Finite Elemente 002

Numerische Behandlung von Differentialgleichungen II (Finite Elemente) Vorlesungsskriptum Sommersemester 1998 ¨ rth R. Verfu Fakult¨ at f¨ ur Mathematik, Ruhr-Universit¨ at Bochum, D-44780 Bochum, Germany

Inhalt 1. Sobolev R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Abstrakte Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Schwache L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Eindimensionale lineare Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Bilineare Rechteckselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Lineare Dreieckselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7. Finite Elemente h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8. Randapproximation und numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. Numerische L¨osung der diskreten Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 10. A posteriori Fehlersch¨atzer und adaptive Gitterverfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11. Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12. Nichtkonforme Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13. Gemischte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. Sobolev R¨ aume Im folgenden bezeichnet Ω ⊂ IRd , d ≥ 1, stets eine offene, beschr¨ankte Menge, p ∈ [1, ∞) einen Lebesgue-Exponenten mit dualem Exponenten p0 ∈ (1, ∞], p1 + p10 = 1,

und α ∈ INd einen Multiindex mit |α| := α1 + ... + αd und ∂ |α| αd ϕ 1 ∂xα 1 ...∂xd

Dα ϕ :=

∀ϕ ∈ C |α| (Ω).

Da Ω beschr¨ankt ist, gilt Lp (Ω) ⊂ L1 (Ω), und die kanonische Injektion ist stetig. Aus dem Gauß’schen Integralsatz folgt f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) und alle α ∈ INd Z

α

ϕD ψ = (−1)

|α|

Ω

Z

ψDα ϕ.

(1)

Ω

1.1 Definition: Seien ϕ, ψ ∈ L1 (Ω) und α ∈ INd . Dann heißt ψ die α-te schwache Ableitung von ϕ, kurz ψ = Dα ϕ, wenn f¨ ur alle ρ ∈ C0∞ (Ω) gilt Z

α

ϕD ρ = (−1)

|α|

Ω

Z

ψρ.

(2)

Ω

1.2 Bemerkung: (1) Die α-te schwache Ableitung ist, sofern sie existiert, eindeutig (im Sinne von L1 -Funktionen). (2) Ist ϕ ∈ C |α| (Ω), so stimmen die α-te schwache Ableitung und die klassische α-te Ableitung u ¨berein. Beweis: ad (1): Seien ϕ, ψ1 , ψ2 ∈ L1 (Ω) mit (−1) Dann gilt

|α|

Z

ψ1 ρ = Ω

Z

Ω

Z

α

ϕD ρ = (−1) Ω

(ψ1 − ψ2 )ρ = 0

|α|

Z

ψ2 ρ Ω

∀ρ ∈ C0∞ (Ω).

∀ρ ∈ C0∞ (Ω).

Da C0∞ (Ω) dicht ist in L1 (Ω), folgt ψ1 = ψ2 fast u ¨berall. ad (2): Folgt aus dem Gauß’schen Integralsatz (vgl. (1)). 1.3 Beispiel: Sei Ω = (−1, 1) und ϕ(x) = |x|. Dann ist ϕ im Sinne von Def. 1.1 differenzierbar und die Ableitung ist ψ(x) :=

n

−1 f¨ ur −1 < x < 0 1 f¨ ur 0 < x < 1. 1

Denn f¨ ur alle ρ ∈ C0∞ (Ω) gilt Z

1

0

ϕρ = −1

Z

0

Z

0

ϕρ + −1

1

ϕρ0

0

=ϕ(0)ρ(0) − ϕ(−1)ρ(−1) + − ϕ(0)ρ(0) + ϕ(1)ρ(1) − =−

Z

1

Z

Z

0

ρ −1 1

ρ 0

ψρ, −1

da ρ(±1) = 0 ist. 1.4 Definition: (1) F¨ ur k ∈ IN und p ∈ [1, ∞) definieren wir den Sobolev Raum W k,p (Ω) und seine Norm k.kk,p durch © W k,p (Ω) := ϕ ∈ Lp (Ω) : Dα ϕ ∈ Lp (Ω) nX o1/p kϕkk,p := . kDα ϕkpLp (Ω)

ª ∀|α| ≤ k ,

|α|≤k

(2) Durch |ϕ|k,p :=

nX

|α|=k

kDα ϕkpLp (Ω)

o1/p

wird f¨ ur k ∈ IN∗ eine Semi-Norm auf W k,p (Ω) definiert. (3) Ist speziell p = 2 , so schreiben wir H k (Ω) statt W k,2 (Ω) und lassen den Index p = 2 bei der Norm und Semi-Norm weg. 1.5 Beispiel: (1) Seien ϕ und Ω wie in Bsp. 1.3. Dann gilt ϕ ∈ W 1,p (Ω) f¨ ur alle p ∈ [1, ∞). (2) Seien d ≥ 2, Ω = B(0, 21 ) und ϕ(x) := |x|s mit s ∈ IR, wobei |.| die euklidische Norm in IRd bezeichnet. Dann gilt Dα ϕ(x) ∼ |x|s−|α| und kD

α

ϕkpLp (Ω)

∼ ωd−1

Z

1 2

0

⇐⇒ p(s − |α|) + d − 1 > −1 d ⇐⇒ s > |α| − . p 2

r(s−|α|)p rd−1 dr < ∞

¯ ¯ (3) Sei d = 2, Ω = B(0, 21 ) und ϕ(x) = ln¯ln(|x|)¯. F¨ ur x 6= 0 und i ∈ {1, 2} ist Hieraus folgt

x ∂ϕ ¯ i ¯. = ∂xi |x|2 ¯ln(|x|)¯

Z X Z 1/2 2 ¯ ¯ 1 ¯ ∂ϕ ¯2 rdr ¯ ¯ =2π 2 r (lnr)2 Ω i=1 ∂xi 0 h 1 ir= 21 =2π lim − ε→0 lnr r=ε 2π . = ln2

Also ist ϕ ∈ H 1 (Ω). 1.6 Satz: (1) (W k,p (Ω), k.kk,p ) ist ein Banach-Raum. (2) C ∞ (Ω) ist dicht in W k,p (Ω). (3) H k (Ω) ist ein Hilbertraum mit Skalarprodukt X Z (ϕ, ψ)k := Dα ϕDα ψ. |α|≤k

Ω

Beweis: ad (1): Sei nk,d := #{α ∈ INd : |α| ≤ k}. Dann k¨onnen wir W k,p (Ω) vermittels der Abbildung i : ϕ → (Dα ϕ)|α|≤k mit Lp (Ω; IRnk,d ) identifizieren. Insbesondere ist dann kϕkk,p = ki(ϕ)kLp (Ω:IRnk,d ) . Hieraus folgt sofort die Normeigenschaft von k.kk,p . Sei nun (ϕn )n∈IN ⊂ W k,p (Ω) eine Cauchy-Folge. Dann ist (i(ϕn ))n∈IN ⊂ Lp (Ω; IRnk,d ) ebenfalls eine Cauchy Folge und damit konvergent. Daher gibt es zu jedem α ∈ INd mit |α| ≤ k ein ψα ∈ Lp (Ω), so daß Dα ϕn in Lp (Ω) gegen ψα konvergiert. Insbesondere konvergiert Dα ϕn punktweise f.¨ u. gegen ψα . F¨ ur jedes ρ ∈ C0∞ (Ω) gilt andererseits Z Z α |α| Dα ϕn ρ. (3) ϕn D ρ = (−1) Ω

Ω

Wegen des Lebesgueschen Konvergenzsatzes k¨onnen wir in (3) den Grenz¨ ubergang n → ∞ durchf¨ uhren und erhalten Z Z α ψ0 D ρ = lim ϕn D α ρ n→∞ Ω ω Z Z |α| α |α| = lim (−1) D ϕn ρ = (−1) ψα ρ. n→∞

Ω

Ω

Also ist ψα die α-te schwache Ableitung von ψ0 , und (ϕn )n∈IN konvergiert in W k,p (Ω) gegen ψ0 . ad (2): Kopiere den Beweis von ”C ∞ (Ω) ist dicht in Lp (Ω)”. ad (3): Offensichtlich ist (., .)k bilinear und kϕk2k = (ϕ, ϕ)k . Damit folgt die Behauptung aus Teil (1). Im folgenden werden wir h¨aufig Funktionen begegnen, die st¨ uckweise glatt sind. Der folgende Satz gibt uns ein Kriterium, wann solche Funktionen in W k,p (Ω) sind. 3

1.7 Satz: Seien Ω1 , Ω2 zwei nichtleere, offene, beschr¨ ankte und disjunkte Teilmengen von Ω mit st¨ uckweise glattem Rand und Ω = Ω1 ∪ Ω2 . Weiter sei ϕ ∈ Lp (Ω) so, daß ϕ|Ωi ∈ C k (Ωi ), i ∈ {1, 2}, k ≥ 1 ist. Dann ist ϕ ∈ W k,p (Ω) genau dann, wenn ϕ ∈ C k−1 (Ω) ist. Beweis: Es reicht den Fall k = 1 zu betrachten. Der allgemeine Fall folgt dann durch Induktion. Sei n die ¨außere Normale an Ω1 und [ϕ] der Sprung von ϕ u ¨ber Σ := ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 in Richtung n, d.h. [ϕ](x) = lim ϕ(x + tn) − lim ϕ(t − tn) t→0+

t→0+

∀x ∈ Σ.

Seien ρ ∈ C0∞ (Ω) und i ∈ {1, ...d} beliebig. Dann folgt aus dem Gauß’schen Integralsatz Z Z Z ∂ρ ∂ρ ∂ρ ϕ ϕ =− − ϕ − Ω1 ∂xi Ω2 ∂xi Ω ∂xi Z Z ∂ϕ ϕρni ρ− = ∂Ω1 Ω1 ∂xi Z Z ∂ϕ + ρ+ ϕρni Ω2 ∂xi ∂Ω2 Z Z ∂ϕ ρ + [ϕ]ρni . = Σ Ω ∂xi

Ist also ϕ ∈ W 1,p (Ω), so folgt Z [ϕ]ρni = 0 ∀ρ ∈ C0∞ (Ω), i ∈ {1, ..., d}. Σ

Also ist [ϕ] = 0 f.¨ u. auf Σ, d.h. aber ϕ ∈ C(Ω). Ist umgekehrt ϕ ∈ C(Ω), so verschwindet [ϕ] auf Σ, und aus obiger Identit¨at folgt ϕ ∈ W 1,p (Ω). 1.8 Bemerkung: Gem¨aß Satz 1.6 (2) ist C ∞ (Ω) dicht in W k,p (Ω). F¨ ur C0∞ (Ω) gilt dies aber i.a. nicht. Betrachte z.B. d = 1, Ω = (0, 1) und ϕ(x) = x. Sei ρ ∈ C0∞ (Ω) beliebig. Wegen ϕ(0) = ρ(0) = ρ(1) = 0 folgt aus dem Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung und der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung 1 =ϕ(1) − ρ(1) − [ϕ(0) − ρ(0)] Z 1 [ϕ0 (t) − ρ0 (t)]dt = 0

≤

nZ

1

0

0

0 2

|ϕ − ρ | dt

≤kϕ − ρk1 . Also kann C0∞ (Ω) nicht dicht in H 1 (Ω) sein. 4

o1/2

1.9 Definition: W0k,p (Ω), k ≥ 1, ist die Vervollst¨andigung von C0∞ (Ω) bzgl. k.kk,p ; H0k (Ω) := W0k,2 (Ω). 1.10 Definition: Wir sagen, Ω hat einen Lipschitz-Rand bzw. Ω ist ein Lipschitz-Gebiet, wenn es ein N ∈ IN∗ und offene Mengen U1 , ..., UN ∈ IRd mit folgenden Eigenschaften gibt: S (1) ∂Ω ⊂ 1≤i≤N Ui , (2) F¨ ur jedes 1 ≤ i ≤ N ist ∂Ω ∩ Ui darstellbar als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion.

1.11 Bemerkung: (1) Ω sei ein Lipschitz-Gebiet. Dann existiert fast u ¨berall auf ∂Ω das ¨außere Einheitsnormalenfeld n zu Ω. (2) Ω habe einen st¨ uckweise glatten Rand. Zudem gebe es zu jedem x0 ∈ ∂Ω einen nichttrivialen Kegel K0 mit Basis x0 und Ω ⊂ IRd \K0 (Kegelbedingung). Dann ist Ω ein Lipschitz-Gebiet. 1.12 Satz: (Spursatz) Seien Ω ein Lipschitz-Gebiet und k ∈ IN∗ , l ∈ {0, ..., k − 1}. Dann gibt es eine stetige lineare Abbildung γl : W k,p (Ω) → Lp (∂Ω) mit der Eigenschaft ∂l ϕ|∂Ω ∀ϕ ∈ C k (Ω). γl (ϕ) = ∂nl Beweis: R.A. Adams: Sobolev Spaces. Academic Press, 1975. Idee: Man zeigt zun¨achst, daß die Restriktionen von C0∞ (IRd )-Funktionen auf Ω dicht ¨ sind in W k,p (Ω). Dann f¨ uhrt man eine Uberdeckung von ∂Ω wie in Definition 1.10 ein und rechnet die Eigenschaft von γl auf den Karten ∂Ω ∩ Ui f¨ ur C0∞ (IRd )-Funktionen nach. 1.13 Bemerkung: Die Bezeichnungen und Voraussetzungen seien wie in Satz 1.12. Wegen des Satzes vom abgeschlossenen Graphen ist γl (W k,p (Ω)) ein abgeschlossener 1 Unterraum von Lp (∂Ω). Dieser wird u ¨blicherweise mti W k−l− p ,p (∂Ω) bezeichnet. F¨ ur unsere Anwendungen sind die F¨alle l = 0 und l = 1 besonders wichtig. F¨ ur 1 ,p k−l− p (∂Ω) analog zu Definition eine alternative Charakterisierung der R¨aume W 1.4 (mit Ω ersetzt durch ∂Ω) verweisen wir auf das Buch von R.A. Adams. 1.14 Satz:

W0k,p (Ω) = {ϕ ∈ W k,p (Ω) : γl (ϕ) = 0 ∀0 ≤ l ≤ k − 1}.

Beweis: R.A. Adams; loc. cit.

Idee: Da die γl stetig sind, ist

\

kerγl ein abgeschlossener Unterraum von

0≤l≤k−1

W k,p (Ω), der C0∞ (Ω) enth¨alt. Hieraus folgt mit Definition 1.9 die Behauptung.

5

1.15 Satz: (Friedrich’sche Ungleichung) k.kk,p und |.|k,p sind ¨ aquivalente Nork,p men auf W0 (Ω). Beweis: Offensichtlich gilt |ϕ|k,p ≤ kϕkk,p f¨ ur alle ϕ ∈ W k,p (Ω). F¨ ur die umgekehrte Absch¨atzung w¨ahle R ∈ IR∗+ , so daß Ω ⊂ B|.|∞ (0, R). Dabei bezeichnet |.|∞ die Maximum-Norm auf IRd . Sei α ∈ INd mit |α| = k − 1 und ϕ ∈ C0∞ (Ω), ψ := Dα ϕ. Dann ist ψ ∈ C0∞ (Ω). Wegen Ω ⊂ B|.|∞ (0, R) folgt f¨ ur beliebiges x ∈ Ω mit der H¨older’schen Ungleichung ¯p ¯Z x ∂ ¯ ¯ p ψ(y, x2 , ..., xd )dy ¯ |ψ(x)| =¯ −R ∂x1 Z R¯ ¯p ¯ ∂ψ ¯ p−1 ≤(2R) (y, x2 , ..., xd )¯ dy. ¯ −R ∂x1

Integration u ¨ber Ω liefert Z p kψkLp (Ω) = |ψ(x)|p ZΩ ≤ |ψ(x)|p B|.|∞ (0,R)

Z

Z

¯p ¯ ∂ψ ¯ ¯ (y, x2 , ..., xd )¯ dydx ¯ ∂x 1 −R B|.|∞ (0,R) Z ¯ ∂ψ ¯p ¯ ¯ =(2R)p ¯ ¯ B|.|∞ (0,R) ∂x1 °p ° p ° ∂ψ ° . =(2R) ° ° ∂x1 Lp (Ω)

≤(2R)

p−1

R

Summation u ¨ber alle Multiindizes α ∈ INd mit |α| ≤ k − 1 ergibt |ϕ|pk−1,p ≤ ck−1 |ϕ|pk,p mit ck−1 = (2R)p Hieraus folgt kϕkpk,p

=|ϕ|pk,p

+

k−1 X l=0

≤|ϕ|pk,p +

k−1 X l=0

(k + d − 2)! . d!(k − 1)!

|ϕ|pl,p cl |ϕ|pl+1,p

ª ≤ 1 + ck−1 + ck−1 ck−2 + ... + ck−1 ...c1 c0 |ϕ|pk,p . ©

Hieraus folgt die Behauptung, da C0∞ (Ω) dicht ist in W0k,p (Ω). 6

1.16 Bemerkung: Aus Satz 1.15 folgt kϕkk,p ≤ ck (Ω)|ϕ|k,p f¨ ur alle ϕ ∈ W0k,p (Ω). Die Konstante ck (Ω) h¨angt nur von k und dem Durchmesser von Ω ab. Eine analoge Absch¨atzung gilt f¨ ur alle Funktionen, die auf einem Teil des Randes verschwinden, der positives (d − 1)-dimensionales Maß hat. 1.17 Definition: Seien (X, k.kX ) und (Y, k.kY ) zwei normierte Vektorr¨aume. (1) Eine lineare Abbildung A : X → Y heißt kompakt, wenn das Bild A(BX (0; 1)) der abgeschlossenen X-Einheitskugel in Y kompakt ist. (2) X ist stetig eingebettet in Y , kurz X ,→ Y , wenn X ⊂ Y und die kanonische Injektion i : X → Y stetig ist. c (3) X ist kompakt eingebettet in Y , kurz X ,→ Y , wenn X ⊂ Y und die kanonische Injektion i : X → Y kompakt ist. 1.18 Bemerkung: (1) Gilt X ,→ Y , so gibt es eine Konstante c > 0 mit kϕkY ≤ ckϕkX f¨ ur alle ϕ ∈ X. c (2) Aus X ,→ Y folgt X ,→ Y . c (3) Ist X ,→ Y und (ϕn )n∈IN ⊂ X eine beschr¨ankte Folge, so besitzt (ϕn )n∈IN eine in Y konvergente Teilfolge. Beweis: ad (1): Folgt aus der Definition der Stetigkeit f¨ ur lineare Operatoren. ad (2): Sei A : X → Y ein kompakter linearer Operator. Dann ist n.V. A(BX (0; 1)) kompakt und somit insbesondere beschr¨ankt. Also gibt es ein c > 0 mit kAϕkY ≤ C f¨ ur alle ϕ ∈ X mit kϕkX ≤ 1. Also ist A stetig. ad (3): (i(ϕn ))n∈IN ⊂ Y ist in der kompakten Menge i(Bk.kX (0; R)) mit R := max kϕn kX enthalten. n∈IN

1.19 Satz: (Sobolev’scher Einbettungssatz) (1) Sei p < d. Dann gilt W k,p (Ω) c pd pd ,→ W k−1,q (Ω) f¨ ur alle q ∈ [1, d−p ] und W k,p (Ω) ,→ W k−1,q (Ω) f¨ ur alle q ∈ [1, d−p ). c

(2) Sei p = d. Dann gilt W k,p (Ω) ,→ W k−1,q (Ω) f¨ ur alle q ∈ [1, ∞). c k,p l d (3) Sei k > p . Dann gilt W (Ω) ,→ C (Ω) f¨ ur alle l ∈ IN mit 0 ≤ l < k − dp . Beweis: R.A. Adams; loc cit.

1.20 Bemerkung: (1) Sei d = 2, p = 2 und Ω = B(0; 12 ). Dann zeigt Beispiel 1.5 (3), daß die Schranke an q in Satz 1.19 (2) scharf ist. (2) Sei d ≥ 3, p = 2 und Ω = B(0; 21 ). Dann zeigt Beispiel 1.5 (2), daß die Schranke an q in Satz 1.19 (1) scharf ist. c (3) Sei p = 2 und d = 2. Dann ist H 1 (Ω) ,→ Lq (Ω) f¨ ur jedes q ∈ [1, ∞). c q 1 (4) Sei p = 2 und d = 3. Dann ist H (Ω) ,→ L (Ω) f¨ ur jedes q ∈ [1, 6) und H 1 (Ω) ,→ L6 (Ω). (5) Sei p = 2 und d ∈ {2, 3}. Dann ist H 2 (Ω) ,→ C 0 (Ω). F¨ ur H 1 (Ω)-Funktionen sind Punktwerte dagegen nicht definiert. 7

1.21 Satz: (Poincar´ e’sche Ungleichung) |.|1 und k.k1 sind ¨ aquivalente Normen R 1 auf V := {ϕ ∈ H (Ω) : Ω ϕ = 0}.

Beweis: Wie im Beweis von Satz 1.15 m¨ ussen wir nur zeigen, daß es eine Konstante C > 0 gibt mit kϕk1 ≤ C|ϕ|1 ∀ϕ ∈ V. (4) Wir nehmen an, eine solche Konstante existiere nicht. Dann gibt es eine Folge (ϕn )n∈IN ⊂ V mit kϕn k1 = 1 ∀n ∈ IN

(5)

und lim |ϕn |1 = 0.

(6)

n→∞

Wegen Satz 1.19 und Bem. 1.18 (3) gibt es eine Teilfolge (ϕnk )k∈IN von (ϕn )n∈IN und eine Funktion ϕ ∈ L2 (Ω) mit lim kϕnk − ϕk0 = 0.

k→∞

Wegen (6) konvergiert (ϕnk )k∈IN sogar in H 1 (Ω). Mithin ist ϕ ∈ H 1 (Ω) und |ϕ|1 = 0. Daher ist ϕ konstant. Da V ein abgeschlossener Unterraum von H 1 (Ω) ist, gilt aber R ϕ = 0. Also ist ϕ = 0 im Widerspruch zu (5). Ω

1.22 Bemerkung: (1) Satz 1.21 kann f¨ ur H 1 (Ω) nicht gelten, da die rechte Seite von (4) f¨ ur die konstante Funktion ϕ ≡ 1 verschwindet. (2) Der Beweis von Satz 1.21 ist nicht konstruktiv. Mit anderen Techniken kann man zeigen, daß die Konstante C in (4) proportional zum Durchmesser d := sup |x − y| x,y∈Ω

d π.

von Ω ist. Ist insbesondere Ω konvex, ergibt sich C ≤ R (3) Analoge Aussagen zu Satz 1.21 gelten f¨ ur die R¨aume {ϕ ∈ W 1,p (Ω) : Ω ϕ = 0} mit p ∈ (1, ∞).

2. Abstrakte Variationsprobleme In diesem Paragraphen erinnern wir an die abstrakten Ergebnisse des § II.5 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I”. Wegen ihrer Bedeutung f¨ ur das Folgende f¨ uhren wir diese Ergebnisse und ihre Beweise nochmals auf. 2.1 Satz: (Lax-Milgram) Seien (X, k.kX ) ein Banach Raum, l ∈ L(X, IR) ein stetiges lineares Funktional und a ∈ L2 (X, IR) eine stetige Bilinearform. Zus¨ atzlich sei a symmetrisch, d.h. a(u, v) = a(v, u) 8

∀u, v ∈ X,

und koerziv, d.h., es gibt ein α > 0 mit a(u, u) ≥ αkuk2X

∀u ∈ X.

Dann besitzt das Funktional J ∈ C 2 (X, IR) mit 1 J(u) := a(u, u) − l(u) 2 ∗ ein eindeutiges Minimum u in X. Dieses ist die eindeutige L¨ osung von a(u∗ , v) = l(v)

∀v ∈ X.

(1)

(2)

Beweis: 1. Schritt: Offensichtlich ist J ∈ C 2 (X, IR) mit DJ(u)v = a(u, v) − l(v)

∀u, v ∈ X.

Also ist jeder kritische Punkt von J eine L¨osung von (2). 2. Schritt: Seien u1 , u2 ∈ X zwei L¨osungen von (2). Dann folgt a(u1 − u2 , v) = 0 ∀v ∈ X und αku1 − u2 k2X ≤ a(u1 − u2 , u1 − u2 ) = 0. Also besitzt (2) h¨ochstens eine L¨osung. 3. Schritt: F¨ ur alle u ∈ X gilt α J(u) ≥ kuk2X − klkL(X,IR) kukX 2 1 α ≥ kuk2X − klk2L(X,IR) 4 α 1 ≥ − klk2L(X,IR) . α Also ist J nach unten beschr¨ankt. Sei ρ := inf J(u) ∈ IR u∈X

und (un )n∈IN eine Minimalfolge, d.h. ρ = lim J(un ). n→∞

Dann folgt f¨ ur n, m ∈ IN

αkun − um k2X ≤ a(un − um , un − um ) n1 o 1 1 = 8 J(un ) + J(um ) − J( (un + um )) 2 2 2 o n1 1 ≤ 8 J(un ) + J(um ) − ρ 2 2 −→ 0. n,m→∞

Also ist (un )n∈IN eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein u∗ ∈ X mit J(u∗ ) = ρ.

Also besitzt J mindestens ein Minimum. Zusammen mit den Schritten 1 und 2 folgt hieraus die Behauptung. 9

2.2 Satz: Die Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in Satz 2.1. Setze zur Abk¨ urzung A := kakL2 (X,IR) . Sei Xh ⊂ X ein endlich dimensionaler Unterraum von X. Bezeichne mit u ∈ X und uh ∈ Xh das eindeutige Minimum von J in X bzw. Xh . Dann gilt A ku − uh kX ≤ inf ku − vh kX . α vh ∈Xh Sei zus¨ atzlich H ein Hilbert Raum mit Skalarprodukt (., .)H und Norm k.kH derart, daß X ,→ H und bzgl. k.kH dicht ist in H. F¨ ur jedes ϕ ∈ H bezeichne uϕ ∈ X die eindeutige L¨ osung von a(v, uϕ ) = (ϕ, v)H ∀v ∈ X. (3) Dann gilt ku − uh kH ≤ Aku − uh kX sup

ϕ∈H kϕkH =1

inf kuϕ − vh kX .

vh ∈Xh

Beweis: Wegen Satz 2.1 besitzt J ein eindeutiges Minimum uh in Xh . Dieses ist eindeutig charakterisiert durch ∀vh ∈ Xh .

(4)

a(u − uh , vh ) = 0 ∀vh ∈ Xh .

(5)

a(uh , vh ) = l(vh ) Aus (2) und (4) folgt Hieraus ergibt sich f¨ ur jedes vh ∈ Xh

αku − uh k2X ≤ a(u − uh , u − uh )

= a(u − uh , u − vh ) + a(u − uh , vh − uh )

= a(u − uh , u − vh )

≤ Aku − uh kX ku − vh kX .

Da vh beliebig war, folgt hieraus die erste Fehlerabsch¨atzung. Wegen X ⊂ H definiert jedes ϕ ∈ H durch v → (ϕ, v)H ein stetiges lineares Funktional auf X. Wegen Satz 2.1 besitzt somit (3) eine eindeutige L¨osung uϕ ∈ X. Aus (3) und (5) folgt f¨ ur beliebiges ϕ ∈ H und beliebiges vh ∈ Xh (u − uh , ϕ)H =a(u − uh , uϕ )

=a(u − uh , uϕ − vh )

Da

≤Aku − uh kX kuϕ − vh kX .

ku − uh kH = sup (u − uh , ϕ)H ϕ∈H kϕkH =1

ist, folgt hieraus die zweite Fehlerabsch¨atzung. 10

2.3 Bemerkung: Der erste Teil von Satz 2.2 ist bekannt unter dem Namen ”Cea - Lemma”; der zweite firmiert unter dem Namen ”Dualit¨ atsargument von Aubin Nitsche”. Die Voraussetzungen der S¨atze 2.1 und 2.2 sind insbesondere f¨ ur KonvektionsDiffusions Gleichungen, die wir in den n¨achsten Paragraphen betrachten werden, zu restriktiv. Daher schw¨achen wir sie in den folgenden beiden S¨atzen entsprechend ab. c

2.4 Satz: Seien (X, k.kX ) und (Y, k.kY ) Banach R¨ aume mit X ,→ Y und a0 , a1 ∈ 2 L (X, IR) zwei stetige Bilinearformen. Die Bilinearform a0 sei symmetrisch und koerziv. F¨ ur die Bilinearform a1 gebe es eine Konstante A ∈ IR∗+ mit a1 (u, v) ≤ AkukX kvkY

∀u, v ∈ X.

(6)

Sei a := a0 + a1 ∈ L2 (X, IR), d.h. ∀u, v ∈ X.

a(u, v) := a0 (u, v) + a1 (u, v) F¨ ur alle u ∈ X\{0} gelte schließlich a(u, u) > 0.

(7)

Dann besitzen die Probleme a(u, v) = l(v)

∀v ∈ X

(8)

a(v, u) = l(v)

∀v ∈ X

(9)

und f¨ ur jedes stetige lineare Funktional l ∈ L(X, IR) jeweils eine eindeutige L¨ osung.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung nur f¨ ur Problem (8). Der Beweis f¨ ur das andere Problem ist v¨ollig analog. Sei l ∈ L(X, IR) beliebig. Wegen Satz 2.1 gibt es genau ein ul ∈ X mit a0 (ul , v) = l(v) ∀v ∈ X. Dann ist (8) ¨aquivalent zu a0 (u, v) + a1 (u, v) = a0 (ul , v)

∀v ∈ X.

Wiederum wegen Satz 2.1 gibt es zu jedem w ∈ X ein eindeutiges uw ∈ X mit a0 (uw , v) = a1 (w, v)

∀v ∈ X.

Die Zuordnung w → uw definiert eine lineare Abbildung K ∈ L(X, X), und (8) ist damit ¨aquivalent zu (Id + K)u = ul . (10) c

Wegen X ,→ Y und (6) ist K kompakt. Daher erf¨ ullt Id+K die Fredholm Alternative: Entweder besitzt (10) f¨ ur jede rechte Seite eine eindeutige L¨osung oder das zugeh¨orige homogene Problem besitzt eine nichttriviale L¨osung u 6= 0. Wegen (7) besitzt (8) mit l = 0 und damit (10) mit ul = 0 aber nur die triviale L¨osung. 11

2.5 Satz: Die Bezeichnungen und Voraussetzungen seien wie in Satz 2.4. Zus¨ atzlich sei Xh ⊂ X ein endlich dimensionaler Unterraum. Dann besitzt das Problem a(uh , vh ) = l(vh )

∀vh ∈ Xh

(11)

f¨ ur jedes l ∈ L(X, IR) eine eindeutige L¨ osung uh ∈ Xh . Die Bilinearform a sei ur zus¨ atzlich koerziv, d.h. es gibt ein β > 0 mit a(u, u) ≥ βkuk2X ∀u ∈ X. Dann gilt f¨ die eindeutigen L¨ osungen u und uh der Probleme (8) und (11) die Fehlerabsch¨ atzung ku − uh kX ≤

A inf ku − uh kX . β vh ∈Xh

(12)

Dabei ist A := kakL2 (X,IR) . Seien schließlich H, ϕ und uϕ wie in Satz 2.2. Dann gilt die Fehlerabsch¨ atzung ku − uh kH ≤ Aku − uh kX sup

ϕ∈H kϕkH =1

inf kuϕ − uh kX .

(13)

uh ∈Xh

Beweis: Die eindeutige L¨osbarkeit von (11) folgt aus Satz 2.4. Die Fehlerabsch¨atzung (12) folgt wie im Beweis von Satz 2.2. Man beachte, daß wir dort nur die zu (8) und (11) analogen Eigenschaften (2) und (4) ausgenutzt haben. Wegen X ,→ H definiert jedes ϕ ∈ H durch v → (ϕ, v)H ein stetiges lineares Funktional auf X. Daher folgt die Existenz und Eindeutigkeit von uϕ aus Satz 2.4. Die Fehlerabsch¨atzung (13) folgt dann wie im Beweis von Satz 2.2.

3. Schwache L¨ osungen Im folgenden ist Ω ⊂ IRd , d ≥ 2 eine offene beschr¨ankte Menge mit Lipschitz-Rand Γ := ∂Ω und ¨außerem Einheitsnormalenfeld n. Wir betrachten skalare, lineare, elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung. Ihre allgemeine Form lautet (vgl. § III.1 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I”) −

X

1≤i,j≤d

d ∂ ³ ∂u ´ X ∂u + αu = f in Ω. Aij + ai ∂xi ∂xj ∂x i i=1

(1)

Dabei ist f ∈ L2 (Ω), α ∈ C(Ω, IR+ ), a = (a1 , ..., ad ) ∈ C 1 (Ω, IRd ) und A = (Aij )1≤i,j≤d ∈ C 1 (Ω, IRd×d ) mit Aij (x) = Aji (x) f¨ ur alle x ∈ Ω, 1 ≤ i, j ≤ d und λ0 := inf inf

x∈Ω z∈IRd

z T A(x)z > 0. zT z

12

(2)

Sp¨ater werden wir die Glattheitsbedingungen an die Koeffizienten α, a und A abschw¨achen. Zur Vereinfachung der Notation sprechen wir im folgenden von - einer Konvektions-Diffusionsgleichung, wenn α, a und A beliebig sind, - einer Reaktions-Diffusionsgleichung, wenn a = 0 ist, - einer Membrangleichung, wenn α = 0 und a = 0 ist, - einer Poisson Gleichung, wenn α = 0, a = 0 und A = I ist. Die partielle Differentialgleichung (1) muß mit Randbedingungen versehen werden. Wir betrachten drei Typen von Randbedingungen - (homogene) Dirichlet Randbedingungen: u = 0 auf Γ, - (inhomogene) Neumann Randbedingungen: nT A∇u = g auf Γ, - gemischte Dirichlet-Neumann Randbedingungen: u = 0 auf ΓD und nT A∇u = g auf ΓN . Dabei ist g ∈ L2 (Γ), ΓD ∩ ΓN = ∅ und Γ = ΓD ∪ ΓN . Wir werden bei gemischten Randbedingungen stets fordern, daß ΓD ein positives (d − 1)-dimensionales Maß hat. Die Beschr¨ ankung auf homogene Dirichlet Randdaten ist nicht wesentlich, vereinfacht aber die Darstellung. Sei nun u ∈ C 2 (Ω) eine L¨osung von (1) mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und v ∈ C0∞ (Ω). Multiplikation von (1) mit v , Integration u ¨ber Ω und Anwenden des Gauß’schen Integralsatzes liefert Z

Ω

fv = − =

X Z

1≤i,j≤d

X Z

1≤i,j≤d

=

Z

Ω

©

Ω

Z d Z X ∂ ³ ∂u ´ ∂u v+ αuv Aij v+ αi ∂xi ∂xj ∂x i Ω Ω i=1 d

X ∂u ∂v + Aij ∂xj ∂xi i=1 Ω

Z

∂u v+ ai ∂xi Ω

Z

αuv

(3)

Ω

ª ∇uT A∇v + a · ∇uv + αuv .

Da C0∞ (Ω) dicht ist in H01 (Ω) folgt, daß u ∈ H01 (Ω) die Gleichung Z Z © T ª fv ∇u A∇v + a · ∇uv =

(4)

Ω

Ω

f¨ ur alle v ∈ H01 (Ω) erf¨ ullt. Umgekehrt folgt aus (3), daß eine L¨osung von (4) die Differentialgleichung (1) erf¨ ullt, sofern sie hinreichend glatt, d.h. in C 2 (Ω) ist. In diesem Sinne ist (4) zur Konvektions-Diffusionsgleichung (1) mit homogenen Dirichlet Randbedingungen ¨aquivalent. Betrachten wir in obigem Argument Funktionen v ∈ C ∞ (Ω), so treten in (3) R zus¨atzlich Randterme − Γ nT A∇uv auf. Erf¨ ullt u Neumann Randbedingungen, so gilt f¨ ur diesen Randterm Z Z −

Γ

nT A∇uv = − 13

gv.

Γ

R Wir werden daher in diesem Fall (4) durch den zus¨atzlichen Term Γ gv auf der ¨ rechten Seite modifizieren. Diese Uberlegungen f¨ uhren auf folgende Definition. 3.1 Definition: (1) u ∈ H01 (Ω) heißt schwache L¨ osung der Konvektions-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen, wenn f¨ ur alle v ∈ H01 (Ω) gilt Z Z © T ª ∇u A∇v + a · ∇uv + αuv = f v. Ω

Ω

1 (2) u ∈ HD (Ω) := {ϕ ∈ H 1 (Ω) : ϕ = 0 auf ΓD } heißt schwache L¨ osung der Konvektions-Diffusions Gleichung mit gemischten Randbedingungen, wenn f¨ ur alle 1 v ∈ HD (Ω) gilt Z Z Z © T ª gv. fv + ∇u A∇v + a · ∇uv + αuv = Ω

Ω

ΓN

(3) u ∈ H 1 (Ω) heißt schwache L¨ osung der Konvektions-Diffusions Gleichung mit Neumann Randbedingungen, wenn f¨ ur alle v ∈ H 1 (Ω) gilt Z Z Z © T ª ∇u A∇v + a · ∇uv + αuv = f v + gv. Ω

Ω

Γ

3.2 Bemerkung: (1) Jede klassische L¨osung von (1) ist auch eine schwache L¨ osung. Jede schwache L¨ osung, die zweimal stetig differenzierbar ist, ist eine klassische L¨ osung von (1). (2) F¨ ur schwache L¨ osungen ben¨otigen wir f¨ ur die Koeffizienten nur die Regularit¨ats∞ ∞ voraussetzungen α ∈ L (Ω), α ≥ 0, a ∈ L (Ω, IRd ), A ∈ L∞ (Ω, IRd×d ). (3) Bei inhomogenen Dirichlet Randbedingungen u = uD auf Γ bzw. ΓD muß in 1 Definition 3.1 die Bedingung u ∈ H01 (Ω) bzw. u ∈ HD (Ω) durch u ∈ uD + H01 (Ω) 1 bzw. u ∈ uD + HD (Ω) ersetzt werden. 3.3 Satz: (Existenz- und Eindeutigkeitssatz f¨ ur schwache L¨ osungen) 1 (1) Ist − 2 diva+α ≥ 0, so besitzt die Konvektions-Diffusionsgleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen eine eindeutige schwache L¨ osung. 1 (2) Ist − 2 diva + α ≥ 0 und a · n ≥ 0 auf ΓN , so besitzt die Konvektions-Diffusions Gleichung mit gemischten Randbedingungen eine eindeutige schwache L¨ osung. 1 (3) Ist α ≥ a0 > 0, − 2 diva + α ≥ 0 und a · n ≥ 0 auf Γ, so besitzt die KonvektionsDiffusions Gleichung mit Neumann Randbedingungen eine eindeutig schwache L¨ osung. R R (4) Ist α = 0, − 12 diva ≥ 0 und a · n ≥ 0 auf Γ sowie Ω f + Γ g = 0, so besitzt die Konvektions-Diffusions Gleichung mit Neumann Randbedingungen eine eindeutige R schwache L¨ osung u mit Ω u = 0. 14

Beweis: Wir wenden jeweils Satz 2.4 an. ad (1): Setze X :=H01 (Ω), Y :=L2 (Ω), Z l(v) := f v, Ω Z © T ª ∇u A∇v + αuv , a0 (u, v) := ZΩ a · ∇uv. a1 (u, v) := Ω

Aus der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung folgt

|l(v)| ≤kf k0 kvk0 ≤ kf k0 kvk1 ,

|a0 (u, v)| ≤kAkL∞ |u|1 |v|1 + kαkL∞ kuk0 kvk0 © ª ≤ max kAkL∞ , kαkL∞ kuk1 kvk1 ,

|a1 (u, v)| ≤kakL∞ |u|1 kvk0 ≤ kakL∞ kuk1 kvk0 .

Wegen α ≥ 0 und (2) ist a0 (u, u) =

Z

Ω

≥λ0

©

Z

∇uT A∇u + αu2 ∇uT ∇u

ª

Ω =λ0 |u|21 .

Wegen der Friedrich’schen Ungleichung, Satz 1.15, ist also a0 koerziv. Aus dem Gauß’schen Integralsatz und (2) folgt schließlich Z © T ª ∇u A∇u + a · ∇uu + αu2 a(u, u) = Ω Z © ª 2 a · ∇uu + αu2 ≥λ0 |u|1 + ZΩ ©1 ª =λ0 |u|21 + a · ∇(u2 ) + αu2 2 ZΩ ª © 1 =λ0 |u|21 + − diva + α u2 . 2 Ω

Also ist wegen − 21 diva + α ≥ 0 auch a koerziv. ad (2): In diesem Fall ist

1 X :=HD (Ω), Z Z l(v) := fv + Ω

15

gv. ΓN

Die anderen Gr¨oßen ¨andern sich nicht. Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und dem Spursatz, Satz 1.12, folgt |l(v)| ≤kf k0 kvk0 + kgkL2 (ΓN ) kvkL2 (ΓN ) ª © ≤ kf k0 + ckgkL2 (ΓN ) kvk1 ,

so daß l stetig ist. Die Koerzivit¨at von a0 bleibt wegen Bem. 1.16 erhalten. Bei der Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes in der Absch¨atzung von a(u, u) tritt der R zus¨atzliche Randterm ΓN n · au2 auf. Wegen n · a ≥ 0 auf ΓN ist er nicht negativ, und die Koerzivit¨at von a bleibt erhalten. ad (3): Nun ist X = H 1 (Ω). Die anderen Gr¨oßen sind wie in (2) mit Γ an Stelle von ΓN . Wegen α ≥ α0 > 0 erhalten wir a0 (u, u) ≥λ0 |u|21 + α0 kuk20

≥ min{λ0 , α0 }kuk21

und somit die Koerzivit¨at von a0 . Die anderen Absch¨atzungen ¨andern sich nicht, insbesondere gilt a(u, u) ≥ 0 f¨ ur alle u ∈ X. ad (4): Alle Gr¨oßen sind wie in (3). Wegen α = 0 erhalten wir a0 (u, u) ≥ λ0 |u|21 . Hieraus und aus der Poincar´e’schen Ungleichung, Satz 1.21, folgt die Koerzivit¨at von R ur alle u ∈ X a0 auf V := {ϕ ∈ H 1 (Ω) : Ω ϕ = 0}. Die Absch¨atzung a(u, u) ≥ 0 f¨ bleibt g¨ ultig, ebenso die Stetigkeit von a0 und a1 . Lediglich bei der Stetigkeit von l ur die Stetigkeit von l die Inklusion ist Sorgfalt geboten. Da V ∼ = H 1 (Ω)/IR ist, muß f¨ R R IR ⊂ kerl gelten. Dies ist aber wegen Ω f + Γ g = 0 der Fall.

3.4 Bemerkung: (1) Im Fall der Reaktions-Diffusions Gleichung, d.h. a = 0, reduzieren sich die Voraussetzung von Satz 3.3 auf α ≥ α0 > 0 bei Teil (3) und auf R R α = 0, Ω f + Γ g = 0 bei Teil (4). (2) Gelegentlich treten auch sog. Robin Randbedingungen der Form βu + nT A∇u = R R gR auf ΓR ⊂ Γ auf. In diesem Fall muß l duch ΓR gR v und a0 durch ΓR βuv erg¨anzt werden. Die Koerzivit¨at von a0 bleibt erhalten, wenn entweder β ≥ 0 und ΓD 6= ∅ oder β ≥ β0 > 0 ist.

Das folgende Beispiel, das wir schon in § III.1 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I” kennengelernt haben, zeigt, daß wir eine Regularit¨atsaussage der Form u ∈ H 2 f¨ ur schwache L¨osungen nur unter zus¨atzlichen Annahmen an den Rand Γ erwarten k¨onnen.

16

3.5 Beispiel:

Sei 0 < α < 2π und Ωα das Kreissegment

Ωα := {x ∈ IR2 : x = (r cos ϕ, r sin ϕ), 0 < r < 1, 0 < ϕ < α}. Definiere die Funktion v : Ωα → IR durch π v(x) := rπ/α sin( ϕ) α

x = (r cos ϕ, r sin ϕ).

Dann gilt f¨ ur jedes x ∈ Ωα 1 ∂2v 1 ∂ ∂v = 0. (r ) + 2 ∆v(x) = r ∂r ∂r r ∂ϕ2 Sei w ∈ C0∞ (IR2 , IR) mit 2 supp w ⊂ B(0, ) 3

und

1 w = 1 auf B(0, ). 3

Definiere u := wv

,

f := ∆[(1 − w)v].

Dann gilt −∆u = f

in Ωα

u = 0 auf ∂Ωα .

Offensichtlich ist (1 − w)v ∈ C ∞ (IR2 , IR) und somit f ∈ C ∞ (Ωα ). Ebenso ist u ∈ C ∞ (Ωα ). Wegen u = v in B(0, 31 ) gilt aber u∈ / C ∞ (Ωα ). Wie man leicht nachrechnet gilt u ∈ C k (Ωα ) ⇐⇒ 0 < α ≤ und Dk u ∈ L2 (Ωα ) ⇐⇒ 0 < α <

π k

,k ≥ 1

π k−1

, k ≥ 2.

Wir k¨onnen also bei gegebenem α i.a. keine Absch¨atzung der Form kukC k+2 (Ωα ) ≤ ck kf kC k (Ωα ) oder ku H k+2 (Ωα ) ≤ c0k kf kH k (Ωα ) erwarten, wie sie f¨ ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen gelten w¨ urde.

17

3.6 Satz: (Regularit¨ atssatz) Sei Γ eine C 1 -Mannigfaltigkeit oder Ω konvex und f ∈ L2 (Ω). Bei gemischten oder Neumann Randbedingungen gebe es eine Funktion ug in H 2 (Ω) mit g = γ0 (ug ) := ug |ΓN . Dann gilt f¨ ur die schwache L¨ osung u der Konvektions-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet oder gemischten oder Neumann Randbedingungen die Regularit¨ atsaussage u ∈ H 2 (Ω) und die a priori Absch¨ atzung © ª kuk2 ≤ c kf k0 + kug k2 . Die Konstante c h¨ angt nur von Ω und den Koeffizienten α, a und A ab.

Beweis: J. Neˇcas: Les M´ethodes directes en th´eorie des Equations Elliptiques. Masson, 1967 oder D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer, 1983.

4. Eindimensionale lineare Elemente Zur Motivation erinnern wir in diesem Paragraphen kurz an die Ergebnisse von § II.5 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I”. Dort haben wir Finite Element Methoden f¨ ur die eindimensionale Konvektions-Reaktions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen auf Ω := (0, 1) kennengelernt. Im Rahmen von § 2 ist X =H01 ((0, 1)), Z 1 l(v) = f v, a(u, v) =

Z

0

0

1©

ª Au0 v 0 + αuv .

Sei Th := {Ij : 0 ≤ j ≤ n} mit Ij := [xj , xj+1 ] und 0 = x0 < x1 < ... < xn+1 = 1 eine Unterteilung von [0, 1] in n + 1 Teilintervalle. Setze hj := xj+1 − xj

,0 ≤ j ≤ n

und h := max hj . 0≤j≤n

Im Rahmen von Satz 2.1 setzen wir 1,0 Xh := Sh,0 := {ϕ ∈ C([0, 1]) : ϕ|Ij ∈ IP1

∀0 ≤ j ≤ n, ϕ(0) = ϕ(1) = 0}.

Eine Basis von Xh ist gegeben durch die Funktionen v1 , ..., vn mit  ur x ≤ xi−1 oder x ≥ xi+1 ,  0x−xi−1 f¨ f¨ ur xi−1 ≤ x ≤ xi , vi (x) = hi−1  xi+1 −x f¨ ur xi ≤ x ≤ xi+1 . hi 18

Das diskrete Problem ∀uh ∈ Xh

a(uh , vh ) = l(vh )

ist dann ¨aquivalent zu einem linearen Gleichungssystem im IRn mit einer symmetrischen, positiv definiten Tridiagonalmatrix. Aus Satz 2.1 folgt, daß der Fehler u − uh zwischen der schwachen L¨osung u und der Finite Element L¨osung uh durch den Approximationsfehler inf ku − vh k1

vh ∈Xh

kontrolliert wird. In Satz II.5.14 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I” haben wir gezeigt, daß √ √ inf ku − vh k1 ≤ 2 inf |u − vh |1 ≤ 2h|u|2 (1) vh ∈Xh

vh ∈Xh

ist. Mit Satz 2.1 folgt hieraus sofort die Fehlerabsch¨atzung ku − uh k0 + h|u − uh |1 ≤ ch2 |u|2 f¨ ur die schwache L¨osung u und ihre Finite Element Approximation uh . Der Beweis von (1) beruhte auf der Friedrich’schen Ungleichung angewandt auf den Interpolationsfehler u − Ih u. Dabei ist Ih u ∈ Xh bestimmt durch die Interpolationsbedingungen ∀0 ≤ i ≤ n + 1.

Ih u(xi ) = u(xi )

Fassen wir noch einmal die wesentlichen Schritte zusammen: (1) Konstruktion einer Unterteilung Th von Ω in einfache Teilgebiete. (2) Konstruktion eines Finite Elemente Raumes Xh , der aus ”einfachen” Funktionen auf den Teilgebieten in Th besteht. (3) Konstruktion einer Basis von Xh , die auf Funktionen mit m¨oglichst kleinem Tr¨ager besteht. (4) Absch¨atzung des Interpolationsfehlers.

5. Bilineare Rechteckselemente Im folgenden bezeichnet Ω ⊂ IR2 ein zusammenh¨angendes Polygon mit achsenparallelen Kanten. Wir betrachten zun¨achst die Reaktion-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen. Im Rahmen von § 2 ist gem¨aß § 3 X =H01 (Ω) Z l(v) = fv Ω Z © T ª a(u, v) = ∇u A∇v + αuv . Ω

19

Sei Th = {Ki : 1 ≤ i ≤ mh } eine Zerlegung von Ω in achsenparallele Rechtecke, so daß je zwei Rechtecke entweder disjunkt sind oder einen Eckpunkt oder eine Kante gemeinsam haben (Zul¨ assigkeit). F¨ ur K ∈ Th bezeichnet hK die l¨angste Kante. Setze h := max hK . K∈Th

Die Eckpunkte der Rechtecke bezeichnen wir mit Nh ; Nh,Ω sind die Eckpunkte im Innern von Ω. Wir numerieren zun¨achst die Punkte in Nh,Ω von 1 bis nh und anschließend die Punkte in Nh \Nh,Ω , die alle auf dem Rand Γ liegen, von nh + 1 bis nh . Sei Q1 := span{1, x1 , x2 , x1 x2 } der Raum aller Polynome in zwei Variablen, die in jeder Variablen h¨ochstens den Grad 1 haben. Im Rahmen von Satz 2.1 setzen wir Xh := {ϕ ∈ C(Ω) : ϕ|K ∈ Q1

∀K ∈ Th , ϕ = 0 auf Γ}.

Man u ¨berlegt sich leicht, daß f¨ ur jedes achsenparallele Rechteck K und jedes Polynom p ∈ Q1 das Polynom eindeutig bestimmt wird durch seine Werte in den vier Eckpunkten von K. Da die Einschr¨ankung von p auf eine beliebige Kante von K ein lineares Polynom einer Ver¨anderlichen ist, folgt außerdem, daß f¨ ur je zwei achsenparallele Rechtecke K1 , K2 , die eine Kante E gemeinsam haben, und je zwei Polynome p1 , p2 ∈ Q1 die Funktion ½ p1 auf K1 ϕ := p2 auf K2

genau dann stetig ist, wenn p1 und p2 in den Eckpunkten von E u ¨bereinstimmen. Daher sind die Funktionen in Xh eindeutig bestimmt durch ihre Werte in den Punkten von Nh,Ω . Insbesondere ist dim Xh = nh . Wir wollen nun eine Basis f¨ ur Xh konstruieren. Sei dazu z0 ∈ Nh,Ω beliebig. Definiere zwei Funktionen einer Ver¨anderlichen wie in § 4 durch  falls x1 ≤ z0,1 − hW oder x1 ≥ z0,1 + hE ,   0x −z +h 1 0,1 W falls z0,1 − hW ≤ x1 ≤ z0,1 , ϕz0 (x1 ) := hW   z0,1 +hE −x1 falls z ≤ x ≤ z + h hE

und

ψz0 (x2 ) :=

   0x

2 −z0,2 +hS

h

S   z0,2 +hN −x2

hN

0,1

1

0,1

E

falls x2 ≤ z0,2 − hS oder x2 ≥ z0,2 + hN , falls z0,2 − hS ≤ x2 ≤ z0,2 , falls z0,2 ≤ x2 ≤ z0,2 + hN .

Dabei bezeichnen hE , hW , hN , hS die L¨angen der Kanten, die von z0 in die vier Himmelsrichtungen ausgehen. Offensichtlich sind die Funktionen ϕz0 und ψz0 stetig und st¨ uckweise linear. Daher ist vz0 (x1 , x2 ) := ϕz0 (x1 )ψz0 (x2 ) ∈ Xh 20

und Xh = span{vz : z ∈ Nh,Ω }. Man beachte, daß der Tr¨ager von vz genau aus den vier Rechtecken besteht, die den Knoten z gemeinsam haben. Jedes uh ∈ Xh l¨aßt sich eindeutig darstellen als X uh = µz vz , z∈Nh,Ω

und es ist ∀z ∈ Nh,Ω .

µz = uh (z) Daher ist das diskrete Problem a(uh , vh ) = l(vh )

∀vh ∈ Xh

(1)

a¨quivalent zu einem linearen Gleichungssystem mit nh Gleichungen und Unbekannten. Die Unbekannten sind genau die Werte von uh in den Gitterpunkten. Die Matrix des LGS heißt (System-) Steifigkeitsmatrix. Wegen der Symmetrie von a ist die Steifigkeitsmatrix symmetrisch. Wegen der Koerzivit¨at von a ist die Steifigkeitsmatrix positiv definit. Da die Tr¨ager der Basisfunktionen vz aus jeweils vier Rechtecken bestehen, hat die Steifigkeitsmatrix h¨ochstens 9 von Null verschiedene Eintr¨age pro Zeile, d.h., sie ist d¨ unn besetzt. Da die Unbekannten des zu (1) ¨aquivalenten LGS die Werte von uh in den Gitterpunkten sind, kann man (1) auch als ein Differenzenverfahren interpretieren. Dies gibt dann auch einen Einblick in die Struktur der Steifigkeitsmatrix. Wir betrachten hierzu den einfachsten Spezialfall der Poisson Gleichung auf einem ¨aquidistanten Gitter, d.h., α = 0, A = I und alle Kanten haben die L¨ange h. F¨ ur jedes p ∈ Q1 sind die ∂p ∂p partiellen Ableitungen ∂x1 und ∂x2 offensichtlich lineare Funktionen allein der Variablen x2 bzw. x1 . Daher ist f¨ ur alle uh , vh ∈ Xh der Ausdruck ∇uTh ∇vh st¨ uckweise von der Form αϕ(x1 ) + βψ(x2 ) mit α, β ∈ IR und ϕ, ψ ∈ IP2 . Da die eindimensionale Simpson Regel die Ordnung 3 hat, folgt aus dem Satz von Fubini, daß ein Ausdruck R der Form K ∇uTh ∇vh durch die zweidimensionale Simpsonregel Z

mit

2 2 h 1 h2 X X j i ϕ∼ αi,j ϕ(z1 + h1 , z2 + h2 ) 36 i=0 j=0 2 2 K

α0,0 = α0,2 = α2,0 = α2,2 = 1, α0,1 = α1,0 = α2,1 = α1,2 = 4, α1,1 = 16 21

exakt integriert wird (vgl. Bsp. II.1.3 (3) der Vorlesung ”Einf¨ uhrung in die Numerik”). Hierbei ist K ein achsenparalleles Rechteck mit Kantenl¨angen h1 und h2 und unterer linker Ecke z. Seien p ∈ Q1 und pµ,ν := p(z1 + µh1 , z2 + νh2 ), µ, ν ∈ {0, 1}, die Werte von p in den Eckpunkten von K. Dann sind die Werte von ∇p in den Eckpunkten von K gegeben durch µ

1 h1 [p1,1 1 h2 [p0,1

− p0,1 ] − p0,0 ]

¶

µ

1 h1 [p1,1 1 h2 [p1,1

− p0,1 ] − p1,0 ]

¶

µ

1 h1 [p1,0 1 h2 [p0,1

− p0,0 ] − p0,0 ]

¶

µ

1 h1 [p1,0 1 h2 [p1,1

− p0,0 ] − p1,0 ]

¶

.

Die Werte in den restlichen Knoten obiger Quadraturformel ergeben sich durch lineare R ¨ ur alle z ∈ Nh,Ω an, Interpolation. Wenden wir diese Uberlegungen auf Ω ∇uTh ∇vz f¨ so erhalten wir f¨ ur eine Unterteilung in Quadrate, d.h. h1 = h2 = h, Z

Ω

∇uTh ∇vz

=

mit β0,0 =

1 1 X X

βi,j uh (z1 + ih, z2 + jh)

i=−1 j=−1

8 3

βµ,ν = −

1 3

∀(µ, ν) 6= (0, 0).

Dies liefert die gew¨ unschte Darstellung der linken Seite von (1) als Differenzenverfahren. Sei nun u ∈ H01 (Ω) die eindeutige schwache L¨osung der Reaktions-Diffusions Gleichung und uh ∈ Xh die eindeutige L¨osung von (1). Gem¨aß Satz 2.1 kann der Fehler |u − uh |1 durch den Approximationsfehler inf |u − vh |1 abgesch¨atzt werden. vh ∈Xh

Um diesen Approximationsfehler zu kontrollieren, betrachten wir wie in § 4 einen geeigneten Interpolationsoperator Ih : C(Ω) → Xh . Dieser ist definiert durch Ih u ∈ Xh und (Ih u)(z) = u(z) oder ¨aquivalent Ih u =

X

∀z ∈ Nh

u(z)vz .

z∈Nh,Ω

5.1 Satz:

F¨ ur alle v ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) gilt die Interpolationsfehlerabsch¨ atzung h |v − Ih v|1 ≤ √ |v|2 . 3 22

Beweis: Sei zun¨achst h > 0 und ih : C([0, h], IR) → IP1 der lineare Interpolationsoperator in den Punkten 0 und h. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und partieller Integration erhalten wir f¨ ur alle ϕ ∈ C 2 ([0, h], IR) und alle t ∈ IR Z t ϕ0 (s)ds ϕ(t) =ϕ(0) + 0 Z t 0 sϕ00 (s)ds =ϕ(0) + tϕ (t) − 0

und ϕ(t) =ϕ(h) −

Z

h

ϕ0 (s)ds

t 0

=ϕ(h) − (h − t)ϕ (t) −

Z

h h

(h − s)ϕ00 (s)ds.

Multiplikation der ersten Gleichung mit h−t h und der zweiten Gleichung mit anschließende Addition der resultierenden Gleichungen liefert h−t ϕ(t) =ih ϕ(t) + h h−t =ih ϕ(t) − h

Z Z

t 0 t 0

t ϕ (s)ds − h 0

Z

t sϕ (s)ds − h 00

h

t h

ϕ0 (s)ds

und

(2)

t

Z

h t

(h − s)ϕ00 (s)ds

(3)

Sei nun v ∈ C0∞ (Ω) und K ein achsenparalleles Rechteck mit Kantenl¨angen h1 und h2 . Durch Translation des Koordinatensystems k¨onnen wir erreichen, daß o.E. K = [0, h1 ] × [0, h2 ] ist. Anwenden der Gleichung (3) auf die Variable x liefert f¨ ur alle (x, y) ∈ K h1 − x v(x, y) = (ih v(., y))(x) − h1

Z

x 0

x ∂2 s 2 v(s, y)ds − ∂x h1

Z

h1 x

(h1 − s)

∂2 v(s, y)ds. ∂x2

Wenden wir Gleichung (2) f¨ ur festes x auf die Variable y und ϕ(y) := (ih v(., y))(x) an, erhalten wir weiter (ih v(., y))(x) =

y h 1 − x n h2 − y v(0, 0) + v(0, h2 ) h1 h2 h2 Z y Z h2 o h2 − y ∂ y ∂ + v(0, t)dt − v(0, t)dt h2 h2 y ∂y 0 ∂y n y x h2 − y v(h1 , 0) + v(h1 , h2 ) + h1 h2 h2 Z y Z h2 o h2 − y y ∂ ∂ + v(h1 , t)dt − v(h1 , t)dt h2 h2 y ∂y 0 ∂y 23

Z Z h2 y ∂ h2 − y y ∂ v(0, t)dt − v(0, t)dt =Ih v(x, y) + h2 h2 y ∂y 0 ∂y Z o x h2 − y y n ∂ ∂ + v(h1 , t) − v(0, t) dt h1 h2 ∂y ∂y 0 Z h2 n o x y ∂ ∂ − v(h1 , t) − v(0, t) dt. h1 h2 y ∂y ∂y

Da f¨ ur alle t ∈ [0, h2 ]

Z h1 ∂2 ∂ ∂ v(h1 , t) − v(0, t) = v(s, t)ds ∂y ∂y ∂x∂y 0 ist, erhalten wir insgesamt die Darstellung Z Z h2 ∂ y h2 − y y ∂ v(0, t)dt − v(0, t)dt v(x, y) = Ih (x, y) + h2 h2 y ∂y 0 ∂y Z Z x h2 − y y h 1 ∂ 2 + v(s, t)dsdt h1 h2 ∂x∂y 0 0 Z h2 Z h1 ∂2 x y v(s, t)dsdt − h1 h2 y ∂x∂y 0 Z h1 − x x ∂ 2 s 2 v(s, y)ds − h1 ∂x 0 Z h1 x ∂2 − (h1 − s) 2 v(s, y)ds. h1 x ∂x Differentiation bzgl. x liefert Z h1 Z y h2 − y ∂ 2 1 ∂ (v − Ih v)(x, y) = v(s, t)dsdt ∂x h1 0 h2 ∂x∂y 0 Z h1 Z h2 1 y ∂2 − v(s, t)dsdt h1 0 h2 ∂x∂y y Z x ∂2 1 s v(s, y)ds + h1 0 ∂x2 Z h1 1 ∂2 − (h1 − s) 2 v(s, y)ds h1 x ∂x Z h1 Z h2 ∂2v 1 (s, t)dsdt K1 (t, y) = h1 0 ∂x∂y 0 Z h1 1 ∂2v + K2 (s, x) 2 (s, y)ds h1 0 ∂x mit ( h2 −y f¨ ur 0 ≤ t < y h2 K1 (t, y) := y f¨ ur y < t ≤ h2 − h2 ( s f¨ ur 0 ≤ s < x . K2 (s, x) := −(h1 − s) f¨ ur x < s ≤ h1 24

Quadrieren dieser Identit¨at und Anwenden der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung ergibt ∂ | (v − Ih v)(x, y)|2 ∂x Z h1 Z h2 Z h1 Z h2 2 ∂2v 2 ≤ 2 | |K1 (t, y)| dsdt (s, t)|2 dsdt h1 0 ∂x∂y 0 0 0 Z h1 Z h1 2 ∂ v 2 |K2 (s, x)|2 ds | 2 (s, y)|2 ds. + 2 h1 0 ∂x 0 Integration u ¨ber K liefert Z ∂ | (v − Ih v)|2 K ∂x Z h1 Z h2 Z h1 Z h2 2 ∂2v 2 ≤ 2 k 2 |K1 (t, y)|2 dsdtdxdyk h1 0 ∂x∂y L (K) 0 0 0 Z h1 Z h1 ∂2v 2 2 2 |K2 (s, x)| dsdxk 2 kL2 (K) . + 2 h1 0 ∂x 0 Offensichtlich ist

2 h21 Z =2 =2

Z

Z

h1

0 h2

0 h2 0

Z

Z

h2

0 h2

0

Z

h1 0

Z

h2 0

|K1 (t, y)|2 dsdtdxdy

|K1 (t, y)|2 dtdy

1 1 y(h2 − y)2 + 2 (h2 − y)y 2 dy 2 h2 h2

Z h2 2 = y(h2 − y)dy h2 0 1 = h22 3 und 2 h21

Z Z

h1 0 h1

Z

h1 0

|K2 (s, x)|2 dsdx

1 3 1 2 x + (h1 − x)3 dx 2 h1 0 3 3 n 2 1 4 1 4o h + h = 2 3h1 4 1 4 1 1 = h21 . 3 Insgesamt haben wir also die Absch¨atzung =

h22 ∂ 2 v 2 h21 ∂ 2 v 2 ∂ 2 k 2 + k 2 kL2 (K) k (v − Ih v)kL2 (K) ≤ k ∂x 3 ∂x∂y L (K) 3 ∂x o 2n 2 h ∂ v 2 ∂2v ≤ k kL2 (K) + k 2 k2L2 (K) . 3 ∂x∂y ∂x 25

Vertauschen wir die Rollen von x und y, so erhalten wir mit der gleichen Rechnung k

o h2 n ∂ 2 v 2 ∂2v ∂ k (v − Ih v)kL2 (K) ≤ kL2 (K) + k 2 k2L2 (K) ∂y 3 ∂x∂y ∂y

Addition dieser beiden Absch¨atzungen und Summation u ¨ber alle Rechtecke beweist wegen ∂2v ∂2v 2 ∂2v |v|22 = k 2 k20 + 2k k0 + k 2 k20 ∂x ∂x∂y ∂y und Definition 1.9 die Behauptung. Aus Satz 2.2, Satz 3.6 und Satz 5.1 folgt unmittelbar die folgende Fehlerabsch¨atzung. 5.2 Satz: Seien u ∈ H01 (Ω) die schwache L¨ osung der Reaktions-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und uh ∈ Xh die L¨ osung des diskreten Problems (1). Es sei u ∈ H 2 (Ω). Dann gilt |u − uh |1 ≤ c1 h|u|2 . Ist Ω zus¨ atzlich konvex, so ist ku − uh k0 ≤ c2 h2 |u|2 . Die Konstanten c1 und c2 h¨ angen nur von Ω und den Koeffizienten α und A ab. 5.3 Bemerkung: (1) Bei inhomogenen Dirichlet Randbedingungen u = uD auf Γ sucht man die L¨ osung uh von (1) statt in Xh in Ih uD + Xh , d.h. man setzt uh in der Form X X uD (z)vz µz vz + uh = z∈Nh,Ω

z∈Nh \Nh,Ω

mit unbekannten Koeffizienten µz an. Satz 5.2 bleibt g¨ ultig. (2) Bei gemischten oder Neumann Randbedingungen muß man analog zu Definition R ultig. 3.1 die rechte Seite von (1) durch ΓN gv erg¨anzen. Satz 5.2 bleibt g¨ (3) Unter den Voraussetzungen von Satz 3.3 gilt Satz 5.2 auch f¨ ur KonvektionsDiffusionsgleichungen (die Bilinearform a muß nat¨ urlich wie in § 3 beschrieben angepaßt werden). Die Konstanten c1 und c2 verhalten sich dann im wesentlichen wie λ−1 ur 0 max{kAkL∞ , kakL∞ , kαkL∞ }, wobei λ0 wie in Gleichung (2) von § 3 ist. F¨ Diffusions-dominante Probleme, d.h. kakL∞ ∼ kAkL∞ ∼ λ0 , ist diese Absch¨atzung gut. F¨ ur Konvektions-dominante Probleme, d.h. kAkL∞ ∼ λ0 << kakL∞ , ist sie dagegen unbrauchbar. Außerdem entspricht die Diskretisierung in (1) einer zentralen Differenzendiskretisierung des Konvektionstermes a · ∇u. Daher treten bei der numerischen L¨osung uh unphysikalsiche Oszillationen auf, wenn die P´ eclet-Zahl 26

achsten Paragraphen beschreiben wir f¨ ur diesen Fall eine λ−1 0 kakL∞ h groß ist. Im n¨ Modifikation von (1), die die genannten Schwierigkeiten vermeidet und die auch auf Rechteckselemente angewendet werden kann (vgl. (5) in § 6 und Satz 6.5 ff.).

6. Lineare Dreieckselemente Im folgenden bezeichnet |.| die euklidische Norm auf dem IRd und |||.||| die zugeh¨orige Matrixnorm. Ω ⊂ IR2 ist ein offenes, beschr¨anktes, zusammenh¨angendes Gebiet mit polygonalem Rand Γ. Wie in § 5 betrachten wir zun¨achst die Reaktions-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und setzen im Rahmen von §2 X :=H01 (Ω), Z f v, l(v) := Ω Z a(u, v) := {∇uT A∇v + αuv}. Ω

Sei Th = {Ki : 1 ≤ i ≤ mh } eine Unterteilung von Ω in Dreiecke, derart daß je zwei Dreiecke entweder disjunkt sind oder einen Eckpunkt oder eine Kante gemeinsam haben (Zul¨ assigkeit). F¨ ur jedes K ∈ Th bezeichnen wir mit hK den Durchmesser von K und mit ρK den Durchmesser des gr¨oßten in K eingeschriebenen Kreises. Die Dreiecke sollen vergleichbare Gr¨oße haben, d.h. hK /ρK soll unabh¨angig von K und h durch eine Konstante cT nach oben beschr¨ankt sein (Regularit¨ at). Dies ist ¨aquivalent zu der Bedingung, daß der kleinste Winkel aller Dreiecke gleichm¨aßig von Null weg beschr¨ankt sein soll (Winkelbedingung). Setze h := max hK . K∈Th

F¨ ur K ∈ Th bezeichnen wir die Eckpunkte mit zK,1 , ..., zK,3 . Dabei soll aus praktischen Gr¨ unden die Numerierung so sein, daß der Rand von K im mathematisch positiven Sinn durchlaufen wird, wenn die zK,i in aufsteigender Reihenfolge durchlaufen werden. Die Menge aller Eckpunkte der Dreiecke bezeichnen wir wieder mit Nh ; Nh,Ω sind wieder die Eckpunkte im Innern von Ω. Wir numerieren die Punkte in Nh,Ω zun¨achst von 1 bis nh und anschließend die Punkte in Nh \Nh,Ω , die auf dem Rand Γ liegen, von nh + 1 bis nh . Im Rahmen von Satz 2.1 setzen wir Xh := {ϕ ∈ C(Ω) : ϕ|K ∈ IP1

∀K ∈ Th , ϕ = 0 auf Γ}.

Da eine Ebene im IR3 durch drei nicht kolineare Punkte eindeutig bestimmt ist, ist f¨ ur jedes K ∈ Th und jedes p ∈ IP1 das Polynom p eindeutig bestimmt durch seine 27

Werte in den drei Eckpunkten von K. Da die Einschr¨ankung von p auf eine beliebige Kante eine lineare Funktion einer Ver¨anderlichen ist, folgt außerdem, daß f¨ ur je zwei Dreiecke K1 , K2 , die eine Kante E gemeinsam haben, und f¨ ur je zwei Polynome p1 , p2 ∈ IP1 die Funktion ½ p1 auf K1 ϕ := p2 auf K2 genau dann stetig ist, wenn p1 und p2 in den Eckpunkten von E u ¨bereinstimmen. Daher sind die Funktionen in Xh eindeutig bestimmt durch ihre Werte in den Punkten von Nh,Ω . Insbesondere ist dim Xh = nh .

Wir wollen nun eine Basis f¨ ur Xh konstruieren. Sei dazu K ∈ Th beliebig. F¨ ur i ∈ {1, 2, 3} definieren wir die Funktion λK,i durch λK,i (x) :=

det(zK,i+1 − x, zK,i+2 − zK,i+1 ) . det(zK,i+1 − zK,i , zK,i+2 − zK,i )

(1)

Dabei sind die Indizes i + 1 und i + 2 modulo 3 zu interpretieren, d.h. 4 ↔ 1, 5 ↔ 2 usw.. Die Funktionen λK,1 , ..., λK,3 heißen die Schwerpunktskoordinaten von K . Sie haben offensichtlich folgende Eigenschaften λK,i ∈ IP1 ,

λK,i (zK,j ) = δij ,

(2)

λK,1 + λK,2 + λK,3 = 1. Man beachte, daß 12 det(zK,i+1 − zK,i , zK,i+2 − zK,i ) f¨ ur alle i ∈ {1, 2, 3} die Fl¨ache von K angibt. F¨ ur beliebiges z ∈ Nh definieren wir ωz :=

[

K

K∈Th z∈K

und vz (x) :=

½

0 λK,i (x)

falls x 6∈ ωz falls x ∈ K ⊂ ωz und z = zK,i .

Offensichtlich sind die Funktionen vz stetig, st¨ uckweise linear, haben den Wert 1 im Punkt z und verschwinden in allen anderen Punkten von Nh . Daher ist Xh = span{vz : z ∈ Nh }. Man beachte, daß ωz genau aus den Dreiecken besteht, die den Punkt z als Eckpunkt haben. Die Funktionen vz heißen nodale Basis von Xh . 28

Jedes uh ∈ Xh l¨aßt sich eindeutig darstellen als uh =

X

µz v z

z∈Nh

und es ist µz = uh (z). Daher ist das diskrete Problem a(uh , vh ) = l(uh )

∀vh ∈ Xh

(3)

a¨quivalent zu einem linearen Gleichungssystem mit nh Gleichungen und Unbekannten. Wie in § 5 ist die Steifigkeitsmatrix symmetrisch, positiv definit und d¨ unn besetzt. Da die Unbekannten des zu (3) ¨aquivalenten LGS die Werte von uh in den Gitterpunkten Nh sind, kann (3) wieder als ein Differenzenverfahren interpretiert werden. Um einen Eindruck u ¨ber die Struktur dieses Differenzenverfahrens zu erhalten, betrachten wir den einfachsten Spezialfall der Poisson Gleichung auf einer sog. Courant Triangulierung. Diese besteht aus gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken mit Katheten der L¨ange h parallel zu den Koordinatenachsen und Hypotenusen parallel zu einer festen Richtung (dies ist entweder die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten oder diejenige des 2. und 4. Quadranten). Seien K ein Dreieck der TrianR gulierung und uh , vh ∈ Xh . Man u ¨berlegt sich leicht, daß der Ausdruck K ∇uTh ∇vh translations- und rotationsinvariant ist. Daher ist K o.E. das Dreieck mit den Eckpunkten z1 := (0, 0), z2 := (h, 0) und z3 := (0, h). Setze ui := uh (zi ), vi := vh (zi ). Da uh und vh linear sind, sind ihre Gradienten konstant auf K und haben den Wert  1  1 h (u2 − u1 ) h (v2 − v1 )  , ∇vh =  . ∇uh =  1 1 h (u3 − u1 ) h (v3 − v1 ) Daher ist

Z

K

∇uTh ∇vh =

ª 1© (u2 − u1 )(v2 − v1 ) + (u3 − u1 )(v3 − v1 ) . 2

Hieraus folgt mit leichter Rechnung, daß die linke Seite von (3) dem Differenzenschema 4uh (z) − uh (z + he1 ) − uh (z − he1 ) − uh (z + he2 ) − uh (z − he2 ) entspricht. Dabei ist z ∈ Nh,Ω beliebig, und e1 , e2 sind die kanonischen Einheitsvektoren des IR2 . 29

Zur Absch¨atzung des Fehlers der Finite Element Diskretisierung (3) definieren wir wie in § 5 einen Interpolationsoperator Ih : C(Ω) → Xh durch Ih u ∈ Xh und (Ih u)(z) = u(z) oder ¨aquivalent Ih u =

X

∀z ∈ Nh,Ω

u(z)vz .

z∈Nh,Ω

ˆ mit Bei der Analyse des Interpolationsfehlers spielt das Referenzelement K den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (0, 1) eine ausgezeichnete Rolle. Jedes K ∈ Th ist affin ˆ D.h., es gibt eine regul¨are Matrix BK ∈ IR2×2 und einen Vektor ¨ aquivalent zu K. bK ∈ IR2 , so daß die affine Transformation FK :IR2 → IR2

(4)

x ˆ → BK x ˆ + bk

ˆ bijektiv auf das Dreieck K abbildet. O.E. k¨onnen wir dabei annehmen, das Dreieck K daß FK orientierungstreu ist. Wir sch¨atzen zun¨achst den Interpolationsfehler auf dem Referenzelement ab. ˆ → IP1 den linearen Interpolationsoperator zu 6.1 Satz: Bezeichne mit π ˆ : C(K) ˆ Dann gilt f¨ ˆ die Fehlerabsch¨ den Eckpunkten von K. ur alle v ∈ H 2 (K) atzung |v − π ˆ v|H 1 (K) ˆ ≤ 2.5|v|H 2 (K) ˆ . ˆ ,→ C(K). ˆ Daher ist π ˆ Beweis: Gem¨aß Bem. 1.20 (5) gilt H 2 (K) ˆ v f¨ ur v ∈ H 2 (K) ˆ dicht ist in H 2 (K), ˆ reicht es, ein bewohldefiniert. Da gem¨aß Satz 1.6 (2) C ∞ (K) ˆ zu betrachten. Da π liebiges v ∈ C ∞ (K) ˆ v linear ist, ist ∇(ˆ π v) konstant und ∇(ˆ π v) =

µ

v(1, 0) − v(0, 0) v(0, 1) − v(0, 0)

¶

.

ˆ gilt daher F¨ ur beliebiges (x, y) ∈ K ∂ ∂v (x, y) − (ˆ π v)(x, y) ∂x ∂x ∂v = (x, y) − {v(1, 0) − v(0, 0)} ∂x Z 1 ∂v ∂v (s, 0)ds = (x, y) − ∂x 0 ∂x Z 1n o ∂v ∂v (x, y) − (s, 0) ds = ∂x ∂x 0 30

Z xn Z xn o o ∂v ∂v ∂v ∂v (x, y) − (s, y) ds + (s, y) − (s, 0) ds = ∂x ∂x ∂x ∂x 0 0 Z 1n Z 1n o o ∂v ∂v ∂v ∂v (x, y) − (x, 1 − s) ds + (x, 1 − s) − (s, 1 − s) ds + ∂x ∂x ∂x ∂x x x Z 1n o ∂v ∂v (s, 1 − s) − (s, 0) ds + ∂x ∂x x Z xZ y 2 Z xZ x 2 ∂ v ∂ v (σ, y)dσds + (s, t)dtds = 2 0 0 ∂x∂y 0 s ∂x Z 1Z s 2 Z 1Z y ∂ v ∂2v (σ, 1 − s)dσds (x, t)dtds − + 2 x x ∂x x 1−s ∂x∂y Z 1 Z 1−s 2 ∂ v + (s, t)dtds ∂x∂y x 0 5 X =: Ii (x, y). i=1

Quadrieren und integrieren dieser Gleichung liefert wegen der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung f¨ ur endliche Summen die Absch¨atzung Z ¯ 5 Z ° ∂ °2 ¯2 X ∂ ° ° ¯ ¯ ∂v = ˆ v)° 2 − (ˆ π v)¯ ≤ 5 |Ii |2 . ° (v − π ¯ ˆ ∂x ∂x ∂x L (K) ˆ ˆ K i=1 K

Mit Hilfe der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung f¨ ur Integrale k¨onnen die Ausdr¨ ucke R 2 atzt werden: ˆ |Ii | wie folgt abgesch¨ K Z nZ x Z x Z o onZ x Z x ¯ ∂ 2 v ¯2 2 ¯ ¯ (σ, y) dσds dσds |I1 | ≤ 2 ˆ ˆ s ∂x 0 s 0 K K Z n Z x 2 ¯2 o ¯∂ v 1 2 ¯ dσ ¯ ≤ x ·x (σ, y) 2 2 ∂x ˆ K 0 Z Z Z ¯2 1 1 1−y x ¯¯ ∂ 2 v ¯ dσdxdy ≤ (σ, y) 2 2 0 0 0 ∂x Z Z Z ¯2 1 1 1−y 1−y ¯¯ ∂ 2 v (σ, y)¯ dσdxdy ≤ 2 2 0 0 ∂x 0 2 1 ° ∂ v °2 ≤ ° 2 °L2 (K) ˆ 2 ∂x Z Z nZ x Z y o onZ x Z y ¯ ∂ 2 v ¯2 2 ¯ |I2 | ≤ (s, t)¯ dtds dtds ˆ ˆ K 0 0 K 0 0 ∂x∂y Z 1 Z 1−x n Z x Z y 2 o ¯ ∂ v ¯2 ¯ xy (s, t)¯ dtds dydx = 0 ∂x∂y 0 0 0 Z 1 Z 1−x Z 1 Z 1−x 2 ¯ ∂ v ¯2 ¯ (s, t)¯ dtdsdydx ≤ ∂x∂y 0 0 0 0 ° 2 °2 1° ∂ v ° ≤ ° ° ˆ 2 ∂x∂y L2 (K) 31

Z

Z nZ 1 Z ¯ ¯ |I3 | ≤

Z

1 ¯Z y

¯2 ¯ o ¯ ∂2v ¯ (x, t)¯ dt¯ds ˆ ˆ K K x 1−s x 1−s ∂x∂y Z nZ 1 Z 1−x 2 o ¯2 ¯ ∂ v ¯ (x, t)¯ dtds ≤ ∂x∂y ˆ K x 0 Z 1 Z 1−x Z 1 Z 1−x 2 ¯2 ¯ ∂ v ¯ (x, t)¯ dtdsdydx = ∂x∂y 0 0 0 0 2 1° ∂ v ° °2 2 ˆ ≤ ° 2 ∂x∂y L (K) Z Z nZ 1 Z s o onZ 1 Z s ¯ ∂ 2 v ¯2 2 ¯ ¯ (σ, 1 − s) dσds |I4 | ≤ dσds 2 ˆ ˆ K K x x x x ∂x Z 1−x Z 1−t 2 Z n o ¯2 ¯∂ v 1 2 ¯ dσdt ¯ (σ, t) (1 − x) = ∂x2 ˆ 2 K 0 x Z Z 1 Z 1−t 2 ¯2 ¯∂ v 1 ¯ dσdt ¯ (σ, t) ≤ 2 Kˆ 0 0 ∂x2 1 ° ∂ 2 v °2 ≤ ° 2 °L2 (K) ˆ 4 ∂x Z Z nZ 1 Z 1−s o onZ 1 Z 1−s ¯ ∂ 2 v ¯2 2 ¯ (s, t)¯ dtds dtds |I5 | ≤ ∂x∂y ˆ ˆ 0 x 0 K x K Z 1 Z 1−s 2 Z n ¯ ∂ v ¯2 1 ¯ (1 − x)2 (s, t)¯ dtds = ∂x∂y ˆ 2 x 0 K Z Z 1 Z 1−s 2 ¯ ∂ v ¯2 1 ¯ (s, t)¯ dtds ≤ 2 Kˆ 0 0 ∂x∂y 1 ° ∂2v ° °2 2 ˆ . = ° 4 ∂x∂y L (K) 2

y

¯ on dt¯ds

¯

Insgesamt ergibt sich

n 3 ° ∂2v ° o °2 ° ∂ 5° ∂2v ° 2 2 ° ° ° ° ° (v − π ≤5 + ˆ v)°L2 (K) ˆ ˆ ˆ ∂x 4 ∂x2 L2 (K) 4 ∂x∂y L2 (K) o 2 ° ° 2 ° 25 n° ° ∂ v °2 2 ˆ + ° ∂ v °2 2 ˆ . ≤ 4 ∂x2 L (K) ∂x∂y L (K)

Vertauschen wir die Rollen von x und y erhalten wir mit den gleichen Argumenten die Absch¨atzung o ° ∂ 2 v °2 °2 °∂ 25 n° ∂2v ° 2 ° ° ° ° ° (v − π . ≤ + ˆ v)°L2 (K) ˆ ˆ ˆ ∂y 4 ∂y 2 L2 (K) ∂x∂y L2 (K)

Hieraus folgt die Behauptung.

−1 Als n¨achstes sch¨atzen wir die Spektralnormen |||BK ||| und |||BK ||| der Transformationsmatrizen in (4) ab.

32

6.2 Satz:

F¨ ur jedes K ∈ Th gilt f¨ ur die Matrix BK aus (4) √ 2+ 2 hK |||BK ||| ≤ 2

,

−1 |||BK ||| ≤

√

2

ρK

.

ˆ und des gr¨oßten, in K ˆ Beweis: Bezeichne mit hKˆ und ρKˆ den Durchmesser von K eingeschriebenen Kreises. Eine leichte Rechnung liefert hKˆ =

√

2 ,

ρKˆ = 2 −

√

2.

ˆ mit x Sei nun zˆ ∈ IR2 mit |ˆ z | = ρKˆ beliebig. Dann gibt es Punkte x ˆ, yˆ ∈ K ˆ − yˆ = zˆ. ˆ Da FK : K → K bijektiv ist, folgt |BK zˆ| = |FK (ˆ x) − FK (ˆ y )| ≤ hK . Also ist

√ 2+ 2 hK 1 sup |BK zˆ| ≤ = hK . |||BK ||| = ρKˆ zˆ∈IR2 ρKˆ 2 |ˆ z |=ρ ˆ K

ˆ liefert Vertauschen der Rollen von K und K √ h 2 ˆ −1 |||BK ||| ≤ K = . ρK ρK

Durch Transformation auf das Referenzelement k¨onnen wir jetzt den Interpolationsfehler auf einem beliebigen Dreieck K ∈ Th und damit auf ganz Ω absch¨atzen. 6.3 Satz:

(1) F¨ ur jedes K ∈ Th und jedes v ∈ H 2 (K) gilt |v − Ih v|H 1 (K) ≤ 10.5

h2K |v|H 2 (K) . ρK

(2) F¨ ur jedes v ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) gilt |v − Ih v|1 ≤ 10.5cT h|v|2 . Beweis: ad (1): Seien K ∈ Th und v ∈ H 2 (K) beliebig. Mit der affinen Transformaˆ → K aus (4) definieren wir tion FK : K vˆ := v ◦ FK . Dann folgt −1 Ih v = (ˆ π vˆ) ◦ FK .

33

Der Transformationssatz liefert daher Z 2 |v − Ih v|H 1 (K) = kD(v − Ih v)k2L(IR2 ,IR2 ) K Z −1 2 = kD([ˆ v−π ˆ vˆ] ◦ FK )kL(IR2 ,IR2 ) K Z −1 −1 2 = kBK [D(ˆ v−π ˆ vˆ)] ◦ FK kL(IR2 ,IR2 ) K Z −1 2 −1 2 ≤ |||BK ||| k[D(ˆ v−π ˆ vˆ)] ◦ FK kL(IR2 ,IR2 ) K Z −1 2 =| det BK ||||BK ||| kD(ˆ v−π ˆ vˆ)k2L(IR2 ,IR2 ) ˆ K −1 2 =| det BK ||||BK ||| |ˆ v−

π ˆ vˆ|2H 1 (K) ˆ .

Ebenso ergibt sich |ˆ v |2H 2 (K) ˆ

= = =

Z

Z

ˆ K

kD2 vˆk2L2 (IR2 ,IR2 )

ˆ K

kD2 (v ◦ FK )k2L2 (IR2 ,IR2 )

Z

ˆ K

k[D2 v] ◦ FK (BK ., BK .)k2L2 (IR2 ,IR2 )

Z

4

|||BK ||| k[D2 v] ◦ FK k2L2 (IR2 ,IR2 ) ˆ K Z 4 −1 =|||BK ||| | det BK | kD2 vk2L2 (IR2 ,IR2 )

≤

4

=|||BK ||| | det BK |

−1

K |v|2H 2 (K) .

Aus diesen Absch¨atzungen und den S¨atzen 6.1 und 6.2 folgt −1 |v − Ih v|H 1 (K) ≤| det BK |1/2 |||BK ||||ˆ v−π ˆ vˆ|H 1 (K) ˆ −1 ≤2.5| det BK |1/2 |||BK ||||ˆ v |H 2 (K) ˆ 2

−1 ≤2.5|||BK ||||||BK ||| |v|H 2 (K) √ 2 (2 + 2) √ h2K 2 |v|H 2 (K) ≤2.5 4 ρK √ h2 5 ≤ (4 + 3 2) K |v|H 2 (K) . 4 ρK

√ Wegen 45 (4 + 3 2) ≤ 10.5 folgt hieraus die Behauptung. ad (2): Folgt wegen h = maxK∈Th hK und cT = maxK∈Th hK /ρK aus (1) durch Quadrieren und Aufsummieren. Aus Satz 2.2, Satz 3.6 und Satz 6.3 folgt unmittelbar die folgende Fehlerabsch¨atzung. 34

6.4 Satz: Seien u ∈ H01 (Ω) die schwache L¨ osung der Reaktions-Diffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und uh ∈ Xh die L¨ osung von (4). 2 Es sei u ∈ H (Ω). Dann gilt die Fehlerabsch¨ atzung |u − uh |1 ≤ c1 h|u|2 . Ist zus¨ atzlich Ω konvex, so ist ku − uh k0 ≤ c2 h2 |u|2 . Die Konstanten c1 und c2 h¨ angen nur von cT , Ω und den Koeffizienten α und A ab. Bemerkung 5.3 zur Behandlung von inhomogenen Dirichlet Randbedingungen, von gemischten und Neumann Randbedingungen und von Konvektions-Diffusions Gleichungen u ¨bertr¨agt sich direkt auf die vorliegende Diskretisierung. Insbesondere treten im Konvektions-dominanten Fall Schwierigkeiten durch die zentrale Differenzendiskretisierung des Konvektionstermes auf. Im folgenden wollen wir ein Verfahren beschreiben, das diese Schwierigkeiten vermeidet und im Konvektions-dominanten wie im Diffusions-dominanten Fall gute Ergebnisse liefert. Dieses Verfahren firmiert in der Literatur unter den Bezeichnungen Stromlinien-Diffusions Methode (englisch Streamline-diffusion finite element method, kurz SDFEM) bzw. streamline upwind Petrov-Galerkin Verfahren, kurz SUPG. F¨ ur die Darstellung des zugrunde liegenden Prinzips beschr¨anken wir uns auf den einfachsten Spezialfall konstanter Koeffizienten A = εI, a ∈ IR2 \{0}, α = 0 und homogener Dirichlet Randbedingungen. Dabei ist die Skalierung so gew¨ahlt, daß |a| = 1 und

0 < ε << 1

ist. Andere Randbedingungen und variable Koeffizienten werden im Prinzip genauso behandelt, erfordern aber gr¨oßeren technischen Aufwand. Im Rahmen von Satz 2.1 ist jetzt X :=H01 (Ω), Z l(v) := f v, Ω Z a(u, v) := {ε∇uT ∇v + a · ∇uv}. Ω

Der diskrete Raum Xh ist wie in (3). Wir definieren auf Xh eine gitterabh¨angige 35

Bilinearform ah , eine Linearform lh und eine Norm |.|1,h durch Z X a · ∇uh a · ∇vh , δK ah (uh , vh ) :=a(uh , vh ) + K

K∈Th

lh (uh ) :=l(vh ) + |uh |1,h :=

n

X

Z

δK

K∈Th

ε|uh |21

+

X

K∈Th

K

f a · ∇vh ,

δK ka ·

∇uh k2L2 (K)

o1/2

.

Das neue diskrete Problem lautet dann ah (uh , vh ) = lh (vh )

∀vh ∈ Xh .

(5)

Dabei sind die δK nicht negative Parameter, die wir sp¨ater bestimmen werden. Die δK -Terme werden eine zus¨atzliche Stabilisierung ergeben. Der zus¨atzliche Term in ∂2 ah entspricht einer Diskretisierung von − ∂a atzliche Diffusion 2 u. Daher wird eine zus¨ in Stromrichtung eingef¨ uhrt. Insbesondere kann man erhoffen, daß senkrecht zu der Stromrichtung keine k¨ unstliche Diffusion, d.h. kein Verschmieren auftritt. Formal kann man sich vorstellen, daß die Konvektions-Diffusions Gleichung statt mit vh mit P vh + K∈Th δK a · ∇vh getestet wird. Daher sind im allgemeinen Fall noch zus¨atzliche Terme der Form Z X δK {− div(A∇uh ) + αuh }a · ∇vh K∈Th

K

in ah aufzunehmen. 6.5 Satz:

Die Bilinearform ah ist koerziv bzgl. |.|1,h , d.h. ah (uh , uh ) ≥ |uh |21,h

∀uh ∈ Xh .

Beweis: Aus dem Beweis von Satz 3.6 (1) ergibt sich f¨ ur den aktuellen Spezialfall die Absch¨atzung a(v, v) ≥ ε|v|21 ∀v ∈ H01 (Ω). Hieraus und aus der Definition von ah und |.|1,h folgt sofort die Behauptung. 6.6 Bemerkung: (1) Aus Satz 6.5 folgt, daß das diskrete Problem (5) eindeutig l¨osbar ist. (2) Satz 6.5 ben¨otigt außer der Annahme δK ≥ 0 keine weiteren Voraussetzungen an die δK . (3) Im allgemeinen Fall bleibt Satz 6.5 g¨ ultig, wenn wie in Satz 3.6 − 12 div a + α ≥ 0 1/2 und h−1 K kAkL∞ (K) δK ≤ 1 ist. F¨ ur die Fehlerabsch¨atzung der Diskretisierung (5) ben¨otigen wir eine Absch¨atzung der L2 -Norm des Interpolationsfehlers. 36

6.7 Satz:

ˆ gilt (1) F¨ ur alle v ∈ H 2 (K) kv − π ˆ vkL2 (K) ˆ ≤

√

10|v|H 2 (K) ˆ .

(2) F¨ ur alle K ∈ Th und alle v ∈ H 2 (K) gilt kv − Ih vkL2 (K) ≤ 10h2K |v|H 2 (K) . ˆ zu Beweis: ad (1): Wie im Beweis von Satz 6.1 gen¨ ugt es, Funktionen v ∈ C ∞ (K) ˆ beliebig. Wegen v(0, 0) = (ˆ betrachten. Sei (x, y) ∈ K π v)(0, 0) gilt (v − π ˆ v)(x, y) =(v − π ˆ v)(x, y) − (v − π ˆ v)(x, 0)

+ (v − π ˆ v)(x, 0) − (v − π ˆ v)(0, 0) Z y ∂ (v − π ˆ v)(x, t)dt = 0 ∂y Z x ∂ + (v − π ˆ v)(s, 0)ds 0 ∂x Z y ∂ = (v − π ˆ v)(x, t)dt 0 ∂y Z x ∂ (v − π ˆ v)(s, y)ds + 0 ∂x Z xZ y ∂2 − (v − π ˆ v)(s, t)dtds 0 0 ∂x∂y 3 X Ii (x, y). =: i=1

ˆ dieser Gleichung liefert mit der Cauchy-Schwarz’Quadrieren und Integrieren u ¨ber K schen Ungleichung f¨ ur endliche Summen 3 Z X 2 kv − π ˆ vkL2 (K) Ii2 . ˆ ≤3 i=1

ˆ K

Mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung f¨ ur Integrale erhalten wir f¨ ur die ersten beiden Summanden Z y Z Z ¯2 ¯∂ 2 ¯ (v − π ˆ v)(x, t)¯ dt y I1 ≤ ˆ ˆ K 0 ∂y K Z 1 Z 1−x Z 1−x ¯2 ¯∂ ¯ (v − π ˆ v)(x, t)¯ dtdydx ≤ y ∂y 0 0 0 °2 1° ∂ ≤ ° (v − π ˆ v)°L2 (K) ˆ 2 ∂y Z Z Z x ¯2 ¯ ∂ ¯ (v − π ˆ v)(s, y)¯ ds I22 ≤ x ˆ ˆ K K 0 ∂x °2 1° ∂ ≤ ° (v − π ˆ v)°L2 (K) ˆ . 2 ∂x 37

Bei der Absch¨atzung des dritten Summanden beachten wir, daß π ˆ v ∈ IP1 ist. Das liefert Z

ˆ K

I32

Z

Z

x

Z

∂2 π v) ∂x∂y (ˆ

= 0 ist, da

y¯

2 ¯ ¯ ∂ v (s, t)¯2 dtds ˆ 0 0 ∂x∂y K Z Z 1 Z 1−x 2 ¯2 ¯ ∂ v ¯ (s, t)¯ dtds ≤ xy ∂x∂y ˆ K 0 0 Z 1 Z 1−x 2 ° ∂ v °2 ° ˆ xydydx =° ∂x∂y L2 (K) 0 0 Z 1 ° ∂ 2 v °2 1 ° ° = x(1 − x)2 dx 2 (K) ˆ L ∂x∂y 0 2 1 ° ∂2v ° °2 2 ˆ . = ° 24 ∂x∂y L (K)

≤

xy

Aus diesen Absch¨atzungen und dem Beweis von Satz 6.1 folgt insgesamt °2 ° °v − π ˆ v° 2

ˆ L (K)

°2 °2 ∂ ∂2v ° 3° 1° 3° ∂ ° ° ° °2 2 ˆ ˆ v)°L2 (K) + (v − π ˆ v) + ≤ ° (v − π 2 (K) ˆ ˆ L 2 ∂x 2 ∂y 8 ∂x∂y L (K) ³ 75 1 ´° ∂ 2 v ° 45 ° ∂ 2 v ° ∂2v ° 45 ° ° ° ° °2 2 ˆ ≤ ° 2 °L2 (K) + + + 2 (K) ˆ ˆ 2 L 8 ∂x 8 ∂y 4 8 ∂x∂y L (K) ≤10|v|2H 2 (K) ˆ .

ad (2): Wir gehen wir im Beweis von Satz 6.3 vor und erhalten mit Teil (1) und vˆ := v ◦ FK kv − Ih vkL2 (K) =| det BK |1/2 kˆ v−π ˆ vˆkL2 (K) ˆ √ ≤| det BK |1/2 10|ˆ v |H 2 (K) ˆ √ 2 ≤ 10|||BK ||| |v|H 2 (K) √ √ (2 + 2)2 2 hK |v|H 2 (K) ≤ 10 4 ≤10h2K |v|H 2 (K) .

6.8 Satz: Sei u ∈ H01 (Ω) die L¨ osung der Konvektions-Diffusions Gleichung mit 2 A = εI, a ∈ IR , |a| = 1, α = 0 und homogenen Dirichlet-Randbedingungen und uh ∈ Xh die L¨ osung der SDFEM Diskretisierung (5). Es sei u ∈ H 2 (Ω). Dann gilt die Fehlerabsch¨ atzung |u − uh |1,h ≤ 32.5cT

nX£ K∈Th

o1/2 ¤ −1 4 hK |u|2H 2 (K) ε2 δK + εh2K + δK h2K + δK 38

Dabei ist cT = maxK∈Th hK /ρK . Die Fehlerabsch¨ atzung ist optimal f¨ ur die Wahl h2 δK = p K 2 . ε 2 + hK

Beweis: Wegen der Dreiecksungleichung gilt

|u − uh |1,h ≤ |u − Ih u|1,h + |Ih u − uh |1,h . Aus Satz 6.3 folgt |u − Ih u|1,h ≤ 10.5cT

nX

(ε +

K∈Th

δK )h2K |u|2H 2 (K)

o1/2

.

Setze zur Abk¨ urzung wh := uh − Ih u. Aus Satz 6.5 folgt |wh |1,h ≤ ah (wh , wh ) = ah (u − Ih u, wh ) + ah (uh − u, wh ). Da u ∈ H 2 (Ω) ist, folgt aus der Definition von ah , lh und (5) ah (uh − u, wh )

=lh (wh ) − ah (u, wh ) Z Z X X a · ∇ua · ∇wh δK f ah · ∇wh − a(u, wh ) − δK =l(wh ) + K

K∈Th

=

X

δK

K∈Th

=

X

δK

K∈Th

≤ ≤

X

K∈Th

nX

Z

Z

K

K

©

©

K∈Th

K

ª f − a · ∇u a · ∇wh

ª −ε∆u a · ∇wh

εδK |u|H 2 (K) ka · ∇wh kL2 (K)

K∈Th

ε2 δK |u|2H 2 (K)

o1/2

|wh |1,h .

Hierbei haben wir die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung zun¨achst f¨ ur Integrale und danach f¨ ur endliche Summen ausgenutzt. Mittels partieller Integration f¨ ur den Konvektionsterm erhalten wir mit Satz 6.3 und Satz 6.7 weiterhin ah (u − Ih u, wh ) Z Z T =ε ∇(u − Ih u) ∇wh + a · ∇(u − Ih u)wh Ω Ω Z X a · ∇(u − Ih u)a · ∇wh + δK Z

K∈Th

K

Z

T

∇(u − Ih u) ∇wh − a · ∇wh (u − Ih u) Ω Z X a · ∇(u − Ih u)a · ∇wh δK +

=ε

Ω

K∈Th

K

39

≤ε|u − Ih u|1 |wh |1 + +

X

K∈Th

≤2|wh |1,h

K∈Th

ku − Ih ukL2 (K) ka · ∇wh kL2 (K)

δK ka · ∇(u − Ih u)kL2 (K) ka · ∇wh kL2 (K) nX

K∈Th

+

[ε + δK ]|u − Ih u|2H 1 (K)

X

K∈Th

≤2|wh |1,h

X

nX

K∈Th

+

−1 δK ku − Ih uk2L2 (K)

o1/2

[ε + δK ]10.52 c2T h2K |u|2H 2 (K)

X

K∈Th

≤2 · 10.5cT |wh |1,h

−1 δK 100h4K |u|2H 2 (K)

nX

o1/2

−1 2 h2K [ε + δK + δK hK ]|u|2H 2 (K)

K∈Th

o1/2

.

Aus den letzten beiden Absch¨atzungen folgt wegen cT ≥ 1 |uh − Ih u|1,h =|wh |1,h nX o1/2 −1 4 ≤22cT [εh2K + h2K δK + δK hK + ε2 δK ]|u|2H 2 (K) . K∈Th

Zusammen mit der bereits bewiesenen Absch¨atzung f¨ ur |u − Ih u|1,h folgt hieraus die Fehlerabsch¨atzung f¨ ur |u − uh |1,h . Offensichtlich ist sie optimal, wenn die δ-Terme −1 und die δ -Terme gleich sind. Hieraus folgt die Behauptung u ¨ber die optimale Wahl von δ. 6.9 Bemerkung: Es gilt δK ∼ hK , wenn ε << hK ist. In diesem Fall liefert Satz 6.8 eine optimale Fehlerabsch¨atzung der Form ka · ∇(u − uh )k0 ≤ ch|u|2 in Stromrichtung. Im Fall hK ≤ ε, in dem auch die Diskretisierung (3) gut funktioniert, ist δK ∼ h2K ε−1 , und Satz 6.8 liefert eine Fehlerabsch¨atzung der Form |u − uh |1 ≤ ch|u|2 , die vergleichbar ist zu derjenigen von Satz 6.4.

40

7. Finite Elemente h¨ oherer Ordnung In diesem Paragraphen verallgemeinern wir die Vorgehensweise der §§ 5, 6. Dabei ist d ∈ {2, 3} und Ω ⊂ IRd ein offenes, beschr¨anktes, zusammenh¨angendes Polyedergebiet, d.h. der Rand Γ von Ω besteht st¨ uckweise aus Hyperebenen. (1) (2)

(3)

(4)

Die Grundidee ist folgende: Unterteile Ω in Teilgebiete K1 , ..., Kmh mit einfacher geometrischer Struktur. In § 5 waren dies Rechtecke, in § 6 Dreiecke. Approximiere die Sobolev R¨aume W k,p (Ω) durch endlich dimensionale R¨aume Xh , so daß jedes v ∈ Xh eingeschr¨ankt auf ein beliebiges Element Ki eine einfache Struktur hat. In § 5 waren dies die bilinearen Polynome in Q1 , in § 6 die linearen Polynome in IP1 . Konstruiere eine Basis von Xh , so daß jede Basisfunktion eine einfache Struktur und einen kleinen Tr¨ager hat. In § 5, 6 waren die Basisfunktionen die stetigen, st¨ uckweise bilinearen bzw. linearen Funktionen, die in einem Elementeckpunkt den Wert 1 haben und in allen anderen Elementeckpunkten verschwinden. Um den Fehler der Finite Element Diskretisierung abzusch¨atzen, konstruiere einen einfachen Interpolationsoperator Ih : W k,p → Xh und sch¨atze den Interpolationsfehler ab. Letzteres geschah in § 6 zun¨achst auf einem Referenzelement.

Die in (1) geforderte einfache geometrische Struktur der Elemente Ki l¨aßt sich wie ˆ ⊂ IRd , so daß jedes Ki zu K ˆ folgt konkretisieren: Es gibt ein Referenzelement K ˆ → Ki eine diffeomorph ist und daß der entsprechende Diffeomorphismus FKi : K einfache Gestalt hat. Wie in der Praxis u ¨blich, werden wir zwei Typen von Referenzelementen betrachten: ˆ := {ˆ (a) den Referenz d-Simplex K x ∈ IRd : x1 + ... + xd ≤ 1, xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d} und ˆ := [0, 1]d . (b) den Referenz d-W¨ urfel K Wir beschr¨anken uns im folgenden auf affin ¨ aquivalente Finite Elemente, d.h. jedes Element Ki ist das Bild des Referenz-Simplex oder -W¨ urfels unter einer affinen ˆ der Referenz-Simplex, so ist Ki ein allgemeiner d-Simplex. Transformation FKi . Ist K ˆ der Referenz-W¨ Ist dagegen K urfel, so ist Ki ein d-Epiped, d.h. ein Parallelogramm, ˆ der Referenz-W¨ falls d = 2 ist, bzw. ein Parallelepiped, falls d = 3 ist. Wenn K urfel ist, werden in der Praxis h¨aufig allgemeinere Elemente, sog. isoparametrische Elemente, betrachtet, bei denen die Diffeomorphismen FKi Polynome h¨oheren Grades sind. Wir beschr¨anken uns auf affin ¨aquivalente Elemente, weil dies den technischen Aufwand bei Fehlerabsch¨atzungen erheblich reduziert. Sei also Th = {Ki : 1 ≤ i ≤ mh } eine Unterteilung von Ω, die folgende Bedingungen erf¨ ullt: ¨ (1) affine Aquivalenz: zu jedem K ∈ Th gibt es einen affinen Diffeomorphismus ˆ auf K. FK des Referenz-Simplexes oder -W¨ urfels K 41

(2) Zul¨ assigkeit: Je zwei Elemente K1 , K2 ∈ Th sind entweder disjunkt oder haben einen Eckpunkt, oder eine Kante oder, falls d = 3 ist, eine Seitenfl¨ache gemeinsam. (1) Regularit¨ at: Der Quotient hK /ρK ist durch eine Konstante cT , die nicht von K oder h abh¨angt, nach oben beschr¨ankt. Dabei ist ¨ ahnlich wie in § 6 hK der Durchmesser von K und ρK der Durchmesser des gr¨oßten, in K eingeschriebenen d-Balles. Wie in den §§ 5,6 bezeichnen wir mit Nh und Nh,Ω die Menge aller Eckpunkte aller K ∈ Th bzw. der Eckpunkte im Innern von Ω. 7.1 Definition: (1) Bezeichne die Eckpunkte des Referenz-Simplexes mit zˆ1 := e1 , ..., zˆd := ed und zˆd+1 := 0. Dann ist f¨ ur k ∈ IN∗ d+1 d+1 o n X X k−1 1 ˆ , 1}, µi = 1 , Σk := x = µi zˆi : µi ∈ {0, , ..., k k i=1 i=1

ˆ der Referenz-Simplex ist, und falls K n¡ µ o µd ¢ 1 ˆ k := Σ : µi ∈ {0, 1, ..., k} , , ..., k k

ˆ der Referenz-W¨ falls K urfel ist. ˆ ∈ Th und k ∈ IN∗ ist (2) F¨ ur K = FK (K)

ˆ k ). Σk := Σk (K) := FK (Σ S (3) Gh := K∈Th Σk (K), Gh,Ω := Gh ∩ Ω. (4) Setze Q0 := IP0 := IR und definiere f¨ ur k ∈ IN∗ Qk := span{xα : α ∈ INd , max αi ≤ k} 1≤i≤d

IP k := span{xα : α ∈ INd , α1 + ... + αd ≤ k}. αd 1 Dabei ist xα := xα 1 ...xd . Setze ½ ˆ Rk := Rk (K) := Qk IP k

falls falls

ˆ der Referenz-W¨ K urfel, ˆ K der Referenz-Simplex.

7.2 Bemerkung: (1) Sei K ein allgemeiner Simplex. Bezeichne die Eckpunkte von K mit z1 , ..., zd+1 . Dann ist Σk (K) =

d+1 nX

d+1 o X 1 k−1 µi zi : µi ∈ {0, , ..., , 1}, µi = 1 . k k i=1 i=1

42

Analog kann man f¨ ur ein allgemeines Epiped K die Punkte von Σk (K) bestimmen, indem man die Kanten von K ¨aquidistant unterteilt und die so entstandenen Punkte miteinander verbindet. (2) Die Menge Gh heißt auch Gitter. Die Punkte von Gh werden manchmal auch Knoten genannt. (3) Da die FK affin sind, beschreiben die Transformationen ϕ → ϕ ◦ FK und ψ → −1 ˆ bzw. von C(K) ˆ auf C(K), die f¨ ψ ◦ FK Isomorphismen von C(K) auf C(K) ur jedes k ∈ IN die Polynomr¨aume IPk und Qk invariant lassen. 7.3 Satz: Sei k ∈ IN∗ . Dann ist jedes p ∈ Rk eindeutig bestimmt durch seine Werte ˆ k bzw. auf Σk (K), K ∈ Th . auf Σ

Beweis: Wegen der Definition von Σk (K) und Bem. 7.2 (3) reicht es, die Behauptung ˆ k zu zeigen. Eine leichte Rechnung zeigt, daß f¨ ur Σ ˆk dim Rk = #Σ ist. Daher reicht es, eine der folgenden Aussagen (a) oder (b) zu zeigen: ˆ k. (a) Zu jedem Vektor (bz )z∈Σˆ k existiert ein ϕ ∈ Rk mit ϕ(z) = bz f¨ ur alle z ∈ Σ ˆ k , so ist ϕ = 0. (b) Ist ϕ ∈ Rk und ϕ(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Σ ˆ ist der Referenz-W¨ Fall 1: K urfel: Definiere f¨ ur i ∈ INd die Funktion µi durch k

µi (x) :=

k d Y Y kxj − lj . i − l j j l =0 j=1 j lj 6=ij

Dann ist µi ∈ Qk mit µi ( k1 i) = 1 und µi ( k1 i0 ) = 0 f¨ ur alle i0 ∈ INdk \{i}. Sei nun (bi )i∈INd beliebig. Dann leistet die Funktion k

ϕ(x) :=

X

bi µi (x)

i∈INd k

das in Eigenschaft (a) Geforderte. ˆ 1 , ..., λ ˆ d+1 durch ˆ ist der Referenz-Simplex: Definiere die Funktion λ Fall 2: K ˆ i (x) := xi λ

1≤i≤d

ˆ d+1 (x) := 1 − λ

d X

xi .

i=1

ˆ 1 , ..., λ ˆ d+1 heißen die Schwerpunktskoordinaten von K ˆ (vgl. § Die Funktionen λ ˆ i ∈ IP1 , 1 ≤ i ≤ d + 1, λ ˆ i (ˆ 6) und haben offensichtlich die Eigenschaft λ zj ) = δij , 1 ≤ i, j ≤ d + 1. 43

k = 1 : Zu gegebenem (bi )1≤i≤d+1 leistet offensichtlich d+1 X

ϕ(x) :=

ˆ i (x) bi λ

i=1

das in Eigenschaft (a) Geforderte. k = 2 : Bezeichne mit zˆij := 12 (ˆ zi + zˆj ), 1 ≤ i < j ≤ d + 1, die Kantenmittelpunkte ˆ Definiere von K. ˆ i [2λ ˆ i − 1] , 1 ≤ i ≤ d + 1, µi := λ ˆiλ ˆj µij := 4λ , 1 ≤ i < j ≤ d + 1. Dann gilt offensichtlich µk , µij ∈ IP2 und µi (ˆ zj ) = δij

,

µij (ˆ zkl ) = δik δjl

,

µi (ˆ zkl ) = 0 ∀j, k, l µij (ˆ zm ) = 0

∀i, j, k, l, m.

Daher leistet zu gegebenem (bz )z∈Σˆ 2 = (bi , bkl ) die Funktion ϕ(x) :=

d+1 X

X

bi µi (x) +

i=1

bkl µkl (x)

1≤k
das in Eigenschaft (a) Geforderte. k = 3 : Definiere

und

1 (2ˆ zi + zˆj ) 3 1 zi + zˆj + zˆk ) := (ˆ 3

zˆiij :=

, 1 ≤ i, j ≤ d + 1, j 6= i

zˆijk

,1 ≤ i < j < k ≤ d + 1

1ˆ ˆ ˆ i − 2] λi [3λi − 1][3λ 2 9ˆ ˆ ˆ µiij := λ i λj [3λi − 1] 2 ˆk ˆj λ ˆiλ µijk := 27λ µi :=

, 1 ≤ i ≤ d + 1, , 1 ≤ i, j ≤ d + 1, j 6= i, , 1 ≤ i < l < k ≤ d + 1.

Offensichtlich gilt µi , µiij , µijk ∈ IP3 . Eine leichte Rechnung liefert f¨ ur die relevanten Indizes µi (ˆ zj ) = δij

,

µiij (ˆ zkkl ) = δik δjl

µi (ˆ zjjk )

=0

,

µi (ˆ zjkl )

,

=0

,

µiij (ˆ zklm ) = 0,

µijk (ˆ zl ) = 0

,

µijk (ˆ zllm ) = 0.

µiij (ˆ zk )

µijk (ˆ zlmn ) = δil δjm δkn

,

= 0,

Daher leistet f¨ ur gegebenes (bz )z∈Σˆ 3 = (bi , bjjk , blmn ) die Funktion ϕ(x) :=

d+1 X i=1

bi µi (x) +

X

bij µij (x) +

X

1≤i<j
1≤i,j≤d+1 i6=j

44

bijk µijk (x)

das in Eigenschaft (a) Geforderte. ˆ k . Dann verschwindet ϕ auf allen k ≥ 4 : Sei ϕ ∈ IPk mit ϕ(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Σ ˆ Daher gibt es ein ψ ∈ Kanten bzw., falls d = 3 ist, auf allen Seitenfl¨achen von K. IPk−d−1 mit ◦ ˆ 1 ...λ ˆ d+1 ψ und ψ(z) = 0 ∀z ∈ Σ ˆ. ˆk ∩ K ϕ=λ Damit folgt die Eigenschaft (b) durch Induktion u ¨ber k. 7.4 Satz: Seien k ∈ IN∗ , K1 , K2 ∈ Th mit K1 ∩ K2 6= ∅ und p1 , p2 ∈ Rk . Definiere die Funktion ϕ auf K1 ∪ K2 durch ϕ|Ki = pi

, i = 1, 2.

ˆ k ) ∩ FK ( Σ ˆ k ) gilt Dann ist ϕ ∈ C(K1 ∪ K2 ) genau dann, wenn f¨ ur alle x ∈ FK1 (Σ 2 p1 (x) = p2 (x). Beweis: ” =⇒ ” : offensichtlich. ” ⇐= ” : Offensichtlich ist nur etwas zu zeigen, wenn K1 und K2 eine Kante oder, falls d = 3 ist, eine Seitenfl¨ache gemeinsam haben. Wir betrachten zun¨achst den Fall, daß d = 2 ist und K1 und K2 eine Kante E ˆ := K ˆ ∩{x2 = 0}. Dann ist E ˆ das Einheitsintervall, d.h. der gemeinsam haben. Setze E Standard 1-Simplex. Die Transformationen FK1 und FK2 k¨onnen so gew¨ahlt werden, ˆ = FK (E) ˆ ist. Definiere q := p1 ◦F ˆ −p2 ◦F ˆ . Wegen Bem. 7.2 daß E = FK1 (E) 2 K 1 |E K 2 |E (3) ist q ∈ Rk ein Polynom einer Ver¨anderlichen. Nach Voraussetzung verschwindet ˆ k ∩ E. ˆ Also ist q = 0 und damit ϕ stetig. q in allen Punkten von Σ Betrachte nun den Fall, daß d = 3 ist und K1 und K2 eine Seitenfl¨ache gemeinsam ˆ := K ˆ ∩ {x3 = 0} und definiere q wie oben. Dann ist q ∈ Rk ein haben. Setze E ˆk ∩ E ˆ verschwindet. Da Polynom in zwei Ver¨anderlichen, das in den Punkten von Σ ˆ der Standard 2-Simplex bzw. Standard 2-W¨ E urfel ist, folgt aus Satz 7.3, daß q = 0 und damit ϕ stetig ist. ˆ := Ist schließlich d = 3 und haben K1 und K2 eine Kante gemeinsam, setzen wir E ˆ ∩ {x3 = x2 = 0} und gehen ansonsten wie im Fall d = 2 vor. K Nach diesen Vorbereitungen k¨ onnen wir nun die Finite Element R¨aume h¨oherer Ordnung zu Th wie folgt definieren: Shk,−1 := {ϕ ∈ L1 (Ω) : ϕ|K ∈ Rk Shk,0 := Shk,−1 ∩ C(Ω),

∀K ∈ Th },

k,0 Sh,0 := {ϕ ∈ Shk,0 : ϕ = 0 auf Γ}.

k,0 Wegen Satz 1.7 ist Shk,0 ⊂ W 1,p (Ω) und Sh,0 ⊂ W0k,p (Ω) f¨ ur jedes 1 ≤ p < ∞. Wir k,0 k¨onnen daher im Rahmen von Satz 2.2 Xh = Sh,0 mit beliebigem k ∈ IN∗ w¨ahlen

45

und dadurch die diskreten Probleme der §§ 5, 6 verallgemeinern. Aus den S¨atzen 7.3 k,0 und 7.4 folgt, daß die Funktionen in Shk,0 und Sh,0 eindeutig bestimmt sind durch ihre Werte in den Gitterpunkten Gh bzw. Gh,Ω . Insbesondere gibt es zu jedem z ∈ Gh eine eindeutige Funktion vz ∈ Shk,0 mit vz (z) = 1 und vz (z 0 ) = 0 f¨ ur alle z 0 ∈ Gh \{z}. Die Funktionen vz , z ∈ Gh , heißen nodale Basis von Shk,0 . Jedes uh ∈ Shk,0 l¨aßt sich eindeutig darstellen als X uh = µz vz , z∈Gh

und die µz sind genau die Werte uh (z). Daher l¨aßt sich das entsprechende diskrete k,0 Problem mit Xh = Sh,0 wieder als Differenzenverfahren interpretieren. ¨ Ahnlich wie in den §§ 5, 6 definieren wir einen Interpolationsoperator Ih :

H 2 (Ω) → Shk,0 durch

(Ih u)(z) = u(z)

oder ¨aquivalent Ih u =

X

∀z ∈ Gh

u(z)vz .

z∈Gh k,0 Man beachte, daß Ih (H01 (Ω)∩H 2 (Ω)) ⊂ Sh,0 ist. Wie in § 6 geschieht die Absch¨atzung ˆk : des Interpolationsfehlers zun¨achst auf dem Referenzelement. Dazu definieren wir Π ˆ → Rk durch H 2 (K) ˆ k u)(z) = u(z) ∀z ∈ Σ ˆ k. (Π

Wegen Satz 7.3 und Bem. 1.20 ist diese Definition sinnvoll. Aus Bem. 7.2 (3) folgt außerdem f¨ ur jedes u ∈ H 2 (Ω) und jedes K ∈ Th die Identit¨at ˆ k (u|K ◦ FK )] ◦ F −1 . (Ih u)|K = [Π K ˆ Σ ˆ k oder Π ˆ k mit einem zus¨atzlichen Index Im folgenden versehen wir Gr¨oßen wie K, S oder W , wenn wir hervorheben wollen, daß sie sich auf den Referenz-Simplex (S) bzw. auf den Referenz-W¨ urfel (W) beziehen. 7.5 Satz:

Sei k ∈ IN∗ . Dann wird durch [u]k+1 := |u|k+1 +

X

ˆ k,S z∈Σ

|u(z)|

ˆ definiert, die zu k.kk+1 ¨ eine Norm auf H k+1 (K) aquivalent ist. ˆ ,→ C(K) ˆ ist, ist [.]k+1 wohldefiniert, und es Beweis: Da gem¨aß Satz 1.19 H k+1 (K) ∗ gibt eine Konstante c1 ∈ IR+ mit [u]k+1 ≤ c1 kukk+1 46

ˆ ∀u ∈ H k+1 (K).

Wir m¨ ussen also noch zeigen, daß es eine Konstante c2 ∈ IR∗+ gibt mit ˆ ∀u ∈ H k+1 (K).

kukk+1 ≤ c2 [u]k+1

Angenommen, eine solche Konstante existiere nicht. Dann gibt es eine Folge (un )n∈IN ˆ mit ⊂ H k+1 (K) kun kk+1 = 1 ∀n ∈ IN (1) und lim [un ]k+1 = 0.

n→∞

(2)

Wegen Satz 1.19 und Bem. 1.18 gibt es eine Teilfolge (unm )m∈IN von (un )n∈IN und ˆ mit ein u ∈ H k (K) lim kunm − ukk = 0. m→∞

Wegen (2) ist insbesondere lim |unm − u|k+1 = 0.

m→∞

ˆ mit |u|k+1 = 0, und es gilt Daher ist sogar u ∈ H k+1 (K) lim kunm − ukk+1 = 0.

m→∞

Wegen |u|k+1 = 0 ist u ∈ IPk . Wegen Satz 1.19 gilt u(z) = lim unm (z) m→∞

ˆ k,S . ∀z ∈ Σ

Hieraus und aus (2) folgt aber u(z) = 0

ˆ k,S . ∀z ∈ Σ

Wegen Satz 7.3 ist also u = 0 im Widerspruch zu (1). 7.6 Satz:

Sei k ∈ IN∗ . Dann gibt es eine Konstante c, die von k abh¨ angt, mit ˆ k ukk+1 ≤ c|u|k+1 ku − Π

ˆ ∀u ∈ H k+1 (K).

ˆ =K ˆ S : Aus Satz 7.5 folgt f¨ ˆ Beweis: Fall 1: K ur beliebiges u ∈ H k+1 (K) ˆ k ukk+1 ≤ c2 [u − Π ˆ k u]k+1 = c2 |u|k+1 , ku − Π ˆ k u ∈ IPk und u(z) − Π ˆ k u(z) = 0 ist f¨ ˆ k,S . da Π ur alle z ∈ Σ 47

ˆ =K ˆ W : Sei u ∈ H k+1 (K) ˆ beliebig. Da K ˆS ⊂ K ˆ W ist, folgt aus der DreiFall 2: K ecksungleichung ˆ k,W ukk+1 ≤ ku − Π ˆ k,S ukk+1 + kΠ ˆ k,S u − Π ˆ k,W ukk+1 . ku − Π Wegen IPk ⊂ Qk und Satz 7.3 gilt ˆ k,W (Π ˆ k,S u) = Π ˆ k,S u Π und somit ˆ k,S u − Π ˆ k,W u = Π ˆ k,W (Π ˆ k,S u − u). Π ˆ k,W , die nodale Basis zu K ˆ und Qk , d.h. Bezeichne mit vˆz , z ∈ Σ vˆz ∈ Qk ,

vˆz (z) = 1, ˆ k,W \{z}. ∀z 0 ∈ Σ

vˆz (z 0 ) = 0

ˆ mit Satz 1.19 Dann folgt f¨ ur beliebiges ϕ ∈ H k+1 (K) ˆ k,W ϕkk+1 =k kΠ ≤

X

ˆ k,W z∈Σ

X

ˆ k,W z∈Σ

ϕ(z)ˆ vz kk+1

|ϕ(z)|kˆ vz kk+1

≤kϕkC(K) ˆ ≤ckϕkk+1

X

ˆ k,W z∈Σ

X

ˆ k,W z∈Σ

=c0 kϕkk+1 .

kˆ vz kk+1 kˆ vz kk+1

Aus dem soeben Gezeigten und dem Fall 1 folgt ˆ k,W ukk+1 ≤ku − Π ˆ k,S ukk+1 + kΠ ˆ k,W (Π ˆ k,S u − u)kk+1 ku − Π ˆ k,S ukk+1 ≤(1 + c0 )ku − Π ≤(1 + c0 )c2 |u|k+1 .

7.7 Satz: Sei k ∈ IN∗ . Dann gelten f¨ ur alle u ∈ H k+1 (Ω) die Interpolationsfehlerabsch¨ atzungen ku − Ih uk0 ≤ c1 hk+1 |u|k+1 |u − Ih u|1 ≤ c2 hk |u|k+1 . 48

Dabei ist h := maxK∈Th hK . Die Konstanten c1 und c2 h¨ angen von Ω, k und der Konstanten cT in der Regularit¨ atsbedingung an Th ab.

Beweis: Sei K ∈ Th und FK : x → bK + BK x eine affine Transformation des Refeˆ auf K. Wie im Beweis von Satz 6.3 erhalten wir renzelements K ku − Ih ukL2 (K) =| det BK |1/2 k(u − Ih u) ◦ FK kL2 (K) ˆ ,

−1 |u − Ih u|H 1 (K) ≤| det BK |1/2 |||BK ||||(u − Ih u) ◦ FK |H 1 (K) ˆ ,

−1/2 |u ◦ FK |H k+1 (K) |||BK ||| ˆ ≤| det BK |

k+1

|u|H k+1 (K) ˆ .

Wie im Beweis von Satz 6.2 folgt |||BK ||| ≤ hK /ρKˆ

,

−1 ||| ≤ hKˆ /ρK . |||BK

ˆ k (u ◦ FK ) Aus diesen Absch¨atzungen und Satz 7.6 ergibt sich wegen Ih u ◦ FK = Π ku − Ih ukL2 (K) ≤c(hK /ρKˆ )k+1 |u|H k+1 (K) ,

|u − Ih u|H 1 (K) ≤chKˆ /ρK (hK /ρKˆ )k+1 |u|H k+1 (K) , ¢ k ¡ −k−1 hK h |u| k+1 . =chKˆ ρK ˆ ρK K H (K)

Hieraus folgt die Behauptung durch Quadrieren und Summieren u ¨ber alle Elemente K ∈ Th . 7.8 Bemerkung: Die Ergebnisse der S¨atze 7.5, 7.7 gelten mit den offensichtlichen Modifikationen f¨ ur alle W k+1,p -R¨aume mit 1 ≤ p < ∞.

8. Randapproximation und numerische Integration In den §§ 5 – 7 haben wir stets vorausgesetzt, daß Ω ein Polyedergebiet ist, d.h. der Rand Γ besteht st¨ uckweise aus Hyperebenen. I.a. ist jedoch der Rand von Ω gekr¨ ummt. Daher ersetzt man in der Praxis Ω durch ein approximierendes Polyeder Ωh , derart daß die Eckpunkte von Ωh auf Γ liegen und die Kanten von Ωh die L¨ange O(h) haben. Sei Γh der Rand von Ωh . Wenn Γ st¨ uckweise C 2 ist, folgt dann dist(Γ, Γh ) = sup inf |x − y| x∈Γ y∈Γh

= sup inf |x − y| = O(h2 ). y∈Γh x∈Γ

Daher kann der Fehler der Finite Element Approximation bestenfalls von der Ordnung O(h2 ) sein. 49

Th ist dann eine Unterteilung von Ωh , die den Bedingungen der §§ 5 – 7 gen¨ ugt. Zus¨atzlich m¨ ussen die Eckpunkte von Ωh in der Menge Nh der Elementeckpunkte enthalten sein. F¨ ur die Konstruktion von Ωh und Th muß der Benutzer den Rand Γ st¨ uckweise als Graph oder implizit als {F (x) = 0} zusammen mit F und grad F angeben. Falls Ω konvex ist, gilt Ωh ⊂ Ω und die Fehlerabsch¨atzungen der §§ 5 – 7 k¨onnen u ¨bertragen werden, wobei die Randapproximation einen zus¨atzlichen Konsistenzfehler von O(h2 ) beitr¨agt. Ist Ω nicht konvex, gilt Ωh \Ω 6= ∅. Dann m¨ ussen die Daten A, a, α und f auf Ωh fortgesetzt werden. Dies geschieht am einfachsten durch Reflexion: Ist x ∈ Ωh \Ω, setze f (x) := f (˜ x) und analog f¨ ur A, a und α. Dabei wird x ˜ wie folgt bestimmt: Berechne die orthogonale Projektion x von x auf Γ und w¨ahle ˜ in Ω liegt und den gleichen Abstand zu x ˜ auf der Geraden durch x und x, so daß x x hat wie x. Mit diesen Modifikationen bleiben die Fehlerabsch¨atzungen der §§ 5 – 7 erhalten. Dabei m¨ ussen alle Normen auf Ω ∩ Ωh statt auf Ω bezogen werden. Die Randapproximation tr¨agt wieder einen Konsistenzfehler der Ordnung O(h2 ) bei. Um den Konsistenzfehler durch die Randapproximation zu verringern, kann man auch krummlinige oder isoparametrische Elemente betrachten. Dabei ist mit ˆ → K nicht mehr affin, sondern der Notation von § 7 die Transformation FK : K ein allgemeiner Diffeomorphismus (krummlinige Elemente) oder komponentenweise eine Funktion aus Rk (isoparametrische Elemente). In diesem Sinn sind die linearen Dreieckselemente aus § 6 isoparametrische Elemente der Ordnung 1. Bei Verwendung isoparametrischer Elemente der Ordnung k ≥ 2 kann man eine Randapproximation der Ordnung O(hk+1 ) erreichen. Dementsprechend ist der Konsistenzfehler durch die Randapproximation auch von der Ordnung O(hk+1 ). Die gr¨oßere Genauigkeit wird nat¨ urlich durch einen erh¨ohten Aufwand erkauft. Die Finite Element Diskretisierungen der §§ 5 – 7 f¨ uhren auf lineare Gleichungssysteme. Zur Berechnung der rechten Seite und der Steifigkeitsmatrix m¨ ussen InteR grale der Form K ϕ mit ϕ = f v, ϕ = ∇uT A∇v o.¨a. berechnet werden. Wir haben bisher stets angenommen, daß dies exakt geschieht. Außer in einfachen Spezialf¨allen wird man aber in der Praxis diese Integrale nur n¨aherungsweise mit einem Quadraturverfahren berechnen. Passende Quadraturformeln werden wegen der Ergebnisse von § 7 am besten aus solchen f¨ ur das Referenzelement hergeleitet. Sei also QKˆ (ϕ) ˆ :=

L X

ω ˆ l ϕ( ˆ ˆbl )

l=1

eine Quadraturformel f¨ ur

R

ˆ K

ϕ. ˆ Sie hat die Ordnung k, wenn f¨ ur alle pˆ ∈ IPk gilt p) = QKˆ (ˆ 50

Z

ˆ K

pˆ.

ˆ → K eine affine Transformation mit BK := DFK . Da Sei nun K ∈ Th und FK : K FK affin ist, folgt aus Satz II.1.4 der Vorlesung ”Einf¨ uhrung in die Numerik”, daß L X

QK (ϕ) :=

ωl ϕ(bl )

l=1

mit ωl = | det BK |ˆ ωl eine Quadraturformel der Ordnung k f¨ ur QK (ϕ) =

Z

, R

K

bl = FK (ˆbl ) ϕ ist, d.h. ∀ϕ ∈ Rk .

ϕ K

Man kann zeigen, daß die Fehlerabsch¨atzungen der §§ 5 – 7 f¨ ur Finite Element m,0 Diskretisierungen der Ordnung m, d.h. Xh = Sh,0 , g¨ ultig bleiben, wenn die Quadraturformel QKˆ mindestens die Ordnung 2m − 2 hat (s. § 4.1 in Ph. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems). Insbesondere reicht also f¨ ur lineare ˆ =K ˆ S ) und d-lineare W¨ ˆ = simpliziale Elemente (m = 1, K urfelelemente (m = 1, K ˆ W ) eine Quadraturformel der Ordnung 0 aus, d.h. nur die konstanten Funktionen K m¨ ussen exakt integriert werden. Pd+1 1 1 ˆ ˆ =K ˆ S , d ∈ {2, 3}, L = 1, ω , b1 = d+1 ˆi (Schwer8.1 Beispiel: (1) K ˆ 1 = d! i=1 z punkt) liefert eine Quadraturformel der Ordnung 1 f¨ ur den Referenz d-Simplex. 1 1 ˆ ˆ ˆ zl + zˆl+1 ) (Kantenmittelpunkte) liefert (2) K = KS , d = 2, L = 3, ω ˆ l = 6 , bl := 2 (ˆ eine Quadraturformel der Ordnung 2 f¨ ur das Referenzdreieck. ˆ =K ˆ S , d = 2, L = 7 (3) K 3 1 n X ϕ(ˆ zi ) + 8 QKˆ (ϕ) = 3 120 i=1

X

ϕ(ˆ zij ) + 27ϕ(ˆ z123 )

1≤i<j≤3

liefert eine Formel der Ordnung 3 f¨ ur das Referenzdreieck. (4) Sei L X ˜ Q(ψ) = ω ˜ l ψ(˜ xl )

o

l=1

R1 eine Quadraturformel der Ordnung k f¨ ur 0 ψ(x)dx. Dann ist gem¨aß Beispiel II.1.3 (3) der Vorlesung ”Einf¨ uhrung in die Numerik” ˆ := QKˆ (ϕ)

L X

l1 =1

...

L X

ω ˜ l1 ...˜ ωld ϕ(˜ ˆ xl1 , ..., x ˜ ld )

ld =1

eine Quadraturformel der Ordnung k f¨ ur den Referenz d-W¨ urfel. 51

(5) Die Mittelpunktsregel liefert die Formel ³1 1´ ˆ = ϕˆ , QKˆ (ϕ) 2 2

der Ordnung 1 f¨ ur das Referenz-Quadrat. (6) Die Trapezregel liefert die Formel

1

1

1 XX ϕ(i, ˆ j) QKˆ (ϕ) ˆ = 4 i=0 j=0 der Ordnung 1 f¨ ur das Referenz-Quadrat. (7) Die Simpsonregel liefert mit (aij )0≤i,j≤2 die Formel



1 :=  4 1

³i j´ 1 XX aij ϕ , 36 i=0 j=0 2 2 2

2

ˆ = QKˆ (ϕ)

 4 1 16 4  4 1

der Ordnung 3 f¨ ur das Referenz-Quadrat.

9. Numerische L¨ osung der diskreten Probleme Um die wesentlichen Punkte besser herausarbeiten zu k¨onnen und um unn¨otige technische Schwierigkeiten zu vermeiden, betrachten wir im folgenden die ReaktionsDiffusions Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und Dreieckselek,0 mente der Ordnung k ≥ 1, d.h. Th besteht aus Dreiecken und Xh = Sh,0 .

Da die Tr¨ager der nodalen Basisfunktionen nur aus wenigen Dreiecken bestehen, ist die Steifigkeitsmatrix der Finite Element Diskretisierung d¨ unn besetzt. Wegen des Speicherplatzbedarfes und des Rechenaufwandes sind direkte Gleichungsl¨oser wie die Cholesky Zerlegung nur f¨ ur grobe Gitter, d.h. wenige Dreiecke effizient. F¨ ur feinere Diskretisierungen sind iterative L¨osungsverfahren vorzuziehen. Da die Effizienz dieser Verfahren wesentlich von der Kondition der Steifigkeitsmatrix abh¨angt, wollen wir diese zun¨achst absch¨atzen. Dazu definieren wir ein gitterabh¨angiges Skalarprodukt (., .)h und eine zugeh¨orige Norm k.kh auf Xh durch (ϕ, ψ)h :=

X

X

K∈Th z∈Σk (K) 1/2

kϕkh :=(ϕ, ϕ)h . 52

h2K ϕ(z)ψ(z),

k.kh ist eine skalierte euklidische Norm auf IRnh , nh := #Gh,Ω . Die Matrix, die zu (., .)h und der nodalen Basis geh¨ort, ist diagonal. Insbesondere k¨onnen Gleichungssysteme der Form (u, v)h = l(v) ∀v ∈ Xh leicht gel¨ost werden. 9.1 Satz: (1) k.kh und k.k0 sind ¨ aquivalente Normen auf Xh . Die entsprechenden Konstanten h¨ angen nur von k and der Konstanten cT in der Regularit¨ atsbedingung an Th ab. (2) F¨ ur alle v ∈ Xh gilt die inverse Absch¨ atzung |v|1 ≤ c( min hK )−1 kvk0 . K∈Th

Die Konstante c h¨ angt von k und cT ab. ©P ª 2 1/2 Beweis: ad (1): Wegen Satz 7.3 ist |ϕ(z)| eine Norm auf IPk . Da IPk ˆ z∈Σk endlich dimensional ist, gibt es zwei Konstanten cˆ1 , cˆ2 , die nur von k abh¨angen, mit cˆ1 kϕkL2 (K) ˆ ≤

nX

ϕ(z)

2

ˆk z∈Σ

o1/2

≤ cˆ2 kϕkL2 (K) ˆ

∀ϕ ∈ IPk .

ˆ → K eine affine Transformation. Wegen Sei nun K ∈ Th beliebig und FK : K c1 h2K ≤ | det DFK | ≤ c2 h2K folgt aus obiger Absch¨atzung mit dem Transformationssatz cˆ1 kϕkL2 (K) =ˆ c1 | det DFK |1/2 kϕ ◦ FK kL2 (K) ˆ nX o1/2 1/2 ≤c2 hK |ϕ ◦ FK (z)|2 ˆk z∈Σ

1/2 =c2 hK

n X

z∈Σk (K)

1/2

|ϕ(z)|

2

o1/2

≤c2 hK cˆ2 kϕ ◦ FK kL2 (K) ˆ 1/2

=c2 cˆ2 hK | det DFK |−1/2 kϕkL2 (K) 1/2

−1/2

≤c2 cˆ2 c1

kϕkL2 (K) .

Hieraus folgt die Behauptung (1) durch Quadrieren und Summieren u ¨ber alle Dreiecke. Man beachte, daß die Konstanten c1 , c2 von cT abh¨angen. ad (2): Da |.|H 1 (K) ˆ eine Norm auf IPk /IR und IPk /IR endlich dimensional ist, gibt es eine Konstante cˆ mit |ϕ|H 1 (K) ˆkϕkL2 (K) ˆ ≤c ˆ 53

∀ϕ ∈ IPk /IR.

Da die linke Seite dieser Ungleichung f¨ ur konstante Funktionen verschwindet, gilt die Ungleichung sogar auf ganz IPk . Seien nun K und FK wie in Teil (1). Dann folgt durch Transformation auf das Referenzelement −1 |ϕ|H 1 (K) ≤| det DFK |1/2 |||DFK ||||ϕ ◦ FK |H 1 (K) ˆ −1 ≤ˆ c| det DFK |1/2 |||DFK |||kϕ ◦ FK kL2 (K) ˆ −1 =ˆ c|||DFK |||kϕkL2 (K)

≤ˆ chKˆ /ρK kϕkL2 (K) ≤c0 h−1 K kϕkL2 (K) .

Dabei h¨angt c0 von cT ab. Quadrieren und Summieren dieser Ungleichung beweist Teil (2). Aus Satz 9.1 (1), dem Beweis des Existenzsatzes 3.3 und der Friedrich’schen Ungleichung 1.15 folgt f¨ ur alle v ∈ Xh a(v, v) ≥ β|v|21 ≥ β 0 kvk20 ≥ β 00 kvk2h .

Ebenso folgt aus dem Beweis von Satz 3.3 und Satz 9.1 f¨ ur alle v, w ∈ Xh a(v, w) ≤B|v|1 |w|1

≤c2 B( min hK )−2 kvk0 kwk0 K∈Th

≤c ( min hK )−2 kvkh kwkh . 0

K∈Th

Also hat die Steifigkeitsmatrix die Kondition 0((minK∈Th hK )−2 ). Daher scheiden das Jacobi und Gauß-Seidel Verfahren als L¨oser aus. Da die Bilinearform a symmetrisch ist, ist die Steifigkeitsmatrix symmetrisch, und ein CG-Verfahren oder besser ein PCG-Verfahren k¨onnen als L¨oser benutzt werden. Als Vorkonditionierer eignet sich z.B. der SSOR-Vorkonditionierer aus § III.6 der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I”. In der Vorlesung ”Numerische Behandlung von Differentialgleichungen I” haben wir gesehen, daß Mehrgitter (MG-)Verfahren sehr effiziente L¨oser f¨ ur Differenzendiskretisierungen elliptischer Differentialgleichungen liefern. Wir wollen daher nun ein MG-Verfahren f¨ ur Finite Element Diskretisierung analysieren. Dazu nehmen wir an, daß wir eine Hierarchie geschachtelter Triangulierungen Th0 ⊂ Th1 ⊂ ... ⊂ ThR haben. Es gilt, die Finite Element Diskretisierung zur feinsten Triangulierung numerisch zu l¨osen. Dazu machen wir folgende Annahmen: (1) Ω ist konvex. (2) Jede Triangulierung Thm ist uniform, d.h. hm := max hK ≤ c min hK K∈Thm

K∈Thm

mit einer von m unabh¨angigen Konstanten c. (3) hm−1 ≤ chm f¨ ur alle m mit einer von m unabh¨angigen Konstanten c. Zur Vereinfachung der Notation ersetzen wir einen Index hm in der Regel durch m. 54

9.2 Algorithmus: (MG-Verfahren mit V -Zyklus und Jacobi Gl¨ attung) 0 0. Gegeben eine N¨ aherung um ∈ Xm f¨ ur die L¨ osung des diskreten Problems. 1. (Vorgl¨ attung) F¨ ur i = 1, ..., ν1 berechne uim aus ui−1 osung von m als L¨ i−1 −1 (uim − um , v)m = ωm {lm (v) − a(ui−1 m , v)}

∀v ∈ Xm .

2. (Grobgitterkorrektur) Berechne lm−1 (v) := lm (v) − a(uνm1 , v)

∀v ∈ Xm−1 .

Falls m ≥ 1, wende das MG-Verfahren mit Startwert u0m−1 = 0 auf das Problem a(u∗m−1 , v) = lm−1 (v)

∀v ∈ Xm−1

an. Das Ergebnis sei u ˜m−1 . Falls m = 1 ist, berechne u ˜m−1 := u∗m−1 . Setze uνm1 +1 := uνm1 + u ˜m−1 . i−1 3. (Nachgl¨ attung) F¨ ur i = ν1 + 2, ..., ν1 + ν2 + 1 berechne uim aus um als L¨ osung von i−1 −1 (uim − um , v)m = ωm {lm (v) − a(ui−1 m , v)} ∀v ∈ Xm .

R 9.3 Bemerkung: (1) Es ist lR (v) = l(v) = Ω f v. Die rechten Seiten lm zu den gr¨oberen Triangulierungen werden rekursiv berechnet. (2) Die D¨ampfungsparameter ωm werden sp¨ater bestimmt. (3) Die Gleichungssysteme in den Gl¨attungsschritten haben eine diagonale Koeffizientenmatrix. (4) Die Grobgitterkorrektur nutzt aus, daß die Finite Element R¨aume geschachtelt sind, d.h. Xm−1 ⊂ Xm . In der Praxis stellt man um und um−1 als Vektoren dar, deren Komponenten die Werte in den entsprechenden Gitterpunkten sind. Insbesondere muß um−1 vom Gitter Gm−1 auf das Gitter Gm interpoliert werden. Da die Bilinearform a symmetrisch ist, besitzt sie auf jedem Xm einen vollst¨andigen Satz λm,1 , ..., λm,nm , nm := dim Xm , von Eigenwerten und zugeh¨origen, bzgl. (., .)m orthonormierten Eigenfunktionen ψm,1 , ..., ψm,nm : a(ψm,µ , v) = λm,µ (ψm,µ , v)m (ψm,µ , ψm,ν )m = δµν .

∀v ∈ Xm

O.E. k¨onnen wir die Eigenwerte der Gr¨oße nach ordnen 0 < λm,1 < ... < λm,nm =: Λm . 55

Da die Triangulierungen uniform sind, folgt aus Satz 9.1 Λm ∼ h−2 m . Wir nehmen im folgenden an, daß ωm = Λm ist. Es reicht jedoch, wenn ωm ≥ Λm und ωm ∼ h−2 m ist. Jedes v ∈ Xm l¨aßt sich eindeutig darstellen als v=

nm X

cµ ψm,µ .

µ=1

F¨ ur s ∈ IR k¨onnen wir daher durch |||v|||s,m :=

nm nX

λsm,µ c2µ

µ=1

o1/2

eine Norm auf Xm definieren. Aus den Voraussetzungen folgt f¨ ur alle v ∈ Xm |||v|||0,m = kvkhm ' kvkL2 (Ω) , |||v||| = a(v, v)1/2 ∼ = kvkH 1 (Ω) . 1,m

¨ Dabei bedeutet ”'” Aquivalenz von Normen mit von m unabh¨angigen Konstanten. Sind v, w ∈ Xm mit v = Σcµ ψm,µ , w = Σdµ ψm,µ , so folgt aus der CauchySchwarz’schen Ungleichung f¨ ur Summen und der Orthogonalit¨at der Eigenfunktionen a(v, w) = ≤

nm X

λm,µ cµ dµ

µ=1 nm nX

c2µ

µ=1

nm o1/2 nX

λ2m,µ d2µ

µ=1

o1/2

(1)

=|||v|||0,m |||w|||2,m . 9.4 Satz: Xm−1 und

Bezeichne mit Qm : Xm → Xm−1 die Ritz-Projektion, d.h. Qm v ∈ a(Qm v, w) = a(v, w)

∀w ∈ Xm−1 .

Dann gilt f¨ ur alle v ∈ Xm |||v − Qm v|||1,m ≤ chm |||v|||2,m . Die Konstante c h¨ angt nicht von m ab. Beweis: Aus der Definition der Ritz-Projektion und (1) folgt 2

|||v − Qm v|||1,m =a(v − Qm v, v − Qm v) =a(v − Qm v, v)

≤|||v − Qm v|||0,m |||v|||2,m

≤ckv − Qm vk0,m |||v|||2,m . 56

Da Ω konvex ist, folgt aus Satz 2.2 kv − Qm vk0 ≤chm−1 kv − Qm vk1

≤c0 hm−1 |||v − Qm v|||1,m .

Wegen hm−1 ≤ chm folgt hieraus die Behauptung.

Als n¨achstes definieren wir einen Operator J : Xm → Xm durch (Jv, w)m = (v, w)m − Λ−1 m a(v, w)

∀w ∈ Xm .

J beschreibt die Fehlerfortpflanzung in den Gl¨attungsschritten von Algorithmus 9.2. Ist v ∈ Σcµ ψm,µ , so folgt nm X λm,µ Jv = cµ (1 − )ψm,µ . Λm µ=1

Insbesondere ist J symmetrisch positiv semi-definit bzgl. des Skalarproduktes a(., .). Definiere f¨ ur v ∈ Xm |v| :=a(v, Jv)1/2 ( 2 |v|

2

|||v|||1,m 0

ρ(v) :=

, falls v 6= 0, , falls v = 0.

Dann gilt offensichtlich f¨ ur v ∈ Xm

|v| = |||J 1/2 v|||1,m ,

9.5 Satz:

0 ≤ ρ(v) ≤ 1.

Sei v ∈ Xm und ρ := ρ(J ν v). Dann gilt

|||J ν v|||1,m ≤ ρν |||v|||1,m .

Beweis: Schreibe v = Σcµ ψm,µ und setze zur Abk¨ urzung σµ := 1 − λm,µ /Λm . Dann folgt mit der H¨older’schen Ungleichung nm X 2 |||J ν v|||1,m = λm,µ σµ2ν c2µ µ=1

≤

nm nX

λm,µ σµ2ν+1 c2µ

µ=1

nm o2ν/2ν+1 nX

λm,µ c2µ

µ=1

4ν/2ν+1

=|||J ν+1/2 v|||1,m

2/2ν+1

|||v|||1,m

o1/2ν+1

.

Bilden wir die (ν + 21 )-te Potenz dieser Ungleichung, so erhalten wir 2ν+1

2ν

|||J ν v|||1,m ≤|||J ν+1/2 v|||1,m |||v|||1,m =|J ν v|2ν |||v|||1,m .

Hieraus folgt |||J ν v|||1,m ≤

n

|J ν v| o2ν |||v|||1,m = ρν |||v|||1,m . |||J ν v|||1,m 57

9.6 Satz:

Sei v ∈ Xm und ρ := ρ(v). Dann gilt

© p ª |||[I − Qm ]v|||1,m ≤ min 1, c 1 − ρ |||v|||1,m .

Dabei ist c die Konstante aus Satz 9.4.

Beweis: Da I − Qm eine Projektion ist, ist |||[I − Qm ]v|||1,m ≤ |||v|||1,m . Weiter ist mit v = Σcµ ψm,µ 2

|||v|||1,m − |v|2 = =

nm X

µ=1 nm X

c2µ λm,µ −

nm X

µ=1

c2µ λm,µ (1 −

λm,µ ) Λm

2 2 Λ−1 m λm,µ cµ

µ=1

2

=Λ−1 m |||v|||2,m . Hieraus und aus Satz 9.4 folgt 2

2

|||[I − Qm ]v|||1,m ≤c2 h2m |||v|||2,m

2

=c2 h2m Λm (1 − ρ)|||v|||1,m .

Da Λm ∼ h−2 m ist, folgt hieraus die Behauptung.

Nach diesen Vorbereitungen k¨onnen wir nun die Konvergenz von Algorithmus 9.2 beweisen. 9.7 Satz: Bezeichne mit δm die Konvergenzrate von Algorithmus 9.2 mit ν1 = ν2 = ν auf dem m-ten Gitter gemessen in der |||.|||1,m -Norm. Dann gilt mit der Konstanten c aus Satz 9.4 c . δm ≤ c + 2ν Beweis: Bezeichne mit u∗m die L¨osung der Finite Element Probleme auf dem m-ten Gitter und mit eim den Fehler im i-ten Schritt von Algorithmus 9.2. Dann gilt eν+1 =eνm − u∗m−1 + u∗m−1 − u ˜m−1 m 1 (u∗ −u ˜m−1 ) =eνm − u∗m−1 + δm−1 δm−1 m−1 =[I − Qm ]eνm + δm−1 wm−1 −1 mit wm−1 := δm−1 (u∗m−1 − u ˜m−1 ) ∈ Xm−1 und

|||wm−1 |||1,m−1 ≤ |||u∗m−1 |||1,m−1 . 58

Wegen der Galerkin Orthogonalit¨at a((I − Qm )v, w) = 0

∀v ∈ Xm , w ∈ Xm−1

folgt

2

|||[I − Qm ]eνm + wm−1 |||1,m 2

2

2

2

2

2

2

2

=|||[I − Qm ]eνm |||1,m + |||wm−1 |||1,m

=|||[I − Qm ]eνm |||1,m + |||wm−1 |||1,m−1 ≤|||[I − Qm ]eνm |||1,m + |||u∗m−1 |||1,m−1

=|||[I − Qm ]eνm |||1,m + |||u∗m−1 |||1,m 2

=|||[I − Qm ]eνm + u∗m−1 |||1,m | {z } =Qm eν m

2

=|||eνm |||1,m .

Sei nun w ∈ Xm mit |||w|||1,m = 1 beliebig. Dann gilt 2ν+1 , w) a(em

=a(J ν eν+1 m , w) ν =a(eν+1 m , J w)

=a([I − Qm ]eνm + δm−1 wm−1 , J ν w) =(1 − δm−1 )a([I − Qm ]eνm , J ν w)

+ δm−1 a([I − Qm ]eνm + wm−1 , J ν w).

Da I − Qm ein Projektor bzgl. des Skalarproduktes a(., .) ist, folgt f¨ ur den ersten Summanden a([I − Qm ]eνm , J ν w) =a([I − Qm ]eνm , [I − Qm ]J ν w)

≤|||[I − Qm ]eνm |||1,m |||[I − Qm ]J ν w|||1,m .

F¨ ur den zweiten Summanden gilt

a([I − Qm ]eνm + wm−1 , J ν w)

≤|||[I − Qm ]eνm + wm−1 |||1,m |||J ν w|||1,m ≤|||eνm |||1,m |||J ν w|||1,m .

Aus diesen beiden Absch¨atzungen folgt mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung 2ν+1 a(em , w)

≤(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]eνm |||1,m |||[I − Qm ]J ν w|||1,m + δm−1 |||eνm |||1,m |||J ν w|||1,m

2

2

≤{(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]eνm |||1,m + δm−1 |||eνm |||1,m }1/2 2

2

{(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]J ν w|||1,m + δm−1 |||J ν w|||1,m }1/2 . 59

Wegen der S¨atze 9.5 und 9.6 ist 2

2

(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]eνm |||1,m + δm−1 |||eνm |||1,m 2

2

=(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]J ν e0m |||1,m + δm−1 |||J ν e0m |||1,m n o p 2 ≤ (1 − δm−1 ) min{1, c 1 − ρ(J ν e0m )}2 + δm−1 ρ(J ν e0m )2ν |||e0m |||1,m

und

2

2

(1 − δm−1 )|||[I − Qm ]J ν w|||1,m + δm−1 |||J ν w|||1,m n o p 2 ≤ (1 − δm−1 ) min{1, c 1 − ρ(J ν w)}2 + δm−1 ρ(J ν w)2ν |||w|||1,m .

Da

|||e2ν+1 |||1,m =

sup

a(e2ν+1 , w)

w∈Xm

|||w|||1,m =1

ist, folgt hieraus n £ ¤o |||e2ν+1 |||1,m ≤ |||e0 |||1,m max ρ2ν δm−1 + (1 − δm−1 ) min{1, c(1 − ρ)} . 0≤ρ≤1

Also ist

n

δm ≤ max ρ 0≤ρ≤1

2ν

£

¤o δm−1 + (1 − δm−1 ) min{1, c(1 − ρ)} .

Da auf dem gr¨obsten Gitter exakt gel¨ost wird, gilt δ0 = 0 ≤

c . c + 2ν

Wir nehmen nun an, die Behauptung sei f¨ ur m − 1 gezeigt. Man u ¨berlegt sich leicht, daß die Funktion n £ ¤o δ → max ρ2ν δ + (1 − δ) min{1, c(1 − ρ)} 0≤ρ≤1

auf [0, 1] monoton wachsend ist. Daher folgt aus der Induktionsannahme n £ c ¤o 2ν δm ≤ max ρ2ν + min{1, c(1 − ρ)} 0≤ρ≤1 c + 2ν c + 2ν n £ c ¤o c2ν + (1 − ρ) ≤ max ρ2ν 0≤ρ≤1 c + 2ν c + 2ν n o c = max ρ2ν [2ν + 1 − 2νρ] c + 2ν 0≤ρ≤1 c = . c + 2ν

Denn die Funktion ρ → ρ2ν [2ν + 1 − 2νρ] ist monoton wachsend auf [0, 1] und nimmt den Wert 1 im Punkt 1 an. 60

9.8 Satz: Sei δ˜m die Konvergenzrate von Algorithmus 9.2 mit ν1 = ν, ν2 = 0 auf dem m-ten Gitter gemessen in der |||.|||1,m -Norm. Dann gilt mit der Konstanten c aus Satz 9.4 h c i1/2 δ˜m ≤ . c + 2ν Beweis: Sei M der Operator e0m → eν+1 des Algorithmus 9.2 mit ν1 = ν, ν2 = 0. m Dann beschreibt der bzgl. des Skalarproduktes a(., .) adjungierte Operator M ∗ die Fehlerfortpflanzung von Algorithmus 9.2 mit ν1 = 0, ν2 = ν. Insbesondere beschreibt M ∗ M die Fehlerfortpflanzung von Algorithmus 9.2 mit ν1 = ν2 = ν. Damit folgt aus Satz 9.7 kM k2L((X ,|||.||| ),(X ,|||.||| )) m

1,m

m

1,m

∗

=kM M kL((X ,|||.||| ),(X ,|||.||| )) m m 1,m 1,m c . ≤ c + 2ν

Der Beweis von Satz 9.7 beruht wesentlich auf den Annahmen (1) – (3), d.h. daß Ω konvex ist und die Gitter uniform sind. Die Konvexit¨at von Ω wird in Satz 9.4 ben¨otigt, da dort das Dualit¨atsargument von Aubin-Nitsche benutzt wird, das die H 2 -Regularit¨at der Differentialgleichung voraussetzt. Die Uniformit¨at der Gitter wird f¨ ur die inverse Absch¨atzung zur Kontrolle des gr¨oßten Eigenwertes der Steifigkeitsmatrix ben¨otigt. Diese Einschr¨ankungen sind f¨ ur die Praxis zu restriktiv. Ebenso hat sich gezeigt, daß man mit anderen Gl¨attern als der simplen Jacobi Iteration in Algorithmus 9.2 wesentlich bessere Konvergenzraten erzielen kann. Die genannten Nachteile k¨onnen mit einem allgemeineren, abstrakten Zugang, der in den letzten Jahren entwickelt wurde und als Teilraum-Korrektur-Methode (TRK) bekannt ist, vermieden werden. Wir wollen diesen Zugang und die entsprechende Konvergenzanalyse im folgenden kurz darstellen. Dazu betrachten wir folgende abstrakte Situation: - V ist ein endlich dimensionaler Hilbertraum mit Skalarprodukt (., .). PN - V1 , ..., VN sind Untervektorr¨aume von V mit V = i=1 Vi (diese Zerlegung ist in der Regel weder direkt noch gar orthogonal).

- Qi : V → Vi sind die orthogonalen Projektionen bzgl. (., .).

- A : V → V ist ein symmetrischer, positiv definiter Operator.

- Ai : Vi → Vi ist die Einschr¨ankung von A auf Vi , d.h. (Ai u, v) = (Au, v) Vi .

∀u, v ∈

- Ri : Vi → Vi ist eine leicht berechenbare, symmetrisch positiv definite Approximation an A−1 i . 61

Im Rahmen dieser Vorlesung ist V ein Finite Element Raum, (., .) ist das L2 -Skalarprodukt oder ein dazu ¨aquivalentes Skalarprodukt wie z.B. (., .)h und A wird durch eine symmetrische, koerzive Bilinearform erzeugt. Zu l¨osen ist das Problem Au = f. Dies geschieht mit folgendem Algorithmus: 9.9 Algorithmus: (Teilraum-Korrektur-Methode) 0. Gegeben: Startn¨ aherung u0 ∈ V . 1. F¨ ur n = 0, 1, ... und j = 1, ..., N berechne un+j/N := un+(j−1)/N + Rj Qj (f − Aun+(j−1)/N ). 9.10 Beispiel: (1) Sei V = IRN und Vi = span{ei }. Dann ist Algorithmus 9.9 das Gauß-Seidel Verfahren. −1 (2) Sei V = XhN , Vi = Xhi , R0 = A−1 0 und Ri = ωi I, i > 0. Dann ist Algorithmus 9.9 der Mehrgitteralgorithmus 9.2 mit ν1 = 1, ν2 = 0. Durch passende Wahl der Ri kann man auch den Fall ν1 > 1 und andere Gl¨atter ber¨ ucksichtigen. F¨ ur die Konvergenzanalyse von Algorithmus 9.9 setzen wir λ := min λmin (Ri Ai ), 1≤i≤N

Λ := max λmax (Ri Ai ), 1≤i≤N

Ti := Ri Qi A. Aus den Voraussetzungen folgt 0 < λ ≤ Λ. Durch entsprechende Skalierung kann man o.E. erreichen, daß Λ < 2 ist. Wir bezeichnen mit |||.||| die zu A geh¨orige Energienorm, d.h. |||u||| := (Au, u)1/2 ∀u ∈ V. F¨ ur Finite Element Diskretisierungen der Reaktions-Diffusions Gleichung ist insbesondere |||.||| zur H 1 -Norm ¨aquivalent. 9.11 Satz:

Es gebe zwei Konstanten K0 und K1 mit N nX i=1

|||vi |||

2

o1/2

≤ K0 |||v|||

∀v =

N X i=1

vi ∈ V

und X

1≤i,j≤N

(Avi , wj ) ≤ K1

N nX i=1

|||vi |||

2

N o1/2 nX j=1

62

|||wj |||

2

o1/2

∀vi ∈ Vi , wj ∈ Vj .

Weiter sei Λ < 2. Dann ist die Konvergenzrate von Algorithmus 9.9 gemessen in der Norm |||.||| kleiner oder gleich h

¢¡ λ ¢2 i1/2 ¡2 −1 . 1− Λ ΛK0 K1

Beweis: Sei u die exakte L¨osung von Au = f . Aus Algorithmus 9.9 folgt u − un+j/N = (I − Tj )(u − un+(j−1)/N ) und somit u − un+1 = (I − TN )...(I − T1 )(u − un ). Setze zur Abk¨ urzung E0 := I Ej := (I − Tj )...(I − T1 )

, 1 ≤ j ≤ N.

Dann m¨ ussen wir zeigen, daß f¨ ur alle v ∈ V gilt h ¡2 ¢¡ λ ¢2 i1/2 |||EN v||| ≤ 1 − −1 |||v|||. Λ ΛK0 K1

(2)

Aus der Definition der Ej folgt sofort

−Ej + Ej−1 = Tj Ej−1

∀1 ≤ j ≤ N.

Bezeichne mit Pi : Vi → Vi die orthogonale Projektion bzgl. des Skalarproduktes (A., .). Dann folgt Qi A = Ai Pi und damit

(Ri Ai )−1 Ti =(Ri Ai )−1 Ri Qi A =(Ri Ai )−1 Ri Ai Pi = Pi ,

d.h. (Ri Ai )−1 Ti ist die orthogonale Projektion von V auf Vi bzgl. (A., .). Damit folgt f¨ ur beliebiges v ∈ V 2

|||Ej−1 v||| − |||Ej v|||

2

2

=|||Tj Ej−1 v + Ej v||| − |||Ej v|||

2

=(ATj Ej−1 v, Tj Ej−1 v) + 2(ATj Ej−1 v, Ej v) =(ATj Ej−1 v, Tj Ej−1 v) + 2(ATj Ej−1 v, (I − Tj )Ej−1 v) =(ATj Ej−1 v, (2I − Tj )Ej−1 v) ≥(2 − Λ)(ATj Ej−1 v, Ej−1 v). 63

Summieren wir diese Ungleichung von j = 1 bis N , so erhalten wir 2

2

|||v||| − |||EN v||| N n o X 2 2 = |||Ej−1 v||| − |||Ej v|||

(3)

j=1

≥(2 − Λ)

N X

(ATj Ej−1 v, Ej−1 v).

j=1

PN −1 Schreibe v = Ti die orthogonale Projektion bzgl. (A., .) ist, i=1 vi . Da (Ri Ai ) folgt aus der Chauchy-Schwarz’schen Ungleichung und der ersten Voraussetzung des Satzes 9.11 2 |||v||| =(Av, v) =

N X

(Av, vi )

i=1

=

N X

(A(Ri Ai )−1 Ti vi vi )

i=1

≤λ

−1

(ATi v, vi )

i=1

≤λ−1 ≤λ

N X

−1

N X i=1

|||Ti v||||||vi |||

N nX i=1

|||Ti v|||

≤λ−1 K0 |||v||| Also ist

2

N nX

|||v||| ≤ λ−1 K0

i=1

N o1/2 nX i=1

|||Ti v|||

N nX i=1

2

|||vi |||

o1/2

|||Ti v|||

2

2

o1/2

.

o1/2

.

(4)

Aus der zweiten Voraussetzung von Satz 9.11 folgt N X i=1

2

|||Ti v||| = =

N X

N nX i−1 X i=1

=

(ATi v, Ti v)

i=1

j=1

N nX i−1 X i=1

(ATi v, Ti (Ej−1 − Ej )v) + (ATi v, Ti Ei−1 v) (ATi v, Ti Tj Ej−1 v) + (ATi v, Ti Ei−1 v)

j=1

64

o

o

≤Λ

i−1 N X X i=1 j=1

≤ΛK1 und somit

N X i=1

(ATi v, Tj Ej−1 v)

N nX i=1

2

|||Ti v||| ≤Λ

2

=Λ

2

|||Ti v|||

K12

N X j=1

K12

N X

2

N o1/2 nX j=1

|||Tj Ej−1 v|||

|||Tj Ej−1 v|||

2

o1/2

2

(ATj Ej−1 v, Tj Ej−1 v)

(5)

j=1

≤Λ

3

K12

N X

(ATj Ej−1 v, Ej−1 v).

j=1

Aus den Absch¨atzungen (3) – (5) erhalten wir 2

|||v||| − |||EN v||| ≥(2 − Λ)

N X

2

(ATj Ej−1 v, Ej−1 v)

i=1

≥(2 − Λ)Λ−3 K1−2 ≥(2 − Λ)Λ

−3 2

λ

N X

|||Ti v|||

2

i=1 2 −2 −2 K0 K1 |||v||| .

Hieraus folgt offensichtlich (2) und damit die Behauptung des Satzes. 9.12 Bemerkung: (1) Wegen der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung ist die zweite Voraussetzung von Satz 9.11 stets mit K1 ≤ N erf¨ ullt. F¨ ur Mehrgitterverfahren bedeutet die Absch¨atzung K1 ≤ N , daß die Konvergenzrate von Algorithmus 9.9 sich schlimmstenfalls wie 1/ln|hN | verh¨alt. H¨ aufig kann man jedoch eine versch¨ arfte Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung (Avi , wj ) ≤ γ |i−j| |||vi ||||||wj ||| 1 . mit γ ∈ (0, 1) beweisen. Dann ist K1 ≤ 1−γ N X (2) Da nach Voraussetzung V = Vi ist, ist die Abbildung i=1

V1 × ... × VN 3 (v1 , ..., vN ) → 65

N X i=1

vi ∈ V

linear, stetig und surjektiv. Aus dem Satz von der offenen Abbildung (§ II.5 Yosida: Functional Analysis) folgt daher, daß die erste Voraussetzung von Satz 9.11 ebenfalls stets erf¨ ullt. Die Schwierigkeit besteht darin, eine explizite Absch¨atzung von K0 , die m¨oglichst nicht von N abh¨angt, zu finden. Mit Hilfe allgemeiner S¨atze der Approximationstheorie und tiefliegender Charakterisierungen der Sobolev R¨aume ist dies im Rahmen von Mehrgitterverfahren f¨ ur Finite Element Diskretisierungen in der Tat m¨oglich.

10. A posteriori Fehlersch¨ atzung und adaptive Gitterverfeinerung In den §§ 6 – 7 haben wir sog. a priori Fehlerabsch¨ atzungen gezeigt, d.h. wir haben den Fehler der Finite Element Diskretisierung abgesch¨atzt, ohne dazu das entsprechende diskrete Problem zu l¨osen. Die Fehlerabsch¨atzungen sind alle asymptotisch, d.h. sie sagen etwas u ¨ber die Konvergenzgeschwindigkeit des Fehlers aus, wenn die Elementgr¨oßen gegen Null streben. F¨ ur ein gegebenes Problem und eine gegebene Unterteilung sind sie aber unbrauchbar, da sie u.a. von Normen der unbekannten L¨osung der Differentialgleichung abh¨angen. F¨ ur die Praxis stellt sich aber nat¨ urlich die Frage nach dem tats¨achlichen Fehler der berechneten Finite Element L¨osung. Zudem will man i.a. eine bestimmte Genauigkeit mit minimalem Aufwand, d.h. m¨oglichst wenigen Elementen erreichen. Diese Fragen werden durch a posteriori Fehlerabsch¨ atzungen und adaptive Gitterverfeinerungstechniken gel¨ost. Hiermit wollen wir uns in diesem Abschnitt besch¨aftigen. Um die wesentlichen Prinzipien herauszuarbeiten und um technische Schwierigkeiten zu vermeiden, beschr¨anken wir uns auf die Reaktions-Diffusions Gleichung in Ω ⊂ IR2 mit homogenen Dirichlet Randbedingungen und Dreieckselemente der k,0 Ordnung k ≥ 1, d.h. Th besteht aus Dreiecken und Xh = Sh,0 . Zun¨achst m¨ ussen wir einige zus¨atzliche Notationen einf¨ uhren. Die Menge aller Dreieckskanten, die im Innern von Ω liegen, bezeichnen wir mit Eh . Jedes E ist dann die gemeinsame Kante von genau zwei Dreiecken, die wir mit KE1 und KE2 bezeichnen. Jedem E ∈ Eh ordnen wir einen Einheitsvektor nE , der senkrecht auf E steht, zu und bezeichnen f¨ ur st¨ uckweise stetige Funktionen ϕ mit [ϕ]E den Sprung von ϕ u ¨ber E in Richtung nE , d.h. [ϕ]E (x) = lim ϕ(x + tnE ) − lim ϕ(x − tnE ) t→0+

t→0+

∀x ∈ E.

Der Sprung [ϕ]E h¨angt von der Orientierung von nE ab. Gr¨oßen der Form [nE ∇ϕ]E sind aber von der Orientierung von nE unabh¨angig. F¨ ur E ∈ Eh bezeichnet hE die L¨ange von E. Wegen der Regularit¨atsbedingung der §§ 6 – 7 k¨onnen Gr¨oßen der Form hK /hK 0 und hK /hE mit K ∩ K 0 6= ∅ und E ∩ K 6= ∅ nach oben und unten 66

durch die Konstante cT abgesch¨atzt werden. Schließlich ben¨otigen wir verschiedene Umgebungen von Punkten z ∈ Nh , Kanten E ∈ Eh und Dreiecken K ∈ Th : [ K 0, ωz := suppvz = z∈K 0

[

ωK :=

K 0,

K∩K 0 ∈Eh

[

ω ˜ K :=

K 0,

K∩K 0 6=∅

[

ωE :=

K 0,

E⊂∂K 0

ω ˜ E :=

[

K 0.

E∩K 0 6=∅ 1,0 Dabei ist vz ∈ Sh,0 die nodale Basisfunktion zu z, und K ∩ K 0 ∈ Eh bedeutet, daß K und K 0 eine Kante gemeinsam haben.

Im folgenden bezeichnen u ∈ H01 (Ω) und uh ∈ Xh die schwache L¨osung der Reaktions-Diffusions Gleichung und ihre Finite Element Approximation. Wegen des Existenzsatzes 3.3 und der Friedrich’schen Ungleichung 1.15 gibt es eine Konstante β > 0 mit βku − uh k21 ≤ a(u − uh , u − uh ). β h¨angt von Ω und den Koeffizienten A und α des Differentialoperators ab. Aus dieser Absch¨atzung folgt insbesondere Stabilit¨ at, d.h. ku − uh k1 ≤

1 β

sup a(u − uh , v).

(1)

v∈H 1 (Ω) 0 kvk1 =1

Da Xh ⊂ H01 (Ω) ist, haben wir Galerkin-Orthogonalit¨ at des Fehlers, d.h. a(u − uh , vh ) = 0 ∀vh ∈ Xh .

(2)

Die Abbildung v → a(u − uh , v) = l(v) − a(uh , v) definiert ein stetiges lineares Funktional auf H01 (Ω). Dies ist das Residuum. Als n¨achstes wollen wir eine Darstellung des Residuums angeben, die praktisch handhabbar ist. Sei dazu v ∈ H01 (Ω) mit kvk1 = 1 beliebig, aber fest. Anwenden des Gauß’schen Integralsatzes auf jedem Element K ∈ Th liefert a(u − uh , v)

=l(v) − a(uh , v) Z Z © T ª = fv − ∇uh A∇v + αuh v Ω Ω Z Z o X nZ T αuh v fv − ∇uh A∇v − = K∈Th

K

K

K

67

=

X nZ

K∈Th

=

fv + K

X Z ©

K∈Th

K

Z

K

∇ · (A∇uh )v − ª

Z

∂K

f + ∇ · (A∇uh ) − αuh v −

nK · A∇uh v − X Z

E∈Eh

E

Z

αuh v K

o

(3)

[nE · A∇uh ]E v.

Dabei bezeichnet nK die ¨außere Normale zu K. Wegen der Galerkin Orthogonalit¨at (2) k¨onnen wir auf der rechten Seite von (3) eine beliebiges Element vh ∈ Xh von v subtrahieren. Aus der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung f¨ ur Integrale folgt dann a(u − uh , v) ≤

X

K∈Th

+

kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL2 (K) kv − vh kL2 (K)

X

E∈Eh

k[nE · A∇uh ]E kL2 (E) kv − vh kL2 (E) .

(4)

Als n¨achstes m¨ ussen wir vh ∈ Xh geschickt w¨ahlen, so daß die Normen kv − vh kL2 (K) und kv − vh kL2 (E) m¨oglichst klein werden. Wegen der Ergebnisse der §§ 6,7 sind wir versucht, vh = Ih v zu w¨ahlen. Dies ist aber nicht m¨oglich, da v nur aus H01 (Ω) ist und damit Ih v gar nicht definiert ist. Statt dessen konstruieren wir einen sog. Quasi1,0 wie folgt. F¨ ur jedes z ∈ Nh bezeichnen Interpolationsoperator Rh : H01 (Ω) → Sh,0 wir mit πz : L2 (ωz ) → IR die orthogonale Projektion, d.h. 1 πz ϕ := |ωz |

Z

ϕ. ωz

Dabei ist |ωz | die Fl¨ache von ωz . Dann ist Rh ϕ :=

X

(πz ϕ)vz .

(5)

z∈Nh,Ω

Man beachte, daß Rh ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ L1 (Ω) definiert ist und daß nur u ¨ber die Dreieckseckpunkte im Innern von Ω summiert wird. 10.1 Satz: Es gibt zwei Konstanten c1 , c2 die nur von der Konstanten cT in der Regularit¨ atsbedingung an Th abh¨ angen, so daß f¨ ur alle v ∈ H01 (Ω), alle Dreiecke K ∈ Th und alle Kanten E ∈ Eh gilt kv − Rh vkL2 (K) ≤ c1 hK |v|H 1 (˜ωK ) , 1/2

kv − Rh vkL2 (E) ≤ c2 hE |v|H 1 (˜ωE ) .

Beweis: 1. Schritt: Aus der Poincar´e’schen Ungleichung 1.21 folgt f¨ ur jedes z ∈ Nh 1 und jedes ϕ ∈ H (ωz ) kϕ − πz ϕkL2 (ωz ) ≤ diam(ωz )|ϕ|H 1 (ωz ) . 68

Wegen der Regularit¨atsannahme an Th gibt es eine Konstante c0 mit diam(ωz ) ≤ c0 hK f¨ ur jedes Dreieck K, das z als Eckpunkt hat. ˆ die horizontale Kante des Referenz-Dreiecks K. ˆ Wegen 2. Schritt: Bezeichne mit E ˆ gilt des Spursatzes 1.12 gibt es eine Konstante cˆ, so daß f¨ ur alle ϕ ∈ H 1 (K) kϕkL2 (E) ˆkϕkH 1 (K) ˆ ≤c ˆ . Seien nun K ∈ Th ein beliebiges Dreieck, E eine Kante von K und ϕ ∈ H 1 (K). ˆ → K so, daß E ˆ auf E abgebildet wird. W¨ahle die affine Transformation FK : K 1 ˆ Setze ϕˆ := ϕ ◦ FK ∈ H (K). Wegen der Regularit¨atsannahme an Th gilt −1/2

1/2

hE |detDFK |−1/2 ≤ chK

1/2

1/2

−1 hE |detDFK |−1/2 |||DFK ||| ≤ chK .

,

ˆ Damit folgt durch Transformation auf K 1/2

kϕkL2 (E) =hE kϕk ˆ L2 (E) ˆ 1/2

≤ˆ chE kϕk ˆ H 1 (K) ˆ n o1/2 1/2 2 ˆ 2L2 (K) =ˆ chE kϕk + | ϕ| ˆ ˆ ˆ H 1 (K) n 1/2 ≤ˆ chE |detDFK |−1 kϕk2L2 (K) ˆ

2

−1 + |detDFK |−1 |||DFK ||| |ϕ|2H 1 (K) o n −1/2 1/2 ≤ˆ cc hK kϕkL2 (K) + hK |ϕ|H 1 (K) .

o1/2

3. Schritt: Sei K ∈ Th ein Dreieck, das keinen Eckpunkt auf dem Rand Γ hat. Bezeichne die Menge der Eckpunkte von K mit N (K). Dann ist X vz = 1 auf K. z∈N (K)

Damit folgt aus Schritt 1 kv − Rh vkL2 (K) =k ≤ ≤ ≤ ≤

X

z∈N (K)

X

z∈N (K)

X

z∈N (K)

X

z∈N (K)

X

z∈N (K)

vz (v − πz v)kL2 (K)

kvz (v − πz v)kL2 (K) kv − πz vkL2 (K) kv − πz vkL2 (ωz ) chK |v|H 1 (ωz )

≤c0 hK |v|H 1 (˜ωK ) . 69

4. Schritt: Betrachte nun ein Dreieck K, das mindestens einen Eckpunkt auf dem Rand Γ hat. Dann gilt auf K X X v − Rh v = vz v − vz πz v z∈N (K)

=

X

z∈N (K)

z∈N (K)∩Nh,Ω

vz (v − πz v) +

X

v z πz v

z∈N (K)\Nh,Ω

und somit kv − Rh vkL2 (K) X kvz (v − πz v)kL2 (K) + ≤ z∈N (K)

X

z∈N (K)\Nh,Ω

kvz πz vkL2 (K) .

Der erste Summand wurde bereits in Schritt 3 abgesch¨atzt. Sei also z ∈ N (K)\Nh,Ω ein Eckpunkt von K, der auf Γ liegt. Dann ist kvz πz vkL2 (K) ≤ chK |πz v|. Da z ∈ Γ ist, gibt es ein Dreieck K 0 ∈ Th und eine Kante E 0 von K 0 , so daß z ein Endpunkt von E 0 und E 0 ⊂ Γ ist. Da u auf E 0 verschwindet, folgt mit Schritt 2 −1/2

|πz v| =hE 0

kπz vkL2 (E 0 )

n

−1/2 −1/2 hE 0 hK 0 kv

−1/2 =hE 0 kv

≤ˆ cc

n

− πz vkL2 (E 0 ) − πz vkL2 (K 0 ) +

−1/2 1/2 hE 0 hK 0 |v

o

− πz v|H 1 (K 0 )

≤ˆ cc0 h−1 K kv − πz vkL2 (K 0 ) + |v|H 1 (K 0 ) .

o

Dabei haben wir ausgenutzt, daß |v − πz v|H 1 (K 0 ) = |v|H 1 (K 0 ) ist, da πz v konstant ist. Aus diesen Absch¨atzungen folgt die Behauptung f¨ ur K. 5. Schritt: Sei E ∈ Eh eine Kante, die keinen Eckpunkt auf dem Rand Γ hat. Bezeichne mit N (E) die Menge der Eckpunkte von E. Dann ist X vz = 1 auf E. z∈N (E)

Hieraus und aus Schritt 1 und 2 folgt kv − Rh vkL2 (E) =k ≤ ≤

X

z∈N (E)

X

z∈N (E)

X

z∈N (E)

70

vz (v − πz v)kL2 (E)

kvz (v − πz v)kL2 (E) kv − πz vkL2 (E)

≤

X

z∈N (E)

n −1/2 cˆc hKE kv − πz vkL2 (KE ) 1/2

≤

X

z∈N (E)

+ hKE |v − πz v|H 1 (KE ) 1/2

cˆchKE |v|H 1 (ωz )

o

1/2

≤ˆ cc0 hE |v|H 1 (˜ωE ) . Dabei bezeichnet KE ein Dreieck, das E als Kante hat. 6. Schritt: Betrachte nun eine Kante E, die einen Endpunkt auf dem Rand Γ hat. Dann ist auf E v − Rh v =

X

z∈N (E)

vz (v − πz v) +

X

vz πz v.

z∈N (E)\Nh,Ω

Der erste Summand wird wie in Schritt 5 abgesch¨atzt. Der zweite Summand wird mit den gleichen Methoden wie in Schritt 4 behandelt. Hieraus folgt dann die Behauptung f¨ ur E. Wir greifen nun die Absch¨atzung (4) wieder auf. Wir setzen vh = Rh v, benutzen Satz 10.1 und wenden die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung f¨ ur endliche Summen an: a(u − uh , v) X hK kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL2 (K) |v|H 1 (˜ωK ) ≤c1 K∈Th

X

+ c2

1/2

E∈Eh

≤c1

nX

K∈Th

+ c2

hE k[nE · A∇uh ]E kL2 (E) |v|H 1 (˜ωE )

h2K kf

nX

E∈Eh

≤c0 |v|1

nX

hE k[nE · A∇uh ]E k2L2 (E)

K∈Th

+

+ ∇ · (A∇uh ) −

αuh k2L2 (K)

o1/2 n X

o1/2 n X

E∈Eh

K∈Th

|v|2H 1 (˜ωK )

|v|2H 1 (˜ωE )

o1/2

o1/2

h2K kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh k2L2 (K)

X

E∈Eh

hE k[nE · A∇uh ]E k2L2 (E)

o1/2

.

Dabei haben wir im letzten Schritt die Regularit¨atsbedingung an Th ausgenutzt. Hieraus und aus (1) folgt insgesamt ku − uh k1 ≤ cη 71

(6)

mit η :=

nX

2 ηK

K∈Th

o1/2

,

n ηK := h2K kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh k2L2 (K) +

1 2

X

E⊂∂K\Γ

hE k[nE · A∇uh ]E k2L2 (E)

(7) o1/2

.

ucksichtigt, daß bei Summation u ¨ber Der Faktor 12 vor der zweiten Summe in ηK ber¨ alle Dreiecke jede innere Kante doppelt gez¨ahlt wird. Ungleichung (6) ist eine a posteriori Fehlerabsch¨ atzung. Die Gr¨oße η kann aus den gegebenen Daten f, A, α und der berechneten numerischen L¨osung uh a posteriori berechnet werden. Sie heißt daher auch a posteriori Fehlersch¨ atzer. Ungleichung (6) zeigt, daß der Fehlersch¨atzer zuverl¨ assig ist, d.h. ist η ≤ ε, so ist der Fehler ebenfalls (bis auf einen Faktor) nicht gr¨oßer als ε. Die Kontrolle von η erlaubt also, eine vorgegebene Toleranz zu erreichen. Um dies mit einem minimalen Aufwand zu erreichen, reicht die obere Schranke (6) nicht aus. Wir m¨ ussen zus¨atzlich garantieren, daß η den Fehler nicht u ¨bersch¨atzt und die r¨aumliche Verteilung des Fehlers auch richtig widerspiegelt. Dies nennt man Effizienz. Sie ist gegeben, wenn es gelingt, den Fehler auch nach unten durch η abzusch¨atzen. Um dies zu erreichen, ben¨otigen wir einige zus¨atzliche Notationen. Bezeichne mit fh irgendeine, im folgenden feste Finite Element Approximation an f , z.B. die L2 -Projektion auf die st¨ uckweise konstanten Funktionen Sh0,−1 . F¨ ur ein gegebenes Dreieck K bezeichne mit z1 , z2 , z3 seine Eckpunkte und setze ψK := 27vz1 vz2 vz3

auf K.

Wie man leicht nachpr¨ uft, hat ψK folgende Eigenschaften ψK ∈ IP3 ,

ψK ≥ 0

ψK = 0

auf K, auf ∂K,

max ψK (x) = 1. x∈K

Insbesondere kann also ψK durch Null zu einer Funktion aus H01 (Ω) forgesetzt werden. F¨ ur eine Kante E ∈ Eh numerieren wir die Eckpunkte der angrenzenden Dreiecke KE1 und KE2 so, daß die Endpunkte von E zuerst numeriert werden. Bezeichnen vz1 ,i , vz2 ,i , vz3 ,i die nodalen Basisfunktionen zu KEi , i = 1, 2, so definieren wir ψE := 4vz1 ,i vz2 ,i

auf KEi , i = 1, 2. 72

Offensichtlich hat ψE folgende Eigenschaften ψE ∈ C(ωE )

ψE|KEi ∈ IP2 , i = 1, 2, ψE ≥ 0

ψE = 0

auf ωE ,

auf ∂ωE ,

max ψE (x) = 1. x∈E

F¨ ur eine Dreieckskante E ∈ Eh bezeichnen wir mit IPk (E) die Polynome von Grad ≤ k in einer Variablen auf E. Jedes ϕ ∈ IPk (E) kann in kanonischer Weise zu einem Polynom vom Grad ≤ k in zwei Variablen auf IR2 fortgesetzt werden. Diese Fortsetzung bezeichnen wir wieder mit ϕ. 10.2 Satz: F¨ ur jedes Dreieck K ∈ Th , jede Kante E ∈ Eh , jedes v ∈ IPk und jedes σ ∈ IPk (E) gilt c1 kvkL2 (K) ≤

nZ

ψK v 2 K

o1/2

≤ kvkL2 (K) ,

−1 c2 h−1 K kψK vkL2 (K) ≤ |ψK v|H 1 (K) ≤ c3 hK kψK vkL2 (K) , Z n o1/2 c4 kσkL2 (E) ≤ ψE σ 2 ≤ kσkL2 (E) , E −1 c5 hE kψE σkL2 (ωE )

≤ |ψE σ|H 1 (ωE ) ≤ c6 h−1 E kψE σkL2 (ωE ) ,

1/2

kψE σkL2 (ωE ) ≤ c7 hE kσkL2 (E) .

Die Konstanten c1 , ..., c7 h¨ angen nur von k und der Gr¨ oße cT in der Regularit¨ atsannahme an Th ab. Beweis: Die obere Schranke in der ersten Absch¨atzung folgt aus der Cauchy-Schwarz’R schen Ungleichung. Wie man leicht nachrechnet, definiert Kˆ ψK ◦ FK w2 eine Norm auf IPk . Da auf endlich dimensionalen R¨aumen alle Normen ¨aquivalent sind, gibt es eine Konstante cˆ mit o1/2 nZ 2 ψ ◦ F w ∀w ∈ IPk . cˆkwkL2 (K) ≤ ˆ K K ˆ K

Anwenden des Transformationssatzes liefert cˆkvkL2 (K) =ˆ c| det DFK |1/2 kv ◦ FK kL2 (K) ˆ o1/2 nZ 2 1/2 ψK ◦ FK (v ◦ FK ) ≤| det DFK | ˆ K nZ o1/2 2 ψK v = K

73

und beweist die untere Schranke der ersten Absch¨atzung. ˆ verschwindet, definiert |ψK ◦ FK w| 1 ˆ eine Da ψK ◦ FK in den Eckpunkten von K H (K) Norm auf IPk . Mithin gibt es zwei Konstanten cˆ1 und cˆ2 mit cˆ1 kψK ◦ FK wkL2 (K) ˆ ≤|ψK ◦ FK w|H 1 (K) ˆ

≤ˆ c2 |ψK ◦ FK w|L2 (K) ˆ

∀w ∈ IPk .

Hieraus und aus dem Transformationssatz folgt wieder die Behauptung. Die Absch¨atzungen f¨ ur σ folgen mit den gleichen Argumenten wie diejenigen f¨ ur v. Sei nun K ∈ Th beliebig. Setze wK := ψK (fh + ∇ · (A∇uh ) − αuh ). Wegen Satz 10.2 ist c21 kfh

+ ∇ · (A∇uh ) −

αuh k2L2 (K)

≤

Z

K

wK (fh + ∇ · (A∇uh ) − αuh ).

Setzen wir wK als Testfunktion v in (3) ein und ber¨ ucksichtigen, daß wK auf ∂K und außerhalb von K verschwindet, so erhalten wir Z wK (fh + ∇ · (A∇uh ) − αuh ) ZK Z = wK (f + ∇ · (A∇uh ) − αuh ) + wK (fh − f ) K K Z =a(u − uh , wK ) + wK (fh − f ) K

≤kakL2 ku − uh kH 1 (K) kwK kH 1 (K) + kfh − f kL2 (K) kwK kL2 (K) .

Offensichtlich ist kwK kL2 (K) ≤ kfh + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL2 (K) . Aus Satz 10.2 folgt weiter n o1/2 kwK kH 1 (K) = kwK k2L2 (K) + |wK |2H 1 (K) o1/2 n ≤ 1 + c23 h−2 kwK kL2 (K) K

≤ch−1 K kfh + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL2 (K) .

Aus diesen Absch¨atzungen und der Dreiecksungleichung ergibt sich n o 2 1 2 hK kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL (K) ≤ c ku − uh kH (K) + hK kf − fh kL (K) . 74

(8)

Sei nun E ∈ Eh eine Kante. Setze wE := ψE [nE · A∇uh ]E . Wegen Satz 10.2 ist c24 k[nE

·

A∇uh ]E k2L2 (E)

≤

Z

E

wE [nE · A∇uh ]E .

Setzen wir wE als Testfunktion v in (3) ein und ber¨ ucksichtigen, daß wE auf ∂ωE und außerhalb ωE verschwindet, so folgt Z wE [nE · A∇uh ]E E Z (f + ∇ · (A∇uh ) − αuh )wE − a(u − uh , wE ) = ωE

≤kf + ∇ · (A∇uh ) − αuh kL2 (ωE ) kwE kL2 (ωE ) + kakL2 ku − uh kH 1 (ωE ) kwE kH 1 (ωE )

Wegen Satz 10.2 ist 1/2

kwE kL2 (ωE ) ≤c7 hE kwE kL2 (E) 1/2

≤c7 hE k[nE · A∇uh ]E kL2 (E)

und

kwE kH 1 (ωE ) ≤ch−1 E kwE kL2 (ωE ) −1/2

≤c0 hE

k[nE · A∇uh ]E kL2 (E) .

Aus diesen Absch¨atzungen und (8) ergibt sich insgesamt ª © 1/2 hE k[nE · A∇uh ]E kL2 (E) ≤ c ku − uh kH 1 (ωE ) + hE kf − fh kL2 (ωE ) .

(9)

Aus den Absch¨atzungen (8), (9) und der Definition (7) erhalten wir folgende lokale untere Fehlerschranke ª © ηK ≤ c ku − uh kH 1 (ωK ) + hK kf − fh kL2 (ωK ) .

(10)

Summation u ¨ber alle Dreiecke liefert zudem die globale untere Fehlerschranke n ª1/2 o ©X 2 . (11) hK kf − fh k2L2 (K) η ≤ c ku − uh k1 + K∈Th

In beiden Absch¨atzungen sind die f − fh -Terme St¨orterme h¨oherer Ordnung, die zudem a priori allein aus der Kenntnis der Daten kontrolliert werden k¨onnen, ohne eine Differentialgleichung oder Diskretisierung zu l¨osen.

75

10.3 Bemerkung: (1) Die Absch¨atzungen (6), (10) und (11) zeigen, daß der Fehlersch¨atzer η zuverl¨assig und effizient ist. Es ist nicht verwunderlich, daß wir nur in einer Richtung lokale Schranken erhalten. Denn die Absch¨atzung (6) ben¨otigt den inversen Differentialoperator, der ein globaler Operator ist. Die Absch¨atzung (10) dagegen benutzt nur den Differentialoperator, der ein lokaler Operator ist. (2) Die Gr¨oße f + ∇ · (A∇uh ) − αuh ist das Residuum der Finite Element Approximation uh bzgl. der starken Form der Differentialgleichung. Die Gr¨oße [nE · ∇Auh ]E ist der Sprung des Spuroperators, der auf kanonische Weise die starke und schwache Form der Differentialgleichung verkn¨ upft. ¨ (3) Ahnliche Ergebnisse gelten f¨ ur die Konvektions-Diffusions Gleichung. A priori h¨angen die Konstanten in den Fehlerabsch¨atzungen von der Peclet-Zahl ab und wachsen f¨ ur abnehmende Diffusion an. Dieser Effekt kann durch eine verbesserte Analyse weitgehend vermieden werden. (4) Es gibt auch andere Fehlersch¨atzer, die z.B. auf der L¨ osung lokaler, diskreter Dirichlet- oder Neumann-Probleme beruhen. Mit technischem Mehraufwand lassen sich f¨ ur diese Sch¨atzer zu (6), (10) und (11) analoge Absch¨atzungen beweisen. Wir wenden uns nun dem Problem der adaptiven Gitterverfeinerung zu. Zun¨achst k¨onnte man versuchen, den gesch¨atzten Fehler η u ¨ber alle Unterteilungen Th mit einer gegebenen Elementzahl zu minimieren. Dies ist jedoch ein hochgradig nichtlineares, extrem aufwendiges Optimierungsproblem. Einfache heuristische Argumente zeigen andererseits, daß bei einer optimalen Triangulierung alle Elemente etwa den gleichen Beitrag zu η liefern. Dies legt es nahe, Elemente, die einen zu großen Beitrag ηK liefern, zu unterteilen, und f¨ uhrt auf folgenden Algorithmus. 10.4 Algorithmus: (Adaptive Gitterverfeinerung) 0. Bestimme eine grobe Triangulierung Th0 von Ω. Setze k := 0. 1. L¨ ose das diskrete Problem zur Triangulierung Thk . 2. Berechne ηK , K ∈ Thk , und ηk := maxK∈Thk ηK . 3. Falls ηk ≤ ε ist, STOP. Sonst gehe zu 4. 4. Verfeinere alle Dreiecke K ∈ Thk mit ηK ≥ γηk . Verfeinere evtl. weitere Dreiecke, um eine zul¨ assige Triangulierung Thk+1 zu erhalten. Erh¨ ohe k um 1 und gehe nach 1 zur¨ uck. In Algorithmus 10.4 ist γ ein zu w¨ahlender Parameter mit 0 < γ < 1. Ist γ ∼ 0, werden viele Elemente verfeinert; ist γ ∼ 1, werden nur sehr wenige Elemente unterteilt. In der Praxis w¨ahlt man h¨aufig γ = 0.5. Algorithmus 10.4 kann auch ggf. durch eine Vergr¨oberungsstrategie erg¨anzt werden. F¨ ur die praktische Realisierung von Algorithmus 10.4 m¨ ussen wir noch beschreiben, wie Dreiecke verfeinert werden und wie die Zul¨assigkeit der verfeinerten Triangulierung gesichert werden kann. Dabei m¨ ussen wir beachten, daß alle Triangulierun76

gen die Regularit¨atsbedingung erf¨ ullen sollen, d.h. die Dreieckswinkel sollen nicht zu klein oder zu groß werden. Dazu f¨ uhren wir folgende Sprechweise ein: - Ein Dreieck wird rot unterteilt, wenn seine Kantelmittelpunkte miteinander verbunden werden. - Ein Dreieck wird blau unterteilt, wenn der Mittelpunkt der l¨angsten Kante mit dem gegen¨ uberliegenden Eckpunkt und dem Mittelpunkt einer weiteren Kante verbunden wird. - Ein Dreieck wird gr¨ un unterteilt, wenn der Mittelpunkt der l¨angsten Kante mit dem gegen¨ uberliegenden Eckpunkt verbunden wird. - Ein Dreieck hat einen (oder mehrere) h¨ angenden Knoten, wenn K nicht unterteilt wurde, aber eines (oder mehrere) der angrenzenden Dreiecke unterteilt wurde. Dabei bedeutet ”angrenzend”, daß die betreffenden Dreiecke eine Kante gemeinsam haben. Eine rote Unterteilung erzeugt offensichtlich ¨ahnliche Dreiecke und ver¨andert somit die Winkel nicht. Die Vorgabe, prim¨ar die l¨angste Kante zu unterteilen, sichert bei der gr¨ unen und blauen Unterteilung, daß der kleinste Winkel nicht verkleinert wird. Offensichtlich ist eine Triangulierung genau dann zul¨assig, wenn kein Dreieck h¨angende Knoten hat. Schritt 4 von Algorithmus 10.4 wird nun gem¨aß folgender Regeln durchgef¨ uhrt: 1. Ist ηK ≥ γηk , unterteile K rot.

2. Hat K drei h¨angende Knoten, unterteile K rot. 3. Hat K zwei h¨angende Knoten, von denen keiner auf der l¨angsten Kante liegt, unterteile K rot. 4. Hat K zwei h¨angende Knoten, von denen einer auf der l¨angsten Kante liegt, unterteile K blau. 5. Hat K einen h¨angenden Knoten, unterteile K blau, wenn der h¨angende Knoten nicht auf der l¨angsten Kante liegt, sonst unterteile K gr¨ un. Man kann zeigen, daß dieser Algorithmus in endlich vielen Schritten eine verfeinerte Triangulierung erzeugt, die den oben diskutierten Vorgaben gen¨ ugt.

11. Implementierung In diesem Abschnitt gehen wir kurz auf die Implementierung der Methoden der letzten Paragraphen und die daf¨ ur ben¨otigten Datenstrukturen ein. Um die Notationen und den technischen Aufwand m¨oglichst gering zu halten, beschr¨anken wir uns dabei in der Regel auf lineare Dreieckselemente. 77

Sei also Th eine Triangulierung des polygonalen Gebietes Ω ⊂ IR2 . Bezeichne mit N T die Zahl aller Dreiecke und mit N V die Zahl aller Dreieckseckpunkte. Die Dreieckseckpunkte, d.h. die Punkte in Nh (alllgemeiner in Gh ) werden beliebig numeriert. Die Koordinaten werden in zwei Feldern V X(N V ) und V Y (N V ) gespeichert. In jedem Dreieck K werden die Eckpunkte lokal im mathematisch positiven Sinne durchnumeriert. Der Zusammenhang zwischen lokaler und globaler Numerierung wird durch ein Feld IT N ODE(3, N T ) hergestellt. Dabei gilt IT N ODE(i, K) = l ⇐⇒ Knoten i von Dreieck K

hat die globale Nummer l.

Jedem Knoten wird eine Eigenschaft durch das Feld IV ERT (N V ) zugeordnet. Dabei ist ( 0 Knoten i liegt in Ω, uck, IV ERT (i) = j > 0 Knoten i liegt auf dem j-ten Dirichlet Randst¨ j < 0 Knoten i liegt auf dem j-ten Neumann Randst¨ uck. Weiter m¨ ussen wir die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den Dreiecken kontrollieren. Dazu vereinbaren wir, daß die j-te Kante stets dem j-ten Eckpunkt gegenu ¨berliegt, und definieren das Feld IT EDGE(3, N T ) durch IT EDGE(i, K) = j > 0 ⇐⇒ Kante i von Dreieck K grenzt an Dreieck j.

F¨ ur Kanten auf dem Rand von Γ kann IT EDGE genutzt werden, um den Typ des Randes, d.h. gerades oder j-tes gekr¨ ummtes Randst¨ uck, zu beschreiben. Wenn wir ein Mehrgitterverfahren wie in § 9 zur numerischen L¨osung benutzen oder eine adaptive Gitterverfeinerung wie in § 10 durchf¨ uhren, m¨ ussen wir auch mehrere Gitterhierarchien verwalten. Dies geschieht durch das Feld IT M ARK(3, N T T ). Dabei ist N T T die Summe der Zahl aller Dreiecke auf allen Niveaus. Weiter ist IT M ARK(1, K) = j ⇐⇒ Dreieck K ist durch Unterteilung des Dreiecks j entstanden

IT M ARK(2, K) =

(eine Hierarchiestufe zur¨ uckgehen),  4 Dreieck K wird rot unterteilt,   0 Dreieck K wird nicht unterteilt, un unterteilt,   j Dreieck K wird gr¨ indem die j-te Kante halbiert wird, (eine Hierarchiestufe vorr¨ ucken)

IT M ARK(3, K) = j ⇐⇒ Dreieck j ist ein Nachkomme von Dreieck K. Dabei gilt f¨ ur die Numerierung der Nachkommen folgende Konvention: 78

- bei roter Unterteilung erh¨alt das Zentrumsdreieck, dessen Eckpunkte die Kantenmittelpunkte von K sind, die Nummer IT M ARK(3, K) und das Dreieck, das den i-ten Eckpunkt von K erbt, die Nummer IT M ARK(3, K) + i, - bei gr¨ uner Unterteilung erh¨alt das Dreieck, das die Knoten IT M ARK(2, K) und IT M ARK(2, K) + 1 von K erbt, die Nummer IT M ARK(3, K) und das andere Dreieck die Nummer IT M ARK(3, K) + 1. Hierbei sind Ausdr¨ ucke der Form i + j stets modulo 3 zu verstehen, d.h. 4 ↔ 1, 5 ↔ 2 usw. Ganz analog kann man auch blaue Unterteilungen codieren. Die gr¨obste Triangulierung kann man auf zwei Weisen erzeugen. Bei der ersten M¨oglichkeit gibt man die Gr¨oßen IT N ODE, IV ERT , V X und V Y f¨ ur die Dreiecke und Eckpunkte des gr¨obsten Gitters von Hand ein. Zus¨atzlich gibt man die Werte von IT EDGE f¨ ur die Randkanten ein. Die Nachbarschaftsbeziehungen f¨ ur die inneren Kanten lassen sich aus IT N ODE errechnen. Nach Eingabe der gr¨obsten Triangulierung erzeugt man weitere Triangulierungen durch gleichm¨aßige oder adaptive Verfeinerungen. Bei der zweiten Variante erzeugt man die gr¨obste Triangulierung automatisch aus einer orientierten Liste von Eckpunkten auf dem Rand Γ. F¨ ur diese Punkte muß man V X, V Y und IV ERT vorgeben. Weitere Gitterpunkte und die Triangulierung werden aufgrund einer der folgenden beiden Strategien, die auch kombiniert werden k¨onnen, erzeugt: (a) Schlage eine Ecke ab, d.h. w¨ahle ein i, verbinde die Punkte i − 1 und i + 1 der Liste und erzeuge so ein Dreieck, dessen Eckpunkte die Punkte i − 1, i und i + 1 der Liste sind. (b) Verbinde alle Punkte der Liste mit ihrem Schwerpunkt. Beide Varianten sind nat¨ urlich nur zul¨assig, wenn die so erzeugten Dreiecke in Ω liegen. Zus¨atzlich sollte man die Qualit¨at der erzeugten Dreiecke kontrollieren, um zu spitze oder zu stumpfe Dreiecke zu vermeiden (wegen der Regularit¨atsbedingung der §§ 6, 7). Ein Maß f¨ ur die Qualit¨at eines Dreieckes ist das Verh¨altnis der Summe der Quadrate seiner Kantenl¨angen zu seiner Fl¨ache. F¨ ur das Aufstellen des linearen Gleichungssystems muß man die Gr¨oßen bi := l(vi )

und

aij := a(vi , vj )

berechnen. Dabei bezeichnet vi die nodale Basisfunktion zum i-ten Knoten. Bezeichne dazu f¨ ur K ∈ Th mit lK bzw. aK die Einschr¨ankung von l bzw. a auf das Element K, d.h. die Integrale werden nur bzgl. K genommen. Dann erfolgt die Berechnung der rechten Seite nach folgendem Schema:

79

11.1 Algorithmus: (Berechnung der rechten Seite b) b := 0 for all triangles K do for all vertices I of K do i := IT N ODE(I, K) bi := bi + lK (vi ) enddo enddo. Dabei wird lK (vi ) mit einer Quadraturformel berechnet. F¨ ur die Formel aus Beispiel 8.1 (2) ergibt sich z.B. ¢ ¡1 ¢o 1 n ¡1 lK (vi ) = D f (zI + zI+1 ) + f (zI + zI+2 ) . 12 2 2

Dabei sind z1 , z2 , z3 die Eckpunkte von K und

D = det(z2 − z1 , z3 − z1 ). Außerdem sind die Indizes I + 1 und I + 2 wie zuvor beschrieben modulo 3 zu verstehen. Ganz analog berechnet man die Steifigkeitsmatrix gem¨aß folgendem Schema: 11.1 Algorithmus: (Aufstellen der Steifigkeitsmatrix a) a := 0 for all triangles K do for all vertices I of K do i := IT N ODE(I, K) j := IT N ODE(I + 1, K) aii := aii + aK (vi , vi ) if j > i then aij := aij + aK (vi , vj ) endif enddo enddo. Dabei werden die Gr¨oßen aK (vi , vi ) und aK (vi , vj ) wieder mittels numerischer Integration berechnet. Zus¨atzlich sind jetzt aber zwei Punkte zu beachten. 80

Erstens sind die Ableitungen der Basisfunktion vi st¨ uckweise konstant. Bezeichne mit ˆ → K so, daß z1 , z2 , z3 die Eckpunkte von K und w¨ahle die Transformation FK : K der Nullpunkt auf zI abgebildet wird. Dann ist BK := DFK = (zI+1 − zI , zI+2 − zI ) und

µ

−1 −1

¶

T = ∇Kˆ (vi ◦ FK ) = BK ∇K v i .

Hieraus folgt sofort 1 ∇K v i = D

µ

zI+2,1 − zI,1 − (zI+2,2 − zI,2 ) zI+1,2 − zI,2 − (zI+1,1 − zI,1 )

¶

mit D := det BK = det(z2 − z1 , z3 − z1 ). Eine analoge Formel gilt nat¨ urlich f¨ ur ∇K vj . Zweitens ist die Steifigkeitsmatrix d¨ unn besetzt. Das Element i, j ist h¨ochstens dann von Null verschieden, wenn die entsprechenden Eckpunkte auf einer gemeinsamen Dreieckskante liegen. Diese d¨ unne Besetzung muß in Algorithmus 11.2 unbedingt beachtet werden. Wenn man das diskrete Problem mit einem iterativen Verfahren wie dem CG- oder MG-Verfahren l¨ost, ben¨otigt man nur die von Null verschiedenen Eintr¨age rechts von der Diagonalen und die Diagonalelemente. In diesem Fall speichert man diese Elemente hintereinander in einem Feld ST IF F (N N ) ab. Zus¨atzlich ben¨otigt man zwei Felder IC(N N ) und ID(N V ). Dabei gibt IC(k) den Spaltenindex des k-ten Eintrages von ST IF F an. ID(i) gibt die Position des i-ten Diagonalelementes der Steifigkeitsmatrix in ST IF F an. Insbesondere stehen die Elemente der i-ten Zeile in den Positionen ID(i) bis ID(i + 1) − 1 mit ID(N V + 1) := N N + 1. Die Felder ID und IC m¨ ussen zus¨atzlich in Algorithmus 11.2 belegt werden. Den ben¨otigten Speicherplatz, d.h. N N , kann man leicht a priori absch¨atzen. Bezeichnet N E die Zahl aller Dreieckskanten, so ist N N ≤ N V + N E. Wegen der Euler’schen Polyederformel ist N E = N T + N V − 1.

12. Nichtkonforme Methoden Bisher haben wir stets konforme Finite Element Diskretisierungen betrachtet, bei denen der diskrete Raum Xh im unendlich dimensionalen Raum X des Variationsproblems enthalten ist. Nun wollen wir sog. nicht-konforme Methoden betrachten, bei denen diese Inklusion nicht mehr gilt. 81

Zun¨achst betrachten wir wie in § 2 eine abstrakte Situation. Sei dazu (X, k.kX ) ein Banach Raum, l ∈ L(X, IR) und a ∈ L2 (X, IR) symmetrisch und koerziv. Zu l¨osen ist das Variationsproblem a(u, v) = l(v) ∀v ∈ X. (1) Weiter seien (Xh , k.kXh ) ein endlich dimensionaler Banach Raum, lh ∈ L(Xh , IR) und ah ∈ L2 (Xh , IR) symmetrisch und koerziv. Die Normen von lh und ah sowie die Koerzivit¨atskonstante αh von ah seien gleichm¨aßig in h nach oben bzw. – f¨ ur αh – nach unten weg von 0 beschr¨ankt. Die diskrete Approximation von (1) lautet ah (uh , vh ) = lh (vh )

∀vh ∈ Xh .

(2)

Wegen Satz 2.1 haben (1) und (2) jeweils eine eindeutige L¨osung u bzw. uh . (Man beachte, daß hierf¨ ur die gleichm¨aßige Beschr¨anktheit von klh kL , kah kL2 und αh nicht ben¨otigt wird.) Da wir an der nicht-konformen Situation interessiert sind, ist Xh 6⊂ X. Allerdings setzen wir voraus, daß ah , lh und k.kXh auch f¨ ur Elemente von X einen Sinn machen und f¨ ur solche Elemente mit a, l bzw. k.kX u ¨bereinstimmen. Der folgende Satz ist unter diesen Annahmen das nicht-konforme Analogon zum C´ea-Lemma (erster Teil von Satz 2.2) 12.1 Satz: (Zweites Strang Lemma) Unter den obigen Voraussetzungen gilt die Fehlerabsch¨ atzung ³ 1 Ah ´ inf ku − vh kXh + ku − uh kXh ≤ 1 + αh vh ∈Xh αh

sup wh ∈Xh kwh kX =1 h

|ah (u, wh ) − lh (wh )|.

Dabei ist Ah := kah kL2 und αh die Koerzivit¨ atskonstante von ah .

Beweis: Sei vh ∈ Xh beliebig und wh := uh − vh . Aus der Koerzivit¨at von ah folgt dann αh kwh k2Xh ≤ah (wh , wh ) =ah (uh − vh , wh )

=ah (u − vh , wh ) + ah (uh , wh ) − ah (u, wh )

=ah (u − vh , wh ) + lh (wh ) − ah (u, wh ) ≤Ah ku − vh kXh kwh kXh

+ |lh (wh ) − ah (u, wh )|.

Wegen ku − uh kXh ≤ ku − vh kXh + kwh kXh folgt hieraus die Behauptung. Der folgende Satz ist die nicht-konforme Variante des Dualit¨atsargumentes von Aubin-Nitsche (zweiter Teil von Satz 2.2). 82

12.2 Satz: Die Bezeichnungen und Voraussetzungen seien wie in Satz 12.1. Zus¨ atzlich sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (., .)H und Norm k.kH , so daß X ,→ H dicht und Xh ⊂ H ist. F¨ ur jedes ϕ ∈ H seien uϕ ∈ X die eindeutige L¨ osung von a(v, uϕ ) = (ϕ, v)H

∀v ∈ X

und uϕ,h ∈ Xh die eindeutige L¨ osung von ah (vh , uϕ,h ) = (ϕ, vh )H

∀vh ∈ Xh .

Dann gilt die Fehlerabsch¨ atzung ku − uh kH ≤ sup

ϕ∈H kϕkH =1

n

Ah ku − uh kXh kuϕ − uϕ,h kXh + |ah (u − uh , uϕ ) − (ϕ, u − uh )H |

o

+ |ah (u, uϕ − uϕ,h ) − lh (uϕ − uϕ,h )| . Beweis: Da X ,→ H dicht und Xh ⊂ H ist, ist ku − uh kH = sup (ϕ, u − uh )H . ϕ∈H kϕkH =1

Sei nun ϕ ∈ H mit kϕkH = 1 beliebig. Dann folgt (ϕ, u − uh )H =a(u, uϕ ) − ah (uh , uϕ,h )

=ah (u, uϕ ) − ah (uh , uϕ,h ) =ah (u − uh , uϕ − uϕ,h ) + ah (uh , uϕ − uϕ,h ) + ah (u − uh , uϕ,h ).

F¨ ur den zweiten und dritten Summanden dieser Gleichung folgt ah (uh , uϕ − uϕ,h )

=ah (uh , uϕ ) − ah (u, uϕ ) + ah (u, uϕ ) −ah (uh , uϕ,h ) {z } | {z } | =(ϕ,u)H

−(ϕ,uh )H

= − ah (u − uh , uϕ ) + (ϕ, u − uh )H und

ah (u − uh , uϕ,h )

=ah (u, uϕ,h ) − ah (u, uϕ ) + ah (u, uϕ ) −ah (uh , uϕ,h ) {z } | {z } | =l(uϕ )

= − ah (u, uϕ − uϕ,h ) + lh (uϕ − uϕ,h ). 83

−lh (uϕ,h )

(3)

Also ist

(ϕ, u − uh )H =ah (u − uh , uϕ − uϕ,h )

− {ah (u − uh , uϕ ) − (ϕ, u − uh )H }

− {ah (u, uϕ − uϕ,h ) − lh (uϕ − uϕ,h )}.

Hieraus und aus (3) folgt die Behauptung.

Wir wenden diese abstrakten Ergebnisse auf ein einfaches, aber typisches Modellproblem an: der Crouzeix-Raviart Diskretisierung der ebenen Poisson Gleichung mit homogenen Dirichlet Randbedingungen. Dabei ist Ω ⊂ IR2 ein beschr¨anktes, zusammenh¨angendes Gebiet mit st¨ uckweise geradem Rand Γ, X = H01 (Ω), H = L2 (Ω), R R l(v) = Ω f v und a(u, v) = Ω ∇uT ∇v. Wie in § 6 bezeichnet Th = {Ki : 1 ≤ i ≤ mh } eine zul¨assige und regul¨are Unterteilung von Ω in Dreiecke. Wir bezeichnen die Dreieckskanten in Th mit Eh und die inneren Kanten mit Eh,Ω . F¨ ur E ∈ Eh ist mE der Kantenmittelpunkt. Da jede Ebene durch drei nicht kolineare Punkte eindeutig bestimmt ist, ist f¨ ur jedes K ∈ Th jedes lineare Polynom p ∈ IP1 eindeutig bestimmt durch seine Werte in den Kantenmittelpunkten von K. Daher ist folgende Definition sinnvoll n Xh := ϕ ∈ L2 (Ω) : ϕ|K ∈ IP1 ∀K ∈ Th , ϕ ist stetig in o mE , E ∈ Eh,Ω , ϕ(mE ) = 0 ∀E ∈ Eh \Eh,Ω .

Xh heißt der Finite Element Raum von Crouzeix-Raviart. Jedes uh ∈ Xh ist eindeutig bestimmt durch seine Werte in den Kantenmittelpunkten mE , E ∈ Eh,Ω . Bezeichnen z1 , z2 , z3 die Eckpunkte von K und vz1 , vz2 , vz3 die zugeh¨origen nodalen Basisfunktionen aus § 6, so folgt mit einer leichten Rechnung uh|K =

3 X

uh (mi )wi ,

i=1

wobei mi der Mittelpunkt der i-ten Kante von K und wi = vzi+1 + vzi+2 − vzi ist. (Dabei liegt wie in § 11 die i-te Kante vereinbarungsgem¨aß dem i-ten Eckpunkt gegen¨ uber.) Die Funktionen in Xh sind nicht stetig und verschwinden nicht identisch auf Γ. Daher ist Xh 6⊂ X. Es ist aber Xh ⊂ H = L2 (Ω). Außerdem ist offensichtlich 1,0 Sh,0 ⊂ Xh . Die Norm k.kXh , die Linearform lh und die Bilinearform ah werden definiert durch nX o1/2 kuh kXh := |uh |2H 1 (K) , K∈Th

lh (uh ) :=

X Z

K∈Th

ah (uh , vh ) :=

X Z

K∈Th

84

f uh , K

K

∇uTh ∇vh .

Offensichtlich sind die Voraussetzungen der S¨atze 12.1 und 12.2 erf¨ ullt. Insbesondere ist Ah = αh = 1. 12.3 Satz:

Sei u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) die L¨ osung von (1) und Lu (w) := ah (u, w) − lh (w)

∀w ∈ X ⊕ Xh .

Dann gilt f¨ ur alle w ∈ X ⊕ Xh |Lu (w)| ≤ ch|u|2 kwkXh . Die Konstante c h¨ angt nur von der Konstanten cT der Regularit¨ atsbedingung an Th ab. Beweis: Sei w ∈ X ⊕ Xh beliebig. Durch elementweise partielle Integration folgt mit den gleichen Notationen wie in § 10 Lu (w) =

X Z

K∈Th

=

X Z

K∈Th

=

X Z

K∈Th

=

T

K

T

K

∇u ∇w +

Z

K∈Th

X

=

fw R| {z } K

K

K∈Th =−

∂nK uw

R

−∆uw

Z

K

∂K

X Z

E∈Eh,Ω

∇u ∇w −

X

[∂nE uw]E + E

X

E∈Eh \Eh,Ω

∆uw | {z R} K

∇uT ∇w+

Z

∂K

∂nK uw

∂n uw. E

Da u ∈ H 2 (Ω) ist, gilt f¨ ur jede innere Kante E ∈ Eh,Ω Z

[∂nE u]E = 0. E

Ist dagegen E ∈ Eh \Eh,Ω eine Randkante, so ist entweder w = 0 auf E, falls w ∈ X ist, oder Z w = hE w(mE ) = 0, E

falls w ∈ Xh ist. Definieren wir daher f¨ ur jede Kante E ∈ Eh den Mittelwert von w auf E durch Z −1 wE := hE w, E

85

so folgt

X Z

Lu (w) =

E∈Eh,Ω

E

[∂nE u(w − wE )]E

X

+

E∈Eh \Eh,Ω

Z

E

∂n u(w − wE ).

1,0 Bezeichne mit Ih : X ∩ H 2 (Ω) → Sh,0 ⊂ Xh den nodalen Interpolationsoperator aus § 6. Da f¨ ur jede Kante E Z E

(w − wE ) = 0

und ∂nE (Ih u)|E konstant ist, folgt X Z [∂nE (u − Ih u)(w − wE )]E Lu (w) = E

E∈Eh,Ω

X

+

E∈Eh \Eh,Ω

Z

E

(4)

∂n (u − Ih u)(w − wE )]E .

Wegen |n| = |nE | = 1 folgt hieraus mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung X |Lu (w)| ≤ k∇(u − Ih u)kL2 (E) kw − wE kL2 (E) . E∈Eh

Betrachte nun eine beliebige Kante E ∈ Eh und ein Dreieck K ∈ Th , das E als ˆ die horizontale Kathete des Referenz-Dreieckes K ˆ und Kante hat. Bezeichne mit E ˆ → K eine affine Transformation von K ˆ auf K, die E ˆ auf E abbildet. mit FK : K Setze w ˆ := w ◦ FK . Aus dem Transformationssatz folgt Z Z −1 w E = hE w= w. ˆ E

Also ist

Z

ˆ E

ˆ E

(w ˆ − wE ) = 0.

Wie im Beweis der Poincar´e’schen Ungleichung 1.21 folgt, daß es eine Konstante cˆ gibt mit kϕkL2 (K) ˆ|ϕ|H 1 (K) ˆ ≤c ˆ R ˆ mit ˆ ϕ = 0. Hieraus folgt mit dem Transformationssatz und f¨ ur alle ϕ ∈ H 1 (K) E dem Spursatz 1.12 1/2

ˆ − wE kL2 (E) kw − wE kL2 (E) = hE kw ˆ n o1/2 1/2 2 ≤ hE c kw ˆ − wE k2L2 (K) + | w ˆ − w | E H 1 (K) ˆ ˆ 1/2

≤ hE c(1 + cˆ2 )1/2 |w ˆ − wE |H 1 (K) ˆ =

1/2 hE c(1

2 1/2

+ cˆ )

1/2

|w| ˆ H 1 (K) ˆ

≤ hE c(1 + cˆ2 )1/2 | det DFK |−1/2 |||DFK ||||w|H 1 (K) 1/2

≤ c0 hE |w|H 1 (K) .

86

(5)

Hierbei haben wir im letzten Schritt ausgenutzt, daß wegen Satz 6.2 und der Regularit¨at von Th der Ausdruck | det DFK |−1/2 |||DFK ||| durch eine von cT abh¨angige Konstante beschr¨ankt ist. Mit den gleichen Argumenten folgt aus dem Spursatz 1.12, Satz 6.1 und Satz 6.7 durch Transformation auf das Referenzelement mit u ˆ := u ◦ FK k∇(u − Ih u)kL2 (E) −1/2

=hE

k∇(ˆ u−π ˆu ˆ)kL2 (E) ˆ

−1/2

≤chE

kˆ u−π ˆu ˆkH 2 (K) ˆ o1/2 n −1/2 2 2 2 =chE kˆ u−π ˆu ˆkL2 (K) u−π ˆu ˆ|H 1 (K) u|H 2 (K) ˆ + |ˆ ˆ + |ˆ ˆ −1/2

≤c0 hE

|ˆ u|H 2 (K) ˆ

≤c0 hE

| det DFK |−1/2 |||DFK ||| |u|H 2 (K) ˆ

−1/2 1/2

(6)

2

≤c00 hE |u|H 2 (K) . Hierbei haben wir im letzten Schritt ausgenutzt, daß wegen Satz 6.2 und der Reg2 −1/2 ularit¨at von Th die Gr¨oße h−1 |||DFK ||| durch eine von cT abh¨angige E | det DFK | Konstante beschr¨ankt ist. Aus den Absch¨atzungen (4) – (6) und der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung f¨ ur Summen folgt X hE |w|H 1 (K) |u|H 2 (K) ≤ c0 h|w|Xh |u|2 . |Lu (u)| ≤ c E∈Eh

12.4 Satz: Seien u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) die schwache L¨ osung der Poisson Gleichung und uh ∈ Xh die L¨ osung der Crouzeix-Raviart Diskretisierung. Ω sei konvex. Dann gelten die Fehlerabsch¨ atzungen ku − uh kXh ≤ c1 h|u|2 ,

ku − uh k0 ≤ c2 h2 |u|2 .

Die Konstanten c1 , c2 h¨ angen von Ω und der Konstanten cT aus der Regularit¨ atsbedingung an Th ab. 1,0 Beweis: Da Sh,0 ⊂ Xh ist, folgt aus Satz 6.3

inf ku − vh kXh ≤

vh ∈Xh

inf 1,0 wh ∈Sh,0

=

inf 1,0 wh ∈Sh,0

ku − wh kXh |u − wh |1

≤|u − Ih u|1

≤ch|u|2 . 87

Damit folgt die erste Fehlerabsch¨atzung aus Satz 12.1 und Satz 12.3. Satz 12.3 mit w = u − uh liefert andererseits |ah (u − uh , uϕ ) − (ϕ, u − uh )0 |

≤ch|uϕ |2 ku − uh kXh

≤c0 hkϕk0 ku − uh kXh . Satz 12.3 mit w = uϕ − uϕ,h und der erste Teil des Beweises ergeben weiter |ah (u, uϕ − uϕ,h ) − lh (uϕ − uϕ,h )|

≤chkuϕ − uϕ,h kXh |u|2

≤c0 h2 |uϕ |2 |u|2

≤c00 h2 kϕk0 |u|2 .

Damit folgt die zweite Fehlerabsch¨ atzung des Satzes aus der ersten Absch¨atzung und Satz 12.2. 1,0 12.5 Bemerkung: (1) Sei J(u) := 12 ah (u, u) − lh (u). Wegen Sh,0 ⊂ X ist

inf J(u) ≤

u∈X

inf 1,0 uh ∈Sh,0

J(uh ).

1,0 Wegen Sh,0 ⊂ Xh ist ebenso

inf J(uh ) ≤

uh ∈Xh

inf 1,0 uh ∈Sh,0

J(uh ).

Daher ist das Minimum von J bei nicht-konformen Methoden kleiner als bei konformen Methoden und h¨aufig dichter am kontinuierlichen Minimum. (2) Satz 12.4 ben¨otigt im Gegensatz zu Satz 6.4 nicht nur die H 2 -Regularit¨at der aktuellen L¨ osung u sondern die H 2 -Regularit¨at f¨ ur jede rechte Seite in L2 (Ω). Daher muß Ω als konvex vorausgesetzt werden. Diese zus¨atzliche Einschr¨ankung ist nicht Beweistechnik. Nicht-konforme Methoden reagieren h¨aufig empfindlicher als konforme Methoden auf mangelnde H 2 -Regularit¨at z.B. aufgrund einspringender Ecken. (3) Konstruktionsgem¨aß gilt Lu (w) = 0

∀w ∈ H01 (Ω).

Dies gilt aber nicht f¨ ur L2 -Funktionen, da Lu auf L2 (Ω) nicht stetig fortsetzbar ist.

88

13. Gemischte Methoden Um technische Schwierigkeiten zu vermeiden und die wesentlichen Aspekte besser herauszuarbeiten, beschr¨anken wir uns im folgenden auf ein einfaches Modellbeispiel: die Poisson Gleichung in einem zweidimensionalen, beschr¨ankten, konvexen Polygon Ω mit homogenen Dirichlet Randbedingungen −∆u =f

u =0

in Ω

(1)

auf Γ.

Dies ist ein extrem einfaches Modell f¨ ur die vertikale Auslenkung u einer ebenen, d¨ unnen, eingespannten Membran unter Einfluß einer vertikalen Last f . Die bisher betrachteten Methoden liefern Approximationen der Auslenkung. Unter mechanischen Gesichtspunkten sind aber h¨aufig die aus der Belastung resultierenden inneren Spannungskr¨afte viel wichtiger. Im Rahmen dieses einfachen Modells ist dies der Gradient ∇u der Auslenkung. Diese Gr¨oße muß bei den bisher betrachteten Methoden durch Differentiation aus der Auslenkung u berechnet werden und wird i.a. um eine h-Potenz schlechter approximiert als die Auslenkung. Wegen der Bedeutung dieser Gr¨oße sucht man nach Verfahren, die sie direkt und genauer approximieren. Dies leisten sog. gemischte Finite Element Methoden. Dazu f¨ uhren wir σ := ∇u als zus¨atzliche Variable ein. Damit geht (1) u ¨ber in das folgende Differentialgleichungssystem 1. Ordnung σ − ∇u =0 − div σ =f

u =0

in Ω in Ω

(2)

auf Γ.

Multiplizieren wir die erste Gleichung von (2) mit einem hinreichend glatten Vektorfeld τ , integrieren u ¨ber Ω, wenden den Gauß’schen Integralsatz an und nutzen die Randbedingungen f¨ ur u aus, erhalten wir 0= = =

Z

Z

Z

Ω

σ·τ −

Ω

σ·τ +

Ω

σ·τ +

Z

Z

Z

Ω

τ · ∇u

Ω

u div τ − u div τ.

Z

∂Ω

m |{z} u τ ·n =0

Ω

Offensichtlich ist die zweite Gleichung von (2) ¨aquivalent zu −

Z

v div σ = Ω

Z

fv Ω

89

∀v ∈ L2 (Ω).

Diese Beobachtung f¨ uhrt auf folgende schwache Formulierung von (1): Finde [σ, u] ∈ X := M × Q, so daß Z Z u div τ = 0 ∀τ ∈ M σ·τ + Ω Ω Z Z − v div σ = f v ∀v ∈ Q. Ω

Dabei ist

(3)

Ω

M :=H(div, Ω) := {σ ∈ L2 (Ω; IR2 ) : div σ ∈ L2 (Ω; IR)}, Q :=L2 (Ω).

M wird versehen mit der Norm kσkH(div) := {kσk20 + k div σk20 }1/2 . Wie in Satz 1.6 kann man zeigen, daß M mit dieser Norm ein Banach Raum ist. Die Herleitung von (3) zeigt, daß dieses Problem im u ¨blichen Sinne zu (2) ¨aquivalent ist: Jede klassische L¨osung von (2) l¨ost auch (3) und jede hinreichend glatte L¨osung von (3) ist auch eine klassische L¨osung von (2). Problem (3) ist ein sog. gemischtes oder Sattelpunktsproblem. Es stellt die Euler-Lagrange Gleichungen des folgenden Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen dar: 1 J(σ) := 2

Z

Ω

σ · σ −→ min in Mf := {σ ∈ M : − div σ = f }.

F¨ ur die Analyse von (3) f¨ uhren wir folgende Abk¨ urzungen ein: k[σ, u]kX :={kσk20 + k div σk20 + kuk20 }1/2 , Z Z Z a([σ, u], [τ, v]) := σ·τ + u div τ − v div σ, Ω Ω Ω Z l([τ, v]) := f v. Ω

Dann ist (3) offensichtlich ¨aquivalent zu a([σ, u], [τ, v]) = l([τ, v])

∀[τ, v] ∈ X.

(4)

Auf den ersten Blick scheint Problem (4) in den abstrakten Rahmen von § 2 zu passen. Aber die Bilinearform a ist nicht symmetrisch und nicht koerziv. Dies spiegelt die Sattelpunktsstruktur von (3) wider. Statt der Koerzivit¨at erf¨ ullt a allerdings eine sog. inf-sup Bedingung:

90

13.1 Satz: (inf-sup Bedingung) Es gibt eine Konstante α > 0, die nur von Ω abh¨ angt, mit a([σ, u], [τ, v]) inf sup ≥ α. [σ,u]∈X\{0} [τ,v]∈X\{0} k[σ, u]kX k[τ, v]kX Beweis: Sei [σ, u] ∈ X\{0} beliebig, aber fest. Dann gilt a([σ, u], [σ, u]) = kσk20 und wegen div σ ∈ L2 (Ω) a([σ, u], [0, − div σ]) = k div σk20 . Da Ω beschr¨ankt ist, gibt es ein R > 0 mit Ω ⊂ (−R, R)2 . Setze u durch 0 auf ganz IR2 fort und definiere τu (x) := e1

Z

x1

u(s, x2 )ds −R

∀x = (x1 , x2 ) ∈ Ω.

Dabei ist e1 der erste Einheitsvektor in IR2 . Offensichtlich ist τu ∈ M und erf¨ ullt div τu = u , kτu k0 ≤ c0 kuk0 . Dabei h¨angt die Konstante c0 nur vom Durchmesser von Ω ab. O.E. ist c0 ≥ 1. Hieraus folgt Z a([σ, u], [τu , 0]) = σ · τu + kuk20 Ω

≥ − kσk0 kτu k0 + kuk20

≥ − kσk0 c0 kuk0 + kuk20 1 1 ≥ kuk20 − c20 kσk20 . 2 2 Setze ρ := c20 σ + τu , w := c20 u −

1 div σ. 2

Dann folgt 1 a([σ, u], [ρ, w]) =c20 a([σ, u], [σ, u]) + a([σ, u], [τu , 0]) + a([σ, u], [0, − div σ]) 2 1 1 1 ≥c20 kσk20 + kuk20 − c20 kσk20 + k div σk20 2 2 2 1 ≥ k[σ, u]k2X 2 91

und

1 k[ρ, w]kX ≤c20 k[σ, u]kX + k[τu , 0]kX + k[0, − div σ]kX 2 1 =c20 k[σ, u]kX + {kuk20 + kτu k20 }1/2 + k div σk0 | {z } 2 ≤c20 kuk20

¾1/2 ½ 1 4 2 k[σ, u]kX ≤ c0 + c0 + 1 + 4 ≤2c20 k[σ, u]kX .

Aus diesen Absch¨atzungen folgt die Behauptung mit α = 1/(4c20 ). 13.2 Satz: Problem (3) besitzt eine eindeutige L¨ osung. Beweis: Sei u ∈ H01 (Ω) die schwache L¨osung von (1) im Sinne von Definition 3.1. Da Ω konvex ist, folgt aus Satz 3.6 u ∈ H 2 (Ω). Also ist σ := ∇u ∈ H(div, Ω). Aus der Herleitung von (3) folgt, daß [σ, u] eine L¨osung von (3) ist. Wir m¨ ussen also noch die Eindeutigkeit zeigen. Dazu reicht es, zu zeigen, daß das homogene Problem, d.h. (3) mit f = 0 bzw. (4) mit l = 0, nur die triviale L¨osung hat. Ist aber [σ, u] eine L¨osung des homogenen Problems (4), so folgt aus Satz 13.1 αk[σ, u]kX ≤

a([σ, u], [τ, v]) = 0. k[τ, v]kX [τ,v]∈X\{0} sup

Also ist σ = u = 0. F¨ ur die Diskretisierung von (3) betrachten wir nur das einfachste Beispiel, das sog. Raviart-Thomas Element niedrigster Ordnung. Dazu bezeichnet Th eine Familie zul¨assiger und regul¨arer Triangulierungen von Ω und Eh die Menge der Dreieckskanten in Th . F¨ ur ein Dreieck K sei ½µ ¶ µ ¶ ¾ α x1 RT (K) := +γ : α, β, γ ∈ IR . x2 β 13.3 Satz: Sei K ein Dreieck und nK das ¨ außere Einheitsnormalenfeld zu ∂K. Dann gilt f¨ ur jedes σ ∈ RT (K): (1) σ · nK ist konstant auf den Kanten von K. (2) σ ist eindeutig bestimmt durch die Werte von σ · nK auf den Kanten von K. Beweis: ad (1): Die Funktion x −→ x · nK ist konstant auf den Kanten von K. ad (2): Wegen dimRT (K) = 3 m¨ ussen wir nur zeigen, daß 0 die einzige Funktion µ ¶ α σ ∈ RT (K) ist, f¨ ur die σ · nK auf allen Kanten von K verschwindet. Sei σ = + β µ ¶ x1 γ eine solche Funktion. Dann folgt aus dem Gauß’schen Integralsatz x2 Z Z Z 0= σ · nK = div σ = 2γ ∂K

K

=⇒γ = 0.

92

K

µ ¶ α senkrecht auf dem zweidimensionalen Raum, der von den Also steht der Vektor β Richtungsvektoren der drei Kanten von K aufgespannt wird. Also ist auch α = β = 0. Definiere ª © RTh−1 := σ : Ω −→ IR2 : σ|K ∈ RT (K) ∀K ∈ Th RTh :=RTh−1 ∩ H(div, Ω).

Wie im Beweis von Satz 1.7 folgt, daß σ ∈ RTh−1 genau dann in RTh liegt, wenn σ · nK stetig ist u ¨ber alle Dreieckskanten, die in Ω liegen. Wegen Satz 13.3. ist daher RTh 6= {0}. Die Freiheitsgrade der Funktionen σh ∈ RTh sind genau die Werte von σh · nK auf den Kanten in Eh . Insbesondere ist dimRTh = ]Eh . Wir setzen nun Mh :=RTh , Qh :=Sh0,−1 , Xh :=Mh × Qh und approximieren Problem (4) durch Finde [σh , uh ] ∈ Xh , so daß

a([σh , uh ], [τh , vh ]) = l([τh , vh ])

∀[τh , vh ] ∈ Xh

(5)

oder in anderer Schreibweise Finde [σh , uh ] ∈ Xh , so daß Z Z σ h · τh + uh div τh = 0 ∀τh ∈ Mh Ω Ω Z Z vh div σh = f vh ∀vh ∈ Qh . − Ω

13.4 Satz:

(6)

Ω

(1) Es ist div Mh = Qh . Zu jedem uh ∈ Qh gibt es ein τh,uh ∈ Mh mit div τh,uh = uh , kτh,uh k0 ≤ c1 kuh k0 .

Die Konstante c1 h¨ angt nur vom Durchmesser von Ω und der Konstanten cT aus der Regularit¨ atsbedingung an Th ab. (2) (inf-sup Bedingung) Es gibt eine Konstante β > 0, die nur von der Konstanten c1 aus Teil (1) abh¨ angt, mit a([σh , uh ], [τh , vh ]) ≥ β. [σh ,uh ]∈Xh \{0} [τh ,vh ]∈Xh \{0} k[σh , uh ]kX k[τh , vh ]kX inf

sup

(3) Problem (5) bzw. (6) besitzt eine eindeutige L¨ osung. 93

Beweis: ad (1): Aus der Definition von RTh folgt sofort div Mh ⊂ Qh . Sei nun uh ∈ Qh beliebig und τuh := e1

Z

x1

uh (s, x2 )ds −R

∀x = (x1 , x2 ) ∈ Ω

wie im Beweis von Satz 13.1. Wir definieren einen Operator Ih : H(div, Ω) −→ Mh durch Z −1 (Ih τ ) · nK = hE τ · nK ∀K ∈ Th , E ∈ Eh , E ⊂ ∂K. E

Dabei ist hE die L¨ange von E. Wegen Satz 13.3 ist diese Definition sinnvoll. F¨ ur jedes K ∈ Th folgt mit dem Gauß’schen Integralsatz Z

div(Ih τuh ) = K

X Z

E∈Eh E⊂∂K

=

X Z

E∈Eh E⊂∂K

= =

Z

Z

E

(Ih τuh ) · nK

E

τu h · n K

div τuh K

uh . K

Da uh und div(Ih τuh ) auf K konstant sind, bedeutet dies div(Ih τuh ) = uh . Mit dem u ¨blichen Skalierungsargument, d.h. Transformation auf das Referenzelement ¨ und Aquivalenz von Normen auf endlich dimensionalen R¨aumen, zeigt man, daß kIh τuh k0 ≤ c2 kτuh kH(div) ist mit einer Konstanten c2 , die nur von cT abh¨angt. Also leistet τh,uh := Ih τuh das Gew¨ unschte mit c1 = c2 (1 + c20 )1/2 und c0 wie im Beweis von Satz 13.1. ad (2): Wegen Teil (1) k¨onnen wir den Beweis von Satz 13.1 kopieren. Dabei u ¨bernimmt τh,uh aus Teil (1) die Rolle von τu aus dem Beweis von Satz 13.1. ad (3): Wie im Beweis von Satz 13.2 folgt aus Teil (2), daß das homogene Problem (5), d.h. (5) mit l = 0, nur die triviale L¨osung besitzt. Da (5) ein lineares Gleichungssystem mit der gleichen Anzahl von Gleichungen und Unbekannten ist, folgt hieraus die Behauptung.

94

13.5 Satz: Seien [σ, u] ∈ X und [σh , uh ] ∈ Xh die eindeutigen L¨ osungen der Prob1 2 1 1 leme (4) und (5). Es sei σ ∈ H (Ω) , div σ ∈ H (Ω) und u ∈ H (Ω). Dann gilt die Fehlerabsch¨ atzung kσ − σh k0 + k div(σ − σh )k0 + ku − uh k0 ≤ ch {|σ|1 + | div σ|1 + |u|1 } .

Beweis: Sei [τh , vh ] ∈ Xh beliebig. Mit der Dreiecksungleichung folgt k[σ − σh , u − uh ]kX ≤ k[σ − τh , u − vh ]kX + k[τh − σh , vh − uh ]kX . Wegen Xh ⊂ X folgt aus (4) und (5) die Galerkin Orthogonalit¨at a([σ − σh , u − uh ], [ρh , wh ]) = 0 ∀[ρh , wh ] ∈ Xh . Hieraus und aus Satz 13.4 (3) folgt βk[τh − σh , vh − uh ]kX a([τh − σh , vh − uh ], [ρh , wh ]) ≤ sup k[ρh , wh ]kX [ρh ,wh ]∈Xh \{0} =

a([τh − σ, vh − u], [ρh , wh ]) k[ρh , wh ]kX [ρh ,wh ]∈Xh \{0} sup

≤k[τh − σ, vh − u]kX .

Hierbei haben wir im letzten Schritt die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung f¨ ur Integrale und Summen und die Definition von k.kX ausgenutzt. Da [τh , vh ] ∈ Xh beliebig war, beweisen diese Absch¨atzungen das folgende Analogon zum C´ea-Lemma, Satz 2.2, ¶ µ 1 inf k[σ − τh , u − vh ]kX . k[σ − σh , u − uh ]kX ≤ 1 + β [τh ,vh ]∈Xh Bezeichne mit πh : L2 (Ω) −→ Qh die L2 -Projektion. Dann folgt aus obiger Absch¨atzung ©

ª1/2 kσ − σh k20 + k div(σ − σh )k20 + ku − uh k20 ¶ µ 1 k[σ − Ih σ, u − πh u]kX ≤ 1+ β µ ¶ ª1/2 1 © = 1+ kσ − Ih σk20 + k div(σ − Ih σ)k20 + ku − πh uk20 . β 95

Dabei ist Ih der Interpolationsoperator aus (7). Aus der Poincar´e’schen Ungleichung, Satz 1.21, folgt )1/2 ( X ku − πh uk2L2 (K) ku − πh uk0 = =

≤

(

(

K∈Th

Z

X

1 ku − |K|

X

c2 h2K |u|2H 1 (K)

K∈Th

K∈Th

K

uk2L2 (K)

)1/2

)1/2

≤ch|u|1 . Durch Transformation auf das Referenzdreieck folgt wie im Beweis von Satz 6.3 f¨ ur jedes K ∈ Th kσ − Ih σkL2 (K) ≤c inf kσ − τK kL2 (K) τK ∈RT (K)

≤c inf kσ − ρK kL2 (K) ρK ∈IR2

≤c0 hK |σ|H 1 (K) .

Dabei haben wir wieder im letzten Schritt die Poincar´e’sche Ungleichung, Satz 1.21, ausgenutzt. Quadrieren dieser Absch¨atzung und Summieren u ¨ber alle Dreiecke liefert kσ − Ih σk0 ≤ ch|σ|1 . Sei nun v ∈ L2 (Ω) beliebig. Dann ist Z div(σ − Ih σ)v ZΩ Z = div(σ − Ih σ)(v − πh v) + div(σ − Ih σ)πh v. Ω

Ω

Wegen (7) erhalten wir f¨ ur den zweiten Summanden Z div(σ − Ih σ)πh v Ω X Z div(σ − Ih σ)πh v = =

=

K∈Th

K

K∈Th

∂K

X Z

nK · (σ − Ih σ)πh v

   X X Z

K∈Th

=0.

E∈Eh E⊂∂K

  | E

nK · σ −

Z

nK · (Ih σ) πh v   {z } E

=0

96

   

F¨ ur den ersten Summanden folgt aus der Cauchy-Schwarz’schen und der Poincar´e’schen Ungleichung Z div(σ − Ih σ)(v − πh v) Ω

≤k div(σ − σh )k0

(

≤ck div(σ − σh )k0

X

K∈Th

(

kv − πh vk2L2 (K)

X

K∈Th

h2K |v|2H 1 (K)

)1/2

)1/2

.

W¨ahlen wir spezeill v = div(σ−Ih σ) und beachten, daß div Ih σ elementweise konstant ist, erhalten wir aus obiger Absch¨atzung k div(σ − Ih σ)k20 ≤ck div(σ − Ih σ)k0

(

X

K∈Th

h2K | div σ|2H 1 (K)

)1/2

≤chk div(σ − Ih σ)k0 | div σ|1 und damit k div(σ − Ih σ)k0 ≤ ch| div σ|1 . Hieraus folgt die Fehlerabsch¨atzung des Satzes. 13.6 Bemerkung: Da Ω konvex ist, ist u ∈ H 2 (Ω) und σ = ∇u ∈ H 1 (Ω). Wegen div σ = −f sind daher die Regularit¨atsannahmen von Satz 13.5 erf¨ ullt, wenn 1 f ∈ H (Ω) ist. Das lineare Gleichungssystem (6) hat folgende Struktur ¶µ ¶ µ µ ¶ σh 0 A BT = . uh −bh B 0

Die Koeffizientenmatrix dieses LGS ist symmetrisch, aber indefinit. Dies spiegelt die Sattelpunktsstruktur von (3) wider. Die Matrix A ist symmetrisch, positiv definit, und die Matrix B hat wegen Satz 13.4 (1) maximalen Rang. Die Gr¨oße des LGS (6) ist ]Eh + ]Th . Wegen der Indefinitheit kann es nicht mit einem CG-Verfahren gel¨ost werden. Wir wollen nun ein ¨aquivalentes diskretes Problem herleiten, das auf ein kleineres, symmetrisches, positiv definites LGS f¨ uhrt. Bezeichne dazu wie in § 12 mit Eh,Ω die Menge aller Kanten im Innern von Ω. Jedem E ∈ Eh,Ω ordnen wir wieder einen dazu orthogonalen Einheitsvektor nE zu und bezeichnen mit [ϕ]E denSprung von ϕ u ¨ber E in Richtung nE . Setze [ E Σ := E∈Eh,Ω

97

und bezeichne mit 0,−1 := {λ : Σ −→ IR : λ|E ∈ IR Sh,Σ

∀E ∈ Eh,Ω }

die st¨ uckweise konstanten Funktionen auf Σ. ½ X Z −1 13.7 Satz: (1) RTh = σ ∈ RTh : [σ · nE ]E λ = 0 E∈Eh,Ω

E

∀λ ∈

0,−1 Sh,Σ

¾ .

0,−1 (2) Sei ϕ ∈ L(RTh−1 , IR) mit ϕ(σ) = 0 ∀σ ∈ RTh . Dann gibt es genau ein λϕ ∈ Sh,Σ mit X Z [σ · nE ]E λϕ ∀σ ∈ RTh−1 . ϕ(σ) = E∈Eh,Ω

E

Beweis: ad (1): Wie im Beweis von Satz 1.7 folgt, daß σ ∈ RTh−1 genau dann in RTh liegt, wenn σ · nK stetig ist u ¨ber alle inneren Kanten, d.h. wenn [σ · nE ]E f¨ ur alle E ∈ Eh,Ω verschwindet. Wegen Satz 13.3 (1) ist dies genau dann der Fall, wenn gilt X Z

E∈Eh,Ω

E

0,−1 [σ · nE ]E λ = 0 ∀λ ∈ Sh,Σ .

ad (2): Sei ϕ ∈ L(RTh−1 , IR) eine lineare Abbildung, die auf RTh verschwindet. 0,−1 mit der gew¨ unschten Eigenschaft. Wir Wegen des Rangsatzes gibt es ein λϕ ∈ Sh,Σ 0,−1 m¨ ussen also nur noch die Eindeutigkeit von λϕ zeigen. Sei dazu µ ∈ Sh,Σ mit X Z

E∈Eh,Ω

E

[σ · nE ]E µ = 0 ∀σ ∈ RTh−1 .

Dann m¨ ussen wir µ = 0 zeigen. Sei dazu E ∗ ∈ Eh,Ω beliebig und K ∗ ∈ Th ein Dreieck, das E ∗ als Kante hat. Wegen Satz 13.3 gibt es ein σ ∗ ∈ RTh−1 mit ∗ σ|K =0 f¨ ur alle K ∈ Th \{K ∗ }

σ ∗ · nE =0 f¨ ur alle Kanten E von K ∗ mit E 6= E ∗

σ ∗ · nE ∗ =1. Damit folgt

0=

X Z

E∈Eh,Ω

=

Z

E∗

E

[σ ∗ · nE ]E µ

[σ ∗ · nE ∗ ]E µ

= ± |E ∗ |µ|E ∗ . Da E ∗ beliebig war, folgt µ = 0. 98

Wir betrachten nun das folgende Problem: 0,−1 , so daß ˜h ∈ Sh,Σ Finde σ ˜h ∈ RTh−1 , u ˜h ∈ Sh0,−1 , µ Z Z Z X [τh · nE ]E µ ˜h = 0 σ ˜ h · τh + u ˜h div τh + Ω

Ω

−

Z

vh div σ ˜h

=

Ω

E∈Eh,Ω

13.8 Satz:

E

E∈Eh,Ω

X Z

∀τh ∈ RTh−1

E

Z

f vh Ω

[˜ σ h · nE ] E λ h = 0

∀vh ∈ Sh0,−1

(8)

0,−1 ∀λh ∈ Sh,Σ .

Die Probleme (6) und (8) sind ¨ aquivalent.

Beweis: Sei σ ˜h , u ˜h , µ ˜h eine beliebige L¨osung von (8). Aus der dritten Gelichung von (8) und Satz 13.7 (1) folgt σ ˜h ∈ RTh = Mh . Indem wir in der ersten Gleichung von (8) nur Vektorfelder τh ∈ RTh als Testfunktionen betrachten, sehen wir, daß σ ˜h , u ˜h eine L¨osung von (6) ist. Betrachte nun umgekehrt die L¨osung σh , uh von (6). Diese erf¨ ullt wegen (6) und Satz 13.7 (1) die zweite und dritte Gleichung von (8). Wegen (6) verschwindet zudem die lineare Abbildung Z Z τ −→

Ω

σh · τ +

uh div τ

Ω

0,−1 auf RTh . Wegen Satz 13.7 (2) gibt es daher genau ein µh ∈ Sh,Σ mit

Z

Ω

σ h · τh +

Z

uh div τh + Ω

X Z

E∈Eh,Ω

E

[τh · nE ]E µh = 0 ∀τh ∈ RTh−1 .

Also ist σh , uh , µh eine L¨osung von (8). Problem (8) ist ein LGS der Form 

A˜ B C

BT 0 0

    0 σh CT 0   uh  =  −bh  . 0 µh 0

Da es die Gr¨oße ]Eh + ]Th + ]Eh,Ω hat, haben wir auf den ersten Blick im Vergleich zu (6) nichts gewonnen. Da die Funktionen in RTh−1 keine globalen Stetigkeitsbedingungen erf¨ ullen m¨ ussen, gibt es eine Basis von RTh−1 aus Funktionen, deren Tr¨ager jeweils auf ein einziges Dreieck konzentriert ist. Daher ist A˜ ein blockdiagonale Matrix; die Zahl der Bl¨ocke ist ]Th . Wegen Satz 13.3 (2) ist jeder Block eine 3 × 3 Matrix. Wir k¨onnen daher die Unbekannte σh elementweise durch uh und µh ausdr¨ ucken und erhalten σh = −A˜−1 {B T uh + C T µh }. 99

Einsetzen in die Gleichung f¨ ur uh liefert −bh = Bσh = −B A˜−1 B T uh − B A˜−1 C T µh . Da die Funktionen uh elementweise konstant sind, ist die Matrix B A˜−1 B T diagonal. Wir k¨onnen daher uh durch µh ausdr¨ ucken und erhalten uh = {B A˜−1 B T }−1 {bh − B A˜−1 C T µh }. Setzen wir dies in die Gleichung f¨ ur µh ein, erhalten wir 0 =Cσh = − C A˜−1 B T uh − C A˜−1 C T µh = − C A˜−1 B T {B A˜−1 B T }−1 {bh − B A˜−1 C T µh } − C A˜−1 C T µh

={C A˜−1 B T {B A˜−1 B T }−1 B A˜−1 C T − C A˜−1 C T }µh − C A˜−1 B T {B A˜−1 B T }−1 bh .

Wir k¨onnen also die Unbekannten σh und uh elementweise eliminieren und erhalten ein LGS der Form Hµh = gh (9) f¨ ur µh . Es hat nur noch die Gr¨oße ]Eh,Ω . Die Matrix H = C A˜−1 B T {B A˜−1 B T }−1 B A˜−1 C T − C A˜−1 C T ist offensichtlich symmetrisch. Da die Matrix des LGS (8) wegen Satz 13.4 (3) und Satz 13.8 regul¨ar ist, ist H auch positiv definit. Daher kann Problem (9) z.B. mit einem CG- oder PCG-Verfahren gel¨ost werden. Die Freiheitsgrade von µh sind die Werte in den Mittelpunkten der inneren Kanten. Gleiches gilt f¨ ur die nicht-konforme Crouzeix-Raviart Diskretisierung aus § 12. In der Tat sind das Problem (9) und die Crouzeix-Raviart Diskretisierung eng verwandt. Aufgrund dieser Verwandschaft kann man zudem die Unbekannte µh benutzen, um eine Approximation der Ordnung O(h2 ) f¨ ur die Verschiebung zu erhalten. 0,−1 13.9 Satz: Seien [σ, u] ∈ X und [σh , uh , µh ] ∈ RTh−1 × Sh0,−1 × Sh,Σ die eindeutigen L¨ osungen der Probleme (3) und (8). Bezeichne mit CRh den Raum der CrouzeixRaviart Elemente aus § 12 und definiere u ˆh ∈ CRh durch

u ˆh (mE ) = −µh|E

∀E ∈ Eh,Ω .

Dabei ist mE der Mittelpunkt der Kante E. Dann gilt ku − u ˆh k0 ≤ ch2 {|f |1 + kuk2 }. 100

Beweis: Da die Mittelpunktsregel f¨ ur lineare Funktionen exakt ist, folgt aus der Definition von u ˆh Z (ˆ uh + µh ) = 0 ∀E ∈ Eh,Ω . E

Definiere analog u∗h ∈ CRh durch Z

E

(u∗h − u) = 0

∀E ∈ Eh,Ω .

Schließlich sei uh := πh u die L2 -Projektion von u auf Sh0,−1 . Dann folgt mit elementweiser partieller Integration f¨ ur alle τh ∈ RTh−1 Z

Z

Ω

σ · τh + σ · τh +

Z

Z

uh div τh Ω

u div τh Z X Z u div τh = σ · τh +

=

Ω

Ω

Ω

K∈Th

K

  Z Z  X  Z = σ · τh + unK · τh − ∇u ·τh + |{z}   Ω ∂K K K∈Th =σ X Z = unK · τh K∈Th

∂K

X Z

=

E∈Eh,Ω

=

X Z

E∈Eh,Ω

∂E

u[nE · τh ]E

∂E

u∗h [nE · τh ]E .

Hieraus und aus der ersten Gleichung von (8) erhalten wir X Z

E∈Eh,Ω

∂E

(ˆ uh − u∗h )[nE · τh ]E

X ½ Z = − E∈Eh,Ω

=

Z

Ω

∂E

µh [nE · τh ]E −

(σh − σ) · τh +

Z

Ω

Z

∂E

u∗h [nE

· τh ] E

¾

(uh − uh ) div τh .

Mit dem u ¨blichen Skalierungsargument, d.h. Transformation auf das Referenzele¨ ment und Aquivalenz von Normen auf endlich dimensionalen R¨aumen, folgt andererseits, daß es eine Konstante c gibt, die nur von der Konstanten cT in der Regu101

larit¨atsbedingung an Th abh¨angt, mit kˆ uh − u∗h k0

≤

sup τh ∈RTh−1

(

  X Z 

E∈Eh,Ω

X h

K∈Th

∂E

(ˆ uh − u∗h )[nE · τh ]E

  

2 2 h−2 K kτh kL2 (K) + k div τh kL2 (K)

i

)1/2 .

Damit folgt aus obiger Identit¨at ( ) i 1/2 X h h2K kσ − σh k2L2 (K) + kuh − uh k2L2 (K) kˆ uh − u∗h k0 ≤c h

K∈Th

i ≤c0 hkσ − σh k0 + kuh − uh k0 .

Gem¨aß Satz 3.5 und Bem. 3.6 ist

h i hkσ − σh k0 ≤ ch2 |f |1 + kuk2 .

Wir wollen zeigen, daß gleiches f¨ ur kuh − uh k0 gilt. Dazu benutzen wir ein Dualit¨atsargument und bezeichnen mit z die schwache L¨osung von ∆z =uh − uh z =0

in Ω auf Γ

und setzen ϕ := ∇z. Mit dem Interpolationsoperator Ih aus (7) folgt dann Z 2 kuh − uh k0 = (uh − uh ) div ϕ ZΩ = (uh − uh ) div(Ih ϕ) ZΩ = (u − uh ) div(Ih ϕ) ZΩ = (σh − σ)Ih ϕ ZΩ Z = (σh − σ)(Ih ϕ − ϕ) + (σh − σ)ϕ ZΩ ZΩ = (σh − σ)(Ih ϕ − ϕ) + (σh − σ) · ∇z ZΩ ZΩ = (σh − σ)(Ih ϕ − ϕ) − div(σh − σ)z Ω Ω Z Z = (σh − σ)(Ih ϕ − ϕ) − div(σh − σ)(z − πh z) Ω

Ω

≤kσ − σh k0 kϕ − Ih ϕk0 + k div(σ − σh )k0 kz − πh zk0 n o ≤ch kσ − σh k0 |ϕ|1 + k div(σ − σh )k0 |z|1 . 102

Wegen |z|1 + |ϕ|1 ≤ ckuh − uh k0 und Satz 3.5 liefert dies n

kuh − uh k0 ≤ch kσ − σh k0 + k div(σ − σh )k0 n o ≤c0 h2 |f |1 + kuk2 . Dies beweist die Fehlerabsch¨atzung des Satzes.

103

o