Algebraische Geometrie 003

Algebraische Geometrie

Vorlesung an der Universit¨at Fribourg, WS2005/06

Andreas Bernig

D´epartement de Math´ematiques Chemin du Mus´ee 23 CH-1700 Fribourg

e-mail: [email protected]

Version: 8. Februar 2006

1

Inhaltsverzeichnis Kapitel I. Affine Variet¨aten 1. Motivation 2. Definition affiner Variet¨aten 3. Koordinatenringe, regul¨are Funktionen und Morphismen

1 1 3 4

Kapitel II. Kommutative Algebra und Zariski-Topologie 1. Noethersche Ringe und Moduln 2. Hilberts Basissatz 3. Noethersche topologische R¨aume 4. Zariskitopologie

9 9 10 11 12

Kapitel III. Hilberts Nullstellensatz 1. Ganze Elemente 2. K¨orpererweiterungen 3. Nullstellensatz 4. Grundideen der modernen Algebraischen Geometrie 5. W¨orterbuch Algebra-Geometrie

15 15 18 19 22 23

Kapitel IV. Gr¨obnerbasen 1. Univariater Fall: Euklidischer Algorithmus 2. Termordnungen 3. Gr¨obnerbasen 4. Buchbergeralgorithmus 5. Nulldimensionale Ideale

25 25 25 28 31 33

Kapitel V. Projektive Variet¨aten 1. Projektiver Raum 2. Projektive Variet¨aten 3. Grassmann-Variet¨aten 4. Projektiver Nullstellensatz 5. Regul¨are Funktionen 6. Projektionen

35 35 36 38 39 41 42

Kapitel VI. Dimension 1. Geometrische Definition der Dimension 2. Segre-Einbettung und generische Schnitte 3. Morphismen 4. Transzendenzgrad von K¨orpererweiterungen 5. Rationale Funktionen

47 47 49 49 52 54

-1

0

INHALTSVERZEICHNIS

6. Dimension von Variet¨aten 7. Das Hilbertpolynom

57 60

Kapitel VII. Bezouts Theorem 1. Grad von projektiven Variet¨aten 2. Bezouts Theorem

65 65 67

Kapitel VIII. Reelle algebraische Geometrie 1. Geordnete und reell abgeschlossene K¨orper 2. Semialgebraische Mengen 3. Tarski-Seidenberg-Prinzip 4. Z¨ahlen reeller Nullstellen 5. Hilberts 17. Problem

69 69 73 74 75 78

Literaturverzeichnis

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KAPITEL I

Affine Variet¨ aten 1. Motivation Wie man in der Linearen Algebra lernt, lassen sich lineare Gleichungssysteme u ¨ber einem K¨orper k immer explizit l¨osen. Abh¨angig von einfach auszurechnenden Invarianten (Rang, Determinante usw.) l¨asst sich entscheiden, ob eine L¨osung existiert und man kann alle L¨osungen explizit angeben (eventuell von einem oder mehreren Parametern in k abh¨angig). Die Menge der L¨osungen bildet einen affinen Unterraum eines endlich-dimensionalen k-Vektorraums. Liegen die Koeffizienten alle in einem festen Unterk¨orper k0 ⊂ k und gibt es L¨osungen in k, so auch in k0 . Ist z.B. k0 = Q, so kann man die rationalen L¨osungen eines linearen Gleichungssystems mit rationalen Koeffizienten explizit bestimmen. Denkt man beispielsweise an den Gauss’schen Algorithmus, so l¨ost man Gleichungen durch mehrere Additionen und Divisionen. Ein K¨orper k erf¨ ullt genau die daf¨ ur notwendigen Axiome: man kann in ihm addieren und dividieren. M¨ochte man lineare Gleichungssysteme u ¨ ber einem Ring (z.B. Z) l¨osen, so wird die Theorie schon etwas schwieriger (ist aber dennoch vollst¨andig). Was passiert, wenn man nicht lineare, sondern polynomiale Gleichungssysteme betrachtet? Genau mit dieser Frage besch¨aftigt sich die Algebraische Geometrie. Schon die einfache Gleichung x2 = −1 hat u ¨ber dem K¨orper R der reellen Zahlen keine L¨osung. Um beliebige Gleichungssysteme zu l¨osen, sollte man erst einmal Nullstellen von Polynomen finden k¨onnen. Also ist es sinnvoll anzunehmen, dass der K¨orper k algebraisch abgeschlossen ist. Hat man n Unbekannte, so ist die L¨osungsmenge eine Teilmenge von k n , affine Variet¨at genannt. Im allgemeinen interessiert man sich nicht f¨ ur die L¨osungen im algebraisch abgeschlossenen K¨orper, sondern in einem gegebenen Unterk¨orper (z.B. R f¨ ur reelle Probleme oder Q f¨ ur zahlentheoretische Probleme). Trotzdem ist es sinnvoll, sich zun¨achst alle L¨osungen in k n anzuschauen, da diese geometrisch einfacher zu behandeln sind. Beispiel: Man finde alle rechtwinkligen Dreiecke mit ganzzahligen Seitenl¨angen. Bezeichnet man die Seitenl¨angen mit a, b, c, so soll also a, b, c ∈ N und a2 + b2 = c2 gelten. Mit p := a/c, q := b/c ist das ¨aquivalent zu p2 + q 2 = 1, p, q ∈ Q, p, q > 0. Betrachten wir die Gleichung p2 + q 2 = 1 1

2

¨ I. AFFINE VARIETATEN

zun¨achst als Gleichung u ur jeden Wertpvon p gibt es genau ¨ber C. F¨ zwei Werte von q, die die Gleichung l¨osen: q = ± 1 − p2 (falls p = ±1, so fallen diese L¨osungen zusammen). F¨ ur reelle L¨osungen ist es schon etwas schwieriger: es muss |p| ≤ 1 sein, damit q reell wird. Die Menge {(p, q) ∈ R2 : p2 + q 2 = 1} ist nat¨ urlich gerade der Einheitskreis in R2 . Jetzt wollen wir das urspr¨ ungliche Problem l¨osen, d.h. alle rationalen Punkte auf dem Einheitskreis finden. Das kann man sehr anschaulich auf folgende Weise l¨osen: man nehme eine Gerade durch den Punkt (−1, 0), deren Anstieg rational ist. Schneidet diese den Einheitskreis in einem weiteren Punkt, so hat dieser rationale Koordinaten (das beruht darauf, das ein quadratisches Polynom mit rationalen Koeffizienten und einer rationalen Nullstelle auch die andere Nullstelle rational 1−α2 haben muss). Ist α ∈ Q der Anstieg der Gerade, so erh¨alt man p = 1+α 2 2α . und q = 1+α 2 Beispiel: Es gibt keine ganzen Zahlen mit an + bn = cn , abc 6= 0, n ≥ 3. Diese Vermutung von Fermat hat wesentlich zur Entwicklung der Algebraischen Geometrie beigetragen. Wie im Fall n = 2 ist es wieder ¨aquivalent, rationale L¨osungen von pn + q n = 1 zu finden. Die Menge der reellen L¨osungen ist eine geschlossene, kreis¨ahnliche Kurve. Schon im Fall n = 3 versagt das obige Verfahren. Die Menge der komplexen L¨osungen ist dann eine elliptische Kurve. Hat ein rationales kubisches Polynom eine rationale Nullstelle, so m¨ ussen die beiden anderen Nullstellen nicht auch rational sein. Allerdings ist es richtig, dass die dritte Nullstelle rational ist, wenn es die beiden anderen sind. Diese Idee benutzt man, um die Menge der rationalen L¨osungen mit einer Gruppenstruktur zu versehen. Hat man zwei rationale L¨osungen, so ist ihr Produkt (bzgl. dieser Gruppenstruktur) im wesentlichen der dritte Schnittpunkt der Gerade durch diese beiden L¨osungen mit der elliptischen Kurve. Der allgemeine Fall n > 3 kann durch einen Trick ebenfalls auf das Studium der rationalen Punkte einer elliptischen Kurve zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Mit Hilfe sehr tiefliegenden Argumente- aus der Algebraischen Geometrie, aber auch der Darstellungstheorie- konnte A. Wiles die Fermat’sche Vermutung 1994 beweisen. Beispiel: Das Gleichungssystem x2 + y 2 = 1, x + y = 5 kann u ¨ber C schnell gel¨ost werden: x muss die Gleichung x2 + (5 − x)2 = 1 erf¨ ullen¨ welche zwei L¨osungen hat. Uber R gibt es aber u ¨ berhaupt keine L¨osung! Geometrisch ist die L¨osungsmenge der Durchschnitt des Einheitskreises x2 + y 2 = 1 mit der Gerade x + y = 5. Die Anzahl der komplexen L¨osungen ist gegeben durch den Grad der Gerade (1) multipliziert mit dem Grad des Einheitskreises (2). Ein sehr allgemeines und wichtiges Theorem- Bezout’s Theorem- kann benutzt werden, um die Anzahl der (komplexen) L¨osungen eines polynomialen Systems auszurechnen. Diese Beispiele zeigen uns zwei Dinge. Erstens ist es n¨ utzlich, sich alle L¨osungen in einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper anzuschauen-

¨ 2. DEFINITION AFFINER VARIETATEN

3

selbst wenn man L¨osungen in einem Unterk¨orper sucht. Zweitens sollte man alle L¨osungen als geometrisches Gebilde verstehen. Das Zusammenspiel von geometrischen Eigenschaften einer solchen affinen Variet¨at und den algebraischen Eigenschaften des Gleichungssystems ist der zentrale Gegenstand der Algebraischen Geometrie. 2. Definition affiner Variet¨ aten ten!

Achtung: vari´et´e“ kann sowohl Variet¨ at“ als auch Mannigfaltigkeit“ bedeu” ” ”

Sei k ein K¨orper. F¨ ur endlich viele Variable X1 , . . . , Xn bezeichnen wir den Polynomring u ¨ber k mit k[X1 , . . . , Xn ]. Sei S ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] eine beliebige (eventuell unendliche) Menge von Polynomen. Dann definieren wir V(S) := {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ k n : p(x1 , . . . , xn ) = 0∀p ∈ S} Eine Teilmenge V ⊂ k n , die sich in dieser Form darstellen l¨asst, heisst affine Variet¨at oder algebraische Menge in k n . Besteht S nur aus einem Element, so heisst V(S) Hyperfl¨ache. Lemma 2.1. Ist I ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] das von S erzeugte Ideal, so ist V(I) = V(S).

P Proof. I besteht aus allen endlichen Linearkombinationen kj=1 gj pj mit pj ∈ S und gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Da S ⊂ I, gilt trivialerweise Pk V(I) ⊂ V(S). Ist x ∈ V(S) und h = j=1 gj pj ∈ I, so ist h(x) = Pk  j=1 gj (x) pj (x) = 0. Also ist x ∈ V(I). | {z } =0

In Kapitel II wird gezeigt, dass sich jede affine Variet¨at darstellen l¨asst als Durchschnitt von endlich vielen Hyperfl¨achen, also in der Form V({p1 , . . . , pk }). Beispiel:

• F¨ ur jeden K¨orper k sind ∅ = V(1) und k n = V(∅) affine Variet¨aten. • Ist k = Q, so ist die durch x2 = 2 definierte affine Variet¨at in k leer. F¨ ur k = R enth¨alt sie zwei Punkte. • Die durch x21 + x22 = 0 definierte affine Variet¨at in R2 ist der Einheitskreis. F¨ ur k = Q besteht sie genau aus den rationalen Punkten des Einheitskreises. Lemma 2.2. a) Der Durchschnitt von beliebig vielen affinen Variet¨aten ist wieder eine affine Variet¨at. b) Die Vereinigung von endlich vielen affinen Variet¨aten ist wieder eine affine Variet¨at.

¨ I. AFFINE VARIETATEN

4

Proof. gilt

a) F¨ ur jede Indexmenge J und Teilmengen Sj ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] \

j∈J

V(Sj ) = V

[

j∈J

Sj

!

(1)

woraus die Aussage folgt. b) Es reicht zu zeigen, dass die Vereinigung von zwei affinen Variet¨aten wieder eine affine Variet¨at ist. Sei V1 = V(S1 ) und V2 = V(S2 ) mit S1 , S2 ⊂ k[X1 , . . . , Xn ]. Definiere S := S1 · S2 = {p1 p2 : p1 ∈ S1 , p2 ∈ S2 }. Dann ist V1 ∪ V2 = V(S).



Beispiel: F¨ ur d ∈ N definieren wir die Menge

Vd := {(1, t, t2 , . . . , td ) ∈ Cd+1 : t ∈ C}

und behaupten, dass Vd eine affine Variet¨at ist. Dazu betrachten wir das polynomiale Gleichungssystem X0 = 1, Xi = X1i ,

i = 2, . . . , d

Man sieht sofort, dass die L¨osungen genau die Punkte von Vd sind. Man hat d Gleichungen in einem d+1-dimensionalen Raum und die entsprechende Variet¨at (d.h. Vd ) ist (komplex) 1-dimensional“. Wir werden ” sehen, dass dies das typische Verhalten ist, wenn der Grundk¨orper algebraisch abgeschlossen ist. Jetzt betrachten wir eine Hyperebene in Cd+1 , d.h. eine Menge H der Form H = {(x0 , . . . , xd ) ∈ C

d+1

:

d X i=0

ai xi = 0}, ai ∈ C, nicht alle ai = 0.

Dann sind die Punkte von H∩Vd genau die Punkte (1, t, t2 , . . . , td ), t ∈ P C mit di=0 ai ti = 0, stehen also in Bijektion zu den Nullstellen des P Polynoms di=0 ai X i . Z¨ahlt man die Nullstellen mit Vielfachheiten, so sieht man, dass H ∩ Vd genau d Punkte enth¨alt. Das entspricht genau dem Grad von Vd (der d ist) multipliziert mit dem Grad von H (der P 1 ist). Das stimmt allerdings nicht ganz: falls das Polynom di=0 ai X i konstant ist, so hat es keine Nullstellen. Dann schneiden sich H und Vd allerdings im Unendlichen“mit Vielfachheit d. Das wird alles noch ” pr¨azise gemacht und f¨ uhrt auf Bezout’s Theorem. 3. Koordinatenringe, regul¨ are Funktionen und Morphismen Sei V ⊂ k n eine affine Variet¨at. Eine Funktion f : V → k heisst regul¨ar, falls sie Einschr¨ankung einer polynomialen Funktion auf k n ist.

¨ 3. KOORDINATENRINGE, REGULARE FUNKTIONEN UND MORPHISMEN 5

Bezeichnet man die Menge der regul¨aren Funktionen auf V mit Γ(V ), so hat man also eine surjektive Abbildung k[X1 , . . . , Xn ] → Γ(V ) p 7→ p|V

Der Kern dieser Abbildung ist das Ideal aller Polynome, die auf V verschwinden und wird mit I(V ) bezeichnet. Es gilt also Γ(V ) = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V )

Allgemeiner definiert man f¨ ur eine beliebige Teilmenge X ⊂ k n I(X) := {p ∈ k[X1 , . . . , Xn ] : p(x) = 0∀x ∈ X}

Definition 3.1. • Seien V ⊂ k n , W ⊂ k m affine Variet¨aten. Eine Abbildung φ : V → W heisst regul¨ar (oder Morphismus), wenn alle Komponenten von φ regul¨ar sind (d.h. πi ◦ φ ∈ Γ(V ), wobei πi : k m → k die Projektion auf die i-te Koordinate ist). • V und W heissen isomorph, wenn es regul¨are Abbildungen φ : V → W und ψ : W → V mit ψ ◦ φ = idV und φ ◦ φ = idW gibt. In der Algebraischen Geometrie betrachtet man isomorphe affine Variet¨aten als gleich “, d.h. eine abstrakte Variet¨at wird definiert als ” ¨ Aquivalenzklasse (bzgl. Isomorphie) von affinen Variet¨aten. Betrachten wir die beiden Gleichungssysteme und

x21 + x22 − 1 = 0 y2 + y32 + 2y3 = 0 y12 − y2 = 0

Die dadurch definierten affinen Variet¨aten in R2 und R3 sind isomorph: die Abbildungen (x1 , x2 ) 7→ (x1 , x21 , x2 − 1) und (y1 , y2 , y3 ) 7→ (y1 , y3 + 1) liefern einen Isomorphismus. Es ist also nicht schwerer, das zweite Gleichungssystem zu l¨osen als das erste, alle L¨osungen ergeben sich durch eine polynomiale Transformation der L¨osungen der ersten Gleichung. Diese Strategie zum L¨osen von polynomialen Gleichungssystemen kann so beschrieben werden: gegeben ein polynomiales Gleichungssystem, dessen L¨osungen wir suchen. Es beschreibt eine affine Variet¨at V in einem Vektorraum k n . Suche eine dazu isomorphe affine Variet¨at W in einem Vektorraum k m , deren L¨osungen einfacher zu finden sind. Dann ergeben sich die L¨osungen des gegebenen Systems durch eine polynomiale Transformation. Man kann zum Beispiel versuchen, eine zu V isomorphe Variet¨at W ⊂ k m mit m m¨oglichst klein zu finden, oder eine glatte “ Variet¨at W . ” Ein konkretes Hilfsmittel, um W zu finden, stellen Gr¨obnerbasen dar, siehe Kapitel IV. Satz 3.2. Seien V ⊂ k n und W ⊂ k m affine Variet¨aten.

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¨ I. AFFINE VARIETATEN

a) Ist φ : V → W regul¨ar, so gibt es einen induzierten k-AlgebraHomomorphismus φ∗ : Γ(W ) → Γ(V ). b) Ist umgekehrt α : Γ(W ) → Γ(V ) ein k-Algebra-Homomorphismus, so gibt es eine regul¨are Abbildung φ : V → W mit φ∗ = α. c) V und W sind isomorphe affine Variet¨aten genau dann, wenn Γ(V ) und Γ(W ) isomorphe k-Algebren sind. Proof. a) Sei φ : V → W eine regul¨are Abbildung. Nach Definition gibt es Polynome p1 , . . . , pm ∈ k[X1 , . . . , Xn ] mit φ(x1 , . . . , xn ) = (p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , pm (x1 , . . . , xm )). Wir behaupten, dass der k-Algebra-Homomorphismus β : k[Y1 , . . . , Ym ] → k[X1 , . . . , Xn ] Yi 7→ pi

einen k-Algebra-Homomorphismus Γ(W ) → Γ(V ) induziert. Zun¨achst haben wir die nat¨ urliche Projektionsabbildung γV : k[X1 , . . . , Xn ] → Γ(V ),

(2)

die ebenfalls ein k-Algebra-Homomorphismus ist. Sei jetzt f ∈ I(W ). Da β ein Algebra-Homomorphismus ist, gilt β(f )(X1 , . . . , Xn ) = f (p1 (X1 , . . . , Xn ), . . . , pm (X1 , . . . , Xn ))

(3)

Setzt man einen Punkt aus V in die rechte Seite der Gleichung ein, so ergibt sich 0, da das Bild von φ in W liegt und f ∈ I(W ). Es folgt dass β(f ) ∈ I(V ) = ker γV ist. Also ist I(W ) im Kern von γV ◦ β. Daher gibt es einen induzierten k-AlgebraHomomorphismus von Γ(W ) = k[Y1 , . . . , Ym ]/I(W ) nach Γ(V ). b) Sei α : Γ(W ) → Γ(V ) ein k-Algebra-Homomorphismus. Da Abbildung (2) surjektiv ist, gibt es einen Algebra-Homomorphismus β, so dass das folgende Diagramm kommutiert: β

k[Y1 , . . . , Ym ] −→ k[X1 , . . . , Xn ] ↓ ↓ α Γ(W ) −→ Γ(V )

Es reicht dazu, f¨ ur i = 1, . . . , m ein Polynom pi ∈ k[X1 , . . . , Xn ] zu nehmen, dessen Bild gleich α(Yi + I(W )) ∈ Γ(V ) ist und die Abbildung Yi 7→ pi zu einem Algebra-Homomorphismus zu erweitern. Jetzt definieren wir φ : V → km,

(x1 , . . . , xn ) 7→ (p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , pm (x1 , . . . , xn ))

Offenbar ist φ eine regul¨are Abbildung. Da W eine affine Variet¨at ist, gilt W = V(I(W )), wir m¨ ussen also zeigen, dass f ◦ φ = 0 ist f¨ ur alle f ∈ I(W ).

¨ 3. KOORDINATENRINGE, REGULARE FUNKTIONEN UND MORPHISMEN 7

Da β ein Algebra-Homomorphismus ist, gilt wieder Gleichung (3). Da das obige Diagramm kommutiert, ist β(f ) ∈ I(V ). Setzt man also (x1 , . . . , xn ) ∈ V in Gleichung (3) ein, so ergibt sich 0 = f (p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , pm (x1 , . . . , xn )) = f ◦ φ(x1 , . . . , xn ).

c) Folgt sofort aus (a) und (b).



KAPITEL II

Kommutative Algebra und Zariski-Topologie 1. Noethersche Ringe und Moduln Zur Erinnerung: Ein Ring ist eine abelsche Gruppe, die mit einer assoziativen Multiplikation versehen ist, so dass das Distributivgesetz gilt. Ein Ring R heisst unit¨ ar, wenn es ein neutrales Element 1 bez¨ uglich der Multiplikation gibt. Im folgenden werden wir nur kommutative, unit¨ are Ringe betrachten, ohne dies zu erw¨ ahnen. Ein Ideal in einem Ring R ist eine Untergruppe I ⊂ R mit rI ⊂ I f¨ ur alle r ∈ R. Der Durchschnitt von beliebig vielen Idealen eines Ringes ist wieder ein Ideal. F¨ ur endlich viele Elemente r1 , . . . , rk ∈ R heisst der Durchschnitt aller Ideale, die diese Elemente enthalten, das von r1 , . . . , rk erzeugte Ideal. Ideale dieser Form heissen endlich erzeugt. Im allgemeinen gibt es Ideale, die nicht endlich erzeugt sind. Definition 1.1. Ein Modul u ¨ber einem Ring R ist eine abelsche Gruppe M , versehen mit einer Operation von R, so dass die folgenden Bedingungen f¨ ur alle r, s ∈ R und x, y ∈ M erf¨ ullt sind: 1x = x, r(sx) = (rs)x, r(x + y) = rx + ry, (r + s)x = rx + sx. Ein Untermodul eines Moduls M ist eine Untergruppe N ⊆ M , so dass rx ∈ N f¨ ur alle r ∈ R, x ∈ N gilt. Der Untermodul N heisst endlich erzeugt, wenn es endlich viele Elemente x1 , . . . , xk ∈ M gibt so dass N der Durchschnitt der x1 , . . . , xk enthaltenden Untermoduln ist. Ist R ein K¨orper, so ist ein R-Modul einfach ein Vektorraum u ¨ber R. Ein Ring R kann trivialerweise als R-Modul aufgefasst werden. Dann sind Untermodule von R gerade die Ideale. Definition und Satz 1.2. F¨ ur einen R-Modul M sind die drei folgenden Bedingungen ¨ aquivalent: a) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt. b) Jede Folge M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . von Untermoduln von M ist station¨ar. c) Jede nicht-leere Menge von Untermoduln von M besitzt ein maximales Element. Sind diese Bedingungen erf¨ ullt, nennt man M einen noetherschen Modul. Der Ring R selbst heisst noethersch, wenn er als R-Modul aufgefasst noethersch ist (in diesem Fall sind die Untermoduln genau die Ideale von R). 9

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II. KOMMUTATIVE ALGEBRA UND ZARISKI-TOPOLOGIE

Proof. a) → b): Sei M0 ⊂ M1 ⊂ . . . eine aufsteigende Folge von Untermoduln von M . Dann ist M 0 := ∪∞ i=0 Mi ein Untermodul von M , also nach Voraussetzung (1) endlich erzeugt. Es gibt also Elemente x1 , . . . , xn ∈ M , die M 0 erzeugen. Sei i so gross, dass x1 , . . . , xn ∈ Mi . Dann ist Mi = M 0 , also auch Mi = Mi+1 = · · · . b → c): Angenommen es gibt eine nicht-leere Teilmenge S von Untermoduln von M ohne maximales Element. W¨ahle M0 ∈ S. Da M0 nicht maximal ist, gibt es M1 ∈ S mit M0 ⊂ M1 , M1 6= M1 . Induktiv konstruiert man Mi ∈ E mit Mi−1 ⊂ Mi , Mi−1 6= Mi . Die Folge M0 ⊂ M1 ⊂ . . . von Untermoduln von M ist also nicht station¨ar, im Widerspruch zu (1). c) → a): Sei N ⊂ M ein Untermodul. Setze S := {M 0 ⊂ N : M 0 endlich erzeugt}

Dann ist S 6= ∅, da (0) ∈ S. Nach (3) besitzt S ein maximales Element M 0 . W¨are M 0 6= N , so g¨abe es x ∈ N \ M 0 . Dann ist auch M 00 := M + Rx ein endlich erzeugter Untermodul von N , im Widerspruch zur Maximalit¨at von M 0 . Also ist N = M 0 und damit ist N endlich erzeugt.  Beispiel: • Jeder endlich-dimensionale Vektorraum u ¨ ber einem K¨orper k ist noethersch. • Jeder Hauptidealring ist noethersch. • Der Ring k[x1 , x2 , . . .] der Polynome in unendlich vielen Variablen ist nicht noethersch. Satz 1.3. Jeder endlich erzeugte R-Modul u ¨ber einem noetherschen Ring R ist noethersch. Proof. Ohne Beweis.



2. Hilberts Basissatz Theorem 2.1. (Hilberts Basissatz) Ist R ein noetherscher Ring, so ist der Polynomring R[x] noethersch. Proof. Sei I ⊂ R[x] ein Ideal. Wir m¨ ussen zeigen, dass I endlich erzeugt ist. Setze  J := r ∈ R : ∃ Polynom P (x) = rxd + Terme kleineren Grades, P ∈ I .

J ist also die Menge der Leitkoeffizienten der Polynome in I. Da I ein Ideal in R[x] ist, folgt leicht dass J ein Ideal in R ist. Nach Voraussetzung ist R noethersch und somit J durch endlich viele Elemente r1 , . . . , rn ∈ R erzeugt. F¨ ur jedes i = 1, . . . , n w¨ahlen wir ein Polynom Pi ∈ I mit Leitkoeffizienten ri . Sei d das Maximum der Grade dieser Polynome. F¨ ur k < d sei Jk die Menge der Leitkoeffizienten von Polynomen in I vom Grad k plus das Nullelement. Jk ist ebenfalls ein Ideal, in

¨ 3. NOETHERSCHE TOPOLOGISCHE RAUME

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R also durch endlich viele Elemente erzeugt r1k , . . . , rnk k erzeugt. Seien P1k , . . . , Pnkk ∈ I Polynome vom Grad k mit diesen Leitkoeffizienten. Sei I 0 ⊂ R[X] das Ideal, welches von den Polynomen P1 , . . . , Pn , k P1 , . . . , Pnkk , k = 0, . . . , d − 1 erzeugt wird. Wir behaupten, dass I 0 = I ist und damit I endlich erzeugt ist. Trivialerweise gilt I 0 ⊆ I. Angenommen, I 6⊆ I 0 . Dann gibt es ein Polynom P ∈ I \ I 0 . Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir annehmen, dass der Grad von P minimal ist. Wir unterscheiden zwei F¨alle. Nehmen wir zun¨achst an, dass der Grad von P mindestens d ist. Der Leitkoeffizient r von P l¨asst sich P darstellen als r = ni=1 si ri , si ∈ R. Dann liegt 0

P := P −

n X

si Pi X deg(P )−deg(Pi )

i=1

ebenfalls in I (da Pi ∈ I), hat aber kleineren Grad als P . Nach Minimalit¨at von P ist P 0 ∈ I 0 . Da aber auch Pi ∈ I 0 w¨ urde folgen, dass P ∈ I 0 , Widerspruch. Nehmen wir jetzt an, dass der Grad von P kleiner als d ist, sagen wir k < d. Ist wieder Pnkr ∈ Jkk der Leitkoeffizient von P , so kann man r darstellen als r = i=1 si ri , si ∈ R. Dann hat P 0 := P −

nk X

si Pik

i=1

kleineren Grad als P , liegt in I und damit in I 0 und es ergibt sich wie oben ein Widerspruch.  Korollar 2.2. Der Polynomring k[X1 , . . . , Xn ] ist noethersch. Proof. Da k ein K¨orper ist, ist k noethersch. Die Aussage folgt per Induktion aus Theorem 2.1, denn k[X1 , . . . , Xn ] = k[X1 ][X2 ] · · · [Xn ].  3. Noethersche topologische R¨ aume Zur Erinnerung: Definition 3.1. Sei X eine Menge. Eine Topologie auf X ist ein System O von Teilmengen von X, welches die folgenden Bedingungen erf¨ ullt: a) ∅ ∈ O, X ∈ O, b) O ist abgeschlossen unter Vereinigungen und endlichen Durchschnitten.

Elemente in O heissen offen, Komplemente von offenen Mengen heissen abgeschlossen. Der Abschluss einer Menge ist der Durchschnitt aller sie enthaltenden abgeschlossenen Mengen.

Definition 3.2. Ein topologischer Raum (X, O) heisst noethersch, wenn jede absteigende Folge abgeschlossener Mengen in X station¨ar ist.

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II. KOMMUTATIVE ALGEBRA UND ZARISKI-TOPOLOGIE

Eine ¨aquivalente Bedingung ist, dass jede nicht-leere Menge abgeschlossener Mengen von X ein bez¨ uglich der Inklusion minimales Ele¨ ment besitzt. Die Aquivalenz folgt wie beim Beweis von Definition und Satz 1.2. Ist X 0 ⊂ X ein Teilraum eines noetherschen Raumes mit der induzierten Topologie, so ist X 0 ebenfalls noethersch. Definition 3.3. Ein topologischer Raum (X, O) heisst irreduzibel, wenn aus X = X1 ∪ X2 mit X1 , X2 abgeschlossen folgt, dass X1 = X oder X2 = X. Eine Teilmenge von X heisst irreduzibel, wenn sie bez¨ uglich der induzierten Topologie irreduzibel ist. Satz 3.4. Sei (X, O) ein noetherscher topologischer Raum. Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Darstellung X = X1 ∪ . . . ∪ Xr ,

(4)

wobei die Xi abgeschlossene, irreduzible Teilmengen sind und Xi 6⊆ Xj , i 6= j. Die Xi heissen irreduzible Komponenten von X.

Proof. Existenz: Sei S die Menge der abgeschlossenen Teilmengen Y ⊂ X, die sich nicht als endliche Vereinigung von irreduziblen abgeschlossenen Mengen darstellen lassen. Angenommen S ist nicht leer. Da X noethersch ist, gibt es ein minimales Element Y0 in S. Da Y0 in S ist, ist Y0 nicht irreduzibel. Es gibt also abgeschlossene Mengen Y1 6= Y0 , Y2 6= Y0 mit Y0 = Y1 ∪ Y2 . Da Y0 minimal in S ist, lassen sich Y1 und Y2 als Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen irreduziblen Mengen schreiben. Dann trifft das aber auch auf Y0 zu, Widerspruch. Also ist S leer. Speziell ist X ∈ / S, d.h. X = X1 ∪ . . . ∪ Xr mit irreduziblen Teilmengen Xi . Entfernt man alle Xi , die in einem Xj , j 6= i enthalten sind, so bekommt man eine Darstellung der Form (4). Eindeutigkeit: Sei X = X1 ∪ . . . ∪ Xr = X10 ∪ . . . ∪ Xr0 0 F¨ ur i = 1, . . . , r ist Xi = (Xi ∩ X10 ) ∪ . . . ∪ (Xi ∩ Xr0 0 ). Da Xi irreduizibel ist, gibt es ein j mit Xi ⊆ Xj0 . Das gleiche Argument zeigt, dass es ein i0 gibt mit Xj0 ⊆ Xi0 . Dann ist Xi ⊆ Xj0 ⊆ Xi0 , also Xi = Xj0 . Daraus folgt die Eindeutigkeit der Darstellung (4).  4. Zariskitopologie Definition 4.1. Die Topologie, deren abgeschlossene Mengen genau die affinen Variet¨aten in k n sind, heisst Zariskitopologie auf k n . Der Raum k n , versehen mit der Zariskitopologie, wird mit Ank bezeichnet und heisst n-dimensionaler affiner Raum. Da ∅ und k n affine Variet¨aten sind und da affine Variet¨aten abgeschlossen sind unter Durchschnitten und endlichen Vereinigungen, sind die Axiome einer Topologie erf¨ ullt.

4. ZARISKITOPOLOGIE

13

Satz 4.2. Ank ist ein noetherscher Raum. Proof. Sei V1 ⊃ V2 ⊃ . . . eine absteigende Folge affiner Varit¨aten. Setze Ii := I(Vi ). Dann ist I1 ⊂ I2 ⊂ . . . eine aufsteigende Folge von Idealen. Da k[X] noethersch ist, wird sie station¨ar. Aus Vi = V(Ii ) ¨ (Ubungen 1) folgt, dass auch die Folge Vi station¨ar wird.  Korollar 4.3. Jede affine Variet¨at V ⊂ k n l¨asst sich schreiben als Vereinigung V = ∪ki=1 Vi irreduzibler affiner Variet¨aten mit Vi 6⊆ Vj , i 6= j. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Proof. Direkt aus Satz 4.2 und Satz 3.4. Beispiel: Sei V = V(x1 x2 ) ⊂ R2 . V besteht aus der Vereinigung der beiden Koordinatenachsen x1 = 0 und x2 = 0 und V = V(x1 ) ∪ V(x2 ) ist die Darstellung in irreduzible Komponenten. Man beachte, dass V(x1 ) ∩ V(x2 ) 6= ∅.

Satz 4.4. Eine affine Variet¨at V ⊂ k n ist irreduzibel genau dann, wenn I(V ) ein Primideal ist.

Zur Erinnerung: ein Primideal p in einem Ring R ist ein Ideal, so dass aus xy ∈ p schon x ∈ p oder y ∈ p folgt.

¨ Proof. Ubungsaufgabe



Satz 4.5. Ank ist ein kompakter topologischer Raum. Proof. Sei (Ui )i∈I eine beliebige Menge von offenen Teilmengen von k n , die k n u ¨berdecken. Setze Vi := k n \ Ui . Dann sind Vi abgeschlossene Mengen, deren Durchschnitt leer ist. Sei S die Menge, die aus allen Durchschnitten von endlich vielen dieser abgeschlossenen Mengen besteht. Trivialerweise ist S nichtleer. Nach Satz 4.2 enth¨alt S ein minimales Element V . Aus der Minimalit¨at folgt, dass V ⊂ Vi f¨ ur alle i ∈ I. Dann ist aber V ⊆ ∩i∈I Vi = ∅, also V = ∅. Also gibt es eine endliche Teilmenge von {Vi , i ∈ I}, deren Durchschnitt leer ist.  Die entsprechenden Ui u ¨ berdecken dann k n . Satz 4.6. F¨ ur eine beliebige Teilmenge X ⊂ Ank ist der Abschluss in der Zariskitopologie gegeben durch ¯ = V(I(X)). X Proof. Es ist klar, dass X ⊂ V(I(X)). Da V(I(X)) abgeschlossen ¯ ⊆ V(I(X)). ist, folgt X ¯ ¯ = V(S) schreiben. Sei x 6∈ X. ¯ Da X abgeschlossen ist, k¨onnen wir X ¯ und damit auch auf X Dann existiert p ∈ S mit p(x) 6= 0. Da p auf X verschwindet, ist p ∈ I(X). Es folgt x 6∈ V(I(X)). 

KAPITEL III

Hilberts Nullstellensatz In Satz II.4.6 wurde gezeigt, dass f¨ ur eine beliebige Menge X ⊂ Ank der Abschluss in der Zariskitoplogie durch V(I(X)) gegeben ist. Es stellt sich die Frage, was passiert, wenn man die Operatoren I und V in der anderen Reihenfolge anwendet. Sei I ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] ein Ideal. Dann macht es Sinn, das Ideal I 0 := I(V(I)) zu betrachten. Offenbar ist I 0 ⊃ I, doch im allgemeinen ist I 0 6= I. Sei z.B. I = (X12 ) ⊂ C[X1 ]. Dann ist V(I) = {0} und I 0 = I(V(I)) = (X1 ) 6= I. Allgemeiner gilt: ist r ∈ k[X1 , . . . , Xn ] derart, dass eine Potenz r k in I liegt, so liegt r in I 0 . Die Menge dieser Elemente bildet ein Ideal, das sogenannte Radikalideal von I. Hilberts Nullstellensatz ist die Umkehrung davon: Ist k abgeschlossen, so ist I(V(I)) genau das Radikalideal von I. 1. Ganze Elemente Definition 1.1. Ein Ringhomomorphismus φ : R → S heisst endlich, wenn S als R-Modul endlich erzeugt wird (die Operation von R auf S ist gegeben durch (r, s) 7→ φ(r)s). In diesem Fall sagt man, S ist endlich ¨ uber R. Achtung: R[x] ist eine endliche R-Algebra (erzeugt von x), aber kein endlicher R-Modul. φ

ψ

Satz 1.2. Seien R → S → T Ringhomomorphismen.

a) Ist T endlich u ¨ber R, so auch u ¨ber S. b) Ist S endlich ¨ uber R und T endlich ¨ uber S, so ist T endlich u ber R. ¨

Proof. a) Da T endlich u ¨ber R ist, gibt es endlich viele Elemente z1 , . . . , zk ∈ T so dass sich jedes Element z ∈ T darstellen l¨asst als k X z= ψ(φ(ri ))zi , ri ∈ R i=1

Da φ(ri ) ∈ S folgt, dass die zi auch T als S-Modul erzeugen. b) Seien y1 , . . . , yk eine Basis des R-Moduls S und z1 , . . . , zl eine Basis des S-Moduls T . Wir wollen zeigen, dass die ψ(yi )zj , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l eine Basis des R-Moduls T bilden. Ist t ∈ 15

16

III. HILBERTS NULLSTELLENSATZ

T , so kann man z schreiben als t=

l X

ψ(sj )zj ,

j=1

sj ∈ S.

Andererseits l¨asst sich sj darstellen als sj =

k X i=1

φ(rij )yi ,

rij ∈ R.

Die Behauptung folgt aus X t= ψ(φ(rij ))ψ(yi )zj . i,j

 Definition 1.3. Seien R ⊂ S Ringe. x ∈ S heisst ganz u ¨ber R, wenn es ein unit¨ares Polynom P ∈ R[X] gibt mit P (x) = 0. Sind R und S K¨orper, so nennt man x auch algebraisch. Bemerkung: P unit¨ar bedeutet, dass P von der Form P (X) = X d + rd−1 X d−1 + · · · + r0 ,

ri ∈ R

ist. Beispiel: Die ganzen Elemente von Q ⊃ Z sind genau die ganzen ¨ Zahlen (Ubungsaufgabe). Theorem 1.4. Seien R ⊂ S Ringe und x ∈ S. Die folgenden Bedingungen sind ¨aquivalent: a) x ist ganz. b) Die von x erzeugte R-Algebra R[x] ist ein endlich erzeugter RModul. c) Es gibt eine R-Unteralgebra von S, die ein endlich erzeugter R-Modul ist und x enth¨alt. Proof. a) → b): Ist x ganz u ullt es eine Gleichung ¨ber R, so erf¨ xd + rd−1 xd−1 + · · · + r0 = 0,

ri ∈ R

Wir behaupten, dass 1, x, . . . , xd−1 den R-Modul erzeugen. Pn R[x] i Ein Element p ∈ R[x] hat die Gestalt i=0 ai x , ai ∈ R. Wir beweisen per Induktion u ber n, dass es sich schreiben l¨asst als p = ¨ Pd−1 0 i 0 i=0 ai x , ai ∈ R. Pn−1 Ist n < d, so ist nichts zu zeigen. F¨ ur n > d ist p = i=0 a i xi − n−1 n−d an (rd−1 x +· · ·+r0 x ) nach Induktionsvoraussetzung in der obigen Gestalt darstellbar. b) → c): Trivial.

1. GANZE ELEMENTE

17

c) → a): Sei C eine R-Unteralgebra, die ein endlicher R-Modul ist und x enth¨alt. W¨ahle ein Erzeugendensystem y1 , . . . , yk des R-Moduls C. Da xyi ∈ C gibt es rij ∈ R mit xyi =

k X

rij yj

j=1

Ist A = (rij )i,j und Y = (y1 , . . . , yk )t , so hat man also (xId − A)Y = 0. Sei B die Matrix der Kofaktoren von xId − A, d.h. B(xId − A) = det(xId − A)Id. Multipliziert man die obige Gleichung mit B so ergibt sich det(xId − A)Y = 0, d.h. det(xId − A)yi = 0 f¨ ur alle i. Das Polynom p(X) := det(XId − A) ist unit¨ar. Da C eine Unteralgebra ist, P P ist 1 ∈ C, d.h. 1 = ki=1 ri0 yi , ri0 ∈ R. Es folgt p(x) = p(x) ki=1 ri0 yi = Pk 0 = 0.  i=1 ri p(x)y | {z }i =0

Korollar 1.5. Die Menge der (bzgl. R ⊂ S) ganzen Elemente bildet einen Unterring von S.

Proof. Seien x, y ∈ S ganz u ¨ber R. Dann ist R[x] endlich erzeugter R-Modul. Da y ganz ist u ¨ber R, ist es trivialerweise auch ganz u ¨ber R[x]. Also ist R[x, y] endlich erzeugter R[x]-Modul. Also ist R[x, y] ein endlich erzeuger R-Modul. Nach Theorem 1.4 sind alle Elemente von R[x, y] ganz u ur x + y und xy zu.  ¨ ber R. Speziell trifft dies f¨ Ein Ideal I in einem Ring heisst echt, wenn es ungleich R ist (oder ¨aquivalent, wenn 1 6∈ I). I heisst maximal, wenn es echt ist und in keinem anderen echten Ideal enthalten ist. Ist I1 ⊆ I2 ⊆ . . . eine aufsteigende Folge von echten Idealen, so ist ∪∞ i=1 Ii ebenfalls ein echtes Ideal. Das Zornsche Lemma impliziert, dass jedes echte Ideal in einem maximalen Ideal enthalten ist. Die Bedeutung der maximalen Ideale kommt vom nachfolgenden Satz. Satz 1.6. Sei R ein Ring und I ein echtes Ideal. Genau dann ist R/I ein K¨orper, wenn I maximal ist. Proof. Sei R/I ein K¨orper. Wir wollen zeigen, dass I maximal ist. Dazu nehmen wir ein x 6∈ I und behaupten, dass das von I und x erzeugte Ideal 1 enth¨alt, also nicht echt ist. Sei x¯ ∈ R/I die Restklasse von x. Aus x 6∈ I folgt x¯ 6= 0. Nach Voraussetzung gibt es eine Restklasse y¯ ∈ R/I mit x¯y¯ = ¯1. W¨ahlt man Repr¨asentanten, so folgt xy = 1 + a mit a ∈ I. Daher ist 1 = xy − a im Ideal, welches von I und x erzeugt wird. Nun sei I ein maximales Ideal. Zu zeigen ist, dass R/I ein K¨orper ist. Die Ringstruktur von R erzeugt eine Ringstruktur auf R/I. Sei x¯ ∈ R/I ein von 0 verschiedenes Element. Dann ist x ∈ / I und da I maximal ist, gibt es eine Gleichung r1 x+r2 a = 1 mit r1 , r2 ∈ R. Daraus folgt r¯1 x¯ = ¯1, d.h. x¯ ist in R/I invertierbar. 

18

III. HILBERTS NULLSTELLENSATZ

Bemerkung: da ein K¨orper nullteilerfrei ist, sind maximale Ideale Primideale. 2. K¨ orpererweiterungen Sei K ⊂ L eine K¨orpererweiterung und x ∈ L. Dann kann man L als K-Vektorraum auffassen. Seine Dimension wird mit dimK L bezeichnet. Mit K(x) bezeichnet man den kleinsten x und K enthaltenden Unterk¨orper von L, mit K[x] die kleinste x enthaltende K-Unteralgebra von L. Es gibt einen K-Algebra-Homomorphismus K[X] → L, X 7→ x,

dessen Bild K[x] ist. a) 1. Fall: dieser Homomorphismus ist injektiv. Dann nennt man x transzendent. Aus K[x] = K[X] folgt K(x) = K(X), also ist dimK K(x) = dimK K(X) = ∞. b) 2. Fall: es gibt einen nichttrivialen Kern. Da K[X] ein Hauptidealring ist, ist der Kern dann gegeben durch (F ) mit F ∈ K[X]. Dann heisst x algebraisch, x erf¨ ullt die polynomiale Gleichung F (x) = 0 und F ist ein Minimalpolynom f¨ ur x. Aus K[X]/(F ) = K[x] ⊂ L

folgt, dass K[X]/(F ) nullteilerfrei ist. Also ist (F ) ein Primideal. Da K[X] ein Hauptidealring ist, ist (F ) sogar ein maximales Ideal, d.h. K[X]/(F ) ist ein K¨orper und es gilt K[X]/(F ) = K(x). Speziell ist K(x) ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Diese Betrachtungen sollen nun verallgemeinert werden. Satz 2.1. Sei K ⊂ L eine K¨orpererweiterung, so dass L eine endlich erzeugte K-Algebra ist, z.B. L = K[x1 , . . . , xr ]. Dann ist L ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ist algebraisch u ¨ber K. Proof. Der Beweis erfolgt per Induktion u ¨ber r. Ist r = 1, so muss x1 algebraisch sein, denn anderenfalls w¨are L = K[x1 ] 6= K(x1 ) im Widerspruch zur Tatsache, dass L ein K¨orper ist. Aus der Diskussion oben folgt, dass L = K(x) = K[x]/(F ) ein endlich-dimensionaler KVektorraum ist. Nun sei r > 1. Sei K1 := K(x1 ) ⊂ L. Dann ist L = K1 [x2 , . . . , xr ] und wir k¨onnen die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten, dass L ein endlich-dimensionaler K1 -Vektorraum ist. Wenn wir zeigen k¨onnen, dass K1 ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist, so sind wir fertig. Angenommen, das ist nicht der Fall. Dann ist x1 transzendent u ¨ber K. Nach Induktionsvoraussetzung sind die xi , i = 2, . . . , r algebraisch u ¨ber K1 , es gibt also normierte Polynome Pi ∈ K1 [X] mit Pi (xi ) = 0. Es gibt also Polynome Pij , Qij ∈ K[X] mit

3. NULLSTELLENSATZ

xdi i +

dX i −1

Pij (x1 )/Qij (x1 )xji = 0

19

(5)

j=0

Qr

Qdi −1

Sei Q0 := i=2 j=1 Qij ∈ K[X] das Produkt aller dabei vorkommenden Nenner und a := Q0 (x1 ) ∈ K[x1 ]. Multipliziert man Gleichung (5) mit adi so ergibt sich eine Gleichung di

(axi ) +

dX i −1

R(x1 )(axi )j = 0,

j=0

wobei R = Qd0i −j Pij /Qij ∈ K[X] ist. Also ist axi ein ganzes Element u ¨ber K[x1 ]. Nach Voraussetzung ist L = K[x1 , . . . , xr ] = K[x1 ][x2 , . . . , xr ]. Ist y ∈ K1 ein beliebiges Element, so kann man mit einer gen¨ ugend grossen N N Potenz a multiplizieren und erh¨alt a y ∈ K[x1 ][ax2 , . . . , axr ]. Die u ¨ber K[x1 ] ganzen Elemente bilden einen Ring, also ist aN y u ¨ ber K[x1 ] ganz. Da x1 nach Annahme transzendent ist, ist K[x1 ] isomorph zu K[X]. ¨ Jedes u ¨ber K[X] ganze Element geh¨ort schon zu K[X] (siehe Ubungen 3). Mit anderen Worten gibt es ein Element a ∈ K[x1 ] = K[X] so dass f¨ ur jedes y ∈ K(x1 ) = K(X) eine Potenz aN existiert mit aN y ∈ K[x1 ] = K[X]. Das bedeutet, dass a durch jedes irreduzible Polynom in K[X] teilbar ist. Das ist unm¨oglich. Die Annahme, dass x1 transzendent ist, muss also fallengelassen werden. Damit ist K1 = K[x1 ] ein endlich-dimensionaler Vektorraum und die Behauptung folgt.  3. Nullstellensatz Die Grundidee der algebraischen Geometrie besteht darin, geometrische Objekte algebraisch zu interpretieren und umgedreht. Die beiden Abbildungen V und I zwischen algebraischen Mengen in K n und Idealen in K[X1 , . . . , Xn ] liefern einen Anhaltspunkt f¨ ur solch eine Interpretation. 

  I −→ Ideale in (6) V K[X1 , . . . , Xn ] ←− Die Abbildung V ist surjektiv, aber nicht injektiv. Dagegen ist I injektiv, aber nicht surjektiv. Die Hintereinanderausf¨ uhrung V ◦ I ist zwar die Identit¨at, doch I ◦ V ist weder surjektiv noch injektiv. Falls der Grundk¨orper K algebraisch abgeschlossen ist, so kann man Kern und Bild dieser Abbildungen mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes beschreiben. Dieser wird aus einer schwachen Version hergeleitet. 

Affine Variet¨aten in K n

20

III. HILBERTS NULLSTELLENSATZ

Satz 3.1. (Schwacher Nullstellensatz) Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper und I ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] ein Ideal mit 1 6∈ I. Dann ist V(I) 6= ∅. Proof. Sei m ein maximales Ideal in K[X1 , . . . , Xn ] mit I ⊂ m. Dann ist L := K[X1 , . . . , Xn ]/m ein K¨orper, der als K-Algebra von den Xi + m erzeugt wird. Nach Satz 2.1 ist L eine algebraische Erweiterung von K. Da K abgeschlossen ist, gibt es einen K-Isomorphismus φ : ¯ i := Xi + m ∈ L und xi := φ(X ¯ I ) ∈ K. Ist p ∈ m, so L → K. Sei X ¯ ¯ ist p(X1 , . . . , Xn ) = 0 in L. Wendet man φ darauf an, so ergibt sich p(x1 , . . . , xn ) = 0. Also ist (x1 , . . . , xn ) ∈ V(m) ⊂ V(I).  Ist m ein maximales Ideal, so haben wir im Beweis gesehen, dass es einen Punkt (x1 , . . . , xn ) ∈ K n gibt mit (x1 , . . . , xn ) ∈ V(m), d.h. m ⊂ (X1 − x1 , . . . , Xn − xn ). Da m maximal ist, gilt m = (X1 − x1 , . . . , Xn − xn ). Die maximalen Ideale von K[X1 , . . . , Xn ] entsprechen also bez¨ uglich der Korrespondenz (6) genau den Punkten von K n . Definition 3.2. Ein Ideal I in einem Ring R heisst Radikalideal, falls aus xN ∈ I (x ∈ R, N ∈ N) schon x ∈ I folgt. Der Durchschnitt aller Radikalideale, die I enthalten, heisst Radikal von I und wird mit √ I bezeichnet. Lemma 3.3. Es gilt √  I = x ∈ R : xN ∈ I f¨ ur ein N ∈ N .  Proof. Sei J := x ∈ R : xN ∈ I f¨ ur ein N ∈ N . Ist xN ∈ I, so auch in jedem Radikalideal, welches I enth¨alt. Nach Definition ist x dann also in jedem √ Radikalideal enthalten, d.h. auch √ I enthaltenden im Durchschnitt I. Das zeigt I ⊇ J. Ist x ∈ J und r ∈ R, so ist (rx)N = r N xN ∈ I und damit rx ∈ J. Sind x und y in J, so gibt es N und M mit xN ∈ I und y M ∈ I. Aus der binomischen Formel folgt (x + y)N +M ∈ I, d.h. x + y ∈ J. Ist xM ∈ J N f¨ ur ein x ∈ R, so folgt xM N = (xM ur ein N , d.h. x ∈ J. Also √) ∈ I f¨ ist J ein Radikalideal und damit I ⊆ J.  Jedes Primideal ist ein Radikalideal. Das von X1 X2 erzeugt Ideal ¨ in K[X1 , X2 ] ist radikal, aber nicht prim (Ubungsaufgabe). Lemma 3.4. Ist X ⊂ K n eine beliebige Menge, so ist I(X) radikal.

Proof. Sei p ∈ K[X1 , . . . , Xn ] so dass pN ∈ I(X). Dann ist p (x1 , . . . , xn ) = 0 f¨ ur alle (x1 , . . . , xn ) ∈ X. Daraus folgt p(x1 , . . . , xn ) = 0 f¨ ur alle (x1 , . . . , xn ) ∈ X, d.h. p ∈ I(X).  N

Theorem 3.5. (Nullstellensatz) Ist K algebraisch abgeschlossen, so gilt f¨ ur jedes Ideal I ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] √ (7) I(V(I)) = I.

3. NULLSTELLENSATZ

21

Es gibt eine Bijektion zwischen den Radikalidealen von K[X1 , . . . , Xn ] und den affinen Variet¨aten in K n . Proof. Die Inklusion ⊃ ist trivial: verschwindet eine Potenz eines Polynoms auf einer (beliebigen) Teilmenge von K n , so verschwindet schon das Polynom selbst darauf. Die andere Richtung folgt aus dem schwachen Nullstellensatz mit Hilfe eines Tricks, als Rabinowitsch-Trick √ bekannt. Sei f ∈ I(V(I)), wir wollen f ∈ I zeigen. Das ist trivial, falls f = 0, also setzen wir f 6= 0 voraus. Nach Hilbert’s Basissatz ist I = (f1 , . . . , fk ) mit fi ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. Wir f¨ uhren eine neue Variable Xn+1 ein und betrachten das Ideal J ⊂ K[X1 , . . . , Xn , Xn+1 ], welches von f1 , . . . , fk und f Xn+1 −1 erzeugt wird. G¨abe es einen Punkt (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ V(J) ⊂ K n+1 , so w¨are fi (x1 , . . . , xn ) = 0, i = 1, . . . , k, also (x1 , . . . , xn ) ∈ V(I). Nach Voraussetzung w¨are dann f (x1 , . . . , xn ) = 0, also f (x1 , . . . , xn )xn+1 − 1 = −1 6= 0. Das ist ein Widerspruch, also ist V(J) = ∅. Der schwache Nullstellensatz impliziert J = K[X1 , . . . , Xn+1 ]. Also gibt es eine Gleichung 1=

k X i=1

gi fi + g(f Xn+1 − 1)

(8)

mit Polynomen gi , g ∈ K[X1 , . . . , Xn+1 ]. Betrachte die offene, dichte Menge U (f ) := {(x1 , . . . , xn ) ∈ K n : f (x1 , . . . , xn ) 6= 0}. Gegeben einen Punkt (x1 , . . . , xn ) ∈ U (f ), so setzen wir in Gleichung (8) x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )−1 ein und erhalten 1=

k X

gi (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )−1 )fi (x1 , . . . , xn )

i=1

Multipliziert man mit einer gen¨ ugend hohen Potenz f (x1 , . . . , xn )N (die nicht von der Wahl von (x1 , . . . , xn ) abh¨angt, sondern nur von den Graden der gi ), so ergibt sich f (x1 , . . . , xn )N =

k X

g˜i (x1 , . . . , xn ))fi (x1 , . . . , xn ),

i=1

(x1 , . . . , xn ) ∈ U (f )

mit Polynomen g˜i ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. Ein Polynom h, welches auf U (f ) verschwindet, verschwindet auf ganz K n (anderenfalls w¨are K n = V(f ) ∪ V(h) reduzibel) und ist daher identisch 0. Also folgt k X fN = g˜i fi √ d.h. f ∈ I.

i=1

22

III. HILBERTS NULLSTELLENSATZ

Jetzt zeigen wir, dass V eine Bijektion zwischen den Radikalidealen in K[X1 , . . . , Xn ] und den affinen Variet¨aten in K n induziert. Ist V eine ¨ affine Variet¨at, so ist V = V(I(V )) (Ubungsaufgabe I 1d). Das Ideal I(V ) ist radikal (Lemma 3.4). Damit ist die Surjektivit¨at bewiesen. F¨ ur die Injektivit¨at starten wir mit zwei Radikalidealen I1 6= I2 und m¨ ussen zeigen, dass V(I1 ) 6= V(I2 ) ist. Nach Theorem 3.5 gilt aber I(V(I1 )) = I1 6= I2 = I(V(I2 )). Damit ist V(I1 ) 6= V(I2 ).



4. Grundideen der modernen Algebraischen Geometrie Sei V ⊂ K n eine affine Variet¨at und Γ(V ) := K[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) ihr Koordinatenring. In Satz I.3.2 wurde gezeigt, dass zwei affine Variet¨aten genau dann isomorph sind, wenn ihre Koordinatenringe isomorph sind. Es stellt sich die Frage, wie man die Variet¨at aus ihrem Koordinatenring zur¨ uckgewinnen kann. Dazu betrachten wir einen Punkt (x1 , . . . , xn ) ∈ V . Die Auswertungsabbildung K[X1 , . . . , Xn ] → K, p 7→ p(x1 , . . . , xn ) hat I(V ) im Kern, faktorisiert also u ¨ ber einen K-Algebrahomomorphismus Γ(V ) → K. Da K ein K¨orper ist, ist der Kern dieser Abbildung ein maximales Ideal in Γ(V ) (Lemma 1.6). Jetzt sei m ein maximales Ideal in Γ(V ). Dann kann man m als maximales Ideal in K[X1 , . . . , Xn ] auffassen, welches I(V ) enth¨alt. Der schwache Nullstellensatz impliziert, dass m = (X1 − x1 , . . . , Xn − xn ) f¨ ur einen Punkt (x1 , . . . , xn ) gilt. Dieser Punkt liegt dann in V (da I(V ) ⊂ m). Die maximalen Ideale von Γ(V ) entsprechen also genau den Punkten von V . Da das Ideal I(V ) ein Radikalideal ist, ist die K-Algebra Γ(V ) reduziert (d.h. ist p ∈ Γ(V ) mit pN = 0, so folgt p = 0 in Γ(V )). Weiterhin ist Γ(V ) als K-Algebra endlich erzeugt (n¨amlich von den Einschr¨ankungen der Koordinatenfunktionen X1 , . . . , Xn ). Jetzt sei umgedreht A eine reduzierte, endlich erzeugte K-Algebra. Kann man A als Koordinatenring einer affinen Variet¨at auffassen? Wir w¨ahlen Erzeuger X1 , . . . , Xn der K-Algebra A. Sei m ein maximales Ideal in A. Dann ist A/m ein K¨orper (nach Lemma 1.6), genauer eine algebraische K¨orpererweiterung von K (Theorem 2.1). Da K algebraisch abgeschlossen ist, ist A/m = K. Das Bild von (X1 , . . . , Xn ) unter der Projektionsabbildung A → A/m = K ist ein Punkt (x1 , . . . , xn ) ∈ K n . Die Menge der so erhaltenen Punkte ist eine affine Variet¨at V ⊆ K n , die A als Koordinatentring hat. Eine andere Wahl eines Erzeugendensystems liefert eine zu V isomorphe Variet¨at. Man kann also zusammenfassend sagen, dass eine

¨ 5. WORTERBUCH ALGEBRA-GEOMETRIE

23

affine Variet¨at (¨ uber K) das gleiche“ ist wie eine reduzierte, endlich ” erzeugte K-Algebra mit einem fest gew¨ahlten Erzeugendensystem. In der modernen Algebraischen Geometrie betrachtet man die Menge der maximalen Ideale von A als geometrisches Objekt. Nach Wahl eines Erzeugendensystems kann man so eine abstrakte Variet¨at mit einer affinen Variet¨at identifizieren. Die Voraussetzungen (endlich erzeugte K-Algebra, reduziert) sind aber nicht wirklich daf¨ ur n¨otig. Man kann viel allgemeiner einen Ring R nehmen und dessen maximale Ideale als eine abstrakte Variet¨at betrachten. Dann kann man z.B. die Zariskitopologie darauf definieren. Dieser Zugang zur Algebraischen Geometrie ist sehr n¨ utzlich sowohl bei der L¨osung klassischer Fragen wie auch bei geometrischen Interpretationen zahlentheoretischer Probleme. Ist z.B. R = Z, so sind die maximalen Ideale genau die von einer Primzahl erzeugten Ideale. Die Menge der Primzahlen bildet also eine abstrakte Variet¨at. Die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist ¨aquivalent zur Irreduzibilit¨at dieser Variet¨at. 5. W¨ orterbuch Algebra-Geometrie In der folgenden Tabelle sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, R = K[X1 , . . . , Xn ], A eine reduzierte, endlich erzeugte K-Algebra und R ein Ring.

Algebra Ideale in R Primideale in R Maximale Ideale in R Radikalideale in R Maximale Ideale in Γ(V ) Γ(V ) ∼ = Γ(W ) A maximale Ideale in A R maximale Ideale in R

Geometrie n

Kommentar V und I ¨ Ubung 2.2b) Satz 3.1 Theorem 3.5 Abschnitt 4 Theorem I.3.2

Mengen in K irreduzible Variet¨aten in K n Punkte in K n affine Variet¨aten in K n Punkte in V V ∼ =W abstrakte affine Variet¨at Punkte dieser Variet¨at Abschnitt 4 noch abstraktere Variet¨at Punkte“ dieser Variet¨at Abschnitt 4 ”

KAPITEL IV

Gr¨ obnerbasen 1. Univariater Fall: Euklidischer Algorithmus Sei k ein K¨orper und R := k[X] der Polynomring (in einer Variablen). Dann ist R nicht nur Noethersch (d.h. jedes Ideal ist endlich erzeugt), sondern ein Hauptidealring, d.h. jedes Ideal wird von einem Element erzeugt. Hat man ein Ideal I = (P1 , . . . , Pk ) gegeben, so kann man es mittels des Euklidischen Algorithmus auf eine Standardform bringen. Man nimmt das Polynom Pi kleinsten Grades, entfernt die Polynome Pj , j 6= i, die durch Pi teilbar sind und ersetzt die anderen Pj durch ihren Rest bei der Division durch Pi . Da die Grade dabei immer kleiner werden, bricht das Verfahren ab und man bekommt I = (P ) f¨ ur ein Polynom P (welches der gr¨osste gemeinsame Teiler der Polynome P1 , . . . , Pk ist). Beispiel: Sei I = (X 3 −2X 2 −X+2, X 3 −4X 2 +5X−2, X 2 +2X−3). Die Reste der Division durch X 2 + 2X − 3 sind 10X − 10 und 20X − 20. Daher ist I = (10X − 10, 20X − 20, X 2 + 2X − 3). Im n¨achsten Schritt kann man mit 10X − 10 arbeiten, die beiden anderen Polynome sind Vielfache und werden entfernt und es bleibt I = (10X − 10) = (X − 1). Das Ergebnis des Euklidischen Algorithmus ist also eine Darstellung I = (P ) mit einem Polynom P . Fordert man, dass der Leitkoeffizient 1 ist, so ist diese Darstellung sogar eindeutig. Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus kann man verschiedene Fragen schnell beantworten, z.B. sind zwei gegebene Ideale gleich, enth¨alt ein Ideal ein anderes oder ist ein gegebenes Polynom in einem gegebenen Ideal enthalten. 2. Termordnungen Jetzt sei wieder k ein K¨orper und R := k[X], X = (X1 , . . . , Xn ) der Polynomring in n Variablen. R ist noethersch, aber kein Hauptidealring. Das Ideal (X1 , X2 ) zum Beispiel ist kein Hauptideal. Andererseits ist es w¨ unschenswert, ein gegebenes Ideal I = (f1 , . . . , fk ) in eine Standardform zu bringen und daf¨ ur eine Art Euklidischen Algorithmus zu haben. Diese Standardform wird durch Gr¨obnerbasen geliefert und der dazugeh¨orige Algorithmus heisst Buchbergeralgorithmus. 2.1. Termordnungen. W¨ahrend man im univariaten Fall gut mit dem Grad eines Polynomes arbeiten konnte, muss man im multivariaten Fall anders vorgehen, um Polynome vergleichen zu k¨onnen. 25

26

¨ IV. GROBNERBASEN

Definition 2.1. Sei T die Menge der Terme in den Variablen X1 , . . . , Xn (ein Term ist ein Ausdruck der Form X1d1 · . . . · Xndn mit di ∈ N. Eine Termordnung ist eine lineare Ordnung auf T mit den folgenden zwei Bedingungen: a) 1 ≤ t f¨ ur alle t ∈ T , b) t1 ≤ t2 impliziert t1 · s ≤ t2 · s f¨ ur s, t1 , t2 ∈ T .

Das Wort lineare Ordnung bedeutet, dass je zwei Elemente aus T vergleichbar sind, das also t1 ≤ t2 oder t2 ≤ t1 gilt; dass aus t1 ≤ t2 und t2 ≤ t1 schon t1 = t2 folgt und dass aus t1 ≤ t2 und t2 ≤ t3 t1 ≤ t3 folgt.

2.2. Beispiele fu ¨r Termordnungen. • F¨ ur n = 1 gibt es nur eine Termordnung (nach dem Grad des Polynoms). • Lexikographische Ordnung. X1d1 · · · Xndn ≤ X1e1 · · · Xnen genau dann, wenn (d1 , . . . , dn ) = (e1 , . . . , en ) oder wenn es ein 1 ≤ i ≤ n gibt mit dj = ej f¨ ur j < i und di < ei . e1 dn en • Totalgrad-lexikographische Ordnung. X1d1 · · · X 1 · · · Xn P P Pn ≤ XP genau dann wenn di < ei oder wenn di = ei und d1 e1 dn en X1 · · · Xn ≤ X1 · · · Xn bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung. Hier entscheidet also zun¨achst der totale Grad des Polynoms und nur bei Gleichheit wird die lexikographische Ordnung hinzugezogen. ¨ Bemerkung: Aus t1 |t2 folgt t1 ≤ t2 (UA). 2.3. Dicksons Lemma. Lemma 2.2. Sei S ⊂ T eine unendliche Menge von Termen. Dann gibt es zwei Terme t1 6= t2 ∈ S mit t1 |t2 .

Proof. Induktion u ¨ber n. n = 1: Da S unendlich ist, enth¨alt es zwei verschiedene Terme X1d , X1e , d 6= e. Dann ist entweder d < e und damit X1d |X1e oder e < d und X1e |X1d . Induktionsschritt. Angenommen, es gibt keine zwei Elemente t1 6= t2 ∈ S mit t1 |t2 oder t2 |t1 . ur jeden anderen Term X1e1 · · · Xnen ∈ W¨ahle einen Term X1d1 · · · Xndn ∈ S. F¨ S muss mindestens ein Exponent ei kleiner als der entsprechende Exponent di sein. Setzt man also Si,k := {X1e1 · · · Xnen ∈ S|ei = k}

so ist S die Vereinigung der Mengen Si,k wobei i von 1 bis n l¨auft und 0 ≤ k ≤ di . Da S unendlich ist, ist eine der Mengen Si,k unendlich. Ohne Einschr¨ankung sei i = n. Betrachte die Menge o n dn−1 k dn−1 Xn ∈ S |X1d1 · · · Xn−1 S 0 := X1d1 · · · Xn−1

2. TERMORDNUNGEN

27

S 0 ist eine unendliche Menge von Termen in n − 1 Variablen. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es zwei verschiede Terme t01 , t02 ∈ S 0 mit t01 |t02 . Dann ist t1 · Xnk 6= t2 · Xnk ∈ S und t1 · Xnk |t2 · Xnk .  Korollar 2.3. (Dicksons Lemma) Sei S ⊂ T eine beliebige Menge von Termen. Dann gibt es eine endliche Menge S 0 ⊂ S so dass jedes Element in S durch ein Element in S 0 teilbar ist. Proof. Sei S 0 die Menge der minimalen Elemente in S, d.h. derjenigen Monome, die durch kein anderes Monom in S teilbar sind. Jedes Monom in S ist dann durch ein Monom in S 0 teilbar (anderenfalls g¨abe es eine unendliche Folge von Monomen mit kleiner werdenden Totalgraden). Wir m¨ ussen zeigen, dass S 0 endlich ist. Nach Definition sind aber zwei verschiedene Elemente in S 0 nicht teilbar. Nach dem obigen Lemma kann S 0 nicht unendlich sein.  Bemerkung: Die Teilbarkeitsrelation ist eine partielle Ordnung auf der Menge der Terme. Die Aussage des Korollars ist, dass diese partielle Ordnung noethersch ist, d.h. jede Teilmenge wird endlich erzeugt“. ” ¨ Man beachte die formale Ahnlichkeit mit noetherschen Ringen und noetherschen topologischen R¨aumen. Aus Dicksons Lemma folgt auch, dass jede (bzgl. Teilbarkeit) absteigende Folge von Termen station¨ar ist. Definition 2.4. Sei P ∈ k[X] ein Polynom. Das gr¨osste in P vorkommende Monom wird mit HM (P ) (head monomial) bezeichnet, der dazugeh¨orige Koeffizient mit HC(T ) (head coefficient) und der dazugeh¨orige Term mit HT (P ) (head term). Es gilt also HM (P ) = HC(P )HT (P ). Ist S ⊂ k[X] eine beliebige Menge von Polynomen, so setze HT (S) := {HT (s), s ∈ S}

Beispiel: Sei P (X1 , X2 ) = 2X13 X2 − 5X12 X23 . Bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung ist HM (P ) = 2X13 X2 , HT (P ) = X13 X2 und HC(P ) = 2. Bez¨ uglich der Totalgrad-lexikographischen Ordnung ist HM (P ) = −5X12 X23 , HT (P ) = X12 X23 und HC(P ) = −5.

Lemma 2.5. Seien P, Q ∈ k[X], beide nicht identisch null. Dann gelten folgende Aussagen: a) HT (P Q) = HT (P )HT (Q), b) HM (P Q) = HM (P )HM (Q), c) HC(P Q) = HC(P )HC(Q), d) HT (P + Q) ≤ max{HT (P ), HT (Q)}.

Der Beweis ist trivial. Man beachte, dass sich ≤ “ und max“ in ” ” der letzten Aussage auf die gew¨ahlte Termordnung beziehen. Von nun an sei eine Termordnung fest gew¨ahlt. Sie erlaubt es uns, auch Polynome miteinander zu vergleichen.

28

¨ IV. GROBNERBASEN

Definition 2.6. Seien P und Q Polynome. Dann definieren wir P ≤ Q falls eine der beiden Bedingungen erf¨ ullt ist: a) P = 0, b) P 6= 0, Q 6= 0 und HT (P ) < HT (Q), c) P 6= 0, Q 6= 0, HT (P ) = HT (Q) und P − HM (P ) ≤ Q − HM (Q). Man beachte, dass in P − HM (P ) ein Monom weniger vorkommt als in P . Daher ist die Definition nicht zirkul¨ar. Aus P ≤ Q und Q ≤ P folgt im Allgemeinen nicht P = Q. Beispiel: Bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung ist 5X12 X2 X33 − X1 X2 X3 ≤ 2X12 X2 X33 +X12 −1. Bez¨ uglich der Totalgrad-lexikographischen Ordnung gilt die umgekehrte Ungleichung. Theorem 2.7. Sei ≤ eine Termordnung. Dann ist jede absteigende Folge P1 ≥ P2 ≥ . . . von Polynomen station¨ar. Proof. Ausgehend von einer hypothetischen strikt absteigenden Folge P1 > P2 > . . . werden wir eine strikt absteigende Folge von Monomen konstruieren. Dazu betrachten wir zuerst die h¨ochsten Terme HT (Pi ). Diese bilden eine (nicht notwenig strikt) absteigende Folge von Monomen, die nach dem Lemma von Dickson station¨ar wird. Sei T1 der Grenzwert“ dieser Folge. Das bedeutet, dass es ein i1 gibt mit ” HT (Pi ) = T1 f¨ ur alle i ≥ i1 . Die Folge Pi0 := Pi+i1 − HM (Pi+i1 ), i = 1, 2, . . . ist immer noch strikt absteigend. Die h¨ochsten Terme HT (Pi0 ) sind alle kleiner als T1 und bilden eine absteigende Folge, die wieder station¨ar wird. Sei T2 ihr Grenzwert. Dann ist T1 > T2 . Entsprechend f¨ahrt man fort und konstruiert induktiv eine strikt absteigende Folge T1 > T2 > . . . von Termen im Widerspruch zum Lemma von Dickson.  3. Gr¨ obnerbasen Definition 3.1. Sei I ⊂ k[X] ein Ideal. Eine endliche Menge G ⊂ k[X] heisst Gr¨obnerbasis von I, falls I von G erzeugt wird, 0 ∈ / G und jeder Leitterm eines Elementes aus I durch den Leitterm eines Elementes aus G teilbar ist. Beispiele: • Sei n = 1 und G = {P } mit einem Polynom P ∈ k[X]. Dann ist G eine Gr¨obnerbasis f¨ ur das Ideal I = (P ). • Sei I = (X1 + 1, X1 X2 ) und G = {X1 + 1, X1 X2 }. Dann ist G keine Gr¨obnerbasis von I, denn X2 = X2 (X1 + 1) − X1 X2 ist durch keinen h¨ochsten Term von G teilbar. Dagegen ist G = {X1 + 1, X2 } eine Gr¨obnerbasis. Theorem 3.2. (Existenz von Gr¨obnerbasen) Sei I ⊂ k[X] ein Ideal. Dann existiert eine Gr¨obnerbasis G von I.

¨ 3. GROBNERBASEN

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Proof. Wendet man das Lemma von Dickson auf die Menge S := HT (I) an, so erh¨alt man eine endliche Teilmenge S 0 ⊂ HT (I) mit der Eigenschaft, dass jeder Term in HT (I) durch ein Element von S 0 teilbar ist. F¨ ur jedes Element s0 ∈ S 0 w¨ahlen wir ein Ps0 ∈ I mit HT (Ps0 ) = s0 und definieren G = {Ps0 : s0 ∈ S 0 }. Offenbar ist G ⊂ I und G endlich. Sei J das von G erzeugte Ideal. Wir behaupten dass I = J. Anderenfalls gibt es ein Element P ∈ I \ J. Wir k¨onnen ohne Einschr¨ankung annehmen, dass der Leitterm von P minimal ist (hier wird wieder das Lemma von Dickson benutzt). Nach Definition von G gibt es ein Polynom Q ∈ G mit HT (Q)|HT (P ). Sei Q0 das Monom mit HM (P ) = Q0 Q. Setze P 0 := P − Q0 Q

Da P und Q in J sind, ist auch P 0 ∈ J. Der Leitterm von P 0 ist kleiner dem Leitterm von P . Nach Minimalit¨at von P ist also P 0 ∈ I. Es folgt P ∈ I, Widerspruch.  Bemerkung: Das Theorem impliziert Hilberts Basissatz, denn jede Gr¨obnerbasis ist eine endliche Basis. Der Beweis ist nicht konstruktiv, denn die Wahl von S 0 ist nicht konstruktiv. Theorem 3.3. (Normalform) Sei G = (G1 , . . . , Gk ) eine Gr¨obnerbasis eines Ideals I und P ∈ k[X]. Dann gibt es eine Darstellung P =

k X

Pi G i + R

i=1

mit Pi , R ∈ k[X], HT (Pi Gi ) ≤ HT (P ) so dass kein Term von R durch einen h¨ochsten Term eines Elements der Gr¨obnerbasis teilbar ist. R ist eindeutig bestimmt und heisst Normalform von P modulo G. P liegt in I genau dann wenn R = 0 ist. Proof. Zeigen wir zun¨achst die Existenz einer solchen Darstellung. Gibt es ein Polynom, welches keine Darstellung der obigen Form hat, dann gibt es nach Theorem 2.7 auch ein minimales Polynom P mit dieser Eigenschaft. Ist kein Term in P durch einen h¨ochsten Term von G teilbar, so erh¨alt man eine Darstellung der obigen Form (mit Pi = 0, R = P ). Anderenfalls kann man P mit einem der Basiselemente reduzieren, d.h. es g¨abe ein Monom P 0 und ein j = 1, . . . , k mit P − Pj0 Gj < P . Nach Minimalit¨at von P hat P − Pj0 Gj eine Darstellung der obigen Form. Dann gilt das aber auch ur P . Pk f¨ P Nun zur Eindeutigkeit. Seien P = i=1 Pi Gi + R = ki=1 Pi0 Gi + R0 zwei verschiedene Darstellungen. Dann ist R − R0 ∈ I. Da R − R0 keine durch h¨ochste Terme von G teilbare Terme enthalten kann, muss R = R0 sein.

30

¨ IV. GROBNERBASEN

Ist R = 0 so ist trivialerweise P ∈ I. Andererseits folgt aus der Eindeutigkeit von R dass R = 0 falls P ∈ I.  Im Existenzbeweis wurde nicht benutzt, dass G eine Gr¨ Pokbnerbasis ist. Ist G eine beliebige endliche Basis von I und P = i=1 Pi Gi + R eine Darstellung der obigen Form, so heisst R Normalform von P modulo G. Im allgemeinen ist diese aber nicht eindeutig. Der Existenzbeweis l¨asst sich leicht zu einem Algorithmus ausbauen, mit dem man die Normalform eines gegebenen Polynoms berechnen kann. Mit diesem Algorithmus l¨asst sich bereits testen, ob eine gegebene affine Variet¨at V (¨ uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk¨orper k) leer ist. Dazu sei V = V(S) und G eine Gr¨obnerbasis des von S erzeugten Ideals I (wie man diese aus S konstruiert, sehen wir sp¨ater). Nach Hilberts Nullstellensatz ist V = ∅ genau dann wenn 1 ∈ I. Wendet man den obigen Algorithmus auf das konstante Polynom 1 an, so sieht man, dass 1 ∈ I genau dann wenn G ein konstantes Polynom enth¨alt. Allerdings ist es auf diese Weise nicht m¨oglich zu testen, ob zwei Gleichungssysteme die gleichen Nullstellen besitzen. Dazu muss man das Radikal eines Ideals berechnen. Auch das ist mit Gr¨obnerbasen l¨osbar. Definition 3.4. Eine Gr¨obnerbasis G eines Ideals I heisst reduziert, wenn folgende zwei Bedingungen erf¨ ullt sind: a) Jeder Leitkoeffizient eines Polynoms P ∈ G ist 1. b) Ist P ∈ G, so ist kein in P vorkommendes Monom durch einen h¨ochsten Term eines Polynoms Q ∈ G \ {P } teilbar. Theorem 3.5. Sei I ⊆ k[X] ein Ideal. Dann gibt es eine eindeutige reduzierte Gr¨obnerbasis von I. Proof. Nach Theorem 3.2 gibt es eine Gr¨obnerbasis G von I. Falls diese nicht reduziert ist, nimmt man ein Polynom P ∈ G, welches einen durch einen h¨ochsten Term eines Elementes Q ∈ G \ {P } teilbaren Term enth¨alt und reduziert P mit Hilfe von Q. Nach Theorem 2.7 stoppt dieser Algorithmus in endlicher Zeit. Dann muss man noch alle Polynome normieren, um Bedingung a) zu erf¨ ullen. Um die Eindeutigkeit zu zeigen nehmen wir an, dass G 6= H zwei verschiedene reduzierte Gr¨obnerbasen von I sind. Sei P ein Element mit minimalem h¨ochstem Term in der symmetrischen Differenz von G und H. Ohne Einschr¨ankung nehmen wir P ∈ G an. Da H eine Gr¨obnerbasis ist und P ∈ G ⊆ I, gibt es ein Element Q ∈ H mit HT (Q)|HT (P ). Dann kann Q nicht auch in G liegen, da G reduziert ist und Q 6= P . Also liegt auch Q in der symmetrischen Differenz von G und H. Nach Minimalit¨at von HT (P ) folgt HT (Q) = HT (P ). Setze R := P − Q. Dann ist R ∈ I und HT (R) < HT (P ). Der h¨ochste Term von R ist sowohl durch den h¨ochsten Term eines

4. BUCHBERGERALGORITHMUS

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Elementes von G teilbar (da G eine Gr¨obnerbasis ist) als auch durch den h¨ochsten Term eines Elementes aus H (da H Gr¨obnerbasis ist). Andererseits ist HT (R) ein Term von P oder von Q. Da G und H reduziert sind, haben wir einen Widerspruch.  4. Buchbergeralgorithmus Definition 4.1. Seien P1 , P2 ∈ k[X]. Das S-Polynom von P1 und P2 ist spol(P1 , P2 ) := a2 s1 P1 − a1 s2 P2 . Dabei sind s1 und s2 Terme so dass s1 HT (P1 ) = s2 HT (P2 ) = kgV (HT (P1 ), HT (P2 )) und a1 = HC(P1 ), a2 = HC(P2 ). Beispiel: das S-Polynom von 2X13 X2 − 2X1 X3 und 5X1 X24 X3 ist 5X23 X3 (2X13 X2 − 2X1 X3 ) − 2X12 (5X1 X24 X3 ) = −10X1 X23 X32 . Gegeben sei eine endliche Basis B = (P1 , . . . , Pk ) eines Ideals I mit Pi 6= 0. Wir m¨ochten diese so erg¨anzen, dass es eine Gr¨obnerbasis wird. Der Buchbergeralgorithmus funktioniert wie folgt: w¨ahle ein Paar von Polynomen Pi 6= Pj aus B. Berechne eine Normalform des S-Polynoms von Pi und Pj . Falls diese 0 ist, so w¨ahle das n¨achste Paar. Falls die Normalform nicht 0 ist, so f¨ uge sie zu B hinzu und w¨ahle dann das n¨achste Paar aus der vergr¨osserten Basis B. Dies wird solange durchgef¨ uhrt, wie es noch Paare gibt, die nicht betrachtet wurden. Es ist nicht a priori klar, dass der Algorithmus abbricht, denn jedesmal, wenn man ein neues Element zu B hinzuf¨ ugt, gibt es auch wieder neue Paare, die man betrachten muss. Satz 4.2. Der Buchbergeralgorithmus berechnet in endlich vielen Schritten eine Gr¨obnerbasis von I. Beispiel 1: Sei B eine endliche Menge von Monomen. Da jedes SPolynom von Monomen identisch 0 ist, folgt dass der Buchbergeralgorithmus sofort abbricht. Also ist G = B eine Gr¨obnerbasis. Beispiel 2: Sei B = B0 = {X1 +1, X2 +1, X1 X2 +X3 } ⊂ Q[X1 , X2 , X3 ]. Das S-Polynom von X1 + 1 und X2 + 1 ist X2 (X1 + 1) − X1 (X2 + 1) = −X1 +X2 . Reduziert man mit X1 +1 so ergibt sich X2 +1, welches schon in B0 ist. Man ver¨andert B0 also noch nicht. Das S-Polynom von X1 +1 und X1 X2 +X3 ist X2 (X1 +1)−(X1 X2 +X3 ) = X2 −X3 . In Normalform X3 +1. Also ist B1 = {X1 +1, X2 +1, X1 X2 +X3 , X3 +1}. Das S-Polynom von X2 + 1 und X1 X2 + X3 ist X1 − X3 . In Normalform ist das schon 0. Das S-Polynom von X1 + 1 und X3 + 1 ist X3 − X1 , also in Normalform 0. Genauso f¨ ur X2 + 1. Das S-Polynom von X1 X2 + X3 und X3 + 1 ist X3 (X1 X2 +X3 )−X1 X2 (X3 +1) = −X1 X2 +X32 . Die Normalform ist wieder 0 und man ist fertig. Also ist G = {X1 +1, X2 +1, X1 X2 +X3 , X3 +1} eine Gr¨obnerbasis.

¨ IV. GROBNERBASEN

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Reduziert man diese Basis noch, so ergibt sich {X1 +1.X2 +1, X3 +1} als eindeutige reduzierte Basis. Proof. Angenommen, der Algorithmus bricht nicht ab. Dann muss B immer gr¨osser werden (da es sonst nur endlich viele Paare gibt). Sei Q1 , Q2 , . . . die unendliche Folge der Polynome, die zu B hinzugef¨ ugt werden. Da Qi+1 in Normalform bez¨ uglich (P1 , . . . , Pk , Q1 , . . . , Qi ) ist, ist HT (Qi ) durch keinen HT (Qj ), j < i teilbar. Sei S := {HT (Qi ), i = 1, 2, . . .} Nach Dicksons Lemma gibt es eine endliche Teilmenge S 0 ⊂ S, so dass jeder Term in S durch einen Term aus S 0 teilbar ist. Sei i0 der gr¨osste in S 0 vorkommende Index. Dann ist HT (Qi0 +1 ) durch ein HT (Qj ), j ≤ i0 teilbar, was einen Widerspruch darstellt. Sei G = (G1 , . . . , Gk ) das Resultat des Buchbergeralgorithmus. Wir m¨ ussen zeigen, dass G eine Gr¨obnerbasis von I ist. Es ist klar, dass G endlich ist, I erzeugt und 0 nicht enth¨alt. Es bleibt zu zeigen, dass jeder h¨ochste Term eines Polynoms aus I durch einen h¨ochsten Term eines Polynoms aus G teilbar ist. Sei P ∈ I. Dann gibt es eine Darstellung P =

k X i=1

Pi G i ,

Pi ∈ k[X].

Wir w¨ahlen die Darstellung minimal in dem Sinne, dass T := max{HT (Pi Gi )} minimal ist und dass die Anzahl der i mit HT (Pi Gi ) = T minimal ist. Es ist offenbar immer T ≥ HT (P ). Angenommen, T > HT (P ). Dann muss es (mindestens) zwei Indizes i1 6= i2 geben mit HT (Pi1 Gi1 ) = HT (Pi2 Gi2 ) = T (sonst k¨onnte sich der Term T auf der rechten Seite nich wegk¨ urzen). Sei S das S-Polynom von Gi1 und Gi2 . Nach Konstruktion von G gibt es eine Darstellung S=

k X i=1

Pi0 Gi ,

Pi0 ∈ k[X], HT (Pi0 Gi ) ≤ HT (S).

(9)

Andererseits l¨asst sich S darstellen als S = Qi1 Gi1 +Qi2 Gi2 mit Monomen Qi1 , Qi2 . Da T durch HT (Gi1 ) und durch HT (Gi2 ) teilbar ist, ist es auch durch das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Terme teilbar. Also gibt es ein Monom Q0 mit HM (Q0 Qi1 Gi1 ) = HM (Pi1 Gi1 ). Man beachte, dass HT (S)HT (Q0 ) < T ist. Damit ist k X 0 P −QS = Pi00 Gi i=1

wobei HT (Pi001 Gi1 ) < T und HT (Pj00 Gj ) ≤ HT (Pj Gj ) f¨ ur j 6= i1 , i2 .

5. NULLDIMENSIONALE IDEALE

33

Aus (9) folgt P =

k X

(Pi00 + Q0 Pi0 )Gi

i=1

wobei HT ((Pi001 + Q0 Pi01 )Gi1 ) < T und HT (Pj00 Gj ) ≤ HT (Pj Gj ) f¨ ur j 6= i1 , i2 . In dieser Darstellung tritt der maximale Term T also (mindestens) einmal weniger auf als in der urspr¨ unglichen Darstellung. Das ist ein Widerspruch. Es folgt T = HT (P ) und damit ist HT (P ) durch ein HT (Gi ) teilbar. 

5. Nulldimensionale Ideale Definition 5.1. Sei k ein Grundk¨orper und K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, der k enth¨alt. Ein Ideal I ⊂ k[X] heisst nulldimensional, wenn V(I) ⊂ K n endlich ist. Satz 5.2. F¨ ur ein Ideal I ⊂ k[X] sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: a) I ist nulldimensional. b) Eine Gr¨obnerbasis G von I bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung hat folgende Eigenschaft: F¨ ur jedes i = 1, . . . , n existiert νi ein Gi ∈ G mit HT (Gi ) = Xi , νi ≥ 0. c) Es gibt eine Gr¨obnerbasis (bzgl. einer beliebigen Ordnung) mit dieser Eigenschaft. d) Jede Gr¨obnerbasis hat diese Eigenschaft. e) A := k[X1 , . . . , Xn ]/I ist eine endlich-dimensionale k-Algebra. Proof. a → d Da V(I)√ endlich ist, gibt es ein Polynom P ∈ K[Xi ] mit P ∈ I(V(I)) = I, d.h. P N ∈ I f¨ ur ein I. Sei G ⊂ K[X] eine beliebige Gr¨obnerbasis des von I erzeugten Ideals in K[X]. Dann muss HT (P N ) = Xiµi durch einen h¨ochsten Term eines Elements aus G teilbar sein. Das ist nur m¨oglich, wenn schon ein h¨ochster Term von G eine Potenz von Xi ist. Jede Gr¨obnerbasis in k[X] ist auch eine Gr¨obnerbasis in K[X], da die Berechnung des S-Polynoms und die Reduktion auf Normalform schon im Grundk¨orper durchgef¨ uhrt werden k¨onnen. Also hat speziell jede Gr¨obnerbasis G ⊂ k[X] von I die Eigenschaft von b). d → b Trivial. b → c Trivial. b → a Die Idee ist es auszunutzen, dass G Diagonalgestalt “ hat. ” Wir wollen zeigen, dass es nur endlich viele Punkte in V(I) geben kann. Sei (x1 , . . . , xn ) ein solcher Punkt.

¨ IV. GROBNERBASEN

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In G gibt es ein Polynom Gn = Xnνn + . . ., wobei die Punkte bedeuten, dass die Terme kleiner als Xnνn sind. In der lexikographischen Ordnung bedeutet das aber, das die weiteren Terme von der Form Xnj , j < νn sind. Gn ist also ein Polynom in Xn . Das bedeutet, dass nur endlich viele Werte f¨ ur xn in Frage kommen. Nach Voraussetzung gibt es ein Polynom Gn−1 mit νn−1 h¨ochstem Term Xn−1 . Die anderen Terme k¨onnen nur kleinere Potenzen von Xn−1 und Potenzen (beliebigen Grades) von Xn enthalten. Wir k¨onnen also νn−1 −1 X νn−1 i Pi (Xn )Xn−1 Gn−1 = Xn−1 + i=0

schreiben. Ist (x1 , . . . , xn ) ∈ V(I) so gibt es nur endlich viele M¨oglichkeiten f¨ ur xn . Setzt man diese in Gn−1 ein, so sieht man, dass es endlich viele nichtkonstante Polynome in einer Variablen gibt, so dass xn−1 Nullstelle eines dieser Polynome sein muss. Also gibt es auch f¨ ur xn−1 nur endlich viele M¨oglichkeiten. Dieses Argument f¨ uhrt man weiter und erh¨alt, dass jede Koordinate xi in einer endlichen Menge enthalten sein muss. Also ist V(I) endlich. c → e Sei D die Menge der n-Tupel (d1 , . . . , dn ) mit di ≤ µi . Wir werden zeigen, dass die Menge  d1 X1 · . . . · Xndn + I : (d1 , . . . , dn ) ∈ D

ein Erzeugendensystem von A bildet. Das bedeutet, dass jedes P ∈ k[X] eine Darstellung der Form X P = cd X1d1 · . . . · Xndn + Q, cd ∈ k, Q ∈ I (10) d∈D

besitzt. Ist das nicht der Fall, so gibt es einen minimalen Term P = X1e1 . . . Xnen , der keine solche Darstellung besitzt. Dann ist (e1 , . . . , en ) ∈ / D, also gibt es ein i mit ei ≥ µi . Nach Voraussetzung gibt es Gi ∈ G ⊆ I der Form Gi = Xiνi +R, HT (R) < Xiµi . Es folgt P = X1e1 . . . Xiei −µi . . . Xnen Gi − X1e1 . . . Xiei −µi . . . Xnen R

Der erste Summand liegt in I. Der zweite ist eine Summe aus Termen kleiner P , besitzt also eine Darstellung der Form (10). Doch dann besitzt auch P eine Darstellung der Form (10). e → d Ist A endlichdimensional, so gibt es f¨ ur jedes i ein νi mit der Eigenschaft, dass die Bilder von 1, Xi , Xi2 , . . . , Xiνi in A linear abh¨angig u ¨ber k sind. Also gibt es ein Polynom P ∈ k[Xi ] mit P ∈ I. Jetzt schliesst man wie bei a → d. 

KAPITEL V

Projektive Variet¨ aten 1. Projektiver Raum Sei k ein beliebiger K¨orper. Der n-dimensionale projektive Raum u ber k ist die Menge der eindimensionalen linearen Teilr¨aume von k n+1 . ¨ Er wird mit Pnk bezeichnet. F¨ ur den Fall k = R werden wir RPn := PnR mit der Struktur einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit versehen. Im Fall k = C ist CPn := PnC eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Es gibt eine nat¨ urliche Abbildung von k n+1 \ {0} nach Pnk : einem n+1 Punkt x ∈ k wird die eindeutige Gerade k · x zugeordnet, die ihn enth¨alt. Zwei verschiedene Punkte x, x0 ∈ k n+1 liegen auf der gleichen Gerade genau dann wenn es ein s ∈ k ∗ := k \ {0} gibt mit sx = x0 . Das ¨ definiert eine Aquivalenzrelation auf k n+1 \ {0} und Pnk ist die Menge ¨ der Aquivalenzklassen, also Pn = k n+1 \ {0}/k ∗ . Ist x = (x0 , x1 , . . . , xn ) 6= 0, so wird die Gerade durch x mit (x0 : x1 : . . . : xn ) bezeichnet. Die x0 , . . . , xn heissen homogene Koordinaten. Die homogenen Koordinaten eines Punktes des projektiven Raumes sind nur bis auf Vielfache von k ∗ bestimmt. Der n-dimensionale affine Raum Ank kann in Pnk eingebettet werden: Ank → Pnk

(x1 , . . . , xn ) 7→ (1 : x1 : . . . : xn ) Im folgenden werden wir immer Ank als Teilraum von Pnk auffassen. Das Komplement von Ank in Pnk (die Punkte im Unendlichen) ist gegeben durch alle Punkte der Form (0 : x1 : . . . : xn ) und kann mit dem n − 1-dimensionalen projektiven Raum Pkn−1 identifiziert werden. Induktiv ergibt sich, dass Pnk die Vereinigung von n + 1 affinen R¨aumen der Dimensionen 0, 1, . . . , n ist. Das kann z.B. benutzt werden, um die Kohomologie des projektiven Raumes zu berechnen oder seine Fundamentalgruppe. Obwohl die projektiven Koordinaten eines Punktes nicht eindeutig bestimmt sind, sind die folgenden Mengen wohldefiniert und u ¨berdecken Pnk : Ui := {(x0 : . . . : xn ) : xi 6= 0} , i = 0, . . . , n 35

36

¨ V. PROJEKTIVE VARIETATEN

F¨ ur jedes i gibt es eine Einbettung φi : k n → Ui definiert durch φi (x1 , . . . , xn ) := (x1 : x2 : . . . : xi−1 : 1 : xi : . . . : xn ) φi wird auch als affine Karte bezeichnet. Die Abbildungen φi sind sogar bijektiv. Setzen wir Uij := Ui ∩Uj , i 6= j, so erhalten wir eine Abbildung −1 φ−1 j ◦ φi : φi (Uij ) → φj (Uij ) n Die Menge φ−1 i (Uij ) ⊂ k ist eine offene Menge. Ist j < i, so besteht sie aus allen Punkten, deren j-te Koordinate nicht null ist. F¨ ur j > i besteht sie aus allen Punkten, deren j + 1-te Koordinate nicht verschwindet. Sei ohne Einschr¨ankung j < i (der andere Fall l¨auft analog). Dann ist f¨ ur x = (x1 , . . . , xn ) ∈ φ−1 i (Uij )

φi (x) = (x1 : . . . : xi−1 : 1 : xi : . . . : xn )   x1 x2 xj−1 xj+1 xi−1 1 xi+1 xn = : : ... : :1: : ... : : : : ... : xj xj xj xj xj xj xj xj   x1 x2 xj−1 xj+1 xi−1 1 xi+1 xn , ,... : , ,..., , , ,..., = φj xj xj xj xj xj xj xj xj Ist k = R (bzw. k = C), so ist φ−1 j ◦φi eine differenzierbare (bzw. holomorphe) Abbildung. Da alle Kartenwechsel diese Eigenschaft haben, k¨onnen wir RPn (bzw. CPn ) mit der Struktur einer differenzierbaren (bzw. komplexen) n-dimensionalen Mannigfaltigkeit versehen. Sei (a0 : . . . : an ) ∈ Pnk . Die Nullstellenmenge“ des homogenenen ” Polynoms a0 x0 + . . . + an xn heisst projektive Hyperebene zu a. Es gibt eine Bijektion zwischen Pnk und den Hyperebenen in Pnk . 2. Projektive Variet¨ aten Wir m¨ochten die projektiven Variet¨aten in Analogie zu den affinen Variet¨aten als Nullstellenmenge eines Polynoms definieren. Allerdings sind nur Nullstellen von homogenen Polynomen in den n + 1 Variablen X0 , X1 , . . . , Xn wohldefiniert. Ein Polynom P ∈ k[X0 , X1 , . . . , Xn ] heisst homogen vom Grad d (oder d-homogen) falls jedes Monom Totalgrad d hat. Die Menge der homogenen Polynome vom Grad d bezeichnen wir mit kd [X0 , . . . , Xn ]. Es gilt k[X0 , . . . , Xn ] =

∞ M

kd [X0 , . . . , Xn ].

d=0

Der Ring auf der rechten Seite ist ein graduierter Ring, d.h. das Produkt aus einem d1 -homogenen und einem d2 -homogenen Polynom ist ein d1 + d2 -homogenes Polynom.

¨ 2. PROJEKTIVE VARIETATEN

37

Ist P ein d-homogenes Polynom, so gilt P (tx0 , . . . , txn ) = td P (x0 , . . . , xn ) f¨ ur alle (x0 , . . . , xn ). Die Bedingung P (x0 , . . . , xn ) = 0 ist f¨ ur eine ganze Restklasse modulo k ∗ entweder erf¨ ullt oder nicht. Im ersten Fall schreiben wir P (x0 : . . . : xn ) = 0, im zweiten P (x0 : . . . : xn ) 6= 0. Definition 2.1. Eine projektive Variet¨at ist eine Teilmenge der Form ˜ S) ˜ ⊆ Pn , V˜ = V( k

wobei S˜ eine beliebige Menge von homogenen Polynomen in k[X0 , . . . , Xn ] ˜ S) ˜ die gemeinsame Nullstellenmenge von S bezeichnet. ist und V(

Wie im affinen Fall sind endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte von projektiven Variet¨aten ist wieder eine projektive Variet¨at. ˜ ˜ Da ∅ = V(1) und Pnk = V(0) ebenfalls projektive Variet¨aten sind, kann man analog zum affinen Fall die Zariskitopologie auf Pnk definieren. Der n¨achste Satz zeigt, dass die Einschr¨ankung der (projektiven) Zariskitopologie von auf Ank die (affine) Zariskitopologie liefert. Satz 2.2. Sei V˜ ⊂ Pnk eine projektive Variet¨at. Dann ist V := V˜ ∩ Ank

eine affine Variet¨at und jede affine Variet¨at ist auf diese Weise darstellbar. Proof. Sei S˜ ⊂ k[X0 , . . . , Xn ] eine Menge homogener Polynome. F¨ ur P˜ ∈ S˜ ist P (X1 , . . . , Xn ) := P˜ (1, X1 , . . . , Xn ) ein Polynom in n ˜ Dann ist Variablen. Sei S = {P : P˜ ∈ S}. ˜ S) ˜ ∩ An = V(S) V( (11) k

F¨ ur die Umkehrung reicht es aus, jedes Polynom P ∈ k[X1 , . . . , Xn ] zu einem homogenen Polynom PP˜ in k[X0 , . . . , Xn ] machen, indem jed− di der Term X1d1 . . . Xndn mit X0 multipliziert wird. Dabei ist d der Totalgrad von P . Ist S ⊂ k[X1 , . . . , Xn ], so bezeichnen wir mit S˜ die Menge der homogenisierten Polynome. Dann gilt wieder Gleichung (11) und damit ist V(S) der Durchschnitt einer projektiven Variet¨at mit ˜ S) ˜ heisst projektiver Abschluss von dem affinen Raum. Die Variet¨at V( V = V(S).  Beispiel 1: Sei V die Gerade V = {ta1 , . . . , tan ) : t ∈ R} ⊂ Rn ,

wobei (a1 , . . . , an ) 6= 0. Setzen wir S := {ai Xj − aj Xi : i 6= j}, so k¨onnen wir V darstellen als V = V(S).

Die Polynome ai Xj − aj Xi sind bereits 1-homogen. Also ist der projektive Abschluss gegeben durch die gemeinsame Nullstellenmenge dieser

38

¨ V. PROJEKTIVE VARIETATEN

Polynome. Neben den affinen Punkten gibt es noch genau einen Punkt (0, a1 , . . . , an ) im Unendlichen. Beispiel 2: Man kann die projektive Ebene P2k als projektive Variet¨at in P5k auffassen. Dazu nimmt man die Einbettung P2k → P5k

(x0 : x1 : x2 ) 7→ (x20 : x21 : x22 : x0 x1 : x0 x2 : x1 x2 )

Das Bild heisst Veronesefl¨ache. In homogenen Koordinaten (y0 : y1 : . . . : y5 ) kann man die Veronesefl¨ache beschreiben als Nullstellenmenge des homogenen Gleichungssystems Y0 Y1 = Y32 , Y0 Y2 = Y42 , Y1 Y2 = Y52 , Y3 Y4 = Y0 Y5 , Y3 Y5 = Y1 Y4 , Y4 Y5 = Y2 Y3 . 3. Grassmann-Variet¨ aten Mit Grk (l, n) bezeichnen wir die Menge der l-dimensionalen lineare Unterr¨aume des affinen Raumes Ank . Das Ziel dieses Abschnittes ist (n)−1 es zu zeigen, dass Grk (l, n) eine projektive Variet¨at in Pk l ist. Wir werden der Einfachheit halber den Index k immer weglassen. Zum Beispiel ist Gr(1, n) = Pn−1 eine projektive Variet¨at in Pn−1 (definiert durch das homogene Polynom 0). Zuerst wollen wir die Einbettung definieren. Sei e1 , . . . , en eine Basis von V := k n . Dann hat die antisymmetrische Potenz Λl V die Basis e1 ∧ . . . ∧ el , . . . ,
en−l+1 ∧ . . . ∧ en , kann also mit W := k m identifiziert werden (m := nl ). Sei E ∈ Gr(l, n). W¨ahle eine Basis w1 , . . . , wl von E. Dann ist w1 ∧ . . . ∧ wl ∈ W . Dieses Element ist nicht 0. Es ist nicht eindeutig bestimmt, sondern h¨angt von der Wahl der Basis ab. Eine andere Basis liefert aber ein Vielfaches dieses Element (die Determinante des Basiswechsels kommt dabei ins Spiel). Das Bild von w1 ∧ . . . ∧ wl in Pm−1 = P(W ) ist aber wohldefiniert. Wir bekommen also eine Abbildung ψ : Gr(l, n) → Pm−1

E = span{w1 , . . . , wl } 7→ k(w1 ∧ . . . ∧ wl )

Diese Abbildung ist injektiv, denn ist k(w1 ∧ . . . ∧ wl ) im Bild von ψ, so k¨onnen wir E zur¨ uckgewinnen als Menge der Vektoren v ∈ V mit v ∧ w1 ∧ . . . ∧ wl = 0. Die Einbettung ψ heisst Pl¨ uckereinbettung. Jetzt wollen wir zeigen, dass das Bild von ψ eine projektive Variet¨at ist. Dieses Bild besteht genau aus den einfachen l-Vektoren (auch totally decomposable oder simple genannt). Wir sagen, dass v ∈ V ein w ∈ W teilt, wenn es φ ∈ Λl−1 V gibt mit w = v ∧ φ. Das ist genau dann der Fall, wenn v ∧ w = 0 ist. Das Element w ∈ W ist genau dann einfach, wenn der Raum der w teilenden Elemente Dimension l hat, d.h. wenn der Rang der Abbildung φ(w) : V → Λl+1 V, v 7→ v ∧ w

4. PROJEKTIVER NULLSTELLENSATZ

39

genau n − l ist. Der Rang von φ(w) ist nie kleiner als n−l (sonst w¨are w als Produkt von mehr als l Vektoren darstellbar). Also ist der Rang gleich n−l genau dann, wenn er kleiner gleich n − l ist. Fassen wir die lineare Abbildung φ(w) als Matrix auf, so sind die Eintr¨age lineare Funktionen in w. Der Rang dieser Matrix ist kleiner gleich n−l genau dann, wenn alle (n−l +1)×(n−l +1)-Minoren dieser Matrix verschwinden. Das liefert ein System von homogenen Polynomen vom Grad n − l + 1 auf W , deren L¨osungen genau die einfachen l-Vektoren sind. Also ist das Bild von ψ eine homogene Variet¨at in Pm−1 . 4. Projektiver Nullstellensatz Von nun an werden wie wieder V anstelle von V˜ usw. schreiben, beziehen uns aber auf die projektive Variet¨at. Wir haben projektive Variet¨aten als Nullstellenmenge eines Systems homogener Polynome definiert. Es macht also Sinn, Ideale in k[X0 , . . . , Xn ] zu betrachten, die von homogenen Idealen erzeugt werden. Solche Ideale heissen homogen. Satz 4.1. Ein Ideal I ⊂ k[X0 , . . . , Xn ] ist homogen genau dann, wenn die folgende Bedingung gilt: Ist P ∈ I, dann ist schon jede homogene Komponente von P in I. Proof. Angenommen, I ist homogen und P ∈ I. Dann gibt es eine Gleichung P =

l X i=1

Pi Q i ,

Pi ∈ k[X0 , . . . , Xn ], Qi ∈ I homogen.

Die d-homogene Komponente von P l¨asst sich dann darstellen als l X Pd = (Pi )d−deg Qi Qi i=1

und geh¨ort somit zu I. Sei umgekehrt jede homogene Komponente eines Polynoms aus I schon in I. Speziell geh¨oren dann die homogenen Komponenten eines Erzeugendensystems von I auch zu I. Damit ist I homogen.  Korollar 4.2. Jedes homogene Ideal in k[X0 , . . . , Xn ] hat eine endliche Basis aus homogenen Polynomen. Proof. Nach Hilberts Basissatz gibt es eine endliche Basis. Die homogenen Komponenten aller Elemente dieser Basis bilden dann eine endliche Basis, die aus homogenen Polynomen besteht.  Ist I ein homogenes Ideal, so schreiben wir Id f¨ ur die Menge der I d-homogenen Polynome in I. Es gilt also I = ⊕∞ d=0 d .

¨ V. PROJEKTIVE VARIETATEN

40

Satz 4.3. Ist I ein homogenes Ideal, so auch

√

I.

Proof. Wir zeigen per Induktion√u der homogenen ¨ber die Anzahl √ Komponenten eines Polynoms P ∈ I, dass diese in I liegen. Hat P nur eine homogene Komponente (d.h. ist selbst homogen), so gilt die Aussage trivialerweise. Anderenfalls betrachten wir die (bzgl. Totalgrad) gr¨osste homogene Komponente von P . Dann ist die gr¨osste homogene Komponente von P N genau PkN . Da I homogen ist, folgt √ PkN = (P N )kN √ ∈ I und somit Pk ∈ I. Das Polynom P − Pk liegt ebenfalls in I und hat eine homogene Komponente weniger als P . Nach Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle homogenen Komponen√ ten in I liegen.  Theorem 4.4. (Projektiver schwacher Nullstellensatz) Sei k algebraisch abgeschlossen und I ⊂ k[X0 , . . . , Xn ] ein homogenes Ideal. Die projektive Variet¨at V(I) ist leer genau dann wenn f¨ ur gen¨ ugend grosses d die Gleichung Id = kd [X0 , . . . , Xn ] gilt. Proof. Sind Konstanten 6= 0 in I enthalten, so ist die Variet¨at leer und die obige Gleichung gilt f¨ ur alle d. Nehmen wir an, dass I keine Konstanten 6= 0 enth¨alt. V(I) ⊂ Pn ist leer genau dann wenn V(I) ⊂ Pn+1 aus dem Nullpunkt (0, . . . , 0) besteht. √ Das ist nach Hilberts Nullstellensatz genau dann der Fall, wenn √ I = I({0, . . . , 0}) = (X0 , . . . , Xn ) ist. Angenommen I = (X0 , . . . , Xn ). Dann gibt es f¨ ur jedes i = Ni 0, . . . , n einen Exponenten Ni mit Xi ∈ I. Jedes homogene Polynom vom Grad ≥ N0 + N2 + · · · + Nn ist dann aber schon I, damit gilt die obige Gleichung. d Angenommen, die √ obige Gleichung gilt. Dann ist speziell Xi ∈ I f¨ ur alle i, also Xi ∈ I.  Um den Nullstellensatz im projektiven Raum zu formulieren, m¨ ussen wir einer projektiven Variet¨at ein homogenes Ideal I(V˜ ) ⊂ k[X0 , . . . , Xn ] zuordnen. Ist P ein nicht notwendigerweise homogenes Ideal und x = (x0 : . . . : xn ) ∈ Pnk , so sagen wir dass x Nullstelle von P ist, wenn P in (0, . . . , 0) und auf der ganzen durch x definierten Restklasse verschwindet, also wenn P (tx0 , . . . , txn ) = 0 f¨ ur alle t ∈ k gilt. Das ist ¨aquivalent dazu, dass alle homogenen Komponenten von P in x verschwinden. Die gemeinsame Nullstellenmenge einer Teilmenge S von Polynomen bezeichnen wir wieder mit V(S). Ist X ⊂ Pnk eine beliebige Menge von Punkten, so bezeichnen wir mit I(X) die Menge der Polynome, die in jedem Punkt von X und in (0, . . . , 0) verschwinden. Das ist ein echtes homogenes Radikalideal.

¨ 5. REGULARE FUNKTIONEN

41

Theorem 4.5. (Projektiver Nullstellensatz) a) F¨ ur jede Teilmenge X ⊂ Pnk ist V(I(X)) der Zariskiabschluss. b) Ist k algebraisch abgeschlossen und I ein echtes homogenes Ideal, so ist √ I(V(I)) = I. c) Ist k algebraisch abgeschlossen, so definieren die Abbildungen V und I eine Bijektion zwischen den echten homogenen Radikalidealen und den projektiven Variet¨aten. Proof. a) Genau wie in der affinen Situation (Satz II.4.6). b) Sei V = V(I) ⊂ Pnk und W = V(I) ⊆ An+1 . Dann besteht W k n+1 aus dem Ursprung und allen Geraden in k , die in V liegen. W heisst auch Kegel u ¨ber V . Hilberts √ Nullstellensatz, angewendet auf W , ergibt I(V ) = I(W ) = I. c) Analog wie Hilberts Nullstellensatz (Theorem III.3.5).  5. Regul¨ are Funktionen Von nun an sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Wir versehen Pnk mit der Zariskitopologie und projektive Variet¨aten mit der induzierten Topologie. Eine regul¨are Funktion ist eine Funktion, die sich lokal als Quotient zweier homogener Polynome gleichen Grades darstellen l¨asst: Definition 5.1. • Ist U ⊂ V eine offene Teilmenge einer projektiven Variet¨at V , so heisst eine Funktion φ : U → k re¨ gul¨ar, wenn es eine Uberdeckung von U durch offene Mengen (Ui )i∈I gibt und wenn es f¨ ur jedes i ∈ I homogene Polynome Pi , Qi ∈ k[X0 , . . . , Xn ] gleichen Grades gibt mit Qi (x) 6= 0 f¨ ur x ∈ Ui und Pi (x) φ(x) = x ∈ Ui . Qi (x) Die Menge der regul¨aren Funktionen auf U wird mit ΓV (U ) bezeichnet. • Eine Abbildung φ : V → W zwischen projektiven Variet¨aten ar), wenn V ⊆ Pnk und W ⊆ Pm k heisst Morphismus (oder regul¨ sie stetig ist (bzgl. der Zariskitopologie) und wenn f¨ ur jede offene Teilmenge U 0 ⊆ W und jede regul¨are Funktion ψ ∈ ΓW (U 0 ) die Komposition ψ ◦ φ : φ−1 (U 0 ) → k regul¨ar ist. Die Zuordnung U 7→ ΓV (U ) definiert eine Garbe“ ΓV , die soge” nannte Strukturgarbe von V .

¨ V. PROJEKTIVE VARIETATEN

42

Satz 5.2. Sei V ⊆ Pnk eine projektive Variet¨at. Dann ist eine regul¨are Funktion auf V ∩ Ank regul¨ar im Sinne von Abschnitt I.3, d.h. Einschr¨ankung einer polynomialen Funktion. Es gilt also ΓV (V ∩ Ank ) = Γ(V ∩ Ank ).

Proof. Da V ∩Ank eine affine Variet¨at ist, gibt es Polynome f1 , . . . , fk ∈ k[X1 , . . . , Xn ] mit V ∩ Ank = V(f1 , . . . , fk ) ¨ Weiterhin gibt es eine offene Uberdeckung V ∩ Ank = ∪i∈I Ui

und f¨ ur jedes i ∈ I zwei (nicht notwendigerweise homogene) Polynome Pi (x) f¨ ur x ∈ Ui Pi , Qi ∈ k[X1 , . . . , Xn ] mit Qi (x) 6= 0 und φ(x) = Q i (x) (die Ui sind die Durchschnitte der offenen Mengen in der Definition der Regularit¨at mit Ank , die Pi , Qi sind die Dehomogenisierungen). ¨ Indem wir zu einer feineren Uberdeckung u ¨ bergehen, k¨onnen wir annehmen, dass es Polynome gi ∈ k[X1 , . . . , Xn ] gibt mit Ui = {x ∈ Ank : gi (x) 6= 0} (denn solche Mengen bilden eine Basis der Topologie). Da Ank und damit jede abgeschlossene Teilmenge kompakt ist, k¨onnen wir zu einer endlichen Teil¨ uberdeckung u ¨bergehen, d.h. annehmen dass I endlich ist. Wir ersetzen Pi durch Pi gi und Qi durch Qi gi . Die Gleichung φ(x)Qi (x) = Pi (x) (12) gilt dann f¨ ur jeden Punkt x ∈ V ∩ Ank . Die affine Variet¨at V((Qi )i∈I , f1 , . . . , fk ) ist leer. Der schwache Nullstellensatz impliziert eine Gleichung 1=

X

Ri Qi +

k X

Sj f j

j=1

i∈I

mit Polynomen Ri , Sj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Wir multiplizieren Gleichung (12) mit Ri und addieren u ¨ ber alle i. n Beachten wir noch, dass fj (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ V ∩ Ak , so bekommen wir f¨ ur alle x ∈ V ∈ Ank ! k X X X φ(x) = φ(x) Ri (x)Qi (x) + Sj (x)fj (x) = Ri (x)Pi (x). i∈I

j=1

i∈I

Das zeigt, dass φ die Einschr¨ankung der polynomialen Funktion ist, d.h. eine regul¨are Funktion auf V ∩ Ank .

P

i∈I

R i Pi 

6. Projektionen Ein projektiver Unterraum von Pnk ist ein Durchschnitt von Hyperebenen. Ein l-dimensionaler projektiver Unterraum kann auch beschrieben werden als Bild eines l + 1-dimensionalen linearen Unterraums von k n+1 unter der Projektionsabbildung k n+1 → Pnk . Der Durchschnitt

6. PROJEKTIONEN

43

aller Hyperebenen, die zwei verschiedene Punkte p und x enthalten, heisst projektive Gerade durch p und x. Sei p = (1 : 0 : . . . : 0) und x = (x0 : . . . : xn ) 6= p. Dann ist die projektive Gerade duch p und x gegeben durch alle Punkte der Form ((sx0 + t) : sx1 : . . . : sxn ),

s, t ∈ k

Diese Gerade hat enth¨alt genau einen Punkt im Unendlichen, n¨amlich den Punkt (0 : x1 : . . . : xn ) (da x 6= p ist eine der Koordinaten x1 , . . . , xn nicht Null). Wir hatten bereits gesehen, dass man die unendlich fernen Punkte mit Pkn−1 identifizieren k¨onnen. Die Abbildung πp : Pnk \ {(1 : 0 : . . . : 0)} → Pkn−1

(x0 : . . . : xn ) 7→ (x1 : . . . : xn )

heisst Projektion auf Pkn−1 mit Zentrum (1 : 0 : . . . : 0). / V. Theorem 6.1. Sei V ⊂ Pnk eine projektive Variet¨at mit p ∈ n−1 Dann ist πp (V ) eine projektive Variet¨at in Pk . Bevor wir das Theorem beweisen, ben¨otigen wir zwei Lemmas. Lemma 6.2. Eine Gerade l durch p schneidet V genau dann, wenn je zwei homogene Polynome P, Q ∈ I(V ) eine gemeinsame Nullstelle auf l haben. Proof. Angenommen l schneidet V in einem Punkt x. Dann verschwindet jedes Polynom aus I(V ) in x, speziell haben je zwei homogene Polynome aus I(V ) eine gemeinsame Nullstelle auf l, n¨amlich x. Setzen wir umgekehrt voraus, dass je zwei homogene Polynome aus I(V ) haben eine gemeinsame Nullstelle auf l. Wir wollen zeigen, dass l ∩ V 6= ∅ und nehmen das Gegenteil an. Verschw¨ unde jedes homogene P ∈ I(V ) auf der ganzen Gerade l, so w¨are wegen V = V(I(V )) die ganze Gerade l in V und damit auch p, Widerspruch. Also gibt es ein homogenes Polynom P ∈ I(V ), welches auf l nur endlich viele, sagen wir m, Nullstellen hat. Nach Voraussetzung hat jedes andere homogene Polynom Q ∈ I(V ) mit P1 mindestens eine Nullstelle mit P1 auf l gemeinsam. Sei Q1 ein Polynom mit einer minimalen Anzahl gemeinsamer Nullstellen mit P auf l. Sei x so eine Nullstelle. Da x ∈ / V gibt es ein homogenes Polynom Q2 ∈ I(V ) mit Q2 (x) 6= 0. Q2 Q1 Indem wir Q1 durch Qdeg und Q2 durch Qdeg ersetzen, k¨onnen 1 2 wir annehmen, dass deg Q1 = deg Q2 ist. F¨ ur jeden Parameter t ∈ k liegt Q2 + tQ1 in I(V ) und ist homogen. Dieses Polynom hat- bis auf endlich viele schlechte Werte f¨ ur teine gemeinsame Nullstelle weniger mit P1 auf l als Q1 . Das ist ein Widerspruch zur Minimalit¨at von Q1 . 

¨ V. PROJEKTIVE VARIETATEN

44

Angesichts des Lemmas m¨ ussen wir die Bedingung, dass zwei homogene Polynome eine gemeinsame Nullstelle auf einer Geraden l haben, algebraisch ausdr¨ ucken. Lemma 6.3. Seien P (X) = am X m + . . . + a0 , am 6= 0 und Q(X) = bn X n + . . . + b0 , bn 6= 0 zwei Polynome (in einer Variablen X) ¨ uber einem algebraisch abgeschlossenen K¨orper k. Dann haben P und Q eine gemeinsame Nullstelle in k genau dann, wenn die Resultante a0 a1 · · am 0 0 · · · 0 0 a 0 a1 · · am 0 · · · 0 · · · · · Res(P, Q) := · b b 0 1 · · · bn 0 · · · 0 0 b b · · · bn 0 · · 0 0 1 0 · · 0 b b1 · · · · b n 0 verschwindet.

Proof. P und Q haben genau dann eine gemeinsame Nullstelle, wenn ihr gr¨osster gemeinsamer Teiler positiven Grad hat. Das ist genau dann der Fall, wenn der Grad des kleinsten gemeinsamen Vielfachen strikt kleiner als m + n hat, also wenn es ein Polynom R vom Grad ≤ n − 1 und ein Polynom S vom Grad ≤ m − 1 gibt mit P R = QS. Schreibt man sich dies komponentenweise auf, so erh¨alt man ein lineares Gleichungssystem mit m + n Gleichungen (f¨ ur jede m+n−1 Potenz 1, X, . . . , X ) und m + n Unbekannten (den Koeffizienten von R und S). Dieses besitzt eine L¨osung genau dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet, also genau dann, wenn Res(P, Q) = 0.  Das Lemma ist ebenfalls richig, falls eines der beiden Polynome kleineren Grad hat, d.h. falls entweder am = 0 oder bn = 0 ist. Falls am = bn = 0, so verschwindet die Resultante immer. Also gilt Res(P, Q) = 0 genau dann wenn P und Q eine gemeinsame Nullstelle haben oder wenn beide Leitkoeffizienten gleichzeitig verschwinden. Jetzt seien P, Q ∈ I(V ). Wir k¨onnen P und Q als Polynome in X0 auffassen mit Koeffizienten in k[X1 , . . . , Xn ]. Der X0 -Grad von P (bzw. Q) ist genau dann gleich dem Totalgrad von P (bzw. Q), wenn P (1 : 0 : . . . : 0) 6= 0 (bzw. Q(1 : 0 : . . . : 0) 6= 0) ist. Veschwinden also die h¨ochsten Koeffizienten von P und Q, so haben P und Q den Punkt p als gemeinsame Nullstelle. Aus dem obigen Lemma 6.3 folgt, dass die Resultante von P und Q genau dann verschwindet, wenn P und Q eine gemeinsame Nullstelle auf l haben. Da Res(P, Q) ein homogenes Polynom in den Variablen X1 , . . . , Xn ist, k¨onnen wir (wegen Lemma 6.2) die Projektion πp (V ) darstellen als πp (V ) = V ({Res(P, Q) : P, Q ∈ I(V ), homogen})

6. PROJEKTIONEN

Damit ist gezeigt, dass πp (V ) eine projektive Variet¨at ist.

45



Jetzt sei p ein beliebiger Punkt in Pnk . Er kann mit einer Geraden L in k n+1 identifiziert werden. Die projektiven Geraden durch p sind genau die zweidimensionalen Teilr¨aume von k n+1 , die L enthalten. Ein zweidimensionaler Teilraum, der L enth¨alt, kann mit einem eindimensionalen Teilraum in k n+1 /L = k n , also mit einem Punkt in Pkn−1 identifiziert werden. Auf diese Weise bekommen wir eine Projektion πP : Pnk \{p} → Pkn−1 mit Zentrum p. Theorem 6.1 gilt dann f¨ ur jeden Punkt p ∈ Pnk .

KAPITEL VI

Dimension Wir werden eine geometrische und eine algebraische Definition der Dimension einer projektiven Variet¨at geben. Wir beschr¨anken uns in diesem Kapitel auf irreduzible Variet¨aten- die Dimension einer reduziblen Variet¨at ist definiert als maximale Dimension der irreduziblen Komponenten. 1. Geometrische Definition der Dimension Sei Λ ein projektiver Teilraum der Dimension m < n. Er entspricht ˆ in k n+1 . Jeder Punkt x ∈ Pn \ einem m + 1-dimensionalen Teilraum Λ k ˆ einen m + 2-dimensionalen Teilraum in Λ spannt zusammen mit Λ ˆ = k n−m , k n+1 auf, der mit einem 1-dimensionalen Teilraum in k n+1 /Λ n−m−1 also einem Punkt in Pk identifiziert werden kann. Auf diese Weise bekommt man eine Projektionsabbildung πΛ : Pnk \ Λ → Pkn−m−1 . Ist V ⊆ Pnk eine projektive Variet¨at, die zu Λ disjunkt ist, so ist πΛ (V ) eine . Das folgt aus der Tatsache, dass man projektive Variet¨at in Pn−m−1 k πΛ als eine Komposition von m + 1 Projektionen πpi , i = 1, . . . , m + 1 schreiben kann, wobei p1 , . . . , pm+1 den Raum Λ aufspannen. ist ein Morphismus. Lemma 1.1. Die Projektion πΛ : V → Pn−m−1 k Proof. Da die Komposition von Morphismen wieder ein Morphismus ist, reicht es aus, das Lemma f¨ ur eine Projektion πp : V → Pkn−1 zu zeigen. W¨ahlen wir wieder p = (1 : 0 : . . . : 0), so ist πp (x0 : . . . : xn ) = (x1 : . . . : xn ). Die Stetigkeit dieser Abbildung in der Zariskitopologie folgt sofort. Sei U 0 ⊆ Pkn−1 eine offene Menge und ψ ∈ ΓPn−1 (U 0 ) eine regul¨are k ¨ Funktion. Dann gibt es eine Uberdeckung von U 0 durch offene Menge (Ui0 ), i ∈ I homogene Polynome Pi0 , Q0i ∈ k[X1 , . . . , Xn ] gleichen Grades mit Q0i (x0 ) 6= 0 und ψ(x0 ) = Pi0 (x0 )/Q0i (x0 ) f¨ ur alle x0 ∈ Ui0 . Die offenen ¨ Mengen Ui := πp−1 (Ui0 ) bilden eine Uberdeckung von U := πp−1 (U 0 ). Setzen wir Pi := Pi0 , Qi := Q0i , fassen diese Polynome aber als homogene Polynome in k[X0 , . . . , Xn auf, so folgt Qi (x) 6= 0 und ψ ◦ πp (x) = Pi (x)/Qi (x) f¨ ur alle x ∈ Ui . Also ist ψ ◦ πp regul¨ar und damit πp ein Morphismus.  Definition 1.2. Die Dimension dim V einer irreduziblen projekurliche Zahl d so dass ein tiven Variet¨at V ⊆ Pnk ist die kleinste nat¨ 47

48

VI. DIMENSION

n − d − 1-dimensionaler projektiver Teilraum Λ mit Λ ∩ V = ∅ existiert. Die Kodimension von V ist n − dim V . Ist V = Pnk , so ist dim V = n, anderenfalls ist dim V < n. Satz 1.3. Ist V eine irreduzible Variet¨at der Dimension d, so gibt es einen surjektiven Morphismus π : V → Pdk , dessen Fasern endliche Mengen sind. Proof. Sei d := dim V . Dann finden wir einen n−d−1-dimensionalen Raum Λ, der zu V disjunkt ist. Die Projektion πΛ (V ) ist eine projektive Variet¨at in Pdk . W¨are diese Variet¨at nicht schon der ganze Raum Pdk , so g¨abe es einen Punkt, der nicht in πΛ (V ) l¨age. Diesen k¨onnte man als Projektionszentrum w¨ahlen und weiter projizieren. Anders ausgedr¨ uckt: der von Λ und p aufgespannte projektive Raum der Dimension n − d w¨are ebenfalls zu V disjunkt. Da d minimal war, ist das nicht m¨oglich. Also ist πΛ (V ) = Pdk . Wir finden also eine surjektive Projektionsabbildung von V auf einen d-dimensionalen projektiven Raum. Diese l¨asst sich schreiben als Komposition von mehreren Projektionsabbildungen πpi : Pn−i \ {pi } → k n−i−1 Pk , i = 0, . . . , n − d − 1. Sei Λi der von p0 , . . . , pi aufgespannte idimensionale projektive Raum und πΛi : Pnk → Pn−i−1 die Komposition k der Abbildungen πp0 , . . . , πpi . Wir zeigen per Induktion u ¨ber i = 0, . . . , n − d − 1 dass πΛ−1i (x) ∩ V . endlich ist f¨ ur alle x ∈ Pn−i−1 k Sei i = 0. Ist L eine Gerade durch den Projektionspunkt p0 , so schneidet sie V nur in endlich vielen Punkten: anderenfalls w¨are sie vollst¨andig in V enthalten im Widerspruch zu p0 ∈ / V. Jetzt sei i > 0. Die projektive Variet¨at πΛi−1 (V ) ⊂ Pkn−i enth¨alt . Er entspricht einer den Punkt pi nicht. Sei x ein Punkt in Pn−i−1 k n−i projektiven Gerade in Pk durch den Punkt pi . Diese schneidet die projektive Variet¨at πΛi−1 (V ) in h¨ochstens endlich vielen Punkten. Nach Induktionsvoraussetzung ist f¨ ur jeden Punkt y in diesem Durchschnitt −1 die Faser πΛi−1 (y)∩V endlich. Da πΛ−1i (x) die Vereinigung dieser endlich vielen endlichen Mengen ist, ist es auch endlich. Speziell bekommen wir f¨ ur i = n − d − 1, dass die Fasern πΛ−1 (x) ∩ V endlich sind.  Korollar 1.4. V ist nulldimensional genau dann, wenn V endlich ist. Proof. Der projektive Raum P0k besteht aus genau einem Punkt. Eine Abbildung V → P0k mit endlichen Fasern kann also nur existieren, wenn V endlich ist. Ist umgekehrt V endlich, so folgt aus Linearer Algebra (in k n+1 ), dass es eine projektive Hyperebene gibt, die V nicht trifft. 

3. MORPHISMEN

49

2. Segre-Einbettung und generische Schnitte Das Produkt zweier projektiver R¨aume Pn und Pm ist als Menge wohldefiniert. Man kann es als projektive Variet¨at in Pnm+n+m auffassen, was wir immer tun werden. Um dies einzusehen, betrachten wir die Segre-Abbildung Pn × Pm → Pnm+n+m

(x0 : . . . : xn ), (y0 : . . . : ym ) 7→ (x0 y0 : x0 y1 : . . . : xn ym−1 xn ym )

Diese Abbildung ist injektiv, ihr Bild ist eine projektive Variet¨at. Bezeichnet man die Koordinaten auf Pnm+n+m mit Zi,j , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, so ist das Bild der Segreeinbettung gegeben durch die projektive Variet¨at, die durch die homogenen Gleichungen Zi,j Zl,m = Zi,m Zl,j definiert ist. Die Menge Grk (l, Pnk ) der l-dimensionalen projektiven Teilr¨aume von Pnk kann mit den l + 1-dimensionalen linearen Teilr¨aumen in k n+1 , also mit der projektiven Variet¨at Grk (l + 1, n + 1) identifiziert werden. Speziell k¨onnen wir diese Menge mit der Zariskitopologie versehen. Definition 2.1. Wir sagen, dass eine Eigenschaft von l-dimensionalen projektiven Teilr¨aumen generisch erf¨ ullt ist (oder dass der generische l-dimensionale projektive Teilraum diese Eigenschaft hat), wenn die Menge der l-dimensionalen projektiven Teilr¨aume, die die Eigenschaft nicht haben, eine projektive Variet¨at positiver Kodimension in Grk (l, Pnk ) ist. Anders ausgedr¨ uckt: die Menge der l-dimensionalen projektiven Teilr¨aume, die die Eigenschaft haben, ist eine nichtleere, Zariski-offene Teilmenge. Beispiel: Satz 2.2. Sei p ∈ Pnk ein beliebiger Punkt. Dann ist p nicht in der generischen projektiven Hyperebene enthalten. Proof. p entspricht einer Geraden l in k n+1 . Sei v ∈ l ein Vektor ungleich 0. Eine lineare Hyperebene E in k n+1 enth¨alt l genau dann, wenn sie v enth¨alt. Das ist der Fall genau dann, wenn v ∧ ψ(E) = 0 gilt (ψ ist die Pl¨ uckereinbettung). Das ist eine polynomiale Bedingung. Die Menge der Hyperebenen E mit v ∈ E ist also eine projektive Variet¨at. Da nicht jede Ebene E den Punkt p enth¨alt, folgt dass die Kodimension der Menge der Ebenen, die p enthalten, positiv ist.  3. Morphismen Sei V ⊂ Pnk eine projektive Variet¨at und φ : V → Pm k ein Morphismus. Dann ist der Graph von φ definiert als Menge Gφ := {(x, φ(x) : m n x ∈ V } ⊂ V × Pm k ⊂ Pk × Pk . Mittels Segreeinbettung fassen wir das auf. at von Pmn+m+n Produkt Pnk × Pm k wieder als projektive Variet¨ k Bemerkungen zur Zariskitopologie:

50

VI. DIMENSION

• Die Zariskitopologie auf einem Produktraum ist nicht die Produkttopologie, sondern feiner (d.h. sie hat mehr offene Mengen). • Ist U eine Teilmenge eines topologischen Raumes X, so heisst eine Teilmenge Y von U abgeschlossen in U , wenn sich Y schreiben l¨asst als Y = U ∩ Y 0 f¨ ur eine abgeschlossene Teilmenge 0 ¨ Y ⊂ X (induzierte Topologie auf U ). Aquivalent dazu ist, dass ¯ ¯ Y ∩ U = Y , wobei Y der Abschluss von Y in X ist. • Eine Teilmenge Y eines topologischen Raumes X ist genau dann ¨ abgeschlossen, wenn es eine offene Uberdeckung von X gibt, so dass Y ∩ U abgeschlossen in U ist f¨ ur jede offene Menge U der ¨ Uberdeckung. Satz 3.1. In der obigen Situation ist der Graph von φ eine projektive Variet¨at. Proof. Um zu zeigen, dass Gφ eine projektive Variet¨at ist, reicht ¨ es aus eine offene Uberdeckung von V × Pm k anzugeben, so dass Gφ ∩ U ¨ abgeschlossen in U ist f¨ ur jedes U in der Uberdeckung. Wir werden zeigen, dass Gφ ∩ (V × Am ) at ist (ein analoges Argument k eine affine Variet¨ funktioniert f¨ ur alle affinen Karten). Die Projektion πi : Am are Abk → k, i = 1, . . . , m ist eine regul¨ bildung. Nach Definition eines Morphismus sind die Abbildungen πi ◦ ¨ φ|φ−1 (Am regul¨ar. Es gibt also eine offene Uberdeckung V = ∪j∈J Uj so k ) dass sich πi ◦ φ als πi ◦ φ(x) =

Pij (x) , x ∈ Uj Qij (x)

darstellen l¨asst. Dabei sind die Pij , Qij , i = 1, . . . , m, j ∈ J homogene Polynome gleichen Grades und Qij ist nirgends null auf Uj . Dann ist m Gφ ∩(Uj ×Am ur i = 1, . . . , m} k ) = {(x, y) ∈ Uj × Ak : yi Qij (x) = Pij (x) f¨

eine abgeschlossene Menge. Da die Mengen Uj die Variet¨at V u ¨ber) abgeschlossen.  decken, ist Gφ ∩ (V × Am k Eine offene Teilmenge einer projektiven Variet¨at mit der induzierten Topologie heisst quasi-projektive Variet¨at. Zum Beispiel sind affine und projektive Variet¨aten auch quasi-projektiv.

Theorem 3.2. Sei W ⊆ Pnk eine (quasi-) projektive Variet¨at. Ist V ⊂ W × Pm k abgeschlossen, so ist das Bild π(V ) unter der Projektion m π : W × Pk → W abgeschlossen in W . Proof. Wir beweisen das Theorem per Induktion u ¨ ber m. Ist m = 1, so folgt die Aussage vollkommen analog wie im Beweis von Theorem V.6.1 (Resultanten). Sei m > 1. Wir w¨ahlen einen beliebigen Punkt p ∈ Pm k und betrachm−1 \ {p} → P . ten die Projektion πp : Pm k k

3. MORPHISMEN

51

Wir nehmen zun¨achst an, dass V ∩ (W × {p}) = ∅ ist, d.h. dass V eine abgeschlossene Teilmenge von W × (Pm k \ {p}) ist. Wieder folgt mit Hilfe von Resultanten, dass πp (V ) abgeschlossen in W × Pkm−1 ist. Die Induktionsvoraussetzung impliziert, dass π(V ) abgeschlossen in W ist. Im allgemeinen Fall setzen wir Y := {x ∈ W : (x, p) ∈ V }. Das ist eine abgeschlossene Teilmenge von W und W 0 := W \ Y ist quasiprojektiv. Die Menge V 0 := V \ (Y × Pm k ∪ W × {p}) ist abgeschlossen 0 m in W × (Pk \ {p}). Ausserdem gilt m Y × {p} ⊆ V ∩ (Y × Pm k ∪ W × {p}) ⊆ Y × Pk

woraus π(V ∩ (Y × Pm k ∪ W × {p})) = Y

folgt. Nach dem bereits bewiesenen Fall ist π(V 0 ) abgeschlossen in W 0 . Damit ist 0 π(V ) = π(V 0 ) ∪ π(V ∩ (Y × Pm k ∪ W × {p})) = π(V ) ∪ Y

abgeschlossen in W .



Korollar 3.3. Das Bild einer regul¨aren Abbildung φ : V → Pm k ist eine projektive Variet¨at. Proof. Der Graph von φ ist eine projektive Variet¨at V1 in V × Pm k . → Sei V2 das Bild von V1 unter der nat¨ urlichen Abbildung V × Pm k n m . Dann ist auch V eine projektive Variet¨ a t. Das Bild × P × V ⊂ P Pm 2 k k k , also eine projektive Variet¨ at von φ ist die Projektion von V2 auf Pm k nach Theorem 3.2.  Da Morphismen stetig in der Zariskitopologie sind, sind Urbilder von projektiven Variet¨aten unter regul¨aren Abbildungen wieder projektive Variet¨aten. Eine projektive Variet¨at V ⊂ Pnk heisst zusammenh¨angend, wenn V sich nicht als disjunkte Vereinigung zweier projektiver Variet¨aten ungleich V schreiben l¨asst. Zum Beispiel sind irreduzible Variet¨aten zusammenh¨angend. Korollar 3.4. Ist V ⊂ Pnk eine zusammenh¨angende projektive Variet¨at, so ist ΓV (V ) = k. Proof. Eine regul¨are Funktion φ : V → k kann als regul¨are Abbildung φ : V → P1k aufgefasst werden. Ihr Bild W ⊂ P1k ist eine projektive Variet¨at, die nicht gleich P1k ist (da der Punkt im Unendlichen nicht im Bild liegt). Also besteht W aus endlich vielen Punkten. Ist x ein solcher Punkt, dann ist V = φ−1 ({x}) ∪ φ−1 (W \ {x}) eine disjunkte Vereinigung. Es folgt W = {x}.



52

VI. DIMENSION

Satz 3.5. F¨ ur l = 0, . . . , n ist die Menge Σ := {(L, x) ∈ Grk (l, Pnk ) × Pnk : x ∈ L} eine projektive Variet¨at (Inzidenzvariet¨at). Proof. Analog zum Beweis von Satz 2.2.



Korollar 3.6. Sei W ⊂ Grk (l, Pnk ) eine projektive Variet¨at. Dann ist die Vereinigung [ L ⊂ Pnk L∈W

eine projektive Variet¨at.

Proof. Seien π1 und π2 die Projektionen von Σ auf Grk (l, Pnk ) bzw. Da π1 ein Morphismus und damit Zariski-stetig ist, ist π1−1 (W ) eine projektive Variet¨at. Nach Theorem 3.2 ist π2 (π1−1 (W )) eine projektive Variet¨at. Diese Variet¨at ist genau die obige Vereinigung. 

Pnk .

Korollar 3.7. Ist V ⊂ Pnk eine projektive Variet¨at, so ist die Menge der l-dimensionalen projektiven Unterr¨aume, die mit V nichtleeren Schnitt haben, eine projektive Variet¨at in Grk (l, Pnk ). Proof. Diese Menge ist gegeben durch π1 (π2−1 (V )) und damit eine projektive Variet¨at.  Theorem 3.8. Sei V ⊆ Pnk und d := dim V . Dann ist der generische projektive Unterraum der Dimension n − d − 1 disjunkt zu V . Der generische projektive Unterraum der Dimension n − d schneidet V in endlich vielen Punkten. Die Menge der n − d − 1-dimensionalen Unterr¨aume, die nicht disjunkt zu V sind, bildet eine projektive Variet¨at (Korollar 3.7). Andererseits gibt es nach Definition der Dimension einen n−d−1-dimensionalen Unterraum, der zu V disjunkt ist. Daraus folgt die erste Aussage. Zum Beweis der zweiten Aussage benutzen wir ohne Beweis, dass ein generischer n − d − 1-dimensionaler projektiver Unterraum eines generischen n − d-dimensionalen projektiven Unterraumes wieder ein generischer projektiver Unterraum ist. Ist L ein generischer n − ddimensionaler projektiver Unterraum, so gibt es also einen n − d − 1dimensionalen Unterraum von L, der zu V disjunkt ist. Das bedeutet aber, dass V ∩ L nulldimensional, also eine endliche Menge ist. 4. Transzendenzgrad von K¨ orpererweiterungen Definition 4.1. Sei K ⊆ L eine K¨orpererweiterung. Elemente x1 , . . . , xr ∈ L heissen algebraisch abh¨angig ¨ uber K, falls es ein Polynom P ∈ K[X1 , . . . , Xr ] gibt mit P 6= 0 und P (x1 , . . . , xr ) = 0.

¨ 4. TRANSZENDENZGRAD VON KORPERERWEITERUNGEN

53

Ein Element x = x1 ∈ L ist algebraisch ab¨angig u ¨ber K genau dann wenn x algebraisch ist. Betrachtet man die K¨orper K und L als Ringe, so ist der Begriff algebraisch zum Begriff ganz aus Kapitel III ¨aquivalent. Lemma 4.2. Sind x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ∈ L algebraisch abh¨angig, und x1 , . . . , xr algebraisch unabh¨angig, dann gibt es einen Index i ∈ {1, . . . , s}, so dass yi ¨ uber K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yˆi , . . . , ys ) algebraisch ist. Proof. Beweis per Induktion u ¨ber s, s = 0 trivial. Nach Voraussetzung gibt es ein Polynom P 6= 0 in K[X1 , . . . , Xr , Y1 , . . . , Ys ] mit P (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) = 0. Wir schreiben P als Polynom in Ys mit Koeffizienten in K[X1 , . . . , Xr , Y1 , . . . , Ys−1 ]: P =

k X

Qd Ysd

d=0

Mindestens einer der Koeffizienten ist nicht 0, z.B. Qd0 6= 0. Angenommen Qd0 (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys−1 ) = 0, d.h. x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys−1 sind algebraisch abh¨angig. Dann ist s > 1 (da x1 , . . . , xr algebraisch unabh¨angig sind) und nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Index i ∈ {1, . . . , s−1}, so dass yi algebraisch u ¨ber K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yˆi , . . . , ys−1 ) und damit algebraisch u ber K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yˆi , . . . , ys ) ist. P¨ Anderenfalls ist kd=0 Qd (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys−1 )Ysd ein nicht verschwindendes Polynom mit Koeffizienten in K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys−1 ), welches ys als Nullstelle hat, d.h. ys ist algebraisch u ¨ber K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys−1 ).  Lemma 4.3. Seien x1 , . . . , xr und x01 , . . . , x0s zwei algebraisch unabh¨angige Systeme mit s ≤ r. Dann kann man im ersten System s geeignete Elemente durch x01 , . . . , x0s ersetzen und erh¨alt wieder ein algebraisch unabh¨angiges System. Proof. Induktion u ¨ ber s. Anfang s = 0 trivial. Sei s > 0. Nach Induktionsvoraussetzung (und nach Umnumerierung) k¨onnen wir annehmen, dass x01 , . . . , x0s−1 , xs , . . . , xr algebraisch unabh¨angig sind. Sind x01 , . . . , x0s , xs , . . . , xr algebraisch unabh¨angig, so auch x01 , . . . , x0s , xs+1 , . . . , xr und wir sind fertig. Anderenfalls wenden wir Lemma 4.2 an und erhalten (nach Umnumerierung), dass xs algebraisch u ¨ ber K(x01 , . . . , x0s , xs+1 , . . . , xr ) ist. 0 0 Angenommen x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xr ist algebraisch abh¨angig. Wendet man das Lemma 4.2 erneut an (auf x01 , . . . , x0s−1 , xs+1 , . . . , xr und x0s , so folgt dass x0s u ¨ ber K(x01 , . . . , x0s−1 , xs+1 , . . . , xr ) algebraisch ist. Also ist xs algebraisch u ¨ ber K(x01 , . . . , x0s−1 , xs+1 , . . . , xr ) im Widerspruch 0 zur Tatsache, dass x1 , . . . , x0s−1 , xs , . . . , xr algebraisch unabh¨angig sind. Also sind x01 , . . . , x0s , xs+1 , . . . , xr algebraisch unabh¨angig und wir sind fertig. 

54

VI. DIMENSION

Definition 4.4. Ein algebraisch unabh¨angiges System x1 , . . . , xr ∈ L heisst Transzendenzbasis, falls L ¨ uber K(x1 , . . . , xr ) algebraisch ist. Satz 4.5. Besitzt die K¨orpererweiterung eine Transzendenzbasis der L¨ange r, so haben alle Transzendenzbasen die gleiche L¨ange r. r heisst Transzendenzgrad der K¨orpererweiterung und wird mit trdegK L bezeichnet. Proof. Anderenfalls g¨abe es zwei Transzendenzbasen x1 , . . . , xr und x01 , . . . , x0s mit s < r und nach Lemma 4.3 sind (nach Umnumerierung) x01 , . . . , x0s , xs+1 , . . . , xr algebraisch unabh¨angig. Speziell w¨are xr und damit L nicht algebraisch u  ¨ber K(x01 , . . . , x0s ). Beispiel: ist K ein beliebiger K¨orper, so ist trdegK K(X1 , . . . , Xn ) = n denn die Elemente X1 , . . . , Xn ∈ K(X1 , . . . , Xn ) bilden eine Transzendenzbasis. Satz 4.6. Sind K ⊆ L ⊆ R K¨orpererweiterungen, so ist trdegK L + trdegL R = trdegK R

Proof. Seien x1 , . . . , xr eine Transzendenzbasis von K u ¨ber L und y1 , . . . , ys eine Transzendenzbasis von R u ¨ber L. Wir zeigen, dass x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys eine Transzendenzbasis von R u ¨ber L ist. Angenommen, diese Elemente sind algebraisch abh¨angig. Dann gibt es ein Polynom P ∈ K[X1 , . . . , Xr , Y1 , . . . , Ys ], P 6= 0 mit P (x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) = 0. Wir k¨onnen P auffassen als Polynom in den Variablen Y1 , . . . , Ys und Koeffizienten in K[X1 , . . . , Xr ]. Mindestens einer dieser Koeffizienten ist nicht identisch 0, z.B. sei Q ∈ K[X1 , . . . , Xr ] ein solcher Koeffizient. Das Polynom P (x1 , . . . , xr , Y1 , . . . , Ys ) ist in L[Y1 , . . . , Yr ] und hat (y1 , . . . , ys ) als Nullstelle. Da y1 , . . . , ys algebraisch unabh¨angig sind, muss dieses Polynom verschwinden. Speziell ist Q(x1 , . . . , xr ) = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung dass x1 , . . . , xr algebraisch unabh¨angig sind. Nach Voraussetzung sind R u ¨ber L(y1 , . . . , ys ) und L u ¨ber K(x1 , . . . , xr ) algebraisch und es folgt dass R u ¨ ber K(x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys ) algebraisch ist.  5. Rationale Funktionen Ist V ⊂ PnK eine irreduzible affine Variet¨at, so ist I(V ) ein Primideal und der Koordinatenring Γ(V ) nullteilerfrei. Der Quotientenk¨orper von Γ(V ) heisst rationaler Funktionenk¨orper von V und wird mit K(V ) bezeichnet. Elemente in K(V ) sind gegeben durch Quotienten P/Q, wobei P und Q Polynome (oder genauer Einschr¨ankungen polynomialer Funktionen auf V ) sind und Q nicht auf ganz V verschwindet.

5. RATIONALE FUNKTIONEN

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Ist f ∈ K(V ) und x ∈ V , so ist es nicht so einfach m¨oglich, den Funktionswert f (x) zu definieren, da Q(x) = 0 m¨oglich ist. Trotzdem kann man f ∈ K(V ) als Funktionen“ interpretieren, die aber nur fast ” ” u ¨berall“ definiert sind (¨ahnlich wie bei L1 -Funktionen). Dazu betrachten wir Paare (U, g) bestehend aus einer dichten, offenen Teilmenge U ⊆ V und einer regul¨aren Funktion g ∈ ΓV (U ). Zwei Paare (U, g) und (U 0 , g 0 ) heissen ¨aquivalent, wenn g|U ∩U 0 = g 0 |U ∩U 0 ist. Dann schreiben wir (U, g) ∼ (U 0 , g 0 ). Satz 5.1. Die Menge der rationalen Funktionen auf V kann mit ¨ den Aquivalenzklassen bzgl. ∼ identifiziert werden. Proof. Ist Q ∈ Γ(V ), Q 6= 0, so ist {Q 6= 0} := {x ∈ V : Q(x) 6= 0} offen und dicht in V : offen ist klar; w¨are diese Menge nicht dicht, so w¨are der Abschluss Y ungleich V und V = Y ∪ {Q = 0} eine Zerlegung von V in zwei echte, abgeschlossene Teilmengen. Das ist nicht m¨oglich, da V irreduzibel ist. P , P, Q ∈ Γ(V ) ordnen wir das Paar ({Q 6= Einem Element f ∈ Q P 0}, Q ) zu. Die Menge U := {Q 6= 0} ist offen und dicht in V . Da Q auf dieser Menge nicht 0 wird, definiert P/Q eine regul¨are Funktion g auf U. P0 P 0 0 , f0 = Q Zwei Elemente f = Q 0 ∈ K(V ) mit P, Q, P , Q ∈ Γ(V ) sind gleich, wenn P Q0 = P 0 Q auf V gilt. In diesem Fall sind die Paare ({Q 6= 0}, P/Q) und ({Q0 6= 0}, P 0 /Q0 ) ¨aquivalent, denn dann ist P/Q = P 0 /Q0 auf {Q 6= 0} ∩ {Q0 6= 0}. Wir erhalten auf diese Weise eine wohldefinierte Abbildung von ¨ K(V ) in die Menge der Aquivalenzklassen bzgl. ∼. Diese Abbildung 0 ist injektiv: aus ({Q 6= 0}, P/Q) ∼ ({Q 6= 0}, P 0 /Q0 ) folgt P Q0 = P 0 Q auf {Q 6= 0, Q0 6= 0}. Diese Gleichung gilt dann auf ganz V (wegen der Dichtheit von {Q 6= 0, Q0 6= 0} in V ) und damit sind P/Q = P 0 /Q0 als Elemente in K(V ). ¨ Jetzt zeigen wir die Surjektivit¨at. Sei [(U, g)] eine Aquivalenzklasse bzgl. ∼. Wir w¨ahlen einen Repr¨asentanten (U, g). Dann ist U offen und dicht. Da g auf U regul¨ar ist, k¨onnen wir g = P/Q mit Q 6= 0 auf U P schreiben. Dann ist Q ∈ K(V ) und das Bild dieses Elementes unter P ). Dieses Paar ist zum der obigen Abbildung ist das Paar ({Q 6= 0}, Q Paar (U, g) ¨aquivalent, denn auf U ∩ {Q 6= 0} = U stimmt g mit P/Q u  ¨berein. Jetzt betrachten wir die projektiven Variet¨aten. Ist V ⊆ PnK eine projektive, irreduzible Variet¨at, so besteht der rationale Funktionenk¨orper K(V ) aus Restklassen von Quotienten P/Q von homogenen Polynomen P, Q ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xn ] vom gleichen Grad und Q nicht identisch 0 auf V . Zwei solche Darstellungen P/Q = P 0 /Q0 sind (definitionsgem¨ass) ¨aquivalent, wenn P Q0 = P 0 Q auf V gilt (das ist eine homogene Gleichung, macht also Sinn).

56

VI. DIMENSION

¨ Ahnlich wie im affinen Fall k¨onnen wir Paare (U, g) betrachten, wobei U ⊆ V offen und dicht ist und g ∈ ΓV (U ) eine regul¨are Funktion. ¨ Dann definiert man wie oben eine Aquivalenzrelation durch (U, g) ∼ 0 0 0 (U , g ) falls g|U ∩U 0 = g |U ∩U 0 . Dann kann man wieder K(V ) mit der ¨ Menge der Aquivalenzklassen bzgl. ∼ identifizieren. Beispiel: K(Pnk ) besteht aus Quotienten P/Q mit P, Q ∈ K[X0 : . . . : Xn ] homogen, Q 6= 0. Zwei solche Quotienten sich gleich, wenn sie als rationale Funktionen in den Variablen X0 , . . . , Xn gleich sind. K(PnK ) kann also mit den 0-homogenen rationalen Funktionen auf K n+1 identifiziert werden. Definition 5.2. Sei V ⊆ PnK eine irreduzible projektive Variet¨at. ¨ Eine rationale Abbildung φ : V → Pm K ist eine Aquivalenzklasse von Paaren (U, g), wobei U ⊆ V offen und dicht ist und g : U → Pm K regul¨ar ist. Zwei Paare (U, g) und (U 0 , g 0 ) sind ¨aquivalent, wenn g|U ∩U 0 = g 0 |U ∩U 0 gilt. Ist W ⊆ Pm eine projektive Variet¨at, so kann man rationale Abbildungen V → W analog definieren. Hat man eine rationale Abbildung, so ist der Funktionswert in einem festen Punkt x ∈ V nicht definiert. Deswegen ist bei verschiedenen Kontruktinen Vorsich geboten, z.B. bei der Komposition zweier rationaler Abbildungen. Satz 5.3. Ist φ : V → Pm K rational, so gibt es m + 1 homogene Polynome gleichen Grades P0 , . . . , Pm ∈ K[X0 , . . . , Xn ] mit φ(x) = (P0 (x) : . . . : Pm (x))

(13)

f¨ ur fast alle x ∈ V . Umgekehrt wird durch diese Gleichung f¨ ur jedes m+ 1-Tupel von homogenen Polynomen P0 , . . . , Pm ∈ K[X0 , . . . , Xn ], die nicht alle identisch 0 sind auf V , eine rationale Abbildung φ definiert. Proof. Sei φ rational. W¨ahle einen Repr¨asentanten (U, g) f¨ ur die durch φ definierte Restklasse. Sei Q ∈ K[X0 , . . . , Xn ] ein homogenes Polynom, welches auf V \ U verschwindet, aber nicht auf ganz V . Da g regul¨ar ist, gibt es homogene Polynome gleichen Grades P0 , . . . , Pm ∈ K[X0 , . . . , Xn ], die in keinem Punkt von U gleichzeitig verschwinden, so dass g(x) = (P0 (x) : . . . : Pm (x)) ∀x ∈ U

Also gilt Gleichung (13) f¨ ur alle Punkte aus U und damit fast u ¨berall auf V . Umgekehrt seien m+1 homogene Polynome gleichen Grades P0 , . . . , Pm ∈ K[X0 , . . . , Xn ]. Wir setzen voraus, dass nicht alle Pi auf V verschwinden. Sei z.B. P0 nicht identisch 0 auf V . Die Menge U := {P1 6= 0} ∩ V are ist eine dichte, offene Teilmenge in V und φ|U : U → Pm K eine regul¨ Funktion. Man erh¨alt also eine rationale Abbildung. 

¨ 6. DIMENSION VON VARIETATEN

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Ein Beispiel f¨ ur eine rationale Abbildung ist die Projektion von Pn auf Pd , die einen n − d − 1-dimensionalen projektiven Teilraum Λ als Zentrum hat. Sie ist eine regul¨are Abbildung auf Pn \ Λ, aber nicht definiert in Λ. Definition 5.4. • Sei φ : V → Pm eine rationale Abbildung. W¨ahle einen Repr¨asentanten (U, g). Der Graph von φ ist der Abschluss des Graphen von g in V × Pm . Er h¨angt nicht von der Wahl des Repr¨asentanten ab. • Das Bild von φ ist die Projektion des Graphen von φ auf Pm . • Sind V ⊆ Pn und W ⊆ Pm projektive Variet¨aten, so heisst eine rationale Abbildung φ : V → W dominant, wenn das Bild von φ gleich W ist. Hat man eine dominanten rationale Abbildung φ : V → W und eine rationale Abbildung ψ : W → X, so ist die Komposition ψ ◦φ : V → X wieder rational. Speziell ist die Komposition φ∗ f := f ◦ φ : V → K rational f¨ ur alle f ∈ K(W ). Es gibt also eine Inklusionsabbildung φ∗ : K(W ) → K(V ). 6. Dimension von Variet¨ aten Theorem 6.1. Die Dimension einer irreduziblen projektiven Variet¨at V ⊂ PnK ist der Transzendenzgrad von K(V ) ¨ uber K. Proof. a) Wir beweisen die Aussage zun¨achst f¨ ur V = PnK . n Wir wissen bereits, dass K(PK ) gleich dem K¨orper der 0-homogenen rationalen Funktionen auf K n+1 ist. Wir behaupten, dass die Xi Elemente yi := X , i = 1, . . . , n eine Transzendenzbasis von 0 n K(PK ) bilden. Angenommen, y1 , . . . , yn sind algebraisch abh¨angig u ¨ ber K. Dann gibt es ein Polynom P ∈ K[Y1 , . . . , Yn ] ungleich 0 mit P (y1 , . . . , yn ) = 0, d.h. P (X1 /X0 , . . . , Xn /X0 ) = 0 als rationale Funktion auf K n+1 . Speziell gilt dann P (X1 , . . . , Xn ) = 0 auf K n und damit P = 0, Widerspruch. Jetzt zeigen wir, dass K(PnK ) = K(y1 , . . . , yn ) P ist (speziell also algebraisch u ¨ber K(y1 , . . . , yn )). Sei f = Q mit homogenen Polynomen P, Q ∈ K[X0 , . . . , Xn ], deg P = P/X k deg Q =: d und Q 6= 0. Dann l¨asst sich f = Q/X0k als Quo0 tient von zwei Polynomen in y1 , . . . , yn schreiben, liegt also in K(y1 , . . . , yn ). Ist umgekehrt f ∈ K(y1 , . . . , yn ), so l¨asst sich f schreiben als Quotient zweier Polynome in y1 , . . . , yn . Multipliziert man mit einer gen¨ ugend grossen Potenz X0k , so ergibt sich, dass f

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VI. DIMENSION

der Quotient zweier homogener Polynome vom Grad k ist, also in K(PnK ) liegt. b) Der allgemeine Fall folgt aus nachfolgendem Theorem und der ¨ folgenden Uberlegung. Hat V die Dimension d, so gibt es einen zu V disjunkten projektiven Teilraum Λ der Dimension n−d−1, so dass πΛ (V ) = Pd ist und so dass die Fasern endlich sind (siehe Satz 1.3). Es folgt (s.u.) dass K(V ) u ¨ber K(Pd ) algebraisch ist, d.h. denselben Transzendenzgrad d hat.  Definition 6.2.PSei k ein beliebiger K¨orper mit algebraischem Abschluss K und P = di=0 ai X i ∈ k[X] ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in k. Sind α1 , . . . , αd die Nullstellen von P in K, so nennt man Y ∆ := (αi − αj )2 i<j

die Diskriminante von P .

Satz 6.3. a) Die Diskriminante von P ist genau dann 0, wenn P mehrfache Nullstellen in K hat. b) Es gibt ein Polynom Q ∈ K[A0 , . . . , Ad−1 ] mit ∆(P ) = Q(a0 , . . . , ad−1 ) P f¨ ur jedes normierte Polynom P = di=0 ai X i ∈ k[X].

Proof. a) Klar. b) Da ∆ ein symmetrisches Polynom in α1 , . . . , αd ist, l¨asst es sich nach dem Hauptsatz u als Polynom ¨ ber symmetrische Polynome P in den elementarsymmetrischen Polynomen 0≤i1 ,...,id ≤1 α1i1 · · · αdid , k = i1 +···+id =k

1, . . . , d − 1 schreiben. Dies sind aber gerade (bis auf ein Vorzeichen) die Koeffizienten von P . 

Beispiel: Sei P = X 2 + a1 X + a0 = (X − α1 )(X − α2 ). Dann ist a1 = −(α1 + α2 ) und a0 = α1 α2 . Es folgt ∆ = (α1 − α2 )2 = (α1 + α2 )2 − 4α1 α2 = a21 − 4a0

Theorem 6.4. Sei φ : V → W eine dominante rationale Abbildung. Dann ist K(V ) algebraisch u ¨ber K(W ) genau dann wenn die generische Faser φ−1 (y), y ∈ W aus endlich vielen Punkten besteht. Diese Anzahl ist dann gleich dem Grad der K¨orpererweiterung K(W ) ⊆ K(V ) (also speziell konstant) und heisst Grad von φ. Proof. Wir beweisen das Theorem nur f¨ ur den Spezialfall, dass n φ die Einschr¨ankung der Projektion πΛ : P → Pd =: W auf eine projektive Variet¨at V ist. Dabei ist Λ das n − d − 1-dimensionalen Projektionszentrum. Ausserdem setzen wir char K = 0 voraus. Man kann sich per Induktion auf den Fall d = n − 1 beschr¨anken. Ist dann das Projektionszentrum der Punkt (1 : 0 : . . . : 0), so ist die Projektion einfach die Projektion auf die letzten n Koordinaten.

¨ 6. DIMENSION VON VARIETATEN

59

Seien X0 : . . . : Xn homogene Koordinaten auf Pn und enstsprechend X1 : . . . : Xn homogene Koordinaten auf Pn−1 . • Angenommen K(V ) ist algebraisch u ¨ber K(W ). Es gibt mindestens eine Koordinatenfunktion Xi , i = 1, . . . , n, die nicht identisch auf V verschwindet (anderenfalls w¨are V = {(1 : 0 : . . . : 0)} und φ nicht dominant). O.E. sei dies X1 . Das Element X0 /X1 ∈ K(V ) ist dann algebraisch u ¨ber K(Pn−1 ) = K(X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ), d.h. es gibt eine Gleichung k X

aj (X2 /X1 , . . . , Xn /X1 )(X0 /X1 )j = 0

j=0

Dabei sind die aj rationale Funktionen in n − 1 Variablen und ak 6= 0. Wir nehmen an, dass dieses das Minimalpolynom von X0 /X1 ist. Multipliziert man mit einem geeigneten Polynom, so kann man die Nenner beseitigen und bekommt eine Gleichung k X

Qj (X2 /X1 , . . . , Xn /X1 )(X0 /X1 )j = 0

j=0

mit Polynomen Qj in n Variablen und Koeffizienten in K, Qk 6= 0. Die Diskriminante ∆ dieses Polynoms ist ein Polynom in X2 /X1 , . . . , Xn /X1 . Dieses Polynom ist nicht identisch 0, da sonst das obige Polynom nicht minimal w¨are (hier ben¨otigen wir char K = 0). F¨ ur einen Punkt (x1 : . . . : xn ) ∈ Pn−1 besteht die Faser π −1 (x) u ¨ber der offenen, in V dichten Menge V ∩{X1 6= 0}∩{Qk (X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ) 6= 0}∩{∆(X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ) 6= 0} aus genau k Punkten- n¨amlich den Nullstellen des Polynoms k X

Qj (x2 /x1 , . . . , xn /x1 )(X0 /x1 )j = 0

j=0

die paarweise verschieden sind. • Angenommen, X0 /X1 ist transzendent u ¨ ber K(Pn−1 ) = K(X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ). Sei P ein homogenes Polynom, welches auf V verschwindet. Dividiert man durch eine geeignete Potenz von X1 , so erh¨alt man ein Polynom Q in X0 /X1 , X2 /X1 , . . . , Xn /X1 , welches auf V ∩ {X1 6= 0} definiert ist und verschwindet. Wir schreiben dieses Polynom als Polynom in X0 /X1 mit Koeffizienten in K(X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ): Q=

k X j=0

aj (X2 /X1 , . . . , Xn /X1 )(X0 /X1 )j = 0

60

VI. DIMENSION

Da X0 /X1 transzendent u ¨ber K(X2 /X1 , . . . , Xn /X1 ) ist, sind die Koeffizienten aj alle identisch 0. Damit verschwindet Q auf der ganzen Faser u ¨ber jedem Punkt von Pn−1 ∩ {X1 6= 0}. Es folgt, dass die generische Faser von π unendlich viele Punkte enth¨alt.  7. Das Hilbertpolynom Sei S := K[X0 , . . . , Xn ] der Polynomring in n + 1 Variablen. F¨ ur m = 0, 1, . . . bezeichnen wir mit Sm die Menge der homogenen Polynome vom Grad m. S tr¨agt die Struktur einer graduierten K-Algebra: ∞ M Sm S= m=−∞

(dabei ist Sm = {0} f¨ ur m < 0). F¨ ur eine projektive Variet¨at V ⊆ PnK ist I := I(V ) ein homogenes Ideal, also I = ⊕∞ m=0 Im . Hier ist Im der K-Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad m in I. Nach Definition ist Im ein Untervektorraum von Sm .

Definition 7.1. Die Hilbertfunktion von V ist die Funktion hV : N → N definiert durch hV (m) := dim Sm − dim Im

Beispiel 1: Wir berechnen die Hilbertfunktion von V = Pn . Da das einzige Polynom, welches auf Pn verschwindet, das Nullpolynom ist, ist hV (m) = dim Sm . Man rechnet leicht nach, dass   n+m dim Sd = n

Das ist offenbar ein Polynom in m vom Grad n = dim V . Beispiel 2: Ist V = ∅, so Im = Sm f¨ ur alle m und somit hV (m) = 0 f¨ ur alle m. Das kann als Polynom vom Grad −∞ = dim V aufgefasst werden. Beispiel 3: Sei V die Vereinigung von 3 Punkten. Falls diese kollinear sind (d.h. auf einer projektiven Geraden liegen), so ist hV (1) = 2, anderenfalls hV (1) = 3. Jetzt berechnen wir hV (2). Wir k¨onnen eine Linearform w¨ahlen, die in einem der Punkte verschwindet, aber nicht in den beiden anderen. Produkte zweier solcher Linearformen liegen in S2 und haben die Eigenschaft, dass sie auf genau zwei der drei Punkte verschwinden. Die Abbildung S2 → K 3 , P 7→ (P (p1 ), P (p2 ), P (p3 )) ist daher surjektiv (diese Abbildung ist nicht wohldefiniert, da pi nur Restklassen sind, wird es aber falls wir einen beliebigen Repr¨asentanten w¨ahlen). Ihr Kern ist genau I2 und hat also Kodimension 3. Es folgt hV (2) = 3. Das gleiche Argument zeigt hV (m) = 3 f¨ ur alle m ≥ 2. Die

7. DAS HILBERTPOLYNOM

61

Hilbertfunktion ist also ein Polynom vom Grad 0 - allerdings nur f¨ ur m ≥ 2. Beispiel 4: Sei V eine projektive Gerade in Pn . O. E. nehmen wir an V = {(t : s : 0 : . . . : 0)|(t : s) ∈ P1 }. Ein homogenes Polynom verschwindet auf V genau dann, wenn es keine Terme der Gestalt X0i X1j enth¨alt. Die Kodimension von Im ist also gleich der Anzahl solcher Terme vom Grad m, d.h. m + 1. Also ist hV (m) = m + 1, das ist ein Polynom vom Grad 1 = dim V . Beispiel 5: Sei V = {P = 0} ⊂ Pn , wobei P ein irreduzibles Polynom ist. Ein homogenes Polynom, welches auf V verschwindet, ist ein Vielfaches von P . Ist k = deg P , so ist die Abbildung
Sm−k → Im , Q 7→ QP bijektiv, also ist dim Im = dim Sm−k = m−k+n und dan

n+m n+m−k mit hV (m) = n − . Das ist f¨ ur grosse m ein Polynom vom n Grad n − 1 = dim V . Je kleiner die Variet¨at V wird, umso mehr Funktionen liegen in I, und umso kleiner wird hV (m) f¨ ur jedes m. Es gilt also V ⊆ W =⇒ hV (m) ≤ hW (m)∀m

Theorem 7.2. Die Hilbertfunktion hV einer d-dimensionalen projektiven Variet¨at stimmt f¨ ur gen¨ ugend grosse m mit einem Polynom HV vom Grad d u ¨berein (Hilbertpolynom). Wir werden das Theorem nur unter Verwendung von Hilberts Syzygiensatz beweisen. Zun¨achst zeigen wir, dass als Grad des Hilbertpolynoms nur die Dimension von V in Frage kommt. Lemma 7.3. hV (m) ≥



m+d d



Proof. O. E. nehmen wir an, dass der n − d − 1-dimensionale Teilraum Λ := {X0 = . . . = Xd = 0} zu V disjunkt ist. Dann ist die Projektion πΛ : V → Pd surjektiv. In Koordinaten ist πΛ (X0 : . . . : Xn ) = (X0 : . . . : Xd )

Sei P ∈ Im ein homogenes Polynom, in welchem nur die Variablen X0 , . . . , Xd vorkommen. Da πΛ surjektiv ist, gibt es f¨ ur jeden Punkt (x0 : . . . : xd ) ∈ Pd ein Urbild (x0 : . . . : xn ) ∈ V . Es folgt dass P (x0 , . . . , xd ) = 0 f¨ ur alle (x0 : . . . : xd ) ∈ Pd und damit P = 0. Die Dimension des Teilraumes von Sm der
Polynome, in der nur die d+m Variablen X0 , . . . , Xd vorkommen, ist d . Da Im nach dem eben Bewiesenen in einem Komplement¨arraum dazu
liegt, ist die Kodimension von Im und damit hV (m) mindestens d+m .  d Lemma 7.4. Es gibt nat¨ urliche Zahlen d1 , . . . , dk mit  k  X m + d − di hV (m) ≤ d i=1

62

VI. DIMENSION

Proof. F¨ ur j ∈ Z bezeichnen wir mit S(j) den graduierten Modul S(j) = ⊕∞ m=−∞ Sm+j

Die homogene Komponente vom Grad m in S(j) ist also gleich der homogenen Komponente vom Grad m + j in S. S(j) ist im allgemeinen keine graduierte Algebra (da Multiplikation und Graduierung nicht vertr¨aglich sind), sondern ein graduierter Modul. Dieser ist als Modul isomorph zu S, aber nicht als graduierter Modul. Sei S 0 := K[X0 , . . . , Xd ]. Die Projektion πΛ : V → Pd induziert eine S 0 -Modulstruktur auf SV := S/I und dieser S 0 -Modul ist endlich erzeugt. Der Beweis ist ¨ahnlich dem von Theorem 6.4. Seien P1 , . . . , Pk ∈ S homogene Erzeuger des S 0 -Moduls SV := S/I. Sind di := deg Pi die Grade dieser Polynome, so gibt es eine surjektive lineare Abbildung ⊕ki=1 S 0 (−di ) → SV Es folgt  k k  X X m + d − di 0 hV (m) = dim SV,m ≤ dim S (−di ) = d i=1 i=1 

Lemma 7.5. Gegeben sei eine Folge ψ0

ψ1

ψ2

ψk−1

ψ3

ψ

0 → V1 → V2 → V3 → · · · → Vk →k 0

wobei Vi Vektorr¨aume und ψi : Vi → Vi+1 , i = 0, . . . , k lineare Abbildungen sind (V0 := 0, Vk+1 := 0). Wir nehmen an, dass ker ψi+1 = Im ψi f¨ ur alle i (d.h. die Folge ist exakt). Dann ist k X

(−1)i dim Vi = 0.

i=0

Proof. P Es ist dim Vi = dim Im ψi + dim ker ψi . In der alternierenden Summe ki=0 (−1)i dim Vi heben sich alle Terme weg. 

Proof Theorem 7.2. Wir bezeichnen mit SV := S/I den homogenen Koordinatenring von V . Wir w¨ahlen homogene Erzeuger P1 , . . . , Pk1 ∈ K[X0 , . . . , Xn ] des homogenen Ideals I. Sei di := deg Pi . Ein k1 -Tupel (Q1 , . . . , Qk1 ) von Polynomen in S mit der Eigenschaft P k1 i=1 Qi Pi = 0 heisst Relation oder Syzygie. Die Menge der Syzygien ist ein Untermodul M von S k1 . Die Abbildung k1 M i=1

S(−di ) → S

(Q1 , . . . , Qk1 ) 7→

k1 X i=1

Q i Pi

7. DAS HILBERTPOLYNOM

63

ist eine graduierte lineare Abbildung, deren Kern genau M ist. Der Kern dieser Abbildung ist I. Daher hat man eine exakte Sequenz von K-Vektorr¨aumen k1 M i=1

S(−di ) → S → SV → 0

Der Modul der Syzygien ist ein Untermodul des endlich erzeugten SModuls S k , also selbst endlich erzeugter S-Modul (II.1.3). Wir w¨ahlen homogene Erzeuger α1 , . . . , αk2 von M . Setzen wir ej := deg αj , so bekommen wir eine surjektive Abbildung k2 M i=1

S(−ei ) → M, (Q1 , . . . , Qk2 ) 7→

also eine exakte Sequenz k2 M i=1

S(−ei ) →

k1 M i=1

k2 X

Q i αi

i=1

S(−di ) → S → SV → 0

Wir setzen dieses Verfahren fort, d.h. wir betrachten den Kern M2 der Abbildung S k2 → S k1 , der wieder ein endlich erzeugter S-Modul ist, w¨ahlen Erzeuger usw. Hilberts Syzygiensatz, den wir nicht beweisen, besagt, dass nach p ≤ n Schritten der S-Modul Mp frei ist. Das bedeutet, dass man Erzeuger β1 , . . . , βkp+1 ∈ Mp findet, zwischen denen keine Relationen bestehen. Der Kern der Abbildung S kp+1 → S kp , (Q1 , . . . , Qkp+1 ) 7→ P Qi βi ist also trivial. Also haben wir eine exakte Sequenz 0 → Np+1 → Np → . . . → N1 → S → SV → 0

in der jeder Term Ni eine direkte Summe von gewissen S(−ai,j ) ist. Jetzt betrachten wir die Komponenten vom Grad m in dieser Sequenz. Das liefert eine exakte Sequenz von K-Vektorr¨aumen 0 → (Np+1 )m → (Np )m → . . . → (N1 )m → Sm → (SV )m → 0

Nach Lemma l¨asst sich dim(SV )m als alternierende Summe der dim(Ni )m darstellen. Ist Ni = ⊕kj=1 S(−ai,j ), so ist (Ni )m = ⊕kj=1 Sm−ai,j , also  k k  X X m − ai,j + n dim(Ni )m = dim Sm−ai,j = n j=1 j=1 Letztere sind aber (f¨ ur gen¨ ugend grosse m) Polynome in m. Also muss auch hV (m) f¨ ur grossse m ein Polynom in m sein. 

KAPITEL VII

Bezouts Theorem 1. Grad von projektiven Variet¨ aten Theorem 1.1. Ist V ⊂ Pn eine irreduzible, projektive Variet¨at der Dimension d, so gibt es eine nat¨ urliche Zahl g ≥ 0 so dass der generische n − d-dimensionale projektive Teilraum V in genau g Punkten schneidet. g heisst Grad von V und wird mit deg(V ) bezeichnet. Proof. Wir bezeichnen mit Σ die Inzidenzvariet¨at in Gr(n−d, Pn )× Pn und mit π1 , π2 die Projektionen von Σ auf Gr(n − d, Pn ) und Pn . Die Anzahl der Punkte in L ∩ V , L ∈ Gr(n − d, Pn ) ist die Anzahl der Punkte in der Faser π1−1 (L) ∩ π2−1 (V ). Die Einschr¨ankung von π1 auf π2−1 (V ) ∩ Σ hat generisch endliche Fasern (Theorem VI.3.8). Nach Theorem VI.6.4 ist die Anzahl der Punkte in einer generischen Faser eine Konstante (die dem Grad einer gewissen K¨orpererweiterung gleicht).  Bemerkung: Im Gegensatz zur Dimension h¨angt der Grad einer ¨ Variet¨at von der Einbettung ab und nicht nur von der Aquivalenzklasse ¨ bez¨ uglich Isomorphie oder birationaler Aquivalenz. Beispiel 1: Der Grad der leeren Menge ist 0, der Grad jeder anderen Variet¨at ist mindestens 1. Beispiel 2: Der Grad von Pn ist 1. Beispiel 3: Sei P ∈ K[X0 , . . . , Xn ] ein irreduzibles homogenes Polynom. Dann ist g = deg P (s.u.). Beispiel 4: Ist V eine endliche Vereinigung von Punkten, so ist deg(V ) = #V . Beispiel 5: Sei V = {(s : t : 0 : . . . : 0)|(s : t) ∈ P1 } eine projektive Gerade. Ein generischer n − 1-dimensionaler projektiver Teilraum hat die Gestalt L = {a0 X0 + . . . + an Xn = 0}, wobei (a0 , . . . , an ) ∈ Pn ein generischer Punkt ist. Speziell ist a0 6= 0 und a1 6= 0. Die Anzahl der Schnittpunkte von V mit L ist die Anzahl der Punkte (s : t) ∈ P1 mit a0 s + a1 t = 0. Da a0 und a1 nicht 0 sind, sind auch s und t nicht 0. Wir k¨onnen so skalieren, dass s = 1 ist. Dann ist t eindeutig bestimmt. Also gibt es genau einen Punkt im Schnitt und der Grad von V ist 1. Satz 1.2. Ist Λ ein generischer n − d − 1-dimensionaler Teilraum, so enth¨alt die generische Faser der Projektion πΛ : V → Pd genau deg(V ) Punkte. 65

66

VII. BEZOUTS THEOREM

Proof. Die generische Faser der Projektion πΛ : Pn \ Λ → Pd ist ein generischer n − d-dimensionaler Teilraum und die Aussage folgt aus der Definition von deg(V ).  Wir geben ohne Beweis noch einige andere Interpretationen des Grades von V . 1.1. Grad und Hilbertpolynom. Ist HV das Hilbertpolynom d . Der Grad von V von V , so ist der h¨ochste Term von HV genau gm d! ergibt sich also- bis auf eine Konstante- als Leitkoeffizient des Hilbertpolynoms. Bsp.: Sei P ∈ K[X0 , . . . , Xn ] ein irreduzibles homogenes Polynom vom Grad k und V := V(P ). Wir hatten die Hilbertfunktion von V schon berechnet:     k n+m−k n+m = − hV (m) = mn−1 + . . . . n n (n − 1)!

Da die Dimension von V genau n − 1 ist, ist der Grad von V gerade der Grad von P .

1.2. Grad und Homologie. Wir setzen jetzt (der Einfachheit halber) K = C voraus. Die de Rham Kohomologie von CPn (mit Koeffizienten in C) ist gegeben durch H 2k (CPn ) = C,

k = 0, 1, . . . , n

H 2k+1 (CPn ) = 0 k = 0, 1, . . . Analog ist die Homologie in geraden Dimensionen genau C und 0 in ungeraden Dimension. Eine projektive Variet¨at V ⊂ CPn der Dimension d besitzt eine Fundamentalklasse [V ] ∈ H2d (CPn ) die im wesentlichen durch Integration u ¨ber V definiert ist (hier muss allerdings einiges gezeigt werden). Der eindimensionale Vektorraum H2d (CPn ) wird durch die Fundamentalklasse [L] eines d-dimensionalen projektiven Teilraumes L erzeugt. Dann ist [V ] = deg(V )[L]. 1.3. Grad und Volumen. Die komplexe Mannigfaltigkeit CPn besitzt eine kanonische geschlossene 2-Form ω, die sogenannte K¨ahlerform (speziell ist ω eine symplektische Form). Die Potenz ω d ist immer noch geschlossen und liefert einen Erzeuger von H 2d (CPn ). Aus [V ] = deg(V )[L] folgt [V ](ω d ) = deg(V )[L](ω k ). Skaliert man das Produkt ω d so, dass das Integral u ¨ ber einen d-dimensionalen projektiven Teilraum 1 ergibt, so kann man deg(V ) als 2d-dimensionales Volumen von V interpretieren.

2. BEZOUTS THEOREM

67

2. Bezouts Theorem Bezouts Theorem besagt, dass der Grad eines Durchschnittes von zwei Variet¨aten (unter gewissen Voraussetzungen) gleich dem Produkt der Grade ist. Wir setzen voraus, dass V und W zwei irreduzible projektive Variet¨aten in Pn sind. Seien d und d0 die Dimensionen von V und W . Ist d + d0 < n, so erwartet man, dass der Durchschnitt leer ist, wir setzen also d + d0 ≥ n voraus. Der Durchschnitt V ∩ W wird dann im allgemeinen eine d + d0 − n-dimensionale Variet¨at sein. Es gibt keinen Grund, warum diese wieder irreduzibel sein sollte. Sie kann aber als endliche Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten geschrieben werden. Die Voraussetzung in Bezouts Theorem ist, dass f¨ ur jeden generischen Punkt x einer solchen irreduziblen Komponente von V ∩ W der Durchschnitt von V und W transversal bei x ist. Das bedeutet, dass V und W glatt sind im Punkt x und die Tangentialr¨aume Tx V und Tx W den Tangentialraum Tx Pn aufspannen (die Begriffe glatt und Tangentialraum wurden allerdings nicht eingef¨ uhrt). In diesem Fall sagt man, dass sich V und W generisch transversal schneiden. Theorem 2.1. Schneiden sich zwei projektive irreduzible Variet¨aten V, W ⊆ Pn mit dim V + dim W ≥ n generisch transversal, dann ist deg(V ∩ W ) = deg(V ) deg(W ). Proof. Ohne Beweis.



Korollar 2.2. Ist dim V + dim W = n, so besteht V ∩ W aus genau deg(V ) deg(W ) Punkten. Proof Korollar. Ist Z eine irreduzible Komponente von V ∩ W und x ∈ Z ein generischer Punkt, so ist Tx Z ⊂ Tx V ∩ Tx W . Falls die Dimension von Z gr¨osser als 0 ist, kann dann nicht Tx V ⊕ Tx W = Tx Pn sein. Also ist Z ein Punkt. Der Grad von V ∩ W ist dann einfach die Kardinalit¨at von V ∩ W (siehe Beispiel 4).  Zum Beispiel besteht der Durchschnitt aus zwei projektiven Teilr¨aumen von komplement¨arer Dimension genau aus einem Punkt. Ein etwas interessanteres Beispiel ist folgendes: Seien P, Q ∈ K[X0 , X1 , X2 ] irreduzible, homogene Polynome. Setzt man voraus, dass sich die Kurven {P = 0} und {Q = 0} transversal schneiden (was man leicht algorithmisch testen kann), so gibt es genau deg(P ) deg(Q) Nullstellen des Gleichungssystems P = Q = 0 in P2 . Allgemeiner kann man homogene Polynome P1 , . . . , Pn der Grade di betrachten und die Nullstellenmenge V(P1 , . . . , Pn ). Schneiden sich alle vorkommenden Variet¨aten generisch transversal, Qnso ist die Anzahl der Punkte in V gleich dem Produkt der Grade i=1 di . Die Transversalit¨atsbedingung kann man erzwingen, indem man die Polynome

68

VII. BEZOUTS THEOREM

leicht variiert (also Pi durch Pi + i ersetzt mit |i | beliebig klein. Das hat viele Anwendungen in kombinatorischer Geometrie.

KAPITEL VIII

Reelle algebraische Geometrie 1. Geordnete und reell abgeschlossene K¨ orper Definition 1.1. Sei K ein K¨orper. Eine Anordnung von K ist eine lineare Ordnung ≤ mit den folgenden Eigenschaften: a) aus x ≤ y folgt x + z ≤ y + z f¨ ur alle z ∈ K; b) aus 0 ≤ x und 0 ≤ y folgt 0 ≤ xy. Lemma 1.2. Ist (K, ≤) ein angeordneter K¨orper und x ∈ K, so ist 0 ≤ x2 . Speziell ist 0 < 1. ¨ Proof. UA



Zum Beispiel besitzt R genau eine Anordnung: die Quadrate in R sind genau die nichtnegativen Zahlen bez¨ uglich der u ¨blichen Anordnung. Daher ist diese die einzige Anordnung. Bsp: Die Anordnungen auf R(X) stehen in Bijektion zu den Dedekindschnitten von R. Setzt man P := {x ∈ K : 0 ≤ x}, so erf¨ ullt P die folgenden Bedingungen: a) P + P ⊆ P , P · P ⊆ P ; b) P ∩ (−P ) = {0}; c) P ∪ (−P ) = K. Ist umgekehrt P eine Teilmenge von K, die diese Bedingungen erf¨ ullt, so kann man durch x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ P eine Anordnung auf K definieren. Schw¨acht man die letzte Bedingung etwas ab, gelangt man zum Begriff der Pr¨aordnung. Definition 1.3. Eine Pr¨aordnung auf K ist eine Teilmenge T ⊂ K mit den folgenden Bedingungen: a) T + T ⊆ T , T · T ⊆ T ; b) T ∩ (−T ) = {0}, c) K 2 ⊆ T . Durchschnitte von Pr¨aordnungen und Vereinigungen von aufsteigenden Folgen von Pr¨aordnungen sind wieder Pr¨aordnungen. Lemma 1.4. Ist T eine Pr¨aordnung von K und x ∈ / T , so ist T −xT eine Pr¨aordnung. 69

70

VIII. REELLE ALGEBRAISCHE GEOMETRIE

Proof. Die einzige nichtriviale Bedingung ist (T − xT ) ∩ −(T − xT ) = {0}. Angenommen a = t1 −xt2 und −a = t01 −xt02 mit t1 , t2 , t01 , t02 ∈ T . Sind t2 und t02 nicht beide 0, so folgt x ∈ (t1 + t01 )(t2 + t02 )−2 (t2 + t02 ) ∈ T , Widerspruch. Also ist t2 = t02 = 0 und somit a ∈ T ∩(−T ) = {0}.  P 2 Mit K bezeichnet man die Menge der endlichen Quadratsummen in K. Satz 1.5. Sei K ein K¨orper. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: a) K besitzt eine Anordnung. b) K besitzt Pr¨aordnung. P eine 2 c) −1 ∈ / K . Pk d) Aus i=1 x2i = 0 folgt x1 = . . . = xk = 0. Sind diese Eigenschaften erf¨ ullt, so heisst K formal reell.

Proof. a → b Siehe Lemma 1.2. P 2 b → c Sei T eine Pr¨aordnung auf K. Aus −1 ∈ K ⊆ T folgt 1 ∈ T ∩ (−T ), Widerspruch. P c → d Angenommen ki=1 x2i = 0, aber nicht alle xi sind 0. Sei o.E. P k  xi 2 = 0, also x1 6= 0. Multiplizieren wir mit x−2 , so folgt 1 + 1 i=2 x1 P 2 −1 ∈ K , Widerspruch zu c. P 2 d → b T := K ist eine Pr¨aordnung: die Bedingungen T + T ⊆ T, T P · T ⊆ T und K 2 ⊆ TPsind trivial. P P 2 Ist a ∈ T ∩ (−T ), so folgt 2 2 2 a= xi , −a = yj , also xi + yj = 0 und nach Voraussetzung a = 0. b → a Da aufsteigende Vereinigungen von Pr¨aordnungen wieder Pr¨aordnungen sind, besitzt K nach dem Zornschen Lemma eine maximale Pr¨aordnung T 0 , die die gegebene Pr¨aordnung T enth¨alt. Wir zeigen, dass diese Pr¨aordnung sogar eine Anordnung ist. Angenommen x ∈ / T 0. Nach Lemma 1.4 ist auch T 0 − x · T 0 eine Pr¨aordnung. Die Maximalit¨at von T 0 impliziert T 0 = T 0 − x · T 0 , also −x ∈ T 0 . Anders ausgedr¨ uckt 0 0 ist T ∪ (−T ) = K.  Korollar 1.6. Jede Pr¨aordnung ist Durchschnitt von Anordnungen. ¨ Proof. UA 

Definition 1.7. Ein reell abgeschlossener K¨orper ist ein formal reeller K¨orper, der keine echte formal reelle algebraische K¨orpererweiterung besitzt. Satz 1.8. Die folgenden Bedingungen sind ¨aquivalent: a) K ist reell abgeschlossen. b) K 2 ist die einzige Anordnung von K und jedes Polynom ungeraden Grades hat eine Nullstelle in K.

¨ 1. GEORDNETE UND REELL ABGESCHLOSSENE KORPER

71

c) K[i] := K[X]/(X 2 +1) ist ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Proof. √ a → b Sei K rell abgeschlossen und x ∈ / K 2 . Dann ist K( x) = K[X]/(X 2 − x) eine echte algebraische Erweiterung von K, ist also nicht formal reell. Daher gibt es eine Gleichung der Form −1 = Koeffizientenvergleich liefert −1 = Pk

k X

√ (ai + bi x)2

i=1

k X

a2i

+x

i=1

k X

b2i

i=1

2 i=1 bi

6= 0. Es folgt !−1 k k X X X −x = (1 + a2i ) b2i ∈ K2

Da K formal reell ist, ist

i=1

i=1

Ist P eine Anordnung von K dann haben wir

X x ∈ P, x 6= 0 =⇒ −x ∈ / P =⇒ −x ∈ / K 2 =⇒ x ∈ K2 P 2 und damit (und mit Lemma 1.2) P = K . Da KPformal reell ist, gibt es eine Anordnung von K und es folgt, dass K 2 die einzige Anordnung P von K ist. Ist x ∈ K 2 , x 6= P 0, so folgt x > 0, d.h. −x < 0 in dieser Anordnung. Damit / K 2 und nach dem oben Bewiesenen x ∈ K 2 . P ist2 −x ∈ 2 Daher ist K =K . Angenommen es gibt ein Polynom P ∈ K[X] ungeraden Grades ohne Nullstelle in K. Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir annehmen, dass der Grad d von P minimal ist. Da ein irreduzibler Faktor von P ungeraden Grad hat, muss P selbst schon irreduzibel sein. Damit ist K[X]/(P ) eine echte algebraische K¨orpererweiterung von K. Diese kann nicht formal reell sein, also l¨asst sich −1 als Quadratsumme in K[X]/(P ) darstellen. Wir finden also eine Gleichung −1 =

k X

Q2i + P R

i=1

mit Polynomen Q1 , . . . , Qk ∈ K[X] vom Grad < d und einem Polynom P R ∈ K[X]. Der h¨ochste Koeffizient in ki=1 Q2i kann sich nicht wegheben, da er eine ist und K formal reell ist. Also ist Pk Quadratsumme 2 der Grad von i=1 Qi gerade und kleiner gleich 2d − 2. Damit ist der Grad von R h¨ochstens d − 2 und ungerade. Nach Minimalit¨ Pkat von P2 gibt hat R eine Nullstelle x ∈ K. Dann folgt aber −1 = i=1 Qi (x) im Widerspruch zu K formal reell.

72

VIII. REELLE ALGEBRAISCHE GEOMETRIE

b → c Zun¨achst zeigen wir, dass Polynome mit Koeffizienten aus K in K[i] eine Nullstelle besitzen. Dazu schreiben wir den Grad d eines Polynoms P ∈ K[X] als d = 2m n mit n ungerade und f¨ uhren eine Induktion u ¨ ber m durch. F¨ ur m = 0 hat P sogar schon eine Nullstelle in K. Sei m > 0. Seien ¯ von K. z1 , . . . , zd die Nullstellen von P im algebraischen Abschluss K F¨ ur eine ganze Zahl a ∈ Z definieren wir das Polynom Y ¯ Q(X) := (X − zi − zj − azi zj ) ∈ K[X] i<j

Da Q symmetrisch in den z1 , . . . , zd ist, sind die
Koeffizienten sogar schon in K, also Q ∈ K[X]. Der Grad von Q ist d2 = 2m−1 n(2m n − 1). Nach Induktionsvoraussetzung hat Q eine Nullstelle in K[i], d.h. es gibt ein Paar (i, j) so dass zi +zj +azi zj in K[i] liegt. Dasselbe Argument ist richtig f¨ ur jedes a ∈ Z- allerdings variiert das Paar (i, j) dabei. Da man unendlich viele a und nur endlich viele Paare (i, j) hat, gibt es ein Paar (i, j) und zwei ganze Zahlen a1 6= a2 mit zi + zj + a1 zi zj ∈ K[i] und zi +zj +a2 zi zj ∈ K[i]. Bildet man die Differenz dieser beiden Elemente, so folgt c1 := zi + zj ∈ K[i] und c2 := zi zj ∈ K[i]. zi und zj sind die Nullstellen des Polynoms (X − zi )(X − zj ) = X 2 − c1 Xp + c2 ∈ K[i][X]. Die beiden Nullstellen dieses Polynoms sind c1 /2 ± c21 /4 − c2 und liegen in K[i]. Also sind zi und zj in K[i] und damit hat P Nullstellen in K[i]. Nun sei P ∈ K[i][X] ein Polynom mit Koeffizienten in K[i]. Ersetzt man alle Koeffizienten in P durch ihre Konjugierten, erh¨alt man ein Polynom P¯ ∈ K[i][X]. Das Polynom P P¯ hat dann Koeffizienten in K und nach dem bereits Bewiesenen eine Nullstelle z in K[i]. Dann ist z Nullstelle von P und wir sind fertig, oder z ist Nullstelle von P¯ und dann hat P die Nullstelle z¯ und wir sind ebenfalls fertig. c → a Wir zeigen, dass K 2 eine Pr¨aordnung von K ist. H¨atte X 2 + 1 eine Nullstelle in K w¨are K[X]/(X 2 + 1) kein K¨orper (denn X 2 + 1 w¨are dann reduzibel). Also ist K 2 ∩ (−K 2 ) = {0}. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass K 2 + K 2 ⊆ K 2 ist. F¨ ur x, y ∈ K finden wir a, b ∈ K mit x + iy = (a + ib)2 . Dann ist x2 + y 2 = (a2 + b2 )2 ∈ K 2 und die Behauptung folgt.  Definition 1.9. Ein reeller Abschluss eines angeordneten K¨orpers (K, ≤) ist ein reell abgeschlossener K¨orper R, der eine algebraische Erweiterung von K ist und dessen (eindeutige) Anordnung die Anordnung von K fortsetzt. Bemerkung: Sind (K1 , ≤1 ) und (K2 , ≤2 ) angeordnete K¨orper mit K1 ⊂ K2 , so setzt die Anordnung von K2 die Anordnung von K1 fort, ¨ falls 0 ≤2 x f¨ ur alle x ∈ K1 mit 0 ≤1 x gilt. Aquivalent dazu ist, dass P1 = P2 ∩ K1 gilt, wobei P1 und P2 die Kegel der nichtnegativen Elemente bezeichnen.

2. SEMIALGEBRAISCHE MENGEN

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Theorem 1.10. Jeder angeordnete K¨orper (K, ≤) besitzt einen bis auf (eindeutige) Isomorphie eindeutigen reellen Abschluss. ¯ der algebraiProof. Wir beweisen nur die Existenz. Sei wieder K sche Abschluss von K. Wir betrachten die Menge der angeordneten ¯ die K enthalten und die Anordnung von K¨orper (L, ≤) mit L ⊆ K, K fortsetzen. Diese Menge ist nichtleer (denn sie enth¨alt (K, ≤)) tr¨agt eine partielle Ordnung: (L1 , ≤1 ) ≤ (L2 , ≤2 ) genau dann wenn L1 ⊆ L2 und die Anordnung von L2 setzt die Anordnung von L1 fort. Nach dem Zornschen Lemma gibt es in dieser Menge ein maximales Element (L, ≤). Nach Konstruktion ist (L, ≤) eine algebraische Erweiterung von K, die die Anordnung von K fortsetzt. Es bleibt zu zeigen, dass (L, ≤) reell abgeschlossen ist. Angenommen es existiert ein positives Element √ x ∈ L, welches sich nicht als Quadrat darstellen l¨asst. Dann ist L[ x] eine algebraische Erweiterung von L. Wir betrachten alle Elemente der Form k X

√ ai (bi + ci x)2

i=1

mit ai , bi , ci ∈ L und ai ≥ 0. Man u uft sofort, dass diese Menge ¨berpr¨ abgeschlossen bez¨ √uglich Addition und Multiplikation ist und beliebige Quadrate aus L[ x] sowie positive Elemente aus L enth¨alt. G¨abe es eine Gleichung k X √ −1 = ai (bi + ci x)2 i=1

Pk 2 2 so liefert Koeffizientenvergleich −1 = i=1 ai (bi + xci ) was (wegen x ≥ 0) einen Widerspruch darstellt. Die Menge der Elemente der obigen √ Form ist also eine Pr¨aordnung. Wir w¨ahlen eine Anordnung von L[ x], die diese Pr¨aordnung fortsetzt (siehe Satz 1.5, b → a). Diese Anordnung setzt die Anordnung von L fort, was einen Widerspruch zur Maximalit¨at von L darstellt. Also sind die nichtnegativen Elemente in L genau die Quadrate. ¯ Ist (L0 , ≤0 ) ein angeordneter K¨orper, der L echt enth¨alt und in K 0 enthalten ist, so sind die in L nichtnegativen Elemente auch in L nichtnegativ (da sie Quadrate sind). Also setzt ≤0 die Anordnung ≤ fort. Das ist wieder ein Widerspruch zur Maximalit¨at von L. Also ist L reell abgeschlossen.  2. Semialgebraische Mengen Von nun an sei R ein reell abgeschlossener K¨orper, versehen mit seiner eindeutigen Anordnung. Definition 2.1. Eine semialgebraische Menge S in Rn ist eine endliche Vereinigung von Mengen der Form {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, . . . , Qm (x) > 0}

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VIII. REELLE ALGEBRAISCHE GEOMETRIE

Dabei sind P und Qi , i = 1, . . . , m Polynome in den Variablen X1 , . . . , Xn . Bsp: {x ∈ R2 : x2 /25 + y 2 /16 < 1 und x2 + 4x + y 2 − 2y > −4

und x2 − 4x + y 2 − 2y > −4 und (x2 + y 2 − 2y 6= 8 oder y > −1)} Satz 2.2. a) Endliche Vereinigungen und endliche Durchschnitte von semialgebraischen Mengen sind wieder semialgebraisch. b) Das Komplement einer semialgebraischen Menge ist wieder semialgebraisch. c) Die Menge der semialgebraischen Mengen in R n ist die kleinste Menge, die Mengen der Form {x ∈ Rn : Q(x) > 0} enth¨alt und abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten, endlichen Vereinigungen und Komplementbildung ist. Bemerkung: wenn die Dimension n fest ist, schreiben wir einfach {P = 0} f¨ ur die Menge {x ∈ Rn : P (x) = 0} und analog f¨ ur {Q > 0}. Proof. a) Endliche Vereinigungen von semialgebraischen Mengen sind trivialerweise wieder semialgebraisch. Der Durchschnitt der Mengen {P = 0, Q1 > 0, . . . , Qm > 0} und {P 0 = 0, Q01 > 0, . . . , Q0m0 > 0} ist gegeben durch {P 2 +P 02 = 0, Q1 > 0, . . . , Qm > 0, Q01 > 0, . . . , Q0m0 > 0} und damit wieder semialgebraisch. b) Das Komplement der Menge {P = 0, Q1 > 0, . . . , Qm > 0} ist gegeben durch {P 2 > 0} ∪ {Q1 = 0} ∪ {−Q1 > 0} ∪ . . . ∪ {Qm = 0} ∪ {−Qm > 0}, also wieder semialgebraisch. c) Die Menge {P = 0} ist das Komplement der Menge {P 2 > 0}. Daraus folgt leicht, dass die kleinste Menge, die Mengen der Form {Q > 0} enth¨alt und abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten, endlichen Vereinigungen und Komplementbildung ist, die semialgebraischen Mengen enth¨alt. Nach a) und b) stimmen diese beiden Mengen u ¨berein.  3. Tarski-Seidenberg-Prinzip Eines der wichtigsten Theorem der reellen algebraischen Geometrie ist das folgende Theorem von Tarski-Seidenberg: Theorem 3.1. Sei Π : Rn+1 → Rn die Projektion auf die ersten n Koordinaten. Ist S ⊆ Rn+1 semialgebraisch, so auch Π(S). Per Induktion ergibt sich, dass auch Projektionen auf niederdimensionale Teilr¨aume wieder semialgebraisch sind. Korollar 3.2. Abschluss und Inneres einer semialgebraischen Menge sind wieder semialgebraisch.

¨ 4. ZAHLEN REELLER NULLSTELLEN

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Proof. Es ist S¯ = {x ∈ Rn : ∀ > 0∃y ∈ S : kx − yk ≤ }

Sei T ⊆ R2n+1 gegeben durch

T := {(x, y,  ∈ Rn × Rn × R : x ∈ S, y ∈ S,  > 0, kx − yk ≤ }

Offenbar ist T semialgebraisch. Es ist S¯ = Rn \ πn (Rn+1 \ πn+1 (T ))

Dabei ist πn+1 : R2n+1 → Rn+1 , (x, y, ) 7→ (x, ) und πn : Rn+1 → Rn , (x, ) 7→ x. Nach dem Tarski-Seidenberg-Prinzip ist S¯ ebenfalls semialgebraisch. Die Aussage f¨ ur das Innere folgt durch Komplementbildung: das Innere von S ist gegeben durch Rn \(Rn \ S) und somit semialgebraisch.  4. Z¨ ahlen reeller Nullstellen Sei R ein reell abgeschlossener K¨orper und P ∈ R[X] ein nichtkonstantes Polynom in einer Variablen. Die Sturmsche Kette zu P ist induktiv definiert durch P0 := P, P1 := P 0 , Pi+1 ist der negative Rest der Division von Pi−1 durch Pi . Diese Kette h¨ort auf bei einem Polynom Pk mit der Eigenschaft, dass Pk−1 durch Pk teilbar ist. Pk ist der gr¨osste gemeinsame Teiler von P und P 0 . Ist a ∈ R, so sei vP (a) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge P0 (a), . . . , Pk (a) (Nullen werden nicht gez¨ahlt). F¨ ur a = ∞ (oder a = −∞) betrachten wir die Vorzeichen, die Pi f¨ ur gen¨ ugend grosse x (bzw. gen¨ ugend kleine x) annimmt und definieren vP (±∞) analog. Beispiel: P (X) = X 3 − 3X + 1. Dann ist die Sturmsche Kette (X 3 − 3X + 1, 3X 2 − 3, 2X − 1, 9/4)

An der Stelle a = 1 ergibt sich (−1, 0, 1, 9/4), also vP (1) = 1. Satz 4.1. F¨ ur a < b mit P (a) 6= 0, P (b) 6= 0 ist die Anzahl der Nullstellen von P im Intervall (a, b) gegeben durch vP (a) − vP (b). Proof. Angenommen, P und P 0 sind teilerfrei. Wir betrachten vP (x) als Funktion von x und betrachten die Ver¨anderung in einer Nullstelle c eines Polynoms der Sturmschen Kette. Ist c Nullstelle von P , so ist P (c− ) < 0, P (c+ ) > 0 und P 0 (c) > 0 oder P (c− ) > 0, P (c+ ) < 0 und P 0 (c) < 0. In beiden F¨allen wird vP (x) um 1 kleiner. Ist c Nullstelle von Pi , 0 < i < k, so ist Pi−1 (c) = Pi+1 (c) 6= 0. Also ¨andert sich vP (x) an der Stelle c nicht. Angenommen, der gr¨osste gemeinsame Teiler Pk von P und P 0 hat Grad ≥ 1. Dann kann man wie oben schliessen, dass die Anzahl der

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VIII. REELLE ALGEBRAISCHE GEOMETRIE

Nullstellen von P/Pk im Intervall (a, b) gegeben ist durch die Differenz der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge P0 /Pk , P1 /Pk , . . . , Pk−1 /Pk , 1 an den Stellen a und b. Die Anzahl der Nullstellen von P/Pk ist aber genau die Anzahl der Nullstellen von P (ohne Vielfachheiten gez¨ahlt). Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge P0 /Pk , . . . , 1 ist die selbe wie die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge P0 , . . . , Pk und die Aussage folgt.  Beispiel: F¨ ur P = X 2 + aX + b erh¨alt man, dass die Anzahl der reellen Nullstellen gleich 0 ist falls ∆ < 0, 1 falls ∆ = 0 und 2 falls ∆ > 0. Dabei ist ∆ = a2 / − 4b die Diskriminante. Sei Q ein beliebiges anderes Polynom. Wir modifizieren die Sturmsche Kette, indem P1 := P 0 Q gesetzt wird und der Rest beibehalten wird. Mit vP,Q (a) wird die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der modifizierten Folge an der Stelle a bezeichnet. Satz 4.2. F¨ ur a < b mit P (a) 6= 0, P (b) 6= 0 ist die Anzahl der Nullstellen von P mit Q > 0 minus die Anzahl der Nullstellen von P mit Q < 0 im Intervall (a, b) gegeben durch vP,Q (a) − vP,Q (b). Proof. Analog wie der Beweis oben.



Seien a < b keine Nullstellen von P . Sei n+ (bzw. n− ) die Anzahl der Nullstellen x von P in (a, b) mit Q(x) > 0 (bzw. Q(x) < 0). Dann ist vP,Q (a) − vP,Q (b) = n+ − n−

vP,Q2 (a) − vP,Q2 (b) = n+ + n−

Also k¨onnen n+ , n− durch Berechnen von zwei Sturmschen Ketten bestimmt werden. Allgemeiner gilt: Satz 4.3. Sind P, Q1 , . . . , Qm Polynome, a < b keine Nullstellen von P , so kann die Anzahl der Nullstellen von P im Intervall (a, b) durch Berechnung von 3m Sturmschen Ketten bestimmt werden. Proof. Ist m = 0 oder m = 1, so ist die Aussage bereits bewiesen. F¨ ur m > 1 sei n++ (bzw. n+− usw.) die Anzahl der Nullstellen x von P in (a, b) mit Q1 (x) > 0, . . . , Qm−2 (x) > 0 und Qm−1 (x) > 0, Qm (x) > 0 (bzw. Qm−1 (x) > 0, Qm (x) < 0 usw.) Dann ist n++ +n−− gleich der Anzahl der Nullstellen von P in (a, b) mit Q1 > 0, . . . , Qm−1 Qm > 0; n++ + n+− ist die Anzahl der Nullstellen von P in (a, b) mit Q1 > 0, . . . , Qm−1 > 0 und n+− +n−− ist die Anzahl der Nullstellen von P in (a, b) mit Q1 > 0, . . . , Qm−2 > 0, −Qm > 0. Jede dieser Zahlen kann durch Berechnen von 3m−1 Sturmschen Ketten bestimmt werden. Also kann man 1 n++ = ((n++ + n−− ) + (n++ + n+− ) − (n+− + n−− )) 2

¨ 4. ZAHLEN REELLER NULLSTELLEN

mit 3m Sturmsche Ketten berechnen.

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Mit Sturmschen Ketten kann man das Tarski-Seidenberg-Prinzip beweisen. Beweis Theorem 3.1. Es reicht aus zu zeigen, dass die Projektion einer Menge der Form S := {P = 0, Q1 > 0, . . . , Qm > 0} auf die ersten n Koordinaten wieder semialgebraisch ist. Wir betrachten P, Q1 , . . . , Qm als Polynome in Xn+1 mit Koeffizienten im K¨orper R(X1 , . . . , Xn ). Ein Punkt (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn liegt in Π(S) genau dann, wenn es ein xn+1 ∈ R gibt mit P (x1 , . . . , xn+1 ) = 0, Qi (x1 , . . . , xn+1 ) > 0, d.h. falls die Anzahl der Nullstellen von P (x1 , . . . , xn , −) im Intervall (−∞, ∞) mit Qi (x1 , . . . , xn , −) > 0 gr¨osser als 0 ist. Wir berechnen diese Anzahl mit Sturmschen Ketten. Zun¨achst sei x1 , . . . , xn so, dass alle in den Sturmschen Ketten auftretenden Leitkoeffizienten ungleich 0 sind (diese Bedingung besteht aus polynomialen Ungleichungen an x1 , . . . , xn ). Die Bedingung, dass die Anzahl der Nullstellen von P (x1 , . . . , xn , −) im Intervall (−∞, ∞) mit Qi (x1 , . . . , xn , −) > 0 gr¨osser als 0 ist, ist nach Satz 4.2 und Satz 4.3 eine Bedingung an die Vorzeichen der Leitkoeffizienten der Sturmschen Ketten, also eine semialgebraische Bedingung an die x1 , . . . , xn . Die F¨alle, in denen einer der Leitkoeffizienten gleich 0 ist (und die entsprechende Sturmsche Kette k¨ urzer wird), kann man genauso behandeln und bekommt ebenfalls semialgebraische Bedingungen an die x1 , . . . , x n . Da die Vereinigung von semialgebraischen Mengen wieder semialgebraisch ist, folgt das Theorem.  Wie man beim Beweis von Korollar 3.2 gesehen hat, kann es etwas umst¨andlich sein zu zeigen, dass eine Menge semialgebraisch ist. Mit dem Prinzip von Tarski-Seidenberg kann man semialgebraische Mengen einfacher durch Formeln erster Ordnung beschreiben. Eine Formel erster Ordnung wird wie folgt definiert: a) Ist P ∈ R[X1 , . . . , Xn ], so sind P = 0 und P > 0 Formeln erster Ordnung. b) Sind Φ und Ψ Formeln erster Ordnung, so auch Φ∧Ψ und Φ∨Ψ sowie ¬Φ. c) Ist Φ eine Formel erster Ordnung und x eine Variable, die u ¨ber R l¨auft, so sind auch ∃xΦ und ∀xΦ Formeln erster Ordnung.

Formeln, die nur durch a) und b) entstehen, heissen quantorenfrei. Aus Satz 2.2 folgt, dass eine Menge genau dann semialgebraisch ist, wenn es eine quantorenfreie Formel erster Ordnung Φ gibt mit (x1 , . . . , xn ) ∈ S ⇐⇒ Φ(x1 , . . . , xn ).

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VIII. REELLE ALGEBRAISCHE GEOMETRIE

Satz 4.4. Ist Φ eine Formel erster Ordnung, so ist die Menge semialgebraisch.

{(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : Φ(x1 , . . . , xn )}

Proof. Induktion u ¨ber den Aufbau einer Formel erster Ordnung. Regel a) erzeugt nur semialgebraische Mengen. Sind Φ und Ψ Formeln erster Ordnung so dass S := {x : Φ(x)} und T := {x : Ψ(x)} semialgebraisch sind, so sind {x ∈ Rn : Φ ∧ Ψ(x)} = S ∩ T , {x ∈ Rn : Φ ∨ Ψ(x)} = S ∪ T und {x ∈ Rn : ¬Φ(x)} = Rn \ S wieder semialgebraisch. Ist {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : Φ(x)} semialgebraisch, so auch {(x1 , . . . , xn ) ∈ n R : ∃xn+1 Φ(x1 , . . . , xn+1 }, denn das ist die Projektion der ersten Menge auf die ersten n Koordinaten. Der Fall eines universellen Quantors folgt daraus unter Benutzung der Tatsache, dass ∀ dasselbe ist wie 6= ∃ 6=.  Beispiel: der Abschluss einer semialgebraischen Menge S ist gegeben durch S¯ = {x ∈ Rn : ∀ > 0∃y ∈ S : kx − yk ≤ } Da S selbst durch eine (quantorenfreie) Formel erster Ordnung gegeben ist, ist S¯ durch eine Formel erster Ordnung definiert (die nicht quantorenfrei ist).

Korollar 4.5. Jede Formel erster Ordnung ¨ uber R ist ¨aquivalent zu einer quantorenfreien Formel erster Ordnung. Das heisst: ist Φ eine Formel erster Ordnung, so gibt es eine quantorenfreie Formel Ψ mit Φ(x1 , . . . , xn ) ⇐⇒ Ψ(x1 , . . . , xn )

f¨ ur alle (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

Proof. Φ definiert eine semialgebraische Menge, die auch durch eine quantorenfreie Formel Ψ beschrieben werden kann.  Korollar 4.6. Sind R ⊆ S reell abgeschlossene K¨orper und Φ eine Formel erster Ordnung ¨ uber R, so ist die Menge {x ∈ Rn : Φ(x)} genau dann leer, wenn die Menge {x ∈ S n : Φ(x)} leer ist. Proof. Mit Korollar 4.5 Man kann sich auf den Fall einer quantorenfreien Formel Φ beschr¨anken. Da die Anordnung von S die Anordnung von R fortsetzt ist dieser Fall trivial.  5. Hilberts 17. Problem In seiner ber¨ uhmten Rede auf dem Mathematikerkongress 1900 fragte Hilbert in seinem 17. Problem, ob sich jedes Polynom P ∈ R[X1 , . . . , Xn ], welches auf Rn nichtnegativ ist, als Summe von Quadraten von rationalen Funktionen schreiben l¨asst. Man kann sich fragen, ob nicht sogar eine Darstellung als Quadratsumme von Polynomen m¨oglich ist. Hilbert wusste, dass das nicht der

5. HILBERTS 17. PROBLEM

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Fall ist, das erste Gegenbeispiel dazu wurde aber erste von Motzkin gegeben. Hier ein Beispiel von Choi-Lam: Das Polynom 1 + X12 X22 + X12 X32 + X23 X32 − 4X1 X2 X3 ist nichtnegativ, aber keine Summe von Quadraten. Um ein P als Summe von Quadraten von rationalen Funktionen darzustellen, muss man ein Polynom Q finden, so dass P Q2 eine Summe von Quadraten von Polynomen ist. Dieses Problem wurde 1927 von Artin und Schreier gel¨ost. Die (positive) L¨osung sieht wie folgt aus. Theorem 5.1. Ein Polynom P ∈ R[X1 , . . . , Xn ], welches auf ganz R nichtnegative Werte annimmt, l¨asst sich als Summe von Quadraten von rationalen Funktionen schreiben: 2 k  X Ri P = , Ri , Qi ∈ R[X1 , . . . , Xn ] Q i i=1 n

Proof. Angenommen, es gibt ein Polynom P , welches die Voraussetzungen, aber nicht die Behauptung des Theorems erf¨ ullt. Sei K := R(X1 , . . . , Xn ) der K¨orper der rationalen Funktionen. P 2 In K gibt es die Pr¨aordnung K , die P nach Annahme nicht enth¨alt. Nach Korollar 1.6 gibt es eine Anordnung von K, in der P < 0 ist. Sei R der reelle Abschluss von K mit dieser Ordnung. Dann ist die Menge {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : P (x1 , . . . , xn ) < 0} nichtleer, denn sie enth¨alt (X1 , . . . , Xn ). Das Prinzip von Tarski-Seidenberg (Korollar 4.6) impliziert, dass die Menge {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : P (x1 , . . . , xn ) < 0} ebenfalls nicht leer sein kann, was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. 

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