Leitfaden Geometrie

Susanne Müller-Philipp | Hans-Joachim Gorski Leitfaden Geometrie

Susanne Müller-Philipp | Hans-Joachim Gorski

Leitfaden Geometrie Für Studierende der Lehrämter 4., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Susanne Müller-Philipp Dr. Hans-Joachim Gorski Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik Fliednerstraße 21 48149 Münster [email protected] [email protected]

1. Auflage 2001 2., überarbeitete Auflage 2004 3., überarbeitete Auflage 2005 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Umschlagmotiv: Ehrhard Behrends, Berlin Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0097-8

Vorwort zur vierten Auflage Mit dem Leitfaden Geometrie wenden wir uns nach wie vor prim/ir an Lehramtsstudierende mit den Studienzielen Primarstufe und Sekundarstufe I, auch wenn wir aus R/ickmeldungen yon Universit/iten des deutschsprachigen Raums erfahren, dass das Buch in zunehmendem Umfang auch in den Studieng/ingen Diplom bzw. Lehramt Sekundarstufe II verwendet wird. Der Leitfaden Geometrie soil Sie mit verschiedenen Bereichen der Geometrie bekannt machen, die einen tragfiihigen Hintergrund fiir Ihren sp~iteren Geometrieunterricht bilden k6nnen. Die vierte Auflage erscheint recht genau drei Jahre nach der vorangegangenen im Buchhandel. Sie unterscheidet sich yon der dritten Auflage durch zahlreiche Detailoptimierungen und Erg~inzungen. Beispielhaft sei hier die Aufnahme eines Kapitels zum ,,goldenen Schnitt" genannt. In unseren Vorlesungen zur Geometrie ist das Werkzeug ,,Computer mit dynamischer Geometriesoftware (DGS)" heute nicht mehr wegzudenken. ~danliches gilt auch fiir einen zeitgem~iBenGeometrieunterricht im Sekundarbereich I. Das Aufkommen yon Taschenrechnem hat seinerzeit die Bedeutung des iiberschl~igigen Rechnens, des Kopfrechnens und des halbschriftlichen Rechnens erh6ht und bei der Behandlung der schrifllichen Verfahren (in der Grundschule) den Fokus auf das Verst~indnis der zugrundeliegenden Atgorithmen gelegt. Ganz analog dazu gewinnen beim Einsatz von DGS geschickte Freihandzeichnungen, Uberlegungsskizzen und vor allem das Verst~indnis um die grundlegenden Konstruktionsalgorithmen an Bedeutung. Aus diesem Grund haben wir die aktuelle Auflage des Leitfadens Geometrie um ein eigenes Kapitel zu ,,Geometrischen Konstruktionen" ergiinzt.

,,Dieses Buch ist in einem mehrfach durchlaufenen Zirkel aus Entwicklung, Anwendung in Lehrveranstaltungen und l)'bungen, Riickmeldungen der Studierenden und Hilfskr~fte und Optimierung der Entwicldung gewachsen. Damit ist es kein Labor- oder Dienstzimmerprodukt, sondern das Ergebnis stfindiger Interaktionsprozesse mit Studierenden und Hilfskr~iften, die insofern Mitkonstrukteure dieses Buchs sind." So stand es in der ersten Auflage des Leitfadens und so soil es bleiben- solange wir jung sind.

vi

In den zuriickliegenden Jahren haben wir dariiber hinaus eine Vielzahl von mtindlichen und schriftlichen Riickmeldungen aus den Reihen der Leserschafl aufgenommen, angenommen und ggf. modifiziert in die aktuelle Auflage iibemommen, soweit das Profil des Leitfadens Geometrie dadurch nicht ver/indert wurde. Insofern sind die Leserinnen und Leser der vergriffenen Auflagen aktive Mitgestalter im Prozess der Weiterentwicklung des Leitfadens Geometrie. Dafiir danken wir ihnen. Ausdrficklicher Dank gilt auch Benjamin Imping, der uns bei der Herstellung des Manuskripts vielf/iltig unterstiitzt hat.

Miinster, im September 2008

S. M/iller-Philipp & J. Gorski

vii

Inhaltsverzeichnis

Vororientierung -

-

-

Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie Methoden im Leitfaden Geometrie Einsatz des Leitfadens Geometrie als vorlesungsbegleitende Literatur

X

xii xiv

1

Topologie

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Einstiegsproblem Grundlegende Definitionen der Graphentheorie Eckenordnungen und Kantenzahlen Pl~ittbarkeit von Graphen Durchlaufbarkeit von Graphen Erbteilungs- und F~bungsprobleme

1 6 14 20 28 34

2

Polyeder

46

2.1 2.2 2.3

Einstiegsproblem Die platonischen K6rper Halbregul~re Polyeder

46 50 57

3

Axiomatik

64

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Zum Einstieg Inzidenzgeometrie Affine und projektive Inzidenzgeometrien Axiome der Anordnung Winkel L~ingen- und Winkelmessung Zusammenstellung aller relevanten Axiome

64 69 73 79 83 86 95

1

viii

Inhaltsverzeichnis

4

Abbildungsgeometrie

4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3

Einstiegsproblem Kongruenzabbildungen Definition und Eigenschafien der Kongruenzabbildungen Verkettung yon Kongruenzabbildungen Weitere S~itze zur Verkettung yon Kongruenzabbildungen

97 101 102 118 146

4.2.4

Die Gruppe der Kongruenzabbildungen

147

4.2.5

Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken

152

4.2.6

Deckabbildungsgruppen

167

4.3

?dmlichkeitsabbildungen

4.4

Affine Abbildungen

178 189

5

Geometrische Konstruktionen

195

5.1 5.2 5.3 5.4

Einstieg Grundlegendes Ausgewghlte Hilfsmittel zum Konstruieren Grundkonstruktionen

195 199 203 206

5.4.1

Abtragen

206

97

5.4.2

Halbieren

210

5.4.3

Lote

5.4.4 5.4.5

Parallele durch einen Punkt Mittelparallele

212 215 217

5.4.6 5.4.7

Linien im Dreieck Konstruktionen am Kreis

218

5.4.8

Teilung in n gleiche Teile

225

6

Fragestellungen der euklidischen Geometrie

231

6.1

Einstiegsproblem

6.2

Besondere Punkte und Linien im Dreieck

231 236

222

6.3

S/itze am Kreis

6.4

Die Satzgruppe des Pythagoras

251 261

6.5

Der goldene Schnitt

273

ix

7

Darstellende Geometrie

283

7.1 7.2 7.3 7.4

Einstiegsproblem Axonometrie Dreitafelprojektion Zentralprojektion

283 287 296 300

Benutzte Zeichen und Abkiirzungen

308

Literatur

310

Stichwortverzeichnis

313

Vororientierung Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie Was soil das Ganze? Was wollen Sie von uns? Was genau sollen wir lemen? Warum lemen wir das? Wie sollen wir das lemen? K6nnen wires in unserem sp/iteren Beruf/im Leben gebrauchen? Fragen dieser Art stellen Lemende an den verschiedensten Stellen unseres Bildungssystems, jedenfalls sollten sie sie stellen. Auf der anderen Seite sollten die Initiatoren der Lemprozesse Antworten auf diese Fragen bereithalten, die die Lernenden in ihrer Lemausgangslage zufrieden stellen: Zun~ichst verfolgen wir natiirlich rein fachliche Ziele. Es geht uns darum, Ihnen mathematische Qualifikationen ffir Ihre sp~itere Unterrichtspraxis zu vermitteln. In diesem Zusammenhang haben wir sieben Themenbereiche ausgew~ihlt, von denen wir iiberzeugt sind, dass sie eine tragffihige Gmndlage fiir einen kompetenten Geometrieunterricht von Klasse 1 bis 10 bedeuten k6nnen. Beispielhafl denken wir hier an das Kapitel ,,Abbildungsgeometrie", das zentrale Qualifikationen fiir die Lernbereiche ,,F1/icheninhaltsbestimmungen", ,,Kongruenzabbildungen", ,,zentrische Streckung" im Sekundarbereich I und ffir die Themen ,,Symmetrie", ,,Omamente", ,,Vergr6Bem - Verkleinern" in der Grundschule (und in der Sekundarstufe I) bereitstellt. Mit der ausdriicklichen Herausstellung der folgenden Zielvorstellungen verlassen wir den Rahmen iiblicher mathematischer Fachbiicher:

F6rderung des riiumlichen Vorstellungsverm6gens Wenn Sie in der Schule nicht gef'6rdert wurden (und r~iumliches Vorstellungsverm6gen entwickelt sich am besten bis zum Alter von etwa 12 Jahren), dann muss hier unter Umst~inden ,,nachgebessert" werden. Das geht auch bei Erwachsenen. Besuden hat uns in seinen Aufs~itzen zum r~iumlichen Vorstellungsverm6gen immer wieder darauf hingewiesen, dass Raumvorstellung das Ergebnis von Verinnerlichungsprozessen ist und letztere - das wissen wir von Aebli - haben ihren Ausgangspunkt bei konkreten Handlungen. Denken ist verinnerlichtes Handeln (Aebli). Sie miissen Handlungserfahrungen machen und diese mehr und mehr im Kopf durchffihren. Braucht man erst die konkreten Objekte, mit denen man hantiert, so werden diese allm~ihlich durch Visualisierungen und schlieBlich durch Vorstellungen von den Objekten ersetzt. Einen besonde-

Vororientierung

xi

ren Beitrag zur F6rderung des riiumlichen Vorstellungsverm6gens wollen wir im Kapitel ,,Polyeder" leisten. Hier sollen Sie sich komplexere K6rper vorstellen und in der gelungenen Vorstellung Manipulationen mit / an diesen Objekten vomehmen. Dazu sollten Sie die konkreten Objekte zuniichst selbst herstellen, und damit sind wir beim niichsten Punkt.

Schulrelevante Arbeitsweisen auf h6herem Niveau erfahren und anwenden Das Herstellen yon K6rpernetzen und das Erstellen der K6rper aus Karton sind schultypische T~itigkeiten. Um Sie nicht zu unterfordem, Sie aber trotzdem mit den Problemen, die da auftauchen k6nnen, zu konfrontieren, werden wir yon Ihnen so etwas erwarten, allerdings bei komplizierteren Gebilden. J~mliches gilt ffir das Falten, das Arbeiten mit Pliittchenmaterial usw. W o e s sich anbietet, sollen solche T~itigkeiten auch Ihnen beim Lernen von Mathematik niitzen. Schliel31ich sollte jede Lehrerin und jeder Lehrer in der Lage sein, etwa einen Wfirfel, einen Quader, eine Pyramide (mit quadratischer Grundfl~iche), einen Zylinder oder einen Kegel ad hoc an der Tafel zu skizzieren bzw. exakt darzustellen. In der Sekamdarstufe I werden Sie dies auch yon ihren Schiilerinnen und Schiilem erwarten, in der Primarstufe vielleicht fiir die erstgenannten K6rper. Unmittelbare Basisqualifikationen hierftir versuchen wir Ihnen im Kapitel ,,Darstellende Geometrie" zu vermitteln. Ober die Schulformen hinaus blicken Fiir die angehenden Grundschutlehrerinnen und -lehrer: Sie werden in diesem Buch auch mit Inhalten des Geometrieunterrichts der Sekundarstufe I konfrontiert. Dies ist wichtig, damit Sie Ihren sp~iteren Mathematikunterricht so gestalten k6nnen, dass er tragfghige Konzepte liefert, die von den Kindem kein Umlernen in weiterftihrenden Schulen erfordern, sondem ein Autbauen auf Bekanntem und ein Weiterverfolgen bekannter Arbeits- und Denkweisen. Als ein Beispiel aus diesem Buch nennen wir hier das ,,Haus der Vierecke". Die Behandlung von Deckabbildungsgruppen soll Ihnen helfen, Aktivit~iten des Faltens und Versch6nems yon Quadraten oder das Legen von Pl~ittchen vor einem mathematischen Hintergrund zu sehen. Fiir die angehenden Sekundarstufenlehrerirmen und -lehrer: Sie werden eine Reihe von Aktivit~iten kennen lernen, die Kindem aus der Grundschulzeit schon vertraut sind. Sie iibemehmen die Kinder nicht in Klasse 5 als geometrisch ,,unbeschriebene Bliitter". Ihre Vorerfahrungen, ihre Erwartungen, die ihnen vertrauten Arbeitsformen, Materialien, Techniken k6nnen und mtissen Sie aufgreifen.

xii

Vororientierung

F6rderung der Bereitschafi zum Umgang mit Problemen Der Erwerb mathematischen Wissens ist ein aktiver, konstruktiver Prozess. Das geht nicht ohne Fehler und nicht ohne Anstrengungen. Immer wieder werden wir Sie mit komplexeren Problemen konfrontieren, die sich einer schnellen L6sung entziehen. Wir erwarten, dass Sie sich auch darauf einlassen, und hoffen, dass Sie sich dabei selbst beobaehten. So k6nnen Sie Erfahrungen sammeln, die Ihnen spiiter helfen, die Lernprozesse von Kindern besser zu verstehen.

Anwendungsorientierung ,,Wer [...] durch Mathematik Allgemeinbildung vermitteln will, darf sich nicht auf rein innermathematische Theorien und Strukturprinzipien beschriinken, sondem muss auch die Beziehungen der Mathematik zum Leben entwickeln." (Wittmann 1987, S. VI) Wir versuchen, sinnvolle Sachzusammenh~inge zum Ausgangspunkt unserer 13berlegungen zu machen. Interessante, auch f~icheriibergreifende Fragen wie z.B. die Geometrie der Bienenwabe stellen vermutlich hohe Anforderungen an Sie, f'6rdern unseres Erachtens aber auch die Bereitschaft zur Auseinandersetzung. Auf der anderen Seite werden wir yon Ihnen erwarten, erworbene Abstraktionen nicht nur innermathematisch, sondem auch auf Alltagssituationen und Fragestellungen aus dem Schulalltag anzuwenden.

Methoden im Leitfaden Geometrie Zum Erreichen der genarmten Zielvorstellungen und um Mathematik maximal verstehbar zu machen, greifen wir unter anderem auf folgende im weiteren Sinn methodische Hilfsmittel, Techniken zuriick: 9 durchgiingige Orientierung an Erkenntnissen der Lernpsychologie und Textproduktion; 9 bewusster Einbau von Redundanzen, um H~iufungsstellen yon Inforrnationsquanten zu entzerren und dem Lernenden einen ,,flieBenden" Lernprozess mit gleichm~il3igem (ftir ihn hoffentlich mittleren) Schwierigkeitsgrad zu erm6glichen; 9 Initiierung yon Selbsttfitigkeiten der Leser auf alien Darstellungsebenen (Bruner) bzw. Ebenen der Erkennmistiitigkeit (Lompscher), sei es bei Hinftihrungen, Beispielen, Anwendungen oder in Beweisprozessen; 9 h~iufige Wiederholungen / Riickschauen auf bisher ,,Geleistetes";

Vororientierung

xiii

9

z.T. spiralcurriculumf6rmiges Aufgreifen frfiherer Erkenntnisse auf h6herem / anderem Niveau (Bruner);

9

gelegentlicher Verzicht auf fachlich extrem verdichtete und daher elegante Argumentationen zugunsten der

9

Verwendung von 13berlegungen und Formulierungen aus den Reihen unserer Studierenden;

9

Integration zahlreicher beispielgebundener Hinftihrungen zu neuen S~itzen, denn: ,,Man muss einen mathematischen Satz erraten, ehe man ihn beweist; [...] Man muss Beobachtungen kombinieren und Analogien verfolgen, man muss immer und immer wieder probieren." (Polya 1962, S. 10)

9

Beweise werden h~iufig erst dann geffihrt, wenn das Verstgndnis des zu Beweisenden oder der Beweisidee am Beispiel sichergestellt ist;

9

vielf~iltige MaBnahmen zur Vorstrukturierung des Lernstoffes, teils in Form von ,Vororientierungen" (Ausubel) oder Hinffihrungen, besonders haufig aber durch im Text auch satztechnisch hervorgehobene ,,Leitfragen";

9 regelm~il3ig eingestreute l)bungsaufgaben, aber auch 9

unregelm~igig eingestreute kleine Scherze.

Wir m6chten, dass unsere Leserinnen und Leser mit dem Leitfaden Geometrie Mathematik wirklich verstehen, das Verstandene anwenden und in angemessenem Umfang selbst~indig damit weiterarbeiten. Die Moderatorin eines - aus welchen Griinden auch immer - beliebten Literaturmagazins im deutschen Fernsehen wiirde auch zu diesem Buch vermutlich sagen: L e s e n Sie den Leitfaden Geometrie. L e s e n Sie. Ganz gleich was Sie I e s e n. L e s e n Sie alles M6gliche. Hauptsache Sie 1 e s e n. Wir hingegen empfehlen: Folgen Sie den Empfehlungen dieser Moderatorin allenfalts in begriindeten Ausnahmef~illen. Lesen Sie den Leitfaden Geometrie nicht. Arbeiten Sie ihn durch? Nutzen Sie jedes der zahlreichen im Text eingebauten Angebote zum selbst~indigen Lernen: Basteln Sie, zeichnen Sie, konstruieren Sie, 16sen Sie die l~oungsaufgaben, ~iuBem Sie sich zu bewusst eingebauten Provokationen, beantworten Sie im Text oder in Fugnoten auftauchende Verst~indnisfragen bevor Sie weiterlesen - nein, weiter durcharbeiten?

xiv

Vororientierung

Einsatz des Leitfadens Geometrie als vorlesungsbegleitende Literatur Der Leitfaden Geometrie bietet mehr, als man realistischerweise in einer vierstiindigen Vorlesung behandeln kann. Auch wenn die Auswahl der Inhalte natiMich die Entscheidung der Dozentin / des Dozenten ist, wollen wir hier doch einige Anregungen •r einen m6glichst gewinnbringenden Einsatz des Leitfadens Geometrie geben:

Variante 1 Kapitel 1 (Topologie) und Kapitel 2 (Polyeder) sind unabh~ingig voneinander und nicht Voraussetzung ftir das Verst/indnis der folgenden Kapitel. Strebt man einen m6glichst systematischen Autbau der Geometrie an mit einer axiomatischen Grundlegung und einer Betonung der Abbildungsgeometrie, so kann man auch bei Kapitel 3 (Axiomatik) einsteigen, Kapitel 4 (Abbildungsgeometrie) und Kapitel 6 (Euklidische Geometrie) behandeln und dann entscheiden, welche der verbleibenden Kapitel eine sinnvolle Erg~inzung wgren. Zu Risiken und Nebenwirkungen dieses Weges sei angemerkt: Falls hierbei Kapitel 2 (Polyeder) und 7 (Darstellende Geometrie) nicht (grfindlich) behandelt werden, weisen wir darauf hin, dass die oben geforderte Schulung der Raumvorstellung zu kurz kommen kann.

Variante 2 Wer die Axiomatik am ehesten ftir verziehtbar h~ilt, kann Kapitel 3 (Axiomatik) iiberschlagen und stattdessen nur einen Blick auf die Zusammenfassung aller eingeffihrten Axiome am Ende dieses Kapitels werfen. Eine weitere vertretbare Kiirzung..stellen die letzten Abschnitte yon Kapitel 4 (Abbildungsgeometrie) zu Ahnlichkeitsabbildungen (mit Ausnahme der in Kapitel 6 ben6tigten Strahlens~itze) und affinen Abbildungen dar. Wir halten diesen Weg ffir weitgehend risiko- und nebenwirkungsfrei.

Variante 3 Wer meint, es sei nicht Aufgabe eines Universit~itsstudiums, Schulstoff zu wiederholen, bzw. wer das Gltick hat, auf eine H6rerschaft mit intakten Vor-

Vororientierung

xv

kenntnissen im Bereich der Schulgeometrie zu treffen, kann Einsparungen in den Kapitel 5 (Geometrische Konstruktionen) und 6 (Euklidische Geometrie) vornehmen. Zu Risiken und Nebenwirkungen dieses Vorgehens merken wir an: Bei einer Fehleinsch~itzung der Lemausgangslage des Publikums ist damit zu rechnen, dass angehenden Lehrerinnen und Lehrem des Sekundarbereichs I Basisqualifikationen ffir ihren sp~iteren Unterricht fehlen (Kapitel 6) und die fundamentale Idee des Konstruierens (Kapitel 5) nicht verstanden oder an die Benutzung von DGS-Software gebunden wird. Dariiber hinaus besteht die Gefahr, dass wesentliche Unterschiede zwischen abbildungsgeometrischem und euklidischem Arbeiten nicht erfahren werden.

Wir w~inschen Ihnen Erfolg bei der Durcharbeitung der einzelnen Kapitel und weisen ausdriicklich darauf hin, dass wir ~ r Anregungen - insbesondere solche zur weiteren Erh6hung der Lesbarkeit und Verstehbarkeit - aus den Reihen der Leserschaft dankbar sind. Unsere E-Mail-Adressen finden Sie im Impressum.

1

Topologie

1.1

Einstiegsproblem

Unten sehen Sie das Logo des Mathematischen Instituts der LudwigMaximilians-Universit/it Miinchen.

Abb. 1 Es zierte das Programmheft der 32. Tagung fOr Didaktik der Mathematik, die vom 2. bis 6. Mgrz 1998 in Miinchen stattfand. Laut Auskunft auf Seite 2 dieses Heftes zeigt es ,,einen Hamiltonschen / Kreis (dicke Linien) in einem Ikosaedergraphen2; der Kantenzug ist in dem Sinne optimal, dass er alle Knoten enth/ilt, aber jeden Knoten nur einmat." Bild wie Text werden bei Ihnen wohl eine Reihe von Fragen aufwerfen: Worum geht es eigentlich in der Situation? Verstehe ich die Zeichnung / den Text? Welche Fachausdriicke tauchen auf? Kenne ich ihre Bedeutung? Erinnert mich die Situation an etwas? Aus welchem mathematischen Teilbereich stammt das Problem? Was weig ich tiber diesen Teilbereich? Welche Themenkreise sind noch beriihrt? Der 1835 geadelte irische Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) hat zahlreiche Verdienste - zun~ichst in der Physik, sp~iter in der Mathematik - erworben. Unter anderem entwarf er ein Spiel mit dem Namen ,,Reise um die Welt", das sich groBer Beliebtheit erfreute. Auch Mathematiker k6nnen, nicht nur wenn sie im Tagtmgsvorbereitungsstress stehen, Fehler machen.

2

1 Topologie

Was weiB ich fiber diese Themenkreise? Einige m6gliche Antworten (und neue Fragen) sind: Es geht um irgendwelche besonderen Wege in Graphen. Fachausdr/ieke im Text: Hamiltonscher Kreis, Ikosaeder, Graph, Kantenzug, Knoten, optimal. Was bedeuten Sie? Zeichnung: Wo sind die Kanten, wo sind die Knoten? Wieso sind manehe Linien nur dfinn gezeichnet? Was bedeuten die dicken Linien? Bilden die einen Kreis? Zurfichst sind die Begriffe Graph, Kanten, Kantenzug, Knoten in Bezug auf die gegebene Zeichnung zu kl~ren. Danach kann man fiberlegen, was wohl ein Hamiltonscher Kreis ist (Definition) und unter welchen Bedingungen es einen solchen Weg in einem Graphen gibt (Siitze?). Das erinnert z.B. an ,,unikursale Netze" (---~ Haus des Nikolaus, --+ K6nigsberger Brfickenproblem), an pl~ittbare bzw. planare Graphen. Es geht also um topologische Fragestellungen. Der Begriff Ikosaeder verweist auf Polyeder, speziell platonische K6rper. Es geht auch um die Netze yon Polyedem. Bevor im folgenden die wichtigsten topologischen Begriffe und S~itze wiederholt, for einige eventuell auch neu eingefohrt, zumindest aber fOr alle in einheitlicher Formulierung aufgeschrieben werden, m6chten wir Ihnen einen ersten Ausblick auf die L6sung des Einstiegsproblems geben. Stellen Sie sich ein Dodekaeder vor, also denjenigenplatonischen K6rper, der aus 12 zueinander kongruenten regelm~il3igen Ffinfeeken gebildet wird. Stellen Sie sich femer vor, Sie umhfillen diesen K6rper nun mit einer Gummihaut, die Sie straff zusammenziehen und etwa fiber der Mitte einer Seitenfl~iche zusammenhalten. Die Ecken und Kanten des K6rpers driicken sich durch und k6nnen mit einem Filzstift nachgezogen werden. Wenn Sie die Gummihaut nun auf einem Tisch ausbreiten, daun sehen Sie ein Bild wie das aus Abbildung 1 (natiirlich nicht mit unterschiedlich breiten Linien). Sie haben ein so genanntes Schlegeldiagramm des Dodekaeders erzeugt 3.

Ebenso gut k6nnen Sie sich vorstellen, Sie h~itten bei einem Gummidodekaeder ein Loch in eine Seitenfliiche gepiekst, in das Sie nun mit beiden Hiinden hineingreifen, um den K6rper in die Ebene zu pl~itten.

1.1 E i n s t i e g s p r o b l e m

Abbildung prozesses.

Abb. 2

2

zeigt

3

ausgew~ihlte M o m e n t a u f r t a h m e n dieses

Herstellungs-

H e r s t e l l u n g d e s S c h l e g e l d i a g r a m m s eines D o d e k a e d e r s

D i e s e s D i a g r a m m ist t o p o l o g i s c h / i q u i v a l e n t z u d e m N e t z d e s r~iumlichen D o d e k a e d e r s , w i e m a n a n A b b i l d u n g 3 leicht n a c h p r i i f e n k a n n . D a s ,g~uBere e n t s p r i c h t d a b e i d e r Fl~iche, a n d e r Sie die G u m m i h a u t z u s a m m e n g e h a l t e n bzw. eingestochen haben.

4

1 Topologie D O MF

~

N L

E

C

G

Abb. 3

I

J

Damit haben wir den Fehler im Programmheft gefunden. Es handelt sich nicht um den Graphen des Ikosaeders, sondern um den des Dodekaeders4. Dieser Graph besteht aus Kanten, Ecken und Fl~ichen, wobei man bei Graphen oft auch von B6gen, Knoten und Gebieten spricht. In Abbildung 1 sind die Knoten nicht eingezeichnet. Abbildung 4a zeigt deshalb den Dodekaedergraphen noch einmal, wobei die Knoten durch Punkte hervorgehoben sind.

Abb. 4a In Hamiltons Spiel tragt jede Ecke den Namen einer Weltstadt. Heute wiirde man sich unter den Kanten die direkten Flugverbindungen zwischen den Metropolen vorstellen. Ziel des Spiels ist es dann, eine Rundreise urn die Welt zu machen und dabei jede Stadt genau einmal zu besuchen und im Ausgangsort wieder anzukommen. Wit spielen das Spiel auf dem Graphen aus Abbildung 4a und streichen jede Ecke durch, an der wir vorbeigekommen sind. Eine m6gliche Rundreise, also ein Hamiltonkreis, ist in Abbildung 4b durch dicke schwarze Linien eingezeichnet.

Der Fehler mag dadurch zustande gekommen sein, dab Hamilton sein Spiel ,,Ikosaeder-Spiel" nannte, obwohl es eigentlich auf den Ecken des Dodekaeders gespielt wurde (vgl. Gardner 1971, S. 19).

1.1 Einstiegsproblem

5

Abb. 4b Auf einem Dodekaeder mit unbenannten Ecken gibt es iibrigens nur zwei wirklich verschiedene Hamiltonwege, die spiegelbildlich zueinander sind. Beschriftet man die Ecken z.B. mit St~dtenamen und nennt Wege dann verschieden, wenn sie die Ecken in unterschiedlicher Reihenfolge beriihren, dann gibt es deutlich mehr M6glichkeiten.

l]~oung:

1) Unten sehen Sie die Schlegeldiagramme der tibrigen vier platonischen K6rper. Besitzen auch sie einen Hamiltonkreis?

Tetraeder

Hexaeder

+0 Oktaeder

Ikosaeder

2) Wir betrachten ,,Schachbretter" mit n2 Feldem, 3 < n < 6. Gibt es eine geschlossene Sprungfolge eines Springers, so dass jedes Feld auBer dem Startfeld genau einmal besetzt wird?

6

1 Topologie

1.2

Grundlegende Definitionen der Graphentheorie

Grundlegende Begriffe in der Geometrie sind Punkt, Linie, Gerade, Fliiche, K6rper, Inzidenz, wobei die Inzidenz eines Punktes P und einer Gemden g besagt, dass P a u f g liegt bzw. g durch P verl/iuft. Das bedeutet, dass diese Begriffe nicht definiert werden. Wir gehen vielmehr davon aus, dass wir fiber die Bedeutung dieser Begriffe eine gemeinsame Vorstellung haben. Wir fassen den Raum als Menge von Punkten auf. Linien, Fl~ichen, K6rper sind dann als Teilmengen dieses Raumes ebenfaUs Punktmengen. Von daher verwenden wir Begriffe, Schreibweisen und Ergebnisse der Mengenlehre. Als erstes soil der im Einstiegsproblem bereits mehrfach aufgetretene Begriff Graph definiert werden.

Definition 1:

Graph Es seien rE und K zwei disjunkte Mengen. Wir nennen die Elemente El, E2, ... , E, aus IE Ecken und die Elemente kl, 1(2. . . . ,km aus [K Kantens. Weiter sei IF ~ O und f eine Abbildung ~ ~ I:(91[= {(Ei;Ej) J E~, Ej ~ E}, d.h. jeder Kante werden genau zwei Ecken zugeordnet, die nicht notwendigerweise verschieden sein miissen. Das Tripel G = (l:,~,f) heiBt dann Graph.

Anmerkungen: 1. Unter ~| verstehen wir das ungeordnete Produkt von E, also die Menge aller ungeordneten Paare. Beispiel: Sei E = {A,B}, dann 1:(9I: = {(A,A), (A,B), (B,B)} im Gegensatz zum Kreuzprodukt IZx~ = {(A,A), (A,B), (B,A), (B,B)} Damit unterscheiden wir im Weiteren die Paare (E~,E2) und (E2,Et) nicht. 2. Sofern keine Missverst/indnisse zu befiirchten sind, schreiben wir fiir das Tripel G = (E,K,f) auch kurz G = (IZ,l(). 3. Wir haben E ~ O festgesetzt. Ein eckenloser Graph h~itte zwangsl~iufig auch keine Kanten, w ~ e also der ,,leere Graph" ( 0 , 0 ) . Um im Folgenden

5

Man kann ebenso yon Knoten statt von Ecken und von B6gen statt von Kanten sprechen.

1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie

7

nicht immer schreiben zu mfissen ,,Fiir einen Graphen, der ungleich dem leeren Graphen ist, gilt..." schlieBen wir diesen Fall dutch IF ;~ Q aus. 4. Wir betrachten im Weiteren ausschlieBlich endliche Graphen, also E trod IK sind endliche Mengen, wie es durch die Aufzghlung der Etemente von E und IK in der Definition schon angedeutet ist. 5. Da jeder Kante k genau ein Eckenpaar (A,B) zugeordnet ist, werden wir vereinfachend statt k gelegentlich auch das Zeichen (A,B) verwenden. In Abbildung 5 sehen Sie ein Beispiel f/Jr einen Graphen. B

~

.._.,.

~ = {A,B, C,D, E, F} = {kb k2, k3, k4, ks, k6} f:

Ag D_ -

. k3

~ C ) ks ~ _E

k6

-

F 9

f(k,) = (A,B)

f(k2) = (A,B) f(k3) = (A,C) f(k4) = (B,C) f(k5)=(C,C) f(k6) = (D,E)

Abb. 5 Dieser Graph weist einige Besonderheiten auf: Zum einen gibt es zwei verschiedene Kanten kj und k2, die die Ecken A und B verbinden. Man sagt dann, der Graph besitzt Mehrfachkanten. Zum anderen gibt es eine Kante, und zwar ks, bei der die beiden Ecken zusammenfallen. Eine solche Kante wird Schlinge genannt. Eine weitere Besonderheit weist die Ecke F auf. Es gibt keine Kante, die mit F inzidiert. Man nennt F eine isolierte Ecke. Ferner stellen wir noch fest, dass in diesem Graphen die Ecken A, B und C durch Kanten miteinander verbunden sind. Von B nach C gelangt man z.B., wenn man erst kt und dann k3 durchRiuft oder die Kanten k2, kb k4 oder auch k2, kb k2, k3 nacheinander durchlfiuft. Derartige n-Tupel von Kanten bezeichnen wir als Kantenziige. Definition

2:

Kantenzug Unter einem Kantenzug (kb k2. . . . . k,) verstehen wir ein n-Tupel von Kanten, bei dem der Endpunkt der Kante ki mit dem Anfangspunkt der Kante ki+l inzidiert. Dabei gilt: i 9 { 1, 2, 3, ..., n-1 }.

8

1 Topologie

W/ihrend beim Kantenzug (k2, kl, k2, k3) von B fiber A und B nach C die Kante kz mehrfach vorkommt, sind bei den Kantenzfigen (kz, kl, k4) von B tiber A und B nach Coder (kb k3) yon B fiber A nach C alle Kanten voneinander verschieden. Solche besonderen Kantenztige nennen wir Wege. Auch (k4, k3, k2) ist ein Weg, allerdings ein besonderer, der von Ecke B wieder zur Ecke B zurfickffihrt. Definition 3:

(offene, geschlossene) Wege Kantenzfige, bei denen alle Kanten verschieden voneinander sind, heifSen Wege. Fallen Anfangs- und Endecke eines Weges nicht zusammen, heiBt der Weg often. Beispiel aus Abbildung 5: (k2,kbk4) Inzidieren Anfangs- und Endecke eines Weges, so heiBt der Weg geschlossen. Beispiel aus Abbildung 5: (k2,k3,k4)

In tmserem Beispielgraphen finden wir keinen Kantenzug von A nach D, von C nach F, von B nach E .... Graphen, bei denen man von jeder Ecke zu jeder anderen Ecke gelangen kann, und Graphen ohne Schlingen und Mehrfachkanten wollen wir besonders hervorheben. Definition 4:

schlichter Graph Ein Graph heigt schlicht, wenn er keine Schlingen und keine Mehrfachkanten aufweist.

Verboten:

Definition 5:

~ )

und

0

zusammenhS_ngender Graph Ein Graph heiBt zusammenhiingend, wenn es zu zwei beliebigen voneinander verschiedenen Ecken Ei und Ej stets einen Kantenzug (kl, k2, ... k,) gibt, bei dem Ei Anfangsecke von kj und Ej Endecke von kn ist.

1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie

Unser Beispielgraph aus Abbildung 5 ist also weder schlicht noch zusammenh~ingend. Entfernt man aus diesem Graphen die Kanten k2 und ks, so haben wir einen schlichten Graphen, der aber nicht zusammenh/ingend ist.

B

AD_ v

-C k6

_E

w

9

F 9

Entfemen wir stattdessen aus dem Graphen die Ecken D, E und F sowie die Kante 1(6, so erhalten wir einen zusammenh/ingenden Graphen, der nicht schlicht ist.

A~

k3

~

k5

Wiirden wir in diesem links abgebildeten Graphen die Kanten k2 und ks entfemen, h/itten wir ein Beispiel fiir einen schlichten, zusammenh/ingenden Graphen.

Auf die genaue Lage der Ecken und auf die Lage sowie Form der Kanten kommt es bei einem Graphen nicht an. Entscheidend ist, welche Ecken mit welchen Ecken verbunden sind. So stellen die folgenden Abbildungen ,,denselben" Graphen dar.

Abb. 6

Abb. 7

Man karm einen Graphen statt durch eine solche Abbildung, die man fiblicherweise auch Graph nennt, ebenso durch eine Inzidenztafel darstellen. Wir notieren in der Waagerechten die Ecken, in der Senkrechten die Kanten

10

1 Topologie

und tragen in der Tafel ein ,,+" ein, wenn eine Kante mit einer Ecke inzidiert, sonst eine 0 6. Ffir den Graphen aus Abbildung 6 sieht die Inzidenztafel mit den wie folgt gew~ihlten Bezeichnungen dann so aus:

~

D

Aa v e / b

c

Wir k6nnen die Ecken und Kanten im Gmphen aus Abbildung 7 nun so bezeichnen, dass wir fiir diesen Graphen dieselbe Inzidenztafet erhalten (Abbildung rechts). H/itte man eine andere Art der Bezeichnung gew~ihlt, so ware das eventuell nicht der Fall. Wir sprechen deshalb nicht yon denselben Graphen, sondem yon isomorphen Graphen. Das ist der Grund daftir, dass oben das Wort ,,denselben" in Anfiihrungszeichen gesetzt wurde.

D e f i n i t i o n 6:

i

A

B

C

D

a

+

+

0

0

0 0 +

+ 0 0

+ + 0

0 + +

A

a

B

D

c

C

isomorphe Graphen Zwei Graphen G = ([, IN) und G* = (Ig*, [K*) heigen isornorph, wenn es Abbildungen qo: E --~ IF* und V: [K---~K* mit folgenden Eigenschaften gibt: 1.

qo und ~g sind bijektiv.

2.

Wenn ki = (Ei,Ej), dann gilt v(k~) = (q~(Ei),qo(Ej))

Aber wie notieren Sie in der Inzidenztafel eine Kante k, die ausschlieBlich mit der Ecke E inzidiert? Grunds~itzlich kann man hier in Zeile k, Spalte E ein ,,+" oder ein ,,++" ins Auge fassen. Finden Sie Vorziige fiir jede dieser Notationsformen.

1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie

Memo:

11

bijektive Abbildung

Eine Abbildung q0: E --> E* heii3t injektiv, wenn verschiedene Elemente aus E auch stets verschiedene Elemente aus E* als Bilder haben.

Eine Abbildung qg: n: --+ E* hei6t surjektiv, wenn jedes Element aus E* als Bild eines Elements aus E vorkommt. (Alle Elemente aus E* kommen als Bilder vor; man spricht auch von einer ,,Abbildung aug'.) Eine Abbildung qx E ~ E* hei6t wenn sie injektiv und surjektiv ist.

bijektiv,

Wir k6nnen uns die Kanten eines Graphen als Gummib~indervorstellen, die in den Ecken miteinander verknotet sind. Der l]'bergang yon einem Graphen zu einem isomorphen Graphen bedeutet anschaulich dann eine Verformung des Graphen durch Dehnen, Stauchen tmd Umlegen der Gummib~inder, wobei keine Knoten anfgel6st werden, keine neuen Knoten gemacht werden und keine Bander zerschnitten werden diirfen. Isomorphe Graphen werden auch topologisch iiquivalent genannt. Neben den isomorphen Graphen aus den Abbildungen 6 und 7 kennen Sie noch ein weiteres Beispiel isomorpher Graphen, und zwar einmal die r~iumliche Darstellung und das Schlegeldiagramm des Dodekaeders aus dem Einstiegsproblem. Wir haben dort schon gesehen, dass es niitzlich sein kann, l]-berlegungen an einem ebenen Netz bzw. Graphen statt an einer r~iumlichen Darstellung anzustellen. Spielen Sie doch einfach einmal Hamittons Spiel mit einem durchschnittlich geduldigen Menschen an der r~iumlichen Darstellung des Dodekaeders. Ebenso ist es sinnvoll, m6glichst iibersichtliche Graphen zu betrachten. Dazu geh6rt z.B., dass die Linien, die die Kanten eines Graphen repr~isentieren, m6glichst wenige Kreuzungen haben. Wir werden also h~iufig einen Graphen durch einen isomorphen Graphen ersetzen, der leichter zu fiberschauen ist.

12

1 Topologie

Beispiele:

Abb. 8 Die eingekreisten Schnittpunkte von Linien sind keine Ecken des Graphen. Bei den jeweils rechts stehenden isomorphen Graphen sind alle Schnittpunkte zugleich Ecken. Nicht immer ist es m6glich, zu einem Graphen einen isomorphen Graphen anzugeben, der sich kreuzungsfrei in der Ebene darstellen l~isst. Wir werden auf dieses Problem im iibem~ichsten Abschnitt ausftihrlich eingehen. Deshalb lohnt es sich, Graphen, ftir die dies m6glich ist, besonders hervorzuheben. Definition 7:

planarer, pl/ittbarer Graph Ein Graph, dessen Kanten sich nur in Ecken kreuzen, heiBt

planar. Ein Graph heiBt pliittbar, wenn er durch einen isomorphen planaren Graphen dargestellt werden kann. Beide in Abbildung 8 rechts stehenden Graphen sind planar, die beiden Graphen links in Abbildung 8 sind nicht planar, aber pl~ittbar. Fiir alle platonischen K6rper gibt es planare Darstellungen (vgl. l)bung 1, Kapitel 1.1).

1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie

13

Bevor wir in den folgenden Abschnitten auf interessante Probleme aus dem Bereich der Graphentheorie eingehen, soil in einer vorl~iufig letzten Definition ein weiterer wichtiger Begriff gekliirt werden. Definition

8:

Eckenordnung Es sei E eine Ecke eines Graphen G. Die Ordnung der Ecke E ist die Anzahl der Kanten, die in einer Ecke zusammentreffen. Kanten, die zur selben Ecke zurtickFaihren (Schlingen), werden zweimal gezfihlt. Wir bezeichnen die Ordnung von Emit ord(E).

l~ung:

1) Welche der folgenden Graphen sind schlicht, zusammenh/ingend, planar oder pl~ittbar? Geben Sie fiir jeden plattbaren Graphen einen isomorphen planaren Graphen an.

G6 G4 -

G5

-

-

2) Bestimmen Sie fiir jeden Graphen aus (1) die Ordnungen der Ecken. 3) Gibt es unter den Graphen aus (1) zwei Graphen, die zueinander isomorph sind? Falls ja, stellen Sie ffir einen Graphen die Inzidenztafel auf und beschriflen Sie den anderen so, dass er dieselbe Inzidenztafel hat.

14

1.3

1 Topologie

Eckenordnungen und Kantenzahlen

Hinfiihrung zu Satz 1:

In der folgenden Aufgabe k6nnen Sie den Zusammenhang, den wir im Satz 1 formulieren werden, selbst an konkreten Graphen entdecken. Bestimmen Sie fiJr jeden der abgebildeten Graphen die Eckenzahl t E l, die Kantenzahl I IK [ und die Summe der Eckenordnungen ~-~ord(Ei). Eie E

beliebiger Graph

IEI = 6

1~1--7 6

~-'ord(Ei) = 14 i=l

Dodekaedergraph

IEI =20

I~1 --30 20

ord(E i) = 60 i=l

Wtirfelgraph

ItEI = 8

I~1:12 8

ord(E,) = 24 i=l

Tetraedergraph

IEI=4

IKI--6 4

~ o r d ( E i) = 12 i=l

1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen

15

Sicherlich ist Ihnen aufgefallen, dass die Summe aller Eckenordnungen in jedem der vier Graphen gleich dem Doppelten der Kantenzahl ist. Vielleicht haben Sie diesen Zusammenhang auch schon beim Bearbeiten der Ubung 2 des letzten Abschnitts entdeckt. Dort haben Sie ftir sechs Graphen mit jeweils 5 Ecken und 8 Kanten die Eckenordnungen bestimmt. Wenn Sie die U-bung richtig bearbeitet haben, ist die Summe der Eckenordnungen bei jedem der sechs Graphen gleich 16, also doppelt so groB wie die Anzahl der Kanten. Im festen Vertrauen, d a s s e s sich bei diesem an Beispielen gefundenen Zusammenhang nicht um Zufall handelt, formulieren wir Satz 1 (und beweisen ihn):

Satz 1:

Sei G = (IF,K) ein Graph. Dann ist die Summe der Ordnungen aller Ecken gleich dem Doppelten der Kantenzahl: ~ ord(Ei) = 2. [ IK [ Ei~E

Beweis:

Wir betrachten zunachst einen schlingenfreien Graphen.

-

-

Nach der Definition ,,Graph" sind jeder Kante k des Graphen genau zwei Ecken zugeordnet. Jede Kante erh6ht also die Summe aller Eckenordnungen des Graphen um genau 2. Also ist die Summe aller Eckenordnungen doppelt so groB wie die Anzahl der vorhandenen Kanten, die nicht Schlingen sind. (*) Da wir in der Definition ,,Eckenordnung" vereinbart haben, dass Schlingen bei der Bestimmung der Eckenordnungen doppelt gez~ihlt werden, erh/Sht auch jede Schlinge die Summe der Eckenordnungen um 2. (**) Aus (*) und (**) folgt: Die Summe aller Eckenordnungen ist gleich dem Doppelten der Kantenzahl, formal:

~-~ord(Ei)=2.

I :1

Ei~E

Satz 1 sagt insbesondere aus, dass die Summe der Eckenordnungen in einem Graphen stets eine gerade Zahl ist. Daraus kSnnen wir folgern:

16

1 Topologie

Satz 2:

In einem Graph ist die Anzahl der Ecken mit ungerader Ordnung eine gerade Zahl.

Beweis:

Wir betrachten die Ecken mit geraden und ungeraden Ordnungen getrennt. Die Summe aller Eckenordnungen der Ecken mit geraden Ordnungen ist als Summe gerader Zahlen auch eine gerade Zahl. Die Gesamtsumme aller Eckenordnungen ist nach Satz 1 ebenfalls eine gerade Zahl. Da nur eine gerade Zahl addiert zu einer geraden Zahl eine gerade Zahl ergibt, muss die Summe der Eckenordnungen derjenigen Ecken, die eine ungerade Ordnung haben, eine gerade Zahl sein. Da die Ordnungen dieser Ecken selbst ungerade Zahlen sind, und die Summe von ungeraden Zahlen nur dann gerade ist, wenn wir eine gerade Anzahl von Summanden haben, muss die Zahl der Ecken mit ungerader Ordnung gerade sein. Mit anderen Worten: Ecken mit ungerader Ordnung treten stets paarweise auf.

Stellen Sie sich vor, Sie treffen sich mit 4 Kommiliton(inn)en in einer Gastst~itte. Zur BegriiBung schiJttelt jede Person jeder anderen Person einmal die Hand. Wie oft werden H~inde geschiittelt? Dieses Problem kennen Sie aus der Kombinatorik. Vielleicht wissen Sie auch noch, dass die L6sung (52/

(5 2 -~5, 2)!. . v- 5 2" 4 - 1 0

ist.

Was hat diese Aufgabe mit unseren Graphen zu tun?

Charlotte Max ~

Nini

Ipke

Nina

Man kann diese Aufgabe durch einen Graphen darstellen. Die Ecken stehen fiir die Personen, jeder Handschlag wird durch eine Kante dargestellt. Werm jede Person jeder anderen die Hand gibt, dann bedeutet das fiir unseren Graphen, dass jeweils zwei verschiedene Ecken dutch genau eine Kante verbunden werden. Jede der 5 Personen schiittelt (5-1) anderen Personen die Hand.

1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen

17

Kommen wir also auf 5.4 Handschl/ige? Natiirlich nicht, denn bei dieser Z~ihlung h/itten wir jeden Handschlag genau zweimal gez[ihlt. Tats/ichlich k6nnen wir also 5. (5-1) Handschl~ige beobachten. 2 Man nennt einen solchen Graphen einen vollstiindigen Graphen und bezeichnet ihn mit V . , wobei der Index die Zahl der Ecken angibt. Die folgende Abbildung zeigt die vollst~indigen Graphen mit eins bis sechs Ecken.

v

Vi

V2

w

V3

V4

V5

V6

Abb. 9:

Wir heben unsere konkreten Vortiberlegungen aus der Gastsditte auf eine formale Ebene und formulieren Satz 3: Satz 3:

Sei V, der vollstfindige Graph mit n Ecken. Dann gilt f/Jr die Anzahl der Kanten in V.:

I ~1 - n . ( n - 1 ) 2 Fiir die Ordnungen aller Ecken von V, gilt: ord(Ei) = n - 1.

Beweis: Da im vollsdindigen Graphen V. jede der n Ecken mit jeder der anderen n - 1 Ecken verbunden ist, gilt ~ r jede Ecke Ei im vollst~indigen Graphen: ord(Ei) = n - 1. Dann folgt fiir die Summe aller Eckenordnungen im vollst~ndigen Graphen mit n Ecken: ~ ord(E i) = n - ( n - 1) (*) EieE

Nach Satz 1 gilt:

~ord(Ei)

: 2 . ] ~1

Ei~E

Aus (*) und (**) folgt:

n 9 (n-l) =2'lKI

(**)

18

1 Topologie

n 9(n-l) 2 Wir k6nnen also bei Kenntnis der Eckenzahl sofort die Ordnungen der Ecken sowie die Kantenzahl bestimmen.

Vom V, zum V.+l ... und zuriick 0berlegen Sie sich, wie Sie von einem beliebigen vollst~indigen Graphen Vn zum V.+l gelangen.

Vn

Vn+l O

~

+eineEcke~

~

D.

~

+nKanten .

Kennt man also die Kantenzahl des Vn, dann kennt man auch die Kantenzahl des V.+j:

IKv I+n =

I

Umgekehrt kommt man v o m Vn+! zum Vn, indem man ... ... eine Ecke (En+0 und alle von dieser Ecke ausgehenden n Kanten 16scht. Man sagt: V. ist (echter) Untergraph des Vn+l 9 Ein Graph G' - ( E ' , ~ ' ) ist n:' _ H:

Untergraph von G = 0:,~), wenn

A In G' sind alle Ecken durch Kanten verbunden, die auch in G durch Kanten verbunden sind. Bei

Teilgraphen muss die letzte Bedingung nicht erfiillt sein.

1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen

19

Beispiele flit Teilgraphen des Vs:

Damit ist klar: Jeder Untergraph eines vollstandigen Graphen muss wieder ein vollst~indiger Graph sein.

Obung:

1) Ein Graph habe 4 Ecken und 5 Kanten. Zwei Ecken haben die Ordnung 3. Was k6nnen Sie fiber die Ordnung der beiden anderen Ecken sagen? 2) Der Graph aus (1) sei schlicht. Wie sieht er aus? 3) Bestimmen Sie die Eckenordnungen und die Kantenzahl ftir Vl0 (ftir V20). 4) Gibt es einen votlst/indigen Graphen mit 75 (mit 210) Kanten?

5) Ver'~ndem Sie die o. g. Beispiele fiir Teilgraphen des V5 durch insgesamt vier Aktionen, so dass drei verschiedene Untergraphen des V5 entstehen. Erreichen Sie das Gew/inschte auch mit ftinf Aktionen?

20

1 Topologie

1.4

Pliittbarkeit v o n G r a p h e n

Wir haben in Kapitel 1.2 schon einige Graphen auf Pl~ittbarkeit untersucht. Die nicht planaren Graphen hatten sich alle als pl~ittbar herausgestellt. Wir untersuchen nun die vollst~ndigen Graphen, die Sie im letzten Abschnitt kennengelernt haben, auf Pl~ittbarkeit. V~, V2 und V3 sind planar. V4

ist pl~ittbar:

w

Wir betrachten Vs:

Es sieht so aus, als ob wir die dickgezeichnete Kante nicht so umlegen k6nnen, dass keine neue Kreuzung entsteht. Oder haben wir nur nicht geschickt genug angefangen? Gibt es vielleicht doch einen planaren Graphen, der zu V5 isomorph ist? Bevor wir diese Frage beantworten k6nnen, untersuchen wir Beziehungen zwischen Ecken-, Kanten- und Fl~ichenzahl bei planaren, zusammenh~ingenden Graphen. Die bei solchen und nur bei solchen Graphen bestehenden Beziehungen lassen dann auch Aussagen darfiber zu, ob ein Graph pl~ittbar ist oder nicht.

Hinfiihrung zu Satz 4 (Eulersche Formel): Die Eulersche Formel macht eine Aussage fiber planare und zusammenh~ingende Graphen. Wir greifen auf unseren Fundus von Graphen mit diesen Eigenschaften zurfick und bereiten den Zusammenhang beispielorientiert vor:

1.4 P1/ittbarkeit yon Graphen

21

1) In Kapitel 1.1, 0bung (1) haben wir zu jedem platonischen K6rper einen isomorphen Graphen dargestellt. All diese Graphen sind planar und zusammenh/ingend. Wir ermitteln fiir jeden dieser Graphen die Ecken-, Kanten- und Fl~ichenzahl und stellen einen erstaunlichen Zusammenhang fest:

Kiirper

Eckenzahl e

Kantenzahl k

Fl~ichenzahl f

Tetraeder

4

6

4

2

Wfirfel Oktaeder

8 6

12 12

6 8

2

Dodekaeder

20

30

12

2 2

Ikosaeder

12

30

20

2

e-k+f

2) Wir betrachten den Graphen G2 aus Kapitel 1.2, Ubung (1). Auch dieser Graph ist zusammenhangend und planar. G2 hat 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Fl~ichen.Beachten Sie, dass das .~ul3ere stets als eine Fl/iche mitgez/ihlt wird. Auch hier stellen wir lest: e-k+f = 5-8+5 = 2 3) Auch der zum ,,Haus des Nikolaus" isomorphe / planare Graph aus Kapitel 1.2 besteht aus 5 Ecken, 8 Kanten und 5 F1/ichen. Offensichtlich gilt auch hier:

~ Ft

e-k+f = 5-8+5 = 2

Wir formulieren unsere an Beispielen gewonnene Vermutung in allgemeiner Form:

22

1 Topologie

Satz 4:

Eulersche Formel 7 Ffir jeden planaren, zusammenhiingenden Graphen m i t e Ecken, k Kanten und f Fl~ichen gilt: e - k + f = 2.

Beweis:

Idee:

Zuerst zeigen wir, dass die Behaupttmg ftir einen planaren zusammenhiingenden Graphen mit null Kanten gilt. Danach bauen wir den Graphen kantenweise auf und beobachten dabei die Zahl e - k + f. Wir zeigen die Behauptung also durch vollst~indige Induktion fiber der Kantenzahl.

Es gilt: Besteht unser Graph nur aus einer einzelnen Ecke ohne Kanten, so haben wir eine Ecke, keine Kanten und eine Fl~iche, also 1 - 0 + 1 = 2. 8

FI 9 E~

Induktionsanfang: z.z.: Die Behauptung gilt ftir einen Graphen mit einer Kante. Wir ffigen also eine erste Kante hinzu. Wenn diese Kante eine Schlinge ist, dann bleibt die Eckenzahl unver~indert, w/ihrend sich die FI Kanten- und Fl~ichenzahl um jeweils 1 erh6hen, was e - k + f unver/indert l~isst.

{ F~ ~ k ] El

Wenn diese Kante keine Schlinge ist, dann hat sie ,__.~kl _ eine zweite Ecke. Dadurch erh6hen sich e und k Fi l ~ ' t E2 um jeweils I, die Zahl der Fl~ichen bleibt unver~indert. Also auch diese Operation findert nichts an El e-k+f=2. Induktionsschritt: z.z.: Werm die Behauptung ftir einen Graphen mit n Kanten gilt, darm gilt sie auch ffir einen Graphen mit (n+l) Kanten. Wir setzen also voraus, dass die Behauptung ffir einen planaren zusammenhiingenden Graphen mit n Kanten gilt. Wenn wir den Graphen schon aus n Kanten (n ~ •) aufgebaut haben und darm eine (n+ 1)-te Kante unter Beibehaltung der Planarit~t hinzufiigen, so sind drei F~ille m6glich: 7 8

Leonhard Euler, deutscher Mathematiker, 1707 - 1783 Der Fall k = 0, e ___2 erzeugt einen nicht zusammenh~xlgenden Graphen.

1.4 Pliittbarkeit yon Graphen

23

1. Fall Die neue Kante (gestfichelt) ist eine Schlinge. Dann bleibt e gleich, k und f erh6hen sich um 1. e - k + f bleibt unver/indert.

2. Fall Die neue Kante verbindet zwei schon vorhandene Ecken. Dann bleibt e gleich, k und f wachsen um 1. Also bleibt e - k + f unverfindert. 3. Fall Die neue Kante hat als zweite Ecke eine neue Ecke (gestrichelt). e w~ichst dann um 1, ebenso k, die Flfichenzahl f findert sich nicht. Also bleibt e - k + fauch in diesem Fall unver/indert. Da der Graph zusammenhfingend ist9, erhalten wir so schlieBlich den ganzen Graphen, wobei sich bei keinem Schritt die Zahl e - k + f verLqdert. Mit Hilfe der Eulerschen Formel k6nnen wir nun beweisen, dass der voltstfindige Graph V5 nicht pl~ttbar ist. Satz 5:

Der vollstfindige Graph V5 ist nicht pl~ittbar.

Beweis:

(indirekt)

Annahrne:

V5 sei pl/ittbar.

Wenn Vs pl/ittbar ist, dann gibt es nach der Definition ,,plgttbar" einen zu V5 isomorphen planaren Graphen Vs*, der wie V5 ebenfalls 5 Ecken und ] K I - 5- (5 - 1) _ 10 Kanten hat und ebenfalls zusammenh~ingend 2 ist. Diese Eigenschaft ist zusammen mit der Planarit~t der Grund dafiir, dass beim Einffigen der (n+l)-ten Kante nur die drei o.g. F~ille m6glich sind. Oberlegen Sie, wie viele Ffille bei nicht zusammenh~ngenden (planaren) Graphen zu unterscheiden w/iren.

24

1 Topologie

Fiir Vs* gilt dann die Eulersche Formel:

e - k + f= 2 5-10+f=2 f=7 Jede dieser 7 Fl~ichen yon Vs* wfire von mindestens 3 Kanten begrenzt ~~ also miisste es mindestens 7 93 = 21 Grenzen geben, wenn man jede Grenze doppelt z/ihlt. (*) Da andererseits jede der 10 Kanten h6chstens Grenze yon 2 Fl~ichen sein kann, kommen wir aufh6chstens 20 Grenzen. (**) Die Annahme, V5 sei pl/ittbar, fahrt also in (*) und (**) zu einem Widerspruch. Sie ist daher zu vemeinen: V5 ist nicht pl~ttbar.

Die Frage, ob ein Graph pl~ittbar ist, interessiert nicht nur wegen der Obersichtlichkeit der Darstellung. Denken Sie auch an gedruckte Schaltungen in der Elektronik, an kreuzungsfreie Wegefahnmgen im Verkehr oder an das Verlegen von Strom- oder Wasserleitungen. In diesem Kontext steht auch der so genannte GEW-Graph, bei dem es darum geht, H/iuser an das Gas-, Elektrizit/its- und Wasserwerk anzuschliegen. Jedes Haus soil mit jedem Werk verbunden werden, die H~iuser untereinander sind nicht verbunden, ebenso sind die Werke nicht miteinander verbunden. Wir betrachten zuerst den GEW-Graphen far zwei H/iuser.

Abb. 10 Abbildung 10 zeigt, dass der GEW-Graph far zwei H/iuser pl~ttbar ist. Ein isomorpher planarer Graph ist angegeben. Es ist also m6glich, die H/iuser der Familien Miiller und Philipp kreuzungsfrei an die drei Werke anzuschlieBen. 10 Der ldirzeste geschlossene Weg in V5 besteht aus 3 Kanten.

1.4 Pl~ittbarkeit yon Graphen

25

Abbildung 11 zeigt den GEW-Graphen ffir drei H~iuser.

Abb. l l Jeder Versuch, die drei H~iuser kreuzungsfrei mit den drei Werken zu verbinden, endet mit einem ~mlich zu dem in Abbitdung 11 rechts dargestellten Graphen. Es sieht so aus, als ob es ftir die letzte fett dargestellte Verbindung keine Umlegem6glichkeit gibt, bei der nicht eine neue Kreuzung entsteht. Bis zum endgiiltigen Beweis miissen wir uns jedoch wie beim vollst~indigen Fiinfeck fragen, ob dies nicht vielleicht nur an einem ungeschickten Ansatz oder mangelhafter Phantasie beim Leitungsverlegen liegt. Wir formulieren daher Satz 6 und verfolgen die gleiche Beweisstrategie wie in Satz 5: S a t z 6:

Der GEW-Graph Rir drei H~iuser (GEW3H) ist nicht plfittbar.

Beweis:

(indirekt)

Annahme:

GEW3H sei pl~ittbar.

-

Wenn GEW3H pl[ittbar ist, dann gibt es nach der Definition ,,pl~ittbar" einen zu GEW3H isomorphen planaren Graphen GEW3H*, der wie GEW3H ebenfalls 6 Ecken und 9 Kanten hat und ebenfalls zusammenh~ngend ist.

-

Fiir GEW3H* gilt dann die Eulersche Formel:

-

Jede dieser 5 Fl~ichen von GEW3H* w~ire von mindestens 4 Kanten begrenzt, also miisste es mindestens 5 - 4 = 20 Grenzen geben, wenn man jede Grenze doppelt zLlalt. (*)

e- k+ f 6-9+f f

=2 =2 =5

26

1 Topologie

Da andererseits jede der 9 Kanten h6chstens Grenze von 2 Fl~ichen sein kann, kommen wir auf h6chstens 18 Grenzen. (**) Die Annahme, GEW3, sei pl~ittbar, fiihrt also in (*) und (**) zu einem Widerspruch. Sie ist daher zu vemeinen: Der GEW-Graph •r drei H/iuser (GEW3H) ist nicht pl~ittbar. Wir haben also nachgewiesen, dass der Graph des vollst/indigen Ffinfecks V5 und der GEW-Graph ftir drei H~iuser nicht pt/ittbar sind. Damit ist aber auch klar:

vorliiufige Folgerung: Wenn ein zusammenh/ingender Graph den V5 oder GEW3n als Teilgraphen enth/ilt, dann ist dieser Graph nicht pl~ittbar. Wir k6nnten bei einem solchen Graphen nfimlich versuchen, zun/ichst einen geeigneten Teilgraphen zu pl~itten, sinnvollerweise den V5 oder GEW3H, und wfirden bereits an dieser Stelle kl/iglich scheitem. Mit dieser ,,vorl/iufigen Folgerung" haben wir schon ein hervorragendes Kriterium zur Verf/igung, um Graphen als nicht pl~ittbar zu klassifizieren. Aber:

Ist dieses Kriterium ein hinreichendes fiir die Nichtpl~ittbarkeit eines Graphen?

Auf der Suche nach einer Antwort betrachten wir die unten dargestellten Graphen Gi und G2, die erstaunliche ,,J~dmlichkeiten" mit GEW3H bzw. V5 haben.

Aufgabe:

Versuchen Sie, mit Hilfe der Ihnen zur Verfiigung stehenden Definitionen, S/itze und Folgerungen zu einer Aussage fiber die Pl~ittbarkeit dieser beiden Graphen zu kommen. Lesen Sie erst danach weiter. G1

w

Nun, wahrscheinlich werden Sie versucht haben, geeignete Teilgraphen zu identifizieren, um unsere ,,vorl/iufige Folgerung" anzuwenden.

1.4 Pl~ittbarkeit yon Graphen

27

Aber G~ enth/ilt nicht den GEW3H und G2 enth/ilt nicht den V5 als TeilgraphIi. Trotzdem sind auch diese beiden Graphen nicht pl~ittbar. Jeder Versuch, Gi zu pl/itten, ftihrt nach einiger Zeit zu einer ~hnlichen Situation wie rechts abgebildet. Der fett dargestellte Kantenzug ist nicht mehr kreuzungsfrei in die Ebene zu legen. Dabei ist dieses Problem vergleichbar mit unseren Bemiihungen, die entsprechende Kante des GEW3H kreuzungsfrei in die Ebene zu legen. Der fett dargestellte Kantenzug verh~iltsich beim Versuch des P1/ittens ebenso wie die entsprechende Kante des GEW3H: es scheint unm6glich, ihn kreuzungsfrei in die Ebene zu legen. Dabei ist es offensichtlich vollkommen unerheblich, wie oft diese Kante (des GEW3H) durch neue Ecken unterteilt 12 ist. Vollkommen analoge l)berlegung k6nnten wir hinsichtlich der P1/ittbarkeit des oben angefiihrten Graphen G2 anstellen. Nach dieser Uberlegung formulieren wit unsere vorlgufige Folgerung neu: Wenn ein zusammenh~ingender Graph den V5 oder den GEW3H oder eine Unterteilung dieser Graphen als Teilgraphen enth/ilt, dann ist dieser Graph nicht pl/ittbar. Es gilt sogar der folgende Satz: Satz 7:

Satz von Kuratowski Ein zusammenh/ingender Graph ist genau dann nicht pl/ittbar, wenn er den vollst~indigen Graphen V5 oder den GEW-Graphen fiir drei H/iuser GEW3H oder eine Unterteilung eines dieser Graphen als Teilgraph entNilt.

Die Rfickrichtung dieses Satzes haben wir begriindet, auf den Beweis der ,,Hinrichtung" verzichten wit an dieser Stelle. Dem polnischen Mathematiker Kuratowski gelang 1930 als erstem der Beweis der ,,Hinrichtung" dieses Satzes. JJ Im Anschluss an unsere Uberlegungen nach Satz 3 wollten wir G' als Teilgraphen von G bezeichnen, wenn die Eckenmenge von G' eine Teilmenge der Eckenmenge yon Gist und wenn die Kantenmenge yon G' eine Teilmenge der Kantenmenge yon G' ist. 12 Von einer Unterteilung des GEW3H oder des V5 wollen wir reden, werm auf einer oder auf mehreren Kanten dieser Graphen neue Ecken ausgezeichnet sind.

28

1 Topologie

Ubung:

1) Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 7, dass die folgenden Graphen nicht pl/ittbar sind.

GI ~

G2

G3

2) Beim Beweis der Euterschen Formel (Satz 4) wurden im Induktionsschritt drei F~ille unterschieden. Diskutieren Sie den folgenden Fall. 4. Fall: \ .. ~ Die neue Kante erzeugt eine neue Ecke ~..~......~..,: auf einer bereits vorhandenen Kante.

1.5

Durchlaufbarkeit von Graphen

Sie kennen das Spiel ,,Das ist das Haus des Ni - ko laus", bei dem man ohne den Stilt abzusetzen die nebenstehende Figur aus 8 Strichen zeichnet, wobei man bei jedem Strich eine Silbe spricht. Sie wissen vermutlich, dass dies nur geht, wenn man bei einer der beiden unteren Ecken begirmt, und auch, dass man automatisch dann bei der anderen Ecke unten endet. Ein anderes Beispiel •r Zeichnen ohne Absetzen ist das folgende, dem Schfilerband 4 des Zahlenbuchs (Klett, Stuttgart 1997, S. 22) entnommene:

Den

Fisch

mal

ich

mit

ei-

nem

Strich.

1.5 Durchlautbarkeit yon Graphen

29

Auch beim Fisch k6rmen Start- und Zielpunkt nicht frei gewShlt werden, wenn man, wie bei diesen Spielen iiblich, den Stift nicht absetzen und keine Linie doppelt zeichnen darf. In der Sprache der Graphentheorie geht es bei diesen Spielen um die Durchlaufbarkeit eines Graphen in einem Zug, wobei jede Kante genau einmal durchlaufen wird. Offensichtlich geht dies nur bei zusammenNingenden Graphen. Wir definieren deshalb: (geschlossen) unikursaler Graph Ein zusammenh/ingender Graph heiBt unikursal, wenn es einen Weg gibt, der jede Kante des Graphen genau einmal enth~ilt. Ein derartiger Weg heiBt Eulerscher Weg. Wir sprechen von einem geschlossenen Eulerschen Weg oder Eulerschen Kreis, wenn Anfangs- und Endecke eines Eulerschen Weges zusammenfallen. Der Graph heigt in diesem Fall geschlossen unikursal.

Definition 9:

Die Bezeichnung Eulerscher Weg wurde deshalb gew/ihlt, weil Euler 1737 das damals sehr popul~ire Kdnigsberger Briickenproblem gel6st hat. In der Innenstadt von K6nigsberg flieBen der Alte Pregel und der Neue Pregel zusammen. Hinter dem Zusammenfluss liegt eine Insel, und fiber die Flussarme ffihrten im 18. Jahrhundert 7 Brficken, die den Nordteil, den Ostteil, den Siidteil der Stadt und die Insel miteinander verbanden. Die Frage war, ob es m6glich ist, einen Spaziergang dureh die Innenstadt zu machen, bei dem man jede der 7 Briicken genau einmal fiberquert (Abbildung 12). Nordteil

e'-.'

t

Siidteil Abb. 12

t

c

e

i

N

l

g

~~

S Abb. 13

30

1 Topologie

Hinfiihrung zu Satz 8:

Das K6nigsberger Brfickenproblem 1/isst sich wie in Abbildung 13 gezeigt in einem Graphen darstellen, wobei die Ecken den vier Stadtteilen entsprechen und die Kanten den 7 Br/icken. Die Frage lautet also:

Ist der Graph aus Abbildung 13 unikursal? oder:

Gibt es in Abbildung 13 einen Eulerschen Weg?

Machen wir uns auf die Suche nach einen Eulerschen Weg. Wir w~ihlenO als Startpunkt und verlassen O fiber irgendeine Brficke. Wir mfissen sp/iter noch einmal zu O zuriick, um die zweite der drei Brficken, die in O enden, zu begehen. Uber die dritte Brficke verlassen wir O wieder und k6nnen dann nicht wieder zu O zurfick, ohne eine Brficke doppelt zu begehen. O k6nnte also ein Startpunkt unseres Weges sein, w~ire dann aber keinesfalls auch der Endpunkt unseres Weges. Wir k6nnten unseren Weg aber auch in einem anderen Stadtteil beginnen. Irgendwann ~irden wir O fiber eine der drei Brficken betreten und fiber eine andere Brficke wieder verlassen. Wir mfissen noch einmal zu O zurfick, um die dritte und letzte Brficke zu begehen. Dann kommen wir yon O nicht mehr fort, O ware zwangsl/iufig der Endpunkt unseres Weges. O ist also entweder Anfangspunkt oder Endpunkt unseres Weges. Dieselben l)berlegungen k6nnen wir aber auch ffir N und S anstellen, bei denen wie bei O drei Brficken enden, und fihnliche lSlberlegungen fiihren ffir die Insel auch zu dem Ergebnis, dass sie nur Start- oder Endpunkt sein kann, da in ihr ftinf Brficken enden. Nun haben wir vier Punkte, die alle entweder Start- oder Endpunkt eines Weges sein mfissen. Das K6nigsberger Brfickenproblem ist also nicht 16sbar. Offensichtlich ist es die Ordnung der Ecken, die darfiber entscheidet, ob Graphen unikursal sin& Ecken mit gerader Ordnung machen keine Probleme: W~ihrend des Durchlaufens kommt man in sie hinein und auch wieder heraus, wobei man jeweils zwei Kanten verbraucht, bis schliel31ichalle Kanten, die in dieser Ecke enden, durchlaufen sind. Ecken mit ungerader Ordnung mfissen dagegen entweder Anfangs- oder Endpunkt eines Eulerschen Weges sein. Ein Graph karm also nur dann unikursal sein, wenn er keine oder genau zwei Ecken ungerader Ordnung besitzt, also gilt:

1.5 Durchlaufbarkeit yon Graphen

Satz

8:

31

Ein zusammenh/ingender Graph ist genau darm unikursal, wenn er nicht mehr als zwei Ecken tmgerader Ordnung besitzt.

Beweis:

, , ~ " Vorauss.: z.z.:

Der zusammenh~ingende Graph hat nicht mehr als zwei Ecken ungerader Ordnung. Der zusammenh~ingende Graph ist unikursal.

Nach Satz 2 ist in einem Graph die Anzahl der Ecken mit ungerader Ordnung gerade. Wir brauchen daher nur zwei F[ille zu unterscheiden: 1. Fall: Der Graph hat 0 Ecken ungerader Ordnung. 2. Fall: Der Graph hat 2 Ecken ungerader Ordnung. 1. Fall: Der Graph hat 0 Ecken ungerader Ordnung. Wir w/ihlen eine beliebige Anfangsecke Eo. Von Eo aus durchtaufen wir einen Weg (kl, k2, k3. . . . ). Da auf diesem Weg alle Ecken gerade Ordnung haben, k6nnen wir alle Eo = E erreichten Ecken auch wieder verlassen. An diesen Weg ftigen wir nun solange Kanten an, bis wir zu einer Ecke kommen, yon der aus wir den Weg nicht fortsetzen k6nnen, ohne dabei Kanten mehrfach zu durchlaufen.

El

E2

k2

~

9

~

?

Ei

L ki .......... ~ 12 L2

1

-

Die Endecke En von (kl, k2, k3. . . . . kn) muss mit Eo identisch sein. Ware das nicht der Fall, miissten Anfangsecke Eo und Endecke En ungerade Ordnung haben.

-

Haben wir mit (kl, k2, k3. . . . . kn) den Graph durchlaufen, ist dieser Teil des Beweises fertig. Anderenfalls gibt es eine Ecke El, an der ein weiterer geschlossener Weg (lb 12, 13, ... , lm) beginnt und endet, derm auch Ei hat gerade Ordnung. Die zusammengelegten Wege bilden wieder einen geschlossenen Weg (kb k2, k3 . . . . . ki, 11, 12. . . . . lm, ki+l, kn). Weil die Kantenzahl des Graphen endlich ist, bricht dieser Prozess schlieglich ab. Der zuletzt fornmlierte Weg ist ein Eulerscher Weg.

-

32

1 Topologie

Ein zusammenh~ingender Graph mit 0 Ecken ungerader Ordnung ist also (geschlossen) unikursal. Weil wir die Anfangsecke Eo beliebig gew/ihlt haben, kann jede Ecke eines solchen Graphen Anfangs- und Endecke eines Eulerschen Weges sein. 2. Fall: Der Graph hat genau 2 Ecken ungerader Ordnung. Seien Eo und En die beiden Ecken mit ungerader Ordnung. Wir fiigen eine Hilfskante kh mit den Ecken Eo und E. ein. Dadurch erh6ht sich die Ordnung von Eo und En jeweils um 1 und alle Ecken haben gerade Ordnung. In dem modifizierten Graphen gibt es nach Fall (1) dieses Beweises einen Eulerschen Weg, der in Eo beginnt, fiber nach En ~hrt und wieder in Eo endet. L6schen wir die Hilfskante kn wieder, so entsteht ein Eulerscher Weg mit den Endecken Eo, E.. Bei einem zusammenh~ingenden Graphen mit 2 Ecken ungerader Ordnung sind diese beiden Ecken also Anfangs- trod Endecke eines (offenen) Eulerschen Weges. Auch in diesem Fall ist der Graph unikursal. ~ n

,,~" Vorauss.: z.z.:

Der zusammenh/ingende Graph ist unikursal. Der zusammenh/ingende Graph hat nicht mehr als zwei Ecken ungerader Ordnung.

Der Graph sei also unikursal. Dann betrachten wir einen Eulerschen Weg mit der Anfangsecke Eo und der Endecke En und eine beliebige Ecke El, die von Eo und En verschieden ist. Wenn wir den Graph auf diesem Eulerschen Weg durchlaufen, kommen wit mindestens einmal, ggf. auch h~iufiger, z u E i und verlassen Ei auch jedes Mal wieder, denn Ei ist nicht Endecke des Weges. Zu Ei fiihren also gleich viele Kanten hin wie yon Ei fortfiihren. Damit ist die Ordnung von Ei gerade.

Eo~A

En~"-,,~

I

fl Ei

" - 4 EiCEo A EllEn

Aufgrund der Wahl von Ei gilt dies fiir alle Ecken auger E0 und En. Der zusammenh/ingende Graph hat also nicht mehr als 2 Ecken ungerader Ordnung.

1.5 Durchlaufbarkeit yon Graphen

33

F/Jr jeden der drei F/ille unikursal, geschlossen unikursal und nicht unikursal ist in Abbildung 14 ein Ihnen schon bekarmtes Beispiel angegeben. unikursal

geschlossen unikursal

nicht unikursal

Abb. 14 Zu dem Problem der Eulerschen Wege, bei denen alle Kanten genau einmal durchlaufen werden, kann man ein entsprechendes Problem untersuchen, bei dem alle Ecken genau einmal durchlaufen werden. Damit sind wir wieder beim Einstiegsproblem dieses Kapitels angelangt. Definition I0:

Hamiltonsche Linie, Hamiltonscher Kreis Durchl~iuft ein Weg alle Ecken eines Graphen genau einmal, so nennt man diesen Weg eine Hamiltonsche Linie. Wenn Anfangs- und Endecke zusammenfallen, spricht man yon einem Hamiltonschen Kreis. Dabei wird diese Ecke nattirlich zweimal beriihrt.

Obwohl die Frage nach Hamiltonschen Linien der Frage nach Eulerschen Wegen so eng verbunden zu sein scheint, gibt es auf die Frage nach der Existenz yon Hamiltonschen Linien bis heute keine dem Satz 8 entsprechende einfache Antwort. Es sind allerdings hinreichende Bedingungen for die Existenz yon Hamiltonschen Linien bekannt.

Obung:

1) Das Pferd soll bei einem Springen jedes Hindernis genau einmal iiberspringen. Ist das bei dem ausgesteckten Parcours m6glich?

9 Start

i

9

I 9 I i

9

34

1 Topologie

2) Unten sehen Sie den Wegeplan eines Tierparks. Gibt es einen Rundweg, der jeden Weg genau einmal erfasst? ~

E: Eingang B: B/iren A: Affen V: V6gel S: Streichelzoo R: Rehe T: Tiger

3) Kann man im Tierpark aus (1) einen Rundweg gehen, so dass man bei jeder Tierart genau einmal vorbeikommt? Falls ja, geben Sie einen solchen Weg an.

4) Die Abbildung zeigt den Wegeplan eines nicht unterkellerten aber sinnvoll geplanten Einfamilienhauses. Zeichen Sie einen passenden Grundriss und beschriften Sie ihn mit: Wohnzimmer, Esszimmer, Ki.iche, Kinderzimmer, E1ternschlafzimmer, Bad mit WC, Grundstfick, G/isteWC und Flur mit Bodenzugang.

1.6

Erbteilungs- und F~irbungsprobleme

Hinweis:

Bei den in diesem Kapitel behandelten F~irbungs- und Erbteilungsfragen werden wir h/iufig den Begriff der ebenen Landkarte verwenden. Ebene Landkarten sind planare Graphen, bei denen jede Kante genau zwei Fl~ichen begrenzt. Der Rede von Kanten bzw. Fl/ichen werden wir die anschaulichere Rede yon Grenzen bzw. Liindern (Gebieten) vorziehen.

1.6 Erbteilungs- und F/irbungsprobleme

35

Der K6nig eines Inselreiches verfiigt in seinem Testament, dass sein (zusammenh/ingendes) Land nach seinem Tode so auf seine Kinder aufgeteilt werden soil, dass jedes Kind ein zusammenh~ingendes Stfick Land bekommt und direkter Nachbar aller seiner Geschwister ist. Jedes Erbland soil also ein Stiick gemeinsame Grenze mit allen anderen Erbl~ndem haben. Wie viele Kinder darf dieser K6nig h6chstens haben, damit diese ihr Erbe antreten k6nnen? Was ist, wenn jedes Erbland auch ein St/.ick Strand haben soil? Nach dem Eintreten des Erbfalls m/issen f/ir die Insel neue Landkarten gezeichnet werden. Wie viele Farben ben6tigt man dazu, wenn zwei L/inder mit einem gemeinsamen Grenzstiick mit verschiedenen Farben gef&bt werden und das ~.uBere anch eine eigene Farbe bekommt? Dieses Erbteilungsproblem ist offensichtlich leicht 16sbar, wenn der K6nig einen Alleinerben hat oder zwei Kinder, die sich die Insel teilen. F/Jr drei Kinder zeigt Abbildung 15 eine m6gliche Aufteilung, bei der jedes Land auch noch ein Stiick Strand hat. Das Einfiigen eines vierten Landes erfordert schon etwas mehr Nachdenken, und es scheint unm6glich zu sein, diesem vierten Land noch einen Zugang zum Meer zu verschaffen (Abbildung 16).

Abb. 15

Abb. 16

Alle Versuche, noch ein fiinftes Erbland unterzubringen, scheitem. Wir vermuten, dass der K6nig h6chstens vier Kinder haben daft und sogar nur drei, wenn alle ein Stiick Strand erben sollen. In jedem Fall brauchen wir vier Farben, um die neue Landkarte wie gefordert zu f~ben. In Abbildung 15 miissen wir alle drei L/inder wegen der gemeinsamen Grenzen verschieden einf~irben, und wir ben6tigen eine vierte Farbe fiir das AuBere, also das Meer. In Abbildung 16 k6nnen wir, da das vierte Land nicht ans Meer grenzt, die Farbe des Meeres wieder ftir das vierte Land verwenden, wir kommen also auch mit vier Farben aus. Wir formulieren unsere Vermutung als Satz:

36

Satz

1 Topologie

9:

In der Ebene gibt es h6chstens vier Nachbargebiete, die paarweise aneinandergrenzen.

Voriiberlegung zum Beweis: Wir zeichnen in der Inselaufteilung aus Abbildung 16 in jedes der vier Lander eine Hauptstadt ein. Nun k6nnen wir jede Hauptstadt mit jeder anderen durch eine StraBe verbinden. Das geht kreuzungsfrei, werm die StraBen jeweils fiber das gemeinsame Grenzstfick fiihren. Betrachtet man dieses StrafJen- und St~dtenetz, so haben wir den vollst/indigen Graphen V4 in gepl~itteter Form vorliegen. Beweis:

Annahme:

indirekt Abb. 17 In der Ebene gibt es wenigstens Rinf Nachbargebiete, die paarweise aneinandergrenzen.

Wir betrachten einen Graph mit 5 Nachbargebieten, die paarweise aneinandergrenzen. Wir zeichnen (wie in der Vorfiberlegung) in jedem der 5 Gebiete genan einen Punkt als eine neue Ecke aus und verbinden diese Ecke mit den anderen 4 Ecken in den anderen Gebieten. -

-

-

Wenn wir diese Verbindungen, also die neuen Kanten, jeweils fiber das gemeinsame Grenzstiick ffihren, kreuzen sie sich nicht. Wir h/itten damit einen planaren Graphen mit 5 Ecken, bei dem jede Ecke mit jeder anderen Ecke durch eine Kante verbunden ist. M.a.W. h/itten wir es geschafft, V5 zu pl/itten. Das ist ein Widerspruch zu Satz 5, wonach V5 nicht pl~ittbar ist. Die Annahme ist zu vemeinen. Es gibt also h6chstens 4 Nachbargebiete in der Ebene, die paarweise aneinandergrenzen.

Damit ist auch klar, dass man nicht sechs oder mehr Nachbargebiete in der Ebene finden kann, die paarweise aneinandergrenzen, da sie vollst~indige planare Graphen mit sechs oder mehr Ecken liefem wiirden.

Beim Beweis von Satz 9 sind wir von unserem Inselgraphen zu einem anderen Graphen fibergegangen, indem wir jeder Fl~iche des Inselgraphen eine Ecke des anderen Graphen zugeordnet haben und jeder F1/iche des anderen Graphen eine Ecke des Inselgraphen. Jede Kante des neuen Graphen kreuzt

1.6 Erbteilungs- und F~irbungsprobleme

37

eine Kante des Inselgraphen. Man sagt dann, dass man von einem Graphen zu seinem dualen Graphen fibergeht. Dieses Dualitiitsprinzip wird in Beweisen im Rahmen der Graphentheorie h~iufig verwendet. Die beiden Graphen in Abbildung 17 sind allerdings nicht dual zueinander, da wir dem AuBeren der Insel, das ja auch eine F1/iche darstellt, keine Ecke zugeordnet haben. Das ist zwar ftir die 0berlegungen im Beweis nicht wesentlich, wit wollen den Begriff des dualen Graphen aber dennoch genau definieren. Definition 11:

dualer Graph Sei G(F,K) ein zusammenh~ingender planarer Graph ohne Schlingen, bei dem jede Kante Rand von zwei verschiedenen Fl~ichen ist. Den dualen Graphen G*(IE*,K*) zu G erhfilt man nach der folgenden Vorschrift: 1.

Jeder F1/iche yon G wird genau ein Punkt zugeordnet. Diese Punkte bilden die Ecken yon G*.

2.

Zwei dieser Ecken werden genau dann durch eine Kante verbunden, wenn die entsprechenden Flfichen eine gemeinsame Randkante haben. Dabei wird fiber jede gemeinsame Randkante eine neue Kante gelegt.

3.

Die neuen Kanten schneiden die ihnen zugeordneten Kanten yon G in genau einem Punkt, die fibrigen Kanten nicht.

4.

Der Graph G* ist planar.

Wir haben schon fiberlegt, dass man durch die Bildungsvorschriften 1. bis 3. immer zu einem planaren Graphen gelangen kann. Vorschrift 4 sagt also nur, dass wir immer diese fiberkreuzungsfreie Darstellung meinen, wenn wir yon einem dualen Graphen sprechen. Bis auf Isomorphie ist G* eindeutig bestimmt. Wir k6nnen also von dem dualen Graphen sprechen. Beispiele: (Durchgezogener und gestrichelter Graph sind jeweils zueinander dual.)

38

1 Topologie

Zwischen den Ecken-, Kanten- und F1/ichenzahlen bei dualen Graphen bestehen einfache Zusammenh~inge: Der Graph G besitze e Ecken, k Kanten und f F1/ichen, der duale Graph G* besitze e* Ecken, k* Kanten und t'* Fl~ichen. Da nach Definition 11 jeder Fl/iche von G genau eine Ecke von G* zugeordnet wird, gilt e* = f. Da nach Definition 11 jede Kante yon G* genau eine Kante yon G einmal schneidet, gilt k* = k. Da sowohl G als auch G* planare, zusammenh/ingende Graphen sind, gilt fiir beide die Eulersche Formel, also gilt: e - k + f = 2 (1) und

e* - k* + f* = 2

(2)

Wir ersetzen in der zweiten Gleichung e* durch f u n d k* durch k und erhalten: f - k + f* = 2 Setzen wir diese Gleichung mit Gleichung (1) gleich, so folgt f - k + f* = e-k+f I* = e

Wir kommen nun auf die Frage zuriick, wie viele Farben man braucht, um eine Landkarte in der Ebene so zu f~irben, dass Lander mit gemeinsamer Grenze verschiedene Farben erhalten. Die Frage ist identisch mit der nach der Anzahl von Farben fiir Landkarten auf der Kugeloberfl~iche. Stellen Sie sich vor, sie stechen in die Kugel ein Loch mitten in ein Land, greifen in dieses Loch und pl/itten die Kugel in die Ebene. Das (unbegrenzte) A.uBere eines ebenen Graphen entspricht dabei dem Land auf der Kugel, in das Sie das Loch gestochen haben, und muss natiirlich auch eingef~bt werden. Die entstehenden Landkarten k6nnen dann etwa wie folgt aussehen:

I

I

Wir haben beim Erbteilungsproblem schon eine Karte gefunden, zu deren F~irbung vier Farben ben6tigt wurden. Lange Zeit waren die Mathematiker nur in der Lage zu beweisen, dass man in der Ebene mit ftinf Farben auskommt. Faktisch hat man aber nie Karten gefunden, bei denen auch wirklich fiinf Farben n6tig waren, vier Farben reichten immer. Seit 1976 ist allerdings bewiesen:

1.6 Erbteilungs- und F~irbungsprobleme

S a t z 10:

39

Vierfarbensatz Jede Landkarte in der Ebene lhsst sich mit h6chstens vier Farben zulhssig Ffirben13.

Wir k6rmen den Beweis hier nicht fiihren, auch da es sich um einen Beweis handelt, der mit Hilfe eines Computers geffihrt wurde. Wir beweisen hier andere S/itze tiber spezielle Landkarten. S a t z 11:

Entsteht eine Landkarte dutch das Zeichnen von n Geraden (n ~ ~), so kann sie mit zwei Farben zul/issig gef~irbt werden.

Beweis:

durch vollst/indige Induktion (fiber n)

I. Induktionsanfang -

Die Behauptung gilt ffir n = 1, also ftir eine gezeichnete Gerade: Eine Gerade zerlegt die Landkarte in zwei Gebiete Gl und G2. Wir ffirben G1 mit Farbe 1 und G2 mit Farbe 2. Fiirn = 1 ist unsere Behauptung also bewiesen.

II. Induktionsschritt zu zeigen:

Wenn sich eine Landkarte aus n Geraden zuliissig f,irben 1/isst, dann 1/isst sich auch eine Landkarte aus (n + 1) Geraden zul~issig ffirben.

Sei unsere Behauptung also flit n Geraden richtig: Eine Landkarte mit n Geraden l~isst sich mit zwei Farben zul/issig ffirben. (Induktionsvoraussetzung) Wir betrachten eine Landkarte, die aus n Geraden besteht. Nach Induktionsvoraussetzung l/isst sich diese Landkarte zuliissig mit zwei Farben f~irben. Als zul/issig gefiirbt wollen wir eine Landkarte dann bezeichnen, wenn zwei benachbarte Gebiete, die mehr als nur einen einzelnen Grenzpunkt (Ecke) gemeinsam haben, stets verschiedene Farben zugeordnet bekommen.

40

1 Topologie

F/igen wir in diese Landkarte eine (n + 1)te Gerade ein, so werden einige Lander der urspr/inglichen Landkarte geteilt und die F/irbung der Karte ist in diesen Gebieten zun/ichst nicht mehr zul~issig(Abb. 18). Auf einer Seite der neuen Geraden lassen wir die Fiirbung bestehen. Auf der anderen Seite dieser Geraden vertauschen wir die Farben, was an der Zul/issigkeit nichts andert.

Abb. 18

Dadurch erreichen wir, dass die geteilten L~inder verschiedene Farben bekommen und wir erhalten wieder eine zul~issiggef~bte Landkarte. Also 1/isst sich auch eine aus (n + 1) Geraden gezeichnete Landkarte zul/issig mit zwei Farben f~irben.

Satz 11 gilt ebenso, werm wir statt Geraden Kreisb6gen oder gewisse andere Kurven als Grenzen nehmen. Innerhalb des neuen Kreises wurden lediglich die Farben vertauscht.

Abb. 19

Wie das folgende Beispiel zeigt, gilt ein ,,Zweifarbensatz" im Allgemeinen nicht bei (teilweise) geradlinig begrenzten Fl/ichen. Im linken Teil yon Abbildung Abb. 20 20 reichen zwei Farben, da sich die Rechtecke jeweils nicht oder eclat iiberschneiden. F~gt man aber ein weiteres Rechteck so ein, dass ein anderes Rechteck wie rechts in Abbildung

1.6 Erbteilungs- und F~irbungsprobleme

41

20 ber/ihrt wird, dann ist eine dritte Farbe n6tig, und Sie k6nnen selbst iiberlegen, wie ein weiteres Rechteck einzufiigen ist, so dass auch noch eine vierte Farbe gebraucht wird. Analysiert man in den Abbildungen 18 bis 20 jeweils die linke Landkarte, so zeigt sich, dass alle Ecken gerade Ordnung haben. Das Einftigen einer neuen Geraden in Abbildung 18 ~indertdaran nichts. Schneidet die neue Gerade eine alte Grenze, darm entsteht eine neue Ecke der Ordnung 4. Verl~iufl die neue Gerade durch eine bereits vorhandene Ecke, so erh6ht sie deren Ordnung um 2. Dasselbe gilt Rir den Einbau eines weiteren Kreises in Abbildung 19. Schnittpunkte und Beriihrpunkte liefem neue Ecken der Ordnung 4, geht der neue Kreis durch eine schon vorhandene Ecke, so erh6ht sich deren Ordnung um 2. Anders verh/ilt es sich mit dem neuen Rechteck in Abbildung 20. Eine Seite f~illt auf eine schon vorhandene Rechteckseite, es entstehen zwei neue Ecken der Ordnung 3. Tats/ichlich gilt der folgende Satz:

Satz 12:

Verallgemeinerung des Zweifarbensatzes Eine ebene Landkarte ist genau dann mit zwei Farben zul/issig f&bbar, wenn in dem erzeugenden Graphen aUe Eckenordnungengerade sind.

Beweis:

indirekt Voraussetzung: Die Landkarte ist zul/issig mit zwei Farben f~bbar. Annahme:

Der erzeugende Graph besitzt (wenigstens) eine Ecke Emit ungerader Ordnung n, wobei n > 3. t4

In Ecke E stol3en dann n Kanten zusammen, die n Teile von L/indem voneinander trennen. Wir nummerieren diese L/inder der Reihe nach von 1 bis n durch. Danach f~irben wir diese L/inder derart, dass alle Lander mit ungerader Nummer schwarze und alle Lander mit gerader Nummer weiBe Farbe erhalten.

Bei ebenen Landkarten begrenzt jede Kante genau zwei Fl~ichen, dies haben wir zu Beginn des Kapitels verabredet. Ecken mit Ordnung 1 kann es demnach nicht geben.

42

1 Topologie

Da das schwarz gef~irbte Land Nummer n (n ungerade) aber wieder an das ebenfalls schwarz gefarbte Land Nummer 1 angrenzt, ist die Karte mit zwei Farben nicht zul~issigf~irbbar. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, die zul/issige F/irbbarkeit garantiert. Die Annahme ffihrt also zu einem Widerspruch und ist daher zu verneinen: Der erzeugende besitzt keine Ecke mit ungerader Ordnung n; im erzeugenden Graphen sind also alle Eckenordnungen gerade.

Voraussetzung:

Alle Ecken des erzeugenden Graphen haben gerade Ordnung.

zu zeigen:

Die ebene Landkarte ist mit zwei Farben zul~issigfgrbbar.

Wir betrachten zun~ichstnur zusammenh/ingende Graphen. Wenn alle Ecken unseres Graphen gerade Ordnung haben, dann ist der Graph nach Satz 8 geschlossen unikursal, d. h. es gibt einen geschlossenen Eulerschen Weg. Wir erinnem uns an die Herleitung dieses Zusammenhangs in Fall (1) des Beweises yon Satz 8: Danach entsteht der Eulersche Weg dutch Vereinigen yon endlich vielen geschlossenen Wegen, wobei jeder dieser geschlossenen Wege ggf. wiederum durch Vereinigung von endlich vielen geschlossenen Wegen entsteht. Da alle Eckenordnungen gerade sind, konuuen wir so schliel31ich zu einfachsten geschlossenen Wegen wir nennen sie e i n f a c h e K r e i s e - die zueinander kantendisjunkt sind und in denen alle Ecken die Ordnung 2 haben. Die Darstellung in Abbildung 21 zeigt zwei M6glichkeiten der Aufteilung in paarweise kantendisjunkte einfache Kreise.

.O. ...." "..... ./7 .......

J.,:]; ...... ,~ ......

.-.~ ""'l[w""

Abb. 21

Wir fiihren den Beweis nun durch vollst~ndige Induktion fiber der Anzahl n der einfachen Kreise, aus denen der Graph h6chstens besteht.

1.6 Erbteilungs- und F~bungsprobleme

43

I. Induktionsanfang zu zeigen: Besteht der Graph aus einem einfachen Kreis, darm ist die Landkarte zul~issig mit zwei Farben f~irbbar. Der Graph bestehe also nur aus einem einfachen Kreis. Wir f~irben das Innere des Kreises schwarz, das ~,ul3ere weil] und kommen also mit zwei Farben aus. II. Induktionsschritt zu zeigen: Wenn sich die von einem derartigen Graphen aus h6chstens n einfachen Kreisen erzeugte Landkarte mit zwei Farben zul/issig f~irben liisst, dann 1/isst sich auch jede von einem derartigen Graphen aus (n + 1) einfachen Kreisen erzeugte Landkarte mit zwei Farben zul~issig f~irben. Sei also G ein aus der Vereinigung t. von (n + 1) einfachen, paarweise -"'" kantendisjunkten Kreisen bestehen,.. der Graph. Wir 16schen nun in G die Kanten eines der Kreise saint der dadurch eventuell entstehenden isolierten Ecken.

v

~

i

.............."I ~

Der so entstandene Teilgraph ist die Vereinigung von n einfachen Kreisen und liisst sich nach Induktionsvoraussetzung mit zwei Farben zuliissig ftirben. Wir f~irben ihn also zul~issig.

Wir fiigen nun den gel6schten Kreis wieder ein.

Innerhalb und aul3erhalb dieses Kreises haben wit jeweils eine zul/issige F/irbung mit zwei Farben, insgesamt ist die F~bung aber nicht zul/issig.

- -

-

44

1 Topologie

Wenn wir nun die Farben im Inneren des (n + 1)ten Kreises vertauschen, darm entsteht wieder eine zul~issig gefiirbte Landkarte, was zu zeigen war.

Wir sind zun~ichst von zusammenh/ingendenGraphen ausgegangen. Ist der Graph nicht zusammenh/ingend, dann gibt es im ~,uBeren oder ganz im Irmeren einer Fl~iche weitere Graphen, fiir die das oben Gesagte ebenso zutrifft. Jeder Teilgraph ftir sich ist also mit zwei Farben zul~issig f~bbar. Wir miissen bei der F~irbung nur aufpassen, dass das gemeinsame ,~uBere aller Graphenteile dieselbe Farbe erh~ilt bzw. Inseln im Inneren eines Landes entsprechend gefiirbt werden. Dies erreichen wir in jedem Fall durch geeignetes Umf'~irbeneines Teilgraphen.

Zum Schluss dieses Abschnitts sei Ilmen (ohne Beweis) mitgeteilt, dass man auf dem M6biusband sechs Farben braucht, um jede Landkarte zul~issig zu fhrben und fiir Landkarten auf dem Torus sind es sogar sieben Farben. Unten sehen Sie jeweils eine Beispiel-Landkarte, fiir die man die Maximalzahl yon Farben tats/ichlich braucht. Beachten Sie dabei, dass das M6biusband nur eine Seite hat. Man denke sich die Ffirbung deshalb beidseitig angebracht, oder realisieren Sie diese Landkarte mit Hilfe eines OHP-Folienstreifens.

T

M6biusband

1

1.6 Erbteilungs-and F~irbungsprobleme

45

) Toms

l~oung:

1) Zeichnen Siejeweils ~ den dualenGraphen.

~

~

2) F~irbenSie die Landkartenmit m6glichstwenigenFarben.

3) Zeichnen Sie in der Ebene eine Landkartemit 8 L~indern,zu deren F~irbunggenau drei Farbengebrauchtwerden. 4) Wie viele Farben brauchen Sie, um die folgende Karte auf dem Toms zul/issig zu f~irben?

I

5) Auf dem Toms lassen sich der vollst~indigeGraph V5 und der GEW-Graph ftir drei H~iuserkreuzungsfreizeichnen. Geben Sie jeweils eine L6sung an.

46

2

Polyeder

2.1 Einstiegsproblem Wit beginnen das zweite Kapitel mit einer Faltarbeit (nach Mitchell 1997, S. 36f). Dazu ben6tigen wit 12 Bl~itter des DIN-Formates A, z.B. A 4. 2.

3,

I ! I

I I I

I I

II I

I I

]

Ii I

.J

SS

Blattmitte markieren 4.

5.

6.

jetzt Schritte 3 und 4 mit allen Ecken durchfShren 7.

8.

9.

Faltung ~ffnen 10.

11.

12.

ab Schritt 11 entstehen keine neuen Faltlinien mehr

2.1 Einstiegsproblem

13.

16.

47

14.

15.

~

d i e ~ undfiberdieFaltungtegen 18.

17.

alleFaltkanten kNftignachziehen 12dieserModule herstellen Aus 12 dieser Module, die nichts anderes sind als Rauten mit anh~ingenden Laschen und seitlichen Taschen, l~isstsich ein Kdrper zusammenstecken, den die Mathematiker Rhombendodekaeder nennen (s. Abbildung 22a und 22b). l Die Rauten, die die Seitenfl~ichen des Kdrpers bilden, zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Diagonalenl~ingen sich zueinander verhalten wie 1: , f 2 . Deshalb lassen sie sich in der beschriebenen Weise aus unserem DIN-APapier falten, denn bei diesem verhalten sich die Seitenl~ingen wie 1: ,f2. r,Jberlegen Sie selbst, was die Rautendiagonalen mit den Rechtecksseiten zu tun haben.

Abb. 22a

Ihre Vorstellung von diesem K6rper entwickelt sich optimal, wenn Sie zun/ichst tats~ichlich falten, das Faltprodukt mit dem Anh~inger aus nicht geschliffenem Rohgranat in Abbildung 22b vergleichen und den Kdrper dann in Abbildung 22a wiedererkennen.

48

2 Polyeder

Das Rhombendodekaeder geh6rt zu den halbreguliiren Polyedern (s. Kapitel 2.3) und besitzt einige interessante Eigenschaflen. Man kann mit ihm z.B. den Raum 1/ickenlos ausftillen, wie wir im Folgenden begr/inden wollen. Man erh/ilt ein Rhombendodekaeder auch auf diesem Weg: Einem Wiirfel werden gerade quadratische Pyramiden aufgesetzt, deren H6he halb so lang ist wie eine Wfirfelkante. In Abbildung 23 wurden zwei der Wiirfelseiten solche Pyramiden aufgesetzt. b

Abb. 22b

dl b

d2

b

Abb. 23

Abb. 24

Durch diese Wahl der H6he erreicht man, dass sich zwei aneinanderstoBende dreieckige Pyramidenseiten zu einer ebenen Raute erg~inzen, wie man im Aufriss (Abbildung 24) gut erkennen kann.

Wie verhalten sich nun die L~ingen der Rautendiagonalen dl und dz zueinander? Die kiirzere Rautendiagonale dz ist gleich der Wiirfelkante b, also d2 = b. Die L/inge der 1/ingeren Rantendiagonale dl entspricht der der Diagonalen d einer der quadratisehen SeitenfRichen des Wiirfels, wie man im Aufriss sieht. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: b 2 + b 2= dl 2 ~ dj 2 = 2 b z ~ dl = b , ~ - ~ dl = d2~/} ~ dl :d2 = , ~ - : 1 Es ergibt sich also das uns schon bekannte Verh~iltnis zwischen den Rantendiagonalen.

2.1 Einstiegsproblem

49

Wie verhalten sich die Rautenseitenl~ingen a und die Wiirfelkantenl~ingen b zueinander? Wir k6nnen auch eine Beziehung zwischen Wiirfelkantenl~inge b und Rautenseitenl~inge a aufstellen: Rautenseite, Pyramidenh6he und halbe Quadratdiagonale bilden ein rechtwinkliges Dreieck. In diesem Dreieck wenden ~dr erneut den Satz des Pythagoras an:

d2

(1) Wieder wenden wir den Satz des Pythagoras an, diesmal auf einer W/irfelfl~iche: b2 + b 2 = d 2 ~

2 b 2= dR ~ 4 2 b = d

(2)

Diese Beziehung zwischen d und b setzen wir in (1) ein: ~

~

l / lb l --

=

3 b 2 = a2 ~ b2= 4 a2 ~ 4 ~

__+ 4

b

=a2 4

2 =~a.

Doch kommen wir zurfick zu der M6glichkeit, mit Rhombendodekaedern den Raum lfickenlos zu parkettieren. Die sechs aufgesetzten Pyramiden entsprechen genau dem Wiirfel. Es sind dieselben sechs Pyramiden, die entstehen, werm man den Wi.irfel entlang seiner Raumdiagonalen zerlegt (s. Abbildung 25). Auch diese Pyramiden haben jeweils eine Wfirfelseite als Grundfl~iche, die H6he dieser sechs Pyramiden betr~igt ebenfalls 19. 2

Abb. 25

50

2 Polyeder

Mit Wiirfeln kann man den Raum lfickenlos parkettieren. Wir stellen uns vor, der Raum w/ire mit schwarzen und weiBen Wiirfeln wie in einem r~iumlichen Schachbrett ausgeFtillt. Jeden weil]en Wiirfel zerlegen wir in sechs Pyramiden und kleben diese Pyramiden an die benachbarten schwarzen Wilrfel an. Die weil3en W/.irfel sind dann verschwunden, aus den schwarzen Wiirfeln sind Rhombendodekaeder geworden. Da wir nichts weggenommen und nichts hinzugefiigt haben, haben wir nach wie vor eine lfickenlose Parkettierung des Raumes.

Ubung:

1) Konstruieren Sie das Netz eines Rhombendodekaeders mit der Kantenl/inge 6 cm und basteln Sie ihn aus Zeichenkarton. (Technische Hinweise: Zeichenkarton wiegt 250 g/m 2. Knickkanten ritzen Sie vorher auf der Innenseite mit einem stumpfen Messer an. Haltbares und sauberes Zusammenkleben gelingt, wenn Sie die Klebelaschen mit doppelseitigem Klebeband versehen.)

2) Entwickeln Sie allgemeine Formeln zur Berechnung des Volumens und des Oberfl/icheninhalts eines Rhombendodekaeders mit der Kantenl~nge a.

2.2

Die platonischen K/~rper

Topologisch gesehen besteht kein Unterschied zwischen einem Wiirfel, einem beliebigen Quader oder einem Spat2. P1/ittet man sie in die Ebene, so entstehen jeweils isomorphe Graphen. In der Topologie spielen MaBe keine Rolle. Die L/inge oder Form der Kanten, Winkelmal3e u./i. interessieren nicht, lediglich die Beziehungen zwischen den Ecken und Kanten sind wichtig, und darin unterscheiden sich die genannten K6rper nicht. Wir nehmen in diesem Kapitel metrische Eigenschaflen zu den topologischen hinzu und sondem aus Klassen topologisch /iquivalenter Polyeder (griechisch: Vielflach) spezielle Polyeder aus.

Ein Spat ist ein schiefes Prisma mit parallelogrammf'6rmiger Grundfl/iche. Beim Spat sind alle Gegenfl/ichen zueinander kongruent. Wiirfel und Quader sind Sonderformen des Spats.

2.2 Die platonischen K6rper

51

Polyeder sind K6rper, die von Polygonen, also von Vielecken wie Dreiecken, Vierecken, F/infecken usw. begrenzt sind. Polyeder heigen konvex, wenn zu je zwei Punkten aus dem Innem des Polyeders auch die Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Punkten ganz im Innern des Polyeders verl~iuft. Zwei Polyeder, die aus denselben Vielecken aufgebaut sind, miissen nicht kongruent sein, wie das folgende Beispiel zweier Polyeder aus ftinf Quadraten und vier gleichschenkligen Dreiecken zeigt:

'-.i.. "-.. ,4:

Abb. 26 Definition

konvexes Polyeder 1:

nicht konvexes Polyeder

regul~ires Polyeder Ein konvexes Polyeder heiBt regul~ir, werm alle Fl~ichen zueinander kongruente, regelm~iBige Vielecke sind und in jeder Ecke gleich viele Vielecke zusammenstoflen.

Das bekannteste Beispiel fiir ein regulMes Polyeder ist der Wfirfel. Seine Fl~ichen sind kongruente Quadrate, von denen jeweils drei in einer Ecke zusammentreffen. In jeder Ecke treffen auch gleich viele Kanten zusammen, was allgemein ftir j edes regul/ire Polyeder gilt. Nach dem im ersten Abschnitt des letzten Kapitels beschriebenen Verfahren kann man jedes konvexe Polyeder in die Ebene pl~itten. Man erh~ilt dann einen zusammenh~ingenden planaren Graphen, fiir den die Eulersche Formel gilt. Damit gilt diese Beziehung ftir die Anzahlen der Ecken, Kanten und Fl~ichen auch l$ir konvexe Polyeder. Satz 1:

Eulerscher Polyedersatz Ffir ein konvexes Polyeder m i t e Ecken, k Kanten und f Fl~ichen gilt: e - k + f = 2.

52

2 Polyeder

Machen Sie sich am Beispiel eines Quaders, durch den eiu quaderf'6rmiges Loch gebohrt wurde (Abbildung 27), klar, dass Satz 11 ffir nicht konvexe Polyeder im Allgemeinen falsch ist. In diesem Beispiel gilt e = f = 16 und k = 32. Abb. 27 Wir haben im ersten Kapitel schon die ftinf platonischen K6rper betrachtet und uns von der Richtigkeit des Eulerschen Polyedersatzes bei diesen K6rp e m tiberzeugt. Wir wollen nun der folgenden Frage nachgehen:

Gibt es auger den ftinf platonischen K6rpem noch weitere regul~ire Polyeder? Wir vereinbaren: Ein Polyeder sei von regelm/igigen n-Ecken begrenzt, n > 3, In jeder Ecke des Polyeders stoBen m Fl~ichen zusammen, m > 3. Das Polyeder habe e Ecken, k Kanten und f F1/ichen. Dann gilt: Das Polyeder besteht aus f Fl~ichen. Jede F1/iche ist ein n-Eck, hat also n Kanten. Wir kommen also auf f . n Kanten, haben dabei aber jede Kante bei zwei F1/ichen gez/ihlt. Also gilt: f. n = 2. k Das Polyeder hat e Ecken. In jeder Ecke stogen m Kanten (von m F1/ichen) zusammen. Wir kommen also auf e 9m Kanten, haben dabei aber jede Kante bei zwei Ecken gez~ihlt. Also gilt: e. m = 2 9k Wir 16sen diese beiden Gleichungen nach fbzw. e auf: f.n=2.k

<=> f = - -

2.k

;

e,m=2.k

n

<=> e -

2.k lIl

Diese Ausdriicke setzen wir in die Eulersche Polyederformel eiu: 2-k

--

m

2.k

-k+

1

1

m

2

- 1- + m

n

1

=2

n + -

1

n

-

1

k

1 +_ 1

2

k

/:2.k /+--1 2

2.2 Die platonischen K6rper

--

1

1

-k

--

m

>

n

53

1

/ weil fiir die Kantenzahl k gilt: k > 0

--

2

Wir untersuchen nun, welche Werte fiir rn und n in Frage kommen, so dass die obige Ungleichung erfiillt ist.

1+1 1 __ -m n > -2 9"

m,n m=3, n=3 m=3, n=4

1

1

3 1 - - +

3 1

3 7

3 1

4 1

12 8

_ +

--

2

m=3, n=5

--

m=3, n>6

3 1

5 1

15 1

3 1

n 1

2 7

m=4, n=3 m:4,

n>_4

m=5, n=3 m=5, n>4 m_>6, n>_3

-t-

+

--

--

>

>

3 1

12 1

4 1

n 1

2 8

5 1

3 1

15 1

1

--

2 1 2 1

>

4 1

regulSxes Polyeder

--

Te~aeder Hexaeder(Wfirfel) Dodekaeder

2

>

1 Oktaeder

1 Ikosaeder

5 n 2 1+1 I -n < -2 m

Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen:

Satz 2:

Es gibt genau ffinf regulMe Polyeder. Dies shad das Tetraeder, das Hexaeder, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder.

Die fiinfplatonischen 3 K6rper sind also definitiv die einzigen regularen Polyeder, auch wenn wohlwollend geneigte Betrachter mehr als Rinf perfekte K6rper in der folgenden Abbildung erkennen m6gen. 3

Platon, um 429 - 348 v. Chr., griechischer Philosoph und Mathematiker

54

2 Polyeder

,,Die fiinf platonischen K6rper" von E. Neumann im Bagnopark Steinfurt Die platonischen K6rper waren schon den Griechen bekannt. Ihre Namen gehen auf griechische Zahlw6rter zuriick, die eine Beziehung zu den Anzahlen ihrer Fl~ichen herstellen. Platon hat im Dialog ,,Timaios" ein Modell des Kosmos entworfen. Darin ordnet er dem ,,Element" Feuer das Tetraeder zu, der Erde den Wiirfel, der Luft das Oktaeder und dem Wasser das Ikosaeder. Das Dodekaeder deutet er als Weltall, das alles andere umfasst. Ein weiterer, allerdings sehr viel sp~iterer Entwurf eines Weltmodells auf der Basis der platonischen K6rper geht auf Kepler4 zuriick. Aus seiner 1596 ver6ffentlichten Schrift ,,Mysterium cosmographicum" stammt die Abbildung unten, bei der einer Kugel ein Wfirfel einbeschrieben ist, so dass die Ecken des Wiirfels die Kugel beriihren. In diesem Wiirfel steckt eine Kugel, die die Seitenfl~ichen des Wfirfels beriihrt. In dieser Kugel stecken nacheinander ein Tetraeder, wieder eine Kugel, ein Dodekaeder, schon wieder eine Kugel, ein Ikosaeder, noch eine Kugel, ein Oktaeder und eine sechste Kugel. Die Radien dieser Kugeln sollten (von auBen nach innen) die Bahnradien der damals

4 Johannes Kepler, 1571 - 1630, deutscher Mathematiker und Astronom

2.2 Die platonischen K6rper

55

bekarmten sechs Planeten Saturn, Jupiter, Mars, Erde, Venus und Merkur sein. Die auBerordentlich exakten Himmelsbeobachtungen des kaiserlichen Astronoms Tycho Brahe, der Kepler ein Jahr vor seinem Tod 1601 zu seinem Gehilfen an den Hof nach Prag rief, machten die Diskrepanzen zwischen Modell und Beobachtung schnell deutlich und veranlassten Kepler, sein Modell zu verwerfen.

Abb.: Entwurf eines Weltmodells nach Kepler aus: http:llzebu.uoregon.edul~jslast1211imageslkepler_spheres,gif In der Natur finden sich mehr oder weniger genaue Konkretisierungen der platonischen K6rper. Radiolarien (Strahlentierchen) sind mikroskopisch kleine Organismen, bei denen Skelette auch in Form von Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder vorkommen. Die Abbildung links zeigt ein solches Strahlentier, gezeichnet vom Zoologen und Naturphilosoph Ernst Haeckel (1834 1919). Abb.: Das Skelett der Radiolarie

circogonia icosahedra, gezeichnet yon Haeckel aus:

http:llcaliban.mpiz-koeln.mpg.del-stueberlhaeckellkunstformenlTafel_OOl.html

Minerate bilden Kristalle in Form von platonischen K6rpem. Wiirfel findet man z.B. bei Kochsalz, Pyrit und Bleiglanz. Fluorit und Alaun bilden Oktaederkristalle, Pyrit kristallisiert auch zu Dodekaedem und Ikosaedern.

56

2 Polyeder

Fluoritkristall s

Coccosphfire der Alge Braarudosphaera bigelowi6 Ebenfalls faszinierend ist die folgende Beziehung zwischen den platonischen K6rpem: Verbindet man bei einem Wfirfel die Mittelpunkte benachbarter F1/ichen, so entsteht ein Oktaeder; verbindet man bei einem Oktaeder die Mittelpunkte benachbarter Fl~ichen, so entsteht ein Wiirfel (s. Abbildung 28). Man sagt, Oktaeder und Wiirfet sind dual zueinander (vgl. duale Graphen). Dieselbe Beziehung besteht zwischen Dodekaeder und Ikosaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, denn wenn man die Mittelpunkte der Seiten eines Tetraeders verbindet, so entsteht wieder ein Tetraeder. Versuchen Sie's doch mal.

Abb. 28

http:llwww.peaktopeak.comlmineralslgallerylgallery.htm http:llwww-ocean.tamu.edulQuarterdecklQD5.21b.bigelowi.html

5

Kristall aus:

6

A l g e aus:

2.3 Halbregul~e Polyeder

2.3

Halbregulfire

57

Polyeder

Die strengen Anforderungen, die wir in Definition 1 an regul~e Polyeder gestellt haben, lassen sich in zwei Richtungen abschw~ichen: Entweder verzichten wir darauf, dass alle Seitenfl~ichen eines konvexen Polyeders kongruent zueinander sind, lassen z.B. zwei Arten yon regelm~iBigen n-Ecken zu, etwa Quadrate und gleichseitige Dreiecke, verlangen aber weiterhin, dass in jeder Ecke in gleicher Weise gleich viele Vielecke gleicher Art zusammenstoBen7, oder wir verzichten darauf, dass in jeder Polyederecke gleich viele Fl~ichen zusammenkommen, fordem aber, dass alle Seitenfl~ichen zueinander kongruent sind. Konvexe Polyeder, bei denen alle Ecken in der oben beschriebenen Art gleich sind oder bei denen alle Seitenfl~ichen kongruent zueinander sind, heiBen

halbregul~ire Polyeder. Mindestens ein halbreguliires Polyeder kennen Sie sicher aus Ihrer Umwelt. Der Europa-FuBball wird aus regelm~iBigen Ffinf- und Sechsecken gen~iht, wobei in jeder Ecke zwei Sechsecke und ein Fiinfeck zusammenstoBen. Das Rhombendodekaeder, das Sie zu Anfang dieses Kapitels hergestellt haben, tritt z.B. bei den Kristallen des Halbedelsteins Granat auf. Bei diesem K6rper sind alle Seitenfl~ichen kongruent, aber in sechs Ecken stoBen vier Rauten zusammen, in den iibrigen Ecken nur drei.

Abb. 29

Europa-FuBball

Granat-Rhombendodekaeder8

v Man spricht dann auch yon kongruenten Eckenumgebungen. 8 Granat-Rhombendodekaeder aus: http:l/~.berthold-weber.delabe.htm

58

2 Polyeder

Definition 2:

archimedische und dual-archimedische K6rper Ein konvexes Polyeder, dessen F1/ichen verschiedene regelm/il]ige n-Ecke sind und dessen Eckenumgebungen kongruent sind, heigt archimedischet y Kdrper. Als dual-archimedische K6rper bezeichnet man solche konvexen Polyeder, bei denen alle F1/ichen und die zwischen ihnen eingeschlossenen Winkel kongruent sind, nicht aber alle Polyederecken.

Nach dieser Definition ist der Europa-Fugball ein archimedischer K6rper und das Rhombendodekaeder ein dual-archimedischer K6rper. Weitere Beispiele fiir archimedische K6rper shad Prismen fiber regelm/il]igen n-Ecken mit quadratischen Seitenfl~ichen. Rechts sehen Sie ein archimedisches Prisma fiber einem regelm/igigen Ffinfeck. Im Fall n = 4 ergibt sich der Wfirfel. Die archimedischen Antiprismen, bei denen Gnmdund Deckfl/iche kongruente regelm/il]ige n-Ecke sind und die Seitenfl/ichen gleichseitige Dreiecke, sind ebenfalls archimedische K6rper. Rechts sehen Sie ein archimedisches Antiprisma fiber einem Quadrat. Ftir n = 3, also wenn Grund- und Deckfl/iche gleichseitige Dreiecke sind, entsteht das bekannte Oktaeder. Archimedische K6rper ergeben sich ebenfalls, wenn man bei den platonischen K6rpem die Ecken so abschneidet, class die Schnittfl/iehen regelmfigige n-Ecke ergeben und die restlichen Seitenflfiehen ebenfalls regelm/igige nEcke bilden. Man spricht dann von abgestumpften K6rpem.

abgestumpftes Tetraeder 9

abgestumpfter Wfirfel

abgestumpftes Oktaeder

Archimedes von Syrakus, ca. 287-212 v. Chr., untersuchte als erster die halbregul/iren Polyeder.

2.3 Halbregul~ire Polyeder

59

Schleift man beim Wiirfel die Ecken noch weiter ab, bis schtieBlich die dreieckigen Schnittfl~chen zusammenstoBen, so erhfilt man das Kuboktaeder.

Abb. 30: vom W/irfel zum Kuboktaeder Wir iiberlegen: Welcher K6rper ergibt sich durch das Abstumpfen eines Ikosaeders? Das Ikosaeder hat als Seitenfl~ichen 20 gleichseitige Dreiecke, von denen jeweils •nf in einer Ecke zusammenstoBen. Wenn Sie eine solche Ecke wegschneiden, wir haben das rechts fiir drei Ecken durchgefiihrt, so ergibt sich als Schnittfl~iche ein Fiinfeck. Blicken wir auf eine der dreieckigen Seitenfl~ichen. An jeder der drei Ecken wird etwas abgeschnitten, also wird aus dem Dreieck ein Sechseck. Es ergibt sich also ein neuer K6rper, der aus regelmSBigen F/inf- und Sechsecken besteht, unser bekannter FuBball. Wir k6nnen jetzt leieht herausfinden, aus wie vielen F/inf- und Sechsecken das abgestumpfle Ikosaeder zusammengesetzt ist: Die Sechsecke sind aus den Seitenfl~ichen des Ikosaeders entstanden, also m/issen es 20 sein. Die Ffinfecke sind aus den Ikosaederecken entstanden, also miissen wit die Zahl der Ecken des Ikosaeders ermitteln. 20 Dreiecke haben zusammen 60 Ecken. Da aber in jeder Ikosaederecke fiinf Dreiecke aufeinanderstoBen, haben wir alle Ecken fiinffach gez~ihlt und miissen 60 noch durch 5 dividieren. Das Ikosaeder hat also 12 Ecken, folglich hat der Ful3ball 12 Fiinfecke.

60

2 Polyeder

Neben archimedischen K6rpem, die aus zwei verschiedenen Typen von regelm~iBigen n-Ecken bestehen, gibt es auch solche aus dreierlei Formen. Zwei Beispiele sehen Sie in Abbildung 31. Insgesamt gibt es 13 verschiedene archimedische K6rper und zwei Folgen yon archimedischen K6rpern, nfimlich die o.g. Prismen und Antiprismen. Eine vollst~ndige Liste, Abbildungen und Netze finden Sie z.B. in Roman 1968.

Abb. 31

Kuboktaederstumpf

Ikosidodekaederstumpf

Wegen der Dualit~it gibt es auch 13 verschiedene dual-archimedische K6rper sowie zwei Folgen dual-archimedischer K6rper, die Trapezoeder, auf die wir hier nicht eingehen werden, und die Doppelpyramiden. Interessierte verweisen wir auf Adam & Wyss 1984, wo man u.a. Bilder aller halbregul~iren Polyeder findet sowie Erl~iuterungen zu den Beziehungen zwischen archimedischen K6rpem und ihren dualen Partnern. Wie bei der Dualit~it von Graphen und bei der der platonischen K6rper stimmt die Kantenzahl yon archimedischem und dual-archimedischen K6rper iiberein, die Eckenanzahl entspricht der Fl~ichenanzahl des jeweils anderen. Wir iibertragen das Verfahren des Verbindens der Mittelpunkte benachbarter Seiten, das wir uns bei der Dualit~it der platonischen K6rper zunutze gemacht haben, auf ein archimedisches Prisma fiber einem regelmgBigen Ffinfeck. Der entstehende K6rper ist eine Doppelpyramide aus zwei an den Grundfl~ichen zusammengesetzten Pyramiden. Wie man sieht, schlieBen die Dreiecke einer Pyramide untereinander einen sehr viel gr6Beren Winkel ein als die aneinanderstoBenden Seiten zweier Pyramiden. So entsteht also keine dual-archimedische Doppelpyramide. Dies ~indert aber nichts an der Tatsache, dass archimedische Prismen als duale K6rper dual-archimedische Doppelpyramiden haben.

2.3 Halbregul/ire Polyeder

61

Das Kuboktaeder haben Sie bereits als archimedischen K6rper kennen gelemt (vgl. Abbildung 30). Bevor wir gleich iiberlegen, wie wohl der dual-archimedische K6rper zum Kuboktaeder aussieht, wollen wir auf zwei verschiedenen Wegen ermitteln, wie viele Ftiichen welcher Art dieser K6rper hat. Da wir wissen, wie das Kuboktaeder durch Abschleifen eines Wiirfels entsteht (s. Abbildung 30) und uns Fl/ichen- und Eckenzahl eines Wfirfels bekannt sind, k6rmen wir anschaulich argumentieren, dass aus den 8 Wiirfelecken 8 dreieckige Schnittfl/ichen entstehen. Von den 6 alten Wiirfelfl~ichen bleiben 6 quadratische Restfl/ichen fibrig. Man kann die Zahl der Seiten des Kuboktaeders aber auch mit dem Eulerschen Polyedersatz ermitteln: Sei n die Anzahl der Quadrate und m die Anzahl der Dreiecke. Darm gilt: f=n+m n Quadrate liefern 4n Ecken, m Dreiecke liefem 3m Ecken, das Kuboktaeder h/itte also 4n + 3m Ecken. Da in jeder Ecke aber 4 Fl~ichen zusammentreffen, haben wir die Ecken vierfach gez/ihlt. Also gilt: e = (4n + 3m) : 4 n Quadrate liefem 4n Kanten, rn Dreiecke liefern 3m Kanten, das Kuboktaeder h~itte demnach 4n + 3m Kanten. Da jede Kante aber zu zwei F1/ichen geh6rt, haben wir die Kanten doppelt geziihlt. Also gilt: k = (4n + 3m) : 2 Diese Gleichungen setzen wir in die Eulersche Formel e - k + f = 2 ein: 4n + 3m

4n + 3m - +n+m=2 4 2 4n+ 3m-8n-6m+4n+4m= 8 m= 8

/.4 / zusammengefasst

An jedes der 8 Dreiecke grenzen 3 Quadrate, also erhalten wir 24 Quadrate, wobei wir aber jedes vierfach gez/ihlt haben, da jedes Quadrat von vier Dreiecken umgeben ist. Das Kuboktaeder hat also 6 quadratische Seitenfl/ichen. Dieses Verfahren ist das der Wahl, wenn man die ,,Entstehungsgeschichte" des K6rpers nicht kennt und/oder evtl. nur einen Netzausschnitt vorgelegt bekommt.

62

2 Polyeder

Wie sieht der duale K6rper zum Kuboktaeder aus? Geht man vom Kuboktaeder zum dualen K6rper fiber, indem man jeweils die Mittelpunkte benachbarter F1/ichen durch neue Kanten verbindet, so stellt man zun/ichst fest, dass die Fl~ichen des neuen K6rpers Vierecke sind. Da jeweils ein Dreiecksmittelpunkt mit einem Quadratmittelpunkt verbunden wird, sind die vier Kanten der neuen Seitenfl~ichen wegen der Symmetrie des Kuboktaeders gleich lang. Der duale K6rper besteht also aus lauter Rauten. In jedem der sechs Quadrate des Kuboktaeders stof~en vier Rauten zusammen, die wir aber alle doppelt gez~ihlt haben, da jede Raute zu zwei Quadraten geh6rt. Der zum Kuboktaeder duale K6rper besteht also aus 12 Rauten. Es handelt sich um das Rhombendodekaeder (s. Abbildung 29). Haben Sie es bemerkt? Das Ergebnis ist zwar richtig, unsere Argumentation hat aber gleich zu Anfang einen gravierenden Schwachpunkt. Die vier benachbarten Seitenmittelpunkte eines Kuboktaeders liegen nicht in einer Ebene! Bei der Doppelpyramide im archimedischen Prisma trat dieses Problem nicht auf, da dort jeweils drei Seitenmittelpunkte miteinander verbunden wurden und drei Punkte immer in einer Ebene liegen. Aber auch da war uns schon aufgefaUen, dass diese Konstruktion nicht zu einer archimedischen Doppelpyramide ftihrte. Die Konstruktion funktioniert nur bei den platonischen K6rpem. Bei der Konstruktion dual-archimedischer K6rper muss man anders vorgehen. Zum einen kann man an die Umkugel, die jeder archimedischer K6rper besitzt, durch die Ecken des archimedischen K6rpers Tangentialebenen legen. Auf den Schnittgeraden zweier Ebenen durch benachbarte Punkte liegen die Kanten des dual-archimedischen K6rpers. Die Schnittpunkte der Kanten, also die Ecken des dual-archimedischen K6rpers liegen senkrecht fiber den Mittelpunkten der Fl~ichen des archimedischen K6rpers. Zum anderen kann man verwenden, dass die Kanten des dual-archimedischen K6rpers die Kanten des archimedischen K6rpers mittig im rechten Winkel kreuzen und dabei mit den fiberstrichenen Fl~ichengleich grofSe Winkel einschlieBen. Zum Schluss dieses Kapitels trainieren wir unser r~iumliches Vorstellungsverm6gen weiter. Stellen Sie sich einen Wfirfel vor, in dem sein dualer K6rper, das Oktaeder, so drinsteckt, dass dessen Ecken die Mittelpunkte der Wiirfelseiten beriihren. Jetzt lassen Sie das Oktaeder wachsen. Seine Ecken

2.3 Halbregul~ire Polyeder

63

durchstoBen die Wiirfelseiten, treten immer mehr hervor, solange bis die Oktaederkanten durch die Wiirfelkanten verlaufen (Abbildung 32). Diese Durchdringung ergibt sich natiirlich ebenso, wenn sie einen ins Oktaeder eingeschlossenen Wiirfel wachsen lassen.

Abb. 32

Abb. 33

Verbindet man die Spitzen dieses Durchdringungsk6rpers miteinander, so entsteht ... genau, das Rhombendodekaeder (Abbildung 33).

13bung:

1) Bestimmen Sie ffir die abgestumpften platonischen K6rper jeweils die Anzahlen der Ecken, Kanten und Fl/ichen.

2) Konstruieren Sie das Netz des abgestumpften Oktaeders mit der Kantenl~inge 4 cm und basteln Sie ihn aus Zeichenkarton. (Technische Hinweise s. lSbung 1 in Kapitel 2.1. Das Netz passt auf einen Bogen des Formats DIN A3.)

3) Das Rhombenikosidodekaeder besteht aus regelm/iBigen Drei-, Vier- und Fiinfecken, wobei in jeder K6rperecke Quadrat, Dreieck, Quadrat, Fiinfeck zusammenstoBen. Aus wie vielen F1/ichen besteht dieser K6rper?

4) Rechts sehen Sie einen Netzausschnitt des Rhombenkuboktaeders. Dieser K6rper besteht aus gleichseitigen Dreiecken und Quadraten, die Ordnung aller Ecken ist 4. Bestimmen Sie die Zahl der Dreiecke und Quadrate.

[---'] ~

["-'-]

64

3

Axiomatik

3.1

Zum Einstieg

Aus der Schule ist Ihnen bekannt, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 ~ betr~igt. Falls Sie jemand fragt, warum das so ist, werden Sie vielleicht ein Bild wie das rechts zeichnen und erl~iutem, dass Wechselwinkel an Parallelen gleich groB sind und die drei Winkel or, 13 und 7 sich zu einem gestreckten Winkel, also zu 180 ~ erg/inzen.

C

# A

B

Aber: K6nnten Sie auf Nachfrage beweisen, dass Wechselwinkel gleich groB sind? Dies ware prinzipiell m6glich, wit werden das sp~iter auch tun. Aber sp~itestens bei der Nachfrage, wer uns denn garantiert, dass es durch den Eckpunkt C des Dreiecks genau eine Parallele zur Geraden AB gibt, miissten Sie passen. Das 1/isst sich nicht beweisen. Wir stoBen an dieser Stelle zum ersten Mal auf eine Setzung oder ein sogenanntes Axiom. Unter einem Axiom wollen wir einen von Fachleuten festgelegten konsensf~ihigen Grundsatz verstehen, der keines weiteren Beweises bedarf. In unserer Geometrie legen wir einfach fest: Es soll so sein, dass es durch einen Punkt aul3erhalb einer Geraden genau eine Gerade gibt, die die andere nicht schneidet. Unsere Bemiihungen, geometrische Erfahrungen zu erkl/iren, zu begriinden, Aussageketten aufzustellen wie ,,wenn das und das gilt, dann gilt aueh jenes, worans dann wieder dieses folgt usw." ist in der Geschichte der Menschheit ein noch relativ junges Ph~inomen. Schaut man sich die Mathematik der alten ,~gypter oder der Babylonier an (jeweils etwa im Zeitraum von 3000 v. Chr. bis etwa 200 n. Chr.), so findet man keine solchen Fragen nach dem warum. Der Satz des Pythagoras war den Agyptem und Babyloniem bekannt. Bei den regelm/iBig auftretenden lYoerschwemmungen durch den Nil bzw. Euphrat und Tigris musste immer wieder das Land neu vermessen werden, und zur Herstellung rechter Winkel wurde damals schon die Umkehrung des Satzes von Pythagoras benutzt I. Aus praktischen Bediirfnissen heraus haben die Wir verweisen hierzu auch auf Kapitel 6, Satz 20.

3.1 Zum Einstieg

65

Menschen solche Gesetzmal3igkeiten entdeckt und empirisch immer mad immer wieder best/itigt. Ein solches Vorgehen nennt man induktiv 2. Induktiv erh~ilt man z.B. den Satz v o n d e r Winkelsumme im Dreieck durch das m6glichst genaue Ausmessen m6glichst vieler verschiedenartiger Dreiecke. Schiller finden diesen Satz induktiv, wenn sie einer Vielzahl von verschiedenen Papierdreiecken die drei Innenwinkel abschneiden und dann feststellen, dass sich die ausgeschnittenen Teile stets zu einem gestreckten Winkel zusammenlegen lassen. Dieses induktive Vorgehen bringt allerdings zwei Probleme mit sich. Zum einen ist es prinzipiell unm6glich, alle Dreiecke auszumessen. Wie weit kann man also den Satz vonder Winkelsumme im Dreieck verallgemeinern? Gilt er auch fiir mikroskopisch kleine oder riesengroBe Dreiecke? Das andere Problem betrifft die Messgenauigkeit. Selbst bei noch so pr~izisen Messger/iten miissen wir immer einen Messfehler berficksichtigen. VieUeicht betr/igt die Winkelsumme im Dreieck nicht 180~ sondern 179,999995 ~ Wer kann das entscheiden? Etwa 600 v. Chr. gaben die Griechen (Thales, Pythagoras, Euklid, Hippokrates u.v.a.) der Mathematik ein neues Gesicht. Zus~itzlich zu dem ,,Was ist?" fragten sie ,,Warum ist das so?". Das war die Geburtsstunde der exakten Mathematik (/ibrigens auch die Geburtsstunde des Berufswissenschaftlerturns). Empirisch gefundene Gesetzm/if~igkeiten versuchte man durch logische Schl/.isse zu begriinden. Das nennt man deduktives Vorgehen. Am Anfang einer solchen Schlusskette (oder wenn man mit dem Satz vonder Winkelsumme anf~ingt und sich nach unten durchfragt am Ende einer Fragekette) stehen Aussagen, die man nicht beweisen kann. Es sind Kems/itze, Festlegungen, Setzungen, Grundannahmen, die man Axiome nennt. Zeitler (1972, 1973) vergleicht Axiome mit Spielregeln, z.B. des Schachspiels. Bevor wir Schach spielen k6nnen, miissen wir alle Regeln genauestens kennen. Wie werden die Figuren aufgestellt? Wie bewegen sie sich fiber das Brett? Wie schlagen sie? Was heiBt ,,patt"? Warm ist das Spiel beendet? usw. Solche Spielregeln sind willkiJrliche Festsetzungen, wir k6nnten die Schachregeln ja auch ganz anders formulieren und dann ein Spiel namens Schoch spielen. Damit das Spiel aber sinnvoll gespielt werden kann, mfissen die Beim induktiven Arbeiten gewinnt man einen Satz, eine Regel, eine Abstraktion aus der Betrachtung mehr oder weniger vieler Einzelf~ille. Die fr/ihe Physik oder die (AI-) Chemie sind Beispiele ftir induktiv vorgehende Wissenschaften.

66

3 Axiomatik

Regeln einigen Bedingungen genfigen. Die wichtigste ist die, dass sich die Regeln nicht widersprechen dfirfen. Und die Regeln mfissen vollstfindig sein, d.h. jede m6glicherweise irgendwann einmal auftretende Spielsituation muss mit den Regeln entscheidbar sein3. Augerdem sollte man nicht mehr Regeln als notwendig aufstellen. Jede Regel, die man aus anderen herleiten k6nnte, wollen wir uns sparen. An ein Axiomensystem stellen wir also die Forderung nach Widerspruchsfreiheit, Vollstiindigkeit und Unabhiingigkeit. Um fiberhaupt ein Axiom formulieren zu k6nnen, braucht man Objekte, fiber die man etwas aussagen will. Diese Grundelemente sind in der Geometrie Punkte und Geraden. Unsere ersten Axiome (Kapitel 3.2) sagen etwas aus fiber die Existenz von solchen Grundelementen und ihre wechselseitigen Beziehungen. Was wir aus unseren Axiomen herleiten k6nnen, heigt Satz. Und dann kennen Sie noch den Begriff der Definition. In einer Definition wird eine neue Bezeichnung eingefiihrt ftir einen Sachverhalt, der auch ohne diese Definition schon klar ist. Es geht also nur darum, durch einen neuen Namen oder ein neues Zeichen etwas knapp zu beschreiben, das man sonst tangatmig erl/iutem mfisste. Euklid4 war es, der die Bemfihungen der griechischen Mathematiker um eine Axiomatisierung der Geometrie zu einem Abschluss brachte. In einem 13b/indigen Werk mit dem Namen ,,Elemente" hat er das mathematische Wissen seiner Zeit zusammengetragen. Es enth/ilt das erste Axiomensystem unserer Geometrie, das fiber 2000 Jab_re lang die Grundlage des Geometrieunterrichts in Schulen und Universit/iten darstellte. Euklid selbst nannte die Axiome ,,Postulate". Sie waren filr ihn Formulierungen yon Selbstverst~indlichkeiten der Anschauung, wie z.B. ,,Durch zwei Punkte kann man stets eine gerade Linie ziehen." Die in dieser Aussage anftretenden Begriffe ,,Punkt" und ,,gerade Linie" hat Euklid definiert: ,,Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Gerade ist eine Linie, die gleich liegt mit den Punkten anf ihr setbst." (Meschkowski 1980, S. 87) Sie erkennen sicher selbst, dass solche Definitionen die Sache nicht klarer machen, denn unbekannte Begriffe werden durch nicht weniger unklare andere Begriffe erl~iutert. Zudem hat Euklid selbst sp/iter auf diese Art der Definitionen nicht mehr zurfickgegriffen.

Vielleicht haben Sie auch Erfahrungen mit neuen Gesellschaftsspielen, bei denen Sie im Laufe des Abends ad hoc eigene Spielregeln erfinden mussten, weil Sie sich in eine Spielsituation hineingespielt haben, fiir die die Spielentwickler keine Regel angegeben haben. Eukleides von Alexandria, um 300 v. Chr., griechischer Mathematiker

3.1 Zum Einstieg

67

Die modeme Mathematik verzichtet von daher auf Definitionen solcher Grundbegriffe. Noch in einem weiteren Punkt sind die Mathematiker in der Geometrie fiber Euldid hinausgegangen. Euklid benutzte in seinen Beweisen nicht nur die yon ihm formulierten Axiome, sondern unbewusst Tatsachen, die er der Anschauung entnahm, aber nicht als Axiom formulierte. In diesem Sinne war Euklid's Axiomensystem noch nicht das vollstandige System, das der von ihm beschriebenen Geometrie tats/ichlich zugrunde liegt. Diese Lficken •llte erstmals der deutsche Mathematiker Pasch s. Aber auch fiir Pasch waren die Axiome noch ,,aus der Anschauung herausgesch~ilte ,Grunds/itze'" (Meschkowski 1980, S. 136). Wenige Jahre sp~ter hat Hilbert6 in seinem Buch ,,Grundlagen der Geometile" (1899) dem Axiomensystem der euklidischen Geometrie die heute g~ingige Form gegeben. Ihm verdanken wires, dass wir Axiome heute einfach als Setzungen interpretieren, die nicht mehr an unsere Anschauung gebunden sind. Auch die Grundbegriffe wie Punkte und Geraden werden yon ihrer anschaulichen Bedeutung abgekoppelt. Bei einem Gespr~ich in einem Berliner Wartesaal sagte Hilbert: ,,Man muss jederzeit an Stelle yon ,Punkten, Geraden, Ebenen', ,Tische, Stfihle, Bierseidel' sagen k6nnen." (nach Meschkowski 1980, S. 136). Charakteristisch ffir Hilberts Axiomensystem ist der AuPoau aus mehreren Axiomengruppen: Axiome der Verkniipfung oder Inzidenz, Axiome der Anordnung, Axiome der Kongruenz, Axiome der Parallelen, Axiome der Stetigkeit. Diese Ordnung erm6glicht einen schrittweisen Aufbau der Geometrie, der yon sehr allgemeinen Aussagen wie den S~itzen der Inzidenzgeometrie zu inhaltlich reichhaltigeren S/itzen fortschreitet, z.B. zu den Kongruenzs~itzen. Jede neue Axiomengruppe erm6glicht es also, mit den vorangehenden zusammen eine Reihe von neuen S/itzen herzuleiten. Dabei wird deutlich, welche S/itze etwa zu ihrer Herleitung noch nicht das gesamte Axiomensystem ben6tigen. Bemerkenswert ist weiter, dass Hilbert das Parallelenaxiom erst Moritz Pasch, 8.11.1843 - 20.9.1930 David Hilbert, 23.1.1862 - 14.2.1943, deutscher Mathematiker, vermutlich der letzte Mathematiker, der sich noch in allen Teilgebieten seiner Wissenschaft auskannte.

68

3 Axiomatik

sehr sp/it einfiihrt. Dadurch wird es m6glich, vorher ein System geometrischer S/itze zu entwickeln, die sogenannte absolute Geometrie, die sowohl in der euldidischen wie in der nicht-euklidisehen Geometrie giiltig sind. Aus didaktischen Griinden und da es uns nur um den axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie geht, werden wir allerdings das Parallelenaxiom sehr friih einfiihren. Dieses Parallelenaxiom hat die Mathematiker sehr lange vor grol3e Rhtsel gestellt. Es war eine geniale Leistung Euklids, dass er es als Postulat, also als eine nicht beweisbaren Grundannahme, formulierte. 2000 Jahre lang hatten die Mathematiker den Verdacht, es miisse sich aus den iibrigen Axiomen herleiten lassen. Viele haben vergebens versucht, es zu beweisen, z.B. der ungarische Mathematiker Wolfgang yon Bolyai. Auch dessen Sohn Johann hatte sich dem Parallelenproblem verschrieben, trotz der folgenden vhterlichen Warnung: ,,Ich beschw6re Dich bei Gott! lass die Parallelen in Frieden. Du sollst davor denselben Abscheu haben wie vor einem liederlichen Umgang ... Es ist unbegreOqich, dass diese unabwendbare Dunkelheit, diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel in der Geometrie zugelassen wurde, diese ewige Wolke an derjung)Criiulichen Wahrheit " (Meschkowski 1980, S. 40). Mit dem Makel meinte Bolyai die Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms.

Zum Gliick folgte der Sohn dem vhterlichen Rat nicht. Er verfolgte stattdessen den Gedanken, dass das Parallelenaxiom wirklich ein Axiom sei, es also auch eine Geometrie geben k6nne, in der dieses Axiom nicht gilt. Etwa 1825 hatte er eine nicht-euklidische Geometrie in den Gmndzfigen entworfen. Sein Vater riet ihm, die Ergebnisse m6glichst bald zu ver6ffentlichen. Wieder folgte der Sohn dem Rat seines Vaters nicht, diesmal zu seinem Nachteil, denn 1826 ver6ffentlichte der russische Mathematiker Nicolai Iwanowitsch Lobatschewsky eine hhnliche Abhandlung, fiinf Jahre, bevor Bolyai seine Ergebnisse dann endlich publizierte. Jedenfalls lag die nicht-euklidische Geometrie zu Anfang des 19ten Jahrhunderts wohl in der Luft. Auch der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss hat sich mit dieser Frage besch/iftigt.

3.2 Inzidenzgeometrie

3.2

69

Inzidenzgeometrie

Unsere Grundbegriffe sind also die Ebene ~:, die wir als eine Menge von Punkten auffassen. Bestimmte Teilmengen yon H: nennen wir Geraden. Die

Punkte bezeichnen wir mit Grol3buchstaben, P = {A, B, C, D, ...}, die Geraden mit kleinen Buchstaben, G = {a, b, c, d, ...}, oder durch die Angabe zweier Punkte, die auf der Geraden liegen. Die beiden Mengen ~ und G seien disjunkt. Ein Punkt und eine Gerade k6nnen zueinander in einer Beziehung stehen, die wir lnzidenz nennen und durch das Zeichen ,,e" oder ,,~" ausdriicken. A ~ a oder auch a ~ A heii3t dann ,,A inzidiert mit a", ,,A liegt aufa", ,,A ist Element yon a" oder ,,a geht durch A". Inzidieren ein Punkt und eine Gerade nicht miteinander, so verwenden wir das Zeichen ,,~". Es gilt immer: Entweder A 9 a oder A ~ a. Die Menge aller Inzidenzpaare (A,a) bilden eine echte Teilmenge yon P• G, wir haben es also mit einer Relation zu tun. Wir stellen diese Relation durch Graph und Tabelle dar. Beispiel:

Inzidenzgraph E

c

d

A

lnzidenztafel C

b

a

B

a b c d

A + 0 0 +

B + + 0 0

C 0 + + 0

D 0 0 + +

(vgl. Kapitel 1.2)

Wir k6nnen jetzt die ersten Axiome, die Inzidenzaxiome, formulieren: I1

Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden Punkten inzidiert. Formal: VA, B e ~ m i t A ~ B g i l t : 3 a e G , sodass A e a

/x B 9

12 Zu jeder Geraden gibt es mindestens zwei verschiedene Punkte, die mit dieser Geraden inzidieren. Formal: V a 9 3 A,B 9 ~ m i t A r sodass A 9 /x B 9 13

Es gibt drei verschiedene Punkte, die nicht alle mit derselben Geraden inzidieren. Formal: 3 A , B , C 9 P m i t A ~ B e C , s o d a s s A 9 ^ B 9 /x C ~ a

70

3 Axiomatik

Punkte, die auf derselben Geraden liegen, heissen kollinear. Das Axiom I 3 k6rmte man auch so formulieren: Es gibt drei Punkte, die nicht kollinear sind. Die beiden ersten Inzidenzaxiome sind ,,wenn-dann-Aussagen", Wenn es zwei Punkte gibt, dann gibt es auch eine Gerade durch die beiden. Werm es eine Gerade gibt, dann liegen auf dieser auch zwei Punkte. Diese Aussagen sind auch dann wahr, wenn es iiberhaupt keine Punkte und Geraden gibt. Die Existenz von Punkten (und damit auch von Verbindungsgeraden) wird im dritten Axiom gefordert. Wir wollen nun das kleinste Modell aufstellen, das unseren ersten drei Axiomen gen/igt. Wegen 1 3 gibt C es drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer / r ~ Geraden liegen. Wir nennen sie A, B, C. Wegen des ersten Inzidenzaxioms gibt es zu A und B, zu A und C sowie zu B und C jeweils genau eine Gerade. Damit gibt es also drei Geraden a, b, c. Auch I 2 ist A a B erfiillt, denn auf jeder dieser Geraden liegen zwei Punkte. Unser Minimalmodell besteht also aus drei Abb. 34 Punkten und drei Geraden (Abbildung 34). Beachten Sie, dass derzeit nur dort Punkte existieren, wo wir sie ausdriicklich durch einen Kreis markieren. Die Gerade a besteht nur aus den beiden Punkten A und B.

/\

Ein weiteres Modell ist das Neun-PunkteModell (Abbildung 35). Wir verbinden zun/ichst A und B durch eine Gerade, die auch noch durch C laufen soil. Wir verbinden dann A mit D und G, und eine weitere Gerade legen wir durch A, E und I. Jetzt ist A mit allen Punkten verbunden auBer mit F u n d H. Wir erledigen das durch die Gerade d, die A, H und F enth~ilt. B ist bereits mit A und C verbunden. Wir legen noch eine Gerade durch B, E und H. Eine weitere Gerade verbindet D, B und I, und eine legen wir noch dutch B, F u n d G. Jetzt ist auch B mit allen Punkten verbunden.

l

Abb. 35

Wir vervollst/indigen unser Modell durch eine Gerade durch C, E und G, eine Gerade durch C, F u n d I und eine durch C, D und H. D ist bereits mit allen

3.2 Inzidenzgeometrie

71

Punkten auBer mit E und F verbunden, wir legen also eine weitere Gerade durch D, E und F. E hat zu allen Punkten eine Verbindungsgerade, ebenso F. Wenn wir jetzt noch eine letzte Gerade durch G, H und I legen, darm haben wir Axiom I 1 erfiillt. Axiom 1 2 ist ebenfalls erfiJllt, im Neun-Punkte-Modell liegen auf jeder Geraden sogar drei Punkte. I 3 ist erftillt, z.B. liegen A, B und D nicht alle auf einer Geraden. Wir haben 9 Punkte und 12 Geraden. Wir wollen uns nun zwei weitere Modelle ansehen, die der nichteuklidischen Geometrie entstammen, in denen unsere drei Inzidenzaxiome jedoch ebenfalls gelten. Beim M o d e l l y o n K l e i n z (,,Bierdeckelgeometrie") besteht die Menge ~ aus allen Punkten innerhalb des Einheitskreises, die Kreislinie geh6rt also nicht dazu, die Geradenmenge G besteht aus allen Sehnen innerhalb des Einheitskreises. Da hier ~ und G unendliche Mengen sind, k6nnen wir sie durch unsere Darstellungsformen nut unvollst~indig wiedergeben. Abbildung 36 diene trotzdem der ,,Veranschaulichung". Beim M o d e l l v o n P o i n c a r ~ ~ besteht P aus allen Punkten oberhalb der x-Achse, die Achse selbst geh6rt also nicht dazu, die Menge G besteht aus allen Halbkreisen oberhalb der x-Achse sowie allen Halbgeraden oberhalb der x-Achse, die senkrecht zur x-Achse sind. Auch bier sind P und G unendliche Mengen, trotzdem diene Abbildung 37 der ,,Veranschaulichung". Die ,,Verbindungsgerade" zu zwei Punkten A und B, die nicht auf einer Halbgeraden liegen, konstruiert man im Modell von Poincar6 wie in Abbildung 38 beschrieben. Sie ist ein Halbkreis.

Abb. 36

/ X

Abb. 37

> Abb. 38

Zum Nachweis der Unabh~ingigkeit eines Axiomensystems betrachtet man Modelle, bei denen jeweils alle Axiome bis auf eines erfiillt sind. Ist man in der Lage, ein solches Modell anzugeben, so kann das eine Axiom keine Von dem deutschen Mathematiker Felix Klein, 25.4.1849 - 22.6.1925, stammt u.a. die folgende Aussage: ,,Wenn ein Mathematiker keine Ideen mehr hat, treibt er Axiomatik." Henri Poincar6, 29.4.1854 - 17.7.1912, franz6sischer Mathematiker

72

3 Axiomatik

logische Folge der anderen Axiome sein. Wir zeigen auf diese Weise die Unabh~ingigkeit unserer drei Inzidenzaxiome:

I 1 und 1 2 erffillt, 1 3 nicht erfiillt

1 1 und 1 3 erftillt, 1 2 nicht erftillt

1 2 und 1 3 erftillt, I 1 nicht erftillt

So schmalbriistig unser Axiomensystem bisher auch ist, wir k6nnen trotzdem schon die ersten S~itze ableiten. Satz 1:

Zu zwei verschiedenen Geraden gibt es h6chstens einen Punkt, mit dem beide inzidieren.

Bewels:

Es seien a und b zwei Geraden mit a ~ b. Wir gehen indirekt vor und nehmen an, es g~ibe mehr als einen gemeinsamen Punkt von a und b. Seien also A und B zwei verschiedene Punkte mit A E a und B ~ a sowie A e b und B ~ b. Nach Axiom I 1 folgt dann a = b, was im Widerspruch zur Voraussetzung a ~ b steht. Es kann also nicht mehr als einen gemeinsamen Punkt geben. Satz 2:

Zu jedem Punkt gibt es mindestens eine Gerade, die mit ihm inzidiert.

Beweis:

Sei A ein beliebiger Punkt. Nach 1 3 gibt es mindestens einen weiteren Punkt B. Nach I 1 gibt es eine Gerade a mit A E a und B ~ a. Es gibt also keine isolierten Punkte.

Obung:

1) Welche der Inzidenzaxiome sind jeweils erfiillt? a)~~<~_ _

b

)

~

c)

x

~

2) Wir betrachten das Neun-Punkte-Modell. Geben Sie alle Parallelen zur Geraden BH an. Nennen Sie alle Parallelen zu DI durch A.

3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien

3.3

73

Aft'me u n d p r o j e k t i v e I n z i d e n z g e o m e t r i e n

Wir wollen im Folgenden durch Hinzunahme eines weiteren Axioms unsere Inzidenzgeometrie in zwei Richtungen ausbauen. Bevor wir das tun, miissen wir den Begriff der Parallelit~it definieren.

Definition 1:

parallel Zwei Geraden a und b heiBen parallel (Zeichen ,, H"), wenn sie gleich sind oder wenn es keinen Punkt gibt, der mit a und mit b inzidiert. Also: a II b r a = b v a c~ b = •.

Axiome d e r A1

affinen Inzidenzgeometrie:

= I1

A2 = I 2 A3 : I 3 A 4 Parallelenaxiom Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Parallele. L ~

Formal: V b e G, A ~ IP gilt: 3 a s G, so dass A ~ a A a II b Auch hier schauen wir uns das kleinste Modell an, das diesen vier Axiomen gentigt. Da die ersten drei Axiome unsere Inzidenaxiome sind, beginnen wir mit dem f'tir diese schon gefundenen Minimalmodell. Die Geraden a, b und c sind Parallelen zu sich selbst durch die Punkte, die jeweils auf diesen Geraden liegen. Es gibt aber noch keine Parallele zu a durch C, zu b durch B, zu c durch A. Wir erg~inzen unser Modell durch die Gerade d, die keinen gemeinsamen Punkt mit a hat, die Gerade f durch B, die parallel zu b ist, und eine Parallele zu c durch A, die Gerade e. Nach A 2 alias I 2 liegt auf diesen drei neuen Geraden jeweils ein weiterer Punkt. Damit wir mit m6glichst wenigen Punkten auskommen (schlieBlich suchen wir ein Minimalmodell), erledigen wir das durch den Punkt D, der mit d, e und f inzidiert (Abbildung 39).

e"',7 \ ,

A

f Abb. 39

a

. B

74

3 Axiomatik

Eine affine Ebene besteht also aus mindestens vier Punkten und sechs Geraden. Ein anderes Modell ffir eine affine Inzidenzebene ist das Neun-Punkt-Modell. l~erprfifen Sie dies zur Obung selbst. U m zu zeigen, dass das Axiom A 4 von den drei anderen Axiomen unabh~ngig ist, mfissen wir wieder ein Modell angeben, in dem A 1 bis A 3 gelten, A 4 aber nicht. Unser Minimalmodell aus Abbildung 34 erfiillt diesen Zweck. Ebenso gut k6nnen wir aber auch die Modelle von Klein oder Poincar6 verwenden. In beiden Modellen gibt es n/imlich mehr als eine Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt (s. Abbildung 40).

Abb. 40 Ftir die affine Inzidenzgeometrie formulieren wir jetzt einen wichtigen Satz. Die Parallelit/it ist eine und

Satz 3:

reflexiv, symmetrisch Beweis: Reflexivit~it: z.z. Fiir alle a ~ G gilt a

A'quivalenzrelation. transitiv.

II a.

Ffir alle a ~ G gilt a = a v a n a = O a II a Symmetrie:

Sie ist also

z.z. Fiir alle a, b ~ G gilt: a

/a = a stets wahr /Def. 1

II b

~

b [[ a.

allb a=b v a~b=O b=a v bna=Q b I[ a Transitivitgt: z.z. Ffir alle a, b, c e G gilt: a[I b/x b [[ c ~

/Def. 1 /Def. 1 a [[ c.

Ffir den Fall, dass zwei dieser drei Geraden oder gar alle drei identisch sind, ergibt sich die Behauptung trivialerweise. Wir betrachten also den Fall, dass a, b und c paarweise verschieden sind. Dann gilt a n b = O und b n c = ~ .

3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien

75

Angenommen, es wiirde nicht gelten a I[ c. Dann g~ibe es einen Punkt A mit A ~ a und A E c. Damit ist a eine Parallele zu b durch A und c ist ebenfalls eine Parallele zu b durch A. Das steht im Widerspruch zum ParalMenaxiom.

Ein anderer, anschaulich selbstverst~indlicher Sachverhalt liisst sich jetzt schon aus unseren 4 Axiomen herleiten: Satz 4:

Es seien a, b, c paarweise verschiedene Geraden mit a ]1 b. Dann gilt: Werm c die Gerade a schneidet, dann schneider c auch die Gerade b.

Beweis:

Nach Voraussetzung gilt a [[ b und a r b a~b=O

/Def. 1

Weiter schneiden sich nach Voraussetzung die Geraden a und c, wir nennen den Schnittpunkt S. a

b

Annahme: c ~ b = Q D a b und c nach Voraussetzung verschieden sind (b r c) folgt c 11b. Da S ~ a und S ~ c und a II b und c II b und a r c g~ibe es darm durch S zu der Geraden b zwei verschiedene Parallelen, n~imlich a und c, was einen Widerspruch zu A 4 darstellt 9.

Wir werden jetzt die Axiome der affinen Inzidenzgeometrie so aNindem, dass eine v611ig neue Inzidenzgeometrie entsteht. Da, wie wir gerade gezeigt haben, die Parallelenrelation eine Aquivalenzrelation ist, bewirkt sie auf der Menge der Geraden eine Einteilung in A'quivalenzklassen. Ist a eine Gerade, so enth/ilt die durch a repr~isentierte Aquivalenzklasse alle zu a parallelen Geraden. Man spricht bei diesen Klassen von Parallelenscharen. Jeder Parallelenschar ordnen wir einen unendlich femen Punkt zu, ihren uneigentlichen Schnittpunkt. Die Menge aller unendlich femen Punkte fassen wit zu einer Geraden, der Ferngeraden, zusammen (Abbildung 41) 10.

9

Ebenso ergibt sich ein Widerspruch zu Satz 3: Aus a II b und c l[ b folgt a [I c (Transitivit~t). Mit a * c steht dies im Widerspruch zu a n b = {S}. J0 In Kapitel 7 werden Sie dies bei der Behandlung der Zentralprojektion als Fluchtpunkte und Horizont wiedererkennen.

76

3 Axiomatik

Diese so erweiterte euklidische Ebene nennt man projektive Ebene. Diese wollen wir jetzt axiomatisieren, allerdings nur in Bezug auf die Inzidenzaussagen. Axiome der projektiven Inzidenzgeometrie: P1

= I1

P 2 Zu jeder Geraden gibt es mindestens drei verschiedene Punkte, die mit dieser Geraden inzidieren. Formal: V a ~ G gilt: 3 A, B, C ~ [P mit A ~=B =~C, so dass A~aAB~aA C~a P3

=

I3

P 4 Zu zwei verschiedenen Geraden gibt es mindestens einen Punkt, der mit beiden inzidiert. Formal: Va, b ~ G m i t a ~ b g i l t : 3 A ~ •,sodass A ~ a A A ~ b Auch hier suchen wir das kleinste Modell, das diesen vier Axiomen gen/igt. Nach P 3 gibt es drei nicht kollineare Punkte A, B und C, die nach P I durch drei Geraden a, b und c verbunden sind. Nach P 2 liegt aufjeder dieser Geraden ein weiterer Punkt, also kommen die C Punkte D, E und F dazu. Nach P 1 muss A mit E, B mit F sowie C mit D verbunden werden, wodurch wir drei weitere Geraden d, e und f erhalten. Auf diesen liegt nach Axiom P 2 ein dritter Punkt, was wir durch G ftir alle drei Geraden sicherstellen. Zu den Punkten D, E und F ben6tigen wir wegen P 1 noch Verbindungsgeraden. Wir w/ihlen g so, dass sie alle drei Punkte Aa D -B miteinander verbindet, wodurch dann fiir g auch Axiom P 2 erftillt ist (Abbildung 42). Abb. 42

3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien

77

Priifen Sie selbst nach, dass in diesem Minimalmodell der projektiven Inzidenzgeometrie, welches aus 7 Punkten und 7 Geraden besteht, das Axiom P 4 erftillt ist, dass sich also je zwei Geraden in mindestens einem Punkt schneiden. Zum Nachweis der Unabh/ingigkeit von P 4 suchen wir wieder Modelle, in denen die Axiome P 1 bis P 3 gelten, P 4 aber nicht. Das Neun-PunkteModell ist dafiir ein Beispiel, delta dort schneiden sich nicht, wie P 4 fordert, alle Geraden. Z.B. hat die Gerade, die die oberen drei Punkte miteinander verbindet, keinen Sclmittpunkt mit der Geraden, die die drei Punkte in der tmtersten Reihe verbindet. Auch das Modell von Klein oder das yon Poincar6 k6rmen wir als Beleg fiir die Unabh/ingigkeit von P4 heranziehen. Da bei ihnen jeweils unendlich viele Punkte auf den Geraden liegen, ist auch die gegentiber I 2 verschMfte Fassung des Axioms P 2 erfiillt. In beiden Modellen gibt es aber Geraden, die sich nicht sclmeiden (s. Abbildung 43).

> Abb. 43 Da wir I 2 (mindestens zwei Punkte) durch P 2 (mindestens drei Punkte) ersetzt haben, sollten wir wenigstens einen kurzen Gedanken an die Unabh~ingigkeit von P 2 verschwenden. P 2 ist unabhiingig, wie z.B. das Minimalmodell unserer Inzidenzgeometrie (Abbildung 34) zeigt. Die Axiome A 4 (es gibt genau eine Parallele) und P 4 (es gibt immer einen Schnittpunkt) schliegen sich yon der Logik her aus, sie k6nnen nicht beide gleichzeitig gelten. Das heigt aber nicht, dass immer eines von beiden gelten muss, wie z.B. das Modell von Klein zeigt, bei dem es mehrere Parallelen, aber auch Schnittpunkte gibt. Das liegt daran, dass P 4 nicht die logische Vemeinung von A 4 ist oder umgekehrtlk Man kann von einem projektiven Modell zu einem affinen Modell gelangen, indem man eine Gerade und alle mit ihr inzidierenden Punkte entfernt. Diesen Vorgang nennt man Schlitzen. Beispiele: ~ Die logische Verneinung von A 4 w/ire: Es gibt keine oder mehr als eine Parallele.

78

3 Axiomatik

l I

Il

I

3

l

I

_

.-_'___'_%

Umgekehrt karm man aus einem affinen Modetl ein projektives Modell herstellen, indem man filr parallele Geraden Schnittpunkte definiert und diese neuen Punkte zu einer neuen Geraden zusammenfasst. Diesen Vorgang nennt man Adjunktion. Beispiele:

t

ft.

13bung:

t

'

1) Welche der Axiome A 1 - A 4 gelten in der durch die Zeichnung links dargestellten Ebene?

.,41

r",,

2) Welche der Axiome P 1 - P 4 gelten in der Ebene rechts? 3) Untersuchen Sie die folgenden Graphen auf die Gfiltigkeit von Axiom A 4:

3.4 Axiome der Anordnung

3.4

Axiome

79

der Anordnung

Folgt man Hilberts Aufbau der Geometrie, so kommen nach den Axiomen der Inzidenz die der Anordnung hinzu. Wit werden gleich fordern, dass die Menge der Punkte einer Geraden streng linear geordnet ist lz, sich einer Geraden also eine Orientierung geben l~isst. Unter Ordnungsrelationen auf einer Menge M versteht man Relationen ,,R" mit den folgenden Eigenschafien:

1. Transitivitiit: 2. Asymmetrie:

V a,b,c ~ M:

a R b Ab R c ~ a R c

V a,b ~ M:

aRb~

-7 (b R a)

Eine Ordnungsrelation heil3t streng linear, wenn zus~itzlich gilt:

3. Linearitiit:

V a,b ~ M:

aRbv bRav a=b

Die streng lineare Ordnungsrelation fiir die Punkte einer Geraden bezeichnen wir mit ,,-<" (,,liegt vor"). Die drei genannten Eigenschaften bedeuten dann: 1.

Wenn ein Punkt A vor einem Punkt B liegt, und B liegt vor einem Punkt C, dann liegt A auch vor C.

2.

Wenn A vor B liegt, dann liegt B nicht vor A.

3.

Es tritt immer mindestens einer der drei folgenden F~ille auf: A liegt vor B, oder B liegt vor A, oder A und B sind gleich.

Wenn wir fiir zwei Punkte A und B einer Geraden festlegen, dass A vor B liegen soil, darm k6nnen wir fiir alle Punkte feststellen, welcher der drei F/ille vorliegt. Damit hat unsere Gerade eine Orientierung. Wir formulieren jetzt die Ordnungsaxiome: O 1 Die Menge der Punkte jeder Geraden gist streng linear geordnet. Formal: V A,B,C c g: A-< B A B - < C ~ A - < C -

A
~ -~ (B -< A ) v B~
O 2 Es seien A und B zwei Punkte einer Geraden g mit A -< B. Dann enth/ilt g mindestens drei weitere Punkte C, D und E m i t C -< A < D -< B -< E. C ---C

D ~

A

0

E 9

0

B

12 Auf Zahtenmengen beispielsweise ist die ,,Kleiner-Relation" eine streng lineare Ordnungsrelation.

80

3 Axiomatik

Eine unmittelbare Folgerung aus Axiom O 2 ist, dass jede Gerade unendlich viele Punkte enth~ilt. Damit verabschieden wir uns endgiiltig yon allen Modellen, in denen Geraden nur einige explizit markierte Punkte enthielten. Mittels der Relation ,,-<" k6nnen wir nun den Begriff,,zwischen" erkl~en: Definition 2:

zwischen Ein Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C, wenn A, B und C auf einer Geraden liegen und entweder A -< B < C oder C -< B < A gilt.

Die Begriffe vor und zwischen erlauben uns, weitere wichtige Begriffe zu definieren wie Strecke und Halbgerade. Wir betrachten im Folgenden die Punkte A und B sowie die Gerade g durch A und B. Fiir g schreiben wir auch AB (Gerade AB). AufAB sei die Orientierung A -< B ausgezeichnet. Definition 3:

Strecke, Halbgerade Unter der Strecke AB versteht man die Menge aller P ~ ~, ffir die gilt: { P ~ A B I P = A v P = B v A - < P - < B } . Unter der Halbgeraden AB versteht man die Menge aller P~,ffirdiegilt:{P~AB

I P E AB v B ~ AP}.

Schliel3en wir bei einer Halbgeraden den Anfangspunkt A aus bzw. bei einer Strecke Anfangs- und Endpunkt, so sprechen wir yon offenen Halbgeraden bzw. offenen Strecken. Ein Punkt A zerlegt eine Gerade stets in zwei komplementiire Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt A, wobei wir erst bei Kenntnis eines weiteren Punktes B auf g entscheiden k6nnen, welche der beiden Halbgeraden gemeint ist. Nach Definition besteht kein Unterschied zwischen AB und BA. Zus/itzlich zum Begriff der Orientierung von Geraden bzw. Halbgeraden ben6tigen wir den auf der Orientierung aufbauenden Begriff der Richtungsgleichheit von Geraden bzw. Halbgeraden. Zwei Geraden sind genau dann richtungsgleich, wenn sie parallel sind und dieselbe Orientierung haben. Was aber bedeutet ,,dieselbe Orientierung" bei Geraden und wie stellt man diese fest? Wir gehen von zwei parallelen Geraden f u n d g aus, die beide eine Orientierung besitzen. Auf f markieren wir zwei Punkte A und B mit A ~ B.

A

f J g J

J

J

3.4 Axiome der Anordnung

81

Mit Hilfe der Punkte A und B k6rmen wir die Orientierung von f feststellen. Wir gehen hier von dem Fall A -< B aus.

B

i

J Wir lassen unendlich viele zueinander parallele Geraden unsere Gerade f schneiden. Nach Satz 4 schneiden diese Geraden auch die zu f parallele Gerade g und erzeugen auf dieser Bildpunkte A', B' usw. der Punkte A, B usw. anff 13 Nun k6rmen wir fiberpriifen, ob auf g die Orientierung A' -< B' oder B' -< A' gilt. Im erstgenannten Fall sind f und g richtungsgleich. Im zweitgenannten Fall sind die Geraden f u n d g

B

I I

I

,

B;

/

entgegengerichtet. Und wann nennt man zwei Halbgeraden richtungsgleich? Wir greifen hier auf die Richtungsgleichheit der zugeh6rigen Geraden, der so genannten Triigergeraden, zuriick und nennen zwei Halbgeraden darm richtungsgleich, wenn ihre Tr/igergeraden richtungsgleich sind. Sind die Tr/igergeraden entgegengerichtet, so anch die entsprechenden Halbgeraden. Abbildung 44 zeigt je ein Paar parallele, riehtungsgleiche und entgegengerichtete Geraden, Abbildung 45 je ein Paar richtungsgleiche und entgegengerichtete Halbgeraden.

//

Abb. 44

Abb. 45

Wie ein Punkt einer Geraden diese in zwei disjunkte offene Halbgeraden zerlegt, so zerlegt jede Gerade eine Ebene in zwei disjunkte offene Halbebenen und die Gerade selbst. Wir folgen hier dem axiomatischen Aufbau yon Mischka, Strehl, Hollmann (1998) und fordem dies als n~ichstes Axiom O 3. In Hilberts Aufoau wiirde an dessen Stelle als gleichwertige Aussage das Pasch-Axiom treten, das bei uns dann ein mit O 3 beweisbarer Satz wird. 13 Mathematisch spricht man hier von einer Parallelprojektion. Auf eine entsprechende Definition der Parallelprojektion verzichten wir hier.

82

3 Axiomatik

O 3 Jede Gerade a zerlegt die Ebene in zwei disjunkte offene Halbebenen und die Gerade selbst, so dass gilt: AB n a = Q, werm A und B in derselben Halbebene liegen und AB n a ~ O, werm A und B in verschiedenen Halbebenen liegen. Wie bei Strecken und Halbgeraden k6nnen wir auch bei Halbebenen von offenen und abgeschlossenen Halbebenen sprechen. Im letztgenannten Fall geh6rt die Tr/igergerade dann mit zu beiden Halbebenen.

Satz 5:

Es seien A, B und C drei nicht kollineare Punkte und a eine Gerade, die mit keinem dieser drei Punkte inzidiert. Hat a mit der offenen Strecke zwischen A und B einen Punkt gemeinsam, darm auch mit einer der offenen Strecken zwischen A und Coder B und C.

Beweis: Wir nehmen an, a tr/ife die offene Strecke zwischen A und B, keinen der drei Punkte A, B, C und auch keine der offenen Strecken zwischen A und C sowie B und C. Bezogen auf a liegen A und B dann in verschiedenen offenen Halbebenen. A und C liegen dagegen in derselben offenen Halbebene, da a die offene Strecke zwischen A und C nicht schneidet. B B und C liegen aus demselben Grund ebenfalls in einer offenen Halbebene, und zwar in der anderen, zu der A nicht geh6rt. Damit ist C gemeinsamer Punkt dieser beiden durch a deftnierten offenen Halbebenen, was einen Widerspruch dazu darstellt, dass offene Halbebenen disjunkt sind.

Ubung:

1) Zeigen Sie: A~(B-
A-
2) Es seien A, B, C, D vier Punkte, von denenjeweils keine drei auf ein und derselben Geraden liegen, a sei eine Gerade, die mit keinem dieser vier Punkte inzidiert. Zeigen Sie: Wenn a die offene Strecke zwischen A und B triffl, dann auch eine der offenen Strecken zwischen B und C, zwischen C und D oder zwischen A und D.

3.4 Axiome der Anordnung

83

3) Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte und D und E zwei Punkte mit A -< B < D und B -< E -< C. g sei die Gerade durch D und E. Zeigen Sie: Es gibt einen Punkt F mit F c g u n d A - < F -< C.

3.5

Winkel

Mit Hilfe des Begriffs der Halbgeraden werden wir gleich definieren, was ein Winkel ist und besondere Winkel auszeichnen. Dabei werden die Worte rechts und links bzw. im oder gegen den Uhrzeigersinn auftauchen. Streng genommen mfissten wir diese Worte zun~ichst kl/iren, also auch der Ebene eine Orientierung zuordnen, wozu zwei weitere Axiome f~illig w~en. Wir ersparen das Ihnen und uns und gehen stattdessen optimistisch davon aus, dass wir alle wissen, was ein Ausdruck wie ,,gegen den Uhrzeigersinn" bedeutet 14. Wir betrachten zwei Halbgeraden a und b mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S. Unter einem Winkel versteht man die Punktmenge, die fiberstrichen wird, wenn die zuerst genannte Halbgerade, man k6nnte sie als Erstschenkel bezeichnen, um S, den sogenannten Scheitel, gegen den Uhrzeigersinn auf die zweite Halbgerade, den Zweitschenkel, gedreht wird (s. Abbildung 46). Die Punkte auf den Halbgeraden a und b sollen dabei jeweils auch zum Winkel geh6ren. Als Zeichen verwendet man ftir einen solchen Winkel das Symbol g(a,b) bzw. g(b,a). Sind auf den Schenkeln Punkte bekannt wie P und Q in Abbildung 46, so ist auch die Schreibweise -~PSQ fiir ,~(a,b) bzw. gQSP fiir g(b,a) m6glich. Sp~iter werden wir wie iiblich auch griechische Buchstaben zur Bezeichnung yon Winkeln verwenden.

Abb. 46

14 Uns ist bewusst, dass es s/idliche Gegenden in diesem Land gibt, in denen die Uhren (auch buchst~iblich) anders herum gehen.

84

3 Axiomatik

Stimmen die Halbgeraden a und b iiberein, so liegt der Nullwinkel ~(a,a) vor.

Definition 4:

Winkel Eine Punktmenge heiBt Winkel ,~(a,b), werm es zwei Halbgeraden a und b mit gememsamem Anfangspunkt S gibt, so dass diese Punktmenge yon a/iberstrichen wird, wenn a gegen den Uhrzeigersirm um S aufb gedreht wird.

Wie versprochen werden wir nun besondere Winkel auszeichnen.

Definition 5:

Nullwinkel, konvexer, gestreckter, iiberstumpfer Winkel Es sei a eine Gerade, die die Ebene in zwei Halbebenen El und E2 zerlegt, S ein Punkt aufa und al eine Halbgerade auf a mit Anfangspunkt S. b~ sei eine Halbgerade ebenfalls mit Anfangspunkt S. Dann heil~t der Winkel g(al,bt)

NulIwinkel, konvex,

wenn al = bl, wenn al und bl verschieden und nicht komplement~ir sind und b~ c El gilt 15,

gestreckt, wenn al und bl komplement~ir sind, iiberstump.f,, wenn al und bl verschieden und nicht komplement~ sind und bj c E2 gilt.

S

al

#75

bj

S

#75

al

.....3-'~

am

b~

konvex Abb. 47a

gestreckt Abb. 47b

E2

iiberstumpf Abb. 47c

Auch besondere Winkelpaare verdienen eigene Namen:

Salopp gesagt ist E~ die Halbebene, die zuerst von al iiberstrichen wird, wenn man a~ um S gegen den Uhrzeigersinn dreht. Sp~iterwerden wir bei konvexen Winkeln spitze und stumpfe Winkel als Teilmengen auszeichnen.

3.5 Winkel

85

Definition 6:

Stufenwinkel, Wechselwinkel Es seien a und b zwei Geraden, die yon einer dritten Geraden c geschnitten werden. Fiir die dabei entstehenden konvexen Winkel vereinbaren wir: Zwei Winkel heii3en Stufenwinkel, wenn sie 1. in derselben Halbebene bzgl. c liegen und 2. ihre auf c liegenden Schenkel richtungsgleich sind. Zwei Winkel heiBen Wechselwinkel, wenn sie 1. in verschiedenen Halbebenen bzgl. c liegen und 2. ihre auf c liegenden Schenkel entgegengerichtete Halbgeraden sind.

C3 '..~.

b

1~2 - .....

b,

b

el

b,

Cl al

Abb. 48

1~2 k /

al

Abb. 49

In Abbildung 48 sind die Winkel-~(al,cl) und <~(bbc3) Stufenwinkel, ebenso wie "~(c2,al) und *(c4,bl) bzw. *(cl,a2) und "~(c3,b2) sowie *(a2,c2) und ~(b2,c4).

In Abbildung 49 sind die Winkel ~(al,cl) und ~(b2,c4) Wechselwinkel, ebenso wie "~(a2,c2) und "~(bl,C3) bzw. g(c2,al) und "~(c3,b2) sowie ~(ct,a2) und "~(c4,bl).

86

3 Axiomatik

Definition 7:

Scheitelwinkel, Nebenwinkel Es seien ot und 13zwei verschiedene, konvexe Winkel. c~ und 13 heil3en Scheitelwinkel, wenn sowohl ihre Erstschenkel als auch ihre Zweitschenkel komplement~re Halbgeraden sind. ~t und 13 heiBen Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gememsam haben und die beiden anderen Schenkel komplement~ire Halbgeraden sind.

In Abbildung 48 sind nach dieser Definition z.B. ~(ax,c0 und ~t(az,c2) Scheitelwinkel zueinander, auch ~(c3,b2) und -~(c4,bl) sind Scheitelwinkel. Die Winkel ~(a~,cl) und "~(cl,a2) sind ein Beispiel ffir ein Nebenwinkelpaar. Obung:

1) Notieren Sie alle in Abbildung 48 auftretenden Scheitelwinkelpaare und Nebenwinkelpaare. 2) Beweisen Sie: Sind ~(a,b) und ax(c,d) Nebenwinkel, so ist (a,d) ein gestreckter Winkel.

3.6

L~ingen- und Winkelmessung

Wir alle wissen, dass man Streckenl~ingen und Winkelgr613en messen kann. Wir legen an die Strecke ein Lineal an, so dass der Nullpunkt auf einen Endpunkt der Strecke f~illt, und lesen am anderen Endpunkt der Strecke ab, z.B. 5,2 cm oder 52 mm, beides verschiedene Namen fiir dieselbe L~inge. Bei Winkeln greifen wir zu einem Winkelmesser und als Ergebnis der Messung nennen wir eine Zahl zwischen 0 und 360 zusammen mit der Einheit Grad (Zeichen ,,o,,)J6. Streckenl~ingen und Winkelgr6Ben sind benannte Zahlen oder Gr6fien, setzen sich also zusammen aus einer Maflzahl und einer Mafleinheit wie ,,cm" oder ,,o,,. Was aber ist eigentlich die L~inge einer Strecke, die Gr6Be eines Winkels? Man k6nnte sagen, die Liinge einer Strecke ist diejenige Eigenschaft, die sie mit allen Strecken gemein hat, die gleichlang sind, entsprechendes gilt bei 16

Unsere Einteilung des Vollkreises geht auf die Babylonier und ihr Stellenwertsystem zur Basis 60 zuriJck. Auch bei unserer Zeitrechnung (h, min, s) finden Sie Spuren des Sexagesimalsystems. Informationen zu dieser genialen Leistung der Babylonier finden Sie bei Gorski / MiillerPhilipp 2008, Kapitel 6.

3.6 Lfingen- und Winkelmessung

87

Winkeln. Was heigt da aber gleichlang, gleichgrol3? Wenn uns die Abbildungen (Gegenstand des n~ichsten Kapitels) hier schon zur Verffigung stiinden, dann k6nnte wir sagen: Strecken sind gleichlang, wenn sie kongruent sind, sprich wenn es eine Kongruenzabbildung (z.B. Drehung, Verschiebung) gibt, die die eine Strecke auf die andere abbildet. Analog wiirde man Winkel gleichgrog nermen, wenn sie kongruent sind. Wir beschreiten hier einen anderen Weg und fiihren als undefinierte Grundbegriffe eine Liingenmaflfunktion ,, l" und eine Winkelmaflfunktion ,,w" ein. ,,1" ordnet jeder Strecke eine benannte, positive reelle Zahl oder 0 als I . ~ g e zu, ,w" jedem Winkel eine benannte, positive reelle Zahl oder 0 als Winkelgr613e. Wir werden unter Rtickgriff auf die Eigenschaften der reellen Zahlen definieren, was ,,gleich" und ,,kleiner" in den Mengen der L~ingen bzw. Winkelgr6gen bedeuten und wie man mit diesen Gr68en rechnet. Anschliegend k6nnen wir uns den L/ingenmagaxiomen und den Winkelmagaxiomen zuwenden und Eigenschaften der L~ingen- und Winkelmessung untersuchen. Definition 8:

L/ingen Die Menge Ik aller L~ingen sei definiert als 0_= {xcm Ix e ~ , x > 0}. Fiir alle x, y ~ N, x, y >- 0 definieren wir: 1. x c m = y c m <::> x = y 2. x c m < y c m <::> x < y 3. x c m + y c m = ( x + y ) cm 4. x. (y cm) = (x. y) cm

Jeder Strecke AB wird durch die L~ingenmagfunktion ,,1" ein Element der Menge [1_,die L/inge der Strecke AB, zugeordnet, die wir als I(AB) schreiben. Ffir die L/ingenmessung verlangen wir die Liingenmafiaxiome (LMA): LMA 1

Wenn P ein Punkt der Strecke AB ist, dann gilt: 1( AB ) = 1( AP ) + 1( PB ). A

LMA 2

Wenn ein Punkt P nieht aufder Strecke AB liegt, dann gilt: 1( AB ) < 1( AP ) + 1( PB ).

LMA 3

Zu jeder Halbgeraden a mit dem Anfangspunkt A und zu jeder L/inge r ~ fl_ gibt es mindestens einen Punkt P, so dass P ~ a und 1( AP ) = r.

A

A

88

3 Axiomatik

Eine unmittelbare Folgerung aus den beiden ersten Lgngenmagaxiomen ist die sogenannte Dreiecksungleichung: Fiir drei beliebige Punkte A, B, C d e r Ebene gilt stets 1( AB ) _< i( AC ) + 1( CB ). Ebenso gelten die Umkehrungen der beiden ersten L~ingenmagaxiome. SchlieBlich folgern wir noch Satz 6:

Fiir beliebige Punkte A, B d e r Ebene gilt: I(AB)=0 r A=B

Beweis:

, , ~ " Voraussetzung: A = B. Zu zeigen: 1( AB ) = 0 Wir nehmen einen beliebigen weiteren Punkt C hinzu. Da A = B gilt, gilt auch B c A C . 1( AC ) = 1( AB ) + 1( BC ) / LMA I I ( A C ) = I(AB) + I ( A C ) / I(BC) = I(AC), d a A = B I(AB)= 0 , , ~ " Voraussetzung: 1( AB ) = 0. Zu zeigen ist A = B Wir nehmen an, A und B w~iren verschieden, und betrachten einen weiteren Punkt C, der nieht aufder Strecke AB liegen soll. Damit gilt dann auch, dass B nicht auf AC liegt und A nicht auf BC. Dann gilt: I(AC)< I(AB)+I(BC) A I(BC)< I(AB)+I(AC) I(AC)< I(AB)+I(BC)< I(AC ) < I ( A C )

(1)

/ L M A 2 , B ~ AC

(2)

/ L M A 2 , A ~ BC

I(AB)+ (I(AB)+I(AC)) / (1), (2) / I(AB) = 0

Das ist ein Widerspruch, unsere Annahme war falsch, A muss gleich B sein. Als weiteren Satz zeigen wir, dass die Aussage unseres dritten LS_ngenmagaxioms verschfirfl werden kann. Satz 7:

Zu jeder Halbgeraden a mit Anfangspunkt A und zu jeder L~inge r ~ U_gibt es genau einen Punkt P, so dass P ~ a und 1( AP ) = r.

Beweis: Durch LMA 3 ist sichergestellt, dass mindestens ein solcher Punkt P existiert. Wir miissen also nur noch zeigen, dasses h6chstens einen solchen Punkt gibt.

3.6 L~ingen- und Winkelmessung

89

Dazu nehmen wir an, es g~ibe einen zweiten Punkt R, R ~ P, der wie P auf der Halbgeraden a liegt und fiir den 1( AR ) = r gilt. F/Jr die Lage von R gibt es zwei M6glichkeiten: Entweder liegt R zwischen A und P oder R liegt so, dass P sich zwischen A und R befindet. Diese F~ille untersuchen wir getrermt: 1.

Fall:R ~ AP I(AP) = I(AR) + I(RP)

/LMA1

r=r+l(RP) 0 = I(RP) R=P

/ I(AP) = I(AR) = r /-r / Satz 6

was einen Widerspruch zu R r P darstellt. 2.

Fall:P c AR 1( AR ) = 1( AP ) + 1( PR )

/ LMA 1

r=r+l(PR)

/ I(AP) = I(AR) =r

0=I(PR) P=R

/-r / Satz 6

Das stellt ebenfalls einen Widerspruch zu R ~ P dar. Unsere Annahme ist in beiden Fallen zu verwerfen, P ist eindeutig bestimmt.

Analog zu unserem Vorgehen bei der L~ingenmessung definieren wir jetzt die Menge Waller Winkelgr6Ben, erkl/iren die Relationen ,,=" und ,,<" trod legen Operationen zum Rechnen mit Winkelgr6Ben fest. Definition 9:

Winkelgr6Ben Die W: Fiir I. 2. 3. 4.

Menge Waller Winkelgr6Ben sei definiert als {x~ Ix ~ ~,x>__O}. atle x, y e ~, x, y _>0 definiercn wir: x~ ~ <=> x = y x~ ~ r x
Jedem Winkel g(a,b) bzw. ct wird durch unsere WinkelmaBfunktion ,,w" ein Element der Menge ~/, das WinkelmaB w(,~(a,b)) bzw. w(~t), zugeordnet.

90

3 Axiomatik

Statt w(r werden wir kfirzer nur w(a,b) schreiben. Fiir die Winkelmessung verlangen wir die folgenden Winkelmaflaxiome(WMA): W M A 1 Fiir alle Winkel *(a,b) gilt: 0 ~ _<w(a,b) < 360 ~ WMA 2

F/Jr drei Halbgeraden a, b, c mit demselben Anfangspunkt S gilt: w(a,c) = w(a,b) + w(b,c) , falls w(a,b) + w(b,e) < 360 ~ w(a,c) = w(a,b) + w(b,c) - 3 6 0 ~ , falls w(a,b) + w(b,c) > 360 ~

WMA 3

W e n n b c El 17 , dann gilt: w(a,b) < 180 ~

W M A 4 Zu jeder Halbgeraden a und zu jeder Winkelgr613e w(ot) mit 0 ~ < w(et) < 360 ~ gibt es genau eine Halbgerade b, so dass w(a,b) = w(ot).

Unsere WinkelmaBfunktion w hat, anders als die L~ingenmalffunktion 1, nicht die gesamten positiven reellen Zahlen als Wertebereich. W~ihrend jede reelle Zahl > 0 als Mal3zahl einer Streckenl~inge auftreten kann, lassen wir durch W M A 1 nur reelle Zahlen x mit 0 _<x < 360 als Mal3zahlen fiir Winkelgr6Ben zu. Damit wir aber, wie in Definition 9, Punkt 3 definiert, beliebige Winkelmal3e addieren k6nnen, z.B. w(a,b) = 300 ~ und w(b,c) = 100 ~ ben6tigen wir W M A 2. Danach gilt: w(a,c) = 300 ~ + 100 ~ - 360 ~ = 40 ~ Eine unmittelbare Folgerung aus W M A 3 ist, dass konvexe Winkel kleiner als 180 ~ sind und iibersmmpfe Winkel gr613er als 180 ~ W M A 4 stellt sicher, dass wir an eine gegebene Halbgerade eindeutig einen Winkel vorgegebener Gr613e antragen k6nnen. Eine Folgerung aus W M A 4 stellt der folgende Satz dar: Satz 8:

1. w ( a , b ) = w(a,c) ~

b=c

2. w(x,a)= w(y,a) ~

x =y

Mit den uns jetzt zur Verffigung stehenden WinkelmaBen k6nnen wir die besonderen Winkel aus dem letzten Abschnitt auch durch ihre Winkelgr6Ben klassifizieren (s. Abbildung 50). Zus~itzlich unterscheiden wir die konvexen Winkel wie fiblich noch in spitze, stumpfe und rechte Winkel.

17 vgl. Definition 5

3.6 L/ingen- und W i n k e l m e s s u n g

Nullwinkel: w(a,b) = 0 ~

91

spitzer Winkel: 0 ~ < w(a,b) < 90 ~ a

a=b

v

stumpfer Winkel: 90 ~ < w(a,b) < 180 ~

gestreckter Winkel: w(a,b) = 180 ~

b

a

a

rechter Winkel: w(a,b) = 90 ~

fiberstump fer Winkel: 180 ~ < w(a,b) < 360 ~

a

Abb. 50 A u c h fiber Scheitelwinkel und N e b e n w i n k e l 1/isst sich eine Aussage formulieren, die Ihnen aus der Schule bekannt ist:

Satz 9:

1. Scheitelwinkel haben gleiches WinkelmaB. 2. Die Winkelgr6Ben von N e b e n w i n k e l n erg~inzen sich zu 180 ~.

Beweis: 1. W i r betrachten das Scheitelwinkelpaar "~(al,bl) und "~(a2,b2). N a c h Definition 7 shad dann al, a2 sowie bl, b2 komplementfire Halbgeraden. Also gilt mit W M A 2: (1) w(aba2) = 180 ~ = w(al,bl) + w(bba2) (2) w(bbb2) = 180 ~ - w(bl,a2) + w(aE,b2) W i r setzten (1) und (2) gleich und erhalten: w(abb~) + W(bl,a2) = w(bl,a2) + w(a2,b2) w ( a b b 0 = w(a2,b2) / - w(bba2)

[b2

92

3 Axiomatik

2. In der Abbildung rechts sind "~(abb0 und ~(bl,a2) ein Nebenwinkelpaar, ebenso wie <~(bl,a2) und <~(a2,b2), <~(az,b2) und <~(bz,al), <~(b2,al) und <~(al,bl). Wir zeigen die Behauptung nur fiir das erste Nebenwinkelpaar, der Beweis fiir die iibrigen verl~iuft analog 18. Es gilt: w(aj,bj) + w(bj,a2) = w(al,a2) = 180 ~

]'b2

Mit Hilfe der L~ingen- und Winkelmessung k6nnen wir definieren: Definition 10:

Mittelpunkt einer Strecke Der Punkt M heiBt Mittelpunkt der Strecke AB, wenn gilt: 1. M ~ A B 2. l ( A M ) = l(BM )

Definition 11:

Kreis Es sei M ein Punkt der Ebene und r ~ ~_\{0}. Die Menge k(M;r) = {P e II: I 1( P---M) = r} heigt Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.

Definition 12:

Winkelhalbierende Es seien a und b zwei Halbgeraden mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die Halbgerade h mit Anfangspunkt S heilk Winkelhalbierende des Winkels a~(a,b), wenn gilt: w(a,h) = 1 w(a,b).

Definition 13:

senkrecht Es seien a und b zwei Geraden, die sich im Punkt S schneiden, a heil~t senkrecht oder orthogonal (Zeichen ,,• zur Geraden b, wenn es zwei Halbgeraden aj und bl auf a bzw. b gibt mit Anfangspunkt S, so dass gilt: w(aj,bt) = 90 ~

Beachten Sie, dass z.B. r und "~(a2,b2) auch einen gemeinsamen Schenkel besitzen (b2) und die beiden anderen Schenkel komplement/ire Halbgeraden sind, sie aber kein Nebenwinkelpaar darstellen, da wir in Definition 7 verlangt haben, dass die Winkel konvex sind, was bier fiir (al,b2) aber nicht gegeben ist.

3.6 L~ingen- und Winkelmessung

Definition 14:

93

Lotgerade, Lotful3punkt Es sei a eine Gerade und P ein Punkt. Eine Gerade 1 durch P heigt Lotgerade oder kurz Lot zu a dutch P, werm gilt: l• Der Schnittpunkt von I und a heigt Lotfuflpunkt.

Definition 15:

Abstand Es sei a eine Gerade und P ein Punkt. Der Abstand des Punktes P v o n d e r Geraden a ist die L~inge der Strecke mit P und dem Lotfugpunkt als Endpunkten. Den Abstand eines Punktes P yon einer Strecke bzw. Halbgeraden ffihrt man auf den Abstand des Punktes yon der zugeh6rigen Tr~igergeraden zuriick.

Wir verzichten an dieser Stelle auf die einfachen Beweise wie aus a_l_b folgt b • und dass es zu jedem Punkt P auf einer Geraden a genau ein Lot 1 gibt, eine Folgerung aus W M A 4. Interessanterweise l ~ s t sich der anschaulich ebenso einleuchtende Sachverhalt, dass es durch einen Punkt P auflerhalb einer Geraden a immer genau eine Lotgerade gibt, mit unseren bisherigen Axiomen nicht beweisen. Wir miissen diese Eindeutigkeit durch ein eigenes Axiom fordern. Da die Existenz als solche dann beweisbar ist, k6nnen wit das Orthogonalitiitsaxiom wie folgt formulieren: OA

Zu jeder Geraden a gibt es durch jeden Punkt P mit P ~ a h6chstens eine Gerade 1 mit P E 1und l•

Mit diesem Axiom l~isst sich der folgende Satz beweisen, der uns dann auch die Existenz eines Lotes zu einer beliebigen Geraden a durch einen beliebigen Punkt P, P ~ a , garantiert.

Satz I0:

Es seien a, b und c drei beliebige Geraden. Dann gilt: 1. a • /x b_l_c ~ a II c 2. a II c A b • ~ a•

la

Ic

Beweis: 1. Wenn a und c gleich sind, dann sind sie nach Definition 1 parallel. Wir betrachten also den Fall a ~ c. Zu zeigen ist, dass die beiden Geraden dann keinen Punkt gemeinsam haben. Wir gehen indirekt vor und nehmen an, es g~ibe einen Punkt S mit S ~ a und S e c. Dann gilt:

94

3 Axiomatik

(1) S e a A a i b ~ a i s t L o t z u b d u r c h S /Def. 14 (2) S e c ^ c • ~ c • Lot zu b durch S / Def. 14 Damit gibt es zur Geraden b zwei verschiedene Lotgeraden dutch den Punkt S. Dies • ein Widerspruch zu der Folgerung aus W M A 4, dass die Lotgerade eindeutig bestimmt • (S e b) bzw. zum Orthogonalifiitsaxiom (S r b). Die verschiedenen Geraden a und c k6nnen also keinen Punkt gemeinsam haben, sie sind also parallel. 2.

Zun/ichst k6nnen wir festhalten, dass die Geraden b und a sicher nicht parallel sin& denn aus b II a und a II c wfirde wegen der Transitivit/it der Relation .11" sofort b II c folgen, ein Widerspruch zu b • Damit haben b und a einen gemeinsamen Punkt, den wir S nennen: Sea ^ Seb (1) Sei l die eindeutig bestimmte Lotgerade zu b durch S: Sel ^ lib (2) Also gilt: lib ^ bLc lllc

/ (2), Voraus. / Satz 10, Teil 1

/ s.o., (2) Also: 1 II c ^ S e 1 / Voraus., (1) und allc ^ Sea Da es zu c durch S aber nach dem Parallelenaxiom nur genau eine Parallele gibt, muss 1 = a gelten, a • also die Lotgerade zu b durch S, a•

Ubung:

1) Beweisen Sie, dass in jedem Viereck die Summe der L~ingen der be• Diagonalen kleiner • als der Umfang des Vierecks. 2) Beweisen Sie, dass der Mittelpunkt einer Strecke AB eindeutig bestimmt • 3) Zeigen Sie: Jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises k(M;r) hat mit dem Kreis genau zwei Punkte A und B gemeinsam. M • dabei der Mittelpunkt von AB. 4) Es seien a und b zwei Geraden. Beweisen Sie: a_Lb ~

b/a.

5) Es sei P ein Punkt aufeiner Geraden g und 1 die Lotgerade zu g durch P. Zeigen Sie, dass I eindeutig bestimmt •

3.7 Zusammenstellung aller relevanten Axiome

3.7

Zusammenstellung

95

aller relevanten Axiome

Inzidenzaxiome: I1

Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden Punkten inzidiert. Formal: V A , B 9

3aeG,

sodass A~a

A B~a

12

Zu jeder Geraden gibt es mindestens zwei verschiedene Punkte, die mit dieser Geraden inzidieren. Formal: V a ~ G g i l t : 3 A , B ~ l ~ m i t A r sodass A 9 A BEa

13

Es gibt drei verschiedene Punkte, die nicht alle mit derselben Geraden inzidieren. Formal:3 A,B, Ce ~mitACBr sodassAeaA BeaA C~a

Parallelenaxiom: P

Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Parallele. Formal: V b 9 G, A 9 ~ gilt: 3 a ~ •, so dass A 9 a A a II b

Axiome der Anordnung: O 1 Die Menge der Punkte jeder Geraden g i s t streng linear geordnet. Formal: V A,B,C 9 g: A
-

A-
-

A-
v B-
v A=B

O 2 Es seien A und B zwei Punkte einer Geraden g mit A < B. Dann enth/ilt g mindestens drei weitere Punkte C, D und E m i t C < A -< D < B -< E. O 3 Jede Gerade a zerlegt die Ebene in zwei disjunkte offene Halbebenen: AB ~ a = @, wenn A und B in derselben Halbebene liegen und AB ~ a ~ @, wenn A und B in verschiedenen Halbebenen liegen.

96

3 Axiomatik

L~ingenmaflaxiome: LMA 1

Wenn P ein Punkt der Strecke AB ist, dann gilt: I ( A B ) = I(AP ) + I ( P B ) .

LMA 2

Wenn ein Punkt P nicht a u f d e r Strecke AB liegt, darm gilt: I ( A B ) < I(AP ) + I(PB). Zu jeder Halbgeraden a mit dem Anfangspunkt A und zu jeder L~nge r ~ ~_ gibt es mindestens einen Punkt P, so dass P ~ a und

LMA3

I ( A P ) = r.

Winkelmaflaxiome: W M A 1 Ffir alle Winkel ~(a,b) gilt: 0 ~ _<w(a,b) < 360 ~ W M A 2 F/Jr drei Halbgeraden a, b, c mit demselben Anfangspunkt S gilt: w(a,c) = w(a,b) + w(b,c) , falls w(a,b) + w(b,c) < 360 ~ w(a,c) = w(a,b) + w(b,c) - 3 6 0 ~ , falls w(a,b) + w(b,c) > 360 ~ WMA 3

Wenn b c E j , dann gilt: w(a,b) < 180 ~

WMA 4

Zu jeder Halbgeraden a und jeder Winkelgr613e w(c0, 0 ~ < w(ot) < 360 ~ gibt es genau eine Halbgerade b, so dass w(a,b) = w(ct).

Orthogonalit~itsaxiom: OA

Zu jeder Geraden a gibt es durch jeden Punkt P mit P ~ a h6chstens eine Gerade 1 mit P ~ I und l•

97

4

Abbildungsgeometrie

4.1

Einstiegsproblem

Abb. 51a: Spanien, 13. Jh.

Abb. 51b: Indien, 17. Jh.

Abb. 51c: Holland, 20. Jh.

Abb. 51d: England, 20. Jh.

Auf dieser und den folgenden Seiten sehen Sie ausgew~ihlte H6hepunkte kiinstlerischer Werke aus verschiedenen Zeiten und Kulturkreisen. Seit jeher haben solche regelm~iBigen Muster die Menschheit fasziniert. Die Abbildungen 51 zeigen nacheinander den Aussctmitt aus einem Mosaik in der Alhambra, Granada (Spanien, 13. Jh.), ein Ornament am Tadsch Mahal (Indien 17. Jh.), das Bild ,,Acht K6pfe" (1922) des Niederl~inders M. C. Escher und das Bild ,,Tremor" (1962) der Engl~inderin B. Riley, beide Bilder aus Schuster (1978, S. 100, 103). Worin besteht der Reiz all dieser Werke? Ein Grund liegt sicherlich in der Regelm~iBigkeit, mit der sich Grundfiguren wiederholen. Kopiert man die Ornamente auf Folie, so kann man durch Bewegungen der Folie Kopie und Ausgangsfigur immer wieder zur Deckung bringen. Eine m6gliche Bewegung bei dem Bandornament aus Abbildung 51a ist die Verschiebung. Auch bei dem Parkett aus Abbildung 51b k6nnen wir die Folie verschieben, wobei wir hier sogar in verschiedene Richtungen verschieben k6nnen. Bei Eschers ,,Acht K6pfe" in Abbildung 5 l c k6nnten wir die Folienkopie horizontal yon Nasenspitze zu Nasenspitze des Herren mit Zylinder verschieben. Finden Sie selbst weitere M6glichkeiten durch Bewegtmgen Original und Kopie zur Deckung zu bringen. Nun wiirde es schon erstaunen, wenn sich der Beitrag aus dem Inselreich ohne Briiche in diese Oberlegungen integrieren lieBe. Versuchen Sie es einmal.

98

4 Abbildungsgeometrie

Im Buddhismus und im Hinduismus versirmbildlichen Kreisbilder, die so genannten Mandalas, das Universum und das Leben. Der Kreis soil von allem Irdischen befreien und Meditationen giinstig beeinflussen, Quadrate stehen fiir materielle Endlichkeiten. In indischen Tempelanlagen werden Mandalas z-un/ichst sorgfiiltig konstruiert und anschlieBend mit farbigem Sand kiinstlerisch ausgestaltet.

Abb. 52: Konstruktion (Bild 1,2) und Ausgestaltung (Bild 3) eines Mandalaj Aber auch im christlichen Abendland findet man/ihnliche Muster: etwa in den Rosettenfenstem der groBen europ~iischen Kathedralen (ab 12. Jh.) und wieder in verschiedenen Holzschnitten Eschers.

Abb. 53: Rahmen der Rosetten der Kathedralen Lausanne und Notre Dame de Paris und der Holzschnitt ,,Kreislimit I" (1958) von Escher2 Bei dem Mandala, bei den Kirchenfenstern und bei Eschers Holzschnitt sind Drehungen um den Mittelpunkt der Figuren Bewegungen, die die Folienkopie mit der Ausgangsfigur zur Deckung bringen3. Es sind verschiedene DrehunJ aus: http://www.dharmanet.com.br/mandala 2 Rosetten aus: Mathematik lehren 1996, S. 19; Holzschnitt aus: Ernst 2002, S. 108 3 Dabei ist die farbliche Ausgestaltung beim Mandala zu vemachl~issigen.

4.1 Einstiegsproblem

99

gen m6glich. Gemeinsam ist ihnen jeweils der Drehpunkt, sie unterscheiden sich aber in den Drehwinkeln. Abbildung 54 ist aus Ernst (2002, S. 107) enmotmnen und zeigt Eschers ,,Drehstrudel", einen Holzschnitt aus dem Jahr 1957. Kleine Fische schwimmen im unteren Teich, wachsen dabei immer mehr und kommen schliel31ich in den oberen Teich. Dort werden sie wieder kleiner und verschwinden schliel31ich in der Teiclmaitte. Gibt es auch hier Drehungen mit unterschiedlichen Drehwinkeln? Verschiebungen und Drehungen nennt man

Bewegungen. Bei diesen kommt man mit einer Seite der Folie aus. Bei manchen Figuren k6nnen wir unsere Folie aber auch wenden, und die Abb. 54: ,,Drehstrudel", Rfickseite der Folie kommt mit der AusgangsHolzschnitt, Escher 1957 figur zur Deckung. Wenn wir z.B. bei dem Parkett aus Abbildung 51b in der Ausgangsfigur und unserer Folie eine Gerade durch die Mittelpunkte der Sechsecke zeichnen, die Folie hochnehmen, umwenden und so auf die Originalfigur legen, dass die beiden Geraden zttr Deckung kommen, dann kommt auch das kopierte Parkett mit dem ursprfinglichen Parkett zur Deckung. Entsprechendes gilt flit das Mandala, die Figuren in Abbildung 53 und Leonardos Proportionsdarstellung des menschlichen K6rpers (aus Friedenthal 1959, S. 86). Solche Umwendungen nennt man Geraden- oder Achsenspiegelungen. Die Darstellungen in den Abbildungen 51b, 52, 53 und 55 sind also achsensymmetrisch. Auch Abb. 55: Proportionsdardas Bandomament aus Abbildung 51a ist achstellung des menschlichen sensynmaetrisch. Die Symmetrieachsen liegen K6rpers, Leonardo 1 5 3 5 senkrecht zur Verschiebungsrichtung und verlaufen durch die Mittelpunkte der ,,Knochen". Die Mittelparallele des Bandomamentes ist dagegen keine Symmetrieachse. Wenn wir unsere Folie um diese Achse wenden, kommt die Kopie nicht mit der Ausgangsfigur zur Deckung. Wenn wir die so gewendete Folie abet ein Stiickchen weiterschieben, dann k6nnen wir auch wieder Deckungsgleichheit erzielen. Eine solche Bewegung, die sich aus einer Achsenspiegelung und

100

4 Abbildungsgeometrie

einer Verschiebung parallel zur Spiegelachse zusammensetzt, nennt man Schub- oder Gleitspiegelung. Auch sie ist eine Umwendung. Die bisher betrachteten Abbildungen haben eines gemeinsam: Sie bilden Figuren auf kongruente Figuren4 ab. Man nermt sie deshalb auch Kongruenzabbildungen. Alle Streckenl~ingen, alle Winkelgr6Ben bleiben unver~indert erhalten. Neben den Kongruenzabbildungen gibt es aber auch noch andere Abbildungen der Ebene auf sich.

Abb. 56a

Abb. 56b

Offensichtlich handelt es sich bei den Abbildungen 56a-b nicht um Kongruenzabbildungen, da weder L~iufer noch Dreiecke kongruent sind. Trotzdem gibt es Regelm/iBigkeiten. Die L~iufer sind einander ~ihnlich, sie sind durch eine J~hnlichkeitsabbildung entstanden. Die Dreiecke, zwei sind grau gef~rbt, sind sich nicht einmal/ihnlich. Trotzdem haben sie etwas gemeinsam.

l]bung:

1) Bewegung oder Umwendung? Wie viele verschiedene Abbildungen, die die Figur auf sich selbst abbilden, gibt es?

Hasenfenster5 am Paderbomer Tadsch Mahal in Agra, Indien Dom, 13. Jh. 17. Jh.

4

Auf eine exakte Definition dessen, was wir umer ,,kongruemen Figuren" verstehen wollen, kommen wir in Kapitel 4.2.5 zur/ick. 5 Drei Hasen und der L6ffel drei und doch hat jeder Hase zwei!

4.1 Einstiegsproblem

101

2) Suchen Sie alle Syrnmetrieachsen in den Abbildungen 51-55. 3) Finden Sie ftir die Abbildungen 51a-c jeweils die ldeinste Grundfigur, aus denen sich die Figur durch Verschiebung erzeugen l~isst. Es gibt verschiedene L6sungen. 4) Welche Drehungen bilden die Ornamente in den Abbildungen 51-55 auf sich ab? Geben Sie Drehptm_kt(e) und alle m6glichen Drehwinkel an. 5) Welche Eigenschaflen bleiben bei den in Abbildung 56a dargestellten ,,L~iufem" erhalten? 6) Finden Sie mehrere Gemeinsamkeiten der Dreiecke aus Abbildung 56b.

4.2

Kongruenzabbildungen

Vororientierung Wir werden nun die im Einstieg aufgetretenen Abbildungen der Ebene auf sich definieren, indem wir die Konstruktionsvorschrift angeben, mit der man zu einem Punkt P der Ebene seinen Bildpunkt P' finden kann. Wit beginnen mit tier Definition der Geradenspiegelung und ausfiihrlichen Betrachtungen der Eigenschaften dieser Abbildung. Danach fiihren wir die Verschiebung, die Drehung, die Punktspiegelung und die Schub- oder Gleitspiegelung ein. Schliel31ich werdcn wir zeigen, dass nicht nut die eben genannten Abbildungen, sondem auch jede beliebige Anzahl yon nacheinander ausge~hrten Geradenspiegelungen dutch eine ,,/iul3erst geringe" Anzahl yon Geradenspiegelungen ersetzt werden kann. Dabei sollen Sie die Geradenspiegelung als das Universalmodul aller Kongruenzabbildungen erfahren. Auch werm wir yon Anfang an yon Kongruenzabbildungen reden, werden wit erst an dieser Stelle definieren, was wir eigentlich genau unter einer Kongruenzabbildung verstehen wollen. Auf der Basis dieser Definition werden wir in einem weiteren Abschnitt der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen ein Dreieck AABC zu einem Dreieck AA'B'C' kongruent ist und in diesem Kontext die Kongruenzs~itze, die Sie bereits aus der Schulmathematik unter den Kiirzeln ,,SSS, SWS, WSW und SSWggs" kennen, formulieren und beweisen. Das Kapitel endet mit Uberlegungen zur Menge aller Kongruenzabbildungen bzw. ausgewLlalter Teilmengen dieser Menge.

102

4 Abbildungsgeometrie

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen Definition 1:

Geradenspiegelung Sg

"-p. . . . l L - p , ~

Die Geradenspiegelung Sg ist diejenige Abbildung der Ebene ~ auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P' nach folgender Vorsehrift zuordnet: a) Wenn P ~ g, dann P = P' (alle P c g sind Fixpunkte) -

-

I

b) Wenn P ~ g, dann gilt: g _L PP' und I(PS) = I(P'S), wobei PP' n g = {S}. 6 Dabei heiBt die Gerade g Spiegelgerade oder -achse.

Definition 2:

Fixpunkt Ein Punkt P heiBt Fixpunkt bei einer Abbildung q~ (z. B. bei Sg), wenn Urbild P und Bild P' zusammenfallen. formal: wenn P = q~(P) = P'

Bei der Geradenspiegelung Sg sind alle Punkte auf der Spiegelgeraden Fixpunkte. Weitere Fixpunkte gibt es nicht. Alle Geraden senkrecht zur Spiegelgeraden g werden bei der Geradenspiegelung Sg auf sich selbst abgebildet. In Analogie zu den Fixpunkten bezeichnen wir derartige Geraden als Fixgeraden.

Wie konstruieren wir das Bild Sg(P) = P' eines Punktes P (P ~ g) bei der Geradenspiegelung Sg ? -

Die Lotgerade 1 zu g durch Punkt P zeichnen.

-

Den Schnittpunkt von g und 1 mit S benennen.

-

Den Punkt P' auf 1 auszeichnen, ftir den gilt: I(P'S) = I(PS ) und P ' e P.

I

Gleichwertig: Wenn P ~ g, darm ist g die Mittelsenkrechte von PP'. Den Begriff der ,,Mittelsenkrechten" fiihren wir aber erst in Definition 3 ein, k6nnen itm hier also noch nicht regul/ir verwenden.

4.2.1 Definitionen und Eigenschafien der Kongruenzabbildungen

..e.-''y"

103

g

Zur Herleitung weiterer Eigenschaften der Geradenspiegelung (und anch weiterer, noch zu definierender Kongruenzabbildungen) reichen die bisher formulierten Axiome und die Defnition der Geradenspiegelung allein nicht aus. Wir formulieren daher zwei weitere Axiome:

SA 1:

Spiegelungsaxiom 1

A'... - "

Sei A ' = Sg(A) und B ' = Sg(B) Darwingilt: I(AB) = I(A'B')

...

B

g

Wir weisen an dieser Stelle daranf hin, dass SA 1

B'

nicht besagt, dass die Strecke A'B' das Bild der Strecke AB ist. Letzteres werden wir erst mit Satz lb sicherstellen.

SA 2:

Spiegelungsaxiom 2

.~

B

Sei A ' = Sg(A), B ' = Sg(B) und C' = Sg(C) Dann gilt: w(BA, BC ) = w(B'C',B'A') B'

Eigenschaften der Geradenspiegelung Spiegelt man zweimal nacheinander an derselben Geraden, so hat man den Ausgangszustand wieder hergestellt. Jede Geradenspiegelung Sg ist also Umkehrabbildung zu sich selbst. Solche Abbildungen, bei denen cp o cp gleich der identischen Abbildung id ist, nennt man involutorisch.

104

4 Abbildungsgeometrie

Satz la:

Bei der Geradenspiegelung Sg gilt ftir alle Punkte A, B der Ebene nz : B = Sg(A) ~ A = S g ( B ) Sg ist eine involutorische Abbildung.

Beweis: Nach der Definition von Sg gilt: B = Sg(A) __ __

~

A B Z g /, I ( A S ) = I ( B S ) mit: {S} = AB ~ g

~x

BALg A I(BS)=I(AS) A = Sg(B)

Satz lb:

.oB= Sg(A) ./

A = S,,(B)

g

Bei der Geradenspiegelung Sg ist das Bild einer Strecke AB wieder eine Strecke, namlich die Strecke A'B'. Dabei ist A' = Sg(A) und B' = Sg(B). Formalisiert lautet die Behauptung: Sg( AB ) = A'B' Dazu zeigen wir ftir alle P ~ E: P ~ AB <::> P' e A'B'

Beweis: Wir wissen, ... (a) nach Spiegelungsaxiom SA 1 gilt: I(AB) = I(A'B'), (b)L~ngenmaBaxiom Richtungen: P c AB r

LMA

1 gilt in beide

I(AB)=I(AP)+I(PB)

PVnt. g

Dann gilt: PeAB l(AB)

=I(AP)

+I(PB)

/ LMA 1

r

I ( A ' B ' ) = I(A'P' ) + I(P'B' )

/ dreimal SA 1

<==>

P'~ A'B'

/ L M A 1 (Riickrichtung)

Satz lb und Spiegelungsaxiom SA 1 garantieren uns, dass das Bild einer Strecke bei der Geradenspiegelung wieder eine Strecke ist, die ebenso lang wie die Urbildstrecke ist. Man sagt auch: Sg ist strecken- und ldngentreu.

4.2.1 Definitionen und Eigenschafien der Kongruenzabbildungen

105

In den S/itzen lc und ld formulieren wir Aussagen fiber die Bilder yon Halbgeraden und Geraden bei der Geradenspiegelung Sg.

Satz lc:

Bei der Geradenspiegelung Sg ist das Bild einer Halbgeraden AB wieder eine Halbgerade, n~imlich die Halbgerade A'B". Dabei ist A' = Sg(A) und B' = Sg(B). Formalisiert lautet die Behauptung: S g ( ~ ) = A't3' Dazu zeigen wir fiir alle P ~ I:: p E ~

<:> P' ~ A'B" g

Beweis:

Es gilt:

p,2 ~ ...... P~AB

..........

r

P e AB v B ~ AP

<:>

P ' ~ A'B' v B ' E A'P' / S a t z l b

r

P' E A'B"

P2

/Def. AB /Def. AB

P~' ..... A'6 .....

In Satz lc haben wir gezeigt, dass das Bild einer Halbgeraden AB die Halbgerade A't~' ist. Man sagt auch: Sg ist halbgeradentreu. Bei der Beweisfiihrung haben wir wesentlich auf die in Satz lb bewiesene Streckentreue zurfickgegriffen: Das Bild einer Strecke AB ist die Strecke A'B'.

Satz ld:

Bei der Geradenspiegelung Sg ist das Bild einer Geraden AB wieder eine Gerade, nfimlich die Gerade A'B'. Dabei ist A' = Sg(A) und B' = Sg(B). Formalisiert lautet die Behauptung: Sg(AB) = A'B' Dazu zeigen wir for alle P ~ IF: p E AB <=> P' E A'B'

Beweis:

Wir greifen die im vorangegangenen Satz erfolgreich angewandte Strategie auf und versuchen, die Behauptung mit Hilfe yon Satz lc zu zeigen. Mit anderen Worten versuchen wir also, die behauptete Geradentreue auf die Halbgeradentreue zurfickzufiihren.

106

4 Abbildungsgeometrie

Wir zeichnen auf der Geraden AB zwei (nicht disjunkte) Teilmengen aus, n~imlich die Punkt-

- - ~ A B ~1

menge AB und die Punktmenge B A . Die Vereinigung beider Punktmengen ist die Gerade AB:

AB~BA=AB

(1)

Dann gilt: PEAB

~-~

P ~ (AB ~ BA)

/ wegen(1)

r

P 9 AB v P 9 BA

/Def. der Vereinigungsmenge

r

P ' 9 A'B" v P ' 9 B'A"

/Satz lc

r r

P ' 9 (A't~' w B'A") P' 9 A'B'

/Def. derVereinigungsmenge / wegen (i)

Satz ld garantiert uns, dass das Bild einer Geraden bei der Geradenspiegelung Sg stets wieder eine Gerade ist. Man sagt auch: Sg ist geradentreu. Wir heben an dieser Stelle weitere Eigenschaften von Sg hervor, ohne sie ausdriicklich zu beweisen: g A' Bei tier Geradenspiegelung Sg wird ein Linkstripel (A, B, C) anf ein Rechtstripel (A', B', C') abgebildet, wobei A' = Sg(A), B' = Sg(B) und C' = Sg(C).

t r r't~~~S

B

C

C'

B'

Bei Sg wird ein Winkel a~(r, t) anf einen Winkel .~(t', r') abgebildet. Dabei stimmen die Winkelgr6Ben beider Winkel iiberein: w(r, t) : w(t', r') Man sagt: Sg ist winkeltreu.

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

Bei Sg wird ein Vieleck E~, E2, E3, ..., En auf ein Vieleck El', E2', E3', ..., En' abgebildet. Dabei haben Urbild- und Bildvieleck entgegengesetzten

E4

107

E4'

Umlaufsinn.

E2

E2'

Bei Sg werden zueinander parallele Geraden Pl, P2 auf ebenfalls zueinander parallele Geraden Pl', P2' abgebildet. Man sagt: Sg ist parallelentreu.

/ / / g

E3 g E3'

pl

Definition 3:

[p2' Mittelsenkrechte Unter der Mittelsenkrechten m einer Strecke AB versteht man diejenige Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt von AB geht. formal: m L AB /x I ( A M ) = I ( B M ) , w o b e i A B n m = {M} m

Bei der Geradenspiegelung Sg ist g Mittelsenkrechte von PP' 7

Mit Hilfe der bisher erarbeiteten Axiome, Definitionen und S~itze k6rmen wir nunmehr beweisen, dass ein Punkt P genau dann auf der Mittelsenkrechten m einer Strecke AB liegt, werm er yon A und B gleichen Abstand hat. Im Hinblick auf eine m6glichst pr~ignante Beweisfiihrung formalisieren wir die Behauptung in Satz 2 besonders stark: B

Satz 2:

Sei m die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Dann gilt: P~m r I(AP)=I(BP)

7 vgl. hierzu auch Definition 1

108

4 Abbildungsgeometrie

Beweis: ,,~" z.z.:

P~m

~

I(AP)=I(BP)

D a m Mittelsenkrechte yon AB ist, folgt mit der Definition der Geradenspiegelung A = SIn(B) und B = Sm(A) und da nach Voraussetzung P ~ m, folgt wieder mit der Definition der Geradenspiegelung Sm(P) = P 9 A

Dann gilt: P~m

M

i3

m

Sm(AP ) = BP

/ Satz lb

I ( A P ) = 1( B P )

/SA1

,,~"

(durch Kontraposition 8)

z.z.:

I(AP)=I(BP)

~

Kontraposition : P ~ m ~

Peru 1( AP ) ~ 1( BP )

Wenn P ~ m, dann sind hinsichtlich der Lage von P zwei F~ille m6glich: P kann dann in derselben Halbebene von m liegen, in der B liegt (Fall 1) bzw. in der A liegt (Fall 2). zu Fall 1: P

Liege P also in derselben Halbebene yon m wle B. Dann schneidet BP die Mittelsenkrechte rn nicht und AP schneidet m in einem Punkt R (R ~ m /x R ~ AP ). Mit Teil , , ~ " des Beweises folgt: R~m Dann gilt: 8

~

I(AR)=I(BR)

(*)

/ A

M m

B

Zum Beweis durch Kontraposition sei auf Gorski / Mfiller-Philipp 2008, Kapitel 0.4 hingewiesen.

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

m

_

_

109

m

I(BP) < I(BR ) + I(RP)

/ LiingenmaBaxiom LMA 2, da R ~ BP

I(BP) < I(AR) + I(RP)

/ wegen (*)

I(BP) < I ( A P )

/ L~ingenmal3axiom LMA 1, da R ~ AP

also: 1( AP ) e 1( BP ) Fall 2 zeigt man analog. Von Satz 2 werden wir insbesondere in Kapitel 5 mehrfach Gebrauch machen. Nur voriibergehend verlassen wir die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften, um weitere Abbildungen zu definieren.

Definition 4:

Verschiebung oder Translation V~:(s~) Die Verschiebung ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P' nach folgender Vorschrift zuordnet: PP'

ist richtungsgleich zu ST

und

I(PP') = I ( S T ) .

In der Notation V ~, I(~) gibt die Halbgerade ST die Richtung der Verschiebung, I(ST) die L~inge der Verschiebung an. In diesem Kontext sind V g~,3.1(~) und V ~ , 0,5.1ts~) Verschiebungen, bei denen die Liinge der Verschiebung vom Abstand der Punkte S und T auf ST abweicht. Stimmt hingegen die L~nge der Verschiebung mit dem Abstand der Punkte S und T auf der Halbgeraden ST fiberein, so schreibt man fiir V ~,l(~) auch kurz V ~ .

110

4 Abbildungsgeometrie

Wie konstruieren wir nun das Bild P' eines Punktes P bei der Verschiebung V ~,~) ? Die Halbgerade h zeichnen, die den Anfangspunkt P hat und die richtungsgleich zu ST ist. Denjenigen Punkt auf der Halbgeraden h mit P' bezeichnen, der yon P die Entfernung 1( ST ) hat.

/ pO Eigenschaften der Verschiebung Bei der Verschiebung V ~,l(g~) ist der Fall S = T zugelassen. Wir sprechen dann v o n d e r Nulh,erschiebung. Da jeder Punkt P dann auf sich selbst abgebildet wird, handelt es sich bei der Nullverschiebung tun die identische Abbildung id. Aus der Definition der Verschiebung geht hervor, dass Urbild- und Bildpunkt stets denselben Abstand voneinander haben. Falls V ~ , i~g~)nicht die identische Abbildung ist, gibt es bei der Verschiebung keine Fixpunkte. Demgegeniiber gibt es Fixgeraden: Alle Geraden, die parallel zur Geraden ST sind, werden durch V ~ auf sich abgebildet, sind also Fixgeraden. Die Umkehrabbildung der Verschiebung V~,t~g~)

ist die Verschiebung

V ~ , ~g). Im Gegensatz zum zweimaligen Nacheinanderausffihren der Geradenspiegelung Sg, stellt das zweimalige Ausffihren ein und derselben Verschiebung V ~ , Ic~) keineswegs den Ausgangszustand wieder her: Die Verschiebung ist also keine involutorische Abbildung.

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

111

Wir werden weiter unten beweisen9, dass jede Verschiebung durch die Nacheinanderausfiihrung (Verkettung) von zwei besonderen Geradenspiegelungen ersetzt werden kann. Aus diesem Sachverhalt leiten sich weitere Eigenschaften der Verschiebung her: S

Bei der Verschiebung werden Strecken auf gleich lange Strecke abgebildet (Abbildung 57a). V ~ ist strecken- und liingentreu.

D

T

E

D'

E'

Abb. 57a Bei der Verschiebung ist das Bild einer Geraden wieder eine Gerade (Abbildung 57b). V s/ ist geradentreu.

.....~ Q , Abb. 57b

Bei der Verschiebung werden zueinander parallele Geraden auf ebenfalls zueinander parallele Geraden abgebildet (Abbildung 57c). V ~ ist also parallelentreu.

~ / p ........ /

p,

Q,

Abb. 57c

Bei der Verschiebung werden Winkel auf gleich grol~e Winkel abgebildet (Abbildung 57d). V ~ ist winkeltreu. Bei der Verschiebung wird ein Vieleck Eh E2, E3, ..., En auf ein Vieleck El', E2', E3', .... En' abgebildet (Abbildung 57d). Dabei haben Urbild- und Bildvieleck gleichen

Umlaufsinn.

0 vgl. hierzu Satz 3

B Abb. 57d

B'

112

4 Abbildungsgeometrie

Definition 5:

Drehung DM,w(~)

~

Die Drehung DM,w{a) ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P' nach folgender Vorschrift zuordnet: a) Wenn P = M, dann P' = P. (Mist Fixpunkt.) b) Wenn P ~ M, dann ist P' so zu w/ihlen, dass gilt: w( M-P, M1~ ) = w(ct) und 1(~vIP ) = 1( ~ M

).

M heigt Drehpunkt und w(tz) mit 0 ~ _< w((x) < 360 ~ heiBt Drehmafl der Drehung.

Wie konstruieren wir das Bild P' eines Punktes P (P ~ M) bei der Drehung DM.w(a)? Die Halbgerade MP zeichnen und h nennen. Die Halbgerade k mit dem Anfangspunkt M zeichnen, fiir die gilt: w(h,k) = w((z). Denjenigen Punkt auf k mite' bezeichnen, der yon M die Entfemung l( Me ) hat.

Eigenschaften der Drehung Wenn w(ct) = 0 ~ haben wir die Nulldrehung, also die identische Abbildung id vorliegen. Fiir w(ct), 0 ~ gibt es auger dem Drehpunkt keine weiteren Fixpunkte. Nur ffir den Spezialfall w(ct) = 180~ gibt es Fixgeraden. Dies sind alle Geraden durch den Drehpunkt M. Die Umkehrabbildung der Drehung DM,w(~)ist die Drehung DM,360O_w(cL) .

4.2.1 Defmitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

113

Wir werden weiter unten beweisen l~ dass jede Drehung durch die Nacheinanderausfiihrung (Verkettung) zweier geeigneter Geradenspiegelungen ersetzt werden kann. ,Mmlich wie bei der Verschiebung leiten sich aus diesem Sachverhalt weitere Eigenschaften der Drehung her: DM,w(,~ )

ist strecken- bzw. lgngen-

B

treu

DM,w(~}ist winkeltreu.

A

C'

DM.w(~ ist geradentreu. DM,w(,) ist parallelentreu. DM,w(~) bildet das Vieleck El, E2, ... , E. auf das Vieleck EI',E2',E3', ... , En' ab. Dabei haben beide Vielecke gleichen Umlanfsinn.

D

E3,

M A'

'

Den Spezialfall der Drehung mit einem Drehwinkel der Gr6Be 180 ~ hebt man tinter dem Namen Punktspiegelung besonders hervor. Da diese Abbildung in der Schule oftmals als eigenst~ndige Abbildung betrachtet wird, im Regelfall vor der Behandlung der Drehung, wollen wir sie auch hier eigenst~ndig definieren.

Definition 6:

Punktspiegelung Sz Die Punktspiegelung Sz ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P' nach folgender Vorschrift zuordnet: a) Wenn P = Z, dann P' = P. (Z ist Fixpunkt.) b) Wenn P ~ Z, dann ist P' so zu wiihlen, dass gilt: P ' ~ P---Z und I ( Z P ) = I ( Z- -P5 ) und p ~ p , . l l Z heil3t Zentrum der Punktspiegelung Sz.

vgl. hierzu Satz 4 Alternativ k6nnten wir in (b) auch definieren: Wenn P r Z, dann ist P' so zu w/ihlen, dass Z Mittelpunkt yon PP' ist.

114

4 Abbildungsgeometrie

Analog zum Vorgehen bei den bisher eingefiihrten Abbildungen fragen wit wieder: Wie konstruieren wir das Bild P' eines Punktes P (P r Z) bei der Punktspiegelung Sz ? Die Gerade PZ zeichnen. Auf der Geraden PZ den Punkt P' markieren, fOr den gilt: P'r und I ( P ' Z ) = I ( P Z ) .

S Eigenschaften der Punktspiegelung Da die Punktspiegelung ein Spezialfall der Drehung ist (Sz = Dz. 180o),gelten die oben aufgelisteten Eigenschaften der Drehung auch ih- die Punktspiegelung. Zus~tzlich gibt es die schon aufgeffihrten Fixgeraden (Geraden durch das Zentrum Z). Ftir den allgemeinen Fall der Drehung haben wir herausgestellt, dass die

Drehung DM~360O.w(~0Umkehrabbildung zu DM,w~) ist. l~oertragen wir diese Aussage auf den Spezialfall Sz = Dz. 180o, so stellen wir lest, dass Sz Umkehrabbildung zu sich selbst ist. Die Punktspiegelung ist also wie die Geradenspiegelung eine involutorische Abbildung.

Wir haben in diesem Kapitel die Geradenspiegeltmg, die Verschiebung, die Drehung und die Punktspiegelung als Abbildungen definiert, uns jeweils fiberlegt, wie die Bilder bei diesen Abbildungen konstruiert werden und Eigenschaften dieser Abbildungen herausgestellt. Wir beenden dieses Kapitel mit der Einfiihrung einer letzten Abbildung, die aus der Nacheinanderausfiihrung zweier bereits defmierter Abbildungen entsteht.

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

Definition 7:

115

Schub- oder Gleitspiegelung G g,gf Sei g eine Gerade und ST eine Halbgerade mit ST II g. Die Nacheinanderausfiihrung (Verkettung) der Geradenspiegelung Sg nach der Verschiebung V gf heiBt Schuboder Gleitspiegelung G g. ~ . Gg,~ = Sg oVg~ (gelesen: ,,Sg nach V s~ oder ,,Sg verkettet mit V g~ Die Gerade g heiBt Schub- oder Gleitspiegelungsachse. S

T C*

......;,... ,,~:,, r

B

'.... ....: '..~

A* ..................~ B*

A' ~ C '

B'

Abb. 58 Wir verzichten auf die Angabe einer Konstruktionsvorschrift, da die Schubspiegelung aus der Verkettung einer Verschiebung und einer Geradenspiegelung besteht, ~ r die wir die Konstruktionsvorschriften kennen. Als Verkettung einer Bewegung und einer Umwendung ist die Gleitspiegelung eine Umwendung. Der Umlaufsinn einer Figur kehrt sich um (vgl. Abbildung 58). Fixpunkte gibt es keine, die Spiegelachse gist die einzige Fixgerade. Wie alle anderen bisher beschriebenen Abbildungen ist auch die Schub- oder Gleitspiegelung geradentreu, parallelentreu, Idngentreu und winkeltreu.

Wegen dieser Eigenschaften werden Figuren durch diese Abbildungen in kongruente, also deckungsgleiche Figuren/iberfiihrt. Deshalb nennt man die

116

4 Abbildungsgeometrie

Abbildungen Geradenspiegelung, Verschiebung, Drehung, Punktspiegelung und Gleitspiegelung Kongruenzabbildungen. Detailliert werden wir auf diese Vorab-lnformation in Kapitel 4.2.4 eingehen. Bei der Gleitspiegelung spielt es keine Rolle, ob man zun~ichst verschiebt und anschlieBend spiegelt - wie in Abbildung 58 - oder ob man erst spiegelt und dann verschiebt ~2. Den Beweis dieses Sachverhalts ftihren wir an dieser Stelle nicht, weisen jedoch darauf hin, dass er leicht mit Hilfe von Satz 3 gelingt.

Ubung:

1) Geben Sie ftir jede Abbildung alle Drehungen (mit Drehpunkt und DrehmaB) an, die die Figuren auf sich selbst abbilden.

2) Geben Sie ffir die Figuren aus (1) alle Geradenspiegelungen an, die die Figuren auf sich selbst abbilden. 3) Finden Sie Firmenzeichen (Logos) bekarmter Firmen, die durch (a) eine bzw. (b) mehrere Kongruenzabbildungen auf sich selbst abgebildet werden. Zeichnen Sie jeweils die charakteristischen Parameter dieser Abbildungen in die Firmenzeichen ein. 12

Im Allgemeinen ist bei der Hintereinanderansffihrung von Abbildungen die Reihenfolge nicht gleichgiJltig.

4.2.1 Definitionen und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen

117

4) Zeigen Sie an einem Beispiel Ihrer Wahl, dass bei der Hintereinanderausfiihrung von Abbildungen die Reihenfolge nicht gleichgiiltig ist. 5) a) Welches ist die ldeinste Grundfigur, aus der sich die Muster durch Verschiebung erzeugen lassen?

b) Geben Sie alle Abbildungen an, die die Muster auf sich selbst abbilden. 6) Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenl~inge 4 cm und beschriften Sie die Eckpunkte entgegen dem Uhrzeigersinn mit A, B und C. a) Fiihren Sie mit diesem Dreieck die Drehung Dc,120o aus. b) Ffihl'en Sie am Ausgangsdreieck nacheinander die Geradenspiegelungen SCA und ScB aus. Nun miisste Ihnen etwas auffallen. 7) Zeichnen Sie das Dreieck aus (6) noch einmal. a) Fiihren Sie mit diesem Dreieck die Drehung Dc,6oo aus. b) Welche beiden Geradenspiegelungen miissen Sie nacheinander ausftihren, damit Analoges zu (6.b) anffiillt?

118

4.2.2

4 Abbildungsgeometrie

Verkettung von Kongruenzabbildungen

Wir tiberlegen, wetche Abbildungen erltstehen, wenn Geradenspiegelungen miteinander verkettet werden. Zun/ichst betrachten wir zwei verschiedene Geraden a und b. Fiir die Lage von a und b gilt a IIb oder a n b = {P}. Wir beginnen mit zueinander parallelen Geraden und fragen: Durch welche Ersatzabbildung kann die Nacheinanderausfiihrung zweier Geradenspiegelungen Sb o Sa an zueinander paralMen Geraden ersetzt werden? Hinfiihrung zu Satz 3: Aufgabe: Zeichnen Sie zwei zueinander parallele Geraden a und b sowie ein Dreieck XYZ. a) Ftihren Sie nacheinander die Abbildungen S~ und Sb aus. Ffir diese Verkettung oder Nacheinanderausftihrtmg zweier Geradenspiegelungen schreibt man auch Sb o Sa, gelesen: ,, Sb nach S~" oder auch ,, Sb verkettet mit S," . b) 13berlegen Sie anschieBend, durch welche Ersatzabbildung Sie die Verkett u n g S b o Sa ersetzen k6nnten. L6sung:

III

z .............................................. Z'. .......................................................... z "

y

Abb. 59

;;.................J..........

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

119

Wir iiberlegen: In Abbildung 59 wird Dreieck XYZ (kurz: AXYZ) durch Sa auf AX'Y'Z' abgebildet, der Umlaufsinn/indertsich. Danach wird AX'Y'Z' durch Sb auf AX"Y"Z" abgebildet, der Umlaufsinn /indert sich ein zweites Mal, stimmt also mit dem Umlaufsinn der Ausgangsfigur wieder tiberein. Die Ersatzabbildung, die AXYZ direkt auf AX"Y"Z" abbildet, muss also eine Bewegung (Verschiebung, Drehung) sein. Geradenspiegelung und Gleitspiegelung ~indem den Umlaufsinn, scheiden also als Ersatzabbildung an dieser Stelle aus. Wir betrachten nun die Punkte Y, Y' und Y" in Abbildung 59. Alle drei Punkte liegen auf der zusfitzlich in die Darstellung aufgenommenen Geraden 1 (mit 1.1_a /x 1_1_b), die die Geraden a und b in A und B schneidet. Y und Y' sind 2.1(AY' ) voneinander entfemt. Y' und Y" sind 2.1( Y'B ) voneinander entfemt. Dann betrfigt die Entfernung yon Y und Y" 2.1(AY')+2.1(Y'B) = 2 . ( I ( A Y ' ) + I ( Y ' B ) ) = 2.1(AB). Der Punkt Y wird also durch Sb o Sa um 2.1(AB) in Richtung der Halbgeraden AB verschoben. Dabei ist 2.1(AB ) genau das Doppelte des Abstandes der Geraden a und b. Offensichtlich lassen sich diese Uberlegungen analog auf die Punkte X, X', X" bzw. Z, Z', Z" aus Abbildung 59 iibertragen. Wir halten fiir dieses Beispiel fest: Sind die Geraden a und b zueinander parallel, so k6nnen wir Sb ~ Sa durch eine Verschiebung ersetzen. Die Richtung dieser Verschiebung wird durch die Halbgerade AB bestimmt; ihre L~inge betr~igt 2.1( AB ), also das Doppelte des Abstandes der Geraden a und b. Wir formulieren den am Beispiel gefundenen Zusammenhang in Satz 3.

120

Satz

4 Abbildungsgeometrie

3:

Es seien a und b Geraden mit a[I b, P sei ein beliebiger Punkt der Ebene und I eine Gerade durch P mit 1 Z a. Femer sei I c~ a = {A} und 1 ~ b = {B}. Darm gilt: Die Verkettung der Geradenspiegelungen Sb o Sa ist die Verschiebung V AB,2 I(AB) "

Beweis:

Es gilt: P ' = Sa(P) /x P" = Sb(P') Wir betrachten Sb o Sa (P) = Sb (Sa (P)) = Sb(P') = P" Nach Spiegelungsaxiom SA1 und der Definition von Sg gilt: I ( P A ) = l ( P ' A ) /x I ( P ' B ) = I ( P " B ) , sowie PP' _1_a ^ P ' P " _[_b . -

W e i l a 11 b und l • auf der Geraden I.

liegenP, P ' u n d P "

-

P" geht also aus P durch eine Verschiebung in Richtung PP" hervor, wobei PP" richmngsgleich zu AB ist.

Wir untersuchen nun die L~inge dieser Verschiebung. Die Anwendung des L~ingenmaflaxioms LMA1 und die mehrfache Anwendung der Definition von Sg liefern: I(PP") = 2 I(AP') + 2 I(P'B) = 2 (I(AP') + I(P'B)) = 21(AB) Dieser Zusammenhang gilt auch, wenn P zwischen a und b liegt ...

1,xP"

I(PP")

= I(P'P")= 2 I(BP')-

I(PP' ) 2 l(P'A)

= 2 (l(aP')-l(P'A)) = 2 I(AB)

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

121

... und auch wenn P auf der anderen Seite von b liegt: m

I(PP") = l ( P ' P " ) -

I(PP')

= 2 I(BP')- 2 I(P'A) = 2 (l(BP')-

l ( P ' A ))

= 2 I(AB) ... und auch wenn P = A oder P = B, was wir hier nur fiir den Fall P = A zeigen. Das Vorgehen l~isst sich analog auf den Fall P = B iibertragen.

~

m

I(PP") = I ( P " B ) + l ( A B ) p=p'

= I(AB) + l(AB) = 2 I(AB)

Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Geraden kann also stets durch eine Verschiebung ersetzt werden (vgl. Abbildung 60a). Umgekehrt 1/isst sich jede Verschiebung als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen auffassen: Dabei sind die Geraden dieser Spiegelungen zueinander parallel und senkrecht zur Tr~igergeraden der Verschiebungshalbgeraden. Ihr Abstand ist halb so groB wie die L~inge der Verschiebung. Unter diesen Bedingungen kann die erste Gerade frei gew~ihlt werden. Danach ist allerdings die Richtung der Verschiebung zu beachten (vgl. Abbildung 60b). Die Reihenfolge der Geradenspiegelungen ist n~imlich nicht vertauschbar: Sa o Sb ist die Umkehrabbildung (Gegenverschiebung) von Sb ~ Sa 9

Abb. 60a

Abb. 60b

122

4 Abbildungsgeometrie

Wir betrachten nun die Verkettung zweier Geradenspiegelungen, deren Geraden nicht zueinander parallel sind und fragen: Durch welche Ersatzabbildung k6nnen wir die Nacheinanderausftihnmg zweier Geradenspiegelungen Sb o Sa ersetzen, deren Achsen sich in einem Punkt M schneiden? Hinfiihrung zu Satz 4:

Aufgabe: Zeichnen Sie zwei Geraden a und b, die sich in einem Punkt M schneiden, sowie ein Dreieck AXYZ. a) Konstruieren Sie das Bilddreieck AX"Y"Z" yon AXYZ bei der Verkettung S b o Sa. b) Uberlegen Sie anschieBend, durch welche Ersatzabbildung Sie die Verkettung Sb o Sa mit a n b = {M} ersetzen k6nnen. L6sung:

Y"

, 4 [ bl

/

...... ................................ ...........................

y!

X" [

.... X'

,.

X

Abb. 61

y

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

123

In Abbildung 61 wird AXYZ durch Sa auf AX'Y'Z' abgebildet, danach wird AX'Y'Z' durch Sb auf AX"Y"Z" abgebildet. Dabei ~indert sich zweimal der Umlaufsinn; Urbild und Bild haben also nach der Ausffihrung von Sb o S, gleichen Umlaufsinn. Als Ersatzabbildung fiir Sb o Sa kommen also nur die Bewegungen Drehung oder Verschiebung in Betracht. Die Verschiebung k6nnen wir ausschliegen, da wir schon per Augenschein erkennen, dass nicht alle Urbildund Bildpunkte gleich weit voneinander entfemt sind. Es bleibt offensichtlich die Drehung um M iibrig - aber:

Wie grog ist das Drehmag der Drehung um M? Wir betrachten die Punkte X, X' und X" in Abbildung 61 ~3. In die Uberlegungen beziehen wir die auf a und b ausgezeichneten Halbgeraden ein. Dann gilt: X

s~ > X ' , a l s o w ( ~ , a 0

X'

Sb } X,,,alsow(Mi~,,b0=w(bbMX,',),dennSgistwinkeltreu.

=w(aj,MX"),dennSgistwinkettreu,

Dann folgt: w( M)~, MX" ) = w( M)~ ,al) + w(al, MX" ) + w( MX" ,b,) + w(bl, MX:' ) = 2. [ w(ai, MX" ) + w( MX" ,bj) ] = 2" w(abbl) Das gesuchte Drehma$ der Drehung um M i s t also doppelt so grog wie die Gr6ge des Winkels <~(abbl), den die auf a und b ausgezeictmeten Halbgeraden bilden. Die gesuchte Ersatzabbildung ist also die Drehung D M,2.w(al,bl)

"

Wir formulieren diese am Beispiel gefundene Erkenntnis in Satz 4.

Satz 4:

Es seien a und b zwei Geraden mit dem gemeinsamen Punkt M. Dann gilt: Die Verketttmg der Geradenspiegelungen Sb o Sa ist die Drehung D M.2.w(a,.bI) "

13 Diese Uberlegungen gelten analog ffir Y, Y', Y" und Z, Z', Z".

124

4 Abbildungsgeometrie

Formal:

Sb ~ Sa = D M,2.w(al,b 0

,

wobei

al: Halbgerade a u f a mit Anfangspunkt M und ba: Halbgerade a u f b mit Anfangspunkt M

Beweis:

z.z,:

FOx alle Punkte P der Ebene mit P ~ M gilt:

1. I ( M P ) = I ( M P

'')

P'~..................... f btQP'

2. w ( M P , M P " ) = 2 9 w(at,bl)

...-""~

aI

zu (1): Es gilt: P ' = Sa(P) /x P" = Sb(P') D a n n folgt: I(MP)

= I(MP')

/SA1

= I(MP" )

/ SA1

1( M P ) = 1( M P " )

/ Trans. von " = "

zu (2): Fiir das WinkelmaB des Winkels r bl) k6nnen zwei F~ille unterschieden werden, v o n denen Fall 1 zwei Sonderfdlle einschlieBt, a u f die wir nach d e m Beweis n o c h eingehen werden: 1. Fall: 0 ~ _< w ( a h b 0 < 180 ~ 2. Fall: 180~ w ( a b b l ) < 360 ~ W i r beweisen hier nur den wichtigen ersten Fall TM. Sei also 0 ~ < w ( a l , b 0 < 180 ~ D a n n gilt: w( M---P, M P " ) = w( M--P ,aj) + w(at, M - - 'P~ ) + w( M - - 3P ,bl) + w(bl, M P ' ) / WMA 2 = 2 w(al, M P ' ) + 2 w ( M P ' , b l )

/SA2

= 2 [ w ( a b MP") + w(MP---;,b0 ] = 2- w(abb0

/ WMA 2

Fiir alle P ~ IF\{M} gilt also Sb ~ Sa = D M.2.w(a~.b,) 9 W e n n nun P = M gilt wegen {M} = a n b auch Sb(M) = M A Sa(M) = M, also auch (Sb ~ Sa)(M) = M = D M.2.w(a.b0 und es folgt die Behaupttmg.

14 Fall 1 garantiert uns, Drehungen mit einem DrehmaB 0 ~ < w(oQ < 360 ~ als Verkettung zweier Geradenspiegelungen darzustellen.

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildtmgen

125

Der Beweis von Satz 4 schlieBt zwei Sonderf~ille ein: Im Sonderfall w(al,b0 = 90 ~ wenn also die Spiegelgeraden a und b einen rechten Winkel miteinander bilden, gilt Sb~ Sa =DM.2.90 o= DM,180o =SM. In diesem Fall ist die Verkettung Sb o Sa also eine Punktspiegelung, die den Schnittpunkt der beiden Geraden als Spiegelzentrum hat. Im Sonderfall w(al,bj) = 0 ~ wenn also die Spiegelgeraden a und b aufeinander fallen, gilt Sb o Sa =DM,2.0o=DM.0 o = i d . Mit der Verkettung Sb o Sa haben wir also in diesem Fall die Nulldrehung bzw. die identische Abbildung id vorliegen. Wir wollen aus den Siitzen 3 und 4 zwei einfache Folgerungen ziehen, auf die wir weiter unten mehrfach zur/ickkommen werden. Wir fragen: Unter welchen Voraussetzungen kann die Verkettung yon zwei Geradenspiegelungen Sh o Sg durch die Verkettung Sr o Se ersetzt werden? Folgerung aus Satz 3

]g[h

[e

I 1

[

TG IH

IE

Abb. 62

f

Voraussetzungen 1: Wir betrachten zun/ichst zueinander parallele Geraden g, h, e, f. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Lotgeraden 1 (1 3_ g) seien die in Abbildung 62 markierten Punkte G, H, E, F.

-- Femergelte:l(Gn)=l(EF) 'F

DanngiltnachSatz3: Sh o Sg = V ~ , 2.1(c~) und Sf o Se = V E~.2.1(E-~) "

Da GH richtungsgleich zu EF ist und weil wegen der Voraussetzung 1( GH ) = 1( EF ) auch 2.1( GH ) = 2.1( EF ) gilt, stimmen beide Verschiebungen iiberein. V oF, 2.1(o~) und V ~, 2.1(k~) sind also zwei unterschiedliche Darstellungen ftir ein und dieselbe Verschiebung. Mit

126

4 Abbildungsgeometrie

der Symmetrie und Transitivit/it der Gleichheitsrelation folgem wir, dass dann auch Sh ~ Sg = Sf o Se gilt. Antwort 1: Wir k6nnen die Verkettung der Geradenspiegelungen Sh o Sg mit g ][ h durch die Verkettung der Geradenspiegelungen Sf o Se ersetzen, wenn sich das Geradenpaar (e, f) durch eine Verschiebung des Geradenpaares (g, h) erzeugen l~isst. Etwas salopper: Wir k6nnen das Geradenpaar (g, h) beliebig verschieben, ohne dass sich die durch Sh o Sg festgelegte Verschiebung ~indert.

Folgerung aus Satz 4

Voraussetzungen 2:

el

~f~

/hi g'

Wir betrachten die Geraden g, h, e, f, die sich alle in Punkt M schneiden. Auf g, h, e, f seien - wie in Abbildung 63 dargestellt - die Halbgeraden gl, hi, el, fl mit dem gemeinsamen Anfangspunkt M ausgezeichnet. Ferner gelte: W(gl,h0 = w(ebfl)

g

/h

Abb. 63

\e

\f

Dann gilt nach Satz 4: Sh o Sg = DM,2.w(gl,h0 und Sf o Se = D M,2.w(el,fl).

Beide Drehungen stimmen im Drehpunkt M fiberein. Wegen der Voraussetzung w(gbh0 = w(ebf0 gilt auch 2.w(gbh0 = 2"w(ebfl). Damit stimmen beide Drehungen in Drehpunkt und DrehmaB /iberein. DM,2.w(gt,ht) und D M,2.wteJ,) sind also zwei verschiedene Konkretisierungen ein und dersel-

ben Drehung 15. Mit der Symmetrie und Transitivit/it der Gleichheitsrelation folgern wir, dass darm auch Sh o Sg = Sf o Se gilt. Antwort 2: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sh o Sg kann durch die Verkettung der Geradenspiegelungen Sf o Se ersetzt werden, wenn g und h

~5 Wir k6nnten diese Drehung etwa DM, w(~) nennen, werm wir einen entsprechenden Winkel tx in unsere Abbildung aufgenommen h/itten.

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

127

denselben Schnittpunkt wie e mad f haben und wenn g und h einen Winkel der gleichen Gr613ewie e und f miteinander bilden~6. Etwas salopper: Wir k6nnen das Geradenpaar (g, h) um M drehen, ohne dass sich die durch Sh o Sg festgelegte Drehung/indert.

Der Dreispiegelungssatz

Auf den n/ichsten Seiten werden wir der Frage nachgehen, durch welche Abbildung die Verkettung dreier Geradenspiegelungen S~ o Sb o S, ersetzt werden kann. Hinsichtlich der Lage der Geraden a, b und c k6nnen die folgenden F~ille unterschieden werden: 1. / / / a b c

mit den Sonderfiillen

/ a=b

/ c

mit dem Sonderfall

//~ a b=c

/ a=b=c

a l[ b II c 2.

a

b

c

a~b~c 3.

J

//

a

= {S} J

r

4.

~/,f'

A b

allb Ac~fa

a

b

at~b, b}~c, c ~ a

A a~b~c=O

Genauer: ,,...wenn die auf g und h ausgezeichneten Halbgeraden gl, hi einen Winkel der gleichen Gr6ge miteinander bilden wie die auf e und f ausgezeichneten Halbgeraden el, fl ."

128

4 Abbildungsgeometrie

Wir betrachten zun~ichst diejenigen Verkettungen S~ o Sb o S, , bei denen alle Spiegelgeraden parallel zueinander sind (Fall 1) bzw. genau einen Schnittpunkt haben (Fall 2) und werden das Ergebnis dieser Oberlegungen in den S~itzen 5 und 6 formulieren. Fiir die oben herausgestellten Fiille 3 und 4 werden wir in Satz 8 eine Aussage herleiten.

Hinfiihrung zu Satz 5:

Wir betrachten Sc o Sb ~ Sa mit a I[b 11c. Durch welche Ersatzabbildung k6nnen wir Sc o Sb o Sa ersetzen? In Abbildung 64a wird das Dreieck AXYZ nacheinander an den Geraden a, b und c gespiegelt: AXYZ

s. > AX*Y*Z*

I

sh > AX**Y**Z**

s~ > AX'Y'Z'

F-]

t

Das Bilddreieck AX'Y'Z' hat einen anderen Umlaufsirm als das Urbild AXYZ, die gesuchte Ersatzabbildung k6nnte also eine Geradenspiegelung oder eine Gleitspiegelung sein.

d X

Z

Z*

Y

y* A

C X*

p,

X** Z**

Z'

X

y,

y**

X'

C

B C

Abb. 64a Nach der Folgerung aus Satz 3 k6nnen wir S b o Sa durch ein anderes Paar Geradenspiegelungen ersetzen (vgl. Abbildung 64b). Dabei miissen die Geraden des neuen Paares den gleichen Abstand voneinander haben wie a und b

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

129

und sie miissen parallel zu a und b sein, sie miissen sich also durch Verschiebung des Paares (a, b) erzeugen lassen.

X

Z

Y C

:A d

C

Abb. 64b In Sc o Sb o Sa ersetzen wir also Sb o Sa durch Sc o Sd und erhalten damit Sr o Sr o Sd. Nach Satz 1 wissen wir, dass die Geradenspiegelung eine involutorische Abbildung ist, also Umkehrabbildung zu sich selbst. In So o Sc o Sd ist also Sc o Sr die identische Abbildung und wir erhalten schlieBlich als gesuchte Ersatzabbildung: Sc o Sb o Sa = Sd 9 (~ k_

X

Z

Z'

Y

y,

X'

7

Q

C

D

i

d

c

Abb. 64c

Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen S~ o Sb o Sa, deren Achsen alle parallel zueinander sind, ist also eine Geradenspiegelung Sd (vgl. Abbildung 64c). Dabei ist d parallel zu a, b undc. Wir formulieren die in der Hinffihrung gewonnene Erkenntnis in Satz 5.

130

4 Abbildungsgeometrie

S a t z 5:

Dreispiegelungssatz (Teil a) Seien a, b, c zueinander parallele Geraden. Darm ist die Verkettung Sc o Sb o Sa eine Geradenspiegelung Sd. Dabei ist d parallel zu a, b und c. Sc o Sb o Sa = Sd

mit a II b II c It d

Konstruktion y o n d 1. Die parallelen G e r a d e n a, b, c zeichnen, 2. Eine Lotgerade 1 zu a zeichnen. 3. Die entstandenen Schnittpunkte nacheinander mit A, B, C bezeichnen. 4. Punkt D a u f I zeichnen, so dass gilt: A B ist richtungsgleich zu DC und

a

b

d

c

]D

ic

1 ~

1 ( ~ ) = I(D-C). 5. Die G e r a d e d durch D mit dllc zeichnen.

!A

Beweis: Sei 1 eine Lotgerade zu a mit 1 n a = {A}, l c~ b = {B}, 1 ~ c = {CI. F e m e r sei d eine Parallele zu c m i t l c~ d = {D}, DC richtungsgleich zu A B --

m

tend

1( DC ) = 1( A B ). D a n n gilt: ScoSb ~

= Sc ~

/ A G fiir "o" von A b b i l d u n g e n

~

= ScoV--

--

AB, 2.1(AB)

=

Sc o V ~ , 2 . 1 ( ~ , )

/ Satz 3, da a [I b / Vorauss.; Folg. aus Satz 3

= Soo(SooSd)

/ S a t z 3, d a d I1 c

= (S~oS~)oSd

/ A G ~ir "o" von A b b i l d u n g e n

= Sd

/ Satz 1, Sg o Sg = id

Hinfiihrung zu Satz 6: W i r b e t r a c h t e n S~

o Sb o Sa

mit a c~ b c~ c = {M}.

D u r c h welche Ersatzabbildung k6nnen wir S~ o

S b o Sa

ersetzen?

In A b b i l d u n g 65a wird das Dreieck A X Y Z nacheinander an den Geraden a, b und c gespiegelt:

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

AXYZ

s,

>

AX*Y*Z*

s,

>

131

AX**Y**Z**

s~

AX'Y'Z'

>

Das Bitddreieck AX'Y'Z' hat einen anderen Umlaufsinn als das Urbild AXYZ, die gesuchte Ersatzabbildung k6nnte also eine Geradenspiegelung oder eine Gleitspiegelung sein.

C

Z'

~ cl

' illlllllli---i ............ z**

u'TM

y1

C

X

Abb. 65a In Sc ~ Sb o Sa stellt

Sb

o Sa

z

a,

y

v-~

nach Satz 4 die Drehung DM.2.w(a,.b0dar.

Nach der Folgerung aus Satz 4 k6nnen wir Sb o Sa auch dutch die Verkettung zweier anderer Geradenspiegelungen darstellen, wenn deren Geraden sich ebenfalls in M schneiden und die auf ihnen ausgezeichneten Halbgeraden einen Winkel gleicher Gr6Be miteinander bilden, wie die entsprechenden auf a und b ausgezeichneten Halbgeraden. In Sc ~ Sb ~ Sa ersetzen wir Sb o Sa durch Sc o Sd und erhalten Sc ~ Sc o Sd (Abbildung 65b). Nach Satz I wissen wir, dass die Geradenspiegelung eine involutorische Abbildung ist. I n S ~ o S~ o Sd istS~o S~also die identische Abbildung id und wir erhalten: S~ o Sb o S. = Sa.

J

. . . .

M C

Abb. 65b

132

4 Abbildungsgeometrie

A ?

iii

: .... ...........

d

'

-

-

X

Abb. 65c

Y

Die Verkettung der Geradenspiegelungen So o Sb o S a ' deren Geraden sich in einem Punkt M schneiden, ist also eine Geradenspiegelung Sd (vgl. Abbildung 65c). Dabei geht d ebenfalls durch M. Wir formulieren die in dieser Hinf/ihrung gewonnene Erkenntnis in Satz 6.

Satz 6:

Dreispiegelungssatz (Teil b) Seien a, b, c Geraden, die sich in einem Punkt M schneiden. Dann ist die Verkettung Sc o Sb o Sa eine Geradenspiegelung Sd. Dabei geht die Achse d ebenfalls durch M. ScoSb oSa=Sd m i t a ~ b n c ~ d = { M }

Konstruktion yon d:

G1

1. Den Punkt M festlegen. 2. Die Geraden a, b, c durch M zeichnen und auf ihnen die Halbgeraden at, bi, cl mit Anfangspunkt M auszeichnen. 3. Die Halbgerade d~ mit Anfangspunkt M zeichnen fiir die gilt: w(dbc0 = w(al,bt) oder w(cl,d0 = -w(al,bl) 4. Die Tr~igergerade d zu dl zeichnen.

bL "al

a

b dc

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

133

Beweis: Seien al, bt, ci Halbgeraden aufa, b, c mit gemeinsamem Anfangspunkt M. Dann gilt:

Sc o Sb o Sa = Sc o DM,2.w(al,bl ) =

Sc o DM,2.w(d),c0

=S~o(S~oSd) = (Sco

S c ) o Sd

= Sd

/ Satz 4, da a n b : {M} , wobei dl Halbgerade mit Anfangspunkt M und w(dl,cl) = w(abb0; (vgl. Folgerung aus Satz 4) / Satz 4, wobei d Tr~igergerade von dl / AG fiir "o" yon Abbildungen / Satz la; Sg o Sg = id

Die Aussagen der bewiesenen S~itze 5 und 6 werden in der Regel zu einem Satz, dem Dreispiegelungssatz, zusammengefasst:

S~itze 5 und 6:

Dreispiegelungssatz Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen, deren Geraden sich in genau einem Punkt schneiden oder die alle parallel zueinander sind, ist eine Geradenspiegelung: S~oSb oS~=Sd

mit a ~ b ~ c n d =

{M} oder a [[b [[c ][d.

In dieser Form stellt der Dreispiegelungssatz lediglich die Existenz einer Ersatzspiegelung Sd sicher. Die in Satz 7 vorgenommene Umformulierung des Dreispiegelungssatzes gibt dariiber hinaus Hinweise auf die Lage der Geraden. Abbildung 66b veranschaulicht die Lage der Geraden d und d' ~ r den Fall a n b n c = {M}, Abbildung 66a •r den Fall a II b II c. aT Sd' 0 Sc Sb 0 S a

S~ oSd

b

;

c

,,'"

b a

'd' -'~'M

Abb. 66a

~,~ o

] o

: 'd

c

Abb. 66b

'

a

134

4 Abbildungsgeometrie

Satz 7:

GiltfiirdreiGeraden dann gibt es stets

anb~c=

{M} oder a [I b l[ c,

I. eineGeraded, sodass

Sb ~

II. eine Gerade d', so dass

Sb o Sa = Sd' o S~ .

= Sc~

und

Beweis:

Voraussetzung: a ~ b ~ c = {M} oder a 1[ b I1 c zuI. Wenden wir den Dreispiegelungssatz auf die Verkettung Sc o Sb o Sa an, was wir laut Voraussetzung d/irfen, so folgt: Sc o Sb o Sa = Sd

Verkniipfen wir beidseitig links mit Sc, so erhalten wir: Sc o Sc o Sb o Sa

= Sc o Sd

(So o So) o Sb o Sa = S~ o Sd ::~

Sb o Sa

= Sc o Sd

/ AG fiir ,,o" von Abbildungen (*)

/ Satz la; Sg o Sg = id

zu II. Wenden wir den Dreispiegelungssatz auf die Verkettung S b o Sa o Sc an, was wir nach Voraussetzung diirfen, so folgt: Sb~

oS~=Sd,

Verknfipfen wir beidseitig rechts mit S~, so erhalten wir: Sb~176

~

= Sd'~

Sb o Sa o (So o S0) = Sd' ~ S0 Sb~

= Sd'~

/ (AG ftir ,,o" von Abbildungen) (**) / S a t z l a ; S g o S g = i d

Aus (*) und (**) folgt die Behauptung.

Hinfiihrung zu Satz 8

Nachdem wir im Dreispiegelungssatz geklfirt haben, dass sich die Verkettung von drei Geradenspiegelungen, deren Geraden sich alle in einem Punkt schneiden bzw. alle parallel zueinander sind, durch eine Geradenspiegelung ersetzen l~isst, betrachten wir die zu Beginn dieses Unterkapitels herausgestellten F/ille 3 und 4 und fragen:

4.2.2 Verkettung von Kongruenzabbildungen

135

Durch welche Ersatzabbildung 1/isst sich die Verkettung von drei Geradenspiegelungen Sc o Sb o Sa ersetzen, deren Geraden nicht den Bedingungen des Dreispiegelungssatzes geniigen? Wir werden in Satz 8 behaupten, dass die Verkettung derartiger Gemdenspiegetungen eine Gleitspiegelung ist. Bei Betrachtung der Geraden a, b, c und den auf ihnen ausgezeichneten Halbgeraden a~, bl, c~ scheint diese Behauptung jedoch gar nicht nahe zu liegen. Wir versuchen diesen Zusammenhang zun/ichst unter lockerer Heranziehung der Beweisidee zu verstehen. Dabei werden wir intensiven Gebrauch yon Satz 7 (bzw. der Folgerung aus Satz 4) machen.

In Sr o Sb o S~ stellt Sb ~ S~ eine Drehung um P mit dem DrehmaB 2.w(al,b0 dar, die wir nach der Folgerung aus Satz 4 auch durch ein geeignetes anderes Geradenpaar ersetzen k6nnen.

Cl

C

\

Anders argumentiert: Nach Satz 7 gibt es zu a, b und b' eine Gerade a', so dass

b I I

Sb o Sa = Sb, o Sa, "

Dabei wahlen wir b' demrt, dass b' _1_c.

\ aI

,..."

ci

--

.:"

Also: Sc o ( S b o Sa ) =

\

Q] b'

Sc o ( S b, o S a , ) ,

wobei fiir die Halbgeraden al', bl' auf a', b' gilt: w(at',bl') = w(abbl).

"

Wir nutzen die Assoziativit/it von Abbildungen und klammern um: Sc o (S b, o Sa,) = (S c o Sb,) o Sa,

Wir lassen a' unvcr/indcrt. S0 o Sb, stcllteine Drchung urn Q urn 180 ~ dar. Wie oben kann auch diese Drehung wieder dutch ein anderes

136

4 Abbildungsgeometrie

zueinander senkrechtes Geradenpaar ersetzt werden, dessen Schnittpunkt ebenfalls Q ist. '~

~ja~' i

a' ........~

i*

Anders argumentiert: Nach Satz 7 gibt es zu c, b' und c' eine Gerade b", so dass Sc o Sb' = Sb,, o Se. Dabei w/ihlen wir c' derart, dass c' [I a'. Wir erhalten sehlieglich: (S c o Sb,) o Sa, = (Sb,, o So,) o Sa, = Sb" o (se o s~,) = Sb,. o V a~,2.1(R~) = G b".RQ.2.1(RQ)

Wir fassen die gewonnene Erkenntnis in Satz 8 zusammen. Satz 8:

Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen Sr o Sb ~ Sa an Geraden, die den Voraussetzungen des Dreispiegelungssatzes nicht gentigen, ist eine Gleitspiegelung.

Konstruktion 1. Die Geraden a, b, c mit a ~ b = {P} zeichnen. 2. Die Senkrechte b' zu c durch P zeichnen; b ' ~ c = {Q}. 3. Die Gerade a' durch P zeichnen fiir die gilt: w(a',b') = w(a,b). 17 4. Die Senkrechte b" zu a' durch Q zeichnen; a' c~ b" = {R} . 5. Die Senkrechte c' zu b" durch Q zeichnen.

b"

b b' \. / .../a

,

/" \ t ',, c, ]~.~~'i'Si-...... ~

C

17 Nat/irlich werden Winkel trod Winkelgr6fien fiber Halbgeraden festgelegt. Exakt mtissten auf den Geraden zun~ichst Halbgeraden ausgezeiehnet werden und danaeh Aussagen fiber Winkel (-gr6Ben) aufgestellt werden. Wir verzichten an dieser Stelle zugunsten der Lesbarkeit hierauf.

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

Beweis:

137

z.z.: Sc o Sb o Sa ist eine Gleitspiegelung.

Es gilt: Sc o Sb o Sa Sc o ( Sb, o Sa, )

wobei gilt: w(b',c) = 90 ~, a' ~ b' = {P}, w(a',b') = w(a,b) und b'c~ c = {Q} / Satz 7

=

( Sc o Sb, ) o Sa,

/ AG fiir "o" von Abbildungen

=

DQ,180oo Sa'

/ Satz 4 J8

=

( Sb,, o Sc, ) o Sa,

mit w ( c ' , b " ) = 9 0 ~, c ' ~ b " = und b " n a ' = {R} / Satz 4

=

Sb,, ~ ( S o , ~ S . , )

/ AG flit "o" von Abbildungen

=

Sb,,O v - -

m i t R Q 1[ b", daR, Q ~ b"

=

-RQ.2.1(RQ)

{Q}, c' 11 a'

/ Satz 3, da c' 1[ a' =

Gb", RO,2-1(RQ)

/ Def. 7 (Gleitspiegelung)

Die Verkettung von mehr als drei Geradenspiegelungen Wir schauen zurtick und fassen zusammen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen ist eine Verschiebung oder eine Drehung, je nachdem, ob die beiden Geraden parallel zueinander sind oder sich in genau einem Punkt schneiden 19. Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen ist eine Geradenspiegelung, wenn die drei Geraden parallel zueinander sind oder sich in genau einem Punkt schneiden 2~ sonst eine Gleitspiegelung 21.

Auf diesen Beweisschritt kann auch verzichtet werden. Wie lautet dann die Begr/indung des folgenden Schrittes? ~9 Vergleichen Sie hierzu die S~itze 3 und 4. 20 Vergleichen Sie hierzu die Satze 5, 6 und 7. 21 Vergleichen Sie hierzu Satz 8.

138

4 Abbildungsgeometrie

Diese kleine Zusammenfassung ist geradezu darauf angelegt, die n~ichste Frage Welche Ersatzabbildung(en) k6nnen wir ffir die Verkettung von vier Geradenspiegelungenangeben? zu stellen, auch wenn an dieser Stelle bei vielen unserer Studierenden - und sicherlich auch unserer Leser - fortgeschrittene Faltenbildung in der oberen Gesichtsh~ilfte uniibersehbar wird. Zum Trost und zur Motivation stellen wit Ihnen ein baldiges und unerwartetes happy end dieses Fragealgorithmus in Aussicht.

Satz 9:

Die Verkettung von vier Geradenspiegelungen kann immer als Verkettung von zwei Geradenspiegelungen dargestellt werden.

Beweis:

Seien Sd, So, Sb, Sa die vier Geradenspiegelungen. Diejenigen F~ille, in denen die Geraden von drei nacheinander ausgefiihrten Geradenspiegelungen den Bedingungen des Dreispiegelungssatzes geniigen, sind trivial und brauchen nicht n/iher betrachtet werden. 2.

Auch ffir all diejenigen Verkettungen, in denen zwei aufeinander folgende Geradenspiegelungen identisch sind und sich daher auflaeben, liegt die Gtiltigkeit von Satz 9 unmittelbar auf der Hand.

Wir brauchen daher nur die folgenden verbleibenden Achsenkonstellationen zu untersuchen:

3

a~b=~M~

A c~a~N~

X

X

4

a~b=~M/

A c,d

~

//

6

a,,b

A c~

//

4.2.2 Verkettung yon K o n g r u e n z a b b i l d u n g e n

13 9

zu 3: Seialso a~b={M}

/x c c ~ d = { N } .

d -.~176 -~ 9..

...s" :

9... :~s

,... "-.......

s'

a

.,.~

9"~

s"

W i r b e n e n n e n die Gerade N M mit b'.

c ,.'~" ""

~'~ 9

//j/

b'

a,

N a c h Satz 7 gibt es zu a, b und b' eine Gerade a', so dass gilt: S b o Sa = Sb, o Sa, . ( * )

Fiir die Verkettung der vier Geradenspiegelungen folgt darm:

S d o Sc o S b o Sa S d o Sc o Sb, o Sa,

mit d ~ c n b' = {N}

/ Satz 7, (*)

( S d o S c o Sb, ) o Sa,

/ A G fiir ,,o"

Sx o S~,

/ Satz 6

zu 4: Sei also a c~ b = {M}

/

lc

^

c

II d . Sei c' eine Parallele zu c durch M (c' II c ^ c ' n a = {M}). ,'~ X

M :' . f

N a c h Satz 7 gibt es dann zu d, c u n d c ' eine Gerade d' so dass gilt: S d o Sc =

-"7

Sd, o Sc, . ( * )

r Cd" "

Ffir die Verkettung der vier Geradenspiegelungen folgt wieder:

Sa o S c O S b O S a / A G fiir "o"

(Sd o S ~ ) o S b o S . (Sd, ~ 1 7 6 1 7 6

mitc'~b~a={M}

/ Satz 7, (*)

=

Sd. o (S~, o Sb ~ S~)

/ A G fiir % "

=

Sd, o Sx

/ Satz 6

140

4 Abbildungsgeometrie

zu 5: Sei also a

II b

/x c n d = {N} .

'I Y / / d

a

~b' ~a' . c

x,,, x -f N'~

Sei b' eine Parallele zu b durch N (b' II b /x b ' n c = {N}).

/

Nach Satz 7 gibt es dann zu b, a und b' eine Gerade a' so dass gilt:

"

Sb o Sa =

.

Sb, o Sa, . (*)

Fiir die Verkettung der vier Geradenspiegelungen folgt wieder: Sd o Sc o Sb~ Sa

=

Sd o Sc o Sb, o Sa,

/ Satz 7, (*)

=

(S d o Sc o Sb,) o Sa,

/ A G m r ,,o,'

=

S~ o S.,

/ Satz 6

zu 6: Sei also a

II b

^

d

c [I d . c

""''-...

9

. . . ~ 1 7 6

b, ......

a

.C

b~

Fiir Fall 6 ist eine zus~itzliche Ersetzung notwendig: W i r ersetzen das Geradenpaar (b, c) so durch das Paar (b', c'), dass sich c' und d, aber auch b' und a jeweils in einem Punkt schneiden. D a n n verfahren wir wie in Fall 3. Sei c n b = {M}.

W i r betrachten die Gerade c' mit c' n b = {M}, c' I d trod c' n d = {p}22. N a c h Satz 7 gibt es zu c, b und c' eine Gerade b', so dass gilt:

Sc o Sb = Sc, o Sb, . (*) Sei b' n a = {Q}. Fiir die Verkettung der vier Geradenspiegelungen folgt wieder:

22 Die B e d i n g u n g c' • d ist nicht unbedingt erforderlich, erleichtert j e d o c h das weitere Vorgehen. Mindestens muss fiirc' gelten: c' ~ c u n d c' ~ b.

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

141

So ~ S~ o Sb ~ Sa Sd o ( S c o Sb ) o Sa

/ AG fiir ,,o"

Sd o (Sc' o Sb') ~ Sa

/ Satz 7, (*)

Sd ~ Se o (Sb, ~ Sa)

/ A G ffir"o"

Mit S d o Sc, o ( S b, o Sa ) haben wir eine Verketttmg vorliegen, bei der sich d und c' in Punkt P schneiden und b' und a den Punkt Q gemeinsam haben. Damit haben wir Fall 6 auf Fall 3 zuriickgefiihrt und sind fertig. x --':d~i ~ 9~~

c

.a t

~ ~ b :- c' . . b

a

,,

Nur um die abgebildete Konstruktion der beiden Ersatzgeraden argumentativ zu begleiten, stellen wit die verbleibende (~erlegung analog zu Fall 3 dar: Sei b" = PQ. Nach Satz 7 gibt es zu b', a und b" eine Gerade a' so dass gilt: Sb, o S~ = Sb,, ~ Sa,. (*) Dies setzen wir in unsere letzte Gleichung ein und erhalten:

=

Sd o Sc, o (Sb,, o Sa,)

/ Satz 7, (*)

(S d o Sc, o Sb.) o Sa, S~ o S~,

/ AG fiir ,,o" / Satz 6

Aus (1) - (6) folgt die Behaupamg.

Wenn sich nun vier Geradenspiegelungen dutch zwei Geradenspiegelungen ersetzen lassen, dann karm man ftinf Spiegelungen durch drei ersetzen. Bei sechs Spiegelungen lassen sich vier durch zwei ersetzen, die vier Spiegelungen dann wieder durch zwei Geradenspiegelungen usw.. Wir wissen jetzt, dass wit mit h6chstens drei Geradenspiegelungen auskommen. Braucht man wirklich drei, so liegt im allgemeinen Fall eine Gleitspiegelung vor (Satz 8). Kommt man mit zwei Geraden aus, so sind nur die F/ille m6glich, dass die Geraden parallel sind oder sich schneiden. Wir haben darm also eine Verschiebung (Satz 3) oder eine Drehung (Satz 4) vorliegen. Das bedeutet auch, dass die Hintereinanderausffihrung yon beliebig vielen verschiedenen Kongruenzabbildungen durch eine der von uns defmierten

142

4 Abbildungsgeometrie

Kongruenzabbildungen ersetzbar ist. FiJhrt man z.B. erst eine Gleitspiegelung durch und anschlief3end eine Drehung, so kann die erste Abbildung durch drei, die zweite durch zwei Geradenspiegelungen ersetzt werden, also die gesamte Abbildung durch ftinf Geradenspiegelungen. Diese sind ersetzbar durch drei andere Geradenspiegelungen. Das wiederum kann eine Gleitspiegelung oder eine einfache Geradenspiegelung sein. Zeichnen wir also z.B. ein Dreieck und irgendwo ein dazu kongruentes Dreieck auf ein Blatt Papier, so kann man diejenige Kongruenzabbildung bestimmen, die das eine in das andere Dreieck fiberfiihrt. Dies wollen wir im Folgenden iJben. Wir betrachten Abbildung 67 mit drei kongruenten Dreiecken. Gesucht sind die Abbildungen, die AAIBIC 1 in AA2B2C2 bzw. AA1BICI in AA3B3C3 fiberftihren. Einen ersten Hinweis liefert der Umlaufsinn der Dreiecke. AA2B2C2 hat denselben Umlaufsinn wie AA1BICI, also kann AA2B2C2 nur durch eine Verschiebung oder durch eine Drehung aus AA~BICI entstanden sein. Eventuelt ist die Drehung sogar eine Punktspiegelung. Bei AAIBICI und AA3B3C 3 stimmt der Umlaufsinn nicht iiberein, als Abbildung kommt also nur eine Geradenspiegelung oder eine Gleitspiegelung in Frage.

/ " '.:.:~ i"..., ./..f........ .....J"

'"'"'~.]:,'-:.-..[..........

'~ i ',

~ 92 ........... ~

A4 ~x

\

p ~ A4A3

. . . . . . ~.":z'.~.~:'.~.,. ~

Abb. 67

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

143

Wir betrachten zun~ichst die Abbildung, die A A I B I C 1 in AAaBeC2 fiberfiJhrt. Die Verschiebung scheidet offensichtlich sofort aus, denn die Strecken A1A 2 und C1C 2 sind nicht parallel. Also ist die gesuchte Abbildung eine Drehung. Da der Drehpunkt D yon Urbild und Bild denselben Abstand hat, liegt D auf den Mittelsenkrechten zu A1A 2 , B1B2 und C1C 2 (vgl. Satz 2). Um D zu bestimmen reicht es, zwei dieser Mittelsenkrechten zu konstruieren, z.B. die zu A1A 2 und zu CjC 2 (s. Abbildung 67). Ihr Schnittpunkt ist D. Den Drehwinkel ~t erhalten wir, indem wit z.B. CI und C2 mit D verbinden. Beachten Sie, dass wir gegen den Uhrzeigersinn drehen. In Abbildung 67 betr~igt w(ot) ca. 288 ~ also liegt keine Punktspiegelung vor. Mit DD.288oist die Abbildung gefunden, die AAIBIC1 in AA2B2C2 iiberfiihrt. Es gilt also: DD,288o (AAIBIC~) = AA2B2C2 . Falls die Abbildung, die AA~BIC~ in A A 3 B 3 C 3 i J b e r l ~ , eine Geradenspiegelung an einer Geraden g ist, dann verl/iuft g durch die Mittelpunkte der Strecken A~A3 , B1B3 und C1C3 (Definition 1). Wir k6nnen die in Frage kommende Gerade g konstruieren, indem wir bei zwei dieser Strecken die Mittelpunkte bestimmen und durch diese eine Gerade legen. Wir w51alen in Abbildung 67 die Mittelpunkte yon A1A3 und BiB 3 . Unsere gesuchte Abbildung ist ganz sicher keine Geradenspiegelung an g, denn dann miisste g auch senkrecht zu AIA 3 and B1B3 sein. Also haben wires mit einer Gleitspiegelung zu tun. Wir spiegeln A1 an g und erhalten den Punkt A4. Die Halbgerade A a A ; gibt die Richtung der Verschiebung an, I(A4A 3 ) die L~inge der Verschiebung; g die Gleitspiegelungsachse, denn g verl~iuft nach Konstruktion durch den Mittelpunkt von AIA 3 , durch den Mittelpunkt von AIA 4 , und steht senkrecht aufA~A4. Folglich ist A4A3 parallel zu g, wie es bei einer Gleitspiegelung gefordert ist.

0bung:

1) In Abbildung 67 gilt: DD,288o (AAIBICI) = AA2B2C2. Konstruieren Sie Geradenhund i mit hllAlBz ffir die gilt: Si o Sh = DD,28So.

2) Konstruieren Sie zwei Geraden e und f, so dass Sg o Sf o Se die Schubspiegelung ist, die AA1BICI ill AA3B3C3 iiberf[.ihrt (Abbildung 67). Dabei soll e dutch A 1 verlaufen.

4

4 Abbildungsgeometrie

3) lJ-bertragen Sie die dargestellten Geraden auf Karopapier. a) l)berlegen Sie: Durch welche der von uns definierten Abbildungen kann die Verkettung Sd o So o Sb o Sa jeweils ersetzt werden? b) Ersetzen Sie dann die Verkettung Sd ~ Sc o Sb ~ Sa durch m6glichst wenig Geradenspiegelungen. Dokumentieren Sie Ihre Umformungen stichpunktartig. Der dezente Einsatz von Buntstiften kann die 0bersichtlichkeit erh6hen.

,a, I11

I/I ~11

ITI lJl

1/1111

III I I L,~ I~I I I'I II II II

J/I lJV"q

I IJ~ ~ J

Ib' lit-

'71 I I I I I I I I,I l iI li I III I!I

I

I II II

I IC t., IX

IIII

II d-

III1_ C --

II I'

Hilfe: Erl/iuterungen lm Beweis des Satzes 9

4) Gegeben sind vier Geraden f, g, h und i. Zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem und konstruieren Sie die zwei Geraden k und 1, Fir die gilt: Sf o Sg o Sh ~ Si = Sk ~ Si. a) f: 6 , 5 x + 2 y = 3 3

b) f: 2 x + y = 8

g: y = 1 0

g: x + 0 , 5 y = 7

h: 4 x - 3 y = 1 2

h: 1 0 y - x = 7 0

i: 4 y - x = 1 0

i: 8 x - 7 y = 2 4

4.2.2 Verkettung yon Kongruenzabbildungen

145

5) 0bertragen Sie die dargestellten Dreiecke auf Karopapier. Welche Abbitdung bildet jeweils AABC auf AA'B'C' ab? a) Benennen Sie diese Abbildung und konstruieren Sie ihre Spiegelachse, ihren Drehpunkt, ihr Spiegelzentrum..... b) Stellen Sie die erkaunte Abbildung durch eine Verkettung von mOglichst wenigen Geradenspiegelungen dar.

-c,~B,

i

__c---B

v~

l

,v

--A't t

I

B

I~;

-c HB II I[I

I_ -B'--C'--

A

..

A' I

A

I

~c~B I

I I

I II

i

-,t

k,

II

I 1 I

KI I%1 I 1 ~ 1

I I

II

-

I

IC,,_l._t_~_l~,,

'

b-I II

tl IA I

I/ll I/Ill B"+--d"-l-1 I I/1 I ! I

r

IIIIIIil IIIIIIII

I--

Bei uniiberwindbaren Schwierigkeiten sei auf die Erl~iuterungen nach dem Beweis von Satz 9 zur Hilfe verwiesen.

6) Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck AABC. Spiegeln Sie es zun~ichst an der Seite c. Drehen Sie nun das Bilddreieck um B um 60 ~ und fiihren Sie anschlieBend die Verschiebung V ~ . ~(~) aus. a) Kann VA~,I(A~) o DB,60o o Se durch genau eine der von uns definierten Kongruenzabbildungen ersetzt werden? b) Stellen Sie V -AB, - I(AB) - - o DB.60o o Sc durch die Verkettung von h6chstens drei Geradenspiegelungen dar.

146

4 Abbildungsgeometrie

4.2.3 W e i t e r e S~itze z u r V e r k e t t u n g dungen

von Kongruenzabbil-

Mit Hilfe der vorangegangenen S/itze lassen sich auf der Ebene des Verkettens yon Abbildungen leicht weitere S~itze herleiten, deren Beweise wir Itmen zur l)bung fiberlassen: Satz 10:

Bei der Gleitspiegelung G g , ~ spielt es keine Rolle, ob man zun/ichst die Geradenspiegelung und danach die Verschiebung ausfiihrt oder umgekehrt. Esgilt: Gg,g~ = S g o V g ~ = Vg~ oSg

Beweis:

mit Hilfe der S~itze 3, 4

Satz 11:

Die Verkettung Sg o Sz einer Punktspiegelung Sz und einer Geradenspiegelung Sg mit Z ~ gist eine Gleitspiegelung.

Beweis:

Der ,,fleiBige" Weg fiihrt fiber Satz 4, der ,,geniale" Weg fiber einen sp/iteren Satz.

Satz 12:

Die Verkettung zweier Verschiebungen V Ufi o V Xg ist eine Verschiebung.

Beweis:

mit Hilfe von Satz 9, Fall 6

Satz 13:

Die Verkettung einer Drehung und einer Verschiebung ist eine Drehung.

Beweis:

mit Hilfe von Satz 9, Fall 4 und 5

Satz 14:

Die Verkettung zweier Punktspiegelungen SN o SM mit verschiedenen Spiegelzentren (N ~: M) ist eine Verschiebung.

Beweis:

mit Hilfe von Satz 9, Fall 3

4.2.3 Weitere S~itze zur Verkettung yon Kongruenzabbildungen

Satz 15a:

147

Die Verkettung zweier Drehungen DM, w(~) o DM, w(~) mit gleichem Drehzentrum ist ... - die Drehung DM, w(~)+w(O),falls w(e0 + w([3) < 360 ~ ; - die Drehung DM, w(~)+w(O)-36oo , falls w(ct) + w(]3) > 360 ~

Beweis:

mit Hilfe von Satz 4

Satz 15b:

Die Verkettung zweier Drehungen mit verschiedenen Drehzentren DN, w(~)o DM' w(c0ist ... - die Drehung Dr, w(~)+w(~), falls w(cz) + w(13) r 360~ - eine Verschiebung, falls w(ct) + w(13) = 360 ~

Beweis:

0bung:

mit Hilfe von Satz 9, Fall 3 bzw. der S~itze 3, 4

Beweisen Sie die Sfitze bis 10 bis 15b. Legen Sie zu jedem Beweis zun/ichst eine Skizze an.

4.2.4 Die Gruppe der Kongruenzabbildungen Im bisherigen Verlauf des Kapitels 4 haben wir die Geradenspiegelung, die Verschiebung, die Drehung, die Punktspiegelung und die Gleitspiegelung als Kongruenzabbildungen bezeichnet. Dabei haben wir in Kapitel 4.2.3 erfahren, dass sich die genannten ffinf Kongruenzabbildungen allesamt durch die Nacheinanderausftihrung von bis zu drei Geradenspiegelungen ersetzen lassen und dass ferner jede beliebige Anzahl yon verketteten Geradenspiegelungen immer durch maximal drei nacheinander ausgefiihrte Geradenspiegelungen ersetzt werden kann. Wir wollen an dieser Stelle den Begriff der Kongruenzabbildung allgemeiner fassen und definieren:

148

4 Abbildungsgeometrie

Definition 8:

Kongruenzabbildung Jede Verkettung von endlich vielen Geradenspiegelungen heiBt Kongruenzabbildung. Die Menge aller Kongruenzabbildungen heil3t K.

Ist also to eine Kongruenzabbildung (to e K), dann kann to dargestellt werden als t0 = Sg, o Sg._~ o Sg,,_2 o...o Sg, m i t n 9 N. Mit Definition 8 iibertragen sich wichtige Eigenschaften der Geradenspiegelung Sg aufjede Kongruenzabbildung to e K: Bei jeder Kongruenzabbildung to ist das Bild einer Strecke AB eine zu AB gleichlange Strecke A'B'. (9 ist strecken- und l~ingentreu. Bei jeder Kongruenzabbildung to ist das Bild einer Geraden wieder eine Gerade. to ist geradentreu. Bei jeder Kongruenzabbildung to ist das Bild eines Winkels ein Winkel mit gleichem Winkelmafl. to ist winkeltreu23. In Kapitel 4.1 hatten wir Bewegungen wie die Drehung oder Verschiebung vorl/iufig als Abbildungen charakterisiert, bei denen die Urbildfigur durch Bewegen einer Folienkopie mit der Bildfigur zur Deckung gebracht werden kann. Kopieren wir hingegen bei einer Umwendung wie der Geradenspiegelung oder der Gleitspiegelung die Urbildfigur anf Folie, so k6nnen wir die Folienkopie nur darm mit der Bildfigur zur Deckung bringen, wenn wir die Folie einmal umwenden. Die Eigenschaft Bewegung oder Umwendung zu sein, h~ingt offensichtlich eng mit dem Umlaufsinn einer Figur zusammen, der sich mit jeder durchgefiihrten Geradenspiegelung /indert: Ffihrt man eine geradzahlige Anzahl von Geradenspiegelungen naeheinander aus, stimmen Umlaufsinn von Urbild und Bild/iberein, die Folie kann bewegt werden. Bei einer ungeraden Anzahl nacheinander ausgeftihrter Geradenspiegelungen haben Urbild und Bild entgegengesetzten Umlaufsinn, die Folie muss umgewendetwerden. Im Anschluss an Definition 8 k6nnen wir nun die Bewegungen und Umwendungen allgemeiner bestimmen: In Analogie zur Strecken- und LLngentreue miissten wir eigentlich von Winkel- und WinkelmaBtreue reden. Eine derartige Sprachpr~izision ist in der Literatur allerdings nicht gebr/iuchlich.

4.2.4 Die Gruppe der Kongruenzabbildungen

Definition 9:

149

Bewegung bzw. Umwendung Besteht eine Kongruenzabbildung(paus der Verkettung yon 2n Geradenspiegelungen (n ~ N), so heil]t sie Bewegung, sonst Umwendung 24.

Bevor wir im Folgenden zeigen werden, dass die Menge der Kongruenzabbildnngen K beziigtich der Verkettung ,,o" eine Gruppe ist, rufen wir den Gruppen- und Untergruppenbegriffin Erinnemng25: Definition 10a: Gruppe

Ein Paar (G,o) bestehend aus einer nichtleeren Menge G und einer Verknfipfung ,,o" heiBt Gruppe, wenn folgende vier Bedingungen erffillt sind: a) Mit a, b ~ G liegt stets auch a o b in G.

(Abgeschlossenheit) b) ( a o b ) o c = a o ( b o c )

fiirallea, b , c ~ G

(Assoziativitiit) c) Es gibt ein neutrales Element e ~ G mit eoa=aoe=a

ftir alle a ~ G.

d) Zujedem a ~ G gibt es ein a i ~ G, so dass aoai=aio a=e. ai heiBt inverses Element zu a. Eine Gruppe (G,o) heiBt kommutativ oder abelsch, wenn zus/itzlich zu den Bedingungen (a) bis (d) fiir alle a, b ~ G gilt: a o b = b o a .

Definition 10b: Untergruppe

Sei (G,o) eine Gruppe. (H,o) heiBt Untergruppe von (G,o), wenn gilt: (H,o) ist eine Gruppe und H c_ G.

25

Gelegentlich findet man in der Literatur auch die Rede von ,,eigentlichen Bewegungen" (fiir Bewegungen) und ,,uneigentlichen Bewegungen" (fiir Umwendungen), der wir aber nicht folgen wollen. vgl. auch Gorski / Mfiller-Philipp 2008, Kapitel 5.5

150

4 Abbildungsgeometrie

Beispiele fiir G r u p p e n aus der Arithmetik sind (77; +), ( Q , .) oder die Restldassenmenge Rm mit der Restklassenaddition @. In Satz 16 lernen Sie ein Beispiel aus der Geometrie kennen. S a t z 16:

Die M e n g e der Kongruenzabbildungen ~ bildet mit der Verkniipfung ,,o" (Nacheinanderausftihrung) eine Gruppe. ( ~ ; o ) ist eine Gruppe.

Beweis:

z.z.: a) b) c) d)

Abgeschlossenheit Assoziativitat Existenz eines neutralen Elements Inverseneigenschaft

zu a) Abgeschlossenheit Seien r r ~ IK mit tpl = Sa, ' o Sam_, o Sa,,_ 2 o . . . o Sa~ m i t m ~ r

=Sb,

Nt,

o Sb,,_' o Sb,_2 o . . . o Sb, m i t n ~ N .

D a n n gilt: (P2 o ~I = ( S b

a o S b . _ I o Sbn_ 2 o . . . .

Sb I ) o ( S a m o Sam_ I o Sam_ 2 . . . . .

Sa I )

Da dies eine Verkettung yon m + n Geradenspiegelungen ist, folgt mit Definition 8:q~2 o q~i ~ ~ 9 zu b) Assoziativit/it z.z.: Fiir cpt, tO2, (D3 E • gilt: q)3 ~ 002 o q~l) = (q)3 o (D2) o (DI Sei X ein beliebiger Punkt der Ebene. D a n n gilt: X

- - _~1 . . . .

92 o 91

~

X*

(P2

9

X**

qD3

X'

i

i

[ .......................... cp3 o ~o2

J

Somit: X ........................................................................................................................... )- X' (r o r o cpl X ...................................

~ X'

4.2.4 Die G r u p p e der Kongruenzabbildungen

151

D a die Bilder v o n r o ((P2 o (Pl) trod (cp3 o (P2) o (Pl fiir j e d e n beliebigen Punkt X der Ebene iibereinstimmen, sind beide A b b i l d u n g e n gleich. Es gilt also: q)3 o ((P2 o (Pl) = (q)3 o q)2) o (Pl 9 zu c) Existenz eines neutralen Elements Es gibt in IK ein Element id, so dass ftir alle q~ ~ IK gilt: id o ~p=~p o i d = q~ . id ist aus IK, d e n n nach Satz 1a ist die Geradenspiegelung Sg eine involutorische A b b i l d u n g und es gilt: id = Sg o Sg . zu d) Inverseneigenschafl z.z.: Zu j e d e r Kongruenzabbildung q) gibt es eine inverse Kongruenzabbildung r so dass q~ o qr = (pi o ~0 = i d . Sei

cp = S,., o S,,._~ o S~,,,_2 o ... o S,,

mitm ~ N ,

darmist

~0i =

mitm~N,

derm: (pi o q)

S~o

S~2o S ~ o . . . o

=

(Sat

o Sa 2 o . . . .

=

Sa t o Sa 2 o . . . .

=

Sa, o Sa2 o ... o Sam ~ o

Sa~

Sa ..... o Sa m ) o ( S a m o Sam_ t o . . . . S ...... o ( S a m o San, )o S . . . .

id

o

Sa ' )

o ....

Sam_ n o ...

Sa '

Sa I

o

Die insgesamt m-fache A n w e n d u n g der Assoziativit~t von ,,o" (Satz 16, Teil b) und von Sg o Sg = id (Satz 16, Teil c) liefem schliefllich: cpi o cp

=

id

Analog zeigt m a n q~ o qr = i d . Aus a, b, c u n d d folgt, dass (IK;o) eine Gruppe ist. ( ~ ; o ) ist nicht kommutativ. Die Abbildung rechts m a g sch6ne Erirmerungen an Satz 3 bzw. die Erl~iutemngen nach Satz 3 wecken.

~ . . . . . . . . . . . .

1

1 . . . . . . . . . . . . .

152

4 Abbildungsgeometrie

4.2.5 Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken Bilden wir eine Punktmenge F, die wit im Folgenden als Figur F bezeichnen, durch die Verkettung von endlich vielen Geradenspiegelungen - also dutch eine Kongruenzabbildung - auf eme Figur F' ab, darm stimmen Urbild- und Bildfigur in den L/ingen entsprechender Strecken und den Gr6Ben entsprechender Winkel fiberein (Abbildung 68). Diese Obereinstimmungen sind eine unmittelbare Folge der L~ingen- und Winkeltreue aller Kongruenzabbildungen. Offensichtlich unterscheiden sich Urbild und die dutch Kongruenzabbildungen erzeugten Bilder nur durch ihre verschiedene Lage in der E b e n J 6. Diese besondere Beziehung zwischen Figuren beschreiben wir durch die Relation ..... ist kongruent zu ..." (in Zeichen: ,,~-"). Wir legen daher fest: Abb. 68

Definition II:

Relation ..... ist kongruent zu ... "

Beispiel:

Eine Figur F heil3t genau dann kongruent zur Figur F' (in Zeichen: F ~- F'), wenn es eine Kongruenzabbildung q~ ~ [K gibt, so dass q0(F) = F'. B*

B

~

C Abb. 69

A

....................,t M

A

A'

B'

In Abbildung 69 gilt F -= F', denn V ~ BB*

F

DM,135 ~

9

F*

1-~t~,M135 ~ o V 9" BB*

26 Damit sind Urbild und Bild natiirlich nieht notwendig identisch.

F'

4.2.5 K o n g r u e n z yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

153

Mit Hilfe von Satz 16 l~isst sich leicht zeigen, dass die Relation ,,-=" eine A,quivalenzrelation ist.

Satz 17:

Die Relation ..... ist kongruent zu ... " (in Zeichen: ,,---") ist eine ,~quivalenzrelation.

Beweis:

z.z.:

1. ,,---" ist reflexiv, 2. ,,-=" ist symmetrisch und 3. ,,-~" ist transitiv.

zu 1: Reflexivit~it Jede Figur F i s t zu sich selbst kongruent, denn nach Satz 16(c) gibt es in K das Element id und es gilt: id (F) = F . zu 2: Symmetrie; z.z.: F --- F' ~ F' -= F Es gelte also:

=V

zu 3: Transitivitfit; z.z.: F -= F* A F* -= F' ~ Es gelte also:

:=>

/ Voraussetzung / D e f . 11 / Satz 16(d)

F ~- F' 3 cp ~ K, so dass q~(F) = F' 3 (pi ~ K mit tOi (F') = F F' -= F 27

/ D e f . 11 F --- F'

F -= F* A F* --- F' 3 qal, tp2 ~ K m i t qOl(F) = F * A qo2(F*) = F ' qo2(tpl(F)) = F' (q)2 ~ qh)(F) = F' A (q02 ~ qh) ~ IK

/ Voraussetzung / D e f . 11 / s.o., r = F* / Satz 16(a), Abgeschl.

3 cp ~ K mit (p(F) = F'

/ n ~ n l i c h tO = (q02 o q01)

F-=F '

/ D e f . 11

Ffir die Beweise der Kongruenzs~itze (S~itze 20 bis 23) am Ende dieses Kapitels ben6tigen wir zwei ,,Hilfss~itze" fiber die Strecken- und Winkelkongruenz, die yon der Anschauung her unmittelbar klar sind. Wir w e r d e n in den beiden folgenden S/itzen zeigen, dass gleich lange Strecken ebenso zueinander kongruent sind wie Winkel gleicher Winkelgr6gen. 27 Erst jetzt - nach d e m Beweis der Symmetrie der K o n g m e n z r e l a t i o n macht es fibrigens Sinn, yon zueinander kongruenten Figuren zu reden.

154

Satz 18:

4 Abbildungsgeometrie

Zwei Strecken sind genau dann gleich lang, werm sie kongruent zueinander sin& formal:

Seien AB, CD Strecken.

Dann gilt:

I(AB) = I(CD ) r

AB --- CD

Beweis: m

m

Voraussetzung: 1( AB ) = 1( CD ) z.z.: 3 q) ~ IK, so dass r

= CD .

Wir geben diese Abbildung q0 zu Beginn des Beweises an und zeigen dann, dass AB durch q0 auf CD abgebildet wird. q) = Dc.wly) o VAe ' wobei 7 = ~(CB~', C---~) mit B* = Vx-( ( B ) C =A*

ist die gesuchte Abbildung, denn: Durch V ~6 wird A aufC = A* und B aufB* abgebildet. Also: V ~ ( ( A B ) = CB * /x 1( AB ) = 1( CB * )

(1) / Eigensch. v. q0 ~ [K

Wegen

I(AB) = I(CB*)

/ (1)

und

1( AB ) = 1( CD )

/ Voraussetzung

folgt

1( CB *) = 1( CD )

(2) / Symm., Trans. ,,="

Sei nun Dann gilt:

y= r C--D). Dc,w~y)(C) = C

und wegen

w( CB ~', C-D ) = w(7)

und gilt:

1( CB *) = 1( CD ) Dc,wl9 (B*) = D

Also:

Dc,wc9 (CB*) = CD

/ C ist Fixpunkt, Def. 5 / (2) / Def. 5 (3) / Eigensch. v. q~ e K

Aus (1) und (3) folgt: Dc,wlr) o V ~ ( A B ) = C D , also AB -= CD. ,,~"

Voraussetzung: AB =- CD

Wenn AB -~ C D , dann gibt es nach Definition 11 eine Kongruenzabbildung q~ mit q~(AB ) = C D . Da alle Kortgruenzabbildungert als Verkettung endlich vieler Geradenspiegelungen l~ingentreu sind, folgt 1( AB ) = 1( CD ).

4.2.5 Kongmenz yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

Satz 19:

Beweis: ,,~"

155

Zwei Winkel sind genau dann gleich grog, werm sie kongruent zueinander sind. formal: Seien a, b Halbgeraden mit Anfangspunkt S und seien c, d Halbgeraden mit Anfangspunkt T. Dann gilt: w(a,b) = w(c,d) r -~(a,b) -= ,~(c,d). Voraussetzung: w(a,b) = w(c,d)

z.z.: Wir miissen ein ~ ~ K angeben, so dass cp(,~(a,b)) = ,~(c,d). Wir geben diese Kongruenzabbildung q~ wieder zu Beginn des Beweises an und zeigen dann, dass qo tats/ichlich a auf c und b auf d abbildet.

a ,itd

~~'"Nb S-~ ~

,., b

qo = DT,wta*.~) o V ~

ist die gesuchte Kon-

gruenzabbildung, denn: Vg~ (a) = a*, V ~ (b) = b* und w(a,b) = w(a*,b*)

a*

T-

(1) / Eigensch. v. cp ~ IK Sei nun 7 = g(a*, c). Dann gilt: Dv,w(y)(a*) = a' = c, Dr,w{9 (b*) = b' und w(a*,b*) = w(c,b') (2) / Eigensch. v. q0 ~ K Aus (1) und (2) folgt: w(a,b) = w(a*,b*) A w(a*,b*) = w(c,b') w(a,b) = w(c, b') / Trans. yon ,,=" w(a,b) = w(c,b') A w(a,b) = w(c,d) / Voraussetzung w(c,d) = w(c,b') / Syrmn., Trans. von ,,=" d = b' (3) / Folgerung aus W M A 4 Also gilt: q~(a) = c (wegen (1), (2)) und q~(b) = d (wegen (1), (2), (3)), was zu zeigen war. ,,~"

Voraussetzung: -~(a,b) =- ~(c,d)

Wenn ,~(a,b) -= ~(c,d), dann gibt es nach Definition 11 eine Kongruenzabbildung qa mit q0(-~(a,b)) = ~(c,d). Da alle Kongruenzabbildungen als Verkettungen einer endlichen Anzahl yon Geradenspiegelungen winkeltreu sind, folgt w(a,b) = w(c,d).

156

4 Abbildungsgeometrie

Vielleicht haben Sie bei den verbalen Formulierungen der S/itze 18 und 19 zun/ichst gezaudert - mit Recht. Auch wir h~itten beide S/itze weitaus lieber in vemiinftigem Deutsch und / oder pr/ignanter formuliert. So klingen Formulierungen wie ,,Zwei gleich lange Strecken sind zueinander kongruent." oder ,,Zwei gleich grofle Winkel sind zueinander kongruent." doch wesentlich salopper und merkbarer. Bei genauer Betrachtung derartiger Formulierungen erkennen Sie jedoch recht schnell, dass diese saloppen Formulierungen die behauptete und bewiesene ,~quivalenz recht effektiv verschleiern: beide S/itze werden um ihre Riickrichtungen kastriert. Wir weisen an dieser Stelle daher besonders darauf hin, dass Satz 18 in der R/ickrichtung sicherstellt, dass zueinander kongruente Strecken die gleiche L~inge haben und dass tins Satz 19 in seiner Riickrichtung garantiert: Zueinander kongruente Winkel sind stets gleich gro6 (haben dasselbe Winkelmafl). Mit Satz 20 und Satz 21 formulieren wir nun zwei S~itze, die fester Bestandteil des Mathematikunterrichts im Sekundarbereich I sind. Die Beweise beider S~itze iiberlassen wir Ihnen. 28 Satz 20:

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich gro6. b

B

~

/ a

Satz 21:

A g: f

b, ~ al

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich grofL b

bl" ~ J ~ B g~g2 gl

a

A

g/"

al

28 Sie k6nnen Ihre Beweisidee in beiden Fallen auf einen nicht sehr weit zuriickliegenden Satz s~tzen.

4.2.5 Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken

157

Hinfiihrung zu den Kongruenzs~itzen

Was besagen eigentlich die Kongruenzs~itze ? Was verbirgt sich hinter den Ktirzeln ,,SSS, SWS, WSW und SSWggs" ?

Dreiecke sind durch sechs so genannte C

Bestimmungsstiicke charakterisiert: die L/ingen der drei Seiten a, b und c sowie die Gr6Ben der drei Innenwinkel or, 13 und y.

A

c

Sie werden sich erinnem, dass die Kenntnis dreier dieser Bestimmungsst/icke ausreicht, um ein Dreieck zu konstruieren.

B

Versuchen wir jedoch, ein Dreieck aufgrund der Vorgabe der Gr6Be der drei Innenwinkel w(ct) = 70 ~ w(13) = 20 ~ und w(y) = 90 ~ zu konstruieren, so stellen wir sehr schnell lest, dass es unendlich viele L6sungen dieser Aufgabe gibt, von denen drei in Abbildung 70 dargestellt sin& C1

AI

C

- B

j A~'

~ = B2

Abb. 70 In Abbildung 70 erkennen Sie auch, dass die drei konstruierten Dreiecke keineswegs kongruent zueinander sind. Wgren sie kongruent, so mtissten wir eine Kongruenzabbildung q0 vorweisen k6nnen, die etwa AABC auf A A~B jC i abbildet. Die Oberfltissigkeit dieses Suchprozesses wird sofort klar, wenn Sie erinnern, dass bei KongruenzabbildungenStrecken auf gleich lange Strecken abgebildet werden. Versuchen wir eine zweite Konstruktion mit anderen Bestimmungsstticken:

158

4 Abbildungsgeometrie

Gegeben seien: l(c) = 2,6 cm l(b) = l , 7 c m w(ct) = 70 ~

"

A

~

B

....

C~

C*

" ~ B *

Abb. 71 Zwei Konstruktionsergebnisse dieser Aufgabe, n~imlich die Dreiecke AABC und AA~B~CI, haben wir in Abbildung 71 zusammengestellt29. Zun~ichst einmal halten wir test, dass die Dreiecke AABC und AAIBICI nicht identisch sind, bestehen sie doch aus verschiedenen - in diesem Fall sogar disjunkten - Punktmengen. Die beiden in Abbildung 71 dargestellten Konstruktionsergebnisse unterscheiden sich deutlich yon den Ergebnissen der vorangegangenen Aufgabe: Zwar sind AABC und AAIBICI nicht identisch, wohl aber kongruent zueinander, denn es 1/isst sich eine Kongruenzabbildung tp angeben, die AABC auf AAIB~C~ abbildet. Offensichtlich lassen sich alle Konkretisierungen dieser Konstruktionsaufgabe durch die Abbildung = DA, w(a)o V ~ , wobei A* = V X~ (A), B* = V k~; (B) und 6 = ~ ( A * B ~', A,B I ), aufeinander abbilden. Alle derart konstruierten Dreiecke sind also bis auf ihre Lage in der Ebene eindeutig bestimmt (kongruent). Um ,Konstruktionsaufgaben" dieses zweiten Typs geht es in den vier Kongmenzs/itzen, die wir im Folgenden formulieren und beweisen werden. Wir werden zeigen, dass es bei vier verschiedenen Kombinationen von jeweils 29 Machen Sie sich klar, dass sich leicht beliebig viele weitere Konkretisierungen dieser Konstruktionsaufgaben angeben liegen.

4.2.5 Kongruenz yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

159

drei Bestimmungsstiicken (aus sechs Bestimmungsstiicken) gelingt, ausschlieBlich kongruente Dreiecke zu konstruieren3~ Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie ... in den drei Seitenl/ingen iibereinstimmen (Abldirzung: SSS). in zwei Seitenl~ingen und der Gr6Be des eingeschlossenen Innenwinkels /ibereinstimmen (Abkiirzung: SWS). in einer Seitenl~inge und der Gr6Be der beiden anliegenden Innenwinkel /ibereinstimmen (Abldirzung: WSW). in zwei Seitenl~ingen und der Gr6Be des Innenwinkels/ibereinstimmen, der der gr6Beren Seite gegentiberliegt (Abkiirzung: SSWggs). Damit haben wir zun~ichst die Aussagen der angesprochenen Kongruenzs~itze und die Bedeutung der K/irzel SSS, SWS, WSW und SSWggs gekl~irt.

Die Kongruenzs~itze und ihre Beweise

Wir werden in den Beweisen der Kongmenzs~itze zeigen, dass jeweils zwei Dreiecke (AABC und AA'B'C'), die in den oben genannten Bestimmungsstricken fibereinstimmen, kongruent zueinander sind. Natiirlich miissen wir hierfiir nach Definition 11 jeweils eine Kongruenzabbildung ~ vorweisen, die AABC auf AA'B'C' abbildet. Dem mehr oder weniger, hoffentlich aber noch nicht vollkommen geneigten Leser mag bei der oben aufgeffihrten vorl~iufigen Formulierung der vier Kongruenzs/itze aufgefallen sein, dass jeder Satz wenigstens ein Paar gteichlange Seiten voraussetzt. Diese Besonderheit machen wir uns zunutze, indem wir Das ist eine vergleichsweise ,,bescheidene Quote" bei so vielen M6glichkeiten. Oder? Wie viele M6glichkeiten der Dreieckskonstruktion aus drei von sechs Bestimmungsst/icken mag es wohl geben? Wie viele Kongruenzsgtze haben wir eigentlieh angesprochen? Waren es wirklich genau vier? Lassen sich vielleicht weitere Kongruenzs~itze formulieren? Wenn ja, wie viele? Welche yon diesen ggf. zus/itzlichen Kongruenzs~itzen lassen sich auf andere Kongruenzs~itze zurfickffihren? (Auf welche anderen?) Wie sieht es mit der oben angesprochenen Quote aus?

160

4 Abbildungsgeometrie

aus ihr fibergeordnete Voraussetzungen formen, die in den Beweis jedes Kongruenzsatzes eingehen werden. O.B.d.A. gehen wir davon aus, dass ilia"AABC und AA'B'C' gilt: I(AB) = I(A'B') Wegen Satz 18 folgt: AB ~ A'B' Dann gibt es also ein cp e K mit: tp(A) = A' /x (p(B) = B' Die Bilder von C, ct, 13bei 9 bezeichnen wir mit C*, ct*, 13". Wir werden in jedem Beweis zu zeigen haben, dass C* = C'. fibergeordnete Voraussetzung V 1: Fiir alle weiteren Uberlegungen setzen wir voraus, dass C* und C' in derselben Halbebene von A'B' liegen. Ist dies bei einem ersten ,,Entwurg' der Abbildung q) noch nicht der Fall, so gelingt es durch Anh/ingen der Geradenspiegelung SA.W.

C' A,~C * B'

fibergeordnete Voraussetzung V2: Da cp ~ IK und da cp(A) = A ' , ~(B) = B' und q)(C) = C* folgt aufgrund der Eigenschaften yon Kongruenzabbildtmgen als Verkettung yon endlich vielen Geradenspiegelungen31: I(AC ) : I ( A ' C * ) /x I ( B C ) = I ( B ' C *) A w((x) : w(~*) A w(13) w(f~*) =

Satz 22:

Kongruenzsatz SSS Wenn die Dreiecke AABC und AA'B'C' in den L~ingen aller drei Seiten fibereinstimmen, dann sind sie zueinander kongruent. formal: 1 ( ~ ) : I(A'B')/x I(B~ ) : I(B'C')/x I(A~ ) = I ( A ' C ' ) 3 (p ~ K: cp(A) = A' A q~(B) = B' A q~(C) = C' also AABC -= AA'B'C'

3~ vgl. hierzu Definition 8, die Eigenschaften der Geradenspiegelung und Spiegelungsaxiom SA1

4.2.5 Kongruenz yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

161

Beweis: Zus~itzlich zu V1 und V2 gelten die Voraussetzungen m

V3: 1( BC ) = 1( B'C' ) und

V4: I(AC ) = I ( A ' C ' )

I(BC) : I(B'C') A I(BC) = I(B'C*)

/ V3, V2 (1)

I(B'C') = I(B'C*)

/ Sym., Trans. von ,,=" / V4, V2

I(AC ) = I(A'C')/x I(AC ) = I(A'C*)

(2) / Sym., Trans. von ,,="

I(A'C') = I(A'C*)

Annahme32: C* * C' Aus (l) und (2) folgt: A' liegt auf der Mittelsenkrechten zu C * C'.

/ Satz 2 und C* * C'

A B' liegt aufder Mittelsenkrechten zu C *C'.

/ Satz 2 und C* ~ C'

A'B' ist die Mittelsenkrechte zu C * C' und es gilt: Sxw(C*) = C'

/I1 / A' ~ B' in AA'B'C'

Das ist ein Widerspruch zu VI, dass C* und C' in derselben Halbebene von A'B' liegen. Die Annahme ist zu verneinen. Es gilt: C* = C'.

Satz 23:

/ .// -

~ c

Kongruenzsatz SWS Wenn die Dreiecke A A B C und AA'B'C' in zwei Seitenlgngen und der Gr6ge des eingeschlossenen Winkels iibereinstimmen, dann sind sie zueinander kongruent. formal: Seien A A B C und AA'B'C' Dreiecke mit dem Innenwinkel !3 bzw. 13'. 1( AB ) = 1(A'B') A 1( BC ) = l ( B ' C ' ) ^ w(13) = w(13') 3 q0 9 ~: q0(A) = A' A q0(B) = B' A cp(C) = C' also A A B C --- AA'B'C'

Beweis: Zus/itzlich zu V 1 und V2 gelten die Voraussetzungen V3: I ( B C ) = I ( B ' C ' )

und V4:w(13)=w(13 ')

32 Zu Grundlagen und Technik der indirekten Beweisfiihrung sei auf Gorski / Mtiller-Philipp 2008, Kapitel 0.3 verwiesen.

162

4 Abbildungsgeometrie

m

I(BC)=I(B'C')

A I(BC)=I(B'C*)

/ V3, V2

I(B'C') = I ( B ' C * )

(1)

/ Sym., Trans. yon ,,="

w(13) : w(f~') ^ w(13) : w(f~*) w(lY) : w(13*)

(2)

/ V4, V2 / Sym., Trans. von ,,="

Annahme: C* r C'

Es gilt: w(13*) :

w(lY)

/ wegen (2)

= w ( B ' C ~', B'A;) : w(B'C", B'A" )

B ' C ' ; = B'C'

/ C*, C' liegen nach V1 in der gleichen Halbebene von A'B' (3)

/ Folgerung aus W M A 4

Andererseits gilt: I(B'C')-I(B'C*)

A C*:~C'

B' liegt auf der Mittelsenkrechten m zu C* C'.

/ (1) und Annahme / Satz 2

Sm(C*)=C ' /~ S,,(B')=B' A Sm(B'C') = B'C ~' / Def. 1, Satz lc B'C" und B'C ~' liegen bis auf ihren Anfangspunkt B' in verschiedenen Halbebenen yon m, sind also nicht identisch. Das ist ein Widerspruch zu (3). Die Annahme ist zu verneinen. Es folgt: C* = C'.

Satz 24:

c

,eq, c*

Kongruenzsatz WSW Wenn die Dreiecke A A B C und AA'B'C' in der L~inge einer Seite und den Gr6Ben der beiden anliegenden Winkel fibereinstimmen, dann sind sie zueinander kongruent. formal: A A B C und AA'B'C' seien Dreiecke mit den Innenwinkeln ct, f3 bzw. cz', 13'. 1( AB ) = 1(A'B')/', w0z) = w(ot') ^ w(I3) = w(13') 3 r ~ K: q~(A)= A' ^ cp(B)= B' /x cp(C)= C' also A A B C ~- AA'B'C'

4.2.5 Kongruenz yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

163

Beweis:

Zus~itzlich zu V1 und V2 gelten die Voraussetzungen V3: w(o0 = w(ot') und V4: w(13) = w(13') w(o0 = w(a') /x w(ot) = w(ot*) w(et') = w(ct*)

(1)

/ V3, V2

w(13) = w(lY) ^ w(~) = w(l~*)

(2)

w(lY) = w(13*)

/ V3, V2 / Sym., Trans. von ,,="

/ Sym., Trans. von ,,="

Weil C' und C* nach V1 in derselben Halbebene von A'B' liegen folgt aus (1) und (2): w ( A @ , A ' C " ) = w ( A ' B " , A ' C ~') /x w ( B @ , B ' A " ) : w(B'C~',B'A '') A'C" = A ' C *

/ Folgerung aus WMA 4

^ B ' C ' = B'C~'

9 E s g i l t a l s o A'C" = A'C* Da diese beiden Halbgeraden (Punktmengen) gleich sind, stimmen sie nicht nur in ihrem Anfangspunkt A', sondern in allen Punkten fiberein. Insbesondere gilt auch C* ~ A'C". (3) Die Abbildung rechts zeigt m6gliche Lagen von C* auf A'C".

00Z "

Mc

Es gilt auch B'C" = B'C;. Analog zu oben folgt C* e B'C".

(4)

Da A', B' und C' Eckpunkte eines Dreiecks sind, kann B' nicht auf A'C' liegen (B' ~ A'C"). A'C" und B'C---"sind also verschieden. Zwei verschiedene Geraden (A'C' und B'C') k6nnen h6chstens einen Punkt gemeinsam haben 33. Das gilt erst Recht fiir zwei Teilmengen ( A ' C ' und B'C') dieser Geraden.

Y

A'

(5)

DaC'~ B'C' ^C'e A'C" C ' e B'C" ~ A'C; 33 vgl. Kapitel 3, Satz 1

(6)

/ Def. ,,c~"

\B,

164

4 Abbildungsgeometrie

9 Wegen (3) und (4) gilt: C* e B'C" A C* e A'C"

c* e B'C' c~ A'C' 9

/ Def. ,,n"

(7)

Weil die Halbgeraden B'C" und A'C' h6chstens einen Punkt gemeinsarn haben k6nnen (5), folgt aus (6) und (7): C* = C'.

Satz 25:

Kongruenzsatz SSWggs Wenn die Dreiecke AABC und AA'B'C' in den Lgngen zweier Seiten und der Gr6Be des Winkels, der der gr6geren der beiden Seiten gegeniiberliegt, iibereinstimmen, dann sind sie zueinander kongruent. formal: AABC und AA'B'C' seien Dreiecke mit dem Innenwinkel a bzw. ct'.

c

I(AB) = I(A'B')/x I(BC ) = I(B'C')/x I(BC) > I(AB) ^

w(~) = w(a') 3 q0 ~ N: q0(A) = A' /x r = B' /x r also AABC ~- AA'B'C'

= C'

Beweis: Zus/itzlich zu V1 und V2 gelten die Voraussetzungen

V3: I ( B C ) = I ( B ' C ' ) ,

w(a) w(W) ^ w(a) = w(a') w(a*) =

V4: I ( B C ) > I ( A B )

und V5: w(cz)=w(ct')

w(a*)

=

=

(1)

/ V5, V2 / Sym., Trans. von ,,="

(2)

/ Folgerung aus WMA 4

und da C*, C' in derselben Halbebene von A'B' liegen w( A'I3', A'C" ) = w( A't3', A'C '~)

A'C" = A ' C ; m

m

I ( B C ) = I ( B ' C ' ) /x I ( B C ) = I ( B ' C * ) I(B'C') = I ( B ' C * ) m

/ V3, V2 (3)

/ Sym., Trans. von ,,="

m

I(BC) > I(AB) I(B'C') > I ( A ' B ' )

/ V4

(4)

/ V3, V2

4.2.5 Kongruenz yon Strecken, Winkeln, Dreiecken

165

A n n a h m e : C* ~ C'

9 Wenn also C*~ C' und wenn wegen (3) femer I(B'C') = I ( B ' C * ) gilt, dann sind C* und C' verschiedene Punkte auf dem Kreis um B' mit

Ci

f--~-~..

dem Radius 1( B'C' ). A' liegt wegen (4) innerhalb dieses Kreises. 9 Dann schneiden die Halbgeraden A'C* und A'C" mit dem gemeinsamen Anfangspunkt A' diesen Kreis in verschiedenen Punkten (C*, C') und es gilt34: A'C" :~ A'C ~' . Das ist ein Widerspruch zu A'C" = A'C ~" (2). Die Annahme ist zu vemeinen. Es folgt: C* = C'

0bung:

1) Im Beweis der ,,Hirtrichtung" von Satz 18 (Streckenkongruenz) haben wir Dc, wit) ~ V X6 als diejenige Abbildung angegeben, die AB auf CD abbildet. a) Zeigen Sie jeweils mit einer Skizze, dass dies auch fiir besondere Lagen Lagel: A=C Lage2: A = D Lage3: A = C

der Strecken AB, CD gilt, n~imlich: ^ BeD /x B = C A B=D

b) Ffir die unter (a) genannten Sonderfiille lassen sich auch angeben, so dass cp( AB ) = CD .einfachere35 Kongruenzabbildungen q) als Dc, wO o V X~

Wir benutzen hier den Satz: Jede Halbgerade, deren Anfangspunkt im Innern eines Kreises liegt, schneidet diesen Kreis in genau einem Punkt. Auf einen Beweis verzichten wir an dieser Stelle. Mit einer ,,einfacheren" Kongruenzabbildung meinen wir eine solche, die sich aus einer kleineren Anzahl von nacheinander ausgeffihrten Geradenspiegelungen darstellen 1/isst.

166

4 Abbildungsgeometrie

2) Wir erinnern an die im Rahmen der Hinfiihrung zu den Kongruenzs~itzen in einer FuBnote aufgeworfenen Fragen. a) Wie viele M6glichkeiten der Dreieckskonstruktion mit drei aus sechs ,,Bestimmungsstiicken" gibt es eigentlich? b) Ffir wie viele dieser M6glichkeiten haben wir Kongruenzs~itze formuliert? c) Ffir wie viele der verbleibenden M6glichkeiten lieBen sich weitere Kongruenzs~itze formulieren? Formulieren Sie sie. d) Formulieren Sie alle verbotenen (falschen) Kongruenzs/itze. e) Nehmen Sie Stellung zu unserer Bemerkung: ,,Das ist eine vergleichsweise ,bescheidene Quote' bei so vielen M6glichkeiten." 3) Beweisen Sie die S/itze 20 und 21. 4) Def.: achsensymmetrisch Eine Figur F der Ebene heiBt achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade g gibt, so dass Sg(F) = F; m.a.W.: wenn also die Figur F durch die Geradenspiegelung Sg auf sich selbst abgebildet wird. Entsprechend definiert man die Dreh-, Punkt- trod Schubsymmetrie fiber die Existenz einer Drehung, Punktspiegelung bzw. Verschiebung, die die Figur F jeweils auf sich abbilden. Aus einer beliebigen Ausgangsfigur lassen sich achsensymmetrische Figuren durch Geradenspiegelung und das anschlieBende Vereinigen yon Urbild und Bild herstellen. Zeigen Sie dies ftir die Ausgangsfigur eines Dreiecks mit den Seitenl/ingen 3,5 cm, 4 cm und 5 cm und vier qualitativ unterschiedliche Lagen der Spiegelgeraden g.

5) Drehsymmetrische Figuren erh~ilt man durch fortgesetztes Drehen einer Figur F um denselben Drehpunkt mit einem Drehmag, das 360 ~ teilt und anschlieBender Vereinigung des Urbilds und aller Bilder. Erzeugen Sie aus dem Dreieck aus Aufgabe 4 vier verschiedene drehsymmetrische Figuren.

4.2.6 Deckabbildungsgruppen

167

4.2.6 Deckabbildungsgruppen Wir kniipfen an die Ubungen (4) und (5) des vorangegangenen Kapitels an und legen lest: Kongruenzabbildungen, die eine ebene Figur auf sich selbst abbilden, nennt man Deckabbildungen. Wir schauen uns einige einfache Figuren an und priifen, ob es zu ihnen Deckabbildungen gibt.

.."

f

f

!

...

g

Abb. 72 Das Parallelogramm wird durch eine Drehung um den eingezeichneten Drehpunkt auf sich selbst abgebildet, wenn man um 180~ dreht. Es ist

punktsymmetrisch. Das Rechteck ist ebenfalls punktsymmetrisch, zus~tzlich ist es aber auch Sowohl Sf als auch Sg bilden das Rechteck auf sich selbst ab. Da f I g folgt die Punktsymmetrie zwangsl/iufig aus dieser doppelten Achsensymmetrie (vgl. Satz 4).

achsensymmetrisch beziiglich seiner Mittelsenkrechten.

Das gleichseitige Dreieck besitzt sogar drei Symmetrieachsen f, g und h, und die Drehungen um den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten um 120~ und 240 ~ sind ebenfalls Deckabbildungen. Das Dreieck ist also auch drehsymmetrisch. Zum regelm~iBigen F/infeck geh6ren fiinf Geradenspiegelungen, und es l~isst sich um 72 ~ 144~ 216 ~ und 288 ~ drehen. Das Trapez aus Abbildung 72 ist nicht symmetrisch. Dennoch besitzt es wie jede noch so unregelm~iBige Figur eine Deckabbildung. Dies ist die Identit~it id (denken Sie an eine Drehung um 0~ Diese Deckabbildung soll stets dazugeh6ren, also auch bei den/.ibrigen Figuren aus Abbildung 72. So uninteressant Ihnen die identische Abbildung auch erscheinen mag, sie spielt eine ganz wichtige Rolle. Verkniipfen Sie eine beliebige Deckabbildung cp einer ebenen Figur mit id, so erhalten Sie als Ersatzabbildung dieser Verketttmg stets wieder r Die identische Abbildung id ist ftir die Verkettung von

168

4 Abbildungsgeometrie

Deckabbildungen also das, was die ,,1" fox die Multiplikation von rationalen Zahlen ist: das neutrale Element. ,,Logisch", werden Sie sagen: ,,Das muss ja so sein. SchlieBlich ist id in der Menge I~ das neutrale Element beziiglich der Verkettung ,,o" und die Menge der Deckabbildungen einer ebenen Figur ist nur eine Teilmenge von ~. Folglich ist id natiirlich auch in dieser Teilmenge das neutrale Element.", und Sie haben Recht. Wir untersuchen jetzt die Menge G der Deckabbildungen einer ebenen Figur mit der Verkniipfung ,,o". Als erste Figur betrachten wir das gleichseitige Dreieck. Die Menge G umfasst 6 Elemente:

C

G = {id, DM,120o,DM,240~ Sf, Sg, Sh}. Wir stellen im Folgenden ffir (G,o) schrittweise die Verknfipfungstafel (Abbildung 73) auf, ermitteln also, welche Abbildung jeweils durch die Nacheinanderausfilhrung zweier Elemente aus G dargestellt wird. Von den 36 m6glichen Verkettungen sind einige Verkettungsprodukte besonders einfach zu bestimmen: Da id o q) = q) o id = tp fiir alle Abbildungen cp aus G gilt36, stehen die erste Zeile und die erste Spalte der Tafel sofort fest. Die Verkniipfung zweier Drehungen um denselben Drehpunkt ist nach Satz 15a wieder eine Drehung um die Summe der DrehwinkelmaBe. Also gilt: DM,120 o o DM,120 o = DM,240 o , DM,120 o o DM,240 o = DM,360 o = DM,0~

= id

und

DM,240 o o DM,240 o = DM,480 o = DM,120 o .

Da die Geradenspiegelung eine involutorische Abbildung ist, gilt Sro Sf= Sg o Sg = Sh o Sh = i d . Fiir die fibrigen Felder der Tafel in Abbildung 73 miissen wir etwas mehr fiberlegen: Am besten zeichnet man die Ausgangsfigur (hier also das gleichseitige Dreieck) incl. der Spiegelachse und Eckenbezeichnungen, iibertr/igt das Dreieck (ohne die Spiegelachse) auf eine Folie und fiihrt die Abbildungen mit dieser 36 vgl. ,,Ihre" Argumentation oben

4.2.6 Deckabbildungsgruppen

169

Folie konkret handelnd aus. An der endgiiltigen Lage der Eckpunkte auf der Folie auf der Ausgangsfigur kann man die gesuchte Abbildung ablesen. A1temativ kann man auch die Figur nach jeder ausgefiihrten Abbildung skizzieren und Endzustand mit Ausgangszustand vergleichen37. Beispiel: Gesucht ist DM,120 o o

Sf.

,C

A

C

B

B

A

A

C

B

Insgesamt ist B auf B abgebildet worden, A und C haben die Pl~itze getauscht. Dies h/itten wir ersatzweise sofort durch Sg erreicht. Also gilt DM,~20oo Sf = Sg. Die Ersatzabbildungen ffir die Hintereinanderausfiihrung der Geradenspiegeltmgen k6nnen Sie prinzipiell genauso ermitteln, etwa durch wiederholtes Umwenden der Folie. Andererseits k6nnen Sie diese Verkettungsprodukte auch besonders effizient auf der Ebene der sprachlich-begrifflichen Erkenntnist/itigkeit durch Anwenden des Satzes 4 bestimmen: Sf o Sh muss DM.120o sein, da sich h und f in M schneiden und der Winkel yon h nach f 60 ~ betr~igt.

C i

....

i

....

So oder so fiillen Sie die noch fehlenden Zellen der Verkniipfungstafel in Abbildung 73. Wir vereinbaren, dass wir beim Aufstellen von Verkniipfungstafeln immer zuerst die Drehungen auffiihren und dass ferner die in der Kopfzeile der Tafel notierten Abbildungen diej enigen sind, die zuerst ausgefiihrt werden.

Konkrete Handlungen mit Dingen im drei- oder zweidimensionalen Raum sind die Basis jeder Raumvorstellung. Ikonisiemngen dieser Handlungen unterstiitzen das Verinnerlichen dieser Handlungen. Damit f'6rdern beide oben vorgeschlagenen Vorgehensweisen das r/iumliche Vorstellungsverm6gen (bzw. das r/iumliche Operieren) und sind in keiner Weise ,,minderwertige" Strategien der Erkermtnist/itigkeit.

170

4 Abbildungsgeometrie

o

id

DM,120o DM.240o Sf

Sg

Sh

id

id

DM,120o DM,240o Sf

Sg

Sh

DM.120 o :DM,120 o DM,240 o

id

Sg

Sh

Sf

DM,240o DM,240o id

DM,120o Sh

Sf

Sg

Sf

Sf

Sh

Sg

id

DM,240 o DM,120 o

Sg

Sg

Sf

Sh

DM,120o id

Sh

Sh

Sg

Sf

DM,240o DM,120o id

DM,240o ]

Abb. 73 In Abbildung 73 sind alle Verkettungen der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks unter Beriicksichtigung der o.g. Konventionen zusammengestellt. Wir fragen: Ist die Menge der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks mit der Verkettung ,,o" eine Gruppe? Wir priifen die Gruppeneigenschaften mit Hilfe der Verknfipfungstafel: a) Zun/ichst erkennen wir, dass in der Tafel nur Elemente aus G auftreten. Die Nacheinanderausftihrung der Deckabbildungen ist also abgeschlossen.

b) Weiter bemerken wit, dass sich die Tabelleneing~inge in der ersten Zeile bzw. der ersten Spalte wiederholen. Die identische Abbildung id ist also das neutrale Element. c) Mit zunehmender Begeisterung stellen wir fest, dass id in jeder Zeile und in jeder SpaRe einmal auftritt. Zu jeder Deckabbildung gibt es also ein inverses Element: Die Geradenspiegelungen und id sind zu sich selbst invers, D M , | 2 0 o und DM,240osind zueinander invers. d) Die Giiltigkeit des Assoziativgesetzes kann der Verkniipfungstafel nicht augenscheinlich entnommen werden. Sie kSnnte jetzt einzeln flit jede mSgliche Kombination gezeigt werden. Dieses Vorgehen sei dem fleiBigen Leser zur 0bung fiberlassen. Wenn Sie sich dieser Lesergmppe nicht zurechnen, was wit insgeheim hoffen, kSnnen Sie argumentieren: ,,Die Verketttmg yon Kongmenzabbildung ist assoziativ (Satz 16b). Die Menge

4.2.6 Deckabbildungsgruppen

171

der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks ist eine Teilmenge aller Kongruenzabbildungen, fiir die die Assoziativitiit dann natiirlich auch gilt." Aus (a) bis (d) folgt: Die Menge der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks mit der Verkettung ,,o" ist eine Gruppe. Mit Hilfe der Verkniipfungstafel erkennen wir schlieBlich, dass die Deckabbildungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks nicht kommutativ ist. So gilt z.B. DM,240o o Sh = Sg :~ Sf = Sh o DM.240o. W~ire diese Deckabbildungsgruppe kommutativ, miisste die Verkniipfungstafel offensichtlich symmetrisch zur Hauptdiagonalen sein. Wir bleiben beim gleichseitigen Dreieck, in das wir die Symmetrieachsen einzeichnen. Das Dreieck wird dadurch in sechs kleine Dreiecke zerlegt, yon denen wir einige schwarz f~rben (Abbildung 74a - 74c). Auf diese Weise sollen absichtlich einige der urspriinglich vorhandenen Symmetrien zerst6rt werden. Wir untersuchen die neu entstandenen Figuren auf Deckabbildungen trod stellen ffir die modifizierten Figuren die Verkn/.ipfungstafeln auf.

id

id

DM,120oDM,240~ id DM,240o DM,240o id DM,120o DM,I20 o DM,120 o DM,240 o

Abb. 74a

id Sr

id Sf

Abb. 74b

Sf

id

I id J

id

Abb. 74c

Beim ersten Dreieck sind weiterhin die Drehungen Deckabbildungen der Figur, die Achsenspiegelungen sind durch die Farbung verschwunden. Die Deckabbildungen dieses Dreiecks sind eine Teilmenge der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks, und ein Blick auf die Verkniipfungstafel zeigt, dass auch sie eine Gruppe bilden. Sie bilden eine Untergruppe der Deckabbildungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks. Abbildung 74a zeigt dariiber hinaus, dass die Untergruppe der Drehungen kommutativ ist.

172

4 Abbildungsgeometrie

Auch die Deckabbildungen der beiden iibrigen Dreiecke bilden zusammen mit der Verkettung ,,o" Gruppen. Beim dritten Dreieck in Abbildung 74c ist dies die triviale Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht. Es gibt noch eine weitere triviale Untergruppe, das ist die Gruppe selbst. Beim Dreieck in Abbildung 74b h/itte man auch so fiirben k6nnen, dass wir nicht zu ({id, Sf},o), sondem zu den Untergruppen ({id, Sg},o) oder ({id, Sh},O) gekommen w~iren. Damit haben wir alle Untergruppen der Deckabbildungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks gefunden: die trivialen Untergruppen (G,o) und ({id},o), die Untergruppe der Drehungen ({id, DM.120o,DM,240~ ~ sowie die Untergruppen ({id, Sf},o), ({id, Sg},O) und ({id, Sh},O). Weitere Untergruppen kann es nicht geben. Betrachtet man zum Beispiel ({id, DM.I20o},O), SO liegt das Verkettungsprodukt DM,120o ~ DM.120o = DM.240~ nicht mehr in {id, DM.120o}.Betrachtet man id mit zwei Geradenspiegelungen hinsichtlich ,,o", also zum Beispiel ({id, St, Sg},O), so entstehen Drehungen als Verkettungsprodukte, die in der betmchteten Teilmenge von G nicht enthalten sind. Da all diese Gebilde also bereits nicht abgeschlossen sind, erfibrigt sich die 0-berpriifung der weiteren Gruppeneigenschaften. Hilfreich bei der Suche nach Untergruppen ist der folgende Satz, auf dessen Beweis wir an dieser Stelle verzichten: Satz 26:

Die Untergruppenordnung ist stets ein Teiler der Gruppenordnung. Unter der Ordnung versteht man dabei die Anzahl der Elemente.

Wir verlassen das gleichseitige Dreieck und wenden uns den Deckabbildungen des Quadrats zu. Ausgehend vonder Deckabbildungsgruppe des Quadrats werden wir eine Systematik in die uns bekannten Viereckstypen Quadrat, Rechteck, Raute, Drachen, Parallelogramm und Trapez bringen. Die Menge der Deckabbildungen des Quadrates umfasst acht