Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung, 2. Auflage

Peter Steinke Finite-Elemente-Methode

Peter Steinke

Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung

2., neu bearbeitete Auflage Mit 171 Abbildungen und 39 Tabellen

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Professor Dr.-Ing. Peter Steinke Fachhochschule Münster FB Maschinenbau Stegerwaldstraße 39 48565 Steinfurt e-mail: [email protected] http://www.fh-muenster.de/fb3/steinke

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ISBN 978-3-540-72235-9 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-44226-X 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York

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7/3180/YL – 5 4 3 2 1 0

Gedruckt auf säurefreiem Papier

Vorwort Das vorliegende Buch samt der beigef¨ ugten CD-ROM ist aus Vorlesungen, ¨ Ubungen und Praktika hervorgegangen, die der Autor an verschiedenen Hochschulen f¨ ur Maschinenbauer und Maschinenbauinformatiker gehalten hat. Es wendet sich dar¨ uber hinaus an Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Weiterhin ist es f¨ ur Physiker und Ingenieure geeignet, die sich im Selbststudium in die Methode einarbeiten wollen oder an Weiterbildungsveranstaltungen teilnehmen. In einem Anfangskapitel werden die mathematischen Hilfsmittel wiederholt, die f¨ ur die weitere Behandlung des Stoffes notwendig sind. Daran schließt sich die Beschreibung elastostatischer Probleme an. Zum Einstieg in die FEM wird das Verfahren von Ritz behandelt. Das Verfahren wird so beschrieben, daß es einer Programmierung mit einem Computeralgebra-System (CAS) zug¨anglich ist. Diese Vorgehensweise wird auch bei der Herleitung des weiteren Stoffes beibehalten. Neben der Elastostatik wird das Gebiet der Feldprobleme behandelt. Daran schließt sich die Betrachtung nichtlinearer Probleme f¨ ur Stab und Balken an. Abschließend wird auf die entwickelten Computeralgebraprogramme eingegangen. Die beigef¨ ugte CD-ROM stellt eine wesentliche Erg¨anzung des Buches dar. Sie enth¨ alt neben der Software, die aus insgesamt ca. 27000 Zeilen besteht, Handrechenbeispiele zu den einzelnen Kapiteln des Buches. Die Software soll rechnerunterst¨ utztes Lernen erm¨ oglichen. Sie ist in zwei Anwendungsfelder unterteilbar. Zum einen handelt es sich um Computeralgebraprogramme in MAPLE, die die Ableitungen des Buches zum Inhalt haben. So ist zum Beispiel das eindimensionale Stabelement im Programm so verallgemeinert, daß man damit ein Stabelement mit n Knoten und verschiedenen Geometrieformen entwickeln kann. Zum anderen enth¨ alt die CD-ROM ein FE-Paket. Dieses liegt sowohl als Computeralgebraprogramm als auch in einer Hochsprache vor. Hiermit lassen sich FE-Probleme in symbolischer und numerischer Form l¨ osen. Erg¨ anzt wird das Paket um einen Postprozessor zur grafischen Auswertung der Eingabe- und Ausgabedaten. Das Arbeiten mit der umfangreichen Software wird mit einem separaten Hilfeprogramm unterst¨ utzt. Es werden Eingabebeschreibungen, die durch Beispiele erg¨ anzt sind, leicht verst¨andlich. Weitere Beispiele zu den Programmen zeigen die Anwendungsbreite der Programme auf. Die Verkn¨ upfung von Buch und CD-ROM ist durch zahlreiche Verweise und Beispiele gegeben und machen so ein rechnergest¨ utztes Selbststudium m¨ oglich. Die Erstellung des Buches und der CD-ROM w¨ are in der vorliegenden Form ohne die engagierte Mitarbeit verschiedener Personen nicht m¨oglich gewesen. Besonders bedanken m¨ ochte ich mich bei Herrn Dipl.-Ing. Averkamp,

VI

Vorwort

der f¨ ur die Erstellung der CD sowie f¨ ur die Erstellung der Bilder zust¨andig war. Weiterhin k¨ ummerte er sich um die Realisierung des Skriptes mit LATEX. Mein Dank gilt auch Frau cand.-ing. Fresmann und Frau cand.-ing. Kreuch, die einen Großteil des Skriptes mit LATEX realisierten und die Oberfl¨ache von MAPLE mittels maplets programmierten. Dank auch an Frau Dipl.-Ing. Terlinde f¨ ur die sorgf¨ altige Durchsicht des Skriptes. Danken m¨ochte ich auch dem Springer-Verlag f¨ ur die gute Zusammenarbeit, speziell Frau HestermannBeyerle. Steinfurt, im Juli 2003

Peter Steinke

Vorwort zur zweiten Auflage Neben der u ¨ blichen Beseitigung von Druckfehlern enth¨alt diese Neuauflage zahlreiche Erweiterungen und Verbesserungen. So ist ein Kapitel zur Dynamik von St¨ aben und Balken eingef¨ uhrt. Weiterhin sind neue Elementtypen wie das Element f¨ ur den Timoshenko-Balken eingebunden. Eine Vielzahl ¨ neuer Ubungsbeispiele ist eingef¨ uhrt bzw. mit mehr als 100 Seiten auf der CD-ROM ausgelagert. Die beigef¨ ugte CD-ROM enth¨ alt die Lernsoftware CALL for FEM. In der zweiten Auflage sind die Programme verbessert sowie neue Programme zur Dynamik und Feldproblemen hinzugef¨ ugt. Das neue Programm “ FEM GEN“ dient zur interaktiven Erstellung (Preprozessing) von FE-Problemen, wobei die problembeschreibenden Gr¨ oßen als Symbole auftreten. Fast 30 Videoclips erl¨ autern die Handhabung und den Einsatz der Programme. Bei der Erstellung der zweiten Auflage sind neben Herrn Dipl.-Ing. Averkamp und Frau Dipl.-Ing. Terlinde, die schon bei der ersten Auflage unterst¨ utzend t¨ atig waren, noch folgende Personen zu nennen: Herr Dipl.-Ing. Kriebel, Herr cand.-ing. Ewering sowie Frau cand.-ing. Schulte. Dank gilt auch dem Springer Verlag, insbesondere Frau Hestermann-Beyerle. Steinfurt, im Juni 2007

Peter Steinke

Vorwort

VII

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Das Buch enth¨ alt eine CD-ROM. Auf dieser befinden sich unter anderem die ¨ L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen. Jedem Beispiel ist im Buch am Rand ein Icon zugeordnet. In der Bezeichnung “ x.y“ steht “ x“ f¨ ur die Nummer des Kaur die fortlaufende Nummer des pitels, in dem das Beispiel auftritt und “ y“ f¨ ¨ “ (Start durch Doppelklick Beispiels. Unter dem Men¨ upunkt “ Ubungsbeispiele ugten auf die Datei “ hilfe.htm“ auf der CD-ROM) sind alle Icons der beigef¨ Beispiele aufgef¨ uhrt. Durch Anklicken des entsprechenden Icons wird eine pdf -Datei ge¨ offnet und auf die Anfangsseite der L¨osung gesprungen. Dort enth¨ alt nebenstehendes Icon die Seitenzahl “ ijk“, unter der die Aufgabenstellung im Buch zu finden ist. Es tritt eine weitere Iconform am Buchrand auf. Sie ist unter dem Men¨ upunkt uhrt, “ Videoclips“ zu finden. Hierunter sind alle Icons dieser Form aufgef¨ die im Buch auftreten. Sie zeigen FE-Beispiele auf und dienen zur Erl¨auterung der Lernsoftware “ CALL for FEM“ . Durch Anklicken des entsprechenden Icons wird ein Videoclip ausgef¨ uhrt. Dazu wird ein Windows Media Player oder ein dazu kompatibler Player ben¨ otigt. alt eine Anleitung zur InstallaDie Datei “ readme.txt“ auf der CD-ROM enth¨ tion der Software “ CALL for FEM“ . Die Programme und deren M¨oglichkeiten sind auf der S. 339 und folgende beschrieben.

Updates Die Inhalte der CD-ROM werden weiter entwickelt. Neue Versionen der ge¨ samten Software, der Ubungsbeispiele sowie der Videoclips k¨onnen u ¨ber folgende Internetadressen geladen werden: http://www.springer.com/978-3-540-72235-9

Von dieser Internetadresse ist ein Link auf nachfolgende Adresse gesetzt, unter der die neuen Updates zu finden sind. http://www.fh-muenster.de/fb3/steinke

x.y

ijk

A

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Definition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Definition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Differentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors .................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ...

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45

X

Inhaltsverzeichnis

2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4 2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Definition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv definite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky .................................. Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

46 48 48 49 50 51 53 56 57 58

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1 3.2.2

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoffgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................ Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials .................

63 63 64 64 64 65 66 67 67 69

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

74 75 77 77 78 79 81 81 81 82 86 87 87 88 89 90 91 91

Inhaltsverzeichnis

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdefinition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Stab .............. Variable Querschnittsfl¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung einer Stabstruktur ............................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Stab ............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdefinition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steifigkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Balken ............ Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................ Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten .....

6.4.1

XI

97 97 97 100 100 103 105 111 113 115 115 117 119 120 120 123 128 130 132

137 137 138 139 140 141 143 145 146 147 149 151 151 154 157 159 161 164

XII

Inhaltsverzeichnis

6.8.1 6.8.2

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Konvergenztest Kragbalken .................................... Balkenbeispiel VII ................................................ Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steifigkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steifigkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ..........

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdefinition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsaufgaben zur Scheibe ..................................

205 206 207 208 209 209 213 215 218 221 221 227

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3 8.4

Platten und Schalenelemente Problemdefinition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte ..................................... Anforderungen an das Plattenelement .......................

231 231 231 233 234 236 236 237 239

6.4.2 6.4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 6.8

168 171 172 178 179 180 182 187 187 187 188 190 193 193 199

Inhaltsverzeichnis

8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steifigkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. Die Poisson’sche Gleichung .................................... Randbedingungen ................................................ Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... Problemdefinition ................................................ Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... ¨ Ubungsaufgaben: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung... Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... Problemdefinition ................................................ Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ Diskretisierung des Funktionals .............................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... ¨ Ubungsaufgaben zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ................................................................ Torsion von prismatischen K¨orpern .......................... Funktional des Torsionsproblems.............................. Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt .....

9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.4 9.5 9.6 9.6.1 9.6.2

XIII

239 240 241 241 243 243 244 247 248 249 250 250 251 253

263 263 263 264 265 265 266 266 270 271 276 277 277 278 279 286 288 293 295 298 298

XIV

Inhaltsverzeichnis

10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 303 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 304 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 304 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 306 Einmassenschwinger ............................................. 306 Zweimassenschwinger ........................................... 307 Der eindimensionale Balken.................................... 310 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 310 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 311 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 311 Kragbalken ........................................................ 314

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ ¨ Ubungsaufgabe: Das dreiknotige Balkenelement...........

12 12.1 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3

CALL for FEM Kurz¨ ubersicht u ¨ber die einzelnen Programme .............. Programmbeschreibungen ...................................... FEM GEN und FEM CAS...................................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) ....................................................

10

12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11

319 319 320 320 323 327 329 332 335 336

339 343 343 343 345 347 349 351 353 355 356 356 358

Inhaltsverzeichnis

12.2.12 Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ 12.2.13 Zweidimensionales Feldproblem (Feldprobleme 2D)....... 13 13.1 13.2 13.3

XV

359 360

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 363 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 364 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 367 Verwendete Formelzeichen und Symbole . . . . . . . . . . . .

370

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393

Kapitel 1 Einleitung

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

1 Einleitung Das Aufkommen und die rasante Weiterentwicklung der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) in den letzten Jahrzehnten, er¨offneten in vielen Ingenieurdisziplinen vollkommen neue M¨ oglichkeiten. So lassen sich viele physikalische Vorg¨ ange, die fr¨ uher ausschließlich in einem Versuch nachgebildet werden konnten, heute auf dem Rechner simulieren. W¨ahrend der Versuch in der Regel ein Modell oder eine Istausf¨ uhrung ben¨otigt, kann die Simulation schon in einem Vorstadium der Entwicklung eingesetzt werden. Ein wichtiges Einsatzgebiet der Simulation ist das der Strukturmechanik. Sie erm¨oglicht in diesem Rahmen die Berechnung von Verformungen, Spannungen, Temperaturen und anderen Gr¨ oßen von beliebig komplizierten Bauteilen. Ein Verfahren innerhalb der Simulation, das in den letzten Jahrzehnten immer mehr an Bedeutung gewonnen hat, ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Die allgemeing¨ ultige Formulierung, die der FEM zugrunde liegt, f¨ uhrt zu einem Einsatz auf vielen Gebieten des Ingenieurwesens. Im Abschnitt 1.2 werden einige Beispiele zu den Anwendungsm¨ oglichkeiten der Methode in verschiedenen Bereichen aufgezeigt. Die FEM ist von Hause aus ein numerisches Verfahren. Die Ein- und Ausgabedaten bestehen aus Zahlen. Mit dem Aufkommen von Computeralgebraoglichkeiten. Statt mit Zahlen wird mit Systemen (CAS) er¨offnen sich neue M¨ Symbolen gearbeitet. Diese Vorgehensweise wird in diesem Buch genutzt. Es werden die abgeleiteten Algorithmen in Computeralgebraprogrammen1 umgesetzt (s. Kap. 12, 13). Diese sind auf der beigef¨ ugten CD-ROM enthalten. Die Programme k¨ onnen u ¨ ber eine Benutzeroberfl¨ache interaktiv genutzt werden und dienen als Basis zur rechnergest¨ utzten Einarbeitung in die FEM.

1.1

1.1 Vorgehensweise bei der FEM In Bild 1.1 sind die einzelnen Schritte bei der Anwendung der FEM dargestellt. Der erste Schritt beschreibt die Modellierung des Problems. Die Geometrie des realen Bauteils, hier die eines Kragbalkens, wird idealisiert. Im vorliegenden Fall wird das dreidimensionale Problem auf ein ebenes zur¨ uckgef¨ uhrt, indem die Mittelebene des Kragbalkens betrachtet wird. Damit kann das Problem als Scheibenproblem beschrieben werden. Bei der Diskretisierung wird die Mittelebene gedanklich in finite Elemente eingeteilt, hier in Viereckselemente. Dies f¨ uhrt auf das sogenannte FE-Netz. Den Elementen des Netzes wird die Dicke des Kragbalkens zugeordnet. Damit wird die dritte 1

Neuere Versionen der Programme k¨ onnen u ¨ ber das Internet geladen werden. Die Internetadresse steht auf der CD-ROM in der Datei “readme.txt“.

A

4

1. Einleitung

Bild 1.1. Schritte bei der Anwendung der FEM

Dimension der Geometrie ber¨ ucksichtigt. Als n¨achstes werden die Randbedingungen dem Modell aufgepr¨ agt. Im angef¨ uhrten Beispiel sind es die La1 2 gerungsbedingungen sowie die Belastung . Die Modellierung wird auch als Preprozessing bezeichnet. Ausgehend von einem CAD-Modul [49] wird die Generierung der Elemente und Randbedingungen grafisch interaktiv durchgef¨ uhrt. In der Mitte von Bild 1.1 sind die Algorithmen angef¨ uhrt, die den Kern der FEM ausmachen. Als erstes werden die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elemente aufgestellt. Sie werden sodann additiv zu einer Gesamtsteifigkeitsmatrix u ¨ berlagert. Diese Matrix stellt gleichzeitig die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems dar, dessen L¨ osung auf die gesuchten Unbekannten f¨ uhrt. Im vorliegenden Fall sind es die Verformungen des Kragbalkens. Zur L¨osung des Gleichungssystems m¨ ussen die Lagerungsbedingungen ber¨ ucksichtigt wer1

Diese Bedingungen werden im folgenden wesentliche oder auch geometrische Randbedingungen genannt. 2 Die Kraftrandbedingung wird allgemein als nat¨ urliche Randbedingung bezeichnet.

1.2

Verschiedene Elementtypen

5

den. Aus den Verformungen k¨ onnen die Spannungen und Reaktionsgr¨oßen berechnet werden. Der hohe numerische Aufwand dieser Algorithmen stand einem praktischen Einsatz der FEM urspr¨ unglich im Wege. Insbesondere das L¨osen des Gleichungssystems erfordert eine hohe Rechenleistung. Die rasante Weiterentwicklung der Rechner erm¨ oglicht aber heute selbst den Einsatz dieser Methode auf kleineren Rechenanlagen. In der letzten Zeile von Bild 1.1 sind die m¨ oglichen Ergebnisse angef¨ uhrt. Die große Anzahl von Ergebnisdaten in Zahlenform macht auch bei der Ergebnisdarstellung, dem sogenannten Postprozessing, den Rechnereinsatz notwendig. Die grafische Interpretation der Ergebnisdaten verschafft einen schnellen ¨ Uberblick u ¨ ber das Verformungsverhalten des Bauteils. Ebenso lassen sich die Spannungsverteilung im Bauteil sowie die auftretenden Reaktionskr¨afte grafisch auswerten.

1.2 Verschiedene Elementtypen In den Tabellen 1.1 bis 1.4 sind verschiedene Elementtypen dargestellt. Die Tabellen weisen jeweils zwei Spalten auf. In der linken Spalte ist die Elementform aufgef¨ uhrt. Die Knoten des Elementes sind mit Punkten und mit Knotennummern in Form von Buchstaben1 i, j, k, . . . gekennzeichnet. In einem Knoten sind exemplarisch die Knotenfreiheitsgrade angef¨ uhrt. F¨ ur einen weiteren Knoten die zugeordneten Kr¨ afte und Momente. Die Knoten, die als kleine Kreise dargestellt sind, sind m¨ ogliche zus¨ atzliche Knoten. So kann das Stabelement in Tab. 1.1 sowohl zwei Knoten i, j, drei Knoten i, j, k oder eine noch h¨ ohere Knotenanzahl aufweisen (s. Kap. 5.1.11). Das gilt auch f¨ ur das Balkenelement (s. Kap. 6.4). Das Scheibenelement hat die Form eines Dreiecks oder Vierecks. Jeder Knoten weist zwei Verschiebungen u, v als Freiheitsgrade auf. Diesen zugeordnet sind atzliche Knoten k¨ onnen auf der Seitenhalbierenden die Kr¨ afte Fx und Fy . Zus¨ des Elementes auftreten. Die rechte Spalte zeigt jeweils ein Anwendungsbeispiel zu den einzelnen Elementtypen. F¨ ur das Stabelement ist es ein ebenes Fachwerk, das durch mehrere Kr¨ afte belastet wird. F¨ ur das Balkenelement ist ein ebener Rahmen als Beispiel angef¨ uhrt. Der Rahmen wird durch eine Kraft, eine Streckenlast und ein Moment belastet und ist zweifach gelagert. Als Anwendungsgebiet der Scheibenelemente ist ein Zylinderauge mit Bolzen angef¨ uhrt. Dieses Beispiel wird durch Dreiecks- und Viereckselemente beschrieben. Der Bolzen wird 1

¨ Bei einigen Elementen sind aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit nicht alle Knoten gekennzeichnet.

1.2

6

1. Einleitung

Tabelle 1.1. Stab-, Balken- und Scheibenelemente

Elementtyp

Anwendung

Stabelement

2 Freiheitsgrade pro Knoten

Fachwerk

Balkenelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

Rahmen

Dreiecksscheibenelement

Ebener Spannungszustand

2 Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksscheibenelement

Zylinderauge mit Bolzen als Kontaktproblem 2 Freiheitsgrade pro Knoten

1.2

Verschiedene Elementtypen

7

Tabelle 1.2. Plattenelemente

Elementtyp

Anwendung

Dreiecksplattenelement

Plattenproblem

3 (2) Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksplattenelement

Dreiseitig gelagerte Platte

3 Freiheitsgrade pro Knoten

durch eine Kraft F belastet. Das eine Ende des Zylinderauges ist fest eingespannt. Die Besonderheit des Problemes liegt darin, daß das Beispiel aus zwei K¨ orpern besteht. Die Kraft F wird vom Bolzen u ¨ber die Kontaktzone von Bolzen und Zylinderauge auf das Zylinderauge u ¨bertragen. Das Kontaktproblem bedarf innerhalb der FEM einer speziellen Behandlung. ¨ Die Tab. 1.2 f¨ uhrt Plattenelemente an. Einen detaillierten Uberblick u ¨ ber Plattenelemente findet man in [5]. Das einfachste Dreiecksplattenelement [8] hat drei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w der Platte sowie die beiden Verdrehungen θx , θy um die x- bzw. um die y-Achse. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl weist das Element auf, das auf den Seitenhalbierenden zus¨ atzliche Knoten l, m, n hat [10]. Diese zus¨ atzlichen Knoten haben je zwei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w sowie die Ableitung der Durchbiegung nach der Randnormalen ∂w/∂n. Das einfachste Vierecksplattenelement in Tab. 1.2 hat die Form eines Rechteckes oder in erweiterter Form die eines Parallelogrammes [2, 5]. Es weist

8

1. Einleitung

Tabelle 1.3. Schalenelemente

Elementtyp

Anwendung

Dreiecksschalenelement

Schalenproblem

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksschalenelement

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten

je Knoten drei Freiheitsgrade auf. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl beim Vierecksplattenelement f¨ uhrt auf das achtknotige Element mit je drei Freiheitsgraden (Durchbiegung und zwei Verdrehungen) pro Knoten. Grundlage dieses Elementes ist die Theorie schubelastischer Platten [31], w¨ ahrend die vorherigen Plattenelemente auf der Theorie schubstarrer Platten basieren. Das Anwendungsbeispiel zu den Plattenelementen zeigt eine dreiseitig gelagerte Platte. Sie wird durch neun vierknotige Elemente beschrieben und durch Einzelkr¨afte belastet. ¨ Die Uberlagerung von Scheiben- und Plattenelement ist ein Weg, Schalenelemente zu erstellen (s. Tab. 1.3). Das einfachste so erstellte Schalenelement ist das dreiknotige Schalenelement [4]. Jeder Knoten hat sechs Freiheitsgraur einen Knoten de u, v, w, θx , θy , θz . Der sechste Freiheitsgrad θz wird f¨

1.2

Verschiedene Elementtypen

9

Tabelle 1.4. Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelemente

Elementtyp

Anwendung

Tetraederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten Pentaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten Hexaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

R¨ aumliches Spannungsproblem

10

1. Einleitung

eingef¨ uhrt, wenn alle an den Knoten angrenzenden Elemente nicht in einer Ebene liegen. Liegen sie in einer Ebene, braucht er nicht definiert zu werden [45]. Das sechsknotige Schalenelement kann zweifach gekr¨ ummt sein [3]. Beim Vierecksschalenelement tritt sowohl das vierknotige, achtknotige als auch das neunknotige Element auf. Beim neunknotigen Element liegt der neunte Knoten in der Schalenmitte. Das Anwendungsbeispiel zeigt das Netz eines K¨ uhlturms. Es besteht aus 900 Viereckselementen. Mit Hilfe des Netzes k¨ onnen unter anderem Verformungen, Schnittgr¨oßen und Spannungen in diesem Bauteil berechnet werden. Ebenso kann das Beulverhalten, das bei einer solchen Konstruktion von Bedeutung sein kann, untersucht werden. Die in Tab. 1.4 dargestellten r¨ aumlichen Elemente sind das Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelement. Jeder Knoten hat drei Freiheitsgrade, die Verschiebungen u, v, w. Die einfachsten Elemente haben vier (Tetraederelement), sechs (Pentaederelement) oder acht Knoten (Hexaederelement). Beim Hexaederelement existiert zu den aufgef¨ uhrten Elementen noch ein Element mit 27 Knoten. Es ist f¨ ur die Praxis ebenfalls von Bedeutung. Das Anwendungsbeispiel zeigt das FE-Netz einer F¨ uhrungseinheit einer Arbeitsb¨ uhne. Es besteht aus 9858 Tetraederelementen und 19564 Knoten.

1.3

B

1.3 Beispiele zur Finite-Elemente-Methode 1.3.1 Beispiel zu nichtlinearen Problemen

Im unteren Teil der Tab. 1.1 auf der S. 6 ist das FE-Netz einer BolzenZuglaschenverbindung angef¨ uhrt. Diese Verbindung kann als Scheibenproblem betrachtet werden, da ein ebener Spannungszustand vorliegt. Das Problem enth¨ alt folgende Nichtlinearit¨ aten:

Bild 1.2. Verformungen und Spannungen einer Bolzen-Zuglaschenverbindung

Nichtlineares Materialverhalten Große Verformungen Kontaktproblem

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

11

Die Belastung des Bolzens wird u ¨ber die Kontaktzone auf die Zuglasche u ¨ bertragen. Dabei bildet sich bei zunehmender Belastung ein immer gr¨oßerer Kontaktbereich zwischen Bolzen und Lasche aus. Gleichzeitig wird das FENetz nach einem bestimmten Kriterium verfeinert [36, 1]. In Bild 1.2 sind die Verformungen und Vergleichsspannungen f¨ ur den maximalen Belastungszustand dargestellt. Die gestrichelten Linien geben den unverformten Zustand wieder. Es ist deutlich zu erkennen, daß große Verformungen auftreten, denn auf der R¨ uckseite des Bolzens tritt ein großes Loch zwischen Bolzen und Lasche auf. Der Bolzen legt sich u ¨ ber einen Winkelbe◦ reich von nahezu 180 an die Lasche an. Die Spannungen sind in Form von Isolinien dargestellt. Es treten Spannungen auf, die im plastischen Bereich liegen. 1.3.2 Beispiele zur Optimierung Formoptimierung

Bild 1.3 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Ausschnitt aus einem Doppel-TTr¨ ager. Der Tr¨ ager weist in seiner Ausgangsl¨ osung einen Durchbruch in Form einer Raute mit ausgerundeten Ecken auf. Die obere H¨alfte dieser Raute ist in Bild 1.3 dargestellt. Unter einer biegeartigen Belastung stellt sich auf dem Durchbruchsrand eine Vergleichsspannung ein, wie sie in Bild 1.3 normal zum Rand aufgetragen ist. Die Ecken der Raute weisen infolge von Kerbwirkungen Spannungs¨ uberh¨ ohungen auf. Diese werden durch eine Optimierung der Form des Durchbruches vermieden.

Bild 1.3. Doppel-T-Tr¨ ager mit einem Durchbruch in der Ausgangs- und optimierten Form

Der untere Bereich des Durchbruches stellt eine H¨alfte dieser Form [46] dar. Sie wurde mit einem speziellen Algorithmus [45] iterativ gefunden. Es stellt sich ein nahezu konstanter Spannungsverlauf1 auf dem Durchbruchsrand ein. 1

Bei lastfreien Durchbr¨ uchen stellt eine konstante Vergleichsspannung auf dem Bohrungsrand die optimale L¨ osung dar.

C

12

1. Einleitung

In der rechten H¨ alfte von Bild 1.3 sind die Formen der Ausgangsl¨osung und der optimierten L¨ osung angef¨ uhrt. Die optimierte Form weist eine um 30 % h¨ ohere Querschnittsfl¨ ache auf, was zu der gew¨ unschten Gewichtsreduzierung f¨ uhrt. Gleichzeitig ist die Maximalspannung mehr als halbiert. Parameteroptimierung

Bild 1.4 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Tr¨ager. Der Tr¨ager ist auf zwei Pylone aufgest¨andert und durch Seile abgespannt. Die Belastung besteht aus Einzelkr¨ aften, die gleichm¨ aßig verteilt am Untergurt in vertikaler Richtung wirken. Das Ziel der Optimierung ist eine Minimierung der Masse des Tr¨agers, wobei eine zul¨assige Spannung nicht u ¨berschritten werden darf. Als Optimierungsparameter dienen die H¨ ohe der Vertikalpfosten sowie die Lage der seitlichen Knotenpunkte der Seile. Der Untergurt des Tr¨agers soll in seiner geraden, horizontalen Lage verbleiben. In der rechten Bildh¨ alfte 1.4 ist die optimale Form des Tr¨agers [46] angef¨ uhrt. Die H¨ ohe des Tr¨ agers ist in seiner Mitte nahezu verdoppelt. An den Polynomen f¨ allt die H¨ohe auf ein F¨ unftel ab. Die Lage der seitlichen Umlenkpunkte der Seile ver¨ andert sich nur unwesentlich. Die Maximalspannung in der Ausgangsl¨ osung ist etwa doppelt so hoch wie die zul¨ assige Spannung. Daher weist die optimierte Form eine geringf¨ ugig h¨ ohere Masse als die Ausgangsl¨ osung auf. Eine nachgeschaltete Querschnittsoptimierung aller Tr¨ agerteile f¨ uhrt zu einer Reduzierung der Masse um mehr als 20 %.

Bild 1.4. Ausgangsform und optimierte Form eines Tr¨ agers

D

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung [11] ist eine relativ junge Disziplin innerhalb der Optimierungsverfahren. Die Zielfunktion bei der Topologieoptimierung ist die Steifigkeit des Bauteiles. Sie wird maximiert, indem die f¨ ur den Bauraum zur Verf¨ ugung stehende Masse optimal angeordnet wird. Dazu wird der Bauraum in finite Elemente eingeteilt. W¨ ahrend tragende Elemente die volle, materialabh¨ angige Steifigkeit und Dichte besitzen, wird diese bei gering belasteten Elementen verkleinert und strebt im Grenzfall gegen Null. Dar¨ uber kann die vorgegebene und gew¨ unschte Massenreduktion erreicht werden.

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

13

In Bild 1.5 ist die L¨ osung [47, 24] einer solchen Optimierung angef¨ uhrt. Die gestrichelte Kontur beschreibt einen Quader, der die Ausgangsl¨osung eines Werkzeugmaschinenst¨ anders darstellt. Dieser ist in 42000 achtknotige Hexaederelemente eingeteilt worden. Am unteren Ende ist der Quader fest eingespannt. Am oberen Ende wirken Streckenlasten, die das Bauteil in zwei Lastf¨ allen biege- und torsionsartig belasten. Das urspr¨ ungliche Volumen bzw. die urspr¨ ungliche Masse des Quaders soll um 85% reduziert werden. Nach 20 Iterationen wurde die schattiert in Bild 1.5 dargestellte L¨osung gefunden. Animation s. CD.

Bild 1.5. Topologieoptimierung eines Werkzeugmaschinenst¨ an-

ders

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

2

2

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Definition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Definition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Differentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors .................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ... Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Definition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv definite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky ..................................

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45 46 48 48 49 50 51

2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

53 56 57 58

2

2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel wird eine Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel gegeben, die in den nachfolgenden Kapiteln ben¨otigt werden. Vertiefende Literatur wird jeweils an den entsprechenden Stellen angef¨ uhrt.

2.1

2.1 Schreibweisen Skalare Gr¨ oßen werden durch einen Klein- oder Großbuchstaben dargestellt. Vektoren (Tensoren erster Stufe) werden in der symbolischen Schreibweise durch einen Buchstaben mit einem Pfeil versehen (v ). In der analytischen Form wird der Buchstabe mit einem lateinischen Kleinbuchstaben als Index versehen (vi ). Dyaden (Tensoren zweiter Stufe) werden als Großbuchstaben mit einem Unterstrich (K) bzw. mit einem Doppelindex (Kij ) geschrieben. Matrizen, wie eine Dyade in symbolischer Form (A). Tensoren vierter Stufe weisen einen doppelten Unterstrich (D) oder alternativ vier Indizes (Dijkl ) auf. Ableitungen werden in der analytischen Form dadurch gekennzeichnet, daß der Index, nach dem abgeleitet werden soll, durch ein Komma von den ur die analytische Schreibanderen Indizes abgetrennt wird (ui,j ). Ferner gilt f¨
weise die Summationsvereinbarung [22] (ai bi ≡ i ai bi ). In expliziter Schreibweise wird ein Vektor als Spaltenvektor ausgef¨ uhrt: ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ v = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

v1 .. . vi .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(1)

vn Eine Matrix wird in expliziter Form folgendermaßen dargestellt: ⎤

⎡ k11 .. .

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ K =⎢ ⎢ ki1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ km1

... .. .

k1i .. .

...

k1n .. .

...

kii .. .

... .. .

kin .. .

...

kmi

...

kmn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(2)

20

2.2

2. Mathematische Grundlagen

2.2 Vektoren 2.2.1 Definition eines n dimensionalen Vektors

Eine Folge von n geordneten reellen Zahlen v1 , v2 , . . . , vn stellt einen n dimensionalen Vektor dar [14, 19]. Die Gesamtheit aller solcher n Vektoren, f¨ ur die eine Addition und eine Multiplikation mit einem Skalar, d.h. einer Zahl erkl¨art ist, bildet den n dimensionalen Vektorraum. 2.2.2 Skalarprodukt

Mit Hilfe der Basisvektoren ex , ey , ez l¨ aßt sich ein Vektor a in einem kartesischen System schreiben als:

a = ax ex + ay ey + az ez

(3)

F¨ ur die Basisvektoren gilt beim Skalarprodukt:  ei · ej = δij =

1 f¨ ur i = j

(4)

0 f¨ ur i = j

Es sind ax ex , ay ey und az ez die Komponentenvektoren von a. ax , ay , az bezeichnet man als rechtwinklige Komponenten von a. Das Skalarprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (4) erh¨ alt man: a · b =(ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex · ex + ax by ex · ey + ax bz ex · ez + ay bx ey · ex + ay by ey · ey + ay bzey · ez + az bx ez · ex + az by ez · ey + az bz ez · ez =ax bx + ay by + az bz =| a | | b | cos ϕ

mit

ϕ =
(a, b)

(5)

2.2.3 Kreuzprodukt

F¨ ur die Basisvektoren beim Kreuzprodukt gilt: ⎧ ⎪  ⎪ ⎨0 ei × ej = ek ⎪ ⎪ ⎩−e

f¨ ur i = j f¨ ur eine gerade Permutation1 von i, j, k k

f¨ ur eine ungerade Permutation von i, j, k

(6)

2.2

Vektoren

21

Das Kreuzprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (6) erh¨ alt man: a × b =(ax ex + ay ey + az ez ) × (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex × ex + ax by ex × ey + ax bz ex × ez + ay bx ey × ex + ay by ey × ey + ay bz ey × ez + az bx ez × ex + az by ez × ey + az bz ez × ez =(ay bz − az by )ex + (az bx − ax bz )ey + (ax by − ay bx )ez | a × b |= | a | | b | sin ϕ mit ϕ =
(a, b)

(7)

Das Ergebnis von (7) kann formal als Determinante geschrieben werden:

x

a × b = ax

bx

y ay by

⎡

a b − az b y z

⎢ y z

⎢ az = ⎢ az b x − ax b z

⎣

bz ax b y − ay b x

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(8)

In Tab. 2.1 sind einige Rechenregeln f¨ ur Vektoren angef¨ uhrt. Tabelle 2.1.

Rechenregeln zur Addition und

Subtraktion

Vorschrift a + b = b + a

Gesetz kommutativ

(a + b) + c = a + (b + c) assoziativ k(a ± b) = ka ± kb

distributiv

2.2.4 Ableitung von Vektoren Ableitung eines Vektors nach einem Skalar

Es sei u ein Vektor mit den Komponenten ux (x), uy (x), uz (x). Dieser soll nach einem Skalar x abgeleitet werden: 1 Unter einer Permutation versteht man s¨ amtliche Anordnungen, die n Elemente unter der Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge annehmen k¨ onnen.

22

2. Mathematische Grundlagen

a = ax ex + ay ey + az ez dax day daz da = ex + ey + ez dx dx dx dx

(9)

In Vektorform: ⎡

dax dx day dx daz dx

⎢ ⎢ da ⎢ ⎢ =⎢ dx ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(10)

2.2.5 Der Nabla-Vektor

Der Nabla-Vektor, auch Nabla-Operator genannt, l¨aßt sich schreiben als: ∇=

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez = ∂i ei ∂x ∂y ∂z

(11)

Er hat die Eigenschaften eines Vektors, da er Transformationseigenschaften besitzt [12]: ⎡

∂ ∂x ∂ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇=⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂z

⎤

⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ∂y ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎦ ∂z

(12)

2.2.6 Der Gradientenvektor

Der Gradient ∇φ ist wie folgt definiert:  ∇φ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

In Vektorform:

 φ=

∂φ ∂φ ∂φ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(13)

2.3

Matrizen

⎡

∂φ ∂x ∂φ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇φ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂φ ∂z

23

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(14)

2.2.7 Divergenz und Laplace-Operator

Die Divergenz kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (4) geschrieben werden als:  ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · (vx ex + vy ey + vz ez ) ∇ · v = ∂x ∂y ∂z ∂vy ∂vz ∂vx + + = ∂x ∂y ∂z 

(15)

Die Divergenz zweier Nabla-Operatoren f¨ uhrt auf den sogenannten LaplaceOperator:  ∆ = ∇· ∇ = =

   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(16)

¨ Uber die Divergenz des Gradienten einer skalaren Funktion φ l¨aßt sich die Laplace-Gleichung beschreiben als: ∆φ = ∇ · (∇φ) =

∂2φ ∂2 φ ∂2φ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z

(17)

2.3 Matrizen 2.3.1 Definition einer Matrix

Eine Matrix ist ein System von (m, n) Elementen aik (i = 1, 2, . . . , m ; k = 1, 2, . . . , n), die in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind [14, 19]:

2.3

24

2. Mathematische Grundlagen

⎤

⎡ a11

⎢ ⎢ ⎢ a21 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ A=⎢ ⎢ a ⎢ i1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ am1

a12

...

a1n

a22 .. .

...

a2n .. .

ai2 .. .

...

ain .. .

am2

...

amn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(18)

Sonderf¨ alle:

Eine quadratische Matrix weist gleich viele Zeilen und Spalten auf (m = n). F¨ ur eine symmetrische Matrix gilt: aik = aki . Eine Einheitsmatrix E ist wie folgt definiert: ⎡  eik =

1

f¨ ur i = k

0

f¨ ur i = k

;

⎢ ⎢ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1

0

...

0 .. .

1 .. .

... .. .

0

0

...

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(19)

2.3.2 Rechenregeln Addition und Subtraktion

Zwei Matrizen A und B vom Typ (m,n) werden addiert (subtrahiert), indem man elementweise addiert (subtrahiert). Es gilt: cik = aik ± bik

∀

i = 1, 2, . . . , m ; k =1, 2, . . . , n

Tabelle 2.2. Rechenregeln zur Addition und Subtrak-

tion von Matrizen

Vorschrift A+B = B+A A + (B + C) = (A + B) + C

Gesetz kommutativ assoziativ

Die Tab. 2.2 enth¨ alt zwei Rechenregeln f¨ ur Matrizen.

(20)

2.3

Matrizen

25

In (21) ist ein Beispiel zur Addition zweier Matrizen angef¨ uhrt. ⎡

⎡

⎤ a11

a12

a13

⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ A + B = ⎢ a21 a22 a23 ⎥ + ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ a31 a32 a33 ⎡ a + b11 a12 + b12 ⎢ 11 ⎢ = ⎢ a21 + b21 a22 + b22 ⎣ a31 + b31 a32 + b32

⎤ b11

b12

b21

b22

b31

b32

b13

⎥ ⎥ b23 ⎥ ⎦ b33 ⎤

a13 + b13

⎥ ⎥ a23 + b23 ⎥ = C ⎦ a33 + b33

(21)

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert. In Tab. 2.3 ist dieser Zusammenhang beschrieben. Tabelle 2.3. Rechenregeln zur Multiplikation

einer Matrix mit einem Skalar

Vorschrift

Gesetz

kA=Ak

kommutativ

k(A ± B) = k A ± k B

distributiv

In (22) ist ein Beispiel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar angef¨ uhrt: ⎡

⎤ k a11

⎢ ⎢ k A = ⎢ k a21 ⎣ k a31

k a12 k a22 k a32

k a13

⎥ ⎥ k a23 ⎥ ⎦ k a33

(22)

Multiplikation zweier Matrizen

Unter dem Produkt A B einer (m, n)-Matrix A und einer (n, p)-Matrix B in der angegebenen Reihenfolge versteht man die (m, p)-Matrix C, deren Elemente cik sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B zusammensetzen [19].

26

2. Mathematische Grundlagen

C=AB cik =

n 

air brk = ai1 b1k + ai2 b2k + . . . + ain bnk

r=1

⎧ ⎨ i = 1, 2, . . . , m ; ∀ ⎩ k = 1, 2, . . . , n (23)

Das Produkt der Matrizen A B ist in (24) als Beispiel angef¨ uhrt: ⎤

⎡ 1

2

⎢ ⎢ AB = ⎢ 4 ⎣ −1

⎡

⎥ 1 ⎥ 3 ⎥⎣ ⎦ −2 5

−2 1

⎡

⎤

−3

⎢ ⎦=⎢ ⎢ −2 ⎣ 4 −11 3

⎤ 0 −5 7

11

⎥ ⎥ 24 ⎥ = C ⎦ 17

(24)

Tabelle 2.4. Rechenregeln zur transponierten Matrix

Gesetz

Bedeutung

(AT )T = A

Die Transponierte einer transponierten Matrix ist die Matrix selber

(λ A)T = λ AT (A ± B)T = AT ± B T (A B)T = B T AT

A und B werden vertauscht

2.3.3 Transponierte Matrix

Die aus einer Matrix A durch Vertauschen der Zeilen und Spalten entstehende Matrix AT heißt die transponierte Matrix (gespiegelte) zu der gegebenen Matrix A [19]. In (25) ist als Beispiel die transponierte Matrix AT von A ausgef¨ uhrt: ⎡ ⎡ A=⎣

⎤ 4

2

1

8

0

1

1

5

⎦;

⎤ 4

⎢ ⎢ ⎢ 2 T A =⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 8

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 5

(25)

2.4

Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)

27

In Tab. 2.4 sind einige Rechenregeln zur transponierten Matrix zusammengefaßt. 2.3.4 Orthogonale Matrix

Orthogonale Matrizen sind Matrizen, deren Zeilen zueinander orthogonale Einheitsvektoren besitzen [20]. Dies trifft ebenfalls f¨ ur die Spalten zu. Die Tab. 2.5 erfaßt zwei Rechenregeln zur orthogonalen Matrix. Tabelle 2.5. Rechenregeln zur orthogonalen Matrix

Gesetz

Bedeutung

A−1 = AT

Die Inverse einer Orthogonalmatrix ist gleich der Transponierten der Orthogonalmatrix

A AT = AT A = E

2.4

2.4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Das dyadische Produkt : a b = (ax ex + ay ey + az ez ) (bx ex + by ey + bz ez )

(26)

l¨ aßt sich durch Ausmultiplizieren der beiden Klammerausdr¨ ucke gewinnen. K = a b =ax bx ex ex + ax by ex ey + ax bz ex ez + ay bx ey ex + ay by ey ey + ay bz ey ez + az bx ez ex + az by ez ey + az bz ez ez = ai aj ei ej = Kij

(27)

Die Koeffizienten der voranstehenden Gleichung lassen sich formal in einer (3 × 3)-Matrix schreiben: ⎤

⎡ ax b x

⎢ ⎢ a b T = ⎢ ay bx ⎣ az b x

ax b y ay b y az b y

ax b z

⎤

⎡ kxx

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ay bz ⎥ = ⎢ kyx ⎦ ⎣ az b z kzx

kxy kyy kzy

kxz

⎥ ⎥ kyz ⎥ = K ⎦ kzz

(28)

28

2. Mathematische Grundlagen

Die Dyade besitzt Transformationseigenschaften und ist ein Tensor zweiter Stufe. 2.4.1 Differentialoperator

Ein spezielles dyadisches Produkt ist:  ∆ = ∇∇ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z



∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

 (29)

In Matrizenform ergibt sich der Operator der Hessematrix: ⎡

∂2 ∂x2

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢ ∂ T ∆ = ∇∇ = ⎢ ⎢ ∂y ∂x ⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂z ∂x

∂2 ∂x ∂y ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂z ∂y

⎤ ∂2 ⎥ ∂x ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎥ ⎥ ∂ y ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ ∂z 2

(30)

2.4.2 Tensor h¨ oherer Stufe

Das verallgemeinerte Hooke’sche Gesetz f¨ uhrt in der linearen Elastizit¨atstheorie [13] auf einen Elastizit¨ atstensor der Form Dijkl (symbolisch: D), also einen Tensor vierter Stufe. Er verkn¨ upft die Dehnung mit den Spannungen.

2.5

2.5 Felder 2.5.1 Skalarfelder

Es werden im folgenden Skalar- und Vektorfelder betrachtet. Bei einem Skalarfeld (Vektorfeld) wird jedem Punkt im R3 ein Skalar φ(x, y, z) (Vektor u(x, y, z)) zugeordnet. Man nennt φ eine skalare Funktion (u Vektorfunktion). Damit ist im R3 ein Skalarfeld (Vektorfeld) definiert. Beispiel zum Skalarfeld

In einem ebenen, quadratischen Gebiet −L ≤ x, y ≤ L wird jedem Punkt P (x, y) eine Temperatur T zugeordnet, also T = T (x, y).  T (x, y) = −100

x2 + y 2 +

1 + 200 2

(31)

2.5

Felder

29

Bild 2.1. Das Temperaturfeld und dessen Gradient als Vektorfeld

In der linken H¨ alfte von Bild 2.1 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Normal zur (x,y)-Ebene ist in jedem Punkt ein Temperaturwert nach (31) aufgetragen. 2.5.2 Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes

Das Vektorfeld erh¨alt man aus dem Skalarfeld durch die Bildung des Gradienten nach (14). Diese Beziehung wird auf das Skalarfeld nach (31) angewendet: ⎡ ⎢ ⎢ q = −λ ∇ T = −λ ⎢  ⎣

∂T ∂x ∂T ∂y

⎤

⎡ ⎤ ⎥ x 100 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥=λ ⎦ 1 y x2 + y 2 + 2

(32)

Diese Beziehung nennt man die Fourier’sche Gleichung. Sie beschreibt u ¨ ber ein Vektorfeld q die W¨ armestromdichte. In der rechten H¨alfte von Bild 2.1 ist dieses Vektorfeld dargestellt. 2.5.3 Das dyadische Feld

In der Elastostatik sind Verschiebungsfelder u = u(x, y, z) von großer Bedeutung. F¨ ur die Berechnung der Dehnungen ist ein Ausdruck der Form ∇u notwendig:    ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez u ex + v ey + w ez ∇u = ∂x ∂y ∂z ∂v ∂w ∂u ex ex + ex ey + ex ez + = ∂x ∂x ∂x ∂v ∂w ∂u ey ex + ey ey + ey ez + ∂y ∂y ∂y

30

2. Mathematische Grundlagen

∂u ∂v ∂w ez ex + ez ey + ez ez = ∇i uj = uj,i ∂z ∂z ∂z

(33)

∇u stellt ein dyadisches Produkt dar. Aus dem Verschiebungsfeld wird ein dyadisches Feld. In Matrizenform: ⎡

∂u ∂x ∂u ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇uT = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂u ∂z

∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z

⎤

∂w ∂x ∂w ∂y

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂w ⎦ ∂z

(34)

Beispiel zum dyadischen Feld

Gegeben ist ein Verschiebungsfeld als Vektorfeld:     u = x2 + y ex + y 2 + x ey

(35)

F¨ ur dieses Verschiebungsfeld soll u ¨ ber die Beziehung ε = 1/2 (∇ u + u ∇) bzw. εij = 1/2 (uj,i + ui,j ) das Dehnungsfeld berechnet werden, das sich als dyadisches Feld darstellt. Dieses soll grafisch ausgewertet werden. ⎡ 1⎢ ⎢ ε= ⎢ 2⎣

∂u ∂x ∂u ∂y

∂v ∂x ∂v ∂y

⎤

⎡

∂u ⎥ 1 ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎦ 2 ⎣ ∂v ∂x

⎤ ∂u ⎡ ∂y ⎥ ⎥ ⎣ 2x ⎥= ∂v ⎦ 1 ∂y

⎤ 1

⎦

(36)

2y

Das dyadische Feld ε = 2 x ex ex +1 ex ey +1 ey ex +2 y ey ey ist in dieser Form nicht ohne weiteres einer grafischen Darstellung zug¨anglich. Daher wird es in folgende Form u uhrt: ¨ berf¨ ε x = λ x ⇒ ( ε − λ E) x = 0

(37)

In (37) wird die Dyade ε auf einen Vektor x abgebildet, der mit der Gr¨oße λ skaliert wird. Das so formulierte Problem stellt sich als Eigenwertproblem dar und bildet ein homogenes Gleichungssystem. Es existiert nur dann eine L¨ osung, wenn die Determinante des Klammerausdruckes verschwindet:

2.5

Felder



2x−λ | ε − λ E | = 0 ⇒

1

31



=0

2y −λ 1

(38)

Die voranstehende Beziehung f¨ uhrt auf die sogenannte charakteristische Gleichung: λ2 − 2 (x + y) λ + 4 x y − 1 = 0

(39)

Diese quadratische Gleichung hat folgende L¨ osungen:

λI,II

 2 = x + y ± (x − y) + 1

(40)

Bild 2.2. Die normierten Eigenvektoren des dyadischen Feldes sowie die Hauptdehnungen

in Vektorform

Durch Einsetzen der Eigenwerte λI,II in (37) gewinnt man die zugeh¨origen Eiur xI ,xII genvektoren xI und xII . Zur Erreichung einer eindeutigen L¨osung f¨ werden diese normiert1 : eI = xI /|xI | und eII = xII /|xII |. Diese Vektoren sind in der linken H¨ alfte von Bild 2.2 dargestellt. Sie stellen die Hauptdehnungsrichtungen dar. Die Eigenwerte λI und λII sind die Hauptdehnungen εI und εII . Mit der Beziehung  ε = λI eI + λII eII lassen sich Hauptdehnungen zu einem Vektor zusammenfassen. In der rechten Bildh¨ alfte von Bild 2.2 sind diese angef¨ uhrt. 1

Das homogene Gleichungssystem enth¨ alt einmal unendlich viele L¨ osungen.

32

2.6

2. Mathematische Grundlagen

2.6 Lineare Transformation 2.6.1 Transformation eines Vektors

Das Bild 2.3 zeigt f¨ ur den ebenen Fall zwei Koordinatensysteme. Ein globales (x, y)-System und ein lokales (¯ x, y¯)-System. Das lokale ist gegen¨ uber dem globalen um einen Winkel ϕ gedreht. F¨ ur den Vektor v sind in beiden Systemen die entsprechenden Komponenten eingezeichnet. Sie sind von der Lage des Koordinatensystems abh¨ angig. Die Umrechnung der Komponenten vom globalen in das lokale System (Hintransformation) und umgekehrt (R¨ ucktransformation) soll im folgenden f¨ ur den dreidimensionalen Fall f¨ ur orthogonale Systeme beschrieben werden.

Bild 2.3. Vektor
v und seine Komponenten im lokalen und globalen System

Der Vektor v im globalen und lokalen System:

v = vx ex + vy ey + vz ez = vx¯ ex¯ + vy¯ ey¯ + vz¯ ez¯

(41)

F¨ ur die Einheitsdyade E gilt:

E = ex ex + ey ey + ez ez = ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯

(42)

Mit der Identit¨at v = v · E l¨ aßt sich schreiben: v = (vx ex + vy ey + vz ez ) · (ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯) = vx ex · ex¯ ex¯ + vx ex · ey¯ ey¯ + vx ex · ez¯ ez¯+ vy ey · ex¯ ex¯ + vy ey · ey¯ ey¯ + vy ey · ez¯ ez¯+ vz ez · ex¯ ex¯ + vz ez · ey¯ ey¯ + vz ez · ez¯ ez¯

(43)

Ein Vergleich der Koeffizienten von ex¯ , ey¯, ez¯ von (43) und (41) f¨ uhrt auf:

2.6

Lineare Transformation

33

vx¯ = vx ex¯ · ex + vy ex¯ · ey + vz ex¯ · ez vy¯ = vx ey¯ · ex + vy ey¯ · ey + vz ey¯ · ez vz¯ = vx ez¯ · ex + vy ez¯ · ey + vz ez¯ · ez

(44)

In Matrizenform gilt f¨ ur die Hintransformation: ⎤

⎡ vx¯

⎡

ex¯ · ex

ex¯ · ey

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ vy¯ ⎥ = ⎢ ey¯ · ex ey¯ · ey ⎦ ⎣ ⎣ vz¯ ez¯ · ex ez¯ · ey      T v¯ ⎡ e ex¯y ex¯z ⎢ x¯x ⎢ = ⎢ ey¯x ey¯y ey¯z ⎣ ez¯x ez¯y ez¯z

ex¯ · ez

⎤⎡

⎥ ⎥ ey¯ · ez ⎥ ⎦ ez¯ · ez 

⎤⎡

⎤

⎤ vx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎣ ⎦ vz    v

vx

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎦⎣ ⎦ vz

(45)

Die Matrix T ist die Transformationsmatrix. Die Zeilen der Matrix werden von den Einheitsvektoren ex¯ , ey¯ und ez¯ gebildet, die im globalen System beschrieben sind. F¨ ur den zweidimensionalen Fall kann man die Gr¨oßen in T (s. Bild 2.3) als Funktion des Winkels ϕ ausdr¨ ucken: ⎤

⎡ T =⎣

cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦

(46)

Es gilt n¨ amlich: cos ϕ = ex¯ · ex ; sin ϕ = ex¯ · ey ; − sin ϕ = ey¯ · ex und cos ϕ = ey¯ · ey . F¨ ur den Sonderfall der Drehung um die z-Achse lautet die Transformationsmatrix: ⎤

⎡ cos ϕ

⎢ ⎢ T = ⎢ − sin ϕ ⎣ 0

sin ϕ cos ϕ 0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(47)

Die R¨ ucktransformation, also die Transformation vom lokalen in das globale System ergibt sich zu:

34

2. Mathematische Grundlagen

v = T T v¯

(48)

2.6.2 Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)

In analoger Weise zum Vektor l¨ aßt sich auch bei der Dyade u v u ¨ber die Identit¨ at: u v = E · u v · E

(49)

das Transformationsgesetz:

Hintransformation: R¨ ucktransformation:

¯ = T K TT K ¯T K = TT K

(50)

herleiten. Die Transformationsmatrix T entspricht der aus (45). 2.6.3 Beispiele zur Transformation Grafische und rechnerische Transformation eines Vektors

Bild 2.4. Geometrische Ermittlung der Koordi-

naten des Vektors im lokalen System

  Gegeben ist der Vektor uT = 3 4 im globalen (x,y)-Koordinatensystem (s. Bild 2.4). Dieser soll im lokalen System (¯ x, y¯) beschrieben werden, wobei dieses gegen¨ uber dem globalen (x,y)-System um ϕ = 26, 565◦ gedreht ist. Es sind die Koordinaten von u¯ gesucht. Nach (45) gilt: ⎤⎡

⎡ u ¯=⎣

0, 894

0, 447

−0, 447 0, 894

⎦⎣

⎤ 3 4

⎡

⎦=⎣

⎤ 4, 472 2, 236

Die grafische L¨osung ist in Bild 2.4 angef¨ uhrt.

⎦

(51)

2.6

Lineare Transformation

35

Addition von Federsteifigkeiten

Bild 2.5. Anordnung zweier parallel geschalteter

Federn

Das Bild 2.5 zeigt zwei parallel angeordnete Federn. F¨ ur dieses System soll aus den Steifigkeiten k1 , k2 der Federn die Gesamtsteifigkeit berechnet werden. Die skalare Beziehung F = k u beschreibt f¨ ur den eindimensionalen Fall den Zusammenhang zwischen Kraft F und der Verformung u. Multipliziert man mit dem Richtungsvektor ex¯ die Gleichung durch, so erh¨alt man: F ex¯ = F¯ = k u ex¯ = u ex¯ · k ex¯ ex¯ = u¯ · k ex¯ ex¯    ¯ K

(52)

ex¯ bildet mit ey¯ die Basisvektoren des lokalen Koordinatensystems. In die Matrixform u ¨ bertragen: ⎤

⎡ Fx¯

⎡

⎤⎡ k

0

⎤ ux¯

⎦=⎣ ⎦⎣ ⎦ 0 0 0 uy¯          ¯ u K ¯ F¯

⎣

(53)

¯ = T u. In voranstehender Beziehung eingesetzt Nach (45) gilt: F¯ = T F und u und von links mit T T durchmultipliziert ergibt sich: ¯ T u = F T T T F = T T K    K

(54)

¯ T wird die lokale Steifigkeitsmatrix K, ¯ die sich als Dyade Mit K = T T K darstellt, in das globale (x, y)-Koordinatensystem transformiert:

36

2. Mathematische Grundlagen

⎡ 1√ ⎣ 1 K1 = 2 2 1

−1

⎡ √ 1 1 ⎦ 2⎣ 2 0 −1

⎤⎡ ⎦⎣

1

⎤

0

k1 0

⎡ k 1 ⎦= ⎣ 1 2 1 k1

⎤

⎤

1

k1

⎦

k1 (55)

¯ 2 , da T 2 = E. F¨ ur die zweite Feder gilt: K 2 = K Aus dem Gleichgewicht der Federkr¨ afte und der ¨außeren Last F = F1 + F2  folgt: (K 1 + K 2 ) u = F . ⎡ K = K1 + K2 =

⎤

1 ⎣ k1 2 k1

k1 k1

⎤

⎡

⎦+⎣

k2 0

⎡

k2 1+2 0 k ⎦ = 1 k1 ⎢ 1 ⎣ 2 0 1

⎤ 1 ⎥ ⎦ 1 (56)

Die Inversion von K f¨ uhrt auf die Nachgiebigkeitsmatrix: ⎡ K −1 =

1

1 ⎢ ⎣ k2 −1

−1 1+2

⎤ ⎥ k2 ⎦ k1

(57)

Damit lassen sich die Verformungen nach u = K −1 F berechnen.

2.7

2.7 Funktionale Viele physikalische Probleme lassen sich in Integralform formulieren. Der Integrand ist dabei ein Ausdruck, der die gesuchte Funktion y (x) enth¨alt [16, 29]. Dies sei an einem Beispiel erl¨ autert: Zwei Punkte A und B sollen in der Ebene durch eine Kurve y (x) verbunden werden (s. Bild 2.6). Gesucht ist unter allen zul¨assigen Kurven diejenige, die die k¨ urzeste Verbindung zwischen A und B darstellt [15, 28].

Bild 2.6. Vergleichsfunktionen

2.7

Funktionale

37

Das Integral: 

b

I [y (x)] =

  1 + y 2 dx =

a

b

F (y  ) dx

(58)

a

beschreibt die Bogenl¨ ange der Kurve y(x) zwischen den Punkten A und B. Die gesuchte Funktion y(x) tritt in Form ihrer ersten Ableitung im Integranden auf. Den Integralausdruck bezeichnet man als Funktional. Die Bogenl¨ ange nimmt f¨ ur die gesuchte L¨ osung ein Extremum an. Diese Bedingung l¨ aßt sich mit Hilfe der Variationsrechnung formulieren und f¨ uhrt zu ur den Fall, daß der Forderung, daß die erste Variation1 δI verschwindet. F¨ ur die erste Variation der Integrand die Form F = F (x, y, y  ) hat, ergibt sich f¨ des Funktionals: 

b



δI [y(x)] = a

∂F ∂F δy +  δy  ∂y ∂y

 dx = 0

(59)

Gleichung (59) kann durch partielle Integration in die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung u uhrt werden [15, 29]: ¨berf¨ ∂F d − ∂y dx



∂F ∂y 

 =0

(60)

Voranstehende Gleichung auf das angef¨ uhrte Beispiel aus (58) angewendet: ∂F =0 ∂y ∂F y =   ∂y 1 + y 2   d ∂F y  =  3 dx ∂y  1 + y 2 2

(61)

Damit gilt: ∂F d − ∂y dx

1

ist.



∂F ∂y 



y  =  3 = 0 1 + y 2 2

(62)

F¨ ur das gew¨ ahlte Beispiel ist es offensichtlich, daß das Extremum ein Minimum

38

2. Mathematische Grundlagen

Dieser Ausdruck besagt, daß die Kr¨ ummung der gesuchten Funktion y(x) im Intervall [a,b] verschwinden muß. Durch zweifache Integration erh¨alt man die gesuchte Geradengleichung:

y(x) = C1 + C2 x

(63)

Die Konstanten C1 und C2 bestimmt man durch die Randbedingungen y(a) = osung als Geradengleichung. F¨ ur ya und y(b) = yb . Daraus ergibt sich die L¨ den allgemeinen Fall F = F (x, y, y  , . . . , y (n) ) gilt: 

b



δI[y(x)] = a

 ∂F ∂F  ∂F (n) δy +  δy + . . . + (n) δy dx = 0 ∂y ∂y ∂y

(64)

Die zugeh¨ orige Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung lautet [15, 29]: d ∂F − ∂y dx



∂F ∂y 

 +

d2 dx2



∂F ∂y 

 − . . . (−1)n

dn dxn



∂F ∂y (n)

 =0

(65)

2.7.1 Diskretisierung des Funktionals

Die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung l¨aßt sich nur in Ausnahmef¨allen l¨ osen. Daher diskretisiert man das Funktional, indem man die gesuchte Funktion y(x) durch eine N¨ aherungsl¨ osung yˆ(x) ersetzt [23]:

yˆ = a1 ϕ1 (x) + a2 ϕ2 (x) + . . . + an ϕn (x)

(66)

W¨ ahrend man das Funktional I[y(x)] als eine Funktion mit unendlich vielen Variablen ansehen kann, treten bei I[ˆ y(x)] endlich viele Variable a1 , a2 , . . . , an auf. Es ergibt sich damit folgendes Ersatzfunktional: 

b

F (x, a1 , a2 , . . . , an ) dx

I [ˆ y(x)] =

(67)

a

Die erste Variation δI f¨ uhrt zu:  δI [ˆ y(x)] = a

b



 ∂F ∂F ∂F δa1 + δa2 + . . . + δan dx ∂a1 ∂a2 ∂an

(68)

Die Reihenfolge von Variation und Integration ist vertauschbar. Nach erfolgter Integration ergibt sich damit die erste Variation zu:

2.8

Dreieckskoordinaten

39

∂I ∂I ∂I δa1 + δa2 + . . . + δan ∂a1 ∂a2 ∂an

δI =

(69)

Die Forderung der Stationarit¨ at δI = 0 wird erf¨ ullt, wenn gilt: ∂I ∂I ∂I = = ... = =0 ∂a1 ∂a2 ∂an

(70)

Definiert man einen Vektor uT = [a1 | . . . |an ] , so l¨aßt sich schreiben: δI =

∂I δu ∂u

(71)

Transponiert man beide Seiten, so erh¨ alt man:  δI =

∂I δu ∂u

T = δuT

∂I ∂uT

(72)

In sp¨ ateren Ableitungen treten quadratische Ausdr¨ ucke der Form:

Π=

1 T u K v 2

(73)

auf. Auf der linken Seite steht eine skalare Gr¨oße. Transponiert man auch hier beide Seiten, so erh¨ alt man:

Π=

T 1 T 1 1 u K v = v T K T u = v T Ku 2 2 2

(74)

Es ist vorausgesetzt worden, daß K eine symmetrische Matrix ist (K T = K).

2.8

2.8 Dreieckskoordinaten In Bild 2.7 ist ein Dreieck dargestellt, das in drei Unterdreiecke mit den Fl¨ achen A1 , A2 und A3 eingeteilt ist. uber. Der Punkt Das Unterdreieck Ai liegt dem Eckpunkt i des Dreiecks gegen¨ P hat die kartesischen Koordinaten xp , yp . Alternativ kann die Lage des Punktes P u achen A1 , A2 , A3 bestimmt werden. Dazu werden diese ¨ ber die Fl¨ Fl¨ achen auf die Gesamtfl¨ ache A∆ des Dreieckes bezogen:

L1 =

A1 A2 A3 ; L2 = ; L3 = A∆ A∆ A∆

(75)

40

2. Mathematische Grundlagen

Bild 2.7. Definition von Dreieckskoordi-

naten

Die Gr¨oßen L1 , L2 und L3 nennt man Dreieckskoordinaten. Zwei von ihnen bestimmen eindeutig die Lage des Punktes P im Dreieck. Die dritte Dreieckskoordinate l¨ aßt sich aus folgender Beziehung ermitteln:

L1 + L2 + L3 =

A1 A2 A3 + + =1 A∆ A∆ A∆

(76)

Diese Beziehung und die Umrechnung der Dreieckskoordinaten in kartesische Koordinaten l¨aßt sich wie folgt beschreiben: ⎤

⎡ 1

⎤⎡

⎡ 1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢ x1 ⎦ ⎣ ⎣ y y1     x

1 x2 y2  C

1

⎤ L1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x3 ⎥ ⎢ L2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ y3 L3      L

(77)

Oder in Kurzform:  x = C L

(78)

Die Inversion von (77) f¨ uhrt zu: ⎤

⎡ L1

⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ L2 ⎥ = ⎦ 2 A∆ ⎣ L3

⎡

x2 y3 − x3 y2

⎢ ⎢ ⎢ x3 y1 − x1 y3 ⎣ x1 y2 − x2 y1

⎤⎡ y23 y31 y12

x32

⎤ 1

⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ x13 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ ⎦ x21 y

(79)

2.8

Dreieckskoordinaten

41

Die Gr¨ oßen xij bzw. yij sind definiert als: xij = xi − xj bzw. yij = yi − yj mit i, j = 1, . . . , 3. Die Dreiecksfl¨ ache l¨ aßt mit Hilfe von xij und yij schreiben als: A∆ = 12 (x21 y31 − y21 x31 ). (79) in Kurzform:  = C −1 x L

(80)

2.8.1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix

Die partiellen Ableitungen geschrieben werden als:

∂ ∂ und k¨ onnen mit Hilfe der Kettenregel ∂L1 ∂L2

∂ ∂y ∂ ∂x ∂ + = ∂L1 ∂L1 ∂x ∂L1 ∂y ∂y ∂ ∂x ∂ ∂ + = ∂L2 ∂L2 ∂x ∂L2 ∂y

(81)

In Matrizenform ergibt sich daraus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

∂ ∂L1 ∂ ∂L2  ∇∆

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣ 



∂x ∂L1 ∂x ∂L2

 J

∂y ∂L1 ∂y ∂L2

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ 

∇∆ = J ∇

∂ ∂x ∂ ∂y  ∇

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  (82)

Die Matrix J in der voranstehenden Beziehung nennt man die Jakobi-Matrix. ∇ und ∇∆ sind die Nabla-Vektoren in kartesischen- bzw. Dreieckskoordinaten. Multipliziert man (82) von links mit J −1 durch, so erh¨alt man: ∇ = J −1 ∇∆

(83)

mit ⎡ J −1 =

1 |J |

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂y ∂L2 ∂x − ∂L2

∂y ∂L1 ∂x ∂L1

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(84)

42

2. Mathematische Grundlagen

Mit Hilfe der Beziehungen aus (77) lassen sich die Ableitungen in (82) unter Beachtung von (76) ausf¨ uhren als: ∂x = x1 − x3 = x13 ; ∂L1 ∂y = y1 − y3 = y13 ; ∂L1

∂x = x2 − x3 = x23 ∂L2 ∂y = y2 − y3 = y23 ∂L2

(85) (86)

Damit erh¨ alt man die Jakobi-Matrix J zu: ⎤

⎡ J =⎣

x13

y13

x23

y23

⎦

(87)

Die Determinante |J| bildet die doppelte Fl¨ache des Dreieckes. Damit ergibt ucksichtigung von xij = −xji und yij = −yji : sich f¨ ur J −1 unter Ber¨

J −1

⎡ 1 ⎣ y23 = 2 A∆ x32

⎤ y31

⎦

(88)

x13

Erste Ableitungen

Der Differentialoperator ⎡

∂ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ 0 L=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎦ ∂x

(89)

enth¨ alt erste Ableitungen in kartesischen Koordinaten. Er kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (83) geschrieben werden als: L = T ∇ = T J −1 ∇∆ = L∆

(90)

Multipliziert man unter Beachtung von (88) die voranstehende Gleichung aus, so erh¨ alt man:

2.8

Dreieckskoordinaten

43

⎡

⎤

∂ ∂ ⎢ y23 ∂L + y31 ∂L ⎢ 1 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 L∆ = 2 A∆ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ∂ ⎣ x32 + x13 ∂L1 ∂L2

0 ∂ ∂ + x13 ∂L1 ∂L2 ∂ ∂ y23 + y31 ∂L1 ∂L2

x32

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(91)

Zweite Ableitungen

Die zweiten Ableitungen in kartesischen Koordinaten in (30) ergeben sich mit Hilfe von (83) f¨ ur den ebenen Fall in Dreieckskoordinaten zu:  T  T  T ∆ = ∇ ∇T = J −1 ∇∆ J −1 ∇∆ = J −1 ∇∆ ∇∆T J −1 = J −1 ∆∆ J −1 (92) Der Ausdruck ∇∆ ∇∆T bildet eine Dyade und f¨ uhrt auf eine Hessematrix der folgenden Form: ⎡ ∆∆ =

∇∆ ∇∆T

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ 

∂ ∂L1

∂ ∂L2

⎤ ∂2 ⎥ ∂L1 ∂L2 ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ ∂L22

∂2 ∂L21

⎢ ⎢ =⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂L2 ∂L1

(93)  und ∆  ∆ , so ergibt Schreibt man die Dyaden ∆ und ∆∆ formal als Vektoren ∆ sich aus (92): ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂2 ∂x2 ∂2 ∂y 2 2

∂2 ∂x ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥= 1 ⎥ 4 A2∆ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 y32

2 y31

y23 y31

x232

x231

x13 x32

2 x32 y23

2 x13 y31

x32 y31 + x31 y32

⎤⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

∂2 ∂L21 ∂2 ∂L22 2

∂2 ∂L1 ∂L2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(94)

 =Y ∆ ∆ ∆

(95)

44

2. Mathematische Grundlagen

2.8.2 Integration in Dreieckskoordinaten Integration ¨ uber die Fl¨ ache eines Dreiecks

Das Fl¨ achenelement dA = dx dy l¨ aßt sich mit Hilfe der Jakobi-Determinante ucken: | J | (Funktionaldeterminante) in Dreieckskoordinaten ausdr¨ dA = dx dy = |J| dL1 dL2

(96)

F¨ ur das geradlinig berandete Dreieck ist |J| = 2 A∆ . Damit erh¨alt man:   1  1−L1  f (L1 , L2 ) dA = 2 A∆ f (L1 , L2 ) dL2 dL1 (97) 0

A

0

Nimmt der Integrand die Form f (L1 , L2 , L3 ) = La1 Lb2 Lc3 an, so gilt (a, b, c ∈ N):  La1 Lb2 Lc3 dA = A

a! b! c! 2 A∆ (a + b + c + 2)!

(98)

Integration entlang einer Dreieckskante

Die Kante eines Dreiecks ist dadurch gekennzeichnet, daß eine Dreieckskoordinate verschwindet. Damit h¨ angt die zu integrierende Funktion nur noch von einer Dreieckskoordinate ab:  f (Li ) dγ

;

i= 1∧2∧3

(99)

Γ

Mit Hilfe der Beziehungen:

dx =

 ∂x ∂x ∂y ∂y dL1 + dL2 ; dy = dL1 + dL2 ; dΓ = dx2 + dy 2 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L2 (100)

und (77) ergeben sich die Terme in Tab. 2.6: Allgemein kann die Integration entlang einer Kante Γ zwischen den Eckpunkuckt werden: ten Γi und Γj folgendermaßen ausgedr¨  Lai Lbj dγ = Γij

a! b! Sij (a + b + 1)!

(101)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

45 

Tabelle 2.6. Gr¨ oßen bei der Integration entlang einer Dreieckskante. Sij =

2 x2ij + yij

ist Kantenl¨ ange zwischen den Eckpunkten i und j des Dreiecks

Kante

y

dx

dy

dΓ

L1 = 0 x = x3 + x23 L2

y = y3 + y23 L2

x23 dL2

y23 dL2

S23 dL2

L2 = 0 x = x3 + x13 L1

y = y3 + y13 L1

x13 dL1

y13 dL1

S13 dL1

L3 = 0 x = x2 + x12 L1

y = y2 + y12 L1

x12 dL1

y12 dL1

S12 dL1

2.9

x

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

2.9.1

Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme Polynome (2M − 1)-ten Grades k¨ onnen mit Hilfe des Verfahrens von Gauß exakt numerisch integriert werden. Die Anordnung der St¨ utzstellen xi im utzstellen lassen Intervall [a, b] und die Gewichtungsfaktoren wi an den St¨ sich nach Gauß [26] berechnen als: M−1 

wi xm i =

i=0

 1  m+1 b − am+1 , ∀ m = 0 . . . 2M −1 m+1

(102)

F¨ ur ein Polynom ersten Grades ergibt sich mit M = 1:

m=0: m=1:

w0 = b − a 1 1 w0 x0 = (b2 − a2 ) ⇒ x0 = (a + b) 2 2

(103) (104)

Damit ergibt sich f¨ ur ein Polynom p(x) ersten Grades: 

b

p(x) dx = w0 p(x0 ) = (b − a) p a

1

2 (a

 + b)

Analog f¨ ur ein Polynom dritten Grades (M = 2):

m=0:

w0 + w1 = b − a

m=1:

w0 x0 + w1 x1 =

1 2 (b − a2 ) 2

(105)

46

2. Mathematische Grundlagen

m=2: m=3:

1 3 (b − a3 ) 3 1 w0 x30 + w1 x31 = (b4 − a4 ) 4

w0 x20 + w1 x21 =

(106)

Daraus ergibt sich:

x0,1 =

1√ 1√ 1 1 (1 ± 3)a + (1 ∓ 3)b ; 2 3 2 3

w0 = w1 =

1 (b − a) 2

(107)

F¨ ur ein Polynom dritten Grades erh¨ alt man: 

b

p(x) dx = a

√ √ " b − a  !1 p 2 (1 + 13 3)a + 12 (1 − 13 3)b 2 ! √ √ " + p 12 (1 − 13 3)a + 12 (1 + 13 3)b

(108)

In der Tab. 2.7 sind die Anordnungen f¨ ur die St¨ utzstellen xi und die Gewichur verschiedene Polynome zusammengefaßt. tungsfaktoren wi f¨ Tabelle 2.7. St¨ utzstellen xi und Gewichtungsfaktoren wi f¨ ur Polynome vom

Grad 2M −1 im Interval [a, b]

M

Grad

i

1

1

I

2

3

xi √ 1

I

I 5

+ b)

√ 1 1 1 2 (1 + 3 3)a + 2 (1 − 3 3)b √ √ 1 1 1 1 2 (1 − 3 3)a + 2 (1 + 3 3)b √ √ 1 1 15)a + 12 (1 − 15 15)b 2 (1 + 5

II

3

1 2 (a

wi

1 2 (a + b) √ 1 1 15)a + 12 (1 + 2 (1 − 5

II III

√ 1 15)b 5

(b − a) 1 2 (b

− a)

1 2 (b

− a)

5 18 (b

− a)

4 9 (b

− a)

5 18 (b

− a)

2.9.2

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten F¨ ur den ebenen Fall stellt sich die Integration u ¨ber eine Dreiecksfl¨ache dar als:





1



f (L1 , L2 ) dA = A

0

1−L1

 f (L1 , L2 ) |J| dL2

dL1

0

Dieses Integral l¨ aßt sich mittels der Gauß-Quadratur l¨osen als:

(109)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM



1



0

1−L1

 f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 =

0

47

n 

wi f (L1i , L2i ) |J(L1i , L2i )| (110)

i=1

n ist die Anzahl der St¨ utzstellen (Gaußpunkte). Ihre Lage L1i , L2i und die Gewichtung wi sind in Tab. 2.8 zusammengestellt. Die Funktion f wird durch geeignete Polynome von Grad p approximiert. Tabelle 2.8. Die Lage der St¨ utzstellen (Gaußpunkte) und Wichtung f¨ ur unterschiedliche

Polynomgrade p

Element

p

n

i

L1i

L2i

wi

1

1

I

1 3

1 3

1 2

I

1 6

1 6

1 6

II

2 3

1 6

1 6

III

1 6

2 3

1 6

I

1 3

1 3

9 − 32

II

11 15

2 15

25 96

III

2 15

2 15

25 96

IV

2 15

11 15

25 96

2

3

3

4

Ist die Jakobi-Determinante |J| wie in (87) unabh¨angig von dL1 dL2 , so vereinfacht sich (110) zu:  0

1

 0

1−L1

 f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 = 2 A∆

n  i=1

wi f (L1i , L2i )

(111)

48

2.10

2. Mathematische Grundlagen

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Die L¨ osung eines physikalischen Problems mittels eines Differentialgleichungssystems weist unendlich viele Freiheitsgrade auf. Approximationsverfahren wie die FEM f¨ uhren u ¨ ber den Diskretisierungsprozeß auf eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden, die in algebraischen Gleichungen auftreten. Diese haben in den hier betrachteten F¨ allen die Form: K u = F und stellen sich als lineare Gleichungssysteme dar. Die Koeffizientenmatrix K weist dabei folgende Eigenschaften auf: Symmetrisch: K = K T bzw. kij = kji Bandstruktur: kij = 0 ∀ j > i + b − 1 Sparse Matrix: Innerhalb des Bandes der Matrix treten Nullen auf Positiv definit Die in Bild 2.8 angef¨ uhrte Matrix [33] besitzt die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften.  b 5

0

2

0

4

0

2

0

3

1

0

1

1

7

2

1

0

2

6

7

1

7

9

K=

0

0 1

Bild 2.8. Eine symmetrische, sparse und positiv definite

Matrix mit Bandstruktur und der halben Bandbreite b

Die Gr¨ oße b stellt die halbe Bandbreite der Matrix dar. Gilt b = n, so ist die Matrix vollst¨ andig besetzt. Bedingt durch die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften ergibt sich f¨ ur die Determinante |K| > 0. Es existiert damit insbesondere eine eindeutige L¨ osung des zugeh¨ origen Gleichungssystems. Als L¨ osungsverfahren unterscheidet man explizite und implizite Verfahren. Explizite Verfahren erreichen die L¨ osungen in einer definierten Anzahl von Schritten. Implizite dagegen arbeiten iterativ und nicht sequentiell. Hierbei er¨ offnet sich die M¨ oglichkeit einer parallelen Verarbeitung. 2.10.1 Definition der Bandbreite

Die Bandbreite der Koeffizientenmatrix K wird ausschließlich durch die Durchnumerierung der Knoten eines FE-Netzes bestimmt. Es sei m die Anzahl Knoten eines Elementes e und n1 , n2 , ..., nm die Knotennummern dieses Eleoßte bzw. kleinste Knotennummer des Elementes mentes. Mit nj und ni als gr¨ e ergibt sich die maximale Knotennummerndifferenz zu:

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

∆n = nj − ni

e

;

1 ≤ i, j ≤ m

49

(112)

Damit l¨ aßt sich die halbe Bandbreite b berechnen zu: " ! b = max(e∆n) + 1 f e

(113)

Der Ausdruck max(e∆n) = ∆ nmax beschreibt die maximale Knotennume merndifferenz, die u ¨ber alle Elemente hinweg auftritt. f nennt man die Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten.

Bild 2.9. Zwei Formen der Durchnumerierung der Knoten

Das Bild 2.9 zeigt f¨ ur ein Netz, das aus Dreieckselementen besteht, zwei unterschiedliche Weisen der Knotendurchnumerierung. In der linken Bildh¨alfte (Fall: b2 ) sind die Knoten entlang der langen, horizontalen Kante durchnumeriert. In der rechten Bildh¨ alfte (Fall: b1 ) entlang der kurzen, vertikalen Kante. Die Knotennummerndifferenzen f¨ ur beide F¨ alle u ¨ ber alle Elemente (f = 2): ∆n1 = 2∆n1 = . . . = 10∆n1 = 2 ⇒ b1 = (2 + 1) 2 = 6

1

∆n2 = 2∆n2 = . . . = 10∆n2 = 6 ⇒ b2 = (6 + 1) 2 = 14

1

(114)

In diesem Beispiel tritt der Sonderfall auf, daß ∆n f¨ ur alle Elemente gleich groß ist. Die Bandstruktur geht verloren, wenn z.B. im Element 1 der Knoten 12 auftritt: b = (12 − 1 + 1) 2 = 24 = n. Damit erh¨alt man eine vollbesetzte oße (n × n). Matrix K der Gr¨ 2.10.2 Rechenzeiten zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme

Die Rechenzeit T zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F (Verfahren von Cholesky) h¨ angt wie folgt von der Anzahl der Unbekannten n und von der halben Bandbreite b ab: T ∼

1 2 nb 2

  2b 1− 3n

(115)

50

2. Mathematische Grundlagen

Die entscheidende Gr¨ oße f¨ ur die Rechenzeit ist die halbe Bandbreite b, da sie quadratisch in die Rechenzeit eingeht, w¨ ahrend die Anzahl der Unbekannten nur linear auftritt. Bei einer voll besetzten Matrix (b = n) ergibt sich: T ∼

1 n n2 2

  2 1 1− = n3 3 6

(116)

Setzt man die Rechenzeiten T f¨ ur die Beispiele nach Bild 2.9 in Relation zueinander, so ergibt sich:     2 b2 28 b22 1 − 142 1 − T2 3 n 72  =  ≈4 =  b 2 12 T1 1 b21 1 − 62 1 − 3 n 72

(117)

Es wird also etwa die vierfache Rechenzeit ben¨otigt. Bezieht man die Rechenzeiten einer voll besetzten Matrix auf die des Falles b1 (minimale Bandbreite), so ergibt sich daraus: Tvoll /T1 = 38, 4, d.h. also, daß eine 40-fache Rechenzeit im ung¨ unstigsten Fall auftritt. ¨ Uber eine Reduzierung der Bandbreite kann die Rechenzeit also erheblich vermindert werden. Eine minimale Bandbreite l¨aßt sich durch Vertauschen der Knotennummern erreichen. Dazu gibt es Algorithmen [17, 18], die entsprechende Strategien zur gezielten Knotennummernvertauschung beinhalten. 2.10.3 Positiv definite Matrix

Die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die positive Definitheit einer symmetrischen Matrix lautet: Eine symmetrische Matrix ist positiv definit, wenn die Bedingung xT K x > 0 f¨ ur alle x = 0, x ∈ R erf¨ ullt ist. ⎡ k11

xT K x =

 x1

x2

···

xn

⎢ ⎢  ⎢ k21 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ kn1

⎤⎡

k12

···

k1n

k22 .. .

··· .. .

k2n .. .

kn2

···

knn

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ x1

⎥ ⎥ x2 ⎥ ⎥ = kij xi xj .. ⎥ ⎥ . ⎥ ⎦ xn (118)

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß die Matrix K positiv definit ist, ist daß alle Hauptdiagonalelemente positiv sind (kii > 0).

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

51

Es wird folgende Steifigkeitsmatrix K betrachtet: ⎡ 3

⎢ ⎢ K = ⎢ −1 ⎣ 0

−1 3 −1

⎤ 0

⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎦ 3

(119)

Es soll u uft werden, ob die Matrix positiv definit ist. Dazu wird nach ¨ berpr¨ (118) die Ungleichung xT K x > 0 gebildet: 3 x21 − 2 x1 x2 + 3 x22 − 2 x2 x3 + 3 x23 > 0

(120)

Diese Gleichung l¨ aßt sich umformen zu: x21 − 2 x1 x2 + x22 + x22 − 2 x2 x3 + x23 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0 (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0

(121)

Die Ungleichung ist f¨ ur alle reellen Zahlen erf¨ ullt, sofern nicht gleichzeitig x1 , x2 , x3 verschwinden. Damit ist K positiv definit. 2.10.4 Das Verfahren von Cholesky

F¨ ur symmetrische, positive definite Koeffizientenmatrizen l¨aßt sich das Verfahren von Cholesky anwenden. Das Verfahren ben¨otigt im Grenzfall nur halb so viele Rechenoperationen wie der Gauß’sche Algorithmus [26] und kann als Sonderfall der LU-Dekomposition angesehen werden [19]. Die Koeffizientenmatrix K des linearen Gleichungssystems K u = F wird wie folgt zerlegt: K = CT C

(122)

C ist eine obere Dreiecksmatrix (cii > 0 ; cij = 0 ∀ i > j). Es wird das uraquivalentes System C u = g u uhrt. spr¨ ungliche System K u = F in ein ¨ ¨berf¨ Zur L¨ osung sind die Schritte aus Bild 2.10 notwendig: Faktorisierung: K = C T C In der ¨ außeren Schleife (s. Bild 2.10) werden die Hauptdiagonalelemente unstig bzgl. des RechenC berechnet. Das Auftreten der Wurzel ist ung¨ aufwandes. Eine Faktorisierung der Form: K = C T D C umgeht diesen Nachteil [26], wobei D eine Diagonalmatrix ist. In der inneren Schleife werden zeilenweise die Elemente von C berechnet. Vorw¨ artselimination : C T g = F

52

2. Mathematische Grundlagen

R¨ uckw¨ artselimination : C u = g

Bild 2.10. Faktorisierung (linke Bildh¨ alfte), Vorw¨ artselimination (rechts oben) und R¨ uck-

w¨ artselimination (rechts unten) des Gleichungssystems

Beispiel zum Verfahren von Cholesky

Zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F wird die Koeffizientenmatrix nach (119) u Sie istsymmetrisch und positiv definit. Die ¨ bernommen.  T rechte Seite lautet: F = 1 2 −1 . ⎡ 3

−1

⎤ 0

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 3 −1 2 ⎥= ⎣ ⎦ 0 −1 3 −1       K F ⎡ √ ⎤⎡ √ 3 3 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1√ ⎥ √ 2 ⎢ − ⎥⎢ 6 0 ⎢ 3 3 ⎥⎢ 0 3 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 1√ 1√ 0 − 6 42 0 4 4    CT

1√ − 3 3 2√ 6 3 0  C

1√ 0 3 3 7√ 1√ − 6 6 4 12 1√ 1√ 42 − 42 4 84   g

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  (123)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

53

In (123) ist ein Rechenschema angef¨ uhrt, das auf eine Handrechnung zugeschnitten ist. Es werden nicht explizit die zuvor angef¨ uhrten Formeln verwendet. In (123) sind die Schritte Faktorisierung und Vorw¨artselimination zusammengefaßt worden. Dabei ist K um F als weitere Spalte erg¨anzt worden. Ebenso C um den Vektor g. Die Elemente von C werden berechnet, indem das Matrizenprodukt C T C explizit ausgef¨ uhrt wird. Beginnend mit Zeile 1 von C T wird diese mit allen uckt: die i-te Zeile von C T Spalten von C multipliziert. Allgemein ausgedr¨ wird mit den Spalten j = i, · · · , n multipliziert, wobei C eine (n × n)-Matrix sei. Die Elemente von g werden aus dem Produkt C T g = F gewonnen, indem alle Zeilen von C T , beginnend mit Zeile 1, mit g multipliziert werden. ⎡ √ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0 

1√ − 3 3 2√ 6 3 0  C

⎤ 0 1√ − 6 4 1√ 42 4

⎡

⎤

⎡

⎥ u1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ u ⎥ = ⎢ ⎥⎣ 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ u3      u

1√ 3 3 7√ 6 12 1√ − 42 84  g

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(124)



Die R¨ uckw¨ artselimination ist in (124) dargestellt. Beginnend mit der letzten Unbekannten u3 wird das Gleichungssystem von hinten aufgerollt. (125) enth¨ alt die L¨ osung des Gleichungssystems. ⎤

⎡ u1

⎡

⎤ 13

⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u = ⎢ u2 ⎥ = ⎢ 18 ⎥ ⎦ ⎦ 21 ⎣ ⎣ u3 −1

(125)

2.10.5 Kondition linearer Gleichungssysteme

Die Darstellung von Gleitkommazahlen in einem Rechner geschieht mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen [21]. Das f¨ uhrt dazu, daß die Zahlen der Koeffizientenmatrix im allgemeinen nicht exakt erfaßt werden. Zudem treten w¨ ahrend der Rechenoperationen Rundungsfehler und andere Effekte auf, die von der sogenannten Kondition der Koeffizientenmatrix K abh¨angen. ¨ Man spricht von einer schlecht konditionierten Matrix K, wenn kleine Ande¨ rungen in der Koeffizientenmatrix große Anderungen in der L¨osung hervorrufen [26, 25, 19].

54

2. Mathematische Grundlagen

Diese Eigenschaft von K l¨ aßt sich u ¨ ber die Konditionszahl κ = λmax /λmin beschreiben. λmax und λmin sind die maximalen und minimalen Eigenwerte von K. Diese Konditionszahl l¨ aßt nun aber noch keine Aussage zu, ob z.B. zur L¨osung eines Systems p Nachkommastellen ausreichen. Dazu dient die nachfolgende Gleichung, die einen halbempirischen Charakter besitzt [42]:  s = p − log (κ) = p − log

λmax λmin

 (126)

Die Gleichung beruht sowohl auf theoretischen Betrachtungen als auch auf den Analysen einer Vielzahl von Rechnungen. s ist die korrekte Anzahl Nachkommastellen. Bei k¨ unstlich schlecht konditionierten Systemen kann (126) versagen [41]. Dies kann durch eine Vorkonditionierung von K umgangen werden: ˆ = DKD K

(127)

ˆ ist das Ergebnis dieser Vorkonditionierung1. D ist eine Diagonalmatrix, K √ deren Elemente sich berechnen als: dii = 1/ kii . Als Beispiel [37] hierzu dient das mechanische System, das in Bild 2.11 abgebildet ist.

Bild 2.11. Zwei in Reihe geschaltete Federn

Es besteht aus zwei Federn, die in Reihe geschaltet sind und die Steifigkeiten k1 und k2 haben. Die Verformungen lassen sich beschreiben u ¨ ber: ⎡ ⎣ 

k1 + k2

−k2

−k2

k2

 K

⎤⎡

⎤ u2

⎡

⎤ 0

⎦=⎣ ⎦ u3 F        u F

⎦⎣

(128)

Die Eigenwerte von K in (128) lauten:

1  wird die Transformation  ˆ eingesetzt und dieIn der Beziehung K  u=F u = Du se Beziehung von links mit D durchmultipliziert. Daraus ergibt sich die Beziehung:  = Fˆ . u ˆ = DF DKD

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

 λ1,2 =

k1 + k2 2

#

 ±

k1 2

55

2 + k22

(129)

Eine Vorkonditionierung von (128) nach (127) f¨ uhrt auf: ˆ = DKD K ⎡ 1 ⎢ √k1 + k2 ⎢ =⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0 1 √ k2

⎡

⎥ k1 + k2 ⎥⎣ ⎥ ⎦ −k2

⎤ k2 −√ ⎥ k1 + k2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1

⎤

⎡

1 √ −k2 ⎢ k 1 + k2 ⎦⎢ ⎢ ⎣ k2 0

⎤ 0 1 √ k2

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

√

1 √ k2 −√ k1 + k2

(130)

Mit den Eigenwerten:  ˆ1,2 = 1 ± λ

k2 k1 + k2

(131)

Die Tab. 2.9 enth¨ alt f¨ ur drei unterschiedliche Verh¨altnisse von k1 /k2 die korrekte Anzahl Nachkommastellen s (ohne Vorkonditionierung) bzw. sˆ (mit Vorkonditionierung), wobei mit p = 5 Nachkommastellen gerechnet wurde. Tabelle 2.9. Vergleich der korrekten Nachkommastellen s bzw. s ˆ in Abh¨ angigkeit von

dem Verh¨ altnis der Federsteifigkeiten k1 /k2 k1 k2

Fall 1 2 3

√ 3 2·10−6 √ √3 2 √ √ 3 2·106

√

" ! " ! ˆ sˆ log λλmax log λλˆmax min min ! "   1,73 log 1,001 = 0, 001 5 log 10 = 6, 238 −6 ! " !0,999" = 0, 704 4 log 3,94 = 0, 803 log 1,67 ! 0,62 " ! 0,33 6 " 2,83·10 2,0 = 6, 512 0 log 6,12·10−7 = 6, 514 log 0,87

s 0 4 0

In den drei F¨ allen wird sukzessiv die Steifigkeit der zweiten Feder k2 von −6 6 auf 10 gesteigert, w¨ ahrend die der ersten Feder k1 konstant bleibt. 10 Dies f¨ uhrt dazu, daß die Anzahl der korrekten Nachkommastellen sich auf

56

2. Mathematische Grundlagen

Null reduzieren, also im Fall 3 keine L¨ osung mit f¨ unf gerechneten Nachkommastellen erreicht werden kann. Im Fall 1 versagt das Verfahren, wenn keine Vorkonditionierung durchgef¨ uhrt wird ( s = 0 , aber sˆ = 5 ). Es liegt also ein Fall von k¨ unstlicher, schlechter Kondition vor. 2.10.6 Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen

Betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem K u = F mit n Unbekannten. Diesem System sollen r Zwangsbedingungen aufgepr¨agt werden. Sie lassen sich in folgender Form beschreiben:

C u = r

(132)

C ist eine (r × n)-Matrix mit r < n. Die Unbekannten im Vektor u werden folgendermaßen angeordnet: ⎤

⎡ u = ⎣

uu

⎦

(133)

ua uu sind die unabh¨ angigen und ua die abh¨ angigen Variablen. Damit wird auch C wie folgt aufgeteilt: 

 r =

Cu

Ca

⎡ ⎣

⎤ uu

⎦ = C u uu + C a ua ⇒ ua = C −1 r − C −1 uu a  a Cu 

ua (134)

C u ist eine (r × (n − r))-Matrix. C a eine (r × r)-Matrix. Mit (133) und (134) erh¨ alt man folgende Transformationsbeziehung: ⎤

⎡ u = ⎣

uu ua

⎡

⎤ E

⎡

0

⎤

⎦ = T uu + F0 ⎦ uu + ⎣ −1 −C −1 C C  r a a u       T  F0

⎦=⎣

(135)

E ist eine ((n − r) × (n − r))-Einheitsmatrix und T eine (n × (n − r))-Matrix. Voraussetzung f¨ ur die Existenz von T ist, daß die Matrix C a nicht singul¨ar ist. Es m¨ ussen daher die in (132) formulierten Zwangsbedingungen linear unabh¨ angig sein. Einsetzen von (135) in die Beziehung K u = F :

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM

K (T uu + F0 ) = F ⇒ K T uu = F − K F0

57

(136)

Es wird (136) von links mit T T durchmultipliziert:   T T K T u = T T (F − K F0 ) = T T F − T T K F0 = Fˆ − Fˆ0          u ˆ   K Fˆ Fˆ0

(137)

ˆ ist jetzt eine ((n − r) × (n − r))-Matrix. Der Vektor Fˆ0 tritt nur Die Matrix K dann auf, wenn der Vektor r in (132) kein Nullvektor ist, also die Zwangsbedingungen einen inhomogenen Charakter haben. Auf der S. 157 ist hierzu ein Anwendungsbeispiel zu finden.

2.11

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM Der N¨ aherungsfehler bei der FEM ist eine Funktion e, die wie folgt definiert werden kann: e(x, y) = uex (x, y) − uFEM (x, y)

(138)

osung. Der Fehler e ist bei der FEM uex ist die exakte und uFEM die FE-L¨ abh¨ angig von der Netzfeinheit. Dieser wird u ¨ ber eine charakteristische Elementkantenl¨ ange l beschrieben. Damit l¨ aßt sich folgende Fehlerabsch¨atzung [9] definieren:

e ∞ = max |e(x, y)| ≤ C lp x,y ∈ Ω

(139)

Es ist C eine problemabh¨ angige Konstante. Der Exponent p beschreibt die Konvergenzordnung des vorliegenden Elementes. e ∞ ist die Maximumnorm des Fehlers e. Die charakteristische Elementkantenl¨ange l kann u ¨ ber eine geometrische Gr¨ oße B des betrachteten Bauteiles beschrieben werden:

l=

B n

(140)

In (140) beschreibt n die Anzahl der Elemente entlang der Gr¨oße B. Der urspr¨ ungliche Fehler e wird durch einen relativen Fehler E und die Ungleichung in (139) wird durch eine Gleichung ersetzt:

58

2. Mathematische Grundlagen



uex − uFEM

100 = C lp E =

uex

(141)

Einsetzen von (140) in (141) f¨ uhrt auf: E = C ∗ n−p

mit

C ∗ = C Bp

(142)

Logarithmieren dieser Gleichung: log E = log(C ∗ ) − p log(n)

(143)

Diese Beziehung stellt im doppelt logarithmischen System eine Gerade dar, die mit steigender Elementanzahl n abf¨ allt. F¨ ur eine Fehlerbeschreibung und die Analyse des Konvergenzverhaltens der FEM ist (143) sehr n¨ utzlich und wird im folgenden bei verschiedenen Beispielen eingesetzt. Eine wesentliche Einschr¨ ankung ist allerdings die Tatsache, daß die exakte L¨ osung uex bekannt sein muß.

2.12

2.12 Das Tonti-Diagramm

Bild 2.12. Die allgemeine Form des Tonti-Diagrammes

Das Tonti-Diagramm1 ist eine geeignete grafische Darstellungsform der Zuordnung von Feldgleichungen. In Bild 2.12 ist der prinzipielle Aufbau eines solchen Diagrammes aufgezeigt. Die K¨ astchen enthalten Variablen und Gr¨ oßen des Problems. Schattierte K¨ astchen geben Gr¨oßen wieder, die gegeben sind. Die Verbindungslinien verk¨ orpern die Feldgleichungen oder Randbedin1

Das Diagramm ist nach dem italienischen Mathematiker Tonti benannt.

2.12 Das Tonti-Diagramm

59

gungen. Durchgezogene Linien stellen eine strenge Erf¨ ullung der Beziehung dar. Eine gestrichelte Linie repr¨ asentiert eine schwache Beziehung, also eine nur im Mittel erf¨ ullte Beziehung.

Kapitel 3 Beschreibung elastostatischer Probleme

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1 3.2.2

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoffgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................ Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials .................

63 63 64 64 64 65 66 67 67 69

3 Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1

3.1 Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie Im folgenden werden die Grundgleichungen der linearen Elastostatik betrachtet. Es werden dabei zwei Schreibweisen verwendet, zum einen die symbolische Schreibweise. Zum anderen die Matritzenschreibweise, da sie im Rahmen der FEM fast ausschließlich zum Einsatz kommt. Es werden folgende Gr¨oßen verwendet1 :

Verschiebungsvektor :

uT =

Vektor der Volumenkr¨ afte :

bT =

Vektor der Randspannungen :

T = p



  

u

v

w



bx

by

bz

px

py

pz

 (144)

Die Vektoren beschreiben die Felder der o.g. Gr¨oßen. Die Tensoren der Dehnungen e und Spannungen s werden im Rahmen der FEM als Vektoren ε und σ geschrieben: ⎤

⎡ εxx

εxy

εxz

⎥ ⎢  ⎥ T ⎢ e = ⎢ εyx εyy εyz ⎥ ;  ε = εxx εyy εzz 2 εxy ⎦ ⎣ εzx εzy εzz ⎤ ⎡ σxx σxy σxz ⎢ ⎥  ⎢ ⎥ s = ⎢ σyx σyy σyz ⎥ ; σ T = σxx σyy σzz σxy ⎦ ⎣ σzx σzy σzz

 2 εxz

2 εyz

 σxz

σyz

(145) 3.1.1 Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen

e=

1 (∇u + u ∇ ) 2

;

ε = L u

(146)

Die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen, die auch kinematische Beziehungen genannt werden, verkn¨ upfen das vektorielle Verschiebungsfeld u mit dem 1

Die nachfolgenden Betrachtungen beziehen sich auf den r¨ aumlichen Fall.

64

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Dehnungsfeld ε bzw. e . Der Differentialoperator L ist f¨ ur den ebenen Fall in (89) auf der S. 42 definiert. 3.1.2 Das Stoffgesetz

F¨ ur linear-elastische K¨ orper lassen sich Dehnungen und Spannungen wie folgt miteinander verkn¨ upfen:

s = D:e

;

σ = D ε

(147)

ur den einfachsten Fall, dem linearHierbei ist D eine (6 × 6)-Matrix. F¨ elastischen, isotropen K¨ orper, enth¨ alt D nur zwei Stoffgr¨oßen, n¨amlich den Elastizit¨ atsmodul E und die Querkontraktion ν. 3.1.3 Gleichgewichtsbedingungen

∇ · s + b = 0

;

L σ + b = 0

(148)

Der Vektor b erfaßt die Volumenkr¨ afte. Der Vektor auf der rechten Seite ist ein Nullvektor. 3.1.4 Randbedingungen

Bei den Randbedingungen wird zwischen den wesentlichen (geometrischen) und den nat¨ urlichen (Kraftrandbedingungen) unterschieden. Wesentliche Randbedingungen

Es wird auf einem Teil der Oberfl¨ ache des K¨orpers Ωu die Verschiebung 0u aufgepr¨ agt: u = 0u auf Ωu

(149)

Nat¨ urliche Randbedingungen

Die nat¨ urlichen Randbedingungen stellen sich dar als: s · n = 0p ;

n σ = 0p auf Ωp

(150)

n enth¨ alt die Komponenten des Normalenvektors des Randes. σ beschreibt die sechs Spannungen:

3.1

Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie

65

⎡ ⎤

⎡ nx ⎢ ⎢ n=⎢ 0 ⎣ 0

0

0

0

nz

ny

0

nz

0

0

nz

ny

nx

ny

⎥ ⎥ nx ⎥ ; ⎦ 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ σxx

⎥ ⎥ σyy ⎥ ⎥ ⎥ σzz ⎥ ⎥ ⎥ σyz ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ σzx ⎥ ⎦ σxy

(151)

p ist der Vektor der Randspannungen. 3.1.5 Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems

Die Gleichungen aus dem Kapitel zuvor lassen sich in geeigneter Form in einem Tonti-Diagramm zusammenfassen.

Bild 3.1. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in strenger Form

Das Tonti-Diagramm erlaubt eine grafische Zuordnung der Feldgleichungen und der Randbedingungen zueinander. Das Bild 3.1 zeigt diesen Zusammenhang f¨ ur elasto-statische Probleme. Die K¨ astchen enthalten die Variablen. Die Verbindungslinien zwischen den K¨ astchen stellen die strengen Verbindungen der Variablen zu den Feldgleichungen und Randbedingungen dar. Die erste Feldgleichung ist die kinematische Gleichung (Dehnungs-VerschiebungsBeziehung) 1/2 ( ∇ u + u ∇ ). Die zweite ist die konstitutive Gleichung (Stoffgleichung) s = D : e. Die dritte ist die Gleichgewichtsbedingung ∇ · s+b = 0. Das Verschiebungsfeld u wird als Prim¨ arvariable bezeichnet. Die Felder der Dehnungen und Spannungen heißen erste bzw. zweite Zwischenvariable oder Sekund¨ arvariable. Die schattierten K¨ astchen enthalten gegebene Gr¨oßen, die nichtschattierten die unbekannten Gr¨ oßen. Als gegeben werden die wesenturlichen s · n = p Randbedinlichen Randbedingungen u = 0u und die nat¨

66

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

gungen angesehen. Weiterhin wird das Feld der Volumenkr¨afte b als bekannt vorausgesetzt. Die Verkn¨ upfung der Beziehungen aus dem Tonti-Diagramm f¨ uhrt auf eine strenge L¨ osung des Problems in Form von gew¨ohnlichen oder partiellen Differentialgleichungen. Nachfolgend wird hierzu die sogenannte Navier’sche Gleichung abgeleitet. Die Prim¨ arvariable ist dabei u. 3.1.6 Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik Verallgemeinerte Navier’sche Gleichung

Setzt man das Stoffgesetz nach (147) in die Gleichgewichtsbedingung (148) ein, so erh¨ alt man:   ∇ · D : e + b = 0

(152)

In diese Beziehung wird die kinematische Gl. (146) eingesetzt: %  $ 1 (∇u + u ∇) + b = 0 ∇· D : 2

(153)

Dies sind drei partielle Differentialgleichungen f¨ ur die drei Verschiebungen u, v, w. Sie m¨ ussen noch den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Dieses Differentialgleichungssystem ist nur f¨ ur Sonderf¨alle in geschlossener Form l¨ osbar. F¨ ur praktische Problemstellungen scheidet sie aber zur Bestimmung des Verschiebungsfeldes u aus. Vielmehr soll im n¨achsten Kapitel ein alternativer Weg beschritten werden, der das elastostatische Problem als Variationsproblem beschreibt. Beispiel zur Navier’schen Gleichung

F¨ ur einen eindimensionalen Stab soll die Verschiebung u = u(x) ermittelt werden. Der Stab hat die L¨ ange l und ist bei x = 0 fest eingespannt. Bei x = l, also am rechten Ende, greift eine Kraft F an. Es werden die drei Grundgleichungen f¨ ur den eindimensionalen Fall vereinfacht: Die Gleichgewichtsbedingung: ∇ · s = 0 ⇒

dσxx =0 dx

Das Stoffgesetz: s = D : e ⇒ σxx = E εxx Die kinematische Beziehung: e =

1 du ( ∇ u + u ∇ ) ⇒ εxx = 2 dx

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

67

Einsetzen des Stoffgesetzes in die Gleichgewichtsbedingung sowie Einbringen der kinematischen Beziehung f¨ uhrt auf folgende Beziehung f¨ ur den eindimensionalen Fall: d dx

$ E

du dx

% =0

(154)

Die rechte Seite ist Null, da keine Volumenkr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Da der E-Modul konstant sein soll ( E = E(x) ) erh¨alt man: d2 u = u = 0 dx2

(155)

Durch zweimalige Integration von (155) ergibt sich:

u = C1 x + C2

(156)

urliche RandDie Konstanten C1 und C2 werden u ¨ber die wesentliche und nat¨ bedingung bestimmt: u(x = 0) = 0 ⇒ C2 = 0 n · s = 0 p ⇒ nx σxx

F F = u E ⇒ u = = C1 =p= A AE

(157) (158)

Die Gleichungen (157) und (158) in (156) eingesetzt f¨ uhrt auf die Beziehung f¨ ur die Verschiebung:

u=

F x AE

(159)

3.2 Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen F¨ ur den Fall elastischer K¨ orper kann man zeigen, daß das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen identisch ist mit dem Gesamtpotential, auch Π-Potential genannt [35]. Im folgenden soll das Prinzip vom Gesamtpotential betrachtet werden. 3.2.1 Das Prinzip vom Gesamtpotential

Das Tonti-Diagramm in Bild 3.2 ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Ableitung des Prinzipes vom Gesamtpotential. Das Diagramm stellt eine Modifikation des Diagrammes 3.1 dar.

3.2

68

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Bild 3.2. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in schwacher Form

Das unbekannte Verschiebungsfeld u ist die Gr¨oße, die variiert und als Prim¨arvariable bezeichnet wird. Das Dehnungsfeld eu wird in strenger Weise durch die kinematische Beziehung durch u ausgedr¨ uckt. Dies bringt der Superskript u zum Ausdruck. Ebenso beim Spannungsfeld su . Sekund¨arfelder werden durch gestrichelte K¨ astchen beschrieben. Die strenge Verbindung, hier durch die Vollinien angedeutet, erzwingen eine Erf¨ ullung der Verbindung in jedem Punkt des L¨ osungsraumes V . Dies gilt auch f¨ ur die wesentlichen Randbe0 dingungen u = u . Die schwachen Verbindungen, im Diagramm durch gestrichelte Linien angedeutet, erzwingen nur eine gemittelte“ Erf¨ ullung der ” Verbindungen. So wird das Gleichgewicht im K¨orper V sowie die nat¨ urlichen Randbedingungen nur in einem gemittelten Sinne erf¨ ullt. Man spricht von einer schwachen L¨ osung. Ausgangspunkt der mathematischen Beschreibung ist nun die Formulierung der schwachen Beziehung der Gleichgewichtsbedingungen:  !

" ∇ · s + b · λ = 0

(160)

V

¨ Uber die Einf¨ uhrung des Vektorfeldes der Lagrange Multiplikatoren λ wird eine Gewichtung vorgenommen. Die Lagrange Multiplikatoren stellen sich im Laufe der Ableitung als Variation δu = λ dar. Die Ableitung soll hier nicht im Detail ausgef¨ uhrt werden. Das Ergebnis f¨ uhrt auf einen Ausdruck des Gesamtpotentials Π in der folgenden Form:    1 0 b · u dV − s : e dV − p0 · u dΩp  2 V V Ωp    1 0 T = σ T ε dV − b T u dV − p u dΩp = ΠF − Πa 2 V V Ωp       ΠF Πa

Π=

(161)

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

69

Der Term ΠF beschreibt die elastische Form¨ anderungsarbeit w¨ahrend Πa sich als Potential der ¨ außeren Kr¨ afte darstellt. 3.2.2 Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

In Bild 3.3 ist eine Masse m dargestellt, die an einer Feder mit der Steifigkeitsmatrix k h¨ angt. Die Masse u ¨ bt infolge der Gravitation eine Kraft Fˆ = m g auf die Feder aus.

Bild 3.3. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

Im Ausgangszustand bei x = 0 ist die Feder unbelastet. Die Kraft Fˆ tritt u ur eine Ab¨ ber den ganzen Auslenkungsweg der Feder in voller Gr¨oße auf. F¨ senkung der Feder mit einer beliebig kleinen Geschwindigkeit soll die Masse m seitlich gef¨ uhrt werden und sich Reibung zwischen der Masse und der ¨ die Reibkraft FR steht die ¨außere F¨ uhrung ausbilden (Fˆ = FR + Ff ). Uber Kraft Fˆ mit der Federkraft Ff im Gleichgewicht. Wird nun auf diese Weise die Feder um ein Maß u abgesenkt, so wird in der Feder eine innere Energie anderungsarbeit bezeichnet: ΠF gespeichert, die man als Form¨  ΠF =



u

Ff dx = 0

u

k x dx = 0

1 k u2 2

(162)

W¨ ahrend dieser Bewegung ¨ andert sich die potentielle Energie der Masse m. In der Ausgangslage bei x = 0 habe die Masse die potentielle Energie C. In einer verformten Lage bei x = u ergibt sich: C − m g u. Damit ergibt sich eine Potentialdifferenz von: Πa = Πx=u − Πx=0 = ( C − m g u) − C = −m g u

(163)

Das Gesamtpotential stellt sich dar als:

Π = ΠF + Πa =

1 k u2 − m g u 2

(164)

70

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Aus der Forderung nach Stationarit¨ at von Π erh¨alt man die gesuchte Verschiebung u ˆ:

δΠ =

dΠ dΠ mg δu = 0 ⇒ = 0 = k uˆ − m g ⇒ u ˆ= du du k

(165)

In dieser Gleichgewichtslage gilt f¨ ur Π: (Fˆ = k u ˆ) 1 1 1 ˆ = min(Π) = 1 k u Π ˆ2 − Fˆ u ˆ2 − k u ˆ2 = − Fˆ uˆ ˆ = ku ˆ2 = − k u 2 2 2 2

(166)

In Bild 3.4 ist das Gesamtpotential Π als Funktion von u dargestellt. Das Gesamtpotential nimmt an der Stelle u = u ˆ nicht nur einen station¨aren Wert ˆ Fˆ . an, sondern auch ein Minimum mit einem Wert min(Π) = A∗ = −1/2 u

Bild 3.4. Das Π-Potential einer Feder

Dies ist der Anteil an Energie, der w¨ ahrend der Verformung der Feder unter ˆ der vollen, konstanten Last F freigesetzt wird. Er entspricht der Arbeit der are, ¨außere Arbeit genannt. Diese ist Reibkraft FR und wird auch komplement¨ in der rechten H¨ alfte von Bild 3.4 als A∗ dargestellt. In diesem Diagramm ist die ¨ außere Kraft F u ¨ ber die Verformung u aufgetragen. Die Gerade Ff = k u stellt die Federkennlinie dar. Die gesamte schattierte Fl¨ache beschreibt das Potential m g u der Kraft Fˆ . Die zuvor angesprochene Arbeit A∗ liegt oberhalb der Federkennlinie, w¨ ahrend die ¨ außere Arbeit A unterhalb liegt. Diese Arbeit entspricht der ¨außeren Arbeit F (u), die im Gegensatz zu Fˆ nicht in voller Gr¨ oße aufgebracht wird, sondern beginnend bei Null (x = 0) auf den Endwert ˆ F bei x = u ˆ anw¨ achst. Die Arbeit A = 1/2 u ˆ Fˆ wird vollst¨andig in die Form¨ anderungsarbeit ΠF umgesetzt.

Kapitel 4 Das Verfahren von Ritz

4

4

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

74 75 77 77 78 79 81 81 81 82 86 87 87 88 89 90 91 91

4 Das Verfahren von Ritz Das Verfahren von Ritz kann als Vorstufe der FEM betrachtet werden. Ausgangspunkt ist dabei ein Funktional Π = Π(g(x, y, z)), das das physikalische Problem beschreibt. F¨ ur die gesuchte Funktion g(x, y, z) wird eine N¨aherungsfunktion formuliert: φ˜ = a0 + a1 f˜1 (x, y, z) + . . . + ai f˜i (x, y, z) + . . . + an f˜n (x, y, z) ⎤ ⎡ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ f˜1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢   ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎥ = aT x = xT a = a0 a1 . . . ai . . . an ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f˜i ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ f˜n

(167)

Hierin sind f˜i (x, y, z) linear unabh¨ angige Funktionen und ai unbekannte Koeffizienten, die es zu bestimmen gilt. Die entscheidende Eigenschaft dieses Verfahrens von Ritz ist nun die, daß die N¨ aherungsl¨ osung nach (167) mit steigendem n gegen die exakte L¨osung strebt [48]. F¨ ur eine eindeutige L¨ osung m¨ ussen der Ansatzfunktion (167) die wesentlichen Randbedingungen aufgepr¨ agt werden. Damit erh¨alt man eine modifizierte Ansatzfunktion φ, die nur noch (n − m) unabh¨angige Koeffizienten aufweist, wobei m die Anzahl der Randbedingungen ist. Dieses Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen bereitet bei K¨orpern, die krummlinig beultigen Einsatz randet sind, Probleme1 . Diese Tatsache steht einem allgemeing¨ der Methode im Wege. Trotzdem hat sie als Vorstufe der FEM eine zentrale Bedeutung. Das zuvor angesprochene Funktional Π besitzt einen station¨aren Wert2 . Damit verschwindet an dieser Stelle die erste Variation δΠ: 1

¨ An dieser Stelle findet der Ubergang zur FEM statt. Es wird bei der FEM nicht mehr eine Ansatzfunktion f¨ ur den ganzen K¨ orper formuliert, sondern der K¨ orper wird gedanklich in endliche (finite) Teilgebiete (Elemente) unterteilt. F¨ ur ein solches Teilgebiet wird die Ansatzfunktion angesetzt. Damit muß diese Ansatzfunktion nicht den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Die unbekannten Koeffizienten werden durch die sogenannten Knotengr¨ oßen ersetzt. Daraus resultiert die allgemeing¨ ultigere Einsetzbarkeit der FEM gegen¨ uber dem Verfahren von Ritz. 2 Hat das Funktional eine quadratische Form, so ist der station¨ are Wert gleichzeitig ein Minimum.

74

4. Das Verfahren von Ritz

δΠ =

∂Π δai = 0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(168)

(n − m) ist die Anzahl der Koeffizienten, die nach der Ber¨ ucksichtigung der wesentlichen Randbedingungen noch unbekannt sind. Aus der voranstehenden Gleichung gewinnt man ein lineares, inhomogenes Gleichungssystem zur ur die partiellen Ableitungen gilt: Bestimmung der Koeffizienten ai , da f¨ ∂Π =0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(169)

Die Funktionsweise des Verfahrens von Ritz wird auf der S. 79 an einem eindimensionalen Stab aufgezeigt.

4.1

4.1 Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen Die Ansatzfunktion φ˜ nach (167) muß noch so ver¨andert werden, daß sie die m wesentlichen Randbedingungen beschreiben kann. Dabei k¨onnen p-te ˜ als φ˜(p) auftreten: Ableitungen von φ, φ˜(p) (xi , yi , zi ) = 0uj

∀

j = 1, . . . , m und p = 0 ∧ 1 ∧ 2 . . .

(170)

F¨ uhrt man die m Randbedingungen in (167) ein, so kann man schreiben: ⎤⎡

⎡ (x ˆT )(p) (x1 , y1 , z1 ) .. .

⎤ a0 .. .

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ai−1 (x ˆT )(p) (xj , yj , zj ) ⎢ ⎢ . .. ⎢ .. . ⎢ ⎣ T (p) (x ˆ ) (xm , ym , zm ) an      X a X

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎡ 0

u1 .. .

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ uj ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 um    0 u 0 a = u

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦  (171)

Die Matrix X ist eine (m × n)-Matrix. Sie wird in eine (m × m)-Matrix A und eine (m × (n − m))-Matrix B aufgeteilt:

4.1

Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen



 X a =

B

A

⎡

75

⎤ aa

⎣

⎦ = Aaa + B ab = 0u

ab −1 0

aa = A

( u − B ab )

(172)

ur den Rang von Die Aufteilung von X in A und B ist so zu gestalten, daß f¨ ullt ist. Diese Aufteilung von X f¨ uhrt A die Bedingung Rang (A) = m erf¨ ebenfalls zur Aufteilung von x und a: xT =



 xTa

xTb

;

aT =



 aTa

aTb

(173)

Damit l¨ aßt sich mit Hilfe von (172) (167) schreiben als:

φ = xT a =



 xTa

xTb

⎡ ⎣

⎤ aa ab

⎦=



 xTa

xTb

⎡ ⎣

A−1 0u − A−1 B ab

⎤ ⎦

ab (174)

Diese Beziehung erf¨ ullt die wesentlichen Randbedingungen. Die gesuchten unabh¨ angigen Gr¨ oßen sind die Koeffizienten, die im Vektor ab auftreten. Eine Umformung von (174) f¨ uhrt zu:  T ab φ = xTa A−1 0u + (xTb − xTa A−1 B) ab = f0 + N       f0 T N

(175)

 enth¨alt die modifizierten Funktionen fi . Der Term f0 tritt nur Der Vektor N dann auf, wenn inhomogene, wesentliche Randbedingungen vorliegen. 4.1.1 Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen

In Bild 4.1 ist ein eindimensionaler Stab abgebildet. Er ist bei x = 0 fest eingespannt und bei x = l wird ihm eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨agt. Es liegen damit m = 2 Randbedingungen vor. Der Verschiebungsansatz lautet:

Bild 4.1. Die wesentlichen Randbedingungen des ein-

dimensionalen Stabes

76

4. Das Verfahren von Ritz

⎤ a 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = xT a ξ3 ⎢ ⎢ a ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ a3 ⎡

u ˜ = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 =

 1

ξ

ξ2

(176)

Er muß so modifiziert werden, daß die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt werden. Danach weist er noch n − m, also zwei unabh¨angige Koeffizienten auf. Die wesentlichen Randbedingungen (˜ u(ξ = 0) = 0; u ˜(ξ = 1) = u¯) werden in die Beziehung (176) eingesetzt und lassen sich wie folgt schreiben: ⎡

⎤ a 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥  ⎢ a1 ⎥  ⎢ ⎥ u ˜ (ξ = 0) = 0 ⇒ 1 0 0 0 ⎢ ⎥=0 ⎢ a ⎥  ⎢ 2 ⎥  ⎣ ⎦ xT1 a3 ⎡ ⎤ a ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥   ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ ¯ u ˜ (ξ = 1) = u ¯ ⇒ 1 1 1 1 ⎢ ⎥=u ⎢    ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ xT2 a3

(177)

(178)

Die beiden Vektoren xT1 und xT2 bilden die beiden Zeilen der Matrix X: ⎡ X=⎣

xT1 xT2

⎤

⎡

⎦=⎣

⎤ 1

0

0

0

1

1

1

1

⎦

(179)

Die (m × m)-Matrix A mit m = 2, wird aus den ersten beiden Zeilen und Spalten von X gebildet. Die (m × (n − m))-Matrix B mit n = 4 entsprechend aus den letzten beiden Zeilen und Spalten von X. Der Vektor xa wird aus den ersten beiden Elementen von x gebildet und xb aus den letzten beiden Elementen von x. Damit erh¨ alt man nach (175):

4.2

Eindimensionale Stabprobleme





⎡ 0

⎤ 0

⎦⎣ ⎦ −1 1 u ¯       u0 A−1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡      1 0 0 0 a ⎦⎣ ⎦ ⎣ 2 + ξ2 ξ3 − 1 ξ ⎣ 1 1 a3       −1 1         xb xa B ab A−1 ⎤ ⎡  a2   ⎦=u = u¯ ξ + ξ(ξ − 1) ξ(ξ 2 − 1) ⎣ ¯ ξ + N1 N2 a3

u=



1

 xa

ξ

⎣

⎤⎡ 1

77



= u¯ ξ + N1 a2 + N2 a3

⎤ ⎦  

⎤

⎡ ⎣

a2

⎦

a3 (180)

4.2

4.2 Eindimensionale Stabprobleme Das Gesamtpotential des eindimensionalen Stabes1 lautet in Abwandlung von (161):

Π=

1 2

 σε dV − uˆT F = ΠF − Πa

(181)

V

Setzt man in die kinematische Beziehung ε = du/dx die Beziehung nach (175) ein, so erh¨ alt man:  ε = f0 + aTb N

(182)

4.2.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Die Form¨ anderungsenergie ΠF lautet damit:  2  1   dV ΠF = E f0 + aTb N 2 V $  ! "T % 1 2   + aT N  N   ab dV = E (f0 ) + 2 f0 aTb N b 2 V 1

Mit dem Computeralgebraprogramm “Ritz Stab“ ist das Problem auf der S. 346 gel¨ ost (s. Icon “a“).

a

78

4. Das Verfahren von Ritz

1 = 2 

 V

(f0 )2

E  F0

 dV 

 1 T     (N   )T dV ab E N dV + ab EN 2 V V       K  R f0

+ aTb

 + 1 aTb K ab = F0 + aTb R 2

(183)

Infolge inhomogener Randbedingungen tritt in (183) die skalare Gr¨oße F0  auf. Der Vektor R  gibt die Kr¨afte wieder, die infolge insowie der Vektor R homogener Randbedingungen entstehen. Bei konstanten, homogenen Rand ein Nullvektor, da von f0 die erste Ableitung in (183) bedingungen ist R auftritt. 4.2.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten


k In das Potential der a afte Πa = u ˆT F = i=1 Fi ui wird mit Hilfe ¨ußeren Kr¨ von (175) die Verschiebung ui am Angriffsort der Kraft Fi eingesetzt: k 

Fi ui = F1 u1 + . . . + Fi ui + . . . + Fk uk

! " ! " ! "  1 + . . . + Fi f0i + aT N  i + . . . + Fk f0 + aT N k = F1 f01 + aTb N b k b i=1

= f0T F + aTb Q F = Πa

(184)

Der Vektor F erfaßt die Kr¨ afte Fi , i = 1 . . . k. f0i = f0 (xi ), i = 1 . . . k bilden die Komponenten des Vektors f0 . Die i-te Spalte der Matrix Q enth¨alt den  (xi ), wobei xi die Koordinate des Angriffspunktes der Kraft i = N Vektor N Fi ist. f0T = Q=



 

f01

...

f0i

...

f0k

1 N

...

i N

...

k N

 (185)

Mit der Form¨ anderungsarbeit ΠF aus (183) und dem Potential der ¨außeren alt man das Gesamtpotential Π = ΠF − Πa zu: Kr¨ afte Πa aus (184) erh¨  + 1 aTb K ab − f0T F − aTb Q F Π = F0 + aTb R 2 Die erste Variation hiervon f¨ uhrt auf:

δΠ =

∂Π ∂ δab = ∂ab ∂ab

   + 1 aT K ab − f T F − aT Q F δab F0 + aTb R 0 b 2 b

(186)

4.2

Eindimensionale Stabprobleme

79

  ! T   = δab R + K ab − Q F = 0

(187)

Bei der Variation verschwinden die Terme, die unabh¨angig von ab sind. Der Klammerausdruck in (187) muß zu Null werden, so daß man daraus folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ab erh¨ alt:  K ab = Q F − R

(188)

4.2.3 Beispiel zum eindimensionalen Stab

In dem Beispiel 4.1.1 (s. Bild 4.1) sind dem Stab zwei wesentliche Randbedingungen aufgepr¨agt worden, die zu der Ansatzfunktion (180) f¨ uhren. Diese ist jetzt Ausgangspunkt zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten  aTb = a2 a3 . Es wird der Stab bei l/2 durch eine Kraft F belastet. Matrix K

 auf. Das Produkt In K treten nach (183) die ersten Ableitungen von N   T  (N  ) stellt ein dyadisches Produkt dar und f¨ N uhrt zu: 

1

K = AE l 0

⎡ AE ⎣ = l

1 3 1 2

⎡ (2 ξ − 1)2 1 ⎣ l2 1 − 2 ξ − 3 ξ 2 + 6 ξ 3 ⎤ 1 2

⎦

1 − 2 ξ − 3 ξ2 + 6 ξ3 (3 ξ 2 − 1)2

⎤ ⎦ dξ

(189)

4 5

Matrix Q

Die Matrix Q wird nach (185) gebildet. Sie besteht aus einer Spalte, da nur eine Kraft F auftritt, die an der Stelle ξ = 1/2 angreift. Mit (180) erh¨alt man: 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ − 2 ⎦ ⎣ 4 ⎦ Q=⎣ 1 = N2 2 − 83 ⎡

N1

(190)

 Vektor R

 ist in (183) definiert. Er enth¨ Der Vektor R alt die Ableitung f0 . F¨ ur f0 ergibt sich nach (175) bzw. (180):

80

4. Das Verfahren von Ritz

f0 = u¯ ξ ⇒ f0 =

u ¯ l

(191)

Die Integration nach (183) f¨ uhrt auf einen Nullvektor. L¨ osen des Gleichungssystems

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten aTb = folgendes Gleichungssystem: ⎡ AE ⎣ l

1 3

1 2

1 2

4 5

⎡ ⎤ 2 F ⎦⎣ ⎦=− ⎣ ⎦ 8 a3 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Fl a2 − 43 AE ⎣ ⎦=⎣ ⎦ a3 0 ⎤⎡



 a2

a3

erh¨alt man

⎤

a2

(192)

Einf¨ uhrung dieser Koeffizienten in (180) f¨ uhrt auf die gesuchte L¨osung:

u=u ¯ξ +

3Fl ξ(1 − ξ) 4 AE

(193)

Bild 4.2. Gegen¨ uberstellung der exak-

ten Verschiebung und der nach Ritz (F l/(¯ uAE) = 1)

In Bild 4.2 ist die L¨osung nach (193) und die exakte Verschiebung dargestellt.

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

81

4.3

4.3 Eindimensionale Balkenprobleme Das Gesamtpotential Π des eindimensionalen Balkens1 lautet: 1 Π= 2





l

 2

E I (v ) dx − 0

k 

Fi vi +

i=1

p 



l

Mi ϕi +

i=1

 q(x) v dx

0

= ΠF − Πa

(194)

Als Belastungsgr¨ oßen werden die Kr¨ afte Fi , i = 1, . . . , k und die Momente ucksichtigt. Das Produkt EI Mi , i = 1, . . . , p sowie die Streckenlast q ber¨ gibt die Balkensteifigkeit wieder. Die Durchbiegung v tritt in Form der ersten Ableitung (ϕ = v  ) und der zweiten Ableitung v  auf. Sie l¨aßt sich nach (175) schreiben als:  v = f0 + aTb N   T  v = f0 + ab N 

v =

f0

+ aTb

(195) (196)

 

N

(197)

4.3.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Das Einsetzen der voranstehenden Gleichungen in die Form¨anderungsarbeit nach (194) f¨ uhrt zu (ξ = x/l):  1  1 "2 ! 1 1  2   dξ EI (v ) dξ = l EI f0 + aTb N ΠF = l 2 0 2 0  1  1  1 ! "T 1 T 1  2 T      dξ ab   N = l EI (f0 ) dξ + ab l EI f0 N dξ + ab l EI N 2 0 2 0 0          F0 K  R 1 T T  = F0 + ab R + ab K ab (198) 2 4.3.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten

Πa =

k  i=1

1

Fi vi +

p  i=1

 Mi ϕi +

l

q(x)v dx

(199)

0

Mit dem Computeralgebraprogramm “Ritz Balken“ ist das Problem auf der S. 348 gel¨ ost (s. Icon “b“).

b

82

4. Das Verfahren von Ritz


k F¨ ur den Ausdruck i=1 Fi vi kann (184) benutzt werden, indem u durch v
p ersetzt wird. Der Ausdruck i=1 ϕi Mi l¨ aßt sich mit Hilfe von (196) schreiben als: p 

 1 )M1 + · · · + (f0 + aTb N  i )Mi + · · · ϕi Mi =(f0 1 + aTb N i

i=1

  )Mp = (f )T M  + aT Q M  + (f0 p + aTb N p 0 b

(200)

 enth¨ Der Vektor M alt die p Momente, die als Belastung auftreten. Die Matrix  Q wird aus (185) gewonnen, indem die Spaltenvektoren nach x abgeleitet werden: Q =



 N 1

 N i

...

...

 N p

 (201)

F¨ ur die Streckenlast q(x) ergibt sich mit (195): 



l

q(x)v dx = 0

0

l

 l  l " !  dx =  dx q(x) f0 + aTb N q(x)f0 dx + aTb q(x)N 0 0       G0  Q

 = G0 + aTb Q

(202)

4.3.3 Variation des Gesamtpotentials

Das Gesamtpotential ergibt sich mit Hilfe von (184), (198), (200) und (202) zu: " ! " !  + 1 aT K ab − f T F + aT Q F − (f )T M  + aT Q M  Π = F0 + aTb R b 0 b 0 b 2" ! T  (203) − G0 + ab Q Die Terme in voranstehender Gleichung, die unabh¨angige von ab sind, verschwinden bei der Variation von Π: ∂Π δab ∂ab  ∂  + 1 aTb K ab − f0T F − aTb Q F − (f0 )T M  F0 + aTb R = ∂ab 2    T T  − ab Q M − G0 − ab Q δab

δΠ =

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

83

! " !  −Q  =  + K ab − Q F − Q M = δaTb R 0

(204)

Bei der Einnahme eines station¨ aren Wertes muß der Klammerausdruck in (204) verschwinden. Damit erh¨ alt man:  +Q  −R  K ab = Q F + Q M

(205)

Aus (205) lassen sich die unabh¨ angigen Koeffizienten ab berechnen. Mit (175) erh¨ alt man den gesuchten Verschiebungsansatz. Beispiel zum eindimensionalen Balken

In Bild 4.3 ist ein Balken dargestellt, der an seinem linken Ende fest eingespannt ist und dessen rechtes Auflager um den Wert v¯ angehoben wird. Er wird durch eine Streckenlast q, eine Kraft F und ein Moment M belastet. Im folgenden wird die Durchbiegung des Balkens n¨aherungsweise mit einem Polynom vierten Grades beschrieben.

Bild 4.3. L¨ osung eines Balkenproblems mit

der Methode von Ritz

Ansatzfunktion

⎤

⎡ a0

v˜ = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 =

 1

ξ

ξ2

ξ3

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 4 ξ ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a3 ⎥ ⎦ ⎣ a4

= x aT (206) Wesentliche Randbedingungen

Die drei wesentlichen Randbedingungen des Beispiels v˜(ξ = 0) = 0; uhrt auf: v˜(ξ = 1) = v¯; v˜ (ξ = 0) = 0 auf die Ansatzfunktion angewendet, f¨

84

4. Das Verfahren von Ritz



 x1 =



x3 =

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0





 ; x2 =

1

1

1

1

1 (207)

Die Vektoren x1 , x2 , x3 bilden die Zeilen der Matrix X. Die ersten drei Spalten von X formen die Matrix A, die letzten beiden die Matrix B. Daraus ergibt sich weiter: ⎤

⎡ 1

0

⎢ ⎢ A=⎢ 1 ⎣ 0

1 1

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ; B = ⎥ ⎢ 1 1 ⎦ ⎣ 0 0

⎤

⎡

⎤

⎡

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0

(208)

⎤

⎡

⎤

⎡

a0

0

⎤ ⎡ 3 ⎥ ξ ⎥ ⎦ ⎥ ; xb = ⎣ ⎦ ξ4

1

⎥ ⎢ ⎢ a3 ⎥ ⎢ ⎦ ; xa = ⎢ aa = ⎢ a1 ⎥ ; ab = ⎣ ⎢ ξ ⎣ ⎦ ⎣ a4 a2 ξ2

(209)

Einsetzen der voranstehenden Ausdr¨ ucke in (175) f¨ uhrt zu: ⎤⎡

⎡ 1

 v=

1

ξ

⎛

ξ2

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ −1

0 0 1

0

⎤ 0

⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ v¯ ⎦⎣ −1 0 ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎡

⎤⎞

⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥⎟ a3 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎟ ⎦ ξ 4 − 1 ξ ξ 2 ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 1 1 ⎥⎟ ⎣ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎠ a4 −1 1 −1 0 0 ⎤ ⎡   a3  T ab ⎦ = f0 + N = ξ 2 v¯ + ξ 2 (ξ − 1) ξ 2 (ξ 2 − 1) ⎣ (210) a4 ⎜ ⎜ + ⎜ ξ3 ⎝





1

0

0

1

0

Matrix K

Die Matrix K, die in (198) definiert ist, enth¨alt das dyadische Produkt   (N   )T. N  ist in (210) angef¨ N uhrt.

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

K=

⎡



EI l3

1

85

4(3 ξ − 1)2

⎣

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1)

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1) ⎡ ⎤ 4 EI ⎣ 1 2 ⎦ = 3 l 2 21 5 0

4(6 ξ 2 − 1)2

⎤ ⎦ dξ

(211)

Rechte Seite des Gleichungssystems nach (205)

 auf der rechten Seite treten infolge von Kr¨aften und Die Ausdr¨ ucke QF , Q M Momenten auf. Die Matrizen Q und Q lauten nach (185) bzw. (201) sowie (210): ⎡ Q=

−2

⎡

⎤

⎤ 1

1 ⎣ ⎦ ; Q = 1 ⎣ ⎦ 16 −3 l 2

(212)

 hervor: Aus der Streckenlast q geht nach (202) der Vektor Q   =l Q

⎡



1

1

 dξ = ql q(ξ)N 0

0

⎤ ⎤ ⎡ ξ 2 (ξ − 1) −1 ql ⎣ ⎦ ⎦ ⎣  2  dξ = 12 8 2 ξ ξ −1 −5

(213)

 in (205) tritt nur dann auf, wenn inhomogene Randbedingungen Der Vektor R   tritt f  = (ξ 2 v¯) (s. (210)) sowie die vorliegen. R ist in (198) definiert. In R 0  auf. Das f¨ zweiten Ableitungen von N uhrt zu folgendem Ergebnis:   = EI l R 0

1

⎤ ⎡ 1 2 EI   dξ = ⎦ f0 N v¯ ⎣ l3 2

(214)

Damit ist die rechte Seite vollst¨ andig bestimmt und es ergibt sich: ⎡

⎤ F M q EI ⎢ − 8 + l − l 12 − 2 l3 v¯ ⎥  +Q  −R  =⎢ ⎥ QF + Q M ⎣ M 2 EI ⎦ 3 − lq − 4 3 v¯ − F +2 16 l 15 l

(215)

86

4. Das Verfahren von Ritz

Bestimmung der Koeffizienten

Mit der Matrix aus (211) und der rechten Seite (215) lassen sich die Koeffizienten ab berechnen: ⎡ ⎤ 5 l4 q + 9 F l3 − 12 M l2 + 24 EI v¯ 1 ⎣ ⎦= ⎦ ab = ⎣ 48 EI 1 3 a4 4 l (15 F + 8 lq) ⎤

⎡

a3

(216)

Biegelinie

Einsetzen der Koeffizienten aus (216) in (210) f¨ uhrt auf die Biegelinie des Balkens (s. Bild 4.4):  $   3 F l3   3 1 q l4  v = ξ 2 v¯ − ξ + 3 − 5 ξ + 2 ξ2 + 7 − 12 ξ + 5 ξ 2 2 2 48 EI 64 EI % M l2 + (ξ − 1) (217) 4 EI

Bild 4.4. Durchbiegung des Bal-

kens f¨ ur Ansatzfunktionen dritten und vierten Grades

4.4

4.4 Scheibenproblem Das Gesamtpotential des Scheibenproblems1 lautet:

Π=

c

1 2 



 ε T σ dV − u ˆT  qˆ dγ − uT F dγ = ΠF − Πa V Γ      ΠF Πa

(218)

alt den Dehnungsvektor εund den SpanDie Form¨ anderungsarbeit ΠF enth¨  nungsvektor σ . Als Belastung werden die Streckenlast qˆ T = qx qy und   ber¨ ucksichtigt. Das Potential der ¨außeren Einzelkr¨ afte F T = Fx Fy Kr¨ afte Πa setzt sich aus diesen beiden Anteilen zusammen. 1 Mit dem Computeralgebraprogramm “Ritz Scheibe“ ist das Problem auf der S. 350 gel¨ ost (s. Icon “c“).

4.4

Scheibenproblem

87

4.4.1 Verschiebungsans¨ atze

Das Pascal’sche Dreieck, wie es in Bild 4.5 dargestellt ist, dient zur Formulierung vollst¨ andiger Polynomans¨ atze f¨ ur die Verformungen u˜ und v˜ des Scheibenproblems: ⎡

⎤ 1

u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + · · · =

 a0

a1

a2

a3

= aT x

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x2 + · · · =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ··· ⎢ y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. . ⎡

 b0

b1

b2

b3

(219) ⎤

1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y ··· ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. .

y = b T 

(220)

Bild 4.5. Das Pascal’sche Drei-

eck f¨ ur ebene Probleme

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Gr¨oßen der Polynome u y beschrieben. ¨ ber die Vektoren a und b bzw. x und  4.4.2 Wesentliche Randbedingungen

Die Ansatzfunktionen aus (219) und (220) m¨ ussen noch die Randbedingungen ur v˜ werden mv Randbedingungen erf¨ ullen. F¨ ur den Ansatz u˜ werden mu und f¨ definiert:

88

4. Das Verfahren von Ritz

u ˜ (xi , yi ) = 0ui ; i = 1, · · · , mu

(221)

v˜ (xi , yi ) = vi ; i = 1, · · · , mv

(222)

0

Die Elemente der Vektoren u0 und v0 erfassen die zuvor beschriebenen Randbedingungen: 

0 T

u =

0 T

0



u1

0

v =

v1

0

u2

0

v2

···

0

ui

···

···

0

vi

···

 0

umu



0

v mv

(223) (224)

Das Einbringen dieser Randbedingungen f¨ uhrt analog zu (175) auf folgende modifizierte Ansatzfunktionen:   u u = xTa A−1 ab = f0 + aTb N u0 + xTb − xTa A−1 u  u Bu    −1 −1 v v = yaT Av v0 + ybT − yaT Av B v bb = g0 + bbT N

(225) (226)

Die Verschiebungen u und v des Scheibenproblems lassen sich nach (175) ausdr¨ ucken als: u u = f0 + aTb N v v = g0 + b T N b

(227) (228)

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Anteile, die aus den inhomogenen Randbedingungen hervorgehen, mit f0 bzw. g0 beschrieben. Ent u und N v. sprechend die unabh¨ angigen Koeffizienten mit ab und bb sowie N  Die beiden Verschiebungen u und v werden in dem Vektor u ˆ zusammengefaßt: ⎡ ⎤  ⎤⎡ ⎤ T T  0 N + N  a f f u 0 u b⎦ u ⎦ ⎣ ab ⎦ = h + P c ⎦=⎣ 0 +⎣ ˆ=⎣ = T  bb  g0 g0 + Nv bb  vT N v 0          h c P (229) ⎡

⎤

⎡

u

4.4.3 Dehnungen und Spannungen der Scheibe

Die Dehnungen der Scheibe ε lassen sich u ¨ ber den Differentialoperator L als ucken. Mit (229) ergibt sich: ε = L uˆ ausdr¨

4.4

Scheibenproblem

89

⎡

∂ ⎢ ⎢ ∂x ! " ⎢ ⎢ 0 ε = L h + P c = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y ⎡ ⎤ ⎡ ∂f0 ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ∂g0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ∂y ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ∂f ∂g0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 ⎣ + ∂y ∂x     F0

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎛ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎡ ⎥ T ∂ ⎥ N 0 f u 0 ⎥⎝ ⎦ ⎣ ab ⎦⎠ +⎣ ∂y ⎥ bb g 0  vT ⎥ N 0 ⎥ ∂ ⎦ ∂x ⎤  uT ∂N 0 ⎥ ⎥⎡ ⎤ ∂x ⎥ T ⎥  ∂ Nv ⎥ ⎣ ab ⎦  0 (230) = F0 + G c ⎥ ∂y ⎥ bb ⎥  uT ∂ N  vT ⎥ ⎦ ∂N ∂y ∂x   G

Die Spannungen σ = D ε ergeben sich zu: ! " σ = D F0 + G c = D F0 + D G c

(231)

Mit Hilfe von (229), (230) und (231) werden nachfolgend die Gr¨oßen des Gesamtpotentials Π diskretisiert. 4.4.4 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Es werden die diskretisierten Beziehungen f¨ ur die Dehnung nach (230) und f¨ ur die Spannung nach (231) in die Form¨ anderungsarbeit ΠF eingesetzt:   ! "! " 1 1 F0T + c T GT D F0 + D G c dV ε T σ dV = 2 V 2 V    1 T 1 T T T    F D F0 dV + c G D F0 dV + c GT D G dV c = 2 V 0 2 V V          F0 K  R 1 T T  = F0 + c R + c K c (232) 2

ΠF =

90

4. Das Verfahren von Ritz

4.4.5 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten Einzelkr¨ afte

Den Verschiebungen u und v sind die Kr¨ afte Fx und Fy zugeordnet. An  p Stellen (xi , yi ); i = 1 . . . p der Scheibe m¨ogen Kr¨afte Fˆ angreifen. Das afte l¨ aßt sich schreiben als: Potential ΠaF dieser Kr¨ ΠaF = u1 Fx1 + v1 Fy1 + . . . + ui Fxi + vi Fyi + . . . + up Fxp + vp Fyp p p   uˆT Fi = (ui Fxi + vi Fyi ) = (233) i i=1

i=1

Mit (229) erh¨ alt man:

ΠaF

p ! p p "T    T  T    = P Ti Fi hi Fi + c hi + P i c Fi = i=1

i=1

(234)

i=1

Faßt man die einzelnen Vektoren Fi zu einem Vektor F zusammen, so kann man schreiben: ! "T T ˆ  F + c T Pˆ F ΠaF = h

(235)

! "T T ˆ Dabei haben h und Pˆ folgendes Aussehen: ! "T   ˆ h = f01 g01 . . . f0i g0i . . . f0p g0p ⎤ ⎡  ui  up  u1 0 ... N 0 ... N 0 N T ⎦ Pˆ = ⎣  v1 . . .  vi . . .  vp N N N 0 0 0

(236)

Der Index i sagt aus, daß die entsprechende Gr¨oße an der Stelle (xi , yi ) zu bilden ist. Streckenlasten

Die Streckenlast  qˆ T = (229) multipliziert:



 qx

qy

wird mit den Verschiebungen u und v aus

4.4

Scheibenproblem

 uˆT qˆ dγ =

Πaq = Γ

91

 !   "T h + P c qˆ dγ = hT qˆ dγ + c T P T qˆ dγ Γ  Γ    Γ   f0q Fq

= f0q + c T Fq

(237)

4.4.6 Variation des Gesamtpotentials

Einsetzen von (232), (235) und (237) in das Gesamtpotential f¨ uhrt zu: T  + 1 c T K c − ˆ Π = F0 + c T R hT F − c T Pˆ F − f0q − c T Fq 2

(238)

ˆ T  F , f0q , da sie unBei der Variation von Π verschwinden die Terme F0 , h abh¨ angig von c sind. Die Variation ergibt:

δΠ =

! " ∂Π  + K c − Pˆ T F − Fq = 0 δc = δc T R ∂c

(239)

Damit erh¨ alt man, da der Klammerausdruck verschwindet, folgende Beziehung zur Ermittlung des unabh¨ angigen Koeffizienten c: T  K c = Pˆ F + Fq − R

(240)

 tritt nur auf, wenn inhomogene Randbedingungen existieren. Der Vektor R 4.4.7 Kragbalken als Scheibenproblem

Bild 4.6. Die Lagerung und Belastung des Kragbalkens

In Bild 4.6 ist ein Kragbalken dargestellt. Auf der linken Seite weist er die nat¨ urlichen Randbedingungen (u(x = 0, y = ±H/2) = u(x = 0, y = 0) = 0; v(x = 0, y = 0) = 0) auf. Am rechten Ende wird er durch die quadratische Streckenlast:

92

4. Das Verfahren von Ritz

  2 2y 3 q = q0 1 − 2 H

(241)

belastet. Das Problem wird als Scheibenproblem gel¨ost. Ansatzfunktionen

Es werden folgende quadratische Ansatzfunktionen f¨ ur u˜ und v˜ verwendet: u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 2

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

(242)

2

(243)

Randbedingungen

Die Ber¨ ucksichtigung der zuvor angef¨ uhrten Randbedingungen f¨ uhrt nach (225) und (226) auf folgende Ansatzfunktionen: u = a1 x + a3 x2 + a4 xy

(244)

2

v = b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

2

(245)

Steifigkeitsmatrix K

Aus (232) ergibt sich die Matrix zu: EtHL K= 1 − ν2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

L

L

4 2 3L

0

0

0

0

ν

Lν

0

0

0 0 H2 12

1 2 6L ·

+

(1 − ν) 1 4 L(1

− ν)

0 1 2 3 L (1

− ν)

0

ν

0

0

Lν

0

1 2 (1

− ν)

0

1 2 3 L (1

− ν)

0

1 2 L(1

0

1

0

0

2 2 3 L (1

1 4 L(1

1 2 L(1

− ν)

1 2 Lν

2 2 3L ν

0

0

1 2L

0

0

0

2 1 6 νH

0

0

0

− ν)

− ν) − ν) 1 2 3L

1 2 Lν 2 2 3L ν

0

0

2 1 6 νH

0

0

0

1 2L

0

0

0

+

2 1 24 H ·

(1 − ν) 0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2 1 3H

(246) Die Matrix K ist symmetrisch und weist keine Bandstruktur auf. Dies ist ein Nachteil gegen¨ uber der FEM, da die dort auftretende Steifigkeitsmatrix sich durch eine ausgepr¨ agte Bandstruktur auszeichnet. Dies bringt deutliche Vorteile bez¨ uglich der Rechenzeit.

4.4

Scheibenproblem

93

Streckenlast

Die Streckenlast nach (237) f¨ uhrt mit Hilfe von (241) zu folgendem Ausdruck: qH  FqT = 0 20

 0

0

20 L

0

20 L2

0

H2

(247)

Bild 4.7. Das Verschiebungsfeld des Kragbalkens und Verformungen des Randes der Scheibe

Bestimmung der unabh¨ angigen Koeffizienten

Die unabh¨ angigen Koeffizienten im Vektor c lassen sich jetzt nach (240) durch das lineare Gleichungssystem Kc = Fq bestimmen. Es ergibt sich:  a4 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5  q   = 40 LH 2 (1 + ν) 0 0 −6 νH 2 + 20 L2 20 EtLH 2      3 νH 2 + 20 L2 0 3 20 νL2 + H 2

cT =



a1

a3

0 (248)

Verformungen

Das Einsetzen von (248) in (244) und (245) f¨ uhrt auf die gesuchten Verformungen: νH 2 + 20 L2 xy 10 EtLH 2 νH 2 + 20 L2 2 20 νL2 + H 2 2 ν +1 x+3q x +3q y v = 2q 2 Et 20 EtLH 20 EtLH 2

u = −3 q

Darstellung der Verformungen

(249) (250)

  Das vektorielle Verschiebungsfeld uˆT = u v ist in Bild (4.7) dargestellt. Weiterhin sind die Berandungslinien des Kragbalkens im unverformten und verformten Zustand eingezeichnet.

Kapitel 5 Stabelemente

5

5

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdefinition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Stab .............. Variable Querschnittsfl¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung einer Stabstruktur ............................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Stab ............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

97 97 97 100 100 103 105 111 113 115 115 117 119 120 120 123 128 130 132

5 Stabelemente 5.1

5.1 Das eindimensionale Stabelement 5.1.1 Problemdefinition

Der Stab, wie er in Bild 5.1 abgebildet ist, ist ein Bauteil, das u ¨ ber folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist: Die Hauptausdehnung in seiner L¨ angsachse, die als x-Achse bezeichnet werden soll, ist sehr viel gr¨ oßer als die Abmessungen in y- und z-Richtung. Daher kann der Stab auf einen eindimensionalen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden, da die Ausdehnung in y- und z-Richtung u ¨ ber die Querschnittsfl¨ache A(x) beschrieben wird. Der Stab kann nur Kr¨ afte F oder Streckenlasten q(x) in Richtung seiner L¨ angsachse aufnehmen. y

A(x) E

z q(x) u(x) L

F

x Bild 5.1. Die Geometrie

sowie die Belastung des Stabes

Im folgenden werden nur ungekr¨ ummte St¨ abe betrachtet. Im ersten Ansatz wird eine konstante Querschnittsfl¨ ache A vorausgesetzt. Diese Einschr¨ankung wird sp¨ ater fallengelassen, so daß eine Querschnittsausbildung ber¨ ucksichtigt werden kann, wie sie in Bild 5.1 dargestellt ist. 5.1.2 Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bei der nachfolgend zugrunde gelegten linearen Theorie m¨ ussen die Verschiebungen u(x) sehr viel kleiner sein als die Abmessungen des Stabes. Das Hooke’sche Gesetz dient als Stoffgesetz, so daß der Elastizit¨atsmodul E als Materialgr¨ oße Ber¨ ucksichtigung findet. Die Dehnungen im Stab sind infinitesimal klein.

E

98

5. Stabelemente

Bild 5.2. Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bild 5.2 zeigt das Tonti-Diagramm (Definition s. S. 58) des eindimensionalen Stabes. Die nicht schattierten K¨ astchen beschreiben die Variablen des Stabproblemes. Die schattierten K¨ astchen erfassen gegebene Gr¨oßen des Stabproblemes, wie die Randbedingungen und die Streckenlast q. Letztere bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Quellfunktion. Die Verbindungslinien der K¨ astchen repr¨ asentieren entweder die Feldgleichungen des Stabproblemes oder die Randbedingungen. Kinematische Beziehung

Die Prim¨ arvariable u(x), auch Variationsgr¨oße genannt, ist die L¨angsverschiebung des Stabes. Daraus leitet sich u ¨ ber die kinematische Beziehung ε = du/dx = u die Dehnung als Zwischenvariable ab, die auch Sekund¨arvariable genannt wird. Stoffgleichung

Die Stoffgleichung P = AE ε verkn¨ upft u ¨ ber den Elastizit¨atsmodul E die Dehnung ε mit der inneren Kraft P (x). Gleichgewichtsbeziehung

Die Gleichgewichtsbedingung dP/dx + q = 0 setzt die innere Kraft P im Stab in Beziehung zu der Streckenlast q. Die Kraft P ist konstant, falls keine Streckenlast q im Stab auftritt. Randbedingungen

Die nat¨ urliche Randbedingung AE u = 0F , auch Kraftrandbedingung genannt, beschreibt das Gleichgewicht zwischen der inneren Kraft P und der außeren Kraft 0F . Die wesentliche Randbedingung u = 0u, die man auch als ¨ geometrische Randbedingung bezeichnet, beschreibt die Lagerungsbedingungen des Stabes.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

99

Die Grundgleichung des Stabes

Die Beschreibung der Verformungen des Stabes f¨ uhrt auf eine Differentialgleichung. Diese gewinnt man, indem man die kinematische Beziehung ε = du/dx = u in die Stoffgleichung P = AE ε einsetzt und erh¨alt: P = AE u . Dieses Zwischenergebnis wird in die Gleichgewichtsbedingung eingebracht und f¨ uhrt auf: d (AE u ) + q = 0 dx

(251)

Unter der Voraussetzung, daß zum einen A und E konstant sind und zum anderen keine Streckenlast q auftritt, verschwindet die zweite Ableitung der Verschiebung u. Analytische L¨ osung eines eindimensionalen Stabbeispieles

Bild 5.3. Eindimensionaler Stab mit einer Streckenlast q und einer Einzelkraft 0F belastet

Das Bild 5.3 zeigt einen Stab, der eine L¨ ange l, einen konstanten Querschnitt A und einen konstanten Elastizit¨ atsmodul E aufweist. Dieser Stab wird in seiner L¨ angsrichtung durch eine Kraft 0F und eine Streckenlast q belastet, wobei u ¨ ber q das Eigengewicht des Stabes beschrieben wird. Mit Hilfe von (251) sollen die Verformungen und die Spannungen im Stab ermittelt werden. Zweifaches Integrieren von (251) f¨ uhrt auf: AE u = −q x + C1 x2 AE u = −q + C1 x + C2 2

(252)

Die wesentliche Randbedingung (Einspannung bei x = 0) und die nat¨ urliche Randbedingung (Kraft an der Stelle x = l) f¨ uhren auf folgende Beziehungen:

100

5. Stabelemente

⇒ C2 = 0

u(x = 0) = 0 

A E u (x = l) = F = −q l + C1 0

⇒ C1 = q l + 0F

(253)

Durch Einbringen der Randbedingungen von (253) in (252) erh¨alt man die L¨ osung f¨ ur die Verformungen: 0 q  x ρg  x F F x+ l− x= x+ l− x AE AE 2 AE E 2 0

u=

(254)

Das Produkt aus der Dichte ρ, der Querschnittsfl¨ache A und der Beschleu¨ nigung g beschreibt die Streckenlast q. Uber die Stoffgleichung P = AE ε erh¨ alt man mit σ = P/A die Spannungen: 0

σ=

F + ρ g(l − x) A

(255)

Alternativ zur L¨ osung u ¨ber eine Differentialgleichung wird im folgenden ein Weg beschritten, der eine allgemeine numerische L¨osung in Form der FEM zur Basis hat, wobei von einem Funktional ausgegangen wird. 5.1.3 Das Funktional des Stabproblemes

In (161) wird das Funktional f¨ ur den dreidimensionalen, elastostatischen Fall beschrieben. Ber¨ ucksichtigt man, daß beim Stab die Dehnung ε, die Spannung σ und die Verschiebung u als skalare Gr¨ oßen auftreten und die Belastung sich als Einzelkraft darstellt, so kann man schreiben1 :

Π=

1 2

 σε dV − u F

(256)

V

5.1.4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes

In Bild 5.4 ist ein eindimensionaler Stab dargestellt. Er setzt sich aus einem konischen Teil sowie einem prismatischen Teil zusammen. Der prismatische Teil weist einen Absatz auf. Der Grundgedanke der FEM ist es, den ganzen K¨orper in endliche Teilgebiete (finite Elemente) zu zerlegen. Von dem gesamten Stab wird nur der mittlere, prismatische Teil betrachtet. Das zun¨ achst dreidimensionale Problem wird in ein eindimensionales Problem umgewandelt. Dazu wird von der Geometrie nur die Verbindungslinie der Fl¨ achenschwerpunkte (Schwereachse) ber¨ uck1

Der Term f¨ ur die Streckenlast

,l 0

qu dx findet hier keine Ber¨ ucksichtigung.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

101

sichtigt. Die anderen beiden Dimensionen werden u ¨ ber die Querschnittsfl¨ache A erfaßt.

Bild 5.4. Die Gr¨ oßen des

eindimensionalen Stabelementes

In die Schwereachse wird auch das finite Element gelegt, wie es in Bild 5.4 dargestellt ist. Diesem Element wird die Querschnittsfl¨ache A und der Elastizit¨ atsmodul E zugewiesen. Das Element hat die L¨ange l. An seinen beiden Enden weist es jeweils einen Knoten auf. Am Anfang des Elementes den Knoten i und am Ende den Knoten j. Die x-Koordinate hat ihren Ursprung im Anfangsknoten und zeigt in Richtung des Endknotens. Im Funktional nach (256) treten erste Ableitungen der Verschiebung u = du/dx = ε auf. Damit nennt man das Problem ein C 0 -Problem1 . Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung2 fordert die Stetigkeit der Verschiebung u im Element und an den Elementgrenzen. Das wird erreicht, indem die Verschiebung als uhrt Knotengr¨ oße definiert wird. Im Knoten i wird die Verschiebung ui eingef¨ ur den Endknoten j. Diesen Knotenverschiebungen sind und entsprechend uj f¨ die Kr¨ afte Fi und Fj zugeordnet. Verschiebungsansatz

Analog zu dem Verfahren von Ritz wird eine Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebungen gemacht. Im Unterschied zum Ritzverfahren bezieht sich dieser Ansatz nicht auf den gesamten Stab, sondern nur auf den Teil, den man sich aus dem Stab herausgeschnitten denkt, n¨ amlich auf das Element. Die Ansatzfunktion lautet: 1

Ist m die h¨ ochste Ableitung der Prim¨ arvariablen (hier u) oder auch Variationsgr¨ oße genannt, so nennt man das Problem ein C m−1 -Problem. m wird auch als Variationsindex bezeichnet. 2 Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung, die auch Kompatibilit¨ atsbedingung genannt wird, besagt anschaulich gesprochen, daß beim Stab im verformten Zustand kei¨ ne L¨ ucken oder Uberlappungen entstehen. Mathematisch l¨ aßt sich diese Forderung f¨ ur den allgemeinen Fall ausdr¨ ucken als: ∇ × e × ∇ = 0. Die Kreuzprodukte aus den Nabla-Operatoren und dem Dehnungstensor e m¨ ussen einen Nulltensor ergeben.

102

5. Stabelemente

u = a0 + a1 x

(257)

Die unbekannten Koeffizienten a0 und a1 werden durch die Knotenverschieuckt. Die Ansatzfunktion braucht hier jetzt nicht bungen ui und uj ausgedr¨ mehr wie beim Verfahren von Ritz den wesentlichen Randbedingungen, auch geometrische Randbedingungen genannt, der Struktur gen¨ ugen. Man erh¨ alt zwei Bedingungsgleichungen f¨ ur die Knotenverschiebungen, indem man folgende Interpolationsbedingungen formuliert:

u(x = 0) = ui = a0 + a1 0

⇒

u(x = l) = uj = a0 + a1 l

⇒

a0 = u i uj − ui a1 = l

(258)

Setzt man nun die letzten beiden Gleichungen in die Ansatzfunktion (257) ein, so erh¨ alt man folgende Beziehung: $ ! x" uj − ui x x x= 1− ui + uj = 1 − u(x) = ui + l l l l ⎡ ⎤   u ⎣ i ⎦ = N1 N2 uj   

x l

%

⎤

⎡ ⎣

ui

⎦

uj (259)

Formfunktionen

Die Verteilung der Verformung wird somit u ¨ber die sogenann  im Element T = N N beschrieben. Diese sind in Bild 5.5 ten Formfunktionen N 1 2 dargestellt.

Bild 5.5. Die Formfunktionen des eindimensionalen Stabelementes

Setzt man in (259) ui = 1 und uj = 0 ein, so erh¨alt man die Formfunktion N1 . Analog gewinnt man N2 , wenn man ui = 0 und uj = 1 w¨ahlt. Daher nennt man sie auch Einheitsverschiebungszust¨ande des Elementes. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Dehnung wird aus (259) durch Ableitung nach x gewonnen:

5.1

Das eindimensionale Stabelement

ε=

uj − ui du = = dx l

$ 

103

%

−

⎡

⎤ ui

1 1 ⎣  T u ⎦=B l l   uj    T  B u

(260)

Stoffgesetz (Hooke’sches Gesetz)

Durch Einf¨ uhrung des Hooke’schen Gesetzes in (260) werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft:

uj − ui =E σ =Eε=E l

$

1 − l

1 l

%

⎤

⎡ ⎣

ui

 T u ⎦=EB

(261)

uj

Bedingt durch die lineare Formfunktion aus (259) sind die Dehnungen und damit die Spannungen im Element konstant. Das hat zur Folge, daß im allgemeinen Fall die Spannungen beim zweiknotigen Stabelement von Element zu Element unstetig sein k¨ onnen. 5.1.5 Variation des Funktionals

In das Funktional nach (256) werden die Dehnungen aus (260) und die Spannungen aus (261) eingesetzt. F¨ ur das Potential der Kr¨afte u F ergibt sich f¨ ur 1 das Element: u F = ui Fi + uj Fj . Somit kann man das Funktional schreiben als:

Π=

1 2





l

E 0

uj − ui l

2 A dx − Fi ui − Fj uj

(262)

In (262) ist unter der Voraussetzung einer konstanten Querschnittsfl¨ache dV als A dx geschrieben worden. Die Integration von (262) f¨ uhrt auf: 1 Π = AE 2



uj − ui l

2 l − Fi ui − Fj uj

(263)

, B  T dV   geschrieAllgemein wird Π = 12  uT V E B u− uT F als 12  uT K u− uT F  ben. Dabei stellt sich der Vektor B als Dehnungs-Verschiebungsvektor dar. Das B  T ist ein dyadisches Produkt, das also tensorielle Eigenschaften beProdukt B sitzt. Damit l¨ aßt sich dieses Produkt durch Transformation in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben. 1

104

5. Stabelemente

Die Variation des voranstehenden Funktionals Π = Π(ui , uj ) kann geschrieben werden als (s. (69)):

δΠ =

∂Π ∂Π ∂Π δu δui + δuj = ∂ui ∂uj ∂u

(264)

Die Bedingung f¨ ur die Stationarit¨ at2 δΠ = 0 auf (263) angewendet, f¨ uhrt zu folgenden Gleichungen: ∂Π uj − ui − Fi = 0 = −AE ∂ui l ∂Π uj − ui − Fj = 0 = AE ∂uj l

(265)

Umformungen von (265) f¨ uhren zu: 1 AE (ui − uj ) = Fi l 1 AE (−ui + uj ) = Fj l

(266) (267)

Gleichung (266) und (267) lassen sich in Matrizenform schreiben: ⎡

AE AE − ⎢ l l ⎢ ⎣ AE AE − l l   Elementsteifigkeitsmatrix K

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

⎤ u i ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ uj   

 Verformungsvektor  u

⎤ F i ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Fj    ⎡

=

(268)

Belastungs vektor F

In Kurzform ergibt sich: K u = F

(269)

Gleichung (269) stellt die Grundbeziehung der FEM dar. Sie verkn¨ upft die Knotenverformungen u mit den Knotenkr¨ aften F und beschreibt das Gleichgewicht im Element. Die Elemente der Matrix K haben die Dimension einer Steifigkeit. Daher bezeichnet man sie als Steifigkeitsmatrix. Das eindimensionale, zweiknotige Stabelement l¨aßt sich auch als Feder interpretieren, wie es in Bild 5.6 dargestellt ist. Es wird die rechte Seite der Feder 2

Der station¨ are Wert ist gleichzeitig ein Minimum, da ein quadratisches Funktional vorliegt.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

105

Bild 5.6. Interpretation des eindimensionalen Stabelementes als Feder

festgehalten. Das entspricht dem Fall, daß die Verschiebung uj des Knotens j zu Null gesetzt wird. Bringt man auf den Knoten i eine Einheitsverschiebung alt man aus (266), (267): ui = 1 auf, so erh¨ AE 1 = Fi l AE 1 = Fj − l

(270) (271)

Addiert man beide Gleichungen, so folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung des Elementes:

Fi + Fj = 0

(272)

Fi ist die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Einheitsverschiebung uhren zu k¨ onnen. Fj ist die Reaktionskraft, die durch das Auflager ui = 1 ausf¨ hervorgerufen wird. 5.1.6 Beispiel zum eindimensionalen Stab

Bild 5.7.

Beispiel zum eindimensionalen

Stab

In der oberen H¨ alfte von Bild 5.7 ist ein Stab dargestellt. Er weist bei der halben L¨ ange einen Absatz auf. Die Querschnitte des Stabes sind kreisf¨ormig und haben die Werte A1 und A2 . Dem ersten Abschnitt ist ein E-Modul E1 und dem zweiten ein E-Modul E2 zugeordnet. Am linken Ende ist der Stab fest eingespannt. Die Belastung besteht aus zwei Kr¨aften. Die Kraft F2 greift ur diesen Stab sollen unter der am Absatz und F3 am rechten Ende an. F¨ gegebenen Belastung die Verformungen, Schnittgr¨oßen und die Auflagerkraft berechnet werden.

106

5. Stabelemente

Einteilung in Elemente

Es wird der Stab, wie in der unteren H¨ alfte von Bild 5.7 zu erkennen ist, in zwei finite Elemente eingeteilt. Es m¨ ussen mindestens zwei Elemente sein, da zum einen die Querschnittsfl¨ ache im Element konstant sein muß (s. Integration von (262)) und zum anderen die Kraft F2 in einem Knoten angreifen muß. Die Knotennummern sind durch einen Kasten und die Elementnummern durch einen Kreis umrandet. Elementknotenzuordnung

Aus der Einteilung des Stabes in zwei Elemente ergibt sich die Elementknotenzuordnung, wie sie in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt ist. Tabelle 5.1. Elementknotenzuordnung, Geometriedaten und E-Module der Elemente

Elementnr.

Anfangsknoten

Endknoten

Fl¨ ache

E-Modul

L¨ ange

1

1

2

A1

E1

l1

2

2

3

A2

E2

l2

Elementsteifigkeitsmatrizen

F¨ ur die beiden Elemente werden die Steifigkeitsbeziehungen nach (268) aufgestellt. Steifigkeitsbeziehung f¨ ur Element 1 (k1 = A1 E1 /l1 ): ⎡ ⎣

k1

−k1

−k1

k1

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u1

⎡

⎦=⎣

1

F1

⎤ ⎦

(273)

1

u2

F2

Ausmultiplizieren von (273) f¨ uhrt auf: k1 u1 − k1 u2 = 1F1

(274)

−k1 u1 + k1 u2 = F2

(275)

1

Steifigkeitsbeziehung f¨ ur Element 2 (k2 = A2 E2 /l2 ): ⎡ ⎣

k2

−k2

−k2

k2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2 u3

k2 u2 − k2 u3 = 2F2

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

(276)

2

F3

(277)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

107

−k2 u2 + k2 u3 = 2F3

(278)

Die Indizes und Superskripte haben folgende Bedeutung: i

Fj - Schnittkraft am Knoten j angreifend und zum Element i geh¨orend Fj - Auflagerreaktion am Knoten j F2 , F3 - ¨ außere Kr¨ afte an den Knoten 2 und 3 angreifend R

Die Beziehungen (274) bis (278) beinhalten vier Gleichungen mit drei unbekannten Verformungen (u1 , u2 , u3 ) und vier unbekannten Kr¨aften (1F1 , 1F2 , 2 F2 , 2F3 ). Letztere sind in Bild 5.8 dargestellt.

Bild 5.8. Schnittkr¨ afte und a afte der St¨ abe ¨ußere Kr¨

Zur eindeutigen Bestimmung der sieben Unbekannten fehlen also noch drei Beziehungen. Diese werden aus den Randbedingungen gewonnen: Nat¨ urliche Randbedingung, auch Kraftrandbedingung genannt. Sie fordert an jedem Knoten k das Gleichgewicht zwischen den ¨außeren und
j afte sind dabei ¨außere inneren Kr¨ aften (Fk = j Fk ). Die Auflagerkr¨ Kr¨ afte. F¨ ur Knoten 1 gilt:

R

F1 = 1F1 1

(279) 2

F¨ ur Knoten 2 gilt: F2 = F2 + F2 2

F¨ ur Knoten 3 gilt: F3 = F3

(280) (281)

Die Auflagerkraft RF1 ist eine weitere, neue Unbekannte, so daß jetzt insgesamt acht Unbekannte existieren. Wesentliche Randbedingung, auch geometrische Randbedingung genannt: Auflager am Knoten 1: u1 = 0

(282)

Damit stehen jetzt den acht Unbekannten acht Gleichungen gegen¨ uber, so daß das Problem eindeutig zu l¨ osen ist. Die Addition von (275) und (277) f¨ uhrt zu: −k1 u1 + (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = 1F2 + 2F2

(283)

108

5. Stabelemente

Die wesentliche Randbedingung f¨ ur Knoten 1 (s. (282)) und die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 2 (s. (280)) in voranstehende Gleichung eingesetzt: (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = F2

(284)

Die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 3 (s. (281)) in (278) eingesetzt: −k2 u2 + k2 u3 = F3

(285)

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gleichungen (284) und (285) lassen sich in folgende Matrixform u uh¨berf¨ ren: ⎡ ⎣ 

k1 + k2

−k2

−k2

k2



⎤ ⎦

Gesamtsteifigkeitsmatrix K g



⎡ ⎣

⎤ u2

⎦ u3   

Verformungsvektor  u

⎤

⎡ =

F2

⎦ F3   

⎣

(286)

Belastungs vektor F

Oder in Kurzform: K g u = F

(287)

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g setzt sich aus Anteilen der beiden Elementsteifigkeitsmatrizen zusammen. Sie ist wie bei allen linearen Problemen innerhalb der FEM symmetrisch und positiv definit [27, 6]. Die unbekannten Knotenverformungen stehen im Vektor u. Auf der rechten Seite treten die außeren Knotenkr¨ afte F auf. ¨ Knotenverformungen

F¨ ur die Verformungsberechnung werden folgende Werte angenommen:

k1 =

A1 E1 A2 E2 = 2 ; k2 = = 1 ; F2 = 2 ; F3 = 1 l1 l2

Daraus ergibt sich nach (286) folgendes, lineares Gleichungssystem:

(288)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

⎡ ⎣

3

−1

−1

1

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

u2

⎡

⎦=⎣

u3

109

⎤ 2

⎦

(289)

1

Daraus lassen sich die Knotenverformungen berechnen zu:

u2 =

3 5 ; u3 = 2 2

(290)

Grafische L¨ osung des Problems

Ausgehend von (262) l¨ aßt sich die Form¨ anderungsarbeit ΠF f¨ ur Element 1 (ΠF1 ) und Element 2 (ΠF2 ) schreiben als:

ΠF1 =

1 A1 E1 2 l1

ΠF2 =

1 A2 E2 2 l2

 

u2 − u1 l1 u3 − u2 l2

2 l12 =

1 k1 u22 2

l22 =

1 k2 (u3 − u2 )2 2

2

(291)

Das Potential Πa der ¨ außeren Kr¨ afte F2 , F3 stellt sich wie folgt dar: Πa = −u2 F2 − u3 F3

(292)

Damit erh¨ alt man das Gesamtpotential Π = ΠF1 + ΠF2 + Πa mit den Daten aus (288) zu: 1 1 k1 u22 + k2 (u3 − u2 )2 − u2 F2 − u3 F3 2 2 1 3 1 = u22 + (u3 − u2 )2 − 2 u2 − u3 = u22 − 2u2 − u2 u3 + u23 − u3 2 2 2

Π=

(293) Dieses quadratische Gesamtpotential stellt sich, wie in der linken H¨alfte von Bild 5.9 dargestellt, als Paraboloid dar. In der rechten Bildh¨alfte sind hierzu ¨ die Aquipotentiallinien angef¨ uhrt, also Linien gleichen Potentials. Der Punkt M markiert den station¨ aren1 Wert und damit das Minimum des Potentials. uhrt auf die Das Lot von diesem Punkt auf die u2 -Achse bzw. u3 -Achse f¨ gesuchten Verformungen mit u2 = 1, 5 und u3 = 2, 5. 1

Aus der quadratischen Natur des Potentials folgt, daß der station¨ are Wert des Potentials auch gleichzeitig das Minimum des Potentials darstellt.

110

5. Stabelemente

Bild 5.9. Das Gesamtpotential der beiden St¨ abe als Fl¨ ache und Linien gleichen Potentials

dargestellt

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich nach (273) aus dem Produkt Einzelsteifigkeitsmatrix × Elementverformungsvektor. Element 1: ⎡ K 1u = ⎣

1

2

−2

−2

2

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

u1

⎡

⎦=⎣

u2

2

−2

−2

2

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

0

⎡

⎦=⎣

3 2

−3

⎤

⎡

⎦=⎣

⎤

1

F1

⎦

1

3

F2

(294) Nach (279) (RF1 = 1F1 ), stellt die Schnittkraft 1F1 auch die Reaktionskraft am Auflager dar. Element 2: ⎡ K 2 u = ⎣

2

1

−1

−1

1

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

u2

⎡

⎦=⎣

u3

1

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

3 2 5 2

⎤

⎡

⎦=⎣

−1 1

⎤

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

2

F3

(295) Die Kontrolle des Gleichgewichtes am Knoten 2 (¨außere Kr¨afte = innere Kr¨ afte) f¨ uhrt zu: F2 − (1F2 + 2F2 ) = 2 − (3 − 1) = 0

(296)

Das Gleichgewicht ist damit erf¨ ullt. Auflagerreaktionen

Bei der Erarbeitung der Gesamtsteifigkeitsmatrix K g nach (286) ist kein Gebrauch von (274) gemacht worden. Sie ist nicht u ussig, sondern dient zur ¨ berfl¨

5.1

Das eindimensionale Stabelement

111

Berechnung der Auflagerreaktion RF1 . Einsetzen der geometrischen Randbedingung und der Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur Knoten 1 in (274) f¨ uhrt zu: −k1 u2 = −2 ·

3 = −3 = RF1 2

(297)

Dieses Ergebnis kann man auch unmittelbar aus den Schnittgr¨oßen herleiten, wie schon bei der Behandlung der Schnittgr¨ oßen nach (294) dargelegt wurde. 5.1.7 Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des behandelten Beispiels kann noch in anderer Form hergeleitet werden. Dazu wird zun¨ achst ein Vektor u gebildet, der alle Freiheitsgrade des Beispiels erfaßt: ⎡

⎤ u1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u = ⎢ u2 ⎥ ⎣ ⎦ u3

(298)

Die Anzahl Freiheitsgrade ergibt sich aus der Anzahl Knoten × Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Das eindimensionale Stabelement hat einen Freiheitsgrad pro Knoten. Die Knotenkr¨ afte der beiden Elemente werden ebenfalls als Vektoren geschrieben. Ihre Dimension entspricht der Anzahl Freiheitsgrade der Struktur. Die nat¨ urliche Randbedingung (Kraftrandbedingung) l¨aßt sich jetzt schreiben als: ⎡

1

F1

⎤

⎤

⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0     1 F

0

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F2 ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣ 2 F3    2 F 2

R

⎤

F1

⎥ ⎥ F2 ⎥ ⎦ F3   F

(299)

Daraus ergibt sich der Gesamtbelastungsvektor F . Er enth¨alt nur noch ¨außere Lasten. F¨ uhrt man die Addition elementweise durch, so erh¨alt man die Bedingungen, wie sie von (279) bis (281) auf der S. 107 formuliert wurden. Die Einzelsteifigkeitsmatrizen werden in quadratische Matrizen der Gr¨oße 3 × 3 geschrieben. F¨ uhrt man die Vektoren aus (299) in die Beziehung (273) und (276) ein, so erh¨ alt man:

112

5. Stabelemente

⎡

1

⎤

⎤

⎡

F1

0

⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ F2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 2 0 F3 ⎛ ⎜⎡ ⎜ k1 ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎜⎢ −k1 ⎜⎣ ⎜ ⎜ 0 ⎝ 

−k1 k1 0

⎤ 0

(300) ⎞ ⎡ 0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥+⎢ 0 ⎦ ⎣ 0 0 

k2 −k2

⎤⎟ ⎡ ⎟ ⎟ ⎥⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎢ −k2 ⎥⎟ ⎢ ⎦⎟ ⎣ ⎟ ⎟ k2 ⎠   0

Gesamtsteifigkeitsmatrix K g

⎤ u1

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣ u3    u

R

⎤

F1

⎥ ⎥ F2 ⎥ (301) ⎦ F3   F

¨ Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g ergibt sich also aus der additiven Uberlagerung der Steifigkeitsmatrizen der Elemente: ⎡

k1 

⎢ ⎢ ⎢ −k1  ⎣ 0

⎤⎡

−k1  k1  + k2  −k2 

⎤ u1

0

⎡

R

F1

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −k2  ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦⎣ ⎦ ⎣ k2  u3 F3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(302)

Die Anteile der einzelnen Elemente sind gekennzeichnet. Die Beitr¨age von Element 1 . . . und Element 2 . . . sind jeweils durch Klammern eingefaßt. Die Abk¨ urzungen in der voranstehenden Matrix haben folgende Bedeutung: ki = Ai Ei /li ; i = 1, 2. Gleichung (302) weist die drei Unbekannten u2 , u3 und RF1 auf. Zur Bestimugt die Untermatrix von K, die man durch Streichen1 mung von u2 , u3 gen¨ der ersten Zeile und Spalte von K g gewinnt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

A1 E1 A2 E2 + l1 l2 A2 E2 − l2

A2 E2 − l2 A2 E2 l2

⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ u2 F 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦=⎣ ⎦ ⎦ u3 F3

(303)

Auflagerreaktionen aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Auflagerreaktionen lassen sich, wenn die Verformungen bekannt sind, aus der Gesamtsteifigkeitsmatrix berechnen. Im vorliegenden Fall tritt die 1

Das Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten l¨ aßt sich in dieser Form nur bei homogenen Randbedingungen, also Randbedingungen bei denen der Wert der Randbedingung Null ist, durchf¨ uhren.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

113

gesuchte Gr¨ oße RF1 in (302) auf der rechten Seite als erstes Element auf. Sie kann berechnet werden, indem die erste Zeile der Matrix mit dem bekannten Verformungsvektor multipliziert wird. Das f¨ uhrt zu: ⎡

⎤ 0

 2

⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ R 0 ⎢ 2 ⎥ = F1 = −3 ⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦ 2

−2

(304)

Dieses Ergebnis ist schon bei den Schnittgr¨ oßen in (294) erzielt worden. 5.1.8 Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein)

Losgel¨ ost von dem Stabbeispiel l¨ aßt sich die Bildung der Gesamtsteifigkeitsultiger Form an folgendem, konstruierten Beispiel matrix K g in allgemeing¨ studieren. Die Struktur soll aus n Knoten bestehen und das Element m Knoten besitzen. Jeder Knoten hat p Freiheitsgrade. Ohne Einschr¨ankung der Allgemeing¨ ultigkeit habe im folgenden Beispiel ein Element m = 3 Knoten. Aus der Gesamtstruktur werden drei Elemente a, b, c herausgegriffen. F¨ ur diese Elemente wird die Elementknotenzuordnung von Tab. 5.2 angenommen. Tabelle 5.2. Elementknotenzuordnung

Element Knoten 1 ··· a b c ···

Knoten 2

Knoten 3

··· j j h ···

··· k k j ···

··· i h k ···

Die Elementsteifigkeitsmatrizen werden in Untermatrizen (Bl¨ocke) unterteilt. Das Element b besitzt dann z.B. folgende Aufteilung:

⎡

h b

khh

⎢ K =⎢b ⎢ kjh ⎣ b kkh

j b

khj

b

b

kjj

b

kkj

k

⎤ khk h ⎥ ⎥ b kjk ⎥j ⎦ b kkk k

b

(305)

114

5. Stabelemente

Die Zeilen und Spalten der Matrix bK sind mit den Knotennummern des Elementes durchnumeriert. Die Untermatrizen bkαβ haben (p × p)-Elemente, entsprechend der Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Der Zwischenschritt, die Matrix bK als eine (n × n)-Matrix zu schreiben, wird u ¨bergangen. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g besteht aus (n × n)-Bl¨ocken bzw. ((n × p)×(n × p))-Zeilen und Spalten. Die nachfolgende Durchnumerierung der Zeilen und Spalten bezieht sich also auf die Bl¨ ocke.

⎡

1

···

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

h

i

j

b

b

b

b

b

b

b

b

b

khh

khj

kjh

n

kjk

kkj

⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦

khk

kjj

kkh

···

k

kkk

(306)

n

Die Bl¨ ocke bkαβ des Elementes b werden in die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g eingebracht, indem entsprechend der Indizes α, β der Block auf die Zeile α und die Spalte β aufaddiert wird, wobei K anf¨anglich mit Nullen vorbesetzt ist. So wird der Block bkjk auf die Zeile j und die Spalte k aufaddiert. Das Ergebnis der Aufaddition aller Bl¨ ocke der Elemente a, b, c ist in der folgenden Matrix K g wiedergegeben.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

···

h

i

j

b

khh + ckhh

b

khj + ckhj

a c

kjh + kjh

b

kkh + ckkh

a

a

a

kki

khk + ckhk a

kij

a

kji

b

a

kii

b

k

b

kik

c

kjj + kjj + kjj

kkj + bkkj + ckkj

a

kjk + bkjk + ckjk

a

kkk + bkkk + ckkk

···

n

⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦ n

(307)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

5.1.9

115

¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Stab

Stabbeispiel I

5.1

Bild 5.10. Eindimensionaler Stab mit verschiebbaren Auflager

Die beiden St¨abe in Bild 5.10 weisen die Steifigkeiten k1 und k2 auf und werden durch eine Kraft F belastet. Das linke Auflager ist um u ¯ verschoben. F¨ ur dieses System sind die Verschiebungen und die Auflagerkr¨afte zu berechnen. Die Steifigkeit k2 ist so auszulegen, daß die Auflagerkraft im linken Lager zu Null wird. Stabbeispiel II

5.2

Bild 5.11. Eindimensionaler Stab unter Eigengewicht

In Bild 5.11 ist ein Stab dargestellt, der eine L¨ange l, eine Querschnittsfl¨ache A, einen E-Modul E und eine Dichte ρ aufweist. Dieser wird durch eine konstante Beschleunigung g belastet. Die aus der Beschleunigung g entstehende Volumenkraft ist in Knotenkr¨afte umzurechnen. Dazu ist die entsprechende Vorschrift f¨ ur das zwei- und dreiknotige Element abzuleiten. Weiterhin sollen f¨ ur ein zwei- und dreiknotiges Element die Verformungen und Spannungen berechnet werden. F¨ ur 2, 4 und 8 Elemente sind Maximalspannungen mittels “ FEM CAS“ (s. S. 343) zu ermitteln und in einem doppelt logarithmischen System in Abh¨angigkeit von der Elementanzahl darzustellen. 5.1.10 Variable Querschnittsfl¨ ache des Stabelementes

Es wird die Annahme, daß die Querschnittsfl¨ache im Element konstant ist, fallengelassen. Mit dV = A(x) dx ergibt sich nach (262) f¨ ur die Steifigkeitsmatrix K: 



l

B  T A(x) dx = E B B T B

K =E 0

l

A(x) dx 0

(308)

F

116

5. Stabelemente

¯ f¨ Tabelle 5.3. Querschnittswerte A ur Stabelemente, die einen variablen Querschnittsverlauf u ange aufweisen ¨ber die Elementl¨

Form Geometrie

A¯

Beschreibung A(x)

linear

⎡ T ⎣ N

⎤ Ai

1 (Ai + Aj ) 2

⎦

Aj



Kreis



Rechteck

π

ri

rj



 ti

tj

⎡ N T ⎣ N

⎡ N T ⎣ N

⎤

   ⎦ 1 Ai 1 + Aj + Aj 3 Ai Ai rj ri

⎤ hi

  1 Aj tj h j Ai 2+ + +2 6 ti h i Ai

⎦

hj

¯ wobei A¯ eine gemittelte QuerDas Integral f¨ uhrt auf einen Ausdruck l A, schnittsfl¨ ache darstellt, die statt A in (268) auftritt. Im folgenden werden ¨ zwei F¨ alle unterschieden, n¨ amlich eine lineare Anderung der QuerschnittsT  T  T T   fl¨ ache A(x) = N A und eine quadratische A(x) = t N N h. N ist die N  T hat die Form: lineare Formfunktion nach (259). Die Dyade N ⎡ N T = ⎣ N

2

ξ (1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

2

(1 − ξ)

⎤ ⎦

(309)

(1 − ξ)

Die lineare Fl¨ achen¨ anderung f¨ uhrt auf: 



l

 T dξ A =l N

A(x) dx = l 0

$

1

0

1 2

1 2

%

⎤

⎡ ⎣

Ai

⎦ = l 1 (Ai + Aj ) = l A¯ 2 Aj (310)

Bei der quadratischen Fl¨ achen¨ anderung ergibt sich:

5.1

Das eindimensionale Stabelement





l

⎡ 1

A(x) dx = t T l 0

0

=

117

⎤ 2

N  T dξ h = l t T 1 ⎣ N 6 1

1

⎦ h

2

l (2 ti hi + tj hi + ti hj + 2 tj hj ) 6

(311)

In Tab. 5.3 sind basierend auf (310) und (311) drei F¨alle angef¨ uhrt. 5.1.11 Eindimensionales Stabelement mit n Knoten

Im folgenden soll ein eindimensionales Stabelement betrachtet werden, das eine beliebige Anzahl Knoten (n ≥ 2) aufweist. Dazu werden die zuvor f¨ ur 1 das zweiknotige Element hergeleiteten Gleichungen verallgemeinert . Ansatzfunktion

Als Verschiebungsansatz nach (257) dient f¨ ur ein n knotiges Element ein vollst¨ andiges Polynom (n − 1)-ten Grades (ξ = x/l): u = a0 + a1 ξ + . . . + an−1 ξ n−1

(312)

Durch Einf¨ uhren der Vektoren: . xT = 1 , ξ , . . . , ξ n−1 ; aT = [a0 , a1 , . . . , an−1 ]

(313)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: u = xT a = aT x

(314)

Interpolationsbedingungen

Analog zu (258) werden die unbekannten Koeffizienten ai in (312) durch die uckt. F¨ ur einen beliebigen Knotenverschiebungen ui ; i = 1 , . . . , n ausgedr¨ Knoten i lautet die Bedingung:

u

  i−1 ξ= = ui n−1

; i = 1, ... , n

(315)

Einsetzen von (312) in (315): 1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind “Stab 1D“ realisiert (s. Bild 12.1 und S. 351).

im

Computeralgebraprogramm

118

5. Stabelemente

i−1 + . . . + an−1 a0 + a1 n−1



i−1 n−1

n−1 = ui

(316)

Oder mit Hilfe des Vektors a aus (313): ⎡  1

i−1 n−1

 ...

i−1 n−1

n−1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ a0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ui ⎥ ⎥ ⎦

a1 .. .

(317)

an−1 F¨ ur alle Knoten n angesetzt, f¨ uhrt dies zu n Gleichungen, die wie folgt aussehen: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

1

.. .

0 1 n−1 .. . i−1 n−1 .. .

1

1

1 .. . 1

... ... .. . ... .. . ...  A

⎤ ⎡ 0 ⎥ ! "n−1 ⎥ ⎢ a0 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ a n−1 1 ⎥⎢ ⎥⎢ . .. ⎥⎢ . ⎥⎢ . . ! "n−1 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ i−1 ai−1 ⎥⎢ n−1 ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ... .. ⎥⎣ ⎥ . ⎦ a n−1 1    a

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 

⎤ u1 u2 .. . ui .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(318)

un    u

Aus dieser Beziehung A a = u lassen sich die Koeffizienten a bestimmen. Formfunktionen

 des n-knotigen Stabelementes aus (314) und (318) Die Formfunktionen N lassen sich nach (259) verallgemeinern:  T u u = xT a = xT A−1 u = N

(319)

 ergeben sich also aus dem Produkt der inversen KoDie Formfunktionen N −1 effizientenmatrix A und dem Vektor x.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

119

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Analog zu (260) lassen sich mit Hilfe von (319) die Dehnungen des Stabes beschreiben als:   )T u = (x  )T A−1 u  T u = (N ε=B

(320)

Die Ableitungen des Vektors x  stellen sich dar als: . 1. d 1 , ξ , . . . , ξ n−1 = 0 , 1 , . . . , (n − 1) ξ n−2 dx l

(x  ) = T

(321)

Steifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix des n-knotigen Stabelementes l¨aßt sich (s. (262)) schreiben als: 



V



(A−1 )T x  (x  )T A−1 dV (322)

  (N   )T dV = E N

B  T dV = E B

K=E

V

V

5.1.12 Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten

In (323) bzw. (324) sind f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Stabelement die Formfunktionen dargestellt:  x 1 − 3 ξ + 2 ξ 2 4 ξ − 4 ξ 2 −ξ + 2 ξ 2 ; ξ = l 1 2 3 2 3 = 2 − 11 ξ + 18 ξ − 9 ξ 18 ξ − 45 ξ + 27 ξ 2 

 3T = N  4T N



Formfunktionen N1 , N2 , N3

−9 ξ + 36 ξ 2 − 27 ξ 3

1

2 ξ − 9 ξ2 + 9 ξ3

N3

0, 8 0, 6 0, 4

N2

N1

0, 2 0 −0, 1 0

1 4

1 2

3 4

1

ξ = x/l Bild 5.12. Die Formfunktionen des drei- und vierknotigen Stabelementes

(323)

(324)

G

120

5. Stabelemente

In Bild 5.12 sind diese Formfunktionen grafisch ausgewertet. Die Sinnf¨alligkeit der alternativen Bezeichnungen der Formfunktionen als Einheitsverschiebungszust¨ ande tritt deutlich zu Tage. Denn am Knoten i hat die Formfunktion Ni den Wert 1, an allen anderen Knoten verschwindet sie. Allgemein formuliert lautet diese Bedingung: ⎧ i−1 ⎪ (Knoten i) ⎨1 an der Stelle: ξ = n −1 Ni = ⎪ ⎩0 an der Stelle: ξ = j − 1 ; j = 1, . . . , n mit j = i n−1

(325)

In (326) sind die Steifigkeitsmatrizen f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Element angef¨ uhrt. Es tritt wie beim zweiknotigen Element der Faktor AE/l vor der Matrix auf. Dieses ¨ andert sich, wenn der Querschnitt im Element nicht mehr konstant ist. ⎡ 7

K=

AE 3l

⎢ ⎢ ⎢ −8 ⎣ 1

−8 16 −8

⎤

⎡

⎢ 148 ⎢ ⎥ AE ⎢ ⎢ −189 ⎥ ⎢ −8 ⎥ ; K = ⎦ 40 l ⎢ 54 ⎢ ⎣ 7 −13 1

⎤

−189

54

432

−297

−297

432

54

−189

−13 ⎥ ⎥ 54 ⎥ ⎥ ⎥ −189 ⎥ ⎥ ⎦ 148 (326)

5.2

5.2 Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 5.2.1 Das zweidimensionale Stabelement

In Bild 5.13 ist eine allgemeine Lage des Stabes in der (x, y)-Ebene dargestellt. Es sind zwei Koordinatensysteme definiert. Ein lokales Elementkoordinatensystem x ¯, y¯, z¯, dessen Ursprung mit dem Anfangsknoten i zusammenf¨allt. Die x¯-Achse zeigt vom Anfangsknoten i zum Endknoten j. Die z¯-Achse hat dieselbe Richtung wie die z-Achse, die aus der Zeichenebene heraus kommt. Damit liegt auch die y¯-Achse fest. Die Orientierung des Stabelementes in der (x, y)-Ebene wird u ¨ ber den Winkel ϕ bestimmt. Es ist der Winkel, der von der x- und x¯-Achse eingeschlossen wird. Er ist positiv, wenn er um die positive z-Achse dreht. Das Element weist eine Querschnittsfl¨ ache A sowie einen Elastizit¨atsmodul E auf und hat eine L¨ ange l. An seinen beiden Enden liegen die Knoten i und j. Jeder Knoten hat zwei Freiheitsgrade, n¨ amlich die Verschiebungen u in x-Richtung und v in y-

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

121

Bild 5.13. Koordinatensysteme ((x, y, z)-globales System; (¯ x, y¯, z¯)-lokales System) und Freiheitsgrade des zweidimensionalen Stabes

  Richtung. Der Vektor uTi = ui vi zeigt in L¨angsrichtung des Elementes. Der Betrag von |ui | entspricht der Verschiebung u ¯i . Sie ist die Verschiebung des eindimensionalen Stabelementes, beschrieben im lokalen System (¯ x, y¯). Die Beziehung (268) des eindimensionalen Stabelementes wird in lokalen Koordinaten betrachtet: ¯ u¯ = F¯ K

(327)

Durch eine Transformation in das globale System (s. Bild 5.13) l¨aßt sich die Steifigkeitsmatrix K des zweidimensionalen Stabes gewinnen. Dazu wird der   Verformungsvektor u ¯Ti = u¯i 0 des Anfangsknotens i des eindimensionalen Stabes u ¨ ber eine Hintransformation nach (45) mit den Verschiebungen ui und vi des zweidimensionalen Stabes verkn¨ upft: ⎡ ⎣

⎤ u ¯i 0

⎡

⎦=⎣

⎤

⎤⎡ cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦⎣

ui

⎦ = T ui

(328)

vi

Aus (328) erh¨ alt man f¨ ur u ¯i : u ¯i = ui cos ϕ + vi sin ϕ

(329)

F¨ ur den Endknoten j ergibt sich in analoger Form:

u ¯j = uj cos ϕ + vj sin ϕ Diese beiden Gleichungen lassen sich in Matrixform zusammenfassen:

(330)

122

5. Stabelemente

⎡

⎡ ⎣

⎤ u¯i

⎡

⎦=⎣

u ¯j    u ¯



cos ϕ

sin ϕ

0

0

0

cos ϕ

 Tˆ

⎤ u i ⎥ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ = Tˆ u ⎢ sin ϕ ⎢ uj ⎥ ⎥ ⎦ ⎣ vj    u

(331)

In gleicher Weise lassen sich die Kr¨ afte transformieren: F¯ = Tˆ F

(332)

Die Transformationsvorschriften nach (331) und (332) auf (327) angewendet, f¨ uhrt zu: ¯ Tˆ u = Tˆ F K

(333)

T Gleichung (333) wird von links mit Tˆ durchmultipliziert:

T ¯ Tˆ u = TˆT Tˆ F = F Tˆ K    K

(334)

T Tˆ ist eine orthogonale Matrix (s. Abschnitt 2.3.4), so daß Tˆ Tˆ = E gilt. T ¯ Tˆ aus (334) wird in zwei Schritten Die globale Steifigkeitsmatrix K = Tˆ K gebildet:

⎤⎡ ⎤ ⎡ cos ϕ sin ϕ 0 0 1 −1 AE ¯ Tˆ = ⎦⎣ ⎦ ⎣ K l −1 1 0 0 cos ϕ sin ϕ ⎡ ⎤ sin ϕ − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ AE ⎣ ⎦ = l − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ sin ϕ T ¯ Tˆ K = Tˆ K

(335)

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡

123

⎤

⎢ cos ϕ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ = ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

⎥⎡ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎣ cos ϕ ⎥ cos ϕ ⎥ ⎥ − cos ϕ ⎦ sin ϕ

sin ϕ

− cos ϕ

− sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

sin ϕ

⎤ ⎦

(336) Das Ergebnis des Matrizenproduktes aus (336) stellt die Steifigkeitsmatrix des zweiknotigen, zweidimensionalen Stabelementes im globalen Koordinatensystem dar: ⎡ cos2 ϕ

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ · cos ϕ K= ⎢ l ⎢ − cos2 ϕ ⎢ ⎣ − sin ϕ · cos ϕ

sin ϕ · cos ϕ

− cos2 ϕ

sin2 ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

cos2 ϕ

− sin2 ϕ

sin ϕ · cos ϕ

⎤ − sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎥ − sin2 ϕ ⎥ ⎥ sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 2 sin ϕ (337)

Der Winkel ϕ in (337) l¨ aßt sich wie folgt ausdr¨ ucken:

sin ϕ =

 yj − yi xj − xi 1 1 2 (338) = yji ; cos ϕ = = xji ; l = x2ji + yji l l l l

Damit stellt sich die Steifigkeitsmatrix alternativ dar als: ⎡ x2ij

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ xij yij K= 3 ⎢ l ⎢ −x2 ⎢ ij ⎣ −xij yij

xij yij

−x2ij

2 yij

−xij yij

−xij yij

x2ij

2 −yij

xij yij

⎤

−xij yij ⎥ ⎥ 2 ⎥ −yij ⎥ ⎥ xij yij ⎥ ⎥ ⎦ 2 yij

(339)

5.2.2 Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem

Das Bild 5.14 zeigt ein Stabwerk, das aus f¨ unf St¨aben besteht. Die Geometrie sowie die Randbedingungen sind zweifach symmetrisch, die Belastung hingegen ist nur einfach symmetrisch. F¨ ur dieses Problem sind unter Ausnutzung der Symmetrie die Verformungen an allen Knoten, die Schnittkr¨afte in den St¨ aben und die Auflagerreaktionen gesucht.

124

5. Stabelemente

Bild 5.14. Beispiel zum zweidimensionalen Stab

(Fa = 1, Fb = 2, E = 1, A = 2)

Elementeinteilung

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung und geometrischer Randbedingungen symmetrisch zur x-Achse. Daher wird in der Rechnung, wie in Bild 5.15 ausgef¨ uhrt, nur der obere Teil der Stabstruktur betrachtet.

Bild 5.15. Ausnutzung der Symmetrie und Elementeinteilung

Dieser Teil wird in drei Stabelemente eingeteilt. Die Ausnutzung der Symmetrie hat zur Folge, daß dem Element 2 nur die halbe Querschnittsfl¨ache zugeordnet wird und in den Knoten 2 und 3 Fa /2 bzw. Fb /2 im FE-Modell angesetzt wird. Damit die Verformungen symmetrisch sind, werden zwei weitere Randbedingungen an den Knoten 2 und 3 eingef¨ uhrt. Tabelle 5.4. Elementknotenzuordnung

Element

Knoten i

Knoten j

ϕ

1

1

2

−45◦

2 3

2 3

3 4

◦

sin ϕ √ - 12 2

0

◦

45

1 2

0 √

2

cos ϕ √ 1 2 2

A

1 √

1

1 2

2

2 2

Die Tab. 5.4 enth¨ alt die Elementknotenzuordnung, die Orientierungswinkel ϕ der St¨ abe sowie die Querschnittsfl¨ achen A der Elemente. Den Winkel ϕ gewinnt man, indem man die x-Achse durch Drehung um den Winkel ϕ in die Richtung der lokalen x¯-Achse des Elementes zeigen l¨aßt. Die Richtung der lokalen x¯-Achse ist in Bild 5.15 jeweils durch einen Pfeil angedeutet. Der Winkel ϕ ist positiv bei Drehung um die positive z-Achse, die aus der Zeichenebene herauszeigt.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

125

Steifigkeitsmatrizen

Die Steifigkeitsmatrizen werden nach (337) auf der S. 123 aufgestellt:

⎡

u1

v1

u2

1

−1

−1

1

1

1

1

1

−1

−1

1

u3

v3

u4

v4

1

1

−1

⎢ ⎢ −1 K1 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

⎡

⎢ ⎢ 1 K3 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

1

−1

−1

1

−1

−1

1

u2 ⎤ ⎡ 1 1 u1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥v1 ; K = ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ −1 −1 ⎥ u ⎦ 2 ⎣ v2

v2

0

v2

u3

v3

0

−1

0

0

0

0

1

0

0

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦u3 0

v3

⎤ −1 u3 ⎥ ⎥ −1 ⎥v3 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦u4 1

(340)

v4

Die Zeilen und Spalten sind mit den Freiheitsgraden der Knoten der Elemente durchnumeriert. Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ Bei der additiven Uberlagerung der drei Elementsteifigkeitsmatrizen zur Gesamtsteifigkeitsmatrix werden die Anteile der einzelnen Elemente durch Klammersymbole gekennzeichnet: Element 1: · · ·; Element 2: · · ·; Element 3: · · ·. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix wird direkt erstellt, so wie es auf der S. 111 und folgende beschrieben ist: ⎡

1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

−1

−1

1

0

0

0

1

1

−1

0

0

0

1

1 + 1

−1 + 0

−1

0

0

−1

−1 + 0

1 + 0

0

0

0

0

−1

0

1 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

0 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

−1

−1

1

0

0

0

−1

−1

1

0

⎤⎡

⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎦⎣ 1

u1

⎤

⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎥ ⎥ u3 ⎥ ⎥ ⎥ v3 ⎥ ⎥ u4 ⎥ ⎦ v4

126

5. Stabelemente

=

⎡

R

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ Fy1 ⎥ ⎥ ⎥ Fa ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy2 ⎥ ⎥ ⎥ Fb ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy3 ⎥ ⎥ R Fx4 ⎥ ⎦

Fx1

⎤

R

(341)

R

Fy4

Geometrische (wesentliche) Randbedingungen und Verformungen

In (341) treten acht Unbekannte auf, n¨ amlich die beiden Verschiebungen u2 und u3 sowie die sechs Auflagerreaktionen RFxi , RFyi auf der rechten Seite des Gleichungssystems. An den Knoten 1 und 4 sind die Auflager zu unden k¨onnen die finden, so daß gilt: u1 = v1 = u4 = v4 = 0. Aus Symmetriegr¨ Knoten 2 und 3 keine vertikalen Verschiebungen ausf¨ uhren. Somit kann man schreiben: v2 = v3 = 0. Als zu bestimmende Gr¨oßen bleiben damit u2 und u3 u ¨ brig. Das zur Ermittlung dieser Verschiebungen geh¨orige Gleichungssystem erh¨ alt man, indem in dem voranstehenden Gleichungssystem die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 6, 7 und 8 gestrichen werden: ⎡ ⎣

2

−1

−1

2

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

u2

⎡

⎦=⎣

u3

1 2

⎤

⎦⇒⎣

1

⎤

⎡ u2

⎡

⎦=⎣

2 3

⎤

⎡

⎦=⎣

5 6

u3

⎤ 0, 667

⎦ (342)

0, 833

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt der Elementsteifigkeitsmatrix × Verformungsvektor des Elementes (K i i u = iF ): ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ K 1 1 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

⎤⎡

⎤

⎡

− 23

1 ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ −1 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎦⎣ ⎦ ⎣ 1 0 − 23

⎤

⎤

⎡ 1

⎥ ⎢ Fx1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1Fy 1 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ 1F ⎥ ⎢ x2 ⎦ ⎣ 1 Fy2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥= F ⎥ ⎥ ⎦

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

127

⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ 23 ⎥ ⎢ − 16 ⎥ ⎢ 2Fx2 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ Fy2 ⎥ 2 ⎥= F ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 2Fx3 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 0 0 0 0 0 Fy3 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 −1 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 3Fx3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 1 −1 −1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ Fy3 ⎥ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥= F ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 6 ⎥ ⎢ 3Fx4 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 −1 1 1 0 − 56 Fy4

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ K 2 2 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 3 K 3 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ −1

0

−1

(343) Auflagerreaktionen

Die Auflagerreaktionen lassen sich auf zweierlei Weise berechnen. Zum einen lassen sie sich mit Hilfe der Schnittgr¨ oßen aus der Kraftrandbedingung (nat¨ urliche Randbedingung) ermitteln. Diese besagt, daß die ¨außeren Kr¨afte mit den inneren Kr¨ aften (Schnittgr¨ oßen) im Gleichgewicht stehen (s. (279) bis (281)). Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und Element 3 erh¨alt man die Auflagerreaktionen f¨ ur Knoten 1 und 4: ⎡ ⎣

1

Fx1

⎤

⎡

⎦=⎣

− 23

⎤

⎡

⎦=⎣

2 3

1

Fy1

⎤ ⎡

R

Fx1

⎦; ⎣

R

⎤

3

Fx4

⎡

⎦=⎣

3

Fy1

Fy4

− 56 − 56

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fx4

⎤ ⎦

R

Fy4 (344)

Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und 2 erh¨alt man die Auflagerreaktion f¨ ur Knoten 2 und aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 2 und 3 erh¨alt man die Auflagerreaktion f¨ ur Knoten 3: ⎡ ⎣

1

Fy2 + 2Fy2

2

3

Fy3 + Fy3

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 + 0 0+

5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fy2

⎤ ⎦

(345)

R

Fy3

Zum anderen lassen sich die Auflagerreaktionen aus der Beziehung: K g u = F berechnen:

128

5. Stabelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤⎡

⎤

1

−1

−1

1

0

0

0

0

−1

1

1

−1

0

0

0

0 ⎥⎢ 0 ⎥

−1

1

2

−1

−1

0

0

0

1

−1

−1

1

0

0

0

0

0

0

−1

0

2

1

−1

−1

0

0

0

0

1

1

−1

−1

0

0

0

0

−1

−1

1

1

0

0

0

0

−1

−1

1

0

⎡

− 23

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 23 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 5 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 6 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 56 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 56 ⎦⎣ ⎦ ⎣

1

0

− 56

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎤

R

Fx1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Fy1 ⎥

R

Fa 2 R

Fy2 Fb 2

R

Fy3

R

Fx4

R

Fy4

(346) Das Ergebnis f¨ ur Fa /2 und Fb /2 hat Kontrollcharakter. In Bild 5.16 sind die Auflagerreaktionen vorzeichenrichtig dargestellt.

Bild 5.16. Reaktionskr¨ afte des Problems

5.2.3 Optimierung einer Stabstruktur

In Bild 5.17 sind zwei ebene St¨ abe mit ihren Abmessungen dargestellt. In xRichtung weisen sie eine L¨ ange L und in y-Richtung eine H¨ohe f ·L auf. Stab 1 hat eine Querschnittsfl¨ ache A, Stab 2 eine Querschnittsfl¨ache g · A. Beide St¨ abe haben einen E-Modul E. Ziel dieser Berechnung ist es, das Volumen der beiden St¨ abe zu minimieren, wobei u ¨ ber eine Nebenbedingung die normierte Verschiebung in y-Richtung den Wert vˆ annehmen soll.

Bild 5.17. Das Stabsystem mit seinen Abmessungen

und Belastungen

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

129

 Das normierte Volumen V¯ = V /(AL) = 1 + g 1 + f 2 ist nur eine Funktion von f und g. Die dimensionslose Verschiebung v¯ = v AE/(F L) an der Kraftangriffsstelle lautet:

AE = v¯ = v FL

 3 (1 + f 2 ) + g g f2

(347)

Das Ziel der Optimierung ist es, das Volumen der beiden St¨abe zu minimieren und die vorgegebene Verformung vˆ einzuhalten. Daraus ergibt sich mit Hilfe des Lagrange’schen Parameters λ folgende Zielfunktion Z: ⎛ ⎞ 3  (1 + f 2 ) + g − vˆ⎠ Z = V¯ + λ (¯ v − vˆ) = 1 + g 1 + f 2 + λ ⎝ gf 2

(348)

Das Minimum dieser Funktion Z = Z(f, g, λ) gewinnt man, indem die partiellen Ableitungen nach f, g und λ Null gesetzt werden:  3 (1 + f 2 ) + g

⎞  2 fg 1+f ⎠ =  =0 + λ ⎝−2 +3 3 2 gf fg 1+f    2) 3 + g  (1 + f 1 = 1 + f2 + λ − + =0 f 2g2 gf 2  (1 + f 2 ) 3 + g = − vˆ = 0 f 2g ⎛

∂Z ∂f ∂Z ∂g ∂Z ∂λ

(349)

Aus diesen drei Gleichungen werden die optimalen Werte f¨ ur f, g und λ bestimmt. Es ergibt sich: # f=

1 2 1+ ; g = vˆ vˆ

# 4(2 + vˆ) 8(1 + vˆ) ; λ= vˆ vˆ3

(350)

Betrachtung des Falles vˆ = 1

In Bild 5.18 ist der Fall vˆ = 1 aufgef¨ uhrt. Die durchgezogenen Linien geben Kurven gleicher Verformung v¯ wieder, die gestrichelten Linien Kurven gleichen Volumens V¯ . Die L¨ osung liegt bedingt durch die Gleichungsnebenbedingung auf der Kurve v¯ = 1. Die optimale L¨osung, d.h. die L¨osung mit dem kleinsten Volumen, ist in dem Punkt zu finden, in dem die Kurve V¯ die

130

5. Stabelemente

Darstellung der Isolinien von Volumen und Verformung. √ Im Punkt f = 3 und g = 4 liegt die L¨ osung f¨ ur vˆ = 1 Bild 5.18.

Kurve v¯ = 1 tangiert. Daraus erh¨ alt man die optimalen Werte f = g = 4.

√ 3 und

¨ 5.2.4 Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Stab

5.3

Stabbeispiel III

In der linken H¨ alfte von Bild 5.19 sind zwei St¨ abe dargestellt, die an einer Decke befestigt sind und in ihrem Verbindungspunkt in vertikaler Richtung durch eine Kraft F belastet werden. F¨ ur dieses System sollen die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auflagerreaktionen berechnet werden.

Bild 5.19. Beispiele mit zwei und drei St¨ aben

5.4

Stabbeispiel IV

F¨ ur die dargestellte Stabstruktur (s. rechte H¨ alfte Bild 5.19) sind die Auflagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Symmetrie des Problemes auszunutzen. Alle St¨ abe haben einen E-Modul von E =1 und eine Querschnittsfl¨ ache A=2.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

131

Stabbeispiel V

Gegeben ist in der linken H¨ alfte von Bild 5.20 eine Stabstruktur. Alle St¨abe haben einen E-Modul von E. Die St¨ abe auf der x-Achse haben eine Querschnittsfl¨ ache 2 A, alle anderen A. Die Belastung betr¨agt 2 F . Dem Auflager bei x=l und y=0 wird eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨agt. Gesucht sind unter Ausnutzung der Symmetrie des Systems die Verformungen sowie die Auflagerkraft im Lager bei x = l und y = 0.

5.5

Bild 5.20. Symmetrische und

antimetrische Stabstrukturen

Stabbeispiel VI

In der rechten H¨ alfte von Bild 5.20 ist eine Stabstruktur dargestellt. F¨ ur diese Struktur sind unter Ausnutzung der Antimetrie die Verformungen zu berechnen. Alle St¨abe haben die L¨ ange l, die Querschnittsfl¨ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨ agt F . Stabbeispiel VII

In Bild 5.21 ist eine 2D-Stabstruktur dargestellt. Die St¨abe haben die Querschnittsfl¨ ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht sind neben den Verformungen des Systems die Spannungen im Vertikalstab sowie die Auflagerkr¨ afte im linken Lager. Dabei ist die Symmetrie auszunutzen.

Bild 5.21. Symmetrische 2D-Stabstruktur und die Einteilung einer H¨ alfte in Elemente

5.6

5.7

132

5.8

5.9

H

5. Stabelemente

Stabbeispiel VIII

In Abwandlung der Optimierung in dem Beispiel auf der S. 128 soll der Betrag der Spannung in den beiden St¨ aben den normierten Wert σ ˆ annehmen. Dazu ist wiederum eine Zielfunktion zu bilden, wobei u ¨ber Lagrange’sche ur die Spannungen zu erfassen sind. Parameter λi die Nebenbedingungen f¨ Stabbeispiel IX (FEM GEN, FEM CAS, InterFEM)

Das zweidimensionale Stabproblem in Bild 12.4 auf der S. 345 ist mit den angegebenen Programmen zu l¨ osen. Es sollen die Verformungen, Spannungen und Auflagerreaktionen symbolisch und numerisch berechnet werden. F¨ ur die Zahlenrechnung gilt: L = 1000, A = 100, ϕ = π/4, F = 104 und E = 210000. Es sind f¨ ur die Verschiebung v3 am Knoten 3 die Winkel i ϕ gesucht, an denen die Verschiebung verschwindet oder einen Extremwert annimmt. 5.2.5 Das dreidimensionale Stabelement

Das zweiknotige, dreidimensionale Stabelement stellt eine Erweiterung des zweidimensionalen Stabelementes um eine dritte Achse dar. Ausgangspunkt zur Beschreibung der Steifigkeitsmatrix K des genannten Elementes ist die ¯ u¯ = Beziehung f¨ ur das eindimensionale Stabelement (269). Diese Gleichung K  F¯ wird in einem lokalen System beschrieben (s. Bild 5.13). Durch eine Transformation nach (334) wird aus (269) die Steifigkeitsmatrix K des r¨aumlichen ur den Stabelementes gewonnen. Dazu muß die Transformationsmatrix Tˆ f¨ r¨ aumlichen Fall beschrieben werden. Gl. (45) erm¨ oglicht eine Verkn¨ upfung des Freiheitsgrades u ¯ mit den drei Freiheitsgraden u, v, w eines Knotens des r¨ aumlichen Stabelementes. u ¯ ist die Verschiebung eines Knotens des eindimensionalen Stabelementes. u, v, w werden im globalen Koordinatensystem beschrieben. Aus der ersten Zeile der Matrix T nach (45) erh¨alt man: ⎡  u ¯=

⎤ u

ex¯x

ex¯y

ex¯z

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ v ⎥ ⎣ ⎦ w

(351)

Die Gr¨ oßen ex¯x , ex¯y , ex¯z aus (351) lassen sich ausdr¨ ucken als: 1 1 1 xj − xi yj − yi zj − zi = xji ; ex¯y = = yji ; ex¯z = = zji l l l l l l  2 2 2 l = xji + yji + zji (352)

ex¯x =

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

133

l stellt die Elementl¨ ange dar und xi , xj , yi , yj , zi , zj sind die Koordinaten des Anfangsknotens i sowie des Endknotens j. Setzt man (351) f¨ ur diese beiden Knoten an, so erh¨ alt man: ⎡

⎡

⎤

⎡ x 1 ⎣ ⎦ = ⎣ ji l u ¯j 0  u ¯i

yji

zji

0

0

0

0

xji

yji

 Tˆ

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ zji ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ wi ⎥ ⎥ ⎥ uj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ wj

(353)

Gleichung (353) in (334) eingesetzt f¨ uhrt auf die Steifigkeitsmatrix K des zweiknotigen, dreidimensionalen Stabelementes: ⎡

x2ij

⎢ ⎢ ⎢ xij yij ⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ xij zij K= 3 ⎢ l ⎢ −x2 ⎢ ij ⎢ ⎢ ⎢ −xij yij ⎣ −xij zij

xij yij

xij zij

−x2ij

−xij yij

2 yij

yij zij

−xij yij

2 −yij

yij zij

2 zij

−xij zij

−yij zij

−xij yij

−xij zij

x2ij

xij yij

2 −yij

−yij zij

xij yij

2 yij

−yij zij

2 −zij

xij zij

yij zij

−xij zij

⎤

⎥ ⎥ −yij zij ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ −zij ⎥ ⎥ xij zij ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ yij zij ⎥ ⎦ 2 zij (354)

Kapitel 6 Balkenelemente

6

6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 6.8 6.8.1 6.8.2

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdefinition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steifigkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes ¨uber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Balken ............ Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................ Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten ..... Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Konvergenztest Kragbalken .................................... Balkenbeispiel VII ................................................ Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steifigkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steifigkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ..........

137 137 138 139 140 141 143 145 146 147 149 151 151 154 157 159 161 164 168 171 172 178 179 180 182 187 187 187 188 190 193 193 199

6 Balkenelemente 6.1

6.1 Das eindimensionale Balkenelement 6.1.1 Problemdefinition

Ein Balken ist ein dreidimensionaler K¨ orper. Durch die Definiton der Balkenachse, die die ungekr¨ ummte Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnitte des Balkens darstellt, wird er auf ein eindimensionales Gebilde reduziert. Das Bild 6.1 zeigt einen solchen Balken. Die x-Achse des Koordinatensystems f¨ allt mit der Balkenachse zusammen. Die z-Achse steht senkrecht zur Zeichenebene und kommt aus der Zeichenebene heraus. Die (x, y)-Ebene ist gleichzeitig die Symmetrieebene des Balkens. In dieser liegen die Kr¨afte und Streckenlasten des Balkens. Das Moment dreht um die z-Achse.

Bild 6.1. Geometrie und

Randbedingungen eines Balkens

Voraussetzungen und Einschr¨ ankungen der Balkentheorie:

Neben den einf¨ uhrend gemachten Bemerkungen gelten noch folgende Bedingungen: Bernoulli-Hypothese: Querschnitte des Balkens, die vor der Verformung senkrecht zur Balkenachse standen, stehen auch im verformten Zustand senkrecht zur Biegelinie und weisen keine Verw¨olbung auf. Daraus folgt, daß keine Schubverformungen ber¨ ucksichtigt werden. Das Gleichgewicht des Balkens wird im unverformten Zustand beschrieben. Die Deformationen des Balkens werden durch die Biegelinie beschrieben. Die Durchbiegungen des Balkens sind kleiner als die H¨ohe des Balkens. Die L¨ ange l des Balkens ist sehr viel gr¨ oßer als die H¨ohe H und Tiefe des Balkens.

I

138

6. Balkenelemente

6.1.2 Dehnungen und Spannungen im Balken

In Bild 6.2 ist ein Ausschnitt eines Balkens im unverformten und verformten Zustand dargestellt1 . Zur Beschreibung der Durchbiegung in y-Richtung (Biegelinie v = v(x)) wird ein Querschnitt des Balkens im unverformten und verformten Zustand betrachtet. Nach der Bernoulli-Hypothese bleibt dieser Querschnitt auch im verformten Zustand eben und steht senkrecht zur Biegelinie.

Bild 6.2. Ausschnitt ei-

nes Balkens in unverformter und verformter Lage

Der Querschnitt ist im verformten Zustand um einen Winkel ϕ gegen¨ uber dem Ausgangszustand verdreht. Dieser Winkel l¨aßt sich als Tangente an der Biegelinie v = v(x) ausdr¨ ucken:

ϕ=

dv dx

(355)

Die Verdrehung ϕ des betrachteten Querschnittes bedingt eine Verschiebung u der Punkte dieses Querschnittes. Die Verschiebung l¨aßt sich f¨ ur kleine Durchbiegungen ausdr¨ ucken als: u = −y ϕ = −y

dv dx

(356)

Mit der Beziehung ε = du/dx erh¨ alt man die Dehnung ε im Balken: d ε= dx

  dv d2 v −y = −y 2 = −y v  dx dx

(357)

¨ Uber das Hooke’sche Gesetz werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft: σ = E ε = −E y 1

d2 v = −E y v  dx2

Die Verformungen sind aus Darstellungsgr¨ unden vergr¨ oßert dargestellt.

(358)

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

139

6.1.3 Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ist in Bild 6.3 dargestellt. Die Prim¨ arvariable ist die Durchbiegung v(x). Die in (357) auftretenden zweiten ur kleine Durchbiegungen1 die Kr¨ ummung κ Ableitungen v  beschreiben f¨  des Balkens. Die Beziehung κ = v stellt sich im Tonti-Diagramm als kinematische Gleichung dar. Das Moment M des Balkens wird u ¨ ber das Integral  M =−

σy dA

(359)

A

beschrieben. Durch Einsetzen von (358) und der Kr¨ ummung κ = v  in (359) erh¨ alt man: M = EI κ

(360)

Diese Gleichung stellt im Tonti-Diagramm die Stoffgleichung dar.

Bild 6.3. Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

In der Gleichgewichtsbeziehung M  = q tritt die Streckenlast q auf. Die wesentliche Randbedingung sieht die Vorgabe der Durchbiegung 0v und der Verurlichen Randbedingungen erlauben das Aufpr¨agen drehung 0ϕ vor. Die nat¨ einer Querkraft 0F und eines Momentes 0M . Die Streckenlast tritt als sogenannte Quellfunktion auf. Das Einbringen der kinematischen Gleichung in die Stoffgleichung sowie das Einsetzen dieser Gleichung in die Gleichgewichtsbedingung f¨ uhrt auf die Gleichung des Bernoulli-Balkens: d (EI v  ) = q dx2

(361)

140

6. Balkenelemente

Bild 6.4. Kragbalken mit einer Streckenlast q

Beispiel zum eindimensionalen Balken

Bei konstanter Balkensteifigkeit EI und konstanter Streckenlast (s. Bild 6.4) erh¨ alt man aus (361) durch vierfaches Integrieren:

v=

x3 x2 q x4 + C1 + C2 + C3 x + C4 EI 24 6 2

(362)

Es existieren f¨ ur das Beispiel zwei wesentliche und zwei nat¨ urliche Randbedingungen, so daß die vier Konstanten C1 , C2 , C3 , C4 bestimmt werden k¨ onnen. Die wesentlichen Randbedingungen lauten: v(x = 0) = 0 ⇒ C4 = 0 v  (x = 0) = 0 ⇒ C3 = 0

(363)

Die nat¨ urlichen Randbedingungen beschreiben bei x = l das Moment M = 0 (v  = 0) und bei x = l die Querkraft Q = 0 (v  = 0): q l2 + C1 l + C2 EI 2 q l + C1 v  (x = l) = 0 ⇒ 0 = EI v  (x = l) = 0 ⇒ 0 =

(364)

Mit Hilfe der beiden Gleichungen f¨ ur die Randbedingungen (363) und (364) erh¨ alt man: % $ x q l4 ! x "2 ! x "2 −4 +6 v= 24 EI l l l

(365)

6.1.4 Funktional des Balkenproblems

Das Funktional (161) auf der S. 68 muß auf den eindimensionalen Balken zugeschnitten werden. Die elastische Form¨ anderungsarbeit wird u ¨ber die Dehnungen und Spannungen im Balken ausgedr¨ uckt. Das Potential der a¨ußeren Lasten beinhaltet neben den Einzelkr¨ aften F zus¨atzliche Streckenlasten q sowie Momente M . Das Potential des Momentes ergibt sich aus dem Pro1

 (3/2) Die Kr¨ ummung ist allgemein definiert als: κ = v  / 1 + (v  )2 .

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

141

dukt , x2 M ϕ = M dv/dx. Das Potential der Streckenlast l¨aßt sich darstellen als: x1 q v dx. 1 Π= 2



 σε dV −

V

x2

x1

qv dx − F v − M

dv dx

(366)

Einsetzen der Dehnungen aus (357) und der Spannungen aus (358) in das Funktional (366):  x2  1 (−E y v  ) (−y v  ) dV − q v dx − F v − M v  2 V x1   x2 1  2 2 = E (v ) y dV − q v dx − F v − M v  2 V x1

Π=

(367)

Das Dreifachintegral aus der voranstehenden Gleichung l¨aßt sich mit dV = dA dx in ein Zweifachintegral u uhren: ¨ berf¨    x2 2 E (v  ) (x) y 2 dA dx − qv dx − F v − M v  0 A x1    I   x2 1 l 2 = EI (v  ) dx − q v dx − F v − M v  2 0 x1

Π=

1 2



l

(368)

6.1.5 Formfunktionen des eindimensionalen Balkens

Im Funktional (368) treten erste und zweite Ableitungen der Durchbiegung v auf1 . Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung fordert, daß Querschnitte des Balkens im verformten Zustand nicht ineinander eindringen oder auseinanderklaffen. Diese Bedingung wird erf¨ ullt, wenn die Biegelinie des Balkens v = v(x) und  ahrend die zweite Ableitung ihre erste Ableitung v = v  (x) stetig sind, w¨ v  = v  (x) unstetig sein darf. Bedingt durch die Stetigkeitsanforderung an v  wird diese wie auch die Durchbiegung v selber als Knotengr¨ oße definiert. Das f¨ uhrt zu einem finiten Element, wie es in Bild 6.5 angef¨ uhrt ist. F¨ ur die Knoten i, j sind jeweils eine Verschiebung vi , vj und eine Verdrehung ϕi , ϕj definiert. Diesen Gr¨oßen zugeordnet sind die Kr¨ afte Fi , Fj sowie die Momente Mi , Mj . Das Element besitzt 1

Man spricht, wenn in einem Funktional Ableitungen m-ter Ordnung auftreten, von einem C m−1 -Variationsproblem [6]. Als wesentliche Randbedingungen ergeben sich aus der ersten Variation des Funktionals geometrische Randbedingungen (m − 1)-ter Ordnung. Beim Balkenproblem ist m = 2. Es handelt sich also um ein C 1 Problem mit geometrischen Randbedingungen f¨ ur die Durchbiegung v und die Verdrehung v  = ϕ.

142

6. Balkenelemente

Bild 6.5. Freiheitsgrade, Knotenkr¨ afte und Knotenmomente des zweiknotigen Balkenelementes

eine L¨ ange l und ein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I. Als Materialgr¨oße tritt der Elastizit¨ atsmodul E auf. Als Ansatzfunktion zur Beschreibung der Verformungen muß ein Polynom dritten Grades gew¨ ahlt werden, um die vier Koeffizienten des Polynoms durch ucken zu k¨onnen: die vier Knotengr¨ oßen vi , ϕi , vj , ϕj ausdr¨ v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 v  = ϕ = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2

(369)

Interpolationsbedingungen

Die vier Koeffizienten a1 , a2 , a3 , a4 werden durch die vier Knotengr¨oßen vi , ϕi , vj , ϕj ausgedr¨ uckt, indem man f¨ ur (369) folgende Interpolationsbedingungen formuliert: v(x = 0) = vi ⇒ vi = a0 ϕ(x = 0) = ϕi ⇒ ϕi = a1

(370)

v(x = l) = vj ⇒ vj = vi + ϕi l + a2 l + a3 l 2

3

ϕ(x = l) = ϕj ⇒ ϕj = ϕi + 2 a2 l + 3 a3 l2

(371)

Aus (371) folgt: 1 (− 3 vi + 3 vj − 2 ϕi l − ϕj l) l2 1 a3 = 3 (2 vi − 2 vj + ϕi l + ϕj l) l a2 =

(372)

Einsetzen von (370) und (372) in (369) und Ordnen der Ausdr¨ ucke f¨ uhrt zu: $ v= 1−3 

! x "2 l

 N1

+2

! x "3 % l

$

% x "2 vi + x 1 − ϕi l     N2 !

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

$ !! " % ! x "2 ! x "3 % x 2 x" + 3 −2 vj + x − ϕj l l l l       N3 N4

143

$

(373)

Die Funktionen N1 , N2 , N3 , N4 nennt man Formfunktionen. Sie sind in Bild 6.6 grafisch ausgewertet.

Bild 6.6. Die Formfunktionen des zweiknotigen

Balkenelementes mit zwei Freiheitsgraden pro Knoten

 auf, so kann man Faßt man die Formfunktionen als Elemente eines Vektors N schreiben: ⎡

 v=



N1

N2



T N

N3

⎤ v ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥  ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥  T v ⎥=N N4 ⎢ ⎢ ⎥  ⎢ vj ⎥ ⎣ ⎦ ϕj   

(374)

 v

6.1.6 Diskretisierung des Funktionals

Im Funktional (367) treten erste und zweite Ableitungen von v auf. Hierzu m¨ ussen die Formfunktionen aus (373) abgeleitet werden. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln: d !T " dv d T   )T v  T dv = (N = N v = N v + N dx dx dx dx  0 ! " " 2 2 ! v d d d  T v =   )T v = (N   )T v v  = 2 = 2 N (N dx dx dx v =

(375)

(376)

144

6. Balkenelemente

  )T gewinnt man, indem man die zweiten Ableitungen Die Ableitung von (N  bildet. Es wird eine neue Variable ξ = x/l eines jeden Elementes von N eingef¨ uhrt. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln: d dξ 1 d d = = ; dx dξ dx l dξ

d2 1 d2 = 2 2 2 dx l dξ

(377)

Es wird elementweise abgeleitet: 6ξ dN1 = [−1 + ξ] dx l

d2 N1 6 = 2 [−1 + 2 ξ] dx2 l

dN2 = 1 − 4 ξ + 3 ξ2 dx

d2 N2 2 = [−2 + 3 ξ] dx2 l

dN3 6ξ = [1 − ξ] dx l

6 d2 N3 = 2 [1 − 2 ξ] 2 dx l

dN4 = 3 ξ2 − 2 ξ dx

d2 N4 2 = [3 ξ − 1] 2 dx l

(378)

  )T v ergibt sich: Nach der Beziehung v  = (N ⎡

v  =

1  −6 + 12 ξ 2 l

−4 l + 6 lξ  T B

6 − 12 ξ

⎤ v ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥  ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥ T ⎥ = B v 6 lξ − 2 l ⎢ ⎢  ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ϕj (379)

  T v = v T B Das Quadrat (v  ) l¨ aßt sich mit voranstehender Beziehung sowie B schreiben als: 2

B  T v  T v B  T v = v T B (v  ) = B 2

(380)

B  T hat die Form einer Matrix und die Eigenschaften einer Dyade B (s. Abschnitt 2.6.2). F¨ ur die Diskretisierung des Funktionals stehen folgende Ausdr¨ ucke zur Verf¨ ugung:  nach (374)  T v = v T N v=N  2 T  T (v ) = v B B v nach (380)

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

145

v T F = vi Fi + ϕi Mi + vj Fj + ϕj Mj , Potential der Einzelkr¨afte und Momente Der Vektor F hat folgende Form: ⎡

⎤ F i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Mi ⎥ ⎢ ⎥  F = ⎢ ⎥ ⎢ F ⎥ ⎢ j ⎥ ⎣ ⎦ Mj

(381)

Diese Ausdr¨ ucke werden in das Funktional nach (368) eingesetzt. Damit ergibt sich das diskretisierte Funktional zu (dx = l dξ):  l  1 l T  T  q dx − v T F Π= EI v B B v dx − v T N 2 0 0  1  1 1 T T T  q dξ −v T F   N = v l EI B B dξ v − v l 2 0 0       K  Q 1  − v T F = v T K v − v T Q 2

(382)

6.1.7 Variation des diskretisierten Funktionals

Das Gesamtpotential Π ist quadratisch in v . Damit f¨ uhrt die erste Variation von Π nicht nur auf einen station¨ aren Wert, sondern auf ein Minimum. Bei den Ableitungen wird von der Beziehung: (∂/∂u) δu = δuT (∂/∂uT ) nach (72) auf der S. 39 Gebrauch gemacht: ∂Π δv ∂v 1 1 ∂uT ∂u ∂uT  ∂uT − δuT T F = δuT T Ku + uT K δu − δuT T Q 2 ∂u 2 ∂u ∂u ∂u

δΠ =

(383)

Mit Hilfe der Beziehungen: ∂uT/∂uT = ∂u/∂u = E und uT K δu = δuT K T u = aßt sich schreiben: δuT K u l¨    − F = 0 δΠ = δv T Kv − Q

(384)

146

6. Balkenelemente

Die Variation nimmt einen station¨ aren Wert an, wenn der Klammerausdruck verschwindet. Daraus erh¨ alt man die Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur den Balken:  + F K v = Q

(385)

6.1.8 Bilden der Steifigkeitsmatrix

Das zweiknotige Balkenelement soll ein konstantes Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen konstanten E-Modul besitzen. Es kann damit die Biegesteifigkeit des Balkens EI vor das Integral gezogen werden: 

1

B  T dξ B

K = EI l

(386)

0

B  T wird in folgender Gleichung gebildet (B  s. (379)): Die Dyade B B T = B ⎡ ⎢ 6(2ξ − 1) ⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 l(3ξ − 2) ⎢ l2 ⎢ 6(1 − 2ξ) ⎢ ⎣ 2 l(3ξ − 1) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1  ⎥ ⎥ 2 6(2ξ − 1) ⎥l ⎥ ⎦

36(2ξ − 1)2 12 l(2ξ − 1)· (3ξ − 2)

2 l(3ξ − 2)

6(1 − 2ξ)

 2 l(3ξ − 1) =

⎤ 12 l(2ξ − 1)·

36(2ξ − 1)·

12 l(2ξ − 1)·

(3ξ − 2)

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

12 l(3ξ − 2)·

4 l2 (3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

4 l2 (3ξ − 2)2

36(2ξ − 1)·

12 l(3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(1 − 2ξ)

12 l(2ξ − 1)·

4 l2 (3ξ − 2)·

12 l(1 − 2ξ)·

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

36(1 − 2ξ)2

12 l(1 − 2ξ)· (3ξ − 1) 4 l2 (3ξ − 1)2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (387)

,1

B  T dξ ist elementweise durchzuf¨ Die Integration 0 B uhren. Sie f¨ uhrt zu folgender Steifigkeitsmatrix K des Balkenelementes:

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l K= 3 ⎢ l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

147

⎤ 6l ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2

(388)

6.1.9

Diskretisierung der Streckenlast In (382) ber¨ ucksichtigt der nachfolgende Term die Streckenlast:



1

 q(ξ) dξ N

 =l Q

(389)

0

Einschr¨ ankend wird angenommen, daß die Streckenlast q im Element linear verteilt ist. Somit kann die Verteilung der Streckenlast u ¨ ber eine lineare Formfunktion beschrieben werden (s. (259) auf der S. 102). Eine solche Linearverteilung ist in Bild 6.7 dargestellt.

Bild 6.7. Berechnung der Kr¨ afte und

Momente aus der Streckenlast des Balkenelementes

Die Verteilung von q ist eindeutig u ¨ ber die Knotenwerte qi und qj beschrieben. Sie l¨ aßt sich damit ausdr¨ ucken als:

q = (1 − ξ) qi + ξ qj =



1−ξ

 ξ

⎤

⎡ ⎣

qi

ˆ T ⎦ = (N ) q

(390)

qj

Einsetzen der Beschreibung von q nach voranstehender Gleichung in den  q f¨ Ausdruck N uhrt zu: ˆ T  q=N  (N N ) q ˆ T  (N Das Produkt N ) stellt sich mit Hilfe von (373) dar als:

(391)

148

6. Balkenelemente

⎤ 2 3 + 2 ξ 1 − 3 ξ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ξ l (1 − ξ)2 ⎥  ⎥ ˆ T ⎢  N (N ) = ⎢ ⎥ 1−ξ ⎢ 3 ξ2 − 2 ξ3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣  2  ⎦ ξl ξ −ξ ⎡ 2 3 4 ⎢ 1−ξ −3ξ +5ξ −2ξ ⎢   ⎢ l ξ − 3 ξ2 + 3 ξ3 − ξ4 ⎢ =⎢ ⎢ 3 ξ2 − 5 ξ3 + 2 ξ4 ⎢ ⎣   l −ξ 2 + 2 ξ 3 − ξ 4 ⎡

 ξ

⎤ ξ − 3 ξ3 + 2 ξ4   2 l ξ − 2 ξ3 + ξ4 3 ξ3 − 2 ξ4   l ξ4 − ξ3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(392)

ˆ T  (N Die Integration ist u ) elementweise vorzunehmen: ¨ ber N 

1

 =l Q

ˆ T  (N N ) q dξ = l

0



1

ˆ T  (N N ) dξ q

(393)

0

und f¨ uhrt zu folgendem Ausdruck: ⎡ ⎢ ⎢ l ⎢ ⎢  Q= ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎣

7 l 3 − 23 l

⎡ ⎤ 3 ⎥ ⎢ 7 qi + 3 qj ⎤ ⎢ ⎥⎡ 2 2 ⎥ l ⎢ ⎢ l q i + 3 l qj 3 l ⎥ ⎣ qi ⎦ = ⎢ ⎥ 20 ⎢ 3 q + 7 q 7 ⎥ qj ⎢ ⎥ i j ⎣ ⎦ −l − 32 l qi − l qj

⎤

⎡

⎤ Q i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ (394) ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ mj

In Bild 6.7 sind die Kr¨ afte und Momente dargestellt, die durch die Streckenlast hervorgerufen werden. Neben den beiden Kr¨aften Qi , Qj entstehen aus der Umrechnung noch die Momente mi , mj . Diese sind vorzeichenorientiert in Bild 6.7 dargestellt. Eine positive Streckenlast ruft am Anfangsknoten i ein positives Moment mi und am Endknoten j ein negatives Moment mj hervor. Damit sind alle Integralausdr¨ ucke aus (382) auf der S. 145 bekannt. Die  + F sind in folgenden Gleichungen zu Gr¨ oßen aus der Beziehung K v = Q finden: K aus (388) auf der S. 147 v aus (374) auf der S. 143 F aus (381) auf der S. 145  aus (394) auf der S. 148 Q

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

149

In expliziter Schreibweise ergibt sich damit: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l ⎢ 3 l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 2 l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 4 l2

⎤ ⎡ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ϕj

⎤ ⎡ Fi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎢ Fj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Mj

⎤ Qi ⎥ ⎥ mi ⎥ ⎥ ⎥ Qj ⎥ ⎥ ⎦ mj

(395)

6.1.10 Schnittgr¨ oßen des Balkenelementes

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt Einzelsteifigkeitsmatrix × Verformungsvektor des entsprechenden Elementes. Allgemein f¨ ur Element i ausgedr¨ uckt: K i iv = iF

(396)

K i - Steifigkeitsmatrix des Elementes i nach (388) i v - Verformungsvektor des Elementes i i F - Schnittgr¨ oßenvektor des Elementes i Momentenverlauf im Element

Mit Hilfe von (360) und (379) l¨ aßt sich der Momentenverlauf im Element schreiben als:   T v = EI 1 −6 + 12 ξ M = EI B l2

−4 l + 6 lξ

6 − 12 ξ

6 lξ − 2 l

 v

(397)  sind linear in ξ = x/l. Damit ist auch der Die Funktionen in dem Vektor B Momentenverlauf im Element ein linearer. Bei der Elementformulierung ist zugelassen worden, daß die zweite Ableitung der Verformungen v  an den Elementgrenzen unstetig sein darf. Aus (360) folgt, daß die Schnittmomente an den Elementgrenzen unstetig sein k¨ onnen. F¨ ur ξ = 0 und ξ = 1 ergeben sich die Momente f¨ ur den Anfangs- und Endknoten.   ˆ i = M (ξ = 0) = EI v M −4 l 6 −2 l −6 l2   ˆ j = M (ξ = 1) = EI M 6 2 l −6 4 l v l2

(398) (399)

150

6. Balkenelemente

Querkraftverlauf im Element

Die Querkraft Q erh¨ alt man aus dem Moment M :

Q=

dM dξ 1 dM dM = = dx dξ dx l dξ

(400)

Diese Beziehung auf (397) angewendet:

Q=

EI  12 l3

6l

−12

 6l

v

(401)

Die Funktionen in voranstehender Gleichung sind unabh¨angig von ξ, d.h. die Querkraft ist im Element konstant. Damit k¨onnen die Querkr¨afte an den Elementgrenzen unstetig sein.  ˆi = Q ˆ j = EI 12 Q 3 l

6l

−12

 6l

v

(402)

Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Faßt man (398), (399) und (402) in Matrixform zusammen, so ergibt sich: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ −6 l ⎢ l3 ⎢ 12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

−4 l2

6l

6l

−12

2 l2

−6 l

⎤⎡

⎤ ⎡ v i ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢ ⎢ −2 l ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 6l ⎥ ⎥ ⎢ vj ⎥ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣ 4 l2 ϕj 6l

⎤ ˆi Q ⎥ ⎥ ˆ Mi ⎥ ⎥ ⎥ ˆj ⎥ Q ⎥ ⎦ ˆj M

(403)

Bild 6.8. Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Im Knoten i ist die Querkraft positiv (s. Bild 6.8), wenn sie in positive yRichtung zeigt. Das Moment ist am Knoten i positiv, wenn es um die negative z-Koordinate dreht. Im Endknoten j ist es genau umgekehrt.

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

151

6.2

6.2 Beispiel zum eindimensionalen Balken 6.2.1 Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Problemstellung

In Bild 6.9 ist in der oberen H¨ alfte ein Balken auf zwei St¨ utzen dargestellt. Er ist durch eine Streckenlast q (Lastfall 1) bzw. durch eine Einzelkraft F in der Mitte (Lastfall 2) belastet. Er weist ein Fl¨ achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E auf.

Bild 6.9. Beispiel zum eindimensionalen Balkenelement

Gesucht sind f¨ ur dieses Problem die Durchbiegung des Balkens sowie die Schnittgr¨ oßen im Balken. Einteilung in Elemente

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung und Randbedingungen symmetrisch. Deshalb wird in der FE-Rechnung nur eine H¨alfte des Balkens ber¨ ucksichtigt. Sie wird in ein finites Element eingeteilt. In der unteren H¨alfte von Bild 6.9 ist diese Einteilung aufgef¨ uhrt. Elementsteifigkeitsmatrix

⎡

v1

ϕ1

v2

24

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎢ EI ⎢ 6l K1 = 4 3 ⎢ l ⎢ ⎢ ⎢ −24 ⎣ 6l

ϕ2

⎤ v1 ⎥ ⎥ l2 ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎦v2 6l

2 l2

(404)

ϕ2

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Da das Problem nur ein Element aufweist, ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix identisch mit der Elementsteifigkeitsmatrix.

152

6. Balkenelemente

Geometrische Randbedingungen

Auflager: Das Auflager am Knoten 2 wird durch die Randbedingung v2 = 0 wiedergegeben. Symmetrie: Die Verformungen m¨ ussen symmetrisch sein. Die Biegelinie weist bei x = 0 eine horizontale Tangente auf. Daraus ergibt sich die Verdrehung im Knoten 1 zu ϕ1 = 0. Belastungen

Es werden zwei Lastf¨ alle ber¨ ucksichtigt. Lastfall 1 (LF1 ) ist eine konstante Streckenlast q und Lastfall 2 (LF2 ) ist eine Einzelkraft F in der Mitte des Balkens. Die Streckenlast muß in Knotenlasten nach (394) umgerechnet werden. Die Streckenlast ist konstant, so daß q1 = q2 = q gilt. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢  = Q ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤ 7 q1 + 3 q2

⎤ 2

⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ l ⎢ ⎥ (3 q1 + 2 q2 ) ⎥ ⎢ l ⎢ 12 ⎥ 3 ⎥=q ⎢ ⎥ 4⎢ 2 3 q1 + 7 q2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ l l − (2 q1 + 3 q2 ) − 3 12

⎡ ⎤ ⎥ Q 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ m1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ m2

(405)

Verformungen ⎡ 24 ⎢ ⎢ ⎢ 6l EI ⎢ 4 3 ⎢ l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤⎡ 6l

(1) v1

⎥⎢ ⎥⎢ (1) ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ϕ1 ⎥⎢ ⎥⎢ (1) −6 l ⎥⎢ v2 ⎦⎣ (1) 2 l2 ϕ2

(2) v1 (2)

ϕ1

(2)

v2

(2)

ϕ2

⎤

⎡

l q ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ l2 ⎥ ⎢ q + RM1(1) ⎥ ⎢ 48 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ q l + RF (1) ⎥ ⎢ 2 4 ⎦ ⎢ ⎣ l2 −q 48

⎤

F 2 (2)

R

M1

R

(2)

F2 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(406)

Die rechte Seite besteht aus einer Matrix mit zwei Spalten. Diese geben die beiden Lastf¨ alle wieder. Es liegen je Lastfall vier Unbekannte vor, n¨amlich die (i) (i) (i) (i) beiden Verformungen v1 , ϕ2 und die beiden Reaktionsgr¨oßen RM1 , RF2 (i = 1 ∧ 2). Zur Bestimmung der Verformungen werden die Zeilen und Spal(i) (i) ten gestrichen, die die bekannten Verformungen v2 = ϕ1 = 0 aufweisen. Daraus ergibt sich das nachstehende Untersystem:

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

⎡ 8

⎤⎡

EI ⎣ 12 l3 3l

3l

⎦⎣

l2

(1)

v1

(1)

ϕ2

v1

ϕ2

(2) (2)

⎤

153

⎡

⎢ ⎦=⎢ ⎢ ⎣

l q 4 l2 −q 48

⎤ F ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(407)

Die unbekannten Verformungen ergeben sich zu: ⎡ ⎣

(1) v1 (1)

ϕ2

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 5 l (2) 2 l v1 ⎥ ⎥ ⎦ = ql ⎢ ⎦= Fl ⎢ ⎣ 16 ⎦ ; ⎣ ⎣ 3 ⎦ (2) 24 EI 16 EI ϕ2 −1 −1 ⎡

⎤

3

(408)

Die Verformungen der FEM-L¨ osung entsprechen denen der exakten L¨osung. Schnittgr¨ oßen

Die Beziehung (396) auf das vorliegende Problem angewendet, f¨ uhrt auf:

Lastfall 1: ⎡ ⎢ 24 ⎢ q⎢ ⎢ 6l ⎢ 6 ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎡ ⎤ ⎤⎡ 5 ⎢ l ⎥ ⎢ 6l ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 16 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢ l ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ −6 l ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 2 l2 −1

1 ql 4 7 2 ql 48 1 ql 4 1 − q l2 48

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

⎤

1 (1) F1 (1) M1

1

1 (1) F2 1

(1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(409)

Lastfall 2: ⎡ ⎢ 24 ⎢ F ⎢ ⎢ 6l ⎢ 4 l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣ 2 l2

⎤

⎡

l ⎢ ⎢ 3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ −1

1 F 2 1 Fl 4 1 F 2 0

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

1 (2) F1 (2) M1

1

1 (2) F2 1

(2)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(410)

154

6. Balkenelemente

Vergleich der Schnittgr¨ oßen

In Tab. 6.1 sind die Schnittgr¨ oßen aus der Rechnung denen der exakten L¨ osung gegen¨ ubergestellt. ¯ (1) = Q(1) /(q l); Tabelle 6.1. Vergleich der Schnittgr¨ oßen (Q ¯ (2) = Q(2) /F ; M ¯ (2) = M (2) /(F l)) ¯ (1) = M (1) /(q l2 ); Q M

Lastfall 11 ¯ (1) (x = l ) Q 2 FEM exakt Fehler

Lastfall 2

¯ (1) (x = 0) M

1 4 1 2

7 − 48

50 %

¯ (2) (x = l ) Q 2

¯ (2) (x = 0) M

− 18

1 2 1 2

− 14

16, 7 %

0%

0%

− 14

W¨ ahrend die Schnittgr¨ oßen aus Lastfall 2 keinen Fehler aufweisen, treten bei Lastfall 1 Abweichungen zu der exakten L¨ osung auf, die folgender Art sind: Momente ¯ (1) = −1/8 tritt in der Mitte des Balkens Das maximale Moment von M ¯ (1) = auf. Die FE-Rechnung weist an dieser Stelle ein Moment von 1M 1 −7/48 auf, also einen Fehler von ca. 16,7 %. Am Auflager muß das Moment ¯ (1) = −1/48 auf. Bei der Null sein. Hier tritt ein FE-Ergebnis von 1M 2 exakten L¨ osung hat der Momentenverlauf die Form einer Parabel. Die Momente im Inneren eines Elementes haben nach (397) einen linearen Verlauf. Querkr¨ afte Die exakte Querkraftverteilung stellt sich als Linearverteilung dar, die einen Nulldurchgang in der Mitte des Balkens aufweist und einen Maxi¯ (1) = 1/2 hat. Aus der FE-Rechnung ergibt sich ein Wert malwert von Q 1 (1) von F1 = 1/4. Daraus resultiert eine Abweichung von 50 %. Das Ergebnis kann durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl verbessert werden. 6.2.2 Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement

F¨ ur das in Bild 6.10 angef¨ uhrte Beispiel ist bez¨ uglich der Querkraft Q und des Momentes M ein Konvergenztest durchzuf¨ uhren. Dazu sollen drei Rechnungen mit 3, 6 und 12 ¨ aquidistanten Elementen dienen. Die Querkraft Q2 und das Moment M 3 sind an der Stelle des rechten Auflagers auszuwerten. ¯ (1) = 1/2[(x/l)2 − 1/4] ¯ (1) = x/l ; M Q exakt exakt Die Querkraft ist am Elementanfang vorzeichenrichtig. 3 Das Moment ist am Elementende vorzeichenrichtig. 1 2

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

155

Bild 6.10. Konvergenztest eines zwei-

fachgelagerten Balkens

Fehler in den Schnittgr¨ oßen

Die exakte L¨ osung des Momenten- und Querkraftverlaufes wird durch folgende Beziehungen beschrieben (ξ = x/l): ¯ = M = M q l2 ¯= Q = Q ql



1 2 1 2

ξ2 −

1 4

f¨ ur 0 ≤ ξ ≤

ξ

2 3

ξ 2 − ξ + 12 f¨ ur 23 ≤ ξ ≤ 1  ξ − 14 f¨ ur 0 ≤ ξ ≤ 23 ξ−1

f¨ ur

2 3

≤ξ≤1

(411)

W¨ ahrend der exakte Momentenverlauf quadratischer Natur ist, verl¨auft er im Element linear (397). Der exakte Querkraftverlauf ist linear mit einer Unstetigkeit bei ξ = 2/3. Im Element ist die Querkraft konstant (402). Daraus ergibt sich, daß im vorliegenden Fall, die FE-Methode nur n¨aherungsweise die exakten Schnittgr¨ oßen beschreiben kann. Die Tab. 6.2 enth¨alt die Schnittgr¨ oßen und ihre Fehler. Die Querkraft wird rechtsseitig der Stelle ξ = 2/3 betrachtet. Tabelle 6.2. Ergebnisse des Konvergenztestes Anz. Elem.

¯ Q

¯ M

EQ 3

EM 3

3

− 16 − 14

25 %

16, 6¯ 6% ¯% 4, 16

12

7 − 24

12, 5 %

1, 04 %

exakt

− 13

5 108 23 492 95 1728 1 18

50 %

6

−

−

In der linken H¨ alfte von Bild 6.11 ist der exakte Momentenverlauf und der ¯ bei drei Elementen dargestellt. Die FE-L¨ osung n¨ahert die Parabeln f¨ ur M nach (411) durch einen Polygonzug an. Deutlich ist der Fehler an den beiden Enden des Balkens zu erkennen. In der rechten Bildh¨alfte ist der Querkraft¯ angef¨ ¯ aus (411) durch einen verlauf Q uhrt. Die FE-L¨ osung approximiert Q treppenf¨ ormigen Verlauf an, da die Querkraft im Element konstant ist. Mit steigender Elementanzahl beschreibt diese Treppenform immer besser die Geraden der exakten L¨ osung. Dieses Verhalten soll f¨ ur die Stelle ξ = 2/3, also am rechten Lager, durch eine Fehlerabsch¨ atzung belegt werden. 3



¯ FEM − Q ¯ exakt )/Q ¯ exakt · 100 ; EM = (M ¯ FEM − M ¯ exakt )/M ¯ exakt · 100 E Q = (Q

156

6. Balkenelemente

Bild 6.11. Vergleich der exakten Momente und Querkr¨ afte mit der FE-L¨ osung f¨ ur verschie-

dene Elementanzahlen

Fehlerabsch¨ atzung der Schnittgr¨ oßen

Zur Fehlerabsch¨ atzung werden die Beziehungen (142) herangezogen. Der Fehler f¨ ur die Querkr¨ afte und Momente wird in Abh¨ angigkeit von der Elementanzahl n in einem doppelt logarithmischen System aufgetragen. Zur Bestimur n = n1 und n = n2 mung der Konstanten C ∗ und p in (142), wird diese f¨ angesetzt: E(n = n1 ) = E1 = C ∗ n−p 1 E(n = n2 ) = E2 = C ∗ n−p 2

(412)

Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich C ∗ und p bestimmen. Die Fehlergerade E hat damit folgendes Aussehen:  E = E1

n n1

 log(E1 /E2 ) log(n1 /n2 )

(413)

Setzt man in (413) f¨ ur n1 = 3 und n2 = 12 ein, so ergeben sich daraus folgende Beziehungen (s. Tab. 6.2): log(4) !n" log(1/4) ¯ Querkraft Q : EQ = 50 = 150 n−1 3 log(16) !n" 100 log(1/4) = 150 n−2 ¯ : EM = Moment M 6 3

(414)

(415)

¯ und mit Gleichung (414) zeigt mit p = 1 eine lineare Konvergenz f¨ ur Q ¯ p = 2 eine quadratische f¨ ur M . In Bild 6.12 sind die Beziehungen (414) und

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

157

¯ eine (415) dargestellt. Bedingt durch die h¨ ohere Konvergenzordnung, zeigt M ¯ ¯ schnellere Abnahme des Fehlers als Q. Soll der Fehler bei Q z.B. einen Wert von 1 % annehmen, so ergibt sich aus (414), daß die Anzahl der Elemente auf n = 150 erh¨ oht werden m¨ ußte.

Bild 6.12. Konvergenztest des Bal-

kens

6.2.3 Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung

In Bild 6.13 sind zwei Balken an ihren Enden fest eingespannt und in der Mitte gelenkig miteinander verbunden. An dieser Stelle kann kein Moment u ¨ bertragen werden. Das Problem soll mit Hilfe einer Zwangsbedingung gel¨ost werden.

Bild 6.13. Ein zweiseitig eingespannter Balken mit Gelenk und sein Ersatzmodell

Dazu wird die Balkenstruktur in der rechten Bildh¨alfte in zwei getrennte Strukturen aufgeteilt, die aus Element 1 und Element 2 bestehen. Die Knoten 2 und 3 werden nun durch eine Zwangsbedingung der Form v3 − v2 = 0 miteinander verbunden. Diese Zwangsbedingung l¨aßt sich mit Hilfe von (134) auf der S. 56 schreiben als: ⎡  0

1

0

⎤

⎢ ϕ2 ⎥ ⎥ ⎢   ⎢ v3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = 0 = Cu −1 ⎢ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎦ ⎣ v2

 Ca

⎤

⎡ ⎣

uu ua

⎦

(416)

158

6. Balkenelemente

Die Reihenfolge der Unbekannten in (416) ist so ge¨andert worden, daß die abh¨ angige Gr¨ oße v2 am Ende des Vektors auftritt. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix lautet nach dem Einbringen der Randbedingungen und der genannten ¨ Anderung der Reihenfolge der Unbekannten:

⎡

ϕ2

v3

ϕ3

4 l2

0

0

4

2l

2l

4 2 3 l

0

0

⎢ EI ⎢ 0 Kg = 3 ⎢ l ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

−6 l

v2

⎤ −6 l ϕ2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ϕ3 12

(417)

v2

Die Transformationsmatrix T nach (135) auf der S. 56 ergibt sich mit n − r = 4 − 1 = 3 zu: ⎡

−1 −C −1 a C u = −(−1)



 0

1

0

 =

0

1

⎢ 1 ⎢ ⎢ 0  ⎢ 0 ⇒T =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0 1 0 1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0 (418)

ˆ und Fˆ : Nach (136) erh¨alt man f¨ ur K ⎡

⎤

⎡

2 ⎢ 4l 1 0 0 0 ⎢ ⎥ EI ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ˆ =⎢ 0 1 0 1 ⎥ K ⎢ ⎦ l3 ⎢ 0 ⎣ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 −6 l ⎡ ⎤ 0 4 l2 −6 l ⎥ EI ⎢ ⎢ ⎥ = 3 ⎢ −6 l 16 2l ⎥ l ⎣ ⎦ 4 2 0 2l 3 l

0

0

4

2l

2l

4 2 3 l

0

0

⎤⎡ −6 l ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 12

1

0

0

1

0

0

0

1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(419)

6.3

¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Balken

⎡ 1 ⎢ ⎢ ˆ F = T T F = ⎢ 0 ⎣ 0

⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎥⎢ F ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥=⎢ F ⎥ 1 ⎥⎢ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 ⎤

0

0

1

0

0

1

159

⎡

(420)

ˆ uu = Fˆ erh¨alt man die Verformung: Mit K ⎡

⎤ ϕ2

⎢ ⎢ uu = ⎢ v3 ⎣ ϕ3

⎥ 1 F l2 ⎥ ⎥= ⎦ 8 EI

⎡

⎤ 3

⎢ ⎢ ⎢ 2l ⎣ −3

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(421)

6.3

¨ 6.3 Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Balken Balkenbeispiel I

Das Beispiel in Bild 6.9 auf der S. 151 weist f¨ ur den Lastfall 1, in dem die Belastung aus einer konstanten Streckenlast besteht, Fehler in den Schnittgr¨ oßen auf. Es soll durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl auf zwei bzw. drei Elemente die Genauigkeit der Schnittgr¨ oßen verbessert werden. Hierf¨ ur sind die Steifigkeitsmatrizen, die Gesamtsteifigkeitsmatrizen und daraus die Verformungen zu berechnen. Dabei m¨ ussen die Streckenlasten in Kr¨ afte und Momente umgerechnet werden. Aus den Verformungen sind die Schnittgr¨ oßen zu berechnen. Diese sind grafisch auszuwerten und mit den exakten Verl¨ aufen zu vergleichen. F¨ ur die Mitte des Balkens bzw. das rechte Ende sind die Momente bzw. Querkr¨ afte der FE-L¨osung mit den exakten L¨ osungen zu vergleichen. Balkenbeispiel II

Gegeben ist der in Bild 6.14 dargestellte Balken. F¨ ur diesen Balken sind die Verformungen und die Auflagerreaktionen zu berechnen, wobei die in Bild 6.14 angef¨ uhrte Elementknotenzuordnung zu verwenden ist. Die L¨ange des Balkens, sein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment und der E-Modul werden jeweils zu 1 angenommen. Er ist auf der linken Seite fest eingespannt und hat auf der rechten Seite ein Auflager. Die Belastung besteht aus einem Moment, das am Ende des Balkens angreift.

6.1

6.2

160

6. Balkenelemente

Bild 6.14. Geometrie und Belastung des

Balkens

6.3

Balkenbeispiel III

Die Nachbildung eines Gelenkes ist mit dem bisherigen Balkenelement nicht m¨ oglich. An der Stelle des Gelenkes kann kein Moment u ¨ bertragen werden und es muß an dieser Stelle die zweite Ableitung v  der Durchbiegung verschwinden. Es soll die Steifigkeitsmatrix eines Balkenelementes hergeleitet werden, die am Anfangsknoten i des Elementes ein Gelenk realisieren kann. Als Ansatzfunktion dient folgendes Polynom: v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

(422)

Zur L¨ osung sind folgende Arbeitsschritte notwendig:  unter Beachtung von v  (x = 0) = 0 Erstellen der Formfunktionen N    Bilden des Dehnungs-Verformungs-Vektors , l B =T N   Erstellen der Steifigkeitsmatrix K = EI 0 B B dx Mit der hergeleiteten Steifigkeitsmatrix soll das Beispiel in Bild 6.15 gel¨ost werden.

Bild 6.15. Zweiseitig eingespannter Bal-

ken mit einem Gelenk

Es zeigt einen zweiseitig fest eingespannten Balken, der in der Mitte ein Gelenk aufweist, das durch eine Kraft F = −1 belastet wird. Der Balken 1 hat eine Biegesteifigkeit EI = 1 und der Balken 2 von EI = 1/3. Gesucht ist die Durchbiegung des Balkens. Diese ist grafisch auszuwerten. 6.4

Balkenbeispiel IV

In Bild 6.16 ist eine Balkenstruktur dargestellt. Alle Balken haben die L¨ange l, das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht ist die Durchbiegung sowie die Verdrehung an der Stelle x = l/2.

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

6.4

161

Balkenbeispiel V

Das Gelenk des Problemes in Bild 6.13 auf der S. 157 soll durch ein starres Stabelement abgebildet werden, das die Knoten 2 und 3 verbindet. Die Balkensteifigkeit von Element 1 betr¨ agt EI und von Element 2 EI/3. F¨ ur die unterschiedlichen Steifigkeiten des Stabelementes ist nach (126) auf der S. 54 die erforderliche Rechengenauigkeit zu ermitteln.

6.5

Bild 6.16. Eindimensionaler Balken

Beispiel mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM

In Bild 6.17 ist ein eindimensionaler Balken dargestellt. Die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auflagerreaktionen sollen mit Hilfe von “ FEM CAS“ und “ InterFEM“ berechnet werden. Dazu ist das Problem mit “ FEM GEN“ aufzubereiten. F¨ ur die numerische Rechnung ist mit L = 200, l = 300, I = 105 , F = 1000, M = 1500, qi = 800, qj = 1400 und E = 210000 zu arbeiten.

J

Bild 6.17. Eindimensionaler Balken mit ver-

schiedenen Belastungsformen

6.4

6.4 Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Mit Hilfe der Computeralgebra1 soll ein eindimensionales Balkenelement betrachtet werden, das n Knoten und p Freiheitsgrade pro Knoten aufweist. Es werden die dazu zuvor hergeleiteten Beziehungen f¨ ur das zweiknotige Balkenelement verallgemeinert, so daß sie programmtechnisch verarbeitet werden k¨ onnen. Die einzelnen Ableitungsschritte laufen analog zum Stabproblem ab. Ansatzfunktion

Als Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung v wird in Erweiterung von (369) ein vollst¨ andiges Polynom (m − 1)-ten Grades (m = p × n) gew¨ahlt (ξ = x/l): 1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind im “Balken 1D“ realisiert (s. Bild 12.1 und S. 353).

Computeralgebraprogramm

K

162

6. Balkenelemente

v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . . + am−1 ξ m−1

(423)

m ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Elementes. Mit Hilfe der Vektoren: xT =



 1

ξ

ξ2

...

ξ m−1

; aT =



 a0

a1

a2

...

am−1 (424)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: v = xT a = aT x

(425)

Interpolationsbedingungen

Analog zu (370) und (371) werden die Ansatzkoeffizienten mittels Interpolationsbedingungen durch die Knotengr¨ oßen ausgedr¨ uckt:  i−1 = vi v= ξ= n−1   i−1  = ϕi v = ξ= n−1   i−1 = κi v  = ξ = n−1 .. .   i−1 (m) (m) v = vi = ξ= n−1 

(426)

Die Interpolationsbedingungen (426) und damit die Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten machen nur f¨ ur p ≤ 3 Sinn. Daher werden nachfolgend h¨ohere ummung am Ableitungen weggelassen. Der Freiheitsgrad κi stellt sich als Kr¨ 1 Knoten i dar . Einsetzen von (426) in (423):

a0 + a1 1

i−1 + a2 n−1



i−1 n−1



2 + . . . + am−1

i−1 n−1

m−1 = vi

Die Kr¨ ummung lautet: κ = v  /(1 + (v  )2 )3/2 . Unter der Voraussetzung ummung vereinfacht als κ = v  geschrieben werden. v = ϕ << 1 kann die Kr¨ 

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

6.4

a1 + 2 a2

i−1 + . . . + (m − 1)am−1 n−1

2 a2 + . . . + (m − 1)(m − 2)am−1

 

i−1 n−1 i−1 n−1

163

m−2 = ϕi m−3 = κi

(427)

Mit Hilfe des Vektors a kann man schreiben: ⎡ ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

i−1 n−1

!

i−1 n−1

"2

!

···

i−1 n−1

"m−1

!

1

i−1 2 n−1

···

(m − 1)

0

2

···

(m − 1)(m − 2)

i−1 n−1

!

"m−2 i−1 n−1

"m−3

⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ a0 a1 a2 .. .

⎥ ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ v i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ϕ ⎥ ⎥ ⎣ i ⎥ ⎦ ⎥ ⎥ κi ⎥ ⎦

am−1 (428) Gleichung (428) f¨ ur alle Knoten des Elementes i = 1, . . . , n angesetzt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

⎡

⎤ 1

0

0

...

0

0

1

0

···

0

0

0

1

1 n−1

0

1

1 2 n−1

···

(m − 1)

0 .. .

0 .. .

2 .. .

··· .. .

(m − 1)(m − 2) .. .

1

1

1

···

1

0

1

2

···

(m − 1)

0

0

2

···

!

2 1 n−1

"2

···

!

···

 A

0 "m−1

1 n−1

!

1 n−1

!

"m−2 1 n−1

(m − 1)(m − 2)

"m−3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥⎢ a0 ⎥⎢ ⎥⎢ a ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ a2 ⎥⎢ ⎥⎢ .. ⎥⎢ . ⎥⎣ ⎥ ⎥ ⎥ am−1 ⎥  ⎥ ⎥ a ⎥ ⎥ ⎦

⎤

v1 ⎥ ⎥ ϕ1 ⎥ ⎥ ⎥ κ1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎥ ⎥ ϕ2 ⎥ ⎥ ⎥ κ2 ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ vn ⎥ ⎥ ⎥ ϕn ⎥ ⎥ ⎦ κn    v (429)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣



Durch Inversion von A gewinnt man aus (429) die Koeffizienten a: a = A−1v

(430)

164

6. Balkenelemente

Formfunktionen

Die Formfunktionen lassen sich durch Einsetzen von (430) in (425) bestimmen:  T v v = xT a = xT A−1v = N

(431)

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Analog zu (379) m¨ ussen die zweiten Ableitungen gebildet werden. Aus (431) ergibt sich:   )T v = B  T v v  = (x  ) A−1v = (N T

(432)

Steifigkeitsmatrix

Aus (382) ergibt sich die Vorschrift zur Bildung der Steifigkeitsmatrix: 

1

B  T dξ EI B

K=l

(433)

0

Streckenlast

Die Streckenlast wird nach (393) in Knotengr¨oßen umgerechnet:   =l Q

1

ˆ T  (N N ) dξ q

(434)

0

ˆ Der Vektor N beschreibt die Verteilung der Streckenlast im Element. F¨ ur ein n-knotiges Element wird die Formfunktion (319) des eindimensionalen, n-knotigen Stabelementes verwendet. Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen lassen sich nach (397) berechnen:  T v M = EI B

(435)

T dM dM dξ 1 dM EI dB Q= = = = v dx dξ dx l dξ l dξ

(436)

6.4.1 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten Ansatzfunktion

Die Ansatzfunktion hierf¨ ur lautet nach (423):

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

165

Bild 6.18. Das dreiknotige Balkenele-

ment mit zwei Freiheitsgraden pro Knoten und einer m¨ oglichen Streckenlast

v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 + a5 ξ 5 = xT a

(437)

Formfunktionen

Mit Hilfe der Interpolationsbedingungen (429) werden die Formfunktionen gewonnen: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢  =⎢ N ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 − 23 ξ 2 + 66 ξ 3 − 68 ξ 4 + 24 ξ 5   ξ l 1 − 6 ξ + 13 ξ 2 − 12 ξ 3 + 4 ξ 4   ξ 2 16 − 32 ξ + 16 ξ 2   ξ 2 l −8 + 32 ξ − 40 ξ 2 + 16 ξ 3   ξ 2 7 − 34 ξ + 52 ξ 2 − 24 ξ 3   ξ 2 l −1 + 5 ξ − 8 ξ 2 + 4 ξ 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x T A−1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(438)

Bild 6.19. Formfunktionen des dreiknotigen Balkenelementes mit zwei Freiheitsgraden pro

Knoten

166

6. Balkenelemente

Das Bild 6.19 zeigt in der linken Bildh¨ alfte die Formfunktionen N1 , N3 und N5 des dreiknotigen Balkenelementes. Sie sind den Freiheitsgraden v1 , v2 und v3 zugeordnet. Diese Formfunktionen Ni nehmen den Wert 1 am Knoten i an und verschwinden an allen anderen Knoten. In der rechten Bildh¨alfte sind die Formfunktionen N2 , N4 und N6 der Freiheitsgrade ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 dargestellt. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß die Tangente an die Formfunktion Ni im auft, w¨ ahrend sie in den anderen Knoten Null ist. Knoten i unter 45◦ verl¨ Steifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix hat folgendes Aussehen:

⎡

v1

ϕ1

v2

ϕ2

v3

2546

569 l

−1792

960 l

−754

166 l2

−448 l

160 l2

−121 l

−448 l

3584

0

−1792

⎢ ⎢ ⎢ 569 l ⎢ ⎢ 2 EI ⎢ −1792 ⎢ K= 35 l3 ⎢ ⎢ 960 l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −754 ⎣ 121 l

160 l

2

2

ϕ3

−960 l

0

640 l

−121 l

−1792

−960 l

2546

19 l2

448 l

160 l2

−569 l

⎤ v1 ⎥ ⎥ 19 l2 ⎥ ⎥ϕ1 ⎥ 448 l ⎥ ⎥v2 ⎥ 160 l2 ⎥ ⎥ϕ2 ⎥ ⎥ −569 l ⎥v3 ⎦ 166 l2 ϕ3 121 l

(439)

Streckenlast

Die Streckenlast (s. Bild 6.18) wird mit Hilfe der Formfunktion des dreiknotigen Stabelementes (323) erfaßt: ⎡  q=

⎤ qi

1 − 3 ξ + 2 ξ2

4 ξ(1 − ξ)

ξ(−1 + 2 ξ)

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ qj ⎥ ⎣ ⎦ qk

(440)

Es kann damit eine quadratische Verteilung der Streckenlast beschrieben werden. Nach (434) ergeben sich daraus folgende Kr¨afte und Momente

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

6.4

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

Qi

57

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 3l Mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Qj ⎥ l ⎢ ⎢ 16 ⎥= ⎢ 420 ⎢ −8 l Mj ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ −3 Qk ⎥ ⎦ ⎣ Mk 0

−3

44

167

⎤

⎥ ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎥ ⎥ qi ⎢ ⎥ 16 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ qj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ 8l ⎥ ⎥ qk ⎥ 57 ⎥ ⎦ −3 l

4l

0

192 0 44 −4 l

(441)

Die Kr¨ afte Qi , Qj , Qk sind den Verschiebungen vi , vj , vk zugeordnet. Die Momente Mi , Mj , Mk den Verdrehungen ϕi , ϕj , ϕk . Schnittgr¨ oßen

Nach (435) erh¨ alt man die Momentenverteilung im Element:

M (ξ)

 l2 = vi 2EI

ϕi

vj

ϕj

vk

⎡   −23 + 198 ξ − 408 ξ 2 + 240 ξ 3 ⎢   ⎢ ⎢ l −6 + 39 ξ − 72 ξ 2 + 40 ξ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 16 − 96 ξ + 96 ξ 2 ϕk ⎢  ⎢  ⎢ l −8 + 96 ξ − 240 ξ 2 + 160 ξ 3 ⎢  ⎢  ⎢ 7 − 102 ξ + 312 ξ 2 − 240 ξ 3 ⎣   l −1 + 15 ξ − 48 ξ 2 + 40ξ 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(442) Aus (436) gewinnt man die Querkraftverteilung im Element:

Q(ξ)

 l3 = vi 6EI

ϕi

vj

ϕj

vk

⎡   66 − 272 ξ + 240 ξ 2 ⎢   ⎢ ⎢ l 13 − 48 ξ + 40 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎢ (−32 + 64 ξ) ϕk ⎢  ⎢  ⎢ l 32 − 160 ξ + 160 ξ 2 ⎢  ⎢  ⎢ −34 + 208 ξ − 240 ξ 2 ⎣   l 5 − 32 ξ + 40 ξ 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (443) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

168

6. Balkenelemente

Setzt man (442) und (443) f¨ ur ξ = 0, ξ = 1/2 und ξ = 1 an und faßt diese Beziehungen in Matrixform zusammen, so erh¨alt man die Schnittgr¨oßen an den Knoten i, j und k: ⎡ 396

⎢ ⎢ ⎢ −46 l ⎢ ⎢ EI ⎢ ⎢ −60 ⎢ 3 l ⎢ 8l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 204 ⎣ 14 l

78 l

−192

192 l

−204

−12 l2

23 l

−16 l2

14 l

−6 l

0

−48 l

60

l2

−16 l

0

8l

30 l

192

192 l

−396

2 l2

32 l

16 l2

−46 l

⎤⎡ 30 l

⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −2 l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 78 l ⎥ ⎢ ⎦⎣ 12 l2

⎤ vi

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ϕj ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vk ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ϕk

⎤ Qi

⎥ ⎥ Mi ⎥ ⎥ ⎥ Qj ⎥ ⎥ ⎥ Mj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Qk ⎥ ⎦ Mk (444)

6.4.2 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten

Das Bild 6.20 zeigt das zweiknotige Balkenelement mit den Freiheitsgraden v, ϕ und κ je Knoten sowie eine linear verteilte Streckenlast. Es werden nachfolgend die Steifigkeitsmatrix und andere Gr¨ oßen dieses Elementes betrachtet.

Bild 6.20. Das zweiknotige Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten und einer m¨ oglichen Streckenlast

Ansatzfunktion

Ausgehend von (423) wird die Ansatzfunktion formuliert: v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 + a5 ξ 5 = xT a

(445)

Formfunktion ¨ Uber die Interpolationsbedingungen nach (429) gewinnt man die Formfunktion des Elementes:

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

⎡

 v=

vi

κi

ϕi

vj

ϕj

169

1 − 10 ξ 3 + 15 ξ 4 − 6 ξ 5   ξ l 1 − 6 ξ2 + 8 ξ3 − 3 ξ4

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ (l ξ)2   1 − 3 ξ + 3 ξ2 − ξ3 ⎢ ⎢ 2 κj ⎢   ⎢ ⎢ ξ 3 10 − 15 ξ + 6 ξ 2 ⎢ ⎢   ⎢ ξ 3 l −4 + 7 ξ − 3 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎣  l2ξ 3  1 − 2 ξ + ξ2 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (446) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Die Formfunktionen sind in Bild 6.21 abgebildet. Die Funktionen N1 und N4 sind den Durchbiegungen vi und vj zugeordnet. Die Funktionen N2 und N5 den Verdrehungen ϕi und ϕj . In der rechten Bildh¨alfte sind die Formfunkummungen κi und κj angef¨ uhrt. tionen N3 und N6 der beiden Kr¨ Steifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix ist eine (6 × 6)-Matrix:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ EI ⎢ ⎢ ⎢ K= 35 l3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

v1

κ1

ϕ1

2

v2

ϕ2

κ2

−600

300 l

−15 l2

600

300 l

15 l

300 l

192 l2

11 l3

−300 l

108 l2

15 l2

11 l3

3 l4

−15 l2

4 l3

600

−300 l

2

−600

−300 l

−15 l

300 l

108 l2

4 l3

−300 l

192 l2

−15 l2

−4 l3

1 4 l 2

15 l2

−11 l3

⎤

v1 ⎥ ⎥ −4 l3 ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ 1 4 ⎥ l ⎥ κ1 2 ⎥ 15 l2 ⎥ ⎥v2 ⎥ ⎥ −11 l3 ⎥ϕ2 ⎦ 3 l4

(447)

κ2

Streckenlast

Die Streckenlast wird im Element als linear verteilt angenommen und kann damit wie folgt beschrieben werden:  q(ξ) =

1−ξ

 ξ

⎤

⎡ ⎣

qi

⎦

qj

Nach (434) erh¨ alt man damit folgendes Ergebnis:

(448)

170

6. Balkenelemente

Bild 6.21. Die Formfunktionen des zweiknotigen Balkenelementes mit drei Freiheitsgraden

pro Knoten

⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢  = Q ⎢ 840 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

300 52 l 4 l2 120 −32 l 3 l2

120

⎥ ⎥ 32 l ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 l ⎥ qi ⎦ ⎥⎣ ⎥ 300 ⎥ qj ⎥ ⎥ −52 l ⎥ ⎦ 4 l2

(449)

Schnittgr¨ oßen

Mit (435) und (436) lassen sich die Schnittgr¨oßen im Element berechnen. Aus den Bedingungen: Mi = M (ξ = 0); Mj = M (ξ = 1) sowie Qi = Q(ξ = 0); Qj = Q(ξ = 1) gewinnt man vier Gleichungen, die sich in Matrizenform schreiben lassen: ⎤ ⎡ vi ⎥ ⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎤ ⎥ ⎢ 2 2 ⎢ ϕi ⎥ −36 l −9 l 60 −24 l 3 l −60 Q ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 l 0 0 0 ⎥ ⎢ κi ⎥ EI ⎢ 0 ⎥ ⎢ Mi ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ (450) ⎥ ⎢ ⎢ l3 ⎢ −60 −24 l −3 l2 60 −36 l 9 l2 ⎥ ⎢ v ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎢ ⎥⎢ j ⎥ ⎢ j ⎥ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦⎢ ⎦ ⎥ ⎢ ⎢ ϕj ⎥ 0 0 0 0 0 l3 Mj ⎦ ⎣ κj

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

171

Qi , Mi , Qj und Mj sind die vorzeichenrichtigen Schnittgr¨oßen am Elementanfang und Elementende. 6.4.3 Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung

Durch die Einf¨ uhrung der Kr¨ ummung κ als dritten Freiheitsgrad des Knotens, wird eine stetige Kr¨ ummungsverteilung im Balken beschrieben. Dies kann aber bei praktischen Balkenproblemen zu Problemen f¨ uhren. Tritt z. B. in einem eindimensionalen Balken ein Absatz auf, so zeigt die Balkensteifigkeit EI an dieser Stelle eine Unstetigkeit.

Bild 6.22. Der Fehler beim zweiknotigen Element mit drei Freiheitsgraden pro Knoten bei

einem Balken mit Absatz

In dem Bild 6.22 ist ein solches Beispiel angef¨ uhrt. Der Absatz tritt bei x = l auf. Am rechten Ende wird der zweifach gelagerte Balken durch eine Einzelkraft F belastet. Er wird in zwei Elemente aufgeteilt. Die Berechnung uhrt bei dem Element mit der Durchbiegung v3 an der Kraftangriffsstelle f¨ zwei bzw. drei Freiheitsgraden pro Knoten zu folgenden Beziehungen: 1 I1 1+fg F f 2l3 ; g= 3 g EI2 I2 -    . 2 + 4 f f + g2 1 2 3 g 3+2f +5f v3 = Ff l 15 gEI2

v3 =

(451) (452)

W¨ ahrend (451) die exakte L¨ osung liefert, ist die L¨ osung (452) des Elementes mit drei Freiheitsgraden pro Knoten mit einem Fehler versehen. Der daraus formulierte relative Fehler Ev lautet:

  1

f 1 − 2 g + g 2

Ev =

5 (f + g) (1 + f g)

(453)

172

6. Balkenelemente

Eine Extremwertbetrachtung von (453) zeigt, daß f¨ ur f = 1, d.h. der Lagerabstand ist so groß wie das auskragende Ende des Balkens, der gr¨oßte Fehler auftritt. Eine Grenzwertbetrachtung f¨ ur g → ∞ und g → 0 ergibt, daß der Fehler f¨ ur diese Grenzwerte von g einen Wert von 20 % annimmt. Dieser Zusammenhang ist auch in der rechten H¨ alfte von Bild 6.22 dargestellt. Das Beispiel verdeutlicht, daß das Einsatzgebiet des angesprochenen Elementes mit dem dritten Freiheitsgrad κ eingeschr¨ankt ist. Zudem ist die Handhabung der geometrischen Randbedingungen des Elementes schwieriger. Es hat sich daher in der Praxis nicht durchsetzen k¨onnen. 6.6

6.5

Balkenbeispiel VI

Das Balkenproblem in Bild 6.9 auf der S. 151 soll mit dem zweiknotigen Element mit drei Freiheitsgraden pro Knoten gel¨ost werden. Gesucht sind die Verformungen und Schnittgr¨ oßen.

6.5 Der Timoshenko-Balken Bei gedrungenen Balken lassen sich die Schubverformungen nicht mehr wie beim Bernoulli-Balken vernachl¨ assigen. Im folgendem soll daher nach Timoshenko die Verformung aus dem Schub ber¨ ucksichtigt werden.

Bild 6.23. Ausschnitt ei-

nes Balkens in unverformter und verformter Lage

Infolge der Schubber¨ ucksichtigung treten gegen¨ uber der Bernoulli-Theorie zwei Unterschiede auf. Zum einen bleibt der verformte Querschnitt nicht mehr eben, sondern verformt sich S-f¨ ormig. Dieser wird durch einen ebenen Querschnitt angen¨ ahert, der aber nicht mehr senkrecht zur Biegelinie steht. Er hat sich gegen¨ uber der Theorie ohne Schubverformung um den Winkel γ weiterverdreht. Damit entsteht ein Gesamtverdrehwinkel:

θ =ϕ+γ =

dv +γ dx

(454)

6.5

Der Timoshenko-Balken

173

Das Funktional des Balkens

Die Schubverformungen bewirken, daß neben den Normalspannungen σxx noch Schubspannungen σxy auftreten. Sie lassen sich im Vektor als σ T = [σ|τ ] zusammenfassen. Diesen zugeordnet sind die Dehnungen ε T = [εxx |γxy ] = [ε|γ]. Damit kann man die Form¨ anderungsarbeit ΠF des Balkens schreiben als: ⎡ ⎤    σ 1 ⎦ dV ε T σ dV = ε γ ⎣ 2 V V τ   1 1 ε σ dV + γ τ dV = ΠFb + ΠFs = 2 2   V    V 

1 ΠF = 2



ΠFb

(455)

ΠFs

Stoffgleichungen

Die Normalspannung σ und die Schubspannung τ werden u ¨ ber den E-Modul E und den Schubmodul G = E/(2(1 + ν)) mit der Normaldehnung ε und der Schubdehnung γ in Beziehung gesetzt: dθ du = −E y dx dx τ = G γ = G(θ − ϕ)

σ =Eε=E

(456)

Damit lassen sich die Form¨ anderungsarbeiten ΠFb und ΠFs formulieren als:

ΠFb =

ΠFs

1 2

 ε σ dV = V

1 2



 E V

dθ dx

2 y 2 dV =

1 2





l

E 0

dθ dx

 2  dθ 1 l = EI dx 2 0 dx      1 1 l 1 l = γ τ dV = γ τ dA dx = γ Q dx 2 V 2 0 2 0 A   

 y 2 dA dx  A  

2 

I

(457) (458)

Q

Die Querkraft Q l¨aßt sich mit Hilfe des Schubfaktors κ und τ¯ = G γ ausdr¨ ucken als:

Q=

A A τ¯ = G γ κ κ

(459)

174

6. Balkenelemente

Einsetzen in (458):

ΠFs =

1 2



l

γ 0

1 A G γ dx = κ 2



l

0

A G γ 2 dx κ

(460)

Elementdefinition und Formfunktionen

Bild 6.24. Freiheitsgrade des Timoshenko-Bal-

kens

In den Form¨ anderungsarbeiten ΠFb und ΠFs tauchen mit ε = dθ/dx und γ = θ − dv/dx nur erste Ableitungen der gesuchten Gr¨oßen v und θ auf. Es ur v und θ getrennte, handelt sich damit um ein C 0 -Problem. Es werden f¨ lineare Ansatz- und damit Formfunktionen nach (259) verwendet:

v = Ni vi + Nj vj θ = N i θi + N j θj

(461)

Damit lassen sich die Dehnungen schreiben als: ⎤

⎡ ⎣

ε

⎡

⎦=⎣

γ   

dθ dx

θ−

⎤

⎡

⎦=⎣

dv dx

⎤

Ni θi + Nj θj N i θi −

 ε

Ni vi

+ N j θj −

⎦ vj

⎡

⎡ =⎣ 

0

Ni

0

−Ni

Ni

−Nj

 B

⎤ v i ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥  ⎢ N j ⎢ θi ⎥ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎢ Nj ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎦ ⎣ θj   

Nj

T B ε  γT B

⎤ ⎦ v

(462)

 v

In Kurzform kann man schreiben:

ε = B v ;

 εT v ; ε=B

 γT v γ=B

(463)

6.5

Der Timoshenko-Balken

175

Biegesteifigkeitsmatrix

In die Form¨ anderungsarbeit ΠFb nach (457) wird die Ableitung dθ/dx nach (462) eingesetzt. Unter der Voraussetzung, daß das Fl¨achentr¨agheitsmoment I sowie E konstant sind, erh¨ alt man die Biegesteifigkeitsmatrix K b :

ΠFb

1 = EI 2



l

0

 T v B  T v dx = 1 v T EI B ε ε 2 



l

0

ε B  T dx v B ε  

(464)

Kb

 ε treten die Ableitungen der Formfunktionen auf: In dem Vektor B Ni = 1 − ξ; Nj = ξ;

dNi dξ 1 1 dNi = = (−1) = − dx dξ dx l l dN dξ 1 dN j j = = Nj = dx dξ dx l Ni =

(465)

Damit ergibt sich die Biegesteifigkeitsmatrix zu: ⎡

⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎥  1⎢ ⎢ ⎥ 1 ⎢ −1 ⎥ K b = EI l 2 ⎢ ⎥ 0 l 0 ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1

⎡

−1

0

⎢ 0 ⎢  EI ⎢ ⎢ 0 ⎢ 1 dξ = l ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

1

0

0

0

−1

0

⎤ 0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 1 (466)

Schubsteifigkeitsmatrix

 γT v In die Form¨ anderungsarbeit ΠFs nach (460) wird die Schubdehnung γ = B eingesetzt. Unter der Voraussetzung einer konstanten Fl¨ache A sowie eines konstanten Schubmoduls G ergibt sich:

ΠFs

1 = 2

 0

l

A T T 1 A GBγ v Bγ v dx = v T G κ 2 κ 



l 0

γ B  T dx v B γ  

(467)

Ks

 γT f¨ γ B uhrt auf: Einsetzen der Formfunktion in das dyadische Produkt B

176

6. Balkenelemente

⎤

⎡ 1 l

⎢ ⎢ ⎢ 1−ξ ⎢ T   B γ = Bγ Bγ = ⎢ ⎢ −1 ⎢ l ⎣ ξ ⎡

⎥ ⎥$ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ l ⎥ ⎦

1−ξ

−

1 l

% ξ

⎤ 1

⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l(1 − ξ) = 2⎢ l ⎢ −1 ⎢ ⎣ ξl

l(1 − ξ)

−1

l2 (1 − ξ)2

l(ξ − 1)

l(ξ − 1)

1

ξ(1 − ξ)l2

−ξ l

ξl

⎥ ⎥ ξ(1 − ξ)l2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −ξ l ⎥ ⎦ 2 (ξ l)

(468)

Die Integration von (468) f¨ uhrt auf eine Schubsteifigkeitsmatrix, die bei schlanken Balken (β = h/l  1) zu Problemen f¨ uhrt. Die L¨osung dieses Problems ist eine reduzierte, numerische Integration. In (468) treten Polynome zweiter Ordnung auf. Eine Reduzierung bedeutet nun, daß eine exakte, numerische Integration f¨ ur ein Polynom erster Ordnung angesetzt wird. Hierzu bedient man sich den Quadraturformeln nach Gauß [26]. Damit l¨aßt sich die Integration ausdr¨ ucken als: 

l

f (x) dx = 0

n 

wi f (xi )

(469)

i=1

wi sind Gewichtungsfaktoren und xi die Gaußst¨ utzstellen. Nach der Tab. (2.7) auf der S. 46 erh¨ alt man mit a = 0, b = l, ξ = x/l und M = 1 f¨ ur ein Element bij aus (468):

kij =

1 

wk bij (xk ) = l bij ( 12 l)

(470)

k=1

F¨ ur das Element k22 ergibt sich z.B.:

k22

 1 2 l l =l 1− 2 = l 4

(471)

¨ Uber alle Elemente ausgef¨ uhrt, erh¨ alt man die Schubsteifigkeitsmatrix K s :

6.5

Der Timoshenko-Balken

⎡ ⎢ 4 ⎢ AG ⎢ ⎢ 2l Ks = ⎢ 4 κ l ⎢ −4 ⎢ ⎣ 2l

177

2l

−4

l2

−2 l

−2 l

4

l2

−2 l

⎤ 2l ⎥ ⎥ l2 ⎥ ⎥ ⎥ −2 l ⎥ ⎥ ⎦ l2

(472)

¨ Uberlagerung der Matrizen

Die Addition von K b und K s f¨ uhrt somit auf die Steifigkeitsmatrix des zweiknotigen Timoshenko-Balkens. Als Abk¨ urzung wird a = 4κEI/(AG) eingef¨ uhrt: ⎤

⎡ ⎢ 4 ⎢ AG ⎢ ⎢ 2l K = Kb + Ks = ⎢ 4 κ l ⎢ −4 ⎢ ⎣ 2l

−4

2l a+l

2l

−2 l

2

−2 l

4

l2 − a

−2 l

⎥ ⎥ l −a ⎥ ⎥ ⎥ −2 l ⎥ ⎥ ⎦ a + l2 2

(473)

Streckenlasten

F¨ ur die Umrechnung der Streckenlast q(x) in Knotengr¨oßen wird der Aus,l druck 0 v q dx herangezogen. Dabei wird wie in (390) auf der S. 147 eine linear verteilte Streckenlast u uckt: ¨ ber die linearen Formfunktionen ausgedr¨ 



l

1

v q dx = l 0

0

T



 T v/ N T N q dξ = v/ l 

1

0

N  T dξ q N  

(474)

q F

⎡ N T =⎣ N

1−ξ ξ

⎤ ⎦



1−ξ

 ξ

⎡ =⎣

(1 − ξ)2

ξ(1 − ξ)

ξ(1 − ξ)

ξ2

⎤ ⎦

(475)

  Der Vektor v˜T = vi 0 vj 0 enth¨ alt nur die Verschiebungen des Elementes. Die Integration u ¨ ber voranstehendem Ausdruck und die Multiplikation mit  q f¨ uhrt auf die Knotenkr¨ afte:

178

6. Balkenelemente

⎡

⎤ 2 qi + qj

⎡

⎤ Fi

l ⎦=⎣ ⎦ Fq = ⎣ 6 q +2q Fj i j

(476)

qi und qj sind die Streckenlasten am Anfangs- bzw. Endknoten. 6.5.1 Konvergenztest Kragbalken

Bild 6.25. Geometrie und Belastung des Krag-

balkens

Der Kragbalken nach Bild 6.25 besitzt eine L¨ange von l=100, eine H¨ohe von h=100 und eine Breite b=10. Er weist einen E-Modul von E = 210000 und eine Querkontraktion ν=0, 3 auf. Der Balken ist mit β=h/l=1 nicht schlank, so daß die Schubverformung eine Rolle spielt. Daher wird das Element nach der Timoshenko-Theorie angewendet. Exakte L¨ osung

v=

F l3 Fl +κ 3EI AG

(477)

Der Schubfaktor κ berechnet sich als: 1 2G



F2 A τ dA = κ ⇒κ= 2 2AG F A



2

τ 2 dA

(478)

A

Die quadratische Schubspannungsverteilung τ = τ (y) u ¨ ber die H¨ohe des Balkens lautet:  τ = τm 1 −



2y h

2 (479)

Die maximale Schubspannung τm , die bei y = 0 auftritt, l¨aßt sich u ¨ ber die , Beziehung F = A τ dA ausdr¨ ucken und es ergibt sich:   2 2y 3F τ= 1− 2A h

(480)

6.5

Der Timoshenko-Balken

179

Durch Einsetzen in (478) erh¨ alt man: κ=

A 6 F 2 bh 6 = F 2 5 A2 5

(481)

Einsetzen in (477) und Normieren der Durchbiegung v mit β = h/l f¨ uhrt auf:

v¯ = v

I EI 1 6 1 1 = + 2(1 + ν) 2 = + (1 + ν)β 2 3 Fl 3 5 Al 3 5

(482)

Problem beim schlanken Balken

Bild 6.26. Das Verhalten des Balkenelementes bei schlanken Balken

Die exakte Integration der Schubsteifigkeitsmatrix f¨ uhrt zu einem Fehlverhalten des Balkenelementes bei schlanken Balken. In Bild 6.26 ist die Durchbiegung eines Kragbalkens am Kraftangriffsort in Abh¨angigkeit von der Schlankheit β des Balkens aufgef¨ uhrt. Der Balken ist hierbei in f¨ unf Elemente eingeteilt worden. W¨ahrend die reduziert integrierte L¨osung bei f¨ unf Elementen einen Fehler kleiner 1% aufweist, l¨auft die L¨osung bei einer exakten Integration bei schlanken Balken (β → 0) gegen eine falsche L¨osung. Dieses Verhalten l¨aßt sich auch nicht mit einer h¨oheren Elementanzahl verbessern. 6.5.2 Balkenbeispiel VII

Es sind ausgehend von den Gl. (464) und (467) die Biege- und Schubsteifigkeitsmatritzen des dreiknotigen Timoshenko-Balkens herzuleiten. Es soll eine im Element quadratisch verteilte Streckenlast in Knotenkr¨afte umgerechnet

6.7

180

6. Balkenelemente

werden. Dabei wird die Streckenlast u ¨ ber die Werte qi , qj und qk an den drei Knoten des Elementes beschrieben.

6.6

6.6 Der elastisch gelagerte Balken Das Bild 6.27 zeigt ein Fundament, das auf Erdreich gelagert ist und durch eine Kraft sowie eine Streckenlast belastet wird. Das Fundament wird im folgenden als eindimensionaler Balken betrachtet. Die Lagerung des Balkens wird u ¨ber ein modifiziertes Steifezahlverfahren erfaßt. Dazu werden zun¨achst die unbekannten Kr¨ afte zwischen Erdreich und Balken in Ansatz gebracht:

Bild 6.27. Der elastisch

gelagerte Balken

K F u = F − P

(483)

K F - Steifigkeitsmatrix des eindimensionalen Balkens u - Vektor der Verformungen F - Vektor der ¨außeren Lasten P - Vektor der Kr¨afte des Bodens, die auf das Fundament wirken Die Kr¨ afte P , die vom Boden auf das Fundament wirken, lassen sich u ¨ ber die Steifigkeitsmatrix des Bodens [39] wie folgt ausdr¨ ucken: K B u = P

(484)

K B - Steifigkeitsmatrix des Bodens u - Vektor der Verformungen Der Verformungsvektor u ist der des eindimensionalen Balkenelementes (s. (374) auf der S. 143). Gleichung (484) in (483) eingesetzt, f¨ uhrt zu:

6.6

Der elastisch gelagerte Balken

181

(K F + K B ) u = F

(485)

Die Steifigkeitsmatrix K F ist die des eindimensionalen Balkens und in (388) auf der S. 147 zu finden. Die Steifigkeitsmatrix K B des Bodens lautet: ⎡

KB

k¯ ⎢ t + k¯d ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ 0 = EB l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −k¯d ⎢ ⎣ 0

⎤ 0

−k¯d

0

0

0

k¯t ¯ + kd 2

0

0

0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(486)

Die Gr¨ oßen in (486) haben folgende Bedeutung: EB - Elastizit¨ atsmodul des Bodens l - Elementl¨ ange k¯t - Bezogene, translatorische Steifigkeit des Bodens k¯d - Bezogene, rotatorische Steifigkeit des Bodens

Bild 6.28. Bezogene Steifigkeitswerte der Translationsfeder und der Drehfeder

Die Steifigkeitswerte des Bodens k¯t und k¯d sind dem Bild 6.28 zu entnehmen. Sie basieren auf der Annahme, daß der Boden sich in erster N¨aherung linearelastisch verh¨ alt und sind u ¨ ber eine Halbraumtheorie berechnet worden [44].

182

6. Balkenelemente

In der linken H¨ alfte von Bild 6.28 ist die unabh¨angige Gr¨oße Y = yu /B der Quotient aus Erdschichtdicke (yu ) und Fundamentbreite (B). Als Parameter ist das Verh¨ altnis L = l/B als Elementl¨ ange (l) zu Fundamentbreite (B) aufgetragen. Die L¨ ange des Balkenelementes l hat damit einen Einfluß auf die bezogene translatorische Steifigkeit k¯t des Bodens. k¯t ist ebenso wie k¯d dimensionslos. Die bezogene Steifigkeit der Drehfeder k¯d ist in der rechten H¨ alfte von Bild 6.28 zu entnehmen. Bei dem linken Randelement ist kB11 und bei dem rechten Randelement ist kB33 zu ersetzen durch: ⎞ ⎛ # k¯t ⎝ k¯d ⎠ k¯d 1+2¯ + 1+4¯ 2 kt kt

(487)

Die u ¨ berlagerte Steifigkeitsmatrix K = K F + K B nach (485) ergibt sich zu:   EB l4 k¯t ¯ + kd ⎢ 12 + ⎢ EI 2 ⎢ ⎢ 6l EI ⎢ K= 3 ⎢ l ⎢ ⎢ EB l4 ¯ ⎢ kd −12 − ⎢ EI ⎣ ⎡

6l

EB l4 ¯ kd −12 − EI

6l 4 l2 −6 l

−6 l   EB l4 k¯t ¯ 12 + 2 + kd EI

2 l2

−6 l

⎤ 6l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2 (488)

6.6.1 Beispiel zum elastisch gelagerten Balken

In diesem Beispiel wird ein Fundament (elastisch gelagerter Balken) betrachtet, wie es in Bild 6.29 dargestellt ist. Es liegen folgende Daten vor: kN EF = 20 · 106 m 2 : E-Modul des Fundamentes 3 kN EB = 40 · 10 m2 : E-Modul des Bodens (Sand) yu = 100 m: Erdschichtdicke h = 5 m: Fundamentdicke LF = 40 m: Fundamentl¨ ange B = 5 m: Fundamentbreite kN γF = 28 m 3 : Wichte von Beton

6.6

Der elastisch gelagerte Balken

183

Bild 6.29. Elastisch gelagerter Balken

Die Belastungen bestehen aus dem Eigengewicht des Fundamentes (Streckenlast qF ) und einer Gewichtskraft in der Mitte des Fundamentes: G = −5000 kN: zus¨ atzliche Gewichtskraft kN kN 2 qF = −A γF = −28 m 3 25 m = −700 m : Streckenlast aus dem Eigengewicht 3 4 I = Bh achentr¨ agheitsmoment 12 = 52, 1 m : Fl¨ Die Einheiten in kN und m werden in der Rechnung nicht angef¨ uhrt. Elementknotenzuordnung

Da sowohl die Geometrie als auch die Belastung symmetrisch sind, braucht nur eine H¨ alfte in der Rechnung ber¨ ucksichtigt zu werden. Diese wird in zwei Elemente eingeteilt, wie in Bild 6.29 zu sehen ist. Elementsteifigkeitsmatrizen

Die Steifigkeitsmatrizen der beiden Balkenelemente sind identisch. Sie werden nach (388) auf der S. 147 berechnet: ⎡

K F1 = K F2

⎢ 12 ⎢ ⎢ 60 3⎢ = 1042 · 10    ⎢ ⎢ −12 ⎢ αF ⎣ 60

⎤ 60

−12

400

−60

−60

12

200

−60

60 ⎥ ⎥ 200 ⎥ ⎥ ⎥ −60 ⎥ ⎥ ⎦ 400

(489)

Die Steifigkeitswerte des Bodens werden aus dem Bild 6.28 entnommen. Mit den Eingangswerten Y = yu /B = 20 und L = l/B = 2 erh¨alt man die Werte: k¯t = 0, 55 und k¯d = 0, 2. Diese Werte in die Steifigkeitsmatrix (486) des Bodens eingesetzt:

184

6. Balkenelemente

⎡

K B1 = K B2

⎢ 0, 475 ⎢ ⎢ 0 5⎢ = 4 · 10 ⎢ ⎢ αB ⎢ −0, 2 ⎣ 0

0

−0, 2

0

0

0

kB33

0

0

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(490)

Die Steifigkeitsmatrizen des Bodens der beiden Elemente unterscheiden sich dadurch, daß der Wert kB33 bei dem Element 2 (rechtes Randelement) als Korrekturwert f¨ ur den Knoten 3 eingef¨ uhrt wird (487). Die Gr¨ oße kB33 nimmt damit folgende Werte an:

kB33

⎧ ¯ ⎪ ⎨ kt + k¯d = 0, 475 2 ! = "  ⎪ ⎩ 0,55 1 + 2 0,2 + 1 + 4 0,2 = 0, 91 2 0,55 0,55

: f¨ ur Element 1 : f¨ ur Element 2 (491)

Die Elementsteifigkeitsmatrix aus Fundament und Boden erh¨alt man aus ¨ deren additiven Uberlagerung:

K = KF + KB ⎡ ⎢ 12 αF + 0, 475 αB ⎢ ⎢ 60 αF ⎢ =⎢ ⎢ −12 α − 0, 2 α ⎢ F B ⎣ 60 αF

60 αF

−12 αF − 0, 2 αB

400 αF

−60 αF

−60 αF

k33

200 αF

−60 αF

⎤ 60 αF

⎥ ⎥ 200 αF ⎥ ⎥ ⎥ −60 αF ⎥ ⎥ ⎦ 400 αF (492)

Die Gr¨ oße k33 bestimmt sich zu:

k33

⎧ ⎨ 12 αF + 0, 475 αB = ⎩ 12 α + 0, 91 α F B

: f¨ ur Element 1

(493)

: f¨ ur Element 2

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ergibt sich aus den Elementsteifigkeitsmatrizen (Element 1: . . .; Element 2: . . .) zu:

6.6

Der elastisch gelagerte Balken

185

Kg = ⎡

1, 27

⎢ ⎢ 6, 25

⎢ ⎢ ⎢ −1, 26

⎢ 107 ⎢ ⎢ 6, 25

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

6, 25

−1, 26

6, 25

0

41, 68

−6, 25

20, 84

0

⎤

0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 6, 25 ⎥ ⎥ ⎥ 20, 84 ⎥ ⎥ ⎥ −6, 25 ⎥ ⎦ 41, 68 0

−6, 25

1, 27 + 1, 27

6, 25 + −6, 25

−1, 26

20, 84

6, 25 + −6, 25

41, 68 + 41, 68

−6, 25

0

−1, 26

−6, 25

1, 29

0

6, 25

20, 84

−6, 25

(494) Belastung

Die Umrechnung der Streckenlast in Knotenkr¨ afte und -momente geschieht elementweise nach folgender Vorschrift: ⎤ ⎡ + 3 q 7 q i j ⎥ ⎢ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎢ 2 5 ⎥ l ⎢ l ⎢ ⎢ lqi + 3 lqj ⎥ ⎢ − 30 l 1 2 Q= Q= ⎥ = q⎢ ⎢ 20 ⎢ 3 q + 7 q ⎥ 2 ⎢ −1 ⎢ ⎢ i j ⎥ ⎦ ⎣ ⎣ 5 − 32 qi − lqj 30 l ⎡

⎡

⎤

⎤ −3, 5 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ −5, 8 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 3⎢ ⎥ = 10 ⎢ ⎥ (495) ⎢ −3, 5 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 5, 8

Die elementorientierten Lasten aus der Streckenlast werden additiv zur Gesamtlast u ¨ berlagert und bilden Lastfall 1. Lastfall 2 gibt die Einzelkraft G in der Mitte des Fundamentes wieder. ⎡

−3, 5

⎤

⎡

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ −5, 8 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ −3, 5 ⎥ ⎢ ⎥ 3⎢ 3⎢  F = 10 ⎢ ⎥ + 10 ⎢ ⎢ 5, 8 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ 0     Element 1

⎤ 0

⎡

−3, 5

⎤

⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ −5, 8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −3, 5 ⎥ −7 ⎥ ⎥ 3⎢ ⎥ = 10 ⎢ ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎥ −5, 8 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −3, 5 −3, 5 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 5, 8 5, 8   0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢  G=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−5000 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

Element 2

(496)

Verformungen

Bedingt durch die Symmetrie des Problems weist die Biegelinie in der Mitte eine horizontale Tangente auf. Daraus resultiert, daß die Verdrehung des Knotens 1 ϕ1 = 0 ist.

186

6. Balkenelemente

In der Gesamtsteifigkeitsmatrix K g werden daher die zweite Zeile und Spalte gestrichen. Die L¨ osung des daraus entstehenden linearen Gleichungssystems f¨ uhrt f¨ ur die beiden Lastf¨ alle zu folgenden Verformungen: ⎡

v (1)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

v1

−0, 027

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕ1 ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v2 ⎥ ⎥ ⎢ −0, 025 ⎥=⎢ ⎢ ϕ2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 14 · 10−4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v3 ⎥ ⎢ −0, 021 ⎦ ⎣ ϕ3 4, 83 · 10−4  

⎤

⎡

−0, 012

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −0, 010 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ; v (2) = ⎢ ⎢ 3, 17 · 10−4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −0, 006 ⎥ ⎣ ⎦ 3, 88 · 10−4   

Lastfall 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(497)



Lastfall 2

Die Verformungen aus den beiden Lastf¨ allen lassen sich, da es sich um ein lineares System handelt, u ¨ berlagern. Wird n¨amlich zu dem Eigengewicht des Fundamentes noch die Kraft G aufgebracht, so ergeben sich die Gesamtverformungen aus der Addition der Verformungen der beiden Lastf¨alle 1 und 2: ⎡

v = v (1) + v (2)

−0, 039

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −0, 035 ⎢ =⎢ ⎢ 6, 30 · 10−4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −0, 027 ⎣ 8, 70 · 10−4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(498)

Das Bild 6.30 zeigt die Verformungen des Fundamentes.

Bild 6.30. Die Verformungen des Fundamentes

Zum einen sinkt es um 27 mm in das Erdreich ein. Zum anderen weist es eine Durchbiegung von 12 mm auf, die sich aus der Differenz der maximalen Durchbiegung in der Mitte und der Absenkung ergibt.

6.7

Zweidimensionales Balkenelement

187

6.7

6.7 Zweidimensionales Balkenelement 6.7.1 Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens

Das Bild 6.31 zeigt die Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkenelementes in einem lokalen Koordinatensystem. Sie setzen sich aus denen des eindimensionalen Stabes (u) und des eindimensionalen Balkens (v, ϕ) zusammen. In dem Vektor w  werden diese Verschiebungen und Verdrehungen f¨ ur die beiden Knoten i und j zusammengefaßt.

Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens

Bild 6.31.

Die Verschiebungen und Verdrehungen im Element lassen sich u ¨ber die bekannten Formfunktionen des eindimensionalen Stabes (s. (259) auf der S. 102) und des eindimensionalen Balkens (s. (373) auf der S. 143) beschreiben: ⎡ ⎡

⎤

⎡

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v ⎥=⎢ ¯ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ϕ    ˆ ¯ w u ¯

1−ξ

0

0

ξ

0

0

1 − 3 ξ2 + 2 ξ3

ξl(1 − ξ)2

0

ξ 2 (3 − 2 ξ)

0

ξ 6 (ξ − 1) l

1 − 4 ξ + 3 ξ2

0

ξ 6 (1 − ξ) l

⎤ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ ξ l(ξ − 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ξ(3 ξ − 2) ⎢ ⎢ ⎣ 

u ¯i

⎤

⎥ v ¯i ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ ⎥ ⎥ u ¯j ⎥ ⎥ ⎥ v ¯j ⎥ ⎦ ϕj  ¯ w



(499) Die Formfunktionen in voranstehender Gleichung sind im lokalen Koordinatensystem beschrieben, so daß die Gr¨ oße ξ sich darstellt als: ξ = x ¯/l. ¨ 6.7.2 Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken

¨ Die Dehnungen beim zweidimensionalen Balken werden durch Uberlagerung der Dehnungen des eindimensionalen Stabes εs und des eindimensionalen Balkens εb gewonnen. Dieser Zusammenhang ist in Bild 6.32 dargestellt.

¨ Bild 6.32. Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken

188

6. Balkenelemente

ε = εs + εb

(500)

Die Dehnungen des Stabes lauten nach (260) auf der S. 103:

εs =

uj − ui = l

$ −

1 l

1 l

%

⎤

⎡ ⎣

ui

 sT u ⎦=B

(501)

uj

Die Dehnungen des eindimensionalen Balkens ergeben sich nach (357) und (379) zu:  T v = B  bT v εb = −y v  = −y B

(502)

Die Gleichungen (501) und (502) werden in (500) eingesetzt:  T u + B  T v = B Tw ε=B  s b

(503)

 lautet damit: Der Dehnungs-Verschiebungs-Vektor B ⎡

− 1l

⎤

⎡

⎤ 0

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ y(−12 ξ + 6) ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ 1 ⎢ y(−6 lξ + 4 l) ⎢ ⎢ ⎥  =⎢ B ⎥+ ⎢ ⎢ 1 ⎥ l2 ⎢ 0 ⎢ l ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ y(12 ξ − 6) ⎣ ⎣ ⎦ 0 y(−6 lξ + 2 l)

⎡

−l

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 y(−2 ξ + 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ 2 y(−3 lξ + 2l) ⎥ ⎥= 2⎢ ⎥ l ⎢ l ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 y(2 ξ − 1) ⎥ ⎣ ⎦ 2 y(−3 lξ + l)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(504)

Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes σ = E ε und (503) ergibt sich: Tw σ = Eε = E B 

(505)

6.7.3 Steifigkeitsmatrix

Die Gleichungen (503) und (505) in die elastische Form¨anderungsarbeit eingesetzt:

6.7

Zweidimensionales Balkenelement

1 2



1 T w  E 2 

ε(w)  σ(w)  dV = V

189

 V

B  T dV w B    K

(506)

B  T stellt ein dyadisches Produkt dar und f¨ Die Gr¨ oße B uhrt zu folgendem Ergebnis: B T = B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

l2

−6 yl·

−2 yl·

(−2 ξ + 1)

(−3l ξ + 2l)

−l2

2y ·

−2 yl·

(2 ξ − 1)

(−3l ξ + l)

6y ·

2y ·

(−12 ξ + 6)·

(−12 ξ + 6)·

(2 ξ − 1)

(−3l ξ + l)

2

−6 yl·

36 y 2 ·

(−2 ξ + 1)

(−2 ξ + 1)2

−2 yl· (−3l ξ + 2l) −l2 −6 ly· (2 ξ − 1) −2 yl· (−3l ξ + l)

2 y2 · (−12 ξ + 6)· (−3l ξ + 2l)

2

(−12 ξ + 6)· (−3l ξ + 2l)

2 yl·

12 y 2 ·

(−3l ξ + 2l)2

(−3l ξ + 2l)

(2 ξ − 1)

2 yl·

(−12 ξ + 6)

(−3l ξ + 2l)

(−12 ξ + 6)· (2 ξ − 1)

(−12 ξ + 6)

4 y2 ·

ly· 6 y2

ly·

l2

(2ξ − 1)

(−2 ξ + 1)2

(−3l ξ + 2l)·

(−3l ξ + l)

(−3l ξ + l)

(−3l ξ + l)

(−3l ξ + l) 2 yl·

(2 ξ − 1)

(−12 ξ + 6)·

(−3l ξ + 2l)·

(−3l ξ + l)

36 y 2 ·

2 yl·

4 y2 ·

(2 ξ − 1)

6 yl·

4 y2 ·

2

6 yl·

12 y 2 ·

2 y2 ·

⎤

−6 yl·

12 y 2 · (2 ξ − 1)· (−3l ξ + l)

12 y 2 · (2 ξ − 1)· (−3l ξ + l) 4 y2 · (−3l ξ + l)2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(507) B  T in (506) wird elementweise durchgef¨ Die Integration u uhrt und f¨ uhrt ¨ ber B ¯ zur Steifigkeitsmatrix K: ⎡

A l2 I

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ¯ = EI ⎢ K ⎢ 3 l ⎢ A l2 ⎢ − ⎢ I ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

A l2 − I

12

6l

0

6l

4 l2

0

⎤ 0 −12 −6 l

2

0

0

Al I

−12

−6 l

0

12

6l

2 l2

0

−6 l

0

⎥ ⎥ ⎥ 6l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎦ 2 4l 0

(508)

190

6. Balkenelemente

Die voranstehende Steifigkeitsmatrix ist im lokalen (¯ x, y¯, z¯)-Koordinatensystem des Elementes beschrieben. Soll nun eine Balkenstruktur mit mehreren Elementen betrachtet werden, so m¨ ussen die Steifigkeitsmatrizen in einem globalen Koordinatensystem beschrieben sein. Daher wird im n¨achsten Abschnitt die Steifigkeitsmatrix u ucktransformation auf ein globales ¨ ber eine R¨ Koordinatensystem bezogen. 6.7.4 Transformation der Steifigkeitsmatrix

¯ in (508) ist in dem lokalen Koordinatensystem des Die Steifigkeitsmatrix K Elementes beschrieben. Zur Transformation in das globale System wird sie ¯ (F¯ ) in vier Untermatrizen unterteilt. Analog wird der Verformungsvektor w   ¯j (F¯j ) aufgeteilt: ¯i (F¯i ) und w in zwei Vektoren w ⎡ ⎣

¯ K 11

¯ K 12

¯ K 21

¯ K 22

⎤⎡

¯i w

⎦⎣

⎤

⎡

⎦=⎣

¯j w

F¯i F¯j

⎤ ⎦

(509)

Ausmultipliziert ergibt sich: ¯ w ¯ ¯j = F¯i  K 11 ¯i + K 12 w ¯ w ¯ w ¯ + K ¯ = F¯ K 21

i

22

j

j

(510)

Nach (45) auf der S. 33 ergibt sich: ¯i = T w  i ; F¯i = T Fi w ¯j = T w  j ; F¯j = T Fj w

(511)

Die Transformation stellt eine Drehung um die z-Achse dar. Die entsprechende Transformationsmatrix ist in (47) zu finden. Einsetzen der Beziehungen aus (511) in (510) f¨ uhrt auf: ¯ T w ¯ T w i + K  j = T Fi K 11 12 ¯ 21 T w ¯ 22 T w K i + K  j = T Fj

(512)

Die beiden voranstehenden Gleichungen werden von links mit T T durchmultipliziert: ¯ 11 T w ¯ 12 T w i + T T K  j = T T T Fi = Fi TT K

6.7

Zweidimensionales Balkenelement

191

¯ T w ¯ T w TT K i + T T K  j = T T T Fj = Fj 21 22

(513)

Da die Transformationsmatrix T eine orthogonale Matrix ist, gilt: T T T = E. Damit verschwindet die Transformationsmatrix bei den Ausdr¨ ucken auf der rechten Seite: ⎡ T

¯ T K 11

T

⎢ T ⎣ ¯ T TT K 21

T

TT

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ¯  K 12 T ⎥ ⎢ w  i ⎥ ⎢ Fi ⎥ ⎦⎣ ⎦=⎣ ⎦ ¯ T  K F w  j j 22

(514)

Oder in Kurzform: K w  = F

(515)

¯ ij haben alle die Form: Die vier Untermatrizen K ⎤

⎡ α

0

⎢ ¯ ij = ⎢ K ⎢ 0 ⎣ 0

0

⎥ ⎥ γ ⎥ ⎦ ε

β δ

(516)

¯ T: Bilden des Produktes T T K ij ⎤⎡

⎡ α

⎢ ¯ T =⎢ K ⎢ 0 ij ⎣ 0

0 β δ

⎡ c

0

⎤ c

⎥⎢ ⎥⎢ γ ⎥ ⎢ −s ⎦⎣ ε 0

−s

s c 0

⎡

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ −βs ⎦ ⎣ 1 −δs

⎤⎡ 0

⎢ ¯ T =⎢ TTK ⎢ s c 0 ij ⎣ 0 0 1 ⎡ αc2 + βs2 ⎢ ⎢ = ⎢ sc(α − β) ⎣ −δs

⎤ αc

αs βc δc

0

⎥ ⎥ γ ⎥ ⎦ ε

(517)

⎤ αc

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −βs ⎦⎣ −δs

αs

0

⎥ ⎥ βc γ ⎥ ⎦ δc ε ⎤ sc(α − β) −γs ⎥ ⎥ αs2 + βc2 γc ⎥ ⎦ δc ε

(518)

192

6. Balkenelemente

Die Anwendung von (518) auf alle Bl¨ ocke der Steifigkeitsmatrix nach (508) f¨ uhrt zu der Steifigkeitsmatrix des zweidimensionalen Balkenelementes im globalen Koordinatensystem: E K= 3 l ⎡ 2

ac + 12 s2 I

⎢ (a − 12 I) sc ⎢ ⎢ ⎢  −6 lsI  ⎢ − ac2 + 12 s2 I ⎢ ⎣ − (a − 12 I) sc −6 lsI

(a − 12 I) sc

  −6 lsI − ac2 + 12 s2 I

− (a − 12 I) sc −6 lsI   − as2 + 12 c2 I 6 lcI

as2 + 12 c2 I

6 lcI

− (a + 12 I) sc

6 lcI

4 l2 I

6 lsI

−6 lcI

ac2 + 12 s2 I

(a − 12 I) sc

6 lsI

(a − 12 I) sc

as2 + 12 c2 I

−6 lcI

6 lsI

−6 lcI

4 l2 I

− (a + 12 I) sc 6 lsI   − as2 + 12 c2 I −6 lcI 6 lcI

2 l2 I

2 l2 I

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(519) In der voranstehenden Gleichung wurden folgende Abk¨ urzungen verwendet: s = sin ϕ ; c = cos ϕ ; a = A l2 . Streckenlast

In Bild 6.33 ist die Streckenlast des Balkens in allgemeiner Lage dargestellt. ¯j ¯ i, Q Nach (394) auf der S. 148 kann sie im lokalen System in die Kr¨afte Q und die Momente m ¯ i, m ¯ j umgerechnet werden. W¨ahrend die Momente bedingt durch das Zusammenfallen der z¯- und z-Achse im lokalen und globalen Koordinatensystem identisch sind, m¨ ussen die Kr¨afte knotenweise in das globale System transformiert werden. F¨ ur den Knoten i ergibt sich die Belastung aus der Streckenlast im lokalen System: ⎤

⎡ F¯ = ⎣

0

⎦

(520)

¯i Q

Bild 6.33. Streckenlast des zweidimensionalen

Balkens

R¨ ucktransformation in das globale System:

¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken

6.8

⎡ ⎣

⎤ Qxi

⎡

⎦=⎣

Qyi

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

⎤

⎤⎡ ⎦⎣

0 ¯i Q

⎡

⎦=⎣

¯ i sin ϕ −Q ¯ i cos ϕ Q

193

⎤ ⎦

(521)

Analog ergeben sich die Kr¨ afte f¨ ur den Knoten j. Einsetzen in (394) ergibt die Streckenlast f¨ ur den eindimensionalen Balken: ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

Qxi

−(7 qi + 3 qj ) sin ϕ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (7 qi + 3 qj ) cos ϕ Qyi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ mi ⎥ lqi + 23 lqj l ⎢ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 20 ⎢ −(3 q + 7 q ) sin ϕ Qxj ⎥ ⎢ ⎥ i j ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (3 qi + 7 qj ) cos ϕ Qyj ⎥ ⎣ ⎦ mj − 23 lqi − lqj

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(522)

¨ 6.8 Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken 6.8.1 Winkelproblem Problembeschreibung

In der linken H¨ alfte von Bild 6.34 ist ein zweidimensionaler Rahmen aufgef¨ uhrt, der an seinen beiden Enden fest eingespannt ist. Er wird durch eine Einzelkraft F belastet. F¨ ur diese Struktur sollen die Verformungen und Schnittgr¨ oßen berechnet werden.

Bild 6.34. Winkel als zweidimensio-

naler Balken

Einteilung in Elemente

Die Elementaufteilung ist in der rechten H¨ alfte von Bild 6.34 dargestellt. Die Struktur ist in zwei Elemente eingeteilt. Die Vergabe der Element- und

6.8

194

6. Balkenelemente

Knotennummern ist beliebig, wobei die Knotennummern die Bandbreite der Gesamtsteifigkeitsmatrix bestimmen (s. S. 48). Es ist jeweils das lokale Koordinatensystem eines jeden Elementes eingezeichnet. Elementknotenzuordnung Tabelle 6.3. Elementknotenzuordnung und Geometriedaten

Element

Knoten i

Knoten j

ϕ

1

1

2

0◦

2

2

sin(ϕ)

cos(ϕ)

A

I

l

0

1

1

1

1

-1

0

1

1

1

◦

3

270

Elementsteifigkeitsmatrizen

Die Steifigkeitsmatrizen werden nach (519) auf der S. 192 aufgestellt. Sie beziehen sich auf das gew¨ ahlte, globale (x, y, z)-Koordinatensystem.

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

1

0

0

−1

0

0

12

6

0

−12

6

6

4

0

−6

2

0

0

1

0

0

−12

−6

0

12

−6

0

6

2

0

−6

4

u2

v2

ϕ2

u3

v3

ϕ3

12

0

6

−12

0

1

0

0

−1

0

4

−6

0

0

−6

12

0

−1

0

0

1

0

2

−6

0

⎡

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 K1 = ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎡

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ K2 = ⎢ 6 ⎢ ⎢ −12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 6

⎤

u1 ⎥ ⎥ ⎥v1 ⎥ ⎥ ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥v2 ⎦

(523)

ϕ2

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥v2 ⎥ 2 ⎥ ⎥ϕ2 ⎥ −6 ⎥ ⎥u3 ⎥ ⎥ 0 ⎥v3 ⎦ 4 ϕ3 6

(524)

¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken

6.8

195

Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ Die Gesamtsteifigkeitsmatrix entsteht aus der Uberlagerung von K 1 und K 2 . Dazu sind bei der Einzelsteifigkeitsmatrix und der Gesamtsteifigkeitsmatrix die Zeilen und Spalten durch die Freiheitsgrade (u1 , v1 , u2 , . . .) durchnumeriert worden, so daß eine Zuordnung der Elemente aus den Elementsteifigkeitsmatrizen zu den Elementen der Gesamtsteifigkeitsmatrix m¨oglich wird.

Kg = u1 ⎡
1 ⎢ ⎢
0 ⎢ ⎢ ⎢
0 ⎢ ⎢ ⎢
−1 ⎢ ⎢ ⎢
0 ⎢ ⎢ ⎢
0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

u3

v3


0


0


−1


0


0

0

0


12


6


0


−12


6

0

0


6


4


0


−6


2

0

0


0


0


1 + 12


0 + 0


0 + 6

−12

0


−12


−6


0 + 0


12 + 1


−6 + 0

0

−1


6


2


0 + 6


−6 + 0


4 + 4

−6

0

0

0

−12

0

−6

12

0

0

0

0

−1

0

0

1

0

0

6

0

2

−6

0

ϕ3 ⎤ u 1 ⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ϕ1 ⎥ ⎥ 6 ⎥ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ v2 ⎥ 2 ⎥ ⎥ ϕ2 ⎥ ⎥ u −6 ⎥ 3 ⎥ 0 ⎥ ⎦ v3 0

0

4

ϕ3

(525) Die Anteile von Element 1 sind durch · · · gekennzeichnet. Die Anteile von Element 2 durch · · ·. Verformungen

Die festen Einspannungen f¨ uhren zu folgenden Randbedingungen: Knoten 1: u1 = v1 = ϕ1 = 0 Knoten 3: u3 = v3 = ϕ3 = 0 Daher werden im Gleichungssystem (525) die Zeilen und Spalten 1 bis 3 und 7 bis 9 gestrichen. Daraus resultiert folgendes Untersystem zur Bestimmung der drei unbekannten Verformungen: ⎡

⎤

⎤⎡ 13

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 6 ⎡ u2 ⎢ ⎢ ⎢ v2 ⎣ ϕ2

0

6

u2

⎡

⎤ 0

⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 13 −6 v 1 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ −6 8 ϕ2 0 ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 9 − 104 −0, 087 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 104 ⎥ = ⎢ 0, 164 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3 0, 188 16

(526)

196

6. Balkenelemente

Biegelinie des Balkens

Das Bild 6.35 zeigt eine allgemeine Biegelinie eines zweidimensionalen Balkens, von der ein beliebiger Punkt P bestimmt werden soll. Der Verformungs¯ vektor w ˆ an der Stelle ξ ergibt sich nach (499): ¯ ¯w ¯ w ˆ=N

(527)

Bild 6.35. Allgemeine Form der

Biegelinie eines zweidimensionalen Balkens

Der Querstrich deutet an, daß es Gr¨ oßen im lokalen Koordinatensystem (¯ x, y¯) ¯ ¯ˆ = T w ˆ transsind. Der Verformungsvektor w ˆ wird mit Hilfe der Beziehung w ¯ mit w ¯ = R w.  Einsetzen in (527) f¨ uhrt zu: formiert, ebenso w ⎤ ⎡ T 0 ˆ = T T N ¯ Rw ⎦  =Nw ; R=⎣ w (528) 0 T Die Transformationsmatrix T ist in (47) beschrieben. Unter Beachtung der Strecke ξ · l, lautet damit die Beziehung f¨ ur P : ⎡  + ξl ⎣ P = X

⎤ cos ϕ

ˆu ⎦+w

(529)

sin ϕ ˆu enth¨ ˆ aus Der Vektor w alt die ersten beiden Komponenten des Vektors w (528). Die Matrix N hat folgendes Aussehen:

¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken

6.8

N= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

N1s cos2 ϕ+ N1b sin2 ϕ

1 (N1s − N1b )· 2 sin 2ϕ −

dN1b

1 sin ϕ l dξ

1 (N1s − N1b )· 2 sin 2ϕ

−N2b ·

N2s cos2 ϕ +

sin ϕ

N3b sin2 ϕ

N1s sin2 ϕ +

N2b ·

N1b cos2 ϕ

cos ϕ

1 (N2s − N3b )· 2 sin 2ϕ

dN1b

1 l dξ

cos ϕ

dN2b

1 l dξ

−

dN3b

1 l dξ

sin ϕ

197

1 (N2s − N3b )· 2 sin 2ϕ

−N4b ·

N2s sin2 ϕ +

N4b ·

N3b cos2 ϕ

cos ϕ

dN3b

1 cos ϕ l dξ

sin ϕ

1 dN4b l dξ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(530) Nis sind die Formfunktionen des eindimensionalen Stabes (s. (259)). Nib die Formfunktionen des eindimensionalen Balkens (s. (373)).

Bild 6.36. Verformungen der zweidimensionalen

Balkenstruktur

Das Bild 6.36 zeigt den verformten Winkel. Die Biegelinie ist nach (529) berechnet. Schnittgr¨ oßen

Die Einzelsteifigkeitsmatrizen sind im globalen Koordinatensystem beschrieben. Folglich ergeben sich die nachfolgend berechneten Schnittgr¨oßen auch in diesem System.

198

6. Balkenelemente

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 

0

0

−1

0

12

6

0

−12

6

4

0

−6

0

0

1

0

−12

−6

0

12

6

2

0

−6



1

K1 ⎡ ⎢ 12 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ −12 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 6 

0

6

−12

0

1

0

0

−1

0

4

−6

0

0

−6

12

0

−1

0

0

1

0

2

−6

0



K2

⎤⎡ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎢ 6 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ 2 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ 9 ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ − 104 ⎥⎢ ⎢ 17 −6 ⎥ ⎥ ⎢ 104 ⎦⎣ 3 4 16   

⎡

9 104

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 87 ⎥ ⎢ 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 63 ⎥ ⎢ − 104 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 9 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 87 ⎥ ⎢ 104 ⎦ ⎣ 3 − 13   

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(531)



1

u

⎤⎡ 9 6 ⎥ ⎢ − 104 ⎥⎢ ⎢ 17 0 ⎥ ⎥ ⎢ 104 ⎥⎢ ⎥⎢ 3 2 ⎥ ⎢ 16 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎦⎣ 4 0    2

⎤

F

⎤

⎡

9 104

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 13 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 9 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 17 ⎥ ⎢ 104 ⎦ ⎣ 15 − 104   

u

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(532)



2

F

Die Schnittgr¨ oßen an den Knoten sind in Bild 6.37 f¨ ur die beiden Elemente aufgetragen. Die Schnittgr¨ oßen an den Knoten 1 und 3 entsprechen aufgrund der nat¨ urlichen Randbedingung (Kraftrandbedingung) den Auflagerreaktionen.

Bild 6.37. Schnittgr¨ oßen des zweidimensionalen Balkenproblems

Die Kraftrandbedingung f¨ ur den Knoten 2 lautet:

¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken

6.8

⎡

1

Fx2

⎢ ⎢ 1 ⎢ Fy2 ⎣ 1 M2

⎤

⎡

2

Fx2

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ + ⎢ Fy2 ⎦ ⎣ 2 M2

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣

9 − 104 87 104

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎦ ⎣

3 − 13

9 104 17 104 3 13

⎤

⎡

199

⎤ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0

(533)

Der Vektor auf der rechten Seite beschreibt die ¨ außere Last am Knoten 2. Das Gleichgewicht ist also erf¨ ullt. Die Kontrolle des Gleichgewichtes der Elemente f¨ uhrt auf die Bedingung, daß die Summe der Kr¨afte in x- und y-Richtung verschwindet, was bei beiden Elementen der Fall ist. Zudem muß das Momentengleichgewicht erf¨ ullt sein. Es ergibt sich z.B. f¨ ur Element 1: Fy2 · 1 − 1M1 − 1M2 = 0

1

87 63 3 ·1− − =0 104 104 13

(534)

Damit ist auch diese Bedingung erf¨ ullt. ¨ 6.8.2 Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken Balkenbeispiel VIII

In Bild 6.38 ist eine zweidimensionale Struktur dargestellt, die sich aus drei Balken zusammensetzt. Die Lagerung besteht aus drei Festlagern und einem Loslager. Am Knoten 2 tritt eine Kraft von F =−1 und ein Moment von M =1 auf. Alle Balken haben einen Querschnitt von A=1, ein Fl¨achentr¨agheitsmoment von I=1 und einen E-Modul von E=1.

Bild 6.38. Geometrie, Belastung und Elementknotenzuordnung des Balkensystems

Gesucht sind f¨ ur dieses Beispiel die Verformungen der Knoten und die Biegelinien der Balken. Dazu ist die Beziehung (529) auf der S. 196 zu benutzen.

6.8

200

6.9

6. Balkenelemente

Balkenbeispiel IX

In Bild 6.39 ist ein Kragbalken dargestellt, der an seinem freien Ende durch eine Feder gest¨ utzt und durch eine Kraft F belastet wird. Die Feder hat eine Steifigkeit k. Der Kragbalken hat eine L¨ ange l, ein Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E.

Bild 6.39. Kopplung von Balken und Stab

F¨ ur dieses Beispiel sind die Verformungen und Auflagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Feder durch ein Stabelement darzustellen. Alternativ ist die Wirkung der Feder durch eine entsprechende Kraft zu ber¨ ucksichtigen. F¨ ur die L¨osung ist die Elementknotenzuordnung aus der rechten H¨alfte von Bild 6.39 zu verwenden.

Bild 6.40. Winkel als Balkenproblem. In der Rechnung

ist f¨ ur l1 , l2 , M , A, E und I jeweils der Wert 1 anzunehmen

6.10

6.11

Balkenbeispiel X

In Bild 6.40 ist ein Winkel dargestellt. Hierf¨ ur sollen unter Beachtung der gegebenen Element- und Knotennumerierung die Verformungen berechnet werden. Aus den Knotenverformungen sind die Biegelinien der Balken zu ermitteln und darzustellen.

Balkenbeispiel XI

In Bild 6.41 ist eine zweidimensionale Balkenstruktur dargestellt. Alle Balken haben ein Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Die Gr¨oße a=A l2 in der Steifigkeitsmatrix ((519) auf der S. 192) des zweidimensionalen Balkens ist u ucken. ¨ ber das Verh¨altnis f =I/a auszudr¨

6.8

¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken

201

Es ist die mehrfache Symmetrie des Problems auszunutzen. Gesucht sind die Verformungen des Systems sowie die horizontale Auflagerkraft im linken Auflager und die Biegelinien.

Bild 6.41. Symmetrische, zweidimensionale Balkenstruktur

Bild 6.42. Elastisch gelagerter Balken. L = 10,

l = 2, I = 1/12, F = 104 , E = 2 · 107 , k = 105

Beispiel mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM

In Bild 6.42 ist das FE-Netz einer H¨ alfte eines elastisch gelagerten Balkens dargestellt. Die elastische Lagerung wird durch Federn (Stabelemente 1 bis 4) der Steifigkeit k realisiert. Die Elemente 5 bis 7 bilden den Balken (E,I). ur die nuGesucht ist die Durchbiegung v2 = v2 (L, I, k, E) am Knoten 2. F¨ merische Rechnung sind die gegebenen Zahlenwerte zu verwenden.

L

Kapitel 7 Scheibenproblem

7

7

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdefinition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsaufgaben zur Scheibe ..................................

205 206 207 208 209 209 213 215 218 221 221 227

7 Scheibenproblem 7.1

7.1 Problemdefinition Das Bild 7.1 zeigt einen K¨ orper mit zwei Hauptausdehnungsrichtungen in xund y-Richtung. Er wird im folgenden Scheibe genannt. Die dritte Ausdehnungsrichtung entlang der z-Achse wird u ¨ ber die Dicke t beschrieben. Die Mittelfl¨ ache, die mittig zwischen den Deckfl¨ achen liegt, besitzt den Normalenvektor ez und die Koordinate z = 0. Damit liegen die x- und y-Achse in der Mittelfl¨ ache.

Bild 7.1. Definition des Scheibenproblems

Eine solche Scheibe weist einen ebenen Spannungszustand1 auf, wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: Die Dicke t ¨ andert sich nur moderat und es gilt: t/l  1. Die Belastung liegt in der Mittelfl¨ ache der Scheibe. Die Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen sind konstant u ¨ ber die Dicke der Scheibe. Damit reduziert sich der allgemeine, r¨ aumliche Spannungszustand: ⎤ ⎡ σxx σxy σxz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ = ⎢ σyx σyy σyz ⎥ (535) ⎦ ⎣ σzx σzy σzz 1

Daneben existiert noch ein ebener Dehnungszustand, der aber im weiteren nicht behandelt wird.

M

206

7. Scheibenproblem

auf den ebenen Spannungszustand, da die Spannungskomponenten normal zu den Deckfl¨ achen z ± t/2 verschwinden. Es sind damit die Spannungskomponenten σxz , σyz , σzz an diesen Stellen Null. Weiterhin sind f¨ ur | z |< t/2 diese Spannungskomponenten vernachl¨assigbar klein, so daß als Spannungen nur noch die Normalspannungen σxx und σyy sowie die Schubspannung σxy u ¨ brig bleiben.

7.2

7.2 Die Grundgleichungen des Scheibenproblems Das Bild 7.2 zeigt in der Form des Tonti-Diagrammes die drei Felder des Scheibenproblems. Diese sind das Verschiebungsfeld u, das Dehnungsfeld ε und das Spannungsfeld σ . Diese werden u ¨ber die drei Feldgleichungen miteinander verkn¨ upft. Weiterhin sind im Tonti-Diagramm die Randbedingungen angef¨ uhrt.

Bild 7.2. Die Beschreibung des Scheibenproblems in Form des Tonti-Diagrammes

Verschiebungen

Das vektorielle Verschiebungsfeld (s. S. 29) u ˆ(x, y) enth¨alt die beiden Komponenten u(x, y) und v(x, y). u ist die Verschiebung in x-Richtung und v die in y-Richtung: u ˆT =



 u(x, y)

(536)

v(x, y)

Dehnungen

Das Dehnungsfeld ist ein dyadisches Feld (s. S. 29) mit den drei unabh¨angigen Komponenten εxx , εyy und γxy = 2 εxy . Die Dehnungen werden wie auch die Spannungen im Rahmen der FEM als Vektor geschrieben: ε T =



 εxx

εyy

γxy

(537)

7.2

Die Grundgleichungen des Scheibenproblems

207

Spannungen

Wie zuvor schon ausgef¨ uhrt, wird hier im Rahmen des Scheibenproblems nur der ebene Spannungszustand betrachtet. Damit stellt sich das Spannungsfeld als dyadisches Feld mit den drei unabh¨ angigen Komponenten σxx , σyy und σxy dar. Sie werden analog zu den Dehnungen in Vektorform geschrieben: σ T =



 σyy

σxx

(538)

σxy

7.2.1 Die Feldgleichungen der Scheibe

Die beschriebenen drei Felder der Scheibe werden u ¨ber die drei Feldgleichungen: Kinematik-, Stoff- und Gleichgewichtsgleichung miteinander verkn¨ upft. Kinematische Beziehung

ˆ (s. Bild 7.2) lautet in ausf¨ uhrlicher Die kinematische Beziehung ε = L u Schreibweise: ⎡ ⎡

⎤ εxx

⎢ ⎢ ε = ⎢ εyy ⎣ γxy

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

∂ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ∂u ∂v ⎦ ⎣ ∂ ∂ + ∂y ∂x ∂y ∂x   L ∂u ∂x ∂v ∂y

⎤ ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎥ ⎥ u ⎥⎣ ⎦ = L u ˆ ⎥ ⎥ v ⎥ ⎦

(539)



¨ Uber den Differentialoperator L werden die Verschiebungen uˆ mit den Dehnungen ε verkn¨ upft. Stoffgleichungen

Mit Hilfe der Stoffmatrix D und der Beziehung σ = D ε lassen sich aus den Dehnungen ε die Spannungen σ berechnen. In ausf¨ uhrlicher Form: ⎡

⎤

⎡ σxx

⎢ ⎢ σ = ⎢ σyy ⎣ σxy

⎥ E ⎥ ⎥= ⎦ 1 − ν2 

1

⎢ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎣ 0

ν 1 0  D

0

⎤⎡

⎤ εxx

⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ε ⎥ ⎣ yy 1−ν ⎦ γxy 2 

⎥ ⎥ ⎥ = D ε ⎦

(540)

208

7. Scheibenproblem

In der Stoffmatrix D tritt f¨ ur den isotropen Fall neben dem Elastizit¨atsmodul E noch die Querkontraktion ν auf. Gleichgewichtsbeziehung

Die Gleichgewichtsbeziehung LT σ +b = 0 (s. Bild 7.2) schreibt sich in ausf¨ uhrlicher Form: ⎤⎡ ∂ σ ⎢ xx ∂y ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ σ ∂ ⎦ ⎣ yy σxy ∂x

⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ⎣ 0

0 ∂ ∂y

⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ b 0 x ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦ ⎥+ ⎦ by 0

(541)

Der Vektor b beschreibt sogenannte Volumenkr¨afte. Dies sind innere Kr¨afte, die an das Volumen gekoppelt sind. Mit Hilfe des Beschleunigungsvektors g   und der Dichte ρ lassen sie sich schreiben als: b T = ρ gx gy . Randbedingungen

Die wesentlichen Randbedingungen u = 0u ˆ werden dem Rand Γu aufgepr¨agt (s. Bild 7.1), wobei auch punktf¨ ormige Lagerungen m¨oglich sind. Die nat¨ urlichen Randbedingungen der Form t n σ = 0 q werden dem Rand Γq zugeordnet. Dabei stellt sich 0 q als aufgepr¨ agte Streckenlast dar. Punktf¨ormiT ge, urliche  Randbedingungen haben die Form einer Einzelkraft F =  nat¨ Fx Fy . Die Matrix n hat folgendes Aussehen: ⎤

⎡ n=⎣

7.3

nx

0

ny

0

ny

nx

⎦

(542)

7.3 Das Funktional des Scheibenproblems Das Gesamtpotential des , Scheibenproblems enth¨alt neben der elastischen Form¨ anderungsarbeit 12 V ε T σ dV drei Terme, die das Potential der ¨außeren , T Kr¨ afte erfassen. Der Term V u ˆ ˆb dV beschreibt das Potential der Volumen, T   kr¨ afte. Der Term Γ uˆ qˆ dγ erfaßt die Streckenlast, die sich entlang einer Kante Γq erstreckt. Der letzte Ausdruck in (543) enth¨alt die Einzelkr¨afte.

Π=

1 2



 ε T σ dV − V

V

uˆT ˆb dV −

 uˆT  qˆ dγ − uT F Γ

(543)

7.4

Diskretisierung des Funktionals

209

7.4 Diskretisierung des Funktionals 7.4.1 Formfunktionen des Dreieckselementes

Bild 7.3. Einteilung eines K¨ orpers in Dreieckselemente

In Bild 7.3 ist ein allgemeiner, ebener K¨ orper, der in der (x, y)-Ebene liegt, dargestellt. Dieser krummlinig berandete K¨ orper wird in Dreieckselemente aufgeteilt. Durch eine immer feiner werdende Aufteilung kann die Kontur und damit die Fl¨ ache beliebig genau approximiert werden. Ein einzelnes Dreieck stellt ein finites Element, n¨ amlich ein Dreieckselement dar. Ein solches Dreieckselement1 ist in Bild 7.4 dargestellt. Es weist an seinen Ecken jeweils einen Knoten auf. Die Geometrie des Elementes wird u ¨ ber die Koordinaten der drei Knoten beschrieben. F¨ ur jeden Knoten ist eine Verschiebung in x-Richtung (u) und y-Richtung (v) definiert. Den Verschiebungen sind entsprechende Kr¨afte Fx und Fy zugeordnet.

Bild 7.4. Koordinaten und Freiheitsgra-

de des Dreieckselementes

Ansatzfunktion

Die lineare Ansatzfunktion f¨ ur eine beliebige, skalare Gr¨oße2 φ in Dreieckskoordinaten lautet: 1 Das sechsknotige Element wird zus¨ atzlich im Computeralgebraprogramm “Scheibe Dreieck“ behandelt (s. Bild 12.1 und S. 355). 2 Die skalaren Gr¨ oßen sind beim Scheibenproblem die Verschiebungen u und v.

7.4

210

7. Scheibenproblem

⎤

⎡ a0

 φ(x, y) = a0 + a1 L1 + a2 L2 =

1

L1

L2

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ = xT a = aT x ⎦ ⎣ a2 (544)

Interpolationsbedingungen

Die unbekannten Koeffizienten a0 , a1 , a2 werden durch folgende Interpolationsbedingungen durch die Knotengr¨ oßen ersetzt (s. Bild 2.7 auf der S. 40): φ(L1 = 1 ; L2 = 0) = φ1 ⇒

φ1 = a0 + a1

φ(L1 = 0 ; L2 = 1) = φ2 ⇒

φ2 = a0 + a2

φ(L1 = 0 ; L2 = 0) = φ3 ⇒

φ3 = a0

(545)

Die voranstehenden Gleichungen lassen sich wie folgt zusammenfassen: ⎤⎡

⎡ 1

1

⎤ a0

0

⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1 0 1 ⎥ ⎢ a1 ⎦⎣ ⎣ 1 0 0 a2      A a

⎤

⎡ φ1

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ φ2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ φ3      φ

(546)

alt man: Durch Inversion von A erh¨ ⎤⎡

⎡ 0

⎢ =⎢ a = A−1 φ ⎢ 1 ⎣ 0

0 0 1

⎤ φ1

1

⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ −1 ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎦ ⎦⎣ −1 φ3

(547)

Einsetzen in (544) f¨ uhrt auf die Formfunktionen des dreiknotigen Dreieckselementes: =N  Tφ φ = xT A−1 φ ⎡ T = N

⎤ 0

 1

L1

L2

⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 0

0 0 1

1

⎥  ⎥ −1 ⎥ = L1 ⎦ −1

L2

1 − L1 − L2



7.4

Diskretisierung des Funktionals



 =

211

N1

N2

(548)

N3

Die Formfunktionen aus (548) sind in Bild 7.5 dargestellt. Es sind die Funktionen N1 , N2 und N3 normal zum Element aufgetragen. Charakteristisch f¨ ur die Formfunktion Ni (i = 1, 2, 3) ist, daß sie am Knoten i den Wert 1 annimmt. An den beiden anderen Knoten verschwindet die Formfunktion. Im Element selbst ist sie linear abh¨ angig von L1 und L2 .

Bild 7.5. Formfunktionen des dreiknotigen Dreieckselementes

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Beziehung (548) gilt f¨ ur eine skalare Gr¨ oße φ. Es werden jetzt f¨ ur φ die beiden unabh¨ angigen Verschiebungen u und v eingesetzt:

u = N1 u 1 + N2 u 2 + N3 u 3 v = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3

(549)

Die Gr¨ oßen u1 , u2 , u3 und v1 , v2 , v3 sind die Verschiebungen an den Knoten. Die voranstehenden Gleichungen lassen sich in Matrixform schreiben als: ⎡

⎡ ⎣

⎤ u

⎦=⎣

v    ˆ u

⎡



N1

0

N2

0

N3

0

N1

0

N2

0

 N

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ N3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ u1

⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ = N u v2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ u3 ⎥ ⎦ v3    u 

(550)

212

7. Scheibenproblem

Der Vektor uˆ beschreibt die Verschiebungen im Element. Die Matrix N enth¨ alt die Formfunktionen. Der Vektor u erfaßt die Knotenverschiebungen des Dreieckselementes. Die Beziehung (550) in (539) eingesetzt, ergibt: ˆ = L N u = L∆ N u = B u ε = L u

(551)

alt die partiellen Ableitungen in DreieckskoDer Differentialoperator L∆ enth¨ ordinaten und ist in (91) auf der S. 43 definiert. Einsetzen dieses Operators in (551) bzw. (550) f¨ uhrt auf die Dehnungs-Verschiebungs-Matrix B und kann wie folgt berechnet werden (xij = xi − xj ; yij = yi − yj ): ⎡

∂ ∂ 0 ⎢ y23 ∂L + y31 ∂L ⎢ 1 2 ⎢ ∂ ∂ 1 ⎢ ⎢ 0 x32 + x13 B = L∆ N = ∂L ∂L 2 A∆ ⎢ 1 2 ⎢ ⎢ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ x32 + x13 y23 + y31 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L2 ⎡ L 0 L2 0 1 − L1 − L2 0 ⎣ 1 0 L1 0 L2 0 1 − L1 − L2 ⎡ − y32 0 y31 0 −y21 0 1 ⎢ ⎢ = ⎢ 0 x32 0 −x31 0 x21 2 A∆ ⎣ x32 −y32 −x31 y31 x21 −y21

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(552)

Spannungs-Verschiebungs-Beziehung

Durch Einsetzen von (551) in (540) erh¨ alt man die Spannungs-DehnungsBeziehung:

σ = D B u

(553)

F¨ ur die Diskretisierung stehen jetzt folgende Ausdr¨ ucke zur Verf¨ ugung: (u ˆ)T = (N u)T = uT N T nach (550) ε T = (B u)T = uT B T nach (551) σ = D B u nach (553) Die Gleichungen werden in das Funktional nach (543) eingesetzt:

7.4

Diskretisierung des Funktionals

213

H

1 Π = uT 2

       B T D B dV u − uT N T ˆb dV − uT N T qˆ dγ − uT F    V  Γ    V  K

 G

 Q

1  − uT Q  − uT F = uT Ku − uT G 2

(554)

Die Gr¨ oßen in der voranstehenden Gleichung haben folgende Bedeutung: K - Steifigkeitsmatrix des dreiknotigen Dreiecksscheibenelementes  - Vektor der Knotenkr¨ G afte aus den Volumenkr¨aften  - Vektor der Knotenkr¨ Q afte aus den Streckenlasten F - Vektor der Knotenkr¨ afte aus den Einzelkr¨aften 7.4.2 Variation des diskretisierten Funktionals

Die Variation f¨ ur das voranstehende Funktional lautet:

δΠ =

∂Π δu = 0 ∂u

(555)

∂ Bei Anwendung dieses Ausdruckes auf (554) wird die Rechenregel δu = ∂u ∂ angewendet (s. (72) auf der S. 39): δuT ∂u T δΠ =

1 T ∂uT ∂u ∂uT  ∂uT  ∂uT 1 − δuT T Q − δuT T F δu δu − δuT T G Ku + uT K T 2 ∂u 2 ∂u ∂u ∂u ∂u (556)

In die voranstehende Gleichung werden folgende Beziehungen eingef¨ uhrt: ∂uT ∂u =E = T ∂u ∂u uT Kδu = δuT K T u = δuT Ku nach (74) Die Addition der beiden ersten Terme in (556) ausgef¨ uhrt und den Ausdruck uhrt auf: δuT ausgeklammert, f¨    −Q  − F = 0 δΠ = δuT K u − G

(557)

214

7. Scheibenproblem

Die Variation verschwindet nur dann, wenn der Klammerausdruck zu Null wird, da δuT beliebige Werte annehmen kann. Somit erh¨alt man die Gleichgewichtsbeziehung der FEM f¨ ur das dreiknotige Dreiecksscheibenelement zu:  +Q  + F K u = G

(558)

Zur Bestimmung der Steifigkeitsmatrix K muß die Dyade H = B T D B gebildet werden: ⎤

⎡ ⎢ 1 ν 0 E ⎢ ⎢ ν 1 0 DB= 1 − ν2 ⎢ ⎣ 0 0 β ⎡ E ⎢ −y32 1 − ν2 ⎢ ⎢ −νy = 32 2 A∆ ⎢ ⎣ βx32

⎡

⎤ 0

y31

0

−y21

0

x32

0

−x31

0

x21

−y32

−x31

y31

x21 ⎤

−y21

⎥ ⎢ −y32 ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 A∆ ⎢ 0 ⎦ ⎣ x32 νx32

y31

−νx31

−y21

x32

νy31

−x31

−νy21

−βy32

−βx31

βy31

βx21

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

νx21 ⎥ ⎥ x21 ⎥ ⎥ ⎦ −βy21 (559)

E H=B DB= (1 − ν 2 ) 4 A2∆ T

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 

2 y32

−νy32 x32

−y31 y32

νx31 y32

y21 y32

+βx232

−βx32 y32

−βx32 x31

+βx32 y31

+βx21 x32

−νy32 x32

x232

νy31 x32

−x31 x32

−νx32 y21

−βx32 y32

2 +βy32

+βx31 y32

−βy31 y32

−βx21 y32

−y31 y32

νy31 x32

2 y31

−νx31 y31

−y21 y31

−βx32 x31

+βx31 y32

+βx231

−βx31 y31

−βx21 x31

νx31 y32

−x31 x32

−νx31 y31

x231

νx31 y21

+βx32 y31

−βy31 y32

−βx31 y31

2 +βy31

+βx21 y31

y21 y32

−νx32 y21

−y21 y31

νx31 y21

2 y21

+βx21 x32

−βx21 y32

−βx21 x31

+βx21 y31

+βx221

−νx21 y32

x21 x32

νx21 y31

−x21 x31

−νx21 y21

−βx32 y21

+βy21 y32

+βx31 y21

−βy21 y31

−βx21 y21



⎤ −νx21 y32 ⎥ ⎥ −βx32 y21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ x21 x32 ⎥ ⎥ ⎥ +βy21 y32 ⎥ ⎥ ⎥ νx21 y31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ +βx31 y21 ⎥ ⎥ ⎥ −x21 x31 ⎥ ⎥ ⎥ −βy21 y31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −νx21 y21 ⎥ ⎥ ⎥ −βx21 y21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 x21 ⎥ ⎦ 2 +βy21 

ˆ H

(560)

7.4

Diskretisierung des Funktionals

215

Die Abk¨ urzungen in den voranstehenden Gleichungen haben folgende Bedeutung: 1−ν ; xij = xi − xj = −xji ; yij = yi − yj = −yji 2

β=

A∆ - Fl¨ ache des Dreieckselementes Damit erh¨ alt man die Steifigkeitsmatrix des Scheibendreieckselementes. Die Integration von H f¨ uhrt unter Beachtung von dV = t dA zu folgendem Ausdruck: 

E ˆ H K =t H dA = t 2 ) 4 A2 (1 − ν A ∆

 dA = A

Et ˆ H (1 − ν 2 ) 4 A

(561)

7.4.3 Diskretisierung der Volumenkr¨ afte

Die Volumenkr¨ afte werden u ¨ ber die Dichte ρ und den Beschleunigungsvektor g (x, y) beschrieben. Zur Umrechnung dieser Volumenkr¨afte in Knotenkr¨afte  des Dreieckselementes wird im Element eine Linearverteilung von ˆb = ρ g(x, y) angenommen. Diese l¨ aßt sich mit Hilfe der Formfunktionen beschreiben, die auch zur Beschreibung der Verschiebungen u, v im Element dienen (s. (548)). ⎤

⎡ ˆ b = ρ⎣

gx

⎡

⎦=⎣

gy

⎤ bx

⎦

by

⎡

⎡ =⎣

L1

0

L2

0

0

L1

0

L2



(1 − L1 − L2 ) 

0

N

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ 1 − L1 − L2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ bx1

⎥ ⎥ by1 ⎥ ⎥ ⎥ bx2 ⎥ ⎥ ⎥ (562) by2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ bx3 ⎥ ⎦ by3    b

 (s. (554)): Damit ergibt sich f¨ ur G   = G

 N ˆb dV =

 N T N dV b

T

V

V

(563)

216

7. Scheibenproblem

Die Ausf¨ uhrung des Produktes N T N f¨ uhrt mit L3 = 1 − L1 − L2 auf: ⎡

⎤ L1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 L2 0 L3 0

⎡

L21

0

⎥ ⎥ L1 ⎥ ⎥⎡ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎣ L1 ⎥ L2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ L3

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ L1 L3 ⎣ 0

⎤ 0

L2

0

L3

0

L1

0

L2

0

L3

0

⎦=

⎤

0

L1 L2

0

L1 L3

L21

0

L1 L2

0

0

L22

0

L2 L3

L1 L2

0

L22

0

0

L2 L3

0

L23

L1 L3

0

L2 L3

0

⎥ ⎥ L1 L3 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ L2 L3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ L23

(564)

Die Integration u ¨ ber die einzelnen Elemente der voranstehenden Matrix weist folgende allgemeine Form auf (s. (98)):  Lai Lbj Lck dA = A

a! b! c! 2 A (a + b + c + 2)!

(565)

Die quadratischen Terme (a = 2; b = c = 0) f¨ uhren zu (dV = t dA):  L2i dA =

t A

2! 0! 0! 1 2 tA = tA (2 + 0 + 0 + 2)! 6

(566)

F¨ ur die gemischten Terme (a = b = 1; c = 0) ergibt sich:  t

Li Lj dA = A

1! 1! 0! 1 2 tA = tA (1 + 1 + 0 + 2)! 12

(567)

Damit lassen sich alle Elemente des Matrizenproduktes N T N integrieren. Unter der Voraussetzung einer konstanten Elementdicke t ergibt die Integration:

7.4

Diskretisierung des Funktionals

217

⎡

 NT

t A

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢ ⎢ N dA = ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

(568)

Die Multiplikation der voranstehenden Gleichung mit b f¨ uhrt auf die endg¨ ultige Beziehung f¨ ur die Knotenkr¨ afte: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢

 = G ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2 bx1 + bx2 + bx3 2 by1 + by2 + by3 bx1 + 2 bx2 + bx3 by1 + 2 by2 + by3 bx1 + bx2 + 2 bx3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(569)

by1 + by2 + 2 by3 Beispiel zur Volumenkraft

Liegt eine konstante Beschleunigung in x-Richtung vor (bx1 = bx2 = bx3 = b) und ist sie in y-Richtung Null, so ergibt sich: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢

 = G ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 4b

⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4b ⎥ 1 ⎢ ⎥ = tA b ⎢ ⎢ ⎥ 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4b ⎥ ⎣ ⎦ 0

⎤ 1

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0

(570)

Die gesamte Kraft aus der Beschleunigung tA b, die auf das Element wirkt, wird gleichm¨ aßig zu je einem Drittel auf die Knoten des Elementes verteilt.

218

7. Scheibenproblem

7.4.4 Diskretisierung der Streckenlasten

In Bild 7.6 ist eine Kante des Dreieckselementes mit einer Streckenlast belastet. Sie weist eine lineare Verteilung auf, die u ¨ ber die Werte q3 und q1 an den Knoten 3 und 1 beschrieben wird. Zur Beschreibung der Streckenlast auf uhrt: allen drei Kanten Γ12 , Γ23 , Γ31 wird ein Vektor q eingef¨

Bild 7.6. Streckenlast beim Dreiecksele-

ment

⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ q=⎢  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

qx1

⎥ ⎥ qy1 ⎥ ⎥ ⎥ qx2 ⎥ ⎥ ⎥ qy2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ qx3 ⎥ ⎦ qy3

(571)

Die Streckenlasten an den Knoten sind hierbei in ihre Komponenten des globalen (x, y)-Koordinatensystems zerlegt worden (s. Knoten 2 in Bild 7.6). ¨ Uber die Formfunktionen nach (550) lassen sich damit die Streckenlasten aller drei Kanten des Elementes durch folgende Beziehung ausdr¨ ucken:  q qˆ = N 

(572)

Dieser Ansatz wird in (554) eingesetzt: 

 T

 = Q

N T N q dγ   = N T N dγ q + N T N dγ q + N T N dγ q Γ12 Γ23 Γ31          N qˆ dγ =

Γ

Γ

 12 Q

 23 Q

(573)

 31 Q

Die Integration u ander des Elementes wird kantenweise vorgenom¨ber die R¨ men.

7.4

Diskretisierung des Funktionals

219

Die Ausf¨ uhrung des Produktes N T N ist in (564) zu finden. Exemplarisch wird f¨ ur die Kante Γ31 die Integration ausgef¨ uhrt:   31 = Q

N T N dγ q Γ31

⎡

⎤

L21

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢  ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ = ⎢ Γ31 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L3 ⎣ 0

0

L1 L2

0

L1 L3

L21

0

L1 L2

0

0

L22

0

L2 L3

L1 L2

0

L22

0

0

L2 L3

0

L23

L1 L3

0

L2 L3

0

0

⎥ ⎥ L1 L3 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ dγ q L2 L3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2 L3

(574)

Die Kante Γ31 weist Dreieckskoordinaten L2 = 0, 0 ≤ L1 , L3 ≤ 1 (s. Bild 7.6) auf. Bei dem Produkt N T N verschwindet damit die Koordinate L2 . Die allgemeine L¨ osung f¨ ur die elementweise Integration u ¨ ber eine Kante lautet (s. (101) auf der S. 44):  Lak Lbi dγ = Γki

a! b! Ski (a + b + 1)!

(575)

F¨ ur die quadratischen Terme (a = 2; b = 0) ergibt sich:  L2k dγ = Γki

2! 0! 1 Ski = Ski (2 + 0 + 1)! 3

(576)

Die gemischten Terme (a = 1; b = 1) f¨ uhren zu:  L1k L1i dγ = Γki

1! 1! 1 Ski = Ski (1 + 1 + 1)! 6

(577)

Die Kr¨ afte auf der Kante Γ31 ergeben sich damit zu: ⎡

 31 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S31 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ q ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

(578)

220

7. Scheibenproblem

Die Gr¨ oße S31 ist die Kantenl¨ ange zwischen Knoten 3 und 1. Analog ergeben sich die Kr¨ afte f¨ ur Kante Γ12 und Γ23 : ⎡

 12 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S12 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

1

0

2

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

2

0

0

0

1

0

2

0

0

0

1

0

⎡

 23 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S23 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ q ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(579)

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ q ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

(580)

 =Q  12 + Q  23 + Q  31 f¨ Eine Addition Q uhrt auf:  = 1 Q ⎡ 3 1 1 0 S 0 S 0 2 12 2 31 ⎢ S12 + S31 ⎢ 1 1 ⎢ 0 S12 + S31 0 S 0 S ⎢ 2 12 2 31 ⎢ ⎢ 1 1 0 S12 + S23 0 S 0 ⎢ 2 S12 2 23 ⎢ ⎢ 1 1 ⎢ 0 S 0 S12 + S23 0 S 2 12 2 23 ⎢ ⎢ ⎢ 1S 1 0 S 0 S23 + S31 0 ⎢ 2 31 2 23 ⎣ 1 1 0 S 0 S 0 S23 + S31 2 31 2 23

⎤⎡

⎤ q x1 ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qy ⎥ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qx2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qy2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ qy3 (581)

Die Kantenl¨ angen Sij haben folgende Bedeutung:

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

Sij =

 (xj − xi )2 + (yj − yi )2 0

221

falls die Kante Γij belastet ist falls die Kante Γij unbelastet ist

(582)

7.4.5 Spannungen in der Scheibe

In (553) sind die Spannungen σ u ¨ber die Beziehung:

σ = D B u

(583)

mit den Knotenverschiebungen u verkn¨ upft. Der Verschiebungsvektor u ist in (550) definiert, der Spannungsvektor σ in (538). Nachdem die Knotenverschiebungen bekannt sind, lassen sich die Spannungen nach dieser Gleichung berechnen. Die Terme des Produktes D B (s. (559)) sind konstant. Damit sind die Spannungen im dreiknotigen Dreieckselement konstant. Dies hat zur Folge, daß die Spannungen an den Elementgrenzen im allgemeinen unstetig sind.

7.5 Beispiele zum Scheibenproblem Problemdefinition

In Bild 7.7 ist in der linken H¨ alfte ein Zugblech dargestellt, dessen linke Seite fest eingespannt ist und am rechten Ende durch eine Streckenlast der Gr¨ oße q = 1 belastet wird. Der E-Modul wird zu 1 angenommen und die Querkontraktion zu 0. Die Blechst¨ arke betr¨ agt t = 1.

Bild 7.7. Einteilung eines Zugbleches in Dreieckselemente

Einteilung in Elemente

Das Problem ist von der Geometrie, der Belastung und den geometrischen Randbedingungen her symmetrisch. Daher wird in der Rechnung nur die obere H¨ alfte ber¨ ucksichtigt. Diese wird in drei Dreieckselemente eingeteilt,

7.5

222

7. Scheibenproblem

wie in der rechten Bildh¨ alfte zu sehen ist. Die Elementnummern sind durch einen Kreis und die Knotennummern durch ein Rechteck umrandet. Die nicht eingefaßten Nummern 1, 2, 3 in den Elementen geben die Reihenfolge der Knotennummern in der Elementknotenzuordnung wieder, wie sie in Tab. 7.1 angef¨ uhrt ist. Tabelle 7.1. Elementknotenzuordnung und Geometriedaten des Beispieles nach Bild 7.7

Element

Knoten 1

Knoten 2

Knoten 3

x21

x31

x32

y21

y31

y32

A∆

1 2 3

1 3 3

2 2 4

3 4 5

2 2 2

0 2 0

−2 0 −2

0 −1 0

1 0 1

1 1 1

1 1 1

Elementsteifigkeitsmatrizen

Die Steifigkeitsmatrizen von Element 1 und von 3 sind identisch, da diese beiden Elemente gleiche Gr¨ oße und Lage aufweisen. Bei der Zeilen- und Spaltendurchnumerierung bezieht sich der erste Index auf das Element 1 und der zweite Index auf das Element 3.

⎡

K 1 = K 3

u1 /u3

v1 /v3

u2 /u4

v2 /v4

u3 /u5

v3 /v5

3

1

−1

−1

−2

0

9 2

0

− 21

−1

0

1

0

0

− 12

0

1 2

1

−1

0

1

2

−4

0

0

0

⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ −1 = ⎢ 4⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ −2 ⎣ 0

⎡

K 2

u3

v3

u2

v2

u4

v4

1

0

0

0

−1

0

1 2

1

0

−1

− 12

1

2

0

−2

−1

0

0

4

0

−4

−1

−2

0

3

1

− 21

−1

−4

1

9 2

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1⎢ 0 = ⎢ 4⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣ 0

⎤

u1 /u3 ⎥ ⎥ −4 ⎥v1 /v3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥u2 /u4 ⎥ ⎥ 0 ⎥v2 /v4 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦u3 /u5 4

v3 /v5

⎤

u3 ⎥ ⎥ ⎥v3 ⎥ ⎥ ⎥u2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥v2 ⎥ ⎥ ⎥u4 ⎦ v4

(584)

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

223

Umrechnung der Streckenlast in Knotenkr¨ afte

Das Element 2 weist auf der Kante Γ23 eine Streckenlast auf. Nach (581) ergibt sich (qx2 = qx3 = 1): ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Fx3 Fy3 Fx2 Fy2 Fx4 Fy4

⎤⎡

⎡ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ 3⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1 2

0

0

1

0

0

1 2

0

1

0

0

1 2

0

0

⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎥⎢ 2 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎦⎣ 1

⎡

⎤ 0 0 1 0 1 0

⎤ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0

(585)

Geometrische Randbedingungen

Die feste Einspannung f¨ uhrt dazu, daß die Knoten auf der Kante der Einspannung keine Verschiebung aufweisen. Es gilt also: u1 = v1 = u3 = v3 = unden nur eine Verschieu5 = v5 = 0. Der Knoten 2 kann aus Symmetriegr¨ bung in x-Richtung ausf¨ uhren, d.h. v2 = 0. Damit bleiben als unbekannte Freiheitsgrade u ¨ brig: u2 , u4 , v4 . Verformungen

Die Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix wird umgangen, indem direkt die nach der Streichung der Zeilen und Spalten entstehende Untermatrix gebildet wird. Gestrichen werden aufgrund der angef¨ uhrten Randbedingungen die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10. In die Untermatrix gehen Anteile aller drei Einzelsteifigkeitsmatrizen ein und zwar entsprechend der Elementknotenzuordnung. Besser kann man sich die Anteile mit Hilfe des Bildes 7.7 verdeutlichen. Betrachtet man den Knoten 2, so sieht man, daß an ihm die Elemente 1 und 2 angrenzen, d.h. auf die Spalte bzw. Zeile u2 kommen Anteile der Steifigkeitsmatrix 1 und 2. Das Element (2, 2) der Untermatrix erh¨alt einen Anteil 3/4 von Element 2 und einen Anteil 1/4 von Element 3. ⎡ 1⎢ ⎢ ⎢ 4⎣

1 + 2

−2

−2

3 + 1

−1

1

−1

⎤⎡

⎤ u2

⎡

⎤ 2

⎥⎢ ⎥ 1⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u4 ⎥ = ⎢ 2 ⎦⎣ ⎦ 4⎣ 9/2 + 1/2 v4 0 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(586)

Multipliziert man beide Seiten mit 4 durch, so erh¨alt man folgendes Gleichungssystem:

224

7. Scheibenproblem

⎡

−2

3

⎢ ⎢ ⎢ −2 ⎣ −1

4 1

−1

⎤

⎤⎡

⎡

⎤ 2

u2

⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ u4 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 5 v4 0

(587)

Das L¨ osen des Gleichungssystems f¨ uhrt auf folgende Verformungen: ⎡

⎤

⎡

u2

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ u4 ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ v4

56 37 46 37 2 37

⎤

⎤

⎡ 1, 514

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 1, 243 ⎦ ⎣ 0, 054

(588)

Spannungen

Die Spannungen werden nach (553) bzw. (559) elementweise berechnet. Die Elemente 1 und 3 weisen dieselbe Orientierung und Gr¨oße auf, so daß das ur beide gleich ist. Es gilt also: Produkt D B f¨ ⎡ 1

(D B) = 3 (D B) =

1⎢ ⎢ ⎢ 0 2⎣ −1 ⎡

2

(D B) =

⎤

−1

0

1

0

0

−2

0

0

0

− 21

0

1 2

1

0

⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎦ 0 ⎤

−1

1⎢ ⎢ ⎢ 0 2⎣ 0

0

0

0

1

0

0

−2

0

− 21

−1

0

1

0

⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎦

(589)

1 2

Die berechneten Verformungen u werden jetzt in die Beziehung σ = D B u eingesetzt. So ergeben sich f¨ ur die einzelnen Elemente die Spannungsvektoren 1 σ , 2σ , 3σ : ⎡

⎤ 0

⎡

1

σxx

⎢ ⎢ σ = ⎢ 1σyy ⎣ 1 σxy

1

⎤

⎡

−1

⎥ 1⎢ ⎢ ⎥ ⎥= ⎢ 0 ⎦ 2⎣ −1

0

1

0

0

−2

0

0

0

− 21

0

1 2

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤⎢ 0 ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ 28 0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 37 ⎥ ⎢ 37 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 0 2 ⎥⎢ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

225

⎡

⎤ 0

⎡

2

σxx

⎢ ⎢ σ = ⎢ 2σyy ⎣ 2 σxy

2

⎤

⎡

−1

⎥ 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 0 ⎦ 2⎣ 0

0

0

0

1

0

0

−2

0

− 12

−1

0

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤⎢ 0 ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ 23 0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 37 ⎥ ⎢ 37 ⎥ ⎢ 2 ⎥=⎢ 2 ⎥⎢ ⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎣ 37 ⎢ ⎥ 1 9 ⎢ ⎥ − 74 ⎢ 46 ⎥ 2 ⎢ 37 ⎥ ⎣ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2 37

⎡

⎤ 0

⎡

3 σxx ⎢ ⎢ 3 σ = ⎢ 3σyy ⎣ 3 σxy

⎤

⎡

−1 ⎥ 1⎢ ⎢ ⎥ ⎥= ⎢ 0 ⎦ 2⎣ −1

0

1

0

0

−2

0

0

0

− 12

0

1 2

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤⎢ 0 ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 23 0 ⎢ ⎥ 37 ⎥ ⎢ 46 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 37 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥ 2 ⎥⎢ ⎦⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 37 ⎥ 1 ⎥ 0 ⎢ ⎢ ⎥ 74 ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0 (590)

Die Gr¨ oßen in der Matrix aus dem Produkt DB sind unabh¨angig von den Koordinaten (x, y) des Elementes. Daraus folgt, daß die Spannungen im Element konstant sind und damit von Element zu Element unstetig. σxx 6 ....................................................................................... ............................. ................................................................................... . .......................... . . ............................................................................. . . . ......................... . . . ......................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... . . . . ............................. ..................................................................... . . . ........................................................................................... . . . . . ................... . . . .............................. . ............................................. . . . .......................................................... . . ........................................ . . . . ........................................................... . . ........................................................... . . . . ........................................................................................... . . . ................... . . . . ............................. . . . . ...................................... . . . . .......................................................... . . . . . .................................. . . . . . .......................................................... . . . . . ................................... . . . . ............................................................ . . . . . . ................................................ . . . ........................................................................................ . . . . . . . . ................. . . . ............................. . . . . . . . ............................ .. . . . ........................................................... . . . . . . . ......................................... . . . . ........................................................................................... . . . . . . . . ............. . . . . ............................. . . . . . . . . . .......................... . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . ........................ . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . ....................... . . . . ............................................................ . . . . . . . . . . . ..................... . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . . . .............................. . . . ....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .......... . . . .............................. . . . . . . . . . . . . ....................... . . . . ........................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ............................. . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . ........................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . ....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .. . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .......................................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x







q







-

y

Bild 7.8. Zugspannungsverteilung σxx im Zug-

blech

Dies zeigt sich auch im Bild 7.8, in dem die Zugspannungen σxx normal zu den Elementen aufgetragen sind. Es ist ein Zufall, daß die Zugspannungen

226

7. Scheibenproblem

σxx von Element 2 und Element 3 gleich groß sind. Typisch ist dagegen der Sprung in den Spannungen zwischen Element 1 und Element 2. Vergleich mit der analytischen L¨ osung

In der analytischen L¨ osung wird das Problem als Stabproblem betrachtet. Aus (251) bzw. (253) erh¨ alt man: u =

F A(x)E

(591)

Die Fl¨ ache des Stabes A ist eine Funktion der Koordinate x, w¨ahrend die Dicke t konstant ist:  ! x " t A(x) = h(x) t = hl + (h0 − hl ) 1 − l

(592)

Mit h0 = h(x = 0), hl = h(x = l), (592) in (591) eingesetzt und einmal integriert, ergibt sich:

u=

Fl ! tEhl 1 −

$  ! % h0 x" " ln 1 + 1− −1 +C h0 hl l

(593)

hl

Die Integrationskonstante C wird u ¨ ber die geometrische Randbedingung bestimmt u(x = 0) = 0. Damit erh¨ alt man:

Bild 7.9. Verformungen einer H¨ alfte des Bleches. Nach Ritz: 2 u = (0, 74 − 0, 22 y + 0, 057 y)x - (0, 042 y - 0, 016) x2 + 0, 026 x3 v = (−0, 15 y + 0, 0068 y 2 )x + 0, 16 y x2

Fl !

u= tEh0

hl h0

$ −1

" ln

  % x" hl hl ! 1− + 1− h0 h0 l

(594)

F¨ ur die Stelle x = l ergibt sich nach (594) mit l = 2, h0 = 4, hl = 2, F = 2, t = 1 und E = 1 eine Verschiebung u(x = l) = 1, 386. In Bild 7.9 sind die Verformungen der FE-L¨ osung dargestellt. Diesen ist die L¨ osung nach Ritz

7.6

¨ Ubungsaufgaben zur Scheibe

227

gegen¨ ubergestellt. Dabei wurden Polynome dritten Grades f¨ ur die Ansatzfunktionen von u und v verwendet. W¨ ahrend die analytische L¨ osung nur eine Verschiebung in Kraftrichtung erbringt, ergibt sich aus der FE-L¨ osung f¨ ur den Knoten 4 auch eine Verschiebung in vertikaler Richtung.

7.6

¨ 7.6 Ubungsaufgaben zur Scheibe Scheibenproblem I

Gegeben ist in Bild 7.10 ein dreiecksf¨ ormiger Kragbalken. Er soll durch ein Dreiecksscheibenelement approximiert werden. Zur Vereinfachung der Handrechnung wird eine Dicke von t = 1 angenommen. Der Elastizit¨atsmodul E wird zu 1 vorgegeben, die Querkontraktion ν zu 0. Der Kragbalken wird am rechten Ende mit einer Einzelkraft F = 1 belastet. F¨ ur die Rechnung ist die gegebene Knotennumerierung zu verwenden.

7.1

Bild 7.10. Kragbalken als Scheibenproblem

Es sind die Verformung des Kragbalkens sowie die Auflagerreaktionen zu berechnen. Scheibenproblem II

In Bild 7.11 ist ein dreiecksf¨ ormiger Kragbalken dargestellt, der am rechten Ende durch eine Feder unterst¨ utzt wird. Diese Feder hat eine Steifigkeit k = 1. Die Wirkung der Feder ist u ¨ ber eine Beziehung zwischen der Steifigkeit k ucksichtigen. An der Anlenkstelle der Feder und der Verformung v2 zu ber¨ der Feder greift eine Kraft F an. Gesucht sind die Verformungen und die Auflagerreaktionen des Kragbalkens. Scheibenproblem III

F¨ ur den Kragbalken nach Bild 7.12 soll die FE-L¨osung, die als Scheibenproblem formuliert wird, mit der analytischen L¨ osung nach (482) auf der S. 179

7.2

7.3

228

7. Scheibenproblem

Bild 7.11. Kragbalken gest¨ utzt durch eine Feder. Es sind folgende Werte gegeben: F = E= t= k= 1, ν = 0

N

O

verglichen werden. Das Problem ist antimetrisch. Es wird daher nur die obere oder untere H¨ alfte des Kragbalkens in 8 bzw. 32 Elemente eingeteilt. Das Problem ist mit “ FEM GEN“ aufzubereiten. Der Fehler E in der Verformung an der Stelle x = l, y = 0 ist normiert als v¯ = v Et/F im doppelt logarithmischen System als E =E(n) aufzutragen, wobei n die Anzahl Elemente u ¨ber der halben H¨ ohe des Balkens ist.

Bild 7.12. Kragbalken mit folgenden Daten: L¨ ange l, Dicke t, E-Modul E, Querkontraktion ν = 0, Belastung F

Kapitel 8 Platten und Schalenelemente

8

8

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Platten und Schalenelemente Problemdefinition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte ..................................... Anforderungen an das Plattenelement ....................... Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steifigkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

231 231 231 233 234 236 236 237 239 239 240 241 241 243 243 244 247 248 249 250 250 251 253

8 Platten und Schalenelemente 8.1

8.1 Problemdefinition Viele Tragwerke wie etwa Decken in Geb¨ auden, Br¨ ucken oder Schiffsdecks stellen ein Plattenproblem dar. Die Platte und die Scheibe haben ¨ahnliche Geometrievoraussetzungen. W¨ ahrend aber die Belastung bei der Scheibe in der Scheibenebene liegt, steht diese bei der Platte normal zur Mittelfl¨ache der Platte.

P

Bild 8.1. Die KirchhoffPlatte mit ihren Abmessungen und Belastungen

In Bild 8.1 ist eine Platte dargestellt. Sie weist eine Hauptabmessung l und eine Dicke t auf. Unter der Voraussetzung t/l  1 kann das dreidimensionale Problem auf ein zweidimensionales zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Dazu betrachtet man die Mittelfl¨ ache des K¨ orpers, die gleichzeitig die (x, y)-Ebene aufspannt. Normal dazu, also in z-Richtung, wird zu jeder Seite t/2 aufgetragen. Die Deckfl¨ achen liegen damit bei z = ± t/2. Die Belastung p in Form einer Fl¨ achenlast steht normal zur Mittelebene.

8.2 Grundbeziehungen der Platte 8.2.1 Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte

Die im folgenden betrachtete Platte ist nach dem deutschen Forscher Kirchhoff [34] benannt. Sie weist in weiten Teilen eine Analogie zum BernoulliBalken auf, wobei man die Platte als eine Erweiterung des Balkens auf den zweidimensionalen Fall ansehen kann.

8.2

232

8. Platten und Schalenelemente

Der Kirchhoff-Platte liegen folgende Voraussetzungen zugrunde: Die Dicke t ist sehr viel kleiner als die Hauptausdehnung l (t/l  1). Linien, die im unverformten Zustand normal zur Mittelebene stehen, stehen im verformten Zustand normal zur verformten Mittelfl¨ache (Biegefl¨ ache) und bleiben eben. Daraus folgt, daß keine Schubverformungen ber¨ ucksichtigt werden. Die Durchbiegung w ist kleiner als die Dicke t und es gilt: (w = w(z)). Die Platte ist symmetrisch zur Mittelebene. Dicken¨anderungen m¨ ussen moderat sein, so daß keine dreidimensionalen Spannungseffekte auftreten. Normalspannungen in Dickenrichtung σzz werden vernachl¨assigt. In Bild 8.2 sind die Feldgleichungen der Platte mit den wesentlichen und nat¨ urlichen Randbedingungen in Form eines Tonti-Diagrammes (Definition s. S. 58) zusammengefaßt.

Bild 8.2. Die Beschreibung der strengen Formulierung der Kirchhoff-Platte in Form eines

Tonti-Diagrammes

Die nicht schattierten K¨ astchen beschreiben die Variablen des Plattenproblems. Die Durchbiegung w(x, y), die f¨ ur die Mittelfl¨ache der Platte definiert ist, ist die Prim¨arvariable des Problems. Die Kr¨ ummungen κ  und die Momen sind Sekund¨ te M arvariable, auch Zwischenvariable genannt. Die schattierten K¨ astchen enthalten gegebene Gr¨ oßen wie die wesentlichen Randbedingungen 0 0 w, θs , die nat¨ urlichen Randbedingungen 0 Vn , 0Mnn und die Fl¨achenlast p. Die wesentliche Randbedingung 0w (0θs ) wird dem Teilrand Γw (Γθ ) zugeordnet. Die nat¨ urliche Randbedingung 0 Vn (0Mnn ) geh¨ort zum Teilrand ΓV (ΓM ). Die Verbindungslinien der K¨ astchen repr¨asentieren entweder die Feldgleichungen des Plattenproblems oder die Randbedingungsgleichungen.  w, der Die Feldgleichungen bestehen aus der kinematischen Gleichung κ  =∆ T     und der Gleichgewichtsbeziehung ∆ M = p. Die Stoffgleichung M = Dp κ Gr¨ oße Ω beschreibt jeweils die Mittelfl¨ ache der Platte. Diese Beziehungen werden nachfolgend hergeleitet.

8.2

Grundbeziehungen der Platte

233

8.2.2 Kinematische Gr¨ oßen der Platte

Das Bild 8.3 zeigt die Durchbiegung w = w(Ω) der Platte. In der linken Bildh¨ alfte ist f¨ ur die (x,z)-Ebene neben der angesprochenen Durchbiegung die Verdrehung ∂w/∂x sowie die sich daraus ergebende Verschiebung u in x-Richtung eingezeichnet.

Bild 8.3. Durchbiegungen, Verdrehungen, Normalspannungen und die sich daraus ergeben-

den Momente der Platte

Analog dazu ist in der rechten Bildh¨alfte ∂w/∂y und v angef¨ uhrt. Aus den Verdrehungen ∂w/∂x und ∂w/∂y lassen sich wie folgt die Verschiebungen u und v berechnen: u = −z

∂w ∂w ; v = −z ∂x ∂y

(595)

Faßt man u und v in einem Vektor u ˆ zusammen, so kann man schreiben: ⎡ u ˆ=⎣

⎡

⎤

⎢ ⎦ = −z ⎢ ⎢ ⎣ v

u

∂w ∂x ∂w ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ = −z ∇w ⎦

(596)

Die Verdrehungen θx und θy um die x- bzw. y-Achse lassen sich wie folgt ausdr¨ ucken: ⎡ θ = ⎣

⎤

⎡

∂w ∂y

⎢ ⎦=⎢ ⎢ ⎣ ∂w θy − ∂x

θx

⎤

⎡

⎥ ⎥ ⎣ 0 ⎥= ⎦ −1

⎤

⎡

⎢ ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣

1

∂w ∂x ∂w ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ = T θ ∇w ⎦

(597)

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Kirchhoff-Platte weist f¨ ur jede Fl¨ache, die parallel zur Mittelfl¨ache verl¨auft, einen ebenen Dehnungs- und Spannungszustand auf. Damit kann die Bezie-

234

8. Platten und Schalenelemente

hung  ε = L uˆ der Scheibe nach (539) verwendet werden. Einsetzen von (596) in (539) f¨ uhrt auf: ! "  w = −z κ ε = L u  ˆ = −z L ∇ w = −z ∆      ∆

(598)

κ 

 in (598) hat folgendes Aussehen: Der Ausdruck L ∇ = ∆ ⎡

∂ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢  = L∇ = ⎢ 0 ∆ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y

⎡

⎤ 0 ⎥⎡ ⎥ ⎥ ∂ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ∂y ⎥ ⎥⎣ ∂ ⎥ ⎦ ∂x

∂ ∂x ∂ ∂y

∂2 ∂x2 ∂2 ∂y 2

⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2

∂2 ∂x ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(599)

 w: Damit ergibt sich f¨ ur den Ausdruck κ  =∆  κ  = T

∂2w ∂x2

∂2w ∂y 2

2

∂2w ∂x ∂y

(600)

Es werden die Dehnungen ε in der Platte u ummungsvektor κ  ¨ber den Kr¨ der Platte beschrieben. Die Dehnungen sind u ¨ ber die Dicke der Platte linear verteilt. 8.2.3 Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung)

In Bild 8.4 sind die Spannungen, Momente und Querkr¨afte der Platte angef¨ uhrt. Aus den Normalspannungen ergeben sich die Biegemomente. Die uhrt auf das Torsionsmoment Mxy . Die SchubspannunSchubspannung σxy f¨ afte Qx und Qy . Diese werden f¨ ur die gen σxz und σyz bilden die Querkr¨ Gleichgewichtsbetrachtung ben¨ otigt. In der weiteren Er¨orterung des Problems u ¨ber das Funktional treten sie nicht mehr auf. Hierbei wird vorausgesetzt, daß diese Schubspannungen sehr viel kleiner sind als die anderen Spannungskomponenten. Damit liegt f¨ ur jede Ebene der Platte, die parallel zur Mittelebene verl¨ auft, ein ebener Spannungszustand vor. Es wird daher f¨ ur die Platte die Spannungsdehnungsbeziehung σ = D ε der Scheibe nach (540) in (598) eingesetzt:  ) = −z D κ  σ = D (−z κ

(601)

8.2

Grundbeziehungen der Platte

235 Qy

σyz

Myy Qx σyy z

y Mxx

x

t

σxz

σxx Mxy

Bild 8.4. Die Schnittgr¨ o-

σxy

ßen der Kirchhoff-Platte

Die Integration der Spannungen σ T =



 σxx

σyy



σxy

T = M t der Platte f¨ uhrt auf den Momentenvektor M xx Unter Ber¨ ucksichtigung von (601) l¨ aßt sich schreiben: 



t/2

 = M −t/2

z σ dz = −



t/2

−t/2

z2 D κ  dz = −D κ 

u ¨ber die Dicke  Myy Mxy .

t/2

−t/2

z 2 dz = −

t3 Dκ  12  Dp

= −Dp κ 

(602)

Das Moment Mxx dreht um die negative y-Achse, die Momente Mxy und Myy um die positive x-Achse. In (602) verkn¨ upft die Stoffmatrix Dp die Momente mit den Kr¨ ummungen der Platte. uhren auf folgende Die Integrale u ¨ ber die Schubspannungen σxz und σyz f¨ Querkr¨ afte:  Qx =



t/2

−t/2

σxz dz =

t/2

−t/2

$ ! z "2 % 2 max max σxz t 1−4 dz = σxz t 3

2 = σxz (z = 0) t 3  Qy =



t/2

−t/2

(603)

σyz dz =

2 = σyz (z = 0) t 3

$

t/2

−t/2

max σyz

1−4

! z "2 % t

dz =

2 max σ t 3 yz (604)

236

8. Platten und Schalenelemente

Die Schubspannungsverteilung u ¨ber die Dicke t ist quadratischer Natur, d.h. bei |z| = t/2 verschwinden sie und in der Plattenmitte bei z = 0 haben sie max ihr Maximum σij . 8.2.4 Gleichgewichtsbeziehungen der Platte

Die Forderung des Gleichgewichtes der Kr¨ afte in z-Richtung f¨ uhrt zu folgendem Ausdruck [50]: ∂Qx ∂Qy + +p=0 ∂x ∂y

(605)

Die Gleichgewichtsbetrachtung der Momente um die x- und y-Achse ergibt: ∂Mxx ∂Mxy ∂Myx ∂Myy + + Qx = 0 ; + + Qy = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y

(606)

Aus der Symmetrie des Spannungstensors folgt: Mxy = Myx . Einsetzen von (606) in (605) f¨ uhrt auf: ∂ 2 Mxy ∂ 2 Mxx ∂ 2 Myy  =p  TM =∆ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y

(607)

 = p findet sich in Bild 8.2  TM Die Kurzform der Gleichgewichtsbeziehung ∆ wieder. Verkn¨ upft man die dort angef¨ uhrten drei Feldgleichungen, so erh¨alt man die sogenannte Plattengleichung. Dazu wird die kinematische Gleichung  w. Diese Zwischenl¨osung  w  =D ∆ κ  =∆  in die Stoffgleichung eingesetzt: M p T   wird in die Gleichgewichtsbeziehung ∆ M = p eingebracht:  TD ∆  ∆ p w =p

(608)

Durch Ausmultiplizieren dieses Ausdruckes erh¨alt man eine skalare Beziehung, n¨ amlich die Plattengleichung: E t3 ∂4w p ∂4w ∂4w ; k= + + 2 = ∂x4 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 k 12(1 − ν 2 )

(609)

Die Gr¨ oße k nennt man die Plattensteifigkeit. 8.2.5 Randbedingungen der Platte

In Bild 8.5 ist ein Ausschnitt eines gekr¨ ummten Randes einer Platte dargestellt. Entlang des Außenrandes ist die Randkoordinate Γ definiert. Der Außenrand wird als stetig vorausgesetzt, d.h. es tritt keine Ecke auf. Im

8.3

Das Funktional der Platte

237

Punkt P ist ein lokales, kartesisches Koordinatensystem definiert. Die Koordinate n steht normal zur Außenfl¨ ache und s liegt tangential am Außenrand. Die dritte Achse f¨ allt mit der globalen z-Achse zusammen.

Bild 8.5. Randbereich mit den wesentlichen und nat¨ urlichen Randbedingungen

F¨ ur dieses Koordinatensystem sind die Verschiebung w, die Verdrehungen θn = ∂w/∂s, θs = −∂w/∂n sowie die Gr¨oßen Qn , Mns und Mnn definiert. Der Punkt P weist drei wesentliche und drei nat¨ urliche Randbedingungen auf. Dadurch entsteht eine Inkonsistenz zu der Differentialgleichung nach (609), da sie von vierter Ordnung ist. Daher f¨ uhrte Kirchhoff sogenannte Ersatzkr¨afte [34] ein: Vn = Qn −

∂Mns ∂s

(610)

Diese haben zur Folge, daß nur die Randbedingungen f¨ ur w und θs sowie Vn und Mnn auftreten. L¨aßt man zu, daß der Rand Γ Ecken aufweist, so entstehen infolge der Ersatzkr¨afte aus den Torsionsmomenten an diesen Ecken Kr¨afte FR . In Tab. 8.1 sind vier verschiedene Lagerungsbeispiele der Platte angef¨ uhrt.

8.3 Das Funktional der Platte Das Bild 8.6 zeigt die schwache L¨osung der Platte als Ausgangspunkt f¨ ur das Gesamtpotential. Die Prim¨arvariablen sind die Verschiebung w und die davon abgeleiteten Verdrehungen θx und θy . Diese werden variiert. Die Sekund¨arvariablen sind die  . Sie werden in strenger Form aus Kr¨ ummungen κ  sowie die Momente M

8.3

238

8. Platten und Schalenelemente

Tabelle 8.1. Wesentliche und nat¨ urliche Randbedingungen bei

einigen Lagerungsarten der Platte

festeingespannt

w=0

einfach gest¨ utzt

w=0 Mnn = 0

freier Rand

Vn = 0 Mnn = 0

Symmetriekante

θs = −

θs = −

∂w =0 ∂n

∂w =0 ∂n

Vn = 0

dem Verschiebungsfeld w abgeleitet. In schwacher Form werden die Fl¨achenlast p und die nat¨ urlichen Randbedingungen ber¨ ucksichtigt, was durch die gestrichelten Linien angedeutet ist. , Setzt man in die Form¨ anderungsarbeit V ε T σ dV (598) und (601) ein, so erh¨ alt man:

Bild 8.6. Die Beschreibung der schwachen Formulierung der Kirchhoff-Platte in Form eines

Tonti-Diagrammes

8.4

Anforderungen an das Plattenelement

1 2



1 ε σ dV = 2



T

V

1 = 2

1 κ  Dκ  z dV = 2 T

V



κ T Ω

239



 κ  Dκ 

2

Ω

t3 Dκ  dΩ 12 



t/2

T

2

z dz

dΩ

−t/2

(611)

Dp

Mit dem Potential der ¨ außeren Lasten ergibt sich das Gesamtpotential der Kirchhoff-Platte zu: 1 Π= 2



 κ  Dp κ  dΩ −

p w dΩ − Πa

T

Ω

(612)

Ω

Der Term f¨ ur das Potential der ¨ außeren Kr¨ afte Πa beschreibt folgendes:  Πa = ΓV

0

n   Vn w − 0Mnn θs dΓ + FRi wi

(613)

i=1

Die Summe von (613) tritt nur dann auf, wenn die Platte Ecken aufweist, f¨ ur die w nicht vorgegeben wird.

8.4 Anforderungen an das Plattenelement Das Funktional (612) der schubstarren Platte weist bei der Form¨anderungsarbeit analog zum Balken zweite Ableitungen (m = 2) der Durchbiegung w auf. Diese Art von Problemen nennt man C m−1 , also hier C 1 -Problem. Die Konvergenz des Elementes f¨ uhrt zu drei Bedingungen, die die Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung w erf¨ ullen m¨ ussen: Kompatibilit¨ at der Verschiebungsgr¨ oßen an den Elementr¨andern, auch Konformit¨ atsbedingung genannt. Starrk¨ orperbewegungen des Elementes d¨ urfen keine Dehnungen und damit Spannungen im Element hervorrufen. Konstante Dehnungs- und Spannungszust¨ ande m¨ ussen durch die Ansatzfunktion darstellbar sein. 8.4.1 Kompatibilit¨ at (konforme Elemente)

Das zuvor angef¨ uhrte C 1 -Problem erfordert die Stetigkeit der Durchbiegung w und deren ersten Ableitungen zur Erf¨ ullung der Kompatibilit¨at der Ver-

8.4

240

8. Platten und Schalenelemente

formungen. Elemente, die diese Eigenschaft besitzen, nennt man konforme Elemente.

Bild 8.7. Nicht konformes Verhalten eines Plattenelementes

Das Bild 8.7 zeigt zwei Dreieckselemente, die in der (x, y)-Ebene liegen. In z-Richtung ist die Durchbiegung w aufgetragen. Sie beschreiben die Mittelfl¨ ache der Platte im verformten Zustand (Biegefl¨ache). Die Verdrehungen und damit die Ableitungen θn = ∂w/∂s und θs = −∂w/∂n bilden die Tangenten an dieser Fl¨ ache. Im Punkt P , der auf der gemeinsamen Kante der beiden Elemente liegt, ist die Ableitung ∂w/∂n = −θs dargestellt. Es zeigt sich, daß die Ableitung von Element 1 kommend ∂w1 /∂n = −θs1 eine andere ist als von Element 2 kommend ∂w2 /∂n = −θs2 . Die Verdrehung ist auf dieser Kante unstetig. Geometrisch gesprochen weist die Biegefl¨ache einen Knick auf. Dies verdeutlicht nochmals die rechte Bildh¨alfte. Die Unstetigkeit f¨ uhrt dazu, daß sich Gebiete der Platte u ¨ berlappen oder auseinanderklaffen. Zeigen Plattenelemente ein solches Verhalten, so nennt man sie nicht konform. 8.4.2 Starrk¨ orperbewegung

In Bild 8.8 ist eine Kragplatte dargestellt, bei der sich unter der eingezeichneten Belastung die dargestellte Verformung einstellt. Die schraffierten Elemente weisen im verformten Zustand keine Kr¨ ummung auf. Die Dehnungen und Spannungen in diesen Elementen sind daher Null.

Bild 8.8. Starrk¨ orperbewegung zweier Platten-

elemente

8.4

Anforderungen an das Plattenelement

241

Sie f¨ uhren eine Starrk¨ orperbewegung aus, die sich aus einer Translation und Rotation zusammensetzt. Die translatorische Starrk¨orperbewegung setzt einen konstanten Term in der Ansatzfunktion voraus, die Rotation lineare Terme, so daß die Ansatzfunktion in Form eines Polynoms lauten muß:

w = a0 + a1 x + a2 y + . . .

(614)

8.4.3 Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand)

Ausgangspunkt dieser Forderung ist die Vorstellung, daß zur Erreichung der Konvergenz die Elemente immer kleiner werden und im Grenzfall zu einem Punkt schrumpfen. In diesem Zustand muß im Element ein konstanter Kr¨ ummungszustand beschrieben werden k¨ onnen. Die Kr¨ ummungen stellen sich nach (600) als zweite Ableitung von w dar. Damit m¨ ussen in der Ansatzfunktion quadratische Terme auftreten: w = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 + . . .

(615)

Die Ansatzfunktion (615) nennt man eine vollst¨ andige Ansatzfunktion, da sie die Starrk¨ orperbewegung und den konstanten Verzerrungszustand beschreiben kann. Dieser Begriff der Vollst¨ andigkeit ist nicht mit einem vollst¨andigen Polynom zu verwechseln. Dieses ist Voraussetzung f¨ ur die invarianten Eigenschaften eines Elementes. 8.4.4 Einige Dreiecksplattenelemente

In Tab. 8.2 sind einige drei- bzw. vierknotige Dreieckselemente angef¨ uhrt. In der zweiten Spalte sind die Freiheitsgrade der Knoten dargestellt. Die dritte Spalte enth¨ alt das Pascal’sche“Dreieck der jeweiligen Ansatzfunktionen des ” Elementes. In den letzten drei Spalten sind summarisch die Eigenschaften der Elemente aufgelistet. Das Element 1 weist pro Knoten die Freiheitsgrade w, θx und θy auf. Eine vollst¨ andige, kubische Ansatzfunktion in Form eines Polynomes besitzt einen Koeffizienten mehr als das Element Freiheitsgrade hat. Daher existieren zwei unterschiedliche Ansatzfunktionen f¨ ur w. Tocher [52] w¨ahlte eine Ansatzfunktion, in der der Term x y fehlt. Alternativ faßte er die beiden Terme (x2 y + xy 2 ) zusammen. Beide Elementtypen sind nicht konform. Durch das Weglassen des Termes xy kann kein konstanter Kr¨ ummungszustand beschrieben werden, das Element ist nicht invariant und zeigt bei Konvergenz eine falsche L¨ osung. Diese beiden Elementtypen sind f¨ ur den praktischen Einsatz nicht geeignet.

242

8. Platten und Schalenelemente

invariant

Pascal’sches Dreieck

andig vollst¨

Nr. Freiheitsgrade

konform

Tabelle 8.2. Eigenschaften einiger Dreiecksplattenelemente

nein nein nein

1 nein ja

nein

2

nein ja

ja

3

ja

ja

ja

Das Element 2 weist einen zus¨ atzlichen Knoten in seinem Schwerpunkt auf. Diesem Knoten ist der Freiheitsgrad w zugeordnet. Damit kann ein vollst¨andiges, kubisches Polynom f¨ ur die Ansatzfunktion verwendet werden. Die Verdrehungen entlang der Elementkanten des Elementes, die durch einmaliges Ableiten des kubischen Polynoms gewonnen werden, sind quadratischer Natur. Sie k¨ onnen aber durch die beiden Knotenverdrehungen nicht eindeutig beschrieben werden. Dazu ben¨ otigt man auf der Elementkante einen weiteren Knoten. Damit ist das Element nicht konform. Die Elimination des Freiheitsgrades w des Mittenknotens [52] durch eine statische Kondensation f¨ uhrt zum Verlust der F¨ahigkeit, konstante Kr¨ ummungen im Element darzustellen. Wird der Freiheitsgrad u ¨ber eine kinematische Bedingung [30] eliminiert, so bleibt dieser Verlust aus. Die Konvergenzbe-

8.5

Diskretisierung des Funktionals

243

dingungen sind nicht erf¨ ullt, da ein nicht konformes Element vorliegt. Dieses Element nach Bazeley et al. [30] versagt auch im Patch“-Test1. ” Das Element 3 ist ein konformes Element. Dazu wird als Ansatzfunktion ein vollst¨ andiges Polynom f¨ unften Grades verwendet. Dieses hat 21 Koeffizienten, die es durch ebenso viele Freiheitsgrade des Elementes zu ersetzen gilt. Dazu werden an jedem Eckknoten des Elementes die sechs Freiheitsgrade   w  T = w ∂w/∂x ∂w/∂y ∂ 2 w/∂x2 ∂ 2 w/∂y 2 ∂ 2 w/∂x ∂y definiert. Zus¨ atzlich wird f¨ ur den Mittenknoten einer jeden Kante der Freiheitsgrad ∂w/∂n eingef¨ uhrt. Damit sind die Verdrehungen auf den Elementkanten stetig. Das Element ist weiterhin invariant und zeigt stets Konvergenz. Trotz dieser idealen Eigenschaften hat es sich nicht in der Praxis durchsetzen k¨onnen, da: es eine hohe Anzahl Freiheitsgrade pro Element besitzt. Randbedingungen f¨ ur zweite Ableitungen erforderlich sind. ein stetiger Verlauf der Kr¨ ummungen Voraussetzung ist. Damit k¨onnen keine Dickenspr¨ unge und Materialwechsel in der Platte beschrieben werden.

8.5 Diskretisierung des Funktionals 8.5.1 Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung

Die zuvor diskutierten nicht konformen Plattenelemente versagen im Patch“” Test. Damit ist nicht in jedem Fall Konvergenz gegeben. Nachfolgend wird daher ein Plattenelement nach Specht [43] betrachtet, das diese Unzul¨anglichkeit nicht aufweist. Es besitzt analog zu Element 1 aus Tab. 8.2 drei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w sowie die beiden Verdrehungen um die x- und y-Achse θx und θy . Der Durchbiegung w ist eine Kraft zugeordnet, den Verdrehungen jeweils ein Moment. Die Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung w der Platte lautet:

w = a0 L 1 + a1 L 2 + a2 L 3 + a3 L 1 L 2 + a4 L 2 L 3 + a5 L 3 L 1 % $ 1 + a6 L2 L21 + L1 L2 L3 [3(1 − µ3 )L1 − (1 + 3µ3 )L2 + (1 + 3µ3 )L3 ] 2 % $ 1 2 + a7 L3 L2 + L1 L2 L3 [3(1 − µ1 )L2 − (1 + 3µ1 )L3 + (1 + 3µ1 )L1 ] 2 1

Der Patch“-Test erlaubt eine notwendige Aussage dar¨ uber, ob ein nicht kon” formes Plattenelement f¨ ur jede Netzanordnung Konvergenz zeigt.

8.5

244

8. Platten und Schalenelemente

$ + a8

L1 L23

% 1 + L1 L2 L3 [3(1 − µ2 )L3 − (1 + 3µ2 )L1 + (1 + 3µ2 )L2 ] 2 (616)

Die Abk¨ urzungen µi haben folgende Bedeutung: 2 2 2 S32 = x232 + y32 ; S31 = x231 + y31 ; S21 = x221 + y21 S21 − S31 S32 − S21 S31 − S32 µ1 = ; µ2 = ; µ3 = S32 S31 S21

(617)

Die Gr¨ oße Sij stellt sich als Quadrat der Kantenl¨ange der Kante dar, die zwischen den Knoten i und j liegt. In der Form w = xT a geschrieben, ergeben sich folgende Vektoren: ⎡

⎤ L1

⎢ ⎢ ⎢ L2 ⎢ ⎢ ⎢ L3 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ ⎢ ⎢ x = ⎢ L2 L3 ⎢ ⎢ ⎢ L3 L1 ⎢ ⎢ ⎢ L L2 + 1 L L L [3(1 − µ ) L − (1 + 3 µ )L + (1 + 3 µ ) L ] 3 1 3 2 3 3 ⎢ 2 1 2 1 2 3 ⎢ ⎢ 1 2 ⎢ L3 L2 + 2 L1 L2 L3 [3(1 − µ1 ) L2 − (1 + 3 µ1 )L3 + (1 + 3 µ1 ) L1 ] ⎣ L1 L23 + 12 L1 L2 L3 [3(1 − µ2 ) L3 − (1 + 3 µ2 )L1 + (1 + 3 µ2 ) L2 ]   aT = a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(618) 8.5.2 Interpolationsbedingungen

Die Interpolationsbedingungen werden f¨ ur die Prim¨arvariablen w, θx und θy formuliert. Die Knotenverdrehungen θx , θy sind in (597) in kartesischen Koordinaten beschrieben. Diese Beziehung wird mit Hilfe von (83) (∇ = uckt: J −1 ∇∆ ) und w = xT a in Dreieckskoordinaten ausgedr¨ ⎡

⎤

∇θ

    ⎦ = T θ ∇w = T θ J −1 ∇∆ xT a = G a θ=⎣    θy G θx

(619)

8.5

Diskretisierung des Funktionals

245

In die Gr¨ oße G gehen die inverse Jakobi-Matrix J −1 , der Nabla-Operator in Dreieckskoordinaten ∇∆ sowie der Vektor x zur Beschreibung der Ansatzuhrt mit T θ aus funktion f¨ ur die Durchbiegung w ein. Der Ausdruck T θ J −1 f¨ (597) und J −1 aus (88) zu:

T θ J −1

⎡ 1 ⎣ x32 = 2 A∆ y32

⎤ x13

⎦

(620)

y13

Die Bildung der Dyade ∇∆ xT ergibt: ⎡ ⎢ ⎢ ∇∆  xT = ⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎡

⎤ ⎥$ ⎥ ⎥ x1 ⎦

% x2

...

x9

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

∂x1 ∂L1 ∂x1 ∂L2

∂x2 ∂L1 ∂x2 ∂L2

... ...

∂x9 ∂L1 ∂x9 ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (621)

In Bild 8.9 ist die Lage der Knoten des Elementes mit Blick auf die Dreieckskoordinaten dargestellt. Knoten 1 hat die Dreieckskoordinaten L1 = 1; L2 = 0. Knoten 2 entsprechend L1 = 0; L2 = 1 und Knoten 3 L1 = 0; L2 = 0.

Bild 8.9. Darstellung der Dreieckskoordinaten

und die Lage der Knoten

Somit k¨ onnen jetzt die Interpolationsbedingungen f¨ ur die Durchbiegung w = T ur die Knoten 1 bis 3 angex a und die Verdrehungen θx , θy abwechselnd f¨ setzt werden. Dies f¨ uhrt auf folgende Beziehung:

246

8. Platten und Schalenelemente

⎡

T ⎢ x (L1 = 1, L2 ⎢ ⎢ G (L1 = 1, L2 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ G2 (L1 = 1, L2 ⎢ ⎢ T ⎢ x (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ ⎢ G (L = 0, L 2 ⎢ 1 1 ⎢ ⎢ ⎢ G2 (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ T ⎢ x (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ ⎢ G (L = 0, L 2 ⎢ 1 1 ⎣ G2 (L1 = 0, L2   A

⎤⎡ = 0) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = 0) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 1) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 1) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = 1) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ = 0) 

⎤ ⎡ a0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a4 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a7 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ a8   

⎤ w1 ⎥ ⎥ θx 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy 1 ⎥ ⎥ ⎥ w2 ⎥ ⎥ ⎥ θx 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy 2 ⎥ ⎥ ⎥ w3 ⎥ ⎥ ⎥ θx 3 ⎥ ⎥ ⎦ θy 3  


a

(622)

w


Der Ausdruck Gj ist jeweils die j-te Zeile aus der Matrix G nach (619). Die Matrix A hat folgendes Aussehen: ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

x13

0

x21

x13

0

0

−y23

−y31

y21

−y31

0

y21

−y31

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

x32

x21

0

0

x21

0

−y23

−y31

y21

−y23

y21

0

0

y21

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

0

x13

x32

0

0

x32

−y23

−y31

y21

0

−y31

−y23

0

0

−y23

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (623) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Die unbekannten Koeffizienten a aus (622) kann man durch Inversion der Matrix A gewinnen:  a = A−1 w Mit:

(624)

8.5

Diskretisierung des Funktionals

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢  −1 T ⎢ ⎢ A =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

247

1

0

0

−1

0

1

2

0

0

0

0

0

0

y31

y21

0

0

0

0

0

0

−x31

−x21

0

0

1

0

1

−1

0

−2

2

0

0

0

−y21

0

0

y21

y32

0

0

0

x21

0

0

−x21

−x32

0

0

1

0

1

−1

0

−2

0

0

0

0

−y32

0

0

y32

0

0

0

0

x32

0

0

−x32

−2

⎤

⎥ ⎥ −y31 ⎥ ⎥ ⎥ x31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ (625) ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −y31 ⎥ ⎦ x31

Die Elemente der Matrix A−1 werden ausschließlich von den Differenzen xij = xi − xj und yij = yi − yj der Knotenkoordinaten beschrieben. Setzt man in alt man: die Beziehung w = x T a (624) ein, so erh¨  T  T  Tw  =N  = A−1 w  x = w  T A−1 x = w T N w = x T a = x T A−1 w (626) 8.5.3 Formfunktionen

   als das Produkt A−1 T x bilNach (626) lassen sich die Formfunktionen N den. Die regelm¨ aßige Anordnung der Elemente in Matrix (625) l¨aßt eine kompakte Beschreibung der Formfunktionen f¨ ur den Knoten i in folgender Form zu: ⎧ ⎪ xi − xi+3 − xk+3 − 2(xi+6 − xk+6 ) ⎪ ⎪ ⎨ Ni = −yki (xk+6 − xk+3 ) + yji xi+6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ xki (xk+6 − xk+3 ) − xji xi+6

f¨ ur den Freiheitsgrad w f¨ ur den Freiheitsgrad θx f¨ ur den Freiheitsgrad θy (627)

Die Gr¨ oße xi ist das i-te Element des Vektors x nach (618). Die Indizes i, j, k ergeben sich aus der zyklischen Permutation von 1, 2, 3. Die Gr¨oßen xij = xi − xj bzw. yij = yi − yj stellen wie zuvor die Differenzen der Knotenkoordinaten dar.

248

8. Platten und Schalenelemente

Die Durchbiegung w l¨ aßt sich mit Hilfe der Formfunktion nach (627) schreiben als:

w=

3 

(N3i−2 wi + N3i−1 θxi + N3i θyi )

(628)

i=1

Es wird u ¨ ber alle Knoten i des Elementes summiert. Setzt man in (628) alle Freiheitsgrade, bis auf den Freiheitsgrad w2 = 1, zu Null, so erh¨ alt man die Formfunktion N4 . Diese ist in der linken H¨alfte von Bild 8.10 dargestellt. Die Formfunktion N4 verschwindet an allen Knoten, nur f¨ ur den Freiheitsgrad w2 nimmt sie den Wert 1 an.

Bild 8.10. Die Formfunktionen N4 und N5 des Plattenelementes

Setzt man alternativ θx2 = 1 und alle anderen Freiheitsgrade Null, so ergibt alfte von Bild 8.10 wiesich N5 . Die Formfunktion N5 ist in der rechten H¨ dergegeben. θx = ∂w/∂y = 1 heißt also, daß die Tangente an die von N5 gebildete Fl¨ ache unter einem Winkel von 45◦ verl¨ auft. Die restlichen zwei Verdrehungen wie auch die Durchbiegungen wi verschwinden. 8.5.4 Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung

In (612) tritt die Kr¨ ummung κ  auf. Da sie nur eine Sekund¨ arvariable ist, muß sie durch die Prim¨ arvariable w ersetzt werden. In der Dehnungs-Verschiebungs ∆ (s. (94)  ersetzt durch ∆  =Y ∆ Beziehung nach (598) wird der Operator ∆ auf der S. 43). Damit erh¨ alt man:  ∆ w = −z κ  ε = −z Y ∆

(629)

Mit Hilfe von (626) ergibt sich:  N T w ˆw κ  =Y ∆  =Y B  =Bw   ∆  ˆ B

(630)

8.5

Diskretisierung des Funktionals

⎡

ˆ=∆ T ∆ N B

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2

249

∂ 2 N1 ∂L21

∂ 2 N2 ∂L21

...

∂ 2 N9 ∂L21

∂ 2 N1 ∂L22

∂ 2 N2 ∂L22

...

∂ 2 N9 ∂L22

∂ 2 N2 ∂L1 ∂L2

...

∂ 2 N1 ∂L1 ∂L2

2

2

∂ 2 N9 ∂L1 ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(631)

8.5.5 Steifigkeitsmatrix

Die Form¨ anderungsenergie ΠF im Funktional nach (612) l¨aßt sich mit Hilfe von (630) schreiben als:   1 1 T  κ  T Dp κ  dΩ = w B T Dp B dΩ w  2 Ω 2 Ω  1 T ˆ TD YB ˆ dΩ w = w  (Y B)  p 2 Ω   

ΠF =

(632)

K

ˆ nach (631) enth¨ Die Matrix B alt die zweiten Ableitungen der Durchbiegung w nach den Dreieckskoordinaten L1 , L2 . Die Matrix Y ist in (94) und Dp in (602) beschrieben. Die Integration in Dreieckskoordinaten f¨ uhrt nach (109) auf der S. 46 auf die Steifigkeitsmatrix K der Platte: 

1



1−L1

K = 2 A∆ 0

 T

ˆ Y B

T

ˆ dL2 dL1 Dp Y B

(633)

0

Diese Integration wird numerisch mittels der Gauß-Quadratur [26] ausgef¨ uhrt. Nach Tab. 2.8 w¨ are f¨ ur eine exakte Integration eine Summation u ¨ber vier St¨ utzstellen n¨ otig. Dies f¨ uhrt auf ein zu steifes Plattenelement. Ein weicheres Element erh¨ alt man, wenn man reduziert integriert. Es wird statt u ¨ ber vier u ber drei St¨ u tzstellen summiert, was der exakten Integration einer quadrati¨ schen Ansatzfunktion entspricht. 

1



K = 2 A∆ = 2 A∆

0 n  i=1

1−L1

 T

ˆ Y B

T

ˆ dL2 dL1 Dp Y B

0

ˆ T(L1i , L2i ) Y T Dp Y B(L ˆ 1i , L2i ) wi B

(634)

250

8. Platten und Schalenelemente

Die Gewichtungsfaktoren wi sowie die Koordinaten der St¨ utzstellen L1i und L2i sind in Tab. 2.8 f¨ ur unterschiedliche Grade p der Ansatzfunktion f¨ ur das Dreieckselement angef¨ uhrt. 8.5.6 Fl¨ achenlast

Im Funktional (612) tritt die Fl¨ achenlast p auf. Setzt man f¨ ur die Durchbiegung w die Formfunktionen nach (626) ein, so erh¨alt man unter Voraussetzung einer konstanten Fl¨ achenlast p (s. (97) auf der S. 44): 





 dΩ = 2 w N p w dΩ = w  p  T A∆ p Ω Ω   

1



T

0

1−L1

  dL2 N

dL1

(635)

0

p F

F¨ ur den Sonderfall eines gleichseitigen Dreiecks ergeben sich aus der Fl¨achenlast p folgende Kr¨ afte Fi und Momente mxi , myi an den Knoten i = 1, 2, 3: FpT =



 F1

p = A∆ 24 8

$

mx 1

my 1

F2

y21 + y31

8

−(y32 + y31 )

mx 2

my 2

−(x31 + x21 ) %

x31 + x32

F3 8

mx 3

my 3

y32 − y21

x21 − x32 (636)

Die Knotenkraft Fi = 1/3 p A∆ besteht also aus einem Drittel der Gesamtkraft. Neben den Kr¨ aften gehen aus der Fl¨ achenlast noch Momente hervor. Diese Momente drehen wie die Verdrehungen θx und θy um die positive xbzw. y-Achse. 8.5.7 Streckenlast entlang einer Elementkante

Der Ausdruck Πa im Funktional (613) beschreibt Linienlasten des Elementes. Exemplarisch soll hier eine Streckenlast 0 Vn betrachtet werden, wie sie in ,Bild08.11 dargestellt ist. Sie ist auf der Kante L2 = 0 angeordnet. Der Term Vn w dΓ beschreibt die Streckenlast. Zu seiner Diskretisierung wird die ΓV Durchbiegung w nach (626) u ¨ber die Formfunktionen der Platte beschrieben: 

 0 ΓV

0

Vn w dΓ =

 (L2 = 0) dΓ Vn w T N

(637)

ΓV

Nach Tab. 2.6 ergibt sich f¨ ur die Kante L2 = 0: dΓ = S13 dL1 . Unter der Voraussetzung einer konstanten Streckenlast 0 Vn erh¨alt man folgende L¨osung:

8.6

Konvergenztest des Plattenelementes

251

2

L3 = 0 L1 = 0 0

Vn s

z

1

y L2 = 0

3

Bild 8.11. Streckenlast auf einer Kante des

x

Elementes

n

 0 ΓV

 1  (L2 = 0) dΓ = w  dL1 N Vn w T N  T S31 0 Vn 0   

(638)

Fv

Der Vektor Fv hat folgendes Aussehen: $ % 1 1 1 1 1 1 FvT = S31 0 Vn x13 0 0 0 y13 − x13 − y13 2 12 12 2 12 12   = F1 Mx1 My1 F2 Mx2 My2 F3 Mx3 My3 (639) Die Streckenlast f¨ uhrt zu Kr¨ aften und Momenten f¨ ur die Knoten, die an die Elementkante angrenzen. Die Kr¨ afte F1 = F3 = 1/2 S31 0 Vn ergeben in Summe die Gesamtkraft der Streckenlast. Zus¨ atzlich treten Momente um die x-Achse (Mx1 , Mx3 ) und die y-Achse (My1 , My3 ) auf. Beschreibt man die Gr¨ oßen aus (639) im lokalen n, s-System, so ergibt sich mit y13 = S31 : $ Fv = S31 0 Vn

1 2

−

1 S31 12

0

0

0

0

1 2

1 S31 12

% 0

(640)

S31 ist die Kantenl¨ ange des Dreieckes zwischen den Knoten 1 und 3. Diese L¨ osung ist in Analogie zum Balkenelement mit Streckenlast zu sehen (s. (394) auf der S. 148), wenn man von einer konstanten Streckenlast ausgeht ˆ i =q ˆ j ). (0 Vn =q

8.6 Konvergenztest des Plattenelementes Das Konvergenzverhalten des zuvor betrachteten Plattenelementes soll an dem Beispiel, wie es in Bild 8.12 dargestellt ist, aufgezeigt werden. Es ist

8.6

252

8. Platten und Schalenelemente

eine quadratische Platte mit mittiger Einzellast und einer einfachen Lagerung (w = 0 auf dem Rande). Die Beziehung log E = log(C ∗ ) − p log(n), die in (143) auf der S. 58 abgeleitet ist, beschreibt den N¨ aherungsfehler E in Abh¨angigkeit von der Elementanzahl n. n ist die Anzahl der Elemente auf der halben Kantenl¨ange der Platte. p ist die sogenannte Konvergenzordnung des betrachteten Eleangige Konstante. In dem relativen Fehler mentes. C ∗ ist eine problemabh¨ E = |(wex − wFEM )/wex | 100 nach (141) wird hier die Durchbiegung w in Plattenmitte betrachtet. Die Beziehung (143) stellt sich in einem doppelt logarithmischen System als Gerade dar. Die Konvergenzordnung ist eine positive Zahl, so daß die Gerade eine negative Steigung aufweist, d.h. mit steigender Elementanzahl n nimmt der N¨ aherungsfehler E ab.

Bild 8.12. Konvergenz der Verformung in Plattenmitte f¨ ur die Navier’sche Platte

In Bild 8.12 ist das Ergebnis des Konvergenztestes festgehalten. In der doppelt logarithmischen Darstellung ist auf der Abszisse die Anzahl n entlang der halben Breite der Platte aufgetragen. Die Ordinate beschreibt den relativen Fehler E f¨ ur die Durchbiegung wFEM in der Plattenmitte. Die Gerade in Bild 8.12 stellt sich als Ausgleichsgerade dar. Die K¨astchen kennzeichnen die Rechenergebnisse. Sie hat die Form: E = 31, 450 · n−1,735

(641)

Bei einem Element tritt ein Fehler von 31, 45 % auf. Dieser f¨allt f¨ ur n = 10 Elemente auf 0, 6 % ab.

8.7

Schalenelement

253

8.7

8.7 Schalenelement ¨ Das im folgenden betrachtete Schalenelement1 wird durch eine Uberlagerung von Scheibe und Platte gewonnen. Es wird diese Vorgehensweise an einem dreiknotigen Dreieckselement aufgezeigt. In dem Bild 8.13 sind die Freiheitsgrade von Scheibe und Platte angef¨ uhrt.

¨ Bild 8.13. Uberlagerung von Scheibe und Platte zur Schale

Diese Freiheitsgrade beziehen sich auf das lokale (¯ x,¯ y ,¯ z )-Koordinatensystem des Elementes. Dabei zeigt die x ¯-Achse vom Knoten 1 zum Knoten 2. Die z¯-Achse steht normal zum Element. Aus dem Kreuzprodukt y¯ = z¯ × x ¯ wird die lokale y¯-Achse gebildet. Die z¯-Achse kann u ber die Beziehung: ¨  zˆ = x2 − x1 × x3 − x1 ; z¯ = zˆ  | x2 − x1 | | x3 − x1 | | zˆ |

(642)

gewonnen werden. Die Scheibe weist die Verschiebungen u ¯ und v¯ auf. Diesen zugeordnet sind ¯ sowie die Verdredie Kr¨ afte Fx¯ und Fy¯. Die Platte hat die Durchbiegung w hungen θx¯ und θy¯. Diesen sind die Normalkraft Fz¯ und die Momente Mx¯ und My¯ zugeordnet. Als weitere Verdrehung wird die um die lokale z¯-Achse θz¯ eingef¨ uhrt. Damit ergibt sich der Verformungsvektor u ¯i des Knotens i des Schalenelementes: 1

Das Schalenelement ist im Programm “InterFEM“ realisiert (s. Bild 12.1 und S. 343)

254

8. Platten und Schalenelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ u ¯i = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤ u ¯

⎥ ⎥ v¯ ⎥ ⎥ ⎥ w ¯ ⎥ ⎥ ⎥= θx¯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy¯ ⎥ ⎦ θz¯    Schale

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

u¯

⎤ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v¯ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ¯ 0 ⎥ ⎥ ⎢ w ⎥ +⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ θx¯ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ θy¯ ⎦ ⎣ 0 0     

Scheibe

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 

⎤ 0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ θz¯

(643)

Platte

F¨ ur das dreiknotige Schalenelement ergibt sich damit folgende Steifigkeitsmatrix im lokalen x ¯, y¯, z¯-System: ⎡

¯ K 11

⎢ ⎢ ¯ ⎢ K 21 ⎣ ¯ 31 K 

¯ K 12

¯ K 13

⎤⎡

⎤ u ¯1

⎥⎢ ⎥⎢ ¯ K 23 ⎥ ⎢ u ¯ ⎦⎣ 2 ¯ 33 K u ¯3    u ¯

¯ K 22 ¯ 32 K  ¯ K

⎡

F¯1

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ¯ ⎥ ⎥ = ⎢ F2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ F¯3     F¯

(644)

Die Vektoren u¯1 , u¯2 , u ¯3 entsprechen dem Vektor u¯i in (643). Eine beliebige ¯ (i = 1, 2, 3), im folgenden auch Block genannt. Er ¯ Untermatrix von K ist K ij ¨ wird durch additive Uberlagerung von Scheibe und Platte gebildet: ˆ ˆ ¯ )S + (K ¯ )P ¯ = (K K ij ij ij

⎡

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

•

•

0

0

0

0

•

0

0

0

0

0 ♦

♦

♦

0

0 ♦

♦

♦

0

0 ♦

♦

♦

0

0

0

0

0

⎢ ⎢ ⎢• ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ 0

0

(645)

⎤

u ¯ ⎥ ⎥ ⎥v¯ ⎥ ⎥ ⎥w ⎥¯ = ⎥ ⎥θ ⎥ x¯ ⎥ ⎥ ⎥θy¯ ⎦ θz¯

8.7

Schalenelement

⎡

255

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

•

•

0

0

0

0

•

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎢ ⎢ ⎢• ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ 0

⎤

u ¯

⎡

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 ♦

♦

♦

0

0 ♦

♦

♦

0

0 ♦

♦

♦

0

0

0

0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥v¯ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥w ⎢0 ¯ ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θx¯ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θy¯ ⎢0 ⎦ ⎣ θz¯ 0

0

⎤

u ¯ ⎥ ⎥ ⎥v¯ ⎥ ⎥ ⎥w ⎥¯ ⎥ ⎥ ⎥θx¯ ⎥ ⎥ ⎥θy¯ ⎦ θz¯

(646)

Das Zeichen •“ symbolisiert den Anteil der Scheibe und das Zeichen ♦“ den ” ” der Platte. ¯ weist in der Spalte θz¯ und der Zeile θz¯ (k¯ij )66 eine Null auf, Die Matrix K ij so daß sie singul¨ ar ist. Diese Null ist dadurch bedingt, daß der Freiheitsgrad θz¯ weder bei der Scheibe noch bei der Platte definiert ist. Zur Umgehung dieser Schwierigkeit f¨ uhren [53, 4] einen fiktiven Wert f¨ ur ¯ (kij )66 ein. Dies kann zu ungenauen Ergebnissen und einer schlechten Kondition der Gesamtsteifigkeitsmatrix f¨ uhren. Daher soll hier dieser Weg nicht beschritten, sondern folgende Tatsache ausgenutzt werden: Die Singularit¨ at tritt in der Gesamtsteifigkeit nur dann auf, wenn einer der folgenden F¨alle auftritt: i) alle an einem Knoten k angrenzenden Elemente liegen in einer Ebene ii) der Knoten k geh¨ ort nur zu einem Element In diesen beiden F¨ allen nennt man den Knoten k komplanar. Durch Streichen des Freiheitsgrades θz¯ wird die Singularit¨at beseitigt. Ist der Knoten k nicht komplanar, d.h. es liegen nicht alle an dem Knoten angrenzenden Elemente in einer Ebene, so ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix nicht singul¨ ar. Der Freiheitsgrad wird als globaler Freiheitsgrad θz definiert. Der Knoten k, an den m Elemente angrenzen, ist komplanar, wenn gilt: |ni × nj |= 0 ∀ i, j = 1, 2, . . . , m mit i = j

(647)

ni und nj sind die Einheitsnormalenvektoren der Elemente, die an den Knoten k angrenzen. ¯ in (644) werden in Abh¨angigkeit von der Kom¯ der Matrix K Die Bl¨ ocke K ij planarit¨ at des entsprechenden Knotens transformiert. Ausgehend von der Beziehung:

256

8. Platten und Schalenelemente

¯ ¯ u K ij ¯j = Fi

(648)

werden folgende Transformationen angesetzt: u ¯j = Tˆj uj ; F¯i = Tˆi Fi

(649)

T Einsetzen in (648) und von links mit Tˆi durchmultipliziert:

T ¯ Tˆ uj = TˆT Tˆ Fi = Fi Tˆi K ij j i i

(650)

Die Transformationsmatritzen Tˆi und Tˆ j werden von den Elementen gebildet, bei denen der Knoten i bzw. j in der Elementknotenzuordnung erstmalig auftritt. ⎤

⎡ Tˆ = ⎣ mit

T

0

0

T

⎡

⎦

(651)

⎤ ex¯

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T = ⎢ ey¯ ⎥ ⎣ ⎦ ez¯

(652)

Die Einheitsvektoren ex¯ , ey¯, ez¯ der Koordinatenachsen (¯ x,¯ y ,¯ z ) des jeweiligen Elementes bilden die Zeilen der Transformationsmatrix. Bei der Transformation nach (650) m¨ ussen folgende F¨ alle unterschieden werden: Tabelle 8.3. Fallunterscheidungen bei der Komplanarit¨ at

Knoten i

Knoten j komplanar

nicht komplanar

komplanar

Ti = Tj = E

Ti = E ; Tj

nicht komplanar

Ti ; Tj = E

Ti ; Tj

Die Tab. 8.3 beschreibt f¨ ur die Knoten i und j, f¨ ur die F¨alle komplanar und nicht komplanar, die zugeh¨ origen Transformationsmatritzen. E ist die

8.7

Schalenelement

257

Einheitsmatrix. Sind beide Knoten komplanar, so findet keine Transformation statt ( T i = T j = E ). Sind beide Knoten nicht komplanar, so findet eine vollst¨ andige R¨ ucktransformation statt. In den anderen beiden F¨allen findet eine teilweise Transformation statt.

Kapitel 9 Feldprobleme

9

9

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.4 9.5 9.6 9.6.1 9.6.2

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. Die Poisson’sche Gleichung .................................... Randbedingungen ................................................ Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... Problemdefinition ................................................ Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... ¨ Ubungsaufgaben: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung... Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... Problemdefinition ................................................ Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ Diskretisierung des Funktionals .............................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... ¨ Ubungsaufgaben zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ................................................................ Torsion von prismatischen K¨ orpern .......................... Funktional des Torsionsproblems.............................. Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt .....

263 263 263 264 265 265 266 266 270 271 276 277 277 278 279 286 288 293 295 298 298

9 Feldprobleme Das Bild 9.1 zeigt einen dreidimensionalen K¨ orper, in dem die Feldgr¨oße φ = φ(x, y, z) als gesuchte Gr¨ oße auftritt. Als bekannte Gr¨oße tritt im Inneren des K¨ orpers die Quellgr¨ oße Φ auf. Auf der Oberfl¨ache Ωφ wird die Gr¨oße 0φ als bekannt vorausgesetzt. Die Flußgr¨ oße 0q tritt auf der Oberfl¨ache Ωq auf.

Bild 9.1. Ein dreidimensionaler K¨ orper mit den Gr¨ ossen der betrachteten Feldprobleme

Die Zuordnung dieser Gr¨ oßen ist im Tonti-Diagramm in Bild 9.2 gegeben. Die kinematische Beziehung1 stellt sich als Gradient g = ∇φ dar. Die Stoffˆ die Flußgr¨oße q mit dem Gradigleichung verkn¨ upft u ¨ber die Stoffmatrix D enten g. In der Gleichgewichtsbedingung ∇ ·  q = Φ tritt die Quellgr¨oße Φ auf. Die wesentliche Randbedingung 0φ wird der Oberfl¨ache Ωφ zugeordnet. Die nat¨ urliche Randbedingung 0q = en ·  q = eTn  q beschreibt auf Ωq die Flußgr¨oße. Die Gr¨ oßen in den schattierten K¨ astchen werden als bekannt vorausgesetzt. Setzt man den Gradienten g in die Stoffgleichung ein, so erh¨alt man: ˆ ∇φ q=D 

(653)

Einsetzen in die Gleichgewichtsbeziehung f¨ uhrt auf: ˆ ∇φ) = ∇ · gˆ = Φ ∇ · (D

(654)

In ausf¨ uhrlicher Schreibweise erh¨ alt man: ∂ ∂x

1

      ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ λx + λy + λz =Φ ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(655)

Die Begriffe im Tonti-Diagramm sind in Bild 2.12 auf der S. 58 eingef¨ uhrt.

262

9. Feldprobleme

Bild 9.2. Das Tonti-Diagramm der betrachteten Feldprobleme

Diese Gleichung nennt man die allgemeine Poisson’sche Gleichung. Verschwindet der Term Φ und sind die Gr¨ oßen λi = konstant, so erh¨alt man die Laplace Gleichung. Viele physikalische Probleme stellen sich als Feldprobleme bzw. Potentialprobleme dar. Hierunter fallen z.B. das W¨ armeleitungsproblem, die Potentialstr¨ omung und die Torsion eines prismatischen Stabes, um nur einige zu nennen. All diese Probleme sind dadurch gekennzeichnet, daß sie sich durch (655) beschreiben lassen. Die wichtigsten physikalischen Probleme dazu sind in Tab. 9.1 zusammengefaßt. Tabelle 9.1. Zusammenstellung analoger Feldprobleme

Problem

Variable φ

Stoffgr¨ oße

Φ

W¨ arme¨ ubertragung Torsion

Temperatur

W¨ armeleitf¨ ahigkeit

Spritzgießen Schmier¨ olfilm

Druck Druck

Sickerstr¨ omung

Druckh¨ ohe

Fluidit¨ at Funktionen der Filmdicke und Viskosit¨ at Durchl¨ assigkeit

Innere W¨ armequelle 2 · Drillwinkel · Schubmodul 0 Wirksamer Fluß

Reibungsfreie, inkompressible, wirbelfreie Str¨ omung Elektrostatik

Potentialfunktion

1

Feldpotential

Dielektrizit¨ atskonstante

Spannungsfunktion 1

Str¨ omungsquelle Quelle oder Senke

Ladungsdichte

9.1

W¨ arme¨ ubertragung

263

9.1

W¨ arme¨ ubertragung

9.1.1

Die Poisson’sche Gleichung

9.1

Das W¨ arme¨ ubertragungsproblem l¨ aßt sich mit Hilfe der Poisson’schen Gleichung (655) beschreiben. Dabei ist die unbekannte Gr¨oße φ die Temperatur T . Φ ist die W¨ armequellendichte und die Hauptdiagonalelemente der Stoffarmeleitf¨ ahigkeiten λi eines orthotropen K¨orpers matrix D stellen sich als W¨ dar: ⎤

⎡ λx

⎢ ⎢ D=⎢ 0 ⎣ 0

0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ λz

λy 0

(656)

ˆ Daarme¨ ubertragungsproblem: D = −D. F¨ ur die Stoffmatrix D gilt beim W¨ mit lautet die Stoffgleichung in Abwandlung von (653): q = −D ∇T 

(657)

Diese Beziehung nennt man Fourier’sche Gleichung. Einsetzen in die Gleichgewichtsbeziehung f¨ uhrt auf: ∂ ∂x 9.1.2

      ∂T ∂T ∂T ∂ ∂ λx + λy + λz +Φ=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(658)

Randbedingungen

Die wesentlichen Randbedingungen beschreiben auf der Oberfl¨ache ΩT die urlichen Randbedingungen erfassen auf der Temperaturen T = 0 T . Die nat¨ Oberfl¨ ache Ωq die W¨ armestromdichten: 0

q = enT  q= q T en

(659)

Der Einheitsnormalenvektor en steht normal zur Oberfl¨ache Ωq (s. Bild 9.1). Einsetzen von (657) in (659) f¨ uhrt zu: T

T

q = − (D ∇ T ) en = − (∇ T ) D en

0

(660)

264

9. Feldprobleme

Der W¨ arme¨ ubergang auf Ωq kann durch Leitung q oder Konvektion α(T − Tu ) stattfinden1 . Damit erh¨ alt man mit (660): (∇ T )T D en + q + α(T − Tu ) = 0

(661)

In skalarer Form ergibt sich f¨ ur ein lokales Koordinatensystem, in dem die n-Achse in Richtung von en zeigt:

λn

∂T + q + α(T − Tu ) = 0 ∂n

(662)

Die Gleichung (662) beschreibt die nat¨ urlichen Randbedingungen des W¨armeu arme¨ ubergangskoeffizient und Tu ¨ bertragungsproblems. Dabei ist α der W¨ die Umgebungstemperatur. 9.1.3

Das Funktional der W¨ arme¨ ubertragung

Das zuvor dargestellte W¨ arme¨ ubertragungsproblem l¨aßt sich alternativ u ¨ber ein Funktional2 der folgenden Form beschreiben: 1 Π= 2 



 T

V

(∇ T ) D ∇ T dV −   

Φ T dV + V

W¨ armeleitung (Πw )



 T i Qi

i



Innere W¨ armeerzeugung (ΠQ )

 % $  1 − α Tu − T − q T dΩ 2 ΩR    



(663)

W¨ arme¨ ubergang auf den Oberfl¨ achen des K¨ orpers (Πq )

Hierbei wird die Gleichgewichtsbeziehung ∇ · q = Φ sowie die nat¨ urliche T 0 Randbedingung en  q = q in schwacher, d.h. in gemittelter Form, ber¨ ucksichtigt. Das Problem stellt ein C 0 -Problem dar, da im Funktional nur erste Ableitungen von T auftreten. Das Funktional beschreibt den dreidimensionalen Fall. F¨ ur die sp¨ater betrachteten ein- und zweidimensionalen F¨ alle ¨andert sich nur die Dimension des Nabla-Vektors. Zudem treten dann Integrale u ¨ ber die R¨ander des entsprechenden K¨orpers auf. Die Gr¨ oßen in (663) haben folgende Bedeutung: T - Temperatur Φ - W¨ armequellendichte (pro Volumeneinheit erzeugte W¨armemenge) 1 2

W¨ armestrahlung kann in ¨ ahnlicher Form ber¨ ucksichtigt werden. Die Euler-Lagrange’schen Gleichungen hiervon f¨ uhren auf (658) und (660).

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

265

α - W¨ arme¨ ubergangszahl Tu - Umgebungstemperatur Qi - Punktf¨ ormige W¨ armequellen D - Stoffmatrix mit den W¨ armeleitf¨ ahigkeiten

9.2

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

9.2.1

Problemdefinition In Bild 9.3 ist ein eindimensionaler K¨ orper mit m¨oglichen Randbedingungen dargestellt. Die Hauptausdehnungsrichtung verl¨auft in x-Richtung und ist sehr viel gr¨ oßer als die Ausdehnung quer zur x-Achse. Diese wird durch die Querschnittsfl¨ ache A erfasst. Die unbekannte Gr¨oße ist die Temperatur T . Sie a ndert sich nur in Richtung der x-Achse (T = T (x)). Es liegt also ein ¨ eindimensionales Problem vor. Es sind vier Formen von Randbedingungen angef¨ uhrt. Einer Stirnfl¨ache des agt. Die weiteren Randbedingungen K¨ orpers ist eine Temperatur 0 T aufgepr¨ lassen sich mit Hilfe von (662) erl¨ autern:

Bild 9.3. Die Randbedingungen

beim eindimensionalen W¨ armeu ¨bertragungsproblem

W¨ armeisolation auf allen Fl¨ achen (qi =0; αi =0). Dies f¨ uhrt nach (662) zu: dT /dx = 0. W¨ arme¨ ubertragung durch Leitung auf ΩL (αi = 0; qk = qI = 0; qL = 0): ache realisiert. q = −λ dT /dx. Dieser Fall ist auf der zweiten Stirnfl¨ W¨ arme¨ ubertragung durch Konvektion auf Ωk (qi = 0; αI = αL = 0; αk = ache ist diese Randbedingung 0): q = −α(T − Tu ). Einem Teil der Mantelfl¨ aufgepr¨ agt.

Q

266

9. Feldprobleme

9.2.2

Funktional des eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragungsproblems Das Funktional des eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragungsproblems lautet:

Π=

1 2 



 λ V

dT dx 

2

  dV − T Φ dV + Σi Ti Qi   V  

W¨ armeleitung (Πw )

Innere W¨ armeerzeugung (ΠQ )

 % $  1 − α Tu − T − q T dΩ 2 Ωq    

(664)

W¨ arme¨ ubergang auf den Oberfl¨ achen des K¨ orpers (Πq )

In dem Ausdruck der W¨ armeleitung reduziert sich die Stoffmatrix D auf die skalare W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. Der Gradient ∇T vereinfacht sich zu dT /dx. Die innere W¨armeerzeugung wird um die punktuellen W¨armequellen der
anzt. Der W¨ arme¨ ubergang auf der Oberfl¨ache des K¨orpers Form i Ti Qi erg¨ entspricht dem dreidimensionalen Fall. 9.2.3

Diskretisierung des Funktionals

Bild 9.4. W¨ arme¨ ubertragung durch ein

eindimensionales Element

In Bild 9.4 ist ein K¨ orper dargestellt, der eine Hauptausdehnungsrichtung aufweist. Er besteht aus einem konischen und einem prismatischen Abschnitt. Der prismatische Abschnitt wird in ein finites Element eingeteilt, das in der Schwereachse des K¨ orpers liegt, die mit der x-Achse zusammen f¨allt. Das Element hat eine L¨ ange l, eine Querschnittsfl¨ ache A sowie eine W¨armeleitf¨ahigkeit λ. Es weist an seinen beiden Enden jeweils einen Knoten i bzw. j auf. F¨ ur diese beiden Knoten werden als Unbekannte die Knotentemperaturen Ti und uhrt. Diesen zugeordnet sind die punktf¨ormigen W¨armequellen Qi Tj eingef¨ und Qj . Sie beschreiben die W¨ armemengen, die am Knoten i (Qi ) bzw. j (Qj ) in das Element hinein- oder herausfließen. Die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten αi , αj , αM , sowie die Umgebungstemperatur Tu dienen zur Beschreibung der Konvektion, die sich auf den Stirnfl¨ achen oder der Mantelfl¨ache ausbildet.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

267

Die lineare Temperaturverteilung in diesem eindimensionalen Element wird wie folgt beschrieben: $ T (x) =

x 1− l

x l

%

⎤

⎡ ⎣

Ti

⎦=



 N1

N2

⎡ ⎣

Tj

⎤ Ti

 T T ⎦=N

(665)

Tj

Die Formfunktionen N1 , N2 entsprechen denen, die beim Stabelement Verwendung finden (s. (259)). Die Ableitung der Temperatur nach x lautet:

dT = dx 

dT dx

2

⎡ ⎤ % 1 1 ⎣ Ti ⎦  T  =B T − l l   Tj  T B $

(666)

 T T = T T B B  T T  T T B =B

(667)

W¨ armeleitung

Damit erh¨ alt man f¨ ur Πw :   1 B  T T dV = 1 T T B  T dV T λ T T B λB Πw = 2 V 2 V    Kw

(668)

B  T f¨ Das dyadische Produkt B uhrt zu: ⎡

⎤ −1 $ ⎢ ⎥ B  T = ⎢ l ⎥ −1 B ⎣ 1 ⎦ l l

1 l

%

⎡ 1 ⎣ 1 = 2 l −1

−1

⎤ ⎦

(669)

1

Bei konstantem Querschnitt des betrachteten Elementes kann man schreiben (dV = A dx):

1 Πw = 2 2l

=



⎡ l

λ T T ⎣

0

1 T T K w T 2

1 −1

⎡ ⎤ −1 1 Aλ 1 ⎣ ⎦ T A dx = T T ⎦ T 2 l 1 −1 1    Kw

−1

⎤

(670)

268

9. Feldprobleme

Innere W¨ armeerzeugung

 ΠQ =

T Φ dV + Σi Ti Qi

(671)

V

Die Temperatur T in (671) wird u ¨ber die Formfunktion nach (665) beschrieben: ⎡

⎤ x l l⎢ 1− l ⎥ ⎢  dx + Σi Ti Qi = T T ΦA ⎥ T T NA ΠQ = Φ ⎣ x ⎦ dx + Σi Ti Qi 0 0 l ⎡ ⎤ ! " 1 1 ⎦ +T T F = T T FQ + F = T T Φ V ⎣ (672) 2 1    FQ 



W¨ arme¨ ubergang auf den Oberfl¨ achen β  %   $      1 1 2 α T dΩ + (αTu − q) T dΩ Πq = α Tu − T − q T dΩ = − 2 2 Ω  Ω   Ω   Πq1 Πq2 (673)

Konvektionsmatrix

Der Term 1/2 α T 2 in der voranstehenden Gleichung f¨ uhrt auf die Konvektionsmatrix K k :  T T ; T =N ⎡ x 1− ⎢ l N T =⎢ N ⎣ x l

 T T = T T N N  T T  T T N T2 = N 2 ⎡  x % $ ⎢ 1− l ⎥ ⎥ 1− x x =⎢ ⎣ x  x 2 ⎦ l l − l l ⎤

 2 x x − l l  2 x l

⎤ ⎥ ⎥ (674) ⎦

Die Integration dΩ erstreckt sich u ¨ber die Oberfl¨ache des eindimensionalen Elementes. Dies sind zum einen die Mantelfl¨ ache und zum anderen die beiden Stirnfl¨ achen.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

 Πq1 = Ω

1 α T 2 dΩ = 2



l

0

269

$ $ % % 1 1 1 α T 2 U dx + αT2 αT2 Ai + Aj 2 2 2 x=0 x=l     

Mantel߬ ache

Stirn߬ achen

(675) Es wird in (675) vorausgesetzt, daß der Querschnitt im Element konstant ist. Damit gilt: dΩ = U dx, wobei U der Umfang des Querschnittes ist. 2   ⎤ ⎡  x x x 1 − 1 − l⎢ ⎥ 1 ⎢  l  l  2l ⎥ dx T = T T αM ⎣ ⎦ 2 x x x 0 1− l l l ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1  T ⎣ Ai 0 ⎦  1  T ⎣ 0 0 ⎦  T T + T αj + T αi 2 2 0 0 0 Aj ⎡ ⎛ ⎡ ⎡ ⎤⎞ ⎤ ⎤ Ai 0 0 0 M⎣ 2 1 ⎦ 1 T ⎝ ⎦⎠ T ⎦ + αj ⎣ αM + αi ⎣ = T 2 6 1 2 0 0 0 Aj ⎡ ⎤ M M + αi Ai αM αM ⎢ ⎥ 1 3 6 ⎥ T = 1 T T K k T (676) = T T ⎢ ⎣ ⎦ 2 2 M M + αj Aj αM αM 6 3    Kk 

Πq1

M = U l ist die Mantelfl¨ ache des Elementes. αM ist der W¨arme¨ ubergangsubergangskoeffikoeffizient auf der Mantelfl¨ ache. αi und αj sind die W¨arme¨ zienten f¨ ur die Stirnfl¨ achen am Anfangs- und Endknoten des Elementes. W¨ arme¨ ubergangsvektor

Die Integration u oße β in (673) erstreckt sich u ¨ber die Gr¨ ¨ ber die Mantelfl¨ache und die Stirnfl¨ achen (Ai , Aj ) des Elementes: 



    βM T U dx + βi T Ai + βj T Aj x=0 x=l 0 Ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ x  l 1 − A 0 ⎢ ⎥ i l ⎥ T ⎣ ⎦ ⎦ + βj T T ⎣ T T ⎢ = βM U ⎣ x ⎦ dx + βi T 0 0 Aj l

Πq2 =

β T dΩ =

l

270

9. Feldprobleme

⎡ ⎡ ⎡ ⎤⎞ ⎤ ⎤ 1 A 0 i l ⎦⎠ ⎦ + βi ⎣ ⎦ + βj ⎣ = T T ⎝βM U ⎣ 2 1 0 Aj ⎡ ⎤ 1 βM M + βi Ai ⎥ ⎢ 2 ⎥ = T T Fq = T T ⎢ ⎣ 1 ⎦ βM M + βj Aj 2    Fq ⎛

(677)

Bei β = αTu − q ist zwischen βM (Mantelfl¨ ache) und βi , βj (Stirnfl¨achen) zu unterscheiden. M = U l ist wiederum die Mantelfl¨ache des Elementes. 9.2.4

Variation des Funktionals Damit ergibt sich f¨ ur das Funktional:

Π = Πw − ΠQ − Πq1 − Πq2 ! " 1 1 = T T K w T + T T K k T − T T FQ + F − T T Fq 2 2

(678)

Die Variation f¨ uhrt auf folgenden Ausdruck: (K w + K k )T = Fq + FQ + F ⎛

⎞

⎜ ⎡ ⎡ ⎤⎟⎡ ⎤ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ Aλ ⎟ Ti 1 −1 2 αM M + 6 αi Ai αM M 1 ⎜ ⎣ ⎦⎟⎣ ⎦ ⎦+ ⎣ ⎜ l ⎟ 6 ⎜ ⎟ Tj −1 1 α M 2 α M + 6 α A M M j j ⎝ ⎠       W¨ armeleitung (K w )

⎡

⎤

⎡

Konvektion (K k )

⎤ 1 ⎣ βM M + 2 βi Ai ⎦ ΦV ⎣ 1 ⎦ = + + 2 β M +2β A 2 1 M j j       W¨ arme¨ ubergang (Fq )

W¨ armeerzeugung (FQ )

⎡ ⎣

Qi

⎤ ⎦

Qj    Punktw¨ arme) quellen (F

(679) ur die Mantelfl¨ache βM sowie die Stirnfl¨achen Der Wert β = αTu − q wird f¨ achen keine Konvektion statt, so βi , βj unterschieden. Findet auf diesen Fl¨ ist α Null. Ebenso ist q Null, wenn diesen Fl¨achen keine W¨armestromdichte aufgepr¨ agt wird.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

271

9.2.5

Beispiel zur eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragung In Bild 9.5 ist ein K¨ uhlstab mit der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ dargestellt, der von einer Fl¨ ussigkeit mit der Temperatur Tu umgeben ist und per Konvektion (α) u ache W¨ arme abf¨ uhren soll. Am Fußpunkt des Stabes ¨ber seine Mantelfl¨ ohe h und einen Durchmesser d. ist die Temperatur Tf bekannt. Er hat eine H¨ Gesucht ist die Temperaturverteilung im Stab und die W¨armeabgabe, wobei die W¨ armeabgabe u ache vernachl¨assigt wird. Es soll der Tem¨ ber die Stirnfl¨ peraturverlauf T = T (x) und die W¨ armeabgabe berechnet werden. Weiterhin ist der Fehler bei der FEM zu betrachten (Analytische L¨osung s. CD).

Bild 9.5. Einteilung des Stabes in zwei Elemente. Bei der Zahlenrechnung werden folgende Werte angenommen: h = 100, d = 10, Tf = 100, Tu = 20, α = 1/2000, λ = 3/50

L¨ osung mit zwei zweiknotigen Elementen

Der Stab nach Bild 9.5 wird in zwei Elemente der L¨ ange h/2 eingeteilt. Den beiden Elementen wird eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ zugeordnet. Auf der Mantelfl¨ ache der Elemente wirkt eine W¨ arme¨ ubergangszahl1 α=m2 A λ/U , die die Konvektion ber¨ ucksichtigt. Im Knoten 1 ist die Temperatur mit Tf bekannt. W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrizen

Die W¨ arme- und Konvektionsmatrizen lauten nach (679):

K w1

K k1

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 −1 3 A λ ⎣ 24 −24 ⎦ ⎦ π⎣ = = K w2 = 12 h −24 24 100 −1 1 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 2 1 2 2 1 A λ π 1 ⎣ ⎦= ⎦= m ¯⎣ = K k2 = αM M ⎣ 6 12 h 24 1 1 2 1 2

⎤ 1

⎦

2 (680)

Mit m ¯ = m2 h2 und K i = K wi + K ki ergibt sich: 1

Die Abk¨ urzung m2 = αU/(Aλ) entstammt der analytischen L¨ osung.

9.1

272

9. Feldprobleme

⎡ Aλ ⎣ 12 h

K1 = K2 =

2(12 + m) ¯ m ¯ − 24

⎡

⎤

m ¯ − 24

⎤ 68

⎦= π ⎣ 600 2(12 + m) ¯ 7

7

⎦

(681)

68

Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g ergibt sich aus der Uberlagerung der beiden Einzelsteifigkeitsmatrizen K 1 und K 2 : T1

T2

T3

2(12 + m) ¯

m ¯ − 24

0

⎡ Kg =

Aλ⎢ ⎢ ¯ − 24 12 h⎢ m ⎣ 0

⎡ =

4(12 + m) ¯ m ¯ − 24

T1

T2

T3

68

7

0

π ⎢ ⎢ 600⎢ 7 ⎣ 0

136 7

⎤

T1 ⎥ ⎥ m ¯ − 24 ⎥ T2 ⎦ 2(12 + m) ¯ T3

⎤

T1 ⎥ ⎥ 7 ⎥ T2 ⎦ 68 T3

(682)

Rechte Seite des Problems

Der Vektor der Temperaturen wird in zwei Anteile zerlegt.0 T erfaßt die be kannten Temperaturen: 0 T T = [ Tf | 0 | 0 ]. In Tˆ stehen die unbekannten Tem peraturen (Tˆ )T = [ 0 | T2 | T3 ]:  K g (0 T + Tˆ ) = F

 K g Tˆ = F − K g 0 T

⇒

(683)

Nach (679) enth¨ alt die rechte Seite zwei Anteile. Der erste Anteil geht auf die Konvektion zur¨ uck. F¨ ur Element 1 und 2 erh¨alt man mit βM = α Tu und α=m ¯ A λ/(U h2 ): ⎡

⎤ βM M

⎡

⎤ 1

⎡

⎤ 1

Aλ ⎣ 1 ⎦ = 3m ⎦ = 5π ⎣ ⎦ F1 = F2 = ⎣ ¯ Tu 2 β M 12 h 1 2 1 M

(684)

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

273

Der zweite Anteil K g 0 T tritt infolge der gegebenen Fußtemperatur Tf auf. Das Produkt K g 0 T stellt sich wie folgt dar: ⎡ K g 0 T =

Aλ ⎢ ⎢ ⎢ 12 h ⎣

⎤⎡

2(12 + m) ¯

m ¯ − 24

m ¯ − 24

4(12 + m) ¯ m ¯ − 24 ⎤ ⎡

0 ⎡ Aλ ⎢ ⎢ = Tf ⎢ 12 h ⎣

2(12 + m) ¯ m ¯ − 24

⎥ π⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 6⎣ ⎦

0

⎤ Tf

0

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ m ¯ − 24 0 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 2(12 + m) ¯ 0 ⎤ 68 ⎥ ⎥ 7 ⎥ ⎦ 0

(685)

Aus (684) und (685) ergibt sich damit die rechte Seite zu: ⎡

⎡

⎤ 1

⎤ 2(12 + m) ¯

⎥ Aλ ⎢ Aλ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ¯ Tu F − K g 0T = 3 m ⎢ 2 ⎥ − Tf ⎢ 12 h ⎣ 12 h ⎣ ⎦ 1 ⎡ ⎤ ⎡ R ¯ f Q1 3m ¯ Tu − 2(12 + m)T ⎢ ⎥ ⎢ Aλ ⎢ ⎥ ⎢ = ⎢ 6m ¯ Tu + (24 − m)T ¯ f ⎥+⎢ 0 12 h ⎣ ⎦ ⎣ 3m ¯ Tu 0

m ¯ − 24

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎦ ⎣

0

⎤ Q1 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 ⎡

⎤

R

−53

⎤

⎡

⎥ π⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 23 ⎥ + ⎢ 6⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 15

R

⎤ Q1 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 (686)

Aus dem Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix nach (682) und der rechten Seite nach (686) kann die erste Zeile und Spalte gestrichen werden: ⎡ Aλ ⎣ 12 h

4(12 + m) ¯

m ¯ − 24

⎤

⎤⎡ T2

⎡

¯ f 6m ¯ Tu + (24 − m)T

⎦ = Aλ ⎣ 12h m ¯ − 24 2(12 + m) ¯ T3 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ π ⎣ 136 7 ⎦ ⎣ T2 ⎦ π ⎣ 23 ⎦ = 600 6 7 68 T3 15 ⎦⎣

⎤ ⎦

3m ¯ Tu

(687) Daraus ergeben sich die Temperaturen zu:

274

9. Feldprobleme

⎤ (9m ¯ + 216)m ¯ Tu + [(12 − m)2 ¯ m ¯ + 576]Tf ⎥ ⎢ T ⎢ ⎥ 576 + 240 m ¯ +7m ¯2 ⎥ ⎣ 2 ⎦=⎢ ⎥ ⎢ ⎣ (m ¯ + 48)6 m ¯ Tu + [(m ¯ − 48)m ¯ + 576]Tf ⎦ T3 576 + 240 m ¯ +7m ¯2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 100 ⎣ 1459 ⎦ ⎣ 15, 860 ⎦ = = 9199 1879 20, 426 ⎡

⎤

⎡

(688)

Analytische L¨ osung des W¨ armestromes am Fußpunkt ¨ Uber die Fourier’sche Gleichung Q = −A λ dT /dx erh¨alt man aus der analytischen L¨ osung T = Tu + (Tf − Tu ) cosh [m (h − x)] / cosh (mh) den W¨armestrom:

Q(x) = A λ

m sinh [m(h − x)] (Tf − Tu ) cosh(m h)

(689)

F¨ ur den Fußpunkt ergibt sich mit x = 0: Q(x = 0) = A λ m tanh(m h)(Tf − Tu ) = 21, 765

(690)

W¨ armestrom bei zwei Elementen

aßt sich der W¨armestrom am Knoten 1 beAus der Beziehung K g T = F l¨ rechnen. Dazu wird die erste Zeile aus K g (682) mit den Temperaturen Tf und T2 multipliziert und man erh¨ alt den W¨armestrom am Knoten 1: Aλ Aλ [2(12 + m)T ¯ f + (m 3m ¯ Tu + RQ1 ¯ − 24)T2 ] = 12 h 12 h

(691)

uhrt zu: Einsetzen der Temperatur T2 aus (688) f¨

R

Q1 =

¯ + m) ¯ A λ (48 + m)(12 m ¯ (Tf − Tu ) = 28, 332 h 576 + 240m ¯ + 7m ¯2

(692)

Die Temperaturverl¨ aufe T (ξ) sind im Bild 9.6 f¨ ur ein bis f¨ unf Elemente der exakten L¨ osung gegen¨ ubergestellt. Beim zweiknotigen Element ist nach (665) die Temperatur im Element linear verteilt. Bei Steigerung der Elementanzahl schmiegt sich der Temperaturverlauf in Form eines Polygonzuges immer mehr an die exakte L¨ osung an. Bei f¨ unf Elementen ist oberhalb von ξ=1/5 kaum

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

275

Bild 9.6. Vergleich der exakten L¨ osung mit der FE-L¨ osung f¨ ur unterschiedliche Elementanzahlen

noch ein Unterschied zwischen der FE-L¨ osung und der exakten L¨ osung zu erkennen. Fehlerbetrachtung beim zweiknotigen Element

In Bild 9.7 ist der Fehler f¨ ur Temperatur und W¨ armefluß in Abh¨ angigkeit von der Anzahl der Elemente in einem doppelt logarithmischen System dargestellt.

Bild 9.7. Fehlerdarstellung der

Temperatur und des W¨ armeflusses in Abh¨ angigkeit von der Elementanzahl

Bei einem Element betr¨ agt der Fehler 30% und f¨ allt bei 10 Elementen unterhalb von 1%. Der Fehler des W¨ armeflusses bei x=0 ist gr¨ oßer als der der Temperatur, da der W¨ armefluß sich als Gradient der Temperatur darstellt. Bei einem Element betr¨ agt er fast 100% und f¨ allt auf ca. 2% ab.

276

9.2.6

9.2

9. Feldprobleme

¨ Ubungsaufgaben: Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel I

Gegeben ist in Bild 9.8 ein Schnitt durch eine Wand, die in zwei Richtungen unendlich ausgedehnt ist und in x-Richtung eine endliche Dicke von 3 l besitzt. Die beiden ¨ außeren W¨ ande weisen eine W¨armeleitf¨ahigkeit λ auf. Die mittlere Isolierschicht eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit f λ, mit f ≤ 1. Die Temperaturen Tw und Ta sind bekannt. Es sollen die Temperaturen an den Stellen x=l und x=2l sowie der W¨ armestrom und die W¨armestromdichte in der Wand berechnet werden.

Bild 9.8. W¨ armeleitung durch eine in zwei Richtungen unendlich ausgedehnte Wand mit einer Isolierungsschicht

9.3

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel II

Eine in zwei Richtungen unendlich ausgedehnte Wand (s. Bild 9.9) weist auf ihrer Innenseite eine Temperatur von Tw auf. Die Wand ist u ¨ber ihre Dicke (x-Richtung) in drei Teilw¨ ande aufgeteilt. Die innere Wand weist eine Dicke armeleitf¨ ahigkeit λ auf. Die Außenwand hat eine St¨arke L3 L1 und eine W¨ und eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. Dazwischen ist eine Isolierschicht der Dicke ur die W¨ armeleitf¨ ahigkeit gilt das Verh¨altnis f = λb /λ. Die L2 angeordnet. F¨ arme¨ ubergangskoeffizient α. Umgebungstemperatur ist Tu und der W¨

Bild 9.9. W¨ armeleitung durch eine isolierte Wand mit unterschiedlichen Wandst¨ arken und Konvektion auf der Außenseite

Gesucht sind der Temperaturverlauf u ¨ ber die Wanddicke sowie der W¨armefluß durch die Wand in Abh¨ angigkeit von f = λb /λ.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

277

Bild 9.10. Rundstab mit Konvektion auf der Stirn߬ ache A

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel III

In Bild 9.10 ist ein Rundstab mit der Querschnittsfl¨ ache A, der H¨ ohe h sowie der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ dargestellt. Auf der Stirnfl¨ ache A des Stabes tritt Konvektion mit einer W¨ arme¨ ubergangszahl α auf. Die Umgebungstemperaache des Stabes ist isoliert. Am Fußpunkt des tur betr¨ agt Tu . Die Mantelfl¨ Stabes ist die Temperatur mit Tf bekannt. Der Stab soll in zwei Elemente eingeteilt werden. Gesucht sind die Temperaturverteilung im Stab sowie die W¨ armemenge, die vom Stab abgegeben werden kann. W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel IV

Alternativ soll das Problem aus Bild 9.5 mit einem dreiknotigen Element gel¨ ost werden. Dazu sind mit dem Programm “ Feldprobleme 1D“ (s. S. 359) die ben¨ otigten Matrizen und die rechte Seite f¨ ur das dreiknotige Element zu ermitteln. Damit sind die Temperaturverl¨ aufe im Stab zu berechnen. Erg¨ anzend sind die L¨ osungen von zwei-, drei-, vier- und f¨ unfknotigen Elementen gegen¨ ubergestellt. Aufgabe mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM Das Beispiel in Bild 9.5 auf der S. 271 soll mit “ FEM CAS“ mit 4 Elementen

9.4

9.5

R

gerechnet werden. Gesucht ist der W¨ armefluß Q = Q(h, A, U, α, λ, Tf , Tu ). F¨ ur die numerische Rechnung mittels “ InterFEM“ sind die Zahlenwerte in Bild 9.5 zu verwenden.

9.3 9.3.1

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

Problemdefinition Im folgenden wird als Feldproblem das ebene W¨ arme¨ ubertragungsproblem betrachtet. In Bild 9.11 ist ein ebener K¨ orper mit einer Dicke t dargestellt. Die Dicke soll sehr viel kleiner sein als die ¨ außeren Abmaße dieses K¨ orpers.

S

278

9. Feldprobleme

Gesucht ist die Temperaturverteilung T (Ω) in diesem K¨orper, wobei diese als konstant u ubergang findet ¨ ber die Dicke angenommen wird. Der W¨arme¨ u achen des K¨orpers statt. F¨ ur diese ¨ ber die Stirnfl¨achen und u ¨ ber die Deckfl¨ R¨ ander k¨ onnen verschiedene Randbedingungen formuliert werden. 9.3.2

Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung Zur eindeutigen Beschreibung des Problemes m¨ ussen neben (658) entsprechende Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Die verschiedenen Randbedingungen sind in Bild 9.11 dargestellt. Sie werden in zwei F¨alle unterteilt:

Bild 9.11. Die Rand-

bedingungen bei der W¨ arme¨ ubertragung

Die Temperaturverteilung ist auf dem Teilrand ΓT bekannt. Diese Randbedingung entspricht den bisherigen in der Elastostatik1 . Die zweite Form der Randbedingung beim ebenen W¨arme¨ ubertragungsproblem wird durch (662) beschrieben2 . Hierin beschreibt die W¨armestromdichte q die W¨armeleitung auf dem Rand Γq . Die Konvektion auf Γα wird u ¨ ber die W¨arme¨ ubergangszahl α und die Umgebungstemperatur Tu erfaßt. Der Gradient der Temperatur T wird in Richtung der Randnormalen n gebildet. In Richtung von n ist die W¨armeleitf¨ahigkeit λn definiert. Die Diskussion von (662) f¨ uhrt zu folgenden Fallunterscheidungen: W¨armeisolation auf dem Teilrand ΓI : q = α = 0 ∂T =0 ∂n

(693)

Es findet kein W¨arme¨ ubergang auf dem betrachteten Teilrand ΓI statt. W¨arme¨ ubertragung durch Leitung auf dem Teilrand Γq : α = 0 1 2

Diese Randbedingung wird auch Dirichlet sche Randbedingung genannt. Diese Randbedingung ist nach Cauchy benannt.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

−λn

279

∂T =q ∂n

(694)

Es wird die W¨ armestromdichte q auf dem Teilrand Γq vorgeschrieben. Konvektion auf dem Teilrand Γα : q = 0 ; α = 0 λn

∂T = −α (T − Tu ) ∂n

(695)

9.3.3

Diskretisierung des Funktionals Es wird das Funktional nach (663) betrachtet. Zur Diskretisierung dieses Funktionals wird analog zum Scheibenproblem wiederum ein Dreieckselement verwendet. In Bild 9.12 ist ein solches Dreieckselement dargestellt. Es weist drei Knoten auf und wird in der (x, y)-Ebene beschrieben. In den drei Knoten ist jeweils eine Temperatur Ti (i = 1, 2, 3) als unbekannte Gr¨oße definiert. Auf den drei Kanten Γ12 , Γ23 und Γ31 des Elementes sind drei m¨ogliche Randbedingungen eingezeichnet, wobei der Fall der Isolation fehlt. ache des Dreieckselementes ist der Fall der KonF¨ ur die Kante Γ12 und die Fl¨ vektion angef¨ uhrt. Der W¨ arme¨ ubergang u ¨ ber die Deckfl¨ache ΩR wird nicht in (662) beschrieben. Kante Γ23 weist eine vorgeschriebene Temperaturverteilung auf. Diese Forderung ist dadurch zu realisieren, daß die Knotentemur Kante Γ31 ist der Fall einer peraturen T2 und T3 vorgegeben werden. F¨ vorgegebenen W¨ armestromdichte q angef¨ uhrt. F¨ ur die Beschreibung der Temperaturverteilung im Element wird die Formfunktion (548) benutzt, die schon beim Scheibenproblem zur Beschreibung der Verschiebungen im Element diente:

⎡  T =

⎡

⎤ T1

L1

L2

⎥  ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ L3 T ⎥ = N1 ⎣ 2 ⎦ T3

⎤ T1

N2

⎥ ⎢ ⎢ ⎥  T T ⎢ N3 T ⎥=N ⎣ 2 ⎦ T3 (696)

Im folgenden werden die Ausdr¨ ucke des Funktionals diskretisiert. W¨ armeleitung

Der Temperaturgradient ∇T in (663) wird mit Hilfe der Formfunktionen nach (696) geschrieben als:

280

9. Feldprobleme

Bild 9.12. Dreieckselement mit m¨ oglichen Randbedin-

gungen

" ! T    T T = ∇N ∇T = ∇ N    T = B T

(697)

B Damit kann der Term f¨ ur die W¨ armeleitung Πw wie folgt ausgedr¨ uckt werden:

Πw =

1 2

  ! "T 1 B T D B T dV = T T B TD B dV T 2 V   V Kw

(698)

Die Matrix K w ist die W¨ armeleitungsmatrix. T Zur Berechnung des Ausdruckes B TD B muß das dyadische Produkt ∇N gebildet werden. Die Formfunktionen nach (696) sind in Dreieckskoordinaten T: beschrieben. Mit (83) und (88) erh¨ alt man f¨ ur das dyadische Produkt ∇N ⎡ ⎢  T = J −1 ⎢  T = J −1 ∇∆ N B = ∇N ⎢ ⎣ ⎡

∂L1 ⎢ ∂L 1 ⎢ = J −1 ⎢ ⎣ ∂L1 ∂L2 ⎡ 1 ⎣ −y32 = 2 A∆ x 32

∂L2 ∂L1 ∂L2 ∂L2 y31 −x31

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ L1 ⎦

L2

1 − L1 − L2



⎤ ∂(1 − L1 − L2 ) ⎥ ∂L1 ⎥ ⎥ ∂(1 − L1 − L2 ) ⎦ ∂L2 ⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 0 −1 −y y −y 32 31 21 ⎦⎣ ⎦ ⎦= 1 ⎣ 2 A ∆ 0 1 −1 x32 −x31 x21 (699)

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

281

Das Produkt D B wird mit Hilfe der Definition von D in (656)1 und B nach (699) gebildet: ⎤

⎡ DB = ⎣

0 =

⎡ −y32 1 ⎦ ⎣ 2 A ∆ λy x32 0

λx ⎡

1 ⎣ −λx y32 2 A∆ λy x32

y31

−y21

−x31

x21 ⎤

λx y31

−λx y21

−λy x31

λy x21

⎤ ⎦

⎦

(700)

Zur Berechnung der Dyade B TD B muß (700) noch von links mit B T durchmultipliziert werden. Das Ergebnis ist nicht von L1 und L2 abh¨angig. Die Integration kann damit mit dV = t dA wie folgt ausgef¨ uhrt werden:   1 1 T T B TD B T dV = t T T B TD B T dA 2 V 2 A 1 1 = T T t A∆ B TD B T = T T K w T    2 2 Kw

Πw =

(701)

Damit erh¨ alt man f¨ ur die W¨ armeleitungsmatrix folgenden Ausdruck: ⎡

2 λx y32 +

⎢ ⎢ ⎢ λy x232 ⎢ ⎢ t ⎢ ⎢ λx y13 y32 + Kw = ⎢ 4 A∆ ⎢ λ x x ⎢ y 13 32 ⎢ ⎢ ⎢ λx y21 y32 + ⎣ λy x21 x32

⎤ λx y13 y32 +

λx y21 y32 +

λy x13 x32

λy x21 x32

2 λx y31 +

λy x231 λx y12 y31 + λy x12 x31

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λx y12 y31 + ⎥ ⎥ ⎥ λy x12 x31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ λx y21 + ⎦ 2 λy x21

(702)

Die Gr¨ oßen xij = xi − xj und yij = yi − yj stellen Differenzen der Knotenarmeleitf¨ ahigkeiten in x- und y-Richtung. koordinaten dar. λx , λy sind die W¨ ache des Dreieckselementes. A∆ ist die Fl¨ Innere W¨ armequellen

Der zweite Ausdruck ΠQ im Funktional nach ,(663) beschreibt die innere W¨ armeerzeugung im Element. Der erste Term V Φ T dV wird diskretisiert, 1

Im ebenen Fall treten nur die W¨ armeleitf¨ ahigkeiten in x- (λx ) und y-Richtung (λy ) auf.

282

9. Feldprobleme

indem die Temperatur T mit Hilfe der Formfunktionen u ¨ ber die Knotentemperaturen ausgedr¨ uckt wird. Bei der Integration wird vorausgesetzt, daß die W¨ armequellendichte Φ ebenso wie die Dicke t im Element konstant sind. Die Formfunktionen in Dreieckskoordinaten nach (696) erm¨oglichen eine leichte Integration u ache bzw. R¨ ander des Elementes. Dabei findet die ¨ ber die Fl¨ ucksichtigung: Beziehung L3 = 1 − L1 − L2 Ber¨ ⎡ 

  dA = Φ t T T N

Φ T dV = Φ t T T V

⎤ L1

A

 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ dA ⎦ A ⎣ L3

(703)

Die Integration des Vektors wird elementweise ausgef¨ uhrt. Aus der allgemeinen L¨ osung (98) ergibt sich mit b = c = 0:  Li = a

1! 0! 0! 1 2 A∆ = A∆ (1 + 2)! 3

(704)

Damit f¨ uhrt die Integration von (703) zu: ⎤

⎡ 1

 Φ T dV = T T Φ t V

A∆ 3

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ = T T FQ ⎦ ⎣ 1

(705)


Der zweite Term im Ausdruck ΠQ von (663), n¨amlich der Ausdruck i Ti Qi erfaßt punktf¨ ormige W¨ armequellen. Bei der Behandlung des Problemes mit der FEM ist es notwendig, daß diese punktf¨ ormigen W¨armequellen mit Knoten der Elemente zusammenfallen. Die Summation u orpers wird ersetzt durch die element¨ ber alle Quellen des K¨ weise Ber¨ ucksichtigung der punktf¨ ormigen W¨armequellen: ⎤

⎡ 3  i

Q1

 T i Qi =

T1

T2

T3

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Q2 ⎥ = T T F ⎦ ⎣ Q3

(706)

Auf der linken Seite der Gleichung stehen unter dem Summenzeichen drei m¨ ogliche W¨ armequellen, die den drei Knoten eines Elementes zugeordnet werden k¨ onnen.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

283

W¨ arme¨ ubergang auf der Oberfl¨ ache

Der W¨ arme¨ ubergang auf der Oberfl¨ ache wird im Funktional (663) u ¨ ber den Ausdruck Πq erfaßt:     1 α Tu − T − q T dΩ 2 ΩR   ! " 1 2 α Tu − q T dΩ =− α T dΩ + 2 ΩR ΩR    

Πq =

(707)

β Die beiden Integrale aus (707) werden einzeln ausgef¨ uhrt. Das erste Integral f¨ uhrt auf die Konvektionsmatrix K k . Der zweite Ausdruck ergibt den W¨ arme¨ ubergangsvektor FR . Konvektionsmatrix

Die Temperatur im Element wird u ¨ ber die Formfunktion nach (696) ausgedr¨ uckt. Das Quadrat der Temperatur T l¨ aßt sich schreiben als:  T T = T T N N  T T  T T N T2 = T T = N

(708)

Einsetzen in das Integral aus (707): 1 α 2

 ΩR

1 T T α 2 



N  T dΩ T N   Kk ⎡ 2 L1 L2  ⎢ L1 1 ⎢ T  =T α ⎢ L L L22 2 ΩR ⎣ 1 2 L1 L3 L2 L3

T 2 dΩ =

ΩR

⎤ L1 L3

⎥ ⎥ L2 L3 ⎥ dΩ T ⎦ L23

(709)

Die Integration u ache ΩR wird aufgeteilt in eine Integration ¨ber die Oberfl¨ u ander und Fl¨ ache A∆ des Elementes (dΓ = t dγ): ¨ ber die R¨  N  T dΩ = α t Kk = α N ΩR 

 N  T dγ + α N Γα    K kR

 N  T dA = K + K N kR kA   K kA (710)

A∆

Die Integration u ander des Elementes wird in (710) kantenweise ¨ ber die R¨ vorgenommen:

284

9. Feldprobleme

 K kR = α t

N  T dγ N 



Γα

N  T dγ + α23 t = α12 t N Γ12     L3 =0



N  T dγ + α31 t N Γ23    L1 =0

N  T dγ N  

Γ31

L2 =0

(711)  T uhrt. Dabei Die Integration u ¨ ber die Dyade , elementweise durchgef¨ , 2N N wird treten Integrale der Form Γ Li dγ und Γ Li Lj dγ auf. Diese Integralformen sind schon bei der Behandlung des Scheibenproblems aufgetreten. Die L¨osungen nach (576) und (577) waren: , Γij

, Γij

L2i dγ =

2! 0! 1 Sij = Sij (2 + 0 + 1)! 3

Li Lj dγ =

1! 1! 1 Ski = Sij (1 + 1 + 1)! 6

Die Ausf¨ uhrung der Integration aus (711) f¨ uhrt zu folgenden Ausdr¨ ucken: ⎤

⎡ K kR =

t⎢ ⎢ ⎢ 6⎣

2(α12 S12 + α31 S31 )

α12 S12

α31 S31

α12 S12

2(α12 S12 + α23 S23 )

α23 S23

α31 S31

α23 S23

2(α23 S23 + α31 S31 )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (712)

Die Integration u ache in (710) f¨ uhrt zu (s. (98)): ¨ ber die Dreiecksfl¨ ⎡

⎤ 2

K kA = αA

A∆ 12

⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 1

1 2 1

1

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 2

(713)

Es setzt sich damit die Konvektionsmatrix K k aus den beiden Anteilen K kR (712) und K kA (713) additiv zusammen. Sij ist die Kantenl¨ange zwischen uberdem i-ten und j-ten Knoten des Elementes. αij entsprechend die W¨arme¨ ubergangszahl dieser Kante. t ist die Dicke des Elementes. αA ist die W¨arme¨ gangszahl auf der Deckfl¨ ache und A∆ die Dreiecksfl¨ache.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

285

W¨ arme¨ ubergangsvektor

Es muß noch der zweite Summand aus (707) behandelt werden. Die Integration erstreckt sich wiederum u ander und die Fl¨ache des Elementes: ¨ ber die R¨ 



! " α Tu − q T ΩR    β ⎡  ⎢ L1 ⎢ = T T β t ⎢ L2 Γ⎣ L3   FRR

 dΩ N

dΩ = T T β t ΩR

⎤

⎡

⎤ L1

 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ T  ⎥ dγ +T β ⎢ L2 ⎥ dA = T T (FRR + FRA ) = T T FR ⎦ ⎣ ⎦ A∆ L3      FRA (714)

Die Integration wird kantenweise durchgef¨ uhrt: ⎡

⎛ ⎜ ⎜ FRR = t ⎜β12 ⎝

⎡

⎤ L1



⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ dγ + β23 ⎦ Γ12 ⎣ 0

⎤

⎡

0



⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ dγ + β31 ⎦ Γ23 ⎣ L3

⎤

⎞

L1



⎢ ⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟ ⎢ 0 ⎥ dγ ⎟ ⎦ ⎠ Γ31 ⎣ L3 (715)

Auf den Kanten verschwindet jeweils eine Dreieckskoordinate. Die Integration u uhrt. Es ergeben sich Integrale der ¨ ber die Vektoren wird elementweise ausgef¨ Form (s. (101)): 

Γj

Li dγ = Γi

1! 0! 1 Sij = Sij (1 + 0 + 1)! 2

(716)

Damit erh¨ alt man einen Vektor der folgenden Art: ⎛ ⎜ S12 ⎜ FRR = t ⎜β12 2 ⎝

⎡

⎤ 1

⎢ ⎥ S23 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + β23 ⎣ 2 ⎦ 0

⎡

⎤ 0

⎢ ⎥ S31 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + β31 ⎣ 2 ⎦ 1

⎡

⎤⎞ 1

⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎢ 0 ⎥⎟ ⎣ ⎦⎠ 1

286

9. Feldprobleme

⎤

⎡ β12 S12 + β31 S31

=

1 ⎢ ⎢ t ⎢ β S + β23 S23 2 ⎣ 12 12 β23 S23 + β31 S31

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(717)

Der Vektor FRA enth¨ alt den Anteil, der aus der Integration u ¨ ber die Fl¨ache des Elementes hervorgeht: ⎡  FRA = βA

⎤ L1

⎡

⎤ 1

⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ L2 ⎥ dA = A∆ βA ⎢ 1 3 ⎦ ⎣ A∆ ⎣ L3 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(718)

Die Vektoren FRR und FRA treten nur dann auf, wenn die Gr¨oßen βij bzw. βA ungleich Null sind. 9.3.4

Variation des Funktionals Einsetzen der Beziehungen aus (701), (710), (714), (705) und (706) in (663):

Π = Πw − ΠQ − Πq 1 1 = T T K w T + T T K k T − T T FR − T T FQ − T T F 2 2

(719)

Im Gleichgewicht der inneren W¨ armestr¨ ome nimmt das Funktional Π einen station¨ aren Wert an, so daß die erste Variation von Π: δΠ = (∂Π/∂T )δT verschwinden muß:

δΠ =

1 ∂ T  1  T ∂ T T 1  T ∂ T T δT δT + δ T K w T + T T K w K k T 2 2 2 ∂ T T ∂ T ∂ T T

1 ∂ T  ∂ T T  ∂ T T  ∂ T T  + T T K k FR − δ T T FQ − δ T T F δ T − δ T T 2 ∂ T ∂ T T ∂ T T ∂ T T

(720)

Mit den Beziehungen nach (70), (72) und (74) l¨aßt sich die voranstehende Gleichung schreiben als:   δΠ = δ T T K w T + K k T − FR − FQ − F = 0

(721)

Die erste Variation verschwindet dann und nur dann, wenn der Klammerausdruck verschwindet, da δ T T beliebige Werte annehmen kann:

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

287

K T = (K w + K k ) T = FR + FQ + F = 0

(722)

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht des W¨armeflusses. Die Steifigkeitsmatrix1 K setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Die Matrix K w ist aus der W¨ armeleitung im Innern des K¨ orpers hervorgegangen. Die Matrix K k tritt nur dann auf, wenn auf dem Rande des Elementes Konvektion auftritt. Ansonsten verschwindet dieser Anteil. Die rechte Seite setzt sich aus drei Vekubergang toren zusammen. Zum einen aus dem Vektor FR , der auf den W¨arme¨ auf den R¨ andern des K¨ orpers zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Zum anderen verursachen die inneren, verteilten und punktf¨ ormigen W¨ armequellen die Vektoren FQ und F . Die W¨ armeleitungsmatrix K w ist eine (3 × 3)-Matrix und in (702) beschrieben. Die Dimensionsanalyse im technischen Maßsystem [40, 32] f¨ uhrt f¨ ur den armeleitungsmatrix zu folgenersten Summanden des Elementes kw1,1 der W¨ dem Ausdruck: $

% t FL L F L2 2 = λx y32 = 2 4 A L T grd T grd

(723)

Die Elemente der W¨ armeleitungsmatrix haben die Dimension einer Leistung bezogen auf Grad. Rechte Seite

Die rechte Seite ergibt sich aus (717), (718), (705) und (706): F R + FQ + F = ⎡ β12 S12 + β31 S31 t⎢ ⎢ ⎢ β S + β23 S23 2 ⎣ 12 12 β23 S23 + β31 S31   W¨ arme¨ ubergang auf den R¨ andern des Elementes

⎤

⎤

⎡ 1

⎡

⎤ 1

⎡

⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎢ t A∆ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥+ ⎥+ A∆ βA ⎢ 1 ⎥ +Φ ⎦ ⎦ ⎦ 3 ⎣ 3 ⎣ 1 1        W¨ arme¨ ubergang u ache A∆ ¨ ber die Fl¨

Verteilte, innere W¨ armequelle

⎤ Q1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Q2 ⎥ ⎣ ⎦ Q3   

Punktf¨ ormige, innere W¨ armequelle

(724) βij = αij Tu - qij ; βA = αA Tu - qA 1

Die Bezeichnung als Steifigkeitsmatrix ist historisch begr¨ undet. Die Dimensionen der Elemente der W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrix sind nicht die einer Steifigkeit.

288

9. Feldprobleme

αij - W¨ arme¨ ubergangszahl auf der Elementkante zwischen den Knoten i und j; αA - W¨ arme¨ ubergangszahl auf der Fl¨ache A∆ des Elementes qij - W¨ armestromdichte auf der Elementkante zwischen den Knoten armestromdichte auf der Fl¨ache A∆ des Elementes i und j; qA - W¨ Tu - Umgebungstemperatur Φ - W¨ armequellendichte Qi - Punktf¨ormige W¨ armequelle am Knoten i Die Dimensionsanalyse der rechten Seite anhand des Vektors FQ : $

% FL F L L L2 t = Φ A∆ = 3 T L3 T

(725)

Die rechte Seite hat die Dimension einer Leistung.

9.4

9.4

Beispiel zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

Problembeschreibung

In der linken H¨alfte von Bild 9.13 ist eine quadratische Scheibe dargestellt, in der im Innern eine W¨ armequellendichte Φ auftritt. Die daraus resultierende W¨ arme wird u ber die Stirnfl¨ achen abgef¨ uhrt, w¨ahrend die Deckfl¨achen isoliert ¨ sind. Es braucht f¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen nur die Mittelfl¨ache, wie sie in der rechten H¨ alfte von Bild 9.13 dargestellt ist, betrachtet zu werden. Das Problem ist mehrfach symmetrisch, so daß nur ein Achtel, das in der rechten Bildh¨ alfte schraffiert ist, in der Rechnung ber¨ ucksichtigt wird. Aus Symmetriegr¨ unden ist der Temperaturgradient normal zur x-Kante und zur Diagonalen Null (∂T /∂n = 0). Auf dem Außenrand ist die Temperatur mit T0 vorgegeben.

W¨ armeleitung in einer Scheibe

Bild 9.13.

F¨ ur die Rechnung werden folgende Gr¨ oßen betrachtet:

9.4

Beispiel zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

289

Dicke der Scheibe: t W¨ armeleitf¨ ahigkeit: λ = λx = λy W¨ armequellendichte: Φ Randtemperatur: T0 = 0 Aufgabe ist es, die Temperaturverteilung in der Scheibe und den W¨armefluß zu berechnen.

Bild 9.14. Einteilung in Dreieckselemente

Einteilung in Dreieckselemente

Das Achtel wird in vier Dreieckselemente eingeteilt, wie es Bild 9.14 zeigt. Die Elementnummern sind durch Kreise und die Knotennummern durch Quadrate eingefaßt. Die Zahlen im Innern der Elemente geben die Reihenfolge der Knotennummern in der Elementknotenzuordnung wieder. In Tab. 9.2 sind die Elementknotenzuordnung sowie die wichtigsten Daten der Steifigkeitsmatrizen festgehalten. Tabelle 9.2. Elementknotenzuordnung (¯ xij = xij /l; y¯ij = yij /l) Elemente

Knoten 1

Knoten 2

Knoten 3

x ¯32

y¯32

x ¯13

y¯13

x ¯21

y¯21

1

1

2

3

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

2

2

4

5

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

3

2

5

3

-1/4

0

0

-1/4

1/4

1/4

4

3

5

6

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

W¨ armeleitungsmatrizen

Die Elemente 1, 2, 4 weisen gleiche Gr¨ oße und Orientierung auf, so daß sie gleiche Matrizen besitzen. Es ergibt sich nach (702):

290

9. Feldprobleme

⎡ K w1 = K w2 = K w4 =

ˆ 3 1/2/¯

ˆ 2/4/¯ 5

ˆ3/5/¯6

1

−1

0

t ⎢ λ⎢ 2 ⎢ −1 ⎣ 0

⎤ ˆ1/2/¯3 ⎥ ⎥ −1 ⎥ˆ2/4/¯5 ⎦ ˆ3/5/¯6 1

2 −1

(726)

Die Spalten und Zeilen sind mit den Knotennummern der Elemente durchnumeriert. Da die Elemente 1, 2, 4 identische Matrizen aufweisen, sind die Spalten und Zeilen dieser Matrix mit jeweils drei Nummern versehen. Dabei gilt folgende Zuordnung: ˆi-Element 1; i-Element 2; ¯i-Element 4. Die W¨ armeleitungsmatrix f¨ ur Element 3 ergibt sich analog:

⎡ K w3 =

2

5

1

0

t ⎢ λ⎢ 2 ⎢ 0 ⎣ −1

3

⎤ −1 2 ⎥ ⎥ −1 ⎥5 ⎦ 2 3

1 −1

(727)

Konvektionsmatrix

Der W¨ arme¨ ubergang von der Scheibe an die Umgebung muß nicht betrachtet werden, da die Temperaturen an der Außenkante der Scheibe bekannt sind. Daraus folgt, daß die Konvektionsmatrix verschwindet: K k = 0. Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ Die additive Uberlagerung der vier W¨ armeleitungsmatrizen zur Gesamtsteifigkeitsmatrix geschieht entsprechend der Elementknotenzuordnung:

⎡

T1

T2

T3

T4

T5

T6

1

−1

0

0

0

0

4

−2

−1

0

0

−2

4

0

−2

0

−1

0

2

−1

0

0

−2

−1

4

−1

0

0

0

−1

1

⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ t ⎢ 0 K g = λ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

⎤

T1 ⎥ ⎥ ⎥ T2 ⎥ ⎥ ⎥ T3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T4 ⎥ ⎥ ⎥ T5 ⎦ T6

(728)

9.4

Beispiel zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

291

Rechte Seite

Die rechte Seite (s. (724)) besteht in allgemeiner Form aus vier Vektoren. Im vorliegenden Fall tritt auf dem Rand des K¨ orpers weder Konvektion auf noch wird die W¨ armestromdichte q vorgegeben. Daraus folgt, daß der Vektor FR verschwindet. Weiterhin liegen keine punktf¨ormigen W¨armequellen vor, so daß der Vektor F ein Nullvektor ist. Bleibt noch der Vektor FQ u ¨brig. Dieser tritt infolge der inneren W¨ armeerzeugung im K¨orper, die durch die W¨ armequellendichte Φ beschrieben wird, auf und wird nach (724) wie folgt f¨ ur Element i berechnet: ⎤

⎡ 1

i FQ

= Φt

A∆ 3

⎤

⎡

⎥ ⎢ t l2 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥=Φ 96 ⎦ ⎣ 1

1

⎡

i

⎤ Q1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i ⎢ 1 ⎥ = ⎢ Q2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ i 1 Q3

(729)

Diese Beziehung ist f¨ ur alle Elemente gleich, da sie nur von Φ und der Dreiecksfl¨ ache A∆ abh¨angt. Es gilt: 1 FQ

= 2FQ = 3FQ = 4FQ

(730)

¨ F¨ ur die einzelnen Knoten ergeben sich die W¨ armefl¨ usse durch additive Uberlagerung. So erh¨ alt man f¨ ur Knoten 5: Q5 = 2 Q5 + 3 Q5 + 4 Q5 =

1 Φ t l2 32

(731)

Der Knoten 5 erh¨ alt also jeweils einen Anteil von den angrenzenden Elementen, n¨ amlich 2, 3 und 4. An die Knoten 1, 4 und 6 grenzt jeweils nur ein Element, so daß gilt:

Q1 = Q4 = Q6 =

1 Φ t l2 96

(732)

Temperaturen

Die Temperatur auf dem Außenrand der Scheibe ist mit T0 vorgegeben, so daß sie f¨ ur die Knoten 4, 5 und 6 bekannt ist (T4 = T5 = T6 = 0). Durch Streichen der Zeilen und Spalten 4, 5 und 6 in der Matrix nach (728), bleibt folgendes Untersystem zur Berechnung der unbekannten Temperaturen u ¨brig:

292

9. Feldprobleme

⎡ 1

t ⎢ ⎢ λ ⎢ −1 2 ⎣ 0

⎤

⎤⎡

−1

0

⎡

T1

⎥ Φ t l2 ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ −2 ⎥ ⎢ T2 ⎥ = ⎦ 96 ⎦⎣ 4 T3

4 −2

⎤ 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ 3

(733)

Durch Inversion der Matrix in (733) erh¨ alt man die unbekannten Temperaturen: ⎡

⎤

⎡

⎡

⎤ 12

T1

4

⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4 ⎢ T2 ⎥ = ⎦ 4λ ⎣ ⎣ T3 2

4 2

2

⎥ Φ l2 ⎥ 2 ⎥ ⎦ 96 3

⎤

⎡

1

⎤ 30

⎢ ⎥ ⎥ Φ l2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 3 ⎥= ⎢ 22 ⎥ ⎣ ⎦ 384 λ ⎣ ⎦ 3 17

(734)

Die Knotentemperaturen sind proportional zu der W¨armequellendichte Φ und dem Quadrat der Kantenl¨ ange l. Sie sind umgekehrt proportional zur W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. W¨ armefluß (Reaktionskr¨ afte)

Analog zu den Problemen der Elastostatik kann an den Knoten, an denen eine Temperatur vorgeschrieben ist, ein W¨ armefluß (Reaktionskraft) berechnet  ist die rechte Seite in die werden. In dem Gleichungssystem K g T = FQ + R Q R   Vektoren FQ und Q aufgeteilt worden. FQ enth¨alt die aus der W¨armequel die Reaktionsgr¨oßen an den lendichte Φ hervorgehenden W¨ armefl¨ usse. R Q Knoten 4, 5 und 6. Dies sind W¨ armemengen, die u ¨ ber die ¨außere Kante vom K¨ orper aufgenommen oder abgegeben werden. ⎡

1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ t ⎢ ⎢ 0 λ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

−1

0

0

0

4

−2

−1

0

−2

4

0

−2

−1

0

2

−1

0

−2

−1

4

0

0

0

−1

0

⎤

⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 2 0 ⎥ ⎥ Φl ⎥ ⎥ 384 λ 0 ⎥ ⎥ ⎥ −1 ⎦ 1

⎡

⎤ 30 ⎢ ⎥ ⎢ 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 17 ⎥ Φ t l2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ 0 ⎥ 96 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 3 3 1 3 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Φ t l2 ⎥ ⎥ =− ⎥ 384 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 15 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 29 ⎥ ⎣ ⎦ 4

(735) In den Knoten, die eine vorgegebene Temperatur aufweisen, tritt ein W¨armestrom auf. Das negative Vorzeichen dr¨ uckt aus, daß die W¨arme abgef¨ uhrt wird. Gleichgewichtsbetrachtung

Im station¨ aren Fall muß die W¨ arme, die im Innern des K¨orpers erzeugt wird, u ander des K¨ orpers abgef¨ uhrt werden. Die im Innern erzeugte ¨ ber die R¨ W¨ arme ergibt sich als:

¨ Ubungsaufgaben zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

9.5

ΦV =

1 Φ t l2 8

293

(736)

Die W¨ armeabfuhr u ¨ ber die Außenkante mit den Knoten 4, 5 und 6: R

Q4 +R Q5 +R Q6 = −

1 Φ t l2 (15 + 29 + 4) = − Φ t l2 384 8

(737)

Damit ist das Gleichgewicht erf¨ ullt.

9.5

9.5

¨ Ubungsaufgaben zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel V

Das Bild 9.15 zeigt eine Wand, die in y-Richtung unendlich ausgedehnt ist. Normal zur Zeichenebene hat sie eine Ausdehnung t, mit t → ∞. Damit fließt weder in y-Richtung noch normal zur Zeichenebene W¨arme, so daß nach q=−λ∂T /∂n der Temperaturgradient in diesen Richtungen verschwindet. Damit liegt ein eindimensionales Problem vor. Die Oberfl¨achen der W¨ande weisen eine Temperatur von 0 grd auf.

Bild 9.15. W¨ armeleitung durch eine unendlich ausgedehnte Wand (λx = λy = 1, Φ = 100)

Im Innern der Wand wird W¨ arme erzeugt, die u ¨ ber die W¨armequellendichte Φ beschrieben wird. Der Rechnung werden folgende Daten zugrunde gelegt: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λx =λy =1 W¨ armequellendichte Φ=100 Randtemperatur T0 =0

9.6

294

9. Feldprobleme

F¨ ur das skizzierte Problem ist die Temperaturverteilung in der Wand zu berechnen. Dabei ist die Elementeinteilung und Knotennumerierung nach Bild 9.15 zu verwenden. 9.7

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VI

In Bild 9.16 ist eine Scheibe dargestellt, die u ¨ber eine ihrer Stirnfl¨achen mittels Konvektion W¨ arme abf¨ uhren kann. Das Problem ist einfach symmetrisch. Daher wird nur eine H¨ alfte in der FE-Rechnung betrachtet. Diese wird in zwei Dreieckselemente eingeteilt. An den vier Knoten tritt jeweils eine punktf¨ormi¯ i auf, die auf die Scheibendicke bezogen ist. ge W¨ armequelle Q

Bild 9.16. Temperaturberechnung in einer iso-

lierten Scheibe

F¨ ur die Rechnung werden folgende Werte vorgegeben: W¨ armeleitf¨ahigkeit λx =λy = 1 W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α= 1 ¯i= 1 Punktf¨ ormige W¨ armequellen Q Umgebungstemperatur Tu = 0 Aufgabe ist es, die Temperaturverteilung in der Scheibe zu berechnen. 9.8

9.9

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VII

Gegeben ist in Bild 9.17 ein Dreiecksblech der St¨arke t=1. Das Blech weist eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit von λx =λy =20 auf. Es ist auf der Kante y=0 sowie auf den Deckfl¨ achen isoliert. In den Punkten (x=0, y=0) bzw. (|x|=25, y=25) ist die Temperatur mit 100 grd bzw. 20 grd bekannt. Gesucht ist die Temperaturverteilung unter Ausnutzung der Symmetrie und die Temperatur im Schwerpunkt von Element 2. W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VIII (FEM GEN, FEM CAS, InterFEM)

Gegeben ist in der linken H¨ alfte von Bild 9.18 ein Rohr mit einer W¨armeleitf¨ ahigkeit λ = 100. Es hat eine Innenbohrung sowie acht K¨ uhlbohrungen, die auf dem Umfang verteilt sind. Die Innenwand weist eine Temperatur Ti auf. Die Außenwand hat eine Temperatur Ta . Die K¨ uhlbohrungen werden

9.6

Torsion von prismatischen K¨ orpern

295

Bild 9.17. Berechnung der Temperaturvertei-

lung in einem Dreiecksblech

von Wasser mit einer Temperatur Tw durchstr¨omt. Der W¨arme¨ ubergangskoeffizient betr¨ agt α = 500. In der rechten Bildh¨alfte ist unter Ausnutzung der zyklischen Symmetrie ein Segment in acht Dreieckselemente eingeteilt. Gesucht ist die Abh¨ angigkeit der Temperatur an den Stellen xT = [1, 7|0] und xT = [1, 15|0, 2] von Ta , Ti und Tw . Mit Hilfe des Programmes “ FEM CAS“ sind die gesuchten Temperaturen zu berechnen. F¨ ur die numerische Analyse ist mit Ti = 100, Ta = 20 und Tw = 40 zu arbeiten.

T

Bild 9.18. Querschnitt eines Rohres der L¨ ange t mit K¨ uhlbohrungen und die Einteilung

eines Segmentes in Dreieckselemente

9.6

Torsion von prismatischen K¨ orpern

In Bild 9.19 ist ein prismatischer K¨ orper dargestellt, der eine Hauptausdehnung in z-Richtung aufweist und dem an seinen beiden Enden je ein gegenl¨ aufiges Moment M aufgepr¨ agt wird. Infolge dieser Belastung treten in dem K¨ orper Schubspannungen σzx und σzy auf. Alle anderen Spannungen verschwinden. Das Problem der Spannungsermittlung in diesem K¨orper f¨ uhrt auf folgende Gleichung:

9.6

296

9. Feldprobleme

Bild 9.19. Torsion eines prismatischen

Stabes

∂ 2 φ ∂ 2φ + 2 + 2GΘ = 0 ∂x2 ∂y

(738)

Die Gr¨ oße φ ist die sogenannte Spannungsfunktion nach Prandtl. Der Gleitmodul ist als G = E/(2 (1 + ν)) definiert und Θ ist der Drillwinkel. Die Beziehung (738) beschreibt f¨ ur einen Torsionsquerschnitt, der in der (x, y)-Ebene liegt, eine u ber diesen Querschnitt aufgespannte Seifenhaut. Das ¨ Bild 9.20 zeigt eine solche Seifenhaut f¨ ur den dort dargestellten Querschnitt.

Bild 9.20. Seifenhautanalo-

gie beim Torsionsproblem

Aus Gleichgewichtsgr¨ unden muß die Schubspannung normal zum Rand des Querschnittes verschwinden, es gilt: ∂φ/∂n = 0. Das bedeutet, daß die Gr¨ oße φ auf dem Rand konstant ist. Eine einfache L¨ osung daf¨ ur ist φ = 0. Dies ist die Randbedingung des Problems. Die Spannungen erh¨ alt man wie folgt aus der Spannungsfunktion: ⎤

⎡ τ = ⎣

σzx σzy

⎤⎡

⎡

⎦=⎣

0

1

−1

0

⎦⎣

∂φ ∂x ∂φ ∂y

⎤ ⎦ = T φ ∇φ

(739)

 beschrieben: Die Verteilung von φ im Element wird u ¨ber die Formfunktion N

9.6

Torsion von prismatischen K¨ orpern

297

 Tφ φ=N

(740)

Der Gradient ∇φ ergibt sich aus (740) wie folgt:  = Bφ   Tφ ∇φ = ∇N

(741)

Damit erh¨ alt man die Schubspannungen zu:  τ = T φ B φ

(742)

Nach (699) erh¨ alt man f¨ ur B: ⎡ 1 ⎣ −y32 B= 2 A∆ x32

y31

−y21

−x31

x21

⎤ ⎦

(743)

Damit lassen sich die Spannungen berechnen als: −

1 ∂φ = (y32 φ1 − y31 φ2 + y21 φ3 ) = σzy ∂x 2A∆ 1 ∂φ = (x32 φ1 − x31 φ2 + x21 φ3 ) = σzx ∂y 2A∆

(744)

Die Schubspannungen sind im dreiknotigen Dreieckselement konstant. Ein Vergleich von (738) mit (655) f¨ uhrt zu folgenden Parallelen zwischen dem W¨ arme¨ ubertragungsproblem und der Torsion:

Tabelle 9.3. Gegen¨ uberstellung der Gr¨ oßen der W¨ arme¨ ubertragung und der Torsion

Problem

Unbekannte

Stoffgr¨ oße

Φ

W¨ arme¨ ubertragung Torsion

Temperatur T

W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ 1

W¨ armequellendichte 2GΘ

Spannungsfunktion φ

Die Temperatur T entspricht der Spannungsfunktion φ. An die Stelle der W¨ armequellendichte tritt das Produkt 2 G Θ auf. F¨ ur die W¨armeleitf¨ahigkeit gilt bei der Torsion: λx = λy = 1.

298

9. Feldprobleme

Das Torsionsmoment l¨ aßt sich wie folgt berechnen:  M =2

φ dA

(745)

A

9.6.1

Funktional des Torsionsproblems Das Funktional des Torsionsproblems lautet:

1 Π= 2 

  V

∂φ ∂x



2 +  Π1

∂φ ∂y

2

 dV − 

2 GΘ φ dV    Π2

(746)

V

Aus dem ersten Term Π1 erh¨ alt man analog zum W¨arme¨ ubertragungsproblem eine Matrix, die mit λx = λy = 1 der W¨armeleitungsmatrix K w entalt man statt des Vektors FQ (s.(724)) die spricht. Aus dem Term Π2 erh¨ rechte Seite, wie sie in (747) dargestellt ist. ⎡ 1 4 A

9.6.2

2 y32 + x232

⎢ ⎢ ⎢ y13 y32 + x13 x32 ⎣ y21 y32 + x21 x32 ⎡ ⎤ 1 ⎥ A∆ ⎢ ⎢ ⎥ = 2 GΘ ⎢ 1 ⎥ ⎦ 3 ⎣ 1

⎤⎡ y13 y32 + x13 x32 2 y31 + x231

y12 y31 + x12 x31

y21 y32 + x21 x32

⎤ φ1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ y12 y31 + x12 x31 ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 2 2 y21 + x21 φ3

(747)

Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt

Es wird ein prismatischer Stab betrachtet, der eine L¨ange L und einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenl¨ ange von l aufweist. Dieser Querschnitt entspricht der Mittelfl¨ ache des W¨ armeleitungsproblemes in Bild 9.13. Das Problem ist ebenso wie das W¨ arme¨ ubertragungsproblem mehrfach symmetrisch, so daß nur ein Achtel betrachtet werden muß. Es wird daher das Netz nach Bild 9.14 verwendet. Der Stab weist als Werkstoffdaten den Elastizit¨ atsmodul E und die Querkontraktion ν auf. Der Schubmodul ist mit G = E/ [2 (1 + ν)] gegeben. Der Drillwinkel Θ steht in (747) auf der rechten Seite, d.h. er wird als bekannt vorausgesetzt. Er hat die Dimensionen [Θ]=rad/L, also Radiant pro L¨ ange. Es wird angenommen, daß das doppelte Produkt aus Schubmodul G und Drillwinkel Θ dem Wert der W¨ armequellendichte Φ in (729) entspricht. Damit weisen beide Beispiele identische Beziehungen nach (747) auf. Es ent-

9.6

Torsion von prismatischen K¨ orpern

299

sprechen die Temperaturen aus dem besagten W¨arme¨ ubertragungsbeispiel den Spannungsfunktionswerten φi ; i = 1, . . . , 6 in dem Torsionsbeispiel. Es ergeben sich damit folgende Werte: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ φ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ φ1

⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2G Θ l2 ⎥ ⎥= ⎥ 384 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

φ2 φ3 φ4 φ5 φ6

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤ 30 22 17 0 0 0

⎤ 5/64

⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 11/192 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 17/384 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ = 2G Θ l2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎣ ⎦ ⎦ 0

(748)

Das Moment eM eines Elementes e wird nach (745) berechnet. Die Verteilung von φ im Element wird u ¨ber (740) beschrieben und man erh¨alt: 

 T T    dA N φ dA = 2 φ N

e

M =2 A

 = 2φ

A

  T A

L1

L2

1 − L1 − L2

⎡  dA =

 2 A∆ 1 3

⎤ φ1

1

1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎣ ⎦ φ3 (749)

Die Tab. 9.4 enth¨ alt dimensionslose Gr¨ oßen, wie die Schubspannungen, die sich aus (744) wie folgt darstellen:   σzy = 16 y¯32 φ¯1 − y¯31 φ¯2 + y¯21 φ¯3 2G Θl   σzx σ ¯zx = = 16 x¯32 φ¯1 − x (750) ¯31 φ¯2 + x ¯21 φ¯3 2G Θl ¯ eines Elementes e ergibt sich aus (749) als: Das bezogene Moment eM σ ¯zy =

¯ = M

e

 2 ¯ M ¯2 + φ¯3 = + φ φ 1 2G Θ l2 A 3 e

(751)

Diese sind in der letzten Spalte von Tab. 9.4 aufgef¨ uhrt. Das Gesamtmoment, das vom prismatischen Stab aufgenommen wird, ergibt sich als Summe u ¨ ber alle Elemente:

300

9. Feldprobleme

Tabelle 9.4. Schubspannungen und Momente der Elemente (¯ xij = xij /l; y¯ij = yij /l;

    ¯ = eM/ 2G Θl2 A ) ¯ij = σij / (2G Θl) ;eM φ¯i = φi / 2G Θl2 ; σ

1

0

-1/4 1/4 1/4 -1/4

0

5/64

2

0

-1/4 1/4 1/4 -1/4

0

11/192

0

3

-1/4

-1/4 1/4 11/192

0

4

0

0

x ¯21

1/4

y¯32

0

y¯13

-1/4 1/4 1/4 -1/4



y¯21

φ¯2

x ¯32

¯ =f M

x¯13

φ¯1

Element

0

17/384

φ¯3

11/192 17/384

0

0

σ ¯zx

1/12

-5/96

23/6144

11/48

0

11/9216

17/384 17/96 -5/96 0

¯ M

e

σ ¯zy

17/96

¯ M

e

0

13/6144 17/18432

(752)

e

Der Faktor f hat im vorliegenden Fall den Wert 8. Er ber¨ ucksichtigt das Ausnutzen der Mehrfachsymmetrie.

Fehler der maximalen Schubspannung und des Momentes in Abh¨ angigkeit von der Netzfeinheit Bild 9.21.

In Bild 9.21 ist der Fehler des Momentes und der maximalen Schubspannung im betrachteten Querschnitt f¨ ur f¨ unf unterschiedlich feine Netze dargestellt. ¯ exakt = Die exakten L¨osungen basieren auf eine Reihenentwicklung [50] (M  2 +σ 2 = 0, 33766). 7, 02885 · 10−2 ; φ¯exakt = 7, 36714 · 10−2 ; |τ¯|exakt = σ ¯zy ¯zx Die Schubspannungen an den Knoten sind durch arithmetische Mittelung der Spannungen der an den Knoten angrenzenden Elemente gewonnen worden.

Kapitel 10 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken

10

10

10

10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 303 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 304 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 304 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 306 Einmassenschwinger ............................................. 306 Zweimassenschwinger ........................................... 307 Der eindimensionale Balken.................................... 310 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 310 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 311 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 311 Kragbalken ........................................................ 314

10 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken 10.1

10.1 Der eindimensionale Stab Das Funktional des eindimensionalen Stabes nach (256) wird um den Term , b u dV erweitert. Dieser beschreibt die Volumenkr¨afte und man erh¨alt: V Π=

1 2



 σ ε dV − F u − V

b u dV

(753)

V

Die Volumenkr¨ afte b setzen sich wie folgt zusammen: b = −ρ u ¨ − µ u˙

(754)

Der Term ρ u ¨ erfasst Beschleunigungen u ¨ des betrachteten Stabes, die in seiner L¨ angsachse wirken. u ¨ = d2 u/dt2 ist die zweite Ableitung der Verschiebung u des Stabes nach der Zeit t. Der Ausdruck µ u˙ beschreibt eine geschwindigkeitsproportionale, innere D¨ ampfung, die ein lineares, viskoses Widerstandsverhalten zur Basis hat. Die ersten beiden Summanden in (753) f¨ uhren nach (268) auf die Steifigkeits matrix K des eindimensionalen Stabes und den , Vektor der Kr¨afte F an den uhrt zu: Knoten des Stabelementes. Der dritte Term V b u dV f¨ 



(−ρ u ¨ − µ u) ˙ u dV

b u dV = V

(755)

V

Die Verschiebung u und deren zeitliche Ableitungen lassen sich u ¨ ber die Formfunktion nach (259) ausdr¨ ucken als:  T u ; u=N

 T u˙ ; u˙ = N

 T u¨ u¨ = N

(756)

Einsetzen in (755): 



 T T   N  T dV u˙  b u dV = −u ρN N dV u µN ¨ − u V V       T

V

M

C

(757)

304

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Die Gr¨ oße M heißt Massenmatrix und C ist die D¨ampfungsmatrix. Einsetzen von (757) in (753) f¨ uhrt zu:

Π=

1 u K u − uT F + uT M u¨ + uT C u˙ 2

(758)

Die Variation δΠ der voranstehenden Beziehungen ergibt: ¨ = F (t) Ku + C u˙ + M u

(759)

Die ¨ außeren Kr¨ afte F sind eine Funktion der Zeit t. 10.1.1 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes

Zur Beschreibung der Massenmatrix1 M werden die Formfunktionen des zweiknotigen Stabes nach (259) herangezogen. Es wird ein Stab mit konstanter Dichte ρ und konstantem Querschnitt A betrachtet: ⎡



l

M =ρ

⎣

1−ξ

⎡ 1

ρA l 0

⎣

(1 − ξ)2

⎦

ξ

0



⎤

ξ (1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

ξ

2



1−ξ

 ξ

A dx =

⎤

⎡ 2 m ⎦ dξ = ⎣ 6 1

⎤ 1

⎦

(760)

2

Die Masse des Stabelementes m = ρA l wird zu einem Drittel den beiden Knoten zugeordnet. Je ein Sechstel steht auf den Nebendiagonalen, die man als Koppelung der beiden Knoten auffassen kann. Tritt in einem Knoten eine punktf¨ ormige Masse mi oder mj auf, so wird diese auf der Hauptdiagonalen angeordnet und die Massenmatrix M hat dann folgendes Aussehen: ⎡

m ⎢ mi + 3 M =⎢ ⎣ m 6 U

m 6

⎤

⎥ ⎥ m ⎦ mj + 3

(761)

10.1.2 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen wird von einer unged¨ ampften, freien Schwingung ausgegangen. Diese Einschr¨ankung hat zur Folge, daß in (759) die Matrix C verschwindet, d.h. C = 0. Die freie Schwin1

Die so abgeleitete Matrix nennt man eine konsistente Massenmatrix.

10.2 Beispiele zum eindimensionalen Stab

305

gung setzt ein unbelastetes System voraus, also F (t) = 0. Damit h¨angen die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen nur von der Steifigkeit und Massenanordnung des Bauteils ab. Es reduziert sich (759) auf: Ku(t) + M u ¨(t) = 0

(762)

Diese Beziehung beschreibt das Gleichgewicht zwischen den inneren, elastischen Kr¨ aften Ku und den negativen Massenkr¨aften M u¨. Zur L¨osung von (762) dient folgende Ansatzfunktion:  cos(ωt) = −ω 2u  cos(ωt) ; u˙ = −ω A  sin(ωt) ; u u = A ¨ = −ω 2 A

(763)

Die Gr¨ oße ω = 2πf ist die Kreisfrequenz. Einsetzen in (762) ergibt:   K − ω 2 M u = 0

(764)

Dies ist ein lineares, homogenes Gleichungssystem. Es existiert nur dann eine nichttriviale L¨ osung, wenn der Klammerausdruck verschwindet, d.h. die Determinante von M ω 2 − K muß Null werden: |K − ω 2 M | = 0

(765)

Dieses Problem stellt sich als Eigenwertproblem dar. Das Ergebnis der Determinante von (765) bezeichnet man als charakteristische Gleichung. Die Nullstellen hiervon sind die Eigenwerte des Problems. Die Nullstellen haben positive und reelle Werte, da K und M symmetrisch und positiv definit sind (s. (118) auf der S. 50). Die i-te Schwingungsform erh¨ alt man durch Einsetzen des Eigenwertes ωi in (764). Dies f¨ uhrt auf ein lineares, homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung von u. Es besitzt einmal unendlich viele L¨ osungen. Zur Festlegung einer eindeutigen L¨ osung muß eine Nebenbedingung eingef¨ uhrt werden. Es bietet sich an, den L¨ osungsvektor u zu normieren. Damit hat die Schwingungsform einen relativen Charakter.

306

10.2

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

10.2 Beispiele zum eindimensionalen Stab 10.2.1 Einmassenschwinger

In Bild 10.1 ist ein Stab dargestellt, der neben einer kontinuierlichen Massenur diesen Stab verteilung eine Punktmasse m2 an der Stelle x = l besitzt. F¨ soll mit Hilfe eines Elementes die Eigenfrequenz und die Schwingungsform berechnet werden. Dem Knoten 2 wird die Masse m2 zugeschlagen.

Bild 10.1. Ein Stab mit einer kontinuierlichen Massenverteilung

und einer Punktmasse. Der Stab wird u ¨ber ein Element beschrieben

Eigenwert und Eigenfrequenz

Die Beziehung nach (765) mit λ = ω 2 , k = AE/l und m = ρA l lautet:

⎡

⎡ ⎤ m m

⎢ 3 1 −1 6 ⎦ − λ⎢ | K − λM | =

k ⎣ ⎣ m m

+ m2 −1 1

6 3

⎡ !

m m"

k−λ − k+λ

⎢ 3  6  =

⎢ " !m ⎣ m

− k+λ + m2 k−λ

6 3

⎤

⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎥ ⎥ ⎦

(766)

Das Einbringen der geometrischen Randbedingung u1 = 0 f¨ uhrt dazu, daß die erste Zeile und Spalte in (766) gestrichen wird. Damit erh¨alt man folgende charakteristische Gleichung: k−λ

!m 3

" + m2 = 0 ⇒ λ1 =

Die Eigenfrequenz f1 =

m 3

k + m2

(767)

√ λ1 / (2 π) lautet damit:

# 1 f1 = 2π

m 3

k + m2

(768)

10.2 Beispiele zum eindimensionalen Stab

307

F¨ ur den Sonderfall, daß der Stab keine Masse besitzt (ρ = 0) ergibt sich die L¨ osung f¨ ur den Einmassenschwinger. Eigenvektor und Schwingungsform

Der Eigenwert λ1 aus (767) wird in die Matrix von (766) eingesetzt. Unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingung und der Beziehung (K − λM ) u = 0 erh¨ alt man: $ k−

m 3

!m "% k + m2 u 2 = 0 + m2 3

(769)

Der Klammerausdruck verschwindet, so daß sich u2 nach der Normierung zu Eins ergibt. Mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Stabes erh¨alt man die Schwingungsform damit zu:  u=

1−ξ

 ξ

⎡ ⎣

⎤ 0

⎦=ξ

(770)

1

10.2.2 Zweimassenschwinger

In Bild 10.2 sind zwei Massen m durch zwei Federn mit der Steifigkeit k miteinander verbunden und im Punkt A aufgehangen. Gesucht sind die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen dieses Systems.

Bild 10.2. Ein Zweimassensystem. Die Federn sind masselos. Die beiden Federn werden je in ein Stabelement eingeteilt. Die Knoten 2 und 3 weisen jeweils eine Masse m auf

Eigenwerte und Eigenfrequenzen

¨ Die Uberlagerung der beiden Steifigkeits- und Massenmatrizen der beiden uhrt Federn zur Gesamtsteifigkeitsmatrix K g und Gesamtmassenmatrix M g f¨ mit Hilfe der Beziehung K g − λM g zu:

308

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

⎡

⎤

−1

1

⎢ ⎢ k ⎢ −1 ⎣ 0

⎡

0

⎤ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥ − λ m ⎢ 0 ⎦ ⎣ 1 0

2 −1

0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

1 0

(771)

Unter der Ber¨ ucksichtigung der Randbedingung u1 = 0 k¨onnen aus (771) die erste Zeile und Spalte gestrichen werden. Die Bildung der Determinante f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung:

⎡

2

k ⎣

−1

⎤ ⎡



2k − λm ⎦ − λm⎣ ⎦ = ⎣

1 0 1 −k  2 k k λ2 − 3 λ + =0 m m

−1

⎤

⎡

0

1

⎤

⎦ =

k − λm −k

(772)

Die Nullstellen von (772) f¨ uhren auf die Eigenwerte und Eigenfrequenzen des Systems:

λ1,2

√ √  ! √ " 2 k k 3± 5 ⇒ f1,2 = 3± 5 = m 2 4π m

(773)

Eigenvektor und Schwingungsform

Zur Berechnung der Schwingungsformen werden die gefundenen Eigenwerte λ1,2 aus (773) in (K − λM ) u = 0 eingesetzt. Mit Hilfe von (771) und der Einbringungen der Randbedingungen erh¨ alt man: ⎛ ⎡ ⎝k ⎣ ⎛ ⎡ ⎝k ⎣

2

−1

−1

1

2

−1

−1

⎤

⎡

⎦ − λ1,2 m ⎣ ⎤

⎤

⎤⎞ ⎡ 0

1 0

⎡

u2

⎦⎠ ⎣

1

√ m ⎦− k 3± 5⎣ m 2 1 0

⎦=

u3 ⎤⎞ ⎡ 0

⎦⎠ ⎣

m

⎤ u2 u3

⎡

⎦=⎣

⎤ 0

⎦

(774)

0

Mit u3 = t ergibt sich aus der ersten Zeile von (774): $ % √ " 1! 3 ± 5 u2 − t = 0 ⇒ u2 = 2− 2 2−

√ " 1 ! t √   t 1 ± = − 5 1 2 5 2 3±

10.3 Der eindimensionale Balken

309

⎡

⎤ √  1  t 1 ± 5 − ⎢ ⎥ 1,2 u = ⎣ 2 ⎦ t

(775)

Den Vektor 1,2 u bezeichnet man als Eigenvektor. Der Parameter t wird u ¨ ber die Nebenbedingung |1,2 u| = 1 bestimmt: √ √ "2 1 2! 2 t 1 ± 5 + t2 = 1 ⇒ t1,2 =  √ 4 5± 5

|1,2 u| =

(776)

Bild 10.3. Darstellung einer Endlage der beiden

Schwingungsformen

Durch Einsetzen von (776) in (775) erh¨ alt man die normierten Eigenvektoren: ⎡ 1,2

⎢ ⎢ ⎢ eu = ⎢ ⎢ ⎣

√ 1± 5 −√  √ 2 5± 5 √ 2  √ 5± 5

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(777)

Die kleinste Eigenfrequenz ergibt sich aus (773), wenn man bei ± das Minuszeichen w¨ ahlt. Entsprechend beim Pluszeichen die gr¨ oßere Eigenfrequenz. Nach (777) ergibt sich in dieser Reihenfolge: ⎤

⎡ 1

eu = ⎣

0, 526 0, 851

⎦;

⎡ 2

eu = ⎣

−0, 851

⎤ ⎦

(778)

0, 526

Die Eigenvektoren nach (778) beschreiben eine der Endlagen der Knoten in der Schwingungsform. In Bild (10.3) ist jeweils die Endlage der beiden Schwingungsformen angef¨ uhrt.

310

10.3

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

10.3 Der eindimensionale Balken In ur den eindimensionalen Balken l¨aßt sich der Term , x1dem Funktional (368) f¨ q v dx auf beliebige Volumenkr¨ afte der Form: x2  b v dV

(779)

V

erweitern. Hierbei beschreibt die Gr¨ oße b im dynamischen Fall die spezifischen Massen- und Reibungskr¨ afte: b = −ρ v¨ − µ v˙

(780)

Die Verschiebungen v des Balkens werden nun mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Balkens nach (373) diskretisiert:  T v¨  T v˙ ; v¨ = N  T v ; v˙ = N v=N

(781)

Einsetzen von (780) und (781) in (779): 

 b v dV = − V

 N  T dV v¨ − N  T dV v˙ = ρ v T N µ v T N V V   T T T   N  T dV v˙  −v ρN N dV v¨ − v µN V V       M

(782)

D

M und D sind die Massen- und D¨ ampfungsmatrix des eindimensionalen Balkens.

10.3.1 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens

, N  T dV werden die Formfunktionen nach (373) eingeIn dem Ausdruck V ρN setzt. Es wird die Dichte ρ und die Querschnittsfl¨ache A im Element als konN  T wird elementweise stant angenommen. Die Integration u ¨ ber die Dyade N vorgenommen. Damit ergibt sich die Massenmatrix bei einer Elementl¨ange l zu: ⎡ ⎢ 156 ⎢ ρAl ⎢ ⎢ 22 l M= ⎢ 420 ⎢ 54  ⎢ m ⎣ −13 l

22 l

54

4 l2

13 l

13 l

156

−3 l2

−22 l

⎤ −13 l ⎥ ⎥ −3 l2 ⎥ ⎥ ⎥ −22 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2

(783)

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

311

10.4

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

Bild 10.4. Eindimensionaler Balken als Kragbalken, beidseitig gelenkig gelagert und die Einteilung in ein Balkenelement

In Bild 10.4 ist ein eindimensionaler Balken mit zwei Lagerungsarten dargestellt. Der Balken besitzt eine L¨ ange l und eine Querschnittsfl¨ ache A. Als Werkstoffgr¨ oßen treten der E-Modul E und die Dichte ρ auf. F¨ ur diesen Balken und die zwei Lagerungsf¨ alle sollen die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen berechnet werden, indem der Balken in ein Element eingeteilt wird. Die elastische Steifigkeitsmatrix K wird mit Hilfe von (388) und die Massenmatrix M nach (783) beschrieben. Daraus ergibt sich die Differenz K − λ M zu (J = EI/l3 ; m = ρAl/420): K − λM = ⎡ 12 J − 156 λ m ⎢ ⎢ ⎢ 6 Jl − 22 λ m l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −12 J − 54 λ m ⎣ 6 Jl + 13 λ m l

6 Jl − 22 λ m l 2

4 Jl − 4 λ m l

−12 J − 54 λ m

2

−6 Jl − 13 λ m

−6 Jl − 13 λ m l

12 J − 156 λ m

2 Jl2 + 3 λ m l2

−6 Jl + 22 λ m l

⎤ 6 Jl + 13 λ m l

⎥ ⎥ 2 Jl + 3 λ m l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6 Jl + 22 λ m l ⎥ ⎦ 4 Jl2 − 4 λ m l2 2

2

(784)

Zur Berechnung der Eigenwerte λi des Problems muß die charakteristische Gleichung aus |K − λM | gebildet werden. 10.4.1 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken Eigenwerte und Eigenfrequenzen

Das Einbringen der Randbedingungen v1 = v2 = 0 f¨ uhrt dazu, daß aus (784) die erste und dritte Zeile und Spalte gestrichen werden. Damit erh¨ alt man: ⎡ ˆ − λM ˆ =⎣ K

4 Jl2 − 4 λ m l2 2

2 Jl + 3 λ m l

2

2 Jl2 + 3 λ m l2 4 Jl − 4 λ m l 2

2

⎤ ⎦

(785)

312

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Die Determinante von (785) f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung:

λ2 −

12 44 J λ+ 7 m 7



J m

2 =0

(786)

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung stellen sich als Eigenwerte des Problems dar:

λ1 =

2J J ; λ2 = 6 7m m

(787) 2

Die beiden Eigenfrequenzen ergeben sich mit λ=ω 2 =(2 πf ) und m=ρA l/420 zu: #

√

30 1 π l2

f1 =

# √ 70 1 EI f2 = 3 π l2 ρA

EI ; ρA

(788)

Die exakten Eigenfrequenzen lauten: # π 1 fˆ1 = 2 l2

# EI ; ρA

1 fˆ2 = 2π 2 l

EI ρA

(789)

Damit ergibt sich f¨ ur die FE-L¨ osung ein Fehler von 11,0 % bzw. 27,2 %. Eigenvektoren

ˆ − λM ˆ werden nacheinander In die Beziehung f¨ ur das Eigenwertproblem K die Eigenwerte λ1 und λ2 nach (787) eingesetzt: ⎡

⎤ 1

1

⎡

−1

ˆ − λ1 M ˆ = 20 Jl2 ⎣ ˆ = 20 Jl2 ⎣ ˆ − λ2 M ⎦; K K 7 1 1 1 " ! ˆ v = 0 f¨ ˆ − λM uhrt auf: Die L¨ osung von K ⎡ 1

v = ⎣

−t t

⎤ ⎦;

v = ⎣

−1

⎦ (790)

⎤

⎡ 2

⎤ 1

t

⎦

(791)

t

t ist eine beliebige reelle Zahl. Voranstehende Gleichungen werden nach der ! Euklidischen Norm ev = ||v ||2 = 1 normiert, so daß v zu einem Einheitsvektor wird:

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

√ ! 1√ |1v | = t 2 = 1 ⇒ 1 t = 2; 2

313

√ ! 1√ |2v | = t 2 = 1 ⇒ 2 t = 2 2

(792)

Einsetzen in die urspr¨ unglichen Vektoren (791): ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ √ 1 ϕ ˆ −1 1 2 1 ⎣ ⎦; ⎦=⎣ ev = 2 1 1 ϕˆ2

⎡ ⎤ ⎤ ⎡ √ 2 ϕ ˆ 1 1 2 2 ⎣ ⎦ ⎦=⎣ ev = 2 2 1 ϕˆ2

(793)

Schwingungsformen

Gegen¨ uberstellung der exakten und FE-Schwingungsformen f¨ ur den beidseitig, gelenkig gelagerten Balken. Der Balken wird durch ein Element beschrieben

Bild 10.5.

Die Schwingungsform wird mit Hilfe der Formfunktionen des Balkens nach (373) und den Eigenvektoren (793) beschrieben als: i

    v = 1 − 3 ξ 2 + 2 ξ 3 i vˆ1 + l ξ − 2 ξ 2 + ξ 3 i ϕˆ1 +  2    3 ξ − 2 ξ 3 i vˆ2 + l −ξ 2 + ξ 3 i ϕˆ2

(794)

Bedingt durch die Lagerung verschwinden i vˆ1 und i vˆ2 . Die normierten Knotenverdrehungen i ϕˆ1 , i ϕˆ2 werden aus den Eigenvektoren (793) gewonnen. Damit lassen sich die Schwingungsformen schreiben als: √ √   2  2  1√ + l −ξ 2 + ξ 3 = v = −l ξ − 2 ξ 2 + ξ 3 2 l ξ (−1 + ξ) 2 √2 √2     2  2  1√ 2 + l −ξ 2 + ξ 3 = v = l ξ − 2 ξ2 + ξ3 2 l ξ 1 − 3 ξ + 2 ξ2 2 2 2 (795) 1

314

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

In Bild 10.5 sind die Schwingungsformen der ersten und zweiten Eigenfrequenz dargestellt. Es sind die FE-L¨ osungen1 der exakten L¨osung2 gegen¨ uber gestellt. W¨ ahrend die Schwingungsformen der untersten Eigenfrequenz relativ gut u ¨ bereinstimmen, weichen die der zweiten Eigenfrequenz weiter voneinander ab. Dieser Trend setzt sich auch zu h¨oheren Eigenfrequenzen hin fort. 10.4.2 Kragbalken

Das Einbringen der Randbedingungen v1 = ϕ1 = 0 in (784) und das Bilden der Determinanten f¨ uhrt auf folgende charakteristische Gleichung:

ˆ − λM ˆ | = λ2 − |K

3 102 J λ+ 35 m 35



J m

2 =0

(796)

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion stellen sich als Eigenwerte des Problems dar:

λ1,2

√ J 51 ± 8 39 J =ε = m  m  35

(797)

ε 2

Die beiden Eigenfrequenzen ergeben sich mit λ = ω 2 = (2 πf ) , m = ρAl/420 , J = EI/l3 zu: #

# √  0, 562 EI 51 39 J −8 = 35 35 m l2 ρA # #  √ 5, 540 EI 51 39 J 1 +8 = f2 = 2 π 35 35 m l2 ρA

1 f1 = 2π

(798)

Der Fehler in den Eigenfrequenzen3 ist bei f1 kleiner 1 % und bei f2 58 %. Eigenvektoren des Kragbalkens

In die Beziehung (K − λM ) u = 0 werden die Eigenwerte λ1 und λ2 nach (797) eingesetzt: 1 Die FE-L¨ osungen sind analog zu der exakten L¨ osung nach der Vorschrift √ √ , 1 -i i .2 1 a v d ξ = 1 skaliert worden. Es ergibt sich: a = 2 15 ; 2a = 2 105. 0 √ 2 Die exakte L¨ osung lautet: v = 2 sin (i π ξ) ; i = 1, 2, . . .. 3 Die exakte L¨ osungf¨ ur die beiden Eigenfrequenzen lautet: ¯ 1,2 /l)2 E I/(ρ A) mit λ ¯ 1 = 1, 875 und λ ¯ 2 = 4, 694. f1,2 = 1/(2 π)(λ

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

⎡ ˆ − λ1,2 M ˆ =J⎣ K

315

12 − 156 ε

−6 l + 22 ε l

−6 l + 22 ε l

4 l2 − 4 ε l2

⎤ ⎦

(799)

! " ˆ u = ˆ − λ1,2 M Die L¨ osungen des linearen, homogenen Gleichungssystems K 0 f¨ uhrt auf: ⎡ ⎣

⎤⎡

12 − 156 ε

l(−6 + 22) ε

l(−6 + 22) ε

4l2 (1 − ε)

Mit 1,2 ϕ2 = chung:

1,2

1,2

⎦⎣

1,2

⎤ v2

⎡

⎦=⎣

ϕ2

⎤ 0

⎦

(800)

0

t erh¨ alt man aus der ersten Zeile der voranstehenden Glei-

(12 − 156 ε) 1,2 v2 + (−6 l + 22 l ε) Die Normierung von

1,2 T

v =

-1,2

1,2

t = 0 ⇒ 1,2 v2 = l

3 − 11 ε 6 − 78 ε

. v2 |1,2 ϕ2 zum Einheitsvektor

1,2

1,2

t (801)

ev ergibt:

2

l2 1,2

(3 − 11 ε)

(6 − 78 ε)2

1,2 2

t +

1,2 2

t =1

6 (13 ε − 1) 6 (13 ε − 1) t=  = 2 2 2 a 36 (1 − 26 ε + 169 ε ) + (9 − 66 ε + 121 ε ) l (802)

Damit erh¨ alt man den normierten Eigenvektor: ⎡ ⎤ ⎡ (11 ε − 3) l 1 1,2 ⎦=⎣ ev = ⎣ a 6 (13 ε − 1)

1,2 1,2

⎤ vˆ2

⎦

(803)

ϕˆ2

Schwingungsformen des Kragbalkens

Die Schwingungsformen werden mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Balkens nach (373) beschrieben:     vˆ = 1 − 3 ξ 2 + 2 ξ 3 ivˆ1 + l ξ − 2 ξ 2 + ξ 3 iϕˆ1 +   2   3 ξ − 2 ξ 3 ivˆ2 + l −ξ 2 + ξ 3 iϕˆ2

i

(804)

316

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Die normierten Knotenverformungen i vˆ2 ,i ϕˆ2 werden aus dem Eigenvektor (803) gewonnen. Damit l¨ aßt sich mit (803) und (804) die Schwingungsform beschreiben als: 1,2

vˆ = ξ 2 (3 − 2 ξ)

(11 ε − 3) l 6 (13 ε − 1) + l ξ 2 (−1 + ξ) a a

(805)

Bild 10.6. Gegen¨ uberstellung der exakten und FE-Schwingungsformen f¨ ur den Kragbalken

Das Bild 10.6 zeigt die Schwingungsformen der exakten und der FEM-L¨ osung f¨ ur den Kragbalken. Die Schwingungsform der untersten Eigenfrequenz ¨ ahnelt der Biegelinie des Balkens. Die Schwingungsform der zweiten Eigenfrequenz weist einen Schwingungsknoten auf. W¨ahrend die exakte L¨ osung und die FEM-L¨ osung der untersten Eigenfrequenz sehr gut u ¨bereinstimmen, treten bei den Schwingungsformen der zweiten Eigenfrequenz schon gr¨ oßere Unterschiede auf. Diese Tendenz setzt sich bei noch h¨oheren Eigenfrequenzen fort.

Kapitel 11 Nichtlineare Probleme

11

11

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ ¨ Ubungsaufgabe: Das dreiknotige Balkenelement...........

319 319 320 320 323 327 329 332 335 336

11 Nichtlineare Probleme Bei Strukturanalysen k¨ onnen zwei nichtlineare Effekte auftreten. Zum einen ist es die Materialnichtlinearit¨ at, die sich als nicht elastisches, plastisches oder viskoelastisches Materialverhalten zeigt. Zum anderen ist es die geometrische Nichtlinearit¨ at. Diese tritt z.B. in Form von großen Verformungen auf.

11.1

11.1 Große Verformungen Im folgenden soll letztere Nichtliniarit¨ at betrachtet werden. Dabei wird als Nebenprodukt dieser Vorgehensweise das Knicken von St¨aben und Balken im Mittelpunkt stehen. Bei der Einf¨ uhrung großer Verformungen ¨andert sich gegen¨ uber der linearen Analyse die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung. Sie enth¨ alt nichtlineare Terme. 11.1.1 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die lineare Beziehung nach (146) wird um einen nichtlinearen Term erweitert und lautet in Matrizenschreibweise1:

e=

 1 1 T ∇u + u ∇T + ∇uT u ∇T 2 2

(806)

Der zweite Summand gibt den nichtlinearen Anteil wieder. (806) f¨ ur den ebenen Fall angesetzt: 

⎡ ∂u ∂x

1 2

 ⎤ ∂v ∂u + ∂x ∂y

⎢ ⎢   e =⎢ ⎢ ∂v ∂u ⎣ 1 ∂v + 2 ∂x ∂y ∂y   " 1! T ∇ u + u ∇T 2

 2  2 ∂u ∂v 1 ∂u + + ⎢ ⎢ ∂x 2 ∂x ∂x ⎢     ⎢ ∂u 1 ∂u ∂u ∂v ∂v ⎣ 1 ∂v + + + 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ⎡

⎡

⎥ ⎥ 1 ⎥+ ⎥ 2 ⎦  

1 2



⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂u ∂x ∂u ∂y

∂v ∂u + ∂x ∂y

⎤⎡

∂u ⎥ ⎢ ∂x ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦ ⎣ ∂v ∂x  " 1! T ∇ u  u ∇T 2 ∂v ∂x ∂v ∂y





∂u ∂u ∂v ∂v + ∂x ∂y ∂x ∂y  2  2 ∂v ∂v 1 ∂u + + ∂y 2 ∂y ∂y +

1 2

⎤ ∂u ∂y ⎥ ⎥ ⎥= ∂v ⎦ ∂y 

 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(807)

1

Die Dyade wird in der Matrizenschreibweise als ∇ uT geschrieben. In der symbolischen Schreibweise als ∇ u.

320

11. Nichtlineare Probleme

Die Komponente (1, 1) des Dehnungstensors1 e ist die Dehnung εxx . Sie ist die einzigste Dehnungskomponente bei Stab und Balken:

εxx

du 1 + = dx 2



du dx



2 +

dv dx

2 (808)

Unter der Voraussetzung2 du/dx  1 sowie (du/dx)2  (dv/dx)2 erh¨alt man:

εxx

du 1 + = dx 2



dv dx

2 (809)

11.1.2 Dehnungen f¨ ur Stab und Balken

W¨ ahrend (809) unmittelbar f¨ ur das Stabproblem Verwendung findet, muß sie f¨ ur das Balkenproblem umgewandelt werden. Dazu wird die Verschiebung u ausgedr¨ uckt als:

u = us + ub

(810)

Die Verschiebung us ist die Verschiebung auf der neutralen Achse des Balkens. Die Verschiebung ub wird mit Hilfe von (356) des Balkens geschrieben als: ub = −y

dv dx

(811)

Einsetzen von (810) und (811) in (809) f¨ uhrt auf die Dehnungen des Balkens:

εxx =

d 2v dus 1 −y 2 + dx dx 2



dv dx

2 (812)

11.1.3 Stab mit großen Verformungen

Das Bild 11.1 zeigt das verwendete, zweiknotige Stabelement in der unverformten und in einer verformten Lage. Jeder Knoten weist zwei Freiheitsgrade, n¨ amlich ui , vi bzw. uj , vj auf. Der Stab hat eine L¨ ange l, eine Querschnittsfl¨ache A und als Werkstoffgr¨oße den Elastizit¨ atsmodul E. 1

Dies ist der Green‘sche Dehnungstensor f¨ ur den ebenen Fall. Dies nennt man auch die von K´ arm´ an‘sche nicht lineare Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung. 2

11.1 Große Verformungen

321

Bild 11.1. Das zweiknotige Stabelement in der unverformten und verformten Lage

Verschiebungsansatz und Formfunktionen

F¨ ur die beiden Verschiebungen u und v werden folgende Verschiebungsans¨ atze gemacht:

u = a0 + a1 x

(813)

v = b0 + b1 x

(814)

Hierzu werden analog zu (258) die Interpolationsbedingungen angesetzt. Daraus erh¨ alt man mit der Abk¨ urzung ξ = x/l die folgenden Formfunktionen: ⎡ ⎡ u ˆ=⎣

⎤ u v

⎡

⎦=⎣ 

⎤ ui

1−ξ

0

ξ

0

1−ξ  N

0

⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎤ ⎢ ⎥  uT ⎢ vi ⎥ N ⎥=⎣ ⎦⎢ ⎦ u ⎢ ⎥  vT N ξ ⎢ uj ⎥ ⎦ ⎣ vj    u

0

(815)

Dehnungen f¨ ur große Verschiebungen

Aus (815) erh¨ alt man die beiden Verschiebungen u und v:  uT u u=N  vT u v=N

(816) (817)

F¨ ur die Berechnung der Dehnungen werden die Ableitungen du/dx und dv/dx ben¨ otigt:

322

11. Nichtlineare Probleme

⎤ u i ⎢ ⎥ ⎥ ⎢  ⎢ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎢ ⎢ u ⎥ ⎢ j ⎥ ⎣ ⎦ vj ⎤ ⎡ u ⎢ i ⎥ ⎥ ⎢  ⎢ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ u ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ vj ⎡

 1 d T du u )T u = 1 −1 = (Nu u) = (N dx l dξ l

 1 d T dv   )T u = 1 0 = (Nv u) = (N v dx l dξ l

0

1

−1

0

(818)

(819)

Form¨ anderungsarbeit und das Gesamtpotential des Stabes

Die Form¨ anderungsarbeit ΠF des Stabes ergibt sich nach (161) bzw. (256) mit (809) zu:   2 2  1 du 1 dv + E = E dV 2 V dx 2 dx V    2  4  2 du 1 l du dv 1 dv = AE + + dx 2 0 dx dx dx 4 dx 

1 ΠF = 2

ε2xx dV

(820)

Der Term (dv/dx)4 ist von h¨ oherer Ordnung und damit gegen¨ uber den beiden anderen Termen vernachl¨ assigbar klein. Der Ausdruck (du/dx)(dv/dx)2 stellt die Kopplung zwischen den Verformungen u und v dar. Die Form¨andeaßt sich in zwei Anteile aufteilen und mit dem Potential der rungsarbeit ΠF l¨ außeren Kr¨ afte Πa = −(uFx + vFy ) schreiben als: ¨ 1 Π= 2





l

AE 0

du dx

2

1 dx + 2

 0

l

du AE  dx



dv dx

2 dx − (uFx + vFy )

(821)

P

Aus dem Bild 5.2 erkennt man, daß der Ausdruck AE du/dx sich als Schnittkraft P des Stabes darstellt. Diskretisierung des Gesamtpotentials

Die Ableitungen im Funktional (821) werden durch (818) und (819) diskretisiert. Das ¨ außere Potential uFx + vFy wird durch uT F ersetzt. Damit erh¨alt man unter der Voraussetzung, daß A und E nicht von x abh¨angen:

11.1 Große Verformungen

1 Π = uT AE 2 



323

l

u (N u )T dx u + 1 uT P N 2 0    KE 1 1 = uT K E u + uT K G u − uT F 2 2

 0

l

v (N v )T dx u − uT F N   KG (822)

K E ist die elastische Steifigkeitsmatrix. Der nichtlineare Anteil f¨ uhrt auf die sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrix K G . In ihr tritt die L¨angskraft P des Elementes auf. In beiden Integranden wird das dyadische Produkt Nu (Nu )T bzw. Nv (Nv )T gebildet. Mit Hilfe von (818) und (819) ergibt sich: ⎡

KE

⎢ 1  l⎢ ⎢ 0 AE ⎢ = 2 ⎢ l 0 ⎢ ⎢ −1 ⎣ 0

0

−1

0

0

0

1

0

0

KG =

P l2

0

l

⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

1

0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

0

1

0

0

⎡

⎤

⎡ 

⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ 0 ⎥ AE ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ dx = ⎥ l ⎢ −1 0 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 0 0

0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ −1 ⎥ P ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥ dx = ⎢ ⎢ 0 ⎥ l 0 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 1 0

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ (823) 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0 ⎤

0

0

1

0

0

0

−1

0

0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 1

(824)

Die Steifigkeitsmatrix K = K E + K G steht nun in Abh¨angigkeit von der L¨ angskraft P . Eine Zugkraft erh¨ oht die Steifigkeit, w¨ahrend eine Druckkraft die Steifigkeit reduziert. 11.1.4 Balken mit großen Verformungen

Das Bild 11.2 zeigt das verwendete zweiknotige Balkenelement mit seinen Freiheitsgraden.

Bild 11.2. Das zweiknotige Balkenelement

mit seinen Freiheitsgraden

324

11. Nichtlineare Probleme

Der Balken weist die Freiheitsgrade ui , vi , ϕi f¨ ur den Anfangsknoten i und uj , vj , ϕj f¨ ur den Endknoten j auf. Er hat eine L¨ange l, eine konstante Querschnittsfl¨ ache A sowie den Elastizit¨ atsmodul E als Werkstoffgr¨oße. Formfunktionen

Die Durchbiegung des Balkens v wird mit Hilfe der Formfunktion nach (373) beschrieben. v = bN1 vi + bN2 ϕi + bN3 vj + bN4 ϕj

(825)

angskraft P ergibt, wird u Die Verschiebung us , die sich aus der L¨ ¨ber die Formfunktionen des Stabes beschrieben (259): u = sN 1 ui + sN 2 uj

(826)

Faßt man die Freiheitsgrade des Balkens in dem Vektor u zusammen, so ergeben sich folgende Zusammenh¨ ange: ⎡

 s

u=

N1

0

0

s

N2

0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ T ⎥ ⎥ = Nu u uj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ ϕj ⎤

⎡

 v=

0

b

N1

b

N2

0

b

N3

b

N4

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(827)

ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ T ⎥ ⎥ = Nv u ⎥ uj ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ ϕj

(828)

11.1 Große Verformungen

325

Dehnungen f¨ ur große Verformungen

In den Dehnungen nach (812) treten die Ableitungen du/dx, dv/dx und d2 v/dx2 auf. du  s  = N1 0 dx u )T u = (N

0

N2

s

 0

0

u =

1 −1 l

 0

0

1

0

0

u (829)

Die ersten und zweiten Ableitungen von v sind in (378) zu finden. Damit erh¨ alt man: $ 1 dv = 0 6 ξ(−1 + ξ) l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 ) dx l v )T  = (N u $ 2 1 d v = 2 0 6(−1 + 2 ξ) 2l(−2 + 3 ξ) dx2 l v )T  = (N u

% 0

0

6 ξ(1 − ξ)

l(−2 ξ + 3 ξ 2 )

6(1 − 2 ξ)

(830) % u 2l(−1 + 3 ξ) 

u 

(831)

Form¨ anderungsarbeit des Balkens

Die Dehnungen treten in der Form¨ anderungsarbeit ΠF quadratisch auf:   2 2  d 2v 1 du 1 dv −y 2 + E = E dV 2 V dx dx 2 dx V 0 $ 2  2 2  4  du d v 1 l 1 dv du d 2 v 2 = E +y + − 2 y 2 0 dx dx 2 4 dx dx dx 2 A  2  2 % 1 2 d v dv du dv −y 2 + dA dx dx dx dx dx

1 ΠF = 2



2 εxx dV

(832)

uber den anderen Gr¨oßen vernachl¨assigbar klein. Der Term (dv/dx)4 ist gegen¨ Die Integrale u ¨ ber die Terme, in denen die y-Koordinate linear eingeht, verschwinden. Der Ausdruck du/dx tritt in der Stoffgleichung des Stabes (s. Bild 5.2) in der Form P = AE du/dx auf. Damit kann du/dx als P/(AE) , ausgedr¨ uckt werden. Beachtet man weiterhin, daß das Integral A y 2 dA das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I ergibt und E, I unabh¨angig von x sein sollen, so kann man schreiben:

ΠF =

1 AE 2

 l 0

du dx

2

1 dx + EI 2

 l 0

d 2v dx 2

2

1 dx + P 2

 l 0

dv dx

2 dx (833)

326

11. Nichtlineare Probleme

Ein Vergleich mit dem linearen Stab bzw. Balken zeigt, daß der erste Summand in voranstehender Gleichung auf die elastische Steifigkeitsmatrix des Stabes f¨ uhrt. Der zweite Summand f¨ uhrt auf die elastische Steifigkeitsmatrix des Balkens. Der letzte Term trat bisher nicht auf. Er enth¨alt die L¨angskraft P des Balkens. Diskretisierung des Gesamtpotentials Π

Durch Einsetzen von (829), (830) und (831) in die Form¨anderungsarbeit (833) wird diese diskretisiert. Gleichzeitig wird die diskretisierte Form der a¨ußeren Lasten hinzugef¨ ugt:

Π=

1 T u AE 2  1 + uT P 2 



l

0



  (N   )T dx u + 1 uT EI N u u 2    s KE

 0

l

  (N   )T dx u N v v   b KE

l

 v (N  v )T dx u − uT F N 0   KG 1 1 1 = uT sK E u + uT bK E u + uT K G u − uT F 2 2 2 1 1 = uT K E u + uT K G u − uT F 2 2   mit F T = F F M F F M xi

yi

i

xj

yj

j

(834)

Die elastische Steifigkeitsmatrix K E , die sich aus den Anteilen sK E und bK E zusammensetzt, ergibt sich mit Hilfe von (829) und (831). Die Steifigkeitsmatrix K E wurde schon beim zweidimensionalen Balken hergeleitet und ist in (519) zu finden. Die geometrische Steifigkeitsmatrix K G aus (834) ergibt sich mit (830) zu: ⎡

⎤ 0

KG

⎢ ⎢ ⎢ 6 ξ(−1 + ξ) ⎢  1⎢ ⎢ l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 ) P ⎢ = ⎢ l 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 6 ξ(1 − ξ) ⎣ lξ(−2 + 3 ξ)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken



6 ξ(−1 + ξ) l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 ) 0 6 ξ(1 − ξ) ⎡ ⎤ 0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 36 ⎥ 3 l 0 −36 3 l ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ⎥ ⎢ 0 3 l 4 l 0 −3 l −l P ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 30 l ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −36 −3 l 0 36 −3 l ⎥ ⎣ ⎦ 0 3l −l2 0 −3 l 4 l2 0

327

 lξ(−2 + 3 ξ)

dξ

(835)

11.2

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken Das Gesamtpotential Π l¨ aßt sich allgemein1 schreiben als:

Π=

1 T u Ku − uT F 2

(836) V

F¨ ur einen station¨ aren Wert muß die erste Variation δΠ verschwinden:

δΠ =

∂Π δu = 0 ⇒ δuT K u − δuT F = 0 ∂u

(837)

Bei den bisherigen Ausf¨ uhrungen wurde die zweite Variation nicht weiter betrachtet, da bedingt durch den quadratischen Charakter von (836) der station¨ are Punkt auch gleichzeitig ein Minimum darstellt. Untersucht man aber die zweite Ableitung, so sind (s. Bild 11.3) drei F¨alle zu unterscheiden.

Bild 11.3. Verschiedene Gleichgewichtszust¨ ande

F¨ ur den Fall δΠ > 0 ergibt sich ein stabiles Gleichgewicht. Verschwindet die zweite Variation, so spricht man von einem indifferenten oder neutra1

Das Computeralgebraprogramm “Knicken Balken“ dient zur Eigenwertberechnung bei Balken (s. Bild 12.1 und S. 353).

328

11. Nichtlineare Probleme

len Gleichgewicht. Im dritten Fall, in dem f¨ ur die zweite Variation gilt: δ 2 Π < 0, liegt ein instabiles Gleichgewicht vor. F¨ ur das nachfolgend betrachtete Knicken von St¨ aben und Balken geht man von einem indifferenten Gleichgewicht aus. Bildet man die zweite Variation von (837), so erh¨alt man:

δ2Π =

∂2Π 2 ! δ u = δuT K δu = 0 ∂u2

(838)

Die Forderung, daß die zweite Variation von Π verschwindet, kann nur erf¨ ullt werden, wenn die Determinante von |K| zu Null wird. Bei der Matrix K wird jetzt auf das Ergebnis der großen Verformungen zur¨ uckgegriffen:

K = KE + KG

(839)

In der geometrischen Steifigkeitsmatrix tritt als Faktor die L¨angskraft P auf (s. (824)). Diese Kraft wird mit einem Faktor λ multipliziert (λ ∈ R). Damit erh¨ alt man:

K = KE + λ

P ˆ K l G

(840)

Die Forderung, daß die Determinante von K verschwindet, f¨ uhrt auf: |K| = |K E + λ

P ˆ K |=0 l G

(841)

Diese Beziehung nennt man ein Eigenwertproblem, wobei λ der gesuchte Eigenwert ist. Das Bilden der Determinante f¨ uhrt auf eine skalare Funktion in λ, die man als charakteristische Gleichung bezeichnet. Es ist offensichtlich, daß die Beziehung nicht nur einen Eigenwert besitzt. Vielmehr besitzt das System so viele Eigenwerte, wie es Freiheitsgrade aufweist. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung entsprechen den Eigenwerten des Problems. Das Produkt λ F stellt die Knicklast dar, wobei F die Belastung der Struktur ist. Mit Hilfe der bekannten Eigenwerte λi , i = 1, ..., n lassen sich die Eigenformen berechnen:   P ˆ K + λi K ui = 0 l

(842)

Gl. (842) stellt ein lineares, homogenes Gleichungssystem dar. Dieses besitzt ˆ singul¨ar ist, was ja hier nur dann eine L¨ osung, wenn K = K E + λi P/l K G der Fall ist. Das System besitzt keine eindeutige L¨osung, sondern einmal

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

329

unendlich viele L¨ osungen1 . Daher stellt die Eigenform keine quantitative, sondern eine qualitative L¨ osung dar. 11.2.1 Beispiel zum Stabknicken

Das Bild 11.4 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Vertikalstab. Unter einem Winkel β ist eine Feder an den Vertikalstab angelenkt.

Bild 11.4. Beispiel zum Stabknicken

Der Vertikalstab wird durch eine lotrechte Kraft belastet. Die Feder hat eine Steifigkeit k und wird im folgenden als Stab betrachtet. Die Steifigkeit des Vertikalstabes wird mit f k (f ∈ R; f > 0) in Beziehung zur Feder gesetzt. Gesucht ist die kritische Kraft Fk , die auch als Verzweigungslast bezeichnet wird, bei der das System instabil wird. Steifigkeitsmatrizen

In der rechten H¨ alfte von Bild 11.4 ist die Struktur in zwei Elemente eingeteilt. Jedes Element weist sein eigenes, lokales Koordinatensystem auf. In diesem sind auch die Steifigkeitsmatrizen beschrieben. Sie m¨ ussen daher in das globale (x, y)-System transformiert werden. Die R¨ ucktransformation der elastischen Steifigkeitsmatrix K E ist in (337) zu finden. Die Transformationsmatrix T wird mit Hilfe der Beziehung (46) gebildet und lautet: ⎤

⎡ ⎢ cosϕ ⎢ ⎢ −sinϕ ⎢ T =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 1

sinϕ

0

cos ϕ

0

0

cos ϕ

0

−sinϕ

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ sinϕ ⎥ ⎥ ⎦ cos ϕ

(843)

Es kann n¨ amlich ein Element des L¨ osungsvektors  u beliebig gew¨ ahlt werden. Alle anderen Elemente des L¨ osungsvektors lassen sich dann eindeutig berechnen. Anschließend wird der L¨ osungsvektor  u normiert.

330

11. Nichtlineare Probleme

Die R¨ ucktransformation lautet nach (50): ¯ T KG = T T K G

(844)

¯ G die globale geometrische SteiDamit erh¨ alt man aus der lokalen Matrix K figkeitsmatrix K G ⎡

⎤ 2

KG

sin ϕ ⎢ ⎢ P ⎢ ⎢ − sin ϕ cos ϕ = ⎢ l ⎢ − sin2 ϕ ⎢ ⎣ sin ϕ cos ϕ

− sin ϕ cos ϕ

− sin ϕ

cos2 ϕ

sin ϕ cos ϕ

sin ϕ cos ϕ

sin2 ϕ

− cos2 ϕ

− sin ϕ cos ϕ

2

sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎥ ⎥ − cos2 ϕ ⎥ ⎥ − sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 2 cos ϕ (845)

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Es werden f¨ ur die elastische und geometrische Steifigkeitsmatrix jeweils die Gesamtsteifigkeitsmatrizen K Eg und K Gg gebildet: K Eg = ⎡

cos2 β

⎢ ⎢ ⎢ sin β cos β sin2 β ⎢ ⎢ ⎢ − cos2 β − sin β cos β ⎢ k⎢ ⎢ − sin β cos β − sin2 β ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎣ 0 0 ⎡ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ F ⎢ ⎢ 0 0 −1 0 1 K Gg = ⎢ l ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 1 0 −1 ⎣ 0 0 0 0 0

⎤

− cos2 β

− sin β cos β

0

− sin β cos β

− sin2 β

0

cos2 β

sin β cos β

0

sin β cos β

sin2 β + f

0

0

0

0

0

−f

0

sin β cos β

⎤

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ −f ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ f

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 0

(846)

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

331

Bei der geometrischen Matrix K Gg ist zu beachten, daß Element 1 keine L¨ angskraft aufweist, w¨ ahrend Element 2 die gesamte vertikale Last F aufnimmt. Die Matrizen aus (846) werden nun u ¨ berlagert: K g = K Eg + λK Gg = ⎡

u1

v1

2

cos β

⎢ ⎢ ⎢ sin β cos β ⎢ ⎢ ⎢ − cos2 β ⎢ k⎢ ⎢ ⎢ − sin β cos β ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

u2 2

v2

u3

v3

0

0

⎤

sin β cos β

− cos β

− sin β cos β

sin2 β

− sin β cos β

− sin2 β

0

0

− sin β cos β

λF cos2 β − kl

sin β cos β

λF kl

0

− sin2 β

sin β cos β

sin2 β + f

0

−f

0

λF kl

0

0

0

−f

−

λF kl

0

0

f

u1 ⎥ ⎥ ⎥v1 ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥v ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥u3 ⎥ ⎦ v3

Geometrische Randbedingungen

Die Knoten 1 und 3 weisen ein Festlager auf, so daß nur die Freiheitsgrade u2 und v2 als Variable auftreten. Daher werden die ersten und letzten beiden Zeilen und Spalten aus K g gestrichen. Es bleibt folgende Untermatrix u ¨brig: ⎡

λF cos2 β − ⎢ ˆ = k⎣ kl K g sin β cos β

⎤ sin β cos β ⎥ ⎦ sin2 β + f

(848)

Eigenwerte des Systems

ˆ | f¨ Die Determinante |K g uhrt auf die folgende charakteristische Gleichung: g(λ) = (1 + f − cos2 β) F λ + f k cos2 β

(849)

Ein System mit n Freiheitsgraden besitzt im Normalfall ebenso viele Eigenwerte, so daß zwei Eigenwerte zu erwarten w¨ aren. Bedingt dadurch, daß in der Feder (Element 1) keine L¨ angskraft vorhanden ist, tritt in der Untermatrix nach (848) λ nur im Element (1, 1) auf. Damit ist hier die charakteristische Gleichung eine lineare Beziehung. Die Nullstelle f¨ uhrt zu folgendem Eigenwert λ1 :

332

11. Nichtlineare Probleme

λ1 =

k l f cos2 β F f + sin2 β

(850)

Das Produkt λ1 F stellt sich als kritische Knicklast dar. In der analytischen L¨ osung dieses Problems [51] wird ein starrer Vertikalstab (f → ∞) vorausgesetzt. Eine Grenzwertbetrachtung ergibt:

lim k l

f →∞

f cos2 β cos2 β = k l cos2 β = lim k l 2 2 f →∞ f + sin β 1 + sinf β

(851)

Dieses Ergebnis λ F = k l cos2 β entspricht der analytischen L¨osung f¨ ur β = 0. 11.2.2 Beispiel zum Knicken von Balken

Im folgenden werden beispielhaft die vier Eulerf¨alle betrachtet. Exemplarisch wird der Eulerfall I mit einem Element gel¨ost. Dazu sind folgende Schritte notwendig: Steifigkeitsmatrizen

F¨ ur einen beliebigen Querschnittswert A, Fl¨achentr¨agheitsmoment I, Elastizit¨ atsmodul E sowie L¨ ange l, erh¨ alt man nach (508) und (835) mit P = −F , k = AE/l, f = EI/l3 : Kg = ⎡

⎢ k ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −k ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0 12 f − 6 fl −

6 λF 5 l

6 fl −

1 λF 10

2

0 6 λF 5 l

1 λF 10

⎤ 0

0

1 λF 10

0

−12 f +

2 λF l 15

0

−6 f l +

k

0

4 fl − 0

−12 f + 6 fl −

−k

0

−6 f l +

1 λF 10

0

12 f −

2 f l2 +

1 λF l 30

0

−6 f l +

6 λF 5 l 1 λF 10

6 λF 5 l 1 λF 10

⎥ ⎥ ⎥ 6 fl − ⎥ ⎥ ⎥ 2 1 2 f l + 30 λF l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 −6 f l + 10 λF ⎥ ⎥ ⎦ 2 2 4 f l − 15 λF l 1 λF 10

(852) Geometrische Randbedingungen

Der Knoten 1 liegt am Einspannende. Damit verschwinden die Freiheitsgrade u1 , v1 und ϕ1 . Es werden aus der Matrix K g in (852) die ersten drei Zeilen ˆ u und Spalten gestrichen. Als Untermatrix bleibt K g ¨ brig:

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

333

⎤

⎡ 0

k

⎢ ˆ =⎢ K ⎢ 0 g ⎣ 0

12 f − 1 10 λF

0

6F 5l

λ

− 6 fl

⎥ ⎥ − 6 fl ⎥ ⎦ 2 2 4 l f − 15 lλF 1 10 λF

(853)

Bestimmung der Eigenwerte

Zur Bestimmung der Eigenwerte wird die Determinante von (853) gebildet. Diese f¨ uhrt auf folgende charakteristische Gleichung des Problems:   2 fl 104 f 3 2 k F λ2 − l λ + 80 =0 20 3 F F

(854)

Aus dieser quadratischen Gleichung erh¨ alt man folgende Eigenwerte:

λ1,2 =

√ "fl 4! 13 ± 2 31 3 F

(855)

Technisch gesehen ist nur der kleinste Eigenwert von Bedeutung. Die kleinste alt man als: Knicklast Fk erh¨ Fk = λmin F =

√ " 4! 13 − 2 31 f l = 2, 486f l 3

(856)

Gegen¨ uber der exakten L¨ osung Fk∗ = π 2 /4 f l tritt ein Fehler von 0, 8 % auf. Bestimmung der Eigenform

Die Eigenform, in diesem Zusammenhang auch Knickform genannt, l¨aßt sich ˆ g λmin einsetzt und das homogene mit (853) berechnen, indem man in K ˆ u  ost: System K g ˆ = 0 l¨ " ⎡ ! √ 4 31 − 19 ⎢ 19 + 4 31 ⎢ f⎢ 0 ⎣ 135 0 √

k f

!

0

√ " 12 47 − 8 31 ! √ " 12 1 − 31 l

⎤⎡ u2 √ " ⎥ ⎥⎢ 12 1 − 31 l ⎥ ⎢ v2 ⎣ ⎦ ϕ2 12l2 !

0

⎤

⎡ 0 ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ 0 ⎦ ⎣ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(857) Aus der ersten Zeile ergibt sich u2 = 0. Das homogene Gleichungssystem besitzt einmal unendlich viele L¨ osungen. Daher kann v2 oder ϕ2 beliebig gew¨ ahlt werden. Es wird ϕ2 = 1 gesetzt und daraus ergibt sich v2 zu:

334

11. Nichtlineare Probleme

v2 =

√ 1 (4 + 31) l = 0, 6379 l 15

(858)

Zur Darstellung der Eigenform werden die Formfunktionen nach (373) herangezogen (ξ = x/l): ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 T ⎢ v=N ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ u1

⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ ϕ1 ⎥ ⎥ T ⎥=N u2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎦ ϕ2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ √ ⎥ 1 ⎥ (4 + 31) l 15 ⎦ 1 √ 1 1 √ = ( 31 − 1) l ξ 2 + (7 − 2 31) l ξ 3 = 0, 9136 l ξ 2 − 0, 2757 l ξ 3 5 15 (859)

Die exakte L¨ osung der Eigenform lautet: vex = 1 − cos

!π " ξ 2

(860)

Eine Normierung der Eigenform (859) nach der Maximumnorm (||vλ1 ||∞ = 1) f¨ uhrt zu: 1

v¯ = (7 −

√ √ 31)ξ 2 + ( 31 − 6) ξ 3 = 1, 4322 ξ 2 − 0, 4322 ξ 3

(861)

F¨ ur eine Fehlerbetrachtung wird eine relative Fehlerfunktion definiert:

π !π "

vex − 1 v¯

2 3

vm = 1 − cos 2 ξ − 1, 4322 ξ + 0, 4322 ξ π − 2  1 π−2 vex dξ = mit vm = π 0

(862)

In Bild 11.5 ist die Eigenform nach (861) dargestellt. Die strichpunktierte Linie beschreibt den Fehler nach (862). Der relative Fehler weist einen Maximalwert von ca. 3 % auf.

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

335

Die berechnete Knickform des Eulerfalls I und deren relativer Fehler

Bild 11.5.

Der Eulerfall I l¨ aßt sich also bzgl. Knicklast und Eigenform mit einem Balkenelement hinreichend genau beschreiben. Dies trifft nicht f¨ ur alle Eulerf¨alle zu, wie nachfolgend aufgezeigt wird. 11.2.3 Die vier Eulerf¨ alle Das zweiknotige Element

In Bild 11.6 ist das Konvergenzverhalten des zweiknotigen Balkenelementes f¨ ur die vier Eulerf¨ alle dargestellt. Es ist in einem doppelt logarithmischen System der relative Fehler (Fk∗FEM − Fk∗ex )/Fk∗ex · 100 u ¨ ber die Elementanzahl aufgetragen.

Das Konvergenzverhalten der vier Eulerf¨ alle f¨ ur das zweiknotige Element. Die L¨ osungen mit einem dreiknotigen Element sind wie folgt gekennzeichnet: Fall I: ; Fall II: ; Fall III: ⊗; Fall IV :  Bild 11.6.

Die Tabelle innerhalb des Bildes 11.6 enth¨ alt f¨ ur verschiedene Elementan∗ 2 ur die Euzahlen den Fehler Fk = Fk l /(EI) der bezogenen Knicklast. F¨ lerf¨ alle I bis IV existieren die exakten L¨ osungen Fk∗ mit π 2 /4; π 2 ; 20, 190733 und 4 π 2 . W¨ ahrend der Eulerfall I bei einem zweiknotigen Element einen Fehler kleiner 1 % aufweist, ist dieser bei den anderen Eulerf¨ allen erheblich gr¨oßer. Eulerfall IV nimmt eine Sonderstellung ein. Es existiert f¨ ur ein zweiknotiges Element

336

11. Nichtlineare Probleme

keine L¨ osung. Die Ursache liegt darin, daß nach dem Einbringen der Randbedingungen in (852) nur das Element (4,4) u ¨ brig bleibt. Damit tritt in der charakteristischen Gleichung kein λ auf. Es existiert also kein Eigenwert. Eine weitere Eigenart von Eulerfall IV ist die, daß beginnend mit dem Element 2 kein monotoner Zusammenhang zwischen Fehler und Elementanzahl besteht. Die L¨ osung mit zwei Elementen weist einen kleineren Fehler auf als die mit drei Elementen. Daher beginnt die Ausgleichsgerade in Bild 11.6 erst bei drei Elementen. 11.1

¨ 11.2.4 Ubungsaufgabe: Das dreiknotige Balkenelement

Ausgehend von den Formfunktionen f¨ ur das dreiknotige Element, die u ¨ber das Programm “ Balken 1D“ gewonnen werden k¨onnen, sind nach (834) die elastische und geometrische Steifigkeitsmatrix zu bilden. Mit Hilfe dieser Matrizen sind die Eulerf¨ alle II und IV zu l¨ osen. Die Ergebnisse f¨ ur ein dreiknotiges Element sind in Bild 11.6 eingetragen. Der ung¨ unstigste Eulerfall ist hierbei wie beim zweiknotigen Element Fall IV mit einem Fehler von 6, 4 % . Fall III weist einen Fehler von 0, 47 % auf, w¨ahrend die restlichen F¨ alle nahezu mit der exakten L¨osung u ¨bereinstimmen.

Kapitel 12 CALL for FEM

12

12

12 12.1 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11 12.2.12 12.2.13

CALL for FEM Kurz¨ ubersicht u ¨ber die einzelnen Programme .............. Programmbeschreibungen ...................................... FEM GEN und FEM CAS...................................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) .................................................... Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ Zweidimensionales Feldproblem (Feldprobleme 2D).......

339 343 343 343 345 347 349 351 353 355 356 356 358 359 360

12 CALL for FEM 12.1

12.1 Kurz¨ ubersicht ¨ uber die einzelnen Programme CALL for FEM steht als Abk¨ urzung f¨ ur Computer Aided Learning and Lessons for Finite Element Method. Der Begriff beschreibt die M¨oglichkeit, mit Hilfe einer Vielzahl von Programmen, die u ¨ber eine Benutzeroberfl¨ache aktiviert werden k¨ onnen, die FE-Theorie zu vertiefen oder FE-Anwendungen durchzuf¨ uhren. Dabei wird von der Computeralgebra Gebrauch gemacht. offnen neue M¨oglichkeiten in der SimuComputeralgebra-Systeme (CAS) er¨ lationstechnik. Statt mit Zahlen wird mit Symbolen gearbeitet. Es werden mathematische Operationen f¨ ur symbolische Ausdr¨ ucke durchgef¨ uhrt. Damit lassen sich mit modernen CAS wie MAPLE [38] ganze Ableitungen eines Elementes programmieren. Zudem bieten solche Systeme M¨oglichkeiten der ¨ grafischen Auswertung. Im folgenden wird eine Ubersicht u ¨ ber die Rechenprogramme gegeben, die auf der CD gespeichert sind.

W

Bild 12.1 zeigt die Startseite der auf der CD beigef¨ ugten Programme1. In der linken Bildh¨ alfte sind die Startbuttons der einzelnen Programme2 aufgef¨ uhrt. In der rechten H¨ alfte von Bild 12.1 ist eine Zuordnung der zuvor genannten Programme zu den Ein- und Ausgabedateien dargestellt. Die Extension “ sym“ beschreibt Eingabedateien, die symbolische Daten enthalten und “ fem“ Eingabedateien, die nur Zahlen enthalten. FEM GEN

Der Preprozessor “ FEM GEN“ dient zur interaktiven Beschreibung des FEProblems. Ausgehend von Knoten, die auf Rasterpunkte gesetzt werden, lassen sich Elemente generieren. Je nach Problemart k¨onnen entsprechende Randbedingungen formuliert werden. Alle problemrelevanten Gr¨oßen werden u ¨ ber Symbole beschrieben. Die Schnittstelle zu den anderen Programmen bildet eine Datei mit der Extension “ sym“ (s. Bild 12.1), die von “ FEM GEN“ erzeugt wird. FEM CAS “ FEM CAS“ ist ein Computeralgebraprogramm, das die Elemente 1 bis 9 aus Tab. 12.1 verwirklicht. Es verarbeitet symbolische Gr¨oßen. Damit wer1

Die Programme sind mit Ausnahme von “InterFEM“ und “FEM GEN“ mit dem CAS MAPLE 8÷10.06 realisiert (ca. 14000 Zeilen). “InterFEM“ ist in Fortran 90 geschrieben (ca. 15000 Zeilen) und “FEM GEN“in VB.NET (ca. 10000 Zeilen). 2 Neuere Versionen der Programme k¨ onnen u ¨ ber das Internet geladen werden. Die Internetadresse steht auf der CD-ROM in der Datei “readme.txt“.

X

340

12. CALL for FEM

Bild 12.1. Startseite der Programme. Sie wird durch Programme.maplet aktiviert und ist

auf der CD unter “CAS Programme“ zu finden

den auch die Ergebnisse wie Verformungen oder Spannungen als algebraische Ausdr¨ ucke ausgegeben. InterFEM

Das Programm “ InterFEM“ besitzt zus¨ atzlich die Elemente 10 bis 12. Es verarbeitet im Unterschied zu “ FEM CAS“ nur Zahlen und entspricht damit konventionellen FE-Programmen. FEM Grafik “ FEM Grafik“ dient zur Visualisierung der Eingabe- und Ausgabedaten von “ FEM CAS“ und “ InterFEM“. Zur Realisierung der grafischen Darstellungen, wie Verformungen oder Temperaturverteilungen, sind nur Zahlen und keine Symbole einsetzbar. “ FEM Grafik“ enth¨alt das nachfolgende Programm “ Konvert“.

12.1 Kurz¨ ubersicht u ¨ber die einzelnen Programme Tabelle 12.1.

341

Verschiedene Elementtypen, die in “FEM CAS“ oder “Inter

FEM“ realisiert sind. Die Elementtypen · · ·  sind mit FEM GEN erstellbar

Nr. Problemart

Freiheitsgrade/Knoten

1 1D-Stab

u

2 1D-Feldproblem

T ∧p

3

v, ϕ

4

1D-Balken

5

v, ϕ, κ v, ϕ

6 2D-Stab

u, v

7 2D-Balken

u, v, ϕ

8 Scheibe

u, v

9 Feldproblem

T ∧φ∧p

10 Platte

w, Θx , Θy

11 Schale

u, v, w, Θx , Θy , Θz

12 3D-Stab

u, v, w

Konvert “ Konvert“ wandelt Dateien mit Symbolen (“∗.sym“) in Dateien, die nur Zahlen enthalten (“∗.fem“), um. Dazu wird am Ende einer “∗.sym“-Datei den

Symbolen ein Zahlenwert zugeordnet. Knicken Balken “ Knicken Balken“ berechnet mittels der Computeralgebra f¨ ur eindimensiona-

le Balkenprobleme die Eigenwerte (Knicklasten) und Eigenformen (Knickformen). Es wird unter Vorgabe der Elementanzahl und Randbedingungen ein Netz erzeugt und das Eigenwertproblem gel¨ ost. Dynamik Balken

Dieses Programm berechnet symbolisch f¨ ur eindimensionale Balken die Eigenwerte (Eigenfrequenzen) und Eigenformen (Schwingungsformen). Aus der Vorgabe der Elementanzahl sowie den Lagerungsbedingungen wird ein FENetz erstellt und die o. g. Gr¨ oßen werden berechnet. Zudem k¨onnen die animierten Schwingungsformen dargestellt werden.

342

12. CALL for FEM

Die n¨ achsten f¨ unf Computeralgebraprogramme vertiefen und erweitern den zuvor hergeleiteten Stoff. Stab 1D “ Stab 1D“ berechnet f¨ ur eine beliebige Knotenanzahl die Formfunktionen

und Steifigkeitsmatrizen eines eindimensionalen Stabelementes. Dabei stehen vier unterschiedliche Querschnittsformen zur Verf¨ ugung. Drei davon sind u ¨ber die L¨ ange ver¨ anderlich. Balken 1D “ Balken 1D“ berechnet in analoger Weise die Gr¨oßen des Balkenelementes. Es kann zwischen einem Balken mit zwei oder drei Freiheitsgraden pro Knoten unterschieden werden. Die Formfunktionen werden wie zuvor grafisch ausgewertet. Scheibe Dreieck “ Scheibe Dreieck“ berechnet f¨ ur drei- oder sechsknotige Dreieckselemente die Ansatz- und Formfunktionen, sowie die Steifigkeitsmatrizen. Die Formfunktionen werden ebenfalls grafisch ausgewertet. Platte “ Platte“ dient zur grafischen Auswertung der Formfunktionen der Platte nach

Specht. Feldprobleme 1D

F¨ ur n-knotige, eindimensionale Elemente werden neben Ansatz- und Formfunktionen die W¨ arme- und Konvektionsmatrizen sowie die zugeh¨orige rechte Seite berechnet. Die Formfunktionen k¨ onnen grafisch ausgewertet werden. Feldprobleme 2D “ Feldprobleme 2D“ behandelt das Dreieckselement im Rahmen der zweidi-

mensionalen W¨arme¨ ubertragung, Torsion und anderer Feldprobleme. Es werden alternativ f¨ ur das dreiknotige oder sechsknotige Element Ansatz- und Formfunktionen berechnet. Weiterhin werden die zugeh¨origen Matrizen berechnet und die Formfunktionen grafisch ausgewertet. Verfahren von Ritz

Die letzten drei Programme (“ Ritz Stab“, “ Ritz Balken“, “ Ritz Scheibe“) verwirklichen die Ritz-Methode f¨ ur Stab, Balken und Scheibe. Es werden die geometrischen Randbedingungen in die Ansatzfunktion eingearbeitet. Neben der Ausgabe der algebraischen L¨ osungen f¨ ur Verformungen, Spannungen etc., werden diese auch grafisch dargestellt.

12.2 Programmbeschreibungen

343

12.2 Programmbeschreibungen 12.2.1 FEM GEN und FEM CAS Problemdefinition Das Programm “ FEM CAS“ 1 besitzt die Elemente Stab, Balken, Scheibe und ur FiniteFeldprobleme (s. Tab. 12.1 Elemente 1 bis 9). “ FEM CAS“ steht f¨

Elemente-Methode Computeralgebra System. Die Eingabedaten des Programmes werden interaktiv mit Hilfe des Programmes “ FEM GEN“ erstellt. Die Schnittstelle zu den nachfolgenden Programalt einen kompletten Datensatz, der aus men ist die Datei “ *.sym“. Sie enth¨ Zahlen und Symbolen aufgebaut ist. Treten in der Eingabedatei nur Zahlen auf, so weist sie die Extension “ fem“ auf. Im anderen Fall die Extension “ sym“. Die Ergebnisse des Programmes werden in selektiver Form auf den Bildschirm und im vollen Umfang in einer Datei ausgegeben. Hat die Eingabedatei die Extension “ sym“(“ fem“), so weist die Ausgabedatei die Extension “ out“ (“ aus“) auf.

Bild 12.2. Unterverzeichnisse, in denen die Ein- und Aus-

gabedateien stehen

In Bild 12.2 ist die Verzeichnisstruktur f¨ ur die Ein- und Ausgabedateien dargestellt. Die Eingabedateien sind jeweils elementorientiert in den entspreur das Balkenelement abzulegen. chenden Unterverzeichnissen wie “ Balken“ f¨ Die Ausgabedatei wird in das Unterverzeichnis geschrieben, das auch die Eingabedatei enth¨ alt. 12.2.2 Das Programm InterFEM Problemdefinition

Das Programm “ InterFEM“ ist in der Hochsprache Fortran90 geschrieben. Der Programmaufruf erfolgt u ¨ ber die Startseite nach Bild 12.1. Die Eingabe1

“FEM CAS“ ist in dem CAS MAPLE geschrieben. Es wird u ¨ ber das Programm “Programme.maplet“ auf “CAS Programme“ oder u ¨ber ein Icon von der Windowsoberfl¨ ache gestartet (s. “readme.txt“ auf der CD).

12.2

344

12. CALL for FEM

daten k¨ onnen mit “ FEM GEN“ generiert1 werden. Es sind in “ InterFEM“ zwei Plattenelemente enthalten. Zum einen ist es eine Platte nach der Diskrete Kirchhoff Theorie (DKT) [7]. Zum anderen eine Platte nach Specht [43], die in Kapitel 8 abgeleitet wurde. Der theoretische Hintergrund f¨ ur die eingebundene Schale ist im Abschnitt 8.7 dargelegt. Die Ergebnisse werden in eine Datei mit der Extension “ aus“ geschrieben. “ FEM Grafik“ greift auf diese Datei zu und erm¨oglicht damit eine grafische Auswertung der Ein- und Ausgabedaten. 12.1

12.2

Beispiel zum Programm InterFEM

Bild 12.3 zeigt in seiner linken H¨ alfte das FE-Netz eines Viertels eines elliptischen Querschnittes mit einer Kreisbohrung. Dies ist der Querschnitt eines prismatischen Stabes, der durch zwei gegenl¨aufige Torsionsmomente belastet wird. Die daraus resultierenden Schubspannungen |τ | sind in der rechten Bildh¨ alfte dargestellt. Die maximalen Schubspannungen treten auf dem Innenrand auf. Die Verteilung der Spannungsfunktion s. CD. Ebenso die L¨osung f¨ ur einen dickwandigen Winkel.

Bild 12.3. Das Netz und die Schubspannungen |
τ | eines Torsionsstabes mit elliptischem

Außenquerschnitt und einer Kreisbohrung

H

Beispiel zu den Programmen FEM GEN, FEM CAS, InterFEM und FEM Grafik

In Bild 12.4 ist eine ebene Stabstruktur dargestellt. Sie besteht aus sieben St¨ aben, die u unf Knoten miteinander verbunden sind. An den Knoten ¨ber f¨ 1 und 5 liegt ein Festlager vor. Die Knoten 2, 3 und 4 sind jeweils durch eine Kraft F belastet, die unter einem Winkel ϕ bzw. ϕ − π/2 angreift. Das angef¨ uhrte Beispiel wird mit den oben angef¨ uhrten Programmen gel¨ost (s. Videoclip auf der CD). Die Knotenkoordinaten in der Eingabedatei werden als algebraische Ausdr¨ ucke beschrieben. Der E-Modul wird u ¨ ber das Symbol E beschrieben. Die 1

Ausgenommen sind die Elemente nach Tab. 12.1 auf der S. 341.

12.2 Programmbeschreibungen

345

Bild 12.4. Das FE-Netz und die Verformungen des zweidimensionalen Stabsystems

Belastung wird u ucke in F und ϕ ausgedr¨ uckt. Den ¨ber algebraische Ausdr¨ beiden Lagern wird eine Verschiebung von 0 aufgepr¨agt. Am Ende der Eingabedatei wird den Symbolen ein Zahlenwert zugeordnet. Das Programm “ Konvert“ oder “ FEM Grafik“ erzeugt mit diesen Zahlenwerten eine “ *.fem“-Datei. In der rechten H¨ alfte von Bild 12.4 sind die unverformte und die verformte Struktur dargestellt. 12.2.3 Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) Die Berechnungsschritte des Computeralgebraprogrammes “ Ritz Stab“ sind

in Tab. 12.2 festgehalten. Tabelle 12.2. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Stab“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion Modifizierte Ansatzfunktion Steifigkeitsmatrix Kraftvektor aus inhomogenen Randbedingungen Belastungsvektor Bestimmung der Koeffizienten

u ˜= xT a  T ab u = f0 + N ,   (N  )T dV K = V EN ,    dV R = V Ef0 N

167 175 183 183

QF  −R  K ab = Q F

184 188

Ausgangspunkt ist eine Ansatzfunktion u˜ mit n unbekannten Koeffizienten. Die Ber¨ ucksichtigung der geometrischen Randbedingungen f¨ uhrt auf eine modifizierte Ansatzfunktion u. Als Belastung treten Einzelkr¨afte auf, die in (188)  entsteht, wenn inhomogene, geoucksichtigt werden. Der Vektor R als QF ber¨ metrische Randbedingungen vorhanden sind. Die unbekannten Koeffizienten ab werden nach (188) berechnet.

346

12. CALL for FEM

Programmdaten

Die problembeschreibenden Daten werden in einer Datei1 “∗.riz“ abgelegt. In Bild 12.5 ist die Verzeichnisstruktur der Ein- und Ausgabedateien2 bei den Ritz-Problemen dargestellt.

Bild 12.5. Unterverzeichnisse, in denen die Ein- und Aus-

gabedateien stehen

Die Eingabedateien sind jeweils problemorientiert in dem entsprechenden Unterverzeichnis wie “ Balken“ abzulegen. Als Eingabegr¨oßen treten folgende Daten auf: L¨ ange L des Stabes Grad des Polynomes der Ansatzfunktion Anzahl geometrischer Randbedingungen und Kr¨afte Ort und Wert der Randbedingungen Geometrische Form des Stabes Zahlenwerte der verwendeten Symbole f¨ ur die grafische Auswertung a

Beispiel zum eindimensionalen Stab

Es wird ein eindimensionaler Stab betrachtet, wie er in Bild 12.6 angef¨ uhrt ist.

Bild 12.6. Eindimensionaler Stab mit dem Kreisquerschnitt A(ξ) = π[R − (R − r) ξ]2

1

Die Form der Anordnung der Daten f¨ ur “Ritz Stab, “Ritz Balken“ und “Ritz Scheibe“ ist auf der CD unter hilfe.htm → Maple → Eingabebeschreibungen zu finden. 2 Neben der Ausgabe auf dem Bildschirm werden die Ergebnisse auch in die Datei “Ritz Stab.out“ geschrieben.

12.2 Programmbeschreibungen

347

Der Stab besitzt einen u ange ver¨ anderlichen Kreisquerschnitt. Er ¨ ber die L¨ weist am linken Ende eine Verschiebung u = 0 und am rechten Ende eine Verschiebung u ¯ auf. Bei L/2 greift in positiver ξ-Richtung eine Kraft F an. Exemplarisch wird folgende Ansatzfunktion gew¨ahlt: u ˜ = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3

(863)

Das Einbringen der Randbedingungen f¨ uhrt auf die modifizierte Ansatzfunktion: u = u¯ξ + ξ(ξ − 1) a2 + ξ(ξ 2 − 1) a3

(864)

Zur Berechnung der Koeffizienten a2 , a3 wird folgendes lineare Gleichungssystem gel¨ ost: ⎡ ⎤ ⎤⎡ 2 2 a2 7(5 R2 + 3 rR + 7 r2 ) Eπ ⎣ 14(2 R + rR + 2 r ) ⎦= ⎦⎣ 7 7(5 R2 + 3 rR + 7 r2 ) 2(23 R2 + 17 rR + 44 r2 ) a3 ⎡ ⎤ 20 Eπ¯ u(R2 − r2 ) − 30 F L 1⎣ ⎦ (865) 4 4 Eπ¯ u(7 R2 + rR − 8 r2 ) − 45 F L uhrt mit den Werten u ¯ = 5, Einsetzen dieser L¨osung f¨ ur a2 , a3 in (864) f¨ L = 1000, E = 210000, R = 30, r = 10 und F = 1000 auf folgende L¨osung: u = 2, 151 ξ − 1, 742 ξ 2 + 4, 590 ξ 3

(866)

onnen verschiedene Parameter wie Mit Hilfe des Programmes “ Ritz Stab“ k¨ “Grad der Ansatzfunktion“ variiert werden. 12.2.4 Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) In dem Computeralgebraprogramm “ Ritz Balken“ sind die Beziehungen aus

Tab. 12.3 verwirklicht. Als erstes wird die Ansatzfunktion v˜ mit n unbekannten Koeffizienten formuliert. Dieser werden die geometrischen Randbedingungen aufgepr¨ agt. Damit erh¨ alt man die modifizierte Ansatzfunktion v. Als Belastungen treten Einzelkr¨ afte, Momente und Streckenlasten auf. Der Vek in (205) tritt nur dann auf, wenn inhomogene, geometrische Randbetor R dingungen vorliegen. Die gesuchten Koeffizienten ab werden aus dem linearen Gleichungssystem nach (205) bestimmt.

348

12. CALL for FEM

Tabelle 12.3. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Balken“

Inhalt Ansatzfunktion Modifizierte Ansatzfunktion Steifigkeitsmatrix Kraftvektor aus inhomogenen Randbedingungen Vektor aus Streckenlast Bestimmung der Koeffizienten

Beziehung T

Gl.

v˜ =  x a  v = f0 + aTb N ,1   (N   )T dξ K = l 0 EI N ,1    =l  dξ R EIf0 N 0

167 195 198 198

,  dξ  = l 1 q(ξ)N Q 0  +Q  −R  K ab = Q F + Q M

202 205

Programmdaten

Die Daten zur Problembeschreibung werden in einer Datei “∗.riz“ hinterlegt1 . Folgende Eingabegr¨ oßen werden ben¨ otigt: L¨ ange L des Balkens Grad des Polynomes der Ansatzfunktion Anzahl geometrischer Randbedingungen, Kr¨afte, Momente und Streckenlasten Ort und Wert der Randbedingungen Geometrische Form des Balkens Zahlenwerte der verwendeten Symbole f¨ ur die grafische Auswertung b

Beispiel zum eindimensionalen Balken

Es wird ein Balken nach Bild 12.7 betrachtet, der in a¨hnlicher Form schon in Kapitel 4.3.3 analysiert wurde. Ein Unterschied liegt darin, daß jetzt ein variabler Querschnitt A(ξ) = [H − (H − h) ξ] t betrachtet wird, wobei H bzw. h = f H die H¨ohen am Anfang und Ende des Balkens beschreiben. t ist die Dicke des Balkens und ξ = x/L. Ausgehend von der Ansatzfunktion f¨ ur v˜ nach (167) bzw. der modifizierten Ansatzfunktion, die die geometrischen Randbedingungen des Problems ber¨ ucksichtigt, wird die Steifigkeitsmatrix K nach (198) und die zugeh¨orige rechte Seite nach (199) erstellt:

1

Neben der Ausgabe auf Bildschirm werden die Ergebnisse auch in die Datei “Ritz Balken.out“ geschrieben.

12.2 Programmbeschreibungen

349

⎡ Et 420 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣



⎢ 3 ⎢ ⎢ H ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 14 + 14 f +

18 + 23 f +

35 f 2 + 77 f 3

68 f 2 + 171 f 3

18 + 23 f +

25 + 41 f +

2

3

⎥⎡ ⎤ ⎥ ⎥ a3 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎥ ⎥ a4 ⎦

68 f + 171 f 137 f 2 + 385 f 3  3 . M 1 Et¯ v H − Lq + 2 − f − 4 f2 − 7 f3 L 12 60 L  3 . 2 Et¯ v H M − Lq + 3 − f − 7 f 2 − 15 f 3 2 L 15 60 L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(867)

Bild 12.7. L¨ osung eines trapezf¨ ormigen

Balkens mit der Dicke t. F¨ ur die H¨ ohe h des Balkens bei x = L gilt: h = f H

Einsetzen der aus (867) gefundenen Koeffizienten a3 , a4 in die modifizierte Ansatzfunktion f¨ uhrt mit L = 1000, v¯ = 5, M = 106 , q = 1, E = 210000, t = 5, H = 60 und h = 20 zu: v = 5, 401 ξ 2 − 123, 487 ξ 3 + 123, 085 ξ 4

(868)

12.2.5 Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) Das Computeralgebraprogramm “ Ritz Scheibe“ beinhaltet die in Tab. 12.4 zusammengestellten Beziehungen. Es werden die Ansatzfunktionen u˜, v˜ f¨ ur die Verschiebungen aufgestellt. Durch Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen erh¨ alt man die modifizierten Ansatzfunktionen u, v. Es werden als Belastungen Kr¨ afte und Streckenlasten erfaßt. Mit Hilfe von (240) werden die unbekannten Koeffizienten der modifizierten Ansatzfunktion bestimmt. Damit erh¨ alt man die gesuchten Verschiebungen u, v der Scheibe. Aus diesen werden nach (231) die Spannungen in der Scheibe berechnet. Programmdaten Die Daten1 des entsprechenden Programmes sind in einer Datei “∗.riz“ abzulegen. Als Eingabegr¨ oßen treten auf: 1

Neben der Ausgabe auf dem Bildschirm werden die Ergebnisse auch in die Datei “Ritz Scheibe.out“ geschrieben.

350

12. CALL for FEM

Grad der Polynome der Ansatzfunktionen Anzahl Kr¨ afte, Streckenlasten, Randbedingungen f¨ ur u und v Geometriedaten der Scheibe Einzelkr¨ afte und Streckenlasten Geometrische Randbedingungen Werkstoffdaten Zahlenwerte f¨ ur die Symbole f¨ ur die grafische Auswertung

Tabelle 12.4. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Scheibe“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktionen f¨ ur die Verschiebungen

u ˜= xT a v˜ =  y T b

220

0 T

Wesentliche Randbedingungen Modifizierte Ansatzfunktionen

Steifigkeitsmatrix Kraftvektor aus Streckenlast Kraftvektor aus den inhomogenen Randbedingungen Bestimmung der Koeffizienten Verschiebungen Spannungen in der Scheibe

c

u = [0u1 |0u2 | · · · |0ui | · · · |0umu ] 

0 T

219 223

v = [0v1 |0v2 | · · · |0vi | · · · |0vmv ]  uT ab u = f0 + N

224

 vT bb v = g0 + N

228

 uT =  f0 =  xTa A−1 u0 ; N xTb −  xTa A−1 u  u Bu T −1 T T T −1  ya Av v0 ; Nv =  yb −  ya A v B v g0 =  , K = V GT D G dV , T Fq = Γ Pˆ  qˆ dγ , T  = 0 dV G D R F V

225 232

T  q − R K c = Pˆ F + F

240

u v

= aTb = bbT

227

226 237 232

 xb

 yb   σ = D F0 + D G c

231

Beispiel zur Scheibe

Die linke H¨ alfte von Bild 12.8 zeigt eine Scheibe der L¨ange L, mit der H¨ohe H und einer Dicke t. Sie ist an den Stellen (x=0; y=0) und (x=L; y=0) gelagert und wird an diesen Stellen durch zwei gegenl¨aufige Momente belastet. Diese Momente werden durch Streckenlasten der Form1 : 1

Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I wird in “∗.sym“ mit dem Symbol J belegt, da in Maple das Symbol I als komplexe Zahl definiert ist.

12.2 Programmbeschreibungen

Mt y q(y) = s I

mit

 s=1

351

f¨ ur x = 0

s = −1 f¨ ur x = L

(869)

der Scheibe aufgepr¨ agt.

Bild 12.8. Belastung und Verformungen einer Rechteckscheibe

Das Programm “ Ritz Scheibe“ liefert bei quadratischen Ansatzfunktionen f¨ ur u ˜, v˜ folgende Verschiebungen: M y (L − 2 x) 2 EI  M  2 x − Lx + νy 2 v= 2 EI

u=

(870)

Die rechte H¨ alfte von Bild 12.8 stellt die Verformungen der Scheibe in zweierlei Weise dar. Zum einen ist das Verschiebungsfeld u ˆT = [u, v] u ¨ber Vektoren abgebildet. Zum anderen sind die verformten Berandungslinien der Scheibe dargestellt. Die Spannungen in der Scheibe lauten: σxx = −

M y ; σyy = σxy = 0 I

(871)

12.2.6 Eindimensionales Stabelement (Stab 1D) Problemdefinition

Die Berechnungsschritte und Inhalte von “ Stab 1D“ sind in Tab. 12.5 zusammengefaßt. Ausgehend von der Ansatzfunktion eines eindimensionalen Stabelementes mit n Knoten werden die Formfunktionen und in Folge die Steifigkeitsmatrix des Elementes beschrieben. Dabei werden verschiedene Querschnittsverl¨ aufe des Stabes ber¨ ucksichtigt. Neben einem konstanten Querschnitt, beschrieben u ache A, werden Formen ber¨ uck¨ ber die Querschnittsfl¨ sichtigt, wie sie in Tab. 5.3 auf der S. 116 beschrieben sind.

352

12. CALL for FEM

Tabelle 12.5. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Stab 1D“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebung

u= xT a

314

Interpolationsbedingungen

⇒A T =  xT A−1 N

318

  )T  u ε = (N ,   )T dV   (N K=E V N

320

Formfunktionen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Steifigkeitsmatrix

319 322

Programmdaten

Das Programm “ Stab 1D“ ben¨ otigt zwei Eingaben (s. Bild 12.9). Zum einen ist die Anzahl Knoten (n ≥ 2) des Elementes vorzugeben. Zum anderen muß eine Querschnittsform ausgew¨ ahlt werden. Die einzelnen Querschnittsformen sind in Tab. 5.3 beschrieben.

Bild 12.9. Eingabemasken des Programmes “Stab 1D“

Die Ausgabe erstreckt sich u ¨ber Formeln und Grafiken: Ansatzfunktion Formfunktionen Steifigkeitsmatrix Querschnittsform (grafisch) Formfunktionen (grafisch)

G

Beispiel zum eindimensionalen Stab

Es wird ein Stab mit drei Knoten und einem Kreisquerschnitt betrachtet (s. Bild 12.10). Die Ausgaben auf dem Bildschirm sind in “Berechnete Gr¨oßen“ und “Grafische Ausgabe“ unterteilt. Die berechneten Gr¨oßen sind nachfolgend zum Teil angef¨ uhrt.

12.2 Programmbeschreibungen

353

Bild 12.10. Eindimensionaler Stab mit drei Knoten und Kreisquerschnitt A(ξ) = π[ri − (ri − rj ) ξ]2

Ansatzfunktion: u = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2

(872)

Formfunktionen: T = N



1 − 3 ξ + 2 ξ2



4 ξ(1 − ξ)

ξ(−1 + 2 ξ)

(873)

Steifigkeitsmatrix (rj = f ri ): ⎡ K=

1 Ai E 15 l

23 + 9 f + 3 f 2

⎢ ⎢ ⎢ −26 − 8 f − 6 f 2 ⎣ 3 − f + 3 f2

−26 − 8 f − 6 f 2 32 + 16 f + 32 f 2 −26 − 8 f − 6 f 2

3 − f + 3 f2

⎤

⎥ ⎥ −26 − 8 f − 6 f 2 ⎥ ⎦ 23 + 9 f + 3 f 2 (874)

Die Gr¨ oßen Ai (ri ), Aj (rj ) stellen die Querschnittsfl¨achen (Radien) am Anfang und Ende des Elementes dar.

Eindimensionales Balkenelement mit n Knoten und m Freiheitsgraden pro Knoten (2 ≤ m ≤ 3)

Bild 12.11.

12.2.7 Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) Problemdefinition

Bild 12.11 zeigt ein Balkenelement mit n Knoten (n ≥ 2). Jeder Knoten besitzt m Freiheitsgrade, wobei nur die F¨ alle m=2 oder m=3 in Betracht kommen. Bei m=2 treten die Durchbiegung v und die Verdrehung ϕ als Freiheitsgrade pro Knoten auf. Bei m=3 kommt die Kr¨ ummung κ hinzu.

354

12. CALL for FEM

Der Balken weist ein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I und einen E-Modul E sowie eine L¨ ange L auf. Tabelle 12.6. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “Balken 1D“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung Interpolationsbedingungen

v= xT a

425

⇒A T =  xT A−1 N

429

  )T v x )T A−1v = (N v  = ( ,1 B  T dξ K = l 0 EI B ,1 ˆ T  =l  (N Q N ) dξ q 0 T  v M = EI B T EI dB Q= v l dξ

432

Formfunktionen Dehnungs-Verschiebungsbeziehung Steifigkeitsmatrix Streckenlast Schnittgr¨ oßen

431 433 434 435 436

In Tab. 12.6 sind die Beziehungen angef¨ uhrt, die in “ Balken 1D“ verwirklicht sind.

Eingabemasken des Programmes “Balken 1D“

Bild 12.12.

Programmdaten

Das Programm “ Balken 1D“ ben¨ otigt zwei Eingaben (s. Bild 12.12). Zum einen ist die Anzahl der Knoten (n ≥ 2) des Elementes einzugeben. Zum anderen muß die Anzahl der Freiheitsgrade ausgew¨ahlt werden. Die Ausgabe des Programmes “ Balken 1D“ besteht aus folgenden Gr¨oßen: Ansatzfunktion Formfunktionen Steifigkeitsmatrix Umrechnung der Streckenlast in Kr¨ afte und Momente

12.2 Programmbeschreibungen

355

Die Formfunktionen werden alternativ grafisch ausgegeben. Beispiel zum eindimensionalen Balken

Es werden Balkenelemente mit den Freiheitsgraden ν und ϕ betrachtet, die 2 bzw. 3 Knoten pro Element aufweisen.

I

12.2.8 Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) Problemdefinition

Im folgenden wird ein Dreiecksscheibenelement betrachtet, wie es in Bild 12.13 dargestellt ist. Es weist alternativ drei bzw. sechs Knoten auf. Beim sechsknotigen Element sind die letzten drei Knoten auf den Seitenhalbierenden angeordnet. Die Form des Dreiecks wird u ¨ber die Lage der drei Eckknoten bestimmt. Die Werkstoffdaten des Elementes setzen sich aus dem E-Modul E und der Querkontraktion ν zusammen.

Bild 12.13. Das Dreiecksscheibenelement mit 3 bzw. 6

Knoten

In Tab. 12.7 sind die Beziehungen zusammengefaßt, die Basis des Programmes “ Scheibe Dreieck“ sind. Tabelle 12.7. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Scheibe Dreieck“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebungen u, v

φ= x T a

544

Interpolationsbedingungen

⇒A  T = x T A−1 N

546

Formfunktionen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Steifigkeitsmatrix

 ε = L∆ N  u = B u , K = V B T D B dV

548 551 554

M

356

12. CALL for FEM

Programmdaten

Das Programm “ Scheibe Dreieck“ben¨ otigt als Eingabe die Anzahl Knoten pro Element. Die Ausgabe des Programmes besteht aus folgenden Gr¨oßen: Ansatzfunktion f¨ ur u, v Formfunktionen Steifigkeitsmatrix 12.2.9

P

Plattenelement (Platte)

Problemdefinition

In Tab. 12.8 sind die Grundbeziehungen zur Bestimmung der Formfunktionen der betrachteten Platte [43] zusammengefaßt. Das Programm “ Platte“ ben¨ otigt keine Eingabe. Es werden die Formfunktionen grafisch ausgegeben. Tabelle 12.8. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Platte“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung Interpolationsbedingungen

w= x T a

616

⇒A T =  x T A−1 N

622

Formfunktionen

626

12.2.10 Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Problemdefinition Tabelle 12.9. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “Knicken Balken“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Elastische Steifigkeitsmatrix

KE

388

Geometrische Steifigkeitsmatrix

KG

835

Gesamtsteifigkeitsmatrix

-

Geometrische Randbedingungen

K g = K Eg + λK Gg ˆ K g

-

Charakteristisches Polynom

ˆ | |K g

-

Eigenwerte

λi ; i = 1, . . . , n ˆ

-

12.2 Programmbeschreibungen

357

In Bild 12.14 ist ein eindimensionaler Balken der L¨ange L dargestellt. Er ist an seinem linken Ende in L¨ angsrichtung gelagert und ist am rechten Ende durch eine Kraft F auf Druck belastet. Der Balken weist ein konstantes Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I auf und besitzt einen E-Modul E.

Bild 12.14. Einteilung des Balkens in n Elemente und (n + 1) Knoten

Das Computeralgebraprogramm “ Knicken Balken“ dient zur Berechnung der Eigenwerte (Knickkr¨ afte) und Knickformen des zuvor geschilderten Balkens. Der Inhalt dieses Programmes ist in Tab. 12.9 zusammengefaßt. Der Balken wird in n ¨ aquidistante Balkenelemente eingeteilt (s. untere H¨alfte von Bild 12.14). Neben der Eingabe von n ist die Eingabe der geometrischen Randbedingungen (s. Bild 12.16) notwendig, die die Lagerung des Balkens beschreiben. An jedem Knoten k¨ onnen die Freiheitsgrade v, ϕ gefesselt werden. Beispiel zum Knicken eines eindimensionalen Balkens

In Bild 12.15 ist ein Balken samt Belastung und Lagerung dargestellt. F¨ ur dieses Beispiel sollen die Eigenwerte (Knicklasten) mit zwei zweiknotigen und alternativ mit einem dreiknotigen Element berechnet werden.

Bild 12.15. Das Knickverhalten eines mehrfach

gelagerten eindimensionalen Balkens

¨ Uber die linken Masken der Bilder 12.16 und 12.12 werden die Elementanzahl und die Anzahl Knoten pro Element eingegeben. Die rechte Maske nach Bild 12.16 dient zur Eingabe der geometrischen Randbedingungen. Die Eigenwerte  3 : dreiknotig):  2 : zweiknotig; Λ des Problems lauten (Λ ⎡ ⎤ 65, 920 EI 2 = ⎣ ⎦; Λ F L2 197, 305

⎡ ⎤ 55, 883 EI 3 = ⎣ ⎦ Λ F L2 263, 252

(875)

Die Knicklasten Fk1,2 = λ1,2 F sind proportional zu der Balkensteifigkeit EI und umgekehrt proportional zum Quadrat der L¨ange des Balkens. Die Knick-

V

358

12. CALL for FEM

last im Fall des zweiknotigen Elementes weist einen Fehler von fast 30 % auf. Beim dreiknotigen Element ist er kleiner als 10 %.

Bild 12.16. Eingabemasken zur Beschreibung des Knickproblems

12.2.11 Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) Problemdefinition

Analog zum Knickproblem wird die Elementeinteilung nach Bild 12.14 vorgenommen, wobei der Balken unbelastet bleibt. Statt der geometrischen Steifigkeitsmatrix wird die Massenmatrix verwendet. Es wird analog zum Knickproblem ein Eigenwertproblem |K − λM | gel¨ost. Als Ergebnis werden die Eigenfrequenzen, das FE-Netz sowie per Animation die Schwingungsform ausgegeben. Programmdaten

Die notwendigen Eingabedaten entsprechen denen des eindimensionalen Stabes. Ausgegeben werden: Gesamtsteifigkeitsmatrix Eigenfrequenzen Schwingungsform FE-Netz

U

Beispiel zu Eigenfrequenzen und Schwingungsformen

F¨ ur den Balken nach Bild 12.15 werden die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen berechnet und zwar mit zwei zweiknotigen Elementen und al 2: ternativ mit einem dreiknotigen Element. Die Eigenfrequenzen lauten (Λ  zweiknotig; Λ3 : dreiknotig): # 2 = 1 Λ L2

⎡ ⎤ EI ⎣ 8, 480 ⎦ ; Aρ 22, 149

# 3 = 1 Λ L2

⎡ ⎤ EI ⎣ 7, 650 ⎦ Aρ 25, 102

(876)

12.2 Programmbeschreibungen

359

Die kleinste Eigenfrequenz weist beim zweiknotigen Element einen Fehler von u ¨ ber 15 % auf. Beim dreiknotigen Element sind es etwas mehr als 4 %. 12.2.12 Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) Problemdefinition

Analog zum eindimensionalen Stab werden aus der Ansatzfunktion f¨ ur ein n-knotiges Element die Formfunktionen gewonnen. Daraus werden f¨ ur unterschiedliche Querschnittsformen (s. Tab. 12.10 auf der S. 359) die W¨armeleitungs- und Konvektionsmatrizen ermittelt. F¨ ur die rechte Seite wird der W¨ arme¨ ubergangsvektor Fq berechnet. Programmdaten

Die notwendigen Eingabedaten entsprechen denen des eindimensionalen Stabes. Ausgegeben werden folgende Gr¨ oßen: Ansatzfunktion und Formfunktion W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrix Rechte Seite Fq Formfunktion (grafisch)

Tabelle 12.10. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “Feldprobleme 1D“

Inhalt

Beziehung

Ansatzfunktion f¨ ur T

T = x T a

-

Interpolationsbedingungen

⇒A T =  x T A−1 N , B  T dV Kw = λ V B , N  T dΩ Kk = α Ω N

-

Formfunktion W¨ armeleitungsmatrix Konvektionsmatrix Rechte Seite

Gl.

668 676 679

Beispiel zum eindimensionalen Feldproblem

Es werden zwei F¨alle betrachtet. Zum einen ein Element mit zwei Knoten und konstantem Querschnitt A. Zum anderen ein dreiknotiges Element mit einem konischen, kreisf¨ ormigen Querschnitt wie er in Bild 12.10 dargestellt ist.

Q

360

12. CALL for FEM

12.2.13 Zweidimensionales Feldproblem (Feldprobleme 2D) Problemdefinition

F¨ ur verschiedene zweidimensionale Feldprobleme wie die W¨arme¨ ubertragung oder die Torsion wird das Dreieckselement nach Bild 12.13 verwendet. Mit Hilfe des Programmes “ Feldprobleme 2D“ werden auf der Basis der Computeralgebra die wesentlichen Gr¨ oßen des Dreieckselementes berechnet (s. Tab. 12.11). Programmdaten

Das Programm “ Feldprobleme 2D“ ben¨ otigt als Eingabe die Knotenanzahl des Elementes. Vom Programm werden folgende Gr¨oßen ausgegeben: Ansatzfunktion des Elementes Formfunktionen des Elementes als Gleichung und grafisch W¨ armeleitungsmatrix K w Konvektionsmatrix K k

Tabelle 12.11. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “Feldprobleme 2D“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur φ

φ= x T a

544

Interpolationsbedingungen

⇒A T =  x T A−1 N

546

Formfunktionen Jakobi-Matrix J B-Matrix W¨ armeleitungsmatrix Konvektionsmatrix

S

∇=J

−1

∇∆  T = J −1 ∇∆ N T B = ∇N , T K w = t A B D B dA , N  T dΩ Kk = α Ω N R

548 83 699 701 710

Beispiel zum zweidimensionalen Feldproblem

Es werden f¨ ur das drei- und sechsknotige Element die unter “ Programmdaten“ angef¨ uhrten Gr¨ oßen berechnet.

Kapitel 13 Beispiele zu den Programmen

13

13

13 13.1 13.2 13.3

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 363 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 364 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 367

13 Beispiele zu den Programmen Nachfolgend werden einige Beispiele betrachtet, die mit “ FEM GEN“ aufbereitet und mit “ FEM CAS“ gel¨ ost werden. Die Computeralgebra liefert statt Zahlen algebraische Ausdr¨ ucke als L¨ osung. Damit ergeben sich neue M¨oglichkeiten der Interpretation und Auswertung der Ergebnisse. Davon wird bei den Beispielen Gebrauch gemacht.

13.1

13.1 Rahmen durch Federn gest¨ utzt Bild 13.1 zeigt einen durch Federn gest¨ utzten Rahmen. Die Balken des Rahmens weisen einen Querschnitt A, ein Fl¨ achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E auf. Die Federn, die als St¨ abe abgebildet werden, haben eine Feangssteifigkeit der Balken k = AE/L wird u dersteifigkeit kf . Die L¨ ¨ ber den Faktor g zur Federsteifigkeit kf in Relation gesetzt: g = kf /k. Die Belastung besteht aus der Kraft F . Im folgenden wird mittels “ FEM CAS“ die bezogene Durchbiegung an der v3 (f, g) (¯ v3 = v3 k/F ) hergeleitet und die Federkraft Kraftangriffsstelle v¯3 =¯ ¯ Ff = Ff /(kL) betrachtet.

Bild 13.1. Durch Federn ge-

utzter Rahmen sowie die st¨ Einteilung in Elemente

Elementeinteilung und Datensatz

uckalfte von Bild 13.1 ist die Elementeinteilung unter der Ber¨ In der rechten H¨ sichtigung der Symmetrie des Problems dargestellt. ¨ uckt. Uber ache A der Balken wird als A=kL/E ausgedr¨ Die Querschnittsfl¨ 3 2 agheitsmoment als I=f kL /E beschrieben. achentr¨ f =I/(AL ) wird das Fl¨ uckt. Mit g=kf /k stellt sich deren Die Feder wird als Balken√mit I=0 ausgedr¨ ache als gk 2L/E dar. Querschnittsfl¨ alt man die gesuchte Durchbiegung in der Mitte des Mit “ FEM CAS“ erh¨ Rahmens zu:

v¯3 =

1 + 15f + 36f 2 k = v¯3 (f, g) v3 = − g (1 + 15f + 36f 2 ) + 3f (5 + 24f ) F

(877)

d

364

13. Beispiele zu den Programmen

In Bild 13.2 ist v¯3 in Abh¨ angigkeit von g dargestellt, w¨ahrend f als Parameter auftritt. Die algebraische L¨ osung erlaubt die Betrachtung folgender Grenzf¨ alle: 2

+36f Keine Feder (g = 0): Aus (877) erh¨ alt man |¯ v3 (g = 0)| = 1+15f 3f (5+24f ) Starre Feder (g → ∞): v¯3 = 0 Stabwerk (f = 0): |¯ v3 | = 1/g; |v3 | = F/kf Biegestarrer Rahmen (f → ∞): |¯ v3 | = 1/(2 + g); |v3 | = F/(2k + kf )

L¨ angskraft in der Feder

Die bezogene L¨ angskraft in der Feder wird in “ FEM CAS“ u ¨ber die Schnittgr¨ oßen des Elementes 3 gewonnen und bestimmt sich zu: √   g 2 1 + 15f + 36f 2 Ff ¯ = = F¯f (f, g) Ff = F 2g (1 + 15f + 36f 2 ) + 6f (5 + 24f )

(878)

Bild 13.2. Durchbiegung des Rahmens an der Kraftangriffsstelle sowie die Federkraft

In Bild (13.2) ist die Federkraft F¯f = Ff /F f¨ ur drei Werte von f als Funktion von g angef¨ √ uhrt. Bei starrer Feder (g → ∞) strebt die bezogene Federkraft F¯f gegen 2/2.

13.2

13.2 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder Bild 13.3 zeigt eine Scheibe mit der Breite und H¨ohe L sowie einer Dicke t. Sie wird von einem Stab mit der Steifigkeit k gest¨ utzt. Am Knoten 2 greift eine Kraft unter einem Winkel ϕ an. Die Scheibe weist einen E-Modul E und eine Querkontraktion ν = 0 auf. Sie wird in zwei Dreieckselemente eingeteilt.

13.2 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder

365

Es werden folgende Abk¨ urzungen eingef¨ uhrt: g = Et/k, u ¯3 = ku3 /F . Gesucht ist der Anlenkwinkel β f¨ ur beliebige Kraftangriffswinkel ϕ und verschiedene Verh¨ altnisse g, so daß die Horizontalverschiebung u ¯3 am Anlenkpunkt des Stabes verschwindet.

Bild 13.3. Fest eingespannte Scheibe mit einer Dicke

t, die durch einen Stab mit der Steifigkeit k gest¨ utzt wird

Elementeinteilung und Datensatz

Die Koordinaten des Knotens 5 werden u ¨ ber β und l beschrieben. l hat den Charakter einer Hilfsgr¨ oße. Sie tritt, da das Verhalten des Stabes u ¨ ber die Steifigkeit k und β eindeutig beschrieben ist, nicht in den Ergebnissen auf. In der Elementknotenzuordnung wird die Dicke t u urzung g = Et/k ¨ber die Abk¨ beschrieben. Die Querschnittsfl¨ ache des Stabes als k=AE/l. In der Knotenbelastung wird die allgemeine Winkelrichtung der Kraft u ¨ ber den Winkel ϕ beschrieben. Verformungen

Bild 13.4. Die Verschiebung u ¯3 = u3 k/F in Abh¨ angigkeit vom Kraftangriffswinkel ϕ und dem Anlenkwinkel der Feder β f¨ ur g = 1

e

366

13. Beispiele zu den Programmen

Die Verschiebungen u1 =v1 =u4 =v4 =u5 =v5 verschwinden bedingt durch die geometrischen Randbedingungen, so daß sich nachfolgendes Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Verformungen ergibt: ⎤⎡

⎡ ⎢ 3g ⎢ 1 ⎢ ⎢ −g k⎢ 4 ⎢ −g ⎢ ⎣ 0

−g

−g

3g

g

g

3 g + 4 cos2 β

−2 g

2 sin 2β

⎤

⎥ ⎢ u2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ v2 ⎥ −2 g ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥=F ⎢ ⎥ ⎥ 2 sin 2β ⎥ ⎢ u3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 3 g + 4 sin2 β v3 0

⎡

⎤

⎢ cos α ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ sin α ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 (879)

Daraus erh¨ alt man die Verschiebungen u¯3 = u3 k/F :     6 sin 2β + 4 sin2 β + 3 g sin α + 2 sin 2β − 4 sin2 β − g cos α   u ¯3 = 2 g 4 sin 2β − 7 g − 12 − 8 sin2 β (880) Bild 13.4 zeigt die Verschiebung u ¯3 in Abh¨ angigkeit von dem Kraftangriffswinkel ϕ und dem Winkel β, unter dem der Stab angelenkt ist. Es bilden sich zwei Minima und zwei Maxima f¨ ur diese Verschiebung aus. Es wird die Beziehung f¨ ur u ¯3 nach (880) Null gesetzt und nach β aufgel¨ost. Dies f¨ uhrt auf einen Zusammenhang, der in Bild 13.5 dargestellt ist. Es ist der gesuchte Winkel β in Abh¨ angigkeit von ϕ f¨ ur g=0, 1, g=0, 5, g=1 und g=2 angef¨ uhrt. Der Wertebereich f¨ ur ϕ wird mit steigendem g kleiner. Steigendes g bedeutet bei konstantem E t, daß die Federsteifigkeit k kleiner wird.

Bild 13.5. Die Abh¨ an-

gigkeit des Anlenkwinkels β vom Kraftangriffswinkel ϕ f¨ ur unterschiedliche Verh¨ altnisse g = Et/k, so daß u ¯3 verschwindet

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)

367

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates) In Bild 13.6 sind ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat dargestellt. Sie weisen den gleichen Fl¨ acheninhalt auf. Sie dienen als Querschnitte f¨ ur ein ebenes W¨ arme¨ ubertragungsproblem und ein analoges Torsionsproblem. Es wird die sechs- bzw. achtfache Symmetrie der Probleme ausgenutzt. Ein Sechstel bzw. Achtel ist in Bild 13.6 jeweils in vier Dreieckselemente eingeteilt. Den außeren Kanten wird eine Temperatur (Spannungsfunktion) vom Werte Null ¨ aufgepr¨ agt. Im Inneren ist eine W¨ armequellendichte Φ (2GΘ) vorgegeben.

Bild 13.6. Ein gleichseitiges

Dreieck und ein Quadrat. Sie weisen gleiche Fl¨ achen auf

Elementeinteilung und Datensatz

Die y-Koordinate √ der Knoten wird mit dem Faktor f skaliert. Er steht beim ur f =1. Bei der ElementknotenzuDreieck f¨ ur f = 3/3 und beim Quadrat f¨ ordnung wird die W¨armeleitf¨ahigkeit λ, die W¨armequellendichte Φ und die Dicke t allgemein definiert. F¨ ur die Torsion gilt: λ = 1. Bei den Randbedingungen wird den drei Knoten auf dem Außenrand des betrachteten Segmentes eine Temperatur (Spannungsfunktionswert) von Null zugeordnet. Bei den Zahlenwerten wird Φ (2GΘ) ein Wert zugewiesen (G = 80769; ϕ = 2, 5◦ ⇒ Θ = (ϕ/l)π/180). Die L¨ange1 ist mit l=1000 gegeben. Die Temperaturen (Spannungsfunktion) nach “ FEM CAS“ haben folgende Werte: ⎤

⎡ φ3

⎡

3 + 14f 2

⎥ ΦL2 ⎢ f2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 8 + 14f 2 ⎢ φ5 ⎥ = ⎦ ⎣ 96λ 3f 2 + 1 ⎣ φ6 10 + 20f 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(881)

Die L¨ ange l spielt bei diesem W¨ arme¨ ubertragungsproblem keine Rolle. Bei der Torsion geht die L¨ ange l bei der Berechnung von Θ ein.

13.3

368

13. Beispiele zu den Programmen

Maximale W¨ armestromdichten oder Schubspannungen

Die analogen Gr¨ oßen sind die W¨ armestromdichte q (s. (657)) und  der Vektor 2 + σ2 . τ der Schubspannungen (s. (742)). Es gilt: |q | = |τ | mit |τ | = σzx zy Der maximale Betrag dieser beiden Gr¨ oßen tritt jeweils in den Seitenmitten des Außenrandes des Dreiecks bzw. Quadrates auf. “ FEM CAS“ liefert f¨ ur das Netz nach Bild 13.6 folgende L¨ osung: | q | = |τ | = ΦL

1 4 + 7f 2 = ΦL Ψ(f ) f 12 1 + 3f 2   

(882)

Ψ(f )

Torsionsmoment

Das Torsionsmoment MT (s. (745)) weist beim W¨arme¨ ubertragungsproblem keine analoge Gr¨ oße auf. Die L¨ osung von “ FEM CAS“ lautet: 43 + 104f 2 MT = n ΦL4 f 3 = n ΦL4 Υ(f ) 4608(1 + 3f 2 )   

(883)

Υ(f )

n ist die Anzahl Segmente (Quadrat: n = 8; Dreieck: n = 6). Beim Torsionsproblem h¨ angen die Schubspannungen τ und das Torsionsmoucke, die die ment MT von Φ = 2GΘ ab. Dank der algebraischen Ausdr¨ Computeralgebra liefert, kann (883) nach Θ umgestellt werden:

Θ=

1 MT 2n G L4 Υ(f )

(884)

Diese Beziehung in (882) eingesetzt: |τ | =

MT Ψ(f ) n L3 Υ(f )

(885)

Damit sind die Verdrillung Θ und die Schubspannung τ u ¨ ber das Torsionsuckt worden. moment MT ausgedr¨ Verh¨ altnis der maximalen Schubspannung von Dreieck und Quadrat

Das Quadrat und das Dreieck nach Bild 13.6 sollen die gleiche Querschnitts√ fl¨ ache aufweisen. Daraus ergibt sich das L¨ angenverh¨altnis l/L = 1/2 3. Setzt man die maximalen Schubspannungen der beiden Querschnitte nach (885) ins Verh¨altnis (Index d = ˆ Dreieck, q = ˆ Quadrat), so ergibt sich:

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)

√   nq l3 Ψ f = 13 3 Υ (f = 1) |τ |d √  = 1, 242 = ·  |τ |q nd L3 Υ f = 13 3 Ψ (f = 1)

369

(886)

nd = 6 ist die Anzahl Segmente des Dreiecks (s. Bild 13.6) und nq = 8 beim Quadrat. Gl. (886) sagt aus, daß das Dreieck bei gleicher Querschnittsfl¨ache und gleichem Torsionsmoment gegen¨ uber dem Quadrat eine nahezu 25 % h¨ ohere maximale Schubspannung aufweist. Verh¨ altnis der Verdrillung von Dreieck und Quadrat

Es wird (884) f¨ ur das Dreieck und das Quadrat ins Verh¨altnis gesetzt: Θd nq l 4 Υ (f = 1) √  = 1, 229 = ·  4 Θq nd L Υ f = 13 3

(887)

Hierbei sind f¨ ur nq , nd , l und L die Werte eingesetzt worden, die auch bei (886) verwendet wurden. Die Verdrillung ist damit beim Dreieck um etwa 23 % gr¨ oßer als beim Quadrat.

Bild 13.7. Die Spannungsfunktion (φmax = 1960 N/mm) und die Schubspannungen darge-

  stellt |
τ |max = 150, 2 N/mm2 als Isolinien f¨ ur: G=80769 N/mm2 ; ϕ = 2, 5◦ ; L = 100 mm;

L¨ ange des Torsionsstabes l=1000 mm

Feineres Netz

Das Netz des Segmentes (s. Bild 13.6) mit vier Elementen f¨ uhrt bedingt durch den N¨ aherungscharakter des Verfahrens zu einer L¨osung, die noch einen zu großen Fehler aufweisen kann. Eine Erh¨ ohung der Elementanzahl auf neun Elemente f¨ uhrt auf die Ergebnisse nach (884) und (885), wobei die Funktionen Υ(f ) und Ψ(f ) folgende Formen annehmen:

f

370

13. Beispiele zu den Programmen

f 7 + 62f 2 + 118f 4 + 57f 6 18 1 + 11f 2 + 25f 4 + 15f 6 f 3 231 + 2380f 2 + 4871f 4 + 2686f 6 Υ9 (f ) = 23328 1 + 11f 2 + 25f 4 + 15f 6

Ψ9 (f ) =

(888) (889)

Es ergibt sich gegen¨ uber dem Netz mit vier Elementen eine Erh¨ohung der maximalen Schubspannung um ca. 13 % beim Dreieck und ca. 14 % beim Quadrat. Eine weitere Erh¨ ohung der Elementanzahl auf z.B. 36 Elemente f¨ uhrt beim Arbeiten mit Symbolen auf hohe Rechenzeiten und nicht mehr handhabbare algebraische Ausdr¨ ucke. Daher ist diese L¨osung, die in Bild 13.7 dargestellt ist, mit “ InterFEM“ erzielt worden. In der linken Bildh¨alfte ist die Verteilung der Spannungsfunktion dargestellt. Es tritt das Maximum im Schwerpunkt des Dreiecks auf. In der rechten Bildh¨alfte ist der Betrag der Schubspannungen |τ | in Form von Isolinien angef¨ uhrt. Die maximale Schubspannung tritt jeweils auf der Seitenhalbierenden der Außenkante auf.

Verwendete Formelzeichen und Symbole Den Formelzeichen und Symbolen ist jeweils eine Dimension im technischen Maßsystem zugeordnet. Es treten dabei die Grundgr¨oßen L¨ange [L], Zeit [T ] und Kraft [F ] auf. Bei den Formelzeichen, deren Dimension problemabh¨angig ist, ist ein Stern aufgef¨ uhrt. Haben die Elemente eines Vektors oder einer Matrix unterschiedliche Dimensionen, so werden diese getrennt durch ein Semikolon aufgef¨ uhrt. Allgemein verwendete Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung



Vektor



Matrix

(n, m)

−

Gr¨ oße einer Matrix mit n Zeilen und m Spalten

(ui , vj )

−

Element einer Steifigkeitsmatrix aus der Zeile ui und Spalte vj

im

−

Elementnummer i

j

−

Knotennummer j

Cm

−

C m -Variationsproblem

·

−

Skalarprodukt

∀

−

f¨ ur alle

:

−

doppelt skalares Produkt

×

−

Kreuzprodukt

∇

1 L

Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten

372

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

∇T



Vektorfeld

∇u



dyadisches Feld

∇∆

−

Nabla-Operator in Dreieckskoordinaten

∆

1 L2

Laplace-Operator

 ∆

1 L2

Vektor mit zweiten Ableitungen in kartesischen Koordinaten

∆∆

−

Hessematrix in Dreieckskoordinaten

∆ ∆

1 L2

Vektor mit zweiten Ableitungen in Dreieckskoordinaten

δ ∂ ∂x d dx L

−

Variationssymbol

1 L

partielle Ableitung

1 L

totale Ableitung

1 L

Differentialoperator in kartesischen Koordinaten

L∆

1 L

Differentialoperator in Dreieckskoordinaten

∞

−

Maximumnorm

||

−

Betrag; Determinante

Superskripte

Symbol

Dimension

Beschreibung

i

−

Elementnummer

(j)

−

Lastfall j

R

−

Reaktionsgr¨ oße

Verwendete Formelzeichen und Symbole

373

Indizes

Symbol

Dimension

Beschreibung

g

−

globales Koordinatensystem

i

−

Nummer eines Elementes oder Knotens

x

L

x-Achse

y

L

y-Achse

z

L

z-Achse

Lateinische Buchstaben

Symbol

Dimension

Beschreibung

ai

−

Ansatzkoeffizienten

A

L2

Fl¨ ache

2

A

L

A¯

−

mittlere Fl¨ ache

b

−

halbe Bandbreite

e



Fehler

E

F L2

EI

F L2

Fl¨ ache eines Dreieckselementes

E-Modul Biegesteifigkeit des Balkens

f

−

skalarer Faktor; Eigenfrequenz

g

−

skalarer Faktor

f˜

−

linear unabh¨ angige Funktion

Ff

F

Federkraft

i

Fxj

F

Schnittkraft in x-Richtung des Elementes i am Knoten j

R

F

Auflagerreaktion in x-Richtung am Knoten j

Fxj

374

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

g

L T2

Beschleunigung

H, h

L

H¨ ohe

I

L4

Fl¨ achentr¨ agheitsmoment

k

F L

L, l

L

Federsteifigkeit; Stabsteifigkeit L¨ angen 2

m

FT L

mi

FL

Moment am Knoten i aus einer Streckenlast

M

FL

Moment

MT

FL

Torsionsmoment

i

Mj

FL

Schnittmoment des Elementes i am Knoten j um die z-Achse drehend

R

FL

Auflagerreaktion in Form eines Momentes am Knoten j

Mj

Masse

Ni



i-te Formfunktion von N

N

−

Menge der nat¨ urlichen Zahlen

p

−

Konvergenzordnung; Anzahl Nachkommastellen

p

F L2

Fl¨ achenlast

P

F

L¨ angskraft

q

F L

Streckenlast

q

F TL

W¨ armestromdichte

Q

FL T

punktf¨ ormiger W¨ armestrom

¯j Q

F T

bezogener, punktf¨ ormiger W¨armestrom am Knoten j vom Element i kommend

¯ Q

F T

auf die Dicke bezogener, punktf¨ormiger W¨armestrom

Qi

F L

Kraft am Knoten i aus einer Streckenlast

i

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

375

Beschreibung

R

−

Menge der reellen Zahlen

Ski

L

Kantenl¨ ange eines Dreieckselementes zwischen den Knoten k und i

t

L

Scheibendicke; Plattendicke

T

grd

Temperatur

Tu

grd

Umgebungstemperatur

u, v, w

L

Verschiebungen

u˙

L T

Geschwindigkeit

u ¨

L T2

Beschleunigung

V

L3

Volumen

w

L

Durchbiegung

wi

−

Gewichtungsfaktoren

x, y, z

L

globales Koordinatensystem

x ¯, y¯, z¯

L

lokales Koordinatensystem

Z



Zielfunktion

Dimension

Beschreibung

Vektoren

Symbol 0

−

Nullvektor

a

−

Vektor der Koeffizienten der Ansatzfunktion

aa



durch Randbedingungen bestimmte Koeffizienten

ab



unbekannte Koeffizienten

b

F L3

Vektor der Volumenkr¨ afte

 B

1 L

Dehnungs-Verschiebungs-Vektor

376

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol ex,y,z

Dimension −

Beschreibung Basisvektor; Einheitsvektor

F

F; FL

F

FL T

Vektor der punktf¨ ormigen W¨armequellen

FQ

FL T

Vektor infolge der W¨armequellendichte Φ

Fq

FL T

Vektor infolge des W¨arme¨ uberganges

FR

FL T

Vektor infolge des W¨arme¨ uberganges auf den R¨ andern

j

F; FL

F

Vektor der ¨ außeren Belastungen

Schnittgr¨ oßen des Elementes j

g

L T2

Beschleunigungsvektor

 L

−

Vektor mit Dreieckskoordinaten

 M

F

Momentenvektor der Platte

n

−

Normalenvektor

 N



Vektor der Formfunktionen

p

F L2

Vektor der Randspannungen

P

F

Vektor der Bodenkr¨afte

P

L

Punkt der Biegelinie des Balkens

q 

F L

Vektor der Streckenlasten

q 

FT L

W¨ armestromdichte

 R

F

Vektor infolge inhomogener Randbedingungen

u

L

Verschiebungsvektor

L

Eigenvektoren

u˙

L T

Geschwindigkeitsvektor

u ¨

L T2

Beschleunigungsvektor

u ˆ

L

Verformungsvektor des Scheibenelementes

1,2

u

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol j

u

Dimension 

377

Beschreibung Verformungsvektor des Elementes j

ˆ w

L; −

Vektor der Knotenverformungen des zweidimensionalen Balkenelementes in globalen Koordinaten

ˆ w ¯

L; −

Verformungsvektor des zweidimensionalen Balkenelementes in lokalen Koordinaten

x

L; −

Vektor der Koordinaten der Ansatzfunktionen

 X

L

Aufpunktvektor

ε

−

Dehnungsvektor

λ



Vektor der Lagrange Multiplikatoren

 Λ



Vektor der Eigenwerte

σ

F L2

Spannungsvektor

τ

F L2

Schubspannungsvektor

 φ



Vektor der skalaren Knotengr¨oßen

Matrizen/Tensoren

Symbol

Dimension

Beschreibung

0

−

Nullmatrix

AT



transponierte Matrix

A−1



inverse Matrix

A



Koeffizientenmatrix

B

1 L

Dehnungs-Verschiebungs-Matrix

B



Koeffizientenmatrix

C



Matrix zur Verkn¨ upfung von kartesischen und Dreieckskoordinaten

C



obere Dreiecksmatrix

378

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

C



Koeffizientenmatrix

C

FT L

D¨ ampfungsmatrix

D

F L2

Werkstofftensor vierter Stufe

D



Diagonalmatrix

D

F L2

Werkstoffmatrix

D

F T grd

e

−

Dehnungstensor

E

−

Einheitsmatrix

G



Matrix mit Ableitungen von Formfunktionen

J

−

Jakobi-Matrix

K

F L

Steifigkeitsmatrix

KE

F L2

elastische Steifigkeitsmatrix

KG

F L2

geometrische Steifigkeitsmatrix

Kg



Kw

FL T grd

W¨ armeleitungsmatrix

Kk

FL T grd

Konvektionsmatrix

KB

F L

Steifigkeitsmatrix des Bodens

¯ K

F L

Steifigkeitsmatrix in einem lokalen Koordinatensystem

M

FT2 L

n

−

N

L; −

Matrix der Formfunktionen

P



Matrix mit Formfunktionen

Q



Matrix mit Formfunktionen

Matrix der W¨ armeleitf¨ahigkeiten

Gesamtsteifigkeitsmatrix

Massenmatrix Matrix mit den Komponenten des Normalenvektors

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

379

Beschreibung

Q



Matrix mit den Ableitungen von Formfunktionen

s

−

Spannungstensor

T

−

Transformationsmatrix

X

−

Koeffizientenmatrix

Y

1 L2

 und ∆ ∆ Matrix zur Verkn¨ upfung von ∆

Griechische Buchstaben

Symbol

Dimension

Beschreibung

α

F T L grd

α

−

Winkel

β

−

Schlankheitsgrad

Γ

L

Integrationsgrenze

ε

−

Dehnung

θ

−

Verdrehung

Θ

−

Verdrillung

κ

−

Konditionszahl, Schubfaktor

κ

1 L

Kr¨ ummung

λ

F T grd

λ



Lagrange’sche Parameter, Eigenwert

ν

−

Querkontraktion

ξ

−

nat¨ urliche Koordinate

Π



Gesamtpotential

ΠF

FL

Form¨ anderungsarbeit

Πa

FL

Potential der ¨ außeren Kr¨afte

W¨ arme¨ ubergangskoeffizient

W¨ armeleitf¨ ahigkeit

380

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol ρ

Dimension F T2 L4

Beschreibung Materialdichte

σii

F L2

Normalspannung

σij

F L2

Schubspannung

τ

F L2

Schubspannung

ϕ

−

Verdrehung oder Richtungswinkel

φ



skalare Potentialgr¨ oße

φ˜



N¨ aherungsfunktion

Φ

F T L2

ω

1 T

Ω

L2

W¨ armequellendichte Kreisfrequenz Fl¨ ache

Literatur [1] Adina Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis, 71 Elton Avenue, Watertown, MA 02472, USA. Adina. [2] A. Adini and R. Clough. Analysis of plate bending by the finite element method. Technical Report G 7337, Rep. Nat. Sci. Foundation Grant, 1960. [3] B.M. Ahmad. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements. Int. Journal For Numerical Methods In Engineering, 2, 1970. [4] E. ˚ Alstedt. Shell analysis using planar triangular elements. In K. Holand, J. and Bell, editor, Finite Element Methods in Stress Analysis, The Technical University of Norway; Trondheim – Norway, 1972. [5] J. Argyris. Continua and discontinua, opening address. In Proc. (1st) Conf. on Matrix Methods in in Struct. Mech., Wright Patterson A.F. Base,Ohio, 1965. Air Force Inst. of Tech. [6] K.J. Bathe. Finite-Element-Methoden. Springer-Verlag, 1986. [7] J.L. Batoz, K.J. Bathe, and L.W. Ho. A study of three - node triangular plate elements. Int. J. for Numerical Methods in Eng., 15, 1980. [8] G.P. Bazeley, Y.K. Cheung, B.M. Irons, and O.C. Zienkiewicz. Triangular elements in plate bending – conforming and nonconforming solutions. In Proc. (1st) Conf. on Matrix Methods in in Struct. Mech., pages 805–823, Wright Patterson A.F. Base,Ohio, 1965. Air Force Inst. of Tech. [9] E.B. Becker, G.F. Carey, and J.T. Oden. Finite Elements - An Introduction. Volume I. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1981. [10] K. Bell. Analysis of thin plates in bending using triangular finite elements. Technical report, Division of Struct. Mech., Technical University of Norway, Trondheim, 1968. [11] M.P. Bendsøe and O. Sigmund. Topology Optimization. First Edition. Springer Verlag, 2002. [12] J. Betten. Elementare Tensorrechnung f¨ ur Ingenieure. Vieweg, 1977. [13] J. Betten. Kontinuumsmechanik. Springer-Lehrbuch, 1993. [14] K. Bosch. Mathematik-Taschenbuch. R. Oldenburg Verlag, 1989. [15] T.J. Chung. Finite Elemente in der Str¨ omungsmechanik. Carl Hanser Verlag, 1982. [16] J.C. Clegg. Variationsrechnung. Teubner, 1970. [17] E. Cuthill. Several stategies for reducing the bandwidth of matrices. In Sparse Matrices and Their Applications. Rose, D.J. and Willoughby R.A., Plenum Press, New York, 1972.

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Literatur

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Literatur

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384

Literatur

[53] O.C. Zienkiewicz. The Finite Element Method. Mc Graw-Hill Book Company (UK) Limited, 1977.

Sachverzeichnis C 0 -Problem 101, 264 Computeralgebra-Systeme (CAS) 339 Ansatzfunktion 36, 101 dreiknotiges Scheibenelement 209 zweiknotiger Balken 142 Ansatzkoeffizienten 102 Aufgabe Balkenelement mit Gelenk 160 Balkensystem 199 eindimensionaler Balken 159 Erh¨ ohung der Anzahl Balkenelemente 159 Scheibenproblem I 227 Scheibenproblem II 227 Stab-Balkenproblem 200 W¨ armeleitungsproblem I 293 W¨ armeleitungsproblem II 294 Winkel als Balkenproblem 200 zweidimensionales Stabproblem 123 Auflager 126 Auflagerreaktionen 35, 112, 127 Balken Biegelinie 196 Dehnungen 138 eindimensional 348 Beispiel 348, 355 elastisch gelagert 180 Funktional 140 mit Gelenk 160 Rahmen 363 Spannungen 138 Tonti-Diagramm 139 zweidimensional 187 Balkenelement 137 n Knoten 161 p Freiheitsgrade 161 Ansatzfunktion 161, 168 Biegesteifigkeitsmatrix 175 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 164

Diskretisierung 143 drei Freiheitsgrade pro Knoten 168 eindimensional 137, 353 Formfunktion 141, 164, 165, 168, 174 Funktional 143 Interpolationsbedingung 142, 162 Momentenverlauf 149 Querkraftverlauf 150 Schnittgr¨ oßen 149, 164, 167, 170 Schubsteifigkeitsmatrix 175 Steifigkeitsmatrix 146, 164, 166, 169 Streckenlast 147, 164, 166, 169 Streckenlasten 177 zweidimensional 187 Balkentheorie Bernoulli 137 Einschr¨ ankungen 137 Timoshenko 172 Voraussetzungen 137 Bandbreite 48 halbe 48 minimale 50 Bandstruktur 48 Beispiel eindimensionaler Balken 151 eindimensionaler Stab 105 elastisch gelagerter Balken 182 Fachwerk 5 lineares Problem 10 nichtlineares Problem 10 Scheibe 221 zur Volumenkraft 217 zur W¨ armeleitung 288 zweidimensionaler Balken 193 Zylinderauge 5 Belastungsvektor 108 Bernoulli-Balken 231 Bernoulli-Hypothese 137 Biegelinie 35, 56, 137 des Balkens 196 Cholesky 51

386

Sachverzeichnis

Dehnung 321 Balken 138 zweidimensionaler Balken 187 Dehnungs-Verschiebungs-Matrix 212 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 63, 319 Dehnungsfeld 64 Dehnungstensor Green‘sche 320 Dehnungszustand ebener 206 Determinante 21, 328, 331 Diagonalmatrix 54 Differentialgleichung Euler-Lagrange’sche 37, 38 Fourier’sche 92 gew¨ ohnliche 66 partielle 66 Differentialoperator 28, 64 Diskretisierung Funktional 38, 279 Divergenz 23 DKT 344 Dreieck gleichseitiges 367 Pascal’sche Dreieck 87 Dreieckselement 289, 294 Dreieckskoordinaten 39, 93, 219 Dreiecksplattenelement 241 Dreiecksscheibenelement 66 Drillwinkel 296 Durchbiegung 68 Dyade 34, 43, 144 bei der W¨ armeleitung 280 beim Scheibenelement 214 dyadisches Produkt 189 EDV 3 Eigenform 328, 333 Eigenfrequenz Balken 310 Stab 303 Eigenvektoren Balken gelenkig gelagert 312 Einmassenschwinger 307

Kragbalken 314 Zweimassenschwinger 308 Eigenwerte 333 Eigenwertproblem 30, 328 Eingabegr¨ oßen 346 Einheitsdyade 32 Einheitsverschiebung 102 Einmassenschwinger 306 Einzelkraft beim Scheibenelement 213 Einzelsteifigkeitsmatrix 111, 197 Elastizit¨ atsmodul 64, 101 Elastostatik 29 Elektrische Leitung 262 Element Auflistung 6–9 Balkenelement eindimensional 137 zweidimensional 187 Plattenelement 7 Schalenelement 8 Scheibenelement 205 Stabelement 5 dreidimensional 120, 132 eindimensional 101 zweidimensional 120 Viereckselement 5 Vierecksplattenelement 7 Elementknotenzuordnung 106 Elementkoordinatensystem 120 Eulerfall I 332 I, II, III, IV 335 Faktorisierung 51 Feder 70, 105 Federsteifigkeit 57 Fehlerabsch¨ atzung 57 Feld dyadisches Feld 29 Skalarfeld 28 Vektorfeld 29 Feldgleichungen 65 Feldproblem 261, 359, 367 Fl¨ achenlast

Sachverzeichnis

Platte 250 Fl¨ achentr¨ agheitsmoment 33 Form¨ anderungsarbeit 140, 322 Balken 325 Diskretisierung 77, 81 Formelzeichen 371 Formfunktion 36, 37, 321 Ableitung 143 Balken eindimensional 141 zweidimensional 187 Dreieckselement 209 Platte 247 Stab eindimensional 102, 118, 119 Freiheitsgrade Balkenelement zweidimensional 187 Dreieckselement W¨ arme¨ ubertragung 279 Scheibenelement 209 Stabelement eindimensional 100 Fundament 180 Funktional 36 Balken 140 Platte 237 Scheibe 208 Stab 100 station¨ arer Wert 73 Funktionaldeterminante 44 Gesamtbelastungsvektor 111 Gesamtpotential 322 Balken 81 Scheibenproblem 86 Stab 77 Gesamtsteifigkeitsmatrix 108 Direkterstellung 111 Gleichgewicht 36 am Knoten 110 im Stabelement 104 indifferent 327 instabiles 328 stabiles 327

387

Gleichgewichtsbedingung 66 Gleichgewichtsbeziehung 232 Gleichung charakteristische 31, 305, 331 homogene 305 Gleichungssystem homogenes 30, 328 Kondition 53 lineares 48, 108 Gleitkommazahlen 53 Gleitmodul 296 Gradient 22 Hauptdehnungen 31 Hintransformation 32 Hooke’sches Gesetz 103, 138 Integration in Dreieckskoordinaten 45 Interpolationsbedingung 36 Inversion 36 kinematische Beziehung 66 Knicken Balken 327, 356, 357 Stab 327 Knoten 101 Knotenkr¨ afte aus Streckenlasten 148, 193 aus Volumenkr¨ aften 215 Knotenmomente aus Streckenlasten 148, 193 Knotennummerndifferenz 48 Knotentemperatur 96 Knotentemperaturen 266 Knotenverformungen 108 Knotenverschiebungen 211 Scheibe 221 Koeffizientenmatrix 53, 62 Kompatibilit¨ at 239 Konditionszahl 54 Konformit¨ atsbedingung 239 Konvektion 279 Konvektionsmatrix 268, 283, 290 Konvergenztest Plattenelement 251

388

Sachverzeichnis

Koordinaten kartesische 40 Kraftrandbedingung 127, 198 Kragbalken 66 L¨ osung Eindimensionaler Balken 33 Laplace-Operator 23 Mantelfl¨ ache 266 Massenmatrix Balken 310 Stab 304 Matrix Addition 24 Einheitsmatrix 24 Jakobi 41 Multiplikation mit einem Skalar 25 Multiplikation zweier Matrizen 25 orthogonale 27, 122, 191 positiv definite 50 quadratische 24 symmetrische 24 transponierte 26 Maximumnorm 57 Maßsystem 371 Momentenvergleich 154 Momentenverlauf Balken 149 N¨ aherungsfehler 57 N¨ aherungsfunktion 73 Navier’sche Gleichung 66 Nichtlinearit¨ at geometrische 319 Material 319 Oberfl¨ achentemperatur 91, 92, 293 Optimierung Beispiele 11 Stabstruktur 128 Orientierungswinkel 124 Platte Ansatzfunktion 243 Biegemoment 234 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 233

Durchbiegung 232 Funktional 237 Gesamtpotential 239 Gleichgewichtsbeziehung 236 Grundbeziehungen 231 Interpolationsbedingungen 244 Kinematische Gr¨ oßen 233 Kirchhoff 231 Kr¨ ummungs-MomentenBeziehung 234 Kr¨ ummungs-VerschiebungsBeziehung 248 Lagerungsarten 238 Momentenvektor 235 Randbedingungen 236 Schubspannung 234 schubstarr 239 Schubverformung 232 Stoffgleichung 234 Verdrehungen 233 Plattenelement 356 Anforderungen 239 Kompatibilit¨ at 239 Plattengleichung 236 Plattensteifigkeit 236 Potential der ¨ außeren Lasten 140 der Streckenlast 140 des Momentes 140 Potentialstr¨ omung 262 Produkt dyadisches 27, 30, 79 Programmdaten 346, 348, 349, 352, 356, 360 Querkontraktion 64 Querkraftvergleich 154 Querkraftverlauf Balken 150 R¨ ucktransformation 32, 330 R¨ uckw¨ artselimination 52 Randbedingung Auflager 152 inhomogene 78 nach Cauchy 278

Sachverzeichnis

nach Dirichlet 278 nat¨ urliche 64, 107 W¨ armeleitung 278 wesentliche 74, 83, 141 Randspannungen 65 Reaktionskraft 14 Rechenzeit 50 Richtungswinkel 54 Ritz Ansatzfunktion 74 Balken eindimensional 347 Balkenproblem 81 Randbedingungen 74, 87 Scheibe 349 Beispiel 91, 350 Form¨ anderungsarbeit 89 Streckenlast 90 Scheibenproblem 86 Verschiebungsans¨ atze 87 Stab eindimensional 345 Stabproblem 77 Verfahren 73 Rundungsfehler 53 Schale ¨ Uberlagerung 253 Freiheitsgrade 253 komplanarer Knoten 255 Scheibe und Platte 253 Transformationen 256 Schalenelement dreiknotig 254 Scheibe Dehnungen 88 Spannungen 88 Scheibenelement 69, 205 Scheibenproblem 364 Ansatzfunktion 209 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 211 Dehnungsfeld 206 Feldgleichungen 207 Funktional 208

389

Gleichgewichtsbeziehung 208 Grundgleichungen 206 Interpolationsbedingungen 210 Kinematische Beziehungen 207 Randbedingungen 208 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 212 Spannungsfeld 207 Stoffgleichungen 207 Verschiebungsfeld 206 Schmier¨ olfilm 262 Schnittgr¨ oßen 14 Balken 197 Fehler 153 Stabproblem 126 Vorzeichen 150 Schreibweisen 19, 63 Schubspannung 368 Schubverformungen 137 Schwingungsform Balken 310 Balken gelenkig gelagert 313 Einmassenschwinger 307 Kragbalken 315 Stab 303 Zweimassenschwinger 308 Seifenhautanalogie 296 Sickerstr¨ omung 262 Simulation 3 Spannung Balken 138 Scheibe 221 Spannungsfunktion 296 Spannungsvektor Scheibe 221 Spannungszustand ebener 206 Stab Beispiel 105 eindimensional 75 Beispiel 346, 352 Funktional 100 Diskretisierung 100 Gleichgewichtsbeziehung 98

390

Sachverzeichnis

Grundbeziehungen 97 Kinematische Beziehungen 98 Randbedingungen 98 Stoffgleichung 98 Tonti-Diagramm 98 zweidimensional 120 Stabelement n Knoten 117 Ansatzfunktion 101, 117 Auflagerreaktionen 14, 110 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 102, 119 dreidimensional 120, 132 dreiknotig 119 Eigenschaften 97 eindimensional 97, 351 Formfunktionen 102, 118 Gesamtsteifigkeitsmatrix 12 Interpolationsbedingung 117 Schnittgr¨ oßen 110 Steifigkeitsmatrix 119 Stoffgesetz 103 Variable Querschnittsfl¨ ache 115 Variation des Funktionals 103 Verschiebungsansatz 101 vierknotig 119 zweidimensional 120 Stabknicken 329 Starrk¨ orperbewegung 239, 240 Steifezahlverfahren 180 Steifigkeitsmatrix Balkenelement mit Gelenk 38 Boden 180 Dreiecksscheibenelement 213, 215 eindimensionaler Balken 146 eindimensionaler Stab 104 elastische 323 geometrische 323, 326, 330 globale 122 Platte 249 Transformation 190 zweidimensionaler Balken 188 zweidimensionaler Stab 123 Stoffgesetz 66

Stoffmatrix 265, 266 Streckenlast Balken 29 eindimensionaler Balken 137, 147 Platte 250 Scheibenelement 213 Umrechnung in Knotenkr¨ afte 223 zweidimensionaler Balken 192 Temperaturgradient 288 Temperaturverteilung 93, 294 Tensor Dehnungen 63 h¨ oherer Stufe 28 Tonti-Diagramm allgemeine Form 58 Bernoulli-Balken 139 Elastostatik schwache Form 67 strenge Form 65 Feldproblem 261 Kirchhoff-Platte schwache Form 237 strenge Form 232 Scheibenproblem 206 Stab 97 Torsion 262 Funktional 298 gleichseitiges Dreieck 367 prismatische K¨ orper 295 Torsionsmoment 368 Transformation lineare 32 Transformationsmatrix 329 Umgebungstemperatur 265, 266 Untermatrix der Gesamtsteifigkeitsmatrix 223 Variation 37 des diskretisierten Funktionals 145 erste 37 Funktional der W¨ armeleitung 286 Funktional des Scheibenproblems 213 station¨ arer Wert 145 Vektor

Sachverzeichnis

Ableitung 21 Basisvektoren 20 Kreuzprodukt 20 Nabla-Vektor 22 Randspannungen 63 Skalarprodukt 20 Volumenkr¨ afte 63 Verdrillung 369 Verformungsvektor 108 Verschiebung 101 Verschiebungsansatz 75, 321 Verschiebungsfeld 29, 63 Verschiebungsvektor 63 Scheibe 221 Volumenkraft 64, 213 Vorkonditionierung 55 Vorw¨ artselimination 51 W¨ arme¨ ubergang gleichseitiges Dreieck 367 W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten 266 W¨ arme¨ ubergangsvektor 285 W¨ arme¨ ubergangszahl 265 W¨ arme¨ ubertragung eindimensional 265 zweidimensional 277 W¨ arme¨ ubertragungsproblem Funktional 266 W¨ armefluß 82, 292 W¨ armeisolation 278 W¨ armeleitf¨ ahigkeit 266 W¨ armeleitung 279 W¨ armeleitungsmatrix 287, 289, 290 W¨ armequelle 91, 266, 294 punktf¨ ormig 96, 265, 282 W¨ armequellendichte 91, 288, 291, 293 W¨ armestromdichte 279, 291, 368 Zugblech 221 Zugspannungen 225 zweidimensionales Balkenelement 192 Zweimassenschwinger 307

391

Programme Fortran90 InterFEM 253, 340, 343 Maple Balken 1D 161, 342, 354 Dynamik Balken 341, 358 Feldprobleme 1D 342, 359 Feldprobleme 2D 342, 360 FEM CAS 339, 343, 363 FEM Grafik 340 Knicken Balken 327, 341, 357 Konvert 341 Platte 342, 356 Ritz Balken 81, 342, 347 Ritz Scheibe 86, 342, 349 Ritz Stab 77, 342, 345 Scheibe Dreieck 209, 342, 355 Stab 1D 117, 342, 351 VB.NET FEM GEN 339