Analysis 2, 5. Auflage

5.10 Weg uDd Kurve. Es sei 1 = [a, b] ein kompaktes IntervalI. Man nennt eine stetige Funktion

+

+

Beispiele. 1. Die Strecke ab (a, b E IRn) ist fUr a 1- b eine 10rdankurve, dargestellt etwa durch cfJ(t; a, b) = a + t(b - a) = (1 - t)a + tb (0 :<; t :<; 1) . Natlirlich kann man den Parameterbereich auch verschieben und die Strecke ab etwa durch tp(t) := cfJ(t - a; a, b) mit a $ t $ a + 1 darstellen. Davon machen wir im nachsten Beispiel Gebrauch. 2. Polygonzuge. Sind die p+ 1 Punkte ao, al, ... , ap ERn (in dieser Reihenfolge) gegeben, so nennt man die Vereinigung der Strecken aoa[, a,a2, .. . , ap_' ap den Polygonzug durch

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

154

die Punkte (oder mit den Eckpunkten) aQ, ... , ap • Er wird mit P (ao, ... , ap ) bezeichnet; vgl. 1.20 (mit Bild). Die Anordnung der Punkte spieJt also eine Rolle. Eine Parameterdarstellung HiBt sich mit Hilfe von Beispiel 1 leicht angeben. Es seien .etwa vier Punkte a, b, c, d gegeben, und die Funktion 1p : I = [0,3] -> R" sei gleich (vgl. Beispiel 1 zur Bezeichnung) (jJ(t; a, b) in [0,1],

(jJ(t -1;b,c) in (1,2],

(jJ(t - 2;c,d) in (2,3] .

Offenbar ist 1p stetig und 1p(I) = P(a,b,c,d). Ob Peine (eventuell geschlossene) Jordankurve ist oder sich iiberschneidet, hangt von der Reihenfolge und der Lage der Ecken abo 3. Der Einheitskreis im R2 ist eine geschlossene Jordankurve, dargestellt durch x = cos t, Y = sin t

(0

~

t

~

2n)

oder in komplexer Schreibweise z = eit (0 ~ t ~ 2n). 4. Die Ellipse. Durch

x = a cos t,

o~

Y = b sin t ,

t ~ 2n (a

> b>

0) ,

wird ein glatter geschlossener Jordanweg definiert. Die zugehorige Kurve kann durch die Gleichung x2

a2

y2

+ b2 =

1

beschrieben werden; es hande1t sich urn eine Ellipse. Man nennt die auf den Koordinatenachsen liegenden Ellipsenpunkte A, B, C, D (vgl. Bild) die Scheitel, die Strecke AB die grope Achse D

= (0, b) B

A

= (a, 0)

C

Ellipse

oder Hauptachse und die Strecke CD die kleine Achse oder Nebenachse, femer die Zahlen

e = Va 2 -

b2

lineare Exzentrizitiit, numerische Exzentrizitiit

5.10 Weg und Kurve

155

und die beiden Punkte E = (-e, 0) und F = (e,O) die Brennpunkte der Ellipse. Es ist also a bzw. b die Lange der grol3en bzw. kleinen Halbachse. Fur jeden Ellipsenpunkt Q = (x, y) ist die Abstandssumme konstant,

IE - QI

+ IQ -

FI = 2a .

Der Abstand von einem Brennpunkt bis zur Ellipse in der Richtung senkrecht zur Hauptachse wird Parameter p der Ellipse genannt. Es ist (vgl. Bild) p = IF - PI = b2 I a.

5. Die Hyperbel. Durch x = ±a cosh t,

Y = b sinh t

(t

E

JR)

wird der rechte Ast (+) bzw. der linke Ast (-) einer Hyperbel dargestellt, deren Punkte durch die Gleichung

D=(O,b)

C

Hyperbel charakterisiert werden (in diesem Beispiel ware die Einschrankung von t auf ein kompaktes Intervall unnaturlich). A.hnlich wie bei der Ellipse nennt man die Punkte A, B die Scheitel und die Strecke AB die Hauptachse, die Strecke CD gelegentlich die Nebenachse, die Zahlen

e = Va2 e e=-= a

+ b2

H2 1+a2

lineare Exzentrizitiit, numerische Exzentrizitiit,

die Punkte E = (-e, 0) und F = (e,O) die Brennpunkte und femer die beiden Geraden y = ±bxla die Asymptoten der Hyperbel. Der Parameter p der Hyperbel ist wie bei der Ellipse der Abstand senkrecht zur Hauptachse von einem Brennpunkt zur Kurve definiert; es ergibt sich auch hier p = IP - FI = b2 la.

6. Zykloiden. Wenn in der Ebene ein Kreis auf einer geraden Linie abrollt, dann beschreibt ein mit dem Kreis fest verbundener Punkt Peine Kurve, die zur Familie der Zykloiden gehort. Fur eine Parameterdarstellung dieser Kurven wahlen wir als gerade Linie die x-Achse und nehmen an, dal3 zur ,Zeit' t = 0 der Kreis yom Radius r den Nullpunkt beruhrt, also seinen Mittelpunkt M auf der y-Achse an der Stelle (0, r) hat, und dal3 der Punkt P flir t = 0 eben falls auf der y-Achse an der Stelle (0, r - a) Iiegt

156

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

(a > 0). Fiir a < r befindet sich P im Innern des Kreises (etwa an einer Speiche befestigt), fUr a = r auf der Peripherie und fUr a > r auBerhalb des Kreises (auf einer verliingerten Speiche, wodurch gewisse Schwierigkeiten bei der mechanischen Realisierung entstehen). Rollt der Kreis mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit 1 nach rechts, so hat sein Mittelpunkt M zur Zeit t die Koordinaten (rt, r), wiihrend der Punkt P in bezug auf ein verschobenes Koordinatensystem mit dem Nullpunkt in M die Polarkoordinaten r = a, 4> = -t - ~, also die kartesischen Koordinaten a(cos 4>, sin 4» = -a (sin t, cos t) besitzt. Als Parameterdarstellung im urspriinglichen System ergibt sich dann

y = r - acost

x = rt - a sin t,

(t E JR.) .

1m Fall a = r spricht man auch von der Zykloide, in den Fallen a < r bzw. a > r von einer gedehnten bzw. verschlungenen Zykloide.

~

_ _-:a.>r a=r a
Zykloiden 7. Epizykloiden. Diese Kurven haben ihren Ursprung in der griechischen Astronomie. PLATON hat postuliert, daB die Planeten sich mit gleichformiger Geschwindigkeit auf Kreisbahnen bewegen; vgl. dazu die Einleitung zu § 1.6. Urn die am Himmel beobachteten Planetenbahnen, insbesondere die schleifenfOrmigen, manchmal riickliiufigen Bewegungen der iiuBeren Planeten in Einklang mit den platonischen Prinzipien zu erkliiren, muBten die Astronomen mehrere sich iiberlagernde Kreisbewegungen heranziehen. 1m einfachsten Fall bewegt sich der Planet P auf einem (kleinen) Kreis, dem sogenannten Epizykel, wiihrend der Mittelpunkt M des Epizykels seinerseits auf einem (groBen) Kreis, dem Deferenten, die Erde umrundet. 1st R der Radius des Deferenten und wird die entsprechende (nach Platon konstante!) Winkelgeschwindigkeit gleich 1 gesetzt, was man durch entsprechende Wahl der Zeiteinheit immer erreichen kann, so lautet das Bewegungsgesetz fUr M, wenn die Erde E in den Nullpunkt versetzt wird und M sich zur Zeit t = am Ort (R,O) befindet, in komplexer Schreibweise z = Re it . Vollzieht sich die epizyklische Bewegung auf einem Kreis yom Radius a mit der Winkelgeschwindigkeit OJ, so wird sie in bezug auf den Mittelpunkt M durch z = aeil"+wt) beschrieben, wobei ae i" den Ort des Planeten zur Zeit t = angibt. Insgesamt erhiilt man als Planetenbahn die Kurve

°

°

z(t) = Re it

+ aei("+wt)

.

°

Nimmt man insbesondere an, daB der Planet wr Zeit t = auf der x-Achse zwischen E und M liegt, so wird r:J. = -1[, und man erhiilt wegen e~in = -1 die Darstellung . . z(t) = Re" - ae'wr

=

{ x = R cos t - a cos OJt . . y = R sm t - a sm OJt .

S.lO Weg und Kurve

IS7

Eine zweite Erzeugung dieser Kurve ergibt sich, wenn man annimmt, daB auf einem festen Kreis urn den Nullpunkt mit dem Radius r, ein zweiter Kreis mit dem Radius r abrollt und ein Punkt P fest mit diesem zweiten Kreis verbunden ist (wir haben eine iihnliche Situation wie im vorangehenden Beispiel, nur rollt der zweite Kreis nicht auf der x-Achse, sondern auf dem ersten Kreis ab). Als Bewegungsgleichung fUr P ergibt sich unter der Annahme, daB zur Zeit t = 0 der Mittelpunkt des zweiten Kreises die Koordinaten (r, + r,O) und P die Koordinaten (r, + r - a, 0) hat (P hat also den Abstand a yom Mittelpunkt des zweiten Kreises)

r, + r x = (r, +r)cost-acos-- t, r . . r, + r y = (r, + r) smt - asm - - t . r Dies erkennt man an hand einer elementaren Betrachtung (vgl. Mangoldt-Knopp II, S. 404 f.). Ein Vergleich der beiden Formeln (*) und (**) zeigt, daB sie gemiiB R = r,

+ r,

r, +r

W = - - <==>

r

r

R

= -, W

r,

=

R

R- -

W

ineinander iibergefUhrt werden konnen. Eine geschlossene Kurve liegt genau dann vor, wenn W eine rationale Zahl ist. Fiir w = pi q ergibt sich z(2qn) = z(O) = R - a.

Epizykloiden (r, = 3r)

8. Explizite Darstellung. Die explizite Darstellung einer ebenen Kurve y = f(x) mit stetigem f kann als Parameterdarstellung y

=

f(x)

<==>

x

=

t,

Y

=

f(t)

158

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

aufgefaBt werden. Es handeJt sich dabei immer urn einen Jordanweg. Die zugehorige Jordankurve ist graph f. Natiirlich ist auch die explizite Darstellung x = g(y) aquivalent mit einer entsprechenden Darstellung x = g(t), Y = t. Geschlossene Kurven lassen sich offen bar nicht explizit darstellen. 9. Darstellung in Polarkoordinaten. Auch die Polarkoordinatendarstellung einer ebenen Kurve r = f(4)) laBt sich leicht zu einer Parameterdarstellung umformen: r = f(4)) <== x = f(4)) cos 4>, y = f(4)) sin 4> .

Dabei iibernimmt das Argument 4> die Rolle des Parameters. Bereits im ersten Band haben wir als Beispiele dazu die archimedische Spirale r = c4> in der Einleitung zu § I.9 und die Lemniskate in Aufgabe 1.11.16 kennengelernt. 10. Die Kegelschnitte in Polarkoordinaten. Die Kegelschnitte lassen sich in Polarkoordinaten in einheitlicher Weise durch die Formel

(KS)

r

=

p

1 + ECOS 4>

(I: ;?:

0, P > 0)

beschreiben. Dabei ist p der Parameter des Kegelschnitts und £ die numerische Exzentrizitat. Man beachte, daB sich im Fall von Ellipse und HyperbeJ aus p und £ die Zahlen a und b berechnen lassen: Aus der Gleichung £2 = 1 - b2 / a2 = 1 - p/ a ergibt sich a und hieraus dann b = y'aP. In allen Fallen ist der Nullpunkt Brennpunkt des Kegelschnitts. Wir diskutieren die einzelnen Faile. (a) £ = 0: Kreis yom Radius p. (b) 0 < e < 1: Ellipse (x +e)2/a 2 + l/b 2 = 1. Der Nullpunkt des Koordinatensystems befindet sich also im rechten Brennpunkt F der Ellipse. Der Beweis ist einfach. Aus p = r(1 + I: cos 4» = r+l:x und p = b2 /a, I: = e/a folgt ar = b2 - ex und durch Quadrieren a2(x 2 + l) = b4 - 2b 2ex + e2x 2, woraus sich wegen e2 = a 2 - b2 mit einer einfachen Rechnung die obige FormeJ ergibt. 0 (c) I: = 1: Parabel l + 2p(x - !p) = o. Es sei daran erinnert, daB die Parabell = 2px im Nullpunkt ihren Scheitel und im Punkt (p/2, 0) ihren Brennpunkt hat und daB die x-Achse die ParabeJachse ist. Auch hier gibt der Parameter p den Abstand yom Brennpunkt zur Kurve senkrecht zur Achse an. Aus r = p/(1 + cos 4» folgt r(1 + cos 4» = r + x = p, also r2 = x 2 + y2 = (p - X)2. Diese ParabeJ ist also nach links geoffnet, und ihr Brennpunkt befindet sich im U rsprung. (d) e> 1: Hyperbel (x - e)2 /a 2 - l /b 2 = 1. Der Nullpunkt befindet sich also im linken Brennpunkt E der Hyperbel. 1st 4>0 der positive Winkel < n/2 mit I: cos 4>0 = 1, so ist der Nenner in der Darstellung (KS) fUr 14>1 < n - 4>0 positiv. LaBt man 4> in diesem Intervall variieren, so wird der linke HyperbeJast dargestellt. 1m Bereich n - 4>0 < 14>1 ~ n ist der Nenner in (KS) negativ. Durch diesen Bereich wird der rechte Hyperbelast dargestellt, wenn man vereinbart, daB die Zuordnung (r,4» -> (x, y) = r(cos 4>, sin 4» auch fUr negative r gel ten soli (das lauft darauf hinaus, daB man fUr negative r auf dem durch 4> bestimmten Strahl die Strecke Irl in der negativen Richtung abtragt). Will man diesen Schonheitsfehler vermeiden, so muB man 4> durch n - 4> ersetzen und erhaIt dann die Darstellung

r=

--'-p..,----:-

ecos 4> - 1

fUr 14>1 < 4>0 ,

5.10 Weg und Kurve

159

°

die nun in der Tat den rechten Ast mit r > beschreibt. Ubrigens ist 4>0 der (positive) Winkel, den die Asymptoten mit der x-Achse bilden. Man rechnet leicht nach, daB tan 4>0 = b/a ist. 11. Die Schraubenlinie im JR.3 ist die durch den Jordanweg x=rcost,

y=rsint,

z=at

(O~t~}';a>O;r>O)

erzeugte Jordankurve. Der bei einem Umlauf erzielte Hohenzuwachs 2an wird GanghOhe der Schraubenlinie genannt. z

y

Schraubenlinie 12. Kreise im JR.". Es seien e, YJ zwei Punkte im JR." mit lei = IYJI = 1 und e . YJ = 0. Der in dem durch e und YJ aufgespannten zweidimensionalen Unterraum gelegene Kreis yom Radius r mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt wird durch 4>(t) =

r(~

cos t + YJ sin t)

(0

~

t

~

2n)

dargestellt. Ohne Miihe sieht man, daB 14>(t)1 = r ist und daB den Werten t = 0, n/2, n, 3n/2, 2n die Kurvenpunkte r~, rYJ, -r~, -rYJ, r~ entsprechen. Fiir n = 2, ~ = e[, YJ = e2 und r = 1 erhiilt man den Einheitskreis von Beispiel 3.

Bemerkungen. 1. Eine glatte Kurve besitzt auch Darstellungen durch nicht-differenzierbare Wege. l.B. wird durch 4>(t) = (h(t),O) in I = [0,1], wenn h : I ~ JR. stetig und streng monoton ist, ein Jordanweg definiert. Die zugehorige Kurve ist die Verbindungsgerade der Punkte (h(O),O) und (h(I),O) in der Ebene. 2. Umgekehrt kann eine Kurve auch dann Ecken oder Spitzen haben, wenn 4> stetig differenzierbar ist. Das zeigt etwa die lykloide 4>(t) = (t - sin t, 1 - cos t) von Beispiel 6. In den Spitzen, also fUr t = 2kn (k ganz) ist 4>'(t) = 0. Die Kurve y = Ixl (-1 ~ x ~ 1) wird z.B. durch den Jordanweg 4>(t) = (t 3 , W) E C 2([-I, 1)) erzeugt. In der mechanischen Deutung ist 4>' der Geschwindigkeitsvektor. Die Beispiele zeigen, daB man mit stetig veriinderlicher Geschwindigkeit auch Ecken fahren kann, wenn die Geschwindigkeit im Eckpunkt verschwindet. Aus diesem Grunde wurden glatte Kurven mit der lusatzbedingung 4>' =1= 0 definiert. Sie sichert, daB in jedem Kurvenpunkt eine eindeutig bestimmte Tangente existiert; vgl. 5.16.

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

160

Zum Abschlu13 dieses Abschnitts formulieren wir den schon in der Einleitung erwiihnten Jordanschen Kurvensatz. Er driickt aus, da13 eine geschlossene Jordankurve die Ebene in zwei Gebiete, ein beschriinktes Innengebiet und ein unbeschriinktes Au13engebiet zerschneidet. 1m Fall des Einheitskreises x2 + y2 = 1 ist dies sofort einzusehen. Innen- und Au13engebiet werden durch die Ungleichung x2 + y2 < 1 bzw. > 1 beschrieben. 1m allgemeinen Fall ist der Beweis schwierig.

Jordanscher Kurvensatz. Zu jeder ebenen geschlossenen Jordankurve C gehoren zwei Gebiete, ein beschriinktes lnnengebiet GI und ein unbeschiinktes Auj3engebiet G2 mit der Eigenschaft, daj3 C = aG I = aG 2 und lR 2 = CUG, UG 2 ist, wobei diese drei Punktmengen disjunkt sind. 5.11 Die Wegliinge. Es sei ¢ : I ~ lRn ein Weg und Z : a = to < tl < ... < tp = b eine Zerlegung des Intervalls I = [a, b]. Durch Z werden auf der Kurve C = ¢(l) p + 1 Kurvenpunkte Xi = ¢(ti) definiert. Die Zahl p

t(Z; ¢)

== t(Z)

:=

I

p

IXi - xi-II =

i=1

I

I¢(t;) - ¢(ti-dl

i=1

wird man, da der Euklidische Abstand der beiden Punkte Xi-I und Xi gleich IXi-, -x;J ist, als Liinge des Polygonzuges P(XO,XI, ... ,X p ) deuten (wir kommen auf diese Deutung zuriick).

Xs

Zur Definition der Weglange

Ais Liinge des Weges ¢ definiert man

L(¢) := supt(Z)

Wegliinge von ¢ ,

wobei aIle Zerlegungen von I zugelassen sind. 1st L(¢) < 00, so wird der Weg ¢ rektijizierbar, im FaIle L(¢) = 00 nicht rektijizierbar genannt. 1st ti-I < s < ti und x = ¢(s), so ist IXi - xi-II :s; IXi - xl + Ix - xi-II. Daran erkennt man, da13 t(Z) sich bei Hinzunahme eines weiteren Teilpunktes s vergr613ert. Anders gesagt, t(Z) ist ein beziiglich der natiirlichen Ordnung monoton wachsendes Netz. Die Wegliinge lii13t sich also nach Satz 5.5 auch als Limes definieren:

5.12 Die Weglange als Funktion von t

L(4))

161

= limz t(Z) .

Zunachst einige einfache Tatsachen iiber die WegIange. (a) 1st 4> in I = [a, b] linear, etwa 4>(t) = man t(Z; 4» = IXII(b - a) flir jede Zerlegung

14>(b) -

Xo + tXI mit xo, XI E JRn, so erhalt Z von I, also L(4)) = Ix1I(b - a) =

4>(a)l·

(b) 1st 4> in I stetig differenzierbar und 14>'(t)1 s a, so geniigt 4> in I = [a,b] nach Satz 4.2 einer Lipschitzbedingung 14>(s) - 4>(t) I s als - tl. Hieraus folgt t(Z; 4» s a(b-a) flir jede Zerlegung Z von I, also L(4)) S a(b-a). Lipschitzstetige und speziell stetig differenzierbare Wege sind also rektifizierbar. (c) Fiir rektifizierbare Wege 4>,1p : I _JRn ist IL(4)) - L(1p)1 s L(4) - tp). Denn mit der Bezeichnung C5 i 4> = 4>(ti) - 4>(ti-d, ... ist nach der Folgerung aus der Dreiecksungleichung IIC5 i4>1 - lC5 i1p11 s lC5 i(4) - 1p)I. Daraus folgt dann It(Z; 4» -t(Z ;1p)1 s t(Z; 4>-1p) s L(4)-1p), woraus sich die Behauptung ergibt. (d) Fiir jeden Weg 4>1[a,b] ist L(4)) ~ 14>(b)-4>(a)l. Der kiirzeste Weg zwischen den beiden Endpunkten 4>(a), 4>(b) verlauft also nach (a) auf der Verbindungsstrecke. Fiir die triviale Zerlegung Z = (a, b) ist namlich t(Z) = 14>(b) - 4>(a)l. Eine Aufteilung des Intervalls I = [a, b] in zwei Teile II = [a, c], h = [c, b] mit a < c < b erzeugt eine entsprechende Aufteilung des Weges 4>11 in zwei Teilwege 4>1 := 4>111 und 4>2 := 4>lh Umgekehrt kann man aus zwei Wegen 4>1111 und 4>21h wenn der Endpunkt von 4>1 mit dem Anfangspunkt von 4>2 iibereinstimmt, wenn also 4>1 (c) = 4>2(C) ist, einen Wegen 4>11 auf naheliegende Weise zusammensetzen. Wir bezeichnen den auf diese Weise erhaltenen Weg mit 4> = 4>1 EB 4>2. Die entsprechende Zerlegung bzw. Zusammensetzung iibertragt sich auf die zugehorigen Kurven, und es ist, wenn C bzw. Ci die von 4> bzw. 4>i erzeugte Kurve bezeichnet, C = C 1U C2. 1st 4> = 4>1 EB 4>2 ein Jordanweg, so sind auch 4>1 und 4>2 Jordanwege; die Umkehrung ist jedoch i.a. falsch, wie einfache Beispiele zeigen. (e) Aus 4> = 4>1 EB 4>2 folgt L(4)) = L(4)d + L(4)2). Der Weg dann rektifizierbar, wenn 4>1 und 4>2 rektifizierbar sind.

4> ist also genau

Beweis. Mit den Bezeichnungen von 5.7 gilt flir Z = (Z),Z2) offenbar t(Z,4» = t(ZI' 4>d + t(Z2' 4>2). Die Behauptung ist also ein Sonderfall von Satz 5.7. 0

Entsprechend definiert man, wenn p Wege 4>111), ... , 4>plIp mit Ii = [ti-I, til, tl < ... < tp und 4>i(ti) = 4>i+1 (ti) (i = 1, ... , P - 1) gegeben sind, mit 4> = 4>1 EB ... EB 4>p diejenige eindeutig bestimmte stetige Abbildung von [to, tp] nach JRn, welche auf Ii mit 4>i iibereinstimmt. Aus (e) folgt dann

to <

(f) L(4)1 EB ... EB 4>p) = L(4)d + ... + L(4)p). Ein nicht rektifizierbarer Weg wird in Beispiel 6 von 5.14 beschrieben. Ferner werden wir in Satz 5.22 ein Kriterium flir die Rektifizierbarkeit beweisen.

5.12 Die Wegliinge als Funktion von t. Es sei 4>11 = [a, b] ein rektifizierbarer Weg. Die durch s(a) = 0, s(t) = L(4)I[a,t]) flir a < t S b

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

162

definierte Funktion s : I - 1R gibt an, wie lange das dem Intervall [a, t] entsprechende Wegstlick ist, welcher Weg also zur Zeit t bereits zurlickgelegt wurde. Insbesondere ist s(b) = L(¢). Flir ein Teilstlick des Weges ¢I [tl, t2] mit a ~ tl < t2 ~ b ist L(¢I[tl,t2]) = s(t2)-s(td nach 5.11 (f). Die Wegliingerifunktion s hat die folgenden Eigenschaften: Satz. Die Funktion s ist, wenn ¢II rektijizierbar ist, in I stetig und monoton wachsend, im Fall eines Jordanweges streng monoton wachsend. 1st ¢ stetig difJerenzierbar, so ist ¢II rektijizierbar nach 5.11 (b). In diesem Fall ist die Wegliingenfunktion s eberifalls stetig difJerenzierbar und

s(t) =

it

1¢'(r)1 dr,

insbesondere L(¢) =

also s'(t) = 1¢'(t)1 in I,

lb

1¢'(t)1 dt .

Die Integraldarstellung besteht nach 5.11 (f) auch dann, wenn ¢ nur stUckweise stetig difJerenzierbar ist. Beweis. Es sei a ~ tl < t2 ~ b. Aufgrund von 5.11 (d)(f) ist S(t2) - s(td = L(¢I[tI, t2]) ~ 1¢(t2) - ¢(tdl ~ 0 und im Fall ¢(td 1= ¢(t2) sogar > O. Damit ist die Monotonie nachgewiesen. Flir den Stetigkeitsbeweis betrachten wir eine Zerlegung Z = (to, ... , t p ) von I. Mit den Bezeichnungen Ii = [ti-1. til, ¢i = ¢Ih lY.i = I¢(ti) - ¢(ti-I)I ist t(Z) = L>i, L(¢) = I L(¢i) und lY.i ~ L(¢J nach 5.11 (d)(f), also fUr festes k L(¢d - IY.k ~

L (L(¢i) -

lY.i)

= L(¢) -

t(Z) .

Bestimmt man nun zu 8 > 0 zunachst ein c5 > 0 derart, daB I¢(t) - ¢(s)1 < 8 fUr It - sl < c5 ist, und sod ann eine Zerlegung Z mit IZI < c5 und L(¢) t(Z) < 8, so folgt IY.k < 8 und damit L(¢d < 8 + IY.k < 28, und zwar fUr aIle k. Wegen L(¢k) = S(tk) - s(tk-d und der Monotonie von s(t) bedeutet dies, daB als Unstetigkeitsstellen hochstens Sprlinge < 28 auftreten konnen, und daraus folgt dann die Stetigkeit von s, da 8 beliebig wahl bar ist. Nun sei ¢ in I stetig differenzierbar. Zu 8 > 0 gibt es dann ein c5 > 0 derart, daB aus Is - tl < c5 folgt I¢'(s) - ¢'(t)1 < 8. Es seien tl, t2 mit tl < t2 < tl + c5 fest gewahlt. 1m Intervall I' = [tl, t2] c I betrachten wir neben ¢ den linearen Weg 4>(t) = ¢(td + (t - tl)¢'(td sowie den durch 1p = ¢ - 4> beschriebenen Weg. Nach 5.11 (a) hat der Weg 4> die Lange L(4);I') = (t2 - tl)I¢'(tdl- Flir die Funktion 1p ist 11p'(t)1 ~ 8 in 1', also L(1p;1') < 8(t2 -td nach 5.11 (b). Aus 5.11 (c) folgt dann

IL(¢;I') - L(4);I')1 ~ L(1p;I') ~ 8(t2 - td oder, wenn man die Werte einsetzt,

IS(t2)t2 --

s(td -I¢'(tdll < tl

8

fUr tl < t2 < tl + c5 .

5.13 Aquivalente Darstellungen, Orientierung

163

Das bedeutet gerade, daB die rechtsseitige Ableitung von set) an der Stelle existiert und den Wert 14>'(t1)1 hat. Fiihrt man denselben Beweis mit ;p = 4>(t2) + (t - t2)14>'(t2) I durch, so ergibt sich s'jt2) = W(t2)1. Also ist s'(t) = 14>'(t)1 in I. Hieraus folgt die Darstellung von set) durch Integration; die Funktion WI ist namlich stetig nach 2.1 (c). 0 t1

Mit dieser wichtigen Integraldarstellung der Weglange konnen wir nun Weglangen berechnen. Sie hat iibrigens eine einfache mechanische Erklarung. Die GroBe 14>'(t)1 stellt die (richtungslose) momentane Geschwindigkeit dar, wie sie von einem Tachometer gemessen wird, und das Integral iiber die Geschwindigkeit ergibt den zuriickgelegten Weg (das wird anhand der entsprechenden Riemann-Summe besonders anschaulich). Beispiele. Man rechnet ohne Muhe nach, daB der in Beispiel 1 von 5.10 angegebene Jordanweg fUr die Strecke ab die Lange la - bl hat. Hieraus und aus (d) ergibt sich, daB dieser Jordanweg der kurzeste, die beiden Punkte a und b verbindende Weg ist. Aus (f) folgt dann, daB der Weg von Beispiel 2 fUr den Polygonzug P (ao, ... , ap ) die Lange lao - all + ... + lap-l - apl besitzt. Der Weg von Beispiel 3 fUr den Einheitskreis, ¢(t) = (cos t, sin t) (0 :0; t :0; 2n), hat die Lange 2n, da WI = 1 ist. Wir kommen darauf in 5.14 im Zusammenhang mit der Bogenliinge zuruck. Dort sind weitere Beispiele zu tinden.

5.13 Aquivalente Darstellungen, Orientierung. Wir nennen zwei Darstellungen 4>II und tplJ derselben Kurve C aquivalent, 4> '" tp, wenn es eine monoton wachsende, stetige Bijektion h : J -+ I gibt, sodaB tp(r) = 4>(h(r)) fUr r E Jist. Anschaulich bedeutet dies, daB die Kurve C in derselben zeitlichen Reihenfolge, mit denselben mehrfach durchlaufenen Strecken, ... , aber mit verschiedener Geschwindigkeit durchlaufen wi rd. Da die Bijektion h jeder Zerlegung Z' von J mit den Zwischenpunkten ri eine entsprechende Zerlegung Z von I mit den Zwischenpunkten ti = h(ri) zuordnet (und umgekehrt) und da die zugehorigen Kurvenpunkte gleich sind, Xi = 4>(ti) = tp(ri), folgt feZ) = feZ'), d.h. L(4)) = L(tp). Man priift leicht nach, daB", eine Aquivalenzrelation in der Menge aller Parameterdarstellungen von C ist. Ein Weg besitzt eine Orientierung, die Funktion 4> beschreibt, in welcher (im mechanischen Bild zeitlichen) Reihenfolge er durchlaufen wird. Durch Umorientie rung entsteht aus 4>II der Weg 4>-11 gemaB 4>-(t) = 4>(a + b - t), t E 1 = [a, b]. Beide Wege erzeugen dieselbe Kurve, jedoch sind Anfangs- und Endpunkt vertauscht, und der Bewegungsablauf verlauft umgekehrt, wie wenn man einen Film von hinten ablaufen laBt. Auch hier iiberzeugt man sich leicht davon, daB 4> und 4>- dieselbe Weglange haben. Fassen wir zusammen: (a) Es ist L(4))

= L(4)-) und aus 4> '" tp folgt L(4)) = L(tp).

Der folgende Satz zeigt, daB es fUr Jordanwege im wesentlichen, d.h. bis auf Aquivalenz und Umkehrung, nur eine einzige Darstellung gibt.

Satz. Es seien 4>II und tplJ zwei Jordanwege, welche dieselbe Jordankurve C 4>(I) = tp(J) erzeugen. Dann gibt es genau eine stetige Bijektion h : J -+ 1 derart, dafJ tp = 4> 0 h ist; sind die Wege 4> und tp glatt, so ist hEel (J) und h' =1= 0 in J.

164

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

Daraus folgt, daft entweder 11' '" ¢ oder 11' '" ¢- gilt, je nachdem, ob h monoton wachsend oder fallend ist.

I

J

Die Bijektion h =

r

cp-l 01p

Beweis. Nach 2.12 ist ¢-l : C ~ ] und damit auch h := ¢-l 011' : J ~ ] stetig und bijektiv, und es ist ¢ 0 h = ¢ 0 ¢-l 011' = 11'. Da sich aus 11' = ¢ 0 h die Gleichung ¢-l 011' = ¢-l 0 ¢ 0 h = h ergibt, sind Existenz und Eindeutigkeit von h bewiesen. SchlieBlich folgt aus dem Zwischenwertsatz, daB eine stetige und bijektive Abbildung h : J ~ IR streng monoton ist; vgl. Aufgabe 1.6.11. DifJerenzierbarkeit von h. Es sei ro E J und to = h(ro). Da ¢'(to) i= 0 ist, gibt es einen Index j mit ¢j(to) > 0 (z.B.). Dann ist ¢j(t) > 0 in einem Intervall [' c [, welches to enthiilt. Zu [' gehort ein Intervall J' c J mit l' = h(J'). In [' ist ¢ j streng monoton wachsend, und nach Satz 1.10.7 ist die Umkehrfunktion ¢jl im Intervall ¢j(I') stetig differenzierbar. Aus tp(r) = ¢(h(r» folgt tpj(r) = ¢j(h(r», also h(r) = ¢jl(tpj(r» in J'. An dieser Darstellung erkennt man, daB h E C1(J') ist. Aus 11' = ¢(h) ergibt sich nun 11" = ¢'(h)h', und wegen 11" i= 0 folgt daraus Wi=Q

0

Ein Jordanweg ¢I] priigt auch der zugehorigen Jordankurve C = ¢(I) eine Orientierung auf; da die Abbildung injektiv ist, liiBt sich eindeutig sagen, welcher von zwei Kurvenpunkten frtiher und welcher spiiter erreicht wird. Da zwei iiquivalente Darstellungen dieselbe Orientierung liefern, besitzt C genau zwei (durch Jordanwege erzeugte) Orientierungen. Ebenso wird eine geschlossene Jordankurve durch den zugehorigen geschlossenen Jordanweg orientiert; er gibt an, in welcher zyklischen Reihenfolge drei Kurvenpunkte stehen (wenn man tiber den Anfangspunkt (= Endpunkt) weitergeht). 5.14 Die Liinge einer Kurve. So lange es erlaubt ist, auf der Kurve C = ¢(I) auch hin- und herzugehen, wird die Wegliinge nichts mit der (wie auch immer erkliirten) Liinge der Kurve C zu tun haben. Betrachtet man jedoch eine von dem Jordanweg ¢I] erzeugte Jordankurve C = ¢(I), so zeigt der vorangehende Satz, daB jeder andere die Kurve C erzeugende Jordanweg 11' entweder zu ¢ oder zu
5.14 Die Lange einer Kurve

165

Jordaniihnliche Wege und Kurven (J-Wege und J-Kurven). Urn aueh anderen Kurven, etwa einem Kreis, einer Lemniskate oder einer Epizykelkurve eine Lange zusehreiben zu konnen, mussen wir diese Definition erweitern. Wir betraehten dazu die Klasse der "jordanahnliehen" Kurven, die - grob gesagt - nur endlieh viele Doppelpunkte haber!. 1m folgenden nennen wir, wenn ¢II ein Weg, C = ¢(l) und 1° das Innere von I ist, die Menge CO := ¢W) das Innere der Kurve C und bezeiehnen Anfangs- und Endpunkt aueh als Randpunkte. Der Weg ¢II heiBt jordaniihnlich, wenn es eine Darstellung ¢ = ¢l ® ... ® ¢p gibt mit der Eigensehaft, daB die ¢k Jordanwege sind und die zugehorigen Jordankurven Ck hoehstens Randpunkte gemeinsam haben, anders gesagt, wenn es eine Zerlegung Z = (to, ... , tp) von I mit den Teilintervallen h = [tk-l, td gibt, so daB die ¢k = ¢Ih Jordanwege, die Mengen cg = ¢(lk) paarweise disjunkt und die Randpunkte von Ck nieht innere Punkte von Cj sind. Die von ¢ erzeugte Kurve wird dann ebenfalls jordaniihnlich genannt. Jordanahnliehe Wege und Kurven bezeiehnen wir kurz als J-Wege und J-Kurven. Zu den J-Kurven gehoren unter anderem gesehlossene Jordankurven, Kurven von der Form einer 8 und aueh das vierblattrige Kleeblatt aus 1.11.9. Fur J-Kurven konnen wir die obige Langendefinition ubertragen. Definition und Satz. Aile jordaniihnlichen Wege, welche ein und dieselbe (jordaniihnliche) K urve C erzeugen, haben dieselbe Wegliinge. Sie wird mit L( C) bezeichnet und die (Bogen- )Liinge von C genannt.

Beweis. Es seien ¢II und lplJ zwei J-Wege mit C = ¢(l) = lp(J) und ¢ = ¢l ® ... ® ¢P' lp = lpl ® ... ® lpq zugehorige Zerlegungen in Jordanwege gemaB der obigen Definition. Die entsprechenden Teilpunkte, Teilintervalle und Teilkurven werden mit ti, Ii = [ti-l, til, Ci = ¢(li) und Tj, Jj = [Tj_\, Tj]' Dj = lp(Jj) bezeichnet. Durch weitere Unterteilung kann erreieht werden, daB jeder Endpunkt ¢(ti) unter den Endpunkten lp(Tj) vorkommt, und umgekehrt. Dies wollen wir im folgenden annehmen. Es genugt zu zeigen, daB flir beliebige Indizes i und j entweder C? n D7 = f/J oder Ci = Djist. 1m zweiten Fall folgt aus der obigen Betraehtung uber Jordankurven L(Ci) = L(¢i) = L(lpj). Hieraus ergibt sieh dann die Behauptung L(¢) = I,L(¢;) = I,L(lpj) = L(lp), insbesondere p = q. Nun sei x E C? n D7, etwa x = ¢(t) = lp(T) mit t E It, T E Jj. Mit l' = [s', t'] bezeichnen wir das groBte, den Punkt t enthaltende Teilintervall von Ii mit ¢(l') c Dj (aus Stetigkeitsgrunden ist l' abgesehlossen). Angenommen, es sei l' Ii und etwa t' < ti. Naeh der oben vollzogenen Unterteilung ist ein innerer Punkt von Ci nieht Randpunkt von D j. Deshalb gehort der Punkt y = ¢(t') zu und er hat einen positiven Abstand von der kompakten Menge C \ Also liegen flir kleine h > 0 die Punkte ¢(t' + h) in D7 im Widersprueh zur Definition von 1'. Also ist l' = Ii und Ci c Dj . Dieselbe Beweisidee liefert aueh Dj c Ci , also Ci = Dj . Damit ist der Unabhangigkeitsbeweis abgesehlossen. 0

+

D7,

D7.

Corollar. Besitzt die J-Kurve C eine stiickweise stetig difJerenzierbare jordaniihnliche Darstellung ¢ : I -> lRn, so liijJt sich ihre Liinge nach Satz 5.12 als Integral bestimmen,

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

166

L(C) =

lb

J¢'(t)J dt

Lange der Kurve C = ¢(/) .

Wir notieren zwei Sonderfalle.

Explizite Darstellung. Die durch y ebene Jordankurve hat die Lange L

=

= f(x) (a

lb vil

~ x ~ b) mit fEe' [a, b] dargestellte

+ P(x) dx .

Das ergibt sich aus der Parameterdarstellung ¢(t) = (t,f(t» des zugehorigen Jordan weges.

Darstellung in Polarkoordinaten. Die Funktion f sei in [ex, {1] nichtnegativ und stlickweise stetig differenzierbar, und die Gleichung r = f(¢) (ex ~ ¢ ~ p) stelle eine jordanahnliche Kurve dar (fUr {1 - ex < 2n und f > 0 handelt es sich immer urn eine Jordankurve). Aus der entsprechenden Parameterdarstellung (vgl. Beispiel 9 von 5.10) x

= f (¢) cos ¢,

y = f (¢) sin ¢,

ex

~

¢

~

{1 ,

ergibt sich wegen x'2

+ y'2 = (f' cos ¢ -

f sin ¢)2

+ (f' sin ¢ + f cos ¢)2 = f2 + f'2

die Lange der Kurve zu

Beispiele. 1. Das Bogenmaj3. Nun sind wir endlich in der Lage, das BogenmaB eines Winkels anhand des Einheitskreises zu erklaren. In I.7.l6 war die Frage offen geblieben, und wir haben uns mit dem Nachweis beholfen, daB das BogenmaB x des Winkels LAO B, wobei A = (1,0), 0 der Nullpunkt und B = (cos x, sin x) ist, gleich der doppeJten Flache des Kreissektors AOB ist; vgl. 1.7.16, S. 152 und S. 156. Jetzt macht es keine Miihe, die Lange des durch 4>(t) = (cos t, sin t), 0 ::;; t ::;; to (::;; 211:), bestimmten Kreisbogens C zu berechnen: Aus 14>'(t)1 = I folgt L(C) = to. Diesem Ergebnis verdankt das BogenmaB seinen Namen. 2. Die Lange der Strecke xy betragt, wie nicht anders zu erwarten, Ix - YI. Der Polygonzug mit den Ecken XO,Xl,""Xp hat, so fern er jordanahnlich ist, die Lange Ixo - xII + ... + IXp-1 - xpl· Beides ergibt sich aus der Definition anhand der im Beispiel von 5.11 durchgeftihrten Berechnung der Weglange. 3. Als Lange des Ellipsenbogens x = a cos t,

erhalt man L=

l

to

Y = b sin t ,

o ::;; t ::;; to

Va 2 sin 2 t+b 2 cos 2 tdt=a

l

~

211: ,

t o v'1-e 2 cos 2 tdt.

J

Dabei ist a die groBe und b die kleine Halbachse und e = 1 - ~ die (numerische) Exzentrizitat der Ellipse. Dieses Integral kann nicht geschlossen ausgewertet werden.

5.14 Die Lange einer Kurve

167

Es gehort zur Gattung der eJliptischen Integrale, die ihren Namen von diesem Beispiel ableiten; vgl. § 1.12, Aufgabe 11. EJliptische Integrale und ihre U mkehrfunktionen, die elliptischen Funktionen, bildeten im 19. Jahrhundert ein zentrales Thema. Urn ihre Theorie haben sich u.a. Legendre, GauB, Abel, Jacobi, Liouville, WeierstraB und Hermite verdient gemacht.

4. Die Neilsche Parabel y = X 3/2 (vgl. die historische Einleitung vor 5.10). Der zugehorige Jordanweg cp(t) = (t, t3/2 ) hat, wenn wir das Intervall [0, b] betrachten, die Wegliingenfunktion s(t)

=

l 'Vr:T

1 + 4" x dx

0

=

8 (

27

9 3/21' 1 + 4" x) 0

=

(94 + t )3 /2

8 27 .

Das dem Intervall 0 :::;; x :::;; 1 entsprechende Kurvenstiick hat also die Lange L

8) "'" 1,43971

= s(l) = 217 (v'2197 -

.

Y y

7[

Y

y=x2/

I

I

I

2

~_I~H-J-II---

x

o........,,'----x

O&.O<::'---------'--x Die Neilsche Parabel

Die nicht rektifizierbare Kurve y = x 2 cos 7[ / x 2

Die Archimedische Spirale

5. Die Archimedische Spirale. Das im ersten Quadranten liegende Anfangsstiick der Spirale r = cp, 0 :::;; cp :::;; ~ hat die Lange

L=

11 ~dCP 1

=

1

2CP~+2Iog

=!

8

7[ vi4 + 7[2 +

•

(cp+

! log! 2

2

~)I:

(7[ +

vi4 + 7[2) "'" 2,0792 .

6. Eine nicht rektijizierbare lordankurve. Durch cp(O)

o<

= 0, cp(t) = (t, t 2 cos ;I) fUr

t :::;; 1 wird eine ebene Jordankurve definiert. Es ist cp (

daraus erhalt man, wenn Z =

ft)

=

(tn, ~), und

(0, ft, ).=1' ... ' ~, 1) ist, ohne Miihe die Abschatzung

= 00, d.h. diese Kurve ist nicht rektifizierbar. Dabei ist die Funktion cp sogar differenzierbar in I = [0, 1], jedoch nicht stetig differenzierbar in

t(Z) > l+~+. .. +~. Es ist also supt(Z) I.

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

168

Bemerkung. Die Kurvenlange ist unabhangig von der speziellen Parameterdarstellung. Zu fragen bleibt aber, warum wir den Begriff auf dem "mechanischen" Umweg iiber die Weglange erklart haben. Die Antwort hat zwei Seiten. Zum einen sind die uns interessierenden Kurven durch Parameterdarstellungen einfach zu beschreiben, und, was noch wichtiger ist, mit dieser Darstellung laBt sich die Lange berechnen! Von einem iibergeordneten maBtheoretischen Gesichtspunkt ist die Kurvenlange ein gewisses MaB, namlich das eindimensionale MaB von Punktmengen im R". Daftir gibt es Theorien von sehr allgemeiner Natur, etwa das Hausdorffsche eindimensionale MaB (F. HAUSDORFF, Dimension und iiufJeres Map, Math. Annalen 79 (1918), 157-179). Dieser "Langenbegriff" orientiert sich nur an der gegebenen Punktmenge und ist v5llig unabhangig von einer eventuell existierenden Parameterdarstellung. Fiir jordanahnliche Kurven stimmt er mit der Bogenlange iiberein. Das Hausdorff-MaB wird in den Aufgaben 9.8-10 kurz besprochen; dort wird auch ein Beweis der letzten Behauptung skizziert.

5.15 Die Bogenlinge als Parameter. Unter den verschiedenen Parameterdarstellungen eines J-Weges ist jene durch besondere Eigenschaften ausgezeichnet, bei welcher die Bogenlange als Parameter auftritt. Es sei ¢II mit I = [a, b] ein rektifizierbarer J-Weg, C = ¢(l) und s(t) = L(¢I[a,t]) die zugehorige Weglangenfunktion. Fur a < t .:::; b ist auch Ct = ¢([a, t]) eine J-Kurve, und ihre Lange ist gleich s(t). Bei J-Wegen spricht man deshalb auch von der Bogenliingenfunktion s(t). Nach Satz 5.12 und der Definition des J-Weges ist die Funktion t ~ s(t) in I offenbar stetig und streng monoton wachsend; ihre im Intervall J = [0, L(¢)] definierte Umkehrfunktion s ~ t(s) hat also dieselben Eigenschaften. Die Kurve C kann nun durch tp(s) := ¢(t(s)) ,

0:.:; s :.:; L(¢) ,

dargestellt werden. Die beiden Wege ¢II und tpl [0, L(¢)] sind aquivalent. Bezeichnet a(s) die Weglangenfunktion von tp, so gilt a(s) = s(t(s)) = s, d.h. die Liinge des Teilweges tp 1[0, s] ist gerade gleich s. Dieser Sachverhalt ist gemeint, wenn man von der Bogenlange als Parameter spricht. 1st C eine glatte Kurve, so ist s'(t) = 1¢'(t)1 stetig und =1= 0. Damit sind auch die Umkehrfunktion t(s) und tp(s) = ¢(t(s)) stetig differenzierbar. Die Wegliingenfunktion a(s) von tp ist gleich s, und aus der Formel a'(s) = Itp'(s)1 von Satz 5.12 ergibt sich Itp'(s)I = 1. 1m mechanischen Bild besagt das Ergebnis: Wenn man sich so bewegt, daB der zuruckgelegte Weg zur "Zeit" s gerade s betragt, so ist die Geschwindigkeit gleich 1. Fassen wir zusammen:

°.: :;

Satz. Eine rektijizierbare jordaniihnliche Kurve C besitzt eine jordaniihnliche Paras :.:; L(C), bei welcher s den zuriickgelegten Weg angibt, meterdarstellung tp(s), s = L(tpl [0, s]). 1st die Kurve C glatt, so ist tp stetig dijJerenzierbar und Itp'(s)I = 1. Unter den (unendlich vielen) Darstellungen einer Kurve ist jene mit der Bogenliinge als Parameter in naturlicher Weise ausgezeichnet. Man spricht deshalb auch von einer normierten Darstellung. Der Parameter s hat eine geometrische, nur von der Kurve und ihrer Orientierung abhangende Bedeutung, und die entsprechende Darstellung tp(s) ist eindeutig bestimmt (bei geschlossenen Kurven: bis auf die Wahl des Anfangspunktes). So hat etwa eine Jordankurve der Lange

5.l6 Tangente und Normalenebene

169

L entsprechend den beiden Orientierungsmoglichkeiten genau zwei normierte Darstellungen tp{s) und tpl (s) = tp{L - s). Zwei Beispiele. 1. Fur den Kreis im R" vom Radius r mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt,

der in der durch Darstellung
~

und tI aufgespannten Ebene liegt, wurde in Beispiel 12 von 5.l0 die

= r(~ cos t + tI sin t) mit

I~I

= Itli = 1,

~. tI

= 0, 0::; t ::; 2n

abgeleitet. Die entsprechende normierte Darstellung lautet 1p(s) = r ( ~ cos

~ + tI sin ~),

0::; s ::; 2nr .

2. Fur die Neilsche Parabel
5.16 Tangente ond Normalenebene. Es sei 4>11 ein glatter Jordanweg (also 4>'{t) =f 0) und C = 4>(1). Man nennt r{to) = 4>'{to) den Tangentenvektor (auch Tangentialvektor) an die Kurve C im Kurvenpunkt Xo = 4>{to) und die Gerade durch Xo in Richtung 4>'{to) die Tangente im Punkt Xo. In der mechanischen Deutung ist 4>'{to) nach GroBe und Richtung die momentane Geschwindigkeit. Eine Parameterdarstellung der Tangente lautet (T)

x

= 4>{to) + t4>'{to)

(-oo < t < 00) .

Die Tangente kann aufgefaBt werden als Grenzlage der entsprechenden Sekanten (Geraden durch die Kurvenpunkte Xo = 4>{to) und XI = 4>{td), x=xo+

XI

tl

-Xo t - to

(-oo
wenn man tl - to streben laBt, und der Tangentenvektor ist der Limes der entsprechenden Vektoren (XI - XO)/(tl - to), welche die Richtung der Sekante angeben. Fur die Funktion 4> gilt nahe bei to 4>{t) = Xo

+ 4>' (to)(t -

to)

+ o{t -

to)

fUr t - to - 0 .

Der lineare Teil X = xo+4>'{to)(t-to) stellt die Tangente dar (wobei der Parameter gegenuber (T) so verschoben ist, daB fUr t = to der Wert Xo herauskommt). Dieser Tatbestand ist gemeint, wenn man sagt, die Tangente stelle eine lineare Approximation an die Kurve dar. 1st tpl1 eine weitere glatte Darstellung von C, so gilt tp{u) = 4>{h(u)) mit h E CI{J) und h' =f 0; vgl. 5.13. Nach der Kettenregel ist tp'{u) = 4>'{h{u))h'{u). Daraus folgt, daB die durch 4> und tp erzeugten Tangentenvektoren im Punkt Xo E C auf dieselbe Tangente fUhren. Die zum Tangentenvektor r = r{to) = 4>'{to) orthogonale Hyperebene durch den Punkt Xo heiBt Normalenebene, jeder zu r orthogonale Vektor v = v{to) =f 0

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

170

ein Normalenvektor zur Kurve C im Punkt Xo. Ein Normalenvektor v ist durch v . r = 0, die Normalenebene im Punkt Xo durch (x - xo) . '(to)

=0

Gleichung der Normalenebene

beschrieben. Ein Tangenten- oder Normalenvektor heiBt normiert, wenn er die Lange 1 hat. Bei der Darstellung mit der Bogenlange als Parameter ist der Tangentenvektor normiert; vgl. den vorangehenden Satz.

v

Tangentenvektor r und positiver Normalenvektor v

Tangente T als Grenzlage von Sekanten SI. S2,···

5.17 Ebene Kurven, positive Normalen. In der Ebene ist ein positiver Drehsinn (entgegen dem Uhrzeiger) definiert. Dreht man den Vektor a = (ai, a2) in positivem Sinn urn den Winkel n12, so erhalt man den Vektor a-L = (-a2,al), der auch GrajJmannsche Ergiinzung von a genannt wird. In komplexer Schreibweise ist a-L = ia. Offen bar ist (a) a· a-L = 0 und det (a,a-L) = lal 2 . Nun sei C eine ebene, durch (t) = (x(t), y(t)) dargestellte Kurve und r = '(to) der Tangentenvektor im Kurvenpunkt (to). AIle Normalen sind dann

durch v = .kr-L mit A =1= 0 gegeben. 1st dabei A > 0 oder, was nach (a) dasselbe bedeutet, det(r, v) > 0, so nennt man v eine positive Normale. Es gibt genau eine normierte positive Normale v = r-L Ilrl. Sie geht aus der normierten Tangente r/lrl durch Drehung urn nl2 im positiven Sinn hervor. Komponentenweise sind der Tangentenvektor und ein positiver Normalenvektor gegeben durch

c: c:

x=(t),

y

= f(x)

y = 1jJ(t)

=

=

r

= (',1jJ'), v = (-1jJ','),

r

=

(1,f'),

v = (-f', 1) .

Eine glatte geschlossene Jordankurve C in der Ebene heiBt positiv oder entgegen dem Uhrzeigersinn orientiert, wenn das Innengebiet G "links liegt", andernfalls negativ oder im Uhrzeigersinn orientiert. 1m ersten Fall nennt man die positive Normale auch innere Normale, wei I sie nach G hineinweist. Z.B. ist die in der iiblichen Weise parametrisierte Ellipse (x, y) = (a cos t, b sin t) (O::s;; t ::s;; 2n) positiv orientiert. Eine geschlossene Kurve in Polarkoordinaten r = f(,f( ::s;; 2n mit f(O) = f(2n)) ist immer positiv orientiert.

171

5.18 Krlimmung und Krlimmungsradius

Bemerkung fiber die Umlaufzahl. Eine Moglichkeit, die positive Orientierung exakt zu definieren, benutzt den Begriff der UmlauJzahl, den wir kurz erkHiren. Ein Weg, der den Nullpunkt nicht trifft, laBt sich in Polarkoordinaten darstellen, in komplexer Schreibweise (x(t), yet)) = z(t) = r(t)eiljJ(t) mit ret) = Iz(t) I, ¢(t) = arg z(t), tEl = [a, b]. Hier muB man sich tiberlegen, daB eine soIche Darstellung mit stetigem ¢ moglich ist. In den beiden Halbebenen Re z > 0 bzw. < 0 kann man die Formeln ¢ = arctany/x, in den Halbebenen 1m z > 0 bzw. < 0 die Formeln ¢ = arccot x/y benutzen. Es gibt eine Zerlegung (ti) des Intervalls I in abgeschlossene Teilintervalle h, so daB jeder Teilweg zlh in einer dieser vier Halbebenen verlauft. Man benutzt in h die entsprechende Formel fUr ¢ und wahIt dabei jenen Funktionszweig aus, der einen stetigen AnschluB an der Stelle z(tk-d garantiert. Man sieht leicht, daB dam it die Funktion ¢ E C(I) bis auf VieIfache von 2n eindeutig bestimmt ist. 1st nun zll ein geschlossener Weg, so definiert man 1

U = 2n {¢(b) - ¢(a)}

UmlauJzahl von z = r(t)eiljJ(t) .

Wegen z(a) = z(b) ist U eine ganze Zahl. Entsprechend definiert man die Umlaufzahl Ux des geschlossenen Weges zll urn einen Punkt x €J- z(I) als Umlaufzahl des Weges t 1--+ z(t) - x urn den Nullpunkt, d.h. anhand einer Darstellung z(t) = x + r(t)eiljJ(t) mit stetigen Funktionen r > 0 und ¢. Variiert hierbei x in einem zur Menge z(I) disjunkten Gebiet G, so ist die Umlaufzahl Ux in G konstant. 1st insbesondere zll ein geschlossener 10rdanweg, so zerlegt die erzeugte 10rdankurve C = z(I) den lR2 in zwei Gebiete, ein beschranktes Innengebiet Gi und ein unbeschranktes AuBengebiet Ga (lordanscher Kurvensatz), und es ist Ux = 0 in Ga und Ux = 1 oder Ux = -1 in Gi (dies soli hier nicht bewiesen werden). 1m ersten Fall wird C positiv orientiert, im zweiten Fall negativ orientiert genannt. In Lehrbtichern der Funktionentheorie werden diese Fragen ausfUhrlich behandeIt, insbesondere bei R.B. Burckel, An Introduction to Classical Complex Analysis, Vol. 1 (Birkhauser 1979).

5.18 Kriimmung und Kriimmungsradius. Wir benotigen zwel III 4.2 bewiesene Rechenregeln. Das innere Produkt zweier Elemente x, y E IRn wird mit x . y bezeichnet. Ftir zwei differenzierbare Funktionen aCt), f3 (t) : 1 - IRn existieren die im folgenden auftretenden Ableitungen, und es ist (a) (a· f3)' (b)

= a' . f3 + a . p' ,

lallal' = a· a',

falls a =F O.

Wir betrachten eine glatte Jordankurve C im IRn, welche eine zweimal stetig differenzierbare Parameterdarstellung 0 nach (b) zweimal stetig differenzierbar (man setze a =
(c) s's"=
Normierte Darstellung mit der Bogenliinge als Parameter. Die Kurve C sei also durch die Funktion 1p(s) E C 2 [O, L] dargestellt (L = Lange von C). Dann ist der

172

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

Tangentenvektor t(s) = tp'(s) im Punkt x = tp(s) automatisch normiert, und aus der Gleichung tp' . tp' = 1 folgt nach (a) tp' . tp" = O. Die Vektoren tp' und tp" stehen also aufeinander senkrecht, d.h. tp"(t) ist ein Normalenvektor im Punkt x = tp(s). Man nennt K(S)

und, falls tp" (s)

=1=

= Itp" (s) I

die Kriimmung

0 ist, tp" (s)

v(s)

1 r(s) = K(S) /1(s)

den Hauptnormalenvektor,

= Itp" (s) I

= tp(s) +

Itp" (s) I tp" (s) Itp"(s)12

den Kriimmungsradius, den Kriimmungsmittelpunkt

der Kurve im Kurvenpunkt x = tp(s). Wir betrachten nun einen festen Kurvenpunkt Xo = tp(so) und bezeichnen die zugehorigen GroBen mit to,··., /10. Der Kreis yom Radius ro mit dem Mittelpunkt /10, welcher durch Xo geht und die Kurventangente to zur Tangente hat, wird Kriimmungskreis oder Schmiegkreis (im Kurvenpunkt xo) genannt. Die Parameterdarstellung x = w(s) des Kriimmungskreises mit der Bogenliinge als Parameter lautet nach Beispiel 1 von 5.15 (mit = -Vo, '1 = to)

e

(K)

s - so} s - So w(s) = /10 + ro { to sin - - - Vo cos - ro ro

Kriimmungskreis

mit /10 = Xo + rovo. Dabei haben wir den Parameter so verschoben, daB fUr s = So der Beriihrungspunkt w(so) = Xo herauskommt. Die Bedeutung des Kriimmungskreises ergibt sich, wenn man im Punkt So die Ableitungen von w berechnet:

w' (so) = to = tp' (so),

Vo "() w "() So =-=tp so. ro

Die ersten und zweiten Ableitungen von tp und w stimmen also an der Stelle So iiberein. Die Taylorentwicklungen der beiden Funktionen bis zu den Gliedern von zweiter Ordnung sind damit identisch, und daraus folgt, daB die Funktion w die Wegfunktion tp an der Stelle So von zweiter Ordnung approximiert, tp(s) - w(s) = o((s-so)2) fUr S-So -+ O. Weiter erkennt man leicht, daB der Kriimmungskreis der einzige Kreis mit dieser Eigenschaft ist. Stellt man namlich irgendeinen anderen Kreis im JR." durch seine Wegfunktion WI (s) in der Form (K) mit /11, tl, VI und rl dar, so folgt aus w'(so) = w~ (so) zunachst to = tl, aus'w"(so) = w~(so) sodann Vo = VI und ro = rl und aus w(so) = WI (so) schlieBlich /10 = /11. Durch die Forderung der Approximation von zweiter Ordnung wird also der Kriimmungskreis unter allen Kreisen eindeutig herausgehoben. Etwas lose formuliert:

Der zu einem Kurvenpunkt gehiirige Kriimmungskreis ist der eindeutig bestimmte Kreis mit der Eigenschaft, dafJ er die Kurve in diesem Punkt von zweiter Ordnung beriihrt.

5.18 Kriimmung und Kriimmungsradius

173

Kriimmungskreis der Archimedischen Spirale r = 4; flir 4;0 = IT

Beliebige Parameterdarstellung. Die glatte Kurve C sei jetzt durch ¢II mit ¢ E C 2(I) und ¢' =f 0 dargestellt. Bezeichnet s(t) die zugehorige BogenHingenfunktion (vgl. 5.15), so gilt tp(s) = ¢(t(s)), und durch Differentiation der Gleichung ¢(t) = tp(s(t)) ergibt sich (das Argument t ist weggelassen)

¢" = tp" (S)s,2 + tp' (s)s" .

¢' = tp' (s)s', Mit (c) erhalt man tp"(S)S,4

und durch Quadrieren wegen s'

= ¢"s,2 - ¢'(¢' . ¢")

= WI

Itp"(s)1 2s'8 = 1¢"1 2s,4 + WI2(¢' . ¢")2 _ 2(¢' . ¢")2 S'2

= s,2 {1¢"1 21¢'1 2 _ (¢' . ¢")2} . FUr die KrUmmung und den KrUmmungsmittelpunkt im Kurvenpunkt x ¢(t) = tp(s) ergeben sich die Werte K(t) _

t

=

JI¢"121¢'12 _ (¢' . ¢")2 WI 3

Kriimmung,

¢"WI 2 -¢'(¢"¢"),'2

J-l(t) - ¢( ) + W'1 21¢'1 2 _ (¢" ¢")2 I¢ I

Kriimmungsmittelpunkt.

Der Kriimmungsradius hat den reziproken Wert r(t)

= l/K(t).

Beispiel. In 5.10, Beispiel 11, wurde die Schraubenlinie 4;(t) = (r cos t, r sin t, at) eingeflihrt. Aus den beiden Gleichungen 4;' = (-r sin t, r cos t, a) und 4;" = (-r cos t, -r sin t, 0) erhiHt man 4;' . 4;" = 0 .

Die Kriimmung hat, wie zu erwarten war, einen konstanten, von t unabhangigen Wert

W'I WI 2

r

K=-=-r2

+a2

.

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

174

Fiir den Kriimmungsmittelpunkt erhlllt man nach einfacher Rechnung lI(t)

r

=

A.

'Y

(a

2 I/>"WI +-2 = - -r cos t 11/>"12 '

a 2

- sin t at ) r

'

.

Der Kriimmungsmittelpunkt hat also diesel be Hohe at wie der Kurvenpunkt. Er liegt auf der Geraden durch die Punkte P = (0,0, at) und I/>(t), und zwar von P aus betrachtet auf der dem Kurvenpunkt I/>(t) gegeniiberliegenden Seite im Abstand a2 /r. Fiir a = 0 degeneriert die Schraubenlinie zu einem Kreis, und es ist K = l/r und fl = 0, wie zu erwarten war. Fur a = r wird K = 1/2r und flIt) = (-rcost,-rsint,rt) (,Spiegelung' von I/> an der z-Achse).

5.19 Ebene Kunen. Der Fall n = 2 ist insofern ein Sonderfall, als es hier nur zwei normierte Normalen gibt, von denen wir eine bereits als positive Normale v ausgezeichnet haben. Zuniichst betrachten wir die normierte Darstellung von emit der Wegfunktion 1p(s). Dann ist r = 1p'(S) die normierte Tangente und v = r.l die normierte positive Normale im Kurvenpunkt 1p(s); vgl. 5.17. Die Kriimmung wird in bezug auf die positive Normale durch

=

1p" (s)

=

definiert. Nach 5.17 (a) ist det(r, v)

K(S)

= det

(1p',1p")

K(S)V (s)

1, also

Kriimmung im Kurvenpunkt 1p(s)

sowie IK(S)I = 11p"(S)I (in 5.18 haben wir dagegen K(S) = 11p"(S)I definiert). Die Kriimmung erhiilt also ein Vorzeichen, das die Lage des Kriimmungskreises bestimmt. 1st K > 0, so liegt der Kriimmungsmittelpunkt in Richtung der positiven Normale, fUr K < in entgegengesetzter Richtung. Die Formeln fUr den Kriimmungsradius und Kriimmungsmittelpunkt enthalten nur die Wegfunktion 1p und bleiben natiirlich richtig. Nun liege eine Parameterdarstellung in der allgemeinen Form
°

K = det (1p',1p")

= det (
s'2

- A
= ~ det (
wegen det (
K(t) = J1(t)

=


det (
WI 3

x' y" - x" y'

= (x'2 + y'2)3/2

V

IK

erhiilt man

Kriimmung,

WI 2 + (-y,x)det(
I

= (x,y) + (_y', x') .

X'2 I

II

Kriimmungsmittelpunkt.

+ y'2 II

xy -x Y

I

5.20 Funktionen von beschriinkter Variation

175

Beispieie. 1. Der ebene Kreis 4>(t) = r(cos t, sin t) hat die konstante Kriimmung l/r, den Kriimmungsmittelpunkt Jl = 0 und den Kriimmungsradius r (fUr aile t). Dasselbe gilt fUr einen Kreis im JR", der wie in Beispiel 12 von 5.10 durch 4>(t) = r(~ cos t + '1 sin t) dargestellt wird (~,'1 E JR", I~I = I'll = 1, ~. '1 = 0). 2. Fiir die Parabel y = x 2 , also x(t) = t, y(t) = t 2 , erhiilt man als Kriimmung

2

K(t) = -(1-+-4t--'-2---')3-"'-;2

und als Kriimmungsmittelpunkt

y

x

-4 Kriimmungsradius und Kriimmungsmittelpunkt der Parabel y = x 2 . Es ergibt sich r(O) = ~, Jl(O) = (0, ~), r(1) = ~ . 5/5 ~ 5,590, Jl( 1) = (-4, ~)

Es ist nieht unsere Absieht, tie fer in die Theorie der Kurven einzudringen. Dieser Gegenstand gehort zur Differentialgeometrie und wird in den entspreehenden Lehrbiiehern ausfUhrlich behandelt. Zum Absehlu13 des theoretisehen Teils studieren wir eine Klasse von Funktionen, die in enger Beziehung zu den rektifizierbaren Kurven steht und fUr die Theorie der Riemann-Stieltjes-Integrale im naehsten Paragraphen benotigt wird.

5.20 Funktionen von beschriinkter Variation. Die reellwertige Funktion f sei auf dem kompakten Intervall I = [a, b] c 1R definiert. Zu einer Zerlegung Z = (to, ... , t p ) von I bilden wir die p

Variation

var (Z) == var (Z;f) :=

L If(ti) -

f(ti-dl

i=1

und das iiber aIle Zerlegungen Z von I erstreekte Supremum, die

176

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

T otalvariation

V: (f) := sup var (Z ; f)

z

von f auf I. 1st vg(f) < 00, so heiBt f von beschriinkter Variation (oder beschriinkter Schwankung) auf I. Die Klasse dieser Funktionen wird mit BV(I) bezeichnet. Die Festsetzung V~(f) = 0 ist, ahnlich wie beim Integral, manchmal zweckmaBig. Diese Begriffe sind aufs engste verwandt mit jenen, welche in 5.11 zur Weglange gefUhrt haben. Es ist namlich, wenn ¢ : I -+ R einen Weg im Rl bezeichnet, t(Z; ¢) = var (Z; ¢) und L(¢) = vg(¢). Das einzig Neue besteht also darin, daB f nicht stetig zu sein braucht. Diese Verwandtschaft iibertragt sich auf die Haupteigenschaften und ihre Beweise. Zunachst stellt man fest, daB var (Z), ebenso wie friiher t(Z), bei Verfeinerung von Z zunimmt. Die Totalvariation laBt sich demnach auch als Limes in der natiirlichen Ordnung definieren:

V:(f) = limz var (Z;f) . Dies wird uns beim Nachweis der folgenden Eigenschaften von Nutzen sein. (a) Jede Funktion f E BV(I) ist beschrankt, und es ist If(a) - f(b)1 ~ vg(f). (b) Mit fund g sind auch Af, f + g und fg aus BV(I), d.h. BV(I) ist eine Funktionenalgebra. Fiir f,g E BV(I) gelten die Ungleichungen

V: (Af

+ {lg)

~

IAI V: (f) + l{ll V: (g)

V:(fg) ~ IlfllooV:(g)

(A, {l E R) ,

+ IlgllooV:(f) .

(c) Fiir a < c < b ist

Die Funktion fist also genau dann von beschrankter Variation in [a,b], wenn sie in [a, c] und in [c, b] von beschrankter Variation ist. (d) 1st f monoton in I, so ist vg(f) = If(b) - f(a)l. (e) 1st f lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstante L, so ist vg(f) ~ L(b - a). (f) Fiir f E C 1(I) ist vg(f)

=

J: 1f'(t)ldt.

(g) Alle monotonen und alle stiickweise stetig differenzierbaren Funktionen sowie endliche Summen von solchen Funktionen sind von beschrankter Variation.

Beweis. (a) Zieht man die Zerlegungen (a, b) und (a, t, b) in Betracht, so erhalt man die Ungleichungen If(b) - f(a)1 ~ vg(f) und If(t) - f(a)1 ~ vg(f) fUr tEl. Bei (b) ergibt sich die Aussage iiber f + g aus der Dreiecksungleichung, jene iiber fg aus den Ungleichungen If(s)g(s) - f(t)g(t)1

~

If(s)llg(s) - g(t)1 + Ig(t)llf(s) - f(t)1

~

Ilflloolg(s) - g(t)1 + Ilglloolf(s) - f(t)1 ,

indem man s = ti, t = ti-l setzt und summiert. Weiter folgt (c) aus Satz 5.7 aufgrund der Limesdefinition der Variation, (d) unmittelbar aus der Definition, da die auftretenden Differenzen von f alle

5.22 Satz tiber Rektifizierbarkeit

177

dasselbe Vorzeichen haben; (e) und (f) sind Spezialfalle (n Satz 5.12, und (g) ergibt sich sofort aus (d), (f) und (b).

=

1) von 5.11 (b) bzw. 0

Eine vollstandige Beschreibung der Funktionen von beschrankter Variation gibt der folgende 5.21 Darstellungssatz von C. Jordan. Eine Funktion fist genau dann im Intervall I = [a, b) von beschriinkter Variation, wenn sie in der Form f = g - h darstellbar

ist, wobei g und h in I mono ton wachsend sind. Beweis. Die Angaben (a),... beziehen sich auf den vorigen Abschnitt. Es sei f in I = [a, b) von beschrankter Variation. Flir tEl sei g(t) := V~(f) die Totalvariation von f im Intervall [a, t). Die Funktion gist in I definiert, und flir a :-::; c < d :-::; b gilt nach (c) 0:-::; vf(f) = V:(f) - V~(f) = g(d) - g(c) . Zunachst erkennt man hieraus, daB g mono ton wachsend ist. Weiter ergibt sich in Verbindung mit (a)

f(d) - f(c) :-::; vf(f)

= g(d) - g(c) .

Flir die Funktion h = g- fist also h(c) :-::; h(d), d.h. h ist auch monoton wachsend. Damit haben wir eine Darstellung f = g - h von der im Satz angegebenen Art gefunden. DaB umgekehrt jede auf solche Weise dargestellte Funktion von 0 beschrankter Variation ist, folgt unmittelbar aus (g). Der schon in der Einleitung zu dieser Nummer beschriebene Zusammenhang zwischen Funktionen von beschrankter Variation und rektifizierbaren Wegen wird nun prazisiert. Aus den Ungleichungen Ix;! :-::; Ixl :-::; L: IXil folgt, wenn ¢(t) = (¢l'''',¢n) das Intervall I = [a, b) stetig in den IRn abbildet, var (Z; ¢i) :-::; t(Z; ¢) :-::; var (Z; ¢d

+ ... + var (Z; ¢n)

,

also Diese beiden Ungleichungen flihren zu dem folgenden 5.22 Satz tiber Rektifizierbarkeit. Der Weg ¢ : I - IRn ist genau dann rektif/zier-

bar, wenn aile Komponentenfunktionen ¢i von beschriinkter Variation in I sind. Nach 5.20 (g) ist C 1(I) c B V(I), und es drangt sich die Frage auf, ob auch aIle stetigen Funktionen von beschrankter Variation sind. Die Antwort ist negativ. In Beispiel 6 von 5.14 haben wir eine nicht rektifizierbare ebene Kurve ¢(t) = (t,f(t)) konstruiert. Die Funktion fist stetig und, wie der vorangehende Satz zeigt, nicht von beschrankter Variation. Natiirlich gibt es unstetige Funktionen von beschrankter Variation, z.B. monotone Funktionen mit Spriingen.

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

178

Anwendung: Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung Das Hauptziel der folgenden Betrachtungen ist es, die KepIerschen Gesetze aus den Newtonschen Bewegungsgesetzen abzuleiten. 5.23 Die Bewegungsgleichungen. Bewegt sich ein Massenpunkt P der Masse m unter dem EinfluB einer Kraft K im dreidimensionalen Raum und wird die Bahn von P durch x = x(t) = (XI (t), X2(t), X3(t)) beschrieben, so lauten die Bewegungsgleichungen in vektorieller Schreibweise

mx(t) = K = K (t, x(t), x(t))

(B)

Bewegungsgleichung

("Kraft gleich Masse mal Beschleunigung"; hier und im folgenden werden Ableitungen nach der Zeit mit Punkten bezeichnet). Dabei kann K von der Zeit t, vom momentanen Ort x(t) und von der momentanen Geschwindigkeit x(t) = v(t) abhangen; man beachte, daB x, v und K Vektoren im IR3 sind. Urn die Bahn festzulegen, gibt man zur Zeit t = to die Lage Xo und die Geschwindigkeit Vo des Massenpunktes an. Diese Vorgaben werden (AW)

AnJangswerte

x(to)

= Xo,

x(to)

= Vo

genannt. Wir spezialisieren sogleich und nehmen an, daB es sich urn eine ZentralkraJt handelt, d.h. daB die Kraft am Ort X in die Richtung des Nullpunktes oder in die entgegengesetzte Richtung weist, also ein skalares Vielfaches von X ist. AuBerdem soIl K nur von t und vom Betrag Ixl abhangen. Damit erhalt die Bewegungsgleichung die Form (BZ)

mx

X

= - k(t, Ixl) Ixl

Bewegungsgleichung bei einer ZentralkraJt ,

wobei Ikl = IKI der Betrag der Kraft ist. Betrachten wir nun speziell die Bewegung eines Planeten urn die Sonne im vereinfachten Modell eines sogenannten Zweikorperproblems, wobei der EinfluB der iibrigen Planeten vernachliissigt wird. Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Korper der Massen m und M, die einen Abstand r voneinander haben, mit der Kraft (y

= 6,685·

to-II m sec- 2 kg-I Gravitationskonstante)

gegenseitig an. Nimmt man an, daB die Masse M (Sonne) sich unbeweglich im Ursprung des Koordinatensystems befindet, so erhalt man die folgende Bewegungsgleichung fUr den Massenpunkt der Masse m (Planet) (BP)

x= -

yM

Ixl 3

X

Bewegungsgleichung des Zweikorperproblems .

Das Minuszeichen gibt an, daB die Kraft auf den Ursprung hin gerichtet ist. Zunachst be wei sen wir zwei einfache Eigenschaften von (BZ).

5.24 Die Lasung des Zweikarperproblems

179

(a) Bei einer Zentralkraft ist die Bewegungsgleichung invariant gegeniiber orthogonalen Transformationen (Drehungen, SpiegeJungen). (b) Bei einer Zentralkraft verlliuft die Bewegung in dem durch die Anfangswerte Xo -=1= 0 und Vo aufgespannten (ein- oder zweidimensionalen) Unterraum. Zum Beweis von (a) sei x(t) ein der Gleichung (BZ) geniigender Weg, S eine orthognale 3 x 3 Matrix und y(t) = Sx(t). Dann ist y = Sx und Iyl = Ixl. Multipliziert man die Gleichung (BZ) von links mit S, so erkennt man, daB y derseJben Gleichung genugt. Zum Beweis von (b) sei der Einheitsvektor c so gewahlt, daB Xo und Vo in der Ebene E = {x E 1R3 : c' x = O} liegt. Nun sei x(t) eine den Anfangsbedingungen geniigende Lasung von (BZ) und h(t) := c . x(t). Dann ist h(to) = c . Xo = 0, h(to) = c . Vo = 0 und h(t) = c . x(t) = A(t)h(t) mit ),,(t) = k(t,lx(t)l)/mlx(t)l. Die Funktion h ist als Lasung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschwindenden Anfangswerten identisch Null; vgl. 1.12.10 und 5.26. Also liegt x(t) in E. 1st Vo von Xo linear abhangig, so laBt sich dieser Beweis mit jedem zu Xo orthogonalen Vektor c durchfUhren. Der Punkt x(t) liegt dann auf der Geraden durch 0 und Xo. 0 Aufgrund von (a) durfen wir annehmen, daB Xo und Vo in der (Xl, x2)-Ebene liegen, d.h. verschwindende dritte Komponenten haben, und aus (b) folgt dann, daB fUr eine durch eine Zentralkraft hervorgerufene Bewegung x(t) mit diesen Anfangswerten ebenfalls X3(t) == 0 ist. 1st Vo von Xo linear abhangig, so kannen wir sogar annehmen, daB eine durch eine einzige skalare Funktion beschriebene Bewegung, etwa langs der xl-Achse, vorliegt. Dieser Fall wird in Aufgabe 4 behandelt und soll im folgenden ausgeschlossen werden. Wir haben es also mit einer Bewegung in der (XI,x2)-Ebene zu tun.

5.24 Die Losung des Zweikorperproblems. In der (XI,x2)-Ebene fUhren wir Polarkoordinaten (x" X2) = r(cos ¢, sin (f» ein. Es erleichtert die Rechnung, wenn . man die komplexe Schreibweise heranzieht, (Xl, X2) = z = re iCP • Wir suchen also Lasungen von (BZ) in der Form z(t) = r(t)eicp(t), wobei r(t) > 0 und ¢(t) zwei unbekannte reellwertige Funktionen sind. Es ist (1)

Fur die GraBen in (BZ) gilt jetzt X = z, Ixl gleichung (BZ) ist also aquivalent mit .

..

r + 2ir¢ + ir¢ -

=r .2

r¢

und x/lxl

1

=-

m

= eiCP • Die

Bewegungs-

k.

Zerlegt man in Real- und Imaginarteil, so ergeben sich die beiden folgenden, mit (BZ) aquivalenten Gleichungen (Re)

r - r¢2 =

!m k

(1m)

2r¢ + r¢ = 0 .

Zur Festlegung der Anfangswerte wahlen wir to = 0 und leg en das Koordinaten system so, daB Xo auf der positiven x]-Achse liegt, Xo = (R, 0, 0) mit R > O. Es

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

180

seien VI, V2, 0 die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors Vo; dabei ist V2 =1= 0, da wir angenommen haben, dal3 xo und Vo linear unabhangig sind. Es ist also z(O) = (R,O) = R, i(O) = (V\,V2). Hieraus ergibt sich wegen (1) (2)

r(O)

=

R,

4>(0)

= 0,

r(O)

= V\

,

¢(O)

= V2

R·

Zunachst folgt aus (1m), indem man diese Gleichung mit r multipliziert, dal3 fr(r2¢) = 0 ist. Demnach ist die Grol3e r2¢ konstant, (3)

r2¢

= const. = A

(wir haben V2 =1= 0 vorausgesetzt). Man erkennt, dal3 ¢ =1= 0, also 4>(t) streng monoton ist. Die Gleichung r2¢ = A hat dariiber hinaus eine einfache geometrische Bedeutung. Bezeichnet F(td die Grol3e der yom Fahrstrahl fUr 0 :$; t :$; t\ iiberstrichenen Fiache, also den Fiacheninhalt des von den Strahlen 4> = 0, 4> = 4>(td und der Kurve z = z(t) begrenzten Gebietes, so ist nach der Leibnizschen Sektorformel I.l1.9 (4)

(Substitution 4> = 4>(t)). Damit haben wir das 2. Keplersche Gesetz in seiner verallgemeinerten, fUr beliebige Zentralkrafte giiltigen Form be wiesen :

Satz fiber Zentralkrlifte. Die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluj3 einer ZentralkraJt verliiuJt in einer Ebene, und zwar derart, daj3 der Strahl vom Nullpunkt zum Ort des Punktes x(t) in gleichen Zeiten gleichgroj3e Fliichen iiberstreicht.

Das zweite Keplersche Gesetz. Die eingezeichneten Segmente sind gleich groB, der Planet durchlauft die entsprechenden Bahnstiicke in der gleichen Zeit (S Sonne, P Planet)

Wenn die Bahnkurve der Bewegung bekannt ist, so wird durch diesen Satz der zeitliche Ablauf z(t) der Bewegung auf der Bahn bestimmt. Bezeichnet t = t(4)) die Umkehrfunktion zu 4>(t) und wird die Bahnkurve in Polarkoordinaten durch r = f(4)) beschrieben, so folgt aus (3) wegen dt/d4> = 1/¢ (5)

dt(4)) = .!. f2(4)) d4> A

sowie

t(O) = 0 ,

181

5.24 Die Losung des Zweikorperproblems

letzteres wegen ef>(0) = O. Aus (5) ergibt sieh t(ef» dureh einfaehe Integration und daraus ef>(t) als Umkehrfunktion und r(t) = f(ef>(t)). Fur die derart konstruierten Funktionen r(t), ef>(t) gilt dann (3). Wir spezialisieren uns jetzt auf den Fall (BP) der Planetenbewegung. Die Gleiehung (Re) nimmt die Gestalt '2

(6)

i' -ref>

+ -yM r2

=0

an. Wir gehen nun folgendermaBen vor. Das Keplersehe Resultat, daB die Planeten sieh auf Ellipsen bewegen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht, nehmen wir als Ansatz und zeigen dann, daB dieser Ansatz, erweitert auf beliebige Kegelsehnitte, die Bewegungsgleiehung lost. AIle Kegelsehnitte mit einem Brennpunkt im Nullpunkt werden gemiiB Beispiel 10 von 5.10 in Polarkoordinaten dureh die Formel (7)

r = f(ef» :=

p

1 + eeos(ef>

-IX)

mit e ~ 0, p > 0, 0 S

IX

< 2n

besehrieben. Dort hatten wir IX = 0 angenommen, was zur Folge hat, daB die Hauptaehse des Kegelsehnitts mit der xI-Aehse zusammenfallt. Die Einftihrung von IX in (7) bedeutet geometriseh, daB der Kegelsehnitt gegenuber dieser ,Normaldarstellung' urn den Winkel IX gedreht ist. Wir nehmen also an, daB die Bahnkurve dureh die Darstellung (7) besehrieben sei. Aus (5) bestimmen wir ef>(t), setzen r(t)

p

= f(ef>(t)) = 1 + eeos (ef>(t)

-IX)

und erreiehen damit, daB der Punkt z(t) = r(t)ei(t) diesen Kegelsehnitt durehliiuft. Mit den Abkurzungen S = sin(ef>(t) - IX), C = eos(ef>(t) - IX) erhiilt man

;=

(8)

Die mit

r2

(1

epS¢ = ~ Sr2¢ = eA S + eC)2 p p'

also i' = epA C¢ .

multiplizierte Gleiehung (6) lautet nun

Sie ist offen bar genau dann riehtig, wenn man (9)

setzt. Damit haben wir bewiesen, daB man auf diese Weise tatsiiehlieh eine Losung der Bewegungsgleiehung (BP) erhiilt. Als niiehstes zeigen wir, daB die Parameter e, p und IX dureh die Anfangswerte R > 0, VI, V2 f 0 eindeutig festgelegt werden. Zuniiehst ergibt sieh p aus (9) und (3) zu p = R 2vVyM. Weiter ist naeh (2) r(O) = R = p/(1 + eeoslX) und mit (8) ;(0) = VI = -eA(sinlX)/p, also naeh Einsetzen der Werte von p und A

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kuryen

182 8 cos IX

(10)

Rv 2 -yM = _2,,--......:....-_ yM

.

8 Sill IX

RVlV2 yM

= ---.

Diese beiden Gleichungen lassen sich als Polarkoordinatendarstellung des aus den beiden rechten Seiten gebildeten Punktes in der Ebene Q = y~. (Rv~­ yM, -RVlV2) auffassen: 8 = IQI, IX = arg Q. Daraus folgt auch, daB 8 2 und IX E [0,2n) eindeutig festgelegt sind, bis auf eine Ausnahme. 1m Fall VI = 0, Rv~ = yM (und nur in diesem Fall) ist Q = 0, also 8 = 0. Der dazugeharige Kegelschnitt ist ein Kreis yom Radius R = p, und dabei ist in der Tat IX (die Lage des Scheitels des Kegelschnitts) nicht eindeutig bestimmt. Anhand der Gleichung 8 = IQlliiBt sich entscheiden, ob es sich bei der Bahn um eine Ellipse (8 < 1), Parabel (8 = 1) oder Hyperbel (8 > 1) handelt. Die Fallunterscheidung wird einfach, wenn man VI = annimmt. Die Anfangsgeschwindigkeit steht dann senkrecht auf der xI-Achse, die Bewegung beginnt also zur Zeit t = in einem Scheitel des Kegelschnitts. Aus der zweiten Gleichung (10) ergibt sich dann, in Ubereinstimmung mit dieser Bemerkung, sin IX = 0, also IX = oder n und somit cos IX = 1 oder -1. Die Fallunterscheidung lautet fUr diesen Fall

°

°

°

Rv~

°

< yM:

IX

= n, Ellipse, die Bahn beginnt im Perihel;

= yM: Kreis yom Radius R; yM < Rvi < 2yM: IX = 0, Ellipse, die Bahn beginnt im Aphel; Rv~ = 2yM: Parabel yom Parameter p = 2R;

Rv~

Rv~ > 2yM: Hyperbel. Mit Aphel bzw. Perihel wird der sonnennachste bzw. sonnenfernste Punkt auf der elliptischen Bahn des Planeten bezeichnet. Wenn der Karper eine elliptische Bahn beschreibt, so lassen sich aus 8 und p die beiden Halbachsen a, b der Ellipse ausrechnen. Bezeichnet T die Umlaufszeit des Karpers, 4>(T) = 2n, so ergibt sich aus der Gleichung (4) die Flache der Ellipse zu F(T) = AT. Andererseits ist die Flache gleich abn. Durch Quadrieren und Einsetzen des Wertes aus (9) erhalt man 4n 2a2b2 = A2T2 = ypMT2. Setzt man fUr p den Wert p = b2 / a ein, so folgt ein wei teres wichtiges Ergebnis

!

(11 )

T2 = 4n 2 a3 yM

Es besagt, daB fUr alle elliptischen Bahnen der Quotient T2 / a3 einen konstanten, nur yon der Masse M des Zentralkarpers abhangenden Wert hat. Die Keplerschen Gesetze sind nun yollsHindig beisammen. 5.25 Satz iiber das Zweikorperproblem. Bewegt sich ein Massenpunkt unter dem alleinigen EinjlujJ der von einem festen Massenpunkt der Masse M erzeugten Gravitationskraft, so verliiuft die Bewegung entweder auf einer geraden Linie durch den festen Massenpunkt (ob dieser Fall vorliegt, kann aus den Anfangswerten abgelesen werden) oder auf einem Kegelschnitt, in des sen einem Brennpunkt sich der feste Massenpunkt befindet (das ist im Fall der Ellipse das 1. Keplersche Gesetz).

183

5.25 Satz tiber das Zweikorperproblem

Der Kegelschnitt ist durch Ort und Geschwindigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt to eindeutig bestimmt. seine Daten lassen sich etwa aus der Gleichung (10) berechnen. Fur aile elliptischen Bahnen verhalten sich die Quadrate der UmlauJszeiten wie die dritten Potenzen der zugehorigen grojJen Halbachsen (3. Keplersches Gesetz). Un sere BeweisfUhrung zur Losung des Zweikorperproblems enthiilt eine Lucke, die der aufmerksame Leser vielleicht entdeckt hat. Wir haben gezeigt, daB es zu jedem Anfangswertpaar (xo, vo) genau eine "Kegelschnittlosung" der Bewegungsgleichung (BP) gibt. Offen geblieben ist die Frage, ob dane ben noch andere, nicht auf einem Kegelschnitt verlaufende Losungen von (BP) existieren. Wir schlieBen diese Lucke, indem wir einen Eindeutigkeitssatz beweisen. 1m Fall der allgemeinen Bewegungsgleichung (B) mit belie big em Kraftgesetz K = K (t, x, x) handelt es sich urn eine Aussage der folgenden Art: Das Anfangswertproblem

mx = K (t, x, x),

x(to) = Xo,

x(to) = Vo

besitzt (bei geeigneten Annahmen uber K) hochstens eine Losung. Dieses Problem fUr drei skalare Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann zuruckgefUhrt werden auf ein iiquivalentes Problem fUr x(t) und v(t) := x(t): {

X

=v

x(to) =

iJ

=

v(to) = Vo .

~~(t,x, v) ,

Xo ,

Wir haben damit das ursprungliche Problem transformiert in ein Anfangswertproblem fUr ein System von sechs skalaren Differentialgleichungen erster Ordnung. Das hat beweistechnische Vorteile. Wir werden im folgenden einen Eindeutigkeitssatz fUr ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung beweisen. In vektorieller Schreibweise lautet das Problem

x(t) = F(t, x(t)),

(AWP)

x(to}

= Xo .

Dabei ist x(t) = (Xt(t), ... ,xn(t)), entsprechend F = (Ft(t,x), ... ,Fn(t,x)). Nehmen wir an, das Problem (AWP) besitze, etwa im Intervall J : to ::; t ::; tt, zwei Losungen x(t) und y(t). Fur die skalare Funktion ¢(t) = Ix(t) - y(t) 12 ist dann

(p

=

2(x - y) . (x - y) ::; 21x - yllx - yl

vgl. die Ableitungsregel 5.18 (a). Nun setzen wir voraus, daB Feiner Lipschitzbedingung IF(t, x) - F(t, y)1 ::; Llx - yl

genugt. Dann ist Ix - yl = IF(t, x) - F(t, y)1 ::; Llx - yl, also nach (*) (p ::; 2L¢ in J sowie ¢(to) = 0 und ¢(t) 2': 0 nach Definition. Hieraus folgt, wie wir bei einem iihnlichen Beweis in 1.12.10 gezeigt haben, ¢(t) == 0, also x(t) == y(t) in J. Die damalige SchluBweise sei kurz in Erinnerung gerufen. Aus der Differentialungleichung fUr ¢ ergibt sich 1t(¢(t)e-2Lt ) ::; O. Die Funktion [3(t) = ¢(t)e- 2Lt 2': ist also mono ton fall end mit [3 (to) = 0, d.h. sie verschwindet identisch.

°

184

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

Damit haben wir den folgenden Eindeutigkeitssatz im wesentlichen bewiesen.

+'

5.26 Eindeutigkeitssatz. 1st die Funktion F = F(t,x) in einem Gebiet D c lRn mit (to, xo) E D erklart und geniigt sie dort einer Lipschitzbedingung beziiglich x, so hat das Problem (A WP) hochstens eine Losung. Genauer solI das heiBen: Sind x(t), y(t) zwei in einem den Punkt to enthaltenden Intervall J erkUirte Losungen, so ist x == y in J. Die Funktion x heiBt Losung in J, wenn sie in J differenzierbar ist und der Differentialgleichung sowie der Anfangsbedingung geniigt. Wir haben oben nur die Eindeutigkeit nach rechts, flir t 2': to, bewiesen. Wendet man dieses Resultat auf die Funktion u(t) := x(-t) an, welche der Differentialgleichung u(t) = - F( -t, u(t)) geniigt, so erhlilt man die Eindeutigkeit nach links. Eine weitere Bemerkung. Eindeutigkeit ist eine lokale Eigenschaft, es geniigt, die Eindeutigkeit in einer (belie big kleinen) Umgebung einer festen Stelle zu beweisen. Sind nlimlich u und v zwei verschiedene Losungen von (AWP), so gibt es ein maximales t, 2': to derart, daB u(t) = v(t) flir to :s; t :s; t" aber nicht flir to :s; t :s; t, +8 (8 > 0 beliebig) gilt. Wenn man dann "lokale" Eindeutigkeit in bezug auf die := u(td beweisen kann, so folgt, daB die Losungen Anfangsbedingung x(td = u und v noch iiber t, hinaus iibereinstimmen, im Widerspruch zur Maximalitlit von t,. Aus dieser Uberlegung folgt, daB es flir die Eindeutigkeit hinreicht, wenn die rechte Seite F(t, x) in D einer lokalen Lipschitzbedingung beziiglich x geniigt (zu jedem Punkt (i, x) E D gibt es eine Umgebung U und eine Zahl L derart, daB IF(t, x) - F(t, y)1 :s; Llx - yl flir (t, x), (t,y) E U gilt). Insbesondere reicht es aus, wenn F in D stetig ist und in D stetige partie lIe Ableitungen nach den Xi besitzt. Diese Eindeutigkeitsaussagen gelten insbesondere flir Bewegungsgleichungen, da man diese auf Systeme erster Ordnung zuriickflihren kann.

x,

Corollar. Die Kraftfunktion K = K(t,x,v) sei in einem Gebiet D c lR7 erkliirt und geniige dort einer lokalen Lipschitzbedingung in bezug auf x und v. Dann hat das Anfangswertproblem mx(t)

=

K (t, x(t), x(t)),

x(to) = Xo,

x(to)

= Vo

hochstens eine Losung. Insbesondere gilt das, wenn K E C' (D) ist. Dieser allgemeine Eindeutigkeitssatz schlieBt auch die Liicke in unserem Beweisgang flir das Zweikorperproblem. Es gibt iibrigens einen anderen Beweis, bei dem die Gestalt der Bahn nicht als Ansatz vorweggenommen wird, sondern sich im Laufe der Rechnung ergibt. 5.27 Historisches zu den Keplerschen Gesetzen. Die Astronomen bis hin zu Kepler haben versucht, die Planetenbahnen durch Uberlagerung von kreisformigen Bewegungen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit zu beschreiben; vgl. die Einflihrung zu § 1.6. Der einfachste Fall, die Addition zweier solcher Kreisbewegungen, flihrt auf die in Beispiel 7 von 5.10 untersuchten Epizykloiden. TyCHO DE BRAHE (1546-1601), kaiserlicher Mathematiker und Astronom in Prag und

5.27 Historisches zu den Keplerschen Gesetzen

185

ein Genie der astronomischen MeBkunst, hat die Fehler in der Ortsbestimmung der Himmelskorper urn eine ganze Zehnerpotenz verkleinert. Er hat daneben ein neues Weltsystem entworfen, bei dem die Erde ihre Stellung im Zentrum des Universums behalt, die inneren Planeten Merkur und Venus dagegen urn die Sonne und diese mitsamt diesen beiden Planeten urn die Erde kreist. Tycho, der Protestant war, hat diesen Zwitter zwischen dem ptolemaischen und dem kopernikanischen System ausgedacht angesichts der schroffen Ablehnung von Kopernikus durch seine Kirche - ob aus Uberzeugung, mag dahingestellt sein. Die Stellung der katholischen Kirche war zu diesem Zeitpunkt, gegen Ende des 16. Jahrhunderts, noch konziliant. Das kopernikanische System wurde als mathematisches Modell zur Berechnung der Planetenorter geduldet, seine reale Existenz aber geleugnet, solange keine unumstol3lichen Beweise vorlagen. Fiihrende Theologen der Kurie haben sich spater im Anfangsstadium des Galilei-Konflikts ahnlich geauBert und auch angedeutet, daB beim Vorliegen solcher Beweise einige Stellen der heiligen Schrift anders ausgelegt werden miiBten. 1 TYCHO hat KEPLER, der sich durch sein Jugendwerk Mysterium Cosmographicum einen Namen unter den europaischen Astronomen gemacht hatte, zu sich nach Prag eingeladen. Dahinter stand wohl die doppelte Einsicht, daB er selbst nicht in der Lage war, sein tychonisches System im Einklang mit den vorliegenden Beobachtungen zu verwirklichen, daB andererseits, wenn iiberhaupt jemand, dann Kepler der Mann war, urn diese mathematische Aufgabe zu meistern. Kepler kam im August 1600 mit seiner Familie in Prag an, und schon bald spater, am 24. Oktober 1601 starb Tycho. Kepler hat es verstanden, die Aufzeichnungen Tychos, deren unschatzbarer Wert auch den Erben nicht verborgen blieb, in Besitz zu nehmen. Er wurde Nachfolger Tychos im Amt des kaiserlichen Mathematikers. Kepler, der von der grundsatzlichen Richtigkeit des heliozentrischen Systems iiberzeugt war, hat sich (zunachst auf Tychos Anordnung) besonders der Marsbahn angenommen, die in allen Systemen besondere Schwierigkeiten bereitet. Nach langen Miihen kam er zu der Uberzeugung, daB die Bahn mit sich iiberlagernden Kreisbahnen nicht zu beschreiben ist. Unter dem Druck der Realitat - der tychonischen Daten - gab er dieses zweitausend Jahre alte, als unumst6l3lich geltende (und iibrigens von Galilei nie an get as tete) Prinzip auf und versuchte sich mit allen moglichen anderen ovalartigen Bahnkurven. Schliel3lich, es war wohl 1604, kam ihm die Erleuchtung. Wie so haufig war die richtige Antwort, gemessen an der komplizierten Epizykeltheorie, von iiberwaltigender Klarheit und Einfachheit: Der Mars bewegt sich auf einer Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht, und die Geschwindigkeit der Bewegung ist derart, daB der Strahl von der Sonne zum Mars in gleichen Zeiten gleiche Flachen iiberstreicht. Dies ist der Inhalt der beiden ersten Keplerschen Gesetze, die in der Astronomia nova (Neue Astronomie) von 1609, seinem astronomischen Hauptwerk, enthalten sind. Kepler war ein Forscher zwischen zwei Epochen, Mittelalter und Neuzeit. Seine Versuche, die Planetengesetze physikalisch zu begriinden (seine Neue Astronomie tragt den Untertitel oder Physik des Himmels) , waren nicht erfolgreich. Er operierte 1

Vgl. A. Koestler, Die Nachtwandler, 5. Teil, Kap. I (Suhrkamp TB 579) und L. Bieberbach

(1938, S.6Q-67, Brief von Kardinal Bellarrnin an Foscarini).

186

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

mit magnetischen Kraften, angeregt durch das Buch De magnete von WILLIAM GILBERT, welches 1600 erschienen war und viel Aufsehen erregt hatte. Aber allein der Versuch dokumentiert eine revolutionare neue Denkweise. Die Vorstellung, daB die Vorgange auf Erden und am Himmel denselben physikalischen Gesetzen gehorchen, steht im schroffen Gegensatz zur aristotelischen Zweiteilung der Welt in die Gebiete "unterhalb des Mondes", wo alles in fortwahrender Veranderung begriffen ist, und jenseits des Mondes, wo die Fixsterne fUr alle Zeiten unbeweglich ruhen und die Planeten ihre festen Bahnen gleichmaBig durchlaufen. (Am Rande sei bemerkt, daB in diesem Weltbild die Kometen, welche auftauchen und wieder verloschen, Erscheinungen innerhalb der sublunaren Sphare sein miissen. Ais Tycho de Brahes Messungen am Kometen von 1577 ergaben, daB dies unmoglich so sein kann, fUhrte das zu einer schweren Erschtitterung des aristotelischen Weltbildes.) Andererseits war Kepler zeitlebens von anti ken, auf PYTHAGORAS zuriickgehenden Vorstellungen tiber die magische Bedeutung von (ganzen) Zahlen und Zahlenverhaltnissen beeinfluBt. Zu ergrtinden, warum es Gott gefallen hat, gerade sechs Planeten zu erschaffen, war fUr ihn eine aller Anstrengung wtirdige Aufgabe. Die Auffassung, daB ahnlich wie bei der schwingenden Saite, wo den einfachen ganzzahligen Verhaltnissen der Saitenlangen die harmonischen Intervalle entsprechen, sich auch die Planeten in solchen ganzzahligen harmonischen Verhaltnissen bewegen, welche AniaB zur "Spharenharmonie" geben, hat ihn nicht losgelassen. Sein Spatwerk Harmonice mundi (Weltharmonik) gibt Zeugnis von dieser unermtidlichen Suche nach Harmonien im Planetensystem. Sein kostbarster Fund ist das dritte Keplersche Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der graBen Halbachsen. Es fehlte auch spater nicht an physikalischen Erklarungsversuchen. Descartes' Wirbeltheorie wurde bertihmt und tibte einen nicht geringen und nicht gerade fOrdernden EinfluB auf die Entwicklung aus. Mit der Entdeckung der Grundgesetze der Mechanik war die Frage endgiiltig beantwortet. Newton fand die Gesetze in seinen "goldenen" Jugendjahren, als er noch Student in Cambridge war, veroffentlichte sie aber erst 1687 in seinem physikalischen Hauptwerk Principia. Der wesentliche Beweis fUr die Richtigkeit seiner Theorie, sozusagen das experimentum crucis, war die mathematische Deduktion der Keplerschen Gesetze aus den mechanischen Grundgesetzen. Die Erkenntnis, daB zwei so entfernte Vorgange wie der freie Fall des sprichwortlichen Newtonschen Apfels und die Bewegung der Planeten aus einem einzigen mathematischen Grundgesetz erklarbar sind, war der erste Triumpf der neuen Naturwissenschaft. Aufgaben

1. Man berechne die BogenHinge der folgenden in Polarkoordinaten angegebenen ebenen Kurven: (a)

r

= sin 4>,

0::; 4> ::; n ;

(b)

r = 4>2,

0::; 4> ::; 2n .

Urn we1che Kurve handelt es sich bei (a)?

2. FUr we1che IX > 0 ist die durch 4>(0) = 0, 4>(t) = (t, t" sin lit) fUr 0 < t::; 1 definierte lordankurve rektifizierbar?

Aufgaben

187

3. Man berechne fUr die Ellipse und die Hyperbel (BeispieIe 4 und 5 von 5.10) die Kriimmung und den KiimmungsmitteIpunkt. Wie groB ist der Kriimmungsradius in den Scheitelpunkten? 4. Das eindimensionale Zweikorperproblem. Sind beim Problem (BP) (AW) von 5.23 die Anfangsdaten Xo, Vo E JR3 linear abhangig, so kann man nach 5.23 (b) annehmen, daB die Bewegung durch eine skalare Funktion x(t) beschrieben wird, welche den Gleichungen x

=-

y ~,

x

x(O)

=

Xo

> 0,

x(O)

=

Vo

geniigt. Fiir die Losung mache man den Ansatz x(t) = a(t + W und zeige, daB man die Differentialgleichung und die Bedingung x(O) = Xo, i.a. jedoch nicht die zweite Bedingung x(O) = Vo befriedigen kann (es gibt also noch andere Losungen, die nicht von dieser Gestalt sind). Man bestimme diese Losung im Fall M = 5,97 . 1024 kg (Erdmasse), Xo = R = 6,37 . 106 m (Erdradius) und berechne die zugehorige Anfangsgeschwindigkeit x(O) = Vo. Wie verhalten sich x(t) und x(t) fUr t -+ oo? Bemerkung. Die Geschwindigkeit Vo ist die kleinste Geschwindigkeit derart, daB ein von der Erdoberflache aus senkrecht nach oben geworfener Korper (unter Negierung anderer Einfliisse wie Luftwiderstand, ... ) nicht mehr zur Erde zuriickfallt.

5. Gerichtete Mengen. Ein Element P der gerichteten Menge A heiBt maximal, wenn aus ct. E A, P -< ct. folgt P = ct.. Man zeige: (a) Es gibt hochstens ein maximales Element. (b) Besitzt A ein maximales Element p, so ist jedes Netz (fo) konvergent und limo fo = f fJ; femer gilt ct. -< P fur aile ct. E A. 6. Es sei X eine nichtleere Menge und A c P(X) die Menge aller (i) Teilmengen bzw. (ii) endlichen Teilmengen bzw. (iii) hochstens abzahlbaren Teilmengen von X. Man zeige: (a) Die Menge A ist in jedem der drei Faile in bezug auf die Inklusion (M -< N <==> MeN fUr M, N E A) gerichtet. (b) 1m Fall (i) existiert ein maximales Element; im Fall (ii) gibt es, wenn X abzahlbar ist, konfinale Teilfolgen; im Fall (iii) gibt es, wenn X iiberabzahlbar ist, keine konfinale Teilfolge. 7. Das zweite Archimedische Postulat. Die Funktion f sei im Intervall I = [a, b] stetig und konkav, und C = graph f = 4>(1) mit 4>(t) = (t,f(t)) sei die zugehorige Jordan-Kurve mit den Endpunkten P = 4>(a) und Q = 4>(b) (wir benutzen diesel ben Bezeichnungen wie in der Einleitung zur Kurventheorie vor Abschnitt 5.10). Der Weg 1p1J, J = [ct.,P] mit denseIben Endpunkten P, Q verlaufe oberhalb von C (d.h. aus a :-:;; lpdT) :-:;; b folgt !(lpl(T)) :-:;; 1p2(T)). Dann ist L(lp) ;::: L(4)) = L(C). Jede oberhalb C verlaufende, die Punkt P und Q verbindende Kurve hat also eine Lange;::: L(C). Wir skizzieren einen moglichen Beweisweg. Man kann annehmen, daB a :-:;; 11'1 (T) :-:;; b ist (ist das nicht der Fall und ist etwa T' der letzte Punkt mit 11'1 (T') = a, so ersetze man den Teilweg 11'1 [ct., T'] durch die Strecke von P nach lp(T')). Es sei Z = (to, ... ,tp ) eine Zerlegung von I. Es geniigt, die Ungleichung t(Z ; 4» :-:;; L(lp) zu beweisen. Da der Weg 11' oberhalb C verlauft, schneidet die Gerade durch die Punkte P = 4>(to) und 4>(ttl den Weg 11' in einem Punkt R = 4>(Ttl rechts von tlo d.h. mit 11'1 (Ttl ;::: tl' Ersetzt man nun das Wegstiick 1p1[ct.,Ttl durch die Strecke PR (in passender Parametrisierung), wahrend 1p1[TloP] unveranderlich bleibt, so erhait man einen neuen, gegeniiber 11' kiirzeren Weg 11'1. Die Gerade durch die Punkte 4>(ttl und 4>(t2) schneidet den Weg 11'1 in einem Punkt S = 1p1(T2) rechts von t2. Man verkiirzt den Weg 11'1, indem man das Stiick 1p 11[TI,T2] durch die Strecke RS ersetzt. Nach hochstens p solchen Schritten erhalt man einen Weg, der bis auf die Parametrisierung mit dem durch Z erzeugten Streckenzug mit den Eckpunkten 4>(tj) iibereinstimmt.

188

§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven

°

8. Es sei Lk die Lange und Sk der Schwerpunkt bei homogener Massenverteilung der Kurve y = x\ ~ x ~ 1. Man berechne lim Lk und lim Sk.

°

k-oo

k-+oo

9. Ellipsenumfang. Man zeige: Der Umfang L der Ellipse x (a> b > 0, ~ t ~ 2n) ist durch

r

L=4a}o

l2

a cos t, y

=

b sin t

Vl-e 2cos 2 tdt,

(e ist die numerische Exzentrizitat der Ellipse) gegeben. Hieraus leite man die Potenzreihenen twickl ung

L = 2na

1(1.3.5)2 {1 - ("21)2 e2 -"31(1.3)2 N e -"5 2 . 4 . 6 e 4

6 -

.••

}

ab (vgl. Beispiel 3 in 1.11.3). Man berechne L flir a = 5, b = 4 explizit unter Berlicksichtigung der Reihenglieder bis einschlieBlich e8 und schatze den Abbruchfehler abo

10. Man berechne die Lange folgender Kurven: (a) y=lnx,v'3~x~J8;

Ixl 2/3 + lyl2 /3 = 1 bei einem x = t - sin t, y = 1 - cos t,

°

(b) (c)

vollen Umlauf (Astroide); ~

t

~

2n (Zykloide).

11. Gelegentlich wird eine Kurve im lRn in der Form x = 4>(t), a ~ t < 00 gegeben. Man zeige: (a) 1st 4> in [a,oo) stetig und injektiv und existiert P = lim 4>(t), so ist C = 4>([a, 00)) U t-+oo

{P} eine (eventuell geschlossene) 10rdankurve. [Zu zeigen ist also, daB ein 10rdanweg -4 JR." mit C = 1p([a, b]) existiert.] (b) 1st zusatzlich jedes Kurvenstlick Ct = 4>([a, t]) (a < t < 00) rektifizierbar, so gilt L(C) = limL(C t ). Die Kurve ist also genau dann rektifizierbar, wenn dieser Limes endlich

1p :

ist.

[a, b]

'-+00

(c) Man berechne die Lange der exponentiellen Spirale r = e-1>, 12. Eine Peanokurve. Die Funktion g : lR 2 und in [0,1] durch

-4

°

~ 4> < 00.

lR sei gerade, periodisch mit der Periode

flirO~t<~

flir ! : I = [0, 1] -4 lR2 sei definiert d urch

Man beweise: Die Funktion 4> ist stetig, und ihr Wertebereich 4>(1) ist das Einheitsquadrat

Q = [0, IF.

Anleitung: Flir t = L~ ad4i mit ai E {a, I} ist gWt) = ak, also 4>(t) = (x, y) mit x = L~ a2k/2k+!, Y = L~ a2k+J/2k+!. Zum Nachweis von 4>(1) ::::> Q wende man Satz 1.5.18 und flir die Relation 4>(1) c Q eine passende Abschatzung an.

Aufgaben

189

13. Kettenlinie. Man gebe fUr die durch y = cosh x in 0 S; x S; a (a > 0 be1iebig) explizit dargestellte Kurve eine Darstellung mit der Bogenliinge als Parameter. Ferner berechne man den Kriimmungsradius und den Kriimmungsmitte1punkt der Kurve in Abhiingigkeit von x. Bemerkung. Die Kurve y = rx cosh flx (rx, fl > 0) wird Kettenlinie genannt, weil ein an zwei Punkten aufgehiingter schwerer, nicht dehnbarer Faden (= Kette) die Gestalt dieser Kurve annimmt. Galilei hatte noch irrtiimlich angenommen, die Kettenlinie sei eine Parabel. 14. Es sei I = [a,b]. Man zeige, daB der Raum BV(I) - der Vektorraum der reellen Funktionen von beschriinkter Variation auf I - ein Banachraum ist, wenn man die Norm durch oder Ilfll = If(a)1 + V;(f) Ilfll" = Ilflloo + V;(f) definiert, und daB diese Normen aquivalent sind 15. Man berechne die Totalvariation ersten Beispielen ist f(O) = 0 gesetzt):

vg(f)

(a)

V~(xlogx);

(b)

VJ(xsin 1/x);

(d)

VJ(sin rjJ(x)) ;

(e)

vg

(II

·1100 ist in 1.8 definiert).

der folgenden Funktionen (in den beiden

(~akH (x -

D);

(c)

V~1t(arctansinx);

(f)

V~(exp [x 2]).

Dabei ist rjJ in [0,1] stetig und monoton mit rjJ(O) = 0, rjJ(1) = 2n, H die Heaviside-Funktion und [x] = groBte ganze Zahl S; x. We1che Funktion ist stetig, aber nicht von beschriinkter Variation? Hinweis: Man kann (i) 5.20(f) anwenden oder (ii) das Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen f monoton ist, und 5.20(d) benutzen.

16. Die Kreisevolvente. Ein Faden wird auf der Peripherie des Einheitskreises im Uhrzeigersinn aufgewickelt, wobei sein Ende im Punkt (1,0) liegen mage. Wird der Faden wieder abgewickelt, jedoch so, daB er immer gespannt bleibt, so beschreibt das Fadenende einen Weg von der Form einer gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen sich affnenden Spirale, die man Kreisevolvente nennt. (a) Man zeige, daB sie die Parameterdarstellung x(t) =cost+tsint,

y(t) = sin t - tcos t

hat, wobei t die Lange des abgewickelten Fadens ist. (b) Man berechne die Wegliingenfunktion der Kreisevolvente. (c) Man berechne den ersten positiven t-Wert tl mit y(td = 0 mit dem Taschenrechner (man bringe die entsprechende Fixpunktgleichung t = rjJ(t) auf eine Form, die sukzessive Approximation zuliiBt; vgl. 4.1 und 1.4.10).

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

1m Jahre 1894 veroffentlichte der hollandische Mathematiker ThOMAS-JEAN STIELTJES (1856-1894, ab 1877 an der Sternwarte in Leiden, ab 1886 als Professor der Mathematik in Toulouse tatig) eine originelle Arbeit iiber Kettenbriiche, in welcher er ein neues, spater nach ihm benanntes Integral ! dg einftihrte. Er nimmt an, daB! stetig und g monoton wachsend ist und bildet, wenn Z = (to, ... , tp ) eine Zerlegung des Intervalls I = [a, b] ist, die Summen

J:

P

<1(Z, r) =

L !(ri)[g(ti) -

g(ti-d]

i=1

Sie unterscheiden sich von Riemannschen Zwischensummen (vgl. 1.9.7) lediglich dadurch, daB die "GroJ3e" des Intervalls Ii = [ti-I, til nicht durch ti-ti-I, sondern durch die entsprechende g-Differenz g(ti) - g(ti-d gemessen wird. Das Integral ist dann genau wie bei Riemann definiert: Es hat den Wert J, wenn (in der iiblichen be-Korrespondenz) aus IZI < b folgt 1<1(Z, r) -JI < e. Stieltjes verbindet mit seinem neuen Integral auch eine physikalische Vorstellung. Man denke sich das Intervall [0, 1] mit punktfOrmig oder kontinuierlich verteilter Masse belegt. Bezeichnet g(t) die im Intervall [0, t] enthaltene Masse, so entspricht der obigen g-Differenz die Masse im Teilintervall (ti-I, til. Es lassen sich dann z.B. die Gesamtmasse M und der Schwerpunkt S dieser eindimensionalen Massenverteilung in einheitlicher Form M = Jol dg, S = Jd t dg angeben, wahrend bisher die Sonderfalle von Massenpunkten bzw. kontinuierlich verteilten Massen gesondert durch endliche Summen bzw. Riemannsche Integrale beschrieben wurden. Stieltjes betrachtet auch hohere

it .

Momente

mk

=

11

tk dg(t)

(k = 0,1,2, ... )

(der Fall k = 2 ftihrt auf das Tragheitsmoment). Er formuliert und lOst das Momentenproblem, zu einer vorgegebenen Zahlenfolge (md eine Funktion g so zu bestimmen, daB die mk die Momente beziiglich g sind. Das Stieltjes-Integral fand zunachst wenig Beachtung. Das anderte sich, als im Jahre 1909 der ungarische Mathematiker FRIEDRICH RIESZ (1880--1956, studierte u.a. in Gottingen, Professor in Klausenburg und Szeged), einer der Begriinder der Funktionalanalysis, ein wichtiges Problem dieser damals noch jungen Wissenschaft loste. In seinem beriihmten Darstellungssatz zeigt er, daB jede stetige lineare Abbildung L : C(I) - 1R als Stieltjes-Integral W. Walter, Analysis 2 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral

f

~ L(f) =

191

lb

f(t) dg(t) mit g

E

B V(l)

darstellbar ist (daB diese Abbildung stetig beziiglich der Maximumnorm ist, folgt aus Satz 6.2). In der Folgezeit wird das Stieltjes-Integral, insbesondere in seiner von JOHANN RADON (1887-1956, osterreichischer Mathematiker) entwickelten, im Lebesgueschen Sinne verallgemeinerten Fassung, zu einem wirkungsvollen Arbeitsmittel der Analysis und zum Vorreiter der allgemeinen MaB- und Integrationstheorie. Stieltjes hat sein Integral in Anlehnung an Riemann als Limes von u(Z, r) in der metrischen Ordnung definiert. Das entsprechende Integral in der natiirlichen Ordnung und die Beziehungen zwischen diesen beiden Integralbegriffen wurden 1923 von S. POLLARD in einer Arbeit The Stieltjes integral and its generalizations (Quarterly J. Math. 49, 73-138) untersucht. Es stellte sich heraus, daB die beiden Definitionen im allgemeinen nicht iibereinstimmen. Der Sonderfall des RiemannIntegrals, wo Ubereinstimmung vorliegt, ist also nicht typisch. Seither miissen wir damit leben, daB in den verschiedenen Lehrbiichern der Analysis das eine oder das andere Integral als "das" Stieltjes-Integral bezeichnet und dargestellt wird. Wir haben uns fUr die natiirliche Ordnung entschieden. In der Bemerkung 3 von 6.6 werden die Beziehungen zwischen dem natiirlichen und dem metrischen Stieltjes-Integral diskutiert. 6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral. Es seien zwei Funktionen f, g : I = [a, b] ~ 1R gegeben. In Verallgemeinerung von 1.9.7 bilden wir zu einer Zerlegung Z = (to, ... , t p) von lund einem zu Z passenden Satz r = (rh ... , rp) von Zwischenpunkten ri E [ti-I, til die Zwischensumme oder Riemann-Stieltjes-Summe p

u(Z, r;f dg) '= u(Z, r) = Lf(r;)[g(t;) - g(t;-dl . i=1

Der gemiiB 5.6 definierte Netzlimes beziiglich der Indexmenge Baller zuliissigen Paare (Z, r)

lb

f dg '=

lb

f(t) dg(t) := limz u(Z, r)

wird das Riemann-Stieltjes-Integral (RS-Integral) von f beziiglich g genannt. Dieses Integral existiert also und hat den Wert J genau dann, wenn zu jedem c; > 0 eine Zerlegung Z, von I existiert mit IJ - u(Z, r)1 <

Fiir g(t) beiden

:=

c;

fUr aIle (Z, r)

mit

Z

>- Z, .

t erhiilt man das Riemann-Integral. Bedeutsam sind die folgenden

Beispiele. 1. Es sei H die Heaviside-Funktion, H(t) = 0 flir t sOund = 1 flir t > O. 1st < 0 < b und f stetig bei t = 0, so existiert das RS-Integral von f beziiglich H, und es hat den Wert

a

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

192

lb f dH = f(O) . Denn zu e > 0 gibt es ein b > 0 mit der Eigenschaft If(O) - f(s)1 < e fUr 0:0:;; s :0:; b. FUr jede Verfeinerung von Z, = (a, 0, b, b) ist a(Z, ,) = f(s) mit 0 :0:; s :0:;; b, also If(O) - a(Z, ,)1 < e. Man sieht, daB die rechtsseitige Stetigkeit von f ausreicht.

1:

2. 1st jedoch f im Nullpunkt nicht rechtsseitig stetig, so existiert das Integral f dH nicht. Denn jede Zerlegung Z, besitzt eine Verfeinerung Z = (til, welche den Punkt 0= tk enthiilt, und die entsprechenden Zwischensummen haben den Wert f(s), wobei s im Intervall [0, tHd variieren kann.

6.2 Eigenschaften des Riemann-Stieltjes-Integrals. Die auftretenden Funktionen seien im Intervall I = [a, b] erklart.

J:

J:

(a) Linearitiit beziiglich lund g. Wenn die Integrale Ii dg und I dg i existieren (i = 1,2), dann existieren auch die folgenden Integrale, und es gilt

lb (Adl

+ A2h) dg

lb I d(AIg2

=

Al lb II dg

+ A21b 12 dg ,

+ A2g2) = Al lb I dg, + A21b I

dg 2 .

(b) Fur a < c < b gilt

lb I dg

=l

c

I dg

+ Ib I dg

,

wobei das linke Integral genau dann existiert, wenn die beiden rechtsstehenden Integrale existieren. Die erste Gleichung in (a) folgt durch Anwendung der Regel 5.4 (b) auf die Identitat

die zweite Gleichung in (a) aus einer ahnlichen Identitat und schlieBlich (b) aus Satz 5.7. Stetige Funktionen sind nach I.9.6 Riemann-integrierbar. Diese wichtige Eigenschaft wird im nachsten Satz verallgemeinert.

Satz. 1st IE C°(l) und g E BV(I). so existiert das Integral die Abschiitzung

J: I dg. und es besteht

Beweis. Aufgrund der gleichmaBigen Stetigkeit von I gibt es zu e > 0 ein b > 0 derart, daB aus Is - tl < b folgt II(s) - I(t)1 < e. Wir wahlen eine Zerlegung Z, = (ro, ... ,rq ) mit IZ,I < b und eine zugehorige RS-Summe a(Z"p), etwa mit Pi = rio Nun sei Z = (to, ... , t p ) eine Verfeinerung von Z" und es sei etwa tm = ri. Der erste Summand von a(Z" p) laBt sich in der Form

6.3 Partielle Integration. Satz

193 m

f(rt} [g(rt} - g(ro)] = Lf(rt}[g(ti) - g(ti-l)] i=1

schreiben. Da die ersten m Zwischenstellen 'i von a(Z, ,) in [a, rl1 liegen und da rl - a < <5 ist, gilt If ('i) - f(rl)1 < 8. Deshalb erhalt man fUr die Differenz zwischen dem ersten Glied von a(Ze,P) und den ersten m Gliedern von a(Z,,) die Abschatzung m

L[f(rt} - f('i)][g(ti) - g(ti-t}]

s

8V~I(g) .

i=1

Vernihrt man mit den Teilintervallen [rl,r2]' ... , [r q -l,rq ] entsprechend, so ergibt sich mit 5.20 (c) Fiir beliebige Zerlegungen Z, Z'

la(Z, ,) - a(Z', 0')1

s s

>- Ze ist dann

la(Z, ,) - a(Ze,P)1

28V:(g) .

+ la(Z', ,') -

a(Ze,p)1

J:

Also ist (a(Z, ,)) ein Cauchy-Netz, und f dg existiert. Eine einfache Abschatzung ergibt die behauptete Ungleichung:

o Bisher haben wir noch kein Mittel, urn RS-Integrale wirklich zu berechnen. DaB der direkte Weg iiber die Definition selbst beim Riemann-Integral nur in einfachen Fallen praktikabel ist, wird durch die Betrachtungen im ersten Band zur Geniige gezeigt. Die beiden folgenden Satze sind die wesentlichen Hilfsmittel zur Bewaltigung dieser Aufgabe. 6.3 Partielle Integration. Satz. Mit

lb

f dg

+

lb

g df

J: f dg existiert auch J:

g df, und es gilt

= fgl! == f(b)g(b) - f(a)g(a) .

Grundlage des Beweises ist die Identitat (a = to < tl < ... < tp = b; ti-l S 'i

S ti) p

Lg('i) [f(ti) - f(ti-t}] i=1 p

+ L{f(ti-t} [g('i) -

g(ti-l)]

+ f(ti)[g(ti) -

g('i)]}

i=1

= f(b)g(b) - f(a)g(a) , we1che man leicht bestatigt. Zu 8 > 0 gibt es eine Zerlegung Ze derart, daB la(Z,,;f dg) - JI < 8 gilt fUr aIle Z >- Ze; dabei bezeichnet J den Wert des Integrals f dg. Die erste Summe in (*) ist gleich a(Z,,;gdf), die zweite Summe

J:

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

194

ist eine RS-Summe (J(Z*, r*;f dg), wobei Z* aIle tj und aIle rj als Teilpunkte enthalt und rj jeweils der linke oder rechte Endpunkt des betrachteten Intervalls ist (ist rj = tj-l oder tj, so tritt rj nicht als neuer Teilpunkt in Z* auf, andererseits ist der betreffende Summand gleich 0). Aus Z >- Ze folgt Z* >- Ze, also 1(J(Z*,r*;fdg)-JI < 8, und aus (*) ergibt sich 1(J(Z,r;gdf)-fgl~+JI < 8. Das bedeutet aber, daB das Integral g df existiert und den angegebenen Wert fgl~ - J hat. D

J:

6.4 Transformation in ein Riemann-Integral. Satz. 1st f E R(l) und g E C1(1), so

existiert

J: f dg, und es gilt

ib ib f dg =

Jedes Integral

ib

fg' dt .

J: fhdt liijJt sich also als RS-Integral

f(t)h(t) dt =

ib

f(t) dg(t)

mit g(t) =

schreiben, falls f Riemann-integrierbar und h stetig ist. Z.B. ist

r

Jo

costd(sint) =

(n

Jo

cos 2 tdt

it

h(s) ds

1

="i n ,

!on costd(cost) = -!on sintcostdt = O. Beweis. Die Funktion f E R(l) ist beschrankt (vgl. 1.9.1), etwa If I ::; K. Zu 8 > 0 wird ein 15 > 0 so gewahlt, daB Ig'(r) - gl(r')1 < 8 gilt, falls Ir - Til < 15 ist. Es sei IZI < 15. Nach dem Mittelwertsatz 1.10.10 kann man (J(Z, r;f dg) in der Form k

k

(J(Z, r) = If(ri)(g(ti) - g(tj-d) = If(ri)g'(r)(tj - ti-d i=l i=l schreiben, wobei r; E [tH,

ta ist. Vergleicht man dies mit der Zwischensumme k

(J*(Z, r) =

J:

I

f(rj)g'(rjHtj - tj-ll

j=l

zum Integral J = fg' dt, so findet man I(J - (J*I < K . 8 . (b - a). Da diese Ungleichung fUr aIle Zerlegungen mit IZI < 15, also insbesondere flir aIle Verfeinerungen einer fest gewahlten solchen Zerlegung gilt, sind die beiden Integrale gleich. D 6.5 Weitere Beispiele. 1m folgenden ist I = [a, b] und H(t) die Heaviside-Funktion von Beispiel 1 in 6.1.

6.6 Bemerkungen

195

3. Fiir jede in I definierte Funktion gist a(Z,T;dg) = g(b) - g(a), also g(b) - g(a).

t dg(t)

=

4. Endliche Summen ais StieItjes-Integraie. 1st f E C(I) und a ::::: c < b, so folgt f dH(t - c) = f(c) (die Bezeichnung soli andeuten, daB es sich urn If dg mit g(t) = H(t - c) handelt; vgl. Beispiel 1). Hat man die n Punkte Cj E [a,b) und n Zahlen aj und setzt man g(t) = atH(t - cd + ... + anH(t - cn), so wird nach 6.2 (a)

t

lb

f dg = ad(cd

+ ... + anf(cn) .

Man kann also endliche Summen als RS-Integrale schreiben, und zwar auf vielerlei Weise. 5. Unendliche Reihen ais StieItjes-Integraie. Es sei (Ck) eine Folge mit 0 = Co < Ct < w

C2

< ... < 1 und

I

ak eine konvergente unendliche Reihe mit den Teilsummen Sn und der

k=t

Summe S. Die Funktion

en

g(t) =

I

cd

akH(t -

k=t

ist = 0 fUr 0 ::::: t ::::: Ct, = Sn fUr Cn < t ::::: Cn+t und = S fUr lim Ck ::::: t ::::: 1. Nach Beispiel 3 ist S = I ak = 101 dg. 1st Z = (to, ... , tp ) eine Zerlegung von [0,1], we1che in jedem der Teilintervalle (CI, C2], . .. , (c n, cn+tl mindestens einen Teilpunkt und im letzten dieser Intervalle den Teilpunkt tp-t hat, so sieht man leicht, daB var (Z ;g) = lall + ... + lanl + IS - snl ist. Es ist also genau dann g E BV[O, 1], wenn I an absolut konvergiert, und in diesem Fall ist VJ(g) = I~ lanl· 1st nun f E qo, 1], so existiert 101 f dg nach Satz 6.2, und es ist

11

~ f(cdak =

f(t) dg(t) .

Urn dies einzusehen, berechne man die RS-Summe beziiglich der Zerlegung (0 = co.ct,c2 •...• cn.1) mit Tj = Cj_l. 6. Die Momente mk beziiglich der Funktion et (vgl. Einleitung zu diesem Paragraphen) haben die Werte mk =

11

tk det =

= et(tk _ kt k- I = e{1- k

11

tke t dt

+ k(k -

l)t k- 2 -

+ ... + (_I)k k! to)I~

+ k(k -1) - + ... + (-I)kk!} -

•

(_1)kk! ,

speziell mo = e - 1, ml = 1, m2 = e - 2, m3 = 6 - 2e.

6.6 Bemerkungen. 1. Beschriinktheit des Integranden. Wir haben beim RiemannIntegral in 1.9.1 die Beschranktheit von f ausdriicklich vorausgesetzt. jetzt aber beim RS-Integral keine solche Einschrankung vorgenommen. 1st aber z.B. g f dg fUr beliebige (auch unbeschrankte) konstant. so existiert das Integral Funktionen f. und entsprechendes gilt, wenn g in Teilintervallen konstant ist. 1st jedoch g in keinem Teilintervall von I konstant. so kann man leicht zeigen, daB

I:

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

196

aus der Existenz des Integrals die Beschdinktheit von f folgt (man betrachte eine feste Zeriegung Z mit der Eigenschaft, daB la(Z, r) - a(Z, r')1 < 1 ist, halte r fest und variiere r'). Diese Bemerkung gilt insbesondere flir das Riemann-Integral Jab f dx. Wenn es als limz a(Z, r) existiert, SO folgt daraus die Beschdinktheit von f.

2. Definition des Integrals durch Unter- und Obersummen. 1st g monoton wachsend, so kann man, genau wie beim Darbouxschen Zugang zum Riemann-Integral in I.9.1-9.3, Obersummen S und Untersummen s gemaB p

p

S(Z)

= I Mi[g(ti) - g(ti-dl ,

s(Z)

i=l

=

I

mi[g(ti) - g(ti-dl

i=l

definieren. Dabei ist, wie in I.9.1, Z = (to, ... ,tp ), Ii = [ti-l,til und Mi = sup f(li), mi = inf f(li)' Die oberen und unteren RS-Integrale werden wie in § I.9 definiert, J. := sup s(Z) ,

r

:= inf S(Z) .

Es bereitet keine Miihe naehzuweisen, daB S(Z) in der natiiriichen Ordnung monoton fallend und s(Z) wachsend ist. Daraus folgt J.

= limz s(Z) ,

r

= limz S(Z) und

J.

sr.

r

Integrierbarkeit im Sinne von I.9.3 ist durch die Gleichung J. = definiert, und dieser gemeinsame Wert ist auch der Wert des Integrals. Man iibertragt dann das Lemma I.9.7, welches besagt, daB zu jeder Zeriegung Z die Teilpunkte ri so gewahlt werden konnen, daB a(Z, r) ~ s(Z) bzw. ~ S(Z) ist. Hieran erkennt man: Dieser neue Stieltjessche IntegralbegrifJ "a la Darboux" stimmt mit dem hier zugrundegelegten iiberein. Die Gleichung limz a(Z, r) = J besteht genau dann, wenn limz s(Z) = limz S(Z) = Jist. Es sei nochmals daran erinnert, daB dieser Weg nur flir monoton wachsendes g gangbar ist.

J:

3. Die metrische Ordnung. Wie bereits erwllhnt, wird von manchen Autoren das RS-Integral mit Bezug auf die metrische Ordnung definiert, f d g := lim a(Z, r). Zwischen diesem "metrisehen" Integral und unserem "natiiriichen" IZI-+O

Integral bestehen die folgenden Beziehungen. (i) Wenn das metrisehe Integral existiert, so existiert auch das natiiriiche Integral, und beide haben denselben Wert. Das folgt aus Satz 5.9. (ii) Die wichtige Eigenschaft 6.2 (b) gilt flir das metrische Integral nur in der folgenden Form: Wenn das linke Integral existiert, so existieren auch die beiden rechts stehenden Integrale; vgl. Bemerkung 3 in 5.9. (iii) Das metrische Integral existiert sieher dann nieht, wenn fund g an derselben Stelle eEl unstetig sind. Das natiiriiehe Integral existiert nicht, wenn beide Funktionen fund g an der Stelle c von derselben Seite (rechtsseitig oder linksseitig) unstetig sind. Z.B. existiert das Integral J~l H(t) dH (H = Heaviside-Funktion, vgl. Beispiel 1) weder in der metrischen noch in der natiiriichen Ordnung. Das Integral

6.8 Zweiter Mittelwertsatz fUr Riemannsche Integrale

197

J~I H(-t) dH existiert dagegen in der natiirlichen Ordnung (es hat den Wert 0), nicht jedoch in der metrischen Ordnung. Beweis als Ubungsaufgabe. 6.7 Mittelwertsiitze fUr Riemann-Stieltjes-Integrale. 1st g wachsend, so sind die in den RS-Summen auftretenden g-Differenzen nichtnegativ. Aus h :5: h folgt also (J(Z,r;h dg) :5: (J(Z,r;h dg) und eine entsprechende Ungleichung fur die Integrale. Wendet man dieses Ergebnis auf die Ungleichungen m :5: f(t) :5: Man, so ergibt sich ein Erster Mittelwertsatz. Existiert

ib f dg

J: f dg und ist

= J1 ib dg = J1[g(b) - g(a)]

g in I

= [a, b] wachsend, so ist

mit inf f(l) :5: J1 :5: sup f(l) .

1st f stetig, so gibt es ein ~ E I mit J1 = f(~). Dieser Satz verallgemeinert den Erweiterten Mittelwertsatz aus I.9.13 (man setze dazu g(t) := p(s) ds).

J:

Zweiter Mittelwertsatz. Die Funktion f sei im Intervall I

sei stetig in I. Dann existiert das Integral ib f dg = f(a)

i

C

dg

= [a, b] monoton, und

J: f dg, und es gibt ein eEl mit

g

+ f(b) lb dg

= f(a)[g(c) - g(a)]

+ f(b)[g(b) - g(c)] .

J:

Beweis. Man kann annehmen, daB f wachsend ist. Das Integral g d f existiert nach Satz 6.2, und nach dem ersten Mittelwertsatz hat es den Wert g(c) [f(b)-f(a)] mit eEl. Nach dem Satz 6.3 tiber partielle Integration existiert das Integral f dg, und es gilt

J:

ibfdg=fg'~-ibgdf = f(b)g(b) - f(a)g(a) - g(c) [f(b) - f(a)] .

o

Das ist gerade die behauptete Gleichung. Wir spezialisieren diesen Satz, indem wir annehmen, daB g(t)

J:

J:

=

J: h(s) ds mit

h E C(l) ist. Dann ist g' = h und f dg = fhdt nach Satz 6.4, und man erhlilt den folgenden Satz tiber Riemann-Integrale. Er ist auf direktem Weg mit den Mitteln von § I.9 nicht so einfach zu beweisen. 6.8 Zweiter Mittelwertsatz fUr Riemannsche Integrale. 1st f monoton und h stetig in I, so gilt mit geeignetem eEl

ib f(t)h(t) dt = f(a)

l

C

h(t) dt + f(b) lb h(t) dt .

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

198

In den folgenden Nummern behandeln wir spezielle RS-Integrale, namlich Integrale iiber Kurven und Wege. Sie haben wichtige Anwendungen sowohl innerhalb der Mathematik als auch in der Physik.

6.9 Kurvenintegrale beziiglich der Bogenliinge. Es sei I = [a, b] und cp : I _ IRn

eine Jordansche Darstellung einer rektifizierbaren Jordankurve C = cp(I) mit der Langenfunktion s(t) := L(cpl [a, t]); vgl. 5.12. Ferner sei auf der Menge (= Kurve) C eine reellwertige Funktion f erkliirt. Das folgende Riemann-Stieltjes-Integral

1

f(x) ds :=

lb

f(cp(t» ds(t)

nennt man das Kurvenintegral von f uber die Kurve C bezuglich der Bogenliinge. Urn diese Bezeichnung zu rechtfertigen, weisen wir nach, daB das Integral tatsachlich nur von fund C und nieht von der speziellen Darstellung von C abhiingt. Dazu sei Z = (to, ... , tp) eine Zerlegung von I, ri E Ii = [ti-l, t;] und Ci = cp(Ii) (i = 1, ... ,p). Wegen L(Ci) = s(t;) - s(ti-d kann man die zur Partition (Z, r) gehOrigen RS-Summen in der Form p

p

(a) O"(Z, r) = If(cp(ri»)[s(t;) - s(ti-l)] = If(~i)L(Ci) i=1 i=1 mit ~i E C; schreiben. Nun sei cp*lI* eine zweite Jordan-Darstellung von C. Nach Satz 5.13 ist entweder cp* '" cp oder cp* '" cp-. 1m ersten Fall gibt es eine monoton wachsende Bijektion h : I - I* derart, daB cp(t) = cp*(h(t», also s(t) = s*(h(t» ist. Die Abbildung h ordnet jedem Paar (2, r) ein entsprechendes Paar (2 *, r) bezuglich I* gemaB t~ = h(t;), r~ = h(ri) zu, und umgekehrt. Fur die von (Z·, r) erzeugten GraBen It = [(-1' t~], ~; = cp·(r;), ct = cp*(It) gilt dann ~i = ~; und Ci = ct wegen cp(t) = cp*(h(t». Aus (a) folgt also (b) O"(Z, r;f(cp) ds) = O"(Z*, r* ;f(cp*) ds*) . 1m zweiten Fall cp* '" cp- gilt cp(t) = cp*(h(t» mit einer mono ton fallenden Bijektion h : I - I*. Auch in diesem Fall wird aus (Z, r) durch die Abbildung h ein entsprechendes Paar (Z·, r·) beziiglich I* hervorgebracht. Man muB aber die Numerierung andern, damit die t~ eine monoton wachsende Folge bilden. = h(rp+l-i). Fiir die von (Z·, r·) erzeugten Die Formeln lauten t; = h(tp-i), GraBen gilt jetzt ~; = ~p+1-i' = CP+I - i. Die zugeharige RS-Summe hat wieder denselben Wert wie in (a); lediglich die Reihenfolge der Summation ist geandert (Summationsindex p + 1- i statt i). Die Gleiehung (b) besteht also auch in diesem Fall. Aus (b) und der offensichtlichen Tatsache, daB in beiden Fallen ZI >- Z gleichbedeutend mit Z; >- Z· ist, ergibt sich der folgende

C;

J:

<

f(cp) ds for eine lordan-Darstellung cp der rektijizierSatz. Wenn das Integral baren Kurve C existiert, so existiert es fur jede lordan-Darstellung von C. und es hat fur alle diese Darstellungen denselben Wert, den wir mit cJ f(x) ds bezeichnen. Wenn f auf C stetig ist, dann existiert das Integral.

6.11 Anwendungen

199

Aus den frtiheren Satzen tiber das RS-Integral ergeben sich unmittelbar die folgenden

6.10 Eigenschaften von Kurvenintegralen. Es wird vorausgesetzt, daB die Kurve C rektifizierbar ist und die Integrale von fund g existieren. (a) ICJf(x)dsl s L(C)' suplf(x)l. xEC

+ J1g(x)]ds = Je cJ f(x) ds + J1 cJ g(x) ds. (c) 1st ¢ sttickweise stetig differenzierbar in I = [a, b], so ist

(b) cJ[Jef(x)

J f(x) ds

=

lb

f(¢(t))I¢'(t)1 dt .

(d) Wenn die beiden rektifizierbaren Jordankurven C 1 und C2 nur einen Endpunkt gemeinsam haben, dann ist C = C 1 U C2 eine rektifizierbare Jordankurve, und es ist C{ } f(x) ds = f(x) ds + f(x) ds .

Cj

Cj

Das Integral tiber C existiert genau dann, wenn die beiden Integrale tiber C1 und C2 existieren.

6.11 Anwendungen. Wir erinnern an einen in 1.11.11 naher ausgefUhrten physik alischen Sachverhalt. Befinden sich an den Stellen ~i E IRn die Massen mi, so sind die Gesamtmasse M und der Schwerpunkt S E IRn dieses endlichen Massensystems durch die Gleichungen M = I mi, S = I ~imi bestimmt. Die Kurve C sei mit kontinuierlich verteilter Masse belegt (man denke etwa an einen gebogenen Draht), und es sei p(x) die lineare Dichte (Masse pro Langeneinheit) im Punkt x E C. Mit den Bezeichnungen von 6.9 (a) ist dann mj = p(~i)L(Ci) ungefahr gleich der im Kurvensttick Ci befindlichen Masse. Die Gesamtmasse M und der Schwerpunkt S dieser Massenbelegung von C sind also I ~iP(~i)L(Ci) gegeben. naherungsweise durch die Sum men I p(~i)L(Ci) und Da diese Summen als RS-Summen fUr die folgenden beiden Integrale gedeutet werden konnen, erhalt man

it

-b

M = JP(X)dS,

S

1

= M

c{

J xp(x) ds

;

beim zweiten Integral handelt es sich urn n skalare Integrale vektorieller Notation.

cJ XiP(X) ds in

Beispiel. Fur das homogen mit Masse der konstanten Dichte p == 1 belegte Parabelstuck C : y = x 2 , 0 S X s 1 (oder iiquivalent r!>(t) = (t, t 2 ), 0 S t S 1) erhiiit man M =L(C) =

1 ~dt= 2112 ~du 1

0

0

=

~ [U~+log(u+~)]:

=

4 [2J5 + log (2 + J5)] = 1,47894

1

200

§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale

0'--"--------"'---

Schwerpunkt Seines Parabelstiicks und S=

~

(11ty'l+4t2dt, 11 t2y'l+4t2dt) .

Fiir das erste Integral ist fi(l + 4t 2 )3 / 2 eine Stammfunktion, das Integral hat also den Wert fi(5V5 - 1) = 0,84836. Aus 8J

u2~du =

u(2u 2 +

1)~ -Iog(u+~)

erhalt man fUr das zweite Integral nach einfacher Rechnung den Wert [18V5 + log(2 + V5)]/64 = 0,65145 und schlieBlich S = (0,57363;0,44048). Wenn ein Massenpunkt urn eine Achse rotiert, so bezeichnet man das Produkt J = mr2 (m Masse, r Abstand von der Achse) als das Triigheitsmoment, aus 2 errechnet; vgl. 1.11.12. 1st G eine welchem sich die Rotationsenergie zu E = Gerade (Achse) im 1R 3 und r(x) der Abstand des Punktes x von der Achse G, so ergibt sich gemaB der obigen Uberlegung das Tragheitsmoment der mit Masse belegten Kurve C zu

!Jw

J

=

'i

r2(x)p(x) ds

Triigheitsmoment von C .

In unserem Beispiel errechnet sich das Tragheitsmoment bei Rotation urn die x-Achse bzw. y-Achse bzw. die zu diesen beiden Achsen senkrecht stehende z-Achse zu

Man berechne die drei Tragheitsmomente. Bemerkung. Das hier behandeIte Kurvenintegral hangt nur von der Kurve und nicht von der Dynamik des die Kurve beschreibenden Bewegungsablaufs 4> ab, und entsprechend beziehen sich die Anwendungen nur auf statische GroBen wie Masse, Schwerpunkt und Tragheitsmoment (wenn beim letzteren auch eine dynamische Bedeutung im Hintergrund steht, die jedoch nichts mit 4> zu tun hat). Es gibt aber durchaus Anwendungen, bei denen .dynamische", also von 4> abhangige RS-Integrale beziiglich der Weglange auftreten. Es beschreibe 4> etwa die Bewegung eines Gegenstandes (Auto) als Funktion der Zeit, und

6.12 Wegintegrale

201

die Funktion f(v) beschreibe den Luftwiderstand in Abhiingigkeit von der (skalaren) Geschwindigkeit v = 1
1 '2

f(I
1'2

f(I
tl

t\

gemessen.

= [a, b] ---+ 1Rn ein Weg und f eine reelle, auf = 4>(1) erkarte Funktion. Wir ftihren die Bezeichnung

6.12 Wegintegrale. Es sei