Finite Elemente in der Strukturmechanik

Finite Elemente in der Strukturmechanik

Johannes Wissmann · Klaus-Dieter Sarnes

Finite Elemente in der Strukturmechanik Mit 150 Abbildungen und 11 Tabellen

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† Professor Dr.-Ing. Johannes Wissmann em. Technische Universität Darmstadt Fachbereich Maschinenbau

Dr.-Ing. Klaus-Dieter Sarnes Niddastraße 24 65428 Rüsselsheim e-mail: klaus-dieter [email protected]

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ISBN-10 3-540-61836-8 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-61836-2 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨ utzt. Die dadurch begr¨ undeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨ altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨ altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨ assig. Sie ist grunds¨ atzlich verg¨ utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨ aren und daher von jedermann benutzt werden d¨ urften. Satz: Reproduktionsfähige Vorlage der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt und Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: medionet AG, Berlin Gedruckt auf s¨ aurefreiem Papier

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Die Finit-Element-Methode (FEM) hat sich seit den Anfangen Mitte der funfziger Jahre des letzten Jahrhunderts zu einem auf breiter Basis eingesetzten Standardwerkzeug des Ingenieurs bei Berechnungsaufgaben entwickelt. Strukturmechanische Fragestellungen decken dabei nur einen Teilbereich der moglichen Anwendungen ab. Die Entwicklung und Anwendung der FEM ist eng verknupft mit der Entwicklung der Computertechnologie: Durch die kontinuierliche Steigerung der Rechnerleistung wird die Bearbeitung immer komplexerer Problemstellungen durch den erfahrenen FE-Anwender moglich. Auf der anderen Seite wird die Finit-Element-Methode immer mehr in die Breite getragen. Dies wird einmal durch die Verfugbarkeit einfach zu handhabender Finit-Element-Programmsysteme begunstigt, die teilweise an CAD-Programme angekoppelt sind, zum anderen spielt auch die kostengunstige Verfiigbarkeit von ausreichender Rechnerleistung eine Rolle. wie sie zur Losung von Standardaufgaben benotigt wird. Die Zielsetzung dieses Buches ist die Einf'uhrung in die grundlegenden Ideen, Formulierungen, Schreibweisen und Algorithmen der Finit-Element-Methode, wobei hier die Strukturmechanik den Anwendungsschwerpunkt darstellt. Von den allgemeinen, nichtlinearen Formulierungen ausgehend werden die Beziehungen zumeist linearisiert dargestellt, eine Ausnahme hiervon bildet die geometrische Nichtlinearitat. Die durchgangige Verwendung der Indexschreibweise und die Darstellung eines verallgemeinerten Interpolationskonzeptes sind bemerkenswerte Besonderheiten dieses Buches. Neben der Indexschreibweise und dem Interpolationskonzept wird die Losung von linearen Gleichungssystemen und des Eigenwertproblems dargestellt. Es folgt dann die Definition von Dehnungen und Spannungen sowie von Materialgesetzen. Die Verknupfung dieser Grol3en iiber Erhaltungssatze wird anschlieBend dargestellt. Zunachst wird die Methode von unten her entwickelt: ausgehend vom Einzelelement wird die Vorgehensweise zum Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix beschrieben. ~ b l i c h eKontinuumsund Strukturelemente werden vorgestellt, wobei auch auf die isoparametrische Transformation fur komplexe geometrische Bereiche eingegangen wird. Dann folgt die Entwicklung der Methode aus ubergeordneten Formu-

VI

Vorwort

lierungen wie der virtuellen Arbeit oder partiellen Differentialgleichungen. Stationare Vorgange wie Eigenschwingungen und erzwungene Schwingungen beschreiben die Dynamik, in der auch die direkte Zeitintegration behandelt wird. Es folgen Modifikationen eines FE-Modells auf Strukturebene, die eine nachtragliche Berucksichtigung zusatzlicher Anforderungen erlauben. AbschlieBend folgt die Formulierung von Element-Typen fur spezielle Anwendungen. Dieses Buch richtet sich an Studierende von Ingenieurswissenschaften im Hauptstudium, die sich in die Grundlagen der Finit-Element-Methode am Beispiel der Strukturmechanik einarbeiten wollen. Dies ist auch gultig fur Doktoranden verschiedener Fachrichtungen und fur Praktiker, die auf diesem Gebiet arbeiten. Nach seiner Emeritierung 1996 hat Johannes Wissmann die Arbeit an diesem Buch begonnen, das in weiten Teilen den Inhalt seiner Vorlesungen ,,Finit-Element-Methoden I+IIcc widerspiegelt: die e r seit 1967 am Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universitat Darmstadt gelesen hat. Anfang 1998 hat e r mich als Mitautor hinzu gezogen. Bis zu seiner schweren Erkrankung im Herbst desselben Jahres sind die Kapitel 1 bis 4 intensiv uberarbeitet worden. Kurz vor seinem Tod im Fruhjahr 1999 hat mich Johannes Wissmann gebeten, dieses Buch fertig zu stellen. So sind die Kapitel 5 bis 7 von mir uberarbeitet worden, wobei der Abschnitt 6.6 zur direkten Zeitintegration teilweise neu geschrieben werden muBte. Das Kapitel 8 war bis auf den kurzen Abschnitt uber hybride Elemente ebenfalls neu zu erstellen. Im Rahmen dieser Arbeiten sind Erganzungen in den Kapiteln 1 und 2 erforderlich gewesen. An dieser Stelle mochte ich Frau Ursula Wissmann fur den Langmut danken, den sie bis zur Fertigstellung des Buches ihres Mannes bewiesen hat. Auch dem Springer-Verlag danke ich fur die Geduld und die angenehme Zusammenarbeit . Russelsheim, im Juni 2005

Klaus-Dieter Sarnes

Inhaltsverzeichnis

I. Mathematische Grundlagen 1.1 Indexschreibweise 1. l . 1 Einige Festlegungen 1 . 1 . 2 Matrizen 1 . 1 . 3 ubungen

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Definitionen Matrizenalgebra Falksches Schema ~bermatrizen ubungen

1.3 Cartesische Tensoren 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

Koordinatensysteme Koordinatentransformation Tensortransformation Tensoralgebra ubungen

1.4 Lineare Gleichungen 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 1.4.7 1.4.8 1.4.9

Lineare Abhangigkeit Inhomogene Gleichungssysteme Dreieckszerlegung Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen Inversion Vereinfachung fur symmetrische Matrizen Iterative Losung Homogene Gleichungssysteme ubungen

1.5 Interpolation 1 . 5 . 1 Formfunktionen 1 . 5 . 2 Standardformeln

VIII

Inhaltsverzeichnis

1. 5 . 3 Produktformeln 1 . 5 . 4 ubungen

1.6 Numerische Integration 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1. 6 . 6 1.6.7

Integrationsformeln Momentengleichungssystem Optimale Formeln Standardformeln Produktformeln Genauigkeit ubungen

1 .7 Lineares Eigenwertproblem 1. 7 . 1 Eigenwerte 1 . 7 . 2 Eigenvektoren 1 . 7 . 3 Hauptachsen-Transformation 1 . 7 . 4 Reelle Losungen 1 . 7 . 5 Determinanten-Suchverfahre~~ 1.7.6 Inverse Vektoriteration 1. 7 . 7 Jacobi-Algorithmus 1 . 7 . 8 ubungen

2. Mechanische Grundlagen 2.1 Definitionen 2 . 1 . 1 Aufiere Ebene 2 . 1 . 2 Innere Ebene 2 . 1 . 3 Formanderungsebene 2 . 1 . 4 ubungen

2.2 Elastizitatsgesetz 2 . 2 . 1 Steifigkeit 2 . 2 . 2 Nachgiebigkeit 2 . 2 . 3 ubungen

2 . 3 Erhaltungssgtze 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

Prinzip der virtuellen Verschiebungen Prinzip der virtuellen Krafte Gleichgewicht und Kontinuitat ubungen

Inhaltsverzeichnis

3, Lineares FE-Model1 3.1 Aufbau 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3 . l .4 3.1.5

Elemente Richtungstransformation Koinzidenz Doppelindizierung ubungen

3 . 2 Losung 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6

Randbedingungen Auflosung Losungsalgorithmen Elimination S t a r r e Auflager ubungen

3.3 Berechnungsablauf 3 . 3 . 1 ubungen

4. Einfache finite Elemente 4.1 Herleitungen 4 . 1 . 1 Allgemeine Elemente 4 . 1 . 2 Kontinuum-Elemente

4.2 Lagrange-Elemente 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.6

Simplex-Elemente Hohere Simplex-Elemente Produkt-Elemente Serendipity-Elemente ubungen

4.3 Kirchhoff-Elemente 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

Standard-Balken-Element Balken-Element mit Streckenlast Platten-Elemente ubungen

4.4 Isoparametrische Elemente 4 . 4 . 1 Koordinatensysteme 4 . 4 . 2 Integration in krummlinigen Koordinaten

IX

X

Inhaltsverzeichnis

4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6

Isoparametrische Transformation Berechnung Degenerierte Elemente ubungen

5. Finit-Element -Modelle 5 .I Virtuelle Arbeit 5 . 1 . 1 Globale Diskretisierung 5 . 1 . 2 Geometrisch nichtlineares Model1 5 . 1 . 3 Linearisiertes Modell 5 . 1 . 4 Erweiterte Modelle 5 . 1 . 5 Lineare Mehrfeld-Modelle 5 . 1 . 6 ubungen

5.2 Partielle Differentialgleichungen 5 . 2 . 1 Extremalprinzipien 5 . 2 . 2 Gewichtete Residuen 5 . 2 . 3 ubungen

5.3 Losung 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6

Lokale Diskretisierung Randbedingungen Patch-Test Konvergenz Fehlerabschatzung Numerische Fehler

6. Lineare Dynamik 6.1 Bewegungsgleichung 6.2 Massen-Matrizen 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7

Konsistente Element-Massenmatrizen Konzentrierte Element-Massen Lagrange-Elemente Kirchhoff-Elemente Richtungstransformation Gesamt-Massenmatrix ubungen

Inhaltsverzeichnis

6.3 Dampfungsmatrizen 6.4 Eigenschwingungen 6 . 4 . 1 Ungedampfte Eigenschwingungen 6 . 4 . 2 ubungen

6.5 Erzwungene Schwingungen 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5

Eingeschwungener Zustand Randbedingungen und Losung Ungedampfte Schwingungen Phasengleiche Erregung ubungen

6.6 Direkte Zeitintegration 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6 6.6.7 6.6.8 6.6.9

Einfiihrendes Beispiel Interpolation in der Zeit Randbedingungen und Losung ubertragung Zusammengesetzte Verfahren Stabilitat Genauigkeit Standard-Verfahren ubungen

7. Struktur-Techniken 7.1 Kondensation 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7 . l .4 7.1.5 7.1.6

Transformation Statische Kondensation Dynamische Kondensation Modale Kondensation Modale Synthese ubungen

7 . 2 Zusatzbedingungen 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4

Transformation Lagrange-Multiplikatoren Straf-Funktionen ubungen

7.3 Regelmaige Strukturen 7 . 3 . 1 Zusammenbau

XI

XI1

Inhaltsverzeichnis

7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.3.6 7.3.7 7.3.8 7.3.9

Charakteristisches Eigenwertproblem Transformation Losung Verallgemeinerung Spiegelsymmetrie Zyklische Symmetrie Rotations-Symmetrie

bunge en

7.4 Belastungen 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Innere Belastungen Losung und Riickrechnung Warme-Dehnungen

bunge en

8. Element-Techniken 8.1 Erweiterte Ansatze 8 . 1 . 1 Hybride Elemente 8 . 1 . 2 Hierarchische Elemente 8 . 1 . 3 bunge en

8 . 2 Strukturabhangige Ansatze 8 . 2 . 1 Axialsymmetrische Elemente 8 . 2 . 2 Infinite Elemente 8 . 2 . 3 bunge en

Index

1. Mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel sind die wichtigsten Grundlagen der numerischen Mathematik zusammengestellt, die fur das Verstandnis und die Anwendung der Methode der finiten Elemente benotigt werden. Fiir den Anfang geniigt es, die ersten drei Abschnitte durchzuarbeiten: die Indexschreibweise, die symbolischen Matrizen und die Cartesischen Tensoren. Die Notwendigkeit zur Erarbeitung des ubrigen Stoffes ergibt sich dann beim Fortschreiten durch die einzelnen Kapitel. Die Reihenfolge der Abschnitte entspricht diesem Bedarf. Das recht umfangreiche Kapitel uber die mathematischen Grundlagen ersetzt keinesfalls ein Lehrbuch uber numerische Mathematik. D e r Stoff ist sehr einseitig an die Erfordernisse der Methode der finiten Elemente angepaBt. Auch sind viele Beweise weggelassen, da die numerische Mathematik hier nur ein Mittel zum Zweck der Losung anfallender Probleme ist. Der Zwang, sich fur Nicht-Mathematiker verstandlich auszudrucken, hat andererseits zu einigen uberraschenden Formulierungen und Herleitungen gefuhrt, die man so nicht in der von den Traditionen starker beeinflufiten Literatur findet. Die Gewichtung des Stoffes ist sehr unterschiedlich. Zum Beispiel wird den direkten Auflosungsalgorithmen fiir lineare Gleichungssysteme ein verhaltnismafiig breiter Raum gewidmet, um den Leser exemplarisch an die Problemstellung von Algorithmen heranzufuhren. Eine vergleichbar breite Darstellung des um einiges komplizierteren Eigenwertproblems wiirde zeitlich und raumlich den Rahmen sprengen, der hier zur Verfiigung steht. Um den Zusammenhang zwischen Problem und Problemlosung deutlicher zu machen, werden manche mathematischen Details erst spater bei den Anwendungen behandelt. Dies sollte im Interesse einer grofieren Flexibilitat wohlwollend toleriert werden.

1.1 Indexschreibweise Indizes werden benutzt, um gleichartige GroBen in einer sinnvollen Weise zu ordnen. Ein System von drei linearen Gleichungen sei zum Beispiel:

2

1. Mathematische Grundlagen

Hierin sind a bis i die Koeffizienten, r , s, t die rechten Seiten und x?y , z die Unbekannten. In Indexschreibweise druckt man dies so aus:

Nachdem man das Gleichungssystem soweit geordnet hat, kann man alles zusammenfassen in:

Diese Schreibweise ist nicht nur kompakter als die vorher gebrauchte, sie ist auch allgemeiner. Lediglich durch Andern der Indexbereiche macht man aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten so viele oder so wenige wie benotigt werden. Als zweites Beispiel wird ein Koordinatensystem x, y , z definiert. D a es sich um drei Achsen desselben Koordinatensystems handelt, ist es sehr praktisch, anstelle von drei Namen nur einen zu gebrauchen wie x und die Achsen durch einen Index i zu unterscheiden. Alle drei Achsen werden dann durch xi, ( i = 1 , 2 , 3 ) angesprochen. Nachdem dies geschehen ist, ist es auch sehr einfach, zum Beispiel Krafte, die parallel zu den drei Achsen wirken, mit Fi zu bezeichnen, anstelle der umstandlichen Schreibweise Fx, F und FZ. Hier sind die tiefgestellten Symbole x, y und z Modifizierer Y der Variablen F, denen im Gegensatz zu einem Index kein Zahlenwert zugewiesen wird. Oft benutzte Modifizierer treten zum Beispiel auf in Ne fiir eine effektive Leistung oder in vo fur eine Anfangsgeschwindigkeit. Jede beliebige Folge kann durch einen Index gezahlt werden. In dem Fachwerk von Bild 1 . 1 sind die Knoten numeriert. Die daran angreifenden Krafte sind parallel zu den Koordinatenachsen xl und x 2 . Samtliche Krafte konnen dann in Fip zusammengefaBt werden.

1.1 Indexschreibweise

3

Bild 1.1: Nach Richtung und Ort indizierte Krafte an einem Fachwerk.

1.1.1 Einige Festlegungen Eine typische Gleichung in Indexschreibweise ist 3

C

a.. . b.

j = 1 1J

~k =

cik

Mit a , b und c sind die Namen der indizierten GroBen des Beispiels gemeint. Im Zusammenhang mit einer gegebenen Berechnung liegen diese Namen fest. Die Namen i, j und k der Indizes dagegen sind nur zur Angabe der Verknupfung in dieser Gleichung da. Exakt dieselbe Gleichung schreibt man hin, wenn man an ihrer Stelle zum Beispiel r, s und t verwendet. Es ist ein haufig von Anfangern begangener Fehler, die Namen der Indizes mit dem Variablennamen zu verknupfen, das heiBt, fiir ihn ist a , etwas anderes als a i j . Es kommt zwar haufig vor, daB bestimmte Namen fur Indizes wie hier zum Beispiel i , j und k in bestimmten Zusammenhangen bevorzugt werden, doch dient dies lediglich dem leichteren Erkennen. D e r Multiplikationspunkt wurde nur deshalb hingeschrieben, um zu verdeutlichen, daB eine Multiplikation gemeint ist. Wie beim Schreiben von nichtindizierten Gleichungen laBt man ihn normalerweise weg. Die Verknupfung der indizierten GroBen a und b ist durch die Stellung der Indizes beschrieben. Daran andert sich nichts, wenn man in der obigen Gleichung bjk vor aij setzt. Sie bezieht sich auf einzelne Zahlen und da ist es bekanntlich gleichgiiltig, ob man a ma1 b schreibt oder b ma1 a (kommutatives Gesetz). Hiermit ist keinesfalls gesagt, daB man in obiger Gleichung a mit b vertauschen darf, ohne die zugehorigen Indizes mitzunehmen! Zu einer indizierten GroBe gehort immer die Angabe des Indexbereiches. Diese erfolgt im allgemeinen durch einen Zusatz in Klammern. D a die Indizes nur ganze Zahlenwerte annehmen sollen, genugt die Angabe uber den Anfang, das Ende und Schrittweite der Zahlung. Von seltenen Ausnahmen abgesehen ist die Schrittweite gleich eins; sie wird dann nicht e x t r a angegeben. Sol1 ein Index i die W e r t e von 1 bis n luckenlos durchlaufen, dann genugt die Angabe ( i =1... n ) . Die vollstandige Angabe ( i = I :. . . , n)

4

1. Mathematische Grundlagen

wird ebenso wenig verwendet wie die abgekurzte ( i = l , n ) , die schon insofern unpraktisch ist, als man das Komma auch benutzt, um Lucken anzugeben. Zum Beispiel bedeutet ( i =1 , 3 , 7 . .. l o ) . daB i die W e r t e 1 , 3 , 7 bis 1 0 zugewiesen bekommt. D a die Angabe der Bereiche von immer wiederkehrenden Indizes oft lastig ist, beschrankt man sich vielfach darauf, die vollstandige Aufzahlung nur an den wichtigsten Stellen zu machen. Die fehlende Information muB dann aber aus dem Zusammenhang ersichtlich werden. In dem Beispiel wurde der Bereich des Index j in der traditionellen Weise in Verbindung mit dem Summenzeichen angegeben. Diese Schreibweise ist unnotig umstandlich. Im folgenden werden deshalb die Bereiche von Summationsindizes zusammen mit den ubrigen aufgefiiihrt. Lediglich die Summationsindizes selbst bleiben bei dem Summenzeichen. Aus dem Beispiel wird damit

C j

a.. b. 1J

Jk

=

cjk

Wie in diesem Beispiel auch, treten Summationsindizes fast immer paarweise auf. In der Einsteinschen Summenkonvention wird deshalb vereinbart, dal3 Indexpaare immer Summationsindizes sein sollen. Danach konnen die Summenzeichen ganz weggelassen werden. Obwohl diese Konvention sehr praktisch ist, sol1 sie hier nicht angewendet werden. Dies hat zwei Grunde: Erstens werden hier im Unterschied zur Tensorrechnung haufiger auch nicht paarweise auftretende Summationsindizes vorkommen und zweitens ist das Weglassen der Summationszeichen gefahrlich. Nur allzu oft vergessen Anfianger, daB uberhaupt Summen vorkommen ! Es ist mehr die Ausnahme als die Regel, daB in einer Gleichung nur eine Summe vorkommt. Im folgenden Beispiel

wird die innere Summe iiber k getrennt von der auBeren uber j ausgefuhrt. Nichts anderes ist beabsichtigt, wenn man beide Summenzeichen nach vorne holt.

Eins der beiden Summenzeichen ist uberflussig und man schreibt kurzer

~ b e rdie Reihenfolge; in der die Summen auszufuhren sind; ist nichts ausgesagt. Da ist auch nicht notig, weil sie keinen EinfluB auf das Ergebnis

1.1 Indexschreibweise

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hat. Allenfalls kann sie den Rechenaufwand beeinflussen. Somit ist es gleichgultig, in welcher Reihenfolge die Summationsindizes unter dem Summenzeichen aufgefuhrt werden: Anstatt j ; k kann es auch k, j heiBen. Das Komma zur Trennung der Summationsindizes ist nur zur besseren Lesbarkeit da. Man kann es auch weglassen. Es ist durchaus moglich, in Indexschreibweise in sich widerspruchliche Gleichungen zu konstruieren. Zum Beispiel kann die Anweisung

nicht ausgefuhrt werden, weil es auf der linken Seite heiBt, dal3 i in der Summe alle ihm zugewiesenen W e r t e durchlaufen soll, wahrend es rechts fest steht. D e r Index i auf der linken Seite ist ein sogenannter stummer Index; der nicht im Ergebnis der Operation auftauchen kann. Rechts ist e r dagegen als freier Index angefuhrt, der alle in seinem Bereich liegenden W e r t e einzeln annehmen kann; fur jeden W e r t entsteht eine eigene Gleichung. Die freien Indizes auf beiden Seiten einer Gleichung mussen nicht gleich sein: wie folgendes einfache Beispiel zeigt. a . = O .

Hiermit ist ausgesagt, daI3 alle W e r t e von ai gleich sein sollen und zu null werden. Eine ))laBliche Sundecc ist es; den Namen eines stummen Index in einer Gleichung mehrmals zu gebrauchen.

Sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite sollen die Indizes i die W e r t e 1 bis n unabhangig voneinander durchlaufen. Es ist nicht nur der Mange1 an verfugbaren Buchstaben, der solche Situationen begunstigt, auch eine beabsichtigte Zusammenfassung

kann der Grund sein. Anstelle von Summenzeichen w e r d e n a n einigen Stellen Produktzeichen auftreten. Die eingefuhrten Konventionen gelten unverandert a u c h f u r diese. Z u m Beispiel e r h a l t m a n anstelle von

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1. Mathematische Grundlagen

die weniger umstandliche und kurzere Form (wenn man die Angabe des Indexbereiches nicht mitrechnet)

1.1.2 Matrizen Indizierte GroBen wie ai , bij oder cijk beschreiben geordnete Zahlentafeln, fur die wir die Bezeichnung Matrix wahlen wollen. Die Zahl der Indizes gibt die Stufe der Matrix an, die, bezugnehmend auf eine raumliche Anordnung, auch als Dimension bezeichnet wird. Die in einer Matrix enthaltenen Zahlen bezeichnet man als Koeffizienten, Elemente oder auch als Glieder. Ein bestimmtes Element der Matrix bij ist dann zum Beispiel b 3 5 . Durch Kommas oder Zwischenraume trennt man die Zahlenwerte der Indizes nur dann, wenn sich die Notwendigkeit ergibt zum Beispiel bei mehrstelligen Zahlen wie in b3,17 oder b3 17. Ein Komma zwischen den Indizes kann allerdings auch noch die Bedeutung einer Ableitung annehmen, wie in ( 1 . 5 2 ) angefuhrt. Die Griine einer Matrix wird durch die Indexbereiche beschrieben. Gilt zum Beispiel i = 1... m ; j = 1... n : k = 1 . . . p , dann ist cijk eine ( m .n .p)-Matrix. Fur das Ausschreiben von Matrizen haben sich einige Standardanordnungen eingeburgert, die sowohl platzsparend als auch sehr iibersichtlich sind. Eine Matrix erster Stufe kann man als Zeilenmatrix

a. = [ al a2 a 3 ... am 1

(1.1)

oder als Spaltenmatrix

schreiben. Welche Anordnung man wahlt, ergibt sich aus dem Zusammenhang oder aus Platzgrunden. Die Standardanordnung fiir eine Matrix zweiter Stufe ist:

1.1 Indexschreibweise

7

Mit dem ersten Index werden die Z e i l e n , mit dem zweiten die Spalten gezahlt. Wenn die Zahl der Zeilen und Spalten gleich ist, spricht man von einer quadratischen Matrix, sonst von einer Rechteckmatrix. Bei Matrizen hoherer Stufe wird das Hinschreiben problematisch, da man nicht uber ein Schreibmedium verfugt, das die notwendige Dimension besitzt. Eine Moglichkeit ist es, jeweils nur zwei Indizes variabel zu lassen und die anderen konstant zu halten. Zum Beispiel kann man alle Koeffizienten einer ( 2 . 3 . 3 ) -Matrix in folgender Anordnung hinschreiben:

Oft ist es jedoch besser, mehrere Indizes zu einem Zeilen- oder Spaltenindex zusammenzufassen und dann die Anordnung einer Matrix zweiter Stufe zu benutzen. Vereinigt man den zweiten und dritten Index des Beispiels: dann kann man schreiben:

Um MiBverstandnisse zu vermeiden, sollten die W e r t e der Indizes an den Rand der Matrix geschrieben werden. In elektronischen Rechenanlagen w e r d e n die Elemente von M a t r i z e n ublicherweise sequentiell, das heiRt eindimensional, gespeichert. Hierbei wird der erste Index zuerst, der zweite danach, der dritte als nachster U.S.W.variiert, so daR eine fortlaufende Folge entsteht. Die Speicheradressen S b e r e c h n e n sich dann aus:

Diese Speicheradressen k a n n m a n direkt im Programm ansprechen. M a n wird es jedoch n u r dann t u n , w e n n es auf h o h e Rechengeschwindigkeit i n Verbindung mit besonderen Speichertechniken z u m Beispiel f u r symmetrische M a t r i z e n ankommt. F u r den Normalfall stellen die gangigen Programmiersprachen m e h r f a c h indizierte Variable i m Format von A( I ) , A( I , J ) und A( I , J , K ) U.S.W.z u r Verfugung.

Matrizen konnen eine Reihe von formalen Eigenschaften besitzen, von denen die wichtigsten im folgenden angegeben werden sollen. Eine Symmetrie liegt vor: wenn man zwei Indizes miteinander vertauschen kann, ohne daB sich der W e r t der Elemente andert. D e r Modellfall hierfur ist

8

1. Mathematische Grundlagen

a . . = a..

;

J'

1J

( i ,j

=

1... n ) .

(1.5)

Voraussetzung ist naturlich, dafl die Matrix quadratisch ist. Abwandlungen dieser Symmetrie sind in den folgenden Beispielen angefuhrt.

a.. 1Jk a .

=

a.

.

1k-l

=

a . . = a..

1Jk

1kJ

J l k

= a

a

'

klij

ijkl

Im ersten Beispiel sind der zweite und der dritte Index durch die Symmetrie miteinander verbunden. Im zweiten sind alle Indizes an der Symmetrie beteiligt, so daB man von einer vollstandigen Symmetrie spricht. Das letzte Beispiel zeigt eine Symmetrie, die sich auf den Austausch von jeweils zwei Indizes bezieht. Das Gegenstuck zur Symmetrie ist Antisymmetrie. Der Modellfall ist

a..

=

-

1J

a..

;

die Schiefsymmetrie oder

( i , j = l...n) .

auch

(1.6)

J1

Dies kann wiederum nur fur eine quadratische Matrix gelten. Abwandlungen hiervon ergeben sich genau so wie bei der Symmetrie. Eine zwangslaufige Folge einer Schiefsymmetrie ist es, dafl die Diagonalkoeffizienten zu null werden.

a.. 11

=

0

;

( i = l...n )

(1.7)

Die folgenden Aussagen beziehen sich auf die Besetzung von Matrizen. Die Modellfalle ergeben sich wieder f i r Matrizen zweiter Stufe. Verallgemeinerungen fiir hohere Stufen sind moglich. Eine obere Dreiecksmatrix liegt vor, wenn folgende Bedingung erfullt ist

'

Nichtverschwindende Elemente konnen nur die im Beispiel mit x markierten Felder besetzen.

[: ] X

X

X

X

Das Gegenstuck hierzu ist die untere Dreiecksmatrix

a.. *J

=

0

;

( i , j = l...n ; i < j ) .

Die nichtverschwindenden Elemente liegen dann im unteren Dreieck. Fur eine Bandma trix gilt :

(1.9)

1.1 Indexschreibweise

9

(Die Funktion abs bezeichnet den Absolutwert; sie wird benutzt anstelle der sonst ublichen senkrechten Striche, um Verwechslungen mit anderen Zeichen zu vermeiden). Der Bandbreitenparameter m ist eine ganze Zahl zwischen null und n - 1. Die Besetzung einer Bandmatrix f ~ i rm = 1 zeigt die folgende Darstellung.

Die Bandbreite ist 2m + 1 , also in diesem Beispiel gleich drei. Fiir den Grenzfall m = 0 erhalt man eine Diagonalmatrix, in der nur die Diagonalelemente aii ungleich null sind. Die Diagonalmatrix, deren Elemente samtlich eins sind, bezeichnet man als Einheitsmatrix oder als Kronecker-Delta. Die zweite Bezeichnung stammt aus der Tensorrechnung. Die Definition ist

Diese Verallgemeinerung der Zahl eins wird sehr haufig benutzt. Weniger oft trifft man auf eine andere: das Permutationssymbol oder auch e-System. Es ist definiert als der vollkommen schiefsymmetrische Einheitstensor.

e

i l i2...in

wenn il bis in eine gerade Permutation der Zahlen 1 bis n ist; 1 wenn i bis in eine ungerade Permutation der Zahlen 1 bis n ist; 0 wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.

=

+ 1

=

-

=

(il,i2 ... in = I ...n) Ausgeschrieben fur n

=

2 und 3 erhalt man

1

I

(1.1 2 )

10

1. Mathematische Grundlagen

1.1.3 ubungen u b u n g 1.1: Schreiben Sie die folgenden Gleichungen aus:

Sind diese Gleichungen fiir beliebige linke Seiten widerspruchsfrei?

Berechnen Sie die Speicheradressen S nach (1.4) fiir die Koeffizienten von a) a U. . ; b) aijkl u b u n g 1.4: Es sei a) a . . U

=

; (i,j,k,l=1,2)

a .. oder b) a .. = J1

V

-

a .. . ~ b e r t r a ~ esich n diese Eigenschaften auf J1

Wieviele unabhangige, von null verschiedene Koeffizienten konnen die folgenden Matrizen enthalten a) a , . = a . . ; b) a . . U J1 U

=

-

aJ.1. ;

C)

aijkl

=

ajikl

=

aijlk - aklij

; ( i : j , k , l = 1.2) ?

u b u n g 1.6: Wie viele von null verschiedene Koeffizienten konnen i n einer a) schiefsymmetrischen Matrix, b) oberen Dreiecksmatrix, c) Bandmatrix zweiter Stufe in Abhangigkeit von n und m vorkommen?

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise Die in dem vorhergehenden Abschnitt eingefuhrte Indexschreibweise ist so universell, daB es an sich vollig uberflussig erscheinen konnte, noch eine weitere Schreibweise einzufuhren. Sie hat aber den Nachteil, daB bei komplizierteren Zusammenhangen die Unterscheidung zwischen Wichtigem und Unwichtigem verloren gehen kann. Das Wichtige sind die Variablennamen, also die Namen der Matrizen a, b und so weiter, das Untergeordnete die Indizes i, j und so weiter, die Auskunft daruber geben, wie die Matrizen in ihrem Inneren geordnet sind und wie sie miteinander verknupft werden sollen. Da in der Indexschreibweise alle Informationen ausgeschrieben werden, ist sie zudem aufwendig und beansprucht vie1 Platz. Aus diesem Grund gibt es eine Reihe von symbolischen Schreibweisen, die auf einer hoheren Abstraktionsebene angesiedelt sind und deshalb kiirzere und ubersichtlichere Darstellungen erlauben. Beispiele sind die Vektorschreibweise, die symbolische Tensorschreibweise und die hier vorgestellte symbolische Matrizenschreibweise. Gemeinsam ist diesen Notationen, daB sie jeweils nur fur einen bestimmten, eingegrenzten Anwendungsbereich eingesetzt werden konnen. Alle bedienen sich einer hoheren Algebra, die sich der unmittelbaren, das heiBt auf Zahlen bezogenen, Anschauung entzieht.

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

11

D a keine der symbolischen Schreibweisen einen ausreichenden Umfang besitzt, um alle hier benotigten Operationen problemlos abzubilden, konnte man sie samt und sonders verwerfen. Das ware zwar eine klare, aber extrem unpraktische Losung. Stattdessen wird folgender KompromiB gemacht: In der Regel wird die Indexschreibweise bevorzugt; die symbolische Matrizenschreibweise wird nur dann gebraucht, wenn es wegen der ~ b e r s i c h tangeraten ist. In der Fachliteratur findet man fast immer das umgekehrte Vorgehen. Dort wird die symbolische Matrizenschreibweise als Regel eingesetzt und die Indexschreibweise nur dann, wenn es sich nicht vermeiden laBt. Oberflachlich gesehen mag dies nebensachlich sein, ist es aber nicht. Eine Schreibweise farbt immer auch auf die Form und den Inhalt des Mitgeteilten ab. In der symbolischen Schreibweise konnen nur Matrizen zweiter Stufe direkt wiedergegeben werden. Hohere Stufen konnen nur auf Umwegen dargestellt werden. Dadurch wird der innere Aufbau der Gleichungen zum Teil erheblich gestort, weil Verknupfungen vorgetauscht werden, die nicht existieren. Dieses Buch enthalt viele erlauternde Beispiele. Zu ihrer ubersichtlichen Darstellung werden die fur die Handrechnung so vorteilhaften Anordnungen und Verkniipfungsregeln der symbolischen Matrizenschreibweise fast durchweg gebraucht. Schon deshalb ist es zwingend geboten, die Schreibweise zu beherrschen. Anders ist es bei der Erstellung von ComputerProgrammen. Sie erfolgt ausschlieBlich in indizierter Notation. Ausnahmen hiervon gibt es nur dann, wenn symbolische Programm-Pakete eingesetzt werden, urn den Programmier-Aufwand zu verringern. Dies stoBt allerdings sehr schnell an Grenzen, wenn es auf die Effizienz der erzeugten Programme ankommt.

1.2.1 Definitionen In der symbolischen Matrizenschreibweise gibt es drei verschiedene Klassen von Objekten: Skalare, Vektoren und Matrizen. In der Bezeichnungsweise von Abschnitt 1. l .2 sind dies die Matrizen nullter, e r s t e r und zweiter Stufe, also eine Untermenge aller moglichen Matrizen. D e r symbolische Charakter der Schreibweise besteht darin, die kennzeichnenden Indizes der Matrizen wegzulassen, dafur aber die Namen der Objekte so zu verandern, daB ersichtlich wird, was jeweils gemeint ist. Die gebrauchlichsten Schreibweisen benutzen Fettdruck oder besondere Klammern. Beide haben ihre Vorteile, so daB sie hier nebeneinander benutzt werden sollen. Fur die Skalare benotigt man keine besondere Kennzeichnung, da sie einfache Zahlenwerte darstellen. Sie werden wie bisher auch durch unveranderte Buchstaben angegeben. Ein fettgedruckter Kleinbuchstabe oder der EinschluB des Symbols in geschweiften Klammern signalisiert einen Vektor.

12

1. Mathematische Grundlagen

Die an dritter Stelle angegebene Anordnung der Koeffizienten ist schon von der Indexschreibweise in ( 1 . 2 ) bekannt. Wahrend sie dort als eine Moglichkeit angegeben wurde, ist sie hier verbindlich: Unter einem Vektor versteht man eine Spaltenmatrix, sonst nichts. An letzter Stelle in (1.1 3) erscheint die Entsprechung in Indexschreibweise. Ein fettgedruckter GroBbuchstabe oder ein EinschluB in eckigen Klammern kennzeichnet eine Matrix. -

A = [ a ] =

-

a 21 a 31

a 12 a 22 a32

a

am2 am3 ... amn-

all

-

ml

a13

... a 1 n

a 2 3 " ' a 2n a33

"'

a 3n

-

a.. ;

(1.14 )

1J

( i = l...m ; j =l . . . n )

Als Standardanordnung finden wir das Schema von ( 1 . 3 ) : D e r erste Index ordnet die Zeilen, der zweite die Spalten. Nur diese Anordnung ist in der symbolischen Schreibweise gemeint. An der letzten Stelle von ( 1 . 1 4 ) erscheint wieder das Aquivalent in Indexschreibweise. Das Schema beschreibt eine (m.n)-Rechteckmatrix oder, fur gleiche Zeilen- und Spaltenzahl, eine quadratische Matrix. Die bereits in Abschnitt ( 1 . 1 ) eingefiihrten Begriffe der Symmetrie und Schiefsymmetrie, der Dreiecks-, Band- und Diagonalmatrizen werden auch in der symbolischen Schreibweise benutzt. In manchen Veroffentlichungen finden sich besondere Formen fiir die Matrizenklammern, urn diese Eigenschaften auch auBerlich sichtbar zu machen. Anstelle des Kronecker-Delta von (1.1 1 ) wird in der symbolischen Schreibweise die Bezeichnung Einheitsmatrix benutzt.

I

=

[ I ]

=

1 0 ... 0

(1.15)

0 0 ... In der deutschsprachigen Literatur wird oft anstelle von I das Symbol E benutzt. Die Einheitsmatrix ist immer quadratisch.

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

13

Das Permutationssymbol e von ( 1 . 1 2 ) hat fur n groBer als zwei keine Entsprechung in der symbolischen Matrizenschreibweise, da es n Indizes verlangt. Andererseits gibt es eine Matrix, die nur in der symbolischen Schreibweise gebraucht wird: die Nullmatrix.

Diese kann die GroBe einer beliebigen (m.n)-Matrix haben.

1 . 2 . 2 Matrizenalgebra Nach der Definition der Objekte folgt nun die der sie verknupfenden Operationen. Es wird sich hierbei nur um das Aquivalent zu den vier Grundrechnungsarten der einfachen Zahlen und um einige Hilfsoperationen handeln. Hohere Matrizenfunktionen werden hier nicht behandelt. In den folgenden Definitionen findet man in der ersten Zeile jeweils die symbolische Schreibweise und darunter die Erklarung in Indexschreibweise. Jede Definition wird durch ein einfaches Zahlenbeispiel erganzt. D a sich die Vektoren wie Matrizen mit nur einer Spalte verhalten, werden sie nicht gesondert aufgefuhrt. Ein Vektor kann immer dort verwendet werden, wo einem Spaltenindex widerspruchsfrei der Bereich eins zugewiesen werden kann. Eine Identitat wird definiert durch:

Jedes Element der Matrix B ist gleich dem entsprechenden Element der Matrix A. Fur die Addition gilt:

Jeweils an derselben Stelle stehende Elemente von A und B werden addiert und das Ergebnis an die entsprechende Stelle in C gesetzt. Die Umkehrung zu dieser Operation ist die Subtraktion:

14

1. Mathematische Grundlagen

Die Multiplikation oder das Matrizenprodukt wird definiert durch:

Den Multiplikationspunkt laBt man wie auch beim Umgang mit Zahlen meistens weg. Eine verbale Beschreibung der Matrizenmultiplikation sol1 hier unterbleiben; sie wird in Abschnitt 1 . 2 . 3 nachgeholt. Wichtig ist vor allem. daB man sich die Stellung des Summationsindex merkt: Es ist der zweite Index der ersten Matrix und der erste der zweiten. Anders als in der Indexschreibweise kann man die Reihenfolge der Faktoren nicht beliebig umstellen. Von Ausnahmen (z.B. Diagonalmatrizen) abgesehen gilt namlich

Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ. Die vierte Grundrechnungsart der Zahlen ist die Division. Sie 1aBt sich jedoch nicht ohne weiteres auf die Matrizen ubertragen. Die Division einer Zahl a durch eine Zahl b ist dasselbe wie a ma1 bW1,wo 66' der Kehrwert von b ist. Ein Kehrwert laBt sich unter bestirnmten Umstanden auch fur eine Matrix definieren. Eine Inversion angewendet auf eine Matrix A liefert eine Kehrmatrix oder auch Inverse A-': die folgende Bedingungen erfiillt:

Eine Kehrmatrix ist nur fur eine quadratische Matrix definiert. 1st die Matrix singular, dann existiert die Kehrmatrix nicht. Dieser Begriff wird in Abschnitt 1 . 4 naher erlautert. In Analogie zu den Zahlen gilt ja auch, daB der Kehrwert von null nicht existiert. Existiert eine Kehrmatrix A - l ,

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

15

dann ist sie eindeutig durch A festgelegt und befriedigt sowohl die erste als auch die zweite Bedingung in ( 1 . 2 1). Zur Abrundung der Matrizenalgebra werden noch zwei Hilfsoperationen benotigt. Die skalare Multiplikation einer Matrix ist:

D e r Zahlenfaktor a kann vor oder hinter die zu multiplizierende Matrix gesetzt werden. In der Transposition werden die Zeilen einer Matrix zu Spalten oder, was dasselbe ist, die Spalten zu Zeilen gemacht. Die Reihenfolge bleibt unverandert.

Die Transposition wird durch das hochgestellte T ausgedruckt. Es ist kein Exponent. Eine Transposition ist immer dann erforderlich, wenn Indizes vertauscht werden mussen, um eine Operation der symbolischen Matrizenschreibweise anzupassen. In Indexschreibweise ist die Transposition uberflussig, es sei denn man wechselt zwischen den Schreibweisen hin und her. Es ist dann aT wie ein neuer Name zu behandeln. Aus der Definition der Matrizen und der Operationen ergeben sich eine Reihe von formalen Folgerungen. Die wichtigste und sinnfalligste ist die, daB die dilrch eine Operation miteinander verbundenen Matrizen in ihrer GroBe zusammenpassen mussen. Man kann nur Matrizen gleicher GroBe, einander gleichsetzen, addieren oder subtrahieren. Fur das Matrizenprodukt entnimmt man aus ( 1 . 2 0 ) ; daB die Spaltenzahl der linken Matrix gleich der Zeilenzahl der rechten sein muB. Man bezeichnet diese Matrizen dann als verkettbar. Die Operationen Inversion und Transposition besitzen einige gemeinsame Eigenschaften, die fur den Umgang mit ihnen wichtig sind. Es sei hier noch einmal daran erinnert, daB eine Inversion eine quadratische, nichtsingulare Matrix voraussetzt. Die zweimalige Anwendung der Inversion oder der Transposition fuhrt wieder zur Ausgangsmatrix:

16

1. Mathematische Grundlagen

Die Inversion oder Transposition eines Produktes kehrt dessen Reihenfolge um:

(A.~

1 - =l

B-1. ~

-

1

( A . B)T = B

~A . ~ .

( 1 . 2 5)

Die Operationen Inversion und Transposition sind miteinander vertauschbar:

Die Einheitsmatrix wird durch eine Inversion oder Transposition nicht verandert:

1-l

=

I~

=

1 .

(1.27)

Diese Regeln lassen sich relativ einfach aus den Definitionsgleichungen herleiten.

1 . 2 . 3 Falksches Schema Bevor die elektronischen Rechenanlagen zum Einsatz kamen, muBten die Matrizenoperationen mit mechanischen Rechenmaschinen ausgefuhrt werden. Die Zahlen wurden einzeln eingegeben, die beabsichtigte Operation ausgefuhrt und das Ergebnis notiert. Um einen gesicherten Ablauf zu gewahrleisten, wurden die Zahlen aus ubersichtlichen Tabellen abgelesen und auch so wieder abgelegt. Laufende Fehlerkontrollen waren unerlaBlich. Heute spielen diese Techniken keine besondere Rolle mehr. Nur noch kleine Beispiele wird man von Hand rechnen. Das kommt allerdings immer wieder vor, gleichgultig, ob man Anfanger oder alter Hase ist. Fur die manuelle Ausfuhrung der Matrizenmultiplikation von (1.20) leistet das Falksche Schema sehr gute Dienste. Man tragt die Koeffizienten der Matrizen A und B,wie i n Bild 1.2 gezeigt, i n entsprechend groRe Felder ein. Fur das Resultat C entsteht dann automatisch ein Feld der benotigten GroRe. Ein Koeffizient cik wird berechnet, indem man die Koeffizienten der i-ten Zeile von A paarweise mit den Koeffizienten der k-ten Spalte von B multipliziert, die auflaufenden Produkte summiert und das Endergebnis an den Schnittpunkt von Zeile i und Spalte k schreibt

Bild 1.2: Falksches Schema f u r die Matrizenmultiplikation. Das Falksche Schema kann sehr einfach f u r eine Multiplikation von mehreren Matrizen erweitert werden. Zum Beispiel konnen drei Matrizen in folgenden Anordnungen miteinander multipliziert werden:

1.2 Symbolische Matrizenschreibweise

17

1.2.4 ~bermatrizen Bisher wurde vorausgesetzt, daR die Elemente der Matrizen einzelne Zahlen sind. Nichts steht der Verallgemeinerung entgegen; Matrizen aufzubauen, deren Elemente selbst auch Matrizen sind. Solche Matrizen werden als ~ b e r -oder Hypermatrizen bezeichnet. Augenscheinlich ijffnet sich hier ein weites Feld von Verallgemeinerungen. Fur unsere Zwecke genugt es jedoch, ~ b e r m a t r i z e naus einfachen Matrizen durch Unterteilen von Zeilen und Spalten zu erzeugen. Zwischen den Unterteilungen entstehen so Untermatrizen, die zusammengenommen eine ~ b e r -oder Blockmatrix bilden. Das folgende Beispiel zeigt eine Unterteilung in sechs Untermatrizen:

A

=

Die Unterscheidung der Untermatrizen geschieht hier durch hochgestellte Indizes. Dies ist praktischer als die Verwendung von tiefgestellten Indizes, die mit den Elementindizes verwechselt werden konnten. Ein einzelnes Element ist zum Beispiel

Mit ~ b e r m a t r i z e nrechnet man genauso wie mit einfachen. D e r Unterschied ist lediglich, daB die Elementoperationen jetzt Matrizenoperationen sind, wie folgendes Beispiel zeigt.

Eine selbstverstandliche Voraussetzung fur die Zulassigkeit der Operation ist, daR die Untermatrizen in ihrer GroBe zusammenpassen.

1 . 2 . 5 ubungen u b u n g 1.7: Stellen Sie auf symbolische Matrizenschreibweise urn: a)a..=a.. ; b)a..+bji=c.. ; c)Ca..x.=bi ; d ) C a..bik=c U

J1

U

U

u b u n g 1.8: Stellen Sie auf Indexschreibweise um:

U

J

1J

ki

18

1. Mathematische Grundlagen

~ ) A ~ = -; A b ) a + b = c ; c ) x T ~ x = b; d ) A I A T = I . u b u n g 1.9: Es seien A eine (3.3)-, B eine (3.2)- und c eine (2.1)-Matrix. Sind die Operationen ausfuhrbar: a1A.B

; b1B.A

;

c ) c ~ * B ~ .; Ad ) A + B B c ?

I!]

u b u n g 1.10: Mit den Matrizen

A

[;

'1

; " - 1

; B = [

3 3

sollen folgende Ausdrucke berechnet werden: a)A.B

; b)B.A

; c)

~ * B ~ . A ~ . c

u b u n g 1.1 1: Schreiben Sie eine der Gleichungen (1.21) mit der Matrix

aus und berechnen Sie daraus die Kehrmatrix. u b u n g 1.1 2: Beweisen Sie die Behauptungen (1.25). u b u n g 1.13: Aus der Beziehung u = G ( p )

sol1 die gezeigte, teilweise umgekehrte Beziehung hergestellt werden. Ermitteln Sie die Untermatrizen ~~j unter der Voraussetzung, daR G2' invertierbar ist.

1.3 Cartesische Tensoren Tensoren sind mathematische Objekte, die bestimmte unveranderbare Eigenschaften besitzen. Diese Invarianzen konnen auf verschiedene Weise ausgedruckt werden. Ziel der Bemuhungen ist dabei immer, von der zufalligen Wahl eines Bezugssystems unabhangig zu bleiben. Als Bezugssysteme im engeren Sinne sollen hier Koordinaten gemeint sein, die einen geometrischen Raum definieren. Es gibt krumm- und gradlinige Koordinaten, schiefund rechtwinklige. Fur unsere Zwecke wird es geniigen, die gewohnten rechtwinkligen, gradlinigen Koordinaten zu benutzen oder, wie es in der Fachsprache heiBt, die orthogonal Cartesischen. Die hierauf bezogenen Tensoren bezeichnet man als Cartesisch. Erst bei einer sehr vie1 spater auftretenden Gelegenheit, bei den parametrisch verzerrten finiten Elementen, werden auch krummlinige Koordinaten gebraucht. D a hierbei aber

1.3 Cartesische Tensoren

19

immer ein gradliniges Koordinatensystem im Hintergrund steht, kommt man auch hier mit den Formulierungen fur Cartesische Tensoren zurecht. An sich ist es ein Widerspruch, Tensoren zu definieren, die sich nur auf eine bestimmte Auswahl von Koordinatensystemen beziehen. Das Ziel ist es ja gerade, eine Darstellung zu erzeugen, die von der Wahl eines Koordinatensystems unabhangig ist. Andererseits ermoglicht die Beschrankung auf orthogonal Cartesische Koordinaten eine derartige Vereinfachung in der Schreibweise und Handhabung, daB dieser Widerspruch gerne in Kauf genommen wird. Es gibt noch einen anderen Grund fur den Gebrauch gradliniger, allerdings nicht unbedingt rechtwinkliger Koordinaten: In der Methode der finiten Elemente werden, wie der Name sagt, Elemente von endlicher GroBe behandelt. Hierfur eignen sich gradlinige Koordinaten wesentlich besser als gekriimmte, weil die Metrik und die Krummung uber beliebige Langen konstant bleiben. In der Differentialgeometrie, einem der klassischen Anwendungsgebiete von krummlinigen Koordinaten, werden dagegen differentiell kleine Bereiche betrachtet. Tensoren konnen auf verschiedene Art dargestellt werden. Haufig trifft man auf die symbolischen Schreibweisen, die meistens eine Weiterentwicklung der Vektorschreibweise sind. Ihnen gemeinsam ist die Verdrangung der Koordinatensysteme in den Untergrund der Berechnungsvorschriften. Auf diese Weise entstehen hohere Algebren nach Art der symbolischen Matrizenschreibweise von Abschnitt 1 . 2 . Der Vorteil der symbolischen Darstellungen ist ihre Kompaktheit, ihr Nachteil ist die Schwierigkeit, auch fur Tensoren hoherer Stufe eine einfache und uberschaubare Menge von Operationen bereitzustellen. Nicht zuletzt deshalb haftet der Tensorrechnung auch heute noch der Geruch der ,,hoheren Mathematikc( an, deren Nutzen fur die praktische Anwendung zweifelhaft ist. Mit der Indexschreibweise ist uns bereits ein Werkzeug in die Hand gegeben, womit auch die Tensorrechnung vorzuglich beschrieben werden kann. Speziell in Anwendung auf Tensoren bezeichnet man dies auch als die analytische oder Koordinatenschreibweise. Im Gegensatz zu den symbolischen Schreibweisen werden hier Bezugs-Koordinatensysteme verwendet. Dies bedeutet keinesfalls, daB eine Abhangigkeit von der zufalligen Wahl eines Bezugssystems entsteht, denn es wird kein festes, sondern ein beliebiges System gewahlt. Das heiBt, an einer einmal festgelegten Beziehung wird sich nichts andern, wenn ein ubergang auf ein anderes Koordinatensystem vollzogen wird. Lediglich die Zahlenwerte andern sich. Zum Beispiel gilt das in tensorieller Form geschriebene Spannungs-Dehnungsgesetz

20

1. Mathematische Grundlagen

fur jedes Koordinatensystem. Nur wird zum Beispiel die Spannung nach Wahl des Bezugssystems verschiedene Zahlenwerte annehmen.

OI2

je

Durch die explizite Verwendung der Koordinatensysteme entfallt der von den symbolischen Darstellungen bekannte Unterschied zwischen einer Gleichung und ihrer Umsetzung in Rechenoperationen. Eine Tensorgleichung in Indexschreibweise ist zugleich auch ihre programmierbare Ausfuhrungsanweisung. Vor allem dem Nichtmathematiker kommt dies sehr entgegen. Wegen ihres einfachen Aufbaus ist die Indexschreibweise ,,nach oben offen((. Es konnen Tensoren beliebig hoher Stufe und beliebige raumliche Dimensionen verwendet werden, ohne besondere Vereinbarungen treffen zu mussen. Daruber hinaus konnen Tensoren zwanglos mit Nichttensoren gemischt werden, wie wir sie bereits in Abschnitt 1 . 1 . 2 als Matrizen kennengelernt haben. Die Notwendigkeit, derartige mathematische Stilbruche zu begehen, ergibt sich durch die praktische Anwendung.

1.3.1 Koordinatensysteme Ein Koordinatensystem ist ein Satz von Regeln, nach denen die Punkte eines Raumes geordnet werden. Wie oben schon gesagt wurde, wollen wir uns hier auf eine einfache geometrische Deutung beschranken. Ein Koordinatensystem wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet; meistens wird dies x sein.

x. ; ( i = l . . . c )

(1.28)

Durch den Index i werden die Koordinaten in einer Folge geordnet; ihre Zahl ist durch die Dimension c des Koordinatensystems gegeben. Haufig wird c gleich drei sein; es kommen jedoch auch zwei- oder eindimensionale Unterraume vor, so daB es zweckmaBig ist, eine variable Dimension zur Verfiigung zu haben. Die Festlegung auf eine bestimmte Dimension verfuhrt dariiber hinaus dazu, dimensionsabhangige Begriffe einzufuhren. Zum Beispiel besitzt der dreidimensionale Raum ebenso viele Ebenen wie Achsen. Nur deshalb konnten dort die bekannten Kreuzprodukte eingefuhrt werden, die sich auf die Drehachsen beziehen anstatt auf die Ebenen. Ein Koordinatensystem erzeugt ein Netz von Linien oder Flachen, fur die jeweils eine Koordinate konstant ist. Diese konnen gerade oder gekrummt verlaufen und sich in konstanten oder veranderlichen Winkeln schneiden. Bild 1 . 3 zeigt einige ebene Beispiele.

1.3 Cartesische T e n s o r e n

Schiefwinklig, krumrnlinig

Schiefwinklig, geradlinig

Rechtwinklig, krurnrnlinig

Rechtwinklig, geradlinig

21

Bild 1.3: Einige zweidimensionale Koordinatensysteme

Die allgemeinsten Koordinatensysteme sind die schiefwinklig-krummlinigen. Sie bilden die Grundlage der eigentlichen Tensorrechnung. Da aber der Aufwand fur das Erlernen erheblich ist und der Nutzen vergleichsweise gering, wollen wir uns hier auf die einfachsten Koordinatensysteme beschranken, namlich die rechtwinklig-gradlinigen, sprich die orthogonal Cartesischen. Einige kurze Ausfliige in die Welt der schiefwinkligen Koordinaten sollen nur dazu dienen, einige Begriffe, wie zum Beispiel die kletrik zu erklaren. In einer Metrik ist festgelegt, wie Langen und Winkel zu berechnen sind. Bild 1 . 4 zeigt eine Lange s mit ihren Projektionen auf die Achsen eines ebenen, orthogonal Cartesischen Koordinatensystems.

1

Bild 1.4: Projektionen si e i n e r Lange s i n e i n e m ebenen Koordinatensystem

Nach dem Satz des Pythagoras gilt hier

Verallgemeinert fur eine beliebige Dimension und mit dem Kronecker-Delta von ( 1 . 1 1 ) erhalt man daraus

22

1. Mathematische Grundlagen

In einem schiefwinkligen System hat man im Unterschied hierzu

Hierin ist gij der metrische Tensor des benutzten Koordinatensystems. Der Vergleich mit ( 1 . 2 9 ) zeigt, daB fiir ein orthogonal Cartesisches Koordinatensystem der metrische Tensor zum Kronecker-Delta wird.

1.3.2 Koordinatentransformation Eine der wichtigsten Eigenschaften von Koordinatensystemen ist, daB man sie transformieren kann. In Bild 1 . 5 ist eine ebene Koordinatentransformation dargestellt.

Bild 1.5: Zweidimensionale Koordinatentransformation ohne Nullpunktverschiebung.

xi.

Das Ausgangssystem ist x i , das transformierte Beide sollen orthogonal Cartesisch sein, dieselbe Dimension c besitzen und denselben MaBstab benutzen. Was immer in dem definierten Raum enthalten ist, bleibt unverandert, nur das Bezugssystem andert sich. Insbesondere bleibt die Lage von Punkten und die Lange von Strecken unverandert. Das Bild zeigt eine Koordinatendrehung. Eine Umkehrung der Achsenrichtungen, eine Spiegelung, ist ebenfalls moglich. Auf eine Verschiebung des Nullpunktes kann hier verzichtet werden. Das Transformationsgesetz ist nun

Die hierin benutzte Transformationsmatrix ist definiert durch

Sie ist konstant, da die Koordinatensysteme Cartesisch sind. Wie man Bild 1 . 5 entnimmt, sind die transformierten Koordinaten eines Punktes gleich den rechtwinkligen Projektionen auf die neuen Achsen. Daraus folgt

1.3 Cartesische Tensoren

23

Die Argumente des Cosinus sind die Winkel zwischen den positiven Richtungen von und xj. Fur die Dimension zwei ergibt sich daraus fur eine Drehung ohne Spiegelung mit dem in Bild 1 . 5 definierten Winkel cw

xi

cos ( 9 0 " + a )

cos ( 9 0 " - a ) ] cos cw

=

[

coscw - sin cw

sin cw cos cw

1

(1.33)

Sind die beiden Koordinatensysteme identisch, dann wird die Transformationsmatrix zur Einheitsmatrix. Mit ( 1 . 3 0) wird die Transformation von xj nach xi beschrieben. Die Umkehrung dieser Transformation wird geschrieben als

t.. 2J . . V

x. = C 1 j

c.

Die hier benutzte Transformationsmatrix ist zunachst noch nicht bekannt. 1J Durch Einsetzen von ( 1 . 3 0 ) erhalt man nach einer Umbenennung der Indizes Xi =

C j,k

-

t.. t. 1J

Jk Xk.

Dies wird auf einer Seite zusammengefaBt

Dieser Ausdruck hat die Form

Die xk sind frei wahlbar und die Koeffizienten aik hiervon unabhangig. Setzen wir zum Beispiel xl = 1 und alle anderen xk = 0;dann folgt ail = 0 fur alle i. Dasselbe kann man fur x 2 = 1 machen und bekommt a i 2 = 0 u.s.w. SchlieBlich hat man bewiesen, daB alle aik null sind. Inhaltlich ist diese Beweisfuhrung nichts anderes als der bekannte Koeffizientenvergleich von unabhangigen Variablen. Sie wird noch sehr haufig angewendet werden. W i r haben also gerade bewiesen, dal3

oder

C j

-

"

t.. t. = Jk

Sik.

24

1. Mathematische Grundlagen

Ein Vergleich mit ( 1 . 2 1 ) zeigt, daB die gesuchte Transformationsmatrix t.. 1J die Inverse der Transformationsmatrix tij ist. Die Umkehrung der Transformation ( 1 . 3 0 ) ist demnach

Fur den Fall, daB die Koordinatensysteme beliebig sind, sind samtliche Koeffizienten einer Transformationsmatrix unabhangig. Da die Koordinatensysteme und xj in ( 1 . 3 0 ) aber orthogonal Cartesisch sind, muB ein innerer Zusammenhang zwischen den Koeffizienten bestehen. Dies kann man schon ( 1 . 3 2) ansehen: Es existiert fur den ebenen Fall nur ein unabhangiger Parameter, der Lagewinkel a. Die sogenannten Orthogonalitatsbedingungen sind Ausdruck dieser Zusammenhange.

xi

Es sei s eine Lange in einem Koordinatensystem xi . siehe Bild 1 . 4 , und F dieselbe Lange bezogen auf ein Koordinatensystem Fiir die Quadrate gilt ebenfalls

xi.

Da beide Koordinatensysteme orthogonal Cartesisch sind folgt mit ( 1 . 2 9 )

Die Projektionen der Lange werden wie die Koordinaten transformiert. Mit ( 1 . 3 0) ergibt sich

Hier ist wieder eine Situation, wie bei ( 1 . 3 4): Die Langen s konnen beliebig verandert werden, so daB der hiervon unabhangige Term in Klammern null sein muB. Nach einer Umbenennung der Indizes folgt damit

Dies ist die gesuchte Orthogonalitatsbedingung. Hierzu gibt es noch zwei gleichwertige Formen, die je nach dem Zusammenhang von Nutzen sein konnen. Ein Vergleich mit ( 1 . 2 1 ) zeigt, daB wegen der Eindeutigkeit einer Kehrmatrix auch gelten mu8

t ,-.1 V

=

t..

; ( i , j = l...c)

JI

und damit folgt dann noch einmal aus ( 1 . 2 1 )

(1.36 )

1.3 Cartesische T e n s o r e n

25

Eine Transformationsmatrix, die die Beziehung zwischen zwei orthogonal Cartesischen Koordinatensystemen herstellt, wird abgekiirzt auch als orthogonale Transformationsmatrix bezeichnet. Sie hat die bemerkenswerte Eigenschaft ( 1 . 3 6 ) , daB ihre Inverse gleich ihrer Transponierten ist. Die hierzu gleichwertigen Formen ( 1 . 3 5) und (1.3 7) unterscheiden sich durch die Stellung der Summationsindizes: Einmal sind e s die jeweils ersten, dann die zweiten. ~ b e rdie D e t e r m i n a n t e ( A b s c h n i t t 1.4.1) e i n e r orthogonalen T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x g e w i n n t m a n e i n e Aussage z u r Z a h l der Spiegelungen i n e i n e r T r a n s f o r m a t i o n . Z u n a c h s t l i e f e r n ( 1 . 3 5 ) oder ( 1 . 3 7 )

w o r a u s u n m i t t e l b a r folgt

O f f e n s i c h t l i c h ist dies unabhangig v o n d e n W i n k e l n der T r a n s f o r m a t i o n . M a c h t m a n die b e i d e n Koordinatensysteme i d e n t i s c h , d a n n w i r d laut ( 1 . 3 2 ) die T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x z u r Einheitsmatrix. D e r e n D e t e r m i n a n t e ist das Produkt der Diagonalterme also gleich plus e i n s . Spiegelt m a n n u n e i n e Koordinatenachse, das heifit, k e h r t m a n i h r e R i c h t u n g u m ; d a n n w i r d der e n t s p r e c h e n d e D i a g o n a l k o e f f i z i e n t der T r a n s f o r m a t i o n s m a t r i x m i n u s e i n s u n d ebenso die D e t e r m i n a n t e . A l l g e m e i n folgt daraus: D i e D e t e r m i n a n t e e i n e r orthogon a l e n T r a n s f o r m a t i o n s m atrix w i r d negativ, w e n n e i n e ungerade Z a h l v o n S p i e g e l u n g e n der A c h s e n vorliegt. Gerade Z a h l e n v o n Spiegelunge n e n t s p r e c h e n i m m e r 180°-Drehungen. Es k o m m t also l e t z t l i c h n u r darauf an, ob e i n e e i n z i g e Spiegelung vorliegt. Sie b e w i r k t d e n u b e r g a n g v o n e i n e m R e c h t s - a u f e i n L i n k s k o o r d i n a t e n s y s t e m oder u m g e k e h r t . Eine orthogonale Koordinatentransformation o h n e Spiegelung beschreibt e i n e Dreh u n g . W i e m a n Bild 1.5 e n t n i m m t , b e s t e h t i m Z w e i d i m e n s i o n a l e n k e i n U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d e m D r e h w i n k e l oc u n d d e m die Endlage b e s c h r e i b e n d e n L a g e w i n k e l oc. Das andert sich i m Dreidimensionalen. Die D r e h u n g e n sind n i c h t k o m m u t a t i v ; das heifit: e s k o m m t a u f die R e i h e n f o l g e an, i n der groBe D r e h w i n k e l a u f g e b r a c h t w e r d e n , u m e i n e b e s t i m m t e Endlage z u e r r e i c h e n . Traditionell m a c h t m a n dies uber die E u l e r - W i n k e l . Eine h a u f i g b e n u t z t e A n w e i s u n g ist: D r e h e u m die A c h s e 3; d a n n u m 2, d a n n w i e d e r u m 3. Hierbei sind jeweils die durch die v o r h e r g e h e n d e D r e h u n g entstand e n e n , v e r a n d e r t e n A c h s e n r i c h t u n g e n g e m e i n t . Solche Festlegungen sind s c h o n deshalb problematisch, w e i l i n i h n e n k e i n l e i c h t e r k e n n b a r e s , durchgangiges S y s t e m liegt. In n e u e r e r Z e i t ist m a n a u f e i n e n a n d e r e n W e g gestofien: Die D r e h u n g e n w e r d e n n i c h t m e h r n a c h e i n a n d e r sondern gleichzeitig i n i n f i n i t e s i m a l k l e i n e n S c h r i t t e n ausgefiihrt. H i e r z u w i r d e i n s c h i e f s y m m e t r i s c h e r D r e h t e n s o r d e f i n i e r t

a.. 1.l

=

-

cr.. J1

; ( i , j = l...c)

,

(1.39)

dessen D r e h w i n k e l sich a u f das Anfangskoordinatensystem xi b e z i e h e n . Jeder W i n k e l ocij beschreibt e i n e D r e h u n g i n e i n e r Ebene xi ,xj u n d sol1 positiv v o n xi n a c h xj gerichtet sein. Der W i n k e l oc i n Bild 1.5 ist d e m n a c h o c I 2 . Die Z a h l der u n a b h a n g i g e n K o e f f i z i e n t e n des Drehtensors v o n ( 1 . 3 9 ) ist gleich der Z a h l der i m c - d i m e n s i o n a l e n Koordinatensystem d e f i n i e r t e n Ebenen.

26

1. Mathematische Grundlagen

Zu einem gegebenen Drehtensor 1aOt sich eine zugehorige Transformationsmatrix berechnen. Die Herleitung sei hier ubergangen.

Hierin kommen gleich zwei verschiedene Matrizenfunktionen vor, die Exponentialfunktion und die Matrizenpotenzen. Erstere ist definiert durch die angegebene Reihe, f u r letztere gilt 2

[ aij ]

a,, akj

=

; U. s. w. ; ( i , j , k = l c )

F u r die Dimension zwei liefert (1.40) mit den Reihen f u r Cosinus und Sinus das Ergebnis (1.33). Fur den dreidimensionalen Fall findet m a n

p

=

t.. = 1J

Ja:,

+

a:,

+

a:,

sin p

8.. + -a . 1J 40

lJ

1 - cos p +

P

2

[aij]

}

(1.42)

; ( i : j = l ... 3 ) .

In Bild 1.6 ist eine raumliche D r e h u n g skizziert. Die Gesamtdrehung p erfolgt um eine Achse, deren Richtung von den Drehwinkeln a 1 2 ,Q, und a, bestimmt wird.

Bild 1.6: GroRe Drehung i n einem dreidimensionalen Koordinatensystem; Drehtensor a..und Gesamtdrehwinkel p als Drehungen und Drehvektoren (Doppelpfeile). U Die Beziehung (1.40) ist auch umkehrbar. Das heifit, m a n k a n n auch zu einer gegebenen Transformationsmatrix die zugehorigen Drehwinkel berechnen. Von besonderem Interesse f u r die spatere Anwendung ist noch der Fall; daB die Drehwinkel klein sind. In der Reihe (1.40) k a n n m a n dann alle quadratischen und hoheren Glieder vernachlassigen und es bleibt ubrig t.. = 1J

S.. Sa.. U +

1J

; ( i , j = l... c )

.

(1.43)

Mit Saij ist der schiefsymmetrische Drehtensor von (1.39) gemeint, dessen Winkel infinitesimal klein sind.

Koordinatentransformationen lassen sich beliebig oft nacheinander ausfuhren. Das Ergebnis ist immer eine Transformation, die das Anfangs- mit dem Endsystem direkt verknupft. Deshalb bilden die Transformationen eine

1.3 Cartesische Tensoren

27

sogenannte mathematische Gruppe, die in diesem Fall als orthogonale Transformationsgruppe bezeichnet wird. Ein Beispiel fur nacheinander vorgenommene Transformationen sind die oben erwahnten Drehungen um die Euler- Winkel: Eine dreidimensionale Transformation wird durch drei einzelne Drehungen erzeugt. Bisher wurden Transformationen zwischen Koordinatensystemen gleicher Dimension c betrachtet. Dies bezeichnet man als eine isomorphe Abbildung. Nicht-isomorphe Transformationen kommen gelegentlich auch vor, wenn zum Beispiel aus einem dreidimensionalen Raum in einen zweidimensionalen Unterraum transformiert wird. Anstelle von ( 1 . 3 0 ) erhalt man

Im Umgang mit derartigen, unvollstandigen Transformationen ist einige Vorsicht geboten, weil sich sehr leicht unzulassige Operationen einschleichen. Die bisher behandelten Operationen sind nur dann giiltig, wenn die Summationsindizes aus dem Bereich der groBeren Dimension c ausgewahlt sind. Zum Beispiel gilt von den Orthogonalitatsbedingungen ( 1 . 3 5 ) und ( 1 . 3 7) nur noch die zweite.

1 . 3 . 3 Tensortransformation Die Cartesischen Tensoren bilden eine Untermenge der allgemeinen Matrizen aus Abschnitt 1 . 1 . 2 . Das heiBt, ein Tensor wird immer durch eine Matrix dargestellt, aber nicht jede Matrix muB ein Tensor sein. Die Stufe eines Tensors ist die Zahl der Indizes, die zu seiner Beschreibung erforderlich ist. Derselbe Begriff war schon bei den Matrizen verwendet worden. Tensoren niedriger Stufe haben traditionsbedingt eigene Namen. Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar oder eine Invariante, ein Tensor erster Stufe ein Vektor, ein Tensor zweiter Stufe wird zuweilen noch als eine Dyade bezeichnet. Zur Definition von Tensoren wird hier der sogenannte Fundamentalsatz der Feldtheorie herangezogen: Ein Tensor n- ter Stufe wird wie die n- te Ableitung einer Invarianten transformiert. Hierdurch wird die wichtigste Eigenschaft von Tensoren in den Mittelpunkt gestellt: ihr Transformationsverhal ten. Um diesen Satz mit Leben zu erfiillen, mu0 zunachst genauer definiert werden, was eine Invariante ist. Es seien zwei orthogonal Cartesische Koordinatensysteme xiund , ( i =1 . . . c ) , gegeben, die durch eine Transformation ohne Nullpunktverschiebung ( 1 . 3 0 ) miteinander verkniipft sind. Eine GroBe I ist dann eine Invariante, wenn gilt

xi

28

1. Mathematische Grundlagen

-

I(x)

=

I ( % ) , oder kurzer I

=

I .

Hiermit ist ausgedruckt, dafi die Grol3e Ibezogen auf das Koordinatensystem xi gleich der Grol3e I bezogen auf die transformierten Koordinaten ist. Invariant ist zum Beispiel eine Temperatur an einem Punkt; eine Drehung des Koordinatensystems beeinflufit sie nicht. Das Transformationsgesetz fiir eine Invariante erhalt man aus der Kettenregel der Differentiation:

xi

Hier wurde die Definition der Transformationsmatrix tij von ( 1 . 3 1) eingesetzt. Beide Seiten werden mit der Transformationsmatrix multipliziert und dann die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 7 ) angewendet.

Nach Umbenennen der Indizes und Umstellen wird daraus

Dies ist das Transformationsgesetz der ersten Ableitung der Invarianten I nach den Bezugskoordinaten. Nach der oben gegebenen Definition ist dies zugleich auch das Transformationsgesetz eines Tensors erster Stufe. Auf dieselbe Weise kann man mit den hoheren Ableitungen verfahren und findet die entsprechenden Transformationsgesetze:

I

-

a

=

iJk

al ~. k l=

~ , m , ntil m,n>p,q -

-

tjm tkn alrnn

tjn . tkp ti q a mnpq

;

U.S.W.

;

xi

Hierin sind 2 , ai , aij, ... , die auf das Koordinatensystem bezogenen Tensoren nullter, erster, zweiter, ... , Stufe und a , a i , aij, ... , die auf xi bezogenen.

1.3 Cartesische Tensoren

29

Die hier definierten Tensoren bezeichnet man als absolut. Im Gegensatz zu ihnen stehen die relativen Tensoren, bei denen noch die Determinante der Transformationsmatrix im Transformationsgesetz erscheint. Beispiele hierfur sind aus Kreuzprodukten hervorgegangene Tensoren, also DrehgroBen. D a die Determinante einer Transformationsmatrix bei einer Koordinatenspiegelung ihr Vorzeichen wechselt, andert sich dann auch das Vorzeichen der relativen Tensoren. Diesen fehleranfilligen ubergang von Rechtsauf Links-Koordinatensysteme braucht man hier nicht zu furchten! Die indizierte Darstellung von Tensoren wird als Koordinaten-Schreibweise bezeichnet. Infolgedessen muBte ein einzelnes Glied eines Tensors als Koordinate bezeichnet werden. Hier sol1 jedoch die Bezeichnung Komponente in Anlehnung an den Gebrauch bei Vektoren benutzt werden. Diese Bezeichnungsweise findet sich auch in Lehrbuchern fur den Gebrauch durch Nichtmathematiker. Weiterhin wird kein sprachlicher Unterschied gemacht zwischen einem Tensor und seinen Komponenten. Exakt muBte es heiBen: ein Tensor a und seine Komponenten aij. Hierbei konnte man zur Unterscheidung das Symbol fur den Tensor selbst noch durch Fettdruck, Unterstreichen oder ahnliches hervorheben. nEin Tensor a<( sagt aber nichts uber die Stufe des Tensors aus. Also ist es sinnvoller, die Indizes mitzuschreiben und auf die logischen Feinheiten zu verzichten. Oft kommt es auch vor, daB verschiedene Tensoren mit demselben Namen belegt werden; eine Unterscheidung ist dann vielfach nur uber die Indizierung moglich. Die Transformationen ( 1 . 4 5) sind so gerichtet, daB zum Beispiel aus einem gegebenen Tensor ai der zugehorige transformierte Tensor ii berechnet werden kann. Die Umkehrung fur dieses Beispiel ist

Mit der Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 6) wird daraus

Die inverse Transformation fur Tensoren hoherer Stufe wird entsprechend gebildet . Tensoren konnen dieselben formalen Eigenschaften besitzen, die in Abschnitt 1 . 1 . 2 fur allgemeine Matrizen angegeben wurden. Hervorzuheben ist hier, daB sich Symmetrien und Schiefsymmetrien bei einer Transformation ubertragen. Fur die Modellfalle (1.5) und (1.6) gilt also

30

1. Mathematische Grundlagen

a..

=

a..

1J

Jl

a..

= - a..

1J

-

+

a..

-

=

1J

Jl

+

2..= V

aji -

(1.47)

'

2.. ; ( i , j = l ... c ) .

(1.4 8 )

Jl

Hieraus lassen sich, wie in Abschnitt 1 . 1 . 2 gezeigt, alle hoheren Symmetrien ableiten. Z u m Beweis von (1.47) wird i n den r e c h t e n Ausdruck das entsprechende Transformationsgesetz von (1.45) eingesetzt:

Auf der r e c h t e n Seite wird k i n 1 u n d 1 i n k umbenannt. D a n a c h wird alles auf die l i n k e Seite gebracht u n d zusammengefa8t:

Dies m u 8 f u r e i n e beliebige Transformation gelten, also muR der davon unabhangige Klammerausdruck n u l l sein, das h e i s t , a k l = alk . D a dies die Voraussetzung f u r die transformierte Gleichung i n (1.47) w a r , ist die Aussage h i e r m i t bewiesen.

Um einen Eindruck vom Transformationsverhalten einiger typischer Tensoren zu vermitteln, sind in Bild 1 . 7 die jeweils unabhangigen Komponenten iiber dem Drehwinkel cr einer ebenen Transformation aufgetragen.

Bild 1.7: Beispiele f u r das Verhalten von Tensorkomponenten bei e i n e r ebenen Transformation i n Abhangigkeit vom D r e h w i n k e l a : a) Tensor erster Stufe: b) Unsymmetrischer Tensor zweiter Stufe, c ) Symmetrischer Tensor zweiter Stufe (z. B. Spannungstensor), d) Tensor vierter Stufe mit den Symmetrien aijkl = ajikl = aijlk (z. B. Elastizitatstensor).

=

aklij

An den in Bild 1 . 7 gezeigten Beispielen erkennt man, daB die Tensorkomponenten periodisch Extremwerte annehmen und daB einige durch null gehen. Zum Aufsuchen ausgezeichneter Lagen dieser A r t dienen sogenannte

1.3 Cartesische Tensoren

31

Hauptachsen- Transformationen. Besondere Bedeutung haben diese fur symmetrische Tensoren und Matrizen zweiter Stufe erlangt. In Abschnitt 1 . 7 wird hierzu noch mehr zu sagen sein. D e r weitaus haufigste Anwendungsfall ist das Aufsuchen der Hauptspannungen, das von Ingenieuren traditionell noch immer mit dem Mohrschen Kreis grafisch gelost wird: Fur einen symmetrischen (Spannungs-) Tensor zweiter Stufe a j j wird in der Ebene diejenige Lage gesucht, in der die (Schubspannungs-) Komponente a12 zu null wird. Mit dem Transformationsgesetz (1.4 5) findet man hierfur den Drehwinkel cr aus der Bedingung tan 2a12

=

a12

a 11 -

a22

Die hiermit transformierten Komponenten werte an (siehe auch Bild 1 . 7 c).

all und i22nehmen dann Extrem-

Bei der Transformation eines orthogonal Cartesischen Koordinatensystems auf ein anderes bleibt der metrische Tensor Sij erhalten. Jede Kombination aus diesen metrischen Tensoren bleibt bei einer Transformation ebenfalls unverandert. Es gibt nun Tensoren, die einen solchen Aufbau haben. Man bezeichnet sie als isotrop. Untersucht man die moglichen Kombinationen, dann findet man, daB hierfur nur Tensoren gerader Stufe in Frage kommen. Die isotropen Tensoren zweiter und vierter Stufe haben folgenden Aufbau: = 1J

cw 8.. ; (i,j= l . . .c )

,

(1.50)

1J

c ) . (1.51) Hierin sind a, p und y beliebige Konstante. Andere isotrope Tensoren lassen sich noch auf der Basis der e-Symbole von ( 1 . 1 2 ) konstruieren. Ihr Aufbau ist aber dimensionsabhangig, weil die Zahl der Indizes mit der Dimension anwachst. Sie sollen hier nicht betrachtet werden. Nach der eingangs gesetzten Definition, daB sich Tensoren so transformieren, wie die Ableitungen von Invarianten nach ihren Bezugskoordinaten, geht unmittelbar hervor, daB diese Ableitungen von Tensoren genommen, auch wieder Tensoren erzeugen. Wenn man also einen Tensor nach seinen Bezugskoordinaten differenziert, entsteht ein neuer Tensor. Um die umstandliche Schreibweise mit den partiellen Differentiationssymbolen abzukurzen, verwendet man haufig ein Komma. Es ist dann zum Beispiel:

32

1. Mathematische Grundlagen

Ein gegebener Tensor kann eine Ableitung einer Stammfunktion sein. Beispiele hierfur sind die Potential- und Spannungsfunktionen der klassischen Mechanik. Vor ihrer Verwendung mufl jedoch gewarnt werden: Aufler dem Verlust der Anschaulichkeit handelt man sich dabei oft auch noch vollig unnotige Einschrankungen ein.

1.3.4 Tensoralgebra Auf die im vorhergehenden Unterabschnitt definierten Tensoren konnen beliebige Operationen angewendet werden. Eine Untermenge hiervon erzeugt aus Tensoren auch wieder Tensoren. In der Tensorrechnung sind nur diese Operationen zugelassen. Die Grundrechnungsarten innerhalb dieses Rahmens sind in der Tensoralgebra festgelegt. Im folgenden sollen diese grundlegenden Operationen in ihrer einfachsten Form vorgestellt und danach verallgemeinert werden. Hier muB sofort noch darauf hingewiesen werden, daB wir den Beschrankungen der Tensorrechnung nicht unter allen Umstanden unterliegen. Eine im Rahmen der Tensoralgebra unzulassige Operation kann im Einzelfall sinnvoll sein. Die Grundform der Tensoraddition ist: a . + b. = c . ;

( i = l ... c ) .

Ebenso gilt fur die Tensorsubtraktion: a. -

b.

=

ci ;

(i

=

I . . . c) .

Die Grundform der Tensormultiplikation, auch auh'eres genannt, ist (das Malzeichen kann weggelassen werden): ai

bj

=

c.. ; 1J

(i,j

=

I... c)

.

Tensorprodukt ( 1 . 5 5)

Als Tensorverjiingung oder Kontraktion bezeichne t man die Summierung uber zwei Indizes:

Damit ist die Reihe der Grundformen abgeschlossen. Eine vie1 benutzte Kombination aus ( 1 . 5 5) und (1.56) ist die Tensoriiberschiebung, auch inneres Tensorprodukt oder Skalarprodukt genannt (das Malzeichen kann wieder weggelassen werden):

In den Definitionen ( 1 . 5 3) bis ( 1 . 5 7 ) wurden Tensoren von der jeweilig niedrigsten Stufe benutzt. A l l e Operationen konnen mit Tensoren beliebig hoher Stufe vorgenommen werden. AuBerdem konnen die Indizes der einzelnen Tensoren permutiert werden. Einige Beispiele mit Tensoren der nachsthoheren Stufen sind:

1.3 Cartesische Tensoren

a

+

a,.

.

1J

bij = c . .

a..+ b..=c..

1J

1J

C a... j 11J

C

a,.

j

"

-

bk =

.

c..

~k

c. J

b . = ci J

IJ

' ,

,

JI

1J

a . . . bk

=

Cj

c.

*J

a... 1JI

=

JI

kji

J

, '

,

J

C a . . . b. j

c

33

=

c.

.

Wenn in dem ersten Beispiel aij und bjj Tensoren sind, dann gilt dies auch fur c j j Allerdings sind die Tensoren c j j in der ersten Zeile nicht unbedingt gleich: weil im allgemeinen bij ungleich bjj ist. Entsprechendes gilt fur die ubrigen Beispiele. D e r Vollstandigkeit halber soll noch auf die vektorielle Multiplikation zweier Vektoren hingewiesen werden, die f u r die Dimension c = 3 e i n e Rolle spielt und die als Kreuzprodukt bezeichnet wird:

Die doppelte ~ b e r s c h i e b u ndes ~ Permutationssymbols (1.12) mit zwei Vektoren b . J und ck erzeugt den Vektor ai , der geometrisch gedeutet w e r d e n k a n n : s e i n Bet r a g entspricht dem Flacheninhalt des von den beiden anderen Vektoren zwischen dem k l e i n e r e n eingeschlossenen Winkel aufgespannten Parallelogramms und e r steht s e n k r e c h t auf diesem. Folgt der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren noch eine skalare Multiplikation mit e i n e m dritten Vektor, so e r h a l t m a n das Spatproduk t:

D a s Spatprodukt k a n n ebenfalls geometrisch gedeutet werden: es liefert das Volum e n v eines durch drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. U n t e r bestimmten Voraussetzungen ( z u m Beispiel Vertauschen der Vektoren) k a n n sich das Vorzeic h e n des Kreuz- oder Spatproduktes u m k e h r e n . Dies soll a n dieser Stelle n i c h t vertieft werden, muB aber gegebenenfalls i n der k o n k r e t e n Anwendung beachtet werden.

Damit ist die Menge der Operationen innerhalb der Tensoralgebra definiert. Als eine Untermenge enthalt sie die Operationen der symbolischen Matrizenschreibweise. Wegen der Vielzahl der Stufen und Indexpermutationen ist es schwierig, die allgemeinen Operationen in iibersichtlicher Form anzugeben. Deshalb wurde jeweils die einfachste Form angefuhrt und dann im Beispiel verallgemeinert. Einen Test dafur, ob es sich bei einer angegebenen Beziehung um eine Tensoroperation handelt, erhalt man aus ihrem Transformationsverhalten. Dies wird im folgenden Beispiel gezeigt. Ein Gegenbeispiel ist in ubung 1. 2 3 enthalten. Die auf e i n Koordinatensystem Fi bezogene Gleichung sei

34

1. Mathematische Grundlagen

Es sol1 n u n untersucht werden, ob sich daraus der gleiche Z u s a m m e n h a n g f u r e i n Koordinatensystem xi ergibt. M i t den Transformationsgleichungen (1.45) wird hergestellt

Dies wird oben eingesetzt und die rechte von der l i n k e n Seite abgezogen

M i t der Orthogonalitatsbedingung (1.35) folgt daraus

Dies muR f u r e i n e beliebige Transformation gelten. D a der Klammerausdruck hiervon unabhangig ist, muR e r n u l l sein. Es gilt also

Dies ist (bis auf die leicht u m z u b e n e n n e n d e n Indizes) dieselbe Gleichung w i e oben, aber mit dem Unterschied, daR n u n alle GroRen auf das Koordinatensystem xi bezogen sind. D a m i t ist bewiesen, dal3 die Gleichung eine Tensoroperation beschreibt!

1.3.5 ubungen u b u n g 1.14: Bestimmen Sie die Lange s aus den Projektionen

u b u n g 1.15: Bestimmen Sie die Transformationsmatrix tij , ( i , j d r e h u n g i n der Ebene x l x 3 mit dem Winkel c r 1 3 .

=

1 , 2 , 3 ) , f u r e i n e Koordinaten-

u b u n g 1.16: Bestimmen Sie die Transformationsmatrix, die e i n dreidimensionales Koordinatensystem xi i n e i n n e u e s Ti derart uberfuhrt, daR Fl u n d F 2 i n die entgegengesetzten Richtungen von x l u n d x2 weisen und F3 mit x 3 identisch ist. u b u n g 1.17: Ein P u n k t h a t die Koordinaten xi = [ 2 1 1 . Welche Koordinaten e r h a l t e r bezogen auf e i n Koordinatensystem Fi , das u m den W i n k e l cr12 = 30° verdreht ist? u b u n g 1.18: In e i n e m Koordinatensystem xi , ( i = 1 , 2 , 3 ) , w e r d e n n a c h e i n a n d e r die gleichgroRen , und crgl i n den jeweiligen Ebenen 1-2, 2-3 u n d 3-1 ausgefuhrt. D r e h u n g e n T ~cuZ3 Berechnen Sie die Transformationsmatrix zwischen dem Anfangs- und Endkoordinatensystem und die Winkel zwischen den Achsen gleicher Numerierung f u r a) cc = 90° ; b) cr = 30° . u b u n g 1.19: In der angegebenen orthogonalen Transformationsmatrix ist e i n Koeffizient falsch. Welcher?

1.3 Cartesische T e n s o r e n

t.. 'J

=

35

[-;-;1; 1

1 3

u b u n g 1.20: Bestimmen Sie s a m t l i c h e orthogonalen Transformationsmatrizen tij , ( i j, u n d skizzieren Sie die Koordinatensysteme. die gegeben ist t l l =

=

1,2), fur

bung 1.2 1: Die D r e h u n g e n von bung 1.18 sollen g l e i c h z e i t i g ausgefuhrt werden. Berechnen Sie den D r e h w i n k e l F, die Transformationsmatrix u n d die Winkel. bung 1.22: Die Transformation zwischen e i n e m dreidimensionalen Koordinatensystem xi u n d e i n e m zweidimensionalen Ti ist bis auf die zwei zu b e r e c h n e n d e n Koeffizienten a l 2 0 und a 2 bekannt.

u b u n g 1.23: Auf e i n e r Welle befinden sich die Massen mi , ( i = 1 , 2 , 3 ) . 1st mi e i n Tensor? u b u n g 1.24: T r a n s f o r m i e r e n Sie die auf das Koordinatensystem xi

auf das System

xi

mit der Transformationsmatrix t . . IJ

( i = 1 , 2 ) , bezogenen T e n s o r e n

=

[-:::;:;]

bung 1.25: F u h r e n Sie die Hauptachsen-Transformation aus f u r den Tensor a . .

Beweisen Sie, daR I

=

=

C aij aij invariant ist; aij ist e i n Tensor. i,j

u b u n g 1.27: Die Flachentragheitsmomente eines Querschnittes A sind definiert durch Iu ..= J x i x j d ~ ; ( i , j = 1 , 2 ) . A Zeigen Sie, daB dies e i n Tensor zweiter Stufe ist.

bung 1.28: Es s e i e n a u n d b Tensoren. P r u f e n Sie, ob die Ergebnisse c a u c h T e n s o r e n sind. a) a i + b . = c . . ; J

1J

b)

C a . . b . . = c . ; C) a . . b . . = c . . . U J J

1

',J

J,'

U

36

1. Mathematische Grundlagen

1.4 Lineare Gleichungen Die Losung linearer Gleichungssysteme ist der Schlussel zur Ausfuhrung von Finit-Element-Berechnungen. Erst durch den Einsatz von leistungsfahigen Algorithmen zur Gleichungsauflosung auf elektronischen Rechenmaschinen wird aus der Theorie ein praktisch einsetzbares Werkzeug. Obwohl die numerischen Methoden nur einen Teil ausmachen, darf man sie als Ingenieur nicht ungestraft als eine solche ))black box<( benutzen, um die sich allenfalls die numerischen Mathematiker und Programmierer kummern sollten. Sehr oft zeigen sich Fehler in einer Berechnung dadurch, daB ein Losungsalgorithmus versagt. Dies liegt fast nie daran, daB der Algorithmus selbst fehlerhaft ist, sondern an falschen Eingabedaten, einer unvollstandigen Beschreibung des Problems oder auch daran, daB das Problem, so wie vorgehabt, nicht losbar ist. Gewisse Grundkenntnisse zu den am haufigsten angewendeten Algorithmen sind erforderlich, um bei einem Versagen eine Fehlerdiagnose stellen zu konnen. Wenn in diesem Abschnitt vor allem das direkte Auflosungsverfahren etwas ausfuhrlicher behandelt wird, als es fur Ingenieure angezeigt sein mag, dann hat dies noch einen besonderen Grund. Gerade die Losung von linearen Gleichungen eignet sich vorzuglich dazu, die Herleitung, den Aufbau und die Wirkungsweise eines Algorithmus exemplarisch kennenzulernen. D e r dabei gespannte Bogen reicht von den einfachsten AnWngen, die jedem Schulabganger vertraut sein sollten, bis zur parallelen Datenverarbeitung und zur Abschatzung des Losungsaufwandes. DaB hierbei trotzdem nur mit ))Wasser gekocht wird<<,durfte dem Verstandnis durchaus fiorderlich sein. Beweise, wie man sie in mathematischen Lehrbuchern haufig findet, werden dabei fast ganz weggelassen. Als Grundsatz dient die Regel: Eine Losung, die berechenbar ist, muB auch existieren! Solche konstruktiven Beweise stehen neuerdings auch bei den numerischen Mathematikern wieder in besserem Ruf. In diesem Abschnitt werden Eigenschaften von Matrizen zweiter Stufe besprochen. Nur fur diese sind zum Beispiel ein Rang oder eine Determinante definiert. Verallgemeinerungen fur Matrizen hoherer Stufe sind bis heute kaum bekannt und untersucht. Der standige Hinweis auf die zweite Stufe der Matrizen kann deshalb entfallen: Eine ))Matrixc~ist eine Matrix zweiter Stufe. Diese Vereinfachung wurde auch in der symbolischen Matrizenschreibweise von Abschnitt 1 . 2 gemacht.

1.4 Lineare Gleichungen

37

1.4.1 Lineare Abhangigkeit Die Zeilen einer Matrix aij bezeichnet man als linear voneinander abhangig, wenn sich Faktoren ci angeben lassen, die nicht durchweg gleich null sind und die Bedingung erfullen

C j

c . a , . = 0 ; ( i = l... m ; j = l... n ) . 1

lJ

( 1 . 5 8)

Die entsprechende Aussage fur die Spalten dieser Matrix ist

C

j

a.. c . = 0 ; ( i =l . . . m ; j = l . . . n ) lJ

J

Wenn also Zeilen oder Spalten aus Linearkombinationen anderer gewonnen werden konnen, dann sind sie linear abhangig. Im einfachsten Fall sind Zeilen oder Spalten einander gleich oder sie sind null. Ein Beispiel f u r (1.58) ist

Die Faktoren ci konnen mit einem beliebigen, gemeinsamen Faktor multipliziert werden.

Das Beispiel weist schon auf die wichtige Tatsache hin, daB nicht mehr Zeilen linear unabhangig sein konnen, als Spalten vorhanden sind. SinngemaB gilt das gleiche fur die Spalten. Der Rang einer Matrix, als ,,ran(( abgekurzt, gibt an, wieviele Zeilen oder Spalten einer Matrix linear unabhangig voneinander sind. E r kann also hochstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m fur die Zeilen und n fur die Spalten sein.

Nach Wegstreichen von iiberzahligen Zeilen oder Spalten reduziert sich das Problem der Rangbestimmung also auf das einer quadratischen Matrix. Eine quadratische Matrix der GroBe n besitzt eine Kenngrone, die angibt, ob die Matrix den Rang n erreicht, das heiBt, ob alle Zeilen, beziehungsweise Spalten linear unabhangig sind. Dies ist die Determinante. Sie ist null, wenn der Rang kleiner als n ist. In diesem Fall bezeichnet man die Matrix als singular. Eine nichtsingulare Matrix wird korrekt als regular bezeichnet. Eine Determinante wird definiert durch

38

1. Mathematische Grundlagen

det ( a . .) 1J

...

det (a..)ek 2

I

det ( a . ekl

v

=

z

el1. i.2 . . . in a i l k la i2k;"

C

e . .

i l . . . in

kn

k2...kn =

j l . . .jn

a

a

a

J ~ ~ ~ . . k. l jJ? k~ 2 j ; "

( i , , i . . . i , j . . . j, n

;

kl...k

kkn

n

=

knjn

' '

l...n).

Die beiden ersten und die beiden letzten Definitionen sind gleichwertig. Die jeweils erste bezieht sich auf die Spalten, die jeweils zweite auf die Zeilen. Die beiden ersten Ausdrucke sind ein Sonderfall der beiden letzten fur kl = 1 , k2 =2 ;..., k = n. Die Indizes im Argument von n d e t ~und .ran<< n sind an sich uberflussig und werden deshalb oft weggelassen. Nur wenn ein zusammengesetzter Ausdruck im Argument steht, werden sie gebraucht. Da das e-System von ( 1 . 1 2) n Indizes besitzt, muBten die Definitionen (1.6 1 ) mit Hilfe von Subindizes geschrieben werden. Eine einfachere Darstellung ergibt sich fur eine feste GroBe n. Fur n = 3 folgt aus der ersten Definition von ( 1 . 6 1 ) det(a)

=

C

i,j,k

e.. I

J

a . a . ak3 ; ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) . ~ 11

32

Die Definitionsgleichungen sind denkbar ungeeignet, um Determinanten zu berechnen. In erster Linie dienen sie zur Herleitung von Determinantensatzen und zur Untersuchung spezieller Matrizen. Fur die Handrechnung nutzlich sind jedoch die ausgeschriebenen Gleichungen fur n von 1 bis 3.

In dem Matrizenschema (1.14 ) lassen sich diese Anweisungen sehr leicht in Abzahlmuster ubersetzen. Man hute sich jedoch davor, diese uber n = 3 hinaus fortzusetzen! Aus der Definition der Determinanten (1.6 1 ) ergeben sich n ! Produkte von je n Faktoren. Selbst die groBten Computer sind hier schnell iiberfordert. Spater wird sich ein wesentlich wirtschaftlicher Berechnungsweg ergeben. Um in der Handrechnung, vor allem bei allgemeinen Herleitungen, noch ein wenig weiter als n = 3 zu kommen, verwendet man die Entwicklungssatze.

1.4 Lineare Gleichungen

det(a) =

C j

a.. 1J

ilJ. . ;

det(a) =

Ci

39

-

a.. a.. ; 'J

1J

i , j = 1n

(1.63)

Im ersten wird nach der Zeile i , im zweiten nach der Spalte j entwickelt, die jeweils frei gewahlt werden konnen. Die Faktoren iij werden als algebraische Komplemente oder vom Englischen kommend als Kofaktoren bezeichnet.

Hierin sol1 a ( i j ) die Untermatrix sein, die aus der Matrix a entsteht, wenn die Zeile i und die Spalte j weggestrichen werden. Durch die einmalige Anwendung eines Entwicklungssatzes (1.6 3) wird so eine Summe mit n Termen erzeugt, in denen jeweils eine Determinante einer Matrix der GroBe n - 1 vorkommt. Durch mehrmalige Anwendung kann man die Matrizen auf eine handliche Grof3e reduzieren. Dabei wird man tunlichst die Entwicklungszeilen oder -spalten so wahlen: daB, bedingt durch den speziellen Aufbau der Matrizen, moglichst viele Terme verschwinden oder gleich werden. Aus den Definitionsgleichungen (1.6 1 ) ergeben sich eine Reihe von Eigenschaften, die bei der Umformung und Berechnung von Determinanten sehr niitzlich sind. Zuerst ist da die Aussage

Bei einer Transposition der Matrix andert sich die Determinante nicht. Die unmittelbare Folge dieses Satzes ist, daf3 alle Aussagen, die fur die Zeilen in einer Determinante gemacht werden, ebenso auch fur die Spalten gelten. Dies findet sich in den folgenden Satzen wieder.

Der absolute W e r t einer Determinante bleibt unverandert, (1.6 6) wenn ganze Zeilen oder Spalten vertauscht werden. Das Vorzeichen bleibt erhalten, wenn die Zahl der Vertauschungen gerade ist, sonst kehrt es sich urn. Eine Determinate andert sich nicht, wenn zu einer Zeile oder Spalte eine beliebige Linearkombination anderer Zeilen oder Spa1ten addiert wird.

(1.6 7 )

Man kann also das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren, ohne die Determinante zu verandern.

Ein gemeinsamer Faktor aller Koeffizienten einer Zeile oder Spalte ist auch ein Faktor fiir die Determinante.

(1.6 8 )

40

1. Mathematische Grundlagen

Besitzen zum Beispiel alle Koeffizienten einer Matrix einen gemeinsamen Faktor, dann kann dieser also zur n-ten Potenz erhoben aus der Determinante herausgezogen werden. Die Determinanten von Dreiecks- oder Diagonalmatrizen sind besonders einfach zu berechnen. det(a)

a.. ,

=

i

wenn a . .

=

0 fur i > j oder/und i < j ;

(1.69)

1J

I'

( i 7 j =l . . . n )

Fur ein Produkt aus zwei quadratischen Matrizen gilt

Aus der Definition der Kehrmatrix ( 1 . 2 1 ) ergibt sich

Mit (1.7 0 ) folgt daraus dann det(a

-

1

1

) = -, det ( a )

vorausgesetzt, daB die Matrix nichtsingular ist. Dies ist gleichzeitig auch der Beweis dafur, daB eine singulare Matrix keine Kehrmatrix besitzt. Um an einem Beispiel zu zeigen, wie einige der genannten Satze angewendet werden, um die Berechnung einer Determinante zu vereinfachen, wird folgende Matrix gewahlt (sie stammt aus der Eigenwertberechnung der Steifigkeitsmatrix eines Stabes):

Die folgenden Operationen andern den Wert der Determinante nicht. Der gemeinsame Faktor wird herausgezogen und die dritte Zeile zur ersten, die vierte zur zweiten addiert. det(a)

=

k4det

0 -

A

-

s2

-

c -

cs

A

0

-

2 A cs

0 A cs

s2-

A

Jetzt wird von der dritten Spalte die erste abgezogen und von der vierten die zweite.

Bezogen auf die ersten zwei Zeilen ist dies eine untere Dreiecksmatrix. Mit (1.69) folgt dann, daR die Determinante gleich dem Produkt aus den ersten zwei Diagonal-

1.4 Lineare Gleichungen

41

koeffizienten ma1 der Determinante der auf der Diagonale verbleibenden ( 2 . 2)kMatrix ist.

Dasselbe Ergebnis erhalt man auch durch zweimalige Anwendung des Entwicklungssatzes (1.63) jeweils auf die erste Zeile. Mit der Berechnungsformel (1.62) f u r n = 2 ergibt sich n u n

Hierin wurde c

+

s 2 = 1 verwendet.

1.4.2 Inhomogene Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem hat die Form

Hierin ist aij die Koeffizientenmatrix, xj sind die Unbekannten und bj die rechte Seite (auch wenn sie links stehen sollte). In einem homogenen Gleichungssystem ist die rechte Seite identisch gleich null, wahrend sie in einem inhomogenen nicht durchweg verschwinden darf. 1st die Zahl der Unbekannten m kleiner als die Zahl n der Gleichungen, dann werden haufig Widerspriiche auftreten, die keine Losung xj zulassen. 1st die Zahl der Unbekannten dagegen groner als die Zahl der Gleichungen, so gibt es meistens keine eindeutige Losung. Dazwischen liegt der Normalf a l l mit ebensoviel Unbekannten wie Gleichungen. In jedem Fall ist die Existenz einer Losung dann gesichert, wenn folgende Bedingung erfiillt ist

Mit (aij, bi) ist die um die rechte Seite erweiterte Koeffizientenmatrix gemeint. Ein Beispiel sol1 die Losbarkeitsbedingung (1.73) erlautern. Es seien

Aus (1.73) folgt 2 = 2, es muR also eine Losung existieren, obwohl mehr Gleichungen als Unbekannte gegeben sind. Eine Gleichung ist demnach uberflussig und m a n findet xj = [ - 6,O 6,5 ] .

Sobald die Gleichungssysteme etwas groRer werden, ist die Durchfuhrung des Tests ( 1 . 7 3 ) mindestens ebenso aufwendig wie die Berechnung der Losung selbst. Es ist deshalb wenig sinnvoll, erst zu untersuchen, ob eine Losung existiert und diese dann zu berechnen. ZweckmaBigerweise beginnt

42

1. Mathematische Grundlagen

man also sofort mit der Berechnung. Falls keine Losung gefunden werden kann, zeigt sich dies wahrend des Ablaufes. Bevor die Losungsverfahren vorgestellt werden, wird noch ein Zusatz eingefugt. Es ist mehr die Ausnahme als die Regel, daB nur eine rechte Seite gegeben ist. Zum Beispiel wird bei der Berechnung einer Brucke nicht nur eine Verkehrslast aufgebracht, sondern mehrere und daruber hinaus auch noch Windlasten, Montagebelastungen u.s.w. Alles dieses wirkt sich unter anderem auf die rechten Seiten aus. Die Verallgemeinerung von ( 1 . 7 2) ist

2 j

a,, 1J

x, Jk

= bik

; ( i = 1... m ; j = l... n ; k = l . . . p )

.

Hier wurden p rechte Seiten eingefuhrt. Zu jeder rechten Seite bik laJ3t sich eine Losung xjk berechnen. Will man nun, zum Beispiel bei einer ~ b e r lagerung von Belastungsfallen, Linearkombinationen der rechten Seiten vornehmen, dann geschieht dies durch

m ; k =l . . .p ; 1 =l... Durch die Matrix ckl werden die beabsichtigten Kombinationen erzeugt. Die den neuen rechten Seiten bil zuzuordnenden Losungen miissen nicht aus dem linearen Gleichungssystem ( 1 . 7 4) berechnet werden, sondern sie ergeben sich aus den gleichen Linearkombinationen wie die rechten Seiten.

Diese Eigenschaft bezeichnet man als das Superpositionsgesetz. Es gilt nur fur lineare Systeme! Von hier ab soll nur noch der Normalfall untersucht werden, das heiBt, Systeme mit ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten, denn bei ihrer Losung mussen alle anderen Gleichungssysteme auf diesen Fall zuruckgefuhrt werden. Aus ( 1 . 7 2) wird nun

Mit Hilfe der in ( 1 . 2 1 ) definierten Kehrmatrix la8t sich die Losung explizit angeben.

Dies setzt naturlich voraus, daB die Matrix aij nicht singular ist. Wie schon bei ( 1 . 7 1) festgestellt wurde, gilt dann

Mit der in (1.78 ) explizit ausgeschriebenen Losung soll keinesfalls ausgesagt werden, daB die Berechnung der Kehrmatrix ein notwendiger Schritt

1.4 Lineare Gleichungen

43

bei der Ermittlung der Losung ist. Es gibt wirtschaftlichere Verfahren, die noch zu besprechen sein werden. Ebenso wie bei den Determinanten gibt es spezielle Rechenvorschriften fur die Handrechnung. Nach der Cramerschen Regel berechnet sich die Losung aus det ( a i l . . . a 1. , J.- 1 b1. , ai, J. + l. . . sin) X. = ; ( jI n ) . (1.80) J det ( a )

.

Die Determinante im Zahler ist von der Matrix aij zu nehmen, in der die j-te Spalte durch die rechte Seite bi ersetzt wurde. Die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite eines Systems von drei Gleichungen seien z u m Beispiel

D e r zweite T e r m der Losung folgt dann aus

Als MaB fur den Aufwand solcher Berechnungen gibt man im allgemeinen die Zahl der benotigten Multiplikationen an. Sie ist fur eine Determinantenberechnung nach ( 1 . 6 2) gleich n ! ( n - 1 ) . Da insgesamt n + 1 Determinanten auszurechnen sind. ist die Gesamtzahl

Fur etwas groflere Gleichungssysteme wird diese Zahl so groJ3, daB eine Losung ausgeschlossen ist. Glucklicherweise gibt es effizientere Algorithmen als die Cramersche Regel! Die Cramersche Regel laBt sich auch auf die Berechnung von Kehrmatrizen anwenden. Sie lautet dann -

aji

Hierin ist das algebraische Komplement (1.64). Fur die Handrechnung und kleine n ist ( 1 . 8 2 ) sehr brauchbar, auBerdem auch fur die Herleitung wichtiger Eigenschaften von Kehrmatrizen. So findet man, daB eine Symmetrie ( 1 . 5 ) , Antisymmetrie (1.6) oder Dreiecksform von (1.8) und ( 1 . 9 ) von der Ausgangsmatrix auf die Kehrmatrix ubertragen wird.

44

1. Mathematische Grundlagen

Nicht ubertragen wird die Form einer Bandmatrix von (1.1O ) , es sei denn, der Bandbreitenparameter m ist gleich null, wodurch eine Diagonalmatrix entsteht.

1.4.3 Dreieckszerlegung Schon aus der Handrechnung ist das Eliminationsverfahren zur Losung linearer Gleichungen bekannt. Man greift eine Gleichung heraus, lost sie nach einer der Unbekannten auf und ersetzt diese damit in den verbleibenden Gleichungen. Dies wiederholt man so oft, bis man zum SchluB bei einer Gleichung mit nur einer Unbekannten anlangt. Man hat nun ein gestaffeltes Gleichungssystem: je eine Gleichung mit einer, zwei, drei u.s.w. Unbekannten. Die Gleichung mit einer Unbekannten kann man unmittelbar losen. Das Ergebnis setzt man in die nachsthohere Gleichung ein, um daraus die zweite Unbekannte zu berechnen. Mit der ersten und zweiten Unbekannten geht man in die Gleichung mit drei Unbekannten, findet die dritte u.s.w.. Dieses Vorgehen sol1 nun in programmierbare Anweisungen ubersetzt werden. Das Verfahren gliedert sich in zwei Teile: die Herstellung des gestaffelten Gleichungssystems, was als Dreieckszerlegung bezeichnet wird, und das Einsetzen der berechneten Unbekannten, auch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen genannt. Diese beiden Vorgange konnen separat oder ineinander verschachtelt ausgefuhrt werden. Da die Gleichungsysteme, wie bei (1.7 4 ) besprochen, haufig fur mehrere rechte Seiten zu losen sind, ist es zweckmaBig, die zwei Vorgange getrennt zu halten. Die nur von der Koeffizientenmatrix abhangige Dreieckszerlegung braucht dann nur einmal fur ausgefuhrt zu werden, wahrend das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen jede rechte Seite erneut durchzufiihren ist. Es wird sich zeigen, daB die Dreieckszerlegung bei weitem der aufwendigere Vorgang ist. Eine quadratische Matrix aij kann auf beliebig vielen Wegen in ein Produkt von zwei quadratischen Matrizen zerlegt werden.

a.. 1J

=

gj lik rkl

Erst durch Zusatzbedingungen ergibt sich hieraus ein eindeutiger Vorgang. Es wird gefordert, daB lik eine untere (linke) und rkj eine obere (rechte) Dreiecksmatrix sein sollen.

Die beiden Matrizen besitzen zusammen n + n von null verschiedene, unabhangige Koeffizienten. D a aij nur n Koeffizienten hat, kann die

1.4 Lineare Gleichungen

45

Faktorisierung ( 1 . 8 5 ) noch nicht eindeutig sein. Einstweilen sol1 uns dies noch nicht beschaftigen. D a die Faktoren lik und rkj Dreiecksmatrizen sind, nimmt ihr Produkt eine besondere Form an. Die ersten Gleichungen werden ausgeschrieben, wobei die Glieder, die wegen ( 1 . 8 6 ) null sind, weggelassen sind.

Um die Terme ( l i i rii) wurden Klammern gesetzt, um anzudeuten, dal3 sie ohne zusatzliche Annahmen nicht aufgespalten werden konnen. Abgesehen davon lassen sich die Koeffizienten der Dreiecksmatrizen ohne Schwierigkeiten der Reihe nach aus dem gestaffelten Gleichungssystem berechnen. Die Reihenfolge ist dabei teilweise beliebig. Man kann zeilen- oder spaltenweise vorgehen oder auch beides zugleich. Geht man zeilenweise vor, dann entsteht der folgende Algorithmus.

Beginnend mit der angegebenen Untergrenze sind die Indizes steigend bis zu den Obergrenzen zu durchlaufen. Die drei Zeilen des Algorithmus werden hintereinander mit i als dem aul3eren Schleifenindex ausgefuhrt. Die inneren Schleifen j und k beziehen sich jeweils auf die einzelnen Zeilen von (1.8 7 ) . Falls die Ober- kleiner als die Untergrenze sein sollte, wird der entsprechende Teil der Operation nicht ausgefiihrt. Die ersten Schritte sind also

46

1. Mathematische Grundlagen

Die Diagonalglieder lii und rii treten nur als Teiler auf. Deshalb wurden -1 . deren Kehrwerte und rii emgefiihrt, um die Zahl der Divisionen zu verkleinern. Da diese Kehrwerte, wie sich zeigen wird, gleichzeitig auch die entsprechenden Koeffizienten der inversen Dreiecksmatrizen sind, ist eine Verwechselung mit diesen gegenstandslos.

liil

Aus dem Dreieckszerlegungs-Algorithmus ( 1 . 8 7 ) geht noch nicht hervor, wie die Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen, beziehungsweise deren Kehrwerte, zu berechnen sind. Zu ihrer eindeutigen Bestimmung fehlen noch n Annahmen. Bevor diese getroffen werden konnen, muB die besondere Bedeutung der Diagonalkoeffizienten naher untersucht werden. Wach dem Determinantentheorem ( 1 . 6 9 ) ist die Determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt aus allen Diagonalkoeffizienten. Es ist also

Da die Koeffizientenmatrix aij mit ( 1 . 8 5) das Produkt der Dreiecksmatrizen lik mit rkj ist, folgt aus dem Satz ( 1 . 7 0 )

Dies ist ein bemerkenswertes Resultat! Wir konnen die Determinante aus dem Produkt samtlicher Diagonalkoeffizienten der beiden Dreiecksmatrizen berechnen. Wie sich noch zeigen wird, ist die Dreieckszerlegung wesentlich wirtschaftlicher auszufuhren als eine Determinantenberechnung nach ( 1 . 6 1 ) oder den daraus hergeleiteten Formeln. Nebenher wird hier also auch ein wirtschaftliches Verfahren zur Berechnung von Determinanten erarbeitet. In ( 1 . 7 9 ) wird gefordert, daB die Determinante der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems nicht null sein darf. Anderenfalls existiert keine Losung. Das Produkt aller Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen ist dann mit ( 1 . 8 8 ) ebenfalls nicht null. Eine Festlegung, in der einzelne oder alle Diagonalkoeffizienten null gesetzt werden, ist also ungeeignet. Sonst besteht weitgehende Freiheit. Fur die bekanntesten Berechnungsverfahren gilt:

1.. 11

=

1

, i

=

1 . . .n

, (Gauh', Doolittle)

;

(1.8 9 )

1.4 Lineare Gleichungen

r .

=

1

, i

111

=

abs (5i)

, ( i = 1 . .n )

1I

= 1 . ..n

, (Crout)

,

47 (1.9 0 )

;

( ~ u a d r a t w u r z e l Verfahren) -

.

(1.9 1 )

Es ist heute ziemlich belanglos, welche Wahl man trifft, da alle modernen Rechner uber eine Gleitkomma-Arithmetik verfugen. Das QuadratwurzelVerfahren ist vorteilhaft fur symmetrische Koeffizientenmatrizen, weil sich dann eine der beiden Dreiecksmatrizen vollstandig ersetzen lafit. Dies wird in Abschnitt 1 . 4 . 6 noch naher erlautert. Ein Gleichsetzen der Diagonalglieder in (1.9 1 ) hatte unter Umstanden zur Folge, daB imaginare Zahlen auftreten, wenn namlich das Produkt lii rii negativ ist. Urn dies zu vermeiden, muB ein Vorzeichenwechsel stattfinden konnen. Ob nun, wie hier, lii stets positiv sein soll oder rii, ist nebensachlich. Als Beispiel fiir die verschiedenen Dreieckszerlegungs-Verfahren Matrix dienen:

soll folgende

Die Dreiecksmatrizen werden mit den Festlegungen (1.89) bis (1.9 1):

In dem Algorithmus (1.8 7 ) werden in jeder Zeile fertige Koeffizienten der Dreiecksmatrizen berechnet, das heifit, Zwischenergebnisse fallen nicht an. Dies war die optimale Organisation fur mechanische Tischrechenmaschinen, in denen die Teilsummen im Register abgespeichert, aber nicht abgelesen und notiert wurden. In elektronischen Rechnern ist der Vorgang anders: Jedes Zwischenergebnis wird abgelegt und wiederaufgerufen. Dadurch eroffnet sich die Moglichkeit, den Berechnungsablauf grundsatzlich anders zu organisieren. Von den Gesichtspunkten, die hierbei eine Rolle spielen konnen, soll einer herausgegriffen werden: Wie sieht der Algorithmus aus, wenn jeweils alle gleichzeitig ausfuhrbaren Teiloperationen zusammengefaBt werden? Diese Organisation eignet sich besonders fur moderne Rechner mit Parallel-Prozessoren. Wie sich zeigen wird, ist sie auch sehr nutzlich fur eine Abschatzung des Berechnungsaufwandes und der Speicherplatzbelegung.

48

1. Mathematische Grundlagen

D e r auBere Schleifenindex ist i, gefolgt von j, dann k. Fur jeden der aufsteigenden W e r t e des Index i sind samtliche Operationen in einer Zeile des Algorithmus ( 1 . 9 2 ) parallel ausfuhrbar, sobald die vorhergehende Zeile abgearbeitet ist. Mit a ! i ) werden Zwischenergebnisse bezeichnet. ~k Zu Beginn der Berechnung gilt a ! ' ) = a j k . Wie schon im Algorithmus ~k ( 1 . 8 7 ) wurden wieder die Kehrwerte der Diagonalglieder benutzt, deren Trennung durch eine Festlegung der A r t (1.8 9) bis ( 1 . 9 1 ) zu erfolgen hat. Die Berechnung der Determinante (1.8 8) laBt sich nun so schreiben:

Dies kann wahrend der Dreieckszerlegung sehr einfach mitlaufen. Zunachst wird angenommen, daB keiner der Faktoren zu null wird. Als MaB fur den Aufwand wird, wie schon bei der Cramerschen Regel (1.8 l ) , die Zahl der Multiplikationen gewahlt. In der zweiten Zeile des Algorithmus (1.9 2) entstehen zweimal (n- i ) Multiplikationen und in der dritten ( n - i ) 2 , jeweils fur einen der n Durchlaufe. Die Summe ist also

Nach Einsetzen der passenden Summenformeln ergibt sich daraus

Fur groRere n dominiert der Term mit n 3 . An dieser Stelle ist eine Bemerkung zur Wirtschaftlichkeit von Algorithmen angebracht, die in der numerischen Mathematik gebrauchlich ist. Es sei n ein Parameter zur Beschreibung der GroBe des zu losenden Problems und p eine Zahl groBer als eins, die fiir einen Algorithmus kennzeichnend ist. Die Zahl der zur Losung benotigten Berechnungsschritte ist in etwa proportional zu n P fur einen effizienten Algorithmus und p n fur einen ineffizienten. Mit wachsender Grol3e n steigt der Aufwand in einem ineffizienten Algorithmus unverhaltnismaBig starker an als bei einem effizienten. Wie es zu dieser Aussage kommt, kann man sich leicht klar machen zum Beispiel mit n = 1000 und p = 3. Im ersten Fall ergibt das 10 9 , im zweiten Fur die Dreieckszerlegung folgt aus ( 1 . 9 4 ) , daR p gleich 1,3

1.4 Lineare Gleichungen

49

drei ist; sie ist also effizient. Ineffizient ist dagegen die Cramersche Regel mit dem Aufwand von (1.8 1 ) . Dem Algorithmus (1.9 2 ) kann man entnehmen, daB nach Beendigung der Berechnung eines neuen End- oder Zwischenergebnisses jeweils ein bis dahin gebrauchter Koeffizient nicht mehr fur den weiteren Ablauf verwendet wird. Nach der Berechnung von (lii r i i ) - l wird a i i ) uberflussig, nach I.. Jl ist es a(.'), nach r a(.') und nach a("') kann man auf a):', verrichten. Jl IJ V Jk Es sind genau die Koeffizienten, die die gleichen Indizes tragen wie die neu berechneten. Dies wird sehr oft ausgenutzt, um die Anfangsmatrix, die Zwischenwerte und die Resultate in einem gemeinsamen Bereich abzuspeichern. Diese ~ b e r s ~ e i c h e r uist n ~nicht nur wirtschaftlich, sie vermittelt zugleich auch ein anschauliches Bild von dem Ablauf des Algorithmus.

1

(inaktiver Bereich)

1

(aktiver Bereich)

I

Bild 1.8: Speicherplatzbelegung bei ~ b e r s ~ e i c h e r uim n ~Dreieckszerlegungs-Algorithmus ( 1 . 9 2 ) nach Durchlaufen der BuReren Schleife i .

Bild 1 . 8 zeigt die Belegung der Speicherplatze fur den Fall, daB die Matrix aij in dem ebenen Matrizenschema ( 1 . 1 4) angeordnet wurde. Die Berechnungen beginnen in der linken oberen Ecke. In der Schleife i wird zunachst (lii rii)-' berechnet, dann folgen die Elemente der Dreiecksmatrizen 1.. Jl und rikund schlieBlich die Zwischenergebnisse a ( "'I. Die nachste Schleife Jk beginnt danach um eine Zeile und Spalte nach rechts unten versetzt. Das Schema von Bild 1 . 8 stellt allen Koeffizienten, die wahrend der Berechnung gebraucht werden, einen Speicherplatz zur Verfugung. Damit ist der Maximalbedarf abgedeckt. Nun kommt es aber haufig vor, bei Finit-Element-Berechnungen insbesondere, daB die Koeffizientenmatrix nicht vollbesetzt ist. Dies will heiBen, daB etliche oder sogar viele der Koeffizienten aij null sind. Wie sich zeigen wird, ist es auBerordentlich lohnend, nachzupriifen, welche Einsparungen von Speicherplatz und Rechenzeit sich daraus ergeben konnen. D e r Einsatz von modifizierten Dreiecks-

50

1. Mathematische Grundlagen

zerlegungs-Algorithmen, in denen die inneren Schleifen nicht durch die GroBe n , sondern durch den jeweils benotigten Bedarf gesteuert werden, hat der Finit-Element-Methode erst die Wirtschaftlichkeit verliehen, die sie fiir technische GroBanwendungen geeignet machte. In der Berechnungsgleichung fur die Determinante (1.9 3) wurde angenomungleich null sind. Aus der ersten Zeile men, daB die Zwischenwerte a:)' des Algorithmus (1.9 2) folgt damit, daB auch die Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen (Iii r i i ) - ' nicht verschwinden. In der zweiten Zeile von (1.9 2 ) folgt daraus wiederum, daB diejenigen lji und rij nicht null werden; deren zugeh6rige a!.i) und a!.i) ungleich null sind. Dies iibertragt sich Jl IJ dann in der dritten Zeile von (1.9 2 ) , von Zufalligkeiten abgesehen, auf die sowohl f i r a ( ' ) ungleich null (Wiederbelegung), entsprechenden a:;+'), ~k als auch f i r a! i, gleich null (Neubelegung). Dies wiederholt sich in jedem ~k Berechnungszyklus i. Tragt man die nichtverschwindenden Koeffizienten in dem Schema des Bildes 1 . 8 auf, dann findet man, daB sie innerhalb zweier Profillinien liegen, die die mit nicht verschwindenden Termen belegte Zone um die Diagonale von leeren Zonen weiter auBerhalb abgrenzen. In Bild 1 . 9 ist ein Beispiel gezeigt.

I E E E x D x x x D x

Bild 1.9: Belegungsplan bei einer Dreieckszerlegung, Profillinien und BandbreitenParameter. Nur nicht verschwindende Koeffizienten sind gekennzeichnet: D = Diagonale, E = Eckterme, x = innere Koeffizienten.

Die Konstruktion der Profillinien ist denkbar einfach: Im linken Dreieck darf die Verbindung der auBeren, nicht verschwindenden Koeffizienten, der Eckterme, entlang der Zeilen nicht unterbrochen werden, im rechten Dreieck mussen die Eckterme entlang der Spalten mit der Diagonalen verbunden bleiben. Die inneren Koeffizienten konnen anfangs null sein; sie werden wahrend der Berechnung belegt. Die Profillinie erzeugt fur jede Spalte und Zeile einen Bandbreiten-Parameter. Dies ist eine Verallgemeinerung des Bandbreiten-Parameters m von ( 1 . 1 0 ) . Die Bandbreiten-Parameter li und mi zahlen von der Diagonale

1.4 Lineare Gleichungen

51

ausgehend in jeder Spalte, beziehungsweise Zeile, die Koeffizienten innerhalb der Profillinien. Lucken werden dabei ubersprungen; die Diagonale zahlt nicht mit. Mit den Bandbreiten-Parametern laBt sich der gesamte Speicherplatzbedarf fur eine Dreieckszerlegung angeben. E r ist, ohne die Diagonalterme einzuschlieBen

Dieser W e r t wird auch als Profil bezeichnet. Als MaB fur den Aufwand bei einer Dreieckszerlegung wurde in ( 1 . 9 4 ) die Zahl der Multiplikationen angegeben. Unberucksichtigt blieb dabei, dal3 ein Teil der Koeffizienten null sein kann. Wir sind nun in der Lage, den Aufwand abzuschatzen, der sich bei einer konsequenten Vermeidung unnotiger Operationen einstellt. In der zweiten Zeile des Algorithmus (1.9 2 ) werden in der Schleife i zusammen li + mi Multiplikationen ausgefuhrt, und in der dritten Zeile sind es li . mi.

Es wird der quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter gebildet.

Hiermit und mit ( 1 . 9 5) ergibt sich dann die Zahl der Multiplikationen

Fur groBere Probleme ist der erste Term dominierend. Bemerkenswert ist an diesem, daB die GroBe n nur linear eingeht. Nicht die GroBe des Problems hat deshalb den ausschlaggebenden EinfluB auf den Aufwand, sondern der die Belegung mit von null verschiedenen Koeffizienten ausdruckende quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter. Dieser laBt sich durch Umordnen der Gleichungen haufig so andern, daB der Aufwand und damit auch der Platzbedarf drastisch sinken. Die bei einer Umordnung verfolgte Strategie muB versuchen, die von null verschiedenen Koeffizienten moglichst nahe an die Diagonale der Matrix heranzubringen, so daB sich etwa die Form einer Bandmatrix ( 1 . 1 0 ) einstellt. Einzelne ))AusreiRerc, das heiBt Koeffizienten, die weit auBerhalb des Bandes stehen, sind dabei relativ unschadlich. Algorithmen, die fur diesen Zweck eingesetzt werden, heinen Bandbreiten-Optimierer. Eine treffendere Bezeichnung ware P r o f i Verbesserer, da nicht die Bandbreite, sondern der quadratische Mittelwert ausschlaggebend ist und sich auBerdem ein Optimum nur sehr schwer finden und nachweisen laBt.

m

Fiir den storungsfreien Ablauf des Algorithmus ( 1 . 9 2 ) muBte zunachst vorausgesetzt werden, dal3 die Diagonalglieder a i i ) samtlich ungleich null

52

1. Mathematische Grundlagen

sind. Diese Voraussetzung wird nun fallengelassen. Wenn im ersten Schritt einer Schleife i ein a A i ) = 0 auftaucht, dann steht e s einem frei, aus der Menge der noch vorhandenen a !i ) , ( j ,k = i . . . n ) , einen geeigneten KoeffiziJ k enten auszuwahlen und diesen durch Zeilen- und Spaltenvertauschung an die Stelle von a i i ) zu setien. Allerdings muB man dabei beachten, daB die Determinante (1.9 3) ihr Vorzeichen wechselt, falls eine ungerade Zahl von Vertauschungen vorgenommen wird. Auch das Profil der Matrix andert sich. Bei der Strategie der maximalen Drehelemente werden in jeder Schleife i derartige Vertauschungen vorgenommen, daB das absolut groBte, vorhandene a ( i, die Rolle des Diagonalelementes a i i ) ubernimmt. Hier~k durch werden auch noch die Rundungsfehler minimiert. Ungeachtet dessen kann es vorkommen, daB iiberhaupt kein Element aJ! ki ) mehr da ist, das nicht null k t . Der Dreieckszerlegungs-Algorithmus muB dann abgebrochen werden, denn die Matrix ist singular. Der Rang der Matrix ist so grol3, wie die Zahl der erfolgreich durchgefiiihrten auBeren Schleifen, das heiBt, bei einem Abbruch in der Schleife i ist e r i - 1. Wie man sieht, wird bei einer Dreieckszerlegung nicht nur die Determinante ( 1 . 9 3) mitgeliefert, sondern auch noch der Rang! In numerischen Berechnungen kommt es selten vor, daB man exakte Nullen antrifft. Stattdessen findet man Zahlen, die im Verhaltnis zu den ubrigen sehr klein sind. Als eine nnumerische Nullc kann man eine Zahl bezeichnen, deren Absolutwert kleiner als eine festzulegende Toleranz E ist.

Hierin ist k ein Erfahrungswert, der im allgemeinen zwischen 5 und 50 liegt. E r wird mit dem Absolutwert des groRten vorkommenden Koeffizienten multipliziert und dann bis an den Rand der moglichen Genauigkeit der dezimale Wortlange ru des verwendeten Rechners verschoben. Anstelle des Maximalwertes begnugt man sich haufig mit einer Schatzung. Durch die zum Teil willkurliche Festlegung (1.9 8 ) wird der Begriff der Singularitat und des Ranges einer Matrix relativiert. Die Schleife, in der der Dreieckszerlegungs-Algorithmus eventuell abbricht, kann von der GroBe der Toleranz E abhangen. Ein zu grol3es E kann einen zu kleinen Rang vortauschen und umgekehrt. In solchen Fallen wird man die Berechnung mit einer groBeren Genauigkeit, das heiBt, mit einer groBeren Wortlange, wiederholen mussen. Dabei genugt es nicht, nur die Arithmetik umzustellen, auch die Eingangsdaten mussen mit der grol3eren Genauigkeit aufgestellt werden. Der Grund hierfur liegt darin, dal3 nicht die bei der Berechnung auftretenden Rundungsfehler primar fur das Versagen verantwortlich sind, sondern die durch die endliche Wortlange verursachten Abbruchfehler. Es ist das Problem der kleinen Differenzen von groBen Zahlen:

1.4 Lineare Gleichungen

53

Erst mit einer ausreichenden Wortlange 1aBt sich zum Beispiel 100000001 von 100000000 unterscheiden! Matrizen, bei deren Dreieckszerlegung diese Probleme auftreten, bezeichnet man als schlecht konditioniert. Es gibt verschiedene Definitionen fur sogenannte Konditionszahlen. J e aussagekraftiger sie sind, desto aufwendiger ist ihre Berechnung. Ein einfaches Verfahren zum Erkennen eines moglichen Genauigkeitsverlustes ist: Wahrend einer Dreieckszerlegung werden alle verwendeten Drehelemente a L i ) ausgegeben; ein mehr oder weniger pl8tzliches Absinken in die GroBenordnung der ),numerischen Null<
1.4.4 Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen Nach der Dreieckszerlegung ( 1 . 8 5) wird aus dem Gleichungssystem (1.7 7)

Dies wird mit Hilfe von Zwischenwerten yk in zwei Teilprodukte zerlegt.

D a die Matrizen lik und rkj die in (1.8 6 ) definierte Dreiecksform haben, entstehen beim Ausschreiben gestaffelte Gleichungen. b,=

111 y 1

b , = l 21 y 1

+

I22 y2

b , = l 31 y 1

+

132 y2 + 133 y3

Yn

n

Yn-1 'n-2

= rnn -

-

'n-l,n

=

rn

2 , n

X

n

xn

+

+

r n - , n -

; U.S.W.

X

n-I

rn - 2 , n - 1 x n - 1

+

rn 2 , n - 2 xn - 2 ; U.S.W.

In der gezeigten Reihenfolge der Gleichungen lassen sich der Reihe nach durch Vorwarts-Einsetzen die Zwischenwerte yi berechnen und danach durch Riickwarts- Einsetzen die gesuchten Losungen xi.Die zusammenge faBten Rechenablaufe sind dann

Die Algorithmen werden nacheinander ausgefuhrt, fur jede rechte Seite bi einmal. Dabei ist i der auBere und j der innere Schleifenindex. Beim Vorwarts-Einsetzen ( 1 . 1 0 0) laufen sie steigend, beim Ruckwarts-Einsetzen

54

1. Mathematische Grundlagen

( 1 . 1 0 1 ) fallend. Anstelle der Diagonalglieder wurden ihre bereits im Algorithmus (1.9 2) berechneten Kehrwerte verwendet. Als MaB fur den Aufwand werden wieder die Multiplikationen gezahlt. Beide Einsetz-Algorithmen zusammen benotigen nur

Das dominierende Glied ist n 2 , das im Vergleich zu n fur den Aufwand (1.9 4) in der Dreieckszerlegung unbedeutend ist. Dieses Verhaltnis andert sich auch nicht, wenn die Algorithmen unter Ausnutzung des Profils wirtschaftlicher gemacht werden. Damit wird klar, was schon vorher gesagt wurde, daB namlich mehrere rechte Seiten bei der Gleichungsauflosung kaum ins Gewicht fallen. D e r groBte Aufwand steckt in der Dreieckszer1egung!

1.4.5 Inversion Wie in ( 1 .7 8 ) angegeben, kann die Losung eines linearen Gleichungssystems uber die Kehrmatrix der Koeffizientenmatrix erfolgen. Fur groBe Matrizen und wenige rechte Seiten ist dies jedoch extrem unwirtschaftlich. Erst wenn die Zahl der rechten Seiten annahernd die GroBe n des Problems erreicht, oder wenn eine Kehrmatrix als solche gebraucht wird, ist ihre Berechnung angezeigt. Nach einer erfolgten Dreieckszerlegung kann eine Kehrmatrix ganz einfach durch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen schrittweise ermittelt werden. Als rechte Seiten benutzt man der Reihe nach die Spalten der Einheitsmatrix S j k ; die zugehorigen Losungen xjk sind dann die entsprechenden Spalten der Kehrmatrix a;*'. Das Verfahren hat aber den Nachteil, daB viele Operationen mit den Nullelementen der rechten Seiten ausgefuhrt werden, die bei einer geschickteren Formulierung vermieden werden konnen. Nach der Dreieckszerlegung werden zuerst die Dreiecksmatrizen invertiert. Sie befriedigen die aus den Definitionsgleichungen ( 1 . 2 1 ) ausgewahlten Gleichungen

Die Kehrmatrizen von Dreiecksmatrizen sind wegen ( 1 . 8 4) auch wieder Dreiecksmatrizen. Es gilt also

ljk

-

lkj

=

r.- 1 = r ~k

k?

=

0 ; ( i < k <j)

.

Fur i kleiner als j sind die Gleichungen identisch null erfullt. Fur i gleich j ergibt sich

1.4 Lineare Gleichungen

55

Damit ist bewiesen, was bei ( 1 . 8 7 ) schon behauptet wurde: Die Kehrwerte der Diagonalglieder der Dreiecksmatrizen sind gleichzeitig auch die Diagonalglieder der inversen Dreiecksmatrizen. Diese Kehrwerte wurden schon bei der Dreieckszerlegung berechnet. Es mussen nun noch die ubrigen Koeffizienten der inversen Dreiecksmatrizen ermittelt werden. Hierzu werden die oben noch verbleibenden Gleichungen fiir den Bereich i 2 k 2 j zeilenweise ausgeschrieben.

1-1

I21 1li1+ I22 21 -1 r r + r-'r 11

12

1 ' ;'

'31

22

12

2

3

+

=

0

=

O

+

r -1 r

+

'32

+

I,3

1

=

0

+

r-' r

=

o

11

13

2

-1

r22

r23

r-1

'33

+

12 r23

23

33

13

-l = '31

0

=

0

33

; u.s.w.

rz

Aus der ersten Zeile laRt sich l i l berechnen, aus der zweiten und aus den folgenden dann l i l , r;:, ,;I r:; und so weiter nach folgendem Schema:

1i-j l -1

r..

J1

=

-

-1 1.. 11

= -

-1

r.. 11

2

1. 1 -.I ; 1k k~

T; 'jk

-1

(1.104)

. ( i =2 . . . n ; j = l . . . i - 1 ; k = j ...

rki

Die beiden Inversionen werden gleichzeitig ausgefuhrt; i ist der auBere, j der innere Schleifenindex, beide steigend. Eine uberspeicherung von lij durch 1.:' und r.. durch r . y l ist moglich. 1J

Jl

JI

Sobald die Dreiecksmatrizen in ( 1 . 1 0 4 ) invertiert sind, kann die Kehrmatrix von aij berechnet werden. Aus der Umkehrung von ( 1 . 8 5) folgt: a -1 . 1J

-

2k

-1

-1

rik lkj

; ( i , j = 1 . . . n ; k = m a x ( i , j ) ... n ) .

(1.105)

D a hier zwei Dreiecksmatrizen multipliziert werden, ergeben sich von null verschiedene Terme in der Summe nur dann, wenn der innere Schleifenindex k groBer ist als der groBere der beiden Indizes i und j . Die inversen Dreiecksmatrizen konnen durch die entsprechenden Terme von a .TI uberspei1J chert werden. Die Zahl der Multiplikationen in den Algorithmen ( 1 . 1 0 4 ) und ( 1 . 1 0 5) ist zusammengefaBt

56

1. Mathematische Grundlagen

Dies ist etwa doppelt so hoch wie der Aufwand fur die Dreieckszerlegung (1.9 4 ) . Das oben erwahnte Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen der Spalten von 8.. fur die Ermittlung der Kehrmatrix benotigt dahingegen n-ma1 den 1J Aufwand von (1.102),also Z = n 3 + n 2 . D a die Berechnung einer Kehrmatrix relativ selten vorkommt und schon gar nicht fur sehr groBe Probleme, sol1 die Parallel-Organisation der Algorithmen hier nicht behandelt werden. Im allgemeinen sind KehrmatriZen auch voll besetzt, was bedeutet, daR die Profillinien der Dreieckszerlegung zerstort werden. Nicht voll besetzte Kehrmatrizen entstehen nur dann, wenn die Profillinien ohne Vorsprunge bis an die Diagonale vordringen. Bild 1 . 1 0 zeigt ein Beispiel.

x E

x x

x x

D x

E D

Bild 1.10: Belegungsplan einer Kehrmatrix. Nur nicht verschwindende Koeffizienten sind gekennzeichnet: D

=

Diagonale: E = Eckterme, x

=

innere Koeffizienten.

Am haufigsten tritt der Fall auf, daB quadratische Blockmatrizen entlang der Diagonalen angeordnet sind, wie in dem Beispiel links oben gezeigt. Sowohl die Dreieckszerlegung als auch die Inversion lassen sich dann fur die Teilprobleme getrennt ausfuhren.

1.4.6 Vereinfachung fiir symmetrische Matrizen Bisher wurde bei der Losung linearer Gleichungen nicht berucksichtigt, daB in der Mehrzahl der Anwendungsfalle symmetrische Koeffizientenmatrizen die Regel sind. Prinzipiell andert sich dadurch nichts, aber es sind Einsparungen von Speicherplatz und Rechenzeit in der GroRe von etwa 50% moglich. Dies ist zuviel, um ungenutzt zu bleiben! Von den Koeffizienten der symmetrischen Matrix

muB nur ein Dreieck gespeichert werden. W i r werden uns hier fur das obere Dreieck entscheiden, also j 2 i , und die Algorithmen so anpassen, daB sie bei der schon besprochenen uberspeicherung mit diesem Speicherplatz auskommen. Hierzu wird die untere Dreiecksmatrix von (1.8 5) durch die obere ersetzt.

1.4 Lineare Gleichungen

57

sgn( rii) r . . 1J

Die Vorzeichenfunktion ,,sgncc nimmt den W e r t + 1 an, wenn das Argument rii positiv ist, sonst - 1 . Fiir i = j ergibt sich hieraus

Dies zeigt, daB die Festlegung des Quadratwurzelverfahrens ( 1 . 9 1 ) in ( 1 . 1 08 ) enthalten ist. Aus dem Parallel-Algorithmus ( 1 . 9 2 ) entsteht durch Einsetzen von ( 1 . 1 0 8 ) ein Dreieckszerlegungs-Algorithmus fiir symmetrische Matrizen.

Der Ablauf der Schleifen und die uberspeicherung sind dieselben wie beim Algorithmus (1.9 2 ) . Auch die Speicherplatzbelegung bleibt gleich, mit der Einschrankung, daB nur das obere Dreieck benotigt wird und nur die obere Profillinie. Bei einer positiv definiten Matrix aij sind die Diagonalglieder a.!i) stets positiv, so daB die Funktionen ,isgncc und nabs(<entfallen konnen. 11 Aus ( 1 . 1 0 9) wird damit der bekannte Cholesky-Algorithmus. Die Zahl der Multiplikationen ist bei voller Besetzung der Matrix

Im Vergleich zu dem Aufwand ( 1 . 9 4 ) fiir die Dreieckszerlegung einer unsymmetrischen Matrix hat e r sich hier auf etwa die Halfte verringert. Wird bei der Dreieckszerlegung die Profillinie eingesetzt, dann spricht man von einem Skyline-Algorithmus. Denkt man sich in Bild 1 . 9 die Diagonale waagerecht aufgetragen und die dariiber stehenden Spalten des oberen Dreiecks senkrecht, dann gewinnt die Profillinie eine gewisse Ahnlichkeit mit der Silhouette einer GroBstadt. Daher der Name. Die Bandbreiten-Parameter mi sind jetzt allein fur das Profil verantwortlich. Anstelle von (1.9 5) erhalt man

Der quadratische Mittelwert der Bandbreiten-Parameter ist

58

1. Mathematische Grundlagen

Anstelle von (1.9 7 ) findet man dann

Dies ist nur etwa halb so groR wie vorher Die Strategie der maximalen Drehpunkte kann man wegen der Symmetrie allenfalls nur auf die Diagonalglieder anwenden. Fur positiv definite Matrizen braucht man sie uberhaupt nicht, da alle Diagonalglieder positiv bleiben. Dies ist besonders angenehm, weil sich dann das Profil wahrend der Berechnung nicht andert. Die Algorithmen fur das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen und die Inversion lassen sich auf die gleiche Weise an symmetrische Matrizen anpassen, wie dies fur die Dreieckszerlegung gezeigt wurde. Hierbei ergeben sich jedoch keine neuen Gesichtspunkte. D e r Aufwand fur das Einsetzen einer rechten Seite bleibt unverandert, fur eine Inversion halbiert e r sich, da nur ein Dreieck der Inversen zu berechnen ist.

1.4.7 Iterative Losung Die auf der Dreieckszerlegung basierenden direkten Losungsverfahren fur lineare Gleichungssysteme kommen in der Finit-Element-Methode routinemaBig zum Einsatz. Einer der Hauptgrunde hierfur ist die Wirtschaftlichkeit, vor allem, wenn mehrere rechte Seiten zu bearbeiten sind. Sehr groBe Probleme mit vielen Millionen Freiheitsgraden bereiten jedoch Schwierigkeiten vor allem wegen des Speicherplatzes. Typische Probleme dieser Art entstehen durch dreidimensionale Kontinua oder komplizierte Schalenstrukturen. Hier kann es wesentlich gunstiger sein, iterative Losungsverfahren einzusetzen. Ihr Vorteil ist zunachst der auBerordentlich geringe Speicherbedarf: Nur die von null verschiedenen Koeffizienten und ganz wenige Zwischenergebnisse mussen gespeichert werden. Selbst eine ausgeklugelte Ausnutzung des Profils wahrend der Dreieckszerlegung kann hiergegen nicht konkurrieren, da alle Speicherplatze innerhalb des Profils belegt werden. Ein weiterer Vorteil von speziell angepaBten iterativen Verfahren kann die geringe Rechenzeit fur die Ermittlung einer Losung sein. Eine Dreieckszerlegung dagegen ist die Vorbereitung fur alle Losungen. W a s damit gemeint ist, zeigt folgendes Beispiel: Bei einer singularen Koeffizientenmatrix versagt die Dreieckszerlegung, was ein Zeichen dafur ist, daR eine Losung nicht zu existieren braucht. Dagegen kann ein iteratives Verfahren zum Erfolg fuhren, vorausgesetzt daB die verwendete rechte Seite den Test (1.7 3) passiert.

1.4 Lineare Gleichungen

59

Es gibt sehr viele Iterationsverfahren. Je einfacher die Ausfuhrung eines einzelnen Iterationsschrittes ist, desto mehr Schritte wird man im allgemeinen brauchen. Es ist von vorneherein nicht zu entscheiden, ob ein Verfahren mit einer sehr genauen, aber aufwendigen Berechnung der Schritte wirtschaftlicher ist, als ein vergleichsweise einfaches. In allen Iterationsverfahren werden Versuchsliisungen x [ "I in das Gleichungssystem eingesetzt J und daraur die Abweichungen von der exakten Losung, die Residuen riCv1 berechnet.

Hierin ist v der Iterationsindex. Die Verfahren unterscheiden sich dadurch, wie aus den Residuen r/ v1 die verbesserte Versuchslhsung x[ v'll J ermittelt wird. Das bekannteste und zugleich wohl das einfachste Verfahren tragt den Namen Jacobi. Es arbeitet mit der Vorschrift

Das Verfahren konvergiert um so schneller, je groBer die Diagonalglieder aii im Verhaltnis zu den iibrigen Koeffizienten sind. Es ist ein Gesamtschritt- Verfahren, weil erst alle n Versuchslosungen in ( 1 . 1 1 5 ) berechnet werden, bevor diese dann in ( 1 . 1 1 4 ) eingesetzt werden. D e r Gedanke liegt nahe, beide Gleichungen miteinander zu verschachteln, so daB jede einzelne Komponente der Versuchslosung sofort nach ihrer Berechnung weiterverwendet wird. Auf diese Weise entsteht das nach GauB-Seidel benannte Einzelschritt- Verfahren, das im allgemeinen schneller konvergiert als das Jacobi-Verfahren. Die Konvergenz wird abermals beschleunigt, wenn noch ein ~ b e r r e l a x a t i o n s f a k t o rw eingefiihrt wird, der die Schrittweite gunstig beeinflufit. Das so entstandene SOR- Verfahren (successive over-relaxation) arbeitet mit der Vorschrift:

Es laBt sich nachweisen, daR eine Konvergenz moglich ist fur ein w zwischen null und zwei. Zur Konvergenzbeschleunigung sollte w etwa zwischen 1,l und 1,5 gewahlt werden. Es lieBe sich noch sehr vie1 zu den Eigenschaften der genannten und auch der nicht genannten Iterationsverfahren sagen. Ein Beispiel moge jedoch geniigen, um diesen Abschnitt abzuschlieRen.

60

1. Mathematische Grundlagen

Die Koeffizientenmatrix und die r e c h t e Seite s e i e n (siehe a u c h Beispiel zu (1.80))

Die Losung wird mit dem SOR-Verfahren (1.116) mit e i n e m w = 1,2 berechnet. Im Startvektm xiCo1werden die Versuchsl6sungen gleich n u l l gesetzt. Iteration

Versuchslosungen

V

,C v l

,C v l 2

,C v l

0 1

0 1,s

0 2,82

0 2,136

1

3

Faktor w

Z a h l der Schritte

Die Berechnungen w u r d e n abgebrochen, sobald alle Residuen absolut u n t e r 10K6 lagen. D i e rechte Tabelle zeigt den EinfluR des ~ b e r r e l a x a t i o n s f a k t o r s w auf die Zahl der benotigten Iterationsschritte, u m diese Genauigkeit zu erreichen. Diese Ergebnisse sind naturlich problemabhangig.

1.4.8 Homogene Gleichungssysteme In einem homogenen Gleichungssystem ist die rechte Seite identisch gleich null. Das Problem lautet nun

Wie in dem inhomogenen Gleichungssystem (1.7 7) wurde hier der Normalfall angefuhrt mit ebensoviel Gleichungen wie Unbekannten. Wie leicht einzusehen ist, ist eine triviale Losung xj = 0 immer moglich. Sie ist hier nicht von Interesse. Fur eine regulare Koeffizientenmatrix wird die Losung (1.7 8)

Das ist die triviale Losung. Nichttriviale Losungen sind nur moglich, wenn die Kehrmatrix nicht existiert. Die Koeffizientenmatrix muB dann singular sein, das heiBt

Die Determinante ist null, wenn die Matrix einen Rangabfall oder Defekt d hat.

1.4 Lineare Gleichungen

61

Dieser Defekt wird als bekannt vorausgesetzt. Entweder ist e r von vorneherein bekannt wie zum Beispiel bei einer Eigenvektor-Berechnung durch die Vielfalt d des zugehorigen Eigenwertes, oder e r muB bei groBeren Problemen durch eine Dreieckszerlegung mit Zeilen- und Spaltenvertauschung ermittelt werden. Das Gleichungssystem ( 1 . 1 1 7 ) wird so transformiert, dal3 es die folgende, in symbolischer Matrizenschreibweise dargestellte Form erhalt.

D a diese Transformation im allgemeinen lediglich eine Zeilen- und Spaltenurnstellung beinhaltet, sol1 sie auch als solche beschrieben werden. Die Bedingung ist, daB die ( r . r)-Untermatrix a'' nicht singular wird.

Die hierzu notige Spaltenumstellung mu8 notiert werden, um die Losung zum SchluB wieder zuriicksortieren (-transformieren) zu konnen. Die Unterrnatrix a12 hat die GrijBe ( r . d ) . Die Untermatrizen a21 und a 2 2 werden fur die weitere Berechnung nicht mehr gebraucht, man kann sie also auch von vorneherein weglassen. Die erste Zeile von ( 1 . 1 2 0 ) ist

D a a12 iiber d Spalten verfiigt, konnen auch d linear voneinander unabhangige Losungsteile x 2 definiert werden. Eine geeignete Wahl ist eine Einheitsmatrix.

Damit folgt aus der ersten Matrizenzeile (jetzt wieder in Indexschreibweise)

Dies ist ein inhomogenes Gleichungssystem mit d rechten Seiten zur Bestimmung der d Losungsanteile x? das mit den bekannten Techniken zu ~ k ' losen ist. Bei einer Dreieckszerlegung mit Zeilen- und Spaltenvertauschung wird die Einteilung in die benotigten Untermatrizen automatisch vorgenommen. Sobald der Rang der Koeffizientenmatrix erreicht ist, bricht der Zerlegungs-Algorithmus ab. AnschlieBend werden durch Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen die Losungen x.' von ( 1 . 1 2 3) berechnet. Zusammen mit ~k den Anteilen x; von (1.12 2) ist damit die vollstandige Losung bekannt. Um die Reihenfolge der Spaltenanordnung des urspriinglichen Gleichungssystems

62

1. Mathematische Grundlagen

( 1 . 1 17 ) wiederherzustellen, muB nun die Spaltenvertauschung von ( 1 . 1 2 0 ) durch Urnstellen der Zeilen in den Losungen riickgangig gemacht werden. Die Festlegungen ( 1 . 1 2 2) sind nicht bindend, sie sind nur zweckmanig. Mit anderen Festlegungen erhalt man andere Losungen. Trotzdem ist es unnotig, die Berechnungen im Bedarfsfall zu wiederholen, weil samtliche mogliche Losungen in einem Satz von d linear unabhangigen Losungen enthalten sind. Zur Herstellung neuer Losungen konnen die vorhandenen Losungen durch Linearkombination verandert werden. Dies wurde bereits in ( 1 . 7 6 ) dargestellt. Als Beispiel sollen die Losungen des homogenen Gleichungssystems mit der folgenden Koeffizientenmatrix bestimmt werden. ;

ran(a..) = r = 2 1J

12

6

Eine Moglichkeit, eine nichtsingulfre (2.2)-Matrix a'' zu erzeugen, ist eine Spaltenanordnung in der Folge 1, 3, 4, 2. Die Zeilen brauchen nicht vertauscht zu werden.

I

[ a l l a12

Hiermit erfolgt die Losung von (1.123).

Zusammen mit (1.1 2 2 ) ist dann die vollstandige Losung:

L

_I

Rechts sind die riicksortierten Losungen angegeben. Diese Losungen konnen n u n beliebig linear miteinander kombiniert werden. Die Resultate befriedigen alle das homogene Gleichungssystem.

1.4.9 ubungen ubung 1.29: Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen a . . U

Bestimmen Sie den Rang der Matrizen a . . U

1.4 Lineare Gleichungen

11

9 -6 3 I i ] ; b ) [ 6 4 - 2 - 8 15 3 -2 26 - 2 6 12 - 8 - 2 6 52

; c)

63

bi.c.#O; ( i ,J j =l . . . n )

bung 1.3 1: Besitzt das Gleichungssystem (1.7 2) Losungen x j , w e n n a) a . . von Aufgabe 1.3 0 ( a ) und bi = [ 3 4 5 ] ? JJ 31 - 6 I ? b) a . . v o n A u f g a b e 1.30(b) und bi = [ 18 - 1 2 1J

u b u n g 1.32: Berechnen Sie rnit der Cramerschen Regel f u r die Matrix von Aufgabe 1.29 (b): a) die Losung f u r die rechte Seite bi = [ 1 1 1 1 25 ] ; b) die Kehrmatrix. u b u n g 1.33: Fur ein System von drei Gleichungen wurden zu zwei rechten Seiten bik die zugehorigen Losungen xik berechnet. Nun ist noch eine dritte rechte Seite hinzugekommen. Berechnen Sie die Losung hierzu!

u b u n g 1.34: Fur ein System von n Gleichungen wurden f u r n linear unabhangige Seiten bik die Losungen xik berechnet. La& sich hieraus ruckwarts die Koeffizientenmatrix aij bestimmen? u b u n g 1.35: Fuhren Sie fiir die Matrix aij

folgende Operationen aus: a) Eine Dreieckszerlegung rnit gleichzeitiger Determinanten-Berechnung rnit dem Algorithmus (1.92) bei Festlegung des Quadratwurzel-Verfahrens (1.91); b) Das Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen (1.100) und (1.101) z u r Ermittlung der Losung xi f u r die rechte Seite bi = [ 20 - 16 - 62 1 4 0 1; c Die Inversion rnit dem Algorithmus (1.104) rnit anschlieRender Multiplikation (1.105). u b u n g 1.3 6: Eine ( 9 . 9)-Matrix ist wie gezeigt rnit von null verschiedenen Koeffizienten belegt. -

-

xxxxx X x X x

; a) Bestimmen Sie die Profillinie und die Zahl der f u r X

x

X X

x X

-

eine Dreieckszerlegung benotigten Multiplikationen; b) Sortieren Sie die Zeilen in die Reihenfolge 1:2,6,3, 7,4,8:5:9 und die Spalten in 1,6,2,7,3,8,4,9,5u m und wiederholen Sie Schritt (a); c) Wieviel Speicherplatze belegt die Inverse der umsortierten Matrix?

u b u n g 1.37: In dem gezeigten (Skyline-) Schema sind die von null verschiedenen Koeffizienten des oberen Dreiecks einer positiv definiten, symmetrischen Matrix angegeben.

64

1. Mathematische Grundlagen

- 1 - 1 - 1 - 1 - -1

3

2

4

2

'J 1 3

:il

I-2,i I-

= a..

l,i

a) F u h r e n Sie eine Dreieckszerlegung rnit dem Algorithmus (1.109) aus; b) B e r e c h n e n Sie die Losung f u r die r e c h t e Seite bi = [ 3 - 3 6 - 3 3 1.

u b u n g 1.38: Die Hilbert-Matrix ist nichtsingular u n d positiv konditioniert.

definit, aber extrem s c h l e c h t

Beginnen Sie e i n e Dreieckszerlegung mit dem Algorithmus (1.109) f u r die GroRe n = 4 u n d verwenden Sie dabei e i n e Gleitkomma-Arithmetik rnit drei Dezimalstellen. F u r die Abbruchtoleranz (1.98) w a h l e n Sie k = 5. u b u n g 1.39: Fiihren Sie die ersten drei Iterationsschritte z u r Losung der u b u n g 1.37(b) a u s a) rnit dem Jacobi-Verfahren; b) rnit dem SOR-Verfahren f u r w = 1,25. W a h l e n Sie als Startvektor xiCo1 = 3 i n beiden FBllen. u b u n g 1.40: Die unvollstandige Koeffizientenmatrix eines homogenen Gleichungssystems ist

W e l c h e n Wert muR der Koeffizient a 3 3 a n n e h m e n , damit das System nichttriviale Losungen besitzt? Berechnen Sie e i n e Losung rnit der A n n a h m e x3 = 1. u b u n g 1.41: Bestimmen Sie linear unabhangige Losungen f u r die homogenen Gleichungssysteme rnit den Koeffizientenmatrizen von a) u b u n g 1.30 (b) ; b) u b u n g 1.30 (c) rnit n = 3.

1.5 Interpolation Interpolationsfunktionen werden in der Methode der finiten Elemente dazu benutzt, um die kontinuierlichen Funktionen im Inneren der Elemente rnit den in diskreten Freiheitsgraden dargestellten auBeren GroBen zu verknupfen. In Tabelle 2 . 1 ist dies die Verbindung der auBeren rnit der inneren Darstellungsebene. Da die Gute eines Finit-Element-Modells ganz entscheidend von den verwendeten Interpolationsfunktionen beeinflufit wird, verdient dieser Abschnitt die volle Aufmerksamkeit. Ziel der folgenden uberlegungen ist es, eine gegebene Funktion f durch eine Ersatzfunktion Fanzunghet-n. Handelt es sich dabei urn eine Approximation, dann geschieht dies durch eine Norm wie zum Beispiel durch die des kleinsten Fehlerquadrates. Bei einer Interpolation werden festzulegende Eigenschaften von f u n d 7 einander gleichgesetzt. An ausgewahlten Stiitzstellen konnen zum Beispiel die Funktionswerte iibereinstimmen (Lagrange), Ableitungen der Funktionen (Hermite) oder auch Integrale uber vorgegebe-

1.5 Interpolation

65

ne Bereiche. Die Ersatzfunktion wird auch als Interpolations-Funktion bezeichnet. Die hier entwickelte Darstellung der Interpolation unterscheidet sich in manchem von der gangiger Lehrbucher uber numerische Mathematik. Zunachst sind die benotigten Interpolationen mehrdimensional. Fur eindimensionale Formeln besteht kaum Bedarf. Weiterhin werden Formfunktionen verwendet, die erst mit den finiten Elementen in der praktischen Anwendung aufgetaucht sind, da e s hier nicht darum geht, gegebene Funktionen zu ersetzen, sondern die Interpolationsfunktionen selbst werden zu den beschreibenden Funktionen. Vergleichbare Funktionen gab es zwar schon friiher, nur wurden sie dann als Ansatzfunktionen bezeichnet und nicht unbedingt mit einer Interpolation in Verbindung gebracht.

1 .5.1 Formfunktionen Eine Funktion f und ihre Interpolations- oder Ersatzfunktion durch folgende Bedingung miteinander verknupft:

werden

Hierin steht D ( )p fur einen Interpolations-Operator, dessen n Glieder die A r t der Interpolation vollstandig definieren. Das ist hier noch nicht Z U erkennen, deshalb sol1 zunachst ein Beispiel betrachtet werden.

Bild 1.11: Zweidimensionale Lagrange-Interpolation mit vier Stutzstellen. In Bild 1.11 werden vier Stiitzstellen verwendet, an denen die Funktionswerte einander gleichgesetzt werden. Der zugehorige Interpolations-Operator ist:

Werden, wie in dem Beispiel, die Funktionen selbst an ausgewahlten Stutzstellen verwendet, dann spricht man von einer Lagrange-Interpolation. Obwohl Lagrange nur eindimensionale Interpolationsformeln entwickelt hat, wird sein Name heute auch fur die mehrdimensionalen Verallgemeinerungen gebraucht. Derartige ubertragungen finden sich auch noch an anderen Stellen. D e r Interpolations-Operator D ( . ) kann wesentlich P flexibler gehandhabt werden, als es hier gezeigt wurde. Es konnen Ableitun-

66

1. Mathematische Grundlagen

gen und Integrale darin vorkommen gemischt mit Funktionswerten u.s.w.. Zum Beispiel erhalt man die eindimensionale Hermite-Interpolation, indem man an zwei Stutzstellen jeweils die Funktionswerte; die ersten Ableitungen, die zweiten Ableitungen u.s.w. wahlt. Wichtig ist fur die folgenden Herleitungen, daB der Interpolations-Operator linear ist. Mit a als konstantem Faktor mu8 gelten

Funktionswerte, Ableitungen oder bestimmte Integrale erfullen diese Forderung. Die Interpolations-Funktion stellt werden:

7 sol1 durch folgenden linearen Ansatz

darge-

Es sind D ( f )p konstante Koeffizienten, die sich mit dem Operator D von ( 1 . 1 2 4 ) aus der Funktion f ergeben. Die noch zu bestimmenden Formfunktionen n sind ortsabhangig, aber unabhangig von der Funktion f. Sobald fur P einen gegebenen Bereich die Formfunktionen bekannt sind, lassen sich mit (1.12 6) fur beliebige Funktionen f sehr einfach die zugehorigen Interpolations-Funktionen f berechnen. ry

Bis jetzt sind die Formfunktionen noch nicht bekannt. Zu ihrer Bestimmung wird f i r die Interpolationsfunktion der lineare Ansatz

mit konstanten Koeffizienten ar und einem Basisvektor zr herangezogen. Typische Basisvektoren enthalten die Monome von Polynomen in den Koordinaten. Je ein ein-, zwei- und dreidimensionales Beispiel ist:

Wieviel Terme m ein Basisvektor enthalt, muB einstweilen offen bleiben. Die gezeigten Basisvektoren enthalten jeweils das konstante, die linearen und die quadratischen Glieder. Beliebige Umstellungen und Zusammenfassungen sind moglich. ,,Sinnvollecc Interpolationen entstehen allerdings nur dann, wenn die Terme liickenlos von der nullten bis zu den oberen Potenzen vertreten sind. Anderenfalls wurde zum Beispiel eine lineare Funktion

1.5 Interpolation

67

durch eine quadratische interpoliert. Das ist unsinnig. D e r umgekehrte Fall ist dagegen zulassig. Durch den Basisvektor wird der Funktionsraum einer Interpolation definiert. E r ist richtungs-invariant, wenn e r bei einer Koordinaten-Transformation unverandert bleibt. Das trifft zum Beispiel fur die gezeigten Basisvektoren zu. Sie enthalten die vollstandigen Monome vom nullten bis zum zweiten Grad. Bei einer Transformation der Koordinaten xi nach 2. entstehen J wieder die vollstandigen Monome vom nullten bis zweiten Grad. DaB diese dann in anderer Form zusammengefaBt sind, ist ohne EinfluB. Die Monome von unvollstandigen Polynomen besitzen die Richtungs-Invarianz dagegen nicht. Trotzdem werden sie sehr haufig eingesetzt, um sie an eine gegebene Zahl von Stiitzstellen anzupassen. Die Interpolations-Funktionen konnen aus algebraischen oder transzendenten Basis-Funktionen beliebiger A r t aufgebaut werden. Anstelle der gezeigten Monome lassen sich zum Beispiel auch die Glieder einer Fourier-Reihe verwenden. In den meisten Fallen ist dies allerdings unzweckmaBig, weil der Aufwand fur die Berechnung stark ansteigt. Fur den formalen Umgang mit den Interpolations-Formeln ist es dagegen vollig unwichtig, welche Basisfunktionen verwendet werden. Zur Bestimmung der Formfunktionen wird ( 1 . 1 2 4 ) in ( 1 . 1 2 6 ) eingesetzt und dann der Ansatz ( 1 . 1 2 7) eingefuhrt. Es entsteht

Wegen der Linearitat (1.12 5) konnen die konstanten Koeffizienten ar vor den Operator gesetzt werden. Danach werden die beiden Ausdrucke auf der linken Seite zusammengefaBt.

ry

Dies muB fur beliebige Interpolations-Funktionen f in ( 1 . 1 2 7 ) erfiillt sein, so daB die Koeffizienten ar frei wahlbar sind. D e r Ausdruck in der Klammer muB also null sein, womit folgt

Dies ist eine implizite Bestimmungsgleichung fur die Formfunktionen n

P'

Zur Vereinfachung wird im folgenden oft geschrieben

68

1. Mathematische Grundlagen

Dies wird im folgenden als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Fur eine Lagrange-Interpolation ist sie

Ursprunglich wurde die Vandermonde-Matrix nur fur eine Lagrange-Interpolation und vollstandige Polynome definiert. D e r standige Hinweis auf eine mogliche Verallgemeinerung ist jedoch sehr umstandlich und wird deshalb weggelassen. Die Zahlen der Terme im Basisvektor und im Interpolations-Operator, also m und n in ( 1 . 1 2 8 ) , konnen unterschiedlich sein. Spater bei der Herleitung von numerischen Integrations-Formeln in Abschnitt 1 . 6 wird m unter Umstanden deutlich groBer als n gemacht werden. Hier werden die beiden Zahlen gleich gesetzt, um eine quadratische Vandermonde-Matrix zu erzeugen. Unter der Voraussetzung

ergeben sich aus ( 1 . 1 2 8 ) die Formfunktionen

Fur eine Lagrange-Interpolation ist es relativ einfach, einige Bedingungen anzugeben, unter denen die Vandermonde-Matrix singular wird, das heiBt, wann ( 1 . 1 3 0 ) verletzt wird. Es ist immer der Fall, wenn Stiitzstellen aufeinanderfallen oder wenn sie in einem Unterraum niedriger Dimension liegen, wie zum Beispiel auf einer Geraden innerhalb eines ebenen Interpolations-Bereichs. Fur allgemeinere Interpolationen ist es sehr schwierig, Regeln aufzustellen, die die Nicht-Singularitat der Vandermonde-Matrix sicherstellen. Es bleibt meistens nichts anderes ubrig, als eine Vandermonde-Matrix numerisch zu berechnen und ihre Determinante zu ermitteln. Im ubrigen ist das auch vie1 einfacher als die Anwendung von womoglich sehr komplizierten Regeln. Als Beispiel sollen die Formfunktionen f u r die i n Bild 1.11 gezeigte Interpolation bestimmt werden. D i e Koordinaten der Stutzstellen s e i e n

L

A

D e r Lagrange-Interpolationsoperator ist

1.5 Interpolation

69

Es werden vier Terme fur den Basisvektor benotigt. Da die Richtungen x l und x 2 vollig gleichwertig sind, wird gewahlt

Aus (1.129) folgt daraus die Vandermonde-Matrix und dann die Inverse 1 1 -1 1 - I -1 I -1

1 1 1 1 1 1 1 -1

1 - - 1 1 1 1 1 1 -1

1 1 1 1 -

1 1 1 1

Die Formfunktionen (1.131) sind dann: 1 1

+

X1 + X 2 +

X2

+ X1X2

-

Die benutzte Vandermonde-Matrix war nicht singular, sonst hatten die Formfunktionen nicht berechnet werden konnen. Wenn man bei sonst gleichen Bedingungen die Koordinaten um den Winkel von 45' dreht, wird die Vandermonde-Matrix singular! Dies zeigt, wie schwierig es selbst bei einer Lagrange-Interpolation sein kann. allgemeine Regeln aufzustellen. die die Existenz der Formfunktionen sicherstellen. In diesem Fall ist die Singularitat darauf zuruckzufiihren, daB im Basisvektor nur ein quadratischer Term enthalten ist und nicht der vollstandige Satz von drei wie in (1.127). Die Richtungs-Invarianz wurde dadurch zerstort.

D e r Interpolations-Operator und die damit erzeugten Formfunktionen unterliegen einer Orthogonalitats-Bedingung. Dies findet man, wenn man den Operator auf (1.1 2 8) anwendet und dabei die Linearitat (1.12 5) beachtet. Es entsteht

Offensichtlich gilt dann

D e r Interpolationsoperator erzeugt also die Einheitsmatrix, wenn e r auf die Formfunktionen angewendet wird. Fiir eine Lagrange-Interpolation heiBt dies, daR eine Formfunktion an der j,eigenencc Stiitzstelle den W e r t eins annimmt und an allen anderen null ist.

Eine weitere Eigenschaft der Formfunktionen ergibt sich daraus, daB jeder Basisvektor einen konstanten Anteil enthalten muR, denn sonst konnte e r nicht luckenlos sein. Aus (1.12 8 ) folgt dafur mit der Linearitat (1.12 5)

Fur eine Lagrange-Interpolation bedeutet dies

70

1. Mathematische Grundlagen

Im ubrigen folgt aus ( 1 . 1 3 3) auch noch, daB der Interpolations-Operator nicht nur Ableitungsglieder enthalten darf, so daB D ( l ) p durchweg null e~c kann man sich naturlich auch Basisvekwird. Fur ~ ~ e x o t i s c h Anwendungen toren ohne konstantes Glied ausdenken und Operatoren, die nur aus Ableitungen bestehen. In e i n e m eindimensionalen Beispiel verwendet:

wird

der

folgende

Interpolations-Operator

1

fdx]. A n den Stutzstellen x = 2 1 sollen die Funktionswerte u n d die e r s t e n Ableitungen benutzt werden. Im f u n f t e n T e r m wird dann das Integral zwischen diesen P u n k t e n genommen. D e r Basisvektor muB ebenfalls f u n f T e r m e enthalten:

Die Vandermonde-Matrix von ( 1.12 9 ) und i h r e Inverse sind dann:

Die Formfunktionen n a c h (1.131) ergeben sich: w e n n die Inverse mit dem Basisvektor multipliziert wird. In Bild 1.12 sind diese F o r m f u n k t i o n e n dargestellt.

Bild 1.12: Formfunktionen f u r e i n e eindimensionale Interpolation u n t e r Verwendung der Funktionswerte und den ersten Ableitungen a n den Stutzstellen x = 2 1, sowie dem Integral zwischen diesen Punkten. Aus den Kurven laRt sich e n t n e h m e n , daR die Bedingungen (1.132) erfiillt sind, namlich

wahrend dieselben Eigenschaften der ubrigen Formfunktionen jeweils n u l l sind. Aus (1.133) folgt nl+ n2

+

2n5

=

1.

Dies laRt sich unmittelbar a n der inversen Vandermonde-Matrix nachpriifen

1.5 Interpolation

71

1.5.2 Standardformeln In mathematischen Handbuchern findet man eine Vielzahl von fertig berechneten Interpolationsformeln. Von einigen Ausnahmen abgesehen, gelten sie durchweg fiir eindimensionale Bereiche. Kennzeichnend fur diese Formeln ist, daR die Vandermonde-Matrizen analytisch invertiert wurden. D a man heute typische Vandermonde-Matrizen mit dem Rechner invertiert, verlieren die analytischen Formulierungen an Bedeutung. An die Stelle von fertigen Formeln tritt immer mehr der Berechnungsalgorithmus. Einfache Grundformeln werden jedoch auch noch in Zukunft sinnvoll eingesetzt werden konnen. Im folgenden werden hierfiir zwei Beispiele vorgestellt. Die klassische Interpolationsformel von Lagrange liefert die Formfunktionen

Hierin sind x p die Koordinaten der Stutzstellen, die zwar nicht aufeinanderfallen diirfen, aber sonst frei wahlbar sind. Bei der ebenfalls analytisch gelosten Hermite-Interpolation liegen die Stutzstellen auf x = L 1. Hier werden paarweise die Funktionswerte und je nach Bedarf die ersten, zweiten und hoheren Ableitungen benutzt. Die resultierende analytische Losung ist allerdings so kompliziert, daR sie hier nicht angegeben werden soll. Die am haufigsten eingesetzte Formel ist

Hierin werden jeweils die Funktionswerte und die ersten Ableitungen verwendet.

Bild 1.13: F o r m f u n k t i o n e n dritten Grades der Lagrange- u n d Hermite-Interpolation.

Zum Vergleich sind in Bild 1.13 die Lagrange- und Hermite-Formfunktionen fur n = 4 Terme im Basisvektor aufgetragen. Die Hermite-Funktionen erzeugen glatte ubergange bei aneinanderstofienden Interpolationsbereichen.

72

1. Mathematische Grundlagen

1.5.3 Produktformeln Obwohl sich mehrdimensionale Interpolationsformeln ohne Schwierigkeiten direkt, wie in Abschnitt 1 . 5 . 1 gezeigt, herstellen lassen, ist e s eine weit verbreitete Praxis, durch Produktbildung von eindimensionalen Formeln hoherdimensionale Formeln zu berechnen. D e r rechentechnische Vorteil ist zwar gering und der Anwendungsbereich begrenzt, doch Traditionen haben oft ein sehr langes Leben. Voraussetzung fur eine Produktbildung ist ein regelmaBiges Netz von Interpolations-Stutzstellen, wie in Bild 1 . 1 4 dargestellt.

f

1-r9-

X2

---

p 2 = "2

P, =

2

1

7

"

3

1

Bild 1.14: RegelmaRiges Netz von Stutzstellen z u r Bildung e i n e r zweidimensionalen Produktformel.

Im Interesse einer einfachen Darstellung wird im folgenden die Dimension zwei verwendet. Der ubergang ins Dreidimensionale kann danach vollig problemlos vollzogen werden. Zur Numerierung der Stutzstellen werden zwei Indizes definiert: p l = 1 . . . n l fiir die xl-Richtung und p2 = 1... n 2 fur x 2 . Entlang jeder dieser Richtungen wird eine eindimensionale Interpolation festgelegt. Meistens wird es sich dabei um Lagrange-Interpolationen nach ( 1 . 1 34) handeln, doch ist dies keinesfalls zwingend. Die zweidimensionalen Formfunktionen entstehen dann aus

Zur besseren Unterscheidung wurden die hochgestellten Indizes angefugt. nur von x 2 . Sie signalisieren, daR n(') nur von x l abhlngt und ):n; P1

Als Beispiel sol1 e i n e Lagrange-Produktformel f u r drei Stutzstellen i n xl-Richtung u n d zwei f u r x 2 berechnet werden. Die Koordinaten der Stiitzstellen s e i e n

x

IP 1

= [ - I

0

+ l ] ;

x

2P 2

Die zugehorigen Formfunktionen sind

= [ I

+ l ] .

1.5 Interpolation

73

U m die Produktformel i n e i n e m ebenen Schema hinschreiben zu k o n n e n , w e r d e n die Indizes n a c h folgendem S c h e m a zusammengefal3t:

D a m i t ergibt sich:

Bei einer direkten Berechnung n a c h (1.131) hatte eine (6.6)-Matrix invertiert werden mussen. Das Ergebnis bleibt dasselbe. Z u r Kontrolle e i n e r H a n d r e c h n u n g eignet sich die Nachprufung von (1.132).

1.5.4 ubungen u b u n g 1.42: Bestimmen Sie die eindimensionalen Lagrange-Formfunktionen m i t Hilfe von (1.128) oder (1.131) f u r gleiche Stutzstellenabstande beginnend mit x = - 1 und endend mit x = + 1 f u r n = 2, 3 und 4. P r u f e n Sie die Ergebnisse mit (1.134) nach. u b u n g 1.43: Ermitteln Sie mit Hilfe der Formfunktionen von u b u n g 1.42 die interpolierenden Funktionen f u r die F u n k t i o n

f

=

abs

41

-

x2

u n d s k i z z i e r e n Sie deren Verlauf u b u n g 1.44: Gesucht sind die Lagrange-Formfunktionen f u r folgende Lage der Stutzstellen: xip =

[

0 0

2 0

0 2

1 0

1 1

O1

I.

Benutzen Sie i m Basisvektor die Monome eines vollstandigen Polynoms zweiten Grades i n x und x 2 . u b u n g 1.45: Bestimmen Sie die Formfunktionen f u r folgende eindimensionale InterpolationsOperatoren

sowie die zugehorigen Aussagen von (1.132) und (1.133). u b u n g 1.46: Bilden Sie aus den Formfunktionen von u b u n g 1.45b eine zweidimensionale Produktformel. W i e groR w a r e die zusammengefaRte Vandermonde-Matrix, w e n n Sie dasselbe f u r u b u n g 1.45a v e r s u c h e n wollten?

74

1. Mathematische Grundlagen

1.6 Numerische Integration Bei der Berechnung von Element-Steifigkeitsmatrizen, Massenmatrizen, Ersatzlasten und anderen GroBen sind bestimmte Integrale uber Volumen, Flachen oder Linien zu berechnen. Nur in wenigen Fallen lassen sich hierfiir analytische Formeln einsetzen, weil entweder die Integrationsbereiche oder die Integranden zu kompliziert sind. Hier helfen nur numerische Integrationsformeln. Im Gegensatz zur analytischen Integration ist die numerische ein auBerst einfacher Vorgang. In erster Linie ist dies darauf zuruckzufuhren, daB eine bestimmte Integration die Eigenschaften einer Funktion uber einen vorgegebenen Bereich summiert, wahrend zum Beispiel eine Differentiation eine lokale Operation ist. Infolgedessen kann eine Integration mit vergleichsweise primitiven Mitteln durchgefuhrt werden. Das Prinzip ist einfach: Ein gegebener Integrand wird durch eine interpolierende Funktion ersetzt, deren Integral bereits bekannt ist. Zu bestimmen bleiben nur noch die konstanten Koeffizienten der Interpolationsfunktion. Alles andere ist bereits vorab berechnet. Die Herleitung von numerischen Integrationsformeln ist relativ einfach, solange man sich keine Gedanken daruber macht, wie groB der rechnerische Aufwand bei ihrer Anwendung wird. Kompliziert wird es, wenn man versucht, durch geschickte Wahl der Integrations-Stiitzstellen den anschlieBenden Aufwand zu minimieren. D e r normale Benutzer braucht sich um diese Probleme nicht sonderlich zu kummern. E r verwendet fertige Integrationsformeln, die in den Finit-Element-Programmen zur Verfugung gestellt werden. D a aber die schlimmsten Fehler meistens dort auftreten, wo unverstandene Techniken angewendet werden, sollte auch hier etwas mehr als nur die Anwendung von fertigen Formeln geiibt werden!

1.6.1 Integrationsformeln Die Aufgabe der numerischen Integration ist e s , das Integral I einer Funktion f uber einem Bereich f2 zu berechnen:

I = J f d o .

n Zur Losung dieser Aufgabe wird die Funktion f durch eine Naherungsfunktion

7 ersetzt, deren Integral 7 analytisch berechnet werden kann.

7

=

Jf"df2.

n Die Funktion ? sol1 eine Interpolationsfunktion von f sein. Dadurch wird erreicht, daB noch festzulegende Merkmale von f und im Sinne der Interpolationsvorschrift ( 1 . 1 2 4 ) ubereinstimmen. Durch Einsetzen der Interpolationsfunktion von ( 1 . I 2 6 ) in das Integral erhalt man

1.6 Numerische Integration

75

Nur die Formfunktionen n sind ortsabhangig: weshalb nur sie unter dem P Integral verbleiben. Hierfiir wird geschrieben

Damit ergibt sich

Dies ist eine numerische Integrationsformel. Die Bezeichnungen Quadraturund Kubaturformeln beziehen sich speziell auf die Integration von Flachen und Volumen. Bevor die Benutzung solcher Formeln erlautert wird, soll eine Spezialisierung eingefihrt werden. Abgesehen von ganz seltenen Ausnahmen wird der Integrand immer durch eine Lagrange-Interpolation abgebildet. An die Stelle des beliebigen Interpolationsoperators D ( . ) , treten dann die Funktionswerte. Aus ( 1 . 1 3 7) wird

Dieses ist die ubliche Form einer Integrationsformel. Die Benutzung ist denkbar einfach. Zunachst wird f i r einen gegebenen Bereich eine fertig berechnete Integrationsformel ausgesucht. Hierbei spielt vor allem der Exaktheitsgrad eine Rolle, der bestimmt, bis zu welchem Grad einer Funktion die Integration exakt sein wird. Naheres wird hierzu in Abschnitt 1 . 6 . 2 ausgefuhrt. Nach Wahl der Formel liegen die Stiitzstellen xip und die Integrationsgewichte w fest. An den Stutzstellen werden die FunktionsP werte f des Integranden berechnet und jeweils mit den zugehorigen InteP grationsgewichten multipliziert und aufsummiert. Das ist alles. D e r Unterschied einer numerischen Integration nach ( 1 . 1 3 7 ) ist lediglich der, daJ3, je nach Definition des Interpolationsoperators, auch Ableitungen oder andere Eigenschaften des Integranden zur Berechnung herangezogen werden konnen. Als Beispiel fiir eine numerische Integration soll die Funktion f

=

cosx

;

( - l < X < + l )

dienen. Z u m Vergleich mit den Ergebnissen der numerischen exakte Integral fur diesen Bereich ist I = 1,68294.

Integration: Das

Als erstes soll eine 3-Punkt Newton-Cotes-Formel angewendet werden. Die Koordinaten der Stutzstellen und die zugehorigen Integrationsgewichte sind:

Diese Formel hat den Exaktheitsgrad 2; das heiBt, konstante, lineare und quadratische Terme der Funktion werden exakt integriert. Die Funktionswerte an den Stutzstellen sind:

76

1. Mathematische Grundlagen

Damit ergibt sich aus (1.138)

Dieselbe Funktion soll n u n mit einer 3-Punkt-GauR-Formel integriert werden. Die Koordinaten der Stiitzstellen und die Integrationsgewichte sind: 1 x = J3/5[-1 0 + l ] ; w = - 5 8 5 1 . P P 9 Diese Formel h a t den Exaktheitsgrad 5. Aus der Integrationsformel (1.138) ergibt sich damit: 1 = - [ 0 ! 7 1 4 7 0 . 5 + 1 , 0 0 0 0 0 . 8 + 0 , 7 1 4 7 0 . 8 1 = 1,68300

7

9

Wegen des hoheren Exaktheitsgrades der GauR-Formel kommt dies dem exakten Wert 1 , 6 8 2 9 4 des Integrals bedeutend n a h e r als die Newton-Cotes-Formel, obwohl der Berechnungsaufwand derselbe ist.

1.6.2 Momentengleichungssystem Die Herleitung von Integrationsformeln ist ublicherweise nicht die Aufgabe von Berechnungsingenieuren. Sie verwenden fertige Formeln, die sich in sehr kompakter Form angeben lassen. Die folgenden Darstellungen verfolgen deshalb in erster Linie den Zweck, einen Einblick in die Funktionsweise der numerischen Integration zu vermitteln. Ausgangspunkt der Herleitung ist ( 1 . 1 2 8). Beide Seiten werden integriert, wobei berucksichtigt wird, daf3 die Vandermonde-Matrix von ( 1 . 1 2 9 ) konstant ist.

Das Integral auf der linken Seite ist gleich den Integrationsgewichten von ( 1 . 1 3 6 ) . Das Integral rechts soll als G r a m s c h e r V e k t o r bezeichnet werden.

Damit folgt aus obiger Gleichung

1

p

z

rP

w

P

=

G

r

; ( r = I ... m ; p = I ... n)

.

(1.140)

Dies ist das sogenannte Momentengleichungssystem. Es wird wie folgt aufgestellt: Zunachst wahlt man einen Basisvektor zr, der im allgemeinen die Monome vollstandiger Polynome der Koordinaten enthalt. Wie schon bei der Interpolation in Abschnitt 1 . 5 . 1 ist die Vollstandigkeit keine Pflicht, wohl aber die Liickenlosigkeit der Monome. Dieser Basisvektor entscheidet uber den Exaktheitsgrad der Integrationsformel, der den Grad des hochsten vollstandigen Polynoms angibt. Die analytisch berechneten Integrale des Basisvektors werden im Gramschen Vektor ( 1 . 1 3 9 ) zusammengefaRt. Im einfachsten Fall werden dann die Integrationsstutzstellen

1.6 Numerische Integration

77

gewahlt, uber deren Zahl und Lage weiter unten noch einiges zu sagen sein wird. Sobald diese Koordinaten festliegen, kann die Vandermonde-Matrix z berechnet werden. Fur die ublichen Integrationsformeln ( 1 . 1 3 8 ) , die ja rP mit einer Lagrange-Interpolation arbeiten, ist ein Koeffizient zr P von ( 1 . 1 2 9) nichts weiter als der W e r t von zr an einer Stiitzstelle p. Die Bezeichnung Momentengleichungssystem hat folgenden Ursprung: D e r Basisvektor ( 1 . 1 2 7) fur eine eindimensionale Integrationsformel ist

Dann ist das Gleichungssystem ( 1 . 1 4 0 )

Die Indizes an den Koordinaten zahlen die Stutzstellen, nicht die Richtungen, denn es handelt sich um eine eindimensionale Formel. In der ersten Zeile werden die Integrationsgewichte, das heiBt ihre nullten Momente, summiert.

Dies gilt generell fur alle ublichen Integrationsformeln so wie ( 1 . 1 3 3) fur die Interpolation. In der zweiten Zeile findet man die Summe der ersten Momente der Integrationsgewichte, in der folgenden die der zweiten u.s.w.. In gewissen Grenzen kann man die Lage der Stutzstellen beliebig festlegen. Man befindet sich dann in derselben Situation wie bei der Interpolation mit ( 1 . 1 3 0 ) und ( 1 . 1 3 1 ) . Die Zahlen der Terme m im Basisvektor und der Stutzstellen n mussen ubereinstimmen und die Vandermonde-Matrix muB nichtsingular sein. Das Momentengleichungssystem ( 1. 1 4 0) ist dann linear in den unbekannten Integrationsgewichten w und hat die Losung P

Diese Herleitung liefert die sogenannten Newton-Cotes-Formeln. W i e bei der Lagrange-Interpolation bezieht sich der Name heute auf die mehrdimensionale Verallgemeinerung von ursprunglich eindimensionalen Ergebnissen. Als Beispiel sol1 eine zweidimensionale Newton-Cotes-Integrationsformel quadratischen Integrationsbereich berechnet werden.

fur einen

78

1. Mathematische Grundlagen

Bild 1.15: Stutzstellen und Integrationsbereich fur eine Newton-Cotes-Integration. Die in Bild 1.15 durch + markierten Stutzstellen sollen an den Eckpunkten des Integrationsbereiches liegen. Ihre Koordinaten sind:

x.

=

lP

-1 [-I

- 1

1 -1

1

1

Im Basisvektor konnen soviele Terme untergebracht werden wie Stutzstellen vorhanden sind, das heiRt also vier. Da zwischen x l und x 2 keine Bevorzugung besteht, wird gewahlt:

Der Exaktheitsgrad der Integration wird eins sein; da die Monome nur bis zu diesem Grad vollstandig sind. Um eine Integrationsformel (1.138) zu erhalten, wird die Vandermonde-Matrix nach dem Verfahren der Lagrange-Interpolation gebildet, das heiRt es werden die Funktionswerte der Terme des Basisvektors an den Stutzstellen berechnet. Genau so wie im ersten Beispiel von Abschnitt 1.5.1 ergibt sich dann

Um den Gramschen Vektor von (1.139) zu bilden, muR der Basisvektor integriert werden.

Damit lassen sich nun die Integrationsgewichte aus (1.142) berechnen:

w

P

=

[ I

1

1

1 1 .

Der Berechnungsaufwand fur die Ausfuhrung einer numerischen Integration wachst laut ( 1 . 1 3 8 ) linear mit der Zahl n der Stiitzstellen. In einer Newton-Cotes-Integration ist diese Zahl gleich der Zahl m der Terme im Basisvektor. Zur Verringerung des Aufwandes ist es wunschenswert, die Zahl der Stiitzstellen kleiner zu machen, ohne dabei den Basisvektor zu verandern. Das lal3t sich einrichten, wenn man die Stutzstellen an ausgewahlte Punkte legt. Solch ein Punkt ist zum Beispiel der Mittel- oder Schwerpunkt eines Integrationsgebietes. Das folgende Beispiel sol1 dies verdeutlichen.

1.6 Numerische Integration

79

Fur die numerische Integration uber das Quadrat von Bild 1.15 wird eine Stutzstelle auf den Mittelpunkt x l = x 2 = 0 gelegt. Ein vorlaufiger Basisvektor sol1 den konstanten und alle linearen und quadratischen Terme enthalten. Zr

=

[

1

X1

2

X2

X1

XlX2

XZ2

]

Mit (1.12 9 ) folgt die Vandermonde-Matrix

zrl

=

[ I

0

0

0

0

0 1 .

Der Gramsche Vektor von (1.139) wird Gr

=

4[1

0

0

1/3

0

1/31

Die Momentengleichungen (1.140) sind dann

Die Zeilen 1, 2 , 3, 5 liefern die Losung Wl

=

4.

Die Zeilen 4 und 6 geharen zu den Termen :x und xZ2 im Basisvektor. Sie sind nicht befriedigt und werden weggelassen. ubrig bleibt der Basisvektor Zr

=

[

1

Xl

X2

X1X2

1.

Er ist identisch mit dem des Beispiels von Bild 1.15. Hier genugt aber eine einzige Stutzstelle zur numerischen Integration! Man kann sich den oben benutzten, vorlaufigen Basisvektor auch uber den Grad zwei fortgesetzt vorstellen. In dem dadurch vergroBerten Momentengleichungssystem entstehen Nullzeilen, wann immer eine ungerade Potenz der Koordinaten im verlangerten Basisvektor erscheint. Auch diese Terme werden durch die Ein-PunktFormel exakt integriert. Fur den Exaktheitsgrad bleibt dies jedoch ohne Folgen, weil durch die geraden Potenzen Lucken entstehen.

1.6.3 Optimale Formeln Es gibt gute und weniger gute Integrationsformeln. D e r Aufwand fur die Durchfuhrung einer Integration mit einem bestimmten Exaktheitsgrad ist nur ein Kriterium. Andere Gesichtspunkte betreffen die Lage der Stutzstellen und die GroBe der Integrationsgewichte. So ist es unter ublichen Bedingungen wiinschenswert, daB die Stutzstellen innerhalb des Integrationsbereiches liegen und die Integrationsgewichte von der gleichen GroBenordnung und durchweg positiv sind. Diese Punkte sollen jedoch nicht diskutiert werden. Im Mittelpunkt steht hier die Verringerung der Zahl der Stutzstellen fur einen gegebenen Exaktheitsgrad. Dies betrifft also den Berechnungsaufwand. Eine optimale Formel ist in diesem Sinn eine, deren Stutzstellenzahl minimal ist. Hierzu lassen sich exakte Angaben oder Abschatzungen machen.

80

1. Mathematische Grundlagen

Fur die folgenden Betrachtungen sol1 vorausgesetzt werden, daB der Basisvektor zr luckenlos alle Terme vom konstanten Glied bis zu einer gegebenen Potenz enthalt. Ob die Terme der oberen Potenzen vollstandig sind, mag einstweilen dahingestellt bleiben. Zur Untersuchung wird das Momentengleichungssystem ( 1 . 1 4 0 ) gebraucht. Laut (1.7 3) besitzt e s Losungen wp, wenn

Fur eine Newton-Cotes-Formel ist die Zahl der Terme m im Basisvektor gleich der Zahl n der Stutzstellen und die quadratische VandermondeMatrix zrp ist nicht singular. Die Gleichung ist dann mit n = n erfullt, weil der Gramsche Vektor Gr den Rang der rechten Seite wegen (1.6 0) keinesfalls erhohen kann. Ausgehend von dieser Basis sollen nun zusatzliche Terme im Basisvektor hinzugefugt werden. D e r Rang auf der linken Seite bleibt unverandert gleich n, weil sich die Spaltenzahl der VandermondeMatrix nicht andert. Die um eine Zeile erweiterte Gleichung ist dann

Dies kann nur dann erfullt sein, wenn die neue Zeile von den vorherigen linear abhangig ist. Anderenfalls ware der Rang der rechten Seite gleich n + 1. D a Gn+l festliegt, kann die lineare Abhangigkeit nur durch Beeinhergestellt werden. Dies geschieht durch Verschieben flussung von zn+ der Stutzstellen. Es ist unerheblich, daB sich dabei auch die ursprungliche Vandermonde-Matrix z andert. Durch orthogonale Funktionen im BasisrP vektor lieBe sich diese Beeinflussung ausschalten, doch ist dies, wie gesagt, nebensachlich. Jede Stutzstelle in einem c-dimensionalen Integrationsbereich IaBt sich in c Richtungen verschieben. Es ist also denkbar, daB fur jede Stutzstelle c Terme des Basisvektors hinzugefugt werden konnen, das heiBt also n . c insgesamt. Die Gesamtzahl der Terme im Basisvektor konnte also den W e r t

erreichen. Dies ist eine optimistische Schatzung. Umgekehrt erhalt man hieraus die minimale Zahl der benotigten Stutzstellen zu einem gegebenen m :

Naturlich kommen hier nur die eventuell aufgerundeten, ganzzahligen W e r t e von nmin in Frage, denn Bruchteile von Stutzstellen sind unmoglich. Fiir die Dimension c = 1 ist der Fall problemlos: Jede Potenz in einem Polynom ist nur durch einen Term im Basisvektor vertreten; fur einen Exaktheitsgrad d braucht man also m = d + 1 Terme, so daB nmin = ( d + 1 ) / 2 wird. Diese Stutzstellenzahl wird von den GauB-Formeln fur ungerade Exakt-

1.6 Numerische Integration

81

heitsgrade erreicht. Sie sind im Abschnitt 1 . 6 . 4 aufgelistet. Weniger systematisch geht es bei hoheren Dimensionen zu. Um hiervon einen Eindruck zu vermitteln, werden im folgenden einige Integrationsformeln auf der Basis von vollstandigen Polynomen fiir quadratische Bereiche untersucht. In Tabelle 1.1 sind die minimal erreichbaren Stutzstellenzahlen f u r die e r s t e n f u n f Exaktheitsgrade f u r e i n Quadrat angegeben.

Tabelle 1.1: Numerische Integrationsformeln f u r e i n Quadrat. In Abhangigkeit vom Exaktheitsgrad d sind aufgefuhrt: Z a h l der T e r m e m i m Basisvektor, minimale Stutzstellenzahl nmin n a c h (1.143) und wirklich erreichbare minimale Stutzstellenzahl n . Z u den Integrationsformeln mit minimaler Stutzstellenzahl sind i n Tabelle 1.2 die Koordinaten der Stutzstellen und die zugehorigen Integrationsgewichte f u r das Quadrat - 1 5 x l , x 2 5 + 1 angegeben. D a die Punkte samtlich auf Kreisen u m den Koordinatenursprung liegen, w u r d e n Polarkoordinaten verwendet: r ist der Radius u m d e n Ursprung u n d c der Cosinus des Winkels von x l aus gemessen. Punktpaare liegen u m die x l-Achse gespiegelt.

Tabelle 1.2: Integrationsformeln f u r e i n Quadrat: d = Exaktheitsgrad; p = Stutzstellenn u m m e r ; r = Radius; c l = Richtungscosinus; w = Integrationsgewicht.

82

1. Mathematische Grundlagen

Zur Veranschaulichung sind i n Bild 1.16 die Stutzstellen f u r die angegebene Integrationsformel mit dem Exaktheitsgrad 4 gezeigt.

t-1

,o +I

,o 4

Bild 1.16: Stutzstellen der Integrationsformel mit dem Exaktheitsgrad 4. Die Formel f u r den Exaktheitsgrad 1 wurde bereits im zweiten Beispiel vom vorhergehenden Abschnitt hergeleitet. Die Stutzstellen der Formeln f u r d = 2 und 3 konnen zusammen jeweils um einen beliebigen Winkel gedreht werden, bei den hoheren Exaktheitsgraden n u r i n 90'-schritten. Auf die Integration der Terme, die innerhalb des Exaktheitsgrades liegen, hat dies keinen EinfluR, wohl aber auf hohere Terme, die gegebenenfalls noch mitintegriert werden. Mehrdimensionale Integrationsformeln stellen n u r i n Ausnahmefallen eindeutige Losungen des Momentengleichungssystems (1.140) dar. Dies ist besonders offensichtlich bei der Formel sind noch f u r den Exaktheitsgrad zwei. D a die Punktzahl n groRer ist als n,,,, freie Parameter verfugbar, die andere Punktlagen und Integrationsgewichte gestatten. In der Tabelle 1.2 wurden die Koordinaten und die Integrationsgewichte durch Ausdrucke i n ganzen Zahlen angegeben. Dies ist n u r f u r die niedrigeren Exaktheitsgrade moglich, hat aber den Vorteil, daR die resultierenden Zahlen mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden konnen. Gerade auf die genaue Lage der Stutzstellen reagieren die optimalen Integrationsformeln auBerst empfindlich!

1.6.4 Standardformeln In den mathematischen Handbuchern findet man eine Vielzahl von numerischen Integrationsformeln. Ebenso wie bei der Interpolation beziehen sie sich fast nur auf eindimensionale Bereiche. Von diesen sollen hier nur die niedrigeren Exaktheitsgrade der beiden am haufigsten benutzten Familien angegeben werden, die der Newton- Cotes- und der GauB-Formeln. Die ersten, weil sie bei elementaren Berechnungen a m haufigsten anzutreffen sind, die zweiten, weil sie den geringsten Berechnungsaufwand verursachen. Newton-Cotes-Formeln wird der eindimensionale Bei den ~~abgeschlossenenc< Integrationsbereich l2 = 1 durch die Stutzstellen in gleichgroBe Teile zerlegt. Die erste und die n-te fallen auf die Enden, dazwischen wird fortlaufend numeriert. Die Integrationsgewichte fur die Integrationsformel (1.13 8 ) berechnen sich aus

Die W e r t e von k und GP sind in Tabelle 1 . 3 angegeben.

1.6 Numerische Integration

83

Tabelle 1.3: Parameter zur Berechnung der Newton-Cotes-Integrationsgewichte nach (1.144).

Die Newton-Cotes-Formeln fur n = 2 , 3 und 4 Stutzstellen sind auch unter den Namen Trapez-Regel, Simpsonsche Regel und Newtonsche-3A-Regel bekannt. D a diese Formeln ebenso viele Stutzstellen verwenden, wie Terme im Basisvektor gegeben sind, ist der Exaktheitsgrad d = n - 1. Ab n = 7 werden diese Formeln zunehmend ungenauer, weil die Interpolationsfunktionen oszillieren, so daB vor allem die Rander des Bereichs falsch berucksichtigt werden. Man behilft sich dann durch Unterteilen des Bereichs in kleinere, die jeweils durch Formeln mit niedrigerem Exaktheitsgrad integriert werden. Am bekanntesten ist die so hergeleitete Trapez-Summenformel. Fur die Anwendung in der Finit-Element-Methode kommen diese Techniken kaum in Frage, weil sie zu unwirtschaftlich sind.

Tabelle 1.4: Stutzstellen und Integrationsgewichte Bereich

-

15 x

5 +

fur die

GauR-Integration

im

1.

Die eindimensionalen G a d - F o r m e l n werden im allgemeinen fur den Bereich von x zwischen - 1 und + 1 angegeben. Die Stiitzstellen liegen im Inneren des Bereiches und sind symmetrisch um x = 0 angeordnet. In Tabelle 1 . 4 sind deshalb nur die Absolutwerte der Koordinaten angegeben.

84

1. Mathematische Grundlagen

Die GauB-Integrationsformeln sind optimal, das heiBt, sie benotigen die kleinste mogliche Zahl von Stutzstellen nach ( 1 . I 4 3). Daraus folgt ihr Exaktheitsgrad d = 2n - 1. Aus den in ganzen Zahlen angegebenen Ausdrucken lassen sich die Zahlenwerte beliebig genau berechnen. Dies ist vor allem fur die Koordinaten der Stutzstellen wichtig, denn die Genauigkeit der Integration hangt hiervon ganz entscheidend ab. Die Stutzstellen der eindimensionalen GauB-Formeln liegen auf den Nulldurchgangen der LegendrePolynome (Tabelle 8 . 1 ) . Eine vergleichbare Systematik existiert fur mehrdimensionale Formeln nicht. Die wichtigsten Integrationsbereiche in der Methode der finiten Elemente sind Quadrate und Dreiecke oder Wurfel und Tetraeder. Da es in diesem Lehrbuch mehr auf das Verstandnis als auf die Vollstandigkeit ankommt, sollen die folgenden Ausfuhrungen kurz gehalten werden. Fur quadratische und wurfelformige Integrationsbereiche werden vornehmlich Produktformeln eingesetzt, die in Abschnitt 1 . 6 . 5 vorgestellt werden. Diese sind zwar nicht optimal, dafur aber sehr einfach. Wie es um die wirtschaftlicheren Formeln fiir Quadrate bestellt ist, sieht man an Tabelle 1 . 2 : Nur die ungeraden Exaktheitsgrade zeigen ein annahernd systematisches Verhalten. Auch fiir Dreiecke und Tetraeder sind viele optimale Formeln bekannt. Oft werden auch nichtoptimale Formeln gebraucht, die einfach zu beschreiben sind. Stellvertretend fur diese ist in Bild 1 . 1 7 ein dreieckiger Bereich dargestellt. Punktlagen: 1 = Schwerpunkt 2 , 3 , 4 = Seitenmitten 5 , 6 , 7 = Ecken

2

Bild 1.17: Integrationsstutzstellen i n einem dreieckigen Bereich.

3

7

1

9/20

2,3,4 5,657

2/15 1/20

Tabelle 15:Parameter zur Berechnung der Integrationsformeln nach (1.145) f u r ein Dreieck von Bild 1.17: d = Exaktheitsgrad; n = Zahl der Stutzstellen; p = Stutzstellennummer; w = Integrationsgewicht f u r die Dreiecksflache A = 1.

1.6 Numerische Integration

85

Mit A als der Dreiecksflache werden die Integrationsgewichte nach folgender Formel berechnet:

Die Integrationsgewichte Spsind in Tabelle 1 . 5 aufgefuhrt.

1.6.5 Produktformeln In Abschnitt 1 . 5 . 3 wurde gezeigt, wie sich aus eindimensionalen Interpolationsformeln durch Produktbildung mehrdimensionale machen lieBen. Dasselbe Verfahren kann man auch auf Integrationsformeln anwenden. Die erste Voraussetzung ist, daR ein regelmaBiges Netz von Stutzstellen definiert wird, wie in Bild 1 . 1 4 fur die Dimension zwei gezeigt. Auch hier sol1 die Dimension zwei stellvertretend fur die hoheren Dimensionen gebraucht werden. Aus der Produktformel ( 1 . 1 3 4 ) fur die Interpolation wird nach der Integration

Jetzt kommt die zweite Voraussetzung: Wenn die Rander des Integrationsbereiches parallel zu den Koordinaten verlaufen, dann laBt sich das Integral auf der rechten Seite in ein Produkt aufspalten, denn n::) hangt nur von x, ab und n:: nur von x 2 .

J"R nPlP2 d o

=

J n ( ' ) d o 1 J n:: 0 1

p1

do2

*2

Mit der Definition der Integrationsgewichte ( 1 . 1 3 6 ) folgt daraus W

PlP2

= w( 1 ) p1

J2) p2

; ( p i = I . . . n l ; p2 = l . . . n 2 )

.

Hierin sind w ( ' ) und w ( ~ die ) Integrationsgewichte von zu wahlenden, P1 P2 eindimensionalen Integrationsformeln fur die Richtungen x, und x2 und w sind die resultierenden Integrationsgewichte fur das zweidimensionale PIP2 Netz von Stutzstellen.

i-1,o-1,o-i

Bild 1.18: Stiitzstellen einer (3.3)-GauB-Produktformel in einem Quadrat.

86

1. Mathematische Grundlagen

In Bild 1.18 sind die Stutzstellen f u r e i n e (3.3)-GauR-Produktformel i n e i n e m Quadrat der Seitenlange 2 gezeigt. D i e Koordinaten ergeben sich aus der eindimension a l e n 3-Punktformel von Tabelle 1.4. D i e zugehorigen Integrationsgewichte sind W(l) = P 1

w(2) P2

-1 [ 5

=

8 9 Das Produkt n a c h (1.146) ist dann

5 1

Diese 9-Punkt-Formel h a t den Exaktheitsgrad 5 f u r beide Richtungen. Sie ist deshalb vergleichbar mit der 7-Punkt-Formel von Tabelle 1.2, n u r ist sie i m Verhaltnis 9 zu 7 unwirtschaftlicher. Ein weiterer Unterschied ergibt sich bei der Integration von eventuell vorhandenen Monomen h o h e r e r Ordnung.

1 .6.6 Genauigkeit Der Exaktheitsgrad einer Integrationsformel gibt Auskunft daruber, bis zu welchem Grad eines vollstandigen Polynoms eine exakte Integration geleistet wird. Auch isolierte Terme hoheren Grades konnen noch exakt integriert werden, wenn sie im Basisvektor berucksichtigt wurden oder zufallig das Momentengleichungssystem ( 1 . 1 4 0) befriedigen. Es konnte nun der Eindruck entstehen, als wurden alle ubrigen Terme bei einer numerischen Integration vollig vernachlassigt. Das ist nicht so. Am besten laBt sich dies an einem Beispiel zeigen. Als Integrand sol1 das Polynom

f = a 0 + a1 x + a2 x2 + a j x 3

+

...

benutzt werden. Das exakte Integral zwischen x = f 1 ist

Nun wird dasselbe Integral numerisch mit den ersten vier GauB-Formeln von Tabelle 1.4 berechnet. Die Ergebnisse sind der Reihe nach: N

II

=

'V

I2

=

N

I3 = N

I4

=

2

a.

;

2 ( a o + -1a 3 2 ( a o + -1a 3

2 ( a o + -1a 3

+ -1a 9

2 2 2

+ -1a 5

4

1 + 4

27a6 3 + 2 5 a6

+ - 1a + -1 a 5 4 7 6

Zwischen den exakt integrierten Anteilen, links, und den von den Integrationsformeln eigentlich nicht mehr berucksichtigten Anteilen, rechts, wurde eine Lucke gelassen. Wie man sieht, werden auch diese Anteile immer

1.6 Numerische Integration

87

besser erfaBt, je naher sie an die Lucke rutschen. Zum Beispiel macht der Koeffizient von a folgende Entwicklung durch:

Der eingeklammerte W e r t ist exakt, so wie e r beginnend rnit einer 5-PunktFormel berechnet wird. Das Beispiel zeigt folgendes: Auch hohere Terme, die jenseits des Exaktheitsgrades einer Integrationsformel liegen, fallen nicht ganzlich aus einer numerischen Integration heraus. Die einer numerischen Integration zugrunde liegende Interpolationsfunktion von einem gegebenen Exaktheitsgrad d approximiert auch die hoheren Terme eines Integranden. Also sind numerische Integrationsformeln ,>bessercc als es ihr Exaktheitsgrad vermuten laBt. Natiirlich muB man solch eine Aussage immer rnit Einschrankungen versehen, aber schon die Auseinandersetzung rnit den Ausnahmefallen wurde deutlich zu weit fuhren. In der Finit-Element-Methode hat man es meistens rnit gutartigen Integranden zu tun. Deshalb sind reduzierte Integrationen, auch Unterintegrationen genannt, an der Tagesordnung, das heiBt numerische Integrationen rnit einem an sich zu niedrigen Exaktheitsgrad. Man muB nur die Grenzen kennen!

1 .6.7 ubungen u b u n g 1.47: Integrieren Sie die Funktion

-4

f = abs zwischen x = i 1 rnit Hilfe e i n e r 3-Punkt-Formel a) n a c h Newton-Cotes; b) n a c h GauR. u b u n g 1.48: R e c h n e n Sie die 3-Punkt-GauR-Formel u m auf den Bereich 0

2

x

2

1.

u b u n g 1.49: Bestimmen Sie das Momentengleichungssystem f u r e i n e 4-Punkt-Newton-Cotes-Formel f u r den Bereich zwischen x = + 1. Die Koordinaten der Stutzstellen seien

x

P

= [ - I

-a

a

I ] .

Wie mussen Sie a w a h l e n , damit die Integrationsgewichte w l = w4 = 0 werden? Wie groR sind dann die beiden anderen Integrationsgewichte u n d u m w e l c h e Integrationsformel handelt es sich dann? u b u n g 1.50: Berechnen Sie das Integral der F u n k t i o n

1 rnit e i n e r zwischen xi = a) 3-Punkt-Formel; b) 4-Punkt-Formel, i n gleichen so daR die Stutzstellen auf e i n e m Kreis rnit dern Radius r = Abstanden voneinander liegen u n d gleiche Integrationsgewichte besitzen. P u n k t 1 +

88

1. Mathematische Grundlagen

soll auf der xl-Achse Iiegen. Was passiert im Fall (b), wenn Sie die Stiitzstellen i n eine um 45' Grad gedrehte Lage bringen? ubung 1.5 1: Integrieren Sie die Funktion von ubung 1.50 mit einer (3.3)-Punkt-GauB-Produktformel. ubung 1.5 2: Die Funktion f = 3

+

x:

x~~ sol1 iiber den Bereich eines Dreiecks rnit den Ecken

+

integriert werden. Wahlen Sie eine numerische Integrationsformel mit ausreichender Genauigkeit aus. ubung 1.53: Integrieren Sie die Funktion (5

f

-

3+(4

-

3 x 3 3

-

3 x 3

=

13

-

abs {x:+

x:+

x:

zwischen xi = t 1 mit einer (2.2.2)-Punkt-GauB-Produktformel. ubung 1.54: Es soll eine verallgemeinerte Integrationsformel (1.137) im Interval1 - 1 s xi 2 + I ; ( i = 1,2), hergeleitet werden. Der Exaktheitsgrad sei d = 2 und der Interpolationsoperator gleich

1.7 Lineares Eigenwertproblem Eigenw-ertprobleme der Matrizenrechnung haben folgende Form:

Hierin ist Fi eine Matrizenfunktion und xi eine Losung, die aber nur dann existiert, wenn der Parameter A ganz bestimmte fur ein Problem charakteristische W e r t e annimmt. Unter diesen Umstanden ist A ein Eigenwert und xider zugehorige Eigenvektor. J e nach der Festlegung der Matrizenfunktion Fi entstehen die verschiedensten Eigenwertprobleme. W i r werden uns bier auf das einfachste Problem beschranken; namlich das lineare. Es sieht so aus :

Hierin sind a.. und b.. zwei reelle, quadratische Matrizen, die im Vorgriff 1J 1J auf spatere Erfordernisse als symmetrisch definiert werden.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

89

Spater wird noch eine weitere Einschrankung fur die Matrix b.. notwendig 1J werden. In ( 1 . 1 4 8 ) tritt das Matrizenpaar a . ., b.. auf. Dies sol1 als das allgemeine, 1J 1J lineare Eigenwertproblem bezeichnet werden. Wird die Matrix bij zur Einheits-Matrix, dann spricht man von dem speziellen, linearen Eigenwertproblem der Matrix a . .. 1J

Z j

( a . . - A S . . ) x. = 0 'J

1J

J

;

( i , j = l...n)

Wann immer von dem Eigenwertproblem nur einer Matrix gesprochen wird, handelt es sich um das spezielle ( 1 . 1 5 0). Das allgemeine Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) 1aRt sich auf das spezielle ( 1 . 1 5 0 ) uberfuhren. Das hat dazu gefuhrt, daB vor allem in der mathematischen Literatur, fast immer nur das spezielle Eigenwertproblem behandelt wird. Vor allem fur groBe Probleme ist dies jedoch umstandlich und unwirtschaftlich, so daB dieser W e g hier nicht als die Regel angesehen wird. Trotzdem wird e r , schon wegen seiner allgemeinen Bedeutung, im folgenden angegeben. Als Voraussetzung fur die Umformung des allgemeinen in das spezielle Eigenwertproblem wird die Matrix b.. als nicht singular angesehen. Wie 1J sich spater zeigen wird, ist dies auch die Voraussetzung dafur, daB sich reelle Losungen ergeben. Eine nicht singulare Matrix b.. laBt sich invertieV ren. Multiplizieren von ( 1 . 1 4 8 ) mit dieser Inversen ergibt

Damit ist das spezielle Problem ( 1 . 1 5 0) hergestellt. Selbst fur symmetrische Matrizen ist die Matrix

unsymmetrisch, e s sei denn b.. w a r e diagonal. Den Verlust der Symmetrie 1J vermeidet man, wenn b . . in ein Produkt zerlegt wird. 1J

Dies konnte zum Beispiel durch eine Dreieckszerlegung ( 1 . 8 5) geschehen, bei der wegen der Symmetrie von b.. die linke und rechte Dreiecksmatrix 1J transponiert gleich werden. Nach einer Inversion der Produktmatrix wird aus ( 1 . 1 4 8 ) hergestellt

90

1. Mathematische Grundlagen

Hierin ist die Matrix

immer symmetrisch. ~ allgemeinen EigenAbgesehen von dem Aufwand fur die ~ b e r f i i h r u ndes wertproblems ( 1 . 1 4 8 ) in das spezielle ( 1 . 1 5 0); handelt man sich dabei den Nachteil ein, daB man voll besetzte Matrizen erzeugt, selbst wenn a.. 1J und bij dies nicht sein sollten. Gerade das sollte man tunlichst vermeiden, wie bei der Dreieckszerlegung in Abschnitt 1 . 4 . 3 gezeigt wurde. Fur die numerische Losung des Eigenwertproblems liegt der Fall nicht sehr vie1 anders. Nur fur eine diagonale Matrix b . . ergeben sich keine Nachteile. 1J Die ~ b e r f u h r u n ~ e( n1 . 1 5 1 ) und ( 1 . 5 3) sind dann identisch.

1 .7 .I Eigenwerte Ein lineares Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) hat die Form eines homogenen, linearen Gleichungssystems ( 1 . 1 1 7 ) . Nichttriviale Losungen xi konnen laut ( 1 . 1 1 8 ) nur existieren, wenn die Koeffizientenmatrix singular ist, das heiBt wenn

Dies ist die charakteristische Gleichung des Eigenwertproblems. Aus der Determinante entsteht im Normalfall ein Polynom n-ten Grades in A , das n Losungen oder Wurzeln besitzt. Diese werden als die Eigenwerte (Plural) bezeichnet. Sie konnen samtlich unterschiedlich, teilweise oder auch alle gleich sein. Man spricht von einfachen und mehrfachen Eigenwerten. Falls die Koeffizienten der hochsten Potenzen von h null sein sollten, dann hat das Polynom weniger als n Wurzeln. Dieser Ausnahmefall sol1 hier, vielleicht etwas gewaltsam; auf den Normalfall mit n Wurzeln abgebildet werden. In numerischen Berechnungen treten anstelle der exakten Nullen fast immer sehr kleine Koeffizienten als ,,numerischer Schmutz(c auf. Die eigentlich fehlenden Eigenwerte tauchen dann als sehr groBe Zahlen wieder auf. Es ist deshalb nicht falsch, den Standpunkt einzunehmen, daB ein Eigenwertproblem der GroBe n immer n Losungen besitzt, unter denen allerdings auch beliebig groBe W e r t e vorkommen konnen.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

91

Nur fiir sehr kleine n kann man die Eigenwerte aus der charakteristischen Gleichung berechnen. Fur etwas groBere n, das heiBt etwa ab n = 4 , muB man, von Sonderfallen abgesehen, andere Wege gehen. Dieses Problem wird bei den Losungsalgorithmen wieder aufgegriffen. Fur die Handrechnung ist jedoch die Entwicklung der charakteristischen Gleichung (1.15 4 ) durchaus nutzlich. Dies sol1 am Fall n = 2 gezeigt werden. Aus der ersten Definitionsgleichung f u r eine Determinante (1.6 1) erhalt m a n

Dieser Ausdruck enthalt vier Determinanten, fiir die eine abgekurzte Schreibweise eingefuhrt wird. Zum Beispiel ist

Im letzten Ausdruck werden n u r noch die Spalten-Nummern angegeben. Jetzt wird aus dem obigen Ausdruck

Fur n

=

1 bis 3 erhalt man auf diese Weise

h det ( b,) ,

0

=

det ( a,)

0

=

det ( a l a 2 ) - h

-

( det ( a , b 2 ) +

1 det ( b l a 2 ) )

+

h 2 det ( bl b 2 ) ,

0 = det ( a l a 2 a 3 ) -

I (det( ala2b3)

+

h 2 ( det ( a , b2 b,)

-

I 3 det( b l b 2 b 3 ) .

+

det( a , b 2 a 3 ) +

det ( bl a 2 b,)

+

det( b l a 2 a 3 ) ) +

> ( I. I 5 5 )

det ( b , b2a,))

Hierin ist zum Beispiel det ( a , b 2 6 , ) die Determinante der Matrix, die aus den Spalten 1 der Matrix a und den Spalten 2 und 3 der Matrix b zusammengesetzt ist. Obwohl zum Beispiel anstelle von det ( a , a 2 a 3 ) auch det ( a ) geschrieben werden kann, wurde hierauf wegen der Systematik verzichtet. Mit ( 1 . 6 5 ) kann man alle Aussagen, die sich auf die Spalten einer Determinante beziehen, auch auf die Zeilen anwenden. Also kann det ( a , b 2 b 3 ) auch aus der ersten Zeile von a u.s.w. gebildet werden. Um e i n Beispiel f u r die Berechnung von Eigenwerten f u r n die beiden Matrizen

I

-'2 gewahlt. Aus (1.155) folgt

=

2 zu geben, werden

92

1. Mathematische Grundlagen

Daraus ergeben sich die Eigenwerte (Wurzeln)

-

A

=

2

2

J7/3 .

Diese Eigenwerte sind einfach, das heifit, sie sind nicht gleich; ihre Numerierung ist willkurlich.

Die Formeln ( 1 . 1 5 5) gelten selbstverstandlich auch fur das spezielle Eigenwertproblem ( 1.15 0 ) . Dafur ergeben sich allerdings so erhebliche Vereinfachungen, daB es sich lohnt, die Formeln fiir n = 1 bis 3 gesondert anzugeben.

Hierin ist a- ( k k ) die Matrix, die aus a . . entsteht, wenn die k - t e Zeile und V Spalte gestrichen werden. Diese Schreibweise wurde bereits in ( 1 . 6 4 ) angewendet . Bereits an dieser Stelle lassen sich einige Aussagen zu den Eigenwerten gewinnen, die allgemeine Bedeutung haben. Fur eine singulare Matrix a . 1J ist die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) offensichtlich immer mit einem oder mehreren Eigenwerten h = 0 befriedigt. Ihre Zahl richtet sich nach dem Defekt ( 1 . 1 1 9 ) der Matrix aij. Die Eigenwerte bleiben unverandert, wenn man folgende Transformation vornimmt:

Die Transformationsmatrizen mussen quadratisch und nicht singular sein, ansonsten sind sie beliebig. Man spricht von einer Ahnlichkeits- Transformation, wenn eine der Transformationsmatrizen die Inverse der anderen ist, und von einer kongruenten Transformation, wenn eine die Transponierte der anderen ist.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

s.. = t.. 1J

;

( i , j = l ... n ) .

93

(1.159)

Jl

Die Behauptung, daR die Eigenwerte unverandert bleiben, laRt sich sehr einfach beweisen. Die charakteristische Gleichung (1.154) f u r die Bestimmung der Eigenwerte 5 des transformierten Problems ist

Durch Einsetzen von (1.157) wird daraus

Da alle Matrizen quadratisch sind, k a n n das Determinanten-Theorem (1.7 0) angewendet werden.

Die Transformations-Matrizen wurden als nicht singular vorausgesetzt. Folglich sind ihre Determinanten nicht null und es k a n n hierdurch dividiert werden. Es bleibt

Dies ist aber die charakteristische Gleichung des nicht transformierten Problems, welches die Eigenwerte A liefert. Damit ist bewiesen, daR 5 = A ist!

1.7.2 Eigenvektoren Aus der charakteristischen Gleichung ( 1 . 1 5 4) lassen sich n Eigenwerte berechnen. Eine zwangslaufige Reihenfolge gibt es nicht, so daB eine willkurliche Reihung notwendig wird. Meist werden sie der GroBe nach geordnet, beginnend mit dem kleinsten. Jeder der Eigenwerte erfullt das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) . Die Gesamtheit der sich aus diesen Losungen ergebenden Gleichungen ist dann

Durch die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) werden die Eigenwerte so bestimmt, daB die Koeffizientenmatrix dieses homogenen Gleichungssystems singular wird. Es existieren dann n nichttriviale Losungen oder Eigenvektoren x . die voneinander linear unabhangig sind, gleichgultig, ob sie ~ k ' einfachen oder mehrfachen Eigenwerten zugeordnet sind. Die Zusammenfassung x . wird als Eigenvektor- oder Modal-Matrix bezeichnet. Wegen ~k der linearen Unabhangigkeit der Eigenvektoren ist sie nicht singular. Das homogene Gleichungssystem ( 1 . 1 6 0 ) ist fur jeden Eigenwert Ak einmal zu losen, um den zugehorigen Eigenvektor xjk zu bestimmen. Das hierzu erforderliche Vorgehen ist in Abschnitt 1 . 4 . 8 beschrieben. Dort wurde auch gesagt, daB fur jede Losung eine Annahme offen steht, um sie eindeutig zu machen. Dies gilt sowohl fur ein- als auch fur mehrfache Eigenwerte. DaB ein Eigenvektor niemals eindeutig sein kann, sieht man schon an ( 1 . 1 6 0): Da auf der rechten Seite eine Null steht, kann jeder

94

1. Mathematische Grundlagen

Eigenvektor mit einem beliebigen Faktor multipliziert werden, ohne die Gleichungen zu verletzen. Zum Problem dieser Annahmen wird im nachsten Abschnitt mehr zu sagen sein. Im vorhergehenden Abschnitt wurden fur die Matrizen

die Eigenwerte hl

=

2

J7/3

-

=

0,47247

;

A,

=

2 +

J7/3

=

3,52753

berechnet. Sie wurden hier, wie oben vorgeschlagen, der GroRe nach geordnet. Es sol1 nun gezeigt werden, wie man in der Handrechnung die zugehorigen Eigenvektoren bestimmen kann. Die ausgeschriebenen Gleichungen (1.16 0) sind 2 - 2Ak I + Ak

]

A 3 2 A k +

=

0 ;

(k

=

1.2)

Die zweite Komponente der Eigenvektoren wird auf 1 festgesetzt, also x Z k = 1. Aus der ersten oder zweiten Zeile ergibt sich damit

x,,

=

-

1,39564 ;

x,,

=

0,89569

Die Eigenvektormatrix ist dann

Mit anderen Festlegungen erhalt man andere Eigenvektoren. Dies andert jedoch nichts an dem Verhaltnis der Komponenten in einem Eigenvektor zueinander.

1.7.3 Hauptachsen-Transformation In den beiden vorausgegangenen Unterabschnitten wurden die Eigenwerte und -vektoren vorgestellt, ohne vie1 mehr als nur das Wesentliche zu sagen. In den folgenden zwei Unterabschnitten sollen nun die wichtigsten Eigenschaften dieser GroBen naher untersucht werden. Dabei wird es unmoglich sein, eine auch nur annahernd erschopfende Darstellung zu geben. Das Eigenwertproblem ist das Kernstuck der linearen Algebra, an dem Generationen von Mathematikern gearbeitet haben. Die angesammelten Erkenntnisse fullen ganze Lehrbiicher! Im folgenden geht es darum, Aussagen uber die Eigenvektoren zu einfachen und mehrfachen Eigenwerten zu gewinnen. Ausgangspunkt ist das homogene Gleichungssystem (1.16 0 ) fur einen beliebig herausgegriffenen Eigenwert h k . ES wird mit dem Eigenvektor xil eines Eigenwertes hl multipliziert.

E

i, J

x , ( a - hk b,)

v

xjk

=

0 ;

( i , j , k , l= l . . . n )

1.7 Lineares Eigenwertproblem

95

Nun wird dieselbe Gleichung geschrieben, in der die Rollen von hk und AI vertauscht sind.

Dies wird von der daruber stehender Gleichung abgezogen.

Im ersten und dritten Term wird i in j und j in i umbenannt und danach in diesen Termen die in ( 1 . 1 4 9) geforderte Symmetrie der Matrizen eingefuhrt, um aus a . . wieder a . . und aus 6 . . wieder b.. zu machen. J

'

1J

Jl

1J

Der erste und der zweite Term heben sich gegeneinander auf und den dritten und vierten kann man zusammenfassen.

Dieses Verhalten wird den Eigenvektoren durch das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) mitgegeben, wenn man voraussetzt, daI3 die Systemmatrizen a . . 1J und bij mit ( 1 . 1 4 9) symmetrisch sind. Sind sie es nicht, bleibt alles vorher Gesagte gultig. Erst an dieser Stelle trennen sich die Wege fur symmetrische und unsymmetrische Matrizen. Fur den Fall, daR die Eigenwerte hk und ; I I ungleich sind, ist der Faktor in der Klammer nicht null und es folgt

Wenn dagegen die Eigenwerte hk und h1 gleich sind, liefert ( 1 . 1 6 2 ) keine Aussage. Dieses uVakuumc< kann man mit folgender Festlegung beseitigen:

2. xlk b.. x. 1J ~1

i, J

=

Ski

;

( i , j , k , l = l . . . n ; lk

=

A]) .

Da in ( 1 . 1 6 3) der Fall k = I ausgeschlossen ist, fur den in (1. I 6 4 ) die rechte Seite gleich eins ist, lassen sich die beiden Gleichungen vereinigen.

Dies gilt nun ohne die Einschrankungen von ( 1 . 1 6 3 ) und ( 1 . 1 6 4). Die Frage, warum die Annahmen von ( 1 . 1 6 4) getroffen werden konnten, laBt sich nicht in einem Satz beantworten. Zunachst sind da die Gleichungen mit k gleich I . Diese bewirken eine Normierung aller Eigenvektoren, die wegen der in ( 1 . 1 6 0) verbleibenden Unbestimmtheit zweckmaBig ist. Weiter sind in ( 1 . 1 6 4 ) Bedingungen fur k ungleich 1 enthalten, deren

96

1. Mathematische Grundlagen

Eigenwerte gleich sind. Die Eigenvektoren zu solchen mehrfachen Eigenwerten mussen nicht einer Orthogonalitatsbedingung der Form ( 1 . 1 6 3) gehorchen. D a aber nichts gegen die Einfiihrung einer solchen Bedingung spricht, ist sie zulassig. Dadurch erhalt man ein einheitliches Verhalten der Eigenvektoren zu ein- und mehrfachen Eigenwerten, das in ( 1 . 1 6 5) in einer Aussage zusammengefaBt werden konnte. Die den Eigenvektoren aufgezwungene Bedingung ( 1 . 1 6 4 ) bezeichnet man als Orthonormierung. Es ist etwas schwierig, fur das allgemeine Eigenwertproblem die Begriffe der Normierung und der Orthogonalitat zu erklaren. Aus diesem Grund wird (1.165) noch einmal fur das spezielle Eigenwertproblem (1.150) geschrieben.

Fur k

=

1 wird daraus

Hierdurch wird die Lange der Eigenvektoren auf den Wert 1 festgelegt. Diese Normierung laRt sich im speziellen Eigenwertproblem immer durchfuhren. Fur k # 1 folgt aus (1.166)

F

XikXii

=

0

;

(k $1).

Dies ist eine Orthogonalitat der Eigenvektoren zueinander. Im Falle unterschiedlicher Eigenwerte ist sie zwangslaufig, bei gleichen Eigenwerten wird sie durch (1.164) herbeigefuhrt. Die angefuhrten Begriffe nLange* und ),Orthogonalitat. deuten auf eine geometrische Interpretation hin. Durch die Eigenvektoren wird ein n-dimensionaler Raum aufgespannt, in dem eine Lange aus der Wurzel der Quadrate der Komponenten berechnet und eine Orthogonalitat aus dem Nullwerden des inneren Produktes zweier Vektoren gefolgert wird. Dies sind Eigenschaften der orthogonal Cartesischen Koordinatensysteme von Abschnitt 1.3. Ihr metrischer Tensor ist das Kronecker Delta Sij. Die geometrische Interpretation laRt sich fur das allgemeine Eigenwertproblem aufrecht erhalten, wenn man an die Stelle von Sij die Matrix bij setzt. Sie beschreibt nun die Metrik eines nichtorthogonalen Koordinatensystems, das aber immer noch Cartesisch, das heiJ3t gradlinig, ist, weil der metrische Tensor konstant ist. Eine Normierung und Orthogonalitat in diesem Koordinatensystem wird auch als b-Normierung und b-orthogonalitat bezeichnet, wenn es auf eine Unterscheidung zu einem orthogonalen Koordinatensystem ankommt.

Bisher wurden die Eigenvektoren einzeln betrachtet. In ihrer Zusammenfassung als Eigenvektor- oder Modalmatrix besitzen sie jedoch Eigenschaften, die denen einer Transformationsmatrix gleichkommen. Zum Beispiel findet man in der fur das spezielle Eigenwertproblem geschriebenen Gleichung ( 1 . 1 6 6) die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 5) einer Transformationsmatrix zwischen zwei orthogonalen Koordinatensystemen wieder. Setzt man in ( 1 . 1 6 5) die Modalmatrix gleich einer transponierten Transformationsmatrix, das heifit xik = tki, dann erhalt man das Transformationsgesetz

1.7 Lineares Eigenwertproblem

97

eines Tensors zweiter Stufe in ( 1 . 4 5 ) . Unter diesem Gesichtspunkt wird ( 1 . 1 6 5) noch einmal hingeschrieben.

Die Matrix bkl entsteht ten) Eigenvektormatrix. zur Einheitsmatrix. Fur wenn man ( 1 . 1 6 5 ) in ( 1

aus b.. durch Transformation mit der (transponier1J Durch die Orthonormierung in ( 1 . 1 6 4) wird sie die Matrix a . . erhalt man ein ahnliches Gesetz, 1J 1 6 1 ) einsetzt.

akl

wird ebenfalls zur Diagonalmatrix, nun Die transformierte Matrix aber mit den Eigenwerten als Koeffizienten. Die gleichzeitige Transformation der beiden Systemmatrizen a . . und b . . auf 1J 1J Diagonalform bezeichnet man als Hauptachsen- Transformation. Voraussetzung hierfur ist die Orthonormierung der Eigenvektoren nach ( 1 . 1 6 4). Die Transformation verdreht und verzerrt die gedachten Bezugsachsen so, dal3 ein orthogonal Cartesisches System mit dem metrischen Tensor bkl = Skl entsteht, in dem alle Kopplungen, das heiBt Nicht-Diagonalkoeffizienten, verschwinden. Im Falle eines speziellen Eigenwertproblems mit bkl = Skl entfallt die Verzerrung und es bleibt eine reine Drehung der Achsen ubrig. Ein physikalisch anschauliches Beispiel hierfur wurde in Abschnitt 1 . 3 . 3 mit der Berechnung der Hauptachsen (1.4 9) des Spannungstensors gegeben. Nebenher sei noch bemerkt, dal3 die Hauptachsen-Transformation eine kongruente Transformation nach ( 1 . 1 5 7) und ( 1 . 1 5 9 ) ist. Viele Losungsalgorithmen fur das Eigenwertproblem erfullen die Zusatzforderungen der Orthonormierung ( 1 . 1 6 4) automatisch. Bei anderen muB oder kann man die Forderungen getrennt verwirklichen. Vor allem aber in der Handrechnung ist man gut beraten, die Orthonormierung getrennt durchzufuhren, weil man sonst zuviele Bedingungen gleichzeitig zu beachten hat. Man berechnet also zunachst nichtnormierte Eigenvektoren und unterscheidet diese von den normierten zum Beispiel durch eine Tilde. Anstelle von ( 1 . 1 6 5 ) erhalt man

D a die Orthogonalitatsbedingung (1. 1 6 3) auch von den nichtnormierten Eigenvektoren befriedigt wird, miissen alle Nichtdiagonalglieder von verschwinden, wenn die zugehorigen Eigenwerte verschieden sind.

ckl

98

1. Mathematische Grundlagen

Durch Linearkombinationen der nichtnormierten Eigenvektoren sollen nun neue erzeugt werden, die die Orthonormierung ( 1 . 1 6 5) erfiillen.

Viele der Koeffizienten von ckl konnen von vornherein null gesetzt werden, weil keine Vertauschungen der Eigenvektoren zu einfachen Eigenwerten vorgenommen werden sollen. Formal stimmt diese Aussage mit ( 1 . 1 7 0 ) uberein:

c kl = 0

; ( k , l = l . . . n ; hk # h l )

.

(1.172)

Aus ( 1 . 1 6 5 ) ergibt sich mit ( 1 . 1 7 1 ) und ( 1 . 1 6 9 )

cikCij cj,

=

Ski

;

(i,j:k,l = l . . . n ) .

(1.173)

i , ~

Aus dieser Gleichung lassen sich die Bedingungen bestimmen, denen die Matrix cik unterliegt. Abhangig von der jeweiligen Situation geschieht dies auf verschiedene Weise. Am haufigsten wird man Eigenvektoren zu normieren haben, die zu einfachen Eigenwerten gehoren. Wegen der Einschrankungen ( 1 . 1 7 0) und ( 1 . 1 7 2) bleibt von ( 1 . 1 7 3) fiir k = 1 ubrig

ckk bkk ckk mit der Losung

Ck

Mit diesem Faktor ist in ( 1 . I 7 1 ) zu multiplizieren, um den normierten Eigenvektor xik zu erhalten. Die Orthonormierung von Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten gestaltet sich etwas schwieriger. Es seien hk bis Al d-fache Eigenwerte, ) den Anfang geruckt werden. In die in der Zahlung ( ~ o r u b e r ~ e h e n dan ( 1 . 1 7 3) nehmen dann wegen ( 1 . 1 7 0) und ( 1 . 1 7 2) samtliche Indizes die W e r t e 1 bis d an. Die Matrix cik ist nicht singular: weil alle Eigenvektoren linear unabhangig sind. Durch Inversion entsteht aus ( 1 . 1 7 3 )

Die Matrix g.. ist bekannt; gesucht wird cik. Das Problem wird in zwei 1J Schritten gelost. Im ersten wird b.., wie in ( 1 . 1 7 5 ) angegeben, in zwei 1J Faktoren zerlegt. Das kann durch eine Dreieckszerlegung der symmetrischen Matrix geschehen. D e r benotigte Algorithmus ist in ( 1 . 1 0 9 ) angegeben. Im zweiten wird die dann bekannte Dreiecksmatrix c i i l inverry

'

cij

1.7 Lineares Eigenwertproblem

99

tiert, um ckj zu erhalten. Der benotigte Algorithmus findet sich in ( 1 . 1 0 4 ) fur die obere Dreiecksmatrix. Das geschilderte Verfahren wird als Gram-Schmidt-Orthogonalisierung bezeichnet. Wie man an der Herleitung erkennt ist die Verwendung von Dreiecksmatrizen nicht zwingend. Sie ist aber praktisch, weil bei der anschlieBenden Umrechnung (1.1 7 1) die orthonormierten Eigenvektoren xjl einzeln aus den davorliegenden, nicht orthonormierten aufgebaut werden. Das heiBt, der erste orthonormierte Eigenvektor ergibt sich allein aus dern ersten nicht orthonormierten, der zweite aus dern ersten und zweiten, der dritte aus dern ersten, zweiten und dritten, u.s.w. Die GramSchmidt-Orthogonalisierung wird ublicherweise durch einen verketteten Algorithmus beschrieben, in dern die neuen Eigenvektoren der Reihe nach, wie eben angegeben, aus den alten berechnet werden. Hier dagegen wurde die Losung von ( 1 . 1 7 5) in zwei getrennten Schritten vorgenommen, um damit auf bereits bekannten Algorithmen aufbauen zu konnen. Einen verketteten Algorithmus erhalt man daraus, indem man mit einem Eigenvektor anfangt, alle dann notwendigen Operationen ausfuhrt, einen zweiten Eigenvektor hinzufugt, wieder alle notwendigen Operationen ausfuhrt u.s.w.

Eiik

Fur bereits orthonormierte Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten wird es haufiger notwendig, diese einer nachtraglichen Transformation zu unterziehen. Solche Eigenvektoren liegen in einem Unterraum, in dern sie beliebig gedreht werden konnen. Bei der Berechnung erhalten sie eine Lage, die vom Losungsalgorithmus und einer eventuell nachfolgenden Gram-Schmidt-Orthogonalisierung abhangig ist. Eine Drehung kann sie fur die weitere Verwendung aufbereiten. Wie oben seien wieder Ak bis hl die d-fachen gleichen Eigenwerte, die an den Anfang der Zahlung geruckt werden. Da die Eigenvektoren bereits orthonormiert sein sollen, gilt N

; ( j , j = l ... d ) .

b . . = 8.. *J

1J

Aus ( 1 .I7 3) folgt damit und mit ( 1 . 1 7 2 )

Dies kennzeichnet cik als eine orthogonale Transformationsmatrix, da sie die Bedingung ( 1 . 3 5) erfullt. Innerhalb dieser Vorgabe kann sie beliebig gewahlt werden. Ein Beispiel, an dern alle drei angefuhrten Falle der Orthonormierung gezeigt werden konnen, liefern die Matrizen a,. = 1J

1

;

b.. 1J

=

8.. U

;

Die zugehorigen Eigenwerte sind

( i , j = ... l 4).

100

1. Mathematische Grundlagen

Der dreifache Eigenwert null ergibt sich, weil die Matrix aij den Rang eins hat. Die per Hand berechneten Eigenvektoren und die damit gebildete Matrix Kij von (1.169) sind

ci4

Man sieht, daR (1.170) mit = g4i = 0: (i = 1,2,3), erfiillt ist. ZunBchst sol1 der zum einfachen Eigenwert gehorige vierte Eigenvektor normiert werden. Der Normierungsfaktor ergibt sich aus (1.174). Gewahlt wird das positive Vorzeichen. cq4

=

1/44

=

0,5

Aus ( 1.17 1) folgt dann der normierte vierte Eigenvektor

Auf die ersten drei Eigenvektoren wird die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung (1.175) angewendet. Aus der Untermatrix gij, ( i,j = 1,2,3),ergibt sich durch Dreieckszerlegung (der Algorithmus (1.1 0 9) berechnet die Kehrwerte der Diagonalelemente, die fur den Inversionsalgorithmus (1.104) dann bereits vorliegen)

Das Ergebnis der Inversion ist

Mit ( 1.17 1) werden die orthonormierten Eigenvektoren berechnet.

Wegen der Dreiecksform der Matrix cki entstand der erste orthonormierte Eigenvektor, wie oben bereits beschrieben, aus dem ersten nichtnormierten, der zweite aus dem ersten und zweiten, und der dritte aus allen dreien. Die gewahlte Reihenfolge der Eigenvektoren entscheidet uber das Ergebnis. Da dies nicht immer vorhersehbar oder gewiinscht ist, kann man die in (1.176) definierte Drehung anschlieflen. Als orthogonale Transformation fur die ersten drei Eigenvektoren wird gewahlt

Damit folgt dann aus (1.171)

1.7 Lineares Eigenwertproblem

101

Die orthogonale Transformation wurde mit Absicht so gewahlt, daR sich der gezeigte, systematische Aufbau der Eigenvektoren ergab. In der vierten Spalte wurde i n Klammern der bereits oben berechnete normierte Eigenvektor angefugt. Damit ist die gesamte orthonormierte Eigenvektormatrix gewonnen. Durch Einsetzen kann man sich davon uberzeugen, daR die Bedingung (1.165) erfullt ist. Die Hauptachsen-Transformation der Matrix aij sol1 noch uberpruft werden. Mit aij = 1 folgt aus (1.168)

a,,

=

C

Xik

Xjl

=

1,J

(

C xi,

C xj,

(

i

)

j

-

0 0

4

Die nicht gezeigten Nichtdiagonalglieder sind samtlich null. Man sieht, daR auf der Diagonale tatsachlich die Eigenwerte erscheinen!

1.7.4 Reelle Losungen Die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) erzeugt ein Polynom n -ten Grades zur Bestimmung der Eigenwerte. Die Losungen mussen keinesfalls reell sein. Fur unsere Anwendungen sind jedoch nur reelle Losungen zulassig. Deshalb ist es sehr wichtig zu wissen, welche Bedingungen erfiillt sein rniissen, damit dieser Fall auch eintritt. Hierbei wird e s uns nicht erspart bleiben, etwas eingehender auf die quadratischen Formen einzugehen.

.

Es sei m.. eine reelle symmetrische Matrix; ui ein beliebiger, komplexer lJ Vektor und ui der dazu konjugiert komplexe Vektor.

m.. = m.. 1J

( 1 . 1 7 7)

Jl

u = v i + i w i ,

-

i

Hierin sind m . ., vi und wi reell und i 1J Matrix m . . ist definiert als

=

i

U"

i

1J

Einsetzen der Vektoren ergibt

= v

i

; (i,j = l...n)

fi.Die quadratische Form

der

102

1. Mathematische Grundlagen

q

=

2 (v.j

i wi) m.. ( v . + i w j ) U

I

J

Wenn man in dem Term vi m.. w . die Indizes i in j und j in i umbenennt und 1J J dann aus m . . wegen der Symmetrie wieder m . . macht, erhalt man v . m . . wi . J1 fJ J V Damit wird aber der gesamte imaginare Term zu null und es bleibt

Das heifit, die quadratische Form q von ( 1 . 1 7 8 ) ist fur eine symmetrische Matrix immer reell! Unter den zulassigen Matrizen m.. einer quadratischen Form findet man 1J solche, die fur beliebige, aber nicht durchweg verschwindende Vektoren ui, immer ein positives q liefern. Solche Matrizen bezeichnet man als positiv definit.

q

=

2:

ui' mij u > 0 J

i ,j

; (i,j = l...n)

(1.180)

Wann ist eine Matrix positiv definit? Um diese Frage zu beantworten, werden die Vektoren von ( 1 . 1 7 7 ) etwas umgeformt.

Hierin sind xik die Eigenvektoren der Matrix m.., also diejenigen, die man IJ fur m.. aus dem speziellen Eigenwertproblem erhalt. Mit der Hauptachsen1J Transformation ( 1 . 1 6 8 ) gilt dann

: , Die vk und wk sind beliebige reelle Zahlen, so daB die Vektoren ui und u wie gefordert, ebenfalls beliebig sind. Diese werden in ( 1 . 1 8 0 ) eingesetzt und die Hauptachsen-Transformation beachtet. Die imaginaren Glieder heben sich auf und es bleibt

Dies kann fiir beliebige vi und wi nur dann erfullt sein, wenn a l l e Eigenwerte der Matrix m . . positiv sind. U

Ebenso wie eine positive Definitheit gibt es eine negative. Anstatt ( 1 . 1 8 1 ) erhalt man

Dies verlangt, daB alle Eigenwerte von m . . negativ sein mussen. 1J

1.7 Lineares Eigenwertproblem

103

Neben der positiven und negativen Definitheit gibt es noch einige Zwischenstufen, die in der Tabelle 1 . 6 aufgenommen sind.

A l l e Eigenwerte

Klassifizierung

positiv null und positiv negativ, null und positiv negativ und null negativ

positiv definit positiv semidefinit indefinit negativ semidefinit negativ definit

Tabelle 1.6: Definitheit einer Matrix.

Damit sind die Vorbereitungen zur Untersuchung, wann ein Eigenwertproblem reelle Losungen besitzt, abgeschlossen. Den Ausgangspunkt bildet jetzt das Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) . Die Matrizen aij und bij sind reell und symmetrisch; ein Eigenwert A und der zugehorige Eigenvektor xi sind moglicherweise komplex. Durch Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Eigenvektor entsteht

Z x? ( a . i , ~1

IJ

-

I b..) xj U

=

0

Hierin treten quadratischen Formen ( 1 . 1 7 8) der Matrizen a j j und bij auf. Die Gleichung kann dann geschrieben werden

In ( 1 . 1 7 9 ) wurde bewiesen, daB q reell ist. Damit mul3 auch h reell sein, allerdings unter der Voraussetzung, daB q ( b ) nicht null ist. Nach ( 1 . 1 8 1 ) und ( 1 . 1 8 2 ) ist dies gewahrleistet, wenn 6 . . definit ist, sei e s positiv oder IJ negativ. Dies ist neben der Symmetrie von a . . und b.. die Bedingung fur die 1J 1J Existenz reeller Eigenwerte! Fur einen reellen Eigenwert kann in ( 1 . 1 4 8 ) immer noch ein komplexer Eigenvektor auftreten. D a die Losung fur einen einfachen Eigenwert, abgesehen von der Normierung, jedoch eindeutig ist, konnen sich der Realund Imaginarteil nur durch einen Faktor unterscheiden.

Im allgemeinen steht der Wahl des Faktors c 2 = 0 nichts im Wege, so daB der Eigenvektor ebenfalls reell wird. Eine Ausnahme kann durch die Orthonormierungsvorschrift ( 1 . 1 6 5) entstehen, die bei negativer Definitheit von b . . imaginare Eigenvektoren verlangt. Um also reelle, orthonormierte V Eigenvektoren zu erhalten, muh' die Matrix b.. positiv definit sein! 1J

104

1. Mathematische Grundlagen

Fur die Eigenvektoren zu mehrfachen Eigenwerten muB ( 1 . 1 8 4) erweitert werden, da nun Real- und Imaginarteil verschieden sein konnen. D e r Unterschied bleibt aber auf den zugehorigen Unterraum beschrankt, das heiBt Real- und Imaginarteile liegen in demselben Raum und konnen durch eine Drehung auf die Form ( 1 . 1 8 4) gebracht werden. Danach gilt wieder das oben Gesagte. Die Symmetrie der Matrizen aij und bij und die (positive) Definitheit von bij wurden als Voraussetzung f u r die Existenz reeller Losungen genannt. Diese Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Das heifit; es konnen auch reelle Losungen existieren, wenn die Bedingungen verletzt sind. Zwei Beispiele machen dies deutlich. Fur n = 2 und die positiv definite Matrix bij = Sij ist die Bestimmungsgleichung f u r die Eigenwerte

Wenn die Matrix aij symmetrisch ist, ist a12 = aZ1 und der Ausdruck unter der Wurzel immer positiv. Dann sind auch die Eigenwerte reell. Aber auch f u r eine nicht symmetrische Matrix aij sind die Losungen reell, solange das Argument unter der Wurzel positiv bleibt. Im zweiten Beispiel sol1 aij symmetrisch sein, aber

ist indefinit. Die Eigenwerte lassen sich aus A =

1

-

2

(

a

-

a,,

+

J( a l l

+

aZ212 - 4 a l i )

bestimmen. Solange der Koeffizient a12 nicht zu groR wird, sind auch die Eigenwerte reell.

Es ware extrem unwirtschaftlich, wenn man die Eigenwerte einer Matrix berechnen muBte, nur um festzustellen. ob sie positiv definit ist. Die Auskunft. die man haben will, ist, ob alle Eigenwerte mit Sicherheit positiv sind. Dies kann man iiber die Determinante in Erfahrung bringen. Zunachst stellt man sich vor, daB eine gegebene Matrix m . . wie in ( 1 . 1 6 8 ) so 1J transformiert ist, daB ihre Eigenwerte h auf der Diagonalen erscheinen. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist laut ( 1 . 6 9 ) gleich dem Produkt der Diagonalglieder. Es gilt daher

Dies kann natiirlich auch dann positiv sein, wenn eine gerade Zahl von Eigenwerten negativ ist. Es ist deshalb nicht nur die Determinante der gesamten Matrix zu untersuchen, sondern auch aller Teilmatrizen entlang der Diagonalen. D e r Test fur die Positiv-Definitheit erhalt seine iibliche Form durch

1.7 Lineares Eigenwertproblem

105

Wegen des erheblichen, hiermit verbundenen Berechnungsaufwandes eignet sich dieser Test nur fur die Handrechnung bei kleinem n. Eine Teilaussage macht der Test

m.. 11

?

0

; ( i= l . . . n )

.

(1.18 7 )

Dies 1aBt sich auch fur groBe n durchfuhren und liefert die Aussage, daB eine Matrix mit Sicherheit nicht positiv definit ist, wenn ein oder mehrere Diagonalglieder null oder negativ sind! Fur die systematische Untersuchung von groBeren Matrizen eignet sich die Dreieckszerlegung. Die Determinante wird dabei durch ( 1 . 9 3) mitgeliefert:

A l l e Teilmatrizen von ( 1 . 1 8 6) besitzen eine positive Determinante, wenn samtliche Drehglieder positiv sind.

Es wird der Algorithmus fur symmetrische Matrizen ( 1 . 1 0 9 ) angewendet. Im Vorgriff auf das hier gefundene Ergebnis wurde dort schon darauf hingewiesen, daB fur eine positiv definite Matrix alle Drehglieder positiv sind und deshalb die Vorzeichen- und Absolutfunktionen weggelassen werden konnen. Als Beispiel sol1 die Matrix

m.. U

=

4 -2 -4 0

-2 -4 0 5 2 -2 2 3 1 2 1 4

untersucht werden. Alle Diagonalglieder sind positiv, so daR die Matrix laut (1.187) positiv definit sein konnte. Daraufhin wird (1.186) der Reihe nach auf die Untermatrizen entlang der Diagonalen angewendet. det[4] = 4 > 0 ; det[-2

4 -2 = 1 6 > 0 ; det 51

Die dritte Determinante ist negativ, folglich kann die Matrix mij nicht positiv definit sein! Zum Vergleich wird noch das Verfahren nach ( 1.18 8 ) angewendet. Aus dem Algorithmus (1.109) erhalt man nach dem Durchlauf fiir i = 1:

106

1. Mathematische Grundlagen

Wenn man den -4lgorithmus fortsetzt, tritt f u r i = 3 ein negativer Drehpunkt auf, so daR (1.188) verletzt ist und die Matrix nicht positiv definit sein kann. Aber, man sieht bereits an dem obigen Ergebnis, was passieren wird: Der Koeffizient mi:' ist negativ; wiirde man n u n eine symmetrische Zeilen- und Spaltenvertauschung vornehmen, so daB dieser Koeffizient an die Stelle m :$) kommt, dann wzre bereits fiir i = 2 ein negativer Drehpunkt gegeben. Das bedeutet, wenn negative Diagonalglieder unter den m ! ' ) vorkommen, kann man den Algorithmus abbrechen. Die ~k untersuchte Matrix ist dann nicht positiv definit!

1.7.5 Determinanten-Suchverfahren Bisher war von den Eigenschaften des Eigenwertproblems die Rede. In den folgenden drei Unterabschnitten sollen nun die Algorithmen zur numerischen Losung behandelt werden. An Vollstandigkeit ist dabei nicht zu denken, denn auf keinem Gebiet der numerischen Mathematik wurde so vie1 gearbeitet wie auf diesem! Es kann nur versucht werden, einige der Algorithmen in ihren wesentlichen Eigenschaften vorzustellen, wobei die Betonung auf dem Prinzipiellen liegt und nicht so sehr auf den Rechenvorschriften. Im Gegensatz zur Losung linearer Gleichungssysteme, bei der zumindest in der Strukturmechanik die Dreieckszerlegung der klare Favorit ist, gibt es fur die Losung des Eigenwertproblems keinen eindeutig bevorzugten Algorithmus. Da der Aufwand etwa mit der vierten Potenz der GroBe eines Problems ansteigt (genaue Abschatzungen sind wegen der Vielzahl der Einflusse sehr schwierig), ist die Wirtschaftlichkeit extrem wichtig. Wirtschaftliche Algorithmen haben aber oft die unangenehme Eigenschaft, daB sie anfallig sind fur numerische Schwierigkeiten, die zum Beispiel durch mehrfache oder nah benachbarte Eigenwerte entstehen konnen. Zwischen Wirtschaftlichkeit und Robustheit muB immer ein KompromiB geschlossen werden, der niemals fur alle Anwendungen gleich gut sein kann. GroBere Finit-Element-Programme bieten deshalb immer mehrere Optionen zur Auswahl an. Viele der angebotenen Algorithmen sind zudem geschickte Kombinationen verschiedener Verfahren, um jeweils die besten Eigenschaften auszunutzen. Selbst nach einer 150-jahrigen Beschaftigung mit den Losungsalgorithmen fur das Eigenwertproblem (Jacobi, 1846) ist ein Ende der Entwicklungsarbeiten nicht abzusehen! Im Determinanten-Suchverfahren wird die charakteristische Gleichung ( 1 . 1 5 4 ) zur Bestimmung der Eigenwerte benutzt. Ein explizites Aufstellen der Gleichungen wie in ( 1 . 1 5 5) ist naturlich nur fur extrem kleine Systeme

1.7 Lineares Eigenwertproblem

107

sinnvoll. Stattdessen setzt man Versuchslosungen p in die charakteristische Gleichung ein und erhalt

Hierin ist p ( p ) ein Polynom, dessen Nullstellen dann erreicht sind, wenn die Versuchslosung oder, wie sie spater auch genannt wird, Verschiebung p gleich einem Eigenwert ist. Um aus ( 1 . 1 8 9) einen Berechnungsalgorithmus zu machen, muB noch eine Steuerung angebracht werden, die p ( p ) gegen null streben 1aBt. Haufig wird hierzu eine Newton-Iteration verwendet. Der Iterationsalgorithmus ist dann

Da die Steigung d p / d p nur sehr umstandlich genau zu bestimmen ist, begniigt man sich meistens mit der Sekante:

In Bild 1 . 1 9 ist dieser Zusammenhang dargestellt.

Bild 1.19: Sekanten-Verfahren z u r Bestimmung der NPherung

v+

'I.

Sobald ein Eigenwert bestimmt ist, kann man den zugehorigen Eigenvektor aus dem homogenen Gleichungssystem ( 1 . 1 6 0) berechnen. Der Algorithmus ( 1 . 1 9 0 ) konvergiert zu einem Eigenwert, der dem Anbenachbart ist. Wie erhalt man solche Angfangswerte? fangswert Y, [ Dies kann man aus einer Verallgemeinerung des Verfahrens zur Bestimmung der Positiv-Definitheit einer Matrix ( 1 . 1 8 8 ) ableiten. Fiir eine beliebige, symmetrische Matrix ergeben sich bei einer Dreieckszerlegung soviele positive Drehglieder, wie die Matrix positive Eigenwerte besitzt und soviele negative, wie negative Eigenwerte vorhanden sind. Dies folgt einfach daraus, daB in jedem Zerlegungsschritt die Determinante der bearbeiteten Teilmatrix sowohl das Produkt der bis dahin aufgelaufenen Drehglieder ist, als auch das der zugehorigen Eigenwerte. In ( 1 . 1 8 8 )

108

1. Mathematische Grundlagen

wurde gepruft, ob alle Drehglieder und damit alle Eigenwerte positiv waren. Jetzt werden auch negative Eigenwerte zugelassen. Fur eine beliebige Versuchslosung p nimmt man wahrend der Dreieckszerlegung der Matrix ( a . . - p bij), die ja zur Bestimmung der Determinante 1J in Algorithmus ( 1 . 1 9 0) sowieso erforderlich ist, eine Zahlung vor:

Danach enthalt n ( p ) + die Zahl der positiven Drehglieder und n ( p ) - die der negativen. Den Fall, daB ein Drehglied genau null ist, kann man hier ausschlieBen; er bedeutet, daB das gewahlte p gleich einem Eigenwert A ist und man damit bereits eine Losung gefunden hat. Fur jedes vorgegebene p kann man so bestimmen, wieviele Eigenwerte von ( a i j - p bij), das heist also Nullstellen von p, oberhalb und unterhalb von p liegen. Es ist relativ einfach, sich ein Schema fur eine geeignete Auswahl von Versuchswerten p zu uberlegen, so daB die Nullstellen jeweils in von einander getrennten Bereichen eingeschachtelt werden. Ein haufig angewendetes Verfahren ist die Bisektions-Methode, in der die Bereiche so lange halbiert werden, bis alle Nullstellen isoliert sind. Hierin wahlt man dann die Anfangswerte pC'I, mit denen der Algorithmus ( 1 . 1 9 0 ) zur exakten Lage der Nullstellen konvergiert. Fur das Matrizenpaar 6

5

5 8

1

5 6 1

8 -1 -6 1 14 1 1 2

sind die Werte des Polynoms ( 1 . 1 8 9 ) im Bild 1.20 aufgetragen.

Bild 1.20: Polynom p ( y ) f u r ein allgemeines Eigenwertproblem. Die Nulldurchgange liegen bei den Werten p = 1 und 6. Da f u r y = 4 eine zweifache Beruhrung der Nullinie stattfindet, sind die Eigenwerte A = 1; 4, 4 und 6. Im Anwendungsfall ist es natiirlich ausgeschlossen, das gesamte Polynom zu berech-

1.7 Lineares Eigenwertproblem

109

nen. Als Beispiel fiir eine Iteration (1.190) mit dem Sekanten-Verfahren (1.191) wird e i n Startwert p = 1,5 gewahlt. Die Drehglieder bei der Dreieckszerlegung sind damit: 6,40731 ; 2,20172 ; - 0 , 9 0 9 4 2 ; 0,29249 . D a e i n negatives Glied vorkommt, muR e i n Eigenwert kleiner als y = 1:s sein. Fur den nachsten Schritt wird y = 1;4 gewahlt und die Iteration gestartet. Iteration

Verschiebung

V

P

Polynom P(P) l4,O 6 2 6 12:4388 22,2543 -5,0493 1,5055 0,1864 0,005 6 0 (Konvergenz) -

-

Die Konvergenz zu dem doppelten Eigenwert A = 4 ist dagegen langsamer, weil das Polynom und die Nullinie k e i n e n scharfen Schnittpunkt besitzen. Derselbe Algorithmus braucht h i e r f u r mit den Startwerten p = 2,5 und 2,6 immerhin 20 Schritte.

1 . 7 . 6 Inverse Vektoriteration Die Grundlage fur die in der Finit-Element-Methode am haufigsten eingesetzten Losungsalgorithmen des Eigenwertproblems bildet die inverse Vektoriteration. Sie wird durch folgende Anweisung beschrieben:

C j

a.. z.[ v l lJ

J

=

11 z C v

1 -

11

/I

1

bij zjC v - 1 1 >.

j

(i,j= l...n; v

(1.193) =

1 , 2 ... ) .

Hierin sind a . . und b.. die Systemmatrizen und z.ist der iterierte Vektor. ZJ 1J J Von diesem Vektor wird eine im Prinzip beliebige Norm /I z 11 berechnet und davon der Kehrwert genommen. Am wirtschaftlichsten ist die Norm /lz jj =

1

( abs z i ) ; ( i = l . . . n )

(1.194)

zu ermitteln, die gleich dem absolut groBten W e r t in zi ist. Die Orthonormierung der Eigenvektoren ( 1 . 1 6 5) wird dadurch allerdings nicht herbeigefuhrt; sie muB nachtraglich vorgenommen werden, wie es in Abschnitt 1 . 7 . 3 beschrieben ist. Im Algorithmus ( 1 . 1 9 3) ist ein lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix a . . zu losen. Wie noch gezeigt wird, kann diese immer so 1J verandert werden, daB sie mit Sicherheit nicht singular ist. Es ist dann eine einmalige Dreieckszerlegung der Matrix a.. vorzunehmen, woraufhin 1J in allen Iterationszyklen v ein neuer iterierter Vektor z "I lediglich durch J Vorwarts-Riickwarts-Einsetzen bestimmt werden kann.

110

1. Mathematische Grundlagen

Falls der Algorithmus ( 1 . 1 9 3) konvergiert, gilt im Rahmen der numerischen Genauigkeit

Aus ( 1 . 1 9 3) ergibt sich damit

Ein Vergleich mit dem Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) zeigt das Ziel der Konvergenz:

Das heiBt, der Kehrwert der Norm des iterierten Vektors konvergiert gegen den absoluten Betrag eines Eigenwertes und der iterierte Vektor selbst gegen den zugehorigen Eigenvektor! Wahrend das Vorzeichen eines Eigenvektors beliebig ist, gilt dies fur einen Eigenwert nicht. Um zu entscheiden, ob ein gefundener Eigenwert positiv oder negativ ist, mussen zwei aufeinander folgende iterierte Vektoren in Konvergenznahe miteinander verglichen werden. Fur einen negativen Eigenwert wird das Vorzeichen durch die Norm ( 1 . 1 9 4) umgekehrt, so daB z.Cvl in ( 1 . 1 9 3) das entgegenJ gesetzte Vorzeichen von z.C - 'I e r h d t . Daraus folgt: Eine VorzeichenumJ kehr signalisiert einen n ega tiven Eigen wert. Es sind nun noch folgende Fragen zu klaren: - Gibt es eine Konvergenz? - Wenn ja, zu welchem Eigenwert? - Wie ist die Konvergenzgeschwindigkeit? Ein beliebiger Vektor z j laBt sich immer auf die orthonormierten Eigenvektoren xjk des zu untersuchenden Eigenwertproblems abbilden.

Da die Eigenvektoren nicht bekannt sind, sind auch die Faktoren c,["l unbekannt. Durch Einsetzen von ( 1 . 1 9 6) in ( 1 . 1 9 3) entsteht

Dies wird mit den Eigenvektoren xjl multipliziert.

1.7 Lineares Eigenwertproblem

111

Laut ( 1 . 1 6 7 ) und ( 1 . 1 6 8) transformieren die orthonormierten Eigenvektoren die Matrix bij auf die Einheitsmatrix und die Matrix aij auf die Eigenwerte. Es folgt

Nach Ausfiihren der Summen kann man dies nach c Z v l auflosen.

Hieraus bekommt man nun die gewiinschte Auskunft: Bei jedem Iterationsschritt v wird derjenige Faktor ck am meisten anwachsen, der zu dem absolut kleinsten Eigenwert ;ik gehort, bis e r schlieBlich a l l e anderen Faktoren c l , ( I f k ) dominiert. Das bedeutet aber, daB sich in ( 1 . 1 9 6) der iterierte Vektor zi bis auf einen Faktor immer mehr dem Eigenvektor xik annahert. Fur eine genugend groBe Zahl von Iterationen v erfolgt also eine Konvergenz zurn Eigenvektor des absolut kleinsten Eigenwertes.

Aus ( 1 . 1 9 7) kann man weiter ablesen, daB dieser Eigenwert nicht exakt gleich null sein darf und daB der zugehorige Anteil c i o 1 im Startvektor ziColebenfalls nicht verschwinden darf. Damit sind die ersten zwei der oben gestellten Fragen beantwortet. Zur Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit wird aus ( 1 . 1 9 7) das Verhaltnis der Anteile von zwei Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten gebildet .

Es sei Ak = Amin der absolut kleinste Eigenwert. In jedem Iterationsschritt wird der Absolutwert des Verhaltnisses cl / c k um den Faktor A k / A l < 1 verringert. Am geringsten ist die Abnahme und damit bestimmend fur die Konvergenzgeschwindigkeit x:wenn hl = Amin der absolut zweitkleinste Eigenwert ist. +

x = abs

Amin 'min

+

<

1

(1.200)

1

Die Konvergenz ist also linear und proportional zum Verhaltnis des betragsmaBig kleinsten zum betragsmaBig nachstgroBeren Eigenwert. Dies gilt auch fur mehrfache Eigenwerte. D e r Algorithmus ( 1 . 1 9 3) beschreibt die inverse Vektoriteration. Sie konvergiert zum absolut kleinsten Eigenwert mit dem dazugehorigen Eigenvek-

112

1. Mathematische Grundlagen

tor. Dies kommt der Aufgabenstellung, wie sie sich in der Finit-ElementMethode bei dynamischen Problemen oder Stabilitatsuntersuchungen ergibt, entgegen. Die Urform der Vektoriteration ist die Vorwartsiteration, die nicht zum betragsmaBig kleinsten, sondern zum groBten Eigenwert konvergiert. Man erhalt sie aus (1.19 3), indem man dort die Matrizen aij und b.. 1J miteinander vertauscht. Nicht der Kehrwert der Norm konvergiert dann zum gesuchten Eigenwert, sondern die Norm selbst. In den wenigsten Fallen wird man nur den absolut kleinsten Eigenwert mit dem dazugehorigen Eigenvektor berechnen wollen. Wie stellt man es an, daB der Algorithmus (1.19 3) auch zu anderen Losungen konvergiert? Durch eine Verschiebung des Eigenwertspektrums kann man jeden Eigenwert gezielt zum absolut kleinsten machen. Die Konvergenz erfolgt dann automatisch zu diesem Eigenwert. Die Verschiebung wird danach riickgangig gemacht, um den gewiinschten W e r t zu erhalten. Durch die Substitution

wird aus dem Eigenwertproblem (1.14 8 )

Hierin wird zusammengefaBt:

Damit ergibt sich

Dieses Eigenwertproblem liefert dieselben Eigenvektoren wie (1.14 8 ) und die nach ( 1 . 2 0 1) verschobenen Eigenwerte h (p). Setzt man also in den Algorithmus (1.19 3) anstelle der Matrix a . . eine nach ( 1 . 2 0 2) veranderte 1J Matrix a ( p ) . . ein, dann konvergiert e r zu dem betragsmaBig kleinsten JJ Eigenwert h ( p) und dem zugehorigen Eigenvektor. Aus ( 1 . 2 0 1) erhalt man dann den Eigenwert h des Ausgangsproblems. Offensichtlich beruht ein Erfolg des Verfahrens auf der Wahl geeigneter Verschiebungen p. Dieses Problem wurde aber schon in anderem Zusammenhang in Abschnitt 1 . 7 . 5 behandelt. Wie bei ( 1 . 1 9 2 ) beschrieben, versucht man zuerst, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das heiBt also die Lage der gesuchten Eigenwerte, ungefahr zu bestimmen. Danach setzt man die einzelnen Verschiebungen in ( 1 . 2 0 2 ) so an, daB sie in der Nahe der gesuchten Eigenwerte liegen und iteriert jeweils mit dem Algorithmus

1.7 Lineares Eigenwertproblem

113

( 1 . 1 9 3 ) , bis man die gewiinschten Ergebnisse erhalt. Da sich die Konvergenzgeschwindigkeit von (1.2 0 0) nach den verschobenen Eigenwerten richtet, konvergieren die Vektoriterationen um so schneller, je naher die Verschiebungen bei den Eigenwerten liegen. Allerdings diirfen sie mit diesen nicht exakt iibereinstimmen, weil sonst die Matrix a ( p ) .. singular 1J wird und nicht mehr dreieckszerlegt werden kann. Dieser Fall tritt zum Beispiel auch dann auf, wenn keine Verschiebung vorgenommen wird und das Problem Eigenwerte gleich null besitzt. Eine geringe Verschiebung macht auch diesen Fall losbar. Die Vektoriteration konvergiert auch dann, wenn der gesuchte Eigenwert mehrfach ist. Dabei wird aber nur ein Eigenvektor berechnet. Die iibrigen konnen ebenfalls bestimmt werden, wenn man einen Startvektor vorgibt, der orthogonal auf dem gefundenen Eigenvektor ist. Der zugehorige Anteil ck in (1.19 6 ) ist dann null, so daB keine Anregung stattfindet. Gerade aus der vorhergehenden Beschreibung wird deutlich, daB sich die Verfahren zur Losung des Eigenwertproblems gegenseitig iiberschneiden und erganzen. Durch geschickte Kombinationen lassen sich Algorithmen konstruieren, die schnell und zuverlassig konvergieren. Als Beispiel fiir eine Vektoriteration sollen die Matrizen vom vorhergehenden Abschnitt wiederverwendet werden. Zu Beginn der Iteration wird eine Verschiebung von p = 1,25 und ein Startvektor ziIol = 1 gewahlt. Iteration

Norm

Iterierter Vektor

V

II

=1

I/

2

3

24

Der Algorithmus konver iert zur Norm / I z / / = 4,O. Da zwischen den iterierten Vektoren z L 5 ] und z [ 6 y ein Vorzeichenwechsel eintritt, ist i n (1.195) das Minuszeichen zu wahlen. Es ist also

Aus (1.20 1) folgt dann mit p

=

1,25 der Eigenwert

Der zugehorige, nicht-normierte Eigenvektor ist der letzte iterierte Vektor. Eine Normierung nach (1.17 1) und (1.174) ergibt

114

1. Mathematische Grundlagen

xi= [ l

1

0

0 1 .

Ein Vergleich der iterierten Vektoren in obiger Tabelle zeigt, da8 sich die ersten beiden Komponenten von der Iteration 5 nach 6 verbessert, die letzten beiden aber verschlechtert haben. Dies ist auf numerische Ungenauigkeiten zuruckzufuhren. Um solche Effekte zu vermeiden, werden in Konvergenznahe oft genauere Verfahren eingesetzt. Im Zusammenhang mit (1.198) wurde gesagt, daR der Startvektor einer Iteration nicht orthogonal auf dem Eigenvektor des gesuchten Eigenwertes sein darf, das heiRt, daR der Anteil c k C o lnicht null sein soll. Wenn man in dem hier benutzten Beispiel eine Verschiebung p = 3,5 vornimmt, kann man erwarten, da8 ein Eigenwert A = 4 gefunden wird. Wahlt man jedoch als Startvektor den oben gefundenen, hierzu orthogonalen Eigenvektor, dann konvergiert der Algorithmus sehr schnell zum Eigenwert A = 1. In der praktischen Anwendung kommt so etwas wegen der immer vorhandenen numerischen Ungenauigkeiten allerdings recht selten vor.

1.7.7 Jacobi-Algorithmus Das Determinanten-Suchverfahren und die Vektoriteration haben den Vorteil, daB sie gezielt auf ausgewahlte Bereiche im Eigenwertspektrum angesetzt werden konnen und daB ihr Speicherplatzbedarf relativ gering ist, weil bei der notwendigen Dreieckszerlegung eine Band- oder Profilstruktur der Matrizen erhalten bleibt. Der wesentliche Nachteil ist jedoch die Schwierigkeit, eine zuverlassige Konvergenz zu eng benachbarten Eigenwerten zu erzeugen. Vollig andere Eigenschaften hat der Jacobi-Algorithmus: Hier spielt die Trennung der Eigenwerte uberhaupt keine Rolle. Andererseits mussen aber samtliche Eigenwerte und -vektoren berechnet werden, wodurch vollbesetzte Matrizen entstehen. Fur kleinere Probleme ist der Jacobi-Algorithmus wegen seiner Robustheit unschlagbar, selbst wenn nur ein Teil des Eigenwertspektrums gebraucht wird. Fur groBere Probleme wird e r unwirtschaftlich. Wo die Grenze zu ziehen ist, hangt sehr stark von dem verwendeten Rechner und dem Anwendungsfall ab. Der Jacobi-Algorithmus ist die Urform der Transformations- Verfahren. Durch wiederholte Transformationen werden die Systemmatrizen auf Diagonalform gebracht. Mit der Hauptachsen-Transformation ( 1 . 1 6 7 ) und ( 1 . 1 6 8 ) findet man so die Eigenwerte, wahrend die Zusammenfassung der Transformations-Matrizen die Eigenvektoren liefert. Andere Transformations-Verfahren (Householder-, QR-, Lanczos- Verfahren) sind Abwandlungen hiervon. Im Gegensatz zu den meisten Lehrbuchern wird hier der verallgemeinerte Jacobi-Algorithmus dargestellt, der auf das allgemeine Eigenwertproblem ( 1 . 1 4 8 ) angewendet werden kann und fur beliebige, symmetrische Matrizen gilt. Komplexe Eigenwerte werden allerdings ausgeschlossen. Ein Iterationszyklus v des Algorithmus wird beschrieben durch:

1.7 Lineares Eigenwertproblem

Cvl =.tik

a.F~

-

11 t . C V I

=

a Cvl

JI

IJ

kl

1,J

115

. '

Die Tansformations-Matrizen tik werden mit dem Ziel ausgewahlt, die Matrizen a . . und b.. allmahlich auf Diagonalform zu bringen. Das geschieht 1J 1J durch elementare Transformationen, mit denen jeweils ein NichtdiagonalKoeffizient von a. v ' I und b. v - 11 zu null gemacht wird. Die laufende 1J 1J Gesamt-Transformationsmatrix wird in der dritten Zeile des Algorithmus = 8 . . begonnen wird. abgelegt, die mit dem Anfangswert xi:

C

C

U

Wie findet man nun diese Transformationen? Hierzu wird das Problem der GroBe n = 2 betrachtet. In den ersten beiden Zeilen von ( 1 . 2 0 4 ) sollen und biz["] zu null gemacht werden: die Koeffizienten

alivl

Die Iterationsindizes wurden weggelassen. Wegen der Symmetrie der Matrizen a und b . . sind die Gleichungen fiir a 2 i v 1 und b2iV1mit obigen 1J 11 identisch. Da nur zwei Bedingungen vorliegen, konnen zwei von den vier Transformationskoeffizienten beliebig festgelegt werden. ZweckmaBig ist

tll

-

t22 = 1

Damit folgt

Dies sind zwei quadratische Gleichungen; die Losung ist also vierfach. Die Losung, die in Konvergenznahe moglichst kleine Drehungen verursacht, ist

Die hierin verwendeten Koeffizienten berechnen sich aus:

Wenn abs ml

2

abs m 2 , dann m = m , sonst m = m 1

2

'

I

116

1. Mathematische Grundlagen

Komplexe W e r t e fiir m zeigen an, daB die Losung ebenfalls komplex wird. Dieser Fall sol1 hier ausgeschlossen werden. Naheres hierzu findet sich in Abschnitt 1.7.4. D e r Sonderfall m = 0 tritt zum Beispiel dann auf, wenn a . . = c bij ist oder wenn alle Diagonalglieder null sind. Die Gleichungen 1J ( 1 . 2 0 6) werden dann identisch oder eine verschwindet. Einen der Transformationskoeffizienten von ( 1 . 2 0 7 ) kann man beliebig wahlen und den dazu passenden aus der verbleibenden Gleichung ( 1 . 2 0 6 ) ausrechnen. Dies ist immer moglich, da wenigstens ein Nichtdiagonalglied ungleich null ist; anderenfalls ware eine Transformation unnotig. Der klassische Jacobi-Algorithmus war fur das spezielle Eigenwertproblem (1.150) konzipiert. Die Transformation der Matrix aij kann dann mit (1.33) 1.l

-sin cr

cos cr

I

erfolgen. Der Winkel cu wird mit der Hauptachsen-Transformationsbedingung fur einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe (1.49) bestimmt. a12

tan 2cr = all

-

a22

Theoreme fur die Umwandlung der Winkelfunktionen findet man in gangigen Handbuchern.

Die fur die GroBe n = 2 angegebene Transformation laBt sich benutzen, um beliebige Nichtdiagonal-Koeffizienten a A u und b A Y im Algorithmus ( 1 . 2 0 4 ) zu null zu machen. An die Stelle der Zeilen und Spalten 1 und 2 in den Gleichungen ( 1 . 2 0 5) bis ( 1 . 2 0 8) setzt man die Indizes r und s und bildet damit die Transformationsmatrix (Nullelemente sind nicht gezeigt) n ; r , s = konst.).

Nach hinreichend vielen Durchlaufen des Algorithmus ( 1 . 2 0 4) werden die Nichtdiagonal-Koeffizienten der Matrizen akl und bkl so klein, daB sie gegeniiber den Diagonalgliedern vernachlassigt werden konnen. Damit sind die Iterationen beendet. Die Diagonalelemente bkk sind im allgemeinen nicht gleich eins, so daB zur Herbeifuhrung der Orthonormierung ( 1 . 1 6 7) noch eine abschlieBende Transformation gemacht werden muB. Sie fuhrt mit ( 1 . 1 6 8 ) zum Ergebnis

1.7 Lineares Eigenwertproblem

117

Sollte ein Diagonalelement bkiv negativ sein, liegt der bei ( 1.18 4 ) diskutierte Fall vor: Die Matrix b.. ist nicht positiv definit, so daB durch 1J die Orthonormierung imaginere Eigenvektoren entstehen. Wenn ein b r i v l null ist, wird der zugehorige Eigenwert und Eigenvektor unendlich groB. Noch nichts wurde bis hierhin zur Auswahl der jeweils zu null zu machenden Nichtdiagonal-Koeffizienten und zur Konvergenz des Verfahrens gesagt. Im allgemeinen ist es so, daB einmal auf null gesetzte Koeffizienten in nachfolgenden Iterationszyklen wieder von null verschiedene W e r t e annehmen. Die Tendenz ist aber, dal3 diese zunehmend kleiner werden. Es laRt sich nachweisen, daB die globale Konvergenz in der Nahe der Losung quadratisch ist. Im Gegensatz zur Vektoriteration bringt aber ein Konvergenzbeweis keine nennenswerten Einsichten in das Konvergenzverhalten, so daB hier nicht naher darauf eingegangen werden soll. Es ist jedoch plausibel, daB man mit relativ wenigen Iterationen auskommen wird, wenn man das jeweils betragsmaBig groBte zur Verfugung stehende Nichtdiagonalglied zu null macht. Die damit verbundene Suche kann allerdings unwirtschaftlich sein. Im zyklischen Jacobi-Algorithmus geht man einfach der Reihe nach vor; ohne die GroBe der Nichtdiagonalglieder zu uberprufen. Auch das ist unwirtschaftlich. Weit verbreitet ist die Benutzung eines Schwellenwertes. Es wird ein nicht zu kleiner W e r t gesetzt, mit dem die Absolutwerte der Nichtdiagonalglieder der Reihe nach verglichen werden. ~ b e r s t e i ~ esie n den gesetzten W e r t , wird transformiert. Sobald keine genugend groBen Nichtdiagonalglieder iibrig sind, wird der Schwellenwert erniedrigt und aufs Neue begonnen. SchlieBlich erreicht der Schwellenwert die gewunschte Genauigkeit, bei der die Iteration abgebrochen werden kann. Die i n den vorhergehenden Abschnitten benutzten M a t r i z e n sollen a u c h als Beispiel f u r den Jacobi-Algorithmus verwendet werden. F u r einige der Iterationsschritte werden die Transformationskoeffizienten t12 u n d tZ1 von (1.207), sowie die sich daraus V1 des Algorithmus (1.204), angegeben. ergebenden Matrizen ak$ vl, bk! v 1 und F u r den e r s t e n Iterationsschritt wird als absolut groRtes Nichtdiagonalglied a13 = 38,O ausgewahlt, u m die Transformations-Koeffizienten nach (1.207) zu berechnen. Infolgedessen w e r d e n die Koeffizienten a13 u n d b13 n a c h der Transformation zu null. F u r den zweiten Schritt wird dann a12 = - 23.04 f u r (1.207) bestimmt, so daR n a c h der Transformation a12 = b12 = 0 wird. D i e Koeffizienten a13 und b13 sind dann wieder ungleich n u l l , aber kleiner als ursprunglich. D e r Iterationsschritt 10 zeigt z u m letzten Ma1 e i n Nichtdiagonalglied, das bei der verwendeten Stellenzahl von n u l l abweicht.

.u,i

118

1. Mathematische Grundlagen

29,O -28,O 38,O 28,O 3 6 ; O 62,O

Iteration 1,

t,,

-4,O 4,O 4,O 8.0 =

-

0,75

0 22:78

Iteration 1 0 , 0,74

0 29,30

t12 =

l,O6 1 , 2 7 1,29 3,46 1 2 , 3 5 8,96 8,O

-

=

0:03 0 0:63

1 1 1 I / / / I

5,O 5,O

=

-

8,0 -6,O 14:O

0,58

=

0 4,06

=

0 0 0 8,O

0 4,88

10,74

1

1,0 1,0 1,0 2.0

0 -1,14 0,20 1,0 3,39 2,24 2,o

0,8194:

0 , 1 5 7 9 ; t,,

I I

-

0,1377:

4,06 4 , 1 7 5,O

0 ; 1 1 9 5 ; t,,

-

t,,

6,O

1 , 2 4 0 ; t,,

19,71-23,04 0 4,55 28,O 1 , 2 9 4.0 1 2 , 3 5 8,96 8,O

Iteration 2,

/ 1 1 1

0,16 - 0 , 3 2 0,20 0,86 3;39 2,24 2:o

-0,0017: 0 0 0,16

0 0 0 2,o

Nach dreizehn Iterationen ist e i n e Genauigkeit auf sechs Stellen erreicht. Das Ergebnis ist, nachdem die Transformation (1.2 1 0 ) durchgefiihrt und e i n e Umsortierung nach der GroRe der Eigenwerte vorgenommen wurde:

Die Eigenvektoren <.k w u r d e n i m Jacobi-Algorithmus automatisch orthonormiert. Die Lage der zu dem doppelten Eigenwert A = 4,O gehorenden Eigenvektoren i n i h r e m U n t e r r a u m ist jedoch von dem Ablauf der Berechnung abhangig. In xik w u r d e deshalb e i n e D r e h u n g dieser Vektoren n a c h (1.17 1 ) mit (1.1 7 6 ) vorgenommen, m i t dem Ziel, die jeweils e r s t e n Komponenten gleich zu machen. Die hierzu benotigte Transformationsmatrix w a r

119

1.7 Lineares Eigenwertproblem

1.7.8 ubungen u b u n g 1.55: Berechnen Sie die Eigenwerte der allgemeinen Eigenwertprobleme

u b u n g 1.56: Wieviele Determinanten enthalt die charakteristische Gleichung der Form (1.155) f u r e i n Problem der GroRe n ? u b u n g 1.5 7: Berechnen Sie die Eigenwerte f u r das Problem

a..

=

[-: 2

-1

-j [ b..

=

1

e]

0

w e n n a) E = 0 und b) abs( E ) << 1 ( n u r Abschatzung der GroRenordnung) u b u n g 1.58: Berechnen Sie die orthonormierten Eigenvektoren zu u b u n g 1.55. u b u n g 1.59: Bestimmen Sie die Eigenwerte und -vektoren des allgemeinen Problems f u r bij = c aij mit c = konst. und det ( a ) # 0, ( i ,j = l . . . n ) . u b u n g 1.60: Bestimmen Sie den Rang, die Eigenwerte und den orthonormierten Eigenvektor zum groaten Eigenwert der Matrix aij = bi . bj , ( i ,j = 1. ..n). u b u n g 1.6 1: Die Eigenwerte und -vektoren einer Matrix seien bekannt. Welche Eigenwerte und -vektoren besitzt die inverse Matrix? u b u n g 1.62: Kann m a n aus den Eigenwerten und orthonormierten Eigenvektoren eines allgemeinen Problems ruckwarts die Systemmatrizen aij und bij berechnen? u b u n g 1.63: Losen Sie die Aufgabe 1.25 als spezielles Eigenwertproblem. u b u n g 1.64: Die von null verschiedenen Elemente einer Matrix sind aii = 5 , a i , (i,i+ 1 = l . . . n ) . 1st diese Matrix positiv definit f u r beliebige n ?

+

=

ai

+

=

-

3;

u b u n g 1.65: Zu einem Eigenwertproblem mit der angegebenen Matrix bij wurden die Eigenwerte und -vektoren berechnet: ' i j r [ ;

ii

i

A

[

i

-

X

i

[

~

Orthonormieren Sie die Eigenvektoren so, daR x 2 2 = x~~ wird. u b u n g 1.66: Die von null verschiedenen Elemente der Matrizen eines allgemeinen Eigenwertproblems sind:

120

1. Mathematische Grundlagen

aI,1. = b1.1.

=

2 ; a= , I. + l = ai+

=

- 1 ; bi,i+l= bi+l,i

=

1;

(i,i+l

=

l...n).

Berechnen Sie: a) e i n e n Eigenwert mit dem Determinanten-Suchverfahren f u r die Anfangsverschieb u n g e n (lCO1 = 0 , 4 u n d (1[ " = 0,5 f u r n = 4; b) e i n e n Eigenwert u n d -vektor mit der inversen Vektoriteration mit der Verschieb u n g (1 = 0 , l und dem Startvektor Z [ O ] = 1 f u r n = 4; c ) alle Eigenwerte u n d -vektoren mit dem Jacobi-Verfahren f u r n = 3. Brechen Sie die Berechnungen spatestens dann ab, w e n n die Ergebnisse auf vier Stellen genau sind! u b u n g 1.6 7: Losen Sie das Eigenwertproblem mit Hilfe des Jacobi-Algorithmus f u r

2 . Mechanische Grundlagen

Die Methode der finiten Elemente ist ein mathematisches Werkzeug, das in den verschiedensten Bereichen der Physik angewendet werden kann. Wann immer diskrete oder kontinuierliche FeldgroBen wie Krafte, Spannungen, Temperaturen, elektro-magnetische Felder, Stromungen u.s.w. mit geometrisch oder physikalisch komplizierten Randbedingungen verknupft sind, findet die Methode ihre Anwendung. In einem fur Maschinenbauer geschriebenen Buch macht es jedoch wenig Sinn, standig die ganze Vielfalt der Anwendungsmoglichkeiten im Auge zu behalten, da dabei der rote Faden leicht verloren ginge. Deshalb soll hier nur das elasto-mechanische Problem von Festkorpern behandelt werden. Erstens ist es fur die Anwendung bei weitem das wichtigste und zweitens, aber das soll hier nicht ausschlaggebend sein, ist es das Gebiet, fur das die Methode ursprunglich entwickelt wurde, lange bevor man ihre universelle Anwendbarkeit erkannt hatte. Es ist nun nicht so, daB das elasto-mechanische Problem unbedingt die einfachsten Finit-Element-Formulierungen hervorbrachte. Im Gegenteil, fur die Berechnung von elektrischen Netzen, Potentialstromungen oder Temperaturfeldern zum Beispiel kommt man mit weniger Indizes aus als hier. Aber das Vorgehen bleibt das gleiche. Ebenso wie das vorhergehende Kapitel kein Lehrbuch zur numerischen Mathematik ersetzen kann, kann es sich hier nicht um eine vollstandige Einfuhrung in die Mechanik von Festkorpern handeln. D e r Stoff ist radikal auf das Wesentliche beschrankt. Gleichzeitig wird eine Systematisierung angestrebt, die vor allem das Ziel hat, die logische Struktur der Beziehungen herauszuarbeiten. Andererseits werden etliche Vereinfachungen nicht gemacht, die in der technischen Mechanik gelaufig sind. So werden zum Beispiel Anisotropie und Nichtlinearitat von vorneherein berucksichtigt. Selbst fur den in der Mechanik Geubten ist es deshalb ratsam, den Stoff dieses Kapitels durchzuarbeiten, bevor e r weiter fortschreitet.

2.1 Definitionen Die Beschreibung des elasto-mechanischen Systems wird auf drei Ebenen erfolgen. In der auh'eren werden die Verschiebungen und Krafte als diskrete

122

2. Mechanische Grundlagen

GroBen in einer endlichen Menge von Freiheitsgraden beschrieben, in der inneren treten nur kontinuierliche GroBen auf und in der Formanderungsebene erscheinen Dehnungen und Spannungen als objektive GroBen, die von den Starrkorper-Bewegungen unabhangig sind. Tabelle 2 . 1 vermittelt eine ~ b e r s i c h hierzu. t

Kraft-Verschiebungsbeziehung

1 Diskrete Verschiebungen U

'

a '

U.

Diskrete Krafte

AuBere Arbeit W

*P

I Kontinuitat

+

fa 1 < p

4

I

Erhaltung der Energie

Kontinuierliche Versc hiebungen u.

Innere Arbeit

N

w

I

I

~erschiebun~sDehnungsbeziehung

AuBeres Gleichgewicht I

Kontinuierliche Krafte

<

ry

~rhaitun~ der Energie

D ehnungen

Formanderungsarbeit

E..

T

t

I

N

; Pi 4 I

Inneres Gleichgewicht

1J

warme-

1

Spannungs - Dehnungsbeziehung

I

Spannungen 0..

V

t

Temperatur

Tabelle 2.1: ~ b e r s i c h tiiber die rnechanischen GrGRen und ihre Beziehungen zueinander.

Die aufgefuhrten GroBen werden in den folgenden Abschnitten beschrieben. Hier sol1 nur noch auf einige Dinge eingegangen werden, die die ~ b e r s i c h t direkt betreffen. Ein Teil der Beziehungen ist mit einem Richtungspfeil versehen, womit angedeutet ist, daB eine natiirliche Richtung existiert, die im allgemeinen nicht umkehrbar ist. Aus kontinuierlichen Verschiebungen lassen sich zum Beispiel Dehnungen berechnen; wahrend die Umkehrung nur unter Zuhilfenahme zusatzlicher Annahmen moglich ist. Entsprechendes gilt fiir die ubrigen mit einem Richtungspfeil versehenen Beziehungen zwischen den Ebenen. Die traditionelle Bezeichnung Spannungs-Dehnungsbeziehung steht nicht unbedingt fur >>Ursache-Wirkungcc.Erst die Umkehrung, die bei linearem Materialverhalten immer moglich ist, stellt diese Reihenfolge her. Folgt man den naturlichen Richtungen ausgehend von den

2.1 Definitionen

123

diskreten Verschiebungen bis zu den diskreten Kraften, dann hat man die gesamte Kraft- Verschiebungsbeziehung durchlaufen, die uber der oberen Ebene als Zusammenfassung angetragen ist. Auch hier wird die traditionelle Bezeichnung gebraucht, die eigentlich der Umkehrung entspricht. Diese kann erst unter Zuhilfenahme von Randbedingungen gefunden werden. Die naturlichen Richtungen beschreiben das sogenannte Verschiebungsgrofien- Verfahren der Struktur-Mechanik. In der Grundausbildung gelehrt wird das Kraftgriinen- Verfahren der klassischen Mechanik. Um einen Eindruck davon zu vermitteln, worum es sich dabei handelt: Aus gegebenen Kraften werden auf direktem W e g Spannungen ermittelt. Das ist der naturlichen Richtung der rechten Spalte der Tabelle entgegengerichtet. Daraus ergibt sich das Problem der statisch unbestimmten Strukturen. Derartige Komplikationen werden wir hier vermeiden! Nur urn die Verbindung mit den klassischen Berechnungsverfahren herzustellen, wird dieses Problem weiter unten noch einmal aufgegriffen. Die Definition der Verschiebungen ist zunachst einmal unabhangig von den Darstellungsebenen zu sehen. Die Lageanderung eines Korpers wird durch die Anderung der Ortskoordinaten beschrieben. Kennt man die Anfangsund die Endkoordinaten, dann ist die Beschreibung vollstandig. In der Kontinuumsmechanik und der Physik benutzt man fast ausnahmslos diesen Weg. Fur die numerische Berechnungen ist es jedoch vorteihafter, fur die Lageanderungen neue GroBen einzufuhren, die Verschiebungen. Sie werden aus den Differenzen der Ortskoordinaten gebildet. Hierbei gibt es zwei grundsatzlich unterschiedliche Moglichkeiten. Sie sind nach Lagrange und nach Euler benannt. Die Lagrangesche Darstellung ist eine korperbezogene Darstellung, bei der die Verschiebungen auf die Anfangskoordinaten bezogen werden. Diese materielle Betrachtungsweise stammt aus der Festkorpermechanik und wird deshalb auch hier eingesetzt. Die Eulersche Darstellung ist eine raumbezogene Darstellung, die sich auf die Endkoordinaten bezieht, zu denen die Verschiebungen hinfuhren. Diese lokale Betrachtungsweise wird vor allem in der Stromungsmechanik verwendet. Neben diesen absoluten Darstellungen gibt es noch Mischformen. In einer mitgefuhrten LagrangeDarstellung wird das Bezugssystem wahrend der Berechnung geandert: Fur jeden Berechnungsschritt wird ein neues System definiert, von dem aus im Lagrangeschen Sinne gemessen wird. Diese Technik wird vorteilhaft bei groRen Verformungen und Drehungen angewendet. Fur infinitesimal kleine Verschiebungen konnen die Unterschiede zwischen Lagrangescher und Eulerscher Darstellung im Rahmen einer linearen Theorie vernachlassigt werden, da in diesem Fall beide gleichwertige Resultate liefern.

124

2. Mechanische Grundlagen

2 .l.1 XuBere Ebene Auf der auoeren Ebene wird eine Struktur durch eine endliche Zahl von Freiheitsgraden beschrieben. Diese Freiheitsgrade bezeichnet man als diskret im Gegensatz zu den kontinuierlichen Freiheitsgraden auf der inneren Ebene. Ein Freiheitsgrad ist eine Bewegungsmoglichkeit, also ein geometrischer Begriff. Hierunter sind nicht ausschlieBlich die Bewegungsmoglichkeiten eines starren Korpers oder eines Mechanismus zu verstehen, sondern vornehmlich die Bewegungen infolge von Verformungen. Um einen Freiheitsgrad zu definieren, muB man die zugehorige Verschiebungs- oder WeggroBe beschreiben. Im einfachsten Fall ist es eine Verschiebung oder Translation an einem Punkt. Ebenso kann es sich aber auch urn eine Drehung oder Rotation handeln oder um eine zusammengesetzte GroBe, die zum Beispiel auch auf eine Flache bezogen sein kann. Freiheitsgrade werden durch entsprechende Pfeile sinngemaJ3 dargestellt. In Bild 2 . 1 finden sich einige Beispiele.

Bild 2.1: Freiheitsgrade an einem ebenen Balkenstiick. Freiheitsgrad 7 entspricht einer Flachenbelastung.

In den Freiheitsgraden wirken die Verschiebungsgriinen u, , ( a = 1... n ) , und die ihnen zugeordneten Kraftgriinen fa: Einer Translation ist eine Kraft zugeordnet, einer Rotation ein Moment u.s.w.. Kraft- und VerschiebungsgroBen sind gleichgerichtet. Um nicht standig die allgemeinen, aber umstandlichen Bezeichnungen verwenden zu miissen, wird vereinbart, daB der Zusatz )>-groBencc weggelassen werden kann. Eine nverschiebungcc kann dann entsprechend der Definition des zugehorigen Freiheitsgrades auch eine Drehung sein, die zugehorige ))Kraftcc ein Moment u.s.w.. In vielen Anwendungsfallen wird es vorteilhaft sein, die Freiheitsgrade anstatt durch einen: durch zwei Indizes zu ordnen, wenn zum Beispiel an jedem Punkt gleiche Freiheitsgrade definiert sind wie im Fachwerk von Bild 1.1. Die zugehorigen Verschiebungen sind dann uip, ( i = 1... c ; p = 1 ... np), mit den Kraften fip. D e r erste Index zahlt die Richtungen, deren Zahl hier gleich der Dimension c gesetzt ist, und der zweite die Punkte, von denen np vorhanden sein sollen. Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade ist dann c . n p . Die Zahl der Freiheitsgrade pro Punkt oder wie man hier auch sagt, pro Knoten, muB nicht unbedingt gleich der Dimension sein. Haufig wird man fiir ebene Probleme drei Freiheitsgrade antreffen, zwei

2.1 Definitionen

125

Translationen und eine Rotation, oder fur raumliche sechs, namlich je drei Translationen und Rotationen. Der Begriff der Kraft ist nicht ganz unproblematisch. Schwierigkeiten treten unter anderem dann auf, wenn nicht nur infinitesimal kleine Verschiebungen und Verdrehungen betrachtet werden. Einen eleganten und zugleich einfachen Weg aus dem Dilemma findet man, wenn man die Krafte als abhangige GroBen uber die zugehorigen Verschiebungen und der mit ihnen geleisteten Arbeiten definiert. Solche Krafte und Verschiebungen bezeichnet man als energetisch konjugiert. Urspriinglich wurde dieser Begriff fur Spannungen und Dehnungen geschaffen, das heiBt also auf der Formanderungsebene. E r eignet sich jedoch fur alle Darstellungsebenen und bewirkt hier zum Beispiel auch, daB einer Verdrehung als KraftgroBe nur ein Moment zugeordnet werden kann, wie es oben dargelegt wurde. In Bild 2 . 2 ist ein beliebig angenommenes Kraft-Verschiebungsgesetz fiir einen Freiheitsgrad aufgetragen.

Bild 2.2: Virtuelle Arbeit

Sw infolge einer virtuellen Verschiebung S u .

Infolge eines Verschiebungsinkrements (-zuwachses) Su wird durch die Kraft f ( u ) ein Arbeitsinkrement Sw geleistet. Die Inkremente bezeichnet man auch als virtuell; das heiBt als ~ b l o Bgedachtcc und spricht deshalb von einer virtuellen Verschiebung und einer virtuellen Arbeit. Hier ist es nebensachlich, ob diese GroBen real oder bloB gedacht sind. Infolgedessen konnte man ebensogut auch das Differentiationssymbol d verwenden anstelle des Variationssymbols S. Die virtuelle Arbeit, die an einer Struktur geleistet wird, ist nun

Sw=

1

f

i , p IP

Su.

1P

; ( i = I... c ; p = l ... np)

.

Die beiden Darstellungen unterscheiden sich nur durch die Indizierung der Freiheitsgrade. Durch Zusammenfassen der Indizes i und p zu einem Index a erzeugt man aus der zweiten Zeile die erste.

126

2. Mechanische Grundlagen

2.1 . 2 Innere Ebene Auf der inneren Ebene werden die Verschiebungen und Krafte im Kontinuum beschrieben. Zur Unterscheidung von den GroBen auf der auBeren Ebene wird ein Tilde uber die Symbole gesetzt. In einem c-dimensionalen Koordinatensystem xi werden die Verschiebungen ( i = 1... c ) , als zu xi parallel e Translationen definiert. Hier hat man also nicht die vielfaltigen VerschiebungsgroBen der auBeren Ebene, dafur aber unendlich viele Freiheitsgrade, denn die Verschiebungen Li kkBnen durch beliebige Funktionen dargestellt werden. Die Beschrankung auf eine endliche Zahl von Freiheitsgraden wird spater in Kapitel 4 der wesentliche Schritt bei der Approximation sein. Den Verschiebungen zugeordnet werden Volumenkriifte und OberflGchenkrZfte . Typische Volumenkrafte sind Massenkrafte, typische Oberflachenkrafte sind Drucke. Bei den Verschiebungen ist eine entsprechende Unterteilung unnotig.

zi,

6

Wie schon auf der auBeren Ebene werden die Krafte durch die zugehorigen, das heiBt die energetisch konjugierten Verschiebungen und die geleistete Arbeit definiert. Infolge von virtuellen Verschiebungen SLi erhalt man ein virtuelles Arbeitsinkrement

Im ersten Integral wird die Wirkung der Krafte uber dem Volumen v summiert, im zweiten die auf der Oberflache a. Falls e s nicht anders vereinbart wird, ist das Volumen stets als dreidimensional anzusehen und eine Oberflache als zweidimensional. Die inneren Verschiebungen und Krafte sind Vektoren, das heiBt Tensoren erster Stufe. Fur die Verschiebungen folgt dies daraus, daB sie sich als h d e r u n g e n der Koordinaten ebenso wie diese transformieren. Fur die Krafte folgt es aus (2.2): Angenommen die Krafte sind Tensoren, dann werden auf der rechten Seite innere Tensorprodukte der Form ( 1 . 5 7 ) gebildet. Das Resultat Sw muB dann ein Tensor nullter Stufe, also eine Invariante, sein. Dies ist in der Tat richtig. Also w a r die Annahme berechtigt! Die auBeren Verschiebungen und Krafte sind im allgemeinen keine Tensoren, obwohl die mit ihnen gebildete Arbeit in ( 2 . 1 ) ebenfalls eine Invariante ist. Die Verschiebungen Fi sind geeignet, jeden verschobenen und verformten Zustand eines Korpers zu beschreiben. Eine besondere Rolle spielen dabei die Starrkorperbewegungen, da sie keine Verformungen hervorrufen und damit auch keinen Widerstand eines Werkstoffes. Die Starrkorperbewegungen bestehen aus beliebigen Kombinationen von Translationen und Rotationen.

2.1 Definitionen

127

Erstere werden durch konstante Verschiebungen beschrieben, was weiter keine Schwierigkeiten bereitet. Aber fur die Drehungen mussen wir etwas weiter ausholen. In Bild 2 . 3 ist die Drehung eines Punktes um den Koordinatenursprung dargestellt.

Bild 2.3: D r e h u n g eines Punktes p n a c h

5 urn

den Koordinatenursprung.

Das Koordinatensystem bleibt fest, wahrend ein Punkt von p nach p wandert und dabei denselben Abstand r vom Ursprung beibehalt. Die Verschiebungen sind und die neuen Koordinaten seien Die Verschiebungen in der Lagrange-Darstellung beziehen sich auf den Anfangszustand. Es gilt also

ri

2. =

xi.

Xi +

w

U . 1

.

Da dies eine Drehung um den Koordinatenursprung beschreiben soll, mussen dieselben Endkoordinaten auch durch eine entgegengesetzte Drehung des Koordinatensystems bei feststehendem Punkt p erreicht werden konnen. Eine entgegengesetzte Drehung wird durch eine inverse Koordinatentransformation beschrieben. Anstelle von ( 1 . 3 0 ) gilt jetzt

Hiermit kann man nun die Verschiebungen ausdruc ken:

Mit Hilfe der Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 6 ) wird dann die inverse Transformationsmatrix ersetzt. Fur alle Starrkorperbewegungen zusammen erhalten wir nun

Hierin sind cibeliebige Konstante, die den Anteil der Starrkorpertranslationen beschreiben, und tij ist eine frei wahlbare orthogonale Transformationsmatrix ohne Spiegelung, die den Drehanteil wiedergibt. Fur infinitesimal kleine Drehungen ergeben sich aus ( 2 . 3 ) mit ( 1 . 4 3) und der Schiefsymmetrie ( 1 . 3 9 ) die Starrkorperbewegungen

128

2. Mechanische Grundlagen

Diese Beziehung spielt eine Rolle in der linearen Theorie. Die Komponenten des Drehtensors Saij mussen so klein sein, daB sie im Quadrat gegenuber eins vernachlassigbar sind.

2.1.3 Formanderungsebene Die Formanderungsebene dient dazu, urn von Starrkorperbewegungen unbeeinfluBte GroBen, sogenannte objektive GroBen, definieren zu konnen. Dies sind die Dehnungen und Spannungen, die nun an die Stelle der Verschiebungen und Krafte treten. Wie sich zeigen wird, gerat die geforderte Objektivitat sehr schnell in Konflikt mit den Definitionen der technischen Dehnungen und Spannungen. Es wird deshalb notwendig werden, etwas tiefer in den Stoff einzudringen, vor allem auch, um die Grenzen der gewohnten Darstellungen besser kennenzulernen. In Bild 2 . 4 sind fur ein ebenes Beispiel drei materialfeste Punkte eingezeichnet.

Bild 2.4: Verformung einer Lange ds, und eines Winkels F,.

Links ist der Zustand vor, rechts nach einer Verformung abgebildet. Aus der differentiellen Anfangslange dso wird ds und aus dem Anfangswinkel po wird p. Als technische Dehnungsmane werden definiert

Bezieht man die Anfangslage auf die Koordinatenrichtungen x i , dann entstehen die Langsdehnungen ei und die Schubdehnungen yij, ( i , j = 1 . .. c ; i # j ) . Dies sind die in der technischen Anwendung gebrauchlichen DehnungsmaBe. Hieran ist zweierlei auszusetzen: Erstens sind die Dehnungen nicht in einer GroRe, die moglichst ein Tensor sein sollte, zusammengefaBt und zweitens erhalt man fur groBe Drehungen eine auRerordentlich unubersichtliche Darstellung, weil die Langen aus Wurzeln zu berechnen sind. Diesen Schwierigkeiten geht man elegant aus dem Weg, wenn man anstatt der Langen deren Quadrate miteinander vergleicht. Aus ( 1 . 2 9 ) erhalt man

2.1 Definitionen

129

Die dxi sind die Projektionen der Anfangslange dso auf die Achsen. Nach der Verformung werden die Langen durch die inneren Verschiebungen verandert. Die Zusammenfassung ( x + z ) i beschreibt die Endkoordinaten eines Korpers nach einer Verschiebung um von seinen Anfangskoordinaten x. aus. Die Projektionen von ds sind deshalb d ( x + s ) i = dxi + dZi . Es wird nun die Differenz gebildet:

zi

z.

Die Verschiebungen sind eine Funktion des Ortes. Diese Abhangigkeit wird durch

zum Ausdruck gebracht. Dies wird oben eingesetzt:

Der Term in der Klammer ist allein fur die Formanderung verantwortlich, da die Projektionen dxi von einer Verformung unabhangig sind. E r ist, bis auf einen willkiirlichen Zahlenfaktor, 32' i 3Ck 3Zk 7.. = lJ

+-C--.

3 ~ . 2 J

k

dxi

3xj

Dies ist ein Tensor, denn e r wird aus den Ableitungen des Verschiebungsvektors gebildet. E r besitzt jedoch einen Schonheitsfehler, der sich leicht beseitigen 1aBt: E r ist nicht symmetrisch. Es wird ein symmetrischer Tensor hergestellt

fur den dann gilt

130

2. Mechanische Grundlagen

3;. 1 ( -3 Zi + --L 2 3 ~ . 3 5

E.. = lJ

J

3%

+

3Zk

xk -) 3xi 3

~ .

; ( i , j , k = l ... c )

.

(2.6)

J

Dies wird als Green-Lagrange- oder Lagrange-Dehnungstensor bezeichnet. Die Herleitung zeigt, daB dieser keinesfalls das einzig mogliche FormanderungsmaB ist. Sein Vorzug ist die noch naher zu untersuchende enge Verwandtschaft mit den oben erwahnten technischen Dehnungen. Die ersten beiden Terme in ( 2.6) beschreiben den linearen Anteil des Dehnungstensors. Fur sich allein genommen sind sie

Dies wollen wir einfach als linearisierten Dehnungstensor ansprechen. Der Zusatz (lin) wird spater weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, daB die linearisierte Form gemeint ist. Der quadratische Term in ( 2 . 6 ) berucksichtigt die sogenannte geometrische Nichtlinearitat, die durch groBe Drehungen verursacht wird. Die Beziehungen ( 2 . 6 ) oder ( 2 . 7 ) stellen die in der ~ b e r s i c h tvon Tabelle 2.1 angegebene Verbindung zwischen den Verschiebungen auf der inneren Ebene und den Dehnungen auf der Formanderungsebene her. Der Dehnungstensor wurde absichtlich symmetrisch gemacht. Es gilt also

Einem kritischen Leser mag sich hier die Frage aufdrangen, ob es denn zulassig ist, diese Symmetrie zu erzwingen. SchlieBlich wird dadurch die Zahl der unabhangigen Komponenten des Dehnungstensors von c 2 auf 1 - c ( c + 1) verringert, im Zweidimensionalen also von vier auf drei. An2 hand von Bild 2.4 kann man sich leicht klarmachen, daB dort zwei Langenanderungen und eine Winkelanderung genugen, um eine Verformung an einem Punkt vollstandig zu beschreiben. Dies sind drei GroBen, nicht vier! Die Verallgemeinerung hiervon fuhrt zu der Aussage, daB ein symmetrischer Dehnungstensor ausreichend ist. Als nachstes sol1 die oben geforderte Objektivitat des Dehnungstensors untersucht werden. Aus ( 2 . 3 ) folgt f i r eine beliebige Starrkorperbewegung 3 Fi

dx. J

-

t.. J1

-

8.. . 1J

Dies wird in die Definitionsgleichung ( 2 . 6 ) des Lagrange-Dehnungstensors eingesetzt:

2.1 Definitionen

1 [t.,

= -

E

2

1J

-

+ t . . S

S

JI

1J

1J

-

J1

+

C(tik- Skimjkk

131

&)]

Die Orthogonalitatsbedingung ( 1 . 3 7 ) macht hieraus I

1 (-8.. 2 V

E.. = 1J

+

S..) 1J

0 .

Damit ist bewiesen, daB der Lagrange-Dehnungstensor von beliebigen Starrkorperbewegungen unbeeinfluBt bleibt, also objektiv ist. Anders ist dies bei dem linearisierten Dehnungstensor von ( 2 . 7 ) . Hier fehlt das quadratische Glied, so daB die Terme sich nicht vollstandig aufheben. Wenn man allerdings kleine Starrkorperdrehungen nach ( 2 . 4 ) voraussetzt, dann erhalt man

3si = 3 ~ . J

-

SLY..

.

1J

Dies wird in ( 2 . 7 ) eingesetzt und die Schiefsymmetrie des Drehtensors ( 1 . 3 9) beachtet:

D e r linearisierte Dehnungstensor bleibt also nur solange von den Starrkorperbewegungen unbeeinfluBt, wie die Drehungen klein sind. Das heiBt, e r ist nur bedingt objektiv. Dan die Dehnungstensoren von ( 2 . 6 ) und ( 2 . 7 ) die formalen Anforderungen ganz, beziehungsweise in eingeschranktem Mane, erfullen, ist nun klar. Es bleibt noch die wichtige Frage offen, welche Bedeutung die Komponenten dieser Tensoren haben. Die nun folgende Untersuchung ist mehr anschaulich als wissenschaftlich exakt. Die Komponente gll des Lagrange-Dehnungstensors von ( 2 . 6 ) ist fur die Dimension drei

Wenn man die technische Langsdehnung von ( 2 . 5 ) in der Richtung xl nach Entwickeln eines Wurzelausdrucks in einer binomischen Reihe hinschreibt, findet man

Hierin sind Glieder von hoherer Ordnung vernachlassigt. Die Ahnlichkeit von ell mit el ist unverkennbar: Die linearen Glieder sind gleich und die quadratischen stimmen teilweise iiberein. Auf dieselbe Weise kann man a l l e ubrigen Komponenten vergleichen und findet

132

2. Mechanische Grundlagen

Das heiBt, die Diagonalglieder des Lagrange-Dehnungstensors sind ungefahr gleich den technischen Langsdehnungen und die Nichtdiagonalglieder nahern sich den technischen Schubdehnungen an, wobei der Faktor 1/2 unbedingt beachtet werden muB! Wie gut diese Naherung ist, zeigt folgendes: Fur eine relative Abweichung von 1%ergeben sich Langsdehnungen von ei = 0,14 und Schubdehnungen von 0,07.Diese W e r t e liegen deutlich iiber den Dehnungen, die ublicherweise bei einer linear elastischen Beschreibung eines Werkstoffes auftreten konnen. Aber es ist auch ein Hinweis darauf, daB man nicht ungestraft in Bereiche mit groBen Dehnungen vordringen darf, ohne sich zu vergewissern, ob die Voraussetzungen erfiillt sind. Wahrend fur die nichtlinearen DehnungsmaBe in ( 2 . 9 ) eine ungefahre ~ b e r e i n s t i m m u n mit ~ den Tensorkomponenten gefunden wurde, ist die Zuordnung fur die linearisierten Dehnungen exakt:

Der linearisierte Dehnungstensor wird in der Lagrange-Darstellung (L) auf die Anfangskoordinaten bezogen, in der Euler-Darstellung (E) auf die Endkoordinaten:

Zwischen den Verschiebungsableitungen besteht der Zusammenhang

Sind also die Verschiebungsableitungen sowohl in Bezug auf die Anfangs- als auch die Endkoordinaten hinreichend klein, kann der nichtlineare Term vernachlassigt werden und fiihrt so zur Identitat beider Darstellungen!

Als KraftgroBen werden den Dehnungen die Spannungen zugeordnet. Analog zum Vorgehen in der auBeren und inneren Ebene werden sie wie in ( 2 . 1 ) und ( 2 . 2 ) energetisch konjugiert durch die geleistete Arbeit definiert:

2.1 Definitionen

133

Hierin ist ST ein Zuwachs der Formanderungsarbeit und oij ist der hier zum ersten Ma1 auftretende Spannungstensor. Je nachdem, welchen Dehnungstensor man einsetzt, erhalt man hier den zugehorigen Spannungstensor. Dem Lagrange-Dehnungstensor von ( 2 . 6 ) ist der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor zugeordnet und zum linearisierten Dehnungstensor ( 2 . 7 ) gehort der Cauchy-Spannungstensor. Warum verschiedene Dehnungsund SpannungsmaBe Verwendung finden, sol1 weiter unten besprochen werden; erst bei nichtlinearen Vorgangen spielt dies eine Rolle. Da die hier angegebenen Beziehungen zunachst allgemeingultig sind, ist eine genaue Bezeichnung erst bei der konkreten Verwendung der einen oder anderen Kombination von Dehnungs- und SpannungsmaBen erforderlich. In diesem Fall wird aber meist schon aus dem Kontext klar, was gemeint ist, so daB eine ausdriickliche symbolische Unterscheidung nur dann vorgenommen wird, wenn es gilt, die vom Regelfall abweichenden GroBen sicher identifizieren zu konnen. Wegen der Symmetrie ( 2 . 8 ) der Dehnungstensoren gilt

Im zweiten Term werden die Indizes umbenannt von i in j und j in i:

Die Dehnungsinkremente S E sind ~ ~ beliebig, so daB die Klammer selbst null sein muB. Es folgt die Symmetrie des Spannungstensors 0.. = 1J

6..

; ( j , j = l ... c )

.

( 2 . 1 2)

J1

Sie ist eine zwangslaufige Folge der Symmetrie des Dehnungstensors. Ein nichtsymmetrischer Anteil des Spannungstensors wiirde in ( 2 . 1 1 ) keinen Beitrag zur Formanderungsarbeit leisten. Die Kombination eines unsymmetrischen Spannungstensors mit einem symmetrischen Dehnungstensor ist demnach nicht sinnvoll. Wie sind nun die einzelnen Komponenten des Spannungstensors zu deuten? Da die Definition durch ( 2 . 1 1 ) abgeschlossen ist, sind formal alle Voraussetzungen erfiillt, um zu den gesuchten Aussagen zu kommen. Die Herleitung verlangt jedoch einigen Aufwand, der hier nur storend wirkt. Eine genauere Untersuchung wird deshalb auf den Abschnitt ( 2 . 3 . 3 ) verschoben und hier nur eine einfache Analogiebetrachtung vorgenommen. Die Spannungen sind innere Krafte, die, bezogen auf eine Flacheneinheit, auf gedachten Schnittflachen im Material wirken. Wie bei den Dehnungen

134

2. Mechanische Grundlagen

kennt man parallel zu den Achsen gerichtete GroBen, die Langs- oder Normalspannungen, und die auf Ebenen bezogenen Schubspannungen. Die ersten werden traditionell als cij, die zweiten als zij, ( i f j ) , bezeichnet. In Bild 2 . 5 ist eine Schnittflache in der Ebene xi x2 dargestellt.

Bild 2.5: Spannungen an einer x3 zugewandten Schnittflache.

Die zwei unterschiedlichen Spannungsarten werden zu einer Matrix zusammengefaflt.

cijj

Die Ahnlichkeit mit ( 2 . 1 0 ) ist offensichtlich. Es fehlt hier aber der Faktor 1/2 bei den Schubkomponenten, denn nur so bekommt die Matrix cijj gleichzeitig auch das Transformationsverhalten eines Tensors, das heiBt ciij wird zum Spannungstensor. Dem glucklichen Zufall, daB die technischen Spannungen (englisch = tensions) die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe sind, verdanken wir die Bezeichnung ,>Tensor((.Und der jedem Studenten aus der Technischen Mechanik bekannte S a t z von d e r Gleichheit d e r Schubspannungen ist nichts weiter als die in ( 2 . 1 2) ausgedriickte Symmetrie des Spannungstensors! Die Unterschiede zwischen den Dehnungstensoren sind weiter oben schon besprochen worden, jetzt sol1 die Betrachtung der zugeordneten Spannungstensoren folgen. Ausgangspunkt ist dabei eine Gleichgewichtsbedingung, die in Abschnitt 4 . 4 . 3 hergeleitet wird:

6

verteilte, auf einer Flache a wirkende Oberfllchenlasten. Hierin sind die Diese stehen im Gleichgewicht mit einem Spannungstensor c i . , der mit den V Komponenten n . der nach auBen gerichteten Einheitsnormalen der Flache a J uberschoben wird. Das Resultat dieser ~ b e r s c h i e b u nist ~ in der Mechanik auch als Cauchy-Spannungsvektor t. bekannt:

2.1 Definitionen

135

Wenn eine idealisierte Einzelkraft AF. auf eine Flache Aa wirkt, ergibt sich im Grenzubergang der Cauchy-Spannungsvektor: lim aa

-

n F~ o - Aa

-

Kombiniert man die beiden letzten Gleichungen, so erhalt man eine differentielle Form der Gleichgewichtsbedingung:

In der klassischen Mechanik gilt die Konvention, daR der erste Index des Spannungstensors die Normalenrichtung des Flachenelementes und der zweite Index die Wirkrichtung der jeweiligen Spannungskomponente angibt. Danach miiRte (2.14) folgendes Aussehen haben: dFi =

j

0.. J1

n . da. J

Diese Konvention ist dann zu beachten, wenn man es mit unsymmetrischen Spannungstensoren zu tun hat. Hier werden nur symmetrischen Spannungstensoren (2.12) auftreten, so daR beide Formen gleichwertig sind.

Die eine Verformung hervorrufenden Krafte greifen immer an der verformten Struktur an und sind damit auf den Endzustand bezogen. Bei kleinen Verformungen ist der Unterschied zwischen Anfangs- und Endzustand nicht sehr groB und kann daher vernachlassigt werden. Sobald aber groBe Verformungen vorliegen, ist dies nicht mehr statthaft. Die Frage, ab wann eine Verformung als ngroB~einzustufen ist, 1aBt sich nur qualitativ beantworten: sobald Verschiebungswerte die GroBenordnung einer charakteristischen Strukturabmessung erreichen, sollte man von groBen Verformungen ausgehen. Als Beispiel mag die Absenkung eines Kragbalkens dienen: ist diese klein im Verhaltnis zur Balkendicke, handelt es sich urn eine kleine Verformung. Erreicht oder ubersteigt die Absenkung die Balkendicke, liegt eine groBe Verformung vor. Mit dieser groben Richtlinie sollte es moglich sein: auch bei Zwischenwerten die richtige Wahl zu treffen, wobei moglicherweise eine vergleichende Betrachtung beider Fa11e hilfreich sein kann.

Im folgenden wird zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand, also zwischen der unverformten und der verformten Struktur zu unterscheiden sein. Fur die hier verfolgten Zwecke reicht es aus, den Ausgangszustand einfach mit einem D L Nin Anlehnung an die Lagrange-Darstellung und den Endzustand entsprechend mit einem ,>Eccfiir die Eulersche Betrachtungsweise

136

2. Mechanische Grundlagen

zu kennzeichnen. In Bild 2.6 wird ein differentielles Flachenstuck sowohl im Ausgangszustand (dLa) als auch im Endzustand (dEa) dargestellt:

Bild 2.6: Flachenelement da im Ausgangszustand (L) und im Endzustand (E).

Mit der aktuellen Kraft, die im Endzustand auf das verformte Flachenelement einwirkt, wird aus ( 2 . 1 4 ) mit den Komponenten der nach auBen gerichteten Flachennormalen

D e r im Endzustand das Gleichgewicht erfullende Spannungstensor 0: wird 1J als Cauchy-Spannungstensor bezeichnet und ist der Euler-Darstellung zuzuordnen. E r wird auch als wahrer Spannungstensor bezeichnet, da e r die im verformten Zustand tatsachlich wirkenden Spannungen beschreibt, die zur ingenieursmaBigen Auslegung von Bauteilen benotigt werden. D e r Cauchy-Spannungstensor ist symmetrisch, aber ebenso wie der zugeordnete Euler-Almansi-Dehnungstensor nicht objektiv: e r ist nicht invariant unter beliebigen Starrkorperdrehungen. Dies beschrankt seine unmittelbare Verwendung auf die Betrachtung kleiner Verformungen. Ein objektives DehnungsmaB ist mit dem Green-Lagrange-Dehnungstensor gegeben, der somit auch bei gronen Verformungen verwendet werden kann. D a e r auf den Ausgangszustand bezogen ist, wird ein Spannungstensor benotigt, der sich ebenfalls auf diesen Zustand bezieht. Die Frage ist nur, welche Kraft im Ausgangszustand die Spannungen hervorrufen soll. Man L behilft sich hier mit einer fiktiven Kraft dFif, die am Flgchenelernent d a angreift. Diese Kraft wird durch eine Rucktransformation der aktuellen Kraft des Endzustandes auf den Ausgangszustand gewonnen:

Die in ( 2 . 1 6) verwendete Transformationsmatrix ist die Inverse des sogenannten Deforma tionsgradienten

2.1 Definitionen

137

der durch die Ableitung der End- nach den Ausgangskoordinaten gebildet wird. Mit dem Deformationsgradienten laBt sich der Zusammenhang zwischen Linienelementen im Ausgangs- und im Endzustand angeben: dEs =

Z F.. dLsj , V

j

dLs = '

Z F -1 dESj j

1J

L

Ebenso wie sich ein Linienelement d s.des Ausgangszustandes mittels des J E Deformationsgradienten Fij auf das zugehorige Linienelement d si des Endzustandes transformieren laBt, kann eine Rucktransformation mit dem inversen Deformationsgradienten vorgenommen werden. Diese Rucktransformation wird auch fur die Kraft ( 2 . 1 6 ) verwendet. Die Gleichgewichtsbedingung ( 2 . 1 4 ) schreibt sich somit fur den Ausgangszustand als

Das Gleichgewicht wird in diesem Fall vom 2. Piola-Kirchhoff-Spannungstensor erfiillt. Dieser Spannungstensor ist symmetrisch und objektiv, 1J aber durch den Bezug auf die Ausgangslage physikalisch nicht deutbar. Der 2. Piola-Kirchhoff ist eine reine BerechnungsgroBe. Will man eine ingenieursmaoige Beurteilung eines Spannungszustandes vornehmen, miissen Cauchy-Spannungen herangezogen werden. Einsetzten von ( 2.1 6 ) in ( 2.1 9 ) liefert nach Umformung den Ausdruck

0.2'~

Die Beziehung zwischen den Flachenelementen in der Ausgangs- und Endlage wird durch die Nansonsche Formel beschrieben (die Herleitung folgt am Ende des Abschnittes):

Durch Einsetzten von ( 2 . 2 0 ) in die vorstehende Gleichung ergibt sich

138

2. Mechanische Grundlagen

Durch den Vergleich mit ( 2 . 1 5) ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen dem 2. Piola-Kirchhoff- und dem Cauchy-Spannungstensor als

Die in der Berechnung ermittelten 2. Piola-Kirchhoff-Spannungen werden bei Bedarf zur ingenieursmaBigen Beurteilung des Spannungszustandes mit ( 2 . 2 1) in Cauchy-Spannungen umgerechnet.

Bild 2.7: Streckung und anschlienende Starrkorperdrehung des Einheitsbereichs. Der Einheitsbereich i n Bild 2.7 wird zunachst auf die Endlage E l gestreckt. Diese wird einer Starrkorperdrehung um 90° unterworfen, so daR die Endlage E2 erreicht wird. Die Cauchy-Spannungen i n El sind mit

gegeben. In der u m 90° gedrehten Struktur bleiben diese Spannungen bezuglich eines mitgedrehten Koordinatensystems erhalten. Nach Rucktransformation auf die Ausgangskoordinaten erhalt man

Die Cauchy-Spannungen der beiden Endzustande E l und E2 sollen n u n auf die zugehorigen 2. Piola-Kirchhoff-Spannungen umgerechnet werden. Hierzu wird die Umkehrung von (2.21) benotigt: ZPK 0.. IJ

det(F..) F ~ ; o C F-'

= k,l

U

kl

jl

Die Deformationsgradienten fiir die beiden Endlagen sind

Nach Inversion der Deformationsgradienten k a n n die Umrechnung durchgefuhrt

2.1 Definitionen

139

werden:

Fiir beide Endzustande ergibt sich der gleiche, auf den Ausgangszustand bezogene 2. Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, wie dies fur die vorgenommene Starrkorperdrehung aufgrund der Objektivitat zu erwarten ist.

Fur kleine Verschiebungen und kleine Dehnungen gehen alle Dehnungs- und SpannungsmaBe annahernd ineinander uber. Von daher wiirden in diesem Fall beliebige Kombinationen einen sinnvollen Arbeitsausdruck ( 2 . 1 1 ) liefern. Fur weitere Betrachtungen ist es naturlich zweckmaBig, von der zugrundeliegenden Formulierung her korrelierende GroBen zu verwenden. So ordnet man dem Cauchy-Spannungstensor den linearen Dehnungstensor als konjugierte Grol3e zu, wobei sich beide auf die Euler-Darstellung beziehen. Das Inkrement der Formanderungsarbeit ( 2 . 1 1 ) ist somit durch

gegeben, wobei iiber das Volumen Ev des Endzustandes zu integrieren ist. In ( 2 . 2 2) wird nun der Cauchy-Spannungstensor durch den 2. Piola-Kirchhoff ( 2 . 2 1 ) ersetzt. Nach Umordnung der Koeffizienten erhalt man

Man kann nun zeigen, daB die Transformation des Inkrementes des linearen Euler-Almansi-Dehnungstensors mit den Deformationsgradienten auf das Inkrement des Green-Lagrange-Dehnungstensors fuhrt:

140

2. Mechanische Grundlagen

Setzt man dieses Resultat in den Arbeitsausdruck ein, stehen unter dem Integral nur GroBen: die beziiglich des Ausgangszustandes gegeben sind. Da fur groBe Verschiebungen die Integration iiber das unbekannte Endvolumen ohnehin nicht moglich ist, liegt es nahe, diese durch eine Integration uber das Ausgangsvolumen zu ersetzen:

Damit ergibt sich ein Arbeitsausdruck analog zu ( 2 . 1 I), in dem als energetisch konjugierte GroBen der 2. Piola-Kirchhof-Spannungstensor und der Green-Lagrange-Dehnungstensor enthalten sind:

D a die Herleitungen der Nansonschen Formel (2.20) und der Integraltransformation ( 2 . 2 3 ) nahezu identisch sind, sollen sie a n dieser Stelle gemeinsam durchgef u h r t werden.

Bild 2.8: Flache da und Volumen d v durch Linienelemente aufgespannt. Bild 2.8 zeigt eine Flache und e i n Volumen, die durch differentielle Linienelemente aufgespannt werden. Die Berechnung beider laBt sich mit dem i n Abschnitt 1.3.4 eingefuhrten Kreuz- und Spatprodukt durchfiihren. F u r den Endzustand gilt so

2.1 Definitionen

dEai = G e . . dEy. dEzk J j,k "k dEv

=

Z

=

141

Eni dEa, ; ( i j,, k

e ~k . . dExi dEyj dEzk

=

1...3).

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird die gerichtete Flache dai verwendet. Der Zusammenhang zwischen den Linienelementen des End- und des Ausgangszustandes ist mit ( 2 . 2 0 ) gegeben. Die Anwendung auf die Flache und das Volumen ~ Flache mit dem Deformationsgradienten fiihrt bei zusltzlicher ~ b e r s c h i e b u nder Fil auf

Nach der Verallgemeinerung von ( 1.6 1) gilt

C eijk Fil F j , Fkn

=

det(Fij) elmn.

ij,k

Fur die Flache ergibt sich so

Hieraus laRt sich durch Auflosen nach der Flache des Ausgangszustandes die Form ( 2 . 1 8 ) gewinnen. Fur das Volumen gilt

u b u n g 2.1: Berechnen Sie den Dehnungstensor aus der geometrisch nichtlinearen Formulierung ( 2 . 6 ) und der linearen ( 2 . 7 ) f u r das Verschiebungsfeld

-

U.

=

v.

Cw..x.

+

"

; (i,j=l,2)

J

und die drei Falle

Interpretieren Sie die Ergebnisse! u b u n g 2.2: Die Eckpunkte p eines Wurfels liegen auf den Koordinaten 0 0 0

1 0 0

I

0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

.

Die Verschiebungen im Inneren sind gegeben durch

-

u.

=

2 vijk xj xk j,k

;

v..

1Jk

=

v.