahlt werden kann und U ⊂ W ist, bilden die Mengen U eine Umgebungsbasis von a .
Die Existenz privilegierter Umgebungen garantiert nicht die Diskontinuit¨at. Denn der Orbitraum ist eventuell nicht hausdorffsch, vgl. Aufgabe 4.9.3.

4.3.3 Freie Operation. Wenn G frei und diskontinuierlich auf X operiert, ¨ ist die Orbitprojektion η : X → X/G eine G-Uberlagerung gem¨ aß 3.7.4. Beweis. Nach 4.3.2 besitzt jeder Punkt in X eine privilegierte Umgebung U . Dann wird V := η(U ) trivial u ¨berlagert; denn η −1 (V ) = ∪g∈G g(U ) , und η bildet g(U ) hom¨ oomorph auf V ab. Weil die G-Orbiten die η-Fasern ¨ sind, handelt es sich um eine G-Uberlagerung.
4.3.4 Holomorphe Deckgruppen. Die Deckgruppe D jeder offenen holomorphen Abbildung η : X → Y zwischen zusammenh¨ angenden Fl¨ achen ist diskontinuierlich. Beweis. Sei K ⊂ X kompakt. Angenommen {g ∈ D : g(K) ∩ K = ∅} ist unendlich. Dann gibt es Folgen (gn ) in D sowie (an ) und (bn ) in K , so daß ¨ zu gn (an ) = bn ist; dabei sind alle gn paarweise verschieden. Nach Ubergang einer Teilfolge existieren a := lim an und b := lim bn in K . Wegen η(an ) = η(bn ) ist η(a) = η(b) =: c . Es gibt Scheiben (Ua , a), (Ub , b) und (V, c) , so daß die Beschr¨ankungen η : (Ua , a) → (V, c) und η : (Ub , b) → (V, c) Windungsabbildungen und Ua , Ub Komponenten von η −1 (V ) sind, siehe Satz 1.4.1. F¨ ur fast alle n ist an ∈ Ua und bn ∈ Ub , also gn (Ua ) ∩ Ub = ∅ , somit gn (Ua ) = Ub , insbesondere gn (a) = b . Aber {g ∈ D : g(a) = b} ist nach der Folgerung in 1.5.3 endlich.


78

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

4.4 Komplexe Mannigfaltigkeiten und Garben Um bei einer Riemannschen Fl¨ ache den Orbitraum einer diskontinuierlichen Automorphismengruppe zu einer Riemannschen Fl¨ ache machen, eignen sich Garben zur Definition der holomorphen Struktur besser als Atlanten. Wir benutzen die Gelegenheit, um gleichzeitig Riemannsche Fl¨ achen zu n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten zu verallgemeinern. Denn auch beim Studium der Fl¨ achen werden sp¨ ater h¨ oher dimensionale Mannigfaltigkeiten herangezogen: projektive R¨ aume in Kapitel 8 und 9, h¨ oher dimensionale Tori und symmetrische Produkte von Fl¨ achen in Kapitel 14 und 15. 4.4.1 Mannigfaltigkeiten. Wir betrachten den komplexen Zahlenraum Cn , dessen Punkte z = (z1 , . . . , zn ) n-Tupel komplexer Zahlen sind. Sei U ⊂ Cn offen. Eine Funktion f : U → C heißt holomorph, wenn f stetig und in jeder Variablen zk holomorph ist. Dazu a¨quivalent ist: In der Umgebung eines jeden Punktes a ∈ U l¨aßt sich f als konvergente Potenzreihe in (z1 − a1 ), . . . , (zn − an ) darstellen. Die Definition der Riemannschen Fl¨ achen in 1.1.1 l¨ aßt sich zur Definition n-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten verallgemeinern, indem man C durch Cn ersetzt und als klassisch holomorphe Funktionen die gerade definierten holomorphen Funktionen mehrerer komplexer Ver¨ anderlicher benutzt. Holomorphe Abbildungen werden analog zu 1.1.3 definiert.

Man kann statt Cn den Rn und statt der holomorphen die k-mal stetig differenzierbaren Funktionen nehmen und erh¨ alt dann die Definition der C k -differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dabei sind die F¨ alle k = ∞ (beliebig oft differenzierbar) und k = ω (reell-analytisch) eingeschlossen.

4.4.2 Garben. Eine (Funktionen-)Garbe F auf dem topologischen Raum X ordnet jeder offenen Menge U ⊂ X einen Ring F(U ) stetiger Funktionen U → C zu, welche alle konstanten Funktionen umfaßt und daher eine CAlgebra ist. Dabei wird folgendes Lokal-Global-Prinzip verlangt: F¨ ur jede Familie {Uj } von offenen Mengen gilt:
f ∈ F( Uj ) ⇔ ∀j f |Uj ∈ F(Uj ) .

Beispiel. F(U ) =: C(U ) besteht aus allen stetigen Funktionen. Ein topologischer Raum X zusammen mit einer Garbe F wird geringter Raum (X, F) genannt. F¨ ur jede offene Menge U ⊂ X bezeichnet F |U die Einschr¨ ankung von F auf die offenen Teilmengen von U . Statt (U, F |U ) schreiben wir auch (U, F) . Ein Morphismus ϕ : (X, F) → (Y, G) zwischen geringten R¨aumen ist eine stetige Abbildung ϕ : X → Y mit folgender Eigenschaft: ur jede offene  F¨  Menge V ⊂ Y und jedes g ∈ G(V ) gilt g ◦ϕ ∈ F g −1 (V ) . Die Hintereinanderschaltung von Morphismen ist ein Morphismus. Unter einem Isomorphismus versteht man einen bijektiven Morphismus ϕ , dessen Umkehrung ϕ−1

4.4 Komplexe Mannigfaltigkeiten und Garben

79

auch ein Morphismus ist. Isomorphismen (X, F) → (X, F) heißen Automorphismen. Sie bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verkn¨ upfung die Gruppe Aut(X, F) . 4.4.3 Die holomorphe Strukturgarbe O einer komplexen Mannigfaltigkeit X ordnet jeder offenen Menge U ⊂ X den Ring O(U ) aller holomorur komplexe phen Funktionen U → C zu. Man schreibt auch OX statt O . F¨ Mannigfaltigkeiten X und Y sind die Morphismen (X, OX ) → (Y, OY ) genau die holomorphen Abbildungen. Satz. Ein geringter Hausdorffraum (X, F) ist genau dann eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, wenn er zu (Cn , O) lokal isomorph ist, d.h. wenn es zu jedem Punkt in X eine Umgebung U und eine offene Menge V ⊂ Cn gibt, so daß (U, F) und (V, O) isomorph sind.

Beweis. Bei einer komplexen Mannigfaltigkeit (X,  F) ist  jede holomorphe Karte (U, h) ein Isomorphismus h : (U, F) → h(U ), O . Wenn umgekehrt aßt sich X durch offene Mengen Uj (X, F) zu (Cn , O) lokal isomorph ist, l¨ u ¨berdecken, zu denen Isomorphismen hj : (Ui , F) → (Vj , O) auf offene Menoren. Dann ist {(Uj , hj )} ein holomorpher Atlas, welcher gen Vj ⊂ Cn geh¨ X zu einer komplexen Mannigfaltigkeit mit der holomorphen Strukturgarbe F macht.
4.4.4 Bildgarben. Sei (X, F) ein geringter Raum und η : X → Y eine surjektive stetige Abbildung auf einen topologischen Raum Y . Mit der Garbe C der stetigen Funktionen auf Y wird die Bildgarbe Fη auf Y durch   Fη (V ) := {f ∈ C(V ) : f ◦ η ∈ O η −1 (V ) } f¨ ur jede offene Menge V ⊂ Y definiert. Das Lokal-Global-Prinzip ist erf¨ ullt, und η : (X, F) → (Y, Fη ) ist ein Morphismus. (1) Bei jeder surjektiven offenen, holomorphen Abbildung η : X → Y zwischen Riemannschen Fl¨ achen ist die Bildgarbe Oη = OY die holomorphe Strukturgarbe. Beweis. Aus der Holomorphie von η folgt OY ⊂ Oη . Umgekehrt gilt Oη ⊂ OY wegen 1.3.8.
Lemma. Sei η : X → Y die Orbitprojektion einer Gruppe G < Aut(X, F) . F¨ ur jede offene Menge U ⊂ X und die Einschr¨ ankung ϕ := η|U : U → V := η(U ) gilt Fϕ = Fη |V . Beweis. Sei W ⊂V offen. Offenbar ist Fη (W ) ⊂ Fϕ (W ) .– Sei f ∈ Fϕ (W ) ,  −1 (W ) ∩ U . Dann ist auch f ◦ η = f ◦ η ◦ g −1 ∈ also f ◦ η ∈ F η   −1 f ◦ η ∈ F η −1 (W ) F η (W ) ∩ g(U ) und nach dem Lokal-Global-Prinzip 
−1 −1 wegen η (W ) = g∈G η (W ) ∩ g(U ) . Also gilt Fϕ (W ) ⊂ Fη (W ) .


80

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

Satz. Sei G < Aut(X, O) eine diskontinuierliche Transformationsgruppe der komplexen Mannigfaltigkeit X . Sei η : X → Y die Orbitprojektion. Zu jedem b ∈ Y := X/G gebe es ein a ∈ η −1(b) , eine privilegierte Umgebung U von a und eine Ga -Orbitprojektion ϕ : U → V auf eine offene Menge V ⊂ Cn , so daß die Bildgarbe Oϕ die holomorphe Strukturgarbe O auf V ist. Dann ist (Y, Oη ) eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Beweis. Nach 4.3.1 ist der Orbitraum Y hausdorffsch. Nach dem Lemma ist Oη |η(U ) = Oη|U . Die Beschr¨ankung η|U : U → η(U ) ist wie ϕ eine Ga Orbitprojektion. Daher gibt es genau einen Isomorphismus ψ : η(U ), Oη → (V, O) mit ϕ = ψ ◦ η|U . Mit Satz 4.4.3 folgt die Behauptung.
4.4.5 Freie holomorphe Operationen. Sei G eine diskontinuierliche Automorphismengruppe der komplexen Mannigfaltigkeit (X, O) , welche frei operiert. Sei η : X → Y die Orbitprojektion. Dann ist (Y, Oη ) eine komplexe Mannigfaltigkeit, und η ist lokal biholomorph. Beweis. Die Behauptung folgt aus Satz 4.4.4. Denn die Voraussetzung dieses
Satzes ist erf¨ ullt, weil alle Standgruppen Ga trivial sind. 4.4.6 H¨ oher dimensionale Tori. Wir betrachten einen n-dimensionalen komplexen Vektorraum V . Mit einem Vektorraum-Isomorphismus V ∼ = Cn n u ¨bertr¨ agt man die holomorphe Struktur von C nach V und macht V zu einer komplexen Mannigfaltigkeit. Sei ω1 , . . . , ω2n eine Basis des reellen Vektorraums V . Die additive Untergruppe Ω := Zω1 + . . . + Zω2n heißt Gitter vom Rang 2n . Sie operiert durch z → z + ω , f¨ ur z ∈ V , ω ∈ Ω holomorph, frei und diskontinuierlich auf V . Analog zu 1.2.6 stellen wir jedes 2n t ω mit reellen t dar. Die Torusprojektion z ∈ V eindeutig als j j j j=1    η : V → T := S 1 × . . . × S 1 , tj ωj → exp(2πit1 ), . . . , exp(2πitn ) , ist ein Epimorphismus der additiven Gruppen mit dem Kern Ω , also eine Ω-Orbitprojektion. Satz 4.4.5 liefert die Verallgemeinerung des Torussatzes 1.2.6: Satz. Auf T gibt es genau eine holomorphe Struktur, so daß η eine un¨ verzweigte normale Uberlagerung mit der Deckgruppe D(η) = Ω ist.
Die holomorphe Struktur des Torus T h¨ angt vom Gitter Ω ab, siehe 3.3.2 f¨ ur n = 1 . F¨ ur n ≥ 2 gibt es krasse Unterschiede: Auf manchen Tori sind alle meromorphen Funktionen konstant. Andere, die sogenannten Abelschen Variet¨ aten, zu denen die Periodentori kompakter Fl¨ achen geh¨ oren (siehe Kapitel 14 und 15), besitzen viele nicht-konstante meromorphe Funktionen.

4.5 Orbitfl¨ achen

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4.5 Orbitfl¨ achen Bei einer Riemannschen Fl¨ ache ist die Bildgarbe auf dem Orbitraum einer diskontinuierliche Automorphismengruppe stets eine holomorphe Strukturgarbe. Zum Beweis ben¨otigen wir die 4.5.1 Linearisierung. Sei G eine diskontinuierliche Automorphismengruppe der zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X . Nach 4.3.1 hat jede Standgruppe Ga von a ∈ X eine endliche Ordnung n . Die Ableitung Ga → C× , g → g ′ (a) , ist ein Homomorphismus, und aus g n = id folgt g ′ (a) ∈ µn . Lemma. Es gibt eine privilegierte Umgebung U von a und eine Karte h : (U, a) → (E, 0) mit folgenden Eigenschaften: ur g ∈ Ga und x ∈ U . (1) h ◦ g(x) = g ′ (a) · h(x) f¨ (2) U → E , x → h(x)n , ist eine Ga -Orbitprojektion. (3) Die Bildgarbe Ohn ist die holomorphe Strukturgarbe OE . Beweis. (1) Sei (S, k) eine Karte von X mit k(a) = 0 . Nach 4.3.2 gibt es eine privilegierte Umgebung W ⊂ S von a . Die Funktion 1  k ◦ g(z) (4) h : (W, a) → (C, 0) , h(z) = , n s′ (a) g∈Ga

ist holomorph und erf¨ ullt (1) f¨ ur alle x ∈ W . Wegen (h ◦ k −1 )′ (0) = 1 wird eine kleinere Umgebung U von a durch h biholomorph auf eine Kreisscheibe Er vom Radius r abgebildet. Wir ersetzen h durch h/r und erreichen r = 1 . Dabei bleibt (1) erhalten. Wegen |g ′ (a)| = 1 und (1) folgt g(U ) = U ur f¨ ur alle g ∈ Ga . Wegen U ⊂ W gilt g(U ) ∩ U ⊂ g(W ) ∩ W = ∅ f¨ g ∈ G \ Ga . Also ist U privilegiert. (2) Sei g ∈ Ga und g ′ (a) = 1 . Aus (1) folgt dann g|U = id , also g = id nach dem Identit¨ atssatz. Somit ist Ga → C× , g → g ′ (a) , injektiv und wegen ♯Ga = n bijektiv. Wegen (1) sind die hn -Fasern die Ga -Bahnen.– (3) folgt aus (2) und 4.4.4(1).
4.5.2 Orbitprojektionen Riemannscher Fl¨ achen. Bei jeder diskontinuierlichen Automorphismengruppe einer zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X ist der Orbitraum (Y, Oη ) mit der Bildgarbe der Orbitprojektion η : X → Y eine Riemannsche Fl¨ ache. Beweis. Die Behauptung folgt aus den S¨ atzen 4.3.1 und 4.4.4. Denn die Voraussetzung in 4.4.4 ist wegen der Linearisierung 4.5.1 erf¨ ullt.
Der Satz reduziert das Studium der normalen Abbildungen X → Y auf die Beschreibung der diskontinuierlichen Untergruppen von Aut(X) . F¨ ur  wurden diese Gruppen in 2.6.3 bzw. 4.2 explizit angegeben. F¨ X = C, C ur die obere Halbebene X = H gibt es bisher keine vollst¨andige Klassifikation. Wir betrachten interessante Beispiele in Kapitel 5 und 11.

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¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

4.5.3 Faktorisierung von Orbitprojektionen. Sei H eine diskontinuierliche Gruppe von Automorphismen der zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X . Dann ist jede Untergruppe G < H diskontinuierlich. Seien η : X → Y und ζ : X → Z die holomorphen Orbitprojektionen zu G bzw. H . L¨ angs jeder η-Faser ist ζ konstant. Nach 1.3.8 gibt es genau eine holomorphe Abbildung ϕ : Y → Z , so daß ζ = ϕ ◦ η ist. Satz. Wenn G ⊳ H ein Normalteiler ist, gibt es genau einen Homomorphisˆ , mit η ◦ h = h ˆ ◦ η . Dabei ist Kern (p) = G , mus p : H → Aut(Y ), h → h Bild (p) = D(ϕ) , und ϕ ist normal. Beweis. Wegen G ⊳ H haben η und η ◦ h f¨ ur jedes h ∈ H dieselben Fasern. Nach 1.3.8 folgt die erste Behauptung sowie Kern (p) = G und Bild (p) ⊂ ahlt x1 , x2 ∈ X so, daß D(ϕ) . Sei y1 , y2 ∈ Y und ϕ(y1 ) = ϕ(y2 ) . Man w¨ η(xj ) = yj ist. Wegen ζ(x1 ) = ζ(x2 ) und D(ζ) = H gilt x2 = h(x1 ) ˆ 1 ) . Daraus folgt die Normalit¨ f¨ ur ein h ∈ H , also y2 = h(y at von ϕ und D(ϕ) ⊂ Bild (p) .
¨ Die Abbildung ϕ ist auch dann eine Uberlagerung, wenn G < H kein Normalteiler ist, siehe 4.6.2. 4.5.4 Ausblick. Wenn eine Automorphismengruppe auf einer komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 2 diskontinuierlich aber nicht mehr frei operiert, ist der Orbitraum ein normaler komplexer Raum, aber im allgemeinen keine Mannigfaltigkeit, weil die nicht-trivialen Standgruppen Singularit¨aten hervorrufen k¨ onnen. F¨ ur ein Beispiel siehe Aufgabe 4.9.7.– Das Ergebnis von 4.5.2 bleibt g¨ ultig, wenn man statt Riemannscher Fl¨ achen normale komplexe R¨ aume betrachtet. Der Beweisgang l¨ aßt sich u ¨bertragen, siehe [Cn] II, no. 43.

4.6 Verzweigungen Mit diesem Paragraphen beginnt die Konstruktion verzweigter holomorpher ¨ Uberlagerungen η : X → Y , wenn Y und der Verzweigungsort B vorgegeben ¨ sind. Wir benutzen die Klassifikation unverzweigter Uberlagerungen der × ¨ punktierten Scheibe E (3.3.3), um Uberlagerungen von Y \ B durch Einf¨ ugen von Windungspunkten zu vervollst¨ andigen.– Im folgenden sind alle ¨ Uberlagerungen holomorph. ¨ 4.6.1 Verzweigte Uberlagerungen der Kreisscheibe. Jede zusammen¨ h¨ angende Uberlagerung η : (X, a) → (E, 0) , welche h¨ ochstens u ¨ber 0 verzweigt, ist eine Windungsabbildung: Zu n := v(η, a) gibt es einen Isomorphismus h : (X, a) → (E, 0) mit η = hn . Beweis. Nach 3.3.3 ist die Beschr¨ankung η : X × := X \ η −1(0) → E× zu einer Exponential- oder Potenzfunktion isomorph. F¨ ur jede Scheibe V um 0 in E , welche elementar u ¨ berlagert wird, ist also η −1(V \ {0}) und folglich auch U := η −1(V ) zusammenh¨angend. Nach 1.4.5 ist η : (U, a) → (V, 0)

4.6 Verzweigungen

83

eine Windungsabbildung. Die Exponentialfunktion scheidet daher aus, und es gibt einen Isomorphismus h : X × → E× mit η|X × = hn , der sich zu h : (X, a) → (E, 0) fortsetzen l¨ aßt.
¨ 4.6.2 Faktorisierung von Uberlagerungen. Seien η : X → Y und ϕ : Y → Z zwei holomorphe Abbildungen. Wenn η surjektiv und ζ := ϕ ◦ η ¨ ¨ eine Uberlagerung ist, sind η und ϕ ebenfalls Uberlagerungen. Beweis. Sei W ⊂ Z eine Scheibe, welche durch ζ elementar u ¨ berlagert wird. Sei V ⊂ Y eine Komponente von ϕ−1 (W ) , und sei U ⊂ X eine Komponente von η −1 (V ) . Wegen η(X) = Y gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Beschr¨ankungen η ′ : U → V und ϕ′ : V → W von η bzw. ϕ Windungsabbildungen sind. Wegen ζ(U ) ⊂ W liegt U in einer Komponente U ′ von ζ −1 (W ) . Ihr Bild η(U ′ ) liegt in einer Komponente von ϕ−1 (W ) . Wegen U ⊂ U ′ ist V diese Komponente. Dann ist U = U ′ , und ζ ′ := ϕ′ ◦ η ′ : U → V → W ist eine Windungsabbildung. Insbesondere ist ζ ′ endlich. Nach Satz 1.4.4(ii) gilt dasselbe f¨ ur η ′ und ϕ′ . Wie ζ ′ ist ϕ′ h¨ ochstens u ¨ber dem Zentrum c von W verzweigt, also wegen 4.6.1 eine Windungsabbildung. Dann ist V eine ochstens u ¨ber b Scheibe mit einem Zentrum b. Die Beschr¨ankung η ′ ist h¨ verzweigt und somit auch eine Windungsabbildung.
¨ 4.6.3 Hintereinanderschaltung von Uberlagerungen. Im allgemeinen ¨ ist die Hintereinanderschaltung zweier verzweigter Uberlagerungen keine ¨ Uberlagerung, siehe Aufgabe 4.9.9. Wir ben¨ otigen aber folgenden Satz. Ist η : X → Y eine unverzweigte und ϕ : Y → Z eine eventuell ¨ ¨ verzweigte Uberlagerung, so ist ϕ ◦ η eine Uberlagerung. Beweis. Wir zeigen: Wenn eine Scheibe (W, c) durch ϕ elementar u ¨ berlagert wird, dann auch durch ϕ ◦ η . Sei a ∈ (ϕ ◦ η)−1(c) und b := η(a) . Es gibt eine Scheibe (V, b) , so daß ϕ : (V, b) → (W, c) eine Windungsabbildung ist. Die Scheibe V wird durch η trivial u ¨berlagert. F¨ ur eine Scheibe (U, a) ist daher η : (U, a) → (V, b) ein Isomorphismus, also ϕ ◦ η : (U, a) → (V, b) → (W, c) eine Windungsabbildung.
4.6.4 Fortsetzung von Abbildungen. Der topologische Raum Z heißt an der Stelle c ∈ Z unzerlegbar, wenn es eine Umgebungsbasis {W } von c gibt, so daß W \{c} stets zusammenh¨angt. Mannigfaltigkeiten der Dimension ≥ 2 sind u ¨berall unzerlegbar. Folgendes Lemma mit seinen Konsequenzen wird in den n¨ achsten Abschnitten und sp¨ ater (z. B. in 6.2.5 und 12.4.2) benutzt. ¨ Lemma. Sei η : X → Y eine Uberlagerung. Sei Z ein bei c ∈ Z unzerlegbarer Hausdorff raum. Dann l¨ aßt sich jede stetige Abbildung ϕ : Z \ {c} → X stetig nach c fortsetzen, sobald dies f¨ ur η ◦ ϕ gilt. Bei einer Riemannschen Fl¨ ache Z ist mit ϕ auch die Fortsetzung holomorph. Beweis. Sei ψ die Fortsetzung von η ◦ ϕ . Sei V eine Scheibe um b := ψ(c) , welche elementar u ¨ berlagert wird. Dann ist η −1(V ) die disjunkte Vereinigung

84

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

von Scheiben Ua um die Faserpunkte a ∈ η −1 (b) , und jede Beschr¨ ankung η : Ua → V ist eine Windungsabbildung. Es gibt eine Umgebung W von c , so daß ψ(W ) ⊂ V gilt und W \ {c} zusammenh¨angt. Dann gibt es genau ein a mit ϕ(W \{c}) ⊂ Ua , und ϕ wird durch ϕ(c) := a stetig fortgesetzt. Denn zu jeder Umgebung U von a in Ua gibt es, da η : Ua → V abgeschlossen ist, eine Umgebung V ′ von b in V mit η −1 (V ′ ) ∩ Ua ⊂ U . Es gibt eine Umgebung W ′ von c in W mit ψ(W ′ ) ⊂ V ′ . Dann ist ϕ(W ′ ) ⊂ U .– Die Holomorphie der Fortsetzung folgt aus dem Hebbarkeitssatz.
¨ Zwei Uberlagerungen ηj : Xj → Y heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus ϕ : X1 → X2 mit η1 = η2 ◦ ϕ gibt.– Sei B ⊂ Y lokal endlich. ¨ Erste Folgerung. Zwei Uberlagerungen ηj : Xj → Y sind isomorph, sobald ′
ihre Beschr¨ ankungen ηj : Xj \ηj−1 (B) → Y \B isomorph sind.

¨ Zweite Folgerung. Jede Uberlagerung η : X → Y hat dieselbe Deckgruppe wie ihre Beschr¨ ankung η ′ : X \ η −1 (B) → Y \ B . Wenn η ′ normal ist, gilt dasselbe f¨ ur η . Beweis. Nach dem Lemma l¨aßt sich jedes g ′ ∈ D(η ′ ) zu g ∈ D(η) eindeutig fortsetzen. F¨ ur die Normalit¨ at gen¨ ugt zu zeigen: Zu je zwei Punkten a1 , a2 ∈ X mit η(a1 ) = η(a2 ) =: b ∈ B gibt es ein g ∈ D(η) mit g(a1 ) = a2 . Zu einer elementar u ¨berlagerten Scheibe (V, b) gibt es zwei Scheiben (Uj , aj ) , so daß die Beschr¨ankungen von η Windungsabbildungen (Uj , aj ) → (V, b) sind. Zu x ∈ U1 \ {a1 } gibt es ein g ′ ∈ D(η ′ ) mit g ′ (x) ∈ U2 . F¨ ur die Fortsetzung g ∈ D(η) gilt dann g(U1 ) = U2 , insbesondere g(a1 ) = a2 .
¨ 4.6.5 Fortsetzung von Uberlagerungen. Sei Y eine zusammenh¨angende ¨ Fl¨ ache und B ⊂ Y lokal endlich. Eine Uberlagerung η : X → Y heißt ¨ Fortsetzung der Uberlagerung η ′ : X ′ → Y \B , wenn X ′ ⊂ X und η ′ = η|X ′ ist. Dann ist X ′ = X \ η −1 (B) , und nach 4.6.4 ist η durch η ′ eindeutig ¨ bestimmt. Nicht jede Uberlagerung von Y \ B kann fortgesetzt werden, wie die Exponential¨ uberlagerung C → C× zeigt. ¨ aßt sich zu einer Satz. Eine unverzweigte Uberlagerung η ′ : X ′ → Y \ B l¨ ¨ eventuell verzweigten Uberlagerung von Y fortsetzen, wenn es um jeden Punkt b ∈ B eine Scheibe V gibt, so daß f¨ ur jede Komponente U von ankung η ′ : U → V \B von η endlich ist. Insbesondere η ′−1(V ) die Beschr¨ existiert die Fortsetzung f¨ ur jede endliche Abbildung η ′ . Beweis. Da das Fortsetzungsproblem bez¨ uglich Y lokal ist, d¨ urfen wir (Y, B) = (E, 0) annehmen. Ferner kann X ′ als zusammenh¨angend vorausgesetzt werden; denn η ′ l¨ aßt sich fortsetzen, wenn dies f¨ ur die Beschr¨ankungen auf alle Komponenten von X ′ gilt. Wir zeigen, daß η ′ : X ′ → E× zu einer Windungsabbildung η : (X, a) → (E, 0) fortsetzbar ist. ur Nach 3.3.3 gibt es einen Isomorphismus h′ : X ′ → E× mit η ′ = h′n f¨ / X ′ zur n := gr η ′ . Wir erweitern X ′ durch Hinzunahme eines Punktes a ∈ Menge X . Die Fortsetzung h : (X, a) → (E, 0) ist bijektiv. Sie u ¨bertr¨ agt die Topologie von E nach X , so daß X ′ ein Unterraum ist.

¨ 4.7 Verzweigte normale Uberlagerungen

85

Die Garbe der holomorphen Funktionen auf X ′ wird durch ur offene W ⊂ X F(W ) := {f ∈ C(W ) : f |(W ∩ X ′ ) ∈ OX ′ (W )} f¨ zur Funktionengarbe F auf X fortgesetzt. Dann ist h : (X, F) → (E, O) eine Isomorphismus. F¨ ur die Fortsetzung von η ′ zu η : (X, a) → (E, 0) gilt n
η = h , d.h. η ist eine Windungsabbildung. ¨ 4.6.6 Zweibl¨ attrige Uberlagerungen der Ebene. Zu jeder lokal endli¨ chen Menge B ⊂ C gibt es eine zweibl¨ attrige Uberlagerung η : X → C mit B als Verzweigungsort. Beweis. Es gibt eine ganze Funktion h , welche in den Punkten von B einfache Nullstellen und sonst keine Nullstellen hat (Weierstraßscher Produktsatz). Gem¨aß 1.2.3 geh¨ ort zum Polynom w 2 − h(z) ein Nullstellengebilde ′ ′ ¨ η′ : X ′ → (X , η , f ) mit einer unverzweigten, zweibl¨attrige Uberlagerung ¨ C \ B . Nach 4.6.5 l¨ aßt sie sich zu einer Uberlagerung η : X → C fortsetzen. Wegen f 2 = h ◦ η ′ besitzt jeder Punkt a ∈ η −1 (B) eine Umgebung U , so daß f auf U \ {a} beschr¨ankt ist und daher durch f (a) := 0 holomorph fortgesetzt werden kann. Aus 2 o(f, a) = o(h, η(a))·v(η, a) und o(h, η(a)) = 1 folgt v(η, a) ≥ 2 .


¨ 4.7 Verzweigte normale Uberlagerungen Sei Y eine zusammenh¨angende Fl¨ ache und B ⊂ Y lokal endlich. Wir unter¨ suchen und konstruieren normale Uberlagerungen η : X → Y mit der Deckgruppe D , die u ¨ber Y \B unverzweigt sind. Wir benutzen dabei Basispunkte y0 ∈ Y \ B und x0 ∈ X mit η(x0 ) = y0 . 4.7.1 Der Poincar´ esche Epimorphismus. Nach der zweiten Folgerung in 4.6.4 ist η durch die Beschr¨ ankung η ′ : X \ η −1(B) → Y \ B eindeutig bestimmt und hat dieselbe Deckgruppe D(η) = D(η ′ ). Der Poincar´  esche Epimorphismus P : π(Y \B) → D(η) hat den Kern η∗′ π X \η −1 (B) . Aus 3.2.7 folgt der

¨ Isomorphiesatz. Zwei normale, u ¨ber Y \ B unverzweigte Uberlagerungen ′ ′ η : X → Y und η : X → Y , deren Poincar´eschen Epimorphismen P bzw. P ′ denselben Kern haben, sind isomorph. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen Isomorphismus α : D(η) → D(η ′ ) mit P ′ = α ◦ P gibt.


4.7.2 Kanonische Erzeugende. Nach 1.5.4 ist jede Standgruppe Da zyklisch von der Ordnung n := v(η, a) . Wir definieren das kanonisch erzeugende ur jedes f ∈ D Element σa ∈ Da durch die Ableitung σa′ (a) := exp(2πi/n) . F¨ gilt σf (a) = f ◦ σa ◦ f −1 . Satz. Sei b ∈ B. Die Werte P ([u]) der einfachen b-Schleifen u sind die ur a ∈ η −1(b) . kanonisch erzeugenden Elemente der Standgruppen σa ∈ Da f¨

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¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

Beweis. Sei k : (V, b) → (E, 0) eine Karte von Y mit V ∩ B = {b} . Bis auf Homotopie gilt u = w · v · w − mit k ◦ v(t) := 12 exp(2πit) und einem Weg in Y \ B von y0 nach y1 = k −1 ( 12 ) , vgl. Figur 3.8.4 a. Die Komponente U von η −1 (V ) durch den Endpunkt x1 der η-Liftung von w , die in x0 beginnt, trifft η −1 (b) in einem Punkt a . Durch passende Wahl von w erreicht man alle a ∈ η −1 (b) . Es gibt eine Karte h : (U, a) → (E, 0) mit k ◦ η = hn f¨ ur n = v(η, a) . F¨ ur die η-Liftung vˆ von v mit vˆ(0) = x1 ist h ◦ vˆ(t) = h(x1) · 21 exp(2πit/n) . Daher hat g := P ([v]) den Wert g(x1 ) = vˆ(1) ∈ U . Somit ist g(U ) = U , insbesondere g(a) = a . Nach 1.5.2(1) ist
g ′ (a) = exp(2πi/n) die Ableitung, also g = σa . ¨ 4.7.3 Konstruktion normaler Uberlagerungen. Sei h : π(Y \B) → G ein Gruppen-Epimorphismus, so daß f¨ ur jeden Punkt b ∈ B und jede b-Schleife u in Y \B das Element h([u]) eine endliche Ordnung hat. Dann ¨ gibt es eine normale, u ¨ber Y \ B unverzweigte Uberlagerung η : X → Y mit der Deckgruppe G und dem Poincar´eschen Epimorphismus h . ¨ Beweis. Nach 3.7.2(1) gibt es eine unverzweigte normale Uberlagerung ′ ′ η : X → Y \ B mit dem Poincar´eschen Epimorphismus h . Sei V ⊂ Y ein Scheibe mit einem Zentrum b ∈ B , die B nur in b trifft, sei U eine Komponente von η ′−1(V ) und sei u eine einfache b-Schleife in V \ {b} . Die Beschr¨ankung η ′ : U → V \{b} ist nach 3.3.3 eine Potenz- oder Exponential¨ uberlagerung. Letztere scheidet aus, weil h([u]) endliche Ordnung hat. ¨ η: X → Y Daher l¨ aßt sich η ′ gem¨aß 4.6.5 zu einer verzweigten Uberlagerung fortsetzen. Sie ist nach der zweiten Folgerung in 4.6.4 normal und hat nach 4.7.1 den Poincar´eschen Epimorphismus h .
 ¨ 4.7.4 Uberlagerungen der Zahlenkugel. Sei B = {b0 , b1 , . . . , br } ⊂ C,  r ≥ 1 . Nach Satz 3.8.4 gibt es einfache bj -Schleifen uj in C \ B , so daß  \ B) von [u1 ], . . . , [ur ] frei erzeugt wird und [u0 ] · [u1 ] · . . . · [ur ] = 1 ist. π(C

Satz. Es sei G eine Gruppe, die von r + 1 Elementen g0 , . . . , gr endlicher Ordnungen nj ≥ 2 erzeugt wird, wobei g0 · . . . · gr = 1 gilt. Es gibt  mit dem ¨ bis auf Isomorphie genau eine normale Uberlagerung η: X → C Verzweigungsort B und den Werten P ([uj ]) = gj des Poincar´eschen Epi¨ morphismus P : π(X \ B) → G . Uber bj hat η die Windungszahl nj . ¨ Beweis. Die Existenz der Uberlagerung folgt aus 4.7.3. Nach 4.7.1 ist sie bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Die letzte Behauptung folgt aus 4.7.2. Historisches. Der Satz und sein Beweis stammen von Hurwitz (1893). Er illustriert ihn f¨ ur r = 2 an den Gruppen A5 und Sn , siehe [Hur], Bd. 1, S. 405 ff. Die Gruppe A5 wird von g0 := (1 2)(3 4) , g1 := (2 5 4) , g2 := (1 2 3 4 5) und Sn von g0 := (1 2) , g1 := (n n−1 . . . 2) , g2 := (1 2 . . . n) erzeugt. In beiden F¨ allen gilt g0 · g1 · g2 = id .

¨ 4.7.5 Hyperelliptische Uberlagerungen. Im letzten Satz ist bei |G| = 2 ullt, wenn r ungerade ist. Das die Bedingung g0 · . . . · gr = 1 genau dann erf¨ ergibt den

¨ 4.7 Verzweigte normale Uberlagerungen

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 ¨ Satz. Bei jeder zweibl¨ attrigen, zusammenh¨ angenden Uberlagerung η :X →C hat der Verzweigungsort B eine gerade Anzahl ♯ B ≥ 2 . Mit dieser Ein¨ schr¨ ankung kann er beliebig vorgegeben werden. Die Uberlagerung ist durch B bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
 → C  vom Grade zwei haben zwei VerzweiDie rationalen Funktionen C gungspunkte, die man beliebig vorgeben kann. Die ℘-Funktion zum Git¨ ter Ω mit den Halbperiodenwerten e1 , e2 , e3 induziert die Uberlagerung  ℘ˆ : C/Ω → C mit dem Verzweigungsort {e1 , e2 , e3 , ∞} . Nach L¨ osung des Jacobischen Problems 2.2.7 kann man jede vierpunktige Menge als Verzweigungsort einer elliptischen Funktion vom Grade 2 realisieren. Daher nennt ¨ man diese Uberlagerungen elliptisch. Bei mehr als 4 Verzweigungspunkten heißen sie hyperelliptisch. ¨ 4.7.6 Endliche zyklische Uberlagerungen der Zahlenkugel. Sei n ≥ 2  , r ≥ 1. und B := {b0 , b1 , . . . , br } ⊂ C  mit dem ¨ (1) Bei jeder n-bl¨ attrigen zyklischen Uberlagerung η : X → C Verzweigungsort B , deren Deckgruppe D von g erzeugt wird, haben l¨ angs jeder Faser η −1 (bj ) die Standgruppen dasselbe kanonisch erzeugende Element g mj . Dabei gilt (∗) 0 < mj < n , m0 + . . . + mr ≡ 0 mod n , ggT (m1 , . . . , mr , n) = 1 . ullt, wird durch eine (2) Jede Vorgabe ganzer Zahlen (m0 , . . . , mr ) , die (∗) erf¨  mit dem Verzweigungsort ¨ n-bl¨ attrige zyklische Uberlagerung η : X→C B realisiert. oren genau dann (3) Zwei (r+1)-Tupel (m0 , . . . , mr ) und (m′0 , . . . , m′r ) geh¨ ¨ zu isomorphen Uberlagerungen, wenn f¨ ur eine Zahl k mit ggT(k, n) = 1 die r+1 Kongruenzen m′j ≡ kmj mod n bestehen.

 \ B , so daß Beweis. (1) Nach Satz 3.8.4 gibt es einfache bj -Schleifen uj in C  π(C \ B) von [u1 ], . . . , [ur ] frei erzeugt wird und [u0 ] · [u1 ] · . . . · [ur ] = 1 ist. ¨ F¨ ur den Poincar´eschen Epimorphismus P der Uberlagerung gilt P [uj ] = g mj mit 0 < mj < n , weil P [uj ] eine nicht triviale Standgruppe erzeugt. Aus [u0 ] · [u1 ] · . . . · [ur ] = 1 folgt m0 + . . . + mr ≡ 0 mod n . Weil D von P [u1 ], . . . , P [ur ] erzeugt wird, ist ggT (m1 , . . . , mr , n) = 1 . (2) folgt aus 4.7.4, angewendet auf gj := g mj . ¨ zu (m′0 , . . . , m′r ) mit der von g ′ erzeugten Deck(3) Sei η ′ die Uberlagerung ′ ¨ η isomorph, wenn gruppe D . Nach 4.7.1 ist sie genau dann zur Uberlagerung ′ es einen Isomorphismus α : D → D gibt, so daß α ◦ P der Poincar´esche ur Epimorphismus von η ′ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn α(g) = g ′k f¨ eine ganze Zahl k mit ggT(k, n) = 1 gilt und ′ (g ′ )mj = α ◦ P [uj ] = α(g mj ) = (g ′ )kmj ,
also m′j ≡ kmj mod n ist.

88

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

Beispiel. Wenn r = 2 ist, legen wir die Verzweigungspunkte nach 0, 1, ∞ und ordnen m0 , m1 , m∞ der Gr¨ oße nach. Das gibt f¨ ur n = 7 genau zwei nicht kongruente M¨ oglichkeiten (1,1,5) und (1,2,4), zu denen nicht isomor¨ phe Uberlagerungen geh¨ oren. In 6.4.4 und 8.3.5 wird gezeigt, daß sogar die ¨ entsprechenden Uberlagerungsfl¨ achen nicht isomorph sind.  durch Nullstel¨ In 6.4.2 werden alle zyklischen Uberlagerungen von C lengebilde reiner Polynome beschrieben.

¨ 4.8 Universelle verzweigte Uberlagerungen ¨ Ergebnisse u ¨ber universelle Uberlagerungen werden vom unverzweigten auf den gleichverzweigten Fall u ¨bertragen. Wir betrachten nur zusammenh¨ an¨ gende, holomorphe Uberlagerungen η : X → Y , bei denen die Windungszahlen ¨ l¨ angs jeder Faser beschr¨ ankt sind und nennen die Uberlagerung einfach zu¨ sammenh¨ angend , wenn ihre Uberlagerungsfl¨ ache einfach zusammenh¨ angt. 4.8.1 Signaturen. Eine Funktion S : Y → N>0 heißt Signatur, wenn ihr Tr¨ ager {y ∈ Y : S(y) ≥ 2} lokal endlich ist. Die Signatur S1 teilt S , wenn an jeder Stelle y ∈ Y der Wert S1 (y) ein Teiler von S(y) ist. Zu ¨ jeder Uberlagerung η : X → Y bilden wir mit den kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) die Verzweigungssignatur Sη (y) := kgV{v(η, x) : x ∈ η −1 (y)} . Wenn η gleichverzweigt ist, gilt Sη (y) = v(η, x) , vergleiche 1.4.6. ¨ Sei ϕ : Z → Y eine weitere Uberlagerung. Wenn es eine holomorphe Abbildung γ : Z → X gibt, so daß ϕ = η ◦ γ ist, sagen wir, daß η durch ϕ ¨ dominiert wird. Dann ist γ nach 4.6.2 auch eine Uberlagerung, und wegen der Produktformel f¨ ur Windungszahlen, siehe 1.3.1(3), teilt Sη die Signatur ¨ wenn ϕ alle Sϕ . Wir nennen ϕ : Z → Y eine universelle Uberlagerung, ¨ Uberlagerungen η dominiert, f¨ ur die Sη ein Teiler von Sϕ ist. ¨ Lemma. Die Uberlagerung η sei gleichverzweigt und einfach zusammenh¨ an¨ gend, die Uberlagerung ϕ sei universell. Aus Sη = Sϕ folgt, daß η und ϕ isomorph sind. ¨ Beweis. Es gilt eine Uberlagerung γ mit ϕ = η ◦ γ . Weil η gleichverzweigt ache von γ ist ist, folgt aus Sη = Sϕ , daß γ unverzweigt ist. Die Basisfl¨ ¨ die Uberlagerungsfl¨ ache von η und daher einfach zusammenh¨ angend. Nach 3.2.4(3) ist γ ein Isomorphismus.


¨ 4.8 Universelle verzweigte Uberlagerungen

89

4.8.2 Existenzsatz. Zu jeder Signatur S mit dem Tr¨ ager B ⊂ Y gibt es ¨ eine normale, u ¨ber Y \ B unverzweigte Uberlagerung ϕ : Z → Y , deren Poincar´escher Epimorphismus P : π(Y \ B) → D(ϕ) die von {[u]S(b) : u einfache Schleife um b ∈ B} ¨ erzeugte Untergruppe H als Kern hat. F¨ ur jede Uberlagerung η von Y gilt: ϕ dominiert η ⇔ Sη teilt S. Insbesondere ist Sϕ ein Teiler von S , und ϕ ist universell. Beweis. Die Teilmenge {[u] : u einfache Schleife um b ∈ B} ⊂ π(Y \ B) ist f¨ ur jedes b ∈ B unter Konjugationen invariant. Daher ist H ist ein Normalteiler. Aus 4.7.3 , angewendet auf den Restklassen-Epimorphismus h : π(Y \B) → =: G , folgt die Existenz von ϕ . Mit C := ϕ−1 (B)  π(Y \B)/H  gilt H = ϕ∗ π(Z \ C) . F¨ ur jede einfache b-Schleife u hat P ([u]) die Ordnung Sϕ (b) . Wegen ¨ η doP ([u])S(b) = 1 ist Sϕ ein Teiler von S . Wenn ϕ eine Uberlagerung miniert, ist Sη ein Teiler von Sϕ , also auch von S . Umgekehrt sei Sη ein Teiler von S . Sei A := η −1 (B) . F¨ ur jedes b ∈ B sind die Windungszahlen v(η, x) der Punkte x ∈ η −1(b) Teiler von S(b) . Dann gilt (∗) ϕ∗ π(Z \ C) < η∗ π(X \ A) .

Weil ϕ∗ π(Z\C) von den Potenzen [u]S(b) der einfachen b-Schleifen u erzeugt wird, gen¨ ugt es zum Beweis von (∗) [u]S(b) ∈ η∗ π(X \ A) zu zeigen. Nach 4.7.2 ist P [u] das kanonisch erzeugende Element der Standgruppe Da eines Punktes a ∈ η −1 (b) . Nach 1.5.3(3) ist seine Ordnung ein Teiler von v(η, a) und damit von S(b) . Es folgt [u]S(b) ∈ Kern(P ) = η∗ π(X \ A) , siehe 3.6.3. Nach dem Monodromiesatz, dessen Voraussetzung wegen (∗) erf¨ ullt ist, l¨ aßt sich ϕ|(Z \ C) zu einer holomorphen Abbildung γ : Z \ C → X \ A liften, so daß ϕ = η ◦ γ gilt. Diese wird mit Lemma 4.6.4 zu γ : Z → X fortgesetzt.
Bemerkung. Wenn S = Sη eine Verzweigungssignatur ist, folgt Sϕ = S . Aber es bleibt noch offen, ob jede Signatur eine Verzweigungssignatur ist. Aus dem Uniformisierungssatz wird folgen, daß dies bis auf die durch 3.3.4 verursachten Ausnahmen stets der Fall ist, siehe 11.6.8. ¨ ¨ 4.8.3 Eigenschaften universeller Uberlagerungen. (a) Eine Uberlagerung ist genau dann universell, wenn sie gleichverzweigt ist und ein¨ fach zusammenh¨ angt.– (b) Universelle Uberlagerungen mit gleicher Verzwei¨ gungssignatur sind isomorph.– (c) Universelle Uberlagerungen sind normal. Beweis.(a) Sei η gleichverzweigt und einfach zusammenh¨ angend. Nach 4.8.2 ¨ gibt es eine universelle Uberlagerung ϕ mit Sϕ = Sη . Wegen Lemma 4.8.1 sind ϕ und η isomorph.– Umgekehrt sei η : X → Y universell. Nach 4.8.2 ¨ gibt es eine normale, also gleichverzweigte Uberlagerung ϕ : Z → Y mit Sη = Sϕ . Da ϕ von η dominiert wird, gibt es eine Abbildung γ: X → Z mit η = ϕ ◦ γ . F¨ ur jedes x ∈ X folgt v(η, x) = v(γ, x) · v ϕ, γ(x) .

90

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

  Wegen v ϕ, γ(x) = Sη (y) f¨ ur y := η(x) folgt v(η, x) = Sη (y) , d.h. η ist gleichverzweigt. Nach 3.7.2(2) gibt es eine unverzweigte, einfach zusam¨ menh¨angende Uberlagerung ϕ : Z → X . Wegen 4.6.3 ist η ◦ ϕ eine ¨ Uberlagerung. Sie ist gleichverzweigt und einfach zusammenh¨ angend. Wegen Sη◦ϕ = Sη sind η und η ◦ ϕ nach Lemma 4.8.1 isomorph. (b) folgt aus (a) und 4.8.1.– Zu (c). Nach 4.8.2 gibt es zu jeder uni¨ ¨ versellen Uberlagerung η eine normale universelle Uberlagerung mit derselben Verzweigungssignatur. Sie ist nach (b) zu η isomorph.
¨ Beispiele. Die normalen Uberlagerungen C → X aus 2.6.2 zu den Punkt- , Band- und Fl¨ achengruppen sind universell und durch ihre Signaturen bis auf Isomorphie bestimmt. →C  . Hierzu wurde ¨ Dasselbe gilt f¨ ur die normalen Uberlagerungen η:C in 4.2.3 gezeigt, daß es abgesehen vom zyklischen Fall genau drei Ausnahmeache orbiten Σj von G = D(η) gibt. Nach einem Automorphismus der Basisfl¨  C kann man annehmen, daß η(Σ1 ) = 0, η(Σ2 ) = 1 und η(Σ3 ) = ∞ ist. Jedem Typ der Klassifikationstabelle in 4.2.3 entspricht dann genau eine Signatur mit dem Tr¨ ager {0, 1, ∞} . Da sie η bis auf Isomorphie bestimmt,  bestimmt. Das war in 4.2.3 bereits ist G bis auf Konjugation in Aut(C) behauptet aber nicht bewiesen worden.

4.8.4 Universelle Liftung. Sei ζ : Z → X die unverzweigte universelle ¨ Uberlagerung. S¨ amtliche h ∈ Aut(Z) , zu denen ein g ∈ Aut(X) mit g ◦ ζ = ζ ◦ h existiert, bilden den Normalisator N von D(ζ) in Aut(Z) . Der Automorphismus g ist durch h eindeutig bestimmt. Die Zuordnung (1) p : N → Aut(X) , p(h) := g , ist ein Epimorphismus mit dem Kern D(ζ) . Die Surjektivit¨ at von p folgt aus dem Monodromiesatz. ˆ := (2) F¨ ur jede Untergruppe G < Aut(X) ist die universelle Liftung G −1 p (G) < N von G genau dann diskontinuierlich, wenn G diskontinuierlich ist. ˆ diskontinuierlich ist, folgt dies aus 4.5.3. Wenn G diskontinuierlich Wenn G ¨ und damit die Deckgruppe einer normalen Uberlagerung η ist, gilt genauer: ¨ (3) Die Uberlagerung η ◦ ζ ist universell. Sie hat denselben Verzweigungsdiˆ. visor wie η . Ihre Deckgruppe ist D(η ◦ ζ) = G ˆ Zum Beweis von (3) zeigt man zun¨achst G < D(η ◦ ζ) und verifiziert sodann, ˆ -Orbit liegt. daß jede (η ◦ ζ) -Faser in einem G
Bemerkung. Der Riemannsche Abbildungssatz in 11.2.5 wird zeigen, daß Z  , C oder H isomorph ist. Die Automorphismen dieser drei Fl¨ zu C achen lassen sich durch (2×2) -Matrizen beschreiben. Zum Studium der universellen ˆ kann man daher Methoden der zweidimensionalen Geometrie Liftungen G und der Matrizentheorie einsetzen und sodann verfolgen, wie sich die Ergebˆ auswirken; siehe dazu 11.5.3, 11.6.7 und nisse auf X und G ∼ = G/D(ζ) 11.7.4.

4.9 Aufgaben

91

4.8.5 Historisches. Manche Spezialf¨alle der in 4.7-8 dargestellten Ergebnisse gehen auf Klein und Poincar´e zur¨ uck. Aber die generelle Frage nach der Existenz ¨ und Eindeutigkeit normaler Uberlagerungen, wenn die Basisfl¨ ache, die Verzweigungspunkte und die Windungszahlen vorgegeben sind, wurde um 1880 noch nicht gestellt. Das geschah erst f¨ unfzig Jahre sp¨ ater durch Fenchel und Nielsen, vgl. [FN] . Rankin publizierte 1958 die erste systematische Darstellung [Ran]. Eine Verallgemeinerung auf h¨ ohere Dimensionen findet man in [Nam 2].– Das Wort Signatur“ ” benutzen wir nach einem Vorschlag von S. Patterson.

4.9 Aufgaben 1)

Gib zur Diedergruppe {z → ωz ±1 : ω ∈ µq } eine Orbitprojektion explizit an. Diese Aufgabe wird in [Klei 2] auch f¨ ur die Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppe gel¨ ost.

2)

Sei ε := exp(2πi/5) und T := {εµ + εν : 0 ≤ µ < ν ≤ 4} ∪ {0, ∞} , siehe Teil (iii) des Beweises in 4.2.5. unfecke Zeige: r := ε + ε4 ∈ R>0 . Die zehn Punkte εµ + εν bilden die beiden F¨ {rεν : 0 ≤ ν ≤ 4} und −r −1 εν : 0 ≤ ν ≤ 4} . Der antiholomorphe Automorphismus s(z) := −1/¯ z vertauscht sie. F¨ ur g(z) := (−z + rε)/(rz + ε) gilt g ◦ s = s ◦ g , ferner g(r) = rε , g(rε) = 0 und g(rε2 ) = (1 − ε + ε2 − ε3 )/(1 + ε + 2ε2 + ε4 ) = 1 + ε3 g(rε3 ) = (1 − ε4 )/(1 + 2ε + 2ε3 ) = 1 + ε4 g(rε4 ) = (ε2 − ε3 )/(2ε + ε2 + 2ε4 ) = 1 + ε . Folgere: g ∈ Sym(T ) .

3)

Sei G die unendlich zyklische Gruppe der reell-analytischen Abbildungen ur n ∈ Z . C× → C× , x + iy → 2n x + i2−n y f¨ Zeige: (i) Alle Standgruppen sind trivial. (ii) Jeder Punkt in C× besitzt eine privilegierte Umgebung. (iii) Sei η : C× → Y eine Orbitprojektion. Zeige, daß Y nicht hausdorffsch ist, weil η(1) = η(i) keine disjunkten Umgebungen besitzen.

4)

Bekanntlich ist R = {α + iβ : α, β ∈ Z} ein Euklidischer Unterring von C .– Zeige: (i) Der Quotientenk¨ orper K von R liegt dicht in C . (ii) Zu je zwei teilerfremden Zahlen b, d ∈ R gibt es ein A ∈ SL2 (R) mit   A 01 = db . (iii) K ∪ {∞} ist ein SL2 (R)-Orbit.
, auf dem SL2 (R) diskontinuierlich operiert. (iv) Es gibt kein Gebiet X ⊂ C Dieses Beispiel wurde 1884 von Picard angegeben.

5) 6)


: Wenn mindestens zwei Zeige f¨ ur Untergruppen G < Aut(C) bzw. Aut(C) bzw. drei Punkte auf lokal endlichen Orbiten liegen, ist G diskontinuierlich.

Sei K = {(z, w) ∈ C2 : w2 = z 3 } . Zeige, daß h : C → K, h(t) = (t2 , t3 ) , ein Hom¨ oomorphismus ist. Definiere auf K die Garbe F durch F(U ∩ K) := unde, daß h : (C, O) → {f |K : f ∈ O(U )} f¨ ur offene Mengen U ⊂ C2 . Begr¨ (K, F) ein Morphismus, aber kein Isomorphismus ist.

92

¨ 4. Verzweigte Uberlagerungen

7)

Zeige f¨ ur die Untergruppe G := {(u, v) → (αu, α−1 v) : α ∈ µq } < Aut (C2 ) : (i) Die nicht-leeren Fasern der Abbildung η : C2 → C3 , η(u, v) = (uq , v q , uv) , sind die G-Orbiten. (ii) η(C2 ) = {(x, y, z) ∈ C3 : z q = xy} ist ein G-Orbitraum. (iii) F¨ ur q ≥ 2 h¨ angt η(C2 ) \ {(0, 0, 0)} nicht einfach zusammen. Folgere: Bei einer diskontinuierlichen Automorphismengruppe einer komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension n ≥ 2 ist der Orbitraum im allgemeinen keine Mannigfaltigkeit.

8)


hat die AusZeige: Die anharmonische Gruppe Λ := Sym{0, 1, ∞} < Aut(C) nahmeorbiten Σ1 = {0, 1, ∞} , Σ2 = {−1, 12 , 2} , Σ3 = {e±2πi/3 } . Bilde die rationale Λ-Orbitprojektion f gem¨ aß 4.2.1 mit A = Σ3 und B = Σ1 so, daß f (Σ2 ) = 1 ist und vergleiche das Ergebnis mit Aufgabe 1.7.9. Sei G < Λ die von z → 1−z erzeugte Untergruppe, und sei g ihre rationale Orbitprojektion. Gib eine rationale Funktion h so an, daß f = h ◦ g ist, und begr¨ unde, daß h nicht normal ist.

9)

¨ Gib eine zweibl¨ attrige Uberlagerung η : X → C mit einem Verzweigungsort B an, dessen Bild exp(B) H¨ aufungspunkte besitzt. Folgere: Der Verzweigungsort von exp ◦ η : X → C× ist nicht lokal endlich, und exp ◦ η ist keine ¨ ¨ Uberlagerung, obwohl exp und η (sogar normale) Uberlagerungen sind.


mit drei ¨ 10) Beschreibe bis auf Isomorphie alle zyklischen Uberlagerungen von C Verzweigungspunkten, die 3, 4 bzw. 5 Bl¨ atter haben.
mit ♯B ≥ 3 ist Verzweigungsort einer nor11) Zeige: Jede endliche Menge B ⊂ C
¨ malen Uberlagerung von C , deren Deckgruppe eine Kleinsche Vierergruppe ¨ ist. Wo kommen solche Uberlagerungen f¨ ur ♯B = 3 in der Klassifikation 4.2.3 ¨ vor? Gib solche Uberlagerungen f¨ ur ♯B = 4 mit Hilfe elliptischer Funktionen an, wobei die L¨ osung des Jacobischen Problems 2.3.7 f¨ ur B unterstellt wird.

12) Deute die Bandgruppe B2 und die Fl¨ achengruppen Fn (Ω) aus 2.6.2 als universelle Liftungen endlicher Deckgruppen. ufe 13) Die alternierende Gruppe A5 wird von (1 2)(3 4) und (2 5 4) erzeugt. Pr¨ (1 2)(3 4) · (2 5 4) · (1 2 3 4 5) = (1) .
mit der Deckgruppe ¨ Zeige: Es gibt eine normale Uberlagerung η: X → C A5 , deren Signatur aus drei Punkten mit den Werten 2, 3, 5 besteht. Folgere, daß die Ikosaedergruppe zu A5 isomorph ist.– Identifiziere in analoger Weise die Tetraedergruppe mit A4 und die Oktaedergruppe mit S4 .

5. Die J - und λ -Funktion

Nach der erfolgreichen Klassifikation aller diskontinuierlichen Untergruppen  in 4.2 erwartet der Leser vielleicht ein von Aut(C) in 2.6 und von Aut(C) ¨ahnliches Ergebnis f¨ ur die Halbebene H . Hier l¨ aßt sich jedoch die Vielfalt aller M¨ oglichkeiten mit den derzeit verf¨ ugbaren Methoden nicht u ¨berschauen. Wir betrachten zwei diskontinuierliche Untergruppen von Aut(H), die zum Vorbild f¨ ur die allgemeine Theorie wurden: die Modulgruppe Γ und die Hauptkongruenzgruppe Γ2 ⊳ Γ . Die im Titel genannten Funktionen sind Orbitprojektionen J : H → C bzw. λ : H → C×× := C \ {0, 1} dieser Gruppen. Zu ihrer Beschreibung werden Kenntnisse u ¨ber Gitter und ℘-Funktionen aus dem 2. Kapitel ben¨ otigt. Die Gleichung J(H) = C l¨ ost das Jacobische Problem aus 2.2.7.– Die ¨ λ -Funktion ist eine unverzweigte Uberlagerung. Mit dem Monodromiesatz 3.2.6 erh¨ alt man klassische Ergebnisse u ¨ ber holomorphe Funktionen, die mindestens zwei komplexe Zahlen als Werte auslassen. ur Mit der Verallgemeinerung von Γ2 zu den Kongruenzgruppen Γn f¨ n = 2, 3, 4, ... und der Einf¨ uhrung der zugeh¨ origen Modulfl¨ achen Xn geben wir am Schluß des Kapitels ein Beispiel aus den zahlreichen M¨oglichkeiten, die Untersuchung diskontinuierlicher Untergruppen von Aut(H) und ihrer Orbitfl¨ achen fortzusetzen.

5.1 Modulgruppe und Modulbereich Die reellen M¨obiustransformationen   aτ + b a b τ → A(τ ) := f¨ ur A = ∈ SL2 (R) c d cτ + d bilden die Gruppe Aut(H), siehe z.B. [Re 1], Abschnitt 9.2.2. Alle Transformationen mit ganzzahligen Koeffizienten bilden die Modulgruppe . Wir untersuchen ihre Wirkung auf H mit Hilfe des Modulbereichs D ⊂ H aus 2.5.1. 5.1.1 Die Modulgruppe Γ < Aut(H) besteht aus allen Transformationen A mit a, b, c, d ∈ Z . Folgende Elemente in Γ spielen eine besondere Rolle: 1 1 , S(z) := − , T (z) := z + 1 . (1) R(z) := 1 − z z

94

5. Die J- und λ -Funktion

Das Element R hat die Ordnung 3 und ρ := exp(πi/3) als Fixpunkt. Die Inversion S hat die Ordnung 2 und den Fixpunkt i . Die Translation T hat unendliche Ordnung und keine Fixpunkte. Es gilt R ◦ S = T . Jedem τ ∈ H wird das Gitter Ωτ := Zτ + Z zugeordnet. Bei einem beliebigen Gitter Ω = Zω1 + Zω2 kann man (nach eventuellem Tausch von ω1 und ω2 ) annehmen, daß der Modul τ := ω1 /ω2 ∈ H ist. Dann ist Ω = ω2 Ωτ zu Ωτ ¨aquivalent. Satz. (i) Die Gitter Ω := Zω1 + Zω2 und Ω ′ := Zω1′ + Zω2′ sind genau dann   gleich, wenn a b ′ ′ ∈ SL2 (Z) ω1 = a ω1 + c ω2 , ω2 = b ω1 + d ω2 mit A = c d

gilt.– (ii) Sie sind genau dann ¨ aquivalent, d.h. Ω ′ = u · Ω f¨ ur ein u ∈ C× , ′ wenn es ein A ∈ Γ mit τ = A(τ ) gibt. Beweis. (i) beweist man genauso wie in der Linearen Algebra den Satz vom Basiswechsel.– Zu (ii). Sei Ω ′ = u · Ω . Dann sind (ω1′ , ω2′ ) und (u ω1 , u ω2 ) zwei Basen dieses Gitters. Nach (i) gibt es ein A mit τ ′ = A(τ ) . Umgekehrt folgt aus τ ′ = A(τ ) , daß ω1∗ := a ω1 + c ω2 , ω2∗ := b ω1 + d ω2 eine Basis von Ω ist. F¨ ur sie gilt ω1∗ /ω2∗ = ω1′ /ω2′ , also Ω ′ = u Ω mit u := ω1′ /ω1∗ = ω2′ /ω2∗ . 5.1.2 Fundamentalbereiche. Eine Teilmenge D ⊂ X heißt Fundamentalbereich f¨ ur die Operation einer Gruppe G auf dem topologischen Raum X , wenn sie folgende Forderungen erf¨ ullt: ◦ ulle der Menge D ◦ aller inneren Punkte. (1) D = D ist die abgeschlossene H¨ (2) Jeder G-Orbit trifft D . (3) F¨ ur jeden Punkt x ∈ D ◦ ist G(x) ∩ D ◦ = {x} . Ein u ¨bersichtlicher Fundamentalbereich erleichtert die geometrische Beschreibung der G-Orbitprojektion η : X → Y . Denn Y entsteht aus D durch Identifikationen l¨ angs des Randes ∂D := D\D ◦ . Mit D ist auch g(D) f¨ ur jedes g ∈ G ein Fundamentalbereich. Man erh¨ alt die Parkettierung
ur g = h . (4) X = g∈G g(D) mit g(D ◦ ) ∩ h(D◦ ) = ∅ f¨

Beispiel: F¨ ur die Operation eines Gitters Ω < C durch Translationen ist jedes der in 2.3.1 angegebenen abgeschlossenen Parallelogramme P¯ ein Fundamentalbereich. 5.1.3 Modulbereich und Ausnahmebahnen. Der Modulbereich

(1) D := {τ ∈ H : |τ | ≥ 1 , |Re τ | ≤ 21 } ist ein Fundamentalbereich f¨ ur die Modulgruppe Γ , siehe Figur 5.1.3. Zwei Punkte τ = τ ′ ∈ ∂D liegen genau dann im selben Γ -Orbit, wenn τ ′ = −¯ τ der Bildpunkt von τ bei der Spiegelung an der imagin¨ aren Achse ist. Die einzigen Ausnahmebahnen sind Γ (i) und Γ (ρ). Die Standgruppen Γi und Γρ werden von S bzw. R erzeugt und haben die Ordnungen 2 bzw. 3.

5.1 Modulgruppe und Modulbereich

95

D ·i

°

·

r = eip/3

½

1

Fig. 5.1.3. Der Modulbereich D (punktiert) ist ein Fundamentalbereich der Modulgruppe.

Beweis. Nach 2.5.1(1) gibt es zu jedem τ ∈ H eine Basis ω1 , ω2 des Gitters Ωτ mit ω1 /ω2 ∈ D . Wegen Satz 5.1.1 gibt es ein A ∈ Γ mit A(τ ) = ω1 /ω2 ∈ D , d.h. jeder Γ -Orbit trifft D . Wir untersuchen, f¨ ur welche τ ∈ D und A ∈ Γ \ {id} das Bild τ ′ := A(τ ) ∈ D ist. Das liefert f¨ ur τ ′ = τ die paarweisen Identifikationen durch die Orbitprojektion und f¨ ur τ ′ = τ die Elemente = id der Standgruppe Γτ . Da jede Bahn D trifft, werden alle Ausnahmebahnen entdeckt.– Sei also   aτ + b a b ∈ SL2 (Z) . mit τ, τ ′ ∈ D , τ ′ = A(τ ) = c d cτ + d

onnen c ≥ 0 sowie Im τ ′ ≥ Im τ , Wir benutzen Im τ ′ = |cτ +d|−2 ·Im τ und k¨ also |cτ + d| ≤ 1 annehmen. F¨ ur c = 0 ist τ ′ = τ + b mit b ∈ Z \ {0}. Dann liegen τ und τ ′ in gleicher H¨ohe auf verschiedenen senkrechten St¨ ucken des√Randes von D. F¨ ur c ≥ 1 ist |τ + d/c| ≤ 1/c. Andererseits ist 3/2 der minimale √ Abstand von D zu R , also |τ + d/c| ≥ 3/2. Es folgt c = 1, |τ + d| = 1, Im τ ′ = Im τ und |d| ≤ 1.– Der Fall d = 0 kann nur f¨ ur (τ, d) = (ρ, −1) oder = (ρ2 , 1) eintreten, d.h. τ ist eine der beiden Ecken von D. Wegen Im τ ′ = Im τ ist dann τ ′ = τ dieselbe oder τ ′ = −¯ τ die andere Ecke, und aus τ ′ = τ = ρ folgt A = R2 .– Im Falle d = 0 ist |τ | = 1 und τ ′ = a−1/τ = a− τ¯. Hier sind die einzigen M¨ oglichkeiten a = 0, = ±1. Im ersten Fall ist A = S und i der einzig m¨ogliche Fixpunkt. Im zweiten Fall ist (τ, a) = (ρ, 1) oder = (ρ2 , −1) und τ = τ ′ . Aus τ ′ = τ = ρ folgt A = R . Die Untersuchung beweist die Behauptung u ¨ber die Identifikation verschiedener Punkte τ = τ ′ in D . Sie zeigt ferner, daß i, ρ und ρ2 die einzigen Punkte in D mit nicht trivialen Standgruppen sind: Γi = {id, S} ,
Γρ = {id, R, R2 } und Γρ2 = T −1 Γρ T wegen T (ρ2 ) = ρ . 5.1.4 Erzeugende Elemente. Die in 5.1.1(1) angegebenen Elemente S und T erzeugen die Modulgruppe Γ . Beweis. Jede Bahn Γ∗ (τ ) der von S und T erzeugten Untergruppe Γ∗ trifft den Modulbereich D . Denn f¨ ur jedes τ ′ = (aτ + b)/(cτ + d) ∈ Γ∗ (τ ) gilt ′ 2 Im τ / Im τ = |cτ + d| . Wegen cτ + d ∈ Ωτ gibt es ein τ1 ∈ Γ∗ (τ ) , so daß |cτ1 +d| minimal, also Im τ1 maximal auf Γ∗ (τ ) ist. Durch eine Translation T n erreicht man τ2 := T n (τ1 ) ∈ Γ∗ (τ ) mit |Re τ2 | ≤ 21 . Dann ist τ2 ∈ D,

96

5. Die J- und λ -Funktion

d.h. |τ2 | ≥ 1. Denn sonst h¨ atte S(τ2 ) ∈ Γ∗ (τ ) einen Imagin¨ arteil Im S(τ2 ) = (Im τ2 )/|τ2 |2 > Im τ2 = Im τ1 . Insbesondere gibt es zu jedem A ∈ Γ ein B ∈ Γ∗ mit B ◦ A(2i) ∈ D. Wegen Γ (2i) ∩ D = {2i} folgt B ◦ A(2i) = 2i , d.h. B ◦ A ∈ Γ2i = {id} , also
A = B −1 ∈ Γ∗ . Im ersten Teil des Beweises wurde erneut, diesmal ohne Benutzung reduzierter Basen, gezeigt, daß jede Γ -Bahn in D eindringt.  liegt jeder Punkt in C  auf 5.1.5 Spitzen. Wegen Γ < Aut(H) < Aut(C) einer Γ -Bahn. Eine besondere Rolle spielt die Bahn Γ (∞) . Ihre Punkte heißen Spitzen . Es gilt (1) Γ (∞) = {∞} ∪ Q ⊂ ∂H . a b Beweis. F¨ ur A = c d ∈ SL2 (Z) ist A(∞) = ∞ bzw. = a/c ∈ Q , je nachdem, ob c = 0 oder = 0 ist. Umgekehrt gibt es zu jedem vollst¨andig gek¨ urzten Bruch a/c ∈ Q ganze Zahlen b, d, so daß ad − bc = 1 ist. F¨ ur die zugeh¨ orige Matrix A folgt A(∞) = a/c .

5.1.6 Die Modulparkettierung der Halbebene H = A∈Γ A(D) besteht aus den Bildern des Modulbereichs D. In der Figur 5.1.6 wird statt A(D) nur A als Produkt von S und T angegeben.

id i

T -1

T r

T -1S T -1 ST

-1,5

S STS

-1

-0,5

TS ST -1

ST

0

TST

0,5

TST -1

1

1,5

Fig. 5.1.6. Eine Parkettierung von H durch die Bilder A(D) des Modulbereichs D f¨ ur A ∈ Γ . Die Transformation A ist als Produkt von S und T angegeben.

Wir fassen D als Dreieck mit den Ecken ρ, ρ2 = ρ−1 und ∞ auf. Die Innenwinkel sind π/3, π/3 und 0. F¨ ur jedes A ∈ Γ ist A(D) ein Dreieck mit denselben Winkeln bei den Ecken A(ρ), A(ρ2 ) und der Spitze A(∞). Alle Seiten der Dreiecke A(D) liegen wie die Seiten von D auf Halbgeraden oder Halbkreisen in H , die auf der reellen Achse senkrecht stehen. Denn die Automorphismen von H permutieren diese Halbgeraden und Halbkreise. Jedes Dreieck ∆ := A(D) hat mit AT A−1 (∆), AT −1 A−1 (∆) und ASA−1 (∆) jeweils eine Seite gemeinsam. In jeder Ecke, die nicht spitz ist,

5.2 Reduktionstheorie bin¨ arer Formen

97

stoßen sechs Dreiecke zusammen. Wenn A = T n ist, st¨oßt A(D) mit seiner Spitze auf die reelle Achse. Alle Dreiecke AT n (D) haben dieselbe Spitze q := A(∞) ∈ Q. Sie dr¨ angen sich, kleiner und kleiner werdend, in q zusammen:
(1) Jede Umgebung U von q in C enth¨ alt fast alle AT n (D) . Dieses Ph¨anomen tritt wegen 5.1.5(1) bei jedem q ∈ Q auf. P. Gordan sagte: Da wohnen die D¨ amonen“ , siehe [Klei 5], S. 47. ” 5.1.7 Historisches. Die sog. Modulfigur, die . . . Gauß zuerst hat, und mit

” der er Abel, Jacobi und den n¨ achstfolgenden Mathematikern u ¨ berlegen bleibt, [ hat sich ] von Riemann ab zum bevorzugten Arbeitsmittel in der Theorie [ der Modulfunktionen ] entwickelt“, sagt Klein in [Klei 5], S. 46. Eine zum Modulbereich ¨ aquivalente Menge wurde bereits 1773 von Lagrange zur Beschreibung der reduzierten quadratischen Formen angegeben, siehe 5.2.3. Ihre Bedeutung f¨ ur die Gittertheorie hat Gauß gekannt, siehe den n¨ achsten Abschnitt, aber in der ihm ” eigent¨ umlichen Vorsicht zur¨ uckgehalten“ , [ Klei 5], S. 38 . Erst 1877 gab Dedekind, [Ded] I, S.180, den Modulbereich explizit als Fundamentalbereich der Modulgruppe Γ an. Auch Klein, [Klei 1] III, S. 24, beschrieb ihn kurz darauf.

5.2 Reduktionstheorie bin¨ arer Formen Lagrange untersuchte 1773, welche ganzen Zahlen durch eine vorgegebene positiv definite quadratische Form Ax2 + 2Bxy + Cy 2 mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden, wenn man f¨ ur x und y ganze Zahlen einsetzt. Er entwickelte dazu eine Methode, solche Formen auf einfachere zu reduzieren, ohne dabei ihre Wertemenge f¨ ur ganze x und y zu a ¨ndern, [Lag] III, p. 695-795. Gauß nahm die Reduktionstheorie in die Disquisitiones Arithmeticae (Nr. 171/2) auf, die 1801 erschienen, und brachte 1831 anl¨ aßlich einer Buchbesprechung, [Ga] III, S.186 ff., die Formen mit Gittern in Verbindung. Wir zeigen im folgenden, daß die Existenz reduzierter Gitterbasen dem Lagrangeschen Reduktionssatz f¨ ur Formen entspricht, ¨ und deuten die von Lagrange definierte Aquivalenz von Formen mittels der Bahnen der Modulgruppe. Zahlentheoretische Anwendungen bleiben außer Betracht; siehe hierzu [SO].

5.2.1. Grundbegriffe. Eine bin¨are quadratische Form (1) Q(x, y) = A x2 + 2B xy + C y 2 mit reellen Koeffizienten A, B, C und der Determinante ∆ := AC − B 2 ist genau dann positiv definit, wenn A und ∆ positiv sind. Im folgenden sind alle Formen positiv definit. Die Formen Q und Q′ heißen a ¨quivalent, wenn sie durch eine ganzzahlige Substitution auseinander hervorgehen:  a c ∈ SL2 (Z) . (2) Q′ (x, y) = Q(a x + c y, b x + d y) mit c d

¨ ¨ Die Aquivalenzklassen heißen Formenklassen. Aquivalente Formen haben dieselbe ¨ Determinante und dieselbe Wertemenge f¨ ur ganzzahlige x und y . Diese Aquivalenzdefinition stammt von Lagrange.

98

5. Die J- und λ -Funktion

5.2.2. Formen und reelle Basen von C . Wir betrachten C als orientierten zweidimensionalen Euklidischen Vektorraum mit dem inneren Produkt z, w := Re z w ¯ . Jede Basis ω1 , ω2 mit τ := ω1 /ω2 ∈ H bestimmt die positiv definite Form Q(x, y) = |x ω1 + y ω2 |2 = A x2 + 2B xy + C y 2 mit (1) A = |ω1 |2 , B = ω1 , ω2  = Re ω1 ω 2 , C = |ω2 |2 , ∆ := AC − B 2 = (Im ω1 ω 2 )2 . √ acheninhalt des von ω1 , ω2 aufgespannten Parallelogramms. Dabei ist ∆ der Fl¨ √ Jede positiv √ definite √ Form hat die Gestalt (1); man setze z.B. ω12 := A und ω2 := (B − i ∆)/ A . Offenbar ¨ andert sich die Form |x ω1 + y ω2 | nicht, wenn man die Basis dreht, d.h. ω2 , ω1 durch u ω2 , u ω1 mit u ∈ C und |u| = 1 ersetzt. Der Modul τ h¨ angt nur von der Form Q ab: Es gilt √ A B+i ∆ . (2) τ = und |τ |2 = C C Satz. Zu je zwei Zahlen ∆ ∈ R>0 und τ ∈ H gibt es genau eine Form Q mit der Determinante ∆ und dem Modul τ . √ Beweis. Die Form Q(x, y) := ( ∆/Im τ )| x τ + y|2 leistet das Gew¨ unschte. Die Eindeutigkeit folgt aus (2).


5.2.3 Formen und Gitter. Jede R -Basis ω1 , ω2 von C mit τ := ω1 /ω2 ∈ H bestimmt außer der Form Q(x, y) := |x ω1 + y ω2 |2 das Gitter Ω := Zω1 + Zω2 . Nach Satz 5.1.1 (erste Aussage) spannt jede Basis von Ω ein Parallelogramm auf, dessen Inhalt die Determinante ∆ der Form Q ist.– Seien Q′ die Form und Ω ′ das Gitter zur Basis ω1′ , ω2′ . ¨ Aquivalenzsatz. Die Formen Q und Q′ sind genau dann a ¨quivalent, wenn die Gitter Ω und Ω ′ durch eine Drehung auseinander hervorgehen. Beweis. Sei u Ω ′ = Ω mit u ∈ S 1 . Dann ist u ω1 , u ω2 eine Basis von Ω , also  u ω1′ = a ω1 + b ω2 , u ω2′ = c ω1 + d ω2 mit ac db ∈ SL2 (Z) .

Daraus folgt, daß Q und Q′ a ¨quivalent sind, n¨ amlich ′ ′ ′ 2 Q (x, y) = |xu ω1 +yu ω2 | = |x(a ω1 +b ω2 )+y(c ω1 +d ω2 )|2 = Q(ax+cy, bx+dy) . ¨ Umgekehrt folgt aus der Aquivalenz von Q und Q′ , daß  |x ω1′ + y ω2′ |2 = |x(a ω1 + b ω2 ) + y(c ω1 + d ω2 )|2 mit ac db ∈SL 2 (Z) gilt. Dann ist die reell-lineare Abbildung Φ : C → C , x ω1′ + y ω2′ → x(a ω1 + b ω2 ) + y(c ω1 + d ω2 ) , eine Drehung mit Φ(Ω ′ ) = Ω .


¨ 5.2.4 Aquivalente Formen und Modulbahnen. Zwei Formen Q und Q′ sind genau dann a ¨quivalent, wenn sie dieselbe Determinante haben und ihre Moduln τ, τ ′ auf derselben Bahn der Modulgruppe Γ liegen. Insbesondere wird jede Formenklasse durch die Moduln ihrer Elemente bijektiv auf eine Γ -Bahn abgebildet. Beweis. Wie in 5.2.3 sei Q(x, y) := |x ω1 + y ω2 |2 , Q′ (x, y) := |x ω1′ + y ω2′ |2 und Ω := Zω1 + Zω2 , Ω ′ := Zω1′ + Zω2′ . Nach Satz 5.1.1(ii) liegen τ = ω1 /ω2 und τ ′ = ω1′ /ω2′ genau dann auf derselben Γ -Bahn, wenn es ein u ∈ C× mit Ω = u Ω ′ gibt. Genau dann, wenn Q und Q′ dieselbe Determinante haben, ist |u| = 1 , und die Behauptung folgt aus 5.2.3.


5.3 Die J-Funktion

99

5.2.5 Reduktion. Eine Form Q heißt reduziert, wenn ihr Modul τ im Modulbereich D der Figur 5.1.3 liegt. Lemma. Die Form Q(x, y) = A x2 + 2B xy + C y 2 ist genau dann reduziert, wenn 2|B| ≤ C ≤ A . √ Beweis. Aus τ = (B + i D)/C ∈ H folgt C ≥ 0 und: |Re τ | ≤ 12 ⇔ 2|B| < C . Aus |τ |2 = A/C und A > 0 folgt: |τ | ≥ 1 ⇔ C ≤ A .


Reduktionssatz (Lagrange). Jede Form Q ist zu einer reduzierten Form Q′ a ¨quivalent. Beweis. Wie in 5.2.2 sei Q(x, y) = |x ω1 +y ω2 |2 . Das Gitter Ω = Zω1 +Zω2 besitzt nach 2.5.1(1) eine reduzierte Basis ω1′ , ω2′ . Nach 5.2.3 ist Q(x, y) zu Q′ (x, y) := ¨quivalent. Der Modul ω1′ /ω2′ von Q′ liegt in D .
|x ω1′ + y ω2′ |2 a Historisches. Lagrange definiert reduzierte Formen durch die Ungleichungen des Lemmas und beweist den Reduktionssatz direkt ohne Gitter und komplexe Zahlen, siehe auch [SO], S. 44 ff. Dedekind [Ded] I, S. 179 f., zeigt 1877, daß der Modulbereich D ein Γ -Fundamentalbereich ist, mit denselben Methoden [...], durch welche in der ” Theorie der bin¨ aren quadratischen Formen [...] bewiesen wird, daß jede Form einer reduzierten Form a ¨quivalent ist.“ Hurwitz argumentiert 1881 in seiner Dissertation [Hur] 1, S. 2 ff. anschaulich geometrisch“ und bemerkt, daß hiermit auch ” ” eine u ¨ beraus einfache Behandlungsweise der Reduktion der quadratischen Formen gegeben ist.“

5.2.6. Ganzzahlige Formen. Eine Formenklasse heißt ganzzahlig, wenn eine und damit alle Formen dieser Klasse ganze Zahlen als Koeffizienten haben. Endlichkeitssatz. Zu jeder Determinante ∆ gibt es h¨ ochstens endlich viele ganzzahlige Formenklassen. Beweis. Nach den Ungleichungen ur die Koeffizienten redu des Lemmas 5.2.5 gilt f¨ zierter Formen 2|B| ≤ C ≤ 2 ∆/3 . Bei festem ∆ sind nur endlich viele B, C und A = (∆ + B 2 )/C m¨ oglich. Mit dem Reduktionssatz folgt die Behauptung.


5.3 Die J -Funktion Wir konstruieren die J -Funktion J : H → C als holomorphe Orbitprojektion der Modulgruppe Γ , ohne die a priori-Existenz solcher Projektionen (4.5.2) heranzuziehen. Die Surjektivit¨ at J(H) = C ergibt die L¨ osung des Jacobischen Problems 2.2.7. 5.3.1 Die Jot-Invariante eines Gitters. Mit den Gitterinvarianten g2 = g2 (Ω) und g3 = g3 (Ω) aus 2.2.4-6 bilden wir die Jot-Invariante g3 (1) j(Ω) := 3 2 2 ∈ C . g2 − 27g3 Wegen 2.2.5(3) ist der Nenner = 0. Die hier auftretende rationale Funktion z3 (2) h(z, w) = 3 f¨ ur (z, w) ∈ C2 mit z 3 − 27w2 = 0 z − 27w2

100

5. Die J- und λ -Funktion

hat folgende Eigenschaft: ur ein u ∈ C× . (3) h(a, b) = h(c, d) ⇔ c = u4 a und d = u6 b f¨ Beweis. Der Schluß von rechts nach links ist trivial. Umgekehrt folgt zun¨ achst a3 d2 = c3 b2 . Falls h(a, b) = 0 , gilt ac = 0 , und es gibt ein u = 0 mit c = u4 a . Es folgt d = u6 b, wenn man u eventuell durch iu ersetzt. Falls h(a, b) = 0 , ist a = c = 0 . Jetzt folgt b d = 0 , und die Existenz von u = 0 ist trivial.
¨ Aquivalenzsatz. Zwei Gitter Ω und Ω ∗ sind genau dann ¨ aquivalent, d.h. ∗ Ω = uΩ mit u ∈ C× , wenn j(Ω) = j(Ω ∗ ) ist. Beweis. Wegen (3) gilt j(Ω) = j(Ω ∗ ) genau dann, wenn g2 (Ω) = u4 g2 (Ω ∗ ) ur ein u ∈ C× gilt. Nach 2.2.6(2)-(3) bestehen diese und g3 (Ω) = u6 g3 (Ω ∗ ) f¨
Gleichungen genau dann, wenn Ω ∗ = uΩ ist. Mit 3.3.2 erh¨ alt man als Folgerung. Zwei Tori C/Ω und C/Ω ∗ sind genau dann als Riemannsche Fl¨ achen isomorph, wenn j(Ω) = j(Ω ∗ ) gilt.
5.3.2 Invarianz und Holomorphie der J -Funktion. Wir definieren die J -Funktion J : H → C , J(τ ) := j(Ωτ ) , ¨ in 5.3.1 als Jot-Invariante des Gitter Ωτ := Zτ + Z . Aus dem Aquivalenzsatz zusammen mit Satz 5.1.1 folgt
(1) J(τ ′ ) = J(τ ) ⇔ ∃ A ∈ Γ mit τ ′ = A(τ ) .

Man nennt J eine Modulfunktion, weil zwei reelle Basen von C mit den Moduln τ und τ ′ genau dann a¨quivalente Gitter aufspannen, wenn die Werte J(τ ) = J(τ ′ ) gleich sind. F¨ ur jedes τ ∈ H werden die Gitterinvarianten ′ g2 (τ ) := g2 (Ωτ ) = 60 (m + nτ )−4 m,n ′ (2) (m + nτ )−6 g3 (τ ) := g3 (Ωτ ) = 140 m,n

durch normal konvergente Eisenstein-Reihen dargestellt, die u ¨ber alle (m, n) ∈ (Z × Z) \ {(0, 0)} summiert werden, vgl. 2.2.2(3) und 2.2.4(2). Daher sind die Funktionen g2 , g3 : H → C holomorph. Es folgt g3 (3) Die Funktion J = 3 2 2 : H → C ist holomorph.
g2 − 27g3

Genau dann, wenn g3 (τ ) = 0 bzw. g2 (τ ) = 0 ist, gilt J(τ ) = 1 bzw. = 0 . Mit Satz 2.5.4 folgt: (4) Das Gitter Ωτ ist genau dann quadratisch bzw. hexagonal, wenn J(τ ) = 1
bzw. = 0 ist. Insbesondere gilt J(i) = 1 und J(eiπ/3 ) = 0 .

5.3 Die J-Funktion

101

ˆ . Wegen J(τ +1) = J(τ ) gibt es genau eine Funktion 5.3.3 Die Funktion J Jˆ ∈ O(E× ) , so daß Jˆ ◦ exp(2πiτ ) = J(τ ) f¨ ur alle τ ∈ H gilt. Sei r = e−2π .

ˆ × Satz. Die Beschr¨ ankung J|E aßt sich mit einem einfachen r ist injektiv und l¨  und J(H) = C . ˆ Pol nach 0 meromorph fortsetzen. Dann ist J(E) =C Beweis. Injektivit¨ at: F¨ ur H1 := {τ ∈ H : Im τ > 1} ist E× r = {exp(2πiτ ) : τ ∈ H1 } . Zu τ1 , τ2 ∈ H1 gibt es Zahlen nj ∈ Z mit |Re τj + nj | ≤ 12 . Wegen Im (τj + nj ) = Im τj > 1 liegt τj + nj im Modulbereich D außerhalb des unteren Randbogens. Wenn J(τ1 ) = J(τ2 ) ist, geh¨oren τ1 + n1 und τ2 + n2 zur selben Γ -Bahn. Nach 5.1.3 folgt τ1 + n1 − (τ2 + n2 ) ∈ {0, ±1} . Jedenfalls ist τ1 − τ2 ∈ Z und damit exp(2πiτ1 ) = exp(2πiτ2 ) . Fortsetzung: Wegen der Injektivit¨ at hat Jˆ bei 0 keine wesentliche Sin gularit¨ at, und wir k¨ onnen zu einer meromorphen Funktion Jˆ : E → C ˆ fortsetzen, die bei 0 die Windungszahl v(J, 0) = 1 hat. ˆ Surjektivit¨ at: Aus J(τ ) = Jˆ ◦ exp(2πiτ ) folgt lim J(τ ) = J(0) f¨ ur τ ∈ D ˆ mit Im τ → ∞ . Daher wird J|D durch J(∞) := J(0) stetig auf die kompakte ¯ = D∪{∞} fortgesetzt. Dann ist J(E) ˆ ¯ einerseits wie E offen H¨ ulle D = J(D)  ¯ ˆ und andererseits wie D kompakt, also J(E) = C . Da Jˆ auf E× holomorph ˆ = ∞ und o(J, ˆ 0) = −1 sein, letzteres wegen v(J, ˆ 0) = 1 . Es ist, muß J(0) × ˆ
folgt J(H) = J(E ) = C .

Zusammenfassung. Die Funktion J : H → C ist eine holomorphe Orbitprojektion zur Modulgruppe Γ . Sie ist nur u ¨ber 0 und 1 verzweigt und hat dort die Windungszahlen 3 bzw. 2 .
5.3.4 L¨ osung des Jacobischen Problems. Um die Formulierung 2.2.7(3) dieses Problems zu beweisen, gen¨ ugt es, zu jedem Paar (a2 , a3 ) ∈ C2 mit 3 2 a2 = 27a3 ein Gitter Ω mit den Invarianten gj (Ω) = aj zu finden: Wegen J(H) = C gibt es ein τ ∈ H, so daß j(Ωτ ) = a32 /(a32 − 27a23 ) ist. Hieraus folgt nach 5.3.1(3) a2 = u4 g2 (Ωτ ) und a3 = u6 g3 (Ωτ ) mit u ∈ C× . Wegen
2.2.6(2) ist dann Ω = uΩτ das gesuchte Gitter. Historisches. Hermite gab 1856 als Gitterinvariante 4g23 /g32 an, [Her] I, p. 359 f. Dedekind [Ded] I, S. 193, ersetzte sie durch die Jot-Invariante, welche er Valenz nannte. Er zeigte [ibid.], S. 183, daß sie alle komplexen Zahlen als Werte annimmt und (modern ausgedr¨ uckt) eine Γ -Orbitprojektion ist. Dies wurde zur selben Zeit auch von Klein [Klei 1] III, S. 15, entdeckt, dessen Bezeichnung J sich durchsetzte. Hurwitz [Hur] I, S. 588, bewies 1903 die Surjektivit¨at J(H) = C mit dem Residuensatz durch Integration u ¨ ber den Rand der Modulfigur D und l¨ oste damit das Jacobische Problem. Seine Bedeutung (S. 594) stellte er [ibid.], S. 594, noch einmal heraus: Es ist eine f¨ ur die Theorie der Funktion ℘(u) fundamentale ” Frage, ob die Perioden ω1 , ω2 stets so gew¨ ahlt werden k¨ onnen, daß g2 und g3 vorgeschriebene Werte erhalten.“ Unser Beweis f¨ ur J(H) = C durch Kompaktifizierung der Modulfigur und Fortsetzung der Funktion Jˆ stammt aus [Bor].– Zur urspr¨ unglichen Formulierung des Jacobischen Problems siehe 5.4.5.

102

5. Die J- und λ -Funktion

5.3.5 Werteverhalten der J -Funktion. Aus 5.3.3 folgt (1) lim J(τ ) = ∞ . Im τ →∞




Bei Ann¨ aherung an den Rand R von H verh¨ alt sich J sehr erratisch: (2) Wenn die offene Menge U ⊂ C die reelle Achse R trifft, nimmt J jede komplexe Zahl an unendlich vielen Stellen in U ∩ H als Wert an, und kann in keinen Punkt von R holomorph fortgesetzt werden. Beweis. Nach 5.1.6(1) enth¨ alt U unendlich viele Dreiecke ∆ der Modulparkettierung, und f¨ ur jedes ∆ ist J(∆) = C .
Den Reihen 5.3.2(2) f¨ ur g2 (τ ) und g3 (τ ) entnimmt man: (3) gj (−¯ τ ) = gj (τ ) , also J(−¯ τ ) = J(τ ) f¨ ur τ ∈ H .

¯

D-

®

Satz. Der halbe Modulbereich D− , siehe Figur 5.3.5, wird durch J hom¨ oomorph auf H ∪ R abgebildet. Dabei ist J(∂D− ) = R , und zwar wachsen die J-Werte streng monoton, wenn man den Rand ∂D− gegen den Uhrzeigersinn durchl¨ auft.

D+ r = eip/3

r2 · ® · i

·

°

½

1

Fig. 5.3.5 Der Modulbereich D wird durch die imagin¨ are Achse halbiert. L¨ angs des Randes des halben Bereichs D− sind die J-Werte reell. Sie wachsen in Pfeilrichtung streng monoton von −∞ nach −∞ .

ur Beweis. Nach 5.1.3 ist J|D− injektiv. Wegen (3) und J(−τ ) = J(τ ) f¨ τ ∈ ∂D− ist J|∂D− reellwertig, stetig und injektiv, also streng monoton, und zwar wachsend, da erst J(ρ2 ) = 0 und dann J(i) = 1 erreicht wer f¨ ur den. Das Bild J(∂D− ) ist ein Intervall in R. Wegen lim J(τ ) = ∞ ∈ C Im τ → ∞ gilt J(∂D− ) = R.– Da J wie jede injektive, holomorphe Funktion orientierungstreu ist, gilt J(D− ) ⊂ H ∪ R. Wegen J(D) = C und (3) ist sogar J(D− ) = H ∪ R .
Die J -Funktion geh¨ ort geschichtlich zu den ersten Beispielen  2nicht-fortsetzn mit E als barer Funktionen. Sie sind einfacher zu haben, z.B. als z Holomorphiegebiet, vgl. [Re 1], Abschnitt 5.3.3-4. Doch gelten solche ad hoc konstruierte Funktionen als k¨ unstlich.

5.4 Die λ-Funktion

103

5.4 Die λ-Funktion Die Orbitprojektion J : H → C der Modulgruppe Γ faktorisiert u ¨ber die Orbitprojektion H → H/Γ∗ jeder Untergruppe Γ∗ < Γ , siehe 4.5.3 und 4.6.2. Wir betrachten im folgenden die Hauptkongruenzgruppe Γ2 < Γ und gewinnen mittels der Halbperiodenwerte der ℘-Funktionen eine explizite Darstellung ihrer Orbitprojektion λ : H → C×× := C \ {0, 1}. orper mit zwei Elemen5.4.1 Die Hauptkongruenzgruppe. Sei F2 der K¨ ten. Der Restklassen-Epimorphismus Z → F2 induziert einen Epimorphismus SL2 (Z) → SL2 (F2 ) und daher wegen E ≡ −E mod 2 einen Epimorphismus Γ → SL2 (F2 ) . Sein Kern heißt Hauptkongruenzgruppe Γ2 . (1) Γ2 ⊳ Γ ist ein Normalteiler vom Index 6 . Die Elemente von Γ2 sind die Automorphismen H → H ,       aτ + b a b 1 0 a b τ → mod 2 . ≡ ∈ SL2 (Z) und mit c d 0 1 c d cτ + d

Beweis. Es gen¨ ugt, ♯SL2 (F2 ) = 6 zu zeigen. Der Vektorraum (F2 )2 enth¨ alt drei Vektoren = 0 , welche durch die Operation von SL2 (F2 ) permutiert werden. Alle Permutationen kommen vor, d.h. SL2 (F2 ) ist zur symmetrischen
Gruppe S3 isomorph.

Satz. Die Orbitprojektion H → H/Γ2 ist eine holomorphe, unverzweigte ¨ Uberlagerung. Beweis. Da Γ diskontinuierlich auf H operiert, gilt dasselbe f¨ ur die Untergruppe Γ2 . Es gen¨ ugt zu zeigen, daß Γ2 frei operiert. Die Behauptung folgt dann wegen 4.4.5 oder 4.5.2.– Jede eventuell nicht-triviale Standgruppe (Γ2 )τ = Γτ ∩ Γ2 ist in Γ zu Γi ∩ Γ2 oder Γρ ∩ Γ2 konjugiert. Die Elemente

= id in Γi und Γρ sind S und R, R2 . Sie geh¨ oren nicht zu Γ2 . Daher ist
(Γ2 )τ = {id}. 5.4.2 Definition der λ -Funktion. Faktorisierung von J . Die drei Halbperiodenwerte der ℘-Funktion (1) e1 (τ ) := ℘( 21 , Ωτ ) , e2 (τ ) := ℘( 12 τ, Ωτ ) , e3 (τ ) := ℘( 21 (τ + 1), Ωτ ) h¨ angen nach dem Konvergenzsatz in 2.2.1 holomorph von τ ∈ H ab und sind nach 2.2.3 f¨ ur jedes τ paarweise verschieden. Daher ist folgende λ -Funktion holomorph: e3 − e2 : H → C×× := C \ {0, 1}. (2) λ := e1 − e2 Satz. Die J-Funktion faktorisiert u ¨ber λ ; genauer gilt 4 (z 2 − z + 1)3 p λ . (3) J : H −→ C×× −→ C mit p(z) := 27 z 2 (z − 1)2

104

5. Die J- und λ -Funktion

Beweis. Mit e3 − e2 = (e1 − e2 )λ und e3 − e1 = (e1 − e2 ) · (λ − 1) folgt g23 − 27g32 = 16(e1 − e2 )6 λ2 (λ − 1) und g2 = 34 (e1 − e2 )2 (λ2 − λ + 1) aus den Relationen (3) und (4) in 2.2.5. Einsetzen in J = g23 /(g23 −27g32 ) gibt (3).
Um λ als Γ2 -Orbitprojektion zu erkennen, ben¨ otigen wir   5.4.3 Transformationsformeln. F¨ ur z ∈ C , τ ∈ H , A = ac db ∈ SL2 (Z) gilt     (1) ℘ z, ΩA(τ ) = (cτ + d)2 ℘ (cτ + d)z, Ωτ . Beweis. Nach 2.3.2(1) ist     ℘ z, ΩA(τ ) = (cτ + d)2 ℘ (cτ + d)z, (cτ + d)ΩA(τ ) ; und der Basiswechsel ergibt (cτ + d)ΩA(τ ) = Z(aτ + b) + Z(cτ + d) = Ωτ .




F¨ ur die Funktionen ek aus 5.4.2(1) und die ℘-Funktion zum Gitter Ωτ folgt    e1 A(τ )) = (cτ + d)2 ℘ 12 (cτ + d) ,     (2) e2 A(τ ) = (cτ + d)2 ℘ 12 (aτ + b)     e3 A(τ ) = (cτ + d)2 ℘ 12 ((a + c)τ + b + d) .  Insbesondere gilt ek A(τ )) = (cτ + d)2 ek (τ ) f¨ ur A ∈ Γ2 . Daraus erh¨ alt man die Γ2 -Invarianz der λ -Funktion : (3) λ ◦ A = λ f¨ ur A ∈ Γ2 , insbesondere λ(τ + 2) = λ(τ ) . Die λ -Funktion ist nicht Γ -invariant. Denn f¨ ur die Erzeugenden S(τ ) = −1/τ und T (τ ) = τ + 1 von Γ gilt nach (2) e1 (−1/τ ) = τ 2 e2 (τ ) , e2 (−1/τ ) = τ 2 e1 (τ ) , e3 (−1/τ ) = τ 2 e3 (τ ) , e1 (τ + 1) = e1 (τ ) , e2 (τ + 1) = e3 (τ ) , e3 (τ + 1) = e2 (τ ) . Daraus erh¨ alt man 1 λ , speziell λ(i) = , λ(1 + i) = −1 . (4) λ ◦ S = 1 − λ und λ ◦ T = λ−1 2

¨ 5.4.4 Uberlagerungssatz. Die λ -Funktion ist eine unverzweigte, univer¨ selle Uberlagerung λ : H → C×× mit der Deckgruppe Γ2 .

Beweis. Die Funktionen J und λ sind l¨ angs der Γ2 -Bahnen konstant und faktorisieren daher u ¨ber die Γ2 -Orbitprojektion η : Es gibt holomorphe Abbildungen ψ und κ mit η

ψ

η

κ

J : H −→ H/Γ2 −→ C und λ : H −→ H/Γ2 −→ C×× . Da Γ2 ⊳ Γ ein Normalteiler vom Index 6 ist, handelt es sich bei ψ um eine ¨ 6-bl¨ attrige normale Uberlagerung, siehe 4.5.3. Aus ψ ◦η = J = p◦λ = p◦κ◦η und der Surjektivit¨ at von η folgt p ◦ κ = ψ . Wegen gr p = 6 = gr ψ ist κ ein Isomorphismus.


5.5 Eigenschaften der λ-Funktion

105

5.4.5 Historisches. Wegen 5.4.4 nimmt die λ-Funktion jede komplexe Zahl = 0, = 1 als Wert an. In den Beweis geht die Surjektivit¨ at der J-Funktion entscheidend ein. Umgekehrt folgt aus der Surjektivit¨ at von λ : H → C×× sofort die Surjektivit¨ at von J = p ◦ λ : H → C und damit die L¨ osung des Jacobischen Problems. Der Name Jacobisches Problem“ erinnert an eine Vorlesung von Jacobi, die ” Borchardt w¨ ahrend seiner Studienzeit 1838 in dessen Auftrag ausarbeitete, [Ja] 1, S. 499-536. Auf S. 520 ff. wird das Problem der Surjektivit¨ at von λ formuliert, und es wird bewiesen, daß alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 Werte von λ sind. Weierstraß kn¨ upft hieran an und beweist 1883, daß alle komplexen Zahlen = 0, = 1 Werte von λ sind, siehe [Wst] 2, S. 257-309 .

5.4.6 Kleiner Satz von Picard ([Pi] 1, p. 19). Jede holomorphe Funktion f : C× → C , die zwei komplexe Zahlen als Werte ausl¨ aßt, ist konstant. Beweis. Indem wir f (z) durch af (ez ) + b ersetzen, erreichen wir f ∈ O(C) und f (C) ⊂ C×× durch passende Wahl von a ∈ C× und b ∈ C . Weil ¨ ist und C einfach zusammenλ : H → C×× eine unverzweigte Uberlagerung h¨ angt, kann man f nach dem Monodromiesatz 3.2.6 (erg¨ anzt durch 3.3.1) zur holomorphen Funktion f˜ : C → H liften, so daß f = λ ◦ f˜ ist. Wegen H ≈ E ist f˜ nach dem Liouvilleschen Satz konstant.
 besteht aus alle Auto5.4.7 Die anharmonische Gruppe Λ < Aut(C) morphismen, die {0, 1, ∞} in sich transformieren, vgl. Aufgabe 4.9.8. Sie ist zur Permutationsgruppe S3 isomorph und hat die sechs Elemente (1) z, 1 − z, 1/z, z/(z − 1), 1/(1 − z), (z − 1)/z . Satz. (a) Die rationale Funktion p aus 5.4.2(3) ist eine Λ -Orbitprojektion. ˆ mit dem Kern Γ2 , (b) Es gibt genau einen Epimorphismus Γ → Λ, A → A, ˆ so daß λ ◦ A = A ◦ λ f¨ ur A ∈ Γ gilt. (c) F¨ ur die erzeugenden Elemente S(τ ) = −1/τ und T (τ ) = 1 + τ von Γ ˆ ist S(z) = 1 − z und Tˆ(z) = z/(z − 1) . Beweis. (a) Die Gruppe Λ wird von z → 1 − z und z → 1/z erzeugt. Wegen p(1 − z) = p(z) = p(1/z) ist Λ < D(p) und wegen ♯Λ = 6 = gr p sogar Λ = D(p) .– (b) folgt nach 4.5.3 aus der Faktorisierung J = p ◦ λ mit den Deckgruppen D(λ) ⊳ D(J) .– (c) folgt aus 5.4.3(4).


Es gibt also sechs gleichberechtigte Lambda-Funktionen“ Aˆ ◦ λ mit Aˆ ∈ Λ . ” Sie unterscheiden sich von λ = (e3 − e2 )/(e1 − e2 ) durch die Permutationen der e1 , e2 , e3 .

5.5 Eigenschaften der λ-Funktion Wir geben zwei Fundamentalbereiche der Hauptkongruenzgruppe Γ2 an und setzen die λ -Funktion stetig in die Spitzen dieser Bereiche fort. Ferner berechnen wir die Fourier-Reihen der λ - und J -Funktion.

106

5. Die J- und λ -Funktion

5.5.1 Fundamentalbereiche f¨ ur Γ2 . Nach Satz 5.1.3 ist der Modulbereich D ein Fundamentalbereich der Modulgruppe Γ . Indem man aus jeder RestRepr¨ asentanten A w¨ahlt, erh¨ alt man den Funklasse von Γ mod Γ2 einen
damentalbereich F = A(D) f¨ ur Γ2 . Figur 5.5.1a zeigt F f¨ ur die sechs Repr¨ asentanten id, S, T, ST, T S, T ST . Ein alternativer Γ2 -Fundamentalbereich von einfacherer Gestalt entsteht folgendermaßen: Man zerlegt D = D+ ∪ D− wie in Figur 5.3.5 und bildet D+ und D− mit teilweise verschiedenen Repr¨asentanten ab, siehe Figur 5.5.1b. Die Bilder von D− sind punktiert.

id

T

i r

· ·

S ST

TST

-0,5

0

T -1

0,5

1

id

T -1S

1,5

id S

STS

-1

TS

T TS

S

ST

ST

0

Fig. 5.5.1 a. Ein Fundamentalbereich F f¨ ur die Hauptkongruenzgruppe Γ2 ist aus sechs Bildern A(D) des Modulbereichs D zusammengesetzt. Dabei ist A als Produkt von S und T angegeben.

-1

TST

1

Fig. 5.5.1 b. Ein alternativer Γ2 -Fundamentalbereich ist aus je sechs Bildern der halben Modulbereiche D± zusammengesetzt. F¨ ur D+ und D− werden teilweise verschiedene Transformationen benutzt.

ˆ . Weil λ die Periode 2 hat, gibt es genau eine auf 5.5.2 Die Funktion λ × ˆ mit λ(τ ) = λ(e ˆ πiτ ) . Wir vergleichen mit J(τ ) = E holomorphe Funktion λ 2πiτ ˆ J(e ) : Aus J = p ◦ λ folgt ˆ ˆ 2 ) = p ◦ λ(z) (1) J(z f¨ ur z ∈ E × .

ˆ l¨ ˆ Satz. Die Funktion λ aßt sich durch λ(0) = 0 holomorph auf ganz E fortˆ setzen. Es gilt o(λ, 0) = 1 . F¨ ur jede Folge τn im Fundamentalbereich F mit lim τn = ∞ ist lim λ(τn ) = 0 .

5.5 Eigenschaften der λ-Funktion

107

ˆ . Denn sonst Beweis. Die Stelle 0 ist keine wesentliche Singularit¨ at von λ ˆ × ) f¨  . Wegen p(C)  = w¨are λ(E u r jeden Radius 0 < r < 1 offen und dicht in C r × × ˆ  ˆ ˆ C g¨alte dasselbe f¨ ur p ◦ λ(Er ) = J(Er2 ) . Das kann nicht sein, weil J bei 0 einen einfachen Pol hat. ˆ ˆ ˆ Wegen p ◦ λ(0) = J(0) ist λ(0) ∈ p−1 (∞) = {0, 1, ∞}. Mit v(p, x) = 2 −1 ˆ 0) = 1 aus (1). ˆ f¨ ur x ∈ p (∞) und v(J, 0) = 1 folgt v(λ, Sei τn ∈ F eine Folge mit lim τn = ∞ . Dann ist lim Im τn = ∞ , also ˆ Es gilt auch x = lim exp(πiτn ) = 0 und x := lim λ(τn ) = limz→0 λ(z). lim λ(τn + 1). Wegen λ ◦ T = λ/(λ − 1) folgt x = x/(x−1) , also x = 0 .
5.5.3 Fortsetzung in die Spitzen. Der Fundamentalbereich F von Figur 5.5.1a wird durch Hinzunahme der Spitzen 0, 1, ∞ zur kompakten H¨ ulle  abgeschlossenen. F¯ ⊂ C

Satz. Die Beschr¨ ankung λ : F → C×× l¨ aßt sich durch λ(∞) := 0, λ(0) := 1  fortsetzen. und λ(1) := ∞ zu einer stetigen Abbildung λ : F¯ → C Beweis. F¨ ur jede Folge τn ∈ F mit lim τn = ∞ gilt lim λ(τn ) = 0 (Satz 5.5.2) . Nach Figur 5.5.1 a gibt es zu jeder Folge σn ∈ F mit lim σn = 0 eine Folge τn ∈ F mit lim τn = ∞ und S(τn ) = σn . Wegen λ ◦ S = 1 − λ folgt lim λ(σn ) = 1 . Entsprechend gibt es zu jeder Folge σn ∈ F mit lim σn = 1 eine Folge τn ∈ F mit lim τn = ∞ und T ◦ S(τn ) = σn , also lim λ(σn ) = ∞ wegen λ ◦ T ◦ S = (λ − 1)/λ .
Wenn man den alternativen Fundamentalbereich von Figur 5.5.1 b w¨ ahlt, hat λ dieselben Spitzenwerte bei 0, 1, ∞ und zus¨ atzlich den Wert λ(−1) = ∞ . ˆ iπτ ) heißt die Laurent5.5.4 Die Fourier-Reihe von λ . Wegen λ(τ ) = λ(e ˆ bei 0 die Fourier-Reihe von λ . Um sie zu berechnen, wird die DefiReihe von λ nition von λ u ¨ber e1 , e2 , e3 bis zur Reihenentwicklung 2.2.1(3) der ℘-Funktion zur¨ uckverfolgt. Satz. Die Fourier-Reihe der λ-Funktion hat die Gestalt ∞

ˆ (1) λ(τ ) = λ(q) = 16(q + cn q n ) mit q := eπiτ ∈ E und cn ∈ Z . n=2

Beweis. Der Ausgangspunkt ist Reihe 

1 1 ℘(w; Ωr ) − ℘(z; Ωr ) = − . (w − m − nτ )2 (z − m − nτ )2 m,n  −2 : Die Summation u ¨ ber m gibt wegen π 2 /sin2 πu = ∞ −∞ (u − m)

 ∞

1 1 − ℘(w; Ωr ) − ℘(z; Ωr ) = π 2 . sin2 (w − nτ )π sin2 (z − nτ )π n=−∞ Mit z := 21 τ und w := e1 (τ ) − e2 (τ ) e3 (τ ) − e2 (τ )

1 2

bzw. w := 12 (1 + τ ) entsteht wegen sin( 12 π + u) = cos u :

 ∞  1 1 = π2 , − 2 sin2 (n − 21 )πτ n=−∞ cos nπτ

 ∞  1 1 = π2 − . 1 2 sin2 (n − 21 )πτ n=−∞ cos (n − 2 )πτ

108

5. Die J- und λ -Funktion

Da cos2 und sin2 gerade Funktionen sind, ergibt sich:

  ∞  1 1 e1 (τ ) − e2 (τ ) = π 2 1 + 2 − , 2 sin2 (n − 12 )πτ n=1 cos nπτ 

∞  1 1 − e3 (τ ) − e2 (τ ) = 2π 2 . 1 2 sin2 (n − 12 )πτ n=1 cos (n − 2 )πτ

ur Mit q = eπiτ ist cos−2 (kπτ ) = 4q 2k/(1+q 2k )2 , sin−2 (kπτ ) = −4q 2k/(1 − q 2k )2 . F¨ k = n bzw. = n− 21 folgt

  ∞

q 1 + q 2n−1 , e1 − e2 = π 2 1 + 8 (1 + q 2n )2 (1 − q 2n−1 )2 n=1

 ∞

1 1 q 2n−1 e3 − e2 = 8π 2 + . (1 + q 2n−1 )2 (1 − q 2n−1 )2 n=1 ur |q| ≤ r < 1 konvergieren diese Reihen normal in Wegen |1/(1 ± q m )| ≥ 1 − rm f¨ E gegen dort holomorphe Funktionen. Ordnen nach Potenzen von q gibt       n n e1 − e2 = π 2 1 + 8 ∞ , e3 − e2 = 16π 2 q + ∞ mit an , bn ∈ Z . 1 an q 2 bn q Mit λ = (e3 − e2 )/(e1 − e2 ) folgt (1).




Da alle Fourier-Koeffizienten reell sind, gilt (2)

ur alle τ ∈ H und λ(τ ) ∈ R, falls Re τ ∈ Z . λ(−τ ) = λ(τ ) f¨




ˆ ˆ 2 ) = p ◦ λ(z) 5.5.5 Die Fourier-Reihe von J . Aus J(z , siehe 5.5.2(1), und der Laurent-Reihe p(z) =

∞ 

4 (z 2 − z + 1)3 4 −2  = 1 − un z n z 2 2 2 27 z (1 − z ) 27 n=1

mit un ∈ Z

folgt die Laurent-Reihe (1)

∞  

ˆ dn h n J(h) = 12−3 h−1 + n=0

mit dn ∈ Z ,

welche mit h = e2πiτ zur Fourier-Reihe von J wird.– Die ganzzahligen Koeffizienten der Fourier-Reihen von λ und J lassen zahlentheoretische Zusammenh¨ange vermuten. Diese sind in der Tat vorhanden, aber tiefliegend, siehe [Leh]. Reihenund Produktentwicklungen der Modulformen (= Gitterinvarianten von Ωτ ) g2 , g3 und ∆ = g23 − 27g32 sind leichter zug¨ anglich, siehe [Se].

5.6 Anwendungen der λ-Funktion Ergebnisse u ¨ber holomorphe Funktionen, die zwei komplexe Zahlen als Werte auslassen, werden wie der kleine Satz von Picard dadurch gewonnen, daß ¨ man den Monodromiesatz auf die Uberlagerung λ : H → C×× anwendet. Außerdem benutzen wir aus der elementaren Funktionentheorie: Schwarzsches Lemma f¨ ur E . Sei f : (E, 0) → (E, 0) holomorph. Dann ur ein gilt |f (z)| ≤ |z| und |f ′ (0)| ≤ 1 . Aus |f ′ (0)| = 1 oder |f (a)| = |a| f¨ a = 0 folgt f (z) = cz mit |c| = 1 .

5.6 Anwendungen der λ-Funktion

109

5.6.1 Schwarzsches Lemma f¨ ur H . Wenn h : E → H holomorph ist, gilt 1 − |z| f¨ ur z ∈ E . (1) Im h(z) ≥ Im h(0) 1 + |z| Beweis. Sei b := h(0) . F¨ ur den Isomorphismus q : (E, 0) → (H, b), q(w) := (b − ¯bw)/(1 − w) gilt 1 − |w| 1 − |w|2 ≥ (Im b) · . Im q(w) = (Im b) · |1 − w|2 1 + |w| Nach dem Schwarzschen Lemma f¨ ur E ist |q −1◦ h(z)| ≤ |z| . Die Behauptung −1
folgt mit w := q ◦ h(z) . 5.6.2 Konvergenz nach Ausnahmewerten. Sei fn : E → C×× eine Folge holomorpher Funktionen mit lim fn (0) = c ∈ {0, 1, ∞} . Dann konvergiert fn lokal gleichm¨ aßig nach c .  mit g(c) = 0 . Indem wir fn durch g ◦ fn Beweis. Es gibt ein g ∈ Aut(C) ersetzen, k¨onnen wir c = 0 annehmen. Zu jedem fn gibt es eine λ -Liftung hn : E → H , so daß an := hn (0) im Γ2 -Fundamentalbereich F der Figur abe es eine Teilfolge anj , 5.5.1a liegt. Dann gilt lim an = ∞ . Denn sonst g¨ atte. Weil die im Kompaktum F = F ∪ {0, 1, ∞} einen Grenzwert a = ∞ h¨ urde lim fnj (0) = λ(a) = 0 folgen, siehe 5.5.3. λ|F stetig ist, w¨ Weil die Realteile von an beschr¨ankt sind, gilt lim Im an = ∞ , also lim exp πian = 0 . Wegen 5.6.1 ist 1−r Im hn (z) ≥ (Im an ) · f¨ ur |z| ≤ r < 1 . 1+r   Somit konvergiert exp πihn (z) f¨ ur |z| ≤ r gleichm¨aßig nach 0 . Aus fn = ˆ ˆ ur |z| ≤ r gleichm¨aßig nach λ(0) =0 λ ◦ hn = λ ◦ exp(πihn ) folgt, daß fn f¨ konvergiert.
5.6.3 S¨ atze von Montel. Sei X ⊂ C ein Gebiet. Eine Folge von Funktionen fn : X → C heißt beschr¨ankt, wenn es eine Schranke M gibt, so daß ur alle n und alle z ∈ X gilt. Folgendes Ergebnis geh¨ ort zur |fn (z)| ≤ M f¨ elementaren Funktionentheorie, vgl. [Re 2] , 7.1.1. Kleiner Satz von Montel ([Mo 1], p. 300, 1907). Jede beschr¨ ankte Folge holomorpher Funktionen X → C besitzt eine Teilfolge, die lokal gleichm¨ aßig gegen eine holomorphe Funktion X → C konvergiert. Montel selbst hat diesen Satz auf Riemannsche Fl¨ achen u ¨bertragen und die Voraussetzung der Beschr¨anktheit dahin abgeschw¨ acht, daß alle Funktionen der Folge dieselben zwei komplexen Zahlen nicht als Werte annehmen: Großer Satz von Montel ([Mo 2], p. 497, 1912). Jede Folge holomorpher angenden Riemannschen Abbildungen fn : X → C×× einer zusammenh¨ Fl¨ ache X besitzt eine Teilfolge, die lokal gleichm¨ aßig gegen eine holomor konvergiert. Wenn f einen Wert 0, 1 oder ∞ phe Abbildung f : X → C annimmt, ist f konstant.

110

5. Die J- und λ -Funktion

Beweis. Es gen¨ ugt, den Satz f¨ ur X = E zu beweisen. Denn X kann durch abz¨ahlbar viele Scheiben Uk u ¨berdeckt werden, siehe 3.5.3(2). Wenn der Satz f¨ ur E gilt, gibt es zu jedem k und zu jeder Folge holomorpher Funktionen X → C×× eine Teilfolge, die auf Uk gegen eine holomorphe Funktion Uk → C×× oder eine Konstante 0, 1, ∞ kompakt konvergiert. Durch das Cantorsche Diagonalverfahren erh¨ alt man eine Teilfolge, die auf allen Uk und damit auf ganz X lokal gleichm¨ aßig konvergiert. Um den Satz f¨ ur X = E zu beweisen, w¨ahlt man zu jedem fn eine λ -Liftung hn : E → H so daß hn (0) im Γ2 -Fundamentalbereich F liegt. Wegen H ≈ E kann man den kleinen Satz von Montel anwenden: Durch ¨ Ubergang zu einer Teilfolge erreicht man, daß hn lokal gleichm¨ aßig gegen  konvergiert. Wenn h(E) ⊂ H ist, eine holomorphe Abbildung h : E → C folgt die lokal gleichm¨ aßige Konvergenz der Teilfolge fn = λ ◦ hn gegen die holomorphe Funktion λ ◦ h : E → C×× .– Sei nun h(E) ⊂ H. Dann ist h  und enthalten in H ∪ R ∪ {∞}, konstant. Denn sonst w¨ are h(E) offen in C also h(E) ⊂ H. Der konstante Wert s von h liegt in R ∪ {∞}. Wegen hn (0) ∈ F ist s = lim hn (0) eine Spitze von F . Da sich λ|F stetig in die Spitzen fortsetzen l¨ aßt (5.5.3), ist lim fn (0) = λ(s) ∈ {0, 1, ∞}. Nach 5.6.2 konvergiert dann fn lokal gleichm¨ aßig nach λ(s) .
5.6.4 Großer Satz von Picard ([Pi] 1, p. 27, 1879). Sei (U, a) eine Scheibe. Wenn die Funktion f ∈ O(U \ {a}) in a eine wesentliche Singularit¨ at hat, nimmt sie jede komplexe Zahl, mit h¨ ochstens einer Ausnahme, unendlich oft als Wert an. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen: ankt. Ist f : E× → C×× holomorph, so ist f oder 1/f bei 0 beschr¨ ur z ∈ E× . Nach dem großen Satz Wir bilden die Folge fn (z) = f (z/n) f¨ von Montel gibt es eine kompakt konvergente Teilfolge (fnk ), deren Limes angs holomorph oder konstant = ∞ ist. Im ersten Fall ist die Folge fnk l¨ der Kreislinie |z| = 12 beschr¨ankt: Es gibt ein M > 0 mit |f (z/nk )| ≤ M ur |z| = (2nk )−1 . Nach dem f¨ ur |z| = 21 und alle k , also |f (z)| ≤ M f¨ −1 Maximumprinzip folgt |f (z)| ≤ M f¨ ur (2nk ) ≤ |z| ≤ (2n1 )−1 und alle k . Wegen lim nk = ∞ ist f bei 0 beschr¨ankt.– Im zweiten Fall limfnk = ∞ ist die Folge 1/fnk l¨ angs |z| = 12 beschr¨ankt, und es folgt analog, daß 1/f bei 0 beschr¨ankt ist.
5.6.5 Der Landausche Radius. Die Funktion l : H → R , l(τ ) := 2|λ′ (τ )| · Im τ  ist Γ2 -invariant. Denn wenn A ∈ Γ2 durch A = ac db ∈ SL2 (Z) bestimmt ist, gilt λ ◦ A = λ, A′ (τ ) = (cτ + d)−2 und ImA(τ ) = Imτ /|cτ + d|2 .– Daher gibt es genau eine Funktion L : C×× → R mit l = L ◦ λ , die wie l reell-analytisch und u ¨ berall > 0 ist. Man nennt L(a) den Landauschen Radius an der Stelle a ∈ C×× .

5.6 Anwendungen der λ-Funktion

111

Satz (Landau-Carath´ eodory). F¨ ur jede holomorphe Funktion f : E → C ×× gilt ′ |f (0)| ≤ L(f (0)) . Beweis. Man w¨ ahlt eine λ-Liftung g : E → H von f . Sei b := g(0) und h : H → E , h(τ ) = (τ − b)/(τ − ¯b). Nach dem Schwarzschen Lemma ist |(h ◦ g)′ (0)| ≤ 1 . Daraus folgt die Behauptung.
ur eine Drehung h ◦ g m¨ oglich ist, gilt Da |(h ◦ g)′ (0)| = 1 nur f¨ (1) |f ′ (0)| = L(f (0)) ⇔ f (z) = λ ◦ β −1 (cz) mit |c| = 1 . Wenn man die Definition von L durch die Werte L(0) = L(1) = −1 erg¨ anzt, kann man den Satz auch so aussprechen: (2) Jede holomorphe Funktion f : {z ∈ C : |z − a| < r} → C nimmt den Wert 0
oder 1 an, sobald r|f ′ (a)| > L(f (a)) ist. Der Kleine Satz von Picard folgt aus (2): Wenn die nicht-konstante ganze Funktion g den Wert c ausl¨ aßt und w = c ist, wendet man (2) auf f := (g −c)/(w −c) an: An einer Stelle a ist f ′ (a) = 0 . Da r beliebig groß ist, nimmt f den Wert 1 an.
Landau [Land] 2, S. 130 ff., hat 1904 die Existenz der Funktion L(z) als uner” wartete Tatsache“ dem Picardschen Satz hinzugef¨ ugt“ ; er hat lange mit der ” ” Publikation gez¨ ogert, da der Beweis richtig, aber der Satz zu unwahrscheinlich schien“ [Land] 4, S. 375, siehe auch [LG], S. 102. Der genaue Wert des Landauschen Radius wurde 1905 von Carath´eodory angegeben, siehe [Cy 2] 3, S. 6-9.

5.6.6 Der 1/16-Satz (Hurwitz-Carath´ eodory). Wenn die Potenzreihe f (z) = z + a2 z 2 + . . . auf E konvergiert und keine Nullstellen in E× hat, gilt E1/16 ⊂ f (E) . Der Radius 1/16 ist scharf : Ein Punkt a ∈ f (E) mit |a| = 1/16 ˆ existiert genau dann, wenn f (z) = λ(cz) mit |c| = 1 gilt. ˆ ˆ Beweis. F¨ ur ε(τ ) = exp(πiτ ) gilt λ = λ ◦ ε und λ(q) = 16q + . . . , siehe 5.5.2 und 5.5.4. Sei a ∈ f (E) . F¨ ur g := a−1 f gilt g(E× ) ⊂ C×× . Daher besitzt g ◦ ε : H → C×× eine λ-Liftung g˜ : H → H . ˆ . Sei s > 0 so F¨ ur kleine r > 0 gibt es eine Umkehrfunktion h : Er → E zu λ klein, daß g(Es ) ⊂ Er . Sei t > 0 so groß, daß ε(Ht ) ⊂ Es f¨ ur Ht := {τ : Im τ > t} . ˆ ◦ ε ◦ g˜ = g ◦ ε . Wenn man auf Ht einschr¨ Es gilt λ ankt, kann man h nachschalten. Es folgt ε ◦ g˜ = h ◦ g ◦ ε . Somit hat ε ◦ g˜|Ht die Periode 2 . Das gilt dann auf ganz H , und es gibt eine Faktorisierung v ◦ ε = ε ◦ g˜ mit einer holomorphen Funktion v : E× → E× . Wegen der Eindeutigkeit ist v = h ◦ g auf E× s . Man kann also v ˆ ergibt durch v(0) = 0 zu v : E → E holomorph fortsetzen. Nachschalten von λ ˆ ◦ v = g zun¨ λ achst auf Es und dann auf ganz E . Daraus folgt a−1 = g ′ (0) = ˆ ′ (0) · v ′ (0) = 16 v ′ (0) . Nach dem Schwarzschen Lemma ist |v ′ (0)| ≤ 1 , so daß λ |a| ≥ 1/16 folgt. Gleichheit besteht genau dann, wenn v eine Drehung um 0 ist, ˆ also g(z) = λ(cz) mit |c| = 1 gilt.
Der Satz wurde 1904 von Hurwitz, [Hur] 1, S. 602, Satz IV, mit der Schranke 1/58 statt 1/16 bewiesen. Carath´eodory zeigte 1907, [Cy 2] 3, S. 6-9, daß 1/16 die bestm¨ ogliche Schranke ist. Landau – mit seiner Liebe f¨ ur Weltkonstanten – bedauerte 1929 in [Land] 9, S. 78, daß er nicht die Carath´eodorysche Konstante ” C“ einf¨ uhren konnte, da Herr Carath´eodory festgestellt hat, daß sie schon einen ” anderen Namen, n¨ amlich 1/16 , hatte“.– Wenn man die Voraussetzung keine Null” arft , kann man 1/16 zu 1/4 verbessern stelle in E× “ zu f |E ist injektiv“ versch¨ ” (Koebes 1/4-Theorem), siehe [Ah 3], S. 29 und 85. Die Ergebnisse dieses Paragraphen lassen sich auch ohne die λ-Funktion u ¨ber den Satz von Bloch gewinnen, siehe z.B. [Re 2], Kap. 10.

112

5. Die J- und λ -Funktion

5.7 Modulfl¨ achen Analog zur Hauptkongruenzgruppe Γ2 werden allgemeiner Kongruenzgrupur alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ 2 betrachtet. Wie H/Γ2 ≈ C×× pen Γn f¨ lassen sich die Orbitfl¨ achen H/Γn durch endlich viele Punkte kompaktifizieren. Dadurch erh¨ alt man die von F. Klein erfundenen Modulfl¨ achen n-ter Stufe. Sie bilden den Ausgangspunkt der Theorie der Modulformen. 5.7.1 Kongruenzgruppen und Modulgruppen. Alle M¨ obius -Transformationen       az + b a b 1 0 a b ∈ SL2 (Z) und mit mod n ≡ z → c d 0 1 c d cz + d bilden einen Normalteiler Γn ⊳ Γ von endlichem Index. Er heißt Kongruenzgruppe n-ter Stufe. Satz 5.4.1 und sein Beweis lassen sich von 2 auf alle n ≥ 2 u ¨bertragen: (1) Die Γn -Orbitprojektion λn : H → Xn∗ := H/Γn ist eine unverzweigte ¨ holomorphe Uberlagerung.
Die endliche Faktorgruppe Gn := Γ/Γn heißt Modulgruppe n-ter Stufe. Die Restklasse von A ∈ Γ wird mit An ∈ Gn bezeichnet. Die in 5.1.1(1) angegebenen Elemente R, S, T ∈ Γ haben die Ordnungen 3, 2, ∞ und erf¨ ullen R · S = T . Nach 5.1.4 wird Γ von R und S erzeugt. Es folgt:

(2) Die Ordnungen von Rn , Sn und Tn in Gn sind 3, 2 bzw. n. Es gilt Rn · Sn = Tn . Die Gruppe Gn wird von Rn und Sn erzeugt.
Im allgemeinen sind Rn3 = Sn2 = Tnn = Rn · Sn · Tn−1 = 1 nicht die einzigen Relationen, siehe Aufgabe 5.8.7. ¨ 5.7.2 Modul-Uberlagerungen. Die Γ -Orbitprojektion J : H → C faktorisiert u ¨ber λn , ∗ ηn λn Xn∗ −→ C. (1) J : H −→ ¨ mit der Deckgruppe Gn , Dabei ist ηn∗ eine endliche normale Uberlagerung siehe 4.5.3. F¨ ur n = 2 handelt es sich um die Faktorisierung J = p ◦ λ von 5.4.2(3). Analog zu Satz 5.4.7(b) gilt ur A ∈ Γ . (2) An ◦ λn = λn ◦ A f¨ ∗  fortsetzen, die ¨ Nach 4.6.5 l¨ aßt sich ηn zu einer Uberlagerung ηn : Xn → C uberlabis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt ηn die Modul¨ gerung und Xn die Modulfl¨ ache n-ter Stufe. Wegen der zweiten Folgerung in 4.6.4 ist ηn normal und hat dieselbe endliche Deckgruppe Gn wie ηn∗ . Daher ist Xn kompakt.  ist u Satz. Die Modul¨ uberlagerung ηn : Xn → C ¨ber 0, 1 und ∞ mit den Windungszahlen 3, 2 bzw. n verzweigt und außerhalb dieser Stellen unverzweigt.

5.7 Modulfl¨ achen

113

¨ber 0, 1 verzweigt ist und dort die WindungsBeweis. Da ηn∗ wie J nur u zahlen 3 bzw. 2 hat, gen¨ ugt es, die Windungszahl von ηn u ¨ber ∞ zu bestimmen. Wir beginnen mit der Berechnung des Poincar´eschen Epimorphismus P : π(C×× , 21 ) → Γ der J-Funktion anhand von Figur 5.7.2: ¬v 1

·a

r

r2 ¬

v0

·

2

R (a)

° 0

Re ¬

u0

´

· 1_ 2

1 ¬

·

S(a) i

u1

0 Fig. 5.7.2. Zwei einfache Schleifen u0 , u1 (rechtes Bild) und ihre J-Liftungen v0 , v1 (linkes Bild) bestimmen den Poincar´eschen Epimorphismus der J-Funktion.

Auf dem unteren Rand des Modulbereichs D gibt es zwischen i und ρ genau einen Punkt a mit J(a) = 21 . Wir verbinden ihn mit R2 (a) und S(a) durch zwei Wege v0 bzw. v1 , die im linken Bild der Figur 5.7.2 angegeben sind. Nach 5.3.5 werden die punktierten bzw. weißen Dreiecke des linken Bildes durch J auf die obere bzw. untere Halbebene biholomorph abgebildet. Daher ist der Bildweg J ◦ vj zur einfachen j-Schleife uj homotop, j = 0, 1 , siehe das rechte Bild. Gem¨aß der Definition des Poincar´eschen Epimorphismus folgt P [u0 ] = R2 und P [u1 ] = S . Die Modul¨ uberlagerung hat denselben Poincar´eschen Epimorphismus Pn amlich P gefolgt von dem Restklassen-Epimorphismus Γ → Gn , wie ηn∗ , n¨ also Pn [u0 ] = Rn2 und Pn [u1 ] = Sn . Die Produktschleife u0 u1 ist zum Inversen einer einfachen ∞-Schleife u∞ homotop. Daraus folgt Pn [u∞ ] = Tn . Dieses Element erzeugt nach 4.7.2 die Standgruppe eines Punktes in ηn−1 (∞) . Seine Ordnung n ist nach Satz 1.5.4 die Windungszahl von ηn u ¨ber ∞ .
¨ 5.7.3 Modul-Uberlagerungen der Stufen 2 bis 6. F¨ ur n = 2, 3, 4, 5 ist →C  der anharmonidie Modul¨ uberlagerung ηn zur Orbitprojektion ϕn : C schen Gruppe, der Tetraeder-, Oktaeder- bzw. Ikosaedergruppe isomorph. Die achengruppe F6 (Ω) , und X6 ist ein universelle Liftung von G6 ist die Fl¨ hexagonaler Torus. →C  ist universell, siehe 4.8.3(a). Sie hat Beweis. Die Orbitprojektion ϕn : C nach der Tabelle in 4.2.3 dieselbe Verzweigungssignatur wie ηn und domi¨ γ mit ϕn = ηn ◦ γ . niert daher ηn : Es gibt eine unverzweigte Uberlagerung  Da alle Automorphismen von C Fixpunkte haben, ist D(γ) = {id} . Die normale Abbildung γ ist somit ein Isomorphismus.

114

5. Die J- und λ -Funktion

 von F6 (Ω) , siehe die Tabelle Die Orbitprojektion ϕ6 = ℘3 : C → C in 2.6.2, hat dieselbe Verzweigungssignatur wie η6 . Da ϕ6 universell ist, ¨ gibt es eine unverzweigte Uberlagerung γ : C → X6 mit ϕ6 = η6 ◦ γ . Die Deckgruppe D(γ) < Ω ist eine Untergruppe. Da die 60◦ -Drehung z → ρ z ur jeden zu F6 (Ω) geh¨ort und D(γ) ein Normalteiler ist, gilt ρ a ∈ D(γ) f¨ Vektor a ∈ D(γ) . Daher ist D(γ) ein hexagonales Gitter.
5.7.4 Die Ordnung der Modulgruppe Gn ist n3  (1 − p−2 ) , n ≥ 3 . (1) 2 p|n

Dabei l¨ auft das Produkt u ¨ber alle Primfaktoren p von n. F¨ ur Primzahlen n vereinfacht sich (1) zu (1∗ ) ♯Gn = 12 n(n2 − 1). Diese Ordnung wird ben¨ otigt, um die Charakteristiken und Geschlechter der Modulfl¨ achen Xn zu berechnen, siehe 7.1.5. ¨ Uber seine Lieblingsfl¨ache X7 mit ihren 168 Automorphismen der Gruppe G7 ver¨ offentlichte Klein 1878 die Abhandlung [Klei 1] III, S. 90-136; siehe auch seinen 40 Jahre sp¨ ater verfaßten Bericht in [Klei 5], S. 368 - 373. Wir werden diese Kleinsche Fl¨ ache mehrfach als Beispiel heranziehen, siehe 6.4.4.

Zum Beweis von (1) zeigt man, daß der durch Reduktion modulo n bestimmte Gruppenhomomorphismus SL2 (Z) → SL2 (Z/nZ) surjektiv ist. Daher induziert der Isomorphismus SL2 (Z)/{±E} ∼ = Γ den Isomorphismus ∼ Γ/Γn = Gn . SL2 (Z/nZ)/{±E} = uhren beides f¨ ur eine Man z¨ ahlt sodann die Elemente von SL2 (Z/nZ). Wir f¨ Primzahl n aus (Dann ist Z/nZ ein K¨ orper) und verweisen f¨ ur den allgemeinen Fall auf [Hus], p. 210 f .  ¯ Sei x ¯ ∈ Z/nZ die Restklasse von x ∈ Z. Zur Surjektivit¨ at: Sei A¯ = ac¯¯ db¯ ∈ SL2 (Z/nZ) gegeben. Wegen ad − bc ≡ 1(n) sind c, d und n teilerfremd. Seien etwa c und n teilerfremd. Dann gilt 1 = rc + sn mit r, s ∈ Z . Wir multiplizieren mit 1−d und erhalten 1 = (1−d)rc+d+kn mit k := (1−d)s . Daher sind c und d + kn teilerfremd.– Wir ersetzen d durch d + kn . Die Zahl (1 − ad + bc)/n ist ganz. Da c und d teilerfremd sind, gilt ud − vc =  b+nv ∈ SL2 (Z). (1− ad + bc)/n mit u, v ∈ Z . Dann ist A = a+nu c d a¯ ¯b Um die Elemente c¯ d¯ ∈ SL2 (Z/nZ) zu z¨ ahlen, betrachten wir zun¨ achst oglichkeiten f¨ ur a ¯ und n c¯ = 0. Dann ist d¯ = a ¯ −1 . Es gibt n − 1 M¨ a d¯ − 1). Es gibt je n M¨ oglichkeiten f¨ ur ¯b. F¨ ur c¯ = 0 ist ¯b = c¯ −1 (¯ oglichkeiten f¨ ur c¯ . Diese n2 (n − 1) M¨ oglichkeiten f¨ ur a, d und n − 1 M¨ Elemente von SL2 (Z/nZ) f¨ ur c¯ = 0 zusammen mit den n(n − 1) Elementen f¨ ur c¯ = 0 ergeben ♯SL2 (Z/nZ) = n(n2 − 1).


5.8 Aufgaben

115

5.7.5 Modulformen. Historisches und Ausblick. Jede meromorphe Funk-

tion h auf Xn wird durch λn : H → Xn∗ ⊂ Xn zur Funktion f = h ◦ λn auf H zur¨ uckgeholt. Diese meromorphen Funktionen f heißen Modulfunktionen n-ter ahnen, allein durch ihre Γn -Invarianz Stufe. Sie lassen sich, ohne Xn und λn zu erw¨
f¨ und die Existenz der Grenzwerte lim f ◦ A(τ ) in C ur Im τ → ∞ und alle A ∈ Γ charakterisieren, siehe Aufgabe 5.8.9. Die J -Funktion ist eine Modulfunktion erster und die λ -Funktion eine zweiter Stufe. uckholen In analoger Weise lassen sich die Differentialformen auf Xn nach H zur¨ und ergeben dort die Modulformen n-ter Stufe. Die Halbperiodenwerte ek , die Gitter-Invarianten g2 , g3 und ∆ = g23 − 27g32 , aufgefaßt als Funktionen von τ ∈ H , sind Beispiele von Modulformen zweiter Stufe, siehe dazu die Aufgaben 7.9.13-14.– Eine elementare Einf¨ uhrung in die Theorie der Modulformen ohne Benutzung Riemannscher Fl¨ achen enth¨ alt [FB], Kap.V-VI. Die erste umfassende Darstellung der Theorie sind F. Kleins Vorlesungen u ¨ber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (1890), die von R. Fricke ausgearbeitet und vervollst¨ andigt wurden, siehe [Klei 3]. In der Vorrede dieses Buches bezeichnet Fricke die Theorie als wissenschaftliche Sch¨opfung seines Lehrers F. Klein. H. Poincar´e verallgemeinerte ab 1881 die Theorie der Modulformen zur Theorie automorpher Formen, indem er beliebige diskontinuierliche Untergruppen von Aut(H) betrachtete. Wenn diese Gruppen wie Γ und Γn arithmetisch definiert sind, f¨ uhren die automorphen Formen auf interessante zahlentheoretische Ergebnisse. Ihre Erforschung h¨ alt an. Zu den teils einf¨ uhrenden, teils ausf¨ uhrlichen Lehrb¨ uchern aus ¨ alterer und neuerer Zeit mit verschiedenen Schwerpunkten geh¨ oren [Bor], [Ford], [Gu 1], [Hus], [Ka], [Kob], [KK], [Miy], [Mu 3], [Se] und [Shi].

5.8 Aufgaben 1)

Zeige: Keine Untergruppe von SL2 (Z) wird bei der Projektion: SL2 (Z) → Γ isomorph auf die Modulgruppe Γ abgebildet.

2)

Zeige: Die Parkettierung von H durch die Γ -Bilder des Modulbereichs D (Figur 5.1.6) ist lokal endlich: Zu jedem Punkt τ ∈ H gibt es eine Umgebung U , so daß {A ∈ Γ : U ∩ A(D) = ∅} endlich ist. Wenn man U klein genug w¨ ahlt, folgt aus U ∩ A(D) = ∅ bereits τ ∈ A(D). Bestimme f¨ ur jedes τ die Anzahl ♯{A ∈ Γ : τ ∈ A(D)}.

3)

Sei Q(x, y) := Ax2 + 2Bxy + Cy 2 eine reduzierte Form, siehe 5.2.5. Zeige: (i)A bzw.√B ist das Minimum von Q auf (Z \ {0}) × Z bzw. Z × Z \ {(0, 0)} . (ii) C = 2 ∆/3 ⇐⇒ Q(x, y) = C(x2 ± xy + y 2 ) .

4)

Zeige: Eine holomorphe Funktion f : H → C ist genau dann eine Orbitprojektion der Modulgruppe, wenn X = C und f = aJ + b mit zwei komplexen Zahlen a = 0 und b gilt.

5)


geh¨ Zu jedem Quadrupel (e1 , e2 , e3 , e4 ) von Punkten ej ∈ C ort das Doppelverh¨ altnis e3 − e2 e3 − e4
, : ∈C DV (e1 , e2 , e3 , e4 ) := e1 − e2 e1 − e4 falls mindestens drei der vier Punkte paarweise verschieden sind. Zeige:

116

5. Die J- und λ -Funktion (i) F¨ ur jede M¨ obius-Transformation A gilt DV (A(e1 ), A(e2 ), A(e3 ), A(e4 )) = DV (e1 , e2 , e3 , e4 ) .
ist (ii) Zu drei paarweise verschiedenen Punkten a, b, c ∈ C

C → C , z → DV (a, b, c, z) ,

diejenige M¨ obius-Transformation, f¨ ur welche a → 0, b → 1, c → ∞ gilt. ¨ndert sich (iii) Bei jeder Doppeltransposition der vier Punkte e1 , e2 , e3 , e4 a das Doppelververh¨ altnis nicht. alt man (iv) Sei DV (e1 , e2 , e3 , e4 ) = z. Wenn man e1 , e2 , e3 , e4 permutiert, erh¨ als Doppelverh¨ altnisse die Werte g(z) f¨ ur alle g ∈ Λ = anharmonische Gruppe. Hinweis zu (iv): Es gen¨ ugt den Spezialfall e4 = ∞ ist Fixpunkt der Permu” tation“ zu betrachten. Von anharmonic ratio = Doppelverh¨ altnis haben wir den Namen anharmonische Gruppe abgeleitet. 6)

Sei Ω ein hexagonales Gitter. Man gebe ein Untergitter Ω ′ < Ω so an, achengruppe F6 (Ω) ist und die induzierte daß Ω ′ ein Normalteiler der Fl¨ Operation der Faktorgruppe F6 (Ω)/Ω ′ auf dem Torus C/Ω ′ zur Operation der Modulgruppe G6 auf der Modulfl¨ ache X6 isomorph ist.– Siehe auch [Klei 3] I, S. 363 ff.

7)

Sei F die von zwei Elementen r, s frei erzeugte Gruppe. Definiere h : F → Gn (Modulgruppe) durch h(r) := Rn , h(s) := Sn (n ≥ 2, Bezeichnungen wie in 5.7.1). Zeige mit Hilfe des Poincar´eschen Epimorphismus der Modul¨ uberlagerung ηn : Der von r 3 , s2 und (rs)n erzeugte Normalteiler N ⊳ F liegt im Kern von h . Genau dann, wenn die Modulfl¨ ache Xn einfach zusammenh¨ angt, ist N = Kern h . Das ist f¨ ur n ≤ 5 der Fall. F¨ ur n ≥ 6 hat N ⊳ Kern h unendlichen Index. Benutze f¨ ur n ≥ 7 , daß Xn durch H universell und unverzweigt u ¨berlagert wird (Beispiel in 11.6.1).

8)

¨ Verallgemeinere im Anschluß an 5.7.2 die Uberlegung aus 5.5.2 von 2 auf ˆn : beliebiges n ≥ 2 und zeige: Es gibt genau eine holomorphe Abbildung λ × ∗ × n ˆ ˆ ˆ E → Xn mit λn (τ ) = λn ◦ exp(2πiτ /n) . F¨ ur z ∈ E gilt J(z ) = ηn ◦ λn (z) . ˆ n : E → Xn mit ηn λ ˆ n (0) = ∞ und Es gibt eine holomorphe Fortsetzung λ ˆ ˆ v(λn , 0) = 1. Die Stelle λn (0) ist Fixpunkt von Tn .

9)

(i) Sei g auf E× holomorph. Zeige: Genau dann, wenn f¨ ur Im τ → ∞ der
existiert, l¨ Grenzwert c := lim g ◦ exp(2πit) in C aßt sich g mit dem Wert g(0) := c meromorph auf ganz E fortsetzen. (ii) Sei f auf H meromorph und Γn -invariant, also f = h ◦ λn mit einer auf ur Im τ → ∞ Xn∗ meromorphen Funktion h . Zeige: Genau dann, wenn f¨
existiert, l¨ der Grenzwert c := lim f (τ ) in C aßt sich h mit dem Wert ˆ n (0) fortsetzen. h(x) := c meromorph nach x := λ (iii) Folgere: Genau dann, wenn f¨ ur alle A ∈ Γ und f¨ ur Im τ → ∞ der Grenz
existiert, l¨ wert lim f ◦ A(τ ) in C aßt sich h auf ganz Xn meromorph fortsetzen.

6. Algebraische Funktionen

Im Zentrum dieses Kapitels steht die Aufgabe, alle L¨osungen einer polynomialen Gleichung P (z, w) = 0 mit komplexen Koeffizienten durch analytische Funktionen w = f (z) zu einer algebraischen Funktion zusammenzufassen. Im Bericht [BN 2] von Brill und Noether aus dem Jahre 1894 heißt es dazu: Um f¨ ur die Functionszweige einer algebraischen Function einen geome” trischen Ort zu beschreiben, in welchem sie eindeutig verl¨ auft, wird eine u ¨ber der imagin¨ aren Ebene n-bl¨ attrig ausgebreiteten Riemannschen Fl¨ ache ben¨ otigt“. Wie selbstverst¨andlich erstreckt bereits Riemann die Ausbreitung  und l¨ auch u ¨ber den unendlich fernen Punkt der Zahlenkugel C aßt zu, daß Polstellen auftreten. Durch eine sorgf¨ altige Betrachtung von Windungspunkten ber¨ ucksichtigt er die M¨ oglichkeit, daß das Polynom P (z, w) f¨ ur gewisse Stellen z mehrfache Wurzeln besitzt. In 1.2.4 wurde ausgef¨ uhrt, wie man Riemanns Idee durch die Konstruktion eines Nullstellengebildes (X, η, f ) verwirklicht, solange weder Polstellen noch mehrfache Wurzeln auftreten. Mit den Resultaten aus 4.6 wird die Konstruktion des Gebildes (X, η, f ) nunmehr auf den allgemeinen Fall ausgedehnt. Zum vollst¨ andigen Verst¨ andnis von (X, η, f ) muß man gleichzeitig  ֒→ M(X) , d.h. die Erweiterung des K¨ orpers die Liftung η ∗ : C(z) = M(C) der rationalen Funktionen zum Ring der meromorphen Funktionen auf X studieren. Denn das gegebene Polynom P erweist sich als Minimalpolynom von f ∈ M(X) u ¨ber C(z) . Ohne Mehraufwand entwickeln wir im folgenden die Theorie f¨ ur beliebige  und Polynome P ∈ M(Y )[w] . zusammenh¨angende Fl¨ achen Y statt C

¨ 6.1 Funktionen auf endlichen Uberlagerungen ¨ Sei η : X → Y eine n-bl¨ attrige Uberlagerung zwischen Riemannschen Fl¨ achen, wobei Y zusammenh¨angt und n < ∞ ist. Wir studieren die algebraischen Eigenschaften der Einbettung M(Y ) ֒→ M(X), g → g ◦ η , des K¨ orpers M(Y ) in den Ring M(X) . Wir schreiben kurz g statt g ◦ η . 6.1.1 Fortsetzung von Wurzeln. Sei b ∈ Y und c1 , ... , cm ∈ O(Y \{b}) . ur jedes y ∈ Y \{b} l¨ angs der Faser Die Funktion f ∈ O(X \η −1 (b)) nehme f¨

118

6. Algebraische Funktionen

η −1 (y) genau die Wurzeln des Polynoms w m +c1 (y)wm−1 +...+cm (y) ∈ C[w] als Werte an. Sie l¨ aßt sich genau dann meromorph [holomorph] nach η −1 (b) fortsetzen, wenn sich jeder Koeffizient cj meromorph [holomorph] nach b fortsetzen l¨ aßt. Beweis. Genau dann, wenn es eine bei b holomorphe Funktion v gibt, so aßt sich f nach η −1(b) meromorph daß h := vf um η −1 (b) beschr¨ankt ist, l¨ fortsetzen. Denn wenn sich f fortsetzen l¨aßt, erreicht man o(vf, x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ η −1 (b) mit jeder Funktion v , deren Ordnung o(v, b) hinreichend groß ist. Wegen hm + c1 vhm−1 + ... + cm v m = 0 ist h nach 1.2.2 genau dann um η −1 (b) beschr¨ankt, wenn alle v j cj um b beschr¨ankt sind, d.h. wenn jedes cj meromorph nach b fortgesetzt werden kann. Eine durch v = 1 vereinfachte Version dieser Argumentation beweist den holomorphen Fall.
6.1.2 Charakteristisches Polynom. Sei f eine meromorphe Funktion auf X . Das η-Bild B ihrer Polstellenmenge ist lokal endlich in Y . Riemann bewies in [Ri 3], Artikel 5, folgenden Satz. Es gibt genau ein Polynom (1) χ(y, w) = w n − s1 (y)wn−1 + . . . + (−1)n sn (y) ∈ M(Y )[w] , so daß f¨ ur jede Stelle y ∈ Y \ B gilt:  [w − f (x)]v(η,x) . (2) χ(y, w) = x∈η −1 (y)

Man nennt χ das charakteristische Polynom von f bez¨ uglich η .

Beweis. Durch (2) sind die Werte sj (y) ∈ C f¨ ur y ∈ Y \ B eindeutig bestimmt. Zum Nachweis, daß sj auf Y meromorph ist, vergr¨ oßern wir B zur weiterhin lokal endlichen Menge E ⊂ Y , indem wir die Verzweigungspunkte von η hinzuf¨ ugen. Jeder Punkt in Y \ E besitzt eine Umgebung V , so daß η −1 (V ) = ⊎ Uν die disjunkte Vereinigung von n offenen Mengen Uν ist, welche durch η biholomorph auf V abgebildet werden. Sei σν := (η|Uν )−1 : V → Uν . Die durch (2) eindeutig bestimmten Funktionen sj : Y \ E → C sind nach Einschr¨ ankung auf V die elementarsymmetrischen Funktionen s1 |V = f ◦ σ1 + . . . + f ◦ σn , . . . , sn |V = (f ◦ σ1 ) · . . . · (f ◦ σn ) . Daher sind sie holomorph und lassen sich gem¨ aß 6.1.1 meromorph nach E fortsetzen. Die Gleichung (2) gilt zun¨ achst f¨ ur y ∈ Y \ E . Durch stetige Fortsetzung bleibt sie auch f¨ ur y ∈ E \ B richtig. Denn sei Q(y, w) die rechte Seite von (2). Es gen¨ ugt, ur b ∈ E \ B (∗) limy→b Q(y, w) = Q(b, w) f¨ zu zeigen: Wir w¨ ahlen eine elementar u ¨berlagerte Scheibe V um b . F¨ ur jede Komponente U von η −1 (V ) ist die Beschr¨ankung η : (U, a) → (V, b) eine Windungsabbildung. Sei m := v(η, a) . F¨ ur y ∈ V \ {b} sei η −1 (y) ∩ U = {x1 (y), . . . , xm (y)} . Sei QU (y, w) := [w − f (x1 (y))] · . . . · [w − f (xm (y))] . Wegen limy→b xj (y) = a ist limy→b QU (y, w) = [w − f (a)]m . Weil Q(y, w) das Produkt der QU (y, w) f¨ ur alle Komponenten U ist, folgt (∗) .


¨ 6.1 Funktionen auf endlichen Uberlagerungen

119

Bei der Liftung η ∗ : M(Y ) ֒→ M(X) geht jedes Polynom P (y, w) ∈ M(Y )[w] in das Polynom P (η, w) ∈ M(X)[w] u ¨ber. Folgerungen: χ(η, f ) = 0 .– Wenn η normal ist, gilt  (w − f ◦ α) .
χ(η, w) = α∈D(η)

6.1.3 Algebraische Abh¨ angigkeit. Auf jeder kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X sind je zwei meromorphe Funktionen f, g algebraisch abh¨ angig: Es gibt ein irreduzibles Polynom P (z, w) ∈ C[z, w] mit P (g, f ) = 0 .  endlich, Beweis. Das ist trivial, wenn g konstant ist. Sonst ist g : X → C und f¨ ur das charakteristische Polynom χ(z, w) ∈ C(z)[w] von f bez¨ uglich g gilt χ(g, f ) = 0 . Alle Koeffizienten von χ sind Quotienten von Polynomen in C[z] . Die Multiplikation mit dem Hauptnenner gibt ein Polynom G(z, w) ∈ C [z, w] mit G(g, f ) = 0 . Es gibt einen irreduziblen Faktor P von G mit P (g, f ) = 0 .
6.1.4 Reduzierte Polynome. Diskriminanten. Wenn q = pn1 1 · . . . · pnr r die Primfaktorzerlegung einer Nichteinheit in einem faktoriellen Ring ist, heißt p1 · . . . · pr eine Reduktion von q . Im Falle n1 = ... = nr = 1 heißt q reduziert.– Sei K ein K¨ orper der Charakteristik 0 . Jedes normierte Polynom P (w) ∈ K[w] zerf¨ allt u ¨ber einem Erweiterungsk¨ orper L in Linearfaktoren, P (w) = (w − λ1 ) · . . . · (w − λn ) . Die Diskriminante  (λj − λk )2 ∈ K ∆ := j
h¨ angt nicht von L ab. Genau dann, wenn die Wurzeln λ1 , . . . , λn paarweise verschieden sind, ist ∆ = 0 und P ∈ K[w] reduziert. Denn wenn ∆ = 0 ist, haben P und die Ableitung P ′ einen gemeinsamen Linearfaktor w − λj , also einen gemeinsamen Primfaktor Q in K[w] . Aus P = Q · R folgt P ′ = Q′ · R + Q · R′ . Daher ist Q ein Faktor von R , also Q2 ein Faktor von P . Nun sei P (y, w) = w n +a1 (y)wn−1 +. . .+an (y) ∈ M(Y )[w] reduziert. Dann ist ∆ ∈ M(Y ) nicht die Nullfunktion. Die Ausnahmemenge E ⊂ Y von P besteht aus den Polstellen der Koeffizienten von P und den Nullstellen von ∆ ; sie ist lokal endlich. Die Polstellen von ∆ sind in E enthalten. F¨ ur jede Stelle b ∈ Y \E zerf¨allt P (b, w) = (w − λ1 ) · . . . · (w − λn ) in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen λj ∈ C .

¨ 6.1.5 Minimalpolynome. Bei einer n-bl¨ attrigen Uberlagerung η: X → Y ∗ ist die Erweiterung η : M(Y ) ֒→ M(X) algebraisch, weil jedes f ∈ M(X) durch sein charakteristisches Polynom annulliert wird. S¨ amtliche Polynome in M(Y )[w] , welche f annullieren, bilden ein Hauptideal. Es wird von einem eindeutig bestimmten normierten und reduzierten Minimalpolynom P ∈ M(Y )[w] erzeugt. Wenn X zusammenh¨angt, ist P irreduzibel. Das charakteristische Polynom χ ist ein Vielfaches von P . Daher ist gr P ≤ n , und zwar tritt gr P = n genau dann ein, wenn P = χ ist.

120

6. Algebraische Funktionen

Satz. Genau dann wenn f l¨ angs wenigstens einer η-Faser n verschiedene Werte in C annimmt, hat P den Grad n . Jede Faser u ¨ber Y \ E wird dann durch f injektiv nach C abgebildet. Beweis. Wenn es n verschiedene f -Werte l¨angs η −1(b) gibt, sind sie die Wurzeln des Polynoms P (b, w) ∈ C[w] . Dieses hat also einen Grad ≥ n , und dasselbe gilt dann f¨ ur P ∈ M(Y )[w] .– Umgekehrt sei grP = n . F¨ ur b ∈ Y \ E , hat χ(b, w) = P (b, w) genau n verschiedene Wurzeln in C ,
welche nach 6.1.2(2) die f -Werte l¨angs η −1(b) sind.

6.2 Riemannsche Gebilde Riemanns L¨ osung einer polynomialen Gleichung besteht aus einer Funk¨ tion f , ihrer Definitionsfl¨ ache X und einer Uberlagerung η von X u ¨ber  C (allgemeiner u ¨ber einer zusammenh¨ angenden Fl¨ ache Y ). Wir fassen die Bestandteile zum Riemannsches Gebilde (X, η, f ) zusammen und sammeln in 6.2.2-3 die wichtigen Eigenschaften solcher Gebilde. Teilweise (Abschnitt 6.2.3) beruhen sie auf Riemanns Existenzsatz f¨ ur punktetrennende meromorphe Funktionen. Dieser Satz, der im 10. Kapitel bewiesen wird, ist ein zentrales und tiefliegendes Ergebnis der Theorie Riemannscher Fl¨achen. Ausgehend von dem in 1.2.4 behandelten Spezialfall (keine Pole, keine mehrfachen Wurzeln) konstruieren wir in 6.2.4-6 die L¨ osung jeder reduzierten polynomialen Gleichung durch ein Riemannsches Gebilde und beweisen ihre Eindeutigkeit. Der Existenzsatz wird dabei nicht ben¨ otigt. 6.2.1 Riemannsche und algebraische Gebilde. Ein n-bl¨ attriges Riemannsches Gebilde (X, η, f ) u ¨ber der zusammenh¨ angenden Fl¨ ache Y besteht ¨ aus einer Uberlagerung η : X → Y vom Grade n und einer Funktion f ∈ M(X) , deren Minimalpolynom P ∈ M(Y )[w] den Grad n hat. Das Polynom P und seine Ausnahmemenge E werden auch Minimalpolynom bzw. Ausnahmemenge des Gebildes genannt.   Ist V ⊂ Y offen und zusammenh¨ angend, so ist η −1(V ), η|V, f |V ein Riemannsches Gebilde u ¨ber V mit dem Minimalpolynom P |V ∈ M(V )[w] , welches aus P durch Einschr¨ ankung der Koeffizienten auf V entsteht. Ein Isomorphismus zwischen zwei Riemannschen Gebilden (X1 , η1 , f1 ) ¨ber Y ist ein Isomorphismus ϕ : X1 → X2 der Rieund (X2 , η2 , f2 ) u mannschen Fl¨ achen, f¨ ur den η1 = η2 ◦ ϕ und f1 = f2 ◦ ϕ gilt. Isomorphe  Gebilde haben dasselbe Minimalpolynom.– Riemannsche Gebilde u ¨ber C heißen algebraische Gebilde. Beispiele. (1) Seien n > 0 und q teilerfremde ganze Zahlen. Dann ist  η, f ) mit η(t) := tn und f (t) := tq ein n-bl¨ attriges algebraisches Gebil(C, de mit dem Minimalpolynom w n − z q ∈ C(z)[w] und der Ausnahmemenge  auf C oder E ist E = {0} die E = {0, ∞}. Bei Einschr¨ ankung von C Ausnahmemenge.

6.2 Riemannsche Gebilde

121

 η, f ) mit η(t) := 1−t2 und f (t) := t(1−t2 ) (2) Das algebraische Gebilde (C, hat zwei Bl¨atter und das Minimalpolynom w 2 + z 3 − z 2 . Seine Ausnahmemenge ist E = {0, 1, ∞} .

°

°

Fig. 6.2.1 a. links: Gew¨ ohnliche Parabel mit der Gleichung y 2 = x ; rechts: Neilesche Parabel mit der Gleichung y 2 = x3 .

° Fig. 6.2.1 b. Newtons parabola nodata mit der Gleichung y 2 = x2 − x3 .

ur (n, q) = (2, 1) eine Bemerkung. Die Gleichung y n −xq = 0 , vgl. (1), beschreibt f¨ gew¨ ohnliche und f¨ ur (n, q) = (2, 3) eine Neilesche Parabel in der reellen Ebene R2 , siehe Fig. 6.2.1 a. Entsprechend ist y 2 + x3 − x2 = 0 , vgl. (2), die Gleichung von Newtons parabola nodata [New 2], siehe Fig.6.2.1 b. Die drei Parabeln werden durch die in (1) und (2) angegebenen Funktionen x = η(t), y = f (t) mit t ∈ R parametrisiert.

(3) Mit der ℘-Funktion zum Gitter Ω < C und ihrer Ableitung ℘′ entsteht das zweibl¨attrigen algebraische Gebilde (C/Ω, ℘, ˆ ℘ˆ′ ) . Sein Minimalpolynom alt man aus der Differentialgleichung der w2 − 4z 3 + g2 z + g3 ∈ C[z, w] erh¨ ℘-Funktion ℘′2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 , siehe 2.2.4(2). ¨ 6.2.2 Komponentenzerlegung. Jede n-bl¨ attrige Uberlagerung η: X → Y : X → Y ; j = 1, . . . , l . Dabei ist zerf¨allt in endlich viele Komponenten η j j  1≤l≤n= nj mit nj := gr ηj . Sei P das Minimalpolynom einer Funktion f ∈ M(X) . Das Minimalpolynom Pj von fj := f |Xj ist irreduzibel, da M(Xj ) ein K¨ orper ist. Wegen P (ηj , fj ) = 0 wird P von Pj geteilt.

122

6. Algebraische Funktionen

Zerlegungssatz. Das Tripel (X, η, f ) ist genau dann ein Riemannsches Gebilde, wenn jede Komponente (Xj , ηj , fj ) ein Riemannsches Gebilde ist und das Minimalpolynom von f die Primzerlegung P = P1 · . . . · Pl hat. Beweis. Wenn ein Riemannsches Gebilde vorliegt, ist grf = n. Wir benutzen 6.1.5. Es gibt ein y ∈ Y , so daß f l¨ angs η −1(y) genau n verschiedene Werte angs ηj−1(y) genau nj verschiedene Werte in in C hat. Dann hat jedes fj l¨ C . Also ist grfj = nj . Die Polynome Pj sind paarweise verschieden, da sie an der Stelle y verschiedene Wurzeln haben. Daher ist P1 · . . . · Pl ein Teiler von P , und wegen desselben Grades gilt P = P1 · . . . · Pl . Die Umkehrung ist trivial.
Folgerung. Genau dann, wenn das Minimalpolynom des Gebildes (X, η, f ) irreduzibel ist, h¨ angt X zusammen.
Beispiel. Bei den drei Gebilden (X, η, f ) der Beispiele in 6.2.1 h¨ angen die Fl¨ achen X zusammen. Daher sind ihre Minimalpolynome irreduzibel. Struktursatz. Sei (X, η, f ) ein Riemannsches Gebilde. Dann ist M(X) = M(Y )[f ] eine einfache Erweiterung des K¨ orpers M(Y ) vom Grade n . Beweis. Offenbar ist M(Y )[f ] ein M(Y )-Untervektorraum von M(X) . Er ist zu M(Y )[w]/(P ) isomorph und hat daher die Dimension n = gr P . Anorper dererseits ist M(X) = M(X1 ) ⊕ . . . ⊕ M(Xl ) die direkte Summe der K¨ ugt zu zeigen, daß jede Erweiterung M(Xj ) = M(Y )[fj ] M(Xj ) . Somit gen¨ einfach ist. Das folgt, da fj ein Element maximalen Grades in M(Xj ) ist, aus dem Lemma. Sei L ein algebraischer Erweiterungsk¨ orper des K¨ orpers K der Charakteristik 0 . Wenn es in L ein Element f maximalen Grades gibt, ist die Erweiterung einfach: L = K[f ]. Beweis. Wir zeigen g ∈ K[f ] f¨ ur jedes g ∈ L : Die Erweiterung K ⊂ K[f, g] ist endlich und wird daher von einem primitiven Element h ∈ K[f, g] ⊂  L erzeugt: K[f,g] = K[h] , siehe z.B. [Bos], S. 114. Dann ist K[h] : K =  gr h ≤ gr f = K[f ] : K , also g ∈ K[h] = K[f ] .


6.2.3 Riemannscher Existenzsatz (Punktetrennung). Zu je zwei Punkache X gibt es eine Funktion f ∈ M(X) ten a = b jeder Riemannschen Fl¨ mit f (a) = 0 und f (b) = 1 . Dieses tiefliegende Ergebnis wird in 10.7.2 mittels Potentialtheorie bewiesen.

Korollar. Zu paarweise verschiedenen Punkten a1 , . . . , an ∈ X und vorgegebenen Werten c1 , . . . , cn ∈ C gibt es eine Funktion f ∈ M(X) mit ur i = 1, . . . , n . f (aj ) = ci f¨ Beweis. Nach dem Existenzsatz gibt es zu jedem Paar i = j eine meromorphe ur

nFunktion fij auf X , mit fij (ai ) = 1 undnfij (aj ) = 0 . F¨ fi := j=1,j =i fij gilt dann fi (ak ) = δik , und f = i=1 ci fi leistet das Gew¨ unschte.


6.2 Riemannsche Gebilde

123

¨ Erste Folgerung. Jede endliche Uberlagerung η : X → Y l¨ aßt sich zu einem Riemannschen Gebilde (X, η, f ) erg¨ anzen. Beweis. Sei b ∈ Y ein Punkt außerhalb des Verzweigungsortes von η . Dann besteht η −1 (b) = {a1 , . . . , an } aus n := gr η verschiedenen Punkten. Nach ur j = 1, . . . , n . Mit dem Korollar gibt es ein f ∈ M(X) mit f (aj ) = j f¨ Satz 6.1.5 folgt die Behauptung.
Zweite Folgerung. Jede kompakte Riemannsche Fl¨ ache X l¨ aßt sich zu einem algebraischen Gebilde (X, η, f ) erg¨ anzen. Beweis. Nach dem Existenzsatz gibt es eine nirgends konstante Funktion  eine endliche η ∈ M(X) . Wegen der Kompaktheit von X ist η : X → C ¨ Uberlagerung. Sie kann nach der ersten Folgerung zu einem algebraischen Gebilde erg¨ anzt werden.
Wir werden den Existenzsatz und seine Folgerungen erstmals beim Beweis des Satzes 6.4.5 anwenden. 6.2.4 Nullstellengebilde. Wir beginnen den Existenzbeweis f¨ ur Riemannsche Gebilde zu vorgegebenem Minimalpolynom mit einem normierten, reduzierten Polynom P ∈ M(Y )[w] vom Grade n ≥ 1 , dessen Ausnahmemenge E = ∅ ist. Nach 1.2.4 ist (1) M := {(y, w) ∈ Y ×C : P (y, w) = 0}

eine Riemannsche Fl¨ ache, π : M → Y, (y, w) → y, eine unverzweigte, n-bl¨ at¨ trige Uberlagerung und h : M → C, (y, w) → w , eine holomorphe Funktion, f¨ ur die P (π, h) = 0 gilt. Da h auf jeder π-Faser injektiv ist, hat h nach Satz 6.1.5 das Minimalpolynom P . Also gilt: (2) Das Nullstellengebilde (M, π, h) ist ein Riemannsches Gebilde u ¨ber Y mit dem Minimalpolynom P .
6.2.5 Existenzsatz f¨ ur Riemannsche Gebilde. Jedes reduzierte, normierte Polynom P ∈ M(Y )[w] vom Grade n ≥ 1 ist das Minimalpolynom eines Riemannschen Gebildes (X, η, f ) u ¨ber Y . Dieser Existenzsatz darf nicht mit dem Existenzsatz zur Punktetrennung verwechselt werden. Letzterer wird hier nicht ben¨ otigt.

Beweis. Sei E ⊂ Y die Ausnahmemenge von P und (M, π, h) das Nullstellengebilde u ¨ber Y \E zu P |Y \ E ∈ M(Y \E)[w] . Nach Satz 4.6.5 l¨ aßt sich π ¨ zu einer Uberlagerung η : X → Y fortsetzen, deren Verzweigungspunkte in E liegen. Die Funktion h l¨ aßt sich nach 6.1.1 zu einer Funktion f ∈ M(X) fortsetzen. Die Gleichung P (η, f ) gilt zun¨ achst auf M . Sie bleibt auf X g¨ ultig, da X \ M lokal endlich ist. Daher ist P ein Vielfaches des Miniur b ∈ Y \ E ist f malpolynoms von f bez¨ uglich der Erweiterung η ∗ . F¨ −1 l¨ angs η (b) injektiv. Nach Satz 6.1.5 hat das Minimalpolynom den Grad n und stimmt daher mit P u ¨berein.


124

6. Algebraische Funktionen

6.2.6 Universelle Eigenschaft. Sei (X, η, f ) ein Riemannsches Gebilde u ¨ber Y mit dem Minimalpolynom P . Sei ζ : Z → Y eine offene holomorphe Abbildung. F¨ ur g ∈ M(Z) gelte P (ζ, g) = 0 . Dann gibt es genau eine holomorphe Abbildung ϕ : Z → X , so daß ζ = η ◦ ϕ und g = f ◦ ϕ ist. Beweis. Sei E die Ausnahmemenge von P . Zun¨ achst sei E = ∅ und (X, η, f ) = (M, π, h) ein Nullstellengebilde. Dann ist ϕ := ζ × g : Z → Y × C die einzige Abbildung mit π ◦ ϕ = ζ und h ◦ ϕ = g. Wegen P (ζ, g) = 0 ist ϕ(Z) ⊂ M . Die Abbildung ϕ : Z → M ist holomorph, weil π lokal biholomorph und ζ holomorph ist. Wenn (Z, ζ, g) ein Riemannsches Gebilde mit dem Minimalpolynom P ist, bildet ϕ jede ζ-Faser bijektiv auf die entsprechende π-Faser ab. Dann ist ϕ : Z → M bijektiv, also ein Isomorphismus. Riemannsche Gebilde mit leerer Ausnahmemenge sind also zu Nullstellengebilden isomorph und haben die universelle Eigenschaft. Nun sei E = 0 . Wir bezeichnen die Beschr¨ ankungen auf Y1 := Y \ E bzw. X1 := X \ η −1 (E) bzw. Z1 := Z \ ζ −1 (E) mit dem Index 1. Da die Ausnahmemenge des eingeschr¨ankten Gebildes (X1 , η1 , f1 ) leer ist, gibt es wegen der universellen Eigenschaft genau eine holomorphe Abbildung ϕ : Z1 → X1 mit ζ1 = η1 ◦ ϕ1 und g1 = f1 ◦ ϕ1 . Die Differenz Z \ Z1 ist lokal endlich, weil ζ offen ist. Nach Lemma 4.6.4 l¨aßt sich ϕ1 zu ϕ : Z → X holomorph fortsetzen. Die zun¨ achst auf Z1 g¨ ultigen Gleichungen ζ = η◦ϕ und g = f ◦ϕ gelten wegen der Stetigkeit auf ganz Z . Sie legen ϕ eindeutig fest.
Aus der universellen Eigenschaft folgt die Eindeutigkeit. Zwischen zwei Riemannschen Gebilden mit demselben Minimalpolynom existiert genau ein Isomorphismus.
Wenn das Riemannsche Gebilde (X, η, f ) u ¨ber Y das Minimalpolynom P ¨ hat, sagt man: Das Gebilde (X, η, f ) , die Uberlagerung η : X → Y und die Fl¨ ache X werden durch das Polynom P (bis auf Isomorphie) definiert. 6.2.7 Komplexe Kurven. Historisches. Man kann fragen, warum in 6.2.5 anstelle der abstrakten Fortsetzung von M zur Fl¨ ache X nicht der konkrete  gew¨ahlt wird. Aber diese komtopologische Abschluß N von M in Y × C plexe Kurve N ist bei den Punkten des Urbildes π −1 (E) der Ausnahmemenge im allgemeinen keine glatte Fl¨ache. Als Beispiel betrachten wir die komplexe Version von Newtons parabola nodata, siehe 6.2.1(2): Die durch w 2 + z 3 − z 2 = 0 definierte komplexe  ×C  besitzt im Ursprungs (0, 0) einen Doppelpunkt, welcher Kurve N ⊂ C auch in der reellen Figur 6.2.1 b sichtbar ist. Es gibt eine zusammenh¨ angende Umgebung W von (0, 0) in N , f¨ ur die W \ {(0, 0)} nicht mehr zusammenh¨angt. Das kann bei glatten Fl¨ achen nicht passieren. Mit den Funktionen η(t) = 1 − t2 und f (t) = t(1 − t2 ) des algebraischen Gebildes (X, η, f ) zu w 2 + z 3 − z 2 bildet man die Normalisierung (= Desingulari → N . Sie ersetzt den Doppelpunkt (0, 0) durch sierung) ξ := η × f : C

6.3 Puiseux-Theorie

125

die zweipunktige Faser ξ −1 (0, 0) = {±1} . Alle anderen Fasern von ξ sind einpunktig. Wir werden im 9. Kapitel die Normalisierung von Kurven in der komplex  ×C  studieren. projektiven Ebene statt in C

Riemann beschreibt 1857 in [Ri 3], 6. Artikel, die Konstruktion des Gebildes (X, η, f ) durch Desingularisierung der komplexen Kurve N sehr sibyllinisch. Als Singularit¨ aten der Kurve betrachtet er nur Doppelpunkte wie bei der Parabola nodata. Alle anderen Singularit¨ aten sind f¨ ur ihn Grenzf¨ alle, die keine zus¨atzlichen ¨ Uberlegungen erfordern. Weierstraß hingegen studiert in seinen Vorlesungen u ¨ber die Theorie der Abelschen Transzendenten, [Wst] 4, S. 13-45, die T¨ ucken der Singularit¨ aten sehr penibel.

6.3 Puiseux-Theorie Wir untersuchen zusammenh¨ angende Riemannsche Gebilde u ¨ber Scheiben und benutzen die Ergebnisse f¨ ur die lokale Beschreibung beliebiger Gebilde. 6.3.1 Puiseux-Gebilde sind zusammenh¨ angende Riemannsche Gebilde (U, η, f ) u ¨ber einer Scheibe V , deren Ausnahmemenge nur aus ihrem Zenur teilerfremde n, q trum b besteht oder leer ist. Zum Beispiel ist (E, tn , tq ) f¨ ein Puiseux-Gebilde u ¨ber E mit dem Minimalpolynom w n − z q . Satz. Die Projektion η : (U, a) → (V, b) ist eine Windungsabbildung. Zu jeder Karte z : (V, b) → (E, 0) gibt es eine Karte t : (U, a) → (E, 0) mit z ◦ η = tn f¨ ur n := gr η . Die Funktion f besitzt eine Laurent-Entwicklung ∞  cν tν mit k = o(f, a) . (1) f= ν=k

¨bertr¨ agt, Wenn man die Wirkung der Gruppe µn auf E mittels t nach U u gilt f¨ ur das Minimalpolynom P  (w − f ◦ α) . (2) P (η, w) = α∈µn

Beweis. Die erste Behauptung folgt aus 4.6.1.– Da η normal ist und P mit dem charakteristische Polynom u ¨bereinstimmt, gilt (2) wegen der Folgerung in 6.1.2.
Man schreibt die Laurent-Entwicklung (1) auch mit gebrochenen Exponenten als mehrdeutige Funktion in z = tn und nennt dies die Puiseux-Entwicklung: ∞  cν z ν/n . (3) f˜(z) = ν=k

6.3.2 Lokale Gestalt Riemannscher Gebilde. Sei (X, η, f ) ein n-bl¨ attriges Riemannsches Gebilde u ¨ ber Y . Sei b ∈ Y und sei z : (V, b) → (E, 0) eine Karte, deren Definitionsbereich V die Ausnahmemenge h¨ ochstens in b

126

6. Algebraische Funktionen

trifft. Sei {a1 , . . . , ar } := η −1 (b) und U := η −1 (V ) . Aus der Komponentenzerlegung 6.2.2 und aus 6.3.1 folgt: ankten Gebildes (U, η|U, f |U ) Die Komponenten (Uj , ηj , fj ) des eingeschr¨ u ¨ber V sind Puiseux-Gebilde. Dabei ist ηj : (Uj , aj ) → (V, b) eine nj -fache Windungsabbildung mit nj := v(η, aj ) . Es gilt n1 + . . . + nr = n . Es gibt Karten tj : (Uj , aj ) → (E, 0) mit z ◦ ηj = tj nj und Laurent-Entwicklungen ∞  (1) fj = cjν tj ν mit kj := o(fj , aj ) = o(f, aj ) . ν=kj

Das Minimalpolynom P von (U, η|U, f |U ) entsteht aus dem Minimalpolynom von (X, η, f ) durch Beschr¨ ankung der Koeffizienten auf V . Die Faktoren Pj seiner Primzerlegung P = P1 · . . . · Pr sind die Minimalpolynome der Puiseux-Gebilde (Uj , ηj , fj ) . F¨ ur sie gilt  ( w − fj ◦ α) . (2) Pj (η, w) = α∈µnj

Die Gebilde (Uj , ηj , fj ) heißen Zweige von (X, η, f ) bei b . Bei Studium ebener Kurven spielen sie, insbesondere ihre Anzahl r und die Exponenten aten dieser nj , kj , eine wichtige Rolle, siehe Kapitel 9. Um die Singularit¨ Kurven genauer zu untersuchen, werden auch die Puiseux-Entwicklungen der Zweige ben¨otigt, siehe 9.6 und Aufgabe 9.7.11. 6.3.3 Historisches. Isaac Newton erl¨auterte 1676 in zwei Briefen an Oldenburg,

die f¨ ur Leibniz bestimmt waren, am Beispiel zweier Polynome dritten und sechsten Grades, wie man aus dem Minimalpolynom P ∈ M(E)[w] die Puiseux-Reihe berechnen kann, siehe [New 1] oder [BK], S. 495. Bei konstanten Koeffizienten handelt es sich um das bekannte Newtonsche Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung. An Newton schließt sich Lagrange mit einer neuen Methode“ an, ” die er 1770 in Berlin ver¨ offentlichte, [Lag] III, p. 5-73 . Riemann beschrieb die lokale Gestalt eines Gebildes in [Ri 3], Artikel 6, und zitierte dabei Lagrange. Wahrscheinlich kannte er Puiseux’ Arbeit [Pu] nicht, die Riemanns Ausf¨ uhrungen zum Teil vorwegnimmt.

6.4 Minimalpolynome und Automorphismen Wir betrachten Riemannsche Gebilde (X, η, f ) u ¨ber Y , deren Minimalpolyangen oder noch spezieller nome P (w) nur von einer festen Potenz w n abh¨ rein sind, d.h. die Gestalt w n − p mit p ∈ M(Y ) haben. Wir gewinnen daraus Automorphismen von X und andere Eigenschaften der Gebilde. 6.4.1 Konstruktion von Automorphismen. Sei (X, η, f ) ein Riemannsches Gebilde, dessen Minimalpolynom P ∈ M(Y )[w] nur Potenzen von w n enth¨ alt. Es gibt genau einen Monomorphismus Φ : µn → D(η) mit (1) f ◦ Φ(ω) = ω · f f¨ ur ω ∈ µ n .

6.4 Minimalpolynome und Automorphismen

127

Beweis. F¨ ur jedes ω ∈ µn haben die Gebilde (X, η, ωf ) und (X, η, f ) dasselbe Minimalpolynom. Nach der Eindeutigkeitsaussage in 6.2.6 gibt es genau ein Φ(ω) ∈ D(η) mit f ◦ Φ(ω) = ω · f . Wegen der Eindeutigkeit ist
Φ : µn → D(η) ein Monomorphismus. 6.4.2 Reine Minimalpolynome. Sei P := w n − p das Minimalpolynom des Gebildes (X, η, f ) u ¨ber Y . Seine Ausnahmemenge E besteht aus den Null- und Polstellen von p . (1) Die Untergruppe Φ(µn ) < D(η) operiert transitiv auf jeder Faser, und η ist gleichverzweigt. Beweis. F¨ ur jedes y ∈ Y \ E operiert Φ(µn ) wegen 6.4.1(1) transitiv auf der Faser η −1 (y) . Da E lokal endlich ist, folgt die transitive Operation auf allen Fasern, und η ist dann gleichverzweigt.
(2) Genau dann, wenn P irreduzibel ist, h¨ angt X zusammen. In diesem Falle ist η normal und hat die Deckgruppe D = Φ(µn ) . Beweis. Die erste Behauptung ist die Folgerung in 6.2.2. Aus n = ♯µn ≤ ♯D(η) ≤ gr η = n folgt mit 1.5.5 die zweite Behauptung.
(3) F¨ ur jeden Punkt a ∈ X mit b := η(a) gilt n = ♯η −1 (b) · v(η, a) und o(p, b) = ♯η −1 (b) · o(f, a) . Beweis. Weil η nach 6.4.1 gleichverzweigt ist, gilt die erste Gleichung, und
aus f n = p ◦ η folgt die zweite Gleichung.

(4) Die Fl¨ ache X h¨ angt zusammen, wenn ggT{n, o(p, b) : b ∈ E} = 1 ist. ur alle Beweis. Nach (3) ist ♯η −1 (b) ein Teiler von o(p, b) . Da n = ♯η −1 (y) f¨ angt X dann y ∈ / Y \ E gilt, ist ggT{♯η −1 (y) : y ∈ Y } = 1 . Nach 1.4.6 h¨ zusammen.
q ur Zu jedem b ∈ E gibt es eine Karte z : (V, b) → (E, 0) mit p|V = z f¨ q := o(p, b) . Sei k := ggT(n, |q|) und r := n/k , s := q/k . ¨ (5) Uber V zerf¨ allt (X, η, f ) in k viele Zweige (Uε , η, f ) mit den Miniur ε ∈ µk . Insbesondere ist k = ♯η −1 (b) . malpolynomen w r − εz s f¨ Das folgt nach 6.3.2 aus der Primzerlegung

P |V = wn − z q = ε∈µk (wr − εz s ) .




(6) Sei X zusammenh¨ angend. F¨ ur jedes a ∈ X mit b := η(a) wird die  Standgruppe Da von Φ exp(2πi o(p, b)/n) kanonisch erzeugt.

Beweis. Sei U die Komponente von η −1 (V ) , in der a liegt. Nach (5) gibt es ein ε ∈ µk , so daß U = Uε ist und (U, η|U, f |U ) das Minimalpolynom wr − εz s hat. Dann ist r = v(η, a) . Es gibt eine Karte t : (U, a) → (E, 0) mit z ◦ η|U = tr . Aus (f |U )r = ε(z ◦ η|U )s = ε(ts )r folgt f |U = δ ts mit δ r = ε . Das kanonisch erzeugende Element σ von Da hat nach 1.5.3 die Ableitung σ ′ (a) = exp(2πi/r) , und es gilt t ◦ σ = σ ′ (a) t . Daher ist (f|U ) ◦ σ = δ (t ◦ σ)s = δ σ′ (a)s ts = σ ′ (a)s f |U . Wegen 6.4.1(1) folgt σ =
Φ σ ′ (a)s = Φ exp(2πis/r) = Φ exp(2πiq/n) .

128

6. Algebraische Funktionen

¨ 6.4.3 Zyklische Uberlagerungen der Zahlenkugel. Seien e1 , . . . , er paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Seien n, m1 , . . . , mr ganze Zahlen mit 0 < mj < n und ggT(n, m1 , . . . , mr ) = 1 . Aus 6.4.2 folgt der Satz. Das Polynom (1) wn − (z − e1 )m1 · . . . · (z − er )mr ∈ C[z, w]  mit den Verzwei¨ definiert eine n-bl¨ attrige zyklische Uberlagerung η: X → C gungspunkten e1 , . . . , er , falls m1 + . . . + mr ≡ 0 mod n , und zus¨ atzlich ∞ , wenn dies nicht der Fall ist. Im zweiten Fall wird die ganze Zahl m0 durch 0 < m0 < n und m0 + m1 + · · · + mr ≡ 0 mod n festgelegt und e0 = ∞ gesetzt. Die Deckgruppe D wird durch ein Element σ erzeugt, so daß f¨ ur jedes a ∈ η −1 (ej ) die Standgruppe Da durch σ mj kanonisch erzeugt wird.
Der Vergleich mit 4.7.5-6 zeigt: ¨ (∗) Alle zyklischen, insbesondere alle (hyper-) elliptischen Uberlagerungen der Zahlenkugel lassen sich auf diese Weise beschreiben.
¨ 6.4.4 Die Kleinsche Fl¨ ache. Jede siebenbl¨attrige normale Uberlagerungen  η : X → C mit drei Verzweigungspunkten 0, 1, ∞ wird bis auf Isomorphie durch das Polynom w 7 − z(z − 1) oder w 7 − z 2 (z − 1) definiert. Das folgt aus 6.4.3, angewendet auf das Beispiel in 4.7.6. Die durch w 7 −z 2 (z−1) definierte Fl¨ ache X ist zur Modulfl¨ ache X7 isomorph ist, die Klein ausf¨ uhrlich studierte, siehe 5.7.2, 7.2.3 und 11.7.4. Sie heißt daher Kleinsche Fl¨ ache. Die Ergebnisse aus 6.4.2, angewendet auf w 7 − z 2 (z − 1) , ergeben den

Satz. Das durch w 7 − z 2 (z − 1) definierte algebraische Gebilde (X, η, f ) hat ¨ folgende Eigenschaften: Die Fl¨ ache X h¨ angt zusammen. Die Uberlagerung  η : X → C ist normal und hat 7 Bl¨ atter. Sie verzweigt u ¨ber 0, 1, ∞ . Die entsprechenden η-Fasern bestehen aus je einem Punkt  0,  1,  ∞ mit der Windungszahl 7 . Die Ordnungen von f bei  0,  1,  ∞ sind 2, 1, −3 . Sonst hat f keine Null- oder Polstellen.  Wenn man  das erzeugende Element σ von D(η) so w¨ ahlt, daß f ◦ σ = exp(2πi/7) ·f gilt, werden die Standgruppen
bei  0,  1,  ∞ von σ 2 , σ, σ 4 kanonisch erzeugt.

Auch im Gebilde (X, η, f ) mit dem Minimalpolynom w 7 − z(z − 1) ist η ¨ eine 7-bl¨ attrige, zyklische Uberlagerung mit dem Verzweigungsort {0, 1, ∞} . Das Gebilde (X, f, η − 21 ) hat das Minimalpolynom w 2 − z 7 − 14 . Daraus folgt:  ist eine hyperelliptische Uberlagerung. ¨ (∗) Die Funktion f : X → C
In 8.3.5 wird gezeigt, daß die Kleinsche Fl¨ ache nicht hyperelliptisch ist.

¨ 6.4.5 Ein Satz von Hurwitz. Jede zusammenh¨ angende n-bl¨ attrige Uberlagerung η : X → Y , deren Deckgruppe einen Automorphismus α der Ordnung k < ∞ enth¨ alt, l¨ aßt sich durch ein Polynom P definieren, das nur alt. F¨ ur k = n ist P ein reines Polynom. Potenzen von w k enth¨ Beweis. Jede n-punktige Faser η −1 (b) = A1 ⊎ . . . ⊎ Ar ist die disjunkte Vereinigung von α-Bahnen Aj . Wir zeichnen in jeder einen Punkt aj aus.

6.5 Funktionenk¨ orper

129

Nach dem Korollar zum Riemannschen Existenzsatz in 6.2.3 gibt es ein h ∈ M(X) mit h(aj ) = j f¨ ur j = 1, . . . , r und h(x) = 0 f¨ ur alle anderen Punkte x ∈ η −1 (b) . Mit ε := exp(2πi/k) bilden wir die Lagrangesche Resolvente f := h + ε−1 h ◦ α + . . . + ε−q+1 h ◦ αq−1 ∈ M(X) .

Sie hat die Werte f ◦ αν (aj ) = εν j . Also ist f l¨ angs η −1 (b) injektiv, und somit ist (X, η, f ) ein Riemannsches Gebilde u ¨ber Y . Da α : (X, η, f ) → (X, η, ε−1 f ) ein Isomorphismus der Gebilde ist, haben beide dasselbe Minimalpolynom P (z, w) = P (z, εw) . Es enth¨ alt nur k-te Potenzen von w .
Erste Folgerung. Jede kompakte, zusammenh¨ angende Fl¨ ache X , die einen Automorphismus α der Ordnung k < ∞ besitzt, l¨ aßt sich durch ein Polynom alt. aus C[z, w] definieren, das nur Potenzen von w k enth¨ Beweis. Sei π : X → Y die Orbitprojektion der von α erzeugten Gruppe. ¨ Nach der zweiten Folgerung in 6.2.3 gibt es eine endliche Uberlagerung ϕ:   ¨ Y → C . Dann ist η := ϕ ◦ π : X → C eine rq-bl¨ attrige Uberlagerung mit α ∈ D(η) , die nach dem Satz durch ein Polynom in C(z)[w] definiert wird, alt. Indem man mit dem Hauptnenner seiner das nur Potenzen von w k enth¨ Koeffizienten multipliziert, entsteht das gew¨ unschte Polynom.
 ¨ Zweite Folgerung. Alle n-bl¨ attrigen zyklischen Uberlagerungen η:X→C lassen sich durch die in 6.4.3(1) angegebenen Polynome beschreiben. Beweis. Nach dem Satz gibt es ein algebraisches Gebilde (X, η, f ) mit einem reinen Mininimalpolynom w n − q(z) ∈ C(z)[w] . Es gibt ein u ∈ C(z) mit q = un · p , so daß p ein Produkt von Faktoren (z − ej )mj mit paarweise verschiedenen ej ∈ C und Exponenten 0 < mj < n ist. Dann hat (X, η, f /u) das Minimalpolynom w n − p . Da es irreduzibel ist, gilt die ggT -Gleichung. Der Satz und sein Beweis stammen von Hurwitz (1887) [Hur] I, S. 241 und 246. Die Lagrangeschen Resolvente wird in der Algebra zur Untersuchung zyklischer K¨ orpererweiterungen benutzt, siehe z.B. [vdW], § 56.– Das Ergebnis der zweiten Folgerung wurde am Ende von 6.4.3 ohne Benutzung des Riemannschen Existenzsatzes gewonnen. Statt dessen wurden die topologisch begr¨ undeten Resultate des Abschnitts 4.7 eingesetzt.

6.5 Funktionenk¨ orper Die Untersuchungen in 6.1 und 6.2 lassen sich, wenn man den Riemannschen ¨ ¨ Existenzsatz benutzt, zu einer Aquivalenz zwischen Uberlagerungen und K¨ orpererweiterungen ausbauen. ¨ ¨ 6.5.1 Uberlagerungen und K¨ orpererweiterungen. Den folgenden Uberlegungen liegt eine feste zusammenh¨angende Riemannsche Fl¨ache Y und ihr Funktionenk¨ orper K := M(Y ) zugrunde. Wir betrachten zwei Kategorien:

130

6. Algebraische Funktionen

¨ I. Die Objekte sind alle endlichen, zusammenh¨ angenden Uberlagerungen η: X → Y . F¨ ur zwei Objekte η und η ′ : X ′ → Y besteht die Morphismenmenge Hol(η, η ′ ) aus allen holomorphen Abbildungen ϕ : X → X ′ mit η = η ′ ◦ ϕ . II. Die Objekte sind alle endlichen Erweiterungsk¨ orper L von K . F¨ ur zwei Objekte L und L′ besteht die Morphismenmenge Hom(L′ , L) aus allen K¨ orpermonomorphismen h : L′ → L mit h|K = idK . Folgender kontravariante, d.h. die Richtung der Morphismen umkehrender, ¨ Funktor verbindet die erste mit der zweiten Kategorie: Jeder Uberlagerung η : X → Y wird die K¨ orpererweiterung η ∗ : M(Y ) ֒→ M(X) , g → g ◦ η , zugeordnet und jedem Morphismus ϕ ∈ Hol(η, η ′ ) der K¨ orpermonomorphismus ϕ∗ : M(X ′ ) → M(X) , g → g ◦ ϕ . Dieser Funktor stiftet eine Anti¨ Aquivalenz zwischen beiden Kategorien, genauer:   (1) Die Abbildung F : Hol(η, η ′ ) → Hom M(X ′ ), M(X) , ϕ → ϕ∗ , ist bijektiv, und ϕ ist genau dann biholomorph, wenn ϕ∗ ein Isomorphismus ist. (2) Zu jedem endlichen Erweiterungsk¨ orper L von K gibt es eine endliche ¨ Uberlagerung η : X → Y , deren K¨ orpererweiterung η ∗ : K = M(Y ) ֒→ M(X) zur Erweiterung K ֒→ L isomorph ist.

Beweis. Zu (1). Sei α ∈ Hom(M(X ′ ), M(X)) . Nach der zweiten Folgerung ¨ber Y . Sei P ∈ K[w] in 6.2.3 gibt es ein Riemannsches Gebilde (X ′ , η ′ , f ′ ) u sein Minimalpolynom. Dann ist P (η, α(f ′ )) = 0 . Nach der universellen Eigenschaft 6.2.6 gibt es genau ein ϕ ∈ Hol(η, η ′ ) mit α(f ′ ) = f ′ ◦ ϕ . Wegen M(X ′ ) = K[f ] folgt α = ϕ∗ , d.h. F ist bijektiv.– Sei ϕ∗ ein Isomorphismus. Wie gerade gezeigt wurde, gibt es ein ψ ∈ Hol(η ′ , η) mit ψ ∗ = (ϕ∗ )−1 . Aus (ψ ◦ ϕ)∗ = id und (ϕ ◦ ψ)∗ = id folgt ϕ ◦ ψ = id und ψ ◦ ϕ = id wegen der Injektivit¨ at von F . Die Umkehrung ist trivial. Zu (2). Es gibt ein a ∈ L mit L = K(a) . Nach 6.2.5 geh¨ ort zum Minimal¨ polynom von a ein Riemannsches Gebilde (X, η, f ) , dessen Uberlagerung η die behauptete Eigenschaft hat.
 . Dann gilt: Besonderes Interesse verdient der Fall Y = C (3) Die endlichen Erweiterungsk¨ orper des rationalen Funktionenk¨ orpers C(z) sind die Funktionenk¨ orper M(X) der kompakten zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen.
6.5.2 Galois-Gruppen. F¨ ur η = η ′ ist Hol(η, η) = D(η) die Deckgruppe orpererweiteund Hom(M(X), M(X)) = Gal(η ∗ ) die Galois-Gruppe der K¨ aßt sich 6.5.1(1) erg¨ anzen: rung η ∗ . In diesem Falle l¨ (1) Die Bijektion F : D(η) → Gal(η ∗ ) ist ein Anti-Isomorphismus der Grup¨ pen. Die Uberlagerung η ist genau dann normal, wenn die Erweiterung η ∗ normal (= galoisch) ist. Beweis. Wegen (ϕ ◦ ψ)∗ = ψ ∗ ◦ ϕ∗ ist F ein Anti-Isomorphismus. Nach 1.5.5 ist η genau dann normal, wenn ♯D(η) = gr η gilt. Die K¨ orpererweiterung η ∗

6.5 Funktionenk¨ orper

131

ist genau dann normal, wenn ♯(Gal(η ∗ ) = gr η ∗ gilt. Nach dem Struktursatz in 6.2.2 ist gr η ∗ = gr η .
Satz Jede endliche Gruppe G ist die Galoisgruppe einer Erweiterung des K¨ orpers C(z) der rationalen Funktionen. Beweis. Es gibt endlich viele, von 1 verschiedene Elemente g0 , . . . , gr , welche G erzeugen und g0 · . . . · gr = 1 erf¨ ullen. Damit konstruiert man nach Satz  mit der Deckgruppe G . Die ¨ 4.7.4 eine normale Uberlagerung η:X→C ∗ K¨ orpererweiterung η : C(z) ֒→ M(X) hat wegen (1) die Galoisgruppe G . 6.5.3 Isomorphe Funktionenk¨ orper. Zwei kompakte zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ achen X und X ′ sind genau dann isomorph, wenn ihre Funktionenk¨ orper M(X) und M(X ′ ) als C-Algebren isomorph sind.

Beweis. Sei h : M(X) → M(X ′ ) ein Isomorphismus. F¨ ur η ∈ M(X)\C sind ′ ′   ¨ η : X → C und h(η) =: η : X → C endliche Uberlagerungen. Nach 6.5.1(1) gibt es einen Isomorphismus ϕ : X → X ′ mit ϕ∗ = h .


Wenn X durch das irreduzible Polynom Q ∈ C[z, w] definiert wird, ist M(X) ist der Quotientenk¨ orper des Restklassenrings C[z, w]/(Q) nach dem von Q erzeugten Hauptideal. Wenn man M(X ′ ) entsprechend darstellt, wird jeder Isomorphismus der C-Algebren M(X) ∼ = M(X ′ ) durch rationale ′ ′ ′ Funktionen z = Z (z, w), w = W (z, w) und umgekehrt z = Z(z ′ , w′ ) , w = ¨ genannt. Riemann W (z ′ , w′ ) beschrieben und daher birationale Aquivalenz achen benutzt sie in [Ri 3], Artikel 12, um die Isomorphie X ≈ X ′ der Fl¨ zu definieren: Er betrachtet als zu einer Klasse geh¨orend alle irreductib” len algebraischen Gleichungen zwischen ver¨ anderlichen Gr¨ ossen, welche sich durch rationale Substitutionen ineinander transformieren lassen.“ In h¨ oheren Dimensionen gibt es nicht isomorphe, kompakte algebraische  ×C  Mannigfaltigkeiten mit isomorphen Funktionenk¨ orpern, zum Beispiel C 2 und die projektive Ebene P . 6.5.4 Ausblick. Da jede endliche K¨orpererweiterung L u¨ber C(z) durch den Funktionenk¨ orper einer zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X realisiert wird und diese durch L eindeutig bestimmt ist, liegt es nahe, die Fl¨ ache X allein aus dem K¨ orper L heraus zu konstruieren. Diese nicht mehr an die komplexen Zahlen gebundene Theorie algebraischer Funktionen und abstrakter Riemannscher Fl¨ achen geht auf Dedekind und Weber (1882, [Ded] 1, S. 238-350) zur¨ uck. Die Methoden geh¨ oren zur Bewertungstheorie, siehe z.B. [Lang].

132

6. Algebraische Funktionen

6.6 Aufgaben

1)

Zeige: Die Reduktion des charakteristischen Polynoms aus 6.1.2 ist das Minimalpolynom aus 6.1.5.

2)

Mit der ℘-Funktion zum Gitter Ω < C wird nach 2.1.3 die K¨ orpererweiterung C(z) ֒→ MΩ (C), f → f ◦ ℘ , gebildet. Wie lautet das Minimalpolynom von (1/℘′ ) + ℘2 ?

3)

Sei M die Fl¨ ache der meromorphen Funktionenkeime auf der zusammenh¨angenden Fl¨ ache Y mit der Projektion p : M → Y und der Auswertungsfunktion e , siehe 3.4.2. Sei (X, η, f ) ein Riemannsches Gebilde mit dem irreduziblen Minimalpolynom P ∈ M(Y )[w] . Sei Z ⊂ M die Komponente des Keimes einer holomorphen Wurzel von P im Sinne von 1.2.3. Zeige: Es gibt genau eine holomorphe Einbettung ϕ : Z → X, so daß η ◦ϕ = p und f ◦ϕ = e gelten. Die Differenz X \ ϕ(Z) ist lokal endlich.

4)

Sei ek ∈ C ein Verzweigungswert der ℘-Funktion zum Gitter Ω. Zeige: Es gibt ein Untergitter Ω ∗ < Ω vom Index 2 und ein Riemannsches Gebilde (C/Ω ∗ , η, f ) u ¨ber C/Ω mit dem Minimalpolynom w 2 − ℘ˆ + ek . Folgere, daß ur die zahlentheoretisch interessante ℘ − ek ein Quadrat in √M(C) ist.– F¨ Reihenentwicklung von ℘ − ek siehe [HC] II. 2, 13 . Vergleiche auch Aufgabe 2.7.2.

5)

Bestimme das Puiseux-Gebilde (E, tm , f ) mit dem Minimalpolynom w6 − 5zw5 + (z 3 /a)w4 − 7a2 z 2 w2 + 6a3 z 3 + b2 z 4 ∈ M(E)[w] mit a = 0, d.h. bestimme m und den Anfang der Laurent-Entwicklung von f . Dieses Polynom ist eines der in 6.3.3 erw¨ahnten Beispiele Newtons.

6)

Bestimme in dem algebraischen Gebilde (X, η, f ) mit dem Minimalpolynom w3 − (z 2 + 1)2 (z 3 − 1) die Windungspunkte und Windungszahlen von η und die Ordnungen von f .– L¨ ose dieselbe Aufgabe f¨ ur das Riemannsche Gebilde u ¨ber C mit dem Minimalpoynom w n − sin z .

7)


werde durch P (z, w) = w 3 − z(z − 1) definiert. ¨ Die Uberlagerung η:X→C Finde zu jedem Element β der anharmonischen Gruppe Λ ein α ∈ Aut(X) mit η ◦ α = β ◦ η . Entsteht dabei ein Monomorphismus Λ → Aut(X) ?


eine (hyper-)elliptische Uberlagerung ¨ In den Aufgaben 8 und 9 sei η : X → C mit 2m + 2 ≥ 4 Verzweigungspunkten. 8)

Sei v(η, a) = 2 . Zeige: Die m¨ oglichen Grade meromorpher Funktionen auf X , die auf X \ {a} holomorph sind, bilden die Menge N \ {1, 3, . . . , 2m−1} .

9)

Zeige: Wenn h ∈ M(X) einen Grad ≤ m + 1 hat, faktorisiert h u ¨ber η . Hinweis: Betrachte die Null- und Polstellen von h − h ◦ σ , wobei σ ∈ D(η) die Involution ist.

6.6 Aufgaben

133

10) Automorphismen (hyper-) elliptischer Fl¨ achen mit 1, 2, 3 und 4 Fixpunkten. (i) Sei (X, η, f ) das algebraische Gebilde zu w 2 + z 2m+2 + 1 . Sei δ := exp(πi/[m + 1]) . Zeige: Der Automorphismus α von X mit η ◦ α = δη und f ◦ α = f hat zwei Fixpunkte, und α2 hat vier Fixpunkte. Hinweis: Benutze f /η m+1 f¨ ur die Suche nach Fixpunkten in η −1 (∞) . (ii) Sei (X, η, f ) das Gebilde zu w 2 + z 2m+2 + z . Sei δ := exp(2πi/[2m + 1]) . Zeige: Der Automorphismus α von X mit η ◦ α = δη und f ◦ α = δ m+1 f hat drei Fixpunkte. Das Produkt α ◦ σ mit der Involution σ ∈ D(η) hat einen Fixpunkt. Bemerkung. Wenn X hyperelliptisch ist, hat jedes Element in Aut(X) \ D(η) h¨ ochstens vier Fixpunkte, siehe 8.3.6(2). 11) Sei (X, η, f ) das algebraische Gebilde zu w n + z n + 1 . Zeige: Zu δ, ε ∈ µn gibt es genau einen Automorphismus αδ,ε von X mit η ◦ αδ,ε = δη und f ◦ αδ,ε = εf . Ist µn × µn → Aut(X), (δ, ε) → αδ,ε , ein Homomorphismus? Ist diese Abbildung injektiv und/oder surjektiv? Welche Fixpunkte hat αδ,ε ? Hinweis: Benutze f /η , um nach Fixpunkten in η −1 (∞) zu suchen. 12) Sei (X, η, f ) das algebraische Gebilde zu w 7 − z 2 (z − 1) . Zeige: Die Kleinsche Fl¨ ache X besitzt einen Automorphismus β mit f2 1 und f ◦ β = − . η◦β =1− η η ur jedes α ∈ D(η) Zeige, daß β die Ordnung 3 hat und β ◦ α = α2 ◦ β f¨ gilt. Welche Ordnung hat die von α und β erzeugte Untergruppe α, β von Aut(X) ? Untersuche, ob α bzw. β ein Normalteiler von α, β ist. ¨ 13) Zeige: Jede verzweigte, zyklische Uberlagerung einer kompakten Fl¨ ache hat mindestens zwei Verzweigungspunkte.
durch t → ± t, ± t−1 , vgl. 4.2.4 mit q = 2 . 14) Die Vierergruppe wirkt auf C Gib eine rationale Orbitprojektion η an und erg¨ anze sie zum algebraischen
η, f ) mit einem biquadratischen Minimalpolynom P . Gebilde (C,

7. Differentialformen und Integration

Um die Differentiation und Integration in die Theorie Riemannscher Fl¨ achen zu u ¨bertragen, werden den Funktionen die Differentialformen gleichberechtigt zur Seite gestellt. Sie treten als Ableitungen meromorpher Funktionen und als Integranden der Wegintegrale auf. Zu jeder Differentialform = 0 geh¨ort ein Null- und Polstellendivisor. Diese Divisoren werden kanonischen Divisoren genannt. Auf kompakten Fl¨ achen haben sie einen nur von der Fl¨ ache abh¨ angigen Grad, welcher, traditionell mit −1 multipliziert, die analytische Charakteristik der Fl¨ ache genannt und mit χ bezeichnet wird. Eine Formel von Riemann und Hurwitz verkn¨ upft bei ¨ Uberlagerungen η : X → Y die Charakteristiken von X und Y mit dem Grad und den Windungszahlen von η . Hurwitz folgend demonstrieren wir die Schlagkraft dieser Formel durch Anwendungen auf Automorphismen. Die aus der klassischen Funktionentheorie bekannten Residuen werden in der Theorie Riemannscher Fl¨ achen den isolierten Singularit¨ aten der Differentialformen zugeordnet. Bei meromorphen Formen auf kompakten Fl¨ achen ist die Summe aller Residuen gleich 0 . Dies spielt in den weiter f¨ uhrenden Untersuchungen dieser Fl¨ achen eine wichtige Rolle. Integrale algebraischer Funktionen wurden bereits lange vor Riemann untersucht, blieben jedoch wegen ihrer Vieldeutigkeit umstritten, bis Riemann sie als Integrale u ¨ ber Differentialformen l¨ angs Wegen auf kompakten Fl¨ achen deutete. Wir u ¨bernehmen seine Definition und beweisen durch Integration die Abelsche Relation f¨ ur Hauptdivisoren auf kompakten Fl¨ achen sowie die Charakterisierung der Tori durch die Existenz einer Differentialform ohne Null- und Polstellen. Die Integration verkn¨ upft die topologische Gestalt jeder Riemannschen Fl¨ ache mit ihrer holomorphen Struktur. Um diese Beziehung systematisch auszubauen, vereinfachen wir die Fundamentalgruppe durch Abelsch-machen zur Homologie und interpretieren die Integration als Paarung Homologie × {Differentialformen} → C . Sie entfaltet ihre volle Wirkung erst ab dem 10. Kapitel, wenn die Beweise der tiefliegenden S¨ atze der Theorie Riemannscher Fl¨achen vorbereitet werden.

7.1 Differentialformen

135

7.1 Differentialformen Zun¨ achst wird analysiert, wie die Ableitung einer meromorphen Funktion von der Wahl holomorpher Karten abh¨ angt. Das Transformationsverhalten der Ableitungen beim Kartenwechsel dient als Vorbild f¨ ur die Definition der Differentialformen.– Wir bezeichnen mit A = {(Uα , zα )}, α ∈ A , den maximalen holomorphen Atlas der Riemannschen Fl¨ ache X . 7.1.1 Ableitungen. Zu f ∈ M(Uα ) geh¨ort die Ableitung (1) df /dzα := (f ◦ zα−1 )′ ◦ zα ∈ M(Uα ) . F¨ ur jedes Paar (α, β) ∈ A2 ist die Ableitung des Kartenwechsels (2) dzα /dzβ auf Uα ∩ Uβ holomorph und nullstellenfrei. Aus der Kettenregel folgt die Transformationsformel f¨ ur Ableitungen bei einem Kartenwechsel: df df dzβ = (3) · auf Uα ∩ Uβ . dzα dzβ dzα Sie dient als Vorbild f¨ ur die Definition der 7.1.2 Differentialformen. Eine meromorphe Differentialform, kurz eine Form, ω = {ωα }α∈A auf X besteht aus Funktionen ωα ∈ M(Uα ) , welche die Transformationsregeln ur alle (α, β) ∈ A2 (1) ωα = ωβ · (dzβ /dzα ) auf Uα ∩ Uβ f¨ erf¨ ullen. Die Ableitung einer meromorphen Funktion f ist die Form (2) df = {df /dzα } . Wenn ω = df ist, nennt man f eine Stammfunktion von ω . Genau dann, ur alle α .– Zur wenn f lokal konstant ist, gilt df = 0 , d.h. df /dzα = 0 f¨ Definiton einer Differentialform ben¨ otigt man nicht den maximalen Atlas A :

(3) Ist {(Uj , zj )} , j ∈ J ⊂ A , ein Atlas und {ωj }, j ∈ J , eine Familie von ur alle α, β ∈ J erf¨ ullt ist, so gibt es Funktionen ωj ∈ M(Uj ) , so daß (1) f¨ genau eine Form ω auf X , die auf (Uj , zj ) durch ωj gegeben wird. Beweis. Sei (Uα , zα ) ∈ A . Zu jedem Punkt a ∈ Uα bildet man Ja := angig von der Wahl von j ∈ Ja den Wert {j ∈ J : a ∈ Uj } , definiert unabh¨  ωα (a) := ωj (a) · (dzj /dzα )(a) ∈ C und erh¨ alt ωα ∈ M(Uα ) . Man verifiziert (1) f¨ ur alle α, β ∈ A .
Differentialformen ω = {ωα }, ϕ = {ϕα } lassen sich addieren und mit Funktionen f ∈ M(X) multiplizieren: ω + ϕ := {ωα + ϕα } , f ω := {f |Uα · ωα } . Dadurch wird die Menge E(X) aller Formen auf einer zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X zu einem Vektorraum u ¨ber dem K¨ orper M(X) . Satz. Der M(X)-Vektorraum E(X) ist eindimensional: Zu je zwei Formen ϕ = 0 und ω gibt es genau eine Funktion f ∈ M(X) mit ω = f ϕ .

136

7. Differentialformen und Integration

Beweis. Die Quotienten fα = ωα /ϕα setzen sich zur Funktion f zusammen.– Nach dem Riemannschen Existenzsatz existiert eine nicht-konstante Funktion f ∈ M(X) . Wegen df = 0 ist dim E(X) > 0 .
Wir schreiben suggestiv f = ω/ϕ . Ist U ⊂ X offen, so existiert f¨ ur jedes ω ∈ E(X) die Einschr¨ ankung ω|U . F¨ ur jede Karte (Uα , zα ) ist ω|Uα = ωα dzα .– Wenn X zusammenh¨angt, folgt aus ω|U = 0 f¨ ur eine offene Menge U = ∅ bereits ω = 0 . Wenn man die Formel (1) mit einem Exponenten k ∈ Z durch (1k ) ωα = ωβ · (dzβ /dzα )k ersetzt, nennt man ω = {ωα } eine k-Differentialform, speziell f¨ ur k = 2 eine quadratische Differentialform. Wir benutzen sie selten, z.B. in 8.5.6. 7.1.3 Ableitungsregeln. Mittels lokaler Karten lassen sich die Regeln aus  offen. der klassischen Funktionentheorie u ¨bertragen. Sei U ⊂ C F¨ ur f, g ∈ M(X) , f (X) ⊂ U und h ∈ M(U ) gelten: d(f + g) = df + dg , d(f · g) = f · dg + g · df , d(h ◦ f ) = (h′ ◦ f ) · df
7.1.4 Ordnung. Kanonische Divisoren. Analytische Charakteristik. ¨ Weil die Ubergangsfunktionen dzβ /dzα keine Null- und Polstellen haben, h¨ angt bei jeder Differentialform ω = {ωα } die Ordnung (1) o(ω, x) := o(ωα , x) f¨ ur x ∈ U α nicht von α ab. Man nennt x eine Nullstelle von ω , wenn o(ω, x) > 0 ist, und eine Polstelle, wenn o(ω, x) < 0 ist. Die Form ω heißt holomorph bei x , wenn o(ω, x) ≥ 0 ist. Wenn dies f¨ ur alle x ∈ U gilt, heißt ω holomorph auf U . Wir entnehmen der lokalen, klassischen Funktionentheorie:  v(f, x) − 1 , wenn f (x) = ∞. (2) o(df, x) = o(f, x) − 1 , wenn f (x) = ∞. o(df, x) = −1 . Wenn ω auf einer Scheibe holomorph ist, besitzt ω dort eine Stammfunktion. F¨ ur jede meromorphe Form ω = 0 ist die Zuordnung (ω) : X → Z , x → o(ω, x) , ein Divisor. F¨ ur f ∈ M(X) gilt (f ω) = (f ) + (ω) . Die Divisoren (ω) meromorpher Formen ω = 0 heißen kanonische Divisoren. Nach Satz 7.1.2 ist die Differenz kanonischer Divisoren ein Hauptdivisor. Auf jeder kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X haben alle kanonischen Divisoren K denselben Grad, da Hauptdivisoren nach 1.6.4(4) den Grad 0 haben. Man nennt χ(X) := −grK die analytische Charakteristik von X . Sie stimmt mit der Euler-Poincar´eschen Charakteristik u ¨berein und ist durch χ = 2 − 2g mit dem Geschlecht g von X verbunden ist, siehe 12.4.1.– Holomorphe Formen auf kompakten Fl¨ achen werden in 8.2 untersucht.

7.1 Differentialformen

137

7.1.5 Berechnungen der Charakteristik. Wir betrachten Beispiele kompakter Fl¨ achen X , bei denen eine nicht-konstante Funktion f ∈ M(X) bekannt ist und berechnen χ(X) mittels 7.1.4(2). →C  hat keine Windungspunkte und einen (a) Die identische Funktion z : C einfachen Pol, also  = 2 , g(C)  =0. (1) χ(C)  zweibl¨attrig mit 2 + 2m Verzweigungspunkten, vgl. (b) Sei η : X → C 4.7.5. Mit einer nachgeschalteten M¨ obius-Transformation machen wir ∞ zum Verzweigungspunkt. Die Funktion η hat 1 + 2m Windungspunkte mit Werten = ∞ und Windungszahlen 2 sowie einen doppelten Pol, also (2) χ(X) = 2 − 2m , g(X) = m . Bei diesen Beispielen treten alle nat¨ urlichen Zahlen als Geschlechter auf. Jeder Torus X = C/Ω kommt mit η = ℘ und m = 1 (vier Windungspunkte) unter den letzten Beispielen vor, also (3)

χ(C/Ω) = 0 , g(C/Ω) = 1 .

 eine normale Uberlagerung, ¨ (c) Allgemeiner sei η : X → C deren Grad eine Primzahl n ist. Dann gilt v(η, x) = n f¨ ur jeden Windungspunkt x , und η bildet die Menge der Windungspunkte bijektiv auf den Verzweigungsort B ab. Es gilt (4) χ(X) = 2n − (n − 1) · ♯B , g(X) = 12 (n − 1)(♯B − 2) . Beweis. Man kann ∞ ∈ B annehmen. Die Ableitung dη hat dann b − 1 Nullstellen und einen Pol. Alle Nullstellen haben die Ordnung n − 1 , und der Pol hat die Ordnung −n − 1 .


ache Insbesondere haben die durch w 7 − z 2 (z − 1) bestimmte Kleinsche Fl¨ und die durch w 7 − z(z − 1) bestimmte hyperelliptische Fl¨ ache beide das ¨ Geschlecht 3 , da f¨ ur die entsprechenden Uberlagerungen B = {0, 1, ∞} und n = 7 ist, siehe 6.4.4.  die Modul¨ uberlagerung (5.7.2). Sie verzweigt u ¨ber (d) Sei ηn : Xn → C 0, 1, ∞ mit den Windungszahlen 3, 2, n . Ihr Grad ist die Ordnung dn := ♯Gn der Modulgruppe (5.7.4). Nach der Bahnengleichung 1.5.1(1) gibt es dn /3 Windungspunkte mit der Windungszahl 3 und dn /2 Windungspunkte mit der Windungszahl 2 , die keine Pole sind, sowie dn /n Pole mit der Ordnung −n . Daraus folgt     1 1 1 1 1 − − (5) χn := χ(Xn ) = dn , gn := g(Xn ) = 1 − dn . n 6 2 n 6  Folgende Tabelle dieser Werte enth¨ alt f¨ ur n ≤ 6 nichts Neues, da Xn ≈ C f¨ ur n ≤ 5 und X6 = hexagonaler Torus nach 5.7.3 schon bekannt sind. F¨ ur n = 7 erreicht d7 = 168 die maximale Ordnung der Automorphismengruppen von Fl¨ achen des Geschlechtes 3 , siehe 7.2.5.

138

7. Differentialformen und Integration

n 2 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

dn 6 12 24 60 72 168 192 324 360 660 576 χn 2 2 2 2 0 -4 -8 -18 -24 -50 -48 gn 0 0 0 0 1 3 5 10 13 26 25 7.1.6 Liftung der Differentialformen. Sei η : X → Y holomorph und ur offen. Jede Funktion f ∈ M(Y ) wird zu η ∗ f := f ◦ η ∈ M(X) geliftet. F¨ f, g ∈ M(Y ) gilt, wenn g ◦ η nirgends konstant ist, df d(f ◦ η) = ◦η . (1) d(g ◦ η) dg Beweis. Jeder Punkt in X hat eine Umgebung η −1 (V ) f¨ ur eine holomorphe Karte (V, h) von Y . Es gen¨ ugt, (1) auf η −1 (V ) zu beweisen: Es gibt Funktionen f1 , g1 ∈ M(h(V )) mit f = f1 ◦ h und g = g1 ◦ h . Nach 7.1.3 sind beide Seiten von (1) gleich (f1′ /g1′ ) ◦ h ◦ η .
Zur Definition der Liftung η ∗ ω ∈ E(X) einer Differentialform ω ∈ E(Y ) ur Y , geht von den lokalen benutzt man den maximalen Atlas {(Vj , hj )} f¨ Darstellungen ω|Vj = ωj dhj aus und bildet die Differentialformen η ∗ (ωj dhj ) := (ωj ◦ η) · d(hj ◦ η) auf η −1 (Vj ) . Weil X durch {η −1 (Vj )} u ¨berdeckt wird, f¨ ugen sich diese Formen zu einer Differentialform η ∗ ω auf X zusammen: Wegen (1), angewendet auf f = hj und g = hk , gilt n¨ amlich η ∗ (ωj dhj ) = η ∗ (ωk dhk ) auf η −1 (Vj ∩ Vk ) . F¨ ur Formen ω und Funktionen f auf Y verifiziert man die Liftungsregeln:

(2) Die Liftung η ∗ : E(Y ) → E(X) ist C-linear und injektiv. Es gilt η ∗ (f ω) = (f ◦ η) · η ∗ ω , η ∗ (df ) = d(f ◦ η). (3) η1∗ (η ∗ ω) = (η ◦ η1 )∗ ω f¨ ur offene, holomorphe Abbildungen η1 : X1 → X.   (4) o(η ∗ ω, x) = v(η, x) · o ω, η(x) + v(η, x) − 1 f¨ ur alle x ∈ X . (5) Sei a ∈ X . Eine Form ω mit isolierter Singularit¨ at in η(a) l¨ aßt sich meromorph nach η(a) fortsetzen, sobald η ∗ ω meromorph nach a fortgesetzt werden kann.


7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen. Beim Studium gelifteter Divisoren gewinnen wir die Riemann-Hurwitzsche ¨ Formel, welche die M¨oglichkeiten f¨ ur holomorphe Uberlagerungen η: X→ Y zwischen kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen eingeschr¨ankt. Wir zeigen, wie sich diese Einschr¨ ankungen bei Automorphismen auswirken, wenn man – unter Vorgriff auf sp¨ atere Ergebnisse – zus¨atzlich den Einfluß des topologischen Geschlechtes auf die analytische Struktur der Fl¨ achen ber¨ ucksichtigt.

7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen.

139

7.2.1 Geliftete Divisoren. Sei η : X → Y holomorph und offen. Zu jeden Divisor D auf Y wird der geliftete Divisor η ∗D durch   (1) η ∗D : X → Z , x → v(η, x) · D η(x) , definiert. Wenn X und Y kompakt sind, ist

(2) gr (η ∗D) = gr η · grD . Zum Beweis summiert man zun¨achst u ¨ ber alle Punkte x einer festen Faser ¨ber alle y ∈ Y .
η −1 (y) und dann u F¨ ur den Hauptdivisor (f ) jeder Funktion f ∈ M(Y ) gilt wegen 1.6.3(2) (3) η ∗ (f ) = (f ◦ η) .

F¨ ur Differentialformen ω ∈ E(Y ) kommt der Windungsdivisors (4) Wη : X → N , x → v(η, x) − 1 ,

ins Spiel. Denn wegen 7.1.6 (4) ist (5) (η ∗ ω) = η ∗ (ω) + Wη .




Bei kompakten Fl¨ achen kann man die Grade bilden. Wegen (2) entsteht die Riemann-Hurwitzsche Formel (RH) χ(X) = gr η · χ(Y ) − v(η) mit der Verzweigungszahl   v(η, x) − 1 .
(6) v(η) := gr Wη = x∈X

F¨ ur gleich-verzweigte η mit der Verzweigungssignatur S ist    (7) v(η) = y∈B 1 − S(y)−1 , B = Verzweigungsort . Wenn gr η eine Primzahl ist, vereinfacht sich (7) zu (8) v(η) = (gr η − 1) · ♯B .





kannte Riemann bereits 1857 die Formel (RH), siehe Historisches. F¨ ur Y = C [Ri 3], Artikel 7. Hurwitz bewies sie im Jahre 1891 f¨ ur beliebiges Y mit topologischen Methoden, siehe [Hur] 1, S. 375 f., und zwei Jahre sp¨ater wie oben durch Liftung von Differentialformen, [Hur] 1, S. 392.

7.2.2 Folgerungen. Um Folgerungen und Anwendungen der RiemannHurwitzschen Formel sogleich in ihrer endg¨ ultigen Gestalt anzugeben, benutzen wir in den n¨ achsten Abschnitten das in 1.1.5 anschaulich eingef¨ uhrte topologische Geschlecht g ∈ N und nehmen zwei Ergebnisse vorweg:  isomorph, siehe 10.7.4. (a) Alle Fl¨ achen vom Geschlecht g = 0 sind zu C (b) Durch g ist die Charakteristik χ = 2 − 2g bestimmt, siehe 12.4.1. ¨ Wir betrachten n-bl¨ attrige holomorphe Uberlagerungen η : X → Y zwischen kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen der Geschlechter g bzw. γ .  (1) Die Verzweigungszahl v(η) := (v(η, x) − 1) ist gerade.  nur sich selbst u (2) Es gilt g ≥ γ. Insbesondere kann C ¨berlagern. (Satz von L¨ uroth)

140

7. Differentialformen und Integration

(3) Aus n ≥ 2 und g = γ ≥ 1 folgt, daß η unverzweigt und g = γ = 1 ist.  isomorph, Dann ist η unver(4) Sei X ein Torus, und sei Y nicht zu C zweigt, und Y ist auch zu einem Torus isomorph. (5) Aus γ ≥ 2 folgt n ≤ g − 1 und sogar n < g − 1 , wenn η verzweigt ist. Beweis. Die Aussagen (1)-(3) und (5) sind direkte Konsequenzen von (RH). Zu (4): Es ist g = 1 . Wegen (3) ist γ = 1 und η unverzweigt. Mit der Torus¨ Projektion π : C → X entsteht die normale, unverzweigte Uberlagerung η ◦ π : C → Y . Nach der Folgerung in 2.5.1 ist Y zu einem Torus oder zu
C× isomorph. Weil Y kompakt ist, scheidet C× aus. 7.2.3 Die Modulfl¨ ache X7 wird durch w 7 − z 2 (z − 1) definiert.

Beweis. Bei der Operation der Modulgruppe G7 auf X7 gibt es eine Standgruppe der Ordnung 7 . Sei η : X7 → Y die entsprechende Orbitprojektion, und sei r die Anzahl der Verzweigungspunkte. Nach der Tabelle in 7.1.5 hat X7 die Charakteristik −4 . Mit (RH) und 7.2.1(8) folgt −4 = 7(2 − 2γ) − 6r ,  und den Verzweigungsalso r = 3 , γ = 0 . Man kann daher Y = C ort {0, 1, ∞} erreichen. Nach 6.4.4 wird η durch w 7 − z(z − 1) oder das angegebene Polynom definiert. Im ersten Fall w¨ are X7 hyperelliptisch. Das wird in 8.6.4 ausgeschlossen.
¨ 7.2.4 Gleichverzweigte Uberlagerungen. Sei η : X → Y gleichverzweigt und g ≥ 2 . (a) Es ist n ≤ 84(g − 1) .– (b) Aus n > 4(g − 1) folgt  .– (c) Wenn n = 84(g − 1) ist, gibt es genau drei Ausnahmefasern. Y ≈C L¨ angs ihnen hat η die Windungszahlen 2, 3 und 7 . Beweis. Sei χ die Charakteristik von X . Aus (RH) und 7.2.1(7) folgt: r −χ = 2g − 2 = nq mit q = 2γ − 2 + j=1 (1 − n−1 j )>0 . Dabei numeriert j die Ausnahmefasern so, daß nj die Windungszahl l¨ angs achst ist r = 0 zugelassen. der j-ten Faser ist und 2 ≤ n1 ≤ . . . ≤ nr gilt. Zun¨ F¨ ur γ ≥ 2 ist n ≤ g − 1 . F¨ ur γ = 1 ist r ≥ 1 , also q ≥ 21 , da anderenfalls q ≤ 0 w¨are. Aus q ≥ 12 folgt n ≤ 4(g − 1) . Damit ist (b) bewiesen, und wir m¨ ussen (a) und (c) nur noch f¨ ur den Fall γ = 0 beweisen. Wegen q > 0 ist r ≥ 3 .– F¨ ur r = 3 ist 1/42 der minimale q-Wert > 0 , also n ≤ 84(g − 1) . Der minimale Wert q = 1/42 und damit n = 84(g − 1) wird ur r = 4 ist 1/6 genau dann erreicht, wenn (n1 , n2 , n3 ) = (2, 3, 7) ist.– F¨ der minimale q-Wert > 0. Er wird f¨ ur n1 = n2 = n3 = 2, n4 = 3 erreicht und ergibt n ≤ 12(g − 1) .– F¨ ur r ≥ 5 ist q ≥ 1/2 , also n ≤ 4(g − 1) .
7.2.5 Endliche Automorphismengruppen. Jede endliche Untergruppe G der Automorphismengruppe einer Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 2 hat eine Ordnung n ≤ 84(g − 1) . F¨ ur n > 4(g − 1) ist die Orbitfl¨ ache X/G zur Zahlenkugel isomorph. Wenn n = 84(g − 1) ist, gibt es genau drei Ausnahmeorbiten. Ihre Standgruppen haben die Ordnungen 2, 3 bzw. 7 . Beweis. Man wendet 7.2.4 auf die Orbitprojektion η : X → X/G an.




7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen.

141

Der extreme Fall n = 84(g − 1) tritt mit g = 3, n = 168 bei der Operation der Modulgruppe G7 auf der Modulfl¨ ache X7 ein, siehe die Tabelle in 7.1.5. Es gibt unendlich viele Beispiele, siehe [Ac], S.46 ff. In 11.5.4 wird die Endlichkeit von Aut(X) f¨ ur g(X) ≥ 2 bewiesen. Die Ergebnisse in 7.2.4-5 und ihre Beweise stammen von Hurwitz, [Hur] 1, S. 410 ff.

7.2.6 Fixpunkte. Sei g ≥ 1 . Sei G < Aut(X) eine endliche Untergruppe. Sei |α| die Anzahl der Fixpunkte von α ∈ G∗ := G \ {id} . Dann hat die Projektion η : X → Y := X/G die Verzweigungszahl  (1) v(η) = |α| . α∈G∗

Beweis. Wir z¨ ahlen die Menge M := {(α, x) ∈ G∗ × X : α(x) = x} auf zwei Weisen ab:  (i) Zu jedem α geh¨ oren |α| viele Elemente (α, x) ∈ M . Daher ist ♯M = |α| . (ii) Jeder Punkt x hat eine Standgruppe der Ordnung v(η, x) . Zux geh¨ oren daher v(η, x) − 1 viele Elemente (α, x) ∈ M . Somit  ist ♯M = v(η, x) − 1 .


Wenn G von einem Element α der Ordnung n erzeugt wird, gilt |α| ≤ |β| f¨ ur alle β ∈ G∗ , also v(η) ≥ (n−1)·|α| . Aus (RH) 2g −2 = n·(2γ −2)+v(η) folgt die Absch¨ atzung: (2)

|α| ≤ 2 − 2γ + 2(g − γ)/(n − 1) .

Wenn n eine Primzahl ist, folgt aus (RH) und 7.2.1(8) (3) 2g − 2 = n · (2γ − 2) + (n − 1) · |α| . F¨ ur eine Involution (n = 2) ist r = 2g + 2 − 4γ ≤ 2g + 2 . Das Maximum r = 2g + 2 wird genau dann erreicht, wenn η eine (hyper-)elliptische ¨ Uberlagerung ist. (4) F¨ ur beliebige Primzahlen n und g ≥ 2 gilt n ≤ 2g + 1 . F¨ ur n = 2g + 1   wird durch ¨ ist Y ≈ C und r = 3 . Die Uberlagerung η : X → C 2g+1 a b − z (z − 1) definiert. Dabei ist 0 < a, b < 2g + 1 , und 2g + 1 w teilt a + b nicht. Beweis. F¨ ur γ ≥ 2 ist n ≤ g − 1 . F¨ ur γ = 1 ist r ≥ 1 wegen g ≥ 2 , also n ≤ 2g − 1 . F¨ ur γ = 0 ist r ≥ 3 wegen g ≥ 2 . Aus r ≥ 4 folgt n ≤ g + 1 . F¨ ur r = 3 ist n = 2g + 1 . Man transformiert den Verzweigungsort nach {0, 1, ∞} und erh¨ alt die letzte Behauptung aus 6.4.2.
F¨ ur weitere Fixpunkt -Ergebnisse siehe 8.3.6, 13.1.4 und 13.5.5. Wir verweisen außerdem auf [Hur] 1, XII und XXIII , auf [Ac] und auf [FK], Chap.V.

142

7. Differentialformen und Integration

7.3 Residuum. Invariante Formen. Spur. Das aus der klassischen Funktionentheorie bekannte Residuum wird auf Fl¨ achen wegen seines Verhaltens beim Kartenwechsel f¨ ur Differentialformen und nicht f¨ ur Funktionen erkl¨ art. Auf kompakten Fl¨ achen ist bei jeder Form die Residuensumme = 0 . Wir beweisen dieses wichtige Ergebnis mit Hilfe der Spur von Differentialformen, welche auch zum Beweis der Abelschen Relation in 7.5 benutzt wird. Zur Definition der Spur brauchen wir invariante Differentialformen. 7.3.1 Definition des Residuums. Sei z : (U, a) → (E, 0) eine Karte der Fl¨ ache X und ω eine auf U \ {a} holomorphe Form. Wir entnehmen der klassischen Funktionentheorie: Es gibt genau ein c ∈ C , so daß ω − c · dz/z eine Stammfunktion g auf U \ {a} besitzt. Satz. Das Residuum res(ω, a) := c h¨ angt nicht von der Karte z ab. Die Zuordnung ω → res(ω, a) ist C-linear.

Beweis. Sei ω = c · dz/z + dg und sei z1 eine zweite Karte mit z1 (a) = 0 . Dann ist h := z1 /z um a holomorph und nullstellenfrei. Die holomorphe Form dh/h besitzt eine Stammfunktion k . Aus z1 = z · h folgt dz1 /z1 = dz/z + dk und somit ω − c dz1 /z1 = d(g − c k) .
In E(X) betrachtet man drei C -Untervektorr¨ aume Ej (X) :

E1 (X) := {ω ∈ E(X) : o(ω, x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ X} , ur x ∈ X} , E2 (X) := {ω ∈ E(X) : res(ω, x) = 0 f¨ E3 (X) := {ω ∈ E(X) : o(ω, x) ≥ −1 f¨ ur x ∈ X} . Die Elemente aus Ej (X) heißen Formen j-ter Gattung. Die Formen in E1 (X) heißen holomorph, siehe 7.1.4. Es gilt ω ∈ E2 (X) genau dann, wenn es um jedem Punkt eine Scheibe gibt, auf der ω eine Stammfunktion besitzt. 7.3.2 Transformationsformel. Sei η : X → Y holomorph und offen.   ur ω ∈ E(Y ) und a ∈ X . (1) res(η ∗ ω, a) = v(η, a) · res ω, η(a) f¨ Beweis. Es gibt Karten z von X und w von Y mit z(a) = 0 und w ◦ η = z n f¨ ur n := v(η,  a) . Aus der lokalen Darstellung ω = c · dw/w + dg mit c =
res ω, η(a) folgt η ∗ ω = c n · dz/z + d(g ◦ η) , also c n = res (η ∗ ω, a) .

¨ 7.3.3 Invariante Differentialformen. Sei η : X → Y eine normale Uberlagerung mit der Deckgruppe D . Eine Form ω auf X heißt D -invariant, ur alle g ∈ D gilt. Die Liftung η ∗ ϕ jeder Form ϕ auf Y wenn g ∗ ω = ω f¨ ist D-invariant, und ϕ ist durch η ∗ ϕ eindeutig bestimmt, siehe 7.1.6(2). (1) Jede invariante Form ω ist die Liftung ω = η ∗ ϕ einer Form ϕ auf Y . Beweis. Sei B der Verzweigungsort. Jeder Punkt in Y \B besitzt eine trivial u ¨berlagerte Umgebung V : Es gibt eine Scheibe U ⊂ X mit

7.3 Residuum. Invariante Formen. Spur.

143

 η −1 (V ) = g∈D g(U ) , so daß die Beschr¨ankung η : U → V biholomoph ist. Daher existiert ein ϕV ∈ E(V ) mit (η|U )∗ ϕV = ω|U . Wegen der Invarianz von ω ist η ∗ ϕV = ω|η −1 (V ) . Da η ∗ injektiv ist, gilt ϕV = ϕW auf V ∩ W f¨ ur je zwei trivial zu einer Form u ¨berlagerte Umgebungen V, W . Daher setzen sich alle ϕ V   aßt sich ϕ ∈ E(Y \ B) mit η ∗ ϕ = ω| X \ ϕ−1 (B) zusammen. Nach 7.1.6(5) l¨ ϕ meromorph nach B fortsetzen.
Beispiel. Sei η : C → C/Ω eine Torusprojektion. Die Form dz ∈ E1 (C) ist translationsinvariant. Daher gibt es genau eine Form ω ∈ E1 (C/Ω) mit η ∗ ω = dz . Sie hat wie dz keine Nullstellen. Es ist E1 (C/Ω) = C · ω . Denn f¨ ur jede Form ϕ ∈ E1 (C/Ω) ist ϕ/ω ∈ O(C/Ω) = C . Da η ∗ injektiv ist, gilt (2) ω = d℘/ ˆ ℘ˆ′ .

7.3.4 Die Spur. Sei η : X → Y eine endliche Abbildung mit der  normale ∗ g ω D-invariant. Daher Deckgruppe D . F¨ ur jede Form ω ∈ E(X) ist g∈D  g ∗ ω . Die Definition gibt es genau eine Form sp ω ∈ E(Y ) mit η ∗ (sp ω) = der Spur sp ω l¨ aßt sich auf alle endlichen Abbildungen ausdehnen:

Satz. Zu jeder endlichen Abbildung η : X → Y gibt es genau eine lineare Abbildung spη : E(X) → E(Y ) mit folgenden Eigenschaften: (1) F¨ ur jedes Gebiet V ⊂ Y und die ankung η ′ : η −1 (V ) → V von η  Beschr¨ −1 gilt (spη ω)|V = spη′ ω|η (V ) . achen gilt (2) F¨ ur die disjunkte Vereinigung X = X1 ⊎ X2 zweier Fl¨ spη = spη|X1 + spη|X2 .  g∗ ω . (3) F¨ ur normale Abbildungen η gilt η ∗ (spη ω) = g∈D(η)

Eindeutigkeitsbeweis. Wegen der Injektivit¨ at von η ∗ ist in (3) spη ω durch die rechte Seite eindeutig bestimmt. Weil Y durch elementar u ¨berlagerte Scheiben u ¨berdeckt wird, folgt aus (1)-(3) die Eindeutigkeit der Spur. Existenzbeweis. Zun¨ achst sei η unverzweigt. F¨ ur jede trivial u ¨berlagerte Scheibe T ⊂ Y ist η −1 (T ) = S1 ⊎ . . . ⊎ Sn eine disjunkte Vereinigung von Scheiben, so daß die Beschr¨ankungen ην : Sν → T von η Isomorphismen sind. Es gibt daher eindeutig bestimmte Formen ϕν auf T mit ην∗ ϕν = ω|Sν . Wir bilden ϕT := ϕ1 + . . . + ϕn . F¨ ur je zwei trivial u ¨berlagerte Scheiben ¨berein. Daher setzen sich T1 und T2 stimmen ϕT1 und ϕT2 auf T1 ∩ T2 u die Formen ϕT zu einer Form spη ω auf Y zusammen. Man verifiziert die Eigenschaften (1)-(3). Wenn η den Verzweigungsort B ⊂ Y hat, ist die Beschr¨ ankung η ′ : X \ η −1 (B) → Y \ B von η unverzweigt. Um spη′ ω meromorph nach b ∈ B fortzusetzen, benutzen wir eine elementar u ¨berlagerte Scheibe V um b . Dann ist η −1 (V ) = U1 ⊎ . . . ⊎ Ur eine disjunkte Vereinigung von Scheiben, so daß sind. Nach die Beschr¨ankungen ηj : Uj → V von η Windungsabbildungen  ∗ 7.3.3 gibt es genau eine Form ϕˆj auf V mit ηj∗ ϕˆj = g∈D(ηj ) g ω . Aus (1)-(3) folgt, daß spη′ ω auf V \ {b} mit ϕˆ1 + . . . + ϕˆr u ¨bereinstimmt.


144

7. Differentialformen und Integration

7.3.5 Das Residuum der Spur lautet res (sp ω, b) =



res (ω, a) .

a∈η −1 (b)

Beweis. Wegen 7.3.4(1)-(2) gen¨ ugt es, die Behauptung f¨ ur eine Windungsabbildung zu beweisen. Nach 7.3.2(1) und 7.3.4(3) ist dann v(η, a) res(sp ω, b) =   
res η ∗ (sp ω), a = g∈D(η) res (g ∗ ω, a) = v(η, a) res(ω, a) . 7.3.6 Residuensumme. Wenn X kompakt ist, gilt  res (ω, x) = 0 f¨ ur alle ω ∈ E(X) . x∈X

Beweis. Die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen zeigt: Jede Form  ist eine C-Linearkombination von Formen der Gestalt (z − a)n dz mit auf C a ∈ C , n ∈ Z ; sie hat daher die Residuensumme 0 . F¨ ur den allgemeinen Fall einer Form ω auf X bildet man zu einer nirgends konstanten meromorphen  die Spur sp ω und erh¨ Funktion η : X → C alt wegen 7.3.4(3)   res(sp ω, z) =
0 = z∈ x∈X res (ω, x) . C Wenn man die Theorie meromorpher Formen in den Differentialformen-Kalk¨ ul auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten einbettet, kann man die Aussage aus dem Satz von Stokes folgern, ohne die Spur zu benutzen, siehe z.B. [For], S. 73.

7.4 Integration Wir definieren die Integration von Differentialformen l¨ angs stetiger Wege auf zusammenh¨angenden Fl¨ achen X mittels lokaler Stammfunktionen. 7.4.1 Charakterisierung der Integration. Es gibt genau eine Funktion, die jeder holomorphen Form ω und jedem Weg u in X einen Wert  ω∈C (1) u zuordnet, so daß folgende Eigenschaften vorliegen: F¨ ur jede Zerlegung von u : [α, γ] → X durch α < β < γ in u1 = u|[α, β] und u2 = u|[β, γ] gilt    ω = u1 ω + u2 ω . (2) u Wenn u von a nach b l¨ auft und ω auf einer Umgebung des Bildes von u eine Stammfunktion f besitzt, ist  ω = f (b) − f (a) . (3) u Man nennt (1) das Integral von ω l¨ angs u . Beweis. Nach 3.1.7 gibt es zu jedem Weg u : [α, β] → X eine Zerlegung (4) α = t 0 < t1 < · · · < t n = β , so daß jeder Teilweg uj := u|[tj−1 , tj ] in einer Scheibe Uj l¨auft, wo ω|Uj eine Stammfunktion fj besitzt. Man definiert n        fj u(tj ) − fj u(tj−1 ) . ω := (5) u j=1

7.4 Integration

145

Die Funktion fj ◦ uj h¨ angt bis auf die Addition einer Konstanten nur von uj und ω ab. Daher ist die rechte Seite von (5) durch ω, u und die Zerlegung (4) eindeutig bestimmt. Ihr Wert a¨ndert sich nicht, wenn man (4) verfeinert, d.h. neue Teilungspunkte hinzuf¨ ugt. Da je zwei Zerlegungen eine gemeinsame Verfeinerung besitzen, ist (5) eine sinnvolle, d.h. nur von u und ω abh¨ angige Definition der Integralfunktion, die (2) und (3) erf¨ ullt.
7.4.2 Integrationsregeln. F¨ ur zwei holomorphe Differentialformen ω 1 , ω2 und Konstanten λ1 , λ2 ∈ C gilt    (λ ω + λ2 ω2 ) = λ1 u ω1 + λ2 u ω2 . (1) u 1 1 F¨ ur jede holomorphe Abbildung η : X → Y , f¨ ur jeden Weg u in X und jede holomorphe Differentialform ω auf Y gilt   ∗ η ω = η◦u ω . (2) u Beweis. Wenn ω1 und ω2 in einer Umgebung des Bildes von u Stammfunktionen besitzen, folgt (1) aus 7.4.1(3). Den allgemeinen Fall f¨ uhrt man darauf zur¨ uck, indem man u in Teilwege uj mit dieser Eigenschaft zerlegt. Zum Beweis von (2) zerlegt man u in Teilwege uj , so daß ω Stammfunktionen
auf Umgebungen der Bilder der Wege η ◦ uj besitzt. 7.4.3 Abelsche Integrale. Sei P (z, w) ∈ C(z)[w] ein normiertes, irreduzibles Polynom und sei R(z, w) ∈ C(z, w) eine rationale Funktion. Bereits Abel und Jacobi betrachteten Integrale  (1) R(z, w)dz mit der Nebenbedingung P (z, w) = 0 . Obwohl sie ihnen keinen eindeutigen Sinn geben konnten, erzielten sie tief liegende, aber zu ihrer Zeit schwer zu deutende Ergebnisse. Wir pr¨ azisieren (1) mit Hilfe des Riemannschen Gebildes (X, η, f ) von P (z, w) . Wir deuten den Integranden in (1) als Differentialform R(η, f )d η auf X . F¨ ur jeden Weg u in X , der die Pole dieser Form meidet, ist dann das Integral   R(z, w)dz := u R(η, f )d η (2) u wohldefiniert. Wir nennen es ein Abelsches Integral. Die Mehrdeutigkeiten, welche Jacobi bemerkte, aber nicht durchschaute, treten auf, wenn man verschiedene Wege u zul¨ aßt und nur ihre Endpunkte  festh¨ oder ihre Spur η◦u in C alt. Riemann erkannte die topologische Gestalt der Fl¨ ache X als Ursache der Mehrdeutigkeiten und vereinigte zu ihrer Aufkl¨ arung die Integration mit der Homologie in einer eindrucksvollen Theorie, siehe [Ri 3]. Als erster Schritt dazu wird eine Beziehung zwischen der Integration und der Fundamentalgruppe hergestellt. 7.4.4 Die Fl¨ ache der Stammfunktionen-Keime. Wie in 3.4.2-3 sei M die Fl¨ ache der Keime meromorpher Funktionen auf der zusammenh¨ angenden  die AuswertungsFl¨ ache X , sei p : M → X die Projektion und e : M → C funktion. Konstante Funktionen, ihre Keime und ihre Werte in C bezeichnen wir mit demselben Buchstaben.

146

7. Differentialformen und Integration

(1) Zu jeder Form ω ∈ E(X) bilden alle Keime, die durch lokale Stammfunktionen von ω repr¨ asentiert werden, eine offene und abgeschlossene Teilmenge Sω ⊂ M . Die Auswertungsfunktion e|Sω ist eine Stammfunktion von (p∗ ω)|Sω . F¨ ur jeden Weg in Sω von α nach β , dessen p -Bild u die Pole von ω meidet, gilt  ω = e(β) − e(α) . u

ache der Stammfunktionen-Keime von ω . Wir nennen Sω die Fl¨ Beweis. F¨ ur jede zusammenh¨ angende Basismenge (U, f ) gem¨aß 3.4.2(2) gilt (U, f ) ∩ Sω = ∅ oder (U, f ) ⊂ Sω . Denn wenn es ein κ ∈ (U, f ) ∩ Sω gibt, folgt aus dem Identit¨ atssatz df = ω|U .– Auf (U, f ) ⊂ Sω gilt e = f ◦ p , also
de = p∗ df = p∗ ω .– Die letzte Behauptung folgt aus 7.4.2(2). (2) F¨ ur ω ∈ E2 (X) ist die Einschr¨ ankung p : Sω → X eine unverzweigte ¨ Uberlagerung. Die additive Gruppe C operiert durch die Deckabbildungen Sω → Sω , κ → c + κ f¨ ur κ ∈ Sω und c ∈ C , transitiv auf jeder p-Faser. Beweis. Jeder Punkt in X ist Zentrum einer Scheibe U , auf der eine Stammfunktion h von ω existiert. Dann ist p−1 (U ) ∩ Sω die disjunkte Vereinigung der Basismengen (U, c + h) f¨ ur c ∈ C .


(3) Wenn zwei Wege u0 , u1 , welche die Pole von ω ∈ E2 (X) meiden, in X homotop sind, gilt   ω = u1 ω . u0

Beweis. Nach dem Liftungssatz f¨ ur Homotopien 3.2.3 gibt es p-Liftungen v j von uj , die im selben Keim α beginnen und im selben Keim β enden. Nach (1) haben beide Integrale denselben Wert.
 7.4.5 Perioden. F¨ ur ω ∈ E2 (X) l¨ aßt sich das Integral u ω auch dann definieren, wenn der Weg u außer im Anfangs- und Endpunkt Pole von ω trifft: Nach 3.1.8 gibt es einen zu u homotopen Weg v , welcher keine Pole  trifft. Wegen 7.4.4(3) h¨ angt u ω := v ω nur von der Homotopieklasse [u] ab. Wenn u eine Schleife ist, nennt man u ω eine Periode von ω . Nach Wahl eines Basispunktes a , der kein Pol von ω ist, definieren wir den Periodenhomomorphismus  (1) Iω,a : π(X, a) → C , [u] → u ω , der Fundamentalgruppe in die additive Gruppe C . F¨ ur den Verschiebungsisomorphismus Φw : π(X, a) → π(X, b) l¨ angs eines Weges w von a nach b gilt Iω,a = Iω,b ◦ Φw . Daher ist die Menge aller Perioden   Per(ω) := Iω,a π(X, a) < C eine von a unabh¨ angige additive Untergruppe von C , die Periodengruppe von ω genannt wird. Beispiel. Wie im Beispiel 7.3.3 sei η : C → C/Ω eine Torusprojektion und ω ∈ E1 (C/Ω) die durch η ∗ ω = dz bestimmte Form. F¨ ur sie ist Per (ω) = Ω .

7.5 Die Abelsche Relation

147

Denn die Schleifen in C/Ω von und nach 0 sind  die η-Bilder der Wege v in C von 0 zu den Punkten c ∈ Ω . Daher ist u ω = v dz = c ∈ Ω .

Die Gruppe Per(ω) kann dicht in C liegen, siehe Aufgabe 7.9.8. Hieraus zog Jacobi voreilig die Konsequenz, Abelsche Integrale als absurd zu verwerfen, siehe 14.1.3.

7.4.6 Existenz von Stammfunktionen. Sei ω ∈ E2 (X) , und sei Z eine Komponente von Sω . Nach 7.4.4(2) ist die Beschr¨ankung η : Z → X der ¨ Projektion p : M → X eine unverzweigte normale Uberlagerung, deren Deckgruppe aus allen Abbildungen Sω → Sω , κ → c+κ , mit c ∈ C besteht, f¨ ur die c + Z = Z ist. Sei α ∈ Z ein Keim, f¨ ur den η(α) kein Pol von ω ist. Die Gleichung c + Z = Z trifft genau dann zu, wenn es einen Weg v von α  nach c + α gibt, d.h. wenn c = η◦v ω ∈ Per(ω) ist. Daher gilt: (1) D(η) = {Sω → Sω , κ → c + κ : c ∈ Per(ω)} . Satz. Eine Form ω ∈ E2 (X) besitzt genau dann eine Stammfunktion in M(X) , wenn Per(ω) = 0 ist.  ur jede Schleife u , welche Beweis. Sei ω = df . Wegen 7.4.1(3) folgt u ω = 0 f¨ die Pole meidet.– Sei Per(ω) = 0 . Wegen (1) ist η : Z → X biholomorph.
Aus d e = p∗ ω folgt d(e ◦ η −1 ) = ω . Folgerung. Jede holomorphe Form = 0 auf einer kompakten Fl¨ ache besitzt Perioden = 0 .
7.4.7 Integralformel f¨ ur das Residuum. F¨ ur a ∈ X , ω ∈ E1 (X \{a}) und jede einfache a -Schleife u gilt  1 (1) res(ω, a) = ω. 2πi u Beweis. Nach 7.3.1 gibt es eine Karte z : (U, a) → (E, 0) und eine Funktion g ∈ O(U \ {a}) mit dg = ω − res(ω, a) · dz/z . Es gen¨ ugt, die Schleife u:  ur sie gilt u dg = 0 [0, 2π] → U mit z ◦ u(t) = 21 exp(it) zu betrachten. F¨
und u dz/z = 2πi .

7.5 Die Abelsche Relation Die Abelsche Relation f¨ ur Hauptdivisoren auf Tori (2.3.2) ist ein Spezialfall eines f¨ ur alle kompakten Fl¨ achen X g¨ ultigen Satzes u ¨ber die Integration holomorpher Differentialformen, der auch auf Abel zur¨ uckgeht. Zur Abk¨ urzung der Notation wird jeder Punkt P ∈ X mit dem Punktdivisor identifiziert, der bei P den Wert 1 und sonst den Wert 0 hat. Jeder Divisor D ist dann eine endliche Linearkombination r  nj Pj D= j=1

148

7. Differentialformen und Integration

von Punktdivisoren Pj mit Koeffizienten nj ∈ Z .– Wie hier werden Punkte, die auch als Punktdivisoren aufgefaßt werden, oft mit großen Buchstaben bezeichnet. Zum Beweis der Abelschen Relation ben¨ otigen wir die ¨ 7.5.1 Integration der Spur. Sei η : X → Y eine n-bl¨ attrige Uberlagerung, und sei v ein Weg in Y , der h¨ ochstens in seinem Anfangs- und Endpunkt Verzweigungspunkte trifft. Der Weg v besitzt n Liftungen u1 , . . . , un in X . F¨ ur sie gilt n    ur ω ∈ E1 (X) . ω = v sp ω f¨ (1) uν ν=1

Beweis. Es gen¨ ugt, (1) f¨ ur Wege v zu zeigen, die in elementar u ¨berlagerten Scheiben V liegen. Denn jederWeg l¨ aßt sich in Teilwege mit dieser Eigenschaft zerlegen. Sei η −1 (V ) = Uj . Jede Beschr¨ankung ηj : Uj → V von η ist eine Windungsabbildung. Wir w¨ ahlen zu jedem j eine ηj -Liftung wj von v . Die Menge {u1 , . . . , un } aller Liftungen von v besteht aus den Wegen ur alle g ∈ D(ηj ) und alle j , also g ◦ wj f¨   n      ∗ (2) j g∈D(ηj ) wj g (ω|Uj ) . j g∈D(ηj ) g◦wj ω = ν=1 uν ω =   Nach 7.3.4 ist sp ω = ϕj , wobei ηj∗ ϕj = g g ∗ (ω|Uj ) gilt. Daher kann man in (2) fortfahren mit  n      ∗
j v ϕj = v sp ω . j wj ηj ϕj = ν=1 uν ω = 7.5.2 Zykel. Eine Menge von Wegen {u1 , . . . , um } in X heißt Zykel, wenn jeder Punkt genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt dieser Wege auftritt. Dann gilt m   ω ∈ Per(ω) f¨ ur alle ω ∈ E1 (X) . (1) uµ µ=1

Beweis durch Induktion u ¨ber m . F¨ ur m = 1 ist der einzige Weg eine Schleife. Schluß von m−1 auf m ≥ 2 : Wenn alle uµ Schleifen sind, gilt (1). Sonst gibt es zwei Wege uj und uk , so daß uk im Endpunkt von uj beginnt. Der Zykel {u1 , . . . , um } geht in einen Zykel von m − 1 Wegen u ¨ ber, wenn man uj , uk durch den Produktweg uj uk ersetzt. Nach der Induktionsvoraussetzung folgt   m  m
µ=1,j =µ=k uµ ω ∈ Per(ω) . µ=1 uµ ω = uj uk ω +

7.5.3 Abelsche Relation f¨ ur Hauptdivisoren. Auf einer kompakten, zusammenh¨ a ngenden Fl¨ a che X seien n Wege uν von Pν nach Qν gegeben,  so daß (Pν − Qν ) = (f ) ein Hauptdivisor ist. Dann gilt n   (1) ω ∈ Per(ω) f¨ ur alle ω ∈ E1 (X). ν=1

uν

 ist eine n-bl¨ ¨ Beweis. Die Funktion f : X → C attrige Uberlagerung. Wir  w¨ahlen einen Weg w von 0 nach ∞ in C , der unterwegs keine Verzweigungspunkte trifft. Er besitzt n Liftungen v1 , . . . , vn in X , die so numeriert werden, daß vν in Pν beginnt. Es gibt dann eine Permutation σ , so

7.6 Eine Charakterisierung der Tori

149

  ω = w sp ω = 0 wegen daß vν in Qσ(ν) endet. Nach 7.5.1(1) ist vν  = 0 . Die Wege u1 , . . . , un , v − , . . . , v − bilden einen Zykel. Nach sp ω ∈ E1 (C) n 1   
ω = ( uν ω + vν− ω) ∈ Per(ω) . 7.5.2(1) ist uν

Beispiel. Wie im Beispiel 7.4.5 sei η : C → C/Ω eine Torusprojektion und ω ∈ E1 (C/Ω) die durch η ∗ ω = dz bestimmte Form. F¨ ur X = C/Ω reduziert sich die abelsche Relation wegen E1 (C/Ω) = C · ω auf ur  die Gleichung (1) f¨ die spezielle Form ω . Zur Berechnung des Integrals uν ω liften wir uν zum Weg vν in C . F¨ ur den Anfangspunkt Aν  und den Endpunkt Bν von vν gilt dann uν ω = Bν −Aν . Damit wird (1) zu (Bν −Aν ) ∈ Per(ω) = Ω . Das ist   Pν = Qν in C/Ω . wegen η(Aν ) = Pν und η(Bν ) = Qν ¨aquivalent zu Die in 2.3.2 bewiesenen Abelsche Relation f¨ ur Tori ist also ein Spezialfall. F¨ ur Tori wurde in 2.3.3 - 6 auch die Umkehrung bewiesen: Aus (1) folgt, daß  ur alle (Pν − Qν ) ein Hauptdivisor ist. Wir zeigen in 14.2.4, daß dies f¨ kompakten Fl¨ achen gilt (Abelsches Theorem). Nachdem Abel die Umkehrung elliptischer Integrale durch doppelt-periodische Funktionen gelungen war, dehnte er seine Untersuchungen auf allgemeinere Integrale aus, die sp¨ ater seinen Namen bekamen. Im Oktober 1826 reichte er der Pariser Akademie ein fast 70 Seiten langes M´emoire, [Ab] XII, ein, das erst 1841 gedruckt wurde. Bedeutende Teilergebnisse, die auch die Relation (1) und das darauf aufbauende Additionstheorem 14.1.2 umfassen, ver¨ offentlichte er 1829 in u ¨ berarbeiteter Form zus¨ atzlich in Crelles Journal.

7.6 Eine Charakterisierung der Tori Auf jedem Torus gibt es eine holomorphe Differentialform ohne Nullstellen, siehe das Beispiel in 7.3.3. Wir zeigen, daß alle kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen mit dieser Eigenschaft, insbesondere alle elliptischen Fl¨ achen Tori sind. Daraus folgt eine zweite L¨ osung des Jacobischen Problems. ¨ 7.6.1 Uberlagerung durch C . Wenn es auf der kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X eine holomorphe Differentialform ω ohne Nullstellen gibt, wird X durch C unverzweigt u ¨berlagert. Beweis. Sei Z eine Komponente der Fl¨ ache Sω der Stammfunktionen-Keime ¨ mit der unverzweigten Uberlagerung p : Z → X und der Auswertungsfunktion e : Z → C. Da de = p∗ ω wie ω keine Nullstellen hat, ist e lokal biholomorph. Wir behaupten, daß e ein Isomorphismus ist. Nach 3.2.4(3) gen¨ ugt dazu, daß e unbegrenzt ist: Jeder Weg v : [0, 1) → Z ohne Endpunkt l¨ aßt sich stetig nach 1 fortsetzen, sobald dies f¨ ur ev := e ◦ v : [0, 1) → C gilt. Man w¨ ahlt eine Folge tn in [0, 1) , die monoton nach 1 konvergiert. Weil X aufungspunkt a ∈ X . Da kompakt ist, hat die Bildfolge an := pv(tn ) einen H¨ ω keine Nullstellen hat, gibt es eine holomorphe Karte h : (U, a) → (Er , 0) , so

150

7. Differentialformen und Integration

daß dh = ω|U ist. Es gibt einen Index k , so daß ak ∈ U ist und |h(ak )| < 13 r ur alle tk ≤ t ≤ 1 gelten. Es gibt einen p-Schnitt sowie |ev(t) − ev(1)| < 31 r f¨ σ : (U, ak ) → (Z, v(tk )) , und eσ := e ◦ σ ist eine Stammfunktion von ω|U . Daher ist eσ − h = eσ(a) konstant, insbesondere |ev(tk ) − eσ(a)| = |h(ak )| < 13 r . Somit gilt f¨ ur alle tk ≤ t ≤ 1 die Absch¨ atzung

(2) |ev(t) − eσ(a)| ≤ |ev(t) − ev(1)| + |ev(1) − ev(tk )| + |ev(tk ) − eσ(a)| ≤ r . Wegen eσ = eσ(a) + h wird die Scheibe σ(U ) durch e biholomorph auf die Kreisscheibe D ⊂ C mit dem Mittelpunkt eσ(a) und dem Radius r abgebildet. Die Absch¨ atzung (2) bedeutet, daß der Weg ev f¨ ur t k ≤ t ≤ 1 in D verl¨ auft. Es gibt daher einen e-Lift u von ev|[tk , 1] in σ(U ) , der in v(tk ) beginnt. Wegen der Eindeutigkeit der Liftung ist u = v auf [tk , 1) , und folglich wird v durch v(1) := u(1) stetig fortgesetzt.
7.6.2 Charakterisierung der Tori. Jede kompakte, zusammenh¨ angende Fl¨ ache X , auf der es eine holomorphe Differentialform ohne Nullstellen gibt, ist zu einem Torus C/Ω isomorph. Insbesondere sind alle elliptischen Fl¨ achen Tori. ¨ Beweis. Nach 7.6.1 gibt es eine unverzweigte Uberlagerung η : C → X. Wegen der Folgerung in 2.5.1 ist X zu einem Torus isomorph.– Jede elliptische Fl¨ ache X tritt im Riemannschen Gebilde (X, η, f ) eines Polynoms w2 − (z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) mit paarweise verschiedenen ej auf. Die ¨ Uberlagerung η ist zweibl¨attrig und verzweigt u ¨ber {e1 , e2 , e3 , ∞} . Aus f 2 = (η −e1 )(η −e2 )(η −e3 ) folgt: Außerhalb der Windungspunkte haben d η und f weder Null- noch Polstellen. F¨ ur η(x) = ej gilt 2o(f, x) = v(η, x) = 2 und f¨ ur η(x) = ∞ ist 2o(f, x) = 3o(η, x) = −6 . Daher gilt nach 7.1.4(2) o(d η/f, x) = 0 f¨ ur alle x ∈ X , d.h. d η/f ist null- und polstellenfrei.
 7.6.3 Zweite L¨ osung des Jacobischen Problems. Jede Menge M ⊂ C von 4 Punkten ist Verzweigungsort einer elliptischen Funktion vom Grade 2. Beweis. Man kann M = {e1 , e2 , e3 , ∞} annehmen. Nach 7.6.2 definiert  ¨ attrige Uberlagerung η : C/Ω → C w2 − (z − e1 )(z − e2 )(z − e3 ) eine zweibl¨ durch einen Torus. Durch Vorschalten der Torusprojektion u : C → C/Ω erh¨ alt man die gew¨ unschte Funktion η ◦ u .
7.6.4 Ausblick. Auf jeder nicht kompakten Riemannschen Fl¨ache X gibt es eine holomorphe Funktion f : X → C ohne Windungspunkte, d.h. df hat keine Nullstellen, siehe [GN]. Die Charakterisierung der Tori durch 7.6.2 l¨ aßt sich auf h¨ ohere Dimensionen verallgemeinern: Jede kompakte, zusammenh¨ angende, n-dimensionale K¨ ahlersche Mannigfaltigkeit ist zu einem Torus Cn/Ω isomorph, sobald n holomorphe Differentialformen existieren, die u ¨berall linear unabh¨ angig sind. Man kann den Beweis aus 7.6.1-2 u ¨bertragen. Zur weiterf¨ uhrende Lekt¨ ure wird [Ak] empfohlen.

7.7 Homologie und Cohomologie

151

7.7 Homologie und Cohomologie Beim Periodenhomomorphismus π(X, a) → C geht wie bei jedem Homomorphismus in eine abelsche Gruppe die eventuell nicht-kommutative Struktur der Fundamentalgruppe verloren. Dann k¨ onnen wir π(X, a) von vorneherein durch Abelsch-machen zur Homologiegruppe H1 (X) vereinfachen. 7.7.1 Abelsch-machen. Sei G eine beliebige Gruppe. Alle Kommutatoren [a, b] := aba−1 b−1 der Elemente a, b, . . . ∈ G erzeugen die KommutatorUntergruppe [G, G] ⊳ G , die sogar ein Normalteiler ist. Die Faktorgruppe AG := G/[G, G] heißt abelsch gemachte Gruppe G . Der Restklassen-Epimorphismus A : G → AG hat folgende Universelle Eigenschaft. Jeder Homomorphismus h : G → H in eine abelsche Gruppe faktorisiert u ¨ber AG ; d.h. h induziert genau einen Homomorphismus Ah : AG → H , so daß h = (A h) ◦ A gilt.
7.7.2 Die Homologiegruppe. Die (erste) Homologiegruppe eines wegzusammenh¨angenden topologischen Raumes X ist die abelsch gemachte Fundamentalgruppe H1 (X) := Aπ(X, a) . Auf die Angabe des Basispunktes a kann verzichtet werden, weil Aπ(X, a) und Aπ(X, b) in kanonischer Weise isomorph sind: Die Verschiebung Φw : π(X, a) → π(X, b) l¨ angs eines Weges w von a nach b induziert den Isomorangt von der Wahl des Weges phismus A Φw : Aπ(X, a) → Aπ(X, b) . Er h¨ w nicht ab. Denn f¨ ur einen zweiten Weg v von a nach b ist Φ−1 v ◦ Φw die at Konjugation mit [w·v − ] , die bei der abelsch gemachten Gruppe zur Identit¨ wird, so daß A Φv = A Φw gilt. Die Homologieklasse einer Schleife u wird mit kl u := A([u]) ∈ H1 (X) bezeichnet. Jede stetige Abbildung η : X → Y induziert den Homomorphismus η∗ : H1 (X) → H1 (Y ) , kl u → kl (η ◦ u) . Wie in 3.1.5 gilt beim Hintereinanderschalten (ϕ ◦ η)∗ = ϕ∗ ◦ η∗ . Man nennt zwei Abbildungen η0 , η1 : X → Y homotop, wenn es eine ur x ∈ X und stetige Abbildung h : X × [0, 1] → Y mit h(x, j) = ηj (x) f¨ j = 0, 1 gibt. Dann ist (1) η0∗ = η1∗ : H1 (X) → H1 (Y ) . Denn f¨ ur jede Schleife u von und nach a in X und den Weg w(t) := h(a, t)
in Y sind die Wege η0 ◦ u und w · (η1 ◦ u) · w− homotop. Beispiel. Sei A ⊂ X lokal endlich. F¨ ur jedes a ∈ A sind die Homotopieklassen aller einfachen a-Schleifen ua zueinander konjugiert in π(X\A) . Daher ist die Homologieklasse kl ua ∈ H1 (X \ A) durch a allein bestimmt.  folgt aus Satz 3.8.4 durch Abelsch-Machen: F¨ ur X = C

 \ {a0 , . . . , ar }) ist eine freie abelsche Gruppe mit Die Homologiegruppe H1 (C
der Basis kl ua1 , . . . , kl uar . Es gilt kl ua0 + . . . + kl uar = 0 .

152

7. Differentialformen und Integration

7.7.3 Integration u ¨ ber Homologieklassen. Sei X eine zusammenh¨angende Fl¨ ache, und sei ω ∈ E2 (X) . Der Periodenhomomorphismus Iω,a aus 7.4.5(1) bestimmt nach 7.7.1 den von a unabh¨ angigen Homomorphismus hω : H1 (X) → C . alt die Paarung F¨ ur k ∈ H1 (X) definiert man k, ω := hω (k) und erh¨ (1) H1 (X) × E2 (X) → C , (k, ω) → k, ω . Sie ist additiv im ersten und C-linear im zweiten Argument.– Jede Homologieklasse wird durch eine Schleife u repr¨ asentiert, welche die Pole von ω meidet. F¨ ur sie gilt  (2) kl u, ω = u ω Daher nennen wir die Paarung Integration u ¨ber Homologieklassen. 7.7.4 Cohomologie. Die (erste, komplexe) Cohomologie H 1 (X, C) eines Raumes X ist der C-Vektorraum aller Homomorphismen H1 (X) → C . F¨ ur jede zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache X definieren wir mit der Integration u ¨ber Homologieklassen die C-lineare Abbildung Φ : E2 (X) → H 1 (X, C) , ω → −, ω . Satz. Die mit Φ und der Ableitung d gebildete Sequenz d Φ (1) 0 → C ֒→ M(X) → E2 (X) → H 1 (X, C) ist exakt, d.h. es gilt Kern d = C und Bild d = Kern Φ . Bei kompaktem X ist Φ : E1 (X) → H 1 (X, C) injektiv. Beweis. Nach 7.1.2 ist Kern d = C . Wegen der Folgerung 7.4.6 ist Kern Φ = {ω : Per(ω) = 0} = Bild d .– Bei kompaktem X folgt aus df ∈ E1 (X) , daß f ∈ O(X) = C und somit df = 0 ist.


Die exakte Sequenz (1) spielt im Beweis der Riemann-Rochschen Formel in 13.1.2 eine wichtige Rolle.– Die Surjektivit¨ at von Φ : E2 (X) → H 1 (X, C) f¨ ur kompakte Fl¨ achen X wird in 13.6.3 gezeigt. F¨ ur offene Fl¨ achen X ist Φ : E1 (X) → H 1 (X, C) stets surjektiv, siehe z.B. [For], Abschnitt 26.1 .

Folgerung (Cauchyscher Integralsatz). Wenn H 1 (X, C) = 0 ist, besitzt jede Differentialform zweiter Gattung ein Stammfunktion.
Die Voraussetzung ist sicher dann erf¨ ullt, wenn X homologisch einfach angende zusammenh¨ angt , d.h. wenn H1 (X) = 0 ist. Einfach zusammenh¨ Fl¨ achen sind offenbar homologisch einfach zusammenh¨ angend. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz 11.2.5 gilt auch die Umkehrung. Der Cauchysche Integralsatz war f¨ ur Riemann ein wichtiges Motiv, um den Begriff des einfachen Zusammenhangs einzuf¨ uhren. In [Ri 3], Artikel 2 der Einleitung, schreibt er: Es sei eine F¨ ache T gegeben und X, Y seien solche stetige Functio” nen des Orts in dieser Fl¨ ache, dass in ihr allenthalben Xdx + Y dy ein vollst¨ andiges Integral, also ∂Y ∂X − =0 ∂y ∂x ist. Bekanntlich ist dann  (Xdx + Y dy) ,

7.8 Logarithmische Ableitung

153

um einen Theil der Fl¨ ache . . . erstreckt, = 0 . . . . Das Integral  (Xdx + Y dy) hat daher, zwischen zwei festen Punkten auf zwei verschiedenen Wegen erstreckt, denselben Werth, wenn diese beiden Wege zusammengenommen die ganze Begrenzung eines Theils der Fl¨ ache T bilden. Dies veranlaßt zu einer Unterscheidung der Fl¨ achen in einfach zusammenh¨ angende, in welchen jede geschlossene Curve einen Theil der Fl¨ ache vollst¨ andig begrenzt – wie z.B. einen Kreis –, und mehrfach zusammenh¨ angende, f¨ ur welche dies nicht stattfindet, – wie z.B. eine durch zwei concentrische Kreise begrenzte Ringfl¨ ache – .“

7.8 Logarithmische Ableitung F¨ ur die Riemannsche Theorie der Abelschen Integrale m¨ ussen die Ergebnisse von 7.4.4-6 durch eine Variante erg¨ anzt werden, bei der an die Stelle der Ableitung df die logarithmische Ableitung df/f tritt. Sie wird im 10. Kapitel und sp¨ ater gebraucht.– Sei X eine zusammenh¨ angende Fl¨ ache. 7.8.1 Elementare Eigenschaften. Sei f ∈ M(X) \ {0} . Wenn auf dem Gebiet f (X) ⊂ C× eine Logarithmusfunktion definiert ist, gilt nach 7.1.3 df/f = d(log ◦ f ) . Daher stammt der Name logarithmische Ableitung“ . ” Man u ¨bertr¨ agt aus der klassischen Funktionentheorie f¨ ur f, g ∈ M(X) \ {0} die Ergebnisse df dg d(1/f ) df d(f · g) = + , insbesondere =− . (1) f ·g f g 1/f f × (2) dg/g = df/f ⇔ g = cf mit c ∈ C .
Auch das folgende Ergebnis stammt aus der klassischen Theorie und wird mittels Karten auf Riemannsche Fl¨ achen u ¨bertragen: (3) Die logarithmische Ableitung df/f hat einfache Pole in den Null- und Polstellen von f und ist sonst holomorph. F¨ ur die Residuen gilt res(df/f, a) = o(f, a) .
(4) Wenn der Weg u von a nach b die Null- und Polstellen von f meidet,   ist df f (b) . = exp f f (a) u

× Beweis. Sei v eine exp-Liftung  des Weges f ◦ u in C . Dann gilt df /f = f ◦u dz/z = v(1) − v(0) . u




(5) Wenn H 1(X, C) = 0 ist, gibt es zu jeder Funktion f ∈ O(X) ohne Nullstellen eine Funktion g ∈ O(X) mit f = exp ◦ g . Beweis. Die holomorphe Form df/f besitzt nach dem Cauchyschen Integralsatz in 7.7.4 eine Stammfunktion g . Dann haben f und exp ◦ g nach 7.1.3 dieselbe logarithmische Ableitung. Also ist exp ◦ g = c·f mit c ∈ C× . Durch Addition einer Konstanten zu g erreicht man c = 1 .


154

7. Differentialformen und Integration

7.8.2 Die Fl¨ ache der Logarithmenkeime. Jede logarithmische Ableitung ist wegen 7.8.1(3) eine Differentialform dritter Gattung mit ganzzahligen ¨ Residuen. Analog zu 7.4.4 entwickeln wir f¨ ur solche Formen ω eine Uberlagerungstheorie. (1) Die Menge Lω ⊂ M aller Keime, die lokal durch meromorphe Funktionen f mit df/f = ω repr¨ asentiert werden, ist offen und abgeschlossen in M . Die Auswertungsfunktion e|Lω hat die logarithmische Ableitung d(e|Lω )/(e|Lω ) = (p∗ ω)|Lω . F¨ ur jeden Weg v in Lω von α nach β , dessen Spur u := p ◦ v die Pole von ω meidet, ist    e(β) ω = . exp e(α) u ¨ (2) Die Beschr¨ ankung p|Lω : Lω → X ist eine unverzweigte Uberlagerung. Die multiplikative Gruppe C× operiert durch folgende Deckabbildungen transitiv auf jede Faser: ur γ ∈ Lω und c ∈ C× . Lω → Lω , γ → cγ , f¨ (3) F¨ ur homotope Wege u0 , u1 , welche die Pole von ω meiden, gilt   ω − u1 ω ∈ 2πiZ . u0

Fast alle Beweise entsprechen denjenigen aus 7.4.4. Wir zeigen nur, wie man zum Beweis von (2) trivial u ¨berlagerte Scheiben findet: Zu jedem a ∈ X gibt es eine Karte z : (U, a) → (E, 0) , so daß ω|U = ndz/z + dh mit n ∈ Z und h ∈ O(U ) gilt. Daher ist ω|U die logarithmische Ableitung von f = z n eh . Dann ist p−1 (U ) ∩ Lω die disjunkte Vereinigung der Basismengen (U, cf )
f¨ ur c ∈ C × . 7.8.3 Differentialformen dritter Gattung. Sei ω ∈ E3 (X) eine Form mit ganzzahligen Residuen. Nach angt f¨ ur jede Schleife u , welche die  7.8.2(3) h¨ Pole von ω meidet, exp u ω nur von der Homologieklasse kl u ∈ H1 (X) ab. Daher gibt es genau einen Homomorphismus   (1) χω : H1 (X) → C× , kl u → exp u ω . Man nennt χω den Charakter von ω . Es gilt (2)

Per(ω) < 2πi Z

Analog zu 7.4.6 beweist man:

⇔

χω = 1 .




(3) F¨ ur jede Komponente Z von Lω ist die Projektion  p : Z → X eine ¨ normale Uberlagerung mit der Deckgruppe χω H1 (X) .

(4) Eine Form ω ∈ E3 (X) mit ganzzahligen Residuen ist genau dann eine logarithmische Ableitung, wenn Per(ω) < 2πi Z . Das ist immer der Fall, wenn X homologisch einfach zusammenh¨ angt.


7.9 Aufgaben

155

7.9 Aufgaben 1)

¨ Ubertrage die Ergebnisse u ¨ ber die Ordnung (7.1.4) und u ¨ ber die Liftung (7.1.6) von Differentialformen auf k-Differentialformen. Zeige: (a) Das Produkt ϕ · ω := {ϕα · ωα } einer k-Differentialform ϕ = {ϕα } mit einer n-Differentialform ω = {ωα } ist eine (k + n)-Differentialform mit dem Divisor (ϕ · ω) = (ϕ) + (ω). (b) Ein Divisor D ist genau dann der Null- und Polstellendivisor einer n-Differentialform, wenn es einen kanonischen Divisor K und einen Hauptdivisor H mit D = nK + H gibt.

2)

ucke Sei X durch das irreduzible Polynom w n − f (y) ∈ M(Y )[w] definiert. Dr¨ die Charakteristik χ(X) durch n, χ(Y ) und die Ordnungen von f aus. Sind die durch w3 − (z 2 + 1)2 (z 3 − 1) , w n + z n + 1 ∈ C(z)[w] definierten Fl¨ achen zusammenh¨ angend? Welche Charakteristiken haben sie ?

3)

Sei η : X → Y die durch w 2 = (z − e1 ) · . . . · (z − e2g+1 ) definierte (hyper-)
vom Grade g − 1 ¨ elliptische Uberlagerung. Zeige: F¨ ur jeden Divisor D auf C ist die Liftung η ∗ D ein kanonischer Divisor. Hinweis: Berechne den kanonischen Divisor (dz/w) .

4)

Man bestimme alle Fl¨ achen vom Geschlecht 3 mit einem Automorphismus der Ordnung 8 .

5)

Sei X die durch w 2 = P (z) := (z − e1 ) · . . . · (z − e2g+1 ) definierte Fl¨ ache. (a) Sei (z0 , w0 ) ∈ C2 und w02 = P (z0 ) . Bestimme die Pole mit ihren Ordnungen und Residuen f¨ ur folgende Differentialform 1 w + w0 dz ω= . 2 z − z0 w (b) Sei A  ⊂ X eine endliche Teilmenge und r : A → C eine Funktion mit r(a) = 0 . Konstruiere eine Form dritter Gattung auf X , die an jeder Stelle a ∈ A einem Pol mit dem Residuum r(a) hat und sonst holomorph ist. Benutze dazu die in (a) angegebenen Formen ω f¨ ur verschiedene (z0 , w0 ) .

6)

Sei (a) (b) (c)

7)

F¨ ur welche Exponenten n , q sind die Differentialformen z n dz/wq auf der durch w4 − z 4 + 1 definierten Fl¨ ache holomorph? Wo liegen die Nullstellen dieser Formen? Welche Ordnungen haben sie?

8)

Finde eine holomorphe Differentialform ω auf einer kompakten Fl¨ ache X , deren Periodengruppe dicht in C liegt.

¨ sp die Spur einer endlichen Uberlagerung η:X→Y . ∗ Finde eine Formel f¨ ur sp(η ϕ) . Untersuche ob ω → sp ω injektiv oder surjektiv ist. Berechne sp ω f¨ ur η(z) = z n und ω = z q dz .

Anleitung : Auf der durch w 2 = z(z 2 − 1)(z 2 + 1) definierten Fl¨ ache X  ist ω = dz/w holomorph. W¨ ahle eine Schleife u mit r := u ω = 0 . Mit

156

7. Differentialformen und Integration ρ = eπi/4 wird durch h(z) = ρ2 z und h(w) = ρw ein Automorphismus h von  X definiert. Die Werte ω = ρn r hn ◦u

geh¨ oren zu Per(ω) . Die Zahlen r, ρr und ρ2 r sind u ¨ber Q linear unabh¨ angig. Folgere, daß Per(ω) < C nicht lokal endlich ist.

9)

Deute den Integranden in der Formel 2.4.1(1) f¨ ur die L¨ ange des Ellipsenbogens als Differentialform auf einem Torus. Zu welcher Gattung geh¨ort diese Form? Ist der Ellipsenumfang eine Periode der Form?

¨ 10) Sei η : (X, a) → (Y, b) eine unverzweigte, normale Uberlagerung zwischen topologischen Mannigfaltigkeiten mit abelscher Deckgruppe D(η) . Der Raum Z sei lokal wegzusammenh¨angend, zusammenh¨ angend und homologisch einfach zusammenh¨ angend. Beweise den Homologischen Monodromiesatz : Jede stetige Abbildung (Z, c) → (Y, b) besitzt eine η -Liftung (Z, c) → (X, a) . 11) Zeige: F¨ ur jeden Torus X := C/Ω ist die in 7.7.4 definierte Abbildung Φ surjektiv. Hinweis: Benutze eine holomorphe Differentialform ω = 0 und ℘ˆ · ω . 12) Sei X die durch w 2 = (z − e1 ) · . . . · (z − e5 ) bestimmte hyperelliptische Fl¨ ache. Zeige: F¨ ur jedes Polynom Q(z) vom Grade ≤ 3 ist Q(z)dz/w eine Form zweiter Gattung, welche f¨ ur Q = 0 keine Stammfunktion besitzt. Folgere mit Satz 7.7.4, daß die Cohomologie H 1 (X, C) mindestens 4-dimensional ist. Verallgemeinere von 5 auf beliebige ungerade Zahlen ≥ 3 . 13) F¨ ur jedes k ∈ Z wird die gewichtete Operation von Aut(H) auf M(H) durch (f |γ)k (τ ) := γ ′ (τ )k · (f ◦ γ(τ )) f¨ ur γ ∈ Aut(H) und f ∈ M(H)

definiert. Man nennt f eine Modulform n-ter Stufe vom Gewicht −2k , wenn f¨ ur alle γ ∈ Γ (Modulgruppe) der Grenzwert
limImτ →∞ (f |γ)k (τ ) ∈ C

existiert und f¨ ur alle β ∈ Γn (Kongruenzuntergruppe; Γ1 := Γ ) (f |β)k = f

¨ ֒→ Xn die unverzweigte Uberlagerung mit der Deckgilt. Sei λn : H → gruppe Γn , siehe 5.7.1-2. Zeige: Eine Modulform f der Stufe n vom Gewicht −2k liegt genau dann vor, wenn es auf der Modulfl¨ ache Xn eine meromorphe k-Differentialform ω gibt, so daß λ∗n ω = f · (dτ )k ist. Xn∗

Hinweis: Aufgabe 5.8.9 handelt vom Spezialfall k = 0 .

14) Zeige, daß die J- bzw. λ-Funktion eine Modulform der Stufe 1 bzw. 2 vom Gewicht 0 ist und die Halbperioden ek Modulformen der Stufe 2 vom Gewicht −2 sind. Deute die Gitterinvarianten g2 , g3 und ∆ := g23 − 27g32 als Modulformen. Hinweis: Benutze die Transformationsformeln aus 5.4.3.

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨ aume

Bei der Untersuchung kompakter Fl¨ achen X spielen positive Divisoren und ihre Zusammenfassung zu Linearscharen eine bedeutende Rolle. Den Linearaume. Dadurch scharen entsprechen Abbildungen X → Pn in projektive R¨ werden kompakte Riemannsche Fl¨ achen zu komplex-projektiven Kurven, welche mit Methoden der projektiven Geometrie untersucht werden k¨ onnen. Diese Vorgehensweise hat eine F¨ ulle von Ergebnissen hervorgebracht, siehe [ACGH]. Das vorliegende Kapitel ist nur eine Einf¨ uhrung. Es wird durch ein genaueres Studium des ebenen Falles (n = 2) im 9. Kapitel erg¨ anzt.

8.1 Positive Divisoren Wir betrachten Divisoren auf kompakten, zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨achen X , vergleiche 1.6.4, und interessieren uns vorwiegend f¨ ur positive Divisoren D , welche durch D(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ X definiert sind. Wir schreiben f¨ ur zwei Divisoren D ≥ E , wenn D − E positiv ist. Jeder Divisor amlich D ist die Differenz D = D0 − D∞ zweier positiver Divisoren, n¨ D0 (x) := max {0, D(x)} und D∞ (x) := −min {0, D(x)} Bei einer Funktion f ∈ M(X)\{0} mit dem Hauptdivisor (f ) = (f )0 −(f )∞ heißt (f )0 der Null - und (f )∞ der Polstellendivisor. Ihr Grad gr(f )0 =  , siehe 1.6.2(3). gr(f )∞ = grf ist der Grad der Abbildung f : X → C ¨ 8.1.1 Lineare Aquivalenz. In der additiven Gruppe Div(X) aller Divisoren auf X bilden die Hauptdivisoren (f ) wegen (f /g) = (f ) − (g) eine Untergruppe. Die Restklassen bez¨ uglich dieser Untergruppe heißen Divisorklassen. Beispielsweise bilden alle kanonischen Divisoren eine Klasse, welche kanonische Divisorklasse genannt wird. Zwei Divisoren heißen linear a ¨quivalent, wenn sie zur selben Divisorklasse geh¨ oren; sie haben dann denselben Grad. Die Menge aller positiven Divisoren, die zum Divisor D linear a¨quivalent sind, wird mit |D| bezeichnet. Im Falle gr D < 0 ist |D| = ∅ . Zur Beschreibung von |D| bildet man den komplexen Vektorraum

(1) Dann ist

L(D) := {f ∈ M(X) : f = 0 oder D + (f ) ≥ 0} .

158

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

(2) |D| = {D + (f ) : f ∈ L(D) \ {0}} . Der Raum L(D) ist stets endlich dimensional, siehe 8.1.2. Wir nennen (3) l(D) := dim L(D) ¨ die Dimension des Divisors D . Aquivalente Divisoren haben dieselbe Dimension, da D − E = (h) den Isomorphismus (4) L(D) → L(E) , f → h · f , bestimmt.– Bei jedem positiven Divisor D geh¨ oren alle konstanten Funktionen zu L(D) , kurz: C ⊂ L(D) . Daher ist l(D) ≥ 1 .

¨ Sei η : X → Y eine Uberlagerung. F¨ ur jeden Divisor D ∈ Div(Y ) ist der Untervektorraum {f ◦η : f ∈ L(D)} ⊂ L(η ∗D) zu L(D) isomorph. Daher gilt (5) l(η ∗D) ≥ l(D) f¨ ur die Dimension gelifteter Divisoren.
 sind wegen 1.6.5 (2) Divisoren gleichen Grades stets linear a¨quivalent. Auf C Insbesondere sind alle Divisoren vom Grade −2 kanonisch. F¨ ur n ≥ 0 ist L(n · ∞) der Vektorraum aller Polynome vom Grade ≤ n . Daher gilt . (6) l(D) = max {0, 1 + gr D} f¨ ur Divisoren D auf C


Satz. Genau dann, wenn auf X ein Divisor D mit gr D ≤ d und l(D) ≥ 2  vom Grade ≤ d . ¨ existiert, gibt es eine Uberlagerung η:X→C

Beweis. Man darf D ≥ 0 annehmen. Die Bedingung l(D) ≥ 2 ist zur Existenz einer Funktion η ∈ L(D) \ C ¨aquivalent. F¨ ur sie gilt gr η = gr(η)∞ ≤  eine Uberlagerung ¨ gr D ≤ d . Umgekehrt sei η : X → C vom Grade r ≤ d . Ihr Polstellendivisor D hat den Grad r . Wegen η ∈ L(D) \ C ist l(D) ≥ 2 . 8.1.2 Die Endlichkeit der Dimension l(D) beruht auf folgendem Lemma. Sei D, P ∈ Div(X) und P ≥ 0 . Dann ist L(D) ⊂ L(D + P ) ein Untervektorraum. Es gilt die Absch¨ atzung (1)

l(D) ≤ l(D + P ) ≤ l(D) + gr P .

Beweis durch Induktion u ¨ber gr P . F¨ ur den Induktionsschritt gen¨ ugt es, einen Punktdivisor P zu betrachten. Dann ist L(D) = {f ∈ L(D + P ) : o(f, P ) ≥ −D(P )} . Da f¨ ur alle f ∈ L(D + P ) ohnehin o(f, P ) ≥ −D(P ) − 1 gilt, existiert im Falle L(D) = L(D + P ) ein g ∈ L(D) mit o(g, P ) = −D(P )−1 . Zu jedem f ∈ L(D+P ) gibt es dann ein c ∈ C mit o(h−cg, P ) ≥
−D(P ) , also h − cg ∈ L(D) . Dann ist L(D + P ) = L(D) + C · g . Endlichkeitssatz. F¨ ur jeden Divisor D ∈ Div(X) ist l(D) endlich: Aus gr D < 0 folgt l(D) = 0 . F¨ ur Divisoren D vom Grade 0 ist l(D) = 1 oder = 0 je nachdem, ob D ein Hauptdivisor ist oder nicht. Aus gr D ≥ 1 folgt  isomorph, sobald es ein D ∈ Div(X) l(D) ≤ 1+gr D . Die Fl¨ ache X ist zu C mit l(D) = 1 + gr D ≥ 2 gibt.

Beweis. Aus gr D < 0 folgt |D| = ∅ , also l(D) = 0 .– Sei gr D = 0 . Aus D = (f ) folgt 1/f ∈ L(D) , also l(D) > 0 . Umgekehrt folgt aus

8.1 Positive Divisoren

159

l(D) > 0 , daß D = (1/h) f¨ ur alle h ∈ L(D) \ {0} gilt. In diesem Falle ist l(D) = 1 . Denn je zwei Funktionen g, h ∈ L(D) \ {0} sind linear abh¨ angig, da (g/h) = 0 , also g/h ∈ C× ist.– Wenn gr D > 0 ist, zerlegt man D = D0 + P , so daß gr D0 = 0 und P ≥ 0 ist. Aus dem Lemma folgt l(D) ≤ l(D0 ) + gr P ≤ 1 + gr D .– Im Falle l(D) = 1 + gr D ≥ 2 zerlegt man D = D1 + P , so daß gr D1 = 1 und P ≥ 0 ist. Wegen des Lemmas ist l(D1 ) + grP ≥ l(D) = 1 + gr D = 2 + grP , also l(D1 ) ≥ 2 . Nach Satz 8.1.1 . gibt es einen Isomorphismus X ≈ C
8.1.3 Die Charakteristik eines Divisors. Analog zu 8.1.1(1) bilden wir mit den Differentialformen ω anstelle der Funktionen zu jedem Divisor D den komplexen Vektorraum (1) L1 (D) = {ω ∈ E(X) : ω = 0 oder D + (ω) ≥ 0} . Jede kanonische Divisor K = (ω) bestimmt den Isomorphismus (2) L(K + D) → L1 (D) , f → f · ω .




Wir definieren den Index i und die Charakteristik ch durch

(3) i(D) := dim L1 (−D) = l(K − D) und ch(D) := l(D) − i(D) . Dann ist (4) ch(D) + ch(K − D) = 0 .




Satz. F¨ ur jeden Divisor D und jeden positiven Divisor P gilt (5) ch(D + P ) ≤ ch(D) + gr P .

Beweis. Nach Lemma 8.1.2 ist l(D + P ) ≤ l(D) + gr P . Das entsprechende Ergebnis gilt f¨ ur K−D statt D . Wir beweisen (5) durch Induktion u ¨ber gr P und m¨ ussen f¨ ur den Induktionsschritt nur einen Punktdivisor P betrachten. Entweder gilt die Behauptung (5), oder wegen Lemma 8.1.2 ist l(D + P ) = ugt, die zweite M¨oglichkeit l(D) + 1 und i(D) = i(D + P ) + 1 . Es gen¨ ad absurdum zu f¨ uhren: Es g¨ abe ein f ∈ L(D + P ) \ L(D) und ein are f ω eine Differentialform, die bei P ω ∈ L1 (−D) \ L1 (−D − P ) . Dann w¨ einen einfachen Pol hat und sonst holomorph ist. Das ist unm¨ oglich, da die Residuensumme = 0 ist, siehe 7.3.5.
Die Abschnitte 8.1.4-5 enthalten Erg¨ anzungen zu 8.1.2, welche erst in den letzten drei Kapiteln eine Rolle spielen. 8.1.4 Dimensionsverminderung. Das Lemma in 8.1.2 l¨aßt sich mit E := D + P umformulieren: (1) l(E − P ) ≥ l(E) − gr P .

Die extreme Dimensionsverminderung l(E − P ) = l(E) − gr P tritt fast immer ein. Um dies zu pr¨ azisieren, machen wir die Menge Xn aller positiven Divisoren vom Grade n zu einem topologischen Raum: Die Abbildung p : X n := X × . . . × X → Xn , p(P1 , . . . , Pn ) := P1 + . . . + Pn ,

160

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

ist surjektiv. Wir versehen Xn mit der entsprechenden Quotiententopologie und nennen Xn das n-fache symmetrische Produkt der Fl¨ ache X . Die Addition Xr × Xs → Xr+s , (A, B) → A + B , ist stetig. Satz. F¨ ur jeden Divisor E und jede nat¨ urliche Zahl n > 0 liegen die positiven Divisoren P mit l(E − P ) = max{0, l(E) − n} dicht in Xn .

Wir beweisen folgende, zur Behauptung a¨quivalente Aussage durch Induktion u ¨ber n : (∗) Seien U1 , . . . , Un nicht-leere, offene Mengen in X . Es gibt Punkte Pj ∈ Uj , so daß l(E − P1 − . . . − Pn ) = max{0, l(E) − n} ist. F¨ ur den Induktionsschritt gen¨ ugt es, (∗) f¨ ur n = 1 und l(E) > 0 zu beweisen. Man w¨ ahlt ein f ∈ L(E) \ {0} . Angenommen, f¨ ur Q ∈ X gilt l(E − Q) = l(E) , also L(E − Q) =L(E) . Dann ist f ∈ L(E − Q) , somit E + (f )0 ≥  (f )∞ + Q , also Q ∈ Tr E + (f )0 . Daher gilt l(E − P ) = l(E) − 1 f¨ ur alle P ∈ X außerhalb des endlichen Tr¨ agers von E + (f )0 .
8.1.5 Freiheitsgrade. Seien 0 ≤ s ≤ n nat¨ urliche Zahlen, sei D ∈ X n ,

∅ . Dann sind a ¨quivalent: sei U ⊂ Xs offen und = (1)

l(D) ≥ s + 1.

(2) Zu jedem A ∈ U gibt es ein B ∈ Xn−s mit A + B ∈ |D| . Beweis. (1) ⇒ (2). Nach 8.1.4 ist l(D − A) ≥ l(D) − s ≥ 1 . Daher gibt es einen positiven Divisor B , welcher zu D − A linear a¨quivalent ist. (2) ⇒ (1). Die Annahme r := l(D) ≤ s wird zum Widerspruch gef¨ uhrt: Es gibt ein Paar (S, T ) ∈ Xs−r × Xr mit S + T ∈ U . Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es eine Umgebung V von T in Xr mit S + V ⊂ U . Nach Satz 8.1.4 existiert ein C ∈ V mit l(D − C) = 0 . Nach (2), angewendet auf A = S + C , gibt es ein B ∈ Xn−s mit S + C + B ∈ |D| . Daher sind D − C und S + B linear a¨quivalent, insbesondere l(S + B) = l(D − C) = 0 . Da S und B positiv sind, ist aber l(S + B) ≥ 1 .
Wenn (1) und (2) gelten, sagt man: |D| hat mindestens s Freiheitsgrade.

8.2 Holomorphe Differentialformen Wie in 8.1 werden nur kompakte Fl¨ achen X betrachtet. Bei ihnen spielt der C-Vektorraum E1 (X) aller holomorphen Differentialformen eine wichtige Rolle. Denn mittels E1 (X) werden in 8.3 kanonische Abbildungen von X in ur projektive R¨ aume gewonnen, und E1 (X) ist im 14. Kapitel ein Grundstein f¨ die Konstruktion des Jacobischen Periodentorus J(X) .– Wir benutzen den in 8.1.3 bewiesenen Satz, um dim E1 (X) durch die analytische Charakteristik ur spezielle Fl¨ achen abzusch¨atzen und geben im Anschluß daran E1 (X) f¨ explizit an.

8.2 Holomorphe Differentialformen

161

8.2.1 Das analytische Geschlecht. Nach 8.1.3(1)-(2) gilt L1 (0) = E1 (X) ∼ ur jeden kanonischen Divisor K . Man nennt = L(K) f¨ (1)

gan (X) := dim E1 (X) = l(K)

das analytische Geschlecht von X .  gibt es keine holomorphen Formen = 0 , also ist g(C)  = 0 .– Auf Auf C jedem Torus T gibt es eine Form ω ohne Null- und Polstellen. F¨ ur jedes ϕ ∈ E1 (T ) ist ϕ/ω ∈ O(T ) = C . Daher ist gan (T ) = 1 . Im allgemeinen besteht zwischen g := gan (X) und der analytischen Charakteristik χ := χ(X) folgende Ungleichung: Satz. Wenn g ≥ 1 ist, gilt 2g − 2 ≤ −χ , insbesondere χ ≤ 0.

Beweis. Wegen g ≥ 1 gibt es eine holomorphe Form = 0 , also einen positiven kanonischen Divisor K . Die Behauptung folgt aus 8.1.3(5), angewendet auf D = 0 und P = K .
F¨ ur die Zahlenkugel und alle Tori ist 2g − 2 = −χ . Wir werden diese Gleichung bei weiteren Fl¨ achen best¨atigt finden, siehe 8.2.2 - 3. In der Tat gilt sie f¨ ur alle kompakten Fl¨ achen: ur das topologische Geschlecht gtop bewiesen. In 12.4.1 wird χ = 2−2gtop f¨ Die Gleichung gtop = gan ist der Spezialfall D = 0 der Formel von Riemann und Roch (RR)

l(D) − l(K − D) = grD − gtop + 1 ,

welche f¨ ur beliebige Divisoren D und kanonische Divisoren K gilt. Der Beweis von (RR) wird nach umfangreichen Vorarbeiten in 13.1.5 erreicht. 8.2.2 Holomorphe Formen auf hyperelliptischen Fl¨ achen. F¨ ur paarweise verschiedene e1 , . . . , e2m+1 ∈ C definiert das Polynom w2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e2m+1 ) eine hyperelliptische Fl¨ ache X . Mit der bei Abelschen Integralen u ¨blichen Schreibweise, siehe 7.4.3(2), gilt   P (z) (1) E1 (X) = dz : P (z) ∈ C[z] , grP ≤ m − 1 , gan (X) = m . w

Beweis zu (1). Im Riemannschen Gebilde (X, η, f ) des Polynoms besteht η −1 (∞) aus einem Punkt a2m+2 . Aus den in 6.4.2(3) angegebenen Windungszahlen und Ordnungen folgt: Die Form dη/f ist bis auf eine (2m − 2)ur jedes Polynom P (z) fache Nullstelle bei a2m+2 null- und polstellenfrei. F¨ . An allen anderen Stellen ist P ◦ η vom Grade r gilt o(P ◦ η, a2m+2 ) = −2r   holomorph. Daher sind die Formen (P ◦ η)/f dη f¨ ur grP ≤ m − 1 holomorph. Sie bilden einen m-dimensionalen Untervektorraum von E1 (X) . Andererseits folgt aus Satz 8.2.1 dim E1 (X) ≤ m , weil X nach 7.1.5(2) die analytische Charakteristik χ = 2 − 2m hat.


162

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

8.2.3 Holomorphe Formen auf der Kleinschen Fl¨ ache. Sei X die durch w7 − z 2 (z − 1) definierte Kleinschen Fl¨ ache. Die drei Formen

(1)

dz/w 3 , z dz/w 5 , z dz/w 6

bilden eine Basis von E1 (X) , also ist gan (X) = 3.

Beweis. Die Windungszahlen von η und die Ordnungen von f im Riemannschen Gebilde (X, η, f ) sind im Satz 6.4.4 zusammengestellt. Man entnimmt ihnen, daß die angegebenen Formen holomorph sind. Offenbar sind sie linear
unabh¨ angig. Wegen χ(X) = −4 folgt dim E1 (X) ≤ 3 aus Satz 8.2.1.

8.3 Abbildungen in projektive R¨ aume  wird auf Die Kompaktifizierung der Zahlenebene C zur Zahlenkugel C h¨ ohere Dimensionen verallgemeinert: Wir definieren die komplex projektiven R¨aume Pn als komplex n-dimensionale Mannigfaltigkeiten und betten Cn in ur Riemannsche Fl¨ achen X verallgemeinern wir die meromorphen Pn ein.– F¨  = P1 zu holomorphen Abbildungen X → Pn . Funktionen X → C

8.3.1 Projektive R¨ aume. Jeder endlich-dimensionale komplexe Vektorraum V ist zugleich ein Hausdorffraum. Seine Topologie ist dadurch charakterisiert, daß jeder Vektorraum-Isomorphismus V ∼ = Cn ein Hom¨oomorphismus ist. Wir setzen dim V ≥ 1 voraus und bezeichnen die Menge aller 1-dimensionalen Untervektorr¨ aume mit P(V ) . Jeder Vektor v ∈ V \ {0} spannt den 1-dimensionalen Untervektorraum C v auf. Wir versehen P(V ) mit der Quotiententopologie bez¨ uglich p : V \ {0} → P(V ), p(v) = [v] := C v ,

und nennen P(V ) den projektiven Raum zu V . Wir schreiben Pn := P(Cn+1 ) . Jeder Isomorphismus F : V → Cn+1 der Vektorr¨ aume bestimmt den Hom¨oomorphismus P(V ) → Pn , [v] → [F (v)] . Man nennt P1 die projektive Gerade und P2 die projektive Ebene. Die Einbettung W ֒→ V jedes Untervektorraums W = 0 induziert die Einbettung P(W ) ֒→ P(V ) . Die abgeschlossene Teilmenge P(W ) ⊂ P(V ) heißt projektiver Unterraum. Wenn W die Codimension 1 hat, also der Kern einer Linearform L : V → C ist, nennt man P(W ) eine projektive Hyperebene. Man sagt auch: P(W ) wird durch L = 0 definiert, und schreibt P(W ) =: N (L) . F¨ ur diesen Fall gilt: Jedes a ∈ V \ W bestimmt den Hom¨oomorphismus   (1) α : W → P(V )\N (L) , w → [a + w] , mit α−1 ([v]) = L(a)/L(v) v − a . Insbesondere ist P(V ) \ N (L) wie W hausdorffsch. Daraus folgt: (2) Der projektive Raum P(V ) ist hausdorffsch.

Beweis. Zu zwei Punkten [v], [v ′ ] ∈ P(V ) gibt es eine Linearform L mit L(v) = 0 = L(v ′ ) , also [v], [v ′ ] ∈ P(V ) \ N (L).


8.3 Abbildungen in projektive R¨ aume

163

Wenn man V mit einer hermiteschen Norm versieht, ist die Einheitsph¨ are S ⊂ V kompakt und zusammenh¨ angend. Aus p(S) = P(V ) folgt: (3) Der projektive Raum P(V ) ist kompakt und zusammenh¨ angend.




8.3.2 Homogene Koordinaten. Holomorphe Struktur. Jeder Vektor z = (z0 , z1 , . . . , zn ) ∈ Cn+1 \ {0} bestimmt den Punkt (z0 : z1 : . . . : zn ) := [z] ∈ Pn . Man nennt z0 , . . . , zn die homogene Koordinaten von [z] ∈ Pn . Es gilt (z0 : z1 : . . . : zn ) = (w0 : w1 : . . . : wn ) genau dann, wenn es ein λ ∈ C× mit wj = λzj f¨ ur alle j gibt. Die Komplemente Uj := Pn \ Θj der Hyperebenen Θj := N (zj ) sind offen und u ¨berdecken f¨ ur j = 0, . . . , n den Pn . Jede Abbildung αj : Cn → Uj , (z1 , . . . , zn ) → (z1 : . . . : zj−1 : 1 : zj : . . . : zn )

ist ein Hom¨oomorphismus. Die Umkehrabbildung hj := αj−1 ist eine topologische Karte des Pn : Uj → Cn , (z0 : . . . : zn ) → (z0 /zj : . . . : zj−1 /zj , zj+1 /zj , . . . , zn /zj ) . Diese Karten bilden den holomorphen Atlas {(Uj , hj ) : j = 0, . . . , n} , der Pn zu einer komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension n macht. F¨ ur n = 1 l¨ aßt sich die Karte h0 : U0 → C durch h0 (0 : 1) := ∞ zu einer  fortsetzen. Durch sie wird die projektive biholomorphen Abbildung P1 → C  identifiziert. Gerade P1 mit der Zahlenkugel C

8.3.3 Projektive Automorphismen. Jede Matrix A ∈ GLn+1 (C) bestimmt den projektiven Automorphismus Aˆ : Pn → Pn , [z] → [A · z] . Dabei ist z beim Matrizenprodukt A · z ein Spaltenvektor. Projektive Automorphismen sind biholomorph. Sie bilden die Gruppe Aut(Pn ) . Die projektiven  sind die M¨ obius-Transformationen. Automorphismen von P1 = C

Wir nennen zwei Abbildungen ϕ, ψ : M → Pn einer Menge M projektiv a ¨quivalent, wenn ψ = Φ ◦ ϕ f¨ ur einen projektiven Automorphismus Φ gilt. Wir interessieren uns f¨ ur die projektiven Eigenschaften von ϕ ; das sind solche, die sich von ϕ auf alle projektive a¨quivalenten ψ vererben.

8.3.4 Abbildungen Riemannscher Fl¨ achen in den Pn . Eine Abbildung n ache X ist genau dann holomorph, wenn es um jeden ψ : X → P der Fl¨ Punkt in X eine Scheibe U und Funktionen ϕj ∈ O(U ) ohne gemeinsame Nullstellen gibt, so daß f¨ ur alle x ∈ U gilt:  ϕ(x) = ϕ0 (x) : . . . : ϕn (x) . Wir nennen ϕ|U = (ϕ0 : . . . : ϕn ) eine gute (lokale) Darstellung. Zu jeder anderen guten Darstellung ϕ|U ∗ = (ϕ∗0 : . . . : ϕ∗n ) gibt es eine nullstellenfreie Funktion λ ∈ O(U ∩ U ∗ ) mit ϕ∗j = λ · ϕj f¨ ur j = 0, 1, . . . , n .

Die Abbildung ϕ : X → Pn der zusammenh¨angenden Fl¨ ache X heißt nichtentartet, wenn es keine Hyperebene Θ mit ϕ(X) ⊂ Θ gibt. ur jede Hyperebene Θ lokal endlich. Dann ist ϕ−1 (Θ) ⊂ X f¨

164

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

Denn sei Θ = N (L) . Jeder Punkt in X liegt in einer Scheibe U mit einer guten Darstellung ϕ|U = (ϕ0 : . . . : ϕn ) . Dann hat L(ϕ0 , . . . , ϕn ) ∈ O(U ) die Nullstellenmenge U ∩ ϕ−1 (Θ) . Somit ist ϕ−1 (Θ) ⊂ X analytisch, und die Behauptung folgt mit Satz 1.3.4.
Auf der zusammenh¨ angenden Fl¨ ache X seien n+1 meromorphe Funktionen f0 , . . . , fn gegeben, die nicht alle konstant = 0 sind. Wir nennen a ∈ X einen Ausnahmepunkt, wenn a gemeinsame Nullstelle aller fj oder Pol von mindestens einem fk ist. Die Ausnahmepunkte bilden eine lokal endliche Teilmenge A ⊂ X .   aßt sich in Satz. Die Abbildung X \ A → Pn , x → f0 (x) : . . . : fn (x) l¨ eindeutiger Weise zu einer holomorphen Abbildung ϕ : X → Pn fortsetzen, welche mit ϕ =: (f0 : · · · : fn ) bezeichnet wird. Beweis. Zu jedem a ∈ A gibt es eine Karte z : (U, a) → (E, 0) , so daß alt man die gute Darstellung U ∩ A = {a} ist. Mit d := min{o(fj , a)} erh¨ (z −d f0 : . . . : z −d fn ) der Fortsetzung von ϕ auf U .
Wir ben¨ otigen drei Erg¨ anzungen. (1) Zwei holomorphe Abbildung (f0 : . . . : fn ) , (g0 : . . . : gn ) : X → Pn sind genau dann gleich, wenn es eine Funktion λ ∈ M(X) gibt, so daß gj = λfj f¨ ur alle j gilt.
(2) Die Abbildung (f0 : . . . : fn ) : X → Pn ist genau dann nicht-entartet, ¨ber C linear unabh¨ angig sind.
wenn f0 , . . . , fn ∈ M(X) u

(3) Sei ϕ : X → Pn holomorph und ϕ(X) ⊂ Θ0 := N (z0 ) . Es gibt es eindeutig bestimmte Funktionen fj ∈ M(X) mit ϕ = (1 : f1 : . . . : fn ) .

Beweis zu (3). Seien ϕ|U = (ϕ0 : ϕ1 : . . . : ϕn ) , ϕ|U ∗ = (ϕ∗0 : ϕ∗1 : . . . : ϕ∗n ) gute Darstellungen. F¨ ur jedes j ist ϕj /ϕ0 = ϕ∗j /ϕ∗0 ∈ M(U ∩ U ∗ ) . Folglich setzen sich die Quotienten ϕj /ϕ0 zu einer Funktion fj ∈ M(X) zusammen,
so daß ϕ = (1 : f1 : . . . : fn ) ist. Die Eindeutigkeit folgt aus (1). Beispiele.  → Pn heißt rationale (4) Die Abbildung ρ := ρn := (1 : z : z 2 : . . . : z n ) : C Raumkurve vom Grade n.

(5) Die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter Ω und ihre Ableitung ℘′ bestimmen die Abildung ϕ = (1 : ℘ˆ : ℘ˆ′ ) : C/Ω → P2 des Torus.

Die Abbildungen (4) und (5) sind holomorph, nicht-entartet und injektiv,  ⊂ Pn  auf ρn (C) also wegen der Kompaktheit Hom¨oomorphismen von C 2 bzw. von C/Ω auf ϕ(C/Ω) ⊂ P . 8.3.5 Kanonische Abbildungen. Sei X eine kompakte, zusammenh¨angende Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2. Zu jeder Basis ω0 , ω1 , · · · , ωg−1 von E1 (X) bildet man mit fj = ωj /ω0 ∈ M(X) die kanonische Abbildung κ := (ω0 : ω1 : . . . : ωg−1 ) := (1 : f1 : · · · : fg−1 ) : X → Pg−1 .

8.3 Abbildungen in projektive R¨ aume

165

Sie ist nicht-entartet. Wenn man eine andere Basis w¨ahlt, erh¨ alt man die zu κ projektiv a¨quivalente Abbildung Φ ◦ κ , wobei Φ ∈ Aut(Pg−1 ) durch den Basiswechsel bestimmt ist. Umgekehrt sind mit κ alle projektiv a¨quivalenten Abbildungen Φ ◦ κ ebenfalls kanonisch. F¨ ur jeden Automorphismus α von X ist die Abbildung κ ◦ α = (α∗ ω0 : . . . : α∗ ωg−1 ) kanonisch und daher zu κ projektiv a¨quivalent; siehe auch 13.3.1(1). Beispiel. Die Kleinsche Fl¨ ache ist durch das Polynom w 7 −z 2 (z−1) definiert und besitzt die Basis zdz/w 6 , zdz/w 5 und dz/w 3 von E1 (X) , siehe 8.2.3. Die entsprechende kanonische Abbildung ist injektiv, (1) κ = (zw −6 : zw−5 : w−3 ) = (z : zw : w3 ) : X → P2 .  eine zweibl¨ ¨ Satz. Sei η : X → C attrige Uberlagerung, die u ¨ber ∞ verzweigt.  Mit der rationalen Raumkurve ρ : C → Pg−1 entsteht die kanonische Abbildung ρ ◦ η : X → Pg−1 . Sie ist nicht injektiv.

Beweis. Man erg¨ anzt zum Riemannschen Gebilde (X, η, f ) mit dem Minimalpolynom w 2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e2g+1 ) , siehe 6.4.3. Nach 8.2.2 ist {η k dη/f : k = 0, . . . , g − 1} eine Basis von E1 (X) . Sie bestimmt die kanoni
sche Abbildung (1 : η : . . . : η g−1 ) = ρ ◦ η . Folgerung. Die Kleinsche Fl¨ ache ist nicht hyperelliptisch.




¨ 8.3.6 Hyperelliptische Uberlagerungen. (1) Zu je zwei hyperelliptischen   mit ϕ = γ ◦ η . ¨ Uberlagerungen η, ϕ : X → C gibt es genau ein γ ∈ Aut(C)

Beweis. Durch zwei M¨ obius-Transformationen α und β erreicht man, daß α◦η und β ◦ϕ u ¨ber ∞ verzweigen. Nach Satz 8.3.5 sind ρ◦α◦η und ρ◦β ◦ϕ kanonische Abbildungen und daher projektiv a¨quivalent: Mit Φ ∈ Aut(Pg−1 ) gilt ρ ◦ β ◦ ϕ = Φ ◦ ρ ◦ α ◦ η . Weil Φ, ρ, α, β injektiv sind, haben η und ϕ dieselben Fasern. Die Behauptung folgt mit Satz 1.3.8.
 dieselbe ¨ Nach (1) haben alle hyperelliptischen Uberlagerungen X → C Deckgruppe D < Aut(X) der Ordnung 2 . Ihr nicht triviales Element σ heißt hyperelliptische Involution. Die Fixpunkte von σ sind die 2g + 2 . ¨ Windungspunkte jeder hyperelliptischen Uberlagerung X→C (2) Die Involution σ liegt im Zentrum von Aut(X) .– Jedes Element in Aut(X) \ D hat h¨ ochstens vier Fixpunkte.  hyperelliptisch. F¨ Beweis. Sei η : X → C ur jedes α ∈ Aut(X) gilt id −1

= α ◦ σ ◦ α ∈ D(η ◦ α) = D , also α−1 ◦ σ ◦ α = σ .– Nach (1) gibt es ein  mit η ◦ α = γ ◦ η . Wenn α mindestens 5 Fixpunkte besitzt, γ ∈ Aut(C) haben diese mindestens 3 verschiedene η-Bilder. Sie sind Fixpunkte von γ . Daher ist γ = id und somit α ∈ D(η) = D .
Aufgabe 6.6.10 enth¨ alt Beispiele zu (2).

166

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

8.4 Schnittdivisoren und Linearscharen Wir betrachten nicht-entartete holomorphe Abbildungen ϕ : X → Pn kompakter, zusammenh¨ angender Fl¨ achen und definieren zu jeder Hyperebene Θ ⊂ Pn einen positiven Schnittdivisor (Θ)ϕ auf X . Diese Divisoren bilden die Schnittschar S(ϕ) . Wir ordnen Schnittscharen in die Theorie der Linearscharen ein. 8.4.1 Schnittzahlen und -divisoren. Sei L(z0 , . . . , zn ) := a0 z0 +. . .+an zn eine Linearform = 0 und ϕ|U = (ϕ0 : . . . : ϕn ) eine gute Darstellung auf einer Scheibe U . Bis auf einen nullstellenfreien Faktor h¨ angt L(ϕ0 , . . . , ϕn ) ∈ O(U ) nur von der Hyperebene Θ := N (L) und der Abbildung ϕ ab. Sie ist nicht konstant = 0 , weil ϕ nicht-entartet ist. Daher ist die Schnittzahl   (1) (Θ)ϕ (x) := o L(ϕ0 , . . . , ϕn ), x ∈ N von ϕ mit Θ bei x wohldefiniert. Die Abbildung (Θ)ϕ : X → N ist ein positiver Divisor mit dem Tr¨ ager ϕ−1 (Θ) . Sie heißt Schnittdivisor von ϕ mit Θ . F¨ ur α ∈ Aut(X) gilt (Θ)ϕ◦α = (Θ)ϕ ◦ α . Sei ϕ = (f0 : . . . : fn ) mit fj ∈ M(X) . F¨ ur zwei Hyperebenen Θk mit dem Gleichungen Lk = 0 , k = 0, 1 , gilt (2) (Θ1 )ϕ = (Θ0 )ϕ + (f ) mit f := L1 (f0 , . . . , fn )/L0 (f0 , . . . , fn ) .
Insbesondere sind alle Schnittdivisoren zu ϕ linear a¨quivalent und haben daher denselben Grad. Er wird mit gr ϕ bezeichnet und Grad von ϕ genannt. (3) Aus (Θ1 )ϕ = (Θ0 )ϕ folgt Θ1 = Θ0 . Denn in (2) ist f eine Konstante c = 0 , also (L0 − cL1 )(f0 , . . . , fn ) = 0 , somit L0 = cL1 , weil ϕ nicht-entartet ist.
Beispiel. Sei X die Kleinsche Fl¨ ache mit η, f ∈ M(X) wie in 6.4.4 und der kanonischen Abbildung κ = (η : η f : f 3 ) gem¨aß 8.3.5(1). Die angegebene Darstellung von κ ist an allen Stellen =  0, =  ∞ gut. Gute Darstellungen bei  0 und  ∞ lauten (η f −3 : η f −2 : 1) bzw. (f −1 : 1 : f 2 η −1 ) . Mit den in 6.4.4 angegebenen Ordnungen erh¨ alt man f¨ ur Θ := N (z0 ) die Schnittzahlen ur x =  0, =  ∞ und (Θ)ϕ ( 0) = 1, (Θ)ϕ ( ∞) = 3 , also gr κ = 4 . (Θ)ϕ (x) = 0 f¨ 8.4.2 Die Schnittschar S(ϕ) ist die Menge aller Schnittdivisoren von ϕ . Beispielsweise ist die Menge Sn aller positiven Divisoren vom Grade n auf  → Pn .  die Schnittschar S(ρn ) der rationalen Raumkurve ρn : C C

Sei ϕ = (f0 : f1 : . . . : fn ) mit fj ∈ M(X) und f0 = 1 . Da ϕ nicht-entartet ist, spannen f0 , . . . , fn einen (n + 1)-dimensionalen komplexen Untervektorraum V ⊂ M(X) auf. Sei Θ0 = N (z0 ) . Nach 8.4.1(2) gilt   (1) (Θ)ϕ = (Θ0 )ϕ + ( aj fj ) f¨ ur Θ = N ( aj zj ) . Somit ist (2) S(ϕ) = {(Θ0 )ϕ + (f ) : f ∈ V \ {0}} .


8.4 Schnittdivisoren und Linearscharen

167

Satz. Zwei nicht-entartete, holomorphe Abbildungen ϕ, ψ : X → Pn sind genau dann projektiv a ¨quivalent, wenn sie dieselbe Schnittschar besitzen. Beweis. F¨ ur jeden Automorphismus Φ von Pn und jede Hyperebene Θ ⊂ Pn gilt (Φ(Θ))Φ◦ϕ = (Θ)ϕ . Daher haben ϕ und Φ ◦ ϕ dieselbe Schnittschar. Umgekehrt seien ϕ = (1 : f1 : . . . : fn ) und ψ = (1 : g1 : . . . : gn ) Abbildungen X → Pn mit gleicher Schnittschar. F¨ ur die von 1 = f0 , f1 , . . . , fn und 1 = g0 , g1 , . . . , gn aufgespannten C-Untervektorr¨ aume V bzw. W von M(X) gilt also {(Θ0 )ϕ + (f ) : f ∈ V \ {0}} = {(Θ0 )ψ + (g) : g ∈ W \ {0}} . Es gibt ein h ∈ V mit (Θ0 )ψ = (Θ0 )ϕ + (h). Dann ist W → V , g → hg , ein Isomorphismus. Folglich ist hg0 , . . . , hgn eine Basis von V , und es gibt eine Matrix A = (ajk ) ∈ GLn+1 (C) , so daß hgj = k ajk fk ist. Daher sind ψ = (hg0 : . . . : hgn ) und ϕ = (f0 : . . . : fn ) projektiv a¨quivalent.
Folgerung. F¨ ur jede M¨ obius-Transformation α sind die rationale Raum¨quivalent.
kurve ρn und ρn ◦ α projektiv a

8.4.3 Linearscharen. Wie in 8.1.1 betrachten wir zum Divisor D die Menge |D| und den Vektorraum L(D) . Die Abbildung

(1a) L(D) \ {0} → |D| , f → D + (f ) , induziert eine Bijektion (1b) PL(D) → |D| ,   welche die Struktur des l(D)−1 -dimensionalen projektiven Raumes PL(D) nach |D| u ¨bertr¨ agt. Die u ¨bertragene Struktur h¨ angt nur von |D| und nicht vom Divisor D ab. Denn f¨ ur jeden zu D ¨aquivalenten Divisor E ist der Isomorphismus L(D) → L(E) , f → h · f , aus 8.1.1(4) mit der Projektion (1a) vertr¨ aglich. Jeder projektive Unterraum von |D| heißt Linearschar auf X ; ganz |D| wird vollst¨ andige Linearschar genannt. Alle Divisoren derselben Linearschar sind linear a¨quivalent und haben also denselben Grad. Eine n-dimensionale Linearschar von Divisoren des Grades d wird traditionell mit gdn bezeichnet. ¨ Sei η : X → Y eine endliche Uberlagerung. Aus jeder Linearschar gdn ∗ n auf Y entsteht die geliftete Linearschar η gd := {η ∗ D : D ∈ gdn } . Sie hat dieselbe Dimension n und den Grad d · gr η , siehe 7.2.1.  ist eine (2) Die Menge Sn aller positiven Divisoren vom Grade n auf C vollst¨ andige n-dimensionale Linearschar.
(3) Alle positiven kanonischen Divisoren auf X bilden eine vollst¨ andige Linearschar K . Das analytische Geschlecht g und die analytische Charakteristik χ bestimmen ihre Dimension g − 1 und ihren Grad −χ .
Man nennt K die kanonische Schar. Sei D eine Divisor vom Grade d . Die Linearscharen gdn ⊂ |D| entsprechen umkehrbar eindeutig den (n+1)-dimensionalen Untervektorr¨ aumen V ⊂ L(D) , indem man V folgende Schar zuordnet: (4)

gdn := {D + (f ) : f ∈ V \ {0}}

168

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

(5) F¨ ur jede Linearschar gdn auf X gilt n ≤ d . Im Falle n = d gibt es  → X , so daß Sn = ϕ∗ g n ist. einen Isomorphismus ϕ : C n

Beweis zu (5). Nach 8.1.2 ist n + 1 = dim V ≤ l(D) ≤ d + 1 , wobei Gleichheit  → X gibt. Die geliftete nur eintritt, wenn es einen Isomorphismus ϕ : C Schar ist ein n-dimensionaler projektiver Unterraum ϕ∗ gnn ⊂ Sn . Wegen
dim Sn = n ist die Inklusion eine Gleichheit. Wenn man (4) mit der Beschreibung der Schnittscharen durch 8.4.2(1) vergleicht, folgt: (6) Die Schnittschar S(ϕ) jeder nicht-entarteten holomorphen Abbildung
ϕ : X → Pn ist eine Linearschar gdn mit d = gr ϕ . Eventuell auftretende Basispunkte verhindern jedoch, daß umgekehrt jede Linearschar eine Schnittschar ist; siehe dazu den n¨ achsten Abschnitt 8.4.4.  → P2 Beispiele. (a) Die Schnittschar der Neileschen Parabel (1 : z 2 : z 3 ) : C 2 andig. ist eine g3 ⊂ S3 und daher nicht vollst¨

(b) Sei ϕ : C/Ω → P2 die Toruseinbettung aus 8.3.4(5). Die Schnittzahl ur x = 0 und sonst = 0 . Somit ist S(ϕ) eine g32 ⊂ |D0 | . (Θ0 )ϕ (x) ist = 3 f¨ andig. Da es nach (5) keine g33 auf C/Ω gibt, ist S(ϕ) = |(Θ0 )ϕ | vollst¨

(c) In 13.2.1(3) wird bewiesen: Die Schnittschar S(κ) jeder kanonischen Abbildung κ ist die kanonische Schar K .

 isomorph. Dann ist jede g 1 auf X die Schnittschar Satz. Sei X nicht zu C 2  = P1 . ¨ einer zweibl¨ attrigen Uberlagerung X→C

ur einen Divisor Beweis. Nach (4) gilt g21 = {D + (f ) : f ∈ V \ {0}} f¨ D ∈ g21 und einen zweidimensionalen Untervektorraum V ⊂ L(D) . Wir w¨ahlen eine Basis 1, η von V und behaupten S(η) = g21 . Nach 8.4.2(2) ist S(η) = {(Θ0 )η + (f ) : f ∈ V \ {0}}. Daher gen¨ ugt es, (Θ 0 )η = D zu zeigen: Aus D+(η) ≥ 0 folgt 2 = gr D ≥ x∈η−1 (∞) D(x) ≥ − x∈η−1 (∞) o(η, x) =  . Somit ist gr η = 2 und D(x) = −o(η, x) gr η ≥ 2 , letzteres wegen X ≈ C f¨ ur x ∈ η −1 (∞) , D(x) = 0 sonst. Der Schnittdivisor (Θ0 )η hat dieselben Werte.
Wenn man diesen Satz mit 8.3.6(1) und Satz 8.4.2 kombiniert, folgt: Auf hyperelliptischen Fl¨ achen existiert genau eine g21 . Auf nicht-hyperelliptischen Fl¨ achen existiert keine g21 . Um f¨ ur jedes Paar (n, d) s¨ amtliche gdn auf X zu erfassen, macht man die Menge n {gd } zu einer algebraischen Variet¨ at und studiert sie mit Methoden der algebraischen Geometrie. Solche Untersuchungen wurden in den 1970-er Jahren intensiv durchgef¨ uhrt und in [ACGH] zusammenfassend dargestellt.

8.4.4 Basispunkte. Man nennt P ∈ X einen Basispunkt der Linearschar ur alle D ∈ gdn gilt. gdn , wenn D − P ≥ 0 f¨ (1) Ein Punkt P ∈ X ist genau dann Basispunkt der vollst¨ andigen Linearschar |D| , wenn l(D − P ) = l(D) ist.


8.5 Multiplizit¨ at. Schnittzahlen

169

Satz. Eine Linearschar auf X ist genau dann eine Schnittschar, wenn sie keine Basispunkte hat. Beweis. Wenn P ein Basispunkt der Schnittschar S (ϕ) w¨are, m¨ ußte der Punkt ϕ(P ) auf jeder Hyperebene liegen. Das ist absurd. Umgekehrt sei gdn = {D + (f ) : f ∈ V \ {0}} die Darstellung einer Linearschar ohne Basispunkte gem¨ aß 8.4.3(4) mit D ∈ gdn . Es gibt eine Basis 1 = f0 , f1 , . . . , fn von V . Die Abbildung ϕ := (1 : f1 : . . . : fn ) : X → Pn hat die Schnittschar gdn = S(ϕ) : Nach 8.4.2(2) ist S(ϕ) = {(Θ0 )ϕ + (f ) : ur alle x ∈ X zu zeigen. f ∈ V \ {0}} . Es gen¨ ugt es, D(x) = (Θ0 )ϕ (x) f¨ Sei ϕ = (ϕ0 : . . . : ϕn ) eine gute Darstellung bei x . Dann ist (Θ0 )ϕ (x) = o(ϕ0 , x) und fj = ϕj /ϕ0 f¨ ur alle j . Es gibt ein l mit ϕl (x) = 0 . Daf¨ ur gilt 0 ≤ D(x) + o(fl , x) = D(x) − o(ϕ0 , x) . Weil x kein Basispunkt ist, gibt es andererseits ein k mit 0 = D(x) + o(fk , x) = D(x) + o(ϕk , x) − o(ϕ0 , x) ≥
D(x) − o(ϕ0 , x) . Also ist D(x) = o(ϕ0 , x) = (Θ0 )ϕ (x) .

8.5 Multiplizit¨ at. Schnittzahlen Wir betrachten nicht-entartete holomorphe Abbildungen ϕ : X → Pn von kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ achen. An jeder Stelle a ∈ X l¨ aßt sich die Menge aller Schnittzahlen von ϕ mit den Hyperebenen in Pn zu einer Folge 0 = m0 < m1 < . . . < mn mit n + 1 Elementen ordnen. Ihr erstes at. Wir messen die Abweichung von der trivialen Glied m1 heißt Multiplizit¨  Folge 0 < 1 < 2 < . . . durch das Gewicht τ (a) = (mj − j) .

8.5.1 Die Multiplizit¨ at m(ϕ,a) ist das Minimum der Schnittzahlen (Θ)ϕ (a) f¨ ur alle Hyperebenen Θ ⊂ Pn , die ϕ(a) enthalten. Zur Berechnung benutzen wir eine gute Darstellung ϕ|U = (ϕ0 : ϕ1 : . . . : ϕn ) auf einer Scheibe U um a , bei der eine Komponente ϕk = 1 konstant ist. Weil ϕ nicht-entartet ist, sind alle anderen Komponenten nicht konstant. Dann ist (1) m(ϕ, a) = min {v(ϕj , a) : j = k} .

Beweis : Sei d := min {v(ϕj , a)} . Wir entwickeln ϕj = aj + bj z d + . . . nach denPotenzen einer Karte z: (U, a) → (E, 0) . F¨ ur jede Hyperebene Θ =   cj aj = 0 . F¨ ur f = cj ϕj = ( cj bj )z d + . . . N ( cj zj ) durch ϕ(a) gilt ist (Θ)ϕ (a) = o(f, a) ≥ d . Man kann Θ so w¨ahlen, daß (Θ)ϕ (a)  = d ist; cj aj = 0 , cj bj = 1 denn wegen ak = 1 , bk = 0 haben die Gleichungen eine L¨osung (c0 , . . . , cn ) = 0 .
Wir nennen a eine kritische Stelle von ϕ , wenn m(ϕ, a) ≥ 2 ist. Unkritische Stellen heißen regul¨ ar. Wegen (1) ist die Menge der kritischen Stellen endlich. Wenn es keine kritischen Stellen gibt, heißt ϕ Immersion. Injektive Immersionen werden auch holomorphe Einbettungen genannt. Letztere bilden X hom¨oomorph auf ϕ(X) ab, da X kompakt ist.

170

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

 → Pn , die Torus-Abbildung Beispiele. Alle rationalen Raumkurven ρ : C (1 : ℘ˆ : ℘ˆ′ ) : C/Ω → P2 und die kanonische Abbildung κ : X → P2 der Kleinschen Fl¨ ache sind Einbettungen vom Grade n , 3 bzw. 4 .  → P2 ist injektiv, aber wegen Die Neilesche Parabel ϕ = (1 : z 2 : z 3 ) : C m(ϕ, 0) = 2 keine Immersion. Das Bild ϕ(0) der kritischen Stelle erscheint in der reellen Figur 6.2.1 a (rechts) als Spitze.    → P2 ist eine Die Parabola nodata ϕ = 1 : 1 − z 2 : z(1 − z 2 ) : C Immersion, aber wegen des Doppelpunktes ϕ(1) = ϕ(−1) nicht injektiv, vgl. die reelle Figur 6.2.1 b. Satz. Sei l(D−B) = l(D)−2 f¨ ur alle positiven Divisoren B vom Grade 2 . Dann ist |D| die Schnittschar einer Einbettung.

Beweis. F¨ ur jeden Punktdivisor P gilt l(D−P ) = l(D)−1. Daher ist |D| die Schnittschar einer Abbildung ϕ : X → Pn mit n = dim |D| , siehe 8.4.4. Angenommen, ϕ ist nicht injektiv, also ϕ(P ) = ϕ(Q) f¨ ur zwei Punkte P = Q . Dann gilt f¨ ur jeden Divisor S ∈ |D| mit S(P ) > 0 auch S(Q) > 0 , also |D−P | = |S−P | ⊂ |S−P −Q| = |D−P −Q| , somit l(D)− 1 = l(D−P ) ≤ l(D −P −Q) = l(D)−2 im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn ϕ eine atte jeder Divisor S ∈ |D| mit P ∈ Tr(S) dort kritische Stelle P bes¨aße, h¨ den Wert S(P ) ≥ 2 , also |S − P | ⊂ |S − 2P | . Wie oben erh¨ alt man, diesmal mit P = Q , einen Widerspruch zur Voraussetzung.
8.5.2 Die Folge der Schnittzahlen. Die Menge Mϕ (a) := {(Θ)ϕ (a)} der Schnittzahlen von ϕ bei a ∈ X mit den Hyperebenen Θ ⊂ Pn hat n + 1 Elemente. Es gibt genau eine Hyperebene mit maximale Schnittzahl. Sei ϕ|U = (ϕ0 : . . . : ϕn ) eine gute Darstellung auf einer Scheibe um a . Der von ϕ0 , . . . , ϕn aufgespannten C-Untervektorraum T ⊂ O(U ) besitzt eine Basis ψ0 , . . . , ψn , so daß Mϕ (a) = {o(ψj , a) : j = 0, . . . , n} ist. Der Beweis beruht auf einem elementaren

Lemma. Sei T ⊂ O(E) ein C -Untervektorraum der Dimension n + 1 . Dann ist ♯ {o(f, 0) : f ∈ T \ {0}} = n + 1 . Bis auf einen konstanten Faktor gibt es genau ein h ∈ T \ {0} mit o(h, 0) = max {o(f, 0)} .

Beweis des Lemmas durch Induktion u ¨ber n . Sei m0 := min {o(f, 0)} . Die Menge T1 := {f ∈ T : o(f, a) > m0 } ist ein Untervektorraum der Dimension ≤ n . Wenn man die Induktionsvoraussetzung darauf anwendet, folgt die Behauptung f¨ ur T .
Beweis des Satzes. F¨ ur jede Stelle x ∈ U gilt

(1) Mϕ (x) = {o(f, x) : f ∈ T \ {0}} .  Denn der Hyperebene Θ = N ( aj zj ) ⊂ Pn entspricht die Funktion f =  aj ϕj ∈ T , deren Ordnung o(f, x) = (Θ)ϕ (x) die Schnittzahl ist.– Aus (1) und dem Lemma folgt die Behauptung.


8.5 Multiplizit¨ at. Schnittzahlen

171

Wir ordnen die Elemente von Mϕ (a) der Gr¨ oße nach zur Schnittzahlenfolge (2)

0 = m0 < m(ϕ, a) = m1 < . . . < mn ≤ gr ϕ

von ϕ bei a . F¨ ur jedes Φ ∈ Aut(Pn ) haben Φ ◦ ϕ und ϕ dieselbe Folge. ¨ F¨ ur jede endliche, zusammenh¨ angende Uberlagerung η : Z → X gilt  (Θ)ϕ◦η (c) = (Θ)ϕ η(c) · v(η, c) an jeder Stelle c ∈ Z . Daher hat ϕ ◦ η bei c ∈ η −1 (a) die Schnittzahlenfolge (3)

m0 v(η, c) < m1 v(η, c) < . . . < mn v(η, c) .




8.5.3 Gewichte. Wendepunkte und Weierstraß -Punkte. Das Gewicht n n   (1) τ (ϕ, a) := mj − 12 n(n + 1) (mj − j) = j=0

j=0

mißt, wie stark die Schnittzahlenfolge m0 , . . . , mn von ϕ bei a die triviale Folge 0, . . . , n u ¨bertrifft. Es ist ≥ 0 , und zwar genau dann = 0 , wenn die Schnittzahlenfolge trivial ist. Wenn τ (ϕ, a) ≥ 1 ist, heißt a Wendepunkt.  → Pn haben keine Wendepunkte. (2) Die rationalen Raumkurven ρn : C Denn wegen gr ρn = n ist jede Schnittzahlenfolge trivial.




Da alle kanonischen Abbildungen κ : X → Pg−1 zueinander projektiv ¨aquivalent sind, haben sie an jeder Stelle a ∈ X dieselbe nur von X und a abh¨ angige Folge m0 , m1 , . . . , mg−1 der Schnittzahlen. Nach Weierstraß nennt man kj := 1 + mj−1 die j-te L¨ ucke von X bei a , vgl. 13.5.1(a)-(b). Die Wendepunkte von κ heißen Weierstraß-Punkte von X . Satz. Die Weierstraß-Punkte einer hyperelliptischen Fl¨ ache von Geschlecht g ¨ sind genau die 2g + 2 Windungspunkte ihrer hyperelliptischen Uberlagerung. Jeder hat die ungeraden Zahlen 1, 3, . . . , 2g − 1 als L¨ uckenfolge und daher das Gewicht 21 g(g − 1) .

Beweis. Nach Satz 8.3.5 ist κ = ρ◦η . Wegen (2) und 8.5.2(3) ist die Schnittzahlenfolge bei a ∈ X genau dann nicht trivial, wenn a ein Windungspunkt ¨ der zweibl¨ attrigen Uberlagerung η ist. F¨ ur diese Punkte gilt mj = 2j .
8.5.4 Wronskische Determinanten erm¨oglichen die Berechnung der Gewichte, ohne Schnittzahlen zu benutzen. Wir stellen zun¨ achst grundlegende Eigenschaften dieser Determinanten zusammen. Sei V ⊂ C offen. Mit n + 1 Funktionen f0 , . . . , fn ∈ M(V ) und ihren Ableitungen bilden wir die Matrix ⎛ (n) ⎞ f0 f0′ · · · f0 (n) ⎟ ⎜f ′ ⎜ 1 f1 · · · f1 ⎟ [f0 , . . . , fn ] = ⎜ . .. .. ⎟ ⎝ .. . . ⎠ (n)

fn fn′ · · · fn und ihre Wronskische Determinante W (f0 , . . . , fn ) := det[f0 , . . . , fn ] ∈ M(V ) .

172

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

F¨ ur jedes f ∈ M(V ) gilt

(1)

W (f f0 , . . . , f fn ) = f n+1 W (f0 , . . . , fn ) .

Zum Beweis von (1) berechnet man die Ableitungen (f fj )(k) mit der Leibnizschen Formel und benutzt dann elementare Spaltenoperationen.– Aus (1) folgt die f¨ ur Induktionsbeweise n¨ utzliche Formel   n+1 (2) W (f0 , . . . , fn ) = f0 W (f1 /f0 )′ , . . . , (fn /f0 )′ .  Sei A = (ajk ) eine konstante (n + 1) × (n + 1) - Matrix und gj = k ajk fk . Dann ist [g0 , . . . , gn ] = A · [f0 , . . . , fn ] , also (3)

W (g0 , . . . , gn ) = detA · W (f0 , . . . , fn ) .




Mit (1) und (2) beweist man durch Induktion u ¨ber n die beiden folgenden Formeln: F¨ ur jede holomorphe Funktion h : V ′ → V gilt

(4)

1

W (f0 ◦ h, . . . , fn ◦ h) = (h′ ) 2 n(n+1) · W (f0 , . . . , fn ) ◦ h .




Sei a ∈ V . F¨ ur die Ordnungen mj = o(fj , a) gelte 0 ≤ m0 < m1 < . . . < mn . Dann ist n    (mj − j) .
(5) o W (f0 , . . . , fn ), a = j=0

8.5.5 Bestimmung des Gewichtes. Sei (U, z) eine Karte von X und ϕ|U = (ϕ0 : . . . : ϕn ) eine gute Darstellung von ϕ . Dann gilt   τ (ϕ, x) = o W (ϕ0 ◦ z −1 , . . . , ϕn ◦ z −1 ), z(x) f¨ ur x ∈ U .

Beweis. Sei m0 < m1 < . . . < mn die Folge der Schnittzahlen von ϕ bei x. Der von ϕ0 , . . . , ϕn aufgespannte Vektorraum T besitzt nach 8.5.2 eine Basis hat W (ψ0 ◦z −1 , . . . , ψn ◦z −1 ) (ψ0 , . . . , ψn ) mit o(ψj , x) = mj . Nach 8.5.4(5) ajk ϕk mit (ajk ) ∈ GLn (C) bei z(x) die Ordnung τ (ϕ, x) . Wegen ψj =
hat W (ϕ0 ◦ z −1 , . . . , ϕn ◦ z −1 ) dieselbe Ordnung, siehe 8.5.4(3).

Folgerung. Das Gewicht τ : X → N , x → τ (ϕ, x) , ist ein positiver Divisor. Sein Tr¨ ager besteht aus den Wendepunkten von ϕ .
Um gr τ zu bestimmen, benutzen wir

8.5.6 Verteilungen. Sei A = {(Uα , zα )} ein Atlas von X . Jedem Index α sei eine Funktion fα ∈ M(Uα ) mit endlich vielen Null- und Polstellen ¨ zugeordnet, so daß f¨ ur jedes Indexpaar (α, β) die Ubergangsfunktion hαβ := fα /fβ ∈ M(Uα ∩ Uβ ) keine Null- und Polstellen hat. Dann heißt F = {fα } eine meromorphe Verteilung zu A . Zu ihr geh¨ ort der Divisor ur x ∈ U α . (F )(x) := o(fα , x) f¨ ¨ Wenn alle Ubergangsfunktionen hαβ = 1 sind, ist die Verteilung {fα } eine meromorphe Funktion, d.h. es gibt genau ein f ∈ M(X) mit fα = f |Uα . ¨ Differentialformen ω = {ωα } sind Verteilungen mit den Ubergangsfunktionen hαβ = dzβ /dzα . (1)

Mit der Multiplikation {fa } · {gα } := {fα · gα } bilden alle Verteilungen zum gleichen Atlas A eine kommutative Gruppe. Die Bildung des Divisors

8.6 Anzahl der Wendepunkte

173

{Verteilungen zu A} → Div (X) , F → (F ) , ist ein Homomorphismus. F¨ ur ¨ zwei Verteilungen F und G mit denselben Ubergangsfunktionen ist F · G−1 eine meromorphe Funktion. Daher sind ihre Divisoren (F ) und (G) linear ¨aquivalent und haben insbesondere denselben Grad. Sei ϕ : X → Pn eine nicht entartete holomorphe Abbildung. Jedem α sei ur jedes j ist eine gute Darstellung ϕ|Uα = (ϕα0 : . . . : ϕαn ) zugeordnet. F¨ ¨ λαβ Φj := {ϕαj } eine holomorphe Verteilung, deren Ubergangsfunktionen nicht von j abh¨ angen. Der Divisor (Φj ) = (Θj )ϕ ist der Schnittdivisor von ϕ mit der Hyperebene Θj := N (zj ) . Die Wronskischen Determinanten (2) Wα := W (. . . , ϕαj ◦ zα−1 , . . .) ◦ zα .

bilden eine Verteilung W := {Wα } . Ihr Divisor (W ) = τ ist nach 8.5.5 der ¨ Gewichtsdivisor von ϕ . Die Ubergangsfunktionen lauten:

(3)

1

2 n(n+1) . Wα /Wβ = λn+1 αβ (dzβ /dzα )

Beweis. In (2) setzen wir ϕαj = λαj · ϕβj und benutzen 8.5.4(2): −1 Wα = λn+1 αβ · W (. . . , ϕβj ◦ zα , . . .) ◦ zα .

Mit zα = (zα ◦ zβ−1 ) ◦ zβ und 8.5.4(4) folgt  21 n(n+1)  −1 ′ Wα = λn+1 · W (. . . , ϕβj ◦ zβ−1 , . . .) ◦ zβ . αβ · (zβ ◦ zα ) ◦ zβ Wegen (zβ ◦ zα−1 )′ ◦ zβ = dzβ /dzα ist damit (3) erreicht.




Satz. Sei D ein Schnittdivisor von ϕ , und sei K ein kanonischer Divisor. ¨quivalent. Der Gewichtsdivisor τ von ϕ ist zu (n+1)D+ 12 n(n+1)K linear a Insbesondere gilt (4) gr τ = (n + 1)gr ϕ − 12 n(n + 1)χ(X) . 1

· ω 2 n(n+1) Beweis. Sei ω ∈ E(X) . Die Verteilungen W und F := Φn+1 0 ¨ haben wegen (3) dieselben Ubergangsfunktionen. Daher sind τ und (F ) = ¨ (n+1)(Θ0 )ϕ + 12 n(n+1)(ω) linear a¨quivalent. Mit den linearen Aquivalenzen D ∼ (Θ0 )ϕ und K ∼ (ω) folgt die Behauptung.


8.6 Anzahl der Wendepunkte Wie im letzten Abschnitt sei ϕ : X → Pn eine nicht-entartete holomorphe Abbildung einer Fl¨ ache X vom analytischen Geschlecht g . Wir deuten den Grad gr τ ihres Gewichtsdivisors als gewichtete Anzahl der Wendepunkte von ϕ und gewinnen aus 8.5.6(4) Resultate u ¨ber die Anzahl solcher Punkte. Nach 8.2.1 ist χ(X) ≤ 0 , falls g ≥ 1 ist. Damit folgt sofort die 8.6.1 Existenz von Wendepunkten. Wenn g ≥ 1 ist, besitzt jede Abbildung ϕ Wendepunkte. Insbesondere existieren auf jeder Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 Weierstraß -Punkte.


174

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

Um genauere Ergebnisse zu erzielen, benutzen wir zus¨ atzlich folgende Resultate aus sp¨ateren Kapiteln, siehe 10.7.4, 12.4.1, 13.1.5 und 13.2.1:  . gr κ = −χ(X) = 2g − 2 . (∗) g=0 ⇒X≈C

8.6.2 Abbildungen ohne Wendepunkte. Die rationalen Raumkurven haben keine Wendepunkte, siehe 8.5.3(2). Umbekehrt gilt:  →X, Wenn ϕ keine Wendepunkte hat, gibt es einen Isomorphismus α : C so daß ϕ ◦ α eine rationale Raumkurve ist.

Beweis. Nach 8.5.6(4) und 8.6.1(∗) ist gr ϕ = n · (1 − g) , also gr ϕ = n und g = 0 . Mit 8.4.3(5) folgt die Behauptung.


8.6.3 Die gewichtete Anzahl der Weierstraß -Punkte auf jeder Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 betr¨ agt (g − 1) · g · (g + 1) . Das folgt aus 8.5.6(4), angewendet auf die kanonische Abbildung ϕ = κ , indem man gem¨aß 8.6.1(∗) einsetzt.
8.6.4 Automorphismen und Weierstraß -Punkte. Jede kanonische Abbildung κ : X → Pg−1 geht durch Vorschalten von α ∈ Aut(X) in die projektiv a¨quivalente kanonische Abbildung κ ◦ α u ¨ber. Daher haben alle Punkte einer jeden Aut(X)-Bahn dieselbe L¨ uckenfolge. Sobald die Bahn einen Weierstraß-Punkt enth¨ alt, besteht sie aus lauter Weierstraß-Punkten. Satz. Wenn X eine Automorphismengruppe der Ordnung 84(g − 1) besitzt, hat X mindestens 12(g −1) Weierstraß -Punkte und ist nicht hyperelliptisch.

Beweis. Es gibt mindestens 12(g−1) Weierstraß-Punkte, da jeder Orbit nach 7.2.5 mindestens 12(g−1) Punkte hat. Wenn X hyperelliptisch w¨ are, g¨abe es nach Satz 8.5.3 nur 2g + 2 , also zu wenig Weierstraß-Punkte.
Folgerung. Die Modulfl¨ ache X7 hat 24 Weierstraß -Punkte und ist nicht hyperelliptisch. Denn nach der Tabelle in 7.1.5 erf¨ ullt X7 die Voraussetzung des Satzes.




8.6.5 Historisches. Die Definition der L¨uckenfolgen und Gewichtes sowie eine Gewichtsformel gehen auf Vorlesungen von Weierstraß zur¨ uck, deren Inhalt er in einem Brief vom 3. Okt. 1875 an H. A. Schwarz mitteilte. Wir kommen auf den Anlaß des Briefes (Endlichkeit der Automorphismengruppen) in 11.5.5 zur¨ uck. Hurwitz ver¨ offentlichte 1893 eine Abhandlung [Hur] 1, S. 391 - 430 , welche die ¨ Weierstraßsche Theorie mit der kanonischen Abbildung verband. Seine Uberlegungen lassen sich f¨ ur beliebige Abbildungen in projektive R¨aume verallgemeinern. Der Abschnitt 13.5 enth¨ alt Weierstraß’ urspr¨ ungliche Definition der L¨ ucken sowie weitere Ergebnisse u ¨ ber Weierstraß -Punkte und ihre Gewichte.

8.7 Aufgaben

175

8.7 Aufgaben Mit X, Y werden kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ achen bezeichnet. Alle Abbildungen sind holomorph. 1)

Sei D ein positiver Divisor auf X . Zeige: Zu jedem a ∈ X mit D(a) = 0 gibt es eine Basis f0 , . . . , fn von L(D) mit o(fj , a) ≥ j .

2)

Zeige: Wenn es eine nicht-konstante Abbildung ϕ : X → Y gibt, gilt f¨ ur die analytischen Geschlechter g(X) ≥ g(Y ) .

3)

Berechne die analytischen Geschlechter der Fl¨ achen, die in Aufgabe 7.9.2 angegeben wurden.

4)

(a) Beweise die Formel von Riemann-Roch f¨ ur die Zahlenkugel. (b) Zeige: F¨ ur jeden positiven Divisor D auf einem Torus gilt l(D) = gr D . (c) Beweise (RR) f¨ ur alle Tori.

5)

¨ Zeige: Bei jeder hyperelliptischen Uberlagerung η mit 6 Verzweigungspunkten sind die η-Fasern die Tr¨ ager der positiven kanonischen Divisoren.

6)

Beweise: Die Automorphismengruppen hyperelliptischer Fl¨achen sind endlich. Hinweis : Jeder Automorphismus permutiert die Fixpunkte der hyperelliptischen Involution.

7)

Sei P ein Punktdivisor auf X . Zeige: P ist ein Basispunkt von |P | , oder X ist zur Zahlenkugel isomorph.

8)

Zeige: Ein positiver Divisor D auf X ist genau dann der Polstellen-Divisor einer meromorphen Funktion, wenn die vollst¨andige Linearschar |D| keine Basispunkte hat.

9)

Sei gdn eine Linearschar auf X . Zeige: Durch B(x) = min{D(x) : D ∈ gdn }

wird ein positiver Divisor auf X definiert. Er heißt Basispunkt-Divisor. Sei b = gr B . Die Menge n hn d−b = {D − B : D ∈ gd } ist eine Linearschar ohne Basispunkte. Die Abbildung gdn → hn d−b , D → D − B ,

ist ein Isomorphismus zwischen projektiven R¨aumen.

10) Zeige: F¨ ur jeden Torus T und jedes n ≥ 2 gibt es nicht-entartete Abbildungen ϕ : T → Pn vom Grade n + 1 . Jede Abbildung dieser Art ist eine Einbettung. Sind solche Abbildungen paarweise projektiv ¨aquivalent?

176

8. Divisoren und Abbildungen in projektive R¨aume

11) Die durch w 2 = (z − e1 ) · . . . · (z − e5 ) bestimmte hyperelliptische Fl¨ache X wird durch ψ = (1 : z : w) : X → P2 holomorph abgebildet. Zeige: ψ ist nicht-entartet und keine Einbettung. Die Schnittschar S(ψ) ist nicht vollst¨ andig. Welchen Grad hat ψ ? Finde ein f ∈ M(X) , so daß ϕ := (1 : z : w : f ) : X → P3 eine nichtentartetete Abbildung mit vollst¨ andiger Schnittschar S (ϕ) ist. Ist ϕ eine Einbettung? 12) Sei m0 < m1 < . . . < mn die Folge der Schnittzahlen einer nicht entarteten holomorphen Abbildung ϕ : X → Pn bei a ∈ X . Zeige: Der Durchschnitt Aj aller Hyperebenen Θ ⊂ Pn mit (Θ)ϕ (a) ≥ mj ist ein (j − 1)-dimensionaler projektiver Unterraum. Es gilt ∅ = A0 ⊂ {a} = A1 ⊂ . . . ⊂ An . Durch Nachschalten eines Automorphismus von Pn kann man Aj = {(z0 : . . . : zn ) : zj = . . . = zn = 0} erreichen. F¨ ur jede gute Darstellung ϕ = (ϕ0 : . . . : ϕn ) bei a gilt dann o(ϕj , a) = mj . 13) Sei η : X → Y nicht konstant und ϕ : Y → Pn nicht-entartet. Sei a ∈ X , seien τ bzw. τ ′ die Gewichte von ϕ bei η(a) bzw. von ϕ ◦ η bei a . Sei v = v(η, a) die Windungszahl. Beweise die Formel τ ′ = v · τ + (v − 1) · 12 n(n + 1) . 14) Bestimme die Wendepunkte und ihre Gewichte f¨ ur die Neilsche Parabel
→ P2 . (1 : z 2 : z 3 ) und f¨ ur die Parabola nodata (1 : 1 − z 2 : z(1 − z 2 )) : C Bestimme auch die Wronkischen Determinanten auf C .

15) Wieviele Wendepunkte hat eine Toruseinbettung T → P2 vom Grade 3 ? Was sind ihre Gewichte? Beantworte dieselben Fragen f¨ ur die kanonische Einbettung der Kleinschen Fl¨ ache.

9. Ebene Kurven

Die Kurventheorie begann mit der Untersuchung der Kegelschnitte durch Men¨ achmus (4. Jh. v. Chr.) und Apollonius von Perga (ca. 225 v. Chr.). Nach Erfindung der analytischen Geometrie durch Descartes (1637) stellten sich die Kegelschnitte als Quadriken heraus: Sie werden durch polynomiale Gleichungen P (x, y) = 0 zweiten Grades definiert. Bei analytischer Betrachtungsweise bilden die Kubiken (Kurven dritten Grades) die n¨ achste Klasse. Hier treten zus¨atzliche Ph¨ anomene auf: Es gibt Wendepunkte und Singularit¨ aten wie den Doppelpunkt der Newtonschen parabola nodata oder die Spitze der Neileschen Parabel. Newton klassifizierte alle m¨ oglichen Kubiken, [New 2] 2, p.137 ff., teilweise reproduziert in [BK], S. 113 ff. Um 1720 wurde vermutet, daß sich eine Kurve m-ter und eine Kurve nter Ordnung im allgemeinen in m·n Punkten schneiden. Das ließ sich erst vollst¨ andig beweisen, nachdem zwei neue Ideen die Theorie bereichert hatten: die Erg¨ anzung der affinen Ebene zur projektiven Ebene durch Poncelet (1822) und die Zulassung von Punkten mit komplexen Koordinaten durch Pl¨ ucker (1834). In der komplex projektiven Geometrie werden Kurven zu kompakten Gebilden der reellen Dimension 2. Die bereits seit dem 17. Jahrhundert benutzten Parametrisierungen (x(t), y(t)) ebener Kurven durch reelle Parameter t m¨ ussen durch Parametrisierungen ersetzt werden, deren Definitionsbereiche statt reeller Intervalle kompakte Fl¨ achen sind. Solche Parametrisierungen kommen bereits in Riemanns Abhandlung u ¨ber Abelsche Funktionen (1857) implizit vor. Man nennt sie heute Normalisierungen; sie stehen im Mittelpunkt des vorliegenden Kapitels. Eine wichtige Rolle spielen numerische Invarianten f¨ ur die Singularit¨ aten, welche sich mit dem Grad der Kurve zu einer Formel (Clebsch, 1864) f¨ ur das Geschlecht der normalisierenden Fl¨ ache zusammensetzen. Wir berechnen diese Invarianten nur in einfachen F¨ allen. In [BK] und [Wll] werden die Singularit¨ aten und ihre Invarianten ausf¨ uhrlich behandelt.

178

9. Ebene Kurven

9.1. Projektive und affine Kurven Projektive Kurven in P2 sind Nullstellenmengen homogener Polynome in drei Variablen. Wir zerlegen sie in irreduzible Komponenten. Ferner erl¨autern wir, wie man affine Kurven in C2 , das sind Nullstellenmengen von Polynomen aus C[z, w] , durch Hinzunahme von endlich vielen Punkten zu projektiven Kurven in P2 erg¨anzt.– Seien F und G homogene Polynome in C[z0 , z1 , z2 ] . 9.1.1 Projektive Kurven. Sei F (z0 , z1 , z2 ) homogen vom Grade n ≥ 1 . Die Nullstellenmenge C := N (F ) := {(z0 : z1 : z2 ) ∈ P2 : F (z0 , z1 , z2 ) = 0}

heißt projektive, genauer ebene, projektiv algebraische Kurve. Sie ist nicht leer und kompakt. Es gilt N (F · G) = N (F ) ∪ N (G) . Jede Matrix A ∈ GL3 (C) transformiert F in das homogene Polynom ˆ F ◦A−1 desselben Grades. Dabei gilt N (F ◦A−1 ) = A(C) f¨ ur den zugeh¨ origen n ˆ ur die projektiven EigenAutomorphismus A von P . Wir interessieren uns f¨ ˆ schaften, die sich von C auf alle a¨quivalente Kurven A(C) u ¨bertragen. Der kleinste Grad, den ein homogenes Polynom F mit N (F ) = C haben kann, heißt Grad der Kurve C , kurz gr C . Er ist eine projektive Invariante. Kurven von Grade 1 sind projektive Geraden. Kurven vom Grade 2, 3, bzw. 4 heißen Quadriken, Kubiken bzw. Quartiken. (1) F¨ ur jede projektive Gerade Θ gilt Θ ⊂ C oder 1 ≤ ♯(Θ ∩ C) ≤ gr C .

Beweis. Nach einem Automorphismus von P2 ist Θ = Θ0 := N (z0 ) . Sei F ein homogenes Polynom minimalen Grades n mit C = N (F ) . F¨ ur Θ0 ⊂ C hat F (0, z1 , z2 ) mindestens eine und h¨ ochstens n Nullstellen (0 : a1 : a2 ) ∈
P2 . Sie bilden die Schnittmenge Θ0 ∩ C . (2) Projektiv algebraische Kurven C haben keine isolierten Punkte. Beweis. Sei c ∈ C . Man kann c = (1 : a : b) annehmen. Nach der Folgerung in 1.2.3 gibt es beliebig nahe bei (a, b) weitere Nullstellen von F (1, z, w) .
9.1.2 Reduzierte Polynome. Das Produkt F · G zweier Polynome ist genau dann homogen, wenn F und G homogen sind. Daher sind alle Primfaktoren eines homogenen Polynoms ebenfalls homogen, und die Reduktion (siehe 6.1.4) eines homogenen Polynoms bleibt homogen. Lemma. Ein reduziertes homogenes Polynom F teilt das homogene Polynom G in C [z0 , z1 , z2 ] , wenn N (F ) ⊂ N (G) ist.

Beweis. Es gen¨ ugt, das Lemma f¨ ur irreduzibles F zu beweisen. Wir k¨ onnen F (0, 0, 1) = 0 annehmen. Im Ring C (z0 , z1 )[z2 ] ist F ein Teiler von G oder nicht. Im ersten Fall gilt M · F = L · G mit M ∈ C[z0 , z1 , z2 ] und L ∈ C[z0 , z1 ] . Wegen F (0, 0, 1) = 0 ist F kein Teiler von L , also ein Teiler

9.1. Projektive und affine Kurven

179

von G .– Im zweiten Fall haben F und G im Hauptidealring C(z0 , z1 )[z2 ] den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler 1 = (L/R)·F +(M/R)·G mit R ∈ C[z0 , z1 ] und L, M ∈ C[z0 , z1 , z2 ] .. Also gilt R = L · F + M · G . Wir w¨ ahlen a0 , a1 so daß R(a0 , a1 ) = 0 . Es gibt ein a2 , so daß F (a0 , a1 , a2 ) = 0 . Dann f¨ uhrt G(a0 , a1 , a2 ) = 0 zum Widerspruch.
9.1.3 Das Minimalpolynom. Zu jeder projektiven Kurve C gibt es bis auf einen Faktor c ∈ C× genau ein homogenes, reduziertes Polynom F mit N (F ) = C . Ein homogenes Polynom F mit N (F ) = C hat genau dann den Grad gr F = gr C , wenn F reduziert ist. Beweis. Sei N (F ) = C und gr F = gr C . F¨ ur die Reduktion F0 von F ist gr F0 ≤ gr F und N (F0 ) = N (F ) = C , also gr F0 = gr F und folglich F = cF0 mit c ∈ C× . F¨ ur zwei reduzierte Polynome F0 und F1 mit N (F0 ) = N (F1 ) = C folgt F1 = cF0 mit c ∈ C× aus Lemma 9.1.2.
Wenn F reduziert und N (F ) = C ist, nennt man F das Minimalpolynom von C .

9.1.4 Irreduzible Komponenten. Eine projektive Kurve C heißt irreduzibel, wenn ihr Minimalpolynom irreduzibel ist. Satz. Sei F = F1 · . . . · Fr die Primfaktorzerlegung eines homogenen, reduzierten Polynoms. F¨ ur C := N (F ) und Cj := N (Fj ) gilt (1)

C = C1 ∪ . . . ∪ Cr .

Die irreduziblen Kurven Cj sind paarweise verschieden. Jede irreduzible Kurve D ⊂ C ist eine der Kurven Cj .

Beweis. (1) ist trivial. Angenommen, Cj = Ck . Aus Lemma 9.1.2 folgt Fj = cFk mit c ∈ C× , also j = k wegen der Primfaktorzerlegung. Sei D := N (G) , wobei G irreduzibel ist. Nach Lemma 9.1.2 ist G ein Teiler von F . F¨ ur ein
j gilt G = cFj mit c ∈ C× , also D = Cj . Man nennt die Kurven Cj die irreduziblen Komponenten von C . Sie sind nicht disjunkt, siehe 9.3. 9.1.5 Affine Kurven. Unter einer affinen Kurve K := N (P ) := {(z, w) ∈ C2 : P (z, w) = 0}

versteht man die Nullstellenmenge eines Polynoms P (z, w) ∈ C[z, w] vom Grade n ≥ 1 . Zur Veranschaulichung benutzt man den reellen Teil K ∩ R2 , siehe z.B. die Figuren 6.2.1 a - b . Wir betten C2 ֒→ P2 , (z, w) → (1 : z : w) , als affine Ebene in die projektive Ebene ein. Das Komplement P2 \ C2 = Θ0 := N (z0 ) heißt unendlich ferne Gerade. F¨ ur jede projektive Kurve C = Θ0 ist ihr affiner Teil ur K := C ∩ C2 eine affine Kurve. Aus C = N (F ) folgt K = N (P ) f¨ P (z, w) := F (1, z, w) . Die Menge C \ K = C ∩ Θ0 ist endlich oder = Θ0 . Jedes Polynom P (z, w) ∈ C[z, w] vom Grade n wird durch

180

9. Ebene Kurven

Pˆ (z0 , z1 , z2 ) := z0n P (z1 /z0 , z2 /z0 ) . zu einem homogenen Polynom Pˆ vom Grade n homogenisiert. Es gilt Pˆ (1, z, w) = P (z, w) , und z0 ist kein Faktor von Pˆ . Beispiel : Aus P (z, w) = w 2 −4(z−e1 )(z−e2 )(z−e3 ) entsteht Pˆ (z0 , z1 , z2 ) = z0 z22 − 4(z1 − e1 z0 )(z1 − e2 z0 )(z1 − e3 z0 ) . Satz. (a) F¨ ur jede affine Kurve K = N (P ) ist der topologischer Abschluß ¯ in P2 die projektive Kurve N (Pˆ ) . Der Durchschnitt K ¯ ∩ Θ0 ist endlich, K ¯ und K ist der affine Teil von K . (b) Jede projektive Kurve C mit endlichem Durchschnitt C ∩ Θ0 ist der ¯ ihres affinen Teils K . topologische Abschluß C = K Beweis. (a) Sei C := N (Pˆ ) . Dann ist C ∩ Θ0 endlich, weil z0 kein Faktor von Pˆ ist. Wegen P (z, w) = Pˆ (1, z, w) ist K der affine Teil von C . Aus ¯ ⊂ C , weil C abgeschlossen ist. Da C \ K endlich ist und K ⊂ C folgt K ¯ =C. C keine isolierten Punkte hat, gilt sogar K (b) Sei C := N (F ) . Dann ist K := N (P ) mit P (z, w) := F (1, z, w) der affine Teil von C . Durch Homogenisieren erh¨ alt man F = Pˆ zur¨ uck, da ¯ =C. C ∩ Θ0 endlich und somit z0 kein Faktor von F ist. Aus (a) folgt K Folgerung. Wenn die projektive Kurve C nicht durch (0 : 0 : 1) l¨ auft, besitzt sie ein Minimalpolynom F , so daß P (z, w) := F (1, z, w) reduziert ist und bis auf einen konstanten Faktor folgende normierte Gestalt hat: (1) P (z, w) = w n + a1 (z)wn−1 + · · · + an (z) mit aν (z) ∈ C [z] und gr aν ≤ ν .

Beweis. Wegen (0 : 0 : 1) ∈ / C kommt z2n in F vor. Nach Multiplikation × mit einem Faktor aus C folgt (1).– Wir reduzieren P zu P0 ; dann ist K := N (P0 ) der affine Teil von C := N (F ) . Nach dem Satz ist C = N (Pˆ0 ) .
Daher ist gr P0 = gr Pˆ0 ≥ gr F = gr Pˆ0 . Somit ist P = P0 reduziert. ¨ Bemerkung. Durch Ubergang zu einer projektiv a¨quivalenten Kurve kann man stets (0 : 0 : 1) ∈ / C erreichen.

9.2 Normalisierung Im allgemeinen haben projektive Kurven Singularit¨ aten, siehe 9.4, und sind daher keine Riemannschen Fl¨ achen. Aber mit Hilfe der Theorie algebraischer Gebilde lassen sich die Singularit¨ aten aufl¨ osen, so daß Riemannsche Fl¨ achen entstehen. Diese Desingularisierung ist durch die Kurve bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und wird ihre Normalisierung genannt. 9.2.1 Definition und Existenz. Eine Normalisierung (X, ϕ) der projekache X tiven Kurve C ⊂ P2 besteht aus einer kompakten Riemannschen Fl¨ und einer holomorphen Abbildung ϕ : X → P2 mit C = ϕ(X) , deren Fasern ϕ−1 (c) u ¨ber C bis auf endlich viele Ausnahmen einpunktig sind.

9.2 Normalisierung

181

Lemma. Aus jedem algebraischen Gebilde (X, η, f ) mit einem normierten   Minimalpolynom P ∈ C[z, w] entsteht die Normalisierung X, (1 : η : f ) der Kurve C := N (Pˆ ) zur Homogenisierung Pˆ von P . Beweis. Sei K der affine Teil von C . Die Ausnahmemenge E aller a ∈ C , f¨ ur die P (a, w) mehrfache Wurzeln hat, ist endlich. Dann sind auch A := η −1 (E ∪ {∞}) ⊂ X und S := {(a, b) ∈ K : a ∈ E} endlich. Die bijektive Abbildung η × f : X \ A → K \ S ist eine Beschr¨ankung von ϕ := (1 : η : f ) . Aus K \ S ⊂ ϕ(X) folgt durch Abschluß C ⊂ ϕ(X) . Wegen P (η, f ) = 0 ist ϕ(X) ⊂ C . F¨ ur alle c ∈ K \ S ist ϕ−1 (c) einpunktig. Das Komplement von K \ S in C ist endlich.
Beispiel. Aus der parabola nodata, siehe Beispiel (2) in 6.2.1, entsteht die    → P2 der projektiven Kurve Normalisierung ϕ = 1 : 1 − t2 : t(1 − t2 ) : C C := N (Pˆ ) zu P (z, w) := w 2 + z 3 − z 2 . Die ϕ-Faser u ¨ ber (1 : 0 : 0) hat zwei Punkte. Alle anderen Fasern u ¨ber C sind einpunktig. Folgerung. Jede kompakte Riemannsche Fl¨ ache X normalisiert eine projektive Kurve C ⊂ P2 .

Beweis. Man erg¨ anzt zum algebraischen Gebilde (X, η, f ) , siehe das 3. Korollar in 6.2.3, und erh¨ alt die Normalisierung (1 : η : f ) .
Mit dem Lemma und der Folgerung in 9.1.5 nebst Bemerkung folgt der Existenzsatz. Jede ebene projektive Kurve besitzt eine Normalisierung.
9.2.2 Universelle Eigenschaft. Eindeutigkeit. Sei (X, ϕ) eine Normalisierung der Kurve C ⊂ P2 . Zu jeder nirgends konstanten holomorphen ache Z mit ψ(Z) ⊂ C gibt es genau eine Abbildung ψ : Z → P2 einer Fl¨ holomorphe Abbildung γ : Z → X , so daß ψ = ϕ ◦ γ gilt. Ist (Z, ψ) eine Normalisierung von C , so ist γ ein Isomorphismus. Beweis. Es gen¨ ugt die Behauptung f¨ ur eine Normalisierung ϕ = (1 : η : f ) zu beweisen, die aus einem algebraischen Gebilde (X, η, f ) entsteht. Es gibt Funktionen ζ, g ∈ M(Z) mit ψ = (1 : ζ : g) : Z → C ⊂ P2 . Aus ψ(Z) ⊂ C folgt P (ζ, g) = 0 . Nach der universellen Eigenschaft 6.2.6 gibt es genau eine holomorphe Abbildung γ : Z → X mit ζ = η ◦ γ und g = f ◦ γ .– Wenn (Z, ψ) auch eine Normalisierung ist, sind fast alle Fasern ϕ−1 (c) und ψ −1 (c) u ¨ber C einpunktig. Dann ist γ ein Isomorphismus.
Die letzte Aussage bedeutet: F¨ ur jede projektive Kurve C ist ihre Normalisierung (X, ϕ) und insbesondere die normalisierende Fl¨ ache X bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.  bzw. zu einem Torus isomorph ist, nennt man die Kurve Wenn X zu C C rational bzw. elliptisch .

9.2.3 Abbildungssatz. Sei ψ : Z → P2 eine nicht-konstante holomorphe Abbildung einer kompakten, zusammenh¨ angenden Fl¨ ache Z . Dann ist ψ(Z) eine irreduzible projektive Kurve.

182

9. Ebene Kurven

Beweis. Wir schließen den trivialen Fall ψ(Z) = Θ0 aus und k¨ onnen dann die Gestalt ψ = (1 : g : f ) mit f, g ∈ M(Z) annehmen. Nach 6.1.3 gibt es ein irreduzibles Polynom P , so daß P (g, f ) = 0 ist. Sei Pˆ die Homogenisierung von P . Dann ist C := N (Pˆ ) eine irreduzible Kurve. Sei (X, ϕ) ihre Normalisierung. Wegen ψ(Z) ⊂ C gibt es nach der universellen Eigenschaft 9.2.2 eine holomorphe Abbildung γ : Z → X mit ψ = ϕ ◦ γ . Da ψ nicht konstant ist, muß γ(Z) = X und folglich ψ(Z) = C sein.
Beispiele. Das Bild C der Torus-Einbettung ϕ = (1 : ℘ˆ : ℘ˆ′ ) : C/Ω → P2 ist der projektive Abschluß der affinen Kurve N (w 2 − 4z 3 + g2 z + g3 ) , die sich aus der Differentialgleichung ℘′2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 der ℘-Funktion zum Gitter Ω ergibt. Offenbar ist (C/Ω, ϕ) die Normalisierung von C . Die in 8.3.5(1) angegebene kanonische Einbettung der Kleinschen Fl¨ ache ϕ = (z : zw : −w 3 ) : X → P2 ist die Normalisierung der irreduziblen Quartik C := N (z0 z13 + z1 z23 + z2 z03 ) . Denn wegen w 7 = z 2 (z − 1) ist ϕ(X) ⊂ C , also ϕ(X) = C , weil ϕ(X) eine projektive Kurve und C irreduzibel ist. 9.2.4 Komponentenzerlegung. Sei (X, ϕ) eine Normalisierung von C . Die Zerlegung in Zusammenhangskomponenten X = X1 ⊎ . . . ⊎ Xr ergibt mit Cj := ϕ(Xj ) die Zerlegung C = C1 ∪ . . . ∪ Cr in irreduzible Komponenten.

Beweis. Das Bild C = ϕ(X) = C1 ∪ . . . ∪ Cr ist nach 9.2.3 eine Vereinigung irreduzibler Kurven Cj . Da fast alle ϕ - Fasern einpunktig sind, gilt Cj = Ck f¨ ur j = k .
9.2.5 Ausblick. Projektive Kurven sind spezielle reduzierte komplexe R¨aume, deren holomorphe Struktur garbentheoretisch beschrieben wird. Die Normalisierung ist ein Spezialfall eines allgemeinen Normalisierungssatzes f¨ ur komplexe R¨ aume. Bei normalen R¨ aumen hat die Singularit¨ atenmenge eine (komplexe) Codimension ≥ 2 und ist daher bei Kurven leer, siehe [GR], Sec. 6.5.3.– Der Abbildungssatz l¨aßt sich erheblich verallgemeinern, siehe [Re 3] und [GR], p. 213: Bei jeder eigentlichen holomorphen Abbildung ϕ : X → Y zwischen komplexen R¨ aumen ist das Bild ϕ(X) eine analytische Menge in Y .

9.3 Schnitt-Theorie Kurven C, D ⊂ P2 ohne gemeinsame Komponenten schneiden sich in endlich vielen Punkten. Wir ordnen jedem Schnittpunkt eine positive Schnittzahl zu und zeigen, daß gr C · gr D die Summe der Schnittzahlen ist (Formel von B´ezout).– Wir bezeichnen mit X eine kompakte Riemannsche Fl¨ ache und mit F, G ∈ C[z0 , z1 , z2 ] nicht-konstante homogene Polynome. 9.3.1 Divisoren homogener Polynome. Sei ϕ : X → P2 eine nirgends konstante holomorphe Abbildung. Wir setzen voraus, daß die Kurve ϕ(X)

9.3 Schnitt-Theorie

183

weder mit N (F ) noch mit N (G) eine gemeinsame Komponente hat. Mit einer guten Darstellung ϕ = (ϕ0 : ϕ1 : ϕ2 ) bei x ∈ X setzen wir   (1) (F )ϕ (x) := o F (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ), x ∈ N . Diese Ordnung h¨ angt nicht von der Wahl der Darstellung ab. Somit ist (F )ϕ ein positiver Divisor auf X .– Es gilt (2)

(F · G)ϕ = (F )ϕ + (G)ϕ .

Wenn F und G denselben Grad haben, hat (F/G) ◦ ϕ ∈ M(X) den Hauptdivisor (F )ϕ − (G)ϕ . Daher ist (3) gr (F )ϕ = gr (G)ϕ . Jede Linearform L = 0 mit ϕ(X) ⊂ N (L) bestimmt den Grad

(4)

gr ϕ := gr (L)ϕ ,

der nur von ϕ abh¨ angt, vgl. 8.4.1. Mit n := gr F und G = Ln folgt: (5)

gr(F )ϕ = gr F · gr ϕ .

F¨ ur A ∈ GL3 (C) und den zugeh¨ origen Automorphismus Aˆ von P2 gilt (6)

= (F ◦ A)ϕ . (F )A◦ϕ ˆ




9.3.2 Schnittzahlen. Sei C ⊂ P2 eine projektive Kurve, so daß C und N (F ) keine gemeinsame Komponente haben. Mit der Normalisierung (X, ϕ) von C definieren wir f¨ ur jeden Punkt c ∈ P2 die Schnittzahl  (1) ic (C; F ) := (F )ϕ (x) . x∈ϕ−1 (c)

Sie hat folgende Eigenschaften:

(2) ic (C; F ) = 0 ⇔ c ∈ C ∩ N (F ) . ur die Gerade Θ und die Linearform L der (3) ic (Θ; L) = 1 , wenn f¨ Durchschnitt Θ ∩ N (L) = {c} ist. (4a) ic (C; F1 · F1 ) = ic (C; F1 ) + ic (C; F2 ) .

(4b) ic (C1 ∪ C2 ; F ) = ic (C1 ; F ) + ic (C2 ; F ) (5) ic (C; F + G) = ic (C; F ) ,

f¨ ur zwei Kurven C1 , C2 ohne gemeinsame Komponenten.

falls F und G denselben Grad haben und C ⊂ N (G) gilt.

ˆ ur A ∈ GL3 (C) . (6) iA(c) ˆ (A(C); F ) = ic (C; F ◦ A) f¨




Sei D ⊂ P2 eine projektive Kurve mit dem Minimalpolynom G , welche mit C keine gemeinsame Komponente hat. F¨ ur jedes c ∈ P2 wird die Schnittzahl durch ic (C, D) := ic (C; G) definiert. Sie ist wegen (6) projektiv invariant. Aber ihre Definition ist unsymmetrisch, da f¨ ur C eine Normalisierung und f¨ ur D das Minimalpolynom benutzt werden. Um die Symmetrie zu beweisen, benutzen wir die

184

9. Ebene Kurven

9.3.3 Resultante. Sei R ein Integrit¨ atsring mit dem Quotientenk¨ orper K . Zu je zwei normierten Polynomen P, Q ∈ R[w] gibt es eine endliche K¨ orpererweiterung L von K , so daß P und Q u ¨ber L in Linearfaktoren zerfallen: n m   (w − gν ) mit fµ , gν ∈ L . (w − fµ ) und Q(w) = (1) P (w) = ν=1

µ=1

Die Resultante

r :=

n m  

µ=1 ν=1

(fµ − gν ) =

m 

Q(fµ ) =

n 

P (gν )

ν=1

µ=1

liegt im Grundring R und ist unabh¨ angig von der K¨ orpererweiterung. Genau dann, wenn P und Q einen gemeinsamen Faktor haben, ist r = 0 . Siehe z.B [Bos], Abschnitt 4.4. Satz. Seien (X, η, f ) und (Z, ζ, g) Riemannsche Gebilde u ¨ber Y mit den Minimalpolynomen P bzw. Q . Wenn sie keinen gemeinsamen Faktor haben, hat ihre Resultante r ∈ M(Y ) bei b ∈ Y die Ordnung       o P (ζ, g), z . o Q(η, f ), x = (2) o(r, b) = z∈ζ −1 (b)

x∈η −1 (b)

Beweis. Es gibt eine endliche K¨ orpererweiterung L von M(Y ), so daß P und Q u ¨ber L zerfallen. Wegen 6.5.1(2) k¨ onnen wir annehmen, daß die Erweiterung M(Y ) ֒→ L die Liftung σ ∗ : M(Y ) ֒→ M(S) einer endlichen ¨ zusammenh¨ angenden Uberlagerung σ : S → Y ist. Da P (σ, fµ ) = 0 , gibt es nach 6.2.6 Faktorisierungen σ = η ◦ ϕµ : S → X → Y , so daß fµ = f ◦ ϕµ ist, µ = 1, . . . , m . F¨ ur jedes c ∈ σ −1 (b) ist    o(r, b) · v(σ, c) = o(r ◦ σ, c) = µ o Q(σ, f ◦ ϕµ ), c    = µ o Q(η, f ), ϕµ (c) · v(ϕµ , c) .  −1  (b) : Wir summieren u ¨ber c ∈ σ −1 (b) = ϕ−1 µ η      o(r, b) · gr σ = o Q(η, f ), x · v(ϕµ , c) µ x∈η −1 (b) c∈η −1 (x) µ

=

 µ

gr ϕµ



x∈η −1 (b)



  o Q(η, f ), x .

Wegen σ = η ◦ ϕµ und gr σ = µ gr ϕµ folgt die erste Gleichung in (2). Vertauschung von P und Q gibt die zweite Gleichung.
9.3.4 Symmetrie. Seien C und D projektive Kurven ohne gemeinsame Komponente, so daß (0 : 0 : 1) ∈ / C ∪ D . Dann besitzen C und D Minimalpolynome F bzw. G , so daß P (z, w) := F (1, z, w) und Q(z, w) := G(1, z, w) die in 9.1.5(1) angegebene normierte Gestalt haben. Sie sind teilerfremd, und ihre Resultante r ∈ C[z] ist daher = 0 . Lemma. F¨ ur c := (1 : 0 : 0) gelte N (z1 ) ∩ C ∩ D ⊂ {c} . Dann ist die Schnittzahl die Ordnung der Resultante: ic (C, D) = o(r, 0) . Insbesondere ist sie symmetrisch: ic (C, D) = ic (D, C) .

9.3 Schnitt-Theorie

185

Beweis. Es gen¨ ugt, die erste Behauptung zu beweisen. Die Symmetrie folgt, weil r beim Vertauschen von P und Q h¨ ochstens das Vorzeichen wechselt. Sei (X, η, f ) das algebraische Gebilde zu P . Nach 9.3.3(2) gilt    o(r, 0) = x∈η−1 (0) o Q(η, f ), x .

Die Normalisierung ϕ = (1 : η : f ) von C ergibt   (G)ϕ (x) = o Q(η, f ), x

f¨ ur alle Stellen x ∈ X , wo η und f keine Pole haben. Das gilt insbesondere f¨ ur x ∈ η −1 (0) . Es ist ϕ−1 (c) ⊂ η −1 (0) . Da N (z1 )  die Gerade  den Durchschnitt C ∩ D h¨ ochstens in c trifft, ist o Q(η, f ), x = 0 f¨ ur x ∈ η −1 (0) \ ϕ−1 (c) . Somit folgt 
o(r, 0) = x∈ϕ−1 (c) (G)ϕ (x) =: ic (C; G) = ic (C, D) . Satz. Wenn zwei projektive Kurven C und D keine gemeinsame Kompour alle c ∈ P2 . nente haben, gilt: ic (C, D) = ic (D, C) f¨

Beweis. Durch einen Automorphismus von P2 erreicht man, daß die Voraussetzungen des Lemmas erf¨ ullt sind. Da die Schnittzahl nach 9.3.2(6) projektiv invariant ist, folgt die Behauptung.


9.3.5 Grad der Normalisierung. Formel von B´ ezout. Wenn (X, ϕ) die projektive Kurve C normalisiert, ist (1) gr ϕ = gr C . Wenn die projektiven Kurven C und D keine gemeinsame Komponente haben, gilt die Formel von B´ezout:  ic (C, D) = gr C · gr D . (2) c∈P2

Beweis. Sei (X, ϕ) bzw. (Y, ψ) die Normalisierungen und F bzw. G die Minimalpolynome von C bzw. D . Wegen der Symmetrie gilt   x∈X (G)ϕ (x) = gr (G)ϕ = gr ϕ · gr D = gr ψ · gr C. c∈P2 ic (C, D) = Wenn C und D Geraden sind, ist nach 9.3.2(2)-(3) die linke Seite = 1 , also gr ψ = 1 . Wenn nur D eine Gerade ist, folgt (1), und im allgemeinen Fall folgt dann (2).
Die Formel (2) wird traditionell nach B´ezout (1764) benannt. Sie taucht bereits 1720 bei Maclaurin auf. Auch Euler (1748) hat sich mit ihr besch¨ aftigt. F¨ ur ihre allgemeine G¨ ultigkeit war es n¨ otig, die affine zur projektiven Ebene zu vervollst¨andigen (Poncelet, 1822) und Punkte mit komplexen Koordinaten zu ber¨ ucksichtigen (Pl¨ ucker, 1834).

186

9. Ebene Kurven

9.4 Singularit¨ aten. Tangenten Jedem Punkt c einer projektiven Kurve C ⊂ P2 vom Grade n wird eine uhrt zur Unterscheidung ganzzahlige Multiplizit¨ at mc ≥ 1 zugeordnet. Das f¨ zwischen regul¨ aren (= glatten) Punkten mit mc = 1 und singul¨ aren Punkten ar. Wir untersuchen die Singularit¨ aten mit mc ≥ 2 . Fast alle Punkte sind regul¨ zun¨ achst mittels des Minimalpolynoms F , dann mittels der Normalisierung (X, ϕ) und vergleichen die Ergebnisse. 9.4.1 Die Multiplizit¨ at des Punktes c ∈ C wird als Minimum mc der Schnittzahlen ic (C, Θ) zwischen C und den Geraden Θ durch c definiert. onnen wir Offenbar ist mc eine projektive Invariante. Zu ihrer Berechnung k¨ c = (1 : 0 : 0) annehmen. Wir entwickeln P (z, w) := F (1, z, w) nach homogenen Polynomen Pj vom Grade j , P (z, w) = Pm (z, w) + Pm+1 (z, w) + . . . + Pn (z, w) mit Pm (z, w) = 0 .

Wegen c ∈ C ist m ≥ 1 . Das Anfangspolynom l¨ aßt sich eindeutig als Produkt Pm = L1 · . . . · Lm von Linearformen Lj darstellen. Die projektiven Abschl¨ usse Θj der affinen Geraden N (Lj ) heißen Tangenten an C in c . Satz. Jede projektive Gerade Θ , welche C in c schneidet, hat eine Schnittzahl ic (C, Θ) ≥ m . Dabei gilt ic (C, Θ) > m genau dann, wenn Θ eine at. Tangente ist. Insbesondere ist m = mc die Multiplizit¨ Beweis. Jede Gerade Θ durch c wird durch t → (1 : −bt : at) normalisiert. Die Schnittzahl ic (C, Θ) ist die Ordnung von P (−bt, at) an der Stelle t = 0 . Sie ist stets ≥ m , und zwar > m genau dann, wenn Pm (−b, a) = 0 , also az + bw ein Linearfaktor von Pm (z, w) und somit Θ eine Tangente ist.
Folgerung. Genau dann, wenn alle partiellen Ableitungen F ν := ∂F/∂zν an der Stelle c verschwinden, ist C bei c singul¨ ar. Es gibt h¨ ochstens endlich viele Singularit¨ aten. Beweis. Wie oben k¨ onnen wir c = (1 : 0: 0) und P (z, w) := F (1, z, w) annehmen. Wegen der Eulerschen Formel ν zν Fν = nF sind folgende Ausur ν = 0, 1, 2 ⇔ a := ∂P sagen ¨aquivalent: Fν (1, 0, 0) = 0 f¨ ∂z (0, 0) = 0 und b := ∂P (0, 0) = 0 ⇔ P (z, w) := az + bw = 0 ⇔ m = m ≥ 2.
1 c ∂w 9.4.2 Tangenten der Normalisierung. Jede nirgend konstante holomorphe Abbildung ϕ : X → P2 von C besitzt an jeder Stelle a ∈ X drei Schnittzahlen mj , welche die Folge 0 = m0 < m1 < m2 ≤ gr ϕ bilden, siehe 8.5.2. (Man ersetze X durch die Komponente, in der a liegt, damit die Zusammenhangsvoraussetzung des Abschnitts 8.5 erf¨ ullt ist.) Dabei ist at von ϕ bei a , vgl. 8.5.1. Die eindeutig bem(ϕ, a) := m1 die Multiplizit¨ stimmte projektive Gerade Θ mit der maximalen Schnittzahl (Θ)ϕ (a) = m2 heißt Tangente von ϕ an der Stelle a und wird mit Ta ϕ bezeichnet. Man

9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch

187

nennt k(ϕ, a) := m2 − m1 Vielfachheit der Tangente oder Klasse von ϕ bei a . Wenn k(ϕ, a) ≥ 2 ist , heißt a Wendepunkt und Ta ϕ Wendetangente. Die Schnittzahlen von ϕ mit einer projektiven Geraden Θ haben also die folgenden Werte:⎧ , falls ϕ(a) ∈ Θ ⎨0
, falls ϕ(a) ∈ Θ = Ta ϕ (1) (Θ)ϕ (a) = m(ϕ, a) ⎩ m(ϕ, a) + k(ϕ, a) , falls Θ = Ta ϕ .

9.4.3 Schnitte von Kurven mit Geraden. Sei (X, ϕ) die Normalisierung der Kurve C ⊂ P2 . Aus 9.3.2(1) folgt f¨ ur jede Gerade Θ durch c ∈ C :   m(ϕ, x) + k(ϕ, y) , ic (C, Θ) = (1)
summiert u ¨ber x ∈ ϕ−1 (c) und y ∈ ϕ−1 (c) mit Ty ϕ = Θ . Der minimale Wert dieser Schnittzahlen ist nach 9.4.1 die Multiplizit¨ at  −1 ¨ber x ∈ ϕ (c) .
(2) mc = m(ϕ, x), summiert u Aus Satz 9.4.1 folgt: (3)

Eine Gerade Θ ist genau dann Tangente an C in c , wenn es ein x ∈ ϕ−1 (c) mit Θ = Tx ϕ gibt.


9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch Jeder Kurve C ⊂ P2 wird nach Pl¨ ucker (1834) eine duale Kurve C ∗ ⊂ P2 zugeordnet, deren Punkte umkehrbar eindeutig den Tangenten an C entsprechen. Beide Kurven werden durch dieselbe Fl¨ ache X normalisiert. Durch den Vergleich der Normalisierungen gewinnen wir f¨ ur jeden Punkt c ∈ C die Delta-Invariante δc , welche mißt, wie singul¨ar C bei c ist. Eine Formel von Clebsch (1864) dr¨ uckt das Geschlecht von X durch den Grad von C und die Summe der Multiplizit¨ aten und Delta-Invarianten aller Punkte c ∈ C aus. 9.5.1 Dualit¨ at. Seien ϕ, ψ : X → P2 holomorphe Abbildungen der zusammenh¨angenden Fl¨ ache X . Die Darstellungen ϕ = (f0 : f1 : f2 ) und ψ = (g0 : g1 : g2 ) mit Funktionen fj , gj ∈ M(X) heißen dual, wenn    (1b) gj dfj = 0 , (1c) fj dgj = 0 (1a) fj gj = 0 , gelten. Die Dualit¨ at ist symmetrisch. Wenn (1a) gilt, sind (1b) und (1c) ¨aquivalent. Die Dualit¨ at h¨ angt nur von den Abbildungen ϕ, ψ ab. Alle zu einer konstanten Abbildung dualen Abbildungen sind entartet.
−1 transponierten Matrix. Wenn (2) Sei A ∈ GL3 (C) , und sei B die zu A ˆ ◦ψ. ϕ und ψ dual sind, gilt dasselbe f¨ ur Aˆ ◦ ϕ und B ˆ B ˆ die induzierten Automorphismen von P2 . Dabei sind A,
Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Zu jeder nicht konstanten holomorphen Abbildung ϕ gibt es genau eine duale Abbildung ψ . F¨ ur entartete ϕ ist ψ konstant. F¨ ur nicht-entartete ϕ ist ψ ebenfalls nicht-entartet.

188

9. Ebene Kurven

Beweis. F¨ ur entartete ϕ gen¨ ugt es wegen (2) den Fall ϕ = (0 : 1 : f ) , df = 0 zu betrachten. Dann ist ψ = (1 : 0 : 0) die einzige duale Abbildung. Durch Rollentausch folgt: Eine entartete duale Abbildung ψ ist nur m¨ oglich, wenn ϕ entartet oder sogar konstant ist.– Wenn ϕ nicht-entartet ist, gibt es eine Darstellung ϕ = (1 : f1 : f2 ) mit df1 = 0 . Wenn es eine duale Abbildung ψ gibt, ist sie nicht-entartet und hat daher eine Darstellung ψ := (g0 : g1 : 1) . Die Dualit¨ atsbeziehungen (1a) und (1b) sind a¨quivalent zu g0 = f1 df2 /df1 − f2 , g1 = −df2 /df1 .
9.5.2 Eigenschaften dualer Abbildungen. Sei ϕ∗ die duale Abbildung der nicht-entarteten Abbildung ϕ . Dann ist ϕ∗∗ = ϕ .– Sei x ∈ X . ∗ (1) Die homogenen Koordinaten von ϕ (x) = (c0 : c1 : c2 ) sind die Koeffizienten in der Gleichung cj zj = 0 der Tangente Tx ϕ . (2) Multiplizit¨ at und Klasse werden vertauscht: m(ϕ∗ , x) = k(ϕ, x) , k(ϕ∗ , x) = m(ϕ, x). Beweis. Wegen 9.5.1(2) kann man ϕ(x) = (1 : 0 : 0) und Tx ϕ = N (z2 ) annehmen. Dann gibt es bei x gute Darstellungen ϕ = (1 : f1 : f2 ) mit o(f1 , x) = m(ϕ, x) sowie o(f2 , x) = m(ϕ, x) + k(ϕ, x) und ϕ∗ = (g0 : g1 : 1) . Aus 9.5.1(1b) folgt g1 df1 + df2 = 0 , also o(g1 , x) = k(ϕ, x) . Aus 9.5.1(1a) folgt g0 + g1 f1 + f2 = 0 , also o(g0 , x) ≥ o(g1 f1 , x) = m(ϕ, x) + k(ϕ, x) . Daher gilt ϕ∗ (x) = (0 : 0 : 1) und damit (1).– Nach 8.5.1(1) ist m(ϕ∗ , x) = o(g1 , x) = k(ϕ, x) . Mit ϕ∗ statt ϕ folgt m(ϕ, x) = m(ϕ∗∗ , x) = k(ϕ∗ , x).
9.5.3 Die duale Kurve. Wenn (X, ϕ) die irreduzible Kurve C vom Grade n ≥ 2 normalisiert, h¨ angt X zusammen, und nach 9.2.3 ist die duale Kurve C ∗ := ϕ∗ (X) ebenfalls irreduzibel. Ihr Grad k(C) := gr ϕ∗ wird Klasse von C genannt. Eine geometrische Deutung von k(C) enth¨ alt Aufgabe 9.7.3. Satz. Die duale Kurve C ∗ wird durch die duale Abbildung ϕ∗ normalisiert. Es gilt C ∗∗ = C . Beweis. Sei (Y, ψ) die Normalisierung von C ∗ . Nach Satz 9.2.2 faktorisiert ϕ∗ = ψ ◦ γ u ¨ber eine holomorphe Abbildung γ : X → Y . Dualisieren ergibt ϕ = ϕ∗∗ = ψ ∗ ◦ γ . Da fast alle ϕ-Fasern einpunktig sind, ist gr γ = 1 .– Aus
ϕ∗∗ = ϕ folgt C ∗∗ = C . 9.5.4 Die Delta-Invariante. Sei F das Minimalpolynom der irreduziblen Kurve C ⊂ P2 vom Grade n ≥ 2 . Die partiellen Ableitungen Fj := ∂F/∂zj , j = 0, 1, 2, sind homogene Polynome vom Grade n − 1 .

(1) Aus jeder Darstellung ϕ = (f0 : f1 : f2 ) : X → P2 der Normalisierung alt man die duale Abbildung von C mit Funktionen fj ∈ M(X) erh¨ ϕ∗ = (g0 : g1 : g2 ) : X → P2 mit gj := Fj (f0 , f1 , f2 ) ∈ M(X) .   Beweis. Aus der Eulerschen Formel zj Fj = n · F folgt fj gj = 0 . Die gj dfj = 0 .
Ableitung der Gleichung F (f0 , f1 , f2 ) = 0 ergibt

9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch

189

F¨ ur jede gute Darstellung ϕ|U = (f0 : f1 : f2 ) sind die Funktionen gj auf U holomorph. Wir definieren die Delta-Invariante (2) δ(ϕ, x) = min {o(gj , x) : j = 0, 1, 2} ∈ N . Sie h¨ angt nicht von der Wahl der Darstellung (f0 : f1 : f2 ) ab. Denn f¨ ur jede andere gute Darstellung ϕ = (h0 : h2 : h2 ) bei x gilt hj = λfj mit o(λ, x) = 0 und Fj (h0 , h1 , h2 ) = λn−1 gj .– Es gilt (3) δ(ϕ, x) ≥ 1 ⇔ x ist gemeinsame Nullstelle von g0 , g1 , g2 . ⇔ ar.
ϕ(x) ∈ N (F0 ) ∩ N (F1 ) ∩ N (F2 ) ⇔ C ist bei ϕ(x) singul¨  F¨ ur die Koeffizienten in der Gleichung cj zj = 0 der Tangente Tx ϕ gilt: (4) ck = 0 ⇔ o(gk , x) = δ(ϕ, x) . Beweis. F¨ ur eine gute Darstellung ϕ∗ |U = (h0 : h1 : h2 ) auf einer Umgebung von x ist cj = hj (x) . Es gibt ein λ ∈ O(U ) mit λ · hj = gj , also ck = 0 ⇔ o(hk , x) = min{o(hj , x)} ⇔ o(gk , x) = min{o(gj , x)} =: δ(ϕ, x) .
Wir bilden mit der Multiplizit¨ at m die Ny-Invariante (5) ν(ϕ, x) := δ(ϕ, x) − m(ϕ, x) + 1 . Sie ist = 0 , wenn C bei ϕ(x) glatt ist. 9.5.5 Die polaren Differentialformen ω0 , ω1 , ω2 auf X werden folgendermaßen definiert: Sei (j, k, l) eine zyklische Permutation von (0, 1, 2) . Wir legen die Darstellung ϕ = (f0 : f1 : f2 ) der Normalisierung von C durch fj = 1 fest und definieren mit gj wie in 9.5.4(1) (1) ωj := dfk /gl = −dfl /gk . Dann gilt
(2) ωk = fkn−3 ωj , ωl := fln−3 ωj . (3) Aus ϕ(x) ∈ / Θj folgt o(ωj , x) = −ν(ϕ, x) . Beweis zu (3). Wegen ϕ(x) ∈ / Θj ist fµ (x) = ∞ f¨ ur µ = 0, 1, 2 . Sei vµ := v(fµ , x) und oµ := o(gµ , x) , also o(ωj , x) = vk − 1 − ol = vl − 1 − ok . Sei vk ≤ vl . Dann ist ok ≥ ol und oj ≥ ol , letzteres wegen gj = −gk fk − gl fl und o(fl , x) ≥ 0 . Somit ist δ(ϕ, x) = ol . Nach 8.5.1(1) ist vk = m(ϕ, x) . Daraus folgt die Behauptung f¨ ur vk ≤ vl . Durch Vertauschen von k und l erh¨ alt man den Beweis f¨ ur den Fall vl ≤ vk .


Satz. F¨ ur j = 0, 1, 2 gilt an jede Stelle x ∈ X o(ωj , x) = (n−3)(Θj )ϕ (x)−ν(ϕ, x) . Beweis. Wegen (3) muß nur der Fall ϕ(x) ∈ Θj betrachtet werden. Es gibt ein k mit ϕ(x) ∈ Θk , also o(ωk , x) = −ν(ϕ, x) nach (3). Aus (2) folgt o(ωk , x) = (n − 3)o(fk , x) + o(ωj , x) . Eine gute Darstellung bei x lautet ϕ = (f0 /fk : f1 /fk : f2 /fk ) . Daher folgt mit (Θj )ϕ (x) = o(fj /fk , x) =
o(1/fk , x) = −o(fk , x) die Behauptung.

Folgerung. Glatte Kubiken sind elliptische Kurven. Beweis. Wegen ν(ϕ, x) = 0 und n = 3 folgt aus dem Satz o(ω0 , x) = 0 f¨ ur alle x ∈ X . Nach 7.8.2 ist X ein Torus.


190

9. Ebene Kurven

Singul¨ are Kubiken sind rationale Kurven, siehe Aufgabe 9.7.2. Unsere rudiment¨ are Betrachtung polarer Differentialformen l¨ aßt nicht erkennen,  ur eine was solche Formen mit den polaren Kurven N ( aj Fj ) zu tun haben. F¨ ausf¨ uhrliche Behandlung siehe [BK], S. 845 -883.

9.5.6 Die Formel von Clebsch. Sei (X, ϕ) die Normalisierung einer irreduziblen Kurve C vom Grade n . Wir definieren f¨ ur c ∈ C die Invarianten   (1) δc := δ(ϕ, x) und νc := ν(ϕ, x) , summiert u ¨ber x ∈ ϕ−1 (c) . −1 Mit rc := ♯ϕ (c) gilt wegen 9.4.3(2)
(2) ν c = δ c − m c + rc . ur Wenn C bei c glatt ist, gilt νc = 0 .– Wir addieren die Ordnungsformel f¨ die polare Differentialform aus Satz 9.5.5 u ¨ber x ∈ X und erhalten f¨ ur die analytische Charakteristik die Formel von Clebsch :  νc .
(3) −χ(X) = n(n − 3) − c∈C

Bei glatten Kurven ist −χ = n(n − 3) . Beispielsweise entsteht bei jeder Einbettung eines Torus wegen χ = 0 eine Kubik. Fl¨ achen der Charakteristik −2 lassen sich nicht in P2 einbetten.– Die Absch¨atzung des analytischen Geschlechts gan (X) gem¨aß Satz 8.2.1 zusammen mit (3) ergibt 1 1 νc , (4) gan (X) ≤ (n − 1)(n − 2) − 2 2 c∈C

mit Gleichheit, sobald χ = 2 − 2gan bewiesen ist (erste Folgerung in 13.1.5). 9.5.7 Glatte Quartiken C ⊂ P2 werden durch die kanonischen Abbildunachen X vom gen ϕ = (ω0 : ω1 : ω2 ) : X → P2 der nicht-hyperelliptischen Fl¨ analytischen Geschlecht 3 normalisiert.

Beweis. Sei ϕ = (1 : f1 : f2 ) : X → P2 die Normalisierung von C . Nach Satz 9.5.5 sind die polaren Differentialformen ω0 , ω1 = f1 ω0 , ω2 = f2 ω0 holomorph. Sie sind wie 1, f1 , f2 linear unabh¨ angig und bilden wegen 9.5.6(4) eine Basis von E1 (X). Daher ist ϕ = (ω0 : ω1 : ω2 ) die kanonische Abbildung. Nach Satz 8.3.5 ist X nicht hyperelliptisch.
 Durch ϕ identifiziert man X mit C.  Jede holomorphe Form ω = aj ωj 

= 0 bestimmt die Gerade Θω := N aj zj . Alle Geraden in P2 haben diese Gestalt. Die Schnittzahlen sind (1) ic (Θω , C) = o(ω, c) f¨ ur c ∈ C . Beweis. Wegen Satz 9.5.5 haben ω0 , ω1 , ω2 keine gemeinsame Nullstelle. Mit alt man die gute Darstellung ϕ|U = jeder Karte (U, z) und ωj = ϕj dz erh¨ 
(ϕ0 : ϕ1 : ϕ2 ) . Dann ist ic (Θω , C) = o( aj ϕj , c) = o(ω, c) .

Nach (1) liegen die Nullstellen jeder holomorphen Form ω = 0 auf Θω . Jede Doppeltangente) spezielle Lage von Θω zu C (Tangente, Wendetangente,   l¨ aßt sich durch die Ordnungen von ω charakterisieren Aufgabe 9.7.5(ii) .

9.6 Pl¨ uckersche Formeln

191

9.6 Pl¨ uckersche Formeln Um die Formel von Clebsch auf Kurven mit Singularit¨ aten anzuwenden, wird die Delta-Invariante genauer untersucht. Wir betrachten wie bisher eine irreduzible Kurve C ⊂ P2 vom Grade n ≥ 2 mit dem Minimalpolynom F und der Normalisierung (X, ϕ) . F¨ ur einen Punkt c ∈ C sei ϕ−1 (c) = {a1 , . . . , ar } . Sei mj := m(ϕ, aj ) und kj := k(ϕ, aj ) . 9.6.1 Die Zerlegung der Delta-Invarianten lautet r  δjl . (1) δc = j,l=1

Dabei haben die Invarianten δjl ∈ N (keine Kronecker-Symbole) folgende Eigenschaften: ur j = l mit Gleichheit genau dann, wenn die Tangenten (2) δjl ≥ mj ml f¨ Taj ϕ = Tal ϕ verschieden sind. (3) δjj ≥ (mj − 1)(mj + kj ) mit Gleichheit genau dann, wenn mj und kj teilerfremd sind. Beweis. Durch einen Automorphismus von P2 erreicht man c = (1 : 0 : 0) ur j = 1, . . . , r . Das reduzierte und (0 : 0 : 1) ∈ C sowie Taj ϕ = N (z1 ) f¨ Polynom P (z, w) := F (1, z, w) hat die in 9.1.5(1) angegebene normierte Gestalt. Das algebraische Gebilde (X, η, f ) zu P ergibt die Normalisierung ϕ = (1 : η : f ) von C . Eine Scheibe V ⊂ C mit dem Zentrum 0 wird durch η elementar u ¨ berlagert, η −1 (V ) = U1 ⊎ . . . ⊎ Ur+s . Dabei werden die Punkte von η −1 (0) = {a1 , . . . , ar , . . . , ar+s } so numeriert, daß {a1 , . . . , ar } = ϕ−1 (c) ⊂ η −1 (0) gilt. Durch die Beschr¨ ankungen ηj := η|Uj und fj := f |Uj entstehen gute Darstellungen ϕ|Uj = (1 : ηj : fj ) mit o(ηj , aj ) = mj und o(fj , aj ) ≥ mj f¨ ur j = 1, . . . , r . Denn nach 8.5.1(1) ist mj das Minimum der Ordnungen von ηj und fj bei aj , und o(ηj , aj ) > mj wird durch Taj ϕ = N (z1 ) ausgeschlossen. ist Mit b ∈ C gilt Taj ϕ = N (z2 −bz1 ) . Nach 9.5.4(4)  ∂P (ηj , fj ), aj . (4) δ(ϕ, aj ) = o ∂w Nach Beschr¨ankung auf V zerf¨allt P |V = P1 · . . . · Pr · . . . · Pr+s in das Produkt der Minimalpolynome Pj ∈ O(V )[w] der Puiseux-Gebilde (Uj , ηj , fj ) . Wir fassen zum Restfaktor R = Pr+1 · . . . · Pr+s zusammen (R = 1 , falls s = 0) . Da Pj (ηj , fj ) die Nullfunktion ist, gilt r  ∂Pj ∂P (ηj , fj ) = (ηj , fj ) · (5) Pl (ηj , fj ) · R(ηj , fj ) . ∂w ∂w l=1 , l=j

ur j = 1, . . . , r folgt (1) f¨ ur Aus (4),(5) und R(η(aj ), f (aj )) = 0 f¨   ∂Pj (ηj , fj ), aj , δlj := o(Pl (ηj , fj ), aj ) f¨ ur l = j . (6) δjj := o ∂w

192

9. Ebene Kurven

Zu (2). Wir entwickeln nach Potenzen von w − bz , m j cν (z)(w − bz)mj −ν (7) Pj (z, w) = (w − bz)mj + ν=1 mit Koeffizienten cν ∈ O(V ) , und setzen z = ηj ein: mj (cν ◦ ηj )(w − bηj )mj −ν = Pj (ηj , w) = (w − bηj )mj + ν=1

α∈D(ηj ) (w − bηj − [fj − bηj ] ◦ α). α∈D(ηj ) (w − fj ◦ α) = Der Koeffizientenvergleich zeigt, daß cν ◦ ηj das ν-te elementarsymmetrische Polynom zu {(fj − bηj ) ◦ α}α∈D(ηj ) ist und somit bei aj eine Ordnung ≥ ν(mj + kj ) > ν · mj hat. Daher ist o(cν , 0) > ν . ur l = j setzen wir z = ηl und Zur Berechnung von δjl = o(Pj (ηl , fl ), al ) f¨ w = fl in (7) ein: Pj (ηl , fl ) = (fl − bηl )mj + Σ . Aus o(fl − bηl , al ) ≥ ml und o(cν ◦ ηl , al ) > ν · ml folgt o(Σ, al ) > mj ml . Da o(fl − bηl , al ) > ml genau dann eintritt, wenn Tal ϕ = N (z2 − bz1 ) ist, also mit Taj ϕ zusammenf¨allt, folgt (2). Zu (3). F¨ ur den Rest des Beweises ist der Index j konstant. Wir lassen ihn weg: a := aj , η := ηj , f :=

fj , P := Pj , δ := δjj , m := mj , k := kj . aß 6.3.2(2) ergibt Die Darstellung P (η, w) = α∈D(η) (w − f ◦ α) gem¨

(∂P/∂w)(η, f ) = α∈D(η)\{id} (f − f ◦ α) , also  (8) δ = α∈D(η)\{id} o(f − f ◦ α, a) .

Aus Ta ϕ = N (z2 − bz1 ) folgt wegen 9.4.2(1) o(f − b η, a) = m + k und somit o(f − f ◦ α, a) ≥ m + k f¨ ur α ∈ D(η) \ {id} . Mit (8) folgt δ ≥ (m − 1)(m + k) . Um zu untersuchen, wann diese Ungleichung strikt ist, benutzen wir bei a eine Karte t mit t(a) = 0 und η = tm . Sei D(η) → µm , α → ωα , der Isomorphismus mit t ◦ α = ωα · t . Dann gilt f − bη = tm+k · f ∗ mit f ∗ (a) = 0 und f − f ◦ α = tm+k [f ∗ − ωαk · (f ∗ ◦ α)] wegen ωαm = 1 . Der Faktor [. . .] hat bei a den Wert (1 − ωαk ) · f ∗ (a) . Er ist genau dann = 0 , wenn die m-te Einheitswurzel ωα = 1 auch eine k-te Einheitswurzel ist, also m und k einen gemeinsamen Teiler ≥ 2 haben.
9.6.2 (1) (2) (3) (4) (5)

Folgerungen. δjj = 0 ⇔ mj = 1 ; δjj ∈ {1, 2} ; δjj = 3 ⇔ mj = 2 , kj = 1. F¨ ur j = l : δjl ≥ 1 ; δjl = 1 ⇔ mj = ml = 1 und Taj ϕ = Tal ϕ . νc ≥ 0 . νc = 0 ⇔ C ist bei c regul¨ ar. νc = 1. oglichkeiten: F¨ ur νc = 2 gibt es genau zwei M¨ (a) rc = 2 , m1 = m2 = 1 , Ta1 ϕ = Ta2 ϕ , δc = 2 und (b) rc = 1 , m1 = 2 , k1 = 1 , δc = 3 .




Man nennt c im Falle (5a) einen gew¨ ohnlicher Doppelpunkt und im Falle (5b) eine gew¨ ohnliche Spitze der Kurve C . Wenn es keine anderen Singularit¨ aten gibt, heißt C eine Pl¨ uckersche Kurve.

9.6 Pl¨ uckersche Formeln

193

9.6.3 Pl¨ uckersche Kurven. Wenn die Fl¨ ache X eine Pl¨ uckersche Kurve C vom Grade n mit d Doppelpunkten und s Spitzen normalisiert, hat sie das analytische Geschlecht g := 12 (n − 1)(n − 2) − (d + s) und die analytische Charakteristik χ = 2 − 2g. Beweis. Nach einer projektiven Transformation hat C keine Singularit¨ aten ugt es, in E1 (X) einen auf der Geraden Θ0 := N (z0 ) . Wegen 9.5.6(4) gen¨ Untervektorraum der Dimension ≥ 21 (n − 1)(n − 2) − (d + s) anzugeben: Im 12 (n − 1)(n − 2)- dimensionalen Vektorraum V ⊂ C[z, w] der Polynome ur alle vom Grade ≤ n − 3 bilden s¨ amtliche Polynome p mit p(c1 , c2 ) = 0 f¨ Singularit¨ aten c = (1 : c1 : c2 ) einen Untervektorraum U der Dimension ≥ 21 (n − 1)(n − 2) − (d + s) . Denn jede der d + s Gleichungen p(c1 , c2 ) = 0 ist eine lineare Bedingung f¨ ur p und erniedrigt daher die Dimension um h¨ ochstens 1 . Sei ϕ = (1 : f1 : f2 ) die Normalisierung von C und ω0 die polare Differentialform. Sei p˜ := p(f1 , f2 ) ∈ M(X) . Alle Formen der Gestalt p˜ ω0 mit p ∈ U bilden einen zu U isomorphen Vektorraum. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß ur p ∈ U holomorph ist. Wegen Satz 9.5.5 ist dies a¨quivalent zu p˜ ω0 f¨ ur p ∈ U und x ∈ X . (1) o(˜ p, x) + (n − 3)(Θ0 )ϕ (x) ≥ ν(ϕ, x) f¨ Wir zeigen zun¨ achst: ur p ∈ V und x ∈ X . (2) o(˜ p, x) + (n − 3)(Θ0 )ϕ (x) ≥ 0 f¨ F¨ ur eine gute Darstellung ϕ = (ϕ0 : ϕ1 : ϕ2 ) bei x gilt p˜ = p(ϕ1 /ϕ0 , ϕ2 /ϕ0 ). p, x) ≥ (3−n)·o(ϕ0 , x) Da ϕ1 , ϕ2 holomorph sind und gr p ≤ n−3 ist, folgt o(˜ und damit (2) wegen (Θ0 )ϕ (x) = o(ϕ0 , x) . Aus (2) folgt (1), wenn C bei ϕ(x) glatt ist. Die Singularit¨ aten ϕ(x) liegen nicht auf Θ0 . Daher ist (Θ0 )ϕ (x) = 0 . Nach 9.6.2(5) gilt ν(ϕ, x) = 1 bzw. = 2 f¨ ur gew¨ ohnliche Doppelpunkte bzw. Spitzen c = ϕ(x) . Zum Beweis von (1) muß nur noch o(˜ p, x) ≥ 1 bzw. ≥ 2 f¨ ur Doppelpunkte bzw. Spitp, x) ≥ 1 . zen gezeigt werden: Aus p(c1 , c2 ) = 0 folgt p˜(x) = 0 , also o(˜ Wenn c eine Spitze ist, gilt min{v(f1 , x) , v(f2 , x)} = m(ϕ, x) = 2 . Wegen p(c1 , c2 ) = 0 ist dann o(˜ p, x) ≥ 2 .
 Bemerkung. Der Satz gilt f¨ ur beliebige Kurven C ⊂ P2 mit 21 νc statt d+s . Die Argumentation f¨ ur Doppelpunkte und Spitzen wird durch folgendes Lemma ersetzt, dessen Beweis Methoden der Funktionentheorie mehrerer Variabler erfordert, siehe z.B. die Aufgabenserie in [ACGH], p. 57 ff. Lemma. Zu jeder Singularit¨ at c ∈ C gen¨ ugen 12 νc lineare Bedingungen an p ∈ V , um zu garantieren, daß o( p, x) ≥ ν(ϕ, x) f¨ ur alle x ∈ ϕ−1 (c) gilt.

9.6.4 Klassenformel. Jede irreduzible Kurve C ⊂ P2 vom Grade n ≥ 2 hat die Klasse  δc . (1) k = n(n − 1) − c∈C

Beweis. Sei F das Minimalpolynom und (X, ϕ) die Normalisierung von C . Mit den partiellen Ableitungen Fj:= ∂F/∂zj und (a0 , a1 , a2 ) ∈ C3 \ {0} bilden wir das homogene Polynom aj Fj vom Grade n − 1 und den Divisor

194

9. Ebene Kurven

 D := ( aj Fj )ϕ vom Grade n(n − 1) auf X . Mit einer guten Darstellung ϕ|U = (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ) und gj := Fj (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ) gilt  (2) D(x) = o ( aj gj , x) f¨ ur x ∈ U . Nach 9.5.4(1) ist ϕ∗ |U = (g0 : g1 : g2 ) eine Darstellung der dualen Abbildung, die mit λ ∈  O(U ) und ψj := gj /λ zur guten Darstellung (ψ0 : ψ1 : ψ2 ) wird. Sei Θ = N ( aj zj ) . Aus (2) entsteht  D(x) = o(λ, x) + o( aj ψj , x) = δ(ϕ, x) + (Θ)ϕ∗ (x) . Die Summation u ¨ber alle x ∈ X ergibt die Behauptung.


Bei einer Pl¨ uckerschen Kurve mit d Doppelpunkten und s Spitzen bekommt die Klassenformel die 1834 von Pl¨ ucker [Pl¨ u], S. 298-301, angegebene Gestalt (3)

k = n(n − 1) − 2d − 3s .




9.6.5 Wendepunktsformeln.  Wir benutzen die Klassenformel, um in der Formel 9.5.6(3) von Clebsch νc durch k zu ersetzen:    (1) χ = 2n − k − (mc − rc ) = 2n − k − m(ϕ, x) − 1 .

Die entsprechende Formel f¨ ur die duale Kurve lautet   (2) χ = 2k − n − k(ϕ, x) − 1 . Denn die Charakteristik χ bleibt erhalten, w¨ ahrend n und k sowie m(ϕ, x) und k(ϕ, x) vertauscht werden.– Die mit Vielfachheiten berechnete Anzahl der Wendepunkte ist   (3) w := k(ϕ, x) − 1 ∈ N .

Durch Gleichsetzen von (1) und (2) entsteht die Wendepunktsformel  (4a) w = 3(k − n) + (mc − rc ) .  Wenn man k mittels der Klassenformel wieder durch δc ersetzt, bekommt die Wendepunktsformel die Gestalt  (4b) w = 3n(n − 2) − (3δc − mc + rc ) . F¨ ur eine Pl¨ uckersche Kurve mit d Doppelpunkten und s Spitzen wird (4b) zu (4c) w = 3n(n − 2) − 6d − 8s . Auch diese Formel stammt von Pl¨ ucker [loc. cit.]. 9.6.6 Historisches. Poncelet entdeckte 1822 ein Dualit¨atsprinzip der zweidimensionalen projektiven Geometrie, gem¨aß dem aus jedem Lehrsatz u ¨ ber Punkte, Geraden und Kegelschnitte (= Quadriken) durch Vertauschung von Punkten und Geraden ein dualer Lehrsatz entsteht. Pl¨ ucker u ¨bertrug 1834 dieses Prinzip auf Kurven C h¨ oheren Grades, indem er s¨ amtliche Tangenten an C als Punkte einer neuen dualen Kurve C ∗ deutete. Klein, der 1866-68 sein Sch¨ uler und physikalischer Assistent war, nennt die Pl¨ uckerschen Formeln 9.6.4(3) und 9.6.5(4) von 1834 seine Hauptleistung in der Theorie der algebraischen Kurven der Ebene, siehe [Klei 5] , S. 124. Pl¨ ucker widmete sich von 1834 an 30 Jahre lang der Experimentalphysik (Kristallmagnetismus, elektrische Entladungen, Spektrallinien). Danach kehrte er zur Geometrie zur¨ uck, ohne allerdings die Ideen aus Riemanns inzwischen erschienener Abhandlung [Rie 3] ¨uber Abelsche Funktionen (1857) einzubeziehen.

9.7 Aufgaben

195

Die Betrachtung polarer Differentialformen geht auf Abel , [Ab] XII, Artikel 2 ff., und Riemann, [Ri 3], Artikel 9, zur¨ uck. Riemann hat die Bedeutung seiner Fl¨achen f¨ ur die algebraische Geometrie sehr wohl erkannt, aber nur am Beispiel ebener Quartiken in Vorlesungen eingehender erl¨ autert. Erst Clebsch brachte mit seiner viel mehr nach außen wirkenden Natur die Bearbeitung auf breiter Grundlage in Gang; vgl. [Klei 5], S. 296. Die Geschlechtsformel f¨ ur Pl¨ uckersche Kurven (Satz 9.6.3) bewies er 1864 mit Hilfe der Riemannschen Resultate u ¨ ber Abelsche Funktionen, siehe [Cle]. Seine Sch¨ uler Brill und Noether entwickelten zehn Jahre sp¨ ater in [BN 1] eine algebraische Theorie, in deren Rahmen die Ergebnisse von Clebsch ohne R¨ uckgriff auf Abelsche Funktionen und transzendente Methoden begr¨ undet wurden. Dabei gelang es auch, den Einfluß beliebiger Singularit¨ aten auf das Geschlecht zu erfassen, siehe [Noe]. Mit der Abhandlung [Cle] begr¨ undete Clebsch eine damals neue, abstraktere Sichtweise in der Geometrie: Zwei Kurven werden als isomorph angesehen, wenn ihre normalisierenden Fl¨ achen isomorph sind. Die projektiven Eigenschaften der Kurven, z.B ihre Grade und Singularit¨ aten, k¨ onnen verschieden sein. Shafarevich schrieb 1983 zu Clebschs 150. Geburtstag, [Sha 2]: Diese Abhandlung kann als ” Zeugnis der Geburt der algebraischen Geometrie angesehen werden, als erster Schrei des Neugeborenen.“

9.7 Aufgaben Falls nichts anderes gesagt wird, bezeichnet C ⊂ P2 eine irreduzible projektive Kurve vom Grade n ≥ 2 und (X, ϕ) ihre Normalisierung. 1)

Zeige: Jede singularit¨ atenfreie ebene Kurve ist irreduzibel.

2)


Sei ϕ = (f0 : f1 : f2 ) mit fj ∈ M(X) . Die Funktion η := f1 /f2 : X → C heißt Projektion mit dem Zentrum c := (1 : 0 : 0) . (i) Dr¨ ucke v(η, x) durch m(ϕ, x) und k(ϕ, x) aus. Folgere: gr η = n − mc .– Wenn es einen Punkt c ∈ C mit mc = n − 1 gibt, ist C rational.
→ P2 (ii) Zeige: Jede Normalisierung einer glatten Quadrik ist zu (1 : z : z 2 ) : C projektiv ¨ aquivalent.– Singul¨ are Kubiken sind rational.– Wenn es einen Punkt c ∈ C mit mc = n − 2 gibt, ist C rational, elliptisch oder hyperelliptisch. (iii) Vergleiche die Riemann-Hurwitzsche Formel f¨ ur η , die Formel von Clebsch f¨ ur C und die Formel 8.5.6(4) f¨ ur das Gewicht von ϕ miteinander.

3)

Zeige: Die Klasse von C ist die mit Vielfachheiten berechnete Anzahl der Tangenten, die durch einen festen Punkt außerhalb von C laufen.– Die einzige selbstduale Kurve C = C ∗ ist C = N (z02 + z12 + z22 ) .

4)

Deute Wendetangenten und Mehrfachtangenten (= Tangenten mit ≥ 2 Ber¨ uhrungspunkten) von C als Singularit¨ aten der dualen Kurve C ∗ .– Zeige: Eine glatte Kubik hat neun Wendetangenten und keine Mehrfachtangenten.

5)

Sei C eine glatte Quartik. (i) Zeige: Es gibt 24 gew¨ ohnliche Wendetangenten und 28 Doppeltangenten. Dabei wird jede Tangente Tx ϕ mit k(ϕ, x) = 3 als zwei gew¨ ohnliche Wendetangenten plus eine Doppeltangente gez¨ ahlt.– Die 28 Doppeltangenten sind reell sichtbar, siehe z.B. [Fi], S. 9.

196

9. Ebene Kurven (ii) Charakterisiere Tangenten, Wendetangenten und Doppeltangenten durch die entsprechenden holomorphen Differentialformen, vgl. 9.5.7. (iii) Zeige: F¨ ur jede Wendetangente Tx ϕ von C = N (z04 + z14 + z24 ) gilt k(ϕ, x) = 3 . Wieviele echte Doppeltangenten gibt es? P2

6)

Zeige: Hyperelliptische Fl¨achen vom Geschlecht 3 lassen sich nicht in einbetten.

7)

Sei (T, ϕ) die Normalisierung einer glatten Kubik C durch einen Torus T , so daß ϕ(0) ein Wendepunkt ist. Durch ϕ wird die additive Gruppenstruktur von T auf C u ¨bertragen. Zeige: Drei Punkte x, y, z ∈ C liegen genau dann auf einer Geraden Θ , wenn x + y + z = 0 ist. Wenn zwei Punkte zusammenfallen, ist Θ die entsprechende Tangente. Genau dann, wenn 3x = 0 ist, ist x ein Wendepunkt. Es gibt neun Wendepunkte. Hinweis : Sei ϕ = (f0 : f1 : f2 ) mit fj ∈ M(T ) . Es sei Θ = N (L) und N (L0 ) die Wendetangente durch 0 . Wende das Abelsche Theorem 2.3.6 auf die Funktion L(f0 , f1 , f2 )/L0 (f0 , f1 , f2 ) an.

8)

Sei n ≥ 3 . Zeige: Zu jedem c ∈ C gibt es ein homogenes Polynom F zweiten Grades, so daß die Schnittzahl ic (C; F ) ≥ 5 ist. Man nennt c einen sextaktischen Punkt, wenn ic (C; F ) ≥ 6 erreicht werden kann. Zeige: Alle Singularit¨ aten und Wendepunkte sind sextaktisch.– Die Anzahl der sextaktischen Punkte ist endlich.– Beweise f¨ ur eine glatte Kubik (Aufgabe 7) die ¨ Aquivalenz der Aussagen: x ist sextaktisch. ⇔ 6x = 0 . ⇔ Die Tangente Tx ϕ trifft die Kubik in einem Wendepunkt y , wobei y = x zugelassen ist.

9)

Zeige, daß die Polynome w 2 −(1−z 2 )(1−µ2 z 2 ) f¨ ur µ ∈ C\{0, ±1} irreduzibel sind und nach ihrer Homogenisierung Kurven Cµ ⊂ P2 mit genau einer Singularit¨ at c definieren.– Wie lauten die Invarianten rc , mc und δc ?– Zeige, daß die Kurven Cµ durch Tori normalisiert werden, wobei alle Tori vorkommen.

Das Studium der δ-Invarianten in 9.6.1 wird mit den Aufgaben 10)-12) fortgesetzt. 10) Beweise die Symmetrie δjk = δkj . 11) Wir betrachten 9.6.1(8) und lassen den konstanten Index j weg. Sei η = tm0 , und sei f = c1 tm1 + c2 tm2 + . . . die Puiseux-Entwicklung mit cν = 0 und m0 ≤ m1 < m2 < . . . . Sei Dν := ggT {m0 , . . . , mν−1 }. Zeige ([Mil], p. 92 f): (i) m0 = D1 ≥ D2 ≥ · · · ≥ Dk+1 = 1 nach endlich vielen Schritten, und Dν+1 teilt Dν .   k   (f − f ◦ α), a = mν (Dν − Dν+1 ). (ii) δ := o id =α∈D(η)

ν=1

Hinweis : Sei Aν := {α ∈ D(η) : αDν = id aber αDν+1 = id} . Dann ist ♯ Aν = Dν − Dν+1 und o(f − f ◦ α, a) = mν ⇔ α ∈ Aν . (iii) δ − m0 + 1 ist gerade. (iv) Folgere: F¨ ur jeden Punkt c ∈ C ist νc = δc − mc + rc gerade.

12) Man nennt c ∈ C einen gew¨ ohnlichen r-fachen Punkt , wenn die Faser ϕ−1 (c) = {a1 , . . . , ar } der Normalisierung aus r Punkten mit m(ϕ, aj ) = 1 und paarweise verschiedenen Tangenten Taj ϕ besteht. Zeige, daß dann δc = r(r − 1) ist.

10. Harmonische Funktionen

Ein Fundamentalproblem der Funktionentheorie auf Riemannschen Fl¨ achen ist die Existenz nicht-konstanter meromorpher Funktionen. Nach dem Vorbild von Riemanns Dissertation (1851) konstruieren wir zun¨ achst reelle harmonische Funktionen, welche lokal Realteile holomorpher Funktionen sind. Riemann benutzte dazu eine Methode der Potentialtheorie, die er als Dirichletsches Prinzip bezeichnete und nicht weiter begr¨ undete. Wir folgen statt dessen einem von Perron 1923 ersonnenen Verfahren. Es beginnt mit subharmonischen Funktionen. Sie tragen nicht die Fessel des Identit¨atensatzes und lassen sich ¨ahnlich wie stetige Funktionen zusam” menst¨ uckeln“. Harmonische Funktionen auf Fl¨ achen, die ein KreisscheibenLoch besitzen, werden als obere Einh¨ ullende von Familien subharmonischer Funktionen gewonnen. Anschließend lassen wir das Scheibenloch zu einem Punkt a schrumpfen und gewinnen dadurch Greensche Funktionen bzw. Elementarpotentiale , die außerhalb von a harmonisch sind und in a eine vorgegebene Singularit¨ at wie log |z| oder Re z n in 0 haben. Eine harmonische Funktion u mit isolierter Singularit¨ at in a ist im allgemeinen nicht der Realteil einer außerhalb von a holomorphen Funktion, wie das Beispiel u(z) = log |z| mit a = 0 zeigt. Aber u bestimmt eine meromorphe Differentialform ωu (im Beispiel z −1 dz). Durch die Quotienten dieser Formen f¨ ur verschiedene isolierte Singularit¨ aten erh¨ alt man genug meromorphe Funktionen, um den in 6.2.3 angek¨ undigten Riemannschen Existenzsatz zur Punktetrennung zu beweisen.– Ein Nebenergebnis der Konstruktion harmonischer Funktionen auf Fl¨ achen mit Scheibenl¨ ochern ist die Abz¨ ahlbarkeit der Topologie f¨ ur jede zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache. Die Ausf¨ uhrung der Existenzbeweise und der darauf aufbauende Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes in 11.1-2 wurde durch Vorlesungen von Huber [Hub] angeregt.– Die Differentialformen ωu zu den Elementarpotentialen u auf kompakten Fl¨ achen bilden in 13.1.2 den Ausgangspunkt f¨ ur den Beweis des Satzes von Riemann-Roch. Mit X wird stets eine zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache bezeichnet.

198

10. Harmonische Funktionen

10.1 Grundlagen Harmonische Funktionen u : X → R sind lokal Realteile holomorpher Funktionen f . Die Ableitungen df f¨ ugen sich zu einer global definierten holomorphen Differentialform ωu zusammen. 10.1.1 Harmonische Funktionen und ihre holomorphen Differentialformen. Eine Funktion u : X → R heißt harmonisch, wenn es zu jedem Punkt eine Umgebung U und eine Funktion f ∈ O(U ) gibt, so daß u|U = Re f ist. Alle in X harmonischen Funktionen bilden einen reellen Vektorraum H(X) . F¨ ur jede holomorphe Abbildung η : X → Y und jedes v ∈ H(Y ) geh¨ort v ◦ η zu H(X) . Satz. Zu jedem u ∈ H(X) gibt es genau eine Differentialform ωu ∈ E1 (X) mit folgender Eigenschaft: F¨ ur jedes Gebiet G ⊂ X und jedes f ∈ O(G) mit Re f = u|G gilt df = ωu |G . F¨ ur jeden Weg γ in X von a nach x gilt  (1) Re ωu = u(x) − u(a) . γ

Die Abbildung H(X) → E1 (X), u → ωu , ist R-linear; ihr Kern besteht aus den konstanten Funktionen, und ihr Bild besteht aus allen Formen in E 1 (X) mit rein imagin¨ aren Perioden. Wenn ωu eine Stammfunktion auf X besitzt, gibt es ein f ∈ O(X) mit Re f = u . Beweis. Sei U ⊂ X eine Scheibe. Jede Funktion fU ∈ O(U ) mit Re fU = u|U ist bis auf die Addition einer rein imagin¨ aren Konstanten eindeutig beangt. Alle dfU stimmt und hat daher eine Ableitung dfU , die nur von u|U abh¨ setzen sich gem¨aß 7.1.2(3) zu einer Form ωu ∈ E1 (X) mit der angegebenen Eigenschaft zusammen. Offenbar ist ωu = 0 , wenn u konstant ist.– Die Gleichung (1) ist klar, wenn γ in einem Gebiet U liegt, wo ein f ∈ O (U ) mit ωu = df existiert. Ein beliebiger Weg kann in Teilwege dieser Art zerlegt werden, so daß (1) allgemein gilt. Wegen (1) sind alle Perioden von ωu rein imagin¨ ar.– Folgendermaßen findet man zu jeder Form ω ∈ E1 (X) mit rein imagin¨ aren Perioden ein u ∈ H(X) mit ω = ωu : Sei ζ : Z → X die ¨ universelle Uberlagerung. Es gibt ein f ∈ O(Z) mit df = ζ ∗ ω . Wegen der rein imagin¨ aren Perioden ist Re f l¨ angs jeder ζ-Faser konstant. Daher gibt es ein u : X → R mit Ref = u ◦ ζ . Da ζ lokal biholomorph und Re f harmonisch ist, gilt u ∈ H(X) . Man verifiziert ω = ωu .– Die letzte Behauptung ist eine Konsequenz von (1).
F¨ ur jedes Gebiet X ⊂ C besteht H(X) aus allen C 2 -Funktionen u , welche mit z = x + iy die Laplacesche Differentialgleichung ∆u := uxx + uyy = 0 erf¨ ullen. Zu u geh¨ ort die Form ωu = (ux − iuy )dz .

10.1 Grundlagen

199

10.1.2 Fundamentaleigenschaften holomorpher Funktionen vererben sich auf harmonische Funktionen: Offenheitssatz. Jede nicht konstante Funktion u ∈ H(X) ist eine offene Abbildung u : X → R .

Beweis. Jeder Punkt liegt in einer Scheibe U , so daß u|U = Re f f¨ ur ein f ∈ O(U ) gilt. Wir zeigen, daß u|U offen ist: Weil u nicht konstant ist, gilt
ωu = 0 , also auch df = 0 . Dann ist f offen, also auch u|U = Re ◦ f . Maximumprinzipien. (i) Hat u ∈ H(X) an einer Stelle a ∈ X ein lokales Maximum bzw. Minimum, so ist u konstant in X . Auf kompakten, zusammenh¨ angernden Fl¨ achen sind harmonische Funktionen konstant. ¯ . Wenn u auf G ¯ stetig (ii) Sei G ⊂ X ein Gebiet mit kompakter H¨ ulle G und in G harmonisch aber nicht konstant ist, gilt min u(∂G) < u(x) < max u(∂G) f¨ ur alle x ∈ G .

Beweis. (i) Es gibt offene Umgebungen von a mit nicht-offenen u-Bildern.– (ii) Wegen (i) werden das Minimum m und das Maximum M von u in ∂G angenommen, und f¨ ur x ∈ G gilt m < u(x) < M .


Folgerung. Sei X kompakt. Wenn alle Perioden von ω ∈ E1 (X) reell sind, ist ω = 0 . ur eine Funktion u ∈ H(X) . Wegen (i) Denn nach Satz 10.1.1 gilt iω = ωu f¨
ist u konstant, also ωu = 0 . Identit¨ atssatz. (i) Zwei Funktionen u, v ∈ H(X) , die in einer nicht-leeren offenen Menge U u ¨bereinstimmen, sind identisch. ¯ . Seien u, v stetig auf G ¯ (ii) Sei G ⊂ X ein Gebiet mit kompakter H¨ ulle G ¯. und harmonisch in G . Aus u|∂G = v|∂G folgt u = v in G Beweis. (i) Die Funktion u − v ∈ H(X) ist auf U konstant = 0 und daher nach dem Offenheitssatz auf ganz X konstant = 0 .– (ii) Man wende das Maximumprinzip (ii) auf u − v an.
10.1.3 Harmonische Funktionen in Ringgebieten. Sei A := {z ∈ C : r < |z| < R} ein Ringgebiet um 0 , wobei 0 ≤ r < R ≤ ∞ . Satz. Jede Funktion u ∈ H(A) l¨ aßt sich als (1) u(z) = β0 log |z| + Re f (z) mit β0 ∈ R und f ∈ O(A)

darstellen. Die zugeh¨ orige Differentialform lautet: (2) ωu = β0 dz/z + df .

Die Funktion u l¨ aßt sich in eine normal konvergente reelle Fourier-Reihe entwickeln: F¨ ur r < t < R und ϕ ∈ R gilt ∞    (αν tν +α−ν t−ν ) cos νϕ+(βν tν +β−ν t−ν ) sin νϕ u(teiϕ ) = α0 +β0 log t+ ν=1

200

10. Harmonische Funktionen

Beweis. Die Funktionen (1) sind auf A harmonisch, und ihre zugeh¨ origen Formen ωu haben die Gestalt (2). Da jede Form in E1 (A) mit rein imagin¨ aren Perioden diese Gestalt hat, folgt die erste Behauptung. In der Laurent Entwicklung f = aν z ν k¨onnen wir annehmen, daß α0 = a0 reell ist. Durch den Realteil dieser Entwicklung erhalten wir die angegebene normal konvergente Fourier-Reihe. Ihre Koeffizienten sind die Real- und Imaur ν = 0 .
gin¨ arteile der Laurent-Koeffizienten: aν = αν − iβν f¨ F¨ ur r < t < R gelten folgende Integralformeln: 2π 1 (3a) a0,t := u(teiϕ )dϕ = α0 + β0 log t 2π 0

(3b)

(3c)

aν,t :=

bν,t :=

1 π 1 π

2π

0 2π

u(teiϕ ) cos νϕ dϕ = αν tν + α−ν t−ν

f¨ ur ν ≥ 1

u(teiϕ ) sin νϕ dϕ = βν tν + β−ν t−ν

f¨ ur ν ≥ 1 ,

0

welche man mit der Fourier-Reihe best¨ atigt.




Erg¨ anzung: Wenn 0 < r < R < ∞ und u auf A¯ stetig ist, kann man beide Radien t = r und = R in (3) einsetzen und nach den Fourier-Koeffizienten aufl¨ osen. Das f¨ uhrt auf die in 10.7.7 ben¨ otigten Formeln: a0,r log R − a0,R log r a0,R − a0,r , β0 = (4a) α0 = log R − log r log R − log r Rν aν,R − rν aν,r , α−ν = rν (aν,r − rν αν ) f¨ ur ν ≥ 1 (4b) αν = R2ν − r2ν Rν bν,R − rν bν,r (4c) βν = , β−ν = rν (bν,r − rν βν ) f¨ ur ν ≥ 1 .
R2ν − r2ν 10.1.4 Isolierte Singularit¨ aten. Sei z : (U, a) → (E, 0) eine Karte. Wir benutzen Satz 10.1.3 f¨ ur r = 0 . F¨ ur jede Funktion u ∈ H(U \ {a}) gilt ωu = βdz/z + df mit β ∈ R und f ∈ O (U \ {a}) . Das Residuum β = at von f in a h¨ angen nicht res (ωu , a) und der Typ der isolierten Singularit¨ von z ab. Wir nennen a einen n-fachen Pol von u , wenn β = 0 ist und f in a einen n-fachen Pol hat. Wenn β = 0 und f holomorph nach a fortsetzbar ist, nennen wir a eine logarithmische Singularit¨ at von u ; sie heißt normiert, wenn β = res (ωu , a) = −1 ist. Hebbarkeitssatz. Sei a ∈ X . Jede auf X \ {a} harmonische Funktion, die um a beschr¨ ankt ist, l¨ aßt sich nach a harmonisch fortsetzen. Beweis. F¨ ur eine Karte z : (U, a) → (E, 0) gilt u|(U \ {a}) = β log |z| + Re f mit β ∈ R und f ∈ O(U \ {a}) . Da u um a beschr¨ankt ist, folgt β = 0 aus 10.1.3(3a). Somit hat f um a einen beschr¨ ankten Realteil und l¨ aßt sich daher holomorph nach a fortsetzen.


10.2 Die Poissonsche Integralformel

201

10.1.5 Homologisch einfach zusammenh¨ angende Fl¨ achen. Sei E ⊂ X lokal endlich und H1 (X) = 0 . F¨ ur u ∈ H(X \ E) gilt: (i) Wenn alle Punkte von E Pole von u sind, gibt es ein f ∈ M(X) mit Re f = u auf X \ E . (ii) Wenn u in allen Punkten von E logarithmische Singularit¨ aten hat und die entsprechenden Residuen von ωu ganzzahlig sind, gibt es ein f ∈ M(X) mit |f | = eu auf X \ E und o(f, x) = res (ωu , x) f¨ ur x ∈ X . Beweis. (i) Man kann ωu zu einer Form zweiter Gattung auf X fortsetzen. Nach dem Cauchyschen Integralsatz in 7.7.4 gibt es ein f ∈ M(X) mit ωu = df . Nach der letzten Aussage in Satz 10.1.1 l¨ aßt sich zus¨atzlich Ref |(X \E) = u erreichen. aßt sich zu einer Form dritter Gattung auf X fortsetzen, (ii) Die Form ωu l¨ welche ganzzahlige Residuen hat. Nach 7.8.3(4) ist ωu = df /f die logarithmische Ableitung einer Funktion f ∈ M(X) . Man w¨ ahlt einen Basispunkt a ∈ X\E und zu jedem x ∈ X\E einen Weg γ in X\E vona nach x . Nach   7.8.1(4) gilt exp γ ωu = f (x)/f (a) , also exp u(x) − u(a) = |f (x)/f (a)| . Man bestimmt den bei f frei verf¨ ugbaren Faktor so, daß |f (a)| = exp u(a) ist und erh¨ alt |f | = eu .


10.2 Die Poissonsche Integralformel Die Cauchysche Integralformel f¨ ur Kreisscheiben wird in der Potentialtheorie durch die Poissonsche Integralformel ersetzt. Die Rolle des Cauchy-Kerns 1/(ζ − z) u ¨bernimmt der Poisson-Kern &  ' 2 1 |ζ|2 − |z|2 ζ +z = Re ζ − P (z, ζ) := = Re , z, ζ ∈ C , z = ζ , |ζ − z|2 ζ −z ζ −z ζ der sich in klassischer Form so schreibt: R2 − r 2 . P (reiϕ , Reiθ ) = 2 R − 2Rr cos(θ − ϕ) + r 2 ¨ Die Poissonsche Formel erm¨oglicht die Ubertragung der Konvergenzs¨ atze von Weierstraß und Montel auf harmonische Funktionen (10.2.3-4). Anschließend besprechen wir das Harnacksche Konvergenzprinzip, das die Ordnung der reellen Zahlen benutzt. Auf ihm und seiner Weiterentwicklung zum Perronschen Prinzip beruhen die wichtigen Beitr¨ age harmonischer Funktionen zur komplexen Funktionentheorie. Wenn A Teilmenge des Definitionsbereichs einer C-wertigen Funktion f ist, benutzen wir die Bezeichnung |f |A := sup {|f (x)| : x ∈ A} . 10.2.1 Cauchysche und Poisssonsche Integralformel. Wir zerlegen die Cauchysche Integralformel in Real- und Imagin¨ arteil. Sei B = ER , R < ∞ . ¯ . F¨ Sei f holomorph um B ur z ∈ B gilt   2π 1 dζ 1 P (z, ζ)f (ζ) = (1) f (z) = P (z, Reiθ )f (Reiθ )dθ . 2πi ∂B ζ 2π 0

202

10. Harmonische Funktionen

Beweis. F¨ ur jeden Punkt w ∈ B ist f (z)/(R2 − wz) ¯ als Funktion von z ¯ . Daher gilt nach der Cauchyschen Integralformel holomorph um B  dζ 1 f (ζ) f (z) f¨ ur w, z ∈ B . = R2 − wz ¯ 2πi ∂B R2 − wζ ¯ ζ −z Setzt man w := z und beachtet R2 − z¯ζ = ζ(ζ¯ − z¯) , so folgt (1).
¯ harmonische Funktion der Realteil einer Nach Satz 10.1.1 ist jede um B holomorphen Funktion f . Daher folgt aus (1) die Poissonsche Integralformel 2π 1 P (z, Reiθ )u(Reiθ )dθ f¨ ur z ∈ B .
(2) u(z) = 2π 0

Die Spezialf¨ alle z = 0 bzw. u = 1 ergeben 2π 1 u(Reiθ )dθ (Mittelwertgleichung) , (3) u(0) = 2π 0

(4)

1 2π

2π

P (z, Reiθ )dθ = 1

f¨ ur z ∈ B .

0




10.2.2 Vorgabe von Randwerten. F¨ ur B wie in 10.2.1 und jede stetige Funktion f : ∂B → R ist 2π 1 P (z, Reiθ )f (Reiθ )dθ f¨ ur z ∈ B (1) u(z) := 2π 0

der Realteil der holomorphen Funktion  2π iθ dζ ζ +z 1 Re + z 1 f (ζ) = (2) h(z) := f (Reiθ )dθ . 2π ζ −z ζ 2π Reiθ − z 0

∂B

Insbesondere ist u harmonisch in B . F¨ ur z mit |z| ≤ r < R gilt: 2π R+r 1 R+r |f |∂B . |f (Reiθ )| dθ ≤ (3) |u(z)| ≤ |h(z)| ≤ 2π R − r R−r 0

Beweis. Offensichtlich ist h ∈ O(B) und u = Re h ∈ H(B) . Die Absch¨ atzungen (3) folgen aus |ζ + z|/|ζ − z| ≤ (R + r)/(R − r) f¨ ur |ζ| = R und |z| ≤ r .
10.2.3 Weierstraßscher Konvergenzsatz. (a) Jede kompakt konvergente Folge un ∈ H(X) hat eine Grenzfunktion u ∈ H(X) . ¯ , und sei un eine Folge (b) Sei G ⊂ X ein Gebiet mit kompakter H¨ ulle G ¯ stetiger Funktionen auf G , die in G harmonisch sind. Wenn un auf ∂G ¯ , und die auf G ¯ stetige Grenzgleichm¨ aßig konvergiert, gilt dasselbe auf G funktion ist in G harmonisch.

10.2 Die Poissonsche Integralformel

203

Beweis. (a) Wir d¨ urfen X = E annehmen. Sei 0 < R < 1 . Nach 10.2.1(2)  2π gilt 1 P (z, Reiθ )un (Reiθ ) dθ un (z) = 2π 0 f¨ ur alle z ∈ B := ER . Da die Folge un |∂B gleichm¨aßig gegen u|∂B konvergiert, kann man Integration und Limes vertauschen:  2π 1 P (z, Reiθ )u(Reiθ ) dθ f¨ ur z ∈ B . u(z) = 2π 0 ur alle R ∈ (0, 1) , also u ∈ H(E) . Nach 10.2.2 ist dann u ∈ H(ER ) f¨ (b) Sei ε > 0 . Es gibt ein k ∈ N , so daß |um − un |∂G ≤ ε f¨ ur alle ur alle m, n ≥ k . Die m, n ≥ k . Das Maximumprinzip gibt |um − un |G¯ ≤ ε f¨ ¯. aßig auf G
Folge un konvergiert daher gleichm¨ 10.2.4 Satz von Montel. Jede lokal beschr¨ ankte Folge u1 , u2 , . . . in H(X) hat eine kompakt konvergente Teilfolge, deren Limes zu H(X) geh¨ ort. ¯ Beweis. Zun¨ achst sei X eine Umgebung von ER . Dann existiert eine ur |z| ≤ R und alle ν . Nach 10.2.1-2 Schranke M mit |uν (z)| ≤ M f¨ gibt es Funktionen hν ∈ O(ER ) mit Re hν = uν |ER , so daß |hν (z)| ≤ M (R + r)/(R − r) f¨ ur |z| ≤ r < R und alle ν gilt. Die Folge (hν ) ist somit lokal beschr¨ ankt. Nach dem kleinen Satz von Montel, siehe 5.6.3, konvergiert ur die Realteile. eine Teilfolge der hν kompakt auf ER . Dasselbe gilt dann f¨ Die Fl¨ache X wird wegen der Abz¨ ahlbarkeit der Topologie, siehe 3.5.3, ullen u ¨berdeckt. durch abz¨ ahlbar viele Scheiben B1 , B2 , . . . mit kompakten H¨ ¯1 gleichm¨aßig. Von u1,ν gibt Eine Teilfolge u1,ν von uν konvergiert auf B ¯2 , also auch auf B1 ∪ B2 gleichm¨aßig es eine Teilfolge u2,ν , welche auf B
konvergiert, usw. Die Diagonalfolge uν,ν konvergiert kompakt auf X . 10.2.5 Harnacksches Prinzip. Wir verlassen die Analogie zu den holomorphen Funktionen und betrachten nach Harnack [Harn], S. 62-68, die monotone Konvergenz harmonischer Funktionen. (Der Mathematiker Axel Harnack (1855-1888), ein Sch¨ uler von Felix Klein, war ein Bruder des sp¨ ater geadelten Theologen Adolf von Harnack (1851-1930).) Der Ausgangspunkt ist die direkt aus der Mittelwertgleichung und 10.2.2(3) fließende Harnacksche Ungleichung. Sei 0 < r < R < 1 , sei u harmonisch in E und nie negativ. Dann gilt ¯r
(1) u(z) ≤ u(0)(R + r)/(R − r) f¨ ur alle z ∈ E Harnackscher Konvergenzsatz. Sei un eine monoton wachsende Folge von Funktionen in H(E) . Wenn die Folge un (a) an einer Stelle a ∈ E beschr¨ ankt ist, konvergiert un kompakt gegen eine in E harmonische Funktion. Beweis. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit sei a = 0 . Wegen der Monotonie existiert lim un (0) ∈ R . Zu ε > 0 gibt es also ein N , so daß um (0) − un (0) ≤ ε f¨ ur m ≥ n ≥ N gilt. Mit (1) folgt, wenn 0 < r < R < 1 ¯ r . Da ist, 0 ≤ um (z) − un (z) ≤ ε(R + r)/(R − r) f¨ ur m ≥ n ≥ N und z ∈ E r ∈ (0, 1) beliebig ist, konvergiert die Folge un in E kompakt. Nach 10.2.3 ist ihre Grenzfunktion harmonisch in E .


204

10. Harmonische Funktionen

Harnacksches Prinzip. Es sei F eine nicht leere Menge von harmonischen Funktionen in E . Zu je zwei Funktionen u1 , u2 ∈ F gebe es eine Funktion u ∈ F mit u ≥ max{u1 , u2 } . Die obere Einh¨ ullende u ˜ mit u ˜(z) := sup{u(z) : u ∈ F }, ist harmonisch in E oder konstant ∞. Beweis. Sei a ∈ E und u ˜(a) < ∞ . Es gibt eine Folge von Funktionen un ∈ F ˜(a) . Wir w¨ ahlen induktiv Funktionen uˆn ∈ F , so daß mit lim un (a) = u ˆn ≥ max{un , u ˆn−1 }) . Dann gilt uˆ1 ≤ u ˆ2 ≤ . . . in E und u ˆ1 = u1 und u ˜(a) . Nach dem Harnackschen Konvergenzsatz konvergiert u ˆ n in E u ˆn (a) ≤ u ˆn (a) gilt u ˆ(a) = u ˜(a) . gegen eine harmonische Funktion u ˆ . Wegen un (a) ≤ u Wir behaupten, daß uˆ = u ˜ in ganz E gilt: Sei b ∈ E . Es gibt Funktionen ˜(b) . Wir w¨ ahlen vˆn ∈ F so, daß vˆ1 = v1 und vn ∈ F mit lim vn (b) = u vˆn ≥ max {vn , vˆn−1 , u ˆn } . Wegen vˆn (a) ≤ u ˜(a) konvergiert die Folge vˆn in E ˆ kompakt gegen eine harmonische Funktion vˆ . Nach Wahl der vˆn gilt vˆ ≥ u in E und vˆ(a) = u ˜(a), vˆ(b) = u ˜(b) . Die in E harmonische Funktion uˆ −ˆ v≤0 nimmt also in a ein Maximum an. Mit dem Maximumsprinzip folgt uˆ = vˆ in E , also u ˆ(b) = u ˜(b) .


10.3 Dirichletsches Randwertproblem Sei f : ∂G → R auf dem Rande eines Gebietes G ⊂ X stetig. Die Aufgabe, ¯ stetigen und in G harmonischen Funktion fortzusetzen, f zu einer auf G heißt Dirichletsches Randwertproblem. Ausgehend von 10.2.2 l¨ osen wir es f¨ ur Kreisscheiben und anschließend f¨ ur Ringgebiete. Sei B := ER und R < ∞ . 10.3.1 Satz von Schwarz (L¨ osung f¨ ur Kreisscheiben). Zu jeder ste¯ stetige und in B tigen Funktion f : ∂B → R gibt es genau eine auf B harmonische Funktion u mit u|∂B = f . Mit dem Poisson-Kern P gilt 2π 1 P (z, Reiθ )f (Reiθ ) dθ f¨ ur z ∈ B . (1) u(z) = 2π 0

U ·

a

z· 2j

B ° g

·z

Fig. 10.3.1 Die durch das Integral (1) definierte harmonische Funktion u auf B schließt sich in jedem Randpunkt a stetig an die gegebene Funktion f an.

10.3 Dirichletsches Randwertproblem

205

Beweis. Die Eindeutigkeit von u folgt aus dem Identit¨ atssatz (ii) in 10.1.2.– ¯ → R auf B durch (1) und auf ∂B als f . Nach 10.2.2 Wir definieren u : B ist u|B harmonisch. Es bleibt zu zeigen (und das ist die crux), daß u an jeder Stelle a ∈ ∂B stetig ist. Folgendermaßen finden wir zu jedem ε > 0 eine Umgebung U von a , so daß |u(z) − f (a)| < ε f¨ ur z ∈ U ∩ B gilt, siehe Figur 10.3.1: In (1) k¨ onnen wir R durch a ersetzen. Wegen 10.2.1(4) gilt    2π 1 P (z, aeiθ ) f (aeiθ ) − f (a) dθ . u(z) − f (a) = 2π 0 Durch ein ϕ ∈ (0, π) zerlegen wir die rechte Seite in zwei Integrale v1 (z) ur ϕ ≤ θ ≤ 2π − ϕ . Wenn man ϕ klein genug f¨ ur −ϕ ≤ θ ≤ ϕ und v2 (z) f¨ ur alle z ∈ B . Zur Absch¨ atzung von v2 (z) w¨ahlen macht, gilt |v1 (z)| < ε/2 f¨ ¯ den Bogen γ = {aeiθ : ϕ ≤ θ ≤ 2π − ϕ} nicht trifft. wir U so klein, daß U Es gibt dann ein d > 0 , so daß f¨ ur alle (z, ζ) ∈ (U ∩ B) × γ der Abstand |ζ − z| ≥ d ist und  2R 2R  |a|2 − |z|2 < 2 |a| − |z| ≤ 2 |z − a| P (z, ζ) = |ζ − z|2 d d gilt. Damit sch¨ atzen wir das Integral v2 (z) ab: |v2 (z)| < 2R|z − a| · M/d2 mit M = max{|f (ζ) − f (a)| : ζ ∈ ∂B} . Wenn man U klein genug macht, folgt |v2 (z)| < ε/2 f¨ ur z ∈ U ∩ B .
Unter dem Einfluß von Weierstraß und Heine legte Schwarz in [Sch] 2, S. 178 und 188, gr¨ oßten Wert auf einen genauen Stetigkeitsbeweis.– Es gibt kein entsprechendes Ergebnis f¨ ur holomorphe Funktionen: Eine stetige Funktion f : ∂E → C hat ¯ , die auf E holomorph ist. i.a. keine stetige Fortsetzung nach E

10.3.2 Trigonometrische Approximation. Zu jeder stetigen Funktion f : ∂E → R und zu jedem ε > 0 existiert ein Polynom p ∈ C[z] , so daß gilt: |f − Re p|∂E ≤ ε. Beweis. W¨ ahlt man u zu f wie im Schwarzschen Satz, so gibt es ein t ∈ (0, 1) mit |f (ζ) − u(tζ)| ≤ ε/2 f¨ ur alle ζ ∈ ∂E (gleichm¨aßige Stetigkeit auf Kompakta). Es gibt ein h ∈ O(E)  mit u|E = Re h . Wegen der normalen Konvern ∞ ν ν ζ | ≤ ε/2 genz der Taylorreihe h(z) = 0 aν z ν in E gilt |h(tζ) − 0 aν t n f¨ ur alle ζ ∈ ∂E und große n . Die Behauptung folgt f¨ ur p(z) := 0 aν tν z ν  wegen f (ζ) − Re p(ζ) = f (ζ) − u(tζ) + Re h(tζ) − p(ζ) f¨ ur alle ζ ∈ ∂E .
Bemerkung. Wegen ζ = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ spricht man von trigonometrischer Approximation.

10.3.3 L¨ osung f¨ ur Ringgebiete. Seien 0 < r < R reelle Zahlen. (1) Zu zwei komplexen Polynomen p(z) und P (z) gibt es eine auf C× harmonische Funktion u mit u = Re p auf ∂Er und u = Re P auf ∂ER . Beweis. Zun¨ achst sei p(z) = az n ein Monom = 0 und P (z) = 0 . Im Falle n = 0 leistet u(z) = α log |z| + β mit geeigneten reellen Zahlen α, β das n ¯ 2n −n Gew¨ unschte. Im Falle n ≥ 1 bildet  = Re(bz − bR z ) . Dann  man u(z) 2n erreicht man zus¨atzlich u = ist u|∂ER = 0 , und mit b := a/ 1 − (R/r) Re (az n ) l¨ angs ∂Er . Ebenso folgt (1), wenn p(z) = 0 und P (z) = az n ist. Der allgemeine Fall ergibt sich durch Bildung endlicher Summen.


206

10. Harmonische Funktionen

Satz. Jede auf dem Rande ∂A des Ringgebietes A := {z ∈ C : r < |z| < R} stetige, R-wertige Funktion f l¨ aßt sich in eindeutiger Weise zu einer auf A¯ stetigen und in A harmonischen Funktion fortsetzen. Beweis. Zu jeder nat¨ urlichen Zahl n gibt es wegen der trigonometrischen Approximation 10.3.2 zwei komplexe Polynome pn und Pn mit (2) |f − pn |∂Rr < n−1 und |f − Pn |∂ER < n−1 . Nach (1) kann man in (2) beide Polynome durch eine Funktion un ∈ H(C× ) ersetzen. Dann konvergiert un |∂A gleichm¨aßig nach f . Nach 10.2.3 (b) konvergiert un auf A¯ gegen eine stetige Funktion u , die in A harmonisch ist. Der Identit¨ atssatz (ii) in 10.1.2 zeigt die Eindeutigkeit.
10.3.4 Historisches. Riemann lernte in Dirichlets Vorlesungen den um 1850 aktuellen Stand der Potentialtheorie kennen, welcher kurz zuvor durch Arbeiten von W. Thompson (Lord Kelvin) erreicht worden war. Durch Riemanns Vorbild werden noch heute potentialtheoretische Probleme und Methoden nach Dirichlet benannt, obwohl er nicht der Urheber sonder nur der Vermittler war. Das Dirichletsche Prinzip, welches Riemann zur L¨ osung der Randwertaufgabe heranzog, wird von uns nicht benutzt. Die berechtigte Kritik an diesem Prinzip, die schon zu Riemanns Lebzeiten laut wurde, erweckte seinerzeit Zweifel, ob die Riemannsche Funktionentheorie sicher begr¨ undet sei. Siehe dazu S. Hildebrandt, Bemerkung zum Dirichletschen Prinzip, in [Wyl 1].

10.4 Subharmonische Funktionen Der Weg zur Konstrukion harmonischer Funktionen mit vorgegebenen Singularit¨ aten w¨are weniger m¨ uhsam, wenn mit je zwei harmonischen Funktionen u, v auch max(u, v) harmonisch w¨ are. Subharmonische Funktionen haben diese Eigenschaft und erf¨ ullen wie die harmonischen das Maximumprinzip. Perron schlug daher 1923 vor, Familien subharmonischer Funktionen heranzuziehen, welche in Verallgemeinerung des Harnackschen Prinzips ebenfalls harmonische obere Einh¨ ullende besitzen. 10.4.1 Definition. Elementare Eigenschaften. Eine stetige Funktion v : X → R heißt subharmonisch, wenn f¨ ur jedes Gebiet G ⊂ X und jede Funktion h ∈ H(G) gilt: Aus v|G ≤ h folgt v(x) < h(x) f¨ ur alle x ∈ G oder v|G = h . Subharmonizit¨ at ist eine lokale Eigenschaft, d.h. v ist genau dann subharmonisch, wenn jeder Punkt in X eine Umgebung U besitzt, so daß v|U subharmonisch ist. Wir bezeichnen die Menge aller in X subharmonischen Funktionen mit S(X) . Das Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen gibt sofort H(X) ⊂ S(X) . F¨ ur v, v ∗ ∈ S(X) und reelle λ ≥ 0 gilt: v + v ∗ ∈ S(X) , λv ∈ S(X) .

10.4 Subharmonische Funktionen

207

10.4.2 Maximumprinzipien. (1) Wenn die subharmonische Funktion v an einer Stelle a ∈ X ein Maximum hat, ist sie konstant. ¯ . F¨ (2) Sei G ⊂ X ein Gebiet mit kompakter H¨ ulle G ur die stetigen Funk¯ tionen v, u : G → R gelte, daß v subharmonisch und u harmonisch in G ¯. ist. Aus v|∂G ≤ u|∂G folgt v ≤ u auf G Beweis. (1) Man benutzt die Definition mit der konstanten harmonischen ¯ ihr Funktion v(a) .– (2) Die Differenz v − u nimmt an einer Stelle a ∈ G Maximum an. Wenn a ∈ ∂G ist, folgt die Behauptung sofort. Bei a ∈ G ist ¯ konstant, so daß sich v ≤ u wieder v − u nach (1) auf G , also auch auf G ¯ von ∂G nach G fortsetzt.
Wir besprechen eine Variante des Maximumprinzips f¨ ur nicht-kompakte Fl¨ aangs des idealen Randes chen X . Eine stetige Funktion f : X → R heißt l¨ von X durch m ∈ R (nach oben) beschr¨ ankt, wenn es zu jedem ε > 0 ein Kompaktum K gibt, so daß f < m + ε außerhalb K gilt. Dann ist f auf ganz X durch m beschr¨ankt, oder f nimmt in X ein Maximum M > m an. Letzteres geht f¨ ur subharmonische Funktionen nicht, denn nach dem Maximumprinzip w¨ are f = M konstant. Da X nicht kompakt ist, g¨ abe es also zu jedem ε > 0 einen Punkt x ∈ X , wo M = f (x) < m + ε , was M > m widerspricht. Damit wurde bewiesen: Satz. Sei X nicht-kompakt. Wenn v ∈ S(X) l¨ angs des idealen Randes durch m ∈ R beschr¨ ankt ist, gilt v ≤ m auf ganz X .
10.4.3 Heftungsprinzip. Sind X1 , X2 offen in X , so bestimmen zwei stetige Funktionen vj : Xj → R die (im allgemeinen unstetige) Heftungsfunktion v := v1 ∨ v2 : X1 ∪ X2 → R durch v := vj auf Xj \ (X1 ∩ X2 ) und ur sie gilt v|Xj ≥ vj . v := max (v1 , v2 ) auf X1 ∩ X2 . F¨ Satz. Jede stetige Heftung subharmonischer Funktionen ist subharmonisch. Insbesondere gilt max (v1 , v2 ) ∈ S(X) f¨ ur alle v1 , v2 ∈ S(X) .

Beweis. Sei G ⊂ X1 ∪ X2 ein Gebiet und v|G ≤ h ∈ H(G) . An der Stelle a ∈ G sei v(a) = h(a) . F¨ ur j = 1 oder = 2 ist dann v(a) = vj (a) , und es gilt vj (x) ≤ v(x) ≤ h(x) f¨ ur x ∈ G ∩ Xj . Weil vj subharmonisch ist, folgt vj = h auf der Komponente G0 von G ∩ Xj , die a enth¨ alt. Somit ist die abgeschlossene Menge A = {x ∈ G : v(x) = h(x)} offen, also = G .
10.4.4 Harmonische Majorisierung. Nach dem Satz von Schwarz gibt es ¯⊂X zu jeder auf X stetigen Funktion v und zu jeder kompakten Scheibe B genau eine auf X stetige Funktion HB v , die in B harmonisch ist und auf X \ B mit v u ¨bereinstimmt. Mit dem Maximumprinzip 10.4.2(2) folgt der ¯ ⊂ X gilt Satz. F¨ ur v, v ∗ ∈ S(X) und jede kompakten Scheibe B (1) v ≤ HB v ∈ S(X) , (2) max(HB v, HB v ∗ ) ≤ HB max(HB v, HB v ∗ ) = HB max(v, v ∗ ) .




208

10. Harmonische Funktionen

10.4.5 Perronsche Familien. Eine nicht-leere Teilmenge P ⊂ S(X) heißt Perronsche Familie, wenn f¨ ur alle v, v ∗ ∈ P und jede kompakte Scheibe ∗ ¯ ⊂ X gilt: max (v, v ) ∈ P und HB v ∈ P . B Perronsches Prinzip. Die obere Einh¨ ullende u := sup {v : v ∈ P} jeder Perronschen Familie P ist harmonisch oder konstant ∞ . ¯ ⊂ X eine kompakte Scheibe. Aus v ≤ HB v ∈ P folgt: Beweis. Sei B u = sup {v : v ∈ P} ≤ sup{HB v : v ∈ P} ≤ sup {v : v ∈ P} . Somit ist u|B die obere Einh¨ ullende der Familie {(HB v)|B : v ∈ P} harmonischer Funktionen. Sie enth¨ alt wegen Satz 10.4.4 mit u1 , u2 eine harmonische Funktion u∗ ≥ max(u1 , u2 ) . Nach dem Harnackschen Prinzip in 10.2.5 ist u harmonisch in B oder konstant ∞ . Somit sind beide Mengen A := {x ∈ X : u ist harmonisch um x} und Z := {x ∈ X : u(x) = ∞} offen in X . Da A ⊎ Z = X zusammenh¨angt, ist eine dieser Menge leer.
10.4.6 Beschr¨ ankte Perronsche Familien. Wichtige Beispiele sind: ur eine feste Funktion v0 ∈ S(X), (1) {v ∈ S(X) : v ≤ −v0 } f¨ (2) {v ∈ S(G) : lim supx→ξ v(x) ≤ λ} f¨ ur ein Gebiet G ⊂ X , einen Punkt ξ ∈ ∂G und eine Schranke λ ∈ R . Die Mengen in (1) und (2) sind leer oder Perronsche Familien zu X bzw. G ; in beiden F¨ allen geh¨ ort die obere Einh¨ ullende zur Familie und ist daher harmonisch.
Perron hat sein Prinzip 1923 zur L¨ osung des Dirichletschen Randwertproblems entwickelt. Zwei Jahre sp¨ ater wurde es in [RR] von Rad´o und Riesz vereinfacht.

10.5 Gelochte Fl¨ achen. Abz¨ ahlbarkeit der Topologie ¯ ⊂ X eine kompakte Scheibe. Wir l¨ Sei B osen das Dirichletsche Randwert¯ und jede auf dem Lochrand ∂B problems f¨ ur die gelochte Fl¨ ache X \ B stetige reelle Funktion. Eine einfache Folgerung ist die Abz¨ ahlbarkeit der Topologie von X . Je nachdem, ob die L¨osung des Randwertproblems f¨ ur ¯ eindeutig ist oder nicht, unterscheiden wir ab 10.5.4 f¨ X \B ur den Rest des Kapitels und dar¨ uber hinaus zwischen armen und reichen Fl¨ achen. 10.5.1 Existenzsatz. Sei f : ∂B → R stetig mit m := min f (∂B) und M := max f (∂B) . Es gibt eine stetige Funktion u : X \ B → [m, M ] , die in ¯ harmonisch ist und u|∂B = f erf¨ X \B ullt. Insbesondere gibt es auf jeder gelochten Fl¨ ache nicht-konstante beschr¨ ankte harmonische Funktionen. ¯ r mit r < 1 gilt. Sei ¯ =E Beweis. Es gibt eine Karte z : V → E , so daß z(B) osung des Randwertproblems f¨ ur ρ ∈ (r, 1) und Bρ := z −1 (Eρ ) . Durch die L¨ ¯ erh¨ alt man zwei auf X \ B stetige Funktionen v1 , v2 den Ring A = Bρ \ B die in A harmonisch sind, so daß gilt:

10.5 Gelochte Fl¨ achen. Abz¨ ahlbarkeit der Topologie

209

v1 = v2 = f auf ∂B und v1 = m , v2 = M auf X \ Bρ . Die Funktionen v1 und −v2 sind Heftungen harmonischer Funktionen und ¯ subharmonisch. Die Menge daher auf X \ B ¯ : v ≤ v2 } P = {v ∈ S(X \ B) enth¨ alt v1 und ist nach 10.4.6(1) eine Perronsche Familie. Daher ist u := ¯ und m ≤ v1 ≤ u ≤ v2 ≤ M . Wegen v1 = v2 = f l¨ sup P ∈ H(X \ B) angs ∂B wird u durch u|∂B = f stetig nach ∂B fortgesetzt.
10.5.2 Abz¨ ahlbarkeit der Topologie. Jede zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache X hat eine abz¨ ahlbare Topologie. ¯ eine kompakte Scheibe in X . Es gen¨ Beweis. Sei B ugt zu zeigen, daß ¯ Y := X \ B eine abz¨ahlbare Topologie hat. Nach 10.5.1 gibt es eine nicht¨ konstante Funktion u ∈ H(Y ) . Auf der universellen Uberlagerung η:Z→Y ist u ◦ η harmonisch und nach Satz 10.1.1 der Realteil einer nicht-konstanten holomorphen Funktion h . Nach dem Spezialfall 3.5.3(2) des Satzes von Poincar´e-Volterra hat Z eine abz¨ahlbare Basis U der Topologie. Da η stetig, offen und surjektiv ist, erh¨ alt man mit {η(U ) : U ∈ U } eine abz¨ ahlbare Basis der Topologie von Y .
10.5.3 Historisches. Im Jahre 1913 postulierte H. Weyl in [Wyl 1] die Triangulierbarkeit Riemannscher Fl¨achen. Er bemerkte dazu auf S. 21, daß diese Einschr¨ ankung erforderlich zu sein scheint, um die Anwendbarkeit der Exhaustions” methode“ zu gew¨ ahrleisten. Triangulierbare Fl¨ achen haben a fortiori eine abz¨ ahlbare Topologie. Die Umkehrung gilt ebenfalls, der Beweis ist allerdings m¨ uhsam. Rad´ o [Rad 1] wußte, daß die Existenz einer komplexen Struktur die Abz¨ahlbarkeit der Topologie zur Folge hat. Er hat seinen Beweis damals nur skizziert, da Pr¨ ufer ihm mitgeteilt hatte, daß vermutlich jede topologische Fl¨ache triangulierbar sei. Nachdem Pr¨ ufer seine eigene Vermutung widerlegt hatte, ver¨offentlichte Rad´ o seinen Satz und das Pr¨ ufersche Beispiel einer zusammenh¨angenden Fl¨ ache mit u ¨ berabz¨ ahlbarer Topologie in [Rad 2]. Es war damals unbekannt, daß Hausdorff schon 1915 solche Fl¨ achen gefunden, aber nicht publiziert hatte. Eine vereinfachte Darstellung der Pr¨ uferschen Fl¨ ache und die ersten Beispiele von zusammenh¨ angenden komplexen Mannigfaltigkeiten der Dimension n ≥ 2 , deren Topologie nicht abz¨ ahlbar ist, enth¨ alt [CR].

10.5.4 Reiche und arme Fl¨ achen. Folgende Unterscheidung spielt eine wichtige Rolle: Eine zusammenh¨angende Fl¨ ache X heißt reich, wenn es auf X nicht-konstante subharmonische Funktionen gibt, die nach oben beschr¨ankt sind. Nicht-reiche zusammenh¨ angende Fl¨ achen heißen arm. (1) Jedes beschr¨ ankte Gebiet in C ist wegen Re z reich. (2) Kompakte Fl¨ achen sind arm auf Grund des Maximumprinzips 10.4.2. Weitere Beispiele geben wir in den Folgerungen des n¨achsten Abschnitts. Die Einteilung der Riemannschen Fl¨achen in reiche bzw. arme mittels subharmonischer Funktionen ist seit Ahlfors’ Note [Ah 2] u ¨ blich. Er nennt allerdings reiche Fl¨ achen hyperbolisch ; wir vermeiden diese Redeweise, da hyperbolisch“ in der klas” sischen Theorie in einem anderen Sinne benutzt wird, vgl. 11.3.3.

210

10. Harmonische Funktionen

¯ ⊂ X eine kompakte Scheibe. Der Exi10.5.5 Harmonische Maße. Sei B stenzsatz in 10.5.1 l¨aßt offen, ob f¨ ur die Randfunktion f = 0 andere L¨ osungen des Dirichletschen Problems als u = 0 existieren. Wenn X reich ist, gibt es sie. Zu ihnen geh¨oren die harmonischen Maße. Das sind Funktionen in ¯ mit Werten in (0, 1) , die sich durch Null stetig nach B ¯ fortsetzen H(X \ B) ¯ und lassen. Die Fortsetzung ist wegen des Heftungsprinzips (mit X1 = X \ B X2 = X) eine beschr¨ankte, nicht-konstante Funktion in S(X) . Es folgt: (1) Auf armen Fl¨ achen gibt es keine harmonischen Maße.
Beispiel. Sei R > 1 . F¨ ur X = ER und B = E ist w(z) := log |z|/ log R ein harmonisches Maß. ¯ in einer reichen Fl¨ Satz. Zu jeder kompakten Scheibe B ache X existiert ein harmonisches Maß wB . Beweis. Die Nullfunktion geh¨ ort zur Perronschen Familie ¯ : v ≤ 1 , lim supx→ξ v(x) ≤ 0 ∀ ξ ∈ ∂B} , P(X, B) := {v ∈ S(X \ B) vergleiche 10.4.6(2). Wir behaupten: ¯ mit v ∗ (a) > 0. (2) Es gibt ein v ∗ ∈ P(X, B) und ein a ∈ X \ B Beweis zu (2). Es gibt eine nicht-konstanten Funktion v ∈ S(X) mit v < 0 . ¯ < 0 . An einer Stelle a ∈ X \ B ¯ ist v(a) > −M ; Dann ist −M := max v(B) denn sonst w¨ are v = −M nach dem Maximumprinzip. Man nimmt v ∗ := 1 + v/M . F¨ ur die obere Einh¨ ullende wB von P(X, B) gilt 0 ≤ wB ≤ 1 und wegen ¯ . Wegen (2) wB = 0 . Nach dem Perronschen Prinzip ist wB ∈ H(X \ B) des Minimumprinzips kann wB den Wert 0 nicht annehmen. Wenn wB den Wert 1 ann¨ ahme, m¨ ußte wB = 1 sein (Maximumprinzip). Das wird durch wB ∈ P(X, B) ausgeschlossen. Also gilt 0 < wB < 1 . ¯ fortgesetzt. (3) wB wird durch Null stetig nach B Beweis zu (3). Sei z : V → ER eine Karte mit R > 1 und z(B) = E . Sei ¯ . Die im Beispiel angegebene Funktion w geh¨ A := V \ B ort zu P (V, B) , und f¨ ur jedes v ∈ P(V, B) ist v − w ∈ S(A) l¨ angs ∂A durch Null nach oben beschr¨ ankt, also v ≤ w nach dem Maximumprinzip 10.4.2(2). Wegen
P (X, A)|A ⊂ P (V, B) folgt 0 ≤ wB ≤ log |z|/ log R und damit (3). Folgerungen. (a) Ist Y reich und η : X → Y holomorph und offen, so ist X reich. Insbesondere ist jedes Gebiet X ⊂ Y reich. (b)Wenn X arm und A ⊂ X lokal endlich ist, bleibt X \ A arm. Insbesondere ist C arm. ¯ ein harmonisches Maß zur kompakten Scheibe Beweis. (a) Sei wB ∈ H(X \ B) ¯ B ⊂ η(X) . Dann ist wB ◦ η ∈ S(X) beschr¨ankt und nicht konstant.– (b) Angenommen X \ A ist reich. Es gibt dann eine kompakte  Scheibe ¯ ⊂ X \ A und ein harmonisches Maß wB ∈ H X \ (A ∪ B) ¯ . Da wB B beschr¨ankt ist, kann man nach A harmonisch fortsetzen und erh¨ alt ein har¯. monisches Maß auf X \ B


10.6 Greensche Funktionen

211

¯ eine kom10.5.6 Scharfes Maximum- und Minimumprinzip. Sei B pakte Scheibe in der armen Fl¨ ache X . Mit H(X \B) wird der R-Vektorraum ¯ harmonischen Funktionen bezeichnet. aller auf X \ B stetigen und in X \ B

Satz (Scharfes Maximumprinzip). Jede nach oben beschr¨ ankte Funktion u ∈ H(X \ B) nimmt ihr Maximum auf ∂B an. ¯ durch v|B ¯ := M Beweis. Sei M := |u|∂B . Dann wird max (u, M ) ∈ S(X \ B) stetig nach X fortgesetzt. Die Fortsetzung v ist nach oben beschr¨ ankt und wegen des Heftungsprinzips subharmonisch auf X , also konstant = M . Aus M = max(u, M ) folgt die Behauptung.
Das scharfe Maximumprinzip f¨ ur −u ist ein scharfes Minimumprinzip f¨ ur u . Beide Prinzipien haben direkt zur Folge: (1) Jede beschr¨ ankte Funktion u ∈ H(X \ B) nimmt ihr Maximum und ihr Minimum auf ∂B an. (2) Zwei beschr¨ ankte Funktionen u, u∗ ∈ H(X \ B) stimmen auf X \ B bereits dann u ¨berein, wenn sie auf ∂B u ¨bereinstimmen.
Wenn man dieses Ergebnis mit dem Existenzsatz 10.5.1 kombiniert, folgt die eindeutige L¨ osung des Dirichletschen Problems: (3) Jede auf ∂B stetige Funktion l¨ aßt sich eindeutig zu einer beschr¨ ankten Funktion in H (X \ B) fortsetzen.
Schließlich liefert (1) eine Absch¨ atzung f¨ ur holomorphe Funktionen: (4) Ist f in einer Umgebung von X \ B holomorph und beschr¨ ankt, so gilt |f |X\B ≤ |f |∂B . Beweis. Sei u := Re f , v := Im f . Mit (1) folgt |f |2X\B ≤ |u|2X\B + |v|2X\B = |u|2∂B + |v|2∂B ≤ 2|f |2∂B , √ √ also |f |X\B ≤ 2|f |∂B . Wegen |f n | = |f |n folgt ebenso |f |nX\B ≤ 2|f |n∂B f¨ ur alle n ∈ N . Mit n → ∞ ergibt sich die Behauptung.


10.6 Greensche Funktionen Zu jedem Punkt a einer reichen Fl¨ ache X konstruieren wir eine Greensche Funktion ga , die bis auf eine logarithmische Singularit¨ at in a harmonisch ist. Mit den Quotienten der zugeh¨ origen Differentialformen beweisen wir den Riemannschen Existenzsatz zur Punktetrennung.– Wir benutzen beim Entfernen eines Punkt die kurze Notation X \a := X \ {a} . 10.6.1 Definition. Existenz. Unter eine Greenschen Funktion ga zu a ∈ X verstehen wir eine auf X\a harmonische, u ¨berall positive Funktion, die bei a eine normierte logarithmische Singularit¨ at besitzt, siehe 10.1.4. Beispielsweise ist −log |z| eine Greensche Funktion zu 0 ∈ E . In 10.6.3 beweisen wir das Existenztheorem. Zu jedem a ∈ X gibt es eine Greensche Funktion ga .

212

10. Harmonische Funktionen

10.6.2 Anwendungen. (1) Zu jedem a ∈ X existiert eine auf X \ a holomorphe Differentialform mit rein imagin¨ aren Perioden, die bei a einen einfachen Pol mit dem Residuum −1 hat. (2) Punktetrennung: Zu je zwei Punkten a = b in X gibt es eine Funktion f ∈ M(X) mit f (a) = f (b) . ort.– Beweis. (1) Man nehme die Form ωa , welche gem¨aß 10.1.1 zu ga geh¨
(2) F¨ ur f := ωa /ωb gilt f (a) = ∞ , f (b) = 0 . 10.6.3 Existenzbeweis. Sei z : (V, a) → (E, 0) eine Karte. Wir verheften die Nullfunktion auf X \a mit − log |z| auf V \ a zu v0 ∈ S (X \a) ; dann gilt v0 ≥ 0 . Alle in X \ a subharmonischen Funktionen v ≥ v0 mit den Eigenschaften (a) v + log |z| ist subharmonisch nach a fortsetzbar, (b) l¨ angs des idealen Randes von X ist 0 eine obere Schranke von v , bilden eine Perronsche Familie Ga auf X\ a . Nach dem Perronschen Prinzip ist die obere Einh¨ ullende u = ∞ oder ∈ H (X\ a) . Um u = ∞ auszuschließen, betrachten wir zu jedem Radius 0 < r < 1 die Scheibe Br := z −1 (Er ) mit ihrem Rand ∂Br und bezeichnen mit Mr (v) bzw. mr (v) das Supremum ugt ein r < 1 zu fixieren bzw. Infimum einer Funktion v : ∂Br → R . Es gen¨ ankt ist. Wir und zu beweisen, daß {Mr (v) : v ∈ Ga } nach oben beschr¨ benutzen dazu ein harmonisches Maß w zu Br ⊂ X sowie einen weiteren Radius R ∈ (r, 1) und zeigen log R/r (2) Mr (v) ≤ =: α f¨ ur alle v ∈ Ga . mR (w) Man beachte dabei, daß 0 < mR (w) < 1 gilt und α nicht von v abh¨ angt. ¯r Beweis zu (2). F¨ ur jedes v ∈ Ga ist v − Mr (v) · (1 − w) auf X \ B subharmonisch und l¨ angs des idealen Randes dieses Gebietes (d.h. auf ∂Br und l¨ angs des idealen Randes von X ) durch 0 nach oben beschr¨ ankt. Daraus ¯r , insbesondere folgt wegen Satz 10.4.2 v < Mr (v) · (1 − w) auf X \ B   (3) MR (v) ≤ Mr (v) · 1 − mR (w) . Da v + log |z| auf V = B1 subharmonisch ist, gilt (4) Mr (v) + log r ≤ MR (v) + log R nach dem Maximumprinzip. Aus (3) und (4) folgt (2), somit u ∈ H(X \ a) . F¨ ur alle v ∈ Ga ist Mr (v + log |z|) ≤ α + log r, also nach dem Maxi¯r . Es folgt u + log |z| ≤ α + log r mumprinzip v + log |z| ≤ α + log r auf B aßt sich u + log |z| harmonisch nach u fortsetzen (siehe auf Br \ a . Daher l¨ 10.1.3), d.h. u hat bei a eine normierte logarithmische Singularit¨ at.– Aus 0 ≤ v0 ≤ u und dem Minimumprinzip folgt u > 0 . Daher ist u eine Greensche Funktion zu a .
10.6.4 Minimalit¨ at. F¨ ur den Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes in 11.1 ben¨ otigen wir minimale Greensche Funktionen. Man nennt ga miniur alle stetigen Funktionen h : X → (0, ∞] gilt, die auf mal , wenn ga ≤ h f¨ X \ h−1 (∞) harmonisch sind und in a eine normierte logarithmische Singu-

10.7 Elementarpotentiale

213

larit¨ at haben. Insbesondere gilt ga ≤ h f¨ ur alle Greenschen Funktionen h zur Stelle a . Daher ist die minimale Funktion ga eindeutig bestimmt. Satz. Die obere Einh¨ ullende u der Perronschen Familie Ga aus 10.6.3 ist eine minimale Greensche Funktion zu a . Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen: p ≤ (1 + ε)h f¨ ur alle v ∈ Ga und alle ε > 0 . Das trifft sicher dann zu, wenn f¨ ur jede Funktion vε := max {v − (1 + ε)h, −1} auf X \ a , vε (a) := −1 , gilt, daß vε ≤ 0 ist. Wir behaupten zun¨ achst, daß vε subharmonisch ist. Wir zeigen dies f¨ ur die Umgebung eines beliebigen Punktes b ∈ X und unterscheiden dabei drei F¨ alle: h(b) < ∞ , h(b) = ∞ und a = b , h(a) = ∞ und a = b . Im ersten Fall gilt b = a , und (1 + ε)h ist harmonisch um b ; folglich ist v − (1 + ε)h und daher auch vε subharmonisch um b . Im zweiten Fall ist v(b) − (1 + ε)h(b) = −∞, also v∞ = −1 konstant um b . Im dritten Fall betrachten wir auf V \a die Gleichung v − (1 + ε)h = v + log |z| − (1 + ε)(h + log |z|) + ε log |z| . Diesmal sind v + log |z| und −(1 + ε)(h + log |z|) um a beschr¨ankt, w¨ ahrend limx→a ε log z(x) = −∞ ist. Daher gilt vε = −1 um a . Wegen h > 0 ist vε wie v l¨ angs des idealen Randes von X durch Null
nach oben beschr¨ ankt. Nach Satz 10.4.2(2) folgt vε ≤ 0 auf X . 10.6.5 Historisches. George Green ¨offnete 1828 in seiner bahnbrechenden, aber zun¨ achst kaum beachteten Schrift An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism das Tor zu Potentialtheorie. Die Konstruktion der Greenschen Funktion mittels einer Perronschen Familie wurde von Ahlfors [Ah 1] vorgeschlagen.

10.7 Elementarpotentiale Auf armen Fl¨ achen X gibt es keine Greenschen Funktionen, siehe Aufgabe 10.8.7. Ihre Rolle u ¨bernehmen Elementarpotentiale ha , welche bis auf einen Pol in a harmonisch sind. 10.7.1 Definition. Existenz. Sei n ∈ N>0 . Wir nennen ha ∈ H(X \ a) ein Elementarpotential n-ter Ordnung zur Karte z : (U, a) → (E, 0) , wenn h a außerhalb jeder Umgebung von a beschr¨ankt ist und ein c ∈ C× existiert, so daß ha − Re (cz −n ) harmonisch nach a fortgesetzt werden kann. Wenn ar normiert.– In 10.7.5-8 c = 1 bzw. = i ist, nennen wir ha reell bzw. imagin¨ beweisen wir das Existenztheorem. Zu jedem n und jeder Karte z : (U, a) → (E, 0) existiert ein Elementarpotential n-ter Ordnung, und zwar im kompakten Fall sogar ein reell und ein imagin¨ ar normiertes.

214

10. Harmonische Funktionen

10.7.2 Punktetrennung. Auf jeder Riemannschen Fl¨ ache X gibt es zu je zwei Punkten a = b eine meromorphe Funktion f mit f (a) = f (b) .

Dieses Ergebnis wurde in 10.6.2(2) mittels Greenscher Funktionen f¨ ur reiche Fl¨ achen bewiesen. Der Beweis l¨aßt sich direkt auf arme Fl¨ achen u ¨bertragen, indem man Greensche Funktionen durch Elementarpotentiale ersetzt.


10.7.3 Differentialformen mit einem Pol. Sei X kompakt. Zu jeder Karte z : (U, a) → (E, 0) , jeder ganze Zahl m ≥ 2 und jeder komplexe Zahl c = 0 gibt es eine auf X \ a holomorphe Differentialform ω mit rein imagin¨ aren Perioden, so daß ω − cz −m dz holomorph nach a fortgesetzt werden kann. Beweis. Zu z gibt es je ein reell und imagin¨ ar normiertes Elementarpotential ˆ a der Ordnung m − 1 . Gem¨aß der Zerlegung (1 − m)c = α + iβ ha bzw. h ˆ in Realarteil bilden wir v := αha + β ha ∈ H(X \ a) . Man kann  und Imagin¨ 1−m harmonisch nach a fortsetzen. F¨ ur die Differentialform v−Re (1−m)cz ωv gem¨aß 10.1.1 gilt die Behauptung.
Wir ben¨ otigen diese Differentialformen f¨ ur den Beweis des Satzes von Riemann-Roch in 13.1. Sie erm¨ oglichen sofort folgende 10.7.4 Charakterisierung der Zahlenkugel. Jede zusammenh¨ angende und homologisch einfach zusammenh¨ angende kompakte Riemannsche Fl¨ ache X ist zur Zahlenkugel isomorph. Beweis. Nach 10.7.3 gibt es eine Differentialform ω , welche in einen Punkt a ∈ X einen doppelten Pol mit dem Residuum Null hat und sonst holomorph ist. Nach 7.7.4 besitzt ω eine Stammfunktion f , die bis auf einen einfachen  den Grad eins. Pol bei a holomorph ist. Dann hat f : X → C


10.7.5 Existenzlemma. Zu n ∈ N>0 und jeder Karte z : (U, a) → (E, 0) ˆ a ∈ H(X \ a) , gibt es zwei Konstanten α, α ˆ ∈ R und zwei Funktionen ha , h die außerhalb jeder Umgebung von a beschr¨ ankt sind, so daß ˆa − α ˆ log |z| − Re (iz)−n ha − α log |z| − Re z −n und h harmonisch nach a fortgesetzt werden k¨ onnen. Der Beweis folgt in 10.7.6-7. Beweis des Existenztheorems 10.7.1. Falls im Lemma α = α ˆ = 0 ist, ˆ a ein Elementarpotential muß nichts bewiesen werden. Sonst ist αh ˆ a − αh n-ter Ordnung mit c = α ˆ − iα .– Kompakter Fall: Die Differentialformen ωa ˆ a sind auf X \ a holomorph und haben bei a Pole und ω ˆ a zu ha bzw. h (n + 1)-ster Ordung mit den Residuen α bzw. α ˆ . Da die Residuensumme = 0 ist, folgt α = α ˆ = 0.
Wenn man die Theorie reeller Differentialformen auf Riemannsche Fl¨achen weit genug entwickelt (Stern-Operator, Greensche Integralformel), l¨aßt sich α = α ˆ=0 auch im nicht-kompakten Fall beweisen. Es gilt folgender allgemeine Existenzsatz, vgl. [FK], S. 172-178.

10.7 Elementarpotentiale

215

Sei G ein Gebiet in einer armen Fl¨ ache X , sei a ∈ G und f ∈ O(G \ a) . Dann gibt es eine Funktion h ∈ H (X \ a) , die außerhalb jeder Umgebung von a beschr¨ ankt ist, so daß h − Ref harmonisch nach a fortgesetzt werden kann.

10.7.6 Beweisplan zum Existenzlemma. Der Beweis des Existenzlemmas, den wir [Hei 2] entnehmen, arbeitet nur mit harmonischen Funktionen in Ringgebieten. Wir beginnen mit einem Beweisplan, damit unter zahlrei¨ chen Absch¨atzungen der Uberblick erhalten bleibt und deutlich wird, wie sich dank des scharfen Maximumprinzips 10.5.6 die Konstruktion der Funktion h a von einer punktierten Scheibe U \ a auf X \ a fortsetzt. Wir k¨ onnen z : (U, a) → (E3 , 0) annehmen. Mittels z identifizieren wir ur ϕ ∈ R und 0 < r < 3 ist reiϕ ∈ E3 ⊂ X . U mit E3 : F¨ Die gesuchte Funktion ha hat idealerweise auf E3 die einfache Gestalt Re z −n = r−n cos nϕ f¨ ur z = reiϕ . Nun gibt es nach 10.5.6(3) zu jedem 0 < s < 1 genau eine beschr¨ ankte Funktion vs ∈ H(X \ Es ) mit den Randwerten vs (seiϕ ) = s−n cos nϕ , und es liegt nahe, ha als Limes der vs f¨ ur s → 0 zu gewinnen. ur vs |∂E , und die Bilder vs (∂E) Da vs nicht konstant ist, gilt dasselbe f¨ sind echte, kompakte Intervalle. Zur Kontrolle der Konvergenz ist es gut, wenn sie nicht von s abh¨ angen. Daher ersetzen wir vs durch die Startfunktionen us = bs vs + ds , wobei cs , ds ∈ R so gew¨ahlt sind, daß us (∂E) = [−1, 1] ist. ur eine Nullfolge (sk ) und die Die kompakte Konvergenz von (usk ) f¨ Harmonizit¨ at der Grenzfunktion u0 folgen aus dem Satz von Montel 10.2.4, aßig beschr¨ankt sobald sicher gestellt ist, daß die Funktionen us lokal gleichm¨ sind. Bei genauer Betrachtung muß man ber¨ ucksichtigen, daß die Definioßer werden: Zu jedem Kompaktum tionsbereiche der us mit fallendem s gr¨ ¯ t gilt. Lokal gleichm¨ K ⊂ X \ a gibt es ein t ∈ (0, 1) , so daß K ⊂ X \ E aßig ur s < t sind auf K gleichm¨aßig beschr¨ ankt. beschr¨ ankt bedeutet: Alle us f¨ Um das zu erreichen, gen¨ ugt es wegen des scharfen Maximumprinzips 10.5.6 ur zu jedem t ∈ (0, 1) eine von s unabh¨ angige Schranke Mt ≥ |us |∂Et f¨ 0 < s < t zu finden. Diese Schranken werden in 10.7.7 durch Absch¨ atzung der Fourier-Koeffizienten von us im Ringgebiet As = E3 \ Es gewonnen. Die Koeffizienten h¨angen von s ab und gehen f¨ ur s → 0 in die Fourier¨ber. An ihnen lesen wir in 10.7.8 ab, daß u0 bei a Koeffizienten von u0 u unschte Gestalt hat. bis auf einen Faktor = 0 die f¨ ur ha gew¨ Wenn man in den Startfunktionen cos nϕ durch sin nϕ ersetzt, folgt die ˆ a analog. Existenz von h 10.7.7 Absch¨ atzung der Fourier-Koeffizienten. Wir benutzen die Fourier-Reihe aus 10.1.3 f¨ ur u = us und r = 1, R = 2 . Wegen |us |∂E2 ≤ ur die Integrale 10.1.3(3) die |us |∂E = 1 (scharfes Maximumprinzip) gelten f¨ Absch¨ atzungen ur ν ≥ 1. |a0,1 | , |a0,2 | ≤ 1 und |aν,1 | , |aν,2 | , |bν,1 | , |bν,2 | ≤ 2 f¨ Mit 10.1.3(4) folgt f¨ ur die Fourier-Koeffizienten von us : (1) |α0 | ≤ 1 ; |β0 | ≤ log2 2 ; |αν | ≤ 22−ν , |βν | ≤ 22−ν f¨ ur ν ≥ 1 ; |α−n | ≤ 4.

216

10. Harmonische Funktionen

Wegen us (seiϕ ) = cs cos nϕ + ds ergibt 10.1.3(3) f¨ ur t = s und ν ≥ 1 : ν −ν ν αν s + α−ν s = 0 falls ν = n und βν s + β−ν s−ν = 0 . Zusammen mit (1) folgt (2) |α−ν | ≤ 22−ν s2ν f¨ ur ν ≥ 1 , ν = n und |β−ν | ≤ 22−ν s2ν f¨ ur ν ≥ 1 . Die Fourier-Reihe in 10.1.3 f¨ ur u = us wird mit (1) und (2) f¨ ur t ∈ (s, 1) abgesch¨atzt: ν  ∞  t ν ∞ log t| 4 s2 + + 8 + 8 |us |∂Et ≤ 1 + 2|log n ν=1 2 ν=1 2 t 2t ≤ 1+

2| log t| log 2

+ 16

∞  t ν ν=1

2

+

4 tn

=: Mt < ∞ .

Damit existiert die Grenzfunktion u0 = lim usk ∈ H(X \ a) f¨ ur eine Nullfolge sk bei lokal gleichm¨aßiger Konvergenz. 10.7.8 Eigenschaften der Grenzfunktion. Die f¨ ur alle 0 < s < t g¨ ultige Ungleichung |us |∂Et ≤ Mt ergibt nach dem scharfen Maximumprinzip |us |X\Et ≤ Mt und damit |u0 |X\Et ≤ Mt , d.h. u0 ist außerhalb jeder Umgebung von a beschr¨ankt. angen Die Fourier-Koeffizienten und die Integrale 10.1.3(3) von u = us h¨ von s ab und werden daher mit α0 (s), . . . , bν,t (s) bezeichnet. Wegen der ur die Integrale lokal gleichm¨ aßigen Konvergenz von u0 = lim usk gilt f¨ limk→∞ aν,t (sk ) = aν,t (0) , limk→∞ bν,t (sk ) = bν,t (0) . Nach 10.1.3(4) mit r = 1, R = 2 folgt f¨ ur die Fourier-Koeffizienten: limk→∞ αν (sk ) = αν (0) , limk→∞ βν (sk ) = βν (0) , also wegen 10.7.7(2) α−ν (0) = 0 f¨ ur ν ≥ 1 , ν = n und β−ν (0) = 0 f¨ ur ν ≥ 1 . Das ergibt bei a die Gestalt u0 = β0 (0) log |z| + α−n (0) · Re z −n + v mit einer Funktion v , die in einer Umgebung von a harmonisch ist. Wir are u0 auf X \ a je nach dem Vorzeichen zeigen α−n (0) = 0 : Anderenfalls w¨ von β0 (0) nach oben oder unten beschr¨ ankt. Jedenfalls m¨ ußte u0 konstant sein, da X \ a arm ist. Aber aus usk (∂E) = [−1, 1] folgt u0 (∂E) = [−1, 1] , d.h. u0 ist nicht konstant.– Die Funktion ha := u0 /α−n (0) hat alle im Existenzlemma behaupteten Eigenschaften.


10.8 Aufgaben 1)

Zeige: Die normale Konvergenz einer reellen Fourier-Reihe ∞  

u(teiϕ ) = α0 +β0 log t+ (αn tn +α−n t−n ) cos nϕ+(βn tn +β−n t−n ) sin nϕ n=1

setzt sich vom Rande ∂A eines Ringgebietes A = {z ∈ C : r < |z| < R} auf A¯ fort. Die Reihe stellt dann eine auf A¯ stetige und in A harmonische Funktion dar.

10.8 Aufgaben

217

2)

Seien r = R zwei Radien > 0 . Wie lautet eine auf C× harmonische Funktion angs ∂Er mit dem Realteil des komplexen u , die l¨ angs ∂ER verschwindet und l¨ ¨bereinstimmt? Ist u eindeutig bestimmt? Monoms az n u

3)

Zeige: Eine auf einem Gebiet G ⊂ C stetige, reellwertige Funktion v ist genau dann subharmonisch, wenn f¨ ur jede Scheibe B = {z : |z − z0 | ≤ r} ⊂ G gilt: 2π 1 v(z0 + reiϕ ) dϕ . (1) v(z0 ) ≤ 2π 0

Wenn v subharmonisch ist und in (1) das Gleichheitszeichen steht, ist v im Innern von B harmonisch. 4)

Zeige: (i) Wenn v und −v subharmonisch sind, ist v harmonisch. (ii) F¨ ur jede holomorphe Funktion f ist |f | subharmonisch.

5)

Sei vn eine Folge subharmonischer Funktionen, welche nach v kompakt konvergiert. Zeige, daß v auch subharmonisch ist.

6)

Zeige: Eine auf einem Gebiet G ⊂ C reellwertige C 2 -Funktion v ist genau dann subharmonisch, wenn ∆v := vxx + vyy ≥ 0 ist. Anleitung : Wenn f bei z0 ein lokales Minimum hat, ist ∆f (z0 ) ≥ 0 . Folgere damit aus ∆v > 0 , daß v subharmonisch ist. Finde sodann eine Funktion u auf C mit ∆u = 1 und folgere mit Aufgabe 5, daß ∆v ≥ 0 gen¨ ugt, damit v subharmonisch ist. Benutze f¨ ur die Umkehrung: Aus ∆v(z0 ) < 0 folgt, daß −v bei z0 subharmonisch ist.

7)

¨ Zeige die Aquivalenz folgender Eigenschaften einer zusammenh¨ angender Riemannschen Fl¨ ache: Reichtum, Existenz eines harmonischen Maßes, Existenz harmonischer Maße zu jeder Scheibe, Existenz einer Greenschen Funktion, Existenz Greenscher Funktionen zu jeder Stelle, Ung¨ ultigkeit des scharfen Maximum-Prinzips.

8)

Zeige: (i) Bei jeder minimalen Greenschen Funktion ist 0 das Infimum ihrer Funktionswerte. (ii) Wie lautet die minimale Greensche Funktion zu 0 ∈ E ?

9)

Sei η : X → Y eine nicht-konstante holomorphe Abbildung zwischen reichen Fl¨ achen mit f (a) = b . Zeige, daß f¨ ur die minimalen Greenschen Funktionen v(η, a) · ga ≤ gb ◦ η gilt.

10) Sei ga eine Greensche Funktion zu a ∈ X . Zeige: F¨ ur jedes Gebiet G mit a ∈ G ist ga |G eine Greensche Funktion zu a ∈ G . Ist X \ G lokal endlich und ga minimal, so ist ga |G minimal.

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

F¨ ur jedes Polynom P (z) dritten oder vierten Grades mit einfachen Nullstellen ist die durch w 2 = P (z) definierte Riemannsche Fl¨ ache ein Torus und wird daher durch C unverzweigt u ¨berlagert, siehe 7.6.1-2. Nachdem es ache Klein gelungen war, f¨ ur die durch w 7 − z 2 (z − 1) definierte Modulfl¨ ¨ E → X7 zu konstruieren und diese X7 eine unverzweigte Uberlagerung Konstruktion auf a¨hnlich definierte Fl¨ achen auszudehnen, vermutete er, daß alle durch Polynome definierten Fl¨ achen, die nicht zur Zahlenkugel oder zu einem Torus isomorph sind, durch E unverzweigt u ¨berlagert werden. Er und Poincar´e versuchten dies 1881/2 zu beweisen. Ihren Briefwechsel findet man in [Klei 1] 3, S. 587-621. Zumindest Klein faßte die gleichzeitigen Bem¨ uhungen als Wettstreit auf, in dem er bis zur Ersch¨ opfung k¨ ampfte; siehe dazu seinen fast 40 Jahre sp¨ ater verfaßten Bericht in [Klei 5], S. 379/80, und die Darstellung in [Gra], welche die Ideengeschichte bis zu Gauß’ hypergeometrischer Reihe zur¨ uckverfolgt. Weder Klein noch Poincar´e gelang damals der angestrebte Beweis. Aber aus ihren Bem¨ uhungen entstand die Theorie der automorphen Funktionen und Formen, auf die in 5.7.5 hingewiesen wurde. Unter Poincar´es Einfluß entfiel die Beschr¨ ankung auf Fl¨ achen, die durch Polynome definiert sind. Das Uniformisierungstheorem lautet: Jede zusamˆ C oder E (≈ H) unmenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X wird durch C, verzweigt u ¨berlagert. Ein einigermaßen zufriedenstellender Beweis wurde erst 1907 von Koebe [Koe] und Poincar´e [Po] 4, p. 70-139, gefunden. Sechs Jahre sp¨ater gab Weyl der Uniformisierungstheorie eine klare Form. Sie bildet den H¨ohepunkt und Abschluß seines Buches [Wyl 1]. Weyl beseitigt alle durch den mehrfachen Zusammenhang von X verur¨ sachten Probleme im ersten Schritt durch den Ubergang zur universellen ¨ Uberlagerung u : Z → X , vgl. 3.7.1-2. Der zweite Schritt ist der Abbildungssatz, den Riemann im 21. Artikel seiner Dissertation [Ri 2] aufstellt:  , C oder E isomorph. Dieser Jede einfach zusammenh¨ angende Fl¨ ache ist zu C Satz wird im folgenden getrennt nach reichen und armen Fl¨ achen mittels Greenscher Funktionen bzw. Elementarpotentialen bewiesen. Wir schließen einige Anwendungen des Uniformisierungssatzes an. Zu ihnen geh¨ oren die Dreiecksparkettierungen, deren Studium 1872 von Schwarz begonnen und von Klein fortgesetzt wurde.

11.1 Der Abbildungssatz f¨ ur reiche Fl¨ achen

219

11.1 Der Abbildungssatz f¨ ur reiche Fl¨ achen Mit X wird eine homologisch einfach zusammenh¨ angende reiche Fl¨ ache bezeichnet. Mittels einer minimalen Greenschen Funktion ga konstruieren wir einen Isomorphismus fa : (X, a) → (E, 0) . 11.1.1 Normalfunktionen. Nach 10.6.3-4 gibt es zu jedem Punkt a ∈ X ort gem¨aß Satz 10.1.5(ii) eine minimale Greensche Funktion ga . Dazu geh¨ eine holomorphe Normalfunktion fa : X → C mit einer einfachen Nullstelle in a und dem Betrag |fa | = e−ga auf X \{a} . Wegen ga > 0 ist fa (X) ⊂ E . Lindel¨ ofsche Ungleichung. Wenn h : (X, a) → (E, 0) holomorph ist, gilt |h| ≤ |fa |. Beweis. Das ist f¨ ur die Nullfunktion h trivial. Sonst ist n := o(h, a) ≥ 1 .
Wegen der Minimalit¨ at gilt ga ≤ −n−1 log |h| , also |fa | ≥ |h|1/n ≥ |h| . 11.1.2 Surjektivit¨ at. F¨ ur jede Normalfunktion gilt fa (X) = E . Beweis. Es gen¨ ugt |c| ≥ 1 f¨ ur jeden Randpunkt c ∈ ∂fa (X) zu zeigen. Weil fa − c keine Nullstellen hat, gibt es nach dem Monodromiesatz eine holomorphe Funktion h auf X , so daß fa−c = 2eh ist.  Wegen |fa −c| < 2 ist |eh | < 1 , also Re h < 0 . Durch B(z) := z − h(a))/ z + h(a) wird die linke Halbebene {Re z < 0} isomorph auf E abgebildet, so daß B ◦ h(a) = 0 ist. Aus der Lindel¨ ofschen Ungleichung folgt|B ◦ h| ≤ |fa| . Es gibt eine Folge xn in X mit lim fa (xn ) = c . Dann ist lim exp ◦ h(xn ) = 0 , also lim h(xn ) =  . Es folgt |c| = lim |fa (xn )| ≥ lim |B ◦ h(xn )| = B(∞) = 1 . ∞∈C


11.1.3 Homogenit¨ at der Abbildungsfamilie. Zu je zwei Normalfunktionen fa , fb gibt es einen Automorphismus A von E , so daß fb = A ◦ fa ist. Beweis. Es gibt einen Automorphismus B von E , welcher 0 und fa (b) vertauscht. Nach der Lindel¨ ofsche Ungleichung ist (1) |B ◦ fa | ≤ |fb | , insbesondere |fa (b)| ≤ |fb (a)| . Vertauschen von a und b gibt (2) |fa (b)| = |fb (a)| . Die Funktion h := (B ◦ fa )/fb ist auf ganz X holomorph. Denn die einzige Nullstelle des Nenners liegt in b ; sie ist einfach, und in b ist auch der Z¨ ahler Null. Wegen (1) ist |h| ≤ 1 , und wegen (2) ist |h(a)| = 1 . Nach dem Maxi
mumprinzip ist h konstant. F¨ ur A := h(a)−1 B gilt fb = A ◦ fa .

11.1.4 Injektivit¨ at. Jede Normalfunktion fc ist injektiv. ur ein Beweis. Angenommen fc (a) = fc (b) . Nach 11.1.3 gilt fb = A ◦ fc f¨ A ∈ Aut(E) , insbesondere 0 = fb (b) = fb (a) . Weil b die einzige Nullstelle
von fb ist, folgt a = b .

220

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

11.1.5 Abbildungssatz. Jede homologisch einfach zusammenh¨ angende reiche Fl¨ ache X ist zur Kreisscheibe E isomorph. Denn nach 11.1.2 und 11.1.4 ist fa : X → E biholomorph.


Dieser elegante Beweis mit Hilfe der Homogenit¨at der Familie {fa } stammt von Heins [Hei 1]. Ahlfors kommentierte in [Ah 3], S. 136: A special argument due to ” Heins in one step eliminates several difficulties in the classical proof.“ Der Abbildungssatz f¨ ur reiche Fl¨ achen enth¨ alt den Abbildungssatz f¨ ur einfach zusammenh¨ angende Gebiete = C in C , der in vielen Lehrb¨ uchern der Funktionentheorie ohne Potentialtheorie bewiesen wird. Solche Gebiete sind n¨amlich zu beschr¨ ankten Gebieten in C isomorph und folglich nach 10.5.4(1) reich.

11.2 Der Abbildungssatz f¨ ur arme Fl¨ achen In diesem Paragraphen bezeichnet X eine homologisch einfach zusammen. h¨ angende, arme Fl¨ ache. Das Ziel ist ein Isomorphismus X ≈ C oder C Der Weg dorthin f¨ uhrt in Analogie zu 11.1 u ¨ber Elementarpotentiale (statt Greenscher Funktionen), Normalfunktionen und deren Homogenit¨ at. F¨ ur kompakte Fl¨ achen ist das Ergebnis bereits bekannt, siehe 10.7.4. Die ¨ folgenden Uberlegungen sind nur f¨ ur den nicht-kompakten Fall n¨ otig. 11.2.1 Normalfunktionen. Eine auf X \ a holomorphe Funktion fa heißt Normalfunktion zur Stelle a ∈ X , wenn fa außerhalb von a beschr¨ankt ist und in a einen einfachen Pol hat. Beispiele sind fa (z) = (z − a)−1 auf  . Der Realteil Re fa ist ein Elemen und f∞ (z) = z auf C X = C oder C tarpotential erster Ordnung. Aus dem Existenztheorem 10.7.1 zusammen mit Satz 10.1.5(i) folgt: (1) Zu jedem a ∈ X gibt es eine Funktion F ∈ O(X\a) mit einem einfachen Pol in a , deren Realteil außerhalb von a beschr¨ ankt ist.
Wenn es reell und imagin¨ ar normierte Elementarpotentiale gibt, kann man auch die Beschr¨ankung von Im F zeigen, und F ist eine Normalfunktion, siehe [FK], S. 186/7. Da die Existenz normierter Elementarpotentiale in 10.7 nicht bewiesen wurde, machen wir einen in [Hei 1] vorgeschlagenen Umweg: (2) Alle a , zu denen Normalfunktionen fa existieren, liegen dicht in X . Beweis. Sei F eine Funktion gem¨ aß (1) zu b ∈ X . Es gen¨ ugt zu zeigen:  −1 In jeder Umgebung von b liegt ein a , so daß fa := F (a) − F eine Normalfunktion zu a ist. Wegen o(F, b) = −1 gibt es eine Umgebung V ⊂ X von b mit kompaktem Abschluß, so daß F |V injektiv ist. Sei A := |Re F |X\V < ∞ . In jeder Umgebung von b liegt ein Punkt a = b , wo |Re F (a)| ≥ 2A > 0 ist. Aus F (x) = F (a) folgt x = a . Denn zun¨ achst gilt x ∈ V , und dort ist F injektiv. Daher ist fa auf X \ {a} holomorph und hat in a einen einfachen Pol. Da |F (a) − F (x)| ≥ |Re F (a) − Re F (x)| ≥ |Re F (a)| − |Re F (x)| ≥ A
f¨ ur x ∈ X \ V gilt, folgt |fa (x)|X\V ≤ A−1 .

11.2 Der Abbildungssatz f¨ ur arme Fl¨ achen

221

(3) Aus einer Normalfunktion fa zu a ∈ X erh¨ alt man alle in der Gestalt g = qfa + b mit q ∈ C× und b ∈ C . Beweis. Offenbar sind alle qfa + b Normalfunktionen zu a . Sei umgekehrt g eine Normalfunktion. Dann gibt es Zahlen c, e ∈ C× , so daß h := cfa − eg ∈ O(X) ist. Mit fa und g ist auch h außerhalb von a beschr¨ankt. Dann ist h auf ganz X beschr¨ankt, also konstant wegen der Armut von X .
¯ ⊂ X eine 11.2.2 Konvergenz normierter Normalfunktionen. Sei B kompakte Scheibe. Eine Normalfunktion zu a ∈ B heißt l¨ angs ∂B normiert, wenn |f |(∂B) = [1, 2] gilt. Dann ist |f |X\B = 2 wegen des scharfen Maximumprinzips 10.5.6. (1) Wenn es zu a ∈ B u ¨berhaupt eine Normalfunktion F gibt, dann auch eine l¨ angs ∂B normierte. Beweis. Da F |∂B nicht konstant ist, gibt es im kompakten Bild F (∂B) zwei Punkte b, c mit maximalem Abstand |c − b| > 0 . Nach 11.2.1(3) ist f := (c − b)−1 (F + b − 2c) eine normierte Normalfunktion zur selben Stelle a .
Konvergenzlemma. Sei z : (U, a) → (E3 , 0) eine Karte und Br = z −1 (Er ) . Sei an eine Folge in B1 mit lim an = a . Sei fn ein l¨ angs ∂B1 normierte Normalfunktion zur Stelle an . Die Folge fn besitzt ein Teilfolge, die kompakt gegen eine Normalfunktion f zur Stelle a konvergiert. Beweis. Sei B := B1 und zn := z(an ) . Die Funktionen gn := (z −zn )fn sind auf U holomorph und werden l¨ angs ∂B2 wegen |fn |X\B = 2 durch |gn | ≤ 9 9 atzt. Wegen des Maximumprinzips gilt die Absch¨ atzung 4 |fn | ≤ 2 abgesch¨ auch auf B2 . Nach dem kleinen Satz von Montel konvergiert eine Teilfolge, die wir wieder mit (gn ) bezeichnen, auf B2 kompakt gegen eine Funktion ur Stellen x, y ∈ ∂B , wo angs ∂B ist 43 |fn | ≤ |gn | ≤ 45 |fn | . F¨ g ∈ O(B2 ) . L¨ gem¨aß der Normierung |fn (x)| = 1 bzw. |fn (y)| = 2 wird, ist |gn (x)| ≤ 54 bzw. |gn (y)| ≥ 23 . Dasselbe gilt f¨ ur g = lim gn . Insbesondere ist |g| auf ∂B nicht konstant. Die Folge fn = gn /(z − zn ) konvergiert auf B2 \ a kompakt gegen g/z . L¨ angs ∂B1 konvergiert (fn ) gleichm¨aßig. Nach dem scharfen Maximumprinzip ist |fm −fn |X\B = |fm −fn |∂B . Daher konvergiert fn auf X \B aßig gegen eine gleichm¨aßig. Insgesamt konvergiert fn auf X \ a lokal gleichm¨ dort holomorphe Funktion f mit f |B2 = g/z . Die aus der Normierung folur f g¨ ultig; also ist f außerhalb a gende Gleichung |fn |X\B = 2 bleibt f¨ beschr¨ankt. are a kein Pol von f , so w¨are Wegen g ∈ O(B2 ) gilt o(f, a) ≥ −1 . W¨ f auf ganz X holomorph und beschr¨ ankt, also konstant, weil X arm ist. Das geht nicht, da |g| auf ∂B nicht konstant ist. Also hat f in a einen einfachen Pol und ist eine Normalfunktion.
Aus den Ergebnissen von 11.2.1-2 folgt direkt der Satz. Auf jeder homologisch einfach zusammenh¨ angenden armen Fl¨ ache gibt es zu jeder Stelle eine Normalfunktion.


222

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

11.2.3 Homogenit¨ at der Abbildungsfamilie. Sei fa eine Normalfunktion zu a ∈ X . Zu jedem Punkt x ∈ X gibt es einen Automorphismus A  , so daß A ◦ fa eine Normalfunktion zu x ist. von C Der Beweis beginnt mit einem

Hilfsatz. Zu jeder Normalfunktion fa gibt es eine Umgebung V von a , so −1  f¨ ur jedes b ∈ V eine Normalfunktion ist. daß fb := fa (b) − fa

Der Beweis des Hilfsatzes entspricht dem Beweis zu Satz 11.2.1. Statt |Re F | ahlt eine Umgebung W von a , so daß fa |W injekbenutzt man |fa | . Man w¨ tiv ist und verkleinert zur Umgebung V von a , so daß |fa (b)| ≥ 2|fa |X\W f¨ ur alle b ∈ V gilt.
Beweis der Homogenit¨ at. Sei Ma die Menge aller Stellen x , zu denen Normalfunktionen der Gestalt A ◦ fa existieren. Dann ist a ∈ Ma , und nach dem Hilfsatz ist Ma offen. Sei b ∈ M a und fb eine Normalfunktion zu  , so daß A ◦ fa und b . Man w¨ ahlt c ∈ Ma ∩ Mb . Es gibt A, B ∈ Aut (C)  B ◦ fb Normalfunktionen zu c sind. Nach 11.2.1(3) gibt es ein C ∈ Aut(C) mit B ◦ fb = C ◦ A ◦ fa , also b ∈ Ma . Damit ist Ma = ∅ , offen und
abgeschlossen, also Ma = X . 11.2.4 Abbildungssatz f¨ ur arme Fl¨ achen. Jede holomologisch einfach  isomorph. zusammenh¨ angende, arme Fl¨ ache X ist zu C oder C  zu Beweis. Es gen¨ ugt, eine injektive meromorphe Funktion f : X → C  finden. Denn dann ist X zum Gebiet f (X) ⊂ C isomorph. Das Komplement  (X) enth¨ C\f alt h¨ ochstens einen Punkt. Denn sonst w¨ are X reich, wie schon am Ende von 11.1.5 festgestellt wurde. Wir zeigen die Injektivit¨ at jeder Normalfunktion fc . Angenommen fc (a)  , so daß fb := A ◦ fc eine = fc (b) . Nach 11.2.3 gibt es ein A ∈ Aut(C) Normalfunktion zur Stelle b ist. Dann ist fb (a) = fb (b) = ∞ . Weil b der
einzige Pol von fb ist, folgt a = b . Wir fassen mit 11.1.5 zusammen: 11.2.5 Riemannscher Abbildungssatz. Jede homologisch einfach zusam , C oder H isomorph. menh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache ist zu C


11.3 Uniformisierung ¨ Wenn man die Existenz der universellen Uberlagerung 3.7.2(2) mit dem Riemannschen Abbildungssatz kombiniert, folgt der 11.3.1 Uniformisierungssatz. Jede zusammenh¨ angende Fl¨ ache wird durch  , C oder H unverzweigt u C ¨berlagert.


11.4 Abelsche Fundamentalgruppen

223

 ,C ¨ Man nennt jede unverzweigte Uberlagerung u : Z → X durch Z = C ¨ oder H (≈ E) eine Uniformisierung von X . Sie ist wie jede universelle Uberlagerung normal und bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Nach 3.6.3 ist die Fundamentalgruppe π(X) zur Deckgruppe D(u) isomorph. Letztere ist eine Untergruppe von Aut(Z) , welche frei und diskontinuierlich operiert.  , Umgekehrt ist jede freie und diskontinuierliche Untergruppe von Aut(C) Aut(C) oder Aut(H) die Deckgruppe einer Uniformisierung, siehe 4.4.5.

11.3.2 Eindeutigkeit. Seien uj : Zj → Xj mit j ∈ {0, 1} , zwei Uniformisierungen. Genau dann, wenn X0 und X1 isomorph sind, ist Z0 = Z1 und D(u0 ) konjugiert zu D(u1 ) in Aut(Z0 ) . Beweis. Zu jedem Isomorphismus ϕ : X0 → X1 gibt es nach dem Monodromiesatz einen Isomorphismus α : Z0 → Z1 , so daß ϕ ◦ u0 = u1 ◦ α ist. Wegen  C, H} ist Z0 = Z1 und α ∈ Aut(Z0 ) . Es gilt αD(u0 )α−1 = D(u1 ) . Zj ∈ {C, Umgekehrt: Wenn Z0 = Z1 und αD(u0 )α−1 = D(u1 ) ist, gibt es genau einen Isomorphismus ϕ : X0 → X1 mit ϕ ◦ u0 = u1 ◦ α .
 einen 11.3.3 Hyperbolische Fl¨ achen. Da jeder Automorphismus von C  Fixpunkt hat, ist jede Uniformisierung C → X ein Isomorphismus.– Auch die M¨ oglichkeiten f¨ ur Uniformisierungen u : C → X sind nach der Folgerung in 2.5.1 sehr beschr¨ ankt: (1) u ist ein Isomorphismus; oder (2) es gibt einen Isomorphismus ϕ : X → C× mit ϕ ◦ u = exp ; oder (3) es gibt ein Gitter Ω < C und einen Isomorphismus ϕ : X → C/Ω , so daß ϕ ◦ u die Torusprojektion ist. Eine zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache heißt hyperbolisch, wenn sie  C, C× oder einem Torus isodurch H uniformisiert wird, also nicht zu C, morph ist.

11.4 Abelsche Fundamentalgruppen Wir suchen nach abelschen Untergruppen von Aut(H), welche frei und diskontinuierlich operieren. Dank des Uniformisierungssatzes ergibt die Klassifikation dieser Gruppen die Klassifikation aller Fl¨ achen mit abelschen Fundamentalgruppen. 11.4.1 Translationen und Homothetien. Eine M¨ obiustransformation ist genau dann eine Translation = id , wenn ∞ der einzige Fixpunkt ist. Homothetien heißen diejenigen M¨ obiustransformationen, welche 0 und ∞ als Fixpunkte haben. Sie bilden die zu C× isomorphe Gruppe {z → cz : c ∈ C× } .

Lemma. Jede M¨ obiustransformation α , die mit einer Translation bzw. Homothetie γ = ±id vertauscht werden kann, ist selbst eine Translation bzw. Homothetie.

224

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

Beweis. Wegen αγ = γα und γ(∞) = ∞ ist α(∞) ein Fixpunkt von γ . Falls γ eine Translation ist, folgt α(∞) = ∞ , und α ist eine Translation, wenn es keinen anderen Fixpunkt gibt. Wenn c ein weiterer Fixpunkt ist, gibt es drei verschiedene Fixpunkte ∞, c, γ(c) , also α = id . Wenn γ eine Homothetie ist, folgt α(0) = 0 , α(∞) = ∞ oder α(0) = ∞ , α(∞) = 0 . Im ersten Fall ist α eine Homothetie. Der zweite Fall ist unm¨ oglich: Mit σ(z) = −1/z bilden wir die Homothetie σα . Sie kann mit γ vertauscht werden. Daraus folgt γ = ±id .
11.4.2 Die Automorphismen von H sind die M¨ obius-Transformationen mit reellen Koeffizienten. Nach ihrem Fixpunkt-Verhalten unterscheidet man drei Typen: (1) Elliptische Automorphismen haben einen Fixpunkt in H und einen dazu konjugiert komplexen Fixpunkt in −H . (2) Hyperbolische Automorphismen haben zwei verschiedene Fixpunkte in R ∪ {∞} . (3) Parabolische Automorphismen haben einen Fixpunkt in R ∪ {∞} . Jeder Typ bleibt bei Konjugation mit einer reellen M¨ obius-Transformation erhalten. Wir interessieren uns haupts¨ achlich f¨ ur Transformationen ohne Fixpunkte in H . (4) Jeder parabolische Automorphismus α ist in Aut(H) zu z → z ± 1 konjugiert. Beweis. Durch Konjugation mit einer Transformation, welche den einzigen Fixpunkt von α nach ∞ legt, bekommt α die Gestalt α(z) = z + r mit 0 = r ∈ R . Man konjugiert sodann mit z → z/|r| .
 Die beiden Translationen z → z + 1 und z → z − 1 sind zwar in Aut(C) aber nicht in Aut(H) zueinander konjugiert. (5) Jeder hyperbolische Automorphismus α ist in Aut(H) zu einer Homothetie z → rz konjugiert, deren Dehnungsfaktor r > 1 durch α eindeutig bestimmt ist. Beweis. Durch Konjugation mit einer Transformation, welche die beiden Fixpunkte von α nach 0 und ∞ legt, bekommt α die Gestalt α(z) = rz mit r > 0 . Durch eine weitere Konjugation mit z → −1/z geht α in z → z/r u ¨ber. Man kann also r > 1 erreichen.– Zur Eindeutigkeit von r : Wenn z → rz zu z → sz konjugiert ist, gilt α(sz) = rα(z) f¨ ur die konjugierende Transformation α . Dann sind α(0) und α(∞) Fixpunkte von z → rz , also α(0) = 0 , α(∞) = ∞ oder α(0) = ∞, α(∞) = 0 . Im ersten Fall ist α eine Homothetie und folglich r = s . In zweiten Fall ist α(z) = t/z mit t < 0 und folglich r = 1/s . Letzteres ist unm¨oglich, wenn r und s beide > 1 sind.
11.4.3 Abelsche Deckgruppen. Jede nicht-triviale abelsche Untergruppe G < Aut(H) , welche frei und diskontinuierlich operiert, ist zu {z → z + n : n ∈ Z} oder {z → ens z : n ∈ Z} mit s > 0

11.5 Der Satz von Poincar´e -Weyl

225

konjugiert. Im zweiten Fall ist s durch G eindeutig bestimmt. Die Orbitprojektion lautet im ersten Fall (1) u : H → E× , u(z) = e2πiz , und im zweiten Fall u : H → {z ∈ E : |z| > r} , u(z) = eiq log z , (2) mit q = 2π/s und r = e−πq < 1. Dabei ist log z = log |z| + iϕ f¨ ur z = |z|eiϕ und 0 < ϕ < π . Beweis. Es gibt keine elliptischen Elemente in G . Erster Fall. Wenn es ein parabolisches Element α gibt, kann man nach Konjugation annehmen, daß α eine Translation ist, siehe 11.4.2(4). Weil G abelsch ist, folgt aus 11.4.1, daß alle Elemente von G Translationen sind, also G = {z → z + b} , wobei b eine additive Untergruppe A von R durchl¨ auft. Weil G diskontinuierlich operiert, ist A ⊂ R lokal endlich. Es gibt ein kleinstes a > 0 in A . Dann wird G von z → z + a erzeugt. Nach einer weiteren Konjugation wird a = 1 erreicht. Die Orbitprojektion (1) ist dann leicht zu verifizieren. Zweiter Fall. Wenn es ein hyperbolisches Element α ∈ G gibt, kann man nach Konjugation annehmen, daß α eine Homothetie ist, siehe 11.4.2(5). Weil G abelsch ist, folgt aus 11.4.1, daß alle Elemente von G Homothetien sind, also G = {z → er z} , wobei r eine additive Untergruppe A von R durchl¨ auft. Analog zum ersten Fall gibt es ein kleinstes s > 0 in A , und G wird von γ(z) = es z erzeugt. Wegen der Eindeutigkeit des Dehnungsfaktors ist s durch G eindeutig bestimmt. Man verifiziert sodann die angegebene Orbitprojektion (2).
11.4.4 Ausnahmefl¨ achen heißen die zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen mit abelschen Fundamentalgruppen. Dazu geh¨ oren alle nicht-hyper C, C× und die Tori. Dar¨ uber hinaus gilt der bolischen Fl¨ achen, n¨ amlich C,

Satz. Bis auf Isomorphie sind E, E× und die Ringgebiete Ar := {z ∈ C : 0 < r < |z| < 1} die einzigen hyperbolischen Ausnahmefl¨ achen. Die angegebenen Ringgebiete sind weder untereinander noch zu E× isomorph. Beweis. Sei u : H → X die Uniformisierung einer hyperbolischen Ausnahmefl¨ ache. Die zur Fundamentalgruppe π(X) isomorphe Deckgruppe D(u) < Aut(H) ist abelsch. Aus 11.4.3 und dem Eindeutigkeitssatz 11.3.2 folgt die Behauptung.


11.5 Der Satz von Poincar´ e -Weyl Dieser Satz charakterisiert die Ausnahmefl¨ achen X dadurch, daß Aut(X) nicht diskontinuierlich ist. F¨ ur den Beweis ben¨otigen wir die Beschreibung der diskontinuierlichen Untergruppen von Aut(H) durch diskrete Matrizengruppen (11.5.1-2) und die universelle Liftung aus 4.8.4.

226

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

11.5.1 Beschr¨ ankte Matrizen. Sei ι : SL2 (R) → Aut(H) der Epimorphismus, welcher jeder Matrix A den  Automorphismus A(z) zuordnet: az + b a b . , A(z) = (1) A= c d cz + d Um die Untergruppen G < SL2 (R) zu charakterisieren, deren Bild ι(G) < Aut(H) diskontinuierlich ist, ben¨ otigen wir folgendes Lemma. F¨ ur jedes Kompaktum K ⊂ H ist die Menge M := {A ∈ SL2 (R) : A(K) ∩ K = ∅} beschr¨ ankt im Zahlenraum R4 der 4-Tupel (a, b, c, d) . Beweis. Zu K gibt es eine reelle Schranke r > 0 , so daß gilt: (2) r−1 ≤ Im τ ≤ r und |τ | ≤ r f¨ ur alle τ ∈ K . Sei τ := s + it ∈ K und A(τ ) ∈ K . Mit Im A(τ ) = |cτ + d|−2 Im τ und (2) ergibt sich: |cτ + d|2 ≤ r2 , |aτ + b| = |cτ + d| |A(τ )| ≤ r 2 . Wegen |cτ + d|2 = (cs + d)2 + c2 t2 ist |c|t ≤ r und analog |a|t ≤ r 2 . Mit t ≥ r−1 folgt: |c| ≤ r 2 und |a| ≤ r 3 . Wegen |τ | ≤ r folgt weiter |d| ≤ |cτ + d| + |c||τ | ≤ r + r 3 , |b| ≤ |aτ + b| + |a||τ | ≤ r 2 + r4 . Damit hat man Schranken f¨ ur a, b, c, d .
11.5.2 Diskrete Gruppen. Eine Untergruppe G < SL2 (R) heißt diskret, wenn die Einheitsmatrix E isoliert in G liegt: Es gibt eine Umgebung U von E in SL2 (R) ⊂ R4 , so daß U ∩ G = {E} ist. (1) Diskrete Gruppen sind lokal endlich. Beweis. Angenommen, G trifft ein Kompaktum K ⊂ R4 unendlich oft. Es g¨abe eine Folge (An ) in G∩K mit paarweise verschiedenen Gliedern, welche in K konvergiert. Dann konvergiert (An A−1 2n ) nach E . Jede Umgebung U
von E enth¨ alt ein von E verschiedenes Element An A−1 2n ∈ G . aquivalent: Satz. Folgende Aussagen u ¨ber eine Gruppe G < SL2 (R) sind ¨ (a) G operiert diskontinuierlich auf H . (b) Es gibt mindestens zwei verschiedene Punkte α, β ∈ H , die auf lokal endlichen G-Bahnen liegen. (c) G ist diskret in SL2 (R) . Beweis. (a) ⇒ (b) gilt, weil alle Bahnen lokal endlich sind.– (b) ⇒ (c): Wenn G nicht diskret w¨ are, g¨ abe es eine Folge (An ) in G \ {E} mit lim An = E . F¨ ur fast alle Indizes n gilt An (α) = α, An (β) = β , weil α und β isoliert in G(α) bzw. G(β) liegen. Da jeder Automorphismus von H mit zwei ur fast alle n im Widerspruch Fixpunkten die Identit¨ at ist, folgt An = −E f¨ zu lim An = E .– (c) ⇒ (a): F¨ ur jedes kompakte K ⊂ H ist M := {A ∈ G : A(K) ∩ K = ∅} nach Lemma 11.5.1 beschr¨ankt in R4 und daher wegen (1) sogar endlich.


Die Folgerung (a) ⇒ (c) l¨ aßt sich mit denselben Methoden verallgemeinern:
Wenn eine Untergruppe G < SL2 (C) auf einer nicht-leeren Menge U ⊂ C diskontinuierlich operiert, ist G diskret.

11.5 Der Satz von Poincar´e -Weyl

227

Die Vermutung, daß umgekehrt jede diskrete Untergruppe von SL2 (C) auf
diskontinuierlich operiert, hat Picard 1884 durch ein Beispiel einem Gebiet in C widerlegt, siehe Aufgabe 11.8.8. Man kennt notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Existenz solcher Diskontinuit¨atsbereiche und kann diese genau beschreiben, siehe [Be], Sec. 5.3.

11.5.3 Satz von Poincar´ e-Weyl. Eine zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache X ist genau dann eine Ausnahmefl¨ ache, wenn ihre Automorphismengruppe nicht diskontinuierlich ist. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß jede hyperbolische Fl¨ ache X , deren Automorphismengruppe Aut(X) nicht diskontinuierlich ist, eine abelsche Fundamentalgruppe π(X) hat. Wir benutzen die Uniformisierung u : H → X und die Normalisierung N der zu π(X) isomorphen Deckgruppe D := D(u) in Aut(H) . Nach 4.8.4(2) ist N nicht diskontinuierlich. ur jedes g ∈ D gilt: Wir finden zun¨ achst eine Folge fn ∈ N \ {id} , so daß f¨ (∗) fn ◦ g = g ◦ fn f¨ ur fast alle n . Seien D ′ , N ′ die Urbilder von D, N unter dem Epimorphismus ι : SL2 (R) → Aut(H) , vergleiche 11.5.1. Offenbar ist N ′ der Normalisator von D ′ in SL2 (R) . Nach Satz 11.5.2 ist D ′ diskret, aber N ′ nicht diskret. Es gibt ur jedes B ∈ SL2 (R) also eine Folge (An ) in N ′ \ {±E} mit lim An = E . F¨ ′ −1 ′ ′ gilt dann lim An BA−1 n = B . Aus B ∈ D folgt An BAn ∈ D , und weil D −1 ur fast alle n . Mit fn := ι(An ) folgt (∗) . diskret ist, sogar An BAn = B f¨ Da D keine elliptischen Elemente enth¨ alt, k¨ onnen wir D gem¨aß 11.4.2 durch eine konjugierte Gruppe ersetzen, die eine Translation oder Homothetie h = id enth¨ alt. Aus (∗) angewendet auf g = h folgt mit Lemma 11.4.1, daß ur jedes fast alle fn Translationen bzw. Homothetien = id sind. Da (∗) f¨ g ∈ D gilt, sind alle g ∈ D Translationen bzw. Homothetien. Jedenfalls ist D abelsch.
11.5.4 Kompakte Fl¨ achen. Jede kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache, die nicht zur Zahlenkugel oder einem Torus isomorph ist, hat eine endliche Automorphismengruppe. Denn solch’ eine Fl¨ ache X ist keine Ausnahmefl¨ ache. Somit ist Aut(X) diskontinuierlich und wegen der Kompaktheit sogar endlich.
11.5.5 Historisches. Das letzte Ergebnis u¨ ber die Automorphismengruppen kompakter Fl¨ achen wird auch als Satz von Schwarz bezeichnet. Denn er zeigt 1875 in [Sch] 2, S. 285-291: Eine algebraische Fl¨ache, die durch eine Schaar ab” bildender Functionen auf sich selbst eindeutig, zusammenh¨ angend und in den kleinsten Theilen ¨ ahnlich abgebildet werden kann“ , hat das Geschlecht 0 oder 1 . Die Schaar“ h¨ angt dabei analytisch von einem Parameter ab; daher zeigt Schwarz noch ” nicht, daß die Automorphismengruppe f¨ ur Fl¨ achen vom Geschlecht ≥ 2 endlich ist. Klein formuliert in seiner Schrift u ¨ ber Riemann, [Klei 1] 3, S. 560, vage, daß Gleichungen p > 1 niemals unendlich oft eindeutig in sich transformiert werden ” k¨ onnen“ . Er gibt ein Plausibilit¨atsargument und zitiert die Arbeit von Schwarz. In einem Brief an H. Poincar´e vom 3. April 1882 erw¨ ahnte Klein den Satz, [Klei 1] 3,

228

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

S. 610. Darauf ver¨ offentlichte Poincar´e 1885 unter Bezug auf Kleins Brief den Beweis, welchem wir oben gefolgt sind, siehe [Po] 3, p. 4-31. Klein und Poincar´e wußten nicht, daß Weierstraß bereits in einem Brief vom 3. Oktober 1875 an Schwarz, [Wst] 2, S. 325-244, dessen Ergebnis kritisiert hatte, weil die Endlichkeit der Automorphismengruppe als sozusagen selbstverst¨ andliche ” Wahrheit“ aus der Theorie der Weierstraß-Punkte folgt, siehe hierzu 13.5.7. Dieser Brief wurde erst 1895 ver¨ offentlicht. Die Beweise von Schwarz und Weierstraß h¨ atten nicht vermuten lassen, daß die Kompaktheit (oder Algebraizit¨ at) der Fl¨ ache entbehrlich ist, wenn man nur die Diskontinuit¨ at der Automorphismengruppe zeigen will. Erst Weyl hebt hervor, daß Poincar´es Beweis w¨ ortlich auch f¨ ur offene Fl¨ achen g¨ ultig“ bleibt. In dieser Form ” nimmt er das Ergebnis und den Beweis in sein Buch [Wyl 1], S. 163, auf.

11.6 Dreiecksgruppen Bei der Untersuchung diskontinuierlicher Automorphismengruppen der Ebene  ergaben sich in 2.6 bzw. 4.2 bis auf triviale AusC und der Zahlenkugel C nahmen Gruppen, deren Orbitprojektionen u ¨ber drei Punkten verzweigte ¨ Uberlagerungen der Zahlenkugel sind. Da sich die Wirkung dieser Gruppen durch euklidische bzw. sph¨ arische Dreiecksparkettierungen veranschaulichen l¨ aßt, heißen sie Dreiecksgruppen. Die Definition dieser Gruppen durch die angegebene Gestalt ihrer Orbit direkt auf H (und sogar auf beliebige projektionen l¨ aßt sich von C und C Riemannsche Fl¨achen) u ¨bertragen. Wir studieren diese Gruppen unter dem Gesichtspunkt der Kreisverwandtschaften. Die dabei erzielten Ergebnisse erm¨oglichen im n¨ achsten Paragraphen 11.7 die Wirkung der Dreiecksgruppen auf H durch hyperbolische Dreiecksparkettierungen zu veranschaulichen.  C, H} . Eine 11.6.1 Definition. Eindeutigkeit und Existenz. Sei Z ∈ {C, Untergruppe G < Aut(Z) heißt Dreiecksgruppe, wenn es eine holomorphe G gibt, deren Verzweigungsort aus drei Punkten Orbitprojektion η : Z → C besteht. Nach 4.3.4 sind Dreiecksgruppen diskontinuierlich. Man kann annehmen, daß η u ¨ber 0, 1, ∞ mit den Windungszahlen p, q, r verzweigt ist, wobei 2 ≤ p ≤ q ≤ r gilt. Das Tripel (p, q, r) heißt Typ der Dreiecksgruppe. Es ist manchmal bequem, alle Tripel (q1 , q2 , q3 ) , die durch eine Permutation aus den festen Tripel (p, q, r) hervorgehen, als Typenbezeichnung derselben Dreiecksgruppe zuzulassen. (1) Durch (p, q, r) ist die Fl¨ ache Z eindeutig bestimmt, und die Gruppe G ist bis auf Konjugation in Aut(Z) eindeutig bestimmt. ¨ Denn η ist die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte universelle Uberlagerung mit dem Verzweigungsort {0, 1, ∞} , deren Signatur S die Werte S(0) := p , S(1) := q , S(∞) := r hat, vgl. 4.8.3(b).
Existenzsatz. Jedes Tripel (p, q, r) ganzer Zahlen ≥ 2 ist der Typ einer Dreiecksgruppe.

11.6 Dreiecksgruppen

229

Wir realisieren f¨ ur p−1 +q −1 +r−1 ≥ 1 alle M¨ oglichkeiten durch bereits bekannte Gruppen. Der Existenzbeweis f¨ ur alle Tripel mit p−1 + q −1 + r−1 < 1 wird nach geometrischen Vorbereitungen in 11.6.3-4 und 11.6.6 mit Satz 11.6.7 vollendet.  sind die endlichen, nichtDie sph¨ arischen Dreiecksgruppen G < Aut(C)  zyklischen Untergruppen von Aut(C) , welche in 4.2 klassifiziert wurden:  r-Dieder Tetraeder Oktaeder Ikosaeder G < Aut(C) Typ 2, 2, r 2, 3, 3 2, 3, 4 2, 3, 5

Die euklidischen Dreiecksgruppen G < Aut(C) traten in 2.6.2 als Fl¨ achengruppen auf: G < Aut(C) F3 (Ω) F4 (Ω) F6 (Ω) Typ 3, 3, 3 2, 4, 4 2, 3, 6 Alle Tripel (p, q, r) mit p−1 + q −1 + r−1 > 1 bzw. = 1 sind Typen sph¨ arischer bzw. euklidischer Dreiecksgruppen. F¨ ur p−1 + q −1 + r−1 < 1 sind die Dreiecksgruppen hyperbolisch, d.h. Untergruppen von Aut(H) .
Beispiel. Die Modulgruppe Gn ist die Deckgruppe der normalen Modul , welche u u ¨berlagerung ηn : Xn → C ¨ ber 0, 1, ∞ mit den Windungszahlen 3, 2, n verzweigt ist, siehe 5.7.1-2. Daher ist die universelle Liftung (siehe arisch f¨ ur 4.8.4) von Gn die Dreiecksgruppe vom Typ (3, 2, n) . Sie ist sph¨ n ≤ 5 , euklidisch f¨ ur n = 6 und hyperbolisch f¨ ur n ≥ 7 .
11.6.2 Pr¨ asentation. In jeder Dreicksgruppe G vom Typ (q1 , q2 , q3 ) gibt es drei Elemente ρν mit Fixpunkten Aν und Ableitungen ρ′ν (Aν ) = e2πi/qν , so daß G von ρ1 , ρ2 , ρ3 erzeugt wird und (1) ρq11 = ρq22 = ρq33 = ρ1 ◦ ρ2 ◦ ρ3 = id die einzigen Relationen sind.  ist die universelle Uberlagerung ¨ Beweis. Die G-Orbitprojektion η : Z → C mit drei Verzweigungspunkten bν ∈ {0, 1, ∞} und der Verzweigungssignatur S(bν ) = qν . Es gibt einfache Schleifen vν um bν , so daß π(C×× ) von [v1 ], [v2 ] frei erzeugt wird und [v1 ] · [v2 ] · [v3 ] = 1 gilt. Sei P : π(C×× ) → G der Poincar´esche Epimorphismus. Die Elemente ρν := P [vν ] erzeugen G und erf¨ ullen ρ1 ◦ ρ2 ◦ ρ3 = id . Nach 4.7.2 besitzt ρν := P [vν ] einen Fixpunkt Aν ∈ ϕ−1 (bν ) mit ρ′ν (Aν ) = e2πi/qν . Aus der Beschreibung des Kernes von P in 4.8.2 folgt, daß die Relationen (1) die einzigen sind.
11.6.3 Drehungen. F¨ ur jede M¨ obius-Transformation g = id der Gestalt g(z) = (az + b)/(cz + d) mit ad − bc = 1 sind folgende Eigenschaften a ¨quivalent:  (1) g ist in Aut(C) zu z → ωz mit |ω| = 1 konjugiert. (2) g besitzt zwei verschiedene Fixpunkte A, A′ mit konjugiert komplexen Ableitungen g ′ (A) = g ′ (A′ ) .

230

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

(3) Es gibt einen Fixpunkt A von g mit |g ′ (A)| = 1 . (4) Die Spur a + d ist reell und |a + d| < 2 . Beweis. Die G¨ ultigkeit der Aussagen (1)-(4) a¨ndert sich nicht, wenn wir g durch eine konjugierte Transformation ersetzen. Wenn g genau einen Fixpunkt hat, legen wir ihn nach ∞ . Dann ist g(z) = z + b f¨ ur ein b = 0 , und keine Aussage trifft zu. Wenn g zwei Fixpunkte hat, legen wir sie nach 0 ur ein u ∈ C×× . Die Ableitungen lauten u2 und ∞ . Dann ist g(z) = u2 z f¨ −2 −1 und u . Die Spur ist u + u . F¨ ur |u| = 1 treffen alle Aussagen zu, f¨ ur |u| =

1 trifft keine zu.
Transformationen mit den Eigenschaften (1)-(4) heißen Drehungen. Wenn g im Fixpunkt A die Ableitung eiα hat, nennt man α den Drehwinkel bei A . Zwei Drehungen g und h sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Fixpunkte A, A′ und dieselben Ableitungen g ′ (A) = h′ (A) haben. Eine Drehung geh¨ ort genau dann zur Untergruppe Aut(C) bzw. Aut(H) , wenn ∞ ein Fixpunkt ist bzw. beide Fixpunkte zueinander konjugiert komplex sind. 11.6.4 Kreisverwandtschaften. Wir f¨ ugen jeder euklidischen Geraden  einen Kreis durch ∞ . l ⊂ C den Punkt ∞ zu und nennen l ∪ {∞} ⊂ C Diese Kreise werden den euklidischen Kreisen in C gleichberechtigt zur Seite  sind dann genau die Teilmengen g(R ∪ {∞}) f¨ gestellt. Die Kreise in C ur  . g ∈ Aut(C) Man erweitert die komplexe Konjugation z → z¯ durch ∞ = ∞ zu  → C  . Die erweiterte Automorphismengruppe einem Hom¨oomorphismus C  besteht aus Aut(C)  und den antiholomorphen M¨ obius-TransforAut∗ (C)   mationen z → g(¯ z ) mit g ∈ Aut(C) . Sie enth¨ alt Aut(C) als Normalteiler  sind Kreisverwandtschaften, vom Index 2 . S¨ amtliche Elemente von Aut∗ (C) d.h. sie transformieren Kreise in Kreise. Die erweiterten Automorphismengruppen Aut∗ (C) und Aut∗ (H) beste , f¨ ur die g(C) ⊂ C bzw. g(H) ⊂ H gilt. hen aus allen Elementen g ∈ Aut∗ (C) Die antiholomorphen Transformationen in Aut∗ (C) bzw. Aut∗ (H) haben die Gestalt z → g(¯ z ) mit g ∈ Aut(C) bzw. z → −g(¯ z ) mit g ∈ Aut(H) . S¨ amtliche Elemente von Aut∗ (C) transformieren euklidische Geraden in euklidische Geraden. Um ein entsprechendes Ergebnis f¨ ur Aut∗ (H) zu erhalten, definiert man: Die euklidischen Halbgeraden und Halbkreise, welche auf der reellen Achse senkrecht stehen, heißen hyperbolische Geraden, siehe Figur 11.6.4a. Offenbar sind dies genau die Durchschnitte l ∩ H derjenigen  , die mit jedem z auch z¯ enthalten. Es gilt: Geraden l ⊂ C (1) S¨ amtliche Elemente von Aut∗ (H) transformieren hyperbolische Geraden in hyperbolische Geraden. (2) Durch je zwei verschiedene Punkte in H l¨ aßt sich genau eine hyperbolische Gerade ziehen.


11.6 Dreiecksgruppen

231

l1

a A · l2 Re Fig. 11.6.4 a. Hyperbolische Geraden in H.

Fig. 11.6.4 b. Schnittwinkel zwischen zwei Kreisen.

Die Halbebene H l¨ aßt sich mit einer Metrik versehen, so daß Aut ∗ (H) die Gruppe aller Isometrien ist.- Das Parallelenaxiom gilt nicht. Vielmehr lassen sich durch jeden Punkt außerhalb einer hyperbolischen Geraden l unendlich viele hyperbolische Geraden ziehen, die l nicht treffen.

 Alle zu κ(z) := z¯ konjugierten Elemente σ = g −1 ◦ κ ◦ g mit g ∈ Aut∗ (C) heißen Spiegelungen. Der Spiegelkreis g(R ∪ {∞}) ist die Menge der Fix ist Spiegelkreis genau einer Spiegelung. punkte von σ . Jeder Kreis in C Eine Spiegelung geh¨ ort genau dann zu Aut∗ (C) bzw. Aut∗ (H) , wenn ihr Spiegelkreis durch ∞ l¨auft bzw. R senkrecht schneidet.

 . S¨ Satz (siehe Figur 11.6.4 b). Seien A = A′ ∈ C amtliche Drehungen mit den Fixpunkten A, A′ zusammen mit allen Spiegelungen an Kreisen durch A und  . Dabei ist das Produkt ρ := σ1 ◦ σ2 A′ bilden eine Untergruppe von Aut∗ (C) der Spiegelungen an zwei Kreisen l1 und l2 , welche sich bei A unter dem Winkel α schneiden, eine Drehung mit dem Drehwinkel 2α bei A . uhren oder gar nicht treffen, ist das Wenn sich zwei Spiegelkreise l1 , l2 ber¨ Produkt ρ := σ1 ◦ σ2 der entsprechenden Spiegelungen keine Drehung.

Beweis. Man kann A = 0 , A′ = ∞ annehmen. Dann sind die Kreise durch A und A′ euklidische Geraden, und die erste Behauptung wird zu einem ochstens einem Ergebnis der elementaren Geometrie. Wenn sich l1 , l2 in h¨ Punkt treffen, kann man annehmen, daß l1 der Einheitskreis und l2 = R−2ia eine Parallele zur reellen Achse mit a ≥ 1 ist. Dann hat ρ(z) = z −1 − 2ai die Spur 2a ≥ 2 und ist wegen 11.6.3(4) keine Drehung.


11.6.5 Sph¨ arische Geometrie ist die Einschr¨ ankung der euklidische Geometrie des R3 auf S 2 . Sie wird durch die stereographische Projektion π :  in die Geometrie der Kreisverwandtschaften eingebettet. S2 → C

Satz. (1) Sei E ⊂ R3 eine Ebene durch den Ursprung. Das Bild π(K) des  . Die euklidische Spiegelung Großkreises K := E ∩ S 2 ist ein Kreis in C 2 2  am Kreis s : S → S an E geht in die Spiegelung π ◦ s ◦ π −1 ∈ Aut∗ (C) π(K) u ¨ber.

232

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

 eine Drehung mit (2) F¨ ur jedes T ∈ SO(3) \ {id} ist π ◦ T ◦ π −1 ∈ Aut(C) denselben Drehwinkeln ± α wie T . (3) F¨ ur zwei verschiedene Großkreise K und L haben π(K) und π(L) dieselben Schnittwinkel wie K und L . Insbesondere ist f¨ ur jedes sph¨ arische  ein Kreisbogen-Dreieck Dreieck ∆ ⊂ S 2 das stereographische Bild π(∆) ⊂ C mit denselben Innenwinkeln wie ∆ .

Beweis. (1) F¨ ur die Spiegelung s2 an der Ebene mit der Gleichung x2 = 0 ist κ := π ◦ s2 ◦ π −1 die komplexe Konjugation. Zu jeder Spiegelung s gibt  , siehe es ein T ∈ SO(3) mit s = T ◦ s2 ◦ T −1 . Mit g := π ◦ T ◦ π −1 ∈ Aut(C) −1 −1 Satz 4.2.6, folgt π ◦ s ◦ π = g ◦ κ ◦ g . Das Bild π(K) ist die Fixpunktmenge und damit der Spiegelkreis von π ◦ s ◦ π −1 .– Analog beweist man (2), und (3) ist eine Folgerung von (1) und (2).


11.6.6 Hyperbolische Dreiecke. Zu drei Zahlen α, β, γ ∈ R>0 gibt es genau dann ein hyperbolisches Dreieck mit den Innenwinkeln α, β und γ , wenn α + β + γ < π ist. Dieses Dreieck ist bis auf einen Automorphismus von H eindeutig bestimmt.

B=ti · b gt a gt

A=i · ts · tb °

C= Ct ·

r ·a

Fig. 11.6.6. Konstruktion eines hyperbolischen Dreiecks ABC in spezieller Lage mit vorgegebenen Innenwinkeln α, β und γ = γt .

Beweis. Jedes hyperbolische Dreieck ∆ = ABC mit den Innenwinkeln α, β, γ l¨ aßt sich durch einen Automorphismus von H so transformieren, daß A = i , B = ti mit t > 0 und Re C > 0 gelten. Es gen¨ ugt daher, Dreiecke in dieser speziellen Lage zu betrachten, siehe Figur 11.6.6. Sei a := cot α, r := |a − i| und b := − cot β, s := |b − i| . Das Dreieck ∆ hat genau dann bei i den Innenwinkel α , wenn die Seite AC auf der hyperbolischen Geraden k mit der Gleichung |z − a| = r liegt. Es hat genau dann bei ti den Innenwinkel β , wenn die Seite BC auf der Geraden lt mit der Gleichung |z − tb| = ts liegt. Die Geraden k und lt schneiden sich genau dann in einem Punkte Ct := C ∈ H mit Re C > 0 , wenn 1 < t < u := (a + r)/(b + s) gilt. F¨ ur t = 1 schneiden sie sich in C1 = i , und f¨ ur t = u ber¨ uhren sie sich in Cu = a + r ∈ R . Das hyperbolische Dreieck ∆ hat bei Ct denselben Innenwinkel γt wie das euklidische Dreieck mit den Ecken a, tb und Ct . Der Cosinus-Satz, auf letzteres angewendet, ergibt cos γt = (t2 +2abt+1)/(2 rst) .

11.6 Dreiecksgruppen

233

Daher ist γt eine stetige, streng monoton fallende Funktion von t ∈ (1, u) . Aus C1 = i und Cu ∈ R folgt, daß γt an den Intervallenden die Grenzwerte γ1 = π − α − β und γu = 0 hat. Zu jedem γ ∈ (0, π − α − β) gibt es daher genau ein hyperbolisches Dreieck in spezieller Lage mit den Innenwinkeln α, β, γ . F¨ ur α + β + γ ≥ π gibt es keine Dreiecke in spezieller Lage.
11.6.7 Hyperbolische Dreiecksgruppen. Um jedes Tripel (q1 , q2 , q3 ) mit q1−1 + q2−1 + q3−1 < 1 als Typ einer hyperbolischen Dreiecksgruppe zu realisieren, ben¨ otigen wir folgendes Lemma. Sei A1 A2 A3 ein hyperbolisches Dreieck mit den Innenwinkeln αν . uberliegt. F¨ ur drei hySei σν die Spiegelung an der Seite aν , die Aν gegen¨ aquivalent: perbolische Drehungen ρν um Aν sind folgende Aussagen ¨ (1) ρν hat den Drehwinkel 2αν . (2) F¨ ur jede zyklische Permutation (λ, µ, ν) von (1, 2, 3) gilt ρν = σλ ◦ σµ . (3) ρ1 ◦ ρ2 ◦ ρ3 = id . Beweis. (1) ⇒ (2): Nach Satz 11.6.4 ist σλ ◦ σµ eine hyperbolische (2αν )Drehung um Aν . Da hyperbolische Drehungen durch ihre Drehpunkte und Drehwinkel eindeutig bestimmt sind, folgt (2).– (2) ⇒ (3) wegen (σν )2 = id .– (3) ⇒ (1): Nach Satz 11.6.4 sind s1 := σ3 ρ2 und s2 := ρ1 σ3 Spiegelungen an hyperbolischen Geraden k1 durch A2 bzw. k2 durch A1 . Wegen ρ1 ρ2 s1 s2 = s2 σ3 σ3 s1 s1 s2 = id = ρ1 ρ2 ρ3 ist s1 s2 = ρ3 . Daher schneiden sich k1 und k2 in A3 . Somit liegen die Seiten a1 auf k1 und a2 auf k2 . Es folgt s1 = σ1 , s2 = σ2 und somit (1).
Bemerkung. Das Lemma und sein Beweis lassen sich direkt auf den euklidischen Fall u ¨bertragen. Die Folgerungen (2) ⇒ (1) und (2) ⇒ (3) gelten f¨ ur . beliebige Kreisbogen-Dreiecke in C

Zu drei ganze Zahlen qν ≥ 2 mit q1−1 + q2−1 + q3−1 < 1 gibt es nach 11.6.6 ein hyperbolisches Dreieck ∆ = A1 A2 A3 mit den Innenwinkeln π/qν . Satz. Die hyperbolischen (2π/qν )-Drehungen ρν um Aν erzeugen eine Dreiecksgruppe G vom Typ (q1 , q2 , q3 ) . Beweis. Sei G die von ρ1 , ρ2 , ρ3 erzeugte Untergruppe in Aut(H) . Wegen des Lemmas hat ρν die Ordnung qν , und es gilt ρ1 ◦ ρ2 ◦ ρ3 = id . Nach  , die u ¨ 4.7.4 ist G die Deckgruppe einer normalen Uberlagerung X→C ¨ber drei Punkten mit den Windungszahlen qν verzweigt ist. Die universelle Lifˆ des Typs tung dieser Deckgruppe, siehe 4.8.4(3), ist eine Dreiecksgruppe G (q1 , q2 , q3 ) . Nach 11.6.2 wird sie durch drei (2π/qν )-Drehungen rν ∈ Aut(H) mit paarweise verschiedenen Fixpunkten Bν erzeugt, wobei r1 ◦ r2 ◦ r3 = id gilt. Wegen des Lemmas hat das hyperbolische Dreieck ∆ˆ := B1 B2 B3 dieselben Innenwinkel π/qν wie ∆ = A1 A2 A3 . Nach 11.6.6 gehen ∆ und ∆ˆ durch einen Automorphismus von H auseinander hervor. Daher sind G und ˆ in Aut(H) zueinander konjugiert, und G ist wie G ˆ eine Dreiecksgruppe G vom Typ (q1 , q2 , q3 ) .


234

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

11.6.8 Verzweigungssignaturen. Wir zeigen, daß bis auf die Ausnahmen gem¨aß 3.3.4 jede Signatur eine Verzweigungssignatur ist. Lemma. Sei S eine Signatur auf der zusammenh¨ angenden Fl¨ ache Y . Wenn ¨ es zu jedem b ∈ Y eine Uberlagerung η : X → Y gibt, deren Signatur Sη ein Teiler von S ist und den speziellen Wert Sη (b) = S(b) hat, ist S eine Verzweigungssignatur. ¨ Beweis. Sei ϕ eine Uberlagerung zu S gem¨aß 4.8.2. Da Sϕ ein Teiler von S ist, gen¨ ugt es zu zeigen, daß f¨ ur jede Stelle b der Wert Sϕ (b) ein Vielfaches ¨ von S(b) ist. Die Uberlagerung η wird von ϕ dominiert. Insbesondere ist
Sϕ (b) ein Vielfaches von Sη (b) = S(b) . (1) Wenn die Fl¨ ache Y durch C oder E unverzweigt u ¨berlagert wird, ist jede Signatur S auf Y eine Verzweigungssignatur. Beweis. (1) Wegen des Lemmas gen¨ ugt es zu jedem b ∈ Y und jeder ganzen ¨ Zahl n ≥ 2 eine Uberlagerung η : X → Y anzugeben, welche nur u ¨ber b ur den Fall E l¨ aßt sich verzweigt, wobei Sη (b) = n ist. Der folgende Beweis f¨ ¨ w¨ortlich auf den Fall C u ¨bertragen: Es gibt eine unverzweigte Uberlagerung ζ : (E, 0) → (Y, b) . Dann leistet η : (E, 0) → (Y, b), η(z) = ζ(z n ) , das Gew¨ unschte.
 die einzige Fl¨ache, welche nicht Nach dem Uniformierungssatz 11.3.1 ist C durch C oder E unverzweigt u ¨berlagert wird. Daher m¨ ussen nur noch Sig untersucht werden. Hier gilt zun¨ naturen S auf C achst:  mit drei Tr¨ (∗) Jede Signatur S auf C agerpunkten ist eine Verzweigungssignatur. Denn wenn S l¨ angs des Tr¨agers die Werte q1 , q2 , q3 hat, ist S die Verzweigungssignatur der Orbitprojektion zur Dreiecksgruppe vom Typ (q1 , q2 , q3 ) .  ist genau dann eine Verzweigungssignatur, wenn (2) Eine Signatur auf C sie mindestens drei Tr¨ agerpunkte hat oder in zwei Tr¨ agerpunkte gleiche Werte annimmt. Beweis. Sei B der Tr¨ ager von S . Der Fall ♯B ≤ 2 ist durch 3.3.4 erledigt. Wenn ♯B ≥ 3 ist, kann man zu jedem b ∈ B zwei weitere Punkte a, c ∈ B finden. Die Signatur, welche auf {a, b, c} dieselbe Werte wie S und sonst den Wert 1 hat, ist nach (∗) eine Verzweigungssignatur Sη . Durch η wird die Voraussetzung des Lemmas erf¨ ullt, und S ist daher eine Verzweigungssignatur.
Bemerkung. Jede Verzweigungssignatur auf einer kompakten Fl¨ ache ist sogar die ¨ Verzweigungssignatur einer endlichen normalen Uberlagerung. Dieses von Fenchel vermutete Ergebnis wurde 1951/52 durch Bundgaard/Nielsen [BuNi] und Fox [Fox] bewiesen.

11.7 Dreiecksparkettierungen

235

11.7 Dreiecksparkettierungen Wir ordnen die Schwarz-Weiß-Parkettierungen der Ebene C (2.6.4) und der arische Dreiecke in die GeomeSph¨ are S 2 (4.2.7-8) durch euklidische bzw. sph¨ trie der Kreisverwandschaften ein und konstruieren analoge Parkettierungen zu den hyperbolischen Dreiecksgruppen. 11.7.1 Euklidische und sph¨ arische Parkettierungen. Im sph¨arischen  durch die stereographische Projektion und Fall identifizieren wir S 2 mit C benutzen anschließend die S¨ atze 11.6.4 und 11.6.5. Jedes Teildreieck ∆ = A1 A2 A3 der Parkettierung zur Dreiecksgruppe G vom Typ (q1 , q2 , q3 ) hat die Innenwinkel π/q1 , π/q2 , π/q3 . Sei σν die Spiegelung an der Seite, die der Ecke Aν gegen¨ uber liegt. Durch die zyklischen Vertauschungen (λ, µ, ν) von (1, 2, 3) entstehen die (2π/qν )-Drehungen ρν := σλ ◦ σµ um die Ecken Aν . Sie erzeugen die Dreiecksgruppe G , siehe Satz 2.6.4 f¨ ur den euklidischen und Satz 4.2.3 f¨ ur den sph¨ arischen Fall.  Die von den drei Spiegelungen σν erzeugte Untergruppe G∗ < Aut∗ (C) alt G als Norbzw. G∗ < Aut∗ (C) heißt erweiterte Dreiecksgruppe . Sie enth¨ malteiler von Index zwei. Nach Wahl eines festen Teildreiecks ∆ der Parkettierung entsprechen alle Teildreiecke g(∆) umkehrbar eindeutig den Elementen g ∈ G∗ . Genau dann, wenn g ∈ G ist, haben ∆ und g(∆) dieselbe Farbe. 11.7.2 Hyperbolische Parkettierungen. Sei G eine hyperbolische Dreiecksgruppe vom Typ (q1 , q2 , q3 ) . Der Ausgangspunkt einer G-invarianten Dreiecksparkettierung von H ist ein hyperbolisches Dreieck ∆ wie in Lemma 11.6.7. Analog zum euklidischen und sph¨ arischen Fall wird G von den Drehungen ρν erzeugt und liegt als Normalteiler vom Index 2 in der von den Spiegelungen σν erzeugten erweiterten Dreiecksgruppe G∗ . Satz. Ganz H ist die lokal endliche Vereinigung aller Dreiecke g(∆) f¨ ur angs einer gemeinsamen g ∈ G∗ . Zwei verschiedene Dreiecke treffen sich l¨ Seite oder in einer gemeinsamen Ecke oder gar nicht. Man f¨ arbt jedes Dreieck g(∆) schwarz bzw. weiß, je nachdem ob g ∈ G oder ∈ G ist. Dreiecke mit gemeinsamer Seite haben dann wie die Felder auf dem Schachbrett verschiedene Farben. Beweis. Sei (λ, µ, ν) eine zyklische Permutation von (1,2,3) . Die beiden Spiegelungen σλ und σµ erzeugen die Standgruppe G∗ν < G∗ von Aν in G∗ . Wir benutzen sie, um eine Fl¨ ache X aus Dreiecken k¨ unstlich zusammenzusetzen, so daß die Behauptungen des Satzes f¨ ur X statt H zutreffen: ur t ∈ aν und ν = 1, 2, 3 erzeugen Durch (g ◦ σν , t) ∼ (g, σν (t)) = (g, t) f¨ ¨ ¨ Die Aquivalenzklasse [g, t] von (g, t) wir auf G∗ ×∆ eine Aquivalenzrelation. besteht aus (g, t) allein, wenn t ein innerer Punkt von ∆ ist. Sie besteht aus (g, t) und (g ◦ σν , t) , wenn t ein innerer Punkt der Seite aν ist. Sie besteht aus {(g ◦ α, t) : α ∈ G∗ν } f¨ ur t = A ν .

236

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

¨ Sei X die Menge der Aquivalenzklassen, versehen mit der Quotiententopologie bez¨ uglich p : G∗ × ∆ → X, (g, t) → [g, t] . Dabei tr¨ agt G∗ ∗ die diskrete Topologie. Durch h[g, t] := [hg, t] operiert G auf X . Aus ¨ der Beschreibung der Aquivalenzklassen folgt, daß X aus den Dreiecken ur g ∈ G∗ so zusamp(g × ∆) , ihren Seiten p(g × aν ) und Ecken [g, aAν ] f¨ mengesetzt ist, daß die Behauptungen des Satzes mutatis mutandis zutreffen. Die Abbildung η : X → H , η[g, t] := g(t) , ist stetig und mit der G∗ Operation vertr¨ aglich. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß η ein H¨ omomorphismus ist; denn dann gehen die Eigenschaften der Dreieckszerlegung von X in die Behauptungen des Satzes u ¨ber. Wir zeigen: (1) X h¨ angt wegweise zusammen. (2) η ist lokal topologisch. (3) η ist unbegrenzt. Dann ist η nach 3.2.4(3) ein Hom¨ oomorphismus. Zu (1). Zu jedem s ∈ ∆ und t ∈ aν gibt es einen Weg von [g, s] nach [gσν , t] = [g, σν (t)] . Weil G∗ von {σν } erzeugt wird, folgt durch Induktion u ¨ber die Anzahl der Faktoren σν in g , daß sich jeder Punkt [g, t] mit [id, A1 ] durch einen Weg verbinden l¨ aßt.

al D · An

am Fig. 11.7.2. Die Sternumgebung der Ecke Aν in einer Dreiecksparkettierung.

Zu (2). Der Stern Sν := {g(t) : g ∈ G∗ν , t ∈ ∆ν \ {aν }} ist eine offene Umgebung von Aν in H , siehe Fig. 11.7.2 . Entsprechend ist der Stern Σν := {[g, t] : g ∈ G∗ν , t ∈ ∆ν \ {aν }} eine offene Umgebung von [id, Aν ] in X . Durch η wird Σν hom¨oomorph auf Sν abgebildet. Zu jedem Punkt x ∈ X gibt es ein ν ∈ {1, 2, 3} und ein h ∈ G∗ν mit x ∈ h(Σν ) . Daher ist η lokal topologisch. Zu (3). Jeder Weg u : [0, 1) → X ohne Endpunkt kann stetig nach 1 fortgesetzt werden, sobald dies f¨ ur η ◦ u gilt: Die Kurve K := {η ◦ u(s) : s ∈ [0, 1]} und das Dreieck ∆ sind kompakte Teilmengen von H . Wie G operiert auch G∗ diskontinuierlich auf H . Daher ist M := {g ∈ G∗ : g ∗ (∆) ∩ K} endlich und L := {[g, t] : g ∈ M , t ∈ ∆} kompakt. Wegen u(S) ∈ L f¨ ur 0 ≤ s < 1 l¨ aßt sich u stetig nach 1 fortsetzen.


11.7 Dreiecksparkettierungen

237

Schwarz begann 1872 mit der Untersuchung von Dreiecksparkettierungen; siehe seine Zeichnung einer Parkettierung des Typ (2,4,5) von E in [Sch] 2, S. 240. Der Parkettierungssatz ist ein Spezialfall des Poincar´eschen Satzes u ¨ ber Polygon-Parkettierungen [Po] 2, p. 108-168. In [Mask] wird er mit topologischen Methoden bewiesen, welche wir f¨ ur obigen Beweis u ¨ bernahmen, vgl. auch [DR]. In [Be] und [Mag](viele Bilder) werden Parkettierungen ausf¨ uhrlich behandelt.

11.7.3 Fundamentalbereich und Orbitprojektion. Die Orbitprojektion  der Dreiecksgruppe G < Aut(Z) wird so gew¨ahlt, daß {0, 1, ∞} η:Z→C der Verzweigungort ist.

Satz. (1) Jedes Doppeldreieck Dν := ∆ ∪ σν (∆) ist ein Fundamentalbereich der G-Operation auf Z . (2) F¨ ur jedes g ∈ G∗ \ G ist η ◦ g = η¯ zu η konjugiert komplex.

Beweis. Da ∆ ein Fundamentalbereich der G∗ -Operation ist und G < G∗ den Index zwei hat, folgt (1).– Zu (2). Wegen (1) wird das Innere Dν◦ durch η  abgebildet. Es gilt U1 ∪U2 ∪U3 = biholomorph auf eine offene Menge Uν ⊂ C ×× ◦ −1 C . Sei sν := (η|Dν ) . Die drei antiholomorphen Automorphismen s

σ

ην

ν ν Dν◦ −→ Uν Dν◦ −→ ϕν : Uν −→ stimmen auf den paarweisen Durchschnitten u ¨berein und setzen sich daher zu einem antiholomorphen Automorphismus ϕ von C×× zusammen, der sich  fortsetzen l¨aßt, so daß 0 , 1 und ∞ zu Fixpunkten werden. stetig auf C Nach dem Hebbarkeitssatz ist ϕ ein antiholomorpher Automorphismus von  , und zwar wegen der drei Fixpunkte die komplexe Konjugation. Dann gilt C atssatzes auf ganz achst auf Dν◦ und sodann wegen des Identit¨ η¯ = η ◦ σν zun¨ Z . Weil sich jedes g ∈ G∗ \ G als g = h ◦ σν mit h ∈ G darstellen l¨ aßt, folgt die Behauptung η¯ = η ◦ g .


 die Modul¨ uberlagerng, 11.7.4 Das Kleinsche 14 -Eck. Sei ηn : Xn → C d.h. die Orbitprojektion der Modulgruppe Gn , vgl. 5.7.2. Durch Vorschal¨ ur n ≥ 7 die ten der unverzweigten universellen Uberlagerung ζn entsteht f¨ Orbitprojektion ηn ζn  η : H −→ Xn −→ C

ˆ n < Aut(H) , siehe 4.8.4(3). Diese Gruppe ist eine der universellen Liftung G ˆ n /D(ζn ) setzen sich ♯Gn Dreiecksgruppe vom Typ (2, 3, n) . Wegen Gn ∼ =G ˆ viele Doppeldreiecke der Gn -Parkettierung zu einem Fundamentalbereich des ˆ n zusammen. F¨ ur n = 7 mit ♯G7 = 168 zeigt Figur Normalteilers D(ζn ) ⊳ G 11.7.4 diesen 14-eckigen Fundamentalbereich. Dabei wurde H durch die isomorphe Kreisscheibe E ersetzt, damit eine 7-fache Drehsymmetrie in die Augen f¨ allt. Durch die angegebenen, richtungsumkehrenden paarweisen Identifikationen der 14 Seiten entsteht die Modulfl¨ ache X7 . Dieses 14-Eck wurde von Klein 1878 angegeben, siehe [Klei 1], Bd. 3, S. 126 ff und [Gra], S. 225 ff.

238

11. Riemannscher Abbildungssatz und Uniformisierung

7 6

8

5

9

10

4

11

3

12

2

1

13 14

Fig. 11.7.4. Das Kleinsche 14-Eck ist Teil einer Dreiecksparkettierung des Typs (2,3,7) von E . Durch Identifizieren der Seiten 1 mit 6, 3 mit 8, 5 mit 10, 7 mit 12, 9 mit 14, 11 mit 2, 13 mit 4 entsteht die Modulfl¨ ache X7 .

11.8 Aufgaben 1)

Wie lautet die Normalfunktion f0 zu X = E ? Was besagt in diesem Fall die Lindel¨ ofschen Ungleichung 11.1.1?

2)

Sei X eine zusammenh¨ angende Fl¨ ache. Zeige: (i) Jede holomorphe Abbildung von X in eine hyperbolische Fl¨ ache ist konstant, wenn X nicht-hyperbolisch ist. (ii) Jede injektive holomorphe Abbildung f : C → X ist ein Isomorphismus;  isomorph, und X \ f (C) besteht aus einem Punkt. oder X ist zu C  → X gibt, ist X zur (iii) Wenn es eine surjektive holomorphe Abbildung C Zahlenkugel isomorph (Satz von L¨ uroth, vgl. 7.2.2).

3)

Finde in der Fundamentalgruppe einer Fl¨ ache die Elemente endlicher Ordnung.

11.8 Aufgaben

239

4)

Welche Elemente in der Deckgruppe D(λ) der λ-Funktion sind parabolisch bzw. hyperbolisch?

5)

Zeige: Die einzigen zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen, welche nicht durch Ring-Gebiete unverzweigt u ¨ berlagert werden k¨ onnen, sind die Ausnahmefl¨ achen, welche keine Ring-Gebiete sind.

6)

Zeige, daß jedes Ring-Gebiet zu Ar := {z ∈ C : r −1 < |z| < r} mit r > 1 isomorph ist. Wann sind zwei Ring-Gebiete dieser Gestalt zueinander isomorph? Bestimme Aut(Ar ) und alle nicht-trivialen Standgruppen.

7)


: Wenn mindestens zwei Zeige f¨ ur Untergruppen G < Aut(C) bzw. Aut (C) bzw. drei Punkte auf lokal endlichen Bahnen liegen, ist G diskontinuierlich.

8)

Der Gaußsche Zahlenring Z[i] := {α + βi : α, β ∈ Z} ist ein euklidischer Unterring von C . Zeige: orper K von Z[i] liegt dicht SL2 (Z[i]) < SL2 (C) ist diskret. Der Quotientenk¨ in C . Wenn b, d ∈ Z[i] teilerfremd sind, gibt es Zahlen a, c ∈ Z[i] , so daß a b
, auf dem SL2 (Z[i]) diskontinu∈ SL2 (Z[i]) ist. Es gibt kein Gebiet in C cd ierlich operiert. Dieses Beispiel wurde 1884 von Picard angegeben.

Im

it · · r

Re °

Re

Fig. 11.8.9 Horozykel bei r ∈ R und bei ∞. Ein Horozykel bei r ∈ R besteht aus r und einer offenen Kreisscheibe in H , welche R bei r ber¨ uhrt. Ein Horozykel bei ∞ besteht aus ∞ und einer offenen Halbebene {z ∈ H : Im z > t} f¨ ur ein t ≥ 0 , siehe Fig. 11.8.9. 9)

Zeige: Folgende Umgebungsbasen bestimmen bestimmen auf H := H∪R∪{∞}
ist: Die eine Topologie, die feiner als die Spurtopologie der Einbettung H ⊂ C Basisumgebungen von z ∈ H sind die offenen Kreisscheiben in H mit dem Zentrum z ; die Basisumgebungen von r ∈ R ∪ {∞} sind die Horozykel bei r .


= H ∪ Q ∪ {∞} , versehen mit der Horo10) Zeige im Anschluß an 5.7.2: (i) Auf H zykel-Topologie von Aufgabe 9, operiert die Modulgruppe Γ . Die Jot-Funktion
→C
stetig fortsetzen. l¨ aßt sich zur Γ -Orbitprojektion H aßt sich λn : H → Xn∗ zur Γn -Orbitpro(ii) F¨ ur jede Kongruenzgruppe Γn l¨
→ Xn stetig fortsetzen. Wie verteilen sich die Punkte von Q ∪ {∞} jektion H auf die Γn -Orbiten?

12. Polyederfl¨ achen

Um Integrale auf einer kompakten Fl¨ ache X zu untersuchen, zerschnitt Riemann X in ein einfach zusammenh¨ angendes ebenes Fl¨achenst¨ uck und gewann durch Integration l¨ angs der Schnitte Periodenrelationen der Differentialformen, die f¨ ur ein tieferes Verst¨ andnis der Abelschen Integrale eine wichtige Rolle spielen. Riemann ging davon aus, daß jede kompakte Fl¨ ache in einer kanonischen Weise zerschnitten werden kann. F¨ ur den genauen Beweis entwickeln wir kombinatorische Methoden der Fl¨ achentopologie. Aus der kanonischen Zerschneidung ergibt sich die topologische Klassifikation aller kompakten, zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen durch ihr Geschlecht g . Es bestimmt die analytische Charakteristik χ = 2 − 2g , und die Homologie H1 (X) ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2g . Das vorliegende Kapitel enth¨ alt alle notwendigen Begriffe und Ergebnisse aus der kombinatorischen Topologie im Normaldruck. Im Kleindruck abgesetzt sind die teilweise umfangreichen Beweise dieser Ergebnisse und einige historische Bemerkungen.

12.1 Fl¨ achenkomplexe Die Zerschneidung Riemannscher Fl¨ achen in Polygone wird durch das umgekehrte Verfahren vorbereitet: Unter einen Fl¨ achenkomplex verstehen wir eine Menge von Polygonen zusammen mit einer Anleitung, wie man sie zu einer Fl¨ ache zusammenf¨ ugt. 12.1.1 Topologische Polygone. Wenn der Rand ∂E der abgeschlossenen Kreisscheibe E durch n ≥ 2 Punkte in n B¨ogen unterteilt wird, spricht man von einem topologischen n-Eck. Die Teilungspunkte heißen Ecken, und die B¨ogen heißen Seiten. Man durchl¨ auft ∂E gegen den Uhrzeigersinn und legt dadurch eine Reihenfolge der Seiten bis auf zyklische Vertauschung fest. Außerdem bekommt jede Seite a dabei eine Richtung und je eine Ecke als Anfangs- bzw. Endpunkt zugeteilt. Wenn man die Eckenzahl nicht betonen will, sagt man topologisches Polygon statt n-Eck. Hom¨oomorphe Bilder topologischer Polygone heißen ebenfalls topologische Polygone. Man schreibt

12.1 Fl¨ achenkomplexe

a2

¬ ·

·

¬

¬

A

a1

a3 ¬ ·

241

a4

·

Fig. 12.1.1. Ein topologisches Viereck A mit dem Rand ∂A = a1 a2 a3 a4 .

∂A = a1 a2 . . . an , um auszudr¨ ucken, daß im Rande des topologischen n-Ecks A die Seiten a1 , a2 , . . . , an zyklisch aufeinander folgen, siehe Figur 12.1.1. 12.1.2 Fl¨ achenkomplexe. Wir bilden zu jeder Menge M die Menge der orientierten Objekte M × µ2 mit der Involution (a, ε) → (a, −ε) =: (a, ε)− f¨ ur a ∈ M und ε = ±1 . Wir schreiben a± := (a, ±1) und identifizieren a ∈ M mit a+ ∈ M × µ2 . Ein Fl¨ achenkomplex K = (K0 , K1 , K2 , ∂, st) besteht aus drei endlichen Mengen Kj und zwei Operatoren ∂ (Rand ) und st (Stern). Die Elemente von K0 , K1 bzw. K2 heißen Ecken, Kanten, bzw. Polygone. Die orientierten Kanten, d.h. die Elemente von K × µ2 , heißen Seiten. Der Randoperator ∂ ordnet jedem Polygon A eine zyklische, d.h. eine endliche, bis auf zyklische Vertauschung eindeutig bestimmte Folge ∂A = a1 . . . an von Seiten zu. Analog ordnet der Sternoperator st jeder Ecke α eine zyklische Folge st α = (b1 , . . . , bm ) von Seiten zu. Dabei gelten die Axiome : (1) Jeder Rand besteht aus mindestens zwei Seiten. (2) Jeder Stern besteht aus mindestens einer Seite. (3) Jede Seite kommt genau einmal in einem Rand vor. (4) Jede Seite kommt genau einmal in einem Stern vor. (5) F¨ ur jedes Seitenpaar (a, b) gilt: ∃ α ∈ K0 mit st α = (a, b, . . .) ⇔ ∃ A ∈ K2 mit ∂A = b− a . . . . Das Polygon A wird n-Eck genannt, wenn sein Rand ∂A aus n Seiten besteht. Wenn die Seite a im Stern der Ecke α vorkommt, heißt α Anfangspunkt von a . Die Anzahl der Seiten in st α heißt Ordnung o(α) von α . Wir nennen e(K) := ♯K0 − ♯K1 + ♯K2 die Euler-Poincar´esche Charakteristik von K . Satz. Jeder Fl¨ achenkomplex ist durch sein Datum (K1 , K2 , ∂) eindeutig bestimmt. Letzteres kann unter Beachtung der Axiome (1) und (3) beliebig vorgegeben werden. Beweis. Man definiert durch (5), wann eine zyklische Folge von Seiten Stern genannt wird. Dann gelten (2) und (4). Man definiert sodann K0 als Menge der Sterne.


242

12. Polyederfl¨ achen

ba

c c

aA

c-

B

b a

ba-

c-

b Fig. 12.1.2. Ein Fl¨ achenkomplex mit 1 Ecke, 3 Kanten und 2 Polygonen. Das rechte Bild zeigt den Stern der einzigen Ecke.

Beispiel, siehe Figur 12.1.2: K0 = {α} , K1 = {a, b, c} , K2 = {A, B} mit ∂A = a− bc , ∂B = ab− c− ; st α = (b, a, c, b− , a− , c− ) . Beide Polygone sind Dreiecke. Die einzige Ecke hat die Ordnung 6 . Der Komplex hat die Charakteristik e = 1 − 3 + 2 = 0 . 12.1.3 Realisierung. Der Fl¨ achenkomplex K ist eine kombinatorische Vorschrift, um topologische Polygone zu einer Polyederfl¨ ache zusammenzusetzen. Dazu w¨ahlen wir zu jedem n-Eck A ∈ K2 ein topologisches n-Eck A∗ . Gem¨aß dem Rand ∂A = a1 . . . an ordnen wir jeder Seite aj unter Wahrung der Reihenfolge eine Seite a∗j von A∗ zu. Zu jeder Kante a ∈ K1 w¨ahlen wir als Kantenheftung einen Hom¨oomorphismus ha : a∗ := (a+ )∗ → (a− )∗ , der die Richtung umkehrt. Wir bilden sodann die disjunkte Vereinigung K ∗ = ⊎A∗ u ¨ber alle A ∈ K2 und identifizieren f¨ ur jede Kante a den Punkt x ∈ a∗ mit − ∗ ha (x) ∈ (a ) . Der Identifikationsraum wird mit |K| und die Projektion mit ρ : K ∗ → |K|, ρ(t) = |t, A| f¨ ur t ∈ A∗ und A ∈ K2 , bezeichnet. Wir nennen |K| eine Polyederfl¨ ache und ρ eine Realisierung von K , siehe Figur 12.1.3.

bB c

a

cA b

a-

Fig. 12.1.3. Im Fl¨ achenkomplex der Figur 12.1.2 wird c mit c− identifiziert. (Anschließend werden a mit a− und b mit b− identifiziert, so daß wie in Figur 2.3.1 b ein Torus entsteht.)

Lemma. Die Polyederfl¨ ache |K| ist durch den Komplex K bis auf Hom¨ oomorphie eindeutig bestimmt. Beweis. Seien (K ∗ , ρ) und (K ⋆ , σ) zwei Realisierungen mit den Kantenheftungen ha bzw. ka . F¨ ur jede Kante a wird ein richtungstreuer Hom¨ oomorphismus fa : a∗ → a⋆ gew¨ ahlt. Man definiert fa− = ka fa h−1 : (a− )∗ → (a− )⋆ . Die fa und a fa− setzen sich f¨ ur jedes Polygon A zu einem Hom¨ oomorphismus ∂A∗ → ∂A⋆ der R¨ ander zusammen. Dieser wird zu einem Hom¨oomorphismus fA : A∗ → A⋆ der

12.1 Fl¨ achenkomplexe

243

topologischen Polygone erweitert. Dadurch erh¨ alt man einen Hom¨ oomorphismus aglich ist und folglich f : K ∗ → K ⋆ , welcher mit den Kantenheftungen ha , ka vertr¨ einen Hom¨ oomorphismus der Polyederfl¨ achen induziert.


Nach Wahl einer Realisierung ρ : K ∗ → |K| bezeichnen wir die topologischen Polygone und ihrer Seiten kurz mit A und aj statt A∗ und a∗j . Die Eckenmenge K0 wird mit einer Teilmenge von |K| identifiziert, also K0 ⊂ |K| : Sei a eine Seite von A ∈ K2 mit dem Anfangspunkt α ∈ K0 . Als Seite des topologischen Polygons A beginnt a in einer Ecke Q von A . angt Man identifiziert α ∈ K0 mit ρ(Q) ∈ |K| . Wegen Axiom (5) in 12.1.2 h¨ ρ(Q) nicht von der Wahl der Seite a ab. F¨ ur jede ρ-Faser gibt es drei M¨ oglichkeiten: (1) Sie besteht aus genau einem inneren Punkt eines Polygons A. (2) Sie besteht aus dem inneren Punkt x einer Polygonseite a und dem entsprechenden Punkt ha (x) ∈ a− . (3) Sie besteht aus endlich vielen Polygonecken. Satz. Die Polyederfl¨ ache |K| ist ein kompakter Hausdorffraum.

Beweis. Die Realisierung ρ : K ∗ → |K| ist eine abgeschlossene Abbildung. Denn ∗ f¨ ur jede abgeschlossene  Menge M⊂ K ist ρ−1 ρ(M ) = M ∪ a∈K1 ha (M ∩ a) ∪ E mit E ⊂ K0 .

abgeschlossen in K ∗ , also auch ρ(M ) abgeschlossen in |K| . Nun seien x, y zwei verschiedene Punkte in |K| . Weil ρ endliche Fasern hat und K ∗ hausdorffsch ist, gibt es disjunkte Umgebungen U von ρ−1 (x) und V von ρ−1 (y) . Da ρ abgeschlossen ist, gibt es Umgebungen U ′ von x und V ′ von y mit ρ−1 (U ′ ) ⊂ U und ρ−1 (V ′ ) ⊂ V . Daraus folgt U ′ ∩ V ′ = ∅ . Die Fl¨ ache |K| = ρ(K ∗ ) ist kompakt, weil K ∗ eine endliche Vereinigung kompakter Polygone ist.


12.1.4 Brezelfl¨ achen. Bei Fl¨achenkomplexen mit einem einzigen Polygon A gen¨ ugt es wegen Satz 12.1.2, den Rand ∂A anzugeben. In diesem Sinne sind folgende kanonische Komplexe Tg vom Geschlecht g zu verstehen. T0 : aa− − − − f¨ ur g = 1, 2, . . . . Tg : a1 b1 a− 1 b1 . . . ag bg ag bg Bei T0 gibt es zwei und sonst nur einen Ecke. Die Charakteristik lautet (1) e(Tg ) = 2 − 2g . Um die Polyederfl¨ ache |T0 | konkret anzugeben, nehmen wir als topologisches Polygon A die kompakte Scheibe E , deren Rand durch die beiden Ecken ±1 in zwei Seiten a und a− unterteilt wird. Als Kantenheftung dient die  hom¨oomorph. komplexe Konjugation. Dann ist |T0 | zu C ur g ≥ 1 zu realisieren, nehmen wir als topologisches Polygon A Um Tg f¨ ein regelm¨aßiges 4g-Eck. Als Kantenheftungen dienen Isometrien, siehe Figur 2.3.1 b f¨ ur g = 1 (Torus) und Figur 12.1.4 f¨ ur g = 2 . Die Polyederfl¨ ache |Tg | heißt Brezelfl¨ ache vom Geschlecht g .

244

12. Polyederfl¨ achen

Fig. 12.1.4. Herstellung der Brezelfl¨ ache vom Geschlecht 2 aus einem Achteck mit numerierten Seiten. Zu verheftende Seiten sind durch gebogene Doppelpfeile verbunden. Um die Notation des Textes auf die Figur zu u ¨ bertragen, muß man die Seitennummern 1, 2, . . . , 8 durch a1 , b1 , . . . , b− ur 2 ersetzen. (Entsprechendes gilt f¨ Figur 2.3.1 b.)

Ein Fl¨ achenkomplex K heißt zusammenh¨ angend, wenn die Polyederfl¨ ache |K| zusammenh¨angt. Das ist genau dann der Fall, wenn sich K nicht als disjunkte Vereinigung von zwei nicht-leeren Fl¨ achenkomplexen darstellen l¨ aßt. 12.1.5 Klassifikationstheorem. Zu jedem zusammenh¨ angenden Fl¨ achenkomplex K gibt es einen kanonischen Fl¨ achenkomplex Tg mit gleicher Chaoomorph sind. rakteristik wie K , so daß |K| und |Tg | hom¨

Der Beweis folgt im n¨achsten Paragraphen. Wegen e(K) = e(Tg ) = 2−2g ist das Geschlecht g durch K eindeutig bestimmt. Es nimmt alle ganzen Zahlen ≥ 0 als Werte an. Das Klassifikationstheorem wird durch die Berechnung der anzt. Fundamentalgruppe π(|Tg |) und Homologie H1 (|Tg |) in 12.3 erg¨

12.2 Kombinatorische Klassifikation

245

12.2 Kombinatorische Klassifikation ¨ Die kombinatorische Aquivalenz von Fl¨ achenkomplexen K wird durch Teilen von Kanten und Polygonen erkl¨ art. Dabei ¨ andert sich die Charakteristik nicht, und die Polyederfl¨ achen |K| bleiben hom¨ oomorph. Jeder zusammenh¨ angende Fl¨ achenkomaquivalent. plex ist zu einem kanonischen Komplex Tg kombinatorisch ¨

®

®

a2

ha

· ®

®

Q· a1

a2a1-

Fig. 12.2.1. Die Teilung der Seite a wird durch die ¨bertragen. Kantenheftung ha auf die Seite a− u

12.2.1 Teilung einer Kante. Eine Kante a ∈ K1 wird dadurch geteilt, daß andern man sie durch zwei Kanten a1 , a2 ersetzt und gleichzeitig in den Polygonr¨ − a durch a1 a2 sowie a− durch a− 2 a1 (Reihenfolge!) ersetzt. Dabei kommt der Anfangspunkt von a2 als neue Ecke hinzu, und die Charakteristik ¨andert sich nicht. In der Realisierung ρ : K ∗ → |K| teilt man die Seite a durch einen inneren ¨bertr¨ agt mit der Kantenheftung ha diese TeiPunkt Q in zwei Seiten a1 , a2 und u lung auf die Seite a− , siehe Figur 12.2.1. Die Seitenheftungen ha1 und ha2 sind die Beschr¨ ankungen von ha . Daher ¨ andert sich die Polyederfl¨ ache |K| nicht.


·

d

d -¯

A2 a5

· ·

a3

·

·

· ·

a3

A1

¯

·

a4

a2

a4 ·

·

a5

a2

·

a1

·

a1

Fig. 12.2.2. Teilung eines Polygons durch eine neue Kante d .

12.2.2 Teilung eines Polygons. Ein n-Eck A mit dem Rand ∂A = a1 . . . an wird durch eine neue Kante d geteilt, indem man A durch zwei neue Polygone A1 , A2 mit den R¨ andern ∂A1 = a1 . . . ar d , ∂A2 = d− ar+1 . . . an ersetzt. Die Charakteristik ¨ andert sich nicht. In der Realisierung ρ : K ∗ → |K| k¨ onnen wir annehmen, daß A eine Kreisscheibe mit den Seiten a1 , . . . , an und den Ecken Q0 , . . . , Qn−1 ist. Sie wird durch die Sekante d von Q0 nach Qr in zwei topologische Polygone A1 und A2 zerschnitten, siehe Figur 12.2.2. Die Heftungen aller alten Kanten bleiben erhalten. Als neue Heftung kommt hd = id hinzu. Daher a ¨ndert sich die Realisierung |K| nicht.


246

12. Polyederfl¨ achen

¨ 12.2.3 Kombinatorische Aquivalenz. Auf der Menge aller Fl¨ achenkomplexe werden die Relationen K → L und K ⇒ L dadurch definiert, daß L aus K durch Teilung einer Kante bzw. eines Polygons hervorgeht. Die durch → und ¨ ¨ ⇒ erzeugte Aquivalenzrelation heißt kombinatorische Aquivalenz. Kombinatorisch a ¨quivalente Komplexe haben dieselbe Charakteristik und besitzen hom¨oomorphe Polyederfl¨ achen. Das Klassifikationstheorems 12.1.5 folgt aus dem Klassifikationssatz. Jeder zusammenh¨ angende Fl¨ achenkomplex ist zu einem kano¨quivalent. nischen Komplex Tg kombinatorisch a Dieser Satz wird in den Abschnitten 12.2.4-9 bewiesen.

12.2.4 Zusammenhang. Jeder zusammenh¨angende Komplex K ist zu einem Komplex a ¨quivalent, der nur ein Polygon besitzt. Beweis. Wenn K mindestens zwei Polygone besitzt, muß es wegen des Zusammenhangs eine Kante a geben, so daß a+ und a− zu verschiedenen Polygonen A1 und A2 geh¨ oren: ∂A1 = ua , ∂A2 = a− v mit nicht-leeren Seitenfolgen u, v . Man alt einen ersetzt A1 und A2 durch ein Polygon A mit dem Rand ∂A = uv und erh¨ a ¨quivalenten Komplex, weil A1 und A2 durch Teilung des Polygons A entstehen. Man wiederholt dieses Verfahren, bis nur noch ein Polygon vorhanden ist.
12.2.5 K¨ urzung. Im Rande eines Polygons treten die beiden Seiten a− und a genau dann unmittelbar hintereinander auf, wenn der Anfangspunkt von a die Ordnung eins hat. Von dieser Situation handelt das Lemma. Wenn im Rande eines n-Ecks A (n ≥ 4) die Seiten a und a− unmittelbar hintereinander auftreten, kann man a und a− streichen: Man erh¨ alt einen a ¨quivalenten Komplex, der gleich viele Polygone aber eine Kante und eine Ecke weniger besitzt. Beweis. Man hat ∂A = a− uva mit nicht leeren Folgen u, v . Dann gilt: ⇒ ∂A1 = a− ud = uda− , ∂A2 = d− va = ad− v ∂A = a− u va ← ∂A1 = ub , ∂A2 = b− v ⇐ ∂B = uv.


12.2.6 Erniedrigung der Ordnung. Vom Komplex K wird vorausgesetzt: Er enth¨ alt nur ein Polygon A . Es gibt wenigstens zwei Ecken. Die minimale Eckenordnung ist r ≥ 2 .– Dann gibt es einen ¨ aquivalenten Komplex mit gleicher Anzahl von Ecken, Kanten und Polygonen, bei dem die minimale Ordnung ≤ r − 1 ist. Beweis. Es gibt eine Seite c , deren Anfangspunkt α die minimale Ordnung o(α) = r hat und deren Endpunkt (:= Anfangspunkt von c− ) β = α ist. Sei b der Vorg¨ anger von c in ∂A , also ∂A = bcu . Es ist b = c− , da sonst die minimale Ordnung 1 auftr¨ ate. Daher muß b− in der Seitenfolge u vorkommen, u = xb− y . Wir gehen zu einen ¨ aquivalenten Komplex u ¨ ber ∂A = u bc ⇒ ∂A1 = ud = xb− yd = b− ydx , ∂A2 = d− bc = cd− b ⇐ ∂B = cd− ydx . Damit ist die Kante b verschwunden und die neue Kante d aufgetaucht. Die Seitenfolge y hat denselben Anfangs- und Endpunkt γ , welcher zun¨ achst auch An¨ fangspunkt von b ist und nach der Anderung Anfangspunkt von d wird. Erster Fall γ = α : Der Stern st α verliert zwei Seiten b, b− und gewinnt nur eine Seite d . Denn d− beginnt in β . Zweiter Fall γ = α : Der Stern st α verliert eine Seite b und gewinnt nichts, weil d den Anfangspunkt γ und d− den Anfangspunkt β hat. In beiden F¨ allen sinkt r = o(α) um 1 .


12.2 Kombinatorische Klassifikation

247

12.2.7 Reduzierte Komplexe haben nur eine Ecke und ein Polygon. Alle Normalformen Tg außer T0 sind reduziert. Lemma. Jeder zusammenh¨ angende Fl¨ achenkomplex K ist zur Normalform T 0 oder zu einem reduzierten Komplex a ¨quivalent. Beweis. Nach 12.2.4 k¨ onnen wir annehmen, daß K nur ein Polygon besitzt. Wenn K wenigstens zwei Ecken hat, erniedrigen wir mit 12.2.6 die minimale Ordnung, bis sie = 1 ist. Die Eckenzahl bleibt erhalten. Dann ist entweder T0 erreicht, oder man kann k¨ urzen (12.2.5). Dabei nimmt die Eckenzahl um eins ab. Wir wiederholen das Verfahren, bis T0 oder ein Komplex mit nur einer Ecke erreicht ist.


b a-

b

a

bu

a u

Fig. 12.2.8. Henkels.

Herstellung eines

12.2.8 Henkel. Man nennt die Seitenfolge aba− b− in einem Rande ∂A = aba− b− u einen Henkel. Denn die Verheftung von a mit a− und b mit b− macht aus dem Polygon A einen Henkel (= Torus mit einem Loch), wie Figur 12.2.8 zeigt. Lemma. Wenn der Rand eines Polygons die Gestalt ∂A = axbya − zb− w hat, wobei a, b Seiten und x, y, z, w (eventuell leere) Seitenfolgen sind, gibt es einen a ¨quivalenten Komplex, in dem a, b, a− , b− durch neue Seiten c, d, c− , d− und das Polygon A durch ein Polygon C mit dem Rande ∂C = cdc− d− yxwz ersetzt sind. Beweis durch Teilen und Zusammenf¨ ugen von Polygonen: ⇒ ∂A = b− waxb ya− z ∂A1 = b− waxbd = xbdb− wa , ∂A2 = d− ya− z = a− zd− y ⇐ ∂B = xbdb− wzd− y = b− wz d− yxbd ⇒ ⇐ ∂C1 = b− wzc , ∂C2 = c− d− yxbd = dc− d− yxb ∂C = dc− d− yxwzc = cdc− d− yxwz . Die Anzahl der Polygone und Kanten sowie die Charakteristik ¨andern sich bei der Bildung eines Henkels nicht. Daher ist auch die Anzahl der Ecken dieselbe. Insbesondere bleibt ein reduzierter Komplex reduziert.


12.2.9 Ende des Beweises. Jeder reduzierte Komplex ist zu einem kanonischen Komplex Tg a ¨quivalent. Beweis durch Induktion u ¨ber die Anzahl n der Kanten, die nicht in einem Henkel erfaßt sind: Bei n = 0 liegt eine Normalform vor. Schluß von n auf n + 1 : Es sei a eine Kante, die nicht in einem Henkel liegt, also ∂A = aua− v mit nicht leeren Seitenfolgen u und v . Wir zeigen zun¨ achst: (1) Es gibt eine Seite b in u , deren Partner b− in v vorkommt. Beweis durch Widerspruch: Der Endpunkt α von a ist Anfangs- und Endpunkt der urden Seitenfolge u. Wenn u mit jeder Seite b auch ihren Partner b− enthielte, w¨ ort, alle Seiten = a mit dem Endpunkt α zu u geh¨ oren. Weil a− nicht zu u geh¨ h¨ atte a einen Anfangspunkt = α . Aber es gibt nur eine Ecke.

248

12. Polyederfl¨ achen

Wegen (1) lautet der Rand genauer ∂A = axbya− zb− w . Alle vorhandenen Henkel sind in x, y, z oder w enthalten. Nach dem letzten Lemma kann man einen weiteren Henkel bilden, ohne die vorhandenen zu zerst¨oren und ohne die Eckenoder Kantenzahl zu erh¨ ohen. Die Anzahl der nicht in Henkeln erfaßten Kanten vermindert sich, und der Komplex bleibt reduziert.


12.3 Fundamentalgruppe und Homologie F¨ ur jede zusammenh¨ angende Polyederfl¨ ache |K| wird die Fundamentalgruppe und die Homologie berechnet. Wegen des Klassifikationstheorems ur g ≥ 1 zu betrachten. 12.1.5 gen¨ ugt es, die Brezelfl¨achen |Tg | f¨ 12.3.1 R¨ uckkehrschnitte. Das einzige Polygon von Tg ist ein regelm¨aßiges − − − 4g-Eck A , dessen Seiten den Rand ∂A = a1 b1 a− 1 b1 . . . ag bg ag bg bilden. Alle Ecken von A werden durch die Realisierung ρ : A → |Tg | auf die einzige Ecke P ∈ |Tg | abgebildet, die im folgenden als Basispunkt dient. Wir bezeichnen mit aj : [0, 1] → A auch die lineare, richtungstreue Parametrisierung der Seite aj . Entsprechendes gilt f¨ ur bj . Dadurch erhalten wir 2g Schleifen uckkehrschnitte. Ihre ρ ◦ aj und ρ ◦ bj in |Tg | von und nach P . Sie heißen R¨ Homotopieklassen werden mit αj := [ρ ◦ aj ] und βj := [ρ ◦ bj ] ∈ π(|Tg |, P ) bezeichnet. Satz. Die Fundamentalgruppe π(|Tg |, P ) wird durch die 2g Erzeugenden α1 , β1 , . . . , αg , βg mit der einzigen Relation [α1 , β1 ]·. . .·[αg , βg ] = 1 (Produkt asentiert. der Kommutatoren [αj , βj ] := αj βj αj−1 βj−1 ) pr¨ Das bedeutet: Zu jeder Abbildung ϕ : {α1 , β1 , . . . , αg , βg } → G in eine ullt, gibt es Gruppe G , welche [ϕ(α1 ), ϕ(β1 )] · . . . · [ϕ(αg ), ϕ(βg )] = 1 erf¨ genau einen Homomorphismus f : π(|Tg |, P ) → G , welcher ϕ fortsetzt. ¨ Der Beweis des Satzes folgt nach vorbereitenden Uberlegungen (12.3.4-5) in 12.3.6. 12.3.2 Homologie. Die im Satz 12.3.1 angegebene Relation ist trivial erf¨ ullt, wenn man zur Homologie u ¨bergeht, vgl. 7.7: uckSatz. Die Homologie H1 (|Tg |) ist die von den 2g Homologieklassen der R¨ kehrschnitte ρ◦a1 , ρ◦b1 , · · · , ρ◦ag , ρ◦bg frei erzeugte abelsche Gruppe. Daher sind Brezelfl¨ achen verschiedenen Geschlechtes nicht hom¨ oomorph.
Mit dem Klassifikationstheorem 12.1.5 erh¨ alt man die Folgerung. Die Homologie H1 (|K|) der Realisierung eines jeden zusammenh¨ angenden Fl¨ achenkomplexes K vom Geschlecht g ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2g . Zwei zusammenh¨ angende Komplexe haben genau dann hom¨ oomorphe Realisierungen, wenn ihre Geschlechter gleich sind.
Der Spezialfall g = 0 ist der

12.3 Fundamentalgruppe und Homologie

249

Eulersche Polyedersatz. Jeder Fl¨ achenkomplex, dessen Realisierung zur Zahlenkugel hom¨ oomorph ist, hat die Charakteristik 2 .
12.3.3 Historisches. Die kombinatorische Topologie entstand aus der Formel e − k + f = 2 f¨ ur die Anzahlen e der Ecken, k der Kanten und f der Seitenfl¨ achen eines Polyeders, die Euler in einem Brief vom 14.11.1750 an Goldbach mitteilte und sp¨ ater mit einem Beweis“ ver¨ offentlichte, [Eu] 1, Bd. 26, S. 71-108. Bis zur Mitte ” des vorigen Jahrhunderts blieben alle Beweise der Formel unvollst¨andig: Es fehlte eine genaue Definition der Polyeder, und man konnte nicht auf anschaulich plausible Argumente verzichten, deren strenge Begr¨ undung offen blieb. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden (nicht-konvexe) Polyeder entdeckt, bei denen die Eulersche Formel nicht gilt. S. L’Huilier [Ann. math. pures et appl. (Gergonne), vol. 3 (1812-13), S. 169-192] verallgemeinerte sie zu e − k + f = 2 − 2g , wenn die Oberfl¨ ache des Polyeders das Geschlecht g hat. Aber der Besch¨ aftigung mit solchen Kuriosit¨ aten fehlte zun¨ achst die Beziehung zu anderen Gebieten der Mathematik, die damals schon weiter entwickelt waren und ernster genommen wurden. Das ¨ anderte sich, nachdem Riemann in seiner Dissertation und der Abhandlung u ¨ber Abelsche Funktionen gezeigt hatte, welche Bedeutung das Studium der Geschlechter geschlossener Fl¨achen f¨ ur die Kl¨ arung der von Abel und Jacobi hinterlassenen Probleme der Funktionentheorie hat. M¨ obius bewies, daß das Geschlecht die einzige topologische Invariante f¨ ur kompakte Fl¨ achen im dreidimensionalen Raum ist. Er verfaßte die entsprechende Abhandlung [M¨ o] 2, S. 435-471, mit 71 Jahren und reichte sie erfolglos f¨ ur den Grand Prix de Math´ematique der Pariser Akademie ein. In den folgenden Jahrzehnten wurden auch berandete und (f¨ ur die Funktionentheorie uninteressante) nicht-orientierbare Fl¨ achen wie das M¨ obius-Band in die Klassifikation einbezogen. Die von Poincar´ e erfundene Fundamentalgruppe und Homologie kamen als Werkzeuge hinzu. 12.3.4 Deformationsretrakt. Ein topologischer Raum X l¨aßt sich auf den Teilraum A ⊂ X zusammenziehen, wenn es f¨ ur das Intervall I := [0, 1] ⊂ R eine stetige Abbildung D : X × I → X gibt, so daß D(x, 0) = x und D(x, 1) ∈ A f¨ ur alle x ∈ X sowie D(a, t) = a f¨ ur alle a ∈ A und 0 ≤ t ≤ 1 gelten. Man nennt D eine Deformationsretraktion und A einen Deformationsretrakt von X . Beispielsweise l¨aßt sich jede sternf¨ ormige Menge X ⊂ Rn auf ihr Zentrum {c} zusammenziehen, D(x, t) = tc + (1 − t)x . Die Einheitsph¨ are S n−1 ist Deforman tionsretrakt von R \ {0} wegen D(x, t) = (1 − t + t/|x|)x . Lemma. Wenn sich X auf A zusammenziehen l¨ aßt, gilt π(A) = π(X) f¨ ur die Fundamentalgruppen, genauer: Nach Wahl eines Basispunktes a ∈ A induziert die Einbettung j : A ֒→ X einen Isomorphismus j∗ : π(A, a) → π(X, a) . Beweis. Man definiert r : X → A, r(x) = D(x, 1) . Dann ist r ◦ j = id , und es folgt, daß j∗ monomorph ist. Zur Epimorphie: Jede Schleife u in X mit dem Basispunkt a ist zur Schleife r ◦ u in A homotop.


Beispiel. Wie π(C× ) , siehe 3.6.4, ist π(S 1 ) die von γ := [u] mit u(s) := exp(is) f¨ ur 0 ≤ s ≤ 2π erzeugte unendlich zyklische Gruppe.

12.3.5 Die Ein-Punkt-Vereinigung von zwei topologischen R¨aumen (X, a) und (Y, b) mit Basispunkten entsteht dadurch, daß man in der disjunkten Vereini¨ gung X ⊎ Y durch a ∼ b eine Aquivalenzrelation erzeugt und den Quotientenraum ¨ X ∨ Y bildet, dessen Basispunkt die Aquivalenzklasse c = {a, b} ist. Man faßt X und Y als Teilr¨ aume von X ∨ Y auf.

250

12. Polyederfl¨ achen

Lemma. Wenn es Umgebungen U und V gibt, die sich auf a bzw. b zusammenziehen lassen, ist π(X ∨ Y, c) = π(X, a) ∗ π(Y, b) das freie Produkt. Beweis. Die Teilmengen X ′ = X ∨ V und Y ′ = U ∨ Y bilden eine offene ¨ Uberdeckung von X ∨ Y . Der Durchschnitt X ′ ∩ Y ′ = U ∨ V l¨ aßt sich auf c zusammenziehen. Nach dem Satz von Seifert und van Kampen ist π(X ∨ Y ) = π(X ′ ) ∗ π(Y ′ ) , siehe 3.8.3(1). Da X und Y Deformationsretrakte von X ′ bzw.
Y ′ sind, ist π(X) = π(X ′ ) und π(Y ) = π(Y ′ ). Folgerung. Bei der Einpunkt-Vereinigung S1 ∨ . . . ∨ Sn von n Kreislinien wird π(S1 ∨ . . . ∨ Sn ) von den n Elementen γj ∈ π(Sj ) ∼
= Z frei erzeugt.

12.3.6 Berechnung der Fundamentalgruppe. Zum Beweis von Satz 12.3.1 benutzen wir als 4g-Eck A die Scheibe E mit den 4g-ten Einheitswurzeln als Ecken. Sie unterteilen den Rand ∂E in die 4g Seiten a1 , . . . , b− g , siehe Figur 12.3.6. ¨ Die beiden Mengen U = ρ(E) und V = |Tg | \ {ρ(0)} bilden eine offene Uberdeckung von |Tg | . Durch ρ wird E hom¨ oomorph auf U und E× hom¨ oomorph auf U ∩ V abgebildet. Die Homotopieklasse der Schleife u(s) = ρ( 12 eis ), 0 ≤ s ≤ 2π , erzeugt die unendlich zyklische Fundamentalgruppe π(U ∩ V, Q) mit Q := ρ( 21 ) . Nach Seifert / van Kampen (Beispiel in 3.8.1) gilt: (1) Die Einbettung V ֒→ |Tg | induziert einen Epimorphismus π(V, Q) → π(|Tg |, Q) , dessen Kern der von [u] erzeugte Normalteiler ist. Nach 12.3.4 folgt π(ρ(∂E)) = π(V ) wegen der Deformationsretraktion D : V × I → V , D(ρ(z), t) := ρ((1 − t + t/|z|) · z) von V auf ρ(∂E) . Da ρ(∂E) die Einpunkt-Vereinigung von 2g Kreislinien ist, die sich in der einzigen Ecke P treffen, wird π(ρ(∂E), P ) nach der Folgerung in 12.3.5 von α1 , β1 , . . . , αg , βg frei erzeugt.

a 1-

·

b1

-12 e is

·

b1-

·

¬

¬

°

-12 ·

w ¬

·

a1

a2

·1

b-2 ·

·

b2

·

a -2

Fig. 12.3.6. Die Schleife 21 eis (0 ≤ s ≤ 2π) wird l¨ angs w in die Schleife eis verschoben, welche der Reihe nach die 4g Seiten a1 , b1 , − auft (g = 2) . . . . , a− g , bg durchl¨

Sei w der lineare Weg von 21 nach 1 in E , siehe Figur 12.3.6. Bei der Verschiebung des Basispunktes Q l¨ angs ρ ◦ w nach P geht die Homotopieklasse [u] in [v] u ¨ber, auft der Reihe nach wobei v(t) = ρ(eis ) mit 0 ≤ s ≤ 2π gilt. Der Weg eis durchl¨ − alle Seiten a1 , b1 , . . . , a− g , bg des Randes ∂E . Daraus folgt − − − [v] = [ρ ◦ a1 ][ρ ◦ b1 ][ρ ◦ a1 ][ρ ◦ b− 1 ] · . . . · [ρ ◦ ag ][ρ ◦ bg ][ρ ◦ ag ][ρ ◦ bg ] ∈ π(ρ(∂E), P ). Durch die Deformationsretraktion und die Verschiebung des Basispunktes geht (1) in die Aussage (2) u ¨ber, welche mit der Beschreibung von [v] den Satz 12.3.1 ergibt: (2) Durch ρ(∂E) ֒→ |Tg | wird ein Epimorphismus π(ρ(∂E), P ) → π(|Tg |, P ) induziert, dessen Kern der von [v] erzeugte Normalteiler ist.


12.4 Die Zerschneidung Riemannscher Fl¨achen

251

12.4 Die Zerschneidung Riemannscher Fl¨ achen Um die kombinatorische Fl¨ achentopologie zum Studium kompakter Riemannscher Fl¨achen einzusetzen, wird gezeigt, daß sie zu Polyederfl¨ achen hom¨oomorph sind. 12.4.1 Zerschneidung in Polygone. Eine Zerschneidung (K, ρ) der Riemannschen Fl¨ ache X besteht aus einem zusammenh¨angenden Fl¨ achenkomoomorplex K und einer stetigen Abbildung ρ : K ∗ → X , die einen Hom¨ phismus |K| → X induziert. Offenbar ist dann X kompakt und zusammenh¨ angend. Bei einem kanonischen Fl¨ achenkomplex K = Tg ist ∆ := K ∗ ein 4g-Eck. Wir nennen ρ : ∆ → X eine kanonische Zerschneidung. Satz. Jede kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache X l¨ aßt sich in einen Fl¨ achenkomplex K zerschneiden, dessen Euler-Poincar´esche Charakteristik e(K) = χ(X) die analytische Charakteristik von X ist. Dieser Satz wird in 12.4.2-4 bewiesen.– Mit dem Klassifikationstheorem 12.1.5 und der Homologieberechnung in 12.3.2 erhalten wir die Folgerung. Jede kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache X kann kanonisch zerschnitten werden und ist daher zu einer Brezelfl¨ ache |T g | hom¨ oomorph. Das Geschlecht g ist dadurch charakterisiert, daß die Homolour die analytische gie H1 (X) eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2g ist. F¨  isomorph ist, Charakteristik gilt χ(X) = 2 − 2g . Genau dann wenn X zu C gilt g = 0 .
Die letzte Behauptung, welche aus 10.7.4 folgt, und χ = 2−2g wurden schon in 7.1.5 (mit der ad hoc Definition g = 21 (2 − χ) ) und in 7.2.2-6 benutzt.

Wir nennen g =: gtop (X) das topologische Geschlecht der Fl¨ ache X und m¨ ussen es vorerst noch vom analytischen Geschlecht gan (X) := dim E1 (X) unterscheiden, das in 8.2.1 eingef¨ uhrt wurde. Aus Satz 8.2.1 folgt gan ≤ gtop . Der Satz von Riemann-Roch wird gan = gtop ergeben, siehe 13.1.5. ¨ 12.4.2 Verzweigte Uberlagerungen. Sei η : X → Y eine n-bl¨ attrige ver-

¨ zweigte Uberlagerung zwischen kompakten, zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ achen. Angenommen, Y l¨ aßt sich in einen Fl¨ achenkomplex L zerschneiden, so daß alle Verzweigungspunkte Ecken sind. Dann l¨ aßt sich X in einen Fl¨ achenkomplex K zerschneiden. F¨ ur die Euler-Poincar´eschen Charakteristiken gilt in Analogie zur Riemann-Hurwitzsche Formel  (1) e(K) = n·e(L) − x∈X [v(η, x) − 1] . oomorphismus Beweis. Sei σ : L∗ → Y die Zerschneidung. Mit dem induzierten Hom¨ identifizieren wir |L| = Y .– Sei A ∈ L2 . Zu jedem t ∈ Aˇ := A\{Ecken} und jedem x ∈ X mit η(x) = |t, A| geh¨ ort genau eine η-Liftung ϕ von σ|Aˇ mit ϕ(t) = x . Sie l¨ aßt sich nach Lemma 4.6.4 in die Ecken von A stetig fortsetzen. Die Paare (A, ϕ) sind die Polygone des Fl¨achenkomplexes K . Seine Kanten sind die Paare (a, ψ) mit a ∈ L1 und einer η-Liftung ψ von σ|a . Daher ist ♯Kj = n · ♯Lj f¨ ur j = 1, 2 .

252

12. Polyederfl¨ achen

Der Rand ∂(A, ϕ) entsteht aus dem Rand ∂A , indem man dort jede Seite a+ durch (a, ϕ|a)+ und jede Seite b− durch (b, ϕ ◦ hb )− ersetzt. Die Punkte in (A, ϕ) werden als Paare (t, ϕ) mit t ∈ A notiert. Die Kantenheftung h(a,ψ) zu (a, ψ) ∈ K1 wird wie folgt definiert: Es gibt eindeutig bestimmte Polygone A, B ∈ L2 , so daß a+ und a− Seiten von A bzw. B sind. Es gibt eindeutig bestimmte Liftungen ϕ+ von σ|A bzw. ϕ− von σ|B , so daß ϕ+ |a = ψ = ϕ− ◦ ha ist. F¨ ur jedes t ∈ a ist (t, ϕ+ ) ∈ (A, ϕ+ ) sowie ha (t) ∈ a− ⊂ B . Man definiert h(a,ψ) (t, ϕ+ ) = (ha (t), ϕ− ) . Durch diese Kantenheftungen entsteht aus K ∗ = ⊎(A, ϕ) die Polyederfl¨ ache |K| mit der Projektion K ∗ → |K|, (t, ϕ) → |t, ϕ| . Schließlich wird die stetige Abbildung p : K ∗ → X durch p(t, ϕ) = ϕ(t) definiert. Sie ist mit den Kantenheftungen vertr¨ aglich und induziert daher die stetige Abbildung r : |K| → X, |t, ϕ| → ϕ(t) . F¨ ur (A, ϕ) ∈ K2 und t ∈ A ist η ◦ r|t, ϕ| = ur die Eckenmenge. |t, A| . Daher gilt K0 = (η ◦ r)−1 (L0 ) f¨ (2) Die Abbildung r : |K| → X ist surjektiv. Beweis zu (2): Sei x ∈ X und η(x) ∈ L0 , also η(x) = |t, A| f¨ ur ein A ∈ L2 und ein t ∈ Aˇ . Da η u ¨ber Y \ L0 unverzweigt ist, gibt es eine η-Liftung ϕ von σ|A∗ mit ϕ(t) = x . Somit ist r|t, ϕ| = x , also X \ η −1 (L0 ) ⊂ Bild r . Da X die abgeschlossene H¨ ulle von X \ η −1 (L0 ) ist und |K| kompakt ist, folgt X ⊂ Bild r . (3) Wenn y ∈ Y \ L0 ist, gibt es zu jedem x ∈ η −1 (y) h¨ ochstens einen Punkt z ∈ |K| mit r(z) = x . Beweis zu (3): Es gibt ein A ∈ K2 und ein t ∈ Aˇ mit y = |t, A| . Das Paar (t, A) ist durch y eindeutig bestimmt, wenn t innerer Punkt von A∗ ist. Aus r(z) = x folgt η ◦ r(z) = y = |t, A| , also z = |t, ϕ| f¨ ur eine η-Liftung ϕ von σ|A . Diese ist durch x = r(z) = ϕ(t) eindeutig bestimmt. Wenn t kein innerer Punkt eines Polygons ist, gibt es genau eine Kante a ∈ L2 , so daß t innerer Punkt von a ist. Seien A und B die Polygone, welche a+ bzw. a− als Seiten haben. Dann ist y = |t, A| = |ha (t), B| , also z = |t, ϕ| oder = |ha (t), ψ| , wobei die η-Liftungen ϕ und ψ von σ|A bzw. σ|B durch ϕ(t) = ψha (t) = x eindeutig bestimmt sind. Es folgt ϕ|a = ψha , also h(a,ϕ) (t, ϕ) = (ha (t), ψ) und somit |t, ϕ| = |ha (t), ψ| .
Nach (2) und (3) ist die Beschr¨ ankung r ′ : |K| \ (η ◦ r)−1 (L0 ) → X \ η −1 (L0 ) von r bijektiv. Sie ist wie r eigentlich, also ein Hom¨ oomorphismus. Wir zeigen: F¨ ur jedes x ∈ η −1 (L0 ) besteht r −1 (x) aus einem Punkt: Wir w¨ ahlen paarweise disjunkte Umgebungen Vz der Punkte z ∈ r −1 (x) so klein, daß z die einzige Ecke in Vz ist. Weil r abgeschlossen ist, gibt es eine Scheibenumgebung U von x in X , so daß r−1 (U ) ⊂ ⊎Vz . Die Menge U \ {x} ist die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen r ′ (Vz \ {z}) f¨ ur z ∈ r −1 (x) . Da U \ {x} zusammenh¨ angt, gibt es nur ein −1 z ∈ r (x) . −1 Durch  r wird η (L0 ) bijektiv auf K0 ⊂ |K| = X abgebildet. Daher ist ur j = 1, 2 folgt (1).
♯K0 = x∈L0 [v(η, x) − 1] . Zusammen mit ♯Kj = n · ♯Lj f¨

12.4.3 Beweis des Zerschneidungssatzes 12.4.1. Die Fl¨ache X l¨aßt sich
verzweigt durch eine nicht-konstante meromorphe Funktion η der Zahlenkugel C u ¨berlagern. Sei n = gr η . Wir zeigen unten:
so in einen Fl¨ (1) Man kann C achenkomplex L zerschneiden, daß eine vorgegebene
nur aus Ecken besteht. endliche Menge B ⊂ C

Nach dem Eulerschen Polyedersatz in 12.3.2 ist e(L) = 2 . Wenn man B als Verzweigungsort von η w¨ ahlt, ist die Voraussetzung von 12.4.2 erf¨ u llt: Man kann X in einen Fl¨ achenkomplex K zerschneiden, so daß e(K) = 2n − [v(η, x) − 1]
=2 ist. Rechts steht wegen der Riemann-Hurwitzschen Formel 7.2.1(RH) und χ(C) die analytische Charakteristik χ(X) .

12.5 Riemannsche Periodenrelationen

253

Beweis zu (1) durch Induktion u ¨ber ♯B . F¨ ur B = ∅ kann man jede Zerschneidung nehmen. Induktionsschritt: Bei einer Zerschneidung seien mit einer Ausnahme alle Punkte von B Ecken. Wenn der Ausnahmepunkt P innerer Punkt einer Kante a ist, teilt man diese durch P in zwei Kanten a1 , a2 , siehe Figur 12.4.3 a, und macht dadurch P zur Ecke eines neuen Komplexes L′ , der wie in 12.2.1 aus L durch Kantenteilung entsteht. Wenn P innerer Punkt eines Fl¨ achenst¨ ucks ist, teilt man es wie in 12.2.2 durch eine neue Kante d , auf der P liegt, und teilt anschließend diese Kante durch die neue Ecke P , siehe Figur 12.4.3 b.


P a1

·

a2

P d

Fig. 12.4.3 a. Ein innerer Kantenpunkt P wird neue Ecke.

·

Fig.12.4.3 b. Ein innerer Fl¨ achenpunkt P wird neue Ecke.

12.5 Riemannsche Periodenrelationen Sei η : Z → X eine Uniformisierung der Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 . Mit einem topologischen Polygon ∆ ⊂ Z wird X durch η|∆ kanonisch zerschnitten. Durch Integration l¨ angs des Randes ∂∆ entstehen die Periodenrelationen aus [Ri 3], Artikel 19 -21, welche im 14. und 15. Kapitel eine wichtige Rolle spielen. Wir vermeiden Pole des Integranden auf dem Rande ∂∆ durch eine 12.5.1 Allgemeine Lage. Zu jeder kanonischen Zerschneidung ρ : ∆ → X und jeder endliche Menge M ⊂ X gibt es einen zur Identit¨ at homotopen Hom¨ oomorphismus h : X → X , so daß h ◦ ρ(∂∆) ∩ M = ∅ . Die R¨ uckkehrschnitte der Zerschneidungen ρ und h ◦ ρ haben dieselben Homologieklassen. Beweis. Das Komplement X \ ρ(∂∆) liegt offen und dicht in X . Zu jedem c ∈ M gibt es eine topologische Karte zc : (Uc , c) → (E, 0) , so daß die Scheiben Uc paarweise disjunkt sind. Es gibt ein bc ∈ Uc \ ρ(∂∆) mit |zc (bc )| < 31 und einen zur Identit¨ at homotopen Hom¨ oomorphismus hc von E auf sich, ur so daß h (0) = z (b ) und h (t) = t f¨ u r |t| ≥ 21 gilt. Durch h(x) = x f¨ c c c
c −1 oomorphismus h mit der x ∈ Ua und h|Uc = zc ◦ hc ◦ zc wird ein Hom¨ gew¨ unschten Eigenschaft definiert. Die letzte Behauptung folgt, weil ρ und h ◦ ρ homotop sind, siehe 7.7.2(1).
12.5.2 Das kanonische Polygon. Sei ρ : ∆ → X eine kanonische Zerschneidung. Die Ecken und Seiten des topologischen 4g-Ecks ∆ werden so bezeichnet werden, wie es die Figur 12.5.2 f¨ ur g = 2 zeigt. Zu jeder Seite

254

12. Polyederfl¨ achen

P2 a1

P3

·

·

¬

¬b1

¬

¬

b1

· P1

P4 ·

a1

D

¬

b2

¬

¬

P5·

¬

a2

· P = P8 0

b2

· P6

a2

·P 7

Fig. 12.5.2. Ein kanonisches Polygon ∆ mit seinen Ecken und Seiten (g=2).

c ∈ {a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , ag , bg } geh¨ort die richtungsumkehrende Kantenheftung auft, wird ebenfalls mit hc : c → c′ . Der Weg, der die Seite c bzw. c′ durchl¨ c bzw. c′ bezeichnet. Dann ist c′ = (hc ◦ c)− . Alle Ecken haben denselben Bildpunkt Q := ρ(Pj ) ∈ X . Sei η : Z → X eine Uniformisierung. Nach Wahl eines Basispunktes P ∈ η −1 (Q) gibt es genau eine η-Liftung ρ˜ : (∆, P0 ) → (Z, P ) von ρ . Die Fundamentalgruppe π(X, Q) wird nach Satz 12.3.1 durch die Homotopieklassen αj := [ρ ◦ aj ] , βj := [ρ ◦ bj ] erzeugt. Das Kommutatorenprodukt [α1 , β1 ] · . . . · [αg , βg ] = 1 ist die einzige Relation. Wir identifizieren π(X, Q) durch den Poincar´eschen Isomorphismus mit der Deckgruppe D := D(η) .

Satz. Durch ρ˜ wird ∆ hom¨ oomorph auf ρ˜(∆) abgebildet. Dabei ist ρ˜(∆) ein Fundamentalbereich der Deckgruppe D(η) .

Beweis. Die Ecken ρ˜(Pj ) gehen aus P wie folgt hervor: ρ˜(P1 ) = α1 (P ) , ρ˜(P2 ) = α1 β1 (P ) , ρ˜(P3 ) = α1 β1 α1−1 (P ) , ρ˜(P4 ) = [α1 β1 ](P ) , . . . . Da D(η) frei operiert und das Kommutatorenprodukt die einzige Relation ist, sind alle ρ˜(Pj ) paarweise verschieden. Zur Hom¨ oomorphie. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß ρ˜ injektiv ist. Wir f¨ uhren die Annahme, daß zwei verschiedene Punkte x, y ∈ ∆ denselben Bildpunkt ρ˜(x) = ρ˜(y) haben, zum Widerspruch. Da x und y keine Ecken sind, kann ρ(x) = ρ(y) (nach eventueller Vertauschung von x und y ) wegen 12.1.3 nur eintreten, wenn x innerer Punkt einer Seite c und y = hc (x) ist. Dann haben die Wege ρ˜ ◦ c und ρ˜ ◦ hc ◦ c an einer Stelle denselben Wert und sind daher wegen der Eindeutigkeit der Wegeliftung gleich. Aber die Wege c und hc ◦ c haben verschiedene Ecken Pj = Pk als Anfangspunkte. Daher sind die Anfangspunkte ρ˜(Pj ) von ρ˜ ◦ c und ρ˜(P  k ) von  ρ˜ ◦ hc ◦ c verschieden. Zum Fundamentalbereich. Wegen η ρ˜(∆) = ρ(∆) = X wird ρ˜(∆) von jedem D(η)-Orbit getroffen. Wenn f¨ ur zwei verschiedene Punkte x, y ∈ ∆ die Bilder ρ˜(x), ρ˜(y) ∈ ∆ im selben Orbit liegen, ist ρ(x) = ρ(y) , also x, y ∈ ∂∆ und somit ρ˜(x), ρ˜(y) ∈ ∂ ρ˜(∆) .


12.5 Riemannsche Periodenrelationen

255

Wenn man ∆ und ρ˜(∆) mittels ρ˜ identifiziert, geht ρ in die Zerschneidung η|∆ u ¨ber. Wir nennen ∆ ⊂ Z ihr kanonisches Polygon. Unter Ber¨ ucksichtigung der allgemeinen Lage (12.5.1) erh¨ alt man die Folgerung. Zu jeder kanonischen Zerschneidung ρ von X und jeder endlichen Menge M ⊂ X gibt es ein kanonisches Polygon ∆ ⊂ Z , so daß η(∂∆) ∩ M = ∅ ist und die R¨ uckkehrschnitte der Zerschneidungen ρ und η|∆ dieselben Homologieklassen haben.
F¨ ur g ≥ 2 kann man ∆ ⊂ H als konvexes 4g-Eck in im Sinne der hyperbolischen Geometrie w¨ ahlen. Der Beweis ist aufwendig, siehe [FrK] 1, S. 285-315, und [Kee].

12.5.3 Residuenformel. Sei ψ ∈ E(Z) eine Form ohne Pole l¨ angs ∂∆ , so ur alle γ ∈ [D, D] (Kommutator-Untergruppe) gilt. Dann ist daß γ ∗ ψ = ψ f¨  g        ∗ 2πi res(ψ, z) = ψ − (αj−1 )∗ ψ . ψ − βj ψ + j=1

z∈∆

aj

bj

Beweis. Nach dem klassischen Residuensatz gilt      g    2πi z∈∆ res(ψ, z) = ∂∆ ψ = j=1 aj ψ + a′ ψ + bj ψ + b′ ψ . j

j

−

Zu αj , βj ∈ D gibt es konjugierte Elemente αj′ , βj′ mit a′j = βj′ ◦ aj und    − −1 b′j = (αj′ ) ◦ bj . Daher ist a′ ψ = − aj (βj′ )∗ ψ = − aj (βj )∗ ψ und j    −1
ψ = − bj (αj′ )∗ ψ = − bj (αj−1 )∗ ψ . b′ j

12.5.4 Periodenrelation. Sei ω ∈ E1 (X) , sei h ∈ O(Z) eine Stammfunktion von η ∗ ω , sei ϕ ∈ E3 (X) ohne Pole auf η(∂∆) . Dann ist    g       h(z) · res ϕ, η(z) = ω· (1) 2πi ϕ− ω· ϕ . j=1

z∈∆

Insbesondere gilt  g   ω· (2) j=1

η◦aj

η◦bj

ϕ=

g   j=1

η◦bj

η◦aj

ω·



η◦aj

η◦bj

ϕ

η◦bj

η◦aj

f¨ ur ω, ϕ ∈ E1 (X) .

ur jede Schleife c in X mit γ := [c] ∈ π(X) = D ist h ◦ γ − h = Beweis. F¨ ω konstant, = 0 , falls γ ∈ [D, D] . F¨ ur ψ := h · η ∗ ϕ gilt c  insbesondere ∗ ∗
ψ − γ ψ = c ω · η ϕ . Mit der Residuenformel folgt die Behauptung.

256

12. Polyederfl¨ achen

12.6 Aufgaben

Deute Kleins Darstellung der Modulfl¨ ache X7 durch das 14-Eck von Figur 11.7.4 als Zerschneidung in einen Fl¨achenkomplex mit einem Polygon A . Man gebe ∂A an, bestimme die Ecken und berechne die Charakteristik.

Fig. 12.6.3. M¨ obius’ Fl¨ achenzerlegung.

=

2)

=

Die Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 sei in einen Fl¨ achenkomplex K mit einem Polygon zerschnitten. Zeige: ♯K1 ≥ 2g ; ♯K1 = 2g ⇔ ♯K0 = 1 . Identifiziere im letzten Fall K1 mit einer Basis der Homologie H1 (X) .

=

1)

Fig. 12.6.4. Unionen, Binionen und Trinionen.

3)

Welches Geschlecht hat die Fl¨ ache der Figur 12.6.3 ? Die Figur stammt aus M¨ obius’ Abhandlung [M¨ o] 2, S. 435-471, die in 12.3.3 zitiert wurde.

4)

M¨ obius (loc. cit.) zerlegt jede geschlossene Fl¨ ache in Unionen, Binionen und Trinionen, siehe die Figuren 12.6.3 und 12.6.4. Begr¨ unde sein Ergebnis: Die Charakteristik ist die Anzahl der Unionen minus die Anzahl der Trinionen.

5)

Ein Fl¨ achenkomplex K heißt regul¨ ar vom Typ (p, q) , wenn alle Polygone dieselbe Seitenzahl p und alle Ecken dieselbe Ordnung q haben. Zeige: (i) Zu jedem regul¨ aren Komplex K vom Typ (p, q) gibt es einen dualen regul¨ aren Komplex L vom Typ (q, p) , so daß ♯K0 = ♯L2 , ♯K1 = ♯L1 und ♯K2 = ♯L0 , insbesondere e(K) = e(L) ist.
gibt es nur folgende Typen (ii) F¨ ur einen regul¨ aren Komplex K mit |K| ≈ C (p, q) mit p ≤ q : (2, q) f¨ ur q = 2, 3, . . . ; (3, 3) ; (3, 4) ; (3, 5) . Deute diese Komplexe als q-Dieder (2, q) , als Tetraeder (3, 3) , als Oktaeder (3, 4) und als Ikosaeder (3, 5) . Beschreibe die dualen Komplexe als Tetraeder, W¨ urfel bzw. Dodekaeder.

6)

Gewinne aus der Dreiecksparkettierung des Kleinschen 14-Ecks (siehe 11.7.4) aren Fl¨ achenkomplex eine Zerschneidung der Modulfl¨ ache X7 in einen regul¨ vom Typ (3, 7) . Wieviele Ecken, Kanten und Polygone hat er?

12.6 Aufgaben

257

e4
Fig. 12.6.7. Eine lineare Zerschneidung der Zahlenkugel C. 7)


ein zweibl¨ ¨ Sei η : X → C attrige Uberlagerung mit den Verzweigungspunkten e1 , . . . , e4 .
in einen Fl¨ (i) Zerschneide C achenkomplex L mit einem Polygon A gem¨ aß Figur 12.6.7 und gib dazu eine Zerschneidung von X an, wie sie in 12.4.2 benutzt wurde. ¨ Uber der Kante a von L liegen zwei Kanten a1 , a2 von K . Entsprechendes gilt f¨ ur b und c . Bezeichne mit a1 , a2 usw. auch die entsprechenden Wege in X . Zeige: − (ii) Die Produktwege u := a− 2 a1 und v := b1 b2 sind Schleifen, deren Homotopieklassen eine Basis der Fundamentalgruppe π(X) bilden.

8)

Durch das Polynom w 2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e4 ) bzw. w2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e3 )
definiert. Wenn ¨ f¨ ur e4 = ∞ wird eine 2-bl¨ attrige Uberlagerung η :X →C e1 < e2 < e3 reell sind und e4 = ∞ ist, kann man in Figur 12.6.7 l¨ angs der reellen Achse schneiden. Sei ω = dz/w . Zeige f¨ ur u, v wie in Aufgabe 7:  e2   − 1 2 dx ∈ R (x − e1 )(e2 − x)(e3 − x) ω = −2 

u

v

ω = −2i



e1 e3

e2



− 1 2 (x − e1 )(e2 − x)(e3 − x) dx ∈ R · i .

Folgere: Wenn die vier Verzweigungspunke e1 , . . . , e4 auf einem Kreis oder einer Geraden (= Kreis durch ∞ ) liegen, ist X zu einem Torus C/Ω mit rechteckigem Gitter Ω isomorph. 9)

L¨ ose die zu 7) analoge Aufgabe f¨ ur die Zerschneidung gem¨ aß Figur 12.6.9.

10) L¨ ose die zu 7) analoge Aufgabe f¨ ur 6 statt 4 Verzweigungspunkte gem¨ aß Figur 12.6.10. Betrachte die Homologie statt der Fundamentalgruppe. · e3 ·

¯

c

·

¯

a

·

·

· ·

e2

·

e1

·

b

¯

·

Fig. 12.6.9. Eine sternf¨ ormige Zerschneidung der Zahlenkugel.

Fig. 12.6.10. Eine Zerschneidung der Zahlenkugel mit 6 Verzweigungspunkten.

13. Der Satz von Riemann-Roch

In diesem Kapitel wird mit der Formel von Riemann-Roch (RR) ein H¨ ohepunkt der Theorie kompakter Riemannscher Fl¨ achen erreicht. Die Formel wurde in 8.2.1 angek¨ undigt. Spezialf¨ alle wurden beim Studium der Weierstraß -Punkte in 8.6.2-4 bereits benutzt. Aber erst die analytischen Resultate des 10. Kapitels zusammen mit den topologischen des 12. Kapitels erm¨oglichen nunmehr den vollst¨ andigen Beweis. Zahlreiche in fr¨ uheren Kapiteln erzielte Ergebnisse lassen sich mit Hilfe der Riemann-Rochschen Formel verbessern und erg¨ anzen. Mit X wird eine kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ ache vom topologischen Geschlecht g bezeichnet. Wir benutzen die Begriffe und Ergebnisse aus 8.1, insbesondere die jedem Divisor D zugeordneten Vektorr¨ aume L(D) , L1 (D) und l(D) := dim L(D) , i(D) := dim L1 (−D) .

13.1 Beweis des Satzes von Riemann-Roch Im 10.7.3 wurden aus Elementarpotentialen meromorphe Differentialformen mit einer einzigen Polstelle gewonnen. Diese Formen bilden wie in [Wyl 1] den Ausgangspunkt des Beweises. Wir f¨ uhren zun¨ achst Hauptteilsysteme ein, um das Ergebnis aus 10.7.3 auf mehrere Polstellen zu allgemeinern. Es folgt der Beweis des Satzes von Riemann-Roch in zwei Etappen. 13.1.1 Hauptteilsysteme. Wir betrachten meromorphe Differentialformen ω , die in eventuell verschiedenen Umgebungen eines festen Punktes a ∈ X definiert sind, und erkl¨ aren durch ω1 ∼ ω2 ⇔ o(ω1 − ω2 , a) ≥ 0 ¨ ¨ eine Aquivalenzrelation. Die Aquivalenzklassen heißen Hauptteile bei a . Sie bilden in naheliegender Weise einen komplexen Vektorraum. Jeder Hauptteil hat eine wohlbestimmte Polstellen -Vielfachheit und ein wohlbestimmtes Residuum: Sei z : (U, a) → (E, 0) eine Karte. Jede auf U \ {a} holomorphe Form in E(U ) hat die Gestalt ω = f dz mit einer Funktion f ∈ M(U ) , die sich in eine Laurentreihe nach Potenzen von z entwickeln l¨aßt. Der hω (a) von ω bei a ist durch den klassim Hauptteil −j c z dieser Reihe bestimmt. An ihm liest man die schen Hauptteil j j=1 Polstellen-Vielfachheit m (f¨ ur cm = 0) und das Residuum c1 ab.

13.1 Beweis des Satzes von Riemann-Roch

259

Ein Hauptteil-System h auf X ordnet jedem Punkt x ∈ X einen Hauptteil h(x) bei x zu, so daß der Tr¨ ager {x ∈ X : h(x) = 0} lokal endlich ist. Zu h geh¨ ort der positive Divisor (h) , welcher jeder Stelle x ∈ X die PolstellenVielfachheit von h(x) zuordnet. Alle Hauptteilsysteme bilden einen komplexen Vektorraum. Zu jeder Stelle x ∈ X geh¨ ort die lineare Funktion h → res (h, x) := Residuum des Hauptteils h(x) . Systeme h mit res(h, x) = 0 f¨ ur alle x ∈ X heißen residuenfrei.– Durch Beschr¨ankung der PolstellenVielfachheiten erh¨ alt man endlich-dimensionale R¨ aume, genauer: Satz. Sei D ein positiver Divisor. Alle Hauptteilsysteme h mit (h) ≤ D bilden einen Vektorraum S(D) der Dimension grD . Der Untervektorraum
S2 (D) der residuenfreien Systeme hat die Dimension grD − ♯Tr(D) .

Jede Form ω ∈ E(X) bestimmt das Hauptteilsystem hω . Die Zuordnung E(X) → {Hauptteilsysteme} , ω → hω , ist C-linear und hat den Kern E1 (X) . Wir fragen, welche Systeme durch Differentialformen realisiert werden, d.h. im Bilde dieser Zuordnung liegen.

13.1.2 Residuenfreie Systeme. Jedes residuenfreie Hauptteilsysstem wird durch eine Differentialform mit rein imagin¨ aren Perioden realisiert. Beweis. F¨ ur den Spezialfall, daß der Tr¨ ager des Systems nur aus einem Punkt a besteht und das System bez¨ uglich einer Karte z mit z(a) = 0 durch asentiert wird, entspricht die Behauptung dem cz −m dz mit c ∈ C× repr¨ Ergebnis 10.7.3. Dabei ist m ≥ 2 , weil das Residuum = 0 ist.– Da jedes residuenfreie Hauptteilsysstem eine endliche Summe dieser speziellen Systeme ist, folgt der allgemeine Fall.
Bei Verzicht auf rein-imagin¨ are Perioden l¨ aßt sich ein Hauptteilsystem bereits dann durch eine Differentialform realisieren, wenn seine Residuensumme Null ist, siehe 13.6.5. Wir erinnern an die Abbildung Φ : E2 (X) → H 1 (X, C) aus 7.7.4. Aus dem gerade bewiesenen Ergebnis folgt: F¨ ur jeden positiven Divisor D ist die Abbildung L1 (D) ∩ Kern(Re Φ) → S2 (D) , ω → hω , R-linear und surjektiv, insbesondere gilt     (1) dimR L1 (D) ∩ Kern(Re Φ) ≥ dimR S2 (D) = 2 gr D − ♯Tr(D) . Die Beschr¨ankung Φ′ : L1 (D) ∩ Kern(Re Φ) → Re H 1 (X, C) von Φ ist Rlinear. Wegen (1) gilt   dimR Kern(Φ′ ) + dimR Bild(Φ′ ) = dimR L1 (D) ∩ Kern(Re Φ)   ≥ 2 grD − ♯Tr(D) .   1 (X, C) = dimC H 1(X, C) = 2g Mit Bild(Φ′ ) ⊂ Re H 1(X, C) und dimR ReH  folgt dimR Kern(Φ′ ) + 2g ≥ 2 grD − ♯Tr(D) , also   (2) dimC L1 (D) ∩ Kern(Φ) ≥ grD − ♯Tr(D) − g wegen Kern(Φ′ ) = L1 (D) ∩ Kern(Φ) . Damit ist eine Vorstufe der folgenden Ungleichung erreicht.

260

13. Der Satz von Riemann-Roch

13.1.3 Riemannsche Ungleichung. F¨ ur positive Divisoren D gilt (1) l(D) ≥ gr D − g + 1 . Beweis. Wir definieren D ∗ durch D∗ (x) := D(x) + 1 f¨ ur x ∈ Tr(D) und D∗ (x) := 0 sonst. Dann gilt: Tr(D∗ ) = Tr(D) , grD ∗ = grD + ♯Tr(D) , f ∈ L(D) ⇔ df ∈ L1 (D∗ ) . Wenn man M(X) durch den Untervektorraum L(D) ersetzt, geht die exakte Sequenz 7.7.4(1) in die weiterhin exakte Sequenz 0 → C → L(D) → L1 (D∗ ) ∩ Kern(Φ) → 0   u ¨ber. Daher ist 1 − l(D) + dimC L1 (D∗ ) ∩ Kern(Φ) = 0 . Mit der Vorstufe 13.1.2(2), angewendet auf D ∗ statt D , folgt die Behauptung.
Historische Notiz. Riemann untersucht 1857 in [Ri 3], Artikel 5, wieviele Parameter zur Festlegung einer Funktion auf einer Fl¨ache von Geschlecht g frei verf¨ ugbar bleiben, wenn man an m vorgegebenen Stellen einfache Pole zul¨aßt aber ausserhalb dieser Stellen Holomorphie verlangt. Die M¨oglichkeit, daß mehrere einfache Pole zu einem mehrfachen Pol zusammenfallen, wird auch ber¨ ucksichtigt. Er begr¨ undet die Existenz solcher Funktionen mit dem Dirichletschen Prinzip und kommt f¨ ur m ≥ g auf (mindestens) m − g + 1 frei verf¨ ugbare Parameter. Diese Urform der Ungleichung (1) geh¨ ort zu den Grundlagen, auf denen Riemann die Theorie Abelscher Funktionen aufbaut.

13.1.4 Folgerungen. F¨ ur gr D ≥ g + 1 folgt l(D) ≥ 2 , d.h. L(D) enth¨ alt nicht-konstante Funktionen. Wir wenden dies auf einen (g +1)-fachen Punktdivisor an und erhalten: (1) Zu jedem Punkt a ∈ X gibt es eine auf X \ {a} holomorphe, nicht-konstante Funktion, die in a einen h¨ ochstens (g + 1)-fachen Pol hat. Insbesondere l¨ aßt sich X der Zahlenkugel mit ≤ g + 1 Bl¨ attern u ¨berlagern, und jede Fl¨ ache vom Geschlecht Null ist zur Zahlenkugel isomorph.
(2) Jeder Automorphismus γ = id hat h¨ ochstens 2g + 2 Fixpunkte. Beweis. Sei γ(a) = a . Nach (1) gibt es eine auf X \{a} holomorphe Funktion f , die bei a einen k-fachen Pol hat, wobei k ≤ g + 1 ist. Dann hat h := f − f ◦ γ bei a und γ −1 (a) je einen k-fachen Pol und ist sonst holomorph. Daher hat h h¨ ochstens 2k verschiedene Nullstellen. Da die Fixpunkte von γ Nullstellen von h sind, folgt die Behauptung.
Wenn die Fl¨ ache hyperelliptisch ist, hat γ = id h¨ ochstens vier Fixpunkte, siehe 8.3.6(2). (3) Jede Fl¨ ache X vom Geschlecht g = 1 ist zu einem Torus isomorph. Beweis. Wegen 11.5.4 gen¨ ugt zu zeigen: Zu je zwei Punkten P = Q gibt es ein σ ∈ Aut(X) mit σ(P ) = Q . Nach der Riemannschen Ungleichung ist l(P + Q) ≥ 2 . Daher gibt es eine nicht-konstante Funktion f ∈ M(X), die außerhalb von P und Q holomorph ist und in P, Q h¨ ochstens einfache Pole besitzt. Die beiden Pole  ein sind tats¨ achlich vorhanden. Denn bei nur einem Pol w¨ are f : X → C  ¨ Isomorphismus. Somit ist f : X → C eine zweibl¨attrige Uberlagerung mit
f −1 (∞) = {P, Q} , und es gibt eine Deckabbildung σ mit σ(P ) = Q .

13.2 Die kanonische Abbildung

261

13.1.5 Der Satz von Riemann und Roch. Die Riemannsche Ungleichung wurde 1865 von Roch [Ro] zu einer Gleichung verbessert, welche eine interessante und folgenreiche Reziprozit¨ at zwischen Funktionen und Differentialformen darstellt. Wir benutzen Begriffe und Ergebnisse aus 8.1.3. Satz von Riemann-Roch. F¨ ur jeden Divisor D gilt (RR) ch(D) := l(D) − i(D) = gr D − g + 1 . Beweis. Sei K ein kanonischer Divisor. Wir w¨ ahlen einen positiven Divisor P , so daß D+P ≥ 0 und gr(K −D−P ) < 0 , also nach dem Endlichkeitssatz in 8.1.2 L(K − D − P ) = 0 ist und somit ch(D + P ) = l(D + P ) ≥ gr D + gr P − g + 1 nach der Riemannschen Ungleichung gilt. Wir kombinieren mit 8.1.3 (5): (1) ch(D) ≥ gr D − g + 1 . Dieses Ergebnis f¨ ur K − D statt D lautet ch(K − D) ≥ gr K − grD − g + 1 . Wegen 8.1.3 (4) und gr K = −e(X) = 2g − 2 , siehe 12.4.1, folgt (2) −ch(D) = ch(K − D) ≥ −gr D + g − 1 . Aus (1) und (2) ergibt sich (RR).
Wenn man (RR) auf den Nulldivisor anwendet, erh¨ alt man die Erste Folgerung. Topologisches und analytisches Geschlecht sind gleich,
gtop = gan =: g . Die analytische Charakteristik ist χ = 2 − 2g . Damit l¨ aßt sich 13.1.4 (3) (Fl¨ achen vom Geschlecht g = 1 sind Tori) ohne die Folgerung 11.5.4 des Satzes von Poincar´e-Weyl beweisen: Es gibt eine holomorphe Differentialform = 0 . Da ihr Divisor den Grad 0 hat, besitzt sie keine Nullstellen. Nach 7.6.2 ist die Fl¨ ache dann zu einem Torus isomorph. Zweite Folgerung. Jede Fl¨ ache X vom Geschlecht 2 ist hyperelliptisch. Beweis. Wegen der ersten Folgerung gibt es zwei linear unabh¨ angige holomorphe Differentialformen ω1 und ω2 . Ihr Quotient f := ω1 /ω2 ∈ M(X) ist nicht konstant und hat wegen gr(ω2 ) = 2g − 2 = 2 einen Grad ≤ 2 . Da  kein Isomorphismus ist, folgt grf = 2 . f :X→C


13.2 Die kanonische Abbildung Wir gewinnen aus (RR) Ergebnisse u ¨ber holomorphe Differentialformen und die kanonische Abbildung κ : X → Pg−1 (8.3.5).– Wir setzen g ≥ 2 voraus. 13.2.1 Die kanonische Schar K und die Schnittschar S(κ) sind gleich. Genauer gilt: (1) Jeder Punktdivisor P hat den Index i(P ) = g − 1 . (2) Die holomorphen Differentialformen haben keine gemeinsame Nullstelle, d.h. K hat keine Basispunkte. (3) Die Schnittschar S(κ) ist die kanonische Schar K ; insbesondere hat κ den Grad 2g − 2 .

262

13. Der Satz von Riemann-Roch

Beweis. Wegen l(P ) = 1 folgt (1) aus (RR).– Zu (2). Wenn P eine gemeinsame Nullstelle w¨are, m¨ ußte L1 (−P ) = E1 (X) , also i(P ) = g sein.– Zu (3). Mit einer Basis ω1 , . . . , ωg von E1 (X) gilt κ = (ω1 : . . . : ωg ) . F¨ ur jede Karte z : (U, x) → (E, 0) ist ωj |U = κj dz . Wegen (2) haben κ1 , . . . , κg ∈ O(U ) ist eine gute Darstelkeine gemeinsame Nullstelle, d.h. κ|U = (κ1 : . . . : κg )  lung. Jede Hyperebene Θ ⊂ Pg−1 mit der Gleichung aj zj = 0 hat nach   8.4.1(1) die Schnittzahl (Θ)κ (x) =o( aj κj , x) = o( aj ωj , x) . Daher aj ωj . Daraus folgt S(κ) = K und ist (Θ)κ der kanonische Divisor gr κ = gr K = 2g − 2 .
13.2.2 Kanonische Einbettungen. Die kanonische Abbildung κ ist genau dann eine Einbettung, wenn X nicht-hyperelliptisch ist. Insbesondere sind alle Fl¨ achen vom Geschlecht 2 hyperelliptisch. Beweis. Wenn κ nicht injektiv ist, gibt es zwei Punkte P = Q mit κ(P ) = κ(Q) . Dann hat jede holomorphe Differentialform mit einer Nullstelle bei P auch eine Nullstelle bei Q , also L1 (−P ) ⊂ L1 (−P − Q) , und somit i(P ) ≤ i(P + Q) . Mit (RR) und 13.2.1(1) folgt l(P + Q) = i(P + Q) + 3 − g ≥ i(P ) + 3 − g = 2 . Wegen Satz 8.1.1 ist dann X hyperelliptisch. Wenn κ bei P eine kritische Stelle hat, folgt f¨ ur jede holomorphe Differentialform ω aus o(ω, P ) ≥ 1 bereits o(ω, P ) ≥ 2 , also L1 (−P ) ⊂ ¨ L1 (−2P ) . Die vorangehende Uberlegung, diesmal mit Q = P , zeigt wieder, daß X hyperelliptisch ist. F¨ ur hyperelliptischer Fl¨ achen siehe Satz 8.3.5.
13.2.3 Divisoren und Abbildungen vom Grade 2g −2. Hierunter fallen die kanonischen Divisoren und Abbildungen. Welche anderen M¨ oglichkeiten gibt es? (1) F¨ ur jeden Divisor D vom Grad 2g − 2 ist l(D) = g − 1 oder = g . Im zweiten Fall ist D kanonisch. Beweis. Nach der Riemannschen Ungleichung ist l(D) ≥ g −1 . Angenommen l(D) ≥ g . Nach (RR) gilt dann l(K − D) ≥ 1 f¨ ur jeden kanonischen Divisor K . Wegen gr (K − D) = 0 ist K − D ein Hauptdivisor, und somit ist D wie K kanonisch.
 ¨ ur jeden Divisor D (2) Sei η : X → C eine hyperelliptische Uberlagerung. F¨  vom Grade g − 1 ist der geliftete Divisor η ∗D kanonisch. auf C Beweis. Nach 7.2.1 (2) ist gr η ∗D = 2g − 2 und nach 8.1.1 (5)-(6) l(η ∗D) ≥
l(D) = g . Wegen (1) ist η ∗D dann kanonisch. n (3) Sei ϕ : X → P eine nicht-entartete holomorphe Abbildung vom Grade 2g − 2 . Dann ist n ≤ g − 2, oder ϕ ist kanonisch. Beweis. F¨ ur jeden Schnittdivisor D von ϕ gilt n + 1 ≤ l(D) und grD = 2g − 2 . Nach (1) ist l(D) = g − 1 , also n ≤ g − 2 , oder D ist kanonisch. Daher kann n > g − 2 nur eintreten, wenn S(ϕ) = K ist. Aus K = S(κ) , siehe 13.2.1(3), folgt mit Satz 8.4.2, daß ϕ kanonisch ist.


13.3 Darstellungen der Automorphismengruppe

263

13.3 Darstellungen der Automorphismengruppe Wir betrachten drei Darstellungen der Automorphismengruppe Aut(X) einer Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 und zeigen, daß sie treu, d.h. injektiv sind. 13.3.1 Projektive Darstellung. Sei κ : X → Pg−1 eine kanonische Abbildung. Lemma. Zu jedem α ∈ Aut(X) gibt es genau einen Automorphismus α ˆ von ˆ ◦ κ = κ ◦ α gilt. Pg−1 , so daß α Beweis. Da κ ◦ α ebenfalls eine kanonische Abbildung ist, folgt die Existenz von α ˆ wie in 8.3.6.– Zur Eindeutigkeit: Die Fixpunktmenge jedes Automoraume. phismus Φ von Pg−1 ist eine disjunkte Vereinigung projektiver Unterr¨ Da κ(X) zusammenh¨angt und in keinem echten Unterraum liegt, folgt aus Φ ◦ κ = κ , daß Φ = id ist.


ˆ , ist ein HomoDie projektive Darstellung Aut(X) → Aut(Pg−1 ), α → α morphismus. Wenn man κ mit einem Automorphismus Φ von Pg−1 durch Φ ◦ κ ersetzt, geht die Darstellung α → α ˆ in die konjugierte Darstellung ¨ber. α → Φ ◦ α ˆ ◦ Φ−1 u Satz. Bei nicht-hyperelliptischen Fl¨ achen ist die projektive Darstellung injektiv. Bei hyperelliptischen Fl¨ achen besteht ihr Kern aus der hyperelliptischen Involution σ und der Identit¨ at.

Beweis. Aus α ˆ = id folgt κ = κ ◦ α . Bei nicht-hyperelliptischen Fl¨ achen ist κ injektiv (13.2.2), also α = id . Bei hyperelliptischen Fl¨ achen ist κ = ρ ◦ η  gefolgt von der injektiven rationalen ¨ die 2-bl¨ attrige Uberlagerung η: X → C g−1  Raumkurve ρ : C → P , siehe 8.3.6. Aus κ = κ ◦ α folgt dann η = η ◦ α , also α ∈ D(η) = {id, σ} .
13.3.2 Lineare Darstellung. Zu jedem Automorphismus α ∈ Aut(X) geh¨ort der linearen Automorphismus α∗ : E1 (X) → E1 (X) , ω → α∗ ω .   Satz. Die Abbildung Aut(X) → Aut E1 (X) , α → α∗ , ist ein Anti-Monomorphismus. F¨ ur jede hyperelliptische Involution σ gilt σ ∗ = −id . Beweis. Nur die Injektivit¨ at muß gezeigt werden. Sei α∗ = id . Aus 13.3.1(1) folgt κ = κ ◦ α = α ˆ ◦ κ , also α ˆ = id , weil κ nicht entartet ist. Nach Satz 13.3.1 ist dann α = id oder α = σ . Aber σ ∗ = −id , wie man anhand der in uft.
8.2.2 angegebenen Basis von E1 (X) nachpr¨ Beispiel. Sei X die Kleinsche Fl¨ ache im Riemannschen Gebilde (X, η, f ) mit dem Minimalpolynom w 7 − z 2 (z − 1) . Sei ε7 = 1 aber ε = 1 . Die Gebilde (X, η, εf ) und (X, 1−1/η , −f 2 /η) haben dasselbe Minimalpolynom w7 − z 2 (z − 1) . Nach der universellen Eigenschaft 6.2.6 gibt es holomorphe Abbildungen α, β : X → X mit η ◦α = η und f ◦α = εf bzw. η ◦β = 1−1/η und f ◦β = −f 2 /η . Aus η ◦α = η bzw. η ◦β = 1−1/η folgt α, β ∈ Aut(X) .

264

13. Der Satz von Riemann-Roch

Die Elemente f −6 η dη , f −5 η dη , f −3 η dη der Basis von E1 (X) , siehe 8.2.3, werden durch α∗ mit ε , ε2 bzw. ε4 multipliziert und durch β ∗ zyklisch vertauscht.– Weitere Ergebnisse zur linearen Darstellung der Modulgruppe G7 = Aut(X) findet man in [Klei 1], Bd. 3, S. 91-108. 13.3.3 Homologische Darstellung. Nach 7.5.2 bestimmt jeder Automorphismus α der Fl¨ ache X einen Automorphismus α∗ : H1 (X) → H1 (X) ihrer Homologie.   Satz. Die homologische Darstellung Aut(X) → Aut H1 (X) , α → α∗ , ist f¨ ur Fl¨ achen vom Geschlecht g ≥ 2 ein Monomorphismus. Insbesondere sind verschiedene Automorphismen nicht zueinander homotop. ur jedes Beweis. Nur die Injektivit¨ at muß gezeigt werden. Aus α∗ = id folgt f¨ u ∈ H1 (X) und jedes ω ∈ E1 (X) , daß u, ω = α∗ (u), ω = u, α∗ ω ist, ur siehe 7.7.3 und 7.4.2(2). Da Φ nach Satz 7.7.4 injektiv ist, gilt ω = α ∗ ω f¨
alle ω ∈ E1 (X) , also α = id wegen Satz 13.3.2.

13.4 Der Satz von Clifford Die Absch¨atzung l(D) ≤ 1 + gr D aus 8.1.2 l¨ aßt sich mit (RR) f¨ ur manche Divisoren D um den Faktor 1/2 verbessern. Dieses Ergebnis von Clifford wird in 13.5.3 auf Weierstraß-Punkte angewendet.– Wir betrachten Fl¨ achen vom Geschlecht g ≥ 2 . Mit K wird ein kanonischer Divisor bezeichnet. 13.4.1 Summenformel. F¨ ur je zwei Divisoren D1 , D2 mit l(Dj ) > 0 gilt l(D1 ) + l(D2 ) ≤ 1 + l(D1 + D2 ) . Beweis. Angenommen, l(D1 + D2 ) ≤ l(D1 ) + l(D2 ) − 2 =: k . Nach Satz 8.1.4 gibt es einen Divisor E ≥ 0 vom Grade k , so daß l(D1+D2−E) = 0 ist. Wir zerlegen E = E1 + E2 in zwei positive Divisoren mit grEj = l(Dj ) − 1 . Nach 8.1.2 ist l(Dj − Ej ) ≥ 1 , d.h. es gibt einen zu Dj − Ej linear a¨quivalenten positiven Divisor Cj . Dann ist C1 + C2 positiv und zu D1 + D2 − E linear
¨aquivalent im Widerspruch zu l(D1 + D2 − E) = 0 . 13.4.2 Triviale F¨ alle der Cliffordsche Ungleichung bzw. Gleichung (1) 2 l(D) ≤ 2 + gr D bzw. 2 l(D) = 2 + gr D . Wegen (RR) gelten Ungleichung bzw. Gleichung genau dann f¨ ur einen Divisor D , wenn sie f¨ ur K −D gelten.– F¨ ur gr D ≤ −3 und f¨ ur gr D ≥ 2g+1 gilt die Ungleichung nie.– F¨ ur alle Divisoren vom Grade −2 und vom Grade 2g trifft die Gleichung zu. Die Ungleichung ist auch f¨ ur gr D ∈ {−1, 0, 2g − 2, 2g − 1} erf¨ ullt.– Die Gleichung ist f¨ ur Divisoren ungeraden Grades nie erf¨ ullt. Sie gilt f¨ ur gr D = 0 genau dann, wenn D ein Hauptdivisor und f¨ ur gr D = 2g − 2 genau dann, wenn D ein kanonischer Divisor ist.

13.4 Der Satz von Clifford

265

13.4.3 Die Cliffordsche Ungleichung gilt genau dann f¨ ur den Divisor D , wenn −2 ≤ grD ≤ 2g ist. Beweis. Es gen¨ ugt, Divisoren D mit 1 ≤ gr D ≤ g − 1 zu betrachten. Der Fall l(D) = 0 ist trivial. F¨ ur l(D) > 0 gilt l(K − D) > 0 nach (RR). Nach 13.4.1 ist dann l(D) + l(K − D) ≤ 1 + l(K) = 1 + g . Wenn man hierzu (RR), d.h. l(D) − l(K − D) = gr D − g + 1 addiert, folgt die Behauptung.
13.4.4 Projektive Kurven. Sei ϕ : X → Pn eine nicht-entartete holomorphe Abbildung vom Grade d < 2n . Dann hat X ein Geschlecht g ≤ d − n . F¨ ur g = d − n ist ϕ eine Einbettung mit vollst¨ andiger Schnittschar. Beweis. Sei D ein Schnittdivisor von ϕ . Die Schnittschar gdn ist in |D| enthalten, also gilt n ≤ l(D) − 1 . Der Fall d ≤ 2g ist unm¨ oglich. Denn dann w¨ urde die Cliffordsche Ungleichung n + 1 ≤ l(D) ≤ 1 + d/2 ergeben, was der Voraussetzung d < 2n widerspricht. Somit ist d > 2g , also i(D) = 0 und daher n + 1 ≤ l(D) = d − g + 1 nach (RR). Der Fall g = d − n tritt genau andig ist. Nach Satz 8.5.1 dann ein, wenn n = l(D) − 1 , also gdn = |D| vollst¨ ist ϕ eine Einbettung, wenn l(D − B) = l(D) − 2 f¨ ur jeden positiven Divisor B vom Grade zwei gilt. Das ist hier erf¨ ullt. Denn gr(D −B) = d−2 > 2g −2 , also nach (RR) l(D − B) = d − 2 − g + 1 = l(D) − 2 .
13.4.5 Die strikte Ungleichung 2l(D) < 2 + grD gilt f¨ ur alle Divisoren D mit 1 ≤ gr D ≤ 2g − 3 auf nicht-hyperelliptischen Fl¨ achen. Beweis. Wenn ein Divisor D vom Grade 2 die Gleichung 2l(D) = 2 + grD erf¨ ullt, ist l(D) = 2 , und die Fl¨ ache ist nach Satz 8.1.1 hyperelliptisch. Wir ¨ber gr D darauf zur¨ uck. f¨ uhren den Fall 4 ≤ gr D ≤ g − 1 durch Induktion u F¨ ur den Induktionschritt gen¨ ugt es zu zeigen: Wenn D die Gleichung (1) ullt. erf¨ ullt, gibt es auch einen Divisor D0 mit 2 ≤ gr D0 < gr D , der (1) erf¨ Wegen (1) und (RR) ist l(K − D) > 0. Es gibt also einen zu K − D linear ¨aquvalenten positiven Divisor D2 . Wir zeigen unten: (∗) Es gibt einen zu D linear a ¨quivalenten positiven Divisor D1 , so daß D0 := min {D1 , D2 } = 0 und = D1 ist. Dann ist gr D0 < gr D . Der Beweis von 2l(D0 ) = 2 + gr D0 beruht auf folgender exakter Sequenz: 0 → L(D0 ) → L(D1 ) ⊕ L(D2 ) → L(D1 + D2 − D0 ) . Dabei ist f0 → (f0 , f0 ) der erste und (f1 , f2 ) → f1 − f2 der zweite Homomorphismus. Es folgt l(D) + l(K − D) ≤ l(D0 ) + l(K − D0 ) , also wegen (RR) 2l(D) − gr D ≤ 2l(D0 ) − gr D0 . Mit der Cliffordschen Gleichung f¨ ur D und der Ungleichung f¨ ur D0 ergibt sich 2 ≤ 2l(D0 ) − gr D0 ≤ 2 . Beweis zu (∗). Da D2 = 0 ist, gibt es einen Punkt P ∈ Tr(D2 ) . Wir w¨ ahlen alt L(D) den Untervektoraußerdem Q ∈ X \Tr (D2 ) . Wegen l(D) ≥ 3 enth¨ raum L(D − P − Q) = 0. Wir w¨ ahlen daraus ein f = 0 . F¨ ur D1 := D + (f ) gilt (∗) : Wegen D1 (P ) > 0 und D2 (P ) > 0 ist D0 (P ) > 0 also D0 = 0 .
Wegen D1 (Q) > 0 und D2 (Q) = 0 ist D0 (Q) = 0 , also D0 = D1 .

266

13. Der Satz von Riemann-Roch

 eine hyperelliptische 13.4.6 Die Cliffordsche Gleichung. Sei η : X → C ¨ Uberlagerung. F¨ ur einen Divisor D auf X vom Grade 2e mit 0 ≤ e ≤ g − 1 gilt 2l(D) = 2 + grD genau dann, wenn D zur Liftung η ∗E eines Divisors  linear a E auf C ¨quivalent ist.  vom Grade e . Nach 7.2.1(2) ist gr η ∗E = 2e Beweis. Sei E ein Divisor auf C ∗ und nach 8.1.1 (5)-(6) l(η E) ≥ l(E) = 1 + grE , also 2l(η ∗E) ≥ 2 + gr η ∗E .–  vom Grade g − 1 − e Umgekehrt sei gr D = 2e . Mit einen Divisor E1 auf C ∗ ∗ gilt gr (D +η E1 ) = 2g −2 und l(D +η E1 ) ≥ l(D)+l(η ∗E1 )−1 nach 13.4.1, , also l(D + η ∗E1 ) ≥ g . Wegen 13.2.3 (1)-(2) gibt es einen Divisor E2 auf C ∗ ∗ ∗ so daß D + η E1 zu η E2 , also D zu η (E2 − E1 ) linear a¨quivalent ist.
13.4.7 Historisches. Ausblick. Die Quelle der Cliffordschen Ergebnisse ist der

Aufsatz On the classification of loci“ von 1878 in [Cli], no. XXXIII.– Ausgehend ” von der Abbildung |D| × |K − D | → |K| , (D1 , D2 ) → D1 + D2 , lassen sich die Resultate auch mit Methoden der algebraischen Geometrie beweisen; siehe [Nam 1], [Nar] und [ACGH].

13.5 Weierstraß -Punkte Wir hatten in Paragraph 8.6 begonnen, unter Vorwegnahme von Konsequenzen der Riemann -Rochschen Formel Ergebnisse u ¨ber die Weierstraß -Punkte nicht -hyperelliptischer Fl¨ achen zu gewinnen. Diese nunmehr vollst¨ andig bewiesenen Ergebnisse werden im folgenden erg¨ anzt. Der Ausgangspunkt ist eine auf (RR) beruhende 13.5.1 Charakterisierung der L¨ ucken. Folgende Aussagen u ¨ber eine Punkt P ∈ X und eine nat¨ urliche Zahl k ≥ 1 sind ¨ aquivalent: (a) k ist eine L¨ ucke der kanonischen Abbildung bei P . (b) Es gibt keine auf X \{P } holomorphe Funktion mit einem k-fachen Pol bei P . (c) Es gibt eine holomorphe Differentialform ω mit einer (k − 1)-fachen Nullstelle bei   P. (d) l (k − 1)P = l(kP ).  (e) i(kP ) + 1 = i (k − 1)P . ¨ Beweis. Die Aquivalenzen (b) ⇔ (d) und (c) ⇔ (e) folgen aus den Defini¨ tionen von l bzw. i . Die Aquivalenz (d) ⇔ (e) folgt aus (RR); (a) ⇔ (c) folgt aus S(κ) = K , siehe 13.2.1(3).
Die Aussage (b) motiviert die von Weierstraß vorgeschlagene Bezeichnung L¨ ucke.

13.5.2 Folgerungen. (i) P ist genau dann ein Weierstraß-Punkt, wenn l(gP ) ≥ 2 ist. (ii) Jede Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 l¨ aßt sich der Zahlenkugel mit h¨ ochstens g Bl¨ attern u ¨berlagern.

13.5 Weierstraß -Punkte

267

(iii) Wenn k1 und k2 keine L¨ ucken bei P sind, ist k1 + k2 auch keine L¨ ucke bei P . Beweis. (i) P ist genau dann ein Weierstraß-Punkt, wenn eine der Zahlen 2, . . . , g keine L¨ ucke bei P ist, d.h. wenn in der Folge 1 = l(0) ≤ l(P ) ≤ l(2P ) ≤ . . . ≤ l(gP ) mindestens eine echte Ungleichung auftritt. (ii) Nach 8.6.1 gibt es einen Weierstraß-Punkt P . Wegen (i) existiert eine nicht konstante Funktion f ∈ L(gP ) . F¨ ur sie gilt gr f ≤ g . (iii) Es gibt zwei Funktionen fj , die bei P einen kj -fachen Pol haben und sonst holomorph sind. Dann hat f1 · f2 bei P einen (k1 + k2 )-fachen Pol und ist sonst holomorph. Folglich ist k1 + k2 keine L¨ ucke.
13.5.3 Absch¨ atzung der Gewichte. Bei nicht-hyperelliptischen Fl¨ achen von Geschlecht g hat jeder Punkt P ein Gewicht τ (P ) ≤ 1+ 12 (g −1)(g −2) .

uckenfolge bei P . Aus 13.5.1(d) Beweis. Sei 1 = k1 < . . . kg ≤ 2g − 1 die L¨ folgt l (k − 1)P = l(k P ) = k − j + 1 .Nach Clifford, siehe 13.4.5, gilt j j j   l (kj − 1)P < 1 + 21 (kj − 1) f¨ ur 1 ≤ kj − 1 ≤ 2g − 3 , also kj < 2j − 1 , falls 2 ≤ kj ≤ 2g − 2 . Somit ist k1 = 1, k2 = 2,  kj ≤ 2j − 2 f¨ ur j = 3, . . . , g − 1 und kg ≤ 2g − 1 . Daraus folgt f¨ ur τ (P ) := (kj − j) die Behauptung.
    Bemerkungen. (1) Aus kg = 2g − 1 folgt l (2g − 2)P = l (2g − 1)P = g . Nach 13.2.3(1) ist dann (2g − 2)P ein kanonischer Divisor. Wenn man diesen Fall ausschließt, gilt τ (P ) ≤ 12 (g − 1)(g − 2) . (2) Bei hyperelliptischen Fl¨ achen haben alle Weierstraß-Punkte dasselbe Gewicht 12 g(g − 1) , siehe Satz 8.5.3. Hurwitz benutzt in [Hur] 1, S. 398, zur Absch¨ atzung des Gewichtes statt der Cliffordschen Ungleichung die Halbgruppen-Eigenschaft 13.5.2(iii) der Nicht-L¨ ucken. Seine Ergebnisse sind schw¨acher. Unser Beweis ist eine verbesserte Version von [GH], S. 275.

13.5.4 Anzahl der Weierstraß-Punkte. F¨ ur die nicht gewichtete Anzahl n der Weierstraß-Punkte einer nicht-hyperelliptischen Fl¨ ache vom Geschlecht g gilt g 3 4 5 6 ≥ 7 n ≥ 12 15 18 20 2g + 7 . Beweis. Da jeder Weierstraß-Punkt ein Gewicht ≤ w := 1 + 12 (g − 1)(g − 2) hat, gilt f¨ ur die in 8.6.3 bestimmte gewichtete Anzahl g 3 − g ≤ n · w , also 8(g − 3) g3 − g = 2g + 6 + . n≥ w g(g − 3) + 4 Da n ganzzahlig ist, folgen die Werte der Tabelle.
Bemerkung. Hyperelliptische Fl¨ achen haben 2g + 2 Weierstraß-Punkte, siehe Satz 8.5.3.

268

13. Der Satz von Riemann-Roch

13.5.5 Fixpunkte. Wenn bei einem Automorphismus γ = id alle Weierstraß-Punkte Fixpunkte sind, ist γ = σ die hyperelliptische Involution. Beweis. Hyperelliptische Fl¨ achen haben 2g + 2 ≥ 6 Weierstraß-Punkte. Nach 8.3.6(2) folgt γ = σ . Im nicht-hyperelliptischen Fall gibt es ≥ 2g + 6 Weierstraß-Punkte. Aber wegen 13.1.4(2) hat γ h¨ ochstens 2g +2 Fixpunkte.
13.5.6 Endlichkeit der Automorphismengruppe. F¨ ur jede kompakte Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 2 ist die Automorphismengruppe Aut(X) endlich. Beweis. Sei W ⊂ X die endliche Menge der Weierstraß-Punkte, und sei S(W ) die Gruppe aller Permutationen von W . Da W unter jedem Automorphismus von X invariant bleibt, ist Φ : Aut X → S (W ) , γ → γ|W , ein Homomorphismus. Nach dem letzten Ergebnis ist Φ f¨ ur nicht-hyperelliptische Fl¨ achen injektiv und hat bei hyperelliptischen Fl¨ achen einen Kern der Ordnung 2 . Da S(W ) endlich ist, gilt dasselbe f¨ ur Aut(X) .
Wegen dieses Beweises nannte Weierstraß die Endlichkeit der Automorphismengruppe eine sozusagen selbstverst¨ andliche Wahrheit“ ; siehe auch 11.5.4 - 5. ”

13.6 Weitere Anwendungen handeln von projektiven Einbettungen kompakter Fl¨ achen, von der Darstellung der Cohomologie durch Differentialformen und von der Realisierung vorgegebener Hauptteile durch Differentialformen bzw. Funktionen. 13.6.1 Projektive Einbettungen. Jede vollst¨ andige Linearschar S vom Grade n ≥ 2g + 1 ist die Schnittschar einer Einbettung X → Pn−g . Beweis. F¨ ur D ∈ S , jeden kanonischen Divisor K und jeden Divisor B vom Grade 2 ist gr(K −D −B) < 0 , also nach (RR) l(D −B) = n−g + 1−grB = l(D) − 2 . Mit Satz 8.5.1 folgt daraus die Behauptung.


Mit Methoden der h¨ oher-dimensionalen, projektiv algebraischen Geometrie lassen sich stets eine Einbettung X ֒→ P3 und eine Abbildung ϕ : X → P2 erreichen, aten als gew¨ ohnliche Doppelpunkte deren Bild ϕ(X) ⊂ P2 keine anderen Singularit¨ hat; siehe [GH], S. 173 und 215, oder [Hart], S. 309 ff.

13.6.2 Allgemeine Divisoren. Nach der Riemannschen Ungleichung gilt l(D) ≥ max {1, n − g + 1} f¨ ur positive Divisoren D vom Grade n > 0 . Wir nennen D einen allgemeinen Divisor, wenn l(D) = max {1, n − g + 1} minimal ist. Aus Satz 8.1.4 mit E = K und (RR) folgt Satz. Im n-fachen symmetrischen Produkt Xn bilden die allgemeinen Divisoren eine offene und dichte Teilmenge.


13.6 Weitere Anwendungen

269

13.6.3 Meromorphe Formen und Cohomologie. In der exakte Sequenz d

Φ

(1) 0 → C → M(X) −→ E2 (X) −→ H 1(X, C) des Satzes 7.7.4 gilt: (2) Bei kompakten Fl¨ achen X ist Φ epimorph. Beweis. Wie beim Beweis der Riemannschen Ungleichung in 13.1.3 bilden wir zu jedem positiven Divisor D den Divisor D ∗ und den (gr D)-dimensionalen komplexen Vektorraum S2 (D∗ ) . Die Abbildung L1 (D∗ ) ∩ E2 (X) → S2 (D∗ ) , die jeder Form ω ihr Hauptteilsystem hω zuordnet, ist nach  13.1.2 epimorph und hat den Kern E1 (X) . Daher ist dim L1 (D∗ ) ∩ E2 (X) = g + gr D . Aus (1) entsteht durch Einschr¨ ankung die exakte Sequenz d

Φ

D H 1(X, C) . 0 → C → L(D) −→ L1 (D∗ ) ∩ E2 (X) −→ ur D einen allgemeinen Daher ist rg ΦD = g + gr D − l(D) + 1 . Wenn man f¨ Divisor vom Grade gr D ≥ g w¨ahlt, ist l(D) = gr D − g + 1 , siehe 13.6.2,
also rg Φ ≥ rg ΦD = 2g = dim H 1(X, C) , d.h. Φ ist epimorph. Man kann diesen Satz und seinen Beweis als Methode interpretieren, um zu E1 (X) , aufgefaßt als Untervektoraum von H 1(X, C) , einen komplement¨ aren Untervektorraum zu finden. Wir k¨ onnen dies auch durch komplexe Konjugation erreichen. Das Verfahren heißt

13.6.4 Hodge-Zerlegung. Jedes Element v ∈ H 1(X, C) der Cohomologie ist ein Gruppenhomomorphismus v : H1 (X) → (C, +) und besitzt daher ein konjugiert komplexes Element v¯ . F¨ ur jeden komplexen Untervektorraum v : v ∈ V } ein komplexer Untervektorraum mit V ⊂ H 1(X, C) ist V¯ := {¯ dim V¯ = dim V . Die Elemente des zu E1 (X) ⊂ H 1(X, C) konjugiert komplexen Untervektorraums E¯1 (X) heißen antiholomorphe Differentialformen. Die Cohomologie ist die direkte Summe (1) H 1 (X, C) = E1 (X) ⊕ E¯1 (X) . Beweis. Wegen dim E¯1 (X) = dim E1 (X) = g und dim H 1(X, C) = 2g gen¨ ugt ur jedes ω ∈ E1 (X)∩ E¯1 (X) ist ω + ω ¯ eine es, E1 (X)∩ E¯1 (X) = 0 zu zeigen: F¨ holomorphe Form mit reellen Perioden, also ω = −¯ ω nach der Folgerung in 10.1.2. Dann hat iω reelle Perioden und ist somit = 0 .
Man nennt (1) die Hodge-Zerlegung, da es sich um den Spezialfall eines Zerlegungstheorems handelt, welches Hodge [Ho] f¨ ur die Cohomologie projektiver Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimensionen bewies. Die G¨ ultigkeit dieser Zerlegung wurde auf kompakte K¨ ahlersche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert und spielt in deren Theorie eine fundamentale Rolle, siehe z.B. [GH], S. 80-127.

13.6.5 Hauptteile von Differentialformen. Der Beweis der RiemannRochschen Formel ging von der Realisierung aller residuenfreien Hauptteilsysteme durch Differentialformen zweiter Gattung aus, siehe 13.1.2. Wie dort schon angek¨ undigt wurde, kann man die Residuenfreiheit abschw¨ achen. Satz. Ein Hauptteilsystem wird genau dann durch eine meromorphe Differentialform realisiert, wenn seine Residuensumme = 0 ist.

270

13. Der Satz von Riemann-Roch

Beweis. Nach 7.3.6 ist Residuensumme = 0“ notwendig. Umgekehrt be” trachten wir zu einem beliebigen positiven Divisor D = 0 den Vektorraum S0 (D) aller Hauptteilsysteme h , die durch (h) ≤ D beschr¨ankt sind und die Residuensumme = 0 haben. Es gen¨ ugt zu zeigen: Die Abbildung h : L1 (D) → S0 (D) , welche jeder Form ω ihr Hauptteilsystem hω zuordnet, ist epimorph. Da Kern h = E1 (X) die Dimension g hat, folgt rg h = i(−D)−g . Nun ist l(−D) = 0 , also nach (RR) i(−D) = gr D + g − 1 und somit
rg h = gr D − 1 = dim S0 (D) . 13.6.6 Hauptteile meromorpher Funktionen. Analog zu den Hauptteilsystemen meromorpher Differentialformen, siehe 13.1.1, werden die Hauptteilsysteme µ meromorpher Funktionen definiert. Auch hier geh¨ ort zu µ ein positiver Divisor (µ) . Aber Residuen machen keinen Sinn. Jede Funktion f ∈ M(X) bestimmt ein Hauptteilsystem µf . Die Zuordnung M(X) → {Hauptteilsysteme µ} , f → µf , ist C-linear. Ihr Kern ist C . Um Bedingungen zu formulieren, unter denen ein System µ durch eine Funktion f realisiert wird, definieren wir zu jeder Form ω ∈ E1 (X) folgendes Hauptteilsystem meromorpher Differentialformen µω : Sei f eine bei a ∈ X definierte meromorphe Funktion mit dem Hauptteil µ(a) . Dann bestimmt die bei a definierte Form f ω den Hauptteil µω(a) . Satz. Ein Hauptteilsystem µ meromorpher Funktionen auf der Fl¨ ache X wird genau dann durch eine Funktion f ∈ M(X) realisiert, wenn f¨ ur jedes ω ∈ E1 (X) das System µω die Residuensumme Null hat. Beweis. Wir bezeichnen die Residuensumme mit Res(µω) . Wenn µ durch f realisiert wird, realisiert die Form f ω das System µω . Daher ist Res(µω) = Res(f ω) = 0 . ur eine Basis ω1 , . . . , ωg von E1 (X) Die g Bedingungen Res (µωj ) = 0 f¨ gen¨ ugen, damit Res (µω) = 0 f¨ ur alle ω ∈ E1 (X) gilt. Sei D ein beliebiger positiver Divisor = 0 . Alle Hauptteilsysteme µ , die durch (µ) ≤ D beschr¨ankt sind, bilden einen (gr D)-dimensionalen Vektorraum F (D) . F¨ ur jede Funktion f ∈ L(D) ist Res(µf ) = 0 , also µf ∈ F0 (D) = {µ ∈ F (D) : Res (µω) = 0 f¨ ur alle ω ∈ E1 (X)} . Die Abbildung µ : L (D) → F0 (D) , f → µf , ist linear und hat den Kern C . Die Behauptung ist zur Surjektivit¨ at der Abbildung µ und damit zur Dimensionsformel ur alle D (1) dim F0 (D) = l(D) − 1 f¨ ¨aquivalent. Wir beginnen den Beweis von (1) mit der bilinearen Abbildung (2) F (D) × E1 (X) → C , (µ, ω) → Res (µω) . Ihre Nullr¨ aume sind F0 (D) ⊂ F (D) und ur alle µ ∈ F (D)} ⊂ E1 (X) . L1 (−D) = {ω : Res (µω) = 0 f¨ Daher induziert (2) eine nicht-entartete Paarung F (D)/F0 (D) × E1 (X)/L1 (−D) → C . Insbesondere haben beide Faktoren dieselbe Dimension gr D − dim F0 (D) = g − i(D) . Hieraus folgt mit (RR) die Behauptung (1).


13.7 Aufgaben

271

13.7 Aufgaben Alle Aufgaben handeln, wenn nichts anderes angegeben wird, von einer kompakten und zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X , deren Geschlecht mit g bezeichnet wird. 1)

Zeige, daß folgende Aussage zum Satz von Riemann-Roch ¨ aquivalent ist: Wenn die Summe D + E zweier Divisoren ein kanonischer Divisor ist, gilt 2 l(D) − gr D = 2 l(E) − gr E .

2)

(i) Zeige: Zu jedem positiven Divisor D vom Grade ≥ g gibt es eine meromorphe Funktion f , deren Nullstellendivisor (f )0 ≥ D ist. Wann kann man (f )0 = D erreichen? (ii) Zeige: Zu jedem positiven Divisor E vom Grade ≤ g − 2 gibt es einen kanonischen Divisor K ≥ E .

3)

Zeige: Zu jedem Divisor vom Grade > 3(g − 1) gibt es einen kanonischen Divisor K ≤ D .

4)

(i) Zeige: Jeder positive Divisor D vom Grade 2g ist der Schnittdivisor einer nicht-entarteten, vollst¨ andigen Abbildung ϕ : X → Pd−1 . Bestimme d . (ii) Zeige: Entweder ist ϕ eine Einbettung, oder es gibt einen kanonischen Divisor K ≤ D .

5)

Sei g = 3 . Zeige: ur die P + D kanonisch ist, eine (i) Zu jedem P ∈ X bilden alle D ∈ X3 , f¨ vollst¨ andige eindimensionale Linearschar. (ii) F¨ ur jedes D ∈ X3 ist dim|D| = 0 oder = 1 . Der zweite Fall tritt genau dann ein, wenn es (genau?) ein P ∈ X gibt, so daß P + D kanonisch ist.

6)

(i) Zeige: Jede projektive Einbettung einer Fl¨ ache vom Geschlecht 2 hat einen Grad ≥ 5 . Es gibt eine Einbettung vom Grade 5 in den P3 . (ii) Zeige f¨ ur Fl¨ achen vom Geschlecht 3 : Der kleinstm¨ ogliche Grad einer projektiven Einbettung ist 4 f¨ ur nicht-hyperelliptische und 6 f¨ ur hyperelliptische Fl¨ achen.

7)

Sei P1 , P2 , . . . eine Punktfolge auf der Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 2 . Bilde die Divisoren D0 = 0 , Dk = P1 + . . . + Pk . Zeige: (i) 1 = l(D0 ) ≤ l(D1 ) ≤ . . . ≤ l(D2g−1 ) = g. (ii) Bei jedem Schritt ist l(Dk ) = l(Dk−1 ) oder = l(Dk−1 ) + 1 . Im ersten Fall heißt k eine L¨ ucke der Folge Pj . (iii) Es gibt genau g L¨ ucken 1 = k1 < k2 < . . . < kg < 2g . (iv) Genau dann, wenn 2 keine L¨ ucke ist, ist {P1 , P2 } die Faser einer 2
. ¨ bl¨ attrigen Uberlagerung η:X→C (v) kg = 2g − 1 ⇔ D2g−1 ist ein kanonischer Divisor. (vi) Die L¨ uckenfolge kann nicht mit . . . < 2g − 2 < 2g − 1 enden. Wenn sie mit . . . < 2g − 3 < 2g − 1 endet, ist X hyperelliptisch.

8)

(i)

Zeige: Zeige im Anschluß an Aufgabe 7.9.1: Der Vektorraum E1n (X) der holomorphen n-Differentialformen hat f¨ ur n ≥ 2 die Dimension d := (2n − 1)(g − 1) .

272

13. Der Satz von Riemann-Roch (ii) Gib f¨ ur die durch w 2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e2g+1 ) definierte hyperelliptische Fl¨ ache und n = 2 eine Basis dieses Vektorraums an. Benutze dazu Formen der Gestalt f (dz)2 /w . (iii) Benutze eine Basis von E1n (X) zur Definition der n-fach kanonischen ur welche g und n Abbildung κn : X → Pd−1 . Welchen Grad hat sie? F¨ ist κn eine Einbettung? (iv) Zeige: Der Gewichtsdivisor τn von κn hat den Grad g d2 . (Die Punkte seines Tr¨ agers heißen n-fache Weierstraß -Punkte. Mehr dazu findet man in [Ac], Chap. 6. Wegen der Bedeutung der n-fachen Differentialformen f¨ ur den Modulraum siehe [Mu 2], Lecture II.)

9)

ache besitzt 12 Weierstraß -Punkte. Zeige: Die durch z 4 +w4 = 1 bestimmte Fl¨ Jeder hat das Gewicht 2 .

10) Bestimme f¨ ur jeden Torus die homologische Darstellung seiner Automorphismengruppe. 11) F¨ ur die hyperelliptische Fl¨ ache X zum Polynom w 2 − (z − e1 ) · . . . · (z − e2g+1 ) bilden die Differentialformen dz/w , zdz/w , . . . , z g−1 dz/w eine Basis von E1 (X) , siehe 8.2.2(1). Erg¨ anze sie gem¨ aß 13.6.3 durch explizit angegebene Formen zweiter Gattung zu einem System von 2g Formen, das asentiert. eine Basis der Cohomologie H 1(X, C) repr¨ 12) Sei η : C → C/Ω eine Torusprojektion. Mit der ℘-Funktion zum Gitter Ω und ihren Ableitungen definiert man folgende Differentialformen σ , ωk,a , ωb auf C/Ω , die durch ihre η-Liftungen bestimmt sind: η ∗ σ = dz , η ∗ ωk,a = ℘(k) (z − α)dz f¨ ur k ∈ N und α ∈ C mit η(α) = a , ′ ′ 1 ℘ (z) + ℘ (β) dz f¨ ur β ∈ C \ Ω mit η(β) = b . η ∗ ωb = 2 ℘(z) − ℘(β) Beweise folgende Realisierungen vorgegebener Hauptteilsyssteme durch die angegebenen Formen: (i) Endliche Linearkombinationen ω der Formen ωk,a realisieren alle residuenfreien Hauptteilsysteme. (ii) Wenn man σ hinzunimmt, kann man zus¨ atzlich Re Per(ω) = 0 erreichen. (iii) Endliche Linearkombinationen der Formen σ , ωk,a und ωb realisieren alle Hauptteilsysteme, deren Residuensummen null sind. 13) Beweise folgende geometrische Version von (RR) f¨ ur g ≥ 2 : Sei ϕ : X → P g−1 die kanonische Abbildung. Definiere f¨ ur jeden positiven Divisor D den pro¯ ⊂ Pg−1 als Durchschnitt aller Hyperebenen Θ mit jektiven Unterraum D ¯ + dim|D| = grD − 1 . (Θ)ϕ ≥ D . Dann ist dimD Hinweise. In 8.4.1 wird (Θ)ϕ definiert. Wenn ϕ = (ω1 : . . . : ωg ) durch die Basis ω1 , . . . , ωg von E1 (X) beschrieben wird, ordnet man jeder Form   ω= aj ωj die Hyperebene Θω := N ( aj zj ) zu.

14. Der Periodentorus

Nach Abels fr¨ uhem Tod (1829) versuchte Jacobi die erfolgreiche Umkehrung elliptischer Integrale durch doppelt-periodische Funktionen auf Abelsche Integrale auszudehnen. Er entdeckte an Beispielen, daß f¨ ur das Geschlecht g die Abelschen Funktionen, d.h. die Umkehrfunktionen Abelscher Integrale 2g-fach periodisch sind und von g komplexen Variablen abh¨ angen, also modern ausgedr¨ uckt einen komplex g-dimensionalen Torus als Definitionsbereich haben. Wir beginnen in 14.1 mit der Geschichte einiger Resultate von Euler, Abel und Jacobi, die zur Entdeckung“ der Periodentori durch Riemann f¨ uhrten. ” Die systematische Darstellung ab 14.2 folgt nicht dem historischen Ablauf sondern st¨ utzt sich von Anfang an auf die Homologie kompakter Fl¨ achen. Wir erreichen in 14.3 die wesentlichen Ergebnisse, welche auf Abel und Jacobi zur¨ uckgehen. Nach der Einf¨ uhrung holomorpher Strukturen auf den symmetrischen Produkten Riemannscher Fl¨achen werden diese Ergebnisse in 14.4.7 mit dem Satz von Riemann-Roch zu einem Theorem u ¨ber Periodenabbildungen zusammengefaßt.

14.1 Vom Additionstheorem zum Periodentorus Wir stellen einige Resultate in moderner Formulierung vor, die von 1750 an erzielt wurden und wesentliche Impulse f¨ ur die Entwicklung mathematischer Ideen gaben, welche zum Periodengitter f¨ uhrten, das Riemann (1857) jeder kompakten Fl¨ ache zuordnete. 14.1.1 Das Eulerschen Additionstheorem von 1753, welches wir in 2.4.1(7) zitierten, lautet qualitativ formuliert: Seien u1 und u2 zwei Wege mit gleichem Anfangspunkt P in der durch ache X . Dann gibt es einen dritten w2 − z 4 + 1 definierten Riemannschen Fl¨ Weg u , der ebenfalls in P beginnt, so daß    ω+ ω= ω (1) u1

u2

u

f¨ ur jede holomorphe Differentialform ω gilt.

274

14. Der Periodentorus

In dieser Form gilt das Theorem f¨ ur jede Fl¨ ache X vom Geschlecht g = 1 . ¨ Denn es gibt eine universelle Uberlagerung η : C → X mit η(0) = P . Man hebt u1 , u2 zu Wegen v1 , v2 in C hoch, die in 0 beginnen. Seien a1 , a2 ihre Endpunkte. Mit jedem Weg v von 0 nach a1 + a2 gilt (1) f¨ ur u := η ◦ v
wegen η ∗ ω = cdz mit c ∈ C . 14.1.2 Das Abelsche Additionstheorem. Abel befaßte sich in seinem M´emoire von 1826, das wir in 7.5.3 erw¨ ahnten, mit dem Problem, ein dem Eulerschen entsprechendes Additionstheorem f¨ ur holomorphe Differentialformen ω = R(z, w)dz zu gewinnen, wenn z und w durch eine beliebige irreduzible, polynomiale Gleichung F (z, w) = 0 verbunden sind. Er entdeckte, daß man bei beliebig vielen Summanden auf der linken Seite von 14.1.1(1) rechts eine Summe von g Integralen ben¨ otigt, wobei g nur von F abh¨ angt. In Riemanns Deutung ist g das Geschlecht der durch F (z, w) = 0 definierten Fl¨ ache X , und das Abelsches Additionstheorem lautet: Auf einer Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 seien n Wege u1 , . . . , un gegeben, die im selben Punkt P beginnen. Dann gibt es g Wege v1 , . . . , vg , die ebenfalls in P beginnen, mit g  n    ω= ω f¨ ur alle ω ∈ E1 (X) . j=1

uj

k=1

vk

ur n ≤ g ist nichts zu beweisen. Beweis. Sei Qj der Endpunkt von uj . F¨ F¨ ur n > g folgt aus der Riemannschen Ungleichung  l( Qi − P ) ≥ n − 1 − g + 1 > 0 . Daher gibt es Punkte P1 , . . . , Pn−1 , so daß Q1 − P1 + . . . + Qn−1 − Pn−1 + Qn − P ein Hauptdivisor ist. Wir w¨ ahlen Wege vj von P nach Pj . Nach der Abelschen Relation 7.5.3 gibt es eine Schleife v von P nach P mit       ur ω ∈ E1 (X) . ω − v1 ω + . . . + un−1 ω − vn−1 ω + un ω = v ω f¨ u1 n−1  n  Wenn man vn−1 durch v · vn−1 ersetzt, folgt j=1 vj ω und j=1 uj ω = damit der Induktionsschritt zum Beweis des Additionstheorems.
Dieses Theorem, welches Abel 1829 kurz vor seinem Tode auf zwei Seiten zusammengefaßt auch in Crelles Journal ver¨ offentlichte, wurde seinerzeit sehr bewundert und mit dem gefl¨ ugelten Wort des Dichters Horaz [Ode III, 30] ein monumentum ” aere perennius“ genannt, vgl. [Bj], S. 123. F¨ ur eine ausf¨ uhrliche W¨ urdigung des M´emoires siehe [Sha 1], S. 416.

14.1.3 Die Umkehrung Abelscher Integrale. Jacobi befaßte sich in zwei Abhandlungen [Ja] II, Nr. 2 und 4, die 1832 und 1834/35 in Crelles Journal (Band 9 und 13) erschienen, mit der Umkehrung Abelscher Integrale:  Zun¨ achst verwarf er die Umkehrung einzelner Integrale ω als absurd , da die Gruppe Per ω 2g-fach periodisch ist und daher f¨ ur g ≥ 2 dicht in C liegt, siehe Aufgabe 7.9.8. Durch Abels Resultate angeregt schlug er statt dessen

14.2 Perioden. Abelsches Theorem

275

z z vor, g-fache Summen a 1 ω + . . . + a g ω zu betrachten und zwar nicht nur f¨ ur eine, sondern f¨ ur alle holomorphen Differentialformen ω gleichzeitig. Er f¨ uhrte dies f¨ ur hyperelliptische Gleichungen w 2 = p(z) mit einem Polynom p vom Grade 5 oder 6 n¨ aher aus. Dann liegt das Geschlecht g = 2 vor. Dementsprechend sind zwei Summen mit je zwei Summanden zu betrachten:  z2  z2  z1  z1 zdz dz dz zdz     + = u1 , + = u2 . p(z) p(z) p(z) p(z) a a a a Die beiden Integranden bilden eine Basis des Vektorraums der holomorphen Differentialformen. Jacobi behauptet, daß die oberen Grenzen z1 und z2 ( genauer ihre symmetrischen Funktionen wie z1 + z2 , z1 z2 ) vierfach periodische Funktionen der beiden Variablen u1 , u2 seien. Er gibt an, wie man die Perioden aus den Nullstellen von p(z) berechnet und schl¨ agt vor, die Umkehrfunktionen, welche er Abelsche Transzendenten nennt, durch Thetareihen in u1 , u2 darzustellen, siehe dazu das 15. Kapitel. 14.1.4 Abelsche Funktionen. Jacobis Ideen wurden von seinen Sch¨ ulern in Spezialf¨ allen genauer ausgef¨ uhrt. Aber erst nach 25 Jahren gelang es Riemann, mit der Abhandlung [Ri 3] eine allgemeine Theorie Abelscher Funktionen ( so wurden mittlerweile die Abelschen Transzendenten genannt ) zu entwickeln. Als Grundlage w¨ ahlt er bei einer Fl¨ ache X vom Geschlecht g , . . . , ω aller holomorphen Differentialformen und bildet die geine Basis ω 1 g   ur gemeinsame Integrationswege u . Anders Tupel ( u ω1 , . . . , u ωg ) ∈ Cg f¨ als Per ω < C liegt(  )   ω , · · · , u ωg : u Schleife in X ⊂ Cg Γ := u 1

niemals dicht, sondern ist ein Gitter vom Rang 2g , welches das Periodengitter elliptischer Integrale (g = 1) verallgemeinert. Eine Basis von Γ beschreibt Riemann, indem er u die 2g R¨ uckkehrschnitte einer kanonischen Zerschneidung von X durchlaufen l¨ aßt. Zu X geh¨ oren als Abelsche Funktionen die Γ -periodischen meromorphen Funktionen auf Cg . Das Rechnen modulo Γ ersetzen wir durch die Bildung der Faktorgruppe Cg /Γ , die mit der von Cg induzierten topologischen und holomorphen Struktur zu einer kompakten Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension g wird. Sie ist zum 2g-fachen Produkt S 1 × . . . × S 1 der Kreislinie hom¨oomorph, vergleiche 4.4.6, und wird zur Erinnerung an Jacobis Verdienste Jacobischer Periodentorus J(X) der Fl¨ ache X genannt.

14.2 Perioden. Abelsches Theorem Im folgenden wird die Abelsche Relation 7.5.3 im umfassenderen Abelschen Theorem (14.2.4) aufgehen, das ein notwendiges und hinreichendes Integral¨ kriterium f¨ ur die lineare Aquivalenz von Divisoren angibt.– Mit X wird eine kompakte, zusammenh¨angende Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 1 bezeichnet.

276

14. Der Periodentorus

14.2.1 Das Periodengitter. Die Integrationspaarung  (1) H1 (X) × E1 (X) → C , (a, ω) → a, ω := a ω von 7.7.3 bestimmt den additiven Homomorphismus (2) ι : H1 (X) → E1 (X)∗ , ι(a) := a, − , in den zu E1 (X) dualen Vektorraum.

Satz. Durch ι wird H1 (X) als Gitter vom Rang 2g in E1 (X)∗ eingebettet.

Beweis. Alle additiven Homomorphismen H1 (X) → R bilden einen Vektorraum H 1(X, R) , der nach der ersten Folgerung in 13.1.5 dieselbe reelle Dimension 2g wie E1 (X) hat. Wegen der Folgerung in 10.1.2 ist E1 (X) → H 1 (X, R) , ω → Im −, ω , monomorph also isomorph. Daher l¨ aßt sich f¨ ur jedes c ∈ E1 (X)∗ der Imagin¨ arteil Im c in eindeutiger Weise als reelle Linearkombination der Elemente Ima1 , −, . . . , Ima2g , − f¨ ur eine Basis a1 , . . . , a2g von H1 (X) darstellen. Folglich ist a1 , −, . . . , a2g , − eine reelle
Basis von E1 (X)∗ . 14.2.2 Die Periodenabbildung. Sei η : Z → X die Uniformisierung mit Z = C f¨ ur g = 1 und Z = H f¨ ur g ≥ 2 . Sei Q0 ∈ Z ein Basispunkt. Zu ort genau eine Stammfunktion hω ∈ O(Z) von η ∗ ω jedem ω ∈ E1 (X) geh¨ mit dem Wert hω (Q0 ) = 0 . Wir definieren (1) h : Z → E1 (X)∗ durch h(z)(ω) := hω (z) . F¨ ur jeden Weg v in Z von z1 nach z2 gilt     (2) h(z2 ) − h(z1 ) (ω) = v η ∗ ω = η◦v ω .

Insbesondere h¨angt die Differenz h(z2 ) − h(z1 ) nicht von der Wahl des Basispunktes Q0 ab. Wenn z1 und z2 in derselben η-Faser liegen, ist u := η ◦ v eine Schleife, und aus (2) folgt (3) h(z2 ) − h(z1 ) = kl u ∈ H1 (X) < E1 (X)∗ . Wir benutzen P0 = η(Q0 ) als Basispunkt in X und identifizieren die Deckgruppe D(η) = π(X, P0 ) mit der Fundamentalgruppe, siehe 3.6.3. Dadurch wird H1 (X) = AD(η) zur abelsch gemachten Deckgruppe, und (3) bedeutet (4) h ◦ γ = A(γ) + h f¨ ur alle γ ∈ D(η) . Wir bilden den Restklassen-Epimorphismus (5) p : E1 (X)∗ → J(X) := E1 (X)∗ /H1 (X) . Zun¨ achst interessiert der Periodentorus J(X) nur als abelsche Gruppe. In 14.3 werden wir uns mit seiner topologischen und holomorphen Struktur besch¨aftigen. Wegen (3) induziert h eine Abbildung µ , die folgendes Diagramm kommutativ macht: h

Z −→ E1 (X)∗ η ↓ ↓p µ X −→ J(X) . Da J(X) eine abelsche Gruppe ist, l¨ aßt sich die Periodenabbildung µ zu einem Homomorphismus

14.2 Perioden. Abelsches Theorem

277

 µ : Div(X) → J(X) , µ(D) := x∈X D(x)µ(x) , der Divisorengruppe Div(X) fortsetzen. Er h¨ angt bis auf die Addition eines konstanten Elementes c ∈ J(X) nicht von der Wahl es Basispunktes ab: (µ + c)(D) = µ(D) + gr D · c . Auf der Untergruppe Div0 (X) der Divisoren vom Grade Null ist µ eindeutig bestimmt. Alle Hauptdivisoren bilden eine Untergruppe Div  H (X) <Div0 (X) . Die Abelsche Relation 7.5.3 l¨ aßt sich in der Formel µ DivH (X) = 0 zusammenfassen. Tats¨achlich werden die Hauptdivisoren D durch gr D = 0 und µ(D) = 0 charakterisiert. Wir ben¨ otigen zum Beweis: 14.2.3 Die exakte Periodensequenz. Wir w¨ ahlen eine kanonische Zerschneidung der Fl¨ ache X mit den R¨ uckkehrschnitten a1 , b1 , . . . , ag , bg gem¨aß 12.4.1 und 12.3.1. Ihre Homologieklassen, die wir mit denselben Buchstaben bezeichnen, bilden eine Basis des Gitters H1 (X) < E1 (X)∗ . Lemma. Folgende Sequenz C-linearer Abbildungen ist exakt: (1) (2) (3)

ε

κ

0 → E1 (X) −→ C2g −→ E1 (X)∗ −→ 0 mit ε(ω) := (a1 , ω, b1 , ω, . . . , ag , ω, bg , ω) und g κ(z1 , w1 , . . . , zg , wg ) := j=1 (wj aj − zj bj ).

ugt es zu zeigen, daß ε Beweis. Wegen dim E1 (X) = dim E1 (X)∗ = g gen¨ monomorph und κ epimorph ist, sowie κ ◦ ε = 0 gilt. Aus ε(ω) = 0 folgt ω = 0 , siehe Satz 7.7.4. Nach Satz 14.2.1 bilden die Elemente a1 , . . . , bg eine reelle Basis von E1 (X)∗ . Daher ist κ surjektiv. Die letzte Behauptung κ ◦ ε = 0 ist die Periodenrelation 12.5.4(2).
14.2.4 Abelsches Theorem. Die Gruppe Div H (X) aller Hauptdivisoren ist der Kern des Periodenhomomorphismus µ : Div 0 (X) → J(X) . Wie Weyl [Wyl 1], S. 126, Fußnote, bemerkt, steht dieses Ergebnis in [Ri 3] zwischen ” den Zeilen“ und wurde explizit (aber ohne zureichenden Beweis) durch Clebsch in [Cle], S. 198, ausgesprochen. Obwohl Abel nur Div H (X) < Kern µ bewies, folgen wir Weyls Vorschlag und benennen das ganze Theorem nach Abel.

Beweis. Sei D ∈ Div0 (X) . Nach 13.6.5 gibt es eine Form ϕ ∈ E3 (X) mit den Residuen res (ϕ, x) = D(x) f¨ ur x ∈ X . Sie ist durch D bis auf die Addition einer Form ω ∈ E1 (X) eindeutig bestimmt. Genau dann, wenn D = (f ) ein Hauptdivisor ist, kann man ϕ = df /f als logarithmische Ableitung w¨ahlen. Nach 7.8.3(4) ist letzteres genau dann der Fall, wenn alle Perioden von ϕ ganzzahlige Vielfache von 2πi sind. Somit reduziert sich das Abelsche Theorem auf die Aussage: (∗) Genau dann wenn µ(D) = 0 ist, gibt es ein ϕ mit res(ϕ, −) = D(−) und Per(ϕ) < 2πiZ . Zum Beweis von (∗) benutzen wir eine kanonische Zerschneidung, deren R¨ uckager von D nicht treffen, siehe 12.5.1. kehrschnitte a1 , b1 , . . . , ag , bg den Tr¨ Aus 14.2.2 folgt µ(D) = p(c) , wobei c ∈ E1 (X)∗ dadurch bestimmt ist, daß  (1) c(ω) = z∈∆ D(η(z)) · hω (z) f¨ ur ω ∈ E1 (X)

278

14. Der Periodentorus

gilt. Summiert wird u ¨ber alle Punkte eines kanonischen Polygons ∆ ⊂ Z der Zerschneidung, vergleiche 12.5.2. Nach der Periodenrelation 12.5.4(1) gilt g ur ω ∈ E1 (X) . (2) 2πi c(ω) = j=1 (aj , ωbj , ϕ − aj , ϕbj , ω) f¨ Wenn alle Perioden aj , ϕ und bj , ϕ in 2πiZ liegen, ist c die entsprechende ganzzahlige Linearkombination von a1 , b1 , . . . , ag , bg , also c ∈ H1 (X) und damit µ(D) = p(c) = 0 . Damit ist die Abelsche Relation 7.5.3 erneut bewiesen.– Wenn umgekehrt µ(D) = 0 vorausgesetzt wird, ist c ∈ H1 (X) , also c = (βj aj − αj bj ) mit αj , βj ∈ Z. Aus (2) folgt  g  (3) j=1 (2πiβj − bj , ϕ) aj − (2πiαj − aj , ϕ) bj = 0 . Wegen der exakten Sequenz 14.2.3(1) liegt der Vektor (2πiα1 − a1 , ϕ, 2πiβ1 − bj , ϕ, . . . , 2πiαg − ag , ϕ, 2πiβg − bg , ϕ) ∈ C2g im Kern von κ und somit im Bild von ε . Es gibt ein ω ∈ E1 (X) mit aj , ϕ + ω = 2πiαj und bj , ϕ + ω = 2πiβj . Damit ist Per (ϕ + ω < 2πiZ erreicht. Weil wir ϕ durch ϕ + ω ersetzen d¨ urfen, ist (∗) bewiesen.
14.2.5 Linearscharen. Sei Xn ⊂ Div(X) die Menge aller positiven Divisoren vom Grade n ≥ 1 , vgl. 8.1.4. Sei µn : Xn → J(X) die Einschr¨ ankung des Periodenhomomorphismus µ : Div(X) → J(X) . alt, ist die vollst¨ andige Satz. Die Faser von µn , welche den Divisor D enth¨ Linearschar |D| . Die Periodenabbildung µ : X → J(X) ist injektiv. Denn f¨ ur jedes C ∈ Xn gilt µn (C) = µn (D) genau dann, wenn C − D ein Hauptdivisor ist (Abelsches Theorem), also C ∈ |D| ist. F¨ ur n = 1 folgt  w¨are . C = D , weil sonst X ≈ C


14.3 Analytische Eigenschaften der Periodenabbildung Um die Surjektivit¨ at des Periodenhomomorphismus µ : Div(X) → J(X) zu beweisen, wird die topologische und analytische Struktur des Periodentorus J(X) ben¨ otigt.– Wie bisher bezeichnet X eine kompakte zusammenh¨ angende Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 1 . 14.3.1 Der Periodentorus als Mannigfaltigkeit. Durch die Wahl einer aume identifiziert: Basis ω1 , . . . , ωg von E1 (X) werden die C-Vektorr¨   ∗ ∼ g (1) E1 (X) = C , c → c(ω1 ), . . . , c(ωg ) .

Das Bild von H1 (X) in E1 (X)∗ ist das Gitter (2) Γ := {(a, ω1 , . . . , a, ωg ) : a ∈ H1 (X)} < Cg . Wir versehen die Faktorgruppe Cg /Γ mit der Quotiententopologie und der holomorphen Quotientenstruktur bez¨ uglich der Restklassen-Projektion p : Cg → Cg /Γ . Da das Gitter Γ den maximalen Rang 2g hat (Satz 14.2.1), ist Cg /Γ ein Torus der komplexen Dimension g , siehe 4.4.6, und

14.3 Analytische Eigenschaften der Periodenabbildung

279

¨ p wird zu einer unverzweigten, universellen holomorphen Uberlagerung mit H (X) . der Deckgruppe D(p) = Γ ∼ = 1 Mit dem durch (1)-(2) induzierten Gruppenisomorphismus J(X) ∼ = Cg /Γ g wird die topologische und holomorphe Struktur von C /Γ auf den Perio¨ dentorus J(X) u ¨bertragen. Die Ubertragung h¨ angt nicht von der Basiswahl ω1 , . . . , ωg ab, da ein Basiswechsel sich nur als Vektorraum-Automorphismus von Cg auswirkt. Das kommutative Diagramm in 14.2.2 wird zu h

Z −→ Cg η ↓ ↓p µ X −→ J(X) . ¨ Dabei sind η und p universelle Uberlagerungen, und p ist außerdem ein Homomorphismus der additiven Gruppen mit dem Kern Γ . Die Komponenten von h = (h1 , . . . , hg ) sind die Stammfunktionen von η ∗ ωj , welche im Basispunkt Q0 ∈ Z den Wert Null haben. Insbesondere ist h und damit die Periodenabbildung µ holomorph. Da η und p lokal biholomorph sind, hat µ an jeder Stelle η(z) denselben Rang wie h an der Stelle z . Satz. Die Periodenabbildung µ : X → J(X) ist eine holomorphe Einbettung und daher f¨ ur g = 1 ein Isomorphismus. Beweis. Wegen 14.2.5 muß nur gezeigt werden, daß h u ¨berall den Rang 1 hat: Nach 13.2.1(2) hat an jeder Stelle z ∈ Z mindestens eine Differentialform
η ∗ ωj keine Nullstelle. Dann hat die Komponente hj dort den Rang 1. Insbesondere folgt erneut und zwar unabh¨ angig von fr¨ uheren Beweisen, daß jede Fl¨ ache vom Geschlecht 1 zu einem Torus isomorph ist. 14.3.2 Der Rang der Periodenabbildung. Um den letzten Satz auf Divisoren zu verallgemeinern, betrachten wir das n-fache kartesische Produkt X n = X × . . . × X und die Summe der Periodenabbildungen µn : X n → J(X) , µn (x1 , . . . , xn ) = µ(x1 ) + . . . + µ(xn ) . Ranglemma. Wenn die Punkte P1 , . . . , Pn ∈ X paarweise verschieden sind, hat µn an der Stelle (P1 , . . . , Pn ) ∈ X n den Rang g − i(D) = 1 + n − l(D) , wobei D := P1 + . . . + Pn die Summe der Punktdivisoren ist. Die Voraussetzung paarweise verschieden“ kann entfallen, siehe 14.4.6. ” Beweis. Da die Punkte Pj paarweise verschieden sind, geh¨ ort ω ∈ E1 (X) genau dann zum Untervektorraum L1 (−D) , wenn P1 , . . . , Pn Nullstellen von ω sind. Sei r = i(D) = dim L1 (−D) . Wir w¨ ahlen eine Basis ω1 , . . . , ωr von L1 (−D) ⊂ E1 (X) , erg¨anzen sie durch ωr+1 , . . . , ωg zu einer Basis von E1 (X) und benutzen letztere, um E1 (X)∗ mit Cg zu identifizieren. Die Abbildung h : Z → Cg des Diagramms in 14.3.1 hat die Komponenten uglich der h = (h1 , . . . , hg ) mit den Ableitungen η ∗ ωj = dhj = h′j dz bez¨ Koordinate z auf Z = H oder = C . Die Summenabbildung    Z n → Cg , (z1 , . . . , zn ) → j h1 (zj ), . . . , j hg (zj ) ,

280

14. Der Periodentorus

hat die Funktionalmatrix

⎛

h′1 (z1 ) ⎜ .. M := ⎝ .

···

⎞ h′1 (zn ) .. ⎟ . . ⎠

h′g (z1 ) · · · h′g (zn ) ur j = 1, . . . , n . Dann hat µn an der Stelle (P1 , . . . , Pn ) Sei η(Qj ) = Pj f¨ denselben Rang wie die Matrix M bei Q := (Q1 , . . . , Qn ) . Wir bestimmen ihn folgendermaßen: Wegen ω1 , . . . , ωr ∈ L1 (−D) bestehen die ersten r Zeilen aus Nullen. Die u ¨brigen Zeilen sind linear unabh¨ angig. Denn wenn eine Linearkombination dieser Zeilen die Nullzeile ergibt, ist die entsprechende Linearkombination von ωr+1 , . . . , ωg eine Differentialform mit den Nullort also zu L1 (−D) . Wegen der Basiserg¨anzung stellen P1 , . . . , Pn und geh¨ m¨ ussen alle Koeffizienten der Linearkombination = 0 sein. Somit hat M bei Q den Rang g − r . Aus (RR) folgt g − i(D) = 1 + n − l(D) .
14.3.3 Surjektivit¨ at. Der Periodenhomomorphismus µ : Div 0 (X) → J(X) ur n ≥ g sind surjektiv. und die Periodenabbildungen µn : Xn → J(X) f¨ Beweis. Alle g-Tupel (P1 , . . . , Pg ) paarweise verschiedener Punkte Pj ∈ X , deren Divisoren D = P1 + . . . + Pg allgemein sind, bilden nach Satz 13.6.2 eine offene, nicht-leere (sogar dichte) Teilmenge U ⊂ X g . Wegen i(D) = 0 ¨berall den maximalen Rang g hat und folgt mit dem Ranglemma, daß µg |U u daher lokal biholomorph ist. Insbesondere ist µg (U ) ⊂ J(X) offen und nichtaßt sich als w = q(v1 − v0 ) leer. Aus J(X) ∼ = Cg /Γ folgt: Jedes w ∈ J(X) l¨ mit q ∈ N und v0 , v1 ∈ µg (U ) darstellen. Es gibt also  positive  Divisoren D0 , D1 vom Grade g , so daß w = µ(qD1 − qD0 ) ∈ µ Div0 (X) liegt. Zur Surjektivit¨ at von µn : Wegen µ(P0 ) = 0 f¨ ur den Basispunkt P0 gen¨ ugt es, zu jedem D ∈ Div0 (X) eine Funktion f = 0 zu finden, so daß D+nP0 +(f ) ≥ 0 ist. Wegen (RR) und n ≥ g ist l(D+nP0 ) ≥ n−g +1 ≥ 1 . Daher enth¨ alt L(D + nP0 ) Funktionen f = 0 .
Die Periodenabbildung µg : Xg → J(X) ist f¨ ur keine Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 2 injektiv. Denn f¨ ur jeden Weierstraß-Punkt P ist die Faser |gP | ⊂ Xg von µg ein projektiver Raum der Dimension l(gP ) − 1 ≥ 1 . F¨ ur g = 2 l¨ aßt sich die Gestalt von µ2 : X2 → J(X) einfach u ¨berblicken:  isomorphe kanonische Schar K . Alle In X2 liegt als Faser von µ2 die zu C anderen Fasern sind einpunktig. Das symmetrische Produkt X2 entsteht also aus dem Torus J(X) , indem man einen Punkt zur Zahlenkugel aufbl¨ ast“. ” Ein entsprechendes Ergebnis gilt f¨ ur alle g , siehe 15.3.7. 14.3.4 Die Picardsche Gruppe der Fl¨ ache X ist die Faktorgruppe (X) . Das Abelsche Theorem 14.2.4 l¨aßt sich mit der SurjekDiv0 (X)/Div   H tivit¨ at µ Div0 (X) = J(X) gem¨aß 14.3.3 zusammenfassen:

Theorem von Abel-Jacobi. Die Periodenabbildung induziert einen Iso
morphismus Div0 (X)/DivH (X) → J(X) der abelschen Gruppen.

14.4 Symmetrische Produkte

281

14.4 Symmetrische Produkte Wir definieren Cotangentialr¨ aume komplexer Mannigfaltigkeiten und Cotangentialhomomorphismen, um sie zur Untersuchung der Periodenabbildung µn : Xn → J(X) einzusetzen, nachdem das symmetrische Produkt Xn der kompakten, zusammenh¨ angenden Riemannschen Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 mit der Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit versehen wurde. 14.4.1 Cotangentialr¨ aume und -homomorphismen. Sei a ein Punkt der n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit M . Wir nennen zwei Differentialformen ω und ω ′ , die in Umgebungen von a definiert und holo¨ morph sind, a -¨aquivalent, wenn ω −ω ′ bei a eine Nullstelle hat. Die Aqui∗ valenzklassen [ω]a bilden einen C-Vektorraum Ta M , welcher Cotangentialraum von M bei a heißt. Er ist n-dimensional. Denn f¨ ur jede Karte z = (z1 , . . . , zn ) bei a ist {[dz1 ]a , . . . , [dzn ]a } eine Basis von Ta∗ M . Jede holomorphe Abbildung f : (M, a) → (N, b) zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten bestimmt die lineare Cotangentialabbildung Ta∗ f : Tb∗ N → Ta∗ M , [ω]b → [f ∗ ω]a . Ihr Rang rg(f, a) heißt Rang von f bei a . f

g

(1) F¨ ur (M, a) → (N, b) → (L, c) gilt Ta∗ (g ◦ f ) = Ta∗ f ◦ Tb∗ g.




Beispiel. Sei Γ < V ein Gitter maximalen Ranges im C-Vektorraum V mit der Restklassenprojektion p : V → V /Γ auf den Torus. Jede lineare Funktion u ∈ V ∗ hat die Γ -invariante Ableitung du. Daher gibt es genau eine holomorphe Form ϕu auf V /Γ mit du = p∗ ϕu . Mit ihr definiert man f¨ ur jeden Punkt a ∈ V /Γ den kanonischen Isomorphismus (2) V∗ ∼ = Ta∗ (V /Γ ) , u → [ϕu ]a . ∗ Nun sei V := E1 (X) und Γ := H1 (X) . Wir fassen jede Form ω ∈ E1 (X) = E1 (X)∗∗ als lineare Funktion auf und erhalten wegen J(X) = E1 (X)∗ /H1 (X) f¨ ur a ∈ J(X) den kanonischen Isomorphismus (3) E1 (X) ∼ = Ta∗ J(X) , ω → [ϕω ]a . (4) F¨ ur die Periodenabbildung µ : X → J(X) gilt µ∗ ϕω = ω . Denn η ∗ µ∗ ϕω = h∗ p∗ ϕω = d(ω ◦ h) = η ∗ ω . Wegen der Injektivit¨ at von η ∗ , siehe 7.1.6(2), folgt (4).
14.4.2 Symmetrische Funktionen. Die symmetrische Gruppe Sn operiert auf Cn durch Permutation der Koordinaten. Die elementarsymmetrischen Polynome σj (z1 , . . . , zn ) werden bekanntlich durch die Identit¨ at (1) (x − z1 )(x − z2 ) · · · (x − zn ) = xn − σ1 xn−1 + σ2 xn−1 − . . . + (−1)n σn definiert. Mit den garbentheoretischen Begriffen aus 4.4 gilt der Satz. Die Polynome σj sind die Komponenten der Sn -Orbitprojektion (2) σ = (σ1 , . . . , σn ) : Cn → Cn . Die Bildgarbe Oσ = On ist die holomorphe Strukturgarbe auf Cn .

282

14. Der Periodentorus

Beweis. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß σ surjektiv ist und die σ-Fasern die Orbiten der Sn -Operation sind. Wegen der Folgerung in 1.2.3 ist σ offen, also eine topologische Sn -Orbitprojektion. Aus der Holomorphie von σ folgt O n ⊂ Oσ . Zum Beweis der Inklusion Oσ ⊂ On betrachten wir die Diskriminante ∆(w) des Polynoms n n−1 x + w2 xn−2 − . . . + (−1)n wn . Sie wird durch ∆ ◦ σ(z) := D(z) :=

− w1 x 2 ankung 1≤j 0 , ahlen holomorphe Karten wobei n = n1 + . . . + nr . Wir w¨ (1) zj : (Uj , Qj ) → (E, 0) mit Uj ∩ Uk = ∅ f¨ ur j = k und R := (Q1 , . . . , Q1 ; . . . ; Qr , . . . , Qr ) , wobei Qj nj -mal auftritt. Die Standgruppe (Sn )R = Sn1 × . . . × Snr besteht aus den Permutationen, die jeden Faktor X nj von X n = X n1 ×. . .×X nr in sich transformieren. Die Umgebung U1n1 × . . . × Urnr von R ist privilegiert. Nach der Folgerung in 14.4.2 gibt es eine offene Menge Vj ⊂ Cnj und eine Snj -Orbitprojektion sj : Enj → Vj mit Osj = OVj . Das nj -fache kartesische Produkt der Karte zj ist ein Isomorphismus wj : U nj → Enj . Durch Hintereinanderschalten entsteht die Snj -Orbitprojektion ϕj := sj ◦ wj : U nj → Enj → Vj mit Oϕj = OVj . Das Produkt ϕ := ϕ1 × . . . × ϕr : U := U n1 × . . . × U nr → V1 × . . . × Vr =: V ist die gesuchte Projektion.


14.4 Symmetrische Produkte

283

14.4.4 Potenzsummen-Koordinaten. F¨ ur manche Anwendungen sind die Potenzsummen πk (z1 , . . . , zn ) := z1k + . . . + znk besser geeignet als die elementarsymmetrischen Polynome σk . Um σ = (σ1 , . . . , σn ) durch (1) π = (π1 , . . . , πn ) : Cn → Cn als Sn -Orbitprojektion zu ersetzen, benutzen wir das

Lemma. Es gibt zueinander inverse polynomiale Abbildungen Φ, Ψ : Cn → Cn mit π = Φ ◦ σ und σ = Ψ ◦ π . Beweis. Sei σ0 := 1 und σj := 0 f¨ ur j < 0 und j > n . Durch Induktion u ¨ber n folgt f¨ ur r ≥ 1 (2) πr − πr−1 σ1 + πr−2 σ2 − . . . + (−1)r−1 π1 σr−1 + (−1)r rσr = 0 . F¨ ur den Induktionsschritt benutzt man die Formel σj (z1 , . . . , zn , zn+1 ) = σj (z1 , . . . , zn ) + zn+1 σj−1 (z1 , . . . , zn ) , die sich aus 14.4.2(1) durch Multipli¨ber r kation mit x−zn+1 ergibt.– Aus (2) gewinnt man durch Induktion u Polynome ϕr (z1 , . . . , zr ) und ψr (w1 , . . . , wr ) , so daß πr = ϕr (σ1 , . . . , σr ) und σr = ψr (π1 , . . . , πr ) gelten. Sie sind die Komponenten der Abbildungen Φ := (ϕ1 , . . . , ϕn ) und Ψ := (ψ1 , . . . , ψn ) .
Sei D = n1 Q1 + . . . + nr Qr ein Divisor auf der Fl¨ ache X mit paarweise verschiedenen Punkten Qj ∈ X und nj > 0 . Seien nzjj : (Uj , Qj ) → (E, 0) Pν : Pν ∈ Uj } von Karten mit Uj ∩ Uk = ∅ . Die Umgebung Wj := { ν=1 n nj Qj in Xnj ist der Orbitraum der Snj -Orbitprojektion pj : Uj j → Wj . Nach dem Lemma sind die Potenzsummen nj n zj (Pν )k , f¨ ur k = 1, . . . , nj (3) uj,k : Uj j → C , (P1 , . . . , Pnj ) → ν=1 n

Komponentenfunktionen einer holomorphen Snj -Orbitprojektion Uj j → Vj auf eine offene Menge Vj ⊂ Cnj . Die durch uj,k = vj,k ◦ pj bestimmten Funktionen vj,k : Wj → C (k = 1, . . . , nj ) sind die Komponenten einer biholomorphen Abbildung vj : Wj → Vj . Durch die injektive offene Abbildung W1 × . . . × Wr → Xn , (E1 , . . . , Er ) → E1 + . . . + Er , wird W1 × . . . × Wr mit einer Umgebung W von D in Xn identifiziert. Die Isomorphismen vj setzen sich daher zur holomorphen Karte w := (v1 , . . . , vr ) : W = W1 × · · · × Wr → V1 × . . . × Vr ⊂ Cn zusammen. Ihre Komponenten sind die Potenzsummen-Koordinaten wj,k : W → C, E1 + . . . + Er → vj,k (Ej ) ; k = 1, . . . , nj , j = 1, . . . , r . Wir benutzen sie zur Beschreibung der 14.4.5 Cotangentialr¨ aume symmetrischer Produkte. Wie in 14.4.4 sei D = n1 Q1 + . . . + nr Qr ∈ Xn mit paarweise verschiedenen Punkten Qj dargestellt. Wir nennen zwei holomorphe Differentialformen ω und ω ′ , die auf Umgebungen von {Q1 , . . . , Qr } in X definiert sind, D-¨ aquivalent, wenn o(ω − ω ′ , Qj ) ≥ nj f¨ ur j = 1, . . . , r gilt. ¨ Lemma. Die D-Aquivalenzklassen ωD bilden einen n-dimensionalen kom∗ plexen Vektorraum τD X , der zum Cotangentialraum TD Xn kanonisch isomorph ist.

284

14. Der Periodentorus

Zur Definition des Isomorphismus benutzen wir die Abbildungen  (1) ∆j : X → Xn , ∆j (P ) := nj P + l=j nl Ql . Sie sind holomorph. Die Form ψ sei auf einer Umgebung W von D holomorph. Wir w¨ ahlen paarweise disjunkte Scheiben Uj mit Zentren Qj , so daß ∆j (Uj ) ⊂ W , also ∆∗j ψ ∈ E1 (Uj ) ist. Durch (∆∗ ψ)|Uj := ∆∗j ψ/nj wird ∆∗ ψ ∈ E1 (U1 ∪ . . . ∪ Ur ) und der kanonische Isomorphismus ∗ (2) TD Xn → τD X , [ψ]D → ∆∗ ψD , definiert. Die Abbildung (2) h¨ angt nicht von der Wahl der Umgebungen W und Uj ab. Sie ist linear. F¨ ur den Isomorphiebeweis w¨ahlen wir Karten zj : (Uj , Qj ) → (E, 0) . ur l = j . Dann ist {zjk−1 dzj D } mit k = 1, . . . , nj und Sei zj |Ul := 0 f¨ j = 1, . . . , r eine Basis von τD X . Die Ableitungen der PotenzsummenKoordinaten wj,k : W → C zu den Karten zj bestimmen die Basis ∗ (Xn ) . Aus wj,k ◦∆j = nj zjk folgt [dwj,k ]D → kzjk−1 dzj D {[dwj,k ]D } von TD bei der Abbildung (2), die somit ein Isomorphismus ist.
14.4.6 Die R¨ ange der Periodenabbildung. Die Periodenabbildung µn : Xn → J(X) ist holomorph, da sie durch die Sn -invariante holomorphe Abbildung X n → J(X), (x1 , . . . , xn ) → µ(x1 ) + . . . + µ(xn ), induziert wird.   Satz. Der Cotangentialhomomorphismus von µn : (Xn , D) → J(X), a bekommt durch Vor- und Nachschalten der kanonischen Isomorphismen 14.4.1(3) bzw. 14.4.5(2) die Gestalt ∗

TD µn ∗ Xn ∼ E1 (X) ∼ = τD X , ω → ωD . = Ta∗ J(X) −−−−→ TD 1 Er hat den i(D)-dimensionalen Kern L (−D) und somit den Rang g − i(D). ∗ Beweis. Der Isomorphismus 14.4.1(3) gefolgt von TD µn transformiert ω ∗ ∗ nach [µn ϕ]D ∈ TD Xn . Beim Isomorphismus 14.4.5(2) entsteht daraus ∆∗ µ∗n ϕD . Mit µnj ◦ ∆j = nj µ|Uj und 14.4.1(4) folgt (∆∗ µ∗n ϕ)|Uj = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ n−1 j ∆j µn ϕ = (µ ϕ)|Uj = ω|Uj , also insgesamt ω → ∆ µn ϕD = ωD .


14.5 Linearscharen Sei X eine kompakte, zusammenh¨ angende Riemannsche Fl¨ache. In 8.4.3 wurde jede Linearschar auf X mit der Struktur eines projektiven Raumes versehen. Ein aufwendiger Beweis best¨ atigt die naheliegende Vermutung: 14.5.1 Linearscharen sind Untermannigfaltigkeiten, genauer: Jede Linearschar L vom Grad n auf X ist mit ihrer Struktur als projektiver Raum eine Untermannigfaltigkeit des symmetrischen Produktes Xn . Beweis. Sei q = dim L . Zu jedem D ∈ L gibt es q + 1 linear unabh¨ angige Funktionen 1, f1 , . . . , fq ∈ L(D) , so daß L das Bild der injektiven Abbildung (1) ϕ : Pq → Xn , ϕ(t0 : t1 : . . . : tq ) := D + (t0 + t1 f1 + . . . + tq fq )

14.5 Linearscharen

285

ist, siehe 8.4.3(4). Es gen¨ ugt zu zeigen, daß ϕ bei (1 : 0 : . . . : 0) holomorph ist und dort den maximalen Rang q hat. Wir setzen t0 := 1 und betrachten t := (t1 , . . . , tq ) als affine Koordinaten. Sei gt = 1 + t1 f1 + . . . + tq fq und q ϕ : C → Xn , ϕ(t) := D + (gt ) . Wir benutzen wie in 14.4.4 die Darstellung D = nj Qj , die Karten (Uj , zj ) von X , die Umgebung W von D in Xn und die Koordinaten wj,k auf W . Sei Vj = {x ∈ Uj : |zj (x)| < 21 } .  (2) F¨ ur alle t in einer Umgebung T von 0 ∈ Cq gilt x∈Vj ϕ(t)(x) = nj .

Beweis zu (2): Es gibt eine Scheibe T um 0 , so daß gt f¨ ur alle t ∈ T l¨ angs der kompakten R¨ ander ∂V1 ∪ . . . ∪ ∂Vr keine Nullstellen hat. Polstellen gibt es dort auch nicht, da diese im Tr¨ager {Q1 , . . . , Qr } von D liegen.Das Nullund Polstellen z¨ ahlende Integral *  1 dgt /gt o(gt , x) = 2πi ∂Vj x∈Vj

h¨ angt wie sein Integrand stetig ab und nimmt nur ganz von t ∈ T  o(g , x) = zahlige Werte an. Daher ist t x∈Vj o(1, x) = 0 . Wegen x∈V j  D(x) = D(Q ) = n folgt (2) und daher ϕ(T )⊂W. j j x∈Vj

Die Funktionen hj,k := wj,k ◦ ϕ|T sind die Komponenten einer Koordinatendarstellung h : T → Cn von ϕ in einer Umgebung von (1 : 0 : . . . : 0) . Daher gen¨ ugt es zu zeigen: (3) Die Funktionen hj,k sind holomorph. Die Abbildung h hat bei t = 0 den maximalen Rang q . Beweis zu (3): Nach den Definitionen von wj,k und ϕ(t) ist *    1 k k D(x)+o(gt , x) zj (x) = o(gt , x)zj (x) = z k dgt /gt . hj,k (t) = 2πi ∂Vj j x∈Vj

x∈Vj

Da der Integrand und damit das Integral holomorph von t abh¨ angt, ist hj,k holomorph. Die partiellen Ableitungen werden unter dem Integral berechnet: * * 1 ∂hj,k k zjk dfm = − z k−1 fm dz (0) = ∂tm 2πi ∂Vj 2πi ∂Vj j (4) = −k mal Koeffizient von z −k in der Laurent-Entwicklung von fm an der Stelle Qj . Wenn die Funktionalmatrix von h an der Stelle t = 0 nicht den maximalen Rang q h¨ atte, w¨are eine nicht triviale Linearkombination ihrer q Spalten die Nullspalte. Wegen (4) h¨ atte die entsprechende Linearkombination von are konstant. Das widerspricht der linearen Unf1 , . . . , fq keine Pole und w¨ abh¨ angigkeit von 1, f1 , . . . , fq .


14.5.2 Vollst¨ andige Linearscharen. F¨ ur jeden Punkt a einer komplexen Mannigfaltigkeit M ist der Tangentialraum Ta M := (Ta∗ M )∗ der Dualraum des Cotangentialraumes. Der Tangentialhomomorphismus einer holomorphen Abbildung f : (M, a) → (N, b) ist der zu Ta∗ f duale Homomorphismus Ta f : T a M → Tb N .

286

14. Der Periodentorus

F¨ ur eine Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 ist nach 14.2.5 ist die µn -Faser durch D ∈ Xn die vollst¨ andige Linearschar |D| , also TD |D| ⊂ Kern(TD µn ) . Nach Satz 14.4.6 hat TD µn den Rang g−i(D) ; somit ist dim Kern(TD µn ) = n − g + i(D) . Wegen (RR) ist diese Dimension = l(D) − 1 = dim|D| , also TD |D| = Kern(TD µn ) . Das Abelsche Theorem (in der Gestalt des Satzes 14.2.5) vereinigt sich daher mit (RR) zum Theorem. Die Fasern der Periodenabbildung µn : Xn → J(X) sind die vollst¨ andigen Linearscharen vom Grade n . An jeder Stelle D ∈ X n ist
TD |D| = Kern(TD µn ) und rg(µn , D) = g − i(D) . 14.5.3 Ausblick. Nach 13.6.2 ist die Teilmenge U ⊂ Xg der allgemeinen Divisoren offen und dicht. Wegen l(D) = 1 f¨ ur D ∈ U wird U durch µg biholomorph ur die K¨ orper der auf die offene und dichte Menge µg (U ) ⊂ J(X) abgebildet. F¨ meromorphen Funktionen ist daher die Liftung M(J(X)) → M(Xg ) , f → f ◦ µg , ein Isomorphismus. Nun sei n ≤ g . Nach Remmerts Satz u ¨ ber eigentliche holomorphe Abbildungen, vgl. 9.2.5, ist Wn := µn (Xn ) ⊂ J(X) eine analytische Menge, die wie Xn irreduzibel ist. Wie im Spezialfall n = g bilden die allgemeinen Divisoren eine offene und dichte Teilmenge U ⊂ Xn , die durch µn biholomorph auf die offene und dichte Teilmenge µn (U ) ⊂ Wn abgebildet wird. Daher ist dim Wn = n . Insbesondere ist Wg−1 eine Hyperfl¨ ache in J(X) . Riemann beschreibt sie als Nullstellenmenge der Thetafunktion, siehe 15.1.4(3). Kempf [Kem 1] untersucht f¨ ur alle n < g−1 die Singularit¨ aten von Wn und gibt ihre Tangentialkegel an. Seine Ergebnisse bilden einen H¨ ohepunkt der (oft nach Brill und Noether benannten) Theorie der Variet¨ aten spezieller Divisoren. Die in mehr als 100 Jahren angesammelten Ergebnisse dieser Theorie f¨ ullen ein eigenes Buch, siehe [ACGH].

14.6 Aufgaben. 1)

Folgere das Abelsche Additionstheorem (14.1.2) aus der Surjektivit¨at der Periodenabbildung µg (14.3.3).

2)

Wir benutzen die Bezeichnungen aus dem Beispiel in 14.4.1. Sei T := V /Γ . (i) Zeige: Die Abbildung V ∗ → E1 (T ) , u → ϕu , ist linear und injektiv. Sei X eine Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 1 , und sei f : X → T eine holomorphe Abbildung. Sie induziert die lineare Abbildung f ∗ : V ∗ → E1 (X), ω → f ∗ ω . (ii) Zeige: Bei der dualen Abbildung f ∗∗ : E1 (X)∗ → V wird das Gitter H1 (X) in das Gitter Γ abgebildet und daher ein holomorpher Homomorphismus fˆ : J(X) → T induziert. (iii) Zeige: Wenn der Basispunkt P0 der Periodenabbildung µ : X → J(X) den Wert f (P0 ) = 0 ∈ T hat, ist fˆ ◦ µ = f .

3)

Wir benutzen die Bezeichnungen aus Aufgabe 2. Sei η : Z → X die Uniformisierung. Sei f : X → T eine holomorphe Immersion, d.h. rg(f, x) = 1 f¨ ur alle x ∈ X . Zeige: (i) Es gibt eine holomorphe Abbildung F : Z → Cn mit p ◦ F = f ◦ η . (ii) Es gibt einen Homomorphismus h : D(η) → Γ , so daß F ◦ γ = F + h(γ) f¨ ur alle γ ∈ D(η) gilt.

14.6 Aufgaben.

287

Wegen Z = C oder = H kann man die Ableitung F ′ : Z → Cn \ {0} bilden und die Projektion q : Cn \ {0} → Pn−1 nachschalten. Zeige: (iii) Es gibt genau eine holomorphe Abbildung f ′ : X → Pn−1 mit q ◦ F ′ = f′ ◦ η . (iv) Aus der Periodenabbildung µ : X → J(X) entsteht die kanonische Abbildung µ′ : X → Pg−1 . 4)

Sei µ : X → J(X) die Periodenabbildung einer hyperelliptischen Fl¨ache X . Der Basispunkt P0 mit µ(P0 ) = 0 sei ein Weierstraß-Punkt. Zeige: Ein Punkt P ∈ X ist genau dann ein Weierstraß-Punkt, wenn 2µ(P ) = 0 ∈ J(X) .

5)


n der Zahlenkugel ist zum proZeige: Das n -fache symmetrische Produkt C jektiven Raum Pn isomorph.

6)

Zeige: Bei jeder Fl¨ ache X vom Geschlecht g bilden die regul¨ aren Werte von ur jedes d ≥ g eine dichte und offene Teilmenge U ⊂ J(X) . µd : Xd → J(X) f¨ F¨ ur d ≥ 2g − 1 ist U = J(X) . Bestimme U f¨ ur d = 2g − 2 .

7)

Beweise die am Ende von 14.3.3 aufgestellte Behauptung: Bei jeder Fl¨ache X vom Geschlecht 2 hat die Periodenabbildung µ2 : X2 → J(X) genau eine zur Zahlenkugel isomorphe Faser. Alle anderen Fasern sind einpunktig.

8)

Deute das Ergebnis der Aufgabe 13.7.5 als Aussage u ¨ ber die R¨ ange und Faserdimensionen der Periodenabbildung µ3 : X3 → J(X) .

9)

Sei X eine Fl¨ ache vom Geschlecht 3. Zeige: (i) Die Periodenabbildung µ2 ist eine Einbettung, falls X nicht-hyperelliptisch ist. (ii) Im hyperelliptischen Fall bilden alle Divisoren P + σ(P ) f¨ ur P ∈ X und die hyperelliptische Involution σ eine eindimensionale µ2 -Faser F . Das Komplement X2 \ F wird durch µ2 eingebettet.

10) Untersuche die R¨ ange und Faserdimensionen der Periodenabbildungen µ4 f¨ ur Fl¨ achen vom Geschlecht 4. 11) Untersuche die Fasern der Differenzabbildung δ : X × X → J(X) , δ(x, y) := µ(x)−µ(y) . Das Ergebnis h¨ angt davon ab, ob X hyperelliptisch ist oder nicht. Welchen Rang hat δ ? 12) Pr¨ azisiere und begr¨ unde die in 14.1.3 zitiere Behauptung von Jacobi: Die symmetrischen Funktionen von z1 , z2 sind vierfach periodische Funktionen von u1 , u2 . Benutze dazu den Liftungsisomorphismus µ∗g : M(J(X)) → M(Xg ) aus 14.5.3.

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Die Grundlage f¨ ur das Studium elliptischer Funktionen war im 2. Kapitel die Weierstraßsche ℘-Funktion. Jacobis a¨ltere Methode, welche von der Theta ∞ exp πin(nτ + 2z) f¨ ur τ ∈ H und z ∈ C ausgeht, ist komReihe n=−∞ plizierter. Aber sie erm¨oglicht auch einen Zugang zu den Abelschen Funktionen, welche nicht mehr elliptisch sind, wenn die zugeh¨ orige Fl¨ ache ein Geschlecht g > 1 hat. Wie bereits von Jacobi vorgeschlagen wurde, benutzt man dann eine Thetareihe in g Variablen. Diese Idee, welche sich bei Jacobi noch auf den hyperelliptischen Fall beschr¨ ankte, griff Riemann auf und verwirklichte sie in der Weise, daß er jeder kompakten Fl¨ ache X eine Thetafunktion zuordnete, aus der sich alle meromorphen Funktionen auf X gewinnen lassen. Diese Riemannsche Theorie der Thetafunktion steht im Mittelpunkt des Kapitels.

15.1 Der Weg zur Riemannschen Thetafunktion Riemann widmete den zweiten Teil seiner Abhandlung u ¨ber Abelsche Funktionen [Ri 3] der Thetafunktion und erg¨ anzte diese Abhandlung acht Jahre sp¨ater durch eine Untersuchung der Nullstellen dieser Funktion, [Ri 5]. Bereits die Definition der Thetafunktion ist kompliziert, und ihre Eigenschaften erfordern umfangreiche Beweise. Damit deutlich wird, welche Ziele erreicht werden sollen, verzichten wir zun¨ achst auf alle l¨ angeren Beweise und manche Einzelheiten, die außerhalb des Hauptweges liegen.– Mit X wird stets eine kompakte Riemannsche Fl¨ache vom Geschlecht g ≥ 1 bezeichnet. 15.1.1 Die Periodenmatrix. Nach 14.2.1 liegt die ganzzahlige Homologie H1 (X) als Gitter vom Rang 2g im Dualraum E1 (X)∗ des g-dimensionalen Vektorraums E1 (X) aller holomorphen Differentialformen auf X , also (1) H1 (X) ⊂ E1 (X)∗ . Die Fl¨ ache X wird wie in 12.4 kanonisch zerschnitten. Die Homologieklassen der R¨ uckkehrschnitte a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg bilden eine Basis von H1 (X) , siehe 12.3.2. Gem¨aß (1) sind a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg Vektoren in E1 (X)∗ . (2) Die Vektoren a1 , . . . , ag bilden eine Basis von E1 (X)∗ .

15.1 Der Weg zur Riemannschen Thetafunktion

289

Wenn man nun b1 , . . . , bg als Linearkombinationen dieser Basisvektoren g darstellt,  τjk ak , bj = k=1

entsteht die (g × g)-Periodenmatrix T := (τjk ) . (3) Die Periodenmatrix T ist symmetrisch und hat einen positiv definiten Imagin¨ arteil Im T = 2i (T¯ − T ) . 15.1.2 Die Thetareihe. Mit der Periodenmatrix T wird die Thetareihe  exp(πin, 2z + T n) (1) ϑ(z) = n∈Zg

f¨ ur z := (z1 , . . . , zg ) ∈ Cg gebildet. Summiert wird u ¨ber alle g-Tupel n := bezeichnet T n das Produkt der Matrix (n1 , . . . , ng ) ganzer Zahlen. Dabei  g T mit der Spalte n , und z, w := j=1 zj wj ist das Produkt der Vektoren z = (z1 , . . . , zg ) und w = (w1 , . . . , wg ).– Da Im T positiv definit ist, folgt: (2) Die Thetareihe konvergiert normal und stellt daher eine auf C g holomorphe Funktion dar. Offenbar ist ϑ(−z) = ϑ(z) .  zj aj wird Cg mit 15.1.3 Periodizit¨ at. Durch z := (z1 , . . . , zg ) → Dadurch wird die Thetareihe zur Thetafunktion ϑ ∈ E1(X)∗ identifiziert.  O E1 (X)∗ . Sie ist ak -periodisch, d.h. (1) ϑ(z + ak ) = ϑ(z) f¨ ur z ∈ E1 (X)∗ und k = 1, . . . g .  Bei den bk -Perioden treten nullstellenfreie Faktoren auf: F¨ ur z = zk ak gilt   (2) ϑ(z + bk ) = exp − πi(2zk + τkk ) · ϑ(z) .

15.1.4 Nullstellen. Wegen 15.1.3 ist die Nullstellenordnung o(ϑ, z) ∈ N an der Stelle z ∈ E1 (X)∗ bei Translationen um Vektoren c ∈ H1 (X) invariant: o(ϑ, z + c) = o(ϑ, z) . Es gibt daher eine Funktion Θ : J(X) → N auf dem in 14.2.2 eingef¨ uhrten Periodentorus J(X) , so daß   (1) Θ p(z) = o(ϑ, z) f¨ ur z ∈ E1 (X)∗ ∗ und die Projektion p : E1 (X) → E1 (X)∗ /H1 (X) =: J(X) gilt. Zwischen dem Thetadivisor Θ und seinem Tr¨ ager (2) N := {ξ ∈ J(X) : Θ(ξ) ≥ 1} einerseits sowie den positiven Divisoren D auf X vom Grade g − 1 andererseits besteht eine wunderbare Beziehung. Bekanntlich bilden diese Divisoren das (g − 1)-fache symmetrische Produkt Xg−1 . Dieses wird durch die Periodenabbildung µ : Xg−1 → J(X) in den Periodentorus abgebildet, siehe 14.2.2 und 14.3. (3) Es gibt eine Konstante κ ∈ J(X) , so daß Wg−1 := µ(Xg−1 ) = κ + N ist. Dabei hat jeder Divisor D ∈  Xg−1 die Dimension l(D) = Θ µ(D) − κ . Die Verschiebungsformel Wg−1 = κ + N bewies Riemann bereits in [Ri 3]. Die Dimensionsformel (Manche Autoren nennen sie Riemanns Singulari¨ atentheorem) ist das Hauptergebnis der erg¨ anzenden Abhandlung [Ri 5].

290

15 Die Riemannsche Thetafunktion

¨ 15.1.5 Primfunktionen. Die universelle Uberlagerung η : Z → X ist mit der Projektion p : E1 (X)∗ → J(X) durch das kommutative Diagramm h

Z −→ E1 (X)∗ η ↓ ↓p µ X −→ J(X) . verbunden, siehe 14.2.2. Riemann definiert zu jedem e ∈ E1 (X)∗ die holomorphe Funktion ϑe := ϑ◦(e+h) auf Z . Man nennt ϑe eine Primfunktion, falls sie nicht konstant = 0 ist. Wie im n¨ achsten Abschnitt ausgef¨ uhrt wird, l¨ aßt sich analog zur Primzerlegung rationaler Zahlen jede meromorphe Funktion auf X als Quotient von Produkten von Primfunktionen darstellen. Die Deckgruppe D(η) = π(X) ist die Fundamentalgruppe. Das Periodenverhalten der Thetafunktion ergibt f¨ ur die Homotopieklassen α1 , . . . , αg , β1 , . . . , βg der R¨ uckkehrschnitte   (1) ϑe ◦ αk = ϑe , ϑe ◦ βk = exp − πi(τkk + 2ek + 2hk ) · ϑe .   Dabei ist e = ek ak und h = hk ak .– Die Ordnung o(ϑe , z) an der Stelle z ∈ Z h¨ angt nur von ε := p(e) ∈ J(X) und η(z) ∈ X ab. Somit ist der positive Divisor Θε auf X durch   (2) Θε η(z) := o(ϑe , z) f¨ ur z ∈ Z wohldefiniert. Er heißt Primdivisor . F¨ ur den Tr¨ ager, den Grad und den Periodenwert gelten mit der Konstante κ aus 15.1.4 (3) Tr(Θε ) = {x ∈ X : µ(x) + ε ∈ N } , gr(Θε ) = g , µ(Θε ) = κ − ε . 15.1.6 Darstellung meromorpher Funktionen. Das Verhalten der Primfunktionen gegen¨ uber Deckabbildungen vereinfacht sich f¨ ur Quotienten:   (1) (ϑe /ϑe′ ) ◦ βk = exp 2πi(e′k − ek ) · (ϑe /ϑe′ ) . Der Schl¨ ussel in Riemanns Beweis des Abelschen Theorems mittels der Thetafunktion ist folgendes Ergebnis: (2) Zu je zwei Punkten Q, Q′ ∈ Z gibt es Primfunktionen ϑe , ϑe′ , so daß e − e′ = h(Q′ ) − h(Q) und Θε − Θε′ = η(Q) − η(Q′ ) f¨ ur ε := p(e) , ε′ := p(e′ ) gelten. Theorem. Auf der Fl¨ ache X seien 2r Punkte P1 , . . . , P2r mit Pj = Pr+k f¨ ur alle j, k ∈ {1, . . . , r} gegeben, so daß r r   µ(Pj+r ) (3) µ(Pj ) = j=1

j=1

ist. Es gibt eine Funktion f ∈ M(X) mit dem Hauptdivisor r  (f ) = (Pj − Pj+r ) j=r

und Primfunktionen ϑej mit (4)

f ◦η =

r

j=1

(ϑej /ϑer+j ) .

In diesem Theorem werden mit ej Punkte in E1 (X)∗ und nicht wie bisher die Komponenten eines Punktes e bezeichnet.– Die erste Behauptung ist die

15.2 Thetafunktionen

291

schwierige Richtung des Abelschen Theorems 14.2.4. Sie wird im folgenden neu bewiesen. Beweis. Wir w¨ ahlen zu jedem Pj einen   Punkt Qj ∈ Z mit η(Qj ) = Pj . Die Voraussetzung (3) lautet dann j h(Qj ) − h(Qr+j ) ∈ H1 (X) . Wenn man Q1 die Faser η −1 (P1 ) durchlaufen aßt, durchl¨ auft h(Q1 ) eine volle   l¨ h(Q ) − h(Q H1 (X)-Restklasse. Man kann daher j r+j ) = 0 durch pasj sende Wahl von Q1 erreichen. Nach (1)-(2) gibt es Primfunktionen ϑej , ϑer+j , so daß (ϑej /ϑer+j )◦βk =   exp hk (Qj+r ) − hk (Qj ) · (ϑej /ϑer+j ) und Θεj − Θεj+r = Pj − Pj+r gilt.

F¨ ur das Produkt f˜ := j (ϑej /ϑer+j ) folgt f˜ ◦ βk = f˜ und f˜ ◦ αk = f˜ , letzteres wegen 1.5.1(1). Da D(η) von α1 , . . . , αg , β1 , . . . , βg erzeugt wird, gilt f˜◦ γ = f˜ f¨ ur alle γ ∈ D(η) . Daher gibt  es eine  meromorphe Funktion f ˜, z) = o f, η(z) hat sie den Hauptdivisor auf Xmit f˜ = f ◦ η . Wegen o( f 
(f ) = j (Θεj − Θεj+r ) = j (Pj − Pj+r ) .

Jede Funktion f ∈ M(X) ist durch ihre Nullstellen P1 , . . . , Pr und Polstellen Pr+1 , . . . , P2r bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Wegen der Abelschen Relation 7.5.3 ist die Bedingung (3) erf¨ ullt. Daher hat f ◦ η bis auf einen konstanten Faktor eine Primzerlegung (4).

15.2 Thetafunktionen Zu jeder komplexen symmetrischen (g × g) -Matrix T , deren Imagin¨ arteil positiv definit ist, wird eine konvergente Thetareihe gebildet, die eine holoullt morphe Funktion in g Variablen z = (z1 , . . . , zg ) ∈ Cg darstellt. Sie erf¨ Periodizit¨ atsformeln bez¨ uglich der Einheitsvektoren und der Spaltenvektoren von T und ist durch diese Formeln bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt.– Wie man zu jeder Riemannschen Fl¨ ache vom Geschlecht g eine Matrix T findet, wird im zweiten Teil dieses Paragraphen er¨ ortert. 15.2.1 Die Thetareihe. Im 12 g(g+1)-dimensionalen Vektorraum aller symarmetrischen g × g -Matrizen bilden die Matrizen T = (τjk ) , deren Imagin¨ teile Im T positiv definit sind, eine offene und konvexe Teilmenge Hg . Man nennt Hg den Siegelschen Halbraum und seine Elemente Siegelsche Matrizen. C. L. Siegel hat diese Matrizen in [Si 1] systematisch untersucht. Wir definieren wie in 15.1.2 auf Cg × Hg die Thetareihe  (1) ϑ(z, T ) = exp(πin, 2z + T n) . n∈Zg

Satz. Die Reihe (1) konvergiert normal und stellt daher eine holomorphe Funktion auf Cg × Hg dar. Offenbar gilt ϑ(−z, T ) = ϑ(z, T ) . Beweis. Sei z = x + iy . Dann ist   | exp πin, 2z + T n| = exp − π(n, 2y + Imn, T n) .

292

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Weil Im T positiv definit ist, gibt es eine Konstante c′′ ≥ 0 , so daß Im n, T n ≤ c′′ |n|2 := c′′ (n21 + . . . + n2g ) . ′ ′ Zu jedem Kompaktum K gibt es eine Konstante y ≤ c ≥ 0 , ′so daß n,  c |n|  ′′ 2 f¨ ur alle z = x + iy ∈ K gilt. Daher ist n exp −π(2c |n| + c |n| ) eine konvergente Majorante der Thetareihe f¨ ur alle z ∈ K .
Bemerkung. Die Thetareihe erf¨ ullt die W¨ armeleitungsgleichung ∂ϑ ∂2ϑ = 2πi(1 + δjk ) , ∂zj ∂zk ∂τjk wie man durch gliedweises Differenzieren der Reihe 15.2.1(1) best¨atigt.

15.2.2 Periodizit¨ at. Da Im T regul¨ ar ist, bilden die u ¨blichen Einheitsvektoren des Cg , die wir hier mit aj bezeichnen, zusammen mit den Spaltenvektoren bj := T aj der Matrix T eine R -Basis von Cg und spannen daher das Gitter Γ := Za1 + . . . + Zag + Zb1 + . . . + Zbg < Cg mit dem maximalen Rang 2g auf. Der Torus Cg /Γ heißt Abelsche Variet¨ at der Matrix T . Jedes c ∈ Γ l¨ aßt sich eindeutig als c = c′ + T c′′ mit c′ , c′′ ∈ Za1 + . . . + Zag darstellen. F¨ ur die Thetareihe ϑ(z) := ϑ(z, T ) gilt die Periodizit¨ atsformel (1) ϑ(z + c′ + T c′′ ) = ϑ(z + T c′′ ) = exp(−πic′′ , 2z + T c′′ ) · ϑ(z) . Beweis. Nach 15.2.1(1) ist  ϑ(z + c′ + T c′′ ) = n (exp πin, 2z + 2T c′′ + T n) · exp(2πin, c′ ). Wegen n, c′  ∈ Z ist der zweite Faktor = 1. Mit m = n + c′′ gilt  ϑ(z + c) = m exp(πim − c′′ , 2z + T c′′ + T m) . Wegen der Symmetrie von T folgt die Behauptung aus
m − c′′ , 2z + T c′′ + T m = m, 2z + T m − c′′ , 2z + T c′′  . Periodizit¨ atssatz. Alle Funktionen h ∈ O(Cn ) , welche   (2a) h(z + ak ) = h(z) und (2b) h(z + bk ) = exp − πi(2zk + τkk ) · h(z) f¨ ur k = 1, . . . , g erf¨ ullen, bilden einen eindimensionalen komplexen Vektorraum L . Er wird von der Thetareihe ϑ aufgespannt. Beweis. Wegen der Periodizit¨atsformel erf¨ ullt die Thetareihe (2a) und (2b). Alle Funktionen, die (1a) erf¨ u llen, lassen sich als Fourierreihe h(z) =  γ exp 2πin, z mit Koeffizienten γ ∈ C darstellen. Aus (1b) folgt n n n  h(z + bk ) = exp(−πiτkk ) · n γn exp(2πin − ak , z)  = exp(−πiτkk ) · m γm+ak exp(2πim, z) .  Andererseits ist h(z + bk ) = n exp 2πin, bk  · γn · exp 2πin, z . Der Koeffizientenvergleich ergibt γn+ak exp(−πiτkk ) = γn exp(2πin, bk ) . Durch Induktion u ¨ber |n| = |n1 | + · · · + |ng | folgt: Genau dann, wenn γ0 = 0 ist, ur alle n . Daher ist dim L = 1 . Die Thetareihe spannt L auf, gilt γn = 0 f¨
weil ihr Fourierkoeffizient γ0 = 1 ist. Man nennt f ∈ O(Cg ) eine Thetafunktion der Ordnung n ≥ 1 , wenn (1) f (z + c′ + T c′′ ) = f (z + T c′′ ) = exp(−nπic′′ , 2z + T c′′ )

15.2 Thetafunktionen

293

gilt. Diese Funktionen bilden eine C-Vektorraum Ln der Dimension ng . Offenbar ist die direkte Summe ⊕ Ln eine graduierte C-Algebra. Lefschetz’ Einbettungssatz.Sei n ≥ 3 . F¨ ur jede Basis f1 , . . . , fng von Ln g g induziert die Abbildung (f1 , . . . , fng ) : Cg → Cn eine Einbettung Cg /Γ → Pn −1 der Abelschen Variet¨ at.– Ein komplexer Torus ist genau dann zu einer Abelschen Variet¨ at isomorph, wenn er in einen projektiven Raum Pm eingebettet werden kann. Das Studium Abelscher Variet¨ aten und ihrer Thetafunktionen hat sich zu einer umfangreichen selbst¨ andigen Theorie entwickelt. Zur schnellen Orientierung eignen sich die einf¨ uhrenden Lehrb¨ ucher [Deb] und [SD]. Umfangreichere Darstellungen findet man in [Kem 2], [LB] und [Mu 1], [Mu 3].

15.2.3 Gewinnung Siegelscher Matrizen. Wir bilden auf dem Dualraum V ∗ eines g -dimensionalen Vektorraums V mit 2g Vektoren a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg ∈ V die Bilinearform R und die Hermitesche Form S durch g g   i  R(ω, ϕ) := ω(aj )ϕ(bj ) − ω(bj )ϕ(aj ) . ω(aj )ϕ(bj ) bzw. S(ω, ϕ) := 2 j=1 j=1

Satz. Genau dann wenn R symmetrisch und S positiv definit ist, bilden die ersten g Vektoren a1 , . . . , ag eine C -Basis von V , und man erh¨ alt eine Siegelsche Matrix T = (τjk ) durch g  τjk ak . (1) bj = k=1

∗ Beweis. die (g × g) -Matrizen  von V . Wir bilden    Sei ω1 , . . . , ωg eine Basis A := ωj (ak ) , B := ωj (bk ) , R := R(ωj , ωk ) und S := S(ωj , ωk ) . ¯ − B t · A) ¯ positiv definit ist, hat A den maximalen Rang Weil S = 2i (At · B g , d.h. a1 , . . . , ag ist eine Basis von V . Wir w¨ ahlen ω1 , . . . , ωg als dazu duale Basis. Dann ist A = E die Einheitsmatrix, und T = R = B . Folglich ist T wie R symmetrisch, und Im T = 2i (T¯ − T ) = S ist positiv definit.– Der Beweis der Umkehrung bleibt dem Leser u ¨berlassen (Aufgabe 15.8.10).

15.2.4 Schnittform. Symplektische Basen. Sei X eine Riemannsche Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 1 . Wir benutzen die Algebra Ω ∗ (X) der C wertigen C ∞ -Differentialformen mit der Ableitung d und dem alternierenden ur ν ∈ / {0, 1, 2} . Die exakten bzw. geschlosseProdukt ∧ . Es ist Ω ν (X) = 0 f¨ nen Formen bilden Untervektorr¨ aume B ν (X) bzw. Z ν (X) von Ω ν (X) . Der ν (X) := Z ν (X)/B ν (X) heißt ν -te DeRham -Cohomologie. Faktorraum HDR ur ω ∈ Z 1 (X) und jede Homologieklasse c ∈ H1 (X) ist das Integral   F¨ ur alle c ∈ H1 (X) gilt, ist ω ∈ C definiert. Genau dann, wenn c ω = 0 f¨ c ω ∈ B 1 (X) , vgl. Satz 7.4.6 f¨ ur den holomorphen Fall.  F¨ ur jede Form σ ∈ Ω 2 (X) ist das Integral X σ ∈ C definiert. Es ist 2 ur ω ∈ Ω 1 (X) und die konjugiert genau dann = 0 , wenn σ  in B (X) liegt. F¨ ¯ ≥ 0 , und zwar > 0 , sobald ω = 0 ist. komplexe Form ω ¯ ist i X ω ∧ ω Satz. Seien a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg die Homologieklassen der R¨ uckkehrschnitte einer kanonischen Zerschneidung der Fl¨ ache X . In Z 1 (X) gibt es Formen α1 , . . . , αg , β1 , . . . , βg , so daß f¨ ur ω ∈ Z 1 (X) und j, k ∈ {1, . . . , g} gilt:

294

(1) (2)

15 Die Riemannsche Thetafunktion



X



aj

ω=



X

αj ∧ αk =



αj ∧ ω

X

und

βj ∧ βk = 0

 ω = X βj ∧ ω ,  α ∧ βk = δjk . und X j



bj

Einen Beweis findet man z.B. in [Fu], p. 247-254. Die folgenden Ergebnisse sind einfache Konsequenzen dieses Satzes, wenn man ber¨ ucksichtigt, daß die Klassen a1 , .. , .. , bg eine Basis von H1 (X) bilden, siehe 12.3.2 und 12.4.1. Dadurch, daß man jeder Form ω ∈ Z 1 (X) die Abbildung H1 (X) → C ,  1 c → c ω zuordnet, entsteht ein Isomorphismus HDR (X) ∼ = H 1 (X, C) . Die 1 Cohomologieklassen von α1 , .. ,.. , βg bilden eine Basis von HDR (X) . F¨ ur ϕ, ω ∈ Z 1 (X) h¨ asenangt X ϕ ∧ ω nur von den durch ϕ, ω repr¨ 1 (X) ab. Wir bezeichnen im folgentierten Cohomologieklassen in HDR 1 (X) und die den die Formen in Z 1 (X) , ihre Cohomologieklassen in HDR entsprechenden Elemente in H 1 (X, C) mit denselben griechischen Buchstaben. Die Bilinearform  (3) H 1 (X, C) × H 1 (X, C) → C , (ϕ , ω) → X ϕ ∧ ω ,  0 E mit hat bez¨ uglich der Basis α1 , .. , .. , βg von H 1 (X, C) die Matrix −E 0 der g × g -Einheitsmatrix E . Sie ist nicht-entartet, d.h. zu jeder linearen Abbildung λ : H 1 (X, C) → C gibt es genau ein ϕ ∈ H 1 (X, C) mit λ(ω) =  ϕ ∧ ω f¨ ur alle ω ∈ H 1 (X, C) . X Daher gibt es zu jeder Homologieklasse c ∈ H1 (X) genau eine Poincar´e duale Cohomologieklasse γ ∈ H 1 (X, C) mit   1 (4) ur alle ω ∈ HDR (X). ω = X γ ∧ ω f¨ c Insbesondere sind αj , βj zu den R¨ uckkehrschnitten aj , bj dual. F¨ ur zwei Klassen c1 , c2 ∈ H1 (X) mit den dualen Klassen γ1 , γ2 definiert man die Schnittzahl    (5) s(c1 , c2 ) := X γ1 ∧ γ2 = c1 γ2 = − c2 γ1 Die R¨ uckkehrschnitte a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg haben die Schnittzahlen (6) s(aj , ak ) = s(bj , bk ) = 0 , s(aj , bk ) = δjk . Daher ist die Schnittform (7) s : H1 (X) × H1 (X) → Z schiefsymmetrisch, ganzzahlig und nicht-entartet. Jede Basis a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg von H1 (X) mit den Schnittzahlen (6) heißt symplektisch. Mit solchen Basen gilt f¨ ur ϕ, ω ∈ Z 1 (X) :  g        ϕ .
ω · ω − ϕ · ϕ ∧ ω = (8) bj aj bj aj X j=1

15.2.5 Periodenmatrizen. Bei jeder symplektischen Basis (a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg ) des Homologiegitters H1 (X) < E1 (X)∗ bilden die ersten g Vektoren a1 , . . . , ag eine C -Basis von E1 (X)∗ , und die durch g  τjk ak bj = k=1

bestimmte Periodenmatrix T = (τjk ) ist Siegelsch.

15.3 Darstellung meromorpher Funktionen

295

Beweis. Wie in 15.2.3 bilden wir f¨ ur V := E1(X)∗ die Bilinearform R und  die Hermitesche Form S . Dabei ist ϕ(aj ) := aj ϕ und ω(bj ) := bj ω . Nach 15.2.4(8) gilt   R(ϕ, ω) − R(ω, ϕ) = X ϕ ∧ ω = 0 und S(ϕ, ω) = 2i X ϕ ∧ ω ¯ . Denn f¨ ur ϕ, ω ∈ E1 (X) ist ϕ ∧ ω = 0 . Somit ist R symmetrisch und S positiv definit. Mit Satz 15.2.3 folgt die Behauptung.
Wir bilden zu jeder symplektischen Basis a1 , .. , .. , bg von H1 (X) die Periodenmatrix T und mit ihr wie in 15.1.2-3 die Riemannsche Theta  definieren funktion ϑ ∈ O E1 (X)∗ durch g  zj aj ∈ E1 (X)∗ mit zj ∈ C . (1) ϑ(z) := ϑ(z1 , . . . , zg ; T ) f¨ ur z = j=1

In den folgenden Paragraphen 15.3 -5 benutzen wir eine Basis a1 , .. , .. , bg , die aus den R¨ uckkehrschnitten einer kanonischen Zerschneidung von X besteht und daher nach 15.2.4(6) symplektisch ist. Die Abh¨ angigkeit von der Zerschneidung wird in 15.4.4 untersucht. Beliebige symplektische Basen werden in 15.6.5 zugelassen.

15.3 Darstellung meromorpher Funktionen   Mit der soeben eingef¨ uhrten Thetafunktion ϑ ∈ O E1 (X)∗ werden wie in 15.1.5 Primfunktionen ϑe ∈ O(Z) definiert. Wir beweisen die in 15.1.6 angegebene Darstellung aller meromorphen Funktionen auf X als Quotienten von Produkten dieser Primfunktionen.– Wir benutzen Basispunkte Q0 ∈ Z mit h(Q0 ) = 0 und P0 := η(Q0 ) ∈ X . Die Deckgruppe D(η) wird mit der Fundamentalgruppe π(X) identifiziert und durch A : D(η) → H1 (X) abelsch gemacht. Die R¨ uckkehrschnitte einer kanonischen Zerschneidung von X und ihre Homologieklassen werden mit a1 , . . . , ag , b1 , . . . , ag bezeichnet. 15.3.1 Primfunktionen. Sei ω1 , . . . , ωg die zu a1 , . . . , ag duale Basis von E1 (X) . Sei hj ∈ O(Z) die Stammfunktion von η ∗ ωj mit hj (Q0 ) = 0 .  F¨ ur jedes c ∈ H1 (X) gilt c = (mj aj + nj bj ) mit ganzzahligen Koeffizienten mj = mj (c) und nj = nj (c) . Wir definieren den Epimorphismus   (1) n : H1 (X) → Zg , n(c) := n1 (c), . . . , ng (c) .  g Wir identifizieren E1 (X)∗ ∼ ,e = ej aj → (e1 , . . . , eg ), und benutzen = C zj wj . Wie in 15.1.5 sei ϑe := ϑ(e + h) . auf Cg das Produkt z, w :=

Satz. F¨ ur jede Deckabbildung γ ∈ D(η) mit Aγ = c ∈ H1 (X) gilt  (2) ϑe ◦ γ = ϕc,e · ϑe mit ϕc,e = exp −πi n(c), 2e + 2h + T n(c) . Insbesondere ist   (3) ϕaj ,e = 1 und ϕbj ,e = exp −πi(2ej + 2hj + τjj ) . F¨ ur die logarithmische Ableitung gilt g  nj (c)η ∗ ωj . (4) γ ∗ (dϑe /ϑe ) = dϑe /ϑe − 2πi j=1

296

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Beweis. Nach 14.2.2(4) gilt ϑe ◦ γ = ϑ(e + h + c) . Daher folgen (2)-(3) aus der Periodizit¨ atsformel 15.2.2(1).– Wegen dhj = η ∗ ωj ist γ ∗ (dϑe /ϑe ) = d(ϕc,e ·ϑe )/(ϕc,e ·ϑe ) = dϑe /ϑe +dϕc,e /ϕc,e = dϑe /ϑe −2πi dn(c), h . Daraus folgt (4).
15.3.2 Primdivisoren. Die Nullstenordnungen jeder Primfunktion ϑ e bestimmen zu ε := p(e) ∈ J(X) den Primdivisor Θε auf X durch   (1) Θε η(z) := o(ϑe , z) f¨ ur alle z ∈ Z . Offenbar ist Θε positiv. F¨ ur den Grad gilt (2) gr Θε = g . Beweis. Wenn p(e) = p(e′ ) ist, gibt es ein c ∈ H1 (X) mit e′ = e + c . Dann ist ϑe′ = ϑ(e + c + h) = ϕc,e · ϑe . Weil ϕc,e keine Nullstellen hat, folgt o(ϑe′ , z) = o(ϑe , z) .– Wenn η(z) = η(z ′ ) ist, gibt es ein γ ∈ D(η) mit z ′ = γ(z) . Sei c := Aγ . Dann ist o(ϑe , z ′ ) = o(ϑe ◦ γ, z) = o(ϕc,e · ϑe , z) = o(ϑe , z) . Daher ist (1) sinnvoll.– Zu (2). Nach der Folgerung in 12.5.2 gibt es eine kanonischen Zerschneidung ρ : ∆ → X mit den R¨ uckkehrschnitten a1 , .. , .. , bg , wobei ∆ ⊂ Z , ρ = η|∆ und Tr(Θε ) ∩ η(∂∆) = ∅ ist. Wir wenden die Residuenformel in 12.5.3 auf ψ = dϑe /ϑe an: Wegen 15.3.1(4) ist ψ − βj∗ ψ = 2πi η ∗ ωj und ψ − (αj−1 )∗ ψ = 0 , also g   1
gr Θε = z∈∆ res (ψ, z) = 2πi j=1 aj ωj = g .

Satz. Zu jeder kanonischen Zerschneidung ρ : ∆ → X mit den R¨ uckkehrschnitten a1 , .. , .. , bg gibt es eine Riemannsche Konstante κ ∈ J(X) , so daß f¨ ur die Periodenabbildung der Primdivisoren µ(Θε ) = κ − ε gilt. Beweis. Wie im Beweis zu gr Θε = g wird die Folgerung in 12.5.2 und die Residuenformel in 12.5.3 benutzt. F¨ ur jede Schleife c in X mit der Hour motopieklasse γ ∈ π(X) = D(η) ist hk ◦ γ − hk = c ωk konstant. F¨ ψ := hk dϑe /ϑe und γ ∈ D(η) mit c := Aγ ∈ H1 (X) gilt    ∗ ψ − γ ∗ ψ = − c ωk · dϑe /ϑe + 2πi c ωk + hk j nj (c)η ωj . Die Residuenformel ergibt   g   1  dϑe dϑe (3) o(ϑe , z)hk (z) = res (ψ, z) = − + + λk τjk 2πi j=1 ϑ ˜ e a ˜j bk ϑe z∈∆

z∈∆

mit einer nur von a1 , .., .., bg abh¨ angigen Konstanten λk . Die Integrale in (3) werden wie folgt ausgewertet: Sei Aj der Anfangspunkt von a ˜j . Dann ist αj′ (Aj ) der Endpunkt, wobei αj′ zu αj konjugiert ist.    Mit 7.8.1(4) folgt exp a˜j dϑe /ϑe = ϑe αj′ (Aj ) /ϑe (Aj ) = 1 , letzteres weil ϑe ◦ αj′ = ϑe ◦ αj = ϕaj · ϑe und ϕaj = 1 ist, siehe 15.3.1(3). Daher gilt  dϑe /ϑe = 2πi lj (e) mit lj (e) ∈ Z . (4) a ˜j    ur In analoger Weise folgt exp ˜bk dϑe /ϑe = exp − πi(2ek + 2hk (Bk ) + τkk ) f¨ ˜ den Anfangspunkt Bk von bk , also  dϑe /ϑe = 2πi (−ek + mk (e)) + µk (5) ˜ bk

15.3 Darstellung meromorpher Funktionen

297

mit mk (e) ∈ Z und einer nur von a1 , .. , .. , bg abh¨ angigen Konstanten µk . Einsetzen von (4) und (5) in (3) ergibt g  z∈∆ o(ϑe , z) · hk (z) = − j=1 τjk lj (e) − ek + mk (e) + κk mit einer nur von a1 , .., .., bg abh¨ angigen Konstanten κk . Wir multiplizieren mit ak und summieren u ¨ber k = 1, . . . , g . Dabei entsteht  g g g κk ak . z∈∆ o(ϑe , z) · h(z) = −e − j=1 lj (e)bj − k=1 mk (e)ak +  k=1 Mit p erh¨ alt man links µ(Θε ) und rechts −ε + κ f¨ ur κ := p( κk ak ) .
15.3.3 Satz von Lewittes (Theorem 11 in [Lew]). F¨ur die Riemannsche Kon-

stante κ und jeden kanonischen Divisor K gilt µ(K) = 2κ . Beweis. F¨ ur g = 1 ist K = 0 und κ = 0 .– F¨ ur g ≥ 2 gibt es wegen µ(X2g−2 ) = J(X) ugt, l(D) ≥ g zu zeigen. Denn nach 13.2.3(1) ein D ∈ X2g−2 mit µ(D) = 2κ . Es gen¨ ist D dann kanonisch, und jeder kanonische Divisor K hat denselben Wert µ(K) = µ(D) . Nach Satz 8.1.4 gibt es ein E ∈ Xg−1 mit l(D − E) = max{0, l(D)−g+1} . Nach der Verschiebungsformel ist Wg−1 = 2κ−Wg−1 . Daher gibt es ein E ′ ∈ Xg−1 mit 2κ = µ(E + E ′ ) . Nach dem Abelschen Theorem sind D und E + E ′ , also aquivalent. Aus 1 ≤ l(E ′ ) = l(D − E) = l(D)− g + 1 auch D − E und E ′ linear ¨ folgt l(D) ≥ g .


15.3.4 Analytische Mengen. Als Schl¨ ussel zur Darstellung aller meromorphen Funktionen durch Primfunktionen wurde in 15.1.6(2) ein Ergebnis angegeben, dessen Beweis genauere Kenntnisse u ¨ ber die Stellen e ∈ E1∗ (X) erfordert, f¨ ur die ϑe eine Primfunktion, also nicht konstant = 0 ist. Dazu werden analytische Mengen benutzt. Ohne deren Theorie von Grund auf zu entwickeln, stellen wir wesentlichen Definitionen und Ergebnisse zusammen. Ausf¨ uhrliche Darstellungen findet man z.B. in [GH] und [GR]. Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n . Eine Teilmenge A ⊂ M heißt analytisch, wenn es zu jedem Punkt in M eine Umgebung U und Funktionen f1 , . . . , fq ∈ O(U ) gibt, so daß U ∩ A = {x ∈ U : f1 (x) = . . . = fq (x) = 0} . Ein Punkt von A heißt regul¨ ar, wenn er im Definitionsbereich einer holomorphen Karte (U, z) liegt, f¨ ur die U ∩ A = {x ∈ U : z1 (x) = . . . = zq (x) = 0} ist. Die Menge R(A) aller regul¨ aren Punkte liegt dicht und offen in A . Sie ist die disjunkte Vereinigung von abz¨ ahlbar vielen zusammenh¨ angenden Unteronnen. Wenn mannigfaltigkeiten Yj , die verschiedene Dimensionen haben k¨ R(A) zusammenh¨angt, heißt A irreduzibel. Der topologische Abschluß Aj von Yj in M ist eine irreduzible analytische Menge, und A = ∪Aj ist die eindeutig bestimmte Zerlegung in irreduzible Komponenten. Sie ist lokal endlich, also endlich, falls M kompakt ist. Man definiert dim Aj := dim Yj und dim A := max{dim Aj } . Wenn die analytische Menge A irreduzibel ist, gilt dim B < dim A oder B = A f¨ ur jede analytische Teilmenge B ⊂ A . Das kartesische Produkt A×A′ ⊂ M ×M ′ von zwei analytischen Mengen A ⊂ M und A′ ⊂ M ′ ist analytisch. Es ist irreduzibel, wenn A und A′ irreduzibel sind. Die Dimensionen addieren sich.

298

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Sei ϕ : M → M ′ eine eigentliche, holomorphe Abbildung. F¨ ur jede (irreduzible) analytische Menge A ⊂ M ist das Bild ϕ(A) ⊂ M ′ eine (irreduzible) analytische Menge mit einer Dimension dimϕ(A) ≤ dim A . Wenn alle Komponenten Aj die Dimension n − 1 haben, heißt A Hyperfl¨ ache. Eine Teilmenge A ⊂ M ist genau dann eine Hyperfl¨ ache, wenn es zu jedem Punkt in M eine zusammenh¨angende Umgebung U und eine von Null verschiedene Funktion f ∈ O(U ) mit A ∩ U = {x ∈ U : f (x) = 0} gibt. Jede bei x ∈ M holomorphe Funktion f l¨ aßt sich nach Wahl lokaler Kooraα z α dinaten z1 , . . . , zn mit zj (x) = 0 als konvergente Potenzreihe f = darstellen. Die kleinste Zahl k, f¨ ur die ein Multiindex α mit |α| = k und aα = 0 existiert, heißt Ordnung von f bei x . Sie h¨ angt nicht von der Wahl der Koordinaten ab und wird mit o(f, x) = k bezeichnet. F¨ ur f ∈ O(M ) und q ∈ N sind die Mengen {x ∈ M : o(f, x) ≥ q} analytisch. 15.3.5 Gute Nullstellen. Der in 15.1.3 eingef¨ uhrte Tr¨ ager N ⊂ J(X) des Thetadivisors Θ ist eine analytische Menge der Dimension g − 1 . F¨ ur jeden Primdivisor Θε gilt offenbar (1) Tr (Θε ) = {x ∈ X : ε + µ(x) ∈ N } . Sei W1 := µ(X) ⊂ J(X) . Die Funktion ϑe ist genau dann konstant = 0 , wenn p(e) + W1 ⊂ N . Wegen µ(P0 ) = 0 ist (2) N1 := {ε ∈ J(X) : ε + W1 ⊂ N } ⊂ N . Die Punkte in N \ N1 nennen wir gute Nullstellen der Thetafunktion. Um N \ N1 = ∅ auszuschließen, beweisen wir (3) dim N1 ≤ g − 2 . Wenn es eine (g − 1)-dimensionale irreduzible Komponente E von N1 g¨abe, w¨are E×X irreduzibel und folglich auch das Bild ϕ1 (E×X) ⊂ N unter der eigentlichen holomorphen Abbildung ϕ1 : E ×X → J(X) , (ε, x) → ε +µ(x) . Daher w¨ are E ⊂ ϕ1 (E × X) ⊂ N , also g − 1 = dim E ≤ dim ϕ1 (E × X) ≤ dim N = g − 1 . Aus der Irreduzibilit¨ at von ϕ1 (E × X) folgt (4) ϕ1 (E × X) = E . Sei ϕ : E × Div (X) → J(X) , ϕ(ε, D) := ε + µ(D) . F¨ ur alle ε ∈ E und alle positiven Divisoren D gilt ϕ(ε, D) ∈ E . Das folgt mit (4) durch Induktion u ¨ber gr D . Andererseits gibt es nach 14.3.3 zu jedem α ∈ J(X) und zu are E = J(X) im jedem ε ∈ E ein D ∈ Xg mit ϕ(ε, D) = α . Somit w¨ Widerspruch zu dim E = g − 1 < dim J(X) .
15.3.6 Riemanns Verschiebungsformel. F¨ ur Wg−1 := µ(Xg−1 ) gilt mit der Riemannschen Konstanten κ aus 15.3.3 die Formel Wg−1 = κ − N = κ + N . Beweis. F¨ ur jede gute Nullstelle ε gilt ε+µ(P0 ) = ε ∈ N , also P0 ∈ Tr(Θε ) wegen 15.3.5(1). Da Θε positiv ist und den Grad g hat, folgt Θε −P0 ∈ Xg−1 und µ(Θε − P0 ) = κ − ε . Somit ist N \ N1 ⊂ κ − Wg−1 . Durch Abschluß folgt N ⊂ κ − Wg−1 . Links und rechts stehen Hyperfl¨ achen, die rechte ist wie Xg−1 irreduzibel. Daher ist −N = N = κ − Wg−1 .


15.3 Darstellung meromorpher Funktionen

299

Der Thetadivisor Θ auf J(X) h¨ angt von der kanonischen Zerschneidung ab. Die Verschiebungsformel zeigt, daß sein Tr¨ ager bis auf eine Translation eindeutig bestimmt ist. Das gilt auch f¨ ur den Divisor Θ , siehe 15.4.4. 15.3.7 Jacobischer Umkehrsatz. Sei Xg◦ = {D ∈ Xg : dim |D| = 0} und Xg1 = {D ∈ Xg : dim |D| ≥ 1} , also Xg = Xg◦ ⊎ Xg1 . Nach 13.6.2 liegt Xg◦ dicht und offen in Xg . Umkehrsatz. F¨ ur ϕ : Xg → J(X) , ϕ(D) := κ − µ(D) , gilt (1) ϕ(Xg◦ ) = J(X) \ N1 , ϕ(Xg1 ) = N1 . Die Beschr¨ ankung ϕ : Xg◦ → J(X) \ N1 ist biholomorph und wird durch ε → Θε umgekehrt. Beweis. Wegen der Verschiebungsformel 15.3.6 ist (1) a¨quivalent zu (1′ ) Xg1 = {D ∈ Xg : µ(D) − W1 ⊂ Wg−1 } . ′ Beweis zu (1 ): Sei D ∈ Xg . Nach 8.1.5 gilt D ∈ Xg1 genau dann, wenn es zu jedem P ∈ X einen zu D − P linear a¨quivalenten Divisor B ∈ Xg−1 gibt. Wegen 14.2.5 ist letzteres zu µ(D) − µ(P ) ∈ Wg−1 ¨aquivalent. Da ϕ|Xg◦ nach 14.2.5 und 14.4.6 eine Einbettung ist, folgt die letzte Behaup
tung aus ϕ(Θε ) = ε , siehe Satz 15.3.2. Folgerung. F¨ ur jeden Divisor D ∈ Xg sind ¨ aquivalent: D Primdivisor ⇔ dim|D| = 0 ⇔ κ − µ(D) ∈ / N1 .




15.3.8 Quotienten von Primfunktionen. Wie in 15.1.6 ausgef¨ uhrt wurde, folgt die Darstellung aller meromorphen Funktionen auf X durch Primfunktionen aus dem Lemma. Sei j = 1, 2 . Zu je zwei Punkten Qj ∈ Z gibt es Primfunktionen ϑej , so daß mit εj := p(ej ) gilt: e1 − e2 = h(Q2 ) − h(Q1 ) und Θε1 − Θε2 = η(Q1 ) − η(Q2 ) . Beweis. Sei Pj := η(Qj ) . Alle allgemeinen Divisoren bilden nach 13.6.2 eine offene und dichte Teilmenge in Xg−1 . Dasselbe gilt nach 15.3.5 f¨ ur alle Divisoren D mit µ(D) ∈ / κ − µ(Pj ) − N1 . Es gibt daher einen allgemeinen Divisor D ∈ Xg−1 mit µ(D) ∈ κ − µ(Pj ) − N1 . Dadurch erreicht man εj := κ − µ(D) − µ(Pj ) ∈ / N1 . Wir w¨ ahlen e1 ∈ E1 (X)∗ , so daß p(e1 ) = ε1 ist, und definieren e2 := e1 + h(Q1 ) − h(Q2 ) . Dann ist p(e2 ) = ε2 . Wegen εj + µ(Pj ) = κ − µ(D) ∈ κ − Wg−1 = N ist Pj ∈ Tr(Θεj ) , siehe 15.3.5(1), also Θεj −Pj ∈ Xg−1 . Wegen µ(Θεj −Pj ) = µ(D) und dim|D| = 0
folgt Θεj − Pj = D aus 14.2.5. Daher ist Θε1 − Θε2 = P1 − P2 .

300

15 Die Riemannsche Thetafunktion

¨ 15.4 Uber das Verschwinden der Thetafunktionen Nach Riemanns Verschiebungsformel ist der Tr¨ ager N des Thetadivisors Θ das Bild der verschobenen Periodenabbildung ϕ := µ − κ : Xg−1 → J(X) . F¨ ur jedes ε ∈ N ist die Faser ϕ−1 (ε) = |D| eine Linearschar. Man ordnet ε = ϕ(D) die Dimension l(D) = 1 + dim |D| zu. Andererseits hat Θ bei ε einen Wert Θ(ε) ∈ N . Wie in 15.1.4 gesagt wurde, bewies Riemann 1865 in [Ri 5], daß beide Werte gleich sind:   (∗) l(D) = Θ µ(D) − κ .

Obwohl dieses Ergebnis weit u ¨ber hundert Jahrealt ist, hatman bisher keinen einfachen Beweis gefunden. Die f¨ ur l(D) ≥ Θ µ(D) − κ notwendige Absch¨atzung der Nullstellenordnung der Thetafunktion ist besonders m¨ uhsam.– Wir beginnen mit einer Charakterisierung der Dimension l(D) durch

15.4.1 W-Differenzen. Sei Wr = µ(Xr ) ⊂ J(X) und ε ∈ Wg−1 . Wenn ε + α − β ∈ Wg−1 f¨ ur alle Paare α, β ∈ Ws gilt, schreiben wir (1) ε + Ws − Ws ⊂ Wg−1 . Diese Inklusion gilt stets f¨ ur s = 0 . Wenn (1) f¨ ur ein s0 gilt, dann auch f¨ ur alle s ≤ s0 . F¨ ur s = g gilt (1) nicht, weil die linke Seite = J(X) ist. Satz. Sei D ∈ Xg−1 und ε = µ(D) . Die Dimension s = dim|D| ist die gr¨ oßte Zahl, f¨ ur welche (1) gilt. Beweis. Wir zeigen: (i) F¨ ur s = dim|D| gilt (1). (ii) Wenn s die gr¨ oßte Zahl ist, f¨ ur welche (1) gilt, ist dim|D| ≥ s . Zu (i): Seien A, B ∈ Xs gegeben. Zu zeigen ist µ(D) + µ(A) − µ(B) ∈ Wg−1 . Wegen l(D − B) ≥ l(D) − gr B ≥ 1 ist D − B zu einem Divisor in Xg−s−1 linear a¨quivalent, also µ(D) − µ(B) ∈ Wg−s−1 . Dann ist µ(D) + µ(A) − µ(B) ⊂ µ(A) + Wg−s−1 ⊂ Ws + Wg−s−1 ⊂ Wg−1 . Zu (ii). Es gibt α, β ∈ Ws+1 , so daß µ(D) + α − β ∈ Wg−1 = κ − N , also −µ(D) + κ − α + β ∈ N . Beliebig nahe bei α liegt in Ws+1 ein Punkt µ(P1 + . . . + Ps+1 ) mit paarweise verschiedenen Stellen Pj ∈ X . Weil N abgeschlossen ist, k¨onnen wir α = µ(P1 + . . . + Ps+1 ) annehmen. Sei β = ur alle C in einer Umgebung U µ(Q1 + B) mit Q1 ∈ X und B ∈ Xs . F¨ von B in Xs ist −µ(D) + κ − µ(P1 + . . . + Ps+1 ) + µ(Q1 ) + µ(C) ∈ N . Daher ist γ := −µ(D) + κ − µ(P1 + . . . + Ps+1 ) + µ(C) ∈ N1 , und es existiert der Divisor S := Θγ mit µ(S) = µ(D) + µ(P1 + . . . + Ps+1 ) − µ(C) , siehe ager von S , weil Satz 15.3.2. Die Punkte Pj liegen nach 15.3.5(1) im Tr¨ µ(Pj ) − µ(D) + κ − µ(P1 + . . . + Ps+1 ) + µ(C) ⊂ κ − µ(D) − Ws + Ws ⊂ κ − Wg−1 = N . Da die Pj paarweise verschieden sind, hat S die Gestalt P1 + . . . + Ps+1 + T mit T ∈ Xg−s−1 . Es folgt µ(P1 + . . . + Ps+1 ) + µ(T ) = µ(S) = µ(D) + µ(P1 + . . . + Ps+1 ) − µ(C) , also µ(D) = µ(C + T ) . Nach dem Abelschen Theorem sind D und C + T linear a¨quivalent. Damit wurde

¨ 15.4 Uber das Verschwinden der Thetafunktionen

301

gezeigt: Zu jedem C ∈ U ⊂ Xs existiert ein T ∈ Xg−s−1 , so daß D und C + T linear a¨quivalent sind. Somit hat |D| mindestens s Freiheitsgrade, und nach 8.1.5 folgt dim|D| ≥ s .
15.4.2 Erste Absch¨ atzung der Nullstellenordnung. Wegen des letzten Satzes bleibt f¨ ur den Beweis der Riemannschen Formel (∗) zu zeigen: Θ(ε) = s := max{r : ε + Wr−1 − Wr−1 ⊂ N } . Wir d¨ urfen s ≥ 1 voraussetzen und zeigen f¨ ur e ∈ E1 (X)∗ mit p(e) = ε : (1) o(ϑ, e) ≥ s , (2) o(ϑ, e) ≤ s .  Wir identifizieren E1 (X)∗ mit Cg durch zj aj → (z1 , . . . , zg ) . Dann sind f¨ ur f ∈ E1 (X)∗ die h¨ oheren partiellen Ableitungen D α f definiert, und es gilt: o(f, e) ≥ s ⇔ D α f (e) = 0 f¨ ur |α| < s . F¨ ur e ∈ E1 (X)∗ und r ∈ N ∗ r sei He die Menge aller Funktionen f ∈ O(E1 (X) ) mit der Eigenschaft f (e+h(P1 )−h(Q1 )+· · ·+h(Pr )−h(Qr )) = 0 f¨ ur alle P1 , Q1 , . . . , Pr , Qr ∈ Z . Wegen p(e) + Ws−1 − Ws−1 ⊂ N ist ϑ ∈ Hes−1 , und (1) folgt aus dem

Lemma. F¨ ur f ∈ Her ist o(f, e) ≥ r + 1 . ur q ≤ r und f ∈ He0 ⇔ f (e) = 0 . Wir zeigen: Beweis. Es gilt Her ⊂ Heq f¨ 1 ur j = 1, . . . , g . (i) f ∈ He ⇒ ∂f /∂zj ∈ He0 f¨ (ii) f ∈ Her ⇒ ∂f /∂zj ∈ Her−1 f¨ ur j = 1, . . . , g .   Zu (i): F¨ ur jedes Q ∈ Z ist ϕ := f  e+h−h(Q)  die Nullfunktion auf Z . Mit  fj e + h − h(Q) dhj . Da die Formen ωj mit fj := ∂f /∂zj folgt 0 = dϕ = alt man mit der Koordinate z η ∗ ωj = dhj eine Basis von E1 (X) bilden, erh¨ die linear unabh¨ a ngigen auf Z = H aus dhj =: uj dz    Funktionen u1 , . . . , ug . e + h(P ) − h(Q) uj (P ) = 0 . Mit P = Q F¨ ur alle P, Q ∈ Z ist 0 = f j  folgt 0 = fj (e)uj , also f1 (e) = . . . = fg (e) = 0 . ur alle P1 , Q1 , . . . , Pr−1 , Qr−1 ∈ Z und Zu (ii): Aus f ∈ Her folgt f ∈ Hc1 f¨ c := e+h(P1 )−h(Q1 )+. . .+h(Pr−1 )−h(Qr−1 )) . Nach (i) folgt ∂f /∂zj ∈ Hc0 . Wegen der Beliebigkeit von P1 , . . . , Qr−1 bedeutet dies ∂f /∂zj ∈ Her−1 . Aus (ii) folgt das Lemma durch Induktion u ¨ber r .
15.4.3 Zweite Absch¨ atzung der Nullstellenordnung. F¨ ur ε ∈ J(X) ist Θ(ε) ≤ s := max{r : ε + Wr−1 − Wr−1 ⊂ N } . Beweis. Wegen ε + Ws − Ws ⊂ N = −N gibt es Punkte A1 , B1 , . . . , As , Bs in Z , welche sich in folgendem Sinne in allgemeiner Lage befinden: Die Bildpunkte η(A1 ), . . . , η(Bs ) ∈ X sind paarweise verschieden, und es gilt ±ε + ph(A1 ) − ph(B1 ) + . . . + ph(As ) − ph(Bs ) ∈ N . Sei p(e) = ε . Mit der Abbildung m : Z s → E1 (X)∗ , m(P1 , . . . , Ps ) := e + h(P1 ) − h(A1 ) + . . . + h(Ps ) − h(As ) , und der Funktion σ := ϑ ◦ m auf Z s gilt o(ϑ, e) = o(ϑ, m(A)) ≤ o(σ, A) ugt es, o(σ, A) ≤ s zu beweisen. Dazu f¨ ur A = (A1 , . . . , As ) ∈ Z s . Also gen¨ definieren wir analog zu σ die Funktion τ mit Bj statt Aj . Wegen der allgemeinen Lage ist A keine Nullstelle von τ , also o(σ, A) = o(σ/τ, A) , und

302

15 Die Riemannsche Thetafunktion

es gen¨ ugt o(σ/τ, A) ≤ s zu beweisen. Nach 15.3.8 gibt es ej , e′j ∈ E1 (X)∗ / N1 sowie mit εj := p(ej ) , ε′j := p(e′j ) ∈ ′ (1) ej − ej = h(Aj ) − h(Bj ) und Θεj − Θε′j = η(Aj ) − η(Bj ) .

s Sei tj := ϑej /ϑe′j . Das Produkt G(P1 , . . . , Ps ) = j,k=1 tj (Pk ) ist eine Funktion auf Z s mit der Ordnung o(G, A) = s . Es gen¨ ugt zu zeigen, daß sich G und F := σ/τ nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn die partiellen Ableitungen ∂1 (G/F ), . . . , ∂s (G/F ) in Richtung der Faktoren des kartesischen Produktes Z s verschwinden. ugt es, Da F und G symmetrische Funktionen von P1 , . . . , Ps sind, gen¨ ur alle (P1 , . . . , Ps ) zu zeigen, welche ∂1 (G/F )(P1 , . . . , Ps ) = 0 f¨ p(e) + ph(P1 ) − ph(A1 ) + . . . + ph(Ps ) − ph(As ) ∈ N , p(e) + ph(P1 ) − ph(B1 ) + . . . + ph(Ps ) − ph(Bs ) ∈ N erf¨ ullen. Denn diese Punkte bilden eine offene und dichte Teilmenge in Z s . Wir betrachten G/F bei festen P2 , . . . , Ps als Funktion von P = P1 ∈ Z . Der Z¨ahler ist bis auf einen konstanten Faktor = 0 die Funktion t := t1 ·. . .·tr , und der Nenner ist der Quotient f = ϑa /ϑb der Primfunktionen zu a := e − h(A1 ) + h(P2 ) − h(A2 ) + . . . + h(Ps ) − h(As ) und b := e − h(B1 ) + h(P2 ) − h(B2 ) + . . . + h(Ps ) − h(Bs ) . Wir zeigen, daß t/f konstant ist: F¨ ur die Homotopieklassen αk , βk der R¨ uckkehrschnitte gilt nach (1) und 15.1.6(1)    tj ◦ αk = tj und tj ◦ βk = exp 2πi hk (Aj ) − hk (Bj ) ◦ tj ,     f ◦ αk = f und f ◦ βk = exp 2πi j hk (Aj ) − hk (Bj ) ◦ f . Daher gilt (t/f ) ◦ γ = t/f f¨ ur alle γ ∈ D(η) , also t/f = u ◦ η f¨ ur eine Funktion u ∈ M(X) .Sie hat wegen (1) den Hauptdivisor  (u) = j η(Aj ) − η(Bj ) − Θp(a) − Θp(b) . Wegen ε + Ws−1 − Ws−1 ⊂ N liegen die paarweise verschiedenen Punkte η(A1 ), . . . , η(As ) im Tr¨ager Tr(Θp(a) ) = {x ∈ X : p(a) + µ(x) ∈ N } , siehe 15.3.5(1). Daher gilt Θp(a) = η(A1 ) + . . . + η(As ) + C mit C ∈ Xg−s . Entsprechend ist Θp(b) = η(B1 ) + . . . + η(Bs ) + D mit D ∈ Xg−s . Somit ist (u) = D − C . Aus Satz 15.3.2, angewendet auf Θp(a) und Θp(b) folgt µ(C) = κ−ε−ph(P2 )−. . .−ph(Ps ) = µ(D) . Wegen des Abelschen Theorems sind dann C und D linear a¨quivalent. Nun ist l(C) ≤ l(Θp(a) ) = 1 , letzteres nach der Folgerung in 15.3.7. Somit ist D = C , also (u) = 0 . Daher sind u und t/f = u ◦ η konstant.
15.4.4 Eindeutigkeit der Thetafunktion. Da die Dimensionen der Diache X visoren D ∈ Xg−1 nicht von der kanonischen Zerschneidung der Fl¨ abh¨ angen, folgt aus der Riemannschen Formel (∗): F¨ ur die Thetafunktionen ϑ1 , ϑ2 und ihre Thetadivisoren Θ1 , Θ2 zu zwei ver∗ schiedenen Zerschneidungen  gibt es eine Konstante d ∈ E1 (X) und eine  ∗ Funktion f ∈ O E1 (X) , so daß ϑ2(z) = exp f (z) · ϑ1 (z + d) f¨ ur alle ur ε ∈ J(X) gelten.
z ∈ E1 (X)∗ sowie Θ2 (ε) = Θ1 ε + p(d) f¨

15.5 Der Torellische Satz

303

15.4.5 Ausblick. F¨ur ε ∈ Wg−1 l¨aßt sich der Wert Θ(ε − κ) als Grad des projektivierten Tangentialkegels Tε−κ N = Tε Wg−1 ⊂ P(E1 (X)∗ ) = Pg−1 deuten. G. Kempf zeigt f¨ ur alle d < g , siehe [Kem 1]: a ume F¨ ur jedes ε ∈ Wd ist Tε Wd ⊂ Pg−1 die Vereinigung aller projektiven Unterr¨  ¯ der Divisoren D ∈ Xd mit µ(D) = ε . Dieser Kegel hat den Grad g−d+r f¨ ur D r r := l(D) − 1 . ¯ siehe Aufgabe 13.7.13.– Die glatten Punkte werden also F¨ ur die Definition von D duch folgende ¨ aquivalente Aussagen beschrieben: alt genau einen Divisor D ∈ Xd . Wd ist bei ε glatt. ⇔ Die Faser µ−1 (ε) enth¨ ¯ ⇔ Tε Wd hat den Grad 1 . ⇔ l(D) = 1 ⇔ Tε Wd = D Kempfs Ergebnisse werden auch in [ACGH] und [GH] bewiesen.

15.5 Der Torellische Satz Jede kanonisch zerschnittene Riemannsche Fl¨ ache X vom Geschlecht g bestimmt eine Periodenmatrix T ∈ Hg . Ist X durch T bis auf Isomorphie bestimmt? Welche Matrizen T ∈ Hg sind Periodenmatrizen Riemannscher Fl¨ achen? Wir befassen uns zun¨ achst mit der ersten Frage und stellen die zweite, welche auch Schottkysches Problem genannt wird, bis 15.7 zur¨ uck. Durch T sind der Periodentorus J(X) , die Thetafunktion, der Thetadivisor und sein Tr¨ ager N ⊂ J(X) bestimmt. Wegen der Verschiebungsformel in 15.3.6 ist damit auch Wg−1 := µ(Xg−1 ) ⊂ J(X) bis auf eine Translation bestimmt. Um die erste Frage mit ”ja” zu beantworten, gen¨ ugt daher zu ′ sind isomorph, sobald die entsprechenden zeigen:  Zwei Fl¨ achen X und X    ′ isomorph sind. Paare J(X), Wg−1 und J(X ′ ), Wg−1 Dieses Ergebnis wurde 1913/14 von Torelli [To] ver¨ offentlicht. Der im folgenden auszuf¨ uhrende Beweis stammt aus [Mar]. Die vorbereitenden Lemmata gehen auf Weil [Wil 2] zur¨ uck, der sie f¨ ur einen anderen Beweis benutzte. In [ACGH] findet man auf Seite 245 ff. einen Beweis von Andreotti und auf ¨ Seite 261 einen Uberblick u ¨ber weitere Beweise. 15.5.1 Erstes W -Lemma. Sei 0 ≤ r ≤ g − 1 . F¨ ur Wn := µ(Xn ) ⊂ J und a ∈ J gilt : a ∈ Wg−r−1 ⇔ a + Wr ⊂ Wg−1 . Beweis. ⇒ ist klar. Zu ⇐ : Sei P0 ∈ X der Basispunkt mit µ(P0 ) = 0 . Dann ist a = a + µ(rP0 ) ∈ Wg−1 , also a = µ(A) f¨ ur ein A ∈ Xg−1 . Sei K ein kanonischer Divisor. Wir zeigen unten: (∗) Der Divisor K − A + rP0 hat r Freiheitsgrade, d.h. zu jedem D ∈ Xr gibt es ein B ∈ Xg−1 , so daß K − A + rP0 ∼ D + B (linear a ¨quivalent). Nach 8.1.5 ist l(K − A + rP0 ) > r , also l(A − rP0 ) ≥ 1 nach (RR). Daher ist a = µ(A − rP0 ) ∈ Wg−r−1 . Zu (∗) : Nach der Voraussetzung gibt es ein B ′ ∈ Xg−1 mit µ(A + D) = µ(B ′ ) = µ(B ′ +rP0 ) , also A+D ∼ B ′ +rP0 wegen des Abelschen Theorems. Es folgt K − A + rP0 ∼ D + K − B ′ . Nach (RR) ist l(K − B ′ ) = l(B ′ ) ≥ 1 , also K − B ′ ∼ B f¨ ur ein B ∈ Xg−1 .


304

15 Die Riemannsche Thetafunktion

15.5.2 Zweites W -Lemma. F¨ ur + 0 ≤ r ≤ g − 1 gilt (−b + Wg−1 ) . Wg−r−1 = b∈Wr

ur jedes A ∈ Xg−r−1 ist Beweis. Zu ⊂ : Sei b = µ(B) mit b ∈ Xr . F¨ µ(A) + µ(B) = µ(A + B) ∈ Wg−1 .– Zu ⊃ : Sei a ∈ ∩(−b + Wg−1 ) . Dann
ist a + Wr ⊂ Wg−1 , also nach dem ersten W -Lemma a ∈ Wg−r−1 . 15.5.3 Drittes W -Lemma. Der kanonische Divisor K hat g −1 Freiheitsgrade. Daraus folgt ur k := µ(K) .
(1) k − Wg−1 = Wg−1 f¨ Lemma. Sei 0 ≤ r ≤ g − 2 , sei (x, y) ∈ W1 × Wg−r−1 . Aus Wr+1 ⊂ x − y + Wg−1 folgt   (2) (x − y + Wg−1 ) ∩ Wr+1 = (x + Wr ) ∪ Wr+1 ∩ (k − y − Wg−2 ) .

Beweis. Sei x = µ(P ) f¨ ur P ∈ X , und sei y = µ(D) f¨ ur D ∈ Xg−r−1 . Angenommen P ∈ Tr(D) . Dann ist y − x ∈ Wg−r−2 , somit Wr+1 = x − y + y − x + Wr+1 ⊂ x − y + Wg−r−2 + Wr+1 ⊂ x − y + Wg−1 . Das ist nach der Voraussetzung ausgeschlossen, also P ∈ Tr(D) . Wir zeigen nun, daß bei (2) die linke in der rechten Seite enthalten ist: Sei u ∈ (x − y + Wg−1 ) ∩ Wr+1 , also u = µ(P − D + D ′ ) = µ(D′′ ) mit D′ ∈ Xg−1 und D′′ ∈ Xr+1 . Mit dem Abelschen Theorem folgt die lineare ¨ Aquivalenz P − D + D ′ ∼ D′′ . Wenn P − D + D ′ = D′′ ist, gilt P ∈ Tr(D ′′ ) wegen P ∈ / Tr(D) , also D′′ = P + C mit C ∈ Xr . Es folgt u ∈ x + Wr . alt |P + D ′ | mindestens diese beiden Wenn P + D ′ = D + D′′ ist, enth¨ ′ Elemente, also ist l(P + D ) ≥ 2 . Nach 8.1.5 gibt es zu jedem Q ∈ X ein B ∈ Xg−1 , so daß Q + B ∼ P + D ′ , also u + y ∈ (w + Wg−1 ) mit dem ur r = 1 ist Durchschnitt ¨ber alle w ∈ W1 . Nach dem  u  zweiten Lemma f¨ Wg−2 = (−w + Wg−1 ) , also k − Wg−2 = (w + Wg−1 ) wegen (1). Es folgt u + y ∈ k − Wg−2 , d.h. u ∈ k − y − Wg−2 . Zur Inklusion der rechten in der linken Seite von (2) : Es ist x + Wr ⊂ Wr+1 . Aus x = x − y + y = x − y + µ(D) ∈ x − y + Wg−r−1 folgt x + Wr ⊂ x − y + Wr + Wg−r−1 ⊂ x − y + Wg−1 . Schließlich ist k − y − Wg−2 = k−x+(x−y)−Wg−2 ⊂ k+(x−y)−Wg−1 = x−y+Wg−1 .
15.5.4 Torus-Abbildungen. Jede holomorphe Abbildung f : Cn /Γ → Cq /Γ ′ zwischen kompakten, komplexen Tori wird durch eine affine Abbildung Cn → Cq induziert.

Beweis. Seien p : Cn → Cn /Γ =: T und p′ : Cq → Cq /Γ ′ =: T ′ die Projektionen. Nach dem Monodromiesatz gibt es eine holomorphe Abbildung ur jedes γ ∈ Γ ist die Abbildung ϕ : Cn → Cq mit p′ ◦ ϕ = f ◦ p . F¨ z → ϕ(z + γ) − ϕ(z) konstant, weil ihre Werte in Γ ′ liegen. F¨ ur die Komponenten ϕj von ϕ folgt

15.5 Der Torellische Satz

305

∂ϕj ∂ϕj (z + γ) = (z) f¨ ur z ∈ Cn und γ ∈ Γ . ∂zk ∂zk Daher faktorisiert ∂ϕj /∂zk u ¨ber T , und wegen der Kompaktheit von T sind alle partiellen Ableitungen ∂ϕj /∂zk konstant. Somit gilt ϕ(z) = Az + b mit einer konstanten Matrix A und einem konstanten Vektor b .
15.5.5 Satz (Torelli). Seien X und Y zwei Fl¨ achen vom Geschlecht g ≥ 1 . Wenn es eine biholomorphe Abbildung Φ : J(X) → J(Y ) zwischen ihren Periodentori gibt, welche den Tr¨ ager N eines Thetadivisors von X auf den Tr¨ ager Φ(N ) eines Thetadivisors von Y abbildet, sind X und Y isomorph. Nach Satz 15.5.4 gibt es ein b ∈ J(Y ) , so daß b + Φ : J(X) → J(Y ) ein Isomorphismus der Torusgruppen ist. Der Periodenhomomorphismus ν : Div(Y ) → J(Y ) kann daher durch den Homomorphismus (b + Φ)−1 ◦ ν : Div(Y ) → J(X) =: J ersetzt werden, welcher wieder mit ν bezeichnet wird. Die Lemmata 15.5.1-3 gelten f¨ ur die analytischen Mengen Wn = µ(Xn ) und Vn = ν(Yn ) in J . Wegen der Verschiebungsformel lautet die Voraussetzung: ur ein d ∈ J . Es gen¨ ugt zu zeigen: Wg−1 = d + Vg−1 f¨ (∗) Es gibt eine Konstante c ∈ J mit W1 = c ± V1 .

15.5.6 Beweis des Satzes von Torelli. Sei r ∈ {0, . . . , g−2} der minimale Grad, f¨ ur den eine Konstante a ∈ J existiert, so daß V1 ⊂ a ± Wr+1 ist. Wir nehmen V1 ⊂ a + Wr+1 an. Zur Vereinfachung der Notation identifizieren wir Y und V1 mittels ν . F¨ ur jedes x ∈ W1 ist der Durchschnitt M (x) := V1 ∩ (a + x + Wr ) endlich. (∗∗) Tats¨ achlich besteht M (x) aus genau einem Punkt P (x) ∈ V1 . Die in J gebildete Differenz x − P (x) nimmt f¨ ur alle x ∈ W1 nur endlich viele Werte an. ur unendlich viele Daher gibt es ein c ∈ J , so daß x = c + P (x) ∈ c + V1 f¨ x ∈ W1 gilt, also W1 = c + V1 ist.– Der folgende Beweis zu (∗∗) benutzt die W -Lemmata 15.5.2-3 und Eigenschaften der Primdivisoren Θε . Es sei stets x ∈ W1 und y ∈ Wg−r−1 . Die Teilmenge Z := {(x, y) : V1 ⊂ a + x − y + Wg−1 } ⊂ W1 × Wg−r−1 ist analytisch. F¨ ur jedes x und jedes y sind Z(x) := {y : (x, y) ∈ Z} ⊂ Wg−r−1 und Z ′ (y) := {x : (x, y) ∈ Z} ⊂ W1 analytische Teilmengen. Insbesondere ist Z ′ (y) = W1 oder endlich. (1) F¨ ur jedes x ist Z(x) = Wg−r−1 und M (x) := V1 ∩ (a + x + Wr ) endlich. Beweis zu (1). Aus Z(x) = Wg−r−1 folgt nach 15.5.2  V1 ⊂ a + x + y∈Wg−r−1 (−y + Wg−1 ) = a + x + Wr im Widerspruch zur Minimalit¨ at von r .– Wenn M (x) nicht endlich ist, gilt V1 = M (x) ⊂ a + x + Wr im Widerspruch zur Minimalit¨ at von r .


(2) Die analytische Menge N (y) := V1 ∩ (a + k − y − Wg−2 ) ist genau dann = V1 , wenn y ∈ Z(x) f¨ ur alle x ∈ W1 gilt. Sonst ist N (y) endlich.

306

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Beweis zu (2).  Nach 15.5.2 gilt N (y) = V1 ⇔ V1 ⊂ a + k − y − Wg−2 = a + k − y − x∈W1 (−x + Wg−1 ) . Wegen k − Wg−1 = Wg−1 ist dies zu V1 ⊂ a + x − y + Wg−1 , also zu y ∈ Z(x) f¨ ur alle x ¨aquivalent.
 Wegen (1) ist Z0 := x∈W1 Z(x) ⊂ Wg−r−1 eine echte analytische Teilmenge. Folgende Aussagen sind a¨quivalent: y ∈ Z0 ⇔ Z ′ (y) = W1 ⇔ N (y) = V1 .


Wegen ε + V1 ⊂ Vg−1 − κ , vgl. 15.3.5(1) und 15.3.6, l¨ aßt sich die Abbildung Θ : (W1 × Wg−r−1 ) \ Z → Yg , Θ(x, y) := Θε mit ε := y−x−a−d−κ , definieren; denn ε+V1 ⊂ Vg−1 −κ ⇔ y−x−a−d+V1 ⊂ Vg−1 ⇔ y−x−a+V1 ⊂ Wg−1 ⇔ (x, y) ∈ Z .– Nach 15.3.3 gilt (3) ν ◦ Θ(x, y) = 2κ + a + d + x − y .
  (4) Tr Θ(x, y) = M (x) ∪ N (y) .   Beweis zu (4). Nach 15.3.5(1) ist Tr Θ(x, y) = {z ∈ V1 : ε + z ∈ Vg−1 − κ} = V1 ∩ (x − y + a + d + Vg−1 ) = V1 ∩ (a + x − y + Wg−1 ) . F¨ ur jedes y ∈ / Z(x) are V1 ⊂ a+Wr+1 ⊂ a+x−y+Wg−1 , gilt Wr+1 ⊂ x−y+Wg−1 . Denn sonst w¨ also y ∈ Z(x) . Mit Lemma 15.5.3 folgt   Wr+1 ∩ (x − y + Wg−1 ) = (x + Wr ) ∪ Wr+1 ∩ (k − y − Wg−2 ) und damit wegen V1 ⊂ a + Wr+1 auch    V1 ∩ (a + x − y + Wg−1 ) = V1 ∩ (a + x + Wr ) ∪ V1 ∩ (a + k − y − Wg−2 ) .   Links steht Tr Θ(x, y) und rechts M (x) ∪ N (y) .


(5) F¨ ur jedes x ist M (x) = ∅ . Beweis zu (5). Wenn M (x0 ) = ∅ ist, gibt es eine Umgebung U von x0 in W1 mit M (x) = ∅ f¨ ur alle x ∈ U . Sei y ∈ sind Z ′ (y) und / Z0 . Dann  ′ N (y) endlich. F¨ ur jedes x ∈ U \ Z (y) ist Tr Θ(x, y) ⊂ N (y) . Daher ist {Θ(x, y) : x ∈ U \ Z ′ (y)} eine endliche Menge.   Aber die Menge ihrer ν-Bilder {ν ◦ Θ(x, y)} = 2κ + a + d − y + U \ Z ′ (y) ist unendlich.
(6) Es gibt keinen von y unabh¨ angigen Divisor D ∈ Y2 mit Θ(x, y)−D ≥ 0 f¨ ur alle y ∈ / Z(x) . Beweis zu (6). Wenn man Θ(x, y)−D ≥ 0 , d.h. Θ(x, y)−D ∈ Yg−2 annimmt und darauf ν anwendet, folgt b−y ∈ Vg−2 mit b := 2κ+a+d−ν(D)+ x , also ullenbildung W Wg−r−1 \ Z(x) ⊂ b−Vg−2 und  g−r−1 ⊂ b−Vg−2 .  nach H¨ Nach 15.5.2 ist b+V1 = z∈Vg−2 (b−z +Vg−1 ) ⊂ w∈Wg−r−1 (w+Vg−1 ) =  k−d+ w∈Wg−r−1 (w−Wg−1 ) . Indem man 15.5.2 noch einmal anwendet, folgt  V1 ⊂ b+d−k+ w∈Wg−r−1 (w+Wg−1 ) = b+d−k +Wr . Das widerspricht der Minimalit¨ at von r .
(7) F¨ ur jedes x ist ♯M (x) = 1 . Beweis zu (7). Nach (5) ist M (x) = ∅ . Wenn es zwei verschiedenen Punkte P = Q in M (x) g¨abe, entst¨ unde mit D := P + Q ein Widerspruch zu (6).

Wir definieren P : W1 → V1 durch M (x) = {P (x)} . F¨ ur jedes y ∈ / Z(x) ist Θ(x, y) − P (x) ∈ Vg−1 . F¨ ur den Tr¨ ager dieses Divisors gilt

15.6 Die Polarisierung

307

  (8) Tr Θ(x, y) − P (x) ⊂ N (y) .   Beweis zu (8). Wenn folgt  man  Tr Θ(x,  y0 )−P (x) ⊂ N (y0 ) annimmt,   wegen  Tr Θ(x, y0) −P (x) ⊂ Tr Θ(x, y0) und (4) P := P (x) ∈ Tr Θ(x, y0)−P \N (y0). Der Punkt P und die endliche Menge N (y0 ) besitzen in Y disjunkte Umgeangt Θ(x, y)−P von y bungen U1 bzw. U2 . Wie Θε von ε (siehe 15.3.7) h¨ stetig ab. F¨ u r alle y in einer Umgebung von y 0 in Wg−r−1 gilt daher   Tr Θ(x, y) − P ∩ U1 = ∅ und N (y) ⊂ U2 , also P ∈ Tr Θ(x, y) − P . In Wg−r−1 \ Z(x) bilden alle y mit P ∈ Tr(Θ(x, y) − P ) eine analytische Teilmenge B . Sie enth¨ alt die gerade angegebene Umgebung von y0 . Weil ur alle y ∈ Wg−r−1 \ Z(x) irreduzibel ist,  folgt B = Wg−r−1 \ Z(x) , d.h. f¨ alt man mit D := 2P Wg−r−1 \ Z(x) gilt P ∈ Tr Θ(x, y) − P . Dann erh¨ einen Widerspruch zu (6).
Mit einen Schubfachargument wird der Beweis abgeschlossen: Man w¨ ahlt ur alle x ∈ W1 \ Z ′ (y) ist y ∈ / Z0 . Dann sind Z ′ (y) und N (y) endlich. F¨ Θ(x, y) definiert. Wegen (8) ist die Menge {Θ(x, y) − P (x) : x ∈ W1 \ Z ′ (y)} endlich. Daher ist die Menge ihrer ν-Bilder 2κ + a + d − y − P (x) + x endlich. ur unendlich viele x ∈ W1 konstant, also  Somit ist x − P (x) = c f¨ ♯ W1 ∩ (c + V1 ) = ∞ und daher W1 = c + V1 .


15.6 Die Polarisierung F¨ ur Leser, welche die Cohomologietheorie h¨ oher-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, holomorphe Geradenb¨ undel und ihre Beschreibung durch Chernsche Klassen kennen, wird gezeigt, wie sich die Riemannsche Thetafunktion in die Welt dieser Begriffe einordnet. 15.6.1 Die Cohomologie der Tori. Sei V ein komplexer Vektorraum der Dimension g , und sei Γ < V ein Gitter vom maximalen Rang 2g . Die ¨ Projektion p : V → V /Γ =: J ist eine universelle Uberlagerung mit der abelschen Deckgruppe Γ . Sie wird mit der Fundamentalgruppe und der ersten Homologiegruppe identifiziert: π(J) = H1 (J, Z) = Γ . Satz. Der ganzzahlige Cohomologiering H ∗ (J, Z) = Λ∗ Γ ist die alternierende Z -Algebra der freien abelschen Gruppe Γ . Einen Beweis findet man z.B. in [LB], S. 13. Die Elemente von H 2 (V /Γ, Z) = Λ2 Γ sind schiefsymmetrische Z-Bilinearformen Γ × Γ → Z . Wenn J = V /Γ = E1 (X)∗ /H1 (X) = J(X) der Periodentorus einer kompakten Riemannschen Fl¨ ache X ist, nennt man die Schnittform s : H1 (X)×H1 (X) → Z , aufgefaßt als Element s ∈ Λ2 H1 (X) = H 2 (J, Z) , die Polarisierung des Torus. 15.6.2 Geradenb¨ undel auf Tori. Unter g¨ unstigen Umst¨ anden sind Geradenb¨ undel L u ¨ber einem Torus V /Γ durch ihre Chernsche Klasse c(L) ∈ H 2 (V /Γ, Z) = Λ2 Γ fast eindeutig bestimmt.

308

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Satz. Wenn c(L) ∈ Λ2 Γ nicht entartet ist, gibt zu jedem Geradenb¨ undel L′ mit derselben Klasse c(L′ ) = c(L) eine Torustranslation t : V /Γ → V /Γ , so daß L′ = t∗ L das induzierte B¨ undel ist. Einen Beweis findet man z.B. in [LB], S. 41. 15.6.3 Automorphiefaktoren. Eine Funktion f : Γ × V → C× , (c, z) → f (c, z) heißt Automorphiefaktor , wenn sie holomorph von z abh¨ angt und (1) f (a + b, z) = f (a, z + b) · f (b, z) f¨ ur a, b ∈ Γ, z ∈ V erf¨ ullt. Sie bestimmt folgendes holomorphe Geradenb¨ undel π : L → V /Γ : Auf dem Produkt C × V operiert Γ durch   (2) c · (y, z) := f (c, z)y, z + c . Der Orbit von (y, z) wird mit [ y, z] bezeichnet. Dann ist L der Orbitraum, und die Projektion lautet π[y, z] := z + Γ . Jeder holomorphe Schnitt σ : V /Γ → L hat die Gestalt z + Γ → [ ϑ(z), z] . Dabei erf¨ ullt ϑ ∈ O(V ) die Translationsformel (3) ϑ(z + c) = f (c, z)ϑ(z) f¨ ur c ∈ Γ, z ∈ V . Der Vektorraum L(L) aller holomorphen Schnitte entspricht dem Vektorraum dieser Funktionen ϑ . aßt sich folgendermaßen aus dem Satz. Die Chernsche Klasse c(L) ∈ Λ2 Γ l¨ Automorphiefaktor f berechnen: Man w¨ a hlt   zu jedem c ∈ Γ eine Funktion fc ∈ O(V ) mit f (c, z) = exp − 2πifc (z) . Dann gilt (4) c(L)(a, b) = fb (z + a) − fb (z) − fa (v, z) + fa (z) . Einen Beweis findet man z.B. in [LB], S.25. 15.6.4 Geradenb¨ undel zu Siegelschen Matrizen. Wie in 15.2.2 bilden wir zur Matrix T ∈ Hg das Gitter Γ = Za1 + . . . + Zag + Zb1 + . . . + Zbg . Dann ist (1) f : Γ × Cg → C, f (c, z) := exp(−πic′′ , 2z + T c′′  ein Automorphiefaktor. Das entsprechende B¨ undel L = L(T ) u ¨ber Cg /Γ hat wegen des Periodizit¨   atssatzes in 15.2.2 bis auf einen konstanten Faktor nur den Schnitt σ p(z) = [z, ϑ(z, T )] , also dim L(L) = 1 . Die Berechnung der Chernschen Klasse nach Satz 15.6.3 ergibt
(2) c(L)(aj , ak ) = 0 , c(L)(bj , bk ) = 0 , c(L)(aj , bk ) = δjk . 15.6.5 Riemannsche Geradenb¨ undel. Sei X eine Fl¨ ache vom Geschlecht g > 0 . Jede symplektische Basis a1 , . . . , ag , b1 . . . , bg der Homologie H1 (X) bestimmt nach 15.2.5 eine Siegelsche Matrix T . Das zugeh¨orige B¨ undel L = L(T ) u ¨ber dem Periodentorus J(X) nennen wir das Riemannsche Geradenb¨ undel zur Basis a1 , .., .., bg . Seine holomorphen Schnitte werden nach 15.6.4 durch die Riemannsche Thetafunktion ϑ = ϑ(−, T ) beschrieben. Wegen dimL(L) = 1 ist der Thetadivisor Θ zu ϑ ist durch L eindeutig bestimmt:

15.7 Das Schottkysche Problem

309

(1) F¨ ur jeden Schnitt σ ∈ L(L)\{0} gilt Θ(ε) = o(σ, ε) f¨ ur alle ε ∈ J(X) . Aus 15.6.4(2) folgt: (2) Alle Riemannschen Geradenb¨ undel haben dieselbe Chernsche Klasse,
n¨ amlich die Schnittform oder Polarisierung s ∈ Λ2 H1 (X) . Da s nicht entartet ist, folgt aus 15.6.2 der

Satz. Zu je zwei symplektischen Basen von H1 (X) gibt es eine Translaur die tion t des Periodentorus J(X) , so daß L′ = t∗ L und Θ′ = Θ ◦ t f¨ entsprechenden Riemannschen Geradenb¨ undel bzw. Thetadivisoren gilt. F¨ ur  
die Thetafunktionen folgt ϑ′ = (exp f ) · (ϑ ◦ t) mit f ∈ O E1 (X)∗ . 15.6.6 Homologische Version des Torellischen Satzes. Zwei kompakte Riemannsche Fl¨ achen X und X ′ vom Geschlecht g ≥ 1 sind genau dann isomorph, wenn es eine biholomorphe Abbildung Φ : J → J ′ ihrer Periodentori gibt, so daß f¨ ur die Polarisierungen Φ∗ (s′ ) = s gilt.

Beweis. Seien L → J und L′ → J ′ Riemannsche B¨ undel zu kanonischen ager Zerschneidungen von X bzw. X ′ . Seien N ⊂ J und N ′ ⊂ J ′ die Tr¨ ∗ ′ ihrer Thetadivisoren. Nach 15.6.5(2) und der Voraussetzung ist c(Φ L ) =   Φ∗ c(L′ ) = Φ∗ (s′ ) = s = c(L) . Nach Satz 15.6.2 gibt es eine Translation t : J → J mit (Φ ◦ t)∗ L′ = L . Mit 15.6.5(1) folgt (Φ ◦ t)(N ) = N ′ . Damit sind die Vorausetzungen des Torellischen Satzes in 15.5.5 erf¨ ullt.


15.7 Das Schottkysche Problem Periodenmatrizen kompakter Riemannscher Fl¨ achen sind Siegelsch, siehe 15.2.5. Aber nicht jede Siegelsche Matrix ist die Periodenmatrix einer Fl¨ ache. Das wußte“ bereits Riemann. Denn in [Ri 3], Artikel 12, z¨ ahlt er 3g − 3 ” Parameter, die ben¨ otigt werden, um eine Fl¨ ache vom Geschlecht g ≥ 2 bis auf Isomorphie festzulegen. F¨ ur g ≥ 4 ist das weniger als die Dimension 12 g(g + 1) des Siegelschen Halbraumes Hg . Die ersten Ergebnisse zur Charakterisierung der Periodenmatrizen f¨ ur g = 4 stammen von Schottky [Sky] (1888). Daher wird das Problem, die Teilmenge der Periodenmatrizen in Hg zu beschreiben, nach ihm benannt. 15.7.1 Einfache Matrizen. Auch f¨ ur g = 2 und = 3 gibt es Siegelsche Matrizen, die keine Periodenmatrizen sind. Denn es gilt der Satz. Die Periodenmatrix T jeder Fl¨ ache ist einfach, d.h. sie  Riemannschen  T1 0 kann nicht in zwei Bl¨ ocke T = mit T1 = 0 = T2 zerlegt werden. 0 T2 Beweis. Wenn T zerlegt ist, gilt entsprechendes f¨ u r C g = C g1 × C g2 , f¨ ur das Gitter Γ = Γ1 × Γ2 , den Torus Cg /Γ = (Cg1 /Γ1 ) × (Cg2 /Γ2 ) und die Thetafunktion ϑ(z, T ) = ϑ(z1 , T1 ) · ϑ(z2 , T2 ) mit z = (z1 , z2 ) .

310

15 Die Riemannsche Thetafunktion

Die Nullstellenmenge N ⊂ Cg /Γ von ϑ(−, T ) setzt sich dann folgendermaßen aus den Nullstellenmengen Nj ⊂ Cgi /Γj von ϑ(−, Tj ) zusammen: ache N = N1 ×(Cg2 /Γ2 )∪(Cg1 /Γ1 )×N2 . Aber im Falle einer Riemannschen Fl¨ X u ¨bertr¨ agt die Verschiebungsformel die Irreduzibilit¨ at von Wg−1 auf N . 15.7.2 Der Teichm¨ uller-Raum. Jede Fl¨ ache X vom Geschlecht g wird durch die Wahl einer symplektischen Basis (a1 , . . . , ag ; b1 , . . . , bg ) von achen (X; aj , bj ) und (X ′ ; a′j , b′j ) heiH1 (X) markiert. Zwei markierte Fl¨ ßen isomorph, wenn es eine biholomorphe Abbildung f : X → X ′ mit alt eine Abbildung von der Menge a′j = f∗ (aj ) und b′j = f∗ (bj ) gibt. Man erh¨ Tg aller Isomorphieklassen markierter Fl¨ achen vom Geschlecht g in den ache ihre PeriSiegelschen Halbraum Hg , indem man jeder markierten Fl¨ odenmatrix gem¨ aß 15.2.5 zuordnet. Nach dem Torellischen Satz ist diese Abbildung injektiv. F¨ ur g ≥ 2 l¨ aßt sich der Teichm¨ uller -Raum Tg als beschr¨anktes Gebiet in C3g−3 realisieren. Seine Dimension 3g − 3 entspricht dem Ergebnis der Riemannschen Parameterz¨ahlung. Die Abbildung Tg → Hg ist holomorph. F¨ ur g ≥ 3 ist ihr Rang genau in den Punkten maximal = 3g − 3 , die nicht den hyperelliptischen Fl¨ achen entsprechen. F¨ ur g = 2 ist der Rang u ¨berall maximal = 3 . Genauere Ausf¨ uhrungen und Beweise der genannten Ergebnisse, die auf [Tei], Nr. 20 und 29, zur¨ uckgehen, findet man z.B. in [IT], Chapter 6 und Appendix A.2. ur g ≥ 4 ist die F¨ ur g = 2 , 3 liegen die Periodenmatrizen dicht in Hg . F¨ Codimension dimHg − dimTg = 21 (g − 2)(g − 3) > 0 . 15.7.3 Die Kadomtsev-Petviashvilische (KP ) Differentialgleichung. Aus Thetafunktionen Riemannscher Fl¨ achen lassen sich L¨osungen gewisser nicht-linearer Differentialgleichungen vom Korteweg-deVries’schen (KdV ) ¨ Typ gewinnen, siehe hierzu die Ubersichtsartikel [KN], [Du] und das Buch [NMPZ]. In diesem Zusammenhang wurde 1976 -1984 von verschiedenen Autoren folgende Charakterisierung der Periodenmatrizen gefunden: Eine einfache Matrix T ∈ Hg ist genau dann die Periodenmatrix einer markierten Riemannschen Fl¨ ache X vom Geschlecht g ≥ 1 , wenn es drei Vektoren u = 0 , v , w ∈ Cg gibt, so daß die Funktion ∂2 f (x, y, z; t) := log ϑ(xu + yv + zw + t, T ) ∂x2 f¨ ur jeden Parametervektor t ∈ Cg die KP -Gleichung erf¨ ullt: ∂ (fz − 3f fx − 2fxxx ) . 3fyy = ∂x Die drei Vektoren u, v, w geben die Tangente, die Normale und die Binormale der komplexen Kurve µ(X) ⊂ J(X) im Basispunkt an. Mehr Informationen zu dieser L¨ osung des Schottkyschen Problems und wei¨ tere Literaturangaben findet man in [Shio] und im Ubersichtsartikel [Ar].

15.8 Aufgaben

311

15.8 Aufgaben Die Aufgaben 1) - 7) handeln von Thetafunktionen f¨ ur g = 1 : Bilde mit τ ∈ H = H1 das Gitter Ω = Z + Zτ < C und den Torus X = C/Ω mit der Projektion η : C → X . Identifiziere Ω < C mit H1 (X) < E1 (X)∗ . 1) Wie lautet die Thetareihe ϑ(z) = ϑ(z, τ ) ? Wie lauten die Periodizit¨ atsformeln f¨ ur ϑ(z + 1) und ϑ(z + τ ) ? 2) Zeige: (i) Die Funktion ϑ∗ (z) := exp(−πiz) · ϑ(z + ([1 + τ ]/2) ist ungerade. Ihre Nullstellen liegen in den Gitterpunkten und sind einfach. (ii) Der Thetadivisor auf X ist der Punktdivisor η([1 + τ ]/2) . Bestimme die Riemannsche Konstante κ ∈ J(X) = X . 3) Zeige: Zu jedem positiven Divisor D auf X gibt es ein Produkt f (z) von Primfunktionen ϑ∗ (z − ej ) mit o(f, z) = D(η(z)) f¨ ur alle z ∈ C . 4) Zeige, daß die Zerlegung meromorpher Funktionen auf X in Primfunktionen gem¨ aß 15.1.6(4) folgendem Ergebnis entspricht: F¨ u r Punkte a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ C gelte {η(aj )} ∩ {η(bk )} = ∅ und  die  bj . Bis auf einen konstanten Faktor gibt es genau eine meromorphe aj =  Funktion f auf X mit (f ) = (η(aj ) − η(bj )) und n  ϑ∗ (z − aj ) . f ◦η = ϑ∗ (z − bj ) j=1 5) Zeige: Die negative Ableitung −(ϑ′∗ /ϑ∗ )′ der logarithmischen Ableitung ist  2j Ω -periodisch und ihre Laurent-Reihe hat die Gestalt z −2 + c0 + ∞ . j=1 cj z Wenn man c0 subtrahiert, erh¨ alt man die Weierstraßsche ℘ -Funktion zum Gitter Ω . 6) Zeige: Die Weierstraßsche σ -Funktion, siehe 2.3.3-4, und exp( 21 c0 z 2 )ϑ∗ (z) mit c0 wie in Aufgabe 5 unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor. Der durch 2.3.4(3) definierte Homomorphismus h : Ω → C hat die Werte h(1) = c0 und h(τ ) = c0 τ − 2πi .– Vergleiche die Produktdarstellungen in 2.3.5 und in Aufgabe 4 miteinander. 7) Zeige: Mit ϑ erh¨ alt man eine L¨ osung f der KP -Gleichung gem¨ aß 15.7.3 f¨ ur v = 0 . F¨ ur passende u = 0 und w erf¨ ullt f die KdV -Gleichung fz − 3f fx − 2fxxx = 0 . 8) Sei C eine komplexe (g × 2g) -Matrix, deren Spalten ein Gitter Γ < Cg maximalen Ranges aufspannen. Zeige: Wenn der Torus Cg /Γ eine Abelsche Variet¨ at ist, gibt es eine ganzzahlige schiefsymmetrische (2g × 2g) -Matrix Q mit det Q = 1 , so daß C · Q · t C = 0 ist. Benutze dieses Ergebnis, um einen at ist. Torus C2 /Γ anzugeben, der keine Abelsche Variet¨ Hinweis: Es gibt eine Matrix G ∈ SL2g (Z) mit (E, T ) = C · G  . Dabei  ist E = die Einheitsmatrix und T eine Siegelsche Matrix. Mit S = t

(E, T ) · S · (E, T ) = 0 .

0 E −E 0

gilt

312

15 Die Riemannsche Thetafunktion

9) Seien T ∈ Hg , ϑ(z) := ϑ(z, T ) und Γ wie in 15.2.1-2 definiert. Zeige, daß folgende Methoden Γ -periodische meromorphe Funktionen f auf Cg und daher Funktionen in M(Cg /Γ ) definieren: n   ϑ(ej + z) g f¨ ur e1 , . . . , e2n ∈ Cg mit (1) f = j (ej − en+j ) ∈ Z , ϑ(e n+j + z) j=1 ϑ(a + z) ∂ log f¨ ur a, b ∈ Cg , ∂zj ϑ(b + z) ∂2 (3) f = log ϑ(z) . ∂zj ∂zk In (2) und (3) wird die partielle logarithmische Ableitung ∂(log h)/∂zj := (∂h/∂zj )/h benutzt. (2)

f=

10) Beweise die Umkehrung zu Satz 15.2.3: Sei (a 1 , . . . , ag ) eine Basis von V . Sei τj,k ak . Dann sind die in 15.2.3 T = (τj,k ) eine Siegelsche Matrix und bj = definierten Formen R und S symmetrisch bzw. hermitesch positiv definit. 11) Gib mittels Quotienten von Primfunktionen zu je zwei Punkten P = Q einer kompakten Fl¨ ache eine Differentialform an, die in P , Q einfache Pole mit den Residuen 1 bzw. −1 besitzt und sonst holomorph ist. 12) Zeige f¨ ur den Thetadivisor Θ : J(X) → N und die in 15.3.5 eingef¨ uhrte Menge N1 : Aus Θ(ε) ≥ 2 folgt ε ∈ N1 , d.h. alle Singularit¨ aten von N liegen in N1 .

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Namensverzeichnis

Abel, Niels Henrik (1802 -1829) 30, 32, 35, 145, 148 f, 274, 277 Ahlfors, Lars Valerian (1907 -1996) 209, 213 Appolonius von Perga (ca. 262 190 v.Chr.) 177 Bernoulli, Jakob (1655 -1705) 33 Bernoulli, Johann (1667 -1748) 33 ´ B´ezout, Etienne (1730 -1783) 185 Carath´eodory, Constantin (1873 -1950) 55, 111 Cauchy Augustin-Louis (1789 -1857) 1, 153, 202 Clebsch, Alfred (1833 -1872) 177, 190, 194 f Clifford, William Kingdon (1845 -1879) 264 ff. Dedekind, Richard (1831 -1916) 97, 99, 101, 131 Descartes, Ren´e (1596 -1650) 177 Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1805 -1859) 204 f Eisenstein, Ferdinand (1823 -1852) 1, 35 Euklid (lebte um 300 v.Chr.) 76 Euler, Leonhard (1707 -1783) 34, 185, 249, 273 Fagnano del Toschi, Giulio Carlo (1682 -1766) 34 Gauß, Carl Friedrich (1777 -1855) 1, 34 f, 97 Green, George (1793 -1841) 213 Harnack, Axel (1855 -1888) 203 Hermite, Charles (1822 -1901) 101 Hodge, William (1903 -1975) 269 Hurwitz, Adolf (1859 -1919) 86, 99, 101, 111, 128 f, 139 ff, 174 Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804 -1851) 2, 35, 105, 145, 274, f, 280, 288, 299 Jordan, Camille (1838 -1922) 43, 59 Klein, Felix (1849 -1925) 2, 4, 59, 70, 76, 97, 101, 115, 128, 218, 227, 237 f Koebe, Paul (1882 -1945) 111, 218 Lagrange, Joseph-Louis (1736 -1813) 33, 97 ff, 126

Landau, Edmund (1877 -1938) 110 f Legendre, Adrien-Marie (1752 -1833) 33 Liouville, Joseph (1809 -1882) 35 Men¨ achmus (ca. 380 -320 v.Chr.) 177 M¨ obius, August Ferdinand (1790 -1868) 22, 249, 256 Montel, Paul (1876 -1975) 109 f, 203 Newton,Isaac (1643 -1727) 33, 121, 126, 132, 177 Perron, Oskar (1880 -1975) 197, 208 ´ Picard, Emile (1856 -1941) 91, 105, 110, 280 Platon (428 -348 v. Chr.) 73-76 Pl¨ ucker, Julius (1801 -1886) 177, 185, 187, 192-195 Poincar´e, Henri (1854 -1912) 43, 57, 59, 61, 76, 115, 218, 227 f, 237, 241 Poisson, Sim´eon-Denis (1781 -1840) 201 f Poncelet, Jean-Victor (1788 -1867) 177, 185, 194 Puiseux, Victor (1820 -1883) 125 f Rad´ o, Tibor(1895 -1965) 209 Riemann, Bernhard (1826 -1866) 1, 5, 55, 61, 117, 125 f, 139, 152 f, 177, 195 , 206, 218, 249, 253, 260, 275, 288 ff, 296, 300, 309 Roch, Gustav (1839 -1866) 261 Schottky, Friedrich Hermann (1851 1935) 309 Schwarz, Hermann Amandus (1843 1921) 61, 108, 204 f, 227, 237 Siegel, Carl Ludwig (1896 -1981) 291 Teichm¨ uller, Oswald (1913 -1943) 310 Thompson (Lord Kelvin), William (1824 -1907) 206 Weierstraß, Karl (1815 -1897) 24, 35, 53, 55, 105, 125, 171, 174, 228, 266 ff Weyl, Hermann (1885 -1955) 2, 6, 55, 209, 218, 227 Wronski (Ho¨en´e), Joseph(1878 -1853) 171 f

Sachverzeichnis

Abbildungsgrad 16, 19, 120, 166, 261, 265 Abbildungssatz (Riemann) 218-222 Abel-Jacobi (Theorem) 280 Abelsche Funktion 275 Abelsche Relation 30, 147 f, 275, 278 Abelsches Integral 145, 274 f Abelsches Theorem 32, 277 Abelsche Variet¨ at 292 f abelsch machen 151 abgeschlossene Abbildung 11, 15 Ableitung 12, 18, 135 f abz¨ ahlbare Topologie 56 f, 209 Additionstheorem 34, 41, 273 affine Abbildung 37, 52, 304 affine Kurve 179 f algebraisch abh¨ angig 119 algebraisches Gebilde 120 f, 123, 181 allgemeine Lage 253 allgemeiner Divisor 268 f amalgiertes Produkt 62 f analytische Charakteristik 136-139, 161, 190, 194, 251 analytische Fortsetzung 53 ff, 57 analytische Menge 12, 297 analytisches Geschlecht 161, 165, 173 ff, 251, 261 anharmonische Gruppe 92, 105, 116 antiholomorph 230, 269 a ¨quivalent (Gitter) 37 arme Fl¨ ache 209, 213 ff, 220 ff Atlas 2, 135, 163 Ausnahmefl¨ ache 225, 227 Ausnahmemenge 119 f Ausnahmeorbit 18, 70, 94, 140 Auswertungsfunktion 54, 146, 154 Automorphiefaktor 308 f Automorphismus, Automorphismengruppe 5, 18, 22, 69 ff, 79, 93, 126 ff, 140 f, 163, 174, 224 f, 227 ff, 260, 263 f, 268

Bahn = Orbit 17 f Bandgruppe 39 Basispunkt 45, 58, 168 f, 175 B´ezout (Formel) 185 biholomorph 5 Bildgarbe 79 f, 282 bin¨ are Form 97 ff bl¨ attrig 16 Bogenl¨ ange 33 Brezelfl¨ ache 6, 243 f, 251 Cauchyscher Integralsatz 152 Cayleysche Abbildung 5 Charakteristik 136 ff, 159, 161, 190, 194, 241, 251, 261 charakteristisches Polynom 118 f Chernsche Klasse 307 ff chordale Metrik 72 Clebsch (Formel) 190 Clifford (Ungleichung, Gleichung) 264 ff Cohomologie 152, 269, 293 f, 307 Cotangentialraum 281, 283 Darstellung (Automorphismengruppe) 263 f Datum (Fl¨ achenkomplex) 241 Deckabbildung, Deckgruppe 5, 18 ff, 21, 27, 36, 39 f, 52, 77, 85 ff, 101, 104, 112 f, 127 ff, 131, 224 f Deformation 249 Delta-Invariante 188 f, 191 f, 196 Dieder 70 f, 73 Differentialform 135-138, 142-155, 159, 161 f, 165, 189 f, 198 ff, 212, 214, 255, 258 f, 261, 263, 269, 274 ff Differentialgleichung 25, 28, 42, 310 f Dimension eines Divisors 158 ff, 260 f, 268 Dirichletsches Randwertproblem 204 ff

322

Sachverzeichnis

diskontinuierlich 76 ff, 226 ff diskrete Gruppe 226 Diskriminante 119 Divisor 21, 32, 136, 148, 157-160, 183, 259-266, 268, 276 ff, 283-286, 289 f, 296-302, 309 Dodekaeder 75 f dominieren 88 Doppelpunkt 170, 192 ff Doppeltangente 190, 195 doppelt periodisch 24 Doppelverh¨ altnis 115 f Drehung 229 ff Dreieck 40 f, 73 ff, 232 ff, 235-239 Dreiecksgruppe 228-239 Dreiecksparkettierung 40 f, 73 ff, 96, 235-239 dual 187 f, 195 Ecke 240 ff eigentlich 15, 182 Einbettung 169, 262, 265, 268, 279 einfach zusammenh¨ angend 46 f, 50 f, 55, 61, 88 f, 152 f, 201, 219-222 einh¨ ullend 208 Eisenstein-Reihe 27, 100 Elementarpotential 213 ff elementar u ¨ berlagert 16 f elliptisch 24, 33 ff, 87, 150, 181, 189, 224 endliche Abbildung 9, 14 ff, 117-131 erweiterte Automorphismengruppe 230 f euklidisch 229, 235 Euler-Poincar´esche Charakteristik 241, 243, 251 Existenzsatz (Punktetrennung) 122 f, 212, 214 Faktorisierung 14, 50, 82 f Fixpunkt 22, 141, 165, 224, 260, 268 Fl¨ ache der Keime 54 f, 145 f, 154 Fl¨ achengruppe 39 f, 229 Fl¨ achenkomplex 241 ff, 251 Fortsetzung 13, 53 ff, 83 f, 118 Fourier-Reihe 14, 107 f, 199 f, 292 frei (Operation) 18 f, 77, 80 frei erzeugt, freie Gruppe, freies Produkt 64 f, 250 Freiheitsgrad 160 Fundamentalbereich 94, 106, 237 Fundamentalgruppe 45 f, 50, 58-66, 151, 225, 248 ff, 276

Funktionenkeim 53ff, 132, 146, 154 Funktionenk¨ orper 20, 25, 117 ff, 130 f ¨ G-Uberlagerung 61 ff Galois-Gruppe 130 f Garbe 78 ff, 281 f Gattung (Differentialform) 142, 154 gelifteter Divisor 139, 155, 158, 262, 266 Gerade 163, 178, 186, 189, 230 f Geradenb¨ undel 307 ff geringter Raum 78 Geschlecht 6, 136-141, 161, 167, 173 f, 190, 195, 243, 248, 251, 260 f, 275 Gewicht 171 ff, 176, 195, 267, 272 Gitter 10, 24, 30, 34-40, 80, 94, 98 ff, 275 f, 278, 288, 292, 307 f Gitterinvarianten 28 f, 99 f glatt (= regul¨ ar) 186 gleichverzweigt 17, 19, 88 f, 139 f Grad 15 f, 19 ff, 24, 120, 137, 158, 166, 178, 185, 190, 193 f, 265 f Greensche Funktion 211 f, 219 gute Darstellung 163 gute Nullstelle 298 Halbebene 4 f, 93-96, 100-115, 222-239 Halbperiode 27, 103 ff harmonisch 198-217 Harnack (Konvergenzsatz, Prinzip, Ungleichung) 203 f Hauptdivisor 21, 32, 148 f, 157, 277 Hauptkongruenzgruppe 103 ff Hauptorbit 18 Hauptteil 258 f, 269 f hebbar 13, 200 Heftung 207, 242 Henkel 247 hexagonal 37 f, 100, 113, 116, 137 Hodge-Zerlegung 269 holomorphe Abbildung, Funktion 3, 5, 11-19, 78, 163, 281 holomorphe Differentialform 136, 142, 144 f, 160 ff, 261 holomorphe Struktur 3, 7, 9 f, 79 homogene Koordinaten 163 homogenisieren 179 f Homologie 151 f, 248, 251, 264, 276, 288, 293 f, 307 ff homologisch einfach zusammenh¨ angend 152, 156, 201, 219-222 Homothetie 223 f homotop 43 f, 49, 146, 151, 154, 264

Sachverzeichnis

323

Horozykel 239 hyperbolisch 223, 229-233 ff, 235 Hyperebene 162, 166 hyperelliptisch 87, 128 f, 133, 137, 161, 165, 171, 175 f, 261 f, 265 f, 267 Hyperfl¨ ache 298

Kongruenzgruppe 103, 112 KP -Differentialgleichung 310 Kreisverwandschaft 230 kritisch 169 Kubik 178, 189, 196 Kurve 125, 164 f, 177-196, 265

idealer Rand 207 Identit¨ atssatz 13, 199 Ikosaeder 70 f, 73-76, 92, 229 Immersion 169 Index (Divisor) 159, 261 Integral 31, 33, 144-149, 152-154, 198 ff, 255, 274 f invariante Differentialform 142 f inverser Weg 45 Involution 165 irreduzibel 119, 122, 179, 297, 310 isomorph (Riemannsche Fl¨ achen) 5, 79, 131 ¨ isomorph (Uberlagerungen) 51, 84, 86 f, 90 Isometrie 72, 231 Isotropiegruppe = Standgruppe 18 f Jacobisches Problem (f¨ ur elliptische Funktionen) 29, 35, 42, 101, 150 Jot (J)-Funktion, -Invariante 99 ff, 108, 112

Landauscher Radius 109 f Lambda (λ)-Funktion 103-111 Laurent -Reihe 6, 14, 25, 27, 53, 107 f, 125 f, 200 Lemniskate, lemniskatischer Sinus 33 f, 42 Lewittes (Satz von) 297 Liftung 7, 20, 47-50, 52, 90, 117, 138 f linear ¨ aquivalent 157 Linearisierung 81 Linearschar 167 f, 175, 278, 284 f logarithmische Ableitung 153 f, 296 logarithmische Singularit¨ at 200, 212 f lokal biholomorph 5 lokal endlich 6, 47, 226 lokal wegzusammenh¨ angend 50 lokale Darstellung 11, 163 lokale Normalform 12 Lokal-Global-Prinzip 3, 5, 78 L¨ ucke 171, 266, 271 L¨ uroth (Satz) 139, 238

kanonische Abbildung (Einbettung) 164 f, 171, 190, 261 f, 271 kanonischer Divisor, kanonische Schar 136, 157, 167, 261 f, 287, 297 kanonischer Komplex 243 f, 251 kanonisch erzeugend 85 f kanonisches Polygon 254 f kanonische Zerschneidung 251, 253 ff, 277, 288, 294 f, 303 Kante, Kantenheftung 241 f Karte 2, 135, 163, 297 Keim = Funktionenkeim 53 f Klasse (einer Kurve) 188, 193 ff Kleinsche Fl¨ ache (=Modulfl¨ ache X7 ) 114, 128, 137, 162, 165, 174, 182, 237 f, 263 f kombinatorisch ¨ aquivalent 246 ff komplexe Kurve 124 f komplexe Multiplikation 38 komplexer Raum 182 Komponente 15, 121 f, 126, 179, 182, 297 K¨ orpererweiterung 20, 25, 117 ff, 122, 129 f

Majorisierung 207 Mannigfaltigkeit 4, 50, 56, 61, 63, 78 ff, 163, 281, 284, 307 Maximumprinzip 13, 199, 207, 211 meromorph 6, 20 ff, 135, 269 f Minimalpolynom 119-127, 179 M¨ obius-Transformation 22, 72 f, 93, 223 f, 230 Modul 36, 94 f, 98 Modulbereich, Modulparkettierung 36, 94 ff, 102, 106 Modulfl¨ ache, Modul¨ uberlagerung 112 f, 137 f, 140, 174, 237, 239 Modulform, Modulfunktion 100, 115 Modulgruppe 93-96, 98, 112 ff, 229, 237, 239 Monodromie 47, 50, 55, 108 Montel (S¨ atze von) 109, 203 Morphismus 78 Multiplizit¨ at 169, 186 nicht-entartet 163, 294 nirgends konstant 11

324

Sachverzeichnis

¨ normale Abbildung (Uberlagerung) 18 f, 21, 36, 39 f, 51, 58 f, 85 ff, 119 Normalisierung 125, 180 f, 186 normiert (Elementarpotential, Singularit¨ at) 200, 213 nullhomotop 45 Nullstellendivisor 157 Nullstellengebilde 9, 16, 123 Ny-Invariante 189 f, 192 offene Abbildung 11-14, 199 Oktaeder 70-76, 92, 229 operieren = wirken 17 Orbit = Bahn 17, 68-76 Orbitfl¨ ache (-raum, -projektion) 68 ff, 77, 80 ff, 91, 101, 103, 140, 237, 282 Ordnung 20, 53, 126 f, 136, 184, 241, 246, 289, 298, 301 ff, 308 Parabel 121, 168, 170, 176, 181 parabolisch 224 Parallelenaxiom 231 Parallelogramm 30 Parkettierung 40 f, 73 ff, 94, 96, 115, 235 ff Periode 146 f, 149, 154 Periodenabbildung, -homomorphismus 276-280 ff, 284, 286 f, 289, 296 f, 300 Periodengitter 34, 275 ff Periodenmatrix 289, 295, 309 f Periodenrelation 255 Periodentorus 275 f, 278 f, 289 f, 296-309 Perron (Familie, Prinzip) 208 ℘-Funktion 25-30, 39, 103, 121 Picard (Satz) 105, 110 Picardsche Gruppe 280 Platonischer K¨ orper 74 ff Pl¨ uckersche Kurve 192 ff Poincar´escher Epi (Homo, Iso)-morphismus 58 f, 61 ff, 85 f, 89, 113 Poincar´e-Volterra (Satz) 56 Poincar´e-Weyl (Satz) 227 Poissonsche Integralformel 202 Pol 6, 136, 200, 212, 214, 259 f polare Differentialform 189 Polarisierung 307 f Polstellendivisor 157 Polyederfl¨ ache 242 ff, 251 Polyedersatz (Euler) 249 Polygon 240 f, 254 positiv (Divisor) 157, 159 f, 278 Potenzsumme 283

Primdivisor, Primfunktion 290, 295-299, 305 f privilegiert 18, 77 Produktweg 44 projektiver Automorphismus 163 projektiv ¨ aquivalent 163, 167 projektive Eigenschaft 163 projektive Kurve 178 projektiver Raum 162 f, 167, 284 f Puiseux-Theorie 125 f Punktdivisor 148, 261 Punktetrennung 122 f, 212, 214 punktierte Fl¨ achen 52, 64, 151 quadratisches Gitter 37, 100 Quadrik 178 Quartik 178, 190, 195 Quotientenprinzip 9, 68 f Rand(operator) (Fl¨ achenkomplex) 241 Randwertproblem (Dirichlet) 204 Rang (Periodenabbildung) 279, 281, 284 rationale Funktionen 21 f rationale (Raum-) Kurve 164, 171, 174 Realisierung (Fl¨ achenkomplex) 242 Reduktion, reduziert 36, 99, 119, 178, 247 regul¨ ar (siehe auch glatt) 169, 186, 256, 297 reich 209, 211 f, 219 f reines Polynom 127 f Residuum 142 ff, 147, 153, 255, 259, 269 f Resolvente 129 Resultante 184 Riemann-Hurwitzsche Formel 139 ff, 195 Riemann-Roch (Formel = Satz) 161, 175, 261 Riemannsche Fl¨ ache (Definition) 3 Riemannsche Konstante 289, 296 f, 300 Riemannsches Gebilde 120-126 Riemannsches Geradenb¨ undel 308 f Riemannsche Ungleichung 260 Riemannscher Existenzsatz (Punktetrennung) 122, 212, 214 Ringgebiet 199, 205 f, 225, 239 R¨ uckkehrschnitt 248, 288, 294 f

Sachverzeichnis scharfes Maximumprinzip 211 Scheibe 4, 14, 17, 52, 82, 125 f Schleife 45, 64 f, 86, 146 f, 151 Schnitt 48, 308 Schnittdivisor, -schar, -zahl 166 ff, 170 f, 176, 183 f, 187, 261 Schnittform 294, 307 Schnittwinkel 231 Schottkysches Problem 309 f Schwarz (Satz) 204 Schwarzsches Lemma 108 Seifert/van Kampen (Satz) 63 Seite (Polygon) 240 f sextaktisch 196 Siegelsche Matrix, Siegelscher Halbraum 291-295, 303, 309 f Sigma (σ)-Funktion 31, 42, 311 Signatur 17, 88 ff, 139, 234 singul¨ ar, Singularit¨ at 13, 82, 186, 192, 200 sph¨ arisch 229, 232, 235 Spiegelung 231 f Spitze 96, 107, 170, 192 Spur (Differentialform) 143, 148, 155 Stammfunktion 135, 146 f Standgruppe 18 f, 70, 76, 81, 85 f, 94, 127, 140 stereographische Projektion 4 f, 72 Stern 236, 241 Strukturgarbe 79 subharmonisch 206 f, 217 symmetrische Funktion 281 f Symmetriegruppe 71 f symmetrisches Produkt 160, 268, 282 ff symplektisch 294, 309 Tangente 186, 195 Tangentialraum 285 Teichm¨ uller-Raum 310 Teilung (Kante, Polygon) 245 f Tetraeder 70-76, 92, 229 Thetadivisor 289, 298, 300-303, 305, 309 Thetafunktion, Thetareihe 275, 288 f, 291-295, 300 f, 308, 310 topologisches Geschlecht 161, 251, 258-261 Torellischer Satz 303, 305, 309 Torus 7, 10 f, 22, 24, 30 f, 36 f, 50, 52, 59, 80, 121, 137, 149 ff, 164, 168, 175, 181 f, 196, 260, 275 f, 281, 292, 303 f, 307 f; siehe auch Periodentorus

325

Torus -Abbildung 37, 52, 304 f Torus-Projektion 10, 19, 48, 59, 80 Tr¨ ager 21, 289, 298, 300, 303, 305 Transformationsgruppe 17 Translation 223, 308 trigonometrische Approximation 205 ¨ Ubergangsfunktion 174 ¨ Uberlagerung 16 f, 27, 39 ff, 48-53, 58-62, 68 f, 83-90, 104, 112, 117 f, 120, 123 , 128 ff, 139 f, 146, 154, 222, 251 Umkehrsatz (Jacobi) 299 unbegrenzt 48 ff, 55, 150, 236 Uniformisierung 218, 222 f unit¨ ar 72 f universell 51 f, 59, 61, 88 ff, 124, 151, 181, 218, 237 unverzweigt 17, 19, 48, 218, 222 unzerlegbar 84 Verschiebung 45, 289, 298 Verteilung 172 verzweigt 12, 17, 25, 53, 68, 82-90, 139 f, 234, 251 Verzweigungssignatur 17, 88, 113, 139, 234 Vielfachheit (Tangente) 187 Vierzehneck (Klein) 237 f, 256 vollst¨ andig (Linearschar) 167, 268, 278, 285 f Weg 43 wegzusammenh¨ angend 43, 50 Weierstraß-Punkt 171, 174, 266 ff Weierstraßscher Konvergenzsatz 202 Wendepunkt, -tangente 171, 173 f, 176, 187, 194 ff Windungsabbildung 14, 125 Windungsdivisor 139 Windungspunkt, -zahl 11 f, 18 f, 25, 27, 137 Wronskische Determinante 171 ff Wurzel 8 f, 118 Zahlenebene 3, 24-40, 222 f, 225, 229 Zahlenkugel 4, 21 f, 47, 53, 65, 69-76, 87 f, 128 f, 137, 151, 163, 214, 260 Zerschneiden 251, 253, 256 f Zeta (ζ)-Funktion (Weierstraß) 32 Zusammenhangskriterium 17 ¨ zusammenh¨ angend (Uberlagerung) 51 Zweig 126 ¨ zyklische Uberlagerung 18 f, 87, 127 ff

Symbolverzeichnis

Aut(X) Automorphismengruppe 5 AG abelsch gemachte Gruppe 151 C× := C \ {0} 4 C×× := C \ {0, 1} 93
Zahlenkugel 4 C ch Charakteristik 159 D Deckgruppe 5 Div Gruppe der Divisoren 157 , Div0 , DivH 277 E := {z ∈ C : |z| < 1} 4 E× := E \ {0} punktierte Kreisscheibe e(K) Euler-Poincar´esche Charakteristik 241 E(X) Vektorraum der Differentialformen 135 f Ej (X) j-te Gattung der Differentialformen (j = 1, 2, 3) 142 gan , gtop analytisches, topologisches Geschlecht 161, 251 gdn Linearschar 167 gr Grad 16, 21, 166, 178 H := {z ∈ C : Im z > 1} 4 H(X) Vektorraum der harmonischen Funktionen auf X 198 H1 (X) Homologie von X 151 H 1 (X) Cohomologie von X 152 Hg Siegelscher Halbraum 291 i(D) := dim L1 (−D) Index 159 Im Imagin¨ arteil J(τ ) J-Funktion 100 , Jˆ 101 J(X) Periodentorus 276, 278 f K kanonische Schar 167 kl u Homologieklasse von u 151 L(D) 157; L1 (D) 159 l(D) := dim L(D) 158 m(ϕ, x) , mc Multiplizit¨ at 169, 186 M Fl¨ ache der Keime 54 M(X) Ring (K¨ orper) der meromorphen Funktionen auf X 6 N Tr¨ ager des Thetadivisors 289 O holomorphe Strukturgarbe 79 O(X) Ring der holomorphen Funktionen auf X 3 o Ordnung 20, 136, 298 P(V ) , Pn projektiver Raum 162 ℘ ℘-Funktion 26 , ℘ˆ 27 , ℘ˆ′ := ℘
′ Re Realteil

res Residuum 142 (RH) Riemann-Hurwitzsche Formel 139 (RR) Satz (Formel) von RiemannRoch 261 S Schnittschar 166 ; Menge der subharmonischen Funktionen 206 Sn 167 sp Spur 143 Sym Symmetriegruppe 71 are 4 S 1 Kreislinie 10 ; S 2 Sph¨ T(D) Tr¨ ager von D 21 v(η, a) Windungszahl von η bei a 11 Wn := µn (Xn ) 300 Xn n-faches symmetrisches Produkt der Fl¨ ache X 159, 282 Γ

Modulgruppe 93 ; Gitter 292 ; Γn Kongruenzgruppe 112 δ Delta -Invariante 188 f ϑ Thetafunktion 291 ; ϑe 290 Θ Hyperebene in Pn 166 , (Θ)ϕ ihr Schnittdivisor 166; Thetadivisor 289, Θε 290 κ kanonische Abbildung 164 ; Riemannsche Konstante 296 ˆ 106 λ Lambda-Funktion 103 , λ µ, µn Periodenabbildung 276, 278 µn multiplikative Gruppe der n-ten Einheitswurzeln 6 ν Ny -Invariante 189 ρ, ρn rationale Raumkurve 164 τ Gewicht 171 χ analytische Charakteristik 136 Ω ebenes Gitter 10 ≈

isomorph (Riemannsche Fl¨ achen) 5 ∼ = isomorph (Gruppen) < kleiner ; Untergruppe ⊳ Normalteiler [..] Homotopieklasse 44 (..) Hauptdivisor 21 ; (..)ϕ Schnittdivisor 166 |..| Absolutbetrag ; vollst¨ andige Linearschar 157, 167 ; Polyederfl¨ ache 242 |..|A Supremum 201 ♯ Anzahl, M¨ achtigkeit