Finite Elemente in der Strukturmechanik

Finite Elemente in der Strukturmechanik

Johannes Wissmann · Klaus-Dieter Sarnes

Finite Elemente in der Strukturmechanik Mit 150 Abbildungen und 11 Tabellen

123

† Professor Dr.-Ing. Johannes Wissmann em. Technische Universität Darmstadt Fachbereich Maschinenbau

Dr.-Ing. Klaus-Dieter Sarnes Niddastraße 24 65428 Rüsselsheim e-mail: klaus-dieter [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

ISBN-10 3-540-61836-8 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-61836-2 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨ utzt. Die dadurch begr¨ undeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨ altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨ altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨ assig. Sie ist grunds¨ atzlich verg¨ utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨ aren und daher von jedermann benutzt werden d¨ urften. Satz: Reproduktionsfähige Vorlage der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt und Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: medionet AG, Berlin Gedruckt auf s¨ aurefreiem Papier

62/3141/YL - 5 4 3 2 1 0

Die Finit-Element-Methode (FEM) hat sich seit den Anfangen Mitte der funfziger Jahre des letzten Jahrhunderts zu einem auf breiter Basis eingesetzten Standardwerkzeug des Ingenieurs bei Berechnungsaufgaben entwickelt. Strukturmechanische Fragestellungen decken dabei nur einen Teilbereich der moglichen Anwendungen ab. Die Entwicklung und Anwendung der FEM ist eng verknupft mit der Entwicklung der Computertechnologie: Durch die kontinuierliche Steigerung der Rechnerleistung wird die Bearbeitung immer komplexerer Problemstellungen durch den erfahrenen FE-Anwender moglich. Auf der anderen Seite wird die Finit-Element-Methode immer mehr in die Breite getragen. Dies wird einmal durch die Verfugbarkeit einfach zu handhabender Finit-Element-Programmsysteme begunstigt, die teilweise an CAD-Programme angekoppelt sind, zum anderen spielt auch die kostengunstige Verfiigbarkeit von ausreichender Rechnerleistung eine Rolle. wie sie zur Losung von Standardaufgaben benotigt wird. Die Zielsetzung dieses Buches ist die Einf'uhrung in die grundlegenden Ideen, Formulierungen, Schreibweisen und Algorithmen der Finit-Element-Methode, wobei hier die Strukturmechanik den Anwendungsschwerpunkt darstellt. Von den allgemeinen, nichtlinearen Formulierungen ausgehend werden die Beziehungen zumeist linearisiert dargestellt, eine Ausnahme hiervon bildet die geometrische Nichtlinearitat. Die durchgangige Verwendung der Indexschreibweise und die Darstellung eines verallgemeinerten Interpolationskonzeptes sind bemerkenswerte Besonderheiten dieses Buches. Neben der Indexschreibweise und dem Interpolationskonzept wird die Losung von linearen Gleichungssystemen und des Eigenwertproblems dargestellt. Es folgt dann die Definition von Dehnungen und Spannungen sowie von Materialgesetzen. Die Verknupfung dieser Grol3en iiber Erhaltungssatze wird anschlieBend dargestellt. Zunachst wird die Methode von unten her entwickelt: ausgehend vom Einzelelement wird die Vorgehensweise zum Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschrieben. ~ b l i c h eKontinuumsund Strukturelemente werden vorgestellt, wobei auch auf die isoparametrische Transformation fur komplexe geometrische Bereiche eingegangen wird. Dann folgt die Entwicklung der Methode aus ubergeordneten Formu-

VI

Vorwort

lierungen wie der virtuellen Arbeit oder partiellen Differentialgleichungen. Stationare Vorgange wie Eigenschwingungen und erzwungene Schwingungen beschreiben die Dynamik, in der auch die direkte Zeitintegration behandelt wird. Es folgen Modifikationen eines FE-Modells auf Strukturebene, die eine nachtragliche Berucksichtigung zusatzlicher Anforderungen erlauben. AbschlieBend folgt die Formulierung von Element-Typen fur spezielle Anwendungen. Dieses Buch richtet sich an Studierende von Ingenieurswissenschaften im Hauptstudium, die sich in die Grundlagen der Finit-Element-Methode am Beispiel der Strukturmechanik einarbeiten wollen. Dies ist auch gultig fur Doktoranden verschiedener Fachrichtungen und fur Praktiker, die auf diesem Gebiet arbeiten. Nach seiner Emeritierung 1996 hat Johannes Wissmann die Arbeit an diesem Buch begonnen, das in weiten Teilen den Inhalt seiner Vorlesungen ,,Finit-Element-Methoden I+IIcc widerspiegelt: die e r seit 1967 am Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universitat Darmstadt gelesen hat. Anfang 1998 hat e r mich als Mitautor hinzu gezogen. Bis zu seiner schweren Erkrankung im Herbst desselben Jahres sind die Kapitel 1 bis 4 intensiv uberarbeitet worden. Kurz vor seinem Tod im Fruhjahr 1999 hat mich Johannes Wissmann gebeten, dieses Buch fertig zu stellen. So sind die Kapitel 5 bis 7 von mir uberarbeitet worden, wobei der Abschnitt 6.6 zur direkten Zeitintegration teilweise neu geschrieben werden muBte. Das Kapitel 8 war bis auf den kurzen Abschnitt uber hybride Elemente ebenfalls neu zu erstellen. Im Rahmen dieser Arbeiten sind Erganzungen in den Kapiteln 1 und 2 erforderlich gewesen. An dieser Stelle mochte ich Frau Ursula Wissmann fur den Langmut danken, den sie bis zur Fertigstellung des Buches ihres Mannes bewiesen hat. Auch dem Springer-Verlag danke ich fur die Geduld und die angenehme Zusammenarbeit . Russelsheim, im Juni 2005

Klaus-Dieter Sarnes

Inhaltsverzeichnis

I. Mathematische Grundlagen 1.1 Indexschreibweise 1. l . 1 Einige Festlegungen 1 . 1 . 2 Matrizen 1 . 1 . 3 ubungen

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Definitionen Matrizenalgebra Falksches Schema ~bermatrizen ubungen

1.3 Cartesische Tensoren 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

Koordinatensysteme Koordinatentransformation Tensortransformation Tensoralgebra ubungen

1.4 Lineare Gleichungen 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 1.4.7 1.4.8 1.4.9

Lineare Abhangigkeit Inhomogene Gleichungssysteme Dreieckszerlegung Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen Inversion Vereinfachung fur symmetrische Matrizen Iterative Losung Homogene Gleichungssysteme ubungen

1.5 Interpolation 1 . 5 . 1 Formfunktionen 1 . 5 . 2 Standardformeln

VIII

Inhaltsverzeichnis

1. 5 . 3 Produktformeln 1 . 5 . 4 ubungen

1.6 Numerische Integration 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1. 6 . 6 1.6.7

Integrationsformeln Momentengleichungssystem Optimale Formeln Standardformeln Produktformeln Genauigkeit ubungen

1 .7 Lineares Eigenwertproblem 1. 7 . 1 Eigenwerte 1 . 7 . 2 Eigenvektoren 1 . 7 . 3 Hauptachsen-Transformation 1 . 7 . 4 Reelle Losungen 1 . 7 . 5 Determinanten-Suchverfahre~~ 1.7.6 Inverse Vektoriteration 1. 7 . 7 Jacobi-Algorithmus 1 . 7 . 8 ubungen

2. Mechanische Grundlagen 2.1 Definitionen 2 . 1 . 1 Aufiere Ebene 2 . 1 . 2 Innere Ebene 2 . 1 . 3 Formanderungsebene 2 . 1 . 4 ubungen

2.2 Elastizitatsgesetz 2 . 2 . 1 Steifigkeit 2 . 2 . 2 Nachgiebigkeit 2 . 2 . 3 ubungen

2 . 3 Erhaltungssgtze 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

Prinzip der virtuellen Verschiebungen Prinzip der virtuellen Krafte Gleichgewicht und Kontinuitat ubungen

Inhaltsverzeichnis

3, Lineares FE-Model1 3.1 Aufbau 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3 . l .4 3.1.5

Elemente Richtungstransformation Koinzidenz Doppelindizierung ubungen

3 . 2 Losung 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6

Randbedingungen Auflosung Losungsalgorithmen Elimination S t a r r e Auflager ubungen

3.3 Berechnungsablauf 3 . 3 . 1 ubungen

4. Einfache finite Elemente 4.1 Herleitungen 4 . 1 . 1 Allgemeine Elemente 4 . 1 . 2 Kontinuum-Elemente

4.2 Lagrange-Elemente 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.6

Simplex-Elemente Hohere Simplex-Elemente Produkt-Elemente Serendipity-Elemente ubungen

4.3 Kirchhoff-Elemente 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

Standard-Balken-Element Balken-Element mit Streckenlast Platten-Elemente ubungen

4.4 Isoparametrische Elemente 4 . 4 . 1 Koordinatensysteme 4 . 4 . 2 Integration in krummlinigen Koordinaten

IX

X

Inhaltsverzeichnis

4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6

Isoparametrische Transformation Berechnung Degenerierte Elemente ubungen

5. Finit-Element -Modelle 5 .I Virtuelle Arbeit 5 . 1 . 1 Globale Diskretisierung 5 . 1 . 2 Geometrisch nichtlineares Model1 5 . 1 . 3 Linearisiertes Modell 5 . 1 . 4 Erweiterte Modelle 5 . 1 . 5 Lineare Mehrfeld-Modelle 5 . 1 . 6 ubungen

5.2 Partielle Differentialgleichungen 5 . 2 . 1 Extremalprinzipien 5 . 2 . 2 Gewichtete Residuen 5 . 2 . 3 ubungen

5.3 Losung 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6

Lokale Diskretisierung Randbedingungen Patch-Test Konvergenz Fehlerabschatzung Numerische Fehler

6. Lineare Dynamik 6.1 Bewegungsgleichung 6.2 Massen-Matrizen 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7

Konsistente Element-Massenmatrizen Konzentrierte Element-Massen Lagrange-Elemente Kirchhoff-Elemente Richtungstransformation Gesamt-Massenmatrix ubungen

Inhaltsverzeichnis

6.3 Dampfungsmatrizen 6.4 Eigenschwingungen 6 . 4 . 1 Ungedampfte Eigenschwingungen 6 . 4 . 2 ubungen

6.5 Erzwungene Schwingungen 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5

Eingeschwungener Zustand Randbedingungen und Losung Ungedampfte Schwingungen Phasengleiche Erregung ubungen

6.6 Direkte Zeitintegration 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6 6.6.7 6.6.8 6.6.9

Einfiihrendes Beispiel Interpolation in der Zeit Randbedingungen und Losung ubertragung Zusammengesetzte Verfahren Stabilitat Genauigkeit Standard-Verfahren ubungen

7. Struktur-Techniken 7.1 Kondensation 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7 . l .4 7.1.5 7.1.6

Transformation Statische Kondensation Dynamische Kondensation Modale Kondensation Modale Synthese ubungen

7 . 2 Zusatzbedingungen 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4

Transformation Lagrange-Multiplikatoren Straf-Funktionen ubungen

7.3 Regelmaige Strukturen 7 . 3 . 1 Zusammenbau

XI

XI1

Inhaltsverzeichnis

7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.3.6 7.3.7 7.3.8 7.3.9

Charakteristisches Eigenwertproblem Transformation Losung Verallgemeinerung Spiegelsymmetrie Zyklische Symmetrie Rotations-Symmetrie

bunge en

7.4 Belastungen 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Innere Belastungen Losung und Riickrechnung Warme-Dehnungen

bunge en

8. Element-Techniken 8.1 Erweiterte Ansatze 8 . 1 . 1 Hybride Elemente 8 . 1 . 2 Hierarchische Elemente 8 . 1 . 3 bunge en

8 . 2 Strukturabhangige Ansatze 8 . 2 . 1 Axialsymmetrische Elemente 8 . 2 . 2 Infinite Elemente 8 . 2 . 3 bunge en

Index

1. Mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel sind die wichtigsten Grundlagen der numerischen Mathematik zusammengestellt, die fur das Verstandnis und die Anwendung der Methode der finiten Elemente benotigt werden. Fiir den Anfang geniigt es, die ersten drei Abschnitte durchzuarbeiten: die Indexschreibweise, die symbolischen Matrizen und die Cartesischen Tensoren. Die Notwendigkeit zur Erarbeitung des ubrigen Stoffes ergibt sich dann beim Fortschreiten durch die einzelnen Kapitel. Die Reihenfolge der Abschnitte entspricht diesem Bedarf. Das recht umfangreiche Kapitel uber die mathematischen Grundlagen ersetzt keinesfalls ein Lehrbuch uber numerische Mathematik. D e r Stoff ist sehr einseitig an die Erfordernisse der Methode der finiten Elemente angepaBt. Auch sind viele Beweise weggelassen, da die numerische Mathematik hier nur ein Mittel zum Zweck der Losung anfallender Probleme ist. Der Zwang, sich fur Nicht-Mathematiker verstandlich auszudrucken, hat andererseits zu einigen uberraschenden Formulierungen und Herleitungen gefuhrt, die man so nicht in der von den Traditionen starker beeinflufiten Literatur findet. Die Gewichtung des Stoffes ist sehr unterschiedlich. Zum Beispiel wird den direkten Auflosungsalgorithmen fiir lineare Gleichungssysteme ein verhaltnismafiig breiter Raum gewidmet, um den Leser exemplarisch an die Problemstellung von Algorithmen heranzufuhren. Eine vergleichbar breite Darstellung des um einiges komplizierteren Eigenwertproblems wiirde zeitlich und raumlich den Rahmen sprengen, der hier zur Verfiigung steht. Um den Zusammenhang zwischen Problem und Problemlosung deutlicher zu machen, werden manche mathematischen Details erst spater bei den Anwendungen behandelt. Dies sollte im Interesse einer grofieren Flexibilitat wohlwollend toleriert werden.

1.1 Indexschreibweise Indizes werden benutzt, um gleichartige GroBen in einer sinnvollen Weise zu ordnen. Ein System von drei linearen Gleichungen sei zum Beispiel:

2

1. Mathematische Grundlagen

Hierin sind a bis i die Koeffizienten, r , s, t die rechten Seiten und x?y , z die Unbekannten. In Indexschreibweise druckt man dies so aus:

Nachdem man das Gleichungssystem soweit geordnet hat, kann man alles zusammenfassen in:

Diese Schreibweise ist nicht nur kompakter als die vorher gebrauchte, sie ist auch allgemeiner. Lediglich durch Andern der Indexbereiche macht man aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten so viele oder so wenige wie benotigt werden. Als zweites Beispiel wird ein Koordinatensystem x, y , z definiert. D a es sich um drei Achsen desselben Koordinatensystems handelt, ist es sehr praktisch, anstelle von drei Namen nur einen zu gebrauchen wie x und die Achsen durch einen Index i zu unterscheiden. Alle drei Achsen werden dann durch xi, ( i = 1 , 2 , 3 ) angesprochen. Nachdem dies geschehen ist, ist es auch sehr einfach, zum Beispiel Krafte, die parallel zu den drei Achsen wirken, mit Fi zu bezeichnen, anstelle der umstandlichen Schreibweise Fx, F und FZ. Hier sind die tiefgestellten Symbole x, y und z Modifizierer Y der Variablen F, denen im Gegensatz zu einem Index kein Zahlenwert zugewiesen wird. Oft benutzte Modifizierer treten zum Beispiel auf in Ne fiir eine effektive Leistung oder in vo fur eine Anfangsgeschwindigkeit. Jede beliebige Folge kann durch einen Index gezahlt werden. In dem Fachwerk von Bild 1 . 1 sind die Knoten numeriert. Die daran angreifenden Krafte sind parallel zu den Koordinatenachsen xl und x 2 . Samtliche Krafte konnen dann in Fip zusammengefaBt werden.

1.1 Indexschreibweise

3

Bild 1.1: Nach Richtung und Ort indizierte Krafte an einem Fachwerk.

1.1.1 Einige Festlegungen Eine typische Gleichung in Indexschreibweise ist 3

C

a.. . b.

j = 1 1J

~k =

cik

Mit a , b und c sind die Namen der indizierten GroBen des Beispiels gemeint. Im Zusammenhang mit einer gegebenen Berechnung liegen diese Namen fest. Die Namen i, j und k der Indizes dagegen sind nur zur Angabe der Verknupfung in dieser Gleichung da. Exakt dieselbe Gleichung schreibt man hin, wenn man an ihrer Stelle zum Beispiel r, s und t verwendet. Es ist ein haufig von Anfangern begangener Fehler, die Namen der Indizes mit dem Variablennamen zu verknupfen, das heiBt, fiir ihn ist a , etwas anderes als a i j . Es kommt zwar haufig vor, daB bestimmte Namen fur Indizes wie hier zum Beispiel i , j und k in bestimmten Zusammenhangen bevorzugt werden, doch dient dies lediglich dem leichteren Erkennen. D e r Multiplikationspunkt wurde nur deshalb hingeschrieben, um zu verdeutlichen, daB eine Multiplikation gemeint ist. Wie beim Schreiben von nichtindizierten Gleichungen laBt man ihn normalerweise weg. Die Verknupfung der indizierten GroBen a und b ist durch die Stellung der Indizes beschrieben. Daran andert sich nichts, wenn man in der obigen Gleichung bjk vor aij setzt. Sie bezieht sich auf einzelne Zahlen und da ist es bekanntlich gleichgiiltig, ob man a ma1 b schreibt oder b ma1 a (kommutatives Gesetz). Hiermit ist keinesfalls gesagt, daB man in obiger Gleichung a mit b vertauschen darf, ohne die zugehorigen Indizes mitzunehmen! Zu einer indizierten GroBe gehort immer die Angabe des Indexbereiches. Diese erfolgt im allgemeinen durch einen Zusatz in Klammern. D a die Indizes nur ganze Zahlenwerte annehmen sollen, genugt die Angabe uber den Anfang, das Ende und Schrittweite der Zahlung. Von seltenen Ausnahmen abgesehen ist die Schrittweite gleich eins; sie wird dann nicht e x t r a angegeben. Sol1 ein Index i die W e r t e von 1 bis n luckenlos durchlaufen, dann genugt die Angabe ( i =1... n ) . Die vollstandige Angabe ( i = I :. . . , n)

4

1. Mathematische Grundlagen

wird ebenso wenig verwendet wie die abgekurzte ( i = l , n ) , die schon insofern unpraktisch ist, als man das Komma auch benutzt, um Lucken anzugeben. Zum Beispiel bedeutet ( i =1 , 3 , 7 . .. l o ) . daB i die W e r t e 1 , 3 , 7 bis 1 0 zugewiesen bekommt. D a die Angabe der Bereiche von immer wiederkehrenden Indizes oft lastig ist, beschrankt man sich vielfach darauf, die vollstandige Aufzahlung nur an den wichtigsten Stellen zu machen. Die fehlende Information muB dann aber aus dem Zusammenhang ersichtlich werden. In dem Beispiel wurde der Bereich des Index j in der traditionellen Weise in Verbindung mit dem Summenzeichen angegeben. Diese Schreibweise ist unnotig umstandlich. Im folgenden werden deshalb die Bereiche von Summationsindizes zusammen mit den ubrigen aufgefiiihrt. Lediglich die Summationsindizes selbst bleiben bei dem Summenzeichen. Aus dem Beispiel wird damit

C j

a.. b. 1J

Jk

=

cjk

Wie in diesem Beispiel auch, treten Summationsindizes fast immer paarweise auf. In der Einsteinschen Summenkonvention wird deshalb vereinbart, dal3 Indexpaare immer Summationsindizes sein sollen. Danach konnen die Summenzeichen ganz weggelassen werden. Obwohl diese Konvention sehr praktisch ist, sol1 sie hier nicht angewendet werden. Dies hat zwei Grunde: Erstens werden hier im Unterschied zur Tensorrechnung haufiger auch nicht paarweise auftretende Summationsindizes vorkommen und zweitens ist das Weglassen der Summationszeichen gefahrlich. Nur allzu oft vergessen Anfianger, daB uberhaupt Summen vorkommen ! Es ist mehr die Ausnahme als die Regel, daB in einer Gleichung nur eine Summe vorkommt. Im folgenden Beispiel

wird die innere Summe iiber k getrennt von der auBeren uber j ausgefuhrt. Nichts anderes ist beabsichtigt, wenn man beide Summenzeichen nach vorne holt.

Eins der beiden Summenzeichen ist uberflussig und man schreibt kurzer

~ b e rdie Reihenfolge; in der die Summen auszufuhren sind; ist nichts ausgesagt. Da ist auch nicht notig, weil sie keinen EinfluB auf das Ergebnis

1.1 Indexschreibweise

5

hat. Allenfalls kann sie den Rechenaufwand beeinflussen. Somit ist es gleichgultig, in welcher Reihenfolge die Summationsindizes unter dem Summenzeichen aufgefuhrt werden: Anstatt j ; k kann es auch k, j heiBen. Das Komma zur Trennung der Summationsindizes ist nur zur besseren Lesbarkeit da. Man kann es auch weglassen. Es ist durchaus moglich, in Indexschreibweise in sich widerspruchliche Gleichungen zu konstruieren. Zum Beispiel kann die Anweisung

nicht ausgefuhrt werden, weil es auf der linken Seite heiBt, dal3 i in der Summe alle ihm zugewiesenen W e r t e durchlaufen soll, wahrend es rechts fest steht. D e r Index i auf der linken Seite ist ein sogenannter stummer Index; der nicht im Ergebnis der Operation auftauchen kann. Rechts ist e r dagegen als freier Index angefuhrt, der alle in seinem Bereich liegenden W e r t e einzeln annehmen kann; fur jeden W e r t entsteht eine eigene Gleichung. Die freien Indizes auf beiden Seiten einer Gleichung mussen nicht gleich sein: wie folgendes einfache Beispiel zeigt. a . = O .

Hiermit ist ausgesagt, daI3 alle W e r t e von ai gleich sein sollen und zu null werden. Eine ))laBliche Sundecc ist es; den Namen eines stummen Index in einer Gleichung mehrmals zu gebrauchen.

Sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite sollen die Indizes i die W e r t e 1 bis n unabhangig voneinander durchlaufen. Es ist nicht nur der Mange1 an verfugbaren Buchstaben, der solche Situationen begunstigt, auch eine beabsichtigte Zusammenfassung

kann der Grund sein. Anstelle von Summenzeichen w e r d e n a n einigen Stellen Produktzeichen auftreten. Die eingefuhrten Konventionen gelten unverandert a u c h f u r diese. Z u m Beispiel e r h a l t m a n anstelle von

6

1. Mathematische Grundlagen

die weniger umstandliche und kurzere Form (wenn man die Angabe des Indexbereiches nicht mitrechnet)

1.1.2 Matrizen Indizierte GroBen wie ai , bij oder cijk beschreiben geordnete Zahlentafeln, fur die wir die Bezeichnung Matrix wahlen wollen. Die Zahl der Indizes gibt die Stufe der Matrix an, die, bezugnehmend auf eine raumliche Anordnung, auch als Dimension bezeichnet wird. Die in einer Matrix enthaltenen Zahlen bezeichnet man als Koeffizienten, Elemente oder auch als Glieder. Ein bestimmtes Element der Matrix bij ist dann zum Beispiel b 3 5 . Durch Kommas oder Zwischenraume trennt man die Zahlenwerte der Indizes nur dann, wenn sich die Notwendigkeit ergibt zum Beispiel bei mehrstelligen Zahlen wie in b3,17 oder b3 17. Ein Komma zwischen den Indizes kann allerdings auch noch die Bedeutung einer Ableitung annehmen, wie in ( 1 . 5 2 ) angefuhrt. Die Griine einer Matrix wird durch die Indexbereiche beschrieben. Gilt zum Beispiel i = 1... m ; j = 1... n : k = 1 . . . p , dann ist cijk eine ( m .n .p)-Matrix. Fur das Ausschreiben von Matrizen haben sich einige Standardanordnungen eingeburgert, die sowohl platzsparend als auch sehr iibersichtlich sind. Eine Matrix erster Stufe kann man als Zeilenmatrix

a. = [ al a2 a 3 ... am 1

(1.1)

oder als Spaltenmatrix

schreiben. Welche Anordnung man wahlt, ergibt sich aus dem Zusammenhang oder aus Platzgrunden. Die Standardanordnung fiir eine Matrix zweiter Stufe ist:

1.1 Indexschreibweise

7

Mit dem ersten Index werden die Z e i l e n , mit dem zweiten die Spalten gezahlt. Wenn die Zahl der Zeilen und Spalten gleich ist, spricht man von einer quadratischen Matrix, sonst von einer Rechteckmatrix. Bei Matrizen hoherer Stufe wird das Hinschreiben problematisch, da man nicht uber ein Schreibmedium verfugt, das die notwendige Dimension besitzt. Eine Moglichkeit ist es, jeweils nur zwei Indizes variabel zu lassen und die anderen konstant zu halten. Zum Beispiel kann man alle Koeffizienten einer ( 2 . 3 . 3 ) -Matrix in folgender Anordnung hinschreiben:

Oft ist es jedoch besser, mehrere Indizes zu einem Zeilen- oder Spaltenindex zusammenzufassen und dann die Anordnung einer Matrix zweiter Stufe zu benutzen. Vereinigt man den zweiten und dritten Index des Beispiels: dann kann man schreiben:

Um MiBverstandnisse zu vermeiden, sollten die W e r t e der Indizes an den Rand der Matrix geschrieben werden. In elektronischen Rechenanlagen w e r d e n die Elemente von M a t r i z e n ublicherweise sequentiell, das heiRt eindimensional, gespeichert. Hierbei wird der erste Index zuerst, der zweite danach, der dritte als nachster U.S.W.variiert, so daR eine fortlaufende Folge entsteht. Die Speicheradressen S b e r e c h n e n sich dann aus:

Diese Speicheradressen k a n n m a n direkt im Programm ansprechen. M a n wird es jedoch n u r dann t u n , w e n n es auf h o h e Rechengeschwindigkeit i n Verbindung mit besonderen Speichertechniken z u m Beispiel f u r symmetrische M a t r i z e n ankommt. F u r den Normalfall stellen die gangigen Programmiersprachen m e h r f a c h indizierte Variable i m Format von A( I ) , A( I , J ) und A( I , J , K ) U.S.W.z u r Verfugung.

Matrizen konnen eine Reihe von formalen Eigenschaften besitzen, von denen die wichtigsten im folgenden angegeben werden sollen. Eine Symmetrie liegt vor: wenn man zwei Indizes miteinander vertauschen kann, ohne daB sich der W e r t der Elemente andert. D e r Modellfall hierfur ist

8

1. Mathematische Grundlagen

a . . = a..

;

J'

1J

( i ,j

=

1... n ) .

(1.5)

Voraussetzung ist naturlich, dafl die Matrix quadratisch ist. Abwandlungen dieser Symmetrie sind in den folgenden Beispielen angefuhrt.

a.. 1Jk a .

=

a.

.

1k-l

=

a . . = a..

1Jk

1kJ

J l k

= a

a

'

klij

ijkl

Im ersten Beispiel sind der zweite und der dritte Index durch die Symmetrie miteinander verbunden. Im zweiten sind alle Indizes an der Symmetrie beteiligt, so daB man von einer vollstandigen Symmetrie spricht. Das letzte Beispiel zeigt eine Symmetrie, die sich auf den Austausch von jeweils zwei Indizes bezieht. Das Gegenstuck zur Symmetrie ist Antisymmetrie. Der Modellfall ist

a..

=

-

1J

a..

;

die Schiefsymmetrie oder

( i , j = l...n) .

auch

(1.6)

J1

Dies kann wiederum nur fur eine quadratische Matrix gelten. Abwandlungen hiervon ergeben sich genau so wie bei der Symmetrie. Eine zwangslaufige Folge einer Schiefsymmetrie ist es, dafl die Diagonalkoeffizienten zu null werden.

a.. 11

=

0

;

( i = l...n )

(1.7)

Die folgenden Aussagen beziehen sich auf die Besetzung von Matrizen. Die Modellfalle ergeben sich wieder f i r Matrizen zweiter Stufe. Verallgemeinerungen fiir hohere Stufen sind moglich. Eine obere Dreiecksmatrix liegt vor, wenn folgende Bedingung erfullt ist

'

Nichtverschwindende Elemente konnen nur die im Beispiel mit x markierten Felder besetzen.

[: ] X

X

X

X

Das Gegenstuck hierzu ist die untere Dreiecksmatrix

a.. *J

=

0

;

( i , j = l...n ; i < j ) .

Die nichtverschwindenden Elemente liegen dann im unteren Dreieck. Fur eine Bandma trix gilt :

(1.9)

1.1 Indexschreibweise

9

(Die Funktion abs bezeichnet den Absolutwert; sie wird benutzt anstelle der sonst ublichen senkrechten Striche, um Verwechslungen mit anderen Zeichen zu vermeiden). Der Bandbreitenparameter m ist eine ganze Zahl zwischen null und n - 1. Die Besetzung einer Bandmatrix f ~ i rm = 1 zeigt die folgende Darstellung.

Die Bandbreite ist 2m + 1 , also in diesem Beispiel gleich drei. Fiir den Grenzfall m = 0 erhalt man eine Diagonalmatrix, in der nur die Diagonalelemente aii ungleich null sind. Die Diagonalmatrix, deren Elemente samtlich eins sind, bezeichnet man als Einheitsmatrix oder als Kronecker-Delta. Die zweite Bezeichnung stammt aus der Tensorrechnung. Die Definition ist

Diese Verallgemeinerung der Zahl eins wird sehr haufig benutzt. Weniger oft trifft man auf eine andere: das Permutationssymbol oder auch e-System. Es ist definiert als der vollkommen schiefsymmetrische Einheitstensor.

e

i l i2...in

wenn il bis in eine gerade Permutation der Zahlen 1 bis n ist; 1 wenn i bis in eine ungerade Permutation der Zahlen 1 bis n ist; 0 wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.

=

+ 1

=

-

=

(il,i2 ... in = I ...n) Ausgeschrieben fur n

=

2 und 3 erhalt man

1

I

(1.1 2 )

10

1. Mathematische Grundlagen

1.1.3 ubungen u b u n g 1.1: Schreiben Sie die folgenden Gleichungen aus:

Sind diese Gleichungen fiir beliebige linke Seiten widerspruchsfrei?

Berechnen Sie die Speicheradressen S nach (1.4) fiir die Koeffizienten von a) a U. . ; b) aijkl u b u n g 1.4: Es sei a) a . . U

=

; (i,j,k,l=1,2)

a .. oder b) a .. = J1

V

-

a .. . ~ b e r t r a ~ esich n diese Eigenschaften auf J1

Wieviele unabhangige, von null verschiedene Koeffizienten konnen die folgenden Matrizen enthalten a) a , . = a . . ; b) a . . U J1 U

=

-

aJ.1. ;

C)

aijkl

=

ajikl

=

aijlk - aklij

; ( i : j , k , l = 1.2) ?

u b u n g 1.6: Wie viele von null verschiedene Koeffizienten konnen i n einer a) schiefsymmetrischen Matrix, b) oberen Dreiecksmatrix, c) Bandmatrix zweiter Stufe in Abhangigkeit von n und m vorkommen?

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise Die in dem vorhergehenden Abschnitt eingefuhrte Indexschreibweise ist so universell, daB es an sich vollig uberflussig erscheinen konnte, noch eine weitere Schreibweise einzufuhren. Sie hat aber den Nachteil, daB bei komplizierteren Zusammenhangen die Unterscheidung zwischen Wichtigem und Unwichtigem verloren gehen kann. Das Wichtige sind die Variablennamen, also die Namen der Matrizen a, b und so weiter, das Untergeordnete die Indizes i, j und so weiter, die Auskunft daruber geben, wie die Matrizen in ihrem Inneren geordnet sind und wie sie miteinander verknupft werden sollen. Da in der Indexschreibweise alle Informationen ausgeschrieben werden, ist sie zudem aufwendig und beansprucht vie1 Platz. Aus diesem Grund gibt es eine Reihe von symbolischen Schreibweisen, die auf einer hoheren Abstraktionsebene angesiedelt sind und deshalb kiirzere und ubersichtlichere Darstellungen erlauben. Beispiele sind die Vektorschreibweise, die symbolische Tensorschreibweise und die hier vorgestellte symbolische Matrizenschreibweise. Gemeinsam ist diesen Notationen, daB sie jeweils nur fur einen bestimmten, eingegrenzten Anwendungsbereich eingesetzt werden konnen. Alle bedienen sich einer hoheren Algebra, die sich der unmittelbaren, das heiBt auf Zahlen bezogenen, Anschauung entzieht.

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

11

D a keine der symbolischen Schreibweisen einen ausreichenden Umfang besitzt, um alle hier benotigten Operationen problemlos abzubilden, konnte man sie samt und sonders verwerfen. Das ware zwar eine klare, aber extrem unpraktische Losung. Stattdessen wird folgender KompromiB gemacht: In der Regel wird die Indexschreibweise bevorzugt; die symbolische Matrizenschreibweise wird nur dann gebraucht, wenn es wegen der ~ b e r s i c h tangeraten ist. In der Fachliteratur findet man fast immer das umgekehrte Vorgehen. Dort wird die symbolische Matrizenschreibweise als Regel eingesetzt und die Indexschreibweise nur dann, wenn es sich nicht vermeiden laBt. Oberflachlich gesehen mag dies nebensachlich sein, ist es aber nicht. Eine Schreibweise farbt immer auch auf die Form und den Inhalt des Mitgeteilten ab. In der symbolischen Schreibweise konnen nur Matrizen zweiter Stufe direkt wiedergegeben werden. Hohere Stufen konnen nur auf Umwegen dargestellt werden. Dadurch wird der innere Aufbau der Gleichungen zum Teil erheblich gestort, weil Verknupfungen vorgetauscht werden, die nicht existieren. Dieses Buch enthalt viele erlauternde Beispiele. Zu ihrer ubersichtlichen Darstellung werden die fur die Handrechnung so vorteilhaften Anordnungen und Verkniipfungsregeln der symbolischen Matrizenschreibweise fast durchweg gebraucht. Schon deshalb ist es zwingend geboten, die Schreibweise zu beherrschen. Anders ist es bei der Erstellung von ComputerProgrammen. Sie erfolgt ausschlieBlich in indizierter Notation. Ausnahmen hiervon gibt es nur dann, wenn symbolische Programm-Pakete eingesetzt werden, urn den Programmier-Aufwand zu verringern. Dies stoBt allerdings sehr schnell an Grenzen, wenn es auf die Effizienz der erzeugten Programme ankommt.

1.2.1 Definitionen In der symbolischen Matrizenschreibweise gibt es drei verschiedene Klassen von Objekten: Skalare, Vektoren und Matrizen. In der Bezeichnungsweise von Abschnitt 1. l .2 sind dies die Matrizen nullter, e r s t e r und zweiter Stufe, also eine Untermenge aller moglichen Matrizen. D e r symbolische Charakter der Schreibweise besteht darin, die kennzeichnenden Indizes der Matrizen wegzulassen, dafur aber die Namen der Objekte so zu verandern, daB ersichtlich wird, was jeweils gemeint ist. Die gebrauchlichsten Schreibweisen benutzen Fettdruck oder besondere Klammern. Beide haben ihre Vorteile, so daB sie hier nebeneinander benutzt werden sollen. Fur die Skalare benotigt man keine besondere Kennzeichnung, da sie einfache Zahlenwerte darstellen. Sie werden wie bisher auch durch unveranderte Buchstaben angegeben. Ein fettgedruckter Kleinbuchstabe oder der EinschluB des Symbols in geschweiften Klammern signalisiert einen Vektor.

12

1. Mathematische Grundlagen

Die an dritter Stelle angegebene Anordnung der Koeffizienten ist schon von der Indexschreibweise in ( 1 . 2 ) bekannt. Wahrend sie dort als eine Moglichkeit angegeben wurde, ist sie hier verbindlich: Unter einem Vektor versteht man eine Spaltenmatrix, sonst nichts. An letzter Stelle in (1.1 3) erscheint die Entsprechung in Indexschreibweise. Ein fettgedruckter GroBbuchstabe oder ein EinschluB in eckigen Klammern kennzeichnet eine Matrix. -

A = [ a ] =

-

a 21 a 31

a 12 a 22 a32

a

am2 am3 ... amn-

all

-

ml

a13

... a 1 n

a 2 3 " ' a 2n a33

"'

a 3n

-

a.. ;

(1.14 )

1J

( i = l...m ; j =l . . . n )

Als Standardanordnung finden wir das Schema von ( 1 . 3 ) : D e r erste Index ordnet die Zeilen, der zweite die Spalten. Nur diese Anordnung ist in der symbolischen Schreibweise gemeint. An der letzten Stelle von ( 1 . 1 4 ) erscheint wieder das Aquivalent in Indexschreibweise. Das Schema beschreibt eine (m.n)-Rechteckmatrix oder, fur gleiche Zeilen- und Spaltenzahl, eine quadratische Matrix. Die bereits in Abschnitt ( 1 . 1 ) eingefiihrten Begriffe der Symmetrie und Schiefsymmetrie, der Dreiecks-, Band- und Diagonalmatrizen werden auch in der symbolischen Schreibweise benutzt. In manchen Veroffentlichungen finden sich besondere Formen fiir die Matrizenklammern, urn diese Eigenschaften auch auBerlich sichtbar zu machen. Anstelle des Kronecker-Delta von (1.1 1 ) wird in der symbolischen Schreibweise die Bezeichnung Einheitsmatrix benutzt.

I

=

[ I ]

=

1 0 ... 0

(1.15)

0 0 ... In der deutschsprachigen Literatur wird oft anstelle von I das Symbol E benutzt. Die Einheitsmatrix ist immer quadratisch.

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

13

Das Permutationssymbol e von ( 1 . 1 2 ) hat fur n groBer als zwei keine Entsprechung in der symbolischen Matrizenschreibweise, da es n Indizes verlangt. Andererseits gibt es eine Matrix, die nur in der symbolischen Schreibweise gebraucht wird: die Nullmatrix.

Diese kann die GroBe einer beliebigen (m.n)-Matrix haben.

1 . 2 . 2 Matrizenalgebra Nach der Definition der Objekte folgt nun die der sie verknupfenden Operationen. Es wird sich hierbei nur um das Aquivalent zu den vier Grundrechnungsarten der einfachen Zahlen und um einige Hilfsoperationen handeln. Hohere Matrizenfunktionen werden hier nicht behandelt. In den folgenden Definitionen findet man in der ersten Zeile jeweils die symbolische Schreibweise und darunter die Erklarung in Indexschreibweise. Jede Definition wird durch ein einfaches Zahlenbeispiel erganzt. D a sich die Vektoren wie Matrizen mit nur einer Spalte verhalten, werden sie nicht gesondert aufgefuhrt. Ein Vektor kann immer dort verwendet werden, wo einem Spaltenindex widerspruchsfrei der Bereich eins zugewiesen werden kann. Eine Identitat wird definiert durch:

Jedes Element der Matrix B ist gleich dem entsprechenden Element der Matrix A. Fur die Addition gilt:

Jeweils an derselben Stelle stehende Elemente von A und B werden addiert und das Ergebnis an die entsprechende Stelle in C gesetzt. Die Umkehrung zu dieser Operation ist die Subtraktion:

14

1. Mathematische Grundlagen

Die Multiplikation oder das Matrizenprodukt wird definiert durch:

Den Multiplikationspunkt laBt man wie auch beim Umgang mit Zahlen meistens weg. Eine verbale Beschreibung der Matrizenmultiplikation sol1 hier unterbleiben; sie wird in Abschnitt 1 . 2 . 3 nachgeholt. Wichtig ist vor allem. daB man sich die Stellung des Summationsindex merkt: Es ist der zweite Index der ersten Matrix und der erste der zweiten. Anders als in der Indexschreibweise kann man die Reihenfolge der Faktoren nicht beliebig umstellen. Von Ausnahmen (z.B. Diagonalmatrizen) abgesehen gilt namlich

Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ. Die vierte Grundrechnungsart der Zahlen ist die Division. Sie 1aBt sich jedoch nicht ohne weiteres auf die Matrizen ubertragen. Die Division einer Zahl a durch eine Zahl b ist dasselbe wie a ma1 bW1,wo 66' der Kehrwert von b ist. Ein Kehrwert laBt sich unter bestirnmten Umstanden auch fur eine Matrix definieren. Eine Inversion angewendet auf eine Matrix A liefert eine Kehrmatrix oder auch Inverse A-': die folgende Bedingungen erfiillt:

Eine Kehrmatrix ist nur fur eine quadratische Matrix definiert. 1st die Matrix singular, dann existiert die Kehrmatrix nicht. Dieser Begriff wird in Abschnitt 1 . 4 naher erlautert. In Analogie zu den Zahlen gilt ja auch, daB der Kehrwert von null nicht existiert. Existiert eine Kehrmatrix A - l ,

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

15

dann ist sie eindeutig durch A festgelegt und befriedigt sowohl die erste als auch die zweite Bedingung in ( 1 . 2 1). Zur Abrundung der Matrizenalgebra werden noch zwei Hilfsoperationen benotigt. Die skalare Multiplikation einer Matrix ist:

D e r Zahlenfaktor a kann vor oder hinter die zu multiplizierende Matrix gesetzt werden. In der Transposition werden die Zeilen einer Matrix zu Spalten oder, was dasselbe ist, die Spalten zu Zeilen gemacht. Die Reihenfolge bleibt unverandert.

Die Transposition wird durch das hochgestellte T ausgedruckt. Es ist kein Exponent. Eine Transposition ist immer dann erforderlich, wenn Indizes vertauscht werden mussen, um eine Operation der symbolischen Matrizenschreibweise anzupassen. In Indexschreibweise ist die Transposition uberflussig, es sei denn man wechselt zwischen den Schreibweisen hin und her. Es ist dann aT wie ein neuer Name zu behandeln. Aus der Definition der Matrizen und der Operationen ergeben sich eine Reihe von formalen Folgerungen. Die wichtigste und sinnfalligste ist die, daB die dilrch eine Operation miteinander verbundenen Matrizen in ihrer GroBe zusammenpassen mussen. Man kann nur Matrizen gleicher GroBe, einander gleichsetzen, addieren oder subtrahieren. Fur das Matrizenprodukt entnimmt man aus ( 1 . 2 0 ) ; daB die Spaltenzahl der linken Matrix gleich der Zeilenzahl der rechten sein muB. Man bezeichnet diese Matrizen dann als verkettbar. Die Operationen Inversion und Transposition besitzen einige gemeinsame Eigenschaften, die fur den Umgang mit ihnen wichtig sind. Es sei hier noch einmal daran erinnert, daB eine Inversion eine quadratische, nichtsingulare Matrix voraussetzt. Die zweimalige Anwendung der Inversion oder der Transposition fuhrt wieder zur Ausgangsmatrix:

16

1. Mathematische Grundlagen

Die Inversion oder Transposition eines Produktes kehrt dessen Reihenfolge um:

(A.~

1 - =l

B-1. ~

-

1

( A . B)T = B

~A . ~ .

( 1 . 2 5)

Die Operationen Inversion und Transposition sind miteinander vertauschbar:

Die Einheitsmatrix wird durch eine Inversion oder Transposition nicht verandert:

1-l

=

I~

=

1 .

(1.27)

Diese Regeln lassen sich relativ einfach aus den Definitionsgleichungen herleiten.

1 . 2 . 3 Falksches Schema Bevor die elektronischen Rechenanlagen zum Einsatz kamen, muBten die Matrizenoperationen mit mechanischen Rechenmaschinen ausgefuhrt werden. Die Zahlen wurden einzeln eingegeben, die beabsichtigte Operation ausgefuhrt und das Ergebnis notiert. Um einen gesicherten Ablauf zu gewahrleisten, wurden die Zahlen aus ubersichtlichen Tabellen abgelesen und auch so wieder abgelegt. Laufende Fehlerkontrollen waren unerlaBlich. Heute spielen diese Techniken keine besondere Rolle mehr. Nur noch kleine Beispiele wird man von Hand rechnen. Das kommt allerdings immer wieder vor, gleichgultig, ob man Anfanger oder alter Hase ist. Fur die manuelle Ausfuhrung der Matrizenmultiplikation von (1.20) leistet das Falksche Schema sehr gute Dienste. Man tragt die Koeffizienten der Matrizen A und B,wie i n Bild 1.2 gezeigt, i n entsprechend groRe Felder ein. Fur das Resultat C entsteht dann automatisch ein Feld der benotigten GroRe. Ein Koeffizient cik wird berechnet, indem man die Koeffizienten der i-ten Zeile von A paarweise mit den Koeffizienten der k-ten Spalte von B multipliziert, die auflaufenden Produkte summiert und das Endergebnis an den Schnittpunkt von Zeile i und Spalte k schreibt

Bild 1.2: Falksches Schema f u r die Matrizenmultiplikation. Das Falksche Schema kann sehr einfach f u r eine Multiplikation von mehreren Matrizen erweitert werden. Zum Beispiel konnen drei Matrizen in folgenden Anordnungen miteinander multipliziert werden:

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

17

1.2.4 ~bermatrizen Bisher wurde vorausgesetzt, daR die Elemente der Matrizen einzelne Zahlen sind. Nichts steht der Verallgemeinerung entgegen; Matrizen aufzubauen, deren Elemente selbst auch Matrizen sind. Solche Matrizen werden als ~ b e r -oder Hypermatrizen bezeichnet. Augenscheinlich ijffnet sich hier ein weites Feld von Verallgemeinerungen. Fur unsere Zwecke genugt es jedoch, ~ b e r m a t r i z e naus einfachen Matrizen durch Unterteilen von Zeilen und Spalten zu erzeugen. Zwischen den Unterteilungen entstehen so Untermatrizen, die zusammengenommen eine ~ b e r -oder Blockmatrix bilden. Das folgende Beispiel zeigt eine Unterteilung in sechs Untermatrizen:

A

=

Die Unterscheidung der Untermatrizen geschieht hier durch hochgestellte Indizes. Dies ist praktischer als die Verwendung von tiefgestellten Indizes, die mit den Elementindizes verwechselt werden konnten. Ein einzelnes Element ist zum Beispiel

Mit ~ b e r m a t r i z e nrechnet man genauso wie mit einfachen. D e r Unterschied ist lediglich, daB die Elementoperationen jetzt Matrizenoperationen sind, wie folgendes Beispiel zeigt.

Eine selbstverstandliche Voraussetzung fur die Zulassigkeit der Operation ist, daR die Untermatrizen in ihrer GroBe zusammenpassen.

1 . 2 . 5 ubungen u b u n g 1.7: Stellen Sie auf symbolische Matrizenschreibweise urn: a)a..=a.. ; b)a..+bji=c.. ; c)Ca..x.=bi ; d ) C a..bik=c U

J1

U

U

u b u n g 1.8: Stellen Sie auf Indexschreibweise um:

U

J

1J

ki

18

1. Mathematische Grundlagen

~ ) A ~ = -; A b ) a + b = c ; c ) x T ~ x = b; d ) A I A T = I . u b u n g 1.9: Es seien A eine (3.3)-, B eine (3.2)- und c eine (2.1)-Matrix. Sind die Operationen ausfuhrbar: a1A.B

; b1B.A

;

c ) c ~ * B ~ .; Ad ) A + B B c ?

I!]

u b u n g 1.10: Mit den Matrizen

A

[;

'1

; " - 1

; B = [

3 3

sollen folgende Ausdrucke berechnet werden: a)A.B

; b)B.A

; c)

~ * B ~ . A ~ . c

u b u n g 1.1 1: Schreiben Sie eine der Gleichungen (1.21) mit der Matrix

aus und berechnen Sie daraus die Kehrmatrix. u b u n g 1.1 2: Beweisen Sie die Behauptungen (1.25). u b u n g 1.13: Aus der Beziehung u = G ( p )

sol1 die gezeigte, teilweise umgekehrte Beziehung hergestellt werden. Ermitteln Sie die Untermatrizen ~~j unter der Voraussetzung, daR G2' invertierbar ist.

1.3 Cartesische Tensoren Tensoren sind mathematische Objekte, die bestimmte unveranderbare Eigenschaften besitzen. Diese Invarianzen konnen auf verschiedene Weise ausgedruckt werden. Ziel der Bemuhungen ist dabei immer, von der zufalligen Wahl eines Bezugssystems unabhangig zu bleiben. Als Bezugssysteme im engeren Sinne sollen hier Koordinaten gemeint sein, die einen geometrischen Raum definieren. Es gibt krumm- und gradlinige Koordinaten, schiefund rechtwinklige. Fur unsere Zwecke wird es geniigen, die gewohnten rechtwinkligen, gradlinigen Koordinaten zu benutzen oder, wie es in der Fachsprache heiBt, die orthogonal Cartesischen. Die hierauf bezogenen Tensoren bezeichnet man als Cartesisch. Erst bei einer sehr vie1 spater auftretenden Gelegenheit, bei den parametrisch verzerrten finiten Elementen, werden auch krummlinige Koordinaten gebraucht. D a hierbei aber

1.3 Cartesische Tensoren

19

immer ein gradliniges Koordinatensystem im Hintergrund steht, kommt man auch hier mit den Formulierungen fur Cartesische Tensoren zurecht. An sich ist es ein Widerspruch, Tensoren zu definieren, die sich nur auf eine bestimmte Auswahl von Koordinatensystemen beziehen. Das Ziel ist es ja gerade, eine Darstellung zu erzeugen, die von der Wahl eines Koordinatensystems unabhangig ist. Andererseits ermoglicht die Beschrankung auf orthogonal Cartesische Koordinaten eine derartige Vereinfachung in der Schreibweise und Handhabung, daB dieser Widerspruch gerne in Kauf genommen wird. Es gibt noch einen anderen Grund fur den Gebrauch gradliniger, allerdings nicht unbedingt rechtwinkliger Koordinaten: In der Methode der finiten Elemente werden, wie der Name sagt, Elemente von endlicher GroBe behandelt. Hierfur eignen sich gradlinige Koordinaten wesentlich besser als gekriimmte, weil die Metrik und die Krummung uber beliebige Langen konstant bleiben. In der Differentialgeometrie, einem der klassischen Anwendungsgebiete von krummlinigen Koordinaten, werden dagegen differentiell kleine Bereiche betrachtet. Tensoren konnen auf verschiedene Art dargestellt werden. Haufig trifft man auf die symbolischen Schreibweisen, die meistens eine Weiterentwicklung der Vektorschreibweise sind. Ihnen gemeinsam ist die Verdrangung der Koordinatensysteme in den Untergrund der Berechnungsvorschriften. Auf diese Weise entstehen hohere Algebren nach Art der symbolischen Matrizenschreibweise von Abschnitt 1 . 2 . Der Vorteil der symbolischen Darstellungen ist ihre Kompaktheit, ihr Nachteil ist die Schwierigkeit, auch fur Tensoren hoherer Stufe eine einfache und uberschaubare Menge von Operationen bereitzustellen. Nicht zuletzt deshalb haftet der Tensorrechnung auch heute noch der Geruch der ,,hoheren Mathematikc( an, deren Nutzen fur die praktische Anwendung zweifelhaft ist. Mit der Indexschreibweise ist uns bereits ein Werkzeug in die Hand gegeben, womit auch die Tensorrechnung vorzuglich beschrieben werden kann. Speziell in Anwendung auf Tensoren bezeichnet man dies auch als die analytische oder Koordinatenschreibweise. Im Gegensatz zu den symbolischen Schreibweisen werden hier Bezugs-Koordinatensysteme verwendet. Dies bedeutet keinesfalls, daB eine Abhangigkeit von der zufalligen Wahl eines Bezugssystems entsteht, denn es wird kein festes, sondern ein beliebiges System gewahlt. Das heiBt, an einer einmal festgelegten Beziehung wird sich nichts andern, wenn ein ubergang auf ein anderes Koordinatensystem vollzogen wird. Lediglich die Zahlenwerte andern sich. Zum Beispiel gilt das in tensorieller Form geschriebene Spannungs-Dehnungsgesetz

20

1. Mathematische Grundlagen

fur jedes Koordinatensystem. Nur wird zum Beispiel die Spannung nach Wahl des Bezugssystems verschiedene Zahlenwerte annehmen.

OI2

je

Durch die explizite Verwendung der Koordinatensysteme entfallt der von den symbolischen Darstellungen bekannte Unterschied zwischen einer Gleichung und ihrer Umsetzung in Rechenoperationen. Eine Tensorgleichung in Indexschreibweise ist zugleich auch ihre programmierbare Ausfuhrungsanweisung. Vor allem dem Nichtmathematiker kommt dies sehr entgegen. Wegen ihres einfachen Aufbaus ist die Indexschreibweise ,,nach oben offen((. Es konnen Tensoren beliebig hoher Stufe und beliebige raumliche Dimensionen verwendet werden, ohne besondere Vereinbarungen treffen zu mussen. Daruber hinaus konnen Tensoren zwanglos mit Nichttensoren gemischt werden, wie wir sie bereits in Abschnitt 1 . 1 . 2 als Matrizen kennengelernt haben. Die Notwendigkeit, derartige mathematische Stilbruche zu begehen, ergibt sich durch die praktische Anwendung.

1.3.1 Koordinatensysteme Ein Koordinatensystem ist ein Satz von Regeln, nach denen die Punkte eines Raumes geordnet werden. Wie oben schon gesagt wurde, wollen wir uns hier auf eine einfache geometrische Deutung beschranken. Ein Koordinatensystem wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet; meistens wird dies x sein.

x. ; ( i = l . . . c )

(1.28)

Durch den Index i werden die Koordinaten in einer Folge geordnet; ihre Zahl ist durch die Dimension c des Koordinatensystems gegeben. Haufig wird c gleich drei sein; es kommen jedoch auch zwei- oder eindimensionale Unterraume vor, so daB es zweckmaBig ist, eine variable Dimension zur Verfiigung zu haben. Die Festlegung auf eine bestimmte Dimension verfuhrt dariiber hinaus dazu, dimensionsabhangige Begriffe einzufuhren. Zum Beispiel besitzt der dreidimensionale Raum ebenso viele Ebenen wie Achsen. Nur deshalb konnten dort die bekannten Kreuzprodukte eingefuhrt werden, die sich auf die Drehachsen beziehen anstatt auf die Ebenen. Ein Koordinatensystem erzeugt ein Netz von Linien oder Flachen, fur die jeweils eine Koordinate konstant ist. Diese konnen gerade oder gekrummt verlaufen und sich in konstanten oder veranderlichen Winkeln schneiden. Bild 1 . 3 zeigt einige ebene Beispiele.

1.3 Cartesische T e n s o r e n

Schiefwinklig, krumrnlinig

Schiefwinklig, geradlinig

Rechtwinklig, krurnrnlinig

Rechtwinklig, geradlinig

21

Bild 1.3: Einige zweidimensionale Koordinatensysteme

Die allgemeinsten Koordinatensysteme sind die schiefwinklig-krummlinigen. Sie bilden die Grundlage der eigentlichen Tensorrechnung. Da aber der Aufwand fur das Erlernen erheblich ist und der Nutzen vergleichsweise gering, wollen wir uns hier auf die einfachsten Koordinatensysteme beschranken, namlich die rechtwinklig-gradlinigen, sprich die orthogonal Cartesischen. Einige kurze Ausfliige in die Welt der schiefwinkligen Koordinaten sollen nur dazu dienen, einige Begriffe, wie zum Beispiel die kletrik zu erklaren. In einer Metrik ist festgelegt, wie Langen und Winkel zu berechnen sind. Bild 1 . 4 zeigt eine Lange s mit ihren Projektionen auf die Achsen eines ebenen, orthogonal Cartesischen Koordinatensystems.

1

Bild 1.4: Projektionen si e i n e r Lange s i n e i n e m ebenen Koordinatensystem

Nach dem Satz des Pythagoras gilt hier

Verallgemeinert fur eine beliebige Dimension und mit dem Kronecker-Delta von ( 1 . 1 1 ) erhalt man daraus

22

1. Mathematische Grundlagen

In einem schiefwinkligen System hat man im Unterschied hierzu

Hierin ist gij der metrische Tensor des benutzten Koordinatensystems. Der Vergleich mit ( 1 . 2 9 ) zeigt, daB fiir ein orthogonal Cartesisches Koordinatensystem der metrische Tensor zum Kronecker-Delta wird.

1.3.2 Koordinatentransformation Eine der wichtigsten Eigenschaften von Koordinatensystemen ist, daB man sie transformieren kann. In Bild 1 . 5 ist eine ebene Koordinatentransformation dargestellt.

Bild 1.5: Zweidimensionale Koordinatentransformation ohne Nullpunktverschiebung.

xi.

Das Ausgangssystem ist x i , das transformierte Beide sollen orthogonal Cartesisch sein, dieselbe Dimension c besitzen und denselben MaBstab benutzen. Was immer in dem definierten Raum enthalten ist, bleibt unverandert, nur das Bezugssystem andert sich. Insbesondere bleibt die Lage von Punkten und die Lange von Strecken unverandert. Das Bild zeigt eine Koordinatendrehung. Eine Umkehrung der Achsenrichtungen, eine Spiegelung, ist ebenfalls moglich. Auf eine Verschiebung des Nullpunktes kann hier verzichtet werden. Das Transformationsgesetz ist nun

Die hierin benutzte Transformationsmatrix ist definiert durch

Sie ist konstant, da die Koordinatensysteme Cartesisch sind. Wie man Bild 1 . 5 entnimmt, sind die transformierten Koordinaten eines Punktes gleich den rechtwinkligen Projektionen auf die neuen Achsen. Daraus folgt

1.3 Cartesische Tensoren

23

Die Argumente des Cosinus sind die Winkel zwischen den positiven Richtungen von und xj. Fur die Dimension zwei ergibt sich daraus fur eine Drehung ohne Spiegelung mit dem in Bild 1 . 5 definierten Winkel cw

xi

cos ( 9 0 " + a )

cos ( 9 0 " - a ) ] cos cw

=

[

coscw - sin cw

sin cw cos cw

1

(1.33)

Sind die beiden Koordinatensysteme identisch, dann wird die Transformationsmatrix zur Einheitsmatrix. Mit ( 1 . 3 0) wird die Transformation von xj nach xi beschrieben. Die Umkehrung dieser Transformation wird geschrieben als

t.. 2J . . V

x. = C 1 j

c.

Die hier benutzte Transformationsmatrix ist zunachst noch nicht bekannt. 1J Durch Einsetzen von ( 1 . 3 0 ) erhalt man nach einer Umbenennung der Indizes Xi =

C j,k

-

t.. t. 1J

Jk Xk.

Dies wird auf einer Seite zusammengefaBt

Dieser Ausdruck hat die Form

Die xk sind frei wahlbar und die Koeffizienten aik hiervon unabhangig. Setzen wir zum Beispiel xl = 1 und alle anderen xk = 0;dann folgt ail = 0 fur alle i. Dasselbe kann man fur x 2 = 1 machen und bekommt a i 2 = 0 u.s.w. SchlieBlich hat man bewiesen, daB alle aik null sind. Inhaltlich ist diese Beweisfuhrung nichts anderes als der bekannte Koeffizientenvergleich von unabhangigen Variablen. Sie wird noch sehr haufig angewendet werden. W i r haben also gerade bewiesen, dal3

oder

C j

-

"

t.. t. = Jk

Sik.

24

1. Mathematische Grundlagen

Ein Vergleich mit ( 1 . 2 1 ) zeigt, daB die gesuchte Transformationsmatrix t.. 1J die Inverse der Transformationsmatrix tij ist. Die Umkehrung der Transformation ( 1 . 3 0 ) ist demnach

Fur den Fall, daB die Koordinatensysteme beliebig sind, sind samtliche Koeffizienten einer Transformationsmatrix unabhangig. Da die Koordinatensysteme und xj in ( 1 . 3 0 ) aber orthogonal Cartesisch sind, muB ein innerer Zusammenhang zwischen den Koeffizienten bestehen. Dies kann man schon ( 1 . 3 2) ansehen: Es existiert fur den ebenen Fall nur ein unabhangiger Parameter, der Lagewinkel a. Die sogenannten Orthogonalitatsbedingungen sind Ausdruck dieser Zusammenhange.

xi

Es sei s eine Lange in einem Koordinatensystem xi . siehe Bild 1 . 4 , und F dieselbe Lange bezogen auf ein Koordinatensystem Fiir die Quadrate gilt ebenfalls

xi.

Da beide Koordinatensysteme orthogonal Cartesisch sind folgt mit ( 1 . 2 9 )

Die Projektionen der Lange werden wie die Koordinaten transformiert. Mit ( 1 . 3 0) ergibt sich

Hier ist wieder eine Situation, wie bei ( 1 . 3 4): Die Langen s konnen beliebig verandert werden, so daB der hiervon unabhangige Term in Klammern null sein muB. Nach einer Umbenennung der Indizes folgt damit

Dies ist die gesuchte Orthogonalitatsbedingung. Hierzu gibt es noch zwei gleichwertige Formen, die je nach dem Zusammenhang von Nutzen sein konnen. Ein Vergleich mit ( 1 . 2 1 ) zeigt, daB wegen der Eindeutigkeit einer Kehrmatrix auch gelten mu8

t ,-.1 V

=

t..

; ( i , j = l...c)

JI

und damit folgt dann noch einmal aus ( 1 . 2 1 )

(1.36 )

1.3 Cartesische T e n s o r e n

25

Eine Transformationsmatrix, die die Beziehung zwischen zwei orthogonal Cartesischen Koordinatensystemen herstellt, wird abgekiirzt auch als orthogonale Transformationsmatrix bezeichnet. Sie hat die bemerkenswerte Eigenschaft ( 1 . 3 6 ) , daB ihre Inverse gleich ihrer Transponierten ist. Die hierzu gleichwertigen Formen ( 1 . 3 5) und (1.3 7) unterscheiden sich durch die Stellung der Summationsindizes: Einmal sind e s die jeweils ersten, dann die zweiten. ~ b e rdie D e t e r m i n a n t e ( A b s c h n i t t 1.4.1) e i n e r orthogonalen T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x g e w i n n t m a n e i n e Aussage z u r Z a h l der Spiegelungen i n e i n e r T r a n s f o r m a t i o n . Z u n a c h s t l i e f e r n ( 1 . 3 5 ) oder ( 1 . 3 7 )

w o r a u s u n m i t t e l b a r folgt

O f f e n s i c h t l i c h ist dies unabhangig v o n d e n W i n k e l n der T r a n s f o r m a t i o n . M a c h t m a n die b e i d e n Koordinatensysteme i d e n t i s c h , d a n n w i r d laut ( 1 . 3 2 ) die T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x z u r Einheitsmatrix. D e r e n D e t e r m i n a n t e ist das Produkt der Diagonalterme also gleich plus e i n s . Spiegelt m a n n u n e i n e Koordinatenachse, das heifit, k e h r t m a n i h r e R i c h t u n g u m ; d a n n w i r d der e n t s p r e c h e n d e D i a g o n a l k o e f f i z i e n t der T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x m i n u s e i n s u n d ebenso die D e t e r m i n a n t e . A l l g e m e i n folgt daraus: D i e D e t e r m i n a n t e e i n e r orthogon a l e n T r a n s f o r m a t i o n s m atrix w i r d negativ, w e n n e i n e ungerade Z a h l v o n S p i e g e l u n g e n der A c h s e n vorliegt. Gerade Z a h l e n v o n Spiegelunge n e n t s p r e c h e n i m m e r 180°-Drehungen. Es k o m m t also l e t z t l i c h n u r darauf an, ob e i n e e i n z i g e Spiegelung vorliegt. Sie b e w i r k t d e n u b e r g a n g v o n e i n e m R e c h t s - a u f e i n L i n k s k o o r d i n a t e n s y s t e m oder u m g e k e h r t . Eine orthogonale Koordinatentransformation o h n e Spiegelung beschreibt e i n e Dreh u n g . W i e m a n Bild 1.5 e n t n i m m t , b e s t e h t i m Z w e i d i m e n s i o n a l e n k e i n U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d e m D r e h w i n k e l oc u n d d e m die Endlage b e s c h r e i b e n d e n L a g e w i n k e l oc. Das andert sich i m Dreidimensionalen. Die D r e h u n g e n sind n i c h t k o m m u t a t i v ; das heifit: e s k o m m t a u f die R e i h e n f o l g e an, i n der groBe D r e h w i n k e l a u f g e b r a c h t w e r d e n , u m e i n e b e s t i m m t e Endlage z u e r r e i c h e n . Traditionell m a c h t m a n dies uber die E u l e r - W i n k e l . Eine h a u f i g b e n u t z t e A n w e i s u n g ist: D r e h e u m die A c h s e 3; d a n n u m 2, d a n n w i e d e r u m 3. Hierbei sind jeweils die durch die v o r h e r g e h e n d e D r e h u n g entstand e n e n , v e r a n d e r t e n A c h s e n r i c h t u n g e n g e m e i n t . Solche Festlegungen sind s c h o n deshalb problematisch, w e i l i n i h n e n k e i n l e i c h t e r k e n n b a r e s , durchgangiges S y s t e m liegt. In n e u e r e r Z e i t ist m a n a u f e i n e n a n d e r e n W e g gestofien: Die D r e h u n g e n w e r d e n n i c h t m e h r n a c h e i n a n d e r sondern gleichzeitig i n i n f i n i t e s i m a l k l e i n e n S c h r i t t e n ausgefiihrt. H i e r z u w i r d e i n s c h i e f s y m m e t r i s c h e r D r e h t e n s o r d e f i n i e r t

a.. 1.l

=

-

cr.. J1

; ( i , j = l...c)

,

(1.39)

dessen D r e h w i n k e l sich a u f das Anfangskoordinatensystem xi b e z i e h e n . Jeder W i n k e l ocij beschreibt e i n e D r e h u n g i n e i n e r Ebene xi ,xj u n d sol1 positiv v o n xi n a c h xj gerichtet sein. Der W i n k e l oc i n Bild 1.5 ist d e m n a c h o c I 2 . Die Z a h l der u n a b h a n g i g e n K o e f f i z i e n t e n des Drehtensors v o n ( 1 . 3 9 ) ist gleich der Z a h l der i m c - d i m e n s i o n a l e n Koordinatensystem d e f i n i e r t e n Ebenen.

26

1. Mathematische Grundlagen

Zu einem gegebenen Drehtensor 1aOt sich eine zugehorige Transformationsmatrix berechnen. Die Herleitung sei hier ubergangen.

Hierin kommen gleich zwei verschiedene Matrizenfunktionen vor, die Exponentialfunktion und die Matrizenpotenzen. Erstere ist definiert durch die angegebene Reihe, f u r letztere gilt 2

[ aij ]

a,, akj

=

; U. s. w. ; ( i , j , k = l c )

F u r die Dimension zwei liefert (1.40) mit den Reihen f u r Cosinus und Sinus das Ergebnis (1.33). Fur den dreidimensionalen Fall findet m a n

p

=

t.. = 1J

Ja:,

+

a:,

+

a:,

sin p

8.. + -a . 1J 40

lJ

1 - cos p +

P

2

[aij]

}

(1.42)

; ( i : j = l ... 3 ) .

In Bild 1.6 ist eine raumliche D r e h u n g skizziert. Die Gesamtdrehung p erfolgt um eine Achse, deren Richtung von den Drehwinkeln a 1 2 ,Q, und a, bestimmt wird.

Bild 1.6: GroRe Drehung i n einem dreidimensionalen Koordinatensystem; Drehtensor a..und Gesamtdrehwinkel p als Drehungen und Drehvektoren (Doppelpfeile). U Die Beziehung (1.40) ist auch umkehrbar. Das heifit, m a n k a n n auch zu einer gegebenen Transformationsmatrix die zugehorigen Drehwinkel berechnen. Von besonderem Interesse f u r die spatere Anwendung ist noch der Fall; daB die Drehwinkel klein sind. In der Reihe (1.40) k a n n m a n dann alle quadratischen und hoheren Glieder vernachlassigen und es bleibt ubrig t.. = 1J

S.. Sa.. U +

1J

; ( i , j = l... c )

.

(1.43)

Mit Saij ist der schiefsymmetrische Drehtensor von (1.39) gemeint, dessen Winkel infinitesimal klein sind.

Koordinatentransformationen lassen sich beliebig oft nacheinander ausfuhren. Das Ergebnis ist immer eine Transformation, die das Anfangs- mit dem Endsystem direkt verknupft. Deshalb bilden die Transformationen eine

1.3 Cartesische Tensoren

27

sogenannte mathematische Gruppe, die in diesem Fall als orthogonale Transformationsgruppe bezeichnet wird. Ein Beispiel fur nacheinander vorgenommene Transformationen sind die oben erwahnten Drehungen um die Euler- Winkel: Eine dreidimensionale Transformation wird durch drei einzelne Drehungen erzeugt. Bisher wurden Transformationen zwischen Koordinatensystemen gleicher Dimension c betrachtet. Dies bezeichnet man als eine isomorphe Abbildung. Nicht-isomorphe Transformationen kommen gelegentlich auch vor, wenn zum Beispiel aus einem dreidimensionalen Raum in einen zweidimensionalen Unterraum transformiert wird. Anstelle von ( 1 . 3 0 ) erhalt man

Im Umgang mit derartigen, unvollstandigen Transformationen ist einige Vorsicht geboten, weil sich sehr leicht unzulassige Operationen einschleichen. Die bisher behandelten Operationen sind nur dann giiltig, wenn die Summationsindizes aus dem Bereich der groBeren Dimension c ausgewahlt sind. Zum Beispiel gilt von den Orthogonalitatsbedingungen ( 1 . 3 5 ) und ( 1 . 3 7) nur noch die zweite.

1 . 3 . 3 Tensortransformation Die Cartesischen Tensoren bilden eine Untermenge der allgemeinen Matrizen aus Abschnitt 1 . 1 . 2 . Das heiBt, ein Tensor wird immer durch eine Matrix dargestellt, aber nicht jede Matrix muB ein Tensor sein. Die Stufe eines Tensors ist die Zahl der Indizes, die zu seiner Beschreibung erforderlich ist. Derselbe Begriff war schon bei den Matrizen verwendet worden. Tensoren niedriger Stufe haben traditionsbedingt eigene Namen. Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar oder eine Invariante, ein Tensor erster Stufe ein Vektor, ein Tensor zweiter Stufe wird zuweilen noch als eine Dyade bezeichnet. Zur Definition von Tensoren wird hier der sogenannte Fundamentalsatz der Feldtheorie herangezogen: Ein Tensor n- ter Stufe wird wie die n- te Ableitung einer Invarianten transformiert. Hierdurch wird die wichtigste Eigenschaft von Tensoren in den Mittelpunkt gestellt: ihr Transformationsverhal ten. Um diesen Satz mit Leben zu erfiillen, mu0 zunachst genauer definiert werden, was eine Invariante ist. Es seien zwei orthogonal Cartesische Koordinatensysteme xiund , ( i =1 . . . c ) , gegeben, die durch eine Transformation ohne Nullpunktverschiebung ( 1 . 3 0 ) miteinander verkniipft sind. Eine GroBe I ist dann eine Invariante, wenn gilt

xi

28

1. Mathematische Grundlagen

-

I(x)

=

I ( % ) , oder kurzer I

=

I .

Hiermit ist ausgedruckt, dafi die Grol3e Ibezogen auf das Koordinatensystem xi gleich der Grol3e I bezogen auf die transformierten Koordinaten ist. Invariant ist zum Beispiel eine Temperatur an einem Punkt; eine Drehung des Koordinatensystems beeinflufit sie nicht. Das Transformationsgesetz fiir eine Invariante erhalt man aus der Kettenregel der Differentiation:

xi

Hier wurde die Definition der Transformationsmatrix tij von ( 1 . 3 1) eingesetzt. Beide Seiten werden mit der Transformationsmatrix multipliziert und dann die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 7 ) angewendet.

Nach Umbenennen der Indizes und Umstellen wird daraus

Dies ist das Transformationsgesetz der ersten Ableitung der Invarianten I nach den Bezugskoordinaten. Nach der oben gegebenen Definition ist dies zugleich auch das Transformationsgesetz eines Tensors erster Stufe. Auf dieselbe Weise kann man mit den hoheren Ableitungen verfahren und findet die entsprechenden Transformationsgesetze:

I

-

a

=

iJk

al ~. k l=

~ , m , ntil m,n>p,q -

-

tjm tkn alrnn

tjn . tkp ti q a mnpq

;

U.S.W.

;

xi

Hierin sind 2 , ai , aij, ... , die auf das Koordinatensystem bezogenen Tensoren nullter, erster, zweiter, ... , Stufe und a , a i , aij, ... , die auf xi bezogenen.

1.3 Cartesische Tensoren

29

Die hier definierten Tensoren bezeichnet man als absolut. Im Gegensatz zu ihnen stehen die relativen Tensoren, bei denen noch die Determinante der Transformationsmatrix im Transformationsgesetz erscheint. Beispiele hierfur sind aus Kreuzprodukten hervorgegangene Tensoren, also DrehgroBen. D a die Determinante einer Transformationsmatrix bei einer Koordinatenspiegelung ihr Vorzeichen wechselt, andert sich dann auch das Vorzeichen der relativen Tensoren. Diesen fehleranfilligen ubergang von Rechtsauf Links-Koordinatensysteme braucht man hier nicht zu furchten! Die indizierte Darstellung von Tensoren wird als Koordinaten-Schreibweise bezeichnet. Infolgedessen muBte ein einzelnes Glied eines Tensors als Koordinate bezeichnet werden. Hier sol1 jedoch die Bezeichnung Komponente in Anlehnung an den Gebrauch bei Vektoren benutzt werden. Diese Bezeichnungsweise findet sich auch in Lehrbuchern fur den Gebrauch durch Nichtmathematiker. Weiterhin wird kein sprachlicher Unterschied gemacht zwischen einem Tensor und seinen Komponenten. Exakt muBte es heiBen: ein Tensor a und seine Komponenten aij. Hierbei konnte man zur Unterscheidung das Symbol fur den Tensor selbst noch durch Fettdruck, Unterstreichen oder ahnliches hervorheben. nEin Tensor a<( sagt aber nichts uber die Stufe des Tensors aus. Also ist es sinnvoller, die Indizes mitzuschreiben und auf die logischen Feinheiten zu verzichten. Oft kommt es auch vor, daB verschiedene Tensoren mit demselben Namen belegt werden; eine Unterscheidung ist dann vielfach nur uber die Indizierung moglich. Die Transformationen ( 1 . 4 5) sind so gerichtet, daB zum Beispiel aus einem gegebenen Tensor ai der zugehorige transformierte Tensor ii berechnet werden kann. Die Umkehrung fur dieses Beispiel ist

Mit der Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 6) wird daraus

Die inverse Transformation fur Tensoren hoherer Stufe wird entsprechend gebildet . Tensoren konnen dieselben formalen Eigenschaften besitzen, die in Abschnitt 1 . 1 . 2 fur allgemeine Matrizen angegeben wurden. Hervorzuheben ist hier, daB sich Symmetrien und Schiefsymmetrien bei einer Transformation ubertragen. Fur die Modellfalle (1.5) und (1.6) gilt also

30

1. Mathematische Grundlagen

a..

=

a..

1J

Jl

a..

= - a..

1J

-

+

a..

-

=

1J

Jl

+

2..= V

aji -

(1.47)

'

2.. ; ( i , j = l ... c ) .

(1.4 8 )

Jl

Hieraus lassen sich, wie in Abschnitt 1 . 1 . 2 gezeigt, alle hoheren Symmetrien ableiten. Z u m Beweis von (1.47) wird i n den r e c h t e n Ausdruck das entsprechende Transformationsgesetz von (1.45) eingesetzt:

Auf der r e c h t e n Seite wird k i n 1 u n d 1 i n k umbenannt. D a n a c h wird alles auf die l i n k e Seite gebracht u n d zusammengefa8t:

Dies m u 8 f u r e i n e beliebige Transformation gelten, also muR der davon unabhangige Klammerausdruck n u l l sein, das h e i s t , a k l = alk . D a dies die Voraussetzung f u r die transformierte Gleichung i n (1.47) w a r , ist die Aussage h i e r m i t bewiesen.

Um einen Eindruck vom Transformationsverhalten einiger typischer Tensoren zu vermitteln, sind in Bild 1 . 7 die jeweils unabhangigen Komponenten iiber dem Drehwinkel cr einer ebenen Transformation aufgetragen.

Bild 1.7: Beispiele f u r das Verhalten von Tensorkomponenten bei e i n e r ebenen Transformation i n Abhangigkeit vom D r e h w i n k e l a : a) Tensor erster Stufe: b) Unsymmetrischer Tensor zweiter Stufe, c ) Symmetrischer Tensor zweiter Stufe (z. B. Spannungstensor), d) Tensor vierter Stufe mit den Symmetrien aijkl = ajikl = aijlk (z. B. Elastizitatstensor).

=

aklij

An den in Bild 1 . 7 gezeigten Beispielen erkennt man, daB die Tensorkomponenten periodisch Extremwerte annehmen und daB einige durch null gehen. Zum Aufsuchen ausgezeichneter Lagen dieser A r t dienen sogenannte

1.3 Cartesische Tensoren

31

Hauptachsen- Transformationen. Besondere Bedeutung haben diese fur symmetrische Tensoren und Matrizen zweiter Stufe erlangt. In Abschnitt 1 . 7 wird hierzu noch mehr zu sagen sein. D e r weitaus haufigste Anwendungsfall ist das Aufsuchen der Hauptspannungen, das von Ingenieuren traditionell noch immer mit dem Mohrschen Kreis grafisch gelost wird: Fur einen symmetrischen (Spannungs-) Tensor zweiter Stufe a j j wird in der Ebene diejenige Lage gesucht, in der die (Schubspannungs-) Komponente a12 zu null wird. Mit dem Transformationsgesetz (1.4 5) findet man hierfur den Drehwinkel cr aus der Bedingung tan 2a12

=

a12

a 11 -

a22

Die hiermit transformierten Komponenten werte an (siehe auch Bild 1 . 7 c).

all und i22nehmen dann Extrem-

Bei der Transformation eines orthogonal Cartesischen Koordinatensystems auf ein anderes bleibt der metrische Tensor Sij erhalten. Jede Kombination aus diesen metrischen Tensoren bleibt bei einer Transformation ebenfalls unverandert. Es gibt nun Tensoren, die einen solchen Aufbau haben. Man bezeichnet sie als isotrop. Untersucht man die moglichen Kombinationen, dann findet man, daB hierfur nur Tensoren gerader Stufe in Frage kommen. Die isotropen Tensoren zweiter und vierter Stufe haben folgenden Aufbau: = 1J

cw 8.. ; (i,j= l . . .c )

,

(1.50)

1J

c ) . (1.51) Hierin sind a, p und y beliebige Konstante. Andere isotrope Tensoren lassen sich noch auf der Basis der e-Symbole von ( 1 . 1 2 ) konstruieren. Ihr Aufbau ist aber dimensionsabhangig, weil die Zahl der Indizes mit der Dimension anwachst. Sie sollen hier nicht betrachtet werden. Nach der eingangs gesetzten Definition, daB sich Tensoren so transformieren, wie die Ableitungen von Invarianten nach ihren Bezugskoordinaten, geht unmittelbar hervor, daB diese Ableitungen von Tensoren genommen, auch wieder Tensoren erzeugen. Wenn man also einen Tensor nach seinen Bezugskoordinaten differenziert, entsteht ein neuer Tensor. Um die umstandliche Schreibweise mit den partiellen Differentiationssymbolen abzukurzen, verwendet man haufig ein Komma. Es ist dann zum Beispiel:

32

1. Mathematische Grundlagen

Ein gegebener Tensor kann eine Ableitung einer Stammfunktion sein. Beispiele hierfur sind die Potential- und Spannungsfunktionen der klassischen Mechanik. Vor ihrer Verwendung mufl jedoch gewarnt werden: Aufler dem Verlust der Anschaulichkeit handelt man sich dabei oft auch noch vollig unnotige Einschrankungen ein.

1.3.4 Tensoralgebra Auf die im vorhergehenden Unterabschnitt definierten Tensoren konnen beliebige Operationen angewendet werden. Eine Untermenge hiervon erzeugt aus Tensoren auch wieder Tensoren. In der Tensorrechnung sind nur diese Operationen zugelassen. Die Grundrechnungsarten innerhalb dieses Rahmens sind in der Tensoralgebra festgelegt. Im folgenden sollen diese grundlegenden Operationen in ihrer einfachsten Form vorgestellt und danach verallgemeinert werden. Hier muB sofort noch darauf hingewiesen werden, daB wir den Beschrankungen der Tensorrechnung nicht unter allen Umstanden unterliegen. Eine im Rahmen der Tensoralgebra unzulassige Operation kann im Einzelfall sinnvoll sein. Die Grundform der Tensoraddition ist: a . + b. = c . ;

( i = l ... c ) .

Ebenso gilt fur die Tensorsubtraktion: a. -

b.

=

ci ;

(i

=

I . . . c) .

Die Grundform der Tensormultiplikation, auch auh'eres genannt, ist (das Malzeichen kann weggelassen werden): ai

bj

=

c.. ; 1J

(i,j

=

I... c)

.

Tensorprodukt ( 1 . 5 5)

Als Tensorverjiingung oder Kontraktion bezeichne t man die Summierung uber zwei Indizes:

Damit ist die Reihe der Grundformen abgeschlossen. Eine vie1 benutzte Kombination aus ( 1 . 5 5) und (1.56) ist die Tensoriiberschiebung, auch inneres Tensorprodukt oder Skalarprodukt genannt (das Malzeichen kann wieder weggelassen werden):

In den Definitionen ( 1 . 5 3) bis ( 1 . 5 7 ) wurden Tensoren von der jeweilig niedrigsten Stufe benutzt. A l l e Operationen konnen mit Tensoren beliebig hoher Stufe vorgenommen werden. AuBerdem konnen die Indizes der einzelnen Tensoren permutiert werden. Einige Beispiele mit Tensoren der nachsthoheren Stufen sind:

1.3 Cartesische Tensoren

a

+

a,.

.

1J

bij = c . .

a..+ b..=c..

1J

1J

C a... j 11J

C

a,.

j

"

-

bk =

.

c..

~k

c. J

b . = ci J

IJ

' ,

,

JI

1J

a . . . bk

=

Cj

c.

*J

a... 1JI

=

JI

kji

J

, '

,

J

C a . . . b. j

c

33

=

c.

.

Wenn in dem ersten Beispiel aij und bjj Tensoren sind, dann gilt dies auch fur c j j Allerdings sind die Tensoren c j j in der ersten Zeile nicht unbedingt gleich: weil im allgemeinen bij ungleich bjj ist. Entsprechendes gilt fur die ubrigen Beispiele. D e r Vollstandigkeit halber soll noch auf die vektorielle Multiplikation zweier Vektoren hingewiesen werden, die f u r die Dimension c = 3 e i n e Rolle spielt und die als Kreuzprodukt bezeichnet wird:

Die doppelte ~ b e r s c h i e b u ndes ~ Permutationssymbols (1.12) mit zwei Vektoren b . J und ck erzeugt den Vektor ai , der geometrisch gedeutet w e r d e n k a n n : s e i n Bet r a g entspricht dem Flacheninhalt des von den beiden anderen Vektoren zwischen dem k l e i n e r e n eingeschlossenen Winkel aufgespannten Parallelogramms und e r steht s e n k r e c h t auf diesem. Folgt der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren noch eine skalare Multiplikation mit e i n e m dritten Vektor, so e r h a l t m a n das Spatproduk t:

D a s Spatprodukt k a n n ebenfalls geometrisch gedeutet werden: es liefert das Volum e n v eines durch drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. U n t e r bestimmten Voraussetzungen ( z u m Beispiel Vertauschen der Vektoren) k a n n sich das Vorzeic h e n des Kreuz- oder Spatproduktes u m k e h r e n . Dies soll a n dieser Stelle n i c h t vertieft werden, muB aber gegebenenfalls i n der k o n k r e t e n Anwendung beachtet werden.

Damit ist die Menge der Operationen innerhalb der Tensoralgebra definiert. Als eine Untermenge enthalt sie die Operationen der symbolischen Matrizenschreibweise. Wegen der Vielzahl der Stufen und Indexpermutationen ist es schwierig, die allgemeinen Operationen in iibersichtlicher Form anzugeben. Deshalb wurde jeweils die einfachste Form angefuhrt und dann im Beispiel verallgemeinert. Einen Test dafur, ob es sich bei einer angegebenen Beziehung um eine Tensoroperation handelt, erhalt man aus ihrem Transformationsverhalten. Dies wird im folgenden Beispiel gezeigt. Ein Gegenbeispiel ist in ubung 1. 2 3 enthalten. Die auf e i n Koordinatensystem Fi bezogene Gleichung sei

34

1. Mathematische Grundlagen

Es sol1 n u n untersucht werden, ob sich daraus der gleiche Z u s a m m e n h a n g f u r e i n Koordinatensystem xi ergibt. M i t den Transformationsgleichungen (1.45) wird hergestellt

Dies wird oben eingesetzt und die rechte von der l i n k e n Seite abgezogen

M i t der Orthogonalitatsbedingung (1.35) folgt daraus

Dies muR f u r e i n e beliebige Transformation gelten. D a der Klammerausdruck hiervon unabhangig ist, muR e r n u l l sein. Es gilt also

Dies ist (bis auf die leicht u m z u b e n e n n e n d e n Indizes) dieselbe Gleichung w i e oben, aber mit dem Unterschied, daR n u n alle GroRen auf das Koordinatensystem xi bezogen sind. D a m i t ist bewiesen, dal3 die Gleichung eine Tensoroperation beschreibt!

1.3.5 ubungen u b u n g 1.14: Bestimmen Sie die Lange s aus den Projektionen

u b u n g 1.15: Bestimmen Sie die Transformationsmatrix tij , ( i , j d r e h u n g i n der Ebene x l x 3 mit dem Winkel c r 1 3 .

=

1 , 2 , 3 ) , f u r e i n e Koordinaten-

u b u n g 1.16: Bestimmen Sie die Transformationsmatrix, die e i n dreidimensionales Koordinatensystem xi i n e i n n e u e s Ti derart uberfuhrt, daR Fl u n d F 2 i n die entgegengesetzten Richtungen von x l u n d x2 weisen und F3 mit x 3 identisch ist. u b u n g 1.17: Ein P u n k t h a t die Koordinaten xi = [ 2 1 1 . Welche Koordinaten e r h a l t e r bezogen auf e i n Koordinatensystem Fi , das u m den W i n k e l cr12 = 30° verdreht ist? u b u n g 1.18: In e i n e m Koordinatensystem xi , ( i = 1 , 2 , 3 ) , w e r d e n n a c h e i n a n d e r die gleichgroRen , und crgl i n den jeweiligen Ebenen 1-2, 2-3 u n d 3-1 ausgefuhrt. D r e h u n g e n T ~cuZ3 Berechnen Sie die Transformationsmatrix zwischen dem Anfangs- und Endkoordinatensystem und die Winkel zwischen den Achsen gleicher Numerierung f u r a) cc = 90° ; b) cr = 30° . u b u n g 1.19: In der angegebenen orthogonalen Transformationsmatrix ist e i n Koeffizient falsch. Welcher?

1.3 Cartesische T e n s o r e n

t.. 'J

=

35

[-;-;1; 1

1 3

u b u n g 1.20: Bestimmen Sie s a m t l i c h e orthogonalen Transformationsmatrizen tij , ( i j, u n d skizzieren Sie die Koordinatensysteme. die gegeben ist t l l =

=

1,2), fur

bung 1.2 1: Die D r e h u n g e n von bung 1.18 sollen g l e i c h z e i t i g ausgefuhrt werden. Berechnen Sie den D r e h w i n k e l F, die Transformationsmatrix u n d die Winkel. bung 1.22: Die Transformation zwischen e i n e m dreidimensionalen Koordinatensystem xi u n d e i n e m zweidimensionalen Ti ist bis auf die zwei zu b e r e c h n e n d e n Koeffizienten a l 2 0 und a 2 bekannt.

u b u n g 1.23: Auf e i n e r Welle befinden sich die Massen mi , ( i = 1 , 2 , 3 ) . 1st mi e i n Tensor? u b u n g 1.24: T r a n s f o r m i e r e n Sie die auf das Koordinatensystem xi

auf das System

xi

mit der Transformationsmatrix t . . IJ

( i = 1 , 2 ) , bezogenen T e n s o r e n

=

[-:::;:;]

bung 1.25: F u h r e n Sie die Hauptachsen-Transformation aus f u r den Tensor a . .

Beweisen Sie, daR I

=

=

C aij aij invariant ist; aij ist e i n Tensor. i,j

u b u n g 1.27: Die Flachentragheitsmomente eines Querschnittes A sind definiert durch Iu ..= J x i x j d ~ ; ( i , j = 1 , 2 ) . A Zeigen Sie, daB dies e i n Tensor zweiter Stufe ist.

bung 1.28: Es s e i e n a u n d b Tensoren. P r u f e n Sie, ob die Ergebnisse c a u c h T e n s o r e n sind. a) a i + b . = c . . ; J

1J

b)

C a . . b . . = c . ; C) a . . b . . = c . . . U J J

1

',J

J,'

U

36

1. Mathematische Grundlagen

1.4 Lineare Gleichungen Die Losung linearer Gleichungssysteme ist der Schlussel zur Ausfuhrung von Finit-Element-Berechnungen. Erst durch den Einsatz von leistungsfahigen Algorithmen zur Gleichungsauflosung auf elektronischen Rechenmaschinen wird aus der Theorie ein praktisch einsetzbares Werkzeug. Obwohl die numerischen Methoden nur einen Teil ausmachen, darf man sie als Ingenieur nicht ungestraft als eine solche ))black box<( benutzen, um die sich allenfalls die numerischen Mathematiker und Programmierer kummern sollten. Sehr oft zeigen sich Fehler in einer Berechnung dadurch, daB ein Losungsalgorithmus versagt. Dies liegt fast nie daran, daB der Algorithmus selbst fehlerhaft ist, sondern an falschen Eingabedaten, einer unvollstandigen Beschreibung des Problems oder auch daran, daB das Problem, so wie vorgehabt, nicht losbar ist. Gewisse Grundkenntnisse zu den am haufigsten angewendeten Algorithmen sind erforderlich, um bei einem Versagen eine Fehlerdiagnose stellen zu konnen. Wenn in diesem Abschnitt vor allem das direkte Auflosungsverfahren etwas ausfuhrlicher behandelt wird, als es fur Ingenieure angezeigt sein mag, dann hat dies noch einen besonderen Grund. Gerade die Losung von linearen Gleichungen eignet sich vorzuglich dazu, die Herleitung, den Aufbau und die Wirkungsweise eines Algorithmus exemplarisch kennenzulernen. D e r dabei gespannte Bogen reicht von den einfachsten AnWngen, die jedem Schulabganger vertraut sein sollten, bis zur parallelen Datenverarbeitung und zur Abschatzung des Losungsaufwandes. DaB hierbei trotzdem nur mit ))Wasser gekocht wird<<,durfte dem Verstandnis durchaus fiorderlich sein. Beweise, wie man sie in mathematischen Lehrbuchern haufig findet, werden dabei fast ganz weggelassen. Als Grundsatz dient die Regel: Eine Losung, die berechenbar ist, muB auch existieren! Solche konstruktiven Beweise stehen neuerdings auch bei den numerischen Mathematikern wieder in besserem Ruf. In diesem Abschnitt werden Eigenschaften von Matrizen zweiter Stufe besprochen. Nur fur diese sind zum Beispiel ein Rang oder eine Determinante definiert. Verallgemeinerungen fur Matrizen hoherer Stufe sind bis heute kaum bekannt und untersucht. Der standige Hinweis auf die zweite Stufe der Matrizen kann deshalb entfallen: Eine ))Matrixc~ist eine Matrix zweiter Stufe. Diese Vereinfachung wurde auch in der symbolischen Matrizenschreibweise von Abschnitt 1 . 2 gemacht.

1.4 Lineare Gleichungen

37

1.4.1 Lineare Abhangigkeit Die Zeilen einer Matrix aij bezeichnet man als linear voneinander abhangig, wenn sich Faktoren ci angeben lassen, die nicht durchweg gleich null sind und die Bedingung erfullen

C j

c . a , . = 0 ; ( i = l... m ; j = l... n ) . 1

lJ

( 1 . 5 8)

Die entsprechende Aussage fur die Spalten dieser Matrix ist

C

j

a.. c . = 0 ; ( i =l . . . m ; j = l . . . n ) lJ

J

Wenn also Zeilen oder Spalten aus Linearkombinationen anderer gewonnen werden konnen, dann sind sie linear abhangig. Im einfachsten Fall sind Zeilen oder Spalten einander gleich oder sie sind null. Ein Beispiel f u r (1.58) ist

Die Faktoren ci konnen mit einem beliebigen, gemeinsamen Faktor multipliziert werden.

Das Beispiel weist schon auf die wichtige Tatsache hin, daB nicht mehr Zeilen linear unabhangig sein konnen, als Spalten vorhanden sind. SinngemaB gilt das gleiche fur die Spalten. Der Rang einer Matrix, als ,,ran(( abgekurzt, gibt an, wieviele Zeilen oder Spalten einer Matrix linear unabhangig voneinander sind. E r kann also hochstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m fur die Zeilen und n fur die Spalten sein.

Nach Wegstreichen von iiberzahligen Zeilen oder Spalten reduziert sich das Problem der Rangbestimmung also auf das einer quadratischen Matrix. Eine quadratische Matrix der GroBe n besitzt eine Kenngrone, die angibt, ob die Matrix den Rang n erreicht, das heiBt, ob alle Zeilen, beziehungsweise Spalten linear unabhangig sind. Dies ist die Determinante. Sie ist null, wenn der Rang kleiner als n ist. In diesem Fall bezeichnet man die Matrix als singular. Eine nichtsingulare Matrix wird korrekt als regular bezeichnet. Eine Determinante wird definiert durch

38

1. Mathematische Grundlagen

det ( a . .) 1J

...

det (a..)ek 2

I

det ( a . ekl

v

=

z

el1. i.2 . . . in a i l k la i2k;"

C

e . .

i l . . . in

kn

k2...kn =

j l . . .jn

a

a

a

J ~ ~ ~ . . k. l jJ? k~ 2 j ; "

( i , , i . . . i , j . . . j, n

;

kl...k

kkn

n

=

knjn

' '

l...n).

Die beiden ersten und die beiden letzten Definitionen sind gleichwertig. Die jeweils erste bezieht sich auf die Spalten, die jeweils zweite auf die Zeilen. Die beiden ersten Ausdrucke sind ein Sonderfall der beiden letzten fur kl = 1 , k2 =2 ;..., k = n. Die Indizes im Argument von n d e t ~und .ran<< n sind an sich uberflussig und werden deshalb oft weggelassen. Nur wenn ein zusammengesetzter Ausdruck im Argument steht, werden sie gebraucht. Da das e-System von ( 1 . 1 2) n Indizes besitzt, muBten die Definitionen (1.6 1 ) mit Hilfe von Subindizes geschrieben werden. Eine einfachere Darstellung ergibt sich fur eine feste GroBe n. Fur n = 3 folgt aus der ersten Definition von ( 1 . 6 1 ) det(a)

=

C

i,j,k

e.. I

J

a . a . ak3 ; ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) . ~ 11

32

Die Definitionsgleichungen sind denkbar ungeeignet, um Determinanten zu berechnen. In erster Linie dienen sie zur Herleitung von Determinantensatzen und zur Untersuchung spezieller Matrizen. Fur die Handrechnung nutzlich sind jedoch die ausgeschriebenen Gleichungen fur n von 1 bis 3.

In dem Matrizenschema (1.14 ) lassen sich diese Anweisungen sehr leicht in Abzahlmuster ubersetzen. Man hute sich jedoch davor, diese uber n = 3 hinaus fortzusetzen! Aus der Definition der Determinanten (1.6 1 ) ergeben sich n ! Produkte von je n Faktoren. Selbst die groBten Computer sind hier schnell iiberfordert. Spater wird sich ein wesentlich wirtschaftlicher Berechnungsweg ergeben. Um in der Handrechnung, vor allem bei allgemeinen Herleitungen, noch ein wenig weiter als n = 3 zu kommen, verwendet man die Entwicklungssatze.

1.4 Lineare Gleichungen

det(a) =

C j

a.. 1J

ilJ. . ;

det(a) =

Ci

39

-

a.. a.. ; 'J

1J

i , j = 1n

(1.63)

Im ersten wird nach der Zeile i , im zweiten nach der Spalte j entwickelt, die jeweils frei gewahlt werden konnen. Die Faktoren iij werden als algebraische Komplemente oder vom Englischen kommend als Kofaktoren bezeichnet.

Hierin sol1 a ( i j ) die Untermatrix sein, die aus der Matrix a entsteht, wenn die Zeile i und die Spalte j weggestrichen werden. Durch die einmalige Anwendung eines Entwicklungssatzes (1.6 3) wird so eine Summe mit n Termen erzeugt, in denen jeweils eine Determinante einer Matrix der GroBe n - 1 vorkommt. Durch mehrmalige Anwendung kann man die Matrizen auf eine handliche Grof3e reduzieren. Dabei wird man tunlichst die Entwicklungszeilen oder -spalten so wahlen: daB, bedingt durch den speziellen Aufbau der Matrizen, moglichst viele Terme verschwinden oder gleich werden. Aus den Definitionsgleichungen (1.6 1 ) ergeben sich eine Reihe von Eigenschaften, die bei der Umformung und Berechnung von Determinanten sehr niitzlich sind. Zuerst ist da die Aussage

Bei einer Transposition der Matrix andert sich die Determinante nicht. Die unmittelbare Folge dieses Satzes ist, daf3 alle Aussagen, die fur die Zeilen in einer Determinante gemacht werden, ebenso auch fur die Spalten gelten. Dies findet sich in den folgenden Satzen wieder.

Der absolute W e r t einer Determinante bleibt unverandert, (1.6 6) wenn ganze Zeilen oder Spalten vertauscht werden. Das Vorzeichen bleibt erhalten, wenn die Zahl der Vertauschungen gerade ist, sonst kehrt es sich urn. Eine Determinate andert sich nicht, wenn zu einer Zeile oder Spalte eine beliebige Linearkombination anderer Zeilen oder Spa1ten addiert wird.

(1.6 7 )

Man kann also das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren, ohne die Determinante zu verandern.

Ein gemeinsamer Faktor aller Koeffizienten einer Zeile oder Spalte ist auch ein Faktor fiir die Determinante.

(1.6 8 )

40

1. Mathematische Grundlagen

Besitzen zum Beispiel alle Koeffizienten einer Matrix einen gemeinsamen Faktor, dann kann dieser also zur n-ten Potenz erhoben aus der Determinante herausgezogen werden. Die Determinanten von Dreiecks- oder Diagonalmatrizen sind besonders einfach zu berechnen. det(a)

a.. ,

=

i

wenn a . .

=

0 fur i > j oder/und i < j ;

(1.69)

1J

I'

( i 7 j =l . . . n )

Fur ein Produkt aus zwei quadratischen Matrizen gilt

Aus der Definition der Kehrmatrix ( 1 . 2 1 ) ergibt sich

Mit (1.7 0 ) folgt daraus dann det(a

-

1

1

) = -, det ( a )

vorausgesetzt, daB die Matrix nichtsingular ist. Dies ist gleichzeitig auch der Beweis dafur, daB eine singulare Matrix keine Kehrmatrix besitzt. Um an einem Beispiel zu zeigen, wie einige der genannten Satze angewendet werden, um die Berechnung einer Determinante zu vereinfachen, wird folgende Matrix gewahlt (sie stammt aus der Eigenwertberechnung der Steifigkeitsmatrix eines Stabes):

Die folgenden Operationen andern den Wert der Determinante nicht. Der gemeinsame Faktor wird herausgezogen und die dritte Zeile zur ersten, die vierte zur zweiten addiert. det(a)

=

k4det

0 -

A

-

s2

-

c -

cs

A

0

-

2 A cs

0 A cs

s2-

A

Jetzt wird von der dritten Spalte die erste abgezogen und von der vierten die zweite.

Bezogen auf die ersten zwei Zeilen ist dies eine untere Dreiecksmatrix. Mit (1.69) folgt dann, daR die Determinante gleich dem Produkt aus den ersten zwei Diagonal-

1.4 Lineare Gleichungen

41

koeffizienten ma1 der Determinante der auf der Diagonale verbleibenden ( 2 . 2)kMatrix ist.

Dasselbe Ergebnis erhalt man auch durch zweimalige Anwendung des Entwicklungssatzes (1.63) jeweils auf die erste Zeile. Mit der Berechnungsformel (1.62) f u r n = 2 ergibt sich n u n

Hierin wurde c

+

s 2 = 1 verwendet.

1.4.2 Inhomogene Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem hat die Form

Hierin ist aij die Koeffizientenmatrix, xj sind die Unbekannten und bj die rechte Seite (auch wenn sie links stehen sollte). In einem homogenen Gleichungssystem ist die rechte Seite identisch gleich null, wahrend sie in einem inhomogenen nicht durchweg verschwinden darf. 1st die Zahl der Unbekannten m kleiner als die Zahl n der Gleichungen, dann werden haufig Widerspriiche auftreten, die keine Losung xj zulassen. 1st die Zahl der Unbekannten dagegen groner als die Zahl der Gleichungen, so gibt es meistens keine eindeutige Losung. Dazwischen liegt der Normalf a l l mit ebensoviel Unbekannten wie Gleichungen. In jedem Fall ist die Existenz einer Losung dann gesichert, wenn folgende Bedingung erfiillt ist

Mit (aij, bi) ist die um die rechte Seite erweiterte Koeffizientenmatrix gemeint. Ein Beispiel sol1 die Losbarkeitsbedingung (1.73) erlautern. Es seien

Aus (1.73) folgt 2 = 2, es muR also eine Losung existieren, obwohl mehr Gleichungen als Unbekannte gegeben sind. Eine Gleichung ist demnach uberflussig und m a n findet xj = [ - 6,O 6,5 ] .

Sobald die Gleichungssysteme etwas groRer werden, ist die Durchfuhrung des Tests ( 1 . 7 3 ) mindestens ebenso aufwendig wie die Berechnung der Losung selbst. Es ist deshalb wenig sinnvoll, erst zu untersuchen, ob eine Losung existiert und diese dann zu berechnen. ZweckmaBigerweise beginnt

42

1. Mathematische Grundlagen

man also sofort mit der Berechnung. Falls keine Losung gefunden werden kann, zeigt sich dies wahrend des Ablaufes. Bevor die Losungsverfahren vorgestellt werden, wird noch ein Zusatz eingefugt. Es ist mehr die Ausnahme als die Regel, daB nur eine rechte Seite gegeben ist. Zum Beispiel wird bei der Berechnung einer Brucke nicht nur eine Verkehrslast aufgebracht, sondern mehrere und daruber hinaus auch noch Windlasten, Montagebelastungen u.s.w. Alles dieses wirkt sich unter anderem auf die rechten Seiten aus. Die Verallgemeinerung von ( 1 . 7 2) ist

2 j

a,, 1J

x, Jk

= bik

; ( i = 1... m ; j = l... n ; k = l . . . p )

.

Hier wurden p rechte Seiten eingefuhrt. Zu jeder rechten Seite bik laJ3t sich eine Losung xjk berechnen. Will man nun, zum Beispiel bei einer ~ b e r lagerung von Belastungsfallen, Linearkombinationen der rechten Seiten vornehmen, dann geschieht dies durch

m ; k =l . . .p ; 1 =l... Durch die Matrix ckl werden die beabsichtigten Kombinationen erzeugt. Die den neuen rechten Seiten bil zuzuordnenden Losungen miissen nicht aus dem linearen Gleichungssystem ( 1 . 7 4) berechnet werden, sondern sie ergeben sich aus den gleichen Linearkombinationen wie die rechten Seiten.

Diese Eigenschaft bezeichnet man als das Superpositionsgesetz. Es gilt nur fur lineare Systeme! Von hier ab soll nur noch der Normalfall untersucht werden, das heiBt, Systeme mit ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten, denn bei ihrer Losung mussen alle anderen Gleichungssysteme auf diesen Fall zuruckgefuhrt werden. Aus ( 1 . 7 2) wird nun

Mit Hilfe der in ( 1 . 2 1 ) definierten Kehrmatrix la8t sich die Losung explizit angeben.

Dies setzt naturlich voraus, daB die Matrix aij nicht singular ist. Wie schon bei ( 1 . 7 1) festgestellt wurde, gilt dann

Mit der in (1.78 ) explizit ausgeschriebenen Losung soll keinesfalls ausgesagt werden, daB die Berechnung der Kehrmatrix ein notwendiger Schritt

1.4 Lineare Gleichungen

43

bei der Ermittlung der Losung ist. Es gibt wirtschaftlichere Verfahren, die noch zu besprechen sein werden. Ebenso wie bei den Determinanten gibt es spezielle Rechenvorschriften fur die Handrechnung. Nach der Cramerschen Regel berechnet sich die Losung aus det ( a i l . . . a 1. , J.- 1 b1. , ai, J. + l. . . sin) X. = ; ( jI n ) . (1.80) J det ( a )

.

Die Determinante im Zahler ist von der Matrix aij zu nehmen, in der die j-te Spalte durch die rechte Seite bi ersetzt wurde. Die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite eines Systems von drei Gleichungen seien z u m Beispiel

D e r zweite T e r m der Losung folgt dann aus

Als MaB fur den Aufwand solcher Berechnungen gibt man im allgemeinen die Zahl der benotigten Multiplikationen an. Sie ist fur eine Determinantenberechnung nach ( 1 . 6 2) gleich n ! ( n - 1 ) . Da insgesamt n + 1 Determinanten auszurechnen sind. ist die Gesamtzahl

Fur etwas groflere Gleichungssysteme wird diese Zahl so groJ3, daB eine Losung ausgeschlossen ist. Glucklicherweise gibt es effizientere Algorithmen als die Cramersche Regel! Die Cramersche Regel laBt sich auch auf die Berechnung von Kehrmatrizen anwenden. Sie lautet dann -

aji

Hierin ist das algebraische Komplement (1.64). Fur die Handrechnung und kleine n ist ( 1 . 8 2 ) sehr brauchbar, auBerdem auch fur die Herleitung wichtiger Eigenschaften von Kehrmatrizen. So findet man, daB eine Symmetrie ( 1 . 5 ) , Antisymmetrie (1.6) oder Dreiecksform von (1.8) und ( 1 . 9 ) von der Ausgangsmatrix auf die Kehrmatrix ubertragen wird.

44

1. Mathematische Grundlagen

Nicht ubertragen wird die Form einer Bandmatrix von (1.1O ) , es sei denn, der Bandbreitenparameter m ist gleich null, wodurch eine Diagonalmatrix entsteht.

1.4.3 Dreieckszerlegung Schon aus der Handrechnung ist das Eliminationsverfahren zur Losung linearer Gleichungen bekannt. Man greift eine Gleichung heraus, lost sie nach einer der Unbekannten auf und ersetzt diese damit in den verbleibenden Gleichungen. Dies wiederholt man so oft, bis man zum SchluB bei einer Gleichung mit nur einer Unbekannten anlangt. Man hat nun ein gestaffeltes Gleichungssystem: je eine Gleichung mit einer, zwei, drei u.s.w. Unbekannten. Die Gleichung mit einer Unbekannten kann man unmittelbar losen. Das Ergebnis setzt man in die nachsthohere Gleichung ein, um daraus die zweite Unbekannte zu berechnen. Mit der ersten und zweiten Unbekannten geht man in die Gleichung mit drei Unbekannten, findet die dritte u.s.w.. Dieses Vorgehen sol1 nun in programmierbare Anweisungen ubersetzt werden. Das Verfahren gliedert sich in zwei Teile: die Herstellung des gestaffelten Gleichungssystems, was als Dreieckszerlegung bezeichnet wird, und das Einsetzen der berechneten Unbekannten, auch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen genannt. Diese beiden Vorgange konnen separat oder ineinander verschachtelt ausgefuhrt werden. Da die Gleichungsysteme, wie bei (1.7 4 ) besprochen, haufig fur mehrere rechte Seiten zu losen sind, ist es zweckmaBig, die zwei Vorgange getrennt zu halten. Die nur von der Koeffizientenmatrix abhangige Dreieckszerlegung braucht dann nur einmal fur ausgefuhrt zu werden, wahrend das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen jede rechte Seite erneut durchzufiihren ist. Es wird sich zeigen, daB die Dreieckszerlegung bei weitem der aufwendigere Vorgang ist. Eine quadratische Matrix aij kann auf beliebig vielen Wegen in ein Produkt von zwei quadratischen Matrizen zerlegt werden.

a.. 1J

=

gj lik rkl

Erst durch Zusatzbedingungen ergibt sich hieraus ein eindeutiger Vorgang. Es wird gefordert, daB lik eine untere (linke) und rkj eine obere (rechte) Dreiecksmatrix sein sollen.

Die beiden Matrizen besitzen zusammen n + n von null verschiedene, unabhangige Koeffizienten. D a aij nur n Koeffizienten hat, kann die

1.4 Lineare Gleichungen

45

Faktorisierung ( 1 . 8 5 ) noch nicht eindeutig sein. Einstweilen sol1 uns dies noch nicht beschaftigen. D a die Faktoren lik und rkj Dreiecksmatrizen sind, nimmt ihr Produkt eine besondere Form an. Die ersten Gleichungen werden ausgeschrieben, wobei die Glieder, die wegen ( 1 . 8 6 ) null sind, weggelassen sind.

Um die Terme ( l i i rii) wurden Klammern gesetzt, um anzudeuten, dal3 sie ohne zusatzliche Annahmen nicht aufgespalten werden konnen. Abgesehen davon lassen sich die Koeffizienten der Dreiecksmatrizen ohne Schwierigkeiten der Reihe nach aus dem gestaffelten Gleichungssystem berechnen. Die Reihenfolge ist dabei teilweise beliebig. Man kann zeilen- oder spaltenweise vorgehen oder auch beides zugleich. Geht man zeilenweise vor, dann entsteht der folgende Algorithmus.

Beginnend mit der angegebenen Untergrenze sind die Indizes steigend bis zu den Obergrenzen zu durchlaufen. Die drei Zeilen des Algorithmus werden hintereinander mit i als dem aul3eren Schleifenindex ausgefuhrt. Die inneren Schleifen j und k beziehen sich jeweils auf die einzelnen Zeilen von (1.8 7 ) . Falls die Ober- kleiner als die Untergrenze sein sollte, wird der entsprechende Teil der Operation nicht ausgefiihrt. Die ersten Schritte sind also

46

1. Mathematische Grundlagen

Die Diagonalglieder lii und rii treten nur als Teiler auf. Deshalb wurden -1 . deren Kehrwerte und rii emgefiihrt, um die Zahl der Divisionen zu verkleinern. Da diese Kehrwerte, wie sich zeigen wird, gleichzeitig auch die entsprechenden Koeffizienten der inversen Dreiecksmatrizen sind, ist eine Verwechselung mit diesen gegenstandslos.

liil

Aus dem Dreieckszerlegungs-Algorithmus ( 1 . 8 7 ) geht noch nicht hervor, wie die Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen, beziehungsweise deren Kehrwerte, zu berechnen sind. Zu ihrer eindeutigen Bestimmung fehlen noch n Annahmen. Bevor diese getroffen werden konnen, muB die besondere Bedeutung der Diagonalkoeffizienten naher untersucht werden. Wach dem Determinantentheorem ( 1 . 6 9 ) ist die Determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt aus allen Diagonalkoeffizienten. Es ist also

Da die Koeffizientenmatrix aij mit ( 1 . 8 5) das Produkt der Dreiecksmatrizen lik mit rkj ist, folgt aus dem Satz ( 1 . 7 0 )

Dies ist ein bemerkenswertes Resultat! Wir konnen die Determinante aus dem Produkt samtlicher Diagonalkoeffizienten der beiden Dreiecksmatrizen berechnen. Wie sich noch zeigen wird, ist die Dreieckszerlegung wesentlich wirtschaftlicher auszufuhren als eine Determinantenberechnung nach ( 1 . 6 1 ) oder den daraus hergeleiteten Formeln. Nebenher wird hier also auch ein wirtschaftliches Verfahren zur Berechnung von Determinanten erarbeitet. In ( 1 . 7 9 ) wird gefordert, daB die Determinante der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems nicht null sein darf. Anderenfalls existiert keine Losung. Das Produkt aller Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen ist dann mit ( 1 . 8 8 ) ebenfalls nicht null. Eine Festlegung, in der einzelne oder alle Diagonalkoeffizienten null gesetzt werden, ist also ungeeignet. Sonst besteht weitgehende Freiheit. Fur die bekanntesten Berechnungsverfahren gilt:

1.. 11

=

1

, i

=

1 . . .n

, (Gauh', Doolittle)

;

(1.8 9 )

1.4 Lineare Gleichungen

r .

=

1

, i

111

=

abs (5i)

, ( i = 1 . .n )

1I

= 1 . ..n

, (Crout)

,

47 (1.9 0 )

;

( ~ u a d r a t w u r z e l Verfahren) -

.

(1.9 1 )

Es ist heute ziemlich belanglos, welche Wahl man trifft, da alle modernen Rechner uber eine Gleitkomma-Arithmetik verfugen. Das QuadratwurzelVerfahren ist vorteilhaft fur symmetrische Koeffizientenmatrizen, weil sich dann eine der beiden Dreiecksmatrizen vollstandig ersetzen lafit. Dies wird in Abschnitt 1 . 4 . 6 noch naher erlautert. Ein Gleichsetzen der Diagonalglieder in (1.9 1 ) hatte unter Umstanden zur Folge, daB imaginare Zahlen auftreten, wenn namlich das Produkt lii rii negativ ist. Urn dies zu vermeiden, muB ein Vorzeichenwechsel stattfinden konnen. Ob nun, wie hier, lii stets positiv sein soll oder rii, ist nebensachlich. Als Beispiel fiir die verschiedenen Dreieckszerlegungs-Verfahren Matrix dienen:

soll folgende

Die Dreiecksmatrizen werden mit den Festlegungen (1.89) bis (1.9 1):

In dem Algorithmus (1.8 7 ) werden in jeder Zeile fertige Koeffizienten der Dreiecksmatrizen berechnet, das heifit, Zwischenergebnisse fallen nicht an. Dies war die optimale Organisation fur mechanische Tischrechenmaschinen, in denen die Teilsummen im Register abgespeichert, aber nicht abgelesen und notiert wurden. In elektronischen Rechnern ist der Vorgang anders: Jedes Zwischenergebnis wird abgelegt und wiederaufgerufen. Dadurch eroffnet sich die Moglichkeit, den Berechnungsablauf grundsatzlich anders zu organisieren. Von den Gesichtspunkten, die hierbei eine Rolle spielen konnen, soll einer herausgegriffen werden: Wie sieht der Algorithmus aus, wenn jeweils alle gleichzeitig ausfuhrbaren Teiloperationen zusammengefaBt werden? Diese Organisation eignet sich besonders fur moderne Rechner mit Parallel-Prozessoren. Wie sich zeigen wird, ist sie auch sehr nutzlich fur eine Abschatzung des Berechnungsaufwandes und der Speicherplatzbelegung.

48

1. Mathematische Grundlagen

D e r auBere Schleifenindex ist i, gefolgt von j, dann k. Fur jeden der aufsteigenden W e r t e des Index i sind samtliche Operationen in einer Zeile des Algorithmus ( 1 . 9 2 ) parallel ausfuhrbar, sobald die vorhergehende Zeile abgearbeitet ist. Mit a ! i ) werden Zwischenergebnisse bezeichnet. ~k Zu Beginn der Berechnung gilt a ! ' ) = a j k . Wie schon im Algorithmus ~k ( 1 . 8 7 ) wurden wieder die Kehrwerte der Diagonalglieder benutzt, deren Trennung durch eine Festlegung der A r t (1.8 9) bis ( 1 . 9 1 ) zu erfolgen hat. Die Berechnung der Determinante (1.8 8) laBt sich nun so schreiben:

Dies kann wahrend der Dreieckszerlegung sehr einfach mitlaufen. Zunachst wird angenommen, daB keiner der Faktoren zu null wird. Als MaB fur den Aufwand wird, wie schon bei der Cramerschen Regel (1.8 l ) , die Zahl der Multiplikationen gewahlt. In der zweiten Zeile des Algorithmus (1.9 2) entstehen zweimal (n- i ) Multiplikationen und in der dritten ( n - i ) 2 , jeweils fur einen der n Durchlaufe. Die Summe ist also

Nach Einsetzen der passenden Summenformeln ergibt sich daraus

Fur groRere n dominiert der Term mit n 3 . An dieser Stelle ist eine Bemerkung zur Wirtschaftlichkeit von Algorithmen angebracht, die in der numerischen Mathematik gebrauchlich ist. Es sei n ein Parameter zur Beschreibung der GroBe des zu losenden Problems und p eine Zahl groBer als eins, die fiir einen Algorithmus kennzeichnend ist. Die Zahl der zur Losung benotigten Berechnungsschritte ist in etwa proportional zu n P fur einen effizienten Algorithmus und p n fur einen ineffizienten. Mit wachsender Grol3e n steigt der Aufwand in einem ineffizienten Algorithmus unverhaltnismaBig starker an als bei einem effizienten. Wie es zu dieser Aussage kommt, kann man sich leicht klar machen zum Beispiel mit n = 1000 und p = 3. Im ersten Fall ergibt das 10 9 , im zweiten Fur die Dreieckszerlegung folgt aus ( 1 . 9 4 ) , daR p gleich 1,3

1.4 Lineare Gleichungen

49

drei ist; sie ist also effizient. Ineffizient ist dagegen die Cramersche Regel mit dem Aufwand von (1.8 1 ) . Dem Algorithmus (1.9 2 ) kann man entnehmen, daB nach Beendigung der Berechnung eines neuen End- oder Zwischenergebnisses jeweils ein bis dahin gebrauchter Koeffizient nicht mehr fur den weiteren Ablauf verwendet wird. Nach der Berechnung von (lii r i i ) - l wird a i i ) uberflussig, nach I.. Jl ist es a(.'), nach r a(.') und nach a("') kann man auf a):', verrichten. Jl IJ V Jk Es sind genau die Koeffizienten, die die gleichen Indizes tragen wie die neu berechneten. Dies wird sehr oft ausgenutzt, um die Anfangsmatrix, die Zwischenwerte und die Resultate in einem gemeinsamen Bereich abzuspeichern. Diese ~ b e r s ~ e i c h e r uist n ~nicht nur wirtschaftlich, sie vermittelt zugleich auch ein anschauliches Bild von dem Ablauf des Algorithmus.

1

(inaktiver Bereich)

1

(aktiver Bereich)

I

Bild 1.8: Speicherplatzbelegung bei ~ b e r s ~ e i c h e r uim n ~Dreieckszerlegungs-Algorithmus ( 1 . 9 2 ) nach Durchlaufen der BuReren Schleife i .

Bild 1 . 8 zeigt die Belegung der Speicherplatze fur den Fall, daB die Matrix aij in dem ebenen Matrizenschema ( 1 . 1 4) angeordnet wurde. Die Berechnungen beginnen in der linken oberen Ecke. In der Schleife i wird zunachst (lii rii)-' berechnet, dann folgen die Elemente der Dreiecksmatrizen 1.. Jl und rikund schlieBlich die Zwischenergebnisse a ( "'I. Die nachste Schleife Jk beginnt danach um eine Zeile und Spalte nach rechts unten versetzt. Das Schema von Bild 1 . 8 stellt allen Koeffizienten, die wahrend der Berechnung gebraucht werden, einen Speicherplatz zur Verfugung. Damit ist der Maximalbedarf abgedeckt. Nun kommt es aber haufig vor, bei Finit-Element-Berechnungen insbesondere, daB die Koeffizientenmatrix nicht vollbesetzt ist. Dies will heiBen, daB etliche oder sogar viele der Koeffizienten aij null sind. Wie sich zeigen wird, ist es auBerordentlich lohnend, nachzupriifen, welche Einsparungen von Speicherplatz und Rechenzeit sich daraus ergeben konnen. D e r Einsatz von modifizierten Dreiecks-

50

1. Mathematische Grundlagen

zerlegungs-Algorithmen, in denen die inneren Schleifen nicht durch die GroBe n , sondern durch den jeweils benotigten Bedarf gesteuert werden, hat der Finit-Element-Methode erst die Wirtschaftlichkeit verliehen, die sie fiir technische GroBanwendungen geeignet machte. In der Berechnungsgleichung fur die Determinante (1.9 3) wurde angenomungleich null sind. Aus der ersten Zeile men, daB die Zwischenwerte a:)' des Algorithmus (1.9 2) folgt damit, daB auch die Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen (Iii r i i ) - ' nicht verschwinden. In der zweiten Zeile von (1.9 2 ) folgt daraus wiederum, daB diejenigen lji und rij nicht null werden; deren zugeh6rige a!.i) und a!.i) ungleich null sind. Dies iibertragt sich Jl IJ dann in der dritten Zeile von (1.9 2 ) , von Zufalligkeiten abgesehen, auf die sowohl f i r a ( ' ) ungleich null (Wiederbelegung), entsprechenden a:;+'), ~k als auch f i r a! i, gleich null (Neubelegung). Dies wiederholt sich in jedem ~k Berechnungszyklus i. Tragt man die nichtverschwindenden Koeffizienten in dem Schema des Bildes 1 . 8 auf, dann findet man, daB sie innerhalb zweier Profillinien liegen, die die mit nicht verschwindenden Termen belegte Zone um die Diagonale von leeren Zonen weiter auBerhalb abgrenzen. In Bild 1 . 9 ist ein Beispiel gezeigt.

I E E E x D x x x D x

Bild 1.9: Belegungsplan bei einer Dreieckszerlegung, Profillinien und BandbreitenParameter. Nur nicht verschwindende Koeffizienten sind gekennzeichnet: D = Diagonale, E = Eckterme, x = innere Koeffizienten.

Die Konstruktion der Profillinien ist denkbar einfach: Im linken Dreieck darf die Verbindung der auBeren, nicht verschwindenden Koeffizienten, der Eckterme, entlang der Zeilen nicht unterbrochen werden, im rechten Dreieck mussen die Eckterme entlang der Spalten mit der Diagonalen verbunden bleiben. Die inneren Koeffizienten konnen anfangs null sein; sie werden wahrend der Berechnung belegt. Die Profillinie erzeugt fur jede Spalte und Zeile einen Bandbreiten-Parameter. Dies ist eine Verallgemeinerung des Bandbreiten-Parameters m von ( 1 . 1 0 ) . Die Bandbreiten-Parameter li und mi zahlen von der Diagonale

1.4 Lineare Gleichungen

51

ausgehend in jeder Spalte, beziehungsweise Zeile, die Koeffizienten innerhalb der Profillinien. Lucken werden dabei ubersprungen; die Diagonale zahlt nicht mit. Mit den Bandbreiten-Parametern laBt sich der gesamte Speicherplatzbedarf fur eine Dreieckszerlegung angeben. E r ist, ohne die Diagonalterme einzuschlieBen

Dieser W e r t wird auch als Profil bezeichnet. Als MaB fur den Aufwand bei einer Dreieckszerlegung wurde in ( 1 . 9 4 ) die Zahl der Multiplikationen angegeben. Unberucksichtigt blieb dabei, dal3 ein Teil der Koeffizienten null sein kann. Wir sind nun in der Lage, den Aufwand abzuschatzen, der sich bei einer konsequenten Vermeidung unnotiger Operationen einstellt. In der zweiten Zeile des Algorithmus (1.9 2 ) werden in der Schleife i zusammen li + mi Multiplikationen ausgefuhrt, und in der dritten Zeile sind es li . mi.

Es wird der quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter gebildet.

Hiermit und mit ( 1 . 9 5) ergibt sich dann die Zahl der Multiplikationen

Fur groBere Probleme ist der erste Term dominierend. Bemerkenswert ist an diesem, daB die GroBe n nur linear eingeht. Nicht die GroBe des Problems hat deshalb den ausschlaggebenden EinfluB auf den Aufwand, sondern der die Belegung mit von null verschiedenen Koeffizienten ausdruckende quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter. Dieser laBt sich durch Umordnen der Gleichungen haufig so andern, daB der Aufwand und damit auch der Platzbedarf drastisch sinken. Die bei einer Umordnung verfolgte Strategie muB versuchen, die von null verschiedenen Koeffizienten moglichst nahe an die Diagonale der Matrix heranzubringen, so daB sich etwa die Form einer Bandmatrix ( 1 . 1 0 ) einstellt. Einzelne ))AusreiRerc, das heiBt Koeffizienten, die weit auBerhalb des Bandes stehen, sind dabei relativ unschadlich. Algorithmen, die fur diesen Zweck eingesetzt werden, heinen Bandbreiten-Optimierer. Eine treffendere Bezeichnung ware P r o f i Verbesserer, da nicht die Bandbreite, sondern der quadratische Mittelwert ausschlaggebend ist und sich auBerdem ein Optimum nur sehr schwer finden und nachweisen laBt.

m

Fiir den storungsfreien Ablauf des Algorithmus ( 1 . 9 2 ) muBte zunachst vorausgesetzt werden, dal3 die Diagonalglieder a i i ) samtlich ungleich null

52

1. Mathematische Grundlagen

sind. Diese Voraussetzung wird nun fallengelassen. Wenn im ersten Schritt einer Schleife i ein a A i ) = 0 auftaucht, dann steht e s einem frei, aus der Menge der noch vorhandenen a !i ) , ( j ,k = i . . . n ) , einen geeigneten KoeffiziJ k enten auszuwahlen und diesen durch Zeilen- und Spaltenvertauschung an die Stelle von a i i ) zu setien. Allerdings muB man dabei beachten, daB die Determinante (1.9 3) ihr Vorzeichen wechselt, falls eine ungerade Zahl von Vertauschungen vorgenommen wird. Auch das Profil der Matrix andert sich. Bei der Strategie der maximalen Drehelemente werden in jeder Schleife i derartige Vertauschungen vorgenommen, daB das absolut groBte, vorhandene a ( i, die Rolle des Diagonalelementes a i i ) ubernimmt. Hier~k durch werden auch noch die Rundungsfehler minimiert. Ungeachtet dessen kann es vorkommen, daB iiberhaupt kein Element aJ! ki ) mehr da ist, das nicht null k t . Der Dreieckszerlegungs-Algorithmus muB dann abgebrochen werden, denn die Matrix ist singular. Der Rang der Matrix ist so grol3, wie die Zahl der erfolgreich durchgefiiihrten auBeren Schleifen, das heiBt, bei einem Abbruch in der Schleife i ist e r i - 1. Wie man sieht, wird bei einer Dreieckszerlegung nicht nur die Determinante ( 1 . 9 3) mitgeliefert, sondern auch noch der Rang! In numerischen Berechnungen kommt es selten vor, daB man exakte Nullen antrifft. Stattdessen findet man Zahlen, die im Verhaltnis zu den ubrigen sehr klein sind. Als eine nnumerische Nullc kann man eine Zahl bezeichnen, deren Absolutwert kleiner als eine festzulegende Toleranz E ist.

Hierin ist k ein Erfahrungswert, der im allgemeinen zwischen 5 und 50 liegt. E r wird mit dem Absolutwert des groRten vorkommenden Koeffizienten multipliziert und dann bis an den Rand der moglichen Genauigkeit der dezimale Wortlange ru des verwendeten Rechners verschoben. Anstelle des Maximalwertes begnugt man sich haufig mit einer Schatzung. Durch die zum Teil willkurliche Festlegung (1.9 8 ) wird der Begriff der Singularitat und des Ranges einer Matrix relativiert. Die Schleife, in der der Dreieckszerlegungs-Algorithmus eventuell abbricht, kann von der GroBe der Toleranz E abhangen. Ein zu grol3es E kann einen zu kleinen Rang vortauschen und umgekehrt. In solchen Fallen wird man die Berechnung mit einer groBeren Genauigkeit, das heiBt, mit einer groBeren Wortlange, wiederholen mussen. Dabei genugt es nicht, nur die Arithmetik umzustellen, auch die Eingangsdaten mussen mit der grol3eren Genauigkeit aufgestellt werden. Der Grund hierfur liegt darin, dal3 nicht die bei der Berechnung auftretenden Rundungsfehler primar fur das Versagen verantwortlich sind, sondern die durch die endliche Wortlange verursachten Abbruchfehler. Es ist das Problem der kleinen Differenzen von groBen Zahlen:

1.4 Lineare Gleichungen

53

Erst mit einer ausreichenden Wortlange 1aBt sich zum Beispiel 100000001 von 100000000 unterscheiden! Matrizen, bei deren Dreieckszerlegung diese Probleme auftreten, bezeichnet man als schlecht konditioniert. Es gibt verschiedene Definitionen fur sogenannte Konditionszahlen. J e aussagekraftiger sie sind, desto aufwendiger ist ihre Berechnung. Ein einfaches Verfahren zum Erkennen eines moglichen Genauigkeitsverlustes ist: Wahrend einer Dreieckszerlegung werden alle verwendeten Drehelemente a L i ) ausgegeben; ein mehr oder weniger pl8tzliches Absinken in die GroBenordnung der ),numerischen Null<
1.4.4 Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen Nach der Dreieckszerlegung ( 1 . 8 5) wird aus dem Gleichungssystem (1.7 7)

Dies wird mit Hilfe von Zwischenwerten yk in zwei Teilprodukte zerlegt.

D a die Matrizen lik und rkj die in (1.8 6 ) definierte Dreiecksform haben, entstehen beim Ausschreiben gestaffelte Gleichungen. b,=

111 y 1

b , = l 21 y 1

+

I22 y2

b , = l 31 y 1

+

132 y2 + 133 y3

Yn

n

Yn-1 'n-2

= rnn -

-

'n-l,n

=

rn

2 , n

X

n

xn

+

+

r n - , n -

; U.S.W.

X

n-I

rn - 2 , n - 1 x n - 1

+

rn 2 , n - 2 xn - 2 ; U.S.W.

In der gezeigten Reihenfolge der Gleichungen lassen sich der Reihe nach durch Vorwarts-Einsetzen die Zwischenwerte yi berechnen und danach durch Riickwarts- Einsetzen die gesuchten Losungen xi.Die zusammenge faBten Rechenablaufe sind dann

Die Algorithmen werden nacheinander ausgefuhrt, fur jede rechte Seite bi einmal. Dabei ist i der auBere und j der innere Schleifenindex. Beim Vorwarts-Einsetzen ( 1 . 1 0 0) laufen sie steigend, beim Ruckwarts-Einsetzen

54

1. Mathematische Grundlagen

( 1 . 1 0 1 ) fallend. Anstelle der Diagonalglieder wurden ihre bereits im Algorithmus (1.9 2) berechneten Kehrwerte verwendet. Als MaB fur den Aufwand werden wieder die Multiplikationen gezahlt. Beide Einsetz-Algorithmen zusammen benotigen nur

Das dominierende Glied ist n 2 , das im Vergleich zu n fur den Aufwand (1.9 4) in der Dreieckszerlegung unbedeutend ist. Dieses Verhaltnis andert sich auch nicht, wenn die Algorithmen unter Ausnutzung des Profils wirtschaftlicher gemacht werden. Damit wird klar, was schon vorher gesagt wurde, daB namlich mehrere rechte Seiten bei der Gleichungsauflosung kaum ins Gewicht fallen. D e r groBte Aufwand steckt in der Dreieckszer1egung!

1.4.5 Inversion Wie in ( 1 .7 8 ) angegeben, kann die Losung eines linearen Gleichungssystems uber die Kehrmatrix der Koeffizientenmatrix erfolgen. Fur groBe Matrizen und wenige rechte Seiten ist dies jedoch extrem unwirtschaftlich. Erst wenn die Zahl der rechten Seiten annahernd die GroBe n des Problems erreicht, oder wenn eine Kehrmatrix als solche gebraucht wird, ist ihre Berechnung angezeigt. Nach einer erfolgten Dreieckszerlegung kann eine Kehrmatrix ganz einfach durch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen schrittweise ermittelt werden. Als rechte Seiten benutzt man der Reihe nach die Spalten der Einheitsmatrix S j k ; die zugehorigen Losungen xjk sind dann die entsprechenden Spalten der Kehrmatrix a;*'. Das Verfahren hat aber den Nachteil, daB viele Operationen mit den Nullelementen der rechten Seiten ausgefuhrt werden, die bei einer geschickteren Formulierung vermieden werden konnen. Nach der Dreieckszerlegung werden zuerst die Dreiecksmatrizen invertiert. Sie befriedigen die aus den Definitionsgleichungen ( 1 . 2 1 ) ausgewahlten Gleichungen

Die Kehrmatrizen von Dreiecksmatrizen sind wegen ( 1 . 8 4) auch wieder Dreiecksmatrizen. Es gilt also

ljk

-

lkj

=

r.- 1 = r ~k

k?

=

0 ; ( i < k <j)

.

Fur i kleiner als j sind die Gleichungen identisch null erfullt. Fur i gleich j ergibt sich

1.4 Lineare Gleichungen

55

Damit ist bewiesen, was bei ( 1 . 8 7 ) schon behauptet wurde: Die Kehrwerte der Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen sind gleichzeitig auch die Diagonalglieder der inversen Dreiecksmatrizen. Diese Kehrwerte wurden schon bei der Dreieckszerlegung berechnet. Es mussen nun noch die ubrigen Koeffizienten der inversen Dreiecksmatrizen ermittelt werden. Hierzu werden die oben noch verbleibenden Gleichungen fiir den Bereich i 2 k 2 j zeilenweise ausgeschrieben.

1-1

I21 1li1+ I22 21 -1 r r + r-'r 11

12

1 ' ;'

'31

22

12

2

3

+

=

0

=

O

+

r -1 r

+

'32

+

I,3

1

=

0

+

r-' r

=

o

11

13

2

-1

r22

r23

r-1

'33

+

12 r23

23

33

13

-l = '31

0

=

0

33

; u.s.w.

rz

Aus der ersten Zeile laRt sich l i l berechnen, aus der zweiten und aus den folgenden dann l i l , r;:, ,;I r:; und so weiter nach folgendem Schema:

1i-j l -1

r..

J1

=

-

-1 1.. 11

= -

-1

r.. 11

2

1. 1 -.I ; 1k k~

T; 'jk

-1

(1.104)

. ( i =2 . . . n ; j = l . . . i - 1 ; k = j ...

rki

Die beiden Inversionen werden gleichzeitig ausgefuhrt; i ist der auBere, j der innere Schleifenindex, beide steigend. Eine uberspeicherung von lij durch 1.:' und r.. durch r . y l ist moglich. 1J

Jl

JI

Sobald die Dreiecksmatrizen in ( 1 . 1 0 4 ) invertiert sind, kann die Kehrmatrix von aij berechnet werden. Aus der Umkehrung von ( 1 . 8 5) folgt: a -1 . 1J

-

2k

-1

-1

rik lkj

; ( i , j = 1 . . . n ; k = m a x ( i , j ) ... n ) .

(1.105)

D a hier zwei Dreiecksmatrizen multipliziert werden, ergeben sich von null verschiedene Terme in der Summe nur dann, wenn der innere Schleifenindex k groBer ist als der groBere der beiden Indizes i und j . Die inversen Dreiecksmatrizen konnen durch die entsprechenden Terme von a .TI uberspei1J chert werden. Die Zahl der Multiplikationen in den Algorithmen ( 1 . 1 0 4 ) und ( 1 . 1 0 5) ist zusammengefaBt

56

1. Mathematische Grundlagen

Dies ist etwa doppelt so hoch wie der Aufwand fur die Dreieckszerlegung (1.9 4 ) . Das oben erwahnte Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen der Spalten von 8.. fur die Ermittlung der Kehrmatrix benotigt dahingegen n-ma1 den 1J Aufwand von (1.102),also Z = n 3 + n 2 . D a die Berechnung einer Kehrmatrix relativ selten vorkommt und schon gar nicht fur sehr groBe Probleme, sol1 die Parallel-Organisation der Algorithmen hier nicht behandelt werden. Im allgemeinen sind KehrmatriZen auch voll besetzt, was bedeutet, daR die Profillinien der Dreieckszerlegung zerstort werden. Nicht voll besetzte Kehrmatrizen entstehen nur dann, wenn die Profillinien ohne Vorsprunge bis an die Diagonale vordringen. Bild 1 . 1 0 zeigt ein Beispiel.

x E

x x

x x

D x

E D

Bild 1.10: Belegungsplan einer Kehrmatrix. Nur nicht verschwindende Koeffizienten sind gekennzeichnet: D

=

Diagonale: E = Eckterme, x

=

innere Koeffizienten.

Am haufigsten tritt der Fall auf, daB quadratische Blockmatrizen entlang der Diagonalen angeordnet sind, wie in dem Beispiel links oben gezeigt. Sowohl die Dreieckszerlegung als auch die Inversion lassen sich dann fur die Teilprobleme getrennt ausfuhren.

1.4.6 Vereinfachung fiir symmetrische Matrizen Bisher wurde bei der Losung linearer Gleichungen nicht berucksichtigt, daB in der Mehrzahl der Anwendungsfalle symmetrische Koeffizientenmatrizen die Regel sind. Prinzipiell andert sich dadurch nichts, aber es sind Einsparungen von Speicherplatz und Rechenzeit in der GroRe von etwa 50% moglich. Dies ist zuviel, um ungenutzt zu bleiben! Von den Koeffizienten der symmetrischen Matrix

muB nur ein Dreieck gespeichert werden. W i r werden uns hier fur das obere Dreieck entscheiden, also j 2 i , und die Algorithmen so anpassen, daB sie bei der schon besprochenen uberspeicherung mit diesem Speicherplatz auskommen. Hierzu wird die untere Dreiecksmatrix von (1.8 5) durch die obere ersetzt.

1.4 Lineare Gleichungen

57

sgn( rii) r . . 1J

Die Vorzeichenfunktion ,,sgncc nimmt den W e r t + 1 an, wenn das Argument rii positiv ist, sonst - 1 . Fiir i = j ergibt sich hieraus

Dies zeigt, daB die Festlegung des Quadratwurzelverfahrens ( 1 . 9 1 ) in ( 1 . 1 08 ) enthalten ist. Aus dem Parallel-Algorithmus ( 1 . 9 2 ) entsteht durch Einsetzen von ( 1 . 1 0 8 ) ein Dreieckszerlegungs-Algorithmus fiir symmetrische Matrizen.

Der Ablauf der Schleifen und die uberspeicherung sind dieselben wie beim Algorithmus (1.9 2 ) . Auch die Speicherplatzbelegung bleibt gleich, mit der Einschrankung, daB nur das obere Dreieck benotigt wird und nur die obere Profillinie. Bei einer positiv definiten Matrix aij sind die Diagonalglieder a.!i) stets positiv, so daB die Funktionen ,isgncc und nabs(<entfallen konnen. 11 Aus ( 1 . 1 0 9) wird damit der bekannte Cholesky-Algorithmus. Die Zahl der Multiplikationen ist bei voller Besetzung der Matrix

Im Vergleich zu dem Aufwand ( 1 . 9 4 ) fiir die Dreieckszerlegung einer unsymmetrischen Matrix hat e r sich hier auf etwa die Halfte verringert. Wird bei der Dreieckszerlegung die Profillinie eingesetzt, dann spricht man von einem Skyline-Algorithmus. Denkt man sich in Bild 1 . 9 die Diagonale waagerecht aufgetragen und die dariiber stehenden Spalten des oberen Dreiecks senkrecht, dann gewinnt die Profillinie eine gewisse Ahnlichkeit mit der Silhouette einer GroBstadt. Daher der Name. Die Bandbreiten-Parameter mi sind jetzt allein fur das Profil verantwortlich. Anstelle von (1.9 5) erhalt man

Der quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter ist

58

1. Mathematische Grundlagen

Anstelle von (1.9 7 ) findet man dann

Dies ist nur etwa halb so groR wie vorher Die Strategie der maximalen Drehpunkte kann man wegen der Symmetrie allenfalls nur auf die Diagonalglieder anwenden. Fur positiv definite Matrizen braucht man sie uberhaupt nicht, da alle Diagonalglieder positiv bleiben. Dies ist besonders angenehm, weil sich dann das Profil wahrend der Berechnung nicht andert. Die Algorithmen fur das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen und die Inversion lassen sich auf die gleiche Weise an symmetrische Matrizen anpassen, wie dies fur die Dreieckszerlegung gezeigt wurde. Hierbei ergeben sich jedoch keine neuen Gesichtspunkte. D e r Aufwand fur das Einsetzen einer rechten Seite bleibt unverandert, fur eine Inversion halbiert e r sich, da nur ein Dreieck der Inversen zu berechnen ist.

1.4.7 Iterative Losung Die auf der Dreieckszerlegung basierenden direkten Losungsverfahren fur lineare Gleichungssysteme kommen in der Finit-Element-Methode routinemaBig zum Einsatz. Einer der Hauptgrunde hierfur ist die Wirtschaftlichkeit, vor allem, wenn mehrere rechte Seiten zu bearbeiten sind. Sehr groBe Probleme mit vielen Millionen Freiheitsgraden bereiten jedoch Schwierigkeiten vor allem wegen des Speicherplatzes. Typische Probleme dieser Art entstehen durch dreidimensionale Kontinua oder komplizierte Schalenstrukturen. Hier kann es wesentlich gunstiger sein, iterative Losungsverfahren einzusetzen. Ihr Vorteil ist zunachst der auBerordentlich geringe Speicherbedarf: Nur die von null verschiedenen Koeffizienten und ganz wenige Zwischenergebnisse mussen gespeichert werden. Selbst eine ausgeklugelte Ausnutzung des Profils wahrend der Dreieckszerlegung kann hiergegen nicht konkurrieren, da alle Speicherplatze innerhalb des Profils belegt werden. Ein weiterer Vorteil von speziell angepaBten iterativen Verfahren kann die geringe Rechenzeit fur die Ermittlung einer Losung sein. Eine Dreieckszerlegung dagegen ist die Vorbereitung fur alle Losungen. W a s damit gemeint ist, zeigt folgendes Beispiel: Bei einer singularen Koeffizientenmatrix versagt die Dreieckszerlegung, was ein Zeichen dafur ist, daR eine Losung nicht zu existieren braucht. Dagegen kann ein iteratives Verfahren zum Erfolg fuhren, vorausgesetzt daB die verwendete rechte Seite den Test (1.7 3) passiert.

1.4 Lineare Gleichungen

59

Es gibt sehr viele Iterationsverfahren. Je einfacher die Ausfuhrung eines einzelnen Iterationsschrittes ist, desto mehr Schritte wird man im allgemeinen brauchen. Es ist von vorneherein nicht zu entscheiden, ob ein Verfahren mit einer sehr genauen, aber aufwendigen Berechnung der Schritte wirtschaftlicher ist, als ein vergleichsweise einfaches. In allen Iterationsverfahren werden Versuchsliisungen x [ "I in das Gleichungssystem eingesetzt J und daraur die Abweichungen von der exakten Losung, die Residuen riCv1 berechnet.

Hierin ist v der Iterationsindex. Die Verfahren unterscheiden sich dadurch, wie aus den Residuen r/ v1 die verbesserte Versuchslhsung x[ v'll J ermittelt wird. Das bekannteste und zugleich wohl das einfachste Verfahren tragt den Namen Jacobi. Es arbeitet mit der Vorschrift

Das Verfahren konvergiert um so schneller, je groBer die Diagonalglieder aii im Verhaltnis zu den iibrigen Koeffizienten sind. Es ist ein Gesamtschritt- Verfahren, weil erst alle n Versuchslosungen in ( 1 . 1 1 5 ) berechnet werden, bevor diese dann in ( 1 . 1 1 4 ) eingesetzt werden. D e r Gedanke liegt nahe, beide Gleichungen miteinander zu verschachteln, so daB jede einzelne Komponente der Versuchslosung sofort nach ihrer Berechnung weiterverwendet wird. Auf diese Weise entsteht das nach GauB-Seidel benannte Einzelschritt- Verfahren, das im allgemeinen schneller konvergiert als das Jacobi-Verfahren. Die Konvergenz wird abermals beschleunigt, wenn noch ein ~ b e r r e l a x a t i o n s f a k t o rw eingefiihrt wird, der die Schrittweite gunstig beeinflufit. Das so entstandene SOR- Verfahren (successive over-relaxation) arbeitet mit der Vorschrift:

Es laBt sich nachweisen, daR eine Konvergenz moglich ist fur ein w zwischen null und zwei. Zur Konvergenzbeschleunigung sollte w etwa zwischen 1,l und 1,5 gewahlt werden. Es lieBe sich noch sehr vie1 zu den Eigenschaften der genannten und auch der nicht genannten Iterationsverfahren sagen. Ein Beispiel moge jedoch geniigen, um diesen Abschnitt abzuschlieRen.

60

1. Mathematische Grundlagen

Die Koeffizientenmatrix und die r e c h t e Seite s e i e n (siehe a u c h Beispiel zu (1.80))

Die Losung wird mit dem SOR-Verfahren (1.116) mit e i n e m w = 1,2 berechnet. Im Startvektm xiCo1werden die Versuchsl6sungen gleich n u l l gesetzt. Iteration

Versuchslosungen

V

,C v l

,C v l 2

,C v l

0 1

0 1,s

0 2,82

0 2,136

1

3

Faktor w

Z a h l der Schritte

Die Berechnungen w u r d e n abgebrochen, sobald alle Residuen absolut u n t e r 10K6 lagen. D i e rechte Tabelle zeigt den EinfluR des ~ b e r r e l a x a t i o n s f a k t o r s w auf die Zahl der benotigten Iterationsschritte, u m diese Genauigkeit zu erreichen. Diese Ergebnisse sind naturlich problemabhangig.

1.4.8 Homogene Gleichungssysteme In einem homogenen Gleichungssystem ist die rechte Seite identisch gleich null. Das Problem lautet nun

Wie in dem inhomogenen Gleichungssystem (1.7 7) wurde hier der Normalfall angefuhrt mit ebensoviel Gleichungen wie Unbekannten. Wie leicht einzusehen ist, ist eine triviale Losung xj = 0 immer moglich. Sie ist hier nicht von Interesse. Fur eine regulare Koeffizientenmatrix wird die Losung (1.7 8)

Das ist die triviale Losung. Nichttriviale Losungen sind nur moglich, wenn die Kehrmatrix nicht existiert. Die Koeffizientenmatrix muB dann singular sein, das heiBt

Die Determinante ist null, wenn die Matrix einen Rangabfall oder Defekt d hat.

1.4 Lineare Gleichungen

61

Dieser Defekt wird als bekannt vorausgesetzt. Entweder ist e r von vorneherein bekannt wie zum Beispiel bei einer Eigenvektor-Berechnung durch die Vielfalt d des zugehorigen Eigenwertes, oder e r muB bei groBeren Problemen durch eine Dreieckszerlegung mit Zeilen- und Spaltenvertauschung ermittelt werden. Das Gleichungssystem ( 1 . 1 1 7 ) wird so transformiert, dal3 es die folgende, in symbolischer Matrizenschreibweise dargestellte Form erhalt.

D a diese Transformation im allgemeinen lediglich eine Zeilen- und Spaltenurnstellung beinhaltet, sol1 sie auch als solche beschrieben werden. Die Bedingung ist, daB die ( r . r)-Untermatrix a'' nicht singular wird.

Die hierzu notige Spaltenumstellung mu8 notiert werden, um die Losung zum SchluB wieder zuriicksortieren (-transformieren) zu konnen. Die Unterrnatrix a12 hat die GrijBe ( r . d ) . Die Untermatrizen a21 und a 2 2 werden fur die weitere Berechnung nicht mehr gebraucht, man kann sie also auch von vorneherein weglassen. Die erste Zeile von ( 1 . 1 2 0 ) ist

D a a12 iiber d Spalten verfiigt, konnen auch d linear voneinander unabhangige Losungsteile x 2 definiert werden. Eine geeignete Wahl ist eine Einheitsmatrix.

Damit folgt aus der ersten Matrizenzeile (jetzt wieder in Indexschreibweise)

Dies ist ein inhomogenes Gleichungssystem mit d rechten Seiten zur Bestimmung der d Losungsanteile x? das mit den bekannten Techniken zu ~ k ' losen ist. Bei einer Dreieckszerlegung mit Zeilen- und Spaltenvertauschung wird die Einteilung in die benotigten Untermatrizen automatisch vorgenommen. Sobald der Rang der Koeffizientenmatrix erreicht ist, bricht der Zerlegungs-Algorithmus ab. AnschlieBend werden durch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen die Losungen x.' von ( 1 . 1 2 3) berechnet. Zusammen mit ~k den Anteilen x; von (1.12 2) ist damit die vollstandige Losung bekannt. Um die Reihenfolge der Spaltenanordnung des urspriinglichen Gleichungssystems

62

1. Mathematische Grundlagen

( 1 . 1 17 ) wiederherzustellen, muB nun die Spaltenvertauschung von ( 1 . 1 2 0 ) durch Urnstellen der Zeilen in den Losungen riickgangig gemacht werden. Die Festlegungen ( 1 . 1 2 2) sind nicht bindend, sie sind nur zweckmanig. Mit anderen Festlegungen erhalt man andere Losungen. Trotzdem ist es unnotig, die Berechnungen im Bedarfsfall zu wiederholen, weil samtliche mogliche Losungen in einem Satz von d linear unabhangigen Losungen enthalten sind. Zur Herstellung neuer Losungen konnen die vorhandenen Losungen durch Linearkombination verandert werden. Dies wurde bereits in ( 1 . 7 6 ) dargestellt. Als Beispiel sollen die Losungen des homogenen Gleichungssystems mit der folgenden Koeffizientenmatrix bestimmt werden. ;

ran(a..) = r = 2 1J

12

6

Eine Moglichkeit, eine nichtsingulfre (2.2)-Matrix a'' zu erzeugen, ist eine Spaltenanordnung in der Folge 1, 3, 4, 2. Die Zeilen brauchen nicht vertauscht zu werden.

I

[ a l l a12

Hiermit erfolgt die Losung von (1.123).

Zusammen mit (1.1 2 2 ) ist dann die vollstandige Losung:

L

_I

Rechts sind die riicksortierten Losungen angegeben. Diese Losungen konnen n u n beliebig linear miteinander kombiniert werden. Die Resultate befriedigen alle das homogene Gleichungssystem.

1.4.9 ubungen ubung 1.29: Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen a . . U

Bestimmen Sie den Rang der Matrizen a . . U

1.4 Lineare Gleichungen

11

9 -6 3 I i ] ; b ) [ 6 4 - 2 - 8 15 3 -2 26 - 2 6 12 - 8 - 2 6 52

; c)

63

bi.c.#O; ( i ,J j =l . . . n )

bung 1.3 1: Besitzt das Gleichungssystem (1.7 2) Losungen x j , w e n n a) a . . von Aufgabe 1.3 0 ( a ) und bi = [ 3 4 5 ] ? JJ 31 - 6 I ? b) a . . v o n A u f g a b e 1.30(b) und bi = [ 18 - 1 2 1J

u b u n g 1.32: Berechnen Sie rnit der Cramerschen Regel f u r die Matrix von Aufgabe 1.29 (b): a) die Losung f u r die rechte Seite bi = [ 1 1 1 1 25 ] ; b) die Kehrmatrix. u b u n g 1.33: Fur ein System von drei Gleichungen wurden zu zwei rechten Seiten bik die zugehorigen Losungen xik berechnet. Nun ist noch eine dritte rechte Seite hinzugekommen. Berechnen Sie die Losung hierzu!

u b u n g 1.34: Fur ein System von n Gleichungen wurden f u r n linear unabhangige Seiten bik die Losungen xik berechnet. La& sich hieraus ruckwarts die Koeffizientenmatrix aij bestimmen? u b u n g 1.35: Fuhren Sie fiir die Matrix aij

folgende Operationen aus: a) Eine Dreieckszerlegung rnit gleichzeitiger Determinanten-Berechnung rnit dem Algorithmus (1.92) bei Festlegung des Quadratwurzel-Verfahrens (1.91); b) Das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen (1.100) und (1.101) z u r Ermittlung der Losung xi f u r die rechte Seite bi = [ 20 - 16 - 62 1 4 0 1; c Die Inversion rnit dem Algorithmus (1.104) rnit anschlieRender Multiplikation (1.105). u b u n g 1.3 6: Eine ( 9 . 9)-Matrix ist wie gezeigt rnit von null verschiedenen Koeffizienten belegt. -

-

xxxxx X x X x

; a) Bestimmen Sie die Profillinie und die Zahl der f u r X

x

X X

x X

-

eine Dreieckszerlegung benotigten Multiplikationen; b) Sortieren Sie die Zeilen in die Reihenfolge 1:2,6,3, 7,4,8:5:9 und die Spalten in 1,6,2,7,3,8,4,9,5u m und wiederholen Sie Schritt (a); c) Wieviel Speicherplatze belegt die Inverse der umsortierten Matrix?

u b u n g 1.37: In dem gezeigten (Skyline-) Schema sind die von null verschiedenen Koeffizienten des oberen Dreiecks einer positiv definiten, symmetrischen Matrix angegeben.

64

1. Mathematische Grundlagen

- 1 - 1 - 1 - 1 - -1

3

2

4

2

'J 1 3

:il

I-2,i I-

= a..

l,i

a) F u h r e n Sie eine Dreieckszerlegung rnit dem Algorithmus (1.109) aus; b) B e r e c h n e n Sie die Losung f u r die r e c h t e Seite bi = [ 3 - 3 6 - 3 3 1.

u b u n g 1.38: Die Hilbert-Matrix ist nichtsingular u n d positiv konditioniert.

definit, aber extrem s c h l e c h t

Beginnen Sie e i n e Dreieckszerlegung mit dem Algorithmus (1.109) f u r die GroRe n = 4 u n d verwenden Sie dabei e i n e Gleitkomma-Arithmetik rnit drei Dezimalstellen. F u r die Abbruchtoleranz (1.98) w a h l e n Sie k = 5. u b u n g 1.39: Fiihren Sie die ersten drei Iterationsschritte z u r Losung der u b u n g 1.37(b) a u s a) rnit dem Jacobi-Verfahren; b) rnit dem SOR-Verfahren f u r w = 1,25. W a h l e n Sie als Startvektor xiCo1 = 3 i n beiden FBllen. u b u n g 1.40: Die unvollstandige Koeffizientenmatrix eines homogenen Gleichungssystems ist

W e l c h e n Wert muR der Koeffizient a 3 3 a n n e h m e n , damit das System nichttriviale Losungen besitzt? Berechnen Sie e i n e Losung rnit der A n n a h m e x3 = 1. u b u n g 1.41: Bestimmen Sie linear unabhangige Losungen f u r die homogenen Gleichungssysteme rnit den Koeffizientenmatrizen von a) u b u n g 1.30 (b) ; b) u b u n g 1.30 (c) rnit n = 3.

1.5 Interpolation Interpolationsfunktionen werden in der Methode der finiten Elemente dazu benutzt, um die kontinuierlichen Funktionen im Inneren der Elemente rnit den in diskreten Freiheitsgraden dargestellten auBeren GroBen zu verknupfen. In Tabelle 2 . 1 ist dies die Verbindung der auBeren rnit der inneren Darstellungsebene. Da die Gute eines Finit-Element-Modells ganz entscheidend von den verwendeten Interpolationsfunktionen beeinflufit wird, verdient dieser Abschnitt die volle Aufmerksamkeit. Ziel der folgenden uberlegungen ist es, eine gegebene Funktion f durch eine Ersatzfunktion Fanzunghet-n. Handelt es sich dabei urn eine Approximation, dann geschieht dies durch eine Norm wie zum Beispiel durch die des kleinsten Fehlerquadrates. Bei einer Interpolation werden festzulegende Eigenschaften von f u n d 7 einander gleichgesetzt. An ausgewahlten Stiitzstellen konnen zum Beispiel die Funktionswerte iibereinstimmen (Lagrange), Ableitungen der Funktionen (Hermite) oder auch Integrale uber vorgegebe-

1.5 Interpolation

65

ne Bereiche. Die Ersatzfunktion wird auch als Interpolations-Funktion bezeichnet. Die hier entwickelte Darstellung der Interpolation unterscheidet sich in manchem von der gangiger Lehrbucher uber numerische Mathematik. Zunachst sind die benotigten Interpolationen mehrdimensional. Fur eindimensionale Formeln besteht kaum Bedarf. Weiterhin werden Formfunktionen verwendet, die erst mit den finiten Elementen in der praktischen Anwendung aufgetaucht sind, da e s hier nicht darum geht, gegebene Funktionen zu ersetzen, sondern die Interpolationsfunktionen selbst werden zu den beschreibenden Funktionen. Vergleichbare Funktionen gab es zwar schon friiher, nur wurden sie dann als Ansatzfunktionen bezeichnet und nicht unbedingt mit einer Interpolation in Verbindung gebracht.

1 .5.1 Formfunktionen Eine Funktion f und ihre Interpolations- oder Ersatzfunktion durch folgende Bedingung miteinander verknupft:

werden

Hierin steht D ( )p fur einen Interpolations-Operator, dessen n Glieder die A r t der Interpolation vollstandig definieren. Das ist hier noch nicht Z U erkennen, deshalb sol1 zunachst ein Beispiel betrachtet werden.

Bild 1.11: Zweidimensionale Lagrange-Interpolation mit vier Stutzstellen. In Bild 1.11 werden vier Stiitzstellen verwendet, an denen die Funktionswerte einander gleichgesetzt werden. Der zugehorige Interpolations-Operator ist:

Werden, wie in dem Beispiel, die Funktionen selbst an ausgewahlten Stutzstellen verwendet, dann spricht man von einer Lagrange-Interpolation. Obwohl Lagrange nur eindimensionale Interpolationsformeln entwickelt hat, wird sein Name heute auch fur die mehrdimensionalen Verallgemeinerungen gebraucht. Derartige ubertragungen finden sich auch noch an anderen Stellen. D e r Interpolations-Operator D ( . ) kann wesentlich P flexibler gehandhabt werden, als es hier gezeigt wurde. Es konnen Ableitun-

66

1. Mathematische Grundlagen

gen und Integrale darin vorkommen gemischt mit Funktionswerten u.s.w.. Zum Beispiel erhalt man die eindimensionale Hermite-Interpolation, indem man an zwei Stutzstellen jeweils die Funktionswerte; die ersten Ableitungen, die zweiten Ableitungen u.s.w. wahlt. Wichtig ist fur die folgenden Herleitungen, daB der Interpolations-Operator linear ist. Mit a als konstantem Faktor mu8 gelten

Funktionswerte, Ableitungen oder bestimmte Integrale erfullen diese Forderung. Die Interpolations-Funktion stellt werden:

7 sol1 durch folgenden linearen Ansatz

darge-

Es sind D ( f )p konstante Koeffizienten, die sich mit dem Operator D von ( 1 . 1 2 4 ) aus der Funktion f ergeben. Die noch zu bestimmenden Formfunktionen n sind ortsabhangig, aber unabhangig von der Funktion f. Sobald fur P einen gegebenen Bereich die Formfunktionen bekannt sind, lassen sich mit (1.12 6) fur beliebige Funktionen f sehr einfach die zugehorigen Interpolations-Funktionen f berechnen. ry

Bis jetzt sind die Formfunktionen noch nicht bekannt. Zu ihrer Bestimmung wird f i r die Interpolationsfunktion der lineare Ansatz

mit konstanten Koeffizienten ar und einem Basisvektor zr herangezogen. Typische Basisvektoren enthalten die Monome von Polynomen in den Koordinaten. Je ein ein-, zwei- und dreidimensionales Beispiel ist:

Wieviel Terme m ein Basisvektor enthalt, muB einstweilen offen bleiben. Die gezeigten Basisvektoren enthalten jeweils das konstante, die linearen und die quadratischen Glieder. Beliebige Umstellungen und Zusammenfassungen sind moglich. ,,Sinnvollecc Interpolationen entstehen allerdings nur dann, wenn die Terme liickenlos von der nullten bis zu den oberen Potenzen vertreten sind. Anderenfalls wurde zum Beispiel eine lineare Funktion

1.5 Interpolation

67

durch eine quadratische interpoliert. Das ist unsinnig. D e r umgekehrte Fall ist dagegen zulassig. Durch den Basisvektor wird der Funktionsraum einer Interpolation definiert. E r ist richtungs-invariant, wenn e r bei einer Koordinaten-Transformation unverandert bleibt. Das trifft zum Beispiel fur die gezeigten Basisvektoren zu. Sie enthalten die vollstandigen Monome vom nullten bis zum zweiten Grad. Bei einer Transformation der Koordinaten xi nach 2. entstehen J wieder die vollstandigen Monome vom nullten bis zweiten Grad. DaB diese dann in anderer Form zusammengefaBt sind, ist ohne EinfluB. Die Monome von unvollstandigen Polynomen besitzen die Richtungs-Invarianz dagegen nicht. Trotzdem werden sie sehr haufig eingesetzt, um sie an eine gegebene Zahl von Stiitzstellen anzupassen. Die Interpolations-Funktionen konnen aus algebraischen oder transzendenten Basis-Funktionen beliebiger A r t aufgebaut werden. Anstelle der gezeigten Monome lassen sich zum Beispiel auch die Glieder einer Fourier-Reihe verwenden. In den meisten Fallen ist dies allerdings unzweckmaBig, weil der Aufwand fur die Berechnung stark ansteigt. Fur den formalen Umgang mit den Interpolations-Formeln ist es dagegen vollig unwichtig, welche Basisfunktionen verwendet werden. Zur Bestimmung der Formfunktionen wird ( 1 . 1 2 4 ) in ( 1 . 1 2 6 ) eingesetzt und dann der Ansatz ( 1 . 1 2 7) eingefuhrt. Es entsteht

Wegen der Linearitat (1.12 5) konnen die konstanten Koeffizienten ar vor den Operator gesetzt werden. Danach werden die beiden Ausdrucke auf der linken Seite zusammengefaBt.

ry

Dies muB fur beliebige Interpolations-Funktionen f in ( 1 . 1 2 7 ) erfiillt sein, so daB die Koeffizienten ar frei wahlbar sind. D e r Ausdruck in der Klammer muB also null sein, womit folgt

Dies ist eine implizite Bestimmungsgleichung fur die Formfunktionen n

P'

Zur Vereinfachung wird im folgenden oft geschrieben

68

1. Mathematische Grundlagen

Dies wird im folgenden als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Fur eine Lagrange-Interpolation ist sie

Ursprunglich wurde die Vandermonde-Matrix nur fur eine Lagrange-Interpolation und vollstandige Polynome definiert. D e r standige Hinweis auf eine mogliche Verallgemeinerung ist jedoch sehr umstandlich und wird deshalb weggelassen. Die Zahlen der Terme im Basisvektor und im Interpolations-Operator, also m und n in ( 1 . 1 2 8 ) , konnen unterschiedlich sein. Spater bei der Herleitung von numerischen Integrations-Formeln in Abschnitt 1 . 6 wird m unter Umstanden deutlich groBer als n gemacht werden. Hier werden die beiden Zahlen gleich gesetzt, um eine quadratische Vandermonde-Matrix zu erzeugen. Unter der Voraussetzung

ergeben sich aus ( 1 . 1 2 8 ) die Formfunktionen

Fur eine Lagrange-Interpolation ist es relativ einfach, einige Bedingungen anzugeben, unter denen die Vandermonde-Matrix singular wird, das heiBt, wann ( 1 . 1 3 0 ) verletzt wird. Es ist immer der Fall, wenn Stiitzstellen aufeinanderfallen oder wenn sie in einem Unterraum niedriger Dimension liegen, wie zum Beispiel auf einer Geraden innerhalb eines ebenen Interpolations-Bereichs. Fur allgemeinere Interpolationen ist es sehr schwierig, Regeln aufzustellen, die die Nicht-Singularitat der Vandermonde-Matrix sicherstellen. Es bleibt meistens nichts anderes ubrig, als eine Vandermonde-Matrix numerisch zu berechnen und ihre Determinante zu ermitteln. Im ubrigen ist das auch vie1 einfacher als die Anwendung von womoglich sehr komplizierten Regeln. Als Beispiel sollen die Formfunktionen f u r die i n Bild 1.11 gezeigte Interpolation bestimmt werden. D i e Koordinaten der Stutzstellen s e i e n

L

A

D e r Lagrange-Interpolationsoperator ist

1.5 Interpolation

69

Es werden vier Terme fur den Basisvektor benotigt. Da die Richtungen x l und x 2 vollig gleichwertig sind, wird gewahlt

Aus (1.129) folgt daraus die Vandermonde-Matrix und dann die Inverse 1 1 -1 1 - I -1 I -1

1 1 1 1 1 1 1 -1

1 - - 1 1 1 1 1 1 -1

1 1 1 1 -

1 1 1 1

Die Formfunktionen (1.131) sind dann: 1 1

+

X1 + X 2 +

X2

+ X1X2

-

Die benutzte Vandermonde-Matrix war nicht singular, sonst hatten die Formfunktionen nicht berechnet werden konnen. Wenn man bei sonst gleichen Bedingungen die Koordinaten um den Winkel von 45' dreht, wird die Vandermonde-Matrix singular! Dies zeigt, wie schwierig es selbst bei einer Lagrange-Interpolation sein kann. allgemeine Regeln aufzustellen. die die Existenz der Formfunktionen sicherstellen. In diesem Fall ist die Singularitat darauf zuruckzufiihren, daB im Basisvektor nur ein quadratischer Term enthalten ist und nicht der vollstandige Satz von drei wie in (1.127). Die Richtungs-Invarianz wurde dadurch zerstort.

D e r Interpolations-Operator und die damit erzeugten Formfunktionen unterliegen einer Orthogonalitats-Bedingung. Dies findet man, wenn man den Operator auf (1.1 2 8) anwendet und dabei die Linearitat (1.12 5) beachtet. Es entsteht

Offensichtlich gilt dann

D e r Interpolationsoperator erzeugt also die Einheitsmatrix, wenn e r auf die Formfunktionen angewendet wird. Fiir eine Lagrange-Interpolation heiBt dies, daR eine Formfunktion an der j,eigenencc Stiitzstelle den W e r t eins annimmt und an allen anderen null ist.

Eine weitere Eigenschaft der Formfunktionen ergibt sich daraus, daB jeder Basisvektor einen konstanten Anteil enthalten muR, denn sonst konnte e r nicht luckenlos sein. Aus (1.12 8 ) folgt dafur mit der Linearitat (1.12 5)

Fur eine Lagrange-Interpolation bedeutet dies

70

1. Mathematische Grundlagen

Im ubrigen folgt aus ( 1 . 1 3 3) auch noch, daB der Interpolations-Operator nicht nur Ableitungsglieder enthalten darf, so daB D ( l ) p durchweg null e~c kann man sich naturlich auch Basisvekwird. Fur ~ ~ e x o t i s c h Anwendungen toren ohne konstantes Glied ausdenken und Operatoren, die nur aus Ableitungen bestehen. In e i n e m eindimensionalen Beispiel verwendet:

wird

der

folgende

Interpolations-Operator

1

fdx]. A n den Stutzstellen x = 2 1 sollen die Funktionswerte u n d die e r s t e n Ableitungen benutzt werden. Im f u n f t e n T e r m wird dann das Integral zwischen diesen P u n k t e n genommen. D e r Basisvektor muB ebenfalls f u n f T e r m e enthalten:

Die Vandermonde-Matrix von ( 1.12 9 ) und i h r e Inverse sind dann:

Die Formfunktionen n a c h (1.131) ergeben sich: w e n n die Inverse mit dem Basisvektor multipliziert wird. In Bild 1.12 sind diese F o r m f u n k t i o n e n dargestellt.

Bild 1.12: Formfunktionen f u r e i n e eindimensionale Interpolation u n t e r Verwendung der Funktionswerte und den ersten Ableitungen a n den Stutzstellen x = 2 1, sowie dem Integral zwischen diesen Punkten. Aus den Kurven laRt sich e n t n e h m e n , daR die Bedingungen (1.132) erfiillt sind, namlich

wahrend dieselben Eigenschaften der ubrigen Formfunktionen jeweils n u l l sind. Aus (1.133) folgt nl+ n2

+

2n5

=

1.

Dies laRt sich unmittelbar a n der inversen Vandermonde-Matrix nachpriifen

1.5 Interpolation

71

1.5.2 Standardformeln In mathematischen Handbuchern findet man eine Vielzahl von fertig berechneten Interpolationsformeln. Von einigen Ausnahmen abgesehen, gelten sie durchweg fiir eindimensionale Bereiche. Kennzeichnend fur diese Formeln ist, daR die Vandermonde-Matrizen analytisch invertiert wurden. D a man heute typische Vandermonde-Matrizen mit dem Rechner invertiert, verlieren die analytischen Formulierungen an Bedeutung. An die Stelle von fertigen Formeln tritt immer mehr der Berechnungsalgorithmus. Einfache Grundformeln werden jedoch auch noch in Zukunft sinnvoll eingesetzt werden konnen. Im folgenden werden hierfiir zwei Beispiele vorgestellt. Die klassische Interpolationsformel von Lagrange liefert die Formfunktionen

Hierin sind x p die Koordinaten der Stutzstellen, die zwar nicht aufeinanderfallen diirfen, aber sonst frei wahlbar sind. Bei der ebenfalls analytisch gelosten Hermite-Interpolation liegen die Stutzstellen auf x = L 1. Hier werden paarweise die Funktionswerte und je nach Bedarf die ersten, zweiten und hoheren Ableitungen benutzt. Die resultierende analytische Losung ist allerdings so kompliziert, daR sie hier nicht angegeben werden soll. Die am haufigsten eingesetzte Formel ist

Hierin werden jeweils die Funktionswerte und die ersten Ableitungen verwendet.

Bild 1.13: F o r m f u n k t i o n e n dritten Grades der Lagrange- u n d Hermite-Interpolation.

Zum Vergleich sind in Bild 1.13 die Lagrange- und Hermite-Formfunktionen fur n = 4 Terme im Basisvektor aufgetragen. Die Hermite-Funktionen erzeugen glatte ubergange bei aneinanderstofienden Interpolationsbereichen.

72

1. Mathematische Grundlagen

1.5.3 Produktformeln Obwohl sich mehrdimensionale Interpolationsformeln ohne Schwierigkeiten direkt, wie in Abschnitt 1 . 5 . 1 gezeigt, herstellen lassen, ist e s eine weit verbreitete Praxis, durch Produktbildung von eindimensionalen Formeln hoherdimensionale Formeln zu berechnen. D e r rechentechnische Vorteil ist zwar gering und der Anwendungsbereich begrenzt, doch Traditionen haben oft ein sehr langes Leben. Voraussetzung fur eine Produktbildung ist ein regelmaBiges Netz von Interpolations-Stutzstellen, wie in Bild 1 . 1 4 dargestellt.

f

1-r9-

X2

---

p 2 = "2

P, =

2

1

7

"

3

1

Bild 1.14: RegelmaRiges Netz von Stutzstellen z u r Bildung e i n e r zweidimensionalen Produktformel.

Im Interesse einer einfachen Darstellung wird im folgenden die Dimension zwei verwendet. Der ubergang ins Dreidimensionale kann danach vollig problemlos vollzogen werden. Zur Numerierung der Stutzstellen werden zwei Indizes definiert: p l = 1 . . . n l fiir die xl-Richtung und p2 = 1... n 2 fur x 2 . Entlang jeder dieser Richtungen wird eine eindimensionale Interpolation festgelegt. Meistens wird es sich dabei um Lagrange-Interpolationen nach ( 1 . 1 34) handeln, doch ist dies keinesfalls zwingend. Die zweidimensionalen Formfunktionen entstehen dann aus

Zur besseren Unterscheidung wurden die hochgestellten Indizes angefugt. nur von x 2 . Sie signalisieren, daR n(') nur von x l abhlngt und ):n; P1

Als Beispiel sol1 e i n e Lagrange-Produktformel f u r drei Stutzstellen i n xl-Richtung u n d zwei f u r x 2 berechnet werden. Die Koordinaten der Stiitzstellen s e i e n

x

IP 1

= [ - I

0

+ l ] ;

x

2P 2

Die zugehorigen Formfunktionen sind

= [ I

+ l ] .

1.5 Interpolation

73

U m die Produktformel i n e i n e m ebenen Schema hinschreiben zu k o n n e n , w e r d e n die Indizes n a c h folgendem S c h e m a zusammengefal3t:

D a m i t ergibt sich:

Bei einer direkten Berechnung n a c h (1.131) hatte eine (6.6)-Matrix invertiert werden mussen. Das Ergebnis bleibt dasselbe. Z u r Kontrolle e i n e r H a n d r e c h n u n g eignet sich die Nachprufung von (1.132).

1.5.4 ubungen u b u n g 1.42: Bestimmen Sie die eindimensionalen Lagrange-Formfunktionen m i t Hilfe von (1.128) oder (1.131) f u r gleiche Stutzstellenabstande beginnend mit x = - 1 und endend mit x = + 1 f u r n = 2, 3 und 4. P r u f e n Sie die Ergebnisse mit (1.134) nach. u b u n g 1.43: Ermitteln Sie mit Hilfe der Formfunktionen von u b u n g 1.42 die interpolierenden Funktionen f u r die F u n k t i o n

f

=

abs

41

-

x2

u n d s k i z z i e r e n Sie deren Verlauf u b u n g 1.44: Gesucht sind die Lagrange-Formfunktionen f u r folgende Lage der Stutzstellen: xip =

[

0 0

2 0

0 2

1 0

1 1

O1

I.

Benutzen Sie i m Basisvektor die Monome eines vollstandigen Polynoms zweiten Grades i n x und x 2 . u b u n g 1.45: Bestimmen Sie die Formfunktionen f u r folgende eindimensionale InterpolationsOperatoren

sowie die zugehorigen Aussagen von (1.132) und (1.133). u b u n g 1.46: Bilden Sie aus den Formfunktionen von u b u n g 1.45b eine zweidimensionale Produktformel. W i e groR w a r e die zusammengefaRte Vandermonde-Matrix, w e n n Sie dasselbe f u r u b u n g 1.45a v e r s u c h e n wollten?

74

1. Mathematische Grundlagen

1.6 Numerische Integration Bei der Berechnung von Element-Steifigkeitsmatrizen, Massenmatrizen, Ersatzlasten und anderen GroBen sind bestimmte Integrale uber Volumen, Flachen oder Linien zu berechnen. Nur in wenigen Fallen lassen sich hierfiir analytische Formeln einsetzen, weil entweder die Integrationsbereiche oder die Integranden zu kompliziert sind. Hier helfen nur numerische Integrationsformeln. Im Gegensatz zur analytischen Integration ist die numerische ein auBerst einfacher Vorgang. In erster Linie ist dies darauf zuruckzufuhren, daB eine bestimmte Integration die Eigenschaften einer Funktion uber einen vorgegebenen Bereich summiert, wahrend zum Beispiel eine Differentiation eine lokale Operation ist. Infolgedessen kann eine Integration mit vergleichsweise primitiven Mitteln durchgefuhrt werden. Das Prinzip ist einfach: Ein gegebener Integrand wird durch eine interpolierende Funktion ersetzt, deren Integral bereits bekannt ist. Zu bestimmen bleiben nur noch die konstanten Koeffizienten der Interpolationsfunktion. Alles andere ist bereits vorab berechnet. Die Herleitung von numerischen Integrationsformeln ist relativ einfach, solange man sich keine Gedanken daruber macht, wie groB der rechnerische Aufwand bei ihrer Anwendung wird. Kompliziert wird es, wenn man versucht, durch geschickte Wahl der Integrations-Stiitzstellen den anschlieBenden Aufwand zu minimieren. D e r normale Benutzer braucht sich um diese Probleme nicht sonderlich zu kummern. E r verwendet fertige Integrationsformeln, die in den Finit-Element-Programmen zur Verfugung gestellt werden. D a aber die schlimmsten Fehler meistens dort auftreten, wo unverstandene Techniken angewendet werden, sollte auch hier etwas mehr als nur die Anwendung von fertigen Formeln geiibt werden!

1.6.1 Integrationsformeln Die Aufgabe der numerischen Integration ist e s , das Integral I einer Funktion f uber einem Bereich f2 zu berechnen:

I = J f d o .

n Zur Losung dieser Aufgabe wird die Funktion f durch eine Naherungsfunktion

7 ersetzt, deren Integral 7 analytisch berechnet werden kann.

7

=

Jf"df2.

n Die Funktion ? sol1 eine Interpolationsfunktion von f sein. Dadurch wird erreicht, daB noch festzulegende Merkmale von f und im Sinne der Interpolationsvorschrift ( 1 . 1 2 4 ) ubereinstimmen. Durch Einsetzen der Interpolationsfunktion von ( 1 . I 2 6 ) in das Integral erhalt man

1.6 Numerische Integration

75

Nur die Formfunktionen n sind ortsabhangig: weshalb nur sie unter dem P Integral verbleiben. Hierfiir wird geschrieben

Damit ergibt sich

Dies ist eine numerische Integrationsformel. Die Bezeichnungen Quadraturund Kubaturformeln beziehen sich speziell auf die Integration von Flachen und Volumen. Bevor die Benutzung solcher Formeln erlautert wird, soll eine Spezialisierung eingefihrt werden. Abgesehen von ganz seltenen Ausnahmen wird der Integrand immer durch eine Lagrange-Interpolation abgebildet. An die Stelle des beliebigen Interpolationsoperators D ( . ) , treten dann die Funktionswerte. Aus ( 1 . 1 3 7) wird

Dieses ist die ubliche Form einer Integrationsformel. Die Benutzung ist denkbar einfach. Zunachst wird f i r einen gegebenen Bereich eine fertig berechnete Integrationsformel ausgesucht. Hierbei spielt vor allem der Exaktheitsgrad eine Rolle, der bestimmt, bis zu welchem Grad einer Funktion die Integration exakt sein wird. Naheres wird hierzu in Abschnitt 1 . 6 . 2 ausgefuhrt. Nach Wahl der Formel liegen die Stiitzstellen xip und die Integrationsgewichte w fest. An den Stutzstellen werden die FunktionsP werte f des Integranden berechnet und jeweils mit den zugehorigen InteP grationsgewichten multipliziert und aufsummiert. Das ist alles. D e r Unterschied einer numerischen Integration nach ( 1 . 1 3 7 ) ist lediglich der, daJ3, je nach Definition des Interpolationsoperators, auch Ableitungen oder andere Eigenschaften des Integranden zur Berechnung herangezogen werden konnen. Als Beispiel fiir eine numerische Integration soll die Funktion f

=

cosx

;

( - l < X < + l )

dienen. Z u m Vergleich mit den Ergebnissen der numerischen exakte Integral fur diesen Bereich ist I = 1,68294.

Integration: Das

Als erstes soll eine 3-Punkt Newton-Cotes-Formel angewendet werden. Die Koordinaten der Stutzstellen und die zugehorigen Integrationsgewichte sind:

Diese Formel hat den Exaktheitsgrad 2; das heiBt, konstante, lineare und quadratische Terme der Funktion werden exakt integriert. Die Funktionswerte an den Stutzstellen sind:

76

1. Mathematische Grundlagen

Damit ergibt sich aus (1.138)

Dieselbe Funktion soll n u n mit einer 3-Punkt-GauR-Formel integriert werden. Die Koordinaten der Stiitzstellen und die Integrationsgewichte sind: 1 x = J3/5[-1 0 + l ] ; w = - 5 8 5 1 . P P 9 Diese Formel h a t den Exaktheitsgrad 5. Aus der Integrationsformel (1.138) ergibt sich damit: 1 = - [ 0 ! 7 1 4 7 0 . 5 + 1 , 0 0 0 0 0 . 8 + 0 , 7 1 4 7 0 . 8 1 = 1,68300

7

9

Wegen des hoheren Exaktheitsgrades der GauR-Formel kommt dies dem exakten Wert 1 , 6 8 2 9 4 des Integrals bedeutend n a h e r als die Newton-Cotes-Formel, obwohl der Berechnungsaufwand derselbe ist.

1.6.2 Momentengleichungssystem Die Herleitung von Integrationsformeln ist ublicherweise nicht die Aufgabe von Berechnungsingenieuren. Sie verwenden fertige Formeln, die sich in sehr kompakter Form angeben lassen. Die folgenden Darstellungen verfolgen deshalb in erster Linie den Zweck, einen Einblick in die Funktionsweise der numerischen Integration zu vermitteln. Ausgangspunkt der Herleitung ist ( 1 . 1 2 8). Beide Seiten werden integriert, wobei berucksichtigt wird, daf3 die Vandermonde-Matrix von ( 1 . 1 2 9 ) konstant ist.

Das Integral auf der linken Seite ist gleich den Integrationsgewichten von ( 1 . 1 3 6 ) . Das Integral rechts soll als G r a m s c h e r V e k t o r bezeichnet werden.

Damit folgt aus obiger Gleichung

1

p

z

rP

w

P

=

G

r

; ( r = I ... m ; p = I ... n)

.

(1.140)

Dies ist das sogenannte Momentengleichungssystem. Es wird wie folgt aufgestellt: Zunachst wahlt man einen Basisvektor zr, der im allgemeinen die Monome vollstandiger Polynome der Koordinaten enthalt. Wie schon bei der Interpolation in Abschnitt 1 . 5 . 1 ist die Vollstandigkeit keine Pflicht, wohl aber die Liickenlosigkeit der Monome. Dieser Basisvektor entscheidet uber den Exaktheitsgrad der Integrationsformel, der den Grad des hochsten vollstandigen Polynoms angibt. Die analytisch berechneten Integrale des Basisvektors werden im Gramschen Vektor ( 1 . 1 3 9 ) zusammengefaRt. Im einfachsten Fall werden dann die Integrationsstutzstellen

1.6 Numerische Integration

77

gewahlt, uber deren Zahl und Lage weiter unten noch einiges zu sagen sein wird. Sobald diese Koordinaten festliegen, kann die Vandermonde-Matrix z berechnet werden. Fur die ublichen Integrationsformeln ( 1 . 1 3 8 ) , die ja rP mit einer Lagrange-Interpolation arbeiten, ist ein Koeffizient zr P von ( 1 . 1 2 9) nichts weiter als der W e r t von zr an einer Stiitzstelle p. Die Bezeichnung Momentengleichungssystem hat folgenden Ursprung: D e r Basisvektor ( 1 . 1 2 7) fur eine eindimensionale Integrationsformel ist

Dann ist das Gleichungssystem ( 1 . 1 4 0 )

Die Indizes an den Koordinaten zahlen die Stutzstellen, nicht die Richtungen, denn es handelt sich um eine eindimensionale Formel. In der ersten Zeile werden die Integrationsgewichte, das heiBt ihre nullten Momente, summiert.

Dies gilt generell fur alle ublichen Integrationsformeln so wie ( 1 . 1 3 3) fur die Interpolation. In der zweiten Zeile findet man die Summe der ersten Momente der Integrationsgewichte, in der folgenden die der zweiten u.s.w.. In gewissen Grenzen kann man die Lage der Stutzstellen beliebig festlegen. Man befindet sich dann in derselben Situation wie bei der Interpolation mit ( 1 . 1 3 0 ) und ( 1 . 1 3 1 ) . Die Zahlen der Terme m im Basisvektor und der Stutzstellen n mussen ubereinstimmen und die Vandermonde-Matrix muB nichtsingular sein. Das Momentengleichungssystem ( 1. 1 4 0) ist dann linear in den unbekannten Integrationsgewichten w und hat die Losung P

Diese Herleitung liefert die sogenannten Newton-Cotes-Formeln. W i e bei der Lagrange-Interpolation bezieht sich der Name heute auf die mehrdimensionale Verallgemeinerung von ursprunglich eindimensionalen Ergebnissen. Als Beispiel sol1 eine zweidimensionale Newton-Cotes-Integrationsformel quadratischen Integrationsbereich berechnet werden.

fur einen

78

1. Mathematische Grundlagen

Bild 1.15: Stutzstellen und Integrationsbereich fur eine Newton-Cotes-Integration. Die in Bild 1.15 durch + markierten Stutzstellen sollen an den Eckpunkten des Integrationsbereiches liegen. Ihre Koordinaten sind:

x.

=

lP

-1 [-I

- 1

1 -1

1

1

Im Basisvektor konnen soviele Terme untergebracht werden wie Stutzstellen vorhanden sind, das heiRt also vier. Da zwischen x l und x 2 keine Bevorzugung besteht, wird gewahlt:

Der Exaktheitsgrad der Integration wird eins sein; da die Monome nur bis zu diesem Grad vollstandig sind. Um eine Integrationsformel (1.138) zu erhalten, wird die Vandermonde-Matrix nach dem Verfahren der Lagrange-Interpolation gebildet, das heiRt es werden die Funktionswerte der Terme des Basisvektors an den Stutzstellen berechnet. Genau so wie im ersten Beispiel von Abschnitt 1.5.1 ergibt sich dann

Um den Gramschen Vektor von (1.139) zu bilden, muR der Basisvektor integriert werden.

Damit lassen sich nun die Integrationsgewichte aus (1.142) berechnen:

w

P

=

[ I

1

1

1 1 .

Der Berechnungsaufwand fur die Ausfuhrung einer numerischen Integration wachst laut ( 1 . 1 3 8 ) linear mit der Zahl n der Stiitzstellen. In einer Newton-Cotes-Integration ist diese Zahl gleich der Zahl m der Terme im Basisvektor. Zur Verringerung des Aufwandes ist es wunschenswert, die Zahl der Stiitzstellen kleiner zu machen, ohne dabei den Basisvektor zu verandern. Das lal3t sich einrichten, wenn man die Stutzstellen an ausgewahlte Punkte legt. Solch ein Punkt ist zum Beispiel der Mittel- oder Schwerpunkt eines Integrationsgebietes. Das folgende Beispiel sol1 dies verdeutlichen.

1.6 Numerische Integration

79

Fur die numerische Integration uber das Quadrat von Bild 1.15 wird eine Stutzstelle auf den Mittelpunkt x l = x 2 = 0 gelegt. Ein vorlaufiger Basisvektor sol1 den konstanten und alle linearen und quadratischen Terme enthalten. Zr

=

[

1

X1

2

X2

X1

XlX2

XZ2

]

Mit (1.12 9 ) folgt die Vandermonde-Matrix

zrl

=

[ I

0

0

0

0

0 1 .

Der Gramsche Vektor von (1.139) wird Gr

=

4[1

0

0

1/3

0

1/31

Die Momentengleichungen (1.140) sind dann

Die Zeilen 1, 2 , 3, 5 liefern die Losung Wl

=

4.

Die Zeilen 4 und 6 geharen zu den Termen :x und xZ2 im Basisvektor. Sie sind nicht befriedigt und werden weggelassen. ubrig bleibt der Basisvektor Zr

=

[

1

Xl

X2

X1X2

1.

Er ist identisch mit dem des Beispiels von Bild 1.15. Hier genugt aber eine einzige Stutzstelle zur numerischen Integration! Man kann sich den oben benutzten, vorlaufigen Basisvektor auch uber den Grad zwei fortgesetzt vorstellen. In dem dadurch vergroBerten Momentengleichungssystem entstehen Nullzeilen, wann immer eine ungerade Potenz der Koordinaten im verlangerten Basisvektor erscheint. Auch diese Terme werden durch die Ein-PunktFormel exakt integriert. Fur den Exaktheitsgrad bleibt dies jedoch ohne Folgen, weil durch die geraden Potenzen Lucken entstehen.

1.6.3 Optimale Formeln Es gibt gute und weniger gute Integrationsformeln. D e r Aufwand fur die Durchfuhrung einer Integration mit einem bestimmten Exaktheitsgrad ist nur ein Kriterium. Andere Gesichtspunkte betreffen die Lage der Stutzstellen und die GroBe der Integrationsgewichte. So ist es unter ublichen Bedingungen wiinschenswert, daB die Stutzstellen innerhalb des Integrationsbereiches liegen und die Integrationsgewichte von der gleichen GroBenordnung und durchweg positiv sind. Diese Punkte sollen jedoch nicht diskutiert werden. Im Mittelpunkt steht hier die Verringerung der Zahl der Stutzstellen fur einen gegebenen Exaktheitsgrad. Dies betrifft also den Berechnungsaufwand. Eine optimale Formel ist in diesem Sinn eine, deren Stutzstellenzahl minimal ist. Hierzu lassen sich exakte Angaben oder Abschatzungen machen.

80

1. Mathematische Grundlagen

Fur die folgenden Betrachtungen sol1 vorausgesetzt werden, daB der Basisvektor zr luckenlos alle Terme vom konstanten Glied bis zu einer gegebenen Potenz enthalt. Ob die Terme der oberen Potenzen vollstandig sind, mag einstweilen dahingestellt bleiben. Zur Untersuchung wird das Momentengleichungssystem ( 1 . 1 4 0 ) gebraucht. Laut (1.7 3) besitzt e s Losungen wp, wenn

Fur eine Newton-Cotes-Formel ist die Zahl der Terme m im Basisvektor gleich der Zahl n der Stutzstellen und die quadratische VandermondeMatrix zrp ist nicht singular. Die Gleichung ist dann mit n = n erfullt, weil der Gramsche Vektor Gr den Rang der rechten Seite wegen (1.6 0) keinesfalls erhohen kann. Ausgehend von dieser Basis sollen nun zusatzliche Terme im Basisvektor hinzugefugt werden. D e r Rang auf der linken Seite bleibt unverandert gleich n, weil sich die Spaltenzahl der VandermondeMatrix nicht andert. Die um eine Zeile erweiterte Gleichung ist dann

Dies kann nur dann erfullt sein, wenn die neue Zeile von den vorherigen linear abhangig ist. Anderenfalls ware der Rang der rechten Seite gleich n + 1. D a Gn+l festliegt, kann die lineare Abhangigkeit nur durch Beeinhergestellt werden. Dies geschieht durch Verschieben flussung von zn+ der Stutzstellen. Es ist unerheblich, daB sich dabei auch die ursprungliche Vandermonde-Matrix z andert. Durch orthogonale Funktionen im BasisrP vektor lieBe sich diese Beeinflussung ausschalten, doch ist dies, wie gesagt, nebensachlich. Jede Stutzstelle in einem c-dimensionalen Integrationsbereich IaBt sich in c Richtungen verschieben. Es ist also denkbar, daB fur jede Stutzstelle c Terme des Basisvektors hinzugefugt werden konnen, das heiBt also n . c insgesamt. Die Gesamtzahl der Terme im Basisvektor konnte also den W e r t

erreichen. Dies ist eine optimistische Schatzung. Umgekehrt erhalt man hieraus die minimale Zahl der benotigten Stutzstellen zu einem gegebenen m :

Naturlich kommen hier nur die eventuell aufgerundeten, ganzzahligen W e r t e von nmin in Frage, denn Bruchteile von Stutzstellen sind unmoglich. Fiir die Dimension c = 1 ist der Fall problemlos: Jede Potenz in einem Polynom ist nur durch einen Term im Basisvektor vertreten; fur einen Exaktheitsgrad d braucht man also m = d + 1 Terme, so daB nmin = ( d + 1 ) / 2 wird. Diese Stutzstellenzahl wird von den GauB-Formeln fur ungerade Exakt-

1.6 Numerische Integration

81

heitsgrade erreicht. Sie sind im Abschnitt 1 . 6 . 4 aufgelistet. Weniger systematisch geht es bei hoheren Dimensionen zu. Um hiervon einen Eindruck zu vermitteln, werden im folgenden einige Integrationsformeln auf der Basis von vollstandigen Polynomen fiir quadratische Bereiche untersucht. In Tabelle 1.1 sind die minimal erreichbaren Stutzstellenzahlen f u r die e r s t e n f u n f Exaktheitsgrade f u r e i n Quadrat angegeben.

Tabelle 1.1: Numerische Integrationsformeln f u r e i n Quadrat. In Abhangigkeit vom Exaktheitsgrad d sind aufgefuhrt: Z a h l der T e r m e m i m Basisvektor, minimale Stutzstellenzahl nmin n a c h (1.143) und wirklich erreichbare minimale Stutzstellenzahl n . Z u den Integrationsformeln mit minimaler Stutzstellenzahl sind i n Tabelle 1.2 die Koordinaten der Stutzstellen und die zugehorigen Integrationsgewichte f u r das Quadrat - 1 5 x l , x 2 5 + 1 angegeben. D a die Punkte samtlich auf Kreisen u m den Koordinatenursprung liegen, w u r d e n Polarkoordinaten verwendet: r ist der Radius u m d e n Ursprung u n d c der Cosinus des Winkels von x l aus gemessen. Punktpaare liegen u m die x l-Achse gespiegelt.

Tabelle 1.2: Integrationsformeln f u r e i n Quadrat: d = Exaktheitsgrad; p = Stutzstellenn u m m e r ; r = Radius; c l = Richtungscosinus; w = Integrationsgewicht.

82

1. Mathematische Grundlagen

Zur Veranschaulichung sind i n Bild 1.16 die Stutzstellen f u r die angegebene Integrationsformel mit dem Exaktheitsgrad 4 gezeigt.

t-1

,o +I

,o 4

Bild 1.16: Stutzstellen der Integrationsformel mit dem Exaktheitsgrad 4. Die Formel f u r den Exaktheitsgrad 1 wurde bereits im zweiten Beispiel vom vorhergehenden Abschnitt hergeleitet. Die Stutzstellen der Formeln f u r d = 2 und 3 konnen zusammen jeweils um einen beliebigen Winkel gedreht werden, bei den hoheren Exaktheitsgraden n u r i n 90'-schritten. Auf die Integration der Terme, die innerhalb des Exaktheitsgrades liegen, hat dies keinen EinfluR, wohl aber auf hohere Terme, die gegebenenfalls noch mitintegriert werden. Mehrdimensionale Integrationsformeln stellen n u r i n Ausnahmefallen eindeutige Losungen des Momentengleichungssystems (1.140) dar. Dies ist besonders offensichtlich bei der Formel sind noch f u r den Exaktheitsgrad zwei. D a die Punktzahl n groRer ist als n,,,, freie Parameter verfugbar, die andere Punktlagen und Integrationsgewichte gestatten. In der Tabelle 1.2 wurden die Koordinaten und die Integrationsgewichte durch Ausdrucke i n ganzen Zahlen angegeben. Dies ist n u r f u r die niedrigeren Exaktheitsgrade moglich, hat aber den Vorteil, daR die resultierenden Zahlen mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden konnen. Gerade auf die genaue Lage der Stutzstellen reagieren die optimalen Integrationsformeln auBerst empfindlich!

1.6.4 Standardformeln In den mathematischen Handbuchern findet man eine Vielzahl von numerischen Integrationsformeln. Ebenso wie bei der Interpolation beziehen sie sich fast nur auf eindimensionale Bereiche. Von diesen sollen hier nur die niedrigeren Exaktheitsgrade der beiden am haufigsten benutzten Familien angegeben werden, die der Newton- Cotes- und der GauB-Formeln. Die ersten, weil sie bei elementaren Berechnungen a m haufigsten anzutreffen sind, die zweiten, weil sie den geringsten Berechnungsaufwand verursachen. Newton-Cotes-Formeln wird der eindimensionale Bei den ~~abgeschlossenenc< Integrationsbereich l2 = 1 durch die Stutzstellen in gleichgroBe Teile zerlegt. Die erste und die n-te fallen auf die Enden, dazwischen wird fortlaufend numeriert. Die Integrationsgewichte fur die Integrationsformel (1.13 8 ) berechnen sich aus

Die W e r t e von k und GP sind in Tabelle 1 . 3 angegeben.

1.6 Numerische Integration

83

Tabelle 1.3: Parameter zur Berechnung der Newton-Cotes-Integrationsgewichte nach (1.144).

Die Newton-Cotes-Formeln fur n = 2 , 3 und 4 Stutzstellen sind auch unter den Namen Trapez-Regel, Simpsonsche Regel und Newtonsche-3A-Regel bekannt. D a diese Formeln ebenso viele Stutzstellen verwenden, wie Terme im Basisvektor gegeben sind, ist der Exaktheitsgrad d = n - 1. Ab n = 7 werden diese Formeln zunehmend ungenauer, weil die Interpolationsfunktionen oszillieren, so daB vor allem die Rander des Bereichs falsch berucksichtigt werden. Man behilft sich dann durch Unterteilen des Bereichs in kleinere, die jeweils durch Formeln mit niedrigerem Exaktheitsgrad integriert werden. Am bekanntesten ist die so hergeleitete Trapez-Summenformel. Fur die Anwendung in der Finit-Element-Methode kommen diese Techniken kaum in Frage, weil sie zu unwirtschaftlich sind.

Tabelle 1.4: Stutzstellen und Integrationsgewichte Bereich

-

15 x

5 +

fur die

GauR-Integration

im

1.

Die eindimensionalen G a d - F o r m e l n werden im allgemeinen fur den Bereich von x zwischen - 1 und + 1 angegeben. Die Stiitzstellen liegen im Inneren des Bereiches und sind symmetrisch um x = 0 angeordnet. In Tabelle 1 . 4 sind deshalb nur die Absolutwerte der Koordinaten angegeben.

84

1. Mathematische Grundlagen

Die GauB-Integrationsformeln sind optimal, das heiBt, sie benotigen die kleinste mogliche Zahl von Stutzstellen nach ( 1 . I 4 3). Daraus folgt ihr Exaktheitsgrad d = 2n - 1. Aus den in ganzen Zahlen angegebenen Ausdrucken lassen sich die Zahlenwerte beliebig genau berechnen. Dies ist vor allem fur die Koordinaten der Stutzstellen wichtig, denn die Genauigkeit der Integration hangt hiervon ganz entscheidend ab. Die Stutzstellen der eindimensionalen GauB-Formeln liegen auf den Nulldurchgangen der LegendrePolynome (Tabelle 8 . 1 ) . Eine vergleichbare Systematik existiert fur mehrdimensionale Formeln nicht. Die wichtigsten Integrationsbereiche in der Methode der finiten Elemente sind Quadrate und Dreiecke oder Wurfel und Tetraeder. Da es in diesem Lehrbuch mehr auf das Verstandnis als auf die Vollstandigkeit ankommt, sollen die folgenden Ausfuhrungen kurz gehalten werden. Fur quadratische und wurfelformige Integrationsbereiche werden vornehmlich Produktformeln eingesetzt, die in Abschnitt 1 . 6 . 5 vorgestellt werden. Diese sind zwar nicht optimal, dafur aber sehr einfach. Wie es um die wirtschaftlicheren Formeln fiir Quadrate bestellt ist, sieht man an Tabelle 1 . 2 : Nur die ungeraden Exaktheitsgrade zeigen ein annahernd systematisches Verhalten. Auch fiir Dreiecke und Tetraeder sind viele optimale Formeln bekannt. Oft werden auch nichtoptimale Formeln gebraucht, die einfach zu beschreiben sind. Stellvertretend fur diese ist in Bild 1 . 1 7 ein dreieckiger Bereich dargestellt. Punktlagen: 1 = Schwerpunkt 2 , 3 , 4 = Seitenmitten 5 , 6 , 7 = Ecken

2

Bild 1.17: Integrationsstutzstellen i n einem dreieckigen Bereich.

3

7

1

9/20

2,3,4 5,657

2/15 1/20

Tabelle 15:Parameter zur Berechnung der Integrationsformeln nach (1.145) f u r ein Dreieck von Bild 1.17: d = Exaktheitsgrad; n = Zahl der Stutzstellen; p = Stutzstellennummer; w = Integrationsgewicht f u r die Dreiecksflache A = 1.

1.6 Numerische Integration

85

Mit A als der Dreiecksflache werden die Integrationsgewichte nach folgender Formel berechnet:

Die Integrationsgewichte Spsind in Tabelle 1 . 5 aufgefuhrt.

1.6.5 Produktformeln In Abschnitt 1 . 5 . 3 wurde gezeigt, wie sich aus eindimensionalen Interpolationsformeln durch Produktbildung mehrdimensionale machen lieBen. Dasselbe Verfahren kann man auch auf Integrationsformeln anwenden. Die erste Voraussetzung ist, daR ein regelmaBiges Netz von Stutzstellen definiert wird, wie in Bild 1 . 1 4 fur die Dimension zwei gezeigt. Auch hier sol1 die Dimension zwei stellvertretend fur die hoheren Dimensionen gebraucht werden. Aus der Produktformel ( 1 . 1 3 4 ) fur die Interpolation wird nach der Integration

Jetzt kommt die zweite Voraussetzung: Wenn die Rander des Integrationsbereiches parallel zu den Koordinaten verlaufen, dann laBt sich das Integral auf der rechten Seite in ein Produkt aufspalten, denn n::) hangt nur von x, ab und n:: nur von x 2 .

J"R nPlP2 d o

=

J n ( ' ) d o 1 J n:: 0 1

p1

do2

*2

Mit der Definition der Integrationsgewichte ( 1 . 1 3 6 ) folgt daraus W

PlP2

= w( 1 ) p1

J2) p2

; ( p i = I . . . n l ; p2 = l . . . n 2 )

.

Hierin sind w ( ' ) und w ( ~ die ) Integrationsgewichte von zu wahlenden, P1 P2 eindimensionalen Integrationsformeln fur die Richtungen x, und x2 und w sind die resultierenden Integrationsgewichte fur das zweidimensionale PIP2 Netz von Stutzstellen.

i-1,o-1,o-i

Bild 1.18: Stiitzstellen einer (3.3)-GauB-Produktformel in einem Quadrat.

86

1. Mathematische Grundlagen

In Bild 1.18 sind die Stutzstellen f u r e i n e (3.3)-GauR-Produktformel i n e i n e m Quadrat der Seitenlange 2 gezeigt. D i e Koordinaten ergeben sich aus der eindimension a l e n 3-Punktformel von Tabelle 1.4. D i e zugehorigen Integrationsgewichte sind W(l) = P 1

w(2) P2

-1 [ 5

=

8 9 Das Produkt n a c h (1.146) ist dann

5 1

Diese 9-Punkt-Formel h a t den Exaktheitsgrad 5 f u r beide Richtungen. Sie ist deshalb vergleichbar mit der 7-Punkt-Formel von Tabelle 1.2, n u r ist sie i m Verhaltnis 9 zu 7 unwirtschaftlicher. Ein weiterer Unterschied ergibt sich bei der Integration von eventuell vorhandenen Monomen h o h e r e r Ordnung.

1 .6.6 Genauigkeit Der Exaktheitsgrad einer Integrationsformel gibt Auskunft daruber, bis zu welchem Grad eines vollstandigen Polynoms eine exakte Integration geleistet wird. Auch isolierte Terme hoheren Grades konnen noch exakt integriert werden, wenn sie im Basisvektor berucksichtigt wurden oder zufallig das Momentengleichungssystem ( 1 . 1 4 0) befriedigen. Es konnte nun der Eindruck entstehen, als wurden alle ubrigen Terme bei einer numerischen Integration vollig vernachlassigt. Das ist nicht so. Am besten laBt sich dies an einem Beispiel zeigen. Als Integrand sol1 das Polynom

f = a 0 + a1 x + a2 x2 + a j x 3

+

...

benutzt werden. Das exakte Integral zwischen x = f 1 ist

Nun wird dasselbe Integral numerisch mit den ersten vier GauB-Formeln von Tabelle 1.4 berechnet. Die Ergebnisse sind der Reihe nach: N

II

=

'V

I2

=

N

I3 = N

I4

=

2

a.

;

2 ( a o + -1a 3 2 ( a o + -1a 3

2 ( a o + -1a 3

+ -1a 9

2 2 2

+ -1a 5

4

1 + 4

27a6 3 + 2 5 a6

+ - 1a + -1 a 5 4 7 6

Zwischen den exakt integrierten Anteilen, links, und den von den Integrationsformeln eigentlich nicht mehr berucksichtigten Anteilen, rechts, wurde eine Lucke gelassen. Wie man sieht, werden auch diese Anteile immer

1.6 Numerische Integration

87

besser erfaBt, je naher sie an die Lucke rutschen. Zum Beispiel macht der Koeffizient von a folgende Entwicklung durch:

Der eingeklammerte W e r t ist exakt, so wie e r beginnend rnit einer 5-PunktFormel berechnet wird. Das Beispiel zeigt folgendes: Auch hohere Terme, die jenseits des Exaktheitsgrades einer Integrationsformel liegen, fallen nicht ganzlich aus einer numerischen Integration heraus. Die einer numerischen Integration zugrunde liegende Interpolationsfunktion von einem gegebenen Exaktheitsgrad d approximiert auch die hoheren Terme eines Integranden. Also sind numerische Integrationsformeln ,>bessercc als es ihr Exaktheitsgrad vermuten laBt. Natiirlich muB man solch eine Aussage immer rnit Einschrankungen versehen, aber schon die Auseinandersetzung rnit den Ausnahmefallen wurde deutlich zu weit fuhren. In der Finit-Element-Methode hat man es meistens rnit gutartigen Integranden zu tun. Deshalb sind reduzierte Integrationen, auch Unterintegrationen genannt, an der Tagesordnung, das heiBt numerische Integrationen rnit einem an sich zu niedrigen Exaktheitsgrad. Man muB nur die Grenzen kennen!

1 .6.7 ubungen u b u n g 1.47: Integrieren Sie die Funktion

-4

f = abs zwischen x = i 1 rnit Hilfe e i n e r 3-Punkt-Formel a) n a c h Newton-Cotes; b) n a c h GauR. u b u n g 1.48: R e c h n e n Sie die 3-Punkt-GauR-Formel u m auf den Bereich 0

2

x

2

1.

u b u n g 1.49: Bestimmen Sie das Momentengleichungssystem f u r e i n e 4-Punkt-Newton-Cotes-Formel f u r den Bereich zwischen x = + 1. Die Koordinaten der Stutzstellen seien

x

P

= [ - I

-a

a

I ] .

Wie mussen Sie a w a h l e n , damit die Integrationsgewichte w l = w4 = 0 werden? Wie groR sind dann die beiden anderen Integrationsgewichte u n d u m w e l c h e Integrationsformel handelt es sich dann? u b u n g 1.50: Berechnen Sie das Integral der F u n k t i o n

1 rnit e i n e r zwischen xi = a) 3-Punkt-Formel; b) 4-Punkt-Formel, i n gleichen so daR die Stutzstellen auf e i n e m Kreis rnit dern Radius r = Abstanden voneinander liegen u n d gleiche Integrationsgewichte besitzen. P u n k t 1 +

88

1. Mathematische Grundlagen

soll auf der xl-Achse Iiegen. Was passiert im Fall (b), wenn Sie die Stiitzstellen i n eine um 45' Grad gedrehte Lage bringen? ubung 1.5 1: Integrieren Sie die Funktion von ubung 1.50 mit einer (3.3)-Punkt-GauB-Produktformel. ubung 1.5 2: Die Funktion f = 3

+

x:

x~~ sol1 iiber den Bereich eines Dreiecks rnit den Ecken

+

integriert werden. Wahlen Sie eine numerische Integrationsformel mit ausreichender Genauigkeit aus. ubung 1.53: Integrieren Sie die Funktion (5

f

-

3+(4

-

3 x 3 3

-

3 x 3

=

13

-

abs {x:+

x:+

x:

zwischen xi = t 1 mit einer (2.2.2)-Punkt-GauB-Produktformel. ubung 1.54: Es soll eine verallgemeinerte Integrationsformel (1.137) im Interval1 - 1 s xi 2 + I ; ( i = 1,2), hergeleitet werden. Der Exaktheitsgrad sei d = 2 und der Interpolationsoperator gleich

1.7 Lineares Eigenwertproblem Eigenw-ertprobleme der Matrizenrechnung haben folgende Form:

Hierin ist Fi eine Matrizenfunktion und xi eine Losung, die aber nur dann existiert, wenn der Parameter A ganz bestimmte fur ein Problem charakteristische W e r t e annimmt. Unter diesen Umstanden ist A ein Eigenwert und xider zugehorige Eigenvektor. J e nach der Festlegung der Matrizenfunktion Fi entstehen die verschiedensten Eigenwertprobleme. W i r werden uns bier auf das einfachste Problem beschranken; namlich das lineare. Es sieht so aus :

Hierin sind a.. und b.. zwei reelle, quadratische Matrizen, die im Vorgriff 1J 1J auf spatere Erfordernisse als symmetrisch definiert werden.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

89

Spater wird noch eine weitere Einschrankung fur die Matrix b.. notwendig 1J werden. In ( 1 . 1 4 8 ) tritt das Matrizenpaar a . ., b.. auf. Dies sol1 als das allgemeine, 1J 1J lineare Eigenwertproblem bezeichnet werden. Wird die Matrix bij zur Einheits-Matrix, dann spricht man von dem speziellen, linearen Eigenwertproblem der Matrix a . .. 1J

Z j

( a . . - A S . . ) x. = 0 'J

1J

J

;

( i , j = l...n)

Wann immer von dem Eigenwertproblem nur einer Matrix gesprochen wird, handelt es sich um das spezielle ( 1 . 1 5 0). Das allgemeine Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) 1aRt sich auf das spezielle ( 1 . 1 5 0 ) uberfuhren. Das hat dazu gefuhrt, daB vor allem in der mathematischen Literatur, fast immer nur das spezielle Eigenwertproblem behandelt wird. Vor allem fur groBe Probleme ist dies jedoch umstandlich und unwirtschaftlich, so daB dieser W e g hier nicht als die Regel angesehen wird. Trotzdem wird e r , schon wegen seiner allgemeinen Bedeutung, im folgenden angegeben. Als Voraussetzung fur die Umformung des allgemeinen in das spezielle Eigenwertproblem wird die Matrix b.. als nicht singular angesehen. Wie 1J sich spater zeigen wird, ist dies auch die Voraussetzung dafur, daB sich reelle Losungen ergeben. Eine nicht singulare Matrix b.. laBt sich invertieV ren. Multiplizieren von ( 1 . 1 4 8 ) mit dieser Inversen ergibt

Damit ist das spezielle Problem ( 1 . 1 5 0) hergestellt. Selbst fur symmetrische Matrizen ist die Matrix

unsymmetrisch, e s sei denn b.. w a r e diagonal. Den Verlust der Symmetrie 1J vermeidet man, wenn b . . in ein Produkt zerlegt wird. 1J

Dies konnte zum Beispiel durch eine Dreieckszerlegung ( 1 . 8 5) geschehen, bei der wegen der Symmetrie von b.. die linke und rechte Dreiecksmatrix 1J transponiert gleich werden. Nach einer Inversion der Produktmatrix wird aus ( 1 . 1 4 8 ) hergestellt

90

1. Mathematische Grundlagen

Hierin ist die Matrix

immer symmetrisch. ~ allgemeinen EigenAbgesehen von dem Aufwand fur die ~ b e r f i i h r u ndes wertproblems ( 1 . 1 4 8 ) in das spezielle ( 1 . 1 5 0); handelt man sich dabei den Nachteil ein, daB man voll besetzte Matrizen erzeugt, selbst wenn a.. 1J und bij dies nicht sein sollten. Gerade das sollte man tunlichst vermeiden, wie bei der Dreieckszerlegung in Abschnitt 1 . 4 . 3 gezeigt wurde. Fur die numerische Losung des Eigenwertproblems liegt der Fall nicht sehr vie1 anders. Nur fur eine diagonale Matrix b . . ergeben sich keine Nachteile. 1J Die ~ b e r f u h r u n ~ e( n1 . 1 5 1 ) und ( 1 . 5 3) sind dann identisch.

1 .7 .I Eigenwerte Ein lineares Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) hat die Form eines homogenen, linearen Gleichungssystems ( 1 . 1 1 7 ) . Nichttriviale Losungen xi konnen laut ( 1 . 1 1 8 ) nur existieren, wenn die Koeffizientenmatrix singular ist, das heiBt wenn

Dies ist die charakteristische Gleichung des Eigenwertproblems. Aus der Determinante entsteht im Normalfall ein Polynom n-ten Grades in A , das n Losungen oder Wurzeln besitzt. Diese werden als die Eigenwerte (Plural) bezeichnet. Sie konnen samtlich unterschiedlich, teilweise oder auch alle gleich sein. Man spricht von einfachen und mehrfachen Eigenwerten. Falls die Koeffizienten der hochsten Potenzen von h null sein sollten, dann hat das Polynom weniger als n Wurzeln. Dieser Ausnahmefall sol1 hier, vielleicht etwas gewaltsam; auf den Normalfall mit n Wurzeln abgebildet werden. In numerischen Berechnungen treten anstelle der exakten Nullen fast immer sehr kleine Koeffizienten als ,,numerischer Schmutz(c auf. Die eigentlich fehlenden Eigenwerte tauchen dann als sehr groBe Zahlen wieder auf. Es ist deshalb nicht falsch, den Standpunkt einzunehmen, daB ein Eigenwertproblem der GroBe n immer n Losungen besitzt, unter denen allerdings auch beliebig groBe W e r t e vorkommen konnen.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

91

Nur fiir sehr kleine n kann man die Eigenwerte aus der charakteristischen Gleichung berechnen. Fur etwas groBere n, das heiBt etwa ab n = 4 , muB man, von Sonderfallen abgesehen, andere Wege gehen. Dieses Problem wird bei den Losungsalgorithmen wieder aufgegriffen. Fur die Handrechnung ist jedoch die Entwicklung der charakteristischen Gleichung (1.15 4 ) durchaus nutzlich. Dies sol1 am Fall n = 2 gezeigt werden. Aus der ersten Definitionsgleichung f u r eine Determinante (1.6 1) erhalt m a n

Dieser Ausdruck enthalt vier Determinanten, fiir die eine abgekurzte Schreibweise eingefuhrt wird. Zum Beispiel ist

Im letzten Ausdruck werden n u r noch die Spalten-Nummern angegeben. Jetzt wird aus dem obigen Ausdruck

Fur n

=

1 bis 3 erhalt man auf diese Weise

h det ( b,) ,

0

=

det ( a,)

0

=

det ( a l a 2 ) - h

-

( det ( a , b 2 ) +

1 det ( b l a 2 ) )

+

h 2 det ( bl b 2 ) ,

0 = det ( a l a 2 a 3 ) -

I (det( ala2b3)

+

h 2 ( det ( a , b2 b,)

-

I 3 det( b l b 2 b 3 ) .

+

det( a , b 2 a 3 ) +

det ( bl a 2 b,)

+

det( b l a 2 a 3 ) ) +

> ( I. I 5 5 )

det ( b , b2a,))

Hierin ist zum Beispiel det ( a , b 2 6 , ) die Determinante der Matrix, die aus den Spalten 1 der Matrix a und den Spalten 2 und 3 der Matrix b zusammengesetzt ist. Obwohl zum Beispiel anstelle von det ( a , a 2 a 3 ) auch det ( a ) geschrieben werden kann, wurde hierauf wegen der Systematik verzichtet. Mit ( 1 . 6 5 ) kann man alle Aussagen, die sich auf die Spalten einer Determinante beziehen, auch auf die Zeilen anwenden. Also kann det ( a , b 2 b 3 ) auch aus der ersten Zeile von a u.s.w. gebildet werden. Um e i n Beispiel f u r die Berechnung von Eigenwerten f u r n die beiden Matrizen

I

-'2 gewahlt. Aus (1.155) folgt

=

2 zu geben, werden

92

1. Mathematische Grundlagen

Daraus ergeben sich die Eigenwerte (Wurzeln)

-

A

=

2

2

J7/3 .

Diese Eigenwerte sind einfach, das heifit, sie sind nicht gleich; ihre Numerierung ist willkurlich.

Die Formeln ( 1 . 1 5 5) gelten selbstverstandlich auch fur das spezielle Eigenwertproblem ( 1.15 0 ) . Dafur ergeben sich allerdings so erhebliche Vereinfachungen, daB es sich lohnt, die Formeln fiir n = 1 bis 3 gesondert anzugeben.

Hierin ist a- ( k k ) die Matrix, die aus a . . entsteht, wenn die k - t e Zeile und V Spalte gestrichen werden. Diese Schreibweise wurde bereits in ( 1 . 6 4 ) angewendet . Bereits an dieser Stelle lassen sich einige Aussagen zu den Eigenwerten gewinnen, die allgemeine Bedeutung haben. Fur eine singulare Matrix a . 1J ist die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) offensichtlich immer mit einem oder mehreren Eigenwerten h = 0 befriedigt. Ihre Zahl richtet sich nach dem Defekt ( 1 . 1 1 9 ) der Matrix aij. Die Eigenwerte bleiben unverandert, wenn man folgende Transformation vornimmt:

Die Transformationsmatrizen mussen quadratisch und nicht singular sein, ansonsten sind sie beliebig. Man spricht von einer Ahnlichkeits- Transformation, wenn eine der Transformationsmatrizen die Inverse der anderen ist, und von einer kongruenten Transformation, wenn eine die Transponierte der anderen ist.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

s.. = t.. 1J

;

( i , j = l ... n ) .

93

(1.159)

Jl

Die Behauptung, daR die Eigenwerte unverandert bleiben, laRt sich sehr einfach beweisen. Die charakteristische Gleichung (1.154) f u r die Bestimmung der Eigenwerte 5 des transformierten Problems ist

Durch Einsetzen von (1.157) wird daraus

Da alle Matrizen quadratisch sind, k a n n das Determinanten-Theorem (1.7 0) angewendet werden.

Die Transformations-Matrizen wurden als nicht singular vorausgesetzt. Folglich sind ihre Determinanten nicht null und es k a n n hierdurch dividiert werden. Es bleibt

Dies ist aber die charakteristische Gleichung des nicht transformierten Problems, welches die Eigenwerte A liefert. Damit ist bewiesen, daR 5 = A ist!

1.7.2 Eigenvektoren Aus der charakteristischen Gleichung ( 1 . 1 5 4) lassen sich n Eigenwerte berechnen. Eine zwangslaufige Reihenfolge gibt es nicht, so daB eine willkurliche Reihung notwendig wird. Meist werden sie der GroBe nach geordnet, beginnend mit dem kleinsten. Jeder der Eigenwerte erfullt das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) . Die Gesamtheit der sich aus diesen Losungen ergebenden Gleichungen ist dann

Durch die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) werden die Eigenwerte so bestimmt, daB die Koeffizientenmatrix dieses homogenen Gleichungssystems singular wird. Es existieren dann n nichttriviale Losungen oder Eigenvektoren x . die voneinander linear unabhangig sind, gleichgultig, ob sie ~ k ' einfachen oder mehrfachen Eigenwerten zugeordnet sind. Die Zusammenfassung x . wird als Eigenvektor- oder Modal-Matrix bezeichnet. Wegen ~k der linearen Unabhangigkeit der Eigenvektoren ist sie nicht singular. Das homogene Gleichungssystem ( 1 . 1 6 0 ) ist fur jeden Eigenwert Ak einmal zu losen, um den zugehorigen Eigenvektor xjk zu bestimmen. Das hierzu erforderliche Vorgehen ist in Abschnitt 1 . 4 . 8 beschrieben. Dort wurde auch gesagt, daB fur jede Losung eine Annahme offen steht, um sie eindeutig zu machen. Dies gilt sowohl fur ein- als auch fur mehrfache Eigenwerte. DaB ein Eigenvektor niemals eindeutig sein kann, sieht man schon an ( 1 . 1 6 0): Da auf der rechten Seite eine Null steht, kann jeder

94

1. Mathematische Grundlagen

Eigenvektor mit einem beliebigen Faktor multipliziert werden, ohne die Gleichungen zu verletzen. Zum Problem dieser Annahmen wird im nachsten Abschnitt mehr zu sagen sein. Im vorhergehenden Abschnitt wurden fur die Matrizen

die Eigenwerte hl

=

2

J7/3

-

=

0,47247

;

A,

=

2 +

J7/3

=

3,52753

berechnet. Sie wurden hier, wie oben vorgeschlagen, der GroRe nach geordnet. Es sol1 nun gezeigt werden, wie man in der Handrechnung die zugehorigen Eigenvektoren bestimmen kann. Die ausgeschriebenen Gleichungen (1.16 0) sind 2 - 2Ak I + Ak

]

A 3 2 A k +

=

0 ;

(k

=

1.2)

Die zweite Komponente der Eigenvektoren wird auf 1 festgesetzt, also x Z k = 1. Aus der ersten oder zweiten Zeile ergibt sich damit

x,,

=

-

1,39564 ;

x,,

=

0,89569

Die Eigenvektormatrix ist dann

Mit anderen Festlegungen erhalt man andere Eigenvektoren. Dies andert jedoch nichts an dem Verhaltnis der Komponenten in einem Eigenvektor zueinander.

1.7.3 Hauptachsen-Transformation In den beiden vorausgegangenen Unterabschnitten wurden die Eigenwerte und -vektoren vorgestellt, ohne vie1 mehr als nur das Wesentliche zu sagen. In den folgenden zwei Unterabschnitten sollen nun die wichtigsten Eigenschaften dieser GroBen naher untersucht werden. Dabei wird es unmoglich sein, eine auch nur annahernd erschopfende Darstellung zu geben. Das Eigenwertproblem ist das Kernstuck der linearen Algebra, an dem Generationen von Mathematikern gearbeitet haben. Die angesammelten Erkenntnisse fullen ganze Lehrbiicher! Im folgenden geht es darum, Aussagen uber die Eigenvektoren zu einfachen und mehrfachen Eigenwerten zu gewinnen. Ausgangspunkt ist das homogene Gleichungssystem (1.16 0 ) fur einen beliebig herausgegriffenen Eigenwert h k . ES wird mit dem Eigenvektor xil eines Eigenwertes hl multipliziert.

E

i, J

x , ( a - hk b,)

v

xjk

=

0 ;

( i , j , k , l= l . . . n )

1.7 Lineares Eigenwertproblem

95

Nun wird dieselbe Gleichung geschrieben, in der die Rollen von hk und AI vertauscht sind.

Dies wird von der daruber stehender Gleichung abgezogen.

Im ersten und dritten Term wird i in j und j in i umbenannt und danach in diesen Termen die in ( 1 . 1 4 9) geforderte Symmetrie der Matrizen eingefuhrt, um aus a . . wieder a . . und aus 6 . . wieder b.. zu machen. J

'

1J

Jl

1J

Der erste und der zweite Term heben sich gegeneinander auf und den dritten und vierten kann man zusammenfassen.

Dieses Verhalten wird den Eigenvektoren durch das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) mitgegeben, wenn man voraussetzt, daI3 die Systemmatrizen a . . 1J und bij mit ( 1 . 1 4 9) symmetrisch sind. Sind sie es nicht, bleibt alles vorher Gesagte gultig. Erst an dieser Stelle trennen sich die Wege fur symmetrische und unsymmetrische Matrizen. Fur den Fall, daR die Eigenwerte hk und ; I I ungleich sind, ist der Faktor in der Klammer nicht null und es folgt

Wenn dagegen die Eigenwerte hk und h1 gleich sind, liefert ( 1 . 1 6 2 ) keine Aussage. Dieses uVakuumc< kann man mit folgender Festlegung beseitigen:

2. xlk b.. x. 1J ~1

i, J

=

Ski

;

( i , j , k , l = l . . . n ; lk

=

A]) .

Da in ( 1 . 1 6 3) der Fall k = I ausgeschlossen ist, fur den in (1. I 6 4 ) die rechte Seite gleich eins ist, lassen sich die beiden Gleichungen vereinigen.

Dies gilt nun ohne die Einschrankungen von ( 1 . 1 6 3 ) und ( 1 . 1 6 4). Die Frage, warum die Annahmen von ( 1 . 1 6 4) getroffen werden konnten, laBt sich nicht in einem Satz beantworten. Zunachst sind da die Gleichungen mit k gleich I . Diese bewirken eine Normierung aller Eigenvektoren, die wegen der in ( 1 . 1 6 0) verbleibenden Unbestimmtheit zweckmaBig ist. Weiter sind in ( 1 . 1 6 4 ) Bedingungen fur k ungleich 1 enthalten, deren

96

1. Mathematische Grundlagen

Eigenwerte gleich sind. Die Eigenvektoren zu solchen mehrfachen Eigenwerten mussen nicht einer Orthogonalitatsbedingung der Form ( 1 . 1 6 3) gehorchen. D a aber nichts gegen die Einfiihrung einer solchen Bedingung spricht, ist sie zulassig. Dadurch erhalt man ein einheitliches Verhalten der Eigenvektoren zu ein- und mehrfachen Eigenwerten, das in ( 1 . 1 6 5) in einer Aussage zusammengefaBt werden konnte. Die den Eigenvektoren aufgezwungene Bedingung ( 1 . 1 6 4 ) bezeichnet man als Orthonormierung. Es ist etwas schwierig, fur das allgemeine Eigenwertproblem die Begriffe der Normierung und der Orthogonalitat zu erklaren. Aus diesem Grund wird (1.165) noch einmal fur das spezielle Eigenwertproblem (1.150) geschrieben.

Fur k

=

1 wird daraus

Hierdurch wird die Lange der Eigenvektoren auf den Wert 1 festgelegt. Diese Normierung laRt sich im speziellen Eigenwertproblem immer durchfuhren. Fur k # 1 folgt aus (1.166)

F

XikXii

=

0

;

(k $1).

Dies ist eine Orthogonalitat der Eigenvektoren zueinander. Im Falle unterschiedlicher Eigenwerte ist sie zwangslaufig, bei gleichen Eigenwerten wird sie durch (1.164) herbeigefuhrt. Die angefuhrten Begriffe nLange* und ),Orthogonalitat. deuten auf eine geometrische Interpretation hin. Durch die Eigenvektoren wird ein n-dimensionaler Raum aufgespannt, in dem eine Lange aus der Wurzel der Quadrate der Komponenten berechnet und eine Orthogonalitat aus dem Nullwerden des inneren Produktes zweier Vektoren gefolgert wird. Dies sind Eigenschaften der orthogonal Cartesischen Koordinatensysteme von Abschnitt 1.3. Ihr metrischer Tensor ist das Kronecker Delta Sij. Die geometrische Interpretation laRt sich fur das allgemeine Eigenwertproblem aufrecht erhalten, wenn man an die Stelle von Sij die Matrix bij setzt. Sie beschreibt nun die Metrik eines nichtorthogonalen Koordinatensystems, das aber immer noch Cartesisch, das heiJ3t gradlinig, ist, weil der metrische Tensor konstant ist. Eine Normierung und Orthogonalitat in diesem Koordinatensystem wird auch als b-Normierung und b-orthogonalitat bezeichnet, wenn es auf eine Unterscheidung zu einem orthogonalen Koordinatensystem ankommt.

Bisher wurden die Eigenvektoren einzeln betrachtet. In ihrer Zusammenfassung als Eigenvektor- oder Modalmatrix besitzen sie jedoch Eigenschaften, die denen einer Transformationsmatrix gleichkommen. Zum Beispiel findet man in der fur das spezielle Eigenwertproblem geschriebenen Gleichung ( 1 . 1 6 6) die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 5) einer Transformationsmatrix zwischen zwei orthogonalen Koordinatensystemen wieder. Setzt man in ( 1 . 1 6 5) die Modalmatrix gleich einer transponierten Transformationsmatrix, das heifit xik = tki, dann erhalt man das Transformationsgesetz

1.7 Lineares Eigenwertproblem

97

eines Tensors zweiter Stufe in ( 1 . 4 5 ) . Unter diesem Gesichtspunkt wird ( 1 . 1 6 5) noch einmal hingeschrieben.

Die Matrix bkl entsteht ten) Eigenvektormatrix. zur Einheitsmatrix. Fur wenn man ( 1 . 1 6 5 ) in ( 1

aus b.. durch Transformation mit der (transponier1J Durch die Orthonormierung in ( 1 . 1 6 4) wird sie die Matrix a . . erhalt man ein ahnliches Gesetz, 1J 1 6 1 ) einsetzt.

akl

wird ebenfalls zur Diagonalmatrix, nun Die transformierte Matrix aber mit den Eigenwerten als Koeffizienten. Die gleichzeitige Transformation der beiden Systemmatrizen a . . und b . . auf 1J 1J Diagonalform bezeichnet man als Hauptachsen- Transformation. Voraussetzung hierfur ist die Orthonormierung der Eigenvektoren nach ( 1 . 1 6 4). Die Transformation verdreht und verzerrt die gedachten Bezugsachsen so, dal3 ein orthogonal Cartesisches System mit dem metrischen Tensor bkl = Skl entsteht, in dem alle Kopplungen, das heiBt Nicht-Diagonalkoeffizienten, verschwinden. Im Falle eines speziellen Eigenwertproblems mit bkl = Skl entfallt die Verzerrung und es bleibt eine reine Drehung der Achsen ubrig. Ein physikalisch anschauliches Beispiel hierfur wurde in Abschnitt 1 . 3 . 3 mit der Berechnung der Hauptachsen (1.4 9) des Spannungstensors gegeben. Nebenher sei noch bemerkt, dal3 die Hauptachsen-Transformation eine kongruente Transformation nach ( 1 . 1 5 7) und ( 1 . 1 5 9 ) ist. Viele Losungsalgorithmen fur das Eigenwertproblem erfullen die Zusatzforderungen der Orthonormierung ( 1 . 1 6 4) automatisch. Bei anderen muB oder kann man die Forderungen getrennt verwirklichen. Vor allem aber in der Handrechnung ist man gut beraten, die Orthonormierung getrennt durchzufuhren, weil man sonst zuviele Bedingungen gleichzeitig zu beachten hat. Man berechnet also zunachst nichtnormierte Eigenvektoren und unterscheidet diese von den normierten zum Beispiel durch eine Tilde. Anstelle von ( 1 . 1 6 5 ) erhalt man

D a die Orthogonalitatsbedingung (1. 1 6 3) auch von den nichtnormierten Eigenvektoren befriedigt wird, miissen alle Nichtdiagonalglieder von verschwinden, wenn die zugehorigen Eigenwerte verschieden sind.

ckl

98

1. Mathematische Grundlagen

Durch Linearkombinationen der nichtnormierten Eigenvektoren sollen nun neue erzeugt werden, die die Orthonormierung ( 1 . 1 6 5) erfiillen.

Viele der Koeffizienten von ckl konnen von vornherein null gesetzt werden, weil keine Vertauschungen der Eigenvektoren zu einfachen Eigenwerten vorgenommen werden sollen. Formal stimmt diese Aussage mit ( 1 . 1 7 0 ) uberein:

c kl = 0

; ( k , l = l . . . n ; hk # h l )

.

(1.172)

Aus ( 1 . 1 6 5 ) ergibt sich mit ( 1 . 1 7 1 ) und ( 1 . 1 6 9 )

cikCij cj,

=

Ski

;

(i,j:k,l = l . . . n ) .

(1.173)

i , ~

Aus dieser Gleichung lassen sich die Bedingungen bestimmen, denen die Matrix cik unterliegt. Abhangig von der jeweiligen Situation geschieht dies auf verschiedene Weise. Am haufigsten wird man Eigenvektoren zu normieren haben, die zu einfachen Eigenwerten gehoren. Wegen der Einschrankungen ( 1 . 1 7 0) und ( 1 . 1 7 2) bleibt von ( 1 . 1 7 3) fiir k = 1 ubrig

ckk bkk ckk mit der Losung

Ck

Mit diesem Faktor ist in ( 1 . I 7 1 ) zu multiplizieren, um den normierten Eigenvektor xik zu erhalten. Die Orthonormierung von Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten gestaltet sich etwas schwieriger. Es seien hk bis Al d-fache Eigenwerte, ) den Anfang geruckt werden. In die in der Zahlung ( ~ o r u b e r ~ e h e n dan ( 1 . 1 7 3) nehmen dann wegen ( 1 . 1 7 0) und ( 1 . 1 7 2) samtliche Indizes die W e r t e 1 bis d an. Die Matrix cik ist nicht singular: weil alle Eigenvektoren linear unabhangig sind. Durch Inversion entsteht aus ( 1 . 1 7 3 )

Die Matrix g.. ist bekannt; gesucht wird cik. Das Problem wird in zwei 1J Schritten gelost. Im ersten wird b.., wie in ( 1 . 1 7 5 ) angegeben, in zwei 1J Faktoren zerlegt. Das kann durch eine Dreieckszerlegung der symmetrischen Matrix geschehen. D e r benotigte Algorithmus ist in ( 1 . 1 0 9 ) angegeben. Im zweiten wird die dann bekannte Dreiecksmatrix c i i l inverry

'

cij

1.7 Lineares Eigenwertproblem

99

tiert, um ckj zu erhalten. Der benotigte Algorithmus findet sich in ( 1 . 1 0 4 ) fur die obere Dreiecksmatrix. Das geschilderte Verfahren wird als Gram-Schmidt-Orthogonalisierung bezeichnet. Wie man an der Herleitung erkennt ist die Verwendung von Dreiecksmatrizen nicht zwingend. Sie ist aber praktisch, weil bei der anschlieBenden Umrechnung (1.1 7 1) die orthonormierten Eigenvektoren xjl einzeln aus den davorliegenden, nicht orthonormierten aufgebaut werden. Das heiBt, der erste orthonormierte Eigenvektor ergibt sich allein aus dern ersten nicht orthonormierten, der zweite aus dern ersten und zweiten, der dritte aus dern ersten, zweiten und dritten, u.s.w. Die GramSchmidt-Orthogonalisierung wird ublicherweise durch einen verketteten Algorithmus beschrieben, in dern die neuen Eigenvektoren der Reihe nach, wie eben angegeben, aus den alten berechnet werden. Hier dagegen wurde die Losung von ( 1 . 1 7 5) in zwei getrennten Schritten vorgenommen, um damit auf bereits bekannten Algorithmen aufbauen zu konnen. Einen verketteten Algorithmus erhalt man daraus, indem man mit einem Eigenvektor anfangt, alle dann notwendigen Operationen ausfuhrt, einen zweiten Eigenvektor hinzufugt, wieder alle notwendigen Operationen ausfuhrt u.s.w.

Eiik

Fur bereits orthonormierte Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten wird es haufiger notwendig, diese einer nachtraglichen Transformation zu unterziehen. Solche Eigenvektoren liegen in einem Unterraum, in dern sie beliebig gedreht werden konnen. Bei der Berechnung erhalten sie eine Lage, die vom Losungsalgorithmus und einer eventuell nachfolgenden Gram-Schmidt-Orthogonalisierung abhangig ist. Eine Drehung kann sie fur die weitere Verwendung aufbereiten. Wie oben seien wieder Ak bis hl die d-fachen gleichen Eigenwerte, die an den Anfang der Zahlung geruckt werden. Da die Eigenvektoren bereits orthonormiert sein sollen, gilt N

; ( j , j = l ... d ) .

b . . = 8.. *J

1J

Aus ( 1 .I7 3) folgt damit und mit ( 1 . 1 7 2 )

Dies kennzeichnet cik als eine orthogonale Transformationsmatrix, da sie die Bedingung ( 1 . 3 5) erfullt. Innerhalb dieser Vorgabe kann sie beliebig gewahlt werden. Ein Beispiel, an dern alle drei angefuhrten Falle der Orthonormierung gezeigt werden konnen, liefern die Matrizen a,. = 1J

1

;

b.. 1J

=

8.. U

;

Die zugehorigen Eigenwerte sind

( i , j = ... l 4).

100

1. Mathematische Grundlagen

Der dreifache Eigenwert null ergibt sich, weil die Matrix aij den Rang eins hat. Die per Hand berechneten Eigenvektoren und die damit gebildete Matrix Kij von (1.169) sind

ci4

Man sieht, daR (1.170) mit = g4i = 0: (i = 1,2,3), erfiillt ist. ZunBchst sol1 der zum einfachen Eigenwert gehorige vierte Eigenvektor normiert werden. Der Normierungsfaktor ergibt sich aus (1.174). Gewahlt wird das positive Vorzeichen. cq4

=

1/44

=

0,5

Aus ( 1.17 1) folgt dann der normierte vierte Eigenvektor

Auf die ersten drei Eigenvektoren wird die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung (1.175) angewendet. Aus der Untermatrix gij, ( i,j = 1,2,3),ergibt sich durch Dreieckszerlegung (der Algorithmus (1.1 0 9) berechnet die Kehrwerte der Diagonalelemente, die fur den Inversionsalgorithmus (1.104) dann bereits vorliegen)

Das Ergebnis der Inversion ist

Mit ( 1.17 1) werden die orthonormierten Eigenvektoren berechnet.

Wegen der Dreiecksform der Matrix cki entstand der erste orthonormierte Eigenvektor, wie oben bereits beschrieben, aus dem ersten nichtnormierten, der zweite aus dem ersten und zweiten, und der dritte aus allen dreien. Die gewahlte Reihenfolge der Eigenvektoren entscheidet uber das Ergebnis. Da dies nicht immer vorhersehbar oder gewiinscht ist, kann man die in (1.176) definierte Drehung anschlieflen. Als orthogonale Transformation fur die ersten drei Eigenvektoren wird gewahlt

Damit folgt dann aus (1.171)

1.7 Lineares Eigenwertproblem

101

Die orthogonale Transformation wurde mit Absicht so gewahlt, daR sich der gezeigte, systematische Aufbau der Eigenvektoren ergab. In der vierten Spalte wurde i n Klammern der bereits oben berechnete normierte Eigenvektor angefugt. Damit ist die gesamte orthonormierte Eigenvektormatrix gewonnen. Durch Einsetzen kann man sich davon uberzeugen, daR die Bedingung (1.165) erfullt ist. Die Hauptachsen-Transformation der Matrix aij sol1 noch uberpruft werden. Mit aij = 1 folgt aus (1.168)

a,,

=

C

Xik

Xjl

=

1,J

(

C xi,

C xj,

(

i

)

j

-

0 0

4

Die nicht gezeigten Nichtdiagonalglieder sind samtlich null. Man sieht, daR auf der Diagonale tatsachlich die Eigenwerte erscheinen!

1.7.4 Reelle Losungen Die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) erzeugt ein Polynom n -ten Grades zur Bestimmung der Eigenwerte. Die Losungen mussen keinesfalls reell sein. Fur unsere Anwendungen sind jedoch nur reelle Losungen zulassig. Deshalb ist es sehr wichtig zu wissen, welche Bedingungen erfiillt sein rniissen, damit dieser Fall auch eintritt. Hierbei wird e s uns nicht erspart bleiben, etwas eingehender auf die quadratischen Formen einzugehen.

.

Es sei m.. eine reelle symmetrische Matrix; ui ein beliebiger, komplexer lJ Vektor und ui der dazu konjugiert komplexe Vektor.

m.. = m.. 1J

( 1 . 1 7 7)

Jl

u = v i + i w i ,

-

i

Hierin sind m . ., vi und wi reell und i 1J Matrix m . . ist definiert als

=

i

U"

i

1J

Einsetzen der Vektoren ergibt

= v

i

; (i,j = l...n)

fi.Die quadratische Form

der

102

1. Mathematische Grundlagen

q

=

2 (v.j

i wi) m.. ( v . + i w j ) U

I

J

Wenn man in dem Term vi m.. w . die Indizes i in j und j in i umbenennt und 1J J dann aus m . . wegen der Symmetrie wieder m . . macht, erhalt man v . m . . wi . J1 fJ J V Damit wird aber der gesamte imaginare Term zu null und es bleibt

Das heifit, die quadratische Form q von ( 1 . 1 7 8 ) ist fur eine symmetrische Matrix immer reell! Unter den zulassigen Matrizen m.. einer quadratischen Form findet man 1J solche, die fur beliebige, aber nicht durchweg verschwindende Vektoren ui, immer ein positives q liefern. Solche Matrizen bezeichnet man als positiv definit.

q

=

2:

ui' mij u > 0 J

i ,j

; (i,j = l...n)

(1.180)

Wann ist eine Matrix positiv definit? Um diese Frage zu beantworten, werden die Vektoren von ( 1 . 1 7 7 ) etwas umgeformt.

Hierin sind xik die Eigenvektoren der Matrix m.., also diejenigen, die man IJ fur m.. aus dem speziellen Eigenwertproblem erhalt. Mit der Hauptachsen1J Transformation ( 1 . 1 6 8 ) gilt dann

: , Die vk und wk sind beliebige reelle Zahlen, so daB die Vektoren ui und u wie gefordert, ebenfalls beliebig sind. Diese werden in ( 1 . 1 8 0 ) eingesetzt und die Hauptachsen-Transformation beachtet. Die imaginaren Glieder heben sich auf und es bleibt

Dies kann fiir beliebige vi und wi nur dann erfullt sein, wenn a l l e Eigenwerte der Matrix m . . positiv sind. U

Ebenso wie eine positive Definitheit gibt es eine negative. Anstatt ( 1 . 1 8 1 ) erhalt man

Dies verlangt, daB alle Eigenwerte von m . . negativ sein mussen. 1J

1.7 Lineares Eigenwertproblem

103

Neben der positiven und negativen Definitheit gibt es noch einige Zwischenstufen, die in der Tabelle 1 . 6 aufgenommen sind.

A l l e Eigenwerte

Klassifizierung

positiv null und positiv negativ, null und positiv negativ und null negativ

positiv definit positiv semidefinit indefinit negativ semidefinit negativ definit

Tabelle 1.6: Definitheit einer Matrix.

Damit sind die Vorbereitungen zur Untersuchung, wann ein Eigenwertproblem reelle Losungen besitzt, abgeschlossen. Den Ausgangspunkt bildet jetzt das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) . Die Matrizen aij und bij sind reell und symmetrisch; ein Eigenwert A und der zugehorige Eigenvektor xi sind moglicherweise komplex. Durch Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Eigenvektor entsteht

Z x? ( a . i , ~1

IJ

-

I b..) xj U

=

0

Hierin treten quadratischen Formen ( 1 . 1 7 8) der Matrizen a j j und bij auf. Die Gleichung kann dann geschrieben werden

In ( 1 . 1 7 9 ) wurde bewiesen, daB q reell ist. Damit mul3 auch h reell sein, allerdings unter der Voraussetzung, daB q ( b ) nicht null ist. Nach ( 1 . 1 8 1 ) und ( 1 . 1 8 2 ) ist dies gewahrleistet, wenn 6 . . definit ist, sei e s positiv oder IJ negativ. Dies ist neben der Symmetrie von a . . und b.. die Bedingung fur die 1J 1J Existenz reeller Eigenwerte! Fur einen reellen Eigenwert kann in ( 1 . 1 4 8 ) immer noch ein komplexer Eigenvektor auftreten. D a die Losung fur einen einfachen Eigenwert, abgesehen von der Normierung, jedoch eindeutig ist, konnen sich der Realund Imaginarteil nur durch einen Faktor unterscheiden.

Im allgemeinen steht der Wahl des Faktors c 2 = 0 nichts im Wege, so daB der Eigenvektor ebenfalls reell wird. Eine Ausnahme kann durch die Orthonormierungsvorschrift ( 1 . 1 6 5) entstehen, die bei negativer Definitheit von b . . imaginare Eigenvektoren verlangt. Um also reelle, orthonormierte V Eigenvektoren zu erhalten, muh' die Matrix b.. positiv definit sein! 1J

104

1. Mathematische Grundlagen

Fur die Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten muB ( 1 . 1 8 4) erweitert werden, da nun Real- und Imaginarteil verschieden sein konnen. D e r Unterschied bleibt aber auf den zugehorigen Unterraum beschrankt, das heiBt Real- und Imaginarteile liegen in demselben Raum und konnen durch eine Drehung auf die Form ( 1 . 1 8 4) gebracht werden. Danach gilt wieder das oben Gesagte. Die Symmetrie der Matrizen aij und bij und die (positive) Definitheit von bij wurden als Voraussetzung f u r die Existenz reeller Losungen genannt. Diese Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Das heifit; es konnen auch reelle Losungen existieren, wenn die Bedingungen verletzt sind. Zwei Beispiele machen dies deutlich. Fur n = 2 und die positiv definite Matrix bij = Sij ist die Bestimmungsgleichung f u r die Eigenwerte

Wenn die Matrix aij symmetrisch ist, ist a12 = aZ1 und der Ausdruck unter der Wurzel immer positiv. Dann sind auch die Eigenwerte reell. Aber auch f u r eine nicht symmetrische Matrix aij sind die Losungen reell, solange das Argument unter der Wurzel positiv bleibt. Im zweiten Beispiel sol1 aij symmetrisch sein, aber

ist indefinit. Die Eigenwerte lassen sich aus A =

1

-

2

(

a

-

a,,

+

J( a l l

+

aZ212 - 4 a l i )

bestimmen. Solange der Koeffizient a12 nicht zu groR wird, sind auch die Eigenwerte reell.

Es ware extrem unwirtschaftlich, wenn man die Eigenwerte einer Matrix berechnen muBte, nur um festzustellen. ob sie positiv definit ist. Die Auskunft. die man haben will, ist, ob alle Eigenwerte mit Sicherheit positiv sind. Dies kann man iiber die Determinante in Erfahrung bringen. Zunachst stellt man sich vor, daB eine gegebene Matrix m . . wie in ( 1 . 1 6 8 ) so 1J transformiert ist, daB ihre Eigenwerte h auf der Diagonalen erscheinen. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist laut ( 1 . 6 9 ) gleich dem Produkt der Diagonalglieder. Es gilt daher

Dies kann natiirlich auch dann positiv sein, wenn eine gerade Zahl von Eigenwerten negativ ist. Es ist deshalb nicht nur die Determinante der gesamten Matrix zu untersuchen, sondern auch aller Teilmatrizen entlang der Diagonalen. D e r Test fur die Positiv-Definitheit erhalt seine iibliche Form durch

1.7 Lineares Eigenwertproblem

105

Wegen des erheblichen, hiermit verbundenen Berechnungsaufwandes eignet sich dieser Test nur fur die Handrechnung bei kleinem n. Eine Teilaussage macht der Test

m.. 11

?

0

; ( i= l . . . n )

.

(1.18 7 )

Dies 1aBt sich auch fur groBe n durchfuhren und liefert die Aussage, daB eine Matrix mit Sicherheit nicht positiv definit ist, wenn ein oder mehrere Diagonalglieder null oder negativ sind! Fur die systematische Untersuchung von groBeren Matrizen eignet sich die Dreieckszerlegung. Die Determinante wird dabei durch ( 1 . 9 3) mitgeliefert:

A l l e Teilmatrizen von ( 1 . 1 8 6) besitzen eine positive Determinante, wenn samtliche Drehglieder positiv sind.

Es wird der Algorithmus fur symmetrische Matrizen ( 1 . 1 0 9 ) angewendet. Im Vorgriff auf das hier gefundene Ergebnis wurde dort schon darauf hingewiesen, daB fur eine positiv definite Matrix alle Drehglieder positiv sind und deshalb die Vorzeichen- und Absolutfunktionen weggelassen werden konnen. Als Beispiel sol1 die Matrix

m.. U

=

4 -2 -4 0

-2 -4 0 5 2 -2 2 3 1 2 1 4

untersucht werden. Alle Diagonalglieder sind positiv, so daR die Matrix laut (1.187) positiv definit sein konnte. Daraufhin wird (1.186) der Reihe nach auf die Untermatrizen entlang der Diagonalen angewendet. det[4] = 4 > 0 ; det[-2

4 -2 = 1 6 > 0 ; det 51

Die dritte Determinante ist negativ, folglich kann die Matrix mij nicht positiv definit sein! Zum Vergleich wird noch das Verfahren nach ( 1.18 8 ) angewendet. Aus dem Algorithmus (1.109) erhalt man nach dem Durchlauf fiir i = 1:

106

1. Mathematische Grundlagen

Wenn man den -4lgorithmus fortsetzt, tritt f u r i = 3 ein negativer Drehpunkt auf, so daR (1.188) verletzt ist und die Matrix nicht positiv definit sein kann. Aber, man sieht bereits an dem obigen Ergebnis, was passieren wird: Der Koeffizient mi:' ist negativ; wiirde man n u n eine symmetrische Zeilen- und Spaltenvertauschung vornehmen, so daB dieser Koeffizient an die Stelle m :$) kommt, dann wzre bereits fiir i = 2 ein negativer Drehpunkt gegeben. Das bedeutet, wenn negative Diagonalglieder unter den m ! ' ) vorkommen, kann man den Algorithmus abbrechen. Die ~k untersuchte Matrix ist dann nicht positiv definit!

1.7.5 Determinanten-Suchverfahren Bisher war von den Eigenschaften des Eigenwertproblems die Rede. In den folgenden drei Unterabschnitten sollen nun die Algorithmen zur numerischen Losung behandelt werden. An Vollstandigkeit ist dabei nicht zu denken, denn auf keinem Gebiet der numerischen Mathematik wurde so vie1 gearbeitet wie auf diesem! Es kann nur versucht werden, einige der Algorithmen in ihren wesentlichen Eigenschaften vorzustellen, wobei die Betonung auf dem Prinzipiellen liegt und nicht so sehr auf den Rechenvorschriften. Im Gegensatz zur Losung linearer Gleichungssysteme, bei der zumindest in der Strukturmechanik die Dreieckszerlegung der klare Favorit ist, gibt es fur die Losung des Eigenwertproblems keinen eindeutig bevorzugten Algorithmus. Da der Aufwand etwa mit der vierten Potenz der GroBe eines Problems ansteigt (genaue Abschatzungen sind wegen der Vielzahl der Einflusse sehr schwierig), ist die Wirtschaftlichkeit extrem wichtig. Wirtschaftliche Algorithmen haben aber oft die unangenehme Eigenschaft, daB sie anfallig sind fur numerische Schwierigkeiten, die zum Beispiel durch mehrfache oder nah benachbarte Eigenwerte entstehen konnen. Zwischen Wirtschaftlichkeit und Robustheit muB immer ein KompromiB geschlossen werden, der niemals fur alle Anwendungen gleich gut sein kann. GroBere Finit-Element-Programme bieten deshalb immer mehrere Optionen zur Auswahl an. Viele der angebotenen Algorithmen sind zudem geschickte Kombinationen verschiedener Verfahren, um jeweils die besten Eigenschaften auszunutzen. Selbst nach einer 150-jahrigen Beschaftigung mit den Losungsalgorithmen fur das Eigenwertproblem (Jacobi, 1846) ist ein Ende der Entwicklungsarbeiten nicht abzusehen! Im Determinanten-Suchverfahren wird die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) zur Bestimmung der Eigenwerte benutzt. Ein explizites Aufstellen der Gleichungen wie in ( 1 . 1 5 5) ist naturlich nur fur extrem kleine Systeme

1.7 Lineares Eigenwertproblem

107

sinnvoll. Stattdessen setzt man Versuchslosungen p in die charakteristische Gleichung ein und erhalt

Hierin ist p ( p ) ein Polynom, dessen Nullstellen dann erreicht sind, wenn die Versuchslosung oder, wie sie spater auch genannt wird, Verschiebung p gleich einem Eigenwert ist. Um aus ( 1 . 1 8 9) einen Berechnungsalgorithmus zu machen, muB noch eine Steuerung angebracht werden, die p ( p ) gegen null streben 1aBt. Haufig wird hierzu eine Newton-Iteration verwendet. Der Iterationsalgorithmus ist dann

Da die Steigung d p / d p nur sehr umstandlich genau zu bestimmen ist, begniigt man sich meistens mit der Sekante:

In Bild 1 . 1 9 ist dieser Zusammenhang dargestellt.

Bild 1.19: Sekanten-Verfahren z u r Bestimmung der NPherung

v+

'I.

Sobald ein Eigenwert bestimmt ist, kann man den zugehorigen Eigenvektor aus dem homogenen Gleichungssystem ( 1 . 1 6 0) berechnen. Der Algorithmus ( 1 . 1 9 0 ) konvergiert zu einem Eigenwert, der dem Anbenachbart ist. Wie erhalt man solche Angfangswerte? fangswert Y, [ Dies kann man aus einer Verallgemeinerung des Verfahrens zur Bestimmung der Positiv-Definitheit einer Matrix ( 1 . 1 8 8 ) ableiten. Fiir eine beliebige, symmetrische Matrix ergeben sich bei einer Dreieckszerlegung soviele positive Drehglieder, wie die Matrix positive Eigenwerte besitzt und soviele negative, wie negative Eigenwerte vorhanden sind. Dies folgt einfach daraus, daB in jedem Zerlegungsschritt die Determinante der bearbeiteten Teilmatrix sowohl das Produkt der bis dahin aufgelaufenen Drehglieder ist, als auch das der zugehorigen Eigenwerte. In ( 1 . 1 8 8 )

108

1. Mathematische Grundlagen

wurde gepruft, ob alle Drehglieder und damit alle Eigenwerte positiv waren. Jetzt werden auch negative Eigenwerte zugelassen. Fur eine beliebige Versuchslosung p nimmt man wahrend der Dreieckszerlegung der Matrix ( a . . - p bij), die ja zur Bestimmung der Determinante 1J in Algorithmus ( 1 . 1 9 0) sowieso erforderlich ist, eine Zahlung vor:

Danach enthalt n ( p ) + die Zahl der positiven Drehglieder und n ( p ) - die der negativen. Den Fall, daB ein Drehglied genau null ist, kann man hier ausschlieBen; er bedeutet, daB das gewahlte p gleich einem Eigenwert A ist und man damit bereits eine Losung gefunden hat. Fur jedes vorgegebene p kann man so bestimmen, wieviele Eigenwerte von ( a i j - p bij), das heist also Nullstellen von p, oberhalb und unterhalb von p liegen. Es ist relativ einfach, sich ein Schema fur eine geeignete Auswahl von Versuchswerten p zu uberlegen, so daB die Nullstellen jeweils in von einander getrennten Bereichen eingeschachtelt werden. Ein haufig angewendetes Verfahren ist die Bisektions-Methode, in der die Bereiche so lange halbiert werden, bis alle Nullstellen isoliert sind. Hierin wahlt man dann die Anfangswerte pC'I, mit denen der Algorithmus ( 1 . 1 9 0 ) zur exakten Lage der Nullstellen konvergiert. Fur das Matrizenpaar 6

5

5 8

1

5 6 1

8 -1 -6 1 14 1 1 2

sind die Werte des Polynoms ( 1 . 1 8 9 ) im Bild 1.20 aufgetragen.

Bild 1.20: Polynom p ( y ) f u r ein allgemeines Eigenwertproblem. Die Nulldurchgange liegen bei den Werten p = 1 und 6. Da f u r y = 4 eine zweifache Beruhrung der Nullinie stattfindet, sind die Eigenwerte A = 1; 4, 4 und 6. Im Anwendungsfall ist es natiirlich ausgeschlossen, das gesamte Polynom zu berech-

1.7 Lineares Eigenwertproblem

109

nen. Als Beispiel fiir eine Iteration (1.190) mit dem Sekanten-Verfahren (1.191) wird e i n Startwert p = 1,5 gewahlt. Die Drehglieder bei der Dreieckszerlegung sind damit: 6,40731 ; 2,20172 ; - 0 , 9 0 9 4 2 ; 0,29249 . D a e i n negatives Glied vorkommt, muR e i n Eigenwert kleiner als y = 1:s sein. Fur den nachsten Schritt wird y = 1;4 gewahlt und die Iteration gestartet. Iteration

Verschiebung

V

P

Polynom P(P) l4,O 6 2 6 12:4388 22,2543 -5,0493 1,5055 0,1864 0,005 6 0 (Konvergenz) -

-

Die Konvergenz zu dem doppelten Eigenwert A = 4 ist dagegen langsamer, weil das Polynom und die Nullinie k e i n e n scharfen Schnittpunkt besitzen. Derselbe Algorithmus braucht h i e r f u r mit den Startwerten p = 2,5 und 2,6 immerhin 20 Schritte.

1 . 7 . 6 Inverse Vektoriteration Die Grundlage fur die in der Finit-Element-Methode am haufigsten eingesetzten Losungsalgorithmen des Eigenwertproblems bildet die inverse Vektoriteration. Sie wird durch folgende Anweisung beschrieben:

C j

a.. z.[ v l lJ

J

=

11 z C v

1 -

11

/I

1

bij zjC v - 1 1 >.

j

(i,j= l...n; v

(1.193) =

1 , 2 ... ) .

Hierin sind a . . und b.. die Systemmatrizen und z.ist der iterierte Vektor. ZJ 1J J Von diesem Vektor wird eine im Prinzip beliebige Norm /I z 11 berechnet und davon der Kehrwert genommen. Am wirtschaftlichsten ist die Norm /lz jj =

1

( abs z i ) ; ( i = l . . . n )

(1.194)

zu ermitteln, die gleich dem absolut groBten W e r t in zi ist. Die Orthonormierung der Eigenvektoren ( 1 . 1 6 5) wird dadurch allerdings nicht herbeigefuhrt; sie muB nachtraglich vorgenommen werden, wie es in Abschnitt 1 . 7 . 3 beschrieben ist. Im Algorithmus ( 1 . 1 9 3) ist ein lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix a . . zu losen. Wie noch gezeigt wird, kann diese immer so 1J verandert werden, daB sie mit Sicherheit nicht singular ist. Es ist dann eine einmalige Dreieckszerlegung der Matrix a.. vorzunehmen, woraufhin 1J in allen Iterationszyklen v ein neuer iterierter Vektor z "I lediglich durch J Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen bestimmt werden kann.

110

1. Mathematische Grundlagen

Falls der Algorithmus ( 1 . 1 9 3) konvergiert, gilt im Rahmen der numerischen Genauigkeit

Aus ( 1 . 1 9 3) ergibt sich damit

Ein Vergleich mit dem Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) zeigt das Ziel der Konvergenz:

Das heiBt, der Kehrwert der Norm des iterierten Vektors konvergiert gegen den absoluten Betrag eines Eigenwertes und der iterierte Vektor selbst gegen den zugehorigen Eigenvektor! Wahrend das Vorzeichen eines Eigenvektors beliebig ist, gilt dies fur einen Eigenwert nicht. Um zu entscheiden, ob ein gefundener Eigenwert positiv oder negativ ist, mussen zwei aufeinander folgende iterierte Vektoren in Konvergenznahe miteinander verglichen werden. Fur einen negativen Eigenwert wird das Vorzeichen durch die Norm ( 1 . 1 9 4) umgekehrt, so daB z.Cvl in ( 1 . 1 9 3) das entgegenJ gesetzte Vorzeichen von z.C - 'I e r h d t . Daraus folgt: Eine VorzeichenumJ kehr signalisiert einen n ega tiven Eigen wert. Es sind nun noch folgende Fragen zu klaren: - Gibt es eine Konvergenz? - Wenn ja, zu welchem Eigenwert? - Wie ist die Konvergenzgeschwindigkeit? Ein beliebiger Vektor z j laBt sich immer auf die orthonormierten Eigenvektoren xjk des zu untersuchenden Eigenwertproblems abbilden.

Da die Eigenvektoren nicht bekannt sind, sind auch die Faktoren c,["l unbekannt. Durch Einsetzen von ( 1 . 1 9 6) in ( 1 . 1 9 3) entsteht

Dies wird mit den Eigenvektoren xjl multipliziert.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

111

Laut ( 1 . 1 6 7 ) und ( 1 . 1 6 8) transformieren die orthonormierten Eigenvektoren die Matrix bij auf die Einheitsmatrix und die Matrix aij auf die Eigenwerte. Es folgt

Nach Ausfiihren der Summen kann man dies nach c Z v l auflosen.

Hieraus bekommt man nun die gewiinschte Auskunft: Bei jedem Iterationsschritt v wird derjenige Faktor ck am meisten anwachsen, der zu dem absolut kleinsten Eigenwert ;ik gehort, bis e r schlieBlich a l l e anderen Faktoren c l , ( I f k ) dominiert. Das bedeutet aber, daB sich in ( 1 . 1 9 6) der iterierte Vektor zi bis auf einen Faktor immer mehr dem Eigenvektor xik annahert. Fur eine genugend groBe Zahl von Iterationen v erfolgt also eine Konvergenz zurn Eigenvektor des absolut kleinsten Eigenwertes.

Aus ( 1 . 1 9 7) kann man weiter ablesen, daB dieser Eigenwert nicht exakt gleich null sein darf und daB der zugehorige Anteil c i o 1 im Startvektor ziColebenfalls nicht verschwinden darf. Damit sind die ersten zwei der oben gestellten Fragen beantwortet. Zur Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit wird aus ( 1 . 1 9 7) das Verhaltnis der Anteile von zwei Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten gebildet .

Es sei Ak = Amin der absolut kleinste Eigenwert. In jedem Iterationsschritt wird der Absolutwert des Verhaltnisses cl / c k um den Faktor A k / A l < 1 verringert. Am geringsten ist die Abnahme und damit bestimmend fur die Konvergenzgeschwindigkeit x:wenn hl = Amin der absolut zweitkleinste Eigenwert ist. +

x = abs

Amin 'min

+

<

1

(1.200)

1

Die Konvergenz ist also linear und proportional zum Verhaltnis des betragsmaBig kleinsten zum betragsmaBig nachstgroBeren Eigenwert. Dies gilt auch fur mehrfache Eigenwerte. D e r Algorithmus ( 1 . 1 9 3) beschreibt die inverse Vektoriteration. Sie konvergiert zum absolut kleinsten Eigenwert mit dem dazugehorigen Eigenvek-

112

1. Mathematische Grundlagen

tor. Dies kommt der Aufgabenstellung, wie sie sich in der Finit-ElementMethode bei dynamischen Problemen oder Stabilitatsuntersuchungen ergibt, entgegen. Die Urform der Vektoriteration ist die Vorwartsiteration, die nicht zum betragsmaBig kleinsten, sondern zum groBten Eigenwert konvergiert. Man erhalt sie aus (1.19 3), indem man dort die Matrizen aij und b.. 1J miteinander vertauscht. Nicht der Kehrwert der Norm konvergiert dann zum gesuchten Eigenwert, sondern die Norm selbst. In den wenigsten Fallen wird man nur den absolut kleinsten Eigenwert mit dem dazugehorigen Eigenvektor berechnen wollen. Wie stellt man es an, daB der Algorithmus (1.19 3) auch zu anderen Losungen konvergiert? Durch eine Verschiebung des Eigenwertspektrums kann man jeden Eigenwert gezielt zum absolut kleinsten machen. Die Konvergenz erfolgt dann automatisch zu diesem Eigenwert. Die Verschiebung wird danach riickgangig gemacht, um den gewiinschten W e r t zu erhalten. Durch die Substitution

wird aus dem Eigenwertproblem (1.14 8 )

Hierin wird zusammengefaBt:

Damit ergibt sich

Dieses Eigenwertproblem liefert dieselben Eigenvektoren wie (1.14 8 ) und die nach ( 1 . 2 0 1) verschobenen Eigenwerte h (p). Setzt man also in den Algorithmus (1.19 3) anstelle der Matrix a . . eine nach ( 1 . 2 0 2) veranderte 1J Matrix a ( p ) . . ein, dann konvergiert e r zu dem betragsmaBig kleinsten JJ Eigenwert h ( p) und dem zugehorigen Eigenvektor. Aus ( 1 . 2 0 1) erhalt man dann den Eigenwert h des Ausgangsproblems. Offensichtlich beruht ein Erfolg des Verfahrens auf der Wahl geeigneter Verschiebungen p. Dieses Problem wurde aber schon in anderem Zusammenhang in Abschnitt 1 . 7 . 5 behandelt. Wie bei ( 1 . 1 9 2 ) beschrieben, versucht man zuerst, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das heiBt also die Lage der gesuchten Eigenwerte, ungefahr zu bestimmen. Danach setzt man die einzelnen Verschiebungen in ( 1 . 2 0 2 ) so an, daB sie in der Nahe der gesuchten Eigenwerte liegen und iteriert jeweils mit dem Algorithmus

1.7 Lineares Eigenwertproblem

113

( 1 . 1 9 3 ) , bis man die gewiinschten Ergebnisse erhalt. Da sich die Konvergenzgeschwindigkeit von (1.2 0 0) nach den verschobenen Eigenwerten richtet, konvergieren die Vektoriterationen um so schneller, je naher die Verschiebungen bei den Eigenwerten liegen. Allerdings diirfen sie mit diesen nicht exakt iibereinstimmen, weil sonst die Matrix a ( p ) .. singular 1J wird und nicht mehr dreieckszerlegt werden kann. Dieser Fall tritt zum Beispiel auch dann auf, wenn keine Verschiebung vorgenommen wird und das Problem Eigenwerte gleich null besitzt. Eine geringe Verschiebung macht auch diesen Fall losbar. Die Vektoriteration konvergiert auch dann, wenn der gesuchte Eigenwert mehrfach ist. Dabei wird aber nur ein Eigenvektor berechnet. Die iibrigen konnen ebenfalls bestimmt werden, wenn man einen Startvektor vorgibt, der orthogonal auf dem gefundenen Eigenvektor ist. Der zugehorige Anteil ck in (1.19 6 ) ist dann null, so daB keine Anregung stattfindet. Gerade aus der vorhergehenden Beschreibung wird deutlich, daB sich die Verfahren zur Losung des Eigenwertproblems gegenseitig iiberschneiden und erganzen. Durch geschickte Kombinationen lassen sich Algorithmen konstruieren, die schnell und zuverlassig konvergieren. Als Beispiel fiir eine Vektoriteration sollen die Matrizen vom vorhergehenden Abschnitt wiederverwendet werden. Zu Beginn der Iteration wird eine Verschiebung von p = 1,25 und ein Startvektor ziIol = 1 gewahlt. Iteration

Norm

Iterierter Vektor

V

II

=1

I/

2

3

24

Der Algorithmus konver iert zur Norm / I z / / = 4,O. Da zwischen den iterierten Vektoren z L 5 ] und z [ 6 y ein Vorzeichenwechsel eintritt, ist i n (1.195) das Minuszeichen zu wahlen. Es ist also

Aus (1.20 1) folgt dann mit p

=

1,25 der Eigenwert

Der zugehorige, nicht-normierte Eigenvektor ist der letzte iterierte Vektor. Eine Normierung nach (1.17 1) und (1.174) ergibt

114

1. Mathematische Grundlagen

xi= [ l

1

0

0 1 .

Ein Vergleich der iterierten Vektoren in obiger Tabelle zeigt, da8 sich die ersten beiden Komponenten von der Iteration 5 nach 6 verbessert, die letzten beiden aber verschlechtert haben. Dies ist auf numerische Ungenauigkeiten zuruckzufuhren. Um solche Effekte zu vermeiden, werden in Konvergenznahe oft genauere Verfahren eingesetzt. Im Zusammenhang mit (1.198) wurde gesagt, daR der Startvektor einer Iteration nicht orthogonal auf dem Eigenvektor des gesuchten Eigenwertes sein darf, das heiRt, daR der Anteil c k C o lnicht null sein soll. Wenn man in dem hier benutzten Beispiel eine Verschiebung p = 3,5 vornimmt, kann man erwarten, da8 ein Eigenwert A = 4 gefunden wird. Wahlt man jedoch als Startvektor den oben gefundenen, hierzu orthogonalen Eigenvektor, dann konvergiert der Algorithmus sehr schnell zum Eigenwert A = 1. In der praktischen Anwendung kommt so etwas wegen der immer vorhandenen numerischen Ungenauigkeiten allerdings recht selten vor.

1.7.7 Jacobi-Algorithmus Das Determinanten-Suchverfahren und die Vektoriteration haben den Vorteil, daB sie gezielt auf ausgewahlte Bereiche im Eigenwertspektrum angesetzt werden konnen und daB ihr Speicherplatzbedarf relativ gering ist, weil bei der notwendigen Dreieckszerlegung eine Band- oder Profilstruktur der Matrizen erhalten bleibt. Der wesentliche Nachteil ist jedoch die Schwierigkeit, eine zuverlassige Konvergenz zu eng benachbarten Eigenwerten zu erzeugen. Vollig andere Eigenschaften hat der Jacobi-Algorithmus: Hier spielt die Trennung der Eigenwerte uberhaupt keine Rolle. Andererseits mussen aber samtliche Eigenwerte und -vektoren berechnet werden, wodurch vollbesetzte Matrizen entstehen. Fur kleinere Probleme ist der Jacobi-Algorithmus wegen seiner Robustheit unschlagbar, selbst wenn nur ein Teil des Eigenwertspektrums gebraucht wird. Fur groBere Probleme wird e r unwirtschaftlich. Wo die Grenze zu ziehen ist, hangt sehr stark von dem verwendeten Rechner und dem Anwendungsfall ab. Der Jacobi-Algorithmus ist die Urform der Transformations- Verfahren. Durch wiederholte Transformationen werden die Systemmatrizen auf Diagonalform gebracht. Mit der Hauptachsen-Transformation ( 1 . 1 6 7 ) und ( 1 . 1 6 8 ) findet man so die Eigenwerte, wahrend die Zusammenfassung der Transformations-Matrizen die Eigenvektoren liefert. Andere Transformations-Verfahren (Householder-, QR-, Lanczos- Verfahren) sind Abwandlungen hiervon. Im Gegensatz zu den meisten Lehrbuchern wird hier der verallgemeinerte Jacobi-Algorithmus dargestellt, der auf das allgemeine Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) angewendet werden kann und fur beliebige, symmetrische Matrizen gilt. Komplexe Eigenwerte werden allerdings ausgeschlossen. Ein Iterationszyklus v des Algorithmus wird beschrieben durch:

1.7 Lineares Eigenwertproblem

Cvl =.tik

a.F~

-

11 t . C V I

=

a Cvl

JI

IJ

kl

1,J

115

. '

Die Tansformations-Matrizen tik werden mit dem Ziel ausgewahlt, die Matrizen a . . und b.. allmahlich auf Diagonalform zu bringen. Das geschieht 1J 1J durch elementare Transformationen, mit denen jeweils ein NichtdiagonalKoeffizient von a. v ' I und b. v - 11 zu null gemacht wird. Die laufende 1J 1J Gesamt-Transformationsmatrix wird in der dritten Zeile des Algorithmus = 8 . . begonnen wird. abgelegt, die mit dem Anfangswert xi:

C

C

U

Wie findet man nun diese Transformationen? Hierzu wird das Problem der GroBe n = 2 betrachtet. In den ersten beiden Zeilen von ( 1 . 2 0 4 ) sollen und biz["] zu null gemacht werden: die Koeffizienten

alivl

Die Iterationsindizes wurden weggelassen. Wegen der Symmetrie der Matrizen a und b . . sind die Gleichungen fiir a 2 i v 1 und b2iV1mit obigen 1J 11 identisch. Da nur zwei Bedingungen vorliegen, konnen zwei von den vier Transformationskoeffizienten beliebig festgelegt werden. ZweckmaBig ist

tll

-

t22 = 1

Damit folgt

Dies sind zwei quadratische Gleichungen; die Losung ist also vierfach. Die Losung, die in Konvergenznahe moglichst kleine Drehungen verursacht, ist

Die hierin verwendeten Koeffizienten berechnen sich aus:

Wenn abs ml

2

abs m 2 , dann m = m , sonst m = m 1

2

'

I

116

1. Mathematische Grundlagen

Komplexe W e r t e fiir m zeigen an, daB die Losung ebenfalls komplex wird. Dieser Fall sol1 hier ausgeschlossen werden. Naheres hierzu findet sich in Abschnitt 1.7.4. D e r Sonderfall m = 0 tritt zum Beispiel dann auf, wenn a . . = c bij ist oder wenn alle Diagonalglieder null sind. Die Gleichungen 1J ( 1 . 2 0 6) werden dann identisch oder eine verschwindet. Einen der Transformationskoeffizienten von ( 1 . 2 0 7 ) kann man beliebig wahlen und den dazu passenden aus der verbleibenden Gleichung ( 1 . 2 0 6 ) ausrechnen. Dies ist immer moglich, da wenigstens ein Nichtdiagonalglied ungleich null ist; anderenfalls ware eine Transformation unnotig. Der klassische Jacobi-Algorithmus war fur das spezielle Eigenwertproblem (1.150) konzipiert. Die Transformation der Matrix aij kann dann mit (1.33) 1.l

-sin cr

cos cr

I

erfolgen. Der Winkel cu wird mit der Hauptachsen-Transformationsbedingung fur einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe (1.49) bestimmt. a12

tan 2cr = all

-

a22

Theoreme fur die Umwandlung der Winkelfunktionen findet man in gangigen Handbuchern.

Die fur die GroBe n = 2 angegebene Transformation laBt sich benutzen, um beliebige Nichtdiagonal-Koeffizienten a A u und b A Y im Algorithmus ( 1 . 2 0 4 ) zu null zu machen. An die Stelle der Zeilen und Spalten 1 und 2 in den Gleichungen ( 1 . 2 0 5) bis ( 1 . 2 0 8) setzt man die Indizes r und s und bildet damit die Transformationsmatrix (Nullelemente sind nicht gezeigt) n ; r , s = konst.).

Nach hinreichend vielen Durchlaufen des Algorithmus ( 1 . 2 0 4) werden die Nichtdiagonal-Koeffizienten der Matrizen akl und bkl so klein, daB sie gegeniiber den Diagonalgliedern vernachlassigt werden konnen. Damit sind die Iterationen beendet. Die Diagonalelemente bkk sind im allgemeinen nicht gleich eins, so daB zur Herbeifuhrung der Orthonormierung ( 1 . 1 6 7) noch eine abschlieBende Transformation gemacht werden muB. Sie fuhrt mit ( 1 . 1 6 8 ) zum Ergebnis

1.7 Lineares Eigenwertproblem

117

Sollte ein Diagonalelement bkiv negativ sein, liegt der bei ( 1.18 4 ) diskutierte Fall vor: Die Matrix b.. ist nicht positiv definit, so daB durch 1J die Orthonormierung imaginere Eigenvektoren entstehen. Wenn ein b r i v l null ist, wird der zugehorige Eigenwert und Eigenvektor unendlich groB. Noch nichts wurde bis hierhin zur Auswahl der jeweils zu null zu machenden Nichtdiagonal-Koeffizienten und zur Konvergenz des Verfahrens gesagt. Im allgemeinen ist es so, daB einmal auf null gesetzte Koeffizienten in nachfolgenden Iterationszyklen wieder von null verschiedene W e r t e annehmen. Die Tendenz ist aber, dal3 diese zunehmend kleiner werden. Es laRt sich nachweisen, daB die globale Konvergenz in der Nahe der Losung quadratisch ist. Im Gegensatz zur Vektoriteration bringt aber ein Konvergenzbeweis keine nennenswerten Einsichten in das Konvergenzverhalten, so daB hier nicht naher darauf eingegangen werden soll. Es ist jedoch plausibel, daB man mit relativ wenigen Iterationen auskommen wird, wenn man das jeweils betragsmaBig groBte zur Verfugung stehende Nichtdiagonalglied zu null macht. Die damit verbundene Suche kann allerdings unwirtschaftlich sein. Im zyklischen Jacobi-Algorithmus geht man einfach der Reihe nach vor; ohne die GroBe der Nichtdiagonalglieder zu uberprufen. Auch das ist unwirtschaftlich. Weit verbreitet ist die Benutzung eines Schwellenwertes. Es wird ein nicht zu kleiner W e r t gesetzt, mit dem die Absolutwerte der Nichtdiagonalglieder der Reihe nach verglichen werden. ~ b e r s t e i ~ esie n den gesetzten W e r t , wird transformiert. Sobald keine genugend groBen Nichtdiagonalglieder iibrig sind, wird der Schwellenwert erniedrigt und aufs Neue begonnen. SchlieBlich erreicht der Schwellenwert die gewunschte Genauigkeit, bei der die Iteration abgebrochen werden kann. Die i n den vorhergehenden Abschnitten benutzten M a t r i z e n sollen a u c h als Beispiel f u r den Jacobi-Algorithmus verwendet werden. F u r einige der Iterationsschritte werden die Transformationskoeffizienten t12 u n d tZ1 von (1.207), sowie die sich daraus V1 des Algorithmus (1.204), angegeben. ergebenden Matrizen ak$ vl, bk! v 1 und F u r den e r s t e n Iterationsschritt wird als absolut groRtes Nichtdiagonalglied a13 = 38,O ausgewahlt, u m die Transformations-Koeffizienten nach (1.207) zu berechnen. Infolgedessen w e r d e n die Koeffizienten a13 u n d b13 n a c h der Transformation zu null. F u r den zweiten Schritt wird dann a12 = - 23.04 f u r (1.207) bestimmt, so daR n a c h der Transformation a12 = b12 = 0 wird. D i e Koeffizienten a13 und b13 sind dann wieder ungleich n u l l , aber kleiner als ursprunglich. D e r Iterationsschritt 10 zeigt z u m letzten Ma1 e i n Nichtdiagonalglied, das bei der verwendeten Stellenzahl von n u l l abweicht.

.u,i

118

1. Mathematische Grundlagen

29,O -28,O 38,O 28,O 3 6 ; O 62,O

Iteration 1,

t,,

-4,O 4,O 4,O 8.0 =

-

0,75

0 22:78

Iteration 1 0 , 0,74

0 29,30

t12 =

l,O6 1 , 2 7 1,29 3,46 1 2 , 3 5 8,96 8,O

-

=

0:03 0 0:63

1 1 1 I / / / I

5,O 5,O

=

-

8,0 -6,O 14:O

0,58

=

0 4,06

=

0 0 0 8,O

0 4,88

10,74

1

1,0 1,0 1,0 2.0

0 -1,14 0,20 1,0 3,39 2,24 2,o

0,8194:

0 , 1 5 7 9 ; t,,

I I

-

0,1377:

4,06 4 , 1 7 5,O

0 ; 1 1 9 5 ; t,,

-

t,,

6,O

1 , 2 4 0 ; t,,

19,71-23,04 0 4,55 28,O 1 , 2 9 4.0 1 2 , 3 5 8,96 8,O

Iteration 2,

/ 1 1 1

0,16 - 0 , 3 2 0,20 0,86 3;39 2,24 2:o

-0,0017: 0 0 0,16

0 0 0 2,o

Nach dreizehn Iterationen ist e i n e Genauigkeit auf sechs Stellen erreicht. Das Ergebnis ist, nachdem die Transformation (1.2 1 0 ) durchgefiihrt und e i n e Umsortierung nach der GroRe der Eigenwerte vorgenommen wurde:

Die Eigenvektoren <.k w u r d e n i m Jacobi-Algorithmus automatisch orthonormiert. Die Lage der zu dem doppelten Eigenwert A = 4,O gehorenden Eigenvektoren i n i h r e m U n t e r r a u m ist jedoch von dem Ablauf der Berechnung abhangig. In xik w u r d e deshalb e i n e D r e h u n g dieser Vektoren n a c h (1.17 1 ) mit (1.1 7 6 ) vorgenommen, m i t dem Ziel, die jeweils e r s t e n Komponenten gleich zu machen. Die hierzu benotigte Transformationsmatrix w a r

119

1.7 Lineares Eigenwertproblem

1.7.8 ubungen u b u n g 1.55: Berechnen Sie die Eigenwerte der allgemeinen Eigenwertprobleme

u b u n g 1.56: Wieviele Determinanten enthalt die charakteristische Gleichung der Form (1.155) f u r e i n Problem der GroRe n ? u b u n g 1.5 7: Berechnen Sie die Eigenwerte f u r das Problem

a..

=

[-: 2

-1

-j [ b..

=

1

e]

0

w e n n a) E = 0 und b) abs( E ) << 1 ( n u r Abschatzung der GroRenordnung) u b u n g 1.58: Berechnen Sie die orthonormierten Eigenvektoren zu u b u n g 1.55. u b u n g 1.59: Bestimmen Sie die Eigenwerte und -vektoren des allgemeinen Problems f u r bij = c aij mit c = konst. und det ( a ) # 0, ( i ,j = l . . . n ) . u b u n g 1.60: Bestimmen Sie den Rang, die Eigenwerte und den orthonormierten Eigenvektor zum groaten Eigenwert der Matrix aij = bi . bj , ( i ,j = 1. ..n). u b u n g 1.6 1: Die Eigenwerte und -vektoren einer Matrix seien bekannt. Welche Eigenwerte und -vektoren besitzt die inverse Matrix? u b u n g 1.62: Kann m a n aus den Eigenwerten und orthonormierten Eigenvektoren eines allgemeinen Problems ruckwarts die Systemmatrizen aij und bij berechnen? u b u n g 1.63: Losen Sie die Aufgabe 1.25 als spezielles Eigenwertproblem. u b u n g 1.64: Die von null verschiedenen Elemente einer Matrix sind aii = 5 , a i , (i,i+ 1 = l . . . n ) . 1st diese Matrix positiv definit f u r beliebige n ?

+

=

ai

+

=

-

3;

u b u n g 1.65: Zu einem Eigenwertproblem mit der angegebenen Matrix bij wurden die Eigenwerte und -vektoren berechnet: ' i j r [ ;

ii

i

A

[

i

-

X

i

[

~

Orthonormieren Sie die Eigenvektoren so, daR x 2 2 = x~~ wird. u b u n g 1.66: Die von null verschiedenen Elemente der Matrizen eines allgemeinen Eigenwertproblems sind:

120

1. Mathematische Grundlagen

aI,1. = b1.1.

=

2 ; a= , I. + l = ai+

=

- 1 ; bi,i+l= bi+l,i

=

1;

(i,i+l

=

l...n).

Berechnen Sie: a) e i n e n Eigenwert mit dem Determinanten-Suchverfahren f u r die Anfangsverschieb u n g e n (lCO1 = 0 , 4 u n d (1[ " = 0,5 f u r n = 4; b) e i n e n Eigenwert u n d -vektor mit der inversen Vektoriteration mit der Verschieb u n g (1 = 0 , l und dem Startvektor Z [ O ] = 1 f u r n = 4; c ) alle Eigenwerte u n d -vektoren mit dem Jacobi-Verfahren f u r n = 3. Brechen Sie die Berechnungen spatestens dann ab, w e n n die Ergebnisse auf vier Stellen genau sind! u b u n g 1.6 7: Losen Sie das Eigenwertproblem mit Hilfe des Jacobi-Algorithmus f u r

2 . Mechanische Grundlagen

Die Methode der finiten Elemente ist ein mathematisches Werkzeug, das in den verschiedensten Bereichen der Physik angewendet werden kann. Wann immer diskrete oder kontinuierliche FeldgroBen wie Krafte, Spannungen, Temperaturen, elektro-magnetische Felder, Stromungen u.s.w. mit geometrisch oder physikalisch komplizierten Randbedingungen verknupft sind, findet die Methode ihre Anwendung. In einem fur Maschinenbauer geschriebenen Buch macht es jedoch wenig Sinn, standig die ganze Vielfalt der Anwendungsmoglichkeiten im Auge zu behalten, da dabei der rote Faden leicht verloren ginge. Deshalb soll hier nur das elasto-mechanische Problem von Festkorpern behandelt werden. Erstens ist es fur die Anwendung bei weitem das wichtigste und zweitens, aber das soll hier nicht ausschlaggebend sein, ist es das Gebiet, fur das die Methode ursprunglich entwickelt wurde, lange bevor man ihre universelle Anwendbarkeit erkannt hatte. Es ist nun nicht so, daB das elasto-mechanische Problem unbedingt die einfachsten Finit-Element-Formulierungen hervorbrachte. Im Gegenteil, fur die Berechnung von elektrischen Netzen, Potentialstromungen oder Temperaturfeldern zum Beispiel kommt man mit weniger Indizes aus als hier. Aber das Vorgehen bleibt das gleiche. Ebenso wie das vorhergehende Kapitel kein Lehrbuch zur numerischen Mathematik ersetzen kann, kann es sich hier nicht um eine vollstandige Einfuhrung in die Mechanik von Festkorpern handeln. D e r Stoff ist radikal auf das Wesentliche beschrankt. Gleichzeitig wird eine Systematisierung angestrebt, die vor allem das Ziel hat, die logische Struktur der Beziehungen herauszuarbeiten. Andererseits werden etliche Vereinfachungen nicht gemacht, die in der technischen Mechanik gelaufig sind. So werden zum Beispiel Anisotropie und Nichtlinearitat von vorneherein berucksichtigt. Selbst fur den in der Mechanik Geubten ist es deshalb ratsam, den Stoff dieses Kapitels durchzuarbeiten, bevor e r weiter fortschreitet.

2.1 Definitionen Die Beschreibung des elasto-mechanischen Systems wird auf drei Ebenen erfolgen. In der auh'eren werden die Verschiebungen und Krafte als diskrete

122

2. Mechanische Grundlagen

GroBen in einer endlichen Menge von Freiheitsgraden beschrieben, in der inneren treten nur kontinuierliche GroBen auf und in der Formanderungsebene erscheinen Dehnungen und Spannungen als objektive GroBen, die von den Starrkorper-Bewegungen unabhangig sind. Tabelle 2 . 1 vermittelt eine ~ b e r s i c h hierzu. t

Kraft-Verschiebungsbeziehung

1 Diskrete Verschiebungen U

'

a '

U.

Diskrete Krafte

AuBere Arbeit W

*P

I Kontinuitat

+

fa 1 < p

4

I

Erhaltung der Energie

Kontinuierliche Versc hiebungen u.

Innere Arbeit

N

w

I

I

~erschiebun~sDehnungsbeziehung

AuBeres Gleichgewicht I

Kontinuierliche Krafte

<

ry

~rhaitun~ der Energie

D ehnungen

Formanderungsarbeit

E..

T

t

I

N

; Pi 4 I

Inneres Gleichgewicht

1J

warme-

1

Spannungs - Dehnungsbeziehung

I

Spannungen 0..

V

t

Temperatur

Tabelle 2.1: ~ b e r s i c h tiiber die rnechanischen GrGRen und ihre Beziehungen zueinander.

Die aufgefuhrten GroBen werden in den folgenden Abschnitten beschrieben. Hier sol1 nur noch auf einige Dinge eingegangen werden, die die ~ b e r s i c h t direkt betreffen. Ein Teil der Beziehungen ist mit einem Richtungspfeil versehen, womit angedeutet ist, daB eine natiirliche Richtung existiert, die im allgemeinen nicht umkehrbar ist. Aus kontinuierlichen Verschiebungen lassen sich zum Beispiel Dehnungen berechnen; wahrend die Umkehrung nur unter Zuhilfenahme zusatzlicher Annahmen moglich ist. Entsprechendes gilt fiir die ubrigen mit einem Richtungspfeil versehenen Beziehungen zwischen den Ebenen. Die traditionelle Bezeichnung Spannungs-Dehnungsbeziehung steht nicht unbedingt fur >>Ursache-Wirkungcc.Erst die Umkehrung, die bei linearem Materialverhalten immer moglich ist, stellt diese Reihenfolge her. Folgt man den naturlichen Richtungen ausgehend von den

2.1 Definitionen

123

diskreten Verschiebungen bis zu den diskreten Kraften, dann hat man die gesamte Kraft- Verschiebungsbeziehung durchlaufen, die uber der oberen Ebene als Zusammenfassung angetragen ist. Auch hier wird die traditionelle Bezeichnung gebraucht, die eigentlich der Umkehrung entspricht. Diese kann erst unter Zuhilfenahme von Randbedingungen gefunden werden. Die naturlichen Richtungen beschreiben das sogenannte Verschiebungsgrofien- Verfahren der Struktur-Mechanik. In der Grundausbildung gelehrt wird das Kraftgriinen- Verfahren der klassischen Mechanik. Um einen Eindruck davon zu vermitteln, worum es sich dabei handelt: Aus gegebenen Kraften werden auf direktem W e g Spannungen ermittelt. Das ist der naturlichen Richtung der rechten Spalte der Tabelle entgegengerichtet. Daraus ergibt sich das Problem der statisch unbestimmten Strukturen. Derartige Komplikationen werden wir hier vermeiden! Nur urn die Verbindung mit den klassischen Berechnungsverfahren herzustellen, wird dieses Problem weiter unten noch einmal aufgegriffen. Die Definition der Verschiebungen ist zunachst einmal unabhangig von den Darstellungsebenen zu sehen. Die Lageanderung eines Korpers wird durch die Anderung der Ortskoordinaten beschrieben. Kennt man die Anfangsund die Endkoordinaten, dann ist die Beschreibung vollstandig. In der Kontinuumsmechanik und der Physik benutzt man fast ausnahmslos diesen Weg. Fur die numerische Berechnungen ist es jedoch vorteihafter, fur die Lageanderungen neue GroBen einzufuhren, die Verschiebungen. Sie werden aus den Differenzen der Ortskoordinaten gebildet. Hierbei gibt es zwei grundsatzlich unterschiedliche Moglichkeiten. Sie sind nach Lagrange und nach Euler benannt. Die Lagrangesche Darstellung ist eine korperbezogene Darstellung, bei der die Verschiebungen auf die Anfangskoordinaten bezogen werden. Diese materielle Betrachtungsweise stammt aus der Festkorpermechanik und wird deshalb auch hier eingesetzt. Die Eulersche Darstellung ist eine raumbezogene Darstellung, die sich auf die Endkoordinaten bezieht, zu denen die Verschiebungen hinfuhren. Diese lokale Betrachtungsweise wird vor allem in der Stromungsmechanik verwendet. Neben diesen absoluten Darstellungen gibt es noch Mischformen. In einer mitgefuhrten LagrangeDarstellung wird das Bezugssystem wahrend der Berechnung geandert: Fur jeden Berechnungsschritt wird ein neues System definiert, von dem aus im Lagrangeschen Sinne gemessen wird. Diese Technik wird vorteilhaft bei groRen Verformungen und Drehungen angewendet. Fur infinitesimal kleine Verschiebungen konnen die Unterschiede zwischen Lagrangescher und Eulerscher Darstellung im Rahmen einer linearen Theorie vernachlassigt werden, da in diesem Fall beide gleichwertige Resultate liefern.

124

2. Mechanische Grundlagen

2 .l.1 XuBere Ebene Auf der auoeren Ebene wird eine Struktur durch eine endliche Zahl von Freiheitsgraden beschrieben. Diese Freiheitsgrade bezeichnet man als diskret im Gegensatz zu den kontinuierlichen Freiheitsgraden auf der inneren Ebene. Ein Freiheitsgrad ist eine Bewegungsmoglichkeit, also ein geometrischer Begriff. Hierunter sind nicht ausschlieBlich die Bewegungsmoglichkeiten eines starren Korpers oder eines Mechanismus zu verstehen, sondern vornehmlich die Bewegungen infolge von Verformungen. Um einen Freiheitsgrad zu definieren, muB man die zugehorige Verschiebungs- oder WeggroBe beschreiben. Im einfachsten Fall ist es eine Verschiebung oder Translation an einem Punkt. Ebenso kann es sich aber auch urn eine Drehung oder Rotation handeln oder um eine zusammengesetzte GroBe, die zum Beispiel auch auf eine Flache bezogen sein kann. Freiheitsgrade werden durch entsprechende Pfeile sinngemaJ3 dargestellt. In Bild 2 . 1 finden sich einige Beispiele.

Bild 2.1: Freiheitsgrade an einem ebenen Balkenstiick. Freiheitsgrad 7 entspricht einer Flachenbelastung.

In den Freiheitsgraden wirken die Verschiebungsgriinen u, , ( a = 1... n ) , und die ihnen zugeordneten Kraftgriinen fa: Einer Translation ist eine Kraft zugeordnet, einer Rotation ein Moment u.s.w.. Kraft- und VerschiebungsgroBen sind gleichgerichtet. Um nicht standig die allgemeinen, aber umstandlichen Bezeichnungen verwenden zu miissen, wird vereinbart, daB der Zusatz )>-groBencc weggelassen werden kann. Eine nverschiebungcc kann dann entsprechend der Definition des zugehorigen Freiheitsgrades auch eine Drehung sein, die zugehorige ))Kraftcc ein Moment u.s.w.. In vielen Anwendungsfallen wird es vorteilhaft sein, die Freiheitsgrade anstatt durch einen: durch zwei Indizes zu ordnen, wenn zum Beispiel an jedem Punkt gleiche Freiheitsgrade definiert sind wie im Fachwerk von Bild 1.1. Die zugehorigen Verschiebungen sind dann uip, ( i = 1... c ; p = 1 ... np), mit den Kraften fip. D e r erste Index zahlt die Richtungen, deren Zahl hier gleich der Dimension c gesetzt ist, und der zweite die Punkte, von denen np vorhanden sein sollen. Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade ist dann c . n p . Die Zahl der Freiheitsgrade pro Punkt oder wie man hier auch sagt, pro Knoten, muB nicht unbedingt gleich der Dimension sein. Haufig wird man fiir ebene Probleme drei Freiheitsgrade antreffen, zwei

2.1 Definitionen

125

Translationen und eine Rotation, oder fur raumliche sechs, namlich je drei Translationen und Rotationen. Der Begriff der Kraft ist nicht ganz unproblematisch. Schwierigkeiten treten unter anderem dann auf, wenn nicht nur infinitesimal kleine Verschiebungen und Verdrehungen betrachtet werden. Einen eleganten und zugleich einfachen Weg aus dem Dilemma findet man, wenn man die Krafte als abhangige GroBen uber die zugehorigen Verschiebungen und der mit ihnen geleisteten Arbeiten definiert. Solche Krafte und Verschiebungen bezeichnet man als energetisch konjugiert. Urspriinglich wurde dieser Begriff fur Spannungen und Dehnungen geschaffen, das heiBt also auf der Formanderungsebene. E r eignet sich jedoch fur alle Darstellungsebenen und bewirkt hier zum Beispiel auch, daB einer Verdrehung als KraftgroBe nur ein Moment zugeordnet werden kann, wie es oben dargelegt wurde. In Bild 2 . 2 ist ein beliebig angenommenes Kraft-Verschiebungsgesetz fiir einen Freiheitsgrad aufgetragen.

Bild 2.2: Virtuelle Arbeit

Sw infolge einer virtuellen Verschiebung S u .

Infolge eines Verschiebungsinkrements (-zuwachses) Su wird durch die Kraft f ( u ) ein Arbeitsinkrement Sw geleistet. Die Inkremente bezeichnet man auch als virtuell; das heiBt als ~ b l o Bgedachtcc und spricht deshalb von einer virtuellen Verschiebung und einer virtuellen Arbeit. Hier ist es nebensachlich, ob diese GroBen real oder bloB gedacht sind. Infolgedessen konnte man ebensogut auch das Differentiationssymbol d verwenden anstelle des Variationssymbols S. Die virtuelle Arbeit, die an einer Struktur geleistet wird, ist nun

Sw=

1

f

i , p IP

Su.

1P

; ( i = I... c ; p = l ... np)

.

Die beiden Darstellungen unterscheiden sich nur durch die Indizierung der Freiheitsgrade. Durch Zusammenfassen der Indizes i und p zu einem Index a erzeugt man aus der zweiten Zeile die erste.

126

2. Mechanische Grundlagen

2.1 . 2 Innere Ebene Auf der inneren Ebene werden die Verschiebungen und Krafte im Kontinuum beschrieben. Zur Unterscheidung von den GroBen auf der auBeren Ebene wird ein Tilde uber die Symbole gesetzt. In einem c-dimensionalen Koordinatensystem xi werden die Verschiebungen ( i = 1... c ) , als zu xi parallel e Translationen definiert. Hier hat man also nicht die vielfaltigen VerschiebungsgroBen der auBeren Ebene, dafur aber unendlich viele Freiheitsgrade, denn die Verschiebungen Li kkBnen durch beliebige Funktionen dargestellt werden. Die Beschrankung auf eine endliche Zahl von Freiheitsgraden wird spater in Kapitel 4 der wesentliche Schritt bei der Approximation sein. Den Verschiebungen zugeordnet werden Volumenkriifte und OberflGchenkrZfte . Typische Volumenkrafte sind Massenkrafte, typische Oberflachenkrafte sind Drucke. Bei den Verschiebungen ist eine entsprechende Unterteilung unnotig.

zi,

6

Wie schon auf der auBeren Ebene werden die Krafte durch die zugehorigen, das heiBt die energetisch konjugierten Verschiebungen und die geleistete Arbeit definiert. Infolge von virtuellen Verschiebungen SLi erhalt man ein virtuelles Arbeitsinkrement

Im ersten Integral wird die Wirkung der Krafte uber dem Volumen v summiert, im zweiten die auf der Oberflache a. Falls e s nicht anders vereinbart wird, ist das Volumen stets als dreidimensional anzusehen und eine Oberflache als zweidimensional. Die inneren Verschiebungen und Krafte sind Vektoren, das heiBt Tensoren erster Stufe. Fur die Verschiebungen folgt dies daraus, daB sie sich als h d e r u n g e n der Koordinaten ebenso wie diese transformieren. Fur die Krafte folgt es aus (2.2): Angenommen die Krafte sind Tensoren, dann werden auf der rechten Seite innere Tensorprodukte der Form ( 1 . 5 7 ) gebildet. Das Resultat Sw muB dann ein Tensor nullter Stufe, also eine Invariante, sein. Dies ist in der Tat richtig. Also w a r die Annahme berechtigt! Die auBeren Verschiebungen und Krafte sind im allgemeinen keine Tensoren, obwohl die mit ihnen gebildete Arbeit in ( 2 . 1 ) ebenfalls eine Invariante ist. Die Verschiebungen Fi sind geeignet, jeden verschobenen und verformten Zustand eines Korpers zu beschreiben. Eine besondere Rolle spielen dabei die Starrkorperbewegungen, da sie keine Verformungen hervorrufen und damit auch keinen Widerstand eines Werkstoffes. Die Starrkorperbewegungen bestehen aus beliebigen Kombinationen von Translationen und Rotationen.

2.1 Definitionen

127

Erstere werden durch konstante Verschiebungen beschrieben, was weiter keine Schwierigkeiten bereitet. Aber fur die Drehungen mussen wir etwas weiter ausholen. In Bild 2 . 3 ist die Drehung eines Punktes um den Koordinatenursprung dargestellt.

Bild 2.3: D r e h u n g eines Punktes p n a c h

5 urn

den Koordinatenursprung.

Das Koordinatensystem bleibt fest, wahrend ein Punkt von p nach p wandert und dabei denselben Abstand r vom Ursprung beibehalt. Die Verschiebungen sind und die neuen Koordinaten seien Die Verschiebungen in der Lagrange-Darstellung beziehen sich auf den Anfangszustand. Es gilt also

ri

2. =

xi.

Xi +

w

U . 1

.

Da dies eine Drehung um den Koordinatenursprung beschreiben soll, mussen dieselben Endkoordinaten auch durch eine entgegengesetzte Drehung des Koordinatensystems bei feststehendem Punkt p erreicht werden konnen. Eine entgegengesetzte Drehung wird durch eine inverse Koordinatentransformation beschrieben. Anstelle von ( 1 . 3 0 ) gilt jetzt

Hiermit kann man nun die Verschiebungen ausdruc ken:

Mit Hilfe der Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 6 ) wird dann die inverse Transformationsmatrix ersetzt. Fur alle Starrkorperbewegungen zusammen erhalten wir nun

Hierin sind cibeliebige Konstante, die den Anteil der Starrkorpertranslationen beschreiben, und tij ist eine frei wahlbare orthogonale Transformationsmatrix ohne Spiegelung, die den Drehanteil wiedergibt. Fur infinitesimal kleine Drehungen ergeben sich aus ( 2 . 3 ) mit ( 1 . 4 3) und der Schiefsymmetrie ( 1 . 3 9 ) die Starrkorperbewegungen

128

2. Mechanische Grundlagen

Diese Beziehung spielt eine Rolle in der linearen Theorie. Die Komponenten des Drehtensors Saij mussen so klein sein, daB sie im Quadrat gegenuber eins vernachlassigbar sind.

2.1.3 Formanderungsebene Die Formanderungsebene dient dazu, urn von Starrkorperbewegungen unbeeinfluBte GroBen, sogenannte objektive GroBen, definieren zu konnen. Dies sind die Dehnungen und Spannungen, die nun an die Stelle der Verschiebungen und Krafte treten. Wie sich zeigen wird, gerat die geforderte Objektivitat sehr schnell in Konflikt mit den Definitionen der technischen Dehnungen und Spannungen. Es wird deshalb notwendig werden, etwas tiefer in den Stoff einzudringen, vor allem auch, um die Grenzen der gewohnten Darstellungen besser kennenzulernen. In Bild 2 . 4 sind fur ein ebenes Beispiel drei materialfeste Punkte eingezeichnet.

Bild 2.4: Verformung einer Lange ds, und eines Winkels F,.

Links ist der Zustand vor, rechts nach einer Verformung abgebildet. Aus der differentiellen Anfangslange dso wird ds und aus dem Anfangswinkel po wird p. Als technische Dehnungsmane werden definiert

Bezieht man die Anfangslage auf die Koordinatenrichtungen x i , dann entstehen die Langsdehnungen ei und die Schubdehnungen yij, ( i , j = 1 . .. c ; i # j ) . Dies sind die in der technischen Anwendung gebrauchlichen DehnungsmaBe. Hieran ist zweierlei auszusetzen: Erstens sind die Dehnungen nicht in einer GroRe, die moglichst ein Tensor sein sollte, zusammengefaBt und zweitens erhalt man fur groBe Drehungen eine auRerordentlich unubersichtliche Darstellung, weil die Langen aus Wurzeln zu berechnen sind. Diesen Schwierigkeiten geht man elegant aus dem Weg, wenn man anstatt der Langen deren Quadrate miteinander vergleicht. Aus ( 1 . 2 9 ) erhalt man

2.1 Definitionen

129

Die dxi sind die Projektionen der Anfangslange dso auf die Achsen. Nach der Verformung werden die Langen durch die inneren Verschiebungen verandert. Die Zusammenfassung ( x + z ) i beschreibt die Endkoordinaten eines Korpers nach einer Verschiebung um von seinen Anfangskoordinaten x. aus. Die Projektionen von ds sind deshalb d ( x + s ) i = dxi + dZi . Es wird nun die Differenz gebildet:

zi

z.

Die Verschiebungen sind eine Funktion des Ortes. Diese Abhangigkeit wird durch

zum Ausdruck gebracht. Dies wird oben eingesetzt:

Der Term in der Klammer ist allein fur die Formanderung verantwortlich, da die Projektionen dxi von einer Verformung unabhangig sind. E r ist, bis auf einen willkiirlichen Zahlenfaktor, 32' i 3Ck 3Zk 7.. = lJ

+-C--.

3 ~ . 2 J

k

dxi

3xj

Dies ist ein Tensor, denn e r wird aus den Ableitungen des Verschiebungsvektors gebildet. E r besitzt jedoch einen Schonheitsfehler, der sich leicht beseitigen 1aBt: E r ist nicht symmetrisch. Es wird ein symmetrischer Tensor hergestellt

fur den dann gilt

130

2. Mechanische Grundlagen

3;. 1 ( -3 Zi + --L 2 3 ~ . 3 5

E.. = lJ

J

3%

+

3Zk

xk -) 3xi 3

~ .

; ( i , j , k = l ... c )

.

(2.6)

J

Dies wird als Green-Lagrange- oder Lagrange-Dehnungstensor bezeichnet. Die Herleitung zeigt, daB dieser keinesfalls das einzig mogliche FormanderungsmaB ist. Sein Vorzug ist die noch naher zu untersuchende enge Verwandtschaft mit den oben erwahnten technischen Dehnungen. Die ersten beiden Terme in ( 2.6) beschreiben den linearen Anteil des Dehnungstensors. Fur sich allein genommen sind sie

Dies wollen wir einfach als linearisierten Dehnungstensor ansprechen. Der Zusatz (lin) wird spater weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, daB die linearisierte Form gemeint ist. Der quadratische Term in ( 2 . 6 ) berucksichtigt die sogenannte geometrische Nichtlinearitat, die durch groBe Drehungen verursacht wird. Die Beziehungen ( 2 . 6 ) oder ( 2 . 7 ) stellen die in der ~ b e r s i c h tvon Tabelle 2.1 angegebene Verbindung zwischen den Verschiebungen auf der inneren Ebene und den Dehnungen auf der Formanderungsebene her. Der Dehnungstensor wurde absichtlich symmetrisch gemacht. Es gilt also

Einem kritischen Leser mag sich hier die Frage aufdrangen, ob es denn zulassig ist, diese Symmetrie zu erzwingen. SchlieBlich wird dadurch die Zahl der unabhangigen Komponenten des Dehnungstensors von c 2 auf 1 - c ( c + 1) verringert, im Zweidimensionalen also von vier auf drei. An2 hand von Bild 2.4 kann man sich leicht klarmachen, daB dort zwei Langenanderungen und eine Winkelanderung genugen, um eine Verformung an einem Punkt vollstandig zu beschreiben. Dies sind drei GroBen, nicht vier! Die Verallgemeinerung hiervon fuhrt zu der Aussage, daB ein symmetrischer Dehnungstensor ausreichend ist. Als nachstes sol1 die oben geforderte Objektivitat des Dehnungstensors untersucht werden. Aus ( 2 . 3 ) folgt f i r eine beliebige Starrkorperbewegung 3 Fi

dx. J

-

t.. J1

-

8.. . 1J

Dies wird in die Definitionsgleichung ( 2 . 6 ) des Lagrange-Dehnungstensors eingesetzt:

2.1 Definitionen

1 [t.,

= -

E

2

1J

-

+ t . . S

S

JI

1J

1J

-

J1

+

C(tik- Skimjkk

131

&)]

Die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 7 ) macht hieraus I

1 (-8.. 2 V

E.. = 1J

+

S..) 1J

0 .

Damit ist bewiesen, daB der Lagrange-Dehnungstensor von beliebigen Starrkorperbewegungen unbeeinfluBt bleibt, also objektiv ist. Anders ist dies bei dem linearisierten Dehnungstensor von ( 2 . 7 ) . Hier fehlt das quadratische Glied, so daB die Terme sich nicht vollstandig aufheben. Wenn man allerdings kleine Starrkorperdrehungen nach ( 2 . 4 ) voraussetzt, dann erhalt man

3si = 3 ~ . J

-

SLY..

.

1J

Dies wird in ( 2 . 7 ) eingesetzt und die Schiefsymmetrie des Drehtensors ( 1 . 3 9) beachtet:

D e r linearisierte Dehnungstensor bleibt also nur solange von den Starrkorperbewegungen unbeeinfluBt, wie die Drehungen klein sind. Das heiBt, e r ist nur bedingt objektiv. Dan die Dehnungstensoren von ( 2 . 6 ) und ( 2 . 7 ) die formalen Anforderungen ganz, beziehungsweise in eingeschranktem Mane, erfullen, ist nun klar. Es bleibt noch die wichtige Frage offen, welche Bedeutung die Komponenten dieser Tensoren haben. Die nun folgende Untersuchung ist mehr anschaulich als wissenschaftlich exakt. Die Komponente gll des Lagrange-Dehnungstensors von ( 2 . 6 ) ist fur die Dimension drei

Wenn man die technische Langsdehnung von ( 2 . 5 ) in der Richtung xl nach Entwickeln eines Wurzelausdrucks in einer binomischen Reihe hinschreibt, findet man

Hierin sind Glieder von hoherer Ordnung vernachlassigt. Die Ahnlichkeit von ell mit el ist unverkennbar: Die linearen Glieder sind gleich und die quadratischen stimmen teilweise iiberein. Auf dieselbe Weise kann man a l l e ubrigen Komponenten vergleichen und findet

132

2. Mechanische Grundlagen

Das heiBt, die Diagonalglieder des Lagrange-Dehnungstensors sind ungefahr gleich den technischen Langsdehnungen und die Nichtdiagonalglieder nahern sich den technischen Schubdehnungen an, wobei der Faktor 1/2 unbedingt beachtet werden muB! Wie gut diese Naherung ist, zeigt folgendes: Fur eine relative Abweichung von 1%ergeben sich Langsdehnungen von ei = 0,14 und Schubdehnungen von 0,07.Diese W e r t e liegen deutlich iiber den Dehnungen, die ublicherweise bei einer linear elastischen Beschreibung eines Werkstoffes auftreten konnen. Aber es ist auch ein Hinweis darauf, daB man nicht ungestraft in Bereiche mit groBen Dehnungen vordringen darf, ohne sich zu vergewissern, ob die Voraussetzungen erfiillt sind. Wahrend fur die nichtlinearen DehnungsmaBe in ( 2 . 9 ) eine ungefahre ~ b e r e i n s t i m m u n mit ~ den Tensorkomponenten gefunden wurde, ist die Zuordnung fur die linearisierten Dehnungen exakt:

Der linearisierte Dehnungstensor wird in der Lagrange-Darstellung (L) auf die Anfangskoordinaten bezogen, in der Euler-Darstellung (E) auf die Endkoordinaten:

Zwischen den Verschiebungsableitungen besteht der Zusammenhang

Sind also die Verschiebungsableitungen sowohl in Bezug auf die Anfangs- als auch die Endkoordinaten hinreichend klein, kann der nichtlineare Term vernachlassigt werden und fiihrt so zur Identitat beider Darstellungen!

Als KraftgroBen werden den Dehnungen die Spannungen zugeordnet. Analog zum Vorgehen in der auBeren und inneren Ebene werden sie wie in ( 2 . 1 ) und ( 2 . 2 ) energetisch konjugiert durch die geleistete Arbeit definiert:

2.1 Definitionen

133

Hierin ist ST ein Zuwachs der Formanderungsarbeit und oij ist der hier zum ersten Ma1 auftretende Spannungstensor. Je nachdem, welchen Dehnungstensor man einsetzt, erhalt man hier den zugehorigen Spannungstensor. Dem Lagrange-Dehnungstensor von ( 2 . 6 ) ist der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor zugeordnet und zum linearisierten Dehnungstensor ( 2 . 7 ) gehort der Cauchy-Spannungstensor. Warum verschiedene Dehnungsund SpannungsmaBe Verwendung finden, sol1 weiter unten besprochen werden; erst bei nichtlinearen Vorgangen spielt dies eine Rolle. Da die hier angegebenen Beziehungen zunachst allgemeingultig sind, ist eine genaue Bezeichnung erst bei der konkreten Verwendung der einen oder anderen Kombination von Dehnungs- und SpannungsmaBen erforderlich. In diesem Fall wird aber meist schon aus dem Kontext klar, was gemeint ist, so daB eine ausdriickliche symbolische Unterscheidung nur dann vorgenommen wird, wenn es gilt, die vom Regelfall abweichenden GroBen sicher identifizieren zu konnen. Wegen der Symmetrie ( 2 . 8 ) der Dehnungstensoren gilt

Im zweiten Term werden die Indizes umbenannt von i in j und j in i:

Die Dehnungsinkremente S E sind ~ ~ beliebig, so daB die Klammer selbst null sein muB. Es folgt die Symmetrie des Spannungstensors 0.. = 1J

6..

; ( j , j = l ... c )

.

( 2 . 1 2)

J1

Sie ist eine zwangslaufige Folge der Symmetrie des Dehnungstensors. Ein nichtsymmetrischer Anteil des Spannungstensors wiirde in ( 2 . 1 1 ) keinen Beitrag zur Formanderungsarbeit leisten. Die Kombination eines unsymmetrischen Spannungstensors mit einem symmetrischen Dehnungstensor ist demnach nicht sinnvoll. Wie sind nun die einzelnen Komponenten des Spannungstensors zu deuten? Da die Definition durch ( 2 . 1 1 ) abgeschlossen ist, sind formal alle Voraussetzungen erfiillt, um zu den gesuchten Aussagen zu kommen. Die Herleitung verlangt jedoch einigen Aufwand, der hier nur storend wirkt. Eine genauere Untersuchung wird deshalb auf den Abschnitt ( 2 . 3 . 3 ) verschoben und hier nur eine einfache Analogiebetrachtung vorgenommen. Die Spannungen sind innere Krafte, die, bezogen auf eine Flacheneinheit, auf gedachten Schnittflachen im Material wirken. Wie bei den Dehnungen

134

2. Mechanische Grundlagen

kennt man parallel zu den Achsen gerichtete GroBen, die Langs- oder Normalspannungen, und die auf Ebenen bezogenen Schubspannungen. Die ersten werden traditionell als cij, die zweiten als zij, ( i f j ) , bezeichnet. In Bild 2 . 5 ist eine Schnittflache in der Ebene xi x2 dargestellt.

Bild 2.5: Spannungen an einer x3 zugewandten Schnittflache.

Die zwei unterschiedlichen Spannungsarten werden zu einer Matrix zusammengefaflt.

cijj

Die Ahnlichkeit mit ( 2 . 1 0 ) ist offensichtlich. Es fehlt hier aber der Faktor 1/2 bei den Schubkomponenten, denn nur so bekommt die Matrix cijj gleichzeitig auch das Transformationsverhalten eines Tensors, das heiBt ciij wird zum Spannungstensor. Dem glucklichen Zufall, daB die technischen Spannungen (englisch = tensions) die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe sind, verdanken wir die Bezeichnung ,>Tensor((.Und der jedem Studenten aus der Technischen Mechanik bekannte S a t z von d e r Gleichheit d e r Schubspannungen ist nichts weiter als die in ( 2 . 1 2) ausgedriickte Symmetrie des Spannungstensors! Die Unterschiede zwischen den Dehnungstensoren sind weiter oben schon besprochen worden, jetzt sol1 die Betrachtung der zugeordneten Spannungstensoren folgen. Ausgangspunkt ist dabei eine Gleichgewichtsbedingung, die in Abschnitt 4 . 4 . 3 hergeleitet wird:

6

verteilte, auf einer Flache a wirkende Oberfllchenlasten. Hierin sind die Diese stehen im Gleichgewicht mit einem Spannungstensor c i . , der mit den V Komponenten n . der nach auBen gerichteten Einheitsnormalen der Flache a J uberschoben wird. Das Resultat dieser ~ b e r s c h i e b u nist ~ in der Mechanik auch als Cauchy-Spannungsvektor t. bekannt:

2.1 Definitionen

135

Wenn eine idealisierte Einzelkraft AF. auf eine Flache Aa wirkt, ergibt sich im Grenzubergang der Cauchy-Spannungsvektor: lim aa

-

n F~ o - Aa

-

Kombiniert man die beiden letzten Gleichungen, so erhalt man eine differentielle Form der Gleichgewichtsbedingung:

In der klassischen Mechanik gilt die Konvention, daR der erste Index des Spannungstensors die Normalenrichtung des Flachenelementes und der zweite Index die Wirkrichtung der jeweiligen Spannungskomponente angibt. Danach miiRte (2.14) folgendes Aussehen haben: dFi =

j

0.. J1

n . da. J

Diese Konvention ist dann zu beachten, wenn man es mit unsymmetrischen Spannungstensoren zu tun hat. Hier werden nur symmetrischen Spannungstensoren (2.12) auftreten, so daR beide Formen gleichwertig sind.

Die eine Verformung hervorrufenden Krafte greifen immer an der verformten Struktur an und sind damit auf den Endzustand bezogen. Bei kleinen Verformungen ist der Unterschied zwischen Anfangs- und Endzustand nicht sehr groB und kann daher vernachlassigt werden. Sobald aber groBe Verformungen vorliegen, ist dies nicht mehr statthaft. Die Frage, ab wann eine Verformung als ngroB~einzustufen ist, 1aBt sich nur qualitativ beantworten: sobald Verschiebungswerte die GroBenordnung einer charakteristischen Strukturabmessung erreichen, sollte man von groBen Verformungen ausgehen. Als Beispiel mag die Absenkung eines Kragbalkens dienen: ist diese klein im Verhaltnis zur Balkendicke, handelt es sich urn eine kleine Verformung. Erreicht oder ubersteigt die Absenkung die Balkendicke, liegt eine groBe Verformung vor. Mit dieser groben Richtlinie sollte es moglich sein: auch bei Zwischenwerten die richtige Wahl zu treffen, wobei moglicherweise eine vergleichende Betrachtung beider Fa11e hilfreich sein kann.

Im folgenden wird zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand, also zwischen der unverformten und der verformten Struktur zu unterscheiden sein. Fur die hier verfolgten Zwecke reicht es aus, den Ausgangszustand einfach mit einem D L Nin Anlehnung an die Lagrange-Darstellung und den Endzustand entsprechend mit einem ,>Eccfiir die Eulersche Betrachtungsweise

136

2. Mechanische Grundlagen

zu kennzeichnen. In Bild 2.6 wird ein differentielles Flachenstuck sowohl im Ausgangszustand (dLa) als auch im Endzustand (dEa) dargestellt:

Bild 2.6: Flachenelement da im Ausgangszustand (L) und im Endzustand (E).

Mit der aktuellen Kraft, die im Endzustand auf das verformte Flachenelement einwirkt, wird aus ( 2 . 1 4 ) mit den Komponenten der nach auBen gerichteten Flachennormalen

D e r im Endzustand das Gleichgewicht erfullende Spannungstensor 0: wird 1J als Cauchy-Spannungstensor bezeichnet und ist der Euler-Darstellung zuzuordnen. E r wird auch als wahrer Spannungstensor bezeichnet, da e r die im verformten Zustand tatsachlich wirkenden Spannungen beschreibt, die zur ingenieursmaBigen Auslegung von Bauteilen benotigt werden. D e r Cauchy-Spannungstensor ist symmetrisch, aber ebenso wie der zugeordnete Euler-Almansi-Dehnungstensor nicht objektiv: e r ist nicht invariant unter beliebigen Starrkorperdrehungen. Dies beschrankt seine unmittelbare Verwendung auf die Betrachtung kleiner Verformungen. Ein objektives DehnungsmaB ist mit dem Green-Lagrange-Dehnungstensor gegeben, der somit auch bei gronen Verformungen verwendet werden kann. D a e r auf den Ausgangszustand bezogen ist, wird ein Spannungstensor benotigt, der sich ebenfalls auf diesen Zustand bezieht. Die Frage ist nur, welche Kraft im Ausgangszustand die Spannungen hervorrufen soll. Man L behilft sich hier mit einer fiktiven Kraft dFif, die am Flgchenelernent d a angreift. Diese Kraft wird durch eine Rucktransformation der aktuellen Kraft des Endzustandes auf den Ausgangszustand gewonnen:

Die in ( 2 . 1 6) verwendete Transformationsmatrix ist die Inverse des sogenannten Deforma tionsgradienten

2.1 Definitionen

137

der durch die Ableitung der End- nach den Ausgangskoordinaten gebildet wird. Mit dem Deformationsgradienten laBt sich der Zusammenhang zwischen Linienelementen im Ausgangs- und im Endzustand angeben: dEs =

Z F.. dLsj , V

j

dLs = '

Z F -1 dESj j

1J

L

Ebenso wie sich ein Linienelement d s.des Ausgangszustandes mittels des J E Deformationsgradienten Fij auf das zugehorige Linienelement d si des Endzustandes transformieren laBt, kann eine Rucktransformation mit dem inversen Deformationsgradienten vorgenommen werden. Diese Rucktransformation wird auch fur die Kraft ( 2 . 1 6 ) verwendet. Die Gleichgewichtsbedingung ( 2 . 1 4 ) schreibt sich somit fur den Ausgangszustand als

Das Gleichgewicht wird in diesem Fall vom 2. Piola-Kirchhoff-Spannungstensor erfiillt. Dieser Spannungstensor ist symmetrisch und objektiv, 1J aber durch den Bezug auf die Ausgangslage physikalisch nicht deutbar. Der 2. Piola-Kirchhoff ist eine reine BerechnungsgroBe. Will man eine ingenieursmaoige Beurteilung eines Spannungszustandes vornehmen, miissen Cauchy-Spannungen herangezogen werden. Einsetzten von ( 2.1 6 ) in ( 2.1 9 ) liefert nach Umformung den Ausdruck

0.2'~

Die Beziehung zwischen den Flachenelementen in der Ausgangs- und Endlage wird durch die Nansonsche Formel beschrieben (die Herleitung folgt am Ende des Abschnittes):

Durch Einsetzten von ( 2 . 2 0 ) in die vorstehende Gleichung ergibt sich

138

2. Mechanische Grundlagen

Durch den Vergleich mit ( 2 . 1 5) ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen dem 2. Piola-Kirchhoff- und dem Cauchy-Spannungstensor als

Die in der Berechnung ermittelten 2. Piola-Kirchhoff-Spannungen werden bei Bedarf zur ingenieursmaBigen Beurteilung des Spannungszustandes mit ( 2 . 2 1) in Cauchy-Spannungen umgerechnet.

Bild 2.7: Streckung und anschlienende Starrkorperdrehung des Einheitsbereichs. Der Einheitsbereich i n Bild 2.7 wird zunachst auf die Endlage E l gestreckt. Diese wird einer Starrkorperdrehung um 90° unterworfen, so daR die Endlage E2 erreicht wird. Die Cauchy-Spannungen i n El sind mit

gegeben. In der u m 90° gedrehten Struktur bleiben diese Spannungen bezuglich eines mitgedrehten Koordinatensystems erhalten. Nach Rucktransformation auf die Ausgangskoordinaten erhalt man

Die Cauchy-Spannungen der beiden Endzustande E l und E2 sollen n u n auf die zugehorigen 2. Piola-Kirchhoff-Spannungen umgerechnet werden. Hierzu wird die Umkehrung von (2.21) benotigt: ZPK 0.. IJ

det(F..) F ~ ; o C F-'

= k,l

U

kl

jl

Die Deformationsgradienten fiir die beiden Endlagen sind

Nach Inversion der Deformationsgradienten k a n n die Umrechnung durchgefuhrt

2.1 Definitionen

139

werden:

Fiir beide Endzustande ergibt sich der gleiche, auf den Ausgangszustand bezogene 2. Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, wie dies fur die vorgenommene Starrkorperdrehung aufgrund der Objektivitat zu erwarten ist.

Fur kleine Verschiebungen und kleine Dehnungen gehen alle Dehnungs- und SpannungsmaBe annahernd ineinander uber. Von daher wiirden in diesem Fall beliebige Kombinationen einen sinnvollen Arbeitsausdruck ( 2 . 1 1 ) liefern. Fur weitere Betrachtungen ist es naturlich zweckmaBig, von der zugrundeliegenden Formulierung her korrelierende GroBen zu verwenden. So ordnet man dem Cauchy-Spannungstensor den linearen Dehnungstensor als konjugierte Grol3e zu, wobei sich beide auf die Euler-Darstellung beziehen. Das Inkrement der Formanderungsarbeit ( 2 . 1 1 ) ist somit durch

gegeben, wobei iiber das Volumen Ev des Endzustandes zu integrieren ist. In ( 2 . 2 2) wird nun der Cauchy-Spannungstensor durch den 2. Piola-Kirchhoff ( 2 . 2 1 ) ersetzt. Nach Umordnung der Koeffizienten erhalt man

Man kann nun zeigen, daB die Transformation des Inkrementes des linearen Euler-Almansi-Dehnungstensors mit den Deformationsgradienten auf das Inkrement des Green-Lagrange-Dehnungstensors fuhrt:

140

2. Mechanische Grundlagen

Setzt man dieses Resultat in den Arbeitsausdruck ein, stehen unter dem Integral nur GroBen: die beziiglich des Ausgangszustandes gegeben sind. Da fur groBe Verschiebungen die Integration iiber das unbekannte Endvolumen ohnehin nicht moglich ist, liegt es nahe, diese durch eine Integration uber das Ausgangsvolumen zu ersetzen:

Damit ergibt sich ein Arbeitsausdruck analog zu ( 2 . 1 I), in dem als energetisch konjugierte GroBen der 2. Piola-Kirchhof-Spannungstensor und der Green-Lagrange-Dehnungstensor enthalten sind:

D a die Herleitungen der Nansonschen Formel (2.20) und der Integraltransformation ( 2 . 2 3 ) nahezu identisch sind, sollen sie a n dieser Stelle gemeinsam durchgef u h r t werden.

Bild 2.8: Flache da und Volumen d v durch Linienelemente aufgespannt. Bild 2.8 zeigt eine Flache und e i n Volumen, die durch differentielle Linienelemente aufgespannt werden. Die Berechnung beider laBt sich mit dem i n Abschnitt 1.3.4 eingefuhrten Kreuz- und Spatprodukt durchfiihren. F u r den Endzustand gilt so

2.1 Definitionen

dEai = G e . . dEy. dEzk J j,k "k dEv

=

Z

=

141

Eni dEa, ; ( i j,, k

e ~k . . dExi dEyj dEzk

=

1...3).

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die gerichtete Flache dai verwendet. Der Zusammenhang zwischen den Linienelementen des End- und des Ausgangszustandes ist mit ( 2 . 2 0 ) gegeben. Die Anwendung auf die Flache und das Volumen ~ Flache mit dem Deformationsgradienten fiihrt bei zusltzlicher ~ b e r s c h i e b u nder Fil auf

Nach der Verallgemeinerung von ( 1.6 1) gilt

C eijk Fil F j , Fkn

=

det(Fij) elmn.

ij,k

Fur die Flache ergibt sich so

Hieraus laRt sich durch Auflosen nach der Flache des Ausgangszustandes die Form ( 2 . 1 8 ) gewinnen. Fur das Volumen gilt

u b u n g 2.1: Berechnen Sie den Dehnungstensor aus der geometrisch nichtlinearen Formulierung ( 2 . 6 ) und der linearen ( 2 . 7 ) f u r das Verschiebungsfeld

-

U.

=

v.

Cw..x.

+

"

; (i,j=l,2)

J

und die drei Falle

Interpretieren Sie die Ergebnisse! u b u n g 2.2: Die Eckpunkte p eines Wurfels liegen auf den Koordinaten 0 0 0

1 0 0

I

0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

.

Die Verschiebungen im Inneren sind gegeben durch

-

u.

=

2 vijk xj xk j,k

;

v..

1Jk

=

v.

.

1kJ

; ( i , j , k = 1,2,3)

142

2. Mechanische Grundlagen

Berechnen Sie f u r den Mittelpunkt des Wiirfels die Dehnungen nach der linearen Theorie sowie die verschobenen Koordinaten yi = (x + uIi . u b u n g 2.3: F u r ein ebenes Problem werden folgende Dehnungen angegeben: Ell =

a xZ2 ;

E22 =

b xlZ ;

EI2 =

0 .

q.,

LaRt sich hierzu aus der linearen Theorie ein Verschiebungsfeld ( i = 1,2), ermitteln a) f u r beliebige Konstanten a und b , b) fiir spezielle Konstanten ungleich null?

2.2 Elastizitatsgesetz Auf der Formanderungsebene in Abschnitt 2 . 1 . 3 wurden die Dehnungs- und Spannungstensoren definiert. AuBer der ubertragung der Symmetrie vom Dehnungs- auf den Spannungstensor wurde jedoch noch keine direkte Verbindung zwischen diesen GroBen angegeben. Hier tritt nun zum ersten Ma1 der Werkstoff in den Vordergrund. Das Materialgesetz im elastomechanischen Problem beschreibt das elastische, viskose oder plastische Werkstoffverhalten auf makroskopischer Ebene. In erster Linie mussen hierzu werkstoffabhangige KenngroBen experimentell bestimmt werden. Durch eine geeignete Aufbereitung erhalt man hieraus die Materialtensoren. Es kann nicht das Ziel dieser kurzen Einfuhrung in die mechanischen Grundlagen sein, das Materialverhalten in seiner ganzen Breite zu beschreiben. Es wird deshalb bewuBt darauf verzichtet, mehr als nur die linear elastischen Vorgange zu behandeln. Eine Finit-Element-Berechnung von komplizierteren Problemen unterscheidet sich von einer einfacheren im wesentlichen nur durch den Losungsalgorithmus. D e r Aufbau des mathematischen Modells bleibt hiervon unberuhrt. Um diesen Aufbau wollen wir uns hier vorrangig kummern!

2.2.1 Steifigkeit D e r Zusammenhang zwischen Dehnungen und Spannungen wird durch das Elastizitatsgesetz beschrieben. Traditionell werden die Spannungen als Ursache und die Dehnungen als Wirkung dargestellt. Deshalb spricht man auch von einem Spannungs-Dehnungsgesetz. Aus Grunden, die sich spater noch erschlieBen werden, benotigen wir hier den umgekehrten Zusammenhang: Aus den Dehnungen sollen die Spannungen berechnet werden. Obwohl dies hier nebensachlich ist, sei doch erwahnt, daB dies auch die einzige Richtung ist, die fur stark nichtlineare Probleme brauchbar ist. Anstatt nun den Sprachgebrauch umzukehren und von einem Dehnungs-Spannungsgesetz zu sprechen, wollen wir es hier beim alten lassen und nur dann von dem

2.2 Elastizitatsgesetz

143

Ausdruck elastische Steifigkeit Gebrauch machen, wenn es notwendig ist, auf die Kausalitat hinzuweisen. Sowohl die Dehnungen als auch die Spannungen werden durch Tensoren zweiter Stufe beschrieben. Um einen Zusammenhang herzustellen, in dem die Moglichkeit besteht, alle Komponenten miteinander zu verknupfen, bedarf es eines Tensors vierter Stufe. Formal stellt sich das Elastizitatsgesetz dann so dar:

Es sind oij und sk1 die schon bekannten Spannungs- und Dehnungstensoren, und kijkl ist der Elastizitatstensor, den man genauer auch als Steifigkeitstensor bezeichnet. Fur einen linear elastischen Werkstoff sind die Komponenten des Elastizitatstensors konstant. Fur einen viskosen Werkstoff sind sie uberdies noch eine Funktion der Zeit, fur einen plastischen sind sie dehnungsabhangig. Oft spielt auch noch die Temperatur eine Rolle. Formal wird man immer ein Spannungs-Dehnungsgesetz der Form (2.25) angeben konnen, unabhangig davon, welche inneren Abhangigkeiten sich darin verbergen. Dies gilt auch noch, wenn andere Dehnungs- und Spannungstensoren verwendet werden, solange sie zueinander energetisch konjugiert sind. Hier stellt sich allerdings die Frage, wie reagiert ein Material wirklich, wenn es verformt wird? Dies laBt sich nicht in einem Satz beantworten und kann einstweilen zuruckgestellt werden, da wir das lineare Verhalten auf jeden Fall richtig modelliert haben. Da alle Werkstoffe dreidimensional sind, konnte man in ( 2 . 2 5) anstelle der variablen Dimension c die Zahl 3 erwarten. Es werden jedoch auch zwei- und eindimensionale Vereinfachungen vorkommen, iiber die unten noch mehr zu sagen sein wird. Der Elastizitatstensor besitzt mehrere Symmetrien:

Die zuerst genannten Symmetrien folgen aus den Symmetrien des Spannungsund Dehnungstensors. Der Nachweis laRt sich genau so fuhren wie bei der Symmetrie des Spannungstensors in ( 2 . 1 2): Eine Unsymmetrie hatte keine Auswirkung auf das Resultat, also ist sie unnotig. Dasselbe gilt im Prinzip auch fur die dritte Symmetrie. Es wird die zweite Ableitung der Formanderungsarbeit von ( 2 . 1 1) nach den Dehnungen gebildet:

144

2. Mechanische Grundlagen

Wie zu erwarten, andert die Reihenfolge der Differentiation das Ergebnis nicht. Das heiBt aber, daB die Terme kjjkl und kklij immer zusammen auftreten und deshalb gleich sein durfen. Dieses Ergebnis ist nicht ohne weiteres auf nichtkonstante Materialgesetze ubertragbar. Eigentlich werden durch ( 2 . 2 6 ) nur zwei Symmetrien ausgedruckt. Zum Beispiel erhalt man die zweite aus der ersten und dritten durch mehrmalige Anwendung. Trotz der vielfaltigen Vertauschungsmoglichkeiten kann man nicht alle Indizes beliebig auswechseln. So kann der zweite Index nicht mit dem dritten vertauscht werden, wahrend die beiden anderen ihre Platze behalten. Infolge der Symmetrien werden etliche Komponenten des Elastizitatstensors einander gleich. Die Zahl der unabhangigen Koeffizienten in einem symmetrischen Tensor zweiter Stufe ist

Fur den Elastizitatstensor mit den Symmetrien ( 2 . 2 6 ) findet man dann die Zahl

Fur die Dimensionen c = 1, 2 oder 3 ergibt sich daraus, daB die Zahl der unabhangigen ElastizitatsgroBen gleich 1 , 6 oder 21 sein kann. Zur Verdeutlichung des soeben Gesagten werden samtliche Komponenten Elastizitatstensors f u r die Dimension zwei hingeschrieben.

des

Wegen der ersten Symmetrie i n ( 2 . 2 6 ) sind die zweite und dritte Zeile gleich, wegen der zweiten sind es die zweite und dritte Spalte. Die letzte Symmetrie macht das obere Dreieck gleich dem unteren. Als unabhangig bleiben ubrig k l l l l , k I l l 2 , k l l Z 2 ,k,,,,, k l Z z 2 und k 2 2 2 2 .Das sind sechs Koeffizienten!

Wieso sind das so viele unabhangige ElastizitatskenngrSen? Fur den normalen Ingenieur genugten doch bisher zwei: ein Elastizitats- und ein Schubmodul. Das ist nur richtig fur einen isotropen Werkstoff, das heiBt, fur einen Werkstoff mit gleichen Elastizitatseigenschaften fur alle Richtungen. Zum Beispiel konnen Faserverbundwerkstoffe hochgradig anisotrop sein, wenn die Fasern in bevorzugten Richtungen verlaufen. Aber auch homogene Werkstoffe sind anisotrop, wenn sie kaltverformt werden.

2.2 Elastizitatsgesetz

145

Isotrope Tensoren haben wir bereits in Abschnitt 1. 3 . 3 kennengelernt. Ein isotroper Tensor vierter Stufe hat die Form ( 1 . 5 1 ) . Fur den Elastizitatstensor folgt damit

Wegen einer beliebigen Symmetrie in ( 2 . 2 6 ) folgt zwangslaufig, daB die Koeffizienten P und y gleich sein miissen. Ein isotroper Werkstoff wird also durch einen Elastizitatstensor von folgendem Aussehen beschrieben:

kijkl

=

2 S1.l. . Sk1

+

) ; ( i , j , k , l = l ... c ) . ( 2 . 2 9 ) 1.1 ( Sjk Sjl + S.1 1 8. ~k

Die mit h und (IL bezeichneten GroBen sind die LambKonstanten. Es geniigen also zwei Parameter, um das elastische Verhalten eines isotropen Werkstoffs vollstandig zu beschreiben. Ein isotroper Elastizitatstensor enthalt sehr viele Nullen. Die von null verschiedenen Komponenten fallen in drei Gruppen:

Einen ~ b e r b l i c k uber die Verteilung dieser Komponenten erhalt man aus der folgenden Anordnung fur die Dimension c = 2.

Die Koeffizienten A + 2~ und A verbinden die Langsdehnungen mit den Langsspannungen, wahrend die Koeffizienten i_( die Schubdehnungen und -spannungen verknupfen. Hier liegen also zwei getrennte Mechanismen vor: einer fur die Langs- und einer fur die Schubverformungen. Fur linear elastische, isotrope Werkstoffe kann man die beiden getrennt voneinander betrachten. In der Elastizitatstheorie wurde dies vielfach ausgenutzt, um die fur das Problem an sich untaugliche Vektorschreibweise beibehalten zu konnen.

Die Bestimmung der elastischen KenngroBen fur isotrope Werkstoffe erfolgt im einachsigen Zugversuch. Aus der Langsdehnung ergibt sich der Elastizitatsmodul E und aus dem Verhaltnis von negativer Quer- zu Langsdehnung die Querkontraktionszahl u. Im ebenen Schubversuch wird oft auch noch der Schubmodul G bestimmt. Fur eine dreidimensionale Darstellung ist der Zusammenhang zwischen diesen GroBen und den Lam6-Konstanten

146

2. Mechanische Grundlagen

Dasselbe gilt auch fur die zweidimensionale ebene Dehnung und die eindimensionale einachsigen Dehnung. Man gewinnt diese Vereinfachungen aus dem dreidimensionalen Elastizitatsgesetz, indem man im ersten Fall alle Dehnungen in der x3-Richtung null setzt, also si3 = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 ) , und im zweiten samtliche Dehnungen null werden auBer sll. Anwendungen hierfur findet man zum Beispiel in der Bodenmechanik. Dort tritt auch das Phanomen der Inkompressibilitat auf, wobei die Querkontraktionszahl v den W e r t 1/2 annimmt. Dadurch geht die Lamb-Konstante 2 gegen unendlich, wodurch numerische Probleme entstehen konnen. In der technischen Anwendung haufiger sind die Vereinfachungen, fur die die Spannungen in den Querrichtungen null sind. Fiir die ebene Spannung gilt oi3 = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 ) . Die Konstante h andert dann ihren W e r t :

SchlieBlich werden in der einachsigen Spannung alle Spannungen null auBer oil. Die einzig uberlebende Konstante ist dann

Die Isotropie beschreibt mit je zwei unabhangigen KenngroRen i m Zwei- u n d Dreidimensionalen das einfachste Materialverhalten, die allgemeine Anisotropie mit 6 u n d 21 unabhangigen Parametern das komplizierteste. Zwischen diesen Extremen liegt die orthogonale Anisotropie oder k u r z , die Orthotropie. Z u m Beispiel ist e i n Faserverbundwerkstoff mit z u e i n a n d e r s e n k r e c h t e n Faserrichtungen orthotrop. Bezogen auf e i n Hauptachsensystem, dies w a r e n i n dem Beispiel die Faserrichtungen, besitzt der Elastizitatstensor dieselben Nullkomponenten w i e der isotrope. Dies k a n n m a n so schreiben

kijkl

=

A ~k . 5q. .

Ski

A..

A..

u

=

JI

+

;

V U. . ( S i k 551. pij

-

+

pji;

Sil S j k )

' (2.34)

( i , j , k , l = I... C ) .

D i e Z a h l der unabhangigen Materialkennwerte ist n i c h t so groR, w i e es die Koeffizientenmatrizen A i j u n d yij v e r m u t e n lassen. Es gibt n u r die i n ( 2 . 3 0 ) angegeb e n e n nichtverschwindenden Komponenten. Insgesamt h a t m a n i m Zweidimension a l e n vier u n d im Dreidimensionalen n e u n unabhangige KenngroRen. Formal k a n n m a n dies durch Nullsetzen von A i i oder yii beriicksichtigen. Bei der Transformation auf e i n beliebiges anderes Koordinatensystem verschwindet die Form ( 2 . 3 4 ) . Dies ist also k e i n e Tensorgleichung! D e s w e i t e r e n k a n n m a n e i n e m vollbesetzten Elastizitatstensor n i c h t unmittelbar ansehen, ob es sich u m e i n e n anisotropen oder e i n e n aus s e i n e m Hauptachsensystem herausgedrehten orthotropen Elastizitatstensor handelt. Neben den bislang angesprochenen Materialbeschreibungen gibt es noch zwei w e i tere: die transversale Anisotropie z w i s c h e n Anisotropie u n d Orthotropie sowie die

2.2 Elastizitatsgesetz

147

transversale Isotropie zwischen Orthotropie u n d Isotropie. Beide beschreiben i n e i n e r Ebene e i n anisotropes bzw. isotropes Materialverhalten und weisen s e n k r e c h t dazu e i n e andere Charakteristik auf. Im Zweidimensionalen ist die Anisotropie daher identisch mit der transversalen Anisotropie, die i m Dreidimensionalen n u r 13 unabhangige KenngroRen aufweist. Gleiches gilt f u r die Isotropie und die transversale Isotropie, die i m Dreidimensionalen durch f u n f unabhangige Parameter beschrieben wird. In Abhangigkeit des beschriebenen Materialverhaltens muR der Elastizitatstensor u n t e r bestimmten Spiegelungen u n d Drehungen, die i n Bezug auf s e i n Hauptachsensystem vorgenommen werden, invariant sein. Die mathematische Beschreibung der Spiegelungen und Drehungen erfolgt uber Transformationsmatrizen, so daR das i n (1.45) gegebene Transformationsgesetz f u r e i n e n T e n s o r 4. Stufe angewendet werden kann:

Aufgrund der geforderten Invarianz muR f u r die Komponenten

gelten. F u r die Anisotropie wird n u r die Invarianz u n t e r e i n e r Inversion gefordert ( t i j = -Sij). Bei der transversalen Anisotropie k o m m t eine Spiegelsymmetrie zu e i n e r Hauptachsenebene hinzu. D i e Orthotropie muB zusatzlich noch die Spiegelsymmetrien zu den beiden anderen Hauptachsenebenen aufweisen. Fiir die transversale Isotropie wird daruberhinaus die Invarianz u n t e r beliebigen D r e h u n g e n i n e i n e r Ebene verlangt, bei der Isotropie wird dies auf all drei Ebenen erweitert. D i e Spiegelungen reduzieren die unabhangigen Parameter durch entstehende Nullkoeffizienten und andern so die Struktur der von n u l l verschiedenen Eintrage i m Elastizitatstensor. Bei den folgenden D r e h u n g e n bleibt die Struktur ( 2 . 3 0 ) erhalten, h i e r wird die Z a h l der unabhangigen KenngroRen durch Linearkombinationen verringert.

Neben der linearen Elastizitat fur kleine Dehnungen existiert eine Fulle von weiteren Materialmodellen, die ein nichtlineares Werkstoffverhalten beschreiben. Dabei sind gegebenenfalls noch weitere EinfluBfaktoren zu berucksichtigen. Wird ein Werkstoff uber die Elastizitatsgrenze hinaus belastet, lassen sich die FlieBvorgange durch ein elastisch-plastisches Werkstoffgesetz beschreiben, wobei unter Umstanden noch Verfestigungseffekte zu berucksichtigen sind. Erfolgt die Belastung der Struktur jedoch sehr schnell, muB aufgrund der hohen Verformungsgeschwindigkeiten ein viskoplastisches Materialmodell verwendet werden. Auch groBe Dehnungen e r fordern spezielle Werkstoffgesetze, die beispielsweise ein hyperelastisches Verhalten beschreiben. Diese kurze und zwangslaufig unvollstandige Aufzahlung sol1 an dieser Stelle als Ausblick auf das weite Gebiet der Materialnichtlinearitaten genugen.

148

2. Mechanische Grundlagen

2.2.2 Nachgiebigkeit Im allgemeinen laBt sich das Elastizitatsgesetz (2.2 5) umkehren. Es lautet dann

Auch cijkl wird als Elas tizitatstensor, genauer als Nachgiebigkeitstensor, bezeichnet. Formal hat e r dieselben Eigenschaften wie der Steifigkeitstensor, insbesondere die Symmetrien ( 2 . 2 6 ) , dieselbe Zahl von unabhangigen Komponenten ( 2 . 2 8 ) und gegebenenfalls die isotrope Form ( 2 . 2 9), allerdings mit anderen Konstanten. Durch Einsetzen von ( 2 . 3 5) in ( 2 . 2 5) und (2.25) in ( 2 . 3 5) erhalt man bei Beachten der Symmetrien

'

k ,1

kijkl 'klmn

-

'

k, 1

'ijkl

k

klmn

Dies ist eine Verallgemeinerung der Matrizeninversion ( 1 . 2 1 ) und laBt sich auch auf diese abbilden, wenn man die vierstufigen Tensoren in einem ebenen Schema ohne die symmetriebedingt abhangigen Zeilen und Spalten anordnet.

u b u n g 2.4: Wird durch den folgenden Elastizitatstensor e i n isotroper Werkstoff beschrieben? = I 1 2 1 2 1 2 = k kijkl = 33 20 0 0 465 11 = i,j 547 547 547 547 0 0 3 302 0 2

i5

u b u n g 2.5: Ein Faserverbundwerkstoff sol1 a u s e i n e r Matrix ( 2 . B. Kunststoff) und zwei z u e i n ander s e n k r e c h t e n Faserschichten (z. B. Glas) bestehen. Z u r Vereinfachung der Berechnung wird angenommen, daB die Schichten, w i e gezeigt, ubereinander liegen.

Schicht 1: Isotrop; El Schicht 2: Parallel zu x l ; E 2 Schicht 3: Parallel zu x 2 ; E 3

= = =

4 . lo9 ~/m'; v 7 0 . l o 9 N/m2; 7 0 . l o 9 N/m2;

=

0,3; t l = 1 0 t, = 3 t3 = 2

Berechnen Sie den Elastizitatstensor des Verbundes mit Hilfe von

. . .

m; m; m.

2.3 Erhaltungssatze

149

u b u n g 2.6: Bei e i n e m Versuch a n e i n e r isotropen Scheibe w u r d e n folgende D e h n u n g e n und Spannungen gemessen:

B e r e c h n e n Sie die LamC-Konstanten A und p sowie den Elastizitatsmodul E u n d die Querkontraktionszahl v f u r den ebenen Spannungszustand. Wie groR w a r die Spannung oZ2? i j b u n g 2.7: D i e l i n e a r e Inkompressibilitatsbedingung ist eii =

0 ; ( i

=

1,2,3) .

i

Ermitteln Sie daraus die Querkontraktionszahl v eines isotropen Werkstoffes.

bung 2.8: a ) Stellen Sie den dreidimensionalen anisotropen Elastizitatstensor mit den 21 u n abhangigen P a r a m e t e r n auf. b) ~ b e r f u h r e nSie den anisotropen Elastizitatstensor i n den transversal anisotropen durch e i n e Spiegelsymmetrie z u r xl-x2-Ebene. c ) Reduzieren Sie den transversal isotropen Elastizitatstensor auf den orthotropen u n d uberprufen Sie die Struktur (2.30) f u r die von n u l l verschiedenen Koeffizienten. Transformationsmatrix f u r Spiegelungen: t.. 1.l

. s . - Sij 1

1 w e n n xi i n der Spiegelebene ; ( i,j

; siz

:

1...3) .

-1 w e n n xi s e n k r e c h t dazu

2.3 Erhaltungssatze In Abschnitt 2 . 1 wurden drei Darstellungsebenen eingefuhrt: die aunere mit diskreten Freiheitsgraden, die innere mit kontinuierlichen und die Formanderungsebene mit objektiven GroBen. Auf der Formanderungsebene wurde dann in Abschnitt 2 . 2 die Verbindung zwischen den Dehnungen und Spannungen hergestellt. Die Aufgabe k t es nun, die Verknupfungen zwischen den verbleibenden Verschiebungs- und KraftgroBen zu formulieren. Hierzu stehen drei Erhaltungssatze zur Verfugung fur die Kontinuitat; die Arbeit und das Gleichgewicht. In Tabelle 2 . 1 werden sie von links nach rechts durch die senkrechten Verbindungen zwischen den Ebenen angedeutet. Die Bezeichnung ))Erhaltungssatzcc ist nur fur die Arbeit gebrauchlich, aber auch fur die beiden anderen gerechtfertigt, weil auch sie Eigenschaften ausdriicken, die in einem geschlossenen mechanischen System von der Darstellungsebene unabhangig sind.

150

2. Mechanische Grundlagen

Durch die Kontinuitat wird ausgedruckt, daB eine Struktur oder ein Kontinuum wahrend eines Verformungsvorganges den inneren Zusammenhang bewahrt. Es ist eine kinematische Bedingung, die wegen ihrer scheinbaren Selbstverstandlichkeit oft gar nicht als eigenstandige Bedingung fur die Elastomechanik benutzt wird. Eine Kontinuitatsbedingung wird zum Beispiel dann verletzt, wenn wahrend einer Verformung Risse auftreten. Solche Diskontinuitaten konnen naturlich auch in einer Berechnung berucksichtigt werden, sie haben aber zur Folge, daB sich die Kontinuitat sprunghaft andert. Der zweite Erhaltungssatz geht auf das zentrale Axiom der Mechanik zuruck, namlich auf den Satz von der Erhaltung der Energie. E r besagt zum Beispiel, daB die von auBeren Kraften an einer Struktur geleistete Arbeit sich unverandert in der Formanderungsarbeit wiederfinden muB. Allgemein druckt e r die Unabhangigkeit der Arbeit von der Darstellungsebene aus. Der Erhaltungssatz wird verletzt, wenn in den Ebenen nicht exakt dasselbe Problem beschrieben wird, sei es durch Weglassen von auBeren Freiheitsgraden, sei es durch Nichtbeachten von inneren Energieverlusten u.s.w.. Im Gegensatz zur Verletzung der Kontinuitats- oder auch der Gleichgewichtsbedingungen ist ein Bruch des Arbeitssatzes unbedingt todlich fur das zu behandelnde Problem. Mit Gleichgewichtsbedingungen kennen sich Ingenieure am besten aus. Die Summe aller Krafte an einem freien System muB null sein. Hierzu zahlen zum Beispiel auch Reaktions- und Tragheitskrafte. Obwohl die Formulierung von Gleichgewichtsbedingungen weitgehend zur Routine geworden ist, bedeutet dies keineswegs, dal3 sie immer leicht anzuwenden sind. Sobald die Systeme komplizierter werden, entstehen Schwierigkeiten, wie die statische Unbestimmtheit oder die Verschiebungsabhangigkeit bei groBen Drehungen. Wirklich problemlos lassen sich Gleichgewichtsbedingungen nur auf einfache, lineare Strukturen anwenden. Aber auch da schon stoBt man sehr schnell an die Grenzen der Algorithmisierbarkeit, das heiBt, der ~ b e r s e t z u n gin einen automatischen Rechenablauf. Zur mathematischen Beschreibung eines elasto-mechanischen Problems braucht man von den drei genannten Erhaltungssatzen nur zwei. D e r Grund hierfur ist, daB die Kontinuitats- und die Gleichgewichtsbedingungen aquivalent sind. Beide liefern eine Beschreibung des zu berechnenden Problems auf verschiedenen Wegen, die ersten uber die Bewegungsmoglichkeiten, die zweiten uber den KraftfluB. Betrachtet man alle drei Erhaltungssatze etwas vereinfacht als gleichrangig, dann ergeben sich drei verschiedene Kombinationsmoglichkeiten von je zwei Satzen, die jede zu einer Klasse von Berechnungsverfahren fuhren:

2.3 Erhaltungssatze

151

1. Kontinuitat und Arbeit -- VerschiebungsgroBen-Verfahren, 2 . Gleichgewicht und Arbeit -- KraftgroBen-Verfahren, 3 . Kontinuitat und Gleichgewicht ubertragungs-~erfahren.

-

Hier wird die erste Variante benutzt. Der entscheidende Vorteil ist, daB sich die Kontinuitatsbedingungen wesentlich einfacher formulieren lassen als die Gleichgewichtsbedingungen. Deshalb eignet sich das Verschiebungsgriinen- Verfahren weitaus besser fur die Anwendung auf Rechnern. Den Nachteil, daB oft groBe Gleichungssysteme zu losen sind, nimmt man hierfur gerne in Kauf. Ein zweiter Vorteil ist, daB das VerschiebungsgroBenVerfahren universe11 anwendbar ist, zum Beispiel auch dann, wenn Nichtlinearitaten infolge groBer Verschiebungen auftreten. Also auch im Interesse einer Vereinheitlichung der Berechnungsverfahren ist das Verschiebungsgronen-Verfahren vorzuziehen. Das Kraftgrlinen- Verfahren ist die klassische Methode fiir die Handrechnung. Es gehort zur Grundausbildung jedes Ingenieurs. Dies ist auch vollauf berechtigt, weil sich hiermit mit einfachsten Mitteln elementare Zusammenhange zwischen Kraften und Beanspruchungen herstellen lassen. Fur den Einsatz auf Rechnern ist e s jedoch ziemlich ungeeignet, denn es laBt sich nur sehr schlecht fur einen automatischen Ablauf programmieren und der Anwendungsbereich bleibt im wesentlichen auf lineare Probleme beschrankt. So konnte trotz erheblicher Anstrengungen kein groBeres Universalprogramm mit dieser Methode verwirklicht werden. AuBer bei kleineren Spezialproblemen wird das KraftgroBen-Verfahren deshalb heute kaum noch fur Finit-Element-Berechnungen eingesetzt. Es ist vielleicht etwas kuhn, den Ursprung des ubertragungs- Verfahrens in der Kombination von Kontinuitats- und Gleichgewichtsbedingungen zu suchen, denn implizit ist die Arbeit immer auch enthalten. Andererseits konnte der Arbeitssatz aber auch verletzt sein, ohne daB dies den Aufbau der Methode andern wiirde. Die Anwendung des ~ b e r t r a g u n ~ s - ~ e r f a h r e n s erlebte eine kurze Blute zu Beginn der Rechneranwendung. Da e s sich jedoch nur fur topologisch einfachste Strukturen eignet, blieb sein Einsatz auf die Berechnung von vornehmlich eindimensionalen Gebilden wie zum Beispiel Wellenstrangen beschrankt. Als universales Berechnungswerkzeug kommt das u b e r t r a g u n g s - ~ e r f a h r e n keinesfalls in Frage.

2.3.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen Die Kombination des Arbeitssatzes mit einer Kontinuitatsbedingung wird als das Prinzip d e r virtuellen Verschiebungen bezeichnet. Es fuhrt, wie oben schon gesagt wurde, zum Verschiebungs- oder Weggriinen- Verfahren. Mit seiner Hilfe lassen sich die verschiedenen Darstellungsebenen eines

152

2. Mechanische Grundlagen

Problems miteinander verbinden. In Tabelle 2.1 sind drei Ebenen definiert, die jeweils zu zweit miteinander kombiniert werden konnen. Unmittelbar fur die Berechnungen werden nur die Verbindungen der auBeren Ebene mit den beiden anderen gebraucht. Hiermit lassen sich alle Vorgange auf die auBere Ebene abbilden. Die dritte Kombination wird erst spater zu Hilfszwecken herangezogen, namlich fur die Herleitung der Spannungs-Gleichgewichtsbedingungen. Die Verbindung der auh'eren mit der Formanderungsebene wird durch den Arbeitssatz

Sw

=

ST

(2.37)

hergestellt. Die Arbeitsinkremente sind in ( 2 . 1 ) und ( 2 . 1 1 ) angegeben. Es folgt

Fur die auBere Arbeit wurden die einfach indizierten Freiheitsgrade von ( 2 . 1 ) eingefuhrt. Die Arbeitsinkremente entstehen in einem beliebigen, belasteten Zustand durch die Wirkung der virtuellen Verschiebungsinkremente Su, und der virtuellen Dehnungsinkremente S l i j Beide beschreiben denselben Vorgang, so daB eine Kontinuitatsbedingung bestehen muB, die sich formal so angeben 1aBt:

Dies wird oben eingesetzt und zusammengefaBt.

Die virtuellen Verschiebungen Su, sind unabhangig von den ubrigen GroBen beliebig wahlbar. Der Ausdruck in der Klammer ist deshalb null und es folgt nach einer Umstellung

Hiermit kann man die auBeren Krafte berechnen, die mit einer gegebenen Spannungsverteilung im Gleichgewicht stehen. Bei der Herleitung von ( 2 . 3 9 ) wurde an keiner Stelle eine Linearisierung vorgenommen, denn auch die Kontinuitatsbedingung ( 2 . 3 8 ) kann nichtlinear sein, weil die Matrix 3 l i j / 3 u a eine Funktion des augenblicklichen Zustandes ist. Anstelle der einfach indizierten auBeren Freiheitsgrade kann man in ( 2 . 3 9) auch die nach Richtung und Ort aufgegliederten aus der zweiten Zeile von (2.1) einfuhren. Man muB dann nur die Indizes a zum Beispiel durch kp,

2.3 Erhaltungssatze

153

( k = 1... c ; p = 1... n ), ersetzen. SinngemaB gilt dasselbe auch alle folgenP den Gleichungen. In vielen Lehrbuchern wird die Beziehung (2.39) aus dem Prinzip vom M i n i m u m der potentiellen Energie hergeleitet. Dies ist eins der Extremalprinzipien der analytischen Mechanik, uber die in Kapitel 5 mehr nachzulesen ist. Hier sollen die wesentlichen Schritte der Herleitung gebracht werden, um bereits an dieser Stelle zu zeigen, worin die Unterschiede liegen und warum es sinnvoller ist, die virtuellen Arbeiten anzuwenden. Aus den Arbeitsinkrementen (2.1) und (2.11) erhalt man durch Intergration

Hierbei wurde angenommen, daR die Krafte f a konstant sind und die Spannungen oij eine lineare Funktion der Dehnungen. Es wird eine potentielle Energie definiert, die in einem Gleichgewichtszustand ein Minimum annehmen muB:

Eine kleine #nderung 817 hervorgerufen durch die virtuellen Verschiebungen Su, in der Umgebung des Minimums, muR dann null sein. Also

Da die Su, beliebig sind, folgt

Hier werden die oben angegebenen Arbeiten eingesetzt:

Mit dem linearen Elastizitatsgesetz (2.25) und seiner letzten Symmetrie in (2.26) ergibt sich fur den zweiten Term unter dem Integral 36.. a.5kl 3Ekl - k k I i j 5.. = C - d k l E.. = C i,j " a 'l i.j,k,l i.j,k,l " a 'l k.1 " a Nach Umbenennen der Indizes k , l in i .j ist dies gleich dem ersten Term unter dem Integral. Damit folgt dann wie i n (2.39)

DaR diese Herleitung etwas umstandlicher ist als die mit den virtuellen Arbeiten, ist nebensachlich. Wirklich gravierend ist der Umweg uber das Potential 17. Zuerst werden die Arbeiten integriert; danach werden sie bei der Minimierung wieder differenziert. Fur die Integration mussen an dieser Stelle bereits Festlegungen gemacht werden, die hier uberhaupt noch nicht hingehoren. Gleichung (2.39) gilt fur beliebige Nichtlinearitaten. Aus der Herleitung mit der Potentialfunktion il kann man dies nicht erkennen! In der klassischen Mechanik spielte dies allerdings keine Rolle, weil sie von Anfang an linearisiert war.

154

2. Mechanische Grundlagen

Aus der Beziehung ( 2 . 3 9 ) wird nun der Zusammenhang zwischen den Kraften und Verschiebungen hergestellt, wie e r sich bei einer Verformung ergibt. Die Verknupfung aller Verschiebungen mit jeder Kraft wird durch eine Steifigkeitsmatrix kab hergestellt

die aus den Ableitungen der Krafte von ( 2 . 3 9 ) nach den Verschiebungen gewonnen wird:

Fur den linearen Zusammenhang zwischen den Dehnungen und Verschiebungen ( 2 . 7 ) ist der zweite Term unter dem Integral immer gleich null. Nur fur die nichtlineare Form des Dehnungstensors in ( 2 . 6 ) liefert der zweite Term die sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrix, die unter anderem den EinfluB von Vorspannungen auf die Steifigkeit beschreibt. Es ist durchaus moglich, die geometrische Steifigkeit von Anfang an mitzufiihren, doch dann sollte man auch den nichtlinearen EinfluB auf den ersten Term unter dem Integral beriicksichtigen. Das verkompliziert aber die Herleitungen und ihre Ergebnisse betrachtlich, was f i r das Verstandnis der zunachst im Mittelpunkt des Interesses stehenden linearen Theorie wenig forderlich ist. Die geometrisch nichtlineare Theorie wird spater wieder aufgegriffen. Der Ansatzpunkt hierfur liegt an dieser Stelle. Um die Schreibweise nicht zu uberladen, wird im folgenden auf eine besondere Kennzeichnung, dal3 es sich um eine Linearisierung handelt, verzichtet. Die Steifigkeitsmatrix ist nun

kab

=

Z i, j

3s.. 30..

S - - dv v 3ua dub 1J

1J

; (i,j=l...c;a,b=l...n)

.

(2.41)

Mit dem Elastizitatsgesetz ( 2 . 2 5) erhalt man hieraus unter Voraussetzung eines konstanten Elastizitatstensors

Diese Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch, das heifit, es gilt

D e r Nachweis erfolgt mit ( 2 . 4 2 ) , wenn man dort a und b vertauscht und dann i , j in k , 1 und umgekehrt umbenennt:

155

2.3 Erhaltungssatze

Wenn man jetzt noch mit der letzten Symmetrie von ( 2 . 2 6 ) kklij setzt, dann hat man wieder die rechte Seite von ( 2 . 4 2)!

=

kijkl

Die Symmetrie der Steifigkeitsmatrix wird in der klassischen Mechanik durch den Satz von Maxwell und Betti zum Ausdruck gebracht. Dort bezieht e r sich allerdings auf das inverse Problem, das heint, die Verschiebungen werden als Funktion der Krafte angesprochen. ~ b e r s e t z tin den hier gegebenen Zusammenhang lautet er: Eine Kraft fa infolge einer Einheitsverschiebung ub, namlich kab, ist gleich einer Kraft fb infolge einer Einheitsverschiebung u,, namlich kb,. Als Beispiel f u r die Berechnung e i n e r Steifigkeitsmatrix n a c h (2.42) soll der i m Bild 2.9 gezeigte Stab dienen. + x

J - 2

1 - 0

Bild 2.9: Zug- Druckstab; Querschnitt A u n d Elastizitatsmodul E sind konstant. Aus (2.42) folgt mit der Dimension c = 1 u n d dem Volumenelement d v = A dx

Im Stab soll e i n einachsiger Spannungszustand herrschen. M i t (2.33) ist d a n n kllll gleich dem Elastizitatsmodul E. Z u r V e r e i n f a c h u n g der Schreibweise wird sll = E gesetzt:

M i t (2.7) ist die Komponente ell des l i n e a r e n Dehnungstensors

aF1 E

a

= - ( - + - )

=

11

2

=

ax,

- =

ax1

a; -

,

ax

(b)

Vor dem Einsetzen von ( b ) i n ( a ) muR noch der Z u s a m m e n h amg z w i s c h e n den auBeren u n d den i n n e r e n Verschiebungen hergestellt werden. Diese Kontinuitatsbedingung der Verschiebungen ist das eigentliche K e r n s t u c k bei der F o r m u l i e r u n g e i n e r Steifigkeitsmatrix. Hier w e r d e n die A n n a h m e n gemacht, die iiber die Approximationseigenschaften von f i n i t e n Elementen entscheiden. D e r groRte T e i l von Kapitel 4 ist diesem Problem gewidmet. In u n s e r e m Beispiel genugt e i n l i n e a r e r Interpolationsansatz von der Form

-

u

=

a + b x .

Z u r Bestimmung der Konstanten a u n d b w e r d e n die Randbedingungen

-

x=O: u =ul ;

, .?

x = R : u = u2

herangezogen: A m l i n k e n Ende des Stabes soll die i n n e r e Verschiebung gleich der auneren Verschiebung i m Freiheitsgrad 1 sein, a m r e c h t e n Ende gleich der Verschieb u n g i m Freiheitsgrad 2. D a m i t findet m a n die Konstanten

156

2. Mechanische Grundlagen

1 b = - ( u 2 ul). 1 Die innere Verschiebung ist also 1 U = U + ( U - U1)X . a = u l

;

-

1

1

2

Aus ( b ) ergibt sich damit die Dehnung E

1

I ( u2

=

-

-

U1) .

Die Ableitungen der Dehnung nach den BuReren Verschiebungen sind n u n

Dies wird i n ( a ) eingesetzt. Da unter dem Integral n u r Konstante vorkommen, ergibt sich

Offensichtlich ist die i n (2.43) geforderte Symmetrie eingehalten.

Bis hierhin wurde in diesem Abschnitt die Verbindung der auBeren mit der Formanderungsebene besprochen. Jetzt sol1 die auh'ere mit der inneren Ebene verknupft werden, um kontinuierliche Krafte, wie zum Beispiel Drucke oder Massenkrafte, auf auBere Ersatzkrafte umrechnen zu konnen. Begrifflich ergeben sich keine Anderungen gegenuber der Herleitung von (2.39). D e r benotigte Arbeitssatz lautet w

Sw

=

.

Sw

( 2 . 4 4)

Diese Arbeitsinkremente sind in ( 2 . 1 ) und ( 2 . 2 ) angegeben.

zf

z ( Jr siY

d v + J< S< d a ) 1 1 i v a Hier wurden wieder die einfach indizierten auBeren Freiheitsgrade von (2.1) herangezogen. Wie vorher auch konnen die nach Richtung und Ort indizierten Freiheitsgrade durch Ersetzen des Index a eingefuhrt werden. Die zum Arbeitssatz passende Kontinuitatsbedingung schreibt sich formal a

a

s~a

=

Dies wird oben eingesetzt und zusammengefafit.

Die virtuellen Verschiebungen Su, sind beliebig und es folgt

2.3 Erhaltungssatze

Z

fa =

2. S2? v 3ua 3

(

i

dv

+

32. S1 6 a u 3

157

d a ) ; ( i = l ... c ; a = l... n). ( 2 . 4 6 )

a

&

kann man hiermit die und Driicken Zu gegebenen Volumenkraften verursachten auBeren Krafte fa berechnen. W i e ( 2 . 3 9 ) unterliegt diese Beziehung keinerlei linearen Beschrankungen. ausgesetzt Als Beispiel soll der Stab von Bild 2.9 einer konstanten Volumenkraft werden. Aus (2.46) ergibt sich f u r die Dimension eins: nachdem alle hierauf bezogenen Indizes weggelassen sind 3;'

-

fa = A S f dx 1 3ua Die innere Verschiebung war

-

u =

Ul+

1 p,

-

u,)x

.

Daraus ergeben sich die Ableitungen

Dies wird oben eingesetzt

f,

=

A

-

-

1

Die Gesamtkraft A / ? verteilt.

X

d P

=

? A 1 7 2

wird also zu gleichen Teilen auf die beiden Freiheitsgrade

2 . 3 . 2 Prinzip der virtuellen Krafte D a das aus dem Prinzip der virtuellen Krafte gewonnene KraftgriinenVerfahren die jedem Ingenieur bekannte Methode zur Losung elementarer Festigkeitsprobleme k t , soll es hier kurz beschrieben werden. Dabei treten vor allem die Unterschiede zum oben dargestellten VerschiebungsgroRenVerfahren hervor. Zunachst mul3 der Begriff der komplementaren Arbeiten erklart werden. Hierzu wird wie in Bild 2.2 ein Kraft-Verschiebungsdiagramm aufgetragen. In Bild 2 . 1 0 ist es allerdings linearisiert, da die Herleitungen nur fur diesen Fall gelten.

Bild 2.10: Komplementare virtuelle Arbeit S@ infolge einer virtuellen Kraft Sf.

158

2. Mechanische Grundlagen

Dunn eingezeichnet ist auch noch die aus Bild 2.2 bekannte virtuelle Arbeit Sw. Die komplementaren Arbeiten fur die auBere und die Formanderungsebene (die innere Ebene wird hier ubergangen) sind definiert durch

Gegenuber (2.1) und ( 2 . 1 1 ) sind die Platze der VerschiebungsgroBen mit denen der KraftgroBen vertauscht. Die komplementaren Arbeiten selbst sind keine physikalisch sinnvollen GroBen. Sie erlangen ihre Bedeutung erst dadurch, daB sie fur lineare Probleme gleich den wirklichen Arbeiten sind. Dann und nur dann gilt SW* =

Sw ;

*

ST

=

ST.

Aus dem Erhaltungssatz ( 2 . 3 7) erhalt man damit

Hier werden (2.4 7) und (2.4 8) eingesetzt. Analog zu der Kontinuitatsbedingung ( 2 . 3 8) braucht man noch eine Gleichgewichtsbedingung

mit der dann wie in ( 2 . 3 9 ) folgt

Das zu (2.4 0) inverse Kraft-Verschiebungsgesetz ist

Mit ( 2 . 5 2) folgt fur die Nachgiebigkeits- oder Federungsmatrix

Das Problem ist auf jeden Fall linear, so daB folgt

Wenn hierin noch die Dehnungen mittels des Elastizitatsgesetzes (2.35) ausgedriickt werden, erhalt man

do..

2.3 Erhaltungssatze

159

Aus denselben Griinden wie eine Steifigkeits- ist auch eine Nachgiebigkeitsmatrix symmetrisch:

Die Parallelitat zu den Gleichungen des Verschiebungsgrol3en-Verfahrens wird mehr als deutlich. Hier konnte sich die Frage stellen, worin denn eigentlich der gravierende Unterschied der beiden Verfahren liegt. Das folgende Beispiel wird dies sehr schnell beantworten.

Bild 2.11: Aufgelagerter Zug- Druckstab; Querschnitt A und Elastizitatsmodul E sind konstant. In Bild 2.1 1 ist der Stab von Bild 2.9 noch e i n m a l gezeigt. D a das l i n k e Ende aufgelag e r t wurde, h a t der Stab jetzt n u r noch e i n e n Freiheitsgrad u n d die Nachgiebigkeitsmatrix n u r e i n e n Koeffizienten. Er ist

D e r Elastizitatskoeffizient cllll ist wegen (2.36) gleich dem K e h r w e r t v o n k 1111= E. Auf der r e c h t e n Seite w e r d e n die Indizes weggelassen. ; ( a , b = 1,2) .

(a)

Die Spannung ergibt sich aus der Belastung f i m Freiheitsgrad 1. (b) Ohne die statisch bestimmte Auflagerung des Stabes hatte diese Beziehung n i c h t aufgestellt werden k o n n e n . Hier offenbart sich der einschneidende Unterschied zwischen dem Verschiebungs- u n d dem KraftgroRen-Verfahren: D i e Aufstellung von Gleichgewichtsbedingungen von e i n e r h o h e r e n Ebene zu e i n e r niedrigeren von Tabelle 2.1 widerspricht dem, w a s dort als natiirliche Richtungen angegeben wurde. Spannungen als F u n k t i o n von auReren K r a f t e n k o n n e n n u r i n statisch bestimmten S t r u k t u r e n direkt ermittelt werden. Falls dies n i c h t v o n vorneherein moglich ist, mussen durch Auflager oder Schnitte diese Grundvoraussetzungen kunstlich geschaff e n werden. F u r e i n e n automatischen Berechnungsablauf e i g n e n sich diese Prozedur e n k a u m . Wie das Beispiel von Bild 2.9 deutlich zeigt, k e n n t das VerschiebungsgroRen-Verfahren diese Schwierigkeiten nicht. M i t den Spannungen von ( b ) ergibt sich aus ( a ) der Koeffizient der Nachgiebigkeitsmatrix

Es ist der Kehrwert des Steifigkeitskoeffizienten k Z 2des Beispiels von Abschnitt 2.3.1.

2 . 3 . 3 Gleichgewicht und Kontinuitat Zu Beginn des Abschnittes 2 . 3 wurde gesagt, daB Gleichgewichts- und Kontinuitatsbedingungen aquivalent seien. Die erfolgreiche Herleitung von

160

2. Mechanische Grundlagen

Kraft-Verschiebungsbeziehungen einmal aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen und zum anderen aus dem Prinzip d e r virtuellen Krafte ist an sich schon Beweis genug. Trotzdem sol1 dieser Punkt hier noch einmal aufgegriffen werden, vor allem, um die im VerschiebungsgroBen-Verfahren implizit enthaltenen Gleichgewichtsbedingungen genauer zu untersuchen. Bei einer Starrkorperbewegung ohne zeitliche Veranderung wird an einer Struktur keine Arbeit geleistet. Ein auBeres Arbeitsinkrement nach ( 2 . 1 ) ist dann

Waren die virtuellen Verschiebungen Su, unter diesen Umstanden beliebig wahlbar, muBten alle Krafte verschwinden. Durch eine Starrkorperbewegung sind die Verschiebungen aber teilweise miteinander verknupft durch eine Bedingung von der Form

Die Starrkorperbewegungen werden hier mit u([!) bezeichnet. Die Zahl a der linear unabhangigen Bewegungsmijglichkeiten n(') in einem Kontinuum ist gleich der Zahl c ('Ider unabhangigen Komponenten fur einen symrnetrischen Tensor zweiter Stufe in ( 2 . 2 7 ) , das heiBt gleich 1, 3 oder 6 fur die Dimensionen 1, 2 oder 3. Durch Fesselungen oder innere Mechanismen kann n(') kleiner, beziehungsweise grijBer werden als c ('I. Nach Einsetzen von ( 2 . 5 7 ) in den obigen Arbeitssatz und anschlieBendem Variieren von Su('1('1 erhalt man a

Diese Gleichgewichtsbedingung stellt die auBeren, an einer Struktur angreifenden Krafte miteinander in Beziehung. Es ist keine unabhangige, sondern eine abgeleitete Bedingung, das heifit, urn ihre Einhaltung braucht man sich normalerweise keine Gedanken zu machen. Sie gilt fiir beliebige Verschiebungszustiinde, denn die Matrix 3ua / 3 kann vom momentanen Verschiebungszustand abhangen.

~2~2)

Die Koeffizienten von Steifigkeitsmatrizen sind die Krafte infolge von Einheitsverschiebungen. Aus ( 2 . 5 8 ) 1aBt sich dann mit der Symmetrie (2.4 3) herstellen

2.3 Erhaltungssatze

161

Beide Gleichgewichtsbedingungen sind gleichwertig. Sie werden automatisch befriedigt von Steifigkeitsmatrizen, die aus ( 2 . 4 1) oder daraus hergeleiteten Beziehungen berechnet wurden. Da aber Herleitungen oder Berechnungen fehlerhaft sein konnen, bietet sich hier eine willkommene Moglichkeit zur Kontrolle. Allerdings ist nicht jede Steifigkeitsmatrix, die ( 2 . 5 9 ) erfullt, deshalb schon unbedingt fehlerfrei! Da der Stab von Bild 2.9 nur einen Starrkorperfreiheitsgrad hat, wird hier ein weniger triviales Beispiel in Bild 2.12 vorgestellt.

Bild 2.12: Balken mit Starrkorperfreiheitsgraden u

bis u

y).

Die Starrkorperbewegungen sollen um die Balkenmitte erfolgen. Jeder andere Punkt ist ebenfalls geeignet. Die Matrix fiir die Transformation (2.57) wird aufgebaut, bis u = 1 aufgebracht indern der Reihe nach die Starrkorperverschiebungen u und die sich dafiir ergebenden Werte der Verschiebungen u, an den zugehorigen Stellen eingetragen werden. Die ausgeschriebene Gleichgewichtsbedingung (2.58) ist dann

Daraus ergibt sich: fl

+ f4

=

0 ,

Dieses Ergebnis hatte ohne Schwierigkeiten auch direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnen werden konnen. Es zeigt aber, wie das Gleichgewicht bereits durch das Prinzip der virtuellen Verschiebungen eingehalten wird.

Die Gleichgewichtsbedingungen ( 2 . 5 8 ) und ( 2 . 5 9 ) beziehen sich auf die a d e r e Darstellungsebene. Mit denselben Mitteln lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen fur die kontinuierlichen Krafte auf der inneren Ebene herleiten. Fur sich genommen sind diese aber wenig aufschluRreich. Interes-

162

2. Mechanische Grundlagen

santer sind diese Bedingungen im Zusammenhang mit den Spannungen. Die Herleitung ist allerdings etwas aufwendiger. Es wird der Arbeitssatz zwischen der inneren und der Formanderungsebene gebraucht:

SG

=

(2.6 0)

SZ.

Die Formanderungsarbeit 8 x von (2.1 1) ist

Hier mul3 jetzt die Definitionsgleichung f u r den Dehnungstensor eingesetzt werden. Nur im Interesse einer ubersichtlicheren Darstellung wird die linearisierte Form (2.7) benutzt. Eine Korrektur zur Berucksichtigung des nichtlinearen Terms von (2.6) ist in (2.66) angegeben. 8~

I 2 Soij(-

388.

2) dv =

388.

So.-

dv i,j v 'J axi ax. axi v J Die Zusammenfassung der zwei Terme zu einem wird durch die Symmetrie (2.12) des Spannungstensors ermoglicht. Als nachstes wird eine Legendre-Transformation vorgenommen. Die Ableitung eines Produktes zweier Funktionen f u n d g ist bekanntlich =

+

i,j

Der Integrand der Formanderungsarbeit hat die rechts angegebene Form f . a g / a x . Damit folgt

Als nachstes wird der Gauh'sche Integralsatz gebraucht. Fur eine stetige Funktion fi in einem kompakten, das heist, einfach verbundenen Volumen v mit einer Oberflache a gilt

Hiermit wird ein Volumen- in ein Oberflachenintegral umgewandelt. Die hierin benutzten Komponenten der nach auflen gerichteten Einheitsnormalen auf der Oberflache sind an n. = ' axi

=

cos ( n ; xi) ; ( i = l . . . ~ ).

(2.61)

Dies wird auf das erste Integral in der Gleichung f u r die Formanderungsarbeit angewendet:

Das Arbeitsinkrement (2.2) ist

Zusammen mit der Formanderungsarbeit wird dies n u n in den Arbeitssatz (2.60) gebracht und die Integrale zusammengefaBt:

2.3 Erhaltungssatze

163

Die virtuellen Verschiebungen 8;. k o n n e n durch beliebige F u n k t i o n e n dargestellt J werden. Wahlt m a n e i n e Funktion, die uberall auf der Oberflache verschwindet, d a n n ist das zweite Glied identisch null. Im I n n e r e n k a n n das 8;'. i m m e r noch beliebig variieren, so daR das erste Integral verschwinden muR. D a m i t bleibt das zweite Glied allein ubrig, f u r das jetzt wieder e i n auf der Oberflache n i c h t verschwindendes 8 c j angenommen w e r d e n kann. D a dies aber beliebig ist. muR auch das zweite Integral n u l l sein. Es folgt also n a c h e i n e r U m b e n e n n u n g der Indizes

In der ersten Gleichgewichtsbedingung w e r d e n die Volumenkrafte mit den ~ n d e r u n g e n der Spannungen verknupft, i n der zweiten die Randkrafte m i t den Projektionen der Spannungen. Beides sind schwache Gleichgewichtsbedingungen, da sie n u r i m integralen Mittel gelten. Lokale oder starke Gleichgewichtsbedingungen e r h a l t m a n hieraus, w e n n m a n das Volumen gegen n u l l g e h e n 1aRt. Sie sind:

-

pi

-

C oij n j

=

0

; i

j=

c

(auf a )

j

Die lokalen Gleichgewichtsbedingungen werden i m Prinzip der virtuellen Verschieb u n g e n i m allgemeinen n i c h t befriedigt, solange das betrachtete Volumen, wie bei f i n i t e n Elementen ublich, endlich ist. Dieser P u n k t wird etwas spater noch e i n m a l aufgegriffen. Z u n a c h s t sollen die lokalen Gleichgewichtsbedingungen n a h e r u n t e r s u c h t werden. In Bild 2.13 ist e i n differentielles Volumen i n der Ebene xlx2 gezeigt, a n dem die Spannungen und Volumenkrafte angetragen sind. Diese Anordnung wird i n der klassischen M e c h a n i k benutzt, u m a u s dem Gleichgewicht der K r a f t e die Bedingung (2.64) herzuleiten. Aus dem Momentengleichgewicht folgt die Symmetric (2.12) des Spannungstensors, also der Satz von der Gleichheit der Schubspannungen.

Bild 2.13: Spannungskomponenten

cjij

-

u n d Volumenkrafte fi a n e i n e m differentiellen

Rechteck. In Bild 2.14 ist e i n differentielles Randstuck d s gezeigt, a n dem die Oberflachenkrafte angreifen. A u s dem Gleichgewicht der K r a f t e folgt die Bedingung (2.65).

p";-

164

2. Mechanische Grundlagen

Bild 2.14: Spannungskomponenten oij und Oberflachenkrafte pi a n einem differentiellen Randstuck. Die Bedingungen (2.62) bis (2.65) wurden f u r die geometrisch lineare Theorie hergeleitet. Hieraus k a n n m a n die Bedingungen f u r nichtlineare Theorie unter Verwendung von (2.6) herstellen, w e n n m a n ersetzt:

Wie zu erwarten, sind dann die Gleichgewichtsbedingungen verschiebungsabhangig. Die integralen Gleichgewichtsbedingungen (2.62) und (2.63) wurden mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen gewonnen. Auf eine vollig analoge Weise k a n n m a n uber das Prinzip der virtuellen Krafte eine Kontinuitatsbedingung herleiten. Sie lautet

Unter dem Integral steht die lineare Verschiebungs-Dehnungsbeziehung (2.7)! Sie ist hier als schwache Form eingehalten, das heifit, n u r im integralen Mittel. Dagegen werden die lokalen Gleichgewichtsbedingungen (2.64) und (2.65) exakt befriedigt. Zusammenfassend 1aBt sich hierzu folgendes sagen: Die Prinzipien der virtuellen Verschiebungen und der virtuellen Krafte beschreiben Naherungen verschiedener Art. Im ersten werden die kinematischen Bedingungen lokal exakt erfullt, im zweiten die Gleichgewichtsbedingungen. Keine der Naherungen ist nbessere als die andere. Die Approximation erfolgt n u r von verschiedenen Seiten. Eine Struktur liefert unter einer gegebenen Belastung im ersten Fall zu kleine, i m zweiten zu groBe Verschiebungen. Die Darstellungen sind also zu steif, beziehungsweise zu weich. Einen Ausgleich zwischen diesen Tendenzen versucht m a n mit erweiterten Prinzipien herbeizufuhren, die zwischen den Extremen der virtuellen Verschiebungen und der virtuellen Krafte einzuordnen sind. Es ist jedoch irrig. anzunehmen, daB damit sowohl die kinematischen als auch die Gleichgewichtsbedingungen gleichzeitig lokal exakt abgebildet werden konnen. Nur eine exakte Losung laBt dies zu, aber die ist, aufler bei trivialen Problemen, unerreichbar. M e h r zu diesem Problem ist i n Kapitel 5 ausgesagt.

2.3.4 ubungen u b u n g 2.9: Berechnen Sie die Steifigkeitsmatrix des gezeigten Dreieckselementes.

2.3 Erhaltungssatze

165

Dicke t = konst. Isotrop: A, y = konst.

Die Dehnungen sind: E.. =

:[

2(u3

-

U5

-

Ul

-

+

U1) U4

-

u 1 + u 4 - u 2 ] 2(u, U2)

U5 U2

-

Berechnen Sie dann die Krafte und Spannungen f u r die Verschiebungen ua = 1 0 - ~ [ 0

0

1

11.

2 -2

u b u n g 2.10: Berechnen Sie die Steifigkeitsmatrix f u r das gezeigte Balkenelement.

1

Schwereachse x l Querschnitt A = konst. Elastizitatsmodul E = konst Trkgheitsmoment I = SxZ2 dA A

x2

tl

ct

3 t ....K4- xl

-1-

Die Langsdehnung ist

Es wird der einachsige Spannungszustand mit a12= oZ2= 0 vorausgesetzt. u b u n g 2.1 1: Leiten Sie aus dem Erhaltungssatz f u r die Formanderungsarbeit

die Gleichung f u r den Elastizitatstensor kijkl von Aufgabe 2.5 her. Benutzen Sie hierzu die Annahme, daR die Dehnungstensoren f u r den Verbund sij und die Schich( ~ ) sind. Was bedeutet diese Annahme? t e n E ~ ~ gleich u b u n g 2.12: Die gezeigte Scheibe wird durch e i n e n linear veranderlichen D r u c k Flbelastet. Fur den belasteten Rand gilt: X2

w

U1

= U1

+

-j;-- ( u 2

-

U1)

1

Ermitteln Sie die entsprechenden auReren Krafte i n den Freiheitsgraden 1 und 2. u b u n g 2.13: Ermitteln Sie die Nachgiebigkeitsmatrix aus dem Prinzip der virtuellen Krafte f u r den Balken von Aufgabe 2.10. Spannen Sie hierzu das rechte Ende des Balkens ein, das heist, setzen Sie u 3 = u4 = 0. Die Spannungen sind:

Welcher Zusammenhang besteht mit der Steifigkeitsmatrix von Aufgabe 2.10 f u r die Freiheitsgrade 1 und 2? u b u n g 2.14: F u h r e n Sie die Gleichgewichtsprobe (2.59) f u r die Steifigkeitsmatrix von Aufgabe 2.9 durch.

166

2. Mechanische Grundlagen

u b u n g 2.15: Fur eine Scheibe ist ein ebener Spannungszustand gegeben: OI1 =

1 j x 2 ( 3x;

-

21;)

;

OI2 =

XI(

C

2

-

x 2 1; oz2 =

j( x 23

-

~ C ~ ~ ~ + Z

Die Volumenkrafte sind null. 1st die lineare Spannungsgleichgewichtsbedingung (2.64) erfullt? Berechnen Sie aus der Gleichgewichtsbedingung (2.65) die Oberflachenkrafte an den vier Randern x l = 0 , x l = 1,x 2 = c , x 2 = c .

Lineares

In diesem Kapitel wird der Aufbau des Kraft-Verschiebungs-Gesetzes einer durch finite Elemente dargestellten Struktur besprochen, die Einfuhrung der Randbedingungen, die Losung und die dadurch ermoglichte Berechnung inner e r GroBen wie Kraften und Spannungen. ))Lineares Finit-Element-Modell(( ist als ~ b e r s c h r i f tvergleichsweise nichtssagend, die Bezeichnung ))lineare Statikcc trifft den Inhalt genauer. Nun wird aber das aufzubauende KraftVerschiebungs-Gesetz nicht nur fur statische Berechnungen gebraucht, t der Aufbau sondern spater auch fur dynamische Probleme. ~ b e r h a u ~sind der beschreibenden Gleichungen, das heiBt des mathematischen Modells, und seine spatere Verwendung zwei verschiedene Dinge. Die Logik der Modellbildung ist weitgehend unabhangig vom Verwendungszweck. Ob man, wie es hier sein wird, von Verschiebungen und Kraften spricht oder, um nur zwei Beispiele zu nennen, von elektrischen Spannungen und Stromstarken oder Temperaturen und Warmestromen, ist fur die mathematische Formulierung nebensachlich. Die traditionellen Symbole sind andere, die Verknupfungen bleiben die gleichen. Wie in vielen anderen Fallen auch, besteht die Wahl, ein Model1 von oben oder von unten aufzubauen. nVon obenc hieBe in diesem Fall: Man nehme das Prinzip der virtuellen Verschiebungen, wende es auf eine gesamte Struktur an, zerlege die Struktur in lauter kleine Teile, genannt finite Elemente, und verfolge die mathematische Beschreibung bis ins Innere des Problems. Methodisch gesehen hat dieser W e g einiges fur sich, denn e r erscheint >)wie aus einem GuB(c. Andererseits tut man sich dabei schwer, wenn Erweiterungen der Problemstellung vorgenommen werden sollen, die in der urspriinglichen Formulierung nicht enthalten waren. Man muB dann wieder von vorne anfangen, urn zum Beispiel Nichtlinearitaten oder verlustbehaftete Vorgange wie Reibung mitberucksichtigen zu konnen. Vie1 flexibler ist ein Aufbau ))van untene her: Man nehme lauter finite Elemente, deren Einzelverhalten bekannt sei, und fuge sie durch Summieren zu einem ubergeordneten Ganzen zusammen. Hierbei stort es zum Beispiel in keiner Weise, wenn die Bausteine mit Hilfe von unterschiedlichen Prinzipien beschrieben wurden. Die Kontrolle daruber, ob dies sinnvoll ist, hat der berechnende Ingenieur. Die Theorie verbietet ihm jedenfalls nicht, Elemente aus dem KraftgroBen- mit denen des VerschiebungsgroBen-Verfahrens zu

168

3. Lineares FE-Model1

mischen. Von unten aufgebaute Finit-Element-Modelle als nur die Losung partieller Differentialgleichungen!

ermoglichen mehr

Ein GroBteil der in der Praxis vorgenommenen Finit-Element-Berechnungen hat die Losung linearer, statischer Probleme zur Aufgabe. Der hierfiir erbrachte Berechnungsaufwand ist zwar in der Gesamtheit sehr viel kleiner als der fur nichtlineare und dynamische Berechnungen: aber die Losung linearer Probleme bildet die Grundlage fur alle Anwendungen. Die wesentlichen Voraussetzungen hierfur finden sich in diesem Kapitel. Es wurde schon im Abschnitt 2.3 im Zusammenhang mit der Steifigkeitsmatrix ( 2 . 4 1 ) darauf hingewiesen, daB es methodisch keine Schwierigkeiten machen wiirde, die geometrische Nichtlinearitat von Anfang an mitzuberucksichtigen. Aus didaktischen Grunden ist es jedoch besser, das wesentlich einfachere, lineare Problem zunachst fur sich allein zu behandeln. Nicht besprochen werden in diesem Kapitel auch die finiten Elemente selbst. In manchen Lehrbuchern werden sie vor den Zusammenbau des Modells gestellt, weil diese Reihenfolge dem systematischen Aufbau der Theorie entspricht. Die Erfahrung zeigt jedoch, daB es besser k t , zunachst von den Einzelheiten abzusehen und stattdessen eine Gesamtschau zu vermitteln. Spezielle Eigenschaften lassen sich danach viel besser einordnen.

3.1 Aufbau Der Aufbau eines Finit-Element-Modells wird durch eine Reihe aufeinander folgender Transformationen beschrieben. Um zunachst das Prinzip zu erlautern, wird eine beliebige Transformation eines Kraft-verschiebungsgesetzes vorgenommen. Die speziellen Transformationen folgen in den weiteren Abschnitten. In ( 2 . 4 0 ) ist der lineare Zusammenhang zwischen Kraften und Verschiebungen angegeben:

Es bleibt hierbei noch vollig offen, ob dies die Beschreibung einer ganzen Struktur, eines Teiles oder nur eines einzelnen Elementes ist. Es sol1 nun der ubergang auf eine geanderte Darstellungsebene untersucht werden, in der ebenfalls diskrete Freiheitsgrade gegeben sind. Definiert wird eine Transformation der Verschiebungen:

Die neu definierten Verschiebungen GE werden mit Hilfe einer als bekannt vorausgesetzten Transformationsmatrix taa mit den Verschiebungen der

3.1 Aufbau

169

Ausgangsbeschreibung ua von (3.1) verknupft. Die Zahlen der urspriinglichen Freiheitsgrade n und die der neuen fi mussen nicht gleich sein. Schon aus diesem Grund ist die Transformation ( 3 . 2 ) im allgemeinen nicht umkehrbar. Da in beiden Beschreibungsebenen dasselbe mechanische System dargestellt wird, muB die geleistete Arbeit konstant bleiben. Dies ist die Aussage des Prinzips der virtuellen Verschiebungen von Abschnitt 2.3.1. Ein Arbeitsinkrement in der transformierten Beschreibung wird als S w , in der ursprunglichen als S w bezeichnet.

sw

=

Sw

Durch Einsetzen der Arbeitsinkremente ( 2 . 1 ) (in einfach indizierten Freiheitsgraden) wird daraus

Nach Einfuhren der Transformation ( 3 . 2 ) und Zusammenfassen folgt

Die virtuellen Verschiebungen SGz sind beliebig wahlbare GroBen. Deshalb ist der Ausdruck in der Klammer null:

Dies ist das Transformationsgesetz der Krafte, welches zur Transformation der Verschiebungen ( 3 . 2 ) gehort. Wichtig ist hieran, daB man die Umkehrung beachtet: Bei den Verschiebungen wurden die alten durch die neuen ausgedruckt, bei den Kraften ist es umgekehrt. Durch Einsetzen von ( 3 . l ) und ( 3 . 2 ) entsteht aus ( 3 . 3 )

A1s transformierte Steifigkeitsma trix wird zusammengefaBt

Nun ist das transformierte Kraft-Verschiebungs-Gesetz

Mit der Symmetrie der urspriinglichen Steifigkeitsmatrix nach ( 2 . 4 3) folgt aus ( 3 . 4 ) auch die Symmetrie der transformierten Steifigkeitsmatrix:

In den folgenden Unterabschnitten werden Steifigkeitsmatrizen mit Hilfe

170

3. Lineares FE-Model1

von ( 3 . 4 ) transformiert. Definiert werden diese Transformationen durch die Beziehungen der zugehorigen Verschiebungen in (3.2). Das Transformationsgesetz der Krafte ( 3 . 3 ) wird erst wesentlich spater gebraucht, wenn innere Krafte in die Formulierungen eingebracht werden. Die Symmetrie ( 3 . 6 ) bleibt bei allen Transformationen erhalten; der Hinweis hierauf eriibrigt sich im folgenden.

3.1.1 Elemente Bild 3 . 1 zeigt eine kleine Auswahl von finiten Elementen, wie sie in den Element-Bibliotheken von Finit-Element-Programmen zur Verfugung gestellt werden.

Stab

Scheibe 4

4

Quader

Platte

Bild 3.1: Einige der a m haufigsten verwendeten Elementtypen.

Die Auswahl zeigt schon, daB e s fur die Theorie und Anwendung der Finit-Element-Methode gleichgultig ist, welcher Strukturtyp zu berechnen sein wird. Nur die verwendeten Elemente entscheiden daruber, ob e s sich um Fachwerke, Scheiben, Platten, Schalen oder Kontinua handelt oder auch jede sinnvolle Kombination hiervon. Diese Vielseitigkeit hat sehr vie1 d a m beigetragen, daf3 die Finit-Element-Methode heute als universelles Berechnungswerkzeug eingesetzt wird. DaB Anwendungs-Programme mitunter gewisse Starken oder Schwachen auf dem einen oder anderen Gebiet aufweisen, liegt an den Benutzer-Zielgruppe, fur die sie geschrieben wurden. An der Theorie liegt es nicht. Das Kraft-Verschiebungs-Gesetz der Elemente einer Struktur ist mit ( 3 . I ) :

Der Elementindex e dient dazu, die einzelnen Elemente voneinander zu unterscheiden. E r wurde in Klammern angefugt, urn ihn von den anderen Indizes abzuheben; eine daruber hinausgehende Bedeutung haben die Klam-

3.1 Aufbau

171

mern nicht. Die Zahl der Freiheitsgrade n(,) in den Elementen kann unterschiedlich sein. Die Gesamtzahl der Elemente wurde mit E angegeben.

3.1 . 2 Richtungstransformation Im Normalfall werden die Element-Steifigkeits-Matrizen von ( 3 . 7 ) von vornherein so berechnet, daR ihre Freiheitsgrade fur den Zusammenbau in einer Struktur richtig gerichtet sind. Es gibt jedoch Ausnahmen hiervon, wie zum Beispiel bei Staben, die als eindimensionale Elemente formuliert werden und danach in ein zwei- oder dreidimensionales Fachwerk eingebaut werden sollen. Andere Ausnahmen kommen bei Drehfreiheitsgraden von Platten- und Schalen-Elementen vor, die zum Teil umgekehrt werden mussen, um in Vektoren mit gemeinsamem Drehsinn zusammengefaRt zu werden. Diese Ausnahmen kann man kurzerhand wegdiskutieren, indem man sie als Teil der Elementberechnung einordnet, die hier noch nicht behandelt wird. Dann allerdings taucht dieses Problem verstreut an vielen anderen Stellen auf. Um dies zu vermeiden, wird e s hier behandelt, so daB bei Bedarf darauf zuruckgegriffen werden kann. D a es sich in den meisten Fallen um eine Drehung der Element-Freiheitsgrade handelt, wird die Bezeichnung Richtungstransformation eingefuhrt. Die Transformation ( 3 . 2 ) wird jetzt

Die Transformationsmatrix Die transformierten Verschiebungen sind zig(e). ra a- ( e ) kann fur alle Elemente unterschiedlich sein. Aus der transformierten Steifigkeitsmatrix ( 3 . 4 ) entsteht

Als Beispiel f u r die Richtungstransformation e i n e r Steifigkeitsmatrix sol1 das Stab-Element von Abbildung 2.9 benutzt werden. Seine Anfangs- oder Normallage ist i n Bild 3.2 noch einmal gezeigt zusammen mit der i n der Ebene gedrehten Lage.

Bild 3.2: Richtungstransformation eines Stab-Elementes i n der Ebene. Nicht die Drehung des Elementes selbst ist f u r die Transformation bestimmend, sondern die Drehung der Freiheitsgrade relativ zum Element. Das Beispiel zeigt auch, dal3 die Zahl der Freiheitsgrade vor und nach der Transformation unterschiedlich sein kann.

172

3. Lineares FE-Model1

Die Steifigkeitsmatrix f u r die Normallage des Stabes war im Beispiel zu Bild 2.9 bereits berechnet worden. Die Transformation (3.8) ist n u n

Mit der zugehorigen Steifigkeitsmatrix ergibt sich damit aus (3.9):

[-

c2

o

o

c

s

CS

-c2 c

s2

-CS

s

-s2

7 2

-CS

c2

cs

CS

-s2

CS

S2

3.1 . 3 Koinzidenz D e r entscheidende Schritt beim Aufbau eines Finit-Element-Modells ist der Zusammenbau der einzelnen Elemente. Aus vielen Einzelteilen wird eine Struktur. Bild 3.3 zeigt ein Finit-Element-Netz und ein daraus heraus vergronertes einzelnes Element.

Bild 3.3: Ausschnitt aus einem Finit-Element-Netz mit vergroBertem Einzelelement.

Es wird vorausgesetzt, daB die Freiheitsgrade der Elemente mit den jeweilig zugehorigen Freiheitsgraden in der Struktur ubereinstimmen. Falls diese ~ b e r e i n s t i m m u nnicht ~ von vornherein gegeben ist, muB sie durch eine Richtungstransformation, wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt, herbeigefuhrt werden. D a eine Richtungstransformation nicht die Regel ist, bleibt sie in der Schreibweise unberucksichtigt. Die Elementverschiebungen werden also als u,(,) bezeichnet und nicht als Ez(,). Auch die Abbildung der einzelnen Elemente auf die zusammengefugte Struktur laBt sich wieder durch eine Transformation der Form ( 3 . 2 ) darstellen.

Es wird folgende Konvention eingefiihrt: Die GroBen und Indizes, die sich auf das Elementniveau beziehen, werden wie bisher mit kleinen Buchstaben bezeichnet; GroBen und Indizes der zusammengefugten Struktur werden zur

3.1 Aufbau

173

Unterscheidung durch GroBbuchstaben gekennzeichnet. Infolgedessen sind UA die Verschiebungen in den N Freiheitsgraden der Struktur. Die Transformationsmatrix s,(,)A, die diese auh'eren Verschiebungen mit den inneren oder Elementverschiebungen ua(,) verknupft, heiBt Koinzidenzmatrix, weil sie das ,>Zusammentreffen(c der Freiheitsgrade ausdruckt. (Eine bisweilen auch heute noch gebrauchte, a1t e r e Bezeichnung ist Inzidenzmatrix) . Sie ist definiert durch: s

a(

=

=

1, wenn Freiheitsgrad a von Element e mit Freiheitsgrad A der Struktur zusammenfallt; 0 , in allen anderen Fallen.

( 3 . 1 1)

Dies ist eine Boolesche Matrix, die nur die Informationen 1= ja und 0 = nein enthalt. Solche Matrizen kennt man aus der symbolischen Logik oder zum Beispiel auch von den elektrischen Netzwerken, in denen sie Schalterstellungen angeben. In dem Zusammenhang hier enthalt die Koinzidenzmatrix nur Aussagen zu den Verbindungen innerhalb einer Struktur, das sind Aussagen topologischer A r t . Eine Konzidenzmatrix wird sehr grof3, wenn die Zahlen der Freiheitsgrade und Elemente uber die von einfachen Beispielen hinausgehen. Zwar lassen sich die Einsen und Nullen jeweils in einer binaren Zahleneinheit, einem ,,bit((, unterbringen, doch verbrauchen selbst diese noch sehr vie1 Speicherplatz. Wesentlich vorteilhafter ist es, nur die Indexkombinationen von sa(,lA aufzubewahren, fur die eine Eins in der Koinzidenzmatrix vorliegt. Das so entstandene Koinzidenzschema ist recht einfach anzuwenden. Dies wird weiter unten an einem Beispiel erklart. Nur zum Hinschreiben der mathematischen Formulierungen wird die Koinzidenzmatrix so gebraucht, wie es schon in der Transformation ( 3 . 1 0 ) geschehen ist. Nachdem die Transformation der Verschiebungen durch ( 3 . 1 0) definiert wurde, folgt aus (3.4) die zugehorige transformierte Steifigkeitsmatrix

Dieser Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix enthalt zwei Teilschritte, die beim Ablauf in einem Programm ineinander verschachtelt ausgefuhrt werden. Im ersten werden die Koeffizienten der Element-steifigkeitsmatriZen in die Gesamtmatrix einsortiert, man kann diese Anteile als KAB(,) bezeichnen: und im zweiten werden diese Anteile iiber die Elemente zur Gesamtmatrix KAB summiert. D e r Summationsindex e tritt dreimal in ( 3 . I 2 ) auf. Hier liegt also eine Abweichung vom gewohnlich paarweisen Auftreten von Summationsindizes vor.

174

3. Lineares FE-Model1

In Bild 3.4 sind auf der l i n k e n Seite drei Stabe mit i h r e n Freiheitsgraden aufgetragen. die zu dem auf der r e c h t e n Seite gezeichneten F a c h w e r k zusammengebaut werden sollen.

Bild 3.4: Zusammenbau eines Fachwerks aus drei Staben. Aus Bild 3.4 e n t n i m m t m a n die i n (3.1 1 ) definierte Koinzidenzmatrix

Diese Koinzidenzmatrix wurde lediglich z u r Veranschaulichung hingeschrieben. So wird sie n i c h t f u r die B e r e c h n u n g benotigt. A u s Bild 3.4 e r h a l t m a n ebenso leicht das Koinzidenzschema, das heiBt e i n e Tafel derjenigen Indexkombinationen, f u r die die Koeffizienten der Koinzidenzmatrix gleich e i n s sind.

W e n n die Reihenfolge der Indizes i n den ersten beiden Zeilen des Schemas fest vorgegeben ist, muB lediglich die letzte Zeile i m R e c h n e r gespeichert werden. Bezogen auf dieses Beispiel heifit das, daR anstatt der 72 Koeffizienten der Koinzidenzmatrix n u r 12 Z a h l e n aufzubewahren sind. F u r die Elemente sind folgende Parameter gegeben: Element

Lange

Querschnitt

E-Modul

cos

CY

sin a

3.1 Aufbau

175

Die Steifigkeitsmatrix eines Stabes f u r e i n e beliebigen Lage i n der Ebene ist a m Ende des Beispiels von Abschnitt 3.1.2 angegeben. D a r a u s ergeben sich die Steifigkeitsmatrizen:

Nun k a n n der Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix von (3.12) beginnen. U m den Ablauf zu verdeutlichen, w e r d e n die Anteile KAB(e)n i c h t direkt summiert, sondern erst alle i n die Felder f u r die Koeffizienten der Gesamtsteifigkeitsmatrix eingetragen. I h r e Summe ergibt dann die jeweiligen Koeffizienten KAB der Steifigkeitsmatrix. Es wird der Koeffizient k Z 3 = 1 9 , 1 1 7 0 . 1 0 vom Element 2 herausgegriffen: Das Koinzidenzschema ordnet der Zeile 2 des Elementes 2 die Zeile 6 der Gesamtsteifigkeitsmatrix zu und die Spalte 3 der Spalte 3 . D e r genannte Koeffizient wird also i n das Feld K 6 3 eingetragen. D a s Resultat des geschilderten Vorgehens ist dann

176

3. Lineares FE-Model1

Nachdem nun der Zusammenbau einer Gesamtsteifigkeitsmatrix erklart ist, wird es leichter zu begreifen, warum eine eventuelle Richtungstransformation von Abschnitt 3 . 1 . 2 und der durch die Koinzidenztransformation beschriebene Zusammenbau getrennt ausgefuhrt werden sollen. FaBt man beide Transformationen in einer zusammen, dann erhalt man eine Transformationsmatrix, die ebenso oder annahernd so groB ist wie die Koinzidenzmatrix, die aber keine Boolesche Matrix ist. D e r Zusammenbau laBt sich dann nicht, wie gezeigt, uber ein kompaktes Schema ausfuhren, sondern muB durch Matrizenmultiplikation erfolgen. Dies ist wesentlich aufwendiger.

3.1 .4 Doppelindizierung Bisher wurden die Freiheitsgrade sowohl in den Elementen als auch in der Struktur in einer einfachen Folge gezahlt. Fast immer laBt sich jedoch eine systematische Anordnung angeben, die sich von Punkt zu Punkt wiederholt. So gilt zum Beispiel fur alle Elemente und die Struktur in Bild 3 . 4 ; daB an jedem Punkt ein horizontaler und ein vertikaler Freiheitsgrad angreift. Um diese Systematik auszunutzen, benotigt man zwei Zahlungen: eine fur die Richtungen und eine fur den Ort. Diese A r t der Zahlung wird als Doppelindizierung der Freiheitsgrade bezeichnet. Wegen der besseren Strukturierung der Daten bietet sie so viele Vorteile; daB sie sich in den Anwendungsprogrammen weitgehend durchgesetzt hat. Die Gleichungen in einfacher Indizierung der Freiheitsgrade sind jedoch leichter zu lesen. Deshalb wurden sie bisher benutzt und werden es auch weiterhin, wenn die einfache Indizierung fur das Verstandnis giinstiger ist. Die Doppelindizierung wird durchweg fur die Element-Formulierungen gebraucht, selten dagegen auf der Ebene der Struktur. Anstatt die Freiheitsgrade einzeln zu zahlen, faBt man sie in gleichartigen Gruppen zusammen. Man benotigt dann zwei Indizes: einen, um die Nummer innerhalb der Gruppe und einen um die Gruppennummer anzugeben. Dieses Konzept laBt sich naturlich auch noch verallgemeinern. Die am haufigsten benutzte Einteilung legt die Reihenfolge der Freiheitsgrade an einem typischen Punkt oder Knoten fest und numeriert dann alle Knoten durch. Auf der Ebene der Elemente erhalt man so anstelle des Kraft-Verschiebungs-Gesetzes (3.7)

(I, J = l . . . C ; p , q = l...n

(e )

; e =l...E)

Fur die Richtungsindizes I und J wurden GroBbuchstaben gewahlt, weil sie sich bereits auf die Freiheitsgrade in der zusammengefugten Struktur beziehen. Die klein geschriebenen Knotenindizes p und q dagegen beziehen sich auf ein Element. D e r Bereich C fur die Richtungsindizes ist haufig gleich der Dimension der Struktur. E r kann aber auch groBer sein als

177

3.1 Aufbau

diese, wenn zum Beispiel neben translatorischen auch Drehfreiheitsgrade auftreten. Die Zahl der Knoten an einem Element wurde als n ( e ) angegeben. Bei der einfachen Indizierung stand dies fur die Gesamtzahl der Freiheitsgrade. Hier hat sich die Bedeutung verandert, so daB C . n ( e ) die Gesamtzahl ist. Eine Richtungstransformation bezieht sie sich nur auf die Richtungsindizes. Aus ( 3 . 8 ) und ( 3 . 9 ) wird U

Ip(e)

-

-

-

I

r ~ ~ (' feP)( e )

'

I P ~ ~ -( I ,~J )( r~F

k- -

'

kIpJq r~~ - -

(3.14) ( 3 . 1 5)

(el ; -

( I , J = 1 . . . C ; I , J =1 . . . C ; p , q = l . . . n

Ce)

; e = l ... E ) .

Dies gilt so nur unter der Voraussetzung, daf3 die Transformation fur alle Knoten eines Elements gleich ist. Die Koinzidenztransformation ( 3 . 1 O), die Definition der Koinzidenzmatrix ( 3 . 1 1 ) und das Zusammenfugen der Struktur ( 3 . 1 2) geschieht nun durch

s = 1, wenn Knoten p von Element e mit p(eW Knoten P der Struktur zusammenfallt; = 0, in allen anderen Fallen;

( 3 . 1 7)

Die Koinzidenzmatrix, beziehungsweise das zugehorige Schema, bezieht sich jetzt nur noch auf die Knoten, nicht mehr auf die einzelnen Freiheitsgrade. Mit N ist die Gesamtzahl der Knoten der Struktur gemeint. Wie schon in ( 3 . 1 0 ) und ( 3 . 1 2) wurden bei den Element-Verschiebungen und den Element-Steifigkeitsmatrizen die Querstriche zur Kennzeichnung einer eventuell vorhergegangenen Richtungstransformation weggelassen. Die zweifache Indizierung der Freiheitsgrade trennt die geometrische Information der Richtungsindizes von der topologischen der Knotenindizes. In der Richtungstransformation ( 3 . 1 4 ) bleibt die Knotennumerierung unberiihrt, in der Koinzidenztransformation ( 3 . 1 6) sind es die Richtungen. Beide Schritte sind deshalb wesentlich effizienter auszufuhren als bei einer einfachen Zahlung der Freiheitsgrade. Dagegen fuhrt die einfache Indizierung zu ubersichtlicheren Gleichungen, was unter anderem fur die Handrechnung vorteilhaft ist. In vielen Lehrbuchern findet man die doppelte

178

3. Lineares FE-Model1

Indizierung nicht, weil dort vorwiegend die symbolische Matrizenschreibweise verwendet wird. Z u m Vergleich mit der e i n f a c h e n Indizierung sollen die Beispiele der beiden vorhergehenden Abschnitte noch e i n m a l herangezogen werden. Bild 3.5 unterscheidet sich von Bild 3.2 dadurch, daR die Knoten n u m e r i e r t u n d Koordinatensysteme angegeben wurden. D i e Freiheitsgrade sind n u n jeweils die Translationen a n den Knoten, parallel zu den Koordinatenrichtungen. Ein E i n z e i c h n e n der zugehorigen Pfeile k o n n t e deshalb entfallen.

Bild 3.5: Doppelt indizierte Richtungstransformation e i n e s Stab-Elementes i n der Ebene. Die Steifigkeitsmatrix f u r die links gezeigte Normallage des Stabes ist 1 2 = 4

Sie unterscheidet sich n u r i n der Indizierung von der vorher b e n u t z t e n Form. Z u r Richtungstransformation wird e i n e orthogonale Transformationsmatrix (1.32) gebraucht. rI;=

cos(xI;XI)

=

[ c

S ]

;

c

=

coscr;

s

=

s i n cr

D a i n der Transformation der Steifigkeitsmatrix (3.15) vierfach indizierte GroRen vorkommen; laBt sich diese n i c h t direkt i n die Anordnung der symbolischen Matrizenschreibweise ubertragen. A m e i n f a c h s t e n ist es i n diesem Fall, die Gleichung (3.15) f u r die Punktindizes p = q = 1 hinzuschreiben:

Dies wiederholt m a n (in Gedanken) fiir die ubrigen Kombinationen der Indizes p u n d q u n d findet 1 2 - 4 -

DaB dies identisch ist mit dem Ergebnis aus Abschnitt 3.1.2 liegt e i n m a l daran, daR ja dieselbe Transformation vorgenommen wurde und zweitens, daR a u c h die Reihenfolge der Freiheitsgrade unverandert geblieben ist. Die Unterteilungen der Matrix zeigen die e i n z e l n e n Blocke f u r die verschiedenen Kombinationen der Punktindizes p und q an. Bild 3.6 zeigt noch e i n m a l die Elemente u n d die zusammengefugte Struktur von Bild 3.4, jetzt mit Knotennumerierung.

3.1 Aufbau

179

Bild 3.6: Zusammenbau eines F a c h w e r k s uber die Punktkoinzidenz. D a s iiber (3.17) hergeleitete Punktkoinzidenzschema ist:

In diesem S c h e m a sind n u r noch halb so viele Eintragungen w i e vorher. D e r Z u sammenbau der Struktur n a c h (3.18) l a u f t i m Prinzip genau so ab wie bei der einf a c h e n Indizierung. Jetzt w e r d e n aber n i c h t einzelne Koeffizienten der ElementSteifigkeitsmatrizen ubertragen, sondern ganze Untermatrizen k g J , , ( p :q = konst.). Das Ergebnis ist:

D a die Reihenfolge der Freiheitsgrade die gleiche ist wie bei der e i n f a c h e n Indizierung, ist auch das Ergebnis dasselbe. A n diesem Beispiel e r k e n n t m a n auch, w i e einfach es ist, z u m Beispiel f u r die H a n d r e c h n u n g von der doppelten Indizierung der Freiheitsgrade auf die e i n f a c h e uberzugehen: W e n n m a n i n der gezeigten Anordnung die Z a h l e n 1 bis 6 a n die Zeilen u n d Spalten schreibt, e r h a l t m a n die e i n f a c h e Indizierung. Allerdings muR m a n sich i m m e r davon uberzeugen, daR die tatsachliche Anordnung und die beabsichtigte ubereinstimmen!

3.1.5 ubungen u b u n g 3.1: Bestimmen Sie die Lange, die Richtungstransformation und die Steifigkeitsmatrix eines Stabes i n der gezeigten r a u m l i c h e n Lage.

180

3. Lineares FE-Modell

Bestimmen Elemente:

Sie die Richtungstransformationsmatrizen

u b u n g 3.3: Das Koinzidenzschema e i n e r Struktur mit je (Punkt-Koinzidenz) ist:

fiir die beiden

e i n e m Freiheitsgrad

gezeigten

pro

Knoten

Geben Sie die zugehorige Koinzidenzmatrix a n und s k i z z i e r e n Sie e i n e passende Struktur. u b u n g 3.4: Berechnen Sie die Gesamtsteifigkeitsmatrix zu der aus n g l e i c h e n Staben z u s a m m e n gesetzten Struktur.

Die Steifigkeitsmatrix eines Stabes f i n d e n Sie bei Bild 2.9 i n Abschnitt 2.3.1

[-:

u b u n g 3.5: D i e Steifigkeitsmatrix eines ebenen Balkens ist: E I ka, = 8 -31 -6 ~ 3 -38 21' 38 31 6 31 31 g2 38 212

,

:

~

~

-

Hieraus sol1 eine Balkenkette aus n Elementen zusammengesetzt werden.

Geben Sie die Steifigkeitsmatrix an! u b u n g 3.6: B e r e c h n e n Sie die Steifigkeitsmatrix des abgebildeten Fachwerks.

3.1 Aufbau

181

ubung 3.7: Die gezeigte Rahmenkonstruktion sol1 aus ebenen Balkenelementen, die durch iiberlagerte Stabe auch Langskrafte aufnehmen konnen, zusammengesetzt werden.

Bestimmen Sie die Steifigkeitsmatrix fur die nicht aufgelagerten Freiheitsgrade. Setzen Sie dabei A , E und I gleich 1 und vernachlassigen Sie bei der Bestimmung der Langen die endliche Dicke der Balken. ubung 3.8: Gegeben ist ein Element mit vier Knoten mit jeweils zwei Freiheitsgraden. Alle Freiheitsgrade sollen relativ zum Element um einen Winkel ar gedreht werden. Wie groB ist die Zahl der Multiplikationen von jeweils zwei Zahlen bei der Berechnung der transformierten Steifigkeitsmatrix a) bei einfacher Indizierung der Freiheitsgrade; b) bei doppelter Indizierung? Untersuchen Sie die Berechnungsablaufe ohne und mit Speicherung von Zwischenergebnissen. Mogliche Einsparungen auf Grund der Symmetrie der Steifigkeitsmatrizen sollen nicht beriicksichtigt werden. ubung 3.9: Gegeben ist die Steifigkeitsmatrix eines dreieckigen Elementes

Aus diesem Element sollen zunachst, wie in der Zeichnung gezeigt, zwei Teilstrukturen zusammengesetzt und diese dann bei gleichzeitiger Reduzierung der Dicke auf die Halfte zu einer Struktur zusammengesetzt werden.

1

2

1

2

1

2

1

2

Wie wirkt sich die Lage der diagonalen Elementunterteilung auf die Gesamtsteifigkeitsmatrix aus?

182

3. Lineares FE-Model1

Das Kraft-Verschiebungsgesetz einer Struktur ist nach dem Zusammenbau

Zu bekannten Verschiebungen UB lassen sich hieraus die zugehorigen Krafte FA berechnen. Dies entspricht aber in den seltensten Fallen der Aufgabenstellung. Fast ausnahmslos sind in den meisten Freiheitsgraden Krafte gegeben und nur in einigen Verschiebungen. Auch Krafte und Verschiebungen gleich null zahlen dazu. Fur diese Randbedingungen muB das Gleichungssystem aufbereitet werden. Bevor dies geschieht: sol1 noch auf eine wichtige Eigenschaft der bisherigen Formulierung hingewiesen werden. Das Kraft-Verschiebungs-Gesetz ( 3 . 1 9) ist frei von Randbedingungen. Wenn nicht absichtlich oder vielleicht auch unbeabsichtigt Fesselungen an den Grund vorgenommen wurden, ist die abgebildete Struktur freischwebend oder nicht geerdet, mit der Folge, daB die Steifigkeits-Matrix singular ist. Dem nur mit dem KraftgroBenVerfahren vertrauten Ingenieur ist diese Situation ungewohnt. Fur ihn ist es eine Selbstverstandlichkeit, daB Auflager und Belastungen direkt in die Formulierung hineingenommen werden, weil anders die Gleichgewichtsbedingungen nicht angewendet werden konnen. Die hier aus dem Verschiebungsgronen-Verfahren resultierende Trennung zwischen der Beschreibung einer Struktur und ihren Randbedingungen macht es dagegen moglich, ein und dasselbe Model1 fur die verschiedensten Auflagerungs- und Belastungsfalle zu verwenden. Bei allen groBeren Anwendungen, sei es im Flugzeug-, Fahrzeug- oder Hochbau, werden nicht nur einzelne Losungen gesucht, sondern ganze Reihen hiervon; weil meistens nicht von vorneherein bekannt ist, in welchen Zustanden und an welchen Stellen die groaten Beanspruchungen auftreten werden. Zuweilen fallt es schwer, sich vorzustellen, wie unbeweglich man fruher in dieser Hinsicht gewesen ist!

3.2.1 Randbedingungen Hier sollen die Randbedingungen nur auf der Ebene der auBeren Freiheitsgrade einer Struktur formuliert werden. Erst in Kapitel 7 kommen dann noch innere Randbedingungen hinzu wie Vorspannungen oder Warmedehnungen. Im Normalfall wird fur die Randbedingungen festgelegt, daB jeder Struktur-Freiheitsgrad in eine von zwei Klassen fallt (spater konnen es noch mehr werden): Klasse 1 2

1

Verschiebungen unbe kannt bekannt

Krafte be kannt unbekannt

3.2 Losung

183

Diese Unterteilung kann als eine Transformation der Form (3.2) angegeben werden:

Hierin sind UA die Verschiebungen in den bisher benutzten Struktur-Freiheitsgraden, sind die Verschiebungen in den unterteilten Freiheitsgraden und ist die sie verbindende Transformationsmatrix. D e r hochgestellte Index x zahlt die Klassennummer. D a spater noch andere Klassen dazukommen werden, wurde fur ihn keine Obergrenze festgelegt. D e r Index A X zahlt die Freiheitsgrade in der Klasse x bis zu ihrer Obergrenze N X . D a die Gesamtzahl der Freiheitsgrade unverandert ist, gilt

US

TL,

Die Klassen-Umordnungsmatrix T A X ist ebenso wie die Koinzidenzmatrix eine Boolesche Matrix:

TGx = 1

=

,

0,

wenn Freiheitsgrad A der urspriinglichen Zahlung mit Freiheitsgrad A X in der Randbedingungsklasse x zusammenfallt; in allen anderen Fallen.

Durch die Klasseneinteilung werden die Freiheitsgrade lediglich umsortiert. Auch hier wird man, wie bei der Koinzidenz, ein Schema verwenden, um den Vorgang effektiv zu machen. Die umsortierte Steifigkeitsmatrix ergibt sich nun aus ( 3 . 4 )

Dies sieht komplizierter aus als es ist. Bevor dies am Beispiel demonstriert wird, hier noch eine kurze Anmerkung: Es kommt haufiger vor, daB die Randbedingungen nicht auf die gegebenen Struktur-Freiheitsgrade passen.

f'! t

oder

+ 1

2

Bild 3.7: Geneigtes Auflager.

Zum Beispiel lassen sich die in Bild 3 . 7 links gezeigten Freiheitsgrade nicht auf das geneigte Auflager abbilden. Hier muB eine Richtungstransfor-

184

3. Lineares FE-Model1

mation fur die Struktur vorgenommen werden, wie sie in Abschnitt 3 . 1 . 2 fiir die Elemente gezeigt wurde. Ohne eine Transformation kommt man aus, indem man, wie im Bild rechts gezeigt, zusatzlich einen geneigten Stab anbringt, der die Auflagerung annahert. Dieser Stab sollte zwar steif sein, aber nicht zu sehr, weil sonst numerische Schwierigkeiten auftreten. Das i n den vorhergehenden Abschnitten begonnene Beispiel wird fortgesetzt. Bild 3.8 zeigt links die f e r t i g zusammengesetzte Struktur m i t Auflagern, e i n e r Zwangsverschiebung und Belastung. Rechts s i n d die Freiheitsgrade i n die zugehorigen Klassen unterteilt.

1F = l O

4 1

Klasse 1

Klasse 2

Bild 3.8: F a c h w e r k mit Randbedingungen. Im Klassen-Umordnungsschema werden die Indexkombinationen notiert, f u r die die Matrix T A X von (3.22) den Wert 1 annimmt.

U m n u n z u m Beispiel festzustellen, w o h i n der Freiheitsgrad 3 der Struktur zu sort i e r e n k t , sieht m a n bei A = 3 n a c h und findet die Klasse x = 2 und darin den Freiheitsgrad A X = 3. Dies muR m a n f u r alle Koeffizienten KAB durchfiihren. F u r die H a n d r e c h n u n g faRt m a n die Teilmatrizen am besten i n e i n e r Blockmatrix zusammen.

= =

1 1 =

Y BY

AX,x

2 1 2 2

3 4

Hieraus k a n n m a n die benotigten Untermatrizen leicht e n t n e h m e n . W i e ersichtlich, ist die Gesamtmatrix symmetrisch.

3.2.2 Auflosung Nach der Umordnung durch die Randbedingungen ist das Kraft-Verschiebungsgesetz

( A X =l...NX;BY=l . . . N Y ; x , y

=

1 , 2...) .

Eine bessere ubersicht erhalt man, wenn man dies durch ~ b e r m a t r i z e nin symbolischer Schreibweise darstellt. (3.25)

Die Steifigkeitsmatrizen sind bekannt, ebenso die Krafte F1 und die Verschiebungen Gesucht sind also die Verschiebungen und die Krkifte F2.

u2.

u1

Aus der ersten Zeile von ( 3 . 2 5) ergibt sich

u1

F~ = K l 1

I-

K12

u2 .

Alle bekannten GroRen werden auf der rechten Seite zusammengefaBt: ~

l U l1 =

~l

-

K~~ U 2 .

(3.26)

Zuruckiibersetzt in Indexschreibweise ist dies

Dies ist ein lineares Gleichungssystem der Form ( 1 . 7 7); aus dem die N 1 un1 bekannten Verschiebungen UBl zu berechnen sind. Voraussetzung hierfur ist, daB die Koeffizientenmatrix, wie in ( 1 . 7 9) gefordert, nicht singular ist: det (K")

#

0 .

(3.28)

Dies wird nur dann erfullt sein, wenn eine hinreichende Auflagerung dafur sorgt, daR sich die Struktur oder Teile davon nicht als starre Korper bewegen konnen, denn nur dann sind die Verschiebungen eindeutig bestimmbar. Erst mit Hilfe der Dynamik werden wir in der Lage sein, auch ungefesselte Strukturen zu berechnen. 1 2 Sobald nun die Verschiebungen UBi bekannt sind, lassen sich die Krafte FB2 aus der zweiten Zeile des Gleichungssystems (3.2 5) berechnen. Sie ist

F~

=

K~~

u1 +

K~~

oder in Indexschreibweise

u2

(3.29)

186

3. Lineares FE-Model1

(B'

=

I . . . N ~ ; A ~ ;I B. .~. = N~).

Dies ist eine einfache Matrizenmultiplikation, deren Aufwand im Verhaltnis zur Losung von ( 3 . 2 7 ) unbedeutend ist. Fiir das laufende Beispiel wurden die durch die Klasseneinteilung entstandenen Untermatrizen der Steifigkeitsmatrix bereits berechnet. In Bild 3.8 sind auch die vorgegebenen Krafte und Verschiebungen eingetragen. Sie sind in der Anordnung der Freiheitsgrade der Randbedingungsklassen:

Die Gleichung (3.26) ist nun mit bereits fertig ausgerechneter rechter Seite

Daraus folgt die Losung

Dies wird in (3.29) eingesetzt und liefert die Auflagerkrafte

Wie man leicht feststellt, sind die Gleichgewichtsbedingungen befriedigt.

3 . 2 . 3 Losungsalgorithmen Die Berechnung der unbekannten Verschiebungen setzt die Losung des linearen Gleichungssystems ( 3 . 2 7) voraus. ErfahrungsgemaR wird hierbei ein groBer Teil der Rechenzeit einer Finit-Element-Berechnung verbraucht. Man konnte sich nun auf den Standpunkt stellen, daB es Sache der Programmierer ist, einen effizienten Algorithmus auszusuchen und in ein Finit-Element-Programm einzubauen. So verstandlich diese Ansicht ist, so wenig hilft sie einem Ingenieur, wenn das von ihm benutzte Programm mit unverstandlichen Fehlermeldungen abbricht. Aus diesem Grund wurde in Abschnitt 1 . 4 einiges Material zusammengestellt, um die wichtigsten Eigenschaften von linearen Gleichungen und ihren Losungsalgorithmen darzustellen. Die Aufgabe ist jetzt, das, was von den Finit-Element-Modellen bisher bekannt ist, mit der Losung linearer Gleichungssysteme in Verbindung zu bringen. Die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems ist die Steifigkeits11 matrix K 1 1. Sie ist A B

-

symmetrisch, positiv definit, moglicherweise schlecht konditioniert, schwach besetzt.

Die Symmetrie von Steifigkeitsmatrizen wurde zuletzt in (3.6) nachgewie-

3.2 Losung

187

sen. Deswegen braucht nur ein Dreieck der Steifigkeitsmatrix berechnet und gespeichert zu werden. Bei einem direkten Losungsverfahren, das heiBt also bei der Verwendung einer Dreieckszerlegung, kommen die in Abschnitt 1.4.6 beschriebenen Vereinfachungen zur Anwendung. Die positive Definitheit ist fiir stabile Strukturen immer gewahrleistet. Die Stabilitat driickt aus, daB eine beliebige Verformung eine positive Arbeit erfordert. Anderenfalls wiirden selbst kleine Storungen den Zusammenbruch einer Struktur verursachen. Fur die Dreieckszerlegung bedeutet dies, daB alle Drehelemente positiv und nicht null sind. In dem Algorithmus ( 1 . 1 0 9 ) konnen dann die Vorzeichen- und Absolutfunktionen fortfallen. Der so vereinfachte Algorithmus ist nach Cholesky benannt. AuBerdem werden Zeilen- und Spaltenvertauschungen unnotig, womit die Profillinie wahrend der Dreieckszerlegung konstant bleibt. Eine schlechte Konditionierung entsteht immer dann, wenn Elemente mit sehr unterschiedlichen Steifigkeiten in derselben Struktur zusammengebaut werden. Dies kann in der GroBe oder den elastischen Eigenschaften der Elemente begrundet sein, es tritt aber auch auf bei unterschiedlich definierten Freiheitsgraden, wie zum Beispiel an Balken oder Platten mit ihren Translations- und Drehfreiheitsgraden. Eine schlecht konditionierte Matrix ist, mathematisch unsauber formuliert, ,,fast singularcc. Bei der Losung treten groBe numerische Genauigkeitsverluste auf, was im Zusammenhang mit ( 1 . 9 8 ) diskutiert wurde. Abhilfe kann durch eine groBere Stellenzahl in der Arithmetik geschaffen werden. GroBere Finit-Element-Programme; die ja auf universelle Anwendung zugeschnitten sein mussen, verwenden deshalb grundsatzlich die >>doppelteGenauigkeitcc, das heiBt das Aquivalent von wenigstens 14 Dezimalstellen. Eine schwach oder nicht vollbesetzte Steifigkeitsmatrix entsteht dadurch, daB die Elemente in einer Struktur nur mit ihren unmittelbaren NachbarElementen verbunden sind. Sehr viele Koeffizienten oder sogar der weitaus groBte Teil hiervon sind deshalb null. Diese Eigenschaft unterscheidet die Finit-Element-Methode grundsatzlich von analytischen oder halbanalytischen Methoden, wie zum Beispiel der Randelement-Methode, die alle auf vollbesetzte, allerdings kleinere, Matrizen fuhren. In Abschnitt 1 . 4 wurde die Besetzung der Koeffizientenmatrix bereits ausfuhrlich behandelt. Zu ihrer Ausnutzung besteht als erstes die Moglichkeit, ein iteratives Losungsverfahren zu wahlen. Bei einer geeigneten Speichertechnik brauchen dann nur die von null verschiedenen Koeffizienten abgelegt zu werden. Der ubliche Weg fuhrt uber die Dreieckszerlegung, das heiBt, wie oben schon gesagt wurde, uber den aus ( 1 . 1 0 9 ) durch Vereinfachung erzeugten Cholesky-Algorithmus. Der zugehorige Umgang mit der Profillinie wurde in Abschnitt 1 . 4 bereits behandelt. BloB erwahnt wurde dort jedoch nur,

188

3. Lineares FE-Model1

daB man durch Zeilen- oder Spaltenumstellungen gunstigere Profillinien erzeugen kann. Dieser Vorgang laBt sich am besten an einem der Koeffizientenmatrix zugeordneten Graph erklaren. Dieser Graph ist praktisch identisch mit der Finit-Element-Struktur. Deshalb sol1 das Thema hier behandelt werden. In den folgenden Betrachtungen kommt es weniger auf die einzelnen Freiheitsgrade an, als auf deren Verbindungen zueinander. Deshalb ist e s vollig ausreichend, nur die Knoten zu betrachten, an denen die Freiheitsgrade angreifen. Man kann sich auch vorstellen, daB die gezeigten Knoten nur je einen Freiheitsgrad besitzen. In Bild 3 . 9 ist ein aus Staben zusammengesetzter Ring mit zwei verschiedenen Knotennumerierungen gezeigt.

8

5

Bild 3.9: K n o t e n n u m e r i e r u n g e n a n e i n e m Ring.

Bei den zugehorigen Steifigkeitsmatrizen interessiert nur die Belegung mit von null verschiedenen Koeffizienten. Solche Belegungsplane wurden auch schon in Abschnitt 1 . 4 benutzt. Bild 3 . 1 0 zeigt die Belegungsplane fur die beiden Numerierungen von Bild 3 . 9 . X X X

x

ILL

XL X

X

X

symmetrisch

x x

symmetrisch

-I X

x x

Bild 3.10: Belegungsplane u n d Profillinien fiir die Numerierungen von Bild 3.9.

Obwohl die Numerierungen sehr unterschiedliche Belegungen erzeugen, sind die Zeilen-Bandbreiten-Parameter mi fur beide Falle gleich. Also ist auch der Aufwand fur eine Dreieckszerlegung bei Ausnutzung der Profillinie nach ( I .11 3) in beiden Fallen derselbe. Wenn aber ein Band-Algorithmus eingesetzt wird, in dem nur die Bandbreite der gesamten Matrix m von (1.10 ) maBgeblich ist und nicht die der einzelnen Zeilen, dann ist die linke Anordnung mit m = 7 der rechten mit m = 2 deutlich unterlegen. Das Beispiel zeigt, daB die Bandbreite einer gesamten Matrix und deren

Profillinie zwei deutlich verschiedene Dinge sind. Trotzdem werden beide zunachst in einen Topf geworfen, wenn von den sogenannten BandbreitenOptimierern gesprochen wird. Bei Gleichung (1.9 7 ) wurde schon darauf hingewiesen, daR man hier eher von Profil- Verbesserern reden sollte. Als Beispiel fur die Durchfuhrung von Knotennumerierungen soll das in Bild 3.1 1 dargestellt Fachwerk dienen.

Bild 3.11: Erste Knotennumerierung eines Fachwerks und Belegungsplan der zugehorigen Steifigkeitsmatrix. 1 2 3 4 5 6 7 X X X

I____

8

91011

x x x x x l

X X

X X X X X X X X X X X X X X

Bild 3.12: Zweite Knotennumerierung mit Hilfe des Cuthill-McKee-Algorithmus und Belegungsplan der zugehorigen Steifigkeitsmatrix.

Bei der in Bild 3.1 1 gezeigten Numerierung wurde keine Rucksicht auf die Bandbreite und das Profil des Belegungsplanes genommen. Infolgedessen ist das Ergebnis auch recht maBig. Nun soll der Cuthill-McKee-Algorithmus auf dasselbe Problem angewendet werden. E r lautet:

Die Knoten werden in einer aufsteigenden Folge von 1 bis N numeriert. Beginne mit einem Knoten, der moglichst wenige Verbindungen zu angrenzenden Kno ten hat. Dies ist die Ebene 1. Die Ebene 2 enthalt alle hieran angrenzenden Knoten. Sie werden in einer beliebigen Folge weiternumeriert. Fahre auf dieselbe Weise fort mit der Ebene 3, 4 u.s.w., bis alle Punkte numeriert sind.

(3.31)

190

3. Lineares FE-Model1

Die von dem Algorithmus verfolgte Strategie ist, moglichst viele Ebenen zu erzeugen, damit die Knotennummern-Differenz klein bleibt. In Bild 3 . 1 2 ist das Ergebnis einer Numerierung rnit dem Cuthill-McKee-Algorithmus gezeigt. Als Anfangspunkt wurde der Punkt 11 der ersten Numerierung gewahlt. Die Ebene 2 besteht dann aus den Punkten 2 und 3 der neuen Numerierung. Alle weiteren Punkte fallen in die Ebene 3. Der Anfangspunkt hat zwar nur zwei Verbindungen, diese fuhren aber in das Innere der Struktur, so daB sehr schnell eine breite Front entsteht, das heiBt, die Ebenen enthalten viele Knoten. Die Profillinie ist infolgedessen auch sehr ungunstig. Fur solche Falle gibt es dann eine Fortsetzung, den umgekehrten CuthillMcKee-Algorithmus: Kehre die gefundene Numerierung um.

(3.3 2)

Hierdurch wird die Bandbreite nicht geandert, aber die Profillinie. In Bild 3 . 1 3 ist das Ergebnis gezeigt.

Bild 3.13: Dritte Knotennumerierung rnit Hilfe des umgekehrten Algorithmus und Belegungsplan der zugehorigen Steifigkeitsmatrix.

Die Profillinie ist jetzt sehr gunstig, rnit dem quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter = 2.2 8.

m

Es gibt heute effizientere Numerierungs-Algorithmen als den von CuthillMcKee. Das Vorgehen bleibt aber ahnlich. Anstatt rnit einer willkurlichen Numerierung anzufangen, kann man auch die Elemente und ihre KnotenNumerierungen von vornherein in einer Reihenfolge erzeugen, die dem Vorgehen im Cuthill-McKee-Algorithmus sehr ahnlich sind. Dies ist die Strategie von vielen Netzgenerierern, rnit denen gegebene Flachen und Korper rnit finiten Elementen ausgefullt werden. Auch hier wird man jedoch immer noch versuchen, eine anschlieBende Verbesserung herbeizufuhren.

3.2 Losung

191

Ein ganz anderer Weg zur Verringerung des Aufwands wird durch die Frontlosungs-Methode beschritten: Der Zusammenbau der Steifigkeitsmatrix aus den Element-Matrizen und die Dreieckzerlegung werden ineinander verschachtelt. Hierbei mussen die Element-Nummern in eine moglichst giinstige Folge gebracht werden. Dies ist deutlich einfacher als bei der Knoten-Numerierung. Der Vorteil des Verfahrens liegt in der kleineren Datenmenge, die gleichzeitig im Speicher des Rechners zur Verfugung stehen muB. Nachteilig ist, daB die vereinigten Algorithmen wesentlich komplexer werden als jeder fur sich allein.

3 .2.4 Elimination In der Regel enthalt ein Finit-Element-Model1 sehr viele Freiheitsgrade nur deshalb, weil sie zum Zusammenbau der Struktur benotigt werden. Es greifen in ihnen keine auBeren Krafte oder vorgegebene Verschiebungen an. Der Gedanke liegt nahe, sie vorab zu eliminieren, um die Losung dann an einem kleineren Gleichungssystem vornehmen zu konnen. Es wird sich allerdings zeigen, daB hierdurch auch ernsthafte Nachteile entstehen konnen, die eine Elimination im Normalfall unattraktiv machen. Dies lafit sich jedoch besser erklaren, nachdem das Vorgehen beschrieben wurde. Zur Elimination sollen nur solche Freiheitsgrade ausgewahlt werden, in denen die auBeren Krafte null sind. Diese Festlegung ist zwar nicht unbedingt notwendig, aber sinnvoll. Nach Abschnitt 3.2.1 werden Freiheitsgrade, in denen Krafte vorgegeben sind, in die Randbedingungsklasse 1 einsortiert. Diese Klasse wird nun aufgeteilt in zwei, so daB zwischen den Freiheitsgraden unterschieden wird, die beibehalten und die eliminiert werden sollen. Insgesamt ergibt sich dadurch folgende Einteilung: Klasse

1 2 3

I

Verschiebungen

Krafte

unbe kannt bekannt unbe kannt

bekannt unbekannt bekannt = 0

Die Randbedingungsklasse 2 bleibt unverandert, wahrend aus der Klasse 1 alle die Freiheitsgrade in die Klasse 3 sortiert werden, die eliminiert werden sollen. Das bedeutet aber nicht, daB in der Klasse 1 nicht auch noch Freiheitsgrade vorkommen, in denen die auBeren Krafte null sind. Durch das Hinzufugen einer Randbedingungsklasse andert sich an den Transformationen und Definitionen ( 3 . 2 0 ) bis ( 3 . 2 4 ) nichts. Der Klassenindex x durchlauft jetzt lediglich die W e r t e 1 bis 3. Aus der Darstellung in symbolischer Matrizenschreibweise ( 3 . 2 5) wird jetzt

192

3. Lineares FE-Model1

Mit Hilfe der dritten Zeile lassen sich die Verschiebungen u3 ausdriicken:

Dies setzt voraus, daR die Teil-Steifigkeitsmatrix K~~ nicht singular ist. Durch Einsetzen von ( 3 . 3 4) in die ersten zwei Zeilen von ( 3 . 3 3) erhalt man:

Die hierin auftretenden, modifizierten Steifigkeitsrnatrizen sind

Der Ablauf der Berechnungen ist: Aus ( 3 . 3 6 ) werden die modifizierten Steifigkeitsmatrizen berechnet; hiermit werden die Gleichungen ( 3 . 3 5) gelost, wie das in (3.2 6) und ( 3 . 2 9 ) beschrieben ist; danach werden die Verschiebungen in den eliminierten Freiheitsgraden aus ( 3 . 3 4) ermittelt. Das Gleichungssystem ( 3 . 3 6) ist um die Zahl der eliminierten Freiheitsgrade N~ kleiner als das Ausgangssystem (3.3 3). Der kombinierte Aufwand fur die Elimination und die Losung wird aber keinesfalls kleiner, als der fur die einmalige Losung des ursprunglichen Problems. Dies liegt daran, daR die Elimination nichts weiter ist als die Vorwegnahme eines Teils einer Dreieckszerlegung, allerdings mit dem Nachteil, daB die Teilmatrix K~~ invertiert werden muR, was mit (1.10 6) aufwendiger ist als eine Dreieckszerlegung. AuBerdern konnen die modifizierten Matrizen von ( 3 . 3 6) sogar voll besetzt sein, selbst wenn die Ausgangsmatrizen dies nicht waren. Eine Elimination sollte allerdings immer in Betracht gezogen werden, wenn nicht nur eine einmalige Losung eines statischen Problems verlangt ist. Dies trifft zu bei wiederholten Variantenberechnungen, Optimierung, dynamischen und nichtlinearen Problemen. Auch bei sehr groBen, in Substrukturen unterteilten Anwendungen konnen gezielte Eliminationen innerer Freiheitsgrade erhebliche Einsparungen verursachen. Mehr hierzu findet sich in Kapitel 7 . Die Belastungen des Fachwerks von Bild 3.8 lassen eine Elimination des Freiheitsgrades 5 zu. In Bild 3.14 ist die hierzu notwendige Klasseneinteilung gezeigt.

und

Klasse 1

Klasse 2

Klasse 3

Bild 3.14: Fachwerk mit Randbedingungen und Elimination. Das zugehorige Klassen-Umordnungsschema ist:

Die i n Abschnitt 3.1.3 berechnete Steifigkeitsmatrix ist dann nach dem Umsortieren:

Nach der Ausfiihrung von (3.36) ergeben sich daraus die modifizierten Steifigkeitsmatrizen:

Die Belastungen bezogen auf die neu definierte Randbedingungsklasse 1 sowie die vorgegebenen Verschiebungen des Beispiels sind:

*

Aus (3.26) und (3.29) folgt dann, w e n n man die Matrizen KXY durch KXY ersetzt:

Die Verschiebung i n dem eliminierten Freiheitsgrad ergibt sich aus (3.34):

194

3. Lineares FE-Model1

US

=

l o p 6 , [ 150,89 ] .

Diese Ergebnisse sind identisch mit denen aus Abschnitt 3.2.2.

3 . 2 . 5 Starre Auflager Ein ahnliches Vorgehen, wie es im vorhergehenden Abschnitt fur die Randbedingungsklasse 1 gezeigt wurde, kann man auch fur die Klasse 2 anwenden: Es werden diejenigen Freiheitsgrade abgespalten, fur die die Verschiebungen als null bekannt sind, das heiBt also die der starren Auflager. Hierdurch verringert sich die GroBe des zu losenden Gleichungssystems ( 3 . 2 6 ) zwar nicht, aber es werden unnotige Gleichungen aus dem Gesamtsystem entfernt, beziehungsweise man braucht sie gar nicht erst aufzustellen. Dies ist vor allem in der Handrechnung von Beispielen angenehm. Die Randbedingungsklasse 2 wird aufgeteilt in solche Freiheitsgrade, in denen die bekannten Verschiebungen ungleich null sind und in eine neue Klasse 4 , die alle Freiheitsgrade enthalt, deren Verschiebungen von vorneherein null sind. Die zugehorige Einteilung ist nun: Klasse

1

1

I

4

1

Verschiebungen

Krafte

unbekannt bekannt # 0 bekannt = 0

bekannt unbekannt unbekannt

Eine Randbedingungsklasse 3 aus dem vorhergehenden Abschnitt kann naturlich auch noch existieren. Wie schon bei der Elimination bleiben auch hier die Gleichungen ( 3 . 2 0 ) bis ( 3 . 2 4 ) unverandert, auBer daB der Klassenindex jetzt die W e r t e 1, 2 und 4 durchlauft. Aus ( 3 . 2 5) wird nun

Da die Matrizen in der letzten Spalte mit null multipliziert werden, konnen sie weggelassen werden. Es bleibt iibrig:

Die ersten beiden Matrizenzeilen sind identisch mit ( 3 . 2 5). Sie werden also so gelost, wie in ( 3 . 2 6 ) und ( 3 . 2 9 ) angegeben. Danach steht die letzte Zeile zur Verfiigung, urn die Auflagerkrafte in den Freiheitsgraden der Klasse 4 zu ermitteln. Sind diese nicht von Interesse, ist auch die Berechnung der Matrizen K4* und K~~ unnotig.

3.2 Losung

195

F u r das laufende Beispiel sind i n Bild 3.15 die Freiheitsgrade i n die Klassen 1; 2 u n d 4 unterteilt.

Bild 3.15: F a c h w e r k mit Randbedingungen u n d Abspaltung der Freiheitsgrade der s t a r r e n Auflager. Das h i e r z u benotigte Klassen-Umordnungsschema ist:

D a der Berechnungsablauf i m wesentlichen dem von Abschnitt 3.2.2 entspricht, soll h i e r auf seine D u r c h f u h r u n g verzichtet werden.

u b u n g 3.10: A n dem F a c h w e r k von u b u n g 3.6 soll e i n e Kraft F 1 = F angebracht werden, sowie die Verschiebungen U 5 = U 7 = U u n d U 6 = U , = 0. Berechnen Sie die u n b e k a n n t e n Verschiebungen und Krafte. u b u n g 3.1 1: Stellen Sie a u s u b u n g 3.5 e i n e Balkenkette f u r n = 2 her. Es sollen n u n die Freiheitsgrade 2, 4 und 6 eliminiert, die Freiheitsgrade 1 und 5 aufgelagert ( U = 0) und i m Freiheitsgrad 3 e i n e K r a f t F = 12 angebracht werden. Setzen Sie z u r V e r e i n f a c h u n g E I / l 3 = 1 u n d b e r e c h n e n Sie die Verschiebungen u n d K r a f t e i n samtlichen Freiheitsgraden. u b u n g 3.12: D e r Freiheitsgrad 3 des gezeigten Stabes ist so definiert, daR eine darin ausgeubte Kraft e i n e Streckenlast beschreibt. 1

---

3

ka,

=

-

2a2

2

-1-

e2 21'

symm.

-31 31 6 -

Wie verandert sich die Steifigkeitsmatrix, w e n n der Freiheitsgrad 3 eliminiert wird? u b u n g 3.13: Gegeben ist e i n Netz von 5 ma1 n Knoten.

Belegen Sie dieses Netz a) mit 4-Knoten-Elementen, b) mit 9-Knoten-Elementen.

196

3. Lineares FE-Model1

Numerieren Sie die Knoten des Netzes zeilenweise und ermitteln Sie die zugehorigen Belegungsplane der Steifigkeitsmatrizen (ein Freiheitsgrad pro Knoten). Wenn Sie links oben die Numerierung mit Hilfe des Cuthill-McKee-Algorithmus beginnen, wieviel Ebenen miissen Sie i n den beiden Fallen durchlaufen, bis Sie zu einer zeilenweisen Numerierung gelangen? Mit welcher Numerierung erhalten Sie die geringste Bandbreite?

3.3 Berechnungsablauf In Tabelle 3.1 ist ein ~ b e r b l i c kuber den gesamten Berechnungsablauf gegeben, so wie e r bisher beschrieben wurde und wie e r hier noch zu Ebenen vervollstandigen sein wird. Wie in Tabelle 2.1 sind die >>hoheren<< nach oben gesetzt worden. Die eingeklammerten Zahlen sind Gleichungsnummern. Aufbau

Eingabe

Ruckrechnung

Anfang

Ende

Losung

Randbe dingungen

Struktur

RichtungsTransform. (optional)

. .

-.

Elemente

Tabelle 3.1: Ablauf einer Finit-Element-Berechnung.

In der mittleren Spalte sind die Eingabedaten abgelegt. Die Berechnung beginnt mit den Element-Steifigkeits-Matrizen und folgt der dick ausgezogenen Linie. Im linken Ast werden die Steifigkeits-Matrizen aufgebaut, wie es in Abschnitt 3 . 1 beschrieben wurde. Oben angekommen, wird die Losung von Abschnitt 3.2 vorgenommen. Daran schlient sich die Riickrechnung an,

3.3 Berechnungsablauf

197

von der bisher noch nicht die Rede war. Hierin werden die jetzt samtlich bekannten Verschiebungen der Reihe nach in die vorhandenen Transformationen eingesetzt, und damit der rechte? absteigende Ast bis zuruck auf die Element-Ebene verfolgt. Falls keine Richtungs-Transformation vorgenommen werden muB, entfallt der durch die punktierte Linie eingeschlossene Teil. Der im Diagramm gezeigte Umlauf endet bei den Element-Kraften f a ( e y Oft wird e r schon bei den daruber angeordneten Element-Verschiebungen beendet, wenn die inneren Krafte nicht interessieren. Stattdessen 'a ( e> berechnet man aus den Verschiebungen die Dehnungen und Spannungen im Inneren der Elemente. Dieser Vorgang konnte hier nicht dargestellt werden, weil dazu erst der Stoff von Kapitel 4 bekannt sein muB. Der Aufbau der Steifigkeits-Matrizen und die Losung wurden bereits i n den Abschnitten 3.1 und 3.2 erlautert. Das dort benutzte Beispiel wird hier fortgesetzt, um n u r noch die Ruckrechnung zu zeigen. Die berechneten und vorgegebenen Verschiebungen waren:

Fiir die Ausfuhrung von (3.20) wird das Klassen-Umordnungsschema gebraucht. Es war:

AX

2

2

4

Damit ergibt sich:

Das Koinzidenzschema war:

Damit ergeben sich aus (3.10) die Element-Verschiebungen:

Die Element-Krafte von (3.7) werden hieraus mit Hilfe der bei Bild 3.4 angegebenen Element-Steifigkeitsmatrizen berechnet (eine Richtungs-Transformation ist dann unnotig).

198

3. Lineares FE-Model1

3 . 3 . 1 ubungen u b u n g 3.14: Berechnen Sie die Elementkrafte zu u b u n g 3.10. u b u n g 3.15: In den beiden Teilstrukturen und i n der Gesamtstruktur von u b u n g 3.9 werden die Verschiebungen U13 = U14 = 10V3 , (I = 1,2), aufgebracht; die iibrigen Verschiebungen sind null. Ermitteln Sie daraus jeweils die Spannungen i n den Elementen. Die Dehnungen im Grundelement folgen aus E..

U

=

i

- -

UI1

-

U13

+

2(uz1

-

Der Elastizitatstensor sei isotrop mit A

UZ2)

=

;

8 und p

2(uz1 =

12.

-

uz3)

4 . Einfache finite Elemente

In Kapitel 3 wurde zwar schon vorausgesetzt, daB die mathematische Beschreibung der Elemente bekannt sei, doch ist sie es, bis auf wenige Beispiele, bis jetzt noch nicht. Der Grund fur dieses Vorgehen wurde schon angegeben: Es ist besser, zunachst zu wissen, wie man mit einem FinitElement-Model1 umgeht, bevor man sich mit den Einzelheiten der ElementDarstellungen befaBt. Zu viele Details versperren den ~ b e r b l i c k . Die Grundlage fur die Herleitungen ist das Prinzip der virtuellen Verschiebungen von Abschnitt 2.3.1 . Nur dieses fugt sich zwanglos in die Formulierungen ein und ist deshalb heute entweder als solches oder iiber den Umweg des Prinzips vom Minimum derpotentiellen Energie der meistbenutzt e Ausgangspunkt. Dies will nicht heiBen, daJ3 das Prinzip der virtuellen Krafte vollkommen untauglich fur die Herleitungen ware. Fur spezielle Aufgabenstellungen, zum Beispiel aus der technischen Biegelehre, hat es seine angestammte Berechtigung. Nur wird der Aufwand so groB, daB dabei leicht die VerhaltnismaBigkeit der Mittel verloren geht. Als ich (JW) vor Jahren noch ein weniger ausgereiftes Lehrprogramm anbot, uberraschte mich ein Student mit der Feststellung, die Elemente auf der Basis des Prinzips der virtuellen Krafte seien wohl die wichtigeren, denn sie nahmen einen vie1 breiteren Raum in meiner Vorlesung ein als die anderen. So kann man sich irren! Als mathematisches Rustzeug wird vor allem die Interpolation von Abschnitt 1 . 5 benotigt. Sie bildet den Kern der Beschreibung, denn durch sie wird die Approximation im Inneren der Elemente bestimmt. Weniger wichtig ist zunachst die numerische Integration von Abschnitt 1 . 6 , weil die Elementgeometrien so einfach sind, daB auch eine analytische Auswertung moglich ist. Erst bei den isoparametrisch verzerrten Elementen von Abschnitt 4 . 4 wird sie dann unentbehrlich.

4.1 Herleitungen Die zur Beschreibung von finiten Elementen benotigten Gleichungen sind vollstandig in Kapitel 2 enthalten. Sie werden hier noch einmal zusammen-

200

4. Einfache finite Elemente

gestellt, um den ~ b e r b l i c k zu erleichtern und zum Teil auch, um die diskreten Freiheitsgrade nach Richtung und Ort getrennt zu indizieren. Auf diese Moglichkeit wurde bereits in Kapitel 2 hingewiesen und noch einmal in Abschnitt 3 . 1 . 4 . Mit dieser Doppelindizierung lassen sich die Elemente wesentlich besser beschreiben als rnit einer einfachen. Die Beschreibung der Elemente erfolgt in orthogonal Cartesischen Koordinaten. Ob diese Koordinaten identisch sind rnit einem System, das fur eine Struktur insgesamt gilt, ist einstweilen unwichtig. Die Unterscheidung zwischen lokalen oder Element-Koordinaten und globalen oder StrukturKoordinaten wird erst bei den isoparametrischen Elementen von Abschnitt 4.4 wichtig. Ableitungen nach den Koordinaten werden rnit Hilfe der Konvention ( 1 . 5 2 ) aus der Tensorrechnung verkurzt dargestellt als 3 Zi - - u . ; etc.. C L

3 ~ . J

1,J

Alle Beziehungen werden von vornherein linearisiert.

4.1.1 Allgemeine Elemente Hier werden die fur die Formulierung von finiten Elementen benotigten Beziehungen aus Kapitel 2 zusammengestellt. Dabei wird fur die diskreten Freiheitsgrade die getrennte Indizierung nach Richtung und Ort verwendet. Die Beschreibung ist vollstandig bis auf die Festlegung, wie die kontinuierlichen Verschiebungen im Elementinneren rnit den diskreten Verschiebungen verknupft werden sollen. Damit fehlt noch das nHerzstuckcc der Definition eines Elements. Die zusammengestellten Gleichungen gelten also fur beliebige Elemente. Spater werden daraus zwei Klassen entstehen: die Struktur- und die Kontinuum-Elemente. Die Struktur-Elemente behandeln die raumlichen Richtungen unterschiedlich. Beispiele dafur sind die Kirchhoff-Elemente von Abschnitt 4 . 3 . In ihnen treten Langs- und Querrichtungen auf, fur die die Verschiebungen auf jeweils verschiedene A r t interpoliert werden. Fur Kontinuum-Elemente sind die raumlichen Richtungen gleichwertig. Beispiele hierfur sind die Lagrange-Elemente von Abschnitt 4 . 2 . Es werden Elemente rnit der Dimension c betrachtet, wobei c die W e r t e 1 , 2 oder 3 annehmen kann. Da alle mechanischen Gebilde dreidimensional sind, ist darunter folgendes zu verstehen: Ein Element der Dimension eins bekommt eine Querschnittsflache zugewiesen, ein Element von der Dimension zwei besitzt eine Dicke. Dadurch wird das Volumen v stets auf die Dimension drei ,,aufgefulltcc. Die Parameter Querschnitt und Dicke werden im allgemeinen als klein vorausgesetzt im Vergleich rnit den ubrigen Abmessungen eines Elements.

4.1 Herleitungen

201

Die Beschreibung eines Elements beginnt mit den Dehnungen. Hierzu wird der linearisierte Dehnungstensor (2.7) benutzt. Die Markierung, daB es sich dabei um die Linearisierung handelt, wird weggelassen.

Die Spannungen ergeben sich aus dem Elastizitatsgesetz ( 2 . 2 5).

Das aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen hergeleitete KraftVerschiebungs- Gesetz (2.4 0 ) wird so geschrieben: ; ( i , k = 1... c ; p , q = 1... n )

Die Indizes i und k zahlen die durch das Koordinatensystem aufgespannten Richtungen und p und q legen die jeweiligen Stellen fest, an denen die Freiheitsgrade definiert sind. Hierzu passend wird dann die SteifigkeitsMatrix von (2.4 2) ausgedriickt.

( i , j , k , I . m , n = l ... c ; p , q = l ... n ) Das vierfach indizierte Symbol k steht links fur die Steifigkeits-Matrix, rechts fur den Steifigkeits- oder Elastizitatstensor. Ein Blick auf die zugehorigen Indexbereiche zeigt, womit man e s jeweils zu tun hat. Mit (4 . l ) konnen die Dehnungen durch die Ableitungen der Verschiebungen ausgedriickt werden.

Wegen der Symmetrie des Elastizitatstensors ( 2 . 2 6 ) gilt

Hierdurch werden alle vier Terme unter dem Integral gleich, so daB man schreiben kann

( i , j , k , l , m , n = l... c ; p , q = l... n ) . Es ist eine Frage der weiteren Formulierung, ob ( 4 . 4 ) oder (4.5) die zweckmaBigere Darstellung sein wird.

202

4. Einfache finite Elemente

Es bleibt noch nachzutragen, daB die Steifigkeitsmatrizen symmetrisch sind, wie schon in ( 2 . 4 3 ) nachgewiesen wurde, und dal3 sie Gleichgewichtsbedingungen der Form ( 2 . 5 9 ) befriedigen.

Die in den Gleichgewichtsbedingungen ( 4 . 7 ) benutzten Freiheitsgrade u ~ beschreiben die Starrkorper-Bewegungen eines Elements. Fur sie wurde die einfache Indizierung beibehalten, weil sie nicht demselben Schema unterliegen wie die iibrigen Freiheitsgrade.

4.1.2 Kontinuum-Elemente Ein Kontinuum ist ein Raum, in dem es keine bevorzugten Richtungen gibt. Der dargestellte Raum ist isotrop. Angefullt ist dieser Raum mit einem Material, das sehr wohl auch anisotrop sein kann und den unterschiedlichsten Belastungen ausgesetzt ist. Ein kleines, aus dem Kontinuum herausgeschnittenes Stuck ist ein Kontinuum-Element. ~ b e rseine Erstreckung werden die das Materialverhalten und die Verformungen beschreibenden Funktionen als glatt vorausgesetzt. Der Zusammenhang zwischen den diskreten Verschiebungen und dem kontinuierlichen Verschiebungsfeld wird durch eine Interpolations-Bedingung der Form ( 1 . 1 2 4 ) hergestellt. ; ( i= l . . . c ; p = l . . .

.

Ein Interpolations-Operator D ( ) angewendet auf die kontinuierlichen P' Verschiebungen Zi,erzeugt die diskreten Verschiebungen u. Am einfachIP' sten verstandlich wird dies fur eine Lagrange-Interpolation: u . ist der 1P W e r t von an einer festgelegten Stelle p. Dies ist zugleich auch die am haufigsten angewendete Interpolation und kann gedanklich immer als Vorbild fur andere genommen werden.

zi

Durch ( 4 . 8 ) wird eine fiir alle raumlichen Richtungen gleiche Interpolation beschrieben. Dies ist die grundsatzliche Festlegung fur alle KontinuumElemente. Aus ihr ergeben sich eine Reihe von Folgerungen, die als nachstes betrachtet werden sollen. Dafur ist der weitere Ablauf bereits in Abschnitt 1 . 5 . 1 vorgezeichnet. Es wird ein Basisvektor zr festgelegt, der normalerweise aus Monomen aufgebaut wird wie in Abschnitt 1 . 5 . 1 und ebenso viele Terme enthalt wie

~

4.1 Herleitungen

203

der Interpolations-Operator. Mit ( 1 . 1 2 9) folgt daraus die (verallgemeinerte) Vandermonde-Matrix

von der wie in ( 1 . 1 3 0 ) angenommen wird, daB sie nicht singular ist. Mit ( 1 . 1 3 1) ergeben sich dann die Formfunktionen

von ( 1 . 1 2 6) sind hier die kontinuierlichen Die Interpolations-Funktionen Verschiebungen Mit (4.8) folgt

ci.

2. = C p 1

u. n 'PP

; (i= l...c;p= l...n).

ci

Hiermit lassen sich die Verschiebungen im Inneren des Elements an jeder beliebigen Stelle berechnen, sobald die diskreten Verschiebungen uip bekannt sind. Die Ableitungen der Verschiebungen nach den Koordinaten ergeben sich daraus als

Aus (4.1) folgen damit die Dehnungen und aus ( 4 . 2 ) die Spannungen. Haufig werden die Dehnungen selbst nicht benotigt, sondern nur die Spannungen. In diesem Fall lohnt es sich ( 4 . 1 ) und ( 4 . 1 2) in (4.2) einzusetzen und mit der Symmetrie des Dehnungstensors zu vereinfachen. In den Simplex-Elementen von Abschnitt 4 . 2 . 1 sind die Dehnungen und Spannungen konstant. In allen hoheren Elementen sind sie variabel. Zu ihrer Berechnung muB man eine eigene Diskretisierung einfiihren, in der Punkte festgelegt werden, die fur die Berechnung besonders vorteilhaft oder reprasentativ sind. Solche Punkte finden sich in den Stutzstellen wirtschaftlicher Integrationsformeln, die fur die Berechnung der Steifigkeits- Matrix gebraucht werden. Fur diese Punkte sind die Ableitungen der Formfunktionen bereits berechnet und auBerdem zeigt es sich, daB dort die Dehnungen und Spannungen integrale Mittelwerte annehmen, die den exakten Werten besonders nahe kommen. In Abschnitt 5.3 wird diese Frage genauer untersucht. Zur Tendenz laBt sich sagen: Punkte auf den Elementrandern sind besonders ungeeignet, der Element-Schwerpunkt ist optimal. (Er ist die Integrations-Stutzstelle fur die optimale Integrationsformel mit dem niedrigsten Exaktheitsgrad). Trotz guter Genauigkeit wird das lokale Spannungsgleichgewicht (2.6 4) nur ausnahmsweise erfullt sein. Dies wurde in Abschnitt 2 . 3 . 3 erklart. Aus ( 4 . 1 2) lassen sich die Ableitungen nach den diskreten Verschiebungen herstellen.

204

4. Einfache finite Elemente

Dies wird in die Steifigkeits-Matrix ( 4 . 5 ) eingesetzt und vereinfacht.

(i,j,k,l

=

l...c;p,q= l...n)

Diese Gleichung wird zur Berechnung der Steifigkeits-Matrizen von Kontinuum-Elementen verwendet. Abgesehen von einfachen Fallen, vor allem in der Handrechnung, erfolgt die Integration numerisch. Hierzu mussen die Ableitungen der Formfunktionen und bei variablem Elastizitatstensor auch dieser an den Integrations-Stutzstellen berechnet werden. Diese W e r t e lassen sich fur die Dehnungs- und Spannungsberechnung wiederverwenden, wie es oben bereits im Zusammenhang mit ( 4 . 1 2 ) erlautert wurde. Fur formale Untersuchungen oder die analytische Herleitung von Steifigkeits-Matrizen ist es oft zweckmaBig; die Formfunktionen von ( 4 . 1 0 ) einzufuhren. Es entsteht

(i,j,k,l

=

l...c;p,q,r,s

=

l...n) .

0

Die Matrix kirks wird als Kern-Steifigkeitsmatrix bezeichnet. D a sie mit den Ableitungen des Basisvektors gebildet wird und nicht mit denen der Formfunktionen, ist sie ubersichtlicher aufgebaut als die eigentliche Steifigkeits-Matrix ( 4 . 1 3 ) . Ein konstanter Term im Basisvektor wird zum Beispiel eine Anzahl von Nullzeilen und -spalten in der Kern-Matrix erzeugen. Daran kann man sofort den Rang der Kern-Matrix ablesen, der sich in ( 4 . 1 4 ) unverandert auf die Steifigkeits-Matrix ubertragt. Fur die numerische Berechnung ist der W e g uber die Kern-Steifigkeitsmatrix aufwendiger als die direkte Berechnung mit ( 4 . 1 3 ) .

4.2 Lagrange-Elemente D e r Oberbegriff Lagrange-Elemente wird heute f ~ i r alle KontinuumElemente verwendet, in denen eine Lagrange-Interpolation benutzt wird.

4.2 Lagrange Elemente

205

Sie werden so haufig und oft ausschlieBlich angewendet, daB die Begriffe >>Lagrange-<>Kontinuum-Elemente fast zu Synonymen geworden sind. Das ist allerdings nicht korrekt, da es auch nutzliche Kontinuum-Elemente mit anderen Interpolationen gibt. In Abschnitt 1.5.1ist die Lagrange-Interpolation definiert: Sie verwendet die Funktionswerte an ausgewahlten Stutzstellen. Aus (4.8)wird dann

Die auBeren Verschiebungen u . sind Translationen parallel zu den Koordi1 P naten xi an den Stiitzstellen oder Knoten mit den Koordinaten x . In Bild JP' 4.1 ist ein Element gezeigt. "23

k

1

X1

Bild 4.1: Ebenes Lagrange-Element mit drei Knoten (Simplex-Element).

Die Vandermonde-Matrix von ( 3 . 9 ) ist dann ; ( i=

l... c ; r , p

=

l...

Lagrange-Elemente unterscheiden sich durch ihre Dimension, die Zahl und Lage der Knoten und durch ihre Basisvektoren. Es sind sehr unterschiedliche Benennungen in Gebrauch. Hier wird in erster Linie die Form eines Elements und der Grad der Interpolation maogebend sein, jedoch ohne daB diese Absicht immer strikt befolgt werden kann.

4.2.1 Simplex-Elemente Die einfachsten Elemente haben die Form eines topologischen Simplex. Ein solcher besitzt gerade so viele Ecken, wie zur Festlegung eines geradlinig berandeten Raumes einer gegebenen Dimension notwendig sind. Die topologischen Simplexe der Dimensionen eins, zwei und drei sind eine endliche Gerade, ein Dreieck und ein Tetraeder. In einer Dimension c besitzt ein Simplex also c + 1 Ecken. Dies sind die Knoten der Simplex-Elemente, an ( i = 1... c ; p = 1... c + 1) , angreifen. In denen die Verschiebungen u. 1 P' Bild 4.1 wurde ein zweidimensionales Simplex-Element vorgestellt.

206

4. Einfache finite Elemente

Eine quadratische Vandermonde-Matrix nach ( 4 . 1 6 ) ergibt sich, wenn der Basisvektor so viele Terme enthalt, wie das Element Knoten, also c + 1 . Dies reicht gerade aus, um die Monome eines vollstandigen, linearen Polynoms unterzubringen. Es wird festgelegt:

Diese Reihenfolge ist willkurlich, aber zweckmaBig, wie sich noch zeigen wird. Die Vandermonde-Matrix ( 4 . 1 6 ) ist dann

z

rP

=

x

rP

; r

=

1 . c

;

z

c+l,p

= 1

(4.18)

;

(p = l...c

+

1) .

Hierin sind x die Koordinaten der Knoten. Aus ( 4 . 1 7) ergeben sich die rP Ableitungen des Bas.isvektors Z

r , i - 'ri-

Damit folgt aus ( 4 . 1 0) fur die Ableitungen der Formfunktionen

Dies erklart, warum die Anordnung ( 4 . 1 7) gewahlt wurde: Stande das konstante Glied im Basisvektor nicht an letzter Stelle, dann muBte der Bereich des Index i unterbrochen oder mit i = 2 begonnen werden. In der hier benutzten Anordnung wird die letzte Spalte der inversen VandermondeMatrix nicht benotigt.

Urn die zusammengefaBte Berechnungsgleichung fur die Dehnungen zu erhalten, wird ( 4 . 1 9) in ( 4 . 1 2 ) und dies wiederum in ( 4 . 1 ) eingesetzt. Es folgt

Diese Dehnungen sind konstant uber den Bereich eines Elementes. Dies ist die niedrigste Stufe der moglichen Naherungen und kennzeichnend fur die Simplex-Elemente. Die Steifigkeitsmatrix ergibt sich aus ( 4 . 1 3) mit ( 4 . 1 9 )

Wenn man voraussetzt, daB der Elastizitatstensor kjjkl im Bereich eines Elementes konstant ist, dann sind alle Terme unter dem Integral konstant und es folgt:

4.2 Lagrange Elemente

207

Dies ist die Berechnungsgleichung fur die Steifigkeitsmatrix von SimplexElementen. Sollte der Elastizitatstensor nicht konstant sein, dann ist kijkl das integrale Mittel uber das Volumen. Es fehlt noch die Bestimmung des Volumens v. Die Berechnung von Integralen uber den Bereich von topologischen Simplexen ist eine besondere Kunst, die zu uberraschend einfachen Ergebnissen fuhrt. An anderer Stelle werden wir noch mehr davon zu sehen bekommen. Hier ist erst einmal das niedrigste Integral gefragt, namlich das uber eine Konstante. Wenn R der Bereich eines c-dimensionalen topologischen Simplex ist, dann gilt

Die Determinante ist von der bereits bekannten Vandermonde-Matrix ( 4 . 1 8 ) zu nehmen. Um hieraus nun das dreidimensionale Volumen v von (4.21) herzustellen, wird ein von der Dimension c abhangiger Volumenparameter b(c) definiert: b ( I) b(2) b(3)

=

Querschnittsflache A , Dicke t ,

=

1.

=

Wird der Bereich R hiermit multipliziert, ergibt sich immer ein dreidimensionales Volumen. J e nach Umlaufsinn der Knotennummerierung andert die Determinante der Vandermonde-Matrix ihr Vorzeichen. Unabhangig vom Umlaufsinn der Knotennummerierung folgt ein positives Volumen, wenn man den absoluten W e r t einfuhrt.

Aus dieser Gleichung ist auch abzulesen, daB die Knoten eines SimplexElementes niemals so gelegt werden durfen, daB das Volumen zu null wird. Anderenfalls entstehen degenerierte Elemente, die nicht berechenbar sind, weil keine inverse Vandermonde-Matrix existiert. D e r schon so oft als Beispiel benutzte Stab t a u c h t h i e r wieder auf als das i n Bild 4.2 gezeigte eindimensionale Simplex-Element.

t

1 o

1

-

px~

----.I

Bild 4.2: Eindimensionales Simplex-Element.

Querschnitt A

=

konst.

Elastizitatsmodul k 1111 = E = konst.

208

4. Einfache finite Elemente

Die Koordinaten der beiden Knoten seien

Der Koordinatenursprung wurde nicht festgelegt, um zu zeigen, daR e r k e i n e n EinfluR auf das Ergebnis hat. Allenfalls erzeugt e i n s e h r weit verschobener Ursprung numerische Probleme. Um diese zu minimieren, legt m a n den Ursprung meist mitten i n e i n Element. Auch die Lange P k a n n hier beliebig bleiben, da das Beispiel so einfach ist, daR die Vandermonde-Matrix analytisch invertiert werden kann. Aus (4.18) folgt n u n

Von der Inversen wird n u r die erste Spalte gebraucht. Sie ist

Bei der Inversion fallt auch die Determinante gleich mit an. Die Dehnungen von (4.20) sind n u n

Dieses Ergebnis wurde auch schon in Abschnitt 2.3.1 im Zusammenhang mit Bild 2.9 gefunden. D e r Unterschied i n der Berechnung ist, daR hier die Interpolation bereits vorab festgelegt war. Der Volumenparameter von (4.22) ist b ( I ) = A . Mit der schon berechneten Determin a n t e ergibt sich dann aus (4.23)

Fiir die Steifigkeitsmatrix folgt aus (4.2 1)

Auch dieses Ergebnis ist bereits bekannt. Das Beispiel ist atypisch, weil i n der Berechnung noch freie Parameter, wie z u m Beispiel die Lange 1,vorkommen. Vollstandig numerische D u r c h r e c h n u n g e n findet m a n i n den ubungen.

4 . 2 . 2 Hohere Simplex-Elemente Die im letzten Abschnitt beschriebenen Simplex-Elemente basieren auf einem vollstandigen linearen Verschiebungsansatz. Dieser laBt nur konstante Dehnungen, beziehungsweise Spannungen in den Elementen zu. Wegen dieser sehr groben Naherung werden Simplex-Elemente nur selten angewendet. Im praktischen Einsatz findet man stattdessen fast ausnahmslos Elemente

4.2 Lagrange Elemente

209

mit einem quadratischen oder kubischen Verschiebungsansatz. Seltener werden auch noch Elemente mit hoheren Ansatzen benutzt. Je hoher der Ansatz ist, desto nbessercc ist ein Element, aber desto aufwendiger ist seine Berechnung . Wenn die Verschiebungen durch hohere Polynome interpoliert werden, stellt sich die Frage, ob diese vollstandig oder unvollstandig sein sollen. Vollstandige Polynome sind richtungsinvariant, das heiBt, bei einer Koordinatendrehung bilden sie sich auf ein Polynom vom gleichen Grad ab. Diese Eigenschaft ist wiinschenswert, weil sie keine ungewollten Vorzugsrichtungen einfuhrt. Andererseits legt dies die Zahl Knoten in einem Element auf ganz bestimmte W e r t e fest, weil diese wegen ( 4 . 9 ) gleich der Zahl der Terme im Basisvektor sein muB. In Tabelle 4 . 1 sind diese Zahlen fur vollstandige Polynome angegeben. Grad

g

Dimension

c = l

2

3

Tabelle 4.1: Zahl der Monome von vollstandigen Polynomen.

Die Lage der Knoten kann weitgehend beliebig festgelegt werden. Besonders einfache Anordnungen, die auch fur die Anwendung vorteilhaft sind, ergeben sich fur Elemente in der Form topologischer Simplexe. Fur den Ansatzgrad eins sind diese bereits als die Simplex-Elemente vom vorhergehenden Abschnitt definiert worden. Fur hohere Ansatzgrade werden wieder die Ecken mit Knoten belegt und dann in regelmanigen Abstanden dazwischen so viele eingefugt, bis die benotigte Zahl erreicht ist. So entstehen die hoheren Simplex-Elemente. In Bild 4 . 3 ist ein zwei- und ein dreidimensionales Beispiel fur eine quadratische Interpolation der Verschiebungen gezeigt.

Bild 4.3: Zwei- u n d dreidimensionale h o h e r e Simplex-Elemente fiir den Ansatzgrad 2.

210

4. Einfache finite Elemente

Die Zwischenknoten liegen auf den Seitenmitten. Bei einer kubischen Interpolation ergeben sich 10: beziehungsweise 20 Knoten in einem regelmaBigen Netz. Im Gegensatz zu den Simplex-Elementen vom vorhergehenden Abschnitt wird die Integration zur Berechnung der Steifigkeitsmatrizen der hoheren Elemente nur selten analytisch ausgefuhrt. Fur die im allgemeinen wesentlich wirtschaftlichere numerische Integration muJ3 zunachst der notwendige Exaktheitsgrad der Integrationsformel bestimmt werden. A m einfachsten erfolgt dies anhand der Kernsteifigkeitsmatrix in ( 4 . 1 4 ) . Mit der ublichen Annahme, daB der Elastizitatstensor uber ein Element konstant ist, bleibt ~ Fiir, die ~ hoheren als Funktion unter dem Integral das Produkt zr, z Simplex-Elemente enthalt der Basisvektor zr die Monome eines vollstandigen Polynoms vom Grad g. Durch die Differentiation verringert sich der Grad um eins. Fur die exakte Integration des Produkts der Ableitungen ist deshalb eine Integrationsformel mit dem Exaktheitsgrad

erforderlich. Als Beispiel sol1 ein ebenes Element mit einem quadratischen Ansatz gewahlt werden, wie es in Bild 4.3, links, dargestellt ist. Die Knotenkoordinaten seien

wodurch ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Die Dicke sei t = 0 , l und der Werkstoff isotrop mit A = 120 und p = 180 (diese Zahlenwerte liefern ganzzahlige Ergebnisse). Der Basisvektor enthalt die Monome eines vollstandigen Polynoms zweiten Grades, also

Daraus folgen die Vandermonde-Matrix (4.16) und ihre Inverse

Zur Integration ist nach (4.24) eine Formel mit dem Exaktheitsgrad d = 2 erforderlich. Eine passende Formel ist in Tabelle 1.5 angegeben: Die Integrationsstutzstellen sind die Seitenmittenknoten; die Integrationsgewichte sind jeweils ein Drittel der Flache des Dreiecks, also wF = 1/6 ; ( p = 1.2.3). Der Index p zahlt die Integrationspunkte. Die fur die numerische Integration aufbereitete Gleichung (4.13) ist

4.2 Lagrange Elemente

211

D i e h i e r i n verwendeten Ableitungen der F o r m f u n k t i o n e n ergeben sich a u s (4.10):

Diese sind a n den Integrationspunkten p Seitenmittenknoten p = 4,5,6. M a n findet 1 1

2

2 1

1 , 2 , 3 a u s z u r e c h n e n , das heiRt a n den

=

=

3 2

1

2

=

Hiermit wird die Steifigkeitsmatrix berechnet.

33

15 33

8 2 24

3 3

3 3

9

-3 9

2 3 2 1 2 8 -8 -12 -8 -2 -32 -12 -12 24 88

symmetrisch

1 2 8 -12 3 2 8

12

8 20 - 2 4 88 - 2 0 88

12 -12 -8 -20 -64 20 20 -64 88 - 2 0 88

-12 -32 20 -20 -24 20 88

Dasselbe Beispiel soll auch noch b e n u t z t werden, u m die i n n e r e n Verschiebungen a n den Elementrandern zu untersuchen. Aus ( 4 . 1 1 ) folgt mit (4.10)

F u r den Rand 2-5-3 ergibt sich daraus mit e i n e m Parameter s , der a m P u n k t 2 gleich n u l l und am P u n k t 3 gleich e i n s s e i n soll:

Hier fallt auf, daR n u r die auReren Verschiebungen a n den Knoten 2 , 3 und 5, das heiRt a n den Knoten, die auf dem betrachteten Rand liegen, e i n e n EinfluR auf die i n n e r e n Verschiebungen haben. Bei den beiden a n d e r e n Randern ergibt sich e i n entsprechendes Verhalten. Dies liegt daran, daR die F o r m f u n k t i o n e n der nichtangrenzenden Punkte jeweils n u l l sind. In Bild 4.4 ist die Formfunktion n l aufgetragen. Sie ist n u l l uber den gesamten Rand 2-5-3.

Bild 4.4: Formfunktion n des Dreiecks-Elements mit quadratischem Ansatz.

212

4. E i n f a c h e f i n i t e E l e m e n t e

Ein wichtiger Gesichtspunkt, der fur die Benutzung von hoheren SimplexElementen spricht, ist ihre Kompatibilitat. An dem Beispiel wurde schon gezeigt, daB die inneren Verschiebungen entlang eines Randes nur von den aul3eren Verschiebungen abhangen, die an den Knoten eben dieses Randes angreifen. Fugt man nun gleichartige Elemente jeweils uber solche Rander aneinander, dann wird man ein stetiges Verschiebungsfeld erhalten, das n Element zu Element konform ohne Klaffungen oder ~ b e r s c h i e b u n ~ evon aneinanderpaBt. Diese Kompatibilitat bezieht sich auf die cO-~tetigkeit der Verschiebungen, das heiBt die nullten Ableitungen hiervon. Wie in Kapitel 5 nachgewiesen wird, ist sie erforderlich fur die monotone Konvergenz bei zunehmender Netzverfeinerung. Ohne zwingende Grunde sollte die Kompatibilitat nicht verletzt werden, denn die daraus entstehenden Fehler konnen einen erheblichen EinfluB in groben Finit-Element-Netzen ausuben. In Bild 4 . 5 ist je ein Beispiel fur einen kompatiblen und nichtkompatiblen Elementubergang gezeigt.

Element 1

Bild 4.5: Kompatibler u n d n i c h t k o m p a t i b l e r u b e r g a n g z w i s c h e n z w e i E l e m e n t e n m i t q u a d r a t i s c h e m Verschiebungsansatz.

Hier sollen noch die allgemeinen Bedingungen untersucht werden, unter denen kompatible ubergange der Verschiebungen zwischen Elementen entstehen. Es werden zwei Elemente der Dimension c betrachtet, die eine gemeinsame Flache der Dimension c - 1 besitzen. Die Elemente sollen den Ansatzgrad g erhalten. Fur einen stetigen ubergang der Verschiebungen uber die gemeinsame Flache ist ebenfalls der Ansatzgrad g erforderlich. Die Zahl der h i e r f i r benotigten Monome fur die Dimension c - 1 findet man in Tabelle 4 . 1 . Fur Lagrange-Elemente ist diese Zahl gleich der Zahl der Knoten auf der Trennflache. Ein Beispiel: Ein zweidimensionales Element mit kubischem Verschiebungsansatz besitzt nach Tabelle 4.1 zehn Knoten. Die eindimensionale, gemeinsame Kante zu einem Nachbarelement erfordert vier. Damit folgt die Bedingung fur kompatible ~ l e m e n t - u b e r g a n g e zwischen Lagrange-Elementen: Ein 6 -dimensionaler gemeinsamer Rand zwischen zwei Elementen mit dem Ansatzgrad g muh' soviel Knoten besitzen wie ein E -dimensionales Element mit demselben Ansatzgrad. Ob dieser Rand gerade oder gekrummt ist, spielt dabei keine Rolle. E r folgt der gemeinsamen Null-Linie, beziehungsweise -Flache der Formfunktionen der nicht zum Rand gehorenden Knoten. ~ b l i c hsind gerade Rander wie bei den hoheren

4.2 Lagrange Elemente

213

Simplex-Elementen. In Bild 4.4 ist der Rand 2-5- 3 eine Null-Linie der Formfunktion nl. E r ist aber auch, was im Bild nicht gezeigt k t , eine Null-Linie der Formfunktionen n 4 und n6, weil keine andere Kurve zweiten Grades durch die Punkte 2 , 5 , 3 gelegt werden kann. Die hoheren Simplex-Elemente besitzen kompatible Elementrander, wenn sie so aneinander gesetzt werden, daB ihre Kanten nicht gegeneinander verschoben sind. Ein Zusammenbau wie in Bild 4 . 5 , rechts, ist also zu vermeiden.

4.2.3 Produkt-Elemente Anstatt Dreiecke und Tetraeder als Bausteine fur zwei-, beziehungsweise dreidimensionale Kontinua zu verwenden, kann man auch Rechtecke und Quader einfiihren. Auf den ersten Blick handelt man sich damit eine geringere Flexibilitat fur die Modellierung ein, weil man nur rechteckige Umrisse nachbilden kann. Es muB aber jetzt schon darauf hingewiesen werden, daB in Abschnitt 4.4 die Moglichkeit eroffnet wird, durch die isoparametrische Transformation aus regelmaBigen Element-Geometrien weitgehend beliebige, verzerrte Formen herzustellen. Eine geringere Flexibilitat ist deshalb nicht zu befiirchten. Rechtecke und Quader erzeugen nordentlichere(( Finit-Element-Netze. Sie eignen sich auch besser dazu, weniger wichtige Knoten wegzulassen, um damit die Zahl der Freiheitsgrade zu reduzieren. Ihr Verhalten entspricht nicht ganz dem der hoheren Simplex-Elemente vom gleichen Ansatzgrad; unter gewissen Urnstanden sind sie etwas nachgiebiger: weil sie weniger scharfe Ecken haben. Generell laBt sich keine Aussage zugunsten der einen oder anderen Element-Familie machen. Oft entscheidet die Technik der Netzerzeugung daruber, welche Elemente anschlieBend verwendet werden. D a es, bildlich ausgedruckt, einfacher ist, eine Mauer aus Quadern aufzubauen als aus Tetraedern, besteht ein dringender Wunsch nach finiten Elementen in der Form von nordentlichen(( Bausteinen. Bild 4.6 zeigt zwei Beispiele hierfur.

1

9

2

Bild 4.6: Rechtwinklige ebene und raumliche Elemente ( (3.3)- und (3.3.3)-Lagrange Elemente).

214

4. Einfache finite Elemente

Traditionell werden solche Elemente aus dem Produkt der eindimensionalen Lagrange-Interpolationsformeln (1.13 4 ) hergestellt, wie dies in Abschnitt 1 . 5 . 3 gezeigt wurde. Ob allerdings die Berechnung uber die Produktbildung erfolgt oder direkt mit Hilfe des entsprechend zusammengesetzten Basisvektors, ist nebensachlich. Fur ein zweidimensionales Element ist der Basisvektor

In einem dreidimensionalen Element tritt auf der rechten Seite noch ein dritter Basisvektor hinzu. Die Indexgrenzen nl und n2 lassen erkennen, daB die Zahl der Knoten in den Richtungen unterschiedlich sein kann. D e r Basisvektor enthiilt die Monome eines vollstandigen Polynoms vom Grad n l - 1 in xl. Entsprechendes gilt fur die Richtung x2. Das hieraus gebildete Produkt bildet aber kein vollstandiges Polynom ab. Zum Beispiel ergibt sich aus ( 4 . 2 5) mit nl = n2 = 3 der Basisvektor

AuBer den Monomen eines vollstandigen Polynoms vom Grad zwei in x l und x 2 befinden sich noch hohere Terme im rechten unteren Dreieck. Die Richtungsinvarianz geht also verloren. Wie steht e s nun mit der Kompatibilitat? Hier gilt sinngemaB das gleiche, was uber die hoheren Simplex-Elemente gesagt wurde. Sie ist gegeben, wenn gemeinsame Kanten oder Flachen den entsprechend niedriger dimensionalen Elementen vom gleichen Ansatzgrad g entsprechen. Die aus der Produktbildung hervorgehenden Mischterme hoherer Potenz als g haben hierauf keinen EinfluB. Das sieht man leicht an dem oben fur ein ebenes Element angegebenen Basisvektor. Fur x 2 = konst. enthalt der Basisvektor nur konstante, lineare und quadratische Terme in x l ,das heiBt die Terme, die auch ein eindimensionales Element mit dem Ansatzgrad zwei aufweist. Fur x l = konst. verhalt es sich entsprechend. Fiir die Produkt-Elemente gilt deshalb wie fur die hoheren SimplexElemente: Die Elementrander sind untereinander kompatibel, wenn die Elemente so zusammengesetzt werden, daB ihre Kanten nicht gegeneinander verschoben sind. Produktelemente konnen wegen ihrer einfachen Abmessungen sehr leicht analytisch integriert werden. Dies wird jedoch nur selten gemacht, weil

215

4.2 Lagrange Elemente

eine numerische Integration sehr einfach und flexibel zu programmieren ist. Dabei liegt es nahe, Produkt-Elemente auch mit Produktformeln zu integrieren. D e r Basisvektor einer Produkt-Integrationsformel ist selbst ein Produkt und entspricht somit in seiner Form weitgehend dem aus den Produkten der Interpolations-Basisvektoren gebildeten Integranden einer Steifigkeits-Matrix. Zur Beurteilung des benotigten Exaktheitsgrades genugt es, eine der produktbildenden Richtungen aus einem Element herauszugreifen. Fur n Knoten in dieser Richtung enthalt der Interpolations-Basisvektor zr als hijchste Potenz das Monorn x n - l . Anhand der Formel fur die Kernsteifigkeits-Matrix ( 4 . 1 4) laBt sich der weitere Ablauf verfolgen. D e r Basisvektor wird einmal differenziert. Da aber nicht nur nach der gewahlten Richtung differenziert wird, bleibt als hochster Term in z,, immer noch n -1 erhalten. Diese Ableitung tritt zweimal im Integranden auf, also ist Um eine mtiglichst wirtschaftliche Intedie hijchste Potenz darin gration zu erreichen, sollten GauB-Integrationsformeln verwendet werden. Die in Tabelle 1 . 4 angegebenen eindimensionalen Formeln besitzen den Exaktheitsgrad d = 2G - 1. Mit fi ist hier die Zahl der Integrations-stiitzstellen gemeint. Dieser Exaktheitsgrad reicht zur Integration von xd = x2(n-1)aus, wenn man ii = n setzt. Dieses Ergebnis wird verallgemeinert:

Zur numerischen Integration von Lagrange-ProduktElementen konnen Gaul?-Produkt-Formeln eingesetzt werden, deren Stiitzstellenzahl in jeder Richtung gleich der Zahl der Elementknoten ist.

(4.26)

Dieser Aussage liegt allerdings die Annahme zugrunde, daB der Elastizitatstensor konstant ist. Sollte dies nicht zutreffen, dann muB je nach der GroBe der Abweichung eine Integrationsformel mit einem hoheren Exaktheitsgrad benutzt werden. Als Beispiel f u r e i n Produkt-Element sol1 das i n Bild 4.7 gezeigte (2.2)-Element verwendet werden.

Dicke t = 0,2 ; Isotrop: A = 1 2 0 ; y

Bild 4.7: (2.2)-Lagrange-Element: o

=

Elementknoten; +

=

=

180

Integrations-Stutzstellen.

216

4. Einfache finite Elemente

Die Interpolations-Formfunktionen f u r dieses Element w u r d e n bereits i n Abschnitt 1.5.1 berechnet. Von dort wird ubernommen:

D e r Empfehlung von (4.26) folgend wird e i n e (2.2)-GauR-Produktformel f u r die Integration verwendet. D i e Koordinaten der Stutzstellen u n d die zugehorigen Integrationsgewichte w e r d e n aus der Tabelle 1.4 e n t n o m m e n und damit das Produkt (1.146) gebildet. Es ergibt sich f u r die einfach indizierte R e i h u n g der Stutzstellen:

D i e Ableitungen der Formfunktionen a n den Integrationspunkten s i n d mit (4.7):

Aus der f u r die numerische Integration aufbereiteten G l e i c h u n g (4.13) folgt die Steifigkeitsmatrix

44

15 - 2 6

- 3 - 2 2 -15 4 3 3 4-15-22 -3-26 44 -15 4 -3 -22 15 44 3 -26 15 - 2 2 44 15 - 2 6 - 3 44 3 4 symmetrisch 44 -15 44 44

Die Dehnungen und Spannungen konnen an beliebigen Punkten der Elemente berechnet werden. In Abschnitt 4.1.2 wurde bemerkt, daB sich hierfur besonders die Stutzstellen wirtschaftlicher Integrationsformeln fur die Steifigkeits-Matrix eignen. Solche Stutzstellen sind hier in ( 4 . 2 6 ) durch die GauB-Produkt-Formeln festgelegt. Fur diese Punkte ergibt sich aus ( 4 . 1 2)

4.2 Lagrange Elemente

217

Aus ( 4 . 1 ) und ( 4 . 2 ) ergeben sich daraus die Dehnungen und Spannungen an den Integrationspunkten.

4.2.4 Serendipity-Elemente Produkt-Elemente vom zweiten Grad an aufwarts besitzen Knoten, die nicht auf einem Elementrand liegen. Diese Knoten werden weder fur den Zusammenbau gebraucht, noch werden an ihnen in den meisten Fallen Belastungen angebracht. Es liegt deshalb nahe, sie vorab zu entfernen, um die Zahl der Freiheitsgrade in einer Struktur zu reduzieren. Dies kann durch eine Elimination nach Abschnitt 3.2.4 geschehen oder durch einen geeigneten Ansatz, der diese Punkte von vornherein nicht enthalt. Die zweite Moglichkeit wird hier behandelt. Im Englischen bezeichnet man eine von Systematik und Einsicht unberiihrte Suche als werendipity~c. Dieser Name wurde dann wegen der anfanglichen Schwierigkeiten bei der Herleitung auf diese Elemente ubertragen. Insbesondere hatte man seinerzeit Probleme mit entsprechend angepaBten Produktformeln fur die Formfunktionen. Angesichts der einfachen Herleitung uber die VandermondeMatrix, so wie sie hier gebraucht wird, ist dies ein Stuck bewaltigte Vergangenheit . Bild 4.8 zeigt je ein ebenes und ein raumliches Serendipity-Element.

1

9

2

Bild 4.8: Ebenes 8-Knoten-Element und raumliches 20-Knoten-Element.

Das ebene Element entsteht aus dem ( 3 . 3 )-Lagrange-Element durch Weglassen des mittleren Knotens. In dem aus dem ( 3 3.3)-LagrangeElement erzeugten 20-Knoten-Element wurde nicht nur der zentrale Knoten entfernt, sondern auch die sechs Knoten auf den Mittelpunkten der Flachen. Bei der Konstruktion der Interpolations-Basisvektoren geht man von denen der zugehorigen Produkt-Elemente aus und 1aBt so viele der hochsten Terme weg, wie man Knoten entfernt. Dabei achtet man darauf, daB die einzelnen Richtungen nicht ungleichmaBig behandelt werden und daB die Vandermonde-Matrix nicht singular wird. Um die Basisvektoren der Elemente von Bild 4.8 darzustellen, werden die Monome in folgender Form geschrieben:

218

4. Einfache finite Elemente

Die Exponenten des 8-Knoten-Elementes sind:

D e r Term x:x22 des (3.3)-Produkt-Elementes wurde weggelassen, um die Zahl auf acht zu reduzieren. Fur das 20-Knoten-Element sind die Exponenten der verbleibenden Terme:

Nach den hier gezeigten Beispielen durfte es keine Schwierigkeiten bereiten, andere Serendipity-Elemente zu generieren. D a die Interpolation der Verschiebungen im Inneren der Elemente durch das Weglassen der Knoten schlechter wird als bei den entsprechenden Produkt-Elementen, muB man darauf achten, daB nicht zu vie1 des Guten getan wird. Zum Beispiel sollten in Elementen mit vier Knoten je Kante nicht alle inneren Knoten weggelassen werden. Allerdings werden Elemente mit derartig hohen Ansatzen fast nie gebraucht. Die Regel bilden die beiden Elemente von Bild 4 . 8 . Die Eigenschaften der Serendipity-Elemente sind denen der zugehorigen Produkt-Elemente sehr ahnlich. Zur Integration benutzt man dieselben GauB-Produkt-Formeln und berechnet die Spannungen an denselben Punkten. Auch die Kompatibilitat der Verschiebungsfelder bleibt gewahrt, solange die Kanten der Elemente nicht gegeneinander versetzt werden. Als Beispiel sollen die F o r m f u n k t i o n e n des 8-Knoten-Elementes von Bild 4.8 berechn e t werden. Die Koordinaten der Knoten seien: 1

1

1

0

1

D e r Basisvektor wurde oben bereits angegeben. D i e Aufstellung der VandermondeMatrix k a n n ubergangen werden. Die F o r m f u n k t i o n e n n a c h (4.7) sind dann:

In Bild 4.9 ist die F o r m f u n k t i o n n

aufgetragen.

4.2 Lagrange Elemente

219

1

Bild 4.9: Formfunktion n

des 8-Knoten-Serendipity-Elementes.

D i e Abbildung zeigt deutlich, daR die Formfunktion auf i h r e n n i c h t angrenzenden Randern durchweg n u l l ist. Das Element ist also kompatibel.

4.2.5 ~bergangs-~lemente Obwohl in den vorhergehenden Abschnitten einer moglichst groBen RegelmaBigkeit der Elemente das Wort geredet wurde, gibt e s doch gute Grunde, hiervon zuweilen abzuweichen. In lokalen Bereichen mit groRen Verschiebungsgradienten wird man zum Beispiel Elemente mit einem hoheren Verschiebungsansatz verwenden wollen als in benachbarten ohne groBe Gradienten. Man spricht dann von einer Netzverfeinerung, die in diesem Beispiel durch hohere Ansatzgrade verwirklicht wird. Die hierzu benotigten ~ b e r g a n ~ s - ~ l e m e nstellen te die Verbindung zwischen niedrigeren und hoheren Ansatzgraden her. In Bild 4 . 1 0 ist ein ubergang von 4 auf 8-Knoten-Elemente gezeigt.

Bild 4.10: ubergang von 4-Knoten-Elementen auf 8-Knoten-Elemente.

D e r ubergang wurde absichtlich ein wenig verkompliziert, um sowohl Elemente mit funf, sechs und sieben Knoten zeigen zu konnen. Die Aufgabe der u b e r g a n g s - ~ l e m e n t eist, die jeweiligen Verschiebungsfelder kompatibel aneinander anzupassen. Es sollen also durch die Verschiebungen weder Lucken noch ~ b e r s c h i e b u n ~ ean n den Randern entstehen. Genau diese Forderung erfullen aber die Elemente nicht, wenn man die InterpolationsBasisvektoren wie bisher aus den Monomen von Polynomen aufbaut. Am Beispiel des 8 -Knoten-Elementes von Bild 4 . 1 1 sol1 gezeigt werden, wie brauchbare Basisvektoren auszusehen haben. wenn man Randknoten weglaBt.

220

4. Einfache finite Elemente

Bild 4.11: 8-Knoten-Element und daraus erzeugte ubergangs-Elemente.

D e r Basisvektor des 8 -Knoten-Elementes war:

zr

=

[1

x1

x2

x:

x l x 2 x z x;x2

xlx:

].

D e r Reihe nach werden nun die Seitenmittenknoten 8 , 7 und 6 entfernt. Die zugehorigen Basisvektoren sind:

Zur Entfernung des Knotens 8: E r liegt auf einer Seite in Richtung x 2 , so daB der hochste Term des ursprunglichen Basisvektors in x 2 entfernt werden sollte. E r ist x l x > Damit entlang der Seite 1-4 ein linearer Verschiebungsverlauf entsteht, wird der Term x z mit dem Faktor ( l + x l ) multipliziert, der entlang dieser Seite gleich null ist. Entsprechende uberlegungen werden bei der Entfernung der anderen Punkte angestellt. Mit den gezeigten Basisvektoren erzeugt man dann auf dem normalen W e g die Steifigkeitsmatrizen. W e m das demonstrierte Verfahren zu unsicher ist, kann auf einem umstandlicheren W e g zu demselben Ergebnis kommen: Das Ausgangselement wird durch eine Transformation so verandert, daB die Verschiebungen an dem wegfallenden Knoten auf die gewiinschte Weise interpoliert werden. Zum Beispiel gilt fiir den Knoten 8 :

Mit der hieraus gewonnenen Transformationsmatrix wird die ElementSteifigkeitsmatrix entsprechend ( 3 . 4 ) transformiert. Auch die in ( 4 . 2 9 ) angegebenen Basisvektoren kann man auf diese Weise kontrollieren.

4.2.6 ubungen u b u n g 4.1: F u r e i n ebenes Simplex-Element m i t den Knotenkoordinaten xip werden vier Steifigkeitsmatrizen kipkq z u r Auswahl angeboten. Welche genugt allen formalen Anspruchen, die eine Steifigkeitsmatrix zu e r f u l l e n h a t ?

4.2 Lagrange Elemente

221

u b u n g 4.2: Fur ein ebenes Simplex-Element mit den Knotenkoordinaten

der Dicke t = konst und isotropem Werkstoff mit den Konstanten A die Steifigkeitsmatrix berechnet werden.

=

8 , p = 12 soll

u b u n g 4.3: Berechnen Sie die Dehnungen und Spannungen im Simplex-Element von u b u n g 4.2 infolge der Verschiebungen

Wie groR sind die zugehorigen Knotenkrafte? u b u n g 4.4: Wie andert sich die Gleichung f u r die Steifigkeitsmatrix eines Simplex-Elementes (4.2 I ) , w e n n der Elastizitatstensor ortlich variabel ist? Erklaren Sie das Ergebnis. u b u n g 4.5: Ein Wurfel mit den Ecken xip = 0, beziehungsweise xip = 1; (i = 1 , 2 , 3 ; p = I... 8); soll durch dreidimensionale Simplex-Elemente vollstandig angefiillt werden. Wieviele Elemente braucht man dazu mindestens und wie groR sind die einzelnen Volumen? u b u n g 4.6: Fur e i n Lagrange-Element mit den Knotenkoordinaten xip ist die inverse Vandermonde-Matrix zp: gegeben.

Mit welchem der drei zur Auswahl gestellten Basisvektoren z, wurde sie berechnet? 1) z,

=

[1

XI

x2 xfl ; 2) [ 1 x1

x2 x1x21 ; 3) [ 1

X1

X2

xI2+ x 2 q

u b u n g 4.7: Berechnen Sie die Steifigkeitsmatrix eines eindimensionalen Elements mit quadratischem Ansatz, den Knotenkoordinaten x l p , konstantem Querschnitt und den angegebenen Elastizitatsgesetzen. x

1P

=

[

0

1/2

11;

a)kllll=

E

=

konst.; b ) k l l l l =

E(1/2 + x l )

222

4. Einfache finite Elemente

u b u n g 4.8: Lagern Sie den Knoten 3 des Elementes von u b u n g 4.7 auf, bringen Sie im Knoten 1 eine Kraft f auf und berechnen Sie f u r beide Elastizitatsgesetze die Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen. u b u n g 4.9: In einem ebenen Lagrange-Element mit vollstandigem quadratischen Ansatz sollen die Knoten i n gleichen Abstanden auf einem Kreis angeordnet werden. Konnen Sie hierfur die Formfunktionen berechnen? u b u n g 4.10: Ermitteln Sie f u r ein (2.2.2)-Lagrange-Element

mit den Knotenkoordinaten

den Basisvektor und die Vandermonde-Matrix. u b u n g 4.1 1: 0 Fur das (2x2)-Lagrange-Element von Bild 4.7 soll die Kernsteifigkeitsmatrix kirks mit einer Ein-Punkt-Integrationsformel mit der Stutzstelle xi = 0 und dem Integrationsgewicht w = 4 berechnet werden. Welchen Rang erhalt dann die Kernsteifigkeitsmatrix und ist dieser groB genug, damit das Element keine nfalschen Mechanismen. enthalt? (Ein falscher Mechanismus erlaubt eine Verformung ohne Arbeitsleistung). u b u n g 4.12: sind die Knotenkoordinaten und die FormfunkFur e i n 5-~unkt-ubergangs-~lement tionen geben.

Sind die Verschiebungen entlang der Rander 1- 2 und 2- 5- 3 kompatibel? u b u n g 4.13: Das i n Abschnitt 4.2.2 als Beispiel benutzte ebene Element soll durch Entfernen des Knotens 6 i n ein u b e r g a n g s - ~ l e m e n t mit kompatiblem Rand 1-3 umgewandelt werden. Ermitteln Sie die Formfunktionen 1 a) analog zu (4.29) ; b) uber die Transformation ui = 2 ( ui + ui 3 ) .

4.3 Kirchhoff-Elemente Die bis hierhin vorgestellten Elemente konnen zur Diskretisierung von Kontinua verwendet werden, in denen alle Richtungen gleichberechtigt nebeneinander stehen. In Balken, Platten oder Schalen sind die Abmessungen in den Langs- und Querrichtungen von grundsatzlich verschiedenen GroBenordnungen. Infolgedessen ist auch das Verhalten in diesen Richtungen extrem unterschiedlich. Prinzipiell ist es zwar moglich, auch diese Strukturen durch Kontinuum-Elemente darzustellen, doch wird dabei entweder die erreichte Genauigkeit sehr schlecht oder das Finit-Element-Model1 zu

4.3 Kirchoff-Elemente

223

groJ3, das heiBt also zu unwirtschaftlich. AuBer den Kontinuum-Elementen, basierend auf den Gleichungen von Abschnitt 4 . 1 . 2 , wird man deshalb kaum auf die Struktur-Elemente auf der Grundlage der allgemeineren Gleichungen von Abschnitt 4 . 1 . 1 verzichten konnen. Um den Aufwand in angemessenen Grenzen zu halten, sollen hier nur die geraden Balken und Platten von Bild 4 . 1 2 behandelt werden. Die Berandung des Platten-Elementes kann dabei allerdings in demselben Rahmen variiert werden, wie dies schon an den ebenen Lagrange-Elementen vorgefuhrt wurde. I /#

x3

. X2

x3 A E I.Ik

Mittel- (Schwere-Ilinie Querschnittsfache = konst. = Elastizitatstensor = konst. = Tragheitstensor = konst. =

=

x 2 , x 3 = Mittelebene

t

=

kijkl

=

Dicke = konst. Elastizitatstensor

=

konst.

Bild 4.12: Gerader Balken und ebenes Plattenelement.

Die Balken- und Platten-Elemente lassen sich weitgehend zusammen in einer Herleitung behandeln, wenn die Koordinaten in zwei Klassen unterteilt werden: xisol1 fur die Querrichtungen und xi, fur die Langsrichtungen eingesetzt werden, wobei aber die ursprungliche Zahlung der Koordinaten unverandert bleibt. Diese Festlegung fuhrt zu folgender Einteilung: Balken: Querrichtungen Langsrichtung Platte: Querrichtung Langsrichtungen

xi -- xl,x2 xi* -- x3

; Querschnitt ; Lange

R

xi = xl xi, = x2,x3

; Dicke ; Flache

n=t

A a*= & =

n*= F

Damit sind die Bereiche der Richtungsindizes festgelegt. In den folgenden Gleichungen brauchen sie deshalb nicht mehr einzeln aufgefiihrt zu werden. Zur Vereinfachung der Herleitungen werden zwei Annahrnen uber das innere Verschiebungsfeld gemacht. Die erste legt fest, daJ3 die Querverschiebungen unabhangig von den Querrichtungen sein sollen.

224

4. Einfache finite Elemente

Hierdurch werden die Querkontraktionen unterdruckt. Diese Annahme ist an sich unzulassig, weil sie Krafte voraussetzt, die nicht vorgesehen sind. Dieser Fehler wird im Nachhinein dadurch wieder ausgeglichen, daB fur den Balken das einachsige Spannungsgesetz ( 2 . 3 3) eingefuhrt wird und fur die Platte das ebene nach ( 2 . 3 2). Die zweite Festlegung setzt voraus, daB der Koordinatenursprung fur die Querrichtungen in der Wirkungslinie der Langskrafte liegt. Beim Balken ist dies die Schwerelinie, die durch die Flachenschwerpunkte der Querschnitte verlauft, bei der Platte ist es die Mittelebene. Die Langsverschiebungen in diesem Koordinatenursprung sollen null sein.

Hierdurch werden die Starrkorper-Verschiebungen in den Langsrichtungen unterdruckt, wodurch die Herleitung erheblich vereinfacht wird. Die Elemente besitzen damit keine Freiheitsgrade in den Langsrichtungen. Sollten trotzdem auch solche Freiheitsgrade vorgesehen werden, dann muB diese Festlegung ruckgangig gemacht werden. Ohne eine erneute Herleitung geschieht dies dadurch, daB nachtraglich passende Stab-, beziehungsweise Scheiben-Elemente den hier hergeleiteten Biege-Elementen uberlagert werden. Die Querrichtungen sind untereinander gleichberechtigt. Fur die zugehorigen Verschiebungen kann deshalb der Ansatz ( 4 . 1 1 ) fur Kontinuum-Elemente benutzt werden.

Die Berechnung der Formfunktionen n erfolgt nach (4.9) und ( 4 . 1 0 ) . D e r P hierfur benotigte Interpolations-Operator von ( 4 . 8 ) definiert die auBeren Freiheitsgrade. Diese konnen Translationen und Rotationen von Querschnitten sein, die auf den Endflachen oder auch im Inneren eines Elementes liegen. Als typische Definition einer Translation dient

Hier ist u . die Verschiebung in der Querrichtung xi an einem Punkt mit 1P den Koordinaten ~ b e rmogliche Verallgemeinerungen wird spater noch zu reden sein. Eine typische Drehung wird definiert durch

Wie in Bild 4 . 1 3 gezeigt ist, wird die Schragstellung eines Querschnittes nach den Querrichtundurch die Ableitungen der Langsverschiebungen

zi,

4.3 Kirchoff-Elemente

225

gen xi beschrieben. Die VerschiebungsgroBen u . von ( 4 . 3 5) sind also 1P Drehungen an einem Punkt mit den Koordinaten Offensichtlich ist diese Definition auf kleine Drehwinkel beschrankt.

Bild 4.13: D r e h u n g e i n e s Querschnittes.

D e r Richtungsindex der VerschiebungsgroBen uip in ( 4 . 3 3) bezieht sich nur auf die Querrichtungen. Wie an ( 4 . 3 5 ) zu erkennen ist, konnen aber auch die Langsrichtungen benotigt werden. Dies laRt sich dadurch berucksichtigen, daR mit dem Punktindex p auch die eventuell auftretende Langsrichtung x i , verbunden werden kann. Zum Beispiel kann an einem Punkt p = 1 die Richtung i" = 2 gemeint sein und fur p = 2 die Richtung i" = 3 . Dies laRt sich muhelos durch den zu ( 4 . 3 3) gehorenden Interpolations-Operator festlegen und wird an den Beispielen demonstriert. Die bisher gemachten Festlegungen lassen sich fur unterschiedliche Biegetheorien verwenden. In der Theorie nach Kirchhoff wird nun festgelegt, daB die Schubverformungen zwischen Langs- und Querrichtungen vernachlassigbar sind. E..

11"

=

0

Diese Annahme ist umso zutreffender, je schlanker die Balken oder Platten sind, das heil3t, je groBer die Abmessungen in Langsrichtung sind im Vergleich zu den Querrichtungen. Fur einen Balken ist sie inhaltlich gleich mit der bekannten Annahme von Bernoulli: nEbene Querschnitte bleiben eben und senkrecht zur Mittelliniecc. Es ist deshalb auch nicht verwunderlich, daB man mit ( 4 . 3 6 ) und den ,,flankierendencc Annahmen ( 4 . 3 1 ) und ( 4 . 3 2) die Resultate der Technischen Biegelehre erhalt. Die Herleitung erscheint hier nur deshalb anders: weil sie uber das Prinzip der virtuellen Verschiebungen erfolgt und nicht uber die Krafte. Die getroffenen Festlegungen reichen aus, um die Verschiebungen der Quer- mit denen der Langsrichtungen zu verknupfen. Hierzu wird die lineare Verschiebungs-Dehnungs-Beziehung (4 . l ) in die Kirchhoffsche Annahme ( 4 . 3 6 ) eingesetzt.

226

4. Einfache finite Elemente

E..

1 1

=

1 " 2('i,i*

-

N

+

U.I*, i

) = o

Daraus folgt unmittelbar, daB

Durch Integration in den Querrichtungen entsteht daraus

Wegen ( 4 . 3 1) sind die Ableitungen der inneren Verschiebungen unabhangig von x i . Das Integral liefert also die Funktion xi selbst.

zi,

In ( 4 . 3 2 ) ist festgelegt, daB null wird, wenn xi null ist. Deshalb muB die >>Integrationskonstanteccf (konst., xi,) verschwinden.

Hiermit lassen sich die inneren Verschiebungen in den Langsrichtungen aus denen der Querrichtungen ( 4 . 3 3) bestimmen. Damit sind alle inneren Verschiebungen bekannt und es konnen nun die Dehnungen ermittelt werden. Mit der Annahme ( 4 . 3 1 ) folgt unmittelbar, daB alle Dehnungen parallel zu den Querschnittsebenen null sind. Die Schubdehnungen zwischen den Querund Langsdehnungen sind wegen der Kirchhoffschen Festlegung ( 4 . 3 6 ) ebenfalls null. u b r i g bleiben nur die Dehnungen in den Langsrichtungen.

Hieraus ergibt sich mit (4.3 8 )

Da die Reihenfolge der Differentiation beliebig ist, konnten beide Terme zusammengefaBt werden. Mit (4.3 3) folgt dann

Da auBer den Langsdehnungen alle anderen null sind, ist es am einfachsten, die Steifigkeitsmatrix aus ( 4 . 4 ) herzuleiten, weil hierin die Dehnungen noch nicht durch die Formfunktionen ersetzt wurden. Da die auneren Freiheitsgrade nur durch die Querrichtungen indiziert sind und die Dehnungen in diesen Richtungen verschwinden, entsteht aus ( 4 . 4 )

4.3 Kirchoff-Elemente

227

Das Volumen besteht aus einem Bereich 0, der die Querrichtungen einschlieRt, und einem Bereich 0" uber die Langsrichtungen. Nach Einsetzen der Dehnungen aus ( 4 . 3 9 ) erhalt man

Unter den Integralen befinden sich GroBen, die entweder konstant sind, nur von den Langsrichtungen xi, abhangen oder nur von den Querrichtungen xi. Zu den konstanten GroRen sol1 der Elastizitatstensor ki*jmk*l* gehoren, sowie der Bereich 0, der den Balkenquerschnitt oder die Plattendicke darstellt. Wegen ( 4 . 3 1 ) sind die Formfunktionen n nur von den LangsrichP tungen xi* abhangig, so daB nur noch xi und xk selbst von den Querrichtungen abhangen. Damit lassen sich nun die beiden Integrale isolieren. Sie sind:

Das erste Integral ist der Tragheitstensor, in dem die bekannten Tragheitsmomente zusammengefaBt sind, und das zweite Integral beschreibt eine richtungsunabhangige Steifigkeits-Matrix. Die vollstandige SteifigkeitsMatrix ist dann

Die Gleichungen ( 4 . 4 0 ) bis ( 4 . 4 2) zusammen entsprechen (4 . I 3). Im Unterschied zu dort treten hier jedoch die zweiten Ableitungen der Formfunktionen auf. Fiihrt man in ( 4 . 4 1 ) die Formfunktionen von ( 4 . 1 0 ) ein, dann entsteht

0

Hierin ist kr: eine richtungsunabhangige Kernsteifigkeitsmatrix, die wie in ( 4 . 1 4) durch eine Transformation mit der inversen Vandermonde-Matrix zur vollstandigen Steifigkeits-Matrix wird. Fur die numerische Berechnung ist ( 4 . 4 1 ) vorteilhafter als ( 4 . 4 3), ebenso wie (4.1 3) anstelle von ( 4 . 1 4).

228

4. Einfache finite Elemente

Die inneren Verschiebungen in den Querrichtungen folgen aus ( 4 . 3 3). Dies ist identisch mit dem Ansatz ( 4 . 1 1 ) fur Kontinuum-Elemente. Zur Kompatibilitat an den Elementrandern gelten also die gleichen Bedingungen wie fur die Kontinuum-Elemente. Die inneren Verschiebungen in den Langsrichtungen ergeben sich mit ( 4 . 3 8 ) aus den Ableitungen der Querverschiebungen. Eine Kompatibilitat an den Elementrandern verlangt dann eine C Stetigkeit der Querverschiebungen. Bei den Balken ist dies kein Problem und wird durch Drehfreiheitsgrade nach der Definition ( 4 . 3 5) sichergestellt. Bei den Platten macht es hingegen Schwierigkeiten, diese Forderung lokal uber den ganzen Rand zu erfullen. Hier mul3te man deshalb lernen, auch mit inkompatiblen Elementen zu leben!

4.3.1 Standard-Balken-Element Als Standard-Balken-Element wird ein Balken bezeichnet, an dessen Enden Translationen und Drehungen entsprechend den Definitionen ( 4 . 3 4) und ( 4 . 3 5) vorgegeben sind, so wie es in Bild 4 . 1 4 gezeigt ist.

Bild 4.14: Standard-Balken-Element; die ebene Darstellung enthalt n u r Verschiebungen u l p , deren Richtungsindex 1 weggelassen wurde.

Der Tragheitstensor der konstanten Querschnittsflache A ist nach ( 4 . 4 0): ; ( i l k = 1,2) . S x i xk d A A Von dem Elastizitatstensor bleibt nur die Komponente

Iik

=

( 4 . 4 4)

~ ( 4 . 3 1) gleich dem Elastizitatserhalten. Sie ist in ~ b e r e i n s t i m m u nmit modul fur den einachsigen Spannungszustand gesetzt worden. Die Punkte p = 1, 2 liegen bei x3 = 0 , die Punkte p = 3, 4 bei x3 = 1.Die nach ( 4 . 3 4) und ( 4 . 3 5) definierten auBeren Verschiebungen sind

4.3 Kirchoff-Elemente

229

Mit ( 4 . 3 7) werden nun die Verschiebungsableitungen >>umgedreht<<; so daB nur noch innere Verschiebungen in den Querrichtungen auftreten. Auf diese kann dann der Interpolations-Operator angewendet werden.

Die hierin auftretenden Drehungen sind nicht, wie iiblich, als gleichgerichtete Drehvektoren angeordnet. So ist zum Beispiel u12 links- und u22 rechtsdrehend, wie man in Bild 4 . 1 4 sehen kann. Mit gleichgerichteten Drehvektoren wiirde die Systematik der Herleitung erheblich durcheinander geraten. Eine Anpassung an die konventionellen Richtungen kann nachtraglich durch eine einfache Transformation vorgenommen werden. Die inneren Verschiebungen in den Querrichtungen sind nur von x abhangig. Passend zu den vier Termen des Interpolations-Operators ( 4 . 4 6 ) wird der Basisvektor gewahlt:

Daraus ergibt sich die Vandermonde-Matrix

D e r folgende Teil der Berechnungen konnte nun numerisch erfolgen. D a aber nur ein einziger Parameter, namlich die Lange 1,auftritt, ist auch die analytische Durchrechnung ohne groBe Schwierigkeiten moglich. Dies bietet den Vorteil, daB die fertigen Formeln eine wesentlich wirtschaftlichere numerische Berechnung gestatten. Die Inverse der Vandermonde-Matrix ist

Die zweite Ableitung des Basisvektors ergibt sich aus ( 4 . 4 7):

Aus ( 4 . 3 9 ) werden damit die Langsdehnungen an den Balkenenden ermittelt. Multipliziert mit dem Elastizitatsmodul E folgen daraus die Spannungen.

230

4. Einfache finite Elemente

(i= 1,2) Diese Spannungen andern sich linear uber den Querschnitt und die Lange des Balkens. Die analytische Herleitung der Steifigkeitsmatrix laBt sich am besten uber die Kernmatrix ( 4 . 4 3 ) vornehmen. Mit ( 4 . 4 5 ) folgt fur einen konstanten Elastizitatsmodul und die oben ermittelten Ableitungen des Basisvektors

Mit Hilfe der oben angegebenen inversen Vandermonde-Matrix hiermit aus ( 4 . 4 3 ) und ( 4 . 4 2 ) die Steifigkeitsmatrix berechnet.

2 E Iik k.

1pkq

=

1

1

6 -31 -6

-31

2

3

4

-38 -6 212 38

-38 l2

6 31

31 212

38 l2

wird

1

(4.49 )

l = p 2

; ( i , k =1,2)

3

4

= q

Fur den ebenen Balken in der Ebene x l x 3 nehmen die Richtungsindizes i und k in ( 4 . 4 8 ) und ( 4 . 4 9 ) den W e r t 1 an. Sie konnen also wie in Bild 4 . 1 4 weggelassen werden. Allerdings wird dabei vorausgesetzt, daB keine Verschiebungen in der fortgelassenen Richtung x2 auftreten. Dies ist nur dann erfullt, wenn x l eine Haupttragheitsachse k t , das heiBt, wenn 112 = 0 ist.

4 . 3 . 2 Balken-Element mit Streckenlast D a die Balken-Elemente nach der Kirchhoff-Theorie im Sinne der technischen Biegelehre exakt sind, werden sie haufig sehr gron gemacht. Unterteilungen in einzelne Elemente mussen nur dann vorgenommen werden, wenn Auflager, Verbindungen oder Belastungen zu beriicksichtigen sind. Vor allem in Bauwerken kommen dabei sehr haufig verteilte Lasten oder Streckenlasten vor. Normalerweise werden verteilte Belastungen auf finiten Elementen in diskrete Ersatzkrafte in den auBeren Freiheitsgraden umgerechnet. Bei groBen Elementen wird dann aber der lokale EinfluB der Belastung nicht mehr genau wiedergegeben. Aus diesem Grund kann es

4.3 Kirchoff-Elemente

231

sinnvoll sein, Balken-Elemente zu verwenden, die Freiheitsgrade besitzen, die die verteilten Belastungen direkt aufnehmen konnen. Solche Freiheitsgrade wurden bisher noch nicht naher untersucht. Fur das durch die Streckenlasten erweiterte Balken-Element gelten dieselben Voraussetzungen wie fiir das Standard-Balken-Element, das heiBt, bis einschlieBlich ( 4 . 4 5) andert sich nichts. Das Element sol1 zunachst dieselben Freiheitsgrade wie das Standard-Element erhalten. Die zusatzlichen Freiheitsgrade sind in Bild 4.1 5 gezeigt.

Bild 4.15: Zusatzliche Freiheitsgrade eines Balken-Elementes zur Aufnahme von Streckenlasten. Die ebene Darstellung enthalt alle Freiheitsgrade; der Richtungsindex 1 wurde weggelassen.

Die zusatzlichen Freiheitsgrade werden durch folgende Definition eingefuhrt.

Bei den bisher benutzten Freiheitsgraden nach ( 4 . 3 4) und ( 4 . 3 5) w a r es sehr einfach, die zugehorigen Kraftgronen als Krafte und Momente zu identifizieren. Fur die hier auftretenden Freiheitsgrade wird ein Ruckgriff auf die Mechanik notwendig. In ( 2 . 4 6 ) ist der Zusammenhang zwischen auBeren Kraften und inneren Volumen- und Oberflachenkraften angegeben. Aus dieser Gleichung wird, wenn man nur die Oberflachenkrafte mitnimmt und die Doppelindizierung der Freiheitsgrade einfuhrt

Die Oberflache a ist gleich der Lange 1,wenn wirkend gedacht wird. Mit ( 4 . 3 3) folgt dann

4 uber

der Mittellinie

Die durch ( 4 . 5 0 ) definierte Komponente des Interpolations-Operators ist

232

4. Einfache finite Elemente

konstant setzt, dann kann man

Wenn man in oben stehender Gleichung mit (1.1 2 7 ) schreiben

woraus folgt

Die zu den Freiheitsgraden fur p = 5 gehorenden Krafte sind also die OberflZchenkr5fte uber die Lange des Balkens! Die nun folgenden Herleitungen verlaufen vollig analog zu denen des Standard-Elementes. Die urn die Definition ( 4 . 5 0) erweiterten auBeren VerschiebungsgroBen sind

Mit ( 4 . 3 7) folgt daraus

,'

( i = 1!2) . Passend hierzu wird ein Basisvektor mit funf Termen in x3 gebraucht. An die Stelle von ( 4 . 3 6 ) tritt dann zr = [ I

x

3

x2 x 3

3 3

x 43 1 .

Hieraus entsteht die Vandermonde-Matrix

Mit einiger Muhe laBt sich auch dies analytisch invertieren.

Da der Basisvektor von ( 4 . 5 3) gegenuber ( 4 . 4 7) ein zusatzliches Glied enthalt, verandern sich die Spannungen nicht mehr linear sondern quadratisch iiber die Lange. Im Gegensatz zu ( 4 . 4 8 ) mussen jetzt also drei Punkte angegeben werden. Aus ( 4 . 3 9) folgt mit dem Elastizitatsmodul E

4.3 Kirchoff-Elemente

233

Die lineare Anderung der Spannungen iiber den Querschnitt bleibt erhalten. Die Steifigkeitsmatrix folgt aus ( 4 . 4 1 ) und ( 4 . 4 2 ) .

Die Vereinfachungen fur den ebenen Balken sind bei ( 4 . 4 9 ) besprochen.

4 . 3 . 3 Platten-Element e Fiir ein ebenes Platten-Element mit einer beliebigen Berandung und einer konstanten Dicke R = t ist der Tragheitstensor ( 4 . 4 0 )

Hiermit ergibt sich die Steifigkeitsmatrix ( 4 . 4 1 ) und ( 4 . 4 2 ) in der die Richtungsindizes i = k = 1 weggelassen werden

(i",jj*,k*,l*= 2 , 3 ; p , q

=

l...n) .

D e r Integrationsbereich F erstreckt sich iiber die Flache in der Mittelebene. Als Beispiel sol1 das i n Bild 4.16 gezeigte quadratische Platten-Element gewahlt werden. A n den Ecken sollen je eine Querverschiebung nach (4.34) und zwei

234

4. Einfache finite Elemente

Verdrehungen nach (4.35) angreifen. Dies ist ausreichend, um das Vorgehen zu zeigen. Fur praktische Berechnungen besser geeignete Elemente entstehen, wenn entlang der Rander zusatzlich noch integrale Freiheitsgrade nach Art von (4.50) aufgenommen werden, die verteilte Momente iibertragen.

Bild 4.16: Quadratische Platte mit vier translatorischen und acht Drehfreiheitsgraden. Die BuReren Freiheitsgrade besitzen alle den Richtungsindex 1. Dieser wird weggelassen und folgende Reihenfolge gewahlt:

Die Ableitungen wurden durch (4.37) ausgetauscht. Der Interpolations-Operator besitzt zwolf Terme. Passend dazu wird ein Basisvektor mit ebenso vielen Monomen ausgesucht.

Er enthalt alle Monome eines vollstandigen Polynoms dritten Grades plus zwei Mischterme vierten Grades. Die Koordinaten der Eckpunkte seien:

Damit wird dann die folgende Vandermonde-Matrix erzeugt:

4.3 Kirchoff-Elemente

235

Eine analytische H e r l e i t u n g der Steifigkeits-Matrix w i e bei d e n Balken ist h i e r wegen des ungleich h o h e r e n Aufwandes ausgeschlossen. Als praktische Alternative bleibt n u r die n u m e r i s c h e Berechnung.

4.3.4 ubungen u b u n g 4.14: D e r r a u m l i c h e Balken, dessen Steifigkeitsmatrix i n ( 4 . 4 9 ) angegeben ist, soll a m Ende x 3 = 1 eingespannt u n d durch eine Querkraft f l l = f belastet werden. Berechn e n Sie die Verschiebungen uip, die daraus resultierenden Spannungen u n d die Auflagerkrafte. u b u n g 4.15 Die Steifigkeitsmatrix des r a u m l i c h e n Balkens von Abschnitt 4.3.1 (Bild 4 . 1 4 ) soll durch die Freiheitsgrade u~~ u~~

= =

Translation i n Richtung x 3 ; ( p = 1 , 3 ) , Rotation i n Ebene x l x 2 ; ( p = 2 , 4 ) :

erweitert werden. Welche Element-Steifigkeitsmatrizen benotigen Sie h i e r z u ? Die zusatzlichen konstanten Parameter sind E A = Langssteifigkeit u n d G J = Torsionssteifigkeit. u b u n g 4.16 Ein ebener Kragbalken soll durch e i n e Streckenlast belastet werden. W a h l e n sie h i e r z u e i n m a l den Balken von Abschnitt 4.3.1 mit e i n e r Ersatzlast f = 1 / 2 PB zweitens den Balken von Abschnitt 4.3.2 mit der Streckenlast P .

5

4

-

Berechnen Sie die Verschiebung u n d Verdrehung des f r e i e n Endes. Wie e r k l a r t sich das unterschiedliche Ergebnis?

u b u n g 4.17: Eliminieren Sie m i t Hilfe von ( 3 . 3 6 ) die Freiheitsgrade von u i s ; (i = 1 , 2 ) ; a u s der Steifigkeitsmatrix des Balkens von Abschnitt 4.3.2. Welches Ergebnis mussen Sie zwangslaufig e r h a l t e n ? u b u n g 4.18: Stellen Sie f u r das Balken-Element v o n Abschnitt 4.3.2 (2.58) her. Interpretieren Sie das Ergebnis.

das Kraftegleichgewicht

u b u n g 4.19: F u r e i n Balken-Element der Lange R werden i n der Ebene x l x 3 folgende VerschiebungsgroBen angegeben:

Welche Bedeutung h a b e n die zugehorigen KraftgroBen fp ; ( p = I... 6 ) ? u b u n g 4.20: Die Steifigkeitsmatrix des Balken-Elementes von Aufgabe 4.20 ist - 4E1 kPcl - , i- 3 0 0 a 2 - 3 04 1a 34- 1 315 02 10 1 -~2 11 051123 - 1 5 1a34 191 70 0a1 2 6480 11701 9012-6120 30012 30a3-1350 1 symmetrisch 414 - 1 2 0 1 ~ 6480 -

Wie k o n n e n Sie, o h n e die Vandermonde-Matrix zu invertieren, diese Steifigkeitsmatrix vollstandig n a c h p r u f e n ?

236

4. Einfache finite Elemente

ubung 4.2 1: Definieren Sie den Basisvektor fur das gezeigte Platten-Element und berechnen Sie damit die Vandermonde- und die Kernsteifigkeitsmatrix fur isotropes Material.

t

x1

/'

X3

+ - + I +

-

Die Verschiebungen sind festgelegt durch u P

=

D(Uhl)p= u1(xi*)lP

; (p=

4.4 Isoparametrische Elemente Es ist selbstverstandlich, daB in einem Finit-Element-Model1 nicht nur Elemente mit gleichen Abmessungen gebraucht werden. In Zonen mit groBeren Spannungsgradienten wird man hoherwertige oder mehr Elemente verwenden als in Bereichen mit nahezu konstanten Verlaufen. Daruber hinaus mussen die Elemente den Konturen und dem Aufbau der zu untersuchenden Strukturen angepaBt werden. Im Extremfall entstehen so FinitElement-Netze, in denen keine zwei Elemente einander gleich sind. Dies bedeutet: daB ein dringender Bedarf besteht, Element-Geometrien flexibler zu erzeugen, als das mit den bisher dargestellten Formulierungen machbar ist. Eine als geradezu genial zu bezeichnende ,)Erfindung(c macht dies moglich: Durch eine isoparametrische Koordinaten-Transformation lassen sich die einfachen Grund-Geometrien der Elemente fast beliebig an die Erfordernisse der praktischen Anwendung anpassen. Dabei mussen die Vorteile, die sich zum Beispiel fur die Integrationen der Grund-Geometrien ergeben, keinesfalls geopfert werden. Das Verfahren ist so allgemein einsetzbar, daB auner gekrummten auch degenerierte Elemente erzeugt werden konnen, die veranderte Elementtypen darstellen oder absichtlich mit Singularitaten versehen sind, wie sie in RiBspitzen auftreten. Es ist deshalb nicht weiter verwunderlich, daB isoparametrisch transformierte Elemente in allen FinitElement-Programmen verwendet werden.

4.4 Isoparametrische Elemente

237

4.4.1 Koordinatensysteme Bisher genugte ein Koordinatensystem zur Beschreibung eines Elementes. Das andert sich nun: Es werden zwei Systeme benotigt, denen unterschiedliche Aufgaben zufallen. In den Bildern 4 . 1 7 und 4 . 1 8 ist am Beispiel eines 8 -Knoten-Elementes gezeigt, was darunter zu verstehen ist.

Bild 4.17: Referenz-Geometrie eines Elementes i n d e n (lokalen) Koordinaten xi

Die erste Ebene wird durch das c-dimensionale Koordinatensystem xi beschrieben. Es ist orthogonal Cartesisch. Hierin erscheint die Grund-Geometrie eines Element es so, wie wir es bis jetzt gewohnt waren, das heiBt als geometrisch einfacher Bereich mit geraden Randern. Dies ist die Referenz- oder Bezugs- Geometrie. Die xisollen deshalb als die ReferenzKoordinaten bezeichnet werden. In diesen Koordinaten w i d die Interpolation und die Integration vorgenommen. Ihre Aufgabe ist rein mathematischer Art.

Bild 4.18: Transformiertes Element in physikalischen (globalen) Koordinaten X I .

Zur Darstellung der physikalischen Grof3en dient das orthogonal Cartesische Koordinatensystem X I . Es hat dieselbe Dimension c wie das Referenz-Koordinatensystem. Die Transformation zwischen den beiden Systemen ist nichtlinear, so daB das Referenz-Koordinatensystem und das in ihm beschriebene Element gekrummt erscheint. Die Herleitung und Anwendung der isoparametrischen Transformation zwischen diesen beiden Koordinatensystemen macht den wesentlichen Teil des folgenden Abschnitts aus.

238

4. Einfache finite Elemente

Andere Bezeichnungen fiir die Referenz-Koordinaten xi und die physikalischen X I sind l o k a l e und globale Koordinaten. Es heiBt nlokal>global<<, weil damit die Richtungen der gesamten Struktur gemeint sind. Die Schreibweise wurde entsprechend der Konvention gewahlt, Kleinbuchstaben fiir die Element-Ebene zu verwenden, und GroBbuchstaben fur die Struktur. Unberucksichtigt bleibt dabei, daB die hier verwendeten globalen Koordinaten nicht unbedingt die endgultigen Richtungen in einer zusammengefugten Struktur beschreiben mussen. Hierzu kann eine Richtungs-Transformation erforderlich sein, wie in ( 3 . 1 4 ) und ( 3 . 1 5) angegeben. Dies tritt vor allem dann ein, wenn die Element-Dimension c kleiner ist als die transformierte Struktur-Dimension 6.Wie bereits in Kapitel 3 bleibt dieser eventuell notwendige Zwischenschritt in der Schreibweise unberucksichtigt.

4.4.2 Integration in krummlinigen Koordinaten Von den globalen Koordinaten XI aus betrachtet, erscheinen die lokalen xi im allgemeinen als krummlinig. Eine Integration uber einen krummlinig berandeten Bereich kann sehr umstandlich sein, weil die Integrationsgrenzen selbst durch Funktionen dargestellt werden. Vie1 einfacher ist es, eine Integration in einem einfach berandeten Bereich vorzunehmen, wie e r in Bild 4 . 1 7 fur die lokalen Koordinaten dargestellt wurde. Hierfur sind numerische Standard-Integrations-Formeln anwendbar. Die Tatsache, daR die Integration eigentlich uber einen transformierten, krummlinigen Bereich erfolgen soll, wird dadurch berucksichtigt, daR eine Funktion der Transformations-Matrix in den Integranden hineingenommen wird. Fur eine numerische Integration bereitet dies keine Schwierigkeiten. Ausgangspunkt fur die Herleitung ist die Transformation zwischen den lokalen und globalen Koordinaten. Sie ist ortsabhangig und muR deshalb fur die Differentiale der Koordinaten geschrieben werden.

Die Transformations- oder Jacobimatrix X I , wird aus den partiellen Ableitungen von X I nach xi gebildet, wie das in ( 1 . 3 1) festgelegt wurde. Sie wird fiir jeden beliebigen Punkt des Integrationsbereiches als bekannt vorausgesetzt. Ihre Berechnung wird weiter unten behandelt. In Bild 4 . 1 9 ist ein Beispiel fur zweidimensionale, differentielle Integrations-Bereiche gezeigt. Die Berandungen sind geradlinig, weil die Langen infinitesimal klein sind.

4.4 Isoparametrische E l e m e n t e

239

Bild 4.19: Z w e i d i m e n s i o n a l e Integrations-Bereiche d o u n d d o i n k r u m m l i n i g e n Koord i n a t e n xi u n d orthogonal C a r t e s i s c h e n X I .

D e r gesuchte Integrations-Bereich dw ist ein c-dimensionales Parallelogramm. Hierfur gilt mit der Voraussetzung, daB ein Eckpunkt im Koordinaten-Ursprung liegt do

=

det (dXIp)

; ( I J p= l . . . c ) .

(4.58)

Die dXIp sind die Koordinaten der dem Ursprung benachbarten Eckpunkte. Im Bild sind es die Punkte 1 und 2. Die Gleichung ( 4 . 5 8 ) ergibt sich unter das fur den getroffenen Annahmen aus dem Integral uber den Bereich 0, die Herleitung des Volumens ( 4 . 2 3) von Simplex-Elementen benutzt wurde. Die Transformation ( 4 . 5 7 ) wird in ( 4 . 5 8) eingesetzt und ( 1 . 7 0 ) benutzt, um die Determinante des Matrizenprodukts als Produkt zweier Determinanten darzustellen. do

=

det (

1 XI, 1

d x

'P

1

=

det ( XI;

j )

det (dxip)

D a die Seiten des Parallelogramms gleich den d x i sind, gilt dx.

1P

=

5. d x j . IP

Dies ist eine Diagonalmatrix, deren Determinante mit ( 1 . 6 9 ) gleich dem Produkt der Diagonalterme ist. Es folgt also

Die Determinante det ( XI,i) wird haufig auch als Volumenfaktor bezeichnet. Damit ist die Grundlage fur eine Integration in lokalen Koordinaten geschaffen. Eine Funktion f ( X I ) sol1 uber ein lokales Volumen v integriert werden. Dieses setzt sich zusammen aus dem Bereich w, eventuell multipliziert mit

240

4. Einfache finite Elemente

einer Dicke oder einem Querschnitt, je nach Dimension. In der Schreibweise wird dies, wie bisher auch, nicht explizit zum Ausdruck gebracht. Es folgt dann mit ( 4 . 5 9 )

Als Beispiel f u r e i n krummliniges Koordinatensystem gewahlt werden, wie sie i n Bild 4.21 gezeigt sind.

Bild 4.20: Polarkoordinaten xi ( x l

=

Radius, x 2

=

sollen Polarkoordinaten

W i n k e l ) u n d orthogonal Carte-

sische X I i n der Ebene. D e r nichtlineare Z u s a m m e n h a n g zwischen den Koordinaten ist

X

1

x l cosx2

=

;

X 2 = x 1 s i n x2 '

D a r a u s ergibt sich die Transformationsmatrix

XI,;

=

[

cos x 2

x l sin x 2

sin x 2

x 1 cos x 2

Die Determinante hiervon ist det ( XI,i )

=

xl

H i e r m i t k a n n z u m Beispiel die Flache eines Kreises mit dem Radius r b e r e c h n e t werden. M i t f ( X I ) = 1 folgt a u s (4.60)

Offensichtlich ist dies richtig.

4.4.3 Isoparametrische Transformation Der Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Koordinaten wird durch ( 4 . 5 7 ) hergestellt. Die hierzu benotigte Transformations-Matrix XI,i wurde am Beispiel von Polar-Koordinaten analytisch hergeleitet. Fiir den allgemeinen Fall ist eine derartige Berechnung unpraktisch, weil sie voraussetzt, daB ein expliziter, funktionaler Zusammenhang zwischen den Koordinatensystemen angegeben wird. Gesucht ist vielmehr eine numerische Prozedur, die ohne zusatzliche Angabe von analytischen Funktionen auskommt. Bereits vorhanden in den Elementen sind die Formfunktionen, die sich hervorragend dazu eignen, auch die gesuchten Transformationen zu beschreiben.

4.4 Isoparametrische Elemente

241

Die folgenden Herleitungen beziehen sich auf die Kontinuum-Elemente von Abschnitt 4 . 1 . 2 . Das will nicht heiBen, daB nicht auch die StrukturElemente von Abschnitt 4 . 1 . 1 isoparametrisch transformiert werden konnen, nur wird dies aufwendiger und mul3 sich zwangslaufig auf einzelne Element-Typen beschranken. Die inneren Verschiebungen in einem Kontinuum-Element ( 4 . l 1 ) und (4.8) gegeben.

GI

=

p

U

IP

n

P

'

U

IP

= D(O )

I P

; (I = l

c

sind durch

p= 1 . .

(4.61)

Die Verschiebungen und ihre Richtungsindizes wurden jetzt mit GroBbuchstaben geschrieben, weil sie sich auf die globalen (physikalischen) Koordinaten beziehen. Die Formfunktionen np dagegen werden in lokalen (Referenz-) Koordinaten beschrieben. Die Definition der diskreten VerschiebungsgroBen UIp durch den Interpolations-Operator D (.) wurde zur P Verdeutlichung ebenfalls angefiiihrt. Verschiebungen beschreiben die Veranderungen von Ortskoordinaten. Es kann deshalb nicht grundsatzlich falsch sein, die Koordinaten auf die gleiche Weise zu interpolieren wie die Verschiebungen. Analog zu (4.6 1 ) wird geschrieben

XI

=

Z X IP nP

p

. X '

IP

= D ( X I ) p ; ( I = l ... c ; p = l ... n ) .

(4.62)

Dan hiermit eine implizite Koordinaten-Transformation beschrieben wird, erkennt man daran, daB die Formfunktionen n von den lokalen Koordinaten P xiabhangen. Die verallgemeinerten Koordinaten XIP sind durch den Interpolations-Operator D(.) definiert und legen die Element-Geometrie in P den physikalischen Koordinaten fest. Fur eine Lagrange-Interpolation sind es die Knoten-Koordinaten selbst. Die XIp sind Parameter in der aus (4.6 2) herzustellenden Transformation. Sie wird als isoparametrisch bezeichnet, weil dieselben Formfunktionen np verwendet werden, die in ( 4 . 6 1) auch schon fur die Verschiebungen benutzt wurden. Das ist keineswegs eine Selbstverstandlichkeit. Es lassen sich auch andere Formfunktionen in (4.6 2) einfuhren. Sind diese von einem niedrigeren Grad als die in ( 4 . 6 I ) , dann erhalt man eine subparametrische Transformation, sind sie von einem hoheren Grad, liegt eine superparametrische Transformation vor. Eine subparametrische Transformation ist als Sonderfall in einer isoparametrischen enthalten, wenn die Parameter entsprechend gewahlt werden. Fiir die superparametrische Transformation trifft dies nicht zu. Sie ermoglicht zum Beispiel die Anpassung eines relativ einfachen Elements an eine komplizierte Berandung. D a dann aber

242

4. Einfache finite Elemente

der Verschiebungsansatz von einem niedrigeren Grad ist als der Verlauf des Randes, ist damit nicht vie1 gewonnen. Eine hohere Genauigkeit wird nur vorgetauscht. Ausgewogen ist das Verhaltnis zwischen Verschiebungen und Element-Geometrie nur, wenn die verwendeten Formfunktionen gleich sind. Im folgenden sol1 deshalb nur die isoparametrische Transformation betrachtet werden. Die Beziehung (4.6 2 ) wird in der vorliegenden Form nur gebraucht, um zum Beispiel den Verlauf von Elementrandern zu berechnen. Erst aus der Ableitung ergibt sich die in (4.5 7 ) eingefuhrte Transformations- oder Jacobi -Matrix.

Unter ,,normalencc Umstanden sind die Jacobi-Matrizen positiv definit. Es gilt dann mit (1.1 8 6 )

Erst durch eine Richtungsumkehr wird die Determinante analog zu ( 1 . 3 8 ) negativ. An der Integrationsformel ( 4 . 6 0 ) erkennt man, dal3 ernsthafte Schwierigkeiten zu erwarten sind, wenn (4.6 4 ) nicht erfullt ist. Im Unterabschnitt 4 . 4 . 5 wird dies naher untersucht. Eine nichtsingulare JacobiMatrix X I , besitzt eine Inverse xi,I , die die Bedingungen (1. 2 1) erfiillt.

Jacobi-Matrizen und ihre Inversen werden an den Integrations-Stutzstellen in den Elementen benotigt. Ihre numerische Berechnung bereitet im allgemeinen keine Schwierigkeiten. Durch eine Transformation, fur die die Bedingung (4.6 4) erfullt ist, wird jeder Punkt mit seiner Nachbarschaft in lokalen Koordinaten eindeutig auf einen Punkt mit der zugehorigen Nachbarschaft in globalen Koordinaten abgebildet. Die Stetigkeit von Funktionen bleibt dadurch unberiihrt. Dies gilt auch fur die Elementrander. So kommt es, daB kompatible Randverschiebungen von einem Element in lokalen Koordinaten in die globalen ubertragen werden. Es ist deshalb unnotig, nach den Auswirkungen einer isoparametrischen Transformation auf die ubergangsbedingungen zwischen den Elementen zu fragen. Es gelten dieselben Aussagen, die fiir Elemente in lokalen Koordinaten getroffen werden.

4.4 Isoparametrische Elemente

243

4.4.4 Berechnung Die Berechnung der Steifigkeits-Matrizen, Dehnungen und Spannungen von isoparametrisch transformierten Elementen erfolgt im Prinzip genau so wie vorher. Es ergeben sich nur zwei Anderungen, einmal bei den Ableitungen der Formfunktionen und die andere bei der Integration. Trotzdem sollen die benotigten Gleichungen noch einmal hingeschrieben werden, um den ~ b e r b l i c k zu erleichtern. Sie erscheinen hier in der Reihenfolge des Berechnungsablaufs, wobei die Jacobi-Matrizen aus dem vorhergehenden Unterabschnitt bereits als bekannt vorausgesetzt werden. Alle physikalischen GroBen beziehen sich auf die globalen Koordinaten, so daB ihre Richtungsindizes durchweg mit GroRbuchstaben belegt werden. Da die Formfunktionen in lokalen Koordinaten definiert sind, konnen diese zunachst nur hiernach abgeleitet werden. Mit der Kettenregel kann man daraus dann die Ableitungen nach den globalen Koordinaten erzeugen.

c ; p = l... Hier wird die inverse Jacobi-Matrix von ( 4 . 6 5) gebraucht. Die SteifigkeitsMatrix (4.13) ergibt sich mit der Integration (4.60).

Nachdem die Verschiebungen berechnet sind, folgen ihre Ableitungen aus

(4.12).

Damit ergeben sich die Dehnungen und Spannungen aus (4.1)und (4.2).

Als Beispiel soll e i n (2x2)-Lagrange-Element dienen. Bild 4.21 zeigt seine Lage i n lokalen u n d globalen Koordinaten. AuRer e i n e r allseitigen VergroRerung w u r d e n u r e i n e e i n f a c h e Verzerrung in x2-Richtung vorgenommen, so daR e i n e analytische Berechnung moglich ist. Hierdurch soll verdeutlicht werden, w i e die F u n k t i o n e n beschaffen sind, die i n der B e r e c h n u n g auftreten. Die Formfunktionen fiir das Element w u r d e n bereits i n Abschnitt 4.2.3 bei Bild 4.7 angegeben. Sie sind mit den sich daraus ergebenden Ableitungen

244

4. Einfache f i n i t e Elemente

Bild 4.21: Isoparametrisch transformiertes (2x2)-Element, l i n k s Konfiguration i n lokalen Koordinaten, r e c h t s globalen Koordinaten.

die

physikalische

die R e f e r e n z Geometrie i n

Die Knotenkoordinaten des transformierten Elements sind

L

U m den Verlauf der lokalen Koordinaten und Rander im globalen Koordinatensystem zu zeigen: wird (4.62) benutzt.

Bild 4.22 zeigt das Ergebnis.

T

X2

Bild 4.22: Lokale Gitterlinien i n globalen Koordinaten. D i e Jacobi-Matrix n a c h ( 4 . 6 3 ) ist

Die D e t e r m i n a n t e hiervon ist det(XI,i)

1

= -

2

( 9

+

xi)

> 0 fur

-

1

5

xl,x2

5

+

1.

Sie ist positiv uber den gesamten Bereich des Elements. D a m i t ist (4.64) erfullt. Wird z u m Beispiel der U m l a u f s i n n der K n o t e n n u m m e r n i n globalen Koordinaten versehentlich anders als i n den lokalen Koordinaten gewahlt, dann wird die Deter-

4.4 Isoparametrische Elemente

245

minante durchweg negativ uber den gesamten Bereich des Elements. Diese Eigenschaft wird oft zur Fehlerkontrolle herangezogen. Die Inverse der Jacobi-Matrix ist

Damit werden i n ( 4 . 6 6 ) die Ableitungen der Formfunktionen nach den globalen Koordinaten berechnet.

Alle GroRen, die i m Zusammenhang mit der isoparametrischen Transformation stehen, sind n u n bekannt. Mit einer konstanten Dicke t folgt aus ( 4 . 6 7 ) f u r die Steifigkeits-Matrix

Der Integrand des transformierten Elements unterscheidet sich deutlich von dem des Ausgangs-Elements. Die Ableitungen der Formfunktionen np,I sind n u n gebrochene Funktionen im Gegensatz zu den ursprunglichen, die weiter oben als np,i angegeben sind. AuRerdem kommt noch der Volumenfaktor det ( X I ,i ) hinzu.

Wie wir an dem Beispiel gesehen haben, treten im Integranden von isoparametrisch verzerrten Elementen gebrochen rationale Funktionen auf, die mit >,normalen Integrationsformelnc< nicht exakt zu integrieren sind. Wie dennoch eine numerische Integration durchgefuhrt werden kann, sol1 im folgenden besprochen werden. Als MaB fur Auswirkungen der isoparametrischen Transformation wird die Verzerrung der ursprunglich orthogonal Cartesischen lokalen Koordinaten xiim Raum der globalen Koordinaten XI herangezogen. Diese Verzerrung ist rein mathematischer Art und hat nichts mit einer physikalischen Verformung zu tun. Eine konstante Verzerrung liegt vor, wenn die Jacobimatrix X I , von ( 4 . 6 3) konstant ist. Hierbei kann ein Element einzeln oder gleichzeitig eine Richtungstransformation, eine globale MaBstabsanderung, unterschiedliche Langenanderungen in seinen Richtungen oder eine Winkelanderung zwischen den Richtungen durchgemacht haben. Aus einem quadratischen Element kann so ein Parallelogramm erzeugt werden, aber kein beliebiges Viereck. Bei einer konstanten Verzerrung andern sich im Integranden nur die Konstanten. Die Funktionen selbst bleiben unberuhrt. Aus diesem Grund konnen die fur die unverzerrten Elemente einsetzbaren Integrationsformeln analytischer oder numerischer A r t unverandert beibehalten werden.

246

4. Einfache finite Elemente

Variable Verzerrungen konnen erst in Elementen auftreten, deren Formfunktionen mindestens vom Grad zwei sind. Meistens erkennt man sie an ihren gekrummten Seiten. Die Jacobi-Matrix ist nicht konstant. Der Integrand enthalt gebrochen rationale Funktionen, so daR eine analytische Integration praktisch ausscheidet. Aber auch numerische Integrations-Formeln konnen Schwierigkeiten bereiten, weil sie im allgemeinen nur fur ganze rationale Funktionen bestimmt sind. Wie in Abschnitt 1 . 6 . 6 gezeigt wurde, sind diese Integrations-Formeln jedoch so ngutartigcc, daB auch hohere, uber den Exaktheitsgrad hinausgehende Terme zwar nicht exakt, aber doch genahert, erfaBt werden. Es besteht also die Chance, mit normalen Integrations-Formeln auszukommen, obwohl gewisse Fehler unvermeidbar sind. Solange diese Fehler unterhalb einer annehmbaren Grenze liegen, kann das toleriert werden. Mit welchem Exaktheitsgrad sollte eine numerische Integration ausgefuhrt werden? Wie wir gesehen haben, hat der konstante Verzerrungsanteil keinen EinfluR hierauf. Erst der nicht konstante Anteil erzeugt die gebrochen rationalen Funktionen. Abgesehen von Sonderfallen ist dieser Anteil jedoch sehr gering, so daR e r sich auf die Integration kaum auswirkt. So kommt es, daR in der Anwendung fast immer nur mit numerischen Integrationsformeln gearbeitet wird, deren Exaktheitsgrad fur unverzerrte Elemente ausreicht. Dies wird als vollstandige Integration bezeichnet, wobei man sich dariiber klar sein muB, daB damit nicht eine exakte Integration gemeint sein kann. Aber erst in Spezialfallen wird dieser Unterschied gravierend und muB durch die Anwendung von Integrations-Formeln mit einem hoheren Exaktheitsgrad berucksichtigt werden. ~ b l i c h e r w e i s e genugen einige einfache numerische Experimente, um Antwort auf diese Fragen zu erhalten. Z u r Integration der Steifigkeitsmatrix des unverzerrten Elementes des Beispiels wird i n (4.26) eine (2.2)-GauB-Produktformel empfohlen. Mit der Dicke t = 0,2 und den Konstanten A = 120 und ,u = 180 fiir e i n isotropes Material ergibt sich daraus

!

symmetrisch

In einem ebenen Element bleibt die Steifigkeitsmatrix unverandert, w e n n bei konstanter Dicke die Langen i n allen Richtungen gleich gestreckt werden. D a

4.4 Isoparametrische Elemente

247

dieses Element dieselben Konstanten benutzt w i e das Beispiel i n Abschnitt 4.2.3, sieht m a n bei e i n e m Vergleich der Steifigkeitsmatrizen, w e l c h e n EinfluB die Verzerrung allein hat. Wahrend dort z u m Beispiel alle Diagonalkoeffizienten den Wert 4 4 a n n e h m e n , sind sie h i e r z u m T e i l groBer, z u m T e i l kleiner. U m die oben gemachte Behauptung zu belegen, daR bei e i n e r maRigen V e r z e r r u n g die n u m e r i s c h e Integrationsformel ausreicht, die f u r e i n unverzerrtes Element empfohlen wird, sol1 h i e r noch e i n m a l die Steifigkeitsmatrix angegeben werden, die sich mit der wesentlich g e n a u e r e n , aber aufwendigeren (3.3)-GauR-Produktformel f u r die Integration ergibt. In derselben Anordnung wie oben ist sie

symmetrisch Die Abweichungen liegen i n der GroRenordnung von 0,05%, sind also i m R a h m e n e i n e r technischen Naherung unbedeutend. Die genauere Integration liefert etwas groBere Diagonalkoeffizienten. Bei den ubrigen Koeffizienten ist k e i n e eindeutige Tendenz festzustellen.

4.4.5 Degenerierte Elemente Eine isoparametrische Transformation erlaubt es, Elemente mit beinahe beliebigen Verzerrungen zu erzeugen. DaB dabei auch Falle auftreten konnen, die physikalisch sinnlos sind, ist leicht einzusehen. Gegen solche Entartungen muB eine Berechnung geschutzt werden und zwar moglichst an Hand von Kriterien, die als Teil des automatischen Berechnungsablaufs eingesetzt werden konnen. In Bild 4 . 2 3 sind zwei degenerierte Elemente gezeigt, die beide aus dem 8-Knoten-Element von Bild 4 . 1 8 erzeugt wurden.

Bild 4.23: Degenerierte 8-Knoten-Elemente,

Im linken Element wurden die Seitenmittenknoten soweit nach innen gezogen, daB sich die ursprunglich geraden Seiten des Referenz-Elementes in der Nahe der Ecken uberlappen. Das rechte Element zeigt, was passiert,

248

4. Einfache finite Elemente

wenn die Koordinaten der Seitenmittenknoten 6 und 7 im globalen System (versehentlich) vertauscht werden. In beiden Fallen entstehen die schraffiert dargestellten Bereiche, in denen das Innere nach auBen gekehrt wurde. Die Elemente sind mechanisch sinnlos.

0

-1

+1

Bild 4.24: Verzerrte Gitterlinien xl= konst, i m degenerierten Element von Bild 4.23, rechts.

In Bild 4.2 4 sind auBer den Umrissen des in Bild 4.2 3 , rechts, gezeigten Elementes auch die Netzlinien fur xl = konst. eingetragen. Links unten und rechts oben verlaufen sie nebeneinander; dazwischen uberschneiden sie n daB zwar den lokalen Koordinaten sich. Diese ~ b e r s c h n e i d u n ~ ebedeuten, x i noch globale Koordinaten X I zugeordnet werden konnen, aber die Umkehrung ist nicht mehr eindeutig moglich. Eine inverse Jacobi-Matrix x. existiert hier nicht mehr. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist an 1, I dieser Stelle null. Beim weiteren Verlauf im Element nach rechts oben in den umgeklappten Bereich wird die Determinante negativ. Bei der Integration der Steifigkeits-Matrix in ( 4 . 6 7 ) treten absurde Ergebnisse auf: Im Grenzbereich der ~ b e r s c h n e i d u n ~ eist n die Steifigkeit null und im umgeklappten Bereich wird sie negativ. Das ist physikalisch unsinnig. Als degeneriert wird ein Element bezeichnet, wenn in seinem Inneren die Determinante der Jacobi-Matrix verschwindet oder negativ wird. Degenerierte Elemente sollten, von beabsichtigten Spezialfallen abgesehen, nicht in einer Berechnung verwendet werden. Die uberprufung geschieht mit (4.64). Die Formfunktionen des i n Bild 4.24 gezeigten Elementes sind i n Abschnitt 4.2.4 angegeben. Nach einer Vertauschung der Knoten 6 und 7 sind die globalen Koordinaten 1

1

Aus (4.62) ergibt sich damit

1

0

0

4.4 Isoparametrische Elemente

249

Hieraus k a n n m a n die i n Bild 4.24 aufgetragenen Netzlinien berechnen. Z u r Vereinf a c h u n g w e r d e n die folgenden Ausdrucke eingefuhrt: 2 .,

al

=

2x1( 1 + x,)

-

X,

a,

=

2x2(1+ xl)

-

x l2 .

D a m i t ergibt sich die Jacobi-Matrix (4.63)

mit der Determinante det(XAi)

=

-

1 ( al 2

-

+

a,)

Sie wird negativ jenseits der Hullkurve det (XI,i) = 0 i n Bild 4.24.

4.4.6 ubungen u b u n g 4.22: Stellen Sie die Transformation zwischen den Kugelkoordinaten xi und den orthogonal Cartesischen XI her. Berechnen Sie das Volumen u n d die Oberflache e i n e r Kugel mit dem Radius x l = r.

I

X3

u b u n g 4.23: Das (2. 2)-Element von Bild 4.7 sol1 n a c h e i n e r isoparametrischen V e r z e r r u n g die Knotenkoordinaten

erhalten. Berechnen Sie die Ableitungen np,I a n den Stiitzstellen e i n e r (2. 2)-GauflIntegrationsformel. u b u n g 4.24: Die Formfunktionen des 8-Knoten-Elementes von Bild 4.8 sind i n Abschnitt 4.2.4 angegeben. Nach e i n e r isoparametrischen V e r z e r r u n g sind die Knotenkoordinaten

Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen f u r die Stutzstellen e i n e r (3x3)-Gaufl-Integrationsformel.

250

4. Einfache finite Elemente

u b u n g 4.25: Skizzieren Sie die Gitterlinien xi = 4.24.

-

1,

-

1 / 2 , 0, 1 / 2 , 1 des Elementes von Aufgabe

u b u n g 4.26: Geben Sie den Volumenfaktor det (XI, ) fur e i n beliebiges c-dimensionales Element an, das isoparametrisch u m den Faktor crj i n jeder Richtung xi vergroRert wurde. u b u n g 4.27: K a n n e i n Simplex-Element isoparametrisch nichtkonstant verzerrt werden? u b u n g 4.28: Ein eindimensionales (Nicht-Lagrangel-Elementwird i n der lokalen Koordinate x durch

zr= [ I

x

x2]

beschrieben. Nach e i n e r isoparametrischen V e r z e r r u n g e n t s t e h e n die (verallgemein e r t e n ) Knotenkoordinaten

B e r e c h n e n Sie die Koordinaten-Transformation und die Jacobi-Matrix.

bung 4.29: W i e weit k o n n e n Sie den Knoten 2 des Elementes von u b u n g 4.7 isoparametrisch z u m Knoten 3 h i n verschieben, bis eine Singularitat d e t ( XI,i) = 0 i n n e r h a l b des Elementes auftritt? u b u n g 4.30: D u r c h e i n e isoparametrische Transformation werden i m Element von Bild 4.7 die Knoten 3 und 4 vertauscht. Wie s e h e n die Rander dann a u s u n d wo w i r d die Determinante der Jacobi-Matrix negativ?

5 . Finit-Element -Modelle

Die Methode der finiten Elemente wurde aus einfachen Anfangen in der Strukturmechanik ab Mitte der 50er Jahre entwickelt, der Begriff nfinites Elementccwird erstmals 1960 gepragt. Diesen engen Rahmen hat die Anwendung langst hinter sich gelassen. ~ b e r a l dort, l wo Rand- oder Anfangswertprobleme von Feldvariablen zu losen sind, ublicherweise dargestellt durch partielle Differentialgleichungen, wird die Methode eingesetzt. D e r Versuch, die Anwendungsgebiete vollstandig aufzuzahlen, muBte schon deshalb scheitern, weil standig neue Anwendungen hinzukommen. Es handelt sich also um eine mathematische Methode auBerhalb eines eingrenzenden physikalischen Zusammenhanges. Als solche sollte sie in den abstrakten Begriffen der Mathematik dargestellt werden, losgelost von den Zufalligkeiten und GesetzmaRigkeiten einer physikalischen Anwendung. Das ist durchaus moglich und wird auch oft so gehandhabt. Auf der Strecke bleibt dabei die Farbe der Begriffe: ,)Losungsfunktioncc, >,Systemmatrixcc, ),rechte Seitecc sind blaB im Vergleich zu ))Verschiebungencc, >dteifigkeitsmatrixcc und nBelastungencc. Selbst in mathematischen Texten wird die Abstraktion oft gelockert, wenn zum Beispiel von >>Belastungsfunktionencc,)>steifenGleichungssystemencc oder ),Blockierencc gesprochen wird. Die Anschaulichkeit und Vielfalt physikalischer Begriffe kann auch aus der Mathematik nicht ganzlich eliminiert werden. Nur stehen sie dort auf einem hoheren Abstraktionsniveau als in der physikalischen Anwendung. Um also das Verstandnis der im folgenden dargestellten theoretischen Grundlagen nicht zu erschweren, wird der Zusammenhang der Strukturmechanik auch dann beibehalten, wenn sich eine hohere Abstraktionsebene anbieten sollte. Es wird dem Leser iiberlassen, die anschaulichen Begriffe gegebenenfalls zu verallgemeinern. Zu Anfang wurde die Methode der finiten Elemente aus den Arbeitssatzen der Strukturmechanik entwickelt. Spater entdeckte man, daR das schon lange bekannte Ritzsche Naherungsverfahren zur Losung partieller Differentialgleichungen dieselben numerischen Modelle lieferte, wenn man stuckweise stetige Ansatzfunktionen verwendete, anstatt der bis dahin ublichen kontinuierlichen. Noch spater bemerkte man, daB die Verfahren der gewichteten Residuen ebenfalls in der Lage waren, Finit-ElementModelle zu erzeugen. Durch diese Bruckenschlage zu anerkannten mathe-

252

5. Finit-Element-Modelle

matischen Verfahren wurden in den Augen der Theoretiker die finiten Elemente >>respektabel
5.1 Virtuelle Arbeit Die wesentlichen Punkte der Herleitung auf der Grundlage der virtuellen Arbeit finden sich bereits in den Kapiteln 2 bis 4 . Sie wurden dort unter dem Begriff des Prinzips der virtuellen Verschiebungen zusammengefaBt, weil als unabhangige VariationsgroBen verallgemeinerte VerschiebungsgroBen benutzt wurden. Genauso wird auch in diesem Abschnitt verfahren,

5.1 Virtuelle Arbeit

253

wobei Definitionen und Annahmen zum Teil nur sehr knapp behandelt werden. Im Zweifelsfall geben die genannten Kapitel genauere Auskunft. Im Gegensatz zu Kapitel 3 wird das Problem >>van oben<< (top-down) formuliert. Zuerst wird das Gesamtsystem beschrieben und dann erst die Aufgliederung in diskrete Freiheitsgrade und Elemente. Dieses Vorgehen stellt die gesamte Formulierung unter das Prinzip der virtuellen Arbeit. In Kapitel 3 wurde andersherum vorgegangen, weil dieser W e g anschaulicher ist und weil es in der Strukturmechanik im Gegensatz zum Kontinuum Falle geben kann, in denen die Struktur und die Elemente mit Hilfe unterschiedlicher Prinzipien hergeleitet sind. Einen weiteren Unterschied bildet die geometrische Nichtlinearitat. Fiir das Verstandnis der allgemeinen Vorgehensweise ist sie zwar nicht unbedingt erforderlich, aber reale physikalische Probleme sind niemals linear. Das heiBt, zu einer linearen Modellbildung gehoren immer auch die Aussagen, welche nichtlinearen Einflusse vernachlassigt wurden. Diese Aussagen werden ublicherweise wahrend einer Herleitung gemacht, um nichtlinea r e Terme sofort vernachlassigen zu konnen. So war es auch bei der linearisierten Steifigkeitsmatrix (2.4 1 ) . Hier werden dagegen die geometrisch nichtlinearen Terme beibehalten und eine Linearisierung erst nachtraglich eingefuhrt . ry

Die virtuelle Arbeit der Volumen- und OberflSchenkrSfte fi und verursacht durch die virtuellen Verschiebungen 6 4 ist in (2.2) definiert:

Die Bezugs-Koordinaten xi sind orthogonal Cartesisch und haben die Dimension c. Das Volumen v und die Oberflache a beschreiben den Anfangszustand. A l l e GroBen sind global, das heifit, sie gelten im gesamten Bereich des Problems. Hier wird nicht wie in Kapitel 3 zwischen Strukturund Element-Koordinaten unterschieden. Infolgedessen ist keine Differenzierung durch Klein- und GroBbuchstaben notwendig. Grofie Buchstaben werden hier erst dann benutzt, wenn globale Diskretisierungen von lokalen zu unterscheiden sind. Die virtuelle Formanderungsarbeit ( 2 . 1 1) ist

Hierin ist E . . ein Dehnungstensor und 6.. der hierzu energetisch konjugierte, 1J IJ das heifit passende, Spannungstensor.

254

5. Finit-Element-Modelle

Unter der Voraussetzung, daB keine anderen Arbeiten im System berucksichtigt werden mussen, gilt der Arbeitssatz

Diese Arbeitsbilanz ist die zentrale Aussage zur Formulierung des Problems. Als Man fiir die Dehnungen wird der nichtlineare Green-Lagrange-Dehnungstensor von ( 2 . 6 ) gewahlt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten entsprechend ( 1 . 5 2) durch ein Komma ersetzt.

Dieser Dehnungstensor ist objektiv, das heiBt e r ist unabhangig von den Starrkorperverschiebungen, solange der quadratische Term beibehalten wird. Dies wurde in Abschnitt 2.1.3 nachgewiesen, vor allem auch fur groBe Drehungen, die fiir die geometrische Nichtlinearitat verantwortlich sind. In der linearen Theorie wird der quadratische Term weggelassen, so daB die Objektivitat nur noch fur infinitesimal kleine Drehungen gewahrleistet ist. Durch ( 5 . 2 ) und ( 5 . 4 ) werden die Spannungen vollstandig definiert. Im nichtlinearen Fall entsteht dadurch der zweite Piola-Kirchhoff-, im linearen der Cauchy-Spannungstensor. Zur Formulierung gehort noch eine Materialbeschreibung. Sie wird hier durch das Spannungs- Dehnungs- Gesetz ( 2 . 2 5 ) dargestellt.

Der Elastizitatstensor kijkl ist im einfachsten Fall konstant. E r kann aber auch von den Dehnungen, der Zeit oder zum Beispiel der Temperatur abhangen. Bei grooen Dehnungen, die oberhalb einiger Prozent liegen, werden die benutzten Dehnungs- und SpannungsmaBe unbrauchbar. Dies wurde bereits in Abschnitt 2.1.3 gezeigt. Es muR dann der klassische Dehnungstensor ( 2 . 7 ) und der dazu energetisch konjugierte Spannungstensor verwendet werden. Da diese jedoch nicht objektiv sind, wird eine Transformation in mitgefuhrten Koordinaten notwendig. Dies laBt sich auch als eine Transformation innerhalb des Elastizitatsgesetzes ( 5 . 5 ) darstellen. Dabei werden die Definitionen der Dehnungen und Spannungen, so wie sie sind, beibehalten und der Elastizitatstensor als eine Funktion der Ableitungen des Verschiebungsfeldes dargestellt. Wichtig ist fur uns in diesem Fall nur, daB das Materialgesetz ( 5 . 5 ) formal erhalten bleibt.

5.1 Virtuelle Arbeit

255

D e r Dehnungstensor ( 5 . 4 ) ist symmetrisch. In ( 2 . 1 2) folgte daraus, daB auch der Spannungstensor symmetrisch ist. Die Symmetrien des Elastizitatstensors sind in ( 2 . 2 6) angegeben. Zusammenfassend wird geschrieben:

Zur letzten Symmetrie des Elastizitatstensors in (5.8) muB die Bemerkung aus Abschnitt 2 . 1 . 1 wiederholt werden, daB sie unter Umstanden nicht fur nichtlineare Materialien gilt. Damit ist die Beschreibung des kontinuierlichen Problems abgeschlossen. Die geometrischen Abmessungen werden erst bei der Diskretisierung eingefuhrt und die Randbedingungen danach.

5.1.1 Globale Diskretisierung Durch die Diskretisierung werden die funktionalen Zusammenhange in eine algebraische Form gebracht, die es gestattet, eine numerische Naherungslosung zu berechnen. Zunachst geschieht dies, ohne Rucksicht auf die Einzelheiten eines Problems zu nehmen. So lassen sich die Eigenschaften der Gleichungssysteme, auch mathematisches Model1 genannt, am besten herausarbeiten. Lokale Details der Diskretisierung werden spater behandelt. D e r Ansatzpunkt fur die Diskretisierung ist eine Interpolation. In Abschnitt 1 . 5 findet sich dafur mit ( 1 . 1 2 8 ) und ( 1 . 1 2 9 ) folgende Darstellung:

(P,R = I... Hier wurden durchweg GroBbuchstaben verwendet, weil alle GroBen uber den gesamten Bereich des Problems definiert sein sollen. Es ist ZR der Basisvektor, durch den der Funktionsraum der Losung festgelegt wird. Welche Funktionen hierin enthalten sind, ist jetzt noch nicht von Bedeutung. Ungeeignete Funktionen konnen naturlich zu einer falschen Losung fuhren. D e r Interpolations-Operator D ( . )p legt die Form der Interpolation fest. Enthalt e r die Anweisung, Funktionswerte an bestimmten Punkten auszuwahlen, handelt es sich um eine Lagrange-Interpolation; nimmt e r Ableitungen, entstehen Interpolationen vom Hermite-Typ. Insbesondere kann e r auch Integrale festlegen, die spater zu den erweiterten Modellen fuhren werden. Alle Arten der Interpolationen konnen nebeneinander als Komponenten desselben Interpolations-Operators verwendet werden.

256

5. Finit-Element-Modelle

Die Anwendung des Operators auf den Basisvektor erzeugt die verallgemeinerte Vandermonde-Matrix D ( Z R ) P . Sie ist quadratisch von der GroBe N, womit die Zahl der Freiheitsgrade oder Freiwerte der Losung gemeint ist. Sie darf nicht singular sein. Dann lassen sich aus dem Gleichungssystem ( 5 . 9 ) die Formfunktionen N p bestimmen. Fiir jede raumliche Richtung kann eine gesonderte Interpolation vorgenommen werden. Auf diese Verallgemeinerung wollen wir hier jedoch verzichten, da sich die wesentlichen Zusammenhange auch ohne sie zeigen lassen. Es wird also ein raumlich isotropes Kontinuum betrachtet wie bei den KontinuumElementen der Abschnitte 4.1 und 4.2. Die Koordinaten und Verschiebungen der globalen Diskretisierung werden durch den Interpolations-Operator definiert:

In einer Lagrange-Interpolation ist Xip die orthogonal Cartesische Koordinate in Richtung i im Punkt P. Entsprechend ist dann Uip die Translation parallel zu xi am Punkt P. Anders definierte Komponenten des Interpolations-Operators erzeugen Ableitungen hiervon oder Integrale. Durch (5.10 ) und ( 5 . 1 1 ) werden also verallgemeinerte GroBen erzeugt. Trotzdem wird im folgenden einfach nur von >>Koordinaten<< und ,)Verschiebungencc die Rede sein. Mit Hilfe der aus ( 5 . 9 ) bestimmten Formfunktionen lassen sich die kontinuierlichen Koordinaten und Verschiebungen durch die diskreten GroBen darstellen.

zi

In ( 5 .I 3 ) werden die Losungsfunktionen des Problems durch eine abzahlbare Menge von diskreten Ansatzfunktionen Np angenahert; Uip sind die zu bestimmenden Koeffizienten hierzu. In den weiteren Herleitungen werden Ableitungen nach den Koordinaten verwendet. Da die Koordinaten orthogonal Cartesisch sind, folgt aus (5.1 2 )

1 P

XiPNp = x.. = 5' >J

1,J

;

( i = l... c ; P = l...N ) .

5.1 Virtuelle Arbeit

257

Dies wird verschiedentlich zur Vereinfachung gebraucht. Weiterhin werden die diskretisierten Volumen- und Oberflachenkrafte auftreten:

Jg ~

=

~

; d ( i =a l . . . c ; P = l . . . ~ .)

( 5 . 1 6)

a SchlieBlich werden noch drei Steifigkeits-Matrizen gebraucht.

Die Steifigkeits-Matrizen der linearen und nichtlinearen Theorie ( 5 . 1 7 ) und ( 5 . 1 9) sind nicht von den Verschiebungen abhangig. Die erste wurde bereits in ( 4 . 1 0) definiert. Die geometrische Steifigkeits-Matrix ( 5 . 1 8 ) hangt vom momentanen Spannungszustand ab. Sie war schon einmal bei der Herleitung der Steifigkeits-Matrix ( 2 . 4 1 ) in der linearen Theorie aufgetaucht, dann aber vernachlassigt worden. Wegen der Symmetrien (5.6) und (5.8) des Spannungs- und Elastizitatstensors sind die Steifigkeits-Matrizen ebenfalls symmetrisch.

Unabhangig davon, ob die lineare oder nichtlineare Theorie angewendet wird, laBt sich hier schon die virtuelle Arbeit der Volumen und Oberflachenkrafte ( 5 . 1 ) angeben. Mit dem Verschiebungsansatz ( 5 . 1 3) und den diskreten Kraften ( 5 . 1 5) und ( 5 . 1 6 ) folgt =

(

F

+

P

i

p

j

P

;

( i = l ... c ; P = 1... N ) .

(5.23)

i ,P

Die virtuelle Formanderungsarbeit laBt sich erst nach einigen Umformungen bestimmen.

258

5 . Finit-Element-Modelle

5.1.2 Geometrisch nichtlineares Model1 Es wird der Green-Lagrange-Dehnungstensor ( 5 . 4 ) verwendet, der sich mit dem Deformationsgradient ( 2 . 1 7 ) unter Berucksichtigung von ( 5 . 1 4 ) auf folgende Form bringen laBt:

Mit den Interpolations-Ansatzen ( 5 . 1 2 ) und ( 5 . 1 3) ergibt sich daraus

D e r Ausdruck in der Klammer wird zu einer Matrix zusammengefaRt:

Offensichtlich ist diese Matrix symmetrisch.

Die Dehnungen sind nun E.. lJ

=

Z

N p , i N Q , j EPQ '

( i , j = 1 ... c ; P , Q = l... N ) .

(5.26)

P, Q

Die Verschiebungen U k p in ( 5 . 2 4 ) beziehen sich auf den durch die Koordinaten X k p festgelegten Anfangszustand. Es sind Verschiebungen in absoluten Lagrange-Koordinaten. Die diskreten Zusammenfassungen ( X + U ) k P beschreiben die aktuelle Lage und sind deshalb mitgefiihrte Lagrange-Koordinaten. Sie werden haufig fur inkrementelle Berechnungen verwendet. Fur numerische Berechnungen mussen diese Zusammenfassungen nicht unbedingt zweckmaRig sein, weil, wie man in ( 5 . 2 4 ) sieht, fiir kleine Verschiebungen kleine Differenzen groBer Zahlen auftreten konnen. Fur die virtuelle Formanderungsarbeit ( 5 . 2 ) erhalt man mit den Dehnungen von ( 5 . 2 6 )

Das Integral ist gleich der geometrischen Steifigkeits-Matrix ( 5 . 1 8).

Mit der Variation von ( 5 . 2 4 ) und der Symmetrie der Steifigkeits-Matrix ( 5 . 2 1 ) folgt hieraus

5.1 Virtuelle Arbeit

259

Diese Formanderungsarbeit wird im Erhaltungssatz ( 5 . 3 ) mit der auBeren Arbeit ( 5 . 2 3 ) gleichgesetzt. Die virtuellen Verschiebungen SUip konnen beliebig variiert werden. Es entsteht die fertige Aussage

( i = l . . . c ;P , Q

=

l...N).

Dies sieht wie ein lineares Gleichungssystem aus, ist es aber nicht, weil die geometrische Steifigkeitsmatrix eine Funktion der Spannungen ist, diese wiederum von den Dehnungen abhangen und diese von den Verschiebungen. Fur einen konstanten Elastizitatstensor ergibt sich mit (5.2 4 ) , ( 5 . 2 6 ) und (5.2 8 ) insgesamt eine kubische Abhangigkeit der Krafte von den Verschiebungen. Nur bei sehr groBen Vorspannungen kann man die geometrische Steifigkeit annahernd als konstant voraussetzen; so daB tatsachlich ein linearer Zusammenhang vorliegt. Das Produkt aus den Koordinaten mit der Steifigkeit ergibt dann die (negatived Reaktionskrafte, die die Vorspannungen auf die Umgebung ausuben. Ein Beispiel hierfur ist eine gespannte Saite, deren seitliche Steifigkeit und damit auch die Schwingungsfrequenz mit wachsender Vorspannung ansteigen. Um die geometrische Steifigkeits-Matrix ( 5 . 1 8 ) als Funktion der Verschiebungen darzustellen, wird vorausgesetzt, daB keine verschiebungsunabhangigen Vorspannungen gegeben sind. Mit dem Elastizitatsgesetz ( 5 . 5 ) und den Dehnungen von ( 5 . 2 6 ) ergibt sich

Das Integral wurde in ( 5 . 1 9) als Steifigkeits-Matrix fur die nichtlineare Theorie definiert. Es ist also

Durch ( 5 . 2 8 ) und ( 5 . 2 9) wird das geometrisch nichtlineare Model1 vollstandig beschrieben. Es muB noch einmal wiederholt werden, daB die benutzten Zusammenfassungen nicht unbedingt den optimalen W e g fur eine numerische Berechnung beschreiben. Als Beispiel sol1 e i n eindimensionaler Stab i n der Ebene b e n u t z t w e r d e n (Bild 5.1). Dieses Beispiel ist s c h o n fast trivial, aber ubersichtlich genug, daB selbst die n i c h t l i n e a r e n Gleichungen relativ einfach bleiben.

260

5. Finit-Element-Modelle

Bild 5.1: Zug- Druckstab i n der Ebene. Querschnitt A, Breite B und Elastizitatsmodul kllll = E sind konstant. Es wird e i n e Lagrange-Interpolation vorgegeben mit dem Interpolations-Operator

H i e r m i t sind die diskreten Koordinaten Xip von (5.10) gleich den Koordinaten Xi a n den P u n k t e n P. Entsprechendes gilt f u r die Verschiebungen. Es ist X I 2 = 1; alle anderen Koordinaten sind null. Passend z u m Interpolations-Operator muR der Basisvektor zwei T e r m e enthalten.

Gleichung (5.9) wird damit

D a r a u s ergeben sich die Formfunktionen

F u r die diskretisierten Volumen- und Oberflachenkrafte von (5.15) u n d (5.16) ergibt sich damit

Aus (5.17) bis (5.19) folgen die Steifigkeits-Matrizen:

D i e Spannung allist konstant iiber das Volumen des Stabes. Deshalb tritt sie i n ( d ) lediglich als Vorfaktor auf.

5.1 Virtuelle Arbeit

261

Aus (5.24) ergibt sich die Zusammenfassung der Koordinaten und Verschiebungen -

E

p

~

1 2

LJll

~ 1 :+ ~ 2 : +

u11u12

+

u21u22

Die D e h n u n g (5.26) ist mit ( a )

D as vollstandige, nichtlineare Kraft-Verschiebungsgesetz (5.28) ist dann

D as gilt f u r i = 1,2. Ein Unterschied zwischen den Richtungen ergibt sich dadurch, daR X I 2 = 1,wahrend XZ2 = 0 ist. F u r beide Richtungen gilt

D as steht n u r dann nicht im Widerspruch zu ( b ) ; w e n n die i n n e r e n Belastungen fi und pi null sind. Nur f u r auRere Belastungen ist die linke Seite von ( h ) ungleich null.

5.1.3 Linearisiertes Model1 Unter der Voraussetzung, daB der Elastizitatstensor unabhangig von den Verformungen bleibt, wird die Tangente an das nichtlineare Kraft-Verschiebungs-Gesetz gebildet. Ohne diese Voraussetzung muI3te die Beschreibung der physikalischen Nichtlinearitat mit in das Model1 ubernommen werden, so daB darin dann die korrekten Ableitungen nach den Verschiebungen vorgenommen werden konnten. Fur die hier verfolgten Zwecke ist dies vie1 zu aufwendig und auBerdem auch noch von der speziellen Materialbeschreibung abhangig. In der Regel wird die Tangente fur einen konstanten Elastizitatstensor auch eine gute Naherung fur nichtkonstantes Material ergeben, vor allem, wenn die aktuellen verformungsabhangigen W e r t e in die Berechnung eingesetzt werden. Die Tangentengleichung hat die Form einer Taylorreihe, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird. Die Krafte und Verschiebungen auf der Tangente werden durch ein vorgestelltes A gekennzeichnet.

Die Tangenten-Steifigkeits-Matrix ist mit ( 5 . 2 8):

262

5. Finit-Element-Modelle

Hieraus wird mit (5.2 4), (5.2 9) und Ausfuhren der Differentiationen

Diese Tangenten-Steifigkeits-Matrix gilt fur einen beliebigen vorgegebenen Verschiebungszustand. Fur den belastungsfreien Anfangszustand gilt 0.. =

0 ;

Ui,

= 0 .

1J

Aus ( 5 . 1 8 ) folgt, daB die geometrische Steifigkeits-Matrix K ( O ) ver~ ~ schwindet. Die Tangenten-Steifigkeits-Matrix ist dann

Setzt man hier die Steifigkeits-Matrix ( 5 . 1 9) ein und beachtet die Orthogonalitat (5.1 4), dann ergibt sich die lineare Steifigkeits-Matrix (5.1 7): K(tang,O)ipkQ

=

K(linIipk,

;

( i , k = l . . . c ;P, Q

=

1...N). (5.32)

Fiir das Beispiel des v o r h e r g e h e n d e n Abschnittes sol1 die Tangenten-steifigkeitsM a t r i x e r m i t t e l t w e r d e n . Fiir e i n e beliebige Lage des Stabes w i r d der analytische A u s d r u c k s e h r kompliziert. Deshalb wird die i n Bild 5.2 gezeigte, u m 90' gedrehte, u n g e s t r e c k t e Position vorausgesetzt.

Bild 5.2: Gedrehte Lage des Stabes v o n Bild 5.1

5.1 Virtuelle Arbeit

263

Die Koordinaten und Verschiebungen sind null, bis auf die Ausnahmen

Aus ( f ) i n Abschnitt 5.1.2 ergibt sich, wie zu erwarten

Damit folgt aus ( g ) , daR die Dehnung ell ebenfalls null ist und damit auch die Spannung oil und mit ihr die geometrische Steifigkeits-Matrix i n ( d ) verschwindet. Von der Tangenten-Steifigkeits-Matrix i n (5.31) bleibt also n u r der zweite T e r m erhalten. Durch Ausschreiben k a n n m a n sich davon uberzeugen, daR n u r noch die Koeffizienten

iibrig bleiben. Mit ( e ) folgt damit:

Die Tangentengleichung (5.3 0) ist dann:

Eine Steifigkeit ist n u r i n x2-Richtung vorhanden.

5.1.4 Erweiterte Modelle Bisher erfolgte die Approximation durch den Verschiebungsansatz ( 5 . 1 3). Die Gleichungen beschreiben ein irreduzibles System mit den Verschiebungen als primaren Variablen. Alle anderen Variablen lassen sich hieraus berechnen. Man bezeichnet dieses System deshalb auch als VerschiebungsModell. Je nach Problemstellung kann e s jedoch vorteilhaft sein, auch Krafte als unabhangige Variable darzustellen. Dies fuhrt zu den erweiterten Modellen, die eine grofiere Anpassungsfahigkeit besitzen. Traditionell werden erweiterte Modelle mit Hilfe von Variationsprinzipien hergeleitet. Wie das vor sich geht: wird in Abschnitt 5 . 2 gezeigt. Hier wird der Weg uber die virtuelle Arbeit beibehalten. Das hat den Vorteil, dal3 sowohl die Formulierung als auch der Berechnungsablauf in den bereits gegebenen Rahmen eingeordnet werden konnen. Wie sich zeigen wird, sind hierzu noch nicht einmal neue Ansatze notwendig. Die erweiterten Modelle sind bereits in dem bisher behandelten Verschiebungs-Model1 enthalten! Ermoglicht wird dies durch die erweiterte Interpolation von Abschnitt 1 . 5 , in der neben den ublichen Lagrange- und Hermite-Ansatzen auch integrale

264

5. Finit-Element-Modelle

Bedingungen vorgesehen sind. Diese erzeugen dieselben integralen oder schwachen Koppelungen, die durch die erweiterten Variationsprinzipien eingefuhrt werden. In der folgenden Herleitung wird ein unabhangiger Ansatz der Form (5.1 3 ) fur die Volumenkrafte fj vorgegeben. Fur die Oberfl2chenkrZfte gilt sinngemaB das gleiche.

Fi

ry

Die mit * gekennzeichneten Indizes beziehen sich auf eine Untermenge der Freiheitsgrade, fur die dieser Ansatz vorgenommen wird. Ihre Zahl ist N*; sie konnen irgendwo zwischen den herkommlichen Freiheitsgraden einsortiert sein. Mit N :, sind die beliebig wghlbaren Formfunktionen fur die Interpolation der Krafte gemeint. Die zugehorigen, diskreten Freiwerte FjQ" werden mit den Volumenkraft-Resultierenden des normalen Verschiebungs-Modells ( 5 . 1 5 ) gleichgesetzt.

F ? ~ ,=

J f: N

~ d,v

;

( i = I... c ; P

"= I...N*)

(5.34)

v Hierin sind NPI die Formfunktionen des Verschiebungs-Ansatzes ( 5.1 3). Nach Einsetzen von (5.3 3 ) und Herausziehen der diskreten Krafte aus dem Integral ergibt sich

Dies ist erfiullt, wenn

Die Untermenge Q" der Komponenten des Interpolations-Operators wird definiert als

Die Formfunktionen des Ansatzes fur die Volumenkrafte erscheinen hier als Gewichtungsfunktionen in integralen Komponenten des InterpolationsOperators fur die Verschiebungen. Hiermit wird aus ( 5.3 5)

Bis jetzt ist das eine Forderung. DaB sie erfullt ist, folgt aus (1.1 2 7 ) : Ein Interpolations-Operator angewendet auf seine neigenencc Formfunktionen erzeugt eine Einheitsmatrix.

5.1 Virtuelle Arbeit

265

Die Folgerung ist klar: Um einen gesonderten Ansatz fur die Volumenkrafte ( 5 . 3 3) in einem Verschiebungsansatz ( 5 . 1 3) unterzubringen, genugt es, integrale Interpolations-Bedingungen der Form ( 5 . 3 6) einzufihren. Ein Beispiel f u r e i n erweitertes Model1 findet sich bereits i n Abschnitt 4.3.2. Dort wurde e i n e verteilte Belastung m i t Hilfe eines integralen Freiheitsgrades auf e i n Balken-Element aufgebracht. Wegen der grundsatzlichen Bedeutung sol1 h i e r noch e i n anderes Beispiel untersucht werden. Ein Vier-Knoten-Element wird durch vier Rand-Freiheitsgrade erweitert.

Bild 5.3: Element mit vier Knoten u n d vier Rand-Freiheitsgraden. D e r Ansatz (5.33) fiir die D r u c k k r a f t e ist

Pro Elementseite wird e i n e Oberflachenkraft aufgebracht. Die Formfunktionen sind deshalb

Die e r s t e n v i e r Komponenten des Interpolations-Operators sollen vom Lagrange-Typ sein, das heiBt, sie w a h l e n die Funktionswerte a n den Knoten 1 bis 4 aus. Die letzten vier e r h a l t e n die Form (5.36).

[ (.)I1 (.)I2 (.)I3 (.)I4; S(.)dxl

IS

S(.)dx216

S( . ) d x 1 I 7 S( . ) d x 2 1 g I

Die Integrale beziehen sich jeweils auf die Seiten, also von 1 bis + 1 . D i e zugehorigen Verschiebungs-GroBen entstehen durch Einsetzen der kontinuierlichen Verschiebungen n i in diesen Operator, so wie es i n (5.1 1 ) festgelegt ist. Als Basisvektor w e r d e n die Monome des vollstandigen Polynoms zweiten Grades i n x l und x 2 gew a h l t plus zwei Mischterme dritten Grades. Hierauf wird der Interpolations-Operator angewendet und (5.9) n a c h den Formfunktionen aufgelost.

-

-

D e r Basisvektor ist identisch mit dem des 8-Knoten-Serendipity-Elementes von Abschnitt 4.2.4. Die Formfunktionen h a b e n jedoch e i n e n deutlich a n d e r e n Verlauf, sind aber ebenfalls kompatibel, da sie a n nichtangrenzenden Randern durchweg n u l l sind.

266

5. Finit-Element-Modelle

5.1.5 Lineare Mehrfeld-Modelle Die bisher betrachteten Verschiebungs-Modelle; zu denen auch, wie sich gezeigt hat, die erweiterten Modelle von Abschnitt 5.1.4 gehoren, wurden auf der Basis eines Ansatzes fur die Verschiebungen aufgebaut. Als Ausgangsgleichungen wurden das Arbeitsinkrement der auReren Krafte ( 5 . 1 ), das Arbeitsinkrement der Formanderung (5.2), sowie deren Gleichsetzung in (5.3) benutzt. Dies sind integrale oder schwache Bedingungen. Hinzu kamen die geometrische Beziehung zwischen den Dehnungen und Verschiebungen (5.4) und das Materialgesetz ( 5 . 5 ) , beide als starke Bedingungen lokal an jedem Punkt zu erfiillen. Die schwachen Bedingungen erzeugen Approximationen, die starken sind exakt. Ein aus schwachen und starken Bedingungen aufgebautes Modell kann insgesamt nur eine Naherung ergeben. Das andert sich auch nicht dadurch, daB man die starken Bedingungen relaxiert und ebenfalls als schwache Bedingungen in das Model1 einfuhrt. Hierdurch gewinnt man die Freiheit, zusatzliche Ansatzfunktionen einzufuhren, die eine geanderte Approximation erzeugen. Diese muR nicht nbessercc sein als vorher, aber sie ist nanders~c.Aus dem irreduziblen Modell, in dem nur die Verschiebungen als primare Variable auftreten, wird ein reduzibles, in dem auch andere GroBen wie die Dehnungen und Spannungen als unabhangige Variable vorkommen. Abgesehen von trivialen Ausnahmen existiert dann kein Verschiebungsfeld, das den Zustand des Modells allein beschreiben konnte. Aus einem Einfeld-Model1 ist ein Mehrfeld- oder gemischtes Model1 geworden. Unter mormalencc Umstanden braucht man keine gemischten Modelle. Das Verschiebungs-Model1 hat sich in der Strukturmechanik wegen der kompakten Formulierung, Anschaulichkeit und Vielseitigkeit durchgesetzt. Es gibt jedoch Ausnahmen wie die ubergangsbedingungen zwischen Schalenelementen oder die Korrektur eines generell zu steifen Konvergenz-Verhaltens ublicher Elemente. Auf die Einzelheiten solcher Probleme sol1 hier nicht eingegangen werden, da es zunachst auf die prinzipielle Formulierung ankommt. Aus diesem Grund wird auch darauf verzichtet, die geometrische Nichtlinearitat zu beriicksichtigen, obwohl dies durchaus moglich ist.

267

5.1 Virtuelle Arbeit

Das Verschiebungs-Modell erfullt die folgenden starken Bedingungen an jedem Punkt innerhalb seines Bereiches. €.. IJ

-

1

2 ( u I., J.

= -

uJ,. I. I ru

+

(5.38)

Fiir die Dehnungs-Verschiebungsbeziehung ( 5 . 3 8 ) wurde die Linearisierung von ( 5 . 4 ) gewahlt: um die Herleitungen zu vereinfachen. In ( 5 . 3 9 ) ist das Elastizitatsgesetz ( 5 . 5 ) und seine inverse Form ( 2 . 3 5 ) aufgenommen. Je nach Lage wird die eine oder andere Form benotigt. Die Elastizitatstensoren werden durch die Bedingung ( 2 . 3 6 ) miteinander verbunden.

'

= mC c ,n

m, n k i j m n c m n k l

.ljxnn . kmnkl

-

dijkl

(5.40)

Hierin ist dijkl ein Einheitstensor, der auch noch in anderem Zusammenhang benutzt werden wird. Die Liste samtlicher Symmetrien ist:

C..

=

1~k1

dijk1

C

jikl

djikl

=

C

=

= d

=

ijlk

ijlk

C

klij

'

dklij

.'

(i,j,k,l = l...~).

Die lokalen Bedingungen ( 5 . 3 8 ) und ( 5 . 3 9 ) sollen zu integralen Bedingungen abgeschwacht werden. Sowohl die Dehnungen als auch die Spannungen kijnnen dann durch eigene Ansatzfunktionen dargestellt werden. Dies kann auf verschiedene Art geschehen. Hier wird eine Form gewahlt, die der Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ( 5 . 3 8 ) entspricht und zu einer besonders iibersichtlichen Darstellung fuhrt. Es werden Dehnungs- und Spannungs-Funktionsfelder definiert; deren Ableitungen die unabhangigen Dehnungen und Spannungen erzeugen. Die Symmetrien ( 5 . 4 2 ) werden in ( 5 . 4 4 ) und ( 5 . 4 5 ) zwangslaufig herbeigefiihrt:

268

5. Finit-Element-Modelle

Der Begriff der Spannungsfunktion ist in der Literatur etwas anders definiert: Die zweiten Ableitungen einer skalaren Funktion erzeugen die Spannungen, die auf diese Weise auch die Spannungs-Gleichgewichtsbedingungen exakt befriedigen.

Die Arbeit der auBeren Krafte (5.1) bleibt unverandert. Fur das Inkrement der Formanderungsarbeit ( 5 . 2 ) wird gesetzt

Hinzu kommen zwei weitere Inkremente

(5.47) c).

(5.48)

An die Stelle des Erhaltungssatzes ( 5 . 3 ) tritt nun:

S?T(Z)

=

Sw ;

In der ersten Zeile steht die Gleichheit von innerer und auBerer Arbeit. Da Sw eine Funktion der Verschiebungen ist, muB dies auch fiir S T ( ; ) gelten, das heist, hierin wird S E ( g I jmit ( 5 . 3 8 ) gebildet. Anders kame keine Verbindung zwischen den Arbeiten zustande. Durch die zweite und dritte Zeile in ( 5 . 4 9 ) werden die Bedingungen ( 5 . 3 8 ) und ( 5 . 3 9) in schwacher Form befriedigt. Es fallt auf, daB hierfur die Arbeiten ST($) und ST(^) auch anders definiert werden konnen. So konnte zum Beispiel in ( 5 . 4 8 ) anstatt ~ ( p ) das ~ ,mit ( 5 . 3 9) und ( 5 . 4 4 ) aus dem Dehnungsansatz hervorgeht, auch ~ ( u " verwendet ) ~ werden. das ebenfalls uber ( 5 . 3 9). dann aber aus den Verschiebungen ( 5 . 3 8 ) , gebildet wird. Das hatte aber zur Folge. daB die lokalen Bedingungen ( 5 . 3 8 ) und ( 5 . 3 9) nicht getrennt in ( 5 . 4 7) und (5.4 8 ) auftreten, sondern gemeinsam in ( 5 . 3 8 ) enthalten sind. Unter anderem wiirde das die Symmetrie des Gleichungssystems storen. In die Formanderungsarbeiten ( 5 . 4 6 ) bis ( 5 . 4 8 ) werden mit ( 5 . 3 8 ) , ( 5 . 4 4 ) und ( 5 . 4 5) die Verschiebungen und die Dehnungs- und Spannungsfelder eingefiiihrt. Zur formalen Vereinheitlichung werden einige der entstehenden Ausdrucke mit dem Einheitstensor ( 5 . 4 1 ) erweitert.

5.1 Virtuelle Arbeit

S ~ P )= k

.

269

j - ~ ( ~ , ~+ i k, j d~i j k~l )~a ~~k , -l d v ; (5.52) v (i,j,k,l = l . . . c )

Fiir die unabhangigen Felder werden diskrete Ansatze der Form ( 5 . 1 3) vorgegeben. PY

ui =

Pi

=

.

1 ypl hTpl ; Pl

(5.53)

Z

QiP2

2

Np2

.

(5.54)

,

P2

yji

=

1

3 Yjp3 Np3 ; ( i = l . . .c ; P a

=

l . . . N a ; a = 1,2,3)

(5.55)

P3

Es sind U i p l , Qip2 und YiP3 die diskreten Freiwerte der Verschiebungs-, Dehnungs- und Spannungsfelder, die, mit den zugehorigen Formfunktionen 3 ~ : l , N& und Np3 multipliziert, die algebraischen Nlherungen ergeben. Fiir die Formanderungsarbeiten ( 5 . 5 0) bis ( 5 . 5 2 ) ergibt sich damit:

Zur Definition der hierin auftretenden Matrizen wird vereinbart: Ein Tensor mijkl besitze die Symmetrien ( 5 . 4 3). E r erzeugt eine Matrix

(i,j,k,l = 1 . . . c ; p a = l . . . N a ; a,b mit der Symmetrie

=

1,2,3)

270

5. Finit-Element-Modelle

Ersetzt man den Tensor mijkl durch den Einheitstensor dijkl, dann entstehen ~ . dem Elastizit5tstensor kijkl die Koppelungs-Matrizen D $ $ ~ ~ Mit werden die Steifigkeits-Matrizen ~ $ kpb 5 gewonnen und mit dem inversen Elastizitatstensor cijk1 die Nachgiebigkeitsmatrizen ~ p p bk, p b . Letztere tauchen in den Gleichungen ( 5 . 5 6) bis ( 5 . 5 8 ) noch nicht auf. Die Formanderungsarbeiten (5.5 6) bis ( 5 . 5 8 ) werden in die Erhaltungssatze ( 5 . 4 9) eingesetzt. Die aul3ere Arbeit Sw ist in ( 5 . 2 3) angegeben; es mu6 lediglich der Index P in P1 geandert werden. Die virtuellen Anderungen SUkpl, SOkp2 und S Ykp3 konnen beliebig variiert werden, so daB nach einigen Umstellungen mit Hilfe der Symmetrien ( 5 . 6 0) iibrig bleibt:

Wenn man jeweils einen Richtungs- und Punktindex vereinigt, kann man diese drei Gleichungen in symbolischer Matrizenschreibweise zusammenfassen.

Die Zeilen zwei und drei sind gegeniiber den obigen Gleichungen vertauscht. Auf diese Weise ist eine symmetrische Gesamtmatrix entstanden. Die Eigenschaften des Dehnungs-Spannungs- Verschiebungsmodells sollen hier noch nicht diskutiert werden. Zunachst werden durch Entfernen jeweils eines der beiden zusatzlichen Felder zwei weitere Modelle erzeugt, in denen das Elastizitatsgesetz ( 5 . 3 9 ) lokal exakt eingehalten wird. Es ist dann

und die Formanderungsarbeit S r ( p ) in ( 5 . 4 8 ) wird identisch zu null. Im Spannungs- Verschiebungsmodell werden die Spannungen mit ( 5 . 4 5) vorgegeben. Der Dehnungsansatz ( 5 . 4 4) wird beibehalten, um keine erneute

5.1 Virtuelle Arbeit

271

Herleitung notwendig zu machen. Seine Abhangigkeit wird uber das Elastizitatsgesetz ( 5 . 3 9) ausgedriickt. ~(p?)..

=

*J

Z cijkl

k,l

Hier wird (5.6 5) eingesetzt und dann die beiden Ansatze ( 5 . 4 4 ) und ( 5 . 4 5). Mit den Symmetrien von ( 5 . 4 3) ergibt sich daraus p. . = l>J

Z cijkl GkSl

k,l

;

(i,j,k,l = l . . . c ) .

(5.66)

Um hiermit aus dem Dreifeld-Model1 ( 5 . 6 4 ) das Zweifeld-Model1 zu erzeugen, bedient man sich am besten einer verkurzten symbolischen Schreibweise. Aus (5.6 6) wird

0

=

C Y .

Dies wird in (5.6 4) eingesetzt. Weiter werden die hochgestellten Indizes 2 in 3 geandert, weil die Zahl der Freiheitsgrade im Dehnungsansatz gleich der im Spannungsansatz geworden ist. Es folgt:

Mit ( 5 . 4 0 ) und ( 5 . 5 9 ) ergibt sich

cK33

=

D

~

~

.

Dadurch wird die zweite Zeile in obiger Matrix null, was die Bestatigung dafur ist, daB die Formanderungsarbeit S r ( p ? ) von ( 5 . 4 8 ) identisch null verschwunden ist. Weiter folgt aus ( 5 . 5 9)

so daB dann noch verbleibt

Damit ist das Spannungs-Verschiebungsmodell gewonnen. Die Gesamtmatrix ist auch wieder symmetrisch.

272

5. Finit-Element-Modelle

Das Dehnungs-Verschiebungsmodell wird auf analoge Weise gebildet. Es gilt wieder ( 5 . 6 5 ) , nur wird jetzt o ( + ) . . als abhangig behandelt. Die Um1J kehrung von (5.6 6) ist

+.

. =

l'J

1

kijk,

;

( i , j , k , l = I ... c ) ,

( 5 . 6 8)

k,l

oder in verkurzter Schreibweise

Dies wird in ( 5 . 6 4 ) eingesetzt und die hochgestellten Indizes 3 in 2 umgesetzt.

Die zweite Matrizenzeile wird identisch null und es bleibt, nachdem die dritte Zeile mit k multipliziert wurde, um eine symmetrische Gesamtmatrix zu erzeugen;

Dies sind die Gleichungen des Dehnungs-Verschiebungsmodells. Im Spannungs- und Dehnungs-Verschiebungsmodell wird das Elastizitatsgesetz ( 5 . 3 9 ) in starker und die Verschiebungs-Dehnungsbeziehung ( 5 . 3 8 ) in schwacher Form eingehalten. Selbstverstandlich ist auch das umgekehrte Vorgehen moglich. Die dadurch erzeugten Modelle sind jedoch ungebrauchlich. In der Anwendung trifft man am haufigsten das Spannungs-verschiebungs-Model1 (5.6 7) an. Fur eine nicht aufgelagerte Struktur ist die Gesamtmatrix singular. Dies gilt fur jedes Feld gesondert. A m einfachsten erkennt man dies, wenn man die Systemmatrizen wie in ( 4 . 1 1 ) und ( 4 . 1 2) uber Kernmatrizen aufbaut.

5.1 Virtuelle Arbeit

273

Dies wird fur eine beliebige Kombination a, b betrachtet. Untersucht wird der Defekt der Kernmatrizen ( 5 . 7 0 ) , der wegen der Regularitat der Vandermonde-Matrizen gleich dem der Systemmatrizen ( 5 . 7 1 ) ist. Zu seiner Bestimmung genugt es: die linearen Abhangigkeiten der Zeilen des Integranden in (5.7 0 ) zu ermitteln.

Jede Indexkombination i mit R beschreibt eine Zeile in einem ebenen Matrizenschema. Da der Basisvektor vollstandig sein muB, enthalt e r ein ZR = konst. Die zugehorigen Ableitungen sind samtlich null, so daB mit i = 1... c insgesamt c Nullzeilen entstehen. Einzelne Ableitungen hoherer Terme wie 3 x 1 / 3 x 2 sind ebenfalls null, erzeugen aber nur isolierte Nullen und keine ganzen Nullzeilen. Bisher ist der Defekt d gleich der Dimension c. Ein vollstandiger Basisvektor enthalt weiterhin alle linearen Terme in den Koordinaten. Denkt man sie sich an den Anfang gestellt, dann ist Zk = x k , ( k = I ... c ) , mit den Ableitungen Zk, = Das ergibt

&

Der Tensor mik. . . steht stellvertretend fur die Tensoren in ( 5 . 4 3). Infolgedessen besitzt e r die Symmetrie mik.. . = mki.. ., die sich unmittelbar auf den Integranden ubertragt:

Fur ein gegebenes Indexpaar i, k mit i # k und fur das Indexpaar k, i treten also zwei gleiche Zeilen auf. Da i und k die W e r t e von 1 bis c durchlaufen ergeben sich insgesamt c ( c - 1 ) gleiche Zeilen. Die Halfte davon ist abhangig. Zusammen mit dem Defekt aus den c Nullzeilen von oben ergibt sich die Zahl der linear abhangigen Zeilen

Fur die Verschiebungen ist dies die Zahl der Starrkorperbewegungen.

274

5. Finit-Element-Modelle

Jede Untermatrix hat den gleichen Defekt. Die Gesamt-Matrix erhalt somit den Rang

Dies gilt fur das Dreifeld-Modell. Fur das Spannungs-Verschiebungsmodell ( 5 . 6 7 ) werden a die W e r t e 1 und 3 zugewiesen, fur das Dehnungs-Verschiebungsmodell ( 5 . 6 9 ) die W e r t e 1 und 2 und fur das reine Verschiebungsmodell, egal ob linear oder nicht, gilt a = 1. Es kann im Einzelfall durchaus vorkommen, daB man einen kleineren Rang findet. Das Modell ist dann untauglich, weil es keine Losung zulaot. Um dies vorab zu bestimmen, bedient man sich der Babuska-Brezzi-Bedingung (inf-sup-Bedingung) oder einer Zahlung d e r Zwangsbedingungen (constraint count). D e r theoretische Aufwand ist jedoch vie1 geringer, wenn man fur ein gegebenes Model1 den Test (5.7 3) ausfuhrt; zumal dies nur fur ein einfaches Beispiel notwendig ist. Beim Spannungs-Verschiebungsmodell ist es generell so, daR der Ansatz fur die Spannungen mindestens vom gleichen Grad sein muB wie der f i r die Verschiebungen. Obwohl die Ansatze fur die Dehnungen und Spannungen (5.4 4) und (5.4 5) einen beliebig hohen Grad erhalten konnen, wird die Genauigkeit des Modells durch den Verschiebungsansatz ( 5 . 3 8 ) bestimmt. Dies kann man schon daran erkennen, daB die Belastungen uber den Verschiebungsansatz eingefuhrt werden. Hohere Dehnungs- und Spannungsanteile haben keine auBeren Resultierenden. Dies ist das sogenannte Limitations-Prinzip (limitation principle). Als Beispiel f u r e i n Dreifeld-Model1 sol1 e i n eindimensionales Element mit LagrangeInterpolation benutzt werden. Eine praktische Verwendung wird sich f u r dieses Element wohl k a u m f i n d e n lassen, dafur laflt es sich aber o h n e groflen Aufwand durchrechnen. D e r Verschiebungs- und Spannungsansatz sollen vom zweiten Grad sein, der Ansatz f u r die D e h n u n g e n vom ersten.

Bild 5.4: Eindimensionales Element mit l i n e a r e r und quadratischer Lagrange-Interpolation. D i e Formfunktionen f u r die quadratische Interpolation von 3

~ p l l= N p 3

=

und

sind:

5.1 Virtuelle Arbeit

275

Der Richtungsindex f u r die Koordinate x l w i r d hier, wie auch im folgenden, weggelassen. Die Formfunktionen fiir die lineare Interpolation von p sind:

Die System-Matrizen werden rnit (5.59) gebildet, dabei wird f u r die Integration e i n konstanter Querschnitt rnit dem Wert 1 angenommen. Der Elastizitatskoeffizient k l l l l wird ebenfalls gleich 1 gesetzt. Damit ergibt sich das Gleichungssystem (5.64):

Mit (5.72) und (5.73) muRte der Rang dieser Matrix ran(M)

=

(3

-

1)

+

(2

1)

+

(3

1)

=

5

sein. Das ist tatsachlich der Fall. DaR dies keine Selbstverstandlichkeit ist, beweist das gleiche Element, w e n n man den Grad der Interpolation von Spannungen und Dehnungen vertauscht. D a n n ist der Rang gleich 4, also unzulassig. Das Element sol1 noch einer Belastung unterworfen werden. Zu diesem Zweck wird = Y l = 0 . Die Losung ist dann es aufgelagert rnit U 1 =

o1

Mit dieser Losung k a n n man gleich drei Dehnungen ausrechnen: E(;) ) (5.44) und (5.54) und Definition (5.38) und dem Ansatz (5.531, ~ ( prnit (5.45), (5.55) und dem Elastizitatskoeffizienten k l l l l = 1:

rnit der

~ ( $ 1 rnit

Offensichtlich gibt ~ ( $ 1 einen genaueren Verlauf an als E(; ). Das steht scheinbar i n Widerspruch zum oben angefuhrten Limitations-Prinzip. Dieser wird jedoch behoben, w e n n man E ( ; ) f u r das reine Verschiebungsmodell ausrechnet und denselben Verlauf findet wie hier f u r ~ ( 4 ) .

276

5. Finit-Element-Modelle

5.1.6 ubungen u b u n g 5.1: Ermitteln Sie das erweiterte nichtlineare Kraft-Verschiebungs-Gesetz (5.28) f u r den Stab von Bild 5.1, w e n n zusatzlich zu den Belastungen F;.P eine Vorspannung o ( o ) gegeben ist. Benutzen Sie die Randbedingungen

u b u n g 5.2: Bei relativ k l e i n e n Verschiebungen wird e i n e geometrische Nichtlinearitat hauptsachlich durch die Bewegungen s e n k r e c h t zu e i n e r Oberflache verursacht. Z u m Beispiel und i n der Ebene w e r d e n i n e i n e m ebenen Problem die Verschiebungen gemessen und s e n k r e c h t dazu. I n der Ebene soll die lineare Theorie verwendet werden. Anstelle von (5.4) w e r d e n die D e h n u n g e n dann durch

z3

cl

c2

bestimmt. F u r die Interpolation (5.9) w e r d e n n u r die Koordinaten x l und x 2 gebraucht; x 3 sei null. Revidieren Sie die Bereiche der Richtungsindizes f u r die Gleichungen (5.10) bis (5.32) f u r dieses Problem. u b u n g 5.3: F u r e i n c-dimensionales Simplex-Element ( c > 1: Dreieck, Tetraeder) m i t den Seitenlangen, beziehungsweise -flachen, ap sollen ausschlieRlich integrale Freiheitsgrade verwendet werden. D e r Interpolations-Operator ist

u n d der Basisvektor

W a s sind jetzt die diskreten Koordinaten und Verschiebungen (5.10) u n d (5.1 I ) ? Stellen Sie die Vandermonde-Matrix D (ZRIP auf. u b u n g 5.4: U n t e r s u c h e n Sie, auf w e l c h e n Randern die F o r m f u n k t i o n e n des Beispiels von Abs c h n i t t 5.1.4 jeweils n u l l sind. u b u n g 5.5: F u r e i n eindimensionales Element mit den Endpunkten 1 und 2 a n den Stellen x = 0 u n d 1 soll das Spannungs-Verschiebungsmodell (5.67) aufgestellt werden. Die Interpolations-Operatoren fiir die Verschiebungen und Spannungen seien:

Setzen Sie z u r V e r e i n f a c h u n g den Elementquerschnitt u n d d e n Elastizitatskoeffizient e n c gleich eins. Lagern Sie danach das Element durch U1 = Yl = 0 auf u n d b e r e c h n e n Sie die Losung. u b u n g 5.6: Leiten Sie aus dem Dreifeldmodell (5.64) das Einfeld-Verschiebungsmodell her.

5.2 Partielle Differentialgleichungen

277

5.2 Partielle Differentialgleichungen In diesem Abschnitt sollen zwei Verfahren zur numerischen Losung partiell e r Differentialgleichungen besprochen werden: die Extremalprinzipien und die Verfahren der gewichteten Residuen. Beide setzten die Existenz von partiellen Differentialgleichungen voraus, das heiBt also starken Formulierungen, die fur jeden Punkt eines angenommenen Kontinuums gelten. Der Weg, wie hieraus die schwachen Formulierungen fur die numerische Naherung gewonnen werden, ist fur die Verfahren charakteristisch. Fur die Extremalprinzipien wird eine integrale Funktion gebildet, die als Funktional oder Potentialfunktion bezeichnet wird. Die Bestimmung dieser Funktion ist oft nicht einfach und kann sogar unmoglich sein. Durch Variation des Funktionals werden dann die Extremwerte ermittelt, die die gesuchte Losung beschreiben. Die gewichteten Residuen werden fur die Differentialgleichungen selbst in integraler Form aufgestellt. Dieses Vorgehen ist wesentlich universeller und flexibler in der Anwendung, weil kein Umweg uber ein Funktional erforderlich ist. AnschlieBend daran werden in beiden Methoden numerische Ansatze eingefuhrt, mit denen eine Naherungslosung berechnet werden kann. Es ist vie1 daruber diskutiert worden, ob die Methode der finiten Elemente lediglich eine Fortfiihrung eines der genannten mathematischen Verfahren ist. Fur die Anwendung ist dies gleichgultig. Fur die Theorie war es insofern wichtig, als zum Beispiel Konvergenzbeweise vorlagen, die nun fur die finiten Elemente herangezogen werden konnten. Inzwischen ist es allerdings nebensachlich, in welchem Zusammenhang man die Dinge betrachtet. Aus diesem Grund werden hier die Fragen zur Konvergenz, der Fehler oder Randbedingungen in einem gesonderten Abschnitt behandelt, unabhangig vom Verfahren. Sind die finiten Elemente ein Verfahren zur Losung partieller Differentialgleichungen? Ja! Daruber hinaus bieten sie aber noch weitere Moglichkeiten. So wie in diesem Kapitel auch ist es allgemein ublich, die Theorie fur ein Kontinuum aufzustellen. Dort regieren (noch?) die Differentialgleichungen. Das kann daruber hinwegtauschen; daB es auch von Natur aus diskrete Probleme gibt wie das 0ffnen und SchlieBen von Kontaktflachen, Imperfektionen, Fremdmassen u.s.w. Mit Differentialgleichungen ist dies nicht zu beschreiben. Trotzdem lassen sich auch hierauf die finiten Elemente anwenden.

5.2.1 Extremalprinzipien Am Anfang steht das Funktional. ~ b e seine r Herleitung aus den Differentialgleichungen braucht sich der Ingenieur im allgemeinen keine Gedanken

278

5. Finit-Element-Modelle

zu machen, solange e r den sicheren Boden der ublichen Annahmen nicht verlaBt. Dazu gehoren die geometrische Linearitat, konservative, das heiBt richtungstreue, Belastungen und die gangigen Randbedingungen. Gerade bei letzteren kann es allerdings einige Verwirrung geben, weil durch eine Umformung mit dem GauBschen Integralsatz Volumen- in OberflachenIntegrale umgewandelt werden konnen oder umgekehrt. Dies wird weiter unten an einem Beispiel vorgefiihrt. Zu jeder Problemklasse gibt es die zugehorigen Funktionale. Das elastische Potential beschreibt alle linear elastischen Probleme, die im irreduziblen Verschiebungsmodell formulierbar sind. Die Funktionale von HellingerReissner und Hu- Washizu beziehen sich auf das Spannungs-VerschiebungsModell, beziehungsweise das Dreifeld-Model1 mit Spannungen, Dehnungen und Verschiebungen, wie sie in Abschnitt 5.1.5 beschrieben sind. Daneben gibt es noch erweiterte Prinzipien, mit denen die ubergangs- oder Randbedingungen zwischen Teilbereichen beeinfluBt werden konnen. Wie diese durch integrale Freiheitsgrade in das Verschiebungsmodell eingefiigt werden konnen, wurde in Abschnitt 5 . 1 . 4 gezeigt. Gegenstand dieses Abschnitts ist die Darstellung des Verfahrens, wie es auf ein gegebenes Funktional angewendet werden kann. Auf eine Auflistung von Funktionalen wird verzichtet, da die Extremalprinzipien keinen selbstandigen Beitrag zur Modellbildung in den hier angesprochenen Zusammenhangen liefern. Gegeben sei ein Funktional 17, das einen Extremwert annehmen soll. Im Falle eines erweiterten Prinzips muB die Forderung dahingehend abgeschwacht werden, daB ein stationarer W e r t , also ein Sattelpunkt, erreicht wird. Die Forderung ist dann I

17 4 stationar Damit dies eintritt, muB die erste Variation null sein.

Hiermit ist die Losung zu berechnen. Die zweite Variation gibt Auskunft daruber, von welcher A r t der stationare W e r t ist. s217 > 0 2 0 oder < 0

Minimum 3 Sattelpunkt a Maximum 3

5

0

Damit ist schon alles Wesentliche gesagt. Die Methode ist mathematisch >,elegant.. Das erklart ihre Beliebtheit unter Mechanikern. Da es sich hier um eine Anwendung der Variationsrechnung handelt, spricht man auch von Varia tionsme thoden.

5.2 Partielle Differentialgleichungen

279

Das Funktional Ii'hangt von einem oder mehreren Feldern von Losungsfunktionen ab. Um die Gleichungen ubersichtlich zu halten, wird hier nur ein Feld gebraucht. Es wird mit 2 bezeichnet und kann zum Beispiel fur die Verschiebungen stehen. Den dafiir notwendigen Richtungsindex kann man nachtraglich hinzufugen. Der Ritzsche Ansatz fur die Losungsfunktion lautet:

Es sind U p die numerischen Freiwerte und N p die interpolierenden Funktionen. Dies ist nichts anderes als der globale Verschiebungsansatz ( 5 . 1 3 ) , wenn man hier die Richtungsindizes hinzufiigt, also und Uip schreibt anstelle von 2 und U p . Im Zusammenhang mit dem Verschiebungsansatz wurden Uip und N p als diskrete Verschiebungen und Formfunktionen bezeichnet.

zi

Durch den Ansatz von Ritz wurde die Methode der finiten Elemente teilweise vorweggenommen. Das wurde allerdings bei der Entwicklung der >>Computermethoden<< zunachst nicht bemerkt, zumal diese lokale Ansatze verwendeten, die bei Ritz zwar auch moglich gewesen waren, aber bis dahin nicht beachtet worden waren. Es ist dies ein Beispiel dafiir, wie ein neues Werkzeug, in diesem Fall der Computer, auch bereits bekannte Verfahren in einem neuen Licht erscheinen lassen kann. So gesehen sind die finiten Elemente eine Weiterentwicklung des Ritzschen NaherungsVerfahrens (englisch: Rayleigh- Ritz) . Die Variationen werden nach den Freiwerten der Losungsfunktion nommen. Fur die erste Variation (5.7 5) ergibt sich

vorge-

Die Variationen S U p entsprechen den virtuellen Verschiebungen aus Abschnitt 5 . 1 . Da sie beliebig gesetzt werden konnen, muB jeder einzelne Term in der Summe verschwinden.

Aus dieser Bedingung werden die diskretisierten Gleichungen zur numerischen Losung hergeleitet, das heiBt, hiermit wird gearbeitet. Von eher theoretischen Interesse ist die zweite Variation (5.7 6 ) :

280

5. Finit-Element-Modelle

Dies ist eine quadratische Form der A r t (1.18 0). Sie ist immer positiv fiir beliebige S U p , wenn die Matrix der zweiten Ableitungen positiv definit k t , semidefinit fur durchweg positive oder negative W e r t e einschlieBlich von Nullen, und schlieBlich negativ definit, wenn nur negative W e r t e auftreten. Das heiBt also, nach ( 5 . 7 6 ) liegt dann ein Minimum, ein Sattelpunkt oder ein Maximum vor. Als Beispiel sol1 das linear elastische Potential

ausgewahlt werden. Im Ritzschen Ansatz (5.77) werden hierfur die Richtungsindizes gebraucht, das heifit e r wird i n der Form (5.13) geschrieben. Es entsteht

Hier werden die i n (5.15) und (5.16) definierten diskreten Krafte eingefiihrt und die Steifigkeits-Matrix (5.1 7).

Die hieraus zu bildende Ableitung (5.78) wird zu null gesetzt. Mit der Symmetrie (5.20) der Steifigkeits-Matrix ergibt sich dann

Dies ist das lineare Kraft-Verschiebungs-Gesetz (5.30) mit der Tangenten-steifigkeitsMatrix (5.3 2). An dieser Herleitung erkennt m a n deutlich, welcher Umweg gemacht wurde: Das elastische Potential (a) entsteht durch Integration der Inkremente von Formanderungsund auRerer Arbeit. AnschlieRend wird es durch (5.78) wieder differenziert. Im Prinzip der virtuellen Arbeit ist dieser Schlenker nicht notwendig. Erstens ist es dadurch einfacher und zweitens universeller. Die zweite Variation (5.79) ist

Unter noch zu untersuchenden Umstanden ist dies stets positiv, so daB mit (5.76) von einem Minimum ausgegangen werden kann. Man spricht deshalb auch vom Prinzip des Minimums der potentiellen Energie. Nach (5.79) muR hierfiir die Steifigkeits-Matrix positiv definit sein. Dies ist der Fall unter zwei Voraussetzungen: Erstens muR i n der Steifigkeits-Matrix (5.17) der Elastizitatstensor kijkl selbst positiv definit sein, das heiRt e r mu8 ein stabiles Materialverhalten beschreiben,

5.2 Partielle Differentialgleichungen

281

u n d zweitens mussen die Starrkorperverschiebungen durch e i n e Auflagerung u n t e r d r u c k t werden. 1st letzteres n i c h t erfullt, d a n n ist die Steifigkeits-Matrix positiv semidefinit u n d es liegt e i n Sattelpunkt des elastischen Potentials vor. Es w a r oben die Rede davon, daB durch Umformungen mit dem GauRschen Integralsatz unterschiedliche Formen e i n und desselben Funktionals erzeugt w e r d e n konnen. Als Beispiel wird das Funktional n a c h Hellinger-Reissner f u r das SpannungsVerschiebungsmodell herangezogen. Es ist

Von dem elastischen Potential ( a ) unterscheidet es sich durch den zweiten T e r m . Dieser T e r m wird n u n partiell integriert.

Auf den e r s t e n Teil des Integrals wird der GauRsche Integralsatz angewendet. Die Voraussetzung hierzu ist, daR die F u n k t i o n e n stetig sind und das Volumen kompakt.

H i e r i n s i n d nj die n a c h auRen gerichteten Flachennormalen. Anstelle von ( c ) e r h a l t m a n damit das Funktional

U n t e r den Integralen der zweiten Zeile befinden sich jetzt i n den K l a m m e r n die lokalen Spannungs-Gleichgewichtsbedingungen (2.64) u n d (2.65). Dies erlaubt e i n e n e u e Interpretation des zweiten T e r m s i n ( c ) : E r sorgt dafur, daB Abweichungen vom lokalen Gleichgewicht des vorzugebenden Spannungsfeldes durch die Extremalbedingung (5.74) minimiert werden. Diese Aussage ist n i c h t s e h r prazise begriindet. Sie muBte es aber a u c h n i c h t sein, weil es h i e r darauf a n k a m ; a m Beispiel die oft verbluffenden Ergebnisse integraler Umformungen zu zeigen. Die Konstruktion v o n F u n k t i o n a l e n f u r Extremalprinzipien ist eine Kunst, da e s gilt, F u n k t i o n e n zu finden, d e r e n Ableitungen bestimmte Eigenschaften h a b e n sollen.

5.2.2 Gewichtete Residuen Die Verfahren der gewichteten Residuen sind wesentlich flexibler als die Extremalprinzipien, weil sie direkt aus den Differentialgleichungen integrale oder ,,schwachecc Gleichungen aufbauen, die fiir eine numerische Naherungslosung zuganglich sind. Durch die freie Wahl von sogenannten Gewichtungsfunktionen lassen sich dariiberhinaus sehr unterschiedliche Verfahren konstruieren, die unter den verschiedensten Bezeichnungen bekannt sind. Hier wird in erster Linie das Galerkin-Verfahren besprochen, weil es im Zusammenhang mit den finiten Elementen die grol3te Bedeutung erlangt hat. Wie schon bei der virtuellen Arbeit und den Extremalprinzipien wird

282

5. Finit-Element-Modelle

das Problem randbedingungsfrei formuliert. Deren Einfuhrung erfolgt erst nach der lokalen Diskretisierung. Eine Differentialgleichung werde durch

beschrieben. Hierin ist A (.) ublicherweise ein partieller Differentialoperator, 2 die Losungsfunktion und f die Belastungsfunktion. In der Strukturmechanik wird der Platz der Losungsfunktion durch die Verschiebungen, der der Belastungsfunktion durch die Krafte eingenommen. Anstelle einer Gleichung konnen auch mehrere auftreten. Dies braucht hier jedoch nicht berucksichtigt zu werden, weil e s am Prinzip nichts andert. Das Problem ist uber einen gegebenen Bereich R zu losen. In diesem Bereich konnen sowohl fir ; als auch fur f Randbedingungen vorgegeben sein, die aber einstweilen unberucksichtigt bleiben sollen. ry

rU

Gleichung ( 5 . 8 0 ) ist die starke Formulierung des Problems. Sie gilt fur jeden einzelnen Punkt des Bereichs 0. Hieraus gewinnt man eine schwache Formulierung

S w ( A ( u " ) - ? ) dl2

=

0,

(5.8 1 )

n in der eine beliebige Gewichtungsfunktion w mit dem Residuum A ( ; ) - ? multipliziert und uber den Bereich R integriert wird. Dieses Vorgehen wird als Methode der gewichteten Residuen bezeichnet. D e r Beweis, daB die Losung von (5.8 1 ) gleichzeitig auch die Losung von ( 5 . 8 0 ) liefert, laBt sich indirekt fuhren: Angenommen, ein Residuum ist irgendwo in Rungleich null, dann IaBt sich immer eine Gewichtungsfunktion konstruieren, mit der das Integral einen von null verschiedenen W e r t annimmt. Unter der Voraussetzung, daB die Gewichtungsfunktionen beliebig sind, ist also eine Losung von ( 5 . 8 1 ) gleichzeitig auch eine Losung der Differentialgleichung ( 5 . 8 O)! Die Gewichtungsfunktion wird in der Form eines Ritzschen Ansatzes (5.7 7) eingefuhrt .

Hierin sind Wpdie diskreten Freiwerte und M p die zugehorigen Funktionen. Ihre Zahl ist durch den Indexbereich M angegeben. Aus ( 5 . 8 1 ) ergibt sich damit, nachdem die Freiwerte vor das Integral gezogen wurden:

5.2 Partielle Differentialgleichungen

283

Dies muB fur fur jeden beliebigen W e r t W pder Freiwerte der Gewichtungsfunktionen erfullt sein, so daB jeder einzelne Term in der Summe fur sich null sein muB.

S M~ ( A ( , ) f)df2 -

=

0

;

( P = 1...M)

( 5 . 8 3)

f2

Ohne daB die Losungsfunktion schon diskretisiert ist, steht hier bereits die wesentliche Aussage: Die Abweichungen von der exakten Losung der Differentialgleichung, die Residuen A ( ) - werden mit den diskretisierten Gewichtungsfunktionen M p im integralen Mittel null gesetzt. Dies ist eine relaxierte Forderung gegenuber der punktweisen Erfullung der ursprunglichen Differentialgleichung und deshalb auch leichter zu erfullen. Selbstverstandlich handelt e s sich dabei nur um eine Naherungslosung, die aber je nach A r t und Zahl der Gewichtungsfunktionen beliebig genau mit der exakten Losung iibereinstimmt. Die hier verwendeten Gewichtungsfunktionen sind eng verwandt mit den virtuellen Verschiebungen von Abschnitt 5.1. Ihre Variation fuhrte dort zu der Forderung, daB ihre Multiplikatoren samtlich zu null werden mufiten. Dieselbe Logik, angewendet auf die Gewichtungsfunktionen, fuhrte hier zur Aussage ( 5 . 8 3). Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Verfahren ist, daB die gewichteten Residuen eine allgemeine mathematische Methode beschreiben, wahrend die virtuelle Arbeit im Zusammenhang mit der Mechanik formuliert ist. Man konnte auch sagen, daB die gewichteten Residuen eine Differentialgleichung voraussetzen, urn daraus eine schwache Formulierung zu erzeugen, die virtuelle Arbeit dagegen ein direkter W e g ist, um dorthin zu gelangen. Doch dieser Unterschied verwischt sich, weil die gewichteten Residuen ebenso gut fiir eine starke Formulierung benutzt werden konnen, die gar keine Differentialgleichung ist. Dies wird weiter unten am Beispiel des Spannungs-Dehnungs-Gesetzes gezeigt. Um aus ( 5 . 8 3) eine numerische Berechnungsanweisung zu machen, muB die Losungsfunktion ebenfalls diskretisiert werden. Das geschieht auf dieselbe Weise wie fur die Gewichtungsfunktion, also mit dem Ritzschen Ansatz (5.7 7).

Es sind UQ und NQ wieder die Freiwerte und die Funktionen, die in diesem Zusammenhang oft als Versuchslosungen bezeichnet werden. Ihre Zahl wird durch den Indexbereich N angegeben. Aus ( 5 . 8 3 ) ergibt sich damit

284

5. Finit-Element-Modelle

Hierfur wurde zur Vereinfachung festgelegt

Je nach A r t des Differentialoperators A ( . ) in ( 5 . 8 7 ) ist ( 5 . 8 5 ) ein lineares oder ein nichtlineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Freiwerte UQ in der Losung. 1st der Operator linear, dann konnen diese herausgezogen werden:

Aus ( 5 . 8 5 ) entsteht dann das lineare Gleichungssystem

Die aus der Belastungsfunktion gewonnenen Integrale F p sind weiterhin durch ( 5 . 8 6 ) gegeben. Die Koeffizienten-Matrix KpQ ist definiert durch

K~~

=

J M , A ( N ~ ) ~ o ;

(P=I ... M ; Q = I... N ) .

( 5 . 9 0)

R

Bisher wurden die Ansatze ( 5 . 8 2 ) fur die Gewichtungsfunktion und ( 5 . 8 4 ) fiir die Losungsfunktion vollig getrennt betrachtet. In der T a t gibt es eine Reihe von Verfahren, fur die dies auch zutrifft. Zu nennen sind die Kollokations- Verfahren, in denen die Gewichtungsfunktion durch eine Reihe von Dirac-Delta-Funktionen erzeugt werden, so dal3 fur ausgewahlte Punkte oder Unterraume eine exakte Befriedigung der Differentialgleichung herbeigefuhrt wird. Ein Gesichtspunkt, der bisher unerwahnt geblieben ist, aber erhebliche Auswirkungen vor allem auf die numerischen Berechnungen haben kann, ist die Moglichkeit, symmetrische Koeffizienten-Matrizen zu erzeugen. K:,Q

! - KQp

(P, Q

=

1...N)

(5.9 1)

;

Auf jeden Fall mussen dafur die Zahl M der Ansatzfunktionen fiir die Gewichte und N fur die Losung ubereinstimmen. W i e man aus ( 5 . 9 0 ) sofort entnehmen kann, erzeugt man die Symmetrie immer durch den Ansatz

5.2 Partielle Differentialgleichungen

285

Abgesehen von dem Belastungsterm (5.8 6) werden die Residuen durch sich selbst gewichtet. Dieses Vorgehen ist seit langem bekannt unter dem Namen Methode der kleinsten Fehlerquadrate und ist unabhangig von finiten Elementen fiir viele Problemstellungen mit Erfolg eingesetzt worden. Die Methode hat den Nachteil, daB die Potenz der Ableitungen des Differentialoperators in der Koeffizienten-Matrix verdoppelt wird. Sie macht einen >>unphysikalischenccEindruck, wenn man sich zum Beispiel uberlegt, was mit dem Belastungsterm ( 5 . 8 6 ) passiert. Festzuhalten bleibt jedoch, daB sie immer eine symmetrische Koeffizienten-Matrix erzeugt. Weitaus haufiger wird folgende Festlegung der Gewichtungsfunktion verwendet:

Sie ist bekannt unter dem Namen Galerkin-Verfahren. Die Gewichtungsund Losungsfunktionen sind gleich. In der Terminologie der Finit-ElementMethode sind es die Formfunktionen. In vielen Fallen fuhrt auch diese Festlegung zu symmetrischen Matrizen. Meistens ist dazu allerdings eine Umformung notwendig, in der eine Teilintegration, der Gaul3sche Integralsatz und eine Randbedingung benotigt werden. Voraussetzung fur das Gelingen ist, daB der Differentialoperator selbstadjungiert ist. Meistens ist das der Fall, wenn der Grad der Ableitungen gerade ist. Eine genaue Definition des Begriffes ist nicht sehr hilfreich, weil sie letztendlich darauf hinauslauft, die Prozedur zu beschreiben, die aus einer anfanglich unsymmetrischen Koeffizienten-Matrix eine symmetrische macht. Es sollte genugen, die Symmetrisierung am Beispiel zu zeigen. Ein Bemerkung zu selbstadjungierten Differentialoperatoren: Sie sind die Voraussetzung fiir die Existenz eines Funktionals in einem Extremalprinzip von Abschnitt 5 . 2 . 1 . Die zweite Ableitung des Funktionals in (5.7 9 ) ist die Koeffizienten-Matrix selbst. D a die Reihenfolge der Differentiation beliebig ist, muB die Koeffizienten-Matrix symmetrisch sein. Im ersten Beispiel wird die Poisson-Differentialgleichung

mit Hilfe des Galerkin-Verfahrens fur die numerische Berechnung aufbereitet. Es ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie tritt in vielen physikalischen Zusammenhangen auf wie zum Beispiel bei der Torsion oder der Warmeleitung. Die Belastungsfunktion f (x) wird nach (5.86) diskretisiert, wozu weiter nichts zu bemerken ist. Der Laplace-Operator fur ein c-dimensionales Kontinuum wird hier in der allgemeinen Form

286

5. Finit-Element-Modelle

geschrieben. Er ist linear und symmetrisch, falls der Materialtensor k i j konstant und symmetrisch ist.

k.. 1J

=

k.. J1

;

( i , j = l...c)

Fur isotrope Medien gilt kij Lehrbuchern.

=

(c)

k <Tij . Diesen Spezialfall findet man ublicherweise i n

Die Koeffizienten-Matrix f u r den Laplace-Operator folgt aus (5.90) und (5.93):

Diese Matrix ist nicht symmetrisch. In der folgenden Umformung wird gezeigt, wie sich hieraus eine symmetrische Matrix erzeugen 1aRt und welche Annahmen dazu erforderlich sind. Durch eine Teilintegration erhalt m a n

Unter der Voraussetzung, daR der Bereich R einfach verbunden ist, laRt sich der GauBsche Integralsatz auf den ersten Term anwenden.

Hierin ist ni die nach auRen gerichtete Flachennormale auf der Oberflache T. Fur diese Oberflache wird n u n i n diesem Beispiel festgelegt, daR die Funktion u" null sein soll. Diese Randbedingung erzwingt m a n durch

Damit verschwindet auch das Oberflachenintegral und es bleibt

Da der Materialtensor kij laut ( c ) symmetrisch ist, ist es auch diese Koeffizientenmatrix. AuRerdem stellt m a n fest, daR anstelle der zweiten Ableitung der Formfunktionen i n ( d ) n u r noch die ersten Ableitungen auftreten. Wie spater noch zu diskutieren sein wird, wirkt sich dies auf die erforderliche Stetigkeit der Ansatzfunktionen aus. Als Ausgangspunkt f u r das zweite Beispiel wird das Spannungs-Dehnungs-Gesetz (5.5)

gewahlt. Dies ist zwar keine Differentialgleichung, aber formal steht dem nichts im Wege, sie wie eine solche zu behandeln. Der Elastizitatstensor kijkl vertritt den Differentialoperator A ( . ) , die Dehnungen ekl die Losungsfunktion Ci und die Spannungen oij die Belastungsfunktion f. Die Dehnungen werden durch die linearisierte Beziehung (5.4) mit den Verschiebungen &. verknupft.

-

Fur die Verschiebungen wird der Ansatz (5.84) i n der schon haufig gebrauchten Form (5.13) gemacht.

5.2 Partielle Differentialgleichungen

287

Das wird in ( b ) eingesetzt und und die diskreten Verschiebungen aus der Klammer herausgezogen.

1 s.. lJ

=

-

2

C

UmP ( Smi NP,j

+

Smj Np,j )

; (i,jm

=

l...c;P = l...N)

(j)

m,P

Dies kann man als einen kombinierten Ansatz f u r die Dehnungen interpretieren i n Abhangigkeit von den diskreten Verschiebungen UmP. Im Sinne des Galerkin-Verfahrens (5.93) wird dann gesetzt

Fur die diskretisierte Belastungsfunktion (5.86) ergibt sich damit

Mit der Symmetrie oij = oji folgt

Mit dem Ansatz ( k ) ergibt sich aus (5.90) die Koeffizientenmatrix, die in diesem Fall gleich der Steifigkeits-Matrix ist.

Zwei Symmetrien des Elastizitatstensors sind kijkl sich der Ausdruck.

=

kjikl = kijlk. Damit vereinfacht

Wegen der Sgmmetrie kmjnl - knlmj ist die gewonnene Steifigkeits-Matrix symmetrisch.

Das Beispiel zeigt zweierlei. Erstens zeigt es. wie man mit dem Vorgehen des Galerkin-Verfahrens direkt aus den konstituierenden Gleichungen ein mathematisches Model1 fur die numerische Berechnung erzeugen kann. Zweitens ist die gewonnene Steifigkeits-Matrix von ( m ) identisch mit der Steifigkeits-Matrix des linearen Problems (5.17). Dasselbe Ergebnis erhalt man iibrigens auch, wenn man mit den Gewichtungsf unktionen (5.9 2) der Methode der kleinsten Fehlerqu adrate arbeitet. Man muR dann nur die Gleichungen mit dem inversen Elastizitatstensor von (5.3 9) multiplizieren.

5.2.3 ubungen ubung 5.7: Das Funktional 17(5, von Hellinger-Reissner ist in ( c ) des Beispiels i n Abschnitt 5.2.1 angegeben. Leiten Sie daraus mit den Ansatzen (5.45) und (5.53), (5.55), sowie den Definitionen (5.161, (5.17) und (5.59) das zugehorige Spannungs-verschiebungsModel1 her. Anmerkung: Das Ergebnis unterscheidet sich von (5.671, weil dort die komplementare Arbeit verwendet wird.

288

5. Finit-Element-Modelle

ubung 5.8: Leiten Sie aus der lokalen, linearen Spannungs-Gleichgewichts-Bedingung

rnit Hilfe des Galerkin-Verfahrens das Kraft-Verschiebungs-Gesetz

her mit der symmetrischen Steifigkeits-Matrix

bung 5.9: Ein ebenes Balkenstuck mit einer konstanten Querbelastung rechts, dargestellt. Die Differentialgleichung hierfur ist

&

ist in Bild 4.15,

Berechnen Sie hieraus den Zusammenhang zwischen Kraften und Verschiebungen (5.89) mit Hilfe des Galerkin-Verfahrens. Verwenden Sie die Formfunktionen

von Abschnitt 4.3.2. Setzen Sie zur Vereinfachung die Lange P = 1 und benutzen Sie die zweifache partielle Integration

NQ,33

dx3'

Der letzte Term ergibt eine symmetrische Steifigkeits-Matrix. Vergleichen Sie diese mit der Steifigkeits-Matrix (4.55).

In den vorausgehenden Abschnitten wurde die Umwandlung der ein Kontinuum beschreibenden Gleichungen in ein System von algebraischen Gleichungen besprochen. In diesem Abschnitt sollen nun die MaRnahmen behandelt werden, die fur die numerische Losung erforderlich sind und fur ihre ~ ~ Q u a l i t a t s k o n t r o l lbenotigt e~ werden. Diese beiden Dinge sind so eng miteinander verzahnt, daB sie sich schlecht in getrennte Abschnitte unterteilen lassen. Es wird also ein recht weiter Bogen zu spannen sein, der von den Ansatzfunktionen bis zur Rechnergenauigkeit reichen wird. Im Gegensatz zu den meisten Darstellungen in der Literatur bleiben aber die Verfahren zur Gewinnung der algebraischen Gleichungen davon unberuhrt. Diese sind bereits abgehandelt und es macht keinen Unterschied, ob die virtuelle Arbeit, Extremalprinzipien oder gewichtete Residuen verwendet wurden.

Die mathematische Theorie der finiten Elemente und benachbarter Methoden beschaftigt sich eingehend mit Funktions- und Losungsraumen, der Existenz, der Eindeutigkeit und den Eigenschaften von Losungen, Fehlernormen, etc.. Diese Dinge kommen hier, ohne ihnen ihre Bedeutung absprechen zu wollen, hochstens am Rande vor. Im Mittelpunkt steht das pragmatische Vorgehen eines Ingenieurs, der zwar haufig ein schlechtes Gewissen wegen der Mathematik hat, der aber schon wegen seiner Vorbildung und beruflichen Zielsetzung mehr an der Losung eines Problems interessiert ist als an dem Weg, der ihn dorthin gefuhrt hat. Diese Bemerkung sollte nicht m i h e r s t a n d e n werden: Ziel und Zweck dieses Kapitels ist eine wissenschaftliche Einfuhrung in die Grundlagen der finiten Elemente fiir Ingenieure, jedoch nicht fur Mathematiker.

5.3.1 Lokale Diskretisierung In der klassischen Mathematik oder Mechanik war es ublich, globale Ansatze zu verwenden. Diese wurden uber den gesamten Bereich R definiert und erfullten auch die Randbedingungen des Problems, das heiBt, e s handelte sich um mogliche Losungsfunktionen. Sobald ein Bereich nicht mehr extrem einfach zu beschreiben war, versagten die Verfahren, weil keine passenden Funktionen mehr zur Verfugung standen. Man denke nur an die Vielzahl hoherer analytischer Funktionen und die relativ einfachen zugehorigen Be. in den techreiche wie Quadrate, Zylinder, Kugeln, Ellipsen e t ~ Gerade nischen Anwendungen finden sich komplexe und unregelmaBige Geometrien, die sich in der Regel nicht mehr zufriedenstellend durch die genannten Grundbereiche darstellen lassen Den Durchbruch brachten die Computer. Mit ihnen wurde es technisch machbar, komplizierte Funktionen durch eine Vielzahl einfacher Funktionen anzunahern. Sowohl die Erzeugung der Funktionen, ihre Verwaltung und Verarbeitung, ihre Berechnung und Auswertung lieBen sich automatisieren. D e r W e g hierhin ist die lokale Diskretisierung. Setzt man voraus, daB die Losung durch eine stetige Funktion dargestellt wird, dann kann man diese mit beliebiger Genauigkeit durch einfache Teilstucke ersetzen. Allgemein gilt dabei, je groner die Zahl der Teile ist, desto groBer wird der Aufwand, aber auch die Genauigkeit. Bild 5 . 5 zeigt ein einfaches Beispiel. Prinzipiell ist es belanglos, ob, wie gezeigt, lineare Lagrange-Interpolationen verwendet werden oder andere Interpolationsansatze verwendet werden. Nur weil dieses Beispiel besonders einfach und anschaulich ist, wird es auch fur die folgenden Schritte weiterbenutzt.

290

5. Finit-Element-Modelle

Bild 55: Interpolation einer stetigen Funktion durch mehrere lineare Teilstiicke.

Die Teilstiicke konnen auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Am zweckmaBigsten ist es; wie in Bild 5.6 lokale Funktionen zu definieren, die nur in der nachsten Umgebung eines Punktes ungleich null sind und die den gesamten Bereich anfullen, so daB ihre Summe die Teilstucke der Funktion ergibt.

Bild 5.6: Erzeugung der Teilstucke durch eine Summe lokaler Funktionen.

Die Amplituden der lokalen Funktionen sind gleich den ortlichen Werten der approximierenden Funktion. Diese Abhangigkeit laBt sich vermeiden, indem man wie in Bild 5 . 7 lokale Funktionen wahlt, deren Amplituden zum Beispiel auf den W e r t 1 normiert sind, und diese dann mit den Funktionswerten von U multipliziert. ry

Bild 5.7: Normierung der lokalen Funktionen.

Die normierten lokalen Funktionen N p wurden bereits in den vorhergehenden Abschnitten als Formfunktionen bezeichnet. Sie definieren den Funktionsraum der Interpolation. Die zugehorigen Freiwerte Up passen sie an die jeweilige Losung an. Zusammen ergeben sie den Ritzschen Ansatz (5.7 7) oder ( 5 . 8 4 ) . Bisher wurden die Formfunktionen in einer globalen Zahlung P = 1... N aufgefiihrt. Einen einzelnen Freiheitsgrad in einem zweidimensionalen Problem zeigt Bild 5 . 8 .

Bild 5.8: F o r m f u n k t i o n e n eines zweidimensionalen Problems i n globaler Z a h l u n g

Jedem einzelnen Punkt miissen die Formfunktionen zugeordnet werden, die wiederum mit Hilfe der benachbarten Punkte definiert werden. Das ist ein organisatorisches Problem, das sich am einfachsten in einem regelmaBigen Netz losen laBt. Solche Anordnungen findet man zum Beispiel haufig als elementfreie Methoden in der Fluid-Dynamik oder in anderen Problemen mit groBen Punkt-Verschiebungen. Ein finites Element ist ein fest umrissener Teilbereich, der durch vorgegebene Gitterlinien oder -0berflachen von den umgebenden Elementen oder einem Rand abgetrennt ist. Alle in und an diesem Teilbereich auftretenden Funktionen oder Punkte etc. werden dem Element zugeordnet. Bild 5 . 9 zeigt ein solches Element, das im Unterschied zu Bild 5.8 durch seine Ecken definiert wird und nicht durch einen zentralen Punkt.

Bild 5.9: Formfunktionen eines f i n i t e n Elements i n e i n e m zweidimensionalen Problem.

292

5. Finit-Element-Modelle

An der Einteilung in elementare Bausteine erkennt man sehr deutlich die Herkunft der Finit-Element-Methode aus der Strukturmechanik. Wenn man zum Beispiel Stabe oder Balken zu einem Tragwerk zusammensetzen will, dann kommt man fast automatisch zu einem derartigen Vorgehen. W a s lag naher als dies auch auf Kontinua anzuwenden? Die Organisation eines solchen Programms ist auBerordentlich einfach: Fiir jedes Element hat man einen eigenen Datensatz bestehend aus der Geometrie, Materialbeschreibung, Formfunktionen etc. Jedes Element wird vollig unabhangig von seinen Nachbarelementen formuliert. Naturlich muB ein Element mit seinen Nachbarn >>zusammenpassencc,das heiBt, die ubergangsbedingungen miissen der Problemstellung entsprechen. Dies deutet darauf hin, daB eine gewisse Duplizierung der Daten vorliegen muB. Vom Aufwand fur die Datenhaltung gesehen ist dies ein Nachteil, der auch haufiger als Einwand gegen die Methode gebraucht wird. Andererseits beinhaltet das elementweise Vorgehen einen derartig groBen Vorteil fur die Programmierung und die universelle Anwendbarkeit, daB geringe Abstriche in Kauf genommen werden konnen. Wie wirkt sich die Unterteilung in finite Elemente auf die Berechnung der Systemmatrizen aus? Als Beispiel wird die Steifigkeits-Matrix ( 5 . 1 7 ) des linearen Problems ausgewahlt.

Die Formfunktionen N p sind in einer globalen Numerierung aufgelistet . Fur jedes Element e wird eine eigene, lokale Numerierung eingefuhrt. Es ergibt sich der Zusammenhang:

Klein geschriebene GroBen und Indizes beziehen sich auf das Elementniveau. Es sind np(e> die Formfunktionen von Element e, deren Gesamtzahl n(e) ist. Die Koinzidenz-Matrix s ~ (ist~eine ) ~ Boolesche Matrix, das heiBt, ihre Koeffizienten sind entweder eins, wenn Formfunktion np von Element e gleich ist der globalen Formfunktion Np, oder null, wenn dies nicht zutrifft. Die Gesamtzahl der Elemente ist mit E angegeben. Aus der oben angegebenen Steifigkeits-Matrix wird nun, da die Formfunktionen np(e1 auBerhalb von Element e samtlich null sind

Die Integrale beschreiben die Steifigkeits-Matrizen der einzelnen Elemente:

Die globale Steifigkeits-Matrix ist dann

Diese Gleichung findet sich bereits in Abschnitt 3 . 1 . 4 unter der Nummer ( 3 . 1 8 ) , allerdings werden hier kleine Buchstaben fur die Richtungsindizes benutzt, weil nicht zwischen Element- und globalen Richtungen unterschieden wird. Die Gleichung wurde hier von oben nach unten hergeleitet, das heiBt, zuerst wurde die globale Beschreibung angegeben, dann die lokale. In Kapitel 3 erfolgte die Herleitung in umgekehrter Richtung, mit der Begrundung, daB das anschaulicher und allgemeiner sei. Dabei fehlte dann aber das ubergeordnete Prinzip. Gleichung ( 5 . 9 6 ) beschreibt den Zusammenbau der GesamtsteifigkeitsMatrix aus den Element-Matrizen, wie e r in Kapitel 3 ausfuhrlich besprochen wurde. Die Koinzidenz-Matrix s ~ ( ist~ sehr ) ~diinn besetzt mit Einsen, sonst ist sie null. Infolgedessen ist auch die Gesamt-Matrix dunn besetzt. Ein Koeffizient KiPkQ kann nur dann ungleich null sein, wenn die Freiheitsgrade P und Q an einem gemeinsamen Element angreifen. Diese ,,Nahfeld-Wirkungcc veranschaulicht man sich am besten, wenn man, wie in Bild 5 . 1 0 an einem Beispiel gezeigt, ein einzelnes Element mit seiner unmittelbaren Umgebung betrachtet.

Bild 5.10: Ein f i n i t e s Element u n d s e i n e Nachbarschaft.

Ein Ereignis in dem zentralen Element ubertragt sich unmittelbar nur auf seine schwach schattierten Nachbarn. Das umgebende Feld der ubrigen Elemente bleibt davon zunachst unberuhrt.

294

5. Finit-Element-Modelle

Bisher wurde noch nichts uber die Stetigkeit der Ansatzfunktionen gesagt. Reiht man die lokalen Funktionen in obigen Beispielen aneinander, dann ergibt sich ein co-stetiger Verlauf fur die globale Funktion (eine Funktion ist cn-stetig, wenn ihre n-te Ableitung ohne Sprunge verlauft). Bild 5.1 1 zeigt die nullte bis zweite Ableitung einer solchen Funktion.

I 1 -te Ableitung

11'

2-te Ableitung

Bild 5.11: Ableitungen einer co-stetigen Funktion

Die erste Ableitung ist unstetig aber endlich. Die zweite Ableitung ist null bis auf eine schmale Zone, in der der W e r t uber minus unendlich nach plus unendlich und zuruck verlauft. Kommt ein derartiger Pol einer Ableitung unter einem Integral vor, dann kann man nicht sicher sein, ob das Integral richtig berechnet wird, vor allem, wenn der Pol am Integrationsrand it auftritt. Man sollte diese Situation also vermeiden! Eine c o - ~ t e t i ~ k e der Ansatzfunktion ist mithin ausreichend fur ein Problem, in dem nur die ersten Ableitungen der Formfunktionen auftreten. Dies findet sich zum Beispiel in den Steifigkeits-Matrizen ( 5 . 1 7 ) bis ( 5 . 1 9), in den verallgemeinerten Matrizen ( 5 . 5 9) des gemischten Modells und in den Beispielen fur die Extremalprinzipien und die gewichteten Residuen im Abschnitt 5 . 2 . Es trifft nicht zu fur die Kirchhoff-Balken und -Platten von Abschnitt 4 . 3 . Dort treten die zweiten Ableitungen der Formfunktionen auf; man braucht also mindestens c1-stetige Ansgtze. Dem Problem der erforderlichen Stetigkeit kann man sich im Einzelfall auch auf etwas pragmatischerem Wege nahern. Zum Beispiel werden in einem elastischen Kontinuum die Dehnungen aus den ersten Ableitungen der Verschiebungen berechnet. Man braucht also mindestens lineare Funktionen fur die Verschiebungen, um daraus bereichsweise konstante Dehnungen zu berechnen. Da die Verschiebungen in einem zusammenhangenden Bereich stetig sein mussen, ergibt sich die Mindestforderung nach linearen, stetigen Funktionen. Diese sind co-stetig! Aus dem Gesagten konnte leicht der Eindruck entstehen, daB Ansatzfunktionen von einem hoheren Grad auch eine hohere Stetigkeit besitzen mussen. Das kann so sein, muB es aber nicht. Bild 5.1 2 zeigt die Formfunktionen

eines gemeinsamen Freiheitsgrades (Knoten) von zwei aneinanderstoBenden Elementen mit einer kubischen Lagrange-Interpolation.

Bild 5.12: Lagrange-Formfunktionen dritten Grades von zwei benachbarten Elementen mit einem gemeinsamen Freiheitsgrad.

Da an der ubergangsstelle nur die Funktionswerte gleich sein miissen, entsteht ein Knick, das heiBt, die Ansatzfunktion ist co-stetig. Bei einer kubischen Hermite-Interpolation werden sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung gleich gemacht. Es entsteht kein Knick, wie in Bild 5.1 3 zu erkennen ist.

Bild 5.13: Hermite-Formfunktionen dritten Grades von zwei benachbarten Elementen mit einem gemeinsamen Freiheitsgrad.

Der Funktionswert und die Steigung sind im gemeinsamen Punkt gleich, die Kriimmungen auf beiden Seiten des uberganges sind jedoch unterschiedlich, so daB nur eine c l - ~ t e t i ~ k e vorliegt. it

5.3.2 Randbedingungen Obwohl die Randbedingungen eine wichtige Voraussetzung zur Losung eines gestellten Problems sind, wurden sie in diesem Kapitel bisher nur nebenbei erwahnt. Dies steht im Widerspruch zu gangigen Formulierungen von Verfahren zur Losung von partiellen Differentialgleichungen, wo die Randbedingungen unmittelbar in die Problemstellung einbezogen werden. So gesehen ist eine Differentialgleichung der Form ( 5 . 8 0) unvollstandig. Es gehoren noch Aussagen iiber die Bedingungen auf den Randern hinzu. Diese beziehen sich zum Beispiel auf die Belastung und die Auflagerung. Die Randbedingungen blieben bisher unbeachtet, weil sich die Modellbildung unabhangig davon vollziehen 1aBt. Unter dem Begriff der Modellbildung ist hier sowohl die Herleitung als auch die Berechnung der Systemgleichungen zu verstehen. Vollstandig unabhangig von den Randbedingungen kann dies

296

5. Finit-Element-Modelle

allerdings nicht geschehen, aber es genugt, nachtraglich einige Anpassungen am Model1 vorzunehmen, vorausgesetzt, man hat sich den Weg hierzu nicht von vornherein verbaut. Es ist ein erheblicher Vorteil der FinitElement-Methode, fur ein und denselben Anwendungsfall fast beliebig viele Randbedingungen nachtraglich einfuhren zu konnen. Das verringert den Aufwand und erhoht die Flexibilitat. Allgemein werden die Randbedingungen in natiirliche und notwendige (essentielle) eingeteilt. Unter die naturlichen fallen alle GroBen, die unter dem Begriff der Belastungsfunktion zusammengefaBt sind; die notwendigen betreffen die Losungsfunktion. Ohne notwendige Randbedingungen ist ein Problem nicht losbar. Ohne naturliche Randbedingungen ist eine Losung trivial, das heifit durchweg null. Letzteres stimmt aber nur dann, wenn die notwendigen Randbedingungen keine uberzahligen Angaben enthalten. An dieser Einschrankung zeigt sich, daB die Einteilung in naturliche und notwendige Randbedingungen nicht immer klar zu treffen ist. Gehort eine uberzahlige Bedingung fur die Losungsfunktion nun zu den naturlichen oder den notwendigen Randbedingungen? Am Beispiel einer Struktur unter statischen Belastungen kann man sich den Fall leicht klar machen. Die naturlichen Randbedingungen bestehen aus den vorgegebenen Belastungen. Die notwendigen definieren die Auflager. Erst wenn eine statisch bestimmte Auflagerung alle Starrkorperbewegungen unterbindet, kann man die Verschiebungen berechnen. Sie sind durchweg null, wenn die Belastungen samtlich null sind. Fugt man nun zusatzliche Auflager mit vorgegebenen Zwangsverschiebungen hinzu, dann ergeben sich nichttriviale Losungen auch dann, wenn keine Belastungen vorliegen. Gehoren diese zusatzlichen Auflager zu den naturlichen oder den notwendigen Randbedingungen? Im folgenden wollen wir uns darauf beschranken, die Randbedingungen uber die auBeren Freiheitsgrade einzufuhren. Das ist nicht zwingend aber zweckmaBig. Voraussetzung dafur ist, daB die Freiheitsgrade zu den Randbedingungen npassencc. Wo translatorische Belastungen oder Auflager gefordert sind, mussen ebensolche Freiheitsgrade angeordnet sein. Wo Momente eingeleitet werden sollen, mussen rotatorische Freiheitsgrade vorhanden sein, etc. Dies war mit der oben gemachten Bemerkung gemeint, daB man sich den Weg fur die Einfiihrung der Randbedingungen nicht von vornherein verbauen darf. Die Freiheitsgrade werden in zwei Klassen unterteilt. Sie entsprechen den naturlichen und den notwendigen Randbedingungen. Genauer gesagt sol1 die erste Klasse aus den Freiheitsgraden bestehen, fur die Belastungen vorgegeben werden, und die zweite, aus den bekannten Verschiebungen gebildet werden. Ob diese Verschiebungen im strengeren Sinn als

notwendige Randbedingungen zu betrachten sind, kann dahingestellt bleiben. Die Randbedingungsklassen werden durch hochgestellte Indizes gekennzeichnet. Aus dem linearen Kraft-Verschiebungs-Gesetz wird damit, ausgedruckt in symbolischer Matrizen-Schreibweise,

Die Bedingungen der Randbedingungsklasse 1 sind hinreichend, wenn die Untermatrix K1' nichtsingular ist. Die Einzelheiten zur Losung dieses Gleichungssystems sind in Abschnitt 3 . 2 . 2 beschrieben. Fur die Randbedingungen nichtlinearer Probleme bestehen grundsatzlich keine Unterschiede zu denen linearer Probleme.

5 . 3 . 3 Patch-Test Um festzustellen, ob ein gegebenes finites Element den Erwartungen entspricht, die man bei seiner Formulierung hatte, sucht man sich ein geeignetes Beispielproblem mit bekannter Losung. Dieses Beispiel bildet man aus einigen der zu untersuchenden Elemente nach und berechnet die Losung. Stimmt diese mit der erwarteten Losung uberein, ist die Prufung bestanden. Die hierfur gebrauchliche Bezeichnung Patch-Test leitet sich daraus her, daB das Beispielproblem gewohnlich aus einigen, wenigen Elementen besteht, das einem ))Flicken(((patch) nicht unahnlich sieht. D e r Patch-Test ist eine numerische Prozedur. Streng mathematisch besitzt e r keine Beweiskraft, weil selbst nach Durchrechnung beliebig vieler Beispiele mit zufriedenstellendem Ergebnis die Existenz eines Gegenbeispiels nicht ausgeschlossen werden kann. Nur eine allgemeine analytische Durchrechnung konnte hier Abhilfe schaffen. Abgesehen von einigen extrem einfachen Fallen ist diese jedoch nicht praktikabel, so daB man sich mit dem Patch-Test als einem notwendigen Kriterium fur die Konvergenz zufrieden geben muB. Immerhin ist es moglich, durch die Festlegung unregelmaBiger Element-Geometrien dafur zu sorgen, daB zufallige Effekte auf Grund von RegelmaBigkeiten weitgehend ausgeschlossen werden. Ein hinreichendes Kriterium wird aus dem Patch-Test erst dann, wenn systematisch alle Moglichkeiten eines Versagens ausgeschlossen werden. Dies erreicht man durch Variation der Randbedingungen und der Geometrie. Alle Patch-Tests kann man in zwei Versionen ausfuhren: endlich und infinitesimal. Hierfur sind die Bezeichnungen starker und schwacher Test gebrauchlich. Im starken Test sind die Abmessungen der Elemente endlich. E r wird vornehmlich fiir Probleme in Cartesischen Koordinaten angewendet. Die GroBe der Teststruktur und der Elemente sind hierbei vollig unwichtig.

298

5. Finit-Element-Modelle

D e r schwache Test bezieht sich auf ein infinitesimal kleines Gebiet und wird hauptsachlich in krummlinigen Koordinaten fur Mittelflachen von Schalen benutzt. Der schwache Test stellt naturlich geringere Anforderungen als der starke, weil lokale Abweichungen durch den Grenzubergang gegen null tendieren konnen und somit akzeptabel werden. Was will man mit dem Patch-Test nachprufen? Zunachst gibt e s eine Reihe von Mindestforderungen, ohne deren Erfullung ein Element als unbrauchbar zuruckgewiesen werden muB. Dies ist die wichtigste Aufgabe des Patch-Tests. Dariiber hinaus gibt es hohere Patch-Tests, mit denen man zum Beispiel nachprufen mochte, ob eine stetige, lineare Spannungsverteilung abgebildet wird. Besteht ein Element einen hoheren Test, dann ist es besser als eins, das hierbei versagt. Das ist eine Qualitatsaussage unabhangig von den Mindestforderungen. Im folgenden sol1 zunachst der Patch-Test fur Kontinuum-Elemente schrieben werden, das heiBt solchen, in denen die ersten Ableitungen Formfunktionen unter dem Integral der Steifigkeits-Matrix auftreten die in Cartesischen Koordinaten beschrieben sind. Bild 5 . 1 4 zeigt typisches Beispiel.

beder und ein

Bild 5.14: Typischer Patch-Test fur ebene Elemente

D e r Patch ist dem differentiellen Rechteck von Bild 2 . 1 3 nachgebildet, an dem die Spannungs-Gleichgewichts-Bedingungen erlautert wurden. Hier kann man durch Vorgabe der Randbedingungen in Form von Verschiebungen oder Belastungen unterschiedliche Zustande herbeifuhren, die in einem Kontinuum zu bekannten Losungen fuhren. Diese vergleicht man mit den im Patch berechneten. Die Mindestforderungen an ein finites Element sind schnell beschrieben. Dazu muB man sich vorstellen, welche Anforderungen ein winziges Element in einer beliebig groBen Struktur zu erfullen hat. Es muB in der Lage sein,

sich als starrer Korper mit seinen Nachbarn zu verschieben, und es mu0 eine konstante Verformung zulassen: das heiBt einen konstanten Dehnungsund Spannungszustand abbilden konnen. Im Patch-Test nullter Ordnung werden mit Hilfe von konstanten Randverschiebungen die StarrkorperEigenschaften nachgepruft. Im Patch-Test erster Ordnung werden mit konstanten Randbelastungen die Dehnungen und Spannungen kontrolliert. Patch-Tests hoherer Ordnung prufen nichtkonstante Spannungs- oder Dehnungsverlaufe. Sie sind nicht vorgeschrieben und werden zum Beispiel von den Simplex-Elementen aus Abschnitt 4 . 2 . 1 nicht befriedigt. Die Forderungen eines Patch-Tests nullter und erster Ordnung werden von co-stetigen Ansatzfunktionen im Kontinuum immer erfullt. 1st man sich also sicher, daB man solche Ansatzfunktionen verwendet hat, braucht man sich um die Einhaltung der Mindestforderungen eigentlich nicht mehr zu kummern. Dies trifft zu fur samtliche Lagrange-Elemente von Abschnitt 4 . 2 , wobei allerdings jeweils sicherzustellen ist, daR die Rander von Elementen mit hoheren Ansatzfunktionen kompatibel aneinanderpassen. Durch die Elementverschiebungen entstehen an inkompatiblen Randern uberlappungen oder Klaffungen zwischen den Elementen. Die Verschiebungsfunktionen sind dann nicht mehr co-stetig, also unzulassig. Trotzdem kann der Patch-Test in seiner schwachen Form erfolgreich sein, wenn sich die Inkompatibilitaten beim Grenzubergang gegen null bewegen. Die Auswirkungen zeigen sich dann nur noch bei der Konvergenz. Naturlich wird man nicht ohne Not inkompatible Elemente verwenden, weil sie zumindest lokal eine gewisse EinbuBe der Genauigkeit verursachen. Auch die isoparametrisch verzerrten Elemente von Abschnitt 4 . 4 befriedigen die Mindestforderungen im Patch-Test ausnahmslos, wenn die zugehorigen unverzerrten Elemente dies tun. Das erklart sich daraus, daB die Ansatzfunktionen konform mit der Elementgeometrie verzerrt werden. Eine Formfunktion, die auf einem nicht angrenzenden Rand uberall null war, bleibt es auch, wenn der Rand eine andere Lage und Form annimmt. Obwohl isoparametrische Elemente in krummlinigen Koordinaten beschrieben werden, trifft e s in diesem Fall nicht zu, daB nur ein infinitesimaler Patch-Test befriedigt werden kann. In den Patch-Test gehen sowohl die Element-Eigenschaften als auch die ubergangsbedingungen zwischen ihnen ein. Zuweilen ist es auch angezeigt, einen Einzel-Element- Test durchzufuhren. Hierbei wird ein Element statisch bestimmt aufgelagert, um die notwendigen Randbedingungen zu befriedigen, und durch Oberflachenkrafte entsprechend ( 5 . 1 6 ) belastet. Bei degenerierten Elementen kann e s vorkommen, daB sich in diesem Test Instabilitaten zeigen, die im Patch nicht auftreten, weil sie sich durch die

300

5. Finit-Element-Modelle

ubergangsbedingungen herausheben. Hieran erkennt man, daB der PatchTest, wie oben schon gesagt, lediglich ein notwendiges Kriterium ist. Damit es hinreichend wird, muB man versuchen, systematisch alle Fehlermoglichkeiten auszuschlieBen. Wann muB ein Patch-Test unbedingt durchgefuhrt werden? Immer dann, wenn der Verdacht besteht, daB eine Formulierung Konsistenz-Fehler enthalt. Hiermit sind alle Arten von Abweichungen gemeint, die bei der mathematisch exakten Herleitung nicht vorgesehen oder auch ausdrucklich ausgeschlossen wurden. Hierzu gehort die Verletzung der geforderten c o - ~ t e t i ~ k e i der t Ansatzfunktionen, beziehungsweise 6 ' - ~ t e t i ~ k e i tbei Biegeproblemen. Dies kann an den Formfunktionen selbst liegen oder auch an den ubergangsbedingungen zwischen den Elementen. Andere Fehler konnen sich aus der numerischen Berechnung ergeben. Dahinter verbergen sich zwei Dinge: einmal die Programmierung, die ja auch uberpruft werden muB, und dann die Ausfuhrung der numerischen Integration: sowohl fur die Belastungen wie in ( 5 . 1 5) und ( 5 . 1 6 ) als auch fur die Steifigkeits-Matrix wie in ( 5 . 1 7 ) . Bisher wurde stillschweigend vorausgesetzt, daB diese exakt ist. Fur die Belastungen mag das zutreffend sein, fur die SteifigkeitsMatrizen haufig jedoch nicht. In den isoparametrischen Elementen konnen sich bei starkeren Verzerrungen Fehler ergeben, wenn man die ublichen Integrations-Formeln anwendet. Noch kritischer wird es, wenn man unterintegriert. Man benutzt dann numerische Integrations-Formeln von einem niedrigeren Exaktheitsgrad als erforderlich, um Rechenzeit einzusparen und eventuell das Elementverhalten in einer gewiinschten Weise zu beeinflussen. Im mathematischen Sinn sind dies ,,Verbrechencc, die man nicht ungestraft begehen darf. In der praktischen Anwendung kommen sie jeden Tag vor. Man tut gut daran, sich vorher zu vergewissern, daB die mathematischen Straftaten ohne ernste Folgen bleiben. Dafur gibt es den Patch-Test!

5.3.4 Konvergenz Die Methode der finiten Elemente ist ein numerisches Naherungsverfahren. Nur in trivialen Ausnahmefallen kann die exakte Losung erreicht werden. Sonst bleibt immer ein Restfehler ubrig, der zwar beliebig verkleinert werden kann, aber auch mit einem noch so groBen Aufwand nie ganz zu beseitigen ist. In der praktischen Anwendung ist man gewohnt, mit Naherungen zu arbeiten. Wichtig ist dabei, die GroBenordnung der Fehler zu kennen und die MaBnahmen, um sie zu beeinflussen. In diesem Abschnitt werden die qualitativen Fehlermerkmale besprochen. Mit quantitativen FehlermaBen beschaftigt sich der darauf folgende. Die angesprochene nexakte Losungcc ist die des gewahlten mathematischen Modells und damit nicht automatisch die richtige Losung der zugrunde-

liegenden, realen Aufgabenstellung. Als Idealisierung wird die Umsetzung einer mechanischen Problemstellung in eine mathematische Beschreibung bezeichnet. Unter der inneren Idealisierung werden grundlegende Forderungen an die Eigenschaften finiter Elemente zusammengefaBt, wie sie in den vorstehenden Abschnitten beschrieben worden sind. Dort ging e s um die Umsetzung mechanischer Anforderungen an das Element in das mathematische Elementmodell. Als Bunere Idealisierung wird die Abbildung eines realen Problems in ein berechenbares Ersatzmodell bezeichnet. Je langer man uber eine gegebene Aufgabenstellung nachdenkt, desto komplexer kann sie sich darstellen, wenn immer mehr EinfluBfaktoren erkannt werden. Die Kunst der auoeren Idealisierung besteht nun darin, die wesentlichen von den unwesentlichen EinfluBfaktoren zu trennen. Des weiteren sind bisweilen Vereinfachungen vorzunehmen oder geeignete Annahmen zu treffen. Hierzu zahlen die Fragen der Belastung und Lasteinleitung, der Randbedingungen rnit Annahmen zum Verformungsverhalten (zum Beispiel bei der Ausnutzung von Symmetrien), der Art des Materialgesetzes usw.. Ein Fehler in der Idealisierung geht immer einher rnit einer prinzipiellen Abweichung vom eigentlichen Ausgangsproblem, die auch rnit einer noch so guten Finit-Element-Losung nicht auszugleichen ist. Bei langen d u n n e n Balken (das Verhaltnis von Lange zu D i c k e groRer als 20) k a n n die Schubverformung vernachlassigt werden, w a h r e n d diese bei k u r z e n , dicken Balken dominiert. K a n n m a n f u r e i n gegebenes Problem als auRere Idealisierung ein Balkenmodel1 w a h l e n , wird m a n rnit dem Standard-Balkenelement a u s Abschnitt 4.3.1 e i n e ausgezeichnete ~ b e r e i n s t i m m u nrnit ~ der Realitat finden, w e n n die Balkenstruktur l a n g u n d d u n n ist. 1st sie hingegen k u r z und dick, wird m a n rnit diesem Element n u r schlechte Resultate erzielen k o n n e n , da die h i e r n u n wichtige Schubverformung bei der i n n e r e n Idealisierung des Elementes vernachlassigt worden ist. Das Element selbst r e c h n e t i n diesem Fall n i c h t plotzlich falsch, sondern liefert n a c h wie vor die i m R a h m e n seiner Moglichkeiten richtigen Werte, die aber aufgrund der fals c h e n Modellbildung nutzlos sind. In dieser Situation gibt es zwei Auswege: entweder k a n n auf e i n Balkenelement zuruckgegriffen werden, i n dessen i n n e r e r Idealisierung die Schubverformungen e n t h a l t e n sind, oder m a n muR als auBere Idealisierung e i n Model1 rnit Kontinuumselementen wahlen.

Es wird vorausgesetzt, daB die verwendeten finiten Elemente den PatchTest erfullen. Damit wird ausgeschlossen, daR die Losungen bei zunehmendem Aufwand divergieren oder eine falsche Richtung nehmen. Unter Konvergenz ist damit das Hinstreben zur richtigen Losung zu verstehen. Die Ursache fur die Abweichungen von der exakten Losung ist die raumliche und funktionelle Diskretisierung, das heiBt die endliche Zahl und der endliche Grad der verwendeten Ansatzfunktionen. Mit diesen Einfliissen wollen wir uns im folgenden auseinandersetzen. Nicht beriicksichtigt wird dabei die numerische Diskretisierung, hervorgerufen durch die endliche

302

5 . Finit-Element-Modelle

Zahl von bedeutsamen Ziffern in der Arithmetik des benutzten Rechners. D e r dadurch verursachte Manipulationsfehler wird spater untersucht. Eine Konvergenz-Reihe entsteht durch die systematische Veranderung von Diskretisierungs-Parametern. Bild 5.1 5 zeigt einige schematische Beispiele.

>>weicherBereichcc

---- exakt >>steiferBereichcc

-

Aufwand

Bild 5.15: Monotone und nichtmonotone Konvergenz zu einer exakten Losung.

Jeder markierte Punkt entspricht einer kompletten Berechnung. Die durch Linien miteinander verbundenen Punkte bilden eine Konvergenzreihe, das heiBt sie wurden unter sonst gleichen Bedingungen durch Verfeinern der Elementeinteilung (h-Konvergenz) oder Erhohen der Ansatzgrade (p-Konvergenz) gewonnen. Allgemein gilt, daB der Berechnungsaufwand umso groBer wird, je groBer die erreichte Genauigkeit ist. Natiirlich lassen sich auch Ausnahmen von diesem Verhalten konstruieren, doch widerspricht dies in keiner Weise dem generellen Verhalten. An den Reihen erkennt man eine Konvergenz- Geschwindigkeit und eine - Richtung. Die Geschwindigkeit wird durch die Konvergenz-Ordnung bestimmt. Die Richtung ist eine Eigenschaft des mathematischen Modells und somit unabhangig von der Diskretisierung. Beide Merkmale werden im folgenden behandelt. Um die Konvergenz-Ordnung zu bestimmen, wird die Losung an einem beliebigen Punkt in eine Taylorreihe entwickelt.

Hierin ist h eine Lange von der GroBenordnung eines Elementes. Alle in dieser Reihe auftretenden Variablen sind auf die Gesamtlange des Problems H bezogen. Die Verschiebungen, Koordinaten und Elementlangen entsprechen also

Ein Element besitze die vollstandigen Ansatzfunktionen vom Grad p. Hierdurch wird die Reihe ( 5 . 9 8 ) bis zu diesem Term exakt befriedigt. D e r darauf folgende Term ist eine Naherung fur den Fehler. Damit wird aus der Reihe

Die NIherungsl6sung ist in E ( h , p ) i zusammengefaBt; O ( h P") ist die Konvergenz-Ordnung. D e r Fehler der Naherungslosung liegt also in der GroBenordnung der bezogenen Elementlange h potenziert mit dem Grad p plus eins des verwendeten Ansatzes. Die Konvergenz-Ordnung ermoglicht eine Abschatzung des Fehlers bei einer Veranderung der Parameter. Wird bei der h-Konvergenz die Elementlange auf h verkleinert,

dann verringert sich der Fehler um das Verhaltnis

Eine Erhohung des Ansatzgrades p durch -

p

=

p

+

p ; ( p = 1 , 2... )

ergibt fur die p-Konvergenz das Verhaltnis

Die obigen Ausfuhrungen beziehen sich auf die Konvergenz-Ordnung der Losungsfunktion, das heiBt auf die Verschiebungen. Dehnungen und Spannungen werden aus den ersten Ableitungen hiervon berechnet. Folglich ist ihre Konvergenz-Ordnung um eine Potenz niedriger, also O ( h P ) . Die Formanderungsarbeit ergibt sich aus den Dehnungen ma1 den Spannungen. Ihre Konvergenz-Ordnung ist dann 0 ( h ' p ) . In Biegeproblemen ist die Konvergenz-Ordnung von Dehnungen oder Spannungen um eine Potenz niedriger, die der Formanderungsarbeit um zwei. Um eine Aussage zur Veranderung des Aufwandes zu erhalten, wird die Zahl der Freiheitsgrade untersucht. Bild 5.1 6 zeigt einen Ausschnitt aus einem Elementnetz.

304

5. Finit-Element-Modelle

Bild 5.16: Ausschnitt aus einem regelmaRigen, ebenen Netz von Dreiecks-Elementen.

Die Zahl der Freiheitsgrade in einem diskretisierten Kontinuum ist c .N, wo c die Dimension ist und N die Zahl der Knoten fur translatorische Freiheitsgrade oder deren Verallgemeinerung fur beliebige Freiheitsgrade. Im folgenden wird immer nur von ,>Knoten((die Rede sein. Den Dimensionsfaktor c kann man weglassen, weil die Zahlen der Freiheitsgrade zueinander ins Verhaltnis gesetzt werden. Im einfachsten Fall (lineare Simplex-Elemente) ist die Zahl der Knoten gleich der Zahl der Kreuzungen der Netzlinien. Ihre Zahl N sei sehr groB, so daB der EinfluB des Randes vernachlassigt werden kann. Wird die Elementlange zum Beispiel mit ( 5 . 1 0 0 ) auf ein Drittel reduziert, dann folgt fur das ebene Netz von Bild 5 . 1 6 :

Besitzen die Elemente zum Beispiel den Ansatzgrad 2 (quadratische Simplex-Elemente) und wird dieser mit ( 5 . 1 0 1 ) um eins erhoht, dann ergibt sich wieder fur das ebene Netz:

Unabhangig von dem ebenen Beispiel ergibt sich so

Die Zahl der Knoten oder der Freiheitsgrade erhoht sich annahernd um diesen Faktor, wobei allerdings vorausgesetzt ist, daB der gesamte Bereich gleichmaBig betroffen ist. Damit ist eine Abschatzung des Mehraufwandes bei einer Netzverfeinerung oder einer Erhohung des Ansatzgrades moglich, denn der Gesamtaufwand einer linearen Finit-Element-Berechnung steigt etwa mit der ersten bis dritten Potenz der Zahl der Freiheitsgrade. Je wirtschaftlicher ein Programm arbeitet, desto naher wird der Aufwand an der ersten Potenz liegen. E r richtet sich vornehmlich nach der Zahl der

Integrationspunkte in den Elementen und nach dem Losungsalgorithmus. Mehr findet sich hierzu in den Abschnitten 4.2 und 1 . 4 . In Bild 5 . 1 5 wurden mehrere Konvergenzreihen angedeutet. Zunachst sol1 das reine Verschiebungs-Model1 oder Verschiebungsgrtinen- Verfahren betrachtet werden, das als das ,>normalecc Verfahren in diesem Buch behandelt wurde. Fur die Verschiebungen benutzt man einen Ansatz der Form ( 5 . 1 3). E r enthalt bereichsweise Ansatzfunktionen von einem meist relativ niedrigen Grad, wie zum Beispiel zwei oder drei. Fiir eine gegebene Diskretisierung lassen sich hiermit lokal keine hoheren Verschiebungsfunktionen abbilden. Es bestehen innere Zwange, deren Auswirkungen man in Form von Gleichgewichts -Kraften auch berechnen kann. Dies fuhrt dazu, dal3 die diskretisierte Abbildung steifer wird als das beliebig verformbare Kontinuum. Im Mittel werden die Verschiebungen also zu klein. Dem kann man begegnen, indem man die Elemente kleiner macht oder hohere Ansatzfunktionen verwendet. An der Tendenz andert das aber nichts. In Bild 5 . 1 5 nahert sich die zugehorige Konvergenz-Reihe von nuntencc an die exakte Verschiebung an. Genau umgekehrt verhalt es sich beim Kraftgriinen-Verfahren oder Spannungs-Modell. Die exakte Befriedigung der lokalen GleichgewichtsBedingungen verletzt die Kontinuitat der Verschiebungen. Je grober die Diskretisierung ist, desto starker wird dieser EinfluB. Eine Verfeinerung der Elemente und Ansatzfunktionen kann die Fehler verringern, aber die Tendenz bleibt bestehen. Im Mittel werden die Verschiebungen also zu grol3; die Abbildung bleibt zu weich. Die zugehorige Konvergenz-Reihe in Bild 5.1 5 nahert sich der exakten Verschiebung von uobencc. In beiden bisher besprochenen Fallen ist die Konvergenz monoton. Das ist allerdings an Voraussetzungen gebunden, die schon beim Patch-Test eine wesentliche Rolle spielten, namlich die Co-Stetigkeit der Ansatzfunktionen, i t Biegeproblemen. Einzelne Verschiebunbeziehungsweise C 1 - ~ t e t i ~ k e bei gen konnen von der Monotonie der Konvergenz eine Ausnahme machen. Global gilt sie immer. Dies druckt man am besten durch die globale Formanderungsarbeit aus. Fur das Verschiebungs-Modell strebt sie einem Maximum zu, fur das Spannungs-Model1 einem Minimum. Zieht man von der Formanderungsarbeit die Arbeit der auBeren Krafte ab, dann erhalt man die Prinzipien vom Minimum der potentiellen Energie aus Abschnitt 5 . 2 . 1 , beziehungsweise vom Maximum der komplementaren potentiellen Energie. Eine nichtmonotone Konvergenz kann durch die Verletzung der geforderten Stetigkeit der Ansatzfunktionen erzeugt werden. Das muD nicht unbedingt

306

5. Finit-Element-Modelle

schadlich sein, denn, wie in Bild 5 . 1 5 angedeutet, kann die Losung schon bei einem geringeren Berechnungsaufwand besser sein als bei monotoner Konvergenz. Es hat deshalb nicht an Versuchen gefehlt, Elemente mit einem derartigen Verhalten zu konstruieren. Hierfur werden vor allem die erweiterten und Mehrfeld-Modelle der Abschnitte 5.1.4 und 5 . 1 . 5 herangezogen. Unter strikter Einhaltung aller Stetigkeitsforderungen erfolgt die Konvergenz nicht nur monoton, sondern auch asymptotisch. In diesem Fall nahert sich die Losung in allen Freiheitsgraden monoton mit der gegebenen Konvergenzordnung dem exakten W e r t an. Es ist dann moglich, aus zwei Punkten einer Konvergenz-Reihe durch eine Richardson-Extrapolation die exakte Losung mit guter Genauigkeit zu finden. In der praktischen Anwendung kommen solche Extrapolationen fast nie vor, weil die wiederholten Berechnungen zu aufwendig sind und die Streuungen zu groB. Anders ist es bei theoretischen Untersuchungen xgutartigercc Probleme.

5.3.5 Fehlerabschiitzung Das Ideal ware, wenn man vor Beginn einer Finit-Element-Berechnung bereits die GroBenordnung der zu erwartenden Fehler ermitteln konnte. Leider ist das, von trivialen Fallen abgesehen, extrem schwierig, weil die exakte Losung oder eine gute Naherung hierzu unbekannt ist. Es hat nicht an Versuchen gefehlt, vor allem von mathematischer Seite. sogenannte a-priori Fehlerabschatzungen zu formulieren. Fur die praktische Anwendung sind sie durchweg zu grob und zu aufwendig. Benotigt werden Kriterien, die sowohl zuverlassig als auch wirtschaftlich einsetzbar sind. Diese sind nur a-posteriori zu bekommen, das heifit fur die Beurteilung der Ergebnisse einer bereits durchgefuhrten Berechnung. Mit diesen Abschatzungen werden wir uns im folgenden beschaftigen. Am instruktivsten ist es, zwei oder mehr Berechnungen eines Problems mit unterschiedlich feinen Elementeinteilungen oder unterschiedlichen Ansatzgraden der Elemente vorzunehmen. Hierdurch erzeugt man eine h- oder p-Konvergenzreihe von Bild 5 . 1 5 . Es ist nicht schwierig, mit ( 5 . 1 0 0 ) bis ( 5 . 1 0 3 ) Untersuchungen vorzunehmen, die eine lokale oder globale Abschatzung des Fehlers erlauben. Allerdings ist dieses Vorgehen sehr aufwendig, weil es mehrere komplette Durchrechnungen und eine intensive Bearbeitung erfordert. Diese Vorgehensweise empfiehlt sich deshalb nur bei systematischen (akademischen) Untersuchungen oder ausgedehnten Parameterstudien. Fur die tagliche Anwendung ist dies zu teuer. Gesucht sind Verfahren, die nach einer einmaligen Durchrechnung zuverlassig daruber Auskunft geben, von welcher GroBenordnung die Fehler sind

und wo diese auftreten. Falls die Fehler unakzeptabel sein sollten, muB eine adaptive Netzanpassung vorgenommen werden. Dabei wird in den entsprechenden Strukturbereichen eine Netzverfeinerung oder eine Ansatzgraderhohung durchgefuhrt. Welche GroBen sind zur Fehlererkennung geeignet? Grundsatzlich sind es alle abhangigen Variablen. Als naheliegende Wahl bieten sich die Losungsfunktionen selbst an, in der Strukturmechanik sind dies die Verschiebungen. Fur den hier verfolgten Zweck sind diese GroBen jedoch nicht so gut geeignet: zum einen konvergieren sie in der Regel recht schnell zur exakten Losung und zum anderen ergeben sich bei Erfullung der Stetigkeitsanforderungen durch die verwendeten Elemente glatte Losungsverlaufe, anhand derer eine Fehlererkennung nur schwer moglich ist. Sieht man einmal von verschiebungsgesteuerten Analysen und von Fallen unzulassig groBer Verformungen ab, sind die Verschiebungsresultate fur die Auswertung meist von untergeordneter Bedeutung. Wichtiger fur die Beurteilung des Strukturverhaltens sind die Spannungen. Eine direkte Kontrolle uber diese Grol3en besitzt die groBte praktische Aussagekraft. Die Spannungen werden aus den Dehnungen berechnet und diese wiederum aus den ersten Ableitungen der Verschiebungen. Diese haben einen deutlich unstetigeren Verlauf als die Verschiebungen selbst und reagieren mithin erheblich empfindlicher auf Abweichungen von einer als glatt angenommenen exakten Losung. Man kann diesen Gedankengang fortsetzen und die hochsten, nichtverschwindenden Ableitungen der Verschiebungen zur Fehlererkennung heranziehen. Damit wird man jedoch abhangig vom Grad der Interpolation der Elemente und verliert den physikalischen Zusammenhang des Fehlerkriteriums. In der Praxis haben sich deshalb die Spannungen, beziehungsweise die zu ihrer Berechnung erforderlichen ersten Ableitungen der Verschiebungen, als Basis fur die Fehlererkennung durchgesetzt. Bevor wir uns mit verschiedenen Fehlerkriterien beschaftigen, muB die Berechnung der Verschiebungsableitungen etwas genauer untersucht werden. Sie ergeben sich aus dem Verschiebungsansatz ( 5 . 1 3) auf der Elementebene:

Hierin sind u. die nunmehr bekannten Verschiebungen und n sind die IP P, j Ableitungen der Formfunktionen. Die Gleichung gilt fur jeden Punkt in einem Element, so daB man sie, so wie sie ist, anwenden kann. Vor allen in Elementen mit unvollstandigen Verschiebungsansatzen wie den Produktoder Serendipity-Elementen der Abschnitte 4 . 2 . 3 oder 4.2.4 erzeugen die uberzahligen, hoheren Terme in den Basisvektoren jedoch einen unruhigen

308

5. Finit-Element-Modelle

Verlauf der Ableitungen. Diesen kann man dadurch glatten, daB man eine eigene Interpolation fur die Ableitungen einfiihrt:

Es sind Zi, / d i e mit ( 5 . 1 0 5) berechneten Ableitungen an ausgewahlten Punkten 6 und n - die zu diesen Punkten gehorige Lagrange-Formfunktionen. P

Fur eine hinreichend groBe Zahl von Punkten ii sind die Ergebnisse von ( 5 . 1 0 5) und ( 5 . 1 0 6) identisch. Genau das ist nicht beabsichtigt. Also nimmt man weniger Punkte, die eine Interpolation von einem niedrigeren Grad verursachen. Je nachdem wie man diese Punkte wahlt, kann man ganz unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Wenn zum Beispiel die Ableitungen L.l > J. linear sind, erzeugt man mit einem Punkt p konstante Ableitungen i., j . J e nach Lage des Punktes sind diese konstanten W e r t e stark verschieden. Wahlt man den Schwerpunkt des Elementvolumens, dann erhalt man die konstanten Mittelwerte. Diese sind reprasentativ fur das ganze Element und allen anderen vorzuziehen. Die Verallgemeinerung dieses Beispiels eroffnet eine Handhabe, sinnvolle Punktlagen zu bestimmen. Wie in dem Beispiel sollte man unabhangig vom Grad der Funktionen versuchen, die Volumenintegrale uber den Ableitungen von ui, und ii. . 1>J gleich zu machen.

Mit ( 5 . 1 0 6) ergibt sich daraus

In ( 1 . 1 3 6) sind die Integrationsgewichte einer numerischen Integrationsformel definiert als Integrale uber Lagrange-Formfunktionen. Fur den hier gegebenen Zusammenhang werden die Integrationsgewichte

G-

=

S E - dv, v P

so daR schluBendlich folgt

Die rechte Seite hat die Form einer numerischen Integrationsformel ( 1 . 1 3 8 ) . Die Gleichung ist erfullt, wenn ihr Exaktheitsgrad ausreichend ist, das Integral auf der linken Seite zu berechnen. Wichtig ist in diesem Zusammenhang, daB damit die Punkte 5 als Integrationspunkte einer

geeigneten Integrationsformel identifiziert werden. Daraus wird folgender SchluB gezogen:

Um die Verschiebungsableitungen G,, von ( 5 . 1 0 5 ) durch Gi, von ( 5 . 1 0 6 ) in einem Element ersetzen zu konnen, verwendet man als Punkte fur die Lagrange-Interpolation die Stutzstellen einer numerischen In tegra tionsformel, deren Exaktheitsgra d ausreichend ist, das Volumenintegral iiber die Verschiebungsableitungen zu berechnen. Die Zahl dieser Punkte wird minimal, wenn die Stutzstellen zu einer op timalen In tegra tionsformel gehoren. In Bild 5 . 1 7 ist ein eindimensionales Beispiel aufgetragen.

Bild 5.17: Kubische Verschiebung ersetzende lineare Ableitung Formel.

zl

quadratische Ableitung u n d die sie a u f der Basis der Stiitzstellen der Zwei-Punkt-GauB-

Die Integrationspunkte besitzen optimale Eigenschaften hinsichtlich der Funktionen, die darzustellen sind, An diesen Stellen findet man die beste ~ b e r e i n s t i m m u nzwischen ~ den lokalen Werten und der globalen Losung. Dies darauf zuruckzufiihren, daB durch eine integrale Bedingung der Form ( 5 . 1 0 7 ) eine verallgemeinerte Mittelwertbildung herbeigefuhrt wird. Am deutlichsten erkennt man dies an dem weiter oben angefuhrten Beispiel linearen Funktionsverlaufs, in dem der Funktionswert am Schwerpunkt gleich dem konstanten Mittelwert ist.

Bild 5.18: Ebenes 8-Knoten-Element mit den Integrationspunkten e i n e r 2x2-GauBProdukt-Formel f u r die Interpolation der Verschiebungsableitungen.

310

5. Finit-Element-Modelle

Als Beispiel sol1 e i n ebenes 8-Knoten-Element herangezogen werden (Bild 5.18), das i n der praktischen Anwendung sehr haufig mit einer gemittelten Interpolation der Spannungen gebraucht wird. Die Spannungen sind eine Funktion der Verschiebungsableitungen, so daR es genugt, ohne eine Umrechnung direkt auf die Verschiebungsableitungen nach (5.106) zuruckzugreifen. Die Formfunktionen dieses Elements sind in Abschnitt 4.2.4 angegeben. Hiermit erhalt m a n aus (5.1 05) die Ableitungen der Verschiebungen. (al)

Die Punkte f u r die Lagrange-Interpolation i n (5.106) werden auf die i n Bild 5.18 gezeigten Stutzstellen der 2x2-GauR-Produktformel gelegt. Sie integrieren alle Glieder bis zu den kubischen exakt. Das ist m e h r als ausreichend. Die nachst niedrigere Integrationsformel besitzt n u r eine Stutzstelle am Schwerpunkt und h a t den Exaktheitsgrad eins. Das ware nicht ausreichend. Die Formfunktionen der 2x2-GauB-Produktformel sind

Aus (a1) und ( a 2 ) werden die Verschiebungsableitungen a n den Stutzstellen der Integrationsformel ermittelt und i n (5.106) eingesetzt. Es ergibt sich:

Im Vergleich mit ( a l ) und ( a 2 ) fehlen hier die Spalten f u r die Multiplikation mit x12 und x,,. Dagegen stimmen die Spalten fur die Multiplikation mit xl,x 2 und x1x2 uberein, aber die Spalte f u r die konstanten Glieder ist verandert. Ein Ergebnis von dieser Form war zu erwarten, weil die Interpolation von i.. um einen Grad l>J, niedriger ist als die von <.,j. Laut (5.107) miiBten die Integrale g l e ~ c hsein. Aus ( a ) und (blergibt sich, daB dies tatsachlich der Fall ist.

Einen sehr anschaulichen ~ b e r b l i c kiiber die GroBe der Fehler liefert eine grafische Ausgabe. Eine exakte Losung ist durch einen stetigen Funktionsverlauf gekennzeichnet. Abweichungen hiervon fallen in einer grafischen Darstellung besonders stark auf. Im Prinzip ist e s gleichgiiltig, ob man die Verschiebungsableitungen von ( 5 . 1 0 5) oder ( 5 . 1 0 6 ) auftragt, oder die hiermit berechneten Dehnungen oder Spannungen. Es erleichtert die Beurteilung, wenn man nicht die einzelnen Komponenten auftragt, sondern eine hieraus gebildete, zusammengefaBte GroBe, die eine Invariante gegeniiber der Ausrichtung der Bezugskoordinaten ist. Besonders bewahrt hat sich der hydrosta tische Druck

( i= l... weil e r dieselbe GroBenordnung annimmt, wie die Spannungen. Diese wiederum bestimmen in den meisten Fallen die Genauigkeitsanforderungen. In Bild 5 . 1 9 ist ein schematisiertes Beispiel aufgetragen. An der linken Seite verlaufen die Isolinien stetig von Element zu Element. Weiter nach rechts wird der Verlauf immer unregelmaBiger, wodurch eine zunehmende Ungenauigkeit angezeigt wird. Es erleichtert die Kalibrierung des Tests, wenn anstelle der Linien Bander erzeugt werden (pressure bands), deren Breite der gegebenen Fehlertoleranz entsprechen. An den Elementrandern unterbrochene Bander signalisieren das ~ b e r s c h r e i t e ndes akzeptablen Fehlers.

312

5. Finit-Element-Modelle

Bild 5.19: Linien konstanten Drucks (Isobaren)

Durch die grafische Aufbereitung wird eine interaktive Fehlererkennung und -korrektur ermoglicht. Eine automatische Netzanpassung ist damit kaum zu erreichen. Fur den Ablauf eines Finit-Element-Programms w a r e es vorteilhaft, Fehlerabschatzungen jeweils elementweise vornehmen zu konnen. Leider stoBt dies an sehr enge Grenzen, weil ein einzelnes Element keine Information uber seine Umgebung enthalt. Es gibt zwei Ansatze zu diesem Vorgehen. Einer uberpruft die Einhaltung der lokalen Gleichgewichtsbedingungen (2.6 4 )

Dies ist eine Funktion der zweiten Ableitungen der Verschiebungen. Mithin versagt der Test fur Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz. Aber gerade hierfiir sollte ein Fehlerkriterium die starksten Ausschlage anzeigen. Die uberprufung der lokalen Gleichgewichtsbedingung beschrankt sich auf Sekundareffekte in Elementen mit hoheren Ansatzen und ist als solche nicht universe11 einsetzbar. Etwas bessere Ergebnisse erhalt man durch den elementweisen Vergleich der Verschiebungsableitungen < , j von ( 5 . 1 0 5 ) mit den angenaherten ii. . l>J von ( 5 . 1 0 6). Es werden die Differenzen gebildet

.a;

. 1, J

=

(U"

-

U). . 19

; (i,j = l . . . c ) .

(5.1 1 1 )

J

Sie werden um so kleiner, je geringer der EinfluB der hoheren Potenzen in den Formfunktionen durch die gefundenen Verschiebungsableitungen angeregt wird. Als FehlermaR sind sie aber nur dann tauglich, wenn die niedrigeren Potenzen in der Losung dominieren. Das ist nicht der Fall in der Nahe von Singularitaten der Losung wie sie zum Beispiel in einspringenden, scharfkantigen Ecken auftreten. Abgesehen davon gilt genau so wie fur den Gleichgewichtstest ( 5 . 1 1O), daB Elemente mit einem linearen Verschiebungsansatz fur die Untersuchung nicht geeignet sind.

Die auf Einzelelemente bezogenen Fehlerkriterien konnen immer nur ein Behelf sein, der sowohl vom Elementtyp als auch der Problemstellung abhangt. Die wichtigste Aussage zur Fehlererkennung bleibt unbeachtet, namlich, daB die exakte Losung und ihre Ableitungen durch stetige Funktionen abgebildet werden. Ausnahmen hiervon gibt es nur dann, wenn Sprunge im Problem vorgesehen sind, das heiBt zum Beispiel abrupte ;?lnderungen der Materialeigenschaften oder singulare Krafteinleitungen. Diese sind jedoch rein lokale Phanomene und von vornherein bekannt, so daB sie bei der Fehlererkennung berucksichtigt werden konnen. Zur automatischen Erkennung von Unstetigkeiten reicht ein einzelnes Element nicht aus. Man muB es mit seiner Nachbarschaft vergleichen. Um festzustellen; aus welchen Elementen solch eine Nachbarschaft besteht, muB bereits bei der Aufstellung der Gleichungen eine geeignete Programmlogik vorgesehen werden. Hiermit kann man zum Beispiel die Koinzidenz~ ( )5 . 9~4 ) oder das entsprechende Schema (vergleiche Matrix s ~ ( von Abschnitt 3 . 1 . 4 ) durchsuchen, um festzustellen, welche Elemente e an einem gemeinsamen Punkt P verbunden sind. Damit erhalt man eine punktbezogene Nachbarschaft. Mit einer etwas umstandlicheren Logik kann man Elemente mit einer gemeinsamen Flache ermitteln. Solche flachenbezogenen Nachbarschaften haben den Vorteil, daB von vornherein feststeht, daB sie jeweils nur zwei Elemente enthalten konnen (vorausgesetzt, man 1aBt keine Durchdringungen zu). Auch elementbezogene Nachbarschaften sind moglich, in denen alle an ein zentrales Element angrenzenden Elemente enthalten sind. Im Prinzip ist e s gleichgultig, welche A r t der Nachbarschaft verwendet wird. In jedem Fall hat man einen mehr oder weniger groBen nPatch
Bild 5.20: Punkt-, flachen- und elementbezogene Nachbarschaften von finiten Elementen.

Was man bei der grafischen Ausgabe durch Hinsehen erkennt, kann man nun gezielt berechnen. Elementverfeinerungen oder hohere Ansatze werden benotigt, wenn die Spriinge von Element zu Element eine vorgegebene Schranke uberschreiten. Die Automatisierung solcher Ablaufe erfordert einen erheblichen Aufwand im Entwurf und bei der Programmierung. Vor

314

5. Finit-Element-Modelle

allem das Abfangen von Sonderfallen kann zu einem programmtechnischen Alptraum entarten. Glucklicherweise erfahrt der durchschnittliche Benutzer eines Finit-Element-Programms wenig oder nichts von diesen Dingen.

5.3.6 Numerische Fehler Es ist eine weitverbreitete Ansicht, daB die bei einer Berechnung verwendete numerische Stellenzahl gleichbedeutend ist rnit der erreichten Genauigkeit. Abgesehen von ganz elementaren Berechnungen - und auch da lassen sich Gegenbeispiele konstruieren - gilt diese einfache Identitat nicht. Generell kann man sagen, daB fur den Ablauf einer Berechnung eine deutlich groBere Stellenzahl erforderlich ist als bedeutsame Ziffern in den Resultaten verlangt werden. Aber schon auf die Frage, wie viele solcher zusatzlichen Stellen berucksichtigt werden sollten, IaBt sich keine einfache Antwort geben. Es gibt zwar einen Zweig in der numerischen Mathematik, der sich rnit diesen Fragen beschaftigt und Losungen anzubieten hat, aber, um es kurz zu machen, weder der Aufwand noch die Ergebnisse lassen beim derzeitigen Stand der Entwicklung eine Anwendung zu. In erster Linie behilft man sich heute immer noch rnit empirischen Daten. Das sieht dann so aus: Urn die Spannungen auf zwei bis drei signifikante Stellen genau auszurechnen, braucht man bei iieinfachen Problemen(( etwa sieben Dezimalstellen und bei iikomplizierteren Problemen(( vierzehn. Das sind die einfache und die doppelte Genauigkeit der reellen Zahlendarstellung in der Programmiersprache FORTRAN. ~ b l i c h eFinit-Element-Programme arbeiten grundsatzlich rnit der doppelten Genauigkeit. Im folgenden wollen wir uns rnit einigen Problemen auseinandersetzen, die einen erheblichen EinfluB auf die numerische Genauigkeit haben konnen. Im Vergleich zu den vorhergehenden Ausfuhrungen in diesem Kapitel geschieht das in recht knapper Form, weil es weniger in die Theorie der finiten Elemente gehort als vielmehr in einen eigenstandigen Zweig der numerischen Mathematik, der in darauf spezialisierten Lehrbiichern abgehandelt wird. Auf die Gefahr, eine Selbstverstandlichkeit auszusprechen, muB zunachst einmal klargestellt werden, daB die Berechnungen in Gleitkomma-Arithmetik (floating point arithmetic) ausgefiihrt werden. Eine Ausnahme hiervon machen nur ganzzahlige GroBen wie Indizes und Zeiger. Eine GleitkommaZahl wird durch ihre Mantisse und ihren Exponent dargestellt. In der Mantisse befinden sich die bedeutsamen Ziffern des Zahlenwertes rnit dem Vorzeichen, im Exponenten die zugehorige positive oder negative Hochzahl. Die Lange der Mantisse entscheidet uber die Genauigkeit: die Lange des Exponenten iiber den verfugbaren Zahlenbereich. Werden zwei GleitkommaZahlen miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert: wird das

Ergebnis auf die Stellenzahl der Mantisse gerundet und der Exponent angepaBt. D e r Genauigkeitsverlust beschrankt sich auf die Rundung der Mantisse und ist im allgemeinen gering. Ungunstiger wird e s bei der Addition oder Subtraktion. Bei stark unterschiedlichen GroBenordnungen der zu verknupfenden Zahlenwerte verschwindet der EinfluB der absolut kleineren Zahl weitgehend oder vollstandig. Das kann, muB aber nicht, schwerwiegende Folgen haben. D e r schlimmste Fall tritt ein, wenn etwa gleich groBe Zahlen von einander abgezogen werden. D e r Genauigkeitsverlust kann viele GroBenordnungen betragen. Hauptsachlich dieser Effekt ist fiir das Versagen einer Berechnung verantwortlich, wenn auch nicht immer allein. Es ist durchaus moglich, parallel zu den arithmetischen Operationen in ~ zu lassen, die das Auftreten einem Rechner eine ~ b e r w a c h u nmitlaufen von groBen Genauigkeitsverlusten signalisiert. Damit allein ist es aber nicht getan, denn es ist die Fortpflanzung in das Ergebnis, die ausschlaggebend ist. Ein ortlicher Genauigkeitsverlust kann vollig harmlos sein, wenn zum Beispiel anstelle einer exakten Null eine relativ zu den ubrigen kleine Zahl berechnet wird. Dieser ,,numerische Schmutze stort die Berechnung nicht. Eine ~ b e r w a c h u nder ~ Genauigkeit muB also auch noch die Fehlerfortpflanzung einbeziehen. An dieser Stelle wird die Sache aufwendig: Mit Hilfe der sogenannten Intervall-Arithmetik kann man die Fehler eingrenzen, aber die Berechnungsgeschwindigkeit sinkt etwa auf ein Drittel ab. Abgesehen davon braucht man auch noch einen Spezialrechner. Landlaufig scheidet eine solche Losung aus. Pragmatisch beschrankt man sich ~ kritischer Stellen im Berechnungsablauf und auf die ~ b e r w a c h u neiniger hofft, daB durch den Einsatz einer genugend gronen Stellenzahl die Ungenauigkeiten hinreichend klein bleiben. Nicht fur alle Zahlen muB dieselbe Genauigkeit verlangt werden. Zum Beispiel kennt man Materialkennwerte wie einen Elastizitatsmodul oder die Dichte allenfalls auf drei Dezimalstellen genau. Die naturlichen Streuungen sind meistens so groB, daB ein plausibler Mittelwert gewahlt wird. Abweichungen hiervon beeinflussen die Ergebnisse nur unbedeutend. W a r e das nicht so, hatte man es mit einem von vornherein instabilen Problem zu tun, fur das ein geandertes Berechnungsmodell benotigt wird. Bei anderen Zahlen kommt e s sehr auf die Genauigkeit an. Hierzu gehoren geometrische Abmessungen und vor allem mathematische Konstanten. Extrem empfindlich reagieren die meisten Probleme auf die Koordinaten der Stutzstellen von optimalen Integrationsformeln. Solche GroBen werden im allgemeinen programmintern mit der groBtmoglichen Genauigkeit erzeugt. Aber geometrische Daten kommen meistens von auBen und fur sie gilt: Ungenaue Eingabedaten und eine erhohte Genauigkeit in der Arithmetik

316

5. Finit-Element-Modelle

passen nicht zueinander. Der Abbruchfehler, verursacht durch eine geringe Stellenzahl in der Eingabe, laBt sich nachtraglich nicht durch eine genauere Arithmetik ausgleichen. Der Idealfall vom Standpunkt der Rechengenauigkeit ist erreicht, wenn alle Steifigkeiten in einem Problem von derselben GroBenordnung sind. Schwierigkeiten bei der Losung des Gleichungssystems sind zu erwarten, wenn hiervon sehr groBe Abweichungen auftreten. Das hangt damit zusammen, daB groBe Zahlen in dem zur Verfiigung stehenden Zahlenbereich kleine Zahlen mehr oder weniger vollstandig iiberdecken konnen. Sind diese kleinen Anteile ein wesentlicher Bestandteil der Losung, versagt die Berechnung. Anderenfalls kann die Berechnung ohne Schwierigkeiten abgeschlossen werden. Es sind also nicht die groBen Steifigkeitsunterschiede allein, die das Versagen verursachen. Es gehoren auch noch die Belastung und die Auflagerung dazu, denn sie bestimmen ebenfalls die Form der Losung. Selbst ohne erkennbare groBe Steifigkeitsunterschiede kann eine Losung schwierig oder unmoglich werden, wenn ein Mechanismus oder eine unvollstandige Auflagerung die Steifigkeits-Matrix singular werden lassen. ~ b e r das Versagen entscheidet dann auch noch der Losungsalgorithmus. Eine Dreieckszerlegung versagt bei einer Singularitat immer, weil sie samtliche Bewegungsmoglichkeiten in einer Losung vorbereitet. Dagegen kann ein iterativer Algorithmus auch dann noch zu einer Losung kommen, wenn die Belastungen die moglichen Starrkorperbewegungen nicht anregen. Eine Aufzahlung moglicher numerischer Schwierigkeiten kann leicht den Eindruck erwecken, daB es nur nach groBen Anstrengungen gelingt, zuverlassig eine genaue Losung zu berechnen. Das Gegenteil ist der Fall. Der iiberwiegende Teil der Probleme in der Strukturmechanik ist gutartig. Man sollte nur nicht versuchen, in der Arithmetik mit einer zu geringen Zahl von signifikanten Stellen auszukommen.

Lineare Dynamik

In den Kapiteln 3 und 4 wurden die Grundlagen fur lineare statische Berechnungen zusammengestellt. Die physikalische GroBe Zeit kam darin noch nicht vor. Es ist ein verhaltnisma-inig kleiner Schritt, um aus einem statischen Finit-Element-Model1 ein dynamisches zu machen, in dem die Verschiebungen und Krafte zu zeitabhangigen GroBen werden. AuBer der schon fur die Statik gebrauchten Steifigkeit, das heiBt der Beschreibung des elastischen Verhaltens, wird hierzu auch eine Darstellung der Massen und eventuell einer Dampfung benotigt. Das prinzipielle Vorgehen unterscheidet sich nicht von dem der Statik, wobei im folgenden allerdings zuerst die Element-Matrizen und dann erst die Losung behandelt werden. Die Erregungen in einem dynamischen Problem werden durch zeitabhangige Krafte und Verschiebungen beschrieben. Dabei konnen sehr unterschiedliche Problemstellungen entstehen. Infolgedessen findet man hier, im Gegensatz zur Statik, nicht nur ein einziges Losungsverfahren, sondern mehrere mit unterschiedlichen Zielsetzungen. Da dieses Kapitel nicht ein Lehrbuch der Dynamik ersetzen kann, bleibt die Auswahl auf die wichtigsten Verfahren beschrankt. Es wird nur das >,Rohmaterial
6.I Bewegungsgleichung Das lineare Kraft-Verschiebungsgesetz ( 3 . 1 9 ) der Statik wird durch die Wirkung von Dampfungs- und Massenkraften erweitert.

Neben den auch schon bisher benutzten Verschiebungen UB treten hier auch deren erste und zweite Zeitableitungen, das heiBt die Geschwindigkeiten uB und die Berchleunigungen uB auf. Infolgedessen werden au-iner der schon bekannten Steifigkeitsmatrix KAB auch noch die Dampfungsmatrix DAB und die Massenmatrix MAB benotigt. Die Verschiebungen, Geschwin-

318

6. Lineare Dynamik

digkeiten und Beschleunigungen, sowie die aus ihnen resultierenden Krafte

FA sollen zeitabhangig sein, die Koeffizientenmatrizen samtlich konstant. Den Zusammenhang ( 6 . 1 ) bezeichnet man als Bewegungsgleichung. E r wurde hier fur eine zusammengefugte Struktur mit N Freiheitsgraden dargestellt und laBt sich so interpretieren, daB sich die Gesamtkrafte zusammensetzen aus einem elastischen, einem Dampfungs- und einem Tragheitsanteil. Die geschwindigkeitsabhangige viskose Dampfung ist nur eine Moglichkeit von mehreren. Eine sogenannte Strukturdampfung kann auch von den Verschiebungen abhangig sein. Da der Dampfung in unseren Betrachtungen jedoch nur eine untergeordnete Bedeutung beigemessen wird, wollen wir uns mit der ublichen Form (6 . l ) der Bewegungsgleichung begnugen. Typische Zeitverlaufe von Kraften oder Verschiebungen lassen sich in eine Reihe von Kategorien einordnen.

konstant

harmonisch

periodisch

aperiodisch

stoBweise

stochastisch

Bild 6.1: Die wichtigsten Zeitverlaufe von Kraften oder Verschiebungen.

Ein zeitlich konstanter Verlauf beschreibt den statischen Fall. Ein harmonischer Verlauf hat die Form einer Sinuslinie, wahrend eine periodische Bewegung beliebige, sich zeitlich wiederholende Zustande durchlauft. Aperiodische, StoB- und stochastische (zufallsverteilte) Verlaufe lassen keine zeitlichen RegelmaBigkeiten erkennen. Grundsatzlich muBte zu jedem Zeitverlauf ein gesondertes Losungsverfahren eingesetzt werden. Durch eine Fourier-Zerlegung lassen sich alle Verlaufe auf eine Summe von harmonischen Bewegungen abbilden. Die harmonische Analyse hat deshalb eine zentrale Bedeutung in der Dynamik erlangt. Ein groBer Teil des folgenden Kapitels ist ihr gewidmet. Erst die direkte Zeitintegration von Abschnitt 6.6 geht uber diesen Rahmen hinaus. Die Bewegungsgleichung beschreibt ein System von linearen, gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Losungen setzen sich zusammen aus dem homogenen Anteil, fiir den die rechte Seite von ( 6 . 1 ) zu null gesetzt wird, und einem partikularen, fur den die vorhandene rechte Seite benutzt wird. Die Losung des homogenen

6.2 Massen-Matrizen

319

Anteils beschreibt die Eigenschwingungen, die somit Bestandteil aller Losungen sind.

6.2 Massen-Matrizen In der Bewegungsgleichung (6 . l ) erscheinen die Steifigkeits-, Dampfungsund Massen-Matrizen. Die Steifigkeits-Matrizen wurden bereits in den Kapiteln 3 und 4 behandelt. Hier sollen nun die Massen-Matrizen, angefangen bei den Elementen bis zur zusammengefugten Struktur, beschrieben werden. Die wesentlichen Grundlagen hierzu sind bereits bei den Steifigkeits-Matrizen gelegt worden. Die Herleitung der Element-Massenmatrizen erfolgt in orthogonal Cartesischen Koordinaten. Das entspricht dem Vorgehen fur die Element-Steifigkeitsmatrizen in den Abschnitten 4 . 1 bis 4 . 3 . Erst in Abschnitt 4.4 kam dort die isoparametrische Transformation hinzu, um die Element-Abmessungen bei gleichzeitiger Verwendung von standardisierten Grund-Elementen flexibler handhaben zu konnen. Auch Massen-Matrizen werden im Normalfall fur isoparametrische Elemente berechnet. Dies macht sich an zwei Stellen bemerkbar: bei der Berechnung von Volumen-Integralen und, allerdings nur bei den Kirchhoff-Elementen, bei den Ableitungen der Formfunktionen. Hierfur stehen die Berechnungsvorschriften (4.6 0 ) und (4.6 6) zur Verfugung. Ein besonderer Abschnitt fur die isoparametrische Transformation von Massen-Matrizen kann also entfallen. Abschnitt 4.4 enthalt bereits alles Notwendige. Die Transformation und der Zusammenbau von Gesamt-Massenmatrizen folgt dem durch die Steifigkeits-Matrizen vorgezeichneten Schema. Dies ist darauf zuruckzufuhren, daB sich Beschleunigungen und Verschiebungen gleich transformieren. Da die Massen-Matrizen zum Teil einfacher aufgebaut sind als die zugehorigen Steifigkeits-Matrizen, ist es jedoch ratsam, diese Vorgange fur die Massen-Matrizen erneut zu untersuchen.

6 . 2 . 1 Konsistente Element-Massenmatrizen Den Ausgangspunkt fur die Herleitungen bildet die bereits in Kapitel 2 gewonnene Beziehung ( 2 . 4 6) zwischen den inneren und den auBeren Kraften an einem Element. In der in Kapitel 4 ausschlieBlich verwendeten Doppelindizierung der Freiheitsgrade erhalt man fur eine innere Belastung durch Volumenkrafte

320

6. Lineare Dynamik

In einem Einheitsvolumen ergeben sich die Volumenkrafte aus dem Produkt der Dichte p und den inneren Beschleunigungen .;

zi

Fur den Zusammenhang zwischen den kontinuierlichen Beschleunigungen im Inneren eines Elements mit den diskreten ii. in den auBeren Freiheits1P graden wird die gleiche Kontinuitats-Bedingung verwendet wie fur die Verschiebungen.

Dieser Ansatz wird als konsistent oder vertraglich bezeichnet. Nichtkonsistente Ansatze sind auch moglich, konnen aber zu Widerspruchen mit der bereits in der Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) enthaltenen Forderung fuhren, daB Verschiebungen und Beschleunigungen in denselben Freiheitsgraden auftreten. Mit ( 6 . 3 ) und ( 6 . 4 ) entsteht aus ( 6 . 2 )

In ( 6 . 5 ) wurde die konsistente Massen-Matrix zusammengefaBt, die in ( 6 . 6 ) die Beziehung zwischen den Beschleunigungen und Kraften am Element herstellt. Wie leicht zu sehen ist, sind die Massen-Matrizen ( 6 . 5 ) symmetrisch.

m.

lpkq

=

m

'

kqip

( i , k = l . . . c ; p , q =l . . . n )

(6.7)

Nichtkonsistente Massen-Matrizen, in denen die linke und die rechte Kontinuitats-Bedingung in ( 6 . 5 ) unterschiedlich sind, verlieren diese Symmetrie und sind schon deshalb zu vermeiden. Die bis hierhin gemachten Herleitungen gelten fur allgemeine Elemente. Fur Kontinuum-Elemente gilt der fur alle Richtungen gleiche Verschiebungsansatz (4.1 1 ) .

2'.

=

1 p

u. n

.

I P P '

( i =l . . . c ; p =l . . . n )

Durch Einsetzen in die Massen-Matrix ( 6 . 5 ) entsteht

(6.8)

6.2 Massen-Matrizen

321

Nach Ausfuhren der Summen ergibt sich die Vereinfachung

Hierdurch werden die zu den Steifigkeits-Matrizen ( 4 . I 3) von KontinuumElementen konsistenten Massen-Matrizen beschrieben. In der MassenMatrix ( 6 . 9 ) sind die Richtungen entkoppelt, das heiBt, Beschleunigungen in einer Richtung i haben keinen EinfluB auf eine Kraft in Richtung k f i. Infolgedessen wird aus ( 6 . 6 )

Die Massen-Matrix (6 . I 0) ist richtungsunabhangig, weil sowohl die Formfunktionen n in ( 6 . 8 ) als auch die Dichte p richtungsinvariant sind. Ein P vergleichbares Verhalten findet man bei Steifigkeits-Matrizen nicht, selbst wenn der Elastizitatstensor isotrop ist. Mit Hilfe des Ausdrucks ( 4 . 1 0) fiir die Formfunktionen entsteht aus (6 . I 0)

Dies steht in Analogie zu ( 4 . 1 4 ) bei den Steifigkeits-Matrizen. Entsprechend wird grs als Kern-Massenmatrix bezeichnet. Ihr Aufbau ist einfacher als der der eigentlichen Massen-Matrix ( 6 . 1 O), so daB sie sich vor allem fur analytische Herleitungen eignet. Fiir numerische Berechnungen ist ( 6 . 1 0) vorzuziehen. Die Symmetrie ( 6 . 7 ) der Massen-Matrizen findet sich auch in den vereinfachten Ausdrucken wieder.

Massen-Matrizen sind nichtsingular. Dies erkennt man an der KernMassenmatrix von ( 6 . 1 2 ) , in der der Basisvektor mit seinen durchweg nicht verschwindenden Termen selbst erscheint. Da diese Terme linear unabhangig sein mussen, erhalt die Kern-Matrix den maximalen Rang. Die Transformation mit der inversen Vandermonde-Matrix andert den Rang nicht. Anders ist es bei den Steifigkeits-Matrizen. In ( 4 . 1 4) treten Ableitungen des Basisvektors in der Kern-Steifigkeitsmatrix auf, wodurch der Rang erniedrigt wird. ~ b e r s e t z tin die Mechanik bedeutet dies, daB Starr-

322

6. Lineare Dynamik

korper-Beschleunigungen Krafte voraussetzen, wahrend Starrkorper-Verschiebungen von nicht aufgelagerten Elementen dies nicht tun.

6 . 2 . 2 Konzentrierte Element-Massen In der klassischen Mechanik ist es ublich, die Massen als diskrete GroBen den einzelnen Freiheitsgraden direkt zuzuordnen. Diese konzentrierten Massen (lumped masses) stellen folgende Beziehung zwischen den Kraften und Beschleunigungen her:

Wie ist es moglich, daB mit dieser im Vergleich zu ( 6 . 6 ) stark vereinfachten Beziehung sehr gute Ergebnisse erzielt werden? Das kommt daher, daB Verschiebungen und Beschleunigungen in sehr unterschiedlicher Weise in die Gleichungen eingehen. In der Verschiebungs-Dehnungsbeziehung ( 4 . 1 ) werden die Ableitungen der inneren Verschiebungen verwendet, wahrend in der Kraft-Beschleunigungsbeziehung ( 6 . 3 ) die Funktionswerte der inneren Beschleunigungen auftreten. Differenzieren erniedrigt den Grad einer Funktion. Werden also Verschiebungen und Beschleunigungen nebeneinander in demselben Problem verwendet, konnen fur die Beschleunigungen (Form-) Funktionen von einem niedrigeren Grad verwendet werden als fur die Verschiebungen, ohne daB die Genauigkeit ernsthaft gefahrdet wird. An einem Beispiel wird dies besonders deutlich: Konstante Funktionen fur die Darstellung der Verschiebungen sind nicht mehr brauchbar, weil ihre Ableitungen null sind. Fur die Beschreibung der Beschleunigungen hingegen sind sie noch annehmbar. Nachdem geklart ist, daB fur die Beschleunigungen Ansatze von niedrigerem Grad gemacht werden konnen als fur die Verschiebungen, erhebt sich die Frage, was ist damit gewonnen? Nicht viel, wenn man weiterhin mit mehr oder weniger voll besetzten Massen-Matrizen in ( 6 . 6 ) arbeiten muBte. Der Vorteil kommt erst zum Tragen, wenn die Massen-Matrizen zu Diagonal-Matrizen werden, so daB aus ( 6 . 6 ) die vereinfachte Form (6 . I 4) wird. Das ist die Voraussetzung fur die Anwendung von expliziten Zeitintegrations- Verfahren, die zum Beispiel fur nichtlineare Crash-Berechnungen gebraucht werden. Bei sehr groBen Problemen ist es auBerdem vorteilhaft, daB die konzentrierten Massen einen wesentlich geringeren Speicherplatz im Rechner belegen als die konsistenten Massen-Matrizen und daB sich die Berechnungs-Algorithmen vereinfachen. Generell konnen die konzentrierten Massen jedoch nicht durchweg fur alle Anwendungen empfohlen werden. Bei linearen Problemen mit relativ groBen Elementen im Vergleich zu den Abmessungen einer Struktur ist die konsistente MassenDarstellung im Vorteil.

6.2 Massen-Matrizen

323

Es gibt verschiedene Wege, konzentrierte Massen zu berechnen. Ein einfaches Verfahren besteht darin, die Diagonalglieder der konsistenten Massen-Matrix zu ermitteln und diese dann so zu skalieren, daB ihre Summe die Gesamtmasse ergibt. Rotatorische Freiheitsgrade bleiben dabei unberucksichtigt oder werden getrennt betrachtet. Im Einzelfall lassen sich damit recht brauchbare Ergebnisse erzielen, aber im allgemeinen sollte man diese Variante nur verwenden, wenn sich kein besseres Verfahren anbietet. Fiir Kontinuum-Elemente vereinfacht sich die Beziehung ( 6 . 1 4 ) zwischen Kraften und Beschleunigungen noch einmal, weil die konzentrierten Massen richtungsunabhangig werden.

Die konzentrierten Massen m lassen sich, wie oben beschrieben, aus den P Diagonalgliedern der konsistenten Massen-Matrix mpq von ( 6 . 1 0 ) herstellen. Es gibt hier jedoch ein besseres Verfahren, das als optimale MassenKonzentration bezeichnet wird. Allerdings eignet es sich nur fur Elemente mit translatorischen Freiheitsgraden. Das heiBt, die folgenden Gleichungen gelten fur Lagrange-Elemente; ihre konzentrierten Massen sind PunktMassen. Eine numerische Integration ( 1 . 1 3 8 ) der konsistenten MassenMatrix von Kontinuum-Elementen in ( 6 . 1 0 ) erfolgt durch

Hierin sind w- die Integrations-Gewichte einer zunachst beliebigen numeP rischen Integrationsformel, die mit dem Integranden an den zugehorigen Stiitzstellen p multipliziert werden. Nun wird eine Integrationsformel gewahlt, deren Stiitzstellen mit den Knoten des betreffenden LagrangeElements zusammenfallen. Ob das zulassig ist, wird weiter unten noch untersucht. Mit ( 1 . 1 3 2 ) gilt dann fiir eine Lagrange-Interpolation

Dies wird oben eingesetzt und die Summe ausgefuhrt. Die Dichte am Knoten p wird vereinfacht als p geschrieben. P

Dies ist eine diagonale Massen-Matrix. Die konzentrierten Massen fur den Gebrauch in ( 6 . 1 5) ergeben sich daraus als

324

6. Lineare Dynamik

Die Punkt-Massen mp von Lagrange-Elementen sind gleich der Dichte pp ma1 den Integrations-Gewichten w einer numerischen Integrations-Formel, P deren Stutzstellen auf den Knoten des Elements liegen. Bei zwei- oder eindimensionalen Elementen enthalten die Integrations-Gewichte die Dicke, beziehungsweise den Querschnitt als Faktor. Integrations- Gewichte werden mit Hilfe des Momenten-Gleichungssystems ( 1 . 1 4 0) bestimmt. Das ist in Abschnitt 1 . 6 . 2 beschrieben und wird hier deshalb noch einmal aufgegriffen, weil sich eine einfache mechanische Deutung ergibt. Zunachst wird der Gramsche Vektor von ( 1 . 1 3 9) mit der Dichte p multipliziert, um die Massen Mr zu definieren.

Hierin ist zr der Basisvektor des Lagrange-Elements und gleichzeitig auch der der Integrations-Formel. Der Bereich 0 von ( 1 . 1 3 9) wurde durch das dreidimensionale Volumen v ersetzt. Das Momenten-Gleichungssystem ( 1 . 1 4 0 ) wird ebenfalls mit der Dichte p multipliziert. Mit ( 6 . 1 6 ) und ( 6 . 1 7 ) ist es dann

Die Zahlen der Terme im Basisvektor und die der Stutzstellen sind gleich. Das Resultat ist also eine Newton-Cotes-Integrationsformel mit der expliziten Losung ( 1 . 1 4 2). Diese liefert die Punkt-Massen

Mechanisch anschaulich wird dies, wenn man das Momenten-Gleichungssystem ( 6 . 1 8) ausschreibt. Hierzu muB man sich zunachst vergegenwartigen, daB der Basisvektor die Monome eines Polynoms enthalt, die liickenlos vom konstanten Term an aufwarts vorliegen. Zum Beispiel kann der Basisvektor fur ein ebenes Element sein Z

r

=

[

1 x,

Xz

XIXZ

1.

Weiter muB man wissen, daB fur eine Lagrange-Interpolation die Vandermonde-Matrix ( 1 . 1 2 9) aus den Funktionswerten des Basisvektors gebildet wird. Fiir das Beispiel erhalt man

6.2 Massen-Matrizen

325

Nun geht man in das Momenten-Gleichungssystem ( 6 . 1 8 ) und findet mit (6.17)

Die Punkt-Massen von Lagrange-Elementen sind so auf die Knoten verteilt, dal3 -

die Gesamtmasse M, die statischen Momente Mi ( S ~ h w e r ~ u n k t ) , die Tragheitsmomente M . . IJ

richtig erfaRt werden. Wie weit diese Liste fortgesetzt werden kann, richtet sich nach dem Grad des Basisvektors. Andererseits kann ein linearer Basisvektor nicht die korrekte Wiedergabe der Massen-Tragheitsmomente erzwingen, weil dafur die dritte Gleichung ( 6 . 2 0 ) fehlt. Die aufgelisteten Gleichungen ( 6 . 2 0 ) betreffen die Starrkorper-Bewegungen sowohl am einzelnen Element als auch in der gesamten Struktur. Am wichtigsten ist die erste Gleichung fur die Gesamt-Masse. Sie muB auf jeden Fall befriedigt sein, weil sich sonst vollkommen falsche Berechnungsergebnisse einstellen. Die zweite Gleichung betrifft die Schwerpunktlage. Selbst fur einen linearen Basisvektor wird diese exakt wiedergegeben. Fur ein einzelnes Element ist dies schon nicht mehr so wichtig, weil der Schwerpunkt der Gesamt-Struktur hiervon weitgehend unabhangig ist. Ebenso werden alle weiteren Gleichungen von ( 6 . 2 0 ) fur die Gesamt-Struktur zunehmend unwichtiger. Hieran erkennt man im ubrigen auch, daR die numerische Integration, die zu der Aussage uber die Punkt-Massen in ( 6 . 1 6 ) gefuhrt hat, hinreichend genau ist. Womit die Entscheidung, die Integrations-Punkte auf die Element-Knoten zu legen, im nachhinein gerechtfertigt ist. Zwischen der konsistenten Massen-Matrix m und den Punkt-Massen m P4 P von Lagrange-Elementen 1aBt sich ein einfacher Zusammenhang herstellen. Aus ( 6 . 1 0) entsteht durch Summieren

Mit ( 1 . I 3 3) ist die Summe uber Lagrange-Formfunktionen gleich eins. Es folgt

326

6. Lineare Dynamik

Wie bei der Herleitung von ( 6 . 1 6) wird eine numerische Integration durchgefuhrt und vereinfacht.

Daraus folgt mit (6 . I 6)

Die Punkt-Massen von Lagrange-Elementen sind gleich den Zeilensummen (oder Spaltensummen) der konsistenten Massen-Matrizen! Mit der ersten Gleichung (6.2 0 ) folgt weiter, daB die Summe uber alle Koeffizienten gleich der Gesamt-Masse ist.

6.2.3 Lagrange-Elemente Lagrange-Elemente sind die bei weitem am haufigsten eingesetzten Kontinuum-Elemente. Ihre konsistenten Massen-Matrizen ergeben sich aus ( 6 . 1 O ) , ihre Punkt-Massen aus ( 6 . 1 6 ) . Im folgenden werden die Elemente der Abschnitte 4 . 2 . 1 bis 4 . 2 . 5 im einzelnen angesprochen. Die Massen-Matrizen der Simplex-Elemente von Abschnitt 4 . 2 . 1 lassen sie sich analytisch herleiten. Die Basisvektoren und Vandermonde-Matrizen sind in ( 4 . 1 7 ) und ( 4 . 1 8 ) angegeben. Mit einer konstanten Dichte p folgt fur die Kern-Massenmatrix von ( 6 . 1 2)

Die auf der rechten Seite angegebene analytische Formel fur das Integral sol1 hier nicht hergeleitet werden. In diesem Zusammenhang sei auf die Bemerkungen zur Berechnung des Volumens von Simplex-Elementen bei ( 4 . 2 3 ) hingewiesen. D e r Ausdruck fur die Kern-Matrix wird in die zweite Zeile von ( 6 . 1 2) eingesetzt und vereinfacht.

Dies ist die richtungsunabhangige, konsistente Massenmatrix fur ein c-dimensionales Simplex-Element. Das Volumen v ist mit ( 4 . 2 3 ) zu berechnen.

6.2 Massen-Matrizen

327

Im Gegensatz z u r Steifigkeitsmatrix nach (4.21) laRt sich die Massenmatrix nach (6.22) ohne Schwierigkeiten sofort hinschreiben. Fiir Simplex-Elemente der Dimensionen c = 1 und 2 ergibt sich

Hierin sind A und 1 der Querschnitt und die Lange des eindimensionalen Elementes und a und t die Flache und die Dicke des zweidimensionalen.

Die Punkt-Massen fur Simplex-Elemente lassen sich formal am einfachsten mit Hilfe von ( 6 . 2 1 ) aus den Zeilensummen der konsistenten MassenMatrix ermitteln. Mit ( 6 . 2 2 ) folgt

Durch die Summe wird aus der rechten Klammer ( 1 + ( c + l ) ) . Damit ergibt sich

Die Gesamtmasse p v eines Simplex-Elementes wird zu gleichen Teilen auf die Punktmassen an den Ecken verteilt!

Bild 6.2: Punktmassen fiir ein- und zweidimensionale Simplex-Elemente.

Die Massenverteilung ( 6 . 2 3) folgt genauso aus ( 6 . 1 6 ) . Wenn die Stutzstellen auf den Elementecken eines c-dimensionalen Simplex liegen, sind die Integrations-Gewichte gleich l / c + l . Fiir den Fall c = 2 findet sich diese Angabe in Tabelle 1 . 5 bei Bild 1 . 1 7 . Weiter findet man, dal3 die erste und zweite Gleichung von ( 6 . 2 0 ) durch die angegebene Massenverteilung erfullt sind. Die dritte Gleichung ist es nicht, weil keine quadratischen Terme im Basisvektor von Simplex-Elementen vorkommen. Ein Vergleich von Steifigkeits- und Massen-Matrizen ( 4 . 5 ) mit ( 6 . 5 ) , oder im Fall von Kontinuum-Elementen ( 4 . 1 3) mit ( 6 . 1 O), zeigt, daB in ersteren Ableitungen auftreten und in letzteren Funktionswerte. Bei der Verwendung von konsistenten Ansatzen fur die Massen-Matrizen bedeutet dies, daB ihr Integrand einen hoheren Grad besitzt als bei den Steifigkeits-Matrizen. Dies kann sich auf den benotigten Exaktheitsgrad in der numerischen

328

6. Lineare Dgnamik

Integration auswirken. Andererseits wurde im Zusammenhang rnit den konzentrierten Element-Massen argumentiert, daB eine weniger genaue Integration der Massen-Matrizen zulassig ist, solange eine Reihe von Mindestforderungen erfiillt ist. Pauschal laBt sich daraus schlieBen, daB Steifigkeits- und Massen-Ma trizen rnit den gleichen In tegra tionsformeln berechnet werden konnen. Das gilt jedoch nicht ohne Einschrankungen. Zwei Falle sollen im folgenden untersucht werden. Fiir die hoheren Simplex- Elemente von Abschnitt 4.2.2 wird in (4.24) fiir die Integration der Steifigkeits-Matrix ein Exaktheitsgrad von d = 2 ( g - 1) gefordert. Jetzt muB e r fur eine exakte Integration wegen des Wegfalls der Ableitungen heraufgesetzt werden auf

In Bild 6.3 ist das Dreieckselement rnit quadratischem Verschiebungsansatz gezeigt, das i n Abschnitt 4.2.2 als Beispiel gebraucht wurde.

t

x2

Bild 6.3: Hoheres Simplex-Element rnit quadratischem Verschiebungsansatz. Eine Integration von (6.10) rnit dem Exaktheitsgrad (6.24) ergibt die Massen-Matrix

Fur die Integration rnit dem Exaktheitsgrad d = 2 ( g - 1 ) = 2, der f u r die SteifigkeitsMatrix erforderlich ist, wird die Dreipunkt-Formel aus Tabelle 1.5 benutzt. Die Stutzstellen fallen auf die Seitenmittenknoten 4, 5 und 6; die Integrations-Gewichte sind 1/6. Es ergibt sich

6.2 Massen-Matrizen

329

Hier ist unfreiwillig das entstanden, was i n Abschnitt 6.2.2 als optimale MassenKonzentration bezeichnet wurde. Auf der Diagonale stehen die Punkt-Massen von ( 6 . 1 6 ) . (Die Eckpunkte 1 , 2 und 3 besitzen die Integrations-Gewichte null). Die Zeilensummen der exakt integrierten Massen-Matrix liefern die gleichen PunktMassen, womit ( 6 . 2 1 ) erfullt ist. Die Anwendung der fur die Steifigkeits-Matrix erforderlichen Integrationsformel auf die Massen-Matrix lieferte hier die konzentrierten Massen. Wenn dieses Ergebnis unerwiinscht k t , muR ein hoherer Exaktheitsgrad verwendet werden.

Im Gegensatz zu den hoheren Simplex-Elementen benutzen die ProduktElemente von Abschnitt 4.2.3 und die aus ihnen hergeleiteten Serendipityund ~ b e r ~ a n g s - ~ l e m e n der t e Abschnitte 4.2.4 und 4.2.5 im Basisvektor die Monome von unvollstandigen Polynomen. Das hat zur Folge, daB die in den Steifigkeits-Matrizen auftretenden Ableitungen den Grad der Polynome nicht verandern. Sie sind also vom gleichen Grad wie in den Massen-MatriZen, in denen diese Ableitungen g a r nicht erst vorkommen. Fur die exakte Integration von Steifigkeits- und konsistenten Massen-Matrizen sind somit dieselben Integrations-Formeln anzuwenden! Die Empfehlung ( 4 . 2 6 ) gilt also auch hier mit der Voraussetzung einer konstanten Dichte. Bild 6.4 zeigt das 8-Knoten-Element von Abschnitt 4.2.4.

I

x2

Bild 6.4: Serendipity-Element mit quadratischem Verschiebungs-Ansatz. Die Integration von ( 6 . 1 0 ) mit der (3x3)-GauR-Produktformel liefert die konsistente Massen-Matrix

m

= p4

Pt 45

6

2 6

3 2 6

2 -6 3 -6 2 -8 6 - 8 32

-8 -6 6 - 8

20 32

symmetrisch -

-8 -8 -6 -6 16 20 32

-6 -8 -8 --6 20 16 20 32

Die Punkt-Massen nach ( 6 . 1 6 ) oder ( 6 . 2 1 ) sind m

P

=

P '[-I 3

-1 -1

-1

4

4

4

4 1 .

330

6. Lineare Dynamik

Hier treten negative Massen an den Eckpunkten 1 bis 4 auf. Physikalisch ist dies unsinnig, weil Massen ungerichtete GroRen sind. Mathematisch ist dies sinnvoll, weil hiermit die dritte Gleichung in ( 6 . 2 0 ) befriedigt wird, durch die die MassenTragheitsmomente richtig wiedergegeben werden. Negative Massen kann man vermeiden, wenn man die Gesamt-Masse gleichmaRig auf die Seiten-Mittenknoten verteilt. Solange die Elemente klein im Vergleich mit der Struktur sind, ist diese Verteilung nebensachlich. Wichtiger kann es jedoch sein, ob die Losung, zum Beispiel mit Hilfe des Eigenwert-Algorithmus, negative oder Null-Massen verarbeiten kann.

6.2.4 Kirchhoff-Elemente In Abschnitt 4.3 wurden die Koordinaten der Kirchhoff-Elemente in Querund Langsrichtungen unterteilt. Dazu wurde in ( 4 . 3 0) festgelegt, daR die Quer- und Langsrichtungen durch xi und xi* bezeichnet werden, wobei die Zahlung unverandert bleibt. Fur einen Balken ist i = 1, 2 und i * = 3 ; fur eine Platte gilt i = 1 und i" = 2 , 3 . Die konsistente Massen-Matrix wird aus ( 6 . 5 ) bestimmt.

Die Richtungsindizes der Freiheitsgrade beziehen sich ausnahmslos auf die Querrichtungen, so daB i und k unverandert bleiben, wohingegen der Index j von ( 6 . 5 ) sowohl die Quer- als auch die Langsrichtungen als j, beziehungsweise j", zu durchlaufen hat. Die Verschiebungen in den Querrichtungen sind fur einen translatorischen Massenanteil verantwortlich, wahrend die Verschiebungen in den Langsrichtungen einen rotatorischen Anteil verursachen. Fur obige Gleichung wird somit geschrieben

m.

lpkq

=

m .(trans) lpkq

+

(rot> ipkq

. 9

Fur die Verschiebungen in den Querrichtungen gilt der Ansatz ( 4 . 3 3). E r ist identisch mit dem Ansatz (6 - 8 ) fur Kontinuum-Elemente. Es folgt dann aus ( 6 . 2 6 ) wie in ( 6 . 9 )

mit der richtungsunabhangigen Massen-Matrix ( 6 . 1 0)

m

(trans)

P4

=

j n p p nq d v . v

6.2 Massen-Matrizen

331

Das Volumen v umfaRt den Bereich der Querrichtungen l2 und den der Langsrichtungen R$iMit ( 4 . 3 0) sind R und RY fur einen Balken gleich dem Querschnitt A, beziehungsweise der Lange 1,und fur eine Platte gleich der Dicke t, beziehungsweise der Flache F in der Mittelebene. Die Formfunktionen np und die Dichte p sind in den Querrichtungen konstant und R in den Langsrichtungen.

Damit ist der translatorische Anteil der konsistenten Massen-Matrix bestimmt. Die Langsverschiebungen werden durch (4.3 8 ) auf die Querverschiebungen abgebildet und diese dann wie oben durch den Ansatz ( 4 . 3 3) ausgedriickt. Der rotatorische Anteil der Massen-Matrix ( 6 . 2 7 ) wird damit

Das Volumen wird wieder in Teilbereichen zugeordnet.

R und R" aufgetrennt und die Variablen den

Das erste Integral ist gleich dem Tragheitstensor Iik von ( 4 . 4 0 ) , so daR

Mit ( 6 . 2 5) und ( 6 . 2 8 ) bis (6.3 I ) werden die konsistenten Massen-Matrizen beschrieben. Konzentrierte Massen sind ebenfalls in Gebrauch, nur ist deren Herleitung komplizierter als bei den Kontinuum-Elementen, weil auRer Translationen auch Drehungen zu den Freiheitsgraden gehoren. Allgemein ublich ist eine mechanisch anschauliche Herleitung, die sich am Einzelfall orientiert. Dies wird weiter unten besprochen. Hier wird der Versuch gemacht, eine allgemeine Aussage zu den konzentrierten Massen von Kirchhoff-Elementen zu gewinnen, in der, analog zur Eigenschaft von Kontinuum-Elementen ( 6 . 2 I), Zeilen- oder Spaltensummen der konsistenten Massen-Matrix gebildet werden. Auch dieses Vorgehen ist nur mechanisch plausibel und laRt sich allenfalls an Hand der gewonnenen Aussagen kontrollieren. Zur Ermittlung der konzentrierten Massen wird nur der translatorische Anteil ( 6 . 2 9 ) der konsistenten Massen-Matrix herangezogen.

332

6. Lineare Dynamik

Steht p fur einen translatorischen Freiheitsgrad, dann wird die Summe uber

I; nur uber die translatorischen Freiheitsgrade genommen. Steht p f ~ i reinen Dreh-Freiheitsgrad, erstreckt sich nur uber die Dreh-Freiheitsgrade in derselben und parallelen Ebenen u.s.w. Weiter unten wird am Beispiel gezeigt, wie dies zu anzuwenden ist. Bis hierhin wurden allgemeine Kirchhoff-Elemente behandelt. Im folgenden sol1 das Standard-Balken-Element von Abschnitt 4 . 3 . 1 untersucht werden.

Bild 6 5 : Standard-Balken-Element mit Verschiebungen uip; i n der ebenen Darstellung, rechts. wurden die Richtungsindizes i

=

1 weggelassen.

Der richtungsunabhangige Anteil der translatorischen Massen-Matrix ergibt sich aus ( 6 . 2 9 ) . Darin ist O gleich dem Querschnitt A und O m die Lange 1.Es wird zunachst die Kern-Matrix analog zu (6.1 2) gebildet.

Mit dem Basisvektor zr von ( 4 . 4 7 ) ergibt sich daraus

Mit der inversen Vandermonde-Matrix entsprechend ( 6 . 1 2 ) (trans) P4

m

-

c

r,s

Z-l pr

m0

:2 ;

(trans) 2 -1 . rs qs '

aus Abschnitt 4 . 3 . 1 folgt d a m

6.2 Massen-Matrizen

333

Auf dieselbe Weise wird mit (6.3 1) der rotatorische Anteil der richtungsunabhangigen Massen-Matrix berechnet. P

Die vollstandige konsistente Massen-Matrix fur den Standard-Balken ergibt sich dann durch Einsetzen von (6.3 2) und (6.3 3) in ( 6 . 2 8 ) und (6.3 0) und das wiederum in (6.2 5). Fur schlanke Balken ist der rotatorische Anteil der Massen-Matrix im allgemeinen klein im Verhaltnis zum translatorischen und wird deshalb haufig vernachlassigt. Fur den ebenen Balken in der Ebene xl x3 gilt das, was im Zusammenhang mit der Steifigkeits-Matrix (4.4 9 ) gesagt wurde: Verschiebungen in der Querrichtung x2 entfallen, wenn xl eine Haupttragheitsachse ist. Da dann alle Richtungsindizes gleich 1 sind, konnen sie wie in Bild 6.5 rechts weggelassen werden. Die konzentrierten Massen werden mit (6.3 2) berechnet. Die Freiheitsgrade 1 und 3 sind Translationen; 2 und 4 sind Dreh-Freiheitsgrade. Die Anweisungen sind dann:

m1 = m11( t r a n s ) m

3

(trans)

+

13

= m( t r a n s ) + m 31

(trans)

33

= m( t r a n s )

;

m

;

m4 = m42

2

22

+

(trans) +

m2(4t r a n s ) >. (trans) m44

Mit ( 6 . 3 3) folgt daraus

Der Faktor m wurde eingefuhrt, um verschiedene Moglichkeiten zu diskutieren. Aus (6.3 2) ergibt sich m = 1. In der ersten und dritten Position stehen die halben Massen, so dal3 die Gesamt-Masse richtig wiedergegeben wird. Fur die Massen-Tragheitsmomente an den Stellen zwei und vier stehen verschiedene Alternativen zur Verfugung. Ein Extrem ist, sie zu vernachlassigen, also m = 0 zu setzten. Das funktioniert aber nicht bei expliziten Zeitintegrationen, die fiir jeden

334

6. Lineare Dynamik

Freiheitsgrad eine nicht verschwindende Masse benotigen. Wahlt man das Massen-Tragheitsmoment des halben Balkens, der s t a r r um ein Ende rotiert, ergibt sich m = 35/2. Das ist das andere Extrem, das sich haufig in der Anwendung findet. Dazwischen liegt man mit der Forderung, daR die Grundfrequenz des freien Elements mit konsistenter Massen-Matrix und konzentrierten Massen gleich sein soll. Damit findet man m = 7/6. Das ist fast gleich dem m = 1 von ( 6 . 3 2 ) . Alle aufgefuhrten W e r t e von m sind mehr oder weniger gebrauchlich. An dieser Auswahl erkennt man, daB es nicht so sehr darauf ankommen kann, die rotatorischen Massen exakt abzubilden. Dies gilt natiirlich nur, solange die Elemente klein sind im Verhaltnis zur Wellenlange der Deformationen. 1st das nicht der Fall, muB sowieso mit der konsistenten Massen-Matrix gearbeitet werden. In Bild 6.6 ist ein Platten-Element gezeigt. Es handelt sich dabei um das Beispiel aus Abschnitt 4 . 3 . 3 . Im Gegensatz zum Standard-Balken-Element von Bild 6 . 5 eignet es sich nicht fur eine analytische Durchrechnung.

Bild 6.6: Quadratische Platte mit vier translatorischen und acht Drehfreiheitsgraden.

Die Aufbereitung der Gleichungen ( 6 . 2 8 ) bis ( 6 . 3 1) fiir beliebige Kirchhoff-Platten-Elemente bereitet keine Schwierigkeiten. Die Indizes i und k nehmen den W e r t 1 an und werden weggelassen. Dann folgt aus ( 6 . 2 8 ) und ( 6 . 2 9 ) mit der Dicke R = t und der Flache R* = F m (trans) P4

Mit Ill

=

=

t

J np p

nq d~

;

( ~ , =q l . . . n ) .

F

& t 3 in ( 6 . 3 0 ) folgt aus ( 6 . 3 1 )

Dies sind die Gleichungen fur allgemeine Kirchhoff-Platten-Elemente. Weitere Aussagen, insbesondere zur Bestimmung von konzentrierten Massen, lassen sich erst nach Festlegung der Geometrie und der Freiheitsgrade machen.

6.2 Massen-Matrizen

335

Fur die quadratische Platte von Bild 6.6 sol1 die Flache F in der Mittelebene x 2 x 3 jeweils von - 1 bis + 1 verlaufen. Der Basisvektor z, und die Vandermonde-Matrix zrp sind i n Abschnitt 4.3.3 angegeben. Aus ( 6 . 8 ) ergeben sich die Formfunktionen

Die exakte Integration von ( 6 . 3 6 ) ergibt den translatorischen Anteil der konsistenten Massen-Matrix

symmetrisch

Fur die Bestimmung der konzentrierten Massen mit ( 6 . 3 2 ) mussen die Freiheitsgrade unterteilt werden. Aus dem Beispiel in Abschnitt 4.3.3 entnimmt man, daR die Freiheitsgrade 1, 4 ; 7 und 10 Translationen sind, die Dreh-Freiheitsgrade 2, 5, 8 und 1 1 in Ebenen parallel zu xlxz liegen und die Dreh-Freiheitsgrade 3 , 6 , 9 und 12 parallel zu xlx3 sind. Es folgen die konzentrierten Massen

Die Massen 1, 4 , 7 und 10 zusammen ergeben die Gesamt-Masse 4 p t . Wesentlich grol3ere Drehmassen erhalt man, wenn jeweils ein Viertel der Platte als starre Rotations-Masse angenommen wird. Anstelle des Zahlenwerts 2 tritt dann der Wert 35. Der rotatorische Anteil ( 6 . 3 7 ) der konsistenten Massen-Matrix laRt sich auf entsprechende Weise berechnen. Da dies nicht sehr instruktiv ist, kann hier darauf verzichtet werden.

6.2.5 Richtungstransformation Massen sind richtungsunabhangige GroBen. Warum sollte also eine Richtungstransformation der Massenmatrizen erforderlich sein? Wie sich

336

6. Lineare Dynamik

zeigen wird, ist sie in vielen Fallen wirklich unnotig, aber nicht in allen. Dies muB hier untersucht werden. Da sich Beschleunigungen genau so transformieren wie Verschiebungen, werden Massen-Matrizen auf dieselbe Weise transformiert wie SteifigkeitsMatrizen. Es gibt allerdings einen gravierenden Unterschied, den man bemerkt, wenn man zum Beispiel ein eindimensionales Element in eine gedrehte Lage in der Ebene bringt. Bei den Steifigkeits-Matrizen w a r dies kein Problem, wie am Beispiel im Zusammenhang mit ( 3 . 9 ) gezeigt wurde. Formal ist es das fur die Massen-Matrix auch nicht, aber man erhalt die seltsame Aussage, dal3 nur Beschleunigungen entlang der Langsachse auch Massenkrafte hervorrufen. Das entspricht nicht der physikalischen Realitat! Massenkrafte mussen auch in den Querrichtungen auftreten. Was zu tun ist , wird klar: Die nich t belegten Richtungen miissen mit Massen 1,aufgefiill ~ C Cwerden, so daB die Transformation nur zwischen Koordina tensys temen von gleicher Dimension ausgefuhrt wird. Fur die Transformation entsprechend ( 3 . 9 ) bedeutet dies, daB die Zahl der einfach indizierten Freiheitsgrade vor und nach der Transformation gleich sein mul3.

Damit wird aus (3.9) fur die Richtungs-Transformation einer ElementMassenmatrix

Als Beispiel f u r diesen sicherlich nicht ganz selbstverstandlichen Vorgang sol1 e i n Balken-Element i n der Ebene gedreht werden. Urn die Zahl der Freiheitsgrade vor und nach der Transformation gleich zu machen, wird, wie i n Bild 6.7 gezeigt, e i n Stab-Element mit den Freiheitsgraden 5 und 6 zum Balken-Element hinzugefugt.

Bild 6.7: uberlagerung eines Balken-Elementes mit einem Stab zur anschlieRenden Drehung i n der Ebene. Fur das Beispiel genugt es, n u r den translatorischen Anteil der konsistenten Massenmatrix des Balkens zu behandeln. Fur die Kombination des Balkens mit dem ein-

6.2 Massen-Matrizen

337

dimensionalen Simplex-Element in der Ausgangslage folgt aus (6.281, (6.3 3), (6.9) und (6.22) m

= -P A Y

1 5 6

420

ab

-221 54 131 0 0

-221

54

131

41' -131 -31' 0 0

-131 156 221 0 0

-31' 221 412 0 0

0

0

0 0 0 1 40 70

0 0 0 70 140

Die Richtungs-Transformationsmatrix ist -

r aa -

=

0 0 0

s 0 0 0

c

O O 1 0 0 - s 0 0

O 0 c 0

O 0 0 1

c o

s o

o o

o s

o o

o c

; c = c o s cw

; s = s i n or.

Damit wird die Richtungstransformation ( 6 . 3 9 ) ausgefuhrt. Mit c 2 + s 2 = 1 folgt:

Fiir die nach Richtung und Ort getrennten, doppelten Indizierung der Freiheitsgrade ergibt sich die Forderung

das heiBt, die Element-Dimension c ( ~ )muB mit der Struktur-Dimension C iibereinstimmen. Dann folgt entsprechend ( 3 . 1 5)

BiId 6 . 8 zeigt ein eindimensionales Simplex-Element, das aus seiner Normallage, links, in eine beliebige Lage in der Ebene gedreht wird.

Bild 6.8: Richtungstransformation eines Stab-Elementes in der Ebene.

338

6. Lineare Dynamik

Damit die Forderung ( 6 . 4 0) befriedigt ist, wurden bereits in der Ausgangslage Querverschiebungen u21 und u22 angebracht. Fur Kontinuum-Elemente ist e s ganz einfach, die geforderte Erweiterung ( 6 . 4 0 ) vorzunehmen. Aus der konsistenten Massen-Matrix ( 6 . 9 ) wird bei lediglich geandertem Bereich der Richtungsindizes

Da die Massen-Matrix mpq richtungsunabhangig ist, konnen die StrukturKoordinaten X I beliebig gedreht werden, solange sie, wie auch die ElementKoordinaten xi,orthogonal C artesisch sind . Eine Rich tungs- Transforma tion ist deshalb fur Kontinuum-Elemente unnotig! Von dieser Aussage kann man sich auch formal uberzeugen, wenn man ( 6 . 4 2 ) in (6.4 1 ) einsetzt und berucksichtigt, daB die Transformations-Matrix rI; die OrthogonalitatsBedingung ( 1 . 3 5) befriedigen muB. Die Invarianz unter einer RichtungsTransformation einer konsistenten Massen-Matrix von Kontinuum-Elementen beruht auf ( 6 . 9 ) : Die Richtungs- indizes i, k sind entkoppelt von den Punktindizes p, q. Dieselbe Form findet man fur die translatorische MassenMatrix (6.2 8) und die rotatorische ( 6 . 3 0 ) bei Kirchhoff-Elementen. Im Unterschied zu den Kontinuum- Elementen kann der Bereich der Richtungsindizes hier aber nicht einfach erweitert werden, weil e r auf die Querrichtungen beschrankt ist. Nur eine Transformation der Querrichtungen beim Balken ist ohne weiteres moglich. In ( 6 . 2 8 ) andert sich dabei gar nichts, in ( 6 . 3 0) muB nur der Tragheitstensor Iik transformiert werden. Werden aber die Langsrichtungen mit in die Richtungs-Transformation einbezogen, muB entsprechend dem allgemeinen Verfahren ( 6 . 3 8) und ( 6 . 3 9 ) vorgegangen werden. Konzentrierte Massen sind schon von ihrer Konzeption her grundsatzlich richtungsunabhangig. Eine Richtungs-Transformation findet hierfur nicht statt.

6.2.6 Gesamt-Massenmatrix Beim Zusammenbau einer Gesamt-Massenmatrix wiederholt sich, was schon fur die Steifigkeitsmatrizen in Abschnitt 3.1.3 beschrieben wurde. Es wird vorausgesetzt, daB die Freiheitsgrade der Elemente entweder von Anfang an oder nach einer Richtungstransformation so gerichtet sind, daB sie aneinander gesetzt werden konnen. Dann folgt aus ( 3 . 1 2) fur die einfach indizierten Massenmatrizen

6.2 Massen-Matrizen

339

Ebenso ergibt sich aus ( 3 . 1 8 ) fur die doppelt indizierte Form der Freiheitsgrade

Handelt es sich hierbei durchweg um Kontinuum-Elemente, deren Richtungsindizes erst in (6.9) an die richtungsunabhangigen Massenmatrizen angefugt werden, dann konnen die Richtungsindizes I und J in ( 6 . 4 4 ) weggelassen werden. Dadurch wird eine richtungsinvariante Massenmatrix MPQ zusammengebaut, die durch ( 6 . 9 ) als Ganzes mit Richtungsindizes versehen wird:

Nach dem Zusammenbau und einer eventuellen Urnstellung auf die einfache Indizierung werden die Randbedingungsklassen wie in ( 3 . 2 3) eingefuhrt. DaB die Randbedingungen in der Dynamik moglicherweise anders definiert werden als in der Statik, weil nicht nur Verschiebungen, sondern auch Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu berucksichtigen sind, hat auf die Form dieser Transformation keinen EinfluB.

Damit sind die Schritte vom Elementniveau bis zu den Randbedingungen der Gesamtstruktur fur die Massenmatrizen beschrieben. An dem i n Bild 6.9 gezeigten Fachwerk sol1 der Zusammenbau einer Massenmatrix vorgefuhrt werden.

A P

- k

;

p A

I

=

m ; Starre Auflager: Freiheitsgrade 6, 8

Bild 6.9: Zusammenbau eines Fachwerks aus fiinf Staben; links f u r einfach indizierte Freiheitsgrade, rechts f u r nach Richtung und Ort getrennte Indizierung.

340

6. Lineare Dynamik

Fur die Massen-Matrizen der eindimensionalen Simplex-Elemente ergibt sich aus (6.22) f u r die Elemente 1 bis 3:

f u r die Elemente 4 und 5:

Das Punkt-Koinzidenzschema ist:

Der Zusammenbau der Gesamt-Massenmatrix kann mit (6.44) ohne die Richtungsindizes erfolgen. Die richtungsunabhangige Gesamt-Massenmatrix ist

Die Richtungsindizes werden mit (6.45) hinzugefugt.

Links und unten wurde die einfache Numerierung der Freiheitsgrade angetragen, um als nachstes die Randbedingungen angeben zu konnen. Die Freiheitsgrade 6 und 8 sind als starre Auflager vorgesehen. Das Klassen-Umordnungsschema ist dann:

Damit folgt die umsortierte Massenmatrix nach (6.46):

Um fur spatere Berechnungen auch noch die Steifigkeitsmatrix zur Verfugung zu haben, wird sie hier passend zu den Daten von Bild 6.9 angegeben:

6.2 Massen-Matrizen

341

Das Arbeiten mit konzentrierten Massen ist noch einfacher als das mit konsistenten Massen-Matrizen, weil die Unterscheidung von Zeilen und Spalten entfallt. Anstelle von ( 6 . 4 3) bekommt man = a , e ' a ( e ] ma(e) ~

; ( a = l . . . n( e>; A= l . . . N ;e =

l...E ) . ( 6 . 4 7 )

Fiir die Doppelindizierung der Freiheitsgrade erhalt man anstelle von (6.4 4)

MIp

=

C P >e

( 6 . 4 8)

sp ( e > P mI p ( e > '

( I =l . . . C ; p = l . . . n ; P = l...N ; e = l... E ) . ( e>

Der Richtungsindex wird normalerweise erst nach dem Zusammenbau hinzugefugt. Das entspricht dann dem Vorgang in (6.4 5). Vor Einfuhrung der Randbedingungen mu0 die einfache Zahlung der Freiheitsgrade eingefiihrt werden. Entsprechend ( 6 . 4 6) ergibt sich

Zu dem oben benutzten Beispiel sollen die Punktmassen ermittelt werden. Aus (6.23) folgt mit den bei Bild 6.9 angegebenen Daten f u r die Elemente 1 bis 3:

fiir die Elemente I und 5:

Das Punkt-Koinzidenzschema f u r den Zusammenbau nach (6.18) liegt oben bereits vor. Zunachst erhalt man

und nach Hinzufugen des Richtungsindex

Da dies Punktmassen von Lagrange-Elementen sind, gilt (6.21). Dies ubertragt sich auf die Gesamtmassen, die deshalb gleich den Zeilensummen der vorher berechneten konsistenten Massenmatrix des Beispiels sind!

342

6. Lineare Dynamik

Unter den Gesamtmassen wurde die einfache Indizierung angetragen. Hiermit geht man nach (6.49) und erhalt mit dem schon vorher gebrauchten Klassen-Umordnungsschema

[ M 1M2]

=

q 1 6

2

12

12

12

9

91 9

9 1 .

6.2.7 ubungen u b u n g 6.1: Fur das (2x2)-Lagrange-Element von Bild 4.7 soll die vollstandige, richtungsabhangige konsistente Massenmatrix durch analytische Integration berechnet werden. Die Dicke t und die Dichte p seien konstant. ubung 6.2: Berechnen Sie den richtungsunabhangigen Teil der konsistenten Massenmatrix und die Punktmassen fur das Element von ubung 6.1 durch numerische Integration. Welche Integrationsformeln benotigen Sie? ubung 6.3: Das Element von ubung 6.1 wird isoparametrisch so verzerrt: daR die Knotenkoordinaten die Werte

annehmen. Berechnen Sie die Punktmassen durch numerische Integration. u b u n g 6.4: Welche Veranderung erfahrt der Zusammenhang zwischen der richtungsinvarianten konsistenten Massenmatrix und den Punktmassen (6.2 1) eines Lagrange-Elementes, wenn fur die Berechnung der Punktmassen eine variable Dichte

angenommen wird? Die Faktoren orp und die mittlere Dichte p der konsistenten Massenmatrix seien konstant. ubung 6.5: Fur das (2.2.2)-Lagrange-Element von u b u n g 4.10 werden Punktmassen mp ( p = 1...8); angenommen. 1st damit (6.18) erfullt und wie groR mu8 m sein?

=

m,

ubung 6.6: Berechnen Sie die Punktmassen fur das (3~3bLagrange-Elementvon Bild 4.6 aus Gleichung (6.18). Das Element soll im Bereich von x, = 1 bis + 1 liegen und die konstante Dicke t besitzen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem f u r das 8-KnotenElement von Bild 6.4. Welcher prinzipielle Unterschied liegt vor? u b u n g 6.7: Berechnen Sie die konsistenten Streckenlast von Abschnitt 4.3.2.

Massenmatrizen

fur

das Balken-Element

mit

ubung 6.8: Berechnen Sie die konsistenten Kern-Massenmatrizen f u r das Platten-Element von Aufgabe 4.22 fur konstante Dicke und Dichte. ubung 6.9: Fuhren Sie fur die Massenmatrizen des dreidimensionalen Standard-Balken-Elementes von Bild 6.5 eine Richtungstransformation so durch, daR samtliche Drehfreiheitsgrade einheitlich linksdrehend um ihre Achsen wirken.

6.3 Dampfungsmatrizen

343

bung 6.10: Welche Elemente m u s s e n Sie zu e i n e m Standard-Balken-Element h i n z u f u g e n , u m die Massenmatrix fiir e i n e beliebige r a u m l i c h e Lage b e r e c h n e n zu k o n n e n ? bung 6.1 1: F u h r e n Sie die Richtungstransformation f u r den rotatorischen Anteil der Massenmatrix des Balken-Elementes von Bild 6.7 durch. bung 6.12: Wie sieht die Punktmassenverteilung f u r e i n regelmaRiges Netz von ( 3 ~ 3 b E l e m e n t e n aus bung 6.6 aus? bung 6.1 3: Ermitteln sie die konsistente Gesamt-Massenmatrix f u r das F a c h w e r k b) doppelt indiziert v o n Bild 3.6. a) e i n f a c h indiziert von Bild 3.4; bung 6.14: Berechnen Sie die konzentrierten Massen e i n e r ebenen Balkenkette von bung 3.5. bung 6.15: F u r den gezeigten R a h m e n aus drei g l e i c h e n Balken sollen die konsistente Massenmatrix und die konzentrierten Massen b e r e c h n e t 6 werden.

r

---C

4

6.3 Dampfungsmatrizen Es ist sehr schwierig, theoretisch fundierte Angaben zum EinfluB der Dampfung auf realistische Strukturen zu machen. Das liegt einmal daran, daB sich die Dampfung aus verschiedenen, Energie dissipierenden Anteilen wie innere und auBere Reibung und den Ruckwirkungen eines umgebenden Mediums (z. B. Luft) zusammensetzt, andererseits aber meistens nur einen geringen EinfluB ausubt, was ihre experimentelle Erfassung nicht gerade erleichtert. Hinderlich hat in der Vergangenheit auch gewirkt, daB dynamische Berechnungen durch die Dampfung erheblich verkompliziert werden, so daB man vereinfachte Verfahren entwickelt hat, die oft schon vom Ansatz her der physikalischen Realitat widersprechen. Auch uns wird hier nichts anderes ubrig bleiben, als diese ,>Mogeleicc mitzumachen, schon allein. urn den Aufwand in Grenzen zu halten. Die bisher im Finit-Element-Model1 verwendeten Materialgesetze sind das Spannungs-Dehnungsgesetz ( 4 . 2 ) und das lokale Kraft-Beschleunigungsgesetz ( 6 . 3 ) . Beide sollen nun durch einen Geschwindigkeitsterm erweitert werden.

344

6. Lineare Dynamik

Hierin ist qijkl ein Viskositatstensor, der dieselben formalen Eigenschaften besitzt, wie der Elastizitatstensor kjjkl, insbesondere also die Symmetrien ( 2 . 2 6 ) , und d ist eine innere Dampfung. In Bild 6 . 1 0 sind die eindimensionalen Ersatzmodelle gezeigt, wie sie in der technischen Mechanik ublich sind. d

P Y

N

u, lJ

E, E

7 Bild 6.10: Eindimensionale Ersatzmodelle fiir die Dampfung; links das sogenannte Kelvin-Modell.

Die Grundgleichungen fur die Steifigkeits- und Massenmatrizen, in die noch keine speziellen Interpolationsansatze eingefiihrt wurden, sind ( 4 . 4 ) und ( 6 . 5 ) . Fur die Dampfung kann man auf die gleiche Weise aus (6 .SO) und (6.5 1 ) herleiten d~ m~. JU". JU". dEn~ d~ + I: d i d v ; (6.52) = J ~ q m j n ~ ~ u lpkq m, j, n , l v j v u 3~

J--?

lp

kq

1P

kq

( i , j , k , l , m , n = 1... c ; p , q = l ... n ) . Es wird die Ausnahme bleiben, daR hieraus eine Dampfungsmatrix berechnet wird, da haufig keine verlaRlichen Materialwerte vorliegen. Meistens behilft man sich mit einer Proportionalitat

zwischen der Viskositat und der Elastizitat oder der inneren Dampfung und der Dichte. Die Faktoren a: und P sind reine Erfahrungswerte. Die Annahme einer proportionalen oder Rayleigh- Dampfung nach ( 6 . 5 3) bedeutet, daB sich eine Dampfungsmatrix aus der zugehorigen Steifigkeitsund/oder Massenmatrix ergibt.

~ b l i c h e r w e i s ewerden die Proportionalitats-Faktoren cr und ,B nicht fur einzelne Elemente oder Strukturteile getrennt angegeben, sondern einheitlich fiir die Gesamtstruktur. Es gilt dann

6.4 Eigenschwingungen

345

Neben einer vereinfachten Berechnung der Dampfungs-Matrix erhalt man auf diese Weise auch einen erheblichen, rechentechnischen Vorteil bei der Ermittlung von Eigenschwingungen. Der formale Umgang mit Dampfungs-Matrizen unterscheidet sich nicht von dem der Steifigkeits- und Massen-Matrizen. Es ist deshalb unnotig, hierauf weiter einzugehen.

6 . 4 Eigenschwingungen Ohne Erregungen bleibt eine Struktur in ihrer Ruhelage. Das andert sich, wenn man auBere oder innere Krafte oder Verschiebungen aufbringt. Die Struktur fuhrt dann Bewegungen aus, die von den Erregungen beeinfluat sind. Nimmt man jetzt die Erregungen wieder weg, entfaltet die Struktur ihr ,)Eigenlebencc: Sie durchlauft zeitlich veranderliche Zustande, die nur von den Eigenschaften der Struktur selbst abhangen. Bei einer iiberkritischen Dampfung erfolgt eine asymptotische Riickkehr in die Ruhelage, andernfalls fuhrt die Struktur Eigenschwingungen aus. Zur Berechnung der Eigenschwingungen mussen also alle Erregungen in der Bewegungsgleichung (6 . I ) null gesetzt werden. Dies bedeutet, daR die Krafte null sind oder, wie oft gesagt wird, die rechte Seite verschwindet und daB samtliche Verschiebungen als unabhangige Variable auftreten. Damit werden die Freiheitsgrade auf die Untermenge beschrankt, in denen die Verschiebungen unbekannt sind. Dies ist die Randbedingungsklasse 1 von Abschnitt 3.2.1. Um die Gleichungen nicht ubermaBig zu belasten, wird diese Kennzeichnung im folgenden jedoch weggelassen. D e r so entstandene homogene Anteil der Bewegungsgleichung ist dann ( KAB UB

+

DAB B'

+

MAB

u ) = O B

;

(6.56)

(A,B= l...N) . Der Losungsansatz f ~ i rdiese Gleichung ist

mit der Amplitude QA, dem Eigenwert h und der Z e i t t. Dies wird in ( 6 . 5 6) eingesetzt. Nach Kiirzen des gemeinsamen Faktors e A t folgt

(A,B= l...N) . Dies ist ein quadratisches Eigenwertproblem der Art ( 1 . 1 4 7).

346

6. Lineare Dynamik

Die Losung des Eigenwertproblems (6.58) ist f u r unsere Zwecke hier zu aufwendig. Es sol1 n u r an Hand des Problems mit einem Freiheitsgrad gezeigt werden, welche prinzipiellen Eigenschaften eine Losung hat. Aus (6.58) entsteht f u r N = 1

Die Amplitude 0 kann nur dann ungleich null sein, wenn der Inhalt der Klammer null ist. Dies fuhrt zu einer quadratischen Gleichung mit den Losungspaar

Eine iiberkritische Dampfung liegt vor, wenn D

2

4 K M . Die Wurzel ist reell, so daR

sich aus den reellen Zahlen cr und p zusammensetzt. Die Verschiebung aus (6.57) wir d U = De(a* B)t Je nach der GroBe von a und p ist dies eine monoton zu- oder abnehmende Funktion der Zeit. Eine gedampfte Schwingung folgt, wenn D < 4 K M . Die Wurzel wird imaginar, so daR ein konjugiert komplexes Losungspaar entsteht: A = cr?

i w .

Die Verschiebungen sind =

O e ( ~ i? w ) t - O e E t ( c o s w t 2 i sin w t ) .

Diese Schwingung hat die Kreisfrequenz w, und eine mit dem Faktor e a t zu- oder abnehmende Amplitude 0 . Gedampfte Schwingungen besitzen einen Abklingfaktor cr kleiner als eins. SchlieRlich erhalt man mit D sind rein imaginar A =

=

0 eine ungedampfte Schwingung. Die Losungen

2 i w

und die Verschiebung ist U

=

O e k i w t =

~ ( C O S wt

? isinwt)

Dies ist ein zeitlich stationarer Zustand. Er wird die Basis fur die folgenden Betrachtungen bilden. In Systemen mit mehreren Freiheitsgraden sind die Verhaltnisse nur insofern verwickelter, als die verschiedenen Losungsmoglichkeiten nebeneinander bestehen konnen. Das heiBt. es konnen zum Beispiel uber- und unterkritisch gedampfte Anteile auftreten. Das Prinzip bleibt aber erhalten; daR jeder Freiheitsgrad grundsatzlich zwei Losungen erzeugt, weil das Eigenwertproblem (6.58) quadratisch ist.

6.4.1 Ungedampfte Eigenschwingungen Mit DAB = 0 und h = f i w erhalt man fiir die an einer Eigenschwingung beteiligten Freiheitsgrade aus ( 6 . 5 8 )

6.4 Eigenschwingungen

347

Dies ist das lineare Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) mit den Systemmatrizen

Es wird mit den in Abschnitt 1 . 7 bereitgestellten Mitteln gelost. Da dies ein sehr rechenintensiver Vorgang ist, muB man auf die Wirtschaftlichkeit achten, das heiBt, die Zahl der Freiheitsgrade sollte nicht unnotig groR sein. AuBer bei einfachen Feder-Masse-Systemen, benotigt man etwa funfbis zehnmal soviele Freiheitsgrade pro Richtung, wie man mechanisch verlaBliche, niedrige Eigenfrequenzen und Schwingungsformen in einer Struktur berechnen will. In einem dreidimensionalen Problem kommt man so in die GroBenordnung zwischen 100 und 1000 Freiheitsgraden fiir eine Eigenfrequenz! Nur wenn die Wellenlange der Eigenfrequenz deutlich groBer ist als die Wellenlange der Interpolationsansatze der aneinander gereihten Elemente, laBt sich eine getreue Abbildung erzeugen. A l l e hoheren Eigenfrequenzen, die in einem Berechnungsmodell ebenfalls auftreten, sind ungenau und haben nur den Zweck, die niedrigeren mit ausreichender Genauigkeit festzulegen. Um Rechenzeit zu sparen, berechnet man sie erst gar nicht. Aus dem Eigenwert-Algorithmus kehrt man dann im allgemeinen mit einer deutlich kleineren Zahl N von Eigenwerten und -vektoren zuriick als das Problem Freiheitsgrade hat.

Aus den Eigenwerten hk des linearen Eigenwertproblems (dies sind nicht die des quadratischen Problems ( 6 . 5 8 ) !) folgen also die Quadrate der Kreisfrequenzen und aus den Eigenvektoren die Schwingungsformen. Negative Eigenwerte entsprechen imaginaren Eigenfrequenzen, die mechanisch unsinnig sind. Unter solchen Umstanden muB nach den verursachenden Fehlern gesucht werden. Aus den Kreisfrequenzen folgen die Frequenzen

Die Periode einer Schwingung ist die Zeit bis zur Wiederkehr eines beliebig herausgegriffenen Schwingungszustandes. Sie folgt aus der Frequenz:

Die Eigenvektoren xik des linearen Eigenwertproblems liefern in ( 6 . 6 1) die Amplituden oder Schwingungsformen zu den Verschiebungen:

348

6. Lineare Dynamik

Dies ist der Realteil des allgemeinen Ansatzes ( 6 . 5 7 ) fur den Fall der ungedampften Schwingungen. Eine Schwingungsform wird auch als Mode bezeichnet (englisch: mode). Sie ist konstant, so daB fur jede Frequenz immer nur geometrisch ahnliche Zustande durchlaufen werden. Bei gedampften Schwingungen tritt dagegen ein zeitlicher Versatz beim Durchlaufen einer Periode auf. Im folgenden wird immer angenommen; daB die Eigenvektoren nach ( 1 . 1 6 5) orthonormiert wurden. Die Hauptachsen-Transformationen ( 1 . 1 6 7 ) und ( 1 . 1 6 8 ) sind dann

Als Beispiel sollen die unteren Frequenzen und Schwingungsformen des Fachwerks von Bild 6.9 in Abschnitt 6.2.6 berechnet werden. Die Steifigkeits- und MassenmatriZen K l l und Ml1 sind dort bereits angegeben. In der numerischen Berechnung werden die Vorfaktoren k und m weggelassen. Mit einer einfachen uberlegung kann man aus (6.59) und (6.65) herleiten. dafl sie durch

wieder eingefiigt werden, worin die gestrichenen Groflen ohne Vorfaktoren berechnet wurden. Die vier niedrigsten Kreisfrequenzen und die zugehorigen Schwingungsformen, berechnet mit der konsistenten Massenmatrix, sind wA

=

Jk/m

[ 0,00000

0,48132

0,75243

0,97122 ] ;

Bild 6.1 1: Eigenschwingungsformen (gestrichelt) des Fachwerks von Bild 6.9 In Bild 6.1 1 sind die Schwingungsformen der Struktur gezeigt. Da keine Auflagerung in der Horizontalen vorgesehen ist, ist die unterste Eigenfrequenz gleich null. Die zugehorige Schwingungsform ist eine Starrkorpertranslation, im engeren Sinne des

6.4 Eigenschwingungen

349

Wortes also k e i n e Schwingung. Wegen der Symmetrie der S t r u k t u r ergeben sich abwechselnd symmetrische u n d antisymmetrische Formen. Z u m Vergleich w e r d e n noch die Kreisfrequenzen f u r das F a c h w e r k rnit konzentriert e n Massen angegeben, die ebenfalls i m Beispiel von Abschnitt 6.2.6 b e r e c h n e t wurden. wA -

=

Jk/m

[ 0,00000

0340410

0,52517

0,83022 ]

Sie sind deutlich niedriger als vorher. Diese T e n d e n z w a r zu erwarten, w e i l die konzentrierten Massen die Massentragheitsmomente gegenuber den verteilten Massen erhohen. D a zudem die Stabelemente groR sind i m Verhaltnis z u m Fachwerk, ist die i n Abschnitt 6.2.2 geforderte Voraussetzung f u r die E i n f u h r u n g konzentrierter Massen n i c h t erfiillt. Dies e r k l a r t die GroBe des Fehlers.

6.4.2 ubungen u b u n g 6.16: Ein beidseitig eingespannter Langsschwinger sei durch q sionale Simplex-Elemente) modelliert.

+

1 gleiche Stabe (eindimen-

Berechnen Sie die Eigenfrequenzen n = f ( A ,E, 1, f u r q = 1, 2, 3 rnit Hilfe der konsistenten Massenmatrizen. W e l c h e n Endwerten streben die F r e q u e n z e n zu, w e n n q i m m e r groBer wird (Schatzung) ? u b u n g 6.1 7: Wiederholen Sie die B e r e c h n u n g von Aufgabe 6.16 f u r q = 1 rnit e i n e m Element rnit quadratischem Ansatz. Welche Beobachtung m a c h e n Sie ? u b u n g 6.18: Berechnen Sie die Grundschwingung (niedrigste nichtverschwindende Eigenfrequenz) eines ebenen Standard-Balken-Elements rnit konzentrierten Massen u n d vergleichen Sie das Ergebnis rnit

b e r e c h n e t rnit der konsistenten Massenmatrix. W e l c h e n SchluB k a n n m a n z i e h e n ? u b u n g 6.1 9: Die gezeigte Struktur aus vier gleichen Staben

wird durch blockdiagonale Steifigkeits- und Massenmatrizen beschrieben, w e n n die Freiheitsgrade i n der Folge

350

6. Lineare Dynamik

angeordnet werden. Die Teilmatrizen sind

a) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen und die zugehorigen, orthonormierten Schwingungsformen; b) Diskutieren Sie die Schwingungsformen; C) Bleibt die Blockdiagonalform der Steifigkeits- und Massenmatrix erhalten, w e n n die Struktur durch Diagonalstabe stabilisiert wird? u b u n g 6.20: F u r das gezeigte Lagrange-Element wurden die angegebene Steifigkeits- und Massenmatrix berechnet. 4 4 -26 -22 4 15 3 -15 3 44 4 -22 3 -15 -3 1 5 44 2 6 1 5 3 15 3 44 -3 15 3 -15 44 4 - 2 2 -26 4 4 -26 - 2 2 symmetrisch 44 4 44 4

2 4

1 2 4

symmetrisch

2 1 2 4

0 0 0 0 4

0 0 0 0 2 4

0 0 0 0 1 2 4

0 0 0 0 2 1 2 4

Mit Hilfe von einfachen geometrische uberlegungen und den Symmetriebedingungen wurden die folgenden, nichtnormierten Schwingungsformen gewonnen:

Weisen Sie nach, daR dies i n der Tat die wirklichen Schwingungsformen sind, normieren Sie diese und berechnen Sie die Eigenfrequenzen. u b u n g 6.2 1: Geben Sie den Bereich (negativ, null, positiv, unendlich) der Eigenwerte A = w 2 f u r die Eigenschwingungen der ebenen Lagrange-Elemente mit konzentrierten Massen an, f u r ein a) 6-Punkt-Dreiecks-Element (Beispiel Abschnitt 4.2.2, bzw. 6.2.3); b) 8-Punkt-Serendipity-Element (Beispiel Abschnitt 4.2.4, bzw. 6.2.3); C) 9-Punkt-Produkt-Element (Abschnitt 4.2.3, bzw. u b u n g 6.6).

6.5 Erzwungene Schwingungen

351

6 -5 Erzwngene Schwingungen Im vorhergehenden Abschnitt wurden Schwingungen ohne Einwirkung auBerer Krafte behandelt. Hier sol1 nun das Schwingungsverhalten unter ausschlieBlicher Einwirkung auBerer Anregungen betrachtet werden. Um den Aufwand gering zu halten, werden zwei Vereinbarungen uber die Anregungen getroffen: Sie sollen periodische Funktionen der Zeit sein; - hinreichend lange gewirkt haben, um die Struktur in einen eingeschwungenen Zustand zu versetzen. -

Periodische Anregungen konnen beliebige, wiederkehrende Funktionen sein. Durch eine Fourier-Transformation lassen sie sich in eine endliche oder unendliche Reihe von harmonischen Anregungen verwandeln. Diese Transformation wird hier jedoch nicht behandelt. Es wird nur ein Glied solch einer Reihe mit einer willkurlich herausgegriffenen Kreisfrequenz R als Anregung vorgesehen. Da die betrachteten Systeme linear sind, lassen sich die Ergebnisse fur Anregungen mit unterschiedlichen Frequenzen additiv uberlagern. Durch diese Superposition kann man theoretisch beliebige periodische Anregungen abbilden. Praktisch stoBt dieses Vorgehen an Grenzen, die durch den Aufwand und die numerische Genauigkeit gegeben sind.

6.5.1 Eingeschwungener Zustand Im Zusammenhang mit der Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) wurde festgestellt, daB sich die Losung aus dem harmonischen oder Eigenschwingungsanteil und dem partikularen oder Erregungsanteil zusammensetzt. Beim Beginn einer harmonischen Anregung mit der Kreisfrequenz R besteht die Antwort einer Struktur zunachst vorwiegend aus Schwingungsanteilen mit den Eigenfrequenzen w. Durch die real immer vorhandene Dampfung wird diesen jedoch Energie entzogen, wahrend dem Erregungsanteil standig von auBen neue Energie zugefuhrt wird. Nach einer hinreichend langen Einschwingzeit stellt sich ein Gleichgewichtszustand zwischen Erregung und Antwort ein, in dem nur noch die Erregerfrequenz R anzutreffen ist. Die GroBen in diesem stationaren Zustand sollen im folgenden berechnet werden. Fur die Verschiebungen und Krafte werden folgende Ansatze gemacht:

352

6. Lineare Dynamik A

A

Hierin sind UA und FA die Scheitel- oder Maximalwerte der Verschiebungen und Krafte, die stets als positiv angegeben werden sollen; $A und yA sind die zugehorigen Phasen- oder Voreilwinkel; R ist die ErregerKreisfrequenz und t die Zeit. Bild 6 . 1 2 gibt einen ~ b e r b l i c kfur die Verschiebungen.

tu

Bild 6.12: Zeitlicher Verlauf einer Verschiebung.

Anstelle des Cosinus konnte in ( 6 . 6 7 ) und ( 6 . 6 8 ) ebenso gut der Sinus verwendet werden. Dadurch verandert sich lediglich der Zeitpunkt t = 0 oder der Phasenwinkel. Fur die folgenden Herleitungen ist jedoch die eine oder andere Festlegung unerlaBlich. Es wurde die gebrauchlichere gewahlt. Der Ansatz fur die Verschiebungen ( 6 . 6 7 ) hat fiir jeden Freiheitsgrad die Form eines ebenen Vektors mit der GroBe UA und der Richtung $A. Entsprechendes gilt fur die Krafte. Fur numerische Berechnungen ist es weitaus zweckmaBiger, eine Darstellung mit Komponenten zu benutzen. Mit dem Additionstheorem fur die Cosinusfunktion erhalt man aus ( 6 . 6 7 ) un d ( 6 . 6 8 ) A

A

UA

=

UA ( cos R t cos +A - sin 0 t sin

FA

=

FA ( cos O t cos pA

@A)

,

A

-

sin R t sin yA ) .

Die zeitunabhangigen Teile werden herausgezogen und benannt. A

A

U~ (1>

=

U

A

cos $A ;

U ~ ( 2 )=

=

F ~ ( l )

(6.6 9)

UA sin +A A

A

FA cos pA .

FA(2)

=

FA sin yA ; ( A

=

1...N)

Damit erhalt man anstelle von ( 6 . 6 7 ) und ( 6 . 6 8 ) UA - UA(l) cos a t

FA

= FA(l)

-

cos R t -

UA(2, sin R t ;

F ~ ( 2 )

sin a t ; ( A = 1 . . . N ) .

(6.70)

6.5 Erzwungene Schwingungen

353

Diese Darstellung enthalt nur reelle Zahlen. In der klassischen Mechanik werden dagegen komplexe Zahlen verwendet, so daR die Cosinus- und 2 ) als Real- und Sinusanteile UA( und U ~ ( 2 Oder ) F ~1 )( und Imaginarteil der Verschiebungen, beziehungsweise Krafte auftreten. In Bild 6 . 1 3 ist der geometrische Zusammenhang fur die Verschiebungen gezeigt. Dies laBt sich leicht als eine Darstellung in der komplexen Zahlenebene deuten.

Bild 6.13: Zusammenhang zwischen den Verschiebungskomponenten U( Scheitelwert

u

und dem Phasenwinkel

+.

U( 2 ) , dem

Damit sind die Vorbereitungen beendet. Um nun den Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und Kraften herzustellen, wird (6.7 1 ) mit seinen Zeitableitungen und (6.7 2 ) in die Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) eingesetzt. Es folgt:

F~

(1)

cos R t =

-

z[ -

F A ( 2 ) sin R t

flZA,fAB

B

(

u B ( lcos ) Rt

-

DAB(u.(i)

+

KA'as(uB(l)

-

U B ( 2 )sin R t )

sin R t

+ U B ( 2 ) cos R t )

cos ~t

-

u

~sin ~~ t )~. ] ,

Wahlt man hierin einen beliebigen Zeitpunkt t: dann entsteht ein Gleichungssystem, das N Verschiebungs- und Kraft-Komponenten miteinander in Beziehung setzt. Wegen der Aufteilung in Sinus- und Cosinus-Anteile ist deren Zahl aber 2N. Zur ihrer Bestimmung benotigt man also noch einmal N Gleichungen, die fur einen anderen Zeitpunkt gewonnen werden mussen. Fiir R t = 0 und R t = - d 2 entstehen die zusammengefaRten Gleichungen in symbolischer Matrizen-Schreibweise:

Dies ist ein lineares Gleichungssystem der GroBe 2N, das den Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und Kraften an einer mit der Frequenz

354

6. Lineare Dynamik

R eingeschwungenen Struktur beschreibt. D a dies ein stationarer Zustand ist, erscheint die Zeit nicht in den Gleichungen. Man spricht hier von einer Abbildung im Frequenzbereich im Gegensatz zum Zeitbereich der Bewegungsgleichung (6.1). Als Beispiel sol1 ein eindimensionales Simplex-Element dienen. Die Vorfaktoren der Steifigkeits- und Massenmatrizen werden gleich eins gesetzt und die Dampfungsmatrix proportional zur Steifigkeitsmatrix angenommen.

Das Gleichungssystem (6.73) ist dann

Die zu einem Freiheitsgrad gehijrigen Sinus- und Cosinus-Anteile wurden jeweils beieinander angeordnet.

6 . 5 . 2 Randbedingungen und Lijsung Zur Einfuhrung der Randbedingungen werden die GroBen im Gleichungssystem (6.7 3) zusammengefaBt. In symbolischer Matrizenschreibweise sieht das so aus:

m

Hierin wird K als dynamische Steifigkeits-Matrix bezeichnet. Nach der Zusammenfassung ist (6.7 3) 'Y

m

m

F = KU. Dies ist ein Kraft-Verschiebungsgesetz der Form ( 3 . 1 9), so daB die Losung, wie fur die Statik in Abschnitt 3.2 beschrieben, vorgenommen werden kann. Die Definition der Randbedingungsklassen bleibt unverandert. Aus der Verschiebungs-Transformation ( 3 . 2 0 ) wird

Dies wurde in Index-Schreibweise ausgeschrieben, um folgendes zu zeigen: Die Umordnung in die Randbedingungsklassen erfolgt unabhangig davon, ob der Cosinus-Anteil ( r = 1) oder der Sinus-Anteil ( r = 2) betroffen sind.

355

6.5 Erzwungene Schwingungen

Das heiBt, Cosinus- und Sinus-Anteil (Real- und Imaginarteil) ein und desselben Freiheitsgrades fallen in die gleiche Randbedingungsklasse. Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade bleibt unverandert, wie in ( 3 . 2 1 ) festgelegt, und auch die Definition ( 3 . 2 2) der Klassen-Umordnungsmatrix bleibt die gleiche. Die Transformation der dynamischen Steifigkeitsmatrix entspricht (3.23):

Die Indizes r und s kennzeichnen die Untermatrizen der dynamischen Steifigkeits-Matrix aus ( 6 . 7 4 ) . Hinter der Menge der Indizes verbirgt sich die einfache Tatsache, dal3 lediglich eine Umsortierung von Zeilen und Spalten gemeint ist. Das dynamische Kraft-Verschiebungsgesetz (6.7 5) ist dann, ausgeschrieben fur die zwei ,,Standard-Randbedingungsklassen<(in symbolischer Matrizenschreibweise

Die Randbedingungsklasse 1 enthalt die Freiheitsgrade der bekannten Krafte. Die Klasse 2 umfaJ3t die bekannten Verschiebungen, die in der Dynamik als Fuh'punkt-Erregungen bezeichnet werden. Die unbekannten Verschiebungen m sind aus der ersten Zeile zu bestimmen:

u1

i l l

61

-

p* 1

-

K~~ m

G2

(6.7 9 ) m

Die Auflager- oder Reaktionskriifte p2 folgen aus der zweiten Zeile:

Die Gleichungen (6.7 8 ) bis ( 6 . 8 0 ) entsprechen ( 3 . 2 5), ( 3 . 2 6) und ( 3 . 2 9 ) aus der Statik. Sie gehen in diese uber, wenn die Frequenz R null wird. Das lineare Gleichungssystem (6.7 9 ) ist losbar, wenn det I?'

f

0.

(6.8 1)

Diese Bedingung ist auch ohne Auflagerung immer erfullt, wenn eine dissipative Dampfung vorliegt. Mechanisch gesehen bedeutet dies, daR die Schwingungsausschlage endlich bleiben. Nichtdissipative Dampfungen werden zum Beispiel durch Kreiselkrafte, Gleitlager oder aerodynamische Erregung verursacht. Es entstehen dann schiefsymmetrische Anteile in der Dampfungsmatrix, die Anfachungen der Schwingungsausschlage zur Folge

356

6. Lineare Dynamik

haben konnen. Die Ausschlage nehmen beliebig groBe W e r t e an, wenn die Determinante ( 6 . 8 1) null wird. m

Wie man an ( 6 . 7 4 ) sehen kann, ist die dynamische Steifigkeits-Matrix K nur dann symmetrisch, wenn die Dampfungsmatrix schiefsymmetrisch ist. Dies entspricht nicht dem Normalfall der Strukturdynamik, wo symmetrische Dampfungsmatrizen die Regel sind. Zur Vereinfachung der Gleichungslosung 1aBt sich eine symmetrische Matrix erzeugen, wenn man in der zweiten Matrizenzeile die Vorzeichen umkehrt. Es kann dann das Gleichungssystem mit der modifizierten Koeffizientenmatrix

gelost werden. Passend dazu mussen aber auch die Vorzeichen der zugehijrigen Krafte umgekehrt werden! Als geeigneter Dreieckszerlegungs-Algorithmus bietet sich ( 1 . 1 0 9 ) an. Die Koeffizientenmatrix ist jedoch indefinit, wie man an den unterschiedlichen Vorzeichen der Diagonalblocke erkennen kann. Der aus der Vereinfachung von ( 1 . 1 0 9 ) hervorgehende Cholesky-Algorithmus ist also nicht verwendbar, weil e r nur fur positiv definite Matrizen gilt. Fiir die statische Losung wurde in den Unterabschnitten 3.2.4 und 3.2.5 die Elimination von Freiheitsgraden und die Abspaltung von starren Auflagern besprochen. Eine Elimination kommt hier kaum in Betracht, weil sie immer nur fur eine einzelne Erregerfrequenz gelten kann. Berechnungen mit sehr vielen unterschiedlichen Frequenzen sind aber die Regel. Dagegen lassen sich starre Auflager genau so behandeln wie in der Statik: Wenn man nicht an den Auflagerkraften interessiert ist, konnen die betreffenden Freiheitsgrade schon bei dem Zusammenbau der Matrizen weglassen werden. Nach beendeter Durchrechnung wird man die Verschiebungs- und Kraftkomponenten in ihre Scheitelwerte und Phasenwinkel umrechnen wollen. Die Umkehrung von (6.6 9 ) ist

Der Phasenwinkel wird hierdurch in den Bereich von Die Umkehrung von (6.7 0) liefert fur die Krafte

-

n bis

+

n gelegt.

6.5 Erzwungene Schwingungen

357

F u r das Beispiel aus dem vorhergehenden Abschnitt wird die Erregerfrequenz

n

=

41 2

2 gewahlt. Dies ist die Eigenfrequenz des am Punkt 2 aufgelagerten Elements. Das Gleichungssystem (6.73) ist dann

n Freiheitsgrad 1 sol1 Dies ist zugleich auch das ausgeschriebene System (6.75) eine Kraft- und i m Freiheitsgrad 2 eine Verschiebungs-Erregung angebracht werden.

Durch die Umrechnung i n die Cosinus- und Sinusanteile von (6.69) und (6.70) ergibt sich:

Dies sind die vorgegebenen Erregungen i n dem durch die Randbedingungsklassen unterteilten Gleichungssystem (6.78). Sie werden oben i n die Matrizen-Gleichung eingesetzt. Die dort eingefugten Unterteilungen entsprechen bereits den Randbedingungen. Ein Umsortieren nach (6.76) und (6.77) ist mithin unnotig. Durch Auflosen von (6.79) und Wiedereinsetzen i n (6.80) erhalt m a n

Die Dampfung verschwindet f u r cr = 0. Damit streben die Antworten gegen unendlich. Dies ist die Folge davon, daR die Erregerfrequenz mit einer Eigenfrequenz ubereinstimmt. Dies wird als Resonanz. bezeichnet. Die Dampfung sei durch cr

=

gegeben. Die Antworten sind dann

d?/4

Die zugehorigen Scheitelwerte und Phasenwinkel folgen aus (6.83) und (6.84)

fil

=

abs J6

+

(-3)2

3

=

45

=

6,70820

-

3,

=

sgn ( - 3 ) cosP1( 6 / 3 4 5 )

=

abs 4 ( - 1 0 ) ~+ 3 '

=

=

--

4 G

0,14758 =

n

10,4403

358

6. Lineare Dynamik

In den folgenden Bildern sind die Systemantworten (Frequenzgange) f u r die Erregerfrequenzen von R = 0 bis 1,2 und den Dampfungsfaktor cr = J y / 4 gezeigt.

Bild 6.14: Verschiebungen und Phasenwinkel uber der Erregerfrequenz am krafterregten Freiheitsgrad des Beispiels; Verlauf der Determinante (6.8 1) der dynamischen Steifigkeitsmatrix.

Bild 6.15: Krafte und Phasenwinkel uber der Erregerfrequenz a m verschiebungserregt e n Freiheitsgrad des Beispiels.

6.5.3 Ungedampfte Schwingungen Obwohl die Dampfung dafur verantwortlich ist, daB sich der eingeschwungene Zustand einstellen kann und daB die Schwingungsausschlage in Grenzen bleiben, wird sie zur Vereinfachung der Berechnungen vielfach weggelassen. Die Voraussetzung hierfur ist naturlich, daB die Dampfung relativ klein ist. Die Berechnungsergebnisse stimmen sehr gut mit denen uberein, die mit Dampfung gerechnet werden, allerdings mit einer wichtigen Ausnahme: Wenn die Erregerfrequenz in die unmittelbare Nahe einer Eigenfrequenz kommt, treten sehr groRe Schwingungsuberhohungen auf. Nur bei diesem als Resonanz bekannten Phanomen ist auch eine kleine Dampfung von ausschlaggebender Bedeutung.

6.5 Erzwungene Schwingungen

359

In der Praxis ist man an sogenannten Frequenzgangen interessiert. Dies sind die Systemantworten uber einen gegebenen Bereich von kontinuierlich verlaufenden Erregerfrequenzen. Sehr viele Einzelberechnungen mit mehr oder weniger gleichmaBig verteilten Erregerfrequenzen sind erforderlich, um eine gute Naherung an einen kontinuierlichen Verlauf zu erzeugen. Die Mehrzahl dieser Berechnungen wird man ohne den EinfluB der Dampfung durchfiihren, weil dies wirtschaftlicher k t . Danach werden die Resonanzspitzen gezielt noch einmal mit Dampfung nachgerechnet. Die Ergebnisse beider Berechnungsmethoden lassen sich dann zu einem korrigierten Frequenzgang vereinigen. Aus dem Gleichungssystem (6.7 3) wird bei Vernachlassigung der Dampfung

Anstelle eines Gleichungssystems der GroBe 2N treten hier zweimal N Gleichungen auf. Der Losungsaufwand wird dadurch erheblich verringert. Nach Einfuhrung der Randbedingungsklassen ergibt sich anstelle von ( 6 . 7 9 ) und ( 6 . 8 0 )

Diese Gleichungen sind je einmal fur r = 1, 2 zu durchlaufen, um die Cosinus- und Sinusanteile zu bestimmen. Die Losbarkeitsbedingung ist det

(K- R 2 M ) l l

Z 0

Sie ist immer dann nicht erfullt; wenn die Erregerfrequenz R gleich einer Eigenfrequenz w k t , denn diese bestimmt sich ja gerade aus der Bedingung, daB die Matrix ( K - R 2 M ) l l singular wird. Diese Eigenfrequenzen beziehen sich auf die Freiheitsgrade der Klasse 1, das heiBt, sie gelten fur die in den Freiheitsgraden der Klasse 2 aufgelagerte Struktur, gleichgiiltig, ob diese Auflagerungen fest oder beweglich sind. Fur die praktische Anwendung ist es auBerordentlich wichtig, das Verhalten einer Struktur in der Nahe einer Resonanz vorherzusagen. Bevor jedoch diese etwas verwickelten Zusammenhange untersucht werden, sol1 zunachst ein einfaches Beispiel gebracht werden, an dem die meisten der zu diskutierenden Vorgange anschaulich gezeigt werden konnen.

360

6. Lineare Dynamik

In Bild 6.16 ist ein Stabwerk gezeigt, dessen parallele Freiheitsgrade 2 und 3 z u r Verdeutlichung nebeneinander gezeichnet wurden.

Bild 6.16: Eindimensionales Stabwerk als Beispiel mit einer doppelten Eigenfrequenz. Die Vorfaktoren der Steifigkeits- und Massenmatrix werden gleich eins gesetzt. Es ist dann

Die Quadrate der Eigenfrequenzen und die zugehorigen orthonormierten Schwingungsformen sind (0' und D3 i n willkurlicher Lage i n ihrem Unterraum):

In allen vier Freiheitsgraden sollen Krafte aufgebracht werden: das heirjt, sie sollen z u r Randbedingungsklasse 1 gezahlt werden. Dieser Randbedingungsindex wird i m folgenden z u r Vereinfachung weggelassen. Das Beispiel ist klein genug, um die allgemeine Losung herzuleiten. Dies ist naturlich f u r die systematische Untersuchung am vorteilhaftesten. Die Losung von (6.86) ist:

c

=

(4 n 2 ) ) / -

i + n 2 )

(c)

F u r die Berechnung der Verschiebungen werden folgende Erregerkrafte und ihre Phasenwinkel, beziehungsweise die Cosinus- und Sinusanteile nach (6.701, gewahlt:

6.5 Erzwungene Schwingungen

361

In den Bildern 6.17 u n d 6.18 sind die Scheitelwerte und P h a s e n w i n k e l der Verschieb u n g e n f u r die Freiheitsgrade 1 und 2 aufgetragen. F u r d e n Freiheitsgrad 3 sind diese identisch mit d e n e n v o n 2 u n d f u r den Freiheitsgrad 4 mit denen von 1, auRer ist. U m den EinfluB e i n e r daR der Phasenwinkel G4= 7 d 2 - GI oder G4=- 3/27cP s c h w a c h e n D a m p f u n g zu zeigen, wurde eine proportionale D a m p f u n g n a c h (6.55) mit d e n Faktoren cr = 8 = 0,05 z u m Vergleich hinzugefugt.

,

gedampft

Bild 6.17: Scheitelwerte

fi u n d

Phasenwinkel $ i m Freiheitsgrad 1.

Bild 6.18: Scheitelwerte

fi u n d

Phasenwinkel

L)

im Freiheitsgrad 2.

Zunachst e r k e n n t m a n a n den Bildern, daR sich der EinfluR e i n e r s c h w a c h e n Dampfung, wie eingangs des Abschnittes 6.5.3 behauptet, n u r i n der Nahe der Eigenfrequenzen bemerkbar macht: Die Amplituden der Schwingungsausschlage bleiben begrenzt u n d die Sprunge der Phasenwinkel w e r d e n zu k o n t i n u i e r l i c h e n u b e r g a n g e n modifiziert. So verhalt sich e i n mechanisches System. Ein ungedampftes System ist eine mathematische Fiktion, aber f u r die qualitative Beurteilung auRerordentlich hilfreich.

Mit dem Beispiel vor Augen sollen nun die Vorgange bei der Annaherung an eine Resonanz besprochen werden. Urn die Diskussion nicht zu iiberladen, werden hier, wie in dem Beispiel auch, nur Freiheitsgrade der Klasse 1

362

6. Lineare Dynamik

behandelt, das heiBt solche, in denen die Erregerkrafte gegeben sind und die Verschiebungen berechnet werden. Wie man an ( 6 . 8 7 ) sehen kann, haben diese Verschiebungen wiederum Auswirkungen auf die Reaktionskrafte, die sich im Prinzip ahnlich verhalten, wie die hier zu diskutierenden Verschiebungen. Im Abschnitt 6.5.4 wird dasselbe Beispiel noch einmal einschlieBlich der Reaktionskrafte bei einer FuBpunkterregung behandelt. Am auffalligsten sind die Schwingungsiiberhohungen. Sie entstehen dadurch, daB die Matrix ( K - R 2 M)" einer Singularitiit entgegenlauft, so daB die Losung von ( 6 . 8 6) schlieJ3lich zu beliebig groBen Werten fuhrt. Die Gleichung ( 6 . 8 6 ) entartet zu einem homogenen Gleichungssystem ( 1 . 1 1 7 ) , da die Erregung auf der rechten Seite numerisch vernachlassigbar wird. Die Losung ist dann ein beliebiges Vielfaches der Eigenschwingungsform 0 der angeregten Eigenfrequenz w. Unter bestimmten Umstanden bleiben Schwingungsausschlage auch endlich, obwohl die Erregerfrequenz mit einer Eigenfrequenz ubereinstimmt. Dies trifft zu fur einzelne Freiheitsgrade, wenn die angeregte Schwingungsform Nullstellen oder Knoten besitzt, die genau auf diese Freiheitsgrade fallen. Es gilt fiir alle Freiheitsgrade oder Teilbereiche, wenn die Erregung orthogonal auf der angeregten Eigenschwingungsform ist. F u r die Resonanz i n den Eigenfrequenzen wl und w4 zeigt das Beispiel die geschilderte Schwingungsuberhohung i n allen Freiheitsgraden. F u r die erste Eigenfrequenz ist der Faktor c = 1 / a i n Gleichung (c). Aus dem Gleichungssystem ( a ) wird damit

H i e r i n steht U , f u r e i n e n beliebig groBen Faktor. Die Spalten (oder Zeilen) der Eine beliebige Erregung FA(=) Matrix sind proportional z u r Schwingungsform 0%. m u 8 also Verschiebungen erzeugen, die ebenfalls proportional zu Dl sind. Eine A u s n a h m e macht n u r e i n e Erregung, die orthogonal auf Dl ist, also z u m Beispiel proportional zu D2;die Verschiebungen bleiben d a n n endlich. F u r die Resonanz mit der doppelten Eigenfrequenz w ( a ) wird dann

~ w i,r d ~ der Faktor c

=

0. A u s

Die Spalten (oder Zeilen) sind n u n proportional zu den Schwingungsformen D2 oder D3.Eine beliebige Erregung k a n n e i n e Kombination der Schwingungsformen O2 u n d D3 anregen. D i e vorgegebene Erregung ( d ) ist aber orthogonal auf D3,so daB

6.5 Erzwungene Schwingungen

363

sich n u r O 2 bemerkbar macht. In den Freiheitsgraden 2 u n d 3 ist D2 gleich null, so daR diese Verschiebungen k e i n e u b e r h 6 h u n g e r f a h r e n , wie m a n i n Bild 6.18 sehen kann.

Ein weiteres Merkmal der ungedampften Schwingungen sind die abrupten Phasenspriinge der Verschiebungen. Zu ihrer Erklarung wird die Losung von ( 6 . 8 6) mit der Cramerschen Regel ( 1 . 8 2 ) betrachtet.

Die Determinante im Nenner wechselt beim Durchlaufen einer Resonanz in einer einfachen Eigenschwingung ihr Vorzeichen, wahrend das algebraische Komplement im Zahler kaum verandert wird. Infolgedessen wechseln die Cosinus- und Sinusanteile der Verschiebungen UA(l) und UA(2) bei gleichbleibender Erregung ebenfalls ihre Vorzeichen. Aus (6.6 9 ) ist ersichtlich, daB sich dann die Vorzeichen von cos +A und sin $A umkehren, was wiederum eine Anderung des Phasenwinkels um den Betrag T bedeutet. Dies ist der Phasensprung! Das Verhalten beim Durchlauf durch eine mehrfache Eigenfrequenz ist dasselbe wie bei einer einfachen, nur die Begrundung ist etwas komplizierter. Als Modellfall sol1 eine doppelte Eigenfrequenz diskutiert werden. Die Determinante beruhrt den W e r t null, wechselt aber ihr Vorzeichen nicht. Dafur verandert aber der Zahler sein Vorzeichen, so daB doch eine Umkehrung der Verschiebungsanteile eintritt mit der Konsequenz eines Phasensprungs mit dem Betrag r. Mechanisch gesehen passiert folgendes: Abhangig von der Erregung wird in der Resonanz eine Kombination der mehrfachen Schwingungsformen angeregt. Die verbleibenden Schwingungsformen sind orthogonal hierauf, und erhalten keine Anregung. Damit ist aber die Situation die gleiche wie bei einer einfachen Eigenfrequenz. Eine Resonanz muB nicht in allen Freiheitsgraden von einem Phasensprung begleitet werden. Wenn die Verschiebungen in einem Freiheitsgrad endlich bleiben, weil dort die angeregte Schwingungsform null ist, andert sich die Phasenlage nicht. Andererseits kann ein verdeckter Phasensprung vollig unabhangig von einer Resonanz dann auftreten, wenn in einem Freiheitsgrad die Verschiebungen durch null gehen. D e r Freiheitsgrad befindet sich in Ruhe, aber der Phasenwinkel andert sich um den Betrag r. In Bild 6.17 ist zu sehen, daR im Freiheitsgrad 1 des Beispiels bei jeder Resonanz die beschriebenen Phasenspriinge auftreten. A n den Gleichungen ( a ) und ( b ) k a n n m a n ablesen, warum. In der Resonanz mit der e r s t e n u n d der vierten Eigenfrequenz wechselt die Determinante i h r Vorzeichen, weil ( w12- n 2 ) : beziehungsweise (w& n 2 ) durch n u l l geht. Bei der doppelten Eigenfrequenz w ~ kiirzt , ~ sich der

364

6. Lineare Dynamik

Faktor ( w 2 , 3 2 - n 2 )= ( 1 / 2 - n 2 )in der Determinante einmal weg, so daR auch hier wieder ein Vorzeichenwechsel erfolgt. Alle Resonanzen bieten also im Freiheitsgrad 1 dasselbe Bild. Im Gegensatz dazu bleibt im Freiheitsgrad 2 in Bild 6.13 bei der Resonanz mit w 2 , 3 der Phasensprung aus, weil die angeregte Schwingungsform hier den Wert null hat.

In der Praxis tritt immer wieder das Problem auf, daB Eigenfrequenzen sehr eng beieinander liegen. MuB man diese als mehrere einfache oder als eine mehrfache Eigenfrequenz behandeln? Bei genauerer Betrachtung stellt sich heraus, daB die Frage ziemlich unwichtig ist. Wenn Eigenfrequenzen durch Anderung kleiner Parameter zusammen- oder auseinanderlaufen, dann ist dies ein ausgesprochen gutartiger Vorgang. Insbesondere unterliegen die Phasenspriinge keinen abrupten Anderungen. Es ist also in erster Linie eine Frage der Genauigkeit der Darstellung, fur welche Moglichkeit man sich entscheidet. Bild 6.19 zeigt eine Struktur, an der sich das Phanomen beinahe gleicher Eigenschwingungs-Frequenzen sehr einfach darstellen 1aRt.

Bild 6.19: Ebenes Stabwerk zur Darstellung des uberganges von einer doppelten zu zwei einfachen Eigenschwingungen. Die Steifigkeiten der Stabe sollen geringfiigig differieren, wahrend die Massen gleich sind.

Die Eigenfrequenzen und die nichtnormierten Schwingungsformen sind

Als Erregung wird eine umlaufende Kraft angenommen

In Bild 6.20 sind die Antworten des Systems ohne und mit unterschiedlicher Steifigkeit der Stabe aufgetragen. In der ungestorten Struktur sind die Scheitelwerte der Verschiebungen in beiden Freiheitsgraden gleich, wahrend die Phasenwinkel entsprechend der Erregung um 7r/2 gegeneinander versetzt sind. Nach einer Veranderung der Steifigkeiten durch den Parameter k > 0 verschiebt sich im Freiheitsgrad 2 die uberh6hung der Verschiebungen nach w l und im Freiheitsgrad 1 nach w 2 . Die zugehorigen Phasen-

365

6.5 Erzwungene Schwingungen

Bild 6.20: Scheitelwerte der Verschiebungen und Phasenwinkel fiir die ungestorte Struktur ( k = 0 ) mit zweifacher Eigenfrequenz und die gestorte Struktur ( k mit zwei einfachen Eigenfrequenzen.

=

0:1)

sprunge machen diese Verschiebungen mit. Warum die Verschiebungen nicht jeweils in beiden Eigenfrequenzen gegen unendlich streben, erklart sich aus den Schwingungsformen: Die erste ist null im ersten Freiheitsgrad die zweite ist null im zweiten. Also kann bei der ersten Eigenfrequenz nur eine ~ b e r h o h u ngegen ~ unendlich fur den zweiten Freiheitsgrad stattfinden und fur die zweite Eigenfrequenz nur im ersten. Je naher die Eigenfrequenzen aneinanderrucken: desto weniger unterscheiden sich die Verschiebungen und Phasenwinkel in den einzelnen Freiheitsgraden. Der ubergang ist kontinuierlich. Allerdings sind die Systemantworten sehr stark von der Erregung abhangig, weil nicht nur eine, sondern eine Kombination von mehreren Schwingungsformen angeregt wird.

6.5.4 Phasengleiche Erregung In den bis hierhin gebrachten Herleitungen sind beliebige Phasenwinkel der Erregungen und Antworten vorgesehen. Es kommt jedoch haufig vor, daB die Erregungen in allen Freiheitsgraden die gleiche Phasenlage aufweisen oder allenfalls um eine halbe Umdrehung, das heiBt um den Winkel T, gegeneinander versetzt sind. Die sich daraus ergebenden Vereinfachungen sollen im folgenden untersucht werden. Der Zeitpunkt t = 0 wird so festgelegt, daB der Sinus der Phasenwinkel samtlicher Erregungen null wird. In symbolischer Schreibweise ist dies

366

6. Lineare Dynamik

Damit konnen die Phasenwinkel die W e r t e null oder x annehmen. Mit (6.6 9) und (6.7 0) folgt fur die Erregungen

Das positive Vorzeichen gilt fur einen Phasenwinkel null, das negative fur x. Fur gedampfte Systeme ergeben sich hiermit keine prinzipiellen Vereinfachungen. Obwohl in (6.7 8) der Sinus-Anteil der Erregungen null ist, verschwindet der Sinus-Anteil der Antworten nicht. Anders ist dies fur ungedampfte Systeme. In (6.8 5) sind mit r = 2 entweder die Sinus-Anteile auf der linken oder der rechten Seite als null gegeben. Die zugehorigen Antworten werden dann ebenfalls null. Damit kommt man zur Aussage, daB alle Sinus-Anteile verschwinden. sin q,

=

0 ;

sin

+

=

0

(6.9 1)

Das Gleichungssystem ( 6 . 8 5 ) muB nur noch mit r = 1 fur die CosinusAnteile gelost werden. Die so berechneten Losungen kann man mit (6.8 3) und (6.8 4 ) oder besser noch durch die Umkehrung von (6.6 9) und (6.7 0) auf die Scheitelwerte und die Winkel umrechnen:

Je nachdem, ob die Verschiebungen U und die Krafte F fl) positiv oder negativ sind, ergeben sich so die Phasenwinkel null oder x. In Bild 6.21 ist noch einmal die Struktur von Bild 6.16 gezeigt. D e n bisherigen Auflagern sind jetzt die Freiheitsgrade 5 und 6 zugewiesen.

Bild 6.21: Eindimensionales Stabwerk als Beispiel mit e i n e r FuBpunkt-Erregung. Die Steifigkeits- und Massenmatrix, unterteilt nach Randbedingungsklassen, sind:

6.5 Erzwungene Schwingungen

1 0 0 0

0 0 0 1

2 0

0 2

-

367

.

-

Die Eigenfrequenzen und -schwingungsformen beziehen sich n u r auf die Freiheitsgrade der Klasse 1. Sie sind also identisch mit denen der Struktur von Bild 6.16. 2 Z u r Erregung werden die Verschiebungen u ~ := ~ U 5)( = 1 und U 2 ( = U 6 ( = 1 vorgegeben. Die beiden FuRpunkt-Erregungen sind also um den Winkel 7(- gegeneinander versetzt, wie das laut (6.90) moglich ist. Die Ergebnisse f u r die Freiheitsgrade 1 und 5 sind i n den folgenden Bildern aufgetragen. -

Bild 6.22: Verschiebung und Phasenwinkel im Freiheitsgrad 1

@2,3

Bild 6.23: Reaktionskraft und Phasenwinkel im Freiheitsgrad 5. In Bild 6.22 erscheint die iibliche ~ b e r h o h u neiner ~ Verschiebung i n einer Resonanz. ~ , die erste und Diese bezieht sich allerdings n u r auf die Eigenfrequenz G J ~ , weil vierte Eigenfrequenz nicht durch die gegebene Erregung angefacht werden. InfolgeIn Bild 6.23 findet m a n die dessen findet sich e i n Phasensprung auch n u r bei 02,3

368

6. Lineare Dynamik

gleiche Art der ~ b e r h o h u nu~n d Phasensprung f u r e i n e Auflagerkraft. Zusatzlich durch t r e t e n aber noch zwei weitere Phasensprunge auf, weil der Cosinusanteil F( n u l l g e h t und F ( 2 ) sowieso w e g e n der phasengleichen Erregung i m m e r n u l l ist. Dieses P h a n o m e n wurde i m vorhergehenden Abschnitt als verdeckter Phasensprung beschrieben. Offensichtlich ist es n i c h t a n die Eigenfrequenzen des Systems gebunden.

6.5.5 ubungen u b u n g 6.22: A n e i n e m Kragbalken wird durch e i n e n konzentrierten Dampfer e i n e aerodynamis c h e D a m p f u n g simuliert. Die Systemmatrizen sind:

= 0 Im Freiheitsgrad 1 wird e i n e Erregerkraft F = 1 mit dem Phasenwinkel aufgebracht. Berechnen Sie die Verschiebungen und d e r e n Phasenwinkel i n der Resonanz mit der ersten Eigenfrequenz.

u b u n g 6.23: Ein eindimensionales Simplex-Element wird als f r e i e r Schwinger betrachtet ( n u r Freiheitsgrade der Klasse 1). D i e Steifigkeits- und Massenmatrizen sind

K o n n e n die Verschiebungen infolge von endlichen Erregerkraften uber alle G r e n z e n anwachsen, w e n n die Erregerfrequenz R groDer als n u l l ist und die Dampfungsmatrix folgenden Aufbau h a t a ) DAB = a K A B

+

P MAB ;

3

P > 0 ;

u b u n g 6.24: U m zu entscheiden, w e l c h e r Anteil e i n e r proportionalen Dampfungsmatrix

D

=

mK

+

PM

bei h o h e r e n F r e q u e n z e n e i n e n dominierenden EinfluR auf das Schwingungsverhalten ausiibt, wird aus ( 6 . 7 3 ) e i n T e i l der Dampfungsarbeit

betrachtet. F u h r e n Sie h i e r den Zustand e i n e r ungedampften Resonanz ein. u b u n g 6.25: F u r e i n e n ebenen Balken von Bild 4.14: rechts, sind die Steifigkeits- u n d translatorische Massenmatrix 6

-31 6 3 1 212 3 1 l2 6 31 symm. 212

156 2 2 1 41' symm.

54 131 1 3 1 -312 156 2 2 1 412

Berechnen Sie die Schwingungsausschlage u n d Auflagerkrafte i n den Lastfallen

6.6 Direkte Zeitintegration

369

c) Lastfalle ( a ) und ( b ) zusammen. u b u n g 6.26: Gegeben ist eine ungedampfte Struktur mit den Systemmatrizen und den Eigenfreauenzen:

Die Erregerkrafte und deren Phasenwinkel sind

In welchen Freiheitsgraden treten i n den Resonanzen Phasensprunge auf? u b u n g 6.27: A n dem Simplex-Element von u b u n g 6.24 werden die Verschiebungen und Phasenwinkel

uA

=

[ I

1 1 ;

+*=

[o

z ]

vorgegeben. Berechnen Sie die Reaktionskrafte und deren Phasenwinkel. Bei welcher Erregerfrequenz werden die Krafte gleich null und wodurch erklart sich dieses Phanomen?

bung 6.28: Das Lagrange-Element von u b u n g 6.20 wird mit den Kraften g 2 = 1 und den Phasenwinkeln p l = 0 und p 2 = TC angeregt. In welchen Freiheitsgraden findet m a n bei den einzelnen Resonanzen eine u b e r h 6 h u n g der Schwingungsausschlage?

Fl=

6.6 Direkte Zeitintegration In den beiden vorausgegangenen Abschnitten wurden Eigenschwingungen und erzwungene Schwingungen behandelt. Beides sind stationare Vorgange, das heiBt, die Zeit kommt darin nicht explizit vor, obwohl e s sich um zeitabhangige Phanomene handelt. Hier sollen nun instationare oder transiente Vorgange besprochen werden, die die Zeit notwendigerweise explizit enthalten, weil keine periodische Wiederkehr einmal durchlaufener Zustande zu erwarten ist. Die Abbildung erfolgt in der Zeit und nicht wie vorher auf der Basis von Frequenzen. Dies ist ein sogenanntes Anfangswertproblem. Zu einem gegebenen Zeitpunkt ist der Ruhe- oder Bewegungszustand einer Struktur bekannt. Von da aus berechnet man entlang der Zeitachse die sich verandernden Zustande infolge des Eigenschwingverhaltens und

370

6 . Lineare Dynamik

gegebener auBerer Erregungen. Diesen Vorgang bezeichnet man als Zeitintegration. D e r Zusatz ,,direktcc sol1 ausdrucken, daB die Berechnungen in den physikalischen Freiheitsgraden ausgefuhrt werden. Das heiBt, es wird keine Vorab-Transformation auf modale Koordinaten vorausgesetzt, die zwar sehr hilfreich sein kann, aber vor allem fur groBere Probleme wegen des damit verbundenen Aufwands ausgeschlossen werden muB. Die Bewegungsgleichung (6.1) ist ein gewohnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung in der Zeit. Die mathematischen Methoden zur Losung solcher Gleichungen sehen im allgemeinen zunachst eine Umformung vor, in der Verschiebungen und Geschwindigkeiten als neue Variable zusammengefaBt werden. Dadurch entsteht ein doppelt so groBes Differentialgleichungssystem erster Ordnung. In der Strukturmechanik ist es jedoch weitgehend ublich, diese Umformung wegen der GroBe der Systeme nicht vorzunehmen. Infolgedessen sind hier die Losungsverfahren anders als in den mathematischen Lehrbuchern beschrieben. Es ist an dieser Stelle nicht der Ort, eine Diskussion uber die Vor- und Nachteile dieser Varianten zu fuhren. Schon aus Platzgrunden werden hier die Verfahren zur Losung der Systeme erster Ordnung nicht behandelt. Weiterhin werden hier nur sogenannte Kollokations- Verfahren betrachtet. Dies sind Verfahren, in denen die Bewegungsgleichung jeweils an ausgewahlten Punkten, den sogenannten Kollokationspunkten, exakt befriedigt wird. Prinzipiell ist diese Einschrankung nicht notig. Es gibt Verfahren, die als finite Elemente in der Zeit formuliert werden. Hierbei kommen dieselben Techniken zum Einsatz, die auch schon fur das mechanische Problem angewendet wurden, also gewichtete Residuen und andere Verfahren. Die festen Kollokationspunkte entfallen darin zugunsten integraler Bedingungen. Auch hierauf muB im Interesse der Kurze und Verstandlichkeit verzichtet werden. Traditionell werden die Zeitintegrationsverfahren aus der Methode der finiten Differenzen entwickelt. An die Stelle der Zeitableitungen in der Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) werden endliche Differenzen gesetzt und dann nach den Unbekannten extrapoliert. Dasselbe kann man aber auch als eine Interpolation auffassen, wenn man die Unbekannten mit in die Randbedingungen hinein nimmt. D a an dieser Stelle die Interpolation von der Formulierung der Elementmatrizen bereits bestens bekannt ist, liegt es nahe, sie auch auf das vorliegende Problem anzuwenden. W i e sich weiter unten zeigen wird, entsteht dadurch ein ubergeordneter Algorithmus, in dem die einzelnen Zeitintegrations-Verfahren durch Setzen des Interpolations-Operators eingerichtet werden. Gegenuber den traditionellen Darstellungen ist

6.6 Direkte Zeitintegration

371

dies ein erheblicher Vorteil, weil nur eine Beschreibung fur alle Verfahren ausreicht.

6.6.1 Einfiihrendes Beispiel Bevor als einfuhrendes Beispiel das zentrale Differenzen-Verfahren mit Hilfe von finiten Differenzen hergeleitet wird, sind noch einige Festlegungen zu treffen. Ausgehend vom Zeitpunkt t = O , in dem die Anfangswerte der Verschiebungen, der Geschwindigkeiten, der Beschleunigungen und der auf die Struktur wirkenden Krafte bekannt sind, hat man bis zu einem Zeitpunkt t die Losung ermittelt. Alle physikalischen GroBen sind bis zu diesem Zeitpunkt t bekannt. Man sucht nun die unbekannten GroBen zu einem Zeitpunkt t + At, wobei At die Zeitschrittweite darstellt, mit der das Zeitintegrationsverfahren vorangetrieben wird:

0 Anfangswerte

t belannt

*+

t+At unbekannt

Bild 6.24: Fortschritt eines Zeitintegrationsverfahrens.

Die Einfuhrung der diskreten Zeitschrittweite At macht deutlich, daB die Losung nicht kontinuierlich erfolgt, sondern die Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) nur zu diskreten Zeiten ausgewertet und exakt befriedigt wird. Die Lage dieser Kollokationspunkte kann man sich in gleichen Abstanden At entlang der Zeitachse vorstellen. Eine eventuelle Anderung der Schrittweite At sol1 damit nicht ausgeschlossen, hier aber der Einfachheit halber nicht weiter verfolgt werden. Ein Zeitintegrationsverfahren bewegt sich demnach entlang dieser Punkte aus der Vergangenheit kommend uber die Gegenwart in die Zukunft. Wegen ihres schrittweisen Fortschritts werden Zeitintegrationsverfahren auch als Zeitschritt-Algorithmen bezeichnet. Die diskreten Zeitpunkte entlang der Zeitachse sind die Bezugszeiten der zeitabhangigen physikalischen GroRen, die jeweils links oben neben das Symbol geschrieben werden. So kennzeichnet t~ den Vektor der Verschiebungen zur Zeit t, t + A t U den zum Zeitpunkt t + At. Diese Kennzeichnung findet sich im folgenden fur alle zeitabhangigen GroBen. Da hier die zeitliche Diskretisierung im Vordergrund steht, wird auf die ausdruckliche

372

6. Lineare Dynamik

Darstellung der strukturellen Diskretisierung in der Indexschreibweise verzichtet: so dal3 hierfur die symbolische Matrizenschreibweise verwendet wird: die Verschiebungen UA werden somit zum Vektor U: die Steifigkeit KAB beispielsweise zur Matrix K. Fur alle anderen GroBen gilt dies analog. Damit soll erreicht werden, daB die Gleichungen trotz der erforderlichen zusatzlichen Indizierung zur Beschreibung der Zeitintegration ubersichtlich bleiben. Aus dem gleichen Grund wird hier eine laBliche Sunde begangen, die sich in Bild 6 . 2 4 offenbart: neben der kontinuierlichen Zeit t wird auch fur den diskreten Zeitpunkt t das gleiche Symbol verwendet. Dies ist zur Vereinfachung der Schreibweise moglich, da die jeweilige Bedeutung aus dem Zusammenhang klar erkennbar ist. Erst im Abschnitt 6 . 6 . 4 wird bei der ubertragung eine eindeutige Kennzeichnung verschiedener Zeitpunkte erforderlich sein. Zum Einstieg soll im folgenden das zentrale Differenzen-Verfahren mit Hilfe von finiten Differenzen hergeleitet werden. Dies ist das einfachste und auch bekannteste Zeitintegrations-Verfahren. Die Herleitung soll den Leser zunachst mit dem Problem vertraut machen, bevor in den folgenden Unterabschnitten ein deutlich hoheres Abstraktions-Niveau erforderlich ist, um das allgemeine Kollokations-Verfahren behandeln zu konnen. In Bild 6.25 ist ein Ausschnitt aus dem zeitlichen Verlauf der Verschiebung in einem Freiheitsgrad aufgetragen.

t-at

t

t

+

at

Bild 6.25: Zeitschritte im zentralen Differenzen-Verfahren.

at^

Die Schrittweite ist At. Bekannt sind t und t ~ gesucht ; wird Bewegungsgleichung (6.1) wird fiir den Zeitpunkt t geschrieben.

at^.

Die

Hierin ist t die Kollokationszeit, das heiRt zu diesem Zeitpunkt soll die Differentialgleichung exakt befriedigt werden. Es muR hier darauf hingewiesen werden, daR dieser Weg, die Losung der Differentialgleichung anzugehen, keinesfalls die einzige Moglichkeit ist. In Abschnitt 5.2.2 wurde gezeigt, wie durch gewichtete Residuen ganze Familien von Losungsverfahren gewonnen werden konnen. Das KollokationsVerfahren ist nur eins davon, allerdings mit dem Vorteil, daB es der Anschauung sehr entgegenkommt.

6.6 Direkte Zeitintegration

373

Die Zeitableitungen der Verschiebungen werden durch endliche oder finite Differenzen angenahert. Fur das Intervall von t - A t bis t + A t ergibt sich die erste Ableitung nach der Zeit

Dies sind die Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t. Zur Annaherung der zweiten Zeitableitung mussen zuerst die ersten Ableitungen im linken und rechten Intervall von Bild 6.24 gebildet werden.

Durch nochmalige Differenzenbildung ergeben sich daraus die Beschleunigungen zum Zeitpunkt t.

Die Geschwindigkeiten ( b ) und die Beschleunigungen ( c ) werden in die Differentialgleichung ( a ) eingesetzt. Nach Ordnen der Terme ergibt sich

Damit ist das diskretisierte Abbild der Bewegungsgleichung gewonnen, das sich durch das zentrale Differenzen-Verfahren ergibt. Als Zahlenbeispiel sol1 das eindimensionale Simplex-Element dienen, das schon in den Abschnitten 6.5.1 und 6.5.2 benutzt wurde. Die Systemmatrizen einschlieBlich einer proportionalen Dampfung mit or = /3 = 0,05 sind

D

=

[

;.I5

]

Die Schrittweite wird auf

festgelegt. Mit diesen Zahlenwerten wird aus (dl:

Wie ublich werden die Freiheitsgrade in zwei Klassen unterteilt: Klasse 1 fur gegebene Krafte, Klasse 2 fur gegebene Verschiebungen. Der Freiheitsgrad l wird in die erste, Freiheitsgrad 2 in die zweite Klasse einsortiert. Durch Auflosen nach den unbekannten GroBen wird aus (e):

374

6. Lineare Dynamik

Fiir die Erregungen wird vorgegeben:

Die auRere Kraft im Freiheitsgrad 1 soll durchweg null sein. Beginnend mit der Anfangszeit t = 0 soll die Verschiebung im Freiheitsgrad 2 linear mit der Zeit zunehmen, das heiRt es wird eine konstante Geschwindigkeit aufgebracht. Der erste Zeitschritt mit der Schrittweite A t = 1 / 4 erfolgt zur Kollokationszeit t = 0.Aus ( f ) ergibt sich hierfur:

In diesem und in allen folgenden Zeitschritten wird jeweils die Verschiebung fur die Zeit t + At berechnet und die Kraft zur Zeit t. In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse fur die ersten Zeitschritte angegeben. Zeit

Verschiebungen

Krafte

U1

F2

In Bild 6.26 sind die Verschiebungen und Krafte bis zur Zeit t = 15 aufgetragen.

Bild 6.26: Verschiebung U1, Reaktionskraft F2 infolge der Zwangsver~chiebungU~.

6.6 Direkte Zeitintegration

375

Die Anregung der Schwingung ergibt sich daraus, daR im Freiheitsgrad 2 eine Verschiebung aufgebracht wird, wahrend der Freiheitsgrad 1 noch in Ruhe ist. Das ~berschieRender Reaktionskraft und der geringe negative Ausschlag der Verschiebung am Anfang sind ein typisches Problem beim Starten einer Zeitintegration. Es wird verursacht durch den Beschleunigungs-Sprung im Zusammenwirken mit der endlichen Schrittweite.

6 . 6 . 2 Interpolation in der Zeit Beim zentralen Differenzen-Verfahren aus der Einfuhrung werden die Verschiebungen t - A t U und t~ herangezogen, um die unbekannte Verschiebung t + at U zu bestimmen. Verfahren, bei denen physikalische GroBen sowohl zum Zeitpunkt t als auch weiter zuruckliegender Zeiten berucksichtigt werden, bezeichnet man als Mehrschrittverfahren. Im Gegensatz dazu gibt es noch die Einschrittverfahren, bei denen nur GroBen zum Zeitpunkt t bezu berechnen. Zu dieser Gruppe z2ihlt zum trachtet werden, um t''% Beispiel das Wilson-@- Verfahren, bei dem die Verschiebungen t ~ die, Geschwindigkeiten t U' und die Beschleunigungen t U zur Bestimmung der Losung herangezogen werden. "

Grundidee der Interpolation in der Zeit ist nun, daB man alle zur Beschreibung eines Zeitintegrationsverfahrens erforderlichen physikalischen GroBen (auch die Unbekannten !) als Interpolationsvariable D ( U ) heranzieht, um P die Verschiebungen U durch einen Interpolationsansatz der Form (1.126) darzustellen:

Da je nach dem zu beschreibenden Verfahren sowohl Verschiebungen als auch Verschiebungsableitungen nach der Zeit auftreten werden, wird in (6.9 3) der allgemeine Interpolationsoperator D ( . ) p verwendet, der ebenso konzipiert ist wie in Abschnitt 1 . 5 . 1 . Dort bezieht e r sich auf geometrische GroBen, hier auf die Zeit. Die Frage; welche der Interpolations-Variablen zu welchem Zeitpunkt definiert und in einem Zeitschritt bekannt oder unbekannt sind, ist verfahrensabhangig und wird erst bei der konkreten Anwendung entschieden. Fur die beiden oben angefuhrten Verfahren sieht der Interpolations-Operator bezogen auf die Zeit t wie folgt aus: Zentrale Differenzen

D(Ulp = [

'-

;

'U

;

t + a t]~

; ( p = L.3);

In beiden Fallen sind die unbekannten Verschiebungen t + A t ~ als InterpolationsVariable enthalten, alle anderen GroRen sind zu den angegebenen Zeiten bekannt.

376

6 . Lineare Dynamik

Die Formfunktionen n sind Funktionen der Zeit, da fur die Monome des P Basisvektors weiter unten Potenzen der Zeit angesetzt werden. Durch entsprechende Zeitableitungen lassen sich so aus ( 6 . 9 3) sowohl die Geschwindigkeiten

als auch die Beschleunigungen

gewinnen. Die Bewegungsgleichung ( 6 . I ) sol1 am Kollokationspunkt t = c exakt befriedigt werden:

Mit ( 6 . 9 3 ) bis ( 6 . 9 5 ) erhalt man daraus

C P

(K

Cn

P

+

D Ci

P

+

M cijp

) D(U)p

= "I?

; p = l n )

(6.96)

Die Verschiebungen U , ihre Ableitungen sowie die Krafte F sind zeitabhangig. Die Steifigkeits-, Dampfungs- und Massenmatrizen K, D und M konnen im allgemeinen Fall auch zeitabhangig sein. Obwohl dieser nichtlineare Fall in der Praxis von erheblicher Bedeutung ist, wird sich die weitere Herleitung zur iibersichtlicheren Darstellung auf den linearen Fall mit konstanten Strukturmatrizen beschranken. FaRt man den ersten Teil von ( 6 . 9 6 ) in den Interpolations-Matrizen

zusammen, ergibt sich das lineare Gleichungssystem

zur Bestimmung der unbekannten Anteile in den Interpolations-Variablen D ( U ) . Damit sind grundsatzlich alle zur Beschreibung und zur Losung 4 im Zeitschritt t erforderlichen Beziehungen eines Zeitintegrations-verfahrens bekannt. Ein Vorteil der hier verwendeten Interpolation in der Zeit ist die Moglichkeit, die verschiedenen Verfahren mit einem Ansatz beschreiben zu konnen. Bevor jedoch die Losung von ( 6 . 9 8 ) in Angriff genommen werden kann, mussen zuerst die Formfunktionen n und ihre ZeitableitunP gen bekannt sein. Daruber hinaus muB der Kollokationszeitpunkt c festge-

6.6 Direkte Zeitintegration

377

legt werden. Erst dann kann die Berechnung der Interpolations-Matrizen (6.9 7 ) erfolgen. Die Formfunktionen zur Zeit-Interpolation unterscheiden sich in ihrem Aufbau nicht von den der Geometrie-Interpolation ( 1 . 1 3 1):

Fur die Monome des Basisvektors werden Potenzen in der Zeit gewahlt. Eine mogliche Form ware somit durch

gegeben. Nach Bild 6 . 2 4 soll die Zeit t als die globale Zeit verstanden werden, die vom Start der Zeitintegration bei t = 0 zu zahlen beginnt. Diese Zeitskala wird benotigt, um die zu den einzelnen Zeitpunkten gewonnenen Losungen chronologisch geordnet als Zeitverlauf angeben zu konnen. Die Verfahren zur direkten Zeitintegration zeichnen sich dadurch aus, daB ihre Beschreibung nur in der unmittelbaren Umgebung des aktuellen Zeitpunktes t vorgenommen wird, da weiter zuriickliegende Ereignisse keinen EinfluR mehr auf die aktuelle Losung haben. Gleichzeitig ist festzustellen, daB die durch den Interpolationsoperator gegebene Verfahrensbeschreibung fur jeden der aufeinander folgenden Zeitschritte gleich bleibt. Fur die Bildung der Vandermonde

ware es bei der hier angenommenen konstanten Zeitschrittweite At vorteilhaft, wenn in jedem Zeitschritt t eine gleichbleibende Zeitskala zur Verfugung stehen wiirde. Die 1aRt sich durch die Einfuhrung einer lokalen Zeit t - to erreichen, bei der in jedem Zeitschritt eine Nullpunktverschiebung to der globalen Zeit t so vorgenommen wird, daR der Nullpunkt der lokalen Zeitskala zum aktuellen Zeitpunkt t immer den gleichen zeitlichen Abstand aufweist. Da es sich bei der lokalen Zeit t - t im Prinzip nur um eine null0 punktverschobene globale Zeit handelt, wird hierfur kein neues Symbol eingefuhrt. Die konkrete Wahl eines geeigneten Nullpunktes soll an dieser Stelle zunachst zuruckgestellt werden. Der Basisvektor ist nunmehr gegeben durch

Diese Form des Basisvektors hat bei der Bildung der Vandermonde ( 6 . 1 0 0 ) den Nachteil, daB die Zeitschrittweite At in die Berechnung eingeht. Urn

378

6. Lineare Dynamik

in der Darstellung der Interpolation von der konkreten Zeitschrittweite weitgehend unabhangig zu bleiben, wird die dimensionslose lokale Zeit

eingefiihrt. Als Basisvektor fur die Interpolation werden die Potenzen der dimensionslosen Zeit verwendet:

Die Vandermonde-Matrix ( 6 . 1 0 0) ist nun

Damit ergeben sich die Formfunktionen ( 6 . 9 9 ) zu

Mit den Formfunktionen ( 6 . 1 0 4) kann die Interpolation der Verschiebungen (6.9 3) erfolgen. Fur die Geschwindigkeiten (6.9 4) und die Beschleunigungen (6.9 5) wird die erste und zweite Zeitableitung nach der globalen Zeit t zu bilden sein. Da in ( 6 . 1 0 4 ) die dimensionslose lokale Zeit verwendet wird, ist die Kettenregel unter Berucksichtigung von ( 6 . 1 0 1 ) anzuwenden:

Die Ableitungen der Formfunktionen ( 6 . 1 0 4) sind dann

( 6 . 1 0 4 ) , ( 6 . 1 0 6) und ( 6 . 1 0 7 ) mussen nun zum Kollokationszeitpunkt t = c ausgewertet und in die aus der Bewegungsgleichung ( 6 . 9 6 ) herriihrende Zusammenfassung der Interpolations-Matrizen ( 6 . 9 7 ) eingesetzt werden. An dieser Stelle muB man sich Gedanken uber die geeignete Wahl des Nullpunktes der lokalen (dimensionslosen) Zeit machen. Fur die Formfunktionen und deren Zeitableitungen ergeben sich besonders einfache Ausdrucke, wenn man die Gleichungen bei r = 0 auswertet, da dann nur die Terme mit der nullten Potenz z O = 1 erhalten bleiben:

6.6 Direkte Zeitintegration

379

Um diese Vereinfachung ausnutzen zu konnen, bietet es sich an, den Nullpunkt der lokalen (dimensionslosen) Zeit auf den Kollokationspunkt zu legen. In ( 6 . 1 0 1) wird dazu to = c gesetzt. Die Interpolations-Matrizen (6.9 7 ) sind nun auf die lokale, dimensionslose Zeit bezogen:

Mit diesen Interpolations-Matrizen wird im nachsten Abschnitt das lineare Gleichungssystem (6.9 8 ) zu losen sein. Das Beispiel des zentralen Differenzen-Verfahrens sol1 nun mit der Interpolation in der Zeit weitergefuhrt werden. Bild 6.27 zeigt die Interpolations-Stiitzstellen in globaler, lokaler und lokaler dimensionsloser Zeit:

t-at

t

t +n t

Bild 6.27: Stutzstellen des zentralen Differenzen-Verfahrens in globaler, lokaler und lokaler dimensionsloser Zeit.

Mit drei Stutzstellen besitzt das Verfahren den Grad zwei. Der Kollokationspunkt liegt in der Mitte, das heiflt am Anfang des Zeitschrittes i n der Gegenwart. Die Interpolations-Variablen sind die Verschiebungen selbst, das heiflt, es handelt sich urn eine Lagrange-Interpolation.

Bezogen auf die dimensionslose Zeit entsteht daraus

380

6. Lineare Dynamik

D(UIp

=

[ -'U(=)

OU(=)

+"u(=)

I.

D a hier keine Zeitableitungen auftreten, bleibt (6.105) unberucksichtigt. Aus (6.103) ergibt sich die Vandermonde-Matrix und daraus deren Inverse

Die Interpolations-Matrizen OQ, 0

Q,

OQ,

-D/2At

=

K - 2M/At2

=

D / 2 At

+

Q, ergeben sich aus (6.109).

M/A~'

=

+

0

M/At2

Die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am Kollokationspunkt ergeben sich durch Einsetzen von (6.108) i n (6.93) bis (6.95). ou

=

ou

Die Geschwindigkeit und Beschleunigung aus (c) stimmen mit (b) und (c) aus dem einfuhrenden Beispiel uberein: das mit finiten Differenzen berechnet wurde, w e n n t = t gesetzt wird. 0

Als Zahlenbeispiel sol1 das eindimensionale Simplex-Element dienen, das schon i n den Abschnitten 6.5.1 und 6.5.2 benutzt wurde. Die Systemmatrizen einschlieRlich einer proportionalen Dampfung mit cr = B = 0,05 sind

Die Schrittweite sei At

=

1 / 4 . A u s ( b ) ergeben sich damit die Interpolations-Matrizen

6 . 6 . 3 Randbedingungen und Losung Mit den Interpolations-Matrizen ( 6 . 1 0 9 ) ist das lineare Gleichungssystem ( 6 . 9 8 ) zu losen:

6.6 Direkte Zeitintegration

381

Als Resultat der Losung von ( 6 . 1 1 0 ) sollen die unbekannten Strukturverschiebungen t + At U ermittelt werden. Zur Vereinfachung wird nun festgelegt, das diese unbekannte Interpolations-Variable immer an der Stelle p = n im Interpolations-Operator angeordnet wird. Damit sind in einem beliebigen Zeitschritt t die ersten (n-1)-Interpolations-Variablen bekannt und die letzte sol1 berechnet werden. Ausgehend von ( 6 . 1 1 0 ) fuhrt die Abspaltung der Unbekannten auf die Form

Bis jetzt sind nur die Belange der Zeitintegration, nicht aber die der Struktur berucksichtigt worden, deshalb wird mit ( 6 . 1 1 1 ) noch nicht die Losung ermittelt. An dieser Stelle muB man sich daran erinnern, daB die gesuchte t + nt U ] die Gesamtheit der VerschieInterpolations-Variable D ( U ) n = [ bungen der betrachteten Struktur darstellt, analog gilt dies fur die Krafte OF. Wie bei jeder Struktur werden in einem Teil der Freiheitsgrade die Krafte, im anderen die Verschiebungen bekannt sein. Im Abschnitt 3 . 2 . 1 sind hierfur die Freiheitsgradklassen 1 und 2 eingefuhrt worden. Durch die Klasseneinteilung entsteht aus ( 6 . 1 10 ) das unterteilte Gleichungssystem

Die gesuchten unbekannten Verschiebungen sind der Freiheitsgradklasse 1 zuzuordnen und finden sich in der Interpolationsvariablen D ( u ' ) ~ . In der Klasse 2 sind samtliche Interpolations-Variablen D ( u 2 ) bekannt. Beim P Ausschreiben der ersten Zeile von ( 6 . 1 1 2 ) ist somit die Abspaltung der Unbekannten analog zu ( 6 . 1 1 1 ) nur fur die Freiheitsgradklasse 1 erforderlich:

Nach den Unbekannten aufgelost ergibt sich

Die Kehrmatrix wird verwendet, urn die Losung explizit hinschreiben zu konnen. Sobald die Verschiebungen bekannt sind, lassen sich die Reaktions-

382

6. Lineare Dynamik

krafte ohne weitere Unterteilung direkt aus der zweiten Zeile von ( 6 . 1 12) bestimmen:

Mit ( 6 . 1 1 3) und ( 6 . 1 1 4 ) ist die Losung von ( 6 . 1 1 0 ) in jedem Zeitschritt beschrieben. Als Beispiel sol1 wieder das zentrale Differenzen-Verfahren des vorhergehenden Abschnittes herangezogen werden. Ausschreiben von ( 6 . 1 1 3 ) und ( 6 . 1 1 4 ) ergibt

In erster Linie zeigt dieses Beispiel, daR man die Teilmatrizen tunlichst i n einer zusammengefaRten Form belaRt, wie dies i n ( 6 . 1 1 3 ) und ( 6 . 1 1 4 ) durch die Summen geschieht. Interessant wird es aber, w e n n m a n die Interpolations-Matrizen von ( b ) einsetzt. Die Randbedingungsklasse 2 wird weggelassen, so daR auf die Kennzeichn u n g der Klasse 1 verzichtet werden kann.

Dies ist die fertige Formel z u r Berechnung der unbekannten Verschiebungen wie m a n sie i n der Literatur fiir das zentrale Differenzen-Verfahren findet!

at^,

F u r das i n Abschnitt 6.6.1 begonnene Zahlenbeispiel werden folgende Randbedingungen vorgegeben: Klasse 1:

OF1 =

OF^

=

0

;

Klasse 2: U 2

=

U2

=

0,l . t , ( t 2 0 ) .

Dies ist eine Verschiebungsanregung im Freiheitsgrad 2. Eine Umordnung Interpolationsmatrizen ist unnotig. Aus den Gleichungen ( d ) wird:

der

Der Aufwand eines Zeitintegrationsverfahrens liegt in der Losung des lineMit aren Gleichungssystems ( 6 . 1 1 3 ) mit der Koeffizientenmatrix OQ;'.

6.6 Direkte Zeitintegration

383

der Betrachtung des Aufwandes einher geht die Unterscheidung zwischen impliziten und expliziten Verfahren. Nach ( 6 . 1 0 9 ) ist die Koeffizientenmatrix durch eine Linearkombination von Steifigkeits-, Dampfungs- und Massenmatrix gegeben:

Im Gegensatz zur Steifigkeitsmatrix, die zwar dunn besetzt, aber keinesfalls eine Diagonalmatrix ist, werden die Massen- und Dampfungsmatrizen vielfach bereits bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung diagonalisiert. Einerseits verwendet man konzentrierte Massen und andererseits vereinfachende Annahmen zur Dampfung, die zum Beispiel proportional zu den Massen sein kann. Bei einem impliziten Verfahren ist die Steifigkeitsmatrix in der Koeffizientenmatrix ( 6 . 1 15) enthalten und zur Losung von ( 6 . 1 13) ist eine normale Gleichungslosung erforderlich. Bei einem expliziten Verfahren enthalt die Koeffizientenmatrix ( 6 . 1 15) die Steifigkeitsmatrix nicht. Bei diagonaler Massen- und Dampfungsmatrix ist die Koeffizientenmatrix ebenfalls diagonal und die Losung von ( 6 . 1 1 3 ) ist dann trivial. Wie man anhand von ( 6 . 1 1 5 ) erkennen kann, ist ein explizites Verfahren an die Bedingung

zn-1l = O

: explizites Verfahren

(6.1 1 6 )

gebunden. D e r Vorteil der einfachen Gleichungslosung bei expliziten Verfahren kommt sehr wirkungsvoll bei nichtlinearen Problemen, in denen sich die Koeffizientenmatrizen standig andern: zum Tragen. Diesen Vorteil e r kauft man sich allerdings durch den Nachteil, daB alle expliziten Verfahren nicht unbedingt stabil sind. Hierzu wird in Abschnitt 6 . 6 . 6 mehr zu sagen sein. Eine Moglichkeit, (6.1 16) zu erfullen, besteht darin, den Kollokationspunkt, also den zu legen, in Nullpunkt der lokalen Zeitskala, auf eine Interpolationsstutzstelle p' der die Verschiebung als Interpoaltions-Variable vorgesehen ist. In der Vandermondematrix ist dann ein Spaltenvektor der Form

enthalten, wobei p' einen bestimmten Wert aus dem zur Verfugung stehenden Indexbereich angenommen hat. Die Bedingung

laRt sich nur dann erfullen, wenn die Zeilenvektoren der inversen Vandermonde die Form

384

6. Lineare Dynamik

aufweisen (x steht dabei f u r einen beliebigen Koeffizienten). Legt man den Kollokationspunkt i n die Zukunft, also auf das Ende t + At eines Zeitschrittes, ist p* = n -1 und damit znl = 1. Die Steifigkeitsmatrix geht in diesem Fall i n die InterpolationsMatrix (6.115) ein und das Verfahren ist damit implizit. Wenn der Kollokations-1 punkt aber i n der Gegenwart t des Zeitschrittes liegt, ist p * # n und somit znl = 0 , da n u n m e h r ein q'=n sein muB. Die Bedingung (6.116) ist erfiillt und das Verf a h r e n ist explizit. In dem Beispiel von Abschnitt 6.6.1 sieht m a n i n (a), da8 das 0 zentrale Differenzenverfahren auf diese Weise explizit geworden ist: i n Q3 (b) ist die Steifigkeitsmatrix nicht enthalten.

6.6.4 ubertragung Nach Berechnung der Unbekannten D(u'), der Klasse 1 mit ( 6 . 1 1 3 ) liegen mit den bekannten D ( u 2 ) , der Klasse 2 alle Verschiebungen zur Zeit t + At im aktuellen Zeitschritt vor. Mit dem Index k wird in diesem Abschnitt der aktuelle Zeitschritt tk vom folgenden Zeitschritt tk+' unterschieden, wobei der konkrete Indexwert belanglos ist. Fur den nachsten Zeitschritt tk+l mussen nun die Anfangswerte der Interpolations-Variablen bereitgestellt werden. Dieser Vorgang wird als ubertragung bezeichnet. Die ubertragung kann >>van Hand<
'*

Eine allgemeinere und automatisch an das jeweilige Zeitintegrationsverfahren angepante ubertragung laRt sich uber eine zeitlich versetzte Auswertung des Interpoaltions-Operators erreichen, da hier in den ersten (n-1) Elementen alle und nur die zur Fortsetzung des Verfahrens erforderlichen Anfangswerte der Interpolations-Variablen definiert sind. Am Ende eines Zeitschrittes tk sind alle Interpolations-Variablen D ( U ( t k ) ) pbekannt. Fur den nachsten Zeitschritt tk+ werden die Anfangswerte D (U(t,+ ,)), ;

6.6 Direkte Zeitintegration

385

( p = l...n-1) benotigt. Diese lassen sich aus den im noch aktuellen Zeitschritt tk vorliegenden Informationen gewinnen, indem man den Interpolations-Operator in den Anfangswerten um das Zeitinkrement At versetzt auswertet:

Mit der Interpolationsfunktion (6.9 3) fiir die Verschiebungen ergibt sich

Wie in ( 1 . 1 2 5 ) festgelegt wurde, ist der Interpolations-Operator linear, so daR die Konstanten D ( U ( t k ) ) pherausgezogen werden konnen. Es entsteht die ~ b e r t r a g u n g seichung ~l

At

Die Anfangswerte fiir die Interpolations-Variablen D ( U (t k ) ) , fiir den folgenden Schritt tk+l ergeben sich aus den Interpolations-Variablen des gegenwartigen Schrittes D ( U ( t k ) ) p durch Multiplikation mit der Ubertragungsmatrix gPP-. Diese ist

Die Formfunktionen sind in ( 6 . 1 0 4 ) als Funktion der lokalen dimensionslosen Zeit z angegeben. Aus diesem Grund wird in ( 6 . 1 1 9 ) das dimensionslose Zeitinkrement +1 eingefuhrt. Durch Einsetzen der Formfunktionen in den linearen Operator ergibt sich

Die Anwendung des um +1 verschobenen Interpolations-Operators auf die lokale dimensionslose Zeit ist gleichbedeutend mit der Verschiebung der Zeit um +l. Dadurch entsteht mit ( 6 . 1 0 3 ) die zeitlich versetzte Vandermonde-Matrix

386

6. Lineare Dynamik

und damit die endgiiltige Form der ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t r i x

Hiermit ist die Beschreibung eines Zeitintegrationsverfahrens abgeschlossen. Die einzelnen Schritte waren: Festlegen der Interpolations-Variablen D ( U ) p und dadurch des Interpoaltions-Operators, Ermittlung der Vander+1 monde-Matrizen zrp und zrP in ( 6 . 1 0 3) und ( 6 . 1 2 O), Inversion von zrp , am Kollokationspunkt mit Bestimmung der Interpolations-Matrizen O Qp 1 ( 6 . 1 0 9): Auflikung nach den Unbekannten D ( U ), in ( 6 . 1 1 3 ) und schlieRlich Fortfiihrung des Verfahrens durch Berechnung der ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t r i x gpP mit ( 6 . 1 2 1 ) . Durch die Interpolations-Variablen D ( U ) p , die Festlegung des Kollokationspunktes t, und die zugehorigen Matrizen zrp und gpP wird ein Zeitintegrationsverfahren vollstandig beschrieben. Im Abschnitt 6.6.8 sind einige der gebrauchlichsten Verfahren zusammengestellt. U m das Beispiel des zentralen Differenzen-Verfahrens a u s den vorhergehenden Abschnitten fortzufiihren, wird die Vandermonde-Matrix n a c h (6.120) ermittelt.

Aus (6.1 2 1 ) folgt damit u n d der inversen Vandermonde-Matrix ( a )

Z u r Probe wird dies i n die ubertragungsgleichung (6.1 18) eingesetzt:

Qt[-Qtu

U

1

=

[

Qtu

U

"tu

]

Offensichtlich ist dies richtig! Das Zahlenbeispiel z u m zentralen Differenzen-Verfahren w i r d n u n abgeschlossen. F u r den A n f a n g w i r d f u r die globale Zeit t = 0 der Ruhezustand angenommen. I n der folgenden Tabelle w e r d e n die GroRen jeweils den globalen Zeiten zugeordnet. Ein Zeit-Integrationsschritt umfaRt m e h r e r e Zeitpunkte. Im Integrationsschritt mit der Kollokations-Zeit 1 , O werden z u m Beispiel die Verschiebungen zu d e n Z e i t e n 0,75 und 1 , O gebraucht und die K r a f t F1 = 0 z u r Zeit 1,O u n d die Verschiebung U2 = 0,125 z u r Zeit 1,25 vorgegeben. Berechnet wird daraus U1 = - 0 , 0 3 7 6 7 fiir t = 1,25 u n d F2 = 0,22129 f u r t = 1,O. So k o m m t es, daR i n der e r s t e n Zeile bereits e i n e Kraft erscheint, obwohl noch k e i n e Verschiebungen sichtbar werden. Fiir die e r s t e n Zeitschritte e r h a l t m a n so:

6.6 D i r e k t e Zeitintegration

Zeit

Verschiebungen

Reaktion

U1

F2

U2

387

2

1

0

Bild 6.28: Verschiebung U l u n d Reaktionskraft F 2 infolge der Zwangsverschiebung U 2 a m Beispiel e i n e s eindimensionalen Simplex-Elementes. D e r a m A n f a n g auftretende Beschleunigungs-Sprung verursacht das ~ b e r s c h i e f l e nder Reaktionskraft u n d den geringen negativen Ausschlag der Verschiebung.

Es sol1 nun gezeigt werden, daR die ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t unabhangig rix vom Zeitpunkt der Kollokation ist. Diese Aussage wird im nachsten Abschnitt bei den zusammengesetzten Verfahren benotigt. Um dies zu untersuchen, wird der Kollokationspunkt um einen beliebigen W e r t d in der dimensionslosen Zeit verschoben. Da der Nullpunkt mitwandert, ergibt sich z

neu

=

z

-

d.

Die Vandermonde-Matrix ( 6 . 1 0 3 ) wird dann

Das Argument laRt sich in eine binomische Reihe entwickeln. D a der Operator linear ist, entsteht

Dies wird zusammengefaRt zu

388

6. Lineare Dynamik

Die Matrix brq enthalt die oben aufgefuhrten Konstanten und zW ist wieder die Vandermonde-Matrix von ( 6 . 1 0 3). Auf dieselbe Weise la& sich aus ( 6 . 1 2 0 ) erzeugen

Die ubertragungsmatrix fur den verschobenen Kollokationspunkt ergibt sich aus (6.1 2 1 ) .

Das ist gleich der ursprunglichen ~ b e r t r a g u n g s m a t r i xvon ( 6 . 1 21)! Das beweist also: Die ~bertragungsmatrix ist unabhangig von der Wahl des Kolloka tionspunktes. Das oben eingefuhrte brq ist eine untere Dreiecksmatrix und 1aBt sich verwenden, um Vandermonde-Matrizen und ihre Inversen auf verschobene Kollokationspunkte umzurechnen. Im Einzelfall kann dies sehr praktisch sein, sol1 hier aber nicht weiter verfolgt werden. Das bisher als Beispiel benutzte zentrale Differenzen-Verfahren fuhrt wegen seiner Lagrange-Interpolation zu einer auRerst einfachen ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t r In i x . einem etwas aufwendigeren Beispiel sollen deshalb noch einmal alle Schritte durchlaufen werden, die zur Festlegung eines Zeitintegrations-Verfahrens notwendig sind. In Bild 6.29 sind die Angaben zum Wilson-O-Verfahren skizziert.

o a t

( 1 0 ) a t

0

Bild 6.29: Wilson-O-Verfahren: Punkt 1: Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung (alle bekannt); Punkt 2: Verschiebung (unbekannte Interpolations-Variable); Punkt 3: Kollokation (auRerhalb des Interpolationsbereiches). Es handelt sich um ein Einschritt-Verfahren dritten Grades, das im Gegensatz zu Mehrschritt-Verfahren, wie dem zentralen Differenzen-Verfahren, keine Interpolations-Variablen weiter zuruckliegender Zeitschritte verwendet. Der Kollokationspunkt wird durch den Parameter O > 1.37 in die Zukunft verschoben, urn die unbedingte Stabilitat des Verfahrens herbeizufuhren (naheres hierzu in Abschnitt 6.6.6).

6.6 Direkte Zeitintegration

389

Die Interpolations-Variablen sind

D(u)p

=

[-@Atu

-@AtcAt

-0Atdnt2

(

1-@)Atu

]

so daB daraus mit ( 6 . 1 0 5 ) folgt, bezogen auf die dimensionslose Zeit r

Die Vandermonde-Matrix ( 6 . 1 0 3 ) ist dann:

Ebenso folgt aus ( 6 . 1 2 0) die zeitlich versetzte Vandermonde-Matrix:

(1-@)2 (1-@I3

0 1 2(1-0) 3(1-0)~

0 0 2 6(1-0)

Die inverse Vandermonde-Matrix ist:

Damit ergibt sich aus ( 6 . 1 2 1 ) die ~ b e r t r a g u n g s m a t r i x :

Sie ist unabhangig von dem Parameter 0,weil der Kollokationspunkt keinen EinfluR auf die ~ b e r t r a g u n g s m a t r i xhat.

6 . 6 . 5 Zusammengesetzte Verfahren Zeitintegrations-Verfahren unterscheiden sich im wesentlichen durch den Grad des Interpolations-Polynoms und den Kollokationspunkt. Obwohl man annehmen konnte, daB ein hoher Grad bessere Ergebnisse liefert als ein niedriger, ist dies nur bedingt richtig. Oberhalb des Grades drei entstehen Verfahren, die wegen ihrer Neigung zur Instabilitat unbrauchbar sind. Schon der Grad drei macht gewisse Schwierigkeiten. Auf der Suche nach einem unbedingt stabilen Verfahren kam Newmark auf die Idee, ein Verfahren zweiten und dritten Grades zu kombinieren. Spater wurden von anderen Autoren Erweiterungen vorgenommen, die darauf hinauslaufen, daB auch

390

6. Lineare Dynamik

noch eine Interpolation ersten Grades eingeschlossen wird. Prinzipiell ist es ja so, daB man beliebige Verfahren gleichzeitig anwenden kann, um dann in jedem Zeitschritt die Ergebnisse irgendwie gewichtet miteinander zu kombinieren. Praktisch fur die Durchfuhrung wird das allerdings erst, wenn die Verfahren so aufeinander abgestimmt sind, daB man damit auf dieselbe Weise rechnen kann wie mit einem einfachen Verfahren. Im folgenden wird die Kombination von einer beliebigen Zahl von Verfahren betrachtet, die gleiche oder auch unterschiedliche Kollokationspunkte besitzen konnen. Im zweiten Fall verschwimmt der Begriff eines festen Kollokationspunktes und es entstehen Verfahren; die denen naher kommen, die aus integralen Naherungen hergeleitet werden, also keine KollokationsVerfahren sind. Es wiirde zu weit fuhren, auf diese Problematik hier naher einzugehen. Abgesehen von den Einzelheiten des Losungsvorganges aus Abschnitt 6 . 6 . 3 wird ein Zeitintegrations-Verfahren durch das lineare Gleichungssystem (6.9 8 ) und durch die ubertragung auf den folgenden Integrationsschritt ( 6 . 1 1 8 ) beschrieben. Hier liegen also die Ansatzpunkte fur ein Zusammensetzen verschiedener Verfahren. Da es beabsichtigt ist, auch Verfahren mit unterschiedlichen Kollokationspunkten zu kombinieren, scheidet ( 6 . 1 18 ) aus, weil die ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t unabhangig rix von der Kollokation ist. Es bleibt also (6.9 8 ) ubrig:

Verschiedene Verfahren bedeuten im allgemeinen auch verschiedene Interpolations-Variable D ( U ) p . Damit laBt sich jedoch kein zusammengesetztes Verfahren konstruieren, es sei denn, die Verfahren laufen nebeneinander her. Das ist nicht beabsichtigt. Es wird festgelegt: Bezogen auf einen gemeinsamen Zeitursprung benutzen a l l e Verfahren dieselben Interpolations-Variablen oder eine Untermenge hiervon. Die Kollokationspunkte, die, wie in Abschnitt 6 . 6 . 2 vereinbart wurde, den Ursprung der lokalen Zeiten bilden, brauchen nicht ubereinzustimmen. Nur bezogen auf eine fur alle Verfahren gemeinsame Zeit mussen die Interpolations-Variablen jeweils aufeinanderfallen und von derselben Art sein. Es ist auch nicht erforderlich, daB alle Verfahren denselben Grad besitzen und mithin die gleiche Zahl von Interpolations-Variablen. Durch Verfahren von niederem Grad entstehen Lucken, die durch Verfahren hoheren Grades ausgefullt werden. Nachdem die Interpolations-Variablen vereinheitlicht wurden, bilden die Interpolations-Matrizen Qp den Ansatzpunkt fur das Zusammensetzen

6.6 Direkte Zeitintegration

391

verschiedener Verfahren. Wie man aus ( 6 . 1 0 9 ) entnimmt, kommt hierfur nur die inverse Vandermonde-Matrix in Frage, da die Systemmatrizen K, D und M verfahrensunabhangig sind. Man fiuhrt nun eine gewichtete Kombination von inversen Vandermonde-Matrizen der verschiedenen Verfahren ein:

Durch den Index i werden die Einzelverfahren und durch I deren Gesamtzahl gekennzeichnet. Die Gewichtungsfaktoren a;(.) skalieren die Spalten der inversen Vandermonde-Matrizen, die hier alle als (nxn)-Matrizen angegeben sind. Um diese GroBe zu erhalten, mussen bei niedrigerem Grad eines Verfahrens dort Nullzeilen eingefugt werden, wo Interpolations-Variablen fehlen, am Ende werden Nullspalten angefugt. Dieses Vorgehen laBt sich bei Bedarf mit Hilfe einer Koinzidenz-Matrix formalisieren. Das ist jedoch nicht unbedingt notig, wie spater a m Beispiel gezeigt wird. Es ist zu erwarten, daB die Gewichtungsfaktoren nicht vollkommen beliebig gewahlt werden konnen. Mit ( 6 . 1 2 2) entsteht aus der Berechnungsgleichung fur die Interpolations-Matrizen ( 6 . 1 0 9 ) :

Hierin kann man K C Y ~ ( als ~ ) den Anteil der Steifigkeitsmatrix ansehen, der fur Verfahren i benutzt wird, D C Y ~ ( und ~ ) M C Y ~ ( als ~ ) die entsprechenden Anteile der Dampfungs- und Massenmatrizen. Da die Gesamtmatrizen durch die Aufteilung nicht verandert werden durfen, folgt sofort

Fur r groBer als drei wurde die Aussage willkurlich erganzt. Damit sind die Bedingungen fur das Zusammensetzen einer inversen Vandermonde-Matrix nach ( 6 . 1 2 2) bekannt. Sie wird genau so angewendet wie in rix einem einfachen Verfahren. Zur Berechnung der ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a twird die zeitlich versetzte Vandermonde-Matrix ( 6 . 1 2 0) des Verfahrens vom hochsten Grad benutzt, da nur diese alle Interpolations-Variablen umfaRt. Sollten mehrere Verfahren den hochsten Grad besitzen, dann hat man die Auswahl. Eine gewisse Ungenauigkeit in der Herleitung wurde bisher ubergangen: Wenn Verfahren mit unterschiedlichen Kollokationspunkten zusammengefaBt werden, welchen Zeitpunkt wahlt man aus fur die aufzubringenden

392

6. Lineare Dynamik

Erregerkrafte? In ( 6 . 9 8 ) sind die Krafte im Kollokationspunkt gemeint. Aber in welchem, wenn es mehrere sind? An dieser Frage erkennt man, daB der feste Boden der Kollokations-Verfahren verlassen wurde und da8 hier keine genaue Antwort zu erwarten sein wird. Man wird sich damit begniigen miissen, plausible Mittelwerte zu bilden. Meistens werden die Anderungen der Krafte innerhalb eines Zeitschrittes klein sein. Dann kommt es sowieso nicht darauf an. Bei abrupten Anderungen kann man n Doch das haben auch schon die einfachen jedoch ~ b e r r a s c h u n ~ eerleben. Zeitintegrations-Verfahren an sich, wie im Beispiel in Bild 6 . 2 8 zu sehen ist. Als Beispiel sollen die Einschritt-Verfahren vom ersten, zweiten und dritten Grad zusammengesetzt werden. Bezogen auf eine gemeinsame Zeit t sind die Interpolations-Variablen:

Die Kollokationspunkte konnen beliebig gegeneinander verschoben werden. Ihre Lagen werden durch die Parameter O(i), ( i =1,2,3), angegeben, so daR fur O(i) = 0 der Anfang und fur O(i) = 1 das Ende des Zeitschrittes gemeint ist (siehe auch Bild 6.29).

Hiermit ergeben sich die Vandermonde-Matrizen aus (6.103). Gegeniiber dem dritten Verfahren fehlt beim ersten die zweite und dritte Interpolations-Variable und beim zweiten Verfahren die dritte. Nach Bildung der inversen Vandermonden werden die des ersten und zweiten verfahrens auf die GroRe (4x4) des dritten Verfahrens gebracht. Die zugehorigen Zeilen werden durch Nullen aufgefullt und die fehlenden Spalten ebenfalls.

6.6 Direkte Zeitintegration

393

Die inverse Vandermonde-Matrix f u r das zusammengesetzte Verfahren ergibt sich aus (6.122).

Nur die ersten drei Spalten werden gebraucht. Die Gewichtungsfaktoren mussen die Bedingungen (6.123) befriedigen.

Fiir die Berechnung der u b e r t r a g u n g s - ~ a t r i xi n (6.12 1) wird die zeitlich verschobene Vandermonde-Matrix des Verfahrens mit dem hochsten Grad benotigt. Sie ist fiir Verfahren drei:

Die u b e r t r a g u n g s - ~ a t r i xk a n n dann kurz so geschrieben werden:

Hiermit ist das zusammengesetzte Verfahren vollstandig beschrieben. Je nach Wahl der Kollokationspunkte und der Gewichtungsfaktoren lassen sich sehr unterschiedliche Verfahren abbilden. Hier sollen das HHT- oder ci-Verfahren (Hilber, Hughes, Taylor), sowie das daraus herleitbare Newmark-Verfahren und die Trapez-Regel besprochen werden. In der Literatur wird das HHT-Verfahren durch die Bewegungsgleichung

beschrieben. Die Parameter a, P und y werden benutzt, um die Stabilitat und die Genauigkeit des Verfahrens zu beeinflussen. Im folgenden sollen diese Gleichungen so umgeformt werden, daB e i n Vergleich mit den oben zusammengesetzten Verfahren moglich ist. Die i n der Bewegungsgleichung auftretenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am Kollokationspunkt OU und OU sind zum Zeitpunkt der Losung noch nicht

394

6. Lineare Dynamik

bekannt. Sie miissen durch die ubertragungsgleichungen eliminiert werden. Durch Umstellen erhalt man hieraus

Dies wird i n die Bewegungsgleichung eingesetzt.

Dies muR der Bewegungsgleichung (6.98) entsprechen. Sie ist, wenn man (6.109) einfuhrt

mit den Interpolations-Variablen

Der Vergleich der Bewegungsgleichungen liefert die ersten drei Spalten einer inversen Vandermonde-Matrix:

Aus dem Vergleich mit der inversen Vandermonde-Matrix ( c ) ergeben sich mit ( b ) und ( d ) die Kollokations-Parameter O und die Gewichtungsfaktoren err fur das zugehorige zusammengesetzte Verfahren. Im Newmark-Verfahren wird der Parameter cr = 0 gesetzt. Das Teilverfahren vom ersten Grad verschwindet dann. Die Trapez-Regel ist eine weitere Spezialisierung mit den Parametern 8 = 1 / 4 und y = 1/2. Die Geschwindigkeiten werden quadratisch interpoliert, wahrend die Beschleunigungen je zur Halfte quadratisch und kubisch angenahert werden. Der Name bezieht sich auf die als ~Trapez-Regel. bezeichnete 2-Punkt Newton-Cotes-Formel von (1.144); mit der die Geschwindigkeiten aus den Beschleunigungen integriert werden. Das durch die Gleichungen ( a ) bis ( e ) beschriebene zusammengesetzte Verfahren besitzt mehr freie Parameter als das HHT-Verfahren, i n dem die Kollokationspunkte der Teilverfahren vom zweiten und dritten Grad auf das Ende des Zeitschrittes gelegt werden. Weiterhin wurden die Gewichtungsfaktoren crl fur die Verschiebungen teilweise willkurlich festgelegt.

6.6 Direkte Zeitintegration

Verfahren

Grad

@

HHT

1

l+a:

1

-2cr

Newmark

2

1

1

3 -

Trapez

2

1

1

1

3

1

0

0

a:

QI

QI

2

1

395

3

-

B

1 ? ( 3 - -1 2 2B

6 . 6 . 6 Stabilitat Eine Zeitintegration ist instabil, wenn kleine Storungen im Verlauf der Berechnung sehr groBe Veranderungen hervorrufen. Falls dies belastungsabhangig ist, kann nur die Durchfiiihrung einer Zeitintegration dariiber AufschluB geben. Dieser Fall ist hier nicht von Interesse. Gefragt ist vielmehr, ob ein Verfahren unabhangig von den Belastungen instabil werden kann und woran das liegt. Dies deutet darauf hin, daB es sich wie bei den Eigenschwingungen um ein Problem handelt, in dem allein die Freiheitsgrade betroffen sind, in denen sich die Verschiebungen nach den vorgegebenen Belastungen einstellen. Dies sind die Freiheitsgrade der Randbedingungsklasse 1. Auf diese Kennzeichnung wird im folgenden ebenso verzichtet wie auf die des Kollokationspunktes. Zur Untersuchung wird ein rekursiver Zusammenhang zwischen den Interpolations-Variablen am Anfang und am Ende eines Zeitschrittes benotigt. E r liegt bereits in ( 6 . 1 1 8 ) vor, muB aber umgeformt werden, um den belastungsabhangigen Teil herauszunehmen. In der vereinbarten Anordnung der Interpolations-Variablen steckt e r in den GroBen D ( U ) , als den unbekannten Interpolationsbedingungen. Durch Abtrennen dieses Teils entsteht aus ( 6 . 1 18 )

Mit ( 6 . 1 13) ohne Erregungen folgt daraus:

396

6. Lineare Dynamik

Die Ausdrucke in der Klammer werden zu Fortpflanzungs-Matrizen zusammengefaBt .

Das gesuchte rekursive Fortpflanzungs-Gesetz ist dann

Hierdurch werden die Interpolations-Variablen at^( U ) - des kommenP den Schrittes mit denen des gegenwartigen verbunden. Der EinfluB der Belastungen bleibt dabei unberiicksichtigt. Von einem beliebigen Anfangszustand ausgehend wird ohne weitere Belastung uber die Zeit integriert. Nach zwei Zeitschritten erhalt man

Nach v Schritten erscheint die Fortpflanzungs-Matrix in der Y -ten Potenz. Das Ergebnis bleibt endlich, solange eine im Prinzip beliebige Matrizennorm begrenzt bleibt. lim v-02

1

A"

1

= endlich

(6.126)

Mit A ist die Gesamtheit der Fortpflanzungs-Matrizen von ( 6 . 1 2 4) gemeint. Die Stabilitats-Eigenschaften eines Zeitintegrations-Verfahrens untersucht man ublicherweise an einer ungedampften Struktur mit einem Freiheitsgrad. Die uberlegungen dazu sind folgende: Durch eine HauptachsenTransformation 1aRt sich ein Problem auf Diagonalform bringen, vorausgesetzt, daB die Dampfung mit ( 6 . 5 5) proportional ist. Die Eigenwerte bleiben dabei unverandert. Man greift einen der transformierten Freiheitsgrade stellvertretend fur alle anderen heraus und untersucht das StabilitatsVerhalten. Da eine Dampfung im allgemeinen stabilisierend wirkt, liegt man bei ihrer Vernachlassigung auf der sicheren Seite. Im folgenden werden kleine Buchstaben zu Bezeichnung der Koeffizienten des Problems mit einem Freiheitsgrad verwendet. Die Steifigkeit und Masse werden durch k und m angegeben. Aus ( 6 . 1 2 4) ergibt sich die Fortpflanzungs-Matrix

Die Interpolations-Koeffizienten q folgen aus (6.1 09 ) ohne Dampfung.

6.6 Direkte Zeitintegration

397

Dies wird oben eingesetzt und der Bruch mit At L / m erweitert.

Die auf die physikalische Zeit t bezogene Eigen-Kreisfrequenz ist

Hierin ist T die zugehorige Periode. Die auf die dimensionslose Zeit z von ( 6 . 1 0 1 ) bezogene Frequenz ist dann

Sie ist unabhangig von der absoluten Zeit, aber abhangig vom Schrittweiten- Verhaltnis At / T , das die auszuwahlende Integrations-Schrittweite ins Verhaltnis zur Periode der Eigenschwingung setzt. Fur die Fortpflanzungs-Matrix ergibt sich nun

Fiir ein gegebenes Zeitintegrations-Verfahren ist diese FortpflanzungsMatrix konstant bis auf das Schrittweiten-Verhaltnis in ( 6 . 1 2 7). Um an die Information heranzukommen, ob ein Zeitintegrations-Verfahren mit einer gewahlten Schrittweite stabil ist, wird eine Zerlegung vorgenommen:

Dies ist eine Verallgemeinerung der Hauptachsen-Transformation von Abschnitt 1 . 7 . 3 fur unsymmetrische Matrizen. Die Eigenwerte h und die Links- und Rechts- Eigenvektoren y - - und x - - werden komplex. Sie Pr r4 sollen die Biorthonormal-Bedingung

erfullen. Die v-te Potenz der Fortpflanzungs-Matrix ist dann

398

6. Lineare Dynamik

weil sich die Eigenvektoren bis auf den ersten und letzten wegen ( 6 . 1 3 0 ) herausheben. Wie alle komplexen Zahlen lassen sich die Eigenwerte durch eine Exponentialfunktion darstellen:

Hierin sind p und p die Polarkoordinaten in der komplexen Zahlenebene, das heiBt, der Spektralradius und der Winkel p

=

abs h = J ~ e ( h +) ~1 m ( l I 2 ,

(6.132)

Die Potenz der Fortpflanzungs-Matrix wird mit (6 . I 3 1)

In ( 6 . 1 2 6 ) wird fur eine stabile Zeitintegration gefordert, daB dies fur beliebig hohe Potenzen v endlich bleibt. Die Eigenvektoren y p ; und xF konnen nur dann extrem groB werden, wenn schon die erste Potenz der Fortpflanzungs-Matrix unendlich ist, also von vornherein ungeeignet ist. Die Exponentialfunktion ist wegen ihres imaginaren Exponenten periodisch und endlich. Infolgedessen konnen nur die Spektralradien ein beliebiges Anwachsen verursachen. Dies tritt nicht auf, wenn

Dies ist die Stabilitatsbedingung fur ein Zeitintegrations-Verfahren! Die Zahl der Spektralradien richtet sich nach der GroBe der FortpflanzungsMatrix. Haufig wird in diesem Zusammenhang nur von einem Spektralradius gesprochen. Gemeint ist damit der gronte. Eine ubliche Struktur besitzt sehr viele Freiheitsgrade und infolgedessen auch sehr viele Eigenfrequenzen. Fur eine angenommene Schrittweite At entsteht daraus eine groBe Zahl von Schrittweiten-Verhaltnissen At/T. Das Stabilitatskriterium ( 6 . 1 3 5) muB von dem kleinsten W e r t hiervon bis zum groBten erfullt sein. Normalerweise wird man sich nur um das groBte Schrittweiten-Verhaltnis, das heiBt also um die hochste Eigenfrequenz, zu kummern haben, weil dann die Stabilitat auch fur die niedrigeren Frequenzen erfullt ist. Ein Zeitintegrations-Verfahren ist bedingt stabil, wenn die Stabilitatsbedingung erfullt ist fur ein Schrittweiten-Verhaltnis zwischen null und einem fur das Verfahren typischen kritischen Hochstwert. Da die hochste Eigenfrequenz maBgeblich ist, kann diese Forderung zu sehr kleinen Schritt-

6.6 Direkte Zeitintegration

399

weiten und damit zu sehr vielen Zeitschritten mit entsprechend hohem Berechnungsaufwand fuhren.

In unbedingt stabilen Verfahren wird die Stabilitatsbedingung fur beliebige Schrittweiten-Verhaltnisse eingehalten. Dieses Verhalten ist aunerordentlich wiinschenswert, weil das Schrittweiten-Verhaltnis im allgemeinen wesentlich groBer gewahlt werden kann als bei den bedingt stabilen Verfahren. Bestimmend wird hier die Genauigkeit in dem fur die Untersuchung wichtigen Frequenzbereich. Es konnte hier der Eindruck entstehen, daB nur unbedingt stabile Zeitintegrations-Verfahren fur die Anwendung in Frage kommen. Das ist aber ganz und gar nicht so. Fur sehr groBe Probleme vor allem im nichtlinearen Bereich mussen fast ausschlieBlich explizite Zeitintegrations- Verfahren benutzt werden. Hierbei bleibt der Aufwand fur die Gleichungslosung ( 6 . 1 1 3 ) minimal, wenn die Dampfungs- und Massenmatrix vorab diagonalisiert wurden. Es hat nicht an Versuchen gefehlt, explizite Verfahren zu konstruieren, die gleichzeitig auch unbedingt stabil sind. Wie sich zeigen wird, geraten diese Forderungen jedoch in Widerspruch. Eine VergroBerung des Schrittweiten-Verhaltnisses At/ T erzeugt in ( 6 . 1 2 7 ) eine hohere Eigenfrequenz w. Die Koeffizienten der FortpflanzungsMatrix ( 6 . 1 2 8 ) und mit ihnen ihre Eigenwerte und Spektralradien werden dann kleiner, wenn die Koeffizienten der inversen Vandermonde-Matrix z-absolut kleiner sind als Das Verfahren konnte unbedingt stabil PI sein. Nun verlangt aber ( 6 . 1 1 6 ) fur ein explizites Verfahren, daB der Koeffizient z> null wird. Also wachsen dann die Koeffizienten der Fortpflanzungs-Matrix mit steigendem Schrittweiten-Verhaltnis an. Es folgt: Ein explizites Zeitintegra tions- Verfahren kann nich t unbedingt sta bil sein.

(6.136)

Zur Verringerung des Berechnungsaufwandes kann man also gezwungen sein, auch bedingt stabile Zeitintegrations-Verfahren anzuwenden! Es sol1 die Stabilitatsgrenze des zentralen Differenzen-Verfahrens ermittelt werden. Die inverse Vandermonde-Matrix ist im Beispiel zu Abschnitt 6.6.2 unter ( a ) angegeben, die u b e r t r a g u n g s - ~ a t r i x unter ( f ) irn Beispiel von 6.6.4.

Aus (6.128) ergibt sich die Fortpflanzungs-Matrix

400

6. Lineare Dynamik

Die charakteristische Gleichung (1.156) ist

mit den Losungen (i) 1st der Ausdruck unter der Wurzel positiv, dann sind die Losungen reel1 und mindestens ein Spektralradius wird groDer als eins, das heiRt e r liegt auRerhalb des Stabilitatsbereiches von (6.135). 1st der Ausdruck negativ, dann erhalt man:

Die Eigenwerte sind also konjugiert komplex. Mit (6.132) liefern sie den gemeinsamen Spektralradius

Hiermit ist die Stabilitatsbedingung (6.135) f u r ein beliebiges Schrittweiten-verhaltnis unterhalb des kritischen Schrittweiten-Verhaltnisses erfullt. Dieses erhalt m a n aus ( i ) f u r den Fall: daR der Ausdruck unter der Wurzel null ist:

Dies liefert die Unter- und Obergrenzen w gleich 0 und 2. Mit (6.127) folgt f u r den oberen Wert

Das Verhaltnis der Schrittweite zur Periode der hochsten i n einer Struktur vorkommenden Eigenfrequenz darf diesen Wert nicht uberschreiten. Sollte diese Grenze uberschritten werden, dann wachsen i n einer Zeitintegration mit dem zentralen Differenzen-Verfahren die Verschiebungen sehr schnell uber alle Grenzen an. Als Beispiel f u r e i n unbedingt stabiles Verfahren sol1 das Wilson-O-Verfahren untersucht werden. Es wurde bereits i n Abschnitt 6.6.4 definiert. Bild 6.30 zeigt die maximalen Spektralradien der Fortpflanzungs-Matrix (6.12 8 ) i n Abhangigkeit von einigen Werten des Kollokations-Parameters O. Mit O = 1 ist das Verfahren identisch mit dem ursprunglichen Einschritt-Kollokations-Verfahren dritten Grades. Es ist n u r stabil bis zum Schrittweiten-Verhaltnis At/T = 0,55. Fur O = 1,3 verschiebt sich diese Grenze bereits nach At/T = 1,18 und ab O = 1,366 bleiben alle Spektralradien unterhalb von 1; dann ist das Verfahren unbedingt stabil. Ab O = 1,421 bleiben auch fiir groRe Schrittweiten-Verhaltnisse zwei Eigenwerte der Fortpflanzungs-Matrix konjugiert komplex, das heist, sie liefern denselben Spektralradius. Ein Eigenwert ist immer reel1 und wird auch als unechte Wurzel (spurious root) bezeichnet. Sein EinfluR auf die Stabilitat ist

6.6 Direkte Zeitintegration

nebensachlich. Andere Zeitintegrations-Verfahren dritten Prinzip ahnliches Verhalten.

401

Grades zeigen ein im

Bild 6.30: Maximale Spektralradien des Wilson-O-Verfahrens.

6 . 6 . 7 Genauigkeit Durch eine Zeitintegration wird eine Naherung uber die Zeit hergestellt, die im Prinzip nicht anders zu sehen ist wie die Naherung, die durch ein Finit-Element-Model1 im Raum geschaffen wird: Eine Fehlerabschatzung erhalt man entweder durch den Vergleich wiederholter Durchrechnungen mit Modellverfeinerungen oder durch Fehlerindikatoren. Bezogen auf die Zeitintegration bedeutet dies den Vergleich von Berechnungsergebnissen erzeugt mit veranderten Schrittweiten, anderen Verfahren, oder zum Beispiel die Kontrolle der Abweichungen von der Bewegungsgleichung. Diese Aussagen beziehen sich auf die Genauigkeit von Berechnungsergebnissen bei gegebenen mechanischen Strukturen. Es lassen sich jedoch auch noch andere Aussagen machen, die sich nur auf die Verfahren und den EinfluB der Schrittweite beziehen, unabhangig von einem gegebenen Berechnungsproblem. Hiermit wird sich der folgende Abschnitt befassen. Diese Fragestellung ist vergleichbar mit der Untersuchung einzelner finiter Elemente im Raum. Sie ist nur wesentlich einfacher, weil die Zeit unabhangig vom Raum als eindimensionales Kontinuum betrachtet wird. Das folgende Beispiel sol1 zeigen, welche Ungenauigkeiten durch eine Zeitintegration entstehen konnen.

Bild 6.31: Struktur aus zwei Simplex-Elementen.

402

6. Lineare Dynamik

Zu Beginn wird der Punkt 2 um den Betrag 0,75 ausgelenkt. Am Punkt 1 soll keine PuBere Kraft wirken; die statische Auslenkung ist dann 0,6. Nachdem der Punkt 2 losgelassen wird, f u h r t die Struktur ihre Eigenschwingungen aus. In Bild 6.32 ist der zeitliche Verlauf fiir den P u n k t 1 dargestellt.

Bild 6.32: Verschiebung im Punkt 1. Durchgezogene Linie: exakter Verlauf. Markierte Punkte: Berechnungsergebnisse des Wilson-O-Verfahrens mit O = 1,41 4 und dem Zeitschritt A t = 0;05 (Schrittweiten-Verhaltnisse A t / T = 0,106 und 0,687).

Durch eine Zeitintegration konnen sowohl die Amplituden als auch die Frequenzen, beziehungsweise deren Perioden, verandert werden. Dies ist in hohem MaBe vom Schrittweiten-Verhaltnis abhangig. Je kleiner das Schrittweiten-Verhaltnis, desto besser die Genauigkeit. Bei einem expliziten Verfahren muB die Schrittweite schon wegen der Stabilitat sehr klein gemacht werden, so daB sie fur die Genauigkeit in den niedrigeren FrequenZen mehr als ausreichend ist. Anders ist es bei den unbedingt stabilen Verfahren: Hier will man wegen des Berechnungsaufwandes die Schrittweite groBer wahlen. Den Frequenzbereich unterteilt man in zwei Teile: die hohen Frequenzen, deren EinfluB moglichst unterdruckt werden soll, und die niedrigen, die man moglichst genau abbilden mochte. Die Grenzfrequenz dazwischen ist maBgeblich fiir die Wahl des Schrittweiten-Verhaltnisses. Ein ideales Zeitintegrations-Verfahren wiirde alle Einfliisse oberhalb der Grenzfrequenz vollstandig unterdrucken und unterhalb ein genaues Abbild liefern. Das ist so jedoch nicht moglich. D e r ubergang vollzieht sich kontinuierlich. Die hohen Frequenzen lassen sich zwar starker dampfen als die niedrigen, aber diese algorithmische Dampfung beeinflufit alle FrequenZen mehr oder weniger. Dazu kommt dann noch, daB eine groBere Dampfung der hohen Frequenzen die Wiedergabe der niedrigeren verschlechtert, indem sie deren Perioden vergroBert. Diesen gegenlaufigen Tendenzen begegnet man mit zusammengesetzten Verfahren, wie sie in Abschnitt 6 . 6 . 5 besprochen wurden. Fur die Genauigkeits-Untersuchung wird wieder der Einmassen-Schwinger verwendet, der schon im vorhergehenden Abschnitt fur die Stabilitats-Unter-

6.6 Direkte Zeitintegration

403

suchung benutzt wurde. Nach v Zeitschritten der Lange A t im SchrittweitenVerhaltnis A t / T ergibt sich aus dem rekursiven Fortpflanzungs-Gesetz (6.125)

Hierin sind OD ( u ) und V~ ( u ) die Anfangs- und Endwerte der Interpolations-Variablen und a i j ist die v-te Potenz der FortpflanzungsMatrix. Um eine ubersichtlichere Anordnung der Indizes zu erzeugen, wurden gegeniiber ( 6 . 1 2 5) auf der rechten Seite die Terme vertauscht. Das ist hier moglich, weil das System nur einen Freiheitsgrad hat, so daB die Reihenfolge der symbolischen Schreibweise fur A und U keine Rolle mehr spielt. Die Fortpflanzungs-Matrix wird wie in ( 6 . 1 2 9 ) zerlegt und die entstandene Gleichung mit den Links-Eigenvektoren multipliziert. Wegen der Biorthonormal-Bedingung ( 6 . 1 3 0) ergibt sich daraus

Die komplexen Linearkombinationen der Interpolations-Variablen werden als neue GroBen eingefuhrt:

Hiermit entsteht dann

Dies ist das Fortpflanzungs-Gesetz der transformierten InterpolationsVariablen d ( u )p . Die Fortpflanzungs-Matrix ist zur Diagonalmatrix ihrer Eigenwerte geworden. Es erscheint keine Summe, das heiBt, die Gleichungen sind entkoppelt. D e r Exponent in ( 6 . 1 3 8) nimmt die ganzzahligen W e r t e v = 1 , 2 ,... an. Die zugehorigen Zeiten, gemessen in der dimensionslosen Zeit von (6 . I 0 I ) , sind z = 1 , 2 ,. . . . Ersetzt man v durch z, dann entsteht eine kontinuierliche Funktion, die durch die diskreten Punkte von ( 6 . 1 3 8 ) verlauft. Weiterhin werden die neuen Parameter Yi;

= log

A-

P

.'

( j

=

l...n-1)

(6.139)

eingefuhrt. Damit nimmt das Fortpflanzungs-Gesetz folgende Form an:

404

6. Lineare Dynamik

Dies ist eine Schwingungsgleichung der Form ( 6 . 5 7 ) mit den Anfangswerten ' d ( u ) - , den momentanen Werten ' d ( u ) p und den komplexen Exponenten P y - . Durch die Umformungen ist es gelungen, eine kontinuierliche ErsatzP funktion zu konstruieren, die genau durch die diskreten Punkte des transformierten Fortpflanzungs-Gesetzes ( 6 . 1 3 8 ) verlauft. Worauf es dabei ankommt, sind die Exponenten y p , denn durch sie werden sowohl die Frequenz als auch die Dampfung bestimmt. Diese wiederum beschreiben nicht nur das Verhalten irgendwelcher transformierter InterpolationsVariablen d ( u ) - , sondern ebenso das der gesamten Schwingung einschlieBP lich der Verschiebungen, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen. Mit Hilfe der (naturlichen) Logarithmen der Eigenwerte der FortpflanzungsMatrix erhalt man in ( 6 . 1 3 9 ) die gesuchten Aussagen zur Genauigkeit eines Zeitintegrations-Verfahrens. Der Weg dorthin laBt sich etwas vereinfachen, wenn man fur die Eigenwerte direkt die Exponentialfunktion ( 6 . 1 3 1 ) einfuhrt mit dem Radius ( 6 . 1 3 2 ) und dem Winkel ( 6 . 1 3 3). Anstelle von ( 6 . 1 4 0) ergibt sich

In dieser Form erkennt man sofort den Bewegungsablauf. Die Faktoren p$ beschreiben ein monotones Auf- oder Abklingen der Amplituden, wahrend e F~ ' eine Schwingung mit der Kreisfrequenz p - verursacht. P

Nach einem Zeitschritt t = At , das heiBt z = 1 ; verandert sich die Amplitude um den Faktor pp . Wegen des Stabilitatskriteriums ( 6 . 1 3 5) ist dieser kleiner oder gleich eins. Es handelt sich also um eine Dampfung. Da pp auf die Lange des Zeitschrittes bezogen ist, ist es als Ma8 nicht sehr vorteilhaft. Es bieten sich zwei andere Bezugszeiten an: Die Schwingungsperiode des gedampften Schwingers, die aus ( 6 . 1 4 1 ) folgt, oder die des ungedampften, der Zeitintegration zugrunde liegenden Schwingers. Da die Periode in ( 6 . 1 4 1 ) sehr starken Veranderungen unterliegen kann oder bei reellen Eigenwerten unendlich wird, sol1 die zweite Alternative aufgegriffen werden. Diese Periode ist T. Die zugehorige Zeit z von ( 6 . 1 0 1 ) ist T/At. Das Verhaltnis der Amplitude nach einer Periode T zu ihrem Anfangswert ist dann

Dieses Amplituden- Verhaltnis ist ein MaB fur die numerische Dampfung eines Zeitintegrations-Verfahrens. Es ergibt sich aus den Spektralradien

6.6 Direkte Zeitintegration

405

( 6 . 1 3 2) der Fortpflanzungs-Matrix potenziert mit dem inversen Schrittweiten-Verhaltnis. Nicht nur die Amplituden konnen durch ein Zeitintegrations-Verfahren verandert werden. Fur die Frequenzen ergibt sich mit ( 6 . 1 2 7 )

Dieses Frequenz- Verhaltnis setzt die durch die Zeitintegration wiedergegebenen Frequenzen p - von ( 6 . 1 3 3 ) in Beziehung zur exakten EigenfreP quenz w des Schwingers. Da in ( 6 . 1 2 7) fur w ein positives Vorzeichen gewahlt wurde, mu8 dies auch fur p p gelten; deshalb wurde der absolute W e r t eingefuhrt. 1st das Frequenz-Verhaltnis kleiner als eins, dann bedeutet dies eine Erniedrigung oder, wie es auch ausgedruckt wird, eine PeriodenVerlangerung. Das Perioden- Verhaltnis

ist der Kehrwert des Frequenz-Verhdtnisses. Die Zeit T i s t die durch die Zeitintegration wiedergegebene Periode. Fur jeden W e r t 5 = 1 . . . n - I ergibt sich ein Amplituden- und ein Frequenz-Verhaltnis. Es ist aber nicht so, da8 alle gleich wichtig sind. Im allgemeinen ist es nur je ein W e r t . Fur einen reellen Eigenwert h p ist das Frequenz- Verhaltnis ( 6 . 1 4 3) null. Fur diesen Term beschreibt das Zeitintegrations- Verfahren eine monoton abklingende Bewegung, die allenfalls von untergeordnetem Interesse ist. Einzelne komplexe Eigenwerte treten bei gebrauchlichen Verfahren nicht auf. Sie erscheinen als konjug i e r t komplexe Paare. Da ihr Absolutwert gleich ist, ergibt sich hierfiir in ( 6 . 1 3 2) nur ein Radius und in (6 . I 4 2) nur ein Amplituden-Verhaltnis. In ( 6 . 1 3 3) ergibt sich dieselbe Frequenz, allerdings mit wechselndem Vorzeichen, was aber fur das Frequenz-Verhaltnis ( 6 . 1 4 3 ) ohne Folgen bleibt. Konjugiert komplexe Eigenwerte beschreiben also dieselbe Losung! Die Amplituden- und Frequenz-Verhaltnisse beschreiben das globale Verhalten von Zeitintegrations-Verfahren. Lokal, das hei8t innerhalb weniger aufeinanderfolgender Zeitschritte, konnen sich vor allem bei unbedingt stabilen Verfahren immer noch groBere Abweichungen ergeben. Diese Storungen werden vor allem durch Sprunge in den Belastungen angeregt, wie sie zum Beispiel beim Beginn einer Zeitintegration auftreten n konnen. Man bezeichnet diese Erscheinung als ~ b e r s c h i e ~ e(overshoot). Die Periode der Storungen ist gleich der doppelten Schrittweite, weil die groBten Koeffizienten in den aufeinanderfolgenden Potenzen der Fortpflan-

406

6. Lineare Dynamik

zungs-Matrix bei groBen Schrittweiten-Verhaltnissen ihr Vorzeichen wechseln. Hieran erkennt man, ob ein Verfahren in dieser Beziehung anfallig ist. Transiente Storungen klingen schnell ab, wenn ein Verfahren eine hinreichende numerische Dampfung besitzt. Es ist also keinesfalls wiinschenswert, daB ein Verfahren eine sehr geringe Dampfung besitzt, obwohl das andererseits f ~ i rdie globale Genauigkeit von Vorteil sein kann. Ein fur die Anwendung taugliches Verfahren stellt immer einen KompromiR zwischen diesen widerspruchlichen Anforderungen her. Ein fur alle Anwendungen ,,bestescc Verfahren kann es deshalb nicht geben. Die in Abschnitt 6 . 6 . 5 erwahnte Trapez-Regel ist unbedingt stabil, besitzt jedoch keine Dampfung. Sie wird allenfalls fur mechanisch stark gedampfte Probleme verwendet; fur andere Anwendungen ist sie untauglich. Wie sich i n dem Beispiel zur Stabilitat gezeigt hat, muB f u r das zentrale Differenzen~ Verfahren das Schrittweiten-Verhaltnis unterhalb des kritischen Wertes 1 / liegen. Die Eigenwerte sind dann konjugiert komplex, so daR ihre Amplituden- und FrequenzVerhaltnisse zusammenfallen. Der Spektralradius war dann gleich eins, womit das Amplituden-Verhaltnis (6.142) ebenfalls eins wird. Das Verfahren besitzt also keine Dampfung. Das ist i n diesem Fall auch nicht notig, weil sich die kritische Schrittweite nach der hochsten Eigenfrequenz i n einer Struktur zu richten hat. Fur das Schrittweiten-Verhaltnis A t / t

=

0 , l ergibt sich aus (6.127) die Eigenfrequenz

Der Real- und Imaginarteil der Eigenwerte sind im Beispiel des vorhergehenden Abschnittes bereits unter ( j ) angegeben. Mit obigem Wert f u r w ergibt sich

Aus (6.133) folgt damit der Winkel

Das Frequenz-Verhaltnis (6.143) ist dann

Um diesen Faktor erhoht sich die Eigenfrequenz infolge der Zeitintegration. Ausgedruckt durch das Perioden-Verhaltnis (6.144) ist dieser Fehler

Die Abweichung von den exakten Werten ist also etwa 1,7%.Fur eine Zeitintegration bedeutet dies eine gute Genauigkeit. Alle niedrigeren Frequenzen in einer gegebenen Struktur werden mit derselben Schrittweite integriert, wobei dann das jeweilige Schrittweiten-Verhaltnis kleiner ist. Sie werden also noch genauer wiedergegeben. Im Vergleich dazu bieten die unbedingt stabilen Zeitintegrations-Verfahren bei gleichem Schrittweiten-Verhaltnis eine geringere Genauigkeit. Fur dasselbe Schritt-

6.6 Direkte Zeitintegration

407

weiten-Verhaltnis A t / T = 0 , l wie i n obigem Beispiel liefert das Wilson-O-Verfahren mit @ = 1,4 die Eigenwerte der Fortpflanzungs-Matrix

Der erste Eigenwert ist gleich seinem Spektralradius. Das Amplituden-Verhaltnis (6.142) wird damit

Dieser Anteil der Zeitintegration klingt also sehr schnell ab, ohne eine zugeordnete Schwingung. Das belegt die weiter oben gemachte Bemerkung, daR die reellen Eigenwerte keinen wesentlichen EinfluR haben. Fur die konjugiert komplexen Eigenwerte h2,3folgt aus (6.132) und (6.133)

Mit (6.142) und (6.143) ergeben sich das Amplituden- und Frequenz-Verhaltnis

Das bedeutet, daR die Amplitude uber eine Periode um 8% gedampft wird und die Frequenz urn 5,8% erniedrigt. Fur das zentrale Differenzen-Verfahren waren f u r dasselbe Schrittweiten-Verhaltnis keine Dampfung und eine Frequenzerhohung von 1,7% gefunden worden, also deutlich bessere Werte. Hierbei darf jedoch nicht iibersehen werden, daR f u r das zentrale Differenzen-Verfahren die hochste Eigenfrequenz i n einer Struktur maRgebend ist, wahrend fiir ein unbedingt stabiles Verfahren, wie dem Wilson-@-Verfahren, die im allgemeinen erheblich niedrigere Grenzfrequenz herangezogen wird.

6 . 6 . 8 Standard-Verfahren Im folgenden werden einige fiir die Anwendung oder die Herleitungen wichtigeren Verfahren zusammengestellt. Die benutzten Vereinbarungen sind: -

-

-

Die Bewegungsgleichung wird in der Form (6.9 6) gelost, das heiBt als System zweiter Ordnung; Die Zeit t - to = 0 fallt auf den Kollokationspunkt; Zur Kennzeichnung der Interpolations-Variablen wird ihr Zeitpunkt oben links angeschrieben; Die in einem Zeitschritt zu berechnende Interpolations-Variable steht jeweils an letzter Stelle.

Die Beschreibung eines Verfahrens ist vollstandig, wenn die InterpolationsVariablen D ( U ) p , die inverse Vandermonde-Matrix z P , ( r = 1 , 2 , 3 ) , und die ubertragungs-Matrix gpp bekannt sind. Die Amplituden- und Frequenz-Verhaltnisse u/Ou und p / w von ( 6 . 1 4 2 ) und ( 6 . 1 4 3) dienen zur Abschatzung der Genauigkeit in einigen typischen Fallen.

408

6. Lineare Dynamik

Zentrales Differemen-Verfahren:

(Abschnitte 6.6:1,2,4,6,7)

Verhijltnis

0,2

at/T

0 0

0,l

0,2

0,3

0 4

095

GroRe numerische Dampfung

Wll~~n-@-Verfahren: (Abschnitte

gpp =

(at/tIcr

I

0 0 0

=

-3 -2 1 / 2 3

-6 -6 -2 6

43/ T fiir

o=

Unbedingt stabil fur @ Bild: 0 = 1,5

2

6.6:4,6,7)

1,2 1 ,o

Frequenz-Verhijltnis

0,8 0,6

1

1,366

0 $4 0 $2 0 0

0,l

0,2

0,3

0,4

0,5

409

6.6 Direkte Zeitintegration

HHT-Verfahren:

gpp = [ Unbedingt -1/3 5 = 1 y = (1-

(Abschnitt 6.6.7)

2 - I Pl

2 - I

P2

22-I P3

1,2

1

1 ,o

stabil f u r :

0,8

ar5 0

0,6

~ ) ~ 2 / 4 2ar)/2

Frequenz-Verhaltn

0,4 0 $2

Bild: cr = - 0,05; y = 0,55

=

0

0,275625;

0

Newmark-Verfahren:

1,2

Unbedingt stabil fiir:

0,8

Bild:

0,2 0

=

0,3; y

Trapez-Regel:

=

0,2

0,3

0,4

0,s

(Abschnitt 6.6.7)

Sonderfall des HHT-Verfahrens f u r ar = 0

B

0,l

0,6

1 ,o

At/T

(Abschnitt 6.6.7)

Sonderfall des NewmarkVerfahrens fur: 8 = 1/4; y = 1/2

7,2

1,o 0,8 0,6

Unbedingt stabil, aber keine numerische Dampfung.

Frequenz-VerhGltnis

0,4 0,2

6 . 6 . 9 ubungen u b u n g 6.29: Die Interpolations-Variablen eines Einschritt-Verfahrens zweiten Grades seien:

Schreiben Sie die Bewegungs- und die ~ b e r t r a ~ u n g s - ~ l e i c h u n g(6.98) en und (6.118) aus.

410

6. Lineare Dynamik

u b u n g 6.3 0: Um wahrend einer Zeitintegration mit dem zentralen Differenzen-Verfahren die Schrittweite andern zu konnen; werden die Interpolations-Variablen

D ( UIp

=

[

at^

U

s n t ~1

mit S als einem freien Parameter verwendet. Bestimmen Sie die inverse Vandermonde-Matrix und die ~ b e r t r a g u n g s - ~ a t r i x . Hinweis: Da die Schrittweite variabel ist, kann (6.120) nicht verwendet werden. u b u n g 6.3 1: Wiederholen Sie die ersten Schritte der Zeitintegration des Beispiels von Abschnitt 6.6.4 mit dem Zeitschritt At = 0,5 unter sonst gleichen Bedingungen. Welchen deutlichen Unterschied gegenuber dem Beispiel stellen Sie fest?

bung 6.3 2: Es sol1 ein zusammengesetztes Zeitintegrations-Verfahren aus den Lagrange-Interpolationen D ( U ) p (1)

-

[ -2atu

a t U

O u

I

,

gebildet werden. Bestimmen Sie die inverse Vandermonde- und die ~ b e r t r a g u n g s Matrix. u b u n g 6.3 3: Bestimmen Sie den Spektralradius der Fortpflanzungs-Matrix des Verfahrens von u b u n g 6.3 0. Interpretieren Sie das Ergebnis. u b u n g 6.3 4: Wie groR sind die kritischen Schrittweiten-Verhaltnisse fur die Einschritt-Kollokations-Verf ahren:

bung 6.35: Vergleichen Sie die Amplituden- und Frequenz-Verhaltnisse der Verfahren von ubung 6.34 fiir das Schrittweiten-Verhzltnis a t / T = 115. Wie beurteilen Sie das Ergebnis? bung 6.36: Ein quadratisches Einschritt-Verfahren mit variablem Kollokationspunkt sei definiert durch die Interpolations-Variablen

Ermitteln Sie die Eigenwerte der Fortpflanzungs-Matrix. a) In welchem Bereich von O sind diese konjugiert komplex? b) In welchem Teilbereich hiervon ist das Verfahren unbedingt stabil? c) Berechnen Sie das Amplituden- und Frequenz-Verhaltnis f u r O = 0,55 und a t / T = 0,l.

7. Struktur-Techniken

In den Kapiteln 3 und 6 wurden die Stationen beschrieben, die beim Zusammenbau der Koeffizienten-Matrizen und der Losung fur eine statische oder dynamische Berechnung zu durchlaufen sind. Urn den Stoff auf das Wesentliche zu beschranken, wurden mogliche Veranderungen und Eingriffe in den Ablauf zuruckgestellt. Einige der wenigen Ausnahmen hiervon waren zum Beispiel die Elimination von Freiheitsgraden im Abschnitt 3 . 2 . 4 und die Sonderbehandlung starrer Auflager in 3 . 2 . 5 . In dem jetzt folgenden Kapitel sind die wichtigsten Techniken zusammengestellt, die angewendet werden, um die Zahl der Freiheitsgrade zu reduzieren, Zusatzbedingungen oder innere Belastungen einzufuhren und den Aufbau der Matrizen zu unterteilen. Meist handelt es sich dabei um Mafinahmen, die erst bei grofien Problemen wichtig werden. Im Mittelpunkt steht die Beschreibung der Gesamtstruktur.

7.1 Kondensation Vor allem bei dynamischen Problemen kann die Zahl der gegebenen Freiheitsgrade den Analyseaufwand schnell in die Hohe treiben. Die Kapazitat der zur Verfugung stehenden Rechner ist dabei immer ein beschrankender Faktor, da mit einer Leistungssteigerung auf der Rechnerseite naturgemal3 eine Erhohung der Anforderungen und eine Zunahme der Komplexitat auf der Aufgabenseite einhergeht. Es ist eine vielgeubte Praxis, Finit-ElementModelle nach den Anforderungen einer Spannungsberechnung auszulegen, das heifit mit erheblichen Element-Verfeinerungen an kritischen Stellen und Lasteinleitungen. Dasselbe Model1 sol1 anschliefiend zum Beispiel fur die Eigenschwingungs-Berechnung verwendet werden. Das dynamische Verhalten wird aber in erster Linie durch die globalen Eigenschaften bestimmt, die durch Steifigkeit und Masse gegeben sind. Fur die erforderliche, moglichst genaue Abbildung der Steifigkeits- und Massenverteilung sind die Verfeinerungen fur die Spannungs-Berechnung vollkommen unnotig, beziehungsweise schadlich, weil sie den Aufwand nur in die Hohe treiben. Gesucht ist eine Technik, die ein gegebenes Model1 nentfeinertcc. Das geschieht mit Hilfe einer Kondensation.

412

7. Struktur-Techniken

An dieser Stelle ist eine kritische Bemerkung angebracht. Solange die Problemstellungen der Statik und Dynamik entkoppelt sind, ist es vom Standpunkt der Berechnung aus gesehen bei weitem die bessere Losung, fur beide getrennt aufgebaute Modelle zu verwenden. Der Grund hierfur sind die zu unterschiedlichen Anforderungen. Die Statik verlangt eine hohe lokale Auflosung bei geringem Losungsaufwand pro Freiheitsgrad. In der Dynamik werden globale Vorgange abgebildet, wobei der Losungsaufwand pro Freiheitsgrad aber sehr groR ist. Vermeintliche Einsparungen durch Verwendung ein und desselben (Spannungs-) Modells werden dadurch mehr als zunichte gemacht. Wenn man auf eine getrennte Modellerstellung verzichtet oder beide Modelle nicht aufeinander abgestimmt aus derselben Datenbasis erzeugt werden, kann durch die Kondensation eine erhebliche Verringerung des Berechnungsaufwandes erzielt werden.

7.1 .1 Transformation Eine Kondensation beruht immer auf einer Transformation. Verschiedene Verfahren unterscheiden sich dadurch, wie die zugehorigen TransformationsMatrizen erzeugt werden. Eine allgemeine Transformation des statischen Kraft-Verschiebungs-Gesetzes findet sich bereits in ( 3 . 1 ) bis ( 3 . 6 ) . Hier wird das durch die dynamischen Terme erweiterte Gesetz in Form der Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) herangezogen. Im wesentlichen wiederholt sich dabei die Herleitung aus Abschnitt 3 . I . Auf einen Teil der Herleitung konnte hier also verzichtet werden. Wegen der grundsatzlichen Bedeutung des Ergebnisses geschieht das jedoch nicht. Gegeben sei eine Transformation von der Form ( 3 . 2 ) :

Hierin sind UA und UZ die Verschiebungen vor und nach der Transformation und TAA ist die zugehorige Transformations-Matrix, fur die hier festgelegt wird, daB sie nicht zeitabhangig sein soll. Infolgedessen gilt dieselbe Transformation auch fiir die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Die Zahl N der transformierten Freiheitsgrade soll gleich oder kleiner sein als die Zahl N der ursprunglichen. Fur eine Kondensation ist N im allgemeinen bedeutend kleiner als N. Um sinnlose Verdoppelungen der Abbildung zu vermeiden, sollte die Transformations-Matrix spaltenregular sein, das heiBt es sollten keine linearen Abhangigkeiten zwischen den Spalten bestehen. Die virtuellen Arbeiten vor und nach der Transformation sind:

7.1 Kondensation

413

Da es sich in beiden Fallen um unterschiedliche Beschreibungen ein und desselben Systems handelt, mussen die Arbeiten gleich sein.

Einsetzen von ( 7 . 2 ) , ( 7 . 3 ) und ( 7 . 1 ) und Ausfuhren der Variation von SUA ergibt -

FA

=

1 T F A

A

A

A

; ( A = 1... N ; A = I... N).

(7.5)

Dies ist das Transformations-Gesetz der Krafte, das durch die Transformation der Verschiebungen ( 7 . l ) erzeugt wird. Die Krafte FA werden nun durch die Bewegungsgleichung ( 6 . 1 ) ausgedruckt und dann die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durch ( 7 . 1 ) transformiert. Es entsteht die transformierte Bewegungsgleichung

(A, B =

I... N).

Die transformierten Steifigkeits-, Dampfungs- und Massen-Matrizen sind

Sie besitzen die gleichen formalen Eigenschaften wie die nicht transformierten Matrizen. Insbesondere sind sie symmetrisch. Welche Auswirkungen hat die Transformation auf das Verhalten einer Struktur? Im Vordergrund steht hier die Frage nach dem dynamischen Verhalten, wobei der EinfluB der Dampfung vernachlassigt wird, um zu einfachen Aussagen zu gelangen. Fur die Transformations-Matrix wird folgender Ansatz gemacht:

414

7. Struktur-Techniken

Hierin sind OAB die Schwingungsformen des Ausgangssystems und C B A sind die jeweiligen Anteile, die sie in der Spalte A der TransformationsMatrix einnehmen. Jede nichtverschwindende Spalte einer TransformationsMatrix der Lange N ist immer eine Linearkombination der Eigenschwingungsformen eines Problems der GroBe N, weil die Modalmatrix QAB den gesamten zur Verfiigung stehenden Funktionsraum aufspannt. Die Darstellung ( 7 . 1 0 ) ist deshalb kein Sonderfall. Wie in ( 5 . 7 7 ) und an vielen anderen Stellen handelt es sich hier wieder um einen Ritzschen Ansatz. Der Funktionsraum wird durch die Schwingungsformen definiert; die numerischen Freiwerte werden durch die Anteile CBA dargestellt. Die Transformationen ( 7 . 7 ) und ( 7 . 9 ) werden nun ausgefuhrt.

Durch die Modalmatrix werden die Steifigkeits- und Massen-Matrizen auf Diagonalform transformiert. Mit (6.6 6) und ( 6 . 6 5) und Ausfiihren einer Summe ergibt sich damit

An ( 7 . 1 1) kann man ablesen, daB das transformierte System den EinfluB, oder besser gesagt die Approximation, einer Eigenfrequenz wc nur dann enthalten kann, wenn die zugehorige Schwingungsform in der Transformations-Matrix durch entsprechende Anteile CCA abgebildet wird. Es kann also durchaus vorkommen, daB eine Eigenfrequenz in dem zu untersuchenden Bereich >>verlorengehtcc.Mit den Moglichkeiten, dies zu verhindern, beschaftigen sich die folgenden Unterabschnitte. Hier sol1 noch untersucht werden, in welchen Bereichen die Schwingungsfrequenzen im transformierten System abgebildet werden. Hierzu werden die zwei Extremfiille fur N = N und N = 1 herausgegriffen. Fur N = N liegt keine Kondensation vor. Die Transformationen ( 7 . 7 ) und ( 7 . 9 ) mit einer nichtsingularen Transformations-Matrix TAA beschreiben eine kongruente Transformation nach ( 1 . 1 5 7) und ( 1 . 1 5 9); die die Eigenwerte und damit die Frequenzen nicht verandert. Mit G = w wird derselbe Funktionsraum beschrieben. Lediglich die Schwingungsformen werden scheinbar

7.1 Kondensation

415

verandert, weil das Bezugssystem ein anderes ist. Absolut gesehen bleiben sie dieselben, aber das ist hier von untergeordnetem Interesse. Fur N = 1 folgt aus ( 7 . 1 1 ) und ( 7 . 1 2)

Die Schwingungsgleichung ( 6 . 5 9 ) fiir das transformierte System mit einem Freiheitsgrad ist

Dies kann man nach GI2 auflosen:

Es zeigt, daB die Eigenfrequenz des transformierten Systems eine Linearkombination der Eigenfrequenzen des Ausgangssystems ist. Am einfachsten sieht man das fur den Fall N = 2 :

Wenn wl

4

w2 ist, dann kann Gl nur in dem Interval1 wl < Gl I w2 liegen.

Fur die Falle von N

=

N bis hinunter zu

mln

A

= 1 gilt dann in Analogie

-

-

w . s w - s w

N

max

;

(A = I . . .

Die Eigenfrequenzen des transformierten Systems werden also von denen des Ausgangssystems eingeschachtelt. ~ b e rdie Genauigkeit ist damit nichts gesagt. Eine Auskunft hieruber kann man praktisch nur dadurch bekommen, indem man ein deutlich groBeres kondensiertes System fur eine Vergleichsrechnung heranzieht oder das Ausgangssystem selbst zu Grunde legt. Gerade das will man aber wegen des groBen Berechnungsaufwandes vermeiden. Wie bei ( 7 . 1 1 ) gesagt wurde, kommt es vordringlich darauf an, den Anteil der Schwingungsformen zu den interessierenden Frequenzen in ( 7 . 1 0 ) moglichst groB zu machen. Fur das kondensierte Problem werden die Eigenfrequenzen 6;i und die Schwingungsformen 6;iB berechnet. Wie fiir das Ausgangsproblem in

416

7. Struktur-Techniken

(6.6 5) und (6.6 6) gefordert, sollen auch hier durch die Berechnungsvorschrift die Hauptachsen-Bedingungen

eingehalten sein. Die Schwingungsformen sind Verschiebungsfiguren. Mit der VerschiebungsTransformation (7 . l ) laBt sich also herstellen -

0A B-

=

C-

A

TA A-

6A-B-

;

( A = 1 ... N ; A , B = I ... N ) .

An dem ersten Index erkennt man, daB 6AB die auf das Ausgangsproblem zurucktransformierten Schwingungsformen sind. Sie werden gebraucht, um eine physikalisch interpretierbare Darstellung zu erhalten, denn die fur das kondensierte Problem berechneten $AE beziehen sich im allgemeinen auf unanschauliche Zusammenfassungen von Freiheitsgraden. Diese zurucktransformierten Schwingungsformen erfullen ihrerseits die Hauptachsen-Bedingungen: -

1 A, B

-

0

MAB ~ 0 BB

=

5A-B- .'

(7.17)

Dan dies tatsachlich zutrifft, erkennt man, wenn man hier die Transformation ( 7 . 1 6 ) einsetzt, (7.7) und (7.9) beachtet und damit die HauptachsenBedingungen ( 7 . 1 4) und ( 7 . 1 5) reproduziert. Diese waren als erfullt angenommen worden. Damit ist bewiesen, dal3 ( 7 . 1 7) und ( 7 . 1 8 ) richtig sind! Auf den ersten Blick mag das erstaunlich sein: weil die gleichen Hauptachsen-Bedingungen auch fur die Schwingungsformen DAB des Ausgangssystems gelten. Im Unterschied zu hier treten dort aber die Frequenzen w A auf und nicht die Naherungen G2 D e r Unterschied kommt dadurch zustande, daB die Losung des kondensierten Problems in einem Unterraum des Ausgangsproblems vorgenommen wird. Die Eindeutigkeit der Losungen ist also in beiden Fallen gegeben. In den folgenden Abschnitten werden einige Methoden vorgestellt, wie man eine Transformation erzeugen kann. Hier sol1 nur noch darauf hingewiesen werden, daR man mit einiger Erfahrung Transformationen auch >>nach Gefiihle entwerfen kann, die vor allem fur schnelle uberschlagliche Berech-

7.1 Kondensation

417

nungen in Frage kommen. Zum Beispiel weiB man, daB bei einer herkommlichen Flugzeug-Tragflache die fundamentalen Biege- und Torsions-Schwingungen dominieren. Die zugehorigen Schwingungsformen lassen sich ungefahr abschatzen. Diese benutzt man als Spalten der Transformations-Matrix. Dabei kommt es nicht auf die absoluten GroBenverhaltnisse an, denn die zugehorigen Amplituden ergeben sich aus der Berechnung. Wichtig ist aber, daB man in dem interessierenden Frequenzbereich keine wesentlichen Schwingungsformen ubersieht, da sonst grundsatzlich falsche Ergebnisse herauskommen. Als Beispiel fur die Verwendung einer angenaherten Schwingungsform fur eine Kondensation sol1 der i n Bild 7.1 gezeigte Balken dienen.

Bild 7.1: Aufgelagerter Balken aus drei Elementen mit geschatzter Grundschwingungsform. Die Balken-Elemente werden durch ihre Steifigkeits-Matrizen (4.49) und translatorischen Massen-Matrizen (6.26) mit (6.32) dargestellt. Die Parameter hierzu sind:

Hiermit ergeben sich die Gesamt-Steifigkeits- und -Massen-Matrizen:

K*,

=

200

Die in Bild 7.1 angegebene Transformation kondensiert das Problem auf einen Freiheitsgrad. Die Transformation und ihre Ableitung sind:

418

7. Struktur-Techniken

Die Drehfreiheitsgrade sind rechtsdrehend. Infolgedessen mussen die Ableitungen mit negativem Vorzeichen versehen werden. Die Transformations-Matrix ist dann

Hiermit werden die Transformationen (7.7) und (7.9) ausgefuhrt. Das Ergebnis ist

Hiermit findet man die Schwingungsfrequenz 6 = 3,4290. Zum Vergleich ergibt sich aus dem nicht kondensierten Problem mit sechs Freiheitsgraden die niedrigste Eigenfrequenz w = 3,0919. Die Erhohung der Frequenz durch die Kondensation ist eine Folge der vorgegebenen Schwingungsform einer Parabel.

7.1.2 Statische Kondensation Die statischen und dynamischen Verformungsfiguren einer Struktur unterscheiden sich im allgemeinen nur geringfugig. Es liegt deshalb nahe, zur Einsparung von Freiheitsgraden statische Verformungen zur Approximation von dynamischen heranzuziehen. Dieses Vorgehen wird als statische Kondensation oder Guyan-Reduktion bezeichnet. Es ist eine Erweiterung der in Abschnitt 3.2.4 beschriebenen Elimination von Freiheitsgraden. Wie dort werden die Freiheitsgrade in Klassen unterteilt: Klasse

1 3

I

Freiheitsgrade beibehalten eliminieren

Die ursprungliche Numerierung wurde beibehalten. Freiheitsgrade der Klasse 2 , das heiBt solche, in denen die Verschiebungen vorgegeben sind, konnen selbstverst~ndlichebenfalls auftreten, werden hier aber der ~ b e r sichtlichkeit halber der Klasse 1 zugeschlagen. Bei Bedarf konnen sie hiervon abgespalten werden. D e r statische Anteil der Bewegungsgleichung wird in unterteilter Form in symbolischer Matrizenschreibweise hingeschrieben.

Anstelle von F~ findet sich ein Nullvektor. Dies bedeutet zweierlei: Es sollen keine auBeren Krafte in diesen Freiheitsgraden angreifen und der EinfluB der zugehorigen Massen- und Dampfungskrafte auf die Verschiebun-

7.1 Kondensation

419

gen wird vernachlassigt. Dies entspricht genau den Annahmen der statischen Elimination in Abschnitt 3 . 2 . 4 . Dort war die Prozedur exakt, wahrend sie hier wegen des dynamischen Einflusses lediglich approximativ ist. Aus der zweiten Zeile von ( 7 . 1 9 ) ergibt sich die Eliminations-Gleichung

u3

=

-(K

33 -1

)

K3'u1.

(7.20)

Dies ist die Gleichung ( 3 . 3 4 ) ohne die Randbedingungsklasse 2 und setzt ebenso wie diese voraus, daB die Matrix K~~ nicht singulgr sein darf. Mit der Eliminations-Gleichung laBt sich eine Transformation ( 7 . l ) formulieren.

Auf der linken Seite stehen die ursprunglichen Verschiebungen U und auf der rechten die transformierten I ist eine Einheitsmatrix der erforderlichen GroBe. Die Transformations-Matrix ist also

n;

Hiermit werden die Transformationen der Steifigkeits- und Massen-MatriZen ( 7 . 7 ) und ( 7 . 9 ) ausgefuhrt.

Eine transformierte Dampfungs-Matrix folgt auf die gleiche Weise wie die Massen-Matrix. Ein haufig auftretender Sonderfall, der entweder von vornherein gegeben ist oder herbeigefuhrt wird, liegt vor, wenn die Teil-Matrizen und M 3 null sind. Aus ( 7 . 2 3 ) folgt hierfiir

Dies gilt in erster Linie fur entsprechend verteilte konzentrierte Massen. Als Beispiel wird eine Stabkette aus vier gleichen Elementen herangezogen, die i n Langsrichtung schwingen.

420

7. Struktur-Techniken

Bild 7.2: Kette aus vier gleichen Stabelementen. Zur Vereinfachung der Zahlenwerte werden die Parameter E A / R und p A P / 2 gleich eins gesetzt. Es werden konzentrierte Massen verwendet. Die Gesamt-Steifigkeits- und -Massen-Matrizen sind

Hiermit berechnet man die niedrigste, nichtverschwindende Eigenfrequenz als

Nun wird eine statische Kondensation vorgenommen, in der die Freiheitsgrade 2 und 4 eliminiert werden. Die Massenverteilung wird nicht verandert. Die unterteilten Steifigkeits- und Massenmatrizen sind

Aus (7.22) und (7.23) ergeben sich die transformierten Matrizen

Die niedrigste Eigenfrequenz ist n u n

Zum Vergleich wird noch eine Kondensation vorgenommen, nachdem die Massen der Freiheitsgrade 2 und 4 zu gleichen Teilen auf die benachbarten umverteilt wurden. Die unterteilte Steifigkeits-Matrix und die daraus resultierende kondensierte wird von oben iibernommen. Die unterteilte Massen-Matrix wird

Damit ist der Sonderfall (7.24) herbeigefiihrt und es ergibt sich die Eigenkreisfrequenz

7.1 Kondensation

421

Im Vergleich mit der Eigenfrequenz des nichtkondensierten Systems wurde diese durch die Kondensation erhoht und nach der Massenumverteilung erniedrigt. In der praktischen Anwendung ist eine maRige Massenumverteilung meistens sinnvoll; weil der entstehende Fehler einer Frequenzerhohung durch die Kondensation entgegenwirkt.

7 . 1 . 3 Dynamische Kondensation Das Ziel einer Kondensation ist es, mit einer moglichst geringen Zahl von )>Ersatz-FreiheitsgradenccN die interessierenden Frequenzen und die zugehorigen Schwingungsformen des Ausgangs-Systems weitgehend exakt abzubilden. ~ b l i c h e r w e i s e sind es die niedrigsten Frequenzen oder Grundschwingungen, an denen man interessiert ist, aber es lassen sich auch andere Bereiche gezielt ansteuern. Bei naherer Betrachtung stellt man fest. daR die Erzeugung von gunstigen Transformations-Matrizen eng verwandt ist mit der iterativen Losung des Eigenwert-Problems. So gesehen ist eine Kondensation eine teilweise Vorwegnahme des anschlieBenden Losungsprozesses. Eine Parallele zur statischen Elimination von Abschnitt 3 . 2 . 4 ist offensichtlich. Methodisch gesehen ware es jetzt wiinschenswert, von den Losungs-Algorithmen, speziell der inversen Vektoriteration von Abschnitt 1 . 7 . 6 . auszugehen und daraus einige Verfahren zur Erzeugung von Transformations-Matrizen abzuleiten. Stattdessen wird der W e g vom Einfachen zum Komplizierteren gewahlt, der dann schlieBlich dort endet, wo man anderenfalls angefangen hatte. Das ist anschaulicher und betont die einfachen Verfahren der praktischen Anwendung starker. Die einfachste Methode wird durch die folgende Vorschrift beschrieben:

5

T

-

=

R

-

AA

.'

( A , B = l... N

; A = I ... N).

Die rechten Seiten RAA werden vorgegeben und die TransformationsMatrix T E A durch Losung des linearen Gleichungssystems berechnet. Haufig werden die RAA als >)Belastungenc
5

KA* *Ez

=

422

7. Struktur-Techniken

Hier werden die >>Beschleunigungen(cRBA vorgegeben und damit durch Auflosen die >>VerschiebungenccT B A berechnet. Auf diese Weise hat auch die Massenverteilung einen EinfluB auf die Transformations-Matrix. Bei einer diagonalen Massen-Matrix unterscheiden sich die Ergebnisse einer Kondensation mit Hilfe von ( 7 . 2 6) und ( 7 . 2 5) nicht, weil die konzentrierten Massen lediglich als Faktoren in den Spalten der Transformations-Matrix auftreten. Das aber hat keinen EinfluB auf die Frequenzen oder Schwingungsformen. Bei einer nichtdiagonalen Massen-Matrix kann man jedoch bessere Ergebnisse erwarten. Der inversen Vektoriteration ( 1 . 1 9 3) direkt nachgebildet ist das folgende Vorgehen:

LO1

C Ll

Es beginnt mit beliebig vorge ebenen Vektoren T B z . Damit wird TBz ,I berechnet, wieder eingesetzt, TBA berechnet u.s.w.. Um die GroBenordnung der einzelnen Anteile in etwa gleich halten zu konnen, sind die Faktoren cC u - l1 vorgesehen worden. Die Teilmatrizen werden d a m zu einer Transformations-Matrix zusammengesetzt.

7

Die Transformations-Matrix besteht aus einer sogenannten Krylow-Folge. D e r Unterschied zu den aufeinanderfolgenden iterierten Vektoren der inversen Vektoriteration ist lediglich, daB hier fur N >1 mehrere iterierte Vektoren gleichzeitig berechnet werden. In Abschnitt 1 . 7 . 6 wurde nachgewiesen, daB sich die iterierten Vektoren mit steigender Iterationszahl immer mehr der Eigenform zum niedrigsten Eigenwert annahern. ~ b e r t r a ~ e n auf die Krylow-Folge bedeutet dies, daB die Schwingungsformen zu den niedrigen Eigenfrequenzen besonders hervorgehoben werden. Eine solchermaBen >>angereicherte((Transformations-Matrix ist die beste Voraussetzung fur eine erfolgreiche Kondensation! Es ist nicht unbedingt erforderlich, alle in ( 7 . 2 8 ) aufgefuhrten Glieder C QI der Krylow-Folge zu benutzen. Insbesondere kann der Anfangsterm TBz weggelassen werden oder auch irgendwelche Zwischenwerte. Andererseits ist eine zu hohe Iterationszahl v in ( 7 . 2 7) ungunstig, weil die Glieder der Krylow-Folge zunehmend linear voneinander abhangig werden. Das ergibt sich daraus, daB sie letztendlich alle zur Schwingungsform der niedrigsten

7.1 Kondensation

423

Eigenfrequenz konvergieren. Wie bei allen Kondensations-Verfahren ist also auch hier eine gewisse Erfahrung unabdingbar. Nachdem die Eigenschaften einer Kondensation mit Hilfe einer KrylowFolge erlautert wurden, kann man sich leicht klarmachen, warum die Ansatze ( 7 . 2 5) und ( 7 . 2 6) tauglich sind. Im ( 7 . 2 6 ) ist RBA das Anfangsglied der Krylow-Folge und TBx das erste darauf folgende, das dann c11 verallein zur Transformation benutzt wird. In ( 7 . 2 8 ) wird also nur TBz wendet. Genauso ist es bei der Anwendung von ( 7 . 2 5); nur wird dort die Massen-Matrix durch eine Einheitsmatrix ersetzt. Das bleibt ohne Folgen, wenn die Massen-Matrix sowieso eine Diagonalmatrix ist. In ( 7 . 2 5) bis ( 7 . 2 7 ) wurde vorausgesetzt, daB die Struktur aufgelagert k t . Sollte dies nicht zutreffen, laBt sich die daraus folgende Singularitat der Steifigkeits-Matrix umgehen, indem man die Belastungs-Matrix RAA so auswahlt, daB keine Starrkorper-Bewegungen angeregt werden. Unter dieser Voraussetzung lassen sich wie bei homogenen Gleichungssystemen Losungen fiir die Transformations-Matrix finden, die allerdings nicht eindeutig sind. Das ist in diesem Zusammenhang jedoch nebensachlich, weil die Spalten der Transformations-Matrix sowieso mit beliebigen Faktoren multipliziert werden konnen, ohne daB das einen EinfluB auf das Ergebnis einer Kondensation hatte. Ein anderer Weg, eine Singularitat der Steifigkeits-Matrix zu umgehen, ist eine Verschiebung des Frequenzbereiches. Dies kann unabhangig davon auch dazu dienen, hohere als die Grundfrequenzen zu untersuchen. Das Vorgehen wurde in Abschnitt 1 . 7 . 6 beschrieben. Die Steifigkeits-Matrix wird mit ( 1 . 2 0 2) ersetzt durch

D e r frei wahlbare Parameter p beeinfluBt die Schwingungsformen nicht. Durch die Krylow-Folge werden allerdings die Grundschwingungen fur den verschobenen Zustand verstarkt. Es ist deshalb erforderlich, auch fur die Transformation (7.7) die veranderte Steifigkeits-Matrix zu verwenden. Mit ( 1 . 2 0 1 ) ergeben sich dann die Frequenzen des unverschobenen Problems aus

Hierin sind W ( p ) A die im verschobenen Problem berechneten Eigenfrequenzen.

424

7. Struktur-Techniken

In Bild 7.3 ist ein Fachwerk mit zwolf Freiheitsgraden einschlieRlich der Schwingungsformen f u r die zwei niedrigsten Eigenfrequenzen abgebildet.

Bild 7.3: Fachwerk und seine Grundschwingungen Die Steifigkeits- und Massen-Matrizen sind:

symmetrisch

8

0 8

1 0 8

0 1 0 8

1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 2 0 1 0 0 0 2 0 1 0 1 4 0 1 0 1 1 4 0 1 0 1 4 0 2 1 4 0 14

symmetrisch

0 0 0 0 0 1 0 2 0 14

0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 14

0 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 14

Hiermit ergeben sich die Eigenfrequenzen:

Hiervon sind n u r die ersten zwei f u r die folgenden Betrachtungen wichtig; die nachsthoheren werden zum spateren Vergleich mitgefiihrt. Die Schwingungsformen der beiden niedrigsten Frequenzen sind:

7.1 Kondensation

425

Es genugt, hier nur die Werte fur die ersten vier Freiheitsgrade aufzufiihren. Nach einer Kondensation auf N = 4 Freiheitsgrade sollen die zwei Grundfrequenzen und ihre Schwingungsformen moglichst genau wiedergegeben werden. Dabei werden die Ergebnisse der drei oben angegebenen Verfahren miteinander verglichen. Fur die Kondensation nach (7.25) wird gewahlt:

Dies sind vier linear unabhangige Spalten, die als Belastungen in den ersten vier Freiheitsgraden aufgefaRt werden konnen, die die Grundschwingungen besonders stark anregen. Durch Auflosung von (7.25) ergibt sich die Transformations-Matrix, die dann in (7.7) und (7.9) fur die Transformation der Steifigkeits- und Massen-Matrizen verwendet wird. Damit werden die vier Eigenfrequenzen berechnet. Die zugehorigen Schwingungsformen werden mit (7.16) auf die Freiheitsgrade des Ausgangsproblems zurucktransformiert. Die Ergebnisse sind:

Wie zu erwarten war, sind alle gefundenen Eigenfrequenzen hoher als die des Ausgangsproblems. Die niedrigste zeigt eine recht gute ~ b e r e i n s t i m m u n ~ die , zweite schon nicht mehr und die zwei folgenden werden total verfehlt. Die erste Schwingungsform ist noch relativ gut getroffen, die zweite ist nur noch qualitativ richtig. Fur die Berechnung der Transformations-Matrix nach (7.26) wird dieselbe Matrix

RSg vorgegeben, die schon oben benutzt wurde. Mit dem gleichen BerechnungsAblauf wie vorher findet man die Ergebnisse:

Insgesamt sind die Abweichungen jetzt kleiner als vorher. Ihre Tendenz ist jedoch gleich geblieben. SchlieRlich wird eine Krylow-Folge nach (7.27) berechnet. Als Anfangsglied wird

vorgegeben, so daR nur noch der erste und zweite Freiheitsgrad direkt angeregt wird. Die Faktoren c werden gleich 1 gesetzt. In der Transformations-Matrix (7.28) wird der erste Term weggelassen, das heiRt es wird benutzt

426

7. Struktur-Techniken

1 2 : B = l...

Die Kondensation erfolgt hier also ebenfalls wieder mit vier Freiheitsgraden. Die Ergebnisse sind:

Ein Vergleich mit den Ergebnissen fur das Ausgangsproblem zeigt folgendes: Im Rahmen der angegebenen Stellenzahl ist jetzt die erste Eigenfrequenz exakt wiedergegeben und die zweite ist eine gute Naherung. Auch die dritte und vierte Eigenfrequenz sind deutlich besser geworden. Die erste Schwingungsform ist praktisch exakt getroffen; in der zweiten gibt es kleine Abweichungen. Dabei fallt auf, daR hier eine gewisse Unsymmetrie auftritt, die darauf zuruckzufuhren ist, daR in T ( O ) i g nur die Freiheitsgrade 1 und 2 angeregt werden, nicht aber 3 und 4. Die drei Beispiele fur eine Kondensation zeigen, daR bei fast gleichem Berechnungsaufwand durchaus unterschiedliche Ergebnisse erzielt werden konnen. Am wenigsten genau arbeitet eine Transformations-Matrix nach (7.25). Etwas besser schneidet (7.26) ab, weil die Massen-Matrix nicht diagonal ist. Die Verwendung einer KrylowFolge nach (7.27), (7.28) zeigt die besten Ergebnisse.

7.1.4 Modale Kondensation Bei den Kondensationen der vorhergehenden Abschnitte wurde das Ausgangsproblem zuerst verkleinert und danach erst die dynamische Berechnung vorgenommen. Umgekehrt ist es bei einer modalen Kondensation: Zuerst werden die Frequenzen und Schwingungsformen berechnet, danach erfolgt die Kondensation. ZweckmaBig ist das allerdings nur bei relativ kleinen Systemen, da sonst der Aufwand vie1 zu gron wiirde. Die Transformations-Matrix von ( 7 . l ) ist die Modalmatrix des Ausgangsproblems:

TAA-

=

0

AA

'.

( A = l ... N ; A = I ... N ) .

(7.3 1 )

Die Zahl der Freiheitsgrade N ist dabei kleiner als N ; anderenfalls kBnnte man nur von einer ,,Transformationcc sprechen, aber nicht von einer nKondensationcc. Sonst andert das allerdings nichts. Setzt man diese Transformations-Matrix in ( 7 . 7 ) bis ( 7 . 9 ) ein und beachtet ( 7 . 1 7 ) und ( 7 . 1 8 ) , dann erhalt man

7.1 K o n d e n s a t i o n

427

In ( 7 . 3 3) wurde noch eine proportionale Dampfung nach ( 6 . 5 5) vorausgesetzt. Eine entsprechende Darstellung durch Diagonal-Matrizen erhalt man naturlich auch nach einer der vorher beschriebenen Kondensationen und danach anschlieBender modaler Transformation. D a dann die Eigenwertberechnung im kondensierten System erfolgt, verwendet man allerdings nur die Naherungen fiir die Frequenzen und Schwingungsformen und nicht wie hier die exakten. D e r Querstrich iiber den Indizes bedeutet hier, daB es sich um eine Auswahl aus den exakten GroBen handelt und nicht um Naherungen. Die Rucktransformation von den modalen GroBen in das Ausgangs-System erfolgt durch ( 7 . 1 ) und ( 7 . 3 1).

In der klassischen Mechanik werden die- Verschiebungen UA auch als physikalische Koordinaten bezeichnet und Uz als generalisierte. Ein Nachteil einer modalen Kondensation ist, wie schon erwahnt, der erhebliche Berechnungsaufwand zur teilweisen Losung des Eigenwertproblems in der AusgangsgroBe. Gerade diesen sollte eine vorab erfolgende Kondensation verringern. Fur groBe Probleme ist die modale Kondensation also untauglich. Ein unbestreitbarer Vorteil ist, daB die exakten Frequenzen und Schwingungsformen verwendet werden, allerdings auch nur bis zu einer gewahlten Obergrenze. Daruber hinaus werden eventuelle Einflusse hoherer Frequenzen vollstandig abgeschnitten, die bei einem vorab kondensierten Problem immer noch vorhanden sein konnen. Fur das Beispiel v o n Bild 7.3 w u r d e das E i g e n w e r t p r o b l e m b e r e i t s f u r die Ausgangsgro8e gelost. M i t d e n dortigen Ergebnissen e r h a l t m a n die k o n d e n s i e r t e n S t e i f i g k e i t s u n d M a s s e n - M a t r i z e n (7.32) u n d (7.34) f u r N = 2

428

7. Struktur-Techniken

7.1.5 Modale Synthese Es ist bei groBeren Projekten eher die Ausnahme als die Regel, daB die Finit-Element-Berechnungen von einzelnen Mitarbeitern in einer Gruppe durchgefuhrt werden. Meist ist das koordinierte Zusammenwirken mehrerer Abteilungen erforderlich, um ein Produkt zu berechnen. Die Konstruktion und Berechnung eines Flugzeuges verteilt sich auf Gruppen, die jeweils zustandig sind fur den Rumpf, die Tragflache, das Leitwerk, die Triebwerke, die Steuerung und so weiter. Jede Gruppe entwickelt eigene Finit-ElementModelle, die fruher oder spater zu einem Ganzen zusammengefiigt werden miissen, um das Zusammenwirken aller Teile analysieren zu konnen. Vorausgesetzt, daB keine Fehler bei der Koordination der einzelnen Arbeiten gemacht wurden, ist es kein Problem, aus einzelnen Teilen eine Gesamtstruktur zusammenzusetzen. Dies geschieht auf dieselbe Weise, mit der aus einzelnen Elementen eine Struktur aufgebaut wurde. Die zugehorigen Prozeduren wurden im Kapitel 3 fur die Steifigkeits-Matrix und in Kapitel 6 fur die Massen-Matrix ausfuhrlich beschrieben. D e r Grund, warum dieses Thema hier uberhaupt aufgegriffen wird, ist folgender: Zum Zeitpunkt der Gesamtanalyse liegen bereits eingehende Einzelberechnungen vor. Insbesondere wurden die Teilstrukturen getrennt auf ihr Schwingungsverhalten untersucht. Die dabei gewonnenen Informationen konnen weiter verwendet werden, um die Gesamtberechnung wesentlich zu vereinfachen. Dies gilt sowohl fur die GroBe des Problems als auch fur den Berechnungsaufwand. Im folgenden wird davon ausgegangen, daB fur eine Reihe von Teilstrukturen die Steifigkeits- und Massen-Matrizen in einer Form vorliegen, daB sie wie einzelne Elemente mittels einer Koinzidenz zusammengefugt werden konnen. Eventuell muB vorher eine Richtungstransformation zwischengeschaltet werden, wie das in den Abschnitten 3.1.2 und 6 . 2 . 5 beschrieben ist. Fur Dampfungs-Matrizen mag dasselbe gelten; sie werden im folgenden nicht weiter erwahnt werden. Nach dem Zusammenbau der Teilstrukturen liegen also die Steifigkeits- und Massen-Matrizen KAB und MAB ; (A, B = 1... N ) vor. Um die Zahl der Gesamt-Freiheitsgrade N zu reduzieren, konnen in den einzelnen Teilstrukturen bereits erhebliche Kondensationen vorgenommen worden sein. Fur die Teilstrukturen wurden die Schwingungsformen berechnet. Welche Randbedingungen dabei benutzt wurden, ist weitgehend nebensachlich. Wichtig ist allerdings, daB die verwendeten Randfreiheitsgrade, ob innen oder auBen an einer Teilstruktur, in der Gesamtstruktur enthalten sind. Wenn dies nicht zutrifft, bleiben die benutzten Fesselungen in der Gesamt-

7.1 Kondensation

429

struktur erhalten. Mit Hilfe der Schwingungsformen der Teilstrukturen wird eine Belastungs-Matrix aufgebaut.

die Schwingungsformen der ersten Teilstruktur nebenHierin sind in einander aufgefuhrt. Es sind so viele, wie fur den Anteil an der Gesamtstruktur als notwendig erachtet werden (auf einen zusatzlichen Index zu konnen ihrer Zahlung wurde hier verzichtet). Die Schwingungsformen @( nur ungleich null sein in den Freiheitsgraden der Gesamtstruktur, die mit denen der Teilstruktur 1 zusammenfallen. Entsprechend setzt sich dies fort fur alle folgenden Teilstrukturen. Die Untermatrix Q hat die Aufgabe, die Randbedingungen der Teilstrukturen mit denen der Gesamtstruktur in Einklang zu bringen. Fur sich allein genommen entspricht sie der Matrix RAA in ( 7 . 2 5) oder ( 7 . 2 6 ) . Um die Randbedingungen vollstandig zu erfassen, muB sie so viele linear unabhangige Spalten enthalten wie gemeinsame Freiheitsgrade zwischen den Teilstrukturen vorhanden sind. ~ b l i c h e r weise enthalt jede Spalte nur eine von null verschiedene Eintragung in einem der Randfreiheitsgrade. Trotzdem sollte die Gesamtzahl der Spalten fi in der Belastungs-Matrix von ( 7 . 3 6 ) erheblich kleiner sein als die Zahl N der Freiheitsgrade in der Gesamtstruktur. Das weitere Vorgehen ist bei der dynamischen Kondensation in Abschnitt 7 . 1 . 3 vorgezeichnet. Mit Hilfe von ( 7 . 2 5) oder (7.2 6) berechnet man die zugehorige Transformations-Matrix, um anschlieBend die Transformationen ( 7 . 7 ) und ( 7 . 9 ) auszufiihren und das kondensierte Schwingungsproblern zu losen. Die Rucktransformation der gefundenen Schwingungsformen geschieht wieder durch ( 7 . 1 6 ) , worauf dann die Ruckubertragung auf die Teilstrukturen mit Hilfe der Koinzidenz vorgenommen werden kann. Welche Auflagerungen werden fur die einzelnen Teilstrukturen vorgesehen? Fur den Erfolg der gesamten Berechnung ist dies nicht ausschlaggebend. Durch die Matrix Q in ( 7 . 3 6) werden die einzelnen Randfreiheitsgrade relaxiert, so daB sie sich den Bedingungen in der Gesamtstruktur anpassen. Das kann man sich sehr einfach klar machen, wenn man sich vorstellt, daR die Gesamtstruktur nur aus Randfreiheitsgraden der Teilstrukturen besteht. Durch ( 7 . 2 5) oder ( 7 . 2 6) wird dann eine ganz normale Kondensation vorgenommen. Es bleibt also nur noch die Frage zu klaren, welche Randbedingungen fur die Teilstrukturen zweckmaBig sind. Haufig werden die Randfreiheitsgrade als fest angenommen, das heiBt, die Teilstrukturen werden an ihren Randern eingespannt. Diese Randbedingungen sind aber fur die vor der Gesamtberech-

430

7. Struktur-Techniken

nung erfolgenden Untersuchungen an den Teilstrukturen sehr unzweckmaBig, weil sie im allgemeinen vie1 zu hohe Eigenfrequenzen erzeugen. Das entgegengesetzte Extrem bilden freie Randfreiheitsgrade; sie erzeugen zu niedrige Frequenzen. Am gunstigsten ist eine moglichst realistische federnde Auflagerung, mit der auch schon vor der Gesamtberechnung verlaBliche Aussagen uber das Verhalten der Teilstrukturen gemacht werden konnen. Dabei kommt es auch nicht darauf an, daB die Randbedingungen benachbarter Teilstrukturen zueinander passen, solange nur die gleichen Freiheitsgrade vorgesehen sind. Man kann also zum Beispiel auch feste und freie Randbedingungen an einer Schnittstelle miteinander koppeln. Um es noch einmal ganz klar zu sagen: Auf das Gesamtergebnis haben diese Auflagerungen nur einen untergeordneten EinfluB. Geringe Unterschiede sind problembedingt, so daB noch nicht einmal eine allgemeine Tendenz zu erkennen ist. Die beschriebene Methode wird unter der Bezeichnung modale Synthese (component mode synthesis) eingeordnet. Die modalen Daten der Teilstrukturen, das heiBt ihre Schwingungsformen, werden direkt benutzt, um die Gesamtstruktur zu kondensieren. D a bereits wenige Schwingungsformen der Einzelteile ausreichen, um das Gesamtverhalten recht gut anzunahern, kann eine erhebliche Reduktion der GroBe des Gesamtproblems herbeigefiihrt werden. Und wie oben bereits gesagt, erleichtert die Methode den organisatorischen Ablauf einer Berechnung deutlich. In Bild 7.4 ist eine einfache Struktur gezeigt, a n der verschiedene AuflagerungsBedingungen f u r die Teilstrukturen ausprobiert werden sollen.

I I

Teil 1

Teil 2

Gesamt-Struktur

Bild 7.4: Aus zwei Teilstrukturen aufgebaute Gesamtstruktur. Die Steifigkeits- und Massen-Matrizen der Gesamtstruktur sind:

K~~

=

lo3

2

0 0 0 0 3 0 14 4 symmetrisch 18

5 3 symmetrisch Die Eigenfrequenzen sind: a ,

=

[ 5,682

13,48

22,36

32,44

41,75

1.

1 6

0 2 10

7.1 Kondensation

Die zugehorigen Schwingungsformen sollen nicht verglichen werden. a) Einaespannte Teilstrukturen (Freiheitsgrad 3 der Gesamtstruktur entfallt): Teilstruktur 1:

Teilstruktur 2:

Belastungs-Matrix (7.36) mit der jeweils ersten Schwingungsform:

b)

Freie Teilstrukturen (Freiheitsgrad 3 der Gesamtstruktur wird aufgeteilt): Teilstruktur I:

Teilstruktur 2:

Belastungs-Matrix (7.36) mit der jeweils ersten Schwingungsform:

431

432

7. Struktur-Techniken

c) Federnd aufeelagerte Teilstrukturen (Freiheitsgrad 3 der Gesamtstruktur wird nicht aufgeteilt): Teilstruktur 1:

Teilstruktur 2:

Belastungs-Matrix (7.36) mit der jeweils ersten Schwingungsform:

Die Eigenfrequenzen der kondensierten Gesamtstruktur werden fiir die drei unterschiedlichen Auflagerungen der Teilstrukturen berechnet. Es ergibt sich:

Diese Naherungen sind samtlich sehr gut. Eine ~ b e r l e ~ e n h e ieiner t bestimmten Auflagerung laRt sich nicht erkennen.

D e r Aufwand zur Berechnung der Transformations-Matrix 1aBt sich bei einer gewissen Genauigkeitseinbune dadurch etwas verringern, indem man die Schwingungsformen der Teilstrukturen nicht in die Belastungs-Matrix ( 7 . 3 6) hineinstellt, sondern direkt in die Transformations-Matrix iibernimmt. Diese ist dann

D e r Anteil R entsteht aus ( 7 . 2 5 ) oder ( 7 . 2 6 ) , indem man dort die oben beschriebene Matrix Q auf der rechten Seite einsetzt. Das Verfahren hat den Vorteil, daB bei einer nicht aufgelagerten Struktur nur die Matrix Q

7.1 Kondensation

433

an die Forderung angepaBt werden muB, die Starrkorper-Bewegungen nicht anzuregen. Damit ist nicht gesagt, dal3 die vollstandige Belastungs-Matrix nach ( 7 . 3 6 ) bei einer nicht aufgelagerten Struktur versagen muB. Eine Verschiebung des Frequenzbereichs kann auf jeden Fall Abhilfe schaffen. Die Auswirkungen der V e r e i n f a c h u n g (7.37) sollen a n dem oben b e n u t z t e n Beispiel gezeigt werden. M i t (7.26) ergibt sich

H i e r m i t w e r d e n w i e vorher m i t d e n jeweilig e r s t e n Schwingungsformen der Teils t r u k t u r e n die Transformations-Matrizen (7.37) aufgebaut. Die Eigenfrequenzen der kondensierten Gesamtstruktur sind dann:

Die Naherungen sind deutlich schlechter als vorher. Nur f u r eingespannte Teilstrukt u r e n (Fall a) sind die Ergebnisse noch als g u t zu bezeichnen. I n den beiden anderen Fallen w i r d die dritte Eigenfrequenz v e r f e h l t u n d stattdessen e i n e Naherung f u r die vierte berechnet.

7.1.6 ubungen u b u n g 7.1: U m e i n e iiberschlagliche B e r e c h n u n g der Grundfrequenz der S t r u k t u r von Bild 7.3 d u r c h z u f u h r e n , wird folgende Transformations-Matrix angenommen:

D u r c h die erste Spalte wird eine seitliche Bewegung beschrieben, durch die zweite e i n e schiefsymmetrische i n der Hohe. Beide z u s a m m e n geben e i n e grobe Naherung f u r die vermutete erste Schwingungsform. B e r e c h n e n Sie die niedrigste Eigen-Kreisfrequenz u n d die zugehorige, r u c k t r a n s formierte Schwingungsform.

434

7. Struktur-Techniken

u b u n g 7.2: Berechnen Sie die niedrigste Eigenfrequenz des Balkens von Bild 7.1 mit Hilfe e i n e r a) statischen Kondensation, durch die die Freiheitsgrade 3 bis 6 eliminiert werden; b) dynamischen Kondensation nach (7.26) mit der symmetrischen Beschleunigung

u b u n g 7.3: B e r e c h n e n Sie die niedrigste Eigenfrequenz der Struktur von u b u n g 6.27 mit dem n u l l t e n und dem ersten Glied e i n e r Krylow-Folge (7.27). B e n u t z e n Sie hierzu: r p ? =

[ 3

0

3

0 ] ;

c[O]=l.

u b u n g 7.4: Die Struktur von Bild 7.2 ist n i c h t aufgelagert, so daR die Steifigkeits-Matrix singular ist. Deshalb 1aRt sich eine Transformations-Matrix n i c h t unmittelbar aus (7.25) ausrechnen. a) Bringen Sie eine Verschiebung quenz. Verwenden Sie hierfiir

(1 =

0 , l a n und b e r e c h n e n Sie die Grundfre-

Hinweis: Die Starrkorper-Verschiebung wird durch e i n e geringe F e h l e r f r e q u e n z angeregt. b) Das Problem laRt sich auch o h n e Verschiebung losen, w e n n Sie e i n e BelastungsMatrix w a h l e n , die die Starrkorper-Verschiebung n i c h t anregt. V e r s u c h e n Sie rnit

die zwei niedrigsten Eigenfrequenzen zu ermitteln. u b u n g 7.5: Ein System mit N

=

3 Freiheitsgraden besitzt die Eigenfrequenzen

Eine Transformation (7.10) a u f N den Schwingungsformen

=

2 Freiheitsgrade setzt sich aus den Anteilen a n

zusammen. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen (7.7) und (7.9).

des transformierten Systems

u b u n g 7.6: Welche Matrix RAA i n (7.25) erzeugt die statische Kondensation n a c h (7.21)?

7.2 Zusatzbedingungen

435

u b u n g 7.7: Es sind zwei Teilstrukturen gegeben:

Fur die Teilstrukturen wurden die Grund-Schwingungsformen

berechnet. Fur die Teilstruktur 1 wurden dabei die Freiheitsgrade 3 und 4 als frei angenommen. In der Teilstruktur 2 wurden die Freiheitsgrade 1 und 2 eingespannt. Fugen Sie die Teilstrukturen mittels einer modalen Synthese i n der Mitte zusammen. Benutzen Sie dafur

a) eine Belastungs-Matrix (7.3 6); b) eine Transformations-Matrix (7.37). Benutzen Sie i n beiden Fallen (7.26). Berechnen Sie die Grundfrequenz der Gesamtstruktur. Der exakte Wert ist w = 3,9446.

7.2 Zusatzbedingungen Durch Zusatz- oder Nebenbedingungen konnen in einem allgemein formulierten numerischen Model1 weitergehende Anforderungen an die Losung eingebracht werden. Auch hier laBt sich eine Einteilung in innere und auBere Zusatzbedingungen vornehmen. Innere Zusatzbedingungen, wie zum Beispiel die Inkompressibilitat eines Materials, werden an dieser Stelle nicht behandelt. Bei den auBeren Zusatzbedingungen sol1 sich die Darstellung auf solche Bedingungen beschranken, die sich in den auBeren Freiheitsgraden einer Struktur ausdriicken lassen. Diese Zusatzbedingungen konnen somit als erweiterte Randbedingungen aufgefaBt werden, bei denen nicht das Verhalten eines einzelnen, sondern eines Kollektivs von Freiheitsgraden zur Erzielung eines gewiinschten Effektes beeinfluBt wird.

436

7. Struktur-Techniken

Der Begriff der ))Zusatzbedingungcc wird auf diese Weise fast zum Synonym zu ))Randbedingungcc. Einen kleinen Unterschied kann man darin sehen, daB zuweilen eine Randbedingung von vornherein Teil des erzeugten Modells sein kann. Auch kann man argumentieren, daB zusatzliche Anforderungen nicht unter die notwendigen Randbedingungen von Abschnitt 5.3.2 eingereiht werden konnen, die unabdingbare Voraussetzung fur die Existenz einer Losung sind. Solch ein xgewunschter Effekta konnte die Realisierung des geneigten Auflagers von Bild 3.7 in Abschnitt 3.2.1 sein, fur das das Verhaltnis der Verschiebungen in den beiden Richtungen uber den Tangens des Neigungswinkels cr festgelegt ist. Eine Moglichkeit der Formulierung dieses festen Verhaltnisses als Zusatzbedingung ist durch

gegeben. Genausogut konnte man aber auch den Cotangens oder die Aufspaltung in Sinus und Cosinus verwenden.

Zusatzbedingungen werden durch eine Verknupfung der auBeren Verschiebungen UA in einem bestehenden Finit-Element-Model1 eingefuhrt.

Hierin sind u:" vorgegebene Parameter, die die Zusatzbedingungen kennzeichnen; SA*A enthalt die Zwangsbedingungen (constraint matrix). Formal betrachtet ist ( 7 . 3 8 ) eine Transformation der Verschiebungen. Vergleicht man dies mit einer ublichen Transformation ( 7 . 1 ) , dann fallt auf, daB diese hier ))in die falsche Richtung g e h t ~ Anstatt . die ursprunglichen Verschiebungen UA durch neue U* auszudrucken, werden hier die neuen Verschiebungen u" :, oder was immer sie darstellen, durch die alten UA bestimmt. Die Zahl der Zusatzbedingungen N " ist im allgemeinen wesentlich kleiner als die Zahl der Freiheitsgrade N. Die Bedingungen ( 7 . 3 8 ) sind implizit und infolgedessen auch nicht umkehrbar.

7.2.1 Transformation Auch wenn eine Transformation nicht der ubliche W e g ist, Zusatzbedingungen in einzufuhren, sol1 dieser hier als erste Alternative angeboten werden. Es ist nicht die eleganteste Methode, wohl aber die begrifflich einfachste: wenn man davon ausgeht, daB die zuerst in den Abschnitten 3 . 2 . 1 und 3 . 2 . 2 beschriebene Methodik zur Auflosung eines Finit-Element-Modells bekannt ist.

7.2 Zusatzbedingungen

437

Die in ( 7 . 3 8 ) vorliegenden Zusatzbedingungen werden durch Erweitern in die Form gebracht

Die VerschiebungsgroRen I/A sollen alle in den Zusatzbedingungen (7.3 8 ) aufgefuhrten GrGBen uA* enthalten. Daruber hinaus sollen in U~ so viele Verschiebungen aufgenommen werden, daB die Matrix SzA quadratisch und nichtsingular wird. Am einfachsten erreicht man dies dadurch, indem man UA = UA fur alle die Freiheitsgrade macht, die nicht durch die Zusatzbedingungen belegt sind. Die Matrix SAA ist dann eine Einheitsmatrix bis auf diejenigen Zeilen, in denen die Zusatzbedingungen aufgefuhrt sind. Nach der Erweiterung ist es ein leichtes, die Beziehung ( 7 . 3 9 ) umzukehren. Man berechnet die Kehrmatrix

T - = S-1AA

AA

( 7 . 4 0)

und gewinnt dadurch die Transformation

Die Inversion ( 7 . 4 0) laBt sich ohne groBen Aufwand durchfuhren, wenn man die Matrix wie beschrieben erweitert hat. Die Kehrmatrix ist dann ebenfalls eine Einheitsmatrix bis auf die Zeilen, in denen die Zusatzbedingungen Verknupfungen herbeifuhren. Die Transformation ( 7 . 4 1 ) ist identisch mit ( 7 . 1 ) bis auf die Tatsache: daB hier keine Kondensation auf eine kleinere Zahl von Freiheitsgraden N vorgenommen wird, sondern die GroBe unverandert bleibt. Formal andert dies nichts, so daB die Transformationen wie in Abschnitt 7 . 1 . 1 durchgefuhrt werden konnen. Der Aufwand hierfur ist relativ gering, weil die Transformations-Matrix in weiten Teilen eine Einheitsmatrix ist. Die Belegung der transformierten Matrizen, das heiBt ihre Bandstruktur oder ihr Profil, wird dabei nur unwesentlich verandert, wenn die Zusatzbedingungen nur einzelne Freiheitsgrade betreffen. Nachdem die System-Matrizen transformiert sind, wird die Losung wie ublich durchgefuhrt. Zu beachten ist dabei nur, daR die Freiheitsgrade, in denen die Zusatzbedingungen uZ* enthalten sind, in die Randbedingungsklasse eingeordnet werden, fur die die Verschiebungen als bekannt vorausgesetzt werden. In der in diesem Buch durchweg gebrauchten Numerierung ist es die Klasse 2 .

438

7. Struktur-Techniken

Als Beispiel wird die Stabkette von Bild 7.2 mit den dort angegebenen Matrizen benutzt. Durch die Zusatzbedingung sol1 die Starrkorperbewegung unterdruckt werden, ohne daR eine Auflagerung eines einzelnen Freiheitsgrades entsteht. Dies laRt sich durch die Forderung herbeifuhren, daR der Schwerpunkt in Ruhe bleibt.

Eigentlich muRten hier die Beschleunigungen stehen. Da aber Verschiebungen und Beschleunigungen denselben Transformationen unterliegen, ist es auch so richtig. Die Zusatzbedingung ist dann

Die erweiterte Bedingung (7.39) kann dann so geschrieben werden:

Die ersten vier Freiheitsgrade wurden unverandert ubernommen; an die funfte Stelle tritt dann die Zusatzbedingung. Durch Inversion entsteht die TransformationsMatrix (7.40)

Hiermit werden die transformierten Steifigkeits- und Massen-Matrizen aus (7.7) und (7.9 ) berechnet

Da der Freiheitsgrad 5 in die Randbedingungsklasse 2 einsortiert wird, konnte die gezeigte Unterteilung direkt ohne Zeilen- und Spaltenvertauschung vorgenommen werden. Es sollen nun die Eigenschwingungen berechnet werden. Wie in Abschnitt 6.4 ausgefuhrt wurde, sind hierfur nur diejenigen Freiheitsgrade maBgeblich, in denen die Verschiebungen unbekannt sind. Diese gehoren zur Randbedingungsklasse 1. Es

7.2 Zusatzbedingungen

439

werden also lediglich die Untermatrizen K" und M" zur Losung des Eigenwertproblems benotigt. Es ergeben sich die Eigenfrequenzen

Die Starrkorperbewegung wurde durch die Zusatzbedingung unterdruckt. Im Vergleich mit den Ergebnissen f u r die freie Stabkette von Bild 7.2 fehlt h i e r deshalb die Null-Frequenz. Die iibrigen Frequenzen sind exakt gleich. Auch f u r die Schwingungsformen findet man eine genaue ~ b e r e i ~ s t i r n m u w n s~n, n man die Rucktransformation (7.16) vornimmt und dabei wegen U5 = 0 auch @5B = 0 benutzt.

7.2.2 Lagrange-Multiplikatoren Der Nachteil einer Transformation vom vorhergehenden Abschnitt ist die Notwendigkeit, ein neues Bezugssystem einzufuhren. Das kann man vermeiden, indem man das bestehende Problem unverandert laBt und durch die Zusatzbedingungen erweitert. Dies kann durch ein Extremalprinzip nach Abschnitt 5 . 2 . 1 geschehen.

Hierin ist 517 die Variation eines elastischen Potentials. Wenn man die dynamischen Terme mitnimmt, ist es:

Fur das ubliche Variationsprinzip muB dies wie in ( 5 . 7 5) fur sich allein null sein. Das im erweiterten Prinzip ( 7 . 4 2 ) neu eingefuhrte Arbeitsinkrement SW * muB so formuliert werden, daB es selbst zu null wird, wenn die Zusatzbedingungen ( 7 . 3 8 ) befriedigt sind. Nach einer beliebigen Variation von ( 7 . 4 2 ) ist dann sichergestellt, daB das mechanische Problem richtig gelost wird einschlieBlich der gegebenen Zusatzbedingungen. Die bekannteste Formulierung fur die Zusatzarbeit stammt von Lagrange.

Offensichtlich ist sie gleich null, wenn die Zusatzbedingungen ( 7 . 3 8 ) befriedigt sind. Die ,AA* werden als Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet. Es sind frei variierbare GroBen, die als mechanische Krafte interpretiert werden konnen, die die Zusatzbedingungen erzwingen. Die Variation der Zusatzarbeit ist

440

7. Struktur-Techniken

Mit ( 7 . 4 4 ) folgt

Die Arbeitsinkremente werden in ( 7 . 4 2 ) eingesetzt und dann abwechselnd nach SUA und SAA* variiert, wahrend das andere jeweils null ist. Es ergibt sich nach einer Umordnung

In der zweiten Zeile stehen die Zusatzbedingungen ( 7 . 3 8 ) . ~ b e r s i c h t l i c h e r wird das Gleichungssystem, wenn man es in symbolischer Matrizenschreibweise zusammenfaBt.

Die Dampfungs- und Massen-Matrizen wurden durch Nullen auf die GroBe N + N* aufgefiillt. Hier ergibt sich sofort die Frage, warum die Zusatzbedingungen nur bei der Steifigkeits-Matrix auftreten und nicht auch bei den anderen Matrizen. Das liegt daran, daB die Zusatzbedingungen ( 7 . 3 8 ) fur die Verschiebungen vorgegeben wurden. Die gleichen Zusatzbedingungen gelten aber auch fur die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Das erkennt man schon daran, daB die Transformationen ( 7 . 7 ) bis ( 7 . 9 ) fur die Steifigkeits-, Dampfungs- und Massen-Matrizen identisch sind. Also kann man auch die Dampfungs- und Massen-Matrizen wie die Steifigkeits-Matrix anstatt mit Nullen durch die Zusatzbedingungen erweitern. Es treten dann auch die Zeitableitungen der Lagrange-Multiplikatoren und 1 auf. Welche Formulierung ist dann aber richtig? Sie sind alle richtig! Die Zusatzbedingungen konnen in eine beliebige Auswahl der drei SystemMatrizen hineingestellt werden. Einen Unterschied findet man nur bei der numerischen Losung. Die den Zusatzbedingungen zugeordneten Eigenwerte konnen ans untere Ende des Spektrums geraten, ans obere, oder sie konnen komplex werden. In der Anwendung ublich ist die Anordnung ( 7 . 4 8 ) , fur die die zusatzlichen Eigenwerte gegen unendlich streben. Aus der vorausgegangenen Diskussion wird deutlich, daB durch die Methode der Lagrange-Multiplikatoren numerische Schwierigkeiten erzeugt werden konnen. Selbst fiir ein statisches Problem ist das bereits so. Die erweiterte

7.2 Zusatzbedingungen

441

Steifigkeits-Matrix ist zwar noch symmetrisch, aber nicht mehr positiv definit, da sie Nullen auf der Diagonale besitzt. Bei einer Dreieckszerlegung treten dann negative Drehglieder auf, so daB nicht mehr der einfachere Cholesky-Algorithmus benutzt werden kann, sondern der speziell f ~ i rdiese Falle entwickelte Algorithmus ( 1 . 1 0 9 ) . Ein etwas anspruchsvolleres Beispiel f u r die Anwendung e i n e r Zusatzbedingung t Bild 4.7. liefert das ( 2 ~ 2 b L a g r a n g e - E l e m e n von

Bild 7.5: (2x2)-Lagrange-Element mit einfacher Indizierung der Freiheitsgrade. Durch die Zusatzbedingung sol1 die Volumenanderung des Elementes unterdriickt werden. Die Bedingung (7.38) ist somit bei konstanter Dicke

mit der Bedingungs-Matrix

Die Steifigkeits-Matrix ist i n Abschnitt 4.2.3 angegeben. Die durch die Zusatzbedingungen erweiterte Steifigkeits-Matrix von (7.48) ist dann 44

4 3 15 - 2 6 -3 -22 1 5 -3 2 6 44 3 4 -15 -22 4 4 1 5 4 -3-22 15 44 3 -26 15 2 2 44 15 -26 3 4 4 3 4 4 4 1 5 symmetrisch 44

1

-1 1 -1 1 1 1

-1 0

Die Massen-Matrix wird f u r den Parameter p t = 9 berechnet. Die erweiterte Matrix ohne die Zusatzbedingungen ist

["a]

=

4

0 4

2 0 4

0 2 0 4

symmetrisch

1 0 2 0 4

0 1 0 2 0 4

2 0 1 0 2 0 4

0 2 0 1 0 2 0 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

442

7. Struktur-Techniken

Das Element ohne die Unterdruckung der Volumenanderung besitzt die Eigenfrequenzen

Hierbei verandert lediglich die Schwingungsform fur w 2 = 40 das Volumen. Die Eigenfrequenzen fur das Element mit den Zusatzbedingungen ergeben sich als

Hier ist die fur die Volumenanderung verantwortliche Frequenz verschwunden. Die beiden oberen Frequenzen ergeben sich aus Zufalligkeiten des verwendeten Algorithmus. Das heist, die Zahlenwerte sind bedeutungslos, abgesehen davon, daR sie sehr groR sind. Fur die meisten Berechnungen sind sie unwichtig. Will man allerdings eine direkte Zeitintegration mit einem expliziten Verfahren vornehmen, dann muRte man einen unendlich kleinen Zeitschritt verwenden. Offensichtlich ist das sinnlos. Dies zeigt, daR das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren, wie auch schon oben gesagt, numerische Schwierigkeiten bereiten kann.

7 . 2 . 3 Straf-Funktionen Wahrend die Lagrange-Multiplikatoren aus der klassischen Mechanik stammen, ist die Methode der Straf-Funktionen (penalty functions) vergleichsweise neuen Datums. Sie stammt aus der Optimierung und belegt eine Abweichung von den Zusatzbedingungen mit einer ,,numerischen Strafecc, das heiBt mit vergleichsweise sehr groBen Zahlenwerten. Es ist eine Methode, die nur auf einem Digitalrechner sinnvoll anzuwenden ist. Gegenuber den Lagrange-Multiplikatoren hat sie den Vorteil, daB sie keine zusatzlichen Gleichungen erzeugt. Damit steht sie auf einer Ebene mit den Transformationen von Abschnitt 7 . 2 . 1 , hat diesen gegenuber aber den Vorteil, daB sie keine h d e r u n g der gegebenen Freiheitsgrade erfordert. Der Ansatz der Methode erfolgt wieder uber das Extremalprinzip ( 7 . 4 2). Das elastische Potential ist das gleiche wie vorher in ( 7 . 4 3 ) . Die Arbeit der Zusatzbedingungen wird definiert durch

Diese Arbeit verschwindet, wenn die in den Klammern enthaltene Zusatzbedingung erfullt ist. 1st dies nicht der Fall, dann wird sie schnell sehr groB, denn den in der Matrix crA*B* enthaltenen Straf-Konstanten werden noch naher zu diskutierende groRe Zahlenwerte zugewiesen. Die Matrix der Straf-Konstanten sei symmetrisch.

7.2 Zusatzbedingungen

443

Normalerweise wird man mit einer Diagonalmatrix auskommen, was aber fur die folgenden Herleitungen unwichtig ist. Ein Inkrement der Zusatzarbeit wird durch Variation nach den Verschiebungen gewonnen. Da diese quadratisch auftreten, entstehen zwei Terme, die wegen der Symmetrie ( 7 . 5 0 ) einander gleich sind. Nach einer Zusammenfassung ergibt sich

Zusammen mit ( 7 . 4 3) wird dies in ( 7 . 4 2 ) eingesetzt und nach den Verschiebungen variiert. Es folgt

In symbolischer Matrizen-Schreibweise ist dies

Da die Zusatzbedingungen uber die Verschiebungen formuliert wurden, tritt die zugehorige Modifikation nur bei der Steifigkeits-Matrix auf. Die entsprechende Situation wurde bereits bei den Lagrange-Multiplikatoren im Zusammenhang mit ( 7 . 4 8 ) diskutiert. Wie dort konnen auch hier sowohl die Dampfungs- als auch die Massen-Matrix verandert werden. Unterschiede zeigen sich nur in der Numerik. ~ b l i c hist die in ( 7 . 5 3) gezeigte Veranderung der Steifigkeits-Matrix allein. Die uberzahligen Eigenfrequenzen gelangen dadurch an das obere Ende des Spektrums, was, wie schon gesagt, zu Problemen bei einer direkten Zeitintegration fiihren kann. Nach welchen Kriterien sind die Straf-Konstanten auszuwahlen? Sie sollten groB sein; um die Zusatzbedingungen moglichst genau zu erzwingen. Andererseits durfen sie nicht so groB werden, daB sie die vorhandenen Koeffizienten der Steifigkeits-Matrix vollkommen uberdecken. Damit ist gemeint, daB auch nach der Addition der Matrix S ~ A Sder EinfluB der ursprunglichen Koeffizienten erkennbar bleiben muB. Anderenfalls entstehen lineare Abhangigkeiten. Die Wahl der Straf-Konstanten ist also ein Kompromin, der ublicherweise in der Nahe der halben Wortlange liegt. Bei sieben Dezimalstellen wird man die Straf-Konstanten etwa um drei bis vier

444

7. Struktur-Techniken

Zehnerpotenzen groBer machen als die Koeffizienten der Steifigkeits-Matrix. Bei einer groBeren Wortlange kann der W e r t entsprechend hoher liegen. Als Beispiel soll wieder das (2x2)-Lagrange-Element von Bild 7.5 mit der Zusatzbedingung der Volumenkonstanz verwendet werden. Der Term S ~ A U *auf der linken Seite von (7.53) ist null, weil U" gleich n u l l ist. Mit der angegebenen BedingungsMatrix ergibt sich

S ~ A S= cr

-

-

1 1 1 1 -1 - 1 1 1 -1-1 -1-1 1 1 -1-1

-1 1 -1 -1 1 - 1 1 -1 - 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1-1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1-1 1 1 1

-1 - . -1 1 -1 1 1

-1 1

-

Da die groBten Koeffizienten der Steifigkeits-Matrix gleich 44 sind, wird f u r eine Wortlange von etwa sieben Dezimalstellen cr = l o 4 gewahlt. Wie i n (7.53) wird STAS zur Steifigkeits-Matrix addiert und dann mit der unveranderten Massen-Matrix das Eigenwertproblem gelost. Es ergeben sich die Frequenzen

Das Ergebnis wurde absichtlich nicht auf die ganzen Zahlenwerte gerundet, u m die Abweichungen zu zeigen, die sich aus der nicht ganz exakten Erfullung der Zusatzbedingung ergeben. Fiir die praktische Anwendung sind diese Abweichungen bedeutungslos, ebenso wie die uberzahlige achte Eigenfrequenz. Wesentlich ist, daR auch hier die das Volumen Bndernde Schwingungsform mit w2 = 40 verschwunden ist.

7.2.4 ubungen u b u n g 7.8: Die Stabkette von Bild 7.2 wurde im Beispiel von Abschnitt 7.2.1 der Zusatzbedin= 0 unterworfen. Bringen Sie eine statische Belastung F = 1 im transformiergung ten System a n und berechnen Sie die Verschiebungen und Krafte UA und FA ; (A = 1...5) im Ausgangssystem. u b u n g 7.9: Das Element von Bild 7.5 soll eine Flachenanderung von AA = 0 , l erhalten. Berechnen Sie mit Hilfe einer Transformation die Verschiebungen und Krafte i n den Ausgangs-Freiheitsgraden. Benutzen Sie eine geeignete Auflagerung z u r Unterdruckung der Starrkorper-Verschiebungen. u b u n g 7.10: Die Stabkette von Bild 7.2 soll folgenden Zusatzbedingungen unterworfen werden:

U1

=u,=o;

U

2 U4

=o.

Die statische Belastung sei:

F3

=

F ; sonst

=

0 .

Berechnen Sie die Verschiebungen mit a) einer Transformation nach 7.2.1; b) Lagrange-Multiplikatoren nach 7.2.2; C) Straf-Funktionen nach 7.2.3.

7.3 RegelmaRige Strukturen

445

ubung 7.11: Die Steifigkeits-Matrix einer Stabkette mit drei Freiheitsgraden ist =

-:01.

0 -1 Die Belastung ist F g = 1 und die Zusatzbedingung U 2 Verschiebungen mit den Straf-Konstanten cr =

=

U,. Berechnen Sie die

1, 10, 100, 1000.

Welche dezimale Mindestwortlange benotigen Sie jeweils?

7.3 Regelmal3ige Strukturen Als regelmabig sollen Strukturen bezeichnet werden, die nur aus gleichen Substrukturen aufgebaut sind. Als gleich gelten dabei auch solche, die mitsamt ihrer Freiheitsgrade gedreht, umgeklappt oder gespiegelt sind, so daB ihre lokalen Beschreibungen, wie zum Beispiel ihre Steifigkeits-MatriZen, unverandert bleiben. Diese Substrukturen konnen beliebig groB und kompliziert sein, trotzdem werden sie im folgenden als Elemente bezeichnet, weil sie die Grundbausteine fir die zu betrachtenden Probleme darstellen. Eine Scheibe, die aus lauter gleichen Dreiecks-Elementen zusammengesetzt ist, ist in diesem Sinne eine regelmaRige Struktur. Allerdings ist hieran weniger gedacht, als an Strukturen, die aus relativ wenigen gleichen Teilen in einem regelmaBigen Muster zusammengesetzt sind. D e r Grund, weshalb hierfiir ein besonderer Abschnitt vorgesehen wurde, ist die Moglichkeit einer erheblichen Verringerung des benotigten Losungsaufwandes durch des gekoppelten Ausgangssystems in eine entkoppelte die ~ b e r f i i i h r u n ~ Blockdiagonalform. A l l e symmetrischen Strukturen sind regelmaBig. Ein groBer Teil dieses Abschnittes beschaftigt sich mit symmetrischen Problemen. Regelmabigkeit ist jedoch der Oberbegriff, der sowohl von der Methodik als auch von der Problemstellung allgemeiner aufzufassen ist.

Spiegelsymmetrie Kette

Bild 7.6: Einige RegelmaRigkeiten.

zyklische Symmetrie

446

7. Struktur-Techniken

Die Symmetrie ist ein Spezialgebiet innerhalb der Mathematik. Das zugehorige Werkzeug ist die Gruppentheorie. Angewendet wird sie zum Beispiel auf Kristalle. Ingenieure haben hiervon meist nur eine vage Vorstellung und behandeln symmetrische Probleme eher intuitiv und auf den Einzelfall beschrankt. Spiegelsymmetrische Anwendungen kommen sehr haufig vor. Hierzu gehoren zum Beispiel Fahr- und Flugzeuge. Zyklisch symmetrische Probleme wie Laufrader von Turbinen sind schon seltener. Es ist nicht die Aufgabe dieses Abschnittes, ein umfassendes Bild von symmetrischen und regelmafligen Strukturen zu vermitteln. Es wird lediglich eine pragmatische Methode vorgestellt, mit deren Hilfe man sich spezielle Losungen fur beliebige Anwendungsfalle beschaffen kann. DaB dafur eventuell ein Computer benotigt wird, ist heute kein Problem mehr. Ausfuhrlich behandelt werden nur zweidimensionale RegelmaBigkeiten, womit aber keinesfalls gemeint k t , daB die zugehorigen Strukturen nicht dreidimensional sein konnen. Um den Umfang zu begrenzen, wird nur das statische Problem besprochen. Eine Erweiterung auf dynamische Problemstellungen ist so einfach, daB sie nicht andauernd wiederholt werden muB: Da die benotigte Transformation der Verschiebungen ebenfalls fur die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gilt, werden die Dampfungs- und Massen-Matrizen genau so transformiert wie die Steifigkeits-Matrix. Dies ist in Abschnitt 7 . 1 . 1 ausfuhrlich dargestellt. Da die Dampfungs- und Massen-Matrizen denselben regelmaBigen Aufbau besitzen mussen wie die Steifigkeits-Matrix - sonst ware ja die RegelmaBigkeit zerstort -, ist das Resultat der Transformation vollkommen analog zu dem der Steifigkeits-Matrix.

7 . 3 . 1 Zusammenbau Eine beliebige Struktur wird durch das lineare Kraft-Verschiebungs-Gesetz ( 3 . 1 9 ) beschrieben: ..N) .

(7.54)

Sie ist regelmafiig, wenn sie aus gleichen Elementen (Substrukturen) aufgebaut ist. Mit ( 3 . 1 2 ) gilt dann

Hierin ist kab die Steifigkeits-Matrix des generierenden Elementes mit n Freiheitsgraden. Dieses ist E-ma1 in der Struktur abgebildet, die dann N Freiheitsgrade besitzt. Damit s ~ (eine ~ Koinzidenz-Matrix ) ~ nach ( 3 . 1 1 )

7.3 RegelmaRige Strukturen

447

wird, muJ3 vorausgesetzt werden, daJ3 die Freiheitsgrade des Elementes und der Gesamtstruktur eine identische Lage und Richtung besitzen. Diese Voraussetzung wird hier etwas gelockert, indem zugelassen wird, daB die Richtungen auch entgegengesetzt sein durfen. Damit die Element-Steifigkeits-Matrix dabei unverandert bleibt, durfen solche Umkehrungen nur das Resultat von Drehungen, Spiegelungen oder Umklappungen des Elements als ganzes sein. Es soll dann immer noch von einer )>Koinzidenz-Matrix<< die Rede sein, die jetzt aber folgende erweiterte Definition hat: s

a( e)A

=

=

=

1 , wenn Freiheitsgrad a von Element e mit Freiheitsgrad A der Struktur zusammenfallt; - 1 , wenn Freiheitsgrad a von Element e entgegengesetzt gleich ist Freiheitsgrad A der Struktur; 0 in allen anderen Fallen.

Aus einem Balken-Element mit veranderlichem Querschnitt soll eine spiegelsymmetrische Balkenstruktur zusammengesetzt werden.

Element

Struktur

Bild 7.7: Beispiel fiir eine spiegelsymmetrische Struktur. Als Element-Steifigkeits-Matrix wird gewahlt:

Die Koinzidenz-Matrizen (7.56) sind (leere Felder

=

0):

Der Zusammenbau nach (7.55) ergibt die Gesamt-Steifigkeits-Matrix

448

7. Struktur-Techniken

7 . 3 . 2 Charakteristisches Eigenwertproblem Fur die analytische Losung regelmaBiger Probleme verwendet man orthogonale Funktionen. Die Fourier-Reihen sind ein bekanntes Beispiel hierfur. Fur eine Finit-Element-Berechnung benotigt man nur die numerischen W e r t e solcher Funktionen an ausgewahlten Punkten. Diese konnen auf numerischem Wege erzeugt werden, indem man ein oder mehrere geeignete Eigenwertprobleme lost. Die zugehorigen Eigenvektoren sind die numerischen Abbildungen orthogonaler Funktionen. Sie erfullen also genau die Aufgabe der analytischen Funktionen. Fur die Bildung eines geeigneten Eigenwertproblems konnte man die Steifigkeits-Matrix der Struktur selbst heranziehen und die resultierenden Eigenvektoren fiir die Transformation benutzen. Das Ergebnis ist mit (1.16 8 ) eine diagonalisierte Matrix, die eine optimale Entkoppelung der Gleichungen herbeifuhrt. Da die Losung dieses Eigenwertproblems um ein Vielfaches aufwendiger ist als die Losung des nicht transformierten linearen Gleichungssystems, kann allerdings keine Rede sein von einer Verringerung des Aufwandes. Aber die Idee mit der Steifigkeits-Matrix ist schon richtig. Nur muB man ein kleineres Ersatzproblem auswahlen, das die Hauptmerkmale der RegelmaBigkeit widerspiegelt. Eine Transformation auf der Basis der zugehorigen Eigenvektoren wird die Steifigkeits-Matrix der Struktur zwar nicht auf eine Diagonal-Matrix abbilden, aber, wenn man e s richtig gemacht hat, auf eine Block-Diagonal-Matrix. Die Losung des Gesamtsystems reduziert sich dadurch auf die Losung einer Reihe von wesentlich kleineren, entkoppelten Teilproblemen. D e r Aufwand verringert sich entsprechend. Jeder Freiheitsgrad des generierenden Elementes erzeugt eine Gruppe von korrespondierenden Freiheitsgraden in der Gesamtstruktur. Eine Richtungsumkehr spielt dabei keine Rolle. J e nach A r t der RegelmaBigkeit kann solch eine Gruppe aus vielen oder auch nur aus einem einzigen Freiheitsgrad bestehen. Fur jede dieser Gruppen 1aBt sich eine Ersatzstruktur angeben, die zum Beispiel aus Simplex-Elementen mit einem Freiheitsgrad pro Knoten besteht. DaB dabei mehrmals dieselbe Ersatzstruktur auftreten kann, ist unerheblich. Eine so erzeugte Ersatzstruktur liefert das, was hier als charakteristisches Eigenwertproblem bezeichnet werden soll:

7.3 RegelmaRige S t r u k t u r e n

449

Dies ist das spezielle Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) rnit ( 1 . 1 5 0). Es steht aij fiir die Steifigkeits-Matrix der Ersatzstruktur; hk und xjk sind die zugehorigen Eigenwerte und -vektoren. Die GroBe m des Problems ist haufig gleich der Zahl E der Elemente; sie kann aber auch kleiner sein. Die Orthonormierung der Eigenvektoren nach ( 1 . 1 6 6) ist auch bei mehrfachen Eigenwerten unbedingt einzuhalten.

Im Einzelfall kann die Normierung auf den W e r t 1 dazu fiihren, daB in der transformierten Steifigkeits-Matrix Zahlenfaktoren erscheinen, die lastig sein konnen. Diese lassen sich nachtraglich entfernen, wenn es gewiinscht wird. Wegen der grundlegenden Bedeutung sol1 hier jedoch nicht auf die Einhaltung der Normierung verzichtet werden. Die Gruppen der korrespondierenden Freiheitsgrade des Beispiels von Bild 7.7 sind 1 rnit 2, 3 rnit 4, sowie 5 u n d 6 jeweils allein. Es ergeben sich also die zwei unterschiedlichen Ersatzstrukturen i n Bild 7.8, wobei die Richtungen der Freiheitsgrade gleich, aber sonst beliebig, angetragen sind.

Bild 7.8: Ersatzstrukturen fiir die Gruppen rnit zwei und e i n e m korrespondierendem Freiheitsgrad. Die erste 1aRt sich durch e i n eindimensionales Simplex-Element von Abschnitt 4.2.1 darstellen, die zweite durch e i n e n P u n k t rnit e i n e m Freiheitsgrad. Die zugehorigen Steifigkeits-Matrizen sind n a c h e i n e r willkiirlichen Festlegung der Vorfaktoren

Hiermit lassen sich a u s dem charakteristischen Eigenwertproblem (7.57) rnit der Normierung (7.58) die folgenden Eigenvektoren berechnen:

Diese Eigenvektoren sind unabhangig von den Vorfaktoren der M a t r i z e n a i j So w u r d e der Vorfaktor A E / I des Simplex-Elementes gleich e i n s gesetzt.

7 . 3 . 3 Transformation Aus den Eigenvektoren des oder der charakteristischen Eigenwertprobleme wird spaltenweise eine Transformations-Matrix aufgebaut. Jede Gruppe von korrespondierenden Freiheitsgraden wird dabei auf eine ebenso groBe

450

7. Struktur-Techniken

transformierte abgebildet. Dieser Vorgang wird ubersichtlicher, wenn man, wie in dem Beispiel von Abschnitt 7 . 3 . 1 geschehen, die korrespondierenden Freiheitsgrade in der Numerierung jeweils nebeneinander gestellt hat. Die Reihenfolge der Spalten der Transformations-Matrix wahlt man zunachst nach Belieben. Spater wird eine Umstellung vorgenommen. Die fertige Transformations-Matrix hat folgende Form:

(0) . d ~ anfangs e aufgebaute Transformations-Matrix und PEA eine Es ist TAB Vertauschungs-Matrix, die im allgemeinen zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist.

Mit der Transformations-Matrix wird die Gesamt-Steifigkeits-Matrix wie in ( 7 . 7 ) transformiert.

TS)

Solange die Vertauschungs-Matrix PgZ unbekannt ist, setzt man an - ( 0 ) die Stelle von TAA und erhalt Kzg . Aus der Anordnung der Koeffizienten erkennt man dann, welche Spalten-Vertauschungen der TransformationsMatrix erforderlich sind, um eine Block-Diagonalform herbeizufuhren. Damit ist dann die endgultige Form der Transformations-Matrix ( 7 . 5 9 ) bekannt. Dieser Vorgang wird spater noch genauer untersucht.

Die Transformations-Matrix f u r das oben begonnene Beispiel wird so aufgebaut, daR zuerst die korrespondierenden Freiheitsgrade 1 mit 2 transformiert werden, dann 3 mit 4 und z u m SchluR die alleinstehenden Freiheitsgrade 5 und 6 (leere Felder = 0).

Dadurch, daR i n der Gesamt-Numerierung die korrespondierenden Freiheitsgrade nebeneinandergestellt wurden, ergibt sich der ubersichtliche Aufbau. Mit dieser Transformations-Matrix wird (7.60) ausgefuhrt.

7.3 RegelmaRige Strukturen

451

Wenn man die Zeilen und Spalten in die Reihenfolge 1, 4, 5, 2, 3, 6 bringt, entstehen zwei (3x3)-Block-Diagonal-Matrizen.Die zugehorige Vertauschungs-Matrix von (7.59) ist (leere Felder = 0):

Andere Spaltenvertauschungen sind ebenso zulassig, solange die Gruppen 1, 4, 5 und 2: 3, 6 jeweils zusammen bleiben. Die fertige Transformations-Matrix (7.59) ist nun: 1

2

3

4

5

6

Damit folgt aus der Transformation (7.60)

Diese Steifigkeits-Matrix besteht aus zwei Diagonal-Blocken und wird so fiir die Losung des Problems verwendet.

7.3.4 Losung Mit Hilfe der Transformation (7.6 0) ist aus dem Ausgangsproblem ( 7 . 5 4 ) das neue

entstanden. Die Randbedingungen und Belastungen sind im allgemeinen in den Ausgangs-Freiheitsgraden gegeben und miissen auf die transformierten

452

7. Struktur-Techniken

umgerechnet werden. Ebenso mussen nach der Losung die transformierten Ergebnisse auf die Ausgangsform zurucktransformiert werden. Hierfur stehen die Transformationen ( 7 . 1 ) und (7.5) zur Verfugung sowie deren Umkehrungen. Letztere werden mit der inversen Transformations-Matrix gebildet. Wegen der Orthonormierung ( 7 . 5 8 ) muR die Inverse gleich der transformierten Transformations-Matrix sein. Also

T~ - 1

-

T~

;

(A,A

=

i...~).

Die Transformationen und ihre Umkehrungen sind dann

uA

-

-

C T& u;\ A

;

-

FA

= AC A T - AF

A

: '

-

U - = C T - U A A

=

A

-

c

TAA-

FA

; ;

(A,A

=

i...~).

Es wird angenommen, daB die Randbedingungen zu den RegelmaRigkeiten der Struktur >>passen<<. W a s damit gemeint ist, ist den Transformationen auRerlich nicht anzusehen, weil die Unterteilung in Gruppen von korrespondierenden Freiheitsgraden nicht sichtbar ist. Genau diese Unterteilung spielt hier aber eine wichtige Rolle. Werden diese Gruppen durch die Randbedingungen auseinandergerissen, dann passen die Randbedingungen nicht . W a s heiRt das? Wird ein Freiheitsgrad einer Gruppe mit einer Verschiebungs-Randbedingung belegt und ein anderer derselben Gruppe mit einer Belastungs-Randbedingung, dann ist die Gruppe auseinandergerissen worden. Fallen aber die Gruppen der korrespondierenden Freiheitsgrade jeweils in Ganze entweder in die Verschiebungs- oder die Belastungs-Klassen, dann ist die gemachte Voraussetzung erfullt. Unter diesen Umstanden findet man, daR sich die Transformationen von selbst entkoppeln. Es sei, wie in Abschnitt 3 . 2 . 1 erstmalig eingefuhrt, die Randbedingungs-Klasse 1 fur die Freiheitsgrade mit bekannten Belastungen reserviert und die Klasse 2 fiir vorgegebene Verschiebungen. Mit -(7.6 4) berechnet man aus den bekannten Kraften F die transformierten F und mit (7.6 5) aus den bekannten Verschiebungen U die transformierten u 2 . Hiermit werden in ( 7 . 6 O), unterteilt in die zwei Randbedingungs-Klassen, berechnet. Die Verdie unbekannten Verschiebungen u und Krafte I? schiebungen U und Auflagerkrafte F ergeben sich danach aus (7.6 3) und ( 7 . 6 6 ) .

7.3 RegelmaRige Strukturen

453

F u r das oben begonnene Beispiel sollen folgende Belastungen und Verschiebungen vorgegeben werden:

F3 U,

= =

F4

=

0 ;

1

;

F5

=

F6

=

U2= 0

1 ;

(Klasse 1 ) ;

;

(Klasse 2) .

Die korrespondierenden Freiheitsgrade 1 und 2 sowie 3 und 4 bleiben jeweils zusammen i n einer Randbedingungs-Klasse. Damit ist die oben gemachte Voraussetzung zu den Randbedingungen eingehalten. Mit den Transformationen (7.64) und (7.65) werden die gegebenen Belastungen und Verschiebungen transformiert. Dies laRt sich zusammenfassen:

Die mit ( - ) markierten Felder sind nicht belegt. Das Gleichungssystem (7.61) ist dann

In die nicht belegten Felder wurden jetzt die zugehorigen Unbekannten geschrieben. Die Losung setzt sich zusammen aus: 1. Teilproblem:

[u

' 6

]

=

2. Teilproblem:

[u

6

]

=

./ l / S

(-1

Die Rucktransformationen (7.63) und (7.66) f u r die Verschiebungen und Krafte werden wieder zusammengefal3t.

[u' F * ] =

454

7. Struktur-Techniken

Damit sind die unbekannten Verschiebungen U und Auflagerkrkifte F bestimmt! Durch Einsetzen der gegebenen und berechneten Verschiebungen i n die nicht transformierte Gleichung (7.54) k a n n man sich leicht davon iiberzeugen, daR die Losung richtig ist.

7.3.5 Verallgemeinerung Bisher orientierte sich das Vorgehen am Einzelfall. Die Steifigkeits-Matrix des generierenden Elementes (Substruktur) lag in numerischer Form vor, wurde zu einer Gesamt-Matrix zusammengebaut und dann transformiert. Die Vermutung liegt nahe, daB die Struktur des Gleichungssystems nichts mit den zufalligen Zahlenwerten der Element-Steifigkeit zu tun hat. Weiter kann man vermuten, daB zum Beispiel eine bestimmte Symmetrie immer die gleiche Struktur des transformierten Gleichungssystems erzeugt, gleichgultig, ob das generierende Element zwei oder zweitausend Freiheitsgrade besitzt. Mit diesen Fragen beschaftigt sich der folgende Abschnitt. Um den Aufwand moglichst gering zu halten, sollte man sich tunlichst auf generierende Elemente beschranken, die eine minimale Zahl von Freiheitsgraden besitzen. Aus jedem Freiheitsgrad lassen sich nachtraglich beliebig viele gleichartige erzeugen. Grundsatzlich gilt: daB ein Element fur jeden Rand, der eine Verbindung zu benachbarten Elementen herstellt, einen Knoten benotigt und fur das Innere ebenfalls einen. Ein Freiheitsgrad pro Knoten genugt, wenn das Element zum Einbau nicht gespiegelt wird. Durch eine Spiegelung werden zwei Freiheitsgrade erforderlich, einer: der seine Richtung beibehalt, und einer, der sich umkehrt. Ob es sich dabei um translatorische Freiheitsgrade handelt, rotatorische oder zusammengesetzte, ist gleichgultig. Worauf es ankommt ist einfach, daB eine reprasentative Koinzidenz ohne eine unnotige Duplizierung von Freiheitsgraden erzeugt wird. Im Zweifelsfall kann man naturlich mehr Freiheitsgrade berucksichtigen, erhoht dadurch aber den Aufwand. werden, welche Koeffizienten in der transformierten Es sol1 nun untersucht Steifigkeits-Matrix KAB von ( 7 . 6 0 ) null werden, ohne daB eine bestimmte Element-Steifigkeits-Matrix zugrunde gelegt wird. Mit dieser Information lassen sich die Spalten einer Transformations-Matrix TAA so anordnen, daB die transformierte Steifigkeits-Matrix eine optimale Form erhalt. SchlieBlich sollen, wieder fur beliebige Element-Steifigkeiten, die nicht verschwindenden Koeffizienten der transformierten Steifigkeits-Matrix bestimmt werden. Die Untersuchungen konnen sehr muhsam werden, weil unter Umstanden eine grone Zahl immer wiederkehrender Abfragen erforderlich ist. Dies ist dann ein Fall fur ein simples Rechenprogramm, das diese Arbeit schnell

455

7.3 RegelmaRige Strukturen

erledigen kann. An dieser Stelle muB man sich daruber klar sein, daB man keine Losung fur einen Einzelfall sucht, sondern jeweils fur eine ganze Problemklasse. Das erklart den Aufwand. Fur die einfache Spiegelsymmetrie und zyklisch symmetrische Strukturen findet man die fertigen Losungen weiter unten. Das Produkt aus der Koinzidenz- und der Transformations-Matrix wird zusammengefaBt . -

Za(e)2

-

'a(e)~

'

(7.6 7) -

(a = l...n;A,A

=

1...N;e

=

l... E )

Mit ( 7 . 5 5) folgt dann fur die transformierte Steifigkeits-Matrix (7.6 0 )

Unabhangig von einer beliebigen, voll besetzten Element-steifigkeitsMatrix kab wird dies nur dann zu null, wenn folgender Test erfullt ist:

Fiir eine ausgewahlte Kombination A # B miissen alle Element-Indizes a und b durchlaufen werden. Das kann ohne einen Rechner recht miihsam sein. Andererseits kann es auch relativ einfach sein, wenn die Z-Matrizen einen leicht durchschaubaren systematischen Aufbau haben. Struktur-Freiheitsgrade A # B , fur die (7.6 9 ) nicht erfullt ist, werden durch Spaltenvertauschung in der Transformations-Matrix nebeneinander gestellt. Mit der neuen Anordnung wiederholt man die Abfragen (7.6 9 ) bis man einen zufriedenstellenden Aufbau der transformierten Steifigkeits-Matrix erzeugt hat. In der praktischen Anwendung ist dies einfacher durchzufuhren als es sich abstrakt erklaren 1aBt. Das generierende Element des oben benutzten Beispiels h a t die minimale Zahl von vier Freiheitsgraden. Die Koinzidenz-Matrizen sind i n Abschnitt 7.3.1 angegeben i n Abschnitt 7.3.3. Aus und die nicht umsortierte Transformations-Matrix (7.67) folgt (leere Felder = 0):

TZ)

456

7. Struktur-Techniken

Hier ist e i n einfacher Aufbau zu erkennen, der eine muhsame Abfrage aller Indexkombinationen i n (7.69) unn6tig macht. F u r 2 = 1, 4, 5 gilt fiir alle a

Fur A = 2 , 3, 6 gilt ebenfalls f u r alle a

Damit folgt aus (7.69)

Dies legt nahe, die Spalten der Transformations-Matrix TM- i n die Reihenfolge 1, 4; 5, 2, 3, 6 zu bringen. Diese Reihenfolge findet sich schon i n Abschnitt 7.3.3, wo auch die zugehorige Transformations-Matrix angegeben ist. Die umgeordneten Z-Matrizen von (7.67) sind jetzt:

Aus (7.68) wird damit die transformierte Steifigkeits-Matrix f u r eine allgemeine Element-Steifigkeit hergestellt.

Diese Anordnung ist zugleich auch diejenige, i n der die Indizes der SteifigkeitsKoeffizienten in aufsteigender Folge erscheinen.

Es wurde oben schon gesagt, daB jeder einzelne Freiheitsgrad im generierenden Element zu einer Gruppe von gleichartigen Freiheitsgraden erweit e r t werden kann. nGleichartigcc verlangt das gleiche Verhalten bei einer Verschiebung, beim Umklappen oder einer Spiegelung, falls diese fiir das Element zum Zusammenbau der Gesamtstruktur erforderlich sind. ))Gleich-

7.3 RegelmaRige Strukturen

457

artigcc bedeutet nicht, daB eine Translation nur durch Translationen erweitert werden kann. Selbstverstandlich kann sie auch durch eine Rotation erweitert werden, falls sie zum Beispiel bei einer Spiegelung beide ihre Richtung umkehren. Die Koinzidenz-Matrix entscheidet daruber, was gleichartig ist: Zur Erweiterung sind nur Freiheitsgrade zugelassen, die gleiche Eintragungen erzeugen. Am einfachsten 1aBt sich eine Erweiterung durch eine Doppelindizierung der Freiheitsgrade herbeifuhren, wie sie in Abschnitt 3.1.4 erstmalig besprochen wurde. Aus einem Element-Freiheitsgrad a wird nun ia, wo a jetzt eine ganze Gruppe kennzeichnet und i die Freiheitsgrade in dieser Gruppe zahlt. Aus der Element-Steifigkeits-Matrix wird dann

Die Zahl der Freiheitsgrade in den Gruppen a und b sind na und nb. Sie konnen beliebig festgelegt werden im Unterschied zu der Doppelindizierung von Kapitel 3 , wo durchweg die gleiche Zahl angenommen wurde. Genau genommen mul3te anstelle von i und j jetzt ia und jb geschrieben werden. Mit der hier vorgeschlagenen einfachen Schreibweise kommt man jedoch auch zurecht, wenn man festlegt, dal3 der zugehorige Gruppen-Index den Bereich des davorstehenden Zahlers festlegt. Also legt a fest, daB das davorstehende i den Bereich na hat u.s.w. Es ist etwas muhselig und wenig instruktiv, wenn man mit der doppelten Indizierung durch die gesamte Herleitung hindurchgeht, zumal man das Ergebnis intuitiv sofort erfaBt. Als Endergebnis hat man mit ( 7 . 6 8 ) in der einfachen Indizierung festgestellt, wie die transformierte SteifigkeitsMatrix aus der Element-Steifigkeit aufgebaut wird. Die Erweiterung ist dann

Anstelle - der einzelnen Koeffizienten kab setzt man in die erweiterte Matrix KxB die (naxnb)-Matrizen k i a j ein. Dabei ist darauf zu achten, daB man die Symmetrie der Matrizen nicht verletzt.

(a,b

=

l . . . n ; i = l . . . na :' j = l . . .n b )

458

7. Struktur-Techniken

Was man dariiber hinaus noch braucht, sind die Transformations-Gleichungen (7.6 3) bis (7.6 6 ) . Innerhalb einer Gruppe sind sie fur alle Freiheitsgrade gleich. Aus (7.6 3) ergibt sich also Uia

-

4

-

TdtJia

-

( A , A = I ... N ; i = l ... n a ) .

;

(7.7 3)

A -

Welches na zu einem transformierten Gruppenindex A gehort, kann man aus (7.7 1 ) entnehmen. Die iibrigen Transformations-Gleichungen werden entsprechend gebildet. In Bild 7.9 ist eine Erweiterung der Freiheitsgrade fiir das vorher benutzte Beispiel angegeben, sowie die sich daraus ergebende doppelt und einfach indizierte Numerier u n g der Freiheitsgrade i n der Struktur. (Drehungen lassen sich nach Belieben i n Langsverschiebungen umwandeln, weil sie wie diese ihre Richtung bei der Spiegelung umkehren). 1,l

2,l

3,l

l,3

-

1 $4

1,2-

I 1

; ;

1;

Element

2,4

7

Struktur (einfache Indizierung)

7 -

-9

Bild 7.9: Durch zusatzliche Freiheitsgrade erweitertes Beispiel Die Diagonalblocke dann mit (7.71):

der erweiterten, transformierten Steifigkeits-Matrix werden

7.3 RegelmaRige S t r u k t u r e n

459

Die Nummern der doppelt indizierten Freiheitsgrade sind jeweils r e c h t s und oben eingetragen, die der einfach indizierten l i n k s und unten. Sie beziehen sich auf die transformierten Freiheitsgrade, n i c h t auf die urspriinglichen von Bild 7.9. Die Transformation (7.73) ist (leere Felder = 0)

Die Z a h l u n g der n i c h t transformierten - Freiheitsgrade entspricht Bild 7.9, die der ~ .weiteres Beispiel z u r Erweiterung transformierten der Anordnung von K l ~ j Ein der m i n i m a l e n Freiheitsgrade befindet sich i n Abschnitt 7.3.8.

7.3.6 Spiegelsymmetrie Die Symmetrie mit einer Spiegelebene ist bei weitem die haufigste RegelmaBigkeit, die sowohl in der Natur als auch in der Technik anzutreffen ist. Eine in den meisten Fallen als senkrecht angenommene Ebene teilt einen Korper in eine Links- und Rechtshalfte. Dabei ist die eine Halfte das spiegelverkehrte Abbild der anderen. Bild 7 . 1 0 zeigt einen typischen Anwendungsfall.

I

: Projektion

der Syrnrnetrie-Ebene

I

Bild 7.10: Spiegelsymmetrische Struktur mit m i n i m a l e n Freiheitsgraden.

460

7. Struktur-Techniken

Die Zahl der angetragenen Freiheitsgrade ist minimal. Es werden je zwei Freiheitsgrade gebraucht auf der linken Halfte, auf der rechten und in der Symmetrieebene, deren Richtung bei einer Spiegelung erhalten bleibt, beziehungsweise umgekehrt wird. Aus diesen Freiheitsgraden lassen sich beliebig viele neue erzeugen: wie in Abschnitt 7 . 3 . 5 gezeigt wurde. Das heiBt, die gezeigte Struktur ist reprasentativ fur einen beliebigen spiegelsymmetrischen Anwendungsfall. Das begleitenden Beispiel zu den vorausgegangenen Abschnitten entsprach genau der hier verwendeten minimalen Struktur. Die Details der Herleitung konnen also ubergangen werden. Entweder die linke Halfte oder die rechte kann als generierendes Element (Substruktur) aufgefaBt werden. Die zugehorige Steifigkeits-Matrix ist

Damit die Zahlung der Freiheitsgrade mit der im folgenden benutzten zusammenpaDt, mussen die Freiheitsgrade 1 bis 4 des links angenommenen generierenden Elements mit den Freiheitsgraden 1: 3 , 5 ; 6 der Struktur von Bild 7 . 1 0 ubereinstimmen. Fiir ein rechtes generierendes Element ist die ~ b e r e i n s t i m m u nmit ~ 2 , 4 , 5 , 6 erforderlich. Nur so ergeben sich die bei der Herleitung benutzten Koinzidenz-Matrizen. Eine Verletzung dieser Vorschrift fuhrt dazu, daB sich die Indizierung der Steifigkeits-Koeffizienten in der transformierten Matrix verandert. Die Transformations-Matrix folgt aus Abschnitt 7 . 3 . 3 (leere Felder = 0):

Damit ergab sich in Abschnitt 7 . 3 . 5 die transformierte Steifigkeits-Matrix (leere Felder = 0):

7.3 RegelmaRige Strukturen

461

Ein spiegelsymmetrisches Problem zerfallt in zwei Teile: Im ersten treten symmetrische, im zweiten antisymmetrische Verschiebungen und Krafte auf. Diese Zerlegung kann man auch mechanisch anschaulich vornehmen. Hier ergab sie sich als Folge einer iibergeordneten Theorie.

7.3.7 Zyklische Symmetric Eine zyklisch symmetrische Struktur bildet einen Ring in der Ebene, der aus gleichen Elementen aufgebaut ist. Bild 7 . I 1 zeigt ein Beispiel fur E = 4 Elemente.

Bild 7.11: Eine aus vier Elementen aufgebaute zyklisch symmetrische Struktur

Je ein Knoten findet sich am linken und rechten Rand und einer im Inneren des Elements. Pro Knoten wurde nur ein Freiheitsgrad angetragen, da das Element zum Zusammenbau nur verschoben wird und nicht gespiegelt. Es finden also keine Umkehrungen statt. Wie in Abschnitt 7.3.5 beschrieben, steht jeder Freiheitsgrad stellvertretend fur eine beliebig groBe Gruppe, die selbstverstandlich auch aus der Ebene heraus treten kann. Die einzige Bedingung ist, daB der linke und rechte Rand zusammenpassen. Die Struktur-Freiheitsgrade werden so numeriert, daB korrespondierende Freiheitsgrade aufeinander folgen. Im Bild sind dies die Freiheitsgrade 1 bis 4 und 5 bis 8 . Die Koeffizienten der Koinzidenz-Matrizen ( 7 . 5 6 ) werden gleich eins fur die folgenden Index-Kombinationen:

Fur alle ubrigen Kombinationen sind die Koeffizienten gleich null. Ein so erzeugter zyklisch symmetrischer Ring besitzt zwei Gruppen von korrespondierenden Freiheitsgraden. Sie werden gebildet aus den Freiheits-

462

7. Struktur-Techniken

graden 1 bis E an den Eckpunkten und E + 1 bis 2E an den inneren Punkten. Fur beide Gruppen ergibt sich also die gleiche Ersatzstruktur. Bild 7 . 1 2 zeigt wieder den Fall mit vier Elementen.

Bild 7.12: Ersatzstruktur fur einen zyklisch symmetrischen Ring aus vier Elementen.

Die Steifigkeits-Matrix einer Ersatzstruktur ist

a.. *J

=

0

... ...

2 -1

0 ...

o

o ..- o

2 -1 0 -1 2 -1

0 -1

1-1

o

o

(7.77)

-1

2

1

; ( i j j = ... 1 E).

Aus dem charakteristischen Eigenwertproblem (7.57) lassen sich damit die Eigenwerte und -vektoren fiir eine vorgegebene Zahl von Elementen E berechnen. D e r Winkel des generierenden Elements wird mit

bezeichnet und zur Abkurzung wird die zusammengefaflte Winkelfunktion (c

+ s) a

= cos

a

?

(7.79 )

sin a

benutzt. Hiermit ergeben sich die Eigenwerte und -vektoren

Ak

= 2 ( 1 - cos ( k - 1) y)

;

(7.80)

Bis auf den ersten Eigenwert und bei geradem E auch auf den letzten sind die iibrigen paarweise gleich.

Die Eigenvektoren sind zueinander konjugiert.

7.3 RegelmaRige Strukturen

463

Die Losungen ( 7 . 8 0 ) , ( 7 . 8 1 ) lassen sich auch auf analytischem W e g ermitteln. Dabei geht man von dem Eigenwertproblem fur zyklische MatriZen aus. Dies sind Matrizen, deren Zeilen jeweils um ein Element gegeneinander versetzt sind. Was damit gemeint ist, erkennt man an ( 7 . 7 7 ) . Die in der Literatur angegebenen Losungen enthalten komplexe Zahlen. Diese lassen sich jedoch entfernen, wenn man die zu den paarweise gleichen Eigenwerten gehorigen Eigenvektoren nachtraglich mit einer komplexen Transformation in den reellen Zahlenraum dreht. DaB dies moglich sein muB, folgt schon aus den Herleitungen in Abschnitt 1 . 7 . 4 : Die Matrix a . . 1J in ( 7 . 5 7) ist symmetrisch und die Einheits-Matrix Sij positiv definit, also miissen Eigenwerte und -vektoren reell sein! Aus den Eigenvektoren ( 7 . 8 1 ) wird die Transformations-Matrix so aufgebaut, wie in Abschnitt 7 . 3 . 3 beschrieben. Da die korrespondierenden Freiheitsgrade aufeinander folgend numeriert wurden, ergibt sich die Block-Diagonalform

Die Untermatrix X enthalt die Eigenvektoren des Problems. Sie werden in die Folge

charakteristischen

k = 1 I E, 2 1 E - 1 , 3 1 E - 2 , 4 1 ...

(7.85)

umgestellt, so daB Eigenvektoren zu gleichen Eigenwerten nebeneinander zu stehen kommen. Mit ( 7 . 8 1 ) und ( 7 . 8 3) ergibt sich

X = m [ I l

1

1

1

1

Die transformierte Steifigkeits-Matrix (7.6 0) ist dann

Die Diagonale der Block-Matrizen beginnt mit

1

I

.-I.

(7.86)

464

7. Struktur-Techniken

%=

[

A

B cos y

+

-

C sin y

C sin y

A

+

>

B cos y

und endet mit

LA

K ; ~ += ~

-

( E gerade) ;

B J ;

( E ungerade) ;

I

( 7 . 8 8b)

A + B cos

=

( E - 1) C sin (E - 1) y -C~inl/~(E-l)y A + Bco~~/~(E-l)y

Die hierin verwendeten Untermatrizen sind

F u r die zyklische Symmetrie wurden bereits alle Ergebnisse f u r e i n e beliebige Elementzahl angegeben. Das Beispiel beschrankt sich somit darauf, Zahlenwerte einzusetzen. Gewahlt wird die Anordnung von Bild 7.13 mit der Elementzahl vier Hierfur ergeben sich besonders einfache Winkelfunktionen. Aus (7.78) folgt =

, ?

27r 4

=

90°.

Die Transformations-Matrix wird mit (7.84) und (7.86) (leere Felder

Die transformierte Steifigkeits-Matrix (7.87) ist mit (7.88) -

0 0 0

0 A -C 0

0 C

A 0

0 A - B

1'

=

0)

7.3 RegelmaRige Strukturen

465

Die hierin auftretenden Block-Diagonal-Matrizen sind mit (7.89)

Wegen der Symmetrie der Element-Steifigkeits-Matrix sind auch die Diagonalblocke symmetrisch. Da k12- kzl gleich null ist, ist die Diagonale der Matrix C null. Diese Vereinfachung wurde jedoch nicht eingesetzt, weil bei einer VergroRerung der Zahl der Freiheitsgrade die Untermatrix kzl die Transponierte von k12 ist, die sich bis auf deren Diagonale nicht gegenseitig aufheben.

7 . 3 . 8 Rotations-Symrnetrie Die Symmetrie um eine Drehachse kommt in der Anwendung annahernd so haufig vor wie die Spiegelsymmetrie. Die Ausnutzung einer RotationsSymmetrie gestattet e s oft, aus einem dreidimensionalen Problem ein oder mehrere zweidimensionale zu machen, was eine enorme Verkleinerung des Modells und damit auch des Aufwandes herbeifuhrt. Voraussetzung dafur sind neben einer rotations-symmetrischen Struktur auch noch geeignete Randbedingungen. Als ngeeignetcc sind solche Belastungen und Auflagerbedingungen zu verstehen, die selbst rotations-symmetrisch sind oder periodisch um den Umfang verlaufen. Da sich beliebige Funktionen mittels einer Fourier-Analyse in periodische umwandeln lassen, konnte man theoretisch davon ausgehen, daB eine Einschrankung bezuglich der Randbedingungen unnotig ist. Praktisch sind diesem Vorgehen jedoch Grenzen gesetzt, weil sehr viele Fourier-Glieder erforderlich sind, um abrupte Sprunge anzunahern. Fur die Anwendung bleibt es deshalb dabei, daB nur periodische Randbedingungen mit einer geringen Zahl von Wellen uber den Umfang brauchbar sind. Anderenfalls muB wirklich eine dreidimensionale Berechnung durchgefuhrt werden. Traditionell werden fur die Rotations-Symmetrie Ansatze in ZylinderKoordinaten gemacht. Das heiBt, es wird eine eigene Herleitung notwendig, in der zwar dieselben Schritte zu durchlaufen sind, wie sie fur Cartesische Koordinaten erforderlich waren, aber der Aufwand ist trotzdem nicht unerheblich. Es miissen ringformige Elemente definiert werden, in denen die Umfangsrichtung getrennt von den radialen und axialen Richtungen auftritt, und bei Bedarf mussen Reihenentwicklungen fur nicht symmetrische

466

7. Struktur-Techniken

Belastungen und Auflagerungen eingefuhrt werden. Ein axialsymmetrisches Element fur symmetrische Belastungen wird in Abschnitt 8 . 2 . 1 hergeleitet. Eine alternative Beschreibung erhalt man, wenn man die Rotations-Symmetrie durch eine zyklische annahert. An die Stelle eines perfekten Rotationskorpers setzt man einen regelmanigen polygonalen Korper. Wieviele Ecken dieser hat, ist fur den Aufwand nahezu unerheblich. Es besteht also kein Grund dafur, mit moglichst wenigen Segmenten zu arbeiten und so die Genauigkeit zu kompromittieren. Andererseits verbietet sich eine beliebig groRe Zahl wegen numerischer Probleme. Dies laBt sich unter anderem an ( 7 . 7 8 ) oder ( 7 . 8 1 ) ablesen, wo die Zahl der Teilstrukturen E im Nenner erscheint. Die Darstellung eines rotations-symmetrischen Korpers durch eine endliche Zahl von Segmenten erzeugt innere Zwangsbedingungen, die ein zu steifes Verhalten bewirken. Dieser Punkt wurde in Abschnitt 5 . 3 . 4 in Zusammenhang mit der Konvergenz besprochen. Wegen des regelmaBigen Aufbaus einer zyklisch symmetrischen Struktur ist es relativ einfach, eine Abschatzung der entstehenden Fehler vorzunehmen. Ein polygonaler Ring aus Zugstaben, der durch einen konstanten Innendruck belastet wird, dehnt sich aus. Im Vergleich zu einem kreisformigen Ring werden die radialen Verschiebungen zu klein berechnet. Man findet den relativen Fehler

Schon ab E = 23 sinkt dieser Fehler unter 1%.Es besteht also kein Grund, zur Verringerung des Genauigkeitsverlustes, sehr groBe Segmentzahlen zu verwenden. Es kann vielmehr ausschlaggebend sein, wieviele Segmente man benotigt, um die gegebenen Belastungen und Auflagerungsbedingungen hinreichend genau abbilden zu konnen.

Bild 7.13: Approximation e i n e r rotations-symmetrischen Struktur.

7.3 RegelmaRige Strukturen

467

Zyklisch symmetrische Strukturen wurden bereits im vorhergehenden Abschnitt behandelt. Hier ist nur noch eine gewisse Aufbereitung notwendig unter dem Gesichtspunkt, daB die Zahl der Segmente relativ groR sein kann. Innere Freiheitsgrade wie der Freiheitsgrad 3 im Element von Bild 7 . 1 1 konnen weggelassen werden, weil die Seiten des generierenden Elements so nahe aneinanderrucken, daB hierfur kein Bedarf besteht, Ein Element mit minimaler Zahl der Freiheitsgrade und die daraus erzeugte Struktur sind in Bild 7 . 1 3 skizziert. Ohne einen inneren Freiheitsgrad vereinfacht sich die TransformationsMatrix von ( 7 . 8 4 ) zu

wobei X unverandert von (7.8 6) ubernommen wird. Die transformierte Steifigkeits-Matrix ist weiterhin durch ( 7 . 8 7) und ( 7 . 8 8 ) gegeben. Nur die Untermatrizen von ( 7 . 8 9 ) werden jetzt

Damit ist die Aufbereitung der Gleichungen abgeschlossen. Wie verlauft nun eine Berechnung? Wegen der groBen Zahl von Teilstrukturen konnte es so aussehen, als ob jetzt auch eine groBe Zahl von Teilproblemen zu berechnen sei. Das ist ganz und gar nicht der Fall. Die gegebenen Belastungen FA und Randverschiebungen UA werden mit (7.6 4 ) und ( 7 . 6 5) in die und fiA umgerechnet. Bestehen die vorgegebenen transformierten GroBen nur aus wenigen Gliedern einer Sinus-Cosinus-Reihe, dann werden nur wenige der transformierten ungleich null sein. Am einfachsten erkennt man dies an den inversen Transformationen. Fur die Krafte ist dies ( 7 . 6 6). Mit ( 7 . 9 1 ) folgt hierfur

6

-

Setzt man nun der Reihe nach die einzelnen Fx dann findet man mit ( 7 . 8 6)

worin n

=

0 ist f i r A

=

1 , n = 1 fiir

2

=

1 und die iibrigen

= 2 und 3 und so weiter.

=

0,

468

7. Struktur-Techniken

Umgekehrt wird nun vorausgesetzt, daB die Belastungen FA durch ( 7 . 9 3 ) gegeben sind, worin f und g beliebige Konstante sind und n die Zahl der Perioden uber den Umfang. Dann ergibt sich offensichtlich

Die ,,Teilproblemecc sind die durch (7.8 7) und (7.8 8) definierten entkoppelten Gleichungssysteme. Fur die Verschiebungs-Randbedingungen ergibt sich mit der inversen Transformation ( 7 . 6 3) das gleiche Verhalten wie fur die Belastungen. Wie oben schon bemerkt wurde, mussen fur eine geringe Zahl von periodischen Belastungs- und Auflagerfunktionen nur wenige Teilprobleme gelost werden! Auch fur zyklisch symmetrische Probleme mit einer geringen Zahl von Symmetrien gelten diese Beobachtungen. Als Beispiel wird das i n Bild 7.14 gezeigte Sechseck a u s Balken-Elementen gewahlt. Die Sechserteilung ist mit (7.90) n i c h t f e i n genug, u m die Rotations-Symmetrie genugend genau a n z u n a h e r n . D a h i e r jedoch n u r der Ablauf der B e r e c h n u n g gezeigt w e r d e n soll, sind die e i n f a c h e r e n Zahlenwerte vorzuziehen. Eine f e i n e r e Unterteil u n g vergroDert den Aufwand n u r insofern, als die Z a h l der Ausgangs-Freiheitsgrade zunimmt. F u r die Losung bleibt der Aufwand konstant, solange die Belastungen u n d Randbedingungen unverandert bleiben.

Bild 7.14: Sechseck aus Balken-Elementen. Die Freiheitsgrade sind i n der i n Abschnitt 7.3.5 e r l a u t e r t e n doppelten Indizierung angetragen. D e r jeweils zweite Index entspricht der Numerierung i n der m i n i m a l e n Konfiguration von Bild 7.13. D e r erste Index ist der Z a h l e r i n der e r w e i t e r t e n Numerierung. U m k e i n e unnotigen Komplikationen zu erzeugen, wird die doppelte Indizierung durch das gesamte Beispiel beibehalten.

7.3 RegelmaRige Strukturen

469

Der Winkel eines Segments betragt nach (7.78)

Das Balken-Element von Abschnitt 4.3.1 wird mit einem Stab uberlagert, um eine Langssteifigkeit hinzuzufugen. Danach werden die translatorischen Freiheitsgrade i n die gedrehten Richtungen transformiert. Zur Vereinfachung wird gesetzt 2EI = AE

=

1 = 1.

Die resultierende Steifigkeits-Matrix ist: 1

2 2

1 -

k l.a j.b

4,75

=

1

3

-2,59808 2,o

2

2,16506 4 , 2 5 - 1,s 2,59808 2,25 3 , 0 3 109 4,75

symmetrisch -

3

2,59808 3 , 0 3 1 0 9 1,0 - 1.5 1,5 0,75 2,59808 -2,16506 2,o - 1,5 2,25

Aus (7.92) ergeben sich die Untermatrizen:

C..

=

IJ

[kilj2

-

k i 2 j 1]

=

5,19615 -6,06218

5,19615 0 0

Die gegebenen Belastungen und Verschiebungen seien

6,06218 0 0

1

Hieraus folgt mit (7.93) und (7.941, daB n u r die transformierten Freiheitsgrade 1 bis 3 benotigt werden, das heiRt also die Teilprobleme 1 und 2. Der zugehorige Teil der Transformations-Matrix ergibt sich aus (7.91) und (7.86)

Die Transformationen (7.64) und (7.65) sind i n der erweiterten Form wie i n (7.73) = C FiA- ,T ; ((i = 1 , 2 ) ; F1A. A

-

yz

=

C qAT,A

; ( ( i = 3 ) ; (A

=

1 . . . 6 ; A = 1,2,3).

470

7. Struktur-Techniken

Mit ( d ) und ( e l folgt daraus

Dieses sind die vorgegebenen transformierten GroRen. Das erste Teilproblem ist jetzt mit (7.88) = ( A + B ) . . U j l ; (i,j= 1 , 2 , 3 ) .

6,

1 j

IJ

Mit ( c ) und ( f ) wird daraus

Die Losung ist

Fur das zweite Teilproblem folgt mit (7.88)

Mit ( C ) und ( f ) ergibt das

Dies hat die Losung

Die Rucktransformationen i n die Ausgangs-Koordinaten sind (7.63) und (7.66).

Nach Einsetzen von ( e ) und ( g ) ergibt sich

7.3 RegelmaRige S t r u k t u r e n

471

Dies sind die Verschiebungen u n d Auflagerkrafte, die sich infolge der Belastungen u n d Randbedingungen i n ( d ) ergeben.

7.3.9 ubungen u b u n g 7.12: M i t Hilfe von (7.75) sollen die Blocke der Steifigkeits-Matrix fiir die gezeigte spiegelsymmetrische S t r u k t u r ermittelt werden.

t

.' /

-

= Rotations-Achse

Numerieren Sie die Freiheitsgrade i n der doppelten Indizierung von (7.70). A c h t e n Sie darauf, daR Freiheitsgrade, die beim Spiegeln i h r e R i c h t u n g u m k e h r e n , n i c h t i n Gruppen v o n Freiheitsgraden geraten, die dies n i c h t tun. Stellen Sie z u m SchluR e i n e geeignete e i n f a c h e Indizierung der Freiheitsgrade her. u b u n g 7.13: Gegeben ist e i n Element mit je drei Freiheitsgraden a n den Enden.

Die Steifigkeits-Matrix ist

T r a n s f o r m i e r e n Sie die Freiheitsgrade so; c 1 das Element i n e i n e n zyklisch symmetrischen Ring a u s drei T e i l e n eingebaut werden k a n n . Bestimmen Sie danach die Steifigkeits-Matrix (7.87) des Ringes. u b u n g 7.14: Bestimmen Sie die Form moglicher Auflagerbedingungen UA und Belastungen FA, so daR i n e i n e r zyklisch symmetrischen Struktur von Abschnitt 7.3.7 n u r der erste Block der transformierten Steifigkeits-Matrix (7.87) benotigt wird.

472

7. Struktur-Techniken

u b u n g 7.15: Eine doppelt spiegelsymmetrische Struktur mit e i n e m m i n i m a l e n generierenden Element ist:

Bestimmen Sie eine Transformations-Matrix, die die Steifigkeits-Matrix i n e i n e BlockDiagonalform mit vier gleich groRen Blocken uberfuhrt. u b u n g 7.16: Ein Kreisring mit dem Radius r u n d der Umfangssteifigkeit ( A E ) wird durch e i n e n konstanten I n n e n d r u c k p belastet. D i e radiale A u f w e i t u n g ist

Bilden Sie den Ring durch e i n regelmaBiges Polygon von Zugstaben n a c h u n d b e r e c h n e n Sie die Umfangs-Verschiebung i n Abhangigkeit von der Elementzahl E. Vergleichen Sie das Ergebnis mit (7.90).

7.4 Belastungen Bisher wurden die Belastungen immer in den Freiheitsgraden einer zusammengefugten Struktur angegeben. Daran wird sich auch in Zukunft nichts andern, weil die Losung eines Problems auf dieser Ebene stattfindet. Die Ursachen fur diese Belastungen konnen aber bereits auf der Ebene der Elemente liegen, hervorgerufen zum Beispiel durch das verteilte Eigengewicht oder durch Vorspannungen. Im folgenden werden diese inneren Belastungen und ihre Auswirkungen auf eine Struktur betrachtet. In Tabelle 7 . 1 ist der schematische Ablauf einer Finit-Element-Berechnung dargestellt. Die senkrechten Pfeile entsprechen den natiirlichen Richtungen von Tabelle 2 . 1 und legen den im allgemeinen nicht umkehrbaren Ablauf fest. In den Element-Ebenen sind eine Anzahl von unabhangigen Grol3en eingetragen, die bisher noch nicht verwendet wurden. Es sind die Vorverschiebungen ~ ( 0!el, ) ~die Vordehnungen E ( o ) ~ ~ (die ~ ) Vorspannungen , ~ ( ov(e> ). . und die verterlten Belastungen f( (el, die sich aus den Volumen- und Oberflachen-Kraften und zusammensetzen. Diese miissen alle entlang der eingezeichneten Pfeilrichtungen umgerechnet werden, bis sie als Belastungen in den Struktur-Freiheitsgraden erscheinen. Dort werden sie

fp)a

7.4 Belastungen

Ebene

Verschiebungen

473

Krafte

Struktur-

Tabelle 7.1: Schema einer statischen Finit-Element-Berechnung mit inneren Belastungen.

bei der Losung nach den unbekannten Verschiebungen berucksichtigt. Bei der Ruckrechnung werden wieder die Element-Ebenen erreicht, in denen die Verschiebungen, Dehnungen etc. berechnet werden. ~ b e r l a ~ e rman t diese mit den vorgegebenen GroBen des Anfangszustands, erhalt man die wahren Verschiebungen etc.. Abgesehen von einigen, allerdings wichtigen Details. ist damit der schematische Ablauf beschrieben.

7.4.1 Innere Belastungen Alle in diesem Unterabschnitt vorkommenden GroBen beziehen sich auf die einzelnen Elemente in einer Struktur. Der fur eine Gesamt-Darstellung benotigte Element-Index wird hier jedoch weggelassen, um eine ubersichtlichere Darstellung zu ermoglichen. Die Bilanz der virtuellen Arbeitsinkremente ist fur ein Element mit inneren und auBeren Belastungen

Dies ist der erweitere Erhaltungssatz ( 2 . 3 7 ) . Hierin ist S w ( f ) die Arbeit von 5uBeren KrZften f nach ( 2 . 1 ) . Zus2itzlich tritt hier die Arbeit Sw(f;) von ( 2 . 2 ) hinzu als Folge der verteilen Belastungen ? und Die Formanderungsarbeit S r von ( 2 . 1 1 ) wird aufgeteilt in S r ( u ) infolge der Verschiebungen u, S r ( u o ) infolge der Vorverschiebungen u ( o ) , S ~ ( E als ~ ) Funktion der Vordehnungen ~ ( o und ) schlieBlich S r ( o O ) aus den Vorspannungen d o ) .

F.

Um die Variationen auf die auBeren Verschiebungen abbilden zu konnen, werden die Kontinuitatsbedingungen ( 2 . 3 8 ) und ( 2 . 4 5) benotigt.

474

7. Struktur-Techniken

...

a

Mit dem Arbeitssatz (7.9 5) folgt damit das Kraft-Verschiebungs-Gesetz fa

+

f ( m a -

kab ub

+

f (uola

+

f ( E ~ + ) f ~(nola ;

(7.98)

(a, b = l . . . n ) .

Hierin sind fa beliebige auBere Krafte und kab ist die Steifigkeits-Matrix von ( 2 . 4 2). Die resultierenden Krafte der inneren Belastungen sind

) ~ sich auf den unverformten Zustand. Die Vorverschiebungen ~ ( 0beziehen Das kann man sich so vorstellen: Ein Element von einer gegebenen GroBe wird durch die Vorverschiebungen gestreckt und so in die unverformte Struktur eingebaut. Ein Ausgleich der Verschiebungen kann erst nach der Freigabe der Verformungen im LosungsprozeB erfolgen. SinngemaB gilt dasselbe fur das Aufbringen von Vordehnungen und -spannungen. Man darf also nicht den Fehler begehen, zum Beispiel die Vorspannungen ~ ( o. .) mit 1J den nach der Losung vorhandenen gleichzusetzen. Die Gleichungen (7.9 6) bis ( 7 . 1 0 2 ) gelten fur beliebige Elemente. In den sehr haufig benutzten Kontinuum- Elementen von Abschnitt 4.2 und 4.4 wird die gleiche Interpolation fur alle raumlichen Richtungen verwendet. Es gilt dann der Verschiebungs-Ansatz ( 4 . 8 ) .

7.4 Belastungen

475

Das Kraft-Verschiebungs-Gesetz ( 7 . 9 8) und die Krafte (7.9 9 ) bis ( 7 . 1 0 2 ) sind dann in der hierfiir benotigten doppelten Indizierung der Freiheitsgrade:

Bild 7.15: 8-Knoten-Element. Fur das i n Bild 7.15 gezeigte 8-Knoten-Element sollen die inneren Belastungen infolge konstanter Volumen-Krafte und infolge konstanter Oberflachen-Krafte auf der Kante x 2 = 1 berechnet werden. Die zugehorigen Formfunktionen wurden bereits in Abschnitt 4.2.4 ermittelt:

Aus (7.105) folgt f u r konstante Volumen-Krafte N

f( F l i p

=

fi

Jadv

;

( i = 1 . 2 ; p = I... 8 )

v Die Integration erfolgt uber die Flache ma1 der als konstant angenommenen Dicke t Es ergibt sich

476

7. Struktur-Techniken

Es ist kein Zufall, daR diese Krafte proportional zu den konzentrierten Massen des gleichen Elementes im letzten Beispiel in Abschnitt 6.2.2 sind. Dort wurde eine konstante Beschleunigung vorgegeben, hier ist es eine konstante Volumenkraft. Aus (7.105) ergibt sich fur konstante Oberflachen-Krafte

Das Integral wird iiber die Seite x 2 = 1 genommen mit der konstanten Dicke t. Es folgt

Diese Krafte wirken am oberen Rand in den Knoten 3, 4 und 7. Der Ausdruck vor der Klammer entspricht der resultierenden Gesamtlast auf dem Elementrand, die Bruche in der Klammer geben an, wie diese Gesamtlast auf die beiden Seiten- und den Mittenknoten zu verteilen ist. Die so gewonnenen Knotenkrafte sind die konzentrierten Ersatzlasten fiir eine konstante, kontinuierliche Randlast. Folgerichtig stellt sich damit eine konstante Verschiebung des Randes ein, wie man sie auch intuitiv erwartet. Wird der belastete Rand aus mehreren gleichen Elementen gebildet, ergibt sich folgende, ungleichformige Lastverteilung: Anfangs- und Endknoten je 1/6, zusammengefugte Seitenknoten 1/3 und Mittenknoten 2/3. Es ist ein haufig begangener Fehler, die Oberflachenkrafte nach Gutdunken zu verteilen. Eine mogliche Wahl konnte die Verteilung zu je 1/4 auf die Seiten- und 1/2 auf den Mittenknoten sein. Fur den aus gleichen Elementen zusammengesetzten, belasteten Rand ergibt sich so eine Verteilung, die bis auf den Anfangs- und Endknoten konstant 1/2 ist. Diese gleichformige Verteilung erweckt zwar den Anschein einer konstanten Belastung, doch die Verformung des belasteten Elementrandes ist eine gekrummte Linie. Bei mehreren Elementen nebeneinander ergibt sich als Verformungsfigur eine >>Girlande<<.

7.4.2 Losung und Riickrechnung Die inneren Belastungen werden mit Hilfe der Koinzidenz-Matrix auf die Struktur-Freiheitsgrade verteilt.

Diese Beziehung wurde bisher noch nicht benutzt. So wie ( 3 . 3 ) aus ( 3 . 2 ) hervorgeht, so entsteht sie aus ( 3 . 1 0). Sie gilt fiir alle inneren Belastungen, was durch den Zusatz ( . ) angedeutet ist. Im Kraft-Verschiebungs-Gesetz fur die Struktur werden alle Krafte auf die linke Seite gebracht. Mit (7.9 8 ) ergibt sich

7.4 Belastungen

477

Die angegebenen Vorzeichen der Krafte lassen sich einfach nachprufen. Die Belastungen FA und ~ ( 5 ; ) ~wirken von auoen; sie werden also positiv eingefuhrt. Die Vorverschiebungen, Vordehnungen und Vorspannungen sind fur den unverformten Zustand definiert. Anders konnen sie nicht als unabhangige Variable eingefiihrt werden. Um den unverformten Zustand aufrecht zu erhalten, mussen entgegengesetzt gleiche Krafte aufgebracht ) ~ F(d0)* jeweils mit negativem werden. Diese sind F ( u ~ ) F~ (, E ~ und Vorzeichen! Die Losung von ( 7 . 1 1 0 ) erfolgt so, wie es in Abschnitt 3 . 2 beschrieben ist. Es werden also die Randbedingungen eingefuhrt und nach den unbekannten Verschiebungen aufgelost. Diese werden wieder eingesetzt, um die Auflagerkrafte zu bestimmen. Abweichend vom Gewohnten kann es passieren; daB Freiheitsgrade mit vorgegebenen Verschiebungen auch mit Belastungen beaufschlagt werden. Das schadet gar nichts. Die entsprechenden Anteile finden sich dann in den Auflagerkraften wieder. Nachdem samtliche Verschiebungen in den Struktur-Freiheitsgraden bestimmt sind, beginnt die Ruckrechnung von Abschnitt 3 . 3 . Um die Ergebnisse zu kennzeichnen, wird der Zusatz ( U ) verwendet. Aus ( 3 . 3 9 ) ergeben sich die Element-Verschiebungen

Daraus werden abhangig von den Element-Typen und -Daten die Dehnungen r ( U)ij(e), die Spannungen o(U)ij(el und die Element-Krafte f ( U ) a auf dem gewohnten Weg berechnet. Mit Ausnahme von den Kraften sind diese jedoch noch nicht die wahren Griinen. Diese entstehen erst, wenn sie mit den vorgegebenen GroBen uberlagert werden (Element-Indizes weggelassen).

In Bild 7.16 ist e i n Kragbalken (1) mit e i n e m zentrisch angebrachten Stab ( 2 ) gezeigt, der so vorgespannt wird, daR die Zugspannungen i m Balken reduziert oder sogar ganz aufgehoben werden. Konstruktionen dieser A r t findet m a n i n vorgespannt e n Beton-Tragwerken.

478

7. Struktur-Techniken

Bild 7.16: Vorgespannter Kragbalken: (1) Balkenelement, (2) Stab. Um den folgenden Ablauf so ubersichtlich w i e moglich darstellen zu k o n n e n , w e r d e n die Element-Freiheitsgrade sofort auf die Struktur abgebildet. D i e KoinzidenzM a t r i z e n mit den Schritten (7.109) u n d (7.1 1 1 ) sind also bereits i n die Gleichungen eingearbeitet. Die Gesamt-Steifigkeits-Matrix ist

Die Spannung i m Einspann-Querschnitt des Balkens i n der oberen Faser ergibt sich aus (4.48) und (4.20)

Im z e n t r i s c h e n Stab h e r r s c h t die konstante Spannung

u n d infolge e i n e r Vorspannung auBerdem noch die i n n e r e Belastung von (7.108)

F u r die Struktur werden folgende Belastungen vorgegeben: innere: o ( o ) ( ~ )= ~ ( o ) ; BuBere: F1 = - F ; F Z = F3

=

0.

Die G l e i c h u n g (7.1 1 0 ) ist damit u n d ( d )

M i t ( a ) ergibt sich die Losung:

U3

=

-

(AE

A( 2 ) + (AE )(,)

~(0).

In der R u c k r e c h n u n g e n folgen damit aus ( b ) u n d ( c ) die verformungsbedingten Spannungen

7.4 Belastungen

479

Die uberlagerung (7.114) liefert die wahren Spannungen

Die Vorspannung o ( o ) ist f u r den unverformten Zustand definiert. Die Vorspannung im Stab ist nach der Verformung gleich o ( ~ ) Mit . (e2) k a n n man o ( o ) eliminieren. Aus (el) folgt dann

Da die Struktur statisch bestimmt ist, hatte m a n diese Beziehung nach einer einfachen Gleichgewichts-Betrachtung sofort hinschreiben konnen. Das zeigt, daB das Ergebnis richtig ist. Zweck des Beispiels war es jedoch nicht, die gefundene Beziehung ( f ) herzuleiten, sondern den automatischen Ablauf einer Berechnung mit Vorspannungen zu erlautern. Daruber hinaus sollte der Unterschied zwischen Vorspannungen im verformten und unverformten Zustand gezeigt werden.

7.4.3 Warme-Dehnungen Die Temperatur 9 in Tab. 2.1 wird hier als eine unabhangig vorgegebene GroBe betrachtet, die in die zu behandelnden Zusammenhange nur insoweit eingeht; als sie Warmedehnungen und daraus resultierende Spannungen, Krafte usw. hervorruft. Allenfalls kann sie noch indirekte Auswirkungen haben, indem sie zum Beispiel das elastische Verhalten eines Werkstoffes beeinfluBt. Die Temperatur ist eine skalare GroRe. Sie ist definiert als eine Temperaturerhohung iiber einen vorgegebenen Anfangszustand. Fur das Warme-Dehnungsgesetz gelten sinngemaR viele der Aussagen, die zum Spannungs-Dehnungsgesetz in Abschnitt 2.2.1 gemacht wurden. Allerdings liegt hier der Fall um vieles einfacher, da nur eine Verkniipfung zwischen einem Skalar und einem Tensor zweiter Stufe zu machen ist und nicht eine zwischen zwei Tensoren zweiter Stufe. Eine Temperaturerhohung 9bewirkt bei ungehinderter Ausdehnungsmoglichkeit eine Dehnung, die nach folgendem Gesetz entsteht: E.. IJ

= cr.. $ V

; ( i > j= l...c).

(7.11 6 )

D e r Warmedehnungstensor cr.. ist wie der Elastizitatstensor in ( 2 . 2 5) *J werkstoffabhangig. Im Idealfall wird e r konstant sein, so daB das Warme-

480

7. Struktur-Techniken

Dehnungsgesetz linear ist. Wegen der Symmetrie ( 2 . 8 ) des Dehnungstensors ist auch der Warmedehnungstensor symmetrisch.

) Die Zahl der unabhangigen Koeffizienten reduziert sich damit auf c ( ~ von ( 2 . 2 7 ) , das heiBt auf 1, 3 oder 6 fur die Dimensionen 1, 2 oder 3. Anisotropie entsteht wie beim Elastizitatstensor vornehmlich in Verbundwerkstoffen. Die isotrope Form ist durch

gegeben. Der einzige Parameter cw ist der fur alle Richtungen gleiche Warme-Dehnungs-Koeffizient, der auch als linearer Warmeausdehnungskoeffizient bezeichnet wird. Ein orthotroper Warmedehnungstensor hat die Form

E r existiert immer, auch fur eine beliebige Anisotropie, da sich fur einen Tensor zweiter Stufe stets ein Koordinatensystem so finden laBt, daR die Nichtdiagonalkoeffizienten zu null werden. Auf diese Tatsache wurde bereits in Abschnitt 1 . 3 . 3 zur Tensortransformation hingewiesen (siehe hierzu auch Bild 1 . 7 c). Sind Warme-Dehnungen die Ursache fur die oben eingefiihrten Vordehnungen, so gilt mit ( 7 . 1 1 6 )

Mit den durch eine Temperatur-Anderung verursachten Vordehnungen wird genauso verfahren, wie es in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben ist. Bei der Ruckrechnung kann es allerdings zu MiBverstandnissen kommen, wie man die Dehnungen zu interpretieren hat. Die elastischen Dehnungen sind nicht die uberlagerten Dehnungen von (7.1 13), sondern die Dehnungen, die sich uber das Elastizitats-Gesetz aus den Spannungen von ( 7 . 1 1 4 ) ergeben. Ein einfaches Beispiel k a n n diesen P u n k t erlautern. Ein beidseitig eingespannter, spannungsfreier Stab wird erwarmt. Es werden n u r die Langs-Dehnung und -Spannung betrachtet. Die Vordehnung d o ) wird mit (7.116) ermittelt und der Losungsvorgang durchlaufen. In der Riickrechnung ergibt sich

7.4 Belastungen

481

Hierin ist k die Steifigkeit des Stabes. Die uberlagerungen (7.113) und (7.114) ergeben die wahren GroRen

Die Einspannung sorgt dafur, daB die Gesamt-Dehnung null ist. Der elastische Anteil der Dehnung folgt aus der Spannung.

Auch hier gilt wieder, was zum Beispiel im vorhergehenden Abschnitt gesagt wurde: Es kommt darauf an, den automatischen Ablauf richtig zu verstehen, nicht, Trivialitaten zu beweisen.

7.4.4 ubungen bung 7.17: Berechnen Sie die inneren Krafte (7.105) des Standard-Balken-Elements von Bild = p g . Welche Hilfe konnen Ihnen dabei die 4.14 infolge des Eigengewichts konzentrierten Massen des gleichen Elements in Abschnitt 6.2.4 geben? -

ubung 7.18: Das gezeigte (2x2)-Lagrange-Element ist Teil einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Scheibe.

an Berechnen Sie die durch die Massenkrffte verursachten inneren KrBfte f (?lip den Knoten des Elementes. Die Formfunktionen finden Sie im ersten Beispiel von Abschnitt 4.2.3. u b u n g 7.19: An dem 8-Knoten-Element von Bild 7.15 werden die inneren Krafte

angebracht. Welcher verteilten Oberflachenkraft das?

F2 auf

der Seite x 2 = 1 entspricht

Zwei gleiche Kragbalken sind in der Hohe gegeneinander versetzt.

E l = konst.

482

7. Struktur-Techniken

F u g e n Sie die Struktur zusammen, indem Sie dem Element 1 die Vorverschiebung ~1 ( o ) (~ I ) = u (0) geben. Berechnen Sie die Element-Verschiebungen u,(,) von (7.1 12). u b u n g 7.2 1: Das ebene Standard-Balken-Element von Bild 4.14 wird erwarmt. Das i n Langsricht u n g konstante Temperaturfeld ist

D e r Warme-Dehnungs-Koeffizient cr33 Krafte f ( s o ) p

=

cr ist konstant. B e r e c h n e n Sie die i n n e r e n

u b u n g 7.22: Erweitern Sie die Gleichungen (7.105) bis (7.108) so, daR sie f u r die isoparametris c h e n Elemente von Abschnitt 4.4 anwendbar sind.

8 . Element-Techniken

Bisher wurden nur die einfachsten Element-Typen beschrieben. Obwohl sie in den meisten Anwendungsfallen vollauf zufriedenstellende Ergebnisse liefern, genugen sie oft nicht den gehobeneren Anspruchen spezieller Problemstellungen. Solche Anspruche konnen sich aus der Art der Approximation herleiten, wie zum Beispiel aus der Verwendung hoherer, nhierarchischercc Ansatzgrade bei gleichbleibenden Grund-Elementen, oder aus der Problemstellung selbst, wie unter anderem bei axialsymmetrischen Strukturen. Ein betrachtlicher Teil der Forschungs- und Entwicklungsarbeit, der fur die Finit-Element-Methode aufgewendet wurde, war und ist den ElementDarstellungen gewidmet. Es ware eine hoffnungslos aufwendige Aufgabe, den Umfang auch nur annahernd erschopfend darzustellen. Gedient ware damit sowieso niemandem, e s sei denn e r suchte nach einem historischen ~ b e r b l i c k .Wie in allen Forschungsgebieten hat es auch hier Entwicklungen gegeben, die Mode-Trends nicht unahnlich waren. Dies sollte nicht als Abwertung verstanden werden. Entwicklungen verlaufen nun ma1 so, vor allem, wenn sie ein derart riesiges Anwendungs-Potential besitzen wie die Methode der finiten Elemente. Nachdem sich die groBe Staubwolke etwas abgesetzt hat, zeichnet sich mehr und mehr die Erkenntnis ab, daB e s das ,,Super-Elementcc nicht gibt. Ein Element ist so gut wie die Ansatze, die darin verwendet werden. Und vor allem sollte ein Element moglichst einfach sein, dann ist es auch einfach und wirtschaftlich zu berechnen. In diesem Abschnitt wird sich die Darstellung auf Kontinuum-Elemente beschranken. In einem Kontinuum werden alle raumlichen Richtungen gleich behandelt. Das heiBt, es werden dieselben Naherungsfunktionen fur alle Richtungen verwendet. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung der KontinuumElemente erheblich. Im Gegensatz dazu besitzen Struktur-Elemente zum Beispiel fur Balken unterschiedliche Ansatzfunktionen in Langs- und Querrichtungen. Diese saubere Unterteilung wird hier allerdings sofort aufgeweicht durch die axialsymmetrischen Elemente. Ihre grundsatzlich getrennt zu behandelnde Umfangsrichtung wird eliminiert durch die Einschrankung auf axialsymmetrische Verformungen. Dadurch entsteht eine zweidimensionale Vereinfachung eines dreidimensionalen Kontinuums.

484

8. Element-Techniken

Fur alle hier behandelten Elemente gelten die in Abschnitt 4 . 1 hergeleiteten Grundgleichungen. Insbesondere gilt der Verschiebungsansatz ( 4 . 8 ) , der die gleichen Formfunktionen fur alle Richtungen verwendet. Fiir die Massenmatrizen findet man die Grundgleichungen in den Unterabschnitten 6 . 2 . 1 und 6 . 2 . 2 . Weiterhin lassen sich alle Elemente entsprechend Abschnitt 4.4 isoparametrisch transformieren, so daB die Abmessungen leicht an die jeweiligen Probleme angepaRt werden konnen.

8 .I Erweiterte Ansatze 8.1.1 Hybride Elemente Die traditionelle Bezeichnung hybride Elemente sol1 zum Ausdruck bringen, daB Elemente verschiedener Herkunft miteinander vereinigt werden, um einen neuen Typus hervorzubringen. Speziell bezieht sich diese Bezeichnung auf Kombinationen hergestellt aus dem Verschiebungs- und dem KraftgroBen-Verfahren. Dies wurde bereits im Zusammenhang mit dem Konvergenzverhalten bei Bild 5 . 1 6 diskutiert. Hybride Elemente sollten zwischen den Extremen des steifen Bereichs des Verschiebungs-Modells und des weichen des Spannungs-Modells konvergieren. Solch ein Verhalten ist durchaus wiinschenswert, weil es eine schnellere, allerdings nicht mehr monotone, Konvergenz erwarten la&. In Abschnitt 5.1.4 wurde gezeigt, daB sich unabhangige Ansatze fur verteilte Krafte auch im Verschiebungs-Model1 unterbringen lassen, wenn man gewichtete integrale Freiheitsgrade einfuhrt. Ermoglicht wurde dies durch integrale Interpolationsrandbedingungen in Abschnitt 1. 5 , die eine auRerst einfache Herleitung zulieBen, die hier fur einen einzelnen hybriden Freiheitsgrad zum Teil wiederholt wird. Stellvertretend fur eine beliebige verteilte Volumen- oder Oberflachenkraft wir hier der Ansatz gemacht

A

Hierin ist fi ein konstanter Faktor oder eine Amplitude, die der Funktion g ( x . ) folgend die verteilte Belastung $ erzeugt. Die inneren Krafte nach J ( 7 . 9 5) sind dann

D e r Integrationsbereich Rp wird passend zur gewiinschten Volumen- oder Oberflachenkraft gewahlt. Fur die Komponente p des Interpolations-Operators wird ein mit der Funktion g (x.) gewichtetes Integral uber den InteJ grationsbereich R definiert. P

8.1 Erweiterte Ansatze

c;p

=

485

l...

D e r Interpolations-Operator wird auf seine ),eigenecc Formfunktion angewendet und die Identitat ( 1 . 1 2 7 ) beachtet.

D e r Vergleich mit ( 8 . 2 ) zeigt

fi A

f

*P

=

;

( i = l ... c ; p = l... n ) .

Die KraftgroBen f. die in einem Freiheitsgrad p durch einen Interpola'P' tions-Operator von der Form ( 8 . 3 ) erzeugt werden, sind demnach die Ameiner verteilten Volumen- oder Oberfliichenkraft die durch plituden den Verlauf der Gewichtungsfunktion g (xj)beschrieben wird.

4

<

Hiermit ist gezeigt, wie sich unabhangige Ansatze fur verteilte Volumenoder Oberflachenkrafte auf integrale VerschiebungsgroBen abbilden lassen. Beispiele hierfur finden sich bereits in den Abschnitten 4.3.2 fur einen Balken mit einer Streckenlast und in Abschnitt 5 . 1 . 4 fur ein (2x2)-Lagrange-Element mit verteilten Randkraften. In beiden Fallen war die Gewichtungsfunktion g (xj) = 1 . Ein Beispiel fur nichtkonstante Randkrafte findet sich bei den hierarchischen Elementen im folgenden Abschnitt.

8 . 1 . 2 Hierarchische Elemente Nach einer Finit-Element-Berechnung stellt sich haufig heraus, daB die erreichte Genauigkeit nicht ausreichend ist. Wie man eine solche Abschatzung vornimmt, wurde im Abschnitt 5 . 3 . 5 diskutiert. Hier handelt es sich darum, welche MaBnahmen zu einer Verbesserung eingeleitet werden konnen. In jedem Fall ist eine erneute Berechnung mit einer erhohten Anzahl von Elementen (h-Konvergenz) oder mit hoheren Ansatzgraden (p-Konvergenz) erforderlich. Welche Methode man auch wahlt, immer muB die Berechnung von Anfang an wiederholt werden, weil die Elemente verandert werden. Selbst wenn die Eingabe soweit automatisiert ist, daB es nur wenig Umstand macht, eine Neuberechnung zu starten, muB dennoch der gesamte Berechnungsaufwand wieder erbracht werden. In dieser Situation kann man sich fragen, ob es moglich ist, wenigstens einen Teil der schon einmal geleisteten Arbeit fur die erneute Berechnung nutzbringend einzusetzen. Hiermit ist nicht die Wiederverwendung von Eingabedaten oder Zwischenergebnissen gemeint, sondern von der bereits vorhandenen Losung selbst.

486

8. Element-Techniken

Eine Erhohung der Elementzahl verandert die Elementabmessungen. Dadurch werden samtliche Element- und Strukturdaten verandert. Fur eine Neuberechnung sind die alten Daten praktisch wertlos. Hohere Ansatzgrade bei gleichbleibenden Elementabmessungen verandern die topologischen Zusammenhange eines Modells nicht. Die Element-Numerierungen bleiben erhalten; es mussen lediglich zusatzliche Freiheitsgrade zwischen den unveranderten alten vorgesehen werden. Bei den bisher verwendeten Interpolations- oder Formfunktionen bedingt das allerdings eine Neuberechnung zum Beispiel aller Element-Steifigkeiten. Damit allein ware also noch nichts gewonnen. Erst wenn es gelingt, neue Formfunktionen zu konstruieren, die die bereits vorhandenen unverandert lassen, andert sich das Bild. Dann bleiben die bereits berechneten Element-Matrizen unverandert und werden nur durch zusatzliche Koeffizienten erweitert. Dasselbe gilt auf der Struktur-Ebene: Zu den bereits vorhandenen, unveranderten MatriZen werden zusatzliche Zeilen und Spalten hinzugefugt. Die Neuberechnung kann da fortgesetzt werden, wo die vorhergehende beendet wurde. Die zusatzlichen Freiheitsgrade mit ihren Matrizen bilden eine Hierarchie oberhalb der zuerst vorhandenen. Eine mehrfache Wiederholung dieses Vorgehens gestattet eine, zumindest im Prinzip: beliebige Steigerung der Genauigkeit, indem eine p-Konvergenzreihe nach Abschnitt 5 . 3 . 4 durchlaufen wird. Bevor die Konstruktion geeigneter Formfunktionen begonnen wird, sol1 hier schon auf einen Nachteil hingewiesen werden, der sich durch das geschilderte Vorgehen zwangslaufig ergibt und der wahrscheinlich dafur verantwortlich ist, daB nicht samtliche modernen Finit-Element-Programmsysteme nach diesem Schema konzipiert sind. Die zusatzlichen Freiheitsgrade verandern die Bandstruktur oder das Profil der Matrizen in sehr ungunstiger Weise. Damit werden direkte Losungs-Algorithmen auf der Basis einer Dreieckszerlegung unwirtschaftlich, wenn ein groRerer Anteil zusatzlicher Freiheitsgrade erzeugt wird. Eine Umnumerierung der Freiheitsgrade konnte dies beheben, brachte dann aber das gesamte Konzept durcheinander, weil dadurch der bereits fertig berechnete Teil verandert wurde. Auch bei iterativen Losungs-Algorithmen sieht das Bild nicht vie1 gunstiger aus, weil durch die neuen Freiheitsgrade immer wieder Eingriffe in die bereits vorhandene Losung vorgenommen werden. Zu einem gewissen Grad werden die geschilderten Nachteile dadurch ausgeglichen, daB im Vergleich zur h-Konvergenz bei der p-Konvergenz eine wesentlich grobere Ausgangsdiskretisierung gewahlt werden kann und sich damit die Zahl der Freiheitsgrade reduziert. Eine Ansatzgraderhohung wird analog zu einer Netzverfeinerung nur lokal im Bereich hoher Spannungsgradienten vorgenommen. Damit laBt sich die Anzahl der zusatzlichen Terme

8.1 Erweiterte Ansatze

487

ebenfalls einschranken. Um die lokale Ansatzgraderhohung durchfuhren zu konnen, wird man ~ b e r g a n ~ s e l e m e n zu t e definieren haben. Im Gegensatz zu den in Abschnitt 4 . 2 . 5 vorgestellten Elementen ist hier eine hohere Flexibilitat zu fordern: Die Ansatzgraderhohung und der ubergang zur unveranderten Struktur sol1 vollautomatisch programmintern erfolgen, damit eine Konvergenzreihe ohne auBere Eingriffe durchlaufen werden kann. Die Definitionsgleichung fur die Formfunktionen np wird zunachst nicht in der aufgelosten Form ( 4 . 1 O), sondern in der impliziten ( 1 . 1 2 8 ) verwendet.

Der Basisvektor zr hat ebenso viele Terme wie der Interpolatjons-operator D ( . ) p , so daB die Vandermonde-Matrix z quadratisch ist. Die InterrP polations-Stutzstellen werden in zwei Gruppen aufgeteilt und mit einem Index versehen. Es sei 1 fur ,,Grundelementcc und 2 fiir nerste Erweiterungcc gesetzt. Aus ( 8 . 5 ) wird dann:

Nun wird gefordert, daB die Formfunktionen der Erweiterung die urspriinglichen nicht verandern sollen, die sich somit nach ( 4 . 1 0 ) weiterhin durch

darstellen lassen. Aus (8.6) folgt, daB dies moglich ist, wenn

gilt. Die einfachste Moglichkeit, ( 8 . 9 ) zu erfullen, ist durch die Forderung

gegeben. Dies ist abhangig einmal von dem Basisvektor des Grund-Elementes und zum anderen vom Interpolations-Operator der Erweiterung.

488

8. Element-Techniken

Mit ( 8 . 1 0 ) wird gefordert, daB der Interpolationsoperator der Erweiterung orthogonal zu den Basistermen des Grundelementes sein muB. Wie sich dieses verwirklichen laBt wird weiter unten behandelt. Neu zu berechnen sind die zusatzlichen Teile der Vandermonde-Matrix

Aus ( 8 . 7 ) ergeben sich damit die Formfunktionen der Erweiterung

( p l = l...nl;p ,r = l... 2 2 n2). Die Beziehungen ( 8 . 5 ) bis ( 8 . 1 2 ) zeigen die grundsatzliche Vorgehensweise zur Erzeugung hierarchischer Formfunktionen. Verallgemeinert auf eine beliebige Ausbaustufe m ist die Orthogonalitatsbedingung ( 8 . 1 0 ) gegeben durch

Die neuen Eintrage in der Vandermondematrix werden mit

berechnet. Die Verallgemeinerung von ( 8 . I 2 ) zur Bestimmung der Formfunktionen fiihrt auf

Ersetzt man in ( 8 . 1 5 ) die Formfunktionen des Ausgangselementes durch das Produkt ( 4 . 1 0 ) aus inverser Vandermonde und Basisvektor, laBt sich die neue Blockzeile der inversen Vandermonde der hierarchischen Erweiterung bis zum Diagonalblock angeben durch

8.1 Erweiterte Ansatze

489

Durch die verallgemeinerte Orthogonalitatsbedingung ( 8 . 1 3) ist die Vandermonde eines hierarchischen Elementes eine untere Block-Dreiecksmatrix. Da die >>altenccFormfunktionen unverandert bleiben, weist auch die zugehorige Inverse diese Struktur auf. Das wird in ( 8 . 1 6) durch den eingeschrankten Laufbereich des Summationsindex k berucksichtigt, mit dem das unnotige Abarbeiten der Nullblocke vermieden wird. FaBt man alle Basisterme und Anteile der inversen Vandermonde richtig sortiert zusammen, lassen sich die neuen Formfunktionen alternativ zu ( 8 . 1 5) in der gewohnten Form

angeben. Da diese einen hoheren Grad als die des Grund-Elements besitzen: wird man im allgemeinen auch numerische Integrationsformeln von einem hoheren Grad einsetzen miissen. Dazu werden die neuen Formfunktionen an den neuen Integrations-Stiitzstellen berechnet. Die bereits vorhandenen Formfunktionen bleiben davon unberuhrt. Die Frage, wie sich die Orthogonalitat ( 8 . 1 3) eines Interpolationsoperators bezuglich vorhandener Basisterme herbeifuhren lafit, ist bisher offen geblieben. Grundsatzlich kann das auf zwei unterschiedliche Arten geschehen. Wenn h groJ3er ist als die hochste Potenz eines Terms im Basisvektor des Grund-Elements, dann sind die Alternativen

In ( 8 . 1 8 ) wird eine Ableitung verwendet, die alle Terme im ersten Teil des Basisvektors zu null macht, in (8.1 9 ) wird ein orthogonales Polynom P h ( x i ) vom Grad h verwendet, das uber den Integrationsbereich Opm denselben Effekt hat. Mischformen sind ebenfalls moglich wie zum Beispiel

490

8. Element-Techniken

Fur eine erste Ableitung in ( 8 . 1 8 ) ergeben sich Dehnungen, fur hohere Ableitungen folgen Ableitungen hiervon. Die zugehorigen KraftgroBen sind energetisch konjugiert, das heiBt, sie ergeben im Produkt mit den VerschiebungsgroBen eine Arbeit. Es sind Spannungen oder hieraus abgeleitete GrijBen. Vie1 mehr laBt sich hierzu nicht sagen. Anders ist e s bei Freiheitsgraden, die durch ( 8 . 1 9 ) festgelegt werden. Dieser Interpolations-Operator ist identisch mit ( 8 . 3 ) , das heiBt es werden Freiheitsgrade erzeugt, die in den hybriden Elementen vom vorhergehenden Abschnitt auftraten. Die zugehorigen, verteilten Volumen- oder Oberflachenkrafte sind mit ( 8 . l ) und (8.4) c;p = l...

Hierin ist f. die diskrete Kraft im Freiheitsgrad p m . Als Formfunktionen 1P m fur die verteilten Volumen- oder Oberflachenkrafte werden hier orthogonale Polynome verwendet, wahrend vorher beliebige Funktionen verwendet werden konnten. Orthogonale Polynome findet man in mathematischen Handbiichern. Fur eindimensionale Integrationsbereiche werden am haufigsten die LegendrePolynome P verwendet, die sich uber die Rekursionsvorschrift

gewinnen lassen. Die Legendre-Polynome bis zum Grad n=5 sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben:

Grad n

Polynom Pn

Tabelle 8.1: Legendre-Polynome fiir den Integrationsbereich

-

1s x

5 +

1.

8.1 Erweiterte Ansatze

491

In Bild 8.1 sind die ersten vier Legendre-Polynome aufgetragen.

Bild 8.1: Legendre-Polynome Po bis P3 mit der Normierung P, (x=1 )

=

1.

Mit den beiden Ausgangspolynomen Po und PI fur die Rekursionsvorschrift ( 8 . 2 2 ) laBt sich aus dieser ableiten; daB vom Grad her ungerade Legendre-Polynome nur vom Grad her ungerade Monome und vom Grad her gerade Legendre-Polynome nur vom Grad her gerade Monome enthalten. Dabei treten alle Potenzen bis zum gegebenen Grad des Polynoms auf. Die Legendre-Polynome sind so aufgebaut: daB sie der Orthogonalitatsbedingung

genugen. Wird ein Monom mit einem Legendrepolynom multipliziert, lassen sich bei einer Integration uber den Einheitsbereich folgende Orthogonalitatseigenschaften feststellen:

7 -1

x m P ( x )n d x

= 0

; m < n

= 0

; m > n

(8.25)

<

I #O

, m + n ungerade

; m > n , m + n gerade

(8.26)

(8.27)

Die Beziehungen ( 8 . 2 4 ) bis ( 8 . 2 7) lassen sich gut nachvollziehen: wenn in Umkehrung von Tabelle 8.1 die Monome als Linearkombination von Legendre-Polynomen dargestellt werden.

492

8. Element-Techniken

k gerade, m ungerade k

k ungerade, m gerade

Wenn der Grad m des Monoms gerade/ungerade ist, enthalt die Linearkombination alle geradedungeraden Legendre-Polynome bis zum gegebenen Grad. Da lediglich diese Eigenschaft von ( 8 . 2 8 ) von Interesse ist, sind die W e r t e der von null verschiedenen Faktoren ak an dieser Stelle ohne Bedeutung. In ( 8 . 2 4 ) haben Monom und Legendre-Polynom den gleichen Grad. Mit ( 8 . 2 8) enthalt das Monom dieses Legendre-Polynom, so daB sich gemaB ( 8 . 2 3) ein W e r t ungleich null ergibt. In ( 8 . 2 5) ist der Grad des Monoms kleiner als der des Polynoms, so daf3 dieses in der Linearkombination ( 8 . 2 8 ) nicht enthalten ist und somit aus ( 8 . 2 3) der W e r t null resultiert. Bei einem hoheren Monomgrad (zum Beispiel bei Lucken im Basisvektor) sind zwei Falle zu unterscheiden: sind der Monom- und der Polynomgrad wechselweise gerade/ungerade wie in ( 8 . 2 6 ) , kann das Legendre-Polynom nicht in ( 8 . 2 8 ) enthalten sein, so daB ( 8 . 2 3) wieder zu einem Nullwert fuhrt. Eine Vandermonde ware damit singular. Sind beide jedoch paarweise gerade oder ungerade wie in (8.2 7 ) , taucht das Legendre-Polynom an entsprechender Stelle in ( 8 . 2 8) auf und ( 8 . 2 3) liefert einen von null verschiedenen Beitrag. Fur e i n eindimensionales Element iiber dem Einheitsbereich ist der Basisvektor mit zr = [ 1 x ] wie gewohnt gegeben. Zur Orthogonalisierung einer hierarchischen Erweiterung bezuglich dieser Monome wird das Legendrepolynom P2 verwendet. Druckt m a n die Monome bis zum 4. Grad durch Legendrepolynome nach (8.28) aus, ergibt sich folgendes Bild:

P2 ist mit (8.23) wunschgemaR orthogonal zu den Monomen 1 und x gemaR (8.25), aber auch orthogonal zum Monom x3, das man vielleicht bei einer Erweiterung des Basisvektors mit einer Lucke wahlen wiirde. Dies wird durch (8.26) ausgedriickt. Mit dem Monom 2 wird e i n von null verschiedener Eintrag erzeugt (8.241, gleiches gilt f u r eine luckenhafte Erweiterung mit dem Monom x4 (8.28).

8.1 Erweiterte Ansatze

493

Alle zur Erzeugung hierarchischer Formfunktionen notwendigen Beziehungen sind nun bekannt. Sobald in der jeweiligen Ausbaustufe die (neuen) Formfunktionen ermittelt worden sind, kann die Steifigkeitsmatrix mit

fiir das Grundelement aufgebaut und fur die hierarchischen Erweiterungen erganzt werden, wobei bereits berechnete Anteile unverandert bleiben. In ( 8 . 2 9 ) wird die verkurzte Schreibweise ( 1 . 5 2) fur die Differentiation nach den Koordinaten verwendet. In ahnlicher Weise wird die konsistente Massenmatrix

gebildet. Wie diese Gleichungen auszuwerten sind, wird ausfuhrlich in den Abschnitten 4.2 und 6 . 2 . 1 beschrieben. Als Grund-Element fiir eine hierarchische Erweiterung sol1 ein (2~2bLagrange-Element benutzt werden

Bild 8.2: (2~2kLagrange-Elementmit hierarchischen Rand-Freiheitsgraden. Dieses Bild ist identisch mit Bild 5.3. Im Unterschied dazu werden die Rand-Freiheitsgrade jedoch mit orthogonalen Polynomen gewichtet. Die Formfunktionen des Grund-Elementes finden sich bereits in Abschnitt 4.2.3.

494

8. Element-Techniken

Dies sind die Formfunktionen n a c h (8.8) oder (8.16). Die Freiheitsgrade 5 bis 8 bilden die erste h i e r a r c h i s c h e Erweiterung. D a die Basisterme des Grund-Elementes lin e a r i n xi sind, muR der erweiterte Basisvektor z u r Sicherstellung der Orthogonalit a t (8.13) quadratische T e r m e enthalten. Eine mogliche, intuitive Auswahl ist durch

gegeben, der zugehorige Interpolationsoperator wird n a c h (8.19) festgelegt:

Die Legendre-Polynome P2 a u s Tabelle 8.1 sind

Sie sind ausreichend, u m die Orthogonalitat m i t (8.13) sicherzustellen, w e i l xlx2 als hochste Potenz i m Basisvektor des Grund-Elementes n u r l i n e a r i n den beiden Koordinaten ist. W e n n m a n mit ( b ), ( c ) und ( d ) die Formfunktionen der Erweiterung bestimmt, stellt m a n fest, daR die i n der Einleitung erhobene Forderung des unabhangigen H i n z u f u g e n s von Freiheitsgraden i n der Erweiterung n i c h t e r f u l l t w e r d e n k a n n . So liefern die Monome xf und x12x2 sowohl auf dern Rand 5 als auch auf dern Rand 7 Beitrage ungleich n u l l , entsprechendes gilt f u r die beiden a n d e r e n Mon o m e auf den Randern 6 u n d 8. U m auch i n n e r h a l b e i n e r Erweiterung e i n e Art Orthogonalitat zwischen den Freiheitsgraden zu e r r e i c h e n , k a n n m a n den Integranden selbst auf bestimmten Randern gezielt zu n u l l setzen. W a h l t m a n uber dern Einheitsbereich f u r die h i e r a r c h i s c h e Erweiterung Monome der Form

wobei sich der Grad k n a c h dern vorliegenden Ausgangselement richtet, wird der Klammerausdruck je n a c h W a h l des Operators Plus oder M i n u s auf gegenuber liegenden Randern die Werte 0 oder 2 a n n e h m e n . Als Basisvektor wird n u n statt ( b ) u n t e r Berucksichtigung von ( e ) folgende Zusammenstellung von Monomen gewahlt:

Das erste Monom liefert auf dern Rand 5 e i n e n von n u l l verschiedenen Integranden, der auf dern Rand 7 m i t x2=1 verschwindet. Auf den Randern 6 u n d 8 w i r d uber x2 integriert, wobei dort der Klammerausdruck uber das Legendrepolynom 2. Grades mit der Orthogonalitatsbedingung (8.25) dafur sorgt, daR die Integralwerte zu n u l l werden. D e r W e r t des Integrals uber dern Rand 5 k a n n u n t e r Berucksichtigung des zusatzlichen Faktors 2 aus dern Klammerausdruck m i t (8.24) bestimmt werden. Diese Systematik gilt i n gleicher Weise f u r die anderen Monome a u s ( f 1. D i e Ausw e r t u n g von (8.14) f u r m = 2 liefert also

D e r Aufbau des Basisvektors i n ( f ) h a t die zweite Matrix diagonal gemacht. Dies vereinfacht die Bestimmung der Inversen des n e u e n Diagonalblockes n a c h (8.18)

8.1 Erweiterte Ansatze

495

ganz erheblich. Mit (8.19) wird der noch fehlende Anteil [ z 2 ' ] - I der inversen Vandermonde berechnet und m a n erhalt f u r die Formfunktionen der hierarchischen Erweiterung den Ausdruck

F u r jeden der vier Rander k a n n hiermit eine unabhangige hierarchische Erweiteru n g vorgenommen werden. Um die Steifigkeits-Matrix f u r das mit vier hierarchischen Freiheitsgraden erweiterte Element zu berechnen, werden dieselben Daten verwendet wie i n Abschnitt 4.2.3 bei Bild 4.7. Die Dicke wird t = 0,2 gesetzt und der Elastizitatstensor isotrop mit A = 1 2 0 und y = 1 8 0 angenommen. Die Matrix wird entsprechend (8.29) unterteilt.

Die Untermatrizen sind: 1 1

2

symmetrisch

2 1

496

8. Element-Techniken

Die Untermatrix k g k , ist die Steifigkeits-Matrix des Grund-Elements und ist identisch mit der von Abschnitt 4.2.3. Fur jeden hierarchischen Freiheitsgrad werden zwei Zeilen und Spalten an diese Matrix angefugt. Im Mittel sind die neuen Koeffizienten groSer als die alten, das heiBt, fur sich allein sind diese Anteile steifer. Insgesamt wird das erweiterte Element jedoch weicher, wie in Abschnitt 5.3.4 ausgefuhrt. Hierarchische Erweiterungen lassen sich beliebig fortsetzen. Bild 8.3 zeigt die nachste Stufe. 11

Bild 8.3: Zweite hierarchische Erweiterung zu Bild 8.2 mit den neuen Rand-Freiheitsgraden 9 bis 1 2 . Die Potenzen im Basisvektor werden entsprechend erhoht und fur die Interpolation die Legendre-Polynome P3 eingefuhrt. Es ergibt sich

Auch diese Formfunktionen konnen wieder einzeln verwendet werden. Die kubischen Basisterme der zweiten Erweiterung liefern mit den Legendre-Polynomen P2 der ersten Erweiterung wegen der Orthogonalitatsbedingung (8.26) in ( i ) keinen Beitrag. Dieselben Daten wie oben ergeben die Gesamt-Steifigkeits-Matrix

mit den zusatzlichen Untermatrizen:

kgkq

=

-

-

9 1

2

10 1

2

11 1

2

12 1

21 0 2 1 0 21 0 -21 0

0 56 0 -56 0 56 0 5 6

5 6 0 56 0 5 6 0 56 0

0 2 1 0 21 0 2 1 0 21

2 1 0 21 0 -21 0 21 0

0 -56 0 56 0 -56 0 56

56 0 5 6 0 56 0 5 6 0

2

0 21 0 -21 0 21 0 -21

8.2 Strukturabhangige Ansatze

497

Zeigen Sie, daR sich (8.15) i n (8.17) u b e r f u h r e n 1aRt. u b u n g 8.2: Das Element des begleitenden Beispiels sol1 i n der dritten h i e r a r c h i s c h e n Erweiter u n g mit e i n e m w e i t e r e n Freiheitsgrad versehen werden. D e r Basisvektor ist mit

gegeben, i m Interpolationsoperator wird das Legendrepolynom P( x2I4 verwendet. Auf w e l c h e m Rand liegt der n e u e Freiheitsgrad? Wie sieht die zusatzliche Zeile der Vandermondematrix aus? u b u n g 8.3: Bestimmen Sie die F o r m f u n k t i o n e n e i n e r h i e r a r c h i s c h e n Erweiterung mit dem Interpolationsoperator (a) u n t e r Verwendung des Basisvektors (b) uber dem Einheitsbereich. Vergleichen Sie die Formfunktionen mit denen i n (h). Was laRt sich uber die damit b e r e c h n e t e n Steifigkeits- und Massenmatrizen sagen?

8.2 Strukturabhangige A n s a t z e 8.2.1 Axialsymmetrische Elemente Die Geometrie einer axialsymmetrischen Struktur laBt sich durch die Drehung eines ebenen Querschnittes um 360 Grad um eine Rotationsachse beschreiben. Die Rotationsachse liegt dabei in der Querschnittsebene und darf den Querschnitt beriihren, aber nicht schneiden. Solche Strukturen kommen in der Anwendung relativ haufig vor. Mit den bisher vorgestellten Elementen muBte man zur Beschreibung der Geometrie eine dreidimensio-

498

8. Element-Techniken

nale Struktur (nTortenstuck(c) erzeugen, selbst wenn alle Belastungen und Randbedingungen ebenfalls rotations-symmetrisch sind. Dies wird sehr aufwendig, weil einerseits ein dreidimensionales Model1 zu erstellen ist und andererseits die Zahl der benotigten Freiheitsgrade gegeniiber einem zweidimensionalen Model1 sprunghaft ansteigt. Wann immer moglich wird man deshalb versuchen, mit der zweidimensionalen Darstellung des erzeugenden Querschnittes auszukommen, in der die axiale Symmetrie durch die Elimination der Umfangsrichtung ausgenutzt wird.

Bild 8.4: Axialsymmetrisches Element i n globalen Koordinaten.

Da sich axialsymmetrische Elemente auf die durch die Struktur vorgegebene Rotationsachse beziehen, wird die Element-Formulierung direkt in globalen und nicht wie gewohnt in lokalen Koordinaten vorgenommen. Die natiirliche Beschreibung eines axialsymmetrischen Elementes erfolgt daher in globalen Zylinderkoordinaten xI: ; ( iC= l...3 ), wie in Bild 8.4 dargestellt. Die Zylinderkoordinaten beziehen sich dabei auf globale Cartesische Koordinaten XI ; ( I = l...3 ). Fur die weiteren Betrachtungen wird vorausgesetzt, daB nicht nur die Geometrie, sondern auch die auBeren Lasten und Randbedingungen axialsymmetrisch sind und uber den Umfang konstante W e r t e annehmen. Fur unsymmetrische Lasten und Randbedingungen kann eine Erweiterung iiber den Ansatz von Fourier-Reihen in Umfangsrichtung vorgenommen werden. Dies sol1 hier aber nicht weiter verfolgt werden, zumal dieser Fall mit der in Abschnitt 7.3.8 beschriebenen Rotations-Symmetrie gelost werden kann. Mit den oben getroffenen Annahmen werden auch die kontinuierlichen Verschiebungen ; ( IC= 1...3 ) in Zylinderkoordinaten uber der Umfangsrichtung IC= 3 konstante W e r t e annehmen:

cs

8.2 Strukturabhangige Ansatze

499

Mit ( 8 . 3 1) konnen Torsionseffekte bezuglich der Rotationsachse in der Formulierung axialsymmetrischer Elemente berucksichtigt werden. Dazu ist aber die Herleitung aller erforderlichen GroBen in Zylinderkoordinaten durchzufuhren. Da bislang alle Beziehungen in den Kapiteln 2 und 4 bezogen auf orthogonal Cartesische Koordinaten dargestellt worden sind, muBten sie auf Zylinderkoordinaten transformiert werden. D e r dazu notwendige Aufwand erscheint an dieser Stelle zu hoch, so daR die Elementbeschreibung in Cartesischen Koordinaten erfolgen soll. Dies ist moglich, wenn man auf eine torsionslose Formulierung ubergeht und damit keine Verdrehung in Umfangsrichtung zulaBt :

Mit ( 8 . 3 2 ) folgt, daR in der E b e n e liegende radiale Schnitte eben bleiben und somit keine Verschiebungsgradienten in Umfangsrichtung auftreten konnen:

In ( 8 . 3 3) wird die verkurzte Schreibweise ( 1 . 5 2) f i r die partielle Differentiation nach den Koordinaten verwendet, wie sie auch schon im Kapitel 4 verwendet wurde. Im ersten Schritt soll der lineare Green-CauchyDehnungstensor analog zu ( 2.7)

in Cartesischen Koordinaten ermittelt werden. Eine Verbindung zu den in Zylinderkoordinaten vorliegenden GroRen laBt sich fur die Verschiebungsableitungen uber die Kettenregel herstellen:

Es gilt nun, die in ( 8 . 3 4 ) auftretenden Ableitungen zu bilden. Urn den Zusammenhang zwischen den Zylinder- und den Cartesischen Koordinaten herzustellen, wird ein zun5chst beliebiger, um den Lagewinkel gegenuber der XlX2-Ebene gedrehter, radialer Schnitt betrachtet. Fur die Koordinaten folgt dann

XS

x2 =x;; x3 = x,C,

. sin ( ~ 2 )

500

8. Element-Techniken

Von ( 8 . 3 5) werden die Ableitungen nach den Zylinderkoordinaten gebildet:

Erst nachdem die Ableitungen gebildet worden sind, kann die weitere Betrachtung auf eine spezielle Ebene reduziert werden. Wahlt man fur den Lagewinkel x3$ = 0 , so erh2lt man mit X = xl%L 0 aus ( 8 . 3 5) fur die 1 Ableitungen den Ausdruck

Im torsionsfreien Fall transformieren sich die Verschiebungen wie die Koordinaten in ( 8 . 3 5):

-

ry

"C

U3 = U1

"C . sin (U3C) .

Auch fur die Verschiebungen werden die Ableitungen nach den Zylinderkoordinaten gebildet:

C

Mit dem Lagewinkel X3c = 0 ergibt sich hieraus unter Beachtung der Bedingung ( 8 . 3 3) fiir die Verschiebungsableitungen in Umfangsrichtung und den aus ( 8 . 3 7 ) resultierenden Identitaten der Ausdruck

8.2 Strukturabhangige Ansatze

501

Die Verschiebungsableitungen in Cartesischen Koordinaten lassen sich nach der Kettenregel ( 8 . 3 4) mit ( 8 . 3 8 ) und der Inversen von ( 8 . 3 6 ) wie folgt bilden:

Mit ( 8 . 3 9 ) kann nun der gesuchte Green-Cauchy-Dehnungstensor fur ein axialsymmetrisches Element angegeben werden, wobei der eingeschrankte Indexbereich zu beachten ist:

Dieses Ergebnis laBt sich sehr einfach interpretieren: In der ElementEbene XlX2 stellen sich die Dehnungen so ein, wie es den Verschiebungen in dieser Ebene entspricht. In Umfangsrichtung X3 ergeben sich Langsdehnungen entsprechend der radialen Verschiebungen Ul, die mit dem Kehrwert des Radius XI skaliert werden. Sobald die Dehnungen ermittelt sind, kann man die Spannungs-DehnungsBeziehung analog zu ( 2 . 2 5) auswerten:

Hierbei muB man sich uberlegen, welche Materialcharakteristika von isotrop bis anisotrop in einem torsionsfreien axialsymmetrischen Element zugelassen sind. Die Bedingung U3 = 0, die die allgemeine Rotations-Symmetrie auf den torsionsfreien Fall reduziert, kann als Spiegelsymmetrie beziiglich der XlX2-Ebene aufgefant werden. Dieser Symmetrie mussen auch die Materialeigenschaften folgen. Die allgemeine dreidimensionale Anisotropie weist diese Symmetrie-Eigenschaft nicht auf, dafur aber alle Materialcharakteristika beginned mit der Isotropie bis hin zur transversalen Anisotropie bezogen auf die XlX2-Ebene. Fur all diese laBt sich eine Entkoppelung der Schubdehnungen E~~ = E~~ ; ( I , J = 1,2) von den restlichen Dehnungen beobachten. Somit gilt

502

8. Element-Techniken

Mit der Symmetrie des Spannungstensors laBt sich fur axialsymmetrische Elemente im torsionsfreien Fall die Bedingung

fur die Schubspannungen in Umfangsrichtung angeben. Die von null verschiedenen Koeffizienten des Spannungstensors sind also

Fur die gleich folgende Berechnung der Steifigkeits- und Massenmatrizen ist die Integration iiber das Volumen vC in Zylinderkoordinaten in die iiber das Volumen V in Cartesischen Koordinaten zu uberfuhren. Diese Transformation ist schon bei den isoparametrischen Elementen in Abschnitt 4.4.2 verwendet worden (4.6 2). Die Bildung des Volumenfaktors erfolgt mit der durch ( 8 . 3 6) gegebenen Jacobimatrix. Fur eine beliebige Funktion f (XI) ergibt sich so 27E

f (XI) d v C =

v

S S S f ( X I ) . det (

O

x ~ , dXl ~ ~ dX2dX3 ) .

X2X1

Da alle GroBen iiber den Umfang als konstant vorausgesetzt worden sind, kann die Integration iiber X3 ausgefiihrt werden. Mit det (XI,,,) = XI erhalt man schlieBlich

Bei der Implementierung axialsymmetrischer Elemente i n Finit-Element-Programm e n laRt m a n bisweilen fiir die Integration (8.43) den Vorfaktor 2n w e g u n d bezieht sich so auf das BogenmaR 1. Dies ist beispielsweise bei der m a n u e l l e n Bes t i m m u n g von diskreten Knotenpunktlasten zu beachten!

Fur die Berechnung der Steifigkeitsmatrix muB ( 4 . 4 ) herangezogen werden, da die Dehnungen ( 8 . 4 0) fur die Querschnitts- und Umfangsrichtungen unterschiedlich ermittelt werden. Die Verschiebungen in Umfangsrichtung sind null, so daB sich hierzu keine Steifigkeitsanteile ergeben. Um ( 4 . 4 ) systematisch erzeugen zu konnen, wird (2.41) in doppelt indizierter Form verwendet :

8.2 Strukturabhangige Ansatze

503

Mit ( 8 . 4 2 ) und unter Berucksichtigung von ( 8 . 4 0 ) erhalt man analog zu ( 4 . 4 ) den Ausdruck

Mit den Herleitungen aus Abschnitt 4 . 1 . 1 und dem Ansatz ( 4 . 1 1 ) fur die Interpolation der Verschiebungen ergibt sich daraus die endgultige Form der Elementsteifigkeits-Matrix in Cartesischen Koordinaten zu

Bis auf die Faktoren 2x und X1 ist die erste Zeile in ( 8 . 4 4 ) identisch zu den Ausdrucken fur die Steifigkeitsmatrizen von zweidimensionalen Kontinuumselementen aus Abschnitt 4 . 1 . 2 . Bei dem axialsymmetrischen Element werden zusatzliche Steifigkeitsanteile in (radialer) XI-Richtung aufaddiert. Dadurch wird berucksichtigt, dal3 proportional zu einer Verformung in dieser Richtung Dehnungen und Spannungen senkrecht zur Querschnitts-

504

8. Element-Techniken

flache induziert werden und sich somit gegenuber einem rein ebenen Element ein steiferes Verhalten ergibt. Prinzipiell sind a l l e ein- und zweidimensionalen Kontinuumselemente aus Abschnitt 4 . 1 . 2 als Grundlage fur ein axialsymmetrisches Element geeignet. Inwieweit allerdings ein axialsymmetrisches Stabelement sinnvoll ist, laBt sich nur anhand einer konkreten Anwendung entscheiden. Fur die genannten Kontinuumselemente sind die Formfunktionen n in lokalen KoorP dinaten xi ; ( i = 1,2) uber einer Einheits-Referenzgeometrie definiert worden. Dies kann unverandert fur axialsymmetrische Elemente ubernommen werden, wenn der Zusammenhang mit den globalen Koordinaten X iiber I eine isoparametrische Transformation hergestellt wird. Mit den Beziehungen aus den Abschnitten 4 . 4 . 3 und 4 . 4 . 4 erhalt man die isoparametrische Darstellung der Steifigkeitsmatrix, fur die hier der Einfachheit halber nur die erforderlichen Modifikationen in ( 8 . 4 4 ) angegeben werden:

D e r Integrationsbereich uber die lokalen Koordinaten in ( 8 . 4 5) wird nicht naher spezifiziert, da e r von der verwendeten Referenzgeometrie abhangig ist. Fur die Massenmatrizen ergeben sich einfachere Herleitungen. Da die auftretenden Verschiebungen ( 6 . 8 ) entsprechen, konnen die konsistenten Massenmatrizen mit ( 6 . 9 ) und ( 6 . 1 0 ) ermittelt werden:

Mit ( 8 . 4 3) ergibt sich

in Cartesischen Koordinaten. Fur konzentrierte Element-Massen faBt man ( 6 . 1 7 ) und ( 6 . 1 9 ) zusammen und erhalt so

8.2 Strukturabhangige Ansatze

; (p = l...n).

505 (8.4 8)

Auch ( 8 . 4 7 ) und ( 8 . 4 8 ) lassen sich rnit ( 8 . 4 5) auf eine isoparametrische Darstellung bringen, wobei hier nur das Integral und der Faktor XI zu modifizieren sind. Axialsymmetrische Strukturen sind haufig einer Fliehkraft-Belastung unterworfen. Die spezifische Zentrifugalkraft in (radialer) XI-Richtung ist durch

rnit der Winkelgeschwindigkeit o [l/s] gegeben. PaBt man den Volumenkraft-Term von ( 2 . 4 6 ) an die doppelte Indizierung an, so erhalt man rnit dem hier verwendeten Verschiebungsansatz den Ausdruck

fur die aquivalenten Knotenkrafte, die ebenfalls rnit ( 8 . 4 5 ) fur eine isoparametrische Darstellung modifiziert werden konnen. Auf der Grundlage eines (2x2)-Lagrange-Elementes sol1 f u r das i n Bild 8.5 i m Schnitt dargestellte axialsymmetrische Element die Steifigkeitsmatrix bestimmt werden.

t

-I

X2

2-I

Bild 8.5: Axialsymmetrisches Element rnit Kante auf Rotationsachse. Die Knotenkoordinaten sind rnit

gegeben und so gewahlt worden, daR die damit vorliegende konstante Verzerrung auf den Volumenfaktor eins und auf Einheitsmatrizen z u r Transformation gemaB (8.45) fuhrt. Mit dem bekannten bilinearen Basisvektor und der daraus resultierenden inversen Vandermonde uber dem Einheitsbereich i n lokalen Koordinaten erhalt m a n aus (8.45) rnit (a)

506

8. Element-Techniken

D i e i n (8.44) benotigten Anteile des isotropen Elastizitatstensors s i n d mit u n d ,D 120

h

= 180

1

Wertet m a n die Integrale z u r Bestimmung der Steifigkeitskoeffizienten i n (8.44) u n t e r Berucksichtigung von (8.45) analytisch aus, so ergibt sich folgende Steifigkeitsmatrix: 1 1

k~~~q

=

27C

2 1

2

10 140

30 20 490

2

-10 20 -140 300

3 1

2

-30 -50 -100 -110 110 20 -20 -210 490 140 300

symmetrisch

4 1

2

P 50 -50 -50 -30 100 50 - 1 1 0 30 -20 10 20 a -10 140

Die Integranden des letzten Summanden i n (8.44) sind bereits bei konstant verz e r r t e r Elementgeometrie durch gebrochen rationale F u n k t i o n e n gekennzeichnet. Bei der analytischen Integration der Kernsteifigkeitsmatrix t r e t e n dadurch i n den Stammfunktionen Anteile auf, die den n a t u r l i c h e n Logarithmus enthalten. Diese neutralisieren sich weitgehend bei der w e i t e r e n Berechnung der Steifigkeitsmatrix u n d bleiben n u r f u r die Koeffizienten k l l l l ,k l l 1 4 ,k1411u n d k1414 erhalten. D u r c h die gewahlte Elementlage mit e i n e r Kante auf der Rotationsachse g e h t der n a t u r l i c h e Logarithmus gegen unendlich und f u h r t damit zu unendlich h o h e n Steifigkeiten i n den g e n a n n t e n Koeffizienten. Das mit analytischer Integration ber e c h n e t e Element e r f u l l t somit automatisch die Symmetriebedingung

fiir die Radialverschiebungen. D i e Integration wird i n der Regel jedoch n u m e r i s c h durchgefuhrt. Verwendet m a n die Gaul3-Produktformeln a u s Abschnitt 1.6.5, so ergeben sich f u r die Steifigkeitskoeffizienten o h n e den Vorfaktor 2~ folgende Werte, w e n n m a n die Anzahl der Integrationspunkte i n XI-Richtung erhoht: Integration (2.2)-Gaul3 (3.2)-Gaul3 (4.2)bGauR (5.2)-Gaul3

kllll

590.00 803.33 963.33 1091.33

k1114

250.00 356.67 436.67 500.67

8.2 Strukturabhangige Ansatze

507

Numerisch integriert erreichen die betroffenen Koeffizienten keine GroRenordnung, die im Vergleich mit den restlichen Steifigkeiten in (d) als unendlich angesehen werden konnte. In der Anwendung beliebig verzerrter, axialsymmetrischer Elemente bedeutet dies, daB die Symmetriebedingung (el fiir die Radialverschiebungen auf der Rotationsachse durch eine entsprechende Auflagerung sichergestellt werden muR.

8 . 2 . 2 Infinite Elemente Bisweilen ergibt sich die Situation, daB der zu untersuchende Losungsbereich eine unendliche Ausdehnung aufweist. Ein Paradebeispiel hierfur ist die Berechnung der Schalldruckverteilung in der AuBenraumakustik. Hier muB der die zu analysierende Struktur umgebende Luftraum, der als unendlich ausgedehnt angesehen werden kann, zur Bestimmung der Losung berucksichtigt werden. In der Raumfahrttechnik werden so beispielsweise die Auswirkungen der Schallemission der Triebwerke auf die Nutzlast untersucht. In der Geomechanik kann die Spannungsverteilung bei Aushohlungen im Tunnelbau von Interesse sein, wobei ein Teil des umgebenden Erdreiches als unendlich ausgedehnt anzunehmen ist. In der klassischen Strukturmechanik finden sich als Beispiele die eher akademischen Problemstellungen der singularen Einzelkraft, die auf eine unendlich ausgedehnte Halbebene (Flamant) oder auf einen unendlich ausgedehnten Halbraum (Boussinesq) aufgebracht wird. Der Intuition folgend wird man annehmen, daB eine Losungsfunktion im unendlich ausgedehnten Raum auf den W e r t null im Unendlichen abklingen wird. Dabei wird man im einfachsten Fall ein reziprokes Abklingverhalten beziiglich einer Raumkoordinate unterstellen (Bild 8.6). Dem W e r t null im Unendlichen steht dann eine singulare Polstelle im Koordinatenursprung gegenuber. Viele Fundamentallosungen von Problemklassen im unendlichen ausgedehnten Raum weisen diese Charakteristik auf. Fur die Beispiele der singularen Einzelkraft auf der Halbebene oder dem Halbraum wird man die Polstelle in den Krafteinleitungspunkt legen.

Raurnkoordinate

Bild 8.6: Reziprokes Abklingverhalten der Losungsfunktion.

508

8. Element-Techniken

Begrifflich lassen sich der Nahfeld- und der Fernfeldbereich unterscheiden. Der Nahfeldbereich beinhaltet die zu untersuchende Struktur und einen Teil des diese umgebenden Mediums. Im Fernfeldbereich wird dieses Medium bis in die Unendlichkeit fortgesetzt. Wahrend das Nahfeld ganz normal mit finiten Elementen so diskretisiert wird, daB Gradienten in den Losungsfunktionen gut abgebildet werden konnen, kann das Fernfeld in der Regel nicht durch finite Elemente dargestellt werden. Man wird immer eine nur endliche Ausdehnung des Losungsgebietes realisieren konnen und eine kunstliche Berandung in die Problemstellung einfuhren. Selbst wenn man in extrem unwirtschaftlicher Weise diesen Rand durch Verwendung einer sehr groRen Anzahl von finiten Element en weit entfernt vom Nahfeld modelliert, kann es dort zu unerwunschten Reflektionen in den Losungsfunktionen kommen, die das Gesamtresultat verfalschen. Die Aufgabe der infiniten Elemente zur Darstellung des Fernfeldes ist es, den ),harten(( Rand einer endlichen Finit-Element-Diskretisierung durch einen ,,weichen(( Rand im Unendlichen zu ersetzen. Zur Herleitung der Steifigkeitsmatrizen infiniter Elemente ist es erforderlich, einerseits die Elementgeometrie ins Unendliche auszudehnen und andererseits dem Verschiebungsfeld ein reziprok abklingendes Verhalten aufzupragen. Im folgenden sol1 zunachst der eindimensionale Fall betrachtet werden, in dem mit XI die globalen Elementkoordinaten und mit xl die lokalen Referenzkoordinaten bezeichnet werden, die beide orthogonal Carthesische Koordinaten sind. Ein eindimensionales infinites Element wird uber dem lokalen Einheitsbereich definiert und mittels einer Koordinatentransformation der Zusammenhang zwischen lokaler und globaler Geometrie hergestellt. Die Besonderheit beim infiniten Element ist, daB sich die globale Elementgeometrie bis in die Unendlichkeit erstreckt:

Bild 8.7: Abbildung des Einheitsbereiches auf unendlich ausgedehnte Geometrie.

Der gesuchte Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Koordinaten muB fur x = +I eine Singularitat aufweisen, damit die globale Koordinate 1 gegen Unendlich geht. Dies 1aRt sich mit

8.2 Strukturabhangige Ansatze

509

erreichen. Fur x = -1 muR nach Bild 8.7 Xl den W e r t a annehmen, so dafl 1 die die endgultige Form durch

gegeben ist. Diese Funktion laRt sich eindeutig nach den lokalen Koordinaten x1 auflosen:

D e r Verschiebungsansatz erfolgt ganz normal mit den in lokalen Koordinaten gegebenen Formfunktionen n und den globalen Knotenpunktverschie P bungen Ulp , wobei die Anzahl n der Stutzstellen p fur die hier verwendete Lagrange-Interpolation zunachst beliebig ist:

ausgeIn ( 8 . 5 3 ) sind die Basisterme z gleich durch die Monome x;-' r driickt worden. Ersetzt man diese durch ( 8 . 5 2 ) , erhalt man unter Anwendung eines binomischen Satzes den Ausdruck

In ( 8 . 5 4 ) sind die konstanten Anteile bereits separiert worden. Einsetzen in ( 8 . 5 3) liefert

Das Verschiebungsfeld ( 8 . 5 5) in globalen Koordinaten besteht aus einem konstanten Anteil im ersten und einem reziproken Anteil im zweiten Term. Um den ersten Term in (8.55) weiter auflosen zu konnen, wird die Spaltensumme der inversen Vandermonde betrachtet und allgemein mit dem Zeilenvektor a beP zeichnet:

510

8. Element-Techniken

Z z $ : a r

; ( p , r = l...n).

P

Multipliziert mit der Vandermonde erhalt man ds =

C

Ssr =

f

zsp ap = 1

; (p,r,s

1...n)

r

Bei einer Lagrange-Interpolation gilt f u r den Einheitsbereich

mit beliebigen Koeffizienten zsg ; ( s = l...n ; q sich daher n u r dann erfullen lassen, wenn

ap

={

0

fur

p = l...n-I

1

fiir

p = n

:

l...n-1). Die Beziehung (b) wird

gilt. Kombiniert man n u n (d) und (a); so erhalt man f u r die inverse Vandermonde die Aussage 0

fur

1 fur

p = l...n-1 p = n

Mit diesem Resultat kann das Verschiebungsfeld ( 8 . 5 5) in globalen Koordinaten nun als

angegeben werden, wobei der Term Uln den Verschiebungswert im Unendlichen reprasentiert und in der Regel zu null gesetzt werden diirfte. Mit ( 8 . 5 6 ) ist gezeigt, daB der Zusammenhang ( 8 . 5 1) zwischen globalen und lokalen Koordinaten mit der Verschiebungsinterpolation ( 8 . 5 3) auf eine in globalen Koordinaten reziprok abklingende Darstellung des Verschiebungsfeldes fuhrt. Damit sind die oben genannten Anforderungen an ein infinites Element hinsichtlich des Verschiebungsfeldes erfiillt. Es sieht zunachst so aus, als musse man den Zusammenhang ( 8 . 5 1) zwischen globalen und lokalen Koordinaten in geeigneter Weise erraten. Das ist naturlich nicht der Fall, denn es lal3t sich sehr wohl ein systematischer Zugang angeben. Hierbei laBt sich ein beliebig hoher Aufwand betreiben und man gelangt zum SchluB zu der Erkenntnis, daB die erzielten Resultate mehr oder minder muhsam durch entsprechende Einschrankungen allesamt wieder auf die Form (8.5 1) zu reduzieren sind.

8.2 Strukturabhangige Ansatze

511

Anders als in Abschnitt 4.4 werden bei infiniten Elementen verschiedene Formfunktionen zur Verschiebungs- und zur Koordinateninterpolation verwendet. Es handelt sich demnach um eine parametrische Transformation zwischen den lokalen und globalen Koordinaten. Zur eindeutigen Unterscheidung werden alle zur Koordinateninterpolation gehorigen GroBen mit GroBbuchstaben bezeichnet. Ausgehend von einer Lagrange-Interpolation wird ein Basisvektor wie folgt gewahlt:

In ( 8 . 5 7 ) wird die Interpolation zunachst auf zwei Punkte beschrankt, man kann hier aber noch weitere Interpolationsstiitzstellen vorsehen. Durch den Vorfaktor stellt sich fur xl = +1 die gewunschte Singularitat ein. Dadurch kann dieser Punkt nicht als Interpolationsstutzstelle verwendet werden. Die erste Stutzstelle wird wie gewohnt auf den Punkt xl = -1 gelegt, die zweite wird mit x = a E (-1 , l ) beliebig im Einheitsbereich an1 geordnet:

Bild 8.8: Koordinateninterpolation m i t zwei Stiitzstellen.

Die beiden Interpolationsstutzstellen im Einheitsbereich werden auf die globalen Koordinaten a und b abgebildet. Fur die Vandermondematrix ergibt sich damit

die zugehorige Inverse ist

512

8. Element-Techniken

Mit ( 8 . 5 9 ) und ( 8 . 5 8 ) erhalt man die Formfunktionen

Mit den globalen Punktkoordinaten (Bild

ergibt sich analog zu ( 8 . 5 3) fur den Zusammenhang zwischen den lokalen und globalen Koordinaten die Beziehung

Durch Zusammenfassen der Terme laBt sich dies auf die Form

x1 =

1 (1

-

xl) [ ~ + B x , l ;

A = ( 2 a a + b ( 1 - a ) )

.(l+a)-';

bringen. Auflosen von ( 8 . 6 1) nach der lokalen Koordinate liefert

Dies ist zunachst eine allgemeine gebrochen rationale Funktion mit einer Polstelle bei XI = -B. Die Polstelle sol1 aber im Ursprung der globalen Koordinaten zu liegen kommen. Dies IaBt sich erreichen, wenn iiber die Forderung

die zunachst freie Wahl der globalen Koordinate b fur die zweite Interpolationsstutzstelle eingeschrankt wird. ~ b e den r Interpolationsansatz folgt aus ( 8 . 6 2 ) mit der Einschrankung ( 8 . 6 3) der eingangs direkt ermittelte Zusammenhang zwischen globalen und lokalen Koordinaten ( 8 . 5 1):

8.2 Strukturabhangige Ansatze

513

Mit (8.6 3) wird der lineare Anteil aus dem Zahler der Interpolationsfunktion (8.6 1 ) der globalen Koordinaten eliminiert, Aus Sicht der Interpolation kann dies so gedeutet werden, daR mit einem hoheren Ansatzgrad eine Funktion niedrigerer Ordnung dargestellt wird. Hat man den ubergang von Nah- zu Fernfeld durch die globale Koordinate a festgelegt, wird mit ( 8 . 6 3) der zunachst in lokalen Koordinaten beliebig im Interval1 (-1 ,I) gewahlten zweiten Stutzstelle cr deren geeigneter Funktionswert b in globalen Koordinaten zugeordnet. Fur den eindimensionalen Fall bedeutet dies, daR die zweite Interpolationsstutzstelle nicht benotigt wird. Von daher macht es keinen Sinn: weitere Stutzstellen zur Gewinnung einer Koordinateninterpolation vorzusehen, da fur diese analog zu (8.6 5) die Stutzstellenlagen ebenfalls so einzuschranken waren, daR die Anteile der hoheren Monome im Zahler der Interpolationsfunktion der globalen Koordinate eliminiert wiirden. Zur Ansatzgraderhohung der Verschiebungsinterpolation und zur Beschreibung der Elementgeometrie im zwei- und dreidimensionalen Fall ist es dennoch sinnvoll, weitere Stutzstellen vorzusehen. Der Zusammenhang zwischen den lokalen und globalen Koordinaten eines Punktes P lafit sich leicht durch eine Erweiterung von ( 8 . 5 1 ) herstellen:

Nachdem nun die Frage der Koordinateninterpolation hinreichend geklart ist, kann mit der Erweiterung auf den zwei- und dreidimensionalen Fall die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix vorbereitet werden. Auch wenn es sich im vorliegenden Fall um eine parametrische Transformation handelt, kann wie in Kapitel 4.4 vorgegangen werden, wobei die Ermittlung der Jacobi-Matrix im Vordergrund stehen wird. Dabei werden sich weitere Besonderheiten und Einschrankungen zeigen. Fiir ein zweidimensionales Element wird auf jeden Fall eine zweite Stutzstelle zur Festlegung der ins Unendliche reichenden, geradlinigen Elementkanten benotigt:

514

8. Element-Techniken

Bild 8.9: Zweidimensionales infinites Element in globalen Koordinaten.

Die Xl-Koordinate der Punkte 2 und 3 ist mit xI2=x13=0 mit ( 8 . 6 4 ) festgelegt worden. Es wird angenommen: da13 das Element symmetrisch zur XI-Achse aufgebaut ist. Zur Interpolation der globalen Koordinaten werden die Punkte P = 1...4 verwendet, wahrend bei der Verschiebungsinterpolation alle Punkte p = 1...6 beriicksichtigt werden. Zur zunachst eigenwillig erscheinenden Punktnumerierung in Bild 8.9 ist zu bemerken, dal3 durch die im Endlichen liegenden Punkte die geometrische Darstellung des infiniten Elementes festgelegt wird, wahrend die Punkte im Unendlichen nur in der Elementformulierung auftreten. Mit den in Bild 8.9 angegebenen Langen sind die globalen Punktkoordinaten

Im lokalen Einheitsbereich sind die Punktlagen zur Koordinateninterpolation wie folgt angeordnet:

Bild 8.10: Punktlagen in lokalen Koordinaten

Mit dem Basisvektor

erhalt man die Formfunktionen

8.2 Strukturabhangige Ansatze

515

Mit diesen Formfunktionen und den oben angegebenen globalen Punktkoordinaten laBt sich der Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Koordinaten angeben:

Durch Differentiation nach den lokalen Koordinaten erhalt man die Jacobimatrix

und schlieBlich deren Determinante

Die Determinante der Jacobimatrix wird wie in Abschnitt 4.4.5 iiber die Bedingung

zur Identifizierung von Singularitaten im infiniten Element herangezogen. Ersetzt man in der letzten Gleichung die lokale Koordinate xl durch ( 8 . 5 2 ) und lost nach der globalen Koordinate auf, 1aBt sich der Ort XIS einer Singularit at angeben:

Fiir das symmetrisch aufgebaute infinite Element nach Bild 8.9 laBt sich diese Beziehung geometrisch deuten: die Koordinate XIS gibt den Schnitt-

516

8. Element-Techniken

punkt der beiden Geraden an; die die ins Unendliche reichenden Elementkanten bilden. Wird y < 1 gewahlt, so liegt die Singularitat im Element selbst, da sich die Elementkanten uberschneiden:

Bild 8.11: Singularitat durch sich schneidende Elementkanten.

Diese Situation ist unbedingt zu vermeiden und auch der Grund, warum bei infiniten Elementen keine gekrummten Elementrander in der unendlichen S I = die sich Erstreckung verwendet werden. Fur y = 1 erhalt man mit X im Unendlichen schneidenden parallelen Geraden. Fiir y > 1 liegt die Singularitat nicht mehr im Element, sondern nahert sich von XS I = -a kommend der Elementkante bei XS I = a. Dabei ist ein ausgezeichneter Punkt fur y = 2 gegeben: hier befindet sich die Singularitat direkt im globalen Koordinatenursprung und die Elementkanten ins Unendliche werden durch die Mittelpunktstrahlen gebildet:

Bild 8.12: Elementkanten durch Mittelpunktstrahlen fiir

y =

2.

Die Wahl von y = 2 ist nicht zwingend, aber praktisch. In einer Struktur werden viele infinite Elemente auftreten, wobei sich benachbarte Elemente die gemeinsamen Kanten teilen. Nun konnte man sich uberlegen, wie groB y in einem Element gewahlt werden konnte, ohne daB e s im zweiten, nun moglicherweise asymmetrischen infiniten Element zu einer Kantenuberschneidung kommen wurde. Dieses Problem laBt sich grundsatzlich mit dieser Wahl vermeiden, da nun die Knotenpunkte der infiniten Elemente im zweidimensionalen auf konzentrischen Kreisen und im dreidimensionalen auf konzentrischen Kugelspharen angeordnet sind. Fur die Jacobimatrix ergibt sich nun

8.2 Strukturabhangige Ansatze

2 hx, (1 -

x112

517

2h 1-

XI

die Determinante ist

und die inverse Transformationsmatrix zu (8.6 5) ist mit

gegeben. Damit sind alle notwendigen Beziehungen zwischen lokalen und globalen Koordinaten zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix bekannt . Auch im zwei- und dreidimensionalen Fall werden die ganz normalen Formfunktionen zur Verschiebungsinterpolation verwendet. Im zweidimensionalen wird man mindestens die Punkte 1,4,5 und 6 nach Bild 8 . 9 zur Interpolation der Verschiebungen heranziehen. Die Punkte 2 und 3 dienen zunachst nur der Festlegung der Elementgeometrie, mussen aber nicht zwingend zur Darstellung des Verschiebungsfeldes verwendet werden. Da es in gangigen Programmsystemen jedoch ublich ist, an allen geometrischen Knotenpunkten auch die Verschiebungen zu ermitteln, wird man die Punkte 2 und 3 ebenfalls in die Verschiebungsinterpolation einbeziehen. Dadurch ist es moglich, die bereits in den Programmsystemen vorhandenen Ablaufe und Routinen der finiten Elemente auch fur die infiniten Elemente zu verwenden. Als Minimalkonfiguration ergibt sich damit ein 3x2 infinites Element. Wie sich gleich zeigen wird, mussen fur die mehrdimensionale Verschiebungsinterpolation die Produktformeln nach Abschnitt 1.5.3 verwendet werden, um die Singularitat des Integranden bei der Berechnung der Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix auflosen zu konnen.

518

8. Element-Techniken

Mit (4.66) schreibt sich sich die Bestimmungsgleichung (4.67) fiir die Steifigkeitsmatrix eines parametrisch verzerrten Elementes als

Diese Beziehung wird nun wie folgt aufgespalten:

Fiir die einzelnen Anteile der Aufteilung (8.6 8 ) ergeben sich folgende Proportionalitaten zum Singularitatsterm (1 - xl):

~ b e die r Determinante der Jacobimatrix nach (8.6 9 ) ergibt sich prinzipiell die Gefahr, daB bei der Berechnung der Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix (8.6 8 ) ein unbestimmtes Integral 2. A r t mit nichtbeschranktem Integranden bei x, = 1 auftritt. Da fiir die bei der Berechnung auftretenden Terme der Form

- 7'

lim

.-

0

-1 (1 -

I dxl xJn

-

lim

In(&) = -a

E-0

ein endlicher Integralwert nicht existiert, konnen in diesem Fall die Koeffizienten der Steifigkeitsmatrix nicht ermittelt werden. Zur Losung dieses Problems ist es demnach erforderlich, die Singularitat im Nenner der De-

8.2 Strukturabhangige Ansatze

519

terminante der Jacobimatrix zu kompensieren. Nach (8.6 9 ) ist dies fur die >>unendlichecclokale Elementkoordinate xl ohne weiteres moglich: da die Koeffizienten x der inversen Jacobimatrix immer paarweise auftreten, 1,J kann die Singularitat vollstandig kompensiert werden. Man erhalt im Zah3-c. , ( c = 1...3). Etl e r des Integranden sogar noch den uberhang (1 - xl) was anders sieht es bei den weiteren Koordinatenrichtungen j"= 2...3 der inversen Jacobimaaus: zwar treten auch hier die Koeffizienten x . J TJ trix paarweise auf, doch fur die Kompensation ergibt sich das Defizit (1 - x ~ ) ~ - '(;c = 2...3). Dieses Defizit laBt sich beheben, wenn die Formfunktionen np der Verschiebungsinterpolation als Produktformeln nach Abschnitt 1.5.3 gebildet werden. Die Wirkungsweise wird deutlich, wenn fur die einzelnen Koordinatenrichtungen die klassische Interpolationsformel von Lagrange analog zu (1.134) verwendet wird: n

Pi

=n 4i

X

4i

4j

-X. I

- x

; ( p i ; q i = l...n j ; p i # q i ; i = l...c ) .

(8.70)

Pi

Betrachtet man ( 8 . 7 0 ) fur i = 1, so enthalten alle Formfunktionen, deren Stutzstelle nicht bei xpl= +I liegt, den Faktor (1 - xl). Damit gilt fur die Ableitungen der Produktformeln

unter der Annahme, daB in xl-Richtung fur den letzten Punkt x = +I gilt nl und in der globalen Punktzahlung p = l...n die letzten n2 bzw. n2.n3 Punkte die Punktlagen im Unendlichen darstellen. In (8.6 8 ) treten auch die Ableitungen der Formfunktionen paarweise auf, wobei fur p = q die Diagonalterme, fur p f q die Koppelterme der Elementsteifigkeitsmatrix berechnet werden. Mit (8.7 1) reicht es im zweidimensionalen Fall aus, daB einer der beiden betrachteten Punkte im Endlichen liegt, um die Singularitat des Integranden fur diese Punktkombination zu beheben. Im dreidimensionalen Fall mussen beide Punkte im Endlichen liegen. Alle Steifigkeitskoeffizienten, fur die beide Punkte p und q im Unendlichen liegen, konnen demnach nicht berechnet werden, da das uneigentliche Integral nicht existiert. Im zweidimensionalen lassen sich noch die Koppelterme zwischen den endlichen und unendlichen Punktlagen bestimmen, im dreidimensionalen ist dies nicht moglich.

520

8. Element-Techniken

Wenn als Verschiebungsrandbedingung im Unendlichen Ulp(m)= 0 angenommen wird, benotigt man die angesprochenen Steifigkeitskoeffizienten nicht. Diese Situation ist ahnlich der beim axialsymmetrischen Element fur die radialen Steifigkeiten bei Punktlagen auf der Rotationsachse. Wie dort lassen sich die Koeffizienten der Elementsteifigkeitsmatrix mit einer Standard-Integrationsformel berechnen, wobei die Koeffizienten in den ausgezeichneten Punkten zwar falsch ermittelt werden, diese aber durch die entsprechenden Randbedingungen letztlich nicht von Bedeutung sind.

Berechnen Sie f u r das abgebildete axialsymmetrische Element die aquivalenten Knot e n k r a f t e u n t e r Fliehkraft-Belastung. u b u n g 8.5: Bestimmen Sie fiir das Element aus u b u n g 8.4 die Massenmatrix

(p =

const.).

u b u n g 8.6: Ermitteln Sie die Steifigkeit eines eindimensionalen, axialsymmetrischen Elementes. Die Knotenkoordinaten sind X = [ 0 2 1. D e r isotrope Elastizitatstensor ist m i t 1P A = 180 u n d y = 120 gegeben. u b u n g 8.7: Bestimmen Sie die Formfunktionen eines (3x2)-Produktelementes mit Lagrange-Interpolations-Randbedingungen z u r Verschiebungsinterpolation eines i n f i n i t e n Elementes. Verwenden Sie die Punktlagen n a c h Bild 8.10, wobei die P u n k t e 5 und 6 gemaR Bild 8.12 angeordnet sind. ~ b e r ~ r i i f eSie n die Aussagen zu (8.70) u n d (8.71).

bung 8.8: B e r e c h n e n Sie die Koeffizienten k l l l l , k z I z 1 ,k1515und k2525 der Steifigkeitsmatrix eines i n f i n i t e n Elementes. I n globalen Koordinaten ist das Element wie i n Bild 8.9 angeordnet. Die Geometrieparameter sind mit a = h = l und y=2 gegeben. Verwenden Sie die Formfunktionen aus u b u n g 8.7. D e r Werkstoff ist isotrop mit A=180 u n d

Index

Abbruchfehler 316 Abklingverhalten, reziprokes 507 absolute Tensoren 29 adaptive Netzanpassung 307 Algorithmus, effizienter 48 Amplitude 345, 347 Amplituden-Verhaltnis 404 Analyse, harmonische 318 Anfangswertproblem 251, 369 Anisotropie 121, 144, 146, 202, 480 Anregung, auRere 351 Ansatze, globale 289 Ansatzgraderhohung 304, 485 Approximation 64 Arbeit 150 - komplementare 157 - virtuelle 125, 252, 257, 412 Arbeitsinkrement 125 Arbeitsinkrement, virtuelles 126: 473 Arbeitssatz 152: 156, 254 Axialsymmetrie 497 - Dehnungstensor 499, 501 - Fliehkraft 505 - isoparametrisch 504 - Jacobimatrix 502 - Spannungstensor 502 - Steifigkeit Drehachse 506 - Torsion 499

Babuska-Brezzi-Bedingung 274 Balken 222 - schlanker 225 - Standard-Element 228 - Streckenlast 230 Band-Algorithmus 188 Bandbreiten-Optimierer 51, 189 Bandbreiten-Parameter 188 Basisvektor 68, 202, 324 - Balken 229, 232 - infinites Element 511 - Produkt-Elemente 214 - Serendipity 217 - Simplex 206

- u b e r g a n g s - ~ l e m e n t e 220 Belastungen, Girlande 476 - innere 472, 476 - wahre GroBen 477 Berechnungsablauf 196 Bernoulli-Balken 225 Beschleunigungen 317 Betti, Satz von 155 Bewegungsgleichung 318 - homogen 345 - transformierte 413 Beweis, konstruktiver 36 Bisektions-Methode 108 Blockdiagonalform 445 Blockmatrizen 17 Boussinesq 507

CO-Stetigkeit 212, 294, 299; 305 C1-Stetigkeit 228, 294, 305 Cauchy-Spannungen 137 Cauchy-Spannungstensor 133, 136, 138, 25 4 Cauchy-Spannungsvektor 134 charakteristische Gleichung 90 Cholesky-Algorithmus 57 Cramersche Regel 43 Cuthill-McKee-Algorithmus 189 Dampfung 343 - algorithmische 402 - dissipative 355 - Gesamtstruktur 344 - innere 344 - numerische 404 - proportionale 344, 427 - Rayleigh 344 - iiberkritisch 346 Dampfungskrafte 317 Dampfungsmatrix 317 Darstellung, Eulersche 123 Darstellung, Lagrangesche 123 Defekt 60, 274 Definitheit 102, 187

522

Index

Deformationsgradient 136 degenerierte Elemente 207, 247 Dehnung, ebene 146 Dehnung, einachsige 146 Dehnungen 128, 201, 203, 216, 243 - groRe 254 - Kirchhoff-Element 226 - Simplex 206 - technische 128, 132 - unabhangige 266

Dehnungs-Spannungs-Verschiebungsmodel1 270 Dehnungs-Verschiebungsmodell 272 Dehnungsinkremente 152 Dehnungstensor 253 - Euler-Almansi 136 - Green-Lagrange 130, 136, 139, 254, 258 - linearisiert 130, 132, 201 - objektiver 130 - symmetrischer 130 - unsymmetrisch 129 Determinante 37 - Dreiecksmatrix 46 - Eigenschaften 39 - Entwicklungssatze 38 - Handrechnung 38 - Kehrmatrix 40 Determinanten-Suchverfahren 106 Differentiation, Schreibweise 31, 200 Diskretisierung, globale 255 Diskretisierung, lokale 289 Doppelindizierung 124, 176, 200, 231, 457 Drehachse 465 Drehtensor 25, 128 D r e h u n g 224 Drehungen, groRe 254 Drehwinkel 25, 225 Dreiecksmatrix 8 Dreieckszerlegung 44, 192 Dreifeld-Model1 271, 278 Druck, hydrostatischer 311 Dyade 27 dynamische Kondensation 421 dynamisches Verhalten 411 e-System 9, 38 ebene D e h n u n g 146 ebene Spannung 146 Eigen-Kreisfrequenz 397 Eigenfrequenz 358, 414, 415

mehrfache 363 Einschachtelung 415 Eigenschwingung, ungedampft 346 Eigenschwingungen 345 Eigenvektoren, komplexe 397 Eigenvektoren, orthonormiert 348 Eigenwerte 345 - Anzahl 347 - komplexe 397 - negative 347 Eigenwertproblem siehe EWP einachsige D e h n u n g 146 einachsige Spannung 146 Einheitsmatrix 9, 12 Einheitsnormale 162 Einheitstensor 267 Einschritt-Verfahren 375. 388, 392 Einschwingzeit 351 Einsteinsche Summenkonvention 4 Einzel-Element-Test 299 elastische Steifigkeit 143 elastisches Potential 278 Elastizitatsgesetz 142 Elastizitatsmodul 145 Elastizitatstensor 143, 201 - Hauptachsensystem 146 - Symmetrien 143 - Transformation 147 Element, degeneriertes 207, 247 - finites 291 - globale Koordinaten 237 - Mindestforderungen 298 - Nahfeld-Wirkung 293 - Qualitatsaussage 298 - Referenzkoordinaten 237 - Verzerrung 245, 246 - vollstandige Integration 246 Elemente, axialsymmetrische 497 - Dimension 200, 205, 212, 238 - hierarchische 485 - hybride 484 - infinite 507 - Integration 204 - isoparametrische 236, 299 - Serendipity 217 - Simplex 203 - ubergangsbedingungen 299 - unterintegrierte 300 Elimination 191 energetisch konjugiert 125, 132, 139, 253 Erhaltung der Energie 150 -

Index

Erhaltungssatze 149 Erreger-Kreisfrequenz 352 Erregerfrequenz 351, 358 Erregung, FuRpunkt 355 Erregung, phasengleiche 365 Ersatzmodell, berechenbares 301 Euler-Almansi-Dehnungstensor 136 Eulersche Darstellung 123, 135 EWP, Algorithmen 106 - allgemeines 89 - Aufwand 106 - charakteristische Gleichung 90 - Eigenvektoren 93: 94 - Eigenwerte 90, 92, 93 - einfache Eigenwerte 95 - Gram-Schmidt 99 - inverse Vektoriteration 109 - Jacobi-Algorithmus 114 - l i n e a r 88 - mehrfache Eigenwerte 95 - Metrik 96 - Modalmatrix 93, 96 - Normierung Eigenvektoren 95 - Orthonormierung 96, 97 - positiv definite Matrix 104 - quadratische Form 101, 345 - reelle Eigenvektoren 103 - reelle Eigenwerte 103 - spezielles 89 - Transformation 92 exakte Losung 300 Exaktheitsgrad 75, 86 - hohere Simplexe 210 - Integration Massen 327 - isoparametrisch 246 - Produkt-Elemente 215 - Serendipity 218 Extremalprinzipien 153, 277 Falksches Schema 16 Federungsmatrix 158 Fehler, numerischer 314 Fehlerabschatzung 306 Fehlererkennung 307 Fernfeld 508 finite Differenzen 370, 373 finites Element 291 Flamant 507 Fliehkraft-Belastung 505 Formanderungsarbeit 133, 139, 162, 253, 258, 268 Formfunktionen 65, 291

- Eigenschaften 69 - hierarchische 488 - Zeit 376 Formulierung, starke 252, 282 Freiheitsgrad, diskreter 124 Freiheitsgrade 172, 176 Frequenz 347 Frequenz-Verhaltnis 405 Frequenzbereich 354 Frequenzbereich, Verschiebung Frequenzgange 359 Frontlosungs-Methode 191 Funktional 277 Funktional, Extremwert 278 Funktionsfelder 267 FuRpunkt-Erregung 355

523

423

Galerkin-Verfahren 281, 285 GauR-Formeln 76, 83 GauRscher Integralsatz 162, 281 Genauigkeit, Integrationsstiitzstellen 3 15 Genauigkeit. numerische 314 generalisierte Koordinaten 427 geometrische Nichtlinearitat 130, 253 geometrische Steifigkeit 154 Gesamt-Masse. konzentriert 341 Gesamt-Massenmatrix, konsistente 338 Geschwindigkeiten 317 Geschwindigkeitsterm 343 gewichtete Residuen 251, 277, 281 Gewichtungsfunktion 282 Gleichgewicht 150, 152 Gleichgewichtsbedingung 134, 158, 160, 161 - differentielle 135 - schwache und starke 163 Gleichungssystem, homogenes 41, 60 - inhomogenes 41 - lineares 41 Gleitkomma-Arithmetik 314 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung 99 Gramscher Vektor 76, 324 Green-Lagrange-Dehnungstensor 130, 136, 139, 254, 258 groBe Verformungen 135 Guyan-Reduktion 418 h-Konvergenz 302 h-Methode 485 harmonische Analyse 318 Hauptachsen-Transformation

31, 94, 97,

524

Index

348, 397 Hauptspannungen 31 Hellinger-Reissner 278, 281 Hermite-Interpolation 66, 71 HHT-Verf a h r e n 393, 409 Hierarchie, Freiheitsgrade 486 - orthogonale Polynome 489 - Orthogonalitat 488 hierarchische Elemente 485 Hilbert-Matrix 64 homogenes Gleichungssystem 60 Houbolt-Verfahren 408 Hu-Washizu 278 Hybride Elemente 484 hydrostatischer D r u c k 311 Hypermatrizen 17 Idealisierung 301 Index 2 - Bereich 3, 4 - f r e i e r und s t u m m e r 5 Indizes, Elementniveau 172 Indizes, Strukturniveau 172 i n f i n i t e Elemente 507 - globale Geometrie 508 - Jacobimatrix 515: 516 - Polstelle 512 - Singularitat 508, 515 Inkompressibilitat 146 Integral, unbestimmtes 518 Integration, Basisvektor 76, 80 - Berechnungsaufwand 78 - Exaktheitsgrad 75, 76, 79, 80, 83, 84, 86 - Gaul3 76, 83, - Gewichte 75 - Gramscher Vektor 76 - lokale Koordinaten 238 - Mommentengleichungssystem 76 - Newton-Cotes 75, 80, 82 - numerische 74 - Produktformeln 84, 85 - reduzierte 87 - Simplex 207 - Stiitzstellen 75, 79, 80 - Volumen 140 Integrationsformel, n u m e r i s c h e 75 Integrationsformeln, optimale 79 Integrationsgewichte 75, 77 Interpolation 64 - Basisvektor 66, 68 - der Ableitungen 308

- der Zeit 375 - F o r m f u n k t i o n e n 66, 67 - globale 255 - Hermite 64, 66, 71 - Lagrange 64, 65 - Lagrange klassisch 71, 519 - Orthogonalitat 69 - Produktformeln 72 - Richtungsinvarianz 67 - Vandermonde 68 Interpolations-Operator 65, 202 Interpolations-Operator. Balken 229 Interpolationsfunktion 65, 74, 203 Intervall-Arithmetik 315 Invariante 27 inverse Vektoriteration 109 isomorphe Abbildung 27 isoparametrische Elemente 236, 299 isoparametrische Transformation 236, 241 isotroper Tensor 31 isotroper Werkstoff 145 Isotropie 1 4 4 Iteration, Einzelschritt-Verfahren 59 - GauR-Seidel-Verf a h r e n 59 - Gesamtschrittverfahren 59 - Jacobi-Verfahren 59 - Residuen 59 - ~ b e r r e l a x a t i o n 59 iterative Losungsverfahren 58

Jacobi 106 Jacobi-Algorithmus 114 Jacobi-Matrix 238, 242, 248, 502, 515, 516 Jacobi-Verfahren 59 Kehrmatrix 14, 5 4 Kern-Massenmatrix 321 Kern-Steifigkeitsmatrix 204 Kern-Steifigkeitsmatrix, Kirchhoff 227 Kernmatrix 272 Kernmatrix, Balken 230 Kettenregel Differentiation 28 Kirchhoff-Elemente 222 Kirchhoff-Theorie 225 Klassen-Umordnungsmatrix 183 Klasseneinteilung 182, 191, 194, 296, 339: 341, 345, 354, 359, 437, 452 - Guyan-Reduktion 418 - Koordinaten 223 - Zeitintegration 381

Index

kleine Verformungen 136 Knoten 124, 176, 205, 209, 212 Koeffizientenvergleich 23 Koinzidenz-Matrix 173, 177, 292. 446 Koinzidenzschema 173 Kollokations-Verfahren 370 Kollokationspunkt 376, 379 Kollokationszeit 372 Kompatibilitat 299 Kompatibilitat Verschiebungen 212. 214, 242 Kondensation 411 - Diagonalform 414 - dynamische 421 - modale 426 - statische 418 - Transformation 412 - Transformations-Matrix 413 Konditionierung 187 Konsistenz-Fehler 300 kontinuierliche GroRen 122 Kontinuitatsbedingung 150, 152, 156 Kontinuum 202 Kontinuum-Elemente 200, 202, 474, 483 Kontraktion 32 Konvergenz 297, 301, 484 - monoton und nichtmonoton 305 - Richardson-Extrapolation 306 Konvergenz-Ordnung 302 Konvergenz-Reihe 302, 306 Koordinaten, Dimension 20 - Metrik 21 - orthogonal Cartesisch 18 Koordinaten-Interpolation 241, 256 Koordinatenschreibweise 19 Koordinatensystem 20 Koordinatentransformation 22 Kraft 124, 125 - auRere 152, 156 - Transformation 169 - zeitabhangig 317 Kraft-Verschiebungs-Gesetz 123, 125. 167, 170, 182, 185, 201, 475, 476 - Dynamik 317 - nichtlinear 259 - Symmetrie 446 KraftgroRen-Verfahren 123, 151, 157, 164, 199, 305, 484 Kreisfrequenz 346, 347 Kreuzprodukt 20, 29, 33. 140 Kronecker-Delta 9

Krylow-Folge

525

422

Langsdehnungen 128, 132, 145 Langsspannungen 134, 145 Lagrange-Elemente 204 Lagrange-Elemente, Massen 323 Lagrange-Interpolation 65, 202, 205, 509 Lagrange-Multiplikatoren 439 Lagrangesche-Darstellung 123, 127, 135, 258 Lame-Konstanten 145 Legendre-Polynome 84, 490 Legendre-Polynome, Orthogonalitat 491 Legendre-Transformation 162 Limitations-Prinzip 274 lineare Abhangigkeit 37 Iinearisierter Dehnungstensor 130 Losung, Abbruchfehler 52 Aufwand 43. 48, 51, 54, 55, 57 Crout 4 7 Drehelemente 52 exakte 300 GauR; Doolittle 46 homogenes Gleichungssystem 60 inhomogenes Gleichungssystem 61 Konditionszahlen 53 Normalfall 42 numerische 288 Quadratwurzel-Verfahren 47 rechte Seiten 42 Singularitat 316 Speicherbelegung 49 Superpositionsgesetz 42 symmetrische Matrizen 56 triviale 60 Wirtschaftlichkeit 48 Masenmatrix, u b e r g a n g s - ~ l e m e n t e 329 Massematrix, Kirchhoff konsistent 330 Massen, axialsymmetrische 504 - Kirchhoff konzentriert 331 - konzentrierte 322 - Lagrange-Elemente 323 - Richtungstransformation 335 Massenintegration, Newton-Cotes 324 Massenkonzentration, optimale 323 Massenkrafte 317 Massenmatrix 317, 319 - axialsymmetrische 504 - Balken 332 - diagonale 322 - hierarchische 493

526

Index

konsistente 320 - Kontinuum konsistent 321 - Platte 334 - Produktelemente 329 - rotatorisch 330 - Serendipity 329 - Simplex 326 - translatorisch 330 Materialgesetz 142 Materialgesetz, nichtlineares 147 Materialtensoren 142 Matrix: Addition 13 - Bandbreite 9, 50 - Besetzung 8 - Definitheit 103 - Determinante 37 - GroRe 6 - Hilbert- 64 - hoherer Stufe 7 - Identitat 13 - Inverse 14 - Koeffizienten 6 - lineare Abhangigkeit 37 - Multiplikation 14 - Profillinien 50, 56 - Rang 37 - Rangabfall 60 - regulare 37 - Schiefsymmetrie 8 - singulare 37 - Speicheradressen 7 - symbolisch 12 - Symmetrie 7 - Transposition 15 - Verkettbarkeit 15 - zweiter Stufe 6 - zyklische 463 Matrizenprodukt 14 Maxwell, Satz von 155 Mehrschrittverfahren 375 Methode der gewichteten Residuen 282 Methode, kleinste Fehlerquadrate 285 Metrik 19, 21 metrischer Tensor 22, 31 Minimum der potentiellen Energie 199 Modal-Matrix 93, 96 modale Kondensation 426 modale Synthese 428 modale Synthese, Belastungs-Matrix 429 Modell, erweitertes 263 - gemischtes 266 -

- reduzibles 266 Modellbildung 295 Modifizierer 2 Moment 124 Momenten-Gleichungssystem

76, 324

Nachgiebigkeitsmatrix 158 Nachgiebigkeitstensor 148 Nahfeld 508 Nansonsche Formel 137, 140 natiirliche Richtungen 122: 472 Nebenbedingungen 435 Netzanpassung, adaptive 307 Netzverfeinerung 219, 304, 485 Newmark-Verfahren 389, 409 Newton-Cotes-Formel 75, 77; 80, 82 Newton-Iteration 107 Nichtlinearitat 121 Nichtlinearitat, geometrische 130, 253 Normalspannungen 134 Nullmatrix, symbolisch 13 numerische Genauigkeit 314 numerische Intergrationsformeln 74 numerische Null 52 Oberflachenkrafte 126, 253, 473, 476, 484 - Balken 231 - diskretisiert 257 - unabhangige 264 Oberflachenlasten 134 objektive GroRen 122 orthogonale Polynome 489 Orthogonalitat 24, 28 Orthonormierung 449 Orthotropie 146 p-Konvergenz 302 p-Methode 485 parametrische Transformation 511 Patch-Test 297 Periode, Schwingung 347 Perioden-Verh altnis 405 Permutationssymbol 9, 13 Phasensprung 363 Phasensprung, verdeckter 363 Phasenwinkel 352, 356, 365 physikalische Koordinaten 427 Piola-Kirchhoff-Spannungstensor 133, 137, 138, 254 Platte 222 Poisson-Differentialgleichung 285

Index

positiv definit 187, 242, 441 Potential, elastisches 278, 439, 442 Potentialfunktion 277 Prinzip der virtuellen Verschiebungen 151, 252 Produkt-Elemente 213 Produktzeichen 5 Profil 486 Profillinie 187 proportionale Dampfung 427 Punktmassen 323, 325, 326 Punktmassen, Simplex 327 PyThagoras 21 Querkontraktion 224 Querkontraktionszahl 145 Querrichtungen 223, 224 Randbedingungen 182, 183, 295, 477 - axialsymmetrische 498 - naturliche 296 - notwendige 296, 436 Randwertproblem 251 Rang 37, 274 Rangabfall 60 Rayleigh-Dampfung 344 Rayleigh-Ritz 279 reduzierte Integration 87 regelmaRige Strukturen 445 relative Tensoren 29 Residuen, gewichtete 251, 277: 281 Resonanz 357, 358, 361 Richardson-Extrapolation 306 Richtung, naturliche 122, 472 Richtungsindizes 176, 223 R i c h t u n g ~ i n v a r i a n zInterpolation ~ 209 Richtungstransformation 171, 176, 177, 238 Richtungstran~formation~ Massen 335 Ritz-Vektoren 421 Ritzscher Ansatz 279, 282, 283, 291, 414 Ritzsches Naherungsverfahren 251 Rotation 124 Rotations-Symmetrie 465, 497 Ruckrechnung 196

Schrittweiten-Verhaltnis 400, 402 Schubdehnungen 128, 132, 145 Schubmodul 145 Schubspannungen 134, 145 Schubspannungen, Gleichheit 134

527

Schwerelinie 224 Schwerpunkt 325 Schwingung, erzwungene 351 - gedampft 346 - ungedampft 346. 358 Schwingungen. erzwungene 351 Schwingungsf orm, Knoten 362 Schwingungsformen 347, 414, 415 Schwingungsiiberhohung 362 Serendipity-Elemente 217 Simplex, topologischer 205 Simplex-Elemente, hohere 208 Skalar 11 skalare Multiplikation 15 Skalarprodukt 32 Skyline-Algorithmus 57 Spaltenmatrix 6 Spannung, ebene 146 Spannung, einachsige 146 Spannungen 128, 132, 133, 201, 203, 216, 243 - Balken 229, 232 - unabhangige 266 Spannungs-Dehnungs-Beziehung 122 Spannungs-Dehnungs-Gesetz 142, 254, 286 Spannungs-Verschiebungsmodell 270. 278 Spannungspunkte, optimale 308 Spannungstensor 133. 134, 253 - 2. Piola-Kirchhoff 133, 137, 138, 254 - Cauchy 133, 136. 138, 254 - symmetrischer 133 - wahrer 136 Spannungsvektor, Cauchy 134 Spatprodukt 33. 140 Spektralradius 398 Spiegelsymmetrie 459 Starrkorperbewegung 126, 130. 160, 161, 202, 224, 299, 325 stationarer Zustand 351, 354 statisch unbestimmt 123 statische Kondensation 418 Steifigkeit, elastische 143 Steifigkeiten, unterschiedliche 187 Steifigkeitsmatrix 154, 186, 201, 292 - axialsymmetrische 502 - Balken 230, 233 - Besetzung 187 - dynamische 354 - geometrische 154, 257, 259 - globale 293

528

Index

h i e r a r c h i s c h e 493 infinites Element 518 isoparametrische 243 Kirchhoff-Element 226 Klassen 183 l i n e a r e 257 n i c h t l i n e a r e 257 - Platte 233 - Simplex 204, 206 - transformierte 169, 171, 173 Steifigkeitstensor 143 Steifigkeitsunterschiede 316 Stetigkeit, CO 212, 294, 305 Stetigkeit, C1 228, 294. 305 Straf-Funktionen 442 Straf-Konstanten 4 4 2 Straf-Konstanten, Auswahlkriterien 4 4 3 Struktur-Elemente 200, 223 subparametrische Transformation 241 Summationsindizes 4 Summe 4 superparametrische Transformation 241 Symmetrie 4 4 6 - Blockdiagonalform 448, 463 - charakteristisches EWP 448 - Doppelindizierung 457 - Freiheitsgradgruppen 448 - generierende Elemente 446, 448, 454 - Randbedingungen 452 - Rotations- 465 - Spiegel- 459 - Transformationen 452 - Transformationsmatrix 449 - Vertauschungsmatrix 450 - zyklische 461 symmetrische S t r u k t u r e n 4 4 5 -

-

Tangenten-Steifigkeitsmatrix 261 Tangentengleichung 261 technische Dehnungsmafle 128 Tensor 18 - Ableitung 31 - absoluter 29 - Fundamentalsatz 27 - Invarianz 18 - isotrop 31 - Komponente 29 - Koordinate 29 - Koordinatenschreibweise 19, 29 - Kreuzprodukt 33 - metrischer 22, 31 - relativer 29

- Spatprodukt 33 - Stufe 27 - symbolische Schreibweise 19 - Symmetrie 29 - Transformationsgesetze 28 - Transformationsverhalten 30 Tensoralgebra 32 Tensorprodukt, auReres 32 Tensorprodukt, vektorielles 33 Tensortransformation 27 Tensoruberschiebung 32 Tensorverjungung 32 Tragheitstensor 227 - Balken 228 - Platte 233 Transformation, Drehtensor 25 - D r e h u n g 25 - isomorphe 27 - Koordinaten 22 - Krafte 413 - Orthogonalitat 24 - Spiegelung 25 - Verschiebungen 412 Transformationsgruppe, orthogonale Transformationsmatrix 22 Transformationsmatrix: orthogonale transiente Vorgange 369 Translation 124, 126, 224 Trapez-Regel 394, 409

Vandermonde 68, 203 - Balken 229, 232 - Existenz 68 - hierarchisch 487 - infinites Element 511 - Lagrange-Element 205 - Simplex 206 Variationsmethoden 278 Vektor 13 - komplexer 101 - symbolisch 11 Vektornorm 109 Verformungen, grofle 135 Verformungen, k l e i n e 136 Verschiebungen 123, 126 - reziprok abklingende 508 - Transformation 168, 172; 183 - virtuelle 125, 160, 253

27 25

Index

- zeitabhangig 317 Verschiebungs-Interpolation 241, 256 Verschiebungsableitung 203, 307 VerschiebungsgroRen-Verfahren 123, 151, 164, 199, 305, 484 Verschiebungsinkrement 125, 152 Versuchslosungen 59 Verzerrung 300 virtuelle Arbeit 252, 412 virtuelles Arbeitsinkrement 126 Viskositatstensor 344 vollstandige Integration 246 Volumen, Simplex 207 Volumenfaktor 239 Volumenfaktor, Axialsymmetrie 502 Volumenkrafte 126, 253, 320, 472; 475, 484 - Balken 231 - diskretisiert 257 - unabhangige 264 Vordehnungen 472, 477 Voreilwinkel 352 Vorspannungen 472, 477 Vorverschiebungen 472, 474, 477 Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen 4 4 ) 53

Warme-Dehnungsgesetz 479 Warmeausdehnungskoeffizient 480 Warmedehnungen 479 Warmedehnungstensor 479 wahrer Spannungstensor 136 WeggroRen-Verf ahren 151 Wilson-O-Verfahren 375, 388, 400, 408 Zeilenmatrix 6 Zeit 345, 372 - Basisvektor 377; 378 - dimensionslose 378 - Formfunktionen 376, 377, 378 - lokale 377 Schrittweiten-Verhaltnis 397 Vandermonde 377, 378 Zeitableitung 378 Zeitbereich 354 Zeitintegration, bedingt stabil 398 - direkte 370 - explizite 383, 399 - Fortpflanzungs-Gesetz 396, 403 - Fortpflanzungs-Matrizen 396, 403 - Genauigkeit 401 - Gewichtungsfaktoren 391 - implizite 383 -

-

529

Interpolations-Matrizen 376, 379, 380, 390 - kombinierte Verfahren 389 - Stabilitat 395 - Stabilitatsbedingung 398 - ubertragung 384 - ~ b e r t r a ~ u n ~ s m a t r 385, i x 387, 391 - unbedingt stabil 399 Zeitintegrations-Verfahren 370 Zeitintegrations-Verfahren, ideales 402 Zeitpunkt, diskreter 372 Zeitschritt-Algorithmen 371 Zeitschrittweite 371 Zeitverlaufe 318 Zentrales Differenzen-Verfahren 372, 379; 382, 408 Zentrifugalkraft 505 Zusammenbau 293 Zusatzarbeit 439, 442 Zusatzbedingungen 435 Zusatzbedingungen, Transformation 436 Zustand, stationarer 351, 354 Zwangsbedingungen 436 Zwangsbedingungen, ijbergangsElemente 220 Zweifeld-Model1 271 zyklische Matrizen 463 zyklische Symmetrie 461 Zylinderkoordinaten 498 -