Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode (German Edition)

Eindimensionale Finite Elemente

¨ Markus Merkel · Andreas Ochsner

Eindimensionale Finite Elemente Ein Einstieg in die Methode

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Prof. Dr. Markus Merkel Hochschule Technik Wirtschaft Aalen Fakult¨at Maschinenbau/Werkstofftechnik Beethovenstr. 1 73430 Aalen Deutschland [email protected]

¨ Prof. Dr. Andreas Ochsner Technical University of Malaysia Fac. Mechanical Engineering Dept. Applied Mechanics 91310 Skudai, Johor Malaysia [email protected]

ISBN 978-3-642-04991-0 e-ISBN 978-3-642-04992-7 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010  Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨utzt. Die dadurch begr¨undeten Rechte, insbesondere die der ¨ Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨assig. Sie ist grunds¨atzlich verg¨utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨aren und daher von jedermann benutzt werden d¨urften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf s¨aurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Unseren Vätern gewidmet.

Vorwort

Der Titel des Buches - Eindimensionale Finite Elemente, Ein Einstieg in die Methode - steht für Inhalt und Ausrichtung. Zum Thema Finite-ElementeMethode gibt es heute zahlreiche Literatur. Die unterschiedlichen Werke spiegeln die vielfältigen Sichtweisen und Anwendungsmöglichkeiten wider. Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode der Finiten Elemente wird wird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode anhand eindimensionaler Elemente zu erläutern. Ziel ist es, die vielfältigen Aspekte der FiniteElemente-Methode vorzustellen und dem Leser das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche zu ermöglichen. Der Leser lernt die Annahmen und Ableitungen bei verschiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und Möglichkeiten und Grenzen der Methode der Finiten Elemente kritisch zu beurteilen. Zusätzliche umfangreiche mathematische Beschreibungsformen entfallen, die lediglich aus der erweiterten Darstellung für zwei- oder dreidimensionale Problemstellungen entstehen. Somit bleibt die mathematische Beschreibung weitgehend einfach und überschaubar. Die Behandlung eindimensionaler Elemente ist jedoch nicht nur eine reine Beschränkung auf eine einfachere und übersichtlichere formale Darstellung der notwendigen Gleichungen. Im konstruktiven Ingenieurbau gibt es zahlreiche Strukturen - zum Beispiel Brücken oder Hochspannungsmasten - die üblicherweise mittels eindimensionaler Elemente modelliert werden können. Somit umfasst dieses Werk auch einen ’Satz von Werkzeugen’, der auch in der Praxis seine Anwendung findet. Die Konzentration auf eindimensionale Elemente ist neu für ein Lehrbuch und ermöglicht die Behandlung verschiedenster grundlegender und anspruchsvoller physikalischer Problemstellungen der Strukturmechanik in einem einzigen Lehrbuch. Dieses neue Konzept erlaubt somit das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche (zum Beispiel Plastizität oder Verbundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der Berufspraxis begegnen, jedoch in dieser Form nur selten an Hochschulen behandelt werden. Folglich ist ein einfacher Einstieg möglich, auch in weiterführende Anwendungsgebiete der Methode der Finiten Elemente. vii

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Vorwort

Dieses Buch ist entstanden aus einer Sammlung von Skripten, die als schriftliche Unterlagen für Vorlesungen ausgeteilt wurden, und Schulungsunterlagen für Spezialkurse zur Finite-Elemente-Methode. Besonders bei den durchgerechneten Beispielen und den weiterführenden Aufgaben sind typische Fragestellungen von Studierenden und Kursteilnehmern aufgegriffen. Voraussetzung für ein gutes Verständnis sind Grundlagen in der linearen Algebra, Physik, Werkstoffkunde und Festigkeitslehre, so, wie sie typischerweise im Grundstudium eines technischen Faches im Umfeld des Maschinenbaus vermittelt werden. In den ersten Kapiteln werden die eindimensionalen Elemente vorgestellt, anhand derer sich die Grundbelastungsarten Zug/Druck, Torsion und Biegung abbilden lassen. Hergeleitet werden jeweils die Differenzialgleichung und die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre zur Kinematik, zur konstitutiven Beziehung und zur Bildung des Gleichgewichtes. Im Anschluss daran werden die Finiten Elemente mit den üblichen Definitionen für Kraftund Verschiebungsgrößen eingeführt. An Beispielen wird die prinzipielle Vorgehensweise präzisiert. Für weiterführende Aufgaben sind Kurzlösungen im Anhang angegeben. Im Kapitel 6 werden Fragestellungen unabhängig von der Belastungsart und der damit einhergehenden Elementformulierung aufgegriffen. Behandelt werden ein allgemeines eindimensionales Finites Element, das aus der Kombination von Grundelementen aufgebaut werden kann, die Transformation von Elementen im allgemeinen dreidimensionalen Raum und die numerische Integration als wichtiges Hilfsmittel bei der Implementierung der Finite-ElementeMethode. In Kapitel 7 wird die vollständige Analyse eines Gesamttragwerks vorgestellt. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht aus den Einzelsteifigkeitsbeziehungen der Basiselemente unter Berücksichtigung der Verbindungen zueinander. Mit den Randbedingungen entsteht ein reduziertes System, aus dem die unbekannten Größen ermittelt werden. Beispielhaft wird die Vorgehensweise an ebenen und allgemein dreidimensionalen Tragwerken vorgestellt. In den Kapiteln 8 bis Kapitel 12 werden Themen aufgegriffen, die nicht zum Standardrepertoire eines Grundlagenbuches gehören. In Kapitel 8 wird das Balkenelement mit Schubanteil vorgestellt. Grundlage ist der TimoshenkoBalken. In Kapitel 9 wird in eine Finite-Elemente-Formulierung für eine besondere Werkstoffklasse - die Verbundwerkstoffe - eingeführt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsformen für richtungsabhängiges Stoffverhalten vorgestellt. Kurz wird auch auf die Faserverbundwerkstoffe eingegangen. Ein

Vorwort

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Verbundelement wird beispielhaft am Verbundstab und am Verbundbalken demonstriert. In den Kapiteln 10, 11 und 12 wird auf Nichtlinearitäten eingegangen. In Kapitel 10 werden kurz die verschiedenen Arten von Nichtlinearitäten vorgestellt. Tiefer beleuchtet wird der Fall der nichtlinearen Elastizität. Die Problematik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die FiniteElemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden die direkte Iteration und die vollständige und modifizierte Newton-Raphsonsche Iteration abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert. In Kapitel 11 wird elasto-plastisches Verhalten berücksichtigt, eine der häufig auftretenden Form der materiellen Nichtlinearität. Zuerst werden die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Verfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige, monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist die Beschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt. Zur Integration des elasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle Prädiktor-KorrektorVerfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten und des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entscheidenden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensionaler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleiteten Verfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten. Mit der Stabilität wird in Kapitel 12 ein Thema aufgegriffen, das insbesondere bei der Gestaltung und Dimensionierung von Leichtbaukomponenten Berücksichtigung findet. Die für diese Art der Nichtlinearität entwickelten Finiten Elemente werden zur Lösung der Eulerschen Knickfälle herangezogen. In Kapitel 13 wird eine FE-Formulierung für dynamische Probleme vorgestellt. Neben den Steifigkeitsmatrizen werden auch Massenmatrizen aufgestellt. Unterschiedliche Annahmen zur Verteilung der Massen, ob kontinuierlich oder konzentriert, führen auf unterschiedliche Formulierungen. Beispielhaft wird der Sachverhalt an Dehnschwingungen des Stabes diskutiert. Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchgerechneten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Aufgaben - inklusive Kurzlösungen - vertieft. Jedes Kapitel schließt mit einer umfangreichen Literaturliste ab. Hüttlingen, Skudai, März 2010

Markus Merkel Andreas Öchsner

Danksagung

Wir danken dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Baumann, für das Eingehen hinsichtlich der Ausrichtung des Buches und für die ansprechende Ausstattung des Buches. Studierenden und Kursteilnehmern sei gedankt, sie haben durch kritisches Hinterfragen zur vorliegenden Form beigetragen. Wir danken herzlich Frau Angelika Brunner für die Unterstützung bei der Anfertigung des Manuskripes und Frau Gertrud Rubly für die sorgfältige Durchsicht. Abschließend sei unseren Familien für das Verständnis und die Geduld während der Erstellung des Buches gedankt.

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Inhaltsverzeichnis

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Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die Finite-Elemente-Methode im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grundlagen zur Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Motivation zur Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren . 2.1.1 Die Matrix-Steifigkeitsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Übergang zum Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Integralprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die Methode der gewichteten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Verfahren auf Basis des inneren Produktes . . . . . . . . . . . 2.3.2 Verfahren auf Basis der schwachen Formulierung . . . . . 2.3.3 Verfahren auf Basis der inversen Formulierung . . . . . . . 2.4 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Stabelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Grundlegende Beschreibung zum Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Finite Element Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Herleitung über Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen . 3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Torsionsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Finite Element Torsionsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

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Biegeelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Differenzialgleichung der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Prinzip der gewichteten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Anmerkungen zur Ableitung der Formfunktionen . . . . . 5.4 Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen 5.5 Transformation in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Transformation im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Ermittlung äquivalenter Knotenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Allgemeines 1D-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Beispiel 1: Stab unter Zug und Torsion . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Beispiel 2: Balken in der Ebene mit Zuganteil . . . . . . . . 6.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ebene Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Allgemeine dreidimensionale Tragwerke . . . . . . . . . . . . . 6.3 Numerische Integration eines Finiten Elementes . . . . . . . . . . . . 6.4 Interpolationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Einheitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ebene und räumliche Rahmenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsbeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Lösen der Systemgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Lösungsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Beispiele in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Ebenes Tragwerk mit zwei Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Ebenes Tragwerk: Balken und Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Beispiele im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

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Balken mit Schubanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss . . . 8.2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Differenzialgleichungen der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil . . . . . 8.3.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Herleitung über Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen . 8.3.4 Lineare Ansatzfunktionen für das Durchbiegungsund Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Höhere Ansatzfunktionen für den Balken mit Schubanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Balken aus Verbundmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Verbundwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Anisotropes Stoffverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Spezielle Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Ingenieur-Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Ebene Spannungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe 9.4 Mehrschichtiger Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Eine Schicht im Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Der vielschichtige Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Eine Finite-Elemente-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Der Verbundstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Der Verbundbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Nichtlineare Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität . 10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Direkte Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren . . . . . . . 10.3.3 Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren . . . . . . .

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190 202 207 207 217 218

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Inhaltsverzeichnis

10.3.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Fließbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Fließregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Verfestigungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Elasto-plastischer Stoffmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Integration der Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-EulerAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Mathematische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Interpretation als konvexes Optimierungsproblem . . . . . 11.4 Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus . . 11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 Stabilität (Knickung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Stabilität im Stab/Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Große Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Stab mit großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Balken mit großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle . . . . . . . 12.4.1 Analytische Lösung zu den Eulerschen Knickfällen . . . . 12.4.2 Finite-Elemente-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333 333 335 337 338 339 342 342 343 344 345

13 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Grundlagen zur linearen Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Die Massenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen . . . . . . . . 13.5 Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen . . . . . . . . . 13.5.1 Integration nach Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Zentrales Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.1 Bereitstellung von Massen- und Steifigkeitsmatrizen . .

347 347 350 350 353 354 355 355 357 358

Inhaltsverzeichnis

xvii

13.6.2 Dehnschwingungen im Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13.7 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 A

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Häufig benutzte Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Spezielle Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.5 Grundlagen zur linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.7 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.8 Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe . . . . . A.2 Einheiten und Umrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Konsistente Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Umrechnung wichtiger angelsächsischer Einheiten . . . . .

381 381 381 382 382 382 385 390 391 393 394 394 395

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Formelzeichen und Abkürzungen

Lateinische Formelzeichen (Großbuchstaben) A B C C elpl D D E E elpl E pl ˜ E F F G I K K KT L L1 Lni Lk M M N N Q Q

Fläche, Querschnittsfläche Matrix mit Ableitungen der Formfunktionen Stoffmatrix, Dämpfungsmatrix elasto-plastische Stoffmatrix Durchmesser Stoffmatrix Elastizitätsmodul elasto-plastischer Modul plastischer Modul mittlerer Modul Fließbedingung, Kraft Spaltenmatrix der äußeren Belastung Schubmodul Flächenträgheitsmoment Kompressionsmodul Gesamtsteifigkeitsmatrix Tangentensteifigkeitsmatrix Elementlänge Differenzialoperator 1. Ordnung Lagrange-Polynom Knicklänge Moment Massenmatrix Formfunktion Zeilenmatrix der Formfunktionen, N = {N1 N2 . . . Nn } plastisches Potenzial, Stoffmatrix, ebener Fall, Querkraft xix

xx

Formelzeichen und Abkürzungen

R S S T T V W X Y Z

Radius Stabkraft Nachgiebigkeitsmatrix Torsionsmoment Transformationsmatrix Volumen Gewichtsfunktion globale räumliche Koordinate globale räumliche Koordinate globale räumliche Koordinate

Lateinische Formelzeichen (Kleinbuchstaben) a b c d h e f g h i j k ks ke m

mt m n

q q

geometrische Abmessung geometrische Abmessung, Breite Integrationskonstante geometrische Abmessung geometrische Abmessung, Höhe Einheitsvektor Funktion Funktion, Erdbeschleunigung Funktion der Verfestigungsänderung Inkrementnummer, Variable Iterationsindex, Variable Federsteifigkeit, Fließspannung Schubkorrekturfaktor Elementsteifigkeitsmatrix Elementanzahl, Steigung, Polynomgrad, Masse kontinuierlich verteiltes Torsionsmoment pro Länge Residuenfunktion Knotenanzahl, Variable, Zustand Streckenlast, Integrationsordnung, modale Koordinaten Matrix der inneren Variablen

Formelzeichen und Abkürzungen

r r t tij ux uy uz u v x y z

Funktion der Fließrichtung, Radius, Residuum Vektor der Fließrichtung Zeit, geometrische Abmessung Komponente der Transformationsmatrix Verschiebung in x-Richtung Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in z-Richtung Spaltenmatrix der Knotenverschiebungen Argumentvektor (Newtonsches Verfahren) räumliche Koordinate räumliche Koordinate räumliche Koordinate

Griechische Formelzeichen (Großbuchstaben) Γ Λ Π ¯ Π Πext Πint Φ Ω

Rand Parameter (Timoshenko-Balken) Energie komplementäre Energie Potenzial der äußeren Lasten elastische Verzerrungsenergie Modalmatrix Raum, Volumen

Griechische Formelzeichen (Kleinbuchstaben) α

β γ δ ε εij ε εpl eff κ λ dλ ν

Temperaturausdehnungskoeffizient, Konstante, Winkel Winkel, Konstante Schubverzerrung virtuell Verzerrung Verzerrungstensor Spaltenmatrix der Verzerrung plastische Vergleichsdehnung innere Variable (Plastizität), Krümmung (Balkenbiegung) Eigenwert Konsistenzparameter Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl)

xxi

xxii

Formelzeichen und Abkürzungen

ξ π σ ρ trial σn+1 σij σ τ η ζ ψ φ ϕ ω

Einheitskoordinate (−1 ≤ ξ ≤ 1) volumenspezifische Arbeit, volumenspezifische Energie Spannung, Normalspannung Dichte Testspannungszustand Spannungstensor Spaltenmatrix der Spannung Schubspannung Koordinate Koordinate Phasenwinkel Drehwinkel, Verdrehung Drehwinkel, Verdrehung Eigenfrequenz

Indizes, hochgestellt . . .V . . .e . . .el . . .ext . . .geo . . .glo . . .init . . .lo . . .pl . . .red . . .trial

Verbund Element elastisch äußere Größe geometrisch global Anfangs- (Anfangsfließgrenze) lokal plastisch reduziert Testzustand (Rückprojektion)

Indizes, tiefgestellt . . .Im . . .Re . . .b . . .c . . .eff . . .f . . .k . . .krit . . .l . . .m . . .p

Imaginärteil einer komplexen Zahl Realteil einer komplexen Zahl Biegung Druck (’compression’), Dämpfung Effektivwert Faser im Verbund elastisch kritisch Lamina Matrix im Verbund, Trägheit Knotenwert

Formelzeichen und Abkürzungen

. . .s . . .t . . .w

Schub Torsion, Zug (’tension’) Wand

Mathematische Symbole (· · · )T |···| ··· ⊗ sgn IR

Transponierte Betrag Norm dyadisches Produkt Vorzeichenfunktion Menge der reellen Zahlen

Abkürzungen 1D 2D CAD FE FEM inc

eindimensional zweidimensional Computer Aided Design Finite Elemente Finite-Elemente-Methode Inkrementnummer

xxiii

Kapitel 1

Einleitung

Zusammenfassung In diesem erstem Kapitel werden der Inhalt und die Ausrichtung dieses Buches in vielerlei Hinsicht eingeordnet. Zunächst wird kurz auf die Entwicklung der Finite-Elemente-Methode eingegangen, berücksichtigt werden verschiedene Sichtweisen.

1.1 Die Finite-Elemente-Methode im Überblick Zeitlich gesehen liegen die Wurzeln der Finite-Elemente-Methode in der Mitte des letzten Jahrhunderts. Damit ist diese Methode im Vergleich zu anderen Werkzeugen und Hilfsmitteln bei der Dimensionierung und Auslegung von Bauteilen ein relativ junges Werkzeug. Die Entwicklung der Finite-ElementeMethode hat in den 1950er Jahren ihren Anfang genommen. Aus ganz unterschiedlichen Fachrichtungen haben Forscher und Anwender Ideen eingebracht und die Methode zu einem universellen Werkzeug gemacht, das heute weder aus der Forschung noch Entwicklung und Ingenieuranwendung wegzudenken ist. Anfangs standen eher grundlegende Fragen im Vordergrund, wie beispielsweise Fragen zur prinzipiellen Lösbarkeit. Hinsichtlich der programmtechnischen Umsetzung standen aus heutiger Sicht nur rudimentäre Ressourcen zur Verfügung. Das Postprocessing bestand aus dem Stanzen von Lochkarten, die stapelweise einer Rechenmaschine zugeführt wurden. Fehler beim Programmieren wurden prompt mit blinkenden Lampen quittiert. Mit fortschreitender Rechnerentwicklung wurde die Programmierumgebung komfortabler und Algorithmen konnten an anspruchsvollen Beispielen getestet und optimiert werden. Aus Sicht der ingenieurmäßigen Anwendung waren die mittels der Finite-Elemente-Methode zu analysierenden Problemstellungen auf einfache Beispiele beschränkt. Die Rechnerkapazitäten ließen nur eine sehr grobe Modellierung zu.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_1, 

1

2

1 Einleitung

Heute sind sehr viele grundsätzliche Fragen geklärt, der Schwerpunkt der Fragestellungen liegt eher auf der Anwendungsseite. Finite-Elemente-Programmpakete sind in einer großen Vielzahl verfügbar und werden in ganz unterschiedlicher Ausprägung angewandt. Einerseits gibt es Programmpakete, die vor allem in der Lehre eingesetzt werden. Ziel ist es, die systematische Vorgehensweise aufzuzeigen. Für solche Programme sind auch Quellcodes verfügbar. Andererseits gibt es kommerzielle Programmpakete, die sowohl programmtechnisch als auch inhaltlich bis auf das Äußerste ausgereizt sind. Speziell auf eine Rechnerplattform oder Rechnerarchitektur (Parallelrechner) angepasste Programmmodule sind sehr effizient und ermöglichen die Bearbeitung von sehr umfangreichen Problemstellungen. Bezüglich des Inhaltes wagen die Autoren die Aussage, dass es keine physikalische Disziplin gibt, für die kein Finite-Elemente-Programm existiert. Bezüglich der Weiterentwicklung der Finite-Elemente-Methode liegt heute der Schwerpunkt in der Kooperation und Integration mit anderen Entwicklungswerkzeugen, wie beispielsweise die Schnittstelle zur Konstruktion. Die beiden klassischen Disziplinen Berechnung und Konstruktion wachsen immer mehr zusammen und sind teilweise schon unter einer gemeinsamen Benutzeroberfläche miteinander verschmolzen. Am Markt verfügbar sind neben alleinstehenden Finite-Elemente-Softwarepaketen auch in ein CAD-System integrierte Lösungen. Aus Sicht des Anwenders stehen eine FE-gerechte Problemaufbereitung (Preprocessing) und Nachbereitung (Postprocessing) seines Spezialproblems im Vordergrund. Die zeitintensiven Prozessschritte der Geometrieaufbereitung sollen für den Einsatz der Finite-Elemente-Methode keinen wesentlichen Mehraufwand bedeuten. Berechnungsergebnisse sollen nahtlos in die jeweilige Prozesskette eingefügt werden können. Bezüglich der Anwendungsgebiete gibt es für den Einsatz der Finite-ElementeMethode keine Grenzen. Schwerpunkt im Maschinen- und Anlagenbau und in der Fahrzeugentwicklung ist sicherlich die Dimensionierung und Gestaltung von Bauteilen, Subsystemen oder kompletten Maschinen. Der Einsatz der Finiten-Elemente-Methode oder generell von Simulationswerkzeugen in der Produktentwicklung wird häufig als konkurrierendes Werkzeug zum Versuch oder Test angesehen. Die Autoren sehen hier eher eine ideale Ergänzung. So können einzelne Prüfstände oder ganze Prüfszenarien vorab per Finite-Elemente-Simulation optimiert werden. Im Gegenzug helfen Versuchsergebnisse, präzisere Simulationsmodelle zu erstellen.

1.2 Grundlagen zur Modellbildung

3

1.2 Grundlagen zur Modellbildung Ausgangssituation für den Einsatz der Finite-Elemente-Methode ist ein Modell eines physikalischen oder technischen Problems. Zur vollständigen Beschreibung des Problems gehören • • • •

die die die die

Geometrie zur Beschreibung des Gebietes, Feldgleichungen im Gebiet, Randbedingungen und Anfangsbedingungen bei zeitabhängigen Problemen.

Im Rahmen dieses Buches werden ausschließlich eindimensionale Problemfälle behandelt. Das prinzipielle Vorgehen ist für zwei- und dreidimensionale Problemstellungen ähnlich. Der mathematische Umfang ist jedoch um einiges aufwendiger. Üblicherweise lassen sich die Problemsituationen mittels Differenzialgleichungen beschreiben. Hier stehen die Differenzialgleichungen zweiter Ordnung im Vordergrund. Beispielsweise lassen sich die Differenzialgleichungen einer bestimmten Klasse physikalischer Probleme allgemein mit   d du(x) a + cu(x) − f = 0 (1.1) − dx dx angeben. Je nach physikalischer Problemsituation wird der Variablen u(x) und den Parametern a, c, und f unterschiedliche Bedeutung beigemessen. In nachstehender Tabelle sind für einige physikalische Probleme die Bedeutung der Größen dargestellt. Tabelle 1.1 Physikalische Problemfelder im Kontext der Differenzialgleichungen Feldgröße Problem Wärmeleitung Rohrströmung

u(x) Temperatur T - T∞ Druck

Koeffizienten

a kA

Rohrwiderstand p 1/ R viskose Strömung Geschwindigkeit Viskosität Elastische Stäbe Elastische Torsion Elektrostatik

c

Wärmeleitung Konvektion

vx

ν

Verschiebung

Steifigkeit

K β

f Wärmequellen

q

Druckgradient dp dx

Axialkräfte

u

EA

f

Verdrehung

Steifigkeit

Torsionsmomente

ϕ

GIp

m

Elektr. Potenzial

Dielektrizität

Ladungsdichte

Φ



ρ

Damit ein Problem vollständig beschrieben wird, ist neben der Differenzialgleichung auch die Angabe entsprechender Randbedingungen notwendig.

4

1 Einleitung

Die örtlichen Randbedingungen (RB) lassen sich allgemein in drei Gruppen einteilen: • Randbedingung 1. Art oder Dirichlet-Randbedingung (auch essentielle, wesentliche, geometrische oder kinematische RB genannt): Eine RB 1. Art liegt vor, wenn die RB in Größen ausgedrückt wird, in denen die Differenzialgleichung formuliert ist. • Randbedingung 2. Art oder Neumann-Randbedingung (auch natürliche oder statische RB genannt): Eine RB 2. Art liegt vor, wenn die RB die Ableitung in Richtung der normalen von Γ vorgibt. • Randbedingung 3. Art oder Cauchy-Randbedingung (auch gemischte oder Robin-Randbedingung genannt): Definiert eine gewichtete Summe aus Dirichlet- und Neumann-Randbedingung am Rand. Diese drei Arten von Randbedingungen sind in Tabelle 1.2 auch noch formelmäßig zusammengestellt. Tabelle 1.2 Verschiedene Randbedingungen einer Differenzialgleichung Differenzialgleichung Dirichlet Neumann Cauchy

L{u(x)} = b

u

du dx

αu + β du dx

Man beachte hier noch, dass man von homogenen Randbedingungen spricht, wenn die entsprechenden Variablen auf dem Rand gerade Null sind. In diesem Buch wird die Finite-Elemente-Methode aus dem Blickwinkel der Mathematik, der Physik oder der ingenieurmäßigen Anwendung beleuchtet. Aus mathematischer Sicht ist die Finite-Elemente-Methode ein geeignetes Hilfsmittel, um partielle Differenzialgleichungen zu lösen. Aus dem Blickwinkel der Physik können mittels der Finite-Elemente-Methode eine Vielzahl von physikalischen Problemstellungen bearbeitet werden. Die Gebiete reichen von der Elektrostatik über Diffusionsprobleme bis hin zur Elastizitätstheorie. Ingenieure nutzen die Finite-Elemente-Methode zur Gestaltung und Dimensionierung von Produkten. Bezüglich der physikalischen Problemfelder werden hier ausschließlich elastomechanische Probleme diskutiert. Innerhalb der Statik werden • der Zugstab, • der Torsionsstab und • der Biegebalken ohne und mit Schub behandelt. Als dynamische Probleme werden Schwingungen von Stäben und Balken aufgegriffen.

Kapitel 2

Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Zusammenfassung Der Zugang zur Methode der finiten Elemente kann aus unterschiedlicher Motivation kommen. Im Wesentlichen lassen sich drei Wege aufzeigen: • ein eher anschaulicher Weg, der die Wurzeln in der ingenieurmäßigen Arbeitsweise hat, • eine physikalisch oder • mathematisch motivierte Betrachtungsweise. Je nach Blickwinkel ergeben sich verschiedene Formulierungen, die jedoch in einer allen gemeinsamen Hauptgleichung der Finite-Elemente-Methode münden. Ausführlich vorgestellt werden die Beschreibungsformen ausgehend von • den Matrixmethoden, • den physikalisch basierten Arbeits- und Energieprinzipien und • dem Prinzip der gewichteten Residuen. Die Finite-Elemente-Methode wird zur Lösung verschiedener physikalischer Problemstellungen herangezogen. Hier werden ausschießlich Finite-ElementeFormulierungen zur Strukturmechanik betrachtet.

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren In der Elastostatik können zur Analyse komplexer Strukturen die Matrixmethoden als Ausgangspunkt für Anwendungen der Finite-Elemente-Methode betrachtet werden. Als Problemstellung sei beispielhaft eine ebene Struktur gegeben (siehe Abbildung 2.1). Die Struktur besteht aus mehreren Teilstrukturen I, II, III und IV. Die Teilstrukturen werden Elemente genannt. Die Elemente sind an den Knoten 2, 3, 4 und 5 miteinander gekoppelt. Die Gesamtstruktur ist an den Knoten 1

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_2, 

5

6

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

y R

4 y

4 III 3

R 1

R

4 x

R

6 y

R IV I

6 x

6

1 y

R

2 1 x

II 5 x

Abb. 2.1 Ebene Struktur aus Teilstrukturen

und 6 gelagert, am Knoten 4 greift eine äußere Last an. Gesucht sind • die Verschiebungen und Reaktionskräfte an jedem einzelnen Zwischenknoten und • die Lagerreaktionen infolge der angreifenden Last. Zur Lösung des Problems bieten sich die Matrixmethoden an. Bei den Matrixmethoden unterscheidet man die Kraftmethoden (statische Methoden), die auf einer direkten Ermittlung der statisch unbestimmten Kräfte beruhen, und die Verschiebungsmethoden (kinematische Methoden), die die Verschiebungen als unbekannte Größen betrachten. Mit beiden Methoden lassen sich die gesuchten Größen ermitteln. Der entscheidende Vorteil der Verschiebungsmethode besteht darin, dass in der Anwendung nicht zwischen statisch bestimmten und statisch unbestimmten Problemstellungen unterschieden werden muss. Daher soll diese Methode auch im Folgenden verwendet werden.

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren

7

2.1.1 Die Matrix-Steifigkeitsmethode Vorrangiges Teilziel ist es, die Steifigkeitsbeziehung für die Gesamtstruktur aus Abbildung 2.1 aufzustellen. Die Grundlage der Matrix-Verschiebungsmethode bildet folgende Steifigkeitsbeziehung: F = K u.

(2.1)

Dabei ist F und u eine Spaltenmatrix, K eine Matrix. In F sind sämtliche Knotenkräfte und in u sämtliche Knotenverschiebungen zusammengefasst. Die Matrix K repräsentiert die Steifigkeitsmatrix der kompletten Struktur. Für die Problemstellung wird ein einzelnes Element als Grundbaustein identifiziert. Ein einzelnes Element ist dadurch charakterisiert, dass es über Knoten mit anderen Elementen gekoppelt ist. An jedem Knoten werden Verschiebungen und Kräfte eingeführt. Bei der Lösung des Gesamtproblems müssen • die Kompatibilität und • das Gleichgewicht erfüllt sein. Bei der Matrix-Verschiebungsmethode führt man die Knotenverschiebungen als wesentliche Unbekannte ein. Der Verschiebungsvektor an einem Knotenpunkt wird für alle an diesem Knoten zusammenhängenden Elemente gemeinsam gültig definiert. Damit ist die Kompatibilität des Gesamttragwerks a priori erfüllt. Ein Einzelelement Am Einzelelement werden für jeden Knoten Kräfte und Verschiebungen eingeführt (siehe Abbildung 2.2). Zur eindeutigen Darstellung werden die Knotenkräfte und die Knotenverschiebungen mit dem Index p versehen, um herauszustellen, dass es sich um Größen handelt, die an Knoten definiert sind. Die Vektoren der Knotenverschiebungen up beziehungsweise Knotenkräfte F p bestehen im Allgemeinen aus mehreren Komponenten für die jeweiligen Koordinaten. Ein zusätzlicher Index e gibt an, auf welches Element sich die Größen beziehen1 . Damit ergeben sich die Knotenkräfte gemäß Abbildung 2.2 zu       Fix Fjx Fmx , F ej = , F em = , (2.2) F ei = Fiy Fjy Fmy 1 Der zusätzliche Index e entfällt bei den Verschiebungen, da bei der Verschiebungsmethode die Knotenverschiebungen für jedes verbundene Element identisch sind.

8

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

y m

i

u

F iy

u

j

(e ) iy

F

ix

ix

x Abb. 2.2 Einzelelement (e) mit Verschiebungen und Kräften

und die Knotenverschiebungen zu     uix ujx , uj = , ui = uiy ujy



um

umx = umy

 .

(2.3)

Fasst man sämtliche Knotenkräfte und Knotenverschiebungen an einem Element jeweils zu einem Vektor zusammen, ergibt sich ⎤ ⎡ Fi (2.4) der Gesamtknotenkraftvektor F ep = ⎣ F j ⎦ Fm für die Kräfte an allen Knoten sowie

⎤ ui der Gesamtknotenverschiebungsvektor up = ⎣ uj ⎦ um ⎡

(2.5)

für die Verschiebungen an allen Knoten. Mit den Vektoren für die Knotenkräfte und -verschiebungen lässt sich die Steifigkeitsbeziehung für ein einzelnes Element angeben als: (2.6) F ep = ke up , beziehungsweise pro Knoten: F er = kers us (r, s = i, j, m) .

(2.7)

Die Einzelsteifigkeitsmatrix ke verknüpft die Knotenkräfte mit den Knotenverschiebungen. Im vorliegenden Beispiel lautet die Einzelsteifigkeitsbeziehung formal

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren

⎡

⎤

Fix

⎡

keii keij ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ Fiy ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Fjx ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ keji kejj ⎢F ⎥=⎢ ⎢ jy ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢F ⎥ ⎢ ⎣ mx ⎦ ⎢ ⎣ kemi kemj Fmy

9

⎤⎡ ⎤ uix e kim ⎥ ⎢ ⎥⎢u ⎥ ⎥ ⎢ iy ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ujx ⎥ ⎥ e ⎥ ⎥. kjm ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ u ⎢ ⎥ jy ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ umx ⎥ ⎣ ⎦ e kmm ⎦ umy

(2.8)

Für den weiteren Verlauf sei vorausgesetzt, dass die Einzelsteifigkeitsmatrizen der Elemente I, II, III und IV bekannt sind. Für eindimensionale Elemente werden in den nächsten Kapiteln die Einzelsteifigkeitsbeziehungen für verschiedene Belastungsarten explizit hergeleitet. Die Gesamtsteifigkeit Das Gleichgewicht jedes Einzelelementes wird über die Einzelsteifigkeitsbeziehung in Gleichung (2.6) erfüllt. Das Gesamtgleichgewicht wird dadurch sichergestellt, dass jeder Knoten ins Gleichgewicht gesetzt wird. Beispielhaft wird in Abbildung 2.3 für den Knoten 4 das Gleichgewicht aufgestellt.

R F

4 y

R

III

4 x

F

4 y

F

IV

4 y

III

F

4 x

III

IV

4 x

IV

Abb. 2.3 Gleichgewicht am Knoten 4 zum Problem aus Abbildung 2.1



Mit R4 = gilt: R4 =

e

F4x F4y



IV F e4 = F III 4 + F4 .

(2.9)

(2.10)

Ersetzt man die Knotenkräfte über die Einzelsteifigkeitsbeziehungen durch die Knotenverschiebungen, so folgt

10

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

III IV IV IV R4 = kIII 43 u3 + k44 + k44 u4 + k45 u5 + k46 u6 . 

(2.11)

Stellt man an jedem Knoten das Gleichgewicht entsprechend auf und schreibt alle Beziehungen in Form einer Matrixgleichung, so erhält man die Gesamtsteifigkeitsbeziehung F =Ku (2.12) mit K=



keij ,

(2.13)

e

beziehungsweise ausführlich angeschrieben ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F 1 ⎥ ⎢ kI11 kI12 kI13 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ I I II kI23 0 kII ⎢ 0 ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 25 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ kI kI32 kI33 + kIII kIII 0 33 34 ⎢ ⎥ ⎢ 31 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ IV ⎢F4 ⎥ ⎢ 0 0 kIII kIII kIV 43 44 + k44 45 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ IV ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 kII 0 kIV kII 52 54 55 + k55 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣F ⎦ ⎣ 0 0 0 kIV kIV 6 64 65

⎤⎡ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ kIV 46 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ kIV 56 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ IV ⎦ k66

⎤

⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

(2.14) Diese Gleichung wird auch als Hauptgleichung der Finite-Elemente-Methode bezeichnet. Auf der linken Seite steht der Vektor der äußeren Lasten (eingeprägte Lasten beziehungsweise Auflagerreaktionen) und auf der rechten Seite der Vektor aller Knotenverschiebungen. Beide sind über die Gesamtsteifigkeitsmatrix K miteinander gekoppelt. Die Elemente der Gesamtsteifigkeitsmatrix ergeben sich gemäß Gleichung (2.13) durch Addition der entsprechenden Elemente der Einzelsteifigkeitsmatrizen. Im Verschiebungsvektor sind die Lagerungsbedingungen u1 = 0 und u6 = 0 bereits berücksichtigt. Aus den Matrixgleichungen zwei bis fünf lassen sich die unbekannten Knotenverschiebungen u2 , u3 , u4 und u5 ermitteln. Sind diese bekannt, so erhält man durch Einsetzen in die Matrixgleichungen eins und sechs die unbekannten Auflagerreaktionen F 1 und F 6 .

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren

11

Die Matrix-Verschiebungsmethode ist exakt, solange die Einzelsteifigkeitsmatrizen aufgestellt werden können und solange die verschiedenen Elemente in definierten Knotenpunkten miteinander gekoppelt sind. Dies ist beispielsweise bei Fachwerken oder Rahmentragwerken innerhalb der hierfür gültigen Theorien der Fall. Mit der bisher vorgestellten Methode lassen sich die Knotenverschiebungen und -kräfte in Abhängigkeit der äußeren Lasten ermitteln. Für die Festigkeitsanalyse eines einzelnen Elementes ist der Verzerrungs- und Spannungszustand im Innern des Elements maßgeblich. Üblicherweise wird der Verschiebungsverlauf über die Knotenverschiebungen up und Approximationsfunktionen beschrieben. Über die Kinematikbeziehung lässt sich dann das Verzerrungsfeld und weiter über das Stoffgesetz das Spannungsfeld bestimmen.

2.1.2 Übergang zum Kontinuum Im vorangehenden Abschnitt wurde die Matrix-Verschiebungsmethode an einem Gelenktragwerk besprochen. Im Gegensatz dazu hängen im Kontinuum die gedachten diskretisierten Finiten Elemente an unendlich vielen Knotenpunkten zusammen. Bei realer Anwendung der Matrix-Verschiebungsmethode können jedoch nur endlich viele Knoten berücksichtigt werden. Damit können von den geforderten Bedingungen zur Kompatibilität und zum Gleichgewicht nicht beide gleichzeitig exakt erfüllt werden. Entweder die Kompatibilität oder das Gleichgewicht werden nur im Mittel erfüllt.

F

W

Abb. 2.4 Kontinuum mit Last und Randbedingungen

12

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Prinzipiell kann die Vorgehensweise mit der Kraftmethode oder der Verschiebungsmethode dargestellt werden. Im Folgenden wird nur die Verschiebungsmethode weiter betrachtet. Hierbei wird • die Kompatibilität im Rahmen des Approximationsgrades exakt und • das Gleichgewicht im Mittel erfüllt. Es ergibt sich folgende Vorgehensweise: 1. Das Kontinuum wird diskretisiert, d.h. bei zweidimensionalen Problemen durch gedachte Linien und bei dreidimensionalen Problemen durch Flächen in Teilbereiche, sogenannte Finite Elemente, aufgeteilt. 2. Der Kraftfluss von Element zu Element erfolgt in diskreten Knotenpunkten. Die Verschiebungen dieser Knotenpunkte werden als grundlegende Unbekannte eingeführt (Verschiebungsmethode!). 3. Der Verschiebungszustand innerhalb eines Elementes wird als Funktion der Knotenverschiebungen dargestellt. Die Verschiebungsansätze sind kompatibel zu den angrenzenden Nachbarelementen. 4. Über das Verschiebungsfeld sind innerhalb des Elementes auch der Verzerrungszustand und über das Stoffgesetz der Spannungszustand als Funktion der Knotenverschiebungen bekannt. 5. Über das Prinzip der virtuellen Arbeit werden den entlang der gedachten Elementränder übertragenen Spannungen im Mittel statisch gleichwertige resultierende Knotenkräfte zugeordnet. 6. Um das Gesamtgleichgewicht zu gewähren, müssen alle Knotengleichgewichte erfüllt sein. Über diese Bedingung gelangt man zur Gesamtsteifigkeitsbeziehung, aus der nach Berücksichtigung der kinematischen Randbedingungen die unbekannten Knotenverschiebungen berechnet werden können. 7. Sind die Knotenverschiebungen bekannt, so kennt man das Verschiebungsund Verzerrungsfeld und somit auch den Spannungszustand eines jeden Einzelelementes. Kommentare zu den einzelnen Schritten Diskretisierung Durch die Diskretisierung wird das gesamte Kontinuum in Elemente aufgeteilt. Ein Teilbereich steht mit einem oder mehreren Nachbarelementen in Verbindung. Im Zweidimensionalen ergeben sich als Kontaktbereiche Linien, im Dreidimensionalen Flächen. In Abbildung 2.5 ist die Diskretisierung für einen ebenen Fall dargestellt. Anschaulich lässt sich die Diskretisierung folgendermaßen deuten: Einzelne Punkte ändern ihre geometrische Position im Kontinuum nicht. Das Verhält-

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren

13

y

x Abb. 2.5 Diskretisierung einer ebenen Fläche

nis zu den Nachbarpunkten ändert sich wohl. Während im Kontinuum jeder Punkt mit seinem Nachbarpunkt in Wechselwirkung steht, gilt dies beim gedachten diskretisierten Kontinuum nur innerhalb eines Elementes. Liegen zwei Punkte in unterschiedlichen Elementen, sind sie nicht direkt miteinander verbunden. Knoten und Verschiebungen Der Informationsfluss zwischen einzelnen Elementen erfolgt nur über die Knoten. Bei der Verschiebungsmethode werden Verschiebungen als wesentliche Unbekannte an den Knoten eingeführt (siehe Abbildung 2.6).

y m u

(e )

iy

i

u

j ix

x Abb. 2.6 Knoten mit Verschiebungen

14

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Die Verschiebungen sind für jedes am Knoten angrenzende Element identisch. Kräfte fließen nur über die Knoten, über die Elementränder fließen keine Kräfte, auch wenn die Elementränder geometrisch zusammenfallen. Approximation des Verschiebungsverlaufes Ein üblicher Weg, den Verschiebungsverlauf ue (x) im Innern eines Elementes zu beschreiben, besteht darin, den Verlauf durch die Verschiebungen an den Knoten und sogenannten Formfunktionen zu approximieren (siehe Abbildung 2.7): ue (x) = N (x) up .

y

u m

u y

u i

i

e

(2.15)

m

(x ) j

x

i

u j

x

i

Abb. 2.7 Approximation des Verschiebungsverlaufs im Element

Die Diskretisierung darf nicht zu Löchern im Kontinuum führen. Um Kompatibilität zwischen Einzelelementen sicherzustellen, muss eine geeignete Beschreibung des Verschiebungsfeldes gewählt werden. Die Wahl der Formfunktionen hat entscheidenden Einfluss auf die Güte der Approximation und wird im Abschnitt 6.4 ausführlich diskutiert. Verzerrungs- und Spannungsfelder Aus dem Verschiebungsfeld ue (x) gelangt man über die Kinematikbeziehung εe (x) = L1 ue (x)

(2.16)

zum Verzerrungsfeld. Dabei ist L1 ein Differenzialoperator 1. Ordnung2 . Die Spannungen im Innern eines Elementes lassen sich über das Stoffgesetz ermitteln: 2

Im eindimensionalen Fall vereinfacht sich der Differenzialoperator zur Ableitung

d . dx

2.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren

u m

u

s i

e

u e

(x ) e

e

(x )

15

m

(x ) u j

j

i Abb. 2.8 Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen im Element

σ e (x) = Dεe (x) = DL1 N (x) up = DB(x) up .

(2.17)

Im Ausdruck L1 N (x) stehen die Ableitungen der Formfunktionen. Üblicherweise wird dafür eine neue Matrix mit der Bezeichnung B eingeführt. Prinzip der virtuellen Arbeit, Einzelsteifigkeitsmatrizen Während im Kontinuum jeder beliebige Punkt mit seinem Nachbarpunkt wechselwirken kann, ist dies bei der diskretisierten Struktur nur innerhalb eines Elementes möglich. Ein direkter Austausch über die Elementgrenzen hinweg ist nicht vorgesehen. Mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit steht ein geeignetes Werkzeug zur Verfügung, um den Spannungen entlang der gedachten Elementränder statisch gleichwertige Knotenkräfte zuzuordnen.

F m

m

d u

F i

i

s e

d e (x )

d u e

d u e

(x )

m

d u

(x ) j

j

F j

i Abb. 2.9 Prinzip der virtuellen Arbeit an einem Element

Dazu fasst man die Knotenkräfte zu einem Vektor F ep zusammen. Die virtuellen Verschiebungen δup verrichten mit den Knotenkräften die äußere virtuelle Arbeit δΠext , die virtuellen Verzerrungen δε verrichten mit den Spannungen σ e im Innern die innere Arbeit δΠint :

16

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

δΠext = (F ep )T δup ,

δΠint = (σ e )T δεe dΩ.

(2.18)

Ω

Nach dem Gesetz der virtuellen Arbeit gilt: δΠext = δΠint .

(2.19)

Transponiert man die Gleichung

(F ep )T

(σ e )T δεe dΩ

δup = Ω

und setzt man (2.16) bzw. (2.17) entsprechend ein, so folgt

(δup )T F ep = (δup )T B T D B dΩ up .

(2.20)

Ω

Hieraus erhält man die Einzelsteifigkeitsbeziehung F ep = ke up mit der Elementsteifigkeitsmatrix

ke = B T D BdΩ .

(2.21)

(2.22)

Ω

Gesamtsteifigkeitsbeziehung Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung F =Ku

(2.23)

erhält man aus dem Gesamtgleichgewicht. Dies wird erreicht, indem das Gleichgewicht an jedem Knoten aufgestellt wird. Aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung lassen sich die unbekannten Größen noch nicht gewinnen. Im Kontext der Gleichungslösung ist die Systemmatrix nicht regulär. Erst nachdem mindestens die Starrkörperbewegung (-verschiebung und -verdrehung) aus dem Gesamtsystem genommen wurden, entsteht ein reduziertes System F red = K red ured p ,

(2.24)

das sich lösen lässt. Eine Beschreibung der Gleichungslösung findet sich im Abschnitt 7.2 und im Angang A 1.5.

2.2 Integralprinzipien

17

Ermittlung der elementbezogenen Feldgrößen Nach der Gleichungslösung sind die Knotenverschiebungen bekannt. Damit lässt sich für jedes Element der Verschiebungs-, der Verzerrungs- und Spannungsverlauf im Innern bestimmen. Zudem lassen sich die Auflagerreaktionen ermitteln.

2.2 Integralprinzipien Die Ableitung der Finite-Elemente-Methode erfolgt häufig über sogenannte Energieprinzipien. Daher wird im Rahmen dieses Kapitels eine knappe Zusammenfassung einiger wichtiger Prinzipien geboten. Das Gesamtpotenzial oder die gesamte potenzielle Energie eines Systems kann allgemein als Π = Πint + Πext

(2.25)

angegeben werden, wobei Πint die elastische Verzerrungsenergie (Formänderungsenergie3 ) und Πext das Potenzial der äußeren Lasten darstellt. Die elastische Verzerrungsenergie – oder Arbeit der inneren Kräfte – ergibt sich mittels der Spaltenmatrix der Spannungen und Dehnungen allgemein für linearelastisches Materialverhalten zu: Πint

1 = 2

Ω

σ T εdΩ .

(2.26)

Das Potenzial der äußeren Lasten – das der negativen Arbeit der äußeren Lasten entspricht – kann für die Spaltenmatrix der äußeren Lasten F und der Verschiebungen u als Πext = −F T u

(2.27)

angegeben werden. • Prinzip der virtuellen Arbeit: Das Prinzip der virtuellen Arbeit umfasst das Prinzip der virtuellen Verschiebungen4 und das Prinzip der virtuellen Kräfte. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen besagt, dass wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, kompatible, kleine, virtuelle Verschiebungen, die die geometri-

3 Die Formänderungsenergie wird auch häufig in die Volumen- und Gestaltänderungsenergie aufgespalten. 4 Auch als Prinzip der virtuellen Verrückungen bezeichnet.

18

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

schen Randbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der gesamten äußeren virtuellen Arbeit:

σ T δεdΩ = F T δu . (2.28) Ω

Entsprechend ergibt sich das Prinzip der virtuellen Kräfte zu:

δσ T εdΩ = δF T u .

(2.29)

Ω

• Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials: Nach diesem Prinzip nimmt das Gesamtpotenzial in der Gleichgewichtslage einen Extremwert an: Π = Πint + Πext = Minimum .

(2.30)

Abb. 2.10 Zur Definition der Formänderungsenergie und Formänderungsergänzungsenergie: a) absolut; b) volumenspezifisch

• Das Prinzip von Castigliano: Der erste Satz von Castigliano besagt, dass die partielle Ableitung der komplementären Formänderungsenergie (Formänderungsergänzungsenergie, vergleiche Abbildung 2.10 a) nach einer äußeren Kraft Fi die Verschiebung des Kraftangriffspunktes in Richtung dieser Kraft ergibt. Entsprechend ergibt sich, dass die partielle Ableitung der komplementären Formänderungsenergie nach einem äußeren Moment Mi die Verdrehung am Angriffspunkt des Momentes in Richtung dieses Momentes ergibt:

2.3 Die Methode der gewichteten Residuen

¯ int ∂Π = ui , ∂Fi ¯ int ∂Π = ϕi . ∂Mi

19

(2.31) (2.32)

Der zweite Satz von Castigliano besagt, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie (vergleiche Abbildung 2.10 a) nach einer Verschiebung ui die Kraft Fi in Richtung der Verschiebung an der betrachteten Stelle ergibt. Ein analoger Zusammenhang gilt auch für die Verdrehung und das Moment: ∂Πint = Fi , ∂ui ∂Πint = Mi . ∂ϕi

(2.33) (2.34)

2.3 Die Methode der gewichteten Residuen Ausgangspunkt der Methode der gewichteten Residuen oder der Methode des gewichteten Restes ist die das physikalische Problem beschreibende Differenzialgleichung. Im eindimensionalen Fall kann ein solches physikalisches Problem in einem Bereich Ω allgemein durch die Differenzialgleichung L{u0 (x)} = b (x ∈ Ω)

(2.35)

und durch die auf dem Rand Γ vorgegebenen Randbedingungen beschrieben werden. Die Differenzialgleichung wird auch als starke Form des Problems bezeichnet, da in jedem Punkt x des Bereiches das Problem exakt beschrieben wird. In Gleichung (2.35) stellt L{. . . } einen beliebigen Differenzialoperator dar, der zum Beispiel folgende Formen annehmen kann: d2 {. . . } , dx2 d4 L{. . . } = {. . . } , dx4 d d4 {. . . } + {. . . } . {. . . } + L{. . . } = 4 dx dx L{. . . } =

(2.36) (2.37) (2.38)

Weiterhin stellt b in Gleichung (2.35) eine gegebene Funktion dar, wobei man in Falle von b = 0 von einer homogenen Differenzialgleichung spricht: L{u0 (x)} = 0. Die exakte oder wahre Lösung des Problems, u0 (x), erfüllt in jedem Punkt des Bereichs x ∈ Ω die Differenzialgleichung und die auf dem Rand Γ vorgeschriebenen geometrischen und statischen Randbedingun-

20

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

gen. Da die exakte Lösung für die meisten Ingenieurprobleme im Allgemeinen nicht berechnet werden kann, ist es Ziel der folgenden Ableitungen, eine möglichste gute Näherungslösung u(x) ≈ u0 (x)

(2.39)

zu bestimmen. Für die Näherungslösung in Gleichung (2.39) wird im Folgenden ein Ansatz der Form u(x) = α0 +

n

αk ϕk (x)

(2.40)

k=1

gewählt, wobei α0 die nichthomogenen Randbedingungen erfüllen soll, ϕk (x) einen Satz linear unabhängiger Ansatzfunktionen darstellt und αk die Freiwerte des Näherungsansatzes sind, die durch das jeweilige Näherungsverfahren so bestimmt werden, dass die exakte Lösung u0 von der Näherungslösung u bestmöglich approximiert wird.

2.3.1 Verfahren auf Basis des inneren Produktes Setzt man den Näherungsansatz für u0 in die Differenzialgleichung (2.35) ein, so erhält man einen lokalen Fehler, das sogenannte Residuum r: r = L{u(x)} − b = 0 .

(2.41)

Im Rahmen der Methode der gewichteten Residuen wird dieser Fehler mit einer Gewichtsfunktion W (x) gewichtet und über das gesamte Gebiet Ω integriert, so dass der Fehler gerade im Mittel verschwindet:

! rW dΩ = (L{u(x)} − b)W dΩ = 0 . (2.42) Ω

Ω

Diese Formulierung wird auch als inneres Produkt bezeichnet. Man beachte, dass die Gewichts- oder Testfunktion W (x) erlaubt, den Fehler im Bereich Ω unterschiedlich zu gewichten. Der Gesamtfehler muss aber im Mittel, das heißt über den Bereich integriert, gerade zu Null werden. Die Struktur der Gewichtsfunktion wird meistens in ähnlicher Weise wie bei der Näherungsfunktion u(x) angesetzt W (x) =

n

βk ψk (x) ,

(2.43)

k=1

wobei βk beliebige Koeffizienten und ψk (x) linear unabhängige Ansatzfunktionen darstellen. Der Ansatz (2.43) beinhaltet – je nach Wahl der Anzahl der Summanden k und der Funktionen ψk (x) – die Klasse der Verfahren mit

2.3 Die Methode der gewichteten Residuen

21

gleichen Ansatzfunktionen für die Näherungslösung und die Gewichtsfunktion (ϕk (k) = ψk (x)) und die Klasse der Verfahren, bei denen die Ansatzfunktionen unterschiedlich gewählt werden (ϕk (k) = ψk (x)). Je nach Wahl der Gewichtsfunktion lassen sich die folgenden klassischen Methoden unterscheiden [4, 12]: • Punkt-Kollokations-Verfahren: ψk (x) = δ(x − xk ) Das Punkt-Kollokations-Verfahren macht sich die Eigenschaft der DeltaFunktion zu Nutze. Der Fehler r soll an den n frei wählbaren Punkten x1 , x2 , · · · , xn , mit xk ∈ Ω, den sogenannten Kollokationspunkten, gerade exakt verschwinden und somit erfüllt die Näherungslösung die Differenzialgleichung in den Kollokationspunkten exakt. Die Gewichtsfunktion kann somit als

W (x) = β1 δ(x − x1 ) + · · · + βn δ(x − xn ) =       ψ1

ψn

n

βk δ(x − xk )

(2.44)

k=1

angesetzt werden, wobei die Delta-Funktion wie folgt definiert ist:  0 für x = xk δ(x − xk ) = . ∞ für x = xk

(2.45)

Setzt man diesen Ansatz in das innere Produkt nach Gleichung (2.42) ein und beachtet die Eigenschaft der Delta-Funktion,

∞

−∞ ∞

−∞

δ(x − xk ) dx =

f (x)δ(x − xk ) dx =

xk +ε

xk −ε

xk +ε xk −ε

δ(x − xk ) dx = 1 ,

(2.46)

f (x)δ(x − xk ) dx = f (x) ,

(2.47)

ergeben sich gerade n linear unabhängige Gleichungen für die Berechnung der Freiwerte αk : r(x1 ) = L{u(x1 )} − b = 0 ,

(2.48)

r(x2 ) = L{u(x2 )} − b = 0 , .. . r(xn ) = L{u(xn )} − b = 0 .

(2.49)

(2.50)

Man beachte, dass der Näherungsansatz alle Randbedingungen, das heißt die essentiellen und natürlichen Randbedingungen, erfüllen muss. Auf Grund

22

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode



der Eigenschaft der Delta-Funktion, Ω rW (δ)dΩ = r = 0, muss bei dem Punkt-Kollokations-Verfahren kein Integral, das heißt keine Integration über das innere Produkt, berechnet werden. Man erspart sich somit – zum Beispiel gegenüber dem Galerkin-Verfahren – die Integration und erhält schneller die Näherungslösung. Als Nachteil ergibt sich jedoch, dass die Kollokationspunkte frei wählbar sind. Diese können somit auch ungünstig gewählt werden. • Subdomain-Kollokations-Verfahren: ψk (x) = 1 in Ωk und sonst Null Dieses Verfahren ist auch ein Kollokations-Verfahren, aber anstatt der Forderung, dass der Fehler an bestimmten Punkten verschwindet, fordert man hier, dass das Integral des Fehlers über verschiedene Gebiete, den Subdomains, zu Null wird:

r dΩi = 0 für eine Subregion Ωi . (2.51) Ωi

Mit diesem Verfahren kann zum Beispiel die Finite-Differenzen-Methode abgeleitet werden. ∂r • Verfahren des Minimums der Fehlerquadrate: ψk (x) = ∂αk Bei der Fehlerquadratmethode optimiert man den mittleren quadratischen Fehler

(L{u(x)} − b)2 dΩ = Minimum , (2.52) Ω

beziehungsweise

d (L{u(x)} − b)2 dΩ = 0 , dαk Ω

d(L{u(x)} − b) (L{u(x)} − b)dΩ = 0 . dαk Ω

(2.53) (2.54)

• Petrov-Galerkin-Verfahren: ψk (x) = ϕk (x) Unter diesem Namen werden alle Verfahren zusammengefasst, bei denen die Ansatzfunktionen der Gewichtsfunktion und der Näherungslösung verschieden sind. Somit kann zum Beispiel das Subdomain-Kollokations-Verfahren dieser Gruppe zugeordnet werden. • Galerkin-Verfahren: ψk (x) = ϕk (x) Die Grundidee des Galerkin- oder Bubnov-Galerkin-Verfahrens besteht darin, für den Näherungsansatz und den Gewichtsfunktionsansatz die glei-

2.3 Die Methode der gewichteten Residuen

23

chen Ansatzfunktionen zu wählen. Somit ergibt sich für diese Methode die Gewichtsfunktion zu: W (x) =

n

(2.55)

βk ϕk (x) .

k=1

Da für u(x) und W (x) die gleichen Ansatzfunktionen ϕk (x) gewählt wurden und die Koeffizienten βk beliebig sind, kann man die Funktion W (x) als Variation von u(x) schreiben (mit δα0 = 0):

W (x) = δu(x) = δα1 ϕ1 (x) + · · · + δαn ϕn (x) =

n

δαk · ϕk (x) .

(2.56)

k=1

Die Variationen können virtuelle Größen, wie zum Beispiel virtuelle Verschiebungen oder Geschwindigkeiten, sein. Einsetzen dieses Ansatzes in das innere Produkt nach Gleichung (2.42), liefert für einen linearen Operator L{. . . } einen Satz von n linear unabhängigen Gleichungen für die Bestimmung der n unbekannten Freiwerte αk :

Ω Ω

Ω

(L{u(x)} − b) · ϕ1 (x) dΩ = 0 ,

(2.57)

(L{u(x)} − b) · ϕ2 (x) dΩ = 0 ,

(2.58)

.. . (L{u(x)} − b) · ϕn (x) dΩ = 0 .

(2.59)

Fazit zu den auf dem inneren Produkt basierenden Verfahren: Diese Formulierungen verlangen, dass die Ansatzfunktionen – die hier über den gesamten Bereich Ω definiert angenommen wurden – alle Randbedingungen, das heißt die essentiellen und natürlichen, erfüllen. Diese Forderung, sowie die durch den L-Operator geforderte Differenzierbarkeit der Ansatzfunktionen führen in der praktischen Anwendung oft zu einem schwierigen Auffinden geeigneter Funktionen. Außerdem entstehen im Allgemeinen unsymmetrische Koeffizientenmatrizen (falls der L-Operator symmetrisch ist, dann ist die Koeffizientenmatrix des Galerkin-Verfahrens ebenfalls symmetrisch).

24

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

2.3.2 Verfahren auf Basis der schwachen Formulierung Zur Ableitung einer weiteren Klasse von Näherungsverfahren wird das innere Produkt so oft partiell integriert, bis die Ableitung von u(x) und W (x) die gleiche Ordnung hat, und man gelangt zur sogenannten schwachen Formulierung. Bei dieser Formulierung wird die Forderung an die Differenzierbarkeit für die Lösungsfunktion erniedrigt, die Forderung an die Gewichtsfunktion jedoch erhöht. Verwendet man die Idee des Galerkin-Verfahrens, das heißt gleiche Ansatzfunktionen für den Näherungsansatz und die Gewichtsfunktion, wird insgesamt die Anforderung an die Differenzierbarkeit der Ansatzfunktionen reduziert. Für einen Differenzialoperator 2. oder 4. Ordnung, das heißt

Ω

Ω

L2 {u(x)}W (x)dΩ ,

(2.60)

L4 {u(x)}W (x)dΩ ,

(2.61)

ergibt einmalige partielle Integration von Gleichung (2.60) die schwache Form

L1 {u(x)}L1 {W (x)}dΩ = [L1 {u(x)}W (x)]Γ , (2.62) Ω

beziehungsweise zweimalige partielle Integration die schwache Form von Gleichung (2.61):

Ω

L2 {u(x)}L2 {W (x)}dΩ = [L2 {u(x)}L1 {W (x)} − L3 {u(x)}W (x)]Γ .

(2.63) Zur Ableitung der Finite-Elemente-Methode geht man auf bereichsweise definierte Ansatzfunktionen über. Für einen solchen Bereich, das heißt ein finites Element mit Ω e < Ω und einer lokalen Elementkoordinate xe , ergibt sich zum Beispiel die schwache Formulierung von (2.62) zu:

L2 {u(xe )}L2 {W (xe )}dΩ e = [L2 {u(xe )}L1 {W (xe )}−L3 {u(xe )}W (xe )]Γ e .

Ωe

(2.64) Da die schwache Formulierung die natürlichen Randbedingungen – siehe hierzu auch das Beispielproblem (2.2) – enthält, kann im Folgenden gefordert werden, dass der Ansatz5 für u(x) nur noch die essentiellen Randbedingungen 5

Auf den Index ’e’ bei der Elementkoordinate wird im Folgenden – falls es das Verständnis nicht beeinträchtigt – verzichtet.

2.3 Die Methode der gewichteten Residuen

25

erfüllen muss. Entsprechend dem Galerkin-Verfahren wird zur Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung gefordert, dass die gleichen Ansatzfunktionen für die Näherungs- und Gewichtsfunktion gewählt werden. Im Rahmen der Finite-Elemente-Methode werden für die Freiwerte αk die Knotenwerte uk gewählt und die Ansatzfunktionen ϕk (x) werden als Form- oder Ansatzfunktionen Nk (x) bezeichnet. Somit ergeben sich die folgenden Darstellungen für die Näherungslösung und die Gewichtsfunktion:

u(x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2 + · · · Nn (x)un =

n

Nk (x)uk ,

(2.65)

k=1

W (x) = δu1 N1 (x) + δu2 N2 (x) + · · · δun Nn (x) =

n

δuk Nk (x) ,

(2.66)

k=1

wobei n die Anzahl der Knoten pro Element darstellt. Wichtig ist, dass bei dieser Vorgehensweise der Fehler an den Knoten, deren Lage vom Anwender definiert werden, minimiert wird. Dies ist ein deutlicher Unterschied zum klassischen Galerkin-Verfahren auf Basis des inneren Produktes, das ja gerade die Punkte mit r = 0 selbst gefunden hat. Zur weiteren Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung werden die Ansätze (2.65) und (2.66) in Matrixform geschrieben und in die schwache Form eingesetzt. Für die weiteren Details der Ableitung sei hier auf die Ausführungen in Kapitel 3 und 5 verwiesen. Im Rahmen der Finite-Elemente-Methode wird auch oft das sogenannte Ritzsche-Verfahren angesprochen. Das klassische Verfahren betrachtet das Gesamtpotenzial Π eines Systems. In diesem Gesamtpotenzial wird ein Näherungsansatz der Form (2.40) verwendet, der jedoch beim Ritzschen Verfahren für den gesamten Bereich Ω definiert ist. Die Ansatzfunktionen ϕk müssen die geometrischen, jedoch nicht die statischen Randbedingungen erfüllen6 . Durch Ableitung des Potenzials nach den unbekannten Freiwerten αk , das heißt Bestimmung des Extremums von Π, ergibt sich ein Gleichungssystem zur Bestimmung der k Freiwerte, der sogenannten Ritzschen Koeffizienten. Im Allgemeinen ist es jedoch schwierig, Ansatzfunktionen mit unbekannten Freiwerten zu finden, die alle geometrischen Randbedingungen des Problems erfüllen. Modifiziert man jedoch das klassische Ritzsche-Verfahren so, dass gerade nur der Bereich Ω e eines Finiten Elementes betrachtet wird, und verwendet man einen Näherungsansatz nach Gleichung (2.65), gelangt man auch hier zur Finite-Elemente-Methode.

6

Da im Gesamtpotenzial die statischen Randbedingungen implizit enthalten sind, müssen die Ansatzfunktionen diese nicht erfüllen. Erfüllen die Ansatzfunktionen jedoch zusätzlich auch die statischen Randbedingungen, kann eine genauere Approximation erwartet werden.

26

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

2.3.3 Verfahren auf Basis der inversen Formulierung Zum Abschluss sei hier angemerkt, dass zur Ableitung einer weiteren Klasse von Näherungsverfahren das innere Produkt so oft partiell integriert werden kann, bis die Ableitungen von u(x) komplett auf W (x) übertragen wurden. Damit gelangt man zur sogenannten inversen Formulierung. Je nach Wahl der Gewichtsfunktion erhält man die folgenden Methoden: • Wahl von W so, dass L(W ) = 0 aber L(u) = 0. Verfahren: Randelement-Methode (Randintegralgleichung 1. Art). • Verwendung einer sogenannten Fundamentallösung W = W ∗ , also einer Lösung, welche die Gleichung L(W ∗ ) = (−)δ(ξ) erfüllt. Verfahren: Randelement-Methode (Randintegralgleichung 2. Art). Die Koeffizientenmatrix des entsprechenden Gleichungssystems ist voll besetzt und nicht symmetrisch. Entscheidend für die Anwendung der Methode ist die Kenntnis einer Fundamentallösung für den L-Operator (in der Elastizitätstheorie ist durch die Kelvin-Lösung – Einzellast im Vollraum – eine derartige analytische Lösung bekannt). • Gleiche Ansatzfunktionen für Näherungsansatz und Gewichtsfunktionsansatz. Verfahren: Trefftzsche Verfahren. • Gleiche Ansatzfunktionen für Näherungsansatz und Gewichtsfunktion und es gilt L(u) = L(W ) = 0. Verfahren: Variante des Trefftzschen Verfahrens.

2.4 Beispielprobleme 2.1. Beispiel: Galerkin-Verfahren auf Basis des inneren Produktes Da der Begriff Galerkin-Verfahren im Kontext der Finite-Elemente-Methode häufig verwendet wird, soll im Folgenden das ursprüngliche GalerkinVerfahren im Rahmen dieses Beispiels illustriert werden. Dazu betrachtet man die im Bereich 0 < x < 1 definierte Differenzialgleichung L{u(x)} − b =

d2 u0 + x2 = 0 dx2

(0 < x < 1)

(2.67)

mit den homogenen Randbedingungen u0 (0) = u0 (1) = 0. Für dieses Problem kann durch Integration und anschließende Berücksichtigung der Randbedingungen die exakte Lösung zu

2.4 Beispielprobleme

27

x 3 −x + 1 (2.68) 12 bestimmt werden. Man bestimme die Näherungslösung für einen Ansatz mit zwei Freiwerten. u0 (x) =

2.1 Lösung Zur Konstruktion der Näherungslösung u(x) nach dem Galerkin-Verfahren kann der folgende Ansatz mit zwei Freiwerten verwendet werden: u0 (x) ≈ u(x) = α1 ϕ1 (x) + α2 ϕ2 (x) ,

(2.69)

= α1 x(1 − x) + α2 x (1 − x) ,

(2.70)

= α1 x + (α2 − α1 )x − α2 x .

(2.71)

2

2

3

Man beachte hierbei, dass die Funktionen ϕ1 (x) und ϕ2 (x) so gewählt wurden, dass die Randbedingungen, das heißt u(0) = u(1) = 0, erfüllt werden. Somit scheiden hier Polynome erster Ordnung aus, da eine Gerade nur als horizontale Linie die beiden Nullstellen verbinden könnte. Weiterhin sind beide Funktionen so gewählt, dass sie linear unabhängig sind. Die ersten beiden Ableitungen des Näherungsansatzes ergeben sich zu du(x) = α1 + 2(α2 − α1 )x − 3α2 x2 , dx d2 u(x) = 2(α2 − α1 ) − 6α2 x , dx2

(2.72) (2.73)

und die Fehlerfunktion ergibt sich mittels der zweiten Ableitung aus Gleichung (2.41) zu: d2 u + x2 = 2(α2 − α1 ) − 6α2 x + x2 . dx2 Das Einsetzen der Gewichtsfunktion, das heißt r(x) =

W (x) = δu(x) = δα1 x(1 − x) + δα2 x2 (1 − x) ,

(2.74)

(2.75)

in die Residuumsgleichung liefert

0

1



 2(α2 − α1 ) − 6α2 x + x2 × δα1 x(1 − x) + δα2 x2 (1 − x) dx = 0       r(x)

W (x)

(2.76)

28

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

oder allgemein in zwei Integrale aufgespalten:

δα1

1

r(x)ϕ1 (x)dx + δα2 0

1

r(x)ϕ2 (x)dx = 0 .

(2.77)

0

Da es sich bei den δαi um beliebige Koeffizienten handelt und die Ansatzfunktionen ϕi (x) linear unabhängig sind, ergibt sich hieraus das folgende Gleichungssystem:

1

δα1 0

δα2

1



2(α2 − α1 ) − 6α2 x + x2 × (x(1 − x)) dx = 0 ,



 2(α2 − α1 ) − 6α2 x + x2 × x2 (1 − x) dx = 0 .

(2.78) (2.79)

0

Nach Ausführung der Integration ergibt sich hieraus ein Gleichungssystem zur Bestimmung der beiden unbekannten Freiwerte α1 und α2 1 − 20 1 − 30

1 1 α2 − α1 = 0 , 6 3 2 1 α2 − α1 = 0 , 15 6

(2.80) (2.81)

beziehungsweise in Matrixschreibweise: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 1   ⎢ 20⎥ ⎢ 3 6 ⎥ α1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 1 2 ⎦ α2 = ⎣ 1 ⎦ . 6 15 30

(2.82)

1 Aus diesem Gleichungssystem ergeben sich die Freiwerte zu α1 = 15 und α2 = 1 . Somit ergibt sich schließlich die Näherungslösung und die Fehlerfunktion 6 zu:



1 1 1 u(x) = x − x2 + x+ 6 10 15 r(x) = x2 − x +

1 . 5

 ,

(2.83) (2.84)

Der Vergleich zwischen Näherungslösung und exakter Lösung ist in Abbildung 2.11 a) dargestellt. Man erkennt, dass an den Rändern – man beachte, dass der Näherungsansatz die Randbedingungen erfüllte – und an zwei weiteren Stellen beide Lösungen übereinstimmen. Angemerkt sei hierbei, dass die Fehlerfunktion – vergleiche Abbildung 2.11 b) – nicht den Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherungslösung an-

2.4 Beispielprobleme

29

Abb. 2.11 Näherungslösung nach dem Galerkin-Verfahren, a) exakte Lösung und b) Residuum als Funktion der Koordinate

gibt. Vielmehr handelt es sich um den Fehler, der sich durch Einsetzen der Näherungslösung in die Differenzialgleichung ergibt. Um dies zu veranschaulichen, zeigt Abbildung 2.12 den absoluten Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherungslösung.

30

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Abb. 2.12 Absoluter Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherungslösung als Funktion der Koordinate

Abschließend sei hier zusammengefasst, dass der Vorteil des GalerkinVerfahrens darin besteht, dass das Verfahren die Punkte mit r = 0 selbst sucht. Dies ist ein deutlicher Vorteil gegenüber dem Kollokations-Verfahren. Jedoch muss beim Galerkin-Verfahren die Integration ausgeführt werden, und somit ist das Verfahren im Vergleich zur Kollokation aufwendiger und langsamer. 2.2. Beispiel: Finite-Elemente-Methode Für die Differenzialgleichung (2.67) und die gegebenen Randbedingungen berechne man ausgehend von der schwachen Formulierung eine Finite-ElementeLösung, basierend auf zwei äquidistanten Elementen mit linearen Ansatzfunktionen. 2.2 Lösung Die partielle Integration des inneren Produktes ergibt folgende Darstellung:

2.4 Beispielprobleme



1

0

31

d2 u(x) + x2 dx2

 (2.85)

W (x) dx = 0 ,

1 d2 u(x) W (x) dx + x2 W (x) dx = 0 , dx2 0 0 1 

1 1 du(x) dW (x) du(x) W (x) − dx + x2 W (x) dx = 0 , dx dx dx 0 0 1

(2.86) (2.87)

0

beziehungsweise die schwache Form in ihrer endgültigen Darstellung:

0

1

 1 1 du(x) du(x) dW (x) dx = W (x) + x2 W (x) dx . dx dx dx 0

(2.88)

0

Zur Ableitung der Finite-Elemente-Methode geht man auf bereichsweise definierte Ansatzfunktionen über. Für einen solchen Bereich Ω e < Ω, nämlich ein finites Element7 der Länge Le , ergibt sich die schwache Formulierung zu:  Le e L du(xe ) dW (xe ) e du(xe ) e dx = W (x ) + (xe + ce )2 W (xe ) dxe . dxe dxe dxe 0 0 0 (2.89) Beim Übergang von Gleichung (2.88) nach Gleichung (2.89), das heißt von der globalen Formulierung zur Betrachtung auf Elementebene, muss insbesondere der quadratische Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (2.88) besonders betrachtet werden. Damit der im globalen Koordinatensystem definierte Ausdruck X 2 auch in der Beschreibung auf Elementebene richtig berücksichtigt wird, muss für jedes Element e eine Koordinatentransformation mittels eines Terms ce durchgeführt werden. Aus Abbildung 2.13 kann entnommen werden, dass sich für das erste Element (I) der Term c zu Null ergibt, da globales und lokales Koordinatensystem übereinstimmen. Für das zweite Element (II) ergibt sich bei äquidistanter Unterteilung cII = X I,2 = 13 und für das dritte Element (III) entsprechend cIII = X II,2 = 23 . Da die schwache Formulierung die natürlichen Randbedingungen – siehe hierzu den Randausdruck in Gleichung (2.89) – enthält, kann im Folgenden gefordert werden, dass der Ansatz für u(x) nur noch die essentiellen Randbedingungen erfüllen muss. Entsprechend dem Galerkin-Verfahren wird zur Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung gefordert, dass die gleichen Ansatzfunktionen für die Näherungs- und Gewichtsfunktion gewählt werden. Im Rahmen der Finite-Elemente-Methode werden für die Freiwerte αk die Knotenwerte uk gewählt und die Ansatzfunktionen ϕk (x) werden als Form

7

Le

Für jedes Element e wird üblicherweise ein eigenes lokales Koordinatensystem 0 ≤ xe ≤ eingeführt. Die Koordinate in Gleichung (2.88) wird dann als globale Koordinate bezeichnet und erhält das Symbol X .

Le

32

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Abb. 2.13 Globales Koordinatensystem X und lokale Koordinatensysteme xi für jedes einzelne Element

oder Ansatzfunktionen Nk (x) bezeichnet. Für lineare Formfunktionen ergeben sich die folgenden Darstellungen für die Näherungslösung und die Gewichtsfunktion: u(x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2 , W (x) = δu1 N1 (x) + δu2 N2 (x) .

(2.90) (2.91)

Für die gewählten linearen Formfunktionen ergibt sich der in Abbildung 2.14 dargestellte elementweise lineare Verlauf der Näherungsfunktion und die dargestellte Differenz zwischen exakter Lösung und Näherungsansatz. Man erkennt deutlich, dass der Fehler an den Knoten minimal ist, bestenfalls identisch mit der exakten Lösung.

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2001) Kontinuumsmechanik: Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 3. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 4. Brebbia CA, Telles JCF, Wrobel LC (1984) Boundary Element Techniques: Theory and Applications. Springer-Verlag, Berlin 5. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 6. Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 7. Klein B (2000) FEM, Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 8. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton

Literaturverzeichnis

33

Abb. 2.14 Absoluter Unterschied zwischen exakter Lösung und Finite-Elemente-Lösung als Funktion der Koordinate

9. Oden JT, Reddy JN (1976) Variational methods in theoretical mechanics. SpringerVerlag, Berlin 10. Steinbuch R (1998) Finite Elemente - Ein Einstieg. Springer-Verlag, Berlin. 11. Szabó I (1996) Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser Verlag, Basel

34

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode

12. Zienkiewicz OC, Taylor RL (2000) The Finite Element Method Volume 1: The Basis. Butterworth-Heinemann, Oxford

Kapitel 3

Stabelement

Zusammenfassung Mit dem Stabelement werden die Grundbelastungsarten Zug und Druck beschrieben. Zunächst werden die elementaren Gleichungen aus der Festigkeitslehre vorgestellt. Im Anschluss wird das Stabelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definitionen für Kraft- und Verschiebungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix wird ausführlich beschrieben. Neben dem einfachen, prismatischen Stab mit festem Querschnitt und konstanten Materialeigenschaften werden in Beispielen und Übungsaufgaben auch allgemeinere Stäbe analysiert, bei denen die Größen entlang der Körperachse variieren.

3.1 Grundlegende Beschreibung zum Zugstab Im einfachsten Fall lässt sich der Zugstab als prismatischer Körper mit konstanter Querschnittsfläche A und konstantem Elastizitätsmodul E definieren, der in Richtung der Körperachse mit einer Einzelkraft F belastet wird (siehe Abbildung 3.1). Gesucht sind • die Verlängerung ΔL und • die Dehnungen (Verzerrungen) ε und Spannungen σ im Inneren des Stabes in Abhängigkeit der äußeren Last.

Aus der Festigkeitslehre sind die drei elementaren Gleichungen bekannt: Die Kinematik beschreibt mit ε(x) =

ΔL du(x) = dx L

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_3, 

(3.1)

35

36

3 Stabelement

L

A = k o n s t.

S (x ) x S (x )

D L F F

Abb. 3.1 Zugstab unter Einzellast

die Beziehung zwischen den Verzerrungen ε(x) und den Verschiebungen u(x). Das Stoffgesetz beschreibt mit σ(x) = E ε(x)

(3.2)

die Beziehung zwischen den Spannungen σ(x) und den Verzerrungen ε(x) und die Gleichgewichtsbedingung liefert σ(x) =

S(x) F S(x) = = . A(x) A A

(3.3)

Mit diesen drei Gleichungen lässt sich sehr zügig der Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Längenänderung ΔL des Stabes beschreiben: F ΔL = σ = Eε = E A L

(3.4)

oder mit

EA ΔL . (3.5) L Das Verhältnis zwischen Kraft und Längenänderung wird als Dehnsteifigkeit bezeichnet. Damit ergibt sich für den Stab bezüglich der Zugbelastung1 : F =

EA F = . ΔL L

1

Der Sprachgebrauch Zugstab schließt die Belastung Druck mit ein.

(3.6)

3.1 Grundlegende Beschreibung zum Zugstab

37

Zur Herleitung der Differenzialgleichung wird das Gleichgewicht am infinitesimal kleinen Stabelement betrachtet (siehe Abbildung 3.2). Als Last wirkt eine kontinuierlich verteilte Streckenlast q(x) in der Einheit Kraft pro Länge.

S (x )

q (x )

S (x + d x ) x

x

x + d x

Abb. 3.2 Gleichgewicht am infinitesimal kleinen Stabelement

Das Gleichgewicht in Richtung der Körperachse liefert: − S(x) + q(x)dx + S(x + dx) = 0 .

(3.7)

Nach einer Reihenentwicklung von S(x + dx) = S(x) + dS(x) ergibt sich − S(x) + q(x)dx + S(x) + dS(x) = 0

(3.8)

oder kurz:

dS(x) = −q(x) . (3.9) dx Die Gleichungen (3.1), (3.2) und (3.3) für die Kinematik, das Stoffgesetz und das Gleichgewicht gelten weiterhin. Setzt man Gleichung (3.1) und (3.3) in (3.2) ein, erhält man du(x) EA(x) = S(x) . (3.10) dx Nach Differenziation und Einsetzen von Gleichung (3.9) erhält man   d du(x) EA(x) + q(x) = 0 (3.11) dx dx

als Differenzialgleichung für einen Stab mit kontinuierlicher Streckenlast. Dies ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung in den Verschiebungen. Bei konstantem Querschnitt A und konstantem Elastizitätsmodul E vereinfacht sich der Ausdruck zu d2 u(x) + q(x) = 0 . (3.12) EA dx2

38

3 Stabelement

3.2 Das Finite Element Zugstab Der Zugstab sei definiert als prismatischer Körper mit einer Körperachse. An den beiden Enden des Zugstabes werden Knoten eingeführt, an denen Kräfte und Verschiebungen, wie in Abbildung 3.3 skizziert, positiv definiert sind. Vorrangiges Ziel ist es, für dieses Element eine Steifigkeitsbeziehung in der

1 F

u

2 u

1

2

F 1

2

x L x

x 1

2

Abb. 3.3 Definition für das Finite Element Zugstab

Form F e = k e · up 

oder

F1 F2



e =

· ·

· ·



u1 u2

 (3.13)

zu gewinnen. Mit dieser Steifigkeitsbeziehung kann das Stabelement in ein Tragwerk eingebunden werden. Weiterhin sind die Verschiebungen, die Verzerrungen und die Spannungen im Element gesucht. Zunächst wird ein einfacher Lösungsweg vorgestellt, bei dem der Stab als lineare Feder modelliert wird.

1 F

k

2 F

1

u 1

Abb. 3.4 Zugstab modelliert als lineare Feder

u 2

2

3.2 Das Finite Element Zugstab

39

Dies ist dann möglich, wenn • die Querschnittsfläche A und • der Elastizitätsmodul E konstant entlang der Körperachse sind. Die zuvor hergeleitete Dehnsteifigkeit des Zugstabes kann dann mit F EA = =k ΔL L

(3.14)

als Federkonstante oder Federsteifigkeit einer linearen Feder interpretiert werden. Zur Herleitung der für die Finite-Elemente-Methode gewünschten Steifigkeitsbeziehungen wird ein Gedankenexperiment durchgeführt. Lässt man zunächst bei dem Federmodell nur die Federkraft F2 wirken und blendet die Federkraft F1 aus, dann beschreibt die Gleichung F2 = kΔu = k(u2 − u1 )

(3.15)

die Beziehung zwischen Federkraft und Längenänderung der Feder. Lässt man anschließend nur die Federkraft F1 wirken und blendet die Federkraft F2 aus, dann beschreibt die Gleichung F1 = kΔu = k(u1 − u2 )

(3.16)

die Beziehung zwischen Federkraft und Längenänderung der Feder. Beide Situationen lassen sich überlagern und kompakt in Matrixform als    e  k −k u1 F1 = (3.17) F2 u2 −k k zusammenfassen. Damit ist die gewünschte Steifigkeitsbeziehung zwischen den Kräften und Verschiebungen an den Knotenpunkten hergeleitet. Die Leistungsfähigkeit dieses einfachen Modells ist jedoch begrenzt. So lassen sich keine Aussagen über den Verschiebungs-, Verzerrungs- und Spannungsverlauf im Inneren treffen. Hier ist ein aufwändigeres Modell notwendig. Dieses wird im Folgenden vorgestellt. Zunächst wird der Verschiebungsverlauf ue (x) im Inneren eines Stabs durch eine Approximationsfunktion N (x) und die Verschiebungen up an den Knoten beschrieben: (3.18) ue (x) = N (x) up . Für den Zugstab wird der Verschiebungsverlauf im einfachsten Fall linear approximiert (siehe Abbildung 3.5). Mit dem Ansatz ue (x) = α1 + α2 x

(3.19)

40

3 Stabelement

u (x ) u u

V e rs c h ie b u n g s v e rla u f

2

A p p ro x im a tio n 1

x

x 1

2

x

Abb. 3.5 Lineare Approximation des Verschiebungsverlaufes im Zugstab

lassen sich die Verschiebungen an den Knoten mit       u1 1 x1 α1 = u2 1 x2 α2

(3.20)

beschreiben. Nach der Elimination der αi ergibt sich für den Verlauf der Verschiebungen: x2 − x x − x1 ue (x) = u1 + u2 (3.21) x2 − x1 x2 − x1 oder zusammengefasst ue (x) =

1 1 (x2 − x) u1 + (x − x1 ) u2 . L L

(3.22)

So lassen sich die Formfunktionen N1 (x) und N2 (x) mit N1 (x) =

1 (x2 − x) und L

N2 (x) =

1 (x − x1 ) L

(3.23)

angeben. In kompakter Form ergibt sich damit der Verschiebungsverlauf zu:   u ue (x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 = [N1 N2 ] 1 = N (x) up . (3.24) u2 Über die Kinematikbeziehung ergibt sich der Verlauf der Verzerrungen εe (x) =

d e d u (x) = N (x) up = B up dx dx

(3.25)

und mit dem Stoffgesetz der Verlauf der Spannungen zu σ e (x) = Dεe (x) = EBup ,

(3.26)

wobei die Matrix B für die Ableitung der Formfunktionen eingeführt wird. Für die lineare Approximation des Verschiebungsverlaufes ergeben sich die

3.2 Das Finite Element Zugstab

41

Ableitungen der Formfunktionen zu: d 1 N1 (x) = − dx L

,

d 1 N2 (x) = dx L

(3.27)

und damit die Matrix B zu 1 [−1 1] . L

B=

(3.28)

Für der Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix muss folgendes Integral

e k = B T DB dΩ (3.29) Ω

ausgewertet werden. Die Stoffmatrix D wird allein durch den Elastizitätsmodul E repräsentiert. Für den Zugstab ergibt sich damit die Steifigkeitsmatrix zu:    

EA 1 1 −1 1 1 [−1 1] dx = 2 L . (3.30) ke = AE −1 1 L −1 L L L

In kompakter Form lautet die Einzelsteifigkeitsmatrix:   EA 1 −1 ke = . L −1 1

(3.31)

Die Steifigkeitsmatrix lässt sich auch über andere Wege herleiten.

3.2.1 Herleitung über Potenzial Die elastische Verzerrungsenergie2 bei einem eindimensionalen Problem nach Abbildung 3.1 mit linear-elastischem Materialverhalten ergibt sich zu: Πint =

1 2

Ω

(3.32)

εx σx dΩ .

Ersetzt man die Spannung und Dehnung mittels der Formulierung nach Gleichung (3.26) und (3.25) und beachtet, dass dΩ = Adx gilt, ergibt sich: Πint =

2

1 2

L

T

EA (Bup ) Bup dx .

(3.33)

0



Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann man die Form Πint = 1 εT σdΩ anset2 Ω zen, wobei σ und ε die Spaltenmatrix mit den Spannungs- und Verzerrungskomponenten darstellt.

42

3 Stabelement

Berücksichtigt man die Beziehung für die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen, das heißt (AB)T = B T AT , ergibt sich Πint =

1 2

L T EAuT p B Bup dx .

(3.34)

0

Da die Knotenwerte keine Funktion von x darstellen, können die beiden Spaltenmatrizen aus dem Integral genommen werden:   L 1 T T EAB Bdx up . (3.35) Πint = up 2 0 Unter Berücksichtigung der Definition der B-Matrix nach Gleichung (3.28) ergibt sich hieraus für konstante Dehnsteifigkeit EA:   

 1 T EA L 1 −1 (3.36) Πint = up dx up . 2 L2 0 −1 1    ke

Letzte Gleichung entspricht der allgemeinen Formulierung der Verzerrungsenergie eines finiten Elementes 1 T e u k up 2 p und erlaubt die Identifikation der Elementsteifigkeitsmatrix ke . Πint =

(3.37)

3.2.2 Herleitung über Satz von Castigliano Ersetzt man in der Formulierung für die elastische Verzerrungsenergie nach Gleichung (3.32) die Spannung mittels des Hookeschen Gesetzes nach Gleichung (3.2) und beachtet dΩ = Adx , ergibt sich: Πint

1 = 2

L

EAε2x dx .

(3.38)

Ersetzt man jetzt die Dehnung mittels der kinematischen Beziehung nach Gleichung (3.1) und führt den Ansatz für den Verschiebungsverlauf nach Gleichung (3.24) ein, ergibt sich die elastische Verzerrungsenergie schließlich für konstante Dehnsteifigkeit EA zu: Πint

EA = 2

0

L



dN2 (x) dN1 (x) u1 + u2 dx dx

2 dx .

(3.39)

Anwendung des Satzes von Castigliano auf die Verzerrungsenergie in Bezug auf die Knotenverschiebung u1 ergibt die äußere Kraft F1 am Knoten 1:

3.2 Das Finite Element Zugstab

dΠint = F1 = EA du1

L



0

43

dN2 (x) dN1 (x) u1 + u2 dx dx



dN1 (x) dx . dx

(3.40)

Entsprechend ergibt sich aus der Differenziation nach der anderen Verformungsgröße: dΠint = F2 = EA du2

L

0



dN2 (x) dN1 (x) u1 + u2 dx dx



dN2 (x) dx . dx

(3.41)

Die beiden Gleichungen nach (3.40) und (3.41) können zu folgender Formulierung zusammengefasst werden: ⎡

⎤ dN1 (x) dN1 (x) dN2 (x) dN1 (x)     L⎢ dx dx dx ⎥ ⎢ dx ⎥ dx u1 = F1 . EA ⎣ dN (x) dN (x) dN (x) dN (x)⎦ u2 F2 0 1 2 2 2 dx dx dx dx

(3.42)

Nach Einführung der Formfunktionen nach Gleichung (3.23) und Ausführung der Integration ergibt sich hieraus die in Gleichung (3.31) gegebene Elementsteifigkeitsmatrix.

3.2.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Im Folgenden wird die Differenzialgleichung für das Verschiebungsfeld nach Gleichung (4.13) betrachtet. In dieser Formulierung wurde angenommen, dass die Dehnsteifigkeit EA konstant ist, und es ergibt sich EA

d2 u0 (x) + q(x) = 0 , dx2

(3.43)

wobei u0 (x) die exakte Lösung des Problems darstellt. Die letzte Gleichung mit der exakten Lösung ist an jeder Stelle x des Stabes exakt erfüllt und wird auch als starke Form des Problems bezeichnet. Wird die exakte Lösung in Gleichung (3.43) durch eine Näherungslösung u(x) ersetzt, ergibt sich ein Residuum oder Rest r zu: r = EA

d2 u(x) + q(x) = 0 . dx2

(3.44)

44

3 Stabelement

Durch Einführung der Näherungslösung u(x) ist es also im Allgemeinen nicht mehr möglich, die Differenzialgleichung an jeder Stelle x des Stabes zu erfüllen. Alternativ wird im Folgenden gefordert, dass die Differenzialgleichung über einem bestimmten Bereich (und nicht mehr an jeder Stelle x) erfüllt wird, und man gelangt zu folgender integraler Forderung  

L d2 u(x) ! W (x) EA + q(x) dx = 0 , (3.45) 2 dx 0 die auch als inneres Produkt bezeichnet wird. In Gleichung (3.45) stellt W (x) die sogenannte Gewichtsfunktion dar, die den Fehler oder das Residuum über den betrachteten Bereich verteilt. Durch partielle Integration3 des ersten Ausdruckes in der Klammer von Gleichung (3.45) ergibt sich

L

0

L 

L dW (x) du(x) d2 u(x) du(x) dx . W EA dx = EA W (x) − EA 2  dx dx dx 0  dx   f

g

0

(3.46) Unter Berücksichtigung von Gleichung (3.45) ergibt sich hieraus die sogenannte schwache Form des Problems zu:

L

EA 0

 L L du(x) dW (x) du(x) dx = EA W + W (x)q(x)dx . dx dx dx 0

(3.47)

0

Betrachtet man die schwache Form, so erkennt man, dass durch die partielle Integration eine Ableitung von der Näherungslösung zur Gewichtsfunktion verschoben wurde und sich jetzt bezüglich der Ableitungen eine symmetrische Form ergibt. Diese Symmetrie bezüglich der Ableitung der Näherungslösung und der Gewichtsfunktion wird im Folgenden gewährleisten, dass sich eine symmetrische Elementsteifigkeitsmatrix für das Stabelement ergibt. Im Folgenden soll zuerst die linke Seite von Gleichung (3.47) betrachtet werden, um die Elementsteifigkeitsmatrix für ein lineares Stabelement abzuleiten. Der Grundgedanke der Finite-Elemente-Methode besteht nun darin, den unbekannten Verschiebungsverlauf u(x) nicht im gesamten Bereich zu approximieren, sondern für einen Unterbereich, den sogenannten Finiten Elementen, den Verschiebungsverlauf mittels     u e (3.48) u (x) = N (x)up = N1 N2 × 1 u2 3

übliche Darstellung der partiellen Integration zweier Funktionen f (x) und g(x) ist:  Eine  f g  dx = f g − f  gdx.

3.2 Das Finite Element Zugstab

45

näherungsweise zu beschreiben. Für die Gewichtsfunktion wird im Rahmen der Finite-Elemente-Methode der gleiche Ansatz wie für die Verschiebungen gewählt:

T

W (x) = [N (x) δup ] =

T δuT p N (x)

  N1 = [δu1 δu2 ] × , N2

(3.49)

wobei die δui die sogenannten beliebigen oder virtuellen Verschiebungen darstellen. Die Ableitung der Gewichtsfunktion ergibt sich zu T T  d  dW (x) T = N δup = Bδup = δuT pB . dx dx

(3.50)

Im Folgenden wird sich zeigen, dass die virtuellen Verschiebungen mit einem identischen Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (3.47) gekürzt werden können und keiner weiteren Betrachtung hier bedürfen. Berücksichtigt man die Ansätze für die Verschiebung und die Gewichtsfunktion in der linken Seite von Gleichung (3.47), ergibt sich für konstante Dehnsteifigkeit EA:

L



T δuT pB

EA



Bup dx

(3.51)

0

oder unter Berücksichtigung, dass der Vektor der Knotenverschiebungen als konstant angesehen werden kann:

δuT p

EA 

L 0

B T B dx up .  

(3.52)

ke

δuT p

kann mit einem identischen Ausdruck auf der rechten Seite Der Ausdruck von Gleichung (3.47) gekürzt werden und up stellt den Vektor der unbekannten Knotenverschiebungen dar. Somit kann die Steifigkeitsmatrix mittels der Ableitungen der Formfunktionen nach Gleichung (3.28) berechnet werden, und es ergibt sich schließlich die Formulierung nach Gleichung (3.31) für die Elementsteifigkeitsmatrix. Im Folgenden wird die rechte Seite von Gleichung (3.47) betrachtet, um den gesamten Lastvektor für ein lineares Stabelement abzuleiten. Der erste Teil der rechten Seite, das heißt L du(x) EA W dx 

0

ergibt mit der Definition der Gewichtsfunktion nach Gleichung (3.49)

(3.53)

46

3 Stabelement

L L  du(x) T du(x) T EA (N δup ) = EA δuT pN dx dx 

0

(3.54)

0

oder in Komponenten L   du(x) N 1 δuT . p EA N2 dx

(3.55)

0

In der letzten Gleichung können die virtuellen Verschiebungen δuT p mit dem entsprechenden Ausdruck in Gleichung (3.52) gekürzt werden. Weiterhin stellt die letzte Gleichung ein System von zwei Gleichungen dar, die an den Integrationsgrenzen bei x = 0 und x = L auszuwerten sind. Die erste Zeile ergibt:     du du − N1 EA . (3.56) N1 EA dx dx x=L

x=0

Unter Beachtung der Randwerte der Formfunktionen, das heißt N1 (L) = 0 und N1 (0) = 1, ergibt sich hieraus:  du (3.10) −EA  = −S(x = 0) . (3.57) dx x=0

Entsprechend kann der Wert der zweiten Zeile berechnet werden:  du (3.10) EA  = S(x = L) . dx

(3.58)

x=L

Zu beachten ist hierbei, dass es sich bei den Kräften S um die Schnittreaktionen nach Abbildung 3.2 handelt. Die äußeren Lasten mit der positiven Richtung nach Abbildung 3.3 ergeben sich somit aus den Schnittreaktionen durch Umkehr der positiven Richtung am linken Rand und durch Beibehaltung der positiven Richtung der Schnittreaktion am rechten Rand. Der zweite Teil der rechten Seite von Gleichung (3.47), das heißt nach Kürzen von δuT

L

N (x)T q(x)dx

(3.59)

0

stellt die allgemeine Berechnungsvorschrift zur Bestimmung der äquivalenten Knotenlasten im Falle von beliebig verteilten Streckenlasten dar. Exemplarisch sei hier angemerkt, dass die Auswertung von Gleichung (3.59) für eine konstante Streckenlast q folgenden Lastvektor ergibt:

3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

47

  qL 1 Fq = . 2 1

(3.60)

3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 3.3.1 Beispielprobleme 3.1. Zugstab mit veränderlichem Querschnitt Bisher wurde die Querschnittsfläche A(x) als konstant entlang der Körperachse angenommen. Als Erweiterung dazu soll der Querschnitt veränderlich sein. Die Querschnittsfläche A(x) soll sich linear entlang der Körperachse ändern. Der Elastizitätsmodul soll weiterhin konstant sein. Gesucht ist die Steifigkeitsmatrix.

1 F 1

2

A

A 1

F 2

2

x

L x

x 1

2

Abb. 3.6 Zugstab mit veränderlichem Querschnitt

3.1 Lösung: Für der Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix muss das Integral

ke = B T D B dΩ

(3.61)

Ω

ausgewertet werden. Der Verschiebungsverlauf soll wie in obiger Herleitung linear approximiert werden. Für die Formfunktionen und deren Ableitungen ändert sich damit nichts. Für die Matrix B ergibt sich B=

1 [−1 1] . L

(3.62)

48

3 Stabelement

Im Gegensatz zum prismatischen Stab mit konstantem Querschnitt verbleibt die Fläche A(x) unter dem Integral. Der konstante Elastizitätsmodul E kann in  

1 1 1 (3.63) ke = E [−1 1] A(x) dx L −1 L L

vor das Integral gezogen werden. Es verbleibt:   E 1 −1 A(x) dx . ke = 2 L −1 1

(3.64)

L

Der lineare Verlauf der Querschnittsfläche lässt sich durch A2 − A1 x L

A(x) = A1 +

(3.65)

beschreiben. Nach der Durchführung der Integration 



1 A2 − A1 x dx = (A1 + A2 ) L A(x) dx = A1 + L 2 L

(3.66)

L

ergibt sich die Steifigkeitsmatrix   E1 1 −1 (A1 + A2 ) k = −1 1 L2 e

(3.67)

für einen Zugstab mit linear veränderlicher Querschnittsfläche. 3.2. Zugstab unter Eigengewicht Gegeben sei ein Stab der Länge L mit konstanter Querschnittsfläche A, konstantem Elastizitätsmodul E und konstanter Dichte ρ entlang der Stabachse. Der Stab wird nur durch sein Eigengewicht belastet (siehe Abbildung 3.7).

g

x L

r , E , A q (x ) = q

Abb. 3.7 Stab unter Eigengewicht

0

= k o n s t.

3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

49

Gesucht sind: 1. Die analytische Lösung und 2. die FE-Lösung für ein einziges Stabelement mit linearer Approximation des Verschiebungsverlaufes. 3.2 Lösung Analytische Lösung zum Zugstab unter Eigengewicht Grundlage der Lösung ist Gleichung (4.13). Die Gewichtskraft ist als kontinuierlich verteilte Last q(x) zu interpretieren, die über die Stablänge konstant ist: (3.68) q(x) = q0 = ρ g A . Ausgehend von der Differenzialgleichung 2. Ordnung EAu (x) = −q0 ,

(3.69)

erhält man durch einmalige Integration die erste Ableitung der Verschiebung EAu (x) = −q0 x + c1 ,

(3.70)

und durch eine weitere Integration die Funktion der Verschiebung: 1 EAu(x) = − q0 x2 + c1 x + c2 . 2

(3.71)

Die Konstanten c1 und c2 werden durch die Randbedingungen angepasst. An der Einspannstelle ist die Verschiebung Null und es gilt: u(x = 0) = 0 ⇒ c2 = 0 .

(3.72)

Das Stabende ist kräftefrei und aus Gleichung (3.70) ergibt sich: EAu (x = L) = 0 ⇒ −q0 L + c1 = 0 ⇒ c1 = q0 L .

(3.73)

Setzt man die Konstanten c1 und c2 mit dem Ausdruck für die Streckenlast ein, ergibt sich für das Verschiebungsfeld entlang der Stabachse     ρgL2 x 1 1 1 x 2 2 (3.74) u(x) = − q0 x + q0 Lx = − ( ) +( ) EA 2 E 2 L L und das Verzerrungsfeld zu ε(x) = und das Spannungsfeld zu

du(x) ρgL  x = 1− dx E L

(3.75)

50

3 Stabelement



σ(x) = Eε(x) = ρgL 1 −

x L

.

(3.76)

FE-Lösung zum Zugstab unter Eigengewicht Grundlage für die FE-Lösung ist die Steifigkeitsbeziehung      1 1 k −k u1 = q0 L 1 u2 −k k 2

(3.77)

mit linearer Approximation des Verschiebungsverlaufes. Setzt man für die Steifigkeit k und die Streckenlast q0 die Formulierungen k=

EA , q0 = ρgA L

ein, ergibt sich die kompakte Form      1 ρgL2 1 1 −1 u1 = , u2 −1 1 1 2 E

(3.78)

(3.79)

aus der sich nach Einbringen der Randbedingung (u1 = 0) die Verschiebung am unteren Stabende 1 ρgL2 u2 = (3.80) 2 E direkt ablesen lässt. Die Verschiebung am Stabende stimmt mit der analytischen Lösung überein. Im Inneren des Stabes wird der Verschiebungsverlauf linear dargestellt. Der Fehler gegenüber der analytischen Lösung mit einem quadratischen Verlauf kann durch den Einsatz von mehr Elementen oder Elementen mit quadratischen Ansatzfunktionen vermindert oder beseitigt werden. 3.3. Zugstab unter Eigengewicht, zwei Elemente Gegeben sei der Zugstab der Länge L unter Eigengewicht wie in Aufgabe (3.2). Zur Ermittlung der Lösung auf Basis der FE-Methode sollen zwei Elemente mit linearem Verschiebungsansatz herangezogen werden. 3.3 Lösung: Grundlage für die Lösung ist die Einzelsteifigkeitsbeziehung für den Stab unter Berücksichtigung einer kontinuerlichen Streckenlast. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung bei zwei Elementen erhält man durch den Aufbau aus zwei Einzelsteifigkeitsbeziehungen4 . Mit den Formulierungen für die Steifigkeit k und die Streckenlast q0 4

Die FE-Lösung wird hier knapp dargestellt. Eine umfangreiche Herleitung zum Aufbau einer Gesamtsteifigkeitsmatrix, zum Einbringen von Randbedingungen und zum Ermitteln der Unbekannten wird in Kapitel 7 vorgestellt.

3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

k=

EA L

,

q0 = ρgA

ergibt sich die kompakte Form ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 0 u1 1 EA ⎣ 1 1 −1 1 + 1 −1 ⎦ ⎣ u2 ⎦ = ρgA L ⎣ 1 + 1 ⎦ . 1 2 2 2L 0 −1 1 u 1

51

(3.81)

(3.82)

3

Aufgrund der Randbedingungen (u1 = 0) kann die erste Zeile und Spalte gestrichen werden. Es verbleibt ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten      1 ρgL2 2 2 −1 u2 = , (3.83) −1 1 u3 1 8 E aus dem nach einer kurzen Umformung      1 ρgL2 2 2 −1 u2 = u3 0 1 4 8 E

(3.84)

die Verschiebung am Endknoten zu u3 =

1 ρgL2 2 E

(3.85)

und durch Rückeinsetzen in Gleichung (3.84) die Verschiebung am Mittenknoten zu   3 ρgL2 1 1 1 ρgL2 u2 = + = (3.86) 2 2 8 E 8 E ermitteln lassen.

3.3.2 Weiterführende Aufgaben 3.4. Zugstab mit quadratischer Approximation Gegeben sei ein prismatischer Zugstab der Länge L mit konstantem Querschnitt A und Elastizitätsmodul E. Im Gegensatz zu obiger Herleitung soll der Verschiebungsverlauf im Inneren des Stabelementes mit einer quadratischen Ansatzfunktion approximiert werden. Gesucht ist die Steifigkeitsmatrix. 3.5. Zugstab mit veränderlichem Querschnitt und quadratischer Approximation Die Querschnittsfläche A(x) soll sich linear entlang der Körperachse ändern. Der Elastizitätsmodul soll weiterhin konstant sein. Der Verschiebungsverlauf

52

3 Stabelement

im Inneren des Stabelementes soll mit einer quadratischen Ansatzfunktion approximiert werden.

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2001) Kontinuumsmechanik: Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 3. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 4. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 5. Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik,Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 6. Klein B (2000) FEM, Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 7. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton 8. Oden JT, Reddy JN (1976) Variational methods in theoretical mechanics. SpringerVerlag, Berlin 9. Steinbuch R (1998) Finite Elemente - Ein Einstieg. Springer-Verlag, Berlin. 10. Szabó I (1996) Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser Verlag, Basel

Kapitel 4

Torsionsstab

Zusammenfassung Mit dem Torsionsstab wird die Grundbelastungsart Torsion für einen prismatischen Stab beschrieben. Zunächst werden die elementaren Gleichungen aus der Festigkeitslehre vorgestellt. Im Anschluss wird der Torsionsstab mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definitionen für Momenten- und Winkelgrößen eingeführt. Die Ausführungen beschränken sich auf Torsionsstäbe mit Kreisquerschnitt. Die Steifigkeitsmatrix wird analog zur Vorgehensweise beim Zugstab hergeleitet.

4.1 Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab Im einfachsten Fall lässt sich der Torsionsstab als prismatischer Körper mit konstantem Kreisquerschnitt (Außenradius R) und konstantem Schubmodul G definieren, der in Richtung der Körperachse mit einem Torsionsmoment M belastet wird. In Abbildung 4.1 ist der Torsionsstab a) mit Lasten und b) freigeschnitten dargestellt.

a )

b ) G

M x

M

j (x )

D j

x r R

M (x )

M Abb. 4.1 Torsionsstab a) unter Last b) freigeschnitten

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_4, 

53

54

4 Torsionsstab

Gesucht sind • die Verdrehung Δϕ der Endquerschnitte, • die Verdrehung ϕ(x), die Schiebung γ(x) und die Schubpannung τ (x) an einem Querschnitt im Inneren des Stabes in Abhängigkeit der äußeren Last. Aus der Festigkeitslehre sind die drei elementaren Gleichungen bekannt. Die Zusammenhänge der kinematischen Zustandsgrößen werden in Abbildung 4.2 unter Berücksichtigung eines zylindrischen Koordinatensystems (x, r, ϕ) dargestellt. 1

d x A

u j(x ) x

A '

g B '

x j

B

u j(x ) +

j

r t

d j

¶ u j d x ¶ x

t

Abb. 4.2 Torsionsstab mit Zustandsgrößen

Die Kinematik beschreibt die Beziehung zwischen der Schiebung und der Winkeländerung: dϕ(x) duϕ =r . (4.1) γ(x) = dx dx Das Stoffgesetz beschreibt die Beziehung zwischen der Schubspannung und der Schiebung mit τ (x) = Gγ(x) . (4.2) Das Schnittmoment M (x) errechnet sich nach

M (x) = r τ (x)dA ,

(4.3)

A

und mit der Kinematikbeziehung aus Gleichung (4.1) und dem Stoffgesetz aus Gleichung (4.2) folgt

dϕ dϕ . (4.4) M (x) = G r2 dA = GIp dx A dx 1

Neben der Schiebung γxϕ (r, x) und der Verformung uϕ (x, r) treten bei der Torsion kreisförmiger Querschnitte keine weiteren Verformungsgrößen auf. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird auf die Indizierung bei eindeutigen Größen verzichtet.

4.1 Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab

55

Damit lässt sich das elastische Verhalten bezüglich der Torsion durch dϕ(x) M (x) = dx G Ip

(4.5)

beschreiben. Auf Basis dieser Gleichung lässt sich zügig der Zusammenhang zwischen der Verdrehung Δϕ der beiden Endquerschnitte und des Torsionsmoments M beschreiben: M L. (4.6) Δϕ = G Ip Der Ausdruck G Ip wird als Torsionssteifigkeit bezeichnet. Für den Torsionsstab ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen Moment und Verdrehung der Endquerschnitte die Steifigkeit: G Ip M = . Δϕ L

(4.7)

Zur Herleitung der Differenzialgleichung wird das Gleichgewicht am infinitesimal kleinen Torsionsstabelement betrachtet (siehe Abbildung 4.3). Als Last wirkt eine kontinuierlich verteilte Streckenlast mt (x) in der Einheit Moment pro Länge.

M (x )

m t( x )

M (x + d x ) x

x

x + d x

Abb. 4.3 Gleichgewicht am infinitesimal kleinen Torsionsstabelement

Das Gleichgewicht in Richtung der Körperachse liefert: − M (x) + mt (x)dx + M (x + dx) = 0 .

(4.8)

Nach einer Reihenentwicklung von M (x + dx) = M (x) + dM (x) ergibt sich − M (x) + mt (x)dx + M (x) + dM (x) = 0 oder kurz:

(4.9)

dM (x) + mt (x) = 0. (4.10) dx Die Gleichungen (4.1), (4.2) und (4.3) für die Kinematik, das Stoffgesetz und das Gleichgewicht gelten weiterhin. Setzt man Gleichung (4.1) und (4.2) in (4.3) ein, erhält man

56

4 Torsionsstab

dϕ(x) = M (x) . (4.11) dx Nach Differenziation und Einsetzen von Gleichung (4.10) erhält man   d dϕ(x) (4.12) GIp (x) + mt (x) = 0 dx dx GIp (x)

als Differenzialgleichung für einen Torsionsstab mit kontinuierlicher Streckenlast. Dies ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung in den Verdrehungen. Bei konstanter Torsionssteifigkeit GIp vereinfacht sich der Ausdruck zu GIp

d2 ϕ(x) + mt (x) = 0 . dx2

(4.13)

4.2 Das Finite Element Torsionsstab Die Behandlung des Torsionsstabes erfolgt analog zu der des Zugstabes. Die Vorgehensweise ist identisch. Die im Rahmen der FE-Methode auftretenden Vektoren und Matrizen ähneln sich. Der Torsionsstab sei definiert als primatischer Körper mit konstantem Kreisquerschnitt (Außenradius R) entlang der Körperachse. An den beiden Enden des Torsionsstabes werden Knoten eingeführt, an denen Momente und Winkel, wie in Abbildung 4.4 skizziert, positiv definiert sind. Ziel ist es, für dieses

j T

1

1 1

G x

j 2

2 R L

Abb. 4.4 Definition für das Finite Element Torsionsstab

T 2

4.2 Das Finite Element Torsionsstab

57

Element eine Steifigkeitsbeziehung in der Form M e = k e ϕp 

oder

T1 T2





· ·

=

· ·

(4.14)



ϕ1 ϕ2

 (4.15)

zu gewinnen. Mit dieser Steifigkeitsbeziehung kann das Torsionsstabelement in ein Tragwerk eingebunden werden. Zunächst wird ein einfacher Lösungsweg vorgestellt, bei dem der Torsionsstab als lineare Torsionsfeder modelliert wird.

j T

1

1 1

k t

j 2

2

L

T 2

Abb. 4.5 Torsionsstab modelliert als lineare Torsionsfeder

Dies ist dann möglich, wenn die Torsionssteifigkeit GIp konstant entlang der Körperachse ist. Die zuvor hergeleitete Steifigkeit des Torsionsstabes kann dann mit G Ip = kt (4.16) L als Federkonstante oder Federsteifigkeit einer linearen Torsionsfeder interpretiert werden. Um Verwechslungen mit der Steifigkeit des Zugstabes zu vermeiden, soll die Torsionssteifigkeit mit dem Index t herausgestellt werden. Zur Herleitung der für die Finite-Elemente-Methode gewünschten Steifigkeitsbeziehungen wird ein Gedankenexperiment durchgeführt. Lässt man zunächst bei dem Federmodell nur das Torsionsmoment T2 wirken und blendet das Moment T1 aus, dann beschreibt die Gleichung

58

4 Torsionsstab

T2 = kt Δϕ = kt (ϕ2 − ϕ1 )

(4.17)

die Beziehung zwischen Federmoment und Verdrehwinkel der Endquerschnitte. Lässt man anschließend nur das Torsionsmoment T1 wirken und blendet das Moment T2 aus, dann beschreibt die Gleichung T1 = kt Δϕ = kt (ϕ1 − ϕ2 )

(4.18)

die Beziehung zwischen Federmoment und Verdrehwinkel der Endquerschnitte. Beide Situationen lassen sich überlagern und kompakt in Matrixform als  e    kt −kt T1 ϕ1 = (4.19) T2 −kt kt ϕ2 zusammenfassen. Damit ist die gewünschte Steifigkeitsbeziehung zwischen den Torsionsmomenten und Verdrehungen an den Knotenpunkten hergeleitet. Die Einzelsteifigkeitsmatrix für das Finite Element Torsionsstab lautet     GIp 1 −1 1 −1 = (4.20) ke = kt −1 1 L −1 1 und ähnelt der Steifigkeitsmatrix für den Zugstab.

Die Feldgrößen im Inneren des Elementes werden durch die Knotenwerte und Formfunktionen approximiert. Auf die Herleitung dieser Beschreibung und die Herleitung der Steifigkeitsbeziehung auf anderen Wegen wird verzichtet. Die Vorgehensweisen sind identisch zum Zugstab.

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 3. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 4. Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik,Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 5. Klein B (2000) FEM, Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 6. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton

Kapitel 5

Biegeelement

Zusammenfassung Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung der Differentialgleichung der Biegelinie verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben dem einfachen, prismatischen Balken mit konstantem Querschnitt und Belastung an den Knoten werden auch veränderliche Querschnitte, verallgemeinerte Belastungen zwischen den Knoten und Orientierung in der Ebene und dem Raum analysiert.

5.1 Einführende Bemerkungen Im Folgenden wird ein prismatischer Körper betrachtet, bei dem die Belastung quer zur Längsachse erfolgt und sich damit durchbiegt. Quer zur Längsachse meint hierbei, dass entweder die Wirkungslinie einer Kraft oder die Richtung eines Momentenvektors orthogonal zur Längsachse des Elements orientiert sind. Somit kann mit diesem prismatischen Körper, im Vergleich zu einem Stab (vergleiche Kapitel 3 und 4), eine andere Verformungsart modelliert werden, vergleiche Tabelle 5.1. Ein allgemeines Element, das alle diese Verformungsmechanismen beinhaltet, wird in Kapitel 6 vorgestellt. Grundsätzlich unterscheidet man in der Balkenstatik schubstarre und schubweiche Modelle. Der klassische, schubstarre Balken, auch BernoulliBalken genannt, vernachlässigt die Schubverformung aus der Querkraft. Bei

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_5, 

59

60

5 Biegeelement

Tabelle 5.1 Unterscheidung zwischen Stab- und Balkenelement; Längsachse parallel zur x-Achse

Belastung

Stab

Balken

längs der Stabachse

quer zur Balkensachse

Unbekannte Verschiebung in oder

Verschiebung quer und

Rotation um Stabachse Rotation quer zur Balkenachse

dieser Modellierung geht man davon aus, dass ein Querschnitt, der vor der Verformung senkrecht zur Balkenachse stand, auch noch nach der Verformung senkrecht auf der Balkenachse steht, vergleiche Abbildung 5.1 a). Weiterhin wird angenommen, dass ein ebener Querschnitt bei der Verformung eben und unverwölbt bleibt. Diese beiden Annahmen werden auch als Bernoulli-Hypothese bezeichnet. Insgesamt denkt man sich die Querschnitte an die Balkenlängsachse1 angeheftet, so dass eine Veränderung der Längsachse die gesamte Deformation bestimmt. Somit wird auch angenommen, dass sich die geometrischen Abmessungen der Querschnitte2 nicht ändern. Bei einem schubweichen Balken, auch Timoshenko-Balken genannt, berücksichtigt man neben der Biegeverformung auch die Schubverformung, und die Querschnitte werden um einen Winkel γ gegenüber der Senkrechten verdreht, vergleiche Abbildung 5.1 b). Im Allgemeinen wird für Balken, deren Länge 10 bis 20 mal größer ist als eine charakteristische Abmessung des Querschnitts3 , der Schubanteil in erster Näherung vernachlässigt.

Abb. 5.1 Unterschiedliche Verformung eines Biegebalkens: a) schubstarr; b) schubweich

Die unterschiedlichen Belastungsarten, das heißt reine Biegemomentenbelastung oder Schub in Folge von Querkraft, führen auch zu unterschiedlichen 1

Genauer gesagt handelt es sich hier um die neutrale Faser oder um die Biegelinie. Somit bleiben zum Beispiel bei einem Rechteckquerschnitt die Breite b und die Höhe h unverändert. 3 Vergleiche hierzu die Ausführungen in Kapitel 8. 2

5.1 Einführende Bemerkungen

61

Spannungsanteilen in einem Biegebalken. Für einen Bernoulli-Balken ergibt sich nur eine Beanspruchung durch Normalkräfte, die linear über den Querschnitt ansteigen. Somit ergibt sich ein Zug- beziehungsweise Druckmaximum auf der Ober- beziehungsweise Unterseite des Balkens, vergleiche Abbildung 5.2 a). Bei symmetrischen Querschnitten ergibt sich der Nulldurchgang4 in der Mitte des Querschnitts. Die Schubspannung hat zum Beispiel bei einem Rechteckquerschnitt einen parabolischen Verlauf und ist an den Balkenrändern gleich Null. Abb. 5.2 Unterschiedliche Spannungsverteilung beim Biegebalken am Beispiel eines Rechteckquerschnitts für linear-elastisches Materialverhalten: a) Normalspannung (schubstarr); b) Schubspannung (schubweich)

Abschließend soll hier noch angemerkt werden, dass die eindimensionale Balkentheorie ein Pendant im Zweidimensionalen hat, vergleiche Tabelle 5.2. In der Plattenstatik entspricht dem Bernoulli-Balken die ebenfalls schubstarre Kirchhoff-Platte und dem Timoshenko-Balken entspricht die schubweiche Reissner-Mindlin-Platte, [1, 2, 1]. Tabelle 5.2 Analogie in der Balken- und Plattenstatik Balkenstatik

Plattenstatik

Dimensionalität 1D

2D

schubstarr

Bernoulli-Balken

Kirchhoff-Platte

schubweich

Timoshenko-Balken Reissner-Mindlin-Platte

Weitere Einzelheiten zur Balkentheorie und deren grundlegende Definitionen und Annahmen können den Werken [4, 4, 6, 19] entnommen werden. Im folgenden Teil dieses Kapitels wird nur noch der Bernoulli-Balken betrachtet. Die Berücksichtigung des Schubanteils erfolgt später in Kapitel 8.

4

Die Summe aller Punkte mit σ = 0 entlang der Balkenachse bezeichnet man als neutrale Faser.

62

5 Biegeelement

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken 5.2.1 Kinematik Zur Ableitung der kinematischen Beziehungen wird ein Balken der Länge L unter konstanter Momentenbelastung Mz (x) = konstant, das heißt unter reiner Biegung, betrachtet, vergleiche Abbildung 5.3. Man erkennt, dass die beiden äußeren Einzelmomente am linken und rechten Balkenrand zu einem positiven Biegemomentenverlauf Mz im Balken führen. Mittels der y-Koordinate soll die vertikale Lage eines Punktes in Bezug auf die Balkenmittellinie ohne Einwirkung einer äußeren Last beschrieben werden. Die vertikale Verschiebung eines Punktes auf der Balkenmittellinie, das heißt für einen Punkt mit y = 0, unter Einwirkung der äußeren Belastung wird mit uy angegeben. Die Summe dieser Punkte mit y = 0 repräsentiert die verformte Mittellinie und wird als Biegelinie uy (x) bezeichnet.

Abb. 5.3 Biegebalken unter reiner Biegung a) Momentenverlauf; b) verformter Balken. Man beachte, dass die Verformung überzeichnet dargestellt ist. Für die in diesem Kapitel betrachteten Verformungen gilt, dass R  L ist

Im Folgenden wird die Mittellinie des verformten Balkens betrachtet. Mittels der Beziehung für einen beliebigen Punkt (x, uy ) auf einem Kreis mit Radius R um den Mittelpunkt (x0 , y0 ), das heißt

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

63

(x − x0 )2 + (uy (x) − y0 )2 = R2 ,

(5.1)

erhält man durch Differenziation bezüglich der x-Koordinate duy =0 dx beziehungsweise nach einer weiteren Differenziation: 2(x − x0 ) + 2(uy (x) − y0 )

(5.2)

d2 uy duy duy + 2(uy (x) − y0 ) 2 . (5.3) dx dx dx Gleichung (5.3) liefert den vertikalen Abstand des betrachteten Punktes auf der Balkenmittellinie in Bezug auf den Kreismittelpunkt zu 2+2

 1+ (uy − y0 ) = −

duy dx

2

, (5.4) d2 uy dx2 während sich die Differenz der x-Koordinaten aus Gleichung (5.2) ergibt: duy . (5.5) dx Verwendet man den Ausdruck nach Gleichung (5.4) in (5.5) ergibt sich: (x − x0 ) = −(uy − y0 )  duy (x − x0 ) = dx

1+

duy dx

2

. (5.6) d2 uy dx2 Einsetzen der beiden Ausdrücke für die Koordinatendifferenzen nach Gleichung (5.6) und (5.4) in die Kreisbeziehung nach (5.1) liefert:

64

5 Biegeelement

R2 = (x − x0 )2 + (uy − y0 )2   2  2 1 + duy dx duy =  2 2 dx d uy dx2

⎛ ⎞ 2 d2 uy =⎝ + 1⎠ dx2 ⎛



  2 du 1 + dxy +  2 2

2

d uy dx2

 1+ 

2 ⎞3 duy ⎝1 + ⎠ dx = .  2 d2 uy dx2

(5.7) 2

duy dx

d2 uy dx2

2

2

2



(5.8)

Da es sich bei der in Abbildung 5.3 dargestellten Kreiskonfiguration um eine  du2 ’Linkskurve’ dxy2 > 0 handelt, ergibt sich der Krümmungsradius R zu: ⎛



⎝1 + R=

+ (−)



duy dx

2 ⎞3/2 ⎠

d2 uy dx2



.

(5.9)

Man beachte, dass man auch die Bezeichnung Krümmung verwendet, die sich als Kehrwert aus dem Krümmungsradius ergibt: κ = R1 . Für kleine Durchdu biegungen, das heißt uy L, ergibt sich dxy 1 und Gleichung (5.9) vereinfacht sich zu: d2 uy 1 oder κ = . (5.10) dx2 d2 uy dx2 Zur Bestimmung der Dehnung greift man auf die allgemeine Definition, das heißt Verlängerung bezogen auf Ausgangslänge, zurück. Mit den Bezeichnungen aus Abbildung 5.4 ergibt sich die Längsdehnung für eine Faser im Abstand y zur neutralen Faser zu: R=

ds − dx . (5.11) dx Die Längen der Kreisbögen ds und dx ergeben sich aus den entsprechenden Radien und dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß für die beiden Kreissektoren zu: εx =

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

65

Abb. 5.4 Segment eines Biegebalkens unter reiner Biegung. Man beachte, dass die Verformung überzeichnet dargestellt ist

dx = Rdϕz , ds = (R − y)dϕz .

(5.12) (5.13)

Verwendet man diese Beziehungen für die Kreisbögen in Gleichung (5.11), ergibt sich: εx =

dϕz (R − y)dϕz − Rdϕz = −y . dx dx

(5.14)

z Aus Gleichung (5.12) ergibt sich dϕ = R1 und zusammen mit Beziedx hung (5.10) kann die Dehnung schließlich wie folgt dargestellt werden:

d2 uy (x) . (5.15) dx2 Eine alternative Ableitung der kinematischen Beziehung ergibt sich aus Betrachtung von Abbildung 5.5. Aus der Beziehung für das rechtwinkelige Dreieck 0’1’2’, das heißt sin ϕz = ux , ergibt sich5 für kleine Winkel (sin ϕz ≈ ϕz ): −y εx = −y

ux = −yϕz .

(5.16)

Weiterhin gilt, dass für kleine Winkel der Rotationswinkel der Steigung der Mittellinie entspricht: duy (x) ≈ ϕz . (5.17) dx Die Definition von positivem und negativem Verdrehwinkel ist in Abbildung 5.6 illustriert. Fasst man Gleichung (5.17) und (5.16) zusammen, ergibt sich tan ϕz =

5

Man beachte, dass nach Voraussetzung beim Bernoulli-Balken die Länge 01 und 0’1’ unverändert bleibt.

66

5 Biegeelement

Abb. 5.5 Alternative Betrachtung zur Ableitung der Kinematik. Man beachte, dass die Verformung überzeichnet dargestellt ist

Abb. 5.6 Zur Definition des Verdrehwinkels a) ϕz =

duy dx

positiv; b) ϕz =

duy dx

negativ

duy (x) . (5.18) dx Letzte Beziehung entspricht (ds−dx) in Gleichung (5.11) und Differenziation nach der x-Koordinate führt direkt auf Gleichung (5.15). ux = −y

5.2.2 Gleichgewicht Die Gleichgewichtsbedingungen werden an einem infinitesimalen Balkenelement der Länge dx abgeleitet, das durch eine konstante Streckenlast qy belastet ist, vergleiche Abbildung 5.7. An beiden Schnittufern, das heißt an der Stelle x und x + dx, sind die Schnittreaktionen eingezeichnet. Man er-

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

67

kennt, dass am positiven6 Schnittufer die Querkraft in Richtung der positiven y-Achse positiv ist und dass das positive Biegemoment den gleichen Drehsinn wie die positive z-Achse aufweist (Rechte-Faust-Regel7 ). Am negativen Schnittufer wird die positive Orientierung von Querkraft und Biegemoment umgedreht, um in der Summe die Wirkung der Schnittreaktionen aufzuheben. Diese Konvention für die Richtung der Schnittreaktionen soll im Folgenden für das Freischneiden beibehalten werden. Weiterhin kann aus Abbildung 5.7 abgeleitet werden, dass am rechten Rand eines Balkens eine nach oben gerichtete äußere Kraft beziehungsweise ein im mathematischen Sinn positiv drehendes äußeres Moment zu einer positiven Querkraft beziehungsweise einem positiven Schnittmoment führt. Entsprechend ergibt sich, dass am linken Rand eines Balkens eine nach unten gerichtete äußere Kraft beziehungsweise ein im mathematischen Sinn negativ drehendes äußeres Moment zu einer positiven Querkraft beziehungsweise positivem Schnittmoment führt.

Abb. 5.7 Infinitesimales Balkenelement mit Schnittreaktionen und Belastung durch konstante Streckenlast bei Verformung in der x-y -Ebene

Im Folgenden wird das Gleichgewicht hinsichtlich der vertikalen Kräfte betrachtet. Unter der Annahme, dass Kräfte in Richtung der positiven yAchse positiv anzusetzen sind, ergibt sich: − Q(x) + Q(x + dx) + qy dx = 0 .

(5.19)

Entwickelt man die Querkraft am rechten Schnittufer in eine Taylorsche Reihe erster Ordnung, das heißt Q(x + dx) ≈ Q(x) +

dQ(x) dx , dx

(5.20)

6 Das positive Schnittufer ist dadurch definiert, dass die Flächennormale auf der Schnittebene die gleiche Orientierung wie die positive x-Achse aufweist. Zu beachten ist hierbei, dass die Flächennormale immer nach außen gerichtet ist. Beim negativen Schnittufer sind die Flächennormale und die positive x-Achse antiparallel orientiert. 7 Wird die Achse mir der rechten Hand so ’umfasst’, dass der abgespreizte Daumen in Richtung der positiven Achse zeigt, so zeigen die gekrümmten Finger die Richtung des positiven Drehsinns an.

68

5 Biegeelement

ergibt sich Gleichung (5.19) zu dQ(x) dx + qy dx = 0 , dx beziehungsweise nach Vereinfachung schließlich als: − Q(x) + Q(x) +

(5.21)

dQ(x) = −qy . (5.22) dx Für den Sonderfall, dass keine Streckenlast vorliegt (qy = 0), vereinfacht sich Gleichung (5.22) zu: dQ(x) = 0. (5.23) dx Das Momentengleichgewicht um den Bezugspunkt an der Stelle x + dx liefert: 1 qy dx2 = 0 . (5.24) 2 Entwickelt man das Biegemoment am rechten Schnittufer entsprechend Gleichung (5.20) in eine Taylorsche Reihe erster Ordnung und berücksichtigt, dass der Term 12 qy dx2 als unendlich kleine Größe höherer Ordnung vernachlässigt werden kann, ergibt sich schließlich: Mz (x + dx) − Mz (x) + Qy (x)dx −

dMz (x) = −Qy (x) . (5.25) dx Kombination von Gleichung (5.22) und (5.26) ergibt die Beziehung zwischen Biegemoment und Streckenlast zu: dQy (x) d2 Mz (x) = qy . =− dx2 dx

(5.26)

5.2.3 Stoffgesetz Das eindimensionale Hookesche Gesetz nach Gleichung (3.2) kann auch im Falle des Biegebalkens angesetzt werden, da nach Voraussetzung nur Normalspannungen in diesem Kapitel betrachtet werden: σx = Eεx .

(5.27)

Mittels der kinematischen Beziehung nach Gleichung (5.15) ergibt sich die Spannung als Funktion der Durchbiegung zu: σx = −Ey

d2 uy (x) . dx2

(5.28)

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

69

Abb. 5.8 a) Schematische Darstellung der Normalspannungsverteilung σx = σx (y) eines Biegebalkens; b) Definition und Lage eines infinitesimalen Flächenelements zur Ableitung der resultierenden Momentenwirkung der Normalspannungsverteilung

Der in Abbildung 5.8 a) dargestellte Spannungsverlauf erzeugt das an dieser Stelle wirkende Schnittmoment. Zur Berechnung der Momentenwirkung wird die Spannung mit einer Fläche multipliziert, so dass sich die resultierende Kraft ergibt. Multiplikation mit dem entsprechenden Hebelarm liefert dann das Schnittmoment. Da es sich hier um eine veränderliche Spannung handelt, erfolgt die Betrachtung an einem infinitesimal kleinen Flächenelement: dMz = (+y)(−σx )dA = −yσx dA .

(5.29)

Das gesamte Moment ergibt sich daher mittels Integration über die gesamte Fläche zu:

Mz = −

A

yσx dA

(5.28)

= +

yEy A

d2 uy dA . dx2

(5.30)

Unter der Annahme, dass der Elastizitätsmodul konstant ist und unter Berücksichtigung von Gleichung (5.10) ergibt sich das Schnittmoment um die z-Achse zu: d2 uy Mz = E dx2

y 2 dA .   

(5.31)

A

Iz

Bei dem Integral in Gleichung (5.31) handelt es sich um das sogenannte axiale Flächenträgheitsmoment oder axiale Flächenmoment 2. Grades in der SI-Einheit m4 . Diese Größe hängt nur von der Geometrie des Querschnitts ab und ist ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung. Für einfache geometrische Querschnitte sind die Werte des axialen Flächenträgheitsmoments in Tabelle 5.3 zusammengestellt. Somit kann das Schnittmoment auch als

70

5 Biegeelement

Tabelle 5.3 Axiale Flächenmomente 2. Grades um die z - und y -Achse

Iz

Querschnitt

Iy

πR4 πD4 πR4 πD4 = = 64 4 64 4

πba3 4

πab3 4

bh3 12

hb3 12

bh3 36

hb3 36

bh3 36

ah3 48

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

71

d2 uy (5.28) EIz = EIz κ = (5.32) dx2 R angegeben werden. Gleichung (5.32) beschreibt die Biegelinie uy (x) als Funktion des Biegemomentes und wird daher auch Biegelinie-Momenten-Beziehung genannt. Das Produkt EIz in Gleichung (5.32) wird auch als Biegesteifigkeit bezeichnet. Verwendet man das Ergebnis von Gleichung (5.32) in der Beziehung für die Biegespannung nach Gleichung (5.28), so ergibt sich der Spannungsverlauf über den Querschnitt zu: Mz = EIz

σx (y) = −

Mz y. Iz

(5.33)

Das Minuszeichen bewirkt, dass nach der eingeführten Vorzeichenkonvention für Verformungen in der x-y-Ebene ein positives Biegemoment (vergleiche Abbildung 5.3) in der oberen Balkenhälfte, das heißt für y > 0, auf eine Druckspannung σ < 0 führt. Für eine Verformung in der x-z-Ebene sind die entsprechenden Gleichungen am Ende von Kapitel 5.2.5 zusammengestellt. Im Falle der geraden Biegung mit Mz (x) = const. lässt sich die Biegelinie jeweils lokal durch einen Krümmungskreis annähern, vergleiche Abbildung 5.9. Daher lässt sich das Ergebnis der reinen Biegung nach Gleichung (5.32) auf die gerade Biegung übertragen: EIz

d2 uy (x) = Mz (x) . dx2

(5.34)

Abb. 5.9 Verformung eines Biegebalkens bei gerader Biegung, das heißt für Mz (x) = const.

Abschließend sind die drei elementaren Grundgleichungen für den Biegebalken in Tabelle 5.4 für beliebige Momentenbelastung Mz (x) bei Biegung in der x-y-Ebene zusammengefasst.

72

5 Biegeelement

Tabelle 5.4 Elementare Grundgleichungen für den Biegebalken bei Verformung in der x-y -Ebene Bezeichnung

Gleichung

Kinematik

εx (x, y) = −y

Gleichgewicht Stoffgesetz

d2 uy (x) dx2 dQy (x) dMz (x) = −qy (x) ; = −Qy (x) dx dx σx (x, y) = Eεx (x, y)

5.2.4 Differenzialgleichung der Biegelinie Zweimalige Differenziation von Gleichung (5.32) und Berücksichtigung der Beziehung zwischen Biegemonent und Streckenlast nach Gleichung (5.26) führt auf die klassische Form der Differenzialgleichung der Biegelinie   d2 uy d2 (5.35) EIz = qy , dx2 dx2 die auch als Biegelinie-Streckenlast-Beziehung bezeichnet wird. Bei einer entlang der Stabachse unveränderlichen Biegesteifigkeit EIz folgt hieraus: d4 uy = qy . (5.36) dx4 Selbstverständliche kann die Differenzialgleichung der Biegelinie auch mittels des Biegemomentes oder der Querkraft als EIz

d2 uy = Mz oder dx2 d3 uy EIz = −Qy dx3

EIz

(5.37) (5.38)

angesetzt werden.

5.2.5 Analytische Lösungen Im Folgenden wird die analytische Berechnung der Biegelinie für einfache Belastungsfälle beim statisch bestimmten Balken betrachtet. Dazu muss die Differenzialgleichung der Biegelinie nach Gleichung (5.36), (5.37) oder (5.38) analytisch integriert werden. Die bei dieser Integration auftretenden Integra-

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

73

tionskonstanten können mit Hilfe der Randbedingungen bestimmt werden, vergleiche Tabelle 5.5. Tabelle 5.5 Randbedingungen bei Biegung in der x-y -Ebene Symbol

Lagerart

uy

duy dx

M

Q

Festlager

0

–

0

–

Loslager

0

–

0

–

freies Ende

–

–

0

0

feste Einspannung

0

0

–

–

Einspannung mit

–

0

–

0

F c

–

0

–

Querkraftgelenk

Federlager

Wenn die Streckenlast (oder die Momenten- oder Querkraftlinie) nicht für den gesamten Biegebalken geschlossen dargestellt werden kann, weil Auflager, Gelenke, Sprünge oder Knicke in der Belastungsfunktion vorliegen, ist die Integration abschnittsweise vorzunehmen. Die zusätzlichen Integrationskonstanten sind dann mittels der Übergangsbedingungen zu bestimmen. Beispielsweise können für die in Abbildung 5.10 dargestellte Balkenunterteilung die folgenden Übergangsbedingungen (Kontinuitätsbedingungen) angegeben werden: uIy (a) = uII y (a) , duIy (a) dx

=

duII y (a) dx

(5.39) .

(5.40)

Die analytische Berechnung der Biegelinie soll im Folgenden für einen Biegebalken unter Einwirkung einer Einzelkraft exemplarisch durchgeführt werden, vergleiche Abbildung 5.11. Als Ausgangspunkt wird die Differenzialgleichung der Biegelinie in der Form mit der vierten Ableitung nach Glei-

74

5 Biegeelement

Abb. 5.10 Zur Definition der Übergangsbedingungen zwischen verschiedenen Abschnitten eines Balkens

chung (5.36) gewählt. Viermalige Integration führt schrittweise auf die folgenden Gleichungen: d3 uy = c1 (= −Qy ) , dx3 d2 uy EIz = c1 x + c2 (= Mz ) , dx2 1 duy = c1 x2 + c2 x + c3 , EIz dx 2 1 1 EIz uy = c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4 . 6 2

EIz

(5.41) (5.42) (5.43) (5.44)

Somit muss die allgemeine Lösung mittels der Integrationskonstanten c1 , . . . , c4 an das spezielle Problem nach Abbildung 5.11 a) angepasst werden.

Abb. 5.11 Berechnung der Biegelinie für Biegebalken unter Einzellast

Für die feste Einspannung am linken Rand (x = 0) gilt uy (0) = 0 und = 0, vergleiche Tabelle 5.5. Aus Gleichung (5.43) und (5.44) ergibt sich direkt mit diesen Randbedingungen, dass c3 = c4 = 0 ist. Zur Bestimmung der verbleibenden Integrationskonstanten kann nicht auf Tabelle 5.5 zurückgegriffen werden. Vielmehr muss die äußere Belastung in Bezug zu den Schnittreaktionen gesetzt werden. Betrachtet wird dazu das in Abbildung 5.11 b) dargestellte infinitesimale Element, an dem die äußere Kraft F angreift. Das Gleichgewicht zwischen den äußeren Lasten und den Schnittreaktionen ist an der Stelle x = L, also am Angriffspunkt der äußeren Kraft, zu formulieren. Somit erzeugt die äußere Kraft keine Momentenwirkung, da der Fall dx → 0 oder in anderen Worten die Stelle x = L betrachtet wird. Das duy (0) dx

5.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken

75

Momentengleichgewicht8 , das heißt Mz (x = L) = 0, liefert zusammen mit Gleichung (5.42) die Beziehung c2 = −c1 L. Das vertikale Kräftegleichgewicht nach Abbildung 5.11 b) ergibt Qy (x = L) = −F . Mittels Gleichung (5.41) ergibt sich hieraus, dass c1 = F ist. Somit kann die Gleichung der Biegelinie als   1 1 1 3 2 F x − F Lx (5.45) uy (x) = EIz 6 2 angegeben werden. Insbesondere ergibt sich die maximale Durchbiegung am rechten Rand zu: uy (L) = −

F L3 . 3EIz

(5.46)

Alternativ kann die Berechnung der Biegelinie zum Beispiel auch ausgehend vom Momentenverlauf Mz (x) erfolgen. Dazu ’schneidet’ man den Balken an einer beliebigen Stelle x in zwei Bereiche, vergleiche Abbildung 5.12. Anschließend genügt es, eine der beiden Bereiche zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen zu betrachten.

Abb. 5.12 Berechnung der Biegelinie für Biegebalken unter Einzellast auf Basis des Momentenverlaufs

Das Momentengleichgewicht am rechten Teil um den Bezugspunkt an der Stelle x liefert +Mz (x) + (L − x)F = 0, beziehungsweise nach dem Momentenverlauf aufgelöst: Mz (x) = (x − L)F .

(5.47)

Als Ausgangspunkt wird die Differenzialgleichung der Biegelinie in der Form mit der zweiten Ableitung nach Gleichung (5.37) gewählt. Zweimalige Integration führt schrittweise auf die folgenden Gleichungen:

8

Nur für den Fall, dass ein äußeres Moment M ext an der Stelle x = L angreifen würde, ergäbe sich das Schnittmoment zu: Mz (x = L) = M ext . Hierbei wurde angenommen, dass das äußere Moment M ext im mathematischen Sinn positiv orientiert wäre.

76

5 Biegeelement

d2 uy = Mz (x) = (x − L)F , dx2   1 2 duy = x − Lx F + c1 , EIz dx 2

EIz

EIz uy (x) =

1 3 1 x F − Lx2 F + c1 x + c2 . 6 2

(5.48) (5.49) (5.50)

Berücksichtigung der Randbedingungen an der festen Einspannung, das duy (0) heißt uy (0) = 0 und dx = 0, führt schließlich auf die Gleichung (5.45) und die maximale Durchbiegung nach Gleichung (5.46). An dieser Stelle soll noch angemerkt werden, dass bei der Biegung in der x-z-Ebene die Grundgleichungen an einigen Stellen leicht modifiziert werden müssen, da die positive Orientierung der Winkel beziehungsweise Momente um die positive y-Achse definiert ist. Die entsprechenden Grundgleichungen sind in Tabelle (5.6) zusammengestellt und gelten unabhängig von der Orientierung – entweder positiv nach oben oder positiv nach unten – der vertikalen z-Achse. Tabelle 5.6 Elementare Grundgleichungen für den Biegebalken bei Verformung in der x-z -Ebene Bezeichnung

Gleichung

Kinematik

εx (x, z) = −z

Gleichgewicht Stoffgesetz Spannung Diff’gleichung

d2 uz (x) dx2 dQz (x) dMy (x) = −qz (x) ; = Qz (x) dx dx σx (x, z) = Eεx (x, z) My (x) z(x) Iy 2 d uz (x) EIy = −My (x) dx2 3 d uz (x) EIy = −Qz (x) dx3 4 d uz (x) = qz (x) EIy dx4 σx (x, z) =

Am Ende des Kapitels sollen noch geschlossene Lösungen für weitere Belastungsfälle zusammengestellt werden, vergleiche Tabelle 5.7 [8, 9]. Um eine geschlossene Darstellung auch bei Unstetigkeiten oder Knicken realisieren zu können, ist bei den Gleichungen der Biegelinien in Tabelle 5.7 die sog. Föppl-Klammer verwendet worden. Diese mathematische Schreibweise, die

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

77

von August Otto Föppl (1854–1942) eingeführt9 wurde, hat folgende Bedeutung:  0 für x < a (5.51) x − a n = (x − a)n für x ≥ a . Insbesondere kann mit dem Fall n = 0  0 für x < a 0 x − a = 1 für x ≥ a

(5.52)

die geschlossene Darstellung von Sprüngen realisiert werden. Weiterhin sind auch Ableitungen und Stammfunktionen definiert, indem das Klammersymbol einfach als runde Klammer angesehen werden kann: d x − a n = n x − a n−1 , dx

1 x − a n+1 + c . x − a n dx = n+1

(5.53) (5.54)

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken Das Biegeelement sei definiert als prismatischer Körper mit der Längsachse x und der y-Achse orthogonal zur Längsachse. An beiden Enden des Biegeelementes werden Knoten eingeführt, an denen Verschiebungen und Verdrehungen beziehungsweise Kräfte und Momente, wie in Abbildung 5.13 skizziert, definiert sind. Die Verformungs- und Belastungsgrößen sind in der eingezeichneten Richtung positiv zu nehmen. Da an beiden Knoten je zwei Verformungsgrößen vorliegen, das heißt uy du und ϕz = dxy , wird im Folgenden ein Polynom mit vier Unbekannten für das Verschiebungsfeld angesetzt: ⎡ ⎤ α0 ⎥ ⎢   α 1⎥ T uy (x) = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 = 1 x x2 x3 ⎢ ⎣α2 ⎦ = χ α . α3

(5.55)

9 Im angelsächsischen Sprachraum wird diese mathematische Schreibweise meistens nach dem britischem Mathematiker und Ingenieur W.H. Macaulay (1853–1936) benannt [10]. Jedoch wurde die Schreibweise ursprünglich von dem deutschen Mathematiker Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833–1872) vorgeschlagen [5].

78

5 Biegeelement

Tabelle 5.7 Geschlossene Lösungen der Biegelinie bei einfachen Belastungsfällen für statisch bestimmte Balken bei Biegung in der x-y -Ebene Belastung

Biegelinie

uy (x) =

  −F × 3ax2 − x3 + x − a3 6EIz

uy (x) =

 −M  × − x2 + x − a2 2EIz

uy (x) =

 −q × 6(a22 − a21 )x2 − 4(a2 − a1 )x3 + 24EIz  + x − a1 4 − x − a2 4

uy (x) =

 −F × (b − a)(b2 x − x3 ) − xb − a3 + 6bEIz  + bx − a3 − ax − b3

uy (x) =

 −M × b2 x − x3 − 3xb − a2 + 6bEIz  + 3bx − a2 + x − b3

uy (x) =

 −q × 2 (a22 − a21 − 2b(a2 − a1 )) (x3 − b2 x) 24bEIz −xb − a1 4 + xb − a2 4 + bx − a1 4 −  − bx − a2 4 − 2(a22 − a21 )x − b3

Durch Differenziation nach der x-Koordinate ergibt sich der Verlauf der Rotation zu: duy (x) = α1 + 2α2 x + 3α3 x2 . (5.56) dx Auswertung der Verformungsverläufe uy (x) und ϕz (x) an den beiden Knoten, das heißt für x = 0 und x = L, liefert: ϕz (x) =

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

79

Abb. 5.13 Definition der positiven Richtungen für das Biegeelement bei Verformung in der x-y -Ebene: a) Verformungsgrößen; b) Lastgrößen

Knoten 1:

u1y (0) = α0 , ϕ1z (0) = α1 ,

(5.57) (5.58)

Knoten 2:

u2y (L) = α0 + α1 L + α2 L2 + α3 L3 , 2

ϕ2z (L) = α1 + 2α2 L + 3α3 L . Hieraus ergibt sich in Matrixschreibweise: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 10 0 0 u1y α0 ⎢ϕ1z ⎥ ⎢0 1 0 0 ⎥ ⎢α1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ u2y ⎦ = ⎣1 L L2 L3 ⎦ ⎣α2 ⎦ . ϕ2z 0 1 2L 3L2 α3    X Auflösen nach den unbekannten Koeffizienten α1 , . . . , α4 liefert: ⎡ ⎤ 1 0 0 0 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ α0 ⎢ ⎥ u1y 0 1 0 0 ⎥ ⎢α1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 3 3 2 1 ⎥ ⎢ 1z ⎥ ⎢ − − − ⎣α2 ⎦ ⎢ L2 L L2 L ⎥ ⎣ u2y ⎦ ⎣ 2 ⎦ ϕ 1 2 1 α3 2z L3 L2 − L3 L2

(5.59) (5.60)

(5.61)

(5.62)

oder in Matrixschreibweise: α = Aup = X −1 up .

(5.63)

80

5 Biegeelement

Die Zeilenmatrix der Formfunktionen10 ergibt sich mittels N = χT A und beinhaltet die folgenden Komponenten:  2  3 x x +2 , N1u (x) = 1 − 3 L L x2 x3 N1ϕ (x) = x − 2 + 2 , L L  2  3 x x −2 , N2u (x) = 3 L L N2ϕ (x) = −

x2 x3 + 2. L L

(5.64) (5.65) (5.66) (5.67)

Eine graphische Darstellung der Formfunktionen ist in Abbildung 5.14 gegeben.

Abb. 5.14 Formfunktionen für das Biegeelement bei Biegung in der x-y -Ebene

In kompakter Form ergibt sich damit der Verschiebungsverlauf zu:

10

Alternativ wird auch die Bezeichnung Interpolationsfunktion verwendet.

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

81

uy (x) = N1u u1y + N1ϕ ϕ1z + N2u u2y + N2ϕ ϕ2z ⎤ ⎡ u1y   ⎢ϕ1z ⎥ ⎥ = N1u u1y N1ϕ N2u u2y N2ϕ ⎢ ⎣ u2y ⎦ = N (x)up . ϕ2z

(5.68) (5.69)

Über die Kinematikbeziehung nach Gleichung (5.15) ergibt sich der Verlauf der Verzerrungen zu: d2 uy (x) d2 d2 N (x) = −y (N (x)u ) = −y up . (5.70) p dx2 dx2 dx2 Entsprechend der Vorgehensweise beim Stabelement im Kapitel 3, kann hier beim Biegeelement eine verallgemeinerte B-Matrix eingeführt werden. Somit erhält man eine äquivalente Darstellung wie in Gleichung (3.25) [(3.15) in Kap.3], das heißt εx = Bup , mit εx = −y

d2 N (x) . (5.71) dx2 Mit dem Stoffgesetz nach Gleichung (5.27) ergibt sich der Verlauf der Spannung zu: B = −y

(5.72)

σx = Eεx = EBup .

Der allgemeine Ansatz zur Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix, das heißt

ke = B T DBdΩ (5.73) Ω

vereinfacht sich, da die Stoffmatrix D im betrachteten eindimensionalen Fall nur durch den Elastizitätsmodul E repräsentiert wird. Somit ergibt sich:   

 d2 N T (x) d2 N (x) e k = −y E −y dΩ . (5.74) dx2 dx2 Ω Ist der Balkenquerschnitt entlang der x-Achse konstant, ergibt sich:



2

y dA

d2 N T (x) d2 N (x) dx = EIz dx2 dx2

d2 N T (x) d2 N (x) dx . dx2 dx2 L A L (5.75) Mittels der einzelnen Formfunktionen kann die Bestimmungsgleichung für die Steifigkeitsmatrix als k =E e

82

5 Biegeelement

⎡

⎤

2 dN1u ⎢ dx2 ⎥ ⎢ ⎥ dN 2 ⎥ 

L⎢ ⎢ 1ϕ ⎥  2 dN 2 2 dN 2 ⎢ dx2 ⎥ dN1u dN2u e 1ϕ 2ϕ k = EIz dx (5.76) ⎢ 2 ⎥ dN2u ⎥ dx2 dx2 dx2 dx2 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ dx2 ⎥ ⎣ dN 2 ⎦ 2ϕ dx2 geschrieben werden. Nach Ausführung der Multiplikation ergibt sich hieraus:

⎡

2 2 dN1u dN1u ⎢ dx2 dx2 ⎢ ⎢ 2 2 ⎢ dN1ϕ dN1u

L⎢ ⎢ 2 ⎢ dx dx2 ke = EIz ⎢ 2 2 0 ⎢ ⎢ dN2u dN1u ⎢ ⎢ dx2 dx2 ⎢ ⎣ dN 2 dN 2 2ϕ

1u

dx2 dx2

2 ⎤ 2 dN 2 2 2 2 dN1u 1ϕ dN1u dN2u dN1u dN2ϕ dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 ⎥ ⎥ ⎥ 2 2 2 2 2 ⎥ 2 dN1ϕ dN1ϕ dN1ϕ dN2u dN1ϕ dN2ϕ ⎥ ⎥ dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 ⎥ ⎥ dx . 2 ⎥ 2 dN 2 2 2 2 dN2u 1ϕ dN2u dN2u dN2u dN2ϕ ⎥ ⎥ dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 dx2 ⎥ ⎥ dN 2 dN 2 dN 2 dN 2 dN 2 dN 2 ⎦ 2ϕ

1ϕ

dx2 dx2

2ϕ

2u

dx2 dx2

2ϕ

2ϕ

dx2 dx2

(5.77) Die Ableitungen der einzelnen Formfunktionen in Gleichung (5.77) ergeben sich aus den Gleichungen (5.64) bis (5.67) zu: dN1u (x) 6x 6x2 =− 2+ 3 , dx L L 4x 3x2 dN1ϕ (x) =1− + 2 , dx L L dN2u (x) 6x 6x2 = 2− 3 , dx L L 2x 3x2 dN2ϕ (x) =− + 2 , dx L L beziehungsweise die zweiten Ableitungen:

(5.78) (5.79) (5.80) (5.81)

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

83

6 12x d2 N1u (x) =− 2+ 3 , dx2 L L 2 d N1ϕ (x) 4 6x =− + 2, dx2 L L d2 N2u (x) 6 12x = 2− 3 , 2 dx L L 2 6x d2 N2ϕ (x) =− + 2. dx2 L L

(5.82) (5.83) (5.84) (5.85)

Die Integration in Gleichung (5.77) kann analytisch erfolgen und ergibt nach kurzer Rechnung die Einzelsteifigkeitsmatrix des Biegebalkens in kompakter Form zu: ⎡ ⎤ 12 6L −12 6L EIz ⎢ 6L 4L2 −6L 2L2 ⎥ ⎥. (5.86) ke = 3 ⎢ L ⎣−12 −6L 12 −6L⎦ 2 2 6L 2L −6L 4L Berücksichtigt man die in Abbildung 5.13 dargestellten äußeren Lasten und Verformungen, ergibt sich die Finite-Elemente-Hauptgleichung auf Elementebene zu: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ F1y 12 6L −12 6L u1y 2 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ EIz ⎢ ⎢ 6L 4L −6L 2L ⎥ ⎢ϕ1z ⎥ = ⎢M1z ⎥ . (5.87) ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 −12 −6L 12 −6L u2y F2y ⎦ L ϕ2z M2z 6L 2L2 −6L 4L2

5.3.1 Herleitung über Potenzial Die elastische Verzerrungsenergie bei einem eindimensionalen Problem11 mit linear-elastischem Materialverhalten ergibt sich zu: Πint

1 = 2

Ω

σx εx dΩ .

(5.88)

Formuliert man die Spannung und Dehnung mittels der Formfunktionen und den Knotenverformungen nach Gleichung (5.72), ergibt sich: Πint

11

1 = 2

T

Ω

E (Bup ) Bup dΩ .

Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann man die Form Πint =

(5.89)

1 εT σdΩ anset2 Ω

zen, wobei σ und ε die Spaltenmatrix mit den Spannungs- und Verzerrungskomponenten darstellt.

84

5 Biegeelement

Berücksichtigt man die Beziehung für die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen, das heißt (AB)T = B T AT , ergibt sich: Πint =

1 2

Ω

T EuT p B Bup dΩ .

(5.90)

Da die Knotenwerte keine Funktion darstellen, kann diese Spaltenmatrix aus dem Integral gezogen werden:   1 T EB BdΩ up . (5.91) Πint = uT 2 p Ω Hieraus ergibt sich mittels der Definition für die verallgemeinerte B-Matrix nach Gleichung (5.71):   1 T d2 N T (x) d2 N (x) Πint = up E(−y) (−y) dΩ up . (5.92) 2 dx2 dx2 Ω Auch hier kann wieder das axiale Flächenmoment 2. Grades identifiziert werden, so dass letzte Gleichung sich wie folgt darstellt:

Πint

1 = uT 2 p



L

 d2 N T (x) d2 N (x) y dA E dx up . dx2 dx2 A



2

0

(5.93)

Somit ergibt sich für konstante Material- und Querschnittswerte die elastische Verzerrungsenergie zu:  

L 2 T d N (x) d2 N (x) 1 T dx up . (5.94) Πint = up EIz 2 dx2 dx2 0    ke

Letzte Gleichung entspricht der allgemeinen Formulierung der Verzerrungsenergie eines finiten Elementes 1 T e u k up 2 p und erlaubt somit die Identifikation der Elementsteifigkeitsmatrix. Πint =

(5.95)

Die Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung inklusive der Steifigkeitsmatrix erfolgt häufig über Extremal- oder Variationsprinzipien wie zum Beispiel das Prinzip der virtuellen Arbeit12 oder das HellingerReissnersche Prinzip, [13, 2, 15]. Im Folgenden wird exemplarisch die Finite-

12

Das Prinzip der virtuellen Arbeit umfaßt das Prinzip der virtuellen Verrückungen (Verschiebungen) und das Prinzip der virtuellen Kräfte [12].

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

85

Elemente-Hauptgleichung mittels des Satzes von Castigliano13 abgeleitet, vergleiche [3, 17]. Ausgangspunkt ist hier die elastische Verzerrungsenergie, die sich aus Gleichung (5.88) mittels der kinematischen Beziehung (5.15) und dem Stoffgesetz (5.27) wie folgt darstellt:

Πint





d2 uy (x) E −y dx2 Ω Ω  2 

d2 uy (x) 1 2 E y dA dx = 2 L dx2 A 2

 EIz L d2 uy (x) dx . = 2 0 dx2

1 = 2

Eε2x dΩ

1 = 2

2 dΩ

(5.96)

(5.97)

(5.98)

Mittels des Ansatzes für den Verschiebungsverlauf nach Gleichung (5.68) ergibt sich hieraus:

Πint

EIz = 2

0

L



d2 N1ϕ d2 N2u d2 N2ϕ d2 N1u u + ϕ + u + ϕ2z 1y 1z 2y dx2 dx2 dx2 dx2

2 dx .

(5.99) Anwendung des zweiten Satzes von Castigliano auf die Verzerrungsenergie in Bezug auf die Knotenverschiebung u1y ergibt die äußere Kraft F1y am Knoten 1: dΠint = F1y = EIz du1y

0

L



d2 N1u d2 N1ϕ u1y + ϕ1z + 2 dx dx2  d2 N2u d2 N2ϕ d2 N1y + u + ϕ dx . 2y 2z dx2 dx2 dx2

(5.100)

Entsprechend ergibt sich aus der Differenziation nach den anderen Verformungsgrößen an den Knoten:

13

Die Sätze von Castigliano wurden von dem italienischen Baumeister, Ingenieur und Wissenschaftler Carlo Alberto Castigliano (1847–1884) formuliert. Der zweite Satz besagt: Die partielle Ableitung der in einem linear-elastischen Körper gespeicherten Verzerrungsenergie nach der Verschiebung ui ergibt die Kraft Fi in Richtung der Verschiebung an der betrachteten Stelle. Ein analoger Zusammenhang gilt auch für die Verdrehung und das Moment.

86

5 Biegeelement

d2 N1ϕ d2 N1u u + ϕ1z + 1y dx2 dx2 0  d2 N2u d2 N2ϕ d2 N1ϕ + u + ϕ dx , 2y 2z dx2 dx2 dx2

L 2 d2 N1ϕ d N1u = EIz u + ϕ1z + 1y dx2 dx2 0  d2 N2u d2 N2ϕ d2 N2y + u + ϕ dx , 2y 2z dx2 dx2 dx2

L 2 d2 N1ϕ d N1u = EIz u + ϕ1z + 1y dx2 dx2 0  d2 N2u d2 N2ϕ d2 N2ϕ + u2y + ϕ2z dx . 2 2 dx dx dx2

dΠint = M1z = EIz dϕ1z

dΠint = F2y du2y

dΠint = M2y du2ϕ

L



(5.101)

(5.102)

(5.103)

Die Gleichungen (5.100) bis (5.103) können nach Ausführung der Integration zur Finite-Elemente-Hauptgleichung in Matrixform zusammengefasst werden, vergleiche Gleichung (5.87). Häufig wird zur Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung auch das Gesamtpotenzial herangezogen. Das Gesamtpotenzial oder die gesamte potenzielle Energie eines Biegebalkens ergibt sich allgemein zu (5.104)

Π = Πint + Πext ,

wobei Πint die elastische Verzerrungsenergie (Formänderungsenergie) und Πext das Potenzial der äußeren Lasten darstellt. Unter Einfluss der äußeren Belastung kann die gesamte potenzielle Energie wie folgt angegeben werden 1 Π= 2

Ω

σx εx dΩ −

m

i=1



Fiy uiy −

m

Miz ϕiz ,

(5.105)

i=1

wobei Fiy und Miz die an den Knoten wirkenden äußeren Kräfte und Momente darstellen.

5.3.2 Prinzip der gewichteten Residuen Im Folgenden wird die partielle Differentialgleichung des Verschiebungsfeldes uy (x) nach Gleichung (5.35) betrachtet. Hierbei soll der einfachste Fall – bei dem die Biegesteifigkeit EIz konstant ist und bei dem keine Strecken-

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

87

last (qy = 0) auftritt – betrachtet werden. Somit ergibt sich die partielle Differentialgleichung des Verschiebungsfeldes zu: EIz

d4 u0y (x) = 0, dx4

(5.106)

wobei u0y (x) die exakte Lösung des Problems darstellt. Gleichung (5.106) ist an jeder Stelle x des Balkens exakt erfüllt und wird auch als starke Form des Problems bezeichnet. Wird die exakte Lösung in Gleichung (5.106) durch eine Näherungslösung uy (x) ersetzt, ergibt sich ein Residuum oder Rest r zu: d4 uy (x) = 0 . (5.107) dx4 Durch Einführung der Näherungslösung uy (x) ist es also im Allgemeinen nicht mehr möglich, die partielle Differentialgleichung an jeder Stelle x des Balkens zu erfüllen. Alternativ wird im Folgenden gefordert, dass die Differentialgleichung über einen bestimmten Bereich (und nicht mehr in jedem Punkt) erfüllt wird, und man gelangt zu folgender integraler Forderung r = EIz

0

L

d4 uy (x) ! W (x) EIz dx = 0 , 4 dx   

(5.108)

r

die auch als inneres Produkt bezeichnet wird. In Gleichung (5.108) stellt W (x) die sogenannte Gewichtsfunktion dar, die den Fehler oder das Residuum über den betrachteten Bereich verteilt. Durch partielle Integration14 von Gleichung (5.108) ergibt sich:

L

0

L  L d4 uy d3 uy dW d3 uy dx = 0 . EIz W dx = EI W − EI z z 4  dx3 dx3 dx 0 dx   g

f

0

(5.109) Partielle Integration des Integrals auf der rechten Seite von Gleichung (5.109) liefert:

0

L

L  L d3 uy dW d2 uy d2 W d2 uy dW EIz dx = EI − EI dx . (5.110) z z 3 dx dx2 dx dx2 dx2 0 dx    f

g

0

Kombination von Gleichung (5.109) und (5.110) liefert die schwache Form des Problems zu: 14

Eine übliche Darstellung der partiellen Integration zweier Funktionen f (x) und g(x)   ist: f g  dx = f g − f  gdx.

88

5 Biegeelement



L

EIz 0

d2 uy d2 W d3 uy dW d2 uy −W dx = EI + z dx2 dx2 dx3 dx dx2

L .

(5.111)

0

Betrachtet man diese schwache Form, so erkennt man, dass durch die partielle Integrationen zwei Ableitungen (Differenzialoperatoren) von der Näherungslösung zur Gewichtsfunktion verschoben wurden und sich jetzt bezüglich der Ableitungen eine symmetrische Form ergibt. Diese Symmetrie bezüglich der Ableitung der Gewichtsfunktion und der Näherungslösung wird im Folgenden gewährleisten, dass sich eine symmetrische Steifigkeitsmatrix für das Biegeelement ergibt. Im Folgenden wird zuerst die linke Seite von Gleichung (5.111) betrachtet, um die Steifigkeitsmatrix für ein Biegeelement mit zwei Knoten abzuleiten. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht nun darin, die unbekannte Verschiebung uy nicht im gesamten Bereich zu approximieren, sondern für einen Unterbereich, den sogenannten Finiten Elementen, den Verschiebungsverlauf mittels ⎡ ⎤ u1y  ⎢ϕ1z ⎥  ⎥ (5.112) uey (x) = N (x)up = N1u N1ϕ N2u N2ϕ × ⎢ ⎣ u2y ⎦ ϕ2z näherungsweise zu beschreiben. Für die Gewichtsfunktion wird im Rahmen der Finite-Elemente-Methode der gleiche Ansatz wie für die Verschiebung gewählt: ⎤ N1u  ⎢N1ϕ ⎥ ⎥ δϕ2z × ⎢ ⎣N2u ⎦ , N2ϕ ⎡

 T W (x) = δuT p N (x) = δu1y δϕ1z δu2y

(5.113)

wobei δui beliebige Verschiebungs- beziehungsweise Rotationswerte darstellen. Im Folgenden wird sich zeigen, dass diese beliebigen oder sogenannten virtuellen Werte mit einem identischen Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (5.111) gekürzt werden können und keiner weiteren Betrachtung bedürfen. Berücksichtigt man Gleichungen (5.112) und (5.113) in der linken Seite von Gleichung (5.111), ergibt sich für konstante Biegesteifigkeit:

EIz 0

oder

L

d2  T T  d2 (N (x)up ) dx δup N (x) dx2 dx2

(5.114)

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

δuT p EIz 

89

d2  T  d2 N (x) (N (x)) dx up . dx2 dx2   ke

L

0

(5.115)

Der Ausdruck δuT p kann mit einem entsprechenden Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (5.111) gekürzt werden und up stellt den Vektor der unbekannten Knotenverformungen dar. Somit kann die Steifigkeitsmatrix mittels der einzelnen Formfunktionen entsprechend Gleichung (5.76) dargestellt werden. Im Folgenden wird die rechte Seite von Gleichung (5.111) betrachtet, um den Vektor der äußeren Lasten für ein Biegeelement mit zwei Knoten abzuleiten. Berücksichtigt man in  EIz

d3 uy dW d2 uy + −W dx3 dx dx2

L (5.116) 0

die Definition der Gewichtsfunktion nach Gleichung (5.113), ergibt sich  EIz

d  T T d2 uy δup N (x) + dx dx dx2

d3 uy T N (x) −δuT p 3

L (5.117) 0

oder in Komponenten: ⎡ ⎡

⎤ ⎤ ⎤L ⎡ N1u N1u 3 2 ⎢ ⎢N1ϕ ⎥ d uy d ⎢N1ϕ ⎥ d uy ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ . ⎢ δuT + p EIz ⎣− ⎣ N ⎦ 3 dx dx ⎣N2u ⎦ dx2 ⎦ 2u N2ϕ N2ϕ 0

(5.118)

In der letzten Gleichung kann δuT p mit dem entsprechenden Ausdruck in Gleichung (5.115) gekürzt werden. Weiterhin stellt (5.118) ein System von vier Gleichungen dar, die an den Integrationsgrenzen, das heißt an den Rändern x = 0 und x = L, auszuwerten sind. Die erste Zeile von Gleichung (5.118) ergibt: 

d3 uy dN1u d2 uy −N1u EIz + dx3 dx dx2



 −

x=L

d3 uy dN1u d2 uy −N1u EIz + dx3 dx dx2

 . x=0

(5.119) Unter Beachtung der Randwerte der Formfunktionen beziehungsweise de1u ren Ableitungen nach Abbildung 5.14, das heißt N1u (L) = 0, dN dx (L) = dN1u dx (0) = 0 und N1u (0) = 1, ergibt sich hieraus:  d3 uy  (5.38) + EIz = −Qy (0) . (5.120)  dx3  x=0

90

5 Biegeelement

Entsprechend können die Werte der drei anderen Zeilen in Gleichung (5.118) berechnet werden:

Zeile 2:

Zeile 3:

Zeile 4:

 d2 uy  (5.37) − EIz = −Mz (0) ,  dx2  x = 0 d3 uy  (5.38) − EIz = +Qy (L) ,  3 dx  x=L  d2 uy  (5.37) = +Mz (L) . + EIz  dx2 

(5.121)

(5.122)

(5.123)

x=L

Zu beachten ist, dass es sich bei den Resultaten in Gleichung (5.120) bis (5.123) um die Schnittreaktionen nach Abbildung 5.7 handelt. Die äußeren Lasten mit der positiven Richtung nach Abbildung 5.13 b) ergeben sich somit aus den Schnittreaktionen15 durch Umkehr der positiven Richtung am linken Rand und durch Beibehaltung der positiven Richtung der Schnittreaktionen am rechten Rand.

5.3.3 Anmerkungen zur Ableitung der Formfunktionen Im Abschnitt 5.3 wurden die Formfunktionen über ein Polynom mit vier Unbekannten abgeleitet, siehe Gleichung (5.55). Die Ableitung der Formfunktionen kann jedoch auch auf einem anschaulicheren Weg erfolgen. Dazu berücksichtigt man die allgemeine Eigenschaft, dass eine Formfunktion Ni am Knoten i den Wert 1 annimmt und an allen anderen Knoten zu Null wird. Weiterhin ist im Falle des Biegebalkens zu beachten, dass das Verschiebungsund Rotationsfeld an den Knoten entkoppelt sein soll. Somit ergibt sich, dass eine Formfunktion für das Verschiebungsfeld an ’ihrem’ Knoten den Wert 1 und die Steigung Null annehmen muss. An allen anderen Knoten ergibt sich der Funktionswert und die Steigung zu Null: Niu (xi ) = 1 , Niu (xj ) = 0 , dNiu (xi ) = 0, dx dNiu (xj ) = 0. dx 15

(5.124) (5.125) (5.126) (5.127)

Vergleiche Abschnitt 5.2.2 mit den Ausführungen zu den Schnittreaktionen und äußeren Lasten.

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken

91

Entsprechend ergibt sich, dass eine Formfunktion für das Rotationsfeld an ’ihrem’ Knoten die Steigung 1, aber den Funktionswert Null annehmen muss. An allen anderen Knoten sind Funktionswert und Steigung identisch Null. Somit ergeben sich die in Abbildung 5.15 dargestellten ’Randbedingungen’ für die vier Formfunktionen.

Abb. 5.15 Randbedingungen für die Formfunktionen für das Biegeelement bei Biegung in der x-y -Ebene. Man beachte, dass die Bereiche für die vorgegebenen Steigungen überzeichnet dargestellt sind

Soll der Verlauf der Formfunktionen keine Unstetigkeiten, das heißt Knicke, aufweisen, muss jede Formfunktion ihre Krümmung ändern. Somit muss man mindestens ein Polynom dritter Ordnung ansetzen, so dass sich für die Krümmung, das heißt die zweite Ableitung, eine lineare Funktion ergibt: N (x) = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 .

(5.128)

Da ein Polynom dritter Ordnung im allgemeinen Fall vier Unbekannte, α0 , . . . , α3 , aufweist, können mit diesem Ansatz über die vier Randbedingungen – je zwei für die Funktionswerte und zwei für die Steigungen – alle Unbekannten bestimmt werden. Exemplarisch sei im Folgenden die erste Formfunktion betrachtet. Die Randbedingungen in diesem Fall ergeben sich zu:

92

5 Biegeelement

(5.129)

N1u (0) = 1 , dN1u dN1u (0) = (L) = 0 , dx dx N1u (L) = 0 .

(5.130) (5.131)

Wertet man die Randbedingungen mit dem Ansatz nach Gleichung (5.128) aus, ergibt sich: (5.132)

1 = α0 ,

(5.133)

0 = α1 , 2

3

0 = α0 + α1 L + α2 L + α3 L , 2

0 = α1 + 2α2 L + 3α3 L ,

(5.134) (5.135)

beziehungsweise in Matrixschreibweise: ⎡ ⎤ ⎡ 1 10 0 ⎢0⎥ ⎢0 1 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎣0⎦ ⎣1 L L2 0 1 2L 0

⎤⎡ ⎤ α0 0 ⎢α1 ⎥ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ . (5.136) L3 ⎦ ⎣α2 ⎦ 3L2 α3  T Auflösen nach den Unbekannten ergibt α = 1 0 − L32 L23 . Mit diesen Konstanten ergibt sich exakt die Formfunktion nach Gleichung (5.64). Eine weitere Forderung an die Formfunktionen ergibt sich aus Gleichung (5.77). Dort sind die zweiten Ableitungen der Formfunktionen enthalten. Somit muss eine sinnvolle Formulierung für die Formfunktionen für ein Biegeelement mindestens ein Polynom der Ordnung zwei sein, damit sich von Null verschiedene Ableitungen ergeben. Abschließend sei hier angemerkt, dass es sich bei den Formfunktionen für den Biegebalken um sogenannte Hermite-Polynome handelt. Da bei dieser Hermiteschen Interpolation neben dem Knotenwert auch noch die Steigung in den betrachteten Knoten berücksichtigt wird, ergibt sich eine stetige Verschiebung und Verdrehung an den Knoten.

5.4 Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen Im Folgenden wird betrachtet, dass sich ein Biegebalken in zwei zueinander orthogonalen Ebenen verformen kann. Für Biegung in der x-y-Ebene ist die Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (5.86) gegeben:

5.4 Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen

⎡

kexy

12 EIz ⎢ 6L = 3 ⎢ L ⎣−12 6L

6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L

93

⎤

6L 2L2 ⎥ ⎥ −6L⎦ 4L2

(5.137)

Abb. 5.16 Definition der positiven Verformungsgrößen bei Biegung in der a) x-y -Ebene und b) x-z -Ebene

In der dazu orthogonalen Ebene, das heißt für Biegung in der x-z-Ebene ergibt sich eine leicht modifizierte Steifigkeitsmatrix, da die positive Orientierung der Winkel um die y-Achse jetzt im Uhrzeigersinn ist, vergleiche Abbildung 5.16. Bei Berücksichtigung der Definition des positiven Verdrehz (x) ergibt sich die Steifigkeitsmatrix für Biegung winkels nach ϕy (x) = − dudx 16 in der x-z-Ebene zu : ⎡ ⎤ 12 −6L −12 −6L EIy ⎢−6L 4L2 6L 2L2 ⎥ ⎥. (5.138) kexz = 3 ⎢ L ⎣ −12 6L 12 6L ⎦ 2 2 −6L 2L 6L 4L Beide Steifigkeitsmatrizen für die Verformung in der x-y- und der x-zEbene können einfach überlagert werden, so dass sich folgende Form für ein Element mit zwei orthogonalen Verformungsebenen ergibt

16

Man siehe dazu auch Tabelle 5.6 und weiterführende Aufgabe 5.6.

94

5 Biegeelement

⎡

⎤ 0 6Iz L −6Iy L 0 ⎥ ⎥ 2Iy L2 0 ⎥ ⎥ 0 2Iz L2 ⎥ ⎥, 0 −6Iz L⎥ ⎥ 6Iy L 0 ⎥ ⎥ 4Iy L2 0 ⎦ 0 4Iz L2 (5.139) wobei sich die Verformungs- und Lastvektoren wie folgt darstellen: 12Iz ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 6Iz L E ke = 3 ⎢ L ⎢ ⎢−12Iz ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 6Iz L

0 0 6Iz L 12Iy −6Iy L 0 0 −6Iy L 4Iy L2 0 0 4Iz L2 0 0 −6Iz L 0 −12Iy 6Iy L 0 −6Iy L 2Iy L2 0 0 2Iz L2

−12Iz 0 0 −12Iy 0 6Iy L −6Iz L 0 12Iz 0 0 12Iy 0 6Iy L −6Iz L 0

T  up = u1y u1z ϕ1y ϕ1z u2y u2z ϕ2y ϕ2z ,

(5.140)

T  F e = F1y F1z M1y M1z F2y F2z M2y M2z .

(5.141)

5.5 Transformation in der Ebene Im Folgenden wird ein Balken, der sich in der x-y-Ebene verformen kann, gegenüber einem globalen Koordinatensystem so gedreht, dass sich zwischen dem globalen (X, Y ) und dem lokalen (x, y)-Koordinatensystem ein Winkel α einstellt. Vergleiche hierzu Abbildung 5.17.

Abb. 5.17 Rotatorische Transformation eines Balkenelementes in der Ebene

Im globalen Koordinatensystem hat jetzt jeder Knoten zwei Freiheitsgrade, das heißt eine Verschiebung in die X- und eine Verschiebung in die Y Richtung. Diese beiden globalen Verschiebungen an einem Knoten können wiederum benutzt werden, um die Verschiebung quer zur Balkenachse, das heißt in Richtung der lokalen y-Achse zu bestimmen. Mittels der in Abbildung 5.17 dargestellten rechtwinkeligen Dreiecke ergibt sich die Verschiebung im lokalen Koordinatensystem aus den globalen Verschiebungswerten zu

5.5 Transformation in der Ebene

95

u1y = − sin u1X + cos u1Y , α   α 

(5.142)

u2y = − sin α u2X + cos α u2Y .  

(5.143)

>0

<0

>0

<0

>0

>0

Entsprechend kann man auch die globalen Verschiebungen aus den lokalen Verschiebungen berechnen: u1X = −u1y sin α ,

u2X = −u2y sin α ,

(5.144)

u1Y = u1y cos α ,

u2Y = u2y cos α .

(5.145)

Die letzten Beziehungen zwischen globalen und den lokalen Verschiebungen kann man auch auf Matrixform bringen: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ u1X − sin α 0   ⎢ u1Y ⎥ ⎢ cos α 0 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ u1y . (5.146) ⎣u2X ⎦ ⎣ 0 − sin α⎦ u2y u2Y 0 cos α Die Verdrehungen an den Knoten bedürfen keiner Transformation und die allgemeine Transformationsvorschrift zur Berechnung der globalen Größen aus den lokalen Verformungen ergibt sich in abgekürzter Schreibweise zu uXY = T T uxy , beziehungsweise in Komponenten: ⎡ ⎤ ⎡ − sin α u1X ⎢ u1Y ⎥ ⎢ cos α ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ϕ1Z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢u2X ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ u2Y ⎦ ⎣ 0 0 ϕ1Z

0 0 0 0 1 0 0 − sin α 0 cos α 0 0

(5.147) ⎤ 0 ⎡ ⎤ 0⎥ ⎥ u1y ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ϕ1z ⎥ . ⎥ ⎣ 0⎥ u2y ⎦ 0⎦ ϕ2z 1

(5.148)

Letzte Gleichung kann auch nach den Verformungen im lokalen Koordinatensystem aufgelöst werden, und es ergibt sich durch Invertierung17 der Transformationsmatrix uxy = T uXY

(5.149)

beziehungsweise in Komponenten:

17

Da es sich bei der Transformationsmatrix T um eine orthogonale Matrix handelt, gilt:

T T = T −1 .

96

5 Biegeelement

⎤ ⎡ − sin α cos α u1y ⎢ϕ1z ⎥ ⎢ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ u2y ⎦ = ⎣ 0 0 0 0 ϕ2z ⎡

0 1 0 0

⎡ ⎤ ⎤ u1X ⎥ 0 0 0 ⎢ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0⎥ ⎢ϕ1Z ⎥ ⎥. ⎥ − sin α cos α 0⎦ ⎢ ⎢u2X ⎥ ⎣ 0 0 1 u2Y ⎦ ϕ1Z

(5.150)

In der gleichen Weise kann auch der Vektor der äußeren Lasten transformiert werden: F XY = T T F xy ,

(5.151)

F xy = T F XY .

(5.152)

Berücksichtigt man die Transformation der lokalen Verformungen in das globale Koordinatensystem in dem Ausdruck für die elastische Verzerrungsenergie nach Gleichung (5.95), ergibt sich die Transformation der Steifigkeitsmatrix in das globale Koordinatensystem zu keXY = T T kexy T ,

(5.153)

beziehungsweise in Komponenten: ⎡

⎤ −6Lsα 6Lcα ⎥ ⎥ 2L2 ⎥ e ⎥. kXY Z 6Lsα ⎥ ⎥ −6Lcα⎦ 4L2 (5.154) Die Sinus- und Kosinuswerte des Rotationswinkels α kann man über die globalen Knotenkoordinaten mittels 12s2 α ⎢−12sαcα ⎢ EIz ⎢ −6Lsα = 3 ⎢ 2 −12s α L ⎢ ⎢ ⎣ 12sαcα −6Lsα

∧

sα = sin α =

−12sαcα 12c2 α 6Lcα 12sαcα −12c2 α 6Lcα

−6Lsα 6Lcα 4L2 6Lsα −6Lcα 2L2

−12s2 α 12sαcα 6Lsα −12s2 α −12sαcα 6Lsα

12sαcα −12c2 α −6Lcα −12sαcα 12c2 α −6Lcα

Y2 − Y1 X2 − X1 ∧ oder cα = cos α = L L

(5.155)

und L=

%

(X2 − X1 )2 + (Y2 − Y1 )2

(5.156)

berechnen. Anzumerken sei hier, dass der Winkel α im mathematisch positiven Sinn immer vom globalen zum lokalen Koordinatensytem einzuzeichnen ist. Der mathematisch positive Drehsinn und somit das Vorzeichen von α ist in Abbildung 5.18 illustriert. Jedoch kann unabhängig vom Vorzeichen von α die Berechnung immer nach Gleichung (5.155) erfolgen.

5.6 Transformation im Raum

97

Abb. 5.18 Rotationswinkel: a) α positiv; b) α negativ

5.6 Transformation im Raum Zur Ableitung der Transformationsbeziehungen im Raum betrachtet man das in Abbildung 5.19 dargestellte globale (X, Y, Z) und das lokale (x, y, z) Koordinatensystem.

Abb. 5.19 Rotatorische Transformation eines Balkenelementes im Raum. Die Einheitsvektoren in Richtung der globalen X -, Y - und Z -Achse sind mit ei bezeichnet

Der Biegebalken 0-1 sei durch folgenden Vektor L repräsentiert, der in Richtung der lokalen x-Achse orientiert ist:

98

5 Biegeelement

L = (X1 − X0 )eX + (Y1 − Y0 )eY + (Z1 − Z0 )eZ .

(5.157)

Ein Vektor in Richtung der lokalen y-Achse kann nach Abbildung 5.19 als Y = (X2 − X0 )eX + (Y2 − Y0 )eY + (Z2 − Z0 )eZ

(5.158)

dargestellt werden. Die Richtungskosini zwischen der lokalen y-Achse und den globalen Koordinatenachsen ergeben sich über die globalen Knotenkoordinaten zu X2 − X0 , |Y | Y2 − Y0 my = cos(y, Y ) = , |Y | Z2 − Z0 ny = cos(y, Z) = , |Y | ly = cos(y, X) =

(5.159) (5.160) (5.161) (5.162)

wobei sich die Länge des Vektors Y wie folgt ergibt: % |Y | = (X2 − X0 )2 + (Y2 − Y0 )2 + (Z2 − Z0 )2 .

(5.163)

Entsprechend ergibt sich ein Vektor in Richtung der lokalen z-Achse zu: Z = (X3 − X0 )eX + (Y3 − Y0 )eY + (Z3 − Z0 )eZ

(5.164)

und die Richtungskosini als X3 − X0 , |Z| Y3 − Y0 mz = cos(z, Y ) = , |Z| Z3 − Z0 nz = cos(z, Z) = , |Z| lz = cos(z, X) =

(5.165) (5.166) (5.167) (5.168)

wobei sich die Länge des Vektors Z wie folgt ergibt: % |Z| = (X3 − X0 )2 + (Y3 − Y0 )2 + (Z3 − Z0 )2 .

(5.169)

Ein beliebiger Vektor v kann mittels der folgenden Beziehungen zwischen dem lokalen (x, y, z) und globalen (X, Y, Z) Koordinatensystem transformiert werden:

5.6 Transformation im Raum

99

v xyz = T v XY Z ,

(5.170)

v XY Z = T v xyz ,

(5.171)

T

wobei die Transformationsmatrix mittels der Richtungskosini wie folgt angegeben werden kann: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ lx mx nx cos(x, X) cos(x, Y ) cos(x, Z) T = ⎣ly my ny ⎦ = ⎣cos(y, X) cos(y, Y ) cos(y, Z)⎦ . (5.172) lz mz nz cos(z, X) cos(z, Y ) cos(z, Z) Da der in diesem Kapitel betrachtete Biegebalken keine axiale – das heißt in Richtung der lokalen x-Achse – Verformung aufweist, kann in der Matrix nach Gleichung (6.37) die erste Zeile gestrichen werden. Für kleine Winkel kann man die Drehwinkel in einem Vektor zusammenfassen und auch entsprechend den Gleichungen (6.35) und (6.36) zwischen den Koordinatensystemen transformieren. Da keine Torsion um die Längsachse bei dem in diesem Kapitel betrachteten Element vorgesehen ist, kann auch hier die erste Zeile von Gleichung (6.37) wieder gestrichen werden. Somit ergibt sich die gesamte Transformation von globalen nach lokalen Verformungen zu: ⎡

⎤ u1X ⎢ ⎥ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ u1Y ⎥ ⎡ ⎢ u1Z ⎥ ly my ny 0 0 0 u1y 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u1z ⎥ ⎢lz mz nz 0 0 0 000 000 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ1X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1Y ⎥ ⎢ϕ1y ⎥ ⎢ 0 0 0 ly my ny 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ϕ1z ⎥ ⎢ 0 0 0 lz mz nz 0 0 0 000 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ϕ1Z ⎥ . ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u2y ⎥ ⎢ 0 0 0 m n 0 0 0 u 0 0 0 l y y y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2X ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u2z ⎥ ⎢ 0 0 0 l m n u 0 0 0 0 0 0 z z z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ϕ2y ⎦ ⎣ 0 0 0 u 000 0 0 0 ly my ny ⎦ ⎢ ⎢ 2Z ⎥ ⎥ ϕ2z ϕ 000 000 0 0 0 lz mz nz ⎢ 2X ⎥   ⎢ ⎣ ϕ2Y ⎦ T ϕ2Z

(5.173)

Wird die Transformation von lokalen nach globalen Verformungen betrachtet, ist die folgende Transponierte zu verwenden:

100

5 Biegeelement

⎡

TT

ly lz 00 00 0 ⎢my mz 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ny nz 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 l y lz 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 my mz 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ny nz 0 0 0 =⎢ ⎢ 00 l 0 0 0 l y z ⎢ ⎢ 00 m m 0 0 0 y z ⎢ ⎢ 00 n n 0 0 0 y z ⎢ ⎢ 00 0 0 0 0 l y ⎢ ⎣ 00 00 0 0 my 00 00 0 0 ny

⎤

0 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥. 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ lz ⎥ ⎥ mz ⎦ nz

(5.174)

Entsprechend den Ausführungen in Kapitel 5.5, ergibt sich die Transformation der Steifigkeitsmatrix zu: keXY Z = T T ke T .

(5.175)

5.7 Ermittlung äquivalenter Knotenlasten Im Rahmen der Methode der finiten Elemente können äußere Lasten nur an den Knoten wirken. Treten verteilte Lasten oder Einzellasten18 zwischen den Knoten auf, müssen diese in äquivalente Knotenlasten umgerechnet werden. Die Vorgehensweise soll im Folgenden am Beispiel eines beidseitig eingespannten Balkens demonstriert werden, vergleiche Abbildung (5.20). Zuerst wird ein pragmatischer Weg aufgezeigt, dem das in Abbildung (5.20) b) dargestellte Ersatzsystem zu Grunde liegt. An den festen Einspannungen treten Lagerreaktionen bestehend aus Vertikalkräften und Momenten auf, wobei unser Ziel hier sein soll, die an den Balkenrändern wirkenden inneren Reaktionen zu bestimmen. Als Ausgangspunkt wählt man die Differenzialgleichung der Biegelinie nach Gleichung (5.36) in der Form entsprechend unserer Problemstellung, das heißt mit negativer Streckenlast: d4 uy = −qy . (5.176) dx4 Viermalige Integration liefert den allgemeinen Ansatz für die Biegelinie: EIz

18

Treten Einzellasten zwischen Knoten auf, kann natürlich immer die Diskretisierung weiter unterteilt werden, so dass an der Stelle des Lastangriffspunktes ein neuer Knoten platziert wird. In diesem Kapitel soll jedoch der Fall betrachtet werden, dass das Netz nicht weiter unterteilt wird.

5.7 Ermittlung äquivalenter Knotenlasten

101

Abb. 5.20 Berechnung äquivalenter Knotenlasten: a) Beispielkonfiguration; b) Ersatzsystem; c) freigeschnittenes System mit Lagerreaktionen

d3 uy ! = −qy x + c1 = −Qy (x) , dx3 d2 uy 1 ! EIz = − qy x2 + c1 x + c2 = Mz (x) , dx2 2 d1 uy 1 1 = − qy x3 + c1 x2 + c2 x + c3 , EIz dx1 6 2 1 1 1 EIz uy (x) = − qy x4 + c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4 . 24 6 2 EIz

(5.177) (5.178) (5.179) (5.180)

Berücksichtigt man die Randbedingungen, das heißt uy (0) = uy (L) = 0 und ϕz (0) = ϕz (L) = 0, ergeben sich die vier Integrationskonstanten zu: c3 = c4 = 0 , c2 = − c1 =

1 qy L2 , 12

1 qy L . 2

(5.181) (5.182) (5.183)

102

5 Biegeelement

Mittels dieser Integrationskonstanten und den Beziehungen in Gleichung (5.177) und (5.178) erhält man den Querkraft- und Momentenverlauf im Element zu: 1 Qy (x) = − qy L + qy x , 2 1 1 1 Mz (x) = − qy L2 + qy Lx − qy x2 . 12 2 2

(5.184) (5.185)

Auswertung an den Rändern, das heißt für x = 0 und x = L, liefert folgende Werte der Schnittreaktionen: 1 Qy (0) = − qy L , 2 1 Qy (L) = + qy L , 2

1 qy L2 , 12 1 Mz (L) = − qy L2 . 12 Mz (0) = −

(5.186) (5.187)

Die Lagerreaktionen können mittels des Kräfte- und Momentengleichgewichts nach Abbildung 5.21 bestimmt werden. So ergibt zum Beispiel das vertikale Kräftegleichgewicht + F¯y (0) + Qy (0) = 0 ,

(5.188)

¯z: und entsprechend ergeben sich alle Lagerreaktionen F¯y und M 1 F¯y (0) = − qy L , 2 1 F¯y (L) = + qy L , 2

¯ z (0) = − 1 qy L2 , M 12 ¯ z (L) = − 1 qy L2 . M 12

(5.189) (5.190)

Abb. 5.21 Lager- und Schnittreaktionen an den Rändern des Balkens aus Abbildung 5.20. Die Lagerreaktionen haben die in Abbildung 5.20 definierte Richtung; die Schnittreaktionen sind entsprechend Abbildung 5.7 positiv an den entsprechenden Schnittufern orientiert

5.7 Ermittlung äquivalenter Knotenlasten

103

Berücksichtigt man die Definition der positiven Richtungen der äußeren Lasten eines Balkenelementes nach Abbildung 5.13, ergeben sich die äquivalenten Knotenlasten Fiy und Miz durch Auswertung der Schnittreaktionen Qy und Mz zu: 1 F1y = − qy L , 2 1 F2y = − qy L , 2

1 qy L2 , 12 1 = + qy L2 . 12

M1z = −

(5.191)

M2z

(5.192)

Anzumerken sei hier, dass es sich bei den äquivalenten Knotenlasten nicht um die Lagerreaktionen handelt. Die äquivalenten Knotenlasten müssen ja gerade die Lagerreaktionen hervorrufen. Am Ende dieser Ableitung ist es angebracht darauf hinzuweisen, dass hier zwischen folgenden Größen unterschieden wurde: • Schnittreaktionen Qy (x), Mz (x), ¯ z und • Lagerreaktionen F¯y , M • äquivalente Knotenlasten Fiy , Miz . Alternativ kann die Ableitung der äquivalenten Knotenlasten auch über die Äquivalenz des Potenzials der äußeren Lasten, das heißt der Streckenlast und der äquivalenten Knotenlasten, erfolgen:

L

Πext = −

!

qy (x)uy (x)dx = − (F1y u1y + M1z ϕ1z + F2y u2y + M2z ϕ2z ) . 0

(5.193) Durch Verwendung des Ansatzes für die Verschiebung uy (x) nach Gleichung (5.68) kann das Potenzial einer Streckenlast als

L

Πext = −

qy (x) (N1u u1y + N1ϕ ϕ1z + N2u u2y + N2ϕ ϕ2z ) dx

(5.194)

0

oder unter Berücksichtigung, dass die Knotenwerte der Verformungen als konstant für die Integration angesehen werden können, als 

L

Πext = −

L

qy (x)N1u (x)dx u1y + 0

qy (x)N1ϕ (x)dx ϕ1z + 0

L

qy (x)N2u (x)dx u2y + 0

(5.195)



L

qy (x)N2ϕ (x)dx ϕ2z

(5.196)

0

dargestellt werden. Vergleich der beiden Potenziale liefert schließlich die äquivalenten Knotenlasten zu

104

5 Biegeelement

L

F1y = 0



M2z =

qy (x)N1ϕ (x) dx ,

(5.198)

qy (x)N2u (x) dx ,

(5.199)

qy (x)N2ϕ (x) dx ,

(5.200)

L

F2y = 0

(5.197)

L

M1z = 0

qy (x)N1u (x) dx ,

L

0

wobei die Formfunktionen nach Gleichung (5.64) bis (5.67) zu verwenden sind. Wirkt auf den Balken zum Beispiel an einer Stelle x = a eine äußere Kraft F , ergibt sich das äußere Potenzial zu Πext = −F uy (a) .

(5.201)

Vergleich der Potenziale liefert für diesen Fall die äquivalenten Knotenlasten zu: F1y = F N1u (a) ,

(5.202)

M1z = F N1ϕ (a) , F2y = F N2u (a) ,

(5.203) (5.204)

M2z = F N2ϕ (a) .

(5.205)

Äquivalente Knotenlasten für einfache Belastungsfälle sind in Tabelle 5.8 zusammengefasst. Angemerkt sei am Ende dieses Kapitels noch, dass man den Vektor der äquivalenten Knotenlasten auch einfacher erhält, wenn man bei der Anwendung des Prinzips der gewichteten Residuen die Differentialgleichung (5.36) unter Berücksichtigung der Streckenlast verwendet. Unter Berücksichtigung einer beliebigen Streckenlast ergibt sich das innere Produkt zu:

0

L

  d4 uy (x) ! W (x) EIz − qy (x) dx = 0 . 4 dx

(5.206)

Nach Einführung des Ansatzes für die Gewichtsfunktion, das heißt W (x) = T δuT p N (x), kann der Ausdruck mit der Streckenlast auf die rechte Seite gebracht werden, und es ergibt sich nach Kürzen von δuT p der folgende zusätzliche Lastvektor: ⎡ ⎤ N1u

L ⎢N1ϕ ⎥ ⎥ (5.207) qy (x) ⎢ ··· = ··· + ⎣N2u ⎦ dx . 0 N2ϕ

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

105

Tabelle 5.8 Äquivalente Knotenlasten für Biegeelement Belastung

Querkraft

qL 2 qL =− 2

Biegemoment

qL2 12 qL2 =+ 12

F1y = −

M1z = −

F2y

M2z

qa (a3 − 2a2 L + 2L3 ) 2L3 qa3 = − 3 (2L − a) 2L

qa2 (3a2 −8aL+6L2 ) 12L2 qa3 =+ (4L − 3a) 12L2

F1y = −

M1z = −

F2y

M2z

3 qL 20 7 = − qL 20

qL2 30 qL2 =+ 20

F1y = −

M1z = −

F2y

M2z

1 F1y = − qL 4 1 F2y = − qL 4 F b2 (3a + b) L3 F a2 (a + 3b) =− L3

5qL2 96 5qL2 =+ 96

M1z = − M2z

F b2 a L2 F a2 b =+ 2 L

F1y = −

M1z = −

F2y

M2z

ab L3 ab = +6M 3 L

b(2a − b) L2 a(2b − a) = −M L2

F1y = −6M

M1z = −M

F2y

M2z

Dieser Ausdruck entspricht genau den Gleichungen (5.197) bis (5.200).

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 5.8.1 Beispielprobleme 5.1. Beispiel: Biegebalken unter Einzelkraft oder Moment – Approximation mittels einem finiten Element Für die in Abbildung 5.22 dargestellten Balken sind die Verschiebung und die Verdrehung des rechten Endes mittels einem finiten Element zu bestimmen.

106

5 Biegeelement

Anschließend ist der Verlauf der Biegeline uy = uy (x) zu bestimmen und die Finite-Elemente-Lösung ist mit der analytischen Lösung zu vergleichen.

Abb. 5.22 Beispielproblem Biegebalken: a) Einzelkraft; b) Einzelmoment

5.1 Lösung a) Die Finite-Elemente-Hauptgleichung auf Elementebene nach Gleichung (5.87) reduziert sich für den dargestellten Belastungsfall zu: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 12 6L −12 6L u1y 0 EIz ⎢ 6L 4L2 −6L 2L2 ⎥ ⎢ϕ1z ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥. (5.208) L3 ⎣−12 −6L 12 −6L⎦ ⎣ u2y ⎦ ⎣−F ⎦ ϕ2z 6L 2L2 −6L 4L2 0 Da am linken Rand wegen der festen Einspannung die Verschiebung und die Verdrehung Null ist, können die ersten beiden Zeilen und Spalten des Gleichungssystems gestrichen werden:      EIz 12 −6L u2y −F = . (5.209) 0 L3 −6L 4L2 ϕ2z Auflösen nach den unbekannten Verformungen liefert: 

  −1   L3 u2y 12 −6L −F = ϕ2z 0 EIz −6L 4L2 ⎤ ⎡    2 F L3 − L3 4L 6L −F 3EIz ⎦. = =⎣ 2 0 EIz (48L2 − 36L2 ) 6L 12 − FL 2EIz

Nach Tabelle 5.7 ergibt sich die analytische Verschiebung zu:

(5.210) (5.211)

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

uy (x = L) = −

107

F L3 F  3 3L − L3 = − . 6EIz 3EIz

(5.212)

Die analytische Lösung für die Rotation ergibt sich durch Differenziation des allgemeinen Verschiebungsverlaufes nach Tabelle 5.7 für a = L zu: ϕz (x) =

  F duy (x) =− × 6Lx − 3x2 , dx 6EIz

(5.213)

beziehungsweise am rechten Rand: ϕz (x = L) = −

  F L2 F × 6L2 − 3L2 = − . 6EIz 2EIz

(5.214)

Der Verlauf der Biegelinie uy = uy (x) ergibt sich aus der Finite-ElementeLösung mittels Gleichung (5.68) und den Ansatzfuntionen (5.66) und (5.67) zu: uy (x) = N2u (x)u2y + N2ϕ (x)ϕ2z ⎡    3 ⎤      2 F L3 x x x2 x3 F L2 ⎦ − = ⎣3 −2 + − + 2 − L L 3EIz L L 2EIz =

F  3 x − 3Lx2 . 6EIz

(5.215)

Dieser Verlauf stimmt nach Tabelle 5.7 mit der analytischen Lösung überein. Fazit: Finite-Elemente-Lösung und analytische Lösung sind identisch! b) Das reduzierte Gleichungssystem ergibt sich in diesem Fall zu:      EIz 12 −6L u2y 0 = . M L3 −6L 4L2 ϕ2z

(5.216)

Auflösen nach den unbekannten Verformungen liefert:     M L2    2 L3 0 4L 6L u2y = 2EIz . = ML ϕ2z 12EIz L2 6L 12 M



(5.217)

EIz

Die analytische Lösung nach Tabelle 5.7 ergibt uy (x = L) = −

M  2 M L2 −L = , 2EIz 2EIz

(5.218)

108

5 Biegeelement

beziehungsweise die Rotation allgemein für a = L zu: ϕz (x) =

M duy (x) =− (−2x) dx 2EIz

(5.219)

oder nur am rechten Rand: ϕz (x = L) = −

M ML (−L) = . 2EIz EIz

(5.220)

Der Verlauf der Biegelinie uy = uy (x) ergibt sich aus der Finite-ElementeLösung mittels Gleichung (5.68) und den Ansatzfuntionen (5.66) und (5.67) zu: uy (x) = N2u (x)u2y + N2ϕ (x)ϕ2z ⎡    3 ⎤      2 M L2 x x x2 x3 ML ⎦ ⎣ = 3 −2 + − + 2 L L 2EIz L L EIz =

M x2 . 2EIz

(5.221)

Dieser Verlauf stimmt nach Tabelle 5.7 mit der analytischen Lösung überein. Fazit: Finite-Elemente-Lösung und analytische Lösung sind identisch! 5.2. Beispiel: Biegebalken unter konstanter Streckenlast – Approximation mittels einem finiten Element Für die in Abbildung 5.23 dargestellten Balken unter konstanter Streckenlast ist die Verschiebung und die Verdrehung a) des rechten Endes und b) in der Balkenmitte mittels einem finiten Element zu bestimmen. Anschließend ist der Verlauf der Biegelinie uy = uy (x) zu bestimmen und die Finite-ElementeLösung mit der analytischen Lösung zu vergleichen.

Abb. 5.23 Beispielproblem Biegebalken unter konstanter Streckenlast bei verschiedener Lagerung

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

109

5.2 Lösung Zur Lösung der Problemstellung muss man zuerst die konstante Streckenlast in äquivalente Knotenlasten umrechnen. Diese äquivalenten Knotenlasten können für den betrachteten Fall aus Tabelle 5.8 entnommen werden, und die Finite-Elemente-Hauptgleichung ergibt sich zu: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ qL ⎤ −2 12 6L −12 6L u1y ⎢ qL2 ⎥ 2 2 ⎥⎢ ⎥ EIz ⎢ −6L 2L ϕ − 6L 4L ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1z ⎥ = ⎢ qL (5.222) ⎥. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 −12 −6L 12 −6L u L ⎣− 2 ⎦ 2y 2 2 2 ϕ2z 6L 2L −6L 4L + qL 12 a) Berücksichtigung der Lagerbedingung aus Abbildung 5.23 a), das heißt der festen Einspannung am linken Rand, und Auflösen nach den Unbekannten liefert: 

u2y ϕ2z



⎤ ⎡   qL   2 qL4 − L 4L 6L − 2 8EIz ⎦. 2 =⎣ = 3 12EIz 6L 12 + qL − qL 12

(5.223)

6EIz

Die analytische Lösung nach Tabelle 5.7 ergibt uy (x = L) = −

qL4 q  4 6L − 4L4 + L4 = − , 24EIz 8EIz

(5.224)

beziehungsweise die Rotation allgemein für a1 = 0 und a2 = L zu:

ϕz (x) =

q  duy (x) 12L2 x − 12Lx2 + 4x3 =− dx 24EIz

(5.225)

oder nur am rechten Rand: ϕz (x = L) = −

qL3 q  12L3 − 12L3 + 4L3 = − . 24EIz 6EIz

(5.226)

Der Verlauf der Biegelinie uy = uy (x) ergibt sich aus der Finite-ElementeLösung mittels Gleichung (5.68) und den Ansatzfunktionen (5.66) und (5.67) zu: uy (x) = N2u (x)u2y + N2ϕ (x)ϕ2z ⎡        3 ⎤  2 qL4 x2 x3 qL3 x x ⎦ − + − + 2 − = ⎣3 −2 L L 8EIz L L 6EIz =−

q  −2Lx3 + 5L2 x2 , 24EIz

(5.227)

110

5 Biegeelement

jedoch ergibt sich der analytische Verlauf nach Tabelle 5.7 zu uy (x) =  4 q 3 2 2 x , das heißt, der analytische und somit exakte − 4Lx + 6L x − 24EI z Verlauf stimmt nicht mit der numerischen Lösung zwischen den Knoten (0 < x < L) überein, vergleiche Abbildung 5.24. Man erkennt, dass sich zwischen den Knoten ein kleiner Unterschied zwischen beiden Lösungen ergibt. Wird zwischen diesen beiden Knoten eine höhere Übereinstimmung gefordert, muss der Balken in mehrere Elemente unterteilt werden. Fazit: Finite-Elemente-Lösung und analytische Lösung sind nur an den Kno-

Abb. 5.24 Vergleich der analytischen und der Finite-Elemente-Lösung für den Balken nach Abbildung 5.23 a)

ten identisch! b) Berücksichtigung der Lagerbedingung aus Abbildung 5.23 b), das heißt des Festlagers und des Loslagers, ergibt durch Streichen der ersten und dritten Zeile und Spalte des Gleichungssystems (5.222):     qL2  EIz 4L2 2L2 ϕ1z − 12 . (5.228) = 2 L3 2L2 4L2 ϕ2z + qL 12 Auflösen nach den Unbekannten liefert: 

      2 qL3 1 − ϕ1z 4L2 −2L2 − qL 24EIz 122 = . = qL3 ϕ2z 12EIz L −2L2 4L2 + qL + 24EI 12

(5.229)

z

Der Verlauf der Biegelinie uy = uy (x) ergibt sich aus der Finite-ElementeLösung mittels Gleichung (5.68) und den Ansatzfunktionen (5.65) und (5.67) zu:

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

111

uy (x) = N1ϕ (x)ϕ1z + N2ϕ (x)ϕ2z       x2 x3 qL3 x2 x3 qL3 = x−2 + 2 − + − + 2 + L L 24EIz L L 24EIz =−

q  2 2 −L x + L3 x , 24EIz

(5.230)

jedoch ergibt sich der analytische Verlauf nach Tabelle 5.7 zu uy (x) =  4 q 3 3 x − 2Lx + L x , das heißt, der analytische und somit exakte Ver− 24EI z lauf stimmt auch hier nicht mit der numerischen Lösung zwischen den Knoten (0 < x < L) überein, vergleiche Abbildung 5.25.

Abb. 5.25 Vergleich der analytischen und der Finite-Elemente-Lösung für den Balken nach Abbildung 5.23 b)

Die numerische Lösung für die Durchbiegung in der Balkenmitte ergibt −4qL4 −5qL4 uy (x = 12 L) = 384EI , jedoch ist die exakte Lösung uy (x = 12 L) = 384EI . z z Fazit: Finite-Elemente-Lösung und analytische Lösung sind nur an den Knoten identisch! 5.3. Beispiel: Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt Der in Abbildung 5.26 dargestellte Balken hat einen entlang der x-Achse veränderlichen Querschnitt. Man leite für

112

5 Biegeelement

a) einen Kreisquerschnitt, b) einen Rechteckquerschnitt die Elementsteifigkeitsmatrix für den Fall d1 = 2h und d2 = h ab.

Abb. 5.26 Beispielproblem Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt: a) Veränderung entlang der x-Achse; b) Kreisquerschnitt; c) Rechteckquerschnitt

5.3 Lösung a) Kreisquerschnitt: Als Ausgangspunkt zur Ableitung der Steifigkeitsmatrix kann Gleichung (5.75) herangezogen werden:

 ke = E

y 2 dA x A   

d2 N T (x) d2 N (x) dx . dx2 dx2

(5.231)

Iz

Da sich das axiale Flächenträgheitsmoment entlang der x-Achse verändert, muss zuerst eine entsprechende Funktion abgeleitet werden. Eine elegante Möglichkeit besteht darin, das polare Flächenträgheitsmoment des Kreises zu verwenden, da in diesem Fall die Funktionsgleichung des Radius entlang der x-Achse verwendet werden kann. Dabei verwendet man die Beziehung, dass sich das polare Flächenträgheitsmoment aus den beiden axialen Flächenträgheitsmomenten Iy und Iz additiv zusammensetzt:

Ip = r2 dA = Iy + Iz . (5.232) A

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

113

Da bei einem Kreis die axialen Flächenträgheitsmomente identisch sind, kann folgender Ausdruck für Iy abgeleitet werden:

1 2π r(x) 2 rˆ rˆdˆ rdα  2 α=0 0 A dA  r(x)

r(x) 1 π rˆ4 rˆ3 dˆ r=π = r(x)4 . =π 4 4 0

1 1 Iz (x) = Ip (x) = 2 2

r2 dA =

(5.233)

(5.234)

0

Die Veränderung des Radius entlang der x-Achse lässt sich einfach aus Abbildung 5.26 a) ableiten:     x h x r(x) = h 1 − = 2− . (5.235) 2L 2 L Somit ergibt sich schließlich das axiale Flächenträgheitsmomente zu πh4 Iz (x) = 64



x 2− L

4 (5.236)

und kann in Gleichung (5.231) verwendet werden: πh4 k =E 64 e

4

 d2 N T (x) d2 N (x) x dx . 2− L dx2 dx2 L

(5.237)

Mittels der zweiten Ableitungen der Formfunktionen nach Gleichung (5.82) bis (5.85) kann die Integration ausgeführt werden. Exemplarisch wird für die erste Komponente der Steifigkeitsmatrix k11

πh4 =E 64

 L

4  2 12x x 6 dx , 2− − 2+ 3 L L L

(5.238)

angesetzt und die gesamte Steifigkeitsmatrix ergibt sich nach kurzer Rechnung schließlich zu: ⎡ 2988 1998 ⎤ 198 − 2988 35 35 L 35 7 L ⎢ ⎥ 4 ⎢ 1998 L 1468 L2 − 1998 L 106 L2 ⎥ πh E 35 35 35 7 ⎢ ⎥ (5.239) keKreis = 3 ⎢ 2988 1998 ⎥. 2988 198 ⎢ L 64 − − 7 L⎥ 35 ⎣ 35 − 35 L ⎦ 198 106 2 92 2 − 198 7 L 7 L 7 L 7 L b) Rechteckquerschnitt:

114

5 Biegeelement

Beim Rechteckquerschnitt wird auch von Gleichung (5.231) ausgegangen. Jedoch empfiehlt es sich in diesem Fall, direkt auf die Definition von Iz zurückzugreifen:





y(x)

1 3 yˆ y dA = yˆ bdˆ y =b Iz (x) =  3 −y(x) A 2

y(x)

2

dA

= −y(x)

2b y(x)3 . 3

(5.240)

Der Funktionsverlauf y(x) des Querschnittes entspricht dem Radius von Aufx gabenteil a), das heißt y(x) = h(1 − 2L ), und das Flächenträgheitsmoment ergibt sich in diesem Fall zu: 2bh3 Iz (x) = 3



x 1− 2L

3

bh3 = 12



3 x . 2− L

(5.241)

Somit ergibt sich die Steifigkeitsmatrix mittels der speziellen Form des Flächenträgheitsmomentes zu bh3 k =E 12 e

3

 d2 N T (x) d2 N (x) x dx 2− L dx2 dx2 L

oder nach der Integration schließlich als: ⎡ 243 156 ⎤ 87 − 243 5 5 L 5 5 L ⎢ 156 ⎥ 114 2 156 42 2 ⎥ E bh3 ⎢ ⎢ 5 L 5 L − 5 L 5 L ⎥ e kRechteck = 3 ⎢ ⎥. L 12 ⎢ − 243 − 156 L 243 − 87 L ⎥ 5 5 5 ⎣ 5 ⎦ 87 5

L

42 5

L2 − 87 5 L

(5.242)

(5.243)

9 L2

5.8.2 Weiterführende Aufgaben 5.4. Gleichgewichtsbeziehung für infinitesimales Balkenelement mit veränderlicher Streckenlast Für das in Abbildung 5.27 dargestellte Balkenelement ist das vertikale Kräftegleichgewicht und das Momentengleichgewicht aufzustellen. 5.5. Methode der gewichteten Residuen mit veränderlicher Streckenlast Man leite die Finite-Elemente-Hauptgleichung mittels des Prinzips der gewichteten Residuen ab. Ausgangspunkt soll hierbei die Biegedifferenzialgleichung mit einer beliebigen Streckenlast qy (x) sein. Weiterhin soll angenommen werden, dass die Biegesteifigkeit EIz konstant ist.

5.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

115

Abb. 5.27 Infinitesimales Balkenelement mit Schnittreaktionen und Balastung durch veränderliche Streckenlast

5.6. Steifigkeitsmatrix bei Biegung in x-z-Ebene Man leite die Steifigkeitsmatrix für ein Balkenelement bei Biegung in der x-z-Ebene ab. Siehe dazu Gleichung (5.138) und Abbildung 5.16 b). 5.7. Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt Man löse Beispiel 5.3 für beliebige Werte von d1 und d2 ! 5.8. Äquivalente Knotenlasten für quadratische Streckenlast Man berechne für den in Abbildung 5.28 dargestellten Biegebalken die äquivalenten Knotenlasten für den Fall: a) q(x) = q0 x2 ,  2 x b) q(x) = q0 . L

Abb. 5.28 Quadratische Streckenlast

5.9. Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt unter Einzellast Für den in Abbildung 5.29 dargestellten Balken mit veränderlichem Querschnitt berechne man für d1 = 2h und d2 = h die vertikale Verschiebung des rechten Endes. Dazu ist ein finites Element zu verwenden und die numerische

116

5 Biegeelement

Lösung ist mit der exakten Lösung zu vergleichen. Hinweis: Die Steifigkeitsmatrix kann Beispiel 5.3 entnommen werden.

Abb. 5.29 Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt bei Balastung durch Einzellast

Literaturverzeichnis 1. Timoshenko S, Woinowsky-Krieger S (1959) Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill Book Company, New York 2. Gould PL (1988) Analysis of Shells and Plates. Springer-Verlag, New York 3. Altenbach H, Altenbach J, Naumenko K (1998) Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer, Berlin 4. Szabó I (2003) Einführung in die Technische Mechanik: Nach Vorlesungen István Szabó. Springer-Verlag, Berlin 5. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 6. Budynas RG (1999) Advanced Strength and Applied Stress Analysis. McGraw-Hill Book, Singapore 7. Hibbeler RC (2008) Mechanics of Materials. Prentice Hall, Singapore 8. Dubbel H, Grote K-H, Feldhusen J (Ed) (2004) Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer-Verlag, Berlin 9. Czichos H, Hennecke M (Ed) (2007) Hütte. Das Ingenieurwissen. Springer-Verlag, Berlin 10. Macaulay WH (1919) A note on the deflections of beams. Messenger Math 48:129–130 11. Clebsch RFA (1862) Theorie der Elasticität fester Körper. B.G. Teubner, Leipzig 12. Szabó I (1996) Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser Verlag, Basel 13. Szabó I (2001) Höhere Technische Mechanik: Nach Vorlesungen István Szabó. Springer-Verlag, Berlin 14. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 15. Oden JT, Reddy JN (1976) Variational methods in theoretical mechanics. SpringerVerlag, Berlin 16. Betten J (2001) Kontinuumsmechanik: Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer-Verlag, Berlin 17. Hutton DV (2004) Fundamentals of finite element analysis. McGraw-Hill Book, Singapore

Kapitel 6

Allgemeines 1D-Element

Zusammenfassung In der Anwendung können die drei Grundtypen Zug, Torsion und Biegung in einer beliebigen Kombination auftreten. In diesem Kapitel wird vorgestellt, wie sich die Steifigkeitsbeziehung für ein allgemeines 1D-Element gewinnen lässt. Als Basis dienen die Steifigkeitsbeziehungen der Grundtypen. Für „einfache“ Beanspruchungen lassen sich die drei Grundtypen voneinander getrennt betrachten und einfach überlagern. Es besteht keine wechselseitige Abhängigkeit. Die Allgemeinheit des 1D-Elements bezieht sich auch auf die beliebige Orientierung im Raum. Es werden Transformationsregeln von lokalen auf globale Koordinaten bereit gestellt. Als Beispiele werden Tragwerke in der Ebene und im dreidimensionalen Raum diskutiert. Zudem wird kurz in die Thematik numerische Integration eingeführt.

6.1 Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element Ein allgemeines 1D-Element lässt sich aus den Grundtypen Zug, Biegung und Torsion ohne wechselseitige Abhängigkeit herleiten. Für einen beliebigen Punkt lassen sich die 3 Kräfte und 3 Momente als • Normalkraft N (x), • jeweils eine Querkraft und ein Biegemoment um eine Achse des Querschnittes: Qz (x), Myb (x), Qy (x), Mzb (x) und • Torsionsmoment Mt (x) um die Körperachse darstellen. Die sechs kinematischen Größen werden beschrieben als: • die drei Verschiebungen ux (x), uy (x) und uz (x). Üblicherweise entspricht die Verschiebung in der Körperachse der Verschiebung ux (x). • die drei Verdrehungen ϕx (x), ϕy (x), ϕz (x). In Abbildung 6.1 sind die kinematischen Größen, die Kräfte und Momente dargestellt.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_6, 

117

118

6 Allgemeines 1D-Element

y u

j

x

u

u z

z F y

j y

j y

x

x

Q

M

x

Q z

y

M y

M

x

y

Abb. 6.1 Zustandsgrößen für den allgemeinen dreidimensionalen Fall

Die Anordnung der einzelnen Größen in den Vektoren bestimmt die Struktur der Gesamtsteifigkeitsmatrix. Ordnet man die kinematischen Größen in der Reihenfolge (6.1) u = (ux , uy , uz , ϕx , ϕy , ϕz )T an, so ergibt sich für den Vektor der Kräfte in der Steifigkeitsbeziehung die Reihenfolge der Einträge zu: F = (Nx , Qy , Qz , Mx , My , Mz )T

.

(6.2)

Eine alternative Anordnung ergibt sich, wenn der Vektor der Kräfte in der Reihenfolge • Normalkraft (in Richtung der x-Achse), • Biegung (um die y-Achse und um die z-Achse) und • Torsion (um die x-Achse), das heißt F = (Nx , Qz , My , Qy , Mz , Mx )T ,

(6.3)

aufgestellt wird. Für diese Anordnung ist die Einzelsteifigkeitsbeziehung in Gleichung (6.4) dargestellt. Unter der Annahme eines zweiknotigen Elementes setzt sich die Steifigkeitsmatrix aus den jeweils 6 Einträgen an beiden Knoten zusammen. Die Dimension der Steifigkeitsmatrix ergibt sich zu 12 x 12.

6.1 Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element

⎡

⎤

⎡

Z N1x ⎢ Q1z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M1y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Q1y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M1z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M1x ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ N2x ⎥ = ⎢ Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Q2z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M2y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Q2y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M2z ⎦ ⎣ 0 M2x 0

0 By By 0 0 0 0 By By 0 0 0

0 By By 0 0 0 0 By By 0 0 0

0 0 0 Bz Bz 0 0 0 0 Bz Bz 0

0 0 0 Bz Bz 0 0 0 0 Bz Bz 0

0 0 0 0 0 T 0 0 0 0 0 T

Z 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0

0 By By 0 0 0 0 By By 0 0 0

119

0 By By 0 0 0 0 By By 0 0 0

0 0 0 Bz Bz 0 0 0 0 Bz Bz 0

0 0 0 Bz Bz 0 0 0 0 Bz Bz 0

⎤⎡

0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ T⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ T

⎤

u1x ⎢ u1z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u1y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ2y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ϕ2z ⎦ ϕ2x

(6.4)

In der Steifigkeitsmatrix stehen Einträge, • die mit Z gekennzeichnet sind, des Zugstabes, • die mit B gekennzeichnet sind, des Biegebalkens, wobei mit By und z-Achse unterschieden wird • die mit T gekennzeichnet sind, des Torsionsstabes.

für Einträge der Einzelsteifigkeitsmatrix für Einträge der Einzelsteifigkeitsmatrix und Bz zwischen der Biegung um die yund für Einträge der Einzelsteifigkeitsmatrix

Die Steifigkeitsmatrix enthält an einigen Stellen 0-Einträge. Dies dokumentiert die Entkopplung der Grundtypen. Dem Anwender stehen bei der Analyse eines allgemeinen dreidimensionalen Problems mehrere Wege bei der Auswahl der Elemente zur Verfügung. Grundsätzlich kann jedem 1D-Element diese allgemeine Steifigkeitsmatrix zugeordnet werden. Dies führt jedoch zu erhöhtem Speicheraufwand und verlängerten Rechenzeiten, da für einige Elemente „unnötiger“ Balast mitgeschleppt wird. Sicherlich ist eine Vorauswahl durch den Anwender sinnvoll. Kommerzielle Programmpakete halten in ihrer Elementbibliothek meist die Grundtypen und einige Spezialfälle bereit.

6.1.1 Beispiel 1: Stab unter Zug und Torsion Prinzipiell kann eine Gesamtsteifigkeitsmatrix aus einer beliebigen Kombination von Grundtypen aufgestellt werden. In diesem Beispiel soll die Steifigkeitsbeziehung aus den Grundtypen Zugstab und Torsionsstab aufgestellt werden. In Abbildung 6.2 sind die Zustandsgrößen dargestellt, in 6.2 a) die Kraftgrößen und in 6.2 b) die Verformungsgrößen.

120

6 Allgemeines 1D-Element

E , A , G I

a ) F

1 x

M

1 x

p

M

F

2 x

2 x

L b ) j

1 2

j

1 x

u

u

1 x

2 x

2 x

Abb. 6.2 Finites Element für Zug und Torsion a) Belastungsgrößen b) Verformungsgrößen

Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung für das 1D-Element ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ Z 0 Z 0 u1x N1x ⎢ M1x ⎥ ⎢ 0 T 0 T ⎥ ⎢ ϕ1x ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎣ N2x ⎦ = ⎣ Z 0 Z 0 ⎦ ⎣ u2x ⎦ 0 T 0 T M2x ϕ2x

(6.5)

setzt sich aus den Grundtypen Zugstab und Torsionsstab zusammen: In der Matrix stehen an den Positionen, • die mit Z gekennzeichnet sind, Einträge der Einzelsteifigkeitsmatrix des Zugstabes, • die mit T gekennzeichnet sind, Einträge der Einzelsteifigkeitsmatrix des Torsionsstabes. Ausführlich lautet die Gesamtsteifigkeitsbeziehung und Materialparameter: ⎡ ⎤ ⎡ EA EA N1x 0 − 0 L L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ GIt GIt ⎢ M1x ⎥ ⎢ 0 0 − ⎢ ⎥ ⎢ L L ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ EA EA ⎢N ⎥ ⎢ 0 0 ⎢ 2x ⎥ ⎢ − ⎢ ⎥ ⎢ L L ⎣ ⎦ ⎣ GIt GIt M2x 0 − 0 L L

mittels der Geometrie⎤⎡ ⎤ u1x ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ϕ1x ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u2x ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦ ϕ2x

(6.6)

6.1 Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element

121

6.1.2 Beispiel 2: Balken in der Ebene mit Zuganteil Für den Biegebalken mit Normalkraftanteil werden die beiden Grundbelastungsarten Biegung und Zug kombiniert. Zunächst soll die Biegung in der x-y-Ebene beschrieben werden. In Abbildung 6.3 sind die Zustandsgrößen der kombinierten Belastungsarten dargestellt.

a ) N

M

y

Q

1 y

N

2 x

2 y

2 1

b )

2 z

1 x

Q x

M

1 z

u

u

1 y

j u

2 y

j

1 z

u

1 x

2 z

2 x

Abb. 6.3 Biegung in der x-y -Ebene mit Normalkraft a) Belastungsgrößen b) Verformungsgrößen

Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet: ⎡ ⎤ ⎡ EA 0 0 − EA N1x L L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ z z ⎢ Q1y ⎥ ⎢ 0 12 EI 6 EI 0 L3 L2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ z z ⎢ M1z ⎥ ⎢ 0 6 EI 4 EI 0 L2 L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ N ⎥ ⎢ EA 0 0 − EA ⎢ 2x ⎥ ⎢ L L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Q2y ⎥ ⎢ 0 −12 EIz −6 EIz 0 ⎢ ⎥ ⎢ L3 L2 ⎣ ⎦ ⎣ z z M2z 0 6 EI 2 EI 0 L2 L

0

0

⎤⎡

u1x

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ EIz ⎥ z ⎢ ⎥ ⎥ −12 EI 6 u 3 2 1y L L ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ EIz z ⎢ ⎥ ⎥ −6 EI 2 ϕ 3 2 1z L L ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎥⎢u ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ 2x ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ EIz EIz ⎥ ⎢ u 12 L3 −6 L2 ⎥ ⎢ 2y ⎥ ⎥ ⎦⎣ ⎦ EIz EIz ϕ2z −6 L2 4 L

(6.7)

122

6 Allgemeines 1D-Element

Für die Biegung in der x-z-Ebene erfolgt die Beschreibung der kombinierten Belastung ähnlich. In Abbildung 6.4 sind die Zustandsgrößen dargestellt.

M

a ) N

2 y

N

1 x

Q

Q

1 z

x 1

2 x

2 z

2 u

b ) z

M

1 y

u

1 z

j u

2 z

j

1 y

u

1 x

2 y

2 x

Abb. 6.4 Biegung in der x-z -Ebene mit Normalkraft a) Belastungsgrößen b) Verformungsgrößen

Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet: ⎡

N1x

⎤

⎡ EA L

0

0

− EA L

0

0

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ EI EI EI EI ⎢Q ⎥ ⎢ 0 12 L3y −6 L2y 0 −12 L3y −6 L2y ⎢ 1z ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ EI EI EI EI ⎢ M1y ⎥ ⎢ 0 −6 L2y 4 Ly 0 6 L3y 2 L2y ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ EA ⎢ N2x ⎥ ⎢ 0 0 − EA 0 0 L L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ EI EI EI EI ⎢ Q2z ⎥ ⎢ 0 −12 L3y 6 L2y 0 12 L3y 6 L2y ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ M2y

0

−6

EIy L2

2

EIy L

0

6

EIy L2

4

EIy L

⎤⎡

u1x

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u1z ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ϕ1y ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎥⎢u ⎥ ⎥ ⎢ 2x ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u2z ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦ ϕ2y

(6.8)

6.2 Koordinatentransformation

123

6.2 Koordinatentransformation Bisher wurden die Steifigkeitsbeziehungen für ein einzelnes Element formuliert. Grundlage war das auf ein Element bezogenes, lokales (lo) Koordinatensystem. Für den einfachen Zugstab lautet die Steifigkeitsbeziehung: F lo = klo ulo .

(6.9)

In einem ebenen oder allgemein dreidimensionalen Tragwerk können die Einzelelemente jedoch beliebig im Raum orientiert sein. Üblicherweise wird ein festes, globales Koordinatensystem definiert. Die Transformationsvorschrift für einen Vektor zwischen einem lokalen (lo) und globalen (glo) Koordinatensystem lautet allgemein: lo glo (6.10) [·] = T [·] . T wird als Transformationsmatrix bezeichnet. Die mathematischen Eigenschaften sind im Anhang ausführlich beschrieben. Für die anschließenden Herleitungen ist die Beziehung T −1 = T T

(6.11)

wesentlich. Diese Transformationsmatrix wird bei der Umrechnung von sämtlichen Größen genutzt. Für die Transformation der Verschiebungen und Kräfte von globalen zu lokalen Koordinaten ergibt sich ulo = T uglo , (6.12)

F lo = T F glo , und für die Transformation von lokalen auf globale Koordinaten uglo = T T ulo ,

(6.13)

F glo = T T F lo . Die Steifigkeitsbeziehung lässt sich nach der Umformung F lo = K lo ulo T

−1

T F glo = T −1 K lo T uglo F glo = T T K lo T uglo

in globalen Koordinaten schreiben als: F glo = K glo uglo

(6.14)

mit K glo = T T K lo T

.

(6.15)

124

6 Allgemeines 1D-Element

In den folgenden Abschnitten wird die Transformation anhand von Beispielen für die Drehung in der Ebene und im allgemeinen dreidimensionalen Raum vorgestellt.

6.2.1 Ebene Tragwerke Für ebene Tragwerke lässt sich die Transformation anschaulich darstellen. Das lokale x-y-Koordinatensystem ist um den Winkel α gegenüber dem globalen X-Y -Koordinatensystem gedreht.

y

Y x a

X

Abb. 6.5 Koordinatentransformation in der Ebene

Die Transformationsbeziehung zwischen dem lokalen und globalen Koordinatensystem lautet für einen Vektor:   glo  lo  cos α sin α · · = . − sin α cos α · ·

(6.16)

Zunächst wird die Transformation für das Element Zugstab aufgezeigt. In Abbildung 6.6 sind der Übersichtlichkeit halber nur die Kräfte dargestellt. Für die Verschiebungen gilt eine entsprechende Vorgehensweise.

F

N

2 Y

F F N 1

1 Y

F

a 1 X

Abb. 6.6 Koordinatentransformation für den Zugstab in der Ebene

2 X

2

6.2 Koordinatentransformation

125

Mit zwei Knoten lautet die Transformationsmatrix: ⎡ ⎤ cos α sin α 0 0 ⎢ − sin α cos α 0 0 ⎥ ⎥. T =⎢ ⎣ 0 0 cos α sin α ⎦ 0 0 − sin α cos α

(6.17)

Ausgehend von der Beschreibung in lokalen Koordinaten werden die Zustandsvektoren auf die gleiche Dimension (4 Komponenten) ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ N1 F1X ⎢ 0 ⎥ ⎢ F1Y ⎥ glo ⎥ ⎥ F lo = ⎢ (6.18) =⎢ ⎣ N2 ⎦ , F ⎣ F2X ⎦ 0 F2Y und

⎡

⎤ u1 ⎢ 0 ⎥ ⎥ ulo = ⎢ ⎣ u2 ⎦ 0

⎡

,

uglo

⎤ u1X ⎢ u1Y ⎥ ⎥ =⎢ ⎣ u2X ⎦ u2Y

(6.19)

gebracht. Für die Transformation der Einzelsteifigkeitsmatrix führt man die Transformationsvorschrift in Gleichung (6.15) aus und erhält schließlich ⎤ ⎡ 2 cos α cos α sin α − cos2 α − cos α sin α EA ⎢ sin2 α − cos α sin α − sin2 α ⎥ ⎥. ⎢ (6.20) k = kT = cos α sin α ⎦ cos2 α L ⎣ 2 sym. sin α Für die Drehung des Biegebalkens in der Ebene wird bereits im lokalen Koordinatensystem Normalkraft, Querkraft und der Momentenvektor berücksichtigt (siehe Abbildung 6.7). Dieser steht senkrecht auf der Biegeebene und bleibt bei einer Drehung erhalten. Für die Biegung in der X-Y -Ebene ergibt sich folgende Transformationsmatrix ⎤ ⎡ cos α sin α 0 0 0 0 ⎢ − sin α cos α 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥ XY ⎥ ⎢ (6.21) T =⎢ 0 0 cos α sin α 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣ 0 0 0 − sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 für das Balkenelement mit Zugbelastung. Für die Biegung in der X-Z-Ebene kann eine entsprechende Transformationsvorschrift formuliert werden.

126

6 Allgemeines 1D-Element

F

F N

M

M

N

2 Z

2 Y

F

1 Z

Q

1 Y

F

1 x

Q

2 x

2 X

2 y

1 X

1 y

Abb. 6.7 Koordinatentransformation für den Biegebalken in derX -Y -Ebene

6.2.2 Allgemeine dreidimensionale Tragwerke Die Transformation für allgemeine, dreidimensionale Tragwerke lässt sich formal auch durch die Gleichung (6.10) beschreiben. Anschaulich lässt sich die Transformation nicht mehr so einfach darstellen. Das lokale (x, y, z)Koordinatensystem wird über drei Koordinatenachsen definiert. Diese können beliebig gegenüber einem globalen (X, Y, Z)-Koordinatensystem gedreht sein (siehe Abbildung (6.8).

Abb. 6.8 Rotatorische Transformation eines 1D-Elementes im Raum. Die Einheitsvektoren in Richtung der globalen X -, Y - und Z -Achse sind mit ei bezeichnet

6.2 Koordinatentransformation

127

Ein eindimensionales finites Element 0-1 sei durch den Vektor L = (X1 − X0 )eX + (Y1 − Y0 )eY + (Z1 − Z0 )eZ

(6.22)

repräsentiert, der in Richtung der lokalen x-Achse orientiert ist. Ein Vektor in Richtung der lokalen y-Achse kann nach Abbildung 6.8 als Y = (X2 − X0 )eX + (Y2 − Y0 )eY + (Z2 − Z0 )eZ

(6.23)

dargestellt werden. Die Richtungskosini zwischen der lokalen y-Achse und den globalen Koordinatenachsen ergeben sich über die globalen Knotenkoordinaten zu X2 − X0 , |Y | Y2 − Y0 , = cos(y, Y ) = |Y | Z2 − Z0 , = cos(y, Z) = |Y |

tyX = cos(y, X) =

(6.24)

tyY

(6.25)

tyZ

(6.26) (6.27)

wobei sich die Länge des Vektors Y zu % |Y | = (X2 − X0 )2 + (Y2 − Y0 )2 + (Z2 − Z0 )2

(6.28)

ergibt. Entsprechend ergibt sich ein Vektor in Richtung der lokalen z-Achse zu: Z = (X3 − X0 )eX + (Y3 − Y0 )eY + (Z3 − Z0 )eZ

(6.29)

und die Richtungskosini als X3 − X0 , |Z| Y3 − Y0 , = cos(z, Y ) = |Z| Z3 − Z0 , = cos(z, Z) = |Z|

tzX = cos(z, X) =

(6.30)

tzY

(6.31)

tzZ

(6.32) (6.33)

wobei sich die Länge des Vektors Z zu % |Z| = (X3 − X0 )2 + (Y3 − Y0 )2 + (Z3 − Z0 )2

(6.34)

128

6 Allgemeines 1D-Element

ergibt. Ein beliebiger Vektor v kann mittels der folgenden Beziehungen zwischen dem lokalen (x, y, z) und globalen (X, Y, Z) Koordinatensystem transformiert werden: v xyz = T 3D v XY Z , v XY Z = T

3D T

v xyz ,

(6.35) (6.36)

wobei die Transformationsmatrix mittels der Richtungskosini wie folgt angegeben werden kann:

T 3D

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ cos(x, X) cos(x, Y ) cos(x, Z) txX txY txZ = ⎣tyX tyY tyZ ⎦ = ⎣cos(y, X) cos(y, Y ) cos(y, Z)⎦ . tzX tzY tzZ cos(z, X) cos(z, Y ) cos(z, Z)

(6.37)

Ein allgemeines eindimensionales Element bindet an einem Knoten jeweils 6 kinematische Zustandsgrößen und 6 „Kraftgrößen“. Bei einem zweiknotigen Element ergibt sich für die Transformation einer Zustandsgröße eine Transformationsmatrix mit der Dimension 12 x 12. Beispielhaft ist mit Gleichung (6.38) die Transformationsbeziehung von globalen auf lokale Koordinaten für die kinematischen Zustandsgrößen dargestellt: ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ txX txY txZ u1x u1X 000 000 000 ⎢ u1y ⎥ ⎢tyX tyY tyZ ⎥ ⎢ u1Y ⎥ 000 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u1z ⎥ ⎢tzX tzY tzZ ⎥ ⎢ u1Z ⎥ 000 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ϕ1x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ1X ⎥ 000 000 000 txX txY txZ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ϕ1y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1Y ⎥ tyX tyY tyZ 000 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ϕ1z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1Z ⎥ tzX tzY tzZ 000 000 000 ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u2x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2X ⎥ . 000 000 000 txX txY txZ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u2y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2Y ⎥ tyX tyY tyZ 000 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u2z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2Z ⎥ tzX tzY tzZ 000 000 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ϕ2x ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 000 000 txX txY txZ ⎥ 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ2X ⎥ ⎣ϕ2y ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ tyX tyY tyZ ϕ2Y ⎦ 000 000 000 ϕ2z tzX tzY tzZ ϕ2Z 000 000 000    ⎡

T

(6.38)

Die Transformation der Steifigkeitsmatrix ergibt sich zu: T

keXY Z = T 3D ke T .

(6.39)

Dabei stehen die kleinen Buchstaben für die Achsen des lokalen Koordinatensystems und die großen Buchstaben für die Achsen des globalen Koordinatensystems.

6.3 Numerische Integration eines Finiten Elementes

129

6.3 Numerische Integration eines Finiten Elementes In diesem Abschnitt wird kurz in die numerische Integration eingeführt. Für einen umfassenden Überblick sei auf einschlägige Literatur verwiesen [4]. Die Thematik wird hier an eindimensionalen Problemstellungen vorgestellt. Für die näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale steht eine Anzahl von numerischen Algorithmen oder sogenannten Quadraturformeln zur Verfügung. Die Grundidee besteht darin, das Integral

b

f (x) dx ≈

a

q

(6.40)

f (xi ) Δxi

i=1

in Teilintervalle zu zerlegen und anschließend aufzusummieren. Anschaulich ist das in Abbildung 6.9 dargestellt. Allgemeiner formuliert, setzt sich das

f(x )

D x i

f ( x i)

a

b x

Abb. 6.9 Integration einer Funktion

Integral aus Teilbeiträgen zusammen, die jeweils aus einem Funktionswert und einem Wichtungskoeffizienten berechnet werden:

a

b

f (x) dx ≈

q

f (ξi ) Wi .

(6.41)

i=1

In der Integrationsformel werden die ξi als Stützstellen, die f (ξi ) als diskrete Funktionswerte an diesen Stützstellen, und Wi als Wichtungskoeffizienten bezeichnet. q steht für die Integrationsordnung. Numerische Integration bedeutet demnach eine Multiplikation von Funktionswerten des Integranden an diskreten Stützstellen mit Gewichten. Anschließend werden die Teilbeiträge aufsummiert. Unabhängig von den Integrationsgrenzen wird die numerische Integration meist in dem Einheitsbereich zwischen -1 und + 1 durchgeführt, dies bedeutet, das Integrationsintervall wird auf den Bereich −1 ≤ ξ ≤ 1 transformiert.

130

6 Allgemeines 1D-Element

Die Gauß-Quadratur Im Rahmen der Finiten Elemente Methode wird für die numerische Integration meist die Quadraturformel nach Gauß angewandt. Ein wesentlicher Vorteil besteht darin, dass ein Polynom der Ordnung m = 2q − 1

(6.42)

mit q Integrationspunkten exakt integriert werden kann. Mit zwei Integrationspunkten kann somit ein kubisches Polynom und mit drei Integrationspunkten ein Polynom 5. Ordnung exakt integriert werden. Die Positionen der Stützstellen sowie die dazu gehörenden Gewichte können Tabellen entnommen werden. In Tabelle 6.1 sind die Werte bis zur Integrationsordnung q = 3 zusammengestellt. Tabelle 6.1 Stützstellen und Gewichte für die numerische Integration nach GaußLegendre q 1 2

3

Stützstellen ξi

Wichtung Wi

0,00000

2,00000

1 ± √ = ± 0,57735 3 & 3 = ± 0,77459 ± 5

1,00000

0,00000

±

5 = ± 0,55555 9

+

8 = 0,88888 9

Die für den eindimensionalen Fall dargestellte Integration lässt sich einfach auf höherdimensionale Integrale erweitern. Beispiel Das Integral

+1

−1

(1 + 2x + 3x2 ) dx

soll mit der Quadraturformel nach Gauß ausgewertet werden. Lösung Die exakte Lösung ergibt sich zu

(6.43)

6.4 Interpolationsfunktion

+1

−1

131

+1  (1 + 2x + 3x2 ) dx = x + x2 + x3 −1 =

(6.44)

(1 + 1 + 1) − (−1 + 1 − 1) = 4 . Bei dem Integranden handelt es sich um ein Polynom zweiter Ordnung. Aus m = 2 = 2q − 1 errechnet sich die notwendige Integrationsordnung zu q = 1, 5. Da diese ganzzahlig sein muss, wird die Integrationsordnung mit q = 2 festgelegt. Aus der Tabelle 6.1 werden die Positionen der Integrationspunkte ξi mit den entsprechenden Gewichten Wi 1 ξ1/2 = ± √ 3

,

W1/2 = 1, 0

(6.45)

für die Integrationsordnung q = 2 entnommen. Die numerische Integration

+1

−1

(1 + 2x + 3x2 ) dx ≈

q=2

f (ξi ) Wi = f (ξ1 ) W1 + f (ξ2 ) W2 =

i=1



 1+2

− √13



 +3

− √13

2 

· 1, 0 +

   2   · 1, 0 = 1 + 2 + √13 + 3 + √13 

(6.46)

       1 + 2 − √13 + 1 + 1 + 2 + √13 + 1 = 4

liefert das exakte Ergebnis.

6.4 Interpolationsfunktion Im Rahmen der Finite-Elemente-Methode gilt es, Funktionen zu approximieren. In früheren Kapiteln wurden bereits Formfunktionen eingeführt, um den Verschiebungsverlauf innerhalb von Elementen zu approximieren. Hier wird die Thematik ausführlicher vorgestellt. Ziel ist es, den Verlauf einer physikalischen Größe möglichst einfach zu beschreiben. Beispielsweise sei der Verlauf der Verschiebung, der Verzerrung und der Spannung entlang der Längsachse eines Stabes genannt. Eine übliche Vorgehensweise besteht darin, den wahren Verlauf einer Funktion durch eine Kombination aus Funktionswerten an ausgewählten Stellen, den Knoten eines Elementes, und Funktionen zwischen diesen Stützstellen zu beschreiben. Dieser Ansatz wird als nodaler Ansatz bezeichnet. Der Verschiebungsverlauf innerhalb eines Elementes wird mit ue (x) = N e (x) up

(6.47)

132

6 Allgemeines 1D-Element

approximiert. Die Größe ue (x) beschreibt den Verlauf der Verschiebung im Element, N steht für die Formfunktionen. In der Gleichung steht der Index e für die auf ein Element bezogene Größe. Der Index p kennzeichnet den Knoten p, an dem die Knotenpunktverschiebung up eingeführt wurde. Im Prinzip können für die Interpolation beliebige Funktionen gewählt werden, jedoch müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: • Die Ansatzfunktion muss im Inneren eines Elementes stetig sein. Es darf kein Klaffen auftreten. • Die Ansatzfunkion muss auch am Rand hin zu benachbarten Elementen stetig sein. • Mit der Ansatzfunktion muss eine Starrkörperbewegung beschrieben werden können, ohne dass dabei Verzerrungen oder Spannungen im Element hervorgerufen werden. Grundsätzlich erfüllen Polynome diese Anforderungen. Im Rahmen der FEM wird auf spezielle Polynome zurückgegriffen, sogenannte Lagrange-Polynome. Ein Lagrange-Polynom der Ordnung n − 1 ist definiert durch n Funktionswerte an den Koordinaten x1 , x2 , x3 , xi , ..., xn : Lni (x) = (x − x1 ) (x − x2 ) (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ) .

(6.48)

Besonders zu erwähnen ist, dass das Lagrange-Polynom • Lni (xj ) an den Stellen xj = 1, 2, ..., n, (j = i) die Funktionswerte Lni (xj ) = 0 annimmt und • Lni (xi ) an der Position xi den Funktionswert Lni (xi ) = 0 animmt. Wenn die Stützstellen des Lagrange-Polynoms auf die Knoten eines Elementes gelegt werden und der Nicht-Null-Funktionswert zur Normierung herangezogen wird, dann sind damit geeignete Formfunktionen konstruiert: Ni (x) =

Lni (x) = Lni (xi )

n ' j=1,j=i

(x − xj ) . (xi − xj )

(6.49)

Zur Beschreibung einer physikalischen Größe ist es manchmal sinnvoll, ein weiteres Koordinatensystem zu definieren. Es werden elementeigene Koordinaten eingeführt, sogenannte natürliche Koordinaten ξ. In Abbildung 6.10 sind a) die lokalen und b) die natürlichen Koordinaten dargestellt. Die Transformation lässt sich beschreiben durch ξ=

x − xM . L

(6.50)

Der Mittelpunkt des Elementes wird mit xM oder in natürlichen Koordinaten mit ξ = 0 beschrieben. Beginn und Ende des Elementes werden in natürlichen Koordinaten ξ = −1 und ξ = +1 beschrieben. Die Formfunktionen lassen sich ebenfalls in natürlichen Koordinaten

6.4 Interpolationsfunktion

133

a ) x

x 1

x M

x n

L b )

x

= -1 1

x

x = 0

n

x

= + 1

2 Abb. 6.10 Koordinaten a) lokal b) natürlich

Ni (ξ) = Li (ξ) =

n ' j=1,j=i

(ξ − ξj ) (ξi − ξj )

(6.51)

formulieren. Für ein Stabelement mit linearer Ansatzfunktion ergeben sich mit den zwei Knoten an den Koordinaten ξ1 = −1 und ξ2 = +1 die zwei Formfunktionen zu (ξ − 1) 1 (ξ − ξ2 ) = = (1 − ξ) , N1 (ξ) = (ξ1 − ξ2 ) (−1 − (+1)) 2 (6.52) (ξ − (−)1) 1 (ξ − ξ1 ) = = (1 + ξ) . N2 (ξ) = (ξ2 − ξ1 ) (+1 − (−1)) 2 Abbildung 6.11 zeigt die zwei Formfunktionen für den linearen Ansatz. Für

N 1

(x ) N

2

(x )

1

x 1

= -1

x

1 2

= + 1

x

Abb. 6.11 Formfunktionen, linearer Ansatz

ein Stabelement mit quadratischer Ansatzfunktion ergeben sich mit den drei Knoten an den Koordinaten ξ1 = −1, ξ2 = 0 und ξ3 = +1 die drei Formfunktionen zu

134

6 Allgemeines 1D-Element

N1 (ξ) =

(ξ − 0)(ξ − 1) 1 (ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 ) = = ξ(ξ − 1) , (ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 ) (−1 − 0)(−1 − (+1)) 2

N2 (ξ) =

(ξ − (−1))(ξ − 1) (ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 ) = = (1 − ξ 2 ) , (ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 ) (0 − (−1)(0 − (+1))

N3 (ξ) =

(ξ − (−1))(ξ − 0) 1 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 ) = = ξ(1 + ξ) . (ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 ) (+1 − (−1)(+1 − 0) 2

(6.53)

Abbildung 6.12 zeigt die drei Formfunktionen für den quadratischen Ansatz.

N 1

(x )

N 2

1

N

(x )

3

1

(x ) 1

x x 1

= -1

x 2

= 0

x 2

= + 1

Abb. 6.12 Formfunktionen, quadratischer Ansatz

Die Bestimmung der Formfunktion für einen kubischen Ansatz ist Inhalt der Übung 6.1.

6.5 Einheitsbereich Im Ablauf der Finite-Elemente-Analyse werden zahlreiche Vektoren und Matrizen mittels Integration über eine Feldgröße X bestimmt. Dies wird in der folgenden Form formuliert:

X dΩ . (6.54) Ω

Dabei ist X meist eine Größe, die von den Formfunktionen N oder deren Ableitungen abhängt. Als Beispiel sei die Steifigkeitsmatrix

K= B T DB dΩ (6.55) Ω

angegeben. Zur Durchführung der Integration sind zwei Transformationen notwendig. Im ersten Schritt wird eine Transformation von globalen auf lokale Koordinaten durchgeführt. Dieser Schritt wurde bereits in Abschnitt 6.2

6.6 Weiterführende Aufgaben

135

besprochen. In einem zweiten Schritt wird der Integrationsbereich auf einen Standardbereich transformiert:

Ω

X(x, y, z) dΩ =

+1

−1

+1

−1

+1

−1

X(ξ, η, ζ) J (ξ, η, ζ) dξ dη dζ

(6.56)

mit X(x, y, z) = X(x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) = X(ξ, η, ζ) .

(6.57)

In Gleichung (6.56) steht J (ξ, η, ζ) =

∂(x, y, z) ∂(ξ, η, ζ)

(6.58)

für die Jakobi-Matrix. Wird die Integration nur in einer Dimension durchgeführt, lässt sich die Transformationsvorschrift zu

+1

+1 ∂x dξ = (6.59) X(x) dx = X(ξ) J (ξ) dξ = X(ξ) ∂ξ −1 −1 L mit X(x) = X(x(ξ)) = X(ξ)

(6.60)

vereinfachen.

6.6 Weiterführende Aufgaben 6.1. Kubischer Verschiebungsverlauf im Zugstab Für ein Stabelement soll der Verschiebungsverlauf durch Lagrange-Polynome approximiert werden. Gesucht sind die vier Ansatzfunktionen in natürlichen Koordinaten ξ für eine kubische Approximation des Verschiebungsverlaufes im Stabelement. 6.2. Koordinatentransformation für Zugstab in der Ebene In einer Ebene ist das lokale Koordinatensystem für einen Stab um α = 30◦ gegenüber dem globalen X-Y -Koordinatensystem gedreht. Der Stab wird durch 2 Knoten repräsentiert. Zu bestimmen ist 1. die Transformationsmatrix und 2. die Einzelsteifigkeitsbeziehung im globalen X-Y -Koordinatensystem.

136

6 Allgemeines 1D-Element

Y N X

2

L u E , A a

N 1

2

u 1

Abb. 6.13 Gedrehter Stab in der Ebene

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 3. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton 4. Onate E (2009) Structural Analysis with the Finite Element Method. Springer, Berlin 5. Stoer J (1989) Numerische Mathematik 1. Springer-Lehrbuch, Berlin

Kapitel 7

Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

Zusammenfassung In diesem Kapitel wird die Vorgehensweise zur Analyse eines gesamten Tragwerkes vorgestellt. Betrachtet werden Tragwerke, die aus mehreren Elementen bestehen und an Koppelstellen miteinander verbunden sind. Das Tragwerk ist geeignet gelagert und mit Lasten beaufschlagt. Gesucht sind die Deformationen des Tragwerkes und die Reaktionskräfte an den Lagerstellen. Zudem sind die Beanspruchungen im Inneren der Einzelelemente von Interesse. Die Steifigkeitsbeziehungen der einzelnen Elemente sind aus den vorherigen Kapiteln bekannt. Eine Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht auf der Basis dieser Einzelsteifigkeitsbeziehungen. Aus mathematischer Sicht entspricht das Auswerten der Gesamtsteifigkeitsbeziehung dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Als Beispiele werden ebene und allgemein dreidimensionale Tragwerke aus Stäben und Balken vorgestellt.

7.1 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsbeziehung Ziel dieses Abschnittes ist es, die Steifigkeitsbeziehung für ein gesamtes Tragwerk zu formulieren. Es sei angenommen, dass die Steifigkeitsbeziehungen für jedes Element bekannt sind und aufgestellt werden können. Jedes Element ist über Knoten mit den Nachbarelementen verbunden. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung erhält man, indem man an jedem Knoten das Kräftegleichgewicht aufstellt. Die Struktur der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ist damit vorgegeben: F = Ku .

(7.1)

Die Dimension der Spaltenmatrizen F und u entspricht der Summe der Freiheitsgrade an allen Knoten. Anschaulich lässt sich der Aufbau der Gesamtmatrix K darstellen, indem alle Teilmatrizen ke in die Gesamtsteifigkeitsmatrix einsortiert werden. Formal lässt sich das schreiben als:

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_7, 

137

138

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

K=



ke .

(7.2)

e

Das Aufstellen der Gesamtsteifigkeitsbeziehung erfolgt in mehreren Schritten: 1. Für jedes Element ist die Einzelsteifigkeitsmatrix ke bekannt. 2. Es ist bekannt, welche Knoten an jedem Element hängen. Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lässt sich daher für jedes Element in lokalen Koordinaten formulieren: F e = k e up . 3. Die in lokalen Koordinaten formulierte Einzelsteifigkeitsbeziehung wird in globalen Koordinaten formuliert. 4. Die Dimension der Gesamtsteifigkeitsmatrix wird bestimmt aus der Summe der Freiheitsgrade an allen Knoten. 5. Eine Nummerierung der Knoten und der Freiheitsgrade an jedem Knoten wird festgelegt. 6. Die Einträge aus der Einzelsteifigkeitsmatrix werden an die entsprechenden Positionen der Gesamtsteifigkeitsmatrix einsortiert. Dies soll an einem einfachen Beispiel dargestellt werden. Gegeben sei ein stabähnliches Tragwerk der Länge 2L mit konstantem Querschnitt A. Das Tragwerk ist in zwei Abschnitte der Länge L mit unterschiedlichem Material aufgeteilt (dies bedeutet unterschiedliche Elastizitätsmoduli). Das Tragwerk ist an einer Seite fest eingespannt und wird an der anderen Seite mit einer Einzelkraft F belastet.

A , E I

A , E

II

L

F

L

Abb. 7.1 Stabförmiges Tragwerk der Länge 2L

Für die weitergehende Analyse wird das Tragwerk in zwei Abschnitte jeweils der Länge L aufgeteilt. Das Beispiel besteht damit aus zwei Finiten Elementen und aus drei Knoten, die in der Reihenfolge 1 - 2 - 3 nummeriert werden (siehe Abbildung 7.2). Am Element I hängen die Knoten 1 und 2. Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet für das Element I: 

mit

N1 N2



I =

k −k −k k

I 

u1 u2

I (7.3)

7.1 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsbeziehung

1 N

139

2 I

3

1

u

N u

1

N

2

u 2

II 2

L

3

N 3

L

Abb. 7.2 Diskretisiertes Tragwerk mit zwei Finiten Elementen

EA . (7.4) L Am Element II hängen die Knoten 2 und 3. Die Einzelsteifigkeitsmatrix lautet für das Element II: II  II  II  k −k N2 u2 = (7.5) −k k N3 u3 kI =

mit

EA . (7.6) L Da für die vorliegende Problemstellung lokales und globales Koordinatensystem identisch sind, entfällt eine Koordinatentransformation. Die Dimension der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich zu 3, da an jedem Knoten jeweils ein Freiheitsgrad existiert. Die Nummerierung der Freiheitsgrade wird in der Reihenfolge 1 - 2 - 3 festgelegt. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich, indem alle Teilmatrizen in die Gesamtsteifigkeitsmatrix eingebaut werden: ⎤ ⎡ I ⎤⎡ ⎤ ⎡ −k I 0 k u1 N1 ⎣ N2 ⎦ = ⎣ −k I k I + k II −k II ⎦ ⎣ u2 ⎦ . (7.7) N3 u3 0 −k II k II k II =

Die Nummerierung der Knoten hat Einfluss auf die Struktur der Gesamtsteifigkeitsmatrix. Anstatt die Knoten mit 1 - 2 - 3 zu nummerieren, soll die Reihenfolge 1 - 3 - 2 festgelegt werden. Damit ergibt sich die Gesamtsteifigkeitsbeziehung zu:

140

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

1

3 2

Abb. 7.3 Alternative Knotennummerierung für ein Tragwerk aus zwei Stäben

⎡

⎤ ⎡ I ⎤⎡ ⎤ −k I 0 k N1 u1 ⎣ N3 ⎦ = ⎣ −k I k I + k II −k II ⎦ ⎣ u3 ⎦ . N2 u2 0 −k II k II

(7.8)

Für den Fall, dass die Nummerierung aufsteigend gewählt wird (1-2-3), ergibt sich: ⎤ ⎡ I ⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 −k I k u1 N1 ⎣ N2 ⎦ = ⎣ 0 k II −k II ⎦ ⎣ u2 ⎦ . (7.9) N3 u3 −k I −k II k I + k II Gegenüber der Gleichung (7.7) sind die Null-Einträge in der Systemmatrix an anderen Positionen. Die Nummerierung der Knoten kann das Ergebnis beeinflussen. Bei exakter Zahlendarstellung und nicht auftretenden Rundungsfehlern beim Ausführen von mathematischen Operationen hätte die Nummerierung der Knoten keinen Einfluss auf das Endergebnis. In der Praxis bedient man sich jedoch ausschließlich numerischer Methoden. Damit nehmen beispielsweise die Reihenfolge der einzelnen mathematischen Operationen und die rechnerinterne Zahlendarstellung Einfluss auf Teilergebnisse und das Gesamtergebnis. Insbesondere spielt für die Gleichungslösung die Struktur der Systemmatrix eine entscheidende Rolle. So werden Schnelligkeit und die Qualität der Lösung durch den Aufbau beeinflusst. Das soeben behandelte einfache Beispiel lässt sich leicht auf mehrere Elemente erweitern. In Abbildung 7.4 sind 4 Stabelemente hintereinander angeordnet.

1 I

2

3 II

Abb. 7.4 Tragwerk aus vier Elementen

4 III

5 IV

7.2 Lösen der Systemgleichung

141

Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung lautet: ⎡ ⎤ ⎡ I ⎤ k −k I 0 0 0 N1 ⎢ N2 ⎥ ⎢ −k I k I + k II −k II 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ II II III III ⎢ N3 ⎥ = ⎢ 0 −k k +k −k 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ N4 ⎦ ⎣ 0 0 −k III k III + k IV −k IV ⎦ N5 0 0 0 −k IV k IV

⎡

⎤ u1 ⎢ u2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u3 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣ u4 ⎦ u5

(7.10)

Die Bandstruktur in der Systemmatrix ist deutlich zu erkennen. Um die Hauptdiagonale sind noch jeweils eine Nebendiagonale belegt. Große Bereiche haben Nulleinträge. Tendenziell werden mit wachsender Anzahl der Finiten Elemente in einer Tragwerkstruktur die Bereiche mit Null-Einträgen im Verhältnis größer, die Bereiche mit Nicht-Null-Einträgen kleiner. Die Konzentration der Nicht-Null-Einträge um die Hauptdiagonale lässt sich nicht immer erzwingen. Tragwerke mit Koppelpunkten, an denen mehrere Elemente zusammentreffen, führen auf Nicht-Null-Einträge in den Null-Bereichen. Aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung lassen sich die unbekannten Größen ermitteln. Zunächst müssen dafür geeignete Voraussetzungen geschaffen werden. Im mathematischen Sinn ist die Systemmatrix noch singulär. Es müssen Freiheitsgrade aus dem System genommen werden. Anschaulich bedeutet dies, dass mindestens soviel Freiheitsgrade genommen werden müssen, bis die Starrkörperbewegung des verbleibenden Systems unmöglich ist. Aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht ein reduziertes System: F red = K red ured .

(7.11)

Daraus lassen sich die unbekannten Größen ermitteln. Im folgenden Abschnitt wird das Lösen der Systemgleichung tiefer beleuchtet.

7.2 Lösen der Systemgleichung Die Lösung eines linearen Gleichungssystems wie das System (7.11) gehört zu den elementaren Aufgaben aus der Mathematik. Eine übliche Darstellung lautet: Ax = b. (7.12) Die Matrix A wird als Systemmatrix bezeichnet, im Vektor x stehen die Unbekannten und der Vektor b steht für die rechte Seite. Die rechte Seite repräsentiert aus mechanischer Sicht einen Lastfall. Mehrere Lastfälle resultieren in einer rechte-Seite-Matrix, deren Spaltenanzahl der Anzahl der Lastfälle entspricht. Vergleicht man die beiden Gleichungen (7.11) und (7.12), so lässt sich • die Systemmatrix A mit der reduzierten Steifigkeitsmatrix K red , • der Vektor der Unbekannten x mit ured und • der Vektor der rechten Seite b mit F red

142

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

identifizieren. Zur Lösung des linearen Gleichungssystems stehen im Wesentlichen zwei Verfahren zur Verfügung: • direkte oder • iterative Verfahren. Für eine tiefgreifende Diskussion sei an dieser Stelle auf entsprechende Literatur verwiesen [4]. Aus Sicht des Anwenders stehen folgende Kriterien im Vordergrund: • • • •

die die die die

Zuverlässigkeit der Löser, Genauigkeit der Lösung, Zeit, die zur Lösung benötigt wird und Ressourcen, die in Anspruch genommen werden.

Die direkten Verfahren lassen sich durch folgende Eigenschaften charakterisieren: • Für ein gut gestelltes Problem ist das System lösbar. • Der direkte Löser ist als black box implementierbar. • Mehrere Lastfälle und damit mehrere rechte Seiten lassen sich ohne wesentlichen Zusatzaufwand verarbeiten. • Die Rechenzeit wird im Wesentlichen durch die Dimension der Systemmatrix bestimmt. • Die Genauigkeit der Lösung wird im Wesentlichen durch die rechnerinterne Zahlendarstellung bestimmt. Bei den iterativen Verfahren werden ausgehend von einer Startlösung nach einem festen Algorithmus Zwischenlösungen ermittelt. Die wesentlichen Eigenschaften sind: • Die Konvergenz eines iterativen Verfahrens kann nicht für jeden Anwendungsfall garantiert werden. • Die Genauigkeit der Lösung kann vom Anwender beeinflusst und vorgegeben werden. • Mehrere rechte Seiten erfordern das Mehrfache an Rechenaufwand (n rechte Seiten bedeuten n-malige Lösung des Gleichungssystems). Für sehr viele Anwendungsfälle lassen sich mit den iterativen Verfahren sehr schnell Lösungen herbeiführen. Die Rechenzeiten können für einen Lastfall bei wenigen Prozenten der Rechenzeit des direkten Lösers liegen. In kommerziellen Programmpaketen werden überwiegend direkte Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems eingesetzt. Verlängerte Rechenzeiten scheinen für den Anwender eher vertretbar zu sein als ein möglicher Abbruch des iterativen Lösungsalgorithmus.

7.4 Beispiele in der Ebene

143

7.3 Lösungsauswertung Nach dem Lösen des linearen Gleichungssystems liegen die Verschiebungen up an jedem Knoten vor, für allgemeine Problemstellungen in einem globalen Koordinatensystem. Zur weiteren Auswertung in den einzelnen Elementen werden die Verschiebungen jeweils in das elementeigene lokale Koordinatensystem transformiert. Mit den Formfunktionen lässt sich für jedes Element das Verschiebungsfeld (7.13) ue (x) = N (x)up im Element bestimmen. Über die Kinematikbeziehung lässt sich weiter das Verzerrungsfeld εe (x) = L1 ue (x) = L1 N (x) up (7.14) und über das Stoffgesetz das Spannungsfeld im Element σ e (x) = D εe (x)

(7.15)

bestimmen. Des Weiteren können mit den Knotenpunktsverschiebungen über eine sogenannte Nachlaufrechnung die unbekannten Lagerreaktionen ermittelt werden.

7.4 Beispiele in der Ebene In diesem Abschnitt werden Tragwerke besprochen, die in einer Ebene liegen. Das erste Beispiel umfasst ein Tragwerk, das aus zwei Stäben besteht. Das zweite Beispiel besteht aus einem Balken und einem Stab.

7.4.1 Ebenes Tragwerk mit zwei Stäben Als erstes einfaches Beispiel wird ein Tragwerk besprochen, das aus zwei Stäben aufgebaut ist (siehe Abbildung 7.5). Die beiden Stäbe haben die gleiche Länge L und den gleichen Querschnitt A, bestehen aus dem gleichen Material (gleicher Elastizitätsmodul E), sind jeweils an einem Ende gelenkig gelagert und sind an der Position C miteinander gelenkig verbunden. An der Position C greift eine Einzelkraft F an. Gegeben: E, A, L und F Gesucht sind • die Verschiebung an der Position C und • die Dehnungen (Verzerrungen) und Spannungen in den Elementen.

144

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

Y L

L

X 4 5 °

4 5 °

D

B C E , A F Abb. 7.5 Ebenes Tragwerk aus 2 Stäben

Der Lösungsweg: Die Diskretisierung des Tragwerkes liegt auf der Hand. Das Tragwerk wird in zwei Elemente unterteilt. An den Positionen B, C und D werden die Knoten mit den Nummern 1, 2 und 3 eingeführt (siehe Abbildung 7.6).

N 1

N

u

1

1

3 I

3

u 3

II 2 2 N u

2

N

u 2

2

2

Abb. 7.6 Ebenes Tragwerk mit 2 Stabelementen

Am Element I hängen die Knoten 1 und 2. Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet in lokalen Koordinaten für das Element I

7.4 Beispiele in der Ebene

145



N1 N2



I =

mit

k −k −k k

I 

u1 u2

I (7.16)

EA kI = √ . 2L

(7.17)

Am Element II hängen die Knoten 2 und 3. Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet für das Element II in lokalen Koordinaten: II  II  II  k −k N2 u2 = (7.18) N3 u3 −k k mit

EA k II = √ . 2L

(7.19)

Das Element I ist um αI = −45◦ gegenüber dem globalen Koordinatensystem gedreht, das Element II um αII = +45◦ . Mit den Ausdrücken sin(−45◦ ) = −

1√ 2 2

und

cos(−45◦ ) =

1√ 2 2

(7.20)

1√ 2 2

und

cos(+45◦ ) =

1√ 2 2

(7.21)

für das Element I und sin(+45◦ ) = +

für das Element II lauten die Einzelsteifigkeitsbeziehungen in globalen Koordinaten für das Element I: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ F1X 1 −1 −1 1 u1X ⎢ F1Y ⎥ 1 I ⎢ −1 1 1 −1 ⎥ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ (7.22) ⎣ F2X ⎦ = 2 k ⎣ −1 1 1 −1 ⎦ ⎣ u2X ⎦ F2Y u2Y 1 −1 −1 1 und für das Element II: ⎡ ⎤ F2X ⎢ F2Y ⎥ 1 II ⎢ ⎥ ⎣ F3X ⎦ = 2 k F3Y

⎡

⎤ ⎤⎡ 1 1 −1 −1 u2X ⎢ 1 1 −1 −1 ⎥ ⎢ u2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ −1 −1 1 1 ⎦ ⎣ u3X ⎦ . u3Y −1 −1 1 1

(7.23)

Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung erhält man, indem die Einzelsteifigkeitbeziehungen in die entsprechenden Positionen geschrieben werden:

146

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

⎤⎡ ⎤ k I −k I −k I kI 0 0 u1X F1X ⎢ ⎢ F1Y ⎥ ⎥ ⎢ −k I k I kI −k I 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ ⎢ F2X ⎥ 1 ⎢ −k I k I k I + k II −k I + k II −k II −k II ⎥ ⎢ u2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F2Y ⎥ = 2 ⎢ k I −k I −k I + k II k I + k II −k II −k II ⎥ ⎢ u2Y ⎥ . (7.24) ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ F3X ⎦ ⎣ 0 0 −k II −k II k II k II ⎦ ⎣ u3X ⎦ F3Y u3Y 0 0 −k II −k II k II k II ⎡

⎤

⎡

Im nächsten Schritt werden die Randbedingungen eingearbeitet. • Die Verschiebungen am Knoten 1 und am Knoten 3 sind jeweils 0. • Die äußere Kraft am Knoten 2 wirkt in der globalen Y -Richtung. Damit lautet die Gesamtsteifigkeitsbeziehung: ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎡ I ⎤ k −k I −k I kI 0 0 0 F1X ⎢ ⎢ F1Y ⎥ ⎢ −k I k I ⎥ kI −k I 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ I I I II ⎢ 0 ⎥ 1 ⎢ −k k k + k −k I + k II −k II −k II ⎥ ⎢ u2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ F2Y ⎥ = 2 ⎢ k I −k I −k I + k II k I + k II −k II −k II ⎥ ⎢ u2Y ⎥ . (7.25) ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ F3X ⎦ ⎣ 0 0 −k II −k II k II k II ⎦ ⎣ 0 ⎦ F3Y 0 0 0 −k II −k II k II k II Nach dem Streichen der Zeilen und Spalten 1, 2, 5 und 6 verbleibt ein reduziertes System      I 1 0 u2X k + k II −k I + k II = (7.26) −F u2Y 2 −k I + k II k I + k II mit den Zeilen und Spalten 3 und 4. Bisher werden die Steifigkeiten für die Elemente mit den Indizes I und II gekennzeichnet, obwohl sie gleich sind. Für den weiteren Lösungsweg werden die Steifigkeiten einheitlich mit k I = k II = bezeichnet. Die vereinfachte Gesamtsteifigkeitsbeziehung lautet: k = √EA 2L 

    0 k0 u2X . = u2Y −F 0k

(7.27)

Daraus lassen sich die gesuchten Verschiebungen u2X und u2Y ermitteln als: u2X = 0 ,

u2Y = −

F √ F =− 2L . k EA

(7.28)

Durch Transformation der Verschiebungen u2X und u2Y in die elementeigenen lokalen Koordinatensysteme ergeben sich: uI2 =

1√ F F 1√ 1√ 1√ F L , (7.29) 2u2X − 2u2Y = 2(0 − (− )) = + 2 =+ 2 2 2 k 2 k EA

1√ F F 1√ 1√ 1√ F L . (7.30) 2u2X + 2u2Y = 2(0 + (− )) = − 2 =− 2 2 2 k 2 k EA Aus den lokalen Verschiebungen lassen sich die Verzerrungen im Element I uII 2 =

7.4 Beispiele in der Ebene

147

1 1√ F 1 F L − 0) √ =+ εI (x) = √ (+uI2 − uI1 ) = ( 2 EA 2 EA 2L 2L

(7.31)

und im Element II 1 1√ F 1 F II L)) √ =+ 2 εII (x) = √ (+uII 3 − u2 ) = (0 − (− EA 2 EA 2L 2L

(7.32)

ermitteln. Nachdem die lokalen Verschiebungen in den jeweiligen Elementen bekannt sind, lassen sich die lokalen Kräfte über die Einzelsteifigkeitsbeziehung bestimmen: Stab I: √ √ N1I = k (+uI1 − uI2 ) = k(0 − 12 √2 Fk ) = − 12 √2F , (7.33) N2I = k (−uI1 + uI2 ) = k(0 + 12 2 Fk ) = + 12 2F . Stab II: √ F √ 1 1 II N2II = k (+uII 2 − u3 ) = k(− 2 2√ k − 0) = − 2 2F √, 1 F 1 II N3II = k (−uII + u ) = k(−(− 2 ) + 0) = + 2 3 2 k 2 2F .

(7.34)

Aus der Definition der Stabkräfte lässt sich erkennen, dass sowohl Stab I als auch Stab II Zugstäbe sind. Die Normalspannung ergibt sich im Stab I zu: σI =

1√ F 2 2 A

(7.35)

und im Stab II zu:

1√ F (7.36) 2 . 2 A Damit sind auch die inneren Beanspruchungen in den einzelnen Elementen bekannt. σ II =

7.4.2 Ebenes Tragwerk: Balken und Stab Als weiteres einfaches Beispiel wird ein Tragwerk besprochen, das aus einem Balken und einem Stab aufgebaut ist (siehe Abbildung 7.7). Der Balken ist an einem Ende (Position B) fest eingespannt. An der Position C ist der Balken gelenkig mit dem Stab verbunden, der an der Position D gelagert ist. Die gesamte Struktur wird mit einer Einzelkraft F belastet. Gegeben: E, I, A, L und F Gesucht sind • die Verschiebungen und Verdrehungen an der Position C und

148

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

F

E , I

C B L

Y L

X Z

E , A D Abb. 7.7 Ebenes Tragwerk: Balken und Stab

• die Reaktionskräfte an den Einspannstellen. Zur Lösung werden zwei Wege vorgestellt. Sie unterscheiden sich in der Verwendung eines globalen Koordinatensystems. Zunächst wird der Lösungsweg ohne die Einführung eines globalen Koordinatensystems vorgestellt. Die Diskretisierung des Tragwerkes liegt auf der Hand. Der Balken ist Element I, der Stab Element II. An den Positionen B, C und D werden die Knoten mit den Nummern 1, 2 und 3 eingeführt. Für die einzelnen Elemente sind die kinematischen Größen in Abbildung 7.8 und die „Kraftgrößen“ in

v 1

j

1

v I

2

j

1

2

u 2

2

2

II

u 3

3

Abb. 7.8 Ebenes Tragwerk mit kinematischen Größen an den Einzelelementen

7.4 Beispiele in der Ebene

149

Abbildung 7.9 dargestellt.

M 1

M I

2

N 2

2 Q

Q 1

1

2

II

2 3 N 3

Abb. 7.9 Ebenes Tragwerk mit „Kraftgrößen“ an den Einzelelementen

Am Element I hängen die Knoten 1 und 2. Damit beziehung für das Element I: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 12 6L −12L 6L Q1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 6L 4L2 −6L 2L2 ⎥ ⎢ M1 ⎥ ⎥ EI ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 L ⎢ ⎥ ⎢Q ⎥ ⎢ −12 −6L 12 −6L ⎥ ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 2 M2 6L 2L −6L 4L

lautet die Steifigkeits⎡

v1

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ ⎥ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ϕ2

(7.37)

Am Element II hängen die Knoten 3 und 2. Die Einzelsteifigkeitsmatrix lautet für das Element II:      N3 k −k u3 = . (7.38) N2 u2 −k k Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung erhält man, indem das Gesamtgleichgewicht aufgestellt wird. Dies folgt aus dem Gleichgewicht an allen Knoten. Das System lässt sich durch die folgenden Größen beschreiben: • an der Position B: Verschiebung v1 und die Verdrehung ϕ1 , • an der Position C: Verschiebung v2 und die Verdrehung ϕ2 , • an der Position D: Verschiebung u3 .

150

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

An der Koppelstelle C entspricht • die Verschiebung v2 am Balken der Verschiebung u2 am Stab und • die Querkraft Q2 am Balken der Normalkraft N2 am Stab. Die Dimension der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ist damit festgelegt: ein 5 x 5 System. In der folgenden Darstellung sind der Übersichtlichkeit halber die Einträge nicht im Detail ausgeführt. Als Abkürzungen stehen • Z für den Zug-Druckstab und • B für den Biegebalken: ⎡

Q1

⎤

⎡

BB

B

B

B

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ M1 ⎥ ⎢ B ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ Q2 ⎥ = ⎢ B ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢M ⎥ ⎢B ⎢ 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎣ 0 N3

B 0

⎤⎡

⎥ ⎥ B 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ B B+Z B Z⎥ ⎥ ⎥ B B B 0⎥ ⎥ ⎦ 0 Z 0 Z

v1

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ u3

(7.39)

In der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ist bereits eingearbeitet, • dass am Knoten 2 die Verschiebung v2 bezüglich des Biegebalkens identisch ist mit der Verschiebung u2 am Stab und • dass am Knoten 2 die Querkraft Q2 bezüglich des Biegebalkens identisch mit der Normalkraft des Zugstabes N2 ist. Im nächsten Schritt werden die Randbedingungen in die Gesamtsteifigkeitsbeziehung eingebracht. • Am Knoten 1 ist die Verschiebung v1 und die Verdrehung ϕ1 gleich Null. • Am Knoten 2 ist die externe Kraft −F , das Moment M2 ist Null. • Am Knoten 3 ist die Verschiebung u3 gleich Null. Damit können die Zeilen und Spalten 1, 2 und 5 aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung genommen werden. Es verbleibt ein reduziertes Gleichungssystem:      −F B+Z B v2 . (7.40) = ϕ2 0 B B Ausführlich lautet das reduzierte Gleichungssystem: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ EI EI ⎡ ⎤ 12 3 + EA −6 −F v 2 L L L ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦. EI EI 0 ϕ2 −6 2 4 L L

(7.41)

Daraus lassen sich die gesuchte Verschiebung v2 und die Verdrehung ϕ2 ermitteln als:

7.4 Beispiele in der Ebene

151

F

v2 = −

EI EA + L3 L

3

ϕ2 = −

,

F 3 . EA 2L EI 3 3 + L L

(7.42)

Nachdem die Größen v2 und ϕ2 bekannt sind, lassen sich durch Einsetzen in Gleichung (7.39) die Lagerkräfte bestimmen. Bei diesem Beispiel wurde auf die Definition eines globalen Koordinatensystems und damit auf die Transformation von lokalen in globale Koordinaten verzichtet. Im Allgemeinen ist das nicht möglich. In diesem Beispiel können aufgrund der rechtwinkligen Lage zueinander Größen des einen Elementes mit denen am anderen Element identifiziert werden. Der Vollständigkeit halber wird auch der Lösungsweg mit Koordinatentransformation dargestellt. Die Einzelsteifigkeitsbeziehungen in lokalen Koordinaten sind bereits bekannt. Für beide Elemente sind in Abbildung 7.10 die kinematischen Größen

u

1 y

j u

u I

2 y

j

1 z

u

1 x

1 2

u

2 z

2 x

2

2 x

II

Y Z

X u

3 x

3

Abb. 7.10 Ebenes Tragwerk mit kinematischen Größen in lokalen Koordinaten an den Einzelelementen

und in Abbildung 7.11 die „Kraftgrößen“ dargestellt. Im nächsten Schritt werden die Einzelsteifigkeitsbeziehungen in globalen Koordinaten dargestellt. Zunächst wird ein globales Koordinatensystem definiert. Für das Element I sind die lokalen und globalen Koordinatensysteme identisch. Die Einzelsteifigkeitsbeziehung lautet für das Element I:

152

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

M N

M I

1 z

2 z

N

1 x

F

2 x

2 x

2 Q

Q

1 y

1

2 y

II

2 Y 3 X Z

F

3 x

Abb. 7.11 Ebenes Tragwerk mit „Kraftgrößen“ in lokalen Koordinaten an den Einzelelementen

⎡

F1X

⎤

⎡

0 0

0

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F1Y ⎥ ⎢ 0 12 6L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M1Z ⎥ EI ⎢ 0 6L 4L2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥= 3 ⎢ ⎢F ⎥ L ⎢0 0 0 ⎢ 2X ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F2Y ⎥ ⎢ 0 −12 −6L ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ 0 6L 2L2 M2Z

0

0

0

⎤⎡

⎥ ⎥ 0 −12L 6L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 −6L 2L2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 12 −6L ⎥ ⎥ ⎦ 2 0 −6L 4L

u1X

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. ⎢u ⎥ ⎢ 2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ϕ2Z

(7.43)

Für das Element II lautet die Einzelsteifigkeitsbeziehung in lokalen Koordinaten: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ EA ⎤ F3x u3x 0 − EA L L 0 ⎢ F3y ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎢ u3y ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (7.44) ⎣ F2x ⎦ = ⎣ − EA 0 EA 0 ⎦ ⎣ u2x ⎦ . L L F2y u2y 0 0 0 0 Das Element II ist gegenüber dem globalen Koordinatensystem um den Winkel α = 90◦ gedreht. Die Transformationsmatrix lautet für einen Vektor: ⎡ ⎤ 0100 ⎢1 0 0 0⎥ ⎥ T =⎢ (7.45) ⎣0 0 0 1⎦. 0010

7.4 Beispiele in der Ebene

153

Die Einzelsteifigkeitsbeziehung ergibt sich damit für das Element II in globalen Koordinaten: ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 00 0 u3X F3X ⎢ F3Y ⎥ ⎢ 0 EA 0 − EA ⎥ ⎢ u3Y ⎥ L L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ (7.46) ⎣ F2X ⎦ = ⎣ 0 00 0 ⎦ ⎣ u2X ⎦ EA EA F2Y u2Y 0− L 0 L Die Dimension der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich zu 8. Die kinematischen Größen sind • am Knoten 1: u1X , u1Y , ϕ1Z , • am Knoten 2: u2X , u2Y , ϕ2Z und • am Knoten 3: u3X , u3Y . Die „Kraftgrößen“ sind • am Knoten 1: F1X , F1Y , M1Z , • am Knoten 2: F2X , F2Y , M2Z und • am Knoten 3: F3X , F3Y . Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich damit zu: ⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ u1X 0 0 0 0 0 0 0 0 F1X ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F1Y ⎥ ⎢ 0 B B 0 B B 0 0 ⎥ ⎢ u1Y ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢0 B B 0 B B 0 0 ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎥ ⎢ 1Z ⎥ ⎢ 1Z ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F2X ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ u2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F2Y ⎥ ⎢ 0 B B 0 B + Z B 0 Z ⎥ ⎢ u2Y ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M2Z ⎥ ⎢ 0 B B 0 B B 0 0 ⎥ ⎢ ϕ2Z ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ F ⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ u3X ⎥ ⎢ 3X ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ F3Y

0 0 0 0

Z

0 0Z

(7.47)

u3Y

In die Gesamtsteifigkeitsbeziehung werden die Randbedingungen eingebracht. • Am Knoten 1, der Einspannstelle des Balkens, sind die Verschiebungen u1X , u1Y und der Winkel ϕ1Z gleich Null. • Am Knoten 2 wirkt die äußere Kraft entgegen der Y -Richtung. • Am Knoten 3 sind die Verschiebungen u3X und u3Y gleich Null. Damit können die entsprechenden Zeilen und Spalten (1, 2, 3, 4, 7, 8) aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung gestrichen werden. Es verbleibt ein reduziertes System der Dimension 2 x 2:

154

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen







−F B+Z B = 0 BB



u2Y ϕ2Z

 (7.48)

.

Dieses Gleichungssystem ist ähnlich zu dem bereits oben aufgezeigten System, das aus der Beschreibung in lokalen Koordinaten hervorgegangen ist. Die Verschiebung v2 entspricht u2Y und die Verdrehung ϕ2 entspricht ϕ2Z . Der weitere Lösungsweg ist identisch.

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen Das Tragwerk besteht aus drei geraden Abschnitten, die verschieden im Raum orientiert sind. Die Abschnitte sind jeweils rechtwinklig zueinander angeordnet (siehe Abbildung 7.12). Die gesamte Struktur ist an der Position B eingespannt und wird an der Position G mit einer Einzelkraft F belastet.

F G III L B X

Y

D II

Z L

I

C L

Abb. 7.12 Allgemeines Tragwerk im Raum

Gegeben: E, ν, A, L und F Gesucht sind • die Verschiebungen und Verdrehungen an jeder Koppelstelle (das sind die Positionen B, C, D) und

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen

155

• die Reaktionskräfte an der Einspannstelle (Position B). Lösung: Bei der Modellierung als Finite-Elemente-Modell entsprechen die Abschnitte jeweils einem 1D-Element. Zunächst werden die Elemente und Knoten mit Nummern versehen. Für die Beschreibung der Verschiebungen und Verdrehungen wird ein globales (X, Y , Z)-Koordinatensystem festgelegt. Prinzipiell könnte für jedes Element die Gesamtsteifigkeitsmatrix eines allgemeinen 1D-Elementes herangezogen werden. Dies führt zu sehr umfangreichen Beschreibungen. Alternativ können für jedes Element die entsprechenden Steifigkeitsmatrizen der Grundbelastungstypen angegeben werden: • Das Element I wird auf Biegung und Torsion, • das Element II wird auf Biegung und • das Element III auf Druck beansprucht. Der Schubanteil in den Elementen I und II wird vernachlässigt. In Abbildung 7.13 sind die Zustandsgrößen für das Element I in lokalen Koordinaten dargestellt. Der Übersichtlichkeit halber sind nur die für die Beschreibung der Biege- und Druckbelastung relevanten Größen berücksichtigt.

j

j 1 y

y 1 x

x

1 z

u

I 1 z

j

X 2 j

2 y

u

Z

Y

2 x

2 z

Abb. 7.13 Element I mit Zustandsgrößen in lokalen Koordinaten

In lokalen Koordinaten lautet die Spaltenmatrix der Zustandsgrößen T

(7.49)

[u1x , u1y , u1z , ϕ1x , ϕ1y , ϕ1z , u2x , u2y , u2z , ϕ2x , ϕ2y , ϕ2z ] , [F1x , F1y , F1z , M1x , M1y , M1z , F2x , F2y , F2z , M2x , M2y , M2z ] und die Steifigkeitsmatrix für das Element I:

T

(7.50)

156

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

⎡

00 ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0 00

0 0 12

EIy L3

0 0 0

GIt 0 L EIy −6 L2 0 0 0 0 0 0 0 EI −12 L3y 0 t 0 − GI L EIy −6 L2 0 0 0

0 0 EI −6 L2y 0 EIy 4 L 0 0 0 EI 6 L2y 0 EIy 2 L 0

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

0 0 0 0 0 0 EI 0 −12 L3y 0 t 0 0 − GI L EIy 0 6 L2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EI 0 12 L3y 0 GIt 0 0 L EIy 0 6 L2 0 0 0 0

0 0 EI −6 L3y 0 EIy 2 L 0 0 0 EI 6 L2y 0 EIy 4 L 0

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥. 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 0

(7.51)

Die Transformationsvorschrift von lokalen auf globale Koordinaten lautet für einen Vektor bezüglich des Elementes I: ⎡ ⎤ cos( π2 ) cos(0) cos( π2 ) ⎣ cos(π) cos( π ) cos( π ) ⎦ . (7.52) 2 2 cos(− π2 ) cos(− π2 ) cos(0) Das Element I hat zwei Knoten mit jeweils 6 skalaren Größen. Es ergibt sich daher ein 12 x 12 System: ⎡ ⎤ 0 10 0 00 0 00 0 00 ⎢ −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0⎥ ⎥ (7.53) TI = ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⎦ 0 00 0 00 0 00 0 01 Die Einzelsteifigkeitsbeziehung für das Element I lautet nach der Transformation in globalen Koordinaten:

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen

⎡

00 ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0 00

0 0

EI

12 L3y EI 6 L2y 0 0 0 0 EI −12 L3y EIy 6 L2 0 0

0 0

EI

157

0 0 0 0

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

6 L2y EI 4 Ly GIt 0 L 0 0 0 0 0 0 EI −6 L2y 0 EI 2 Ly 0 GIt 0 − L 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 EI −12 L3y EIy −6 L2 0 0 0 0 EI 12 L3y EI −6 L2y 0 0

0 0

EI

0 0 0 0

6 L2y EI 2 Ly t 0 − GI L 0 0 0 0 0 0 EI −6 L2y 0 EI 4 Ly 0 GIt 0 L 0 0

⎤ 0 ⎡ u1X ⎤ 0⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ 0⎥ ⎥ ⎢ u1Z ⎥ ⎥ 0⎥ ϕ1X ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ 0⎥ ⎢ ϕ1Y ⎥ ⎥ ⎥⎢ 0⎥ ⎢ ϕ1Z ⎥ ⎥. ⎥⎢ 0⎥ ⎢ u2X ⎥ ⎥ ⎥⎢ 0⎥ ⎢ u2Y ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ u2Z ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ϕ2X ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎣ ⎦ 0 ⎦ ϕ2Y ϕ2Z 0

(7.54) Für das Element II sind die lokalen und globalen Koordinaten identisch. In Abbildung 7.14 sind die Zustandsgrößen für das Element II in lokalen Koordinaten abgebildet. Damit ergibt sich die Einzelsteifigkeitsbeziehung für

3 II 2 j u

2 z

u

j

3 y

3 z

X x y

2 y

Z

z

Abb. 7.14 Element II mit Zustandsgrößen in lokalen Koordinaten

das Element II zu:

Y

158

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

⎡

⎡

⎤ 00 0 F2X 0 0 0 ⎢ F2Y ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ EIy ⎢ F2Z ⎥ ⎢ 0 0 12 L3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ M2X ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ EI ⎢ M2Y ⎥ ⎢ 0 0 −6 L2y ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ M2Z ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ F3X ⎥ = ⎢ 00 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F3Y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢0 0 EIy ⎢ F3Z ⎥ ⎢ 0 0 −12 ⎢ ⎥ ⎢ L3 ⎢ M3X ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M3Y ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 −6 EI2y L M3Z 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 EI −6 L2y 0 EIy 4 L 0 0 0 EI 6 L2y 0 EI 2 Ly 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 EI 0 −12 L3y 0 0 EIy 0 6 L2 0 0 0 0 0 0 EI 0 12 L3y 0 0 EI 0 6 L2y 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 0

0 0 EI −6 L2y 0 EIy 2 L 0 0 0 EI 6 L2y 0 EI 4 Ly 0

⎡

⎤ u2X ⎢ u2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ2Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u3X ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ u3Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u3Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3X ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ϕ3Y ⎦ ϕ3Z

(7.55) Für das Element III ist das lokale Koordinatensystem gegenüber dem globalen gedreht. Die Zustandsgrößen sind in lokalen Koordinaten in Abbildung 7.15 dargestellt.

u

4 x

4 III

x y

z X Z

Y

3 u

3 x

Abb. 7.15 Element III mit Zustandsgrößen in lokalen Koordinaten

Die Einzelsteifigkeitsbeziehung für das Element III lautet in lokalen Koordinaten:

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen

⎡

⎤

⎡

EA F3x L ⎢ F3y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F3z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3x ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F4x ⎥ = ⎢ − EA ⎢ ⎥ ⎢ L ⎢ F4y ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F4z ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M4x ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M4y ⎦ ⎣ 0 M4z 0

159

0 0 0 0 0 − EA L 00000 0 00000 0 00000 0 00000 0 00000 0 0 0 0 0 0 EA L 00000 0 00000 0 00000 0 00000 0 00000 0

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

⎤⎡

0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 0

⎤

u3x ⎢ u3y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u3z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4x ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ u4y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ4x ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ϕ4y ⎦ ϕ4z

(7.56)

Die Transformationsvorschrift von lokalen auf globale Koordinaten lautet für einen Vektor bezüglich des Elementes III: ⎡ ⎤ cos(− π2 ) cos( π2 ) cos(π) ⎣ cos( π ) cos(0) cos( π ) ⎦ . (7.57) 2 2 cos(0) cos(− π2 ) cos(− π2 ) Die gesamte Transformationsmatrix T III ⎡ 0 0 −1 0 0 0 ⎢0 1 0 0 0 0 ⎢ ⎢1 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 −1 ⎢ ⎢0 0 0 0 1 0 ⎢ ⎢0 0 0 1 0 0 T III = ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 0 0 ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 00 0 00 0

ergibt sich damit zu: ⎤ 00 0 00 0 00 0 00 0 ⎥ ⎥ 00 0 00 0 ⎥ ⎥ 00 0 00 0 ⎥ ⎥ 00 0 00 0 ⎥ ⎥ 00 0 00 0 ⎥ ⎥. 0 0 −1 0 0 0 ⎥ ⎥ 01 0 00 0 ⎥ ⎥ 10 0 00 0 ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 −1 ⎥ ⎥ 00 0 01 0 ⎦ 00 0 10 0

(7.58)

Die Einzelsteifigkeitsbeziehung für das Element III lautet in globalen Koordinaten:

160

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

⎡

⎤

⎡

00 0 F3X ⎢ F3Y ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F3Z ⎥ ⎢ 0 0 EA L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3X ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3Y ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M3Z ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F4X ⎥ = ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F4Y ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F4Z ⎥ ⎢ 0 0 − EA ⎢ ⎥ ⎢ L ⎢ M4X ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M4Y ⎦ ⎣ 0 0 0 M4Z 00 0

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

00 0 00 0 0 0 − EA L 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 EA L 00 0 00 0 00 0

⎤ 000 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 000

⎡

⎤ u3X ⎢ u3Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u3Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3X ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ3Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4X ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ u4Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4Z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ4X ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ϕ4Y ⎦ ϕ4Z

(7.59)

Es liegen jetzt alle Einzelsteifigkeitsbeziehungen in globalen Koordinaten vor. Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung kann aufgebaut werden, indem die Einzelsteifigkeitsbeziehungen geeignet angeordnet werden. Die Dimension der Gesamtsteifigkeitsbeziehung ergibt sich zu 24 x 24, an den 4 Knoten werden jeweils 6 Größen berücksichtigt. Bei der Darstellung der Gesamtsteifigkeitsbeziehung werden nur diejenigen Zeilen und Spalten mit Nicht-Null-Einträgen berücksichtigt. In globalen Koordinaten lauten die Spaltenmatrizen der Zustandsgrößen: T

(7.60)

[u1Z , ϕ1X , ϕ1Y , u2Z , ϕ2X , ϕ2Y , u3Z , ϕ3Y , u4Z ] und

T

[F1Z , M1X , M1Y , F2Z , M2X , M2Y , F3Z , M3Y , F4Z ]

(7.61)

und die Gesamtsteifigkeitsmatrix: ⎡

EI

12 L3y ⎢ 6 EI2y ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ −12 EIy ⎢ 3 ⎢ EILy ⎢ 6 L2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0

EI

6 L2y 0 EIy 4 L 0 0 kT EI −6 L2y 0 EIy 2 L 0 0 −kT 0 0 0 0 0 0

EI

−12 L3y EI −6 L2y 0 EI 24 L3y EI −6 L2y EI −6 L2y EI −12 L3y EIy −6 L2 0

mit

EI

6 L2y 0 0 EIy 2 L 0 0 0 −kT 0 EI EI EI −6 L2y −6 L3y −12 L3y EIy 4 L 0 0 EIy EIy 0 kT + 4 L 6 L2 EI EI 0 6 L2y 12 L3y + kZ EI EI 0 2 Ly 6 Ly 0 0 −kZ

⎤ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ EI −6 L2y 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ EI 2 Ly 0 ⎥ ⎥ EI 6 L2y −kZ ⎥ ⎥ EI 4 Ly 0 ⎦ 0 kZ (7.62)

GIt EA , kZ = . (7.63) L L In die Gesamtsteifigkeitsbeziehung werden die Randbedingungen eingebracht. An der Einspannstelle sind die Verschiebung u1Z und die Winkel ϕ1X und kT =

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen

161

ϕ2Y gleich Null. Damit können die entsprechenden Zeilen und Spalten aus der Gesamtsteifigkeitsbeziehung gestrichen werden. Es verbleibt ein reduziertes System. ⎡ ⎤ EIy EIy EIy EIy EIy 24 −6 −6 −12 −6 0 ⎢ ⎥ L3 L2 L3 L3 L2 ⎢ ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎢ −6 EIy 4 EIy u2Z 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 2 L L ⎥ ⎢ ϕ2X ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ EI EIy EIy GIt EIy y ⎥ ⎢ ϕ2Y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −6 + 4 6 0 0 2 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ L2 L L L2 L ⎥ ⎢ u3Z ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ EIy EIy EIy ⎥ ⎣ ϕ3Y ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎢ −12 EIy 0 6 12 + k 6 −k ⎢ ⎥ L3 L2 L3 L2 ⎢ ⎥ u4Z F ⎢ ⎥ EI EI EI EI y y y y ⎢ −6 ⎥ 6 4 0 0 2 ⎣ ⎦ L2 L L L 0 0 0 −k 0 k (7.64) mit EA k= . (7.65) L Daraus lassen sich die unbekannten Größen ermitteln: ⎡ ⎤ F + EIy ⎥ 3 L3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ u2Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ F ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + EIy ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 ⎢ 2X ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ F ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ϕ2Y ⎥ ⎢ GIt ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. (7.66) ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢ + 3EI )L F 2GI ⎥ t y ⎢ u3Z ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3EIy GIt ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ϕ3Y ⎥ ⎢ (GI + 2EI )F L t y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 2EIy GIt ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u4Z ⎣ (3GIt Iy + 2GIt AL2 )LF ⎦ + 3EIy AGIt Durch Einsetzen der jetzt bekannten kinematischen Größen in die Gesamtsteifigkeitsbeziehung lassen sich die Einspannkräfte F1X und Einspannmomente M1X und M1Y ermitteln.

162

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

7.6 Weiterführende Aufgaben 7.1. Tragwerk aus Balken im Dreidimensionalen Für das oben ausgeführte Beispiel sollen die Verschiebungen und Verdrehungen für konkrete Zahlenwerte ermittelt werden: E = 210.000 MPa, G = 80707 MPa, a = 20 mm, It = 0,141 a4 , F = 100 N. 7.2. Tragwerk aus Balken im Dreidimensionalen, alternatives Koordinatensystem Für das oben ausgeführte Beispiel soll ein zweites globales Koordinatensystem definiert werden. Abbildung 7.16 zeigt die Definition der Koordinatenachsen. Die globale Z-Koordinate ist gleichgeblieben, die X- und Y -Koordinaten ha-

F G III L X B Y D II Z L

I

C L

Abb. 7.16 Allgemeines Tragwerk im Raum mit alternativem globalem Koordinatensystem

ben die Plätze getauscht. Zu bestimmen sind die kinematischen Größen an den Knotenpunkten.

Literaturverzeichnis

163

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 3. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton 4. Stoer J (1989) Numerische Mathematik 1. Springer-Lehrbuch, Berlin

Kapitel 8

Balken mit Schubanteil

Zusammenfassung Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung unter Berücksichtigung des Schubeinflusses beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung des TimoshenkoBalkens vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung eines Systems gekoppelter Differentialgleichungen verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Timoshenko-Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben linearen Formfunktionen wird ein allgemeines Konzept für beliebige Ordnung der Formfunktionen vorgestellt.

8.1 Einführende Bemerkungen Die grundsätzlichen Unterschiede bezüglich der Verformung und Spannungsverteilung bei einem Biegebalken mit und ohne Schubeinfluss wurden bereits in Kapitel 5 angesprochen. In diesem Kapitel soll mittels der Theorie des Timoshenko-Balkens der Schubeinfluss berücksichtigt werden. Im Rahmen der folgenden einführenden Bemerkungen soll jedoch zuerst auf die Definition der Schubverzerrung und den Zusammenhang zwischen Querkraft und Schubspannung eingegangen werden. Zur Ableitung der Gleichung für die Schubverzerrung in der x-y-Ebene wird das in Abbildung 8.1 dargestellte infinitesimale rechteckige Balkenelement ABCD betrachtet, das sich unter der Einwirkung von Schubspannungen verformt. Hierbei ergibt sich eine Winkeländerung der ursprünglich rechten Winkel und eine Änderung der Kantenlängen.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_8, 

165

166

8 Balken mit Schubanteil

Abb. 8.1 Zur Definition der Schubverzerrung γxy in der x-y -Ebene an einem infinitesimalen Balkenelement

Die Verformung des Punktes A kann mittels der Verschiebungsfelder ux (x, y) und uy (x, y) beschrieben werden. Diese beiden Funktionen zweier Veränderlicher können in eine Taylorsche Reihe1 erster Ordnung um den Punkt A entwickelt werden, um die Verformungen der Punkte B und D näherungsweise zu berechnen: ∂ux ∂ux dx + dy , ∂x ∂y ∂uy ∂uy dx + dy , = uy (x + dx, y) = uy (x, y) + ∂x ∂y

ux,B = ux (x + dx, y) = ux (x, y) +

(8.1)

uy,B

(8.2)

beziehungsweise

1

Für eine Funktion f (x, y) zweier Veränderlicher wird eine Taylorsche Reihenentwicklung erster Ordnung um den Punkt (x0 ,y0 ) üblicherweise wirfolgt  angesetzt: f (x, y) =

f (x0 + dx, y0 + dx) ≈ f (x0 , y0 ) +

∂f ∂x

x0 ,y0

× (x − x0 ) +

∂f ∂y

x0 ,y0

× (y − y0 ).

8.1 Einführende Bemerkungen

167

∂ux ∂ux dx + dy , ∂x ∂y ∂uy ∂uy dx + dy . = uy (x, y + dy) = uy (x, y) + ∂x ∂y

ux,D = ux (x, y + dy) = ux (x, y) +

(8.3)

uy,D

(8.4)

In Gleichung (8.1) bis (8.4) stellt ux (x, y) und uy (x, y) die sogenannte Starrkörperverschiebung dar, die keine Deformation verursacht. Berücksichtigt man, dass Punkt B die Koordinaten (x + dx, y) und D die Koordinaten (x, y + dy) hat, ergibt sich: ∂ux dx , ∂x ∂uy dx , = uy (x, y) + ∂x

ux,B = ux (x, y) +

(8.5)

uy,B

(8.6)

beziehungsweise ∂ux dy , ∂y ∂uy dy . = uy (x, y) + ∂y

ux,D = ux (x, y) +

(8.7)

uy,D

(8.8)

Die gesamte Schubverzerrung γxy des verformten Balkenelements A B  C  D ergibt sich nach Abbildung 8.1 aus der Summe der beiden Winkel α und β, die bei dem zur Raute deformierten Rechteck identifiziert werden können. Unter Beachtung der beiden rechtwinkeligen Dreiecke A D∗ D und A B ∗ B  , können diese beiden Winkel über ∂uy dx ∂x tan α = ∂ux dx dx + ∂x

und

∂ux dy ∂y tan β = ∂uy dy dy + ∂y

(8.9)

ausgedrückt werden. Für kleine Verformungen gilt näherungsweise tan α ≈ α ∂uy x und tan β ≈ β beziehungsweise ∂u ∂x 1 und ∂y 1, so dass sich für die Schubverzerrung folgender Ausdruck ergibt: γxy =

∂uy ∂ux + . ∂x ∂y

(8.10)

Diese gesamte Winkeländerung wird auch als ingenieurmäßige Definition der Schubverzerrung bezeichnet. Im Gegensatz dazu wird der Ausdruck εxy = ∂ux 1 1 ∂uy 2 γxy = 2 ( ∂x + ∂y ) unter tensorieller Definition in der Literatur angeführt. Auf Grund der Symmetrie des Verzerrungstensors gilt allgemein γij = γji .

168

8 Balken mit Schubanteil

Abb. 8.2 Definition einer a) positiven und b) negativen Schubverzerrung in der x-y -Ebene

Das Vorzeichen der Schubverzerrung soll für den Spezialfall, dass nur eine Querkraft parallel zur y-Achse wirkt, mittels Abbildung 8.2 im Folgenden erläutert werden. Wirkt eine Querkraft in Richtung der positiven y-Achse am positiven Schnittufer – somit wird hier ein positiver Querkraftverlauf angenommen –, ergibt sich nach Abbildung 8.2 a) unter Berücksichtigung von Gleichung (8.10) eine positive Schubverzerrung. Entsprechend ergibt ein negativer Querkraftverlauf nach Abbildung 8.2 b) eine negative Schubverzerrung. In Kapitel 5 wurde bereits erwähnt, dass der Schubspannungsvelauf über den Querschnitt veränderlich ist. Als Beispiel wurde in Abbildung 5.2 der parabolische Schubspannungsverlauf über einen Rechteckquerschnitt dargestellt. Mittels des Hookeschen Gesetzes für einen eindimensionalen Schubspannungszustand (vergleiche hierzu Kapitel x.y), kann daraus abgeleitet werden, dass die Schubverzerrung einen entsprechenden parabolischen Verlauf aufweisen muss. Aus der Schubspannungsverteilung in der Querschnittsfläche an einer Stelle x des Balkens2 ergibt sich im allgemeinen Fall durch Integration, das heißt

Qy = τxy (y, z)dA , (8.11) A

die wirkende Querkraft. Zur Vereinfachung wird jedoch beim TimoshenkoBalken angenommen, dass eine äquivalente konstante Schubspannung und -verzerrung wirkt: τxy (y, z) → τxy .

(8.12)

2 Eine genauere Analyse der Schubspannungsverteilung in der Querschnittsfläche ergibt, dass sich die Schubspannung nicht nur über der Höhe des Balkens, sondern auch über der Breite des Balkens ändert. Ist die Breite des Balkens gegenüber der Höhe klein, ergibt sich jedoch nur eine geringe Änderung entlang der Breite und in erster Näherung kann von einer konstanten Schubspannung über der Breite ausgegangen werden: τxy (y, z) → τxy (y). Siehe hierzu zum Beispiel [1, 2].

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

169

Diese konstante Schubspannung ergibt sich dadurch, dass die Querkraft in einer äquivalenten Querschnittsfläche, der sogenannten Schubfläche As , wirkt: τxy =

Qy , As

(8.13)

wobei das Verhältnis zwischen der Schubfläche As und der tatsächlichen Querschnittsfläche A als Schubkorrekturfaktor ks bezeichnet wird: As . (8.14) A Zur Berechnung des Schubkorrekturfaktors können verschiedene Annahmen gemacht werden [3]. So kann zum Beispiel gefordert werden [6], dass die Verzerrungsenergie der äquivalenten Schubspannung mit der Energie identisch sein muss, die sich aus der in der tatsächlichen Querschnittsfläche wirkenden Schubspannungsverteilung ergibt. Verschiedene Eigenschaften einfacher geometrischer Querschnitte – inklusive des Schubkorrekturfaktors3 – sind in Tabelle 8.1 zusammengestellt [5, 6]. Weitere Einzelheiten zum Schubkorrekturfaktor für beliebige Querschnitte können [7] entnommen werden. Selbstverständlich kann sich die äquivalente konstante Schubspannung entlang der Balkenlängsachse ändern, falls sich die Querkraft entlang der Balkenlängsachse ändert. Das Attribut ’konstant’ bezieht sich also nur auf die Querschnittsfläche an der Stelle x und die äquivalente konstante Schubspannung ist somit im Allgemeinen für den Timoshenko-Balken eine Funktion der Längskoordinate: ks =

τxy = τxy (x) .

(8.15)

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss Der sogenannte Timoshenko-Balken kann dadurch generiert werden, indem man einem Bernoulli-Balken eine Schubverformung entsprechend Abbildung 8.3 überlagert.

3

Man beachte, dass in der angelsächsischen Literatur oft der sogenannte Schubformfaktor (form factor for shear) angegeben wird. Dieser ergibt sich als Kehrwert des Schubkorrekturfaktors.

170

8 Balken mit Schubanteil

Tabelle 8.1 Eigenschaften verschiedener Querschnitte in der y -z -Ebene. Iz und Iy : axiales Flächenträgheitsmoment; A: Querschnittsfläche; ks : Schubkorrekturfaktor Querschnitt

Iz

Iy

A

ks

πR4 4

πR4 4

πR2

9 10

πR3 t

πR3 t

2πRt

0.5

bh3 36

hb3 36

hb

5 6

b2 2htw h2 (htw + 3btf ) (btf + 3htw ) 2(btf + htw ) 6 6 A

h2 (htw + 6btf ) 12

b3 tf 6

htw + 2btf

htw A

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

171

Abb. 8.3 Überlagerung des Bernoulli-Balkens (a) und der Schubverformung (b) zum Timoshenko-Balken (c) in der x-y -Ebene. Die eingezeichneten Orientierungen der Winkel entsprechen den positiven Definitionen

172

8 Balken mit Schubanteil

Man erkennt, dass die Bernoulli-Hypothese beim Timoshenko-Balken teilweise nicht mehr erfüllt ist: Zwar bleiben ebene Querschnitte auch nach der Verformung noch eben, jedoch steht ein Querschnitt, der vor der Verformung senkrecht auf der Balkenachse stand, nach der Verformung nicht mehr senkrecht auf der Balkenachse. Wird auch die Forderung nach Ebenheit der Querschnitte aufgegeben, gelangt man zu Theorien dritter Ordnung [8, 9, 10], bei denen im Verschiebungsfeld ein parabolischer Verlauf der Schubverzerrungen und -spannungen berücksichtigt wird, vergleiche Abbildung 8.4. Somit ist bei diesen Theorien dritter Ordnung kein Schubkorrekturfaktor mehr notwendig.

Abb. 8.4 Verformung ursprünglich ebener Querschnitte beim Timoshemko-Balken (links) und bei der Theorie dritter Ordnung (rechts) [11]

8.2.1 Kinematik Entsprechend der alternativen Ableitung in Kapitel 5.2.1 kann auch für den Balken mit Schubeinfluss die kinematische Beziehung abgeleitet werden, indem man statt dem Winkel ϕz den Winkel φz betrachtet, vergleiche Abbildung 8.3 c). Somit ergibt sich bei äquivalenter Vorgehensweise: sin φz =

ux ≈ φz oder ux = −yφz , y

(8.16)

woraus sich mittels der allgemeinen Beziehung für die Verzerrung, das heißt εx = dux /dx , die kinematische Beziehung durch Differenziation ergibt: dφz . (8.17) dx Man beachte, dass sich bei Vernachlässigung der Schubverformung φz → du ϕz = dxy ergibt, und man die Beziehung nach Gleichung (5.15) als Spezialfall erhält. Weiterhin kann aus Abbildung 8.3 c) der folgende Zusammenhang zwischen den Winkeln abgeleitet werden εx = −y

φz =

duy − γxy , dx

(8.18)

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

173

der den Satz der kinematischen Beziehungen komplementiert. Angemerkt sei, dass hier die sogenannte Biegelinie betrachtet wurde und somit das Verschiebungsfeld uy nur noch eine Funktion einer Veränderlichen ist: uy = uy (x).

8.2.2 Gleichgewicht Die Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen für den Timoshenko-Balken ist identisch mit der Ableitung für den Bernouilli-Balken nach Kapitel 5.2.2: dQy (x) = −qy (x) , dx dMz (x) = −Qy (x) . dx

(8.19) (8.20)

8.2.3 Stoffgesetz Zur Berücksichtigung der konstitutiven Beziehung wird das Hookesche Gesetz für einen eindimensionalen Normalspannungszustand und für einen reinen Schubspannungszustand angesetzt: σx = Eεx , τxy = Gγxy ,

(8.21) (8.22)

wobei der Schubmodul G aus dem Elastizitätsmodul E und der Poisson-Zahl ν über G=

E 2(1 + ν)

(8.23)

berechnet werden kann. Entsprechend dem Gleichgewicht nach Abbildung 5.8 und Gleichung (5.29) kann für den Timoshenko-Balken der Zusammenhang zwischen dem Schnittmoment und der Biegespannung wie folgt angesetzt werden: dMz = (+y)(−σx )dA ,

(8.24)

beziehungsweise nach Integration unter Verwendung des Stoffgesetzes (8.21) und der kinematischen Beziehung (8.17):

174

8 Balken mit Schubanteil

dφz (x) . (8.25) dx Mittels der Gleichgewichtsbeziehung (8.20) ergibt sich hieraus der Zusammenhang zwischen Querkraft und Querschnittsverdrehung zu: Mz (x) = EIz

d2 φz (x) dMz (x) = −EIz . (8.26) dx dx2 Bevor zu den Differenzialgleichungen der Biegelinie übergegangen werden soll, sind in Tabelle 8.2 die Grundgleichungen für den Timoshenko-Balken abschließend zusammengefasst. Man beachte, dass die Normalspannung und -verzerrung eine Funktion beider Ortskoordinaten x und y ist, jedoch die Schubspannung und -verzerrung nur von x abhängt, da eine äquivalente konstante Schubspannung über den Querschnitt beim Timoshenko-Balken als Näherung eingeführt wurde. Qy (x) = −

Tabelle 8.2 Elementare Grundgleichungen für den Biegebalken mit Schubanteil bei Verformung in der x-y -Ebene Bezeichnung

Gleichung

Kinematik

εx (x, y) = −y

Gleichgewicht Stoffgesetz

dφz (x) duy (x) − γxy (x) und φz (x) = dx dx dQy (x) dMz (x) = −qy (x) ; = −Qy (x) dx dx σx (x, y) = Eεx (x, y) und τxy (x) = Gγxy (x)

8.2.4 Differenzialgleichungen der Biegelinie Im vorherigen Abschnitt wurde mittels des Hookeschen Gesetzes für die Normalspannung die Beziehung zwischen dem Schnittmoment und der Querschnittsverdrehung abgeleitet. Differenziation dieser Beziehung nach Gleichung (8.25) ergibt den folgenden Zusammenhang   d dφz dMz = EIz , (8.27) dx dx dx der mittels der Gleichgewichtsbeziehung (8.20) und der Beziehungen für die Schubspannung nach (8.13) und (8.14) zu   d dφz EIz = −ks GAγxy (8.28) dx dx

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

175

umgeformt werden kann. Berücksichtigt man in letzter Gleichung die kinematische Beziehung (8.18), ergibt sich die sogenannte Biegungsdifferenzialgleichung zu:     dφz duy d EIz + ks GA − φz = 0 . (8.29) dx dx dx Berücksichtigt man jetzt im Hookeschen Gesetz für die Schubspannung nach (8.22) die Beziehungen für die Schubspannung nach (8.13) und (8.14) erhält man Qy = ks AGγxy .

(8.30)

Mittels der Gleichgewichtsbeziehung (8.20) und der kinematischen Beziehung (8.18) folgt hieraus:   dMz duy = −ks AG − φz . (8.31) dx dx Nach Differenziation und Berücksichtigung der Gleichgewichtsbeziehungen nach (8.19) und (8.20) ergibt sich schließlich die sogenannte Schubdifferenzialgleichung zu:    duy d ks AG − φz (8.32) = −qy (x) . dx dx Somit wird der schubweiche Timoshenko-Balken durch die folgenden zwei gekoppelten Differenzialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben:     dφz duy d − φz = 0 , EIz + ks AG (8.33) dx dx dx    d duy ks AG − φz (8.34) = −qy (x) . dx dx Dieses System beinhaltet zwei unbekannte Funktionen, nämlich die Durchbiegung uy (x) und die Querschnittsverdrehung φz (x). Für beide Funktionen können Randbedingungen formuliert werden, um das System der Differenzialgleichungen lösen zu können.

8.2.5 Analytische Lösungen Zur Bestimmung analytischer Lösungen muss das System der gekoppelten Differenzialgleichungen nach (8.33) und (8.34) gelöst werden. Durch die Ver-

176

8 Balken mit Schubanteil

wendung eines Computeralgebrasystems (CAS) zur symbolischen Berechnung mathematischer Ausdrücke4 ergibt sich die allgemeine Lösung des Systems zu:  x3 x2 qy (x)x4 + c1 + c2 + c3 x + c4 , 24 6 2   c1 1 x2 qy (x)x3 qy (x)x + c1 + c2 x + c3 + + . φz (x) = EIz 6 2 ks AG ks AG 1 uy (x) = EIz



(8.35) (8.36)

Die Integrationskonstanten c1 , . . . , c4 sind durch entsprechende Randbedingungen zu bestimmen, um die spezielle Lösung eines konkreten Problems, das heißt unter Berücksichtigung der Lagerung und der Belastung des Balkens, zu berechnen. Als Beispiel soll im Folgenden der in Abbildung 8.5 dargestellte Balken betrachtet werden. Die Belastung erfolgt durch eine konstante Streckenlast qy und die Randbedingungen sind für dieses Beispiel wie folgt gegeben: uy (x = 0) = 0 , φz (x = 0) = 0 ,

(8.37)

2

Mz (x = 0) =

qy L 2

, Mz (x = L) = 0 .

(8.38)

Abb. 8.5 Zur Berechnung der analytischen Lösung eines Timoshenko-Balkens unter konstanter Streckenlast

Verwendung der Randbedingung (8.37)1 in der allgemeinen analytischen Lösung für die Durchbiegung nach Gleichung (8.35) ergibt unmittelbar c4 = 0. Mit der zweiten Randbedingung in Gleichung (8.37) ergibt sich mit der allgemeinen analytischen Lösung für die Verdrehung nach Gleichung (8.36) die z . Die weitere Bestimmung der IntegrationskonstanBeziehung c3 = −c1 kEI s AG ten erfordert, dass das Biegemoment mit Hilfe der Verformung ausgedrückt wird. Mittels Gleichung (8.25) ergibt sich der Momentenverlauf zu

4

Als kommerzielle Beispiele können hier Maple , Mathematica und Matlab angeführt werden.

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

Mz (x) = EIz

dφz = dx

 c1 x + c2 +

3qy x2 6

177

 +

qy EIz , ks AG q L2

(8.39) q EI

und Berücksichtigung von Randbedingung (8.38)1 ergibt c2 = y2 − kys AGz . Entsprechend ergibt die Berücksichtigung der zweiten Randbedingung in Gleichung (8.38) die erste Integrationskonstante zu c1 = −qy L und schließlich q LEI c3 = yks AGz . Somit ergibt sich der Verlauf der Durchbiegung zu 1 uy (x) = EIz



   qy L2 qy EIz x2 qy LEIz x3 qy x4 − qy L + − + x , (8.40) 24 6 2 ks AG 2 ks AG

beziehungsweise die maximale Durchbiegung am rechten Balkenende, das heißt für x = L, zu: uy (x = L) =

qy L4 qy L2 . + 8EIz 2ks AG

(8.41)

Weitere analytische Gleichungen für die maximale Durchbiegung eines Timoshenko-Balkens sind in Tabelle 8.3 zusammengestellt. Durch Vergleich mit den analytischen Lösungen in Kapitel 5.2.5 erkennt man, dass sich die analytische Lösung für die maximale Durchbiegung additiv aus der klassischen Lösung für den Bernoulli-Balken und einem zusätzlichem Schubanteil zusammensetzt. Tabelle 8.3 Maximale Durchbiegung von Timoshenko-Balken bei einfachen Belastungsfällen für Biegung in der x-y -Ebene Belastung

maximale Durchbiegung

uy,max = uy (L) =

F L3 FL + 3EIz ks AG

uy,max = uy (L) =

qy L4 qy L2 + 8EIz 2ks AG

uy,max = uy

L 2

=

FL F L3 + 48EIz ks AG

Um den Einfluss des Schubanteils zu verdeutlichen, soll im Folgenden die maximale Durchbiegung über dem Verhältnis von Balkenhöhe zu Balkenlänge dargestellt werden. Exemplarisch sind für einen Rechteckquerschnitt der Brei-

178

8 Balken mit Schubanteil

te b und Höhe h drei verschiedene Belastungs- und Lagerfälle in Abbildung 8.6 dargestellt. Man erkennt, dass für abnehmenden Schlankheitsgrad, das heißt für Balken, bei denen die Länge L gegenüber der Höhe h deutlich größer ist, der Unterschied zwischen dem Bernoulli- und dem Timoshenko-Balken immer kleiner wird. Der relative Unterschied zwischen der Bernoulli- und der TimoshenkoLösung ergibt sich zum Beispiel für eine Poisson-Zahl von 0,3 und einem Schlankheitsgrad von 0,1 - also für einen Balken, bei dem die Länge zehn mal größer ist als die Höhe - je nach Lagerung und Belastung zu: 0,77% für den Kragarm mit Einzellast, 1,03% für den Kragarm mit Streckenlast und 11,10% für den Balken mit beidseitiger Lagerung. Weitere analytische Lösungen zum Timoshenko-Balken können zum Beispiel [12] entnommen werden. Abschließend soll an dieser Stelle noch darauf hingewiesen werden, dass sich bei Betrachtung der x-z-Ebene leicht modifizierte Gleichungen gegenüber Tabelle 8.2 ergeben. Die entsprechenden Gleichungen für die Biegung in der x-z-Ebene mit Schubanteil sind in Tabelle 8.4 zusammengefasst. Tabelle 8.4 Elementare Grundgleichungen für den Biegebalken mit Schubanteil bei Verformung in der x-z -Ebene Bezeichnung

Gleichung

Kinematik

εx (x, z) = −z

Stoffgesetz

dφy (x) duz (x) + γxz (x) und φy (x) = − dx dx dQz (x) dMy (x) = −qz (x) ; = +Qz (x) dx dx σx (x, z) = Eεx (x, z) und τxz (x) = Gγxz (x)

Diff’gleichungen

−

Gleichgewicht

  dφy d duz EIy + ks AG + φy dx dx dx    d duz = −qz (x) ks AG + φy dx dx

=0

8.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss

179

Abb. 8.6 Vergleich der analytischen Lösungen für den Bernoulli- und TimoshenkoBalken für verschieden Randbedingungen

180

8 Balken mit Schubanteil

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil Das Biegeelement sei entsprechend Kapitel 5.3 als prismatischer Körper mit der Längsachse x und der y-Achse orthogonal zur Längsachse definiert. An beiden Enden des Biegeelementes werden auch hier Knoten eingeführt, an denen Verschiebungen und Verdrehungen beziehungsweise Kräfte und Momente, wie in Abbildung 8.7 skizziert, definiert sind. Die Verformungs- und Belastungsgrößen sind in der eingezeichneten Richtung positiv zu nehmen.

Abb. 8.7 Definition der positiven Richtungen für das Biegeelement mit Schubanteil bei Verformung in der x-y -Ebene: a) Verformungsgrößen; b) Lastgrößen

Die beiden Unbekannten, das heißt die Durchbiegung uy (x) und die davon unabhängige Querschnittsverdrehung φz (x), werden mittels folgendem Ansatz approximiert: uy (x) = N1u (x)u1y + N2u (x)u2y ,

(8.42)

φz (x) = N1φ (x)φ1z + N2φ (x)φ2z ,

(8.43)

beziehungsweise in Matrixschreibweise als ⎤ u1y  ⎢φ1z ⎥  ⎥ uy (x) = N1u (x) 0 N2u (x) 0 ⎢ ⎣u2y ⎦ = Nu up , φ2z ⎡

(8.44)

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

181

⎤

⎡

u1y  ⎢φ1z ⎥  ⎥ φz (x) = 0 N1φ 0 N2φ (x) ⎢ ⎣u2y ⎦ = Nφ up . φ2z

(8.45)

Mit diesen Beziehungen ergibt sich die Ableitung der Querschnittsverdrehung in den gekoppelten Differenzialgleichungen (8.33) und (8.34) zu dNφ dφz (x) dN1φ (x) dN2φ (x) = φ1z + φ2z = up . dx dx dx dx

(8.46)

8.3.1 Herleitung über Potenzial Die elastische Verzerrungsenergie für einen Timoshenko-Balken bei linearelastischem Materialverhalten ergibt sich zu:

Πint

 

  σx 1 εx γxy ε σdΩ = dΩ τxy 2 Ω Ω

1 1 εx σx dΩ + γxy τxy dΩ = Πint,b + Πint,s . = 2 Ω 2 Ω

1 = 2

T

(8.47) (8.48)

Der Biege- und Schubanteil der elastischen Verzerrungsenergie wird im Folgenden getrennt betrachtet und anschließend überlagert. Der Biegeanteil der elastische Verzerrungsenergie ergibt sich mittels des Hookeschen Gesetzes nach Gleichung (8.21) zu: Πint,b

1 = 2

1 εx σx dΩ = 2 Ω

Ω

εx Eεx dΩ .

(8.49)

Die kinematische Beziehung (8.17) kann mittels Gleichung (8.46) als 

 dN1φ (x) dN2φ (x) φ1z + φ2z dx dx ⎡ ⎤  u1y  ⎥ dN1φ (x) dN2φ (x) ⎢ ⎢φ1z ⎥ = B b up = −y 0 0 ⎣u2y ⎦ dx dx φ2z

dφ εx = −y = −y dx

(8.50)

(8.51)

geschrieben werden, wobei hier eine verallgemeinerte B b -Matrix als B b = −y

dNφ dx

(8.52)

182

8 Balken mit Schubanteil

eingeführt wurde. Somit ergibt sich mit diesem Ergebnis der Biegeanteil der elastischen Verzerrungsenergie nach Gleichung (8.49) zu:

Πint,b =

1 2

T

Ω

(B b up ) E (B b up ) dΩ =

1 2

Ω

T uT p B b EB b up dΩ

  T dN dN 1 φ φ uT E(−y) dΩ up BT (−y) b EB b dΩ up = 2 p Ω dx dx Ω    L dN T 1 T φ dN φ 2 dx up . = up y dA E 2 dx dx 0  A   1 = uT 2 p

=

1 T u 2 p





 0



Iz

L

 dN T φ dN φ dx up . EIz dx dx  

(8.53)

keb

In der letzten Gleichung wurde die Elementsteifigkeitsmatrix mittels der allgemeinen Formulierung der Verzerrungsenergie nach Gleichung (5.95) identifiziert. In Komponenten ergibt sich hieraus die Elementsteifigkeitsmatrix für konstante Biegesteifigkeit EIz zu: ⎡ 0

L⎢ ⎢0 keb = EIz ⎢ 0 ⎣0 0

0

0

dN1φ dN1φ dx dx

0

0 0

dN2φ dN1φ dx dx

0

0

⎤

dN1φ dN2φ ⎥ dx dx ⎥

0

⎥ dx . ⎦

(8.54)

dN2φ dN2φ dx dx

Eine weitere Auswertung von Gleichung (8.54) erfordert die Einführung der Formfunktionen Ni . Der Schubanteil der elastischen Verzerrungsenergie ergibt sich mittels Gleichungen (8.11) bis (8.14) zu:

Πint,s



1 L γxy τxy dΩ = γ (x, y) τxy (x, y)dA dx 2 0 xy Ω A

1 L γ ks GAγxy dx . = 2 0 xy

1 = 2

(8.55) (8.56)

Die kinematische Beziehung (8.18) kann mittels Gleichung (8.42) und (8.43) als

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

183

dN1u duy dN2u −φ= u1y + u2y − N1φ φ1z − N2φ φ2z dx dx dx⎡ ⎤   u1y ⎢φ1z ⎥ dN1u dN2u ⎥ = −N1φ −N2φ ⎢ ⎣u2y ⎦ = B s up dx dx φ2z

γxy =

(8.57)

(8.58)

geschrieben werden, wobei hier eine verallgemeinerte B s -Matrix für den Schubanteil eingeführt wurde. Somit ergibt sich mit diesem Ergebnis der Schubanteil der elastischen Verzerrungsenergie nach Gleichung (8.55) zu:

Πint,s

1 = 2 =

L

0

1 T u 2 p

T

(B s up ) ks GA (B s up ) dx  

(8.59)

ks GAB T s B s dx up .

(8.60)

L



0

 kes



In Komponenten ergibt sich hieraus die Elementsteifigkeitsmatrix für konstante Schubsteifigkeit GA zu: ⎡

dN1u dN1u dx dx ⎢

L⎢(−N1φ ) dN1u dx ⎢ kes = ks GA ⎢ dN2u dN1u ⎢ 0 ⎣ dx dx 1u (−N2φ ) dN dx

dN1u dx (−N1φ )

(−N1φ )(−N1φ ) dN2u dx (−N1φ )

(−N2φ )(−N1φ )

dN1u dN2u dx dx 2u (−N1φ ) dN dx dN2u dN2u dx dx 2u (−N2φ ) dN dx

dN1u dx (−N2φ )

⎤

⎥ (−N1φ )(−N2φ )⎥ ⎥ ⎥dx . dN2u (−N ) ⎥ 2φ dx ⎦ (−N2φ )(−N2φ )

(8.61) Die beiden Ausdrücke für die Biege- und Schubanteile der Elementsteifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.54) und (8.61) können zur Finite-ElementeHauptgleichung des Timoshenko-Balkens auf Elementebene überlagert werden k e up = F e , wobei die Gesamtsteifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.63) gegeben ist.

(8.62)



 L dN1u dN1u dx ⎢ ks GA 0 dx dx ⎢ ⎢ ⎢ dN1u  ⎢ ⎢ks GA L (−N1φ ) dx 0 ⎢ dx ⎢ ⎢ ⎢  dN2u dN1u ⎢ ⎢ ks GA L dx 0 ⎢ dx dx ⎢ ⎢ ⎢ dN1u ⎢  ⎣ks GA L (−N2φ ) dx 0 dx

⎡

ks GA

ks GA

0

L

0

L

0

dx

 L dN1u

0

dx

 L dN2u

(8.63)

dx

dx

0

dx

dx

 L dN1φ dN2φ

(−N1φ ) dx

(−N2φ )(−N1φ ) dx + EIz

ks GA

0

 L dN1φ dN1φ

(−N1φ ) dx

(−N1φ )(−N1φ ) dx + EIz

ks GA



ke

dx

dx

ks GA

(−N1φ )

dx

dx

0

0

(−N2φ )

dx

dx

dx

dx

dN2u

dx

dx

dx

dN2u

dx

 L dN2u dN2u

0

L

ks GA

ks GA

0

 L dN1u dN2u

L

ks GA

 L dN1u

0

dx

(−N2φ ) dx

⎤

 L dN2φ dN1φ



⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dx⎥ ks GA 0 (−N1φ )(−N2φ ) dx + EIz 0 ⎥ dx dx ⎥ ⎥ ⎥  L dN2u ⎥ ⎥ (−N2φ ) dx ks GA 0 ⎥ dx ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ L  L dN2φ dN2φ dx⎦ ks GA 0 (−N2φ )(−N2φ ) dx + EIz 0 dx dx L

ks GA

184 8 Balken mit Schubanteil

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

185

8.3.2 Herleitung über Satz von Castigliano Die elastische Verzerrungsenergie für einen Timoshenko-Balken nach Gleichung (8.48) ergibt sich mittels des Hookeschen Gesetzes (8.21) und der kinematischen Beziehung (8.17) beziehungsweise der Gleichungen für die äquivalente Schubspannung nach (8.11) bis (8.14) zu:

Πint = = =

=

=

1 1 εx σx dΩ + γxy (x, y) τxy (x, y)dΩ 2 Ω 2 Ω 

1 L 1 Eε2x dΩ + γxy (x, y) τxy (x, y)dA dx 2 Ω 2 0 A  2

1 dφ 1 L E y 2 dΩ + γxy Qy dx 2 Ω dx 2 0  2 

dφ 1 L 1 L E y 2 dA dx + γxy τxy ks Adx 2 0 dx 2 0 A  2

1 L dφ 1 L 2 EIz dx + ks GAγxy dx . 2 0 dx 2 0

(8.64)

Mittels der Ansätze für die Ableitung der Querschnittsverdrehung φz (x) nach Gleichung (8.46) und der Schubverzerrung (8.57) ergibt sich hieraus die elastische Verzerrungsenergie für einen Timoshenko-Balken mit konstanter Biegeund Schubsteifigkeit zu:

Πint

2 dN2φ (x) dN1φ (x) φ1z + φ2z dx dx dx 0 2

L dN1u dN2u 1 u1y + u2y − N1φ φ1z − N2φ φ2z dx . + ks GA 2 dx dx 0

1 = EIz 2

L



(8.65) Anwendung des Satzes von Castigliano auf die Verzerrungsenergie in Bezug auf die Knotenverschiebung u1y ergibt die äußere Kraft F1y am Knoten 1: dΠint = F1y = ks GA du1y

L 0



dN1u dN2u u1y + u2y − dx dx  − N1φ φ1z − N2φ φ2z

dN1u dx . dx

(8.66)

186

8 Balken mit Schubanteil

Entsprechend ergibt sich aus der Differenziation nach den anderen Verformungsgrößen an den Knoten: 

L dΠint dN2φ (x) dN1φ (x) dN1φ (x) φ1z + φ2z dx+ = M1z = EIz dφ1z dx dx dx 0 

L dN1u dN2u + ks GA u1y + u2y − N1φ φ1z − N2φ φ2z (−N1φ )dx . dx dx 0 (8.67)

dΠint = F2y = ks GA du2y

L 0



dN2u dN1u u1y + u2y − dx dx  − N1φ φ1z − N2φ φ2z

dN2u dx . dx

(8.68)



L dΠint dN2φ (x) dN1φ (x) dN2φ (x) φ1z + φ2z dx+ = M2z = EIz dφ2z dx dx dx 0 

L dN2u dN1u + ks GA u1y + u2y − N1φ φ1z − N2φ φ2z (−N2φ )dx . dx dx 0 (8.69) Die letzten vier Gleichungen können zur Finite-Elemente-Hauptgleichung in Matrixform zusammengefasst werden, siehe Gleichung (8.62) und (8.63).

8.3.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen Entsprechend der Vorgehensweise in Kapitel 5.3.2 führt man in den Differenzialgleichungen (8.33) und (8.34) Näherungslösungen ein und fordert, dass die Gleichungen über einen bestimmten Bereich erfüllt werden. Im Folgenden wird zuerst die Schubdifferenzialgleichung (8.34) betrachtet, die man mit einer Durchbiegungs-Gewichtsfunktion Wu (x) multipliziert, um auf das folgende innere Produkt zu gelangen:   )

L( d2 uy dφz ! + qy (x) Wu (x)dx = 0 . − (8.70) ks AG 2 dx dx 0 Partielle Integration der beiden Ausdrücke in der runden Klammer ergibt:

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

187

 L L d2 uy duy duy dWu Wu − dx , (8.71) ks AG 2 Wu dx = ks AG ks AG dx dx dx dx 0 0 0

L

L dWu dφz L − Wu dx = − [ks AGφz Wu ]0 + dx . (8.72) ks AG ks AGφz dx dx 0 0

L

Als nächstes wird die Biegungsdifferenzialgleichung (8.33) mit einer VerdrehungsGewichtsfunktion Wφ (x) multipliziert und in das innere Produkt überführt:

0

L

(

  )  dφz d duy ! EIz + ks AG − φz Wφ (x)dx = 0 dx dx dx

(8.73)

Partielle Integration des ersten Ausdruckes liefert

0

L

 L L d2 φz dφz dφz dWφ Wφ − dx EIz Wφ dx = EIz EIz 2 dx dx dx dx 0

(8.74)

0

und die Biegungsdifferenzialgleichung ergibt sich zu: 

 

L dφz dWφ duy dx+ − φz Wφ (x)dx = 0 . EIz ks AG dx dx dx 0 0 0 (8.75) Addition der beiden umgeformten Differenzialgleichungen liefert dφz EIz Wφ dx

L −

L



L L duy duy dWu L ks AG Wu − dx − [ks AGφz Wu ]0 ks AG dx dx dx 0 0  

L

L

L dWu duy dx + − φz Wφ (x)dx + ks AGφz qy Wu dx + ks AG dx dx 0 0 0  L

L dφz dWφ dφz dx + EIz Wφ EIz = 0, (8.76) − dx dx dx 0 0

beziehungsweise nach kurzer Umformung die schwache Form des schubweichen Biegebalkens zu:

188

8 Balken mit Schubanteil

L

0

dφz dWφ dx + EIz dx dx

= 0

L

L

0







 duy dWu − φz − Wφ dx = ks AG dx dx      γxy





duy − φz Wu qy Wu dx + ks AG dx



L

δγxy

dφz Wφ + EIz dx

0

L . (8.77) 0

Man erkennt, dass der erste Teil der linken Seite den Biegeanteil und der zweite Teil den Schubanteil darstellt. Die rechte Seite resultiert aus den äußeren Belastungen des Balkens. Im Folgenden wird zuerst die linke Seite der schwachen Form betrachtet, um die Steifigkeitsmatrix abzuleiten:

0

L

dφz dWφ dx + EIz dx dx

0

L



dWu − Wφ ks AG dx



 duy − φz dx . dx

(8.78)

Im nächsten Schritt müssen die Ansätze für die Durchbiegung und Verdrehung der Knoten beziehungsweise deren Ableitungen nach Gleichung (8.44) und (8.45), das heißt duy (x) dN u (x) = up , dx dx dφz (x) dN φ (x) = up , , dx dx

uy (x) = N u (x)up ,

(8.79)

φz (x) = N φ (x)up

(8.80)

berücksichtigt werden. Die Ansätze für die Gewichtsfunktionen werden entsprechend den Ansätzen für die Unbekannten gewählt: T Wu (x) = δuT p N u (x) ,

(8.81)

T δuT p N φ (x) ,

(8.82)

Wφ (x) = beziehungsweise für die Ableitungen:

NT Wu (x) u (x) = δuT , p dx dx NT Wφ (x) φ (x) = δuT . p dx dx

(8.83) (8.84)

Somit ergibt sich die linke Seite von Gleichung (8.78) – unter Berücksichtigung, dass die Verschiebungen beziehungsweise die virtuellen Verschiebungen bezüglich der Integration als konstant angesehen werden können – zu:

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

δuT p

189

L

dN T φ dN φ dx up + dx dx 0   

L dN T dN u u T T + δup − Nφ − N φ dx up . ks AG dx dx 0 EIz

(8.85)

Im Folgenden wird sich zeigen, dass die virtuellen Verschiebungen δuT mit einem entsprechendem Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (8.77) gekürzt werden können. Somit verbleibt auf der linken Seite   

L dN T dN T dN φ dN φ u u dx up + ks AG − NT − N φ dx up EIz φ dx dx dx dx 0 0      

L

keb

kes

(8.86) und die Biege- beziehungsweise die Schubsteifigkeitsmatrix kann identifiziert werden, siehe Gleichung (8.54) und (8.61). Zum Abschluss wird die rechte Seite der schwachen Form nach Gleichung (8.77) betrachtet:

L

0





 L  L duy dφz − φz Wu + EIz Wφ . qy Wu dx + ks AG dx dx 0

(8.87)

0

Berücksichtigung der Beziehungen für die Querkraft und das Schnittmoment nach Gleichung (8.30) und (8.25) in der rechten Seite der schwachen Form ergibt

0

L

L

L

qy Wu dx + [Qy (x)Wu (x)]0 + [Mz (x)Wφ (x)]0 ,

(8.88)

beziehungsweise nach Einführung der Ansätze für die Durchbiegung und Verdrehung der Knoten nach Gleichung (8.44) und (8.45):

δuT p 0

L

  L L T T T T qy N T u dx + δup Qy (x)N u (x) 0 + δup Mz (x)N φ (x) 0 . (8.89)

δuT p kann mit dem entsprechenden Ausdruck in Gleichung (8.85) gekürzt werden und es verbleibt

0

L

 L  L T T qy N T u dx + Qy (x)N u (x) 0 + Mz (x)N φ (x) 0 ,

beziehungsweise in Komponenten:

(8.90)

190

8 Balken mit Schubanteil

⎡

⎤ N1u −Qy (0) 0 L ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −Mz (0) ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥. ⎥ ⎢ qy (x) ⎢ ⎣N2u ⎦ dx + ⎣+Qy (L)⎦ + ⎣ ⎦ 0 0 0 0 +Mz (L)

⎤

⎡

⎤

⎡

(8.91)

Man beachte, dass bei der Auswertung der Randintegrale die allgemeinen Eigenschaften der Formfunktionen verwendet wurden: Qy (L) N1u (L) −Qy (0) N1u (0) ,      

(8.92)

2. Zeile:

Mz (L) N1φ (L) −Mz (0) N1φ (0) ,      

(8.93)

3. Zeile:

Qy (L) N2u (L) −Qy (0) N2u (0) ,      

(8.94)

4. Zeile:

Mz (L) N2φ (L) −Mz (0) N2φ (0) .      

(8.95)

1. Zeile:

0

1

0

1

1

0

1

0

8.3.4 Lineare Ansatzfunktionen für das Durchbiegungsund Verschiebungsfeld In den Elementsteifigkeitsmatrizen keb und kes nach Gleichung (8.54) und (8.61) treten nur die ersten Ableitungen der Formfunktionen auf. Diese Forderung an die Differenzierbarkeit der Formfunktionen führt auf wenigstens Polynome erster Ordnung (lineare Funktionen) für das Durchbiegungs- und Verschiebungsfeld, so dass in den Ansätzen nach Gleichung (8.42) und (8.43) die folgenden linearen Formfunktionen verwendet werden können:

N1u (x) = N1φ (x) = 1 − N2u (x) = N2φ (x) =

x . L

x , L

(8.96) (8.97)

Die benötigten Ableitungen ergeben sich zu: dN1u dN1φ 1 = =− , dx dx L dN2u dN2φ 1 = = . dx dx L

(8.98) (8.99)

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

191

Eine graphische Darstellung der Formfunktionen ist in Abbildung 8.8 gegeben. Zusätzlich sind dort die Formfunktionen in der natürlichen Koordinate ξ ∈ [−1, 1] angegeben. Diese Formulierung ist vorteilhafter bei der numerischen Integration der Steifigkeitsmatrizen.

Abb. 8.8 Lineare Formfunktionen N1 = N1u (x) = N1φ (x) und N2 = N2u (x) = N2φ (x) für das Timoshenko-Element in lokalen (x) und natürlichen Koordinaten (ξ)

Die Integrale der Elementsteifigkeitsmatrizen keb und kes nach Gleichung (8.54) und (8.61) sollen im Folgenden zuerst analytisch berechnet werden. Für die Biegesteifigeitsmatrix ergibt sich unter Verwendung der linearen Ansätze für die Formfunktionen: ⎡ 0 0

L⎢ 1 ⎢0 L2 keb = EIz ⎢ 0 ⎣0 0 0 − L12

⎤ ⎡ 0 0 0 0 ⎢0 x2 0 − L12 ⎥ ⎥ ⎢ L ⎥ dx = EIz ⎢ 0 0 ⎦ ⎣0 0 0 − Lx2 0 L12

⎤L 0 0 0 − Lx2 ⎥ ⎥ ⎥ , 0 0 ⎦ 0 Lx2 0

beziehungsweise unter Berücksichtigung der Integrationsgrenzen:

(8.100)

192

8 Balken mit Schubanteil

⎡ ⎤ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ 1 1⎥ ⎢0 ⎥ 0 − ⎢ L L⎥ ⎥ keb = EIz ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 1 ⎦ 0− 0 L L

(8.101)

Für die Schubsteifigeitsmatrix ergibt sich unter Verwendung der linearen Ansätze für die Formfunktionen:  ⎤ 1 x x 1 − 2 1− ⎢ ⎥ L L L L2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥        2 ⎢ ⎥ x x x⎥ x 1 x 1 ⎢ ⎥ 1− 1− − 1−

L⎢ 1− ⎢ L L L L L L L⎥ e ⎢ ⎥ dx   ks = ks AG ⎢ ⎥ 1 1 x 1 x 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 2 − 1− − 2 2 ⎢ ⎥ L L L L L ⎢ ⎥   ⎢ ⎥ x x x2 x x ⎣ ⎦ − 1 − L2 L L L2 L2 ⎡

⎡

1 L2

x ⎢ L2 ⎢ ⎢ x(−2L + x) ⎢ ⎢ 2L2 ⎢ = ks AG ⎢ x ⎢ ⎢ − 2 ⎢ L ⎢ ⎣ x2 2L2



2

⎤L

(8.102)

x(−2L + x) x x − 2 ⎥ 2 2L L 2L2 ⎥ 3 2 (−L + x) x(−2L + x) x (2x − 3L)⎥ ⎥ ⎥ 3L2 2L2 6L2 ⎥ ⎥ (8.103) 2 x(−2L + x) x x ⎥ ⎥ − 2 2 2 ⎥ 2L L 2L ⎥ 2 2 3 ⎦ x (2x − 3L) x x − 2 6L2 2L 3L2 0

und schließlich nach Berücksichtigung der Integrationskonstanten: ⎤ ⎡ 1 1 1 1 ⎢+ L + 2 − L + 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 1 L 1 L⎥ ⎢+ + − + ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2 3 2 6⎥ kes = ks AG ⎢ ⎥. ⎢ 1 1 1 1⎥ ⎢− − + − ⎥ ⎢ L 2 L 2⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 1 L 1 L⎦ + + − + 2 6 2 3

(8.104)

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

193

Die beiden Steifigkeitsmatrizen nach Gleichung (8.101) und (8.104) können additiv zur gesamten Steifigkeitsmatrix des Timoshenko-Balkens zusammengefasst werden: ⎡ ⎤ ks AG ks AG ks AG ks AG − ⎢ L ⎥ 2 L 2 ⎢ ⎥ ⎢ ks AG ks AGL EIz ks AG ks AGL EIz ⎥ ⎢ ⎥ + − − ⎢ 2 3 L 2 6 L ⎥ ⎥ (8.105) ke = ⎢ ⎢ ks AG ks AG ks AG ks AG ⎥ ⎢− ⎥ − − ⎢ ⎥ L 2 L 2 ⎢ ⎥ ⎣ ks AG ks AGL EIz ks AG ks AGL EIz ⎦ − − + 2 6 L 2 3 L z beziehungsweise mittels der Abkürzung α = k4EI s AG ⎤ ⎡ 4 2L −4 2L 4 2 4 2 ⎥ ks AG ⎢ ⎢ 2L 3 L + α −2L 6 L − α⎥ ke = ⎥ ⎢ 4 −2L ⎦ 4L ⎣−4 −2L 2L 46 L2 − α −2L 43 L2 + α

EIz oder alternativ mittels der Abkürzung Λ = ks AGL2 ⎤ ⎡ 6 3L −6 3L 2 2 ⎥ EIz ⎢ ⎢ 3L L (2 + 6Λ) −3L L (1 − 6Λ)⎥ ke = ⎥. ⎢ −3L 6 −3L ⎦ 6ΛL3 ⎣−6 3L L2 (1 − 6Λ) −3L L2 (2 + 6Λ)

(8.106)

(8.107)

Im Folgenden soll das Verformungsverhalten dieses analytisch integrierten5 Timoshenko-Elementes untersucht werden. Betrachtet wird hierzu die Konfiguration in Abbildung 8.9, bei der ein Balken an der linken Seite fest eingespannt ist und an der rechten Seite durch eine Einzelkraft belastet wird. Zu analysieren ist die Verschiebung des Lastangriffspunktes.

Abb. 8.9 Untersuchung eines TimoshenkoElementes unter Einzellast

5 Eine numerische Gauss-Integration mit zwei Stützstellen liefert hier das gleiche Ergebnis wie die analytisch exakte Integration.

194

8 Balken mit Schubanteil

Mittels der Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.106) ergibt sich die FiniteElemente-Hauptgleichung für ein einzelnes Element zu ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 4 2L −4 2L ... u1y 4 2 4 2 ⎥ ⎢φ1z ⎥ ⎢. . .⎥ 2L L + α −2L L − α ks AG ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 6 (8.108) ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎢ 4 −2L ⎦ ⎣u2y ⎦ ⎣ F ⎦ 4L ⎣−4 −2L 0 φ2z 2L 46 L2 − α −2L 43 L2 + α beziehungsweise nach Berücksichtigung der festen Einspannung (u1y = 0, φ1z = 0) an der linken Seite zu:      −2L F u2y ks AG 4 = . (8.109) 4 2 0 φ L + α −2L 4L 2z 3 Auflösen dieses 2 × 2 Gleichungssystems nach den unbekannten Größen am rechten Ende liefert: 

   4 2 u2y F 1 4L 3 L + α 2L × 4 2 = , (8.110) φ2z 0 2L 4 ks AG 4( 3 L + α) − (−2L)(−2L)

beziehungsweise nach der unbekannten Verschiebung am rechten Ende gelöst:   12EIz + 4ks AGL2 FL × u2y (L) = . (8.111) 12EIz + ks AGL2 ks AG Berücksichtigt man den in Abbildung 8.9 dargestellten Rechteckquerschnitt, das heißt A = hb und ks = 56 , und weiterhin die Beziehung für den Schubmodul nach Gleichung (8.23), ergibt sich nach kurzer Rechnung die Verschiebung am rechten Ende zu:    h 2 + 20 12(1 + ν) L F L3 u2y (L) = × . (8.112)  L 2 1 EIz 60 + 25 h 1+ν Für sehr gedrungene Balken, das heißt h  L, ergibt sich L h → 0, und Gleichung (8.112) konvergiert gegen die analytische Lösung6 . Für sehr schlanke Balken jedoch, das heißt h L, ergibt sich aus Gleichung (8.111) ein GrenzL . Dieser Grenzwert beinhaltet nur den Schubanteil ohne Biewert7 von k4F s AG gung und läuft gegen eine falsche Lösung. Dieses Phänomen bezeichnet man als shear locking. Eine graphische Darstellung dieses Verhalten mittels der mit der Bernoulli-Lösung normierten Durchbiegung ist in Abbildung 8.10 6

Vergleiche hierzu Abbildung 8.6 und die weiterführende Aufgabe 8.6. Man berücksichtige dazu in Gleichung (8.111) die Definition von Iz und A und dividiere den Bruch durch h3 .

7

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

195

gegeben. Man erkennt deutlich das unterschiedliche Konvergenzverhalten für unterschiedliche Bereiche des Schlankheitsgrades, das heißt für schlanke und für gedrungene Balken.

Abb. 8.10 Vergleich der analytischen Lösung für einen Timoshenko-Balken und der entsprechenden Diskretisierung mittels eines einzigen finiten Elementes bei analytischer Integration der Steifigkeitsmatrix

196

8 Balken mit Schubanteil

Zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens wird in der Literatur vorgeschlagen [5, 14], die Integration mittels numerischer Gauss-Integration mit nur einer Stützstelle durchzuführen. Dazu müssen in den Formulierungen der Elementsteifigkeitsmatrizen für keb und kes nach Gleichung (8.54) und (8.61) die Argumente und die Integrationsgrenzen auf die natürliche Koordinate −1 ≤ ξ ≤ 1 transformiert werden. Weiterhin sind die Formfunktionen entsprechend Abbildung 8.8 zu verwenden. Mittels der Transformation der dN dξ Ableitungen auf die neue Koordinate, das heißt dN dx = dξ dx , und der Transx formation der Koordinate ξ = −1 + 2 L beziehungsweise dξ = L2 dx ergibt sich die Biegesteifigeitsmatrix zu:

keb = EIz 0

L

⎡ 0 ⎢ 4 ⎢0 ⎢ L2 ⎣0 0

keb

2EIz = L

L

0

⎡ 0 0 ⎢ 4 ⎢0 14 ⎢ L2 ⎣0 0 0 − 14

0

0

dN1φ dN1φ dξ dξ

0

0 0

dN2φ dN1φ dξ dξ

0

0

⎤

dN1φ dN2φ ⎥ dξ dξ ⎥

0

L ⎥ dξ , ⎦2

(8.113)

dN2φ dN2φ dξ dξ

⎤ ⎡ 0 0 0 0 1 ⎢ 1⎥

EIz 0 −4⎥ ⎢0 1 ⎥ dξ = ⎢ 2L i=1 ⎣0 0 0 0 ⎦ 0 −1 0 14

und schließlich in der endgültigen Formulierung zu: ⎡ ⎤ 0 0 0 0 ⎢0 1 0 − 1 ⎥ ⎢ L⎥ keb = EIz ⎢ L ⎥. ⎣0 0 0 0 ⎦ 0 − L1 0 L1

⎤ 0 0 0 −1⎥ ⎥ ⎥×2 0 0⎦ 0 1

(8.114)

(8.115)

Man erkennt, dass sich für die Biegesteifigkeitsmatrix das gleiche Ergebnis wie bei der analytischen Integration ergibt. Somit ist im Falle der Biegesteifigkeitsmatrix die Gauss-Integration mit nur einer Stützstelle exakt. Für die Schubsteifigeitsmatrix ergibt sich unter Verwendung der normierten Koordinate der folgende Ausdruck: ⎡ 2ks GA L

0

L

dN1u dN1u dξ dξ

⎢L 1u ⎢ 2 (−N1φ ) dN dξ ⎢ ⎢ dN2u dN1u ⎢ dξ dξ ⎣ dN1u L 2 (−N2φ ) dξ

L dN1u 2 dξ (−N1φ )

dN1u dN2u dξ dξ

⎤ L dN1u 2 dξ (−N2φ )

⎥ dN2u L2 L2 L ⎥ 4 (N1φ )(N1φ ) 2 (−N1φ ) dξ 4 (N1φ )(N2φ )⎥ ⎥ dξ dN2u dN2u L dN2u L dN2u 2 dξ (−N1φ ) dξ dξ 2 dξ (−N2φ )⎥ ⎦ dN2u L2 L2 L 4 (N2φ )(N1φ ) 2 (−N2φ ) dξ 4 (N2φ )(N2φ )

(8.116) beziehungsweise nach Einführung der Formfunktionen

,

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

⎡ 2ks GA L

0

L

1 4

⎢  ⎢L 1 − x ⎢2 4 4 ⎢ ⎢ − 14 ⎢ ⎣  L 1 x 2 4 + 4

L 2 L2 4 L 2 L2 4

1



4

−

x 4



(−1+x)2 4  1 x −4 + 4



1 4

−

 2

x 4

L 2

L 2

 

197

− 14 − 41 +



x 4

1 4

− 41 −



x 4

L 2

1 

4

+

x 4

⎤ ⎥

L2 1 x2 ⎥ 4 4 − 4 ⎥  1 x ⎥ dξ L ⎥ 2 −4 − 4 ⎥ L2 4



(1+x)2 4

⎦

(8.117) oder nach Übergang zur numerischen Integration ⎡

1 4

⎢L 1 2ks GA ⎢ ⎢2 4 ⎢ L ⎢− 14 ⎣ L1 2 4

L1 2 4 L2 1 4 4  1 L 2 −4 L2 1 4 4

− 14  1 L 2 −4 L 2



1 4

− 41



L1 2 4

⎤

L2 1 ⎥ ⎥ 4 4  1 ⎥ ⎥ L 2 −4 ⎥ ⎦ L2 1 4 4

×2

(8.118)

ξi = 0

und schließlich in der endgültigen Formulierung zu: ⎤ ⎡ 1 1 1 1 L 2 −L 2 ⎥ ⎢ 1 L ⎢ 2 4 − 21 L4 ⎥ ⎥ ⎢ kes = ks AG ⎢ 1 1 1 ⎥. ⎢− L − 2 L − 21 ⎥ ⎦ ⎣ L 1 1 L 2 4 −2 4

(8.119)

Die beiden Steifigkeitsmatrizen nach Gleichung (8.115) und (8.119) können additiv zur gesamten Steifigkeitsmatrix des Timoshenko-Balkens zuz sammengefasst werden, und es ergibt sich mit der Abkürzung α = k4EI : s AG ⎤ ⎡ 4 2L −4 2L 2 2 ⎢ ks AG ⎢ 2L L + α −2L L − α⎥ ⎥ (8.120) ke = ⎥ ⎢ 4 −2L ⎦ 4L ⎣−4 −2L 2L L2 − α −2L L2 + α EIz oder alternativ mittels der Abkürzung Λ = : ks AGL2 ⎤ ⎡ 6 3L −6 3L 2 2 ⎥ EIz ⎢ ⎢ 3L L (1, 5 + 6Λ) −3L L (1, 5 − 6Λ)⎥ ke = ⎥. ⎢ −3L 6 −3L 6ΛL3 ⎣−6 ⎦ 2 2 3L L (1, 5 − 6Λ) −3L L (2 + 6Λ)

(8.121)

Mittels dieser Formulierungen für die Steifigkeitsmatrix soll im Folgenden das Beispiel nach Abbildung 8.9 wieder untersucht werden, um die Unterschiede zur analytischen Integration zu analysieren. Mittels der Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.120) ergibt sich die Finite-Elemente-Hauptgleichung

198

8 Balken mit Schubanteil

für ein einzelnes Element unter Berücksichtigung der festen Einspannung (u1y = 0, φ1z = 0) an der linken Seite zu:      −2L F u2y ks AG 4 = . (8.122) 2 −2L L 0 + α φ 4L 2z Auflösen dieses 2 × 2 Gleichungssystems nach der unbekannten Verschiebung am rechten Ende ergibt:   4EIz F L3 . (8.123) × u2y (L) = 1 + ks AGL2 4EIz Berücksichtigt man auch hier den in Abbildung 8.9 dargestellten Rechteckquerschnitt, ergibt sich mittels A = hb, ks = 56 und der Beziehung für den Schubmodul nach Gleichung (8.23) nach kurzer Rechnung die Verschiebung am rechten Ende zu: ⎛  2 ⎞   h F L3 1 1 ⎠ ⎝ + (1 + ν) × u2y (L) = . (8.124) 4 5 L EIz Für sehr gedrungene Balken, das heißt h  L, konvergiert die Lösung gegen die analytische Lösung8 . Für sehr schlanke Balken jedoch, das heißt h L, F L3 , wobei die analytiergibt sich aus Gleichung (8.124) ein Grenzwert von 4EI z

FL sche Lösung einen Wert von 3EI liefert. Jedoch tritt hier nicht das Phänoz men des shear lockings auf, und somit ist im Vergleich zur Steifigkeitsmatrix basierend auf der analytischen Integration eine Verbesserung der Elementformulierung erzielt worden. Eine graphische Darstellung dieses Verhalten mittels der normierten Durchbiegung ist in Abbildung 8.11 gegeben. Man erkennt deutlich das verbesserte Konvergenzverhalten für kleine Schlankheitsgrade. Für große Schlankheitsgrade bleibt das Verhalten entsprechend der Lösung der analytischen Integration, da beide Ansätze gegen die analytische Lösung konvergieren. Betrachtet man die Differenzialgleichungen nach (8.33) und (8.34), erkennt du man, dass dort die Ableitung dxy und die Funktion φz selbst enthalten sind. Verwendet man für uy und φz lineare Formfunktionen, ist der Grad der Podu lynome für dxy und φz unterschiedlich. Im Grenzfall von schlanken Balken du muss jedoch die Beziehung φ≈ dxy erfüllt sein, und die Konsistenz der Polydu nome für dxy und φz ist von Wichtigkeit. Der lineare Ansatz für uy ergibt du für dxy eine konstante Funktion, und somit wäre auch für φz eine Konstante wünschenswert. Es ist jedoch hier zu beachten, dass die Forderung an die Differenzierbarkeit von φz mindestens eine lineare Funktion ergibt. Die Ein3

8

Vergleiche hierzu Abbildung 8.6 und die weiterführende Aufgabe 8.6.

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

199

Abb. 8.11 Vergleich der analytischen Lösung für einen Timoshenko-Balken und der entsprechenden Diskretisierung mittels eines einzigen finiten Elementes bei numerischer Integration der Steifigkeitsmatrix mittels eines Stützpunktes

Punkt-Integration9 im Falle der Schubsteifigkeitsmatrix mit den Ausdrücken Niφ Njφ bewirkt jedoch, dass der lineare Ansatz für φz wie eine Konstante 9

Die numerische Integration nach dem Gauss-Legendre-Verfahren mit n Integrationspunkten integriert ein Polynom, dessen Grad maximal 2n − 1 ist, exakt.

200

8 Balken mit Schubanteil

behandelt wird, da zur exakten Integration zwei Integrationspunkte zu verwenden wären. Eine Ein-Punkt-Integration kann maximal ein Polynom erster Ordnung, dass heißt proportional zu x1 , exakt integrieren und somit ergibt sich die Betrachtungsweise, dass (Niφ Njφ ) ∼ x1 ist. Dies bedeutet jedoch, dass maximal Niφ ∼ x0.5 beziehungsweise Njφ ∼ x0.5 gilt. Da der Polynomansatz nur ganzzahlige Werte für den Exponenten von x erlaubt, ergibt sich Niφ ∼ x0 beziehungsweise Njφ ∼ x0 und die Verdrehung ist als Konstante anzusehen. Dies ist konsistent mit der Forderung, dass die Schubverzerrung du γxy = dxy − φz in einem Element für konstante Biegesteifigkeit EIz konstant sein muss. Somit tritt in diesem Fall kein shear locking auf. Als weitere Möglichkeit zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens von linearen Timoshenko-Elementen mit numerischer Ein-Punkt-Integration wird in [5, 15] vorgeschlagen, die Schubsteifigkeit ks AG entsprechend der analytisch korrekten Lösung zu korrigieren10 . Dazu betrachtet man die elastische Verzerrungsenergie, die sich aus Gleichung (8.49) und (8.56) für die Energien und den kinematischen Beziehungen (8.17) und (8.18) wie folgt ergibt: 2  2

1 L duy (x) dφz (x) − φz (x) dx . EIz dx + ks AG Πint dx 2 0 dx 0 (8.125) Gefordert wird nun, dass die Verzerrungsenergie für die analytische Lösung und die Finite-Elemente-Lösung unter Verwendung der korrigierten Schubsteifigkeit (ks AG)∗ identisch sein soll. Die analytische Lösung11 für das Problem in Abbildung 8.9 ergibt sich zu 1 = 2



L

 x2 EIz F x3 + FL + x , −F 6 2 ks AG   x2 1 φz (x) = + F Lx , −F EIz 2 1 uy (x) = EIz



(8.126) (8.127)

und die elastische Verzerrungsenergie für die analytische Lösung ergibt sich somit zu:

Πint

F2 = 2EIz

L

F 2 (EIz )2 (L − x) dx + 2ks AG

2

0

L

dx = 0

F 2 L3 F 2L . (8.128) + 6EIz 2ks AG

Die Finite-Elemente-Lösung der elastischen Verzerrungsenergie ergibt sich mittels Gleichung (8.122) zu: 10 11

MacNeal verwendet hierzu die Bezeichnung ’residual bending flexibility’ [16, 17]. Vergleiche hierzu die weiterführende Aufgabe 8.5.

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

Πint

EIz = 2

L



0

FL 2EIz

(ks AG)∗ + 2

L

201

2 dx 

4EIz 1+ (ks AG)∗ L2

0



F Lx F L2 − 4EIz 2EIz

2 dx .

(8.129)

Dieses Integral ist mit einer Ein-Punkt-Integration numerisch auszuwerten und es ist somit notwendig, die natürliche Koordinate mittels der Transformation x = L2 (ξ + 1) einzuführen:

Πint =

F 2 L3 8EIz

2 FL L L F L2 dξ − (ξ + 1) 4EIz 2EIz 2 2 0  2 4EIz F 2 L3 (ks AG)∗ L F L2 2 (8.130) = + × 8EIz 2 (ks AG)∗ L2 4EIz 2 (ks AG)∗ + 2

L



4EIz 1+ (ks AG)∗ L2



und schließlich Πint =

F 2 L3 F 2L + . 8EIz 2(ks AG)∗

(8.131)

Gleichsetzen der beiden Energieausdrücke nach Gleichung (8.128) und (8.131) liefert schließlich die korrigierte Schubsteifigkeit zu:  (ks AG)∗ =

−1 L2 1 + . 12EIz ks AG

(8.132)

L korrigierte Setzt man diese mit der ’residual bending flexibility’ 12EI z Schubsteifigkeit in die Finite-Elemente-Lösung nach Gleichung (8.123) ein, ergibt sich die analytisch exakte Lösung. Das gleiche Ergebnis wird in [15] ausgehend von der allgemeinen – das heißt ohne Berücksichtigung einer bestimmten Lagerung des Balkens – Lösung für die Balkendurchbiegung abgeleitet, und in [5] erfolgt die Ableitung über die Gleichheit der Durchbiegung am Lastangriffspunkt nach der analytischen und der korrigierten FiniteElemente-Lösung. Zu beachten ist, dass die abgeleitete korrigierte Schubsteifigkeit nicht nur für den betrachteten einseitig fest eingespannten Balken unter Einzellast gültig ist, sondern den gleichen Wert für beliebige Lagerung und Belastung an den Balkenenden aufweist. Problematisch ist jedoch die Ableitung der korrigierten Schubsteifigkeit für inhomogene, anisotrope und nichtlineare Materialien [5]. 2

202

8 Balken mit Schubanteil

8.3.5 Höhere Ansatzfunktionen für den Balken mit Schubanteil Im Rahmen dieses Unterkapitels wird zuerst ein allgemeiner Ansatz für ein Timoshenko-Element mit einer beliebigen Anzahl von Knoten abgeleitet [14]. Weiterhin kann hierbei auch die Anzahl der Knoten, an denen die Durchbiegung und die Verdrehung ausgewertet wird, unterschiedlich sein. Somit ergibt sich in Verallgemeinerung von Gleichung (8.42) und (8.43) der folgende Ansatz für die Unbekannten an den Knoten:

uy (x) = φz (x) =

m

i=1 n

Niu (x)uiy ,

(8.133)

Niφ (x)φiz ,

(8.134)

i=1

beziehungsweise in Matrixschreibweise als ⎡

⎤ u1y ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥  ⎢umy ⎥  ⎢ ⎥ = N u up , uy (x) = N1u . . . Nmu 0 . . . 0 ⎢ ⎥ ⎢ φ1z ⎥ ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ φnz ⎤ ⎡ u1y ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢  ⎢umy ⎥  ⎥ φz (x) = 0 . . . 0 N1φ . . . Nnφ ⎢ ⎢ φ1z ⎥ = N φ up . ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦

(8.135)

(8.136)

φnz Mit diesem verallgemeinerten Ansatz kann an m Knoten die Durchbiegung und an n Knoten die Verdrehung ausgewertet werden. Für die Ansatzfunktionen Ni verwendet man üblicherweise hier Lagrange-Polynome12 , die sich allgemein im Falle der Durchbiegung wie folgt berechnen:

12

Bei der sogenannten Lagrange-Interpolation werden m Punkte nur über die Ordinatenwerte mittels eines Polynoms der Ordnung m−1 approximiert. Im Falle der Hermiteschen Interpolation wird neben dem Ordinatenwert auch noch die Steigung in den betrachteten Punkten berücksichtigt. Vergleiche hierzu auch Kapitel 6.

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil m '

Ni =

j=0∧j=i

=

203

xj − x xj − xi

(x1 − x)(x2 − x) · · · [xi − x] · · · (xm − x) , (x1 − xi )(x2 − xi ) · · · [xi − xi ] · · · (xm − xi )

(8.137)

wobei die Ausdrücke in den eckigen Klammern für die i-te Formfunktion unberücksichtigt bleiben. Die Abszissenwerte x1 , · · · , xm stellen die x-Koordinaten der m Knoten dar. Im Falle der Verdrehung ist in Gleichung (8.137) die Variable m durch n zu ersetzen. Zur Ableitung der allgemeinen Steifigkeitsmatrix kann auch hier auf die verschiedenen Methoden zurückgegriffen werden. Betrachtet man zum Beispiel das Prinzip der gewichteten Residuen, kann man die neuen Ansätze (8.135) und (8.136) in Gleichung (8.86) verwenden. Ausführung der Multiplikation für die Biegesteifigkeitsmatrix ergibt ⎡

0

···

⎢ ⎢ ⎢ .. ⎢ . (m × m) ⎢ ⎢ ⎢

L ⎢0 ··· ⎢ EIz ⎢ keb = ⎢ 0 · ·· 0 ⎢ ⎢ ⎢. ⎢. ⎢ . (n × m) ⎢ ⎣ 0 ···

0

0

.. .

.. .

0

···

0

0

dN1φ dN1φ dx dx

.. .

.. .

0

dNnφ dN1φ dx dx

0

⎤

⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ (m × n) . ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ··· 0 ⎥ dN1φ dNnφ ⎥ dx (8.138) ⎥ ··· dx dx ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ ⎥ (n × n) . ⎥ ⎦ dNnφ dNnφ ··· dx dx

und entsprechend ergibt die Ausführung der Multiplikation für die Schubsteifigkeitsmatrix kes ⎡ dN1u dx

dN1u dx

⎢ ⎢ ⎢ . ⎢ . . ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ dNmu dN1u

L ⎢ dx dx ⎢ ks AG⎢ ⎢ dN 0 ⎢ −N1φ dx1u ⎢ ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎣ 1u −Nnφ dN dx

···

dN1u dNmu dx dx

dN1u (−N1φ ) dx

(m×m)

. . .

. . .

(m×n)

···

dNmu dNmu dx dx

dNmu (−N1φ ) dx

···

mu −N1φ dN dx

N1φ N1φ

···

. ..

. ..

(n×n)

mu −Nnφ dN dx

Nnφ N1φ

···

···

(n×m)

···

···

dN1u (−Nnφ ) dx

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ dNmu ⎥ (−N ) mφ dx ⎥ ⎥dx . ⎥ N1φ Nnφ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . ⎥ .. ⎥ ⎥ ⎦ Nnφ Nnφ . . .

(8.139)

204

8 Balken mit Schubanteil

Diese beiden Steifigkeitsmatrizen können auch hier additiv überlagert werden, und es ergibt sich folgende allgemeine Struktur für die Gesamtsteifigkeitsmatrix:  11 12  k k (8.140) ke = 21 22 , k k mit

k11 kl k12 kl k21 kl k22 kl

L

dNku dNlu dx , dx dx 0

L dNku (−Nlφ )dx , = ks AG dx 0

L dNlu dx , = k12,T = ks AG(−Nkφ ) kl dx 0  

L dNkφ dNlφ dx . = ks AGNkφ Nlφ + EIz dx dx 0 =

ks AG

(8.141) (8.142) (8.143) (8.144)

Die Ableitung der rechten Seite kann entsprechend Gleichung (8.91) erfolgen, und es ergibt sich hier ein Lastvektor von: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ F1y N1u ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

L ⎢ Fmy ⎥ ⎢ ⎥ N mu ⎥ e ⎢ ⎥ ⎢ (8.145) F = qy (x) ⎢ ⎥ dx + ⎢ M1z ⎥ . 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ ⎣ .. ⎦ Mnz 0 Im Folgenden wird eine quadratische Interpolation für uy (x) und eine liduy (x) neare Interpolation für φz (x) gewählt. Somit ergeben sich für dx und φz (x) Funktionen gleicher Ordnung und das Phänomen des shear locking kann vermieden werden. Quadratische Interpolation für die Durchbiegung bedeutet, dass an drei Knoten die Durchbiegung ausgewertet wird. Der lineare Ansatz für die Verdrehung bewirkt, dass diese Unbekannten nur an zwei Knoten ausgewertet werden. Somit ergibt sich die in Abbildung 8.12 dargestellte Konfiguration für dieses Timoshenko-Element. Auswertung des allgemeinen Lagrange-Polynoms nach Gleichung (8.137) für die Verschiebung, das heißt unter Berücksichtigung von drei Knoten, ergibt

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil

205

Abb. 8.12 TimoshenkoBiegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und linearen Ansatzfunktionen für die Verdrehung: a) Verformungsgrößen; b) Lastgrößen

N1u

N2u

N3u

 2 x x (x2 − x)(x3 − x) =1−3 +2 = , (x2 − x1 )(x3 − x1 ) L L  2 x x (x1 − x)(x3 − x) =4 −4 = , (x1 − x2 )(x3 − x2 ) L L  2 x x (x1 − x)(x2 − x) =− +2 = , (x1 − x3 )(x2 − x3 ) L L

(8.146)

(8.147)

(8.148)

beziehungsweise für die beiden Knoten für die Verdrehung: x (x2 − x) =1− , (x2 − x1 ) L x (x1 − x) = . = (x1 − x2 ) L

N1φ =

(8.149)

N2φ

(8.150)

Eine graphische Darstellung der Formfunktionen ist in Abbildung 8.13 gegeben. Man erkennt, dass die typischen* Charakteristika für Formfunktionen, das heißt Ni (xi ) = 1 ∧ Ni (xj ) = 0 und i Ni = 1, erfüllt sind. Mit diesen Formfunktionen ergeben sich die Untermatrizen k11 , · · · , k22 in Gleichung (8.140) mittels analytischer Integration zu: ⎡ ⎤ 7 −8 1 AG k s ⎣−8 16 −8⎦ , (8.151) k11 = 3L 1 −8 7

206

8 Balken mit Schubanteil

Abb. 8.13 Formfunktionen für ein Timoshenko-Element mit a) quadratischem Ansatz für die Durchbiegung und b) linearem Ansatz für die Verdrehung

⎡ ⎤ 5 1 AG k s ⎣−4 4 ⎦ = (k21 )T , k12 = 6 −1 −5     ks AGL 2 1 EIz 1 −1 22 k = + , 12 6 L −1 1

(8.152)

(8.153)

EIz die unter Verwendung der Abkürzung Λ = ks AGL 2 zur finiten Elemente Hauptgleichung zusammengesetzt werden können:

⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ F1y u1y −16 2 5L 1L ⎥ ⎢u2y ⎥ ⎢ F2y ⎥ 32 −16 −4L 4L ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u3y ⎥ = ⎢ F3y ⎥ . −16 14 −1L −5L ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ −4L −1L 2L2 (1 + 3Λ) L2 (1 − 6Λ) ⎦ ⎣φ1z ⎦ ⎣M1z ⎦ M3z 4L −5L L2 (1 − 6Λ) 2L2 (1 + 3Λ) φ3z (8.154) Da am mittleren Knoten nur eine Verschiebung ausgewertet wird, ist die Anzahl der Unbekannten nicht an jedem Knoten gleich. Dieser Sachverhalt erschwert die Erstellung des globalen Gleichungssystems für mehrere dieser Elemente. Der Freiheitsgrad u2y kann jedoch mittels der verbleibenden Unbekannten ausgedrückt werden und somit besteht die Möglichkeit, diesen Knoten aus dem Gleichungssystem zu eliminieren. Dazu wertet man die zweite Gleichung13 von (8.154) aus: ⎡

14 ⎢−16 ks AG ⎢ ⎢ 2 6L ⎢ ⎣ 5L 1L

13

Angemerkt sei hier, dass der Einfluss von Streckenlasten in der Ableitung vernachlässigt wird. Treten Streckenlasten auf, so müssen die äquivalenten Knotenlasten auch auf die verbleibenden Knoten aufgeteilt werden.

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

ks AG (−16u1y + 32u2y − 16u3y − 4Lφ1z + 4Lφ3z ) = F2y , 6L 6L u1y + u3y φ1z − φ3z F2y + + L. u2y = 32ks AG 2 8

207

(8.155) (8.156)

Weiterhin kann gefordert werden, dass am mittleren Knoten keine äußere Kraft angreifen soll, so dass sich die Beziehung zwischen der Durchbiegung am mittleren Knoten und den anderen Unbekannten wie folgt darstellt: u1y + u3y φ1z − φ3z + L. (8.157) 2 8 Diese Beziehung kann im Gleichungssystem (8.154) eingeführt werden, um den Freiheitsgrad u2u zu eliminieren. Schließlich ergibt sich nach neuer Anordnung der Unbekannten folgende Finite-Elemente-Hauptgleichung, die um eine Spalte und eine Reihe reduziert wurde: u2y =

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 6 3L −6 3L u1y F1y 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ EIz ⎢ φ1z ⎥ ⎢ 3L L (1, 5 + 6Λ) −3L L (1, 5 − 6Λ)⎥ ⎢ ⎥ = ⎢M1z ⎥ . (8.158) ⎥=⎢ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ u F −3L 6 −3L 6ΛL3 ⎣−6 ⎦ 3y 3y 2 2 φ M 3z 3z 3L L (1, 5 − 6Λ) −3L L (1, 5 + 6Λ) ⎡

Diese Elementformulierung ist identisch mit Gleichung (8.121), die mit linearen Formfunktionen und numerischer Ein-Punkt-Integration abgeleitet wurde. Es ist jedoch zu beachten, dass die Interpolation zwischen den Knoten bei Verwendung von (8.158) mit quadratischen Funktionen erfolgt. Weitere Einzelheiten und Formulierungen zum Timoshenko-Element sind in den Fachaufsätzen [11, 18] zu finden.

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 8.4.1 Beispielprobleme 8.1. Diskretisierung eines Balkens mit 5 linearen Elementen mit Schubanteil Der in Abbildung 8.14 dargestellte Balken ist mit fünf linearen TimoshenkoElementen gleichmäßig zu diskretisieren und die Verschiebung des Lastangriffspunktes ist in Abhängigkeit des Schlankheitsgrades und der PoissonZahl zu diskutieren. Man betrachte den Fall der (a) analytisch und (b) numerisch (eine Stützstelle) integrierten Steifigkeitsmatrix.

208

8 Balken mit Schubanteil

Abb. 8.14 Diskretisierung einer Balkenstruktur mit Elementen unter Berücksichtigung des Schubanteils

8.1 Lösung a) Steifigkeitsmatrix mittels analytischer Integration: Die Elementsteifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.106) kann für jedes der fünf Elemente herangezogen werden, wobei zu beachten ist, dass sich die einzelne Elementlänge zu L5 ergibt. Die resultierende Gesamtsteifigkeitsmatrix hat die Dimension 12 × 12, die sich unter Berücksichtigung der festen Einspannung am linken Rand (u1y = 0, φ1z = 0) zu einer 10 × 10 Matrix reduziert. Durch Inversion der Steifigkeitsmatrix kann mittels u = K −1 F das reduzierte Gleichungssystem gelöst werden. Der folgende Ausschnitt zeigt die wichtigsten Einträge dieses Gleichungssystems: ⎡

⎤

⎡ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢. ⎢ .. ⎥ ⎢. 4 L ⎢ . ⎥ ⎢. ⎢ ⎥= 5 ⎢ ⎢ ⎥ ks AG ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣u6y ⎦ ⎣x φ6z x  u2y

···

x .. .

··· ···

2

125(3α+4L ) 4(75α+L2 )



x

⎤⎡ ⎤ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. ⎥ ⎥⎢ . ⎥ . ⎥ ⎢ .. ⎥ . ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x⎦ ⎣F ⎦ 0 x  x

(8.159)

10×10 Matrix

Multiplikation der neunten Reihe der Matrix mit dem Lastvektor ergibt die Verschiebung des Lastangriffspunktes zu: u6y =

25(3α + 4L2 ) FL , × 75α + L2 ks AG

(8.160)

beziehungsweise mittels A = hb, ks = 56 und der Beziehung für den Schubmodul nach Gleichung (8.23) nach kurzer Rechnung: u6y =

 h 2 + 20 F L3 12(1 + ν) L × .  L 2 1 EIz 60 + h 1+ν

(8.161)

Eine graphische Darstellung der Verschiebung in Abhängigkeit des Schlankheitsgrades ist in Abbildung 8.15 zu sehen. Ein Vergleich mit Abbildung 8.10

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

209

zeigt, dass sich durch die feinere Diskretisierung das Konvergenzverhalten im h < 1, 0 deutlich verbessert unteren Bereich des Schlankheitsgrades für 0, 2 < L h → 0 auftritt. hat, jedoch weiterhin das Phänomen des shear lockings für L

Abb. 8.15 Diskretisierung eines Balkens mittels fünf linearen Timoshenko-Elementen bei analytischer Integration der Steifigkeitsmatrix

b) Steifigkeitsmatrix mittels numerischer Integration mit einer Stützstelle: Entsprechend der Vorgehensweise im Teil a) dieser Aufgabe ergibt sich hier mittels der Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (8.120) das folgende 10 × 10 Gleichungssystem ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x ··· x x 0 u2y ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎢ .. ⎥ 4 ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ 5L ⎢. . . (8.162) ⎢ ⎥⎢ ⎥ , ⎢ ⎥= ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ks AG ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 25α+33L2 ⎦ ⎣F ⎦ ⎣x ⎣u6y ⎦ ··· x 20α 0 φ6z x ··· x x    10×10 Matrix

aus dem die Verschiebung am rechten Rand zu   FL 4 5 33L2 u6y = + × 5 4 20α ks AG

(8.163)

210

8 Balken mit Schubanteil

bestimmt werden kann. Unter Verwendung von A = hb, ks = 56 und der Beziehung für den Schubmodul nach Gleichung (8.23) ergibt sich nach kurzer Rechnung: ⎛  2 ⎞ 1 h F L3 33 ⎠× + (1 + ν) u6y = ⎝ . (8.164) 100 5 L EIz Die graphische Darstellung der Verschiebung in Abbildung 8.16 zeigt, dass sich hier durch die Netzverfeinerung eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit der analytischen Lösung über den gesamten Bereich des Schlankheitsgrades ergibt. Somit kann bei einem Timoshenko-Element mit linearen Ansatzfunktionen und reduzierter numerischer Integration die Genauigkeit durch Netzverfeinerung erheblich erhöht werden.

Abb. 8.16 Diskretisierung eines Balkens mittels fünf linearen Timoshenko-Elementen bei numerischer Integration der Steifigkeitsmatrix mit einer Stützstelle

8.2. Timoshenko-Biegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und die Verdrehung Für das in Abbildung 8.17 dargestellte Timoshenko-Biegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen ist die Steifigkeitsmatrix und die Finite-Elemente-Hauptgleichung ke up = F e abzuleiten. Man unterscheide in der Ableitung zwischen analytischer und numerischer Integration. Anschließend untersuche man für die in Abbildung 8.9 dargestellte Konfiguration das Konvergenzverhalten eines Elementes.

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

211

Abb. 8.17 TimoshenkoBiegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und die Verdrehung: a) Verformungsgrößen; b) Lastgrößen

8.2 Lösung Auswertung des allgemeinen Lagrange-Polynoms nach Gleichung (8.137) unter Berücksichtigung von drei Knoten ergibt die folgenden Formfunktionen für die Durchbiegung und die Verdrehung:

N1u = N1φ

N2u = N2φ

N3u = N3φ

 2 x x (x2 − x)(x3 − x) =1−3 +2 = , (x2 − x1 )(x3 − x1 ) L L  2 x x (x1 − x)(x3 − x) =4 −4 = , (x1 − x2 )(x3 − x2 ) L L  2 x x (x1 − x)(x2 − x) =− +2 = . (x1 − x3 )(x2 − x3 ) L L

(8.165)

(8.166)

(8.167)

Mit diesen Formfunktionen ergeben sich die Untermatrizen k11 , · · · , k22 in Gleichung (8.140) mittels analytischer Integration zu: ⎡ ⎤ 14 −16 2 AG k s ⎣−16 32 −16⎦ , (8.168) k11 = 6L 2 −16 14 ⎡ ⎤ 3L 4L −1L AG k s ⎣−4L 0 4L ⎦ = (k21 )T , k12 = (8.169) 6L 1L −4L −3L

212

8 Balken mit Schubanteil

⎡

k22

⎤

⎡

⎤ EIz 7 −8 1 ks AGL 4 2 −1 ⎣ 2 16 2 ⎦ + ⎣−8 16 −8⎦ , = 30 3L −1 2 4 1 −8 7

die unter Verwendung der Abkürzung Λ = zusammengesetzt werden können: ⎡

14 −16 2

EIz ks AGL2

3L

(8.170)

zur Steifigkeitsmatrix ke

4L

−1L

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −16 32 −16 −4L 0 4L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 −16 14 1L −4L −3L ⎥ ⎥ ⎢ ks AG ⎢ ⎥ ⎥. ⎢ 6L ⎢ 3L −4L 1L L2 ( 45 + 14Λ) L2 ( 25 − 16Λ) L2 (− 15 + 2Λ)⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 4L 0 −4L L2 ( 25 − 16Λ) L2 ( 16 5 + 32Λ) L ( 5 − 16Λ) ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ −1L 4L −3L L2 (− 15 + 2Λ) L2 ( 25 − 16Λ) L2 ( 45 + 14Λ) (8.171) Die Finite-Elemente-Hauptgleichung ergibt sich mit dieser Steifigkeitsmatrix zu ke up = F e , wobei der Verformungs- und Lastvektor die folgenden Komponenten beinhaltet: T  up = u1y u2y u3y φ1z φ2z φ3z , T  F e = F1y F2y F3y M1z M2z M3z .

(8.172) (8.173)

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens eines Elementes für den in Abbildung 8.9 dargestellten Balken mit Einzellast können in Gleichung (8.171) die Spalten und Zeilen für die Einträge u1y und φ1z wegen der festen Einspannung an diesem Knoten gestrichen werden. Diese reduzierte 4 × 4 Steifigkeitsmatrix kann invertiert werden, und es ergibt sich folgendes Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Freiheitsgrade: ⎤ ⎡ x u2y ⎢ ⎢u3y ⎥ 6L ⎢x ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ .. ⎥ = ⎣ . ⎦ ks AG ⎣ ... φ3z x  ⎡

···

−3+340Λ+1200Λ 8(−1−45Λ+900Λ2 ) 2



⎤⎡ ⎤ ··· x 0 ⎢F ⎥ · · · x⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ , .. ⎥ .⎦ ⎣ . ⎦ 0 ··· x 

(8.174)

4×4 Matrix

aus dem durch Auswertung der zweiten Zeile die Verschiebung am rechten Rand zu

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

u3y =

6L − 3 + 340Λ + 1200Λ2 ×F × k AG 8(−1 − 45Λ + 900Λ2 )  s 

213

(8.175)

6ΛL3 EIz

bestimmt werden kann. Für einen Rechteckquerschnitt ergibt sich Λ =  h 2 1 5 (1 + ν) L , und man erkennt, dass auch hier für schlanke Balken mit L  h shear locking auftritt, da sich im Grenzfall u3y → 0 ergibt. Im Folgenden soll die reduzierte numerische Integration der Steifigkeitsmatrix untersucht werden. Zur Bestimmung einer sinnvollen Anzahl von Integrationspunkten beachte man folgende Überlegung: Verwendet man für uy und φz quadratische Formfunktionen, ist der Grad der du Polynome für dxy und φz unterschiedlich. Der quadratische Ansatz für uy erduy gibt für dx eine lineare Funktion und somit wäre auch für φz eine lineare Funktion wünschenswert. Die Zwei-Punkte-Integration bewirkt jedoch, dass der quadratische Ansatz für φz wie eine lineare Funktion behandelt wird. Eine Zwei-Punkte-Integration kann maximal ein Polynom dritter Ordnung, dass heißt proportional zu x3 , exakt integrieren, und somit ergibt sich die Betrachtungsweise, dass (Niφ Njφ ) ∼ x3 ist. Dies bedeutet jedoch, dass maximal Niφ ∼ x1.5 beziehungsweise Njφ ∼ x1.5 gilt. Da der Polynomansatz nur ganzzahlige Werte für den Exponenten von x erlaubt, ergibt sich Niφ ∼ x1 beziehungsweise Njφ ∼ x1 und die Verdrehung ist als lineare Funktion anzusehen. Die Integration mittels numerischer Gauss-Integration mit zwei Stützstellen erfordert, dass in den Formulierungen der Untermatrizen k11 , · · · , k22 in Gleichung (8.140) die Argumente und die Integrationsgrenzen auf die natürliche Koordinate −1 ≤ ξ ≤ 1 transformiert werden müssen. Mittels der TransfordN dξ mation der Ableitungen auf die neue Koordinate, das heißt dN dx = dξ dx , und x der Transformation der Koordinate ξ = −1 + 2 L beziehungsweise dξ = L2 dx ergibt sich die numerische Approximation der Untermatrizen für zwei Stützstellen ξ1,2 = ± √13 zu: ⎤ dN1u dN1u dN1u dN2u dN1u dN3u ⎢ dξ dξ dξ dξ dξ dξ ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎢

2ks AG ⎢ dN2u dN1u dN2u dN2u dN2u dN3u ⎥ ⎥ = ⎥ × 1, ⎢ ⎥ ⎢ dξ dξ L dξ dξ dξ dξ i=1 ⎥ ⎢ ⎣ dN3u dN1u dN3u dN2u dN3u dN3u ⎦ dξ dξ dξ dξ dξ dξ ⎡

k11

(8.176)

214

8 Balken mit Schubanteil

⎡

k12

⎤ dN1u dN1u dN1u ⎢ dξ (−N1φ ) dξ (−N2φ ) dξ (−N3φ )⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ dN ⎥

dN2u dN2u ⎢ 2u ⎥ = ks AG ⎢ (−N1φ ) (−N2φ ) (−N3φ )⎥ × 1 , (8.177) ⎢ dξ ⎥ dξ dξ i=1 ⎢ ⎥ dN3u dN3u ⎣ dN3u ⎦ (−N1φ ) (−N2φ ) (−N3φ ) dξ dξ dξ

k22

⎤ ⎡ N1φ N1φ N1φ N2φ N1φ N3φ 2 ⎥

ks AGL ⎢ ⎢N2φ N1φ N2φ N2φ N2φ N3φ ⎥ = ⎥×1 ⎢ 2 ⎣ ⎦ i=1 N3φ N1φ N3φ N2φ N3φ N3φ ⎤ ⎡ dN1φ dN1φ dN1φ dN2φ dN1φ dN3φ ⎢ dξ dξ dξ dξ dξ dξ ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎢

2EIz ⎢ dN2φ dN1φ dN2φ dN2φ dN2φ dN3φ ⎥ ⎥ + ⎥ × 1. ⎢ ⎢ L dξ dξ dξ dξ dξ dξ ⎥ i=1 ⎥ ⎢ ⎣ dN3φ dN1φ dN3φ dN2φ dN3φ dN3φ ⎦ dξ dξ dξ dξ dξ dξ

(8.178)

(8.179)

Die quadratischen Formfunktionen, die bereits in Gleichung (8.146) bis (8.148) eingeführt wurden, müssen noch mittels der Transformation x = (ξ + 1) L2 auf die neue Koordinate umgeschrieben werden. Somit ergibt sich für die Formfunktionen beziehungsweise deren Ableitungen: 1 N1 (ξ) = − (ξ − ξ 2 ) , 2 N2 (ξ) = 1 − ξ 2 , N3 (ξ) =

1 (ξ + ξ 2 ) , 2

1 dN1 = − (1 − 2ξ) , dξ 2 dN2 = −2ξ , dξ 1 dN3 = (1 + 2ξ) . dξ 2

(8.180) (8.181) (8.182)

Verwendung dieser Formfunktionen beziehungsweise deren Ableitungen führt schließlich auf die folgenden Untermatrizen ⎡ ⎤ 14 −16 2 ks AG ⎣−16 32 −16⎦ , (8.183) k11 = 6L 2 −16 14 ⎡ ⎤ 3L 4L −L ks AG ⎣−4L 0 4L ⎦ , k12 = (8.184) 6L +L −4L −3L

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

215

⎡ 7 2 ⎤ 2 2 2 2 1 2⎤ − 83 L2 13 L2 3L 3L −3L 3L ks AG ⎢ 2 2 8 2 2 2 ⎥ EIz ⎢ 8 2 16 2 8 2 ⎥ = ⎣ 3 L 3 L 3 L ⎦ + 3 ⎣− 3 L 3 L − 3 L ⎦ , 6L L 1 2 − 31 L2 23 L2 23 L2 − 83 L2 73 L2 3L ⎡

k22

die unter Verwendung der Abkürzung Λ = zusammengesetzt werden können: ⎡

14 −16 2

3L

EIz ks AGL2

(8.185)

zur Steifigkeitsmatrix ke

4L

−1L

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −16 32 −16 −4L 0 4L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 −16 14 1L −4L −3L ⎥ ⎥ ⎢ ks AG ⎢ ⎥ ⎥, ⎢ 2 2 1 6L ⎢ 3L −4L 1L L2 ( 3 + 14Λ) L2 ( 3 − 16Λ) L2 (− 3 + 2Λ)⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4L 0 −4L L2 ( 23 − 16Λ) L2 ( 83 + 32Λ) L2 ( 23 − 16Λ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 1 2 2 2 2 2 −1L 4L −3L L (− 3 + 2Λ) L ( 3 − 16Λ) L ( 3 + 14Λ) (8.186) wobei der Verformungs- und Lastvektor auch hier die folgenden Komponenten beinhaltet: T  up = u1y u2y u3y φ1z φ2z φ3z , T  F e = F1y F2y F3y M1z M2z M3z .

(8.187) (8.188)

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens für den Balken nach Abbildung 8.9 können auch hier im Gleichungssystem die Spalten und Zeilen für die Einträge u1y und φ1z gestrichen werden. Die invertierte 4 × 4 Steifigkeitsmatrix kann zur Bestimmung der unbekannten Freiheitsgrade herangezogen werden: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ x ··· ··· x 0 u2y 1+3Λ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢u3y ⎥ ⎢ F · · · x x 6L ⎢ 18Λ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (8.189) ⎢ .. ⎥ = ⎢ .. .. ⎥ ⎢ .. ⎥ , ⎣ . ⎦ ks AG ⎣ . .⎦ ⎣ . ⎦ 0 φ3z x ··· x    4×4 Matrix

aus der durch Auswertung der zweiten Zeile die Verschiebung am rechten Rand zu   1 F L3 6L 1 + 3Λ u3y = ×F = +Λ × (8.190) ks AG 18Λ 3 EIz    6ΛL3 EIz

216

8 Balken mit Schubanteil

bestimmt werden kann. Für einen Rechteckquerschnitt ergibt sich Λ = 15 (1 +  h 2 ν) L , und man erhält die exakte Lösung14 des Problems zu: ⎛  2 ⎞ 3 1 1+ν h ⎠ × FL . u3y = ⎝ + (8.191) 3 5 L EIz Entsprechend der Vorgehensweise für das Timoshenko-Element mit quadratisch-linearen Formfunktionen im Unterkapitel 8.3.5, kann der mittlere Knoten eliminiert werden. Unter der Annahme, dass am mittleren Knoten keine Kräfte oder Momente angreifen, ergibt die zweite und fünfte Zeile von Gleichung (8.186) die folgende Beziehung für die Unbekannten am mittleren Knoten: u2y =

φ2z

1 1 1 1 u1y + u3y + Lφ1z − Lφ3z , 2 2 8 8

− 4u1y 4u3y +  8 − = 8 L 3 + 32Λ L 3 + 32Λ

(8.192)

2 2 − 16λ φ3z 1z 3 − 16λ φ 3 − 8 . (8.193) 8 3 + 32Λ 3 + 32Λ

Diese beiden Beziehungen können wieder in Gleichung (8.186) berücksichtigt werden, so dass sich nach kurzer Umformung die folgende Finite-ElementeHauptgleichung ergibt: ⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ F1y 6 3L −6 3L u1y ⎢ 3L 2L2 (1 + 3Λ) −3L L2 (1 − 6Λ) ⎥ ⎢φ1z ⎥ ⎢M1z ⎥ 2EIz ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣u3y ⎦ ⎣ F3y ⎦ . −3L 6 −3L L3 (1 + 12Λ) ⎣−6 M3z 3L L2 (1 − 6Λ) −3L 2L2 (1 + 3Λ) φ3z (8.194) Mit dieser Formulierung kann das Ein-Balken-Problem nach Abbildung 8.9 etwas schneller gelöst werden, da nach Berücksichtigung der Randbedingungen nur eine 2 × 2 Matrix zu invertieren ist. In diesem Falle ergibt sich zur Bestimmung der Unbekannten: ⎡

⎡

⎤ 1 2(1 + 3Λ)     ⎥ L3 (1 + 12Λ) ⎢ ⎢ 3(1 + 12Λ) L(1 + 12Λ) ⎥ F = u3y , ⎣ ⎦ 0 2 φ3z 1 2EIz 2 L(1 + 12Λ) L (1 + 12Λ)

(8.195)

woraus sich die exakte Lösung für die Durchbiegung nach Gleichung (8.191) ergibt.

14

Vergleiche hierzu die weiterführende Aufgabe 8.6.

8.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

217

8.4.2 Weiterführende Aufgaben 8.3. Berechnung des Schubkorrekturfaktors für Rechteckquerschnitt Für einen Rechteckquerschnitt der Breite b und Höhe h ist der Schubspannungsverlauf wie folgt gegeben [19]:   h 6Qy h2 h 2 −y (8.196) mit − ≤ y ≤ . τxy (y) = 3 bh 4 2 2 Man berechne den Schubkorrekturfaktor ks unter der Annahme, dass die konstante, in der Fläche As wirkende, äquivalente Schubspannung τxy = Qy /As die gleiche Schubverzerrungsenergie ergibt wie die tatsächliche Schubspannungsverteilung τxy (y), die in der tatsächlichen Querschnittsfläche A des Balkens wirkt. 8.4. Differenzialgleichung unter Berücksichtigung von verteiltem Moment Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung betrachte man das in Abbildung 8.18 dargestellte infinitesimale Balkenelement, das zusätzlich durch ein konstantes ’Streckenmoment’ mz = Moment Länge belastet wird. Anschließend leite man die Differenzialgleichungen für den Timoshenko-Balken unter Berücksichtigung einer allgemeinen Momentenverteilung mz (x) ab.

Abb. 8.18 Infinitesimales Balkenelement mit Schnittreaktionen und verteilten Lasten

8.5. Analytische Berechnung des Verlaufes der Durchbiegung und Verdrehung für Kragarm unter Einzellast Für den in Tabelle 8.3 dargestellten Kragarm, der mit einer Einzellast F am rechten Ende belastet wird, berechne man den Verlauf der Durchbiegung uy (x) und der Verdrehung φz (x) unter Berücksichtigung des Schubeinflusses. Anschließend ist die maximale Durchbiegung und die Verdrehung am Lastangriffspunkt zu bestimmen. Weiterhin bestimme man den Grenzwert der Durchbiegung am Lastangriffspunkt für schlanke (h L) und gedrungene (h  L) Balken.

218

8 Balken mit Schubanteil

8.6. Analytische Berechnung der normierten Durchbiegung für Balken mit Schub Für die in Abbildung 8.6 dargestellten Verläufe der maximalen normierten Durchbiegung uy, norm in Abhängigkeit des Schlankheitsgrades sind die entsprechenden Gleichungen abzuleiten. 8.7. Timoshenko-Biegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und linearen Ansatzfunktionen für die Verdrehung Für ein Timoshenko-Biegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und linearen Ansatzfunktionen für die Verdrehung ist die Steifigkeitsmatrix nach Elimination des mittleren Knotens nach Gleichung (8.158) gegeben. Man leite den zusätzlichen Lastvektor auf der rechten Seite der Finite-Elemente-Hauptgleichung, der sich aus einer veränderlichen Streckenlast qy (x) ergibt, ab. Anschließend ist das Ergebnis für eine konstante Streckenlast zu vereinfachen. 8.8. Timoshenko-Biegeelement mit kubischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und quadratischen Ansatzfunktionen für die Verdrehung Für ein Timoshenko-Biegeelement mit kubischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und quadratischen Ansatzfunktionen für die Verdrehung ist die Steifigkeitsmatrix und die Finite-Elemente-Hauptgleichung ke up = F e abzuleiten. Für die Integration ist die exakte Lösung zu verwenden. Anschließend untersuche man für die in Abbildung 8.9 dargestellte Konfiguration das Konvergenzverhalten eines Elementes. Das Element soll sich in der x-y-Ebene verformen. Wie ändert sich die Finite-Elemente-Hauptgleichung, wenn die Verformung in der x-z-Ebene erfolgt?

Literaturverzeichnis 1. Timoshenko SP, Goodier JN (1970) Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York 2. Beer FP, Johnston Jr ER, DeWolf JT, Mazurek DF (2009) Mechanics of Materials. McGraw-Hill, Singapore 3. Cowper GR (1966) The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory. J Appl Mech 33:335–340 4. Bathe K-J (2002) Finite-Elemente-Methoden. Springer-Verlag, Berlin 5. Weaver Jr W, Gere JM (1980) Matrix Analysis of Framed Structures. Van Nostrand Reinhold Company, New York 6. Gere JM, Timoshenko SP (1991) Mechanics of Materials. PWS-KENT Publishing Company, Boston 7. Gruttmann F, Wagner W (2001) Shear correction factors in Timoshenko’s beam theory for arbitrary shaped cross-sections. Comput Mech 27:199–207 8. Levinson M (1981) A new rectangular beam theory. J Sound Vib 74:81–87. 9. Reddy JN (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plate. J Appl Mech 51:745–752

Literaturverzeichnis

219

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Kapitel 9

Balken aus Verbundmaterial

Zusammenfassung Die bisher diskutierten Balkenelemente bestehen aus homogenem, isotropem Material. In diesem Kapitel wird eine Finite-ElementeFormulierung für eine besondere Werkstoffklasse - die Verbundmaterialien vorgestellt. Ausgehend von ebenen Schichten wird das Verhalten für die eindimensionale Situation am Balken entwickelt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsformen für richtungsabhängiges Stoffverhalten vorgestellt. Kurz wird auch auf eine besondere Klasse der Verbundwerkstoffe, die faserverstärkten Werkstoffe, eingegangen.

9.1 Verbundwerkstoffe In den bisherigen Kapiteln wurde homogener, isotroper Werkstoff vorausgesetzt. In der Praxis werden Bauteile oder Komponenten jedoch aus verschiedenen Werkstoffen gefertigt, um den vielfältigen Beanspruchungen durch die Kombination von verschiedenen Materialien mit ihren spezifischen Eigenschaften gerecht zu werden. Hier wird für Balken und Stäbe die Behandlung dieser Werkstoffe im Rahmen einer Finite-Elemente-Formulierung aufgezeigt. In Abbildung 9.1 a) ist der Aufbau eines Balkens aus Verbundmaterialien im Längsquerschnitt dargestellt. Die einzelnen Schichten repräsentieren verschiedene Werkstoffe mit verschiedenen Materialeigenschaften und können unterschiedlich dick sein. In Abbildung 9.1 b) ist ein sehr einfacher VerbundBalken dargestellt. Er besteht aus nur zwei verschiedenen Materialien. In Abbildung 9.1 c) ist ein häufig auftretender Spezialfall abgebildet. Der Aufbau ist symmetrisch. In Abbildung 9.1 d) ist der Aufbau für eine Sandwichstruktur zu sehen. Charakteristisch sind das relativ dicke Kernmaterial und die relativ dünnen Deckschichten. Die faserverstärkten Werkstoffe stehen für einen Verbundwerkstoff, bei dem das richtungsabhängige Verhalten durch den strukturellen Aufbau vor-

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_9, 

221

222

9 Balken aus Verbundmaterial

a )

b )

c )

d )

Abb. 9.1 Balken aus Verbundwerkstoffen a) allgemein b) zwei Werkstoffe c) symmetrischer Aufbau d) Sandwich mit dickem Kernmaterial und dünnen Deckschichten

gegeben ist. Abbildung 9.2 a) zeigt eine Lage mit Fasern, die in einer Matrix eingebettet sind.

a )

b ) h

b

Abb. 9.2 a) Verbundschicht mit Fasern b) Verbund mit Lagen unterschiedlicher Faserrichtung

Im Allgemeinen kann die Faserrichtung für jede Lage unterschiedlich sein (siehe Abbildung 9.2 b). In der Praxis findet man häufig einen symmetrischen Aufbau.

9.2 Anisotropes Stoffverhalten Richtungsabhängiges Verhalten ist ein typisches Verhalten von Verbundwerkstoffen. In Erweiterung zu einem isotropen Werkstoff ergeben sich andere Beschreibungsformen für die Beziehungen zwischen den Verzerrungen und Spannungen. Diese werden im Folgenden vorgestellt. Unabhängig davon wird im Rahmen dieses Kapitels für jeden Werkstoff linear-elastisches Verhalten vorausgesetzt.

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

223

Die allgemeine Materialbeschreibung (konstitutive Beschreibung) für anisotrope Körper verknüpft mit σij = Cijpq εpq

(9.1)

den Verzerrungstensor (2. Stufe) über einen sogenannten Elastizitätstensor (Tensor 4. Stufe) mit dem Spannungstensor (Tensor 2. Stufe). Auf Grund der Symmetrien des Spannungs- und des Verzerrungstensors sind im Elastizitätstensor sowohl die erste als auch die zweite Indexgruppe Cjipq = Cijpq

;

Cijqp = Cijpq

(9.2)

invariant gegen Vertauschung. Damit bleiben von den ursprünglichen 81 Komponenten des Elastizitätstensors nur noch 36 übrig. Üblicherweise führt man für den symmetrischen Spannungstensor ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ σ1 σxx ⎢ σ2 ⎥ ⎢ σyy ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ σxx σxy σxz ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ σxy σyy σyz ⎦ ⇒ ⎢ σzz ⎥ ⇒ ⎢ σ3 ⎥ (9.3) ⎢ σ4 ⎥ ⎢ σyz ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ σxz σyz σzz ⎣ σ5 ⎦ ⎣ σzx ⎦ σxy σ6 und den symmetrischen Verzerrungstensor ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ε1 εxx ⎢ ε2 ⎥ ⎢ εyy ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ εxx εxy εxz ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ εxy εyy εyz ⎦ ⇒ ⎢ εzz ⎥ ⇒ ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ε4 ⎥ ⎢ εyz ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ εxz εyz εzz ⎣ ε5 ⎦ ⎣ εzx ⎦ εxy ε6

(9.4)

Spaltenmatrizen ein. Damit lässt sich die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung (9.1) in Matrixschreibweise als ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ε1 σ1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 ⎢ σ2 ⎥ ⎢ C21 C22 C23 C24 C25 C26 ⎥ ⎢ ε2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ σ3 ⎥ ⎢ C31 C31 C33 C34 C35 C36 ⎥ ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ (9.5) ⎢ σ4 ⎥ ⎢ C41 C42 C43 C44 C45 C46 ⎥ ⎢ ε4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ σ5 ⎦ ⎣ C51 C52 C53 C54 C55 C56 ⎦ ⎣ ε5 ⎦ σ6 C61 C62 C63 C64 C65 C66 ε6 oder kompakt als σ =Cε

(9.6)

224

9 Balken aus Verbundmaterial

formulieren. Die spezifische (auf das Volumenelement bezogene) elastische Verzerrungsengergie lautet in Matrixform 1 T ε σ, 2

π=

(9.7)

was zusammen mit dem Stoffgesetz nach Gleichung (9.1) auf π=

1 T ε Cε 2

(9.8)

führt. Auf Grund ihres energetischen Charakters muss diese Form positiv definit sein (π ≥ 0). Dies erfordert aber C T = C, also die Symmetrie der CMatrix. Von den 36 Komponenten der Steifigkeitsmatrix sind deswegen nur noch 21 Komponenten voneinander unabhängig (Cij =Cji ). Dieses Material wird auch triklines Material genannt. In der Verzerrungs-Spannungs-Beziehung ε=Sσ

(9.9)

verknüpft die Nachgiebigkeitsmatrix S die Spannungen mit den Verzerrungen. Die für den allgemeinen dreidimensionalen Fall gültige Beziehung ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ σ1 S11 S12 S13 S14 S15 S16 ε1 ⎢ ε2 ⎥ ⎢ S21 S22 S23 S24 S25 S26 ⎥ ⎢ σ2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ε3 ⎥ ⎢ S31 S31 S33 S34 S35 S36 ⎥ ⎢ σ3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ (9.10) ⎢ ε4 ⎥ ⎢ S41 S42 S43 S44 S45 S46 ⎥ ⎢ σ4 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ε5 ⎦ ⎣ S51 S52 S53 S54 S55 S56 ⎦ ⎣ σ5 ⎦ ε6 S61 S62 S63 S64 S65 S66 σ6 kann für verschiedene Spezialfälle vereinfacht werden. Dies wird im folgenden Abschnitt vorgestellt.

9.2.1 Spezielle Symmetrien Zur weiteren Vereinfachung werden spezielle Symmetrien betrachtet. Eine wichtige Auswahl bilden folgende Systeme. Ausführlich dargestellt wird die Spannungs-Verzerrungsbeziehung mit der Steifigkeitsmatrix C. Für die Verzerrungs-Spannungs-Beziehung mit der Nachgiebigkeitsmatrix S gilt die gleiche Herleitung.

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

225

Monokline Systeme Sei beispielsweise die Ebene z = 0 eine Symmetrieebene, dann müssen alle mit der z-Achse zusammenhängenden Komponenten der C-Matrix in ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ε1 C11 C12 C13 0 0 C16 σ1 ⎢ σ2 ⎥ ⎢ C21 C22 C23 0 0 C26 ⎥ ⎢ ε2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ σ3 ⎥ ⎢ C31 C31 C33 0 0 C36 ⎥ ⎢ ε3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ (9.11) ⎢ σ4 ⎥ ⎢ 0 0 0 C44 C45 0 ⎥ ⎢ ε4 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ σ5 ⎦ ⎣ 0 0 0 C45 C55 0 ⎦ ⎣ ε5 ⎦ σ6 ε6 C16 C26 C36 0 0 C66 invariant gegen Vorzeichenwechsel sein. Damit bleiben 13 unabhängige Materialkonstanten. Orthotrope Systeme Hier liegen 3 zueinander senkrechte Symmetrieebenen im Material vor. Die entsprechende Invarianz gegen Vorzeichenwechsel liefert für orthotrope Systeme in ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ε1 σ1 C11 C12 C13 ⎢ σ2 ⎥ ⎢ C12 C22 C23 ⎥ ⎢ ε2 ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ σ3 ⎥ ⎢ C13 C23 C33 ⎥ ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ (9.12) ⎢ σ4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε4 ⎥ C44 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ σ5 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ε5 ⎦ 0 C55 σ6 C66 ε6 nur noch 9 unabhängige Materialkonstanten.

Transversal isotrope Systeme

Diese für die Faserverbundwerkstoffe wichtige Gruppe ist dadurch gekennzeichnet, dass in einer Ebene (beispielsweise der y-z-Ebene) isotropes Verhalten vorliegt. Damit werden bei der Beschreibung der Spannungs-Verzerrungsbeziehung ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ C11 C12 C12 ε1 σ1 ⎢ σ2 ⎥ ⎢ C12 C22 C23 ⎥ ⎢ ε2 ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ σ3 ⎥ ⎢ C12 C23 C22 ⎥ ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ (9.13) (C22 −C23 ) ⎢ σ4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 2 ⎣ σ5 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ε5 ⎦ 0 C66 σ6 ε6 C66 für transversal isotrope Systeme nur noch 5 unabhängige Materialkonstanten benötigt. Die Beziehung für die Konstante C44 folgt aus der Äquivalenz von reinem Schub und einer kombinierten Zug-Druckbeanspruchung.

226

9 Balken aus Verbundmaterial

Isotrope Systeme Falls das Material isotrop, d.h. invariant unter allen orthogonalen Transformationen ist, so werden für die Spannungs-Verzerrungsbeziehung ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ C11 C12 C12 ε1 σ1 ⎥⎢ ⎥ C12 C11 C12 0 ⎢ σ2 ⎥ ⎢ ε ⎢ ⎥ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ σ3 ⎥ ⎢ C12 C12 C11 ε3 ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ (9.14) (C11 −C12 ) ⎥⎢ ⎥ ⎢ σ4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε4 ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (C −C ) 11 12 ⎣ σ5 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ε5 ⎦ 2 (C11 −C12 ) σ6 ε6 2

nur noch 2 unabhängige Materialkonstanzen benötigt (Hookescher Körper).

9.2.2 Ingenieur-Konstanten In der Theorie isotroper Kontinua werden üblicherweise die beiden Werkstoffkonstanten E (Elastizitätsmodul) und ν (Querdehnzahl, Poissonsche Konstante) verwendet, die experimentell leicht zu bestimmen sind. Ebenso werden ausgehend von der Differenzialgleichung die Lame-Koeffizienten λ und ν verwendet oder der Kompressionsmodul K und der Schubmodul G. Die einzelnen Größen sind voneinander abhängig und können mit E E Eν , μ= =G , K= (9.15) (1 + ν)(1 − 2ν) 2(1 + ν) 2(1 − 2ν) λ μ(3λ + 2ν) 2 ν= , E= , K =λ+ μ 2(λ + ν) 2(λ + ν) 3

λ=

umgerechnet werden. Die Bedeutung dieser Größen lässt sich zweckmäßig an der zur Steifigkeitsmatrix inversen Form ablesen. Isotrope Systeme Für isotrope Werkstoffe lautet die Verzerrungs-Spannungsbeziehung ⎡ ⎤ ⎡ 1 −ν −ν ⎤⎡ ⎤ σ1 ε1 E E E −ν 1 ⎢ ε2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ2 ⎥ 0 E E ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ3 ⎥ E ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ . (9.16) 1 ⎢ ε4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ4 ⎥ G ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎣ ε5 ⎦ ⎣ sym. ⎦ ⎣ σ5 ⎦ G 1 ε6 σ6 G

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

227

Durch Inversion der sogenannten Nachgiebigkeitsmatrix folgt die Steifigkeitsmatrix. Die Komponenten der Steifigkeitsmatrix C11 = (1 − ν)E

(9.17)

C12 = νE E (C11 − C12 ) = =G 2 2(1 + ν) mit E=E

1 (1 + ν)(1 − 2ν)

(9.18)

ergeben sich aus dem Vergleich mit Gleichung (9.14). Transversal isotrope Systeme Beispielhaft wird das transversal isotrope Verhalten für die x-Ebene angenommen. Selbstverständlich lassen sich die Überlegungen auch auf andere Raumrichtungen übertragen. Die Nachgiebigkeitsmatrix für transversal isotrope Systeme lautet ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 −ν12 −ν12 σ1 ε1 E1 E2 E2 −ν23 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ε2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ σ2 ⎥ E2 E2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎢ ε3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ3 ⎥ E2 ⎢ ⎥=⎢ (9.19) ⎢ ⎥⎢ ⎥ . 1 ⎢ ε4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ σ4 ⎥ 2G23 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ε5 ⎦ ⎣ sym. ⎦ ⎣ σ5 ⎦ 2G12 1 ε6 σ6 2G12

Der Schubmodul G23 lässt sich wie bei isotropen Medien aus E2 und ν23 berechnen. Die Indizierung der Querdehnzahlen erfolgt nach dem Schema: • 1. Index = Richtung der Kontraktion, • 2. Index = Richtung der Beanspruchung, welche diese Kontraktion hervorruft. Durch Inversion der Nachgiebigkeitsmatrix und Vergleich erhält man 2 C11 = (1 − ν23 ) ν E1

(9.20)

C22 = (1 − ν12 ν21 ) ν E2 C12 = ν12 (1 + ν23 ) ν E1 = ν21 (1 + ν1 ) ν E2 C23 = (ν23 + ν21 ν12 ) ν E2

(9.21) (9.22) (9.23)

C22 − C23 = (1 − ν22 − 2ν21 ν12 ) ν E2 C66 = G12 mit

(9.24) (9.25)

228

9 Balken aus Verbundmaterial

ν=

1 (1 + ν23 ) (1 − ν23 − 2ν21 ν12 )

(9.26)

die Beziehungen zwischen den Ingenieur-Konstanten und den Komponenten Cij der Steifigkeitsmatrix. Mit der Beziehung ν12 E1 = ν21 E2

(9.27)

werden die einzelnen Werkstoffwerte miteinander verknüpft.

9.2.3 Transformationsverhalten Im Verbundwerkstoff werden für einzelne Schichten Werkstoffe eingesetzt, die sich durch ihren strukturellen Aufbau richtungsabhängig verhalten. Diese Vorzugsrichtung - meist ist es nur eine - ist für eine Schicht charakteristisch. Beim Zusammenführen im Verbund können die Vorzugsrichtungen lagenweise unterschiedlich festgelegt werden. Für die makroskopische Beschreibung des Verbundwerkstoffes sind daher Transformationsvorschriften erforderlich, um die Vorzugsrichtung einer einzelnen Schicht im Verbund berücksichtigen zu können. Es muss eine Vorschrift angegeben werden, wie sich die Materialgleichung bei einem Wechsel des Koordinatensystems transformiert. Diese Vorschrift gewinnt man aus dem Transformationsverhalten von Tensoren. Dabei werden jedoch nur gegeneinander verdrehte kartesische Koordinatensysteme benötigt (sogenannte orthogonale Transformationen). Für einen beliebigen Tensor 2. Stufe Aij gilt folgende Transformation bei Übergang von einem kartesischen (ij) in ein anderes (kl’) kartesisches System (hierin sind die cij die sogenannten Richtungskosini): Akl = cki clj Aij

(9.28)

und damit speziell für den Verzerrungs- und für den Spannungstensor εkl = cki clj εij ,  σkl = cki clj σij .

(9.29) (9.30)

Drückt man jeweils die Spannungen und Verzerrungen als Spalten-Matrix aus, so lässt sich die Transformation als ε = T ε ε σ = T σ σ oder

(9.31) (9.32)

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

229  ε = T −1 ε ε  σ = T −1 σ σ

(9.33) (9.34)

schreiben. Mit den Eigenschaften für diese Transformationsmatrizen T T −1 ε = Tσ

folgen ausgehend von

,

T T −1 σ = Tε

(9.35)

σ  = C  ε

(9.36)

T σ σ = C T ε ε (T σ )−1 T σ σ = (T σ )−1 C  T ε ε

(9.37)

mit den Umformungen

σ = (T σ )T C  T ε ε oder ausgehend von σ =Cε

(9.38)

mit den Umformungen (T σ )−1 σ  = C  (T σ )−1 C  −1

(T σ ) (T σ )



−1

(9.39) 

σ = (T σ ) C(T σ ) ε σ  = (T σ ) C(T ε )T ε

schließlich die Beziehungen für die Transformationen der Steifigkeitsmatrix C = T σ C T T σ  C = TT C T ε. ε

(9.40) (9.41)

Analog erhält man für die Transformation der Nachgiebigkeitsmatrix S  = T ε S (T ε )T  S = TT σ S Tσ .

(9.42) (9.43)

Für die wichtige Gruppe der transversal isotropen Materialien ergeben sich die Transformationsmatrizen ⎤ ⎡ 2 c s2 0 0 0 2cs ⎢ s2 c2 0 0 0 −2cs ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 010 0 0⎥ ⎥ ⎢ (9.44) Tσ = ⎢ 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 c −s ⎣ 0 00s c 0⎦ −sc −sc 0 0 0 c2 − s2

230

und

9 Balken aus Verbundmaterial

⎡

c2 s2 ⎢ s2 c2 ⎢ ⎢ 0 0 Tε = ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣ 0 0 −2cs −2cs

⎤ 00 0 cs 00 0 −ss ⎥ ⎥ 10 0 0⎥ ⎥ 0 c −s 0⎥ ⎥ 0s c 0⎦ 0 0 0 c2 − s2

(9.45)

für eine Drehung um die z-Achse, mit s = sin α und c = cos α.

9.2.4 Ebene Spannungszustände Eine entscheidende Vereinfachung der Spannungs-Verzerrungsbeziehungen ergibt sich durch Reduzierung auf zweidimensionale, anstelle räumlicher Spannungszustände. Eine dünne Schicht im Verbund kann unter der Annahme des ebenen Spannungszustandes (ESZ) betrachtet werden. Spannungskomponenten, die nicht in der betrachteten Ebene liegen, werden zu Null gesetzt. Es sei erwähnt, dass der ebene Spannungszustand nur näherungsweise gilt. Hier wird der ebene Spannungszustand für die x-y-Ebene betrachtet. Für die Spannungszustände in der x-z- oder y-z-Ebene ergeben sich ähnliche Formulierungen. Die Annahme des ebenen Spannungszustandes vereinfacht die SpannungsVerzerrungsbeziehung. Es verbleiben lediglich drei Gleichungen σ1 = C11 ε1 + C12 ε2 + C13 ε3 + C16 ε6

(9.46)

σ2 = C12 ε1 + C22 ε2 + C23 ε3 + C26 ε6 σ6 = C16 ε1 + C26 ε2 + C33 ε3 + C66 ε6

(9.47) (9.48)

für die drei Spannungskomponenten σ1 , σ2 und σ6 . Die Verzerrung ε3 senkrecht zur betrachteten Ebene kann aus der Beziehung ε3 = −

1 (C13 ε1 + C23 ε2 + C36 ε3 ) C33

(9.49)

ermittelt werden. Ersetzt man ε3 in den obigen drei Gleichungen, führt das auf eine modifizierte Form  Ci3 Cj3 σi = Cij − i, j = 1, 2, 6 (9.50) εj , C33 die üblicherweise mit σi = Qij εj oder in Matrixschreibweise mit

(9.51)

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

231

σ = Qε

(9.52)

beschrieben wird. Für den ebenen Spannungszustand bleiben die Komponenten der Nachgiebigkeitsmatrix Sij in der Verzerrungs-Spannungsbeziehung ε = Sσ

(9.53)

gleich. In den weiteren Betrachtungen werden die Spannungs-Verzerrungsbeziehung und die Verzerrungs-Spannungsbeziehung für die verschiedenen Lamina unter ebenem Spannungszustand präzisiert. In der praktischen Anwendung treten drei verschiedene Schichten auf: 1. Schichten, die als quasi-homogen und quasi-isotrop behandelt werden. Das elastische Verhalten zeigt keine Vorzugsrichtung. Dazu zählen Schichten, deren Matrix mit kurzen Fasern verstärkt ist, deren Richtung jedoch willkürlich ist. 2. Schichten, bei denen lange Fasern mit einer Vorzugsrichtung in einer Matrize eingebettet sind, sogenannte unidirektionale Lamina. Die Belastung erfolgt ebenfalls in dieser Vorzugsrichtung. Makroskopisch wird der Werkstoff als quasi-homogen und orthotrop behandelt. 3. Schichten wie unter 2.). Die Belastung kann jedoch in jeder beliebigen Richtung erfolgen. Isotrope Lamina Für isotrope Lamina werden in der Spannungs-Verzerrungsbeziehung ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ Q11 Q12 0 ε1 σ1 ⎣ σ2 ⎦ = ⎣ Q12 Q11 0 ⎦ ⎣ ε2 ⎦ (9.54) 0 0 Q66 σ6 ε6 mit Q11 = E/(1 − ν 2 ) Q12 = Eν/(1 − ν 2 ) C66 = E/2(1 + ν) und in der Verzerrungs-Spannungsbeziehung ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ε1 S11 S12 0 σ1 ⎣ ε2 ⎦ = ⎣ S12 S11 0 ⎦ ⎣ σ2 ⎦ ε6 σ6 0 0 S66 mit

(9.55) (9.56) (9.57)

(9.58)

232

9 Balken aus Verbundmaterial

S11 = 1/E S12 = −ν/E

(9.59) (9.60)

S66 = 1/G = 2(1 + ν)/E

(9.61)

nur zwei voneinander unabhängige Werkstoffparameter benötigt. Die Gleichungen zeigen, dass zwischen den Normalspannungen und den Schubspannungen keine Kopplung existiert. Unidirektionale Lamina, Belastung in Faserrichtung Zur Beschreibung der unidirektionalen Lamina wird üblicherweise ein eigenes, laminabezogenes Koordinatensystem (1’, 2’) eingeführt. Die Richtung 1’ entspricht der Faserrichtung (L), die Richtung 2’ entspricht der Richtung quer zur Faserrichtung (T). In der Spannungs-Verzerrungsbeziehung ⎤⎡  ⎤ ⎡  ⎤⎡  Q11 Q12 0 ε1 σ1 ⎣ σ2 ⎦ ⎣ Q12 Q22 0 ⎦ ⎣ ε2 ⎦ (9.62) σ6 ε6 0 0 Q66 mit   Q11 = E1 /(1 − ν12 ν21 )     Q22 = E2 /(1 − ν12 ν21 )

(9.63) (9.64)

   Q12 = E2 ν12 /(1 − ν12 ν21 )   Q66 = G12

(9.65) (9.66)

und in der Verzerrungs-Spannungsbeziehung ⎡ ⎤ ⎡  ⎤⎡ ⎤  ε1 0 S11 S12 σ1   ⎣ ε2 ⎦ = ⎣ S12 S22 0 ⎦ ⎣ σ2 ⎦  0 0 S66 ε6 σ6

(9.67)

mit  S11 = 1/E1  S22 = 1/E2    S12 = −ν12 /E1 = −ν21 /E2

(9.68) (9.69) (9.70)

 S66 = G12

(9.71)

werden 4 voneinander unabhängige Werkstoffparameter benötigt. Die im laminaeigenen Koordinatensystem gültigen Größen lassen sich mit E1 = EL

,

E2 = ET

,

G12 = GLT

,

 ν12 = νLT

(9.72)

9.2 Anisotropes Stoffverhalten

233

in den Ingenieurkonstanten formulieren. Unidirektionale Lamina, beliebige Lastrichtung in der Ebene Im Unterschied zu obiger Betrachtungsweise kann die Last nicht nur in der Vorzugsrichtung des Lamina, sondern in jeder Richtung der Ebene erfolgen. Um jedoch die Materialwerte des (1’,2’)-Koordinatensystems verwenden zu

2 '

2 1 ' a 1

Abb. 9.3 Lamina mit Winkelversatz zwischen Vorzugs- und Lastrichtung

können, ist eine Transformation der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix vom (1’,2’)-Systems auf das (1,2)-System erforderlich. Im (1’,2’)-System lautet die Materialgleichung für den ebenen Spannungszustand: ⎤⎡ ⎤ ⎡  ⎤ ⎡ 1 −ν12 0 ε1 σ E1 E1 ⎥ ⎣ 1 ⎦ −ν12 1 ⎣ ε2 ⎦ = ⎢ 0 ⎦ σ2 . (9.73) ⎣ E1 E2 ε6 σ6 0 0 2G1 12

Durch Anwendung der Transformationsbeziehung des transversal isotropen Körpers mit der „ebenen“ Transformationsmatrix erhält man für die Nachgiebigkeitsmatrix ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ c S11 2c2 s2 s4 c2 s2 ⎡  ⎤ ⎥ S11 ⎢ S12 ⎥ ⎢ c2 s2 c4 + s4 c2 s2 −c2 s2 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢  ⎥ ⎢ S16 ⎥ ⎢ 2c s −2cs(c2 − s2 ) −2cs3 −cs(c2 − s2 ) ⎥ ⎢ S12 ⎥=⎢ 4 ⎥⎢  ⎥ ⎢ (9.74) 2 2 4 2 2 ⎥ ⎣ S22 ⎦ ⎢ S22 ⎥ ⎢ s 2c s c c s ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 2 2 3 2 2  ⎣ S26 ⎦ ⎣ 2cs 2cs(c − s ) −2c s cs(c − s ) ⎦ S66 S66 −8c2 s2 4c2 s2 (c2 − s2 )2 4c2 s2 und für die Steifigkeitsmatrix ⎡ ⎤ ⎡ 4 ⎤ c Q11 2c2 s2 s4 4c2 s2 ⎡ ⎤ ⎢ Q12 ⎥ ⎢ c2 s2 ⎥ Q11 c4 + s4 c2 s2 −4c2 s2 ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ Q16 ⎥ ⎢ c s −cs(c2 − s2 ) −cs3 −2cs(c2 − s2 ) ⎥ ⎢ Q12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢  ⎥ ⎢ Q22 ⎥ = ⎢ s4 ⎥ ⎣ Q22 ⎦ 2c2 s2 c4 4c2 s2 ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ Q26 ⎦ ⎣ cs cs(c2 − s2 ) −c3 s 2cs(c2 − s2 ) ⎦ Q66 Q66 −2c2 s2 c2 s2 (c2 − s2 )2 c2 s2

(9.75)

234

9 Balken aus Verbundmaterial

mit s = sin α, c = cos α .

(9.76)

Damit können Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix für transversal isotrope Lamina in beliebigen (in einer Ebene gedrehten) kartesischen Koordinatensystemen dargestellt werden. (Annahme hier: die Drehung erfolgt in der Ebene um die z-Achse, die senkrecht auf der Lamina-Ebene steht.) In folgender Tabelle sind für unterschiedliche Materialmodelle die Anzahl der Nicht-Nulleinträge und die Anzahl der unabhängigen Parameter zusammengefasst. Unterschieden wird zwischen dem allgemeinen dreidimensionalen und dem ebenen Spannungszustand. Tabelle 9.1 Materialmodelle mit der Anzahl von Nicht-Nulleinträgen und unabhängigner Parameter Materialmodell Dreidimensional Zweidimensional = 0 unabh. Pa- = 0 unabh. Parameter rameter isotrop 12 2 5 2 transversal isotrop 12 5 orthotrop 12 9 5 4 monoklin 20 13 anisotrop 36 21 9 6

9.3 Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe Die Mikromechanik dient zur Ermittlung der Eigenschaften eines Verbundes aus den Eigenschaften der einzelnen Komponenten. Für die Beschreibung der Faserverbundwerkstoffe (FVW) werden als Modell sogenannte unidirektionale Lamina verwendet, welche zur Gruppe der transversal isotropen Werkstoffe zählen. Dem Modell liegen folgende Annahmen zugrunde: 1. Die Fasern sind gleichmäßig in der Matrix verteilt, 2. zwischen den Fasern und der Matrix herrschen ideale Kontaktbedingungen (Stetigkeit der Tangentialkomponente der Verschiebung) 3. die Matrix enthält keine Hohlräume, 4. die äußere Belastung wirkt entweder in Faserrichtung oder quer dazu, 5. im Lamina existieren keine Eigenspannungen, 6. sowohl der Faser- als auch der Matrixwerkstoff sind linearelastisch und 7. die Fasern sind unendlich lang.

9.3 Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe

235

Bei der Belastung von Faserverbundwerkstoffen wird zwischen der Belastung in und quer zur Faserrichtung unterschieden. Abbildung 9.4 zeigt die auftretenden Größen für die Belastung in Faserrichtung.

s s s s

f F a se r f

F

l L a m in a l

F

m M a trix m

e Abb. 9.4 Spannungs-Dehnungsbeziehung bei Belastung in Faserrichtung

Auf Grund der Voraussetzung 2) ist (9.77)

ε f = εm = εl und gemäß Voraussetzung 6) gilt σ f = Ef ε f = E f ε l σ m = Em ε m = E m ε l .

(9.78)

Da im Allgemeinen Ef ≥ Em ist, folgt σf ≥ σm . Aus dem Kräftegleichgewicht (9.79)

F = Ff + F m folgt mit Af als Faserquerschnitt und Am als Querschnitt der Matrix σl Al = σf Af + σm Am

(9.80)

die Spannung im Lamina zu σl = σf

Af Am + σm . Al Al

(9.81)

Wegen (9.82)

Al = Af + Am und den Abkürzungen vf =

Af Al

und

vm =

Am Al

(9.83)

236

9 Balken aus Verbundmaterial

folgt Am = 1 − v f = vm Al

(9.84)

σl = σf vf + σm (1 − vf ) .

(9.85)

und damit

Die Division dieser Beziehung durch εl ergibt die sogenannte Mischungsregel El = Ef vf + Em vm = Ef vf + Em (1 − vf ) .

(9.86)

Mit der Beziehung Ff Ef vf σ f vf = = Fl σf vf + σm (1 − vf ) Ef vf + Em (1 − vf )

(9.87)

wird der von den Fasern übertragene Lastanteil von der Gesamtbelastung beschrieben.

9.4 Mehrschichtiger Verbund Ein Verbundwerkstoff ist im Allgemeinen aus mehreren Schichten aufgebaut. Diese Schichten können sowohl in den geometrischen Abmaßen als auch in den Materialeigenschaften verschieden sein. Im Folgenden wird zunächst eine einzelne Schicht analysiert, anschließend der gesamte Verbund. Für die Finite-Elemente-Formulierung werden die in der Praxis häufig auftretenden Fälle vorgestellt. Das makromechanische Verhalten wird unter folgenden Annahmen beschrieben: • Die einzelnen Schichten des Verbundes sind perfekt miteinander verbunden. Es gibt keine Zwischenlage. • Jede Schicht kann als quasi-homogen betrachtet werden. • Die Verschiebungen und Verzerrungen sind kontinuierlich über den gesamten Verbund. Innerhalb einer Schicht lassen sich die Verschiebungen und Verzerrungen mit einem linearen Verlauf beschreiben.

9.4.1 Eine Schicht im Verbund Für eine einzelne Schicht (Lamina) sei angenommen, dass die Schichtdicke sehr viel kleiner ist als die Längenabmessungen. Damit kann ein ebener Spannungszustand zur Beschreibung herangezogen werden.

9.4 Mehrschichtiger Verbund

237

Im Weiteren soll zwischen zwei Situationen unterschieden werden. Die Spannungen sind • konstant oder • nicht konstant innerhalb einer Verbundschicht. Im ersten Fall ergibt sich für die k-te Schicht im Verbund ein aus den Spannungen resultierender Kraftvektor N k = [N1k , N2k , N6k ]T ,

(9.88)

der über k

N =

h

(9.89)

σ dz

definiert ist. Die Nik sind auf eine Einheitsbreite bezogene Kräfte, die wahren Normalenkräfte erhält man durch Multiplikation mit der Breite bk einer Verbundschicht. N1k , N2k sind resultierende Normalenkräfte, N6k steht für eine Scherkraft in der Ebene. Für eine konstante Spannung über den Querschnitt ergibt sich: (9.90) N k = σ k hk . In der reduzierten Steifigkeitsmatrix Q sind die Komponenten ebenfalls konstant. Mit σ k = Qk ε0 (9.91) ergibt sich

N k = Qk ε0 hk = Ak ε0 .

(9.92)

Für den Fall, dass die Spannungen nicht konstant über der Schichtdicke sind, ergibt sich ein resultierender Momentenvektor M k = [M1k , M2k , M6k ]T ,

(9.93)

der über k

M =

h

(9.94)

σ(z) z dz

definiert ist. Die Mik sind auf eine Einheitsbreite bezogene Momente, wobei M1k , M2k für Biegemomente und M6k für das Torsionsmoment stehen. Nach dem Deformationsmodell verlaufen die Verzerrungen linear über den Querschnitt und lassen sich über εk (z) = z κ

(9.95)

ausdrücken. Für den resultierenden Momentenvektor ergibt sich damit Mk =

h

Qk εk z dz = Qk κ

+h/2

−h/2

z 2 dz = Qk κ

(hk )3 = Dk κ . 12

(9.96)

238

9 Balken aus Verbundmaterial

Treten für eine Schicht sowohl ein konstanter als auch ein linearer Anteil in den Verzerrungen auf, gilt ε(z) = ε0 + z κ und damit k

N = und Mk =

(9.97)

h

Q(ε0 + zκ)dz

(9.98)

Q(ε0 + zκ)dz .

(9.99)

h

Es treten sowohl ein resultierender Kraft- als auch ein Momentenvektor auf. Beide hergeleiteten Formulierungen lassen sich als N k = Ak ε0 + B k κ

(9.100)

M k = B k ε0 + D k κ

(9.101)

kombinieren und kompakt als  k   k k  0 N A B ε = κ Mk B k Dk

(9.102)

zusammenfassen. Für Schichten, die symmetrisch zur Mittelebene z = 0 sind, verschwindet die Koppelmatrix B k und es verbleibt  k   k  0 N A 0 ε (9.103) = κ 0 Dk Mk mit Ak = Qk hk

(hk )3 . 12

(9.104)

(hk )3 12

(9.105)

,

D k = Qk

,

D11 = Qk11

Ein Sonderfall, für den mit Ak11 = Qk11 hk

nur eine Vorzugsrichtung betrachtet wird, dient zur Beschreibung einer Verbundschicht in einem Balken.

9.4.2 Der vielschichtige Verbund Der Verbund ist aus mehreren Schichten (Lamina) aufgebaut. Bei der Ermittlung der resultierenden Kräfte und Momente müsste über die gesamte Höhe integriert werden. Da die Steifigkeitsmatrizen pro Lamina unabhängig

9.4 Mehrschichtiger Verbund

239

von der z-Koordinate sind, kann die Integration durch eine entsprechende Summation ersetzt werden. Damit folgt: N = Aε0 + Bk ,

(9.106)

M = Bε0 + Dk ,

(9.107)

oder zusammengefasst 

N M



 =

AB BD



ε0 k

 .

(9.108)

Die Matrizen A, B und C sind Abkürzungen für: A=

N

Qk (z k − z k−1 ) ,

(9.109)

k=1 N

B=

1 k Q ((z k )2 − (z k−1 )2 ) , 2

(9.110)

k=1 N

D=

1 k Q ((z k )3 − (z k−1 )3 ) . 3

(9.111)

k=1

Im Fall eines zur Mittelebene (z = 0) symmetrischen Schichtaufbaues des Verbundes verschwindet die Koppelmatrix B. Der allgemeine Berechnungsgang für einen Verbund läuft folgendermaßen ab: 1. Berechnung der Schichtsteifigkeiten aus den Ingenieurkonstanten für jede Schicht im jeweiligen Schichtkoordinatensystem. 2. Eventuelle Transformation jeder Schichtsteifigkeitsmatrix in das Schichtkoordiantensystem. 3. Berechnung der Schichtsteifigkeiten im Verbund. 4. Durch Inversion der Steifigkeitsmatrix gewinnt man die Nachgiebigkeitsmatrizen des Verbundes aus ε0 = αN + βM ,

(9.112)

k = β T N + δM ,

(9.113)

wobei zur Abkürzung folgende Matrizen eingeführt werden

240

9 Balken aus Verbundmaterial

˜ −1 BA−1 , α = A−1 + A−1 B D

(9.114)

−1

˜ −1 , + BD

(9.115)

−1

−1

β=A

˜ β =D T

˜ δ=D ˜ D

−1

−1

BA

(9.116)

,

(9.117)

,

= D − BA

−1

B.

(9.118)

Aus obigen Gleichungen können bei gegebenen äußeren Belastungen die Schichtdeformationen bestimmt werden. Durch Rücktransformation folgen die Schichtdeformationen im jeweiligen Laminakoordinatensystem und über die Steifigkeitsmatrizen der Lamina die intralaminaren Spannungen.

9.5 Eine Finite-Elemente-Formulierung Im Rahmen dieses Kapitels wird eine Finite-Elemente-Formulierung für ein Verbund -Element hergeleitet. Als Grundlage dienen die Überlegungen zum allgemeinen zweidimensionalen Verbund. Hier konzentriert sich die Herleitung auf die eindimensionale Situation, wobei zwischen folgenden zwei Belastungsfällen unterschieden wird: • Die Belastung erfolgt in Richtung der Balkenlängsachse. Der Balken lässt sich damit als Stab beschreiben. Es treten Zug- und Druckbeanspruchungen auf. • Die Belastung erfolgt quer zur Balkenlängsachse. Es treten Biegung und Schub auf.

9.5.1 Der Verbundstab Abbildung 9.5 zeigt einen Verbundstab unter Zugbelastung. Die prinzipielle

S c h ic h t F

B re ite b

N 1

2

h k L

Abb. 9.5 Verbundstab unter Zugbelastung

k

F

9.5 Eine Finite-Elemente-Formulierung

241

Vorgehensweise zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix bleibt gleich. Der Verschiebungsverlauf im Element wird durch die Knotenpunktsverschiebungen und durch Formfunktionen approximiert. Im einfachsten Fall wird die Näherung mit einem linearen Ansatz beschrieben. Die Steifigkeitsmatrix lässt sich über verschiedene Motivationen, beispielsweise über das Prinzip der virtuellen Arbeit oder über das Potenzial, herleiten. Für den Zugstab aus homogenem, isotropem Material, konstantem Elastizitätsmodul E und Querschnittsfläche A ergibt sich die Steifigkeitsmatrix zu:   EA 1 −1 . (9.119) ke = L −1 1 Geht man auch bei der Herleitung der Steifigkeitsmatrix für den Verbundstab davon aus, dass die Stoffeigenschaften und die Querschnittsfläche konstant entlang der Stabachse sind, dann ergibt sich eine ähnliche Formulierung:   (EA)V 1 −1 e k = (9.120) −1 1 L Der Ausdruck (EA)V steht für eine auf die Einheitslänge bezogene . Dehnsteifigkeit. Aus dem Vergleich mit dem Verbund ergibt sich (EA)V = A11 b = b

N

Qk11 hk .

(9.121)

k=1

Bestehen die einzelnen Verbundschichten jeweils aus einem quasi-homogenen, quasi-isotropen Werkstoff, vereinfacht sich die Beziehung (EA)V = A11 b = b

N

E1k hk .

(9.122)

k=1

Anschaulich lässt sich der Zusammenhang folgendermaßen interpretieren. Die makroskopisch für den Verbundwerkstoff repräsentative Dehnsteifigkeit setzt sich aus gewichteten Elastizitätsmoduli der einzelnen Verbundschichten zusammen. Bei gleicher Breite entsprechen die Gewichte den Höhenanteilen. Zusammenfassung: Für einen Verbundstab mit einem über die Dicke symmetrischem Aufbau lässt sich die Steifigkeitsmatrix ähnlich zum Stab mit homogenem, isotropem Werkstoff herleiten.

242

9 Balken aus Verbundmaterial

9.5.2 Der Verbundbalken

z z

N

z

k -1

z M

k 2

z 0

z

z

x M

1

Abb. 9.6 Symmetrischer Verbundbalken unter Biegebeanspruchung

Zunächst sei angenommen, dass nur die Biegung als Beanspruchung auftritt. Damit muss in der Beziehung nur die Matrix D bereitgestellt werden, die sich beim eindimensionalen Balken auf D11 reduziert. Der Zusammenhang zwischen Biegemoment und Krümmung ergibt sich als M1 = D11 κ .

(9.123)

Für einen Balken aus homogenem, isotropem Material lautet die Beziehung zwischen dem Biegemoment und der Krümmung: M = EI κ .

(9.124)

Aus dem Vergleich lässt sich eine ähnliche Forumlierung für den Verbundbalken gewinnen: (EI)V = b D11 . (9.125) Der Ausdruck (EI)V repräsentiert makroskopisch die Biegesteifigkeit des Verbundbalkens. Für eine einzelne Verbundschicht lautet die Beziehung k = Qk11 D11

h3 1 = Qk11 (z k − z k−1 )3 , 12 12

(9.126)

wobei als absolute Lage die z = 0-Achse als Mittelebene herangezogen wurde. Im Verbundbalken verschiebt sich der Querschnitt aus der 0-Lage. Unter der Berücksichtigung des Steineranteils 

1 k (z − z k−1 2

2

bk h k =

1 1 k (z − z k−1 )2 bk (z k + z k−1 ) 4 2

(9.127)

ergibt sich die folgende Beziehung: N

(EI)V = D11 b = b

1 k Q11 ((z k )3 − (z k−1 )3 ) . 3 k=1

(9.128)

9.6 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

243

Bestehen die einzelnen Verbundschichten jeweils aus einem homogenen, isotropen Werkstoff, vereinfacht sich die Beziehung N

(EI)V = D11 b = b

1 k E1 ((z k )3 − (z k−1 )3 ) . 3

(9.129)

k=1

Anschaulich lässt sich der Zusammenhang folgendermaßen interpretieren. Die makroskopisch für den Verbundwerkstoff repräsentive Biegesteifigkeit setzt sich aus gewichteten Elastizitätsmoduli der einzelnen Verbundschichten zusammen. Bei gleicher Breite entsprechen die Gewichte den Höhenanteilen unter Berücksichtigung des Steiner-Anteils aufrund der außermittigen Position einer Lage. Zusammenfassung: Für einen Verbundbalken mit einem über die Dicke symmetrischen Aufbau lässt sich die Biegesteifigkeit ähnlich zum homogenen, isotropen Balken herleiten.

9.6 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 9.1. Verbundstab mit drei Schichten Gegeben sei ein Verbund, der über die Höhe symmetrisch aufgebaut ist. Die drei Schichten sind gleich dick, dies bedeutet gleiche Höhe h. Abbildung 9.7 zeigt den Verbund im Längsschnitt. Jede Schicht besteht aus homogenem, isotropen Werkstoff. Für jede Schicht ist der Elastizitätsmodul gegeben mit 1 E (1) . E (1) , E (2) und E (3) = E (1) . Zudem soll gelten E (2) = 10

z 3

1

2

z

z

z

3

z

2 1

x

0

Abb. 9.7 Symmetrischer Verbundbalken mit drei Schichten

Im Verbund haben alle Schichten die gleiche Länge L und die gleiche Breite b. Gesucht sind 1. die (Dehn-)steifigkeitsmatrix für eine Belastung in Längsrichtung des Verbundes und

244

9 Balken aus Verbundmaterial

2. die Biegesteifigkeit bei einer Biegebeanspruchung. Das Biegemoment steht senkrecht auf der x-z-Ebene.

Literaturverzeichnis 1. Altenbach H, Altenbach J, Naumenko K (1998) Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer, Berlin 2. Altenbach H, Altenbach J, Kissing W (2004) Mechanics of Composite Structural Elements. Springer, Berlin 3. Betten J (2001) Kontinuumsmechanik: Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer-Verlag, Berlin 4. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 5. Clebsch RFA (1862) Theorie der Elasticität fester Körper. B.G. Teubner, Leipzig 6. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton

Kapitel 10

Nichtlineare Elastizität

Zusammenfassung Im Rahmen dieses Kapitels wird der Fall der nichtlinearen Elastizität, das heißt dehnungsabhängiger Elastizitätsmoduli, betrachtet. Die Problematik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die Steifigkeitsmatrix beziehungsweise die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden drei Verfahren, nämlich die direkte Iteration, die vollständige Newton-Raphsonsche Iteration und die modifizierte Newton-Raphsonsche Iteration, abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert. Im Rahmen der vollständigen NewtonRaphsonschen Iteration wird die Ableitung der Tangentensteifigkeitsmatrix ausführlich diskutiert.

10.1 Einführende Bemerkungen Im Kontext der Finite-Elemente-Methode ist es üblich, folgende Arten von Nichtlinearitäten zu unterscheiden [11]: • Physikalische oder materielle Nichtlinearitäten: Hierunter versteht man nichtlineares Materialverhalten, wie zum Beispiel im elastischen Bereich (behandelt in diesem Kapitel) bei Gummi oder elasto-plastischem Verhalten (behandelt in Kapitel 11). • Nichtlineare Randbedingungen: Hierunter fällt zum Beispiel der Fall, dass sich im Laufe der Belastung eine Verschiebungsrandbedingung ändert. Typisch für diesen Fall sind Kontaktprobleme. Wird in diesem Buch nicht behandelt. • Geometrische oder kinematische Nichtlinearität: Hierunter versteht man große Verschiebungen und Verdrehungen bei kleinen Verzerrungen. Als Beispiele können Strukturelemente wie Seile und Balken angeführt werden. Wird in diesem Buch nicht behandelt.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_10, 

245

246

10 Nichtlineare Elastizität

• Große Deformationen: Hierunter versteht man große Verschiebungen, Verdrehungen und große Verzerrungen. Wird in diesem Buch nicht behandelt. • Stabilitätsprobleme: Hierbei unterscheidet man die geometrischen Instabilitäten (wie zum Beispiel das Knicken von Stäben und Beulen von Platten) und die Materialinstabilitäten (wie zum Beispiel das Einschnüren von Zugproben oder die Bildung von Scherbändern). Im Rahmen dieses Buches wird nur die Knickung von Stäben in Kapitel 12 behandelt. Die grundlegende Charakteristik von elastischem Materialverhalten ist, dass nach Entlastung die Dehnungen wieder vollständig auf Null zurückgehen1 . Im Falle der linearen Elastizität mit konstantem Elastizitätsmodul erfolgt die Be- und Entlastung im Spannungs-Dehnungs-Diagramm entlang einer Geraden, vergleiche Abbildung 10.1 a). Die Steigung dieser Geraden entspricht nach dem Hookeschen Gesetz gerade dem konstanten Elastizitätsmodul E. In Verallgemeinerung dieses linear-elastischen Verhaltens kann die Be- und Entlastung auch entlang einer nichtlinearen Kurve erfolgen, und in diesem Fall spricht man von nichtlinearer Elastizität, vergleiche Abbildung 10.1 b). In diesem Fall ist das Hookesche Gesetz nur noch in einer inkrementellen oder differentiellen Form gültig: dσ(ε) = E(ε) . dε

(10.1)

Abb. 10.1 Unterschiedliches Verhalten im elastischen Bereich: a) Lineares ; b) nichtlineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm

1

Bei plastischem Materialverhalten treten bleibende Dehnungen auf. Dieser Fall wird in Kapitel 11 behandelt.

10.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität

247

Man beachte hierbei, dass sich die Bezeichnung ’lineare’ beziehungsweise ’nichtlineare’ Elastizität auf das Verhalten der Spannungs-Dehnungs-Kurve bezieht. Weiterhin kann der Elastizitätsmodul auch von der Koordinate abhängen. Dies ist zum Beispiel bei funktional gradierten Werkstoffen, den sogenannten Gradientenwerkstoffen, der Fall. Somit kann der Elastizitätsmodul allgemein unter Berücksichtigung der kinematischen Beziehung als E = E(x, u)

(10.2)

angegeben werden. Jedoch kann eine Abhängigkeit von der x-Koordinate wie ein veränderlicher Querschnitt2 behandelt werden und bedarf hier keiner weiteren Untersuchung. Somit liegt der Schwerpunkt im Folgenden bei Abhängigkeiten in der Form E = E(u) beziehungsweise E = E( du dx ).

10.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität Die folgenden Ableitungen werden exemplarisch für den Fall, dass der Elastizitätsmodul linear von der Dehnung abhängt, durchgeführt, vergleiche Abbildung 10.2. Unter dieser Annahme ergibt sich entsprechend Abbildung 10.2 a) ein nichtlineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Der lineare Verlauf des Elastizitätsmoduls soll im Folgenden durch die beiden Messpunkte E(ε = 0) = E0 und E(ε = ε1 ) = E1 definiert werden.

Abb. 10.2 a) Nichtlineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm; b) Dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul

2 Vergleiche hierzu in Kapitel 3 die Behandlung von Stabelementen mit veränderlichen Querschnittsflächen A = A(x).

248

10 Nichtlineare Elastizität

Somit ergibt sich für die beiden Stützstellen der folgende Funktionsverlauf für den dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul:

E(ε) = E0 −

 1 − E1 /E0  ε = E0 (1−εα01 ) . (10.3) (E0 − E1 ) = E0 1−ε× ε1 ε  1  α01

Angemerkt sei an dieser Stelle, dass sich der prinzipielle Weg der Ableitung nicht ändert, solange die Dehnungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls mittels eines Polynoms beschrieben werden kann. In praktischen Anwendungen ist dies oft der Fall, da experimentelle Werte häufig durch eine Polynomregression approximiert werden. Nach Einführung der kinematischen Beziehung für einen Stab, das heißt ε = du dx , ergibt sich hieraus der Elastizitätsmodul in Abhängigkeit der Verschiebung – oder genauer gesagt in Abhängigkeit von der Ableitung der Verschiebung – zu:   du . (10.4) E(u) = E0 1 − α01 dx Dieser dehnungsabhängige Elastizitätsmodul kann mittels des differenziellen Hookeschen Gesetzes analytisch integriert werden, und es ergibt sich folgender Spannungsverlauf3 : σ(ε) = E0 ε −

E0 − E 1 2 1 ε = E0 ε − α01 E0 ε2 . 2E0 ε1 2

(10.5)

Man beachte, dass sich für E0 = E1 beziehungsweise α01 = 0 die klassischen Beziehungen für linear-elastisches Materialverhalten ergeben. Zur Ableitung der Elementsteifigkeitsmatrix betrachtet man die Differenzialgleichung für einen Stab. Zur Vereinfachung soll hier angenommen werden, dass der Stabquerschnitt A konstant ist und dass keine verteilten Lasten wirken. Somit ergibt sich die folgende Formulierung der Differenzialgleichung:   du d E(u) = 0. (10.6) A dx dx Zuerst soll der Fall betrachtet werden, dass E(u) durch den Ausdruck nach Gleichung (10.4) ersetzt wird: ⎛      2 ⎞ d du du d du du ⎠ = 0. A E0 1 − α01 = AE0 ⎝ − α01 dx dx dx dx dx dx 3

(10.7)

Hierbei wurde angenommen, dass für ε = 0 die Spannung zu Null wird. Somit liegen zum Beispiel keine Eigenspannungen vor.

10.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität

249

Nach Ausführung der Differenziation ergibt sich für die das Problem beschreibende Differenzialgleichung der folgende Ausdruck: d2 u(x) du(x) d2 u(x) − 2AE0 α01 = 0. (10.8) 2 dx dx dx2 Im Rahmen des Prinzips der gewichteten Residuen ergibt sich das innere Produkt hieraus durch Multiplikation mit der Gewichtsfunktion W (x) und anschließender Integration über die Stablänge zu: AE0

L

0



 d2 u(x) du(x) d2 u(x) ! W (x) AE0 − 2AE0 α01 dx = 0 . dx2 dx dx2

(10.9)

Partielle Integration des ersten Ausdruckes in der Klammer liefert:

0

L

AE0  W f

 d2 u du L W dx = AE 0  dx 0 − dx2   f

g

L

AE0 0

g

dW du dx . (10.10) dx  dx  f

g

Entsprechend kann der zweite Ausdruck in der Klammer mittels partieller Integration umgeformt werden:

0

L

 du d2 u  du du L W 2AE0 α01 W dx = 2AE α 0 01 dx2 dx 0  dx    dx  f

g

−

g

f

L

2AE0 α01 0

d

du du W dx dx dx  dx   f



 du2 L

L



d2 u dW du = 2AE0 α01 W +W 2 − 2AE0 α01 dx dx dx dx 0 0   2   du2 L L dW du = 2AE0 α01 W − 2AE0 α01 dx dx dx dx 0 0

L d2 u du − 2AE0 α01 W 2 dx . dx dx 0

g



du dx dx

(10.11)

Schließlich ergibt sich für die partielle Integration des zweiten Ausdruckes:

250

10 Nichtlineare Elastizität

L

2AE0 α01 W 0

  du2 L du d2 u W dx = AE α 0 01 dx dx2 dx 0  2

L dW du − AE0 α01 dx . dx dx 0

(10.12)

Setzt man die Ausdrücke der partiellen Integrationen nach Gleichung (10.10) und (10.12) in das innere Produkt nach Gleichung (10.9) ein und ordnet die Bereichs- und Randintegrale, ergibt sich folgender Ausdruck:

L

0

 2 dW du AE0 α01 dx dx dx 0 ⎡  2 ⎤L du du ⎦ . − α01 W = AE0 ⎣W dx dx

dW du dx − AE0 dx dx

L

(10.13)

0

Die Einführung der Ansätze für die Verschiebung und die Gewichstfunktion, T das heißt u(x) = N up und W (x) = δuT p N (x), ergibt nach Kürzen der T virtuellen Verschiebungen δup und Ausklammern des Verschiebungsvektors u den folgenden Ausdruck:

AE0 0

L

   dN T (x) dN (x) dN T (x) dN (x) dN (x) − α01 up dx × up dx dx dx dx dx ⎛ ⎡  2 ⎞⎤L dN T (x) du du ⎝ − α01 ⎠⎦ . = AE0 ⎣ (10.14) dx dx dx



0

Somit ergibt sich die Elementsteifigkeitsmatrix4 in Abhängigkeit der Knotenverschiebungen up zu:  dN (x) ke = AE0 up dx . dx 0 (10.15) Sind die Ansatzfunktionen bekannt, kann die Steifigkeitsmatrix ausgewertet werden. Der zweite Ausdruck in der äußeren Klammer ergibt einen zusätzlichen symmetrischen Ausdruck, der der klassischen Steifigkeitsmatrix für linear-elastisches Materialverhalten überlagert werden kann. Für einen konstanten Elastizitätsmodul ergibt sich α01 = 0, und man erhält die klassische

4

L



dN T (x) dN (x) − α01 dx dx



dN T (x) dN (x) dx dx



Man beachte, dass für Matrixmultiplikationen das Assoziativgesetz gültig ist.

10.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität

251

Lösung. Hat das Stabelement m Knoten und somit m Ansatzfunktionen, ergeben sich die folgenden Dimensionen der einzelnen Matrixprodukte: dN T (x) dN (x) → m × m Matrix , dx dx dN (x) up → m × m Matrix , dx    dN T (x) dN (x) dN (x) up → m × m Matrix . dx dx dx

(10.16) (10.17) (10.18)

Im Folgenden soll jedoch eine alternative Strategie, die etwas schneller zur Finite-Elemente-Hauptgleichung führt, aufgezeigt werden. Ausgehend von der Differenzialgleichung in der Form (10.6), kann das innere Produkt abgeleitet werden, ohne den Ausdruck für E(u) a priori zu ersetzen:  

L du(x) d ! E(u(x)) dx = 0 . W (x)A (10.19) dx dx 0 Partielle Integration ergibt

0

L

L  du dW d du L du E(u) W A dx = W AE(u) − AE(u) dx = 0 ,  dx  dx   dx 0   dx   dx 0 f  f  g

g

f

g

und die schwache Form des Problems stellt sich wie folgt dar:

L

0

 L du dW du dx = AE(u)W AE(u) . dx dx dx

(10.20)

0

Mittels der Ansätze für die Verschiebung und die Gewichtsfunktion ergibt sich hieraus:

A 

0

L

L  NT N du dN T dx ×up = AE(u) E(u) . dx dx dx dx 0  

(10.21)

ke

Die rechte Seite kann entsprechend der Vorgehensweise im Kapitel 3 behandelt werden und ergibt den Vektor der äußeren Lasten. Die linke Seite erfordert jedoch noch, dass der Elastizitätsmodul E(u) angemessen berücksichtigt wird. Berücksichtigt man den Ansatz für die Verschiebung, das heißt u(x) = N (x)up , in der Formulierung des Elastizitätsmoduls nach Gleichung (10.4), ergibt sich:

252

10 Nichtlineare Elastizität

 E(up ) = E0

1 − α01

Zu beachten ist hierbei, dass der Ausdruck Somit ergibt sich die Steifigkeitsmatrix zu:

ke = AE0 0

L

dN up dx dN dx

 (10.22)

.

up eine skalare Größe ergibt.



dN  dN T dN up dx . 1 − α01  dx  dx dx

(10.23)

Skalar

Diese Steifigkeitsmatrix ist – auch wie Gleichung (10.15) – symmetrisch, da T dN die symmetrische Matrix dN dx dx mit einem Skalar multipliziert wird. Im Folgenden soll ein Stabelement mit zwei Knoten, das heißt linearen Formfunktionen, betrachtet werden. Die beiden Formfunktionen und deren Ableitungen ergeben sich in diesem Fall zu:

N1 (x) = 1 − N2 (x) =

x , L

x , L

dN1 (x) 1 =− , dx L dN2 (x) 1 = . dx L

(10.24) (10.25)

Somit ergibt sich die Steifigkeitsmatrix zu:

ke = AE0 0

L

⎡  dN1 dN1 ⎢ dx dx dN1 dN2 u1 − α01 u2 ⎢ 1 − α01 ⎣ dN2 dN1 dx dx dx dx



⎤ dN1 dN2 dx dx ⎥ ⎥ dx , dN2 dN2 ⎦ dx dx

(10.26) beziehungsweise unter Berücksichtigung der Ableitungen der Formfunktionen  ⎡ 1 −1⎤

L AE α α 0 01 01 ⎦ dx . ke = 2 u1 − u2 ⎣ 1+ (10.27) −1 1 L L L 0 Nach Ausführung der Integration ergibt sich hieraus die Elementsteifigkeitsmatrix zu ⎡ ⎤ 1 −1 AE 0 ⎦ ke = 2 (L + α01 u1 − α01 u2 ) ⎣ (10.28) −1 1 L oder die Finite-Elemente-Hauptgleichung als:

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ F1 1 −1 u1 AE0 ⎣ ⎦⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ . (L + α u − α u ) 01 1 01 2 F2 −1 1 u2 L2

253

⎡

(10.29)

Man beachte, dass sich für konstanten Elastizitätsmodul, das heißt α01 = 0, die klassische Lösung aus Kapitel 3 ergibt. Für veränderlichen Elastizitätsmodul ergibt sich in abgekürzter Schreibweise folgendes Gleichungssystem: ke (up )up = F e ,

(10.30)

beziehungsweise bei mehreren Elementen für das Gesamtsystem K (u)u = F .

(10.31)

Da die Steifigkeitsmatrix von den unbekannten Knotenverschiebungen abhängt, ergibt sich ein nichtlineares Gleichungssystem, das nicht mehr direkt durch Invertieren der Steifigkeitsmatrix gelöst werden kann.

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems soll im Folgenden für einen Stab, der an einer Seite fest eingespannt ist und an der anderen Seite durch eine Einzelkraft F belastetet wird, anhand verschiedener Methoden erläutert werden, siehe Abbildung 10.3. Der Elastizitätsmodul ist entsprechend Gleichung (10.3) linear von der Dehnung abhängig. Zuerst erfolgt die Diskretisierung mittels eines einzigen Elementes, so dass sich unter Berücksichtigung der festen Einspannung ein System mit einem einzigen Freiheitsgrad ergibt. Die resultierenden Gleichungen sind somit nur von einer Veränderlichen, der Knotenverschiebung am Lastangriffspunkt, abhängig. Im anschließenden Schritt wird dann auf den allgemeinen Fall eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden übergegangen. Die Veranschaulichung erfolgt hier mittels einer Diskretisierung des Problems nach Abbildung 10.3 a) mit zwei Elementen und somit mit zwei Freiheitsgraden. Für das Beispiel nach Abbildung 10.3 sind die folgenden Werte anzunehmen: Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15. Belastung: F = 800 kN.

10.3.1 Direkte Iteration Bei der direkten oder Picardschen Iteration [2, 2] wird das Gleichungssystem (10.31) dadurch gelöst, dass die Steifigkeitsmatrix im vorhergehenden und somit bekannten Schritt ausgewertet wird. Durch Wahl eines sinnvollen Anfangswertes – zum Beispiel aus einer linear-elastischen Berechnung – kann

254

10 Nichtlineare Elastizität

Abb. 10.3 Stabelement unter Einzellast und dehnungsabhängigem Elastizitätsmodul

durch sukzessives Einsetzen die Lösung mittels folgendem Schema bestimmt werden: K (u(j) )u(j+1) = F .

(10.32)

Die schematische Darstellung der direkten Iteration ist Abbildung 10.4 zu entnehmen.

Abb. 10.4 Schematische Darstellung der direkten Iteration

Dieses Verfahren konvergiert für mäßige Nichtlinearitäten mit linearer Konvergenzrate.

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

255

10.3.1.1 Direkte Iteration für ein Finite-Elemente-Modell mit einer Unbekannten Für das Beispiel nach Abbildung 10.3 und der Finite-Elemente-Hauptgleichung nach (10.29) unter Berücksichtigung der festen Einspannung ergibt sich das Iterationschema zu:  AE0  (j) (j+1) L − α01 u2 u2 = F2 , 2 L beziehungsweise nach der neuen Verschiebung aufgelöst: (j+1)

u2

=



F2 L2 (j)

AE0 L − α01 u2

.

(10.33)

(10.34)

Die Auswertung von Gleichung (10.34) für das Beispiel nach Abbildung 10.3 (0) ist in Tabelle A.7 für einen willkürlichen Startwert von u2 = 20 mm zusammengefasst. Als Konvergenzkriterium wurde die normierte Verschiebungsdifferenz angegeben, deren Erfüllung bei einem Wert von 10−6 insgesamt 23 Iterationen erfordert. Weiterhin beachte man den absoluten Wert der Verschiebung beim 31. Inkrement, der auch als Vergleichswert bei den anderen Verfahren herangezogen wird.

10.3.1.2 Direkte Iteration für ein Finite-Elemente-Modell mit mehreren Unbekannten Zur Anwendung der direkten Iteration auf ein Modell mit mehreren Unbekannten soll im Folgenden der Stab nach Abbildung 10.3 betrachtet werden. Die Diskretisierung soll jetzt aber durch zwei gleich lange Stabelemente erfolgen. Somit ergibt sich für jedes der beiden Elemente der Länge L2 die folgende Elementsteifigkeitsmatrix: 4AE0 L2 4AE0 L2

 

L + α01 u1 − α01 u2 2 L + α01 u2 − α01 u3 2

 

1 −1 −1 1 1 −1 −1 1

 (Element I) ,

(10.35)

(Element II) .

(10.36)



Fasst man diese beiden Matrizen zur globalen Finite-Elemente-Hauptgleichung zusammen und berücksichtigt die Randbedingungen, ergibt sich das folgende reduzierte Gleichungssystem:

256

10 Nichtlineare Elastizität

Tabelle 10.1 Numerische Werte für direkte Iteration mit einem Element bei einer äußeren (0) Belastung von F2 = 800 kN und einem Startwert von u2 = 20 mm. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa,

ε1 = 0, 15

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 .. . 31

⎡

+

−u2(j−1) ) (u(j) 2  

(j) u2

(j) ε2

mm

–

–

20,000000 50,793651 61,276596 65,907099 68,183007 69,360231 69,985252 70,321693 70,504137 70,603469 70,657668 70,687276 70,703461 70,712312 70,717152 70,719800 70,721248 70,722041 70,722474 70,722711 70,722841 70,722912 70,722951 70,722972 .. . 70,722998

0,050000 0,126984 0,153191 0,164768 0,170458 0,173401 0,174963 0,175804 0,176260 0,176509 0,176644 0,176718 0,176759 0,176781 0,176793 0,176800 0,176803 0,176805 0,176806 0,176807 0,176807 0,176807 0,176807 0,176807 .. . 0,176807

– 0,606250 0,171076 0,070258 0,033379 0,016973 0,008931 0,004784 0,002588 0,001407 0,000767 0,000419 0,000229 0,000125 0,000068 0,000037 0,000020 0,000011 0,000006 0,000003 0,000002 0,000001 0,000001 0,000000 .. . 0,000000

2

(j) 2 u2

⎤ L ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ (L − α01 u3 ) + α01 u2 − α01 u3 ⎥ u − ⎢ 0 ⎥ 2 2 4AE0 ⎢ ⎢     ⎥⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ . ⎥ L2 ⎢ L L ⎣ ⎦ u3 F3 + α01 u2 − α01 u3 + α01 u2 − α01 u3 − 2 2 (10.37) Durch Invertierung der Steifigkeitsmatrix gelangt man zum folgenden Iterationsschema der direkten Iteration: 

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

⎡

257



L ⎡ ⎤ L2 + α01 u2 − α01 u3 ⎢ u2 ⎢ 2 4AE 0 ⎢ ⎣ ⎦ =  (j)⎢ u3 (j+1) DET ⎣ L + α01 u2 − α01 u3 2

⎤

L + α01 u2 − α01 u3 ⎥ ⎡ ⎤ 2 ⎥ 0 ⎥ ⎣ ⎦ , ⎥ ⎦ F3 (j) (L − α01 u3 ) (j)

(10.38) wobei die Determinante der reduzierten Steifigkeitsmatrix durch folgende Gleichung gegeben ist: 

2 L DET = (L − α01 u3 ) + α01 u2 − α01 u3 . − 2 (10.39) Allgemein kann die Iterationsvorschrift nach Gleichung (10.38) auch als L + α01 u2 − α01 u3 2





 −1 u(j+1) = K (u(j) ) F

(10.40)

geschrieben werden. Die numerischen Ergebnisse der Iteration für das Beispiel nach Abbildung 10.3 mit zwei Elementen sind in Tabelle 10.2 zusammengefasst. Ein Vergleich mit der direkten Iteration mit einem Element, das heißt Tabelle A.7, ergibt, dass die Unterteilung in zwei Elemente praktisch keinen Einfluss auf das Konvergenzverhalten hat. Man beachte, dass in Tabelle 10.2 die Verschiebungen am Knoten 2 und 3 aufgeführt sind und dass sich erst im konvergierten Zustand die Bedingung u2 = 12 u3 ergibt.

258

10 Nichtlineare Elastizität

Tabelle 10.2 Numerische Werte für direkte Iteration bei zwei Elementen mit einer äu(0) (0) ßeren Belastung von F2 = 800 kN und Startwerten von u2 = 10 und u3 = 20 mm. Geometrie: A = 100 mm2 , LI = LII = 200 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 23 . . . 31

2 2 + u3(j) −u3(j−1)   (j) 2 (j) 2 + u3 u2

(u2(j) −u2(j−1) )

(

(j) u2

(j) u3

mm

mm

–

10,000000 28,571429 32,000000 33,613445 34,430380 34,859349 35,088908 35,213000 35,280446 35,317213 35,337288 . . . 35,361489 . . . 35,361499

20,000000 49,350649 60,852459 65,739844 68,106422 69,3222247 69,9655414 70,3112206 70,4984992 70,6004116 70,6560035 . . . 70,7229715 . . . 70,7229976

– 0,706244 0,174565 0,069707 0,032806 0,016616 0,008727 0,004671 0,002525 0,001372 0,000748 . . . 0,000000 . . . 0,000000

)

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

259

10.3.2 Vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren 10.3.2.1 Newtonsches Verfahren für eine Funktion mit einer Veränderlichen Zur Bestimmung der Nullstelle einer Funktion f (x), das heißt f (x) = 0, kommt häufig die Newtonsche Iteration zum Einsatz. Zur Ableitung des Iterationsverfahrens entwickelt man die Funktion f (x) um den Punkt x0 in eine Taylorsche Reihe      df 1 d2 f 1 dk f 2 f (x) = f (x0 )+ ·(x−x0 )+ ·(x−x0 ) +· · ·+ ·(x−x0 )k . dx 2! dx2 k! dxk 

x0

x0

x0

(10.41) Vernachlässigt man die Ausdrücke von quadratischer und weiterer höherer Ordnung, ergibt sich folgende Näherung:   df · (x − x0 ) . (10.42) f (x) ≈ f (x0 ) + dx x0

Abb. 10.5 Entwicklung einer Funktion in eine Taylorsche Reihe erster Ordnung

Beachtet man, dass die Ableitung einer Funktion gleich der Steigung der Tangentenlinie im betrachteten Punkt ist und dass die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden mittels f (x) − f (x0 ) = m · (x − x0 ) gegeben ist, erkennt man, dass die Näherung mittels einer Taylorschen Reihe erster Ordnung durch die Gerade durch den Punkt (x0 , f (x0 )) mit der Steigung m = (df /dx)x0 gegeben ist, vergleiche Abbildung 10.5.

260

10 Nichtlineare Elastizität

Zur Ableitung des Iterationsschemas zur Nullstellenbestimmung setzt man Gleichung (10.42) zu Null und erhält mittels der Substitutionen x0 → x(j) und x → x(j+1) die folgende Berechnungsvorschrift: f (x(j) ) . x(j+1) = x(j) −   df dx (j)

(10.43)

x

Der prinzipielle Ablauf einer Newtonschen-Iteration ist in Abbildung 10.6 dargestellt. Im Startpunkt der Iteration wird die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) gebildet, und anschließend wird die Nullstelle dieser Tangente bestimmt. Im Ordinatenwert dieser Nullstelle wird die nächste Tangente gebildet, und das Verfahren wird entsprechend der Vorgehensweise im Startpunkt fortgesetzt. Handelt es sich bei f (x) um eine stetige und monotone Funktion im betrachteten Intervall und liegt der Anfangswert der Iteration ’nahe genug’ bei der gesuchten Lösung, konvergiert das Verfahren quadratisch gegen die Nullstelle.

Abb. 10.6 Bestimmung der Nullstelle einer Funktion mittels Newtonscher Iteration

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

261

10.3.2.2 Newton-Raphsonsche Verfahren für ein Finite-Elemente-Modell mit einer Unbekannten Für das Beispiel nach Abbildung 10.3 reduziert sich das Problem unter Berücksichtigung der Randbedingung am linken Knoten auf das Auffinden der Nullstelle der Funktion

r(u2 ) =

AE0 (L − α01 u2 ) u2 − F2 = K(u2 )u2 − F2 = 0 . L2

(10.44)

Wendet man die Iterationsvorschrift des vorhergehenden Abschnitts 10.3.2.1 auf die Residuumsfunktion r(u2 ) an, ergibt sich die folgende NewtonRaphsonsche Iterationsvorschrift5 zu (j)

(j+1)

u2

(j)

= u2 −

r(u2 ) (j)

dr(u2 ) du2

−1  (j) (j) (j) = u 2 − KT r(u2 ) ,

(10.45)

wobei die Größe KT im Allgemeinen als Tangentensteifigkeitsmatrix6 bezeichnet wird. Im hier betrachteten Beispiel reduziert sich KT jedoch zu einer skalaren Funktion. Ausgehend von Gleichung (10.44) ergibt sich für unser Beispiel die Tangentensteifigkeitsmatrix zu: dr(u2 ) dK(u2 ) = K(u2 ) + u2 du2 du2 AE0 AE0 = 2 (L − α01 u2 ) − 2 α01 u2 L L AE0 = 2 (L − 2α01 u2 ) . L

KT (u2 ) =

(10.46)

(10.47)

Verwendet man das letzte Ergebnis in der Iterationsvorschrift (10.45), und berücksichtigt man die Definition der Residuumfunktion nach (10.44), ergibt sich schließlich die Iterationsvorschrift für das betrachtete Beispiel zu:

(j+1)

u2

5

 AE0  (j) (j) (j) L − α u 2 − F2 u 01 2 2 (j) L . = u2 −  AE0  (j) L − 2α01 u2 L2

(10.48)

Im Kontext der Finiten-Elemente-Methode wird die Newtonsche Iteration oft als Newton-Raphsonsche Iteration bezeichnet [5]. 6 Alternative Bezeichnungen in der Literatur sind Hesse-, Jacobi- oder Tangentenmatrix [11].

262

10 Nichtlineare Elastizität

Die Anwendung der Iterationsvorschrift nach Gleichung (10.48) mit α01 = 2 ergibt die in Tabelle 10.3 zusammengefassten Ergebnisse. Man erkennt, dass für die vollständige Newton-Raphsonsche Iteration wegen des quadratischen Konvergenzverhaltens nur sechs Iterationsschritte notwendig sind, um das Konvergenzkriterium (< 10−6 ) und den absoluten Wert von u2 = 70, 722998 mm zu erreichen. Im allgemeinen Fall des Verfahrens ergibt sich jedoch der große Nachteil, dass für jeden Iterationsschritt die Tangentensteifigkeitsmatrix neu berechnet und invertiert werden muss. Dies führt bei großen Gleichungssystemen zu sehr rechenintensiven Operationen und kann den Vorteil der quadratischen Konvergenz unter Umständen kompensieren. Tabelle 10.3 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6

(j)

u2

(j)

ε2

−u2(j−1) ) (u(j) 2  

2

(j) 2

u2

mm

–

–

0 45,714286 64,962406 70,249443 70,719229 70,722998 70,722998

0 0,114286 0,162406 0,175624 0,176798 0,176807 0,176807

– 1 0,296296 0,075261 0,006643 0,000053 0,000000

Steigert man die äußere Belastung F2 , ergibt sich sich jedoch ein Grenzwert, ab dem mit dem Newton-Raphsonschen Verfahren keine Konvergenz mehr erzielt werden kann. Ein dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul nach Gleichung (10.4) führt durch Integration auf den in Abbildung 10.7 dargestellten parabelförmigen Spannungsverlauf. Ausgehend von dieser Abbildung kann E0 beziehungsweise die maximale Kraft die maximale Spannung zu σmax = 2α 01 E0 A in einem Stab zu Fmax = 2α01 bestimmt werden. Durch sukzessives Steigern der äußeren Kraft F2 im betrachteten Beispiel ergibt sich jedoch, dass das Konvergenzlimit deutlich unterhalb der maximalen Kraft von Fmax = 1750 kN erreicht wird. Mittels weniger Iterationsdurchläufe kann gezeigt werden, dass ab einem Wert von ungefähr 900 kN keine Konvergenz im betrachteten Beispiel mehr erzielt werden kann. Man beachte auch, dass eine physikalisch sinnvolle Wahl der äußeren Kraft stets der Bedingung F2 ≤ Fmax genügen muss. Um den Verlust der Konvergenz zu erklären, muss die Residuumsfunktion nach Gleichung (10.44) näher betrachtet werden, wobei zu beachten ist, dass das Iterationsverfahren die Nullstelle dieser Funktion bestimmen soll. Bei der betrachteten Residuumsfunktion handelt es sich um eine quadratische Funk-

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

263

Abb. 10.7 Spannungs-Dehnungs-Verlauf für einen dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul nach Gleichung (10.4)

tion in u2 , die mittels quadratischer Ergänzung nach kurzer Umformung auf folgende Scheitelpunktsform gebracht werden kann: 

L u2 − 2α01

2

 +

1 F2 − E0 A 4α01



L2 = 0. α01

(10.49)

Somit stellt Gleichung  nach  oben geöffnete Parabel mit dem  (10.44) eine  2 Scheitelpunkt 2αL01 , EF02A − 4α101 αL01 dar. Abhängig von der Lage des Scheitelpunktes, ergibt sich eine unterschiedliche Anzahl von Nullstellen (vergleiche Abbildung 10.8), so dass der Grenzwert für die Konvergenz des Iterationsverfahrens durch den Berührpunkt der Parabel mit der u2 -Achse definiert ist: 1 F2 − = 0. E0 A 4α01

(10.50)

Somit konvergiert das Newton-Raphsonsche Iterationsverfahren für den betrachteten Fall, dass der Elastizitätsmodul entsprechend Gleichung (10.4) linear von der Dehnung abhängt, nur innerhalb der folgenden Grenzen: F2 ≤

E0 A , 4α01

beziehungsweise

ε≤

1 . 2α01

(10.51)

Der schematische Ablauf der Newton-Raphsonschen Iteration ist in Ab(j) bildung 10.9 dargestellt. In jedem Iterationspunkt u2 wird die Tangenten(j) steifigkeitsmatrix KT berechnet, um mittels einer Linearisierung auf den (j+1) zu schließen. Wichtig ist hierbei, dass die TangentensteiFolgewert u2 figkeitsmatrix als Ableitung im Kraft-Verschiebungs-Diagramm identifiziert

264

10 Nichtlineare Elastizität

Abb. 10.8 Darstellung der Residuumsfunktion nach Gleichung (10.44) für verschiedene äußere Lasten

F2

werden kann, vergleiche Abbildung 10.9 a). Um auf die Darstellung in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm zu kommen, muss man die Residuumsgleichung (10.44) durch die Querschnittsfläche dividieren und die Verschiebung mit der Länge normieren, so dass man folgende Form erhält:

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

 E0

1 − α01

u2 L



265

u 2 F2 − = 0, L A

(10.52)

beziehungsweise in den Variablen Spannung und Dehnung als r(ε) = E0 (1 − α01 ε) ε − σ = 0 .   

(10.53)

E(ε)

Wichtig ist hierbei, dass die letzte Gleichung nicht mit dem SpannungsDehnungs-Verlauf nach Gleichung (10.5) verwechselt wird, da es sich bei der letzten Gleichung um das Gleichgewicht zwischen den äußeren und inneren Kräften handelt. Anwendung der Iterationsvorschrift nach Gleichung (10.45) ergibt hier folgendes Schema ε(j+1) = ε(j) −

r(ε(j) ) dr(ε(j) ) dε

,

(10.54)

wobei dr(ε) dE = ET = E(ε) + ε, dε dε = E0 (1 − α01 ε) − E0 α01 ε , = E0 (1 − 2α01 ε)

(10.55) (10.56) (10.57)

als der zum Iterationsschema konsistente Modul ET bezeichnet wird. Man beachte hierbei den Unterschied zum kontinuumsmechanischen Modul nach Gleichung (10.3). Nur für den Fall α01 = 0, das heißt für einen konstanten Elastizitätsmodul, stimmen beide Moduli überein. An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass man die Residuumsgleichung (10.44) noch weiter verallgemeinern kann, indem man eine verschiebungsabhängige äußere Last F2 = F2 (u2 ) einführt: r(u2 ) = K(u2 )u2 − F2 (u2 ) = 0 .

(10.58)

In diesem verallgemeinerten Fall würde sich die Tangentensteifigkeitsmatrix wie folgt ergeben: KT (u2 ) =

dr(u2 ) dK(u2 ) dF2 (u2 ) = K(u2 ) + u2 − . du2 du2 du2

(10.59)

266

10 Nichtlineare Elastizität

Abb. 10.9 Schematische Darstellung der vollständigen Newton-Raphsonschen Iteration

10.3.2.3 Newton-Raphsonsche Verfahren für ein Finite-Element-Modell mit m Unbekannten Das vollständige Newton-Raphsonsche Verfahren [11, 5, 6] für ein Modell mit mehreren Unbekannten ist allgemein durch folgende Gleichung gegeben −1  (j) r(u(j) ) , u(j+1) = u(j) − K T

(10.60)

wobei die Tangentensteifigkeitsmatrix allgemein als ∂r(u) (10.61) ∂u definiert ist. Die vektorielle Funktion der Residuen ist allgemein als KT =

r(u) = Ku − F

(10.62)

definiert und kann in Komponenten für ein Modell mit zwei linearen Stabelementen wie folgt dargestellt werden: ⎤ ⎡ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ K11 K12 K13 r1 (u) u1 F1 ⎣r2 (u)⎦ = ⎣K21 K22 K23 ⎦ ⎣u2 ⎦ − ⎣F2 ⎦ . (10.63) K31 K32 K33 u3 F3 r3 (u) ∂r Die Jakobische Matrix ∂u der Residuenfunktion ergibt sich aus den partiellen Ableitungen der Residuenfunktionen ri allgemein zu:

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

267

⎡

∂r1 ⎤ ⎢ ⎡ ∂u ⎢ 1 KT,11 KT,12 KT,13 ⎢ ∂r ∂r ⎢ 2 (u) = K T (u) = ⎣KT,21 KT,22 KT,23 ⎦ = ⎢ ⎢ ∂u1 ∂u KT,31 KT,32 KT,33 ⎢ ⎣ ∂r3 ∂u1

∂r1 ∂u2 ∂r2 ∂u2 ∂r3 ∂u2

⎤

∂r1 ∂u3 ⎥ ⎥ ∂r2 ⎥ ⎥ ⎥. ∂u3 ⎥ ⎥ ∂r3 ⎦ ∂u3

(10.64)

Die partiellen Ableitungen in Gleichung (10.64) lassen sich am einfachsten berechnen, wenn die Residuengleichungen (10.63) ausgeschrieben werden: r1 (u1 , u2 , u3 ) = K11 u1 + K12 u2 + K13 u3 , r2 (u1 , u2 , u3 ) = K21 u1 + K22 u2 + K23 u3 ,

(10.65) (10.66)

r3 (u1 , u2 , u3 ) = K31 u1 + K32 u2 + K33 u3 .

(10.67)

Exemplarisch seien im Folgenden zwei partielle Ableitungen angegeben: 

 ∂K11 ∂K12 u1 + K11 + u2 + ∂u1 ∂u1   ∂r1 ∂K11 ∂K12 = u1 + u2 + K12 + ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂r1 = ∂u1

∂K13 u3 , ∂u1

(10.68)

∂K13 u2 . ∂u2

(10.69)

Somit ergibt sich die Tangentensteifigkeitsmatrix zu der in Gleichung (10.75) dargestellten Form, die sich additiv aus der Steifigkeitsmatrix und einer Matrix mit partiellen Ableitungen, die mit den Knotenverschiebungen multipliziert werden, zusammensetzt. Allgemein kann die Tangentensteifigkeitsmatrix somit für ein Modell mit m Freiheitsgraden als KT,ij = Kij +

m

∂Kik uk , ∂uj

(10.70)

k=1

beziehungsweise in Matrixschreibweise als ∂K u (10.71) ∂u formuliert werden. Abschließend seien hier zwei wichtige Spezialfälle angegeben: KT = K +

• Skalare Tangentensteifigkeitsmatrix (vergleiche Abschnitt 10.3.2.2): KT (u) = K(u) +

dK u. du

(10.72)

268

10 Nichtlineare Elastizität

• Zweidimensionale Tangentensteifigkeitsmatrix (zum Beispiel lineares Stabelement ohne Verschiebungsrandbedingungen): ⎡ ∂K11   ⎢ ∂u u1 + K11 K12 1 ⎢ K T (u) = +⎢ ⎣ ∂K21 K21 K22 u1 + ∂u1

⎤ ∂K11 ∂K12 ∂K12 u2 u1 + u2 ⎥ ∂u1 ∂u2 ∂u2 ⎥ ⎥ . (10.73) ∂K22 ∂K22 ⎦ ∂K21 u2 u1 + u2 ∂u1 ∂u2 ∂u2

 T Der allgemeine Fall mit u = u1 , u2 , . . . , um und dim(K) = m × m kann aus obigen Überlegungen leicht abgeleitet werden.

⎢ K11 K12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ K21 K22 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ K31 K32

⎡

⎢ ∂K11 ⎢ u1 + ⎢ ⎢ ∂u1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂K21 KT = ⎢ u1 + ⎢ ⎢ ∂u1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂K31 ⎢ ⎣ ∂u u1 + 1

⎡

⎤

⎢ ⎢ ⎢ K13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ K23 ⎥ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ K33 ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

∂K21 ∂K22 ∂K23 u1 + u2 + u3 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂K31 ∂K32 ∂K33 u1 + u2 + u3 ∂u2 ∂u2 ∂u2

∂K21 ∂K22 ∂K23 u1 + u2 + u3 ∂u1 ∂u1 ∂u1

∂K31 ∂K32 ∂K33 u1 + u2 + u3 ∂u1 ∂u1 ∂u1

(10.75)

∂K11 ∂K12 ∂K13 u1 + u2 + u3 ∂u2 ∂u2 ∂u2

∂K11 ∂K12 ∂K13 u1 + u2 + u3 ∂u1 ∂u1 ∂u1

(10.74)

⎤ ∂K11 ∂K12 ∂K13 ⎥ u1 + u2 + u3 ⎥ ⎥ ∂u3 ∂u3 ∂u3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂K21 ∂K22 ∂K23 ⎥ u1 + u2 + u3 ⎥ ⎥. ∂u3 ∂u3 ∂u3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂K31 ∂K32 ∂K33 ⎥ u1 + u2 + u3 ⎥ ⎦ ∂u3 ∂u3 ∂u3

⎥ ∂K11 ∂K11 ∂K12 ∂K13 ∂K12 ∂K13 ∂K12 ∂K13 u2 + u3 + K11 u1 + u2 + u3 + K12 u1 + u2 + u3 + K13 ⎥ ⎥ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂K21 ∂K21 ∂K22 ∂K23 ∂K22 ∂K23 ∂K22 ∂K23 u2 + u3 + K21 u1 + u2 + u3 + K22 u1 + u2 + u3 + K23 ⎥ ⎥, ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂K31 ∂K31 ∂K32 ∂K33 ∂K32 ∂K33 ∂K32 ∂K33 u2 + u3 + K31 u1 + u2 + u3 + K32 u1 + u2 + u3 + K33 ⎥ ⎦ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u3

⎤

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems 269

270

10 Nichtlineare Elastizität

Im Folgenden soll das Modell mit zwei Stabelementen nach Abbildung 10.3 wieder betrachtet werden. Die Diskretisierung für zwei Elemente der Länge L 2 ergibt die Residuengleichung zu:   r1 r2

     (L − α01 u3 ) − L2 + α01 u2 − α01 u3 u2 4AE0 =   L L2 − L + α u − α u u3 01 2 01 3 2 2 + α01 u2 − α01 u3   0 − = 0. (10.76) F3

Eine graphische Darstellung der Residuumsfunktionen nach Gleichung (10.76) ist in Abbildung 10.10 gegeben. Beide Funktionen sind in diesem Fall von zwei Variablen, u2 und u3 , abhängig, und somit ergeben sich hier Flächen im Raum, deren Schnittkurven mit der u2 -u3 -Ebene gefunden werden müssen. Dazu wird in jedem Punkt des Iterationsschemas eine Tangentialebene an die entsprechende Fläche gebildet.

Abb. 10.10 Darstellung der Residuumsfunktionen nach Gleichung (10.76)

Die Anwendung der Rechenvorschrift nach Gleichung (10.73) ergibt die Tangentensteifigkeitsmatrix in diesem speziellen Fall zu:    (L − α01 u3 ) − L2 + α01 u2 − α01 u3 4AE0 KT = L2 −  L + α u − α u  L + α u − α u 01 2 01 3 01 2 01 3 2 2   0 − α01 u3 −α01 u2 + α01 u3 4AE0 + 2 . L −α01 u2 + α01 u3 α01 u2 − α01 u3

(10.77)

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

271

Die beiden Matrizen in der letzten Gleichung können noch zusammengefasst werden, und man erhält folgende Darstellung für die Tangentensteifigkeitsmatrix: ⎡

⎤ L L − 2α01 u3 − − 2α01 u2 + 2α01 u3 ⎥ 4AE0 ⎢ 2 ⎢ ⎥. KT = ⎦ L2 ⎣ L L + 2α01 u2 − 2α01 u3 − − 2α01 u2 + 2α01 u3 2 2

(10.78)

Für das Iterationsschema nach Gleichung (10.85) muss die Tangentensteifigkeitsmatrix noch invertiert7 werden, und man erhält nach kurzer Rechnung: ⎡ (K T )

−1

=

⎢ ⎢ ⎢ − 2α01 u2 ⎢ ⎣

1

⎤

1

L2

4AE0

L 2

1

L − 2α01 u3 L 2

⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

(10.79)

+ 2α01 u2 − 2α01 u3

−1  (j) Somit kann das Iterationsschema u(j+1) = u(j) − K T r(u(j) ) für das Beispiel nach Abbildung 10.3 schließlich wie folgt angesetzt werden: ⎡ 1     2 −1 L (4AE0 ) ⎢ u2 u2 = − (j) ⎣ L u3 (j+1) u3 (j) 1 2 − 2α01 u2 ⎛ ⎝



4AE0 L2 − L 2

1 L − 2α01 u3

⎤ ⎥ ⎦

×

L 2

+ 2α01 u2 − 2α01 u3 (j)     ⎞ 0 − L2 − α01 u2 + α01 u3 L − α01 u3 u2 ⎠. − − α01 u2 + α01 u3 L2 + α01 u2 − α01 u3 (j) u3 (j) F3 (10.80)

Die numerischen Werte der Iteration sind in Tabelle 10.4 zusammengefasst. Durch Vergleich mit den Werten aus Tabelle 10.3 für das Modell mit einem einzigen Element erkennt man, dass das Konvergenzverhalten identisch ist. Für praktische Anwendungen würde man jedoch nicht die Tangentensteifigkeitsmatrix des globalen Gesamtsystems berechnen, sondern die Ableitung elementweise berechnen. Anschließend kann man die Tangentensteifigkeitsmatrizen der Einzelelemente – wie im Falle der Gesamtsteifigkeitsmatrix – zur Tangentensteifigkeitsmatrix des globalen Gesamtsystems zusammensetzen: 7 Man beachte, dass in kommerziellen Programmen die Berechnung der Invertierten numerisch erfolgen muss.

272

10 Nichtlineare Elastizität

Tabelle 10.4 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei zwei Elementen mit einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , LI = LII = 200 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa,

ε1 = 0, 15

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6

+

2 2 + u3(j) −u(j−1)   3 (j) 2 (j) 2 + u3 u2

(u2(j) −u2(j−1) )

(

(j) u2

(j) u3

mm

mm

–

0 22,857143 32,481203 35,124722 35,359614 35,361498 35,361499

0 45,714286 64,962406 70,249443 70,719229 70,722998 70,722998

– 1 0,296296 0,075261 0,006643 0,000053 0,000000

KT =



)

K eT .

(10.81)

Für ein lineares Element mit dehnungsabhängigem Elastizitätsmodul nach Gleichung (10.3) folgt aus der Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (10.28), das heißt ⎡ ⎤ 1 −1 AE 0 ⎦, ke = 2 (L + α01 u1 − α01 u2 ) ⎣ (10.82) −1 1 L unter Anwendung der Berechnungsvorschrift (10.73) die folgende Tangentensteifigkeitsmatrix für ein einzelnes Element mit zwei Knoten zu: ⎡

α01 u1 − α01 u2

K eT = ke + ⎣ −α01 u1 + α01 u2

−α01 u1 + α01 u2

α01 u1 − α01 u2 ⎡ ⎤ 1 −1 AE0 ⎦. = 2 (L + 2α01 u1 − 2α01 u2 ) ⎣ −1 1 L

⎤ ⎦

(10.83)

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

273

10.3.3 Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren 10.3.3.1 Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren für ein Finite-Elemente-Modell mit einer Unbekannten Der Nachteil des vollständigen Newton-Raphsonschen Verfahrens liegt darin, dass bei jedem Iterationsschritt die Tangentensteifigkeitsmatrix berechnet und anschließend invertiert werden muss. Berechnet man die Tangentensteifigkeitsmatrix nur einmal zu Beginn der Iteration, gelangt man zum modifizierten Newton-Raphsonschen Verfahren [11, 5, 6]. Aus Gleichung (10.45) folgt das modifizierte Iterationsschema zu: (j)

(j+1)

u2

(j)

= u2 −

r(u2 ) (0)

dr(u2 ) du2

−1  (j) (0) (j) = u 2 − KT r(u2 ) .

(10.84)

Eine schematische Darstellung ist in Abbildung 10.11 gegeben. Man erkennt, dass in jedem Iterationschritt die gleiche Anfangstangente verwendet wird, wodurch sich im Vergleich zum vollständigen Verfahren deutlich mehr Iterationsschritte ergeben; das Verfahren konvergiert nicht mehr quadratisch, sondern nur noch linear. Jedoch entfällt die rechenintensive Invertierung der Tangentensteifigkeitsmatrix in jedem Schritt, und die Berechnung vereinfacht sich deutlich.

Abb. 10.11 Schematische Darstellung der modifizierten NewtonRaphsonschen Iteration

Wendet man die Iterationsvorschrift des modifizierten Verfahrens nach Gleichung (10.84) auf das Problem nach Abbildung 10.3 an, ergeben sich die in Tabelle 10.5 zusammengefassten Ergebnisse. Zur Erfüllung des Konvergenzkriteriums (< 10−6 ) sind hier 36 Schritte notwendig und der Vergleichswert von u2 = 70, 722998 ist erst nach 53 Iterationsschritten erreicht. Ein Vergleich mit den beiden anderen Iterationsschemata ergibt, dass das

274

10 Nichtlineare Elastizität

modifizierte Newton-Raphsonsche Verfahren – bei Funktionen einer Veränderlichen – am langsamsten konvergiert. Man beachte jedoch, dass diese Schlussfolgerung bei einem System von Gleichungen nicht mehr gültig sein muss. Tabelle 10.5 Numerische Werte für modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren bei einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . .. 35 36 . . . 53

(j)

u2

(j)

ε2

−u2(j−1) ) (u(j) 2  

2

(j) 2 u2

mm

–

–

0 45,714286 56,163265 61,485848 64,616833 66,590961 67,886066 68,756876 69,351825 69,762664 70,048432 70,248200 70,388334 70,486873 70,556282 70,605231 70,639779 70,664177 70,681416 70,693598 70,702210 . .. 70,722883 70,722916 . . . 70,722998

0 0,114286 0,140408 0,153715 0,161542 0,166477 0,169715 0,171892 0,173380 0,174407 0,175121 0,175621 0,175971 0,176217 0,176391 0,176513 0,176599 0,176660 0,176704 0,176734 0,176756 . .. 0,176807 0,176807 . . . 0,176807

– 1 0,186047 0,086566 0,048455 0,029646 0,019078 0,012665 0,008579 0,005889 0,004080 0,002844 0,001991 0,001398 0,000984 0,000693 0,000489 0,000345 0,000244 0,000172 0,000122 . .. 0,000001 0,000000 . . . 0,000000

10.3.3.2 Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren für ein Finite-Elemente-Modell mit mehreren Unbekannten Das modifizierte Newton-Raphsonsche Verfahren für ein Modell mit mehreren Unbekannten ist allgemein durch folgende Gleichung gegeben

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems



(0)

u(j+1) = u(j) − K T

275

−1

r(u(j) ) ,

(10.85)

beziehungsweise für das Beispiel nach Abbildung 10.3: ⎡ 1     2 −1 L (4AE0 ) ⎢ u2 u2 = − (0) ⎣ L u3 (j+1) u3 (j) 1 2 − 2α01 u2 ⎛ ⎝

 4AE0 L2 − L 2

1 L − 2α01 u3

⎤ ⎥ ⎦

×

L 2

+ 2α01 u2 − 2α01 u3 (0)     ⎞ L − α01 u3 u2 0 − L2 − α01 u2 + α01 u3 ⎠. − L F u − α01 u2 + α01 u3 2 + α01 u2 − α01 u3 (j) 3 (j) 3 (10.86)

Die numerischen Werte der Iteration sind in Tabelle 10.6 zusammengefasst. Durch Vergleich mit den Werten aus Tabelle 10.5 für das Modell mit einem einzigen Element erkennt man, dass das Konvergenzverhalten identisch ist. Tabelle 10.6 Numerische Werte für modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren bei zwei Elementen mit einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . .. 36 . . . 53

(j)

(j)

2 2 + u3(j) −u(j−1)   3 (j) 2 (j) 2 + u3 u2

(u2(j) −u2(j−1) )

(

u2

u3

mm

mm

–

0 22,857143 28,081633 30,742924 32,308416 33,295481 33,943033 34,378438 34,675913 34,881332 35,024216 . .. 35,361458 . . . 35,361499

0 45,714286 56,163265 61,485848 64,616833 66,590961 67,886066 68,756876 69,351825 69,762664 70,048432 . .. 70,722916 . . . 70,722998

– 1 0,186046 0,086566 0,048455 0,029646 0,019078 0,012665 0,008579 0,005889 0,004080 . .. 0,000000 . . . 0,000000

)

276

10 Nichtlineare Elastizität

10.3.4 Konvergenzkriterien Zur Beurteilung, ob ein iteratives Schema konvergiert, wurde bereits in den vorhergehenden Kapiteln die folgende normierte Verschiebungsdifferenz in der Form , 2  2 2  - (j−1) (j) (j−1) (j) (j) - (j) + u3 − u3 + · · · + um − um - u2 − u2  2  2 2  . (j) (j) (j) u2 + u3 + · · · + um

(10.87)

verwendet, wobei m die Anzahl der unbekannten Freiheitsgrade darstellt. Ist dieser Wert unterhalb eines bestimmten Grenzwertes, zum Beispiel der im Programm verwendeten Rechengenauigkeit, kann die Iteration als konvergiert angesehen werden. Alternativ kann auch der Residuumsvektor r (j) = K(u(j) )u(j) − F (j) betrachtet werden, dessen Norm mittels , -m  - (j) 2 . (10.88) ri i=1

angegeben werden kann. Ist diese Norm unterhalb eines bestimmten Grenzwertes, ist Konvergenz erreicht. Am Ende dieses Kapitels sind in Tabelle 10.7 die besprochenen Iterationsvorschriften zusammengefasst und der Berechnung mit linearer Elastizität gegenübergestellt. Angemerkt sei hier, dass sich die drei angeführten Verfahren für nichtlineare Elastizität im Falle von linearer Elastizität zur Methode der Invertierung der Steifigkeitsmatrix vereinfachen. In der Literatur sind eine ganze Reihe von weiteren Verfahren bekannt, wie zum Beispiel die Bogenlängenverfahren, mit denen der Konvergenzbereich der hier besprochenen Verfahren deutlich erweitert werden kann [7, 9, 10].

10.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

277

Tabelle 10.7 Berechnungsverfahren in der linearen und nichtlinearen Elastizität (N-R = Newton-Raphson) Verfahren

Berechnungsvorschrift lineare Elastizität: K u = F

• Invertierung der Steifigkeitsmatrix

u = (K )−1 F

• ···

··· nichtlineare Elastizität: K (u)u = F

• modifizierte N-R Iteration

 −1 u(j+1) = K (u(j) ) F −1  (j) u(j+1) = u(j) − K T r(u(j) )  −1 (0) u(j+1) = u(j) − K T r(u(j) )

• ···

···

• direkte Iteration • vollständige N-R Iteration

278

10 Nichtlineare Elastizität

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 10.4.1 Beispielprobleme 10.1. Beispiel: Zugstab mit quadratischem Ansatz und dehnungsabhängigem Elastizitätsmodul Für einen dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul der Form   du E(u) = E0 1 − α01 (10.89) dx leite man die Steifigkeitsmatrix für ein Stabelement mit quadratischen Ansatzfunktionen ab. Das Element hat hierbei die Länge L und der mittlere Knoten befindet sich exakt in der Mitte des Elements. Anschließend berechne man ausgehend von der Steifigkeitsmatrix die Tangentensteifigkeitsmatrix K T. 10.1 Lösung Ausgehend von Gleichung (10.90), das heißt

ke = AE0 0

L



dN  dN T dN 1 − α01 up dx ,  dx  dx dx

(10.90)

Skalar

und den Ansatzfunktionen für ein quadratisches Stabelement, beziehungsweise deren Ableitungen  2 x x N1 (x) = 1 − 3 + 2 , L L  2 x x , N2 (x) = 4 − 4 L L  2 x x , N3 (x) = − + 2 L L

3 x dN1 (x) =− +4 2, dx L L

(10.91)

4 x dN2 (x) = −8 2, dx L L

(10.92)

1 x dN2 (x) =− +2 2, dx L L

(10.93)

ergibt sich die Steifigkeitsmatrix allgemein zu:

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

ke = AE0

L



dN1 dN2 dN3 u1 − α01 u2 − α01 u3 dx dx dx ⎡ ⎤ dN1 dN1 dN1 dN2 dN1 dN3 ⎢ dx dx dx dx dx dx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dN dN dN dN dN dN ⎥ 1 2 2 2 3⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ dx . ⎢ dx dx dx dx dx dx ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dN3 dN1 dN3 dN2 dN3 dN3 ⎦ dx dx dx dx dx dx 1 − α01

0

279

 ×

(10.94)

Nach Ausführung der Integration ergibt sich hieraus die Elementsteifigkeitsmatrix zu: ⎡ ke =

7 −8 1

⎤

AE0 ⎢ ⎥ ⎣−8 16 −8⎦ + 3L 1 −8 7 ⎡ ⎤ 15u1 − 16u2 + u3 −16u1 + 16u2 u1 − u3 AE0 α01 ⎢ −16u2 + 16u3 ⎥ ⎣ −16u1 + 16u2 16u1 − 16u3 ⎦. 3L2 u1 − u3 −16u2 + 16u3 −u1 + 16u2 − 15u3 (10.95)

Die Anwendung der Berechnungsvorschrift für eine (3 × 3) Matrix nach Gleichung (10.75) ergibt die Tangentensteifigkeitsmatrix zu: ⎡ ⎤ 15u1 − 16u2 + u3 −16u1 + 16u2 u1 − u3 AE0 α01 ⎢ −16u2 + 16u3 ⎥ K T = ke + ⎣ −16u1 + 16u2 16u1 − 16u3 ⎦, 3L2 u1 − u3 −16u2 + 16u3 −u1 + 16u2 − 15u3 (10.96) beziehungsweise nach Zusammenfassung der beiden Matrizen mit den Knotenverschiebungen zu: ⎡ K eT =

7 −8 1

⎤

AE0 ⎢ ⎥ ⎣−8 16 −8⎦ + 3L 1 −8 7 ⎡ ⎤ 30u1 − 32u2 + 2u3 −32u1 + 32u2 2u1 − 2u3 AE0 α01 ⎢ 32u1 − 32u3 −32u2 + 32u3 ⎥ ⎣ −32u1 + 32u2 ⎦. 3L2 2u1 − 2u3 −32u2 + 32u3 −2u1 + 32u2 − 30u3 (10.97)

280

10 Nichtlineare Elastizität

10.2. Beispiel: Einseitig eingespannter Zugstab mit quadratischem Ansatz und dehnungsabhängigem Elastizitätsmodul Mit dem in Beispiel 10.1 abgeleiteten Stabelement mit quadratischen Ansatzfunktionen und dehnungsabhängigem Elastizitätsmodul berechne man einen Stab, der am linken Ende fest eingespannt ist und am rechten Ende durch eine Einzelkraft von 800 kN belastet wird. Das Werkstoffverhalten ist wie in Beispiel 10.1 anzunehmen, wobei die Werte E0 = 70000 MPa und α01 = 2 zu verwenden sind. Die Länge des Stabes beträgt L = 400 mm und die Querschnittsfläche ist A = 100 mm2 . Zur Lösung verwende man das vollständige Newton-Raphsonsche Verfahren. 10.2 Lösung Aus Gleichung (10.95) ergibt sich unter Berücksichtigung der Randbedingungen die Finite-Elemente-Hauptgleichung zu 

        −16u3 −16u2 + 16u3 AE0 16 −8 AE0 α01 u2 0 = , + −16u2 + 16u3 16u2 − 15u3 u3 F3 3L −8 7 3L2 (10.98) und aus Gleichung (10.97) folgt unter Berücksichtigung der Randbedingungen die Tangentensteifigkeitsmatrix zu     −32u2 + 32u3 AE0 α01 32u1 − 32u3 AE0 16 −8 + = . −32u2 + 32u3 −2u1 + 32u2 − 30u3 3L −8 7 3L2 (10.99) Für das Iterationsschema nach Gleichung (10.85) muss die Tangentensteifigkeitsmatrix noch invertiert werden, und man erhält nach kurzer Rechnung die folgende Darstellung: K eT

(K T )

−1

3L2 2 u u − 4α2 u2 − 64α2 u2 ) AE0 (3L2 − 12α01 u3 L + 64α01 2 3 01 3 ⎤01 2 ⎡7 1 15 L + 2α u − α u L + 2α u − 2α u 01 2 01 3 2 01 2 01 3 16 8 ⎥ ⎢ ×⎣ 1 ⎦ . (10.100) L − 2α01 u3 2 L + 2α01 u2 − 2α01 u3 =

Die numerischen Ergebnisse der Iteration sind in Tabelle (10.8) zusammengefasst. Ein Vergleich mit den Ergebnissen der Diskretisierung mit zwei linearen Elementen in Tabelle 10.4 ergibt, dass die Ergebnisse für den betrachteten Fall identisch sind. 10.3. Beispiel: Zugstab mit drei unterschiedlichen Elementen für dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul und Kraftrandbedingung Das in Abbildung 10.12 dargestellte Finite-Elemente-Modell eines einseitig

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

281

Tabelle 10.8 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei einem Element mit quadratischen Ansatzfunktionen mit einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6

2 2 + u3(j) −u(j−1)   3 (j) 2 (j) 2 + u3 u2

(u2(j) −u2(j−1) )

(

(j) u2

(j) u3

mm

mm

–

0 22,857143 32,481203 35,124722 35,359614 35,361498 35,361499

0 45,714286 64,962406 70,249443 70,719229 70,722998 70,722998

– 1 0,296296 0,075261 0,006643 0,000053 0,000000

)

eingespannten Stabes besteht aus drei Elementen, die unterschiedliche Eigenschaften aufweisen. Am rechten Ende ist der Stab mit einer Einzelkraft F0 belastet.

Abb. 10.12 Zugstab mit drei unterschiedlichen Elementen für dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul und Kraftrandbedingung

Man betrachte den Fall, dass alle drei Stäbe einen linear dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul nach Gleichung (10.3) in der Form E i (ε) = E0i (1 − εα01 ) ,

i = I, II, III

(10.101)

aufweisen. Für das betrachtete Problem sollen die folgenden Relationen für die Anfangsdehnsteifigkeiten angenommen werden: (E0 A)I = 3E0 A , II

(E0 A) = 2E0 A , III

(E0 A)

= 1E0 A .

(10.102) (10.103) (10.104)

Als Zahlenwerte verwende man F0 = 800 kN, A = 100 mm2 , LI = LII = LIII = 400/3 mm, E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15 und bestimme mit dem vollständigen Newton-Raphsonschen Iterationsverfahren die Verschiebung der Knoten.

282

10 Nichtlineare Elastizität

10.3 Lösung Für die drei Elemente ergeben sich die Elementsteifigkeitsmatrizen nach Gleichung (10.28) zu   3E0 A 1 −1 k = (L + α01 u1 − α01 u2 ) , −1 1 L2   2E0 A 1 −1 (L + α u − α u ) , kII = 01 2 01 3 −1 1 L2   1E0 A 1 −1 III (L + α01 u3 − α01 u3 ) , k = −1 1 L2 I

(10.105) (10.106) (10.107)

die unter Berücksichtigung der festen Einspannung zu folgendem reduzierten Gleichungssystem zusammengesetzt werden können: ⎡ ⎤ 3L − 3α01 u2 + −2L − 2α01 u2 ⎢ 2L + 2α01 u2 ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ +2α01 u3 0 ⎢ −2α01 u3 ⎥ u2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ E0 A⎢ ⎢−2L − 2α01 u2 2L + 2α01 u2 − 2α01 u3 −1L − 1α01 u3 ⎥⎣u3 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ . ⎥ L2 ⎢ ⎢ +2α01 u3 +1L + 1α01 u3 − 1α01 u4 +1α01 u4 ⎥ F0 ⎢ ⎥ u4 ⎣ −1L − 1α01 u3 1L + 1α01 u3 ⎦ 0 +1α01 u4 −1α01 u4 (10.108) Die Tangentensteifigkeitsmatrizen für die drei Elemente ergeben sich nach Gleichung (10.83) zu   3E0 A 1 −1 (L + 2α u − 2α u ) , 01 1 01 2 −1 1 L2   2E0 A 1 −1 K II = (L + 2α u − 2α u ) , 01 2 01 3 T −1 1 L2   1E0 A 1 −1 III (L + 2α01 u3 − 2α01 u3 ) KT = −1 1 L2 K IT =

(10.109) (10.110) (10.111)

und können unter Berücksichtigung der festen Einspannung zu folgender Tangentensteifigkeitsmatrix des reduzierten Gleichungssystems zusammengesetzt werden:

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

283

⎡ ⎤ 3L − 6α01 u2 + −2L − 4α u 01 2 ⎢ 2L + 4α01 u2 ⎥ 0 ⎢ ⎥ +4α01 u3 ⎢ −4α01 u3 ⎥ ⎥ E0 A ⎢ ⎢ K T = 2 ⎢−2L − 4α01 u2 2L + 4α01 u2 − 4α01 u3 −1L − 2α01 u3 ⎥ ⎥. L ⎢ ⎥ +4α u +1L + 2α u − 2α u +2α u 01 3 01 3 01 4 01 4 ⎢ ⎥ ⎣ −1L − 2α01 u3 1L + 2α01 u3 ⎦ 0 +2α01 u4 −2α01 u4 (10.112) Mittels des reduzierten Gleichungssystems und der Tangentensteifigkeitsma(j) trix kann das Iterationsschema u(j+1) = u(j) − (K T )−1 r(u(j) ) verwendet werden. Die numerischen Ergebnisse sind in Tabelle 10.9 zusammengefasst. Tabelle 10.9 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei drei Elementen mit einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN. Geometrie: Ai = 100 mm2 , Li = 400/3 mm. Materialeigenschaften: E0 = β i × 70000 MPa, E1 = 49000 MPa,

ε1 = 0, 15

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6

+*

  (j) (j−1) 2 ui −ui *3  (j) 2 ui i=1

3 i=1

(j) u2

(j) u3

(j) u4

mm

mm

mm

–

0 5,079365 5,535937 5,539687 5,539687 5,539687 5,539687

0 12,698413 14,283733 14,313393 14,313407 14,313407 14,313407

0 27,936508 35,937868 37,729874 37,886483 37,887740 37,887740

– 1 0,209121 0,044001 0,003831 0,000030 0,000000

10.4. Beispiel: Zugstab mit drei unterschiedlichen Elementen für dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul und Verschiebungsrandbedingung Das in Abbildung 10.13 dargestellte Finite-Elemente-Modell eines einseitig eingespannten Stabes besteht aus drei Elementen, die unterschiedliche Eigenschaften aufweisen. Am rechten Ende des Stabes ist eine Verschiebung u0 vorgegeben.

Abb. 10.13 Zugstab mit drei unterschiedlichen Elementen für dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul und Verschiebungsrandbedingung

284

10 Nichtlineare Elastizität

Man betrachte den Fall, dass alle drei Stäbe einen linear dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul nach Gleichung (10.3) in der Form E i (ε) = E0i (1 − εα01 ) ,

i = I, II, III

(10.113)

aufweisen. Für das betrachtete Problem sollen die folgenden Relationen für die Anfangsdehnsteifigkeiten angenommen werden: (E0 A)I = β I E0 A , II

II

(E0 A) = β E0 A , III

(E0 A)

=β

III

E0 A ,

(10.114) (10.115) (10.116)

wobei zwei verschiedene Fälle untersucht werden sollen: β I β II β III uo in mm . Fall a) 1 1 1 33 Fall b) 3 2 1 37.887740

(10.117)

Als weitere Zahlenwerte verwende man A = 100 mm2 , LI = LII = LIII = 400/3 mm, E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15 und bestimme mit dem vollständigen Newton-Raphsonschen Iterationsverfahren die Verschiebung der Knoten und die Reaktionskraft am rechten Ende. 10.4 Lösung Entsprechend der Vorgehensweise in Beispiel 10.3 ergibt sich die Gesamtsteifigkeitsmatrix unter Berücksichtigung der festen Einspannung am linken Ende zu: ⎡

β I L − β I α01 u2 + β II L + β II α01 u2 −β II α01 u3

⎤ −β II L − β II α01 u2 +β II α01 u3

⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ II II ⎥ E0 A⎢ β L + β α01 u2 III III ⎢−β II L − β II α01 u2 ⎥ −β L − β α u 01 3 ⎥ . II III ⎢ 2 −β α01 u3 + β L L ⎢ II III ⎥ +β α u +β α u 01 3 01 4 ⎢ ⎥ +β III α01 u3 − β III α01 u4 ⎢ ⎥ III III III III ⎣ −β L − β α01 u3 β L + β α01 u3 ⎦ 0 +β III α01 u4 −β III α01 u4 (10.118) Bringt man die bekannte Verschiebung auf die ’rechte Seite’ des Gleichungssystems, ergibt sich nach Streichen der Spalte und Zeile, die zu u4 gehört, das folgende reduzierte (2 × 2) Gleichungssystem:

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

285

⎡

⎤

β I L − β I α01 u2 + −β II L − β II α01 u2 ⎥ ⎢ β II L + β II α01 u2 ⎢ ⎥  +β II α01 u3 II ⎥ u2 E0 A ⎢ −β α u 01 3 ⎢ ⎥ II II ⎢ ⎥ u3 2 β L + β α01 u2 L ⎢ II II ⎥ −β L − β α u 01 2 II III ⎣ −β α01 u3 + β L ⎦ II +β α01 u3 +β III α01 u3 − β III α01 u4   0 E0 A = 2 . L −(−β III L − β III α01 u3 + β III α01 u4 )u4

(10.119)

Die Tangentensteifigkeitsmatrix ergibt sich entsprechend der Vorgehensweise in Beispiel 10.3 in der (2 × 2) Form zu: ⎡

⎤ β I L − 2β I α01 u2 + II II −β L − 2β α u 01 2 ⎢ II ⎥ 2β II α01 u2 ⎥ E0 A ⎢ β L + II +2β II α01 u3 ⎢ ⎥. −2β α01 u3 KT = 2 ⎢ ⎥ L ⎣ II II II II II −β L − 2β α01 u2 β L + 2β α01 u2 − 2β α01 u3 ⎦ +2β II α01 u3 +β I L + 2β I α01 u3 − 2β I α01 u4 (10.120) Mittels des reduzierten Gleichungssystems und der Tangentensteifigkeitsma(j) trix kann das Iterationsschema u(j+1) = u(j) − (K T )−1 r(u(j) ) verwendet werden. Nach jedem Iterationsschritt kann die Reaktionskraft Fr4 am rechten Ende durch Auswertung der vierten Gleichung des Gesamtsystems berechnet werden. Die numerischen Ergebnisse sind in den Tabellen 10.10 und 10.11 zusammengefasst. Tabelle 10.10 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei drei Elementen mit Verschiebungsrandbedingung von uo = 33 mm. Geometrie: Ai = 100 mm2 , Li = 400/3 mm. Materialeigenschaften: E0 = β i × 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15, β I = β II = β III = 1

+*

Iteration j

0 1 2 3 4 5

  (j) (j−1) 2 ui −ui   *2 (j) 2 ui i=1

2 i=1

(j) u2

(j) u3

(j) Fr4

mm

mm

kN

–

0 16,338235 11,514910 11,005802 11,000001 11,000000

0 32,676471 23,029821 22,011604 22,000002 22,000000

0 16,902865 445,153386 481,804221 482,212447 482,212500

– 1 0,418876 0,046258 0,000527 0,000000

Der Fall a) mit den Ergebnissen in Tabelle 10.10 kann als Testfall für das Iterationschema angesehen werden. Auf Grund der Verschiebugsrandbedingung am rechten Ende und der identischen Elemente muss die Iteration hier

286

10 Nichtlineare Elastizität

Tabelle 10.11 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei drei Elementen mit Verschiebungsrandbedingung von uo = 37.887740 mm. Geometrie: Ai = 100 mm2 , Li = 400/3 mm. Materialeigenschaften: E0 = β i × 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15, β I = 3, β II = 2, β III = 1

+*

Iteration j

0 1 2 3 4

  (j) (j−1) 2 ui −ui *2  (j) 2 ui i=1

2 i=1

(j) u2

(j) u3

(j) Fr4

mm

mm

kN

–

0 6,152350 5,539025 5,539687 5,539687

0 15,380875 14,319014 14,313407 14,313407

0 782,695217 799,913803 800,000003 800,000000

– 1 0,079871 0,000368 0,000000

u2 = 13 u0 und u3 = 23 u0 ergeben. Wie aus Tabelle 10.10 ersichtlich, ist dies bei dem gewählten Konvergenzkriterium nach fünf Iterationen der Fall. Der Fall b) mit den Ergebnissen in Tabelle 10.11 stellt die Umkehrung von Beispiel 10.3 dar. Da das Ergebnis für die Verschiebung aus Beispiel 10.3 als Randbedingung hier aufgebracht wurde, muss die Reaktionskraft im konvergierten Zustand einen Wert von 800 kN erreichen. Dies ist hier nach vier Iterationsschritten der Fall.

10.4.2 Weiterführende Aufgaben 10.5. Dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul mit quadratischem Verlauf Der in Abbildung 10.14 dargestellte dehnungsabhängige Elastizitätsmodul wurde experimentell bestimmt. Man approximiere den Verlauf mit einer quadratischen Funktion der Form E(ε) = a+bε+cε2 und bestimme die Konstanten a, . . . , c. Anschließend berechne man durch Integration den SpannungsDehnungs-Verlauf und stelle den Verlauf graphisch dar. Im nächsten Schritt leite man die Elementsteifigkeitsmatrix für eine lineares Stabelement unter Berücksichtigung des dehnungsabhängigen Elastizitätsmodul ab. Im letzten Schritt bestimme man die Tangentensteifigkeitsmatrix. 10.6. Direkte Iteration mit verschiedenen Startwerten Den Stab nach Abbildung 10.3 diskretisiere man mit einem einzigen linearen Element und verwende zur Lösung die direkte Iteration bei verschiedenen (0) Startwerten: u2 = 0 oder 30 oder 220 mm. Die weiteren Daten können Tabelle A.7 entnommen werden.

10.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

287

Abb. 10.14 Experimentell ermittelter dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul

10.7. Vollständiges Newton-Raphsonsches Schema für ein lineares Element mit quadratischem Elastizitätsmodul Der in Abbildung 10.15 a) dargestellte Balken soll mittels einem einzigen linearen Element diskretisiert werden. Der dehnungsabhängige Elastizitätsmodul weist einen quadratischen Verlauf nach Abbildung 10.15 b) auf. Basierend

Abb. 10.15 Stabelement unter Einzellast und quadratischer Dehnungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls

auf der Elementsteifigkeitsmatrix aus Ausgabe 10.5 löse man das Problem mit dem vollständigen Newton-Raphsonschen Schema für eine äußere Kraft von F = 370 kN. Als Konvergenzkriterium verwende man eine relative Verschiebungsdifferenz von < 10−6 . Anschließend untersuche man allgemein den Konvergenzbereich des Iterationsschemas. Für die Geometrie sind die konkreten Werte A = 100 mm2 und L = 400 mm und für das Werkstoffverhalten E0 = 70000 MPa und ε1 = 0, 15 zu verwenden.

288

10 Nichtlineare Elastizität

10.8. Dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul mit allgemeinem quadratischem Verlauf In Erweiterung von Aufgabe 10.5 betrachte man den in Abbildung 10.16 dargestellten Verlauf mit den drei Messpunkten (0, E0 ), ( 12 ε1 , β05 E0 ) und (ε1 , β1 E0 ). Mit den Skalierungswerten β05 und β1 kann die Gestalt der Kurve leichter an Messwerte angepasst werden. Der Kurvenverlauf soll durch einen quadratischen Verlauf der Form E(ε) = a+bε+cε2 approximiert werden. Man bestimme die Konstanten a, . . . , c und leite die Elementsteifigkeitsmatrix für eine lineares Stabelement unter Berücksichtigung des dehnungsabhängigen Elastizitätsmoduls ab.

Abb. 10.16 Experimentell ermittelter dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul; allgemeiner quadratischer Verlauf

Literaturverzeichnis 1. Wriggers P (2001) Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin 2. Reddy JN (2004) An introduction to nonlinear finite element analysis. Oxford University Press, Oxford 3. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. Springer, Berlin 4. Belytschko T, Liu WK, Moran B (2000) Nonlinear finite elements for continua and structures. John Wiley & Sons, Chichester 5. Cook RD, Malkus DS, Plesha ME, Witt RJ (2002) Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley & Sons, New York 6. Bathe K-J (2002) Finite-Elemente-Methoden. Springer-Verlag, Berlin 7. Riks E (1972) The application of newtons method to the problem of elastic stabilty. J Appl Mech 39:1060–1066 8. Crisfield MA (1981) A fast encremental/iterative solution procedure that handles snap through. Comput Struct 13:55–62 9. Crisfield MA (1981) A fast encremental/iterative solution procedure that handles snap through. Comput Struct 13:55–62 10. Schweizerhof K, Wriggers P (1986) Consitent linearization for path following methods in nonlinear fe-analysis. Comput Method Appl M 59:261–279

Kapitel 11

Plastizität

Zusammenfassung Im Rahmen dieses Kapitels werden zuerst die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Verfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige, monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist die Beschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt, die zum Beispiel beim einachsigen Zugversuch mit monotoner Belastung auftritt. Zur Integration des elasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle PrädiktorKorrektor-Verfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten und des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entscheidenden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensionaler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleiteten Verfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten. Durchgerechnete Beispiele und weiterführende Aufgaben mit Kurzlösungen dienen zur Einübung der theoretischen Beschreibung.

11.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen Das charakteristische Merkmal plastischen Materialverhaltens ist, dass nach vollständiger Entlastung eine bleibende Verzerrung εpl auftritt, vgl. Abb. 11.1 a). Nur die elastischen Verzerrungen εel gehen bei vollständiger Entlastung auf Null zurück. Bei Beschränkung auf kleine Verzerrungen ist eine additive Zusammensetzung der Verzerrungen aus ihrem elastischen und plastischen Anteil (11.1) ε = εel + εpl zulässig. Die elastischen Verzerrungen εel können hierbei mittels des Hookeschen Gesetzes ermittelt werden, wobei nun in Gleichung (3.2) ε durch εel zu ersetzen ist.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_11, 

289

290

11 Plastizität

Ferner ist bei plastischen Materialverhalten im Allgemeinen kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen mehr gegeben, da der Verzerrungszustand auch von der Belastungsgeschichte abhängt. Daher sind Ratengleichungen1 beziehungsweise – im Rahmen der hier untersuchten zeitfreien Plastizität – inkrementelle Beziehungen erforderlich, und es ist über die gesamte Belastungsgeschichte zu integrieren. Aus Gleichung (11.1) folgt die additive Zusammensetzung der Verzerrungsinkremente zu: dε = dεel + dεpl .

(11.2)

Die konstitutive Beschreibung plastischen Materialverhaltens umfasst • eine Fließbedingung, • eine Fließregel und • ein Verfestigungsgesetz. Im Folgenden wird nur der Fall der monotonen Belastung2 betrachtet, so dass im Falle der Werkstoffverfestigung nur die isotrope Verfestigung berücksichtigt wird. Dieser wichtige Fall tritt zum Beispiel in der experimentellen Mechanik beim einachsigen Zugversuch mit monotoner Belastung auf. Weiterhin soll angenommen werden, dass die Fließspannungen im Zug- und Druckbereich identisch sind: kt = kc = k.

Abb. 11.1 Einachsige Spannungs-Dehnungs-Diagramme für verschiedene isotrope Verfestigungsansätze: a) beliebige Verfestigung; b) lineare Verfestigung und ideale Plastizität

1

Geschwindigkeitsgleichungen (rate equations). Der Fall der Entlastung beziehungsweise Lastumkehr soll aus Gründen der Vereinfachung hier nicht betrachtet werden.

2

11.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen

291

11.1.1 Fließbedingung Die Fließbedingung ermöglicht die Feststellung, ob der betreffende Werkstoff bei einem bestimmten Spannungszustand in einem Punkt des betreffenden Körpers nur elastische oder auch plastische Verzerrungen erfährt. Beim einachsigen Zugversuch beginnt plastisches Fließen beim Erreichen der Fließgrenze k init , vergleiche Abbildung 11.1. In ihrer allgemeinen eindimensionalen Form kann die Fließbedingung im Spannungsraum wie folgt angesetzt werden (IR × IR → IR): F = F (σ, κ) , (11.3) wobei κ die innere Variable der isotropen Verfestigung darstellt. Im Falle der idealen Plastizität, vergleiche Abbildung 11.1 b), gilt: F = F (σ). Die Werte von F haben folgende mechanische Bedeutung, vergleiche Abbildung 11.2: F (σ, κ) < 0 → elastisches Materialverhalten , F (σ, κ) = 0 → plastisches Materialverhalten , F (σ, κ) > 0 → unzulässig .

(11.4) (11.5) (11.6)

Abb. 11.2 Schematische Darstellung der Werte der Fließbedingung und der Richtung des Spannungsgradienten im a) eindimensionalen und b) mehrdimensionalen Spannungsraum. Hierbei stellt das σ -σ Koordinatensystem eine schematische Darstellung des ndimensionalen Spannungsraumes dar

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich unter der Annahme, dass die Fließbedingung in einen reinen Spannungsanteil f (σ), das sogenannte Fließkriterium3 , und in einen experimentellen Werkstoffparameter k(κ), die sogenannte Fließspannung, aufgespalten werden kann: 3

Ist die Einheit des Fließkriteriums gleich der Sapnnung, so stellt f (σ) die Vergleichsspannung oder effektive Spannung dar. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall gilt unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors σeff : (IR6 → IR+ ).

292

11 Plastizität

F (σ, κ) = f (σ) − k(κ) .

(11.7)

Für einen einachsigen Zugversuch (vergleiche Abbildung 11.1) kann die Fließbedingung in der Form F (σ, κ) = |σ| − k(κ) ≤ 0

(11.8)

angegeben werden. Betrachtet man den idealisierten Fall der linearen Verfestigung (vergleiche Abbildung 11.1 b)), kann Gleichung (11.8) als F (σ, κ) = |σ| − (k init + E pl κ) ≤ 0

(11.9)

geschrieben werden. Parameter E pl ist hierbei der plastische Modul (vergleiche Abbildung 11.3), der sich im Falle der idealen Plastizität zu Null ergibt: F (σ, κ) = |σ| − k init ≤ 0 .

(11.10)

11.1.2 Fließregel Die Fließregel dient zur mathematischen Beschreibung der Evolution der infinitesimalen Inkremente der plastischen Verzerrung dεpl im Laufe der Belastungsgeschichte des Körpers. In ihrer allgemeinsten eindimensionalen Form kann die Fließregel wie folgt angesetzt werden [1]: dεpl = dλ r(σ, κ) ,

(11.11)

wobei der Faktor dλ als Konsistenzparameter (dλ ≥ 0) und r : (IR × IR → IR) als Funktion der Fließrichtung4 bezeichnet wird. Man beachte, dass nur für dεpl = 0 sich dλ = 0 ergibt. Basierend auf dem Stabilitätspostulat von Drucker [2] kann folgende Fließregel abgeleitet werden:5 dεpl = dλ

∂F (σ, κ) . ∂σ

(11.12)

Eine derartige Fließregel wird auch als Normalitätsregel6 (vergleiche Abbildung 11.2 a) oder wegen r = ∂F (σ, κ)/∂σ als assoziierte Fließregel bezeich4

Im allgemeinen dreidimensionalen Fall bestimmt r hierbei die Richtung des Vektors dεpl , während der skalare Faktor dλ den Betrag des Vektors festlegt. 5 Eine formal alternative Ableitung der assoziierten Fließregel kann mittels der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode als Extremwert mit Nebenbedingung aus dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit erfolgen [3]. 6 Im allgemeinen dreidimensionalen Fall muss der Bildvektor des Zuwachses der plastischen Verzerrungen senkrecht zur Fließfläche stehen und nach außen gerichtet sein, vergleiche Abbildung 11.2 b.

11.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen

293

net. Experimentelle Ergebnisse unter anderem aus dem Bereich granularer Materialien [4] können jedoch zum Teil besser approximiert werden, wenn der Spannungsgradient durch eine andere Funktion, das sogenannte plastische Potential Q, ersetzt wird. Die resultierende Fließregel wird dann als nichtassoziierte Fließregel bezeichnet: dεpl = dλ

∂Q(σ, κ) . ∂σ

(11.13)

Bei sehr komplizierten Fließbedingungen findet man auch oft, dass in erster Näherung für Q eine einfachere Fließbedingung herangezogen wird, von der sich der Gradient leicht bestimmen lässt. Anwendung der assoziierten Fließregel (11.12) auf die Fließbedingungen nach Gleichung (11.8)-(11.10) ergibt für alle drei Formen der Fließbedingung (das heißt beliebige Verfestigung, lineare Verfestigung und ideale Plastizität): dεpl = dλ sgn(σ) ,

(11.14)

wobei sgn(σ) die sogenannte Vorzeichenfunktion7 darstellt, die folgende Werte annehmen kann: ⎧ ⎨ −1 für σ < 0 0 für σ = 0 . sgn(σ) = (11.15) ⎩ +1 für σ > 0

11.1.3 Verfestigungsgesetz Das Verfestigungsgesetz erlaubt die Berücksichtigung des Einflusses von Werkstoffverfestigungen auf die Fließbedingung und die Fließregel. Im Rahmen der isotropen Verfestigung wird die Fließspannung in Abhängigkeit einer inneren Variablen κ beschrieben: k = k(κ) .

7

Auch Signumfunktion; von lateinisch ’signum’ für ’Zeichen’.

(11.16)

294

11 Plastizität

Wird für die Verfestigungsvariable die plastische Vergleichsdehnung8 herangezogen (κ = |εpl |), so spricht man von Dehnungsverfestigung. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Verfestigung in Abhängigkeit von der spezifi schen9 plastischen Arbeit zu beschreiben (κ = wpl = σdεpl ). Man spricht dann von Arbeitsverfestigung. Wird Gleichung (11.16) mit der Fließregel nach (11.14) kombiniert, ergibt sich die Evolutionsgleichung für die isotrope Verfestigungsvariable zu: dκ = d|εpl | = dλ .

(11.17)

Abbildung 11.3 zeigt die Fließkurve, d.h. die graphische Darstellung der Fließspannung in Abhängigkeit der inneren Variablen, für verschiedene Verfestigungsansätze.

Abb. 11.3 Fließkurve für verschiedene Verfestigungsansätze

11.1.4 Elasto-plastischer Stoffmodul Bei plastischem Materialverhalten ändert sich die Steifigkeit des Werkstoffes und der Verzerrungszustand ist von der Belastungsgeschichte abhängig. Des8

Die plastische Vergleichsdehnung oder effektive plastische Dehnung ist im allgemeinen pl dreidimensionalen Fall die Funktion εeff : (IR6 → IR+ ). Im hier betrachteten eindimen√ pl pl pl sionalen Fall gilt: εeff = ε ε = |εpl |. Achtung: Finite-Element-Programme verwenden gegebenenfalls zur Darstellung im Postprocessor die allgemeinere Definition, das heißt 2

εpl eff =

2 3

*

Δεpl ij

*

Δεpl ij , die mittels des Faktors

2 3

die Querkontraktion bei uniaxialien Spannungsproblemen im plastischen Bereich berücksichtigt. Diese Formel führt jedoch bei rein eindimensionalen Problemen ohne Querkontraktion zu einer um den Faktor 2 2 3

9

≈ 0.816 reduzierten Darstellung der plastischen Vergleichsdehnung.





Hierbei handelt es sich um die volumenspezifische Definition, das heißt wpl =

kg m m s2 m2 m

=

kg m2 s2 m3

=

J . m3

N m m2 m

=

11.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen

295

halb muss das für das linear-elastische Materialverhalten gültige Hookesche Gesetz nach Gleichung (3.2) durch folgende infinitesimal inkrementelle Beziehung ersetzt werden: (11.18) dσ = E elpl dε . In (11.18) bezeichnet E elpl den elasto-plastischen Stoffmodul (vergleiche Abbildung 11.1 b), der im Folgenden hergeleitet wird10 . Das totale Differential der Fließbedingung (11.8) liefert:  dF =

∂F ∂σ



 dσ +

∂F ∂κ



 dκ = sgn(σ)dσ +

∂F ∂κ

 dκ = 0 .

(11.19)

Werden in Gleichung (11.2) für die additive Zusammensetzung der elastischen und plastischen Verzerrungen das Hookesche Gesetz (3.2) und die Fließregel (11.14) eingesetzt, so erhält man: 1 dσ + dλ sgn(σ) . (11.20) E Multiplikation von Gleichung (11.20) mit sgn(σ)E und Einsetzen in Gleichung (11.19) liefert unter Verwendung der Evolutionsgleichung der Verfestigungsvariablen (11.17) den Konsistenzparameter zu: dε =

dλ =

sgn(σ)E  dε . E − ∂F ∂κ

(11.21)

Einsetzen des Konsistenzparameters in Gleichung (11.20) und Auflösen nach dσ liefert schließlich den elasto-plastischen Stoffmodul zu:  dσ E × ∂F elpl (11.22) =  ∂F ∂κ . = E dε ∂κ − E Für den Spezialfall der linearen Verfestigung, d.h. chung (11.22) wie folgt vereinfacht werden:

∂F ∂κ

= −E pl , kann Glei-

E × E pl . (11.23) E + E pl Die unterschiedlichen allgemeinen Definitionen der Moduli sind in Tabelle 11.1 vergleichend dargestellt. Ein Vergleich der verschiedenen Gleichungen und Formulierungen der eindimensionalen Plastizität mit der allgemeinen dreidimensionalen Darstellung (zum Beispiel [1, 5]) ist in Tabelle 11.2 gegeben. E elpl =

10

Im allgemeinen dreidimensionalen Fall spricht man von elasto-plastischer Stoffmatrix

C elpl .

296

11 Plastizität

Tabelle 11.1 Vergleich der unterschiedlichen Definitionen der Spannungs-DehnungsKennzahlen (Moduli) Bereich

Definition

elastisch

E=

plastisch E elpl =

dσ dεel

dσ für ε > εinit dε

E pl =

dσ d|εpl |

Tabelle 11.2 Vergleich zwischen allgemeiner 3D Plastizität und 1D Plastizität mit isotroper (beliebiger oder idealer) Dehnungsverfestigung

Allgemeine 3D Plastizität

1D Plastizität beliebige Verfestigung

1D Plastizität lineare Verfestigung

Fließbedingung

F (σ, q) ≤ 0

F = |σ| − k(κ) ≤ 0 F = |σ| − (kinit + E pl κ) ≤ 0

Fließregel

εpl = dλ × r(σ, q)

dεpl = dλ × sgn(σ)

dεpl = dλ × sgn(σ)

Verfestigungsgesetz

q = (κ, α)T

κ

κ

dq = dλ × h(σ, q)

dκ = dλ

dκ = dλ

Elasto-plastischer Stoffmodul

   (Cr) ⊗ C ∂F E × ∂F ∂σ ∂κ elpl =  E C −  ∂F T ∂F −E Cr − ∂F h ∂κ ∂σ ∂q

 C elpl =

E elpl =

E × E pl E + E pl

Weitere Details zur Plastizität können zum Beispiel den Werken [6, 7, 8, 9, 10] entnommen werden.

11.2 Integration der Materialgleichungen

297

11.2 Integration der Materialgleichungen Im Vergleich zu einer FE-Berechnung mit rein linear-elastischem Materialverhalten kann bei einer Simulation plastischen Materialverhaltens die Berechnung nicht mehr in einem Schritt erfolgen, da hier im Allgemeinen kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung besteht11 . Die Last wird stattdessen inkrementell aufgebracht, wobei in jedem Inkrement ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden muss (beispielsweise Newton-Raphsonsche-Algorithmus). Die Finite-Elemente-Hauptgleichung ist daher in folgender inkrementeller Form anzusetzen: KΔu = ΔF .

(11.24)

Zusätzlich müssen für jedes Inkrement (n + 1) in jedem Integrationspunkt (Gauss-Punkt), ausgehend vom Spannungszustand am Ende des vorangegangenen Inkrements (n) und dem vorgegebenen Verzerrungsinkrement (Δεn ), die Feldgrößen – wie zum Beispiel die Spannung σn+1 – berechnet werden (vergleiche Abbildung 11.4).

Abb. 11.4 Schematische Darstellung des Integrationsalgorithmus für plastisches Materialverhalten in der FEM; in Anlehnung an [11]. Integrationspunkte sind schematisch durch das Symbol ’+’ gekennzeichnet

11

Im allgemeinen Fall mit sechs Spannungs-und Dehnungskomponenten (unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungs- und Verzerrungstensors) besteht nur ein eindeutiger Zusammenhang zwischen effektiver Spannung und effektiver plastischer Dehnung. Im eindimensionalen Fall reduzieren sich diese effektiven Größen jedoch zu: σeff = |σ| und pl εpl eff = |ε |.

298

11 Plastizität

Dazu muss das in infinitesimaler Form vorliegende explizite Werkstoffgesetz nach Gleichung (11.2) und (11.22) numerisch integriert werden. Explizite Integrationsverfahren, wie etwa das Euler-Verfahren12 , sind allerdings ungenau und unter Umständen instabil, da sich hier ein globaler Fehler anhäufen kann [12]. Anstelle expliziter Integrationsverfahren verwendet man im Rahmen der FEM sogenannte Prädiktor-Korrektor-Verfahren (vergleiche Abbildung 11.5), bei denen zunächst ein sogenannter Prädiktor explizit bestimmt wird und anschließend implizit korrigiert wird. In einem ersten Schritt wird unter Annahme rein linear-elastischen Materialverhaltens mittels eines elastischen Prädiktors ein Testspannungszustand (sogenannter Trial-Spannungszustand) berechnet:13 trial σn+1 = σn +

EΔεn   

.

(11.25)

el Prädiktor Δσn

Der in diesem Testspannungszustand vorliegende Verfestigungszustand entspricht dem Zustand am Ende des vorhergehenden Inkrements. Es wird also angenommen, dass der Belastungsschritt rein elastisch, das heißt ohne plastische Verformung und damit ohne Verfestigung, erfolgt: κtrial n+1 = κn .

(11.26)

Ausgehend von der Lage des Testspannungszustandes im Spannungsraum können mittels der Fließbedingung zwei elementare Zustände unterschieden werden: a) Der Spannungszustand liegt im elastischen Bereich (vergleiche Abbildung 11.5 a) oder auf der Fließgrenzfläche (gültiger Spannungszustand): trial F (σn+1 , κtrial n+1 ) ≤ 0 .

(11.27)

In diesem Fall kann der Testzustand als neuer Spannungs-/Verfestigungszustand übernommen werden, da er dem tatsächlichen Zustand entspricht: trial σn+1 = σn+1 ,

κn+1 =

κtrial n+1

.

(11.28) (11.29)

Abschließend wird zum nächsten Inkrement übergegangen.

12

Das explizite Euler-Verfahren oder Polygonzugverfahren (auch Euler-CauchyVerfahren) ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems. Der neue Spannungszustand ergibt sich nach diesem Verfahren zu σn+1 = σn + elpl Δε, wobei das Anfangswertproblem als dσ = E elpl (σ, ε) mit σ(ε ) = σ angegeben En 0 0 dε werden kann. 13 Im allgemeinen dreidimensionalen Fall wird die Beziehung auf den Spannungsvektor und das Inkrement des Dehnungsvektors angewandt: σ trial n+1 = σ n + CΔεn .

11.2 Integration der Materialgleichungen

299

b) Der Spannungszustand liegt außerhalb der Fließgrenzfläche (ungültiger Spannungszustand, vergleiche Abbildung 11.5 b) und c): trial F (σn+1 , κtrial n+1 ) > 0 .

(11.30)

Tritt dieser Fall ein, so wird im zweiten Teil des Verfahrens aus dem ungültigen Testzustand ein gültiger Zustand auf der Fließgrenzfläche (F (σn+1 , κn+1 ) = 0) berechnet. Die hierzu benötigte Spannungsdifferenz trial Δσ pl = σn+1 − σn+1

(11.31)

bezeichnet man als plastischen Korrektor.

Abb. 11.5 Schematische Darstellung des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens im SpannungsDehnungs-Diagramm: a) elastischer Prädiktor liegt im elastischen Bereich; b) und c) elastischer Prädiktor liegt außerhalb der Fließgrenzfläche

Für die Berechnung des plastischen Korrektors werden die Bezeichnungen Rückprojektion, Return-Mapping oder auch Catching-Up verwendet. Abbildung 11.6 stellt vergleichend das Prädiktor-Korrektor-Verfahrens schematisch im ein- und mehrdimensionalen Spannungsraum dar. Im Folgenden wird die Rückprojektion näher betrachtet. Ausführliche Darstellungen sind in [1, 5, 12, 13, 14, 15] zu finden. Die Spannungsdifferenz zwischen Ausgangs- und Zielspannungszustand (Spannungsinkrement) (11.32) Δσn = σn+1 − σn resultiert nach dem Hookeschen Gesetz aus dem elastischen Anteil des Dehnungsinkrements, das sich als Differenz des Gesamtdehnungsinkrements und dessen plastischen Anteils ergibt: pl Δσn = EΔεel n = E(Δεn − Δεn ) .

(11.33)

Aus Abbildung 11.7 ist zu entnehmen, dass sich das Gesamtdehnungsinkrement in Abhängigkeit vom Testspannungszustand als

300

11 Plastizität

Abb. 11.6 Schematische Darstellung des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens im eindimensionalen und mehrdimensionalen Spannungsraum. Hierbei stellt das σ -σ Koordinatensystem eine schematische Darstellung des n-dimensionalen Spannungsraumes dar. a) elastischer Prädiktor liegt im elastischen Bereich; b) und c) elastischer Prädiktor liegt außerhalb der Fließgrenzfläche

Δεn = εn+1 − εn =

1 trial (σ − σn ) E n+1

(11.34)

darstellen lässt. Setzt man die letzte Gleichung und die Fließregel14 nach (11.14) in Gleichung (11.33) ein, so ergibt sich der Zielspannungszustand trial zu: σn+1 in Abhängigkeit vom Testspannungszustand σn+1 14

An dieser Stelle soll formal in der Schreibweise von dλ nach Δλ übergegangen werden. Somit erfolgt hier der Übergang von der differentiellen zur inkrementellen Schreibweise.

11.2 Integration der Materialgleichungen

301

Abb. 11.7 Schematische Darstellung der Rückprojektion im Spannungs-DehnungsDiagramm

trial σn+1 = σn+1 − Δλn+1 E sgn(σ) .

(11.35)

Abhängig vom Ort der Auswertung der Funktion sgn(σ) ergeben sich im allgemeinen Fall verschiedene Verfahren (vergleiche Tabelle 11.3), um den Startwert für den plastischen Korrektor zu berechnen bzw. um den Zielspannungszustand iterativ zu bestimmen. Um einen Startwert für den plastischen Korrektor zu erhalten, kann sgn(σ) entweder im Testspannungszustand (Backward-Euler) oder auf der Fließgrenzfläche (Forward-Euler; beim Übergang vom elastischen zum plastischen Bereich ist dies die Anfangsfließgrenze, vergleiche Abbildung 11.5 b)) ausgewertet werden. Wird bei der iterativen Berechnung des Zielzustandes die Funktion sgn(σ) im Zielzustand ausgewertet, so wird die Normalitätsregel (vergleiche Kapitel 11.1.2) im Endzustand erfüllt. Für diesen vollständig impliziten Backward-EulerAlgorithmus (auch Closest-Point-Projection (CPP) genannt) [1] ergibt sich jedoch im allgemeinen dreidimensionalen Fall, dass Ableitungen höherer Ordnung zu berechnen sind. Beim sogenannten Cutting-Plane-Algorithmus [16] wird die Funktion sgn(σ) im Spannungszustand des i-ten Iterationsschritts berechnet. Die Normalitätsregel wird hier zwar nicht exakt im Endzustand erfüllt, jedoch entfällt die Berechnung höherer Ableitungen. Bei der sogenannten Midpoint-Rule [17] wird die Funktion sgn(σ) im Endzustand und auf der Fließkurve ausgewertet und zu gleichen Teilen gewichtet. Wird die Funktion sgn(σ) nur auf der Fließkurve ausgewertet, so führt dies auf den semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus [18], für den nur Ableitungen erster Ordnung benötigt werden. Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Fließbedingung von der Verfestigungsvariablen, so benötigt man eine weitere Gleichung, welche die Verfestigung beschreibt. Aus der Evolutionsgleichung der Verfestigungsvariablen

302

11 Plastizität

(11.17) ergibt sich folgende inkrementelle Beziehung κn+1 = κn + Δλn+1

(11.36)

zur Bestimmung der Verfestigungsvariablen. Tabelle 11.3 Überblick über Prädiktor-Korrektor-Verfahren Ort der Auswertung von sgn(n)

Gleichung (11.59)

Startwert für Korrektor Trial-Zustand

trial − Δλ trial σn+1 = σn+1 n+1 E sgn(σn+1 )

auf der Fließkurve

trial σn+1 = σn+1 − Δλn+1 E sgn(σn )

während der Iteration trial − Δλ im Zielspannungszustand σn+1 = σn+1 n+1 E sgn(σn+1 ) (vollst.-impl. Backward-Euler Alg.) (Closest-Point-Projection)

auf der Fließkurve (semi-impl. Backward-Euler Alg.) im Endzustand und auf der Fließkurve (Midpoint-Rule) im Spannungszustand des i-ten Iterationsschrittes (Cutting-Plane-Algorithmus)

trial − Δλ σn+1 = σn+1 n+1 E sgn(σn ) 1 trial − Δλ σn+1 = σn+1 n+1 E 2 × (sgn(σn+1 ) + sgn(σn ))

trial − Δλ (i) σn+1 = σn+1 ) n+1 E sgn(σ

Abschließend kann noch angemerkt werden, dass sich drei der in Tabelle 11.3 angeführten Integrationsvorschriften mittels folgender Gleichung trial σn+1 = σn+1 − Δλn+1 E ([1 − η]sgn(σn ) + η sgn(σn+1 ))

(11.37)

zusammenfassen lassen. Der Parameter η nimmt dann die Werte 1, 0 oder an.

1 2

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus

303

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus 11.3.1 Mathematische Ableitung Bei diesem Rückprojektionsverfahren wird der dem Testzustand energetisch (vergleiche Kapitel 11.3.2) am nächsten gelegene Spannungsort auf der Fließgrenzfläche berechnet. Es handelt sich also nicht, wie der Namen vermuten ließe, um eine Berechnung des geometrisch nächsten Punktes. Als Grundlage des Verfahrens dient die Annahme, dass bei vorgegebener Verzerrung die plastische Arbeit ein Maximum annimmt. Zusammen mit der elementaren Forderung, dass der berechnete Spannungszustand auf der Fließkurve (Fließgrenzfläche) liegen muss, kann das CPP-Verfahren im mathematischen Sinn als Lösung einer Extremwertaufgabe (Maximum der Plastifizierungsarbeit) mit Nebenbedingung (der gesuchte Spannungszustand muss auf der Fliegrenzfläche liegen) interpretiert werden [1]. Das Verfahren ist hierbei implizit bei der Berechnung der Funktion sgn(σ), da die Auswertung im Zielzustand n + 1 erfolgt. Daher wird der CPP-Algorithmus auch als vollständig impliziter Backward-Euler-Algorithmus bezeichnet. Im Zielzustand sind somit die Gleichungen trial − Δλn+1 E sgn(σn+1 ) , σn+1 = σn+1

(11.38)

κn+1 = κn + Δλn+1 , F = F (σn+1 , κn+1 ) = 0

(11.39) (11.40)

erfüllt. Außerhalb des Zielzustandes bleibt bei jeder dieser Gleichungen jedoch ein Residuum15 r bestehen: trial rσ (σ, κ, Δλ) = σ − σn+1 + ΔλE sgn(σ) = 0 oder trial + Δλ sgn(σ) = 0 , = E −1 σ − E −1 σn+1

rκ (κ, Δλ) = κ − κn − Δλ = 0 oder = −κ + κn + Δλ = 0 , rF (σ, κ) = F (σ, κ) = |σ| − k(κ) = 0 .

(11.41) (11.42) (11.43)

Der gesuchte Spannungs-/Verfestigungszustand stellt somit die Nullstelle einer vektoriellen Funktion m dar, die komponentenweise aus den Residuenfunktionen besteht. Im Weiteren erweist es sich als sinnvoll, auch die Argumente zu einem einzigen vektoriellen Argument v zusammenzufassen: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ σ rσ (v) (11.44) m(v) ∈ (IR3 → IR3 ) = ⎣ rκ (v) ⎦ , v = ⎣ κ ⎦ . Δλ rF (v) 15

von lateinisch ’residuus’ für rückständig oder übriggeblieben.

304

11 Plastizität

Für die Bestimmung der Nullstelle wird das Newtonsche-Verfahren (Iterationsindex: i) herangezogen:16  v

(i+1)

=v

(i)

−

−1 dm (i) (v ) m(v (i) ) , dv

⎤ ⎡ trial ⎤ σ (0) σn+1 = ⎣ κ(0) ⎦ = ⎣ κn ⎦ 0 Δλ(0)

(11.45)

⎡

wobei als Startwert v (0)

(11.46)

zu verwenden ist. Die Jakobische-Matrix ∂m ∂v der Residuenfunktion ergibt sich aus den partiellen Ableitungen der Gleichungen (11.41) bis (11.43) zu: ⎡

∂rσ ⎢ ∂σ ⎢ ⎢ ∂rκ ∂m (σ, κ, Δλ) = ⎢ ⎢ ∂σ ∂v ⎢ ⎣ ∂r F ∂σ

∂rσ ∂κ ∂rκ ∂κ ∂rF ∂κ

⎤ ⎡ −1 ⎤ ∂rσ E 0 sgn(σ) ⎥ ∂Δλ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂rκ ⎥ −1 1 ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥. ⎢ ⎥ ∂Δλ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ∂k(κ) ⎦ 0 ∂rF sgn(σ) − ∂κ ∂Δλ

(11.47)

Neben der Erfüllung der durch die Plastizität gegebenen Gleichungen (11.76) bis (11.78) in jedem Integrationspunkt ist auch noch das globale Gleichgewicht zu erfüllen. Um auch hier das Newtonsche-Verfahren anwenden zu können, ist es selbst bei kleinen Verzerrungen im allgemeinen dreidimensionalen Fall notwendig, die zum Integrationsalgorithmus konsistente elasto-plastische Stoffmatrix17 zu bestimmen [11]. Der konsistente elastoplastische Stoffmodul folgt im eindimensionalen Fall aus: elpl = En+1

∂σn+1 ∂Δσn = . ∂εn+1 ∂εn+1

(11.48)

Mit der Inversion der Jakobischen-Matrix ∂m ∂v , die im konvergierten Zustand der oben ausgeführten Newtonsche-Iteration auszuwerten ist,

16

Für eine eindimensionale Funktion f (x) wird das Newtonsche-Verfahren üblicherweise

wie folgt angesetzt: x(i+1) = x(i) − 17



df (x(i) ) dx

Auch algorithmische Stoffmatrix bezeichnet.

−1

× f (x(i) ).

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus



∂m ∂v

 n+1

−1

⎤ ⎡ ˜ 12 m ˜ 13 m ˜ 11 m ˜ 21 m ˜ 22 m ˜ 23 ⎦ = ⎣m m ˜ 31 m ˜ 32 m ˜ 33 n+1 ⎡ ⎤ ∂k ∂k −sgn(σ) sgn(σ) ⎥ ∂κ E ⎢ ⎢ ∂κ ⎥ −1 −E −1 ⎥ = ⎢sgn(σ) ⎦ ∂k ⎣ ∂k E+ −1 −1 ∂κ sgn(σ) E ∂κ −E n+1

305

(11.49)

(11.50)

kann der konsistente elasto-plastische Stoffmodul aus elpl En+1 =m ˜ 11

(11.51)

bestimmt werden. Man betrachte hierzu Gleichung (11.22) und berücksichti∂k ge, dass sich unter Annahme von Gleichung (11.7) die Beziehung ∂F ∂κ = − ∂κ ergibt. Wie aus Gleichung (11.50) zu erkennen ist, hängt der konsistente elasto-plastische Stoffmodul im eindimensionalen Fall nicht vom gewählten Integrationsalgorithmus ab und ist gleich der Kontinuumsform (Gleichung (11.22)). Es ist jedoch hierbei zu beachten, dass diese Identität bei höherer Dimensionalität nicht mehr bestehen muss. ∂k = E pl = const., Für den Spezialfall der linearen Verfestigung, das heißt ∂κ muss Gleichung (11.45) nicht iterativ gelöst werden und der gesuchte Lösungsvektor v n+1 ergibt sich direkt mit Hilfe des Startwertes (11.46) zu:  v n+1 = v

(0)

−

−1 dm (0) (v ) m(v (0) ) , dv

oder mit Komponenten als: ⎤ ⎡ trial ⎤ ⎡ σn+1 σn+1 E ⎣ κn+1 ⎦ = ⎣ κn ⎦ − × E +E pl Δλn+1 0 ⎤⎡ ⎤ ⎡ trial trial −sgn(σn+1 )E pl sgn(σn+1 ) 0 E pl trial ) −1 −E −1 ⎦ ⎣ 0 ⎦ . × ⎣sgn(σn+1 trial trial −1 pl Fn+1 sgn(σn+1 ) E E −E −1

(11.52)

(11.53)

Die dritte Gleichung von (11.53) liefert den Konsistenzparameter im Falle der linearen Verfestigung zu: Δλn+1 =

trial Fn+1 . E + E pl

(11.54)

Einsetzen des Konsistenzparameters in die erste Gleichung von (11.53) liefert die Spannung im Zielspannungszustand zu:

306

11 Plastizität



 σn+1 =

trial Fn+1 E trial × trial σn+1 . pl E+E |σn+1 |

1−

(11.55)

Aus der zweiten Gleichung von (11.53) folgt mit den beiden letzten Ergebnissen die isotrope Verfestigungsvariable im Zielspannungszustand zu: κn+1 = κn +

trial Fn+1 = κn + Δλn+1 . E + E pl

(11.56)

Schließlich ergibt sich noch mittels der Fließregel die plastische Verzerrung zu pl (11.57) εpl n+1 = εn + Δλn+1 sgn(σn+1 ) , und der konsistente elasto-plastische Stoffmodul kann nach Gleichung (11.23) bestimmt werden. Abschließend werden die Berechnungsschritte des CPP-Algorithmus in kompakter Form zusammengestellt: I. Berechnung des Testzustandes trial = σn + EΔεn σn+1

κtrial n+1 = κn II. Überprüfung auf Gültigkeit des Spannungszustandes Z J

trial F (σn+1 , κtrial n+1 ) ≤ 0

Z

Z Z

  N





Rückprojektion erforderlich (⇒ Schritt III)

trial σn+1 = σn+1 trial κn+1 = κn+1 Ende CPP

III. Rückprojektion Anfangswerte: ⎤ ⎡ trial ⎤ σ (0) σn+1 = ⎣ κ(0) ⎦ = ⎣ κn ⎦ 0 Δλ(0) ⎡

v (0)

Nullstellenbestimmung mit dem Newtonschen-Verfahren:

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus

 v

(i+1)

=v

(i)

−

307

−1 dm (i) (v ) m(v (i) ) dv

Solange v (i+1) − v (i)  < tvend Im Abbruchkriterium wurde die Vektornorm (oder Länge) eines Vektors n 0.5 

x2i erverwendet, die sich für einen beliebigen Vektor x zu x = i=1

gibt. IV. Aktualisierung der Größen

σn+1 = σ (i+1) κn+1 = κ(n+1) elpl En+1 =m ˜ 11

Als Abbruchgenauigkeit tvend beim Newtonschen-Verfahren bietet sich die im FE-System intern verwendete Rechengenauigkeit an. Aus Abbildung 11.7 ist zu entnehmen, dass sich das gesamte Verzerrungsinkrement in Abhängigkeit vom Testspannungszustand als trial − σn ) Δεn = εn+1 − εn = E −1 (σn+1

(11.58)

darstellen lässt. Setzt man die letzte Gleichung und die Fließregel18 nach (11.14) in Gleichung (11.33) ein, so ergibt sich der Zielspannungszustand trial zu: σn+1 in Abhängigkeit vom Testspannungszustand σn+1 trial trial − Δλn+1 E sgn(σn+1 ). σn+1 = σn+1

(11.59)

Der allgemeine Ablauf einer elasto-plastischen Finiten-Elemente-Berechnung ist in Abbildung 11.8 dargestellt. Man erkennt, dass die Lösung eines elasto-plastischen Problems auf zwei Ebenen erfolgt. Auf der globalen Ebene, das heißt für das globale Gleichungssystem unter Berücksichtigung der Randbedingungen, kommt das Newton-Raphsonsche Iterationsverfahren zum Einsatz, um den inkrementellen globalen Verschiebungsvektor Δun zu bestimmen. Durch Summation der Verschiebungsinkremente ergibt sich der totale globale Verschie18

An dieser Stelle soll von dλ nach Δλ übergegangen werden.

308

11 Plastizität

Abb. 11.8 Allgemeiner Ablauf einer elasto-plastischen Finiten-Elemente-Berechnung

bungsvektor un+1 der unbekannten Knotenverschiebungen einer Struktur bestehend aus finiten Elementen. Mittels der Verzerrungs-VerschiebungsBeziehung kann aus den Knotenverschiebungen die Verzerrung εn+1 beziehungsweise das Verzerrungsinkrement Δεn pro Element ermittelt19 werden. Das Verzerrungsinkrement eines Elementes wird auf der Ebene der Integrationspunkte nun dazu benutzt, mittels eines Prädiktor-Korrektor-Verfahrens die restlichen Zustandsvariablen iterativ zu bestimmen.

19

Für die hier exemplarisch betrachteten linearen Stabelemente ergibt sich pro Element ein konstanter Verzerrungsverlauf. Im Allgemeinen ergibt sich die Verzerrung als Funktion der Elementkoordinaten, die in der Regel an den Integrationspunkten ausgewertet wird. Daher würde man im allgemeinen Fall pro Element einen Verzerrungsvektor ε bestimmen, der die unterschiedlichen Verzerrungswerte an den Integrationspunkten zusammenfasst. Für ein lineares Stabelement ist dies jedoch nicht notwendig, und ein skalarer Verzerrungsbeziehungsweise Spannungswert genügt zur Beschreibung.

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus

309

11.3.2 Interpretation als konvexes Optimierungsproblem Der vollständig implizite Backward-Euler-Algorithmus kann auch als Lösung eines konvexen Optimierungsproblems aufgefasst werden. Als Zielfunktion ist hierbei die komplementäre Energie unter der Nebenbedingung, dass die Fließbedingung erfüllt wird, zu minimieren. Im Folgenden wird die Ableitung des Optimierungsproblems am Beispiel der isotropen Dehnungsverfestigung dargestellt. Die komplementäre Energie20 zwischen dem Testspannungszustand und einem beliebigen Zustand (σ, |εpl |) bei einem Inkrement der Rückprojektion kann in ihren elastischen und plastischen Anteil nach π ¯ (σ, |εpl |) = π ¯ el (σ, |εpl |) + π ¯ pl (σ, |εpl |)

(11.60)

aufgespalten werden. Im Fall der hier betrachteten linearen Elastizität sind die komplementäre Energie π ¯ el und die potentielle Energie π el gleich. Durch die Annahme der linearen isotropen Verfestigung gilt entsprechend, dass π ¯ pl = π pl ist (vergleiche Abbildung 11.9). Somit ergibt sich für die komplementäre Energie el π ¯=π ¯ pl

+π

 trial  pl = σn+1 − σ dεel + |ε | − |εpl n | dσ .

(11.61)

Die Annahme der Linearität im elastischen und plastischen Bereich, das heißt dσ = Edεel und dσ = E pl dεpl , kann in Gleichung (11.61) verwendet werden, so dass sich schließlich für die komplementäre Energie 1 trial 1 trial 1 pl −σ) (σn+1 −σ)+ (|εpl |−|εpl |)E pl (|εpl π ¯ (σ, |εpl |) = (σn+1 n |−|ε |) (11.62) 2 E 2 n ergibt. Die Anteile von π ¯ ergeben sich in Abbildung 11.9 als Dreiecksflächen, die auch direkt zur Bestimmung der komplementären Energie herangezogen werden können. Für den Fall, dass die Fließkurve k einen beliebigen Verlauf aufweist, können die plastischen Energieanteile für einen beliebigen Zustand (σ, |εpl |) mittels

π

pl

π ¯

pl

=



k(|εpl |) − σn d|εpl | ,

(11.63)



σ − k(|εpl |) d|εpl |

(11.64)

|εpl n|

=

|εpl |

|εpl |

|εpl n|

berechnet werden. 20

Hierbei wird die Energie pro Einheitsvolumen betrachtet.

310

11 Plastizität

Abb. 11.9 Darstellung der elastischen potentiellen und plastischen dissipativen Energien und der entsprechenden komplementären Energien zwischen zwei Zuständen der Rückprojektion im Falle der linearen Verfestigung

Die Nebenbedingung des Optimierungsproblems ist durch die Fließbedingung gegeben und besagt, dass der Zielspannungszustand innerhalb oder auf der Grenze des elastischen Bereiches liegen muss. Aus Gleichung (11.9) ergibt sich in einem εpl -σ- Koordinatensystem als Grenzgerade: 1  |σ| − k init und εpl ≥ 0 . (11.65) pl E Allgemein kann die Nebenbedingung, d.h. der elastische Bereich, auch als 3 4 (11.66) IEσ := (σ, |εpl |) ∈ IR × IR+ |F (σ, |εpl |) ≤ 0 εpl ≥

angegeben werden, und das konvexe Optimierungsproblem lässt sich wie folgt formulieren: Bestimme (σn+1 , |εpl |) ∈ IE , so dass 3n+1 pl σ4 |) = min π ¯ (σ, |ε |) (σ,|εpl |)∈IE . π ¯ (σn+1 , |εpl n+1 σ

pl

Da E > 0 und - bei Annahme - E > 0 ergibt sich, dass π ¯ eine konvexe Funktion ist. Die Nebenbedingung, d.h. F ≤ 0, stellt auch eine konvexe Funktion dar21 , und die Anwendung der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode führt auf 21 Die Konvexität einer Fließbedingung wird aus dem Druckerschen Stabilitätspostulat abgeleitet [19, 20].

11.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus

L(σ, |εpl |, dλ) := π ¯ (σ, |εpl |) + dλF (σ, |εpl |) .

311

(11.67)

Die Gradienten der Lagrangeschen-Funktion L ergeben sich zu: ∂ L(σn+1 , |εpl n+1 |, dλ) = 0 , ∂σ ∂ L(σn+1 , |εpl n+1 |, dλ) = 0 . ∂|εpl |

(11.68) (11.69)

Aus Gleichungen (11.68) und (11.69) ergibt sich   ∂L 1 trial = (σn+1 − σ) − + dλ sgn(σ) = 0 , ∂σ E ∂L pl pl pl = (|εpl n | − |ε |)(−E ) + dλ(−E ) = 0 . ∂|εpl |

(11.70) (11.71)

Die beiden letzten Gleichungen entsprechen den Vorschriften (11.56) und (11.59) des vorhergehenden Abschnitts. Eine graphische Interpretation des impliziten Backward-Euler-Algorithmus im Sinne eines konvexen Optimierungsproblems ist in Abbildung 11.10 gegeben. Ergibt sich ein ungültiger Testzustand (F > 0), liegt das Ellipsoid der komplementären Energie außerhalb des zulässigen Bereiches der elastischen Energie. Es ist hierbei anzumerken, dass das absolute Minimum (ohne Nebenbedingung) der komplementätrial ¯ (σn+1 , |εpl ren Energie in der σ-|εpl |-Ebene liegt und sich somit zu π n |) = 0 ergibt. Das Minimum der komplementären Energie unter Berücksichtigung der Nebenbedingung, das heißt F ≤ 0, muss somit auf der Schnittkurve zwischen dem Ellipsoid der komplementären Energie und der Ebene entlang der Fließkurve22 (vergleiche Gleichung (11.65)) lokalisiert sein. Berücksichtigt man Gleichung (11.65) in der komplementären Energie nach (11.62), ergibt sich

π ¯ (σ, |εpl |) =

1 trial 1 1 (σ − σ)2 + E pl (|εpl (σ − k init ))2 , n|− 2E n+1 2 E pl

(11.72)

d.h. ein Polynom zweiter Ordnung in der Variablen σ. Das Minimum dieser Funktion - und somit der Zustand n + 1 - ergibt sich mittels partieller Ableitung für σ > 0 (das heißt für einen Zugversuch) zu:   trial ∂π ¯ σn+1 − σn+1 σn+1 − k init pl =− − |εn | − (11.73) ∂σ E E pl 22

Diese Ebene muss senkrecht auf der σ -|εpl |-Ebene stehen. Für einen Zugversuch muss die Ebene durch die Grenzkurve im Bereich σ > 0 gehen. Für einen Druckversuch ist die entsprechende Gerade im Bereich σ < 0 zu wählen.

312

11 Plastizität

Abb. 11.10 Interpretation des vollständigen impliziten Backward-Euler-Algorithmus als konvexes Optimierungsproblem

oder σn+1

EE pl = E + E pl   



 trial k init σn+1 pl + |εn | . + E pl E

(11.74)

E elpl

Mittels Gleichung (11.65) ergibt sich die plastische Verzerrung im Endspannungszustand zu:   trial k init k init EE pl σn+1 |εpl n| pl εn+1 = − + + . (11.75) E + E pl EE pl EE pl E pl E pl    E elpl

Eine graphische Darstellung der Schnittkurve ist in Abbildung 11.11 gegeben. Man beachte hierbei, dass |εpl n | dem Testspannungszustand entspricht.

11.4 Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus Um die höheren Ableitungen in der Jakobischen-Matrix ∂m ∂v der Residuenfunktion im allgemeinen dreidimensionalen Fall zu umgehen, kann der sogenannte semi-implizite Backward- Euler-Algorithmus verwendet werden.

11.4 Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus

313

Abb. 11.11 Darstellung der komplementären Energie in einer Schnittebene entlang der Fließkurve

Dieses Verfahren ist implizit im Konsistenzparameter (Zustand n+1), jedoch explizit in der Funktion sgn(σ), da die Berechnung im Ausgangszustand n erfolgt. Daher wird die Normalitätsregel im Zielzustand n+1 nicht exakt erfüllt. Um ein Abdriften von der Fließkurve zu vermeiden, wird die Fließbedingung im Zielzustand n + 1 exakt erfüllt. Somit ergibt sich das Integrationsschema zu: trial − Δλn+1 E sgn(σn ) , σn+1 = σn+1

(11.76)

κn+1 = κn + Δλn+1 , F = F (σn+1 , κn+1 ) = 0 .

(11.77) (11.78)

Außerhalb des Zielzustandes bleibt auch hier bei jeder dieser Gleichungen ein Residuum r bestehen: trial rσ (σ, κ, Δλ) = E −1 σ − E −1 σn+1 + Δλ sgn(σn ) = 0 ,

rκ (κ, Δλ) = −κ + κn + Δλ = 0 , rF (σ, κ) = F (σ, κ) = |σ| − k(κ) = 0 .

(11.79)

Die partiellen Ableitungen der Residuenfunktionen führen schließlich zu folgender Jakobischen-Matrix: ⎡ −1 ⎤ E 0 sgn(σn ) ⎢ ⎥ ⎢ 0 ∂m −1 1 ⎥ ⎢ ⎥. (11.80) (σ, κ, Δλ) = ⎢ ⎥ ∂v ⎣ ⎦ ∂k(κ) 0 sgn(σ) − ∂κ Vergleicht man die Jakobische-Matrix nach Gleichung (11.80) und (11.47), erkennt man, dass für den hier betrachteten eindimensionalen Fall die Integrationsvorschriften für den vollständig impliziten und semi-impliziten Algorithmus identisch sind, solange die Spannungszustände σ und σn im gleichen Quadranten liegen, das heißt, das gleiche Vorzeichen aufweisen. Ähnliche

314

11 Plastizität

Schlussfolgerungen kann man für die in Tabelle 11.3 zusammengefassten Integrationsvorschriften ziehen. Abschließend soll hier noch angemerkt werden, dass das Konzept des plastischen Materialverhaltens, das ursprünglich für die bleibende Verformung von Metallen entwickelt wurde, auch auf andere Werkstoffklassen angewendet wird. Typischerweise wird hierbei das makroskopische Spannungs-DehnungsDiagramm betrachtet, das einen ähnlichen Verlauf wie bei klassischen Metallen aufweisen muss. Als Beispiele können hierbei folgende Werkstoffe und Disziplinen angeführt werden: • • • •

Kunststoffe [21], faserverstärkte Kunststoffe [22], Bodenmechanik [23, 24], Beton [25].

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben 11.5.1 Beispielprobleme 11.1. Beispiel: Rückprojektion bei linearer Verfestigung – Kontinuumsstab Abbildung 11.12 a) zeigt ein idealisiertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm wie es zum Beispiel aus einem einachsigen Zugversuch experimentell ermittelt werden kann. Mit Hilfe dieses Werkstoffverhaltens soll die Verformung eines Zugstabes (vergleiche Abbildung 11.12 b)) simuliert werden. Das rechte Ende soll dabei um insgesamt u = 8 × 10−3 m verschoben werden, wobei die Verformung in 10 gleichen Inkrementen aufgebracht werden soll. Der Stab ist hierbei als Kontinuum zu betrachten und soll nicht mit finiten Elementen diskretisiert werden. (a) Man berechne mit Hilfe des CPP-Algorithmus den Spannungszustand in jedem Inkrement und gebe neben dem Testspannungszustand auch alle zu aktualisierenden Größen an. (b) Man stelle den Spannungsverlauf graphisch dar. 11.1 Lösung a) Für die Rückprojektion werden verschiedene Materialkennwerte des elastischen und plastischen Bereiches benötigt. Der Elastizitätsmodul E ergibt sich als Quotient aus dem Spannungs- und Dehnungsinkrement im elastischen Bereich zu: Δσ 350 MPa = = 70000 MPa . (11.81) E= Δε 0, 005

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

315

Abb. 11.12 Beispielproblem Rückprojektion bei linearer Verfestigung: a) SpannungsDehnungs-Verlauf; b) Geometrie und Randbedingungen

Der plastische Modul E pl ergibt sich als Quotient aus dem Fließspannungsund dem plastischen Dehnungsinkrement zu: E pl =

Δk 636, 3636 MPa − 350 MPa = Δεpl (0, 05 − 636.3636 MPa/E) − (0, 005 − 350 MPa/E) = 7000 MPa . (11.82)

Somit kann der elasto-plastische Stoffmodul mittels Gleichung (11.23) zu E elpl =

E × E pl 70000 MPa × 7000 MPa = 6363, 636 MPa = pl E+E 70000 MPa + 7000 MPa

(11.83)

berechnet werden. Abschließend ergibt sich die Gleichung der Fließkurve mittels der Anfangsfließgrenze zu: k(κ) = 350 MPa + 7000 MPa × κ .

(11.84)

Eine graphische Darstellung der Fließkurve ist in Abbildung 11.13 gegeben. Für den Integrationsalgorithmus wird noch das Dehnungsinkrement benötigt. Bei einer Gesamtverschiebung von 8×10−3 m und 10 äquidistanten Schritten kann das Dehnungsinkrement mittels Δε =

0, 008 m 1 × = 0, 002 10 0, 4 m

(11.85)

ermittelt werden. Für die beiden ersten Inkremente ergeben sich Testspannungszustände im elastischen Bereich (F < 0), und die resultierende Spannung kann mittels Gleichung (11.25) über das Hookesche Gesetz berechnet werden. Ab dem dritten Inkrement ergibt sich zum ersten Mal ein ungültiger Testspannungszustand (F > 0), und die Spannung muss mittels Gleichung (11.53) berechnet

316

11 Plastizität

Abb. 11.13 Fließkurve für Kontinuumsstab

werden, wobei sich der konstante Matrixausdruck zu ⎤ ⎡ 7000 −7000 1 ⎣ 1 −1 −(70000)−1 ⎦ 1 0, 1 −(70000)−1

(11.86)

ergibt. In Tabelle 11.4 sind die numerischen Ergebnisse für die 10 Inkremente zusammengefasst. Tabelle 11.4 Numerische Werte der Rückprojektion für Kontinuumsstab bei linearer Verfestigung (10 Inkremente, Δε = 0.002) inc –

ε

σ trial

σ

MPa

MPa

κ 10−3

dλ 10−3

E elpl

–

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

140,0 280,0 420,0 496,364 509,091 521,818 534,545 547,273 560,000 572,727

140,0 280,0 356,364 369,091 381,818 394,545 407,273 420,000 432,727 445,455

0,0 0,0 0,909091 2,727273 4,545455 6,363636 8,181818 10,000000 11,818182 13,636364

0,0 0,0 0,909091 1,818182 1,818182 1,818182 1,818182 1,818182 1,818182 1,818182

0,0 0,0 6363,636 6363,636 6363,636 6363,636 6363,636 6363,636 6363,636 6363,636

MPa

b) Eine graphische Darstellung des Spannungsverlaufes ist in Abbildung 11.14 gegeben. Aufgrund der linearen Verfestigung erfolgt die Rückprojektion für jedes Inkrement in einem einzigen Schritt. Abschließend soll hier noch angemerkt werden, dass für diesen Sonderfall der linearen Verfestigung beim einachsigen Spannungszustand die Spannung im plastischen Bereich (inc ≥ 3) direkt mittels (vergleiche Abbildung 11.13 a))

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

317

Abb. 11.14 Spannungsverlauf bei der Rückprojektion für Kontinuumsstab mit linearer Verfestigung (10 Inkremente, Δε = 0.002)

σ(ε) = ktinit + E elpl · (ε − εinit t ) = Eεinit + E elpl ε − E elpl εinit t t elpl σ(ε) = (E − E elpl ) · εinit + E ·ε t

(11.87)

berechnet werden kann. Die Intention dieses Beispiels ist jedoch, das Konzept der Rückprojektion zu veranschaulichen und nicht die Spannung nach der einfachsten Methode zu bestimmen. 11.2. Beispiel: Rückprojektion bei linearer Verfestigung – Diskretisierung mittels einem finiten Element, Verschiebungs- und Kraftrandbedingung Der Kontinuumsstab aus Beispiel 11.1 soll im Rahmen dieses Beispiels mittels eines einzigen finiten Elementes diskretisiert werden. Das Materialverhalten ist wie in Abbildung 11.12 a) dargestellt zu verwenden. Die Belastung am rechten Ende des Stabes soll in 10 gleichen Inkrementen aufgebracht werden, wobei a) u = 8 × 10−3 m, b) F = 1 × 10−7 N

318

11 Plastizität

zu verwenden ist. Man berechne mit Hilfe des CPP-Algorithmus den Spannungszustand in jedem Inkrement und gebe neben dem Testspannungszustand auch alle zu aktualisierenden Größen an. Als Konvergenzkriterium ist eine absolute Verschiebungdifferenz von 1 × 10−5 mm anzusetzen.

Abb. 11.15 Beispielproblem Rückprojektion bei linearer Verfestigung: a) Verschiebungsrandbedingung; b) Kraftrandbedingung

11.2 Lösung Bei Verwendung eines einzelnen Elementes ergibt sich das globale Gleichungssystem ohne Berücksichtigung der Randbedingungen zu: ˜  1 −1 Δu  ΔF  AE 1 1 = . Δu2 ΔF2 L −1 1

(11.88)

Da es sich im Allgemeinen um ein nichtlineares Gleichungssystem handelt, ˜ ist im elastischen Bewurde eine inkrementelle Form angesetzt. Der Modul E reich gleich dem Elastizitätsmodul E und im plastischen Bereich gleich dem elasto-plastischen Stoffmodul E elpl . Da am linken Knoten eine feste Einspannung vorliegt (Δu1 = 0), kann Gleichung (11.88) zu ˜ AE × Δu2 = ΔF2 L

(11.89)

vereinfacht werden. Fall a) Verschiebungsrandbedingung u = 8 × 10−3 m am rechten Knoten: Im Falle der Verschiebungsrandbedingung muss Gleichung (11.89) nicht gelöst werden, da für jedes Inkrement Δu2 = 8 × 10−3 /10 = 8 × 10−4 m bekannt ist. Mittels der Gleichung für die Verzerrung im Element, das heißt ε = L1 (u2 − u1 ), ergibt sich für den Fall der festen Einspannung am linken Knoten das Verzerrungsinkrement zu: Δε =

8 × 10−4 m 1 × Δu2 = = 0.002 . L 0, 4 m

(11.90)

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

319

Die gesamte Verschiebung beziehungsweise Verzerrung kann durch Summation der inkrementellen Spannungs- beziehungsweise Verzerrungswerte berechnet werden, vergleiche Tabelle 11.5. Anzumerken sei hier, dass für diesen Fall der Verschiebungsrandbedingung bei einem Element die Berechnung der Verschiebung bzw. der Verzerrung für alle Inkremente ohne eine Spannungsberechnung erfolgen kann. Tabelle 11.5 Numerische Werte der Verschiebung und Dehnung für Verschiebungsrandbedingung (10 Inkremente, Δε = 0, 002) inc Δu2 Δε u2 – 10−4 m – 10−4 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0

0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

8,0 16,0 24,0 32,0 40,0 48,0 56,0 64,0 72,0 80,0

ε – 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

Um die Spannung und plastische Verzerrung in jedem Inkrement zu berechnen, muss mittels des Verzerrungsinkrementes Δε aus Tabelle 11.5 für jedes Inkrement die Berechnung mittels des CPP-Algorithmus durchgeführt werden. Genau dies wurde in Beispiel 11.1 berechnet und die numerischen Ergebnisse können Tabelle 11.4 entnommen werden. Fall b) Kraftrandbedingung F = 1 × 10−7 N am rechten Knoten: Im Falle der Kraftrandbedingung soll Gleichung (11.89) mittels des Newton-Raphsonschen Verfahrens gelöst werden. Dazu wird diese Gleichung in Form eines Residuums r als

r=

˜ AE ˜ 2 ) × A × Δu2 − ΔF2 = 0 × Δu2 − ΔF2 = E(u L L

(11.91)

geschrieben. Entwickelt man die letzte Gleichung in eine Taylorsche Reihe und vernachlässigt die Terme höherer Ordnung, ergibt sich folgende Form  (i+1) r(Δu2 )

wobei

=

(i) r(Δu2 )

+

∂r ∂Δu2

(i) × δ(Δu2 ) + · · · ,

(11.92)

320

11 Plastizität

(i+1)

δ(Δu2 ) = Δu2

(i)

− Δu2

(11.93)

(i)

(11.94)

gilt und 

∂r ∂Δu2

(i) = KT

die Tangentensteifigkeitsmatrix23 im (i)ten Iterationsschritt darstellt. Somit kann Gleichung (11.92) auch als (i)

(i)

δ(Δu2 )KT = −r(Δu2 ) = ΔF (i) −

˜ EA (i) Δu2 L

(11.95)

geschrieben werden. Multiplikation mittels (KT )−1 und Verwendung von Gleichung (11.93) führt schließlich auf (i)

L , (11.96) ˜ EA ˜ = E und im plastischen wobei im elastischen Bereich (Inkrement 1-3) E elpl ˜ gilt. Bereich (Inkrement 4-10) E = E Anwendung von Gleichung (11.96) ergibt im elastischen Bereich (Inkrement 1-3) einen Wert von Δu2 = 0.571429 mm und im plastischen Bereich (Inkrement 4-10) ein Verschiebungsinkrement von Δu2 = 6.285715 mm. Anzumerken sei hier noch, dass die Berechnung der Verschiebungsinkremente (Inkrement 1-3 und 4-10) keine Iteration benötigt und Anwendung von Gleichung (11.96) direkt das gewünschte Ergebnis liefert. Sobald die Verschiebungsinkremente (Δu2 ) berechnet sind, ergibt sich die gesamte Verschiebung am Knoten 2 durch Summation der inkrementellen Werte. Anschließend kann mittels der Beziehung ε = L1 (u2 − u1 ) die Verzerrung im Element berechnet werden, und die Verzerrungsinkremente ergeben sich durch Subtraktion zweier aufeinanderfolgender Verzerrungswerte (vergleiche Tabelle 11.7). Die Berechnung der Spannung und plastischen Verzerrung erfordert nun, dass in jedem Inkrement der CPP-Algorithmus basierend auf dem Verzerrungsinkrement auf Δε angewendet wird. Die graphische Darstellung der Rückprojektion ist in Abbildung 11.16 gegeben. Man erkennt hier deutlich, dass bei einer Kraftrandbedingung die Verzerrungsinkremente im elastischen und plastischen Bereich deutlich unterschiedlich sind. Als Konsequenz ergeben sich sehr große Werte für die Testspannungszustände im plastischen trial = σn+1 +1000 MPa ist. Bereich. So gilt für die Inkremente 5 bis 10, dass σn+1 (i+1)

Δu2

23

= ΔF (i) ×

˜ im elastischen Bereich (InkreIm betrachteten Beispiel mit linearer Verfestigung ist E ment 1 bis 3) und im plastischen Bereich (Inkrement 4 bis 10) konstant und somit keine ˜ differenziert werden. Funktion von u2 . Im allgemeinen Fall muss jedoch auch E

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

321

Tabelle 11.6 Numerische Werte für ein Element bei linearer Verfestigung (10 Inkremente; ΔF = 1 × 10−8 N) inc ex. Kraft Δu2 – 10−8 N mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

0,5714 0,5714 0,5714 4,4286 6,2857 6,2857 6,2857 6,2857 6,2857 6,2857

mm

u2

ε 10−2

0,5714 1,1427 1,7143 5,1429 11,4286 17,7143 24,0000 30,2857 36,5714 42,8571

0,1429 0,2857 0,4286 1,2857 2,8571 4,4286 6,0000 7,5714 9,1429 10,7143

Δε σ εpl 10−2 MPa 10−2 0,1429 0,1429 0,1429 0,8571 1,5714 1,5714 1,5714 1,5714 1,5714 1,5714

100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0 700,0 800,0 900,0 1000,0

0,0 0,0 0,0 0,7143 2,1429 3,5714 5,0000 6,4286 7,8571 9,2857

Abb. 11.16 Spannungsverlauf bei der Rückprojektion für Kontinuumsstab mit linearer Verfestigung (10 Inkremente, ΔF = 1 × 10−8 ).

Besondere Betrachtung erfordert der Übergang vom elastischen zum plas˜ nicht eintischen Bereich, d.h. von Inkrement 3 nach 4. Hier ist der Modul E deutig definiert und Gleichung (11.96) muss iterativ gelöst werden. Für den ersten Durchgang der Berechnung (cycle j = 0) kann der arithmetische Mittelwert zwischen dem Elastizitätsmodul E und dem elasto-plastischen Stoffmodul E elpl angesetzt werden. Für die weiteren Durchgänge (cycle j ≥ 1) ˜ mittels eines mittleren Moduls (Sekantenmodul, vergleiche Abbilkann E dung 11.17) approximiert werden. Somit ergibt sich als Berechnungsvorschrift

322

11 Plastizität

˜ im elastisch-plastischen Übergangsbereich (im hier für den mittleren Modul E betrachteten Beispiel beim Übergang von Inkrement 3 nach 4) die folgende Beziehung: ⎧ E + E elpl ⎪ ⎪ ⎪ für j = 0 ⎨ 2 ˜ E = σ (j) − σ . (11.97) n ⎪ n+1 ⎪ für j > 0 ⎪ ⎩ (j) εn+1 − εn

Abb. 11.17 Bestimmung ˜ des mittleren Moduls E beim Übergang vom elastischen zum plastischen Bereich

˜ beim Übergang von InkreDie numerischen Werte des mittleren Moduls E ment 3 nach 4 und die sich daraus ergebenden Unterschiede der Verschiebungen am Knoten 2 sind in Tabelle 11.7 zusammengefasst. Da als Konvergenzkriterium eine absolute Verschiebungsdifferenz von 1 × 10−5 mm gefordert wurde, sind 18 Durchgänge notwendig, um die Differenz zwischen der neuen und alten Verschiegung am Knoten 2 unter diesen Wert zu iterieren. Zu beachten ist hierbei, dass sich die Differenz zwischen den Verschiebungen am (j=0) − ualt − u2 |inc 3 Knoten 2 beim ersten Durchlauf (cycle 0) zu uneu 2 2 = u2 (j+1) (j) und für die folgenden Durchläufe der Iteration mittels u2 − u2 ergeben. Das Konvergenzverhalten der Iterationsvorschrift ist in Abbildung 11.18 graphisch dargestellt. In Abbildung a) wurde eine äquidistante Einteilung und in Abbildung b) eine logarithmische Einteilung (zur Basis 10) gewählt. Man erkennt, dass sich am Anfang der Iteration eine recht große Iterationsrate ergibt, die im Verlauf der Durchläufe abflacht. Beim hier gewählten Konvergenzkriterium von 10−5 sind daher diese 18 Iterationsschritte nötig, um die geforderte absolute Verschiebungsdifferenz schließlich zu erreichen. Würde man als Konvergenzkriterium einen absoluten Unterschied von 10−6 fordern, wären 21 Iterationsschritte notwendig. 11.3. Beispiel: Rückprojektion für Bimaterial Stab Zwei verschiedene Materialverhalten (vergleiche Abbildung 11.19 a) sollen

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

323

Tabelle 11.7 Numerische Werte für den Übergang von Inkrement 3 nach 4 cycle – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

˜ (i) E

uneu − ualt 2 2

MPa

mm

38181,84 23719,00 17145,00 14157,16 12798,56 12181,16 11900,52 11772,96 11715,00 11688,64 11676,64 11671,20 11668,72 11667,60 11667,08 11666,88 11666,76 11666,72 11666,68

1,048×10−0 6,388×10−1 6,466×10−1 4,925×10−1 2,999×10−1 1,584×10−1 7,744×10−2 3,642×10−2 1,682×10−2 7,699×10−3 3,511×10−3 1,598×10−3 7,270×10−4 3,305×10−4 1,503×10−4 6,831×10−5 3,105×10−5 1,411×10−5 6,416×10−6

Abb. 11.18 Konvergenzverhalten beim Übergang von Inkrement 3 nach 4: a) äquidistante Einteilung; b) logarithmische Einteilung der absoluten Verschiebungsdifferenz

im Folgenden betrachtet werden, um einen Bimaterial-Stab (vergleiche Abbildung 11.19 b) mittels der FE-Methode zu modellieren. Das rechte Ende soll dabei um insgesamt u = 8 × 10−3 m verschoben werden, wobei die Verformung in 10 gleichen Inkrementen aufgebracht werden soll. Der Stab ist hierbei mit zwei finiten Elementen zu diskretisieren. Man untersuche folgen-

324

11 Plastizität

de Materialkombinationen: a) Material I: rein elastisch; Material II: rein elastisch, b) Material I: elasto-plastisch; Material II: elasto-plastisch, c) Material I: rein elastisch; Material II: elasto-plastisch, um die Verschiebung des mittleren Knotens zu berechnen. Man berechne mit Hilfe des CPP-Algorithmus den Spannungszustand in jedem Element und gebe auch alle zu aktualisierenden Größen an.

Abb. 11.19 Beispielproblem Rückprojektion bei Stab mit verschiedenen Materialien: a) Spannungs-Dehnungs-Verläufe; b) Geometrie und Randbedingungen

11.3 Lösung Bei Verwendung von zwei finiten Elementen ergibt sich das globale Gleichungssystem ohne Berücksichtigung der Randbedingungen für dieses Beispiel in inkrementeller Form zu: ⎡ I ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ˜ ˜I E −E 0 Δu1 ΔF1 A ˜I + E ˜ II −E ˜ II ⎦ ⎣Δu2 ⎦ = ⎣ΔF2 ⎦ . ˜I E × ⎣−E (11.98) L ˜ II ˜ II Δu3 ΔF3 E 0 −E

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

325

Die Berücksichtigung der Randbedingung auf der linken Seite, das heißt u1 = 0, liefert das folgende reduzierte globale Gleichungssystem:  I     ˜ +E ˜ II −E ˜ II Δu2 A E ΔF2 × = . (11.99) ˜ II ˜ II Δu3 ΔF3 E −E L Die Berücksichtigung der Verschiebungsrandbedingung an der rechten Seite, das heißt u3 = u(t), und dass ΔF2 = ΔF3 = 0 gilt, ergibt: ˜ A ˜I + E ˜ II )Δu2 = E2 A Δu3 , × (E L L

(11.100)

oder 

 ˜I E + 1 Δu2 = Δu3 . ˜ II E

(11.101)

Zur Anwendung des Newton-Raphsonschen Verfahrens wird Gleichung (11.101) als Residuumsgleichung geschrieben:   ˜I E + 1 Δu2 − Δu3 = 0 . (11.102) r= ˜ II E Entwickelt man die letzte Gleichung in eine Taylorsche Reihe und vernachlässigt die Terme höherer Ordnung entsprechend der Vorgehensweise in Beispiel 11.2, ergibt sich schließlich folgende Iterationsvorschrift zur Bestimmung der Verschiebung am mittleren Knoten:  (i+1) Δu2

=

−1 ˜I E (i) +1 × Δu3 . ˜ II E

(11.103)

˜ im elastischen Bereich der Elastizitätsmodul In Gleichung (11.103) ist für E E und im plastsichen Bereich der elasto-plastische Stoffmodul E elpl zu verwenden. Fall a) Material I: rein elastisch; Material II: rein elastisch: Für den Fall, dass beide Bereiche rein elastisches Materialverhalten mit E I = E II aufweisen, vereinfacht sich Gleichung (11.103) zu: 1 (i) × Δu3 = 4 mm . (11.104) 2 Die Verzerrung im linken Element - die identisch der Verzerrung im rechten Element ist - kann einfach über Δε = 2001mm × Δu2 bestimmt werden, und die Spannung ergibt sich aus der Verzerrung durch Multiplikation mit dem Elastizitätsmodul. Die Ergebnisse dieser rein elastischen Berechnung sind in Tabelle 11.8 zusammengefasst. (i+1)

Δu2

−1

= (1 + 1)

(i)

× Δu3 =

326

11 Plastizität

Tabelle 11.8 Numerische Werte für Bimaterial Stab bei rein linear-elastischem Verhalten (10 Inkremente; Δu3 = 0, 8 mm) inc Δu2 u2 Δε – mm mm – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

ε – 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

σ

Fr,3

MPa 10−8 N 140,0 280,0 420,0 560,0 700,0 840,0 980,0 1120,0 1260,0 1400,0

1,4 2,8 4,2 5,6 7,0 8,4 9,8 11,2 12,6 14,0

Zusätzlich zu den Verschiebungs-, Verzerrungs- und Spannungswerten24 sind in Tabelle 11.8 auch noch die Reaktionskräfte am Knoten 3 angegeben. Diese Reaktionskräfte ergeben sich durch Multiplikation der Steifigkeitsmatrix mit dem Ergebnisvektor der Verschiebungen und müssen mit den aus den Spannungen resultierenden Kräften im Gleichgewicht stehen: Fr,3 = σA. Fall b) Material I: elasto-plastisch; Material II: elasto-plastisch: Für den Fall, dass beide Bereiche gleiches elasto-plastisches Materialver˜ II , und Gleichung (11.103) ergibt auch hier ˜I = E halten aufweisen, gilt stets E (i+1) (i) ein Verschiebungsinkrement am mittleren Knoten von Δu2 = 12 ×Δu3 = 4 mm bzw. ein Verzerrungsinkrement von Δε = 0, 002. Zur Berechnung der Spannung und der plastischen Verzerrung für Element II im nichtlinearen Bereich muss der CPP-Algorithmus wie in Beispiel 11.1 angewendet werden. Die entsprechenden Werte sind in Tabelle 11.9 zusammengefasst. Fall c) Material I: rein elastisch; Material II: elasto-plastisch: Im elastischen Bereich beider Elemente ergibt sich auch hier, dass die Verschiebung am mittleren Knoten die Hälfte der am rechten Knoten aufgebrachten Verschiebung beträgt. Sobald im rechten Stabteil jedoch die Plasti˜ II ist und für den rechten Stabteil ˜ I = E fizierung einsetzt, ergibt sich, dass E der elasto-plastische Stoffmodul zu verwenden ist. Somit kann die Berechnungsvorschrift für das Verschiebungsinkrement wie folgt zusammengefasst werden:

24 Man beachte, dass in beiden Bereichen bzw. Elementen die Spannungen und Verzerrungen identisch sind.

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

327

Tabelle 11.9 Numerische Werte für Bimaterial Stab bei elasto-plastischem Verhalten (10 Inkremente; Δu3 = 0, 8 mm)

ε

σ

–

MPa

εpl 10−3

Fr,3 10−8 N

0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

140,0 280,0 356,364 369,091 381,818 394,545 407,273 420,000 432,727 445,455

0,0 0,0 0,909091 2,727273 4,545455 6,363636 8,181818 10,000000 11,818182 13,636364

1,4 2,8 3,56364 3,69091 3,81818 3,94545 4,07273 4,20000 4,32727 4,45455

inc Δu2 u2 Δε – mm mm – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

(i+1) Δu2

0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩



EI

E

1 (i) × Δu3 2 −1

+1 elpl,II

im elastischen Bereich .

(11.105)

(i)

× Δu3 im plastischen Bereich

Aus den Verschiebungsinkrementen folgt durch Summation die totale Verschiebung am mittleren Knoten und die Verzerrung für jedes Element kann mittels ε = L1 (−ul + ur ) (Index ’l’ für linker und Index ’r’ für rechter Knoten des Stabelements) bestimmt werden. Sobald der rechte Stabteil plastifiziert, muss das Prädiktor-Korrektor-Verfahren eingesetzt werden, um die Zustandsvariablen berechnen zu können. Die numerischen Werte des inkrementellen Lösungsverfahrens sind in Tabelle 11.10 zusammengefasst. Es sei hier noch angemerkt, dass im plastischen Bereich eine ähnliche Beziehung wie im elastischen Bereich angegeben werden kann, um das Spannungsinkrement aus dem Verzerrungsinkrement zu berechnen (vergleiche Gleichung (11.106)). Es ist jedoch hierbei zu beachten, dass der Elastizitätsmodul durch den elastoplastischen Stoffmodul zu ersetzen ist:  Δε × E im elastischen Bereich . (11.106) Δσ = Δε × E elpl im plastischen Bereich Der Übergang vom elastischen zum plastischen Bereich, das heißt von Inkrement 2 nach 3, erfordert auch hier eine gesonderte Betrachtung. Der mitt˜ II muss hierbei nach Gleichung (11.97) berechnet werden, um lere Modul E anschließend das Verschiebungsinkrement nach Gleichung (11.105)2 bestimmen zu können. Die absolute Verschiebung am mittleren Knoten ergibt sich (i) (i) durch Summation, das heißt u2 = Δu2 + u2 |inc 2 . Die Differenz der Verschiebungen am mittleren Knoten sind beim ersten Durchgang (cycle 0) mit(i=0) (i) (i−1) tels |u2 − u2 |inc 2 | und für jeden weiteren Durchgang (i) über |u2 −u2 |

328

11 Plastizität

Tabelle 11.10 Numerische Werte für Bimaterial Stab bei unterschiedlichem Materialverhalten (10 Inkremente; Δu3 = 0, 8 mm) inc –

Δu2

u2

εII 10−3

σ II

mm

εI 10−3

σI

mm

MPa

MPa

εpl,I 10−3

εpl,II 10−3

Fr,3 10−8 N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,4 0,4 0,23333 0,06667 0,06667 0,06667 0,06667 0,06667 0,06667 0,06667

0,4 0,8 1,03333 1,10000 1,16667 1,23333 1,30000 1,36667 1,43333 1,50000

2,0 4,0 5,16667 5,50000 5,83333 6,16667 6,50000 6,83333 7,16667 7,50000

2,0 4,0 6,83333 10,50000 14,16667 17,83333 21,50000 25,16667 28,83333 32,50000

140,0 280,0 361,667 385,000 408,333 431,667 455,000 478,333 501,667 525,000

140,0 280,0 361,667 385,000 408,333 431,667 455,000 478,333 501,667 525,000

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 1,66667 5,00000 8,33333 11,66667 15,00000 18,33333 21,66667 25,00000

1,4 2,8 3,61667 3,85000 4,08333 4,31667 4,55000 4,78333 5,01667 5,25000

zu bestimmen. Die Berechnung der Verzerrung im rechten Stabteil kann mit(i) tels der gegebenen Randbedingung u3 über εII,(i) = L1 (−u2 + u3 ) erfolgen. Schließlich ergeben sich die Spannungen mittels des CPP-Algorithmus basierend auf dem Verzerrungsinkrement ΔεII,(i) = εII,(i) − εII |inc 2 . Sind die Spannungen und Verzerrungen bekannt, kann für den nächsten Durchlauf mittels Gleichung (11.97) der neue mittlere Modul bestimmt werden. Als Konvergenzkriterium wurde für die absolute Verschiebungsdifferenz in diesem Beispiel ein Wert 10−5 vorgegeben. Tabelle 11.11 Numerische Werte für Übergang von Inkrement 2 nach 3

˜ II,(i) cycle E – MPa 0 1 2 3 4 5 6 7

38181,82 30950,41 29306 91 28933,39 28848,50 28829,20 28824,82 28823,82

(i)

Δu2

(i)

u2

mm

mm

0,282353 0,245272 0,236092 0,233962 0,233476 0,233366 0,233341 0,233335

1,082353 1,045272 1,036092 1,033963 1,033476 1,033366 1,033341 1,033335

II,(i) |uneu − ualt 2 2 | ε 10−2 mm 10−3

ΔεII,(i) 10−3

σ II,(i)

28,235294 3,708073 0,918059 0,212904 0,0486115 0,0110598 0,0025142 0,0005714

2,588235 2,773639 2,819542 2,830187 2,832618 2,833171 2,833296 2,833325

360,1070 361,2868 361,5789 361,6466 361,6621 361,6656 361,6664 361,6666

6,588235 6,773639 6,819542 6,830187 6,832618 6,833171 6,833296 6,833325

MPa

11.5.2 Weiterführende Aufgaben 11.4. Plastischer Modul und elasto-plastischer Stoffmodul Man diskutiere den Fall a) E pl = E und b) E elpl = E.

11.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben

329

11.5. Rückprojektion bei linearer Verfestigung Man berechne Beispiel 11.1 für folgende lineare Fließkurve eines Stahles: k(κ) = (690 + 21000κ) MPa. Der Elastizitätsmoduls beträgt 210000 MPa. Die geometrischen Abmessungen sind wie in Beispiel 11.1 zu nehmen. a) Für 10 Inkremente mit Δε = 0, 001, b) Für 20 Inkremente mit Δε = 0, 0005, c) Für 20 Inkremente mit Δε = 0, 001. Die Ergebnisse sind zu vergleichen und zu interpretieren. 11.6. Rückprojektion bei nichtlinearer Verfestigung Man berechne Beispiel 11.1 für folgende nichtlineare Fließkurve: k(κ) = (350 + 12900κ − 1.25 × 105 κ2 ) MPa. Alle anderen Parameter sind wie in Beispiel 11.1 zu nehmen. 11.7. Rückprojektion für Stab bei beidseitig fester Einspannung Man berechne für den in Abbildung 11.20 dargestellten beidseitig fest eingespannten Stab die Verschiebung des Kraftangriffspunktes. Der Stab besitzt ein elasto-plastisches Materialverhalten (E = 1 × 105 MPa; E elpl = 1 × 103 MPa; ktinit = 200 MPa) und eine Kraft von F = 6 × 104 N soll in drei Inkrementen gleichmäßig verteilt aufgebracht werden. Es kann angenommen werden, dass das Materialverhalten unter Zug- und Druckbelastung identisch ist. Man berechne die Verschiebung des Kraftangriffspunktes und bestimme die Spannungen und Verzerrungen in beiden Elementen. Als Konvergenzkriterium soll eine absolute Verschiebungsdifferenz am Lastangriffspunkt von 10−5 mm angesetzt werden.

Abb. 11.20 Beispielproblem Rückprojektion für Stab bei beidseitig fester Einspannung

11.8. Rückprojektion für ein finites Element bei ideal-plastischem Materialverhalten Man diskutiere den Fall eines einzelnen finiten Elements mit Kraftrandbedingung bei ideal-plastischem Materialverhalten. Es soll hierbei angenommen werden, dass die Kraft linear von Null ausgehend ansteigt. Das Problem und das Materialverhalten sind in Abbildung 11.21 schematisch dargestellt.

330

11 Plastizität

Warum wird im plastischen Bereich bei einer Kraftrandbedingung keine Konvergenz erreicht? Was ändert sich, falls die Kraftrandbedingung durch eine Verschiebungsrandbedingung ersetzt wird?

Abb. 11.21 Beispielproblem Rückprojektion für ein finites Element bei ideal-plastischem Materialverhalten

Literaturverzeichnis

331

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Kapitel 12

Stabilität (Knickung)

Zusammenfassung Der Begriff Stabilität wird im alltäglichen und technischen Sprachgebrauch vielfältig verwendet. Hier beschränken wir uns auf die statische Stabilität von elastischen Tragwerken. Die Ausführungen konzentrieren sich auf elastische Stäbe und Balken. Die Ausgangssituation ist eine belastete elastische Struktur. Bleibt die angreifende Last unter einem kritischen Wert, so verhält sich die Struktur „einfach“, und man kann das Verhalten mit den Modellen und Gleichungen aus den vorangehenden Kapiteln beschreiben. Erreicht oder übersteigt die Last einen kritischen Wert, beginnen Stäbe und Balken zu knicken. Die Situation wird mehrdeutig, neben der Ausgangslage kann es mehrere Gleichgewichtslagen geben. Aus der technischen Anwendung ist die kleinste Last kritisch, bei der sich für Stab oder Balken Knicken einstellt.

12.1 Stabilität im Stab/Balken Ausgangssituation ist ein Tragwerk, das aus Stäben und Balken aufgebaut ist. Die Stäbe und Balken sind an sogenannten Knotenpunkten miteinander verbunden, über die Kräfte und Momente in jedes Einzelelement eingeleitet werden. Solange die Lasten auf ein Element unterhalb einer kritischen Grenze liegen, verhält sich das Element linear elastisch. Wird jedoch ein kritischer Wert erreicht oder überschritten, stellt sich Knicken ein. In Abbildung 12.1 sind verschiedene Situationen dargestellt, bei denen sich Knicken einstellen kann. Zur Analyse des Stabilitätsverhaltens stehen mehrere Beschreibungsmöglichkeiten zur Verfügung. Im Folgenden wird die Energiemethode herangezogen. Das Gesamtpotenzial Π eines Stabes oder Balkens lässt sich allgemein schreiben als

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_12, 

333

334

12 Stabilität (Knickung)

F

a )

b )

F

Abb. 12.1 Knicken von Tragwerken a) aus zwei Elementen b) aus einem Element

1 T u Ku − uT F , (12.1) 2 wobei u für den Vektor der Verschiebungen, K für die Steifigkeitsmatrix und F für den Vektor der äußeren Kraft steht. In einer Gleichgewichtslage ist die gesamte potenzielle Energie Π des Systems stationär. Für einen stationären Wert von Π muss die erste Variation δΠ verschwinden: Π=

δΠ =

∂Π ! δu = 0. ∂u

(12.2)

Zur Klärung der Art des stationären Wertes muss auch die zweite Variation des Potenzials untersucht werden. Es ergeben sich drei Gleichgewichtszustände, vergleiche Abbildung 12.2.

P P

P

u u

s ta b il

in d iffe re n t

u la b il

Abb. 12.2 Gleichgewichtszustände zur Stabilität

Für den Fall δ 2 Π > 0 ergibt sich ein stabiles Gleichgewicht. Verschwindet die zweite Variation, so spricht man von einem indifferenten oder neutralen

12.2 Große Verformungen

335

Gleichgewicht. Für den Fall δ 2 Π < 0 liegt ein instationäres Gleichgewicht vor. Beim Knicken von Stäben und Balken geht man von einem indifferenten Gleichgewicht aus. Die zweite Variation lautet: δ2Π =

∂2Π 2 δ u = 0. ∂u2

(12.3)

Die Forderung, dass die zweite Variation von Π verschwindet, kann nur erfüllt werden, wenn die Determinante von K zu Null wird. Die Steifigkeitsmatrix K setzt sich für große Verformungen aus einem elastischen und einem geometrischen Anteil zusammen: K = K el + K geo .

(12.4)

K el steht für die Steifigkeitsmatrix, die bei der Beschreibung des linear elastischen Verhaltens zugrunde gelegt wird. Sie ist aus den vorherigen Abschnitten bekannt. Der Aufbau von K el ist unabhängig von der axialen Last. Im Gegensatz dazu enthält K geo die axiale Last F als Vorfaktor. Die ausführliche Herleitung der geometrischen Steifigkeitsmatrix K geo folgt weiter hinten. Wird diese Kraft mit einem Faktor λ skaliert, erhält man: ˜ geo . K = K el + λK

(12.5)

Die Forderung, dass die Determinante von K verschwindet, führt auf:   ! ˜ geo = det(K) = det K el + λK 0. (12.6) Mit dieser Gleichung ist ein Eigenwertproblem formuliert, wobei λ der gesuchte Eigenwert ist. Das Bilden der Determinante führt auf eine skalare Funktion in λ, die als charakteristische Gleichung bezeichnet wird. Es ist offensichtlich, dass diese Gleichung nicht nur einen Eigenwert besitzt. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung entsprechen den Eigenwerten des Problems. Der Ausdruck λF stellt die sogenannte Knicklast dar. Aus technischer Sicht ist der kleinste Eigenwert und damit die kleinste Knicklast interessant.

12.2 Große Verformungen Bisher wurde davon ausgegangen, dass die auftretenden Verformungen klein sind. Das Gleichgewicht wurde am undeformierten Körper aufgestellt. Im Rahmen der Behandlung von nichtlinearen Problemen können jedoch auch große Verformungen auftreten. Diese werden jetzt näher beschrieben. Die lineare Beziehung zwischen den Verformungen und den Verzerrungen wird in

336

12 Stabilität (Knickung)

der Verschiebungs-Verzerrungsbeziehung ε=

1 1 (∇uT + u∇T ) + (∇uT × u∇T ) 2 2

(12.7)

um den nichtlinearen Term erweitert. Der zweite Summand gibt den nichtlinearen Term wieder. Für die betrachteten Stäbe und Balken tritt bei großen Verformungen neben der Verformung in axialer Richtung eine weitere Verformung auf. Die vollständige Verzerrungsmatrix lautet:  εxx εxy ε= (12.8) εyx εyy und ergibt sich aus: ⎤ ⎞ ∂  ⎥ ⎟ 1 ⎢⎜ ⎜ ∂x ⎟ (ux uy ) + ux ( ∂ ∂ )⎥ ε= ⎢ ⎠ ⎣ ⎝ ∂ uy 2 ∂x ∂y ⎦ ∂y ⎤ ⎞ ⎡⎛ ∂  ⎥ ⎟ 1 ⎢⎜ ⎜ ∂x ⎟ (ux uy ) × ux ( ∂ ∂ )⎥ . + ⎢ ⎠ ⎣ ⎝ ∂ uy 2 ∂x ∂y ⎦ ∂y ⎡⎛

(12.9)

(12.10)

Für die weiteren Betrachtungen ist lediglich die Dehnung εxx in Richtung der Stab- beziehungsweise der Balkenachse von Interesse. Diese Komponente lässt sich aus der gesamten Verzerrungsmatrix als   1 dux 2 dux duy 2 + ) +( ) (12.11) εxx = ( dx 2 dx dx extrahieren. Unter der Voraussetzung dux /dx 1 sowie (dux /dx)2

(duy /dx)2 vereinfacht sich der gesamte Ausdruck zu εxx =

1 duy 2 dux + ( ) . dx 2 dx

(12.12)

Diese Beziehung für die Dehnung kann für den Stab direkt verwendet werden. Beim Balken setzt sich die gesamte Verformung in axialer Richtung aus den zwei Anteilen ux = uxs + uxb (12.13) zusammen. Der erste Term entspricht dem Anteil aus der Verschiebung auf der neutralen Achse des Balkens. Der zweite Term entspricht dem Anteil aus der reinen Biegung und lässt sich als uxb = −y

duy dx

(12.14)

12.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen

337

ansetzen. Damit lässt sich die gesamte Dehnung des Balkens als εxx

d2 uy duxs 1 −y = + dx dx2 2



duy dx

2

(12.15)

schreiben. Die elastische Formänderungsenergie des Stabes lässt sich über die Dehnung als Πint

1 = 2





Ω

Eε2xx dΩ

1 dux + = E dx 2 Ω



duy dx

 2 2 (12.16)

dΩ

formulieren. Nach ein paar Umformungen ergibt sich die Formänderungsenergie zu: Πint =

1 AE 2

 L

dux dx

2

dx +

1 F 2

 L

duy dx

2

(12.17)

dx .

Die elastische Formänderungsenergie des Balkens lässt sich über die Dehnung als   

2 2 d2 uy duxs 1 duy 2 Πint = −y Eεxx dΩ = E + dΩ (12.18) dx dx2 2 dx Ω Ω formulieren. Nach ein paar Umformungen ergibt sich die Formänderungsenergie zu: Πint

1 = AE 2

 L

duxs dx

2

1 dx + EI 2

 L

d2 uy dx2

2

1 dx + F 2

 L

duy dx

2

dx .

(12.19) Der 1. und 3. Term entspricht der elastischen Formänderungsenergie beim Stab. Der 2. Term entspricht dem Energieanteil aus der Biegung.

12.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen Wie für die kleinen Verformungen soll auch für die großen Verformungen angenommen werden, dass sich der Verlauf durch die Knotenwerte und Formfunktionen beschreiben lässt. In Abbildung 12.3 sind die für das Knicken relevanten kinematischen Größen dargestellt. Für die unterschiedlichen Richtungen der Verschiebungen können prinzipiell verschiedene Formfunktionen herangezogen werden: ux (x) = N x (x) up ,

(12.20)

uy (x) = N y (x) up .

(12.21)

338

12 Stabilität (Knickung)

1 y

2 u

u

1 y

j x u x

2 y

j

1 z

u

1 x

x 1

2 z

2 x

2

Abb. 12.3 Zustandsgrößen zur Beschreibung des Knickverhaltens

Im Folgenden werden die Steifigkeitsmatrizen für große Verformungen für den Stab und den Balken hergeleitet.

12.3.1 Stab mit großen Verformungen In den Dehnungen nach Gleichung (12.12) treten die ersten Ableitungen dux /dx und duy /dx auf. Diese ergeben sich zu d dux (x) = N x (x) up = N x (x) up , dx dx d duy (x) = N y (x) up = N y (x) up . dx dx

(12.22) (12.23)

Das gesamte Potenzial lässt sich in diskretisierter Form schreiben als

1 1 T T T  Π = uT u AE N N dx u + F N y N y dx up −uT p x x p F . (12.24) 2 p 2 p L L       K el,

Stab

K geo,

Stab

Aus Gleichung (12.24) lassen sich die Steifigkeitsmatrizen ermitteln. Die Teilmatrizen ergeben sich zu:

T K el, Stab = AE N x N x dx , (12.25) L

T K geo, Stab = F N y N y dx . (12.26) L

Je nach Art der Ansatzfunktion ergeben sich unterschiedliche Steifigkeitsmatrizen. Für das Verschiebungsfeld ux (x) sind die Formfunktionen in Kapitel 3 vorgestellt. Für das Verschiebungsfeld uy (x) soll mit

12.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen

339

⎡

uy (x) = N1 (x) u1y + N2 (x) u2y

⎤

u1x ⎢u ⎥ ⎢ 1y ⎥ = [0 N1 (x) 0 N2 (x)] ⎢ ⎥ ⎣ u2x ⎦ u2y

(12.27)

ein entsprechender Ansatz gewählt werden. Zunächst wird mit N1 (x) =

1 (x2 − x) und L

N2 (x) =

1 (x − x1 ) L

(12.28)

ein einfacher, linearer Ansatz für die Deformation quer zur Achsrichtung gewählt. In Gleichung (12.26) wird die Ableitung der Formfunktion N y benötigt. Diese ergeben sich zu:     ∂N y (x) ∂N1 (x) ∂N2 (x) 1 1 = 0 0 0 + = 0 − . (12.29) ∂x ∂x ∂x L L  T Damit kann die Integration L N y N y dx ausgeführt werden. Die geometrische Steifigkeitsmatrix ergibt sich in Abhängigkeit der äußeren Last F zu: ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 0 00 0 0 00 0

⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ 0 1 0 −1 ⎥ dx = F ⎢ 0 1 0 −1 ⎥ . K geo, Stab = F (12.30) 2 ⎣0 0 0 0⎦ L ⎣0 0 0 0⎦ L L 0 −1 0 −1 0 −1 0 −1 Damit lässt sich die gesamte Steifigkeitsmatrix aus zwei Teilmatrizen zu ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 0 −1 0 0 00 0 ⎢ ⎥ ⎥ EA ⎢ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ + F ⎢ 0 1 0 −1 ⎥ K Stab = (12.31) ⎣ ⎣ ⎦ −1 0 1 0 L L 0 0 0 0⎦ 00 00 0 −1 0 1 zusammenstellen.

12.3.2 Balken mit großen Verformungen In den Dehnungen nach Gleichung (12.15) treten die ersten Ableitungen duxs /dx und duy /dx und die zweite Ableitung d2 uy /du2y auf. Diese ergeben sich zu

340

12 Stabilität (Knickung)

duxs (x) d = N x (x) up = N x (x) up , dx dx d duy (x) = N y (x) up = N y (x) up , dx dx d2 uy (x) d2 = N y (x) up = N y (x) up . dx2 dx2 Das gesamte Potenzial lässt sich damit in diskretisierter Form als

1 T 1 T T T  Π = up AE N x N x dx up + up EI N y N y dx up 2 2 L L       el, Stab el, Biegung K K

1 T + uT F N y N y dx up − uT pF 2 p L   

(12.32) (12.33) (12.34)

(12.35)

K geo

anschreiben. Die elastische Steifigkeitsmatrix K el setzt sich aus den Anteilen K el, Stab und K el, Biegung zusammen. Die geometrische Steifigkeitsmatrix K geo wird im dritten Term repräsentiert. Aus Gleichung (12.35) lassen sich die Steifigkeitsmatrizen ermitteln. Die Teilmatrizen ergeben sich zu:

T K el, Stab = AE N x N x dx , (12.36) L

T N y N y dx , (12.37) K el, Biegung = EI

L T N y N y dx . (12.38) K geo = F L

Nach üblicher Vorgehensweise wird bei der Beschreibung des Balkens der Anteil aus der Dehnung des Stabes näherungsweise vernachlässigt. Für die weiteren Betrachtungen wird nur der Anteil aus der Biegung berücksichtigt. Je nach Art der Ansatzfunktion ergeben sich unterschiedliche Steifigkeitsmatrizen. Der allgemeine Ansatz ist aus Kapitel 5 bekannt und lautet: uy (x) = N1 (x) u1y + N2 (x) ϕ1 + N3 (x) u2y + N4 (x) ϕ2 .

(12.39)

Es wird ein kubischer Ansatz für die Deformation quer zur Achsrichtung gewählt. Aus dem Kapitel 5 sind die Formfunktionen

12.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen

341

3x2 2x3 + 3 , 2 L L x3 2x2 + 2, N2 (x) = x − L L 3x2 2x3 N3 (x) = 2 − 3 , L L x3 x2 N4 (x) = − + 2 L L

N1 (x) = 1 −

(12.40)

bereits bekannt. In Gleichung (12.35) wird die Ableitung der Formfunktion N y benötigt. Diese ergeben sich zu: 6x 6x2 ∂N1 (x) =− 2 + 3 , ∂x L L 4x 3x2 ∂N2 (x) = 1− + 2 , ∂x L L (12.41) 6x 6x2 ∂N3 (x) = 2− 3 , ∂x L L ∂N4 (x) 2x 3x2 =− + 2 . ∂x L L  T Damit kann die Integration L N y N y dx ausgeführt werden. Beispielhaft wird die Integration am Matrixelement (1,1) gezeigt:

 2 36 L 6x 6x2 = dx = 2 − 2+ 3 −x + L L L 0 0  L 36 1 3 1 4 1 5 36 L3 = 2 x − x + = x = L 3 2L 5L2 L2 30 0

k11

L



2

x2 dx = L 36 . 30L

(12.42)

Die geometrische Steifigkeitsmatrix ergibt sich in Abhängigkeit der äußeren Kraft F zu: ⎤ ⎡ 36 3L −36 3L 2 2⎥ F ⎢ ⎢ 4L −3L −L2 ⎥ . (12.43) K geo = 36 −3L ⎦ 30L ⎣ 2 4L Die gesamte Steifigkeitsmatrix lässt sich damit aus den zwei Teilmatrizen ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 12 6L −12 6L 36 3L −36 3L 2 2⎥ ⎢ EI ⎢ 6L 4L2 −6L 2L2 ⎥ ⎥ + F ⎢ 3L 4L −3L −L2 ⎥ (12.44) K= 3 ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ −12 −6L 12 −6L 36 −3L ⎦ L 30L −36 −3L 2 2 2 3L −L −3L2 4L2 6L 2L −6L 4L zusammenstellen.

342

12 Stabilität (Knickung)

12.4 Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle Gegeben sei ein prismatischer Balken, der an einem Ende in axialer Richtung mit einer Einzelkraft F belastet ist. Der Balken hat die Querschnittsfläche A, das Flächenträgheitsmoment I und den Elastizitätmodul E. Alle Größen sind entlang der Körperachse konstant. Gesucht sind jeweils die kritische Last Fkrit und die Knicklänge Lk .

F F

I

II

F

F

III

IV

L

Abb. 12.4 Die vier Eulerschen Knickfälle

Die vier Eulerschen Knickfälle unterscheiden sich nach den Randbedingungen an den beiden Enden.

12.4.1 Analytische Lösung zu den Eulerschen Knickfällen Die Differenzialgleichung der Knickung lautet [4]: 2  u y + λ uy = 0

mit

λ2 =

F . EI

(12.45)

Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ¯ sin(λx) + C¯ λx + D ¯ uy (x) = A¯ cos(λx) + B

(12.46)

12.4 Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle

343

¯ beschreibt die translatorische beinhaltet vier Konstanten 1 . Die Konstante D Starrkörperbewegung des Balkens, der Term C¯ λx die Starrkörperdrehung des Balkens um den Ursprung. Die trigonometrischen Anteile beschreiben die ¯ B, ¯ C¯ Deformation des Balkens in der ausgelenkten Lage. Die Konstanten A, ¯ lassen sich aus den Randbedingungen bestimmen. Benötigt werden und D die Ableitungen der Deformation aus (12.46): ¯ λ cos(λx) + C¯ λ , uy (x) = −A¯ λ sin(λx) + B ¯ λ2 sin(λx) , uy (x) = −A¯ λ2 cos(λx) − B u y (x) IV uy (x)

¯ λ3 cos(λx) , = +A¯ λ3 sin(λx) − B ¯ λ4 sin(λx) . = +A¯ λ4 cos(λx) + B

(12.47) (12.48) (12.49) (12.50)

In untenstehender Tabelle sind die kritischen Lasten und Knicklängen für die Eulerschen Knickfälle zusammengestellt. Analog zur kritischen Last lässt sich für den Eulerschen Knickstab die Knicklänge Lk einführen. Kritische Last und Knicklänge sind unabhängig von den Randbedingungen über Fkrit = π 2

EI L2k

(12.51)

miteinander verknüpft. Tabelle 12.1 Kritische Lasten und Knicklängen I II

Eulerfall Kritische Last Fkrit =

EI π2 2 L

Knicklänge Lk = L×

×

1 4

III

IV 2

1 1, 43

2 1

4

1 1 1, 43 2

Diese Werte dienen als Referenz für die aus der Finiten-Elemente-Analyse ermittelten Lösungen.

12.4.2 Finite-Elemente-Lösung Grundlage zur Finite-Elemente-Analyse des Knickverhaltens von Balken ist F die Steifigkeitsmatrix (12.44). Mit den Abkürzungen e = EI L3 und f = 30L ergibt sich die kompakte Form der gesamten Steifigkeitsmatrix zu:

1

Die Konstanten sind mit einem Querstrich gekennzeichnet, um Verwechslungen mit anderen Größen zu vermeiden.

344

12 Stabilität (Knickung)

⎤ 12e − 36λf 6eL − 3λf L −12e + 36λf 6eL − 3λf L ⎢ 6eL − 3λf L 4eL2 − 4λf L2 −6eL + 3λf L 2eL2 + λf L2 ⎥ ⎥. K=⎢ ⎣ −12e + 36λf −6eL + 3λf L 12e − 36λf −6eL + 3λf L2 ⎦ 6eL − 3λf L 2eL2 + 3λf L2 −6eL + 3λf L2 4eL2 − 4λf L2 (12.52) Die vier Eulerschen Knickfälle unterscheiden sich in der Art der Einspannung. Im Folgenden wird der Eulersche Knickfall I beschrieben. Der Knoten 1 ist fest eingespannt. Damit verschwinden die Verschiebung u1x und die Verdrehung ϕ1 . Das einfachste Finite-Elemente-Modell besteht aus genau einem Balken. In der Systemmatrix werden die beiden Zeilen 1 und 2 und die Spalten 1 und 2 gestrichen. Es verbleibt eine reduzierte Untermatrix:   12e − 36λf L −6eL + 3λf red = . (12.53) K −6eL + 3λf L 4eL2 − 4λf L ⎡

Zur Bestimmung der Eigenwerte λi wird die Determinante der reduzierten Systemmatrix gebildet. Diese führt auf die charakteristische Gleichung. Aus der quadratischen Gleichung erhält man zwei Lösungen. Für die Aussagen zur Stabilität hat der kleinste Eigenwert Bedeutung. Für die Knicklast ergibt sich damit: √ 4 EI EI (12.54) Fk = λmin F = (13 − 2 31) 2 = 2, 486 2 . 3 L L Gegenüber der exakten Lösung F =

π 2 EI 4 L2

tritt ein Fehler von 0,8% auf.

12.5 Weiterführende Aufgaben 12.1. Einträge der geometrischen Steifigkeitsmatrix In den obigen Ausführungen wird für den Aufbau  der Tgeometrischen Steifigkeitsmatrix eines Biegebalkens die Integration L N y N y dx lediglich für das Matrixelement (1,1) aufgezeigt. Die geometrische Steifigkeitsmatrix soll in allen Matrixelementen für einen kubischen Verschiebungsansatz quer zur Balkenachse bestimmt werden. 12.2. Eulersche Knickfälle II, III und IV, ein Element Die obigen Ausführungen beziehen sich auf den Eulerschen Knickfall I. Gesucht sind Finite-Elemente-Lösungen zur Knicklast für die Eulerschen Knickfälle II, III und IV. Dabei soll die Diskretisierung für das Knicken mit einem einzigen Balkenelement erfolgen.

Literaturverzeichnis

345

Aufgaben: 1. Aufstellen der Systemmatrix aus elastischer und geometrischer Steifigkeitsmatrix. 2. Bestimmung der Eigenwerte. 12.3. Eulersche Knickfälle, zwei Elemente Gesucht sind Finite-Elemente-Lösungen zur kritischen Knicklast der Eulerschen Knickfälle I, II, III und IV. Dabei soll der Knickstab mit zwei Balkenelementen diskretisiert werden.

12.4. Eulersche Knickfälle, Fehler bezüglich analytischer Lösung Der Fehler aus der mit der Finite-Elemente-Methode ermittelten Lösung der kritischen Knicklast bezüglich der analytischen Lösung ist in Abhängigkeit der Anzahl der verwendeten Elemente zu diskutieren. Gesucht sind FiniteElemente-Lösungen zur kritischen Knicklast der Eulerschen Knickfälle I, II, III und IV. Dabei soll der Knickstab mit mehreren Balkenelementen diskretisiert werden.

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. SpringerVerlag, Berlin 3. Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik,Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 4. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 5. Klein B (2000) FEM, Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 6. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton

Kapitel 13

Dynamik

Zusammenfassung Im Kapitel Dynamik wird zusätzlich das zeitliche Verhalten der an der Struktur angreifenden Lasten in die Analyse einbezogen. Die Vorgehensweise bei der Analyse von dynamischen Problemen hängt ganz wesentlich von dem Charakter des Zeitverlaufs der Lasten ab. Bei deterministischen Belastungen ist der Vektor der äußeren Lasten eine vorgegebene Funktion der Zeit. Der überwiegende Anteil der Problemfälle im Maschinen-, Anlagen- und Fahrzeugbau kann unter dieser Annahme analysiert werden. Im Gegensatz dazu spielt bei den stochastischen Lasten der Zufall eine Rolle. Solche Fälle werden hier nicht behandelt. Bei den deterministischen Lasten wird unterschieden zwischen • periodischen und nicht-periodischen, • langsam und schnell veränderlichen Last-Zeitfunktionen (relativ bezogen auf das dynamische Eigenverhalten der Struktur). Im folgenden Kapitel werden lineare dynamische Prozesse behandelt, die auf eine äußere Anregung zurückzuführen sind. Das Gebiet der selbsterregten Schwingungen wird nicht behandelt.

13.1 Grundlagen zur linearen Dynamik Ausgangspunkt ist ein massebehaftetes elastisches Kontinuum, das im Unterschied zu bisherigen Problemstellungen mit zeitabhängigen Lasten beansprucht wird. Die Masse mit der Dichte ρ erstreckt sich über das Volumen Ω. Im Rahmen der Behandlung der Dynamik mit der FE-Methode sind mehrere Modellannahmen zu diskutieren: 1. die Verteilung der Massen und 2. die Behandlung der Zeitabhängigkeit aller beteiligten Größen.

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7_13, 

347

348

13 Dynamik

F (t)

W

r

Abb. 13.1 Massebehaftetes elastisches Kontinuum unter zeitabhängiger Last

Zur Verteilung der Massen: Im Rahmen der FE-Methode wird das Kontinuum diskretisiert. Ein erstes Modell geht davon aus, dass die Verteilung der Massen nicht von der Diskretisierung beeinflusst wird. Die Massen sind auch im diskretisierten Zustand kontinuierlich verteilt. In Abbildung 13.2 a) ist die kontinuierlich verteilte Masse für einen Stab dargestellt. Bei einem anderen Modell wird davon ausgegangen, dass sich die ursprünglich kontinuierlich verteilten Massen auf diskrete Punkte konzentrieren lassen (siehe Abbildung 13.2 b).

b )

a )

m m

1

m 2

m 3

m i

m n

Abb. 13.2 Modelle der Dynamik mit a) kontinuierlich und b) diskret verteilten Massen

Die Gesamtmasse m=

n

mi

(13.1)

i

des Systems bleibt erhalten. Die Verbindungen zwischen den mit Masse behafteten Punkten werden mit masselosen Elementen erfüllt, die weitere physikalische Eigenschaften repräsentieren, zum Beispiel Steifigkeiten. Zur Zeitabhängigkeit der Zustandsgrößen: Sowohl die Lasten als auch die Verformungen als Antwort des Systems auf die äußeren Lasten sind zeitlich veränderlich. Je nach Charakter der äußeren Lasten unterscheidet man in der Dynamik unterschiedliche Problemfelder (siehe Abbildung 13.3)

13.1 Grundlagen zur linearen Dynamik

349

F (t)

w F (t)

F (t)

t

F (t)

t t

Abb. 13.3 Lösungsstrategien gegliedert nach dem zeitlichen Verlauf der äußeren Lasten

und verfolgt zur Lösung unterschiedliche Strategien: • Modale Analysen Hier betrachtet man das Schwingungsverhalten ohne äußere Lasten. Es werden Eigenfrequenzen und Eigenformen ermittelt. • Erzwungene Schwingungen Eine äußere periodische Kraft erregt das Bauteil zum Mitschwingen in der Anregungsfrequenz. • Transiente Analysen Die äußere anregende Kraft F (t) ist eine beliebige nicht-periodische Funktion der Zeit. Problemdefinition Zusätzlich zu den elastischen Kräften bei rein statischen Problemen treten Trägheitskräfte und Reibungskräfte auf. Nach dem Prinzip von d’Alembert stehen diese Kräft zu jedem Zeitpunkt mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht: (13.2) F m + F c + F k = F (t) . In Gleichung (13.2) steht • F m für den Vektor der Trägheitskräfte, • F c für den Vektor der Dämpfungskräfte, wobei im Folgenden von einer geschwindigkeitsbezogenen Dämpfung ausgegangen wird, • F k für den Vektor der elastischen Rückstellkräfte und • F für den Vektor der äußeren angreifenden Kräfte. Bei statischen Problemen wird der Verformungszustand im Inneren eines Elementes (13.3) ue (x) = N (x) up über Formfunktionen und Knotenpunktsverschiebungen ausgedrückt. Diese Annahme soll auch für die Dynamik gelten. Mit u ¨ als Beschleunigung und

350

13 Dynamik

zweite Ableitung der Verschiebung nach der Zeit und u˙ als Geschwindigkeit und erste Ableitung der Verschiebung nach der Zeit erhält man eine Differenzialgleichung ¨ + C u˙ + Ku = F (t) Mu (13.4) in den Verschiebungen u als Grundgleichung der Dynamik. Dabei steht • M für die Massenmatrix, • C für die Dämpfungsmatrix und • K für die Steifigkeitsmatrix, die bereits aus der Statik bekannt ist. Im Kontinuum steht diese Gleichung für eine partielle Differenzialgleichung in Raum und Zeit (Wellengleichung). Infolge der räumlichen Diskretisierung im Rahmen der FE-Methode stellt Gleichung (13.4) nur noch ein System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen in der Zeit dar.

13.2 Die Massenmatrizen Die Struktur der Massenmatrizen wird im Wesentlichen durch die Annahme über die Verteilung der Massen bestimmt. Für ein kontinuierlich mit Masse belegtes Element lassen sich über das Prinzip der virtuellen Arbeit

T ρ(δu)T u dΩ (13.5) δup M up = Ω

in den Knotenpunkten wirkende äquivalente Kräfte ermitteln. Mit den Ansätzen für die Verschiebungen u und die Beschleunigungen u ¨ erhält man als Massenmatrix

ρN T N dΩ . (13.6) M= Ω

Die Berücksichtigung der Reibkräfte Fc führt auf die Dämpfungsmatrix

C= N T μN dΩ . (13.7) Ω

Für eine Verteilung der Massen in diskreten Punkten lässt sich die Massenmatrix wesentlich einfacher bestimmen. Die Vorgehensweise wird im Abschnitt 13.6.2 am Beispiel der Dehnschwingungen im Zugstab aufgezeigt.

13.3 Modale Analyse Eine elastische, massenbehaftete Struktur reagiert auf eine zeitlich begrenzte, äußere Anregung mit einer Antwort in bestimmten Frequenzen und Schwingungsformen, deren Gesamtheit als Eigensystem aus Eigenfrequenzen und

13.3 Modale Analyse

351

Eigenformen bezeichnet werden. Grundlegende Annahme für den Lösungsweg besteht darin, dass die in Ort und Zeit veränderlichen Verschiebungen durch einen Separationsansatz u(x, t) = Φ(x) q(t)

(13.8)

beschrieben werden, wobei mit Φ(x) die Abhängigkeit der Verschiebung vom Ort und mit q(t) die Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit beschrieben wird. Entwicklung nach Eigenformen- und frequenzen Für schwach gedämpfte Systeme lassen sich die Eigenformen aus dem entsprechenden ungedämpften System aufbauen: Mu ¨ + Ku = 0.

(13.9)

Mit dem Ansatz für die Verschiebungen: u(x, t) = Φ(x) eiωt

(13.10)

führt dies auf das generalisierte Eigenwertproblem (−ω 2 M + K) Φ = 0.

(13.11)

Die nichttrivialen Lösungen (die stehen für die Statik) erhält man aus det(−ω 2 M + K) = 0.

(13.12)

Die ωi , i = 1, ..., n, welche die Gleichung erfüllen, werden als Eigenfrequenzen, und die zugehörigen Φi als Eigenformen des Systems mit n Freiheitsgraden bezeichnet. Die einzelnen Eigenformen Φi lassen sich in der Modalmatrix Φ Φ = [Φ1 Φ2 Φ3 ... Φn ] zusammenfassen.

(13.13)

1

Die Eigenformen besitzen entscheidende Eigenschaften: 1. Die Orthogonalität zweier Eigenformen: ΦT i Φj = 0 , 1

i = j .

(13.14)

Mit den Eigenformen sind die vom Ort abhängigen Verschiebungen charakterisiert. Über die absolute Größe einer Verschiebung lässt sich damit jedoch keine Aussage treffen. Der Grund dafür liegt darin, dass das System (13.13) stets mehr Unbekannte als Gleichungen hat. Bei der Darstellung der Eigenformen legt man den Betrag für eine beliebige Eigenform fest und setzt alle anderen Eigenformen dazu in Bezug.

352

13 Dynamik

2. Die Normierbarkeit bezüglich M : Die Eigenformen und damit die Eigenvektoren lassen sich M -normieren. Die Eigenvektoren lassen sich strecken oder stauchen, dass sich eine M Orthonormalität einstellt. Multipliziert man die Massenmatrix M von links mit ΦT und von rechts mit Φ, dann entsteht die modale Massen˜ , die ausschließlich auf der Hauptdiagonalen Einträge hat, und matrix M zwar eine „1“:   10 T ˜ Φ MΦ = M = . (13.15) 01 Multipliziert man die Steifigkeitsmatrix K ebenso von links und rechts, ˜ die ausschließlich auf der Hauptentsteht die modale Steifigkeitsmatrix K, diagonalen Einträge hat, und zwar die Quadrate der Eigenfrequenzen ω:  2  ˜ = ω1 02 . ΦT KΦ = K (13.16) 0 ω2 3. Modale Dämpfung: Multipliziert man die Dämpfungsmatrix C ebenso von links und rechts, ˜ die ausschließlich auf der Hauptentsteht die modale Dämpfungsmatrix C, diagonalen Einträge hat, und zwar die modale Dämpfung ζ:   ω1 ζ1 0 T ˜ . (13.17) Φ CΦ = C 0 ω2 ζ2 Der Dämpfungsansatz ist unter dem Namen Rayleighsche Dämpfung bekannt und ist immer dann möglich, wenn sich die Dämpfungsmatrix in der Form C = αM + βK (13.18) darstellen lässt.

4. Entkopplung: Insgesamt erhält man ein äquivalentes System von entkoppelten Differenzialgleichungen (13.19) ΦT M Φ + ΦT CΦ + ΦT KΦ = 0 , das sich in generalisierten Verschiebungen q, auch modale Koordinaten genannt, als (13.20) qj + 2ωj q˙j + ωj2 = F˜j anschreiben lässt.

13.4 Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen

353

13.4 Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen Von erzwungenen Schwingungen spricht man, wenn ein System eine periodische Anregung erfährt. Etwaige Eigenschwingungen sind aufgrund der Dämpfung abgeklungen. Da sich jede periodische Anregung durch eine Fourieranalyse zerlegen lässt, genügt es, Einzelkräfte der Art F (t) = F0 eiωt

(13.21)

anzunehmen, die periodisch mit der Frequenz ω wirken. Bei linearen Systemen folgt die Gesamtantwort aus der Superposition der Einzelantworten. Wir nehmen an, dass sich in der Bewegungsgleichung ¨ + C u˙ + Ku = F 0 eiωt Mu

(13.22)

die Verformungen, die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen als Vektoren der Art u(t) = u0 ei(ωt−ψ) , (13.23) ˙ u(t) = iωu0 ei(ωt−ψ) ,

(13.24)

u ¨(t) = −ω u0 e

(13.25)

2

i(ωt−ψ)

darstellen lassen. Setzen wir die Aufspaltung der komplexen Verschiebung in Real- und Imaginärteil u(t) = uRe eiωt + iuIm eiωt = u0 eiωt (cos ψ + i sin ψ)

(13.26)

ein, erhalten wir aus  2  −ω M (uRe + iuIm ) + iωC (uRe + iuIm ) + K (uRe + iuIm ) eiωt = F 0 eiωt (13.27) über     K − ω 2 M uRe − ωCuIm +i K − ω 2 M uIm + ωCuRe = F 0 (13.28) nach Trennung der Produkte der reellen Matrizen mit den komplexen Vektoren in Real- und Imaginärteil 2n Gleichungen der Art  K − ω 2 M uRe − ωCuIm = F 0 , (13.29) 

K − ω 2 M uIm + ωCuRe = 0 .

(13.30)

Bei n Freiheitsgraden ist dies ein lösbares lineares Gleichungssystem mit den 2n Unbekannten der jeweils n Komponenten des Real- und Imaginärteils der komplexen Verschiebung u = uRe + iuIm . Für jeden der n Freiheitsgrade ist

354

13 Dynamik

die Amplitude durch

2 uk =

u2k,Re + u2k,Im

(13.31)

und die Phasenverschiebung durch  ψk = arctan

uk,Im uk,Re

(13.32)

bis auf Vielfache von π bestimmt.

13.5 Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen Transiente Dynamik erfordert die Integration der Bewegungsgleichung (13.4), die den Zusammenhang zwischen Beschleunigung, Dämpfung, Verformung und äußerer Kraft beschreibt, über das interessierende Zeitintervall. Wir benötigen Integrationsverfahren, welche aus der Bewegungsgleichung ¨ (t) = M −1 [F (t) − [C u˙ (t) + Ku (t)]] u

(13.33)

die Verformungen in dem betrachteten Zeitabschnitt ermitteln. Eine Abschätzung der Verschiebung zur Zeit t + Δt erhalten wir durch die Reihenentwicklung bis zum 2. Glied u (t + Δt) ≈ u (t) + Δtu˙ (t) +

Δt2 ¨ (t) u 2

(13.34)

und eine Abschätzung der Geschwindigkeit durch eine Reihenentwicklung ¨ (t) , u˙ (t + Δt) ≈ u˙ (t) + Δt u

(13.35)

die nach dem 1. Glied abbricht. Um die Integrationsvorschriften nach den Gleichungen (13.33) und (13.35) anwenden zu können, müssen Verschiebung und Geschwindigkeit zum Anfangszeitpunkt t0 bekannt sein. Dass hier zwei Angaben erforderlich sind, folgt aus der Tatsache, dass die Bewegungsgleichung (13.4) eine DGL 2. Ordnung in der Zeit (es treten zweite zeitliche Ableitungen auf) darstellt. Bei ausreichend kleinem Δt nähert die so gefundene Verschiebung den zeitlichen Verlauf der Verschiebung u(t) befriedigend gut an. Den prinzipiellen Aufbau der beiden meistverwendeten Integrationsverfahren, die von der Idee her den quadratischen Verfahren (oder Verfahren 2. Ordnung) ähneln, beschreiben wir hier.

13.5 Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen

355

13.5.1 Integration nach Newmark Im Zeitintervall [t, t + Δt] nehmen wir die konstante gemittelte Beschleunigung 1 ¨ (t + Δt)] ¨ m = [u˙ (t) + u (13.36) u 2 an. Damit ergibt sich ein quadratischer Verlauf der Verschiebung u (t + Δt) = u (t) + Δtu˙ (t) +

Δt2 ¨ (t) + u ¨ (t + Δt) u 4

(13.37)

und ein linearer der Geschwindigkeit u˙ (t) u˙ (t + Δt) = u˙ (t) +

Δt2 ¨ (t) + u ¨ (t + Δt). u 2

(13.38)

Zusammen mit der Bewegungsgleichung (13.4) zum Zeitpunkt t + Δt ¨ (t + Δt) + C u˙ (t + Δt) + Ku (t + Δt) = F (t + Δt) Mu

(13.39)

¨ (t + Δt) liegen 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten u (t + Δt), u˙ (t + Δt), u vor. Setzt man Δu = u (t + Δt) − u (t), folgt für diesen Zuwachs der Verschiebung   4 −1 ¨ (t) + u˙ (t) + C u˙ (t) (13.40) Δu = S F (t + Δt) − Ku (t) + M u Δt mit

4 2 C + K. (13.41) M+ 2 Δt Δt ¨ (t + Δt) errechnet Die Geschwindigkeit u˙ (t + Δt) und die Beschleunigung u man aus den Gleichungen (13.35) und (13.33). Die Zeitintegration nach Newmark erfordert zwar die oft aufwändige Berechnung dieser Inversen, erlaubt aber relativ große Zeitschritte, so dass dieser Nachteil in vielen Fällen wieder ausgeglichen wird. Insbesondere bei linearen Problemen, bei denen die Systemmatrizen nicht von den aktuellen Verschiebungen abhängen, ist dieses Verfahren effektiv einsetzbar, da wir die Inverse S −1 nur einmal berechnen müssen. S=

13.5.2 Zentrales Differenzenverfahren Die Geschwindigkeit u˙ (t) lässt sich als erste Ableitung der Verschiebung nach der Zeit durch die Verschiebung zu den Zeiten t − Δt und t + Δt bei ausreichend kleinem Zeitschritt Δt durch

356

13 Dynamik

u˙ (t) ≈

u (t + Δt) − u (t − Δt) 2Δt

(13.42)

¨ (t) als zweite Ableitung der Verschiebung annähern. Die Beschleunigung u nach der Zeit wird mit ¨ (t) ≈ u

u (t + Δt) − 2u (t) + u (t − Δt) Δt2

(13.43)

angenähert. Setzt man diese Beziehungen in die Bewegungsgleichung (13.4) zur Zeit t ein, erhält man mit den Abkürzungen u1 = u (t + Δt), u0 = u (t) und u−1 = u (t − Δt) M

u1 − u−1 u1 − 2u0 + u−1 + Ku0 = F (t) +C 2 Δt 2Δt

(13.44)

eine Beziehung, aus der man die Verschiebung u1 = u (t + Δt) berechnen kann, wenn die Verschiebungen zu den vorherigen Zeitpunkten t und t − Δt bekannt sind:   M 2M C −1 u1 = S F (t) − K − − (13.45) u0 − u−1 Δt2 Δt2 2Δt mit

1 1 C. (13.46) M+ 2 Δt 2Δt Um die neue Verschiebung u1 = u(t+Δt) zu berechnen, benötigen wir Werte der Verschiebung u zu 2 vorhergehenden Zeitpunkten. Da uns bei einem transienten Problem Anfangsverschiebung und -geschwindigkeit und damit nach Gleichung (13.33) auch die Beschleunigung zur Zeit t = 0 bekannt sein müssen, besorgen wir uns eine fiktive Verschiebung zur Zeit −Δt aus der Reihenentwicklung S=

u1 = u (t − Δt) ≈ u (0) − Δtu˙ (0) +

Δt2 ¨ (0) u 2

(13.47)

und können im ersten Zeitschritt die Verschiebung u1 = u (Δt) berechnen. Das zentrale Differenzenverfahren wird explizit genannt, weil die Verschiebung u (t + Δt) nicht mit einer Untersuchung der Bewegungsgleichung zur Zeit t + Δt, sondern aus den Bedingungen zur Zeit t errechnet wird, während das implizite Newmark-Verfahren das Kräftegleichgewicht zur Zeit t + Δt betrachtet. Dieses explizite Verfahren ist bei diagnonalen Massen- und Dämpfungsmatrizen M und C, bei denen die Inverse von

13.6 Beispiele

357

⎡

S1,1 ⎢ 0 ⎢ S=⎢ ⎢ ··· ⎣ ··· 0 ⎡

durch S

−1

⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

0 S2,2 ··· ··· 0

⎤

··· 0 ··· 0 ⎥ ⎥ ··· ··· ⎥ ⎥ ··· ··· ⎦ · · · Sn,n

0 ··· 0 1 ··· 0 0 S2,2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1 0 0 · · · Sn,n

1 S1,1

(13.48)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(13.49)

mit

Mi Ci , (i = 1 − n) (13.50) + 2 Δt 2Δt leicht bestimmbar ist, von großer Bedeutung. Die extrem schnellen, nichtlinearen Crash-Programme, die während einer Berechnung Hunderttausende von Integrationsschritten durchführen und dabei laufend neue Matrizen berechnen, verwenden dieses oder davon abgeleitete Verfahren. Die Zeitschritte, mit denen die Bewegungen eines Bauteils noch befriedigend berechnet werden können, sind deutlich kleiner als beim Newmark-Prozess, dafür laufen die Berechnungen sehr einfach und sind hervorragend parallelisierbar, also auf Rechnern mit mehreren oder vielen Prozessoren sehr schnell. Des Weiteren kommen sie mit wenig Speicherplatz aus, da die Matrizen in Gleichung (13.50) niemals vollständig aufgestellt werden müssen. Si,i =

13.6 Beispiele Bisher vorgestellte Lösungsansätze sollen an Beispielen diskutiert werden: • Dehnschwingungen im Zugstab und • Biegeschwingungen im Biegebalken. Im Wesentlichen werden drei Modelle analysiert: 1. Die analytische Lösung, die sich aus der Lösung der Differenzialgleichung ergibt, 2. die Lösung nach der FE-Methode, wobei die Massen kontinuierlich verteilt sind und 3. die Lösung nach der FE-Methode, wenn die Massen an diskreten Punkten konzentriert werden. Zunächst werden die benötigten Massen- und Steifigkeitsmatrizen allgemein aufbereitet.

358

13 Dynamik

13.6.1 Bereitstellung von Massen- und Steifigkeitsmatrizen Die generelle Berechnungsvorschrift für die Massenmatrix

Me = ρN T N dΩ

(13.51)

bei kontinuierlich verteilter Masse und für die Steifigkeitsmatrix

e K = B T DB dΩ

(13.52)

Ω

Ω

sind aus früheren Kapiteln bekannt. Im Folgenden wird der Sachverhalt an Beispielen diskutiert. Dehnschwingungen im Stab In Abbildung 13.4 ist der Stab mit den Freiheitsgraden skizziert, die für die Analyse des dynamischen Verhaltens zugrunde gelegt werden. Die Bezeichnungen sind eng an die Definition der Freiheitsgrade in der Statik angelehnt. Neben der Verschiebung u(x) ist auch die Beschleunigung u ¨(x) Zustandsgrö-

.. u (x ), u (x )

r , E , A

L

x

Abb. 13.4 Stab mit Freiheitsgraden für die Dynamik

ße des betrachteten Systems. In Abbildung 13.5 ist das Stabelement mit den Freiheitsgraden für einen linearen Ansatz dargestellt. Mit linearen Ansatzfunktionen ergeben sich die Massenmatrix   ρAL 2 1 e (13.53) M = 12 6 und Steifigkeitsmatrix

  EA 1 −1 K = . L −1 1

(13.54)

¨ e + K e ue M eu

(13.55)

e

Der Ausdruck

13.6 Beispiele

1

u 1,u

359

2

.. 1

u 2,u

r , E , A

.. 2

L x

x

2

1

Abb. 13.5 Stab mit linearem Ansatz

lässt sich damit schreiben als       ρAL 2 1 EA 1 −1 u ¨1 u1 + . u ¨2 u2 12 6 L −1 1

(13.56)

In Abbildung 13.6 ist das Stabelement mit den Freiheitsgraden für einen quadratischen Ansatz dargestellt. Mit einer quadratischen Ansatzfunktion

1

u 1,u

2

.. 1

1

r , E , A

2

x

u 2,u

3

..

1

L 2

x 1

u 3,u

2

.. 3

L

2

x 3

Abb. 13.6 Stabelement mit quadratischem Ansatz

ergeben sich die Massenmatrix ⎡ ⎤ 4 2 −1 ρAL ⎣ 2 16 2 ⎦ Me = 30 −1 2 4 und Steifigkeitsmatrix zu:

(13.57)

360

13 Dynamik

⎡

Ke =

⎤

7 −8 1 EA ⎣ −8 16 −8 ⎦ . 3L 1 −8 7

(13.58)

Der Ausdruck ¨ e + K e ue M eu

(13.59)

lässt sich damit schreiben als ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 4 2 −1 u ¨1 7 −8 1 u1 ρAL ⎣ EA ⎣ ¨2 ⎦ + 2 16 2 ⎦ ⎣ u −8 16 −8 ⎦ ⎣ u2 ⎦ . 30 3L u ¨3 u3 −1 2 4 1 −8 7

(13.60)

Biegeschwingungen im Balken In Abbildung 13.7 ist der Biegebalken mit den Freiheitsgraden skizziert, die für die Analyse des dynamischen Verhaltens zugrunde gelegt werden. Die Bezeichnung ist eng an die Definition der Freiheitsgrade in der Statik angelehnt. Zunächst soll der Einfluss der Drehträgheit vernachlässigt werden. Der Sach-

L

r , E I .. j (x ),j (x )

z

.. u z( x ) , u z( x )

x

Abb. 13.7 Biegebalken mit Freiheitsgraden für die Dynamik

verhalt wird weiter unten vorgestellt. Aus der Statik ist bereits die Beziehung bekannt, wie die Durchbiegung uz (x) an einer beliebigen Stelle x mit den festen Knotengrößen u1z , ϕ1y , u2z und ϕ2y verknüpft ist. Grundlage dafür ist ein Ansatz für die Verschiebungen in der Form 4

uz (x) = Ni (x) ui . (13.61) i

Mit den vier Formfunktionen

13.6 Beispiele

361

3x2 2x3 + 3 , 2 L L x3 2x2 − 2, N2 (x) = −x + L L 3x2 2x3 N3 (x) = 2 − 3 , L L x3 x2 N4 (x) = − 2 L L N1 (x) = 1 −

(13.62)

erhält man für die Deformation die Beschreibung   2x2 3x2 2x3 x x3 uz (x) = 1 − 2 + 3 u1z + − + 2 − 3 L L L L L  2  2 3x x 2x3 x3 + − 3 u2z + − 3 L ϕ2y L2 L L2 L

L ϕ1y (13.63)

über Knotenwerte und Formfunktionen. Aus der Berechungsvorschrift für die Massenmatrix (13.51) lassen sich mit den Formfunktionen die Einzeleinträge ermitteln. Für den Biegebalken ergeben sich insgesamt 16 Einträge für die Massenmatrix. Exemplarisch wird die Berechnung an den beiden Einträgen m11 und m12 aufgezeigt. Aus dem Matrixelement m11

L 2x3 3x2 m11 = ρA 1 − 2 + 3 dx L L

0 L  2 4x3 9x4 12x5 4x6 6x = ρA 1 − 2 + 3 + 4 − 5 + 6 dx L L L L L (13.64) 0  2x3 x4 9x5 2x6 4x7 L = ρA x − 2 + 3 + − 5 + | L L 5L4 L 7L6 0 156 ρAL = 420 dem Matrixelement m12

L 2x3 3x2 m12 = ρA 1− 2 + 3 L L 0 22 2 ρAL , = 420

 2x2 x3 x · − + 2 − 3 L L L

L dx

(13.65)

bis hin zum Matrixelement m44

L

m44 = ρA 0



x2 x3 − L2 L3

ergibt sich die gesamte Massenmatrix

2

· L2 dx =

4 ρAL3 420

(13.66)

362

13 Dynamik

⎡ ρ AL ⎢ ⎢ M= 420 ⎣

156 −22L 54 4L2 −13L 156 sym.

⎤

13L −3L ⎥ ⎥ 22L ⎦ 4L2

(13.67)

zur Beschreibung der Biegeschwingung im Biegebalken. Bisher wird der Einfluss der Querschnittsrotation vernachlässigt. Neben der Auslenkung uz in Richtung z rotiert der Querschnitt um die y-Achse. Für das Schwingungsverhalten wird zusätzlich die Drehträgheit berücksichtigt. Die gesamte Massenmatrix ⎤ ⎡ 156 −22L 54 13L ρAL ⎢ 4L2 −13L −3L2 ⎥ ⎥ ⎢ (13.68) Me = ⎣ 156 22L ⎦ 420 2 sym. 4L ⎤ ⎡ 36 −3L −36 3L ⎢ ρ A L Iy 4L2 3L −L2 ⎥ ⎥ ⎢ + (13.69) ( ) 36 −3L ⎦ 30 A · L2 ⎣ 2 sym. 4L lässt sich in einen translatorischen und rotatorischen Anteil zerlegen. Der Ausdruck Iy steht für das axiale Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung um die y-Achse. Die erste Matrix entspricht der bereits bekannten Matrix aus der Betrachtung ohne rotatorischen Anteil.

13.6.2 Dehnschwingungen im Zugstab Ausgangspunkt ist ein prismatischer Zugstab, der kontinuierlich mit Masse (Dichte ρ) belegt ist und dessen Elastizitätsmodul E und Querschnittsfläche A konstant ist. Gesucht sind die Eigenfrequenzen.

r , E , A

x Abb. 13.8 Stab, eingespannt

L

13.6 Beispiele

363

Aus der Differenzialgleichung für die Dehnschwingungen eines Zugstabes ∂ 2 u(x, t) E ∂ 2 u(x, t) = 2 ∂t ρ ∂x2

(13.70)

ergeben sich die Eigenfrequenzen zu: 2n − 1 ω= π 2

+ E . ρL2

(13.71)

Die ersten Eigenfrequenzen errechnen sich für n = 1, 2, 3, 4 zu: 1 π 2 3 ω2 = π 2 5 ω3 = π 2 7 ω4 = π 2 ω1 =

% = 1, 5708 E/ρL2 ,

(13.72)

% = 4, 7124 E/ρL2 ,

(13.73)

% = 7, 854 E/ρL2 ,

(13.74)

% = 10, 99 E/ρL2 .

(13.75)

Eine Finite-Elemente-Diskretisierung mit kontinuierlich verteilter Masse ist in nachstehender Skizze dargestellt. Die Gesamtmassen- und Steifigkeitsma-

0

u 0,u

1

.. 0

u 1,u

i 1

u i, u

n

.. i

u n,u

.. n

. . . . .

r , E , A L

Abb. 13.9 FE-Diskretisierung für Dehnschwingungen im Zugstab

trix lässt sich aufstellen, indem die für ein einziges Element formulierten Matrizen geeignet kombiniert werden. Somit erhält man insgesamt die Bewegungsgleichung: ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 21 u ¨ 0 ⎥ u0 ⎢ −1 2 −1 ⎥ ⎢1 4 1 ⎥ ⎢ u1 ⎥ ⎢ ⎥⎢u ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ¨1 ⎥ ⎢ 1 4 1 −1 2 ⎥ ⎢ u2 ⎥ ⎢ ⎥⎢u ⎢ ⎥ ¨ 2 ⎥ +k ⎢ m⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 0 (13.76) ⎥ .. .. .. .. .. .. ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎢ . . . . . . ⎥⎣ . ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ .. ⎦ ⎢ ⎣ ⎣ −1 2 −1 ⎦ 1 4 1⎦ u ¨n un −1 2 1 2

364

13 Dynamik ρA 1 L

mit m = 6n und k = EA . An der Eisnpannstelle gelten die Randbedin1 nL gungen u ¨0 = 0 (keine Beschleunigung) und u0 = 0 (keine Verschiebung). Damit kann die erste Zeile und die jeweils erste Spalte einer Matrix aus dem gesamten Gleichungssystem ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 −1 4 1 u ¨ 1 ⎥ u1 ⎥ ⎢ −1 2 ⎢1 4 1 ⎥ ⎢ u2 ⎥ ⎥ ⎢ ¨2 ⎥ EA ⎢ ρA n1 L ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ .. .. .. ⎥ ⎢ u ⎥ .. .. .. ⎥ ⎢ .. ⎥ = 0 ⎥ ⎢ .. ⎥ + 1 ⎢ ⎢ . . . . . . ⎥⎣ . ⎦ ⎥⎣ . ⎦ ⎢ 6 ⎢ L n ⎣ ⎣ −1 2 −1 ⎦ 1 4 1⎦ u ¨N un −1 2 12 (13.77) gestrichen werden. Die Matrizen haben keine Diagonalgestalt. Zwischen zwei Knoten (i) und (i + 1) liegt jeweils eine Teilmasse. Dies führt zu Nebendiagonalen. In einem Knotenpunkt (i) stoßen zwei ’Finite Massen’ zusammen, im Endpunkt nur eine. Dies macht sich auf der Hauptdiagonalen im letzten Eintrag bemerkbar. Beide Matrizen haben eine Bandstruktur mit einer Bandbreite 3. Lumped-Mass-Ersatzsystem (LMM) Für ein LMM-Ersatzsystem wird die kontinuierlich verteilte Masse auf diskrete Punkte konzentriert. Bei der Modellierung des Stabes ist zu beachten, dass

0

u 0,u

1

.. 0

u 1,u

i

u i, u

1

n

.. . . . . .

m 0

m 1

m i

L

u n,u

i

.. n

E , A m n

Abb. 13.10 FE-Diskretisierung (konzentrierte Massen) für Dehnschwingungen im Zugstab

am Stabanfang und Stabende jeweils nur m/2 anzubringen ist. Die Massenund Steifigkeitsmatrix erhält man analog zu obiger Vorgehensweise. In der Bewegungsgleichung mit n + 1 Knoten können die erste Zeile und die erste Spalte gestrichen werden, da für die Verschiebung u0 = 0 und die Beschleunigung u ¨0 = 0 gilt:

13.6 Beispiele

365

⎡

1 ⎢ 1 0 ⎢ ⎢ 1 1 ⎢ ρA L ⎢ .. n ⎢ . ⎢ ⎣ 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2

⎤

⎡

2 −1 ⎤ ⎥ ⎢ −1 2 −1 u ¨1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎢ ⎥ −1 2 −1 ⎥ ⎢ ¨2 ⎥ EA ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ + 1 ⎢ .. .. .. ⎥ ⎢ ⎣ . ⎦ L . . . n ⎥ ⎢ ⎣ 0 −1 2 −1 ⎦ u ¨n −1 1 ⎡

⎡

⎤ u1 ⎢ u2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ = 0 . ⎣ . ⎦ un

(13.78) Zu beachten: Die Massenmatrix hat Diagonalgestalt, die Steifigkeitsmatrix hat Bandstruktur mit der Bandbreite 3.

13.6.2.1 Lösungen mit linearen Ansatzfunktionen Die Anzahl der Finiten Elemente hat entscheidenden Einfluss auf die Genauigkeit der Ergebnisse. Zunächst wird der Zugstab mit linearen, später mit quadratischen Ansatzfunktionen diskretisiert. Vorgestellt wird jeweils die Lösung mit kontinuierlich verteilten und konzentrierten Massen. Kontinuierlich verteilte Massen Zunächst wird der gesamte Stab als Einzelelement betrachtet.

0

u 0,u

1

.. 0

u 1,u

r , E , A

.. 1

L x 0

x 1

Abb. 13.11 Ein Element mit verteilter Masse

Mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix     ρAL 2 1 EA 1 −1 M= und K= 12 6 L −1 1 ergibt sich die Bewegungsgleichung als

(13.79)

366

13 Dynamik



21 12





E u ¨0 +6 2 u ¨1 ρL



1 −1 −1 1



u0 u1



  0 = . 0

(13.80)

u = 0) Am Knoten 0 mit der Koordinate x0 treten keine Beschleunigung (¨ und keine Verschiebung (u = 0) auf. Die erste Zeile des Gleichungssystems kann damit gestrichen werden. Aus der zweiten Zeile ergeben sich zwei Gleichungen: E E , 2¨ u1 + 6 2 u1 = 0 . (13.81) u ¨ 1 − 6 2 u1 = 0 ρL ρL Mit dem Ansatz u1 = u ˆ1 e(iωt) erhält man aus der ersten Gleichung: +  E E 2 (13.82) ˆ1 = 0 ⇒ ω = 6 2 i . −ω − 6 2 u ρL ρL Die zweite Gleichung führt auf: 

E −2ω 2 + 6 2 ρL

⇒

u ˆ1 = 0

beziehungsweise

ω=

√

+ 3

E ρL2

(13.83)

+ E ρL2

ω = 1, 7321

(13.84)

.

Das Ergebnis weicht deutlich von der der analytischen Lösung ab. Eine Verbesserung wird erzielt durch eine Diskretisierung mit zwei finiten Elementen. Zwei Elemente Das System besteht aus zwei finiten Elementen mit linearen Ansatzfunktionen und 3 Knoten 0, 1 und 2 an den Koordinaten x0 , x1 und x2 . An der

0

u 0,u

1

.. 0

r , E , A

1 2

x 0

u 1,u

2

.. 1

r , E , A

1

L 2

x 1

Abb. 13.12 Zwei Elemente mit verteilten Massen

u 2,u

L x 2

.. 2

13.6 Beispiele

367

Einspannstelle treten keine Beschleunigungen (¨ u = 0) und keine Verschiebungen u = 0 auf. Aus obigen Überlegungen lassen sich die reduzierte Massenund Steifigkeitsmatrix     ρA 12 L 4 1 EA 2 −1 M red = (13.85) und K red = 1 −1 1 12 6 2L aufstellen, so dass man folgende charakteristische Gleichung    −4λ2 + 2 −1λ2 − 1  ! 2   2 2   = 1 + λ2  −1λ2 − 1 −2λ2 + 1  = 0 ⇒ 2 1 − 2λ

(13.86)

mit den Abkürzungen 1 ρ 14 L2 2 ω 6 E erhält. Es ergeben sich zwei Lösungen √ √ 2−1 1+ 2 2 2 √ und λ2 = √ , λ1 = 1+2 2 2 2−1 λ2 =

(13.87)

(13.88)

die voll ausgeschrieben lauten: ω12 =

ω22

+

√

2−1 E √ 1 + 2 2 ρL2

24

√  24 1 + 2 E √ = 2 2 − 1 ρL2

⇒

ω1 = 1, 61

E , ρL2

(13.89)

E . ρL2

(13.90)

+ ⇒

ω2 = 5, 63

Die Werte für die Eigenfrequenzen weichen noch deutlich von den analytischen Lösungen ab. Die nächste Vereinfachung entspricht einer Aufteilung des Stabes in drei finite Elemente. Drei Elemente Das System besteht aus drei finiten Elementen mit linearen Ansatzfunktionen und 4 Knoten 0, 1, 2 und 3 an den Koordinaten x0 , x1 , x2 und x3 . An der Einspannstelle treten keine Beschleunigungen (¨ u0 = 0) und keine Verschiebungen (u0 = 0) auf. Damit können aus dem Gleichungssystem die erste Zeile und die erste Spalte gestrichen werden. Es verbleiben die reduzierte Massenund Steifigkeitsmatrix ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 −1 0 410 1 L ρA EA 3 ⎣1 4 1⎦ und K red = 1 ⎣ −1 2 −1 ⎦ , M red = 6 3L 0 −1 1 012 (13.91)

368

13 Dynamik

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

2

..

3

x

1

L 3

x 0

3

.. 3

r , E , A 1

L 3

x 1

u 3,u

2

r , E , A

r , E , A 1

.. u 2,u

1

L x

2

3

Abb. 13.13 Drei Elemente mit verteilten Massen

mit denen sich folgende charakteristische Gleichung    −4λ2 + 2 −1λ2 − 1  0   !  −1λ2 − 1 −2λ2 + 1 −1λ − 1  =   0   0 −1λ 1

(13.92)

mit den Abkürzungen λ2 =

1 ρ( 13 L)2 2 1 1 ρL2 2 ω = ω 6 E 6 9 E

(13.93)

gewinnen lässt. Es ergeben sich drei Lösungen √ √ 2− 3 1 2+ 3 2 2 2 √ √ , λ3 = λ1 = , λ2 = 2 4+ 3 4− 3 die sich ausführlich schreiben als √  54 2 − 3 E √ ω1 = 4 + 3 ρL2 E ω2 = 27 2 ⇒ ρL √  54 2 + 3 E √ ω3 = 4 − 3 ρL2

& ⇒

ω1 = 1, 59

ρL2 , E

,

(13.94)

(13.95)

&

ρL2 , E & ρL2 . ω3 = 9, 43 E

ω2 = 5, 19

(13.96)

⇒

(13.97)

Die Abweichungen zur analytischen Lösung werden weiter hinten dargestellt. Lumped-Mass-Methode (LMM) Im Rahmen dieser Methode werden Diskretisierungen mit einem, zwei und drei finiten Elementen vorgestellt. Zunächst betrachte man eine Diskretisie-

13.6 Beispiele

369

rung mit nur einem Element. Aus Gleichung (13.78) erhält man direkt

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

.. 1

E , A 1

m

1

L

2

x

m 2

x 0

1

Abb. 13.14 Ein Element mit konzentrierten Massen an den Enden

− ω 2 ρAL · und daraus die Lösung √

ω=

1 EA + =0 2 L

(13.98)

+ 2

E ρL2

(13.99)

für die Eigenfrequenz. Dieses Ergebnis weicht deutlich von der analytischen Lösung ab. Zwei Elemente Durch eine Verfeinerung der Diskretisierung mit zwei Elementen kann eine bessere Lösung erzielt werden. Das System besteht aus zwei finiten Elementen

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

4

m 1

x

2

0

L

u 2,u

1

.. 2

E , A

E , A 1

2

..

1

m 2

x

1 2

1

1

L x

4

m

2

Abb. 13.15 Zwei Elemente mit konzentrierten Massen

mit linearen Ansatzfunktionen und 3 Knoten 0, 1 und 2 an den Koordinaten

370

13 Dynamik

x0 , x1 und x2 . Mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 100 2 −1 0 EA 1 ⎣ K = 1 ⎣ −1 2 −1 ⎦ M = ρA L 0 1 0 ⎦ 2 1 2L 0 −1 1 00 2 ergibt sich die Bewegungsgleichung zu: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 100 u ¨0 2 −1 0 u0 E ⎣0 1 0 ⎦⎣u ¨1 ⎦ + 1 2 ⎣ −1 2 −1 ⎦ ⎣ u1 ⎦ = 0 . ρ4L u ¨2 u2 0 −1 1 0 0 12

(13.100)

(13.101)

An der Einspannstelle treten keine Beschleunigung (¨ u0 = 0) und keine Verschiebungen (u0 = 0) auf. Die erste Zeile und erste Spalte kann aus dem System gestrichen werden. Aus      2 −1 2 1 0 + =0 (13.102) det −λ −1 1 0 12 mit λ2 = erhält man über    −λ2 + 2  −1    −1 − 1 λ2 + 1  = 0 2 die Lösungen λ21 = 2 − schreiben als

√

⇒

1 ρL2 2 ω 4 E 

2 − λ2

2 und λ22 = 2 +

√  E ω12 = 4 2 − 2 ρL2 

2

√

(13.103)

⇒

=2

√ 2 − λ2 = ± 2

(13.104) 2. Diese lassen sich ausführlich +

⇒

ω1 = 1, 53

E ρL2

(13.105)

E . ρL2

(13.106)

und ω22



√  E =4 2+ 2 ρL2

+ ⇒

ω2 = 3, 70

Die Lösungen weichen deutlich von den analytischen Lösungen ab. Drei Elemente Bei der nächsten Verfeinerung wird der Zugstab mit 3 Elementen diskretisiert. Damit sind 4 Knoten (0, 1, 2, 3) an den Koordinaten x0 , x1 , x2 und x3 im System. Am Knoten 0 ist der Stab eingespannt. An der Einspannstelle treten keine Beschleunigung (¨ u0 = 0) und keine Verschiebungen u0 = 0 auf. Damit können jeweils die ersten Zeilen und Spalten aus der Massen- und

13.6 Beispiele

0

371

u 0,u

1

..

u 1,u

0

E , A 1 6

1

x

3

L

0

1

x

3

L

1

1

m 3

1

u 3,u

2

.. 3

E , A 1

m 3

3

.. u 2,u

E , A 1

m

2

..

6

x

1 3

L x

2

m

3

Abb. 13.16 Drei Elemente mit konzentrierten Massen

Steifigkeitsmatrix gestrichen werden. Es verbleiben die reduzierten Matrizen ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 100 2 −1 0 1 EA (13.107) M red = ρA L ⎣ 0 1 0 ⎦ und K red = 1 ⎣ −1 2 −1 ⎦ . 3 1 3L 0 −1 1 00 2 Mit der Abkürzung 1 ρL2 2 ω (13.108) 9 E erhält man die Determinate und die charakteristische Gleichung    −λ2 + 2 −1  0   !  2    −1 −λ2 + 2 =0 ⇒ −1 =0 2 − λ2 2 − λ2    0 −1 − 12 λ2 + 1  (13.109) und daraus die Lösungen 2 2 √ √ √ λ 1 = 2 − 3 , λ2 = 2 , λ3 = 2 + 3 , (13.110) λ2 =

aus denen sich die Eigenfrequenzen zu & & ρL2 ρL2 , ω2 = 4, 24 ω1 = 1, 55 E E

& ,

ω3 = 5, 78

ρL2 E

(13.111)

ermitteln lassen. In nachstehender Tabelle sind sämtliche Ergebnisse zusammengefasst. Aufgeführt sind die relativen Fehler in % für die FE-Lösungen mit kontinuierlich verteilten und diskretisierten Massen (LMM). Die Fehler beziehen sich auf die analytische Lösung. Bemerkungen: Aus dem Vergleich in obiger Tabelle liest man ab, dass die Lumped-Mass-Methode (LMM) zu niedrige Werte liefert, während man

372

13 Dynamik

Tabelle 13.1 Relativer Fehler in % bezüglich der analytisch ermittelten Eigenfrequenzen auf der Basis von Elementen mit linearer Ansatzfunktion Anzahl Elemente 1 2 3 Eigenfrequenzen 1. 1. 2. 1. 2. 3. FEM + 10,27 + 2,59 + 19,5 + 1,13 + 8,23 + 20,1 LMM - 9,97 - 2,55 - 21,5 - 1,14 - 9,96 - 26,4

nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) zu hohe Werte erhält. Durch die Konzentration der kontinuierlichen Masse in den Knotenpunkten werden die Trägheitswirkungen vergrößert, wodurch die Eigenfrequenzen kleiner werden. Hingegen werden die Trägheitswirkungen verkleinert, wenn man nach der FEM eine Massenmatrix M verwendet, die auf einer linearen Formfunktionsmatrix N basiert. Das hat zu große Eigenfrequenzen zur Folge. Mithin hat man eine untere Schranke (LMM) und eine obere Schranke (FEM) zur Eingabelung der exakten Lösung gefunden. Benutzt man quadratische Interpolationsfunktionen, so erhöht sich natürlich der Rechenaufwand. Man kommt jedoch mit einer geringeren Anzahl von Elementen aus, um vergleichbare Ergebnisse zu erzielen.

13.6.2.2 Der Zugstab mit quadratischen Ansatzfunktionen Die Problemstellung wird ähnlich zu dem vorangegangenem Abschnitt beschrieben (siehe Abbildung 13.11). Im Unterschied zu einem linearen Ansatz wird bei einem quadratischen Ansatz das Element mit 3 Knoten beschrieben. Zunächst werde der gesamte Stab mit einem einzigen Element repräsentiert. Das System besteht aus einem finiten Element mit quadratischer Ansatzfunk-

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

4

m L x 0

u 2,u

1

..

E , A

E , A 1

2

..

1

1

m 2

x 1

4

x

m

2

Abb. 13.17 Ein Element mit verteilter Masse und quadratischer Ansatzfunktion

tion und 3 Knoten 0, 1 und 2 an den Koordinaten x0 , x1 und x2 .

2

13.6 Beispiele

373

Mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix für quadratische Ansatzfunktionen nimmt die Bewegungsgleichung folgende Form an ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ 7 −8 1 u0 0 4 2 −1 u ¨0 10E ⎣ −8 16 −8 ⎦ ⎣ u1 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ , ⎣ 2 16 2 ⎦ ⎣ u ¨1 ⎦ + (13.112) ρL2 u ¨2 u2 1 −8 7 0 −1 2 4 die sich aufgrund der Randbedingungen an der Einspannstelle u ¨0 = 0, u0 = 0 zu         10E 16 −8 16 2 u ¨1 u1 0 + = (13.113) 2 2 4 u ¨2 u −8 7 0 ρL 2 vereinfachen lässt. Mit der Abkürzung λ2 =

ρL2 2 ω 10E

erhält man die charakteristische Gleichung    −16λ2 + 16 −2λ2 − 8  !   ⇒  −2λ2 − 8 −4λ2 + 7  = 0

(13.114)

λ4 −

52 2 4 λ =− 15 5

(13.115)

mit den Lösungen

1√ 26 ± 496 15 15 die sich ausführlich schreiben lassen als λ2 =

(13.116)

, +

ω12

E = 2, 486 2 ρL

ω22

E = 32, 18 2 ρL

⇒

ω1 = 1, 57

E ρL2

(13.117)

E . ρL2

(13.118)

+

und ⇒

ω2 = 5, 67

Im Gegensatz zu den exakten Werten ist ω1 mit einem Fehler von +0,38% und ω2 mit einem Fehler von +20,4% behaftet. Ein etwas schlechterer Wert für ω1 mit einem Fehler von + 1,13% wurde auf Basis eines linearen Verschiebungsansatzes erst durch eine Aufteilung des Stabes in drei finite % Elemente erzielt. Für ein Einzelelement wurde ein Wert von ω1 = 1, 7321 E/ρL2 erzielt, der mit einem Fehler von 10,27% behaftet ist. Somit konnte durch einen quadratischen Verschiebungsansatz der Wert für ω1 um +9,89% verbessert werden. Um einen vergleichbaren Wert für ω2 zu erhalten, benötigte man zwei finite Elemente.

374

13 Dynamik

Zwei Elemente Mit dieser Modellierung teilt man den Stab in zwei Elemente mit quadratischen Ansatzfunktionen ein. Das System besteht aus insgesamt 5 Knoten

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

2

.. 1

3

..

u 2,u

u 3,u

2

8

1

m

m

x

4

0

x

1 2

L

u 4,u

3

.. 4

E , A

E , A 1

4

..

1

m 4

x 1

1 2

L

2

1 4

1

m 8

x

x 3

m

4

Abb. 13.18 Zwei Elemente mit verteilten Massen und quadratischer Ansatzfunktion

0, 1, 2, 3 und 4 an den Koordinaten x0 , x1 , x2 , x3 und x4 . Die Massenmatrix

⎡

⎤ 0 0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥ 2 ⎦ 4

(13.119)

⎤ 7 −8 1 0 0 ⎢ −8 16 −8 0 0 ⎥ ⎥ EA ⎢ 1 −8 14 −8 1 ⎥ K= 1 ⎢ ⎢ 3 2 L ⎣ 0 0 −8 16 −8 ⎥ ⎦ 0 0 1 −8 7

(13.120)

4 2 −1 ⎢ 2 16 2 1 ρA 2 L ⎢ ⎢ −1 2 8 M= 30 ⎢ ⎣ 0 0 2 0 0 −1

0 0 2 16 2

und die Steifigkeitsmatrix ⎡

haben die Dimension 5. An der Einspannstelle treten keine Beschleunigung (¨ u0 = 0) und keine Verschiebung (u0 = 0) auf. Damit kann die erste Zeile und die jeweils erste Spalte der Matrizen gestrichen werden. Aus der Bewegungsgleichung ⎡ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ 0 16 −8 0 0 16 2 0 0 u1 u ¨1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 2 8 2 −1 ⎥ ⎢ u ⎥ ⎢ 40E ¨ u −8 14 −8 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ (13.121) ⎥⎢ 2⎥ + ⎣ 0 2 16 2 ⎦ ⎣ u ¨3 ⎦ ρL2 ⎣ 0 −8 16 −8 ⎦ ⎣ u3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0 u ¨4 u4 0 1 −8 7 0 −1 2 4

13.6 Beispiele

375

lässt sich das Eigenwertproblem ⎛ ⎡ ⎡ ⎤ 16 2 0 0 16 −8 ⎜ 2 ⎢ 2 8 2 −1 ⎥ 40E ⎢ −8 14 ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ det ⎝−ω ⎣ + 0 2 16 2 ⎦ ρL2 ⎣ 0 −8 0 −1 2 4 0 1

⎤⎞ 0 0 ⎟ −8 1 ⎥ ⎥⎟ = 0 ⎦ 16 −8 ⎠ −8 7

(13.122)

formulieren, aus dem sich die Lösungen für ω 2 bzw. die Eigenfrequenzen ω + E E 2 ω1 = 2, 468664757 2 ⇒ ω1 = 1, 5712 , (13.123) ρL ρL2 + ω22

E = 22, 94616601 2 ρL

⇒

ω2 = 4, 7902

E , ρL2

(13.124)

+ E ω32 = 77, 06313717 2 ρL

⇒

E ρL2

⇒

ω42 = 198, 6985027

E , ρL2 + E ω4 = 14, 0961 ρL2 ω3 = 8, 7786

(13.125)

(13.126)

ermitteln lassen. Die Abweichungen zu den analytischen Lösungen sind deutlich geringer im Vergleich zu den mit linearen Ansatzfunktionen erzielten Näherungen. Methode mit konzentrierten Massen (LMM) Im ersten Diskretisierungsschritt besteht das System aus einem einzigen finiten Element mit quadratischer Ansatzfunktion und 3 Knoten 0, 1 und 2 an den Koordinaten x0 , x1 und x2 . Mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 100 7 −8 1 EA ρAL ⎣ ⎣ −8 16 −8 ⎦ 0 2 0⎦ und K= M= 4 3L 001 1 −8 7 nimmt die Bewegungsgleichung folgende Gestalt an: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 100 u ¨0 7 −8 1 u0 0 4 E ⎣ ⎣0 2 0⎦⎣u ⎦ ⎣ u1 ⎦ = ⎣ 0 ⎦ . ¨1 ⎦ + −8 16 −8 3 ρL2 u ¨2 u2 001 1 −8 7 0

(13.127)

(13.128)

An der Einspannstelle treten keine Beschleunigung (¨ u0 = 0) und keine Ver-

376

13 Dynamik

0

u 0,u

1

..

u 1,u

0

2

..

4

1

m

x 0

1

m 2

L x

.. 2

E , A

E , A 1

u 2,u

1

4

x 1

m

2

Abb. 13.19 Ein Element mit konzentrierten Massen und quadratischer Ansatzfunktion

schiebung (u0 = 0) auf. Damit kann die erste Zeile und die jeweils erste Spalte der Matrizen gestrichen werden. Mit der Abkürzung λ2 =

3 ρL2 2 ω 4 E

(13.129)

erhält man die charakteristische Gleichung    −2λ2 + 16 −8  !  =0 ⇒ (λ2 − 8)(λ2 − 7) = 32  −8 −λ2 + 7 

(13.130)

und damit die Lösungen für λi λ22,1 =

1√ 15 ± 129 2 2

und daraus die Eigenfrequenzen + E ω2 = 4, 192 und ρL2

(13.131)

+ ω1 = 1, 558

E . ρL2

(13.132)

Gegenüber dem exakten Faktor von 1,5708 ist der Näherungswert ω1 mit einem Fehler von -8% behaftet, während ω2 um -11,04% abweicht. Man vergleiche diese Ergebnisse mit den entsprechenden Fehlern von +0,38% und +20,4%, die sich ergeben, wenn man die äquivalente Massenmatrix verwendet anstelle des Lumped-Mass-Systems. Zwei Elemente In diesem Diskretisierungsschritt besteht das System aus zwei finiten Elementen mit quadratischen Ansatzfunktionen und 5 Knoten 0, 1, 2, 3 und 4 an den Koordinaten x0 , x1 , x2 , x3 und x4 . Mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix

13.6 Beispiele

0

377

1

..

u 0,u

u 1,u

0

2

..

u 2,u

1

3

..

u 3,u

2

8

1

m 1

x

2

L

1

m 4

1

m 4

4

1

m 8 1

x

0

u 4,u

3

.. 4

E , A

E , A 1

4

..

x 1

x 2

2

L

3

x

m

4

Abb. 13.20 Zwei Elemente mit konzentrierten Massen und quadratischer Ansatzfunktion

⎡

1 ⎢0 1 ρA 2 L ⎢ ⎢0 M= 4 ⎢ ⎣0 0

0 2 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 2 0

⎤ 0 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ 1

⎡

⎤ 7 −8 1 0 0 ⎢ −8 16 −8 0 0 ⎥ ⎥ EA ⎢ 1 −8 14 −8 1 ⎥ K= 1 ⎢ (13.133) ⎢ 3 2 L ⎣ 0 0 −8 16 −8 ⎥ ⎦ 0 0 1 −8 7

und

erhält man unter Berücksichtigung der Randbedingungen (¨ x0 = 0, x0 = 0) die Bewegungsgleichung: ⎡ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ 0 16 −8 0 0 2000 u1 u ¨1 ⎥ 16 E ⎢ −8 14 −8 1 ⎥ ⎢ u2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 2 0 0⎥⎢u ¨ 2 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎥ + (13.134) ⎣0 0 2 0⎦⎣u ¨3 ⎦ 3 ρL2 ⎣ 0 −8 16 −8 ⎦ ⎣ u3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0 u ¨4 u4 0 1 −8 7 0001 Aus der Lösung des ⎛ ⎡ 2 ⎜ 2 ⎢0 ⎢ det ⎜ ⎝−ω ⎣ 0 0

Eigenwertproblems ⎡ ⎤ ⎤⎞ 000 16 −8 0 0 ⎢ ⎥⎟ 2 0 0⎥ ⎥ + 16 E ⎢ −8 14 −8 1 ⎥⎟ = 0 ⎣ ⎦ 2 020 0 −8 16 −8 ⎦⎠ 3 ρL 001 0 1 −8 7

(13.135)

erhält man die 4 reellen Lösungen + E ω12 = 2, 459021 2 ρL

⇒

ω1 = 1, 5681

E , ρL2

(13.136)

+ ω22

E = 21, 16383 2 ρL

⇒

E ρL2

⇒

ω32 = 55, 064934

E , ρL2 + E ω3 = 7, 4206 , ρL2

ω2 = 4, 6004

(13.137)

(13.138)

378

13 Dynamik

+ ω42 = 81, 3122153

E ρL2

⇒

ω4 = 9, 0173

E ρL2

(13.139)

für ωi2 bzw. die 4 Eigenfrequenzen ωi . Bemerkung: Die nach der LMM genäherten Eigenfrequenzen sind kleiner als die analytisch ermittelten (untere Schranke). In nachstehender Tabelle sind sämtliche Ergebnisse zusammengefasst. Aufgeführt sind die relativen Fehler in % für die FE-Lösungen mit kontinuierlich verteilten und diskretisierten Massen (LMM). Die Fehler beziehen sich auf die analytische Lösung. Tabelle 13.2 Relativer Fehler in % bezüglich der analytisch ermittelten Eigenfrequenzen auf der Basis von Elementen mit quadratischer Ansatzfunktion Anzahl Elemente 1 2 Eigenfrequenzen 1. 2. 1. 2. 3. 4. FEM + 0,38 + 20,4 + 0,03 + 1,65 + 11,77 + 28,0 LMM - 0,8 - 11,04 - 0,17 - 2,38 - 5,52 - 18,0

13.7 Weiterführende Aufgaben 13.1. Analytische Lösung für Biegeschwingungen Für den einseitig eingespannten massebehafteten Balken der Länge L mit konstanter Biegesteifigkeit EI sollen die ersten 4 Eigenfrequenzen ermittelt werden. Gegeben: ρ, L, EI 13.2. FE-Lösung für Biegeschwingungen Für den einseitig eingespannten massebehafteten Balken der Länge L mit konstanter Biegesteifigkeit EI sollen die ersten 4 Eigenfrequenzen ermittelt werden. Gegeben: ρ, L, EI

Literaturverzeichnis

379

Literaturverzeichnis 1. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer-Verlag, Berlin 2. Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 3. Gross D, Hauger W, Schröder J, Werner EA (2008) Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin 4. Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin 5. Klein B (2000) FEM, Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 6. Kwon YW, Bang H (2000) The Finite Element Method Using MATLAB. CRC Press, Boca Raton 7. Steinbuch R (1998) Finite Elemente - Ein Einstieg. Springer-Verlag, Berlin

Anhang A

Anhang

A.1 Mathematik A.1.1 Das griechische Alphabet

Tabelle A.1 Das griechische Alphabet Name Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

Kleinbuchstaben Großbuchstaben

α β γ δ  ζ η θ, ϑ ι κ λ μ ν ξ o π ρ,  σ τ υ φ, ϕ χ ψ ω

A B Γ Δ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

M. Merkel, A. Öchsner, Eindimensionale Finite Elemente, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 DOI 10.1007/978-3-642-04992-7, 

381

382

A Anhang

A.1.2 Häufig benutzte Konstanten π = 3, 14159 e = 2, 71828 √ 2 = 1, 41421 √ 3 = 1, 73205 √ 5 = 2, 23606 √ e = 1, 64872 √ π = 1, 77245

A.1.3 Spezielle Produkte (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ,

(A.1)

(x − y) = x − 2xy + y ,

(A.2)

2

2

2

(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ,

(A.3)

(x − y) = x − 3x y + 3xy − y , 3

3

2

2

4

4

3

2 2

3

(A.4) 3

4

(x + y) = x + 4x y + 6x y + 4xy + y ,

(A.5)

(x − y) = x − 4x y + 6x y − 4xy + y .

(A.6)

4

4

3

2 2

3

4

A.1.4 Trigonometrische Funktionen Definition am rechtwinkligen Dreieck Das Dreieck ABC hat in C einen rechten Winkel und die Kantenlängen a, b, c. Die trigonometrischen Funktionen des Winkels α sind in der Folgenden Art definiert, vergleiche Abbildung A.1:

A.1 Mathematik

383

Abb. A.1 Dreieck mit einem rechten Winkel bei C

a Gegenkathete = , c Hypotenuse b Ankathete α = cos α = = , c Hypotenuse a Gegenkathete α = tan α = = , b Ankathete Ankathete b , α = cot α = = a Gegenkathete c Hypotenuse α = sec α = = , b Ankathete c Hypotenuse α = csc α = = . a Gegenkathete

Sinus von α = sin α = Kosinus von Tangens von Kotangens von Sekans von Kosekans von

(A.7) (A.8) (A.9) (A.10) (A.11) (A.12)

Additionstheoreme sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β , cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β , tan α ± tan β , 1 ∓ tan α tan β cot α cot β ∓ 1 cot(α ± β) = . cot β ± cot β

tan(α ± β) =

(A.13) (A.14) (A.15) (A.16)

Gegenseitige Darstellung sin2 α + cos2 α = 1 ,

(A.17)

sin α . cos α

(A.18)

tan α =

384

A Anhang

Analytische Werte für verschiedene Winkel Tabelle A.2 Analytische Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für verschiedene Winkel

α in Grad α in Radiant sin α cos α tan α cot α 0◦

0

0

30◦

1 π 6 1 π 4 1 π 3 1 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6

1 √2 2 2 √ 3 2

7 π 6 5 π 4 4 π 3 3 π 2 5 π 3 7 π 4 11 π 6

− 21 √ − 22 √ − 23

√ − 23 √ − 22 − 21

√ 3 2 √ − 22 − 21

√ 2 2 √ 3 2

2π

0

1

45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 210

√

π

◦

225◦ ◦

240 270◦ 300◦ 315◦ ◦

330 360◦

1

3 2 √ 2 2 1 2

0

−1

−

1

√ 3 2 √ 2 2 1 2

√

0 ±∞ √ 3

3 3

√

1

√

1

3 3 3 0 ±∞ 0 √ √ − 21 − 3 − 33

√ 2 2 √ − 23

−

1

−

−1

1 √ − 3 0 ±∞ √ √ 3 3 3 √ 3 3

√

1

1

√ 3 3

3 0 ±∞ 0 √ √ 1 3 − 3 − 2 3 −1

−1 √ − 3 0 ±∞

√ − 33

Doppelwinkelfunktionen sin(2α) = 2 sin α · cos α ,

(A.19)

cos(2α) = cos α − sin α 2

2

= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α , tan(2α) = Reduktionsformeln

2 tan α . 1 − tan2 α

(A.20) (A.21)

A.1 Mathematik

385

Tabelle A.3 Reduktionsformeln für trigonometrische Funktionen

−α 90◦ ± α 180◦ ± α 270◦ ± α k(360◦ ) ± α π ±α π ± α 3π ±α 2kπ ± α 2 2 sin cos tan csc sec cot

− sin α cos α − tan α − csc α sec α − cot α

cos α ∓ sin α ∓ cot α sec α ∓ csc α ∓ tan α

∓ sin α − cos α ± tan α ∓ csc α − sec α ± cot α

− cos α ± sin α ∓ cot α − sec α ± csc α ∓ tan α

± sin α cos α ± tan α ± csc α sec α ± cot α

A.1.5 Grundlagen zur linearen Algebra Vektoren Mit ist ein Zeilenvektor und mit

a = [a1 a2 ai ... an ]

(A.22)

⎤ a1 ⎢ a2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a = ⎢ ai ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ an

(A.23)

⎡

ein Spaltenvektor 1 der Dimension n definiert, wobei für alle Komponenten gilt: ai ∈ , i = 1, 2, ..., n. Matrizen Der Begriff Matrix soll an einem einfachen Beispiel aufgezeigt werden. Der lineare Zusammenhang zwischen einem System von Variablen xi und bi a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2

(A.24) (A.25)

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3

(A.26)

kann in kompakter Form als 1

Der Begriff Vektor wird im Kontext der Mathematik und Physik unterschiedlich verwendet. In der Physik repräsentiert ein Vektor eine physikalische Größe wie beispielsweise eine Kraft. Diesem Vektor kann eine Richtung und ein Betrag zugeordnet werden. In der Mathematik wird der Begriff Vektor für eine Anordnung von Komponenten verwendet. Auch hier lassen sich Beträge definieren, die jedoch ohne physikalische Bedeutung sind. Manchmal werden deshalb Vektoren auch aus Zeilen- oder Spaltenmatrizen bezeichnet

386

A Anhang

Ax = b oder

⎡

a11 a12 a13 ⎣ a21 a22 a23 a31 a32 a33

(A.27)

⎡

⎤ ⎡ ⎤ x1 b1 a14 ⎢ ⎥ x 2 ⎥ = ⎣ b2 ⎦ a24 ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎦ a34 b3 x4 ⎤

(A.28)

zusammengefasst werden. Dabei gilt für alle Koeffizienten aij und alle Komponenten bi und xi : aij , bi , xj ∈  , i = 1, 2, 3 , j = 1, 2, 3, 4. Allgemein formuliert setzt sich eine Matrix A der Dimension m × n ⎡ ⎤ a11 a12 ... a1n ⎢ a21 a22 ... a2n ⎥ ⎢ ⎥ (A.29) Am×n = ⎢ .. .. .. ⎥ ⎣ . . ... .⎦ am1 am2 ... amn aus m Zeilen und n Spalten zusammen. Die Transponierte einer Matrix entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten: ⎤ ⎡ a11 a21 ... am1 ⎢ a12 a22 ... am2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ .. .. .. .. ⎥ ⎥. . . . . (A.30) AT = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . . . . ⎥ ⎣ .. .. .. .. ⎦ a1n a2n ... amn Quadratische Matrizen haben gleichviele Zeilen und Spalten: ⎡ ⎤ a11 a12 ... a1n ⎢ a21 a22 ... a2n ⎥ ⎢ ⎥ An×n = ⎢ . . .. ⎥ . ⎣ .. .. ... .⎦

(A.31)

an1 an2 ... ann Gilt bei einer quadratischen Matrix zusätzlich aij = aji ,

(A.32)

dann ergibt sich eine symmetrische Matrix. sche (3 × 3)-Matrix die Form ⎡ a11 a12 A3×3 = ⎣ a12 a22 a13 a23

Beispielsweise hat eine symmtri⎤ a13 a23 ⎦ . a33

(A.33)

A.1 Mathematik

387

Matrixoperationen Die Multiplikation zweier Matrizen lautet in Indexschreibweise cij =

m

aik bkj

k=1

i = 1, 2, ..., n j = 1, 2, ..., r

(A.34)

oder in Matrixschreibweise C = AB .

(A.35)

Dabei hat die Matrix An × m n Zeilen und m Spalten, die Matrix B m × r m Zeilen und r Spalten und das Matrixprodukt C n × r n Zeilen und r Spalten. Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht kommutativ, dies bedeutet AB = BA .

(A.36)

Das Produkt zweier transponierter Matrizen AT B T ergibt sich zu AT B T = (BA)T .

(A.37)

Die Transponierte eines Matrixproduktes lässt sich mit (AB)T = B T AT

(A.38)

in das Produkt der transponierten Matrizen aufspalten. Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen gelten das Assoziativgesetz (A B) C = A (B C) = A B C

(A.39)

und das Distributivgesetz A (B + C) = A B + AC .

(A.40)

Determinante einer Matrix Die Determinante einer quadratischen Matrix A der Dimension n lässt sich rekursiv über n

|A| = (−1)i+1 a1i |A1i | (A.41) i=1

ermitteln. Die Untermatrix A1i der Dimension (n − 1)(n − 1) entsteht durch Streichen der 1. Zeile und der i-ten Spalte von A. Inverse einer Matrix Sei A eine quadratische Matrix. Die Inverse A−1 ist ebenfalls quadratisch.

388

A Anhang

Das Produkt aus Matrix und inverser Matrix A−1 A = I

(A.42)

ergibt die Einheitsmatrix. Die Inverse eines Matrizenproduktes ergibt sich als Produkt der Inversen der Matrizen: (A.43) (AB)−1 = B −1 A−1 . Die Inverse der transponierten Matrix ergibt sich als Transponierte der inversen Matrix: [AT ]−1 = [A−1 ]T . (A.44) Formal lässt sich mit der Inversen einer Matrix das Gleichungssystem Ax = b

(A.45)

lösen. Dabei haben die quadratische Matrix A und die Vektoren x und b die gleiche Dimension. Mit der Multiplikation der Inversen von links A−1 Ax = A−1 b

(A.46)

erhält man den Vektor der Unbekannten zu x = A−1 b .

(A.47)

Für eine (2 × 2)- und eine (3 × 3)- Matrix werden die Inversen explizit angegeben. Für die quadratische (2 × 2)-Matrix   a11 a12 A= (A.48) a21 a22 ergibt sich die Inverse zu   1 a11 a12 = |A| a21 a22

(A.49)

|A| = a11 a22 − a12 a21 .

(A.50)

A

−1

mit Für die quadratische (3 × 3)-Matrix ⎡ ⎤ a11 a12 a13 A = ⎣ a21 a22 a23 ⎦ a31 a32 a33 ergibt sich die Inverse zu

(A.51)

A.1 Mathematik

389

⎡

A−1 =

⎤

a ˜ a ˜ a ˜ 1 ⎣ 11 12 13 ⎦ a ˜21 a ˜22 a ˜23 |A| a ˜31 a ˜32 a ˜33

(A.52)

mit den Koeffizienten der Inversen a ˜11 = +a22 a33 − a32 a23 a ˜12 = −(a12 a33 − a13 a32 ) a ˜13 = +a12 a23 − a22 a13 a ˜21 = −(a21 a33 − a31 a23 ) a ˜22 = +a11 a33 − a13 a31 a ˜23 = −(a11 a23 − a21 a13 )

(A.53)

a ˜31 = +a21 a32 − a31 a22 a ˜32 = −(a11 a32 − a31 a12 ) a ˜33 = +a11 a22 − a12 a21 und mit der Determinante |A| = a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a31 a12 a23

(A.54)

− a31 a22 a13 − a33 a12 a21 − a11 a23 a32 . Gleichungslösung Ausgangspunkt ist das Gleichungssystem Ax = b

(A.55)

mit der quadratischen Matrix A und den Vektoren x und b, die jeweils die gleiche Dimension haben. Die Matrix A und die Vektoren b sind mit bekannten Werten belegt. Ziel ist es, den Vektor der Unbekannten x zu ermitteln. Die zentrale Operation bei der direkten Gleichungslösung ist die Zerlegung der Systemmatrix A = LU (A.56) in eine untere (englisch lower ) und obere (englisch upper ) Dreiecksmatrix. Diese Operation wird ausführlich als ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 1 0 ... 0 U11 U12 ... U1n ⎢ L21 1 ... 0 ⎥ ⎢ 0 U22 ... U2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ (A.57) LU = ⎢ . ⎢ .. . . .. ⎥ . . .. ⎥ ⎣ .. ⎦ ⎣ . . ⎦ . . . Ln1 Ln2 ... 1

0

0 ... Unn

390

A Anhang

geschrieben. Die Dreieckszerlegung ist sehr rechenintensiv. Als Algorithmen werden Varianten der Gauß-Elimination eingesetzt. Ausschlaggebend ist die Struktur der Systemmatrix A. Können vorab in der Systemmatrix Blöcke mit Nulleinträgen identifiziert werden, dann können die Zeilen- und Spaltenoperationen bei geschickter Vorgehensweise nur auf die Blöcke mit NichtNulleinträgen angewandt werden. Die Gleichungslösung wird mit der paarweisen Lösung der beiden Gleichungen Ly = b (A.58) und Ux = y

(A.59)

durchgeführt, wobei y lediglich als Hilfsvektor dient. Die einzelnen Operationen laufen folgendermaßen ab: (A.60)

y 1 = b1 y i = bi −

i−1

Lij yj

i = 2, 3, ..., n

(A.61)

j=1

und yn Unn ⎛ ⎞ n

1 ⎝ yi − xi = Uij xj ⎠ Uii j=i+1

(A.62)

xn =

i = n − 1, n − 2, ..., 1

(A.63)

Die beiden ersten Schritte werden als Vorwärtszerlegung und die beiden letzten Schritte als Rücksubstitution bezeichnet. In der letzten Gleichung wird durch den Wert der Diagonalen der oberen Dreiecksmatrix geteilt. Bei sehr kleinen und sehr großen Werten kann das zu Ungenauigkeiten führen. Eine Verbesserung wird durch sogenannte Pivotisierung erreicht, bei der in der aktuellen Zeile oder Spalte nach dem „besten“ Teiler gesucht wird.

A.1.6 Ableitungen d • dx •

  1 1 =− 2 x x

d n x = n · xn−1 dx

A.1 Mathematik

• • • • •

391

d √ 1 n √ x= n dx n · xn−1 d sin(x) = cos(x) dx d cos(x) = − sin(x) dx 1 d ln(x) = dx  x d −1 für x < 0 |x| = 1 für x > 0 dx

A.1.7 Integration A.1.7.1 Stammfunktionen 

ex dx = ex √ 2 3 • xdx = x 2 3  •  sin(x)dx = − cos(x) • cos(x)dx = sin(x)  1 sin2 (αx) • sin(αx) · cos(αx)dx = 2α  1 1 1 sin(2αx)) • sin2 (αx)dx = (x − sin(αx) cos(αx)) = (x − 2α 2 2  1 1 1 sin(2αx)) • cos2 (αx)dx = (x + sin(αx) cos(αx)) = (x + 2α 2 2 •

A.1.7.2 Partielle Integration Eindimensionaler Fall:

a

b

f (x)g  (x)dx = f (x)g(x)|ba −

a

b

f  (x)g(x)dx

= f (x)g(x)|b − f (x)g(x)|a −

a

b

(A.64) f  (x)g(x)dx .

A.1.7.3 Integration und Koordinatentransformation Eindimensionaler Fall:

(A.65)

392

A Anhang

Sei T : IR → IR mit x = g(u) eine eindimensionale Transformation von S nach R. Falls g eine stetige partielle Ableitung hat, so dass die Jacobische Matrix nicht zu Null wird, gilt  

 dx   (A.66) f (x)dx = f (g(u))   du ,  du R S  dx   = xu wobei die Jacobische Matrix im eindimensionalen Fall durch J =  du gegeben ist.

A.1.7.4 Eindimensionale Integrale zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix

1

−1

(1 − x)2 (1 + x)dx =

(1 + x)dx = 2

1

−1 1

−1

(1 − x)(1 + x)dx =

1

−1

1

−1

(1 − x)2 dx = (1 + x)2 dx =

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1



(1 − x)dx = 2

1

4 3

−1

8 3

1

−1

8 3

(1 − x)3 dx = 4 (1 + x)3 dx = 4

4 (1 − x)(1 + x) dx = 3 −1

1

1

−1

1

−1

(1 + x2 )dx =

8 3

1

−1

4 3

(1 − 2x)xdx = −

4 3

(1 + 2x)xdx =

4 3

(1 − 2x)2 dx =

14 3

(1 + 2x)2 dx =

14 3

−1

2

1

(1 − x2 )dx =

4 3

(1 − 2x)(1 + 2x)dx = −

2 3

A.1 Mathematik

393

A.1.8 Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe Die Entwicklung einer Funktion f (x) in eine Taylorsche Reihe an der Stelle x0 ergibt:      df 1 d2 f 1 dk f 2 f (x) = f (x0 )+ ·(x−x0 )+ ·(x−x0 ) +· · ·+ ·(x−x0 )k . dx 2! dx2 k! dxk 

x0

x0

x0

(A.67) Eine Approximation erster Ordnung berücksichtigt nur die erste Ableitung, und die Näherung für die Funktion ergibt sich zu:   df · (x − x0 ) . (A.68) f (x) = f (x0 + dx) ≈ f (x0 ) + dx x0

Berücksichtigt man aus der analytischen Geometrie, dass die erste Ableitung einer Funktion gleich der Steigung der Tangenten im betrachteten Punkt ist und dass die Punkt-Steigungsform einer Geraden durch f (x) − f (x0 ) = m · (x − x0 ) gegeben ist, ergibt sich, dass die Approximation erster Ordnung die Gleichung einer Geraden durch den Punkt (x0 , f (x0 )) mit der Steigung m = f  (x0 ) = (df /dx)x0 darstellt, vergleiche Abbildung A.2.

Abb. A.2 Approximation einer Funktion f (x) mittels einer Taylorschen Reihe erster Ordnung

394

A Anhang

A.2 Einheiten und Umrechnung A.2.1 Konsistente Einheiten Bei der Anwendung eines Finite-Elemente-Programms besteht üblicherweise keine Festlegung auf ein bestimmtes physikalisches Maß- oder Einheitensystem. Ein Finite-Elemente-Programm hält durch die Analyse hindurch konsistente Einheiten ein und erfordert vom Benutzer nur die Eingabe von Maßzahlen ohne die Angabe einer bestimmten Einheit. Somit werden die Einheiten, die vom Anwender für die Eingabe verwendet werden, auch in der Ausgabe durchgängig eingehalten. Der Anwender muss also für sich sicherstellen, dass seine gewählten Einheiten konsistent sind, das heißt zueinander passen. Die folgende Tabelle A.4 zeigt ein Beispiel konsistenter Einheiten. Tabelle A.4 Beispiel konsistenter Einheiten Größe

Einheit

Länge

mm

Fläche

mm2

Kraft

N N

MPa =

Spannung Moment

mm2 Nmm

Trägheitsmoment

mm4

E-Modul Dichte

MPa =

N mm2

Ns2

Zeit

mm4 s

Masse

103 kg

Man beachte hierbei die Einheit der Dichte. Das folgende Beispiel zeigt die Umrechnung der Dichte für Stahl: St = 7, 8

kg dm

3

= 7, 8 × 103

kg kg = 7, 8 × 10−6 . 3 m mm3

(A.69)

Mit

1N = 1

2 m kg 3 mm kg −3 Ns = 1 × 10 und 1 kg = 1 × 10 s2 s2 mm

(A.70)

A.2 Einheiten und Umrechnung

395

folgt die konsistente Dichte zu: Ns2 . (A.71) mm4 Da in der Literatur an der einen oder anderen Stelle auch andere Einheiten auftreten, zeigt die folgende Tabelle A.6 ein Beispiel konsistenter angelsächsischer Einheiten: St = 7, 8 × 10−9

Tabelle A.5 Beispiel konsistenter angelsächsischer Einheiten Größe

Einheit

Länge

in

Fläche

in2

Kraft

lbf psi =

Spannung Moment Trägheitsmoment E-Modul Dichte Zeit

lbf

in2 lbf in in4

psi =

lbf

in2 lbf sec2 in4 sec

Man beachte auch hier die Umrechnung der Dichte:

St = 0, 282

lb in3

= 0, 282

1 in

3 × 0, 00259

lbf sec2 lbf sec2 = 0, 73038 × 10−3 . in in4 (A.72)

A.2.2 Umrechnung wichtiger angelsächsischer Einheiten

396

A Anhang

Tabelle A.6 Umrechnung wichtiger angelsächsischer Einheiten Art

Angelsächsische Einheit

Umrechnung

Länge

inch

1 in = 0, 025400 m

foot

1 ft = 0, 304800 m

Fläche

Volumen

Masse

Kraft

yard

1 yd = 0, 914400 m

mile (statute)

1 mi = 1609, 344 m

mile (nautical )

1 nm = 1852, 216 m

square inch

1 sq in = 1 in2 = 6, 45160 cm2

square foot

1 sq ft = 1 ft2 = 0, 092903040 m2

square yard

1 sq yd = 1 yd2 = 0, 836127360 m2

square mile

1 sq mi = 1 mi2 = 2589988, 110336 m2

acre

1 ac = 4046, 856422400 m2

cubic inch

1 cu in = 1 in3 = 0, 000016387064 m3

cubic foot

1 cu ft = 1 ft3 = 0, 028316846592 m3

cubic yard

1 cu yd = 1 yd3 = 0, 764554857984 m3

ounce

1 oz = 28, 349523125 g

pound (mass)

1 lbm = 453, 592370 g

short ton

1 sh to = 907184, 74 g

long ton

1 lg to = 1016046, 9088 g

pound-force

1 lbf = 1 lbF = 4, 448221615260500 N

poundal

1 pdl = 0, 138254954376 N

Spannung pound-force per square inch 1 psi = 1 pound-force per square foot 1 Energie

Leistung

lbf ft2

lbf in2

= 6894, 75729316837

= 47, 880258980336

N m2

British thermal unit

1 Btu = 1055, 056 J

calorie

1 cal = 4185, 5 J

horsepower

1 hp = 745, 699871582270 W

N m2

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Aufgaben aus Kapitel 3 3.4 Kurzlösung: Zugstab mit quadratischer Approximation Bei einem quadratischen Ansatz werden drei Knoten eingeführt. Die drei Formfunktionen lauten: x x + 2( )2 , L L x x N2 (x) = 4 (1 − ) , L L x x N3 (x) = (−1 + 2 ) . L L

N1 (x) = 1 − 3

(A.73)

Die Ableitungen der drei Formfunktionen ergeben sich zu: x dN1 (x) = N1 (x) = −3 + 4 , dx L dN2 (x) x = N2 (x) = 4 − 8 , dx L dN3 (x) x = N3 (x) = −1 + 4 . dx L

(A.74)

Mit der allgemeinen Berechnungsvorschrift für die Steifigkeitsmatrix

B T DB dΩ = EA

ke = Ω

L

L

B T Bdx = EA 0

N  N  dx T

(A.75)

0

ergibt sich für ein dreiknotiges Element

397

398

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

k e = EA 0

L

⎡

⎤ N1 N2 N1 N3 2 ⎣ N2 N2 N3 ⎦ dx . 2 symm N3 N1

2

(A.76)

Nach der Durchführung der Integration

0

⎡ L

⎢ ⎢ ⎣

x 2 x x x x (−3 + 4 L ) (−3 + 4 L )(4 − 8 L ) (−3 + 4 L )(−1 + 4 L ) x 2 (4 − 8 L )

⎤

⎥ x x (4 − 8 L )(−1 + 4 L ) ⎥ ⎦ dx

(A.77)

x 2 ) (−1 + 4 L

symm.

ergibt sich die Steifigkeitsmatrix für ein Stabelement mit quadratischer Ansatzfunktion zu: ⎡ ⎤ 7 −8 1 EA ⎣ −8 16 −8 ⎦ . ke = (A.78) 3L 1 −8 7

Aufgaben aus Kapitel 5 5.4 Gleichgewichtsbeziehung für infinitesimales Balkenelement mit veränderlicher Streckenlast Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbeziehungen wird die veränderliche Streckenlast in der Mitte des Intervalls ausgewertet: − Q(x) + Q(x + dx) + qy (x +

Mz (x + dx) − Mz (x) + Qy (x)dx −

1 2

(A.79)

dx)dx = 0 .

1 qy (x + 2

1 2

dx)dx2 = 0 .

(A.80)

5.5 Methode der gewichteten Residuen mit veränderlicher Streckenlast  d4 uy (x) − qy (x) W (x)dx = 0 (A.81) EIz dx4 0 L 

L

L d2 uy d2 W d3 uy dW d2 uy EIz dx = W qy (x)dx + −W + (A.82) dx2 dx2 dx3 dx dx2 0 0

L



0

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

399

. . . = δuT p ⎡

L

... = 0

0

L

N T qy (x)dx + . . . ⎤

N1u ⎢N1ϕ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣N2u ⎦ qy (x)dx + . . . N2ϕ

(A.83)

(A.84)

Der zusätzliche Ausdruck auf der rechten Seite ergibt die äquivalenten Knotenlasten für eine Streckenlast nach Gleichung (5.197) bis (5.200). 5.6 Steifigkeitsmatrix bei Biegung in x-z-Ebene Bei der Biegung in der x-z-Ebene ist zu beachten, dass die Rotation mitz (x) tels ϕy (x) = − dudx definiert ist. Somit können folgende Formfunktionen abgeleitet werden:

xz N1u

 2  3 x x =1−3 +2 , L L

x2 x3 xz N1ϕ = −x + 2 − 2 , L L  2  3 x x xz =3 −2 , N2u L L xz N2ϕ =

x2 x3 − 2. L L

(A.85) (A.86) (A.87) (A.88)

Ein Vergleich mit den Formfunktionen bei Biegung in der x-y-Ebene nach Gleichung (5.64) bis (5.67) ergibt, dass die Formfunktionen für die Rotation mit (−1) multipliziert wurden. 5.7 Biegebalken mit veränderlichem Querschnitt Die axialen Flächenträgheitsmomente ergeben sich zu:  4 π x Iz (x) = d1 + (d2 − d1 ) (Kreis) , 64 L  3 b x (Rechteck) . Iz (x) = d1 + (d2 − d1 ) 12 L

(A.89)

(A.90)

e

⎡

4 2

4 1

4 1

3 2

1

3 2

1

2 2

2 1

2 2

2 1

2

2

3 1

3 1

(4 d32 +d22 d1 +d2 d21 +4 d31 )L2 5

3(5 d32 +2 d22 d1 +d2 d21 +2 d31 )L 5

−

2(13 d42 +13 d41 +4 d32 d1 +d22 d21 +4 d2 d31 )L2 35

−

−

12(11d42 +11d41 +5d32 d1 +3d22 d21 +5d2 d31 ) 35

(A.91)

2(47 d42 +19 d41 +22 d32 d1 +9 d22 d21 +8 d2 d31 )L L

−

(A.92)

3(5 d32 +2 d22 d1 +d2 d21 +2 d31 )L (11 d32 +5 d22 d1 +2 d2 d21 +2 d31 )L2 5 5

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

4(17 d42 +3 d41 +9 d32 d1 +4 d22 d21 +2 d2 d31 )L2 35

−

2(13 d42 +13 d41 +4 d32 d1 +d22 d21 +4 d2 d31 )L2 35

2(47d42 +19d41 +22d32 d1 +9d22 d21 +8d2 d31 )L 35

3(5 d32 +2 d22 d1 +d2 d21 +2 d31 )L 5

2(47 d42 +19 d41 +22 d32 d1 +9 d22 d21 +8 d2 d31 )L 35

12(11 d42 +11 d41 +5 d32 d1 +3 d22 d21 +5 d2 d31 ) 35

2(19 d42 +47 d41 +8 d32 d1 +9 d22 d21 +22 d2 d31 )L 35

−

3(7 d32 +3 d22 d1 +3 d2 d21 +7 d31 ) 5

2(19 d42 +47 d41 +8 d32 d1 +9 d22 d21 +22 d2 d31 )L 35

3(2 d32 +d22 d1 +2 d2 d21 +5 d31 )L 5

−

4(3 d42 +17 d41 +2 d32 d1 +4 d22 d21 +9 d2 d31 )L2 35

3(7 d32 +3 d22 d1 +3 d2 d21 +7 d31 ) 5

2(47 d42 +19 d41 +22 d32 d1 +9 d22 d21 +8 d2 d31 )L 35

4 2

2(19d42 +47 d41 +8d32 d1 +9d22 d21 +22d2 d31 )L 35

⎢ ⎢ ⎢ 3(2 d32 +d22 d1 +2 d2 d21 +5 d31 )L (2 d32 +2 d22 d1 +5 d2 d21 +11 d31 )L2 3(2 d32 +d22 d1 +2 d2 d21 +5 d31 )L (4 d32 +d22 d1 +d2 d21 +4 d31 )L2 ⎢ − 5 5 5 5 ⎢ bE ⎢ ke = 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 12L3 ⎢ ⎢ 3(7 d2 +3 d2 d1 +3 d2 d1 +7 d1 ) 3(2 d2 +d2 d1 +2 d2 d1 +5 d1 )L 3(5 d2 +2 d2 d1 +d2 d21 +2 d31 )L 3(7 d2 +3 d2 d1 +3 d2 d1 +7 d1 ) ⎢− − − 5 5 5 5 ⎢ ⎣

k

12(11d42 +11d41 +5d32 d1 +3d22 d21 +5d2 d31 ) 35

⎢ ⎢ 2(19 d +47 d +8 d d +9 d d +22 d d )L 35 πE ⎢ ⎢ = ⎢ 64L3 ⎢ − 12(11 d +11 d +5 d d +3 d d +5 d d ) ⎢ 35 ⎣

⎡

Für den Kreis- und Rechteckquerschnitt ergibt sich: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

400 Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

401

5.8 Äquivalente Knotenlasten für quadratische Streckenlast  2 x q(x) = q0 L

2

q(x) = q0 x

q0 L3 15 q0 L4 M1z = − 60 4q0 L3 F2y = − 15 q0 L4 M1z = 30 5.9 Biegebalken F1y = −

q0 L 15 q0 L2 M1z = − 60 4q0 L F2y = − 15 q0 L2 M1z = 30 mit veränderlichem Querschnitt unter Einzellast F1y = −

Analytische Lösung:

d2 uy (x) EIz (x) = Mz (x) , dx2  4 d2 uy (x) Eπh4 x = −F (L − x) . 2− 64 L dx2

FL uy (x) = Eπh4



 64L4 16L 40L2 64L3 + x+ . + 2(−2L + x) 6(−2L + x) 3 3

(A.93) (A.94)

(A.95)

8 F L3 F L3 ≈ −2.666667 . 3 Eπh4 Eπh4

(A.96)

7360 F L3 F L3 ≈ −2.612709 . 2817 Eπh4 Eπh4

(A.97)

uy (L) = − Finite-Elemente-Lösung:

uy (L) = −

Aufgaben aus Kapitel 6 6.1 Kubischer Verschiebungsverlauf im Zugstab Die natürlichen Koordinaten der vier Stützstellen lauten ξ1 = −1, ξ2 = −1/3, ξ3 = +1/3 und ξ4 = +1. Die vier Formfunktionen

402

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

N1 =

9 (ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 ) 1 = + (ξ 2 − )(ξ − 1) , (ξ1 − ξ2 )(ξ1 − ξ3 )(ξ1 − ξ4 ) 19 9

N2 =

27 1 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ3 )(ξ − ξ4 ) = − (ξ − )(ξ 2 − 1) , (ξ2 − ξ1 )(ξ2 − ξ3 )(ξ2 − ξ4 ) 16 3

27 1 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ4 ) = − (ξ + )(ξ 2 − 1) , N3 = (ξ3 − ξ1 )(ξ3 − ξ2 )(ξ3 − ξ4 ) 16 3 N4 =

(A.98)

9 (ξ − ξ1 )(ξ − ξ2 )(ξ − ξ3 ) 1 = + (ξ 2 − )(ξ + 1) (ξ4 − ξ1 )(ξ4 − ξ2 )(ξ4 − ξ3 ) 19 9

ergeben sich durch Auswerten der Gleichung (6.51) für i = 1 bis i = n = 4.

6.2 Koordinatentransformation für Zugstab in der Ebene Für den Stab sind an einem Knoten in lokalen Koordinaten eine Normalkraft und eine Verschiebung in Normalenrichtung definiert. In der Ebene teilen sich die Größen in jeweils eine X- und Y -Richtung auf. Damit hat die Transformationsmatrix die Dimension 4 x 4. In der Transformationsmatrix nach Gleichung (6.16) gilt es die Ausdrücke sin(30◦ ) =

1 2

und

cos(30◦ ) =

1√ 3 2

zu bestimmen. Damit ergibt sich die Transformationsmatrix zu  1√  1 3 √ 2 2 T = . − 12 21 3 Die Einzelsteifigkeitsbeziehung in globalen Koordinaten √ √ ⎤⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 3 3 3 −3 − u1X F1X √ √ ⎥ ⎢ ⎢ F1Y ⎥ 1 EA ⎢ 3 √1 − 3 √ −1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u1Y ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎣ F2X ⎦ = 4 L ⎣ −3 − 3 u2X ⎦ 3 √ √3 F2Y u2Y − 3 −1 3 1

(A.99)

(A.100)

(A.101)

ergibt sich durch Auswerten der Gleichung (6.20).

Aufgaben aus Kapitel 7 7.1 Kurzlösung: Tragwerk aus Balken im Dreidimensionalen:

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

403

Als Lösungsvektor ergibt sich durch Einsetzen: ⎤ ⎤ ⎡ +11, 904 u2Z ⎢ ϕ2X ⎥ ⎢ +0, 01785 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ −0, 05492 ⎥ ⎥ ⎢ 2Y ⎥ ⎢ ⎥. ⎢ ⎥=⎢ ⎢ u3Z ⎥ ⎢ +78, 731 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ϕ3Y ⎦ ⎣ −0, 07277 ⎦ +78, 732 u4Z ⎡

(A.102)

7.2 Tragwerk aus Balken im Dreidimensionalen, alternative Koordinatensystem: In globalen Koordinaten lauten die Spaltenmatrizen der Zustandsgrößen: [u1Z , ϕ1X , ϕ1Y , u2Z , ϕ2X , ϕ2Y , u3Z , ϕ3X , u4Z ]

T

(A.103)

und T

[F1Z , M1X , M1Y , F2Z , M2X , M2Y , F3Z , M3X , F4Z ] .

(A.104)

Gegenüber dem ursprünglichen Koordinatensystem hat sich die Reihenfolge der Einträge am Knoten 2 geändert. Die Winkel für Biegung und Torsion sind getauscht: ⎡ ⎤ F + EIy ⎥ 3 L3 ⎤ ⎢ ⎡ ⎢ ⎥ u2Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ F ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ + GIt ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎢ 2 ⎥ L ⎢ 2X ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ F ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ + EIy ⎢ ϕ2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2 L2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥. (A.105) = ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎢ + 3EI )L F 2GI ⎥ t y ⎢ u3Z ⎥ ⎢ + ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 3EIy GIt ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ϕ3X ⎥ ⎢ (GI + 2EI )F L t y ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2EIy GIt ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u4Z ⎣ (3GIt Iy + 2GIt AL2 )LF ⎦ + 3EIy AGIt Mit den gleichen Zahlenwerten, wie bereits oben, ergibt sich der Lösungsvektor

404

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

⎤ +11, 904 u2Z ⎢ ϕ2X ⎥ ⎢ +0, 05492 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ +0, 01785 ⎥ ⎥ ⎢ 2Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ u3Z ⎥ ⎢ +78, 731 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ϕ3X ⎦ ⎣ +0, 07277 ⎦ +78, 732 u4Z ⎡

⎡

⎤

(A.106)

mit gleichen Beträgen. Geändert haben sich zum einen die Vorzeichen und zum anderen die Reihenfolge der Einträge am Knoten 2. Die Winkel für Torsion und Biegung haben die Plätze getauscht.

Aufgaben aus Kapitel 8 8.3 Berechnung des Schubkorrekturfaktors für Rechteckquerschnitt

Ω

1 2 ! τ dΩ = 2G xy ks =

A



Ωs

1 2G



Qy As

2 dΩs ,

5 Qy = . 2 dA 6 τ A xy

(A.107)

(A.108)

8.4 Differenzialgleichung unter Berücksichtigung von verteiltem Moment dQy (x) Querkraft: kein Unterschied, das heißt = −qy (x). dx Schnittmoment:

Mz (x + dx) − Mz (x) + Qy (x)dx −

1 qy dx2 + mz dx = 0 . 2

dMz (x) = −Qy (x) − mz , dx d2 Mz (x) dmz (x) = qy (x) . + dx2 dx Differenzialgleichungen:     d dφz duy − φz = −mz (x) , EIz + ks AG dx dx dx    d duy ks AG − φz = −qy (x) . dx dx

(A.109)

(A.110) (A.111)

(A.112) (A.113)

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

405

8.5 Analytische Berechnung des Verlaufes der Durchbiegung und Verdrehung für Kragarm unter Einzellast Randbedingungen: uy (x = 0) = 0 , φz (x = 0) = 0 , Mz (x = 0) = F L , Qy (x = 0) = F .

(A.114) (A.115)

Integrationskonstanten: c1 = −F ; c2 = F L ; c3 =

EIz F ; c4 = 0 . ks AG

(A.116)

Verlauf der Durchbiegung: 1 uy (x) = EIz

 x2 EIz F x3 + FL + x . −F 6 2 ks AG



(A.117)

Verlauf der Verdrehung: 1 φz (x) = EIz



 x2 + F Lx . −F 2

(A.118)

Maximale Durchbiegung: 1 uy (x = L) = EIz



 F L3 EIz F L + . 3 ks AG

(A.119)

Verdrehung am Lastangriffspunkt: φz (x = L) = Grenzwert: 4F uy (x = L) = b

uy (L)|hL uy (L)|h L

F L2 . 2EIz

 3   L L F . + h ks bG h

 3 L F L3 = , h 3EIz   L FL F = . → ks bG h ks AG 4F → b

(A.120)

(A.121)

(A.122) (A.123)

406

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

8.6 Analytische Berechnung der normierten Durchbiegung für Balken mit Schub Iz =

E bh3 5 , A = hb , ks = , G = . 12 6 2(1 + ν)

uy, norm

uy, norm

uy, norm

 2 h , L  2 1 1+ν h = + , 8 10 L  2 1+ν h 1 + = . 48 5 L 1 1+ν = + 3 5

(A.124)

(A.125)

(A.126)

(A.127)

8.7 Timoshenko-Biegeelement mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und linearen Ansatzfunktionen für die Verdrehung Die Knotenverschiebung am mittleren Knoten als Funktion der anderen Unbekannten ergibt sich zu:

u2y

1 6L u1y + u3y φ1z − φ3z + L+ = 2 8 32 ks AG

L

qy (x)N2u (x)dx .

(A.128)

0

Der zusätzliche Lastvektor auf der rechten Seite ergibt sich zu: ⎡ ⎤ L 1L q (x)N dx + q (x)N dx 1u y 2u ⎢ 0 y ⎥ 2 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 L ⎢ ⎥ L + q (x)N dx y 2u 0 ⎢ ⎥ 8 (A.129) ··· = ··· + ⎢ ⎥. 1L ⎢ L ⎥ ⎢ 0 qy (x)N3u dx + 0 qy (x)N2u dx⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ 1 L − L 0 qy (x)N2u dx 8 L L Für eine konstante Streckenlast qy ergibt sich mit 0 N1u dx = L6 , 0 N2u dx = L 2L L 3 und 0 N3u dx = 6 hieraus: ⎡ ⎤ 1 q L ⎢ 2 y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢+ qy L2 ⎥ ⎢ 12 ⎥ (A.130) ··· = ··· + ⎢ ⎥. ⎢ 1 ⎥ ⎢ q L ⎥ ⎢ 2 y ⎥ ⎣ 1 ⎦ − qy L2 12

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

407

Dieses Ergebnis ist identisch mit den äquivalenten Streckenlasten für einen Bernoulli-Balken. Vergleiche hierzu Tabelle 5.8. 8.8 Timoshenko-Biegeelement mit kubischen Ansatzfunktionen für die Durchbiegung und quadratischen Ansatzfunktionen für die Verdrehung Das Element ist exakt! Verformung in der x-y-Ebene: ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ F1y 6 3L −6 3L u1y ⎢ 3L 2L2 (1 + 3Λ) −3L L2 (1 − 6Λ) ⎥ ⎢φ1z ⎥ ⎢M1z ⎥ 2EIz ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣u2y ⎦ ⎣ F2y ⎦ . 3 −3L 6 −3L L (1 + 12Λ) ⎣−6 M2z 3L L2 (1 − 6Λ) −3L 2L2 (1 + 3Λ) φ2z (A.131) Verformung in der x-z-Ebene: ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ F1z 6 −3L −6 −3L u1z ⎢−3L 2L2 (1 + 3Λ) 3L L2 (1 − 6Λ) ⎥ ⎢φ1y ⎥ ⎢M1y ⎥ 2EIy ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣u2z ⎦ ⎣ F2z ⎦ . 3L 6 3L L3 (1 + 12Λ) ⎣ −6 M2y −3L L2 (1 − 6Λ) 3L 2L2 (1 + 3Λ) φ2y (A.132)

Aufgaben aus Kapitel 9 9.1 Lösung zu 1: Ermittlung der Steifigkeitsmatrix Die Steifigkeitsmatrix kann direkt aus der obigen Herleitung übernommen werden:   (EA)V 1 −1 . (A.133) ke = −1 1 L Der Ausdruck (EA)V muss für den Verbund ermittelt werden. Da jede Schicht homogen und isotrop ist und zudem alle Schichten gleich dick sind, vereinfacht sich die allgemeingültige Beziehung in Gleichung (9.122) zu (EA)V = A11 b = b

3

Qk11 hk = b

k=1

3 1 (k) h E 3

(A.134)

k=1

und weiter zu (EA)V =

1 1 b h(E (1) + E (2) + E (3) ) = b h(2 E (1) + E (2) ) . 3 3

Berücksichtigt man weiterhin, dass E (2) = Beziehung zu:

1 10

(A.135)

E (1) gilt, so vereinfacht sich die

408

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

1 b h 2, 1 E (1) = 0, 7 EA . (A.136) 3 Zur Ergebniskontrolle sei angenommen, dass beide Elastizitätmoduli gleich sind (E (1) = E (2) = E (3) = E). Dann ergibt sich mit (EA)V = Ebh = EA die für den homogenen, isotropen Zugstab bekannte Steifigkeit. (EA)V =

Lösung zu 2: Ermittlung der Biegesteifigkeit Die Biegesteifigkeit ergibt sich nach Gleichung (9.128) für drei Schichten im Verbund zu 3 1 k E ((z k )3 − (z k−1 )3 ) . (A.137) (EI)V = b 3 k=1

Die z-Koordinaten ergeben sich bei gleichen Schichtdicken h und einem zur (z = 0)-Achse symmetrischen Aufbau zu z (0) = −3/2h, z (1) = −1/2h, z (2) = +1/2h und z (3) = +3/2h. Durch Einsetzen erhält man:   1 3 3 1 V (1) (− )3 − (− )3 (A.138) (EI) = b h E 3 2 2    1 3 1 3 (A.139) + E (2) (+ )3 − (− )3 + E (1) (+ )3 − (+ )3 2 2 2 2     1 27 27 1 1 1 1 + − = b h3 E (1) − + + E (2) + + (A.140) 3 8 8 8 8 8 8 und schließlich (EI)V =

  1 3 26 (1) 1 (2) bh E + E . 3 4 4

(A.141)

Zur Ergebniskontrolle sei angenommen, dass alle Elastizitätsmoduli gleich sind (E (1) = E (2) = E (3) = E). Dann ergibt sich die Biegesteifigkeit EI für einen homogenen Balken mit dem Querschnitt b und 3h zu 94 E b h3 .

Aufgaben aus Kapitel 10 10.5 Dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul mit quadratischem Verlauf a = E0 , b = −

E0 4E0 ,c = − 2 , 10ε1 5ε1

(A.142)

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

409

 E(ε) = E0 1 − 

 1 4 ε − 2 ε2 , 10ε 5ε1   1  α1

α2

ε 4ε2 σ(ε) = E0 ε 1 − − 20ε1 15ε21

(A.143)

 (A.144)

,

Abb. A.3 SpannungsDehnungs-Diagramm, basierend auf quadratischem Elastizitätsmodul

AE0 k = 2 L



α2 2 2α2 α2 2 u + u1 u2 − u L + α1 u1 − α1 u2 − L 1 L L 2

e



 1 −1 , −1 1 (A.145)

K eT

AE0 = 2 L



α2 α2 α2 L + 2α1 u1 − 2α1 u2 − 3 u21 + 4 u1 u2 − 3 u22 L L L



 1 −1 . −1 1 (A.146)

10.6 Direkte Iteration mit verschiedenen Startwerten 10.7 Vollständiges Newton-Raphsonsches Schema für ein lineares Element mit quadratischem Elastizitätsmodul Residuumsfunktion:   AE0 α2 2 r(u2 ) = 2 L − α1 u2 − u u2 − F2 = K(u2 )u2 − F2 = 0 . (A.147) L L 2 Tangentensteifigkeit:

410

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Tabelle A.7 Numerische Werte für direkte Iteration bei einer äußeren Belastung von F2 = 800 kN und verschiedenen Startwerten. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: E0 = 70000 MPa, E1 = 49000 MPa, ε1 = 0, 15

+

Iteration j

(j)

ε2

mm (0) u2

0 45,714286 59,259259 . . . 70,722968 . . . 70,722998

(0)

0 1 2 . . . 22 . . . 31

30,000000 53,781513 62,528736 . . . 70,722956 . . . 70,722998

(0)

220,000000 -457,142857 13,913043 . .. 70,722971 . .. 70,722998

= 0 mm

= 30 mm – 0,442187 0,139891 . . . 0,000000 . . . 0,000000

= 220 mm

0,550000 -1,142857 0,034783 . .. 0,176807 . .. 0,176807

AE0 KT (u2 ) = 2 L Iterationsschema:

– 1,000000 0,228571 . . . 0,000000 . . . 0,000000

0,075000 0,134454 0,156322 . . . 0,176807 . . . 0,176807

Startwert: u2 0 1 2 . .. 25 . .. 33

–

0 0,114286 0,148148 . . . 0,176807 . . . 0,176807

Startwert: u2

2

(j) 2 u2

–

Startwert: 0 1 2 . . . 23 . . . 31

−u2(j−1) ) (u(j) 2  

(j)

u2

– 1,481250 33,857143 . .. 0,000000 . .. 0,000000



3α2 2 u L − 2α1 u2 − L 2

 .

(A.148)

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

(j+1)

u2

(j)

= u2 −

AE0 L2

411

 (j)

L − α1 u2 − AE0 L2

 L−

α2 (j) 2 (u ) L 2

(j) 2α1 u2

 (j)

(j)

u 2 − F2

3α2 (j) 2 (u2 ) − L



.

(A.149)

Tabelle A.8 Numerische Werte für vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren bei einer äußeren Belastung von F2 = 370 kN. Geometrie: A = 100 mm2 , L = 400 mm. Materialeigenschaften: quadratischer Verlauf mit E0 = 70000 MPa und ε1 = 0, 15

+

Iteration j

0 1 2 3 4 5 6

(j)

u2

(j)

ε2

−u2(j−1) ) (u(j) 2  

2

(j) 2 u2

mm

–

–

0 21,142857 25,648438 26,363431 26,384989 26,385009 26,385009

0 0,052857 0,064121 0,065909 0,065962 0,065963 0,065963

– 1 0,175667 0,027121 0,000031 0,000001 0,000000

Abb. A.4 Darstellung der Residuumsfunktion nach Gleichung (A.147)

412

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Bedingung für Konvergenz nach Abbildung A.4: !

r(u2,max ) ≥ 0

(A.150)

oder ⎛ ⎞ ⎛+ ⎞ + 2 α12 + 3α2 α + 3α AE0 2 1 ⎝6α2 − α1 F ≤ α2 + α12 ⎠ ⎝ α2 − α1 ⎠ . 27α22 α22 α22 (A.151) Für die gegebenen Zahlenwerte ergibt sich, F ≤ 410, 803 kN damit das Iterationsschema konvergiert. 10.8 Dehnungsabhängiger Elastizitätsmodul mit allgemeinem quadratischem Verlauf   E0 4E0 1 1 . (A.152) (4β05 − β1 − 3) , c = − 2 β05 − β1 − a = E0 , b = ε1 ε1 2 2  (3 + β1 − 4β05 ) 4(− 12 − 12 β1 + β05 ) 2  E(ε) = E0 1 − ·ε − ·ε . ε ε2  1   1  α1

(A.153)

α2

Mit den hier eingeführten Definitionen von α1 und α2 ergibt sich ein Verlauf entsprechend Gleichung (A.143). Somit kann unter Beachtung der hier eingeführten Definitionen für α1 und α2 die Steifigkeitsmatrix nach Gleichung (A.145) und die Tangentensteifigkeitsmatrix nach Gleichung (A.146) verwendet werden.

Aufgaben aus Kapitel 11 11.4 Plastischer Modul und elasto-plastischer Stoffmodul E × E pl = E ⇒ E = 0. a) E elpl = E + E pl Rein linear-plastisches Verhalten ohne elastischen Anteil, das heißt rein elastisches Verhalten auf der Makroebene. 1 E×E b) E pl = E ⇒ E elpl = = E. E+E 2 Lineare Verfestigung, wobei der elasto-plastische Modul die Hälfte des EModuls beträgt. 11.5 Rückprojektion bei linearer Verfestigung

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

413

Tabelle A.9 Numerische Werte der Rückprojektion für Kontinuumsstab bei linearer Verfestigung (10 Inkremente; Δε = 0, 001) inc –

ε

σ trial

σ

–

MPa

MPa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010

210,0 420,0 630,0 840,0 913,636 932,727 951,818 970,909 990,000 1009,091

210,0 420,0 630,0 703,636 722,727 741,818 760,909 780,000 799,091 818,182

κ dλ 10−3 10−3 0,0 0,0 0,0 0,649 1,558 2,468 3,377 4,286 5,195 6,104

0,0 0,0 0,0 0,649 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909

E elpl MPa 0,0 0,0 0,0 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909

Tabelle A.10 Numerische Werte der Rückprojektion für Kontinuumsstab bei linearer Verfestigung (20 Inkremente; Δε = 0, 0005) inc –

ε

σ trial

σ

–

MPa

MPa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045 0,0050 0,0055 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100

105,0 210,0 315,0 420,0 525,0 630,0 735,0 799,091 808,636 818,182 827,727 837,273 846,818 856,364 865,909 875,455 885,000 894,545 904,091 913,636

105,0 210,0 315,0 420,0 525,0 630,0 694,091 703,636 713,182 722,727 732,273 741,818 751,364 760,909 770,455 780,000 789,545 799,091 808,636 818,182

κ dλ 10−3 10−3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,195 0,649 1,104 1,558 2,013 2,468 2,922 3,377 3,831 4,286 4,740 5,195 5,649 6,104

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,195 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455 0,455

E elpl MPa 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909

414

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Tabelle A.11 Numerische Werte der Rückprojektion für Kontinuumsstab bei linearer Verfestigung (20 Inkremente; Δε = 0, 001) inc –

ε

σ trial

σ

–

MPa

MPa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020

210,0 420,0 630,0 840,0 913,636 932,727 951,818 970,909 990,000 1009,091 1028,182 1047,273 1066,364 1085,455 1104,545 1123,636 1142,727 1161,818 1180,909 1200,000

210,0 420,0 630,0 703,636 722,727 741,818 760,909 780,000 799,091 818,182 837,273 856,364 875,455 894,545 913,636 932,727 951,818 970,909 990,000 1009,091

E elpl

κ dλ 10−3 10−3 0,0 0,0 0,0 0,649 1,558 2,468 3,377 4,286 5,195 6,104 7,013 7,922 8,831 9,740 10,649 11,558 12,468 13,377 14,286 15,195

0,0 0,0 0,0 0,649 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909 0,909

MPa 0,0 0,0 0,0 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909 19090,909

11.6 Rückprojektion bei nichtlinearer Verfestigung

Tabelle A.12 Numerische Werte der Rückprojektion für Kontinuumsstab bei nichtlinearer Verfestigung (10 Inkremente; Δε = 0, 002) inc –

ε

σ trial

σ

MPa

MPa

κ 10−3

dλ 10−3

E elpl

–

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

140,0 280,0 420,0 500,817 521,995 522,557 562,494 581.794 600,449 618,447

140,0 280,0 360,817 381,995 402,557 422,494 441,794 460,449 478,447 495,778

0,0 0,0 0,845469 2,542923 4,249179 5,964375 7,688654 9,422161 11,165046 12,917462

0,0 0,0 0,845469 1,697454 1,706256 1,715196 1,724279 1,733507 1,742885 1,752416

0,0 0,0 10741,553 10435,865 10125,398 9810,025 9489,616 9164,034 8833,140 8496,784

MPa

11.7 Rückprojektion für Stab bei beidseitig fester Einspannung Die Fließkurve ergibt sich zu:

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

415

¯ MPa × κ . k(κ) = 200 MPa + 1010, 10

(A.154)

Das Iterationsschema des Newton-Raphsonschen Verfahrens kann wie folgt angesetzt werden: ΔF (i) (i+1) . Δu2 =  ˜I (A.155) ˜ II E A E + LI LII

Tabelle A.13 Numerische Werte für Stab bei beidseitig fester Einspannung (3 Inkremente; ΔF2 = 2 × 104 N) inc – 1 2 3

u2 mm

εI 10−3

εII 10−3

σI

σ II

MPa

MPa

εpl,I 10−3

εpl,II 10−3

0,0666667 0,666667 -1,33333 66,6667 -133,333 0,0 0,0 0,19806 1,9806 -3,9612 198,060 -201,938 0,0 -1,94182 6,88003 68,8003 -137,601 266,008 -333,992 66,1402 -134,261

Zur Erfüllung des Konvergenzkriteriums werden beim zweiten Inkrement neun Durchläufe (cycles) und beim dritten Inkrement vier Durchläufe benötigt. 11.7 Rückprojektion für ein finites Element bei ideal-plastischem Materialverhalten Im elastischen Bereich kann die Berechnung der Verschiebung am Knoten erfolgen. Sobald plastisches Materialverhalten auftritt, kann keine Konvergenz erzielt werden, da kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Belastung (Vorgabe) und Dehnung mehr besteht. Wird die Kraftrandbedingung durch eine Verschiebungsrandbedingung ersetzt, ist die Dehnung im Stab bekannt und es kann auf die Spannung geschlossen werden.

Aufgaben aus Kapitel 12 12.2 Kurzlösung für Eulersche Knickfälle II, III und IV, ein Element Die Steifigkeitsmatrix aus elastischer und geometrischer Steifigkeitsmatrix erfolgt analog zu obigen Ausführungen zum Eulerschen Knickfall I. Aufgrund der Randbedingungen ergeben sich für den Fall II zwei Eigenwerte und für den Fall III ein Eigenwert. Der Fall IV lässt sich mit nur einem Element nicht modellieren. Die Eigenwerte ergeben sich für den Eulerschen Knickfall II: λ1/2 = (36 ± 24)

EI L2

(A.156)

416

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

und für den Eulerschen Knickfall III: λ = 30

EI . L2

(A.157)

Zur Bestimmung der kritischen Last sind jeweils die kleinsten Eigenwerte interessant. Die Abweichungen zu den analytischen Lösungen sind erheblich. 12.3 Kurzlösung für Eulerschen Knickfälle, zwei Elemente Die gesamte Steifigkeitsmatrix wird aus elastischer und geometrischer Steifigkeitsmatrix aufgebaut. Auch der Fall IV lässt sich mit zwei Elementen modellieren. Die Eigenwerte lassen sich nur noch numerisch bestimmen, lediglich für Fall I kann eine analytische Lösung mit vertretbarem Aufwand angegeben werden. Die Eigenwerte ergeben sich für den Eulerschen Knickfall I: % ⎡ √ √ ⎤ ⎡ ⎤ 80 + 19 2 + %5847 + 3550 2 198, 69 √ √ ⎥ 16 EI ⎢ EI ⎢ 2, 4686 ⎥ ⎢ 80 + 19 2 − %5847 + 3550 2 ⎥ ⎥ , (A.158) √ √ ⎢ ⎥ = 2 ⎢ 2 17 L ⎣ 80 − 19 2 + 5847 + 3550 2 ⎦ L ⎣ 77, 063 ⎦ % √ √ 22, 946 80 − 19 2 − 5847 + 3550 2 für den Eulerschen Knickfall II:

⎡

⎤ 48, 0 ⎥ EI ⎢ ⎢ 128, 72 ⎥ , ⎣ 2 9, 9438 ⎦ L 240, 0

(A.159)

für den Eulerschen Knickfall III:

⎡ ⎤ 197, 52 EI ⎣ 20, 708 ⎦ , L2 75, 101

für den Eulerschen Knickfall IV: EI L2



120, 0 40, 0

(A.160)

 .

(A.161)

Zur Bestimmung der kritischen Last sind jeweils die kleinsten Eigenwerte interessant. Die Abweichungen zu den analytischen Lösungen sind nicht unerheblich. 12.4 Eulersche Knickfälle, Fehler bezüglich analytischer Lösung In nachstehender Tabelle ist der relative Fehler der mit der Finite-ElementeMethode ermittelten Lösung der kritischen Knicklast bezüglich der analytischen Lösung angegeben.

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Fehler =

FE-Lösung - analytische Lösung analytische Lösung

417

(A.162)

Tabelle A.14 Relativer Fehler bezüglich der analytisch ermittelten Knicklast Anzahl Elemente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Eulerscher Knickfall I II III IV 7,52E-03 0,215854 0,485830 x 5,12E-04 7,52E-03 2,57E-02 1,32E-02 1,03E-04 1,58E-03 6,14E-03 2,19E-02 3,28E-05 5,12E-04 2,05E-03 7,52E-03 1,35E-05 2,12E-04 8,64E-04 3,21E-03 6,50E-06 1,03E-04 4,23E-04 1,58E-03 3,51E-06 5,58E-05 2,30E-04 8,66E-04 2,06E-06 3,28E-05 1,36E-04 5,12E-04 1,29E-06 2,05E-05 8,50E-05 3,22E-04 8,44E-07 1,35E-05 5,59E-05 2,12E-04

Die Fehler unterscheiden sich stark für die unterschiedlichen Eulerschen Knickfälle. Der Fehler für den Eulerschen Knickfall I ist jeweils der kleinste, der für den Eulerschen Knickfall IV der größte. Der Unterschied in den einzelnen Fällen erstreckt sich über zwei Größenordnungen. Bereits bei einer Vernetzung mit vier Elementen ist der Fehler für alle Fälle kleiner 0,01.

Sachverzeichnis

äquivalente Knotenlasten, 46, 100, 105 Anisotropie, 222 Approximation, 14 Arbeit plastische, 294 Arbeitsverfestigung, 294 Bandstruktur, 141 Belastungsgeschichte, 294 Bernoulli-Balken, 59 analytische Lösung, 72, 78 Differenzialgleichung, 72 Finites Element, 77 Formfunktionen, 80 Gleichgewicht, 66 Kinematik, 62, 65 Schnittreaktionen, 67 Spannungsverlauf, 71 Stoffgesetz, 68 Verdrehwinkel, 65 Bernoulli-Hypothese, 60, 172 Beton, 314 Bewegungsgleichung, 350, 353–355 Biegelinie, 62 Momenten-Beziehung, 71 Querkraft-Beziehung, 72 Streckenlast-Beziehung, 72 Biegesteifigkeit, 71, 242 Biegeverformung, siehe Bernoulli-Balken Biegung gerade, 71 reine, 62 Theorie dritter Ordnung, 172 bleibende Verzerrung, siehe Verzerrung Bodenmechanik, 314 Bogenlängenverfahren, 276

Catching-Up, 299 Closest-Point-Projection, siehe EulerVerfahren Cutting-Plane-Algorithmus, 301 d’Alembert, 349 Dämpfung Dämpfungsmatrix, 350 modale, 352 Rayleigh, 352 Dehnschwingungen Differenzialgleichung, 363 Eigenfrequenzen, 363, 371, 375, 378 Dehnsteifigkeit, 36, 241 Dehnung effektive plastische, 297 Dehnungsverfestigung, 294 Delta-Funktion, 21 Differenzenverfahren zentral, 355 Differenzialgleichung, 3 Knickung, 342 Torsionsstab, 56 Zugstab, 37 direkte Iteration, 253 Diskretisierung, 12 Drehträgheit, 362 Eigenformen, 351 Eigenfrequenzen, 351 Einheitsbereich, 134 Einzelsteifigkeitsmatrix Torsion, 58 Energie komplementäre, 309 potentielle, 309 Euler-Verfahren

419

420 Backward, 301 semi-implizite, 301 vollständig implizite, 301, 303, 309, 311 explizite, 298 Forward, 301 semi-implizite, 312 Eulerfälle, 342

Sachverzeichnis numerische, 129 Integrationspunkt, 297 Interpolationsfunktion, 131 inverse Form, 26 Isotropie, 226 quasi-isotrop, 231 Jakobische-Matrix, 312, 313

Föppl-Klammer, 76 Faserverbundwerkstoffe, 234, 314 Finite-Differenzen-Methode, 22 Flächenträgheitsmoment, 69, 70 Fließbedingung, 296 Vergleich 1D-3D, 296 Fließkurve Verfestigung, 294 Fließregel Vergleich 1D-3D, 296 Fließbedingung, 291 Fließgrenze, 291 Fließkriterium, 291 Fließkurve, 294 Fließregel, 292 assoziiert, 292 nichtassoziiert, 293 Fließrichtung, 292 Fließspannung, 290, 291 Formänderungsenergie elastischer Balken, 337 elastischer Stab, 337 Formfunktionen Bernoulli-Balken, 80, 90 Hermite-Polynome, 92 Fourieranalyse, 353 Galerkin-Verfahren, 22 Gauß-Quadratur, 130 Gauss-Punkt, siehe Integrationspunkt Gesamtsteifigkeitsbeziehung, 137 Gewichtsfunktion, 20, 87 Zugstab, 44 Gleichungssystem, 141 Hauptgleichung der FEM, 10 Hookesche Gesetz inkrementelle, 295 Ingenieur-Konstanten, 226 inneren Variable, 293 inneres Produkt, 20 Bernoulli-Balken, 87 Timoshenko-Balken, 186, 187 Zugstab, 44 Integration

Kirchhoff-Platte, 61 Knicken, 333 charakteristische Gleichung, 335 Knicklänge, 343 kritische Last, 343 Kompressionsmodul, 226 Konsistenzparameter, 292, 295, 305 Konvergenzkriterien, 276 Koordinaten Koordinatensystem 2D, 124 Koordinatensystem 3D, 126 Koordinatentransformation, 123 modal, 352 natürliche, 132 Krümmung, 64 Krümmungsradius, 64 Kraftmethode, siehe Matrixmethode Kunststoffe, 314 Lagerkräfte, 151 Lagrange-Polynome, 132, 202 Lagrangeschen Multiplikatorenmethode, 310 Lamina isotrop, 231 unidirektional, 232 Massenmatrix, 350, 358 Matrix-Steifigkeitsmethode, 7 Matrix-Verschiebungsmethode, 7 Matrixmethoden, 6 Midpoint-Rule, 301 Minimum der Fehlerquadrate, 22 Mischungsregel, 236 Modalmatrix, 351 Modul, 296 elasto-plastischer, 295 konsistenter, 304 Vergleich 1D-3D, 296 mittlerer, 322 plastischer, 292 Monokline Systeme, 225 neutrale Faser, 60, 61

Sachverzeichnis Newton-Raphsonsche-Algorithmus, 297, 307 modifizierter, 273 vollständiger, 261 Newtonsche-Verfahren, 259, 304, 307 Abbruchgenauigkeit, 307 nichtlineare Elastizität, 246 Nichtlinearitäten, 245 Normalitätsregel, 292 Optimierungsproblem, 309 Orthotrope Systeme, 225 Petrov-Galerkin-Verfahren, 22 Picardsche Iteration, siehe direkte Iteration Pivotisierung, 390 plastische Vergleichsdehnung, 294 plastisches Potential, 293 Plastizität, 289 dreidimensionale, 296 ideale, 291 Polygonzugverfahren, siehe EulerVerfahren Prädiktor, 298 elastischer, 298 Prädiktor-Korrektor-Verfahren, 298, 299, 308 Prinzip der gewichteten Residuen, 19 Bernoulli-Balken, 86 nichtlineare Elastizität, 249 Timoshenko-Balken, 186 Zugstab, 43 Prinzip der virtuellen Arbeit, 15 Punkt-Kollokations-Verfahren, 21 Quadratur, siehe Integration Querdehnzahl, 226 Querkraft, 168 Rückprojektion, 299 Randbedingungen Cauchy, 4 Dirichlet, 4 homogene, 4 Neumann, 4 Randelement-Methode, 26 Reissner-Mindlin-Platte, 61 Residuum, 20 Plastizität, 303, 313 Return-Mapping, 299 Ritzsche-Verfahren, 25 Satz von Castigliano, 18 Bernoulli-Balken, 85

421 Timoshenko-Balken, 185 Zugstab, 42 Schubkorrekturfaktor, 169, 170 Schubmodul, 173 Schubspannung äquivalente, 169 schubstarrer Balken, siehe BernoulliBalken Schubverformung, siehe TimoshenkoBalken Schubverzerrung, 165, 167 schubweicher Balken, siehe TimoshenkoBalken schwache Form, 24 Bernoulli-Balken, 87 Zugstab, 44 Separationsansatz, 351 shear locking, 194, 204 Signumfunktion, siehe Vorzeichenfunktion Spannung effektive, 291, 297 Spannungszustand eben, 230 Stabilität, 333 Stabilitätspostulat, 292 starke Form, 19 Bernoulli-Balken, 87 Zugstab, 43 Starrkörperbewegung, 16 Subdomain-Kollokations-Verfahren, 22 Tangentensteifigkeitsmatrix, 261, 267 Testfunktion, siehe Gewichtsfunktion Timoshenko-Balken, 60, 165 analytische Lösung, 175, 177 Differenzialgleichungen, 174 Finites Element, 180 höhere Ansatzfunktionen, 202 lineare Ansatzfunktionen, 190 Gleichgewicht, 173 Grundgleichungen, 174, 178 Kinematik, 172 Stoffgesetz, 173 Torsion Torsionsfeder, 57 Torsionssteifigkeit, 57 Tragwerk dreidimensional, 154 eben, 143, 147 Transformationsmatrix eben, 233 Transversal isotrope Systeme, 225 Trefftzsche Verfahren, 26

422 Verbund Verbundbalken, 242 Verbundstab, 240 Verfestigung isotrope, 290 lineare, 292, 295, 305 Vergleich 1D-3D, 296 Verfestigungsgesetz, 293 Verschiebungsmethode, siehe Matrixmethode Verzerrung elastische, 289

Sachverzeichnis plastische, 291, 292 Verzerrungsenergie Bernoulli-Balken, 83 Timoshenko-Balken, 181 Zugstab, 41 virtuelle Verschiebungen Bernoulli-Balken, 88 Timoshenko-Balken, 189 Zugstab, 45 Vorzeichenfunktion, 293 Zugversuch, 290–292, 314