Algebra, 3. Auflage - PDF Free Download

III Vorwort Der Text ist eine erweiterte Fassung einer Algebravorlesung, die ich im Wintersemester 1971/72 und dann noc...

Author: Ernst Kunz

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III

Vorwort Der Text ist eine erweiterte Fassung einer Algebravorlesung, die ich im Wintersemester 1971/72 und dann noch einmal im Wintersemester 1990/91 an der Universitat Regensburg gehalten habe. Diese Vorlesung richtete sich hauptsachlich an Studenten im dritten Fachsemester. Es waren Vorlesungen \Lineare Algebra I und II" vorausgegangen, die schon so angelegt waren, da anschlieend in einem einsemestrigen Kurs die Algebra bis zu den Grundzugen der Galoistheorie entwickelt werden konnte. Die \Lineare Algebra I" behandelte i.w. den Inhalt des Buches [Fi] von Gerd Fischer, also Vektorraume, lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten einschlielich der einfachsten Tatsachen uber Gruppen und Ringe. Die \Lineare Algebra II" war auf die beabsichtigte Fortsetzung in der Algebra-Vorlesung zugeschnitten. Sie enthielt u.a. die Teilbarkeitstheorie in Ringen, die den jetzigen x 4 ausmacht, ferner die lineare Algebra fur Moduln uber kommutativen Ringen bis hin zum Hauptsatz fur Moduln uber Hauptidealringen. Vom Leser dieses Textes wird daher erwartet, da er schon etwas mit Ringen und Moduln umgehen kann. Im Gegensatz zu vielen Lehrbuchern der Algebra ist der Sto nicht nach dem Schema \Gruppen-Ringe-Korper" organisiert. Vielmehr wollte ich eine wohlmotivierte Einfuhrung in die Korper- und Galoistheorie geben, die besonders auch die Interessen der Lehramtsstudenten berucksichtigt, und in der jeweils der nachste Schritt durch den vorhergehenden nahegelegt wird. Ich beginne, dem Beispiel meines Lehrers F.K. Schmidt folgend, mit den klassischen Problemen der Konstruktion mit Zirkel und Lineal und der Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale, die ja uber zwei Jahrtausende hinweg starke Anstoe fur die Entwicklung der heutigen Algebra gewesen sind. Der Fortschritt des Textes wird hau g daran gemessen, was die dargestellten Satze zur Losung dieser leicht verstandlichen Probleme beitragen. Die Stoauswahl ist unter diesem Gesichtspunkt getroen worden. Die meisten der behandelten algebraischen Begrie waren bereits in den zwanziger Jahren gepragt, als van der Waerdens \Algebra" [vdW1 ] (damals \Moderne Algebra") veroentlicht wurde, und die Satze dieses Buches waren zum groten Teil zu dieser Zeit schon bekannt; allerdings wurden fur manche von ihnen spater einfachere Beweise gefunden. Naturlich gibt es auch ganz anders aufgebaute Einfuhrungen in die Algebra, etwa solche, die von Anfang an mehr auf die algebraische Geometrie hinzielen und in denen moderne Konzepte der Algebra starker zur Geltung kommen. Die Zahlentheorie wird in diesem Text hau g angesprochen, aber nicht systematisch entwickelt, sondern zur Illustration algebraischer Gesetzmaigkeiten in Beispielen verwendet. Die Gruppentheorie kommt erst spat vor und nur etwa in dem Mae,

IV wie sie fur die Galoistheorie benotigt wird. Dafur sind aber die Aufgaben zur Gruppentheorie besonders zahlreich. Kurze Beweise des Hilbertschen Basissatzes und des Hilbertschen Nullstellensatzes bereiten auf die algebraische Geometrie vor. Der Inhalt einschlielich der U bungsaufgaben entspricht ungefahr dem, was in den letzten 20 Jahren in den bayerischen Staatsexamina fur Gymnasiallehrer von den Kandidaten an Kenntnissen in Algebra erwartet wurde. Eine groe Zahl von Aufgaben entstammt dieser Quelle; den bayerischen Kollegen, die zu diesem Fundus beigetragen haben, sei an dieser Stelle gedankt. Anhand der Aufgaben kann der Leser seine Beherrschung des Stoes uberprufen, andererseits enthalten sie aber auch viel zusatzliches Material, zusammengenommen vielleicht mehr als der eigentliche Text selbst. Ich stelle mir vor, da der Leser sie zunachst so zu losen versucht, wie sie gegeben sind. Am Ende des Buches sind Hinweise zusammengestellt, die Hilfen zum Losen der Aufgaben oder zum Kontrollieren der eigenen Losung anbieten. Meine Vorlesung im WS 90/91 war von einem Proseminar begleitet, in dem zusatzlich zu den regularen U bungen einige der umfangreicheren Aufgaben vorgetragen wurden, z.B. die uber die Transzendenz von (x 10, Aufgabe 10)). Herr Wolfgang Rauscher, der fur den U bungsbetrieb zustandig war, hat alle Aufgaben durchgearbeitet und viele Verbesserungsvorschlage gemacht. Er hat mich ebenso wie Herr Dr. Reinhold Hubl bei den Korrekturen unterstutzt. Das Manuskript ist von Frau Eva Rutz mit groem Geschick hergestellt worden. Das Computerprogramm \Word" hat den Text nach orthographischen Fehlern abgesucht und gelegentlich originelle Verbesserungsvorschlage gemacht, z.B. \Korperbehinderung" fur \Korperereiterung". Den Studenten, die auf klareren oder ausfuhrlicheren Beweisen bestanden, sowie allen Mitarbeitern danke ich fur ihre Hilfe sehr herzlich.

V

Vereinbarungen Der Leser soll schon einen Kurs uber lineare Algebra absolviert haben und dort mit Grundbegrien der Algebra wie \Gruppe", \Ring", \Modul" und \Korper" vertraut geworden sein, vor allem auch mit dem Korper C der komplexen Zahlen. Ohne nahere Erlauterung werden Begrie wie \Erzeugendensystem eines Moduls", \Basis und Dimension eines Vektorraums", \Matrizen" und \Determinanten" etc. benutzt. Unter einem Ring soll ein assoziativer kommutativer Ring mit 1 verstanden werden, wenn nicht ausdrucklich etwas anderes gesagt wird. Fur zwei Ringe R und S ist ein Ringhomomorphismus h : R ! S eine Abbildung mit h(r + s) = h(r) + h(s), h(r s) = h(r) h(s) f ur alle r; s 2 R und h(1) = 1. Ist h uberdies bijektiv, so heit h ein Ringisomorphismus. R[X ] bezeichnet den Polynomring in der Unbestimmten X u ber dem Ring R . Seine Elemente f sind von der Form f

=

P a X

2N

(a 2 R; a 6= 0 nur fur endlich viele 2 N )

Es wird als bekannt vorausgesetzt, wie Polynome addiert und multipliziert werden und was, zumindest wenn R ein Korper ist, unter der \Polynomdivision mit Rest" zu verstehen ist. deg f bezeichnet den Grad eines Polynoms f , d.h. das Maximum aller 2 N mit a 6= 0, wenn f 6= 0 ist. Das Nullpolynom soll jeden Grad besitzen. Ist d := deg f , so heit ad der Gradkoezient von f , ferner heit a0 das konstante Glied von f . Fruh tritt auch schon der Polynomring R[X1 ; : : : ; Xn ] in endlich vielen Unbestimmten X1 ; : : : ; Xn uber R auf. Er kann induktiv durch die Formel R[X1 ; : : : ; Xn ] := (R[X1 ; : : : ; Xn 1 ])[Xn ]

de niert werden. Seine Elemente (1)

f

=

P

1 ;:::;n 2N

f

sind von der Form

a1 n X11 Xnn

(a1 n 2 R; nur endlich viele a1 n 6= 0)

und man rechnet mit ihnen wie man das aus der Analysis mit Funktionen in mehreren Variablen ja schon gewohnt ist. Wir wollen Polynome aber nicht als Funktionen betrachten, sondern als Ausdrucke, mit denen nach formalen Regeln gerechnet wird. Verzichtet man in (1) auf die Endlichkeitsbedingung, so erhalt man formale Potenzreihen und den Ring R[[X1; : : : ; Xn]] der formalen Potenzreihen in Unbestimmten X1 : : : ; Xn uber R , der jedoch in diesem Text nicht auftreten wird. Fur eine

VI (unendliche) Familie fXg2 von Unbestimmten ist der Polynomring R[fX g2] erklart als die Vereinigung der Polynomringe R[X1 ; : : : ; Xn ] in je endlich vielen Unbestimmten aus fXg2 . Was aus der Gruppentheorie bekannt sein soll, wird im Vorspann zu x 11 gesagt und in den U bungsaufgaben 1)-8) zu x 11 wiederholt. Fur ein Element x aus einer additiven Gruppe und ein n 2 N ist de nitionsgema n x := |x + {z + x} und n

( n) x := (n x). Insbesondere gilt dies fur die additive Gruppe eines Rings oder Korpers. Entsprechend ist in einer multiplikativen Gruppe xn = |x :{z: : x} und n

= (xn ) 1 . p Fur eine komplexe Zahl a bezeichnet n a eine der n {ten Wurzeln von a . Ist p a 2 R + , so soll n a stillschweigend die reelle Wurzel > 0 sein. Primzahlen sind naturliche Zahlen p > 1, die keine echten Teiler in N besitzen. Jede naturliche Zahl > 1 ist Produkt von endlich vielen Primzahlen.

x n

1 x 1.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Dieses Thema ist durch seine klassische Herkunft aus der griechischen Mathematik des Altertums und durch die Beitrage bedeutender Mathematiker geheiligt, wenn es auch in der heutigen Forschung kaum noch eine Rolle spielt. Fur den historischen Ursprung der Konstruktionsprobleme siehe Tropfke [T4 ]. Wir wunschen uns eine Methode, die es ermoglichen soll, von jeder geforderten Konstruktionsaufgabe mit Zirkel und Lineal zu entscheiden, ob sie durchfuhrbar ist oder nicht. Noch lieber ware es uns, wenn uns die Methode im Fall einer positiven Antwort auch gleich ein Verfahren zur Losung der Aufgabe anbieten wurde, denn Konstruktionsaufgaben konnen sehr vertrackt sein. Zunachst werden wir exakt beschreiben, was wir unter Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen wollen. Dann werden wir das Konstruktionsproblem in eine Aufgabe der Algebra verwandeln, die wir zu losen hoen, wenn nur die Algebra weit genug entwickelt ist.

1.I. Formulierung des Konstruktionsproblems. Beispiele M sei eine nichtleere Menge von Punkten in der Ebene, G(M ) die Menge aller Geraden, die zwei verschiedene Punkte von M enthalten, und K (M ) die Menge aller Kreise, deren Mittelpunkt ein Punkt von M und deren Radius gleich dem Abstand zweier verschiedener Punkte von M ist. Zu gegebenem M wollen wir annehmen, da wir mit Lineal und Zirkel jede Gerade aus G(M ) und jeden Kreis aus K (M )

konstruieren konnen. Ist umgekehrt eine \elementargeometrische Figur" vorgelegt, d.h. eine Menge von Punkten, Geraden und Kreisen der Ebene, so sind uns die Geraden durch zwei ihrer Punkte und die Kreise durch ihren Mittelpunkt und ihren Radius gegeben, welcher als der Abstand zweier gegebener Punkte aufgefat werden kann. Um zu untersuchen, welche Figuren man, ausgehend von einer vorgelegten Figur, konstruieren kann, genugt es zu prufen, welche Punkte man aus einer gegebenen Punktmenge M mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Durch folgende Operationen konnen wir Punkte erhalten, die nicht in M zu liegen brauchen: O1) Schnitt zweier Geraden aus G(M ). O2) Schnitt einer Geraden aus G(M ) mit einem Kreis aus K (M ). O3) Schnitt zweier Kreise aus K (M ). Besteht M nur aus einem Punkt, so sind G(M ) und K (M ) leer und wir konnen keine weiteren Punkte konstruieren. Wir setzen deshalb voraus, da M mindestens zwei verschiedene Punkte enthalt. M 0 sei dann die Menge aller Punkte der Ebene, die durch Anwendung einer der Operationen O1) O3) aus M gewonnen werden konnen. Sei M0 := M und sei Mn fur n 0 schon de niert. Dann setzen wir

Mn+1 := (Mn )0

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

2

Mn+1 entsteht also durch Anwendung der Operationen O1) O3) auf Mn . Man

erhalt so eine Kette von Punktmengen in der Ebene

M = M0 M1 Mn Mn+1 : : : 1 S 1.1.Definition: M^ := Mn heit die Menge aller aus M mit Zirkel und Lineal n=0

konstruierbaren Punkte. Jedes P 2 M^ liegt schon in Mn fur ein n 2 N , daher ist klar, da P durch endlichfache Anwendung der Operationen O1) O3) aus M konstruiert werden kann. Ferner ist (M^ )0 = M^ , denn bei der Konstruktion eines Punktes P aus (M^ )0 geht man von endlich vielen Punkten aus M^ aus; diese liegen schon in einer Menge Mn und es ist dann P 2 Mn+1 M^ . 1.2.Beispiele:

a) Dreieckskonstruktionen Gegeben sind meistens 3 Bestimmungsstucke eines Dreiecks. Dies konnen Strecken (Kanten, Seitenhalbierende, Hohen, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Inkreisradius, Umkreisradius etc.) oder Winkel sein. Die Strecken konnen auf einer Geraden g von einem Punkt O aus abgetragen werden. Winkel werden durch den Scheitel O und einen Punkt 6= O auf jedem Schenkel gegeben, wobei g als ein Schenkel genommen werden kann.

Dann sind die 3 Bestimmungsstucke durch eine Punktmenge M gegeben. Die Frage nach der Konstruierbarkeit des Dreiecks aus den Bestimmungsstucken ist aquivalent damit, ob es in M^ drei Punkte gibt, die ein zu dem Ausgangsdreieck kongruentes Dreieck bestimmen. Es wird hier also von vornherein vorausgesetzt, da ein Dreieck mit den gewunschten Bestimmungsstucken bereits existiert und es geht um die Frage, ob es dann auch

Formulierung des Konstruktionsproblems

3

konstruiert werden kann. Daneben kann man die Frage nach einem generellen Konstruktionsverfahren fur Aufgaben gleichen Typs erortern. Bei der Konstruktion eines Dreiecks aus seinen Kanten sind diese durch die Strecken OA , OB und OC auf g gegeben. Es ist hier M = fO; A; B; C g . Bekanntlich erhalt man die Losung des Problems sofort, indem man um O einen Kreis mit dem Radius OB schlagt, um A einen Kreis mit dem Radius OC , und indem man die Kreise zum Schnitt bringt (sie schneiden sich, weil die Existenz eines Dreiecks mit den gewunschten Kanten vorausgesetzt wurde).

b) Delisches Problem der Wurfelverdoppelung Zu einem gegebenen Wurfel soll ein Wurfel doppelten Volumens konstruiert werden. M besteht hier aus 2 Punkten P; Q , deren Abstand die Kantenlange des Wurfels ist. Die Frageplautet dann, ob der Punkt Q0 der folgenden Zeichnung, der von P den Abstand 3 2 a besitzt, zu M^ gehort?

c) Dreiteilung des Winkels Zu einem Winkel mit der O nung ' soll ein Winkel mit der O nung '3 konstruiert werden. Der Winkel ist durch M = fO; P1 ; P2g gema der folgenden Zeichnung gegeben.

4

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Das Problem besteht darin zu entscheiden, ob Q 2 M^ . Fur spezielle ' ist die Dreiteilung des Winkels sicher moglich, die Frage ist aber, ob es immer geht. d) Quadratur des Kreises Zu einem gegebenen Kreis soll ein achengleiches Quadrat konstruiert werden. M besteht aus zwei Punkten O; P , deren Abstand gleich dem Radius r des Kreises ist. Man hat zup entscheiden, ob der Punkt Q der folgenden Zeichnung, der von O den Abstand r besitzt, zu M^ gehort.

e) Konstruktion des regularen n {Ecks Einem Kreis soll ein regulares n {Eck einbeschrieben werden. M besteht aus 2 Punkten O; P und man hat zu entscheiden, ob der Punkt Q der folgenden Zeichnung zu M^ gehort.

Genauer interessiert man sich dafur, fur welche n dies der Fall ist. Den griechischen Mathematikern des Altertum ist die Konstruktion fur n = 3; 4; 5 gelungen ( n = 5:

Algebraisierung des Konstruktionsproblems

5

goldener Schnitt) und damit fur alle Zahlen der Form 2k n (n 2 f2; 3; 5g; k 2 N ). Der 18{jahrige Gau konnte das regulare 17{Eck konstruieren und die Konstruktionsaufgabe auf ein zahlentheoretisches Problem zuruckfuhren, auf das wir spater noch kommen werden (13.8). Da dieses noch nicht vollig geklart ist, ist auch die Frage nach der Konstruierbarkeit von regularen n {Ecken noch nicht vollstandig beantwortet.

1.II. Algebraisierung des Konstruktionsproblems

Wir denken uns in der Ebene kartesische Koordinaten eingefuhrt. Das Koordinatensystem soll so gewahlt sein, da die Punkte mit den Koordinaten (0; 0) und (1; 0) zu M gehoren. Wir identi zieren dann die Punkte der \Zeichenebene" mit R 2 . Noch zweckmaiger ist es, die Ebene sogleich als \Gausche Zahlenebene" zu betrachten, d.h. die Punkte (x; y) 2 R 2 mit den komplexen Zahlen x + iy zu identi zieren. M ist dann eine Menge von komplexen Zahlen mit 0 2 M , 1 2 M , und es kommt uns darauf an, die Menge M^ aller aus M konstruierbaren Zahlen zu beschreiben. 1.3.Satz. Sei M eine Menge von komplexen Zahlen mit 0

2 M , 1 2 M . Die

Menge M^ aller aus M konstruierbaren Zahlen ist ein Teilkorper des Korpers C der komplexen Zahlen. Beweis: Es ist zu zeigen, da fur z1 ; z2 2 M^ auch die Zahlen z1 + z2 , z1 z2 , z1 z2

und, falls z2 6= 0 ist, auch zz12 konstruierbar sind. a) Die Addition komplexer Zahlen entspricht der \Vektoraddition". Sie kann mit dem Zirkel allein durchgefuhrt werden:

b) Zu z2 2 M^ ist auch z2 konstruierbar und folglich z1 z2 . c) Zur Konstruktion des Produktes betrachten wir zunachst zwei positive reelle Zahlen r1 ; r2 2 M^ . Ist g 2 G(M^ ) und z 2 M^ , z 2 g , so ist auch die zu g orthogonale Gerade g0 durch z konstruierbar:

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

6

Daher lat sich die folgende Figur konstruieren:

und es ist x = r1 r2 . Tragt man diese Strecke mit dem Zirkel von 0 aus auf der reellen Achse ab, so erhalt man, da r1 r2 2 M^ . Sind nun z1; z2 2 M^ durch Polarkoordinaten

zk = rk (cos 'k + i sin 'k ) = rk ei'k (k = 1; 2) gegeben, so ist

z1z2 = r1 r2 (cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)) = r1 r2ei('1 +'2) rk ist die Lange des zu zk gehorigen Ortsvektors und 'k dessen Winkel zur reellen Achse. Da man von zk das Lot auf die reelle Achse fallen kann (k = 1; 2), ergibt sich, da r1 ; r2 2 M^ und somit r1 r2 2 M^ . Auerdem konnen zwei Winkel mit Zirkel und Lineal addiert werden:

Algebraisierung des Konstruktionsproblems

7

Tragt man r1 r2 auf dem zu '1 + '2 gehorigen Strahl ab, so erhalt man z1z2 . d) Es genugt jetzt zu zeigen: Ist z2 2 M^ , z2 6= 0, so ist auch z12 2 M^ . Da 1 = 1 (cos( ' ) + i sin( ' )) = r 1 e i'2

z2

r2

2

2

2

und da man die Spiegelung eines Winkels an der reellen Achse sicher mit Zirkel und Lineal durchfuhren kann, genugt es nachzuweisen, da r2 1 2 M^ . Dies ergibt sich mit der folgenden Konstruktion:

Damit ist gezeigt, da M^ ein Teilkorper von C ist. 1.4.Bemerkung: Jeder Teilkorper K von C enthalt den Korper Q der rationalen

Zahlen, denn mit 1 2 K ist auch n = |1 + {z + 1} fur jedes n 2 N in K enthalten, n mal folglich auch n . Fur p; q 2 Z , q 6= 0 ist p; q 2 K und somit auch pq 2 K . Insbesondere sind alle rationalen Zahlen mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Fur eine komplexe Zahl z = r (cos ' + i sin ') mit r 2 R + , < ' ist eine p Quadratwurzel z gegeben durch pz = pr (cos ' + i sin ' ) 2 2

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

8 1.5.Satz. Fur z 2 M^ ist auch

pz 2 M^ .

Beweis: Da man die Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruieren kann,

p genugt es zu zeigen, da r 2 M^ . Dies wird durch die folgende Figur bewerkstelligt:

p

Es ist x = 1 + y2 nach Pythagoras. Da (1; y) auf dem Kreis mit der Gleichung (X p2r )2 + Y 2 = ( r2 )2 liegt, ist 1 r + ( r2 )2 + y2 = ( 2r )2 , folglich r = 1 + y2 und x = r. 1.6.Definition: Ein Teilkorper K von C heit quadratisch abgeschlossen, wenn

p

fur jedes z 2 K auch z 2 K . Nach 1.5 ist M^ ein quadratisch abgeschlossener Teilkorper von C . Bevor wir weitere Eigenschaften von M^ ermitteln, wollen wir einige Begrie aus der Korpertheorie einfuhren. 1.7.Lemma. Sei fKg2 eine Familie von Teilkorpern eines Korpers K . Dann ist T

K ein Teilkorper von K . T Dies ist klar, weil mit x; y 2 K auch x + y , x y , x y und, falls y 6= 0 ist, T x auch y zu K gehort. auch

2

1.8.Definition: Sei M eine Teilmenge eines Korpers K .

a) Der von M erzeugte Teilkorper von K ist der Durchschnitt aller M enthaltenden Teilkorper von K . Wir bezeichnen ihn mit (M ). b) Fur einen Teilkorper K0 K bezeichne K0(M ) den von K0 [ M erzeugten Teilkorper von K . Wir sagen K0(M ) entstehe aus K0 durch Adjunktion von M. c) Der von M = f0; 1g erzeugte Teilkorper P von K heit der Primkorper von K.

Algebraisierung des Konstruktionsproblems

9

Der Primkorper P ist in jedem Teilkorper von K enthalten und fur jedes M K ist (M ) = P (M ). Der Primkorper von C ist naturlich Q . Gilt in einem Korper 1 + 1 = 0, so ist P := f0; 1g schon ein Teilkorper und notwendigerweise der Primkorper. In der Situation von 1.8b) besteht K0 (M ) aus allen Elementen der Form f (x1 ; : : : ; xn ) 2 K (g(y ; : : : ; y ) 6= 0) 1 m g(y ; : : : ; y ) 1

m

wobei f und g Polynome mit Koezienten aus K0 sind und x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; ym 2 M . Diese Elemente sind namlich in jedem Teilkorper von K enthalten, der K0 und M enthalt, und die Gesamtheit dieser Elemente ist selbst ein Korper, weil Summe, Produkt etc. zweier Elemente wieder von der gleichen Bauart sind. Fur d 2 Q ist p p Q(f dg) = fa + b d j a; b 2 Q g p p denn die Zahlen a + b d bilden selbst schon einen Korper, der Q und d enthalt. Sei nun wieder M eine Teilmenge von C mit 0 2 M , 1 2 M und sei M^ der Korper aller aus M konstruierbaren Zahlen. Mit M bezeichnen wir die konjugiert-komplexen der Zahlen aus M . Diese entstehen aus M durch Spiegelung an der reellen Achse und sind daher ebenfalls konstruierbar: M M^ . Somit gilt K0 := Q (M [ M ) M^ . 1.9.Lemma. Es ist K 0 = K0 .

Beweis: Wir verwenden, da der Ubergang zum Konjugiert-komplexen ein involutorischer Automorphismus von C ist, d.h. da die Regeln

z1 + z2 = z1 + z2; z1 z2 = z1 z 2; =z = z fur z1 ; z2; z 2 C gelten. Aus ihnen folgt zunachst, da K 0 := fz j z 2 K0 g ebenfalls ein Teilkorper von C ist. Aus M; M K0 ergibt sich dann M; M K 0 und folglich K0 K 0 . Dann ist aber auch K 0 K 0 = K0 und somit K0 = K 0 . Sei jetzt L ein beliebiger Teilkorper von C mit L = L , sei G(L) die Menge aller Geraden durch zwei verschiedene Punkte von L und K (L) die Menge aller Kreise, deren Mittelpunkt zu L gehort und deren Radius ein Element von L ist. Wegen L = L gehoren mit z 2 L auch der Real- und der Imaginarteil von z zu L . 1.10.Lemma. Ist z Schnittpunkt zweier verschiedener Geraden aus G(L), so ist

z 2 L.

Beweis: Die beiden Geraden sind Punktmengen der Form

z0 + z1 z00 + z10

(z0 ; z1 2 L; zk = xk + iyk ) (z00 ; z10 2 L; zk0 = x0k + iyk0 )

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

10

wobei und ganz R durchlaufen. Um den Schnittpunkt z zu bestimmen, hat man und so zu wahlen, da z0 + z1 = z00 + z10 . Zerlegt man in Real- und Imaginarteil, so erhalt man ein lineares Gleichungssystem der Form

x0 + x1 = x00 + x01 (iy0 ) + (iy1 ) = (iy00 ) + (iy10 ) in dem xk ; x0k ; iyk ; iyk0 zu L gehoren (k = 1; 2). Es folgt dann ; 2 L und damit z = z0 + z1 2 L . 1.11.Lemma. Ist z Schnittpunkt einer Geraden aus G(L) mit einem Kreis aus

K (L), dann gibt es ein w 2 L , so da z 2 L(pw). Beweis: Die Gerade sei durch

z0 + z1

(z0 = x0 + iy0 2 L; z1 = x1 + iy1 2 L; 2 R )

gegeben. Der Kreis habe den Mittelpunkt z2 = x2 + iy2 2 L und den Radius r . Hierbei ist r 2 L . Die Punkte x + iy des Kreises erfullen dann die Gleichung (x x2 )2 (iy iy2 )2 = r2 Speziell ergibt sich fur den Schnittpunkt z = z0 + z1 die Gleichung (x1 + x0 x2 )2 ( (iy1 ) + (iy0 ) (iy2 ))2 = r2 Dies ist entweder eine lineare oder eine quadratische Gleichung fur . Im ersten Fall ist 2 L und z 2 L . Im zweiten Fall erhalt man eine Gleichung

2 + p + q = 0 und es ist dann Mit w := p4

2

(p; q 2 L)

r 2 p = 2 p4 q

q folgt z 2 L(pw).

1.12.Lemma. Ist z Schnittpunkt zweier verschiedener Kreise aus K (L), dann gibt

p

es ein w 2 L mit z 2 L( w).

Algebraisierung des Konstruktionsproblems

11

Beweis: Die Kreise seien durch die Gleichungen

(x x0 )2 (x x1 )2

(iy iyo )2 = r02 (iy iy1 )2 = r12

gegeben. Durch Dierenzbildung erhalt man eine lineare Gleichung (a; b; c 2 L)

ax + b(iy) = c

wobei (a; b) 6= (0; 0), weil wir von verschiedenen Kreisen ausgegangen sind, die sich schneiden sollten. Die lineare Gleichung beschreibt eine Gerade aus G(L) und z ist Schnittpunkt dieser Gerade mit den Kreisen. Nun kann man 1.11 anwenden. Die Lemmata gestatten nun eine algebraische Beschreibung der aus M konstruierbaren Punkte. 1.13.Definition: Sei K ein Teilkorper eines Korpers L . Wir sagen, da L aus K

durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln entsteht, wenn es Elemente w1; : : : ; wn 2 L gibt, so da gilt: a) L = K (fw1; : : : ; wng). b) w12 2 K , wi2+1 2 K (fw1; : : : ; wi g) fur i = 1; : : : ; n 1.

2 C aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn z in einem Teilkorper L von C enthalten ist, der aus K0 = Q (M [ M ) durch 1.14.Satz. Genau dann ist z

sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht.

Beweis: Da M^ nach 1.5 quadratisch abgeschlossen ist, enthalt M^ jeden Korper L ,

der aus K0 durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht. Entsteht umgekehrt z 2 C aus K0 durch Anwendung einer der Operationen O1) Op 3), so zeigen die Lemmata 1.10-1.12, da ein w 2 Kp0 existiert mit p z 2 K0 ( w). Da auch w 2 K0 gilt, entsteht K1 := K0 ( w; w) aus K0 durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln. Ferner ist K 1 = K1 . Da ein beliebiger Punkt z 2 M^ durch endlichfache Anwendung der Operationen O1) O3) gewonnen wird, folgt die Behauptung nun durch Induktion, q.e.d. Hat man fur z 2 M^ einen Korper L = K0 (fw1; : : : ; wng) wie in 1.13 gefunden, so gibt es Punkte z1 ; : : : ; zm 2 M [ M und Gleichungen

wi2 = fgi ((zz1 ;; :: :: :: ;; zzm ;; ww1;; :: :: :: ;; wwi 1)) i 1

(1)

m

i 1

1

(i = 1; : : : ; n)

z = fg((zz1;; :: :: :: ;; zzm;; ww1;; :: :: :: ;; wwn)) 1

m

1

n

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

12

wobei die fi ; gi ; f und g Polynome mit Koezienten aus Q sind. Sind diese Gleichungen explizit bekannt, so ist durch sie ein Konstruktionsverfahren fur z aus z1 ; : : : ; zm gegeben, weil man die rationalen Rechenoperationen nach 1.3 und das Quadratwurzelziehen nach 1.5 mit Zirkel und Lineal durchfuhren kann.

p

Fur einen Teilkorper K C bezeichne K die Menge aller Quadratwurzeln von Elementen aus K . Der Korper M^ lat sich wie folgt beschreiben: 1.15.Korollar.pSei K0 := Q (M [ M ). Ist Kn fur ein n 2 N schon de niert, so

sei Kn+1 := Kn ( Kn). Dann gilt

1 M^ = S Kn n=0

M^ ist der Durchschnitt aller quadratisch abgeschlossenen Teilkorper von C , welche K0 umfassen. 1 S Beweis: Da M^ quadratisch abgeschlossen ist und K0 enthalt, ist Kn M^ . n=0 Umgekehrt hat man fur z 2 M^ Gleichungen der Form (1), aus denen sich ergibt, da z 2 Kn . Jeder quadratisch abgeschlossene Teilkorper, welcher K0 enthalt, umfat auch alle Kn (n 2 N ) und damit M^ , q.e.d.

Die obige Diskussion ist vielleicht etwas langatmig, dient aber der Klarstellung des Problems. Man kann das Wesentliche kurz wie folgt ausdrucken: Genau dann ist ein Punkt von R 2 aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn seine Koordinaten aus den Koordinaten der Punkte von M konstruierbar sind. Mit Zirkel und Lineal kann man Summe, Dierenz, Produkt und Quotient zweier schon konstruierten komplexen Zahlen konstruieren und Quadratwurzeln aus einer solchen Zahl. Eine Zahl, die durch endlichfache Anwendung dieser Operationen zu gewinnen ist, kann sicher konstruiert werden. Andere Zahlen kann man nicht konstruieren, denn das Schneiden von schon konstruierten Geraden und Kreisen fuhrt nur zu Punkten, die sich aus schon gewonnenen Zahlen durch Anwendung der rationalen Rechenoperationen und Ziehen von Quadratwurzeln ergeben. 1.16.Beispiele:

a) Dreieckskonstruktionen. Wenn ein Dreieck konstruierbar ist, dann sind auch alle seine in 1.2a) genannten Bestimmungsstucke wie Winkel, Winkelhalbierende etc. konstruierbar. Um die Unmoglichkeit einer Dreieckskonstruktion nachzuweisen, genugt es daher, fur ein Bestimmungsstuck des Dreiecks zu zeigen, da es nicht konstruiert werden kann.

Algebraisierung des Konstruktionsproblems

13

p

3 b) Wurfelverdoppelung. Man kann M = f0; 1g annehmen p3 und es ist dann 2 zu konstruieren. Das Problem ist damit aquivalent, ob 2 in einem Teilkorper von C enthalten ist, der aus Q durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht? c) Dreiteilung des Winkels. M besteht hier aus 3 Punkten. Wir durfen anneh men, da es die Punkte 0; 1 und ei' sind, wobei ' die Onung des zu betrachtenden i' i' i' Winkels im Bogenma ist. Hier ist K0 = Q (e ; e ) = Q (e ) und es ist die Frage, ' i 3 ob e in einem Teilkorper von C enthalten ist, der aus Q (ei' ) durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln entsteht? Fur ' = 2 ist die Winkeldreiteilung bekanntlich moglich. Da z = ei 6 die quadratische Gleichung X 2 iX 1 = 0 p lost, steht das im Einklang mit der oben entwickelten Theorie: z = 12 (i + 3) ist konstruierbar. p d) Quadratur des Kreises. Es ist M = f0; 1g und es ist zu konstruieren. Die Quadratur ist genau dann moglich, wenn in einem Korper enthalten ist, der aus Q sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht, denn dann ist auch pdurch in einem solchen Korper enthalten. e) Konstruktion des regularen n {Ecks. Es ist M = f0; 1g und es ist zn := e 2ni zu konstruieren. Wir zeigen mit Hilfe der oben dargestellten Theorie die bekannte Tatsache, da man regulare Funfecke mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Sei := z5 . Wegen 0 = 5 1 = ( 1) ( 4 + 3 + 2 + + 1) ist

4 + 3 + 2 + + 1 = 0 und somit

2 + ( 3 + 2 + 1) + 1 = 0

(2) Andererseits ist

( + 1)2 = 2 + 2 + 2 = 2 + 3 + 2 = ( + 1) + 1 und damit also

( + 1)2 + ( + 1) 1 = 0

+ 1 = 12 (1

Aus (2) folgt nun

p

p 5) und 2 + 3 + 1 = 21 (1 5)

2 + 12 (1

p

5) + 1 = 0

14

x 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Lost man diese Gleichung auf, so erhalt man eine Darstellung von durch rationale Zahlen und Quadratwurzeln, mit deren Hilfe man dann auch konstruieren kann:

p q p 1 = 4 5 1 + 10 2 5 So wird man vorgehen, wenn man die elegante Konstruktion des regularen Funfecks vergessen hat, die eigentlich eine Konstruktion des regularen 10{Ecks ist:

Mehr uber geometrische Konstruktionsprobleme kann man zunachst aus den folgenden Aufgaben, sowie x 2, Aufg. 3-5 erfahren. Siehe auch das Buch von Bieberbach [B]. Ubungen:

1) Ist M C eine abzahlbare Menge, so ist die Menge M^ aller aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte abzahlbar. 2) p p p p a) Es ist Q ( a; b) = Q ( a + b) fur alle a; b 2 Q . p p p p p p ( b) Gilt auch Q ( 2; 3; 5) = Q p 2 +2 3 + 5)? 3) Sei die Menge aller Zahlen 1 a mit a 2 Q und W die Menge aller Zahlen pr M mit r 2 Q . Dann ist Q (M ) = Q (W ). 4) Konstruktion mit dem Lineal allein. Gegeben sei eine Menge M C mit f0; 1; i; 1 + ig M . Daruberhinaus moge noch ein Punkt z 2 M gegeben sein mit z 2= f0; 1; i; 1+i; 12 (1+i)g . Es soll die Menge ML aller aus M mit dem Lineal allein konstruierbaren Punkte beschrieben werden. Die erlaubten Operationen sind die Konstruktion von Geraden durch zwei schon konstruierte Punkte und der Schnitt zweier schon konstruierten Geraden. Die Theorie beruht auf dem folgenden elementargeometrischen Sachverhalt: In der

U bungen

15

Figur

ist die Gerade durch A0 ; B0 genau dann parallel zur Geraden durch A; B , wenn C 0 der Mittelpunkt der Strecke AB ist. a) Geben Sie einen (elementargeometrischen) Beweis fur diese Aussage. b) Zeigen Sie, da die folgenden \Fundamentalkonstruktionen" mit dem Lineal durchfuhrbar sind: Konstruktion einer Parallelen zu einer der Koordinatenachsen durch einen Punkt (und damit Konstruktion der Koordinaten des Punktes). U bertragung einer Strecke von der X {Achse auf die Y {Achse. Addition und Subtraktion reeller Zahlen. Multiplikation reeller Zahlen. Konstruktion des Reziproken einer reellen Zahl a 6= 0. c) Sei M die Menge aller konjugiert-komplexen der Zahlen aus M . Dann ist ML = Q (M [ M )der von M [ M erzeugte Teilkorper von C . d) Folgern Sie nun (algebraisch), da man zu einem Punkt P 2 ML und zu einer schon konstruierten Geraden auch die Parallele zu g durch P und das Lot von P auf g mit dem Lineal allein konstruieren kann. 5) M C sei eine Punktmenge, mit f0; 1; i; 1 + ig M . Ferner liege der Kreis K mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius 1 gezeichnet vor. Fur schon konstruierte Geraden g sollen auch die Schnittpunkte von g mit K als konstruiert gelten. Zeigen Sie, da man dann mit dem Lineal allein alle Punkte konstruieren kann, die aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. 6) Um die Unlosbarkeit des Problems der Wurfelverdoppelung zu zeigen, uberlegen Siepdas Folgende: a) 3 2 2= Q p3 . p3 b) Wennp 2 konstruierbar ist, dann gibt es einen K o rper L C , so da 2 2= L , p 3 aber 2 2 L[ pd] mit einem p d 2 L. p 3 c) Schreiben Sie 2 = a + b d (a; b 2 L; b 6= 0) und folgern Sie, da 3 2 = 2a ware, ein Widerspruch.

16 x

2. Au osung algebraischer Gleichungen

Das Wort \Algebra" stammt aus dem Arabischen und bedeutet so etwas wie \Au osen von Gleichungen" (Tropfke [T1 ],S.3). Es soll hier ein kurzer U berblick u ber die Gebiete der Mathematik gegeben werden, die sich mit den Losungen algebraischer Gleichungen und Gleichungssysteme befassen, und ein Ausblick, was davon in diesem Text behandelt werden soll. Im Gegensatz zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist die Theorie der algebraischen Gleichungen ein hochst lebendiges Gebiet der aktuellen Forschung. n P

Systeme linearer Gleichungen aik Xk = bi (i = 1; : : : ; m) sind in der Mathemak=1 tik schon vor Jahrtausenden aufgetreten. Ihre Losungstheorie ist Teil der linearen Algebra, sie braucht hier nicht aufgerollt zu werden. Die Theorie algebraischer Gleichungssysteme (1)

fi (X1 ; : : : ; Xn ) = 0

(i = 1; : : : ; m)

mit beliebigen Polynomen fi ist Gegenstand der algebraischen Geometrie. Diese reicht uber eine Einfuhrung in die Algebra weit hinaus. Immerhin werden wir ein grundlegendes Theorem dieser Theorie beweisen konnen, den Hilbertschen Nullstellensatz, der sich als eine Aussage der Korpertheorie auassen lat (7.15, 7.26). Noch recht ubersichtlich ist die Situation, wenn das System (1) aus einer einzigen Gleichung f (X; Y ) = 0 in zwei Unbekannten besteht. Dann lat sich die Losungsmenge als eine Kurve in der Ebene betrachten. So liefert etwa die Gleichung (X 2 + Y 2)5 16X 2Y 2(X 2 Y 2 )2 = 0 die folgende Kurve

Algebraische Gleichungssysteme

17

Die Losungsmengen der Gleichungen f (X; Y ) = 0 vom Grad 2 sind bekanntlich die Kegelschnitte. Besteht (1) aus zwei Gleichungen in zwei Unbekannten

f (X; Y ) = 0 ; g(X; Y ) = 0 so ist die Losungsmenge die Schnittpunktmenge der zu f und g gehorigen Kurven. Sind dies Geraden oder Kreise, so haben wir schon in x 1 diskutiert, was dabei herauskommt. Im allgemeinen Fall ist die Lage naturlich viel komplizierter

und es ist schwieriger, zu allgemeinen Aussagen uber die Losungsmengen zu kommen, von ihrer Berechnung ganz zu schweigen. Auch dies wird nicht Gegenstand des jetzigen Textes sein (vgl. jedoch x 5, Aufg. 25)). Betrachtet man in (1) Polynome fi 2 Z [X1 ; : : : ; Xn ] oder fi 2 Q [X1 ; : : : ; Xn], so kann man nach der Losbarkeit und den Losungen des Systems in Z n bzw. Q n fragen (vgl. Aufg. 9) und 10), sowie x 4, Aufg. 9) fur einfache Situationen dieser Art). Dies ist das Thema der arithmetischen (oder diophantischen) Geometrie, die eng mit der Zahlentheorie verwoben ist, und die zum Schwierigsten gehort, was die Mathematik hervorgebracht hat. Das Fermatproblem aus dem Jahre 1637, ob die Gleichung Xn + Y n = Zn

x 2 Au osung algebraischer Gleichungen

18

fur n 3 ganzzahlige Losungen auer den oensichtlichen besitzt, ist ein beruhmtes Problem aus diesem Gebiet. Faltings hat 1983 gezeigt, da es nur endlich viele solche Losungen geben kann, und Wiles hat 1993 einen Beweis der Fermatschen Vermutung angekundigt. Zu den Hauptgegenstanden der meisten Einfuhrungen in die Algebra gehort die Diskussion algebraischer Gleichungen (2)

anX n + an 1 X n 1 + + a1 X + a0 = 0

(ai 2 C )

in einer Variablen. Der Fundamentalsatz der Algebra (der gewohnlich in der Funktionentheorie bewiesen wird, vgl. etwa [FL], Kap. III, Satz 8.2) besagt, da Gleichungen (2) vom Grad n > 0 ( an 6= 0) immer eine Losung in C besitzen und da es n Losungen gibt, wenn man diese noch mit geeigneten Vielfachheiten zahlt. Bis zum Beweis dieses Satzes im Jahr 1799 durch Gau mute ein langer Weg zuruckgelegt werden, der in Tropfkes Geschichte der Elementarmathematik ([T1 ],3.3) mit groer Genauigkeit beschrieben ist. Es ist ein uraltes Problem, Formeln aufzustellen, welche bei einer gegebenen Gleichung (2) die Losungen aus den Koezienten a0; : : : ; an der Gleichung auszurechnen gestatten. Bei quadratischen Gleichungen

a2 X 2 + a1 X + a0 = 0

(a2 6= 0)

erhalt man nach Division durch a2 eine Gleichung der Form

X 2 + pX + q = 0 fur welche die Losungsformel r

2 x1=2 = p2 p4 q seit den altesten Zeiten der Mathematik bekannt ist. Bei Gleichungen 3. Grades

a3X 3 + a2X 2 + a1 X + a0 = 0

(a3 6= 0)

kann man nach Division durch a3 annehmen, da a3 = 1 ist. Dann fuhrt die Substitution X 7! X a32 (Tschirnhausen-Transformation) zum Verschwinden von a2 . Es genugt daher, Gleichungen der Form (3) zu betrachten.

X 3 + pX + q = 0

(p; q 2 C )

Cardanosche Formeln

19

Man de niert die \Diskriminante" D der Gleichung durch

D := (4p3 + 27q2) und setzt

q

p

A := 3 272 q + 23 3D q p B := 3 272 q 23 3D Dabei sollen die komplexen 3. Wurzeln so bestimmt sein, da A B = 3p wird. Mit den 3{ten Einheitswurzeln p p := e 23i = 12 ( 1 + 3); = 12 ( 1 3) erhalt man dann die Losungen von (3) in der Form x1 = 13 (A + B) x2 = 13 (2A + B) = 31 ( A + B) x3 = 13 (A + 2B) = 31 ( A + B) Dies sind die Cardanoschen Formeln, die 1545 in Nurnberg veroentlicht wurden. Zur Geschichte ihrer Entdeckung siehe [T1 ],3.3 oder [vdW3 ], Chap.2.C. Man pruft durch Einsetzen in (3) und eine etwas langere Rechnung nach, da es sich in der Tat um Losungen handelt. Eine andere Frage ist es, wie man auf solche Formeln kommt. Die Galoistheorie kann dies einsichtig machen. Wenden wir uns nun den Gleichungen 4. Grades a4 X 4 + a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = 0

(a4 6= 0)

zu. Man kann a4 = 1 annehmen. Nach der Tschirnhausen-Substitution X 7! X erhalt man eine Gleichung der Form (4)

X 4 + pX 2 + qX + r = 0

a3

4

(p; q; r 2 C )

Ferrari, ein Schuler Cardanos, hat fur diesen Fall Losungsformeln gefunden. Man bildet zunachst die kubische Resolvente der Gleichung (4), namlich die Gleichung (5)

X 3 2pX 2 + (p2 4r)X + q2 = 0

Fur diese kann man mit Hilfe der Cardanoschen Formeln die Losungen y1 , y2 , y3 nden. Die Losungen von (4) werden dann durch die folgenden Formeln gegeben. p y +p y ) x1 = 12 (p y + 1 p y p y2 p y3 ) 1 x = ( 2 1 2 p 2y p 3y ) (6) x3 = 12 ( p y + 1 2 3 x4 = 21 ( p y1 p y2 + p y3 )

x 2 Au osung algebraischer Gleichungen

20

wobei die Nebenbedingung p y1 p y2 p y3 = q fur die Wahl der Wurzeln erfullt sein mu. Wieder kann man durch eine noch kompliziertere Rechnung als bei Gleichungen 3. Grades nachprufen, da es sich um Losungen handelt. Fur eine ausfuhrliche Behandlung der algebraischen Gleichungen bis zum Grad 4 und zur numerischen Losung algebraischer Gleichungen siehe Perron [P], Kap. I u. II. In den Formeln (6) werden die Losungen durch \Wurzelausdrucke" gegeben, die aus den Koezienten der Gleichungen gebildet werden. Solche Ausdrucke nennt man \Radikale". Genauer: 2.1.Definition:

Es seien K L zwei Korper. L heit Radikalerweiterung von

K , wenn gilt: a) Es gibt Elemente w1; : : : ; wn 2 L mit L = K (w1; : : : ; wn). b) Es gibt Zahlen r1 ; : : : ; rn 2 N + , so da i+1 2 K (w ; : : : ; w ) w1r1 2 K; wir+1 1 i

(i = 1; : : : ; n 1)

Mit andern Worten: L entsteht aus K durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln. Fur ein Polynom f 2 K [X ] sagt man, die Gleichung f = 0 sei durch Radikale au osbar, wenn es eine Radikalerweiterung L von K gibt, so da f in L eine Nullstelle besitzt. n P Betrachtet man die Polynome f := ai X i aus (2) als Elemente des Polynomrings i=0 uber K := Q (a0 ; : : : ; an), so sind bis zum Grad n = 4 alle Gleichungen f = 0 durch Radikale au osbar und es gibt sogar allgemeine Losungsformeln, in die man nur die Koezienten ai einsetzen mu, um die Losungen zu erhalten. Abel hat gezeigt (15.6), da es solche Losungsformeln ab dem Grad n = 5 nicht geben kann, und Galois hat konkrete Gleichungen 5. Grades angegeben, die nicht durch Radikale au osbar sind (15.7). Das Problem, ob eine gegebene algebraische Gleichung durch Radikale au osbar ist, ist sehr ahnlich zu der Aufgabe, eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal durchzufuhren. Wie wir in x 1 gesehen haben, handelt es sich bei dem Konstruktionsproblem darum, festzustellen ob die zu konstruierenden Punkte z 2 C Elemente spezieller Radikalerweiterungen sind, namlich von Korpererweiterungen, die durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln aus einem Grundkorper gewonnen werden konnen, der durch die Konstruktionsdaten bestimmt ist. Zu beiden Problemen wird die Galoistheorie die entscheidenden Aussagen liefern. In ihrer heutigen Form ist die Galoistheorie eine Theorie algebraischer Korpererweiterungen. Das Interesse an der Galoistheorie hat sich von der Gleichungstheorie mehr auf die Korpertheorie und dort vor allem auf die algebraische Zahlentheorie 2.2.Definition:

U bungen

21

verlagert. Im nachsten Paragraphen werden wir mit dem Studium der algebraischen Korpererweiterungen beginnen. Schon nach wenigen Schritten wird sich das Konstruktionsproblem neu interpretieren lassen. Ubungen:

1) Geben Sie die Nullstellen von X 4 + X 14 mit Hilfe der Cardanoschen Formeln an. Welche Nullstellen sind reell? Analog fur X 3 4X + 2 und X 3 + 3X 2 2X + 1. 2) a) Sei f = a0 + a1 X + + anX n 2 Z [X ] ein Polynom vom Grad n und sei pq eine rationale Nullstelle von f ( p; q 2 Z teilerfremd). Dann ist p ein Teiler von a0 und q ein Teiler von an . b) Das Polynom 4X 8 12X 7 5X 6 + 6X 5 + 5X 4 9X 3 + 8X 2 15X + 4 besitzt keine Nullstelle in Q . c) Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen von 3X 4 + 4X 3 12X 2 + 4X 15. d) Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen. Besitzt qX 3 p eine rationale Nullstelle? 3) In der Gauschen Zahlenebene liege die Parabel P : Y = X 2 gezeichnet vor, d.h. die Menge aller x + iy 2 C mit y = x2 . Zusatzlich zu den Operationen O1) O3) aus x 1 sollen jetzt auch noch die folgenden beiden Operationen zu konstruierbaren Punkten fuhren: O4) Schnitt einer schon konstruierten Gerade mit P . O5) Schnitt eines schon konstruierten Kreises mit P . Zeigen Sie, da mit den Operationen O1) O5) folgende Konstruktionsaufgaben durchfuhrbar sind: a) Konstruktion der 3. Wurzel aus einer schon konstruierten reellen Zahl. b) Dreiteilung jedes schon konstruierten Winkels. c) Konstruktion der 3. Wurzeln aus einer schon konstruierten komplexen Zahl. 4) Sei M C eine Teilmenge mit 0; 1 2 M und sei K0 := Q (M [ M ). Zeigen Sie, da ein Punkt z 2 C genau dann mit Hilfe der Operationen O1) O5) aus M konstruierbar ist, wenn z in einem Erweiterungskorper L von K0 enthalten ist, der aus K0 durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln und 3. Wurzeln hervorgeht. (Hinweis: Verwenden Sie die Au osungsformeln fur die Gleichungen 3. und 4. Grades). 5) Sei M := f0; 1g . Zeigen Sie, da mit Hilfe der Operationen O1) O5) aus M ein regulares 7{Eck konstruiert werden kann (schon Archimedes hat eine solche Konstruktion angegeben, s. Tropfke [T1 ], S.429-431. Lassen Sie sich von 1.16e) inspirieren).

x 2 Au osung algebraischer Gleichungen

22

6) Seien a0 ; : : : ; an paarweise verschiedene Elemente aus einem Korper K und b0 ; : : : ; bn 2 K beliebige Elemente. a) Dann existiert ein f 2 K [X ] mit f (ai ) = bi (i = 0; : : : ; n). b) Ist K ein endlicher Korper und g : K ! K eine beliebige Abbildung, dann existiert ein f 2 K [X ] mit f (a) = g(a) fur alle a 2 K . 7) Sei K ein endlicher Korper und (a1 ; : : : ; an) 2 K n . Es gibt dann ein Polynom f in n Variablen mit Koezienten aus K , so da f (a1 ; : : : ; an ) = 1, f (x1 ; : : : ; xn ) = 0 fur (x1 ; : : : ; xn ) 2 K n n f(a1 ; : : : ; an )g . Zu jeder Abbildung g : K n ! K gibt es ein Polynom f wie oben, so da g(x1; : : : ; xn ) = f (x1 ; : : : ; xn ) fur alle (x1 ; : : : ; xn) 2 K n . 8) Fur n 2 N ist Xn 2 Q [X ] das Polynom

X := 1 X (X 1) : : : (X n + 1); speziell X = 1 n! 0 n a) Jedes f 2 Q [X ] mit deg f = n lat sich eindeutig in der Form n P f = ci Xi (ci 2 Q; i = 0; : : : ; n) i=0 darstellen. b) Fur das durch f (X ) = f (X + 1) f (X ) de nierte Polynom f gilt dann n P X f = ci i 1 i=1 c) Fur f 2 Q [X ] existiere ein k0 2 N , so da f (k) 2 Z fur alle ganzzahligen k k0 . Schreibt man f wie in a), so gilt c0; : : : ; cn 2 Z . Ferner ist f (k) 2 Z fur alle k 2 Z . 9) Die rationalen Losungen der Gleichung X12 + + Xn2 = 1 (n 2). Sei S n 1(Q ) die Losungsmenge der Gleichung in Q n . a) Die Punkte (x1 ; : : : ; xn ) 2 S n 1(Q ) n f0; : : : ; 0; 1)g entsprechen eineindeutig den Geraden von Q n durch (0; : : : ; 0; 1), welche nicht in der Hyperebene Xn = 1 enthalten sind. Es sind dies die Geraden mit der Parameterdarstellung (0; : : : ; 0; 1) + (t1 ; : : : ; tn 1; 1) fur (t1 ; : : : ; tn 1) 2 Q n 1 b) Durch die Parameterdarstellung

xi =

2ti 1+

nP1 j =1

t2j

(i = 1; : : : ; n 1); xn =

1 1+

nP1 j =1 nP1 j =1

t2j t2j

U bungen

23

werden fur (t1; : : : ; tn 1) 2 Q n 1 alle Punkte von S n 1(Q ) n f(0; : : : ; 0; 1)g gegeben. c) Die Aussagen gelten analog, wenn man statt Q irgendeinen Teilkorper K R nimmt. 10) Die Gleichung X 2 + Y 2 = 3 besitzt keine Losung in Q 2 .

24 x

3. Algebraische und transzendente Korpererweiterungen Es beginnt nun der systematische Teil des Textes mit den ersten Aussagen der \Korpertheorie".

Gegeben sei ein Korper L und ein Teilkorper K L . Wir nennen dann L auch einen Erweiterungskorper von K und sagen, da eine Korpererweiterung L=K gegeben sei. Wir konnen L insbesondere als einen Vektorraum uber K betrachten und Ergebnisse der linearen Algebra anwenden. 3.1.Definition: Ein Element x 2 L heit algebraisch u ber K , wenn es ein Poly-

nom f 2 K [X ] n f0g gibt, so da f (x) = 0 ist. Wenn x nicht algebraisch uber K ist, dann heit es ein uber K transzendentes Element. Ist L = C und K = Q , so heien die algebraischen Elemente von L=K algep3 braische Zahlen, die transzendenten Elemente transzendente Zahlen . Da 2 p3 3 Nullstelle des Polynoms X 2 ist, ist 2 eine algebraische Zahl, entsprechendes gilt naturlich fur alle Wurzeln aus rationalen Zahlen. Die n {ten Einheitswurzeln e 2ni ( = 0; : : : ; n 1) sind algebraische Zahlen, denn es sind die Nullstellen des Polynoms X n 1. 3.2.Satz. Die Menge aller algebraischen Zahlen ist abzahlbar. Beweis: Bekanntlich ist Q abzahlbar und nach einem bekannten Schlu ist dann

auch Q n abzahlbar. Die Elemente von Q n entsprechen eineindeutig den Polynomen aus Q [X ] vom Grad n 1. Da eine Vereinigung von abzahlbar vielen abzahlbaren Mengen wieder abzahlbar ist, ist Q [X ] abzahlbar. Jedes Polynom aus Q [X ] hat nur endlich viele Nullstellen in C . Die Gesamtheit dieser Nullstellen, d.h. die Menge aller algebraischen Zahlen ist daher ebenfalls abzahlbar. Da die Menge der Zahlen eines nichtleeren oenen Intervalls von R nicht abzahlbar ist, ergibt sich 3.3.Korollar. Jedes nichtleere oene Intervall von R enthalt u berabzahlbar viele

transzendente Zahlen. Es sei jetzt wieder L=K eine beliebige Korpererweiterung. Ist x 2 L algebraisch uber K , so gibt es ein nichtkonstantes Polynom niedrigsten Grades aus K [X ], von dem x eine Nullstelle ist. Wir konnen annehmen, da dieses Polynom \normiert" ist, d.h. den Gradkoezienten 1 besitzt, denn andernfalls konnen wird das Polynom noch durch diesen Koezienten dividieren. Ein nichtkonstantes normiertes Polynom

Korpererweiterungen

25

kleinsten Grades mit der Nullstelle x ist durch x eindeutig bestimmt, denn gabe es zwei solche Polynome, so wurde die Dierenzbildung zu einem Polynom kleineren Grades mit der Nullstelle x fuhren.

2 L algebraisch uber K , so heit das normierte Polynom kleinsten Grades aus K [X ] n f0g mit der Nullstelle x das Minimalpolynom von x uber K . Sein Grad heit auch der Grad von x uber K , geschrieben [x : K ]. Ist x 2 L transzendent uber K , so ordnet man x das Minimalpolynom 0 und den Grad 1 zu. 3.4.Definition: Ist x

3.5.Beispiele:

a) Genau dann p3 gilt [x : K ] = 1, wenn x 2 K . b) Es ist [ 2 : Q ] 3; wir wissen aber noch nicht, ob das Gleichheitszeichen gilt, p3 denn es konnte ein Polynom vom Grad < 3 geben, von dem 2 eine Nullstelle ist. c) Ist x eine n {te Einheitswurzel (n 2), so gilt [x : Q ] n 1 denn es ist X n 1 = (X 1)(X n 1 + + X + 1). 3.6.Definition:

a) Die Vektorraumdimension von L uber K heit der Grad von L=K , geschrieben [L : K ]. b) L heit algebraisch uber K (oder L=K eine algebraische Korpererweiterung), wenn jedes x 2 L uber K algebraisch ist. Ist L=K nicht algebraisch, so heit L=K eine transzendente Korpererweiterung. Nach 3.3 sind R und C transzendente Erweiterungskorper von Q . Dagegen ist C = R algebraisch, denn jede komplexe Zahl z = a + bi (a; b 2 R ) ist Nullstelle eines Polynoms (X a + bi)(X a bi) = X 2 2aX + a2 + b2 2 R [X ] Ferner ist [C : R ] = 2, [ R : Q ] = 1 . 3.7.Bemerkung. Ist [L : K ] < 1 , so ist L=K algebraisch. Es ist dann

[x : K ] [L : K ] fur jedes x 2 L .

2 L sind dann die Elemente 1; x; : : : ; xn linear abhangig uber K , d.h. es gibt ein Polynom aus K [X ] n f0g mit der Nullstelle Beweis: Sei [L : K ] := n . Fur jedes x

x.

Erweiterungskorper L = K (x), die aus K durch Adjunktion (vgl. 1.8b) eines einzigen Elements entstehen, heien einfache Korpererweiterungen. Fur sie gilt die folgende wichtige Tatsache:

26

x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen

3.8.Satz. Ist L = K (x) ein einfacher Erweiterungskorper von K , so ist

[L : K ] = [x : K ]

Beweis: Ist x u ber K transzendent, so ergibt sich aus 3.7, da

[K (x) : K ] = 1 = [x : K ]. Sei also x uber K algebraisch mit [x : K ] =: n . Ferner sei f das Minimalpolynom von x uber K . Die Elemente 1; x; : : : ; xn 1 sind linear unabhangig uber K , da f den Grad n besitzt. Setze

K~ := K + K x + + K xn 1 := f0 + 1x + + n 1xn 1 j 0; : : : ; n 1 2 K g Wir werden zeigen, da K~ ein Korper ist. Da K K~ und x 2 K~ , folgt K (x) = K~ . Weil [K~ : K ] = n ist, haben wir dann den Satz bewiesen. Das Produkt zweier Elemente von K~ gehort zu K~ , wenn xi xj 2 K~ fur i; j = 0; : : : ; n 1. Wir dividieren das Polynom X i+j durch f mit Rest: (1)

X i+j = q f + r

(q; r 2 K [X ]; 0 deg r n 1)

Ist r = 0 + 1X + + n 1X n 1 (0 ; : : : ; n 1 2 K ), so ergibt sich nach Einsetzen von x in die Gleichung (1)

xi xj = xi+j = 0 + 1x + + n 1xn 1 2 K~ Sei jetzt y 2 K~ , y 6= 0. Dann ist auch y algebraisch uber K , denn K~ ist ein Vektorraum der Dimension n uber K und enthalt 1; y; y2 ; : : : . Sei X m + c1X m 1 + + cm

(c1; : : : ; cm 2 K )

das Minimalpolynom von y uber K . Dann ist cm 6= 0, denn andernfalls konnte man das Polynom durch X teilen und erhielte ein Polynom kleineren Grades mit der Nullstelle y . Aus der Gleichung

ym + c1ym 1 + + cm = 0 ergibt sich dann die folgende Formel fur das Inverse von y 1 = 1 (ym 1 + c ym 2 + + c ) (2) 1 m 1 y cm und man sieht, da y1 2 K~ . Damit ist K~ ein Teilkorper von L ,

q.e.d.

3.9.Korollar. Ist [x : K ] = n , so gilt K (x) = K + Kx + + Kxn 1 und K (x)=K

ist algebraisch.

Zwischenkorper

27

p

3.10.Beispiel: Ist K ein Teilkorper von C , a 2 K und x = a , so ist

1

falls x 2 K 2 falls x 2= K Wenn umgekehrt L C ein Erweiterungskorper von K ist mit [L : K ] = 2, dann entsteht L aus K durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Ist namlich x 2 L n K , dann hat man eine Gleichung x2 + a1 x + a0 = 0 (a0 ; a1 2 K ) p p und es folgt x = 21 (a1 a21 4a0). Es ist dann w := a21 4a0 2 L n K und damit L = K (w). Unter einem Zwischenkorper von L=K versteht man einen Teilkorper Z L mit K Z . Die folgende Formel wird sehr oft angewandt: [K (x) : K ] =

3.11.Gradformel. Fur jeden Zwischenkorper Z von L=K gilt

[L : K ] = [L : Z ] [Z : K ] Beweis: Sei zunachst [L : Z ] =: r < 1 und [Z : K ] =: s < 1 . fw1 ; : : : ; wr g sei eine Basis von L als Z {Vektorraum und fv1 ; : : : ; vs g eine Basis von Z als K {Vektorraum. Jedes y 2 L schreibt sich dann eindeutig in der Form y = 1w1 + + r wr (1 ; : : : ; r 2 Z ) und jedes i ist von der Form i = i1 v1 + + isvs (i1 ; : : : ; is 2 K ) Man erhalt P y= ij vj wi i=1;:::;r j =1;:::;s

Somit ist fvj wi j 1 i r; 1 j sg ein Erzeugendensystem von L als K {Vektorraum. Das System ist aber auch linear unabhangig, denn aus P v w = 0 ( 2 K ) ij j i ij

Ps

i;j

folgt zunachst ij vj = 0 (i = 1; : : : ; r), weil fw1; : : : ; wr g linear unabhangig j =1 uber Z ist, und dann ij = 0 (i = 1; : : : ; r; j = 1; : : : ; s), weil fv1 ; : : : ; vs g linear unabhangig uber K ist. Somit gilt [L : K ] = r s = [L : Z ] [Z : K ] Ist [Z : K ] = 1 oder [L : Z ] = 1 , so ist erst recht [L : K ] = 1 . Die Gradformel bleibt richtig, wenn man sie so interpretiert, da 1 n = 1 fur alle n 2 N + .

x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen

28

3.12.Korollar. Ist [L : K ] < 1 und x 2 L , so ist [x : K ] ein Teiler von [L : K ]. Beweis: Z := K (x) ist ein Zwischenkorper von L=K und [x : K ] = [Z : K ]. 3.13.Definition: Eine Korpererweiterung L=K heit endlich, wenn [L : K ] < 1 .

Die endlichen Korpererweiterungen lassen sich wie folgt charakterisieren: 3.14.Satz. Folgende Aussagen sind aquivalent:

a) [L : K ] < 1 . b) L=K ist algebraisch und es gibt Elemente a1; : : : ; an 2 L mit L = K (a1 ; : : : ; an ). c) Es gibt Elemente a1; : : : ; an 2 L mit L = K (a1 ; : : : ; an ), wobei a1 uber K und ai+1 uber K (a1 ; : : : ; ai ) algebraisch ist (i = 1; : : : ; n 1). Beweis: a)

! b). Wenn [L : K ] < 1 ist, so ist [x : K ] < 1 fur jedes x 2 L , d.h.

L=K ist algebraisch. Ist L = K , so ist nichts mehr zu zeigen. Andernfalls gibt es ein a1 2 L n K und es ist n1 := [K (a1 ) : K ] > 1. Ist L = K (a1 ), so ist man wieder fertig. Ist L 6= K (a1 ), so gilt mit a2 2 L n K (a1) n2 := [K (a1 ; a2 ) : K (a1 )] > 1 und [K (a1; a2 ) : K ] = n1 n2 > n1

Das Verfahren mu nach endlich vielen Schritten abbrechen, da bei jedem Schritt der Grad zunimmt, aber durch [L : K ] < 1 beschrankt ist. Da b) ! c) trivial ist, mu nur noch c) ! a) gezeigt werden. Sei L = K (a1 ; : : : ; an ) wie in c). Setze K0 := K und Ki := K (a1 ; : : : ; ai ) fur i = 1; : : : ; n . Aus Ki+1 = Ki (ai+1) ergibt sich, weil ai+1 uber Ki algebraisch ist

ni := [Ki+1 : Ki] < 1 Nach der Gradformel ist [L : K ] =

nQ1 i=0

ni < 1 ,

q.e.d.

3.15.Korollar. Sei L=K eine beliebige Korpererweiterung. Die Menge K aller

uber K algebraischen Elemente von L ist ein Zwischenkorper von L=K .

Beweis: Es ist zu zeigen: Fur Elemente x; y 2 K sind auch x + y; x y; x y und, falls y 6= 0, auch x y 1 uber K algebraisch. Alle diese Elemente sind in K (x; y)

enthalten und nach 3.14 ist [K (x; y) : K ] < 1 . Dann sind alle Elemente von K (x; y) uber K algebraisch.

Anwendung auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal

29

3.16.Definition: Der Korper K aller u ber K algebraischen Elemente von L heit

der algebraische Abschlu von K in L .

Insbesondere hat sich ergeben, da die Menge Q aller algebraischen Zahlen ein Teilkorper von C ist, der Korper aller algebraischen Zahlen. Mit ihm beschaftigt sich vor allem die algebraische Zahlentheorie. Wir wollen nun die bisherigen Betrachtungen auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal anwenden und eine einfache notwendige Bedingung fur die Konstruierbarkeit angeben. Ist wie in x 1 eine Menge M von komplexen Zahlen gegeben mit 0 2 M , 1 2 M und ist K0 := Q (M [M ), so ist z 2 C nach 1.14 genau dann aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn es Zahlen w1; : : : ; wn 2 C gibt, so da z 2 K0(w1 ; : : : ; wn), wobei w12 2 K0 , wi2 2 K0 (w1; : : : ; wi 1) fur i = 2; : : : ; n . Sei nun Ki := K0 (w1; : : : ; wi) (i = 1; : : : ; n) und Z := K0(z). Dann ist [Ki : Ki 1 ] entweder 2 oder 1 (i = 1; : : : ; n) und aus der Gradformel folgt, da [K0(w1 ; : : : ; wn) : K0 ] eine Potenz von 2 ist. Notwendigerweise ist dann auch [Z : K0 ] als Teiler dieser Zahl eine Potenz von 2. Wir haben damit gezeigt: 3.17.Satz. Ist z 2 C aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann ist K0 (z )=K0 eine algebraische Korpererweiterung und es gilt [z : K0 ] = [K0(z) : K0] = 2m mit

einem m 2 N . Dieser Satz ermoglicht in vielen Fallen den Nachweis, da eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal undurchfuhrbar ist. Die Bedingung [K0(z) : K0 ] = 2m ist allerdings nicht hinreichend fur die Konstruierbarkeit von z (x 12, Aufg.7)). Im Rahmen der Galoistheorie wird auch eine hinreichende Bedingung fur die Konstruierbarkeit von z aus M gegeben werden (vgl. 12.12). 3.18.Beispiele:

p

a) Wurfelverdoppelung. Es ist 3 2 irrational und daher

p3

[Q ( 2) : Q ] =

3; wenn X 3 2 das Minimalpolynom von p3 2 uber Q ist 2 sonst

Im ersten Fall ist die Wurfelverdoppelung nicht moglich. In x 5 wird gezeigt, da der p zweite Fall nicht eintreten kann. Man kann aber auch leicht direkt beweisen, da 3 2 nicht Nullstelle eines quadratischen Polynoms sein kann (wie ?). ' i b) Dreiteilung des Winkels. Wir haben [K0(e 3 ) : K0 ] f urK0 := Q (ei' ) zu ' bestimmen. Da ei 3 Nullstelle des Polynoms X 3 ei' 2 K0[X ] ist, kommen fur ' [K0(ei 3 ) : K0 ] nur die Werte 1; 2 und 3 in Frage. In den beiden ersten Fallen ist die Konstruktion durchfuhrbar, im letzten nicht.

30

x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen

c) Quadratur des Kreises. Man kann zeigen, da eine transzendente Zahl ist. Daher ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht moglich. Die Transzendenz von wurde 1882 von F. Lindemann bewiesen. Obwohl der Beweis in der Folge stark vereinfacht wurde, ist er noch immer nicht leicht. Er benutzt analytische Hilfsmittel und fuhrt daher aus der Algebra heraus. Ein elementarer, aber nicht leicht zu motivierender Beweis fur die Transzendenz von ist in der U bungsaufgabe 10) zu x 10 enthalten. Zur 4000-jahrigen intensiven Beschaftigung der Mathematiker mit der Zahl s. Tropfke [T4 ], 260-310. d) Konstruktion des regularen n {Ecks ( n 3 ). Wir haben [Q (e 2ni ) : Q ] zu bestimmen. Nach 3.5 wissen wir vorlau g nur, da 1 < [Q (e 2ni ) : Q ] n 1 aber wir kennen noch nicht den genauen Wert des Grades, da wir noch nicht entscheiden konnen, ob X n 1 + + X + 1 das Minimalpolynom von e 2ni uber Q ist. Satz 3.17 und die Beispiele machen deutlich, da wir uns um Methoden bemuhen mussen, von einem gegebenen Polynom festzustellen, ob es das Minimalpolynom eines Elements ist oder nicht. Diese Aufgabe werden wir im nachsten Paragraphen systematisch in Angri nehmen. Sind f; g zwei Polynome aus dem Polynomring K [X ] uber einem Korper K , so kann man g durch f mit Rest dividieren: g = q f +r ( q; r 2 K [X ]; deg r < deg f ). Ist a eine Nullstelle von g und f das Minimalpolynom von a , so ergibt sich r(a) = 0 und wegen deg r < deg f folgt r = 0, also g = q f . Man ndet das Minimalpolynom von a also unter den Teilern von g , wenn man schon ein Polynom g mit g(a) = 0 gefunden hat. Ubungen:

1) Ist z = a + bi (a; b 2 R ) eine algebraische Zahl, so sind auch a und b algebraisch. 2) Sei z 2 C eine Quadratwurzel p von 2i . Welchen Grad besitzt z uber Q ? 3) WelchenpGrad besitzt Q ( 2; i) uber Q ? Bestimmen Sie das Minimalpolynom von i + 2 uber Q . 4) Jede Korpererweiterung vom Primzahlgrad ist einfach. Sie besitzt keine echten Zwischenkorper. 5) Sei L=K eine algebraische Korpererweiterung und R L ein Unterring mit K R . Dann ist R ein Teilkorper von L . 6) Jede Radikalerweiterung L=K ist algebraisch. Mit den Bezeichnungen von De niQn tion 2.1 gilt [L : K ] ri . i=1 7) Ist n gerade und > 2, so lat sich X n 1 + + X + 1 in zwei Faktoren vom Grad > 0 zerlegen.

U bungen

31

8)

a) Das Polynom f := X 3 X + 1 2 Q [X ] besitzt keine Nullstelle in Q . b) Sei z eine Nullstelle von f in C und a := 2 3z + 2z2 . Zeigen Sie, da a 6= 0 ist und stellen Sie a 1 als eine Linearkombination der Potenzen von z mit Koezienten aus Q dar. c) Stellen Sie z6 und z4 als Linearkombination von f1; z; z2 g dar und bestimmen Sie das Minimalpolynom von z2 uber Q . 9) (Korperkompositum) Sei L=K eine Korpererweiterung. Fur zwei Zwischenkorper Z1; Z2 von L=K ist deren Kompositum Z1 Z2 de niert als der von Z1 [ Z2 erzeugte Teilkorper von L . a) Z1 Z2 = Z1(Z2 ) = Z2(Z1 ). b) Ist Zi =K algebraisch (i = 1; 2), so auch Z1 Z2 =K . c) Ist ni := [Zi : K ] < 1 (i = 1; 2), so gilt [Z1 Z2 : K ] n1 n2 . Sind n1 und n2 teilerfremd, so gilt [Z1 Z2 : K ] = n1 n2 . 10) Sei L=K eine Korpererweiterung, Z ein Zwischenkorper von L=K und x 2 L . Ist [Z : K ] < 1 , so ist [Z (x) : K (x)] [Z : K ]. 11) K sei der Erweiterungskorper von Q , der aus Q durch Adjunktion aller Nullstellen in C aller Polynome X 2 + aX + b (a; b 2 Q ) hervorgeht. Ferner sei M die Menge aller Quadratwurzeln pp , wobei p = 1 oder p eine Primzahl ist. a) K = Q (M ) b) Fur jeden Zwischenkorper Z von K=Q mit [Z : Q ] < 1 gibt es Elemente pp1 ; : : : ; ppn 2 M mit Z Q (pp1 ; : : : ; ppn). c) Fur jedes solche Z ist [Z : Q ] eine Potenz von 2. 12) Seien a;pb 2 Q . Geben p Sie notwendige und hinreichende Bedingungen dafur an, da Q ( a) = Q ( b). 13) Sei p eine Primzahl. Ist fa + b p3 p j a; b 2 Q g ein Teilkorper von R ? 14) Die regulare Darstellung einer endlichen Korpererweiterung. Sei L=K eine endliche Korpererweiterung und a 2 L . a) a : L ! L ( a(x) = ax fur x 2 L ) ist ein Endomorphismus des K {Vektorraums L und r : L ! EndK (L) (a 7! a) ein injektiver Ringhomomorphismus (d.h. a+b = a + b , ab = a b fur a; b 2 L ). r heit die regulare Darstellung von L=K . b) Sei a 2 K [X ] das charakteristische Polynom von a . Man nennt es auch das charakteristische Polynom von a . Es gilt a(a) = 0. c) Sei fw1; : : : ; wng eine Basis von L=K und sei

awi =

n P ij wj

j =1

(i = 1; : : : ; n; ij 2 K )

x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen

32

Dann ist a = det(XEn (ij )), wobei En die n {reihige Einheitsmatrix bezeichnet. d) Ist L = K (a), so ist a das Minimalpolynom von a uber K . Allgemeiner gilt: e) Ist [L : K (a)] = m und fa das Minimalpolynom von a uber K , so ist a = fam . 15) Spur und Norm einer endlichen Korpererweiterung. Unter den Voraussetzungen von Aufgabe 14) sei SpL=K (a) die Spur des Endomorphismus a und NL=K (a) := det a . Die Abbildungen SpL=K : L ! K ; NL=K : L ! K heien Spur bzw. Norm der endlichen Korpererweiterung L=K . a) In der Situation von Aufgabe 14c) ist SpL=K (a) =

n P ii ; NL=K (a) = det(ij )

i=1

b) SpL=K ist K {linear und NL=K multiplikativ, d.h. NL=K (ab) = NL=K (a) NL=K (b). c) Ist a = X t + t 1X t 1 + + 0 , so ist SpL=K (a) = t 1 ; NL=K (a) = ( 1)t 0 d) Ist fa = X n + n 1X n 1 + + 0 ( i 2 K ) das Minimalpolynom von a uber K und [L : K (a)] =: m , [L : K ] =: t , so gilt

p

SpL=K (a) = m n 1 ; NL=K (a) = ( 1)t 0m

p

16) Sei K = Q ( d) mit d 2 Q . Fur a = 0 + 1 d (i 2 Q ) berechne man a , SpK=Q (a) und NK=Q (a) als Funktionen von 0 und 1 .

33 x 4.

Teilbarkeit in Ringen

Am Ende von x 3 hat sich gezeigt, da wir uns mit der Teilbarkeit in Polynomringen befassen mussen. Wir werden gleich allgemeiner die Teilbarkeitstheorie in beliebigen Ringen entwickeln, da die Betrachtungen u ber Polynomringe ohnehin aus diesen herausfuhren und weil die Teilbarkeitstheorie zum grundlegenden Rustzeug der Algebra und Zahlentheorie gehort. Das Ziel ist es, den \Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie", den Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung in Z , auf weitere Ringe zu verallgemeinern.

4.I. Die Einheitengruppe eines Rings

Im Unterschied zu einem Korper braucht in einem Ring nicht jedes Element a 6= 0 ein Inverses zu besitzen und ein Ring kann Nullteiler haben. Im folgenden sei R ein Ring. 4.1.Definition: a

2 R heit ein Nullteiler von R , wenn ein b 2 R n f0g exi-

stiert, so da a b = 0 ist. Ein Ring, in dem 0 der einzige Nullteiler ist, heit Integritatsring. Der Nullring ist gema dieser De nition kein Integritatsring, denn in ihm ist 0 kein Nullteiler. 4.2.Bemerkung: R = 6 f0g ist genau dann ein Integritatsring, wenn in R die

Kurzungsregel gilt: Fur a 2 R n f0g und b; c 2 R folgt aus ab = ac stets b = c . Beweis: Aus ab = ac folgt a(b

c) = 0 und in einem Integritatsring ergibt sich b = c . Gilt umgekehrt die Kurzungsregel und ist a b = 0, a 6= 0, so folgt aus a b = a 0, da b = 0 ist. 4.3.Definition: Ein Element r 2 R heit Einheit (oder invertierbar), wenn es ein r0 2 R gibt mit r r0 = 1. Wenn r0 existiert, so ist es durch r eindeutig bestimmt. Man setzt r0 =: r . 1

Oensichtlich ist auch r

1

eine Einheit von R und (r ) = r . 1

1

4.4.Satz. Die Einheiten von R bilden bzgl. der Multiplikation eine (abelsche)

Gruppe.

Beweis: Es ist nur zu zeigen, da fur Einheiten r ; r 2 R auch r r eine Einheit ist. Sei ri r0 = 1 (r0 2 R; i = 1; 2). Dann ist (r r )(r0 r0 ) = 1. 1

i

i

1

2

2

1

2

1

2

Wir bezeichnen die Einheitengruppe von R in Zukunft mit E (R).

x 4 Teilbarkeit in Ringen

34 4.5.Beispiele:

a) E ( Z ) = f+1; 1g b) Ist K ein Korper, so ist E (K ) = K := fx 2 K j x 6= 0g die multiplikative Gruppe von K . c) Sei M eine nichtleere Menge, R ein Ring und F := Abb(M; R) die Menge aller Abbildungen f : M ! R . Wenn man in F die Addition und Multiplikation wie ublich durch die Formeln (f + g)(x) = f (x) + g(x) ; (f g)(x) = f (x) g(x)

(x 2 M )

de niert, so wird F zu einem Ring. Seine Einheitengruppe besteht aus den f 2 F , fur die f (x) 2 E (R) fur alle x 2 M . Ist R = K ein Korper, so besteht E (F ) gerade aus den Funktionen ohne Nullstelle. d) Sei R ein Integritatsring. Fur Polynome f; g 2 R[X ] gilt deg(f g) = deg f + deg g denn ist so ist

f=

n P i

=0

ri X i ; g =

m P j

=0

sj X j

(rn 6= 0; sm 6= 0)

f g = r s + (r s + r s )X + + rn sm X n m und es ist rnsm 6= 0, weil R ein Integritatsring ist. Es ergibt sich, da auch R[X ] ein Integritatsring ist. Ferner gilt 0

0

0

1

1

0

+

E (R[X ]) = E (R) denn aus einer Gleichung f g = 1 folgt deg f = deg g = 0 und f; g sind konstante Polynome aus E (R). Durch Induktion erhalt man, da auch R[X ; : : : ; Xn] ein Integritatsring ist mit E (R[X ; : : : ; Xn]) = E (R) Speziell ist E (K [X ; : : : ; Xn ]) = K fur jeden Korper K und 1

1

1

E ( Z [X ; : : : ; Xn]) = f+1; 1g 1

Ist R kein Integritatsring, so braucht die Formel deg(f g) = deg f + deg g nicht zu gelten. Sie ist aber sicher richtig, wenn der Gradkoezient von f oder g eine Einheit ist, speziell wenn f oder g normiert ist.

Grundregeln der Teilbarkeit

35

4.II. Teilbarkeit. Irreduzible Elemente. Primelemente. In einem Ring R seien Elemente r und s gegeben.

4.6.Definition: r heit Teiler von s (oder s

Vielfaches von r ), wenn ein q 2 R

existiert mit s = r q . Man schreibt dann rjs . Aus der De nition erhalt man leicht: 4.7.Grundregeln der Teilbarkeit: Fur Elemente aus R gilt: a) rjr und rj0. Ferner ist 0 nur ein Teiler von 0. b) Aus rjs und rjs folgt rjs s . c) Aus rjs und rjs + s folgt rjs . d) Transitivitat: Aus rjs und sjt folgt rjt . e) Aus rjs und ujv folgt rujsv . f) Jeder Teiler einer Einheit von R ist selbst eine Einheit. Eine Einheit teilt jedes r 2 R. g) Ist " eine Einheit aus R und gilt rjs , so gilt auch "rjs . Im Ring Z kann man mit dem Divisionsalgorithmus fur je zwei Elemente r; s 2 Z entscheiden, ob r ein Teiler von s ist oder nicht. Sind in R[X ] zwei Polynome f und g gegeben und ist f von der Form 1

2

1

1

1

2

2

2

f = r + r X + + rd X d 0

1

(ri 2 R)

wobei der Gradkoezient rd eine Einheit von R ist, so lat sich die \Polynomdivision" von g durch f mit Rest durchfuhren, d.h. es gibt Polynome q; r 2 R[X ] mit deg r < d , so da g = q f + r . Man kann also auch in diesem Fall entscheiden, ob f Teiler von g ist oder nicht. Insbesondere gilt dies, wenn f normiert ist. Speziell ist die Polynomdivision mit Rest fur beliebige f; g 2 K [X ] moglich, wenn K ein Korper ist und f 6= 0. 4.8.Definition: r und s heien assoziiert, wenn rjs und sjr . Wir schreiben dann

r s. Man pruft mittels der Regeln 4.7 sofort nach, da eine A quivalenzrelation ist. Die Einheiten von R sind gerade die zu 1 assoziierten Elemente. Zu 0 ist nur 0 assoziiert. In Integritatsringen kann man folgende Charakterisierung assoziierter Elemente geben: 4.9.Satz. In einem Integritatsring R sind fur r; s 2 R folgende Aussagen aquivalent:

a) r s . b) Es gibt eine Einheit " 2 E (R) mit s = " r .

x 4 Teilbarkeit in Ringen

36

Beweis: Fur r = 0 ist nichts zu zeigen. Wir setzen daher r 6= 0 voraus. a) ! b). Nach De nition gilt rjs und sjr , also r = " s und s = "0 r mit Elementen "; "0 2 R . Es folgt r = " "0 r . Da R Integritatsring und r 6= 0 ist, ergibt sich " "0 = 1, also " 2 E (R).

b) ! a). Aus s = " r folgt rjs und aus r = " s ergibt sich sjr , also r s . Fur den Rest des Abschnitts 4.II soll R immer ein Integritatsring sein. Wie bei den ganzen Zahlen sind nur die echten Teiler eines Elements wirklich von Interesse: 1

echter Teiler von s , wenn gilt: rjs , r = E2 (R) und r ist nicht assoziiert zu s . Wir schreiben dann rjjs . 4.10.Definition: r heit 4.11.Beispiele:

a) r 2 Z ist genau dann ein echter Teiler von s 2 Z , wenn gilt: rjs und 1 < jrj < jsj . b) Im Polynomring R[X ] uber dem Integritatsring R sei f = r + r X + + rm X m ein Teiler von g = s + s X + + snX n (ri ; sj 2 R; rm 6= 0; sn 6= 0). Dann gilt 0

0

1

1

deg f deg g ; rojso und rm jsn Aus f jjg folgt: Entweder ist deg f < deg g oder es ist deg f = deg g und rm jjsn oder rm 2 E (R). Ist speziell R ein Korper, so ist f genau dann ein echter Teiler von g , wenn f Teiler von g ist, f nicht konstant ist und deg f < deg g gilt. 4.12.Regeln fur echte Teiler:

a) 0 ist niemals ein echter Teiler b) Aus rjjs und sjt folgt rjjt c) Aus rjjs und ujv folgt rujjsv d) Ist s = r q mit einem q 2 R und gilt rjjs , so gilt auch qjjs . Durch Aufsuchen echter Teiler will man Elemente in eventuell einfachere zerlegen. Dies versucht man so lange fortzusetzen, bis es keine echten Teiler mehr gibt. 4.13.Definition: Ein Element r

2 R heit irreduzibel, wenn r 6= 0, r 2= E (R)

und wenn r keinen echten Teiler besitzt. Die irreduziblen Elemente von Z sind die Zahlen p , wobei p eine Primzahl ist. Wir sind vor allem an den irreduziblen Elementen des Polynomrings K [X ] uber einem Korper interessiert, weil die Minimalpolynome der uber K algebraischen Elemente irreduzibel sind: Sei namlich L=K eine Korpererweiterung, x 2 L ein uber K algebraisches Element und f 2 K [X ] sein Minimalpolynom. Angenommen, f besitze einen echten Teiler g 2 K [X ]. Dann ware f = q g mit einem q 2 K [X ] und deg g < deg f , deg q < deg f . Aus 0 = f (x) = q(x) g(x) wurde folgen, da g(x) = 0 oder q(x) = 0, im Widerspruch zur Minimalitat des Grades von f . Einfach zu zeigen sind folgende Tatsachen:

Teilerketten

37

4.14.Regeln fur irreduzible Elemente:

a) Ist r irreduzibel und r s , dann ist auch s irreduzibel. b) Sind r und s irreduzibel und gilt rjs , so ist r s . Analog zur Primzahlzerlegung der naturlichen Zahlen, die auf die griechische Mathematik des Altertums zuruckgeht (vgl. Tropfke [T ], S. 249), versucht man, die Elemente eines beliebigen Integritatsbereichs als Produkte irreduzibler Elemente zu schreiben. Dazu mu eine Zusatzbedingung erfullt sein. 1

Teilerkette in R ist eine Folge frn gn2N von Elementen rn 2 R mit rn jrn fur alle n 2 N . In R gilt der Teilerkettensatz fur Elemente, wenn fur jede Teilerkette frng aus R ein n 2 N existiert, so da rn rn fur alle n n . Mit anderen Worten: Die scharfere Bedingung rn jjrn gilt nur fur endlich viele n 2 N . Neben dem Teilerkettensatz fur Elemente ist auch der fur Ideale sehr be4.15.Definition: Eine +1

0

+1

0

+1

deutsam. Auf diesen werden wir spater zuruckkommen (6.5). In Z gilt der Teilerkettensatz fur Elemente, denn ist frngn2 Z eine Teilerkette in Z , so ist jr j jr j : : : und rn jjrn zieht jrnj > jrn j nach sich. Analog zeigt man mit Hilfe des Grades anstelle des Absolutbetrags, da auch im Polynomring K [X ] uber einem Korper K der Teilerkettensatz fur Elemente gilt. Allgemeiner: 0

+1

1

+1

4.16.Satz. Gilt in R der Teilerkettensatz fur Elemente, so auch in R[X ; : : : ; Xn ]. 1

Beweis: Es genugt, R[X ] zu betrachten, der allgemeine Fall ergibt sich dann durch

Induktion. Ist frn gn2N eine Teilerkette in R[X ], so hat man deg r deg r : : : Fur jedes n 2 N sei n der Gradkoezient von rn . Dann ist fngn2N eine Teilerkette in R (4.11b)). Nach Voraussetzung existiert ein n 2 N , so da n n fur alle n n . Ferner gibt es ein m 2 N , so da deg rn = deg rn fur alle n m . Fur n Max (m ; n ) ist dann rn rn . Es gibt wichtige Integritatsringe, in denen der Teilerkettensatz fur Elemente nicht gilt (s. Aufgabe 9)). Ist er aber erfullt, so erhalt man: 0

1

0

0

0

0

0

+1

+1

0

+1

4.17.Satz. (Euklid) Gilt in R der Teilerkettensatz fur Elemente, so lat sich jede

Nichteinheit r 2 R n f0g als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen pi schreiben: r = p : : : pn 1

x 4 Teilbarkeit in Ringen

38

Beweis: Ist M eine nichtleere Teilmenge von R , so folgt aus dem Teilerkettensatz,

da es ein r 2 M mit folgender Eigenschaft gibt: Kein Element von M ist ein echter Teiler von r . Andernfalls konnte man in M eine Teilerkette frn gn2N konstruieren mit rn jjrn fur alle n 2 N . Angenommen, es gabe eine Nichteinheit r 2 R n f0g , die nicht als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen geschrieben werden kann. Wir bezeichnen die Menge aller solchen Elemente mit M . Wie oben gezeigt, gibt es ein r 2 M , das kein anderes Element von M als echten Teiler besitzt. Dieses r kann nicht irreduzibel sein, denn sonst ware r = r eine Darstellung als Produkt irreduzibler Elemente. Es gilt also r = r r , wobei r ; r echte Teiler von r sind. Nach der Wahl von r gehoren r und r nicht zu M , sind also endliche Produkte irreduzibler Elemente. Dann ist aber auch r ein endliches Produkt irreduzibler Elemente, im Widerspruch zur Voraussetzung. Da die Annahme, es gabe eine Nichteinheit r 2 R n f0g , die nicht Produkt irreduzibler Elemente ist, zu einem Widerspruch gefuhrt hat, ist der Satz bewiesen. Man nennt die im Beweis angewandte Schluweise das Verfahren der Noetherschen Rekursion. Es tritt auch in anderen Zusammenhangen auf. +1

1

1

2

1

2

2

Wir wenden uns nun der Frage nach der Eindeutigkeit der Produktzerlegung von Elementen in irreduzible zu. Zwei Darstellungen

r = p : : : pm = q : : : qn 1

1

von r als Produkte irreduzibler Elemente pi; qj heien aquivalent, wenn m = n ist und eine Permutation von f1; : : : ; ng existiert, so da pi q i fur i = 1; : : : ; n . Beispielsweise sind in Z 6 = 2 3 = ( 2) ( 3) ( )

aquivalente Zerlegungen von 6 in irreduzible Elemente. Mehr als Eindeutigkeit bis auf A quivalenz kann man also nicht erwarten. Es gibt allerdings Beispiele von Integritatsringen mit Teilerkettensatz, in denen die Zerlegung nicht fur alle Elemente in diesem Sinne eindeutig ist (s. Aufg. 16)). Um Eindeutigkeit zu erzwingen, benotigt man eine Verscharfung des Begris eines irreduziblen Elements. 4.18.Definition: Ein Element p 2 R n f0g heit Primelement, wenn p 2= E (R)

ist und wenn fur alle a; b 2 R gilt: Aus pja b folgt pja oder pjb .

4.19.Beispiel: Schon Euklid hat ausgefuhrt, da die Primzahlen p Primelemente

von Z sind, ohne jedoch die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung (Satz 4.21) zu folgern. Der Beweis ist nichttrivial:

Faktorielle Ringe

39

Angenommen, es gibt eine Primzahl p und Zahlen a; b 2 Z mit p - a , p - b , aber pjab . Sei p die kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft. Schreibe

a = q p + a0 ; b = q p + b0 1

(q ; q 2 Z ; 0 < a0 < p; 0 < b0 < p)

2

1

2

Dann ist ab = (q q p + a0 q + b0 q )p + a0 b0 und es folgt pja0 b0 . Es ist a0 > 1 und b0 > 1, denn andernfalls wurde p entweder a oder b teilen. Wir betrachten das kleinste Produkt ab mit folgenden Eigenschaften: pjab , 1 < a < p , 1 < b < p . Sei ab = ph mit h 2 Z . Dann ist 1 < h < p . Fur jede Primzahl p0 , welche h teilt, gilt p0 < p . Aus p0 jab folgt daher p0 ja oder p0 jb . Sei h = h0 p0 mit h0 2 Z und etwa a = a0 p0 mit a0 2 Z . Dann ist ph0 = a0 b . Ware a0 = 1, so wurde pjb folgen, daher ist a0 > 1. Da a0 b < ab ist, hat sich ein Widerspruch ergeben: ab ist nicht das kleinste Produkt mit pjab , 1 < a < p , 1 < b < p. Es folgt, da alle Primzahlen Primelemente von Z sind. Auf vollig analoge Weise lat sich zeigen, da alle irreduziblen Polynome aus K [X ], wenn K ein Korper ist, Primelemente von K [X ] sind. Man argumentiert mit Polynomdivision und dem Grad der Polynome statt mit der Groe ganzer Zahlen. Im Abschnitt 4.IV werden wir auch noch einen anderen Beweis kennenlernen. 1

2

2

1

4.20.Regeln fur Primelemente:

a) Jedes Primelement ist irreduzibel: Aus p = a b folgt pja oder pjb , also a p oder b p . b) Ist p ein Primelement und s p , so ist auch s ein Primelement. c) Sind p; q Primelemente und gilt pjq , so ist p q . d) Ist p ein Primelement und gilt pja : : : an (ai 2 R; i = 1; : : : ; n), so gibt es ein i 2 f1; : : : ; ng mit pjai . Dies folgt aus der De nition 4.18 durch Induktion nach n . Wir zeigen nun, da die Zerlegung eines Elements in Primelemente, wenn eine solche existiert, im wesentlichen eindeutig ist: 1

4.21.Satz. Seien r; s

2 R Elemente, die sich als Produkte von Primelementen

schreiben lassen: r = p : : : pm ; s = q : : : qn mit Primelementen pi(i = 1; : : : ; m); qj (j = 1; : : : ; n) a) Gilt rjs , so ist m n . b) Gilt rjjs , so ist m < n . c) (Eindeutigkeit der Primelementzerlegung) Ist r = s , so ist m = n und bei geeigneter Numerierung gilt pi qi (i = 1; : : : ; m). 1

1

x 4 Teilbarkeit in Ringen

40

Beweis: a) Sei s = h r (h 2 R). Aus p js folgt p jqj fur geeignetes j 2 f1; : : : ; ng 1

1

und damit p qj (4.20c)). Nach Umnumerierung konnen wir j = 1 annehmen: q = " p (" 2 E (R)). Aus s = h r folgt dann nach Kurzung von p 1

1

1

(1)

1

" q : : : qn = h p : : : pm 2

2

und durch Induktion ergibt sich m n . b) Gilt rjjs , so ist h keine Einheit von R und aus (1) folgt p : : : pm jjq : : : qn . Wieder durch Induktion ergibt sich m < n . c) Ist r = s , so folgt aus a), da m = n ist. Ferner gilt (1) mit h = 1. Durch Induktion folgt pi qi (i = 2; : : : ; m) bei geeigneter Numerierung der qj (j = 2; : : : ; m), 2

2

q.e.d.

Es ist jetzt auch der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, der Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung in Z bewiesen: In Z ist jede Zahl a 6= 0, a 6= 1 als Produkt von Primelementen darstellbar und die dabei auftretenden Primelemente sind durch a bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. Denn nach 4.17 ist a Produkt irreduzibler Elemente von Z , die nach 4.19 Primelemente von Z sind. Die Eindeutigkeitsaussage ist durch 4.21c) gezeigt. Entsprechend sind in der Zerlegung eines nichtkonstanten Polynoms f aus K [X ] (wenn K ein Korper ist) in irreduzible Polynome die irreduziblen Faktoren bis auf Multiplikation mit Konstanten eindeutig durch f bestimmt.

4.III. Faktorielle Ringe faktorieller Ring (oder ZPE-Ring) ist ein Integritatsring mit folgender Eigenschaft: Jede Nichteinheit r 2 R n f0g lat sich als (endliches) 4.22.Definition: Ein

Produkt von Primelementen aus R schreiben. Beispiele fur faktorielle Ringe sind nach dem oben Gesagten Z und K [X ], wenn K ein Korper ist. Trivialerweise ist jeder Korper ein faktorieller Ring. 4.23.Satz. Folgende Aussagen sind aquivalent:

a) R ist ein faktorieller Ring. b) R ist ein Integritatsring, in dem der Teilerkettensatz fur Elemente gilt und jedes irreduzible Element Primelement ist. c) R ist ein Integritatsring, in dem der Teilerkettensatz fur Elemente gilt und folgende Bedingung erfullt ist: Schreibt man eine Nichteinheit r 2 R n f0g auf zwei Arten als Produkt irreduzibler Elemente, so sind die beiden Darstellungen aquivalent, d.h. es treten gleichviele Faktoren auf und bei geeigneter Numerierung sind entsprechende Faktoren zueinander assoziiert.

Faktorielle Ringe

41

! b). Sei fangn2N eine Teilerkette in R . Ist an0 fur ein n 2 N eine Einheit in R , so ist an 2 E (R) fur alle n n und es ist nichts zu zeigen. Seien also Beweis: a)

0

0

alle an Nichteinheiten. Sie sind dann endliche Produkte von Primelementen. Nach 4.21a) nimmt die Anzahl der Faktoren von an bei wachsendem n nicht zu. Nach 4.21b) kann in der Folge fang nur endlich oft echte Teilbarkeit an jjan vorliegen, d.h. die Teilerkettenbedingung ist erfullt. Sei nun r 2 R irreduzibel und r = p : : : pn eine Zerlegung von r in Primelemente pi (i = 1; : : : ; n). Dann mu n = 1 sein, sonst hatte r echte Teiler, also ist r = p ein Primelement. b) ! c) ergibt sich aus 4.21c), da nach b) irreduzible Elemente Primelemente sind. c) ! a). Nach 4.17 ist jede Nichteinheit r 2 R n f0g Produkt irreduzibler Elemente. Es bleibt also zu zeigen, da irreduzible Elemente unter der Voraussetzung c) sogar Primelemente sind. Sei p 2 R irreduzibel, pja b mit a; b 2 R . Schreibe a b = p h , a = p : : : pm , b = p0 : : : p0n mit irreduziblen Elementen pi , p0j (i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; n). Es gilt dann p : : : pm p0 : : : p0n = p h wobei h eine Einheit oder ein Produkt irreduzibler Elemente ist. Nach der Eindeutigkeitsaussage in c) folgt, da ein i 2 f1; : : : ; mg existiert mit p pi oder ein j 2 f1; : : : ; ng mit p p0j . Daher gilt pja oder pjb , d.h. p ist ein Primelement. +1

1

1

1

1

1

1

Im folgenden sei R ein faktorieller Ring. Nach 4.20b) zerfallt die Menge aller Primelemente von R in Klassen assoziierter Primelemente. Sei P ein Reprasentantensystem fur diese Klassen. In Z konnen wir die Primelemente durch die Primzahlen reprasentieren, im Polynomring K [X ] uber einem Korper K durch die normierten irreduziblen Polynome. Ist eine Nichteinheit r 2 R nf0g als Produkt r = q : : : qn von Primelementen qi geschrieben, so gilt qi = "i pi mit pi 2 P und "i 2 E (R) (i = 1; : : : ; n). Fat man nun die "i zu einer Einheit " zusammen und mehrfach auftretende pi zu Potenzen, so erhalt man eine Darstellung 1

r = " p1 : : : pmm 1

(" 2 E (R); pi 2 P; i 2 N ) +

wobei pi 6= pj fur i 6= j . Wir setzen i =: pi (r) (i = 1; : : : ; m) und p(r) = 0 fur alle p 2 P mit p - r . Dann konnen wir schreiben (2)

r ="

Q

p2P

pp r

( )

Eine solche Darstellung hat man auch fur die Einheiten r 2 R , wenn man p(r) = 0 setzt fur alle p 2 P . Es ist p(r) der Exponent der hochsten Potenz von p , welche

x 4 Teilbarkeit in Ringen

42

r teilt. Man nennt p(r) auch die Ordnung von r an der Stelle p und (2) heit die normierte Primelementzerlegung von r zum Reprasentantensystem P . Nach dem Eindeutigkeitssatz 4.21c) sind " und die p(r) durch r eindeutig bestimmt. Mittels der Exponenten p(r) lassen sich die Teilbarkeitsverhaltnisse in R ubersichtlich beschreiben: 4.24.Regeln: Seien r; s 2 R n f0g .

Q

a) Genau dann gilt rjs , wenn p(r) p(s) fur alle p 2 P . Ferner ist (1 + p(r)) p2P die Zahl der Klassen assoziierter Teiler von r . b) Genau dann ist r s , wenn p(r) = p(s) fur alle p 2 P . c) Genau dann gilt rjjs , wenn rjs und p(r) < p(s) fur mindestens ein p 2 P . d) Genau dann ist r 2 E (R), wenn p(r) = 0 fur alle p 2 P . e) Es gilt p(r s) = p(r) + p(s) fur alle p 2 P . f) Ist r + s 6= 0 und p 2 P , so gilt

p(r + s) Min fp(r); p (s)g Ist p(r) < p(s), so ist p(r + s) = p(r). Q Q Zum Beweis von f) schreiben wir r = " pp r , s = "0 pp s mit p2P p2P "; "0 2 E (R). Dann gilt mit p := Min fp(r); p (s)g ( )

r+s=

Q

p2P

pp ("

Q

p2P

pp r

( )

p + "0

Q

p2P

( )

pp s

( )

p )

und damit p(r + sQ ) p fur alle p 2 P . Ist p(r) < p(s) fur ein pQ2 P , so ist p = p(r) und " pp r p ist nicht durch p teilbar, wahrend "0 pp s p p2P p2P es ist. Es folgt p(r + s) = p(r). Sei nun R wieder ein beliebiger Ring 6= f0g und seien r; s 2 R n f0g . ( )

4.25.Definition:

( )

a) g 2 R heit groter gemeinsamer Teiler von r und s , wenn gilt: ) gjr und gjs ) Fur jedes t 2 R mit tjr und tjs ist tjg . b) v 2 R heit kleinstes gemeinsames Vielfaches von r und s , wenn gilt: ) rjv und sjv . ) Fur jedes t 2 R mit rjt und sjt ist vjt . Wenn ein groter gemeinsamer Teiler g von r und s existiert (ein kleinstes gemeinsames Vielfaches v ), so schreiben wir

g = ggT(r; s); v = kgV(r; s)

Euklidischer Algorithmus

43

Es ist klar, da ggT(r; s) und kgV(r; s) nur bis auf Assoziiertenbildung eindeutig sind. Naturlich de niert man fur beliebige Elemente r ; : : : ; rn 2 R n f0g (n 2) den ggT(r ; : : : ; rn) und das kgV(r ; : : : ; rn ) vollig analog wie in 4.25. In einem beliebigen Ring braucht der grote gemeinsame Teiler (das kleinste gemeinsame Vielfache) nicht zu existieren (s. Aufg.16.c). Jedoch gilt: 1

1

1

4.26.Satz. Sei R ein faktorieller Ring und P ein Reprasentantensystem fur die

Klassen assoziierter Primelemente von R . Fur r; s 2 R n f0g existiert ggT(r; s) sowie kgV(r; s), und es gilt: Q

ggT(r; s) = p fp r ;p s g pQ 2P kgV(r; s) = p fp r ;p s g p2P rs ggT(r; s) kgV(r; s) Min

Max

( )

( )

( )

( )

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der De nition 4.25 und den Regeln 4.24. Zwei Elemente r; s mit ggT(r; s) = 1 heien teilerfremd. In einem faktoriellen Ring gilt ggT(r; s) = 1 genau dann, wenn fur jedes p 2 P entweder p(r) = 0 oder p(s) = 0 ist. Hau g ist es wichtig, den groten gemeinsamen Teiler zweier Elemente explizit zu bestimmen. In Z , im Polynomring K [X ] uber einem Korper K , und in einigen weiteren Ringen (Euklidischen Ringen, vgl. Aufg. 17-20 und x 6, Aufg.2c) ist dies mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus moglich. Wir beschreiben den Algorithmus fur K [X ]. In Z ersetzt man Grad-Argumente durch entsprechende Argumente fur den Absolutbetrag. Fur f; g 2 K [X ] n f0g hat man eine Kette von Gleichungen, die sich jeweils durch Division mit Rest ergeben:

f =q g+r g =q r +r r = q r +r .. . rn = qn rn + rn rn = qn rn 1

2

(3)

1

3

1

1

2

2

2 1

3

1

deg r < deg g deg r < deg r deg r < deg r .. . deg rn < deg rn 1 2

1

3

2

1

+1

Da der Grad des Divisionsrestes bei jedem Schritt abnimmt, mu die Division nach endlich vielen Schritten schlielich aufgehen. 4.27.Satz. rn = ggT(f; g ).

x 4 Teilbarkeit in Ringen

44

Beweis: Ist t ein gemeinsamer Teiler von f und g , so zeigt die erste Gleichung von

(3), da tjr . Aus der zweiten folgt dann tjr usw. Die vorletzte Gleichung ergibt tjrn . Umgekehrt besagt die letzte Gleichung von (3), da rn jrn . Aus der vorletzten folgt dann rn jrn usw. Schlielich erhalt man aus den beiden ersten, da rn jg und rn jf . 1

2

1

2

In einem beliebigen Ring R kann man ggT(a ; : : : ; an ) fur a ; : : : ; an 2 R n f0g (n 2) auf den groten gemeinsamen Teiler von 2 Elementen zuruckfuhren: 1

4.28.Regel. Es existiere gn

1

:= ggT(a ; : : : ; an ) und ggT(gn ; an ). Dann gilt ggT(a ; : : : ; an) = ggT(gn ; an ) Beweis: Jeder gemeinsame Teiler t von a ; : : : ; an teilt gn und damit auch ggT(gn ; an ). Sei g := ggT(gn ; an ). Dann gilt gjgn und gjan , folglich gjai (i = 1; : : : ; n). 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 K [X ] n f0g (n 2) sei g := ggT(f ; : : : ; fn). Dann gibt es Polynome g ; : : : ; gn 2 K [X ], so da g = g f + + gnfn 4.29.Satz. Fur f ; : : : ; fn 1

1

1

1

1

Beweis: Aus 4.28 sieht man, da es genugt, den Fall n = 2 zu betrachten. In

diesem Fall schreiben wir f = f , f = g und betrachten die Gleichungen (3). Aus der vorletzten Gleichung in (3) erhalt man rn = rn qn rn Fur rn kann man den Ausdruck einsetzen, der sich aus der drittletzten Gleichung durch Au osen nach rn ergibt, usw. Schlielich erhalt man eine Darstellung von rn = ggT(f; g) als Linearkombination von f und g mit Koezienten aus K [X ], 1

2

2

1

1

1

q.e.d.

Naturlich gilt Satz 4.29 auch entsprechend im Ring Z . Als Konsequenz erhalt man: Eine lineare (diophantische) Gleichung a X + + an Xn = b (a ; : : : ; an ; b 2 Z ) besitzt genau dann eine Losung (x ; : : : ; xn ) 2 Z n , wenn g := ggT(a ; : : : ; an ) ein Teiler von b ist. Es ist klar, da dies eine notwendige Bedingung ist. Wenn sie erfullt ist, dann schreibe man b = b0 g (b0 2 Z ) und gema 4.29 g = a b + + anbn (b ; : : : ; bn 2 Z ) Es ist dann (b b0 ; : : : ; bn b0 ) eine Losung der Gleichung. 1

1

1

1

1

1

1

1

1

Faktorielle Ringe

45

4.IV. Polynomringe uber faktoriellen Ringen

Es ist ein wichtiges Thema der Algebra zu ermitteln, welche Eigenschaften eines Rings R sich auf den Polynomring R[X ] vererben. 4.30.Satz. Ist p ein Primelement eines Rings R , dann ist p auch in R[X ] ein

Primelement.

Beweis: Es ist klar, da p auch in R[X ] keine Einheit ist. Ferner teilt p genau

dann ein Polynom f 2 R[X ], wenn p alle Koezienten von f teilt. Seien

f = + X + + r X r und g = + X + + sX s 0

1

0

1

zwei Polynome (i ; j 2 R), die nicht von p geteilt werden. Es gelte

pj ; : : : ; pji ; p - i pj ; : : : ; pj j ; p - j 0

1

0

1

(i r) (j s)

P

Der Koezient von X i j in fg ist . Da p in dieser Summe alle Sum i j manden bis auf i j teilt, ist p kein Teiler der Summe und es folgt p - fg . Somit ist p auch in R[X ] ein Primelement. Es folgt der wichtigste Satz dieses Paragraphen: +

+

= +

4.31.Theorem. (Gau). Ist R ein faktorieller Ring, dann auch R[X ; : : : ; Xn ]. 1

Beweis: Es genugt, den Beweis fur R[X ] zu fuhren, der allgemeine Fall ergibt sich

dann durch Induktion. Angenommen, R[X ] sei nicht faktoriell. Da in R[X ] der Teilerkettensatz fur Elemente gilt (4.16), mu es nach 4.23 ein Polynom r 2 R[X ] geben, das zwei nicht aquivalente Darstellungen

r = p : : : pm = q : : : qn 1

1

als Produkt irreduzibler Polynome pi ; qj besitzt. Unter allen Polynomen dieser Art sei r eines von kleinstem Grad. Notwendigerweise ist m > 1 und n > 1. Ferner gilt deg r > 0, denn andernfalls waren die pi und qj konstant, sie waren auch in R irreduzibel und man erhielte mittels 4.23 einen Widerspruch zur Voraussetzung, da R faktoriell ist. Wir denken uns die Numerierung so gewahlt, da

s := deg p deg p deg pm t := deg q deg q deg qn 1

1

2

2

x 4 Teilbarkeit in Ringen

46

und wir konnen t s > 0 annehmen. Ist a der Gradkoezient von p und b der von q , so de nieren wir das Polynom f durch 1

1

f := a r bp X t s q : : : qn 1

2

Es besitzt die Faktorzerlegungen

f = ap : : : pm bp X t s q : : : qn = p (ap : : : pm bX t s q : : : qn ) 1

1

2

1

2

2

und

f = aq : : : qn bp X t s q : : : qn = (aq 1

1

2

1

bp X t s ) q : : : qn 1

2

Ist f = 0, so folgt aq = bp X t s . Ist f 6= 0, so ist deg f < deg r , und die beiden Faktorzerlegungen mussen sich nach Wahl von r zu aquivalenten Zerlegungen von f als Produkt irreduzibler Elemente verfeinern lassen. Das Polynom p ist zu keinem qj (j = 1; : : : ; n) assoziiert, denn sonst konnte man es in den beiden Darstellungen von r kurzen und erhielte ein Polynom kleineren Grades mit zwei nicht aquivalenten Darstellungen. Aus den beiden Darstellungen fur f ergibt sich, da p ein Teiler von aq bp X t s sein mu, also von aq . Man hat also, gleichgultig, ob f = 0 oder f 6= 0 ist, eine Gleichung aq = hp mit einem h 2 R[X ]. Die Primelemente p aus R , welche a teilen, mussen nach 4.30 Teiler von h oder p sein. Da p irreduzibel ist, ist pjp unmoglich, und es folgt pjh . Alle Primteiler von a lassen sich somit aus h kurzen und man erhalt schlielich eine Gleichung q = h p mit h 2 R[X ]. Da q irreduzibel ist, ergibt sich q p . Dies ist aber ein Widerspruch, da p zu keinem qj assoziiert war, q.e.d. 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4.32.Korollar.

a) Z [X ; : : : ; Xn] ist ein faktorieller Ring. b) Fur jeden Korper K ist K [X ; : : : ; Xn] faktoriell. 1

1

4.V. Quotientenringe

Die Bildung von Quotientenringen ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion der rationalen aus den ganzen Zahlen. Es entstehen zahlreiche neue Ringe, unter denen auch viele faktoriell sind. Eine Teilmenge N eines Rings R heit multiplikativ abgeschlossen, wenn gilt: Es ist 1 2 N und fur alle a; b 2 N ist auch a b 2 N . Beispiele multiplikativ abgeschlossener Teilmengen von R sind: a) Die Menge der Einheiten von R . b) Die Menge der Potenzen f n (n 2 N ) eines Elements f 2 R .

Faktorielle Ringe

47

c) Die Menge aller Nichtnullteiler von R , speziell -wenn R ein Integritatsring ist- die Menge R n f0g . d) Fur ein Primelement p von R die Menge aller a 2 R , die nicht durch p teilbar sind. Man wunscht sich einen \Erweiterungsring" von R , in dem die Elemente von N zu Einheiten werden, und wo man dann Gleichungen aX = b (a 2 N; b 2 R) losen kann. Dies lat sich bei Anwesenheit von Nullteilern in N nicht erreichen, doch kann man die Forderungen der nachfolgenden De nition erfullen. 4.33.Definition: Ein Quotientenring von R

zur Nennermenge N ist ein Paar

(RN ; i), wobei RN ein Ring ist, i : R ! RN ein Ringhomomorphismus und wobei gilt: a) Fur jedes r 2 N ist i(r) eine Einheit in RN . b) Ist j : R ! S ein Homomorphismus von R in einen Ring S und ist j (r) eine Einheit von S fur jedes r 2 N , dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus h : RN ! S mit j = h i RN

% R & i

? ? y9!h

j

S Man nennt auch einfach RN den Quotientenring und i die kanonische Abbildung in den Quotientenring. Quotientenringe werden hier durch eine \universelle Eigenschaft" de niert. Ein so de niertes Objekt ist, wenn es existiert, in gewissem Sinne eindeutig. Fur Quotientenringe sieht das wie folgt aus: Angenommen, neben (RN ; i) sei noch ein weiterer Quotientenring (Q; i0 ) vorhanden. Dann existiert nach 4.33b) ein Ringhomomorphismus h : RN ! Q mit i0 = hi und mit dem gleichen Recht ein Ringhomomorphismus h0 : Q ! RN mit i = h0 i0 . Es ist dann i = (h0 h) i und i0 = (h h0 ) i0 Andererseits ist aber auch

i = idRN i und i0 = idQ i0 Aus der Eindeutigkeitsforderung in 4.33b) (fur i = j bzw. i = j = i0 ) ergibt sich h0 h = idRN , h h0 = idQ , d.h. h und h0 sind zueinander inverse Isomorphismen. Man spricht daher von dem Quotientenring (RN ; i) von R zur Nennermenge N . Immer, wenn ein mathematisches Objekt durch eine universelle Eigenschaft de niert

x 4 Teilbarkeit in Ringen

48

ist, hat man einen Eindeutigkeitsbeweis, der so ablauft wie der eben gefuhrte. Spater werden wir ihn nicht mehr ausfuhrlich wiederholen. Jetzt ist noch die Existenzfrage zu klaren. Die Konstruktion des Quotientenrings (RN ; i) ist ahnlich zur Konstruktion der rationalen aus den ganzen Zahlen. Sei M die Menge aller Paare (r; s) mit r 2 R , s 2 N . Man de niert fur (r; s), (r0 ; s0 ) 2 M (4) (r; s) (r0 ; s0 ) , t29N t (s0 r sr0 ) = 0 Es ist leicht nachzuprufen, da hierdurch eine A quivalenzrelation auf M gegeben wird. Die A quivalenzklasse von (r; s) 2 M wird mit rs bezeichnet. Sie heit der Bruch*) mit dem Zahler r und dem Nenner s . Es sei RN die Menge aller solchen Bruche rs . Aus (4) ergibt sich dann fur die Gleichheit von Bruchen r = r0 , 9 t (s0 r sr0 ) = 0 (5) s s0 t2N Insbesondere gilt r = rs0 fur r 2 R ; s0 2 N s ss0 s N (Erweiterung von Bruchen). Besteht N aus lauter Nichtnullteilern von R , so folgt aus der Bedingung in (5), da s0 r = sr0 ist, d.h. es handelt sich um die ubliche Gleichheit von Bruchen. 0 r r Fur s ; s0 2 RN de niert man die Summe und das Produkt gema den Bruchrechnungsregeln durch r + r0 := rs0 + r0 s ; r r0 := rr0 s s0 ss0 s s0 ss0 Man rechnet leicht nach, da Summe und Produkt nicht von der Bruchdarstellung der Elemente abhangen und da RN mit dieser Addition und Multiplikation zu einem assoziativen kommutativen Ring mit Eins wird. Dabei ist =: 0 das neutrale Element der Addition und =: 1 das der Multiplikation. Die Abbildung i : R ! RN , die jedem r 2 R den \unechten Bruch" r zuordnet, ist ersichtlich ein Ringhomomorphismus, und fur s 2 N ist s eine Einheit in RN , denn s s = ss = = 1. Ist nun j : R ! S ein beliebiger Ringhomomorphismus, so da j (s) fur jedes s 2 N eine Einheit in S ist, so setzt man fur rs 2 RN h( rs ) := j (r) j (s) 0 1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

*)Das deutsche Wort \Bruch" scheint zum ersten Mal im \Algorismus Ratisbonensis" verwendet worden zu sein, einem im Kloster St. Emmeram zu Regensburg etwa 1450 geschriebenen Rechenbuch, das weite Verbreitung fand (vgl. Tropfke [T1 ])

Quotientenkorper

49

Wieder ist leicht nachzuprufen, da die rechte Seite nicht von der speziellen Darstellung des Bruchs rs abhangt. Durch h wird ein Ringhomomorphismus h : RN ! S gegeben und oensichtlich ist j = h i . Es gibt auch nur einen Ringhomomorphismus mit dieser Eigenschaft, denn fur s 2 N mu h( s ) h( s ) = h(1) = 1, also h( s ) j (s) = 1 und h( s ) = j (s) gelten. Es folgt h( sr ) = h( r )h( s ) = j (r) j (s) . Damit ist gezeigt, da (RN ; i) alle Forderungen der De nition 4.33 erfullt, und die Existenz des Quotientenrings ist bewiesen. Unter RN kann man sich immer den gerade konstruierten Ring vorstellen. 1

1

1

1

1

1

1

1

4.34.Regel: Kern(i) = fr 2 R j Beweis: Es gilt i(r) = r = 0 =

9 sr = 0g

s2N

nach der Gleichheitsde nition der Bruche genau dann, wenn ein s 2 N existiert mit s(r 1 0 1) = 0, also sr = 0. Insbesondere ist i genau dann injektiv, wenn N keine Nullteiler von R enthalt. Ist dies der Fall, kann man RN als einen Erweiterungsring von R betrachten: Es ist R RN , wenn man R mit seinem Bild bei der kanonischen Abbildung i identi ziert. Ist N die Menge aller Nichtnullteiler von R , so schreibt man RN =: Q(R) und nennt Q(R) den vollen Quotientenring von R . In diesem Fall gilt R Q(R). Wenn R ein Integritatsring ist, so ist Q(R) ein Korper, denn jedes sr 2 Q(R) n f0g besitzt rs als Inverses. Er heit der Quotientenkorper von R . Sei nun R ein faktorieller Ring und P ein Reprasentantensystem fur die Klassen assoziierter Primelemente von R . Ferner sei eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge N R gegeben. P (N ) bezeichne die Menge der p 2 P , die mindestens ein Element von N teilen, und es sei Q := P n P (N ). Da R ein Integritatsring ist, gilt R RN . Wir wollen zeigen: 1

0

1

4.35.Satz. RN ist ein faktorieller Ring und Q ist ein Reprasentantensystem fur die

Klassen assoziierter Primelemente von RN .

Beweis: Sei N die Menge aller Elemente der Form

" p1 : : : pt t mit " 2 E (R); pi 2 P (N ); i 2 N (i = 1; : : : ; t) Dann ist N multiplikativ abgeschlossen und N N . Der kanonische Homomorphismus i : R ! RN induziert einen kanonischen Homomorphismus h : RN ! RN . Dabei geht rs 2 RN in den ebenso bezeichneten Bruch aus RN uber. Es ist klar, da h injektiv ist. Aber h ist auch surjektiv: Ist xr 2 RN gegeben (r 2 R; x 2 N ) und ist x = " p1 pt t wie oben, so wahle man fur i = 1; : : : ; t ein si 2 N der Form si = pi ri . Dann ist r = h r r1 rtt x "s1 st t +

1

1

1

1

x 4 Teilbarkeit in Ringen

50

denn r1 rtt lat sich in RN kurzen. Wir konnen jetzt RN mit RN identi zieren. Jedes Element von sr 2 RN schreibt sich in der Form r = " Q pp Q qq (" 2 E (R); 2 Z ; 2 N ) (6) p q s q2Q p2P N 1

(

)

wobei nur endlich viele p und q von 0 verschieden sind. Die p 2 P (N ) sind oensichtlich Einheiten von RN . Damit ein beliebiges Primelement p von R in RN eine Einheit wird, mu ein sr 2 RN existieren mit p rs = 1, d.h. es mu p ein Teiler eines s 2 N sein. Die q 2 Q sind daher keine Einheiten in RN . Sei q 2 Q ein Teiler 0 q r r r von s 2 RN in RN , also s = s0 (r0 2 R; s0 2 N ). Aus rs0 = qr0 s und q - s0 ergibt sich qjr in R . Hieraus folgt, da q auch in RN ein Primelement ist, denn teilt q ein Produkt, so teilt es das Produkt der Zahler und damit einen der Zahler. Auf Grund von (6) ist jetzt auch gezeigt, da RN faktoriell ist. Fur q; q0 2 Q gilt q q0 in RN genau dann, wenn qjq0 und q0 jq in R , d.h. wenn q und q0 in R assoziiert sind, also wenn q = q0 gilt. Der Satz ist damit bewiesen. Aufgrund der Eindeutigkeit der Faktorzerlegung in R ergibt sich, da auch die Darstellung der Elemente von RN in der Form (6) eindeutig ist. Insbesondere besitzt jedes rs aus dem Quotientenkorper Q(R) von R eine Darstellung r = " Q pp (7) s p2P 1

1

mit einem eindeutigen " 2 E (R) und eindeutigen p 2 Z . Die in (2) eingefuhrten Abbildungen p lassen sich erweitern zu Abbildungen p : Q(R) n f0g ! Z und die Regeln 4.24e) und f) gelten entsprechend auch fur die erweiterte Abbildung. Die Abbildung p heit die zum Primelement p gehorige diskrete Bewertung von Q(R) oder die Ordnungsfunktion an der Stelle p . Sie entspricht der Nullstellenbzw. Polordnung bei Funktionen. Allgemein ist eine (diskrete) Bewertung auf einem Korper K eine Abbildung : K ! Z [ f1g mit den Eigenschaften a) (0) = 1 , (a) < 1 fur a 2 K n f0g , b) (ab) = (a) + (b) fur a; b 2 K , c) (a + b) Min f (a); (b)g fur a; b 2 K . Die Untersuchung dieser Abbildungen ist Gegenstand der Bewertungstheorie, die fur Algebra und Zahlentheorie bedeutsam ist.

Primzahltabelle

51

Die Primzahlen < 2400 2 43 103 173 241 317 401 479 571 647 739 827 919 1009 1091 1187 1283 1381 1481 1567 1657 1753 1871 1979 2069 2153 2273 2371

3 47 107 179 251 331 409 487 577 653 743 829 929 1013 1093 1193 1289 1399 1483 1571 1663 1759 1873 1987 2081 2161 2281 2377

5 53 109 181 257 337 419 491 587 659 751 839 937 1019 1097 1201 1291 1409 1487 1579 1667 1777 1877 1993 2083 2179 2287 2381

Ubungen:

7 59 113 191 263 347 421 499 593 661 757 853 941 1021 1103 1213 1297 1423 1489 1583 1669 1783 1879 1997 2087 2203 2293 2383

11 61 127 193 269 349 431 503 599 673 761 857 947 1031 1109 1217 1301 1427 1493 1597 1693 1787 1889 1999 2089 2207 2297 2389

13 67 131 197 271 353 433 509 601 677 769 859 953 1033 1117 1223 1303 1429 1499 1601 1697 1789 1901 2003 2099 2213 2309 2393

17 71 137 199 277 359 439 521 607 683 773 863 967 1039 1123 1229 1307 1433 1511 1607 1699 1801 1907 2011 2111 2221 2311 2399

19 73 139 211 281 367 443 523 613 691 787 877 971 1049 1129 1231 1319 1439 1523 1609 1709 1811 1913 2017 2113 2237 2333

23 79 149 223 283 373 449 541 617 701 797 881 977 1051 1151 1237 1321 1447 1531 1613 1721 1823 1931 2027 2129 2239 2339

29 83 151 227 293 379 457 547 619 709 809 883 983 1061 1153 1249 1327 1451 1543 1619 1723 1831 1933 2029 2131 2243 2341

31 89 157 229 307 383 461 557 631 719 811 887 991 1063 1163 1259 1361 1453 1549 1621 1733 1847 1949 2039 2137 2251 2347

37 97 163 233 311 389 463 563 641 727 821 907 997 1069 1171 1277 1367 1459 1553 1627 1741 1861 1951 2053 2141 2267 2351

41 101 167 239 313 397 467 569 643 733 823 911 1087 1181 1279 1373 1471 1559 1637 1747 1867 1973 2063 2143 2269 2357

1) Sei M (K ) der Ring der zweireihigen quadratischen Matrizen mit Koezienten aus einem Korper K . a b a) Zeigen Sie, da die Matrizen der Form 0 a einen kommutativen Unterring R von M (K ) bilden. b) Bestimmen Sie die Nullteiler und Einheiten dieses Rings. c) Zeigen Sie, da es in R[X ] Polynome vom Grad 1 gibt, die Einheiten sind. 2) Sei R = C (a; b) der Ring der auf dem Intervall (a; b) R stetigen reellwertigen Funktionen. Fur f 2 R sei Nf = fxjx 2 (a; b); f (x) = 0g die Nullstellenmenge von f . Genau dann ist f ein Nullteiler in R , wenn Nf ein nichtleeres oenes Intervall enthalt. Gibt es C 1 {Funktionen 6= 0, die Nullteiler in R sind? 2

2

x 4 Teilbarkeit in Ringen

52 3)

a) In jedem (kommutativen) Ring R gilt die binomische Formel n n k n k P (a + b)n = a b fur a; b 2 R . k k b) Berechnen Sie in Z [X ] mit Hilfe der binomischen Formel (1+X )n m (n; m 2 N ) auf zwei Arten und leiten Sie fur k 2 N die Formel =0

+

k m m+n = P k i i =0

n

k i

her. 4) Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ein Element x 2 R heit nilpotent, wenn ein n 2 N existiert, so da xn = 0 ist. Nil(R) bezeichne die Menge aller nilpotenten Elemente von R . a) (Nil(R); +) ist eine Untergruppe von (R; +). b) Fur " 2 E (R) und x 2 Nil(R) ist " + x 2 E (R). n P c) Sei f = ri X i 2 R[X ]. Genau dann ist f 2 Nil(R[X ]), wenn ri 2 Nil(R) fur i i = 0; : : : ; n . 5) Sei R ein kommutativer nullteilerfreier Ring, der keine Eins besitzen mu. Gibt es aber Elemente a; b 2 R mit a 6= 0 und ab = a , dann hat R ein Einselement. 6) Zeigen Sie, da es im Polynomring K [X ] uber einem beliebigen Korper K unendlich viele paarweise nicht assoziierte irreduzible Polynome gibt. (Hinweis: K kann endlich sein. Verallgemeinern Sie den bekannten Schlu von Euklid, da es unendlich viele Primzahlen gibt). 7) Sei n 2 N . a) Ist 2n 1 eine Primzahl, so auch n . b) Ist 2n + 1 eine Primzahl, dann ist n eine Potenz von 2. c) Fur m; n 2 N mit m 6= n sind die Zahlen 2 m + 1 und 2 n + 1 teilerfremd. 8) Seien p ; : : : ; pr paarweise verschiedene Primzahlen und m 2 N , m 2. Zeigen Sie, da mpp : : : pr irrational ist. 9) Diese Aufgabe setzt Grundkenntnisse aus der Funktionentheorie voraus. Sei R der Ring der in der komplexen Ebene holomorphen Funktionen (der Ring der \ganzen" Funktionen). Zeigen Sie: a) E (R) besteht aus den Funktionen, die keine Nullstelle besitzen. b) E (R) 6= C . c) Die irreduziblen Elemente von R sind die Funktionen, welche genau eine Nullstelle 1. Ordnung besitzen. Diese Elemente sind Primelemente. d) In R gilt der Teilerkettensatz fur Elemente nicht (Hinweis: Betrachten Sie eine Funktion mit unendlich vielen Nullstellen). +

=0

+

2

1

1

2

U bungen

53

10) Betrachten Sie

f := X + X + X + X + X + 1 und g := X 5

4

3

2

X

4

X +1

3

als Polynome in Q [X ] und in F [X ]. Bestimmen Sie jeweils ihren groten gemeinsamen Teiler und schreiben Sie diesen als Linearkombination von f und g . 11) Zeigen Sie, da die Polynome 2

X + 2X 3

2

X 1 und X + X 3 2

keine gemeinsame Nullstelle in C besitzen, ohne die Nullstellen zu berechnen. 12) Sei K ein Teilkorper von C und f 2 K [X ] ein Polynom, das in C eine mehrfache Nullstelle a besitzt, d.h. in C [X ] von (X a) geteilt wird. Zeigen Sie, da f in K [X ] reduzibel ist. 13) Die Mobiussche Funktion : N ! Z ist wie folgt de niert: Es ist 8 1 fur n = 1 > < (n) = > ( 1)r wenn n Produkt von r verschiedenen Primzahlen ist : 0 wenn n durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist P a) Zeigen Sie fur n > 1 die Formel (d) = 0 ( d durchlauft die positiven Teiler djn von n ). b) Zeigen Sie fur Abbildungen f; g : N ! C , da folgende Aussagen aquivalent sind: P ) g(n) = f (d) fur n 2 N dP jn ) f (n) = (d) g( nd ) fur n 2 N . djn 14) Parameterdarstellung der pythagoraischen Zahlentripel. Ein Tripel (a; b; c) 2 Z heit \pythagoraisch", wenn a + b = c . Im folgenden sei (a; b; c) ein pythagoraisches Tripel, wobei a; b; c 2 Z n f0g teilerfremd sind. Zeigen Sie: a) a und b sind nicht beide gerade und nicht beide ungerade. b) Ist a gerade und c > 0, so gibt es Zahlen u; v 2 Z mit 2

+

+

+

+

3

2

(a; b; c) = (2uv; u

2

2

2

v ;u + v ) 2

2

2

c) Jedes Tripel (2uv; u v ; u + v ) mit u; v 2 Z ist pythagoraisch. Hinweis: In x 2, Aufg. 9 wurden die rationalen Losungen der Gleichung a +b = c diskutiert. 15) Sei n 2 Z kein Quadrat einer Zahl aus Z und sei 2

2

2

2

2

p

p

Qn := fa + b n j a; b 2 Q g ; Rn := fa + b n j a; b 2 Z g

2

2

x 4 Teilbarkeit in Ringen

54

p

Fur x = a + b n 2 Qn ist die Norm N (x) von x gegeben durch

N (x) := a nb a) Rn ist bzgl. der Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen ein Integritatsring und Qn ist der Quotientenkorper von Rn . b) x 2 Rn ist genau dann eine Einheit in Rn , wenn N (x) = 1 ist. Illustrieren Sie die Bedingung in b) durch eine Skizze in der (komplexen) Ebene. Bestimmen Sie E (Rn) furpn < 0. p 16) In R giltp6 = 2 3 = (1p+ 5)(1 5). 5 sind in R irreduzibel und keine zwei dieser Elea) 2; 3; 1 + 5 und 1 mente sind zueinander assoziiert. b) In R ist jedes Element ein Produkt irreduzibler Elemente, aber R ist nicht faktoriell. p c) In R besitzen die Zahlen 2 (1 + 5) und 6 keinen groten gemeinsamen Teiler. 17) Ein euklidischer Ring ist ein Paar (R; '), wobei R ein kommutativer Ring mit 1 ist und ' : R n f0g ! N eine Abbildung mit folgender Eigenschaft: Zu je zwei Elementen a; b 2 R n f0g gibt es Elemente q; r 2 R mit a = q b + r , wobei r = 0 oder '(r) < '(b) ist. Zeigen Sie: a) In einem euklidischen Ring R existiert fur je zwei Elemente deren groter gemeinsamer Teiler. b) Ist R euklidisch und ein Integritatsring, in dem der Teilerkettensatz fur Elemente gilt, dann ist R faktoriell. 18) Sei Z [i] := fa + bi j a; b 2 Z g der Ring der ganzen Gauschen Zahlen ( Z [i] = R in der Notation von Aufgabe 15) und N die zugehorige Normabbildung. Zeigen Sie a) ( Z [i]; N ) ist ein euklidischer Ring. b) Z [i] ist faktoriell. c) Eine Primzahl p 2 Z ist genau dann in Z [i] reduzibel, wenn sie Summe von 2 Quadraten ist, d.h. p = a + b mit a; b 2 Z . d) Zerlegen Sie 210 in Primelemente von Z [i]. 19) a) Zeigen Sie, da zu jedem x 2 Q ein y 2 R existiert mit N (x y) . b) Folgern Sie, da (R ; N ) ein euklidischer Ring und faktoriell ist. c) Bestimmen Sie eine Zerlegung von 19 in ein Produkt von Primelementen aus R . p 20) Sei := und Z [] := fa + b j a; b 2 Z g . Die Norm N (x) von x = a + b 2 Z [] ist hier de niert durch N (x) = a ab + b 2

2

5

5

5

5

5

1

2

2

2

3

2

4

2

2

1+

3

2

2

2

U bungen

55

a) Zeigen Sie: x ist genau dann Einheit in Z [], wenn N (x) = 1 gilt. Bestimmen Sie E ( Z []). b) ( Z []; N ) ist ein euklidischer Ring. c) Ist x 2 Z [] ein Primelement, so gibt es eine Primzahl p 2 Z mit N (x) = p oder N (x) = p . Im zweiten Fall ist x zu p assoziiert, im ersten Fall ist x zu keiner Primzahl assoziiert. d) Ist x 2 Z [] ein beliebiges Element, fur das N (x) = p eine Primzahl ist, so ist x ein Primelement von Z []. e) Ist p eine Primzahl, fur die p 2 durch 3 teilbar ist, dann ist p auch in Z [] ein Primelement. 21) Untersuchen Sie, ob die Ringe R oder R faktoriell sind. 22) Geben sie einen faktoriellen Ring an, der bis auf Assoziiertenbildung genau n Primelemente besitzt (n 2 N ). 23) Sei R ein Ring und f = a1 n X 1 Xnn 2 R[X ; : : : ; Xn ] ein nicht verschwindendes Polynom. Sein Grad (Totalgrad) ist de niert durch 2

3

10

1

1

n P

deg f := Max f

i

=1

i j a1n 6= 0g

Das Nullpolynom hat jede ganze Zahl als Grad. Zeigen Sie: Ist R ein Integritatsring, so gilt deg(f g) = deg f + deg g fur alle f; g 2 R[X ; : : : ; Xn]. 24) Seien a ; : : : ; at 2 N teilerfremd (t > 1). Die von a ; : : : ; at erzeugte numerische Halbgruppe H = ha ; : : : ; at i ist die Menge aller Linearkombinationen t P niai mit ni 2 N (i = 1; : : : ; t). i a) Jedes x 2 Z besitzt eine Darstellung 1

1

+

1

1

=1

x=

t P i

=1

(z 2 Z ; z ; : : : ; zt 2 N )

zi ai

1

2

b) Es gibt ein c 2 H mit c + N H . c) Im Fall t = 2 ist c := (a 1)(a 1) die kleinste Zahl aus H mit c + N H . Genau dann gehort x 2 Z zu H , wenn c 1 x 2= H . 25) Zeigen Sie, da f3; 5; 7g der einzige Primzahldrilling ist, d.h. die einzige Menge von Primzahlen der Form fp; p +2; p +4g . (Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt). 1

2

56 x 5.

Irreduzibilit atskriterien

Im allgemeinen ist es nicht leicht festzustellen, ob ein Polynom f aus dem Polynomring K [X ] uber einem Korper K irreduzibel ist, auch nicht, ob eine Zahl Primzahl ist, wenn die Zahl sehr gro ist. Manchmal liegt folgende Situation vor: f hat Koezienten aus einem faktoriellen Ring R , von dem K der Quotientenkorper ist. Gelingt es, die Irreduzibilitat von f in R[X ] zu beweisen, so ergibt sie sich auch in K [X ] nach einem Satz von Gau (5.4). Wir wollen in diesem Paragraphen nach Methoden suchen, die Irreduzibilitat von Polynomen aus R[X ] ( R faktoriell) zu beweisen, und dann den Gauschen Satz herleiten.

5.I. Das Eisensteinkriterium

Sei R ein faktorieller Ring. Ein konstantes Polynom r ist genau dann irreduzibel in R[X ], wenn r irreduzibel in R ist. Ein lineares Polynom r0X + r1 (r0 6= 0) ist genau dann irreduzibel in R[X ], wenn entweder r1 = 0 und r0 2 E (R) oder r1 6= 0 und ggT(r0 ; r1 ) = 1 ist. Seien nun

f = a0 + a1 X + + anX n ; g = b0 + b1 X + + bm X m zwei beliebige Polynome aus R[X ]. Aus gjf folgt b0 ja0 und bm jan . Fur Polynome vom Grad 2 oder 3 aus R[X ] kann man diese Tatsache hau g zu einem Irreduzibilitatsbeweis benutzen, indem man zeigt, da sie keine Teiler vom Grad 0 oder 1 besitzen. Bei Polynomen vom Grad 4 oder 5 hat man auch mogliche quadratische Teiler in Betracht zu ziehen. Insbesondere fur R = Z und Polynome \kleinen Grades" ist das eine wirkungsvolle Methode. Ein allgemeines Resultat in dieser Richtung ist 5.1.Satz. (Eisenstein) Sei f = a0 + a1 X + + an X n 2 R[X ] vom Grad n > 0 und sei ggT(a0 ; a1 ; : : : ; an ) = 1. Es existiere ein Primelement p von R mit

pjai (i = 0; : : : ; n 1); p2 - a0 Dann ist f irreduzibel in R[X ]. Beweis: Da ggT(a0 ; : : : ; an ) = 1 ist, kann p kein Teiler von an sein. Angenommen,

f ware reduzibel:

f = g h mit g =

m P =0

b X ; h =

` P =0

cX

(m; ` > 0; bm 6= 0; c` 6= 0)

Wegen a0 = b0 c0 ist p ein Teiler von b0 oder von c0 . Da p2 - a0 gilt, kann p aber nicht b0 und c0 teilen. Wir konnen daher annehmen, da pjb0 , p - c0 .

Anwendung von Ringhomomorphismen

57

Nicht alle Koezienten von g konnen durch p teilbar sein, sonst waren es auch alle Koezienten von f . Es gelte

pjbo; : : : ; pjbi 1 und p - bi

(i m < n)

Nun ist aber

ai = b0 ci + b1 ci 1 + + bi 1 c1 + bi c0 und pjbj ci j (j = 0; : : : ; i 1), p - bi c0 . Es folgt p - ai , im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher kann f nicht zerlegbar sein. Ein Polynom von der im Satz beschriebenen Bauart heit Eisensteinpolynom. Zu diesen gehoren die Polynome X n r (n > 0), wenn r 2 R durch ein Primelement p , aber nicht durch p2 teilbar ist. Speziell ist fur jede Primzahl p das Polynom X n p in Z [X ] irreduzibel, insbesondere also X 3 2. Dies sagt aber noch nicht unbedingt, da es auch in Q [X ] irreduzibel ist. Ein Polynom in m Variablen der Form X1n g(X2; : : : ; Xm ) (n > 0) ist sicher irreduzibel, wenn etwa g in R[X2 ; : : : ; Xm ] irreduzibel ist.

5.II. Anwendung von Ringhomomorphismen

Manchmal lat sich ein Polynom f durch eine \Variablentransformation" in eines verwandeln, dessen Irreduzibilitat schon bekannt ist, woraus dann auch die von f folgt. Eine andere Methode besteht in der \Reduktion der Koezienten" von f modulo einem Ideal von R , worauf wir im nachsten Paragraphen noch zuruckkommen werden. Beiden Methoden liegt ein einfacher Sachverhalt zugrunde, der jetzt besprochen wird. 5.2.Lemma. Sei R ein faktorieller Ring, S ein beliebiger Integritatsring und

' : R[X ] ! S ein Ringhomomorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf eine Einheit von S abbildet. Ferner sei f 2 R[X ] vom Grad > 0 und habe teilerfremde Koezienten. Ist '(f ) in S irreduzibel, so ist f in R[X ] irreduzibel. Beweis: Angenommen, f ware in R[X ] reduzibel: f = g h , wobei g; h

2 R[X ]

keine Einheiten sind. Nach der Voraussetzung uber die Koezienten von f sind g und h von positivem Grad. Aus '(f ) = '(g) '(h) und der Tatsache, da '(g); '(h) keine Einheiten sind, wurde folgen, da '(f ) in S reduzibel ware. Ringhomomorphismen von der im Lemma betrachteten Art konnen wie folgt entstehen: a) Anwendung von Ringhomomorphismen auf die Koezienten von Polynomen: Ist ' : R ! R0 ein Ringhomomorphismus, so ist auch

: R[X ] ! R0 [X ] mit (a X ) = '(a )X

x 5 Irreduzibilitatskriterien

58

ein Ringhomomorphismus, wie man leicht pruft. b) Einsetzungshomomorphismen: Sei ' : R ! S ein Ringhomomorphismus und a 2 S . Dann ist auch : R[X ] ! S mit (a X ) = '(a ) a ein Ringhomomorphismus, wie ebenfalls leicht festzustellen ist. Ist beispielsweise S = R[X ] und ' : R ! R[X ] der Homomorphismus, der r 2 R auf das konstante Polynom r 2 R[X ] abbildet, so wird fur jedes a 2 R durch die Formel (a X ) = a (X a) (kurz : X 7! X a) ein Ringhomomorphismus : R[X ] ! R[X ] gegeben, der sogar ein Isomorphismus ist, weil er durch die Substitution X 7! X + a wieder ruckgangig gemacht werden kann. 5.3.Beispiel: Sei p eine Primzahl und f = X p 1 + X p 2 + + X + 1 2 Z [X ]

Wende auf Z [X ] den Einsetzungshomomorphismus : X 7! X +1 an. In Z [X ] gilt p p P 1, also (X 1)f = X p 1 und daher X (f ) = (X + 1)p 1 = X p P

=0

p X 1 =1 p ist fur < p durch p teilbar, p ist nicht Dies ist ein Eisensteinpolynom, denn 1 durch p2 teilbar und pp = 1. Nach 5.2 ergibt sich, da f in Z [X ] irreduzibel ist. (f ) =

5.III. Der Satz von Gau uber irreduzible Polynome

Es handelt sich um folgende Tatsache. Sei R ein faktorieller Ring mit dem Quotientenkorper K und sei N R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. 5.4.Satz. Ist f

2 R[X ] ein irreduzibles Polynom vom Grad > 0, dann ist f auch

in RN [X ] irreduzibel. Insbesondere ist f in K [X ] irreduzibel.

Beweis: Wir zeigen, da f ein Primelement von RN [X ] ist. Seien also g; h und k

Polynome aus RN [X ] mit f k = g h . Wir haben zu zeigen, da g oder h von f in RN [X ] geteilt wird. Wahle a; b; c 2 N , so da ag; bh; ck 2 R[X ]. Mit g0 := acg , h0 := bh und k0 := abck gilt dann f k0 = g0 h0 . Da R[X ] nach 4.31 ein faktorieller Ring ist, ist f ein Primelement von R[X ] (4.23), folglich ist f ein Teiler von g0 oder h0 in R[X ], erst recht in RN [X ]. Da aber a; b und c Einheiten in RN sind, ist f in RN [X ] auch ein Teiler von g oder von h , q.e.d.

Anwendung auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal

59

5.5.Beispiel: Fur jede Primzahl p ist 2i

[Q (e p ) : Q ] = p 1 2i

pP1

X i , welches nach 5.3 uber Z und i=0 2i nach 5.4 uber Q irreduzibel ist. Somit ist f das Minimalpolynom von e p uber Q . Fur beliebiges n 2 N + wird der Grad von Q (e 2ni ) uber Q in 13.7 bestimmt werden. denn e

p

ist Nullstelle des Polynoms f =

5.IV. Anwendung auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal a) Verdoppelung des Wurfels Nach dem Kriterium von Eisenstein (5.1) ist X 3 2 in p3 Z [X ] irreduzibel und nach dem Gauschen Satz (5.4) auch in Q [X ]. Es folgt [Q ( 2) : Q ] = 3 und daher nach 3.18a), da die Wurfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal nicht durchfuhrbar ist. b) Dreiteilung des Winkels Der Quotientenkorper eines Polynomrings K [X ] uber einem Korper K wird mit K (X ) bezeichnet. Er heit der Korper der rationalen Funktionen in der Unbestimmten X uber K . Wir benotigen 5.6.Lemma. Sei L = K (x) ein Erweiterungskorper von K , der von einem u ber

K transzendenten Element x erzeugt wird. Dann gibt es einen Isomorphismus h : K (X ) e! K (x) mit hjK = idK , h(X ) = x . : K [X ] ! K (x) sei der Substitutionshomomorphismus mit jK = idK , (X ) = x . Weil x uber K transzendent ist, ist injektiv. Da K (X ) der Quotientenkorper von K [X ] ist, lat sich nach der universellen Eigenschaft des Quotientenkorpers zu einem Homomorphismus h : K (X ) ! K (x) fortsetzen. Dann ist auch h injektiv, denn wurde h ein Element r 2 K (X ) n f0g auf Null abbilden, dann ware h die Nullabbildung, da jedes Element aus K (X ) Vielfaches der Einheit r ist. h ist aber auch surjektiv, denn sowohl K wie auch x liegen im Bild von h . Somit ist h ein Isomorphismus. Wir betrachten nun einen Winkel mit der Onung ' im Bogenma, 0 ' < 2 . Nach der Theorie aus x 3 ist zu untersuchen, wann das Polynom X 3 ei' uber Q (ei' ) irreduzibel ist (3.18b). Beweis:

5.7.Satz. Fur alle ' mit 0 < ' < 2 , fur die ei' eine transzendente Zahl ist, ist

die Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal nicht moglich. Die Menge dieser ' ist dicht im Intervall (0; 2). Insbesondere gibt es keine generelle Konstruktion fur die Dreiteilung des Winkels.

60

x 5 Irreduzibilitatskriterien

Beweis: Wenn ei' transzendent u ber Q ist, dann existiert nach 5.6 ein Isomorphis-

mus

h : Q (t) e! Q (ei' ) mit hjQ = idQ ; h(t) = ei'

wobei Q (t) der Korper der rationalen Funktionen in der Unbestimmten t uber Q ist. Man hat daher auch einen Ringisomorphismus Q (t)[X ] e! Q (ei' )[X ], welcher X 3 t auf X 3 ei' abbildet. Nach dem Eisensteinschen Kriterium 5.1 ist X 3 t in Q [t][X ] irreduzibel, denn t ist ein Primelement des Polynomrings Q [t]. Nach dem Satz von Gau (5.4) ist X 3 t dann auch in Q (t)[X ] 'irreduzibel. Es folgt die Irreduzibilitat von X 3 ei' in Q (ei' )[X ]. Somit ist [Q (ei 3 ) : Q (ei' )] = 3 und die Dreiteilung des Winkels ist nicht moglich. Wenn fur ein ' 2 (0; 2) die Zahl z = ei' uber Q algebraisch ist, dann ist es auch z = e i' . Dies sieht man, indem man in einer algebraischen Gleichung fur z uber Q zum Konjugiert-Komplexen ubergeht. Dann ist aber auch der Realteil 21 (z + z ) von z uber Q algebraisch (3.15). Nach 3.3 folgt, da die Menge der ' 2 (0; 2), fur die ei' transzendent ist, dicht in (0; 2) ist, q.e.d. Da die Menge aller algebraischen Zahlen abzahlbar ist (3.2) ist die Dreiteilung des Winkels hochstens fur abzahlbar viele ' 2 (0; 2) moglich. Man sieht leicht, da sie fur ' = 2k (k = 1; 2; : : : ) durchfuhrbar ist, und man folgert, da auch die Menge der ' 2 (0; 2), fur welche die Dreiteilung moglich ist, dicht in (0; 2) ist. c) Konstruktion des regularen p {Ecks Aus 5.5 und 3.17 folgt: 5.8.Satz. Die Konstruktion des regularen p {Ecks mit Zirkel und Lineal ist sicher

nicht moglich, wenn p eine Primzahl ist, fur die p 1 keine Potenz von 2 ist. Primzahlen dieser Art sind z.B. 7; 11; 13; 19; 23. Es ist klar, da die Konstruktion eines n {Ecks auch dann nicht moglich ist, wenn n von einer der Primzahlen aus Satz 5.8 geteilt wird. Zu positiven Aussagen uber die Konstruierbarkeit von n {Ecken werden wir im Rahmen der Galoistheorie gelangen (13.8). Die bisher dargestellten Methoden erlauben auch den Nachweis fur die Unmoglichkeit vieler Dreieckskonstruktionen, siehe Krotenheerdt [Kr]. Ubungen:

1) Beweisen Sie die Irreduzibilitat der folgenden Polynome aus zeigen, da sie keinen echten Teiler vom Grad 2 besitzen:

X 5 X 2 + 1; X 5 X 1; X 4 + 2X 2 + X + 3 2) Zeigen Sie die Irreduzibilitat der folgenden Polynome uber Q : a) X 2 + n1X + n2 2 Z [X ] mit ungeraden Zahlen n1 ; n2 .

Z [X ],

indem Sie

U bungen

61

b) X 4 + n1X 3 + n2X 2 + n3X + n4 2 Z mit geraden Zahlen n2 ; n3 und ungeraden Zahlen n1; n4 . 3) Fur welche n 2 Z ist das Polynom X 4 + nX 3 + X 2 + X + 1 uber Q reduzibel? 4) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome in R [X ]. 5) Sei F2 der Korper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome aus F2[X ] vom Grad 5. 6) Untersuchen Sie die folgenden Polynome aus Q [X ] auf Irreduzibilitat:

X 4 + 1; X 4 + X + 1; X 4 6X 2 + 5; X 4 + 6X 2 + 1 X 3 + 2X 2 + 3X + 3; 8X 3 6X 1; X 3 + 6X 2 + 8X + 4 X 5 10X 4 + 10X 3 80X 2 + 75X 17 Gleiche Aufgabe fur die folgenden Polynome aus Q [X; Y ]:

X Y; Y 3 + X 2 + 2; X 3 Y 3; Y 4 + (X + 1)2 Y 2 + X 2 1 7) Geben Sie ein irreduzibles Polynom 5. Grades aus Q [X ] an, welches a) genau eine reelle Nullstelle b) genau drei reelle Nullstellen c) genau funf reelle Nullstellen besitzt. 8) Im Polynomring C [X1 ; : : : ; Xn ] sei ein Polynom der Form

f = a1X1m1 + + anXnmn + 1

(ai 2 C ; mi 2 N +)

gegeben, wobei mindestens zwei der ai nicht verschwinden. Zeigen Sie mit Hilfe des Eisensteinschen Kriteriums, da f irreduzibel ist. Geben Sie einige \prominente" Polynome an, die hiernach irreduzibel sind. 9) Sei K ein Korper und seien X; Y; Z Unbestimmte. Zeigen Sie, da Z n + Y 3 + X 2 in K (X; Y )[Z ] irreduzibel ist (n 2 N ). 10) Sei f 2 Q [X ] ein irreduzibles Polynom vom Grad > 1, das eine Nullstelle z 2 C mit jzj = 1 besitzt. Zeigen Sie: a) 1z ist eine Nullstelle von f . b) deg f ist eine gerade Zahl. 11) Sei R ein faktorieller Ring mit dem Quotientenkorper K . Fur f 2 R[X ] n f0g heit der grote gemeinsame Teiler der Koezienten von f das Gewicht G(f ) von f . a) Fur f; g 2 R[X ] n f0g ist G(fg) = G(f ) G(g). b) Besitzt f in K [X ] einen echten Teiler, dann auch in R[X ]. c) Sind f; g 2 R[X ] n f0g in R[X ] teilerfremd, dann sind sie es auch in K [X ].

x 5 Irreduzibilitatskriterien

62

d) Besitzt f in p K eine Nullstelle x0 3und ist f normiert, so ist x0 2 R . 12) Sei K := Q ( 2). Zeigen Sie, da X 3 in K [X ] irreduzibel ist. p p p 4 2 13) Zeigen Sie, da das Polynom X 16X + 4 uber Q ( 3), Q ( 5) und Q ( 15) reduzibel ist, aber uber keiner anderen quadratischen Erweiterung von Q . 14) Fur jeden Korper K ist jedes Polynom

X11 Xnn 1 2 K [X1 ; : : : ; Xn ] mit ggT(1; : : : ; n) = 1 irreduzibel. (Verwenden Sie eine geeignete Substitution). 15) Zeigen Sie fur das Polynom f = X 6 + aX 3 + b 2 Z [X ]: Ist f reduzibel, so ist entweder Y 2 + aY + b reduzibel uber Z oder f hat einen Faktor vom Grad 2 und b ist eine dritte Potenz in Z (Anleitung: Studieren Sie zuerst das Zerlegungsverhalten von f uber Q () mit := e 2i3 . Beachten Sie, da f (X ) = f (X )). 16) Sei f := Y 3 + X 2 Y + 3Y 2 + X 2 + 3Y + X + 1 2 Z [X; Y ] a) f ist irreduzibel in Z [X; Y ]. b) Fur jede Primzahl p ist f (p; Y ) irreduzibel in Q [Y ]. 17) Gibt es irreduzible Polynome jeden positiven p Grades p in Q1+[Xpp3]?2 18) Bestimmen Sie die Minimalpolynome von 2 + 3 und 1 3 2 uber Q . nP1

19) Fur f := X n + ai X i 2 Z [X ] sei a0 eine Primzahl. Dann hat f hochstens i=0 3 rationale Nullstellen. Schatzen Sie die Anzahl der rationalen Nullstellen fur beliebiges a0 ab. 20) Sei K ein Korper und L := K (X ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten X uber K . a) Jedes uber K algebraische Element aus L gehort schon zu K . b) Es gibt unendlich viele verschiedene Korper Z mit K Z L . 21) f 2 Q [X ] sei normiert und irreduzibel. Fur zwei Nullstellen z1 ; z2 2 C von f sei z1 z2 =: q 2 Q . Fur n 2 N sei fn das durch fn (X ) = f (X + nq) de nierte Polynom. a) f1 ist irreduzibel. b) fn = f fur alle n 2 N . c) z1 = z2 . 22) Sei R ein faktorieller Ring und f = a0 + a1X + + an X n ein Polynom aus R[X ] mit ggT(a0 ; : : : ; an ) = 1. Fur ein Primelement p von R gelte pjai (i = 1; : : : ; n), p2 - an . Dann ist f irreduzibel. 23) Das Polynom f := X 4 X 1 2 Q [X ] ist irreduzibel. Fur eine Nullstelle a 2 C von f sei b := (1 + a2 ) 1 . Schreiben Sie b als Polynom in a und bestimmen Sie das Minimalpolynom von b uber Q . 24) Losen Sie Aufg. 8) aus x 4 erneut mit Hilfe des Eisenstein-Kriteriums und des Gauschen Satzes.

U bungen

63

25) In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, da fur zwei teilerfremde Polynome f; g 2 C [X; Y ] die Losungsmenge des algebraischen Gleichungssystems

f (X; Y ) = 0 ; g(X; Y ) = 0 in C 2 endlich ist. Wir uberlegen dazu folgendes: a) Es genugt, zwei nichtassoziierte irreduzible Polynome f; g zu betrachten. b) Da f und g dann in C (X )[Y ] teilerfremd sind, gibt es Polynome A; B 2 C [X; Y ] und D 2 C [X ] n f0g , so da gilt

D =Af +Bg c) Jetzt ergibt sich, da die X {Koordinaten der Losungen eine endliche Menge bilden. Folgern Sie, da es uberhaupt nur endlich viele Losungen gibt. 26) In der Situation von Aufg. 25) sei f = X 3 + Y 3 1 und g = X 2 + Y 2 1. a) Bestimmen Sie D; A und B explizit. b) Begrunden Sie, da die Anzahl der Losungen des Systems f (X; Y ) = g(X; Y ) = 0 gerade ist (ohne die Losungen auszurechnen.) c) Betrachten Sie nun die Polynome uber R und veranschaulichen Sie die Situation durch eine Skizze.

64

x 6.

Ideale und Restklassenringe

Die Theorie der Restklassenringe ist aquivalent zu der der \Kongruenzen nach Idealen". Im Ring Z sind dies die Kongruenzen nach ganzen Zahlen und hier beruhren sich Algebra und elementare Zahlentheorie eng. Viele Korper entstehen als Restklassenringe gut verstandener Ringe, daher ist die Restklassenbildung auch grundlegend fur die Korpertheorie. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die in x 5 angesprochene Methode, Polynome durch Reduktion ihrer Koezienten auf Irreduziblitat zu untersuchen.

6.I. Ideale

Von einem Ring (R; +; ) wollen wir vorerst nur verlangen, da (R; +) eine abelsche Gruppe ist und da die beiden Distributivgesetze

a (b + c) = a b + a c ; (b + c) a = b a + c a fur a; b; c 2 R erfullt sind. Wir verzichten also vorerst auf das Assoziativ- bzw. Kommutativgesetz der Multiplikation und die Existenz einer Eins. Ein Ringhomomorphismus ' : R ! S ist mit der Addition und Multiplikation vertraglich: '(a + b) = '(a)+ '(b), '(a b) = '(a) '(b) fur a; b 2 R . Sein Kern I ist die Menge aller a 2 R mit '(a) = 0. Wir schreiben I =: ker ' . Oensichtlich ist (I; +) eine Untergruppe von (R; +) und fur x 2 I und a 2 R gilt

ax2I; xa2I 6.1.Definition: Eine Untergruppe (I; +) von (R; +) heit

a) Linksideal, wenn a x 2 I fur alle a 2 R und x 2 I . b) Rechtsideal, wenn x a 2 I fur alle a 2 R und x 2 I . c) beidseitiges (oder zweiseitiges) Ideal, wenn (I; +) sowohl Rechts- wie Linksideal ist. Der Kern eines Ringhomomorphismus ' : R ! S ist ein beidseitiges Ideal von R . In kommutativen Ringen fallen die Begrie 6.1,a)-c) zusammen und man spricht dort einfach von Idealen. Fat man in diesem Fall R als ein R {Modul auf, so sind die Ideale nichts anderes als die Untermoduln von R . Historisch gesehen sind die Ideale von Dedekind als \ideale Zahlen" eingefuhrt worden, um der Probleme in nicht faktoriellen Ringen Herr zu werden.

Ideale

65

6.2.Beispiele von Idealen:

a) In jedem Ring R sind I = R und I = f0g beidseitige Ideale. Ist R ein Korper, so sind das auch schon alle Ideale: Ist I 6= f0g ein Ideal und x 2 I n f0g , so ist 1 = x 1 x 2 I und damit r = r 1 2 I fur alle r 2 R . Hierdurch wird noch einmal bewiesen, da ein Ringhomomorphismus eines Korpers K in einen Ring S entweder injektiv oder die Nullabbildung ist, denn sein Kern kann nur f0g oder K sein. b) Sei R ein assoziativer Ring und fag2 eine Familie von Elementen aus R . Die Menge r1a1 + + rn an (n 2 N ; r1 ; : : : ; rn 2 R) P

aller Linkslinearkombinationen der a ist ein Linksideal von R , das mit Ra be2 P zeichnet wird. Entsprechend ist die Menge a R aller Rechtslinearkombinationen 2 ein Rechtsideal von R . In kommutativen Ringen schreibt man (fa g2) fur dieses Ideal und nennt es auch das von fag2 erzeugte oder aufgespannte Ideal. Speziell bezeichnet (a1 ; : : : ; an) das von endlich vielen Elementen a1 ; : : : ; an 2 R erzeugte Ideal. Ein beliebiges Ideal I heit endlich erzeugt, wenn es Elemente a1 ; : : : ; an 2 I gibt mit I = (a1 ; : : : ; an). c) Fur a 2 R heit R a = fr a j r 2 Rg das von a erzeugte Linkshauptideal. Entsprechend sind Rechtshauptideale a R de niert. In Matrizenringen ndet man leicht Beispiele von Linkshauptidealen, die keine Rechtsideale sind. In einem kommutativen Ring R bezeichnet man das von a 2 R erzeugte Hauptideal mit (a). Fur a1 ; a2 2 R gilt dann (a1 ) (a2 ) , a2 ja1 (a1 ) = (a2 ) , a1 a2 Die Hauptideale entsprechen eineindeutig den Klassen assoziierter Elemente von R und spiegeln die Teilbarkeitsverhaltnisse im Ring R wieder. Fur den Rest von 6.I sei R ein assoziativer kommutativer Ring mit Eins. 6.3.Definition:

a) R heit Hauptidealring, wenn jedes Ideal von R ein Hauptideal ist. b) R heit ein noetherscher Ring, wenn jedes Ideal von R endlich erzeugt ist. Naturlich sind Hauptidealringe noethersch. 6.4.Satz. a) Z ist ein Hauptidealring.

b) Fur jeden Korper K ist der Polynomring K [X ] ein Hauptidealring.

Z ein Ideal. Fur I = (0) ist nichts zu zeigen. Ist I 6= (0) und x 2 I nf0g , so ist auch x 2 I . Daher enthalt I eine positive ganze Zahl und folglich Beweis: a) Sei I

x 6 Ideale und Restklassenringe

66

auch eine kleinste positive ganze Zahl a . Ist nun x 2 I beliebig, so dividieren wir x durch a mit Rest x = q a + r (q; r 2 Z ; 0 r < a) Es ist dann r = x q a 2 I , da x 2 I und q a 2 I . Da aber r < a ist, mu r = 0 sein und somit x 2 (a). Es ist also I (a). Da (a) I klar ist, haben wir gezeigt, da Z ein Hauptidealring ist. b) Den Beweis fuhrt man analog, indem man in jedem Ideal I 6= (0) aus K [X ] ein Polynom kleinsten Grades wahlt. I wird von diesem erzeugt. Es ist ein wichtiges Thema der Algebra und anderer Teile der Mathematik festzustellen, welche Ringe noethersch sind, da dies fur viele Anwendungen von Interesse ist. 6.5.Satz. Folgende Aussagen sind aquivalent:

a) R ist ein noetherscher Ring. b) In R gilt der Teilerkettensatz fur Ideale, d.h. jede aufsteigende Folge I0 I1 In : : : von Idealen wird stationar. c) In R gilt die Maximalbedingung fur Ideale: Jede nichtleere Menge von Idealen aus R enthalt ein maximales Element bzgl. der Inklusion.

! b). Fur eine Idealkette wie in b) ist I :=

1 S

Ik ebenfalls ein Ideal von R . Es ist nach Voraussetzung a) endlich erzeugt: I = (a1 ; : : : ; an ), ai 2 R . Fur genugend groes k ist dann ai 2 Ik fur i = 1; : : : ; n und es folgt Ik = Ik+1 = : : : . b) ! c). Angenommen, es gabe eine nichtleere Menge M von Idealen aus R ohne maximales Element. Fur jedes I0 2 M gibt es dann ein I1 2 M mit I0 I1 , I0 6= I1 . Ist In 2 M schon gefunden, so gibt es ein In+1 2 M mit In In+1 , In 6= In+1 . Dann ware fur die \Teilerkette" I0 I1 : : : die Bedingung b) verletzt. c) ! a). Sei I R ein Ideal und M die Menge aller endlich erzeugten Ideale von R , die in I enthalten sind. Sei (a1 ; : : : ; an ) ein maximales Element von M . Dann ist I = (a1 ; : : : ; an), denn sonst gabe es ein b 2 I , b 2= (a1 ; : : : ; an) und es ware (a1 ; : : : ; an) (a1 ; : : : ; an; b) I , (a1 ; : : : ; an ) 6= (a1 ; : : : ; an ; b). Aus dem folgenden Satz gewinnt man viele noethersche Ringe: Beweis: a)

k=0

6.6.Hilbertscher Basissatz. Ist R ein noetherscher Ring, so auch der Polynom-

ring R[X ].

Beweis: Man zeigt: Wenn R[X ] nicht noethersch ist, dann kann es auch R nicht

sein. Sei I ein Ideal in R[X ], das nicht endlich erzeugbar ist. Sei f1 2 I ein Polynom kleinsten Grades. Ist fk 2 I fur k 1 schon gewahlt, so sei fk+1 ein Polynom kleinsten Grades aus I n (f1 ; : : : ; fk ). Sei nk := deg fk und sei ak der Gradkoezient

Restklassenringe

67

von fk (k = 1; 2; : : : ). Dann ist n1 n2 : : : und (a1 ) (a1 ; a2 ) : : : ist eine Idealkette in R , von der wir zeigen, da sie nicht stationar wird: k P Ware (a1 ; : : : ; ak ) = (a1 ; : : : ; ak+1), so hatte man eine Gleichung ak+1 = bi ai k P

i=1

(bi 2 R) und es ware g := fk+1 bi X nk+1 ni fi 2 I n (f1 ; : : : ; fk ), aber von i=1 kleinerem Grad als fk+1 , im Widerspruch zur Wahl von fk+1 , q.e.d. Durch Induktion ergibt sich aus 6.6, da fur jeden noetherschen Ring R auch R[X1 ; : : : ; Xn ] noethersch ist. Speziell gilt dies, wenn R Hauptidealring ist. Folglich sind Z [X1; : : : ; Xn] und K [X1; : : : ; Xn] fur jeden Korper K noethersche Ringe. Dagegen ist ein Polynomring in unendlich vielen Variablen uber einem Korper nicht noethersch. Gilt in einem Ring der Teilersatz fur Ideale, so gilt auch der fur Elemente, wie man sieht, wenn man die Teilerkettenbedingung auf Hauptideale anwendet. In einem nullteilerfreien Hauptidealring R gilt daher der Teilerkettensatz fur Elemente und jede Nichteinheit aus R n f0g ist somit Produkt irreduzibler Elemente (4.17). 6.7.Satz. Jeder nullteilerfreie Hauptidealring R ist ein faktorieller Ring. Beweis: Es ist noch zu zeigen, da jedes irreduzible Element p von R ein Primele-

ment ist. Fur a; b 2 R n f0g gelte p - a , p - b . Das Ideal (p; a) ist ein Hauptideal (c). Als Teiler von p kann c nur zu p assoziiert oder eine Einheit sein. Der erste Fall kann nicht eintreten, da c auch a teilt. Somit ist (p; a) = (1) und entsprechend (p; b) = (1). Man hat also Gleichungen 1 = r1 p+r2 a = s1 p+s2 b (ri ; si 2 R; i = 1; 2). Dann ist auch 1 = (r1 s1p + r1s2 b + r2 s1a) p + r2 s2ab und es folgt p - ab , da sonst p ein Teiler von 1 ware.

6.II. Konstruktion und erste Eigenschaften von Restklassenringen

Wie zu Beginn von 6.I sei nun R wieder ein beliebiger Ring. Fur eine Untergruppe (I; +) von (R; +) ist die Kongruenz modulo I wie folgt de niert: a 2 R heit kongruent zu b 2 R modulo I , wenn a b 2 I . Man schreibt dann a b mod I . Es ist sofort zu sehen, da die Kongruenz eine A quivalenzrelation auf R ist. Die Menge der A quivalenzklassen bzgl. dieser Relation wird mit R=I bezeichnet. Man betrachtet also zwei Elemente a; b 2 R als \gleich", wenn sie sich nur um ein Element aus I unterscheiden. Fur a 2 R ist

a + I := fa + x j x 2 I g gerade die A quivalenzklasse modulo I , der a angehort. Es gilt

a + I = b + I , a b mod I

x 6 Ideale und Restklassenringe

68

a + I heit die Restklasse von a modulo I und a ist ein \Reprasentant" dieser Restklasse. Die Menge R=I besteht gerade aus allen diesen Restklassen. Aus der elementaren Gruppentheorie und der Vektorraumtheorie durfte ja schon bekannt sein, da man R=I zu einer (abelschen) Gruppe machen kann. Hier kommt es uns aber darauf an, da R=I manchmal sogar ein Ring ist, namlich dann, wenn I ein beidseitiges Ideal von R ist, was wir jetzt voraussetzen wollen. Wir de nieren dann die Addition und Multiplikation in R=I durch die Formeln (1)

(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I ; (a + I ) (b + I ) = a b + I

Damit dies sinnvoll ist, mu gezeigt werden, da die Operationen nicht von der Wahl der Reprasentanten der Restklassen abhangen: Sei etwa a + I = a0 + I mit a; a0 2 R . Dann ist a a0 2 I , also auch (a + b) (a0 + b) 2 I und somit (a + b)+ I = (a0 + b)+ I . Ferner ist (a a0 )b 2 I , da I ein Rechtsideal ist, und es folgt a b + I = a0 b + I . Beim entsprechenden Nachweis, da a b + I auch nicht vom Reprasentanten b von b + I abhangt, benutzt man, da I auch ein Linksideal ist. 6.8.Satz. a) (R=I; +; ) ist ein Ring. Ist R assoziativ (kommutativ, ein Ring mit

Eins), so auch R=I . b) Die Abbildung " : R ! R=I mit "(a) = a + I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit ker " = I . Beweis: a) ist auf Grund der De nition von Addition und Multiplikation in R=I

klar, denn die entsprechenden Axiome sind in R=I erfullt, weil sie in R gelten. Insbesondere ist 0 + I = I die Null von R=I und ( a) + I das Negative von a + I . Ferner ist 1 + I die Eins von R=I , wenn 1 die Eins von R ist. b) Da " ein Ringhomomorphismus ist, folgt aus den Formeln (1). Die Surjektivitat von " ist klar. Ferner ist ker " = fa 2 R j a + I = 0 + I g = I . (R=I; +; ) heit der Restklassenring von R nach dem (beidseitigen) Ideal I und " : R ! R=I der kanonische Epimorphismus auf den Restklassenring. 6.9.Beispiele:

a) Fur R = namlich

Z

und I = (n) mit n 2 N + ist Z =(n) ein Ring mit genau n Elementen, 0 + I; 1 + I; : : : ; n 1 + I

Zur Restklasse k + I gehoren gerade die ganzen Zahlen, die bei der Division durch n den Rest k lassen; daher kommt der Name \Restklasse". b) Ist K ein Korper und f 2 K [X ] ein Polynom vom Grad n > 0, so besitzt K [X ]=(f ) die Restklassen g +(f ), wobei g alle Polynome vom Grad < n durchlauft,

Universelle Eigenschaft des Restklassenrings

69

denn dies sind gerade die Reste bei der Polynomdivision durch f . Man hat Ringhoi " momorphismen K ! K [X ] ! K [X ]=(f ), wobei i die kanonische Injektion ist, die jedes a 2 K mit dem konstanten Polynom a identi ziert, und wobei " der kanonische Epimorphismus ist. " i ist injektiv und man darf daher K als Unterring von K [X ]=(f ) betrachten. Man kann K [X ]=(f ) als einen Vektorraum uber K auassen. Als solcher besitzt er die Restklassen 1 + (f ); X + (f ); : : : ; X n 1 + (f ) als eine Basis, insbesondere ist dimK K [X ]=(f ) = n 6.10. Universelle Eigenschaft des Restklassenrings: Ist : R ! S irgend-

ein Ringhomomorphismus mit I ker , dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus h : R=I ! S mit = h " R=I

% R & "

? ? yh

S

Beweis: Wenn h existiert, mu

(2)

h(a + I ) = (a) fur alle a 2 R

gelten. h ist somit sicher eindeutig. Wir versuchen, h durch (2) zu de nieren: Ist a + I = a0 + I (a; a0 2 R), so ist a a0 2 I und (a) = (a0 ), da I ker . Somit de niert (2) in der Tat eine Abbildung von R=I in S . Da h ein Ringhomomorphismus ist, ergibt sich, weil einer ist:

h((a + I ) + (b + I )) = (a + b) = (a) + (b) = h(a + I ) + h(b + I ) Entsprechend erhalt man, da h((a + I ) (b + I )) = h(a + I ) h(b + I ). Analog zum Quotientenring hatten wir den Restklassenring de nieren konnen als ein Paar (R=I; "), wobei R=I ein Ring ist, " : R ! R=I ein Ringhomomorphismus mit ker " = I , und wobei die universelle Eigenschaft 6.10 erfullt ist. Wie fruher ist dieses Objekt dann (bis auf Isomorphie) eindeutig und die obige Konstruktion beweist seine Existenz. Die in 6.10 vorkommende Abbildung h heit der durch auf R=I induzierte Homomorphismus. Als Korollar aus 6.10 ergibt sich

x 6 Ideale und Restklassenringe

70

6.11.Homomorphiesatz fur Ringe. Ist : R ! S ein surjektiver Ringhomomor-

phismus, dann ist der induzierte Homomorphismus h : R= ker ! S (a + ker 7! (a)) ein Isomorphismus.

surjektiv ist, ist es auch h . Ferner ist h(a + ker ) = (a) = 0 genau dann, wenn a 2 ker , also wenn a + ker = 0 + ker ist. Somit ist h auch injektiv und folglich ein Isomorphismus. Der Homomorphiesatz zeigt, da die homomorphen Bilder von R bis auf Isomorphie gerade die Restklassenringe R=I nach den beidseitigen Idealen I von R sind. Die Restklassenringe Z =(a) fur a 2 Z gehoren zu den wichtigsten Studienobjekten der elementaren Zahlentheorie. Sie treten auch in folgendem Zusammenhang auf. Beweis: Da

6.12.Satz. Ist R ein Ring mit einem Einselement 1R , so gibt es genau einen Ring-

homomorphismus :

Z

! R mit (1) = 1R .

Beweis: a) Es gibt hochstens einen solchen Homomorphismus , denn er mu fur

n 2 N die Bedingung (n) = (1| + {z + 1}) = |(1) + {z + (1)} = n 1R und

n

n

( n) = (n) = (n 1R )

erfullen. b) Wir de nieren : Z ! R durch (n) = n 1R fur n 2 N und ( n) = (n 1R). Fur n1 ; n2 2 Z ist jetzt nachzurechnen, da (n1 + n2) = (n1) + (n2 ); (n1 n2) = (n1) (n2 ) gilt, was einige Fallunterscheidungen erfordert, aber keine wesentliche Muhe macht. Die Abbildung : Z ! R heit der kanonische Homomorphismus von Z in R . Der Unterring ( Z ) R ist der Durchschnitt aller 1R enthaltenden Unterringe von R . Er heit der Primring von R . Seine Elemente sind n 1R und (n 1R ) =: ( n) 1R fur n 2 N Der Kern I des kanonischen Homomorphismus : Z ! R ist ein Hauptideal von Z . Wir konnen annehmen, da I = (n) mit einem n 2 N ist. Diese Zahl ist eindeutig durch I und damit durch R bestimmt. Nach dem Homomorphiesatz gilt fur den Primring von R ( Z ) = Z =(n) Ist injektiv, so ist n = 0 und ( Z ) = Z . Ist nicht injektiv, so ist n die kleinste Zahl > 0 mit n 1R = 0.

Charakteristik eines Rings

71

! R der kanonische Homomorphismus. Die Charakteristik Char R von R ist die Zahl n 2 N mit 6.13.Definition: Sei R ein Ring mit einer Eins und : Z

ker = (n).

6.14.Satz. Die Charakteristik eines Integritatsrings mit einer Eins ist 0 oder eine

Primzahl.

Beweis: Sei R ein Integritatsring mit der Eins 1R und sei Char R =: n > 0. Ware

n = n1 n2 mit Zahlen ni 2 N , 0 < ni < n (i = 1; 2), so ware

0 = n 1R = (n1 n2 ) 1R = (n1 1R) (n2 1R ) und es wurde n1 1R = 0 oder n2 1R = 0 folgen, weil R Integritatsring ist. Dies ware ein Widerspruch, weil n die kleinste Zahl mit n 1R = 0 war. Insbesondere ist die Charakteristik eines Schiefkorpers K entweder 0 oder eine Primzahl p . Im ersten Fall ist (bis auf Isomorphie) Z K und damit Q K . Der Schiefkorper besitzt dann einen zu Q isomorphen Primkorper (1.8c). Im zweiten Fall ist Z =(p) K . Wir werden bald sehen, da Z =(p) ein Korper ist, was ja ohnehin schon bekannt sein durfte. K besitzt dann einen zu Z =(p) isomorphen Primkorper. Sei nun L=K eine Korpererweiterung und x 2 L ein uber K algebraisches Element mit dem Minimalpolynom f . Man hat einen Ringhomomorphismus (Einsetzungshomomorphismus) : K [X ] ! K (x) (g 7! g(x)) der surjektiv ist, weil f1; x; x2 ; : : : ; xn 1 g mit n := deg f eine Basis von K (x) uber K ist, wie im Beweis von 3.8 gezeigt wurde. Ferner ist ker = (f ) und nach dem Homomorphiesatz hat man einen Isomorphismus (3)

h : K [X ]=(f ) e! K (x)

Hierbei wird der in K [X ]=(f ) enthaltene Korper K identisch abgebildet.

6.III. Ideale und Ringhomomorphismen

Wir wollen uns jetzt mit der wichtigen Frage beschaftigen, wie die Ideale eines Rings mit denen eines Restklassenrings zusammenhangen. R und S seien beliebige Ringe wie zu Beginn von 6.I und ' : R ! S sei ein Ringhomomorphismus.

x 6 Ideale und Restklassenringe

72

6.15.Satz. a) Ist I ein (Links-, Rechts-, beidseitiges) Ideal von S , so ist ' 1 (I ) ein

solches Ideal in R . b) Ist ' surjektiv und I ein (Links-, Rechts-, beidseitiges) Ideal von R , so ist '(I ) ein solches Ideal in S . c) Ist ' surjektiv, so de niert die Zuordnung I 7! ' 1(I ) eine Bijektion der Menge aller (Links-, Rechts-, beidseitigen) Ideale I S auf die Menge aller (Links-, Rechts-, beidseitigen) Ideale von R , welche ker ' umfassen. d) Sei ' surjektiv, I ein beidseitiges Ideal von S und " : S ! S=I der kanoni' " sche Epimorphismus. Dann induziert der Homomorphismus R ! S ! S=I einen Ringisomorphismus

R=' 1(I ) e! S=I

(a + ' 1(I ) 7! '(a) + I )

Beweis: Wir fuhren den Beweis von a)-c) fur Linksideale, fur die u brigen Idealtypen

ist er analog. a) Fur a1; a2 2 ' 1(I ) ist '(a1 a2 ) = '(a1) '(a2 ) 2 I und damit a1 a2 2 ' 1(I ). Somit ist (' 1(I ); +) eine Untergruppe von (R; +). Fur r 2 R und a 2 ' 1(I ) ist '(ra) = '(r) '(a) 2 I und damit ra 2 ' 1(I ), also ' 1(I ) ein Linksideal in R . b) Es ist klar, da ('(I ); +) eine Untergruppe von (S; +) ist. Sei nun s 2 S , b 2 '(I ) gegeben. Schreibe s = '(r), b = '(a) mit r 2 R , a 2 I . Dann ist

s b = '(r) '(a) = '(ra) 2 '(I ) und '(I ) ist ein Linksideal von S . c) Fur jedes Linksideal I von S ist ' 1(I ) ein ker ' umfassendes Linksideal von R und es ist '(' 1(I )) = I wegen der Surjektivitat von ' . Ferner gilt fur jedes ker ' umfassende Linksideal J von R die Beziehung ' 1('(J )) = J . Hieraus folgt c). ' " d) Die zusammengesetzte Abbildung R ! S ! S=I ist surjektiv und ' 1(I ) ist ihr Kern. Die Behauptung ergibt sich daher aus dem Homomorphiesatz. 6.16.Korollar. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und ' : R ! S ein surjek-

tiver Ringhomomorphismus. Ist R ein Hauptidealring (noetherscher Ring), so auch S . Insbesondere sind Restklassenringe von Hauptidealringen (noetherschen Ringen) wieder solche. Beweis: Ist I ein Ideal von S und ' 1 (I ) = (a1 ; : : : ; an ), so gilt

I = ('(a1 ); : : : ; '(an )). Wir wenden jetzt die obigen Betrachtungen auf den kanonischen Epimorphismus " : R ! R=I an, wobei I ein beidseitiges Ideal von R ist. Jedes beidseitige Ideal von

Primideale und maximale Ideale

73

R=I ist nach 6.15 von der Form "(J ), wobei J ein I umfassendes Ideal von R ist. Es ist "(J ) = fx + I 2 R=I j x 2 J g die Menge aller Restklassen von Elementen x 2 J . Wir fuhren daher die Schreibweise J=I := "(J ) ein. 6.17.Korollar. Die beidseitigen Ideale von R=I sind die Ideale J=I , wobei J die

beidseitigen Ideale von R mit I J durchlauft (Entsprechendes gilt auch fur Linksund Rechtsideale). Fur ein beidseitiges Ideal J mit I J "betrachten wir die durch Zusammensetzung der kanonischen Epimorphismen R ! R=I ! R=I=J=I gegebene Abbildung : R ! R=I=J=I . Es gilt der folgende Satz uber die Transitivitat der Restklassenbildung. 6.18.Noetherscher Isomorphiesatz. Es ist ker = J und induziert einen

Isomorphismus

Beweis: Fur a

R=J e! R=I=J=I

2 R ist (a) = 0 genau dann, wenn a + I 2 J=I ist, d.h. wenn

a 2 J . Da surjektiv ist, folgt die Behauptung nun aus dem Homomorphiesatz.

6.IV. Primideale und maximale Ideale

Im folgenden sei nun wieder R ein assoziativer, kommutativer Ring mit 1. Die Analoga zu den Primelementen sind in der Idealtheorie die Primideale: 6.19.Definition: a) Ein Ideal P von R heit Primideal, wenn P 6= R ist und wenn gilt: Sind a; b 2 R n P , so ist a b 2 R n P (Mit andern Worten: Die Menge R n P ist

multiplikativ abgeschlossen). b) Ein Ideal M von R heit maximales Ideal, wenn M 6= R ist und fur jedes Ideal I mit M I R , M 6= I folgt, da I = R ist. Die Menge der Primideale P von R wird mit Spec R bezeichnet (Spektrum von R ), die Menge aller maximalen Ideale mit Max R (Maximalspektrum von R ). Primideale und maximale Ideale lassen sich auch wie folgt charakterisieren: 6.20.Satz.

a) Ein Ideal P von R ist genau dann ein Primideal, wenn R= P ein Integritatsring ist. b) Ein Ideal M von R ist genau dann maximal, wenn R= M ein Korper ist.

x 6 Ideale und Restklassenringe

74

Beweis: a) Ist P ein Primideal und sind a + P , b + P zwei Restklassen = 6 0 in R= P , so sind a; b 2= P und somit a b 2= P . Es folgt

(a + P ) (b + P ) = a b + P 6= 0 und somit ist R= P ein Integritatsring. Umgekehrt: Ist R= P ein Integritatsring, so sind fur a; b 2 R n P die Restklassen a+ P und b+ P von Null verschieden und daher ist auch ab+ P = (a+ P )(b+ P ) 6= 0, folglich a b 2 R n P . b) Sei M 2 Max R . Wir haben zu zeigen, da jedes Element a + M mit a 2 R n M in R= M ein Inverses besitzt. Es sei I := ( M ; a) das von M und a erzeugte Ideal von R . Seine Elemente sind von der Form x + r a mit x 2 M und r 2 R . Da a 2= M ist und da M ein maximales Ideal ist, mu I = R sein, folglich 1 2 I . Es gibt somit ein x 2 M und ein b 2 R mit 1 = x + a b . In R= M gilt dann (a + M )(b + M ) = a b + M = (a b + x) + M = 1 + M und somit ist b + M ein Inverses zu a + M . Sei nun R= M ein Korper. Dann ist M 6= R . Die einzigen Ideale von R= M sind das Nullideal und R= M selbst. Aus 6.15c) folgt, da R das einzige Ideal von R ist, welches M echt umfat. 6.21.Korollar. Max R Spec R .

Durch Aufsuchen von Primidealen (maximalen Idealen) in Ringen konnen wir Integritatsringe und Korper konstruieren, namlich die Restklassenringe dieser Ideale. 6.22.Satz. In einem Integritatsring R ist ein Hauptideal (p) genau dann Primideal,

wenn entweder p = 0 oder p ein Primelement ist.

Beweis: Sei p 6= 0. Fur a 2 R n f0g gilt a 2 (p) genau dann, wenn p j a . Es ist

daher klar, da (p) genau dann Primideal von R ist, wenn p ein Primelement ist. 6.23.Korollar.

a) Die Primideale von Z sind auer (0) die von Primzahlen p erzeugten Hauptideale (p). Diese sind maximale Ideale und fur jede Primzahl p ist Fp := Z =(p) ein Korper mit p Elementen. b) Die Primideale des Polynomrings K [X ] uber einem Korper K sind auer (0) die von den irreduziblen Polynomen f 2 K [X ] erzeugten Hauptideale. Diese sind maximale Ideale und L := K [X ]=(f ) ist fur jedes irreduzible Polynom f ein Korper.

Primideale und maximale Ideale

75

Beweis: Da die angegebenen Ideale Primideale sind, folgt aus 6.22. Fur Prim-

elemente p und q ergibt sich aus (p) (q), da p q , daher sind die von den Primelementen erzeugten Ideale in unseren Ringen maximal und ihre Restklassenringe sind Korper. 6.24.Korollar. Sei p eine Primzahl. Jeder Korper K mit p Elementen ist iso-

morph zu Fp .

Beweis: Die Charakteristik von K ist nach 6.14 eine Primzahl q . Der kanonische

Homomorphismus Z ! K (6.12) induziert eine Injektion Z =(q) ! K . Daher kann K als Erweiterungskorper von Fq betrachtet werden. Ist [K : Fq ] =: m , so besitzt K genau qm = p Elemente. Dies ist nur mit m = 1, q = p moglich, also ist K = Fp . Fur f 2 Z [X ] und eine Primzahl p sei f das Bild von f beim kanonischen Epimorphismus Z [X ] ! Fp[X ] (Reduktion der Koezienten modulo p ). Ist f normiert und f in Fp [X ] irreduzibel, dann ist f naturlich in Z [X ] irreduzibel. Da f nur endlich viele mogliche Teiler besitzt, kann die Irreduziblitat von f in endlich vielen Schritten uberpruft werden. Man kann f auch modulo zweier (oder mehrerer) Primzahlen p und q reduzieren. Unter Umstanden kann man aus dem Zerlegungsverhalten der reduzierten Polynome auf die Irreduziblitat von f schlieen, dann namlich, wenn die reduzierten Polynome zwar zerfallen, aber so, da die Zerlegungen nicht von einer Zerlegung von f in Z [X ] \herkommen" konnen (vgl. Aufgabe 9b)). Wir zeigen noch 6.25.Satz. (Krull) Ist I I M.

R ein Ideal mit I 6= R , so gibt es ein M 2 Max R mit

Beweis: Die Menge M aller Ideale J von R mit I

J und J 6= R ist nicht leer,

denn I gehort zu M . Durch die Inklusion wird M zu einer teilweise geordneten Menge. Ist fJ g eine vollstandig geordnete Familie von Elementen aus M , so S 2 ist J := J sicher ein Ideal von R mit I J . Ware J = R , so ware 1 2 J und 2 damit 1 2 J fur ein 2 , was nicht sein kann. Damit ist J 2 M und J ist eine obere Schranke fur fJg2 . Nach dem Zornschen Lemma besitzt M ein maximales Element M . Notwendigerweise ist dann M 2 Max R und I M . Fur noethersche Ringe folgt der Satz auch unmittelbar aus der Maximalbedingung fur Ideale.

6.V. Der chinesische Restsatz

Dieser Satz handelt von der Losung \simultaner Kongruenzen". Er ergibt sich aus einem Resultat uber Restklassenringe. Zur Geschichte dieses Satzes, s. [vdW2 ], S. 121-122 und [T1 ], 4.2.5.

x 6 Ideale und Restklassenringe

76

In diesem Abschnitt ist R ein kommutativer Ring mit Eins. Fur Ideale n T I1; : : : ; In R ist auch der Durchschnitt Ik und die Summe k=1

n P k=1

Ik := fa1 + + an j ak 2 Ik (k = 1; : : : ; n)g

ein Ideal von R . 6.26.Definition: Die Ideale I1 ; : : : ; In R heien teilerfremd, wenn

n P k=1

Ik = R

ist. A quivalent mit dieser Bedingung ist nach 6.25, da kein maximales Ideal von R alle Ideale Ik (k = 1; : : : ; n) umfat. Wir benotigen zwei Lemmata. 6.27.Lemma. Seien I1 ; : : : ; In R Ideale und P ein Primideal von R . Gilt n T Ik P , so gibt es ein k 2 f1; : : : ; ng mit Ik P . k=1

Beweis: Gabe es ein ak

2 Ik n P fur k = 1; : : : ; n , so ware a1 : : : an 2

aber a1 : : : an 2= P , ein Widerspruch.

n T k=1

Ik ,

6.28.Lemma. Seien I1 ; : : : ; In R (n 2) paarweise teilerfremde Ideale, d.h. es ist T

Ik + I` = R fur k 6= ` . Dann sind die Ideale Jk :=

`6=k

I` (k = 1; : : : ; n) teilerfremd.

Beweis: Angenommen, es gabe ein maximales Ideal M mit Jk M fur

k = 1; : : : ; n . Nach 6.27 gibt es dann ein ` 2 f1; : : : ; n 1g , so da I` M . Aus J` M folgt nach 6.27 die Existenz eines k 6= ` mit Ik M und das ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von Ik und I` . Im folgenden betrachten wir das kartesische Produkt von Ringen als einen Ring mit komponentenweiser Addition und Multiplikation (direktes Produkt von Ringen). 6.29.Satz. Seien I1 ; : : : ; In

R (n 2) paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist

der kanonische Ringhomomorphismus

: R ! R=I1 R=In ein Epimorphismus mit ker =

n T k=1

Ik .

(r 7! (r + I1 ; : : : ; r + In))

Chinesischer Restsatz

77

Beweis: Die Aussage u ber den Kern von folgt unmittelbar aus der De nition von

und der eines direkten Produkts von Ringen. Zum Nachweis der Surjektivitat von T bilden wir die Ideale Jk := I` (k = 1; : : : ; n), die nach 6.28 teilerfremd sind. `6=k Man hat daher eine Gleichung (4)

1 = a1 + + an mit ak 2 Jk (k = 1; : : : ; n)

und es gilt ak 1 mod Ik , ak 0 mod I` fur ` 6= k . Sei nun n P (r1 + I1; : : : ; rn + In) 2 R=I1 R=In gegeben. Setzt man r := rk ak , so gilt k=1 (r) = (r1 + I1; : : : ; rn + In). Aus dem Homomorphiesatz folgt nun 6.30.Korollar. (Chinesischer Restsatz)

R=

n T k=1

Ik = R=I1 R=In

Der chinesische Restsatz besagt mit andern Worten, da fur paarweise teilerfremde Ideale I1; : : : ; In (n 2) und beliebige Elemente r1 ; : : : ; rn 2 R das Kongruenzensystem (5)

X r1 mod I1 .. . X rn mod In n T

immer losbar ist und da fur eine Losung r die Restklasse r + Ik die Menge aller k=1 Losungen ist. Um eine Losung r zu berechnen, versucht man, eine Gleichung (4) zu n P bestimmen. Die gesuchte Losung von (5) ist dann r := rk ak . Im Ring Z ndet k=1 man (4) immer mit Hilfe des euklidischen Algorithmus (vgl. x 4.IV). 6.31.Beispiel: Simultane Kongruenzen in Z .

Q

Seien m1; : : : ; mn 2 Z (n 2) paarweise teilerfremd und sei qk := m` `6=k T (k = 1; : : : ; n). Setzt man I` := (m`) (` = 1; : : : ; n), so ist I` = (qk ) das `6=k obige Ideal Jk . Die Zahlen q1 ; : : : ; qn sind teilerfremd und man ndet sukzessive mit Hilfe des euklidischen Algorithmus eine Gleichung 1 = a1 q1 + + anqn

(ai 2 Z )

x 6 Ideale und Restklassenringe

78

Fur ein Kongruenzensystem X rk mod mk (rk 2 Z ; k = 1; : : : ; n) wird durch n P r := rk ak qk eine Losung gegeben und r + (m1 : : : mn) ist die Menge aller k=1

n T

Losungen, denn I` = (m1 : : : mn). `=1 Eine anschaulichere Beschreibung des Kongruenzensystems ist die folgende: Es seien r Gegenstande gegeben. Ordnet man sie in Reihen zu je mk Stuck an, so bleiben rk Stuck ubrig ( k = 1; : : : ; n ). Wie gro ist r ? Wir wollen uns jetzt noch mit der Einheitengruppe eines Restklassenrings R=I befassen. 6.32.Satz. Eine Restklasse r + I 2 R=I ist genau dann eine Einheit von R=I , wenn

(r) und I teilerfremd sind. Beweis: Ist r + I 2 E (R=I ), so gibt es ein r0 + I 2 R=I mit rr0 + I = 1 + I . Es ist dann 1 2 (r) + I , d.h. (r) und I sind teilerfremd. Umgekehrt, sind (r) und I teilerfremd, so gilt (r) + I = R . Es gibt daher ein r0 2 R und ein a 2 I , so da rr0 + a = 1 ist. Dann ist r0 + I invers zu r + I . 6.33.Definition: Fur n

gruppe modulo n .

2 Z , n > 1 heit E ( Z =(n)) die prime Restklassen-

Man kann die Ordnung dieser Gruppe leicht bestimmen. Die Eulersche ' {Funktion ' : N + ! N ist wie folgt erklart: Fur n 2 N + ist '(n) die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen aus f1; : : : ; ng . Es ist also '(1) = 1 und (6)

'(p) = (p 1)p

1

fur jede Primzahl p , denn p; 2p; : : : ; p 1 p sind gerade die Zahlen aus f1; : : : ; p g , die mit p einen echten Teiler gemeinsam haben. Aus 6.32 ergibt sich unmittelbar 6.34.Korollar. Fur n 2 Z , n > 1 besitzt E ( Z =(n)) die Ordnung '(n).

Eine Formel fur '(n) erhalt man nun aus dem chinesischen Restsatz: 6.35.Satz. Sei n = p1 1 : : : pmm die Primzahlzerlegung einer ganzen Zahl n > 1.

Dann gilt

'(n) =

m Q

(pk 1)pk k k=1

1

Beweis: Nach dem chinesischen Restsatz ist

(7)

Z =(n) = Z =(p1 1 ) Z =(pmm )

Algebren

79

Ein Element eines direkten Produkts von Ringen ist genau dann eine Einheit, wenn alle seine Komponenten Einheiten sind in den jeweiligen Faktoren des Produkts. Daher wird durch (7) ein Gruppenisomorphismus

E ( Z =(n)) = E ( Z =(p1 1 )) E ( Z =(pmm )) induziert. Die Ordnung von E ( Z =(pk k )) ist durch 6.34 und (6) bekannt. Aus

'(n) = ord E ( Z =(n)) =

m Q k=1

ord E ( Z =(pk k )) =

m Q

(pk 1) pk k k=1

1

ergibt sich die Behauptung. Hier wurde durch ringtheoretische Betrachtungen eine Formel der elementaren Zahlentheorie bewiesen. Die Eulersche ' {Funktion wird spater (13.7) in anderem Zusammenhang erneut auftreten: Es ist [e 2ni : Q ] = '(n). Fur ihre gruppentheoretische Bedeutung siehe auch 11.21b).

6.VI. Assoziative Algebren Sei R ein assoziativer kommutativer Ring mit Eins und S ein assoziativer Ring mit Eins. Es sei ein Ringhomomorphismus : R ! S mit (1R ) = 1S gegeben, fur den (R) im Zentrum von S enthalten ist, d.h. es ist (r) s = s (r) fur alle r 2 R und s 2 S . Wir sagen dann, es sei eine assoziative Algebra (S=R; ) gegeben und sei ihr Strukturhomomorphismus. Die Algebra heit kommutativ, wenn auch S ein kommutativer Ring ist. Beispielsweise ist jeder kommutative Ring R mit Eins eine Z {Algebra mit dem durch 6.12 gegebenen Strukturhomomorphismus : Z ! R. Ist (S=R; ) eine assoziative Algebra, so kann S via als R {Modul betrachtet werden: Fur r 2 R , s 2 S ist die Skalarmultiplikation durch r s := (r) s de niert. Ist (S 0 =R; 0 ) eine weitere assoziative Algebra, so ist ein R {Homomorphismus von S nach S 0 ein Ringhomomorphismus, der gleichzeitig R {linear ist. Fur ein zweiseitiges Ideal I S fat man S=I als R {Algebra bzgl. der Komposition von mit dem kanonischen Epimorphismus " : S ! S=I auf. S=I heit die Restklassenalgebra von S modulo I . Es ist dann " ein R {Homomorphismus. Von der universellen Eigenschaft 6.10 der Restklassenalgebra wird hau g Gebrauch gemacht. Eine Unteralgebra von (S=R; ) ist ein Unterring U S mit (R) U . Ihr Strukturhomomorphismus ist dann : R ! U . Ein wichtiges Beispiel einer assoziativen Algebra ist die freie R {Algebra uber einer Menge fX g2 von Unbestimmten, die wie folgt de niert ist: Ein Wort aus fX g2 ist ein n {tupel (X1 ; : : : ; XnL ) fur ein n 2 N . Fur n = 0 hat man speziell das leere Wort ( ). Sei RfXg := R(X1 ; : : : ; Xn ) der freie R {Modul

x 6 Ideale und Restklassenringe

80

uber der Menge aller Worter aus fXg2 . Man de niert die Multiplikation von Wortern durch Hintereinanderschreiben: (X1 ; : : : ; Xn ) (X1 ; : : : ; Xm ) := (X1 ; : : : ; Xn ; X1 ; : : : ; Xm ) 0

0

0

0

Dehnt man diese Multiplikation distributiv auf ganz RfX g aus, wobei die Multiplikation die Worter mit Elementen aus R vertauscht, so erhalt man eine assoziative R {Algebra mit dem Einselement ( ) und dem Strukturhomomorphismus : R ! RfX g ((r) = r ( ) fur r 2 R ). Fur ein Wort (X) mit nur einem Buchstaben schreiben wir auch einfach X . 6.36.Satz. (Universelle Eigenschaft der freien Algebra). Ist S=R eine beliebige assoziative R {Algebra und fag2 eine Familie von Elementen von S , so existiert

genau ein R {Homomorphismus : RfXg ! S mit (X ) = a fur alle 2 .

Beweis: Jedes f 2 RfX g besitzt eine eindeutige Darstellung f = r1 n X1 : : : Xn (r1 ;:::;n 2 R). Existiert , dann mu (f ) = r1 n a1 : : : an gelten. De niert man durch diese Formel, so ist

leicht zu sehen, da ein R {Homomorphismus ist. Das Bild von wird mit Rfa g2 bezeichnet. Es heit die von fa g2 erzeugte Unteralgebra von S=R . Nach dem Homomorphiesatz 6.11 hat man einen R {Isomorphismus (8)

Rfag = RfXg=I

wenn I der Kern von ist. 6.37.Definition. Die Familie fa g2 heit Erzeugendensystem von S=R , wenn

S = Rfa g gilt. Die Algebra S=R heit endlich erzeugt (oder von endlichem Typ), wenn es Elemente a1 ; : : : ; an 2 S gibt mit S = Rfa1 ; : : : ; ang . In diesem Fall hat man gema (8) einen R {Isomorphismus S = RfX1 ; : : : ; Xng=I Er heit eine Prasentation von S=R als Restklassenalgebra einer freien Algebra. Die (kommutative) Polynomalgebra R[fXg2] in einer Familie von Unbestimmten fX g2 hat die zu 6.36 analoge universelle Eigenschaft, wenn man dort nur Homomorphismen in kommutative Algebren betrachtet. Ist fa g2 eine Familie von Elementen aus einer kommutativen R {Algebra, so hat man analog zu (8) einen R {Isomorphismus (9) Rfag2 = R[fXg2]=I mit einem Ideal I R[fXg2]. Man schreibt in diesem Fall auch Rfag2 = R[fag2]

Algebren

81

Nach 6.36 hat man eine Prasentation

R[fX g2] = RfX g2=I Ist I 0 das von den Elementen X X X X (; 0 2 ) in RfXg erzeugte zweiseitige Ideal, so ist I 0 I , weil R[fXg] kommutativ ist. Aber RfXg=I 0 ist ebenfalls kommutativ und man hat nach der universellen Eigenschaft von R[fXg] einen surjektiven R {Homomorphismus R[fXg] ! RfX g=I 0 . Dann mu aber I 0 = I sein. Wir haben gezeigt: (10)

0

0

6.38.Bemerkung: In der Prasentation (10) ist I das von den Elementen X X X X erzeugte zweiseitige Ideal von RfXg2 . 0

0

Jede Algebra hat ein Erzeugendensystem, etwa das System aller ihrer Elemente. Insbesondere lat sich jeder kommutative Ring mit Eins in der Form

R = Z [fXg2 ]=I mit einem Ideal I Z [fXg2 ] prasentieren. Diese Tatsache kann man z.B. wie folgt anwenden: Hat man die Formeln der Determinantentheorie fur Determinanten mit Koezienten aus einem Korper bewiesen, so gelten alle Formeln, in denen keine Divisionen vorkommen, auch fur Determinanten mit Koezienten aus beliebigen kommutativen Ringen mit Eins. In der Tat: Sie gelten in Z [fX g]2 , weil dies ein Integritatsring ist und in seinem Quotientenkorper die Formeln gelten. Da man fur ein beliebiges R einen Ringepimorphismus Z [fX g] ! R hat, und die Bildung von Determinanten mit Ringhomomorphismen vertauschbar ist, gelten die Formeln somit auch in R . Eine kommutative Algebra S=R von endlichem Typ besitzt nach (9) eine Prasentation (11) S = R[X1; : : : ; Xn]=I durch eine Polynomalgebra in endlich vielen Variablen. 6.39.Satz. Ist S=R eine kommutative Algebra von endlichem Typ und ist R noe-

thersch, so ist auch S ein noetherscher Ring.

Beweis: Nach dem Hilbertschen Basissatz 6.6 ist R[X1 ; : : : ; Xn ] noethersch. Nach

(11) ist S ein Restklassenring von R[X1 ; : : : ; Xn] und daher ebenfalls noethersch. Speziell sind die Algebren endlichen Typs uber Korpern noethersch. Sie heien auch ane Algebren und spielen eine fundamentale Rolle in der algebraischen Geometrie auf Grund des Hilbertschen Nullstellensatzes, von dem im nachsten Paragraphen die Rede sein wird.

82 Ubungen:

x 6 Ideale und Restklassenringe

1) Sei R ein assoziativer Ring mit Eins, I R ein zweiseitiges Ideal. M (n n; R) sei der Ring aller n n {Matrizen mit Koezienten aus R , M (n n; I ) die Menge aller Matrizen mit Koezienten aus I . a) M (n n; I ) ist ein zweiseitiges Ideal von M (n n; R). b) Jedes zweiseitige Ideal aus M (n n; R) ist von der Form M (n n; I ) mit einem zweiseitigen Ideal I aus R . 2) Sei R ein (kommutativer) Integritatsring mit dem Quotientenkorper K . a) Fur a; b 2 R , b 6= 0 ist I = (a; b) genau dann ein Hauptideal, wenn es Elemente c; d 2 R mit d 6= 0 und Rc + Rd = R gibt, so da in K gilt: ab = dc . b) Ist in R jede absteigende Kette (a0 ) (a1 ) : : : von Hauptidealen stationar, so ist R ein Korper. c) Jeder euklidische Ring (vgl. x 4, Aufg. 17)) ist ein Hauptidealring. 3) Zeigen Sie fur einen kommutativen Ring R mit 1: a) Die nilpotenten Elemente von R (vgl. x 4, Aufg. 4)) bilden ein Ideal I und in R=I ist nur die Null nilpotent. b) Ist J ein Ideal von R , so ist auch RadJ := fa 2 R j an 2 J fur ein n 2 N g ein Ideal von R (Es heit das Radikal von J ). c) Fur welche Ideale J von Z gilt Rad(J ) = J ? 4) Sei R ein faktorieller Ring und x 2 R . Unter welchen Voraussetzungen uber x besitzt R=(x) Nullteiler, nilpotente Elemente 6= 0? 5) Ein Element e eines Rings R heit idempotent, wenn e2 = e ist. Zeigen Sie, da in einem assoziativen Ring R mit Eins gilt: a) Ist e 2 R idempotent, so auch e0 := 1 e . b) R1 := Re und R2 := Re0 sind Unterringe von R und es ist R = R1 R2 . 6) Ist R R ein zu C isomorpher Ring? 7) a) Wie viele Ideale besitzt Z =(n)? b) Wie viele Ideale besitzt ein Ring, der direktes Produkt von s Korpern ist? 8) Wie viele Einheiten besitzen die Ringe Z =(3)[X ] und Z =(4)[X ]? 9) a) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome aus F3 [X ] vom Grad 3. b) Reduzieren Sie das Polynom f = X 4 + 3X 3 + X 2 2X + 1 2 Z [X ] modulo 2 F2 zerfallt es in irreduzible Faktoren vom Grad 1 und 3. und modulo 3. Uber In F3 besitzt es keine Nullstelle. Folgern Sie, da f in Q [X ] irreduzibel ist. 10) Sei p eine Primzahl. Das Polynom f 2 Z [X ] sei modulo p irreduzibel und habe einen durch p nicht teilbaren Gradkoezienten. Das Polynom g 2 Z [X ] sei modulo p durch f unteilbar. Zeigen Sie, da fur m 2 N mit m deg f > deg g das Polynom f m + p g in Q [X ] irreduzibel ist.

U bungen

83

11) Sei K ein Korper der Charakteristik p und sei t ein groter gemeinsamer Teiler der Polynome

X 4 X 3 18X 2 + 52X 40; 4X 3 3X 2 36X + 52; 6X 2 3X 18 aus K [X ]. Es gilt

8 > <

X 2 fur p 2= f3; 7g t > (X 2)2 fur p = 7 : (X 2)3 fur p = 3 12) Zeigen Sie, da es genau 4 Isomorphieklassen von kommutativen Ringen mit 1 gibt, die genau 4 Elemente besitzen. Geben Sie fur jede Klasse einen Reprasentanten an. Wie viele Klassen von Ringen mit 3 Elementen gibt es? 13) Sei L=K eine Korpererweiterung. Es gebe ein x 2 L mit L = K [x]. Dann ist L=K algebraisch. 14) Der Quotientenkorper des Rings der Gauschen Zahlen Z + Z i ist zu Q [X ]=(X 2 +1) isomorph. 15) a) Ist das von X 2 + 2 in Z [X ] erzeugte Ideal ein Primideal (maximal)? b) Das von 3 und X 2 + 1 in Z [X ] erzeugte Ideal ist maximal. Geben Sie auch ein maximales Ideal von Z [X ] an, welches X 2 + X + 1 enthalt. 16) Bestimmen Sie den groten gemeinsamen Teiler der Polynome f := X 3 + 2X 2 2X 1 und g := X 2 + X 2 in Q [X ] und untersuchen Sie, ob (f; g) ein Hauptideal, ein Primideal, ein maximales Ideal von Q [X ] ist. 17) Jedes Ideal aus Z [X ], das eine Primzahl aus Z enthalt, wird von zwei (oder weniger) Elementen erzeugt. 18) Es sei I die Menge aller Polynome f 2 Q [X ] mit f (0) = 0 und f 0 (0) = 0. Zeigen Sie, da I ein Ideal von Q [X ] ist und geben Sie ein erzeugendes Element von I an. Ist I ein Primideal? 19) Sei R ein kommutativer Ring mit 1, in dem jedes Element idempotent ist. Es gilt: a) Char R = 2. b) E (R) = f1g . c) Fur alle p 2 Spec R ist R= p = F2 . Geben Sie zwei nichtisomorphe Ringe dieser Art an. 20) Sei K ein Korper und R die Menge der Matrizen aus M (2 2; K ), die mit der Matrix 01 21 vertauschbar sind. a) R ist ein Unterring von M (n n; K ) und R ist kommutativ. b) Es gibt ein f 2 K [X ], so da R = K [X ]=(f ). c) Fur K = Q und K = F3 ist R ein Korper, jedoch fur K = F11 nicht.

x 6 Ideale und Restklassenringe

84

21) Sei K ein Korper und R := K [X; Y ]=(X 3 ; Y 3; X 2 Y 2) der Restklassenring des Polynomrings K [X; Y ] nach dem von X 3; Y 3; X 2 Y 2 erzeugten Ideal. a) Welche Dimension hat R als K {Vektorraum? b) SpecpR besteht aus genau einem Element. p 22) In Z [ 5] werde das Ideal p := (2; 1 + 5) betrachtet. Zeigen Sie: a) p ist kein Hauptideal. p b) p ist ein Primideal und zwar das einzige Primideal von Z [ 5], das 2 umfat. 23) R sei ein kommutativer Ring mit folgender Eigenschaft: Fur jedes a 2 R gibt es ein n 2 N , n 2, so da an = a . Zeigen Sie: In R ist jedes Primideal maximal. 24) Ein kommutativer Ring R mit 1 heit lokal, wenn er genau ein maximales Ideal besitzt. Zeigen Sie: a) Genau dann ist R lokal, wenn die Nichteinheiten von R ein Ideal bilden. b) Ist R lokal, I 6= R ein Ideal, so ist auch R=I lokal. c) Ist in R jede Nichteinheit nilpotent, so ist R lokal. d) Ist R lokal, so sind 0 und 1 die einzigen idempotenten Elemente von R . e) Fur p 2 Spec R sei S := R n p . Dann ist der Quotientenring RS ein lokaler Ring. 25) Sei R ein kommutativer Ring mit 1, sei I R ein Ideal und " : R ! R=I der kanonische Epimorphismus. Zeigen Sie: a) Fur p 2 Spec R=I ( p 2 Max (R=I )) ist P := " 1( p ) ein Element von Spec R (von Max R ). b) Durch p 7! P wird eine Bijektion von Spec R=I (Max R=I ) auf die Menge der I umfassenden Primideale (maximalen Ideale) von R gegeben. c) Sei S := K [X; Y; Z ]=(XY Z 2) mit einem Korper K und seien x; z die Restklassen von X; Z in S . Dann ist p := (x; z) 2 Spec S . d) Ist R 6= f0g , so besitzt R[X ] unendlich viele Primideale. 26) Sei R der Ring aller \fast konstanten" Folgen uber einem Korper K , d.h.

R := f(xn )n2N j xn 2 K; es gibt ein n0 2 N ; so da xn+1 = xn fur n n0g wobei Addition und Multiplikation in R komponentenweise de niert sind. a) Zu jedem x 2 R gibt es ein u 2 E (R) mit x = x2u . b) Jedes endlich erzeugte Ideal I von R wird von einem idempotenten Element von R erzeugt. c) Die Menge M := f(xn ) 2 R j n90xn0 = xn0+1 = = 0g ist ein maximales Ideal von R , das nicht endlich erzeugt ist. d) Jedes von M verschiedene maximale Ideal von R wird von einem der Elemente e(n) := (1; : : : ; 1; 0; 1; : : : ) (0 an der n {ten Stelle) erzeugt.

U bungen

85

27) Ein Ideal I eines kommutativen Rings R heit primar, wenn in R=I jeder Nullteiler nilpotent ist. a) Fur ein Primarideal I ist Rad(I ) (vgl. Aufg. 3)) ein Primideal. b) Welches sind die Primarideale von Z ? 28) Sei K ein Korper und R=K eine Algebra mit d := dimK R < 1 . a) Alle p 2 Spec R sind maximale Ideale. b) R besitzt hochstens d maximale Ideale. 29) Fur den Ring R = Z =(420) bestimme man die Anzahl aller seiner a) Einheiten, b) Nullteiler, c) nilpotenten Elemente, d) idempotenten Elemente, e) Ideale, f) Primideale, g) maximalen Ideale. Ferner zeige man, da a := 191+(420) eine Einheit von Z =(420) ist und berechne a 1 . 30) Sei I das in Z [X ] von X 4 2X 3 + X 2 und X 6 2X 4 + X 2 2 erzeugte Ideal und R := Z [X ]=I . Wie viele Elemente besitzt R , wie viele Primideale, Einheiten, nilpotente Elemente? 31) Im Matrizenring M (2 2; Z ) betrachte man den Unterring R aller Matrizen der Form ab 0c (a; b; c 2 Z ). Bestimmen Sie alle zweiseitigen und alle maximalen Ideale von R und die Struktur der Restklassenringe R=I , die kommutativ sind. 32) Sei P := K [X0 ; X1; X2 ; : : : ] der Polynomring in den Unbestimmten Xn (n 2 N ) uber einem Korper K und I P das Ideal, das von X02 und Xn Xn2+1 (n 2 N ) erzeugt wird. Es bezeichne xn die Restklasse von Xn in R := P=I (n 2 N ) und m das von fxn gn2N in R erzeugte Ideal. a) Jedes r 2 m ist nilpotent. b) R= m = K und m ist das einzige Primideal von R . c) Die Einheiten von R sind die Elemente der Form + x mit 2 K nf0g , x 2 m . d) Jedes r 2 R lat sich in der Form r = u xn (u 2 E (R); n 2 N ; 2 N ) schreiben. e) Fur alle r; s 2 R gilt (r) (s) oder (s) (r). 33) Sei R := C0([0; 1]) der Ring der auf dem abgeschlossenen Intervall [0; 1] R stetigen reellwertigen Funktionen. Zeigen Sie: a) Fur jedes a 2 [0; 1] ist m a := ff 2 R j f (a) = 0g ein maximales Ideal von R . b) Jedes maximale Ideal von R ist von der Form m a fur ein a 2 [0; 1]. (Hinweis: Man verwende die Kompaktheit von [0; 1], um zu zeigen, da die Funktionen aus einem Ideal I 6= R von R eine gemeinsame Nullstelle besitzen). 34) Es soll gezeigt werden, da der Ring R := Q [X ]=((X 2 + 1)2 ) einen zu Q (i) isomorphen Korper K enthalt und zu K [Z ]=(Z 2) isomorph ist. Sei die Restklasse von X in R . a) Zur Konstruktion von K : Sei g 2 Q(i)[X ] ein Polynom mit g(i) = i , g0(i) = 0 und g( i) = g0( i) = 0. Sei h := g + g , wobei g aus g durch Ersetzen der Koezienten durch ihr Konjugiert-Komplexes entsteht. Dann ist h 2 Q [X ] und

x 6 Ideale und Restklassenringe

86

h i wird in Q (i)[X ] von (X i)2 geteilt. In Q [X ] wird h2 + 1 von (X 2 + 1)2 geteilt. Der Q {Homomorphismus Q [Y ] ! R mit Y 7! h() hat als Bild einen zu Q (i) isomorphen Korper K . b) Der K {Homomorphismus K [Z ] ! R mit Z 7! 2 + 1 ist surjektiv und besitzt den Kern (Z 2 ). 35) Bestimmen Sie alle x 2 Z , welche gleichzeitig die folgenden Kongruenzen losen 3x 7 mod 8; 4x 2 mod 9; 2x 1 mod 5 36) Sei P = f2; 3; 5; : : : g die Menge der rationalen Primzahlen. Fur eine naturliche Zahl n > 2 sei P n := fp 2 P j p ng . Betrachten Sie die Ringe

Rn :=

Q

p2P n

Fp

und R :=

Q

p2P

Fp

Der kanonische Epimorphismus Z ! Z =p Z =: Fp induziert Ringhomomorphismen 'n : Z ! Rn (x 7! (x mod p)p2P n ) ': Z ! R (x 7! (x mod p)p2P ) a) Zeigen Sie, da 'n surjektiv, aber nicht injektiv ist, und da ' injektiv, aber nicht surjektiv ist. b) Sei I R die Menge aller Folgen (ap )p2P mit der Eigenschaft: Es gibt ein n 2 N , so da ap = 0 fur alle p > n . Zeigen Sie, da I ein Ideal von R ist. c) Sei R := R=I und ' : Z ! R die Zusammensetzung von ' : Z ! R mit dem kanonischen Epimorphismus R ! R . Zeigen Sie, da ' injektiv, aber nicht surjektiv ist. 37) Fur den Polynomring R := Z =(6)[X ] hat man einen Ringisomorphismus R = F2 [X ] F3[X ]. 38) Sei a eine zu 10 teilerfremde ganze Zahl. Unendlich viele der Zahlen 1; 11; 111; 1111; : : : sind durch a teilbar. 39) 30 teilt n5 n fur alle n 2 Z . 40) Eine Kongruenz aX + bY c mod(n) mit a; b; c 2 Z , n 2 N + ist genau dann losbar, wenn ggT(a; b; n) ein Teiler von c ist. 41) Gibt es rationale Zahlen a; b mit a2 + b2 = 1988? 42) a) Welche Lange hat die Periode des Dezimalbruchs von n1 , wenn n := 1 + 10m (m 2 N ) ist? b) Wie lautet die letzte Zier in der 12{adischen Darstellung von 21000 ? 43) Fur teilerfremde Zahlen m1 ; m2 2 N + ist '(m1 m2 ) = '(m1) '(m2 ). Bestimmen Sie alle m 2 N + , fur die '(m) ein Teiler von m ist. Fur welche m ist '(m) ungerade? Zeigen Sie, da nlim !1 '(n) = 1 ist.

U bungen

87

44) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, (e1; : : : ; en) die Standardbasis des freien R {Moduls Rn . Fur jeden R {Modul M mit einem Erzeugendensystem fm1; : : : ; mng gibt es genau eine surjektive R {lineare Abbildung ' : Rn ! M mit '(ei ) = mi (i = 1; : : : ; n). Es ist M = Rn=U mit U := ker ' . ( U heit der Relationenmodul von fm1; : : : ; mng . Ist fug2 ein Erzeugendensystem von U und u = (r1 ; : : : ; rn ) ( 2 ), so heit die Matrix A = (ri )2;i=1;:::;n eine Relationenmatrix von M bzgl. fm1; : : : ; mng ). 45) Unter den Voraussetzungen von 44) sei k 2 N , 1 k n gegeben. Fur 1; : : : ; k 2 , i1; : : : ; ik 2 f1; : : : ; ng bezeichne (1 ; : : : ; k ; i1 ; : : : ; ik ) die Unterdeterminante von A , die aus den Elementen der Zeilen mit den Indizes 1; : : : ; k und der Spalten mit den Indizes i1 ; : : : ; ik gebildet wird. Ferner sei Fn k := (f(1 ; : : : ; k ; i1 ; : : : ; ik )g1 ;:::;k2;i1 ;:::;ik 2f1;:::;ng) das von diesen Unterdeterminanten in R erzeugte Ideal und Fm := R fur m n . a) Es gilt F0 F1 Fn 1 Fn = R = (Hinweis: Entwicklung von Determinanten nach Zeilen). b) Fm (m 2 N ) hangt nicht von der speziellen Wahl einer Relationenmatrix A von M bzgl. fm1; : : : ; mng ab. (Hinweis: Multilinearitat der Determinante). c) Fm (m 2 N ) hangt nicht ab von der speziellen Wahl eines Erzeugendensystems fm1; : : : ; mng von M . (Hinweis: Es genugt von fm1; : : : ; mng zum Erzeugendensystem fm1; : : : ; mn; xg mit einem (an und fur sich uber ussigen) Element x = ri mi aus M uberzugehen. Betrachten Sie fur fm1; : : : ; mn; xg die Relationenmatrix r1 ; : : : ; rn 1 A 0 und ihre Unterdeterminanten). Die Ideale Fm (M ) := Fm (m 2 N ) heien die Fittingideale (oder Fittinginvarianten) von M . 46) Sei M = R=("1 ) R=("n ) mit Hauptidealen ("1 ) ("2 ) ("n ) aus R . Bestimmen Sie die Fittingideale von M . 47) Sei I das zweiseitige Ideal, das in der freien Algebra RfXg von allen Elementen der Form `2 mit ` 2 RX erzeugt wird. Die Restklassenalgebra RhfX gi := RfX g=I heit freie alternierende Algebra in den Unbestimmten X . Die Restklassen X + I werden wieder mit X bezeichnet. a) In RhfX gi gilt X X = X X fur alle und 0 . b) Universelle Eigenschaft von RhfX gi=R : Ist S=R eine beliebige assoziative Algebra und fag eine Familie von Elementen aus S mit a2 = 0 fur alle a 2 Ra , so existiert genau ein R {Homomorphismus : RhfX gi ! S mit (X ) = a fur alle . c) Die Elemente Xi1 : : : Xip (1 i1 < < ip n; p = 0; : : : ; n) bilden eine Basis von RhfX1 ; : : : ; Xn gi als R {Modul. 0

0

88 x 7.

Fortsetzung der K orpertheorie

Wir wollen jetzt die in x 3 begonnene Korpertheorie weiterfuhren und dabei die in x 6 gewonnenen Erkenntnisse u ber Restklassenringe verwenden. Zunachst werden einige schon in x 3 bewiesene Tatsachen in etwas allgemeinerem Rahmen wiederholt, da sich dies im Zusammenhang mit dem Hilbertschen Nullstellensatz auszahlt. In einem systematischen Aufbau der Algebra nach dem Schema \Gruppen-Ringe-Korper" kann man die Korpertheorie gleich so wie hier beginnen. Ein weiterer Hauptsatz des Paragraphen ist ein Satz von Steinitz, welcher besagt, da jeder Korper K einen algebraischen Abschlu besitzt, in dem alle Polynome aus K [X ] in Linearfaktoren zerfallen, der also alle Losungen algebraischer Gleichungen u ber K enthalt. Diese Losungsmengen zu verstehen ist ja unser in x 2 erklartes Ziel.

7.I. Ganze Ringerweiterungen

Unter einem Ring wollen wir hier immer einen kommutativen Ring mit 1 verstehen. Ein Ringhomomorphismus : R ! S soll stets 1R in 1S abbilden. Insbesondere ist fur eine Ringerweiterung R S die Eins von R auch das Einselement von S . Es sei jetzt eine solche Erweiterung gegeben, fur die wir auch S=R schreiben. 7.1.Definition: x 2 S heit ganz u ber R , wenn es ein normiertes Polynom

f 2 R[X ] gibt, so da f (x) = 0 ist. S=R heit ganze Ringerweiterung, wenn jedes x 2 S uber R ganz ist. Wenn S=R eine Korpererweiterung ist, so ist x 2 S genau dann ganz uber R , wenn es algebraisch uber R ist. Fur f kann in diesem Fall das Minimalpolynom von x uber R genommen werden. Eine Korpererweiterung ist genau dann eine ganze Ringerweiterung, wenn sie algebraisch ist. 7.2.Beispiel: Die u ber Z ganzen Elemente von C heien

ganze algebraische

Zahlen. Sie sind naturlich insbesondere auch algebraische Zahlen. 7.3.Satz. Sei R ein Ring, f

2 R[X ] ein normiertes Polynom vom Grad n > 0,

sei S := R[X ]=(f ) der Restklassenring von R[X ] nach dem Hauptideal (f ) und x die Restklasse von X in S . Es bezeichne " den kanonischen Epimorphismus " : R[X ] ! S . Dann gilt: " a) Die kanonische Abbildung R ! R[X ] ! S ist injektiv, S kann also als Erweiterungsring von R betrachtet werden. b) x ist eine Nullstelle von f . c) x ist ganz uber R und (1; x; : : : ; xn 1) ist eine Basis von S als R {Modul:

S = R Rx Rxn

1

Ganze Ringerweiterungen Beweis: a) Fur r

89

2 R ist das Bild von r in S die Restklasse r + (f ). Wenn sie

verschwindet, ist f ein Teiler von r . Wegen deg f > 0 und weil f normiert ist, ist dies nur fur r = 0 moglich, woraus die Injektivitat der Abbildung folgt. b) Fat man nun R als Unterring von S auf, so ist "(g) = g(x) fur jedes g 2 R[X ]. Da f 2 ker " ist, erhalt man f (x) = 0. c) Da f normiert war, ist x ganz uber R . Jedes s 2 S ist Restklasse eines Polynoms g 2 R[X ]. Man kann g durch das normierte Polynom f mit Rest teilen:

g = q f +r

(q; r 2 R[X ]; deg r < n)

Im Restklassenring S erhalt man dann eine Gleichung

s = g(x) = r(x) =

nP1 i=0

ixi

(0; : : : ; n 1 2 R)

Somit ist f1; x; : : : ; xn 1 g ein Erzeugendensystem von S als R {Modul. Dieses ist aber auch linear unabhangig, denn aus

0 + 1x + + n 1 xn 1 = 0

(0 ; : : : ; n 1 2 R)

ergibt sich, da h := 0 + 1X + + n 1X n 1 2 ker " . Dann wird h aber von f geteilt. Weil f normiert ist und deg f > deg h gilt, folgt 0 = = n 1 = 0. Damit ist S = R Rx Rxn 1 gezeigt. 7.4.Korollar. Sei S=R eine Ringerweiterung, x 2 S ein u ber R ganzes Element

und f 2 R[X ] ein normiertes Polynom vom Grad n mit f (x) = 0. Dann existiert ein R {Epimorphismus

R[X ]=(f ) ! R[x] Ferner ist

mit X + (f ) 7! x

R[x] = R + Rx + + Rxn 1 d.h. R[x] wird als R {Modul von f1; x; : : : ; xn 1g erzeugt. Beweis: Da f im Kern des Einsetzungshomomorphismus R[X ] ! R[x] (X 7! x) enthalten ist, wird nach dem Homomorphiesatz ein R {Epimorphismus R[X ]=(f ) ! R[x] induziert. Nach 7.3 bilden die Restklassen von 1; X; : : : ; X n 1 in R[X ]=(f ) eine Basis dieses Rings als R {Modul. Daher ist f1; x; : : : ; xn 1 g gewi ein Erzeugendensystem von R[x] als R {Modul. Die Ganzheit eines Elements lat sich wie folgt charakterisieren:

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

90

7.5.Satz. Sei S=R eine Ringerweiterung. Fur x 2 S sind folgende Aussagen aquiva-

lent: a) x ist ganz uber R . b) R[x] ist als R {Modul endlich erzeugt. c) Es gibt einen Unterring S 0 S mit R[x] S 0 , so da S 0 als R {Modul endlich erzeugt ist. Beweis: Nach 7.4 ist nur noch c) ! a) zu zeigen. Sei fw1 ; : : : ; w` g ein Erzeugendensystem von S 0 als R {Modul. Man hat Gleichungen

xwi =

`

P

k=1

ik wk

(i = 1; : : : ; `)

mit gewissen ik 2 R . A quivalent hiermit ist das System (1)

`

P

(xik ik )wk = 0

k=1

(i = 1; : : : ; `)

Nach der Cramerschen Regel ist wj det(xik ik ) = 0 (j = 1; : : : ; `). Ferner hat man in S 0 eine Gleichung 1=

`

P

j =1

aj wj

(aj 2 R)

und aus (1) erhalt man det(xik ik ) =

`

P

j =1

aj (wj det(xik ik )) = 0

Die Determinante (das charakteristische Polynom der Matrix (ik )) det(xik

x 11 12 21 x 22 ik ) = .. .. . . `1 `2

1` 2` .. ... . x ``

ist von der Form x` + g(x) mit einem Polynom g 2 R[X ] vom Grad < ` . Damit hat man ein normiertes Polynom gefunden, das x als Nullstelle besitzt, q.e.d. 7.6.Korollar. Ist S als R {Modul endlich erzeugt, so ist S=R eine ganze Ringer-

weiterung.

Ganze Ringerweiterungen 7.7.Korollar. Sind x1 ; : : : ; xn

91

2 S ganz uber R , so ist R[x1 ; : : : ; xn ] ein endlich

erzeugter R {Modul, und insbesondere ist R[x1 ; : : : ; xn]=R eine ganze Ringerweiterung. Beweis: Nach 7.4 gilt R[x1 ] = R + Rx1 + + Rx11 1 mit einem gewissen 1 2 N .

Es sei fur ein i < n schon gezeigt, da

R[x1 ; : : : ; xi ] =

(2)

P

0j <j

Rx1 1 xi i

mit gewissen j 2 N (j = 1; : : : ; i). Da xi+1 ganz uber R ist, ist es auch ganz uber R[x1 ; : : : ; xi ], folglich gilt i+1 R[x1 ; : : : ; xi+1 ] = R[x1 ; : : : ; xi ] + R[x1 ; : : : ; xi ]xi+1 + + R[x1 ; : : : ; xi ]xi+1

1

mit einem gewissen i+1 2 N und es ergibt sich (2) fur i + 1. Durch Induktion folgt, da R[x1 ; : : : ; xn ] als R {Modul ein Erzeugendensystem der Form

fx1 1 xnn j 0 i < i; i = 1; : : : ; ng besitzt. 7.8.Korollar. (Transitivitat der Ganzheit). Sind S=R und T=S ganze Ringerwei-

terungen, so ist auch T=R eine ganze Ringerweiterung. Diese Aussage gilt speziell fur algebraische Korpererweiterungen. Beweis: x 2 T genugt einer \Ganzheitsgleichung" u ber S :

(3)

xn + s1 xn 1 + + sn = 0

(si 2 S; i = 1; : : : ; n)

Da s1; : : : ; sn ganz uber R sind, ist R[s1 ; : : : ; sn ] nach 7.7 als R {Modul endlich erzeugt. Wegen (3) ist x uber R[s1 ; : : : ; sn ] ganz und somit R[s1 ; : : : ; sn ; x] als R[s1 ; : : : ; sn ]{Modul endlich erzeugt. Dann ist aber R[s1 ; : : : ; sn; x] auch als R {Modul endlich erzeugt und aus 7.5 folgt, da x uber R ganz ist, q.e.d. 7.9.Korollar. Die Menge R aller u ber R ganzen Elemente von S ist ein Unterring

von S mit R R .

Beweis: Fur x; y 2 R ist R[x; y ] nach 7.7 als R {Modul endlich erzeugt, folglich ist

R[x; y] R und daher x + y 2 R , x y 2 R und xy 2 R . Es folgt, da R ein Unterring von S ist.

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

92

7.10.Definition: Der Ring R aller u ber R ganzen Elemente von S heit die ganz-

abgeschlossene Hulle von R in S (oder der ganze Abschlu von R in S ). Der Ring R heit ganzabgeschlossen in S , wenn R = R ist. Es ist klar, da R stets ganzabgeschlossen in S ist (7.8).

7.11.Beispiel: Die ganzen algebraischen Zahlen bilden einen Unterring Z im Korper

Q aller algebraischen Zahlen. Ist L=Q ein beliebiger algebraischer Zahlenkorper, so heit die ganzabgeschlossene Hulle von Z in L der Ring S der ganzen algebraischen Zahlen von L . Es ist S = Z \ L . Die Ringe S sind ein Hauptgegenstand der algebraischen Zahlentheorie. 7.12.Korollar. Sei S = R[fx g2 ], wobei die x fur alle

sind. Dann ist S=R eine ganze Ringerweiterung.

2 ganz uber R

Beweis: Es ist R[fx g2 ] R , da R ein Unterring von S mit x

2 R ( 2 )

ist. Somit ist S = R und S=R ist ganz. Ist L=K eine Korpererweiterung und S ein Unterring von L mit K S , der uber K ganz (also algebraisch) ist, so ist S sogar ein Teilkorper von L . Dies zeigt man mit der Formel (2) aus x 3. Mit diesem Zusatz ergeben sich einige Aussagen aus x 3 uber algebraische Korpererweiterungen sofort als Spezialfalle unserer jetzigen Satze uber ganze Ringerweiterungen.

7.II. Endlich erzeugte Korpererweiterungen Im folgenden sei L=K eine Korpererweiterung.

7.13.Definition: L=K heit

endlich erzeugt (von endlichem Typ), wenn es

Elemente x1 ; : : : ; xn 2 L gibt mit L = K (x1 ; : : : ; xn). Man sagt dann auch, L sei ein algebraischer Funktionenkorper uber K und fx1 ; : : : ; xng sei ein Erzeugendensystem von L=K . Es ist klar, da jede endliche Korpererweiterung auch von endlichem Typ ist (3.14). 7.14.Satz. Sei L = K (x1 ; : : : ; xn ) ein algebraischer Funktionenkorper. Ist L=K

algebraisch, so entsteht L aus K durch Ringadjunktion von x1 ; : : : ; xn : L = K [x1 ; : : : ; xn ] und es ist [L : K ] < 1 .

Beweis: Wenn L=K algebraisch ist, dann ist speziell x1 u ber K algebraisch und

daher K (x1 ) = K [x1 ] nach 3.9. Da auch L=K [x1] algebraisch ist, folgt sofort L = K [x1 ; : : : ; xn] mittels Induktion nach n . Da [L : K ] < 1 ist, ergibt sich aus 3.14 oder 7.7. Wir zeigen nun, da zu 7.14 auch die Umkehrung richtig ist:

Algebraische Abschlieung

93

7.15.Theorem. (Korpertheoretische Form des Hilbertschen Nullstellensatzes). Gibt

es Elemente x1 ; : : : ; xn 2 L , so da L = K [x1; : : : ; xn ] ist, dann ist L=K algebraisch. Beweis: Fur n = 0 ist der Satz trivial. Sei nun n = 1. Ware x1 transzendent, so

ware L = K [x1 ] K {isomorph zum Polynomring K [X ]. Dieser ist aber kein Korper, denn z.B. besitzt X kein Inverses in K [X ]. Somit ist x1 uber K algebraisch und daher auch L=K . Sei nun n > 1, und sei der Satz fur Korpererweiterungen schon bewiesen, die durch Ringadjunktion von n 1 Elementen entstehen. Zunachst ergibt sich aus L = K [x1 ; : : : ; xn ] = K (x1 )[x2 ; : : : ; xn ], da L=K (x1 ) algebraisch ist. Wir fuhren die Annahme, x1 sei transzendent uber K , zu einem Widerspruch. Wenn x1 uber K transzendent ist, so hat man einen K {Isomorphismus K (x1 ) = K (X ) auf den rationalen Funktionenkorper K (X ) = Q(K [X ]). Die xi (i = 2; : : : ; n) sind algebraisch uber K (x1 ) und genugen daher Gleichungen

uixni i + ri1 xni i 1 + + rini = 0

n

mit ui; ri1 ; : : : ; rini 2 K [x1 ], ui 6= 0 (i = 2; : : : ; n). Sei u := ui . Dann zeigen die i=2 Gleichungen Q Q ri1 uj rini uj xni i + ju6=i xni i 1 + + ju6=i = 0 Q

da die xi (i = 2; : : : ; n) ganz uber K [x1 ; u 1] sind. Nach 7.7 ist L ganz uber K [x1 ; u 1]. Sei p ein irreduzibles Polynom aus K [x1], welches u nicht teilt. Da K [x1 ] unendlich viele paarweise nichtassoziierte Primpolynome besitzt (Euklid), gibt es ein solches p . Da L ganz uber K [x1 ; u 1] ist, genugt 1p einer Ganzheitsgleichung ( 1p )m + a1( 1p )m 1 + + am = 0

(m > 0; ai 2 K [x1 ; u 1]; i = 1; : : : ; m)

Multipliziere diese Gleichung mit pm und einer geeigneten Potenz von u , so da die Nenner der ai beseitigt werden. Dann erhalt man eine Gleichung

u + b1 p + + bm pm = 0

(b1 ; : : : ; bm 2 K [x1])

und es folgt p j u , somit p j u , im Widerspruch zur Wahl von p . Daher mu x1 uber K algebraisch sein, und folglich ist nach 7.8 auch L=K algebraisch. Das Theorem ist damit bewiesen. Im nachsten Abschnitt werden wir seine Interpretation als einen Nullstellensatz kennenlernen. In dieser Form ist das Theorem eine wichtige Grundlage der algebraischen Geometrie.

94

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

7.III. Die algebraische Abschlieung eines Korpers Ein Korper K heit bekanntlich algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom f 2 K [X ] eine Nullstelle in K besitzt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist C algebraisch abgeschlossen. Weitere Beispiele liefert

7.16.Lemma. Sei L=K eine Korpererweiterung, wobei L algebraisch abgeschlossen

ist. Ferner sei K die algebraische Abschlieung von K in L , d.h. die Menge aller uber K algebraischen Elemente von L . Dann ist K algebraisch abgeschlossen. Beweis: Ist f

2 K [X ] nicht konstant, so hat es in L eine Nullstelle x . Dieses

Element ist algebraisch uber K , also auch uber K (7.8), und somit gehort es bereits zu K . Fur jeden Teilkorper K C ist also der algebraische Abschlu K von K in C ein algebraisch abgeschlossener Korper. Speziell ist der Korper Q aller algebraischen Zahlen algebraisch abgeschlossen. 7.17.Satz. Fur einen Korper K sind folgende Aussagen aquivalent:

a) K ist algebraisch abgeschlossen. b) Die irreduziblen Polynome aus K [X ] sind die Polynome vom Grad 1. c) Jedes f 2 K [X ] n f0g besitzt eine eindeutige Darstellung

f = c (X a1 )1 : : : (X ar )r mit c 2 K ; a1; : : : ; ar 2 K; ai 6= aj fur i 6= j; 1; : : : ; r 2 N + d) Ist L ein algebraischer Erweiterungskorper von K , so ist L = K .

! b) Ist f 2 K [X ] irreduzibel, so besitzt f eine Nullstelle a 2 K . Schreibe f = q (X a) + r mit q 2 K [X ], r 2 K . Setzt man X = a , so sieht man, Beweis: a)

da r = 0 ist. Wegen der Irreduzibilitat mu deg f = 1 sein. b) ! c) folgt aus dem Satz von der eindeutigen Faktorzerlegung in K [X ]. c) ! d) Ist L/K algebraisch und a 2 L , so ist das Minimalpolynom von a uber K irreduzibel. Nach c) mu es die Form X a besitzen und folglich a 2 K sein. d) ! a) Es genugt zu zeigen, da jedes irreduzible Polynom f aus K [X ] eine Nullstelle in K besitzt. Es ist L := K [X ]=(f ) ein algebraischer Erweiterungskorper von K , folglich gilt L = K . Ist x := X + (f ) die Restklasse von X in L = K , so gilt f (x) = 0 und es ist gezeigt, da f eine Nullstelle in K besitzt. In 7.17c) sind a1 ; : : : ; ar gerade die verschiedenen Nullstellen von f in K . Man nennt sie auch die Wurzeln von f . Die Zahl j heit die Vielfachheit (oder Multiplizitat) der Wurzel aj (j = 1; : : : ; r). Sei nun K ein beliebiger Korper. Wir fragen, ob K in einen algebraisch abgeschlossenen Korper "eingebettet" werden kann.

Fortsetzung von Homomorphismen

95

7.18.Definition: Ein Erweiterungskorper K von K heit algebraische Abschlie-

ung von K , wenn gilt:

a) K=K ist algebraisch. b) K ist algebraisch abgeschlossen. Beispielsweise ist C eine algebraische Abschlieung von R und Q von Q . Im Unterschied zur relativen algebraischen Abschlieung eines Korpers in einem Erweiterungskorper handelt es sich hier um einen \absoluten" Begri, da nicht vorausgesetzt wurde, da K in einem (groeren) Korper enthalten ist. Wenn man den Korper K in einen algebraisch abgeschlossenen Korper L einbetten kann, dann ist die (relative) algebraische Abschlieung K von K in L nach 7.6 schon eine (absolute) algebraische Abschlieung von K . Wie der nachste Satz zeigen wird, enthalt eine algebraische Abschlieung von K bis auf Isomorphie alle algebraischen Erweiterungskorper von K , die somit durch eine algebraische Abschlieung unter ein gemeinsames Dach gebracht werden. 7.19.Satz. Sei K eine algebraische Abschlieung von K . Ferner sei L=K eine

algebraische Korpererweiterung und Z ein Zwischenkorper von L=K . Es existiere ein K {Homomorphismus ' : Z ! K . Dann lat sich ' auf L fortsetzen, d.h. es existiert ein K {Homomorphismus : L ! K mit jZ = ' . Beweis: Wir schlieen mit dem Zornschen Lemma und betrachten dazu die Menge M aller Paare (L0 ; '0), wobei L0 ein Zwischenkorper von L=Z ist und '0 : L0 ! K ein K {Homomorphismus mit '0 jZ = ' . Die Menge M ist nicht leer, da (Z; ') zu

M gehort. Fur zwei Elemente (L0 ; '0 ) und (L00 ; '00 ) aus M soll (L0 ; '0 ) (L00 ; '00 ) genau dann gelten, wenn L0 L00 und '00 jL0 = '0 . Hierdurch wird auf M eine partielle Ordnung de niert.S Ist f(L ; ')g2 eine vollstandig geordnete Familie aus M , so setzen wir L~ := L . Es ist dann klar, da L~ ein Zwischenkorper von L=Z ist. 2 ~ Zu jedem x 2 L gibt es ein 2 mit x 2 L . Wir setzen '~(x) := '(x). Dann ist '~(x) unabhangig von der Wahl von 2 mit x 2 L und man sieht leicht, da '~ ein K {Homomorphismus von L~ in K ist mit '~ jL = ' fur alle 2 . Damit ist (L~ ; '~) eine obere Schranke von f(L; ')g . Nach dem Zornschen Lemma besitzt M ein maximales Element (L ; ' ). Wir wollen zeigen, da L = L gilt. Ware L 6= L , so gabe es ein x 2 L n L . Sei f 2 L [X ] das Minimalpolynom von x uber L und g 2 K [X ] das Polynom, das man erhalt, wenn man ' auf die Koezienten von f anwendet. g besitze die Nullstelle y 2 K . Die Abbildung : L [X ] ! K mit

(ai X i) = ' (ai )yi

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

96

ist ein K {Homomorphismus mit (f ) = 0. Da f irreduzibel ist, mu Kern( ) = (f ) sein und somit wird nach dem Homomorphiesatz ein K {Homomorphismus : L [X ]=(f ) ! K mit jL = ' induziert. Nun ist aber L [X ]=(f ) zu L [x] L {isomorph und man kann daher als einen K {Homomorphismus : L [x] ! K mit jL = ' ansehen. Es folgt (L ; ' ) < (L [x]; ), im Widerspruch zur Maximalitat von (L ; ' ) in M . Folglich mu L = L sein und der Satz ist gezeigt. Wendet man den Satz mit Z = K und der kanonischen Injektion ' : K ! K an, so erhalt man, da jeder algebraische Erweiterungskorper von K in K eingebettet werden kann: 7.20.Korollar. Fur jeden algebraischen Erweiterungskorper L von K existiert ein

K {Homomorphismus : L ! K (der naturlich injektiv ist). Ferner ergibt sich die Eindeutigkeit der algebraischen Abschlieung bis auf K {Isomorphie: 7.21.Korollar. Sind K und K 0 algebraische Abschlieungen von K , so existiert ein K {Isomorphismus K e! K 0 . Beweis: Nach 7.20 existiert ein K {Homomorphismus : K ! K 0 . Mit K ist auch (K ) algebraisch abgeschlossen, ferner ist K 0=(K ) algebraisch. Nach 7.17d) ist K 0 = (K ) und somit ein Isomorphismus.

Wir sprechen in Zukunft von der algebraischen Abschlieung von K . Da sie stets existiert, wird nun gezeigt. 7.22.Theorem. (Steinitz 1910) Zu jedem Korper K gibt es eine algebraische Ab-

schlieung K von K .

Beweis: (nach E.Artin). Sei die Menge aller nichtkonstanten Polynome f

2 K [X ].

Fur jedes f 2 wahlt man eine Unbestimmte Xf und bildet den Polynomring P := K [fXf gf 2 ] in all diesen Variablen. In P kommen insbesondere die Polynome f (Xf ) vor, die sich durch Ersetzen von X durch Xf aus f ergeben. Sei I das von allen f (Xf ) fur f 2 in P erzeugte Ideal. a) Wir zeigen zuerst, da I 6= P ist. Ware 1 2 I , so konnte man schreiben n P (4) 1 = gifi (Xfi ) (gi 2 P ) Wir benutzen nun

i=1

Algebraische Abschlieung eines Korpers

97

7.23.Lemma. f1 ; : : : ; fn 2 K [X ] seien nicht konstant. Dann gibt es einen Erweite-

rungskorper L=K , so da jedes fi in L eine Nullstelle xi besitzt (i = 1; : : : ; n). Es genugt, dies fur n = 1 zu zeigen (Induktion). Ferner kann man annehmen, da f1 irreduzibel ist, indem man einfach einen irreduziblen Faktor von f1 hernimmt. Dann ist L := K [X ]=(f1) ein Erweiterungskorper von K und x1 := X + (f1 ) eine Nullstelle von f1 in L . Fur die in (4) auftretenden Polynome f1 ; : : : ; fn wahlen wir nach dem Lemma Nullstellen x1 ; : : : ; xn in einem geeigneten Erweiterungskorper von L . Setzen wir in (4) jeweils fur Xfi die Werte xi ein und setzen alle sonst noch auftretenden Unbestimmte = 0, so ergibt sich 1 = 0, ein Widerspruch. Somit ist I 6= P . b) Als nachstes konstruieren wir einen algebraischen Erweiterungskorper E1 von K , in dem jedes f 2 eine Nullstelle besitzt. Nach 6.25 gibt es ein M 2 Max P mit I M . Sei E1 := P= M . Dies ist ein Korper, wegen K P sogar ein Erweiterungskorper von K . Da P uber K von den Unbestimmten Xf erzeugt wird, wird E1 als K {Algebra von den Bildern xf := Xf + M erzeugt. Da I M ist, gilt f (xf ) = 0 in E1 , und es ergibt sich aus 7.12, da E1=K algebraisch ist. Es ist auch schon gezeigt, da jedes f 2 eine Nullstelle in E1 besitzt, namlich xf . Allerdings ist nicht klar, ob E1 schon algebraisch abgeschlossen ist. (Nachtraglich kann man dies jedoch zeigen, s. x 12, Aufg. 17. Diesen Hinweis verdanke ich Herrn Hironobu Maeda, Tokio.) c) Wir wiederholen das Verfahren, das von K zu E1 fuhrte, und konstruieren eine aufsteigende Kette von Korpern

K = E0 E1 E2 En : : : auf folgende Weise: Ist En schon konstruiert, so ergibt sich En+1 aus En mit Hilfe der nichtkonstanten Polynome aus En[X ] in analoger Weise wie E1 aus K . Insbesondere ist En+1=En algebraisch und jedes nichtkonstante Polynom aus En[X ] besitzt eine Nullstelle in En+1 . 1 S Setze nun K := En . Dann ist K in naheliegender Weise ein Korper. Da die n=0 En=En 1 (n 2 N +) algebraische Korpererweiterungen sind, sind die En=K algebraisch (7.8), und damit ist K=K algebraisch. Sei nun f 2 K [X ] nicht konstant. Da f nur endlich viele Koezienten 6= 0 besitzt, existiert ein n 2 N , so da f 2 En[X ]. Da f in En+1 eine Nullstelle besitzt, ist gezeigt, da jedes nichtkonstante f 2 K [X ] eine Nullstelle in K besitzt, d.h. da K algebraisch abgeschlossen ist, q.e.d. Im folgenden sei K die algebraische Abschlieung von K . Ein nichtkonstantes Polynom f 2 K [X ] hat nur endlich viele Wurzeln in K und zerfallt daher schon in einem endlichen Erweiterungskorper von K in Linearfaktoren. Das fuhrt uns zu folgendem Begri:

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

98

7.24.Definition: Ein Zerfallungskorper von f u ber K ist ein Erweiterungskorper

L von K mit folgenden Eigenschaften: a) f zerfallt in L[X ] in Linearfaktoren. b) Sind x1 ; : : : ; xn die Nullstellen von f in L , so ist L = K [x1; : : : ; xn ].

Aus dem Studium der Zerfallungskorper erhoen wir uns Erkenntnisse uber die Losungsmengen algebraischer Gleichungen. Der Grad des Zerfallungskorpers uber K kann als ein Ma fur die Kompliziertheit des Polynoms betrachtet werden. 7.25.Satz. a) Jedes nichtkonstante f

2 K [X ] besitzt einen Zerfallungskorper.

b) Je zwei Zerfallungskorper von f sind K {isomorph. c) Ist L ein Zerfallungskorper von f und deg f =: n , so ist [L : K ] n! Beweis:

a) Adjungiere die Nullstellen von f in K zu K . b) Sei L0 ein beliebiger Zerfallungskorper von f . Da L0 =K algebraisch ist, gibt es nach 7.19 einen K {Homomorphismus : L0 ! K . Da (L0 ) uber K von den Nullstellen von f in K erzeugt wird, ist (L0 ) der in a) betrachtete Zerfallungskorper. Es ergibt sich die Behauptung. c) Ist x1 eine Nullstelle von f , so ist [K [x1] : K ] n , da das Minimalpolynom von x1 uber K hochstens den Grad n besitzt. Ferner ist f = (X x1) g mit einem g 2 K [x1 ][X ] vom Grad n 1. Da L ein Zerfallungskorper von g uber K [x1 ] ist, kann durch Induktion angenommen werden, da [L : K [x1 ]] (n 1)! gilt. Dann ist aber [L : K ] = [L : K [x1 ]] [K [x1 ] : K ] (n 1)! n = n!. Wir kommen nun zum Hilbertschen Nullstellensatz in der idealtheoretischen Form. Fur K = C ist er eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra. 7.26.Theorem. Jedes Ideal I K [X1 ; : : : ; Xn ] mit I 6= K [X1 ; : : : ; Xn ] besitzt eine

Nullstelle in K n , d.h. es gibt ein (x1 ; : : : ; xn) 2 K n , so da

f (x1 ; : : : ; xn ) = 0 fur jedes f 2 I Beweis: Da I in einem maximalen Ideal enthalten ist (6.25), kann man gleich an-

nehmen, da I maximal ist. Dann ist L := K [X1 ; : : : ; Xn ]=I ein Korper. Er entsteht aus K durch Ringadjunktion der Restklassen xi := Xi + I (i = 1; : : : ; n). Nach der korpertheoretischen Form des Hilbertschen Nullstellensatzes (7.15), ist L=K algebraisch. Nach 7.20 kann K L K angenommen werden, also xi 2 K (i = 1; : : : ; n). Der K {Homomorphismus

K [X1; : : : ; Xn ] ! K

(g 7! g(x1 ; : : : ; xn ))

U bungen

99

hat das Bild L und den Kern I , daher ist

f (x1 ; : : : ; xn ) = 0 fur alle f 2 I

q.e.d. 7.27.Korollar. Ein algebraisches Gleichungssystem

f1 (X1 ; : : : ; Xn ) = 0 .. . fm (X1 ; : : : ; Xn) = 0 mit f1 ; : : : ; fm 2 K [X1 ; : : : ; Xn ] besitzt genau dann eine Losung (x1 ; : : : ; xn ) 2 K n , wenn (f1 ; : : : ; fm ) 6= K [X1 ; : : : ; Xn ]. Fur Erganzungen zum Hilbertschen Nullstellensatz und seine Rolle in der algebraischen Geometrie, siehe [K]. Ubungen:

1) Sei z = a + ib 2 C eine ganze algebraische Zahl (a; b 2 R ). Zeigen Sie: a) Das Minimalpolynom von z uber Q liegt in Z [X ]. b) z = a ib sowie 2a und 2b sind ganze algebraische Zahlen. 2) Jeder faktorielle Ring ist ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkorper. 3) Sei K (X ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten X uber einem Korper K und f 2 K [X ] ein Polynom mit deg f =: n > 0. Zeigen Sie a) K (X )=K (f ) ist eine algebraische Erweiterung vom Grad n . b) K [X ] ist ganz uber K [f ]. 4) K [T ] sei der Polynomring in einer Unbestimmten T und K [X; Y ] der Polynomring in Unbestimmten X; Y uber einem Korper K . Fur zwei festgewahlte f; g 2 K [T ] sei I := fF 2 K [X; Y ] j F (f; g) = 0g a) Zeigen Sie, da I ein Primideal von K [X; Y ] ist. b) Unter welcher Bedingung fur f und g ist I maximal? 5) Fur einepquadratfreie Zahl d 2 Z sei Rd der Ring der ganzen algebraischen Zahlen von Q ( d). Zeigen Sie: a) Ist d 2 mod 4 oder d 3 mod 4, so ist

p

Rd = Z + Z d b) Ist d 1 mod 4, so ist

p

Rd = Z + Z 1 +2 d

100

x 7 Fortsetzung der Korpertheorie

6) Sei R der Ring aller uber Z ganzen Elemente von C (der Ring der ganzen algebraischen Zahlen). a) Fur jede Primzahl p 2 Z ist pR 6= R . Fur jedes maximale Ideal m von R mit p 2 m gilt m \ Z = p Z . b) Ist m 2 Max R , so ist k := Z + m = m der Primkorper von K := R= m und K ist algebraisch uber k . c) Jedes Polynom aus k[X ] zerfallt uber K in Linearfaktoren. 7) Sei L=K eine algebraische Korpererweiterung und f 2 L[X ]. a) Ist f irreduzibel, so existiert genau ein normiertes irreduzibles g 2 K [X ], das von f geteilt wird. b) Fur beliebiges f mit deg f > 0 existiert ein g 2 K [X ] mit deg g > 0, das von f geteilt wird. 8) In Q [X; Y ] sei das Polynom f := X 3 + X 2 Y gegeben. a) Zeigen Sie, da A := Q [X; Y ]=(f ) ein Integritatsring ist. b) Zeigen Sie, da der Q {Homomorphismus

: Q [X ] ! A mit (X ) = X + (f ) injektiv ist. c) Ist der Quotientenkorper Q (A) von A algebraisch uber Q ? n P 9) Sei L=K eine Korpererweiterung und f = a X 2 K [X ] ein irreduzibles =0 normiertes Polynom vom Grad > 1. a) Sei Char K 6= 2. Es gebe ein 2 L mit f () = f ( ) = 0. Dann gibt es ein g 2 K [X ] mit f (X ) = g(X 2). b) Sei an i = ai fur i = 0; : : : ; n und f () = 0 fur ein 2 L . Dann gibt es ein 2 L mit 6= , f ( ) = 0. 10) Jeder algebraisch abgeschlossene Korper besitzt unendlich viele Elemente. 11) Zeigen Sie, da es uberabzahlbar viele verschiedene algebraisch abgeschlossene Teilkorper von C gibt. 12) Ein Korper K heit angeordnet, wenn eine Teilmenge P K gegeben ist, deren Elemente positiv genannt werden (geschrieben: a > 0), so da folgende Bedingungen erfullt sind: ) F ura 2 K ist genau eine der folgenden Aussagen richtig:

a > 0; a = 0; a > 0 ) Fur a; b 2 P ist a + b 2 P und a b 2 P . a) In einem angeordneten Korper ist a2 > 0 fur jedes a 6= 0. b) Ein angeordneter Korper besitzt die Charakteristik 0.

U bungen

101

c) Ein algebraisch abgeschlossener Korper lat sich auf keine Weise zu einem angeordneten Korper machen. d) P R (X ) sei die Menge aller rationalen Funktionen f mit der Eigenschaft: Es gibt ein M 2 R , so da f (a) > 0 fur alle a 2 R mit a > M . Durch P wird eine Anordnung auf R (X ) de niert. e) Gilt auf R (X ) mit der in d) erklarten Anordnung das Archimedische Axiom (d.h. gibt es fur f; g 2 P ein n 2 N mit nf g > 0)? 13) Bestimmen Sie fur die folgenden Polynome aus Q [X ] den Zerfallungskorper K durch Angabe erzeugender Elemente uber Q und den Grad [K : Q ]:

X 4 2X 2 + 9; X 4 16X 2 + 4; X 4 + 4; X 3 7; X 6 + 4X 4 + 4X 2 + 3 14) Fur f := X 4 + 6X 2 + 1 2 Q [X ] ist Q[X ]=(f ) ein Zerfallungskorper von f uber Q. 15) Beweisen Sie, da es keine Polynome P; Q 2 Z [X ] gibt, welche der Gleichung P 3 P + 2 = (X 4 7) Q genugen. 16) Zeigen Sie mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes: Ist K ein algebraisch abgeschlossener Korper und P := K [X1; : : : ; Xn ], so ist die Abbildung, die jedem (a1 ; : : : ; an ) 2 K n das Ideal (X1 a1; : : : ; Xn an ) in P zuordnet, eine Bijektion von K n auf Max P . n P 17) Ein lineares Gleichungssytem ai0 + aik Xk = 0 (i = 1; : : : ; m) mit Koefk=1 zienten aik aus einem Korper K besitzt genau dann eine Losung, wenn der Rang der Matrix (aik )i=1;:::;m;k=1;:::;n gleich dem Rang der erweiterten Matrix (aik )i=1;:::;m;k=0;:::;n ist. Setzen Sie diese Aussage in Beziehung zu 7.27. 18) Sei K ein Korper. Ein Polynom f = a1 n X11 : : : Xnn aus K [X1 ; : : : ; Xn ] heit homogen vom Grad d , wenn a1n = 0 fur alle (1; : : : ; n) mit i 6= d . a) Jeder Teiler eines homogenen Polynoms aus K [X1; : : : ; Xn] ist homogen. b) Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist jedes homogene Polynom aus K [X; Y ] als Produkt von linearen homogenen Polynomen aX + bY (a; b 2 K ) darstellbar.

102

x 8.

Separable und inseparable algebraische K orpererweiterungen

Wir beginnen nun mit der detaillierten Untersuchung endlicher Korpererweiterungen und befassen uns zunachst mit dem Phanomen der Inseparabilitat. Dieses entsteht dadurch, da ein irreduzibles Polynom mehrfache Wurzeln (im algebraischen Abschlu seines Koezientenkorpers) besitzen kann. Inseparabilitat ist jedoch nur bei Korpern der Charakteristik p > 0 moglich. Aber selbst, wenn wir uns nur fur algebraische Gleichungen u ber Korpern der Charakteristik 0 interessieren, so fuhrt doch die Reduktion der Koezienten einer Gleichung hau g zur Betrachtung von Gleichungen u ber Korpern von Primzahlcharakteristik.

In der Analysis erkennt man mehrfache Nullstellen durch Bilden der Ableitung. Die Grundzuge der entsprechenden algebraischen Dierentialrechnung sind die n P folgenden. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Fur f = i X i 2 R[X ] (i 2 R) i=0 heit (1)

f 0 :=

n P i=0

iiX i

1

die (formale) Ableitung von f . Es kann vorkommen, da deg f > 1 ist, aber trotzdem f 0 = 0, z.B. wenn f = X m ist und R die Charakteristik m besitzt: Dann ist f 0 = m X m 1 = (m 1R) X m 1 = 0. 8.1.Regeln: Fur f; g 2 R[X ] und r 2 R gilt: a) Ist deg f > 0, so ist deg f 0 < deg f . b) Ist deg f = 0, so ist f 0 = 0. c) Linearitat der Ableitung: (f + g)0 = f 0 + g0 , (rf )0 = r f 0 . d) Produktregel: (f g)0 = f 0 g + fg0 . Beweis: a)-c) folgen sofort aus der De nition (1) der Ableitung. Zum Beweis von

d) genugt es wegen c), den Fall g = X m zu betrachten. Fur f = iX i erhalt man (fg)0 = (i X i+m)0 = (i + m)i X i+m 1 = (ii X i 1 )X m + (i X i )(mX m 1 ) = f 0 g + fg0

Frobenius-Endomorphismus 8.2.Korollar. Sei f = (X

103

a)m g mit a 2 R , g 2 R[X ]. Dann ist

f 0 = (X a)m 1 [m g + (X a)g0 ] a)m die Ableitung m (X a)m 1 besitzt. Schreibe (X a)m = (X a)(X a)m 1 , wende erneut die Produktregel und Induktion nach m an. Die m {te Ableitung f (m) von f ist naturlich als die m {fache Iteration der Ableitung de niert. Ist a eine m {fache Nullstelle von f , so zeigt 8.2, da Beweis: Nach der Produktregel genugt es zu zeigen, da (X

f (a) = f 0 (a) = = f (m 1) (a) = 0 ist. Ferner ist f (m) (a) = m!g(a), wobei g(a) 6= 0 ist. Ist R ein Ring, in dem m! eine Einheit ist, so gilt f (m) (a) 6= 0. Ist R etwa ein Korper der Charakteristik 0, so kann man die Vielfachheit der Nullstelle durch Bilden der hoheren Ableitungen bestimmen. In Korpern der Charakteristik p > 0 ist dies auch moglich, wenn man den Begri der hoheren Ableitung geeignet modi ziert (U bungsaufgabe 7)). Beim Studium separabler Korpererweiterungen ist noch ein weiteres Hilfsmittel nutzlich, der Frobenius-Endomorphismus. Sei jetzt p eine Primzahl und R ein kommutativer Ring mit 1, der die Charakteristik p besitzt. 8.3.Lemma. Die Abbildung F : R ! R mit F (a) = ap (a 2 R) ist ein Ringhomo-

morphismus, d.h. fur a; b 2 R gilt

(a + b)p = ap + bp ; (a b)p = ap bp Die Menge Rp der p {ten Potenzen von Elementen aus R ist ein Unterring von R . Ist R ein Integritatsring, so ist Rp ein zu R isomorpher Ring. Ist R ein endlicher Korper, so ist R = Rp . Beweis: Nach der binomischen Formel gilt (a + b)p =

p P i=0

pai bp i . In den Binomii

alkoezienten pi ist fur i = 1; : : : ; p 1 der Zahler durch p teilbar, nicht aber der Nenner. Daher reduziert sich die Formel auf (a + b)p = ap + bp . Die Formel fur das Produkt ist klar, somit ist F ein Ringhomomorphismus und F (R) = Rp ein Unterring von R . Ist R ein Integritatsring, so ist F (a) = ap 6= 0 fur jedes a 2 R n f0g , d.h. F ist injektiv und damit Rp ein zu R isomorpher Ring. Wenn R endlich ist, so besitzen R und Rp gleichviele Elemente, und es ist R = Rp . 8.4.Definition: F : R ! R heit der Frobenius-Endomorphismus von R .

x 8 Separable und inseparable algebraische Korpererweiterungen

104

Sei nun K ein Korper mit dem algebraischen Abschlu K .

2 K [X ] heit separabel, wenn f keine mehrfachen Nullstellen in K besitzt. Ein beliebiges Polynom f 2 K [X ] heit separabel, wenn alle seine irreduziblen Faktoren es sind. Andernfalls heit es inseparabel. 8.5.Definition: Ein irreduzibles Polynom f

8.6.Satz. Fur ein irreduzibles Polynom f

2 K [X ] sind folgende Aussagen aquivalent:

a) f ist inseparabel. b) f 0 = 0. c) Die Charakteristik von K ist eine Primzahl p , es gibt ein irreduzibles separables e p Polynom g 2 K [X ] und ein e 2 N + , so da f (X ) = g(X ).

! b) Sei a 2 K eine mehrfache Nullstelle von f , also f = (X a)m g mit einem g 2 K [X ] und m > 1. Dann ist f 0 (a) = 0 nach 8.2. Weil f irreduzibel ist, ist f ein Polynom kleinsten Grades aus K [X ] n f0g mit der Nullstelle a . Da

Beweis: a)

f 0 (a) = 0 und deg f 0 < deg f , ergibt sich f 0 = 0. b) ! c) Ist f = 0 + 1X + + nX n (i 2 K; n 6= 0; n > 0), so ist f 0 = 1 + 22 X + + (n n)X n 1 , und aus f 0 = 0 folgt ii = 0 fur i = 1; : : : ; n . Speziell ist n n = 0, n 6= 0. Nach Multiplikation mit n 1 folgt n 1K = 0. Dies ist aber nur in einem Korper von Primzahlcharakteristik moglich. Sei nun Char K =: p eine Primzahl. Aus ii = 0 folgt i = 0 oder i 0 mod p . Somit ist f von der Form f=

P j =0

jp (X p)j = f1 (X p)

P

mit f1 := jpX j . Hierbei ist f1 irreduzibel, denn wurde f1 zerfallen, so zeigt j =0 die Substitution X 7! X p , da auch f zer ele. Wenn jetzt f1 separabel ist, sind wir fertig. Ist dies nicht der Fall, so gilt f10 = 0, wobei wir benutzen, da a) ! b) schon gezeigt ist. Wegene+1deg f1 < deg f folgt durch e p Induktion, da f1 (X ) = g(X ) und somit f (X ) = g(X p ) mit einem irreduziblen separablen Polynom g 2 K [X ] und einem e 2 N + . n P c) ! a) Sei f = j (X pe )j und sei a 2 K eine Wurzel von f . Dann ist nach 8.3 j =0

f = f f (a) =

n P j =1

j ((X pe )j (ape )j ) =

und a ist eine mindestens pe {fache Nullstelle von f ,

n P j =1

j (X j aj )pe

q.e.d.

Fortsetzung von Homomorphismen

105

8.7.Definition: Sei L=K eine Korpererweiterung.

a) a 2 L heit separabel algebraisch uber K , wenn a uber K algebraisch und sein Minimalpolynom uber K separabel ist. b) L=K heit separabel algebraisch, wenn jedes a 2 L uber K separabel algebraisch ist. c) Eine algebraische Korpererweiterung L=K heit inseparabel, wenn L ein uber K inseparables Element enthalt. 8.8.Satz. Ist L=K separabel algebraisch und Z ein Zwischenkorper von L=K , so

sind auch Z=K und L=Z separabel algebraische Korpererweiterungen. Beweis: Fur Z=K folgt dies aus der De nition. Fur a

2 L sei f 2 K [X ] das

Minimalpolynom von a uber K und g 2 Z [X ] das Minimalpolynom von a uber Z . Dann ist g ein Teiler von f in Z [X ]. Die Korper K und Z besitzen die gleiche algebraische Abschlieung. Da f nach Voraussetzung separabel ist, gilt dies auch fur g . Damit ist gezeigt, da auch L=Z separabel algebraisch ist. Wir charakterisieren nun endliche separabel algebraische Korpererweiterungen L=K durch die Zahl der moglichen Einbettungen von L in den algebraischen Abschlu K von K , d.h. durch die K {Homomorphismen : L ! K . 8.9.Lemma. L1 und L2 seien zwei Korper, : L1

! L2 ein (injektiver) Ringho-

momorphismus und M = L1[a] ein einfacher algebraischer Erweiterungskorper von L1 . Ferner sei f = iX i 2 L1[X ] das Minimalpolynom von a uber L1 und das Polynom f := (i )X i 2 L2 [X ] habe genau m verschiedene Nullstellen in L2 . Dann lat sich auf genau m verschiedene Arten zu einem Homomorphismus

: M ! L2 fortsetzen ( jL1 = ). Beweis: Jede Fortsetzung von auf L1 [a] ist durch die Angabe von (a) ein-

deutig festgelegt, denn fur ein beliebiges Element y =

nP1

i ai 2 M (i 2 L1) ist

i=0 (y) = (i ) (a)i . Aus f (a) = 0 folgt ferner f ((a)) = 0, so da (a) eine i=0 der m Nullstellen von f in L2 sein mu. Daher gibt es hochstens m verschiedene nP1

Fortsetzungen von auf M . Sei nun z eine beliebige Nullstelle von f in L2 . Der Ringhomomorphismus

: L1 [X ] ! L2 mit jL1 = ; (X ) = z

106

x 8 Separable und inseparable algebraische Korpererweiterungen

bildet dann f in 0 ab und induziert daher nach dem Homomorphiesatz einen Ringhomomorphismus : L1[X ]=(f ) ! L2 mit jL1 = . Nun ist aber L1[X ]=(f ) nach dem Homomorphiesatz L1 {isomorph zu M und man erhalt einen Homomorphismus : M ! L2 , welcher fortsetzt und a auf z abbildet. Da z eine beliebige Nullstelle von f war, ist gezeigt, da in der Tat m Fortsetzungen auf M besitzt. 8.10.Satz. Sei [L : K ] = n . Dann gilt:

a) Es gibt hochstens n Einbettungen von L in K . b) Genau dann ist L=K separabel, wenn es n verschiedene Einbettungen von L in K gibt. Beweis: Sei L = K [a1 ; : : : ; at ]. Wir setzen L0 := K , Li := K [a1 ; : : : ; ai ]

(i = 1; : : : ; t). Gilt [Li : Li 1 ] =: ni (i = 1; : : : ; t), so ist nach der Gradformel

n=

t Q i=1

ni i Q

a) Es sei fur i < t schon gezeigt, da es hochstens nj Einbettungen von Li in K j =1 gibt. Da das Minimalpolynom von ai+1 uber Li den Grad ni+1 besitzt, lat sich jede solche Einbettung nach Lemma 8.9 auf hochstens ni+1 Arten zu einer Einbettung i Q von Li+1 in K fortsetzen. Daher gibt es hochstens ni+1 nj Einbettungen von j =1 Li+1 in K und Aussage a) ergibt sich durch Induktion. b) Wenn L=K separabel ist, dann sind es nach 8.8 auch die Erweiterungen Li+1=Li (i = 0; : : : ; t 1). Das Minimalpolynom f von ai+1 uber Li hat dann ni+1 verschiedene Nullstellen im algebraischen Abschlu Li von Li . Fur jeden K {Homomorphismus : Li ! K hat dann f in K ebenfalls ni+1 verschiedene Nullstellen und nach 8.9 besitzt dann auch ni+1 verschiedene Fortsetzungen auf Li+1 . Die Argumentation aus a) zeigt nun, da es n verschiedene Einbettungen von L in K gibt. Ist L=K inseparabel, so konnen wir annehmen, da das Element a1 uber K inseparabel ist. Sein Minimalpolynom uber K hat dann weniger als n1 Wurzeln und daher gibt es weniger als n1 Einbettungen von L1 in K . Dieser Ruckstand ist dann beim U bergang zu L nicht mehr aufzuholen, d.h. es gibt weniger als n Einbettungen von L in K , q.e.d. 8.11.Korollar. Sind L=K und M=K algebraische Korpererweiterungen und ist

[L : K ] =: n < 1 , so gibt es hochstens n verschiedene K {Homomorphismen L!M. Bette M in K ein (7.20) und wende 8.10 an.

Separable Abschlieung

107

8.12.Korollar. Sei L = K [a1 ; : : : ; at ], wobei die ai u ber K [a1 ; : : : ; ai 1 ]

(i = 1; : : : ; t) separabel sind. Dann ist L=K separabel.

Beweis: Die Schluweise im Beweis von 8.10b) zeigt, da es [L : K ] verschiedene

Einbettungen von L in K gibt, somit ist L=K separabel algebraisch.

8.13.Korollar. (Transitivitat der Separabilitat). Sind L=K und M=L separabel

algebraische Korpererweiterungen, dann ist auch M=K separabel algebraisch. Beweis: a

2 M besitze uber L das Minimalpolynom X n + an 1 X n 1 + + a0

(ai 2 L). Dann ist a auch uber L0 := K [a0; : : : ; an 1 ] separabel und L0 ist uber K separabel (8.8). Aus 8.12 folgt, da L0 [a] uber K separabel ist und damit insbesondere a . 8.14.Korollar. Sei L=K eine beliebige Korpererweiterung. Die Menge Lsep al-

ler uber K separabel algebraischen Elemente von L ist ein Teilkorper von L mit K Lsep . Beweis: Fur a; b 2 Lsep ist K [a; b]=K separabel algebraisch nach 8.12. Daher sind

a + b , a b , a b und (wenn b 6= 0) auch ab 1 uber K separabel algebraisch. Mithin ist Lsep ein Teilkorper von L . Da K Lsep , ist trivial. 8.15.Definition: Lsep heit die separable

Abschlieung von K in L und

[Lsep : K ] der Separabilitatsgrad von L=K . Ein wichtiger Satz der Korpertheorie besagt, da endliche separable Korpererweiterungen durch ein Element erzeugt werden konnen. Dieser Satz wird in (12.5) gezeigt werden. Wir wenden uns jetzt der Frage zu, welche Korper keiner inseparabler Erweiterungen fahig sind, uber denen also alle Polynome separabel sind. 8.16.Definition: Ein Korper K heit vollkommen, wenn jedes Polynom aus K [X ]

separabel ist. Naturlich ist jeder Korper der Charakteristik 0 vollkommen, und das Gleiche gilt fur algebraisch abgeschlossene Korper.

8.17.Satz. Fur einen Korper K der Charakteristik p > 0 sind folgende Aussagen

aquivalent: a) K ist vollkommen. b) K = K p , d.h. der Frobenius-Endomorphismus F : K ! K (a 7! ap) ist bijektiv. Wir zeigen zunachst

108

x 8 Separable und inseparable algebraische Korpererweiterungen

8.18.Lemma. Sei K ein Korper der Charakteristik p > 0 und a

Dann ist das Polynom X p a irreduzibel uber K .

2 K , a 62 K p .

a , so ist p = a und 62 K , da a keine p {te Potenz in K ist. Das Minimalpolynom g von uber K teilt f und ist von Grad 2. Da es irreduzibel und inseparabel ist, besitzt es sogar den Grad p (8.6), und es folgt g = f . Daher ist auch f irreduzibel. Beweis: Ist eine Wurzel des Polynoms f := X p

Beweis von 8.17: a)

! b) Ware K 6= K p , so gabe es nach 8.18 ein inseparables

Polynom f 2 K [X ] und K ware nicht vollkommen. b) ! a) Sei K = K p . Angenommen, f 2 Ke [X ] sei irreduzibel und insepap )j rabel. Nach 8.6 hat f die Form f = ( X (j 2 K; e 1) Wegen j e 2 e p p p p K = K = K = = K gilt j = j mit einem j 2 K und es folgt

f = jp (X pe )j = ( j X j )pe e

im Widerspruch zur Irreduzibilitat von f . Somit gibt es in K [X ] keine irreduziblen inseparablen Polynome, d.h. K ist vollkommen. 8.19.Korollar. Jeder endliche Korper K ist vollkommen. Beweis: Die Charakteristik von K ist eine Primzahl p und nach 8.3 gilt K = K p .

Ein Beispiel eines unvollkommenen Korpers erhalt man wie folgt: Sei K := K0 (t) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten t uber einem beliebigen Korper K0 der Charakteristik p > 0. Es ist klar, da K p = K0p(tp ) 6= K0(t) = K ist. Das Polynom X p t 2 K [X ] ist irreduzibel und inseparabel. 8.20.Satz. Sei K ein Korper der Charakteristik p > 0 und L=K eine endliche Korpererweiterung. Dann gilt: a) Es gibt ein e 2 N mit Lpe Lsep . b) [L : Lsep] ist eine Potenz von p . Beweis: a) Sei f 2 Lsep[X ] das Minimalpolynom eines x 2 L u ber Lsep . Nach 8.6 pe ). gibt es ein ueber Lsep separables Polynom g und ein e 2 N , so da f ( X ) = g ( X Wegen g(xp ) = f (x) = 0 ist xpee 2 Lsep . Ist fx1; : : : ; xn g eine Basis von L=Lsep , so gibt es auch ein e 2 N mit xpi 2 Le sep fur i = 1; : : : ; n . Mit Hilfe des FrobeniusHomomorphismus (8.3) folgt dann yp 2 Lsep fur alle y 2 L . b) Sei L20 ein Zwischenkorper von L=Lsep[Lp]. Fur jedes x 2 L n L0 ist x 62 Lp , also xp 62 Lp . Daher ist nach 8.18 das Polynom X p xp irreduzibel uber Lp , folglich das Minimalpolynom von x uber Lp . Das Minimalpolynom von x uber L0 teilt X p xp und ist nicht linear. Da es inseparabel ist, mu es nach 8.6 mindestens vom Grad p ,

U bungen

109

also gleich X p xp sein. Mittels Induktion sieht man nun, da [L : Lsep[Lp]] eine Potenz von p ist. In der Korperkette

L Lsep[Lp] Lsep[Lp2 ] Lsep[Lpe ] = Lsep mit e wie in a) gilt dies dann fur jede einzelne Erweiterung, und es folgt, da [L : Lsep] eine Potenz von p ist. Ubungen:

1) Geben Sie einen kommutativen Ring mit 1 an, in dem X 2 + 1 unendlich viele verschiedene Nullstellen besitzt. 2) Losen Sie die Kongruenz X 121 7 mod 11. 3) K sei ein Korper der Charakteristik 2. In K [X ] seien irreduzible Polynome

f1 = X 2 a1 ; f2 = X 2 X a2

(a1 ; a2 2 K )

gegeben und Li sei der Zerfallungskorper von fi (i = 1; 2). Gibt es einen K {Isomorphismus von L1 auf L2 ? In den Aufgaben 4)-7) sei K jeweils ein Korper der Charakteristik p > 0. 4) Fur Elemente u; v aus einem Erweiterungskorper von K gelte

up; vp 2 K; [K (u; v) : K ] = p2 Dann wird K (u; v) uber K nicht von einem Element erzeugt. 5) Ein normiertes irreduzibles Polynom f 2 Ke[X ] vom Grad > 1 besitzt genau dann nur eine Wurzel, wenn es die Form f = X p a (e 2 N+; a 2 K n K p) besitzt. 6) Eine algebraische Korpererweiterung L=K heit rein inseparabel, wenn jedes x 2 L n K uber K inseparabel ist. Ein Element aus L heit rein inseparabel uber K , wenn sein Minimalpolynom uber K nur eine Wurzel besitzt. a) Fur jede algebraische Korpererweiterung L=K ist L=Lsep und L=K [Lp] rein inseparabel. b) Die Menge P aller uber K rein inseparablen Elemente ist ein Zwischenkorper von L=K mit P \ Lsep = K . c) Ist L=K rein inseparabel, so ist jedes Element aus L rein inseparabel uber K . d) Ist L=K rein inseparabel und [L : K ] < 1 , so gibt es eine Korperkette

K = K0 K1 Kt = L mit [Ki : Ki 1] = p (i = 1; : : : ; t) Insbesondere ist [L : K ] eine Potenz von p . 7) Sei L=K eine separabel algebraische Korpererweiterung. Dann ist L = K [Lp]. 2 Gilt L = K [x] mit einem x 2 L , dann ist auch L = K [xp] = K [xp ] =

110

x 8 Separable und inseparable algebraische Korpererweiterungen

8) Fur einen Korper K und n 2 N sei n : K [X ] ! K [X ] die durch n(ai X i) = ai ni X i n de nierte Abbildung. a) n ist K {linear und es gilt die modi zierte Produktregel n(fg) =

n P

j =0

j (f ) n j (g) P

(f; g 2 K [X ])

b) Fur f 2 K [X ] und a 2 K gilt f (a + X ) = n(f )(a)X n . n2N c) Ist f 6= 0, so ist a 2 K genau dann eine n {fache Nullstelle von f , wenn i(f )(a) = 0 (i = 0; : : : ; n 1), n(f )(a) 6= 0. d) Bestimmen Sie die Nullstellen von f = X 4 X 3 18X 2 + 52X 40 2 K [X ] und deren Vielfachheit. 9) Sei L=K eine endliche Korpererweiterung und SpL=K : L ! K ihre Spur sowie NL=K : L ! K ihre Norm (x 3, Aufgabe 15)). a) Ist Z ein Zwischenkorper von L=K , so gilt SpL=K = SpZ=K SpL=Z b) Ist L = K [a] mit einem a 2 L und sind a1 ; : : : ; an die Wurzeln des Minimaln n P Q polynoms von a uber K , so ist SpL=K (a) = ai , NL=K (a) = ai . i=1 i=1 c) Wenn L=K inseparabel ist, so ist SpL=K die Nullabbildung. 10) Sei K (T ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten T uber einem Korper K und U = fg eine nichtkonstante rationale Funktion ( f; g 2 K [T ] teilerfremd). a) U ist transzendent uber K . b) f (X ) Ug(X ) 2 K (U )[X ] ist ein irreduzibles Polynom mit der Nullstelle T in K (T ). c) Genau dann gilt K (U ) = K (T ), wenn Max fdeg f; deg gg = 1 ist. d) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafur an, da die Korpererweiterung K (T )=K (U ) separabel ist. 11) Eine Derivation einer (kommutativen) Algebra S=R ist eine R -lineare Abbildung d : S ! S , fur die die Produktregel d(xy) = xdy + ydx fur alle x; y 2 S gilt. a) kerd := fx 2 S j dx = 0g ist ein Unterring von S und ein Teilkorper, wenn S ein Korper ist. b) Fur jedes x 2 S und n 2 N+ gilt dxn = nxn 1 dx , und fur jedes Polynom f 2 R[X ] gilt df (x) = f 0 (x)dx mit der Ableitung f 0 von f . c) Ist S = R[X ] eine Polynomalgebra, so wird fur jedes g 2 S durch df = f 0 g ( f 2 S ) eine Derivation von S=R gegeben, und jede Derivation von S=R ist von dieser Form mit einem eindeutigen g 2 S . d) Ist S=R eine separabel algebraische Korpererweiterung, so ist die Nullabbildung die einzige Derivation von S=R .

111 x 9.

Normale und galoissche Korpererweiterungen

Die Grundidee der Galoistheorie besteht darin, algebraische Korpererweiterungen L=K mit Hilfe der Gruppe der K {Automorphismen von L zu untersuchen. Algebraische Gleichungen f = 0 werden studiert, indem man den Zerfallungskorper des Polynoms f bildet und die Automorphismengruppe des Zerfallungskorpers heranzieht.

Fur eine Korpererweiterung L=K bezeichne G(L=K ) die Gruppe der K {Automorphismen von L , also die Gruppe aller bijektiven K {Homomorphismen : L ! L mit der Komposition von Abbildungen als Verknupfung. jG(L=K )j bezeichne die Ordnung von G(L=K ), d.h. die Zahl der Elemente dieser Gruppe. Aus 8.11 entnimmt man 9.1.Bemerkung: Ist [L : K ] = n , so ist jG(L=K )j

n . Die Automorphismen-

gruppe einer endlichen Korpererweiterung ist somit stets endlich. Die Theorie in x 8 zeigt auch, wie man die Automorphismen von L=K ndet, wenn ein Erzeugendensystem von L=K gegeben ist. Ist etwa L = K [a] = K [X ]=(f ) mit dem Minimalpolynom f von a uber K , so ist jeder Automorphismus 2 G(L=K ) durch b := (a) eindeutig festgelegt und b ist eine Wurzel von f in L . Umgekehrt de niert jede Wurzel von f in L eindeutig ein Element aus G(L=K ). Dies zeigt der Beweis von 8.9. Wir erhalten daher 9.2.Bemerkung: Ist L = K [a] eine einfache Erweiterung von K und f das Mi-

nimalpolynom von a uber K , so ist jG(L=K )j gleich der Zahl der verschiedenen Nullstellen von f in L . 9.3.Beispiele:

p

6= 0, a) Sei K = Q , L = Q [ d] mit einerpquadratfreien ganzen Zahl d , pwobei d p 2 d 6= 1. Das Minimalpolynom von a = d uber Q ist X d = (X + d)(X d). p Demnach besitzt Q ( d)=Q genau zwei Q {Automorphismen, welche durch p

p

p

d 7! d (Identitat) ; d 7!

p

d (Konjugation)

p

gegebenpwerden. Die Konjugation fuhrt allgemein 0 + 1 d (0 ; 1 2 Q ) in 0 1 d uber. p p b) Sei K = Q , L = Q [ 3 2]. Das Minimalpolynom von a := 3 2 uber Q ist

p X 3 2 = (X a)(X a)(X 2a) mit := 12 + 12 3

112

x 9 Normale und galoissche Korpererweiterungen

Da L nur reelle Zahlen enthalt und a sowie 2a nicht reell sind, ergibt sich G(L=K ) = fidg Besonders wichtig fur die Anwendung der galoisschen Methode sind die Korpererweiterungen mit \vielen" Automorphismen. 9.4.Definition: Eine Korpererweiterung L=K heit normal, wenn sie algebraisch

ist und wenn gilt: Besitzt ein irreduzibles Polynom f 2 K [X ] eine Nullstelle in L , so zerfallt f uber L in Linearfaktoren. Die Erweiterung L=K in Beispiel 9.3a) ist normal, wie sich aus 9.7 ergeben wird, die in 9.3b) dagegen oensichtlich nicht. Ist K die algebraische Abschlieung von K , so ist K=K trivialerweise normal. 9.5.Satz. Sei L=K eine algebraische Korpererweiterung und L die algebraische Ab-

schlieung von L (folglich auch von K ). Folgende Aussagen sind aquivalent: a) L=K ist normal. b) Es gibt eine Familie ffg2 von Polynomen f 2 K [X ], so da L aus K durch Adjunktion aller Wurzeln der f ( 2 ) entsteht. c) Fur jeden K {Homomorphismus : L ! L ist (L) = L (d.h. induziert einen Automorphismus von L=K ).

! b) Wahle ein Erzeugendensystem fx g2 von L=K und betrachte fur jedes 2 das Minimalpolynom f von x uber K . Adjungiert man alle Beweis: a)

Wurzeln der f zu K , so erhalt man L , weil ja schon die x ganz L erzeugen und die ubrigen Wurzeln in L liegen. b) ! c) Sei fx g2M die Gesamtheit aller Nullstellen der f ( 2 ). Fur jedes und jeden K {Homomorphismus : L ! L ist auch (x ) eine Nullstelle eines f . Aus L = K (fx g) ergibt sich somit (L) L . Sind umgekehrt x1 ; : : : ; xs alle Nullstellen von f , so sind auch (x1 ); : : : ; (xs ) die Nullstellen von f , d.h. fur jedes i 2 f1; : : : ; sg ist xi = (xj ) mit j 2 f1; : : : ; sg . Es folgt, da auch L (L). c) ! a) Sei f 2 K [X ] irreduzibel und sei a eine Nullstelle von f in L . Ist b 2 L eine beliebige Wurzel von f , so existiert ein K {Homomorphismus 0 : K [a] ! L mit 0 (a) = b . Nach 7.19 lat sich 0 fortsetzen zu einem K {Homomorphismus : L ! L . Fur diesen gilt nach Voraussetzung (L) = L und daher ergibt sich b 2 L. 9.6.Korollar. Ist L=K normal und Z ein Zwischenkorper von L=K , so ist auch

L=Z normal. Fur endliche Korpererweiterungen lat sich die Charakterisierung der normalen Erweiterungen aus 9.5 verscharfen.

Galoisgruppe

113

9.7.Satz. Eine endliche Korpererweiterung L=K ist genau dann normal, wenn L

der Zerfallungskorper eines Polynoms f 2 K [X ] ist.

Beweis: Ist L=K ein Zerfallungskorper, so ist L=K nach 9.5 normal. Sei umgekehrt

L=K normal. Wahle a1; : : : ; am 2 L mit L = K [a1 ; : : : ; am ]. Sei fi das MinimalQm polynom von ai uber K und f := fi . Da die fi uber L in Linearfaktoren i=1 zerfallen, ist L ein Zerfallungskorper von f . Jede algebraische Korpererweiterung lat sich in eine normale Korpererweiterung einbetten: 9.8.Satz. Zu jeder algebraischen Korpererweiterung L=K gibt es eine Korpererweiterung N=L , so da gilt: a) N=K ist normal. b) Ist Z ein Zwischenkorper von N=L , so da Z=K normal ist, dann ist Z = N . ~ eine weitere Korpererweiterung mit den Eigenschaften a) und b) ist, Wenn N=L dann ist N~ zu N L {isomorph. Beweis: Sei fx g2 ein Erzeugendensystem von L=K und f das Minimalpoly-

nom von x uber K ( 2 ). N entstehe aus L durch Adjunktion aller Wurzeln der f . Nach 9.5 hat dann N die Eigenschaften a) und b). N~ kann durch einen L {Homomorphismus in die algebraische Abschlieung L von L eingebettet werden. Es ist dann klar, da (N~ ) = N ist. 9.9.Definition: Ein Korper N mit den Eigenschaften a) und b) aus 9.8 heit eine

normale Hulle von L=K .

Sind N und N~ normale Hullen von L=K und ist : N ! N~ ein L {Isomorphismus, so wird durch ~ ) ( 7! 1 ) G(N=K ) ! G(N=K ein Gruppenisomorphismus gegeben. Die Automorphismengruppe G(N=K ) ist somit bis auf Isomorphie unabhangig von der speziellen Wahl der normalen Hulle. Wir kommen nun zum wichtigsten Begri in der Theorie der endlichen Korpererweiterungen: 9.10.Definition: Eine Korpererweiterung L=K heit galoissch, wenn sie endlich, separabel und normal ist. G(L=K ) heit in diesem Fall die Galoisgruppe von L=K . Verzichtet man auf die Endlichkeit von L=K , so erhalt man den Begri der \unendlichen" Galoiserweiterung. Die Untersuchung dieser Korpererweiterungen ist Gegenstand der \unendlichen Galoistheorie" (vgl. Neukirch [N], Chap. I,x 1). Bei uns sollen Galoiserweiterungen aber stets endlich sein.

114

x 9 Normale und galoissche Korpererweiterungen

Sei f 2 K [X ] ein separables Polynom. Der Zerfallungskorper L eines solchen Polynoms ist dann gema 8.12 separabel uber K , folglich ist L=K galoissch. In diesem Fall schreiben wir auch G(f ) := G(L=K ) und nennen G(f ) die Galoisgruppe des Polynoms f . Es ist dieses Konzept, das Galois (im Fall K = Q ) entdeckt und zur Losung tie iegender Probleme uber algebraische Gleichungen verwendet hat. 9.11.Satz. Fur eine Korpererweiterung L=K sind folgende Aussagen aquivalent:

a) L=K ist galoissch. b) L ist der Zerfallungskorper eines separablen Polynoms aus K [X ]. c) Es ist [L : K ] < 1 und jG(L=K )j = [L : K ].

! a) wurde oben besprochen. Ist umgekehrt L=K galoissch, so sei L = K [a1 ; : : : ; am ] mit a1 ; : : : ; am 2 L . Die Minimalpolynome fi der ai uber K m Beweis: b)

Q

sind separabel (i = 1; : : : ; m) und L ist der Zerfallungskorper von f = fi . Damit i=1 ist a) $ b) gezeigt. Sei L die algebraische Abschlieung von L . Die 2 G(L=K ) konnen als K {Homomorphismen : L ! L betrachtet werden. Ist [L : K ] =: n , so ist L=K genau dann separabel, wenn es n K {Homomorphismen : L ! L gibt (8.10b) und nach 9.5c) ist L=K genau dann normal, wenn (L) = L fur jedes solche . Hieraus ergibt sich a) $ c). 9.12.Korollar. Sei K ein Korper der Charakteristik 0. Die Galoiserweiterungen

von K sind gerade die Zerfallungskorper der Polynome aus K [X ].

9.13.Korollar. Sei Z ein Zwischenkorper einer Galoiserweiterung L=K . Dann ist

auch L=Z galoissch und G(L=Z ) ist eine Untergruppe von G(L=K ). Fur die Galoisgruppe G(f ) eines separablen Polynoms f uber einem Korper K konnen wir auf Grund der fruheren Satze folgendes aussagen: a) Jedes 2 G(f ) permutiert die Wurzeln x1 ; : : : ; xn von f und ist durch diese Permutation eindeutig festgelegt. G(f ) kann somit als eine Untergruppe der Permutationsgruppe Sn n {ten Grades betrachtet werden. Insbesondere ist

jG(f )j n! b) Die Wurzeln der irreduziblen Faktoren von f werden durch jedes 2 G(f ) unter sich permutiert. c) Ist f irreduzibel, so operiert G(f ) transitiv auf den Wurzeln von f , d.h. jede Wurzel kann durch ein geeignetes 2 G(f ) auf jede Wurzel abgebildet werden: Sei L K ein Zerfallungskorper von f und seien a; b 2 L zwei Wurzeln von f . Dann

Galoisgruppe

115

gibt es einen K {Isomorphismus K [a] e! K [b]. Dieser kann nach 7.19 zu einem K {Homomorphismus : L ! K fortgesetzt werden. Nach 9.5c) ist (L) = L , also 2 G(f ) und (a) = b . d) Ist f irreduzibel vom Grad n , so ist n ein Teiler von jG(f )j . Ist namlich L K der Zerfallungskorper von f uber K und a eine Wurzel von f , so ist K [a] L . Dabei ist n := [K [a] : K ] ein Teiler von [L : K ] und nach 9.11c) ist jG(f )j = jG(L=K )j = [L : K ]. Ist L=K eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe G(L=K ) und ist x 2 L , so heien die Elemente (x) ( 2 G(L=K )) die Konjugierten von x . Es sind dies gerade die samtlichen Wurzeln in L des Minimalpolynoms von x uber K . Wir wollen nun in einem einfachen Beispiel pdie Galoisgruppe bestimmen. Ein weiteres ist 9.3a), wo sich ergeben hat, da G(Q ( d)=Q ) eine Gruppe mit 2 Elementen ist. Viele Beispiele enthalten auch die U bungsaufgaben. 2 2 Qp[X ] ist irreduzibel und besitzt die Wurzelnpa := 2, a , mit := + 12 p3. In 9.3b) haben wir gesehen, da Q ( 3 2)=Q nicht normal ist, folglich ist Q (p3 2)p =Q auch keine Galoiserweite3 rung. Der Zerfallungskorper von f ist N := Q ( 2; 3) und N=p Q ist galoissch, G(f ) = G(N= N eine normale Hulle von Q ( 3 2)=Q . Ferner p3 Q ). Gleichzeitig pist ist [N : Q ( 2)] = 2 und [Q ( 3 2) : Q] = 3, folglich [N : Q ] = 6. Daher ist auch jG(f )j = 6. Da aber G(f ) eine Untergruppe von S3 ist und jS3j = 6, mu G(f ) = S3 sein, d.h. alle Permutationen der Wurzeln von f de nieren Automorphismen von L=K . In vielen Fallen setzt die Bestimmung der Galoisgruppe Kenntnisse aus der Gruppentheorie voraus. Daher konnen wir kompliziertere Beispiele erst nach dem Paragraphen uber Gruppentheorie behandeln. Fur die Frage nach der Konstruierbarkeit des regularen n {Ecks ist die Bestimmung der Galoisgruppe von Q (e 2ni )=Q wichtig und fur das Problem der Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale ist die Kenntnis der Galoisgruppen \reiner" Polynome X n a von Bedeutung. 9.14.Beispiel:pDas Polynom f := X 3 3

Ubungen:

2a

1 2

1) Jede Korpererweiterung vom Grad 2 ist normal, jede separable Korpererweiterung vom Grad 2 ist galoissch. 2) Sei L=K eine Korpererweiterung und Z1 ; Z2 seien zwei Zwischenkorper von L=K . Wenn Z1 und Z2 normal uber K sind, dann ist es auch ihr Kompositum Z1 Z2 (vgl. x 3, Aufg. 9)) und Z1 \ Z2 . 3) Sei L=K eine rein inseparable Korpererweiterung (x 8, Aufg. 5)). Ist L=K normal?

x 9 Normale und galoissche Korpererweiterungen

116

4) Sei K ein Korper. a) Fur jeden K {Automorphismus des Polynomrings K [X ] gilt (X ) = aX + b mit a 2 K , b 2 K . Umgekehrt bestimmt jedes (a; b) 2 K K eindeutig einen solchen K {Automorphismus. b) Fur jeden K {Automorphismus von K (X ) gilt

aX + b (X ) = cX +d

(a; b; c; d 2 K ; ad bc 6= 0)

aX +b einen K {Autound umgekehrt bestimmt jede solche rationale Funktion cX +d morphismus von K (X ). (Hinweis: Verwenden Sie x 8, Aufg. 9c)). 5) Zeigen Sie, da die folgenden Erweiterungskorper von Q galoissch uber Q sind. Versuchen Sie auch die Galoisgruppe zu bestimmen:

p p p p p p Q (i + 2); Q ( 2; 5); Q ( 2; 3; 5)

6) Durch

Q [X ]=(X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) bzw. Q [X ]=(X 6 + 432) 7) 8)

9) 10)

werden von p4 galoissche Korpererweiterungen p2 p2 Q gegeben. p Q ( 2) ist galoissch uber Q ( 2) und Q ( 2) ist galoissch uber Q . Aber Q ( 4 2)=Q ist nicht galoissch. Bestimmen Sie die Galoisgruppen der Polynome X 4 4 und X 4 6X 2+5 aus Q [X ] als Permutationsgruppen ihrer Wurzeln. Sind die Galoisgruppen abelsch? Kann eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 als Galoisgruppe eines separablen Polynoms vom Grad 4 auftreten? Untersuchen Sie die Galoisgruppe des Polynoms X 3 a 2 Q [X ] in Abhangigkeit von a . Die Polynome 1 + X + 12 X 2 + 16 X 3 ; 2 + 2X + X 3

aus Q [X ] sind irreduzibel und besitzen genau eine reelle Nullstelle. Welche Galoisgruppen besitzen die Polynome? 11) Der Zerfallungskorper von X 3 2 uber Q ist Q {isomorph zu Q [X ]=(X 6 + 108). 12) Sei L=K eine Galoiserweiterung und a 2 L ein Element mit (a) 6= a fur alle 2 G(L=K ) n fidg . Dann gilt L = K [a].

117 x 10.

Der Hauptsatz der Galoistheorie

Der Hauptsatz gibt fur Galoiserweiterungen L=K eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkorper von L=K und der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe G(L=K ). Eine gebrauchliche Beweismethode geht auf E. Artin [A] zur uck. Aus den Anfangsparagraphen wissen wir, da die genaue Kenntnis der Zwischenkorper einer algebraischen Korpererweiterung z.B. fur die Losung von Konstruktionsproblemen mit Zirkel und Lineal und die Frage nach der Au osbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale bedeutsam ist.

Sei G eine (multiplikative) Gruppe, K ein Korper und K seine multiplikative Gruppe. 10.1.Definition: Ein (linearer) Charakter von G in K ist ein Gruppenhomomorphismus : G ! K .

Sind L und K Korper und ist : L ! K ein nichttrivialer Ringhomomorphismus, dann wird ein Charakter : L ! K der multiplikativen Gruppe von L in K induziert. Insbesondere lassen sich die Automorphismen eines Korpers L als Charaktere L ! L betrachten. 10.2.Lineare Unabhangigkeit von Charakteren: Sind 1 ; : : : ; n paarweise

verschiedene Charaktere von G in K und sind Elemente a1 ; : : : ; an 2 K gegeben, so da Pn aii (x) = 0 fur alle x 2 G (1) i=1

dann gilt a1 = = an = 0.

Beweis (durch Induktion nach n ): Fur n = 1 lautet die Relation: a1 1 (x) = 0 fur alle x 2 G . Da 1 (x) 2 K , ergibt sich a1 = 0.

Es sei jetzt n > 1 und die Behauptung sei fur n 1 Charaktere schon bewiesen. Wahle y 2 G mit 1 (y) 6= n(y) und multipliziere (1) mit n(y): a1n (y)1 (x) + + ann (y)n (x) = 0 Setzt man in (1) statt x das Element yx ein, erhalt man a1 1 (y)1 (x) + + an n (y)n (x) = 0 und durch Dierenzbildung a1 (n (y) 1 (y))1 (x) + + an 1(n (y) n 1 (y))n 1 (x) = 0 fur alle x 2 G . Da n(y) 6= 1 (y), liefert die Induktionsvoraussetzung, da a1 = 0 ist. Nochmalige Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf (1) ergibt schlielich a2 = = an = 0, q.e.d.

x 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie

118

10.3.Theorem. (E. Artin) Sei G eine endliche Untergruppe der Automorphismen-

gruppe eines Korpers L und

K := fx 2 L j (x) = x fur alle 2 Gg die Menge der G {invarianten Elemente von L . Dann ist K ein Teilkorper von L mit [L : K ] = jGj . Ferner ist L=K galoissch und G(L=K ) = G . Beweis: Sei G = f1 ; : : : ; n g , n = jGj . Da die i Automorphismen von L sind,

ist klar, da K ein Teilkorper von L ist. Ferner sind die i K {lineare Abbildungen (i = 1; : : : ; n). Fur x 2 L werde

S (x) := 1 (x) + + n (x)

Pn

Pn

gesetzt. Aus i S (x) = (i j )(x) = j (x) = S (x) (i = 1; : : : ; n) folgt j =1 j =1 S (x) 2 K , daher ist S : L ! K (x 7! S (x)) eine Linearform. Nach 10.2 gilt ferner S (x) 6= 0 fur mindestens ein x 2 L . Angenommen, es ware [L : K ] =: r < n . Sei f!1; : : : ; !r g eine Basis von L=K . Das lineare Gleichungssystem

Pn i(!k )Xi = 0

i=1

(k = 1; : : : ; r)

besitzt dann eine nichttriviale Losung (a1 ; : : : ; an ) 2 Ln

Pn i(!k )ai = 0

(2)

i=1

(k = 1; : : : ; r)

Pr

Schreibe x 2 L in der Form x = k !k (1; : : : ; r 2 K ). Multipliziert man die k=1 k {te Gleichung in (2) mit k und addiert man alle Gleichungen, so ergibt sich 0=

Pr k Pn i(!k)ai = Pn aii( Pr k !k) = Pn aii(x)

k=1

i=1

i=1

k=1

i=1

Dies widerspricht 10.2, und somit ist [L : K ] n . Seien nun y1 ; : : : ; yn+1 2 L . Wir wollen zeigen, da die Elemente linear abhangig uber K sind, was [L : K ] = n beweist. Das lineare Gleichungssystem

P i 1(yk )Xk = 0

n+1 k=1

(i = 1; : : : ; n)

besitzt eine nichttriviale Losung (a1 ; : : : ; an+1) 2 Ln+1 . Wir durfen dabei a1 6= 0 annehmen. Da fur jedes z 2 L auch z (a1 ; : : : ; an+1) eine Losung ist und S : L ! K surjektiv ist, konnen wir auch S (a1 ) 6= 0 voraussetzen.

Fixkorper und Isotropiegruppen

119

Auf die i {te Gleichung des Systems

P i 1(yk )ak = 0

n+1 k=1

wenden wir nun i an und addieren dann alle Gleichungen. Es ergibt sich 0=

Pn i(nP+1 i 1(yk )ak ) = nP+1 yk Pn i(ak ) = nP+1 S(ak ) yk

i=1

i=1 k=1 und damit die lineare Abhangigkeit von y1 ; : : : ; yn+1 uber K . k=1

k=1

Die Elemente von G sind K {Automorphismen von L , daher ist G G(L=K ). Nach 8.11 ist aber jG(L=K )j [L : K ], somit folgt G = G(L=K ) und jG(L=K )j = [L : K ]. Nach 9.11 ist L=K galoissch, q.e.d. Sei nun L=K eine beliebige Galoiserweiterung und G := G(L=K ). Es bezeichne Z die Menge aller Zwischenkorper von L=K und U die Menge aller Untergruppen von G . Fur U 2 U heit LU := fx 2 L j (x) = x fur alle 2 U g der Fixkorper von U . Da G aus K {Automorphismen besteht, ist K LU und damit LU 2 Z . Es sei : U ! Z die Abbildung, die jeder Untergruppe von G ihren Fixkorper zuordnet. Fur Z 2 Z heit GZ := f 2 G j (x) = x fur alle x 2 Z g die Isotropiegruppe von Z . Es sei : Z ! U die Abbildung, die jedem Zwischenkorper von L=K seine Isotropiegruppe zuordnet. 10.4. Hauptsatz der Galoistheorie.

a) und sind zueinander inverse Bijektionen. Es entsprechen sich somit eineindeutig die Zwischenkorper von L=K und die Untergruppen der Galoisgruppe G(L=K ). b) Fur Z1; Z2 2 Z mit Z1 Z2 gilt GZ1 GZ2 und fur U1; U2 2 U mit U1 U2 gilt LU1 LU2 . c) Fur jedes Z 2 Z ist jGZ j = [L : Z ] und GZ ist die Galoisgruppe von L=Z : GZ = G(L=Z ) Speziell ist GK = G(L=K ). d) Fur jedes U 2 U ist [L : LU ] = jU j . Speziell ist LU = K fur U = G(L=K ). e) Fur Z 2 Z und 2 G(L=K ) gilt G(Z) = GZ 1 f) Fur Z 2 Z ist Z=K genau dann eine Galoiserweiterung, wenn GZ ein Normalteiler von G(L=K ) ist: GZ = GZ 1 fur alle 2 G(L=K )

120

x 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie

Beweis: Fur Z 2 Z ist GZ = G(L=Z ) nach De nition von GZ . Der Fixkorper Z 0 := LGZ von GZ umfat sicher Z . Nach 10.3 gilt aber [L : Z 0 ] = jGZ j = jG(L=Z )j = [L : Z ] und somit ist Z 0 = Z . Damit ist = idZ

gezeigt. Fur U 2 U ist [L : LU ] = jU j nach 10.3 und U = G(L=LU ) = GLU . Es folgt = idU . Damit sind a),c) und d) bereits bewiesen. b) ist trivial. Zum Nachweis von e) beachtet man zunachst, da GZ 1 den Korper (Z ) elementweise festlat, d.h. es ist GZ 1 G(Z) = G(L=(Z )). Ferner ist [(Z ) : K ] = [Z : K ], weil bijektiv ist, und somit [L : (Z )] = [L : Z ]. Daher ergibt sich

jGZ 1j = jGZ j = [L : Z ] = [L : (Z )] = jG(Z) j und GZ 1 = G(Z) . Schlielich zeigen wir f). Genau dann ist Z=K galoissch, wenn Z=K normal ist, und dies heit nach 9.5, da (Z ) = Z fur alle 2 G(L=K ). Diese Bedingung ist nach e) damit aquivalent, da GZ 1 = GZ fur alle 2 G(L=K ), d.h. damit, da GZ Normalteiler von G(L=K ) ist. Der Hauptsatz ist bewiesen. Als erste Anwendung ergibt sich: 10.5.Korollar. a) Sei L=K eine endliche separable Korpererweiterung. Dann be-

sitzt L=K nur endlich viele Zwischenkorper. b) Ist L=K eine Galoiserweiterung mit abelscher Galoisgruppe und ist Z ein Zwischenkorper von L=K , so ist auch Z=K galoissch.

Beweis: a) Sei N eine normale Hulle von L=K . Da L=K separabel ist, entsteht

N aus K durch Adjunktion von Wurzeln uber K separabler Polynome. Daher ist N=K separabel (8.12) und mithin galoissch. Nach dem Hauptsatz besitzt N=K nur endlich viele Zwischenkorper. Erst recht ist dies dann auch fur L=K der Fall. b) ergibt sich aus 10.4f), da in einer abelschen Gruppe alle Untergruppen Normalteiler sind. Ein Gegenbeispiel zu 10.5a) im inseparablen Fall gibt Aufg. 7). Fur die endgultige Klarung des Sachverhalts s. Theorem 12.5, welches die Galoistheorie nicht benutzt. Als nachstes wollen wir den \Hauptsatz uber symmetrische Funktionen" herleiten. Sei P := R0 [X1; : : : ; Xn] die Polynomalgebra in Unbestimmten X1; : : : ; Xn uber einem Ring R0 und Sn die Permutationsgruppe n {ten Grades. Fur 2 Sn wird durch Xi 7! X(i) (i = 1; : : : ; n) ein R0 {Homomorphismus R0[X1 ; : : : ; Xn ] ! R0[X1 ; : : : ; Xn ] de niert, den wir ebenfalls mit bezeichnen wollen.

Symmetrische Funktionen

121

Es ist also fur f 2 P

(f )(X1 ; : : : ; Xn ) = f (X(1) ; : : : ; X(n)) und es ist klar, da ein R0 {Automorphismus von P ist, denn die inverse Permutation 1 de niert eine Umkehrabbildung von auf P .

2 P mit (f ) = f fur alle 2 Sn heien symmetrische

10.6.Definition: Die f

Polynome.

Beispielsweise sind

"1 := X1 + + Xn P "2 := Xi Xj i<j

und allgemein

"m :=

P

1 <<m

X1 Xm

(m = 1; : : : ; n)

symmetrische Polynome. Sie heien elementarsymmetrische Polynome (Funktionen). Man erhalt sie als die Koezienten des Polynoms (Y X1 ) : : : (Y Xn) in der Form (Y

(3)

X1) (Y Xn) = Y n "1Y n 1 + + ( 1)n "n

Naturlich gilt dann fur beliebige Elemente a1; : : : ; an 2 R0

Qn (Y

i=1

ai ) = Y n "1(a1 ; : : : ; an )Y n 1 + + ( 1)n"n (a1 ; : : : ; an )

d.h. man kann die Koezienten eines normierten Polynoms leicht aus seinen Nullstellen ermitteln. Interessanter ist naturlich das umgekehrte Problem, die Nullstellen aus den Koezienten zu berechnen. Die symmetrischen Polynome bilden einen Unterring von P , der R0 umfat. Sei nun R0 ein Integritatsring mit dem Quotientenkorper K0 . Die R0 {Automorphismen : P ! P lassen sich zu K0 {Automorphismen des Quotientenkorpers K0 (X1 ; : : : ; Xn ) von P fortsetzen: Fur fg 2 K0(X1 ; : : : ; Xn ) mit f; g 2 R0[X1; : : : ; Xn] setzt man ( fg ) = ((fg)) . Das Ergebnis ist unabhangig von der Bruchdarstellung: Ist fg = fg , so gilt fg = f g , somit (f )(g ) = (f )(g) und folglich ((fg)) = ((fg )) . Wir konnen jetzt Sn als eine Automorphismengruppe von K0 (X1 ; : : : ; Xn ) betrachten. Ihr Fixkorper K heit Korper der symmetrischen Funktionen.

122

x 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie

10.7.Satz. a) Es gilt K = K0 ("1 ; : : : ; "n ) und

[K0(X1 ; : : : ; Xn) : K0 ("1 ; : : : ; "n )] = n! b) R0["1; : : : ; "n] ist der Ring aller symmetrischen Polynome aus R0[X1 ; : : : ; Xn ] und fX11 Xnn j 0 i n i (i = 1; : : : ; n)g ist eine Basis von R0[X1 ; : : : ; Xn ] als R0["1 ; : : : ; "n ]{Modul. Mit andern Worten: Jede symmetrische Funktion lat sich als rationale Funktion der elementarsymmetrischen Polynome darstellen und jedes symmetrische Polynom als ein Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen. Das sind wichtige Aussagen, die gelegentlich auch in der Analysis eine Rolle spielen. Beweis von 10.7:

a) Es ist klar, da K0("1 ; : : : ; "n) K . Die Gleichung (3) zeigt, da der Korper L := K0 (X1 ; : : : ; Xn ) ein Zerfallungskorper des Polynoms Y n "1 Y n 1 + + ( 1)n"n 2 K0("1 ; : : : ; "n)[Y ] ist. Mithin gilt [L : K0 ("1 ; : : : ; "n)] n!. Andererseits ist [L : K ] jG(L=K )j j Sn j = n! nach 9.1, und es folgt K = K0("1 ; : : : ; "n). b) Da X1 Nullstelle von f := Y n "1 Y n 1 + + ( 1)n"n 2 R0["1; : : : ; "n][Y ] ist, wird R0["1 ; : : : ; "n ][X1] als Modul uber R0["1; : : : ; "n] von f1; X1 ; : : : ; X1n 1 g erzeugt (7.4). Die Division von f durch Y X1 liefert ein normiertes Polynom aus R0["1 ; : : : ; "n ; X1][Y ] vom Grad n 1 mit der Nullstelle X2 , d.h. f1; X2 ; : : : ; X2n 2 g ist ein Erzeugendensystem von R0["1; : : : ; "n; X1 ; X2 ] als R0["1 ; : : : ; "n ; X1]{Modul. Induktion zeigt, da die Monome X11 X22 Xnn (0 i n i; i = 1; : : : ; n) ein Erzeugendensystem mit n! Elementen von R0[X1; : : : ; Xn] als R0["1 ; : : : ; "n ]{Modul bilden und damit auch von L als K {Vektorraum. Da [L : K ] = n! ist, bilden sie sogar eine Basis von L uber K und eine Basis von R0[X1; : : : ; Xn] als R0["1 ; : : : ; "n ]{Modul. Mittels a) folgt nun durch Koezientenvergleich R0[X1 ; : : : ; Xn ] \ K0 ("1; : : : ; "n) = R0["1 ; : : : ; "n ] somit ist R0["1; : : : ; "n ] der Ring aller symmetrischen Polynome uber R0 , q.e.d. Fur einen konstruktiven Beweis des Hauptsatzes fur symmetrische Funktionen siehe z.B. van der Waerden [vdW1 ]. Er enthalt ein Verfahren, wie man ein symmetrisches Polynom als Polynom der elementarsymmetrischen Polynome darstellen kann. Mehr dazu in den U bungsaufgaben. Wir wollen jetzt die Galoisgruppe der \allgemeinen Gleichung n {ten Grades" bestimmen. Sei K = K0 (u1; : : : ; un) der Korper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten u1; : : : ; un uber einem Korper K0 . Dann heit f := X n + u1X n 1 + + un 2 K [X ]

Allgemeines Polynom n-ten Grades

123

das allgemeine Polynom n {ten Grades uber K0 . Jedes spezielle normierte Polynom n {ten Grades aus K0 [X ] entsteht aus f , indem man fur die ui spezielle Elemente aus K0 einsetzt. Man wunscht sich Formeln, wie sie fur n 4 ja existieren (x 2), fur die Nullstellen von f als Funktionen der Koezienten ui . Zunachst geht es um die Bestimmung der Galoisgruppe von f . Sei L der Zerfallungskorper von f uber K und seien v1 ; : : : ; vn 2 L die Wurzeln von f , also L = K [v1; : : : ; vn]. Da ui = ( 1)i "i (v1 ; : : : ; vn ) ist (i = 1; : : : ; n), ergibt sich L = K0(v1 ; : : : ; vn) Der K0 {Homomorphismus : K0 [X1 ; : : : ; Xn ] ! L mit (Xi ) = vi (i = 1; : : : ; n) bildet K0 ["1; : : : ; "n] auf K0 [u1; : : : ; un] ab. Da K0 [u1; : : : ; un] ein Polynomring ist, mu K0["1 ; : : : ; "n ] ist aber auch injektiv, denn = K0[u1; : : : ; un] sein. Dann Q ware g 6= 0 ein Element aus ker , so ware (g) ein von Null verschiedenes 2Sn Element aus K0 ["1; : : : ; "n], das im Kern von liegt. induziert daher einen K0 {Isomorphismus K0 (X1 ; : : : ; Xn) e! L , der K0 ("1 ; : : : ; "n ) auf K0 (u1; : : : ; un) abbildet. Insbesondere ist damit auch gezeigt, da K0 ("1 ; : : : ; "n )=K0 ein rationaler Funktionenkorper in "1; : : : ; "n ist. Wir wissen aus 10.7, da die Galoisgruppe von K0(X1 ; : : : ; Xn)=K0 ("1 ; : : : ; "n) die Permutationsgruppe Sn der Variablen X1 ; : : : ; Xn ist. Sie identi ziert sich auf Grund des obigen Isomorphismus mit G(f ) = G(L=K ). Damit ist gezeigt: 10.8.Satz. Die Galoisgruppe G(f ) des allgemeinen Polynoms n {ten Grades f ist

zu Sn isomorph. Der Hauptsatz der Galoistheorie fuhrt das Problem, die Zwischenkorper einer galoisschen Korpererweiterung L=K zu bestimmen, auf die gruppentheoretische Aufgabe zuruck, die Untergruppen der Galoisgruppe zu ermitteln oder zumindest eine U bersicht uber die moglichen Untergruppen zu geben. Bevor wir zu den Anwendungen der Galoistheorie vorstoen konnen, mussen wir uns zunachst eingehender mit der Gruppentheorie befassen. Ubungen:

1) Sei R ein Integritatsring, der in seinem Quotientenkorper K ganzabgeschlossen ist, und sei L=K eine Galoiserweiterung. a) Ist x 2 L ein uber R ganzes Element, dann sind auch die Konjugierten von x ganz uber R . b) Das Minimalpolynom von x uber K liegt in R[X ].

124 2)

x 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie

a) Die im Beweis von 10.3 auftretende Abbildung S : L ! K ist die Spur SpL=K . Ferner ist K der von allen Spuren SpL=K (x) mit x 2 L erzeugte Teilkorper von L. b) Folgern Sie: Ist L=K eine endliche separable Korpererweiterung, so ist SpL=K nicht die Nullabbildung. 3) Schreiben Sie X12 + X22 + X32 als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen. 4) Sei K ein Korper und f = X n + a1X n 1 + + an ein normiertes Polynom aus K [X ]. Ferner seien x1 ; : : : ; xQn die Wurzeln von f (im algebraischen Abschlu von K ). Das Element (f ) := (xi xj )2 heit Diskriminante von f . i<j a) Zeigen Sie, da (f ) sich als Polynom in a1 ; : : : ; an mit Koezienten aus dem Primkorper von K schreiben lat, also insbesondere (f ) 2 K gilt. b) Was entscheidet die Diskriminante? p c) SeipL der Zerfallungskorper von f uber K . Dann ist (f ) 2 L und Z = K [ (f )] ein Zwischenkorper von L=K mit [Z : K ] 2. 5) Schreiben Sie (f ) fur f wie in Aufgabe 4) im Fall n = 2 und n = 3 als ein Polynom in a1 ; : : : ; an . 6) Sei K ein Korper, f 2 K [X ] ein irreduzibles separables Polynom vom Grad n mit den Wurzeln a1 ; : : : ; an und L := K [a1; : : : ; an] sein Zerfallungskorper. Ferner seien K^ := K (X1 ; : : : ; Xn) und L^ := L(X1; : : : ; Xn ) die Korper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten X1 ; : : : ; Xn . a) L^ =K^ ist eine Galoiserweiterung. b) Fur jedes 2 G(L^ =K^ ) gilt (L) L . c) G(L^ =K^ ) = G(L=K ). n P d) Sei ` = ai Xi . Gilt (`) = ` fur ein 2 G(L^ =K^ ), so ist = id. i=1 ^ ^ e) L = K (`). 7) Sei K ein vollkommener Korper der Charakteristik p > 0 und L := K (X; Y ) der Korper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten X; Y uber K . a) Bestimmen Sie [L : Lp]. b) Zeigen Sie, da L=Lp unendlich viele Zwischenkorper besitzt. 8) Sei K ein Korper der Charakteristik p > 0, L=K eine endliche normale Korpererweiterung und P der Korper alle uber K rein inseparablen Elemente von L (x 8, Aufg. 6). a) P ist der Korper aller G(L=K )-invarianten Elemente von L . Die Korpererweiterung L=P ist galoissch und G(L=K ) = G(L=P ). b) Lsep=K ist galoissch und G(L=K ) = G(Lsep =K ). c) L = Lsep P .

U bungen

125

9) Sei K ein Korper der Charakteristik 0 und f 2 K [X ] ein Polynom vom Grad 1, das in einem Erweiterungskorper L von K in der Form

f = c(X a1 )1 : : : (X an)n mit c 2 K , ai 2 L , i 2 N + (i = 1; : : : ; n) und ai 6= aj fur i 6= j zerfallt. Dann ist (X a1) : : : (X an ) 2 K [X ]. 10) Sei K ein Korper, L := K (X ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten X uber K . Fur 2 K , 2 K bezeichne ; den durch X 7! X + bestimmten K {Automorphismus und G die Gruppe aller derartigen Automorphismen. Fur eine Untergruppe von G sei

L := fr 2 K (X ) n f0g j (r) 2 K r fur alle 2 g Fur r 2 L , 2 werde (r) = r~() r mit r~() 2 K geschrieben. a) Durch r~ ist ein Gruppenhomomorphismus r~: ! K gegeben. b) L ist eine Untergruppe von L . c) Sind p; q 2 K [X ] teilerfremd und ist pq 2 L , so sind p; q 2 L . d) Sei 1 := f;0 j 2 K g und 2 := f1; j 2 K g . Wenn K unendlich ist, dann gilt L 1 = fX r j 2 K ; r 2 Z g und L 2 = K e) Wenn unendlich ist, dann ist K der Fixkorper von . 11) Der Zweck dieser Aufgabe ist es, die Transzendenz von zu zeigen (nach Baker) und damit die Unmoglichkeit der Quadratur des Kreises. Angenommen, und damit auch i ware algebraisch uber Q . Sei

h = aX d + ad 1 X d 1 + + a0 2 Z [X ] ein Polynom kleinsten Grades d mit der Wurzel i und teilerfremden Koezienten a; a0 ; : : : ; ad 1 . Es seien x1; : : : ; xd die Wurzeln von h (x1 = i). Sei die Menge aller d {tupel ("1 ; : : : ; "d) mit "i 2 f0; 1g (i = 1; : : : ; d). Fur " = ("1 ; : : : ; "d) 2 Pd sei x" := "i xi . Mit einer Primzahl p bildet man das Hilfspolynom i=1

fp := X p 1 das Integral und die Zahl

Ip(t) :=

Z1 =0

e(1

Q (aX

x" 6=0

)t fp (t)td

J (p) :=

P Ip(x")

x" 6=0

ax" ) (t 2 C )

x 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie

126

Fur diese Zahl werden zwei Abschatzungen hergeleitet, die sich fur groe p widersprechen und so die Annahme, sei algebraisch, widerlegen. An algebraischen Hilfsmitteln wird nur der Hauptsatz fur symmetrische Funktionen (10.7b) benutzt. a) Zeigen Sie durch Abschatzung des Integrals Ip(t), da es eine Konstante C > 0 gibt, so da jJ (p)j C p P ex" = 0 ( e = Eulersche Zahl). b) Zeigen Sie "2 c) Zeigen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes fur symmetrische Funktionen, da fp 2 Z [X ] ist. Folgern Sie fur die Ableitungen von f :

fp(j) (0) 2 p! Z fur j 6= p 1 (p 1) fp (0) 2 (p 1)! Z fp(p 1)(0) 2= p! Z fur groe p d) Schreiben Sie fp = (X x" )pf" und drucken Sie fp(j) (x" ) mit Hilfe der Leibnizschen Regel fur Ableitungen durch f" aus. Folgern Sie mit dem Hauptsatz fur symmetrische Funktionen, da fur alle m 2 N

P Pm fp(j)(x" ) 2 p! Z

x" 6=0 j =0

e) Sei m deg fp = np 1. Zeigen Sie durch partielle Integration, da

Ip(t) = et

Pm fp(j)(0) Pm fp(j)(t)

j =0

j =0

Folgern Sie mit Hilfe von b)-d), da

jJ (p)j (p 1)! fur groe p f) Leiten Sie nun den gesuchten Widerspruch her.

127 x 11.

Gruppentheorie

Bisher wurden aus der Gruppentheorie nur Grundbegrie wie \Untergruppe", \Normalteiler", \Gruppenhomomorphismus", \Gruppenordnung" und \direktes Produkt" benutzt. An speziellen Gruppen trat nur die Permutationsgruppe n {ten Grades (symmetrische Gruppe) auf, ohne da weitergehende Kenntnisse u ber diese Gruppe vorausgesetzt werden muten. Da die Galoistheorie Fragen der Korpertheorie auf solche u ber Gruppen zuruckfuhrt, ist jetzt naturlich ein etwas weiterreichender Einstieg in die Gruppentheorie erforderlich. Die U bungsaufgaben 1)-8) enthalten Tatsachen der Gruppentheorie, die wir im Text stillschweigend als schon bekannt verwenden wollen.

11.I. Operation einer Gruppe auf einer Menge

Es sei G eine Gruppe, M eine Menge und S (M ) die Gruppe aller bijektiven Abbildungen M ! M (Permutationsgruppe von M ). Wir wollen bis auf weiteres alle Gruppen multiplikativ schreiben. 11.1.Definition: Eine Operation von G auf M ist eine Abbildung : GM

!M, fur die folgende Bedingungen erfullt sind: Schreibt man g(m) := (g; m) fur g 2 G , m 2 M , so gilt a) e(m) = m fur alle m 2 M , wenn e 2 G das neutrale Element von G bezeichnet. b) (g0 g)(m) = g0 (g(m)) fur alle g; g0 2 G und alle m 2 M . Mit andern Worten: Jedem g 2 G ist eine Abbildung M ! M (m 7! g(m)) zugeordnet, wobei e 2 G die identische Abbildung entspricht und dem Produkt zweier Elemente aus G die Komposition der entsprechenden Abbildungen. Da g 1(g(m)) = e(m) = m fur alle g 2 G , sind die den Elementen von G zugeordneten Abbildungen bijektiv. Die Operationen von G auf M entsprechen somit eineindeutig den Gruppenhomomorphismen G ! S (M ). Man sagt, G operiert treu auf M , wenn der entsprechende Homomorphismus G ! S (M ) injektiv ist. 11.2.Beispiele:

a) Ist G eine Untergruppe von S (M ), also eine \Abbildungsgruppe", so operiert G auf M . Speziell operiert etwa die Galoisgruppe G einer Galoiserweiterung L=K auf der Menge L , aber auch auf der Menge der Zwischenkorper Z von L=K und auf der Menge f(x) j 2 Gg der Konjugierten eines x 2 L . Die Automorphismengruppe eines Vektorraums operiert auf dem Vektorraum. So kann man unzahlige Beispiele bilden. b) Fur g 2 G heit die Abbildung gT : G ! G

(x 7! gx)

x 11 Gruppentheorie

128

die Linkstranslation mit g . Entsprechend ist durch Tg (x) = x g translation Tg de niert. Es ist klar, da .T : G ! S (G)

1

die Rechts-

(g 7! g T )

ein Gruppenhomomorphismus ist. Damit ist eine Operation von G auf G (man sagt durch Linkstranslation) erklart und G operiert auf G auch durch Rechtstranslation. Oensichtlich ist . T injektiv, daher kann G als Untergruppe von S (G) betrachtet werden. Jede Gruppe ist somit Untergruppe einer geeigneten Permutationsgruppe, jede endliche Gruppe der Ordnung n ist Untergruppe von Sn . Man nennt den Gruppenhomomorphismus . T : G ! S (G) die Permutationsdarstellung von G . Fur g 6= e ist g T eine xpunktfreie Permutation nach der Kurzungsregel in G . c) Fur g 2 G sei cg die durch

cg : G ! G

(x 7! gxg 1)

de nierte Abbildung. Es ist cg (xy) = gxyg 1 = (gxg 1)(gyg 1 ) = cg (x) cg (y) und cg 1 cg = ce = idG . Die Abbildung cg heit die Konjugation mit g . Wie gerade gezeigt, ist cg 2 Aut(G) S (G). Daher wird durch die Konjugation eine Operation von G auf G gegeben. Fur jedes g 2 G heit cg auch der durch g bewirkte innere Automorphismus von G . Ist U die Menge aller Untergruppen von G und ist U 2 U , so ist auch gUg 1 2 U fur alle g 2 G . Die Konjugation liefert daher auch eine Operation von G auf der Menge aller Untergruppen von G . d) Ist H eine Untergruppe von G und operiert G auf der Menge M , so operiert auch H in oensichtlicher Weise auf M . Im folgenden sei eine Operation von G auf M gegeben. Fur eine Teilmenge M 0 M ist U := fg 2 G j g(m0) = m0 fur alle m0 2 M 0 g eine Untergruppe von G . Sie heit die Isotropiegruppe von M 0 . Speziell ist damit auch die Isotropiegruppe eines Elements m 2 M de niert (M 0 = fmg). Man nennt m einen Fixpunkt der Operation, wenn seine Isotropiegruppe ganz G ist. 11.3.Beispiele:

a) Im Hauptsatz der Galoistheorie tritt die Isotropiegruppe eines Zwischenkorpers in einer Galoiserweiterung auf. b) G operiere auf sich selbst durch Konjugation. Fur eine Teilmenge M 0 G ist dann Z (M 0 ) := fg 2 G j gm0g 1 = m0 fur alle m0 2 M 0 g

Operation einer Gruppe auf einer Menge

129

eine Untergruppe von G , die Isotropiegruppe von M 0 . Sie heit der Zentralisator von M 0 . Speziell fur M 0 = G heit Z (G) das Zentrum von G . Es ist

Z (G) = fg 2 G j gx = xg fur alle x 2 Gg die Menge aller Elemente von G , die mit allen x 2 G vertauschbar sind. Oensichtlich ist Z (G) eine abelsche Gruppe und ein Normalteiler von G . c) G operiere jetzt auf der Menge U aller Untergruppen von G durch Konjugation. Fur U 2 U heit die Isotropiegruppe

N (U ) := fg 2 G j gUg 1 = U g der Normalisator von U . Oensichtlich ist U ein Normalteiler von N (U ), und U ist ein Normalteiler von G genau dann, wenn G = N (U ) ist. Fur m 2 M heit die Menge

Gm := fg(m) j g 2 Gg

quivalenzklasse) von m unter der Operation von G auf M . Es die Bahn (oder A ist klar, da M die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist. Besitzt die Operation nur eine Bahn, so nennt man sie transitiv. 11.4.Beispiele:

a) Ist G die Gruppe der Drehungen der Ebene um einen Punkt P , so sind die Bahnen die Kreise um P . b) Eine Untergruppe U von G operiere auf G durch Linkstranslation. Fur g 2 G heit dann die Bahn Ug := fug j u 2 U g auch die Rechtsnebenklasse von g modulo U . Wenn U auf G durch Rechtstranslation operiert, so heit die Bahn gU := fgu 1 j u 2 U g = fgu j u 2 U g die Linksnebenklasse von g modulo U . Die Menge der Linksnebenklassen wird mit G=U bezeichnet. Wenn U ein Normalteiler von G ist, so gilt gU = Ug fur alle g 2 G , d.h. man braucht nicht zwischen Linksund Rechtsnebenklassen zu unterscheiden. c) Operiert G auf sich durch Konjugation, so heit die Bahn von x 2 G

Gx := fgxg 1 j g 2 Gg auch die Konjugationsklasse von x . Entsprechend ist die Konjugationsklasse einer Untergruppe U von G de niert. Sie besteht aus allen \zu U konjugierten" Untergruppen gUg 1 (g 2 G).

x 11 Gruppentheorie

130

11.5.Satz. Sei G eine endliche Gruppe, die auf einer Menge M operiert. Fur

m 2 M sei r die Anzahl der Elemente der Bahn Gm und U die Isotropiegruppe von m . Dann gilt jGj = jU j r Beweis: Sind g1 (m); : : : ; gr (m) die verschiedenen Elemente der Bahn von m

(g1; : : : ; gr 2 G), dann sind die Elemente

g1u; : : : ; gr u

(u 2 U )

alle verschieden, denn aus gi u = gj u0 (u; u0 2 U ) folgt gi(m) = gi (u(m)) = gj (u0 (m)) = gj (m), also i = j und somit auch u = u0 . Folglich ist jGj jU j r . Fur g 2 G gilt andererseits g(m) = gi (m) mit einem i 2 f1; : : : ; rg . Dann ist gi 1g 2 U , folglich g = giu mit einem u 2 U , und es ist auch jGj jU j r gezeigt. G operiere nun auf der Menge aller Teilmengen von G durch Linkstranslation. Fur eine Untergruppe U G besteht die Bahn von U aus allen Linksnebenklassen gU (g 2 G) von U . Besitzt U genau r < 1 Linksnebenklassen, so wird [G : U ] := r gesetzt, andernfalls setzt man [G : U ] := 1 . Hierbei heit [G : U ] der Index von U in G . Die Isotropiegruppe von U bei der Linkstranslation ist U selbst, denn aus gU = U ergibt sich insbesondere g e 2 U , also g 2 U . Aus 11.5 folgt nun 11.6.Korollar. (Satz von Lagrange). Ist G eine endliche Gruppe, U

Untergruppe, so gilt

G eine

jGj = jU j [G : U ]

Speziell ist die Ordnung einer Untergruppe stets ein Teiler der Gruppenordnung und fur jedes g 2 G gilt gjGj = e (Kleiner Fermatscher Satz). Man hatte oben auch mit der Rechtstranslation argumentieren konnen. Daher ist der Index von U auch gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen von U . Der Vergleich mit der Formel in 11.5 zeigt: 11.7.Korollar. Unter den Voraussetzungen von 11.5 ist r = [G : U ] der Index der

Isotropiegruppe von m . Nun operiere G auf sich selbst durch Konjugation. Fur x 2 G ist dann die Isotropiegruppe gerade der Zentralisator Z (x) := fg 2 G j gx = xgg von x , und die Bahn Gx ist die Konjugationsklasse von x . Nach 11.7 gilt

jGxj = [G : Z (x)]

Restklassengruppen

131

insbesondere teilt jGxj die Ordnung von G . Sei nun G endlich und x1 ; : : : ; xn ein Reprasentantensystem fur die verschiedenen S Konjugationsklassen von G . Dann ist G = Gxi die disjunkte Vereinigung i=1;:::;n der Bahnen Gxi und man erhalt 11.8.Klassengleichung. jGj =

n P

[G : Z (xi )].

i=1

Das Zentrum Z (G) von G enthalt genau die Elemente, deren Bahnen nur aus einem Element bestehen. In der Summe in 11.8 treten somit genau jZ (G)j Summanden 1 auf, wahrend die ubrigen Summanden > 1 sind. Die Klassengleichung lat sich daher auch in folgender Form schreiben: (1)

jGj = jZ (G)j +

P

[G:Z (xi )]>1

[G : Z (xi )]

Wendet man den kleinen Fermatschen Satz auf die prime Restklassengruppe modulo n an (vgl. 6.33), so ergibt sich die Formel von Euler

x'(n) 1 modn fur alle x 2 Z mit ggT(x; n) = 1 Speziell ist xp 1 1 modp fur jede Primzahl p und jedes x 2 Z mit p - x . Dies ist also eine notwendige Bedingung dafur, um nachzuprufen, ob eine Zahl p eine Primzahl ist. Man spricht vom Fermat-Test fur Primalitat. Fur mehr uber dieses Thema und die explizite Zerlegung (groer) Zahlen in ein Produkt von Primzahlen sowie ihre Bedeutung fur die Kryptologie sei auf das schone Buch von Forster [Fo] verwiesen.

11.II. Restklassengruppen

Die Bildung von Restklassengruppen ist analog zu der von Restklassenringen (x 6) und der von Restklassenvektorraumen (Restklassenmoduln) in der linearen Algebra. Wir de nieren Restklassengruppen durch eine universelle Eigenschaft. 11.9.Definition: Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G . Eine Restklassengruppe von G modulo N ist ein Paar (G0 ; "), wobei G0 eine Gruppe ist, " : G ! G0 ein Gruppenhomomorphismus mit N = ker " und wobei gilt: Ist

: G ! H ein beliebiger Gruppenhomomorphismus mit N ker , so existiert genau ein Gruppenhomomorphismus : G0 ! H mit = " . 11.10.Satz. Fur jede Gruppe G und jeden Normalteiler N

G existiert die Rest-

klassengruppe und ist bis auf kanonische Isomorphie eindeutig.

x 11 Gruppentheorie

132

Beweis: Die Eindeutigkeitsaussage ist wie in 4.33 zu verstehen und sie ergibt sich

auch wie dort. Um die Existenz der Restklassengruppe zu beweisen, betrachten wir die Menge 0 G := G=N aller (Links-)nebenklassen gN . Ferner sei " : G ! G0 die Abbildung, die jedem g 2 G seine Nebenklasse gN zuordnet. Fur g1N , g2N 2 G0 de nieren wir das Produkt durch (g1 N ) (g2 N ) := g1g2N Dies ist unabhangig von der Reprasentantenwahl: Ist g1N = g10 N , also g10 = g1n mit einem n 2 N , so ist g10 g2 = g1 ng2 = g1g2n0 mit einem n0 2 N . (Hier haben wir benutzt, da N Normalteiler von G ist: Ng2 = g2N ). Es folgt g10 g2 N = g1g2N . Klar ist g1g20 N = g1g2N , wenn g20 N = g2N . Man veri ziert sofort, da G0 mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist: Ihr neutrales Element ist e N = N , das zu gN inverse Element ist g 1N . Ferner ist klar, da " ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ker " = N ist. Sei nun : G ! H ein beliebiger Gruppenhomomorphismus mit N ker . Es kann hochstens einen Gruppenhomomorphismus : G0 ! H mit = " geben, denn fur jedes gN 2 G0 mu (2)

(gN ) = ("(g)) = (g)

gelten. Setzt man so fest und ist g1N = g2N (g1; g2 2 G), so ist (g1) = (g2 ), denn g1 = g2n mit einem n 2 N und (g1) = (g2) (n) = (g2), da N ker . ist also wohlde niert und = " . Fur g1N; g2N 2 G0 gilt

(g1N g2N ) = (g1g2 N ) = (g1g2) = (g1 ) (g2 ) = (g1 N ) (g2 N ) d.h. ist ein Gruppenhomomorphismus. Damit ist alles gezeigt, was zu beweisen war. Die Abbildung " : G ! G=N heit der kanonische Epimorphismus auf die Restklassengruppe. Zwei Elemente g1; g2 2 G heien kongruent modulo N , wenn g1N = g2N . Die in der De nition 11.9 dem Homomorphismus : G ! H zugeordnete Abbildung : G=N ! H heit der durch auf der Restklassengruppe induzierte Homomorphismus. 11.11.Korollar. (Homomorphiesatz fur Gruppen). Jeder Gruppenepimorphismus

: G ! H induziert einen Isomorphismus G= ker e! H

(g ker 7! (g))

Beweis: Die durch induzierte Abbildung : G= ker ! H ist surjektiv, weil

es ist. Ist ferner (g ker ) = e fur ein g 2 G , dann ist (g) = e , also g 2 ker

Restklassengruppen

133

und damit g ker = ker das neutrale Element von G= ker . Daher ist auch injektiv. Fur eine endliche Gruppe G ist naturlich auch G=N endlich und es gilt jG=N j = [G : N ]. Somit konnen wir fur 11.6 schreiben

jGj = jN j jG=N j

(3)

Die folgenden Satze geben Auskunft uber das Verhalten von Untergruppen und Normalteilern bei Gruppenhomomorphismen. 11.12.Satz. Sei : G ! H ein Gruppenhomomorphismus.

a) Ist U eine Untergruppe (ein Normalteiler) von H , so ist 1 (U ) eine Untergruppe (ein Normalteiler) von G . Fur jede Untergruppe U von G ist (U ) eine Untergruppe von H . b) Ist surjektiv und U ein Normalteiler von G , so ist (U ) ein Normalteiler von H. c) Ist surjektiv, so induziert eine Bijektion der Menge aller Untergruppen (Normalteiler) von G , welche ker umfassen, auf die Menge aller Untergruppen (Normalteiler) von H . Beweis: Fur g1 ; g2 2 1 (U ) gilt (g1 g2 1 ) = (g1 ) (g2 ) 1 2 U , also

g1g2 1 2 1(U ). Nach dem Untergruppenkriterium ist 1 (U ) eine Untergruppe von G . Falls U Normalteiler von H ist, gilt (gg1g 1) = (g) (g1 ) (g) 1 2 U , also g 1(U )g 1 1(U ) fur jedes g 2 G , und damit ist 1 (U ) ein Normalteiler von G . A hnlich einfach ergibt sich die zweite Aussage von a) und auch Aussage b). Ist surjektiv und U G eine Untergruppe mit ker U , so gilt 1((U )) = U . Hieraus folgt c).

! H ein Gruppenepimorphismus und N ein Normalteiler von H , ferner " : H ! H=N der kanonische Epimorphismus, so ist der durch die 11.13.Satz. Ist : G

Zusammensetzung

"

G ! H ! H=N

induzierte Homomorphismus

G= 1 (N ) ! H=N

(g 1 (N ) 7! (g) N )

ein Isomorphismus. Beweis: Es handelt sich um einen Spezialfall des Homomorphiesatzes, denn " ist surjektiv und ker (" ) = 1(N ).

x 11 Gruppentheorie

134

Ist U eine Untergruppe, N ein Normalteiler einer Gruppe G , dann besteht das Bild von U beim kanonischen Epimorphismus " : G ! G=N aus den Restklassen uN mit u 2 U . Daher ist

" 1 ("(U )) = U N := fu n j u 2 U; n 2 N g und nach 11.12 ist U N eine Untergruppe von G (was man leicht auch direkt sieht) mit N U N . Als Normalteiler von G ist N auch ein Normalteiler von U N . Ferner ist U \ N ein Normalteiler von U , denn fur g 2 U \ N und u 2 U ist ugu 1 2 U \ N . Als eine weitere Anwendung des Homomorphiesatzes erhalten wir nun 11.14. 1.Noetherscher Isomorphiesatz. Durch den Homomorphismus

: U ! G=N wird ein Gruppenisomorphismus U=U \ N e! U N=N

(u 7! uN ) (u (U \ N ) 7! u N )

induziert. Beweis: U N=N ist das Bild von und U \ N = ker .

Sind jetzt N2 N1 zwei Normalteiler einer Gruppe G , so ist das Bild von N1 in G=N2 ein Normalteiler (11.12), bestehend aus den Restklassen von N1 modulo N2 . Dieses kann mit N1=N2 identi ziert werden. In der jetzigen Situation liefert daher der Satz 11.13 11.15. 2.Noetherscher Isomorphiesatz. Die Zusammensetzung kanonischer

Epimorphismen

G ! G=N2 ! G=N2 =N1=N2 induziert einen Isomorphismus G=N1 e! G=N2 =N1=N2 (gN1 7! (gN2 ) N1=N2 )

11.III. Zyklische Gruppen

Die Untergruppen U von ( Z ; +) sind leicht zu bestimmen, denn jedes U ist zugleich ein Ideal des Rings Z : Fur u 2 U und n 2 N ist

n u = |u + {z + u} 2 U und ( n) u = |(u + {z + u)} 2 U n

Aus 6.4 ergibt sich daher

n

Zyklische Gruppen

135

11.16.Bemerkung: Die Untergruppen von ( Z ; +) sind die Hauptideale (n) mit

n2N. Im folgenden bezeichnen wir ( Z ; +) kurz mit Z . 11.17.Satz. Sei G eine Gruppe und g

morphismus :

Z

! G mit (1) = g .

2 G . Es gibt genau einen Gruppenhomo-

Beweis: Wenn existiert, so mu fur n 2 N gelten: (n) = g n , ( n) = (g n ) 1 .

Setzt man auf diese Weise fest, so ergibt sich leicht, da ein Gruppenhomomorphismus ist: (n1 + n2) = (n1) (n2) fur alle n1 ; n2 2 Z . 11.18.Definition: a) Das Bild der Abbildung aus 11.17 heit die von g

erzeugte

zyklische Untergruppe (g) von G . b) G heit zyklisch, wenn es ein g 2 G gibt, so da G = (g) ist. Ein solches g heit dann ein primitives Element von G .

In der Situation von 11.18a) ist (g) isomorph zu ( Z =(n); +), wenn (n) = ker ist (n 2 N ). Ist n = 0, so besteht (g) aus den Elementen gm und (gm ) 1 =: g m fur m 2 N . In diesem Fall ist (g) \die" unendliche zyklische Gruppe: (g) = ( Z ; +). Ist n > 0, so besitzt (g) die Ordnung n : (g) = fg0; : : : ; gn 1g; gn = e Wir bezeichnen die zyklische Gruppe der Ordnung n manchmal mit Z n . 11.19.Definition: Die

Ordnung ord(g) eines Elements g einer Gruppe G ist

die Ordnung der von g erzeugten zyklischen Untergruppe (g) von G .

Es ist ord(g) = 1 oder aber ord(g) ist die kleinste Zahl n 2 N + mit gn = e . 11.20.Regeln:

a) Gilt gm = e fur ein m 2 Z , so ist ord(g) ein Teiler von m . b) Ist ord(g) = n und m ein Teiler von n , so ist ord(gm) = mn . Nach dem Satz von Lagrange (11.6) ist ord(g) stets ein Teiler von jGj . Das neutrale Element von G besitzt die Ordnung 1. Da die zyklischen Gruppen bis auf Isomorphie gerade die Gruppen ( Z =(n); +) mit n 2 N sind, konnen wir auch sofort ihre Untergruppen angeben: Es sind dies die Gruppen (m)=(n), wobei m ein Teiler von n ist. Auch die primitiven Elemente der endlichen zyklischen Gruppe ( Z =(n); +) (n > 0) sind leicht zu bestimmen: Genau dann ist a + (n) fur a 2 Z nicht in einer echten Untergruppe von ( Z =(n); +) enthalten, wenn ggT(a; n) = 1 ist. Da es genugt, die Zahlen a = 0; : : : ; n 1 zu betrachten, besitzt ( Z =(n); +) genau '(n) primitive Elemente, wobei ' die Eulersche ' {Funktion ist. Fassen wir zusammen:

136

x 11 Gruppentheorie

11.21.Satz. Sei G = (g ) eine zyklische Gruppe der Ordnung n .

a) Jede Untergruppe U von G ist zyklisch. Es ist U = (gm ), wobei m ein Teiler von n ist. Fur eine endliche zyklische Gruppe G ist der Verband der Untergruppen von G isomorph zum Verband aller Teiler von n . b) Ist G endlich, so besitzt G genau '(n) primitive Elemente. Es sind dies die Elemente ga mit a 2 f1; : : : ; n 1g , ggT(a; n) = 1. Insbesondere ist ord(ga) = ord(g), wenn ggT(a; n) = 1 ist. 11.22.Beispiele: a) Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch: Ist G eine

solche Gruppe und jGj = p , so hat jedes g 2 G n feg die Ordnung p und ist daher ein primitives Element von G . b) Die n {ten Einheitswurzeln e 2ni ( = 0; : : : ; n 1) bilden bzgl. der Multiplikation eine zyklische Gruppe der Ordnung n . Ihre erzeugenden Elemente heien auch primitive n {te Einheitswurzeln. Es sind dies die Zahlen

ea 2ni mit a 2 f1; : : : ; n 1g; ggT(a; n) = 1 Die Gruppe der n {ten Einheitswurzeln, und damit jede zyklische Gruppe der Ordnung n ist isomorph zur Drehungsgruppe eines regularen n {Ecks. Daher kommt auch der Name \zyklische Gruppe". Die Untergruppen der Drehungsgruppe sind die Drehungsgruppen der m {Ecke, die dem n {Eck wie in der nachfolgenden Figur einbeschrieben werden konnen, wobei eine Ecke allen einbeschriebenen m {Ecken gemeinsam sein soll. Hierbei mu m ein Teiler von n sein. Eine Drehung ist genau dann ein primitives Element der Drehungsgruppe, wenn sie zu keiner dieser Untergruppen fur m < n gehort.

Als Vorbereitung fur den nachsten Satz benotigen wir zwei Lemmata. Man konnte diesen Satz auch mit Hilfe des Hauptsatzes fur abelsche Gruppen in der Form 11.29 beweisen. 11.23.Lemma. Sei G eine Gruppe. Fur g; h 2 G gelte ord(g ) =: m , ord(h) =: n .

Sind g und h vertauschbar und ist ggT(m; n) = 1, so ist ord(g h) = m n .

Zyklische Gruppen

137

Beweis: Da (gh)mn = (g m )n (hn )m = e ist, mu ord(gh) nach 11.20a) ein Teiler von m n sein. Schreibe ord(gh) = m0 n0 mit m0; n0 2 N , m0 j m und n0 j n . Angenommen, es ware etwa m0 < m . Dann ergabe sich

e = (g h)m0n = (gn)m0 (hn)m0 = (gn)m0 Da ggT(m; n) = 1 ist, gilt nach 11.21b) andererseits ord(gn) = ord(g) = m . Es hat sich ein Widerspruch ergeben. Daher ist m0 = m und analog n0 = n . 11.24.Lemma. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und m := Max ford(g ) j g 2 Gg .

Dann gilt ord(g) j m fur jedes g 2 G .

Beweis: Seien ord(g ) = pp und m = pp die Primzahlzerlegungen von ord(g )

und m . Wahle ein h 2 G mit ord(h) = m . Ware ord(g) kein Teiler von m , so gabe es eine Primzahl p mit p > p . Schreibe ord(g) = pp n0 , m = pp m0 (n0 ; m0 2 N ). Dann ist nach 11.20b) ord(gn0 ) = pp ; ord(hp p ) = m0 und diese Zahlen sind teilerfremd. Nach 11.23 ist dann ord(gn0 hp p ) = pp m0 > pp m0 = m ein Widerspruch. Somit gilt ord(g) j m . 11.25.Satz. Jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Integritatsrings

ist zyklisch. Beweis: Da jeder Integritatsring einen Quotientenkorper besitzt, genugt es endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Korpers K zu betrachten. Sei G eine solche Gruppe und m := Max ford(g) j g 2 Gg . Fur x 2 G mit ord(x) = m gilt xm 1 = 0. Nach 11.24 ist ord(g) fur jedes g 2 G ein Teiler von m , es gilt also auch gm 1 = 0. Das Polynom X m 1 hat aber hochstens m Nullstellen in K . Daher ist jGj m = ord(x) jGj und es folgt G = (x). 11.26.Korollar. a) Die multiplikative Gruppe jedes endlichen Korpers ist zyklisch.

b) Fur jede Primzahl p , jedes n 2 Z und jedes 2 N gilt np n mod p . Zum Beweis von b) benutzt man, da Z =(p) zyklisch von der Ordnung p 1 ist. p n mod p . Fur n 2 (p) gilt Fur n 2= (p) ist somit np 1 1 mod p und folglich n dies trivialerweise. Durch Induktion folgt nun np n mod p fur alle 2 N . Aussage b) lat sich auch so ausdrucken: Der Frobenius-Endomorphismus (vgl. 8.4) F : Z =(p) ! Z =(p) (x 7! xp ) ist die Identitat.

x 11 Gruppentheorie

138

11.IV. Der Hauptsatz fur abelsche Gruppen

Der letzte Abschnitt hat gezeigt, da man zyklische Gruppen sehr gut beherrscht. Man versucht daher, das Studium allgemeinerer Gruppen durch \Zerlegung" auf zyklische zuruckzufuhren. Dies geschieht hier fur endlich erzeugte abelsche Gruppen. Im folgenden sei G eine abelsche Gruppe, deren Verknupfung wir jetzt als Addition schreiben. Eine solche Gruppe kann auch als Z {Modul betrachtet werden. G heit freie abelsche Gruppe, wenn G als Z {Modul eine Basis fgg2 besitzt: L G = Z g 2 r Beispielsweise ist G = Z eine freie abelsche Gruppe mit den \Vektoren"

ei := (0; : : : ; 1; : : : ; 0)

(i = 1; : : : ; r)

als Basis. Jede freie abelsche Gruppe F mit einer Basis aus r Elementen ist zu Z r isomorph. Die Zahl r ist eine Invariante von F , denn jede Basis von Z r hat die Lange r , wie man etwa sieht, indem man Z r in Qr einbettet und die entsprechende Aussage uber Vektorraume benutzt. Die Zahl r heit der Rang von F . 11.27.Theorem. (Hauptsatz fur abelsche Gruppen). Sei F eine freie abelsche

Gruppe vom Rang r und U F eine Untergruppe. Dann gibt es eine Basis (b1 ; : : : ; br ) von F , eine Zahl 2 N mit r und Zahlen "1 ; : : : ; " 2 N + mit "i j "i+1 (i = 1; : : : ; 1), so da ("1 b1 ; : : : ; "b ) eine Basis von U ist. Insbesondere ist U eine freie abelsche Gruppe vom Rang r . Beweis: (durch Induktion nach r ). Fur r = 1 ist F = Z und hierbei identi ziert

sich U mit einem Ideal ("1 ) von Z . Die Aussage des Satzes ist in diesem Fall richtig. Sei nun r > 1 und sei der Satz fur freie abelsche Gruppen vom Rang < r schon bewiesen. Ist (w1 ; : : : ; wr ) eine beliebige Basis von F , so betrachten wir die Darstellungen

u = z1uw1 + + zruwr

(ziu 2 Z )

der Elemente u 2 U . Fur U = f0g ist nichts zu zeigen. Sei also U 6= f0g . Dann existiert ein u 2 U mit einem Koezienten ziu > 0. Wir de nieren "1 2 N + als die kleinste Zahl, die bei der Darstellung eines u 2 U bzgl. irgendeiner Basis von F als Koezient auftritt. Pr Sei jetzt (w1 ; : : : ; wr ) eine solche Basis und sei u1 = zi wi ein solches Element. i=1 Nach Umnumerierung der Basiselemente konnen wir dann z1 = "1 annehmen. Es ist I1 := fz1u j u 2 U g oensichtlich ein Ideal von Z . Da "1 die kleinste positive Zahl aus diesem Ideal ist, gilt I1 = ("1 ). Insbesondere teilt "1 jedes z1u (u 2 U ).

Abelsche Gruppen

139

Wir betrachten nun die Relation u1 = "1 w1 + z2 w2 + + zr wr und teilen die zi durch "1 mit Rest: zi = qi "1 + si (i = 2; : : : ; r; qi ; si 2 Z ; 0 si < "1) Bezuglich der Basis (w1 + qi wi; w2; : : : ; wr ) (i 2 f2; : : : ; rg) hat u1 die Darstellung u1 = "1 (w1 + qi wi) + z2 w2 + + si wi + + zr wr Nach De nition von "1 mu daher si = 0 sein und es folgt zi = qi "1 (i = 2; : : : ; r). Setze b1 := w1 + q2w2 + + qr wr . Dann ist (b1 ; w2; : : : ; wr ) eine Basis von F und "1 b1 2 U . Wegen I1 = ("1 ) gilt U = Z "1b1 + (U \ ( Z w2 Z wr )) Diese Summe ist direkt, weil (b1 ; w2; : : : ; wr ) eine Basis von F ist. Wir konnen also schreiben U = Z "1 b1 U1 mit U1 := U \ ( Z w2 Z wr )

Lr

Da U1 ein Untermodul des freien Moduls F1 = Z wi vom Rang r 1 ist, gibt es i=2 eine Basis (b2 ; : : : ; br ) von F1 , ein r und Zahlen "2 ; : : : ; " 2 N + mit "i j "i+1 (i = 2; : : : ; 1), so da ("2 b2 ; : : : ; " b) eine Basis von U1 ist. Dann ist (b1 ; : : : ; br ) eine Basis von F und ("1 b1 ; : : : ; " b ) eine von U . Es ist noch "1 j "2 zu zeigen. Betrachte u = "1 b1 + "2 b2 2 U und teile "2 durch "1 mit Rest "2 = q"1 + s (q; s 2 Z ; 0 s < "1) Da (b1 + qb2 ; b2 ; : : : ; br ) eine Basis von F ist, ergibt sich wie oben nach De nition von "1 , da s = 0 sein mu. Der Satz ist damit bewiesen. Bemerkungen: Der Satz gilt allgemeiner fur freie Moduln endlichen Ranges u ber

beliebigen Hauptidealringen. In dieser Form hat man ihn vielleicht schon in der linearen Algebra kennengelernt und dort sind eventuell auch seine Anwendungen auf ganzzahlige lineare Gleichungssysteme vorgekommen. Wir beschaftigen uns hier mit den mehr gruppentheoretischen Aspekten des Satzes.

endlich erzeugt, wenn sie als Z -Modul ein endliches Erzeugendensystem (g1 ; : : : ; gr ) besitzt: G = Z g1 + + Z gr . Ist dies der Fall, so ist G = Z r =U mit einer Untergruppe U Z r , denn durch : Z r ! G (ei 7! gi ) wird ein Epimorphismus de niert und ein Isomorphismus G = Z r =U mit U := ker induziert (Homomorphiesatz). Aus 11.27 folgt daher 11.28.Definition: Eine abelsche Gruppe G heit

140

x 11 Gruppentheorie

11.29.Korollar. Fur jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G existiert ein Iso-

morphismus

G = Z Z =("1 ) Z =(" ) wobei "1; : : : ; " 2 N + , "i j "i+1 (i = 1; : : : ; 1) und "1 > 1. Insbesondere ist G die direkte Summe zyklischer Untergruppen. Die Zahl ist eine Invariante von G . Wenn wir G mit Z Z =("1 ) Z =(") identi zieren, dann ist klar, da T := Z =("1 ) Z =(" ) gerade die Menge der Elemente endlicher Ordnung von G ist. Ferner ist G=T = Z eine freie abelsche Gruppe von Rang . Daraus folgt, da eine Invariante von G ist. Man nennt den Rang von G . Die Zahl ist ebenfalls eine Invariante von G , denn ist p ein Primteiler von "1 , so ist T=pT = [ Z =("1 ) Z =(")]=[(p)=("1 ) (p)=(" )] = ( Z =(p)) und ist die Dimension von T=pT als Z =(p){Vektorraum. Ferner ist " eine Invariante von G , als grote Ordnung eines Elements endlicher Ordnung von G . Ist G eine endliche Gruppe, so ist " der Exponent von G , d.h. die kleinste Zahl m aus N + , so da alle Elemente von G eine durch m teilbare Ordnung besitzen. Man kann zeigen, da auch "1; : : : ; " 1 Invarianten von G sind. Hierfur gibt es mehrere Moglichkeiten; eine davon wird in der U bungsaufgabe 35) vorgestellt, die sich ihrerseits auf x 6, Aufg. 44)-46) stutzt. Die "i (i = 1; : : : ; ) heien die Elementarteiler von G (oder invariante Faktoren). Nach dem chinesischen Restsatz (6.30) kann man die Z =("i ) in eine direkte Summe zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung zerlegen. Daher ergibt sich 11.30.Korollar. Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G besitzt eine Zerlegung

G = F Z1 Zt wobei F eine freie abelsche Gruppe endlichen Rangs ist und die Zi zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung sind (i = 1; : : : ; t). Wir nennen eine abelsche Gruppe torsionsfrei, wenn 0 das einzige Element endlicher Ordnung der Gruppe ist. Aus dem Hauptsatz folgt 11.31.Korollar. Ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe torsionsfrei, so ist sie

frei. In der Darstellung der Gruppe gema 11.29 entfallt namlich der Anteil L T := Z =("i ). i=1 Ist umgekehrt G eine endliche abelsche Gruppe, so enthalt sie keine Elemente unendlicher Ordnung, und es entfallen dann die Summanden Z in 11.29 bzw. F in 11.30. Fur endliche abelsche Gruppen erhalten wir noch

Permutationsgruppen

141

11.32.Korollar. Ist G eine abelsche Gruppe der Ordnung n < 1 und ist m ein

Teiler von n , so enthalt G eine Untergruppe der Ordnung m .

Beweis: Sei G = Z1 Zt mit zyklischen Gruppen Zi der Ordnung ni

(i = 1; : : : ; t). Dann ist n = n1 : : : nt . Zerlege m in der Form m = m1 : : : mt , wobei mi j ni (i = 1; : : : ; t). Wahle in Zi eine Untergruppe Zi0 der Ordnung mi (11.21a)). Dann ist U := Z10 Zt0 eine Untergruppe der Ordnung m von G . Die Aussage des Korollars ist nicht richtig fur beliebige endliche Gruppen (Aufgabe 72a)). Sie gilt aber, wenn m eine Primzahlpotenz ist, wie spater gezeigt wird (11.59a)). Der Hauptsatz 11.29 erlaubt zusammen mit der Tatsache, da die "i Invarianten von G sind, fur jedes m 2 N + die Zahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung m zu bestimmen: Man zahlt, auf wie viele Arten sich m in der Form m = "1 : : : " mit "i j"i+1 (i = 1; : : : ; 1) und "1 > 1 zerlegen lat.

11.V. Permutationsgruppen

Da die Galoisgruppen algebraischer Gleichungen Permutationsgruppen der Wurzeln der Gleichung sind, sind diese Gruppen naturlich fur die Galoistheorie von besonderer Bedeutung. Manches von dem Folgenden lernt man auch schon im Zusammenhang mit der Determinantentheorie kennen.

2 heit 2 Sn ein r {Zyklus, wenn es paarweise verschiedene Zahlen 1; : : : ; r 2 f1; : : : ; ng gibt, so da (i ) = i+1 fur i = 1; : : : ; r 1, (r ) = 1 und (k) = k fur k 2 f1; : : : ; ng n f1; : : : ; r g . Ein 11.33.Definition: Fur r 2 N , r

solcher Zyklus wird

(1; : : : ; r ) = (2; : : : ; r ; 1) = geschrieben. 2{Zyklen heien Transpositionen. Ein 2{Zyklus (i; j ) vertauscht i und j und lat alle anderen Zahlen aus f1; : : : ; ng fest. Fur einen r {Zyklus = (1; : : : ; r ) gilt oensichtlich ord() = r; 1 = (r ; r 1; : : : ; 1) und

1 = ( (1); (2); : : : ; (r )) fur alle 2 Sn Fur eine Transposition ist 1 = und 2 = id. 11.34.Definition: Zwei Permutationen ;

2 Sn heien disjunkt, wenn alle

Zahlen, die bei (bei ) bewegt werden, bei (bei ) festbleiben.

Es ist klar, da disjunkte Permutationen ; vertauschbar sind: = .

x 11 Gruppentheorie

142

11.35.Satz. Jede Permutation lat sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Fak-

toren) als Produkt paarweise disjunkter Zyklen schreiben. Beweis: Sei 2 Sn und sei U

Sn die von erzeugte zyklische Untergruppe. U

operiert auf f1; : : : ; ng . a) Existenz der Produktzerlegung. Es seien B1; : : : ; Bh die Bahnen der Operation von U mit jBi j > 1 (i = 1; : : : ; h) und i 2 Sn werde durch (x) fur x 2 Bi i (x) = x fur x 2= Bi de niert. Oensichtlich gilt dann = 1 h und die i sind paarweise disjunkt. Es ist noch zu zeigen, da die i Zyklen sind. Sei jBij = ri und fur ein x 2 Bi sei m > 0 die kleinste Zahl mit m (x) = x . Dann sind x = (x); (x); : : : ; m 1 (x) paarweise verschieden und fur jedes n 2 Z ist n(x) = j (x) fur ein j 2 f0; : : : ; m 1g . Somit ist Bi = f (x); (x); : : : ; m 1 (x)g und m = ri . Ferner ist i der ri {Zyklus (x; (x); : : : ; ri 1(x)) b) Eindeutigkeit. Sei = 10 k0 eine weitere Zerlegung von in ein Produkt disjunkter Zyklen. Wir zeigen die Eindeutigkeitsaussage durch Induktion nach m := Min fh; kg . Fur m = 0 ist = id und es ist nichts zu zeigen. Im Fall m > 0 sei x 2 f1; : : : ; ng eine Zahl, die bei bewegt wird. Bi sei die Bahn, der x angehort. Dann gibt es ein eindeutiges j 2 f1; : : : ; kg mit j0 (x) 6= x . Ist j0 = (1 ; : : : ; rj ), so ist f1; : : : ; rj g die Bahn von x , also Bi = f1; : : : ; rj g . Es folgt j0 = i . Nach Kurzen dieses Faktors kann man den Beweis durch Induktion vollenden. Wir nennen die Faktorzerlegung gema 11.35 die Zyklenzerlegung einer Permutation. 11.36.Regeln: Sei = 1 : : : h die Zyklenzerlegung von 2 Sn

a) ord() = kgV(ord(1 ); : : : ; ord(h )) b) Fur jedes 2 Sn wird die Zyklenzerlegung von

1

gegeben durch

1 = (1 1) (2 1) : : : (h 1) Beweis: a) Fur jedes m

2 N gilt m = 1m : : : hm , weil die i vertauschbar

sind. Genau dann ist m = id, wenn im = id fur i = 1; : : : ; h . Hieraus folgt die Behauptung. b) Es ist klar, da die i 1 paarweise disjunkte Zyklen sind.

Permutationsgruppen

143

11.37.Definition: Das Signum von 2 Sn ist de niert durch

sign () :=

Q (i) (j ) j
Die Zahlen (i) (j ) sind bis aufs Vorzeichen die Abstande der Zahlen aus f1; : : : ; ng , daher ist sign () = 1. Ist j < i , aber (j ) > (i), so heit das Paar (j; i) ein Fehlstand von . Es ist daher sign () = 1 (bzw. sign () = 1), falls eine gerade (ungerade) Anzahl von Fehlstanden besitzt. Im ersten Fall heit eine gerade, im zweiten eine ungerade Permutation. Es ist klar, da eine Transposition das Signum 1 besitzt. 11.38.Satz. Die Abbildung sign : Sn ! f1; 1g ist ein Gruppenhomomorphismus:

sign () = sign ( ) sign ()

fur alle

; 2 Sn

Beweis:

Q ()(i) ()(j ) = Q ((i)) ((j )) Q (i) (j ) i j j
j
j
11.39.Korollar. Die Menge An aller geraden Permutationen in Sn ist ein Nor-

malteiler von Sn .

An ist der Kern des Gruppenhomomorphismus sign . Man nennt An die alternierende Gruppe n {ten Grades. Falls n > 1 ist, gilt Sn=An = f1; 1g , daher ist [Sn : An ] = 2 und jAn j = 12 n!

Es gibt ebenso viele ungerade wie gerade Permutationen. Fur 2 Sn mit (1) = i hat 0 := (1; 2)(2; 3) (i 0 (1) = 1. Durch Induktion folgert man

1; i) die Eigenschaft

11.40. Satz. Sn wird von den Transpositionen benachbarter Elemente erzeugt, d.h.

jedes 2 Sn ist Produkt von Transpositionen (i; i + 1).

Da Transpositionen das Signum 1 haben, ergibt sich

x 11 Gruppentheorie

144

11.41. Korollar. Ist 2 Sn Produkt von m Transpositionen, so gilt

sign () = ( 1)m Aus der Formel fur r {Zyklen (4)

(1 ; : : : ; r ) = (12) (23) : : : (r 1 r )

erhalt man 11.42.Korollar. Ist 2 Sn ein r {Zyklus, so ist sign ( ) = ( 1)r 1 .

Die Atome der Gruppentheorie sind die einfachen Gruppen im Sinne der folgenden De nition. Es ist ein wichtiges Thema, die einfachen Gruppen zu bestimmen und aus diesen alle Gruppen aufzubauen. 11.43.Definition: Eine Gruppe G heit

Normalteiler von G sind.

einfach, wenn G und feg die einzigen

Beispielsweise sind die zyklischen Gruppen von Primzahlordnung einfach. Eine weitere Klasse einfacher Gruppen liefert der folgende Satz. 11.44.Theorem. An ist fur n 6= 4 einfach.

Der Beweis benutzt die folgenden Lemmata. 11.45.Lemma. Seien a; b 2 f1; : : : ; ng verschiedene Zahlen. Fur n 3 wird An von

den Dreierzyklen (a; b; k) mit k 2 f1; : : : ; ng , k 6= a; b erzeugt.

Beweis: Da A3 von (1; 2; 3) erzeugt wird, ist die Aussage fur n = 3 trivial. Sei

also n > 3. Jede gerade Permutation lat sich als Produkt von Permutationen (u; v)(x; y) oder (u; v) (u; x) mit paarweise verschiedenen u; v; x; y 2 f1; : : : ; ng schreiben (11.41). Da (u; v) (x; y) = (u; x; v) (u; x; y) und (u; v) (u; x) = (u; x; v), ist jetzt schon gezeigt, da An von Dreierzyklen erzeugt wird. Ein Dreierzyklus enthalt von den Zahlen a; b entweder keine, genau eine oder alle beide. Die Formeln (a; u; b) = (a; b; u)2 ; (a; u; v) = (a; b; v)(a; b; u)2 (b; u; v) = (a; b; v)2 (a; b; u) und (u; v; x) = (a; b; u)2 (a; b; x)(a; b; v)2 (a; b; u) zeigen, da schon die Dreierzyklen (a; b; u) ganz An erzeugen.

Permutationsgruppen

145

11.46.Lemma. Ist n

3 und N ein Normalteiler von An , welcher einen Dreier-

zyklus enthalt, dann ist N = An . Beweis: Sei (a; b; c) 2 N . Fur k 6= a; b; c gilt

(a; b; k) = (a; b)(c; k)(a; b; c)2 (c; k)(a; b) = [(a; b)(c; k)](a; b; c)2 [(a; b)(c; k)]

1

Dies ist ein Element von N . Nach 11.45 folgt N = An . Beweis von 11.44:

Fur A1 ; A2 und A3 ist der Satz trivial. Sei daher n 5 und sei N 6= fidg ein Normalteiler von An . a) Wenn N einen Dreierzyklus enthalt, dann ist N = An nach 11.46. b) N enthalte eine Permutation , welche genau 4 Zahlen bewegt, aber keine Permutation, die weniger als 4 Zahlen bewegt. Dann ist von der Form = (a; b) (c; d) mit paarweise verschiedenen a; b; c; d . Wahle e 2 f1; : : : ; ng n fa; b; c; dg , was wegen n 5 moglich ist, und setze := (c; d; e). Dann ist 1 := 1 = (a; b)(d; e) 2 N und 1 = (c; d; e) 2 N , ein Widerspruch. Der Fall b) kann nicht eintreten. c) Es ist jetzt noch der Fall zu betrachten, da jedes 2 N mehr als 4 Zahlen bewegt. Wir betrachten ein , das moglichst wenig Zahlen bewegt. In seiner Zyklenzerlegung schreiben wir den langsten Zyklus zuerst. Es gibt dann folgende drei Moglichkeiten ) = (a; b; c; d; ) ) = (a; b; c) (d; e; )

) = (a; b) (c; d) (e; f ) Mit = (b; c; d) erhalt man fur 1 = 1 in den drei Fallen ) 1 = (a; c; d; b; ) ) 1 = (a; c; d) (b; e; )

) 1 = (a; c) (d; b) (e; f ) Hierbei ist 1 6= . In den Fallen ) und ) lat 1 1 alle Zahlen aus f1; : : : ; ng n fa; b; c; dg fest, im Fall ) alle Zahlen aus f1; : : : ; ng n fa; b; c; d; eg . In diesem Fall hat aber mehr als 5 Zahlen bewegt. Man hat jetzt in N eine Permutation gefunden, die weniger Zahlen bewegt als . Das ist ein Widerspruch. Fall c) kann ebenfalls nicht auftreten und der Satz ist bewiesen. Zur Struktur der Gruppe A4 siehe die Aufgaben 57) und 71)-73). Einer der schwierigsten Satze der Mathematik ist der Klassi kationssatz fur die endlichen einfachen Gruppen, in dem alle endlichen einfachen Gruppen bestimmt werden. Sein Beweis ist mehrere tausend Seiten lang (vgl. Gorenstein [G] fur Inhalt und Historie des Klassi kationssatzes).

146

x 11 Gruppentheorie

Neben An ist die Diedergruppe Dn eine weitere Untergruppe der Sn von besonderer Bedeutung. 11.47.Definition: Sei n 3. Die Untergruppe Dn Sn , welche von

1 2 3 ::: n 1 n a := (1; 2; : : : ; n) und b = 1 n n 1 : : : 3 2 erzeugt wird, heit Diedergruppe n {ten Grades. 11.48.Satz. Es ist jDn j = 2n und es gelten die Relationen

an = id; ak 6= id fur k = 1; : : : ; n 1 b2 = id; bab = a 1 Beweis: Da die Relationen gelten, rechnet man leicht aus. Es folgt dann Dn = fai bj j 0 i < n; j = 0; 1g . Die Elemente ai bj (0 i < n; j = 0; 1) sind paarweise verschieden, denn es ist (ai bj )(1) = i + 1 (i = 0; : : : ; n 1; j = 0; 1) 8 i+2 j = 0; i < n 1 > > > > <1 j = 0; i = n 1 i j (a b )(2) = > i j = 1; i > 0 > > > :n j = 1; i = 0 Damit ist der Satz bewiesen. Man kann leicht zeigen, da Dn zur Symmetriegruppe eines regularen n {Ecks isomorph ist, mit der Dn meistens identi ziert wird. Hierbei erzeugt a die Drehungsgruppe des n {Ecks und b entspricht der Spiegelung des n {Ecks an einer Geraden.

Sylow-Satze

147

11.VI. p {Gruppen und die Satze von Sylow Im folgenden sei p stets eine Primzahl.

11.49.Definition: Eine Gruppe G heit p {Gruppe, wenn die Ordnung jedes Ele-

ments von G eine Potenz von p ist. Wir werden bald sehen, da eine endliche Gruppe G genau dann eine p {Gruppe ist, wenn jGj eine Potenz von p ist. 11.50.Satz. Ist G eine Gruppe der Ordnung pn (n > 0), so ist Z (G) 6= feg . Beweis: In der Klassengleichung (1) sind die Indizes [G : Z (xi )] durch p teilbar,

folglich ist es auch jZ (G)j und damit ist jZ (G)j > 1. A hnliche Schlusse werden auch in den folgenden Satzen angewandt werden.

11.51.Fundamentallemma. Eine Gruppe G der Ordnung pn operiere auf einer

endlichen Menge M und es sei M0 := fx 2 M j g(x) = x fur alle g 2 Gg die Menge der Fixpunkte der Operation. Dann ist jM j jMo j mod p . Beweis: Da M die disjunkte Vereinigung aller Bahnen der Operation ist, gilt

jM j = jMoj + jBx1 j + + jBxm j wobei Bxi die Bahnen mit jBxi j > 1 durchlauft. Nach 11.5 ist jBxi j ein Teiler von jGj = pn und daher durch p teilbar (i = 1; : : : ; m). Es folgt die Behauptung. 11.52.Satz von Cauchy. Ist die Ordnung einer endlichen Gruppe G durch p teil-

bar, dann enthalt G ein Element der Ordnung p .

Beweis: M sei die Menge aller p {tupel (a1 ; : : : ; ap ) 2 Gp mit a1 : : : ap = e . Fur

ein solches Element ist ap = (a1 : : : ap 1) 1 , daher gilt jM j = jGjp 1 . Die Gruppe Z =(p) operiere auf M durch zyklische Vertauschung, d.h. fur z + (p) 2 Z =(p) (z 2 f0; : : : ; p 1g) sei (z + (p))(a1 ; : : : ; ap) = (a1+z ; : : : ; ap; a1 ; : : : ; az )

Es ist klar, da (a1+z : : : ap)(a1 : : : az ) = e ist, weil in jeder Gruppe aus ab = e auch ba = e folgt. Sei M0 die Menge aller Fixpunkte dieser Operation auf M , also die Elemente der Form (a; : : : ; a) mit a 2 G , ap = e . Da (e; : : : ; e) 2 M0 , ist jM0 j > 0. Nach 11.51 ist jM j jM0j mod p . Weil jM j = jGjp 1 durch p teilbar ist, gilt sogar jM0 j p . Es gibt daher ein (a; : : : ; a) 2 M0 mit a 6= e und es ist ap = e , q.e.d.

x 11 Gruppentheorie

148

11.53.Korollar. Eine endliche Gruppe ist genau dann eine p {Gruppe, wenn jGj

eine Potenz von p ist. Andernfalls besae jGj einen Primteiler q 6= p und enthielte nach dem Satz von Cauchy ein Element der Ordnung q . 11.54.Korollar. Jede endliche p {Gruppe G 6= feg besitzt ein nichttriviales Zen-

trum.

11.55.Definition: Eine p {Sylowuntergruppe einer Gruppe G ist eine maximale

p {Untergruppe von G . Die Existenz einer solchen Untergruppe (fur jede Primzahl p ) ergibt sich aus dem Zornschen Lemma: Die Menge P aller p {Untergruppen von G enthalt feg und daher ist P 6= ; . Fur eine vollstandig geordnete Familie fUg2 von p {Untergruppen S von G ist auch U eine p {Untergruppe. Nach Zorn besitzt P ein maximales 2 Element und dieses ist eine p {Sylowuntergruppe von G . In einer abelschen Gruppe G gibt es genau eine p {Sylowuntergruppe: Es ist die Gruppe Gp aller Elemente von p {Potenzordnung in G (die p {Torsion von G ). Ist G endlich, so folgt aus dem Hauptsatz fur abelsche Gruppen, da L G = Gp p

11.56.Bemerkung: Sei G eine beliebige Gruppe.

a) Jede Konjugierte Gp 1 ( 2 G) einer p {Sylowuntergruppe Gp von G ist eine p {Sylowuntergruppe. b) Besitzt G nur eine p {Sylowuntergruppe, so ist diese ein Normalteiler von G . Beweis: a) folgt unmittelbar aus der De nition und b) ist eine Konsequenz von a).

Die Satze von Sylow, die wir jetzt herleiten wollen, beschaftigen sich mit den Sylowuntergruppen endlicher Gruppen. Im folgenden sei G jeweils endlich. 11.57.Lemma. Sei U eine p {Untergruppe von G und N (U ) = fg 2 G j gUg 1 = U g

ihr Normalisator. Dann gilt

[N (U ) : U ] [G : U ] mod p Beweis: U operiere auf der Menge M aller Linksnebenklassen gU (g 2 G) durch Linkstranslation und M0 := fgU j ugU = gU fur alle u 2 U g sei die Menge aller Fixpunkte dieser Operation. Fur u 2 U , g 2 G gilt ugU = gU genau dann, wenn g 1ug 2 U . Daher ist M0 die Menge aller Nebenklassen gU mit g 2 N (U ) und es ergibt sich jM0 j = [N (U ) : U ]. Da jM j = [G : U ] ist, folgt die Behauptung aus 11.51.

Sylow-Satze

149

11.58.Korollar. Ist p ein Teiler von [G : U ], so ist N (U ) 6= U . 11.59.Theorem. (1. Satz von Sylow) Es sei jGj = pn m , wobei p - m .

a) Fur jedes i 2 f0; : : : ; ng besitzt G eine Untergruppe der Ordnung pi , insbesondere besitzen die p {Sylowuntergruppen von G die Ordnung pn . b) Jede Untergruppe der Ordnung pi (i 2 f0; : : : ; n 1g) von G ist Normalteiler in einer Untergruppe der Ordnung pi+1 . Beweis: Sei n > 0. Nach dem Satz von Cauchy enthalt G eine Untergruppe der

Ordnung p . Es sei schon gezeigt, da G eine Untergruppe U der Ordnung pi (1 i < n) besitzt. Dann ist [G : U ] = pn i m und N (U ) 6= U nach 11.58. Die Restklassengruppe N (U )=U enthalt dann nach Cauchy eine Untergruppe U 0 =U der Ordnung p . Dabei ist U 0 eine Untergruppe der Ordnung pi+1 von G und U ist Normalteiler in U 0 , da U Normalteiler in N (U ) ist, q.e.d. 11.60.Theorem. (2. Satz von Sylow). Zu jeder p {Untergruppe U von G und

jeder p {Sylowuntergruppe P von G existiert ein g 2 G , so da gUg zwei p {Sylowuntergruppen von G sind konjugiert.

1

P . Je

Beweis: U operiere auf M := G=P durch Linkstranslation und M0 sei die Menge

der Fixpunkte dieser Operation. Nach 11.51 ist jM0j jM j mod p . Da p kein Teiler von jM j = [G : P ] ist, ist jM0j 6= 0. Es gibt somit ein g 2 G , so da ugP = gP fur alle u 2 U . Hieraus folgt g 1ug 2 P fur alle u 2 U . Die erste Aussage des Satzes ist damit gezeigt. Da je zwei p {Sylowuntergruppen von G die gleiche Ordnung besitzen, folgt die zweite unmittelbar. 11.61.Theorem. (3. Satz von Sylow). Sei sp die Anzahl der verschiedenen p {Sylow-

untergruppen von G . Dann gilt

jGj 0 mod sp und sp 1 mod p Beweis: Nach 11.60 ist sp die Anzahl aller Konjugierten einer festen p {Sylowunter-

gruppe P von G , also die Elementezahl der Bahn von P unter der Operation von G durch Konjugation auf der Menge seiner Untergruppen. Nach 11.5 ist sp ein Teiler von jGj . Sei jetzt M die Menge aller p {Sylowuntergruppen von G und M0 die Menge ihrer Fixpunkte unter der Operation von P auf M durch Konjugation:

M0 := fQ 2 M j aQa 1 = Q fur alle a 2 P g Genau dann ist Q 2 M0 , wenn P N (Q). Als p {Sylowuntergruppen von G sind P und Q auch p {Sylowuntergruppen von N (Q). Nach 11.60 sind sie in N (Q)

x 11 Gruppentheorie

150

konjugiert, es gibt somit ein x 2 N (Q) mit xQx 1 = P . Nach De nition von N (Q) ist xQx 1 = Q und somit Q = P . Damit ist gezeigt, da M0 = fP g ist. Wegen jM j = sp ergibt sich aus 11.51, da sp 1 mod p , q.e.d. Von den zahlreichen Anwendungen der Sylowsatze auf endliche Gruppen wollen wir uns zur Illustration den folgenden Satz herausgreifen. Weiteres Material enthalten die U bungen. 11.62.Satz. Seien p und q zwei Primzahlen, wobei p > q und q - p

Gruppe der Ordnung p q ist zyklisch.

1. Jede

Beweis: Wenn die Gruppe G die Ordnung p q besitzt, dann enthalt sie nach dem

Satz von Cauchy oder dem 1. Satz von Sylow ein Element a der Ordnung p und ein Element b der Ordnung q . Seien sp und sq wie in 11.61. Nach dem 3. Satz von Sylow ist sp ein Teiler von pq und gleichzeitig sp 1 durch p teilbar. Da p > q ist, mu sp = 1 sein. Dann ist (a) die einzige p {Sylowuntergruppe von G , insbesondere ein Normalteiler von G (11.56b)). Auch sq ist ein Teiler von pq und sq 1 wird durch q teilbar. Da q - p 1 ist, mu auch sq = 1 gelten. Somit ist auch (b) ein Normalteiler von G . Da (a) \ (b) = feg ist, folgt G = (a) (b), also G q.e.d. = Z =(p) Z =(q) = Z =(p q), Zahlenbeispiele: 15 = 3 5, 33 = 3 11, 35 = 5 7, 51 = 3 17, 65 = 5 13 etc.

11.VII. Au osbare Gruppen

Diese Gruppen spielen in der Theorie der Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale eine entscheidende Rolle. Unabhangig davon sind sie aber auch rein gruppentheoretisch sehr bedeutsam als nahe Verwandte der abelschen Gruppen. 11.63.Definition: Eine Gruppe G heit au osbar, wenn es eine Kette

(5)

G = N` N` 1 N1 N0 = feg

von Untergruppen Ni G gibt (i = 0; : : : ; `), so da gilt: Fur i = 1; : : : ; ` ist Ni 1 Normalteiler in Ni und Ni =Ni 1 abelsch. Oensichtlich sind abelsche Gruppen au osbar und nichtabelsche einfache Gruppen sind nicht au osbar. Weiterhin gilt: 11.64.Satz. Jede endliche p {Gruppe ist au osbar.

Au osbare Gruppen

151

Beweis: Sei G 6= feg eine endliche p {Gruppe. Nach 11.50 ist dann Z (G) 6= feg .

Ferner ist Z (G) ein Normalteiler in G und in jeder Z (G) umfassenden Untergruppe von G . Da G=Z (G) eine p {Gruppe kleinerer Ordnung als G ist, kann man annehmen, da schon eine Kette

G=Z (G) = N`=Z (G) N` 1 =Z (G) N1 =Z (G) = feg von Untergruppen von G=Z (G) gefunden ist, wobei Ni 1=Z (G) Normalteiler in Ni =Z (G) ist, also Ni 1 Normalteiler in Ni , und Ni=Z (G)=Ni 1 =Z (G) = Ni =Ni 1 abelsch ist (i = 2; : : : ; `). Mit N0 = feg erhalt man dann die gewunschte Kette G = N` N` 1 N1 N0 = feg . 11.65.Satz. Ist G eine au osbare Gruppe, so ist auch jede Untergruppe und jedes

homomorphe Bild von G au osbar. Beweis: a) Sei U

die Kette

G eine Untergruppe. Mit Hilfe einer Kette (5) erhalt man dann

U = U \ N` U \ N` 1 U \ N1 U \ N0 = feg Da Ni 1 Normalteiler in Ni ist, ist auch U \ Ni 1 Normalteiler in U \ Ni (i = 1; : : : ; `). Ferner gilt nach dem 1. Noetherschen Isomorphiesatz 11.14

U \ Ni =U \ Ni 1 = U \ Ni =U \ Ni \ Ni 1 = (U \ Ni) Ni 1=Ni

1

(i = 1; : : : ; `)

Die letzte Gruppe ist eine Untergruppe von Ni =Ni 1 , folglich abelsch. b) Ist ' : G ! H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dann ist

H = '(N`) '(N` 1) '(N1 ) '(N0 ) = feg eine Untergruppenkette von H . Dabei ist '(Ni 1 ) ein Normalteiler von '(Ni ) nach 11.12b) und ' induziert nach dem Homomorphiesatz einen Gruppenepimorphismus Ni =Ni 1 ! '(Ni)='(Ni 1 ) (i = 1; : : : ; `). Da Ni =Ni 1 abelsch ist, mu es auch '(Ni )='(Ni 1) sein. Fur jede endliche abelsche Gruppe A gibt es eine Kette (6)

A = Ur Ur 1 U1 U0 = feg

von Untergruppen Ui (i = 0; : : : ; r), so da Ui =Ui 1 (i = 1; : : : ; r) zyklisch von Primzahlordnung ist. Wahle etwa zunachst eine zyklische Untergruppe 6= feg . In ihr gibt es eine zyklische Untergruppe von Primzahlordnung. Nehme diese fur U1 und wende Induktion an. Dies verallgemeinert sich wie folgt.

x 11 Gruppentheorie

152

11.66.Satz. Ist N ein Normalteiler einer endlichen au osbaren Gruppe, so gibt es

eine Kette von Untergruppen Ni G (i = 0; : : : ; `)

G = N` N` 1 N1 N0 = feg mit folgenden Eigenschaften: a) Ni 1 ist Normalteiler von Ni (i = 1; : : : ; `) b) Ni=Ni 1 ist (zyklisch) von Primzahlordnung (i = 1; : : : ; `) c) N 2 fN0 ; : : : ; N` g . Beweis: Nach 11.65 ist N au osbar, es gibt daher eine Kette

(7)

N = N N 1 N0 = feg

so da Ni 1 Normalteiler in Ni ist und Ni =Ni 1 abelsch (i = 1; : : : ; ). Fur die Ni =Ni 1 kann man eine Kette (6) nden, dabei sind die Untergruppen Uj von der Form Uj =Ni 1 mit Ni 1 umfassenden Untergruppen Uj Ni . Dabei ist Uj 1 Normalteiler in Uj und Uj =Uj 1 = Uj =Ni 1 =Uj 1=Ni 1 = Uj =Uj 1 ist von Primzahlordnung. Die Kette (7) lat sich durch Einschieben der Uj zwischen Ni 1 und Ni so verfeinern, da die Bedingungen a) und b) des Satzes erfullt sind. Wir nehmen daher an, da (7) eine solche Kette ist. Nach 11.65 ist auch G=N au osbar und man ndet mit den gleichen Argumenten wie eben eine Kette G=N = N` =N N=N = feg wobei Ni=N=Ni 1 =N = Ni =Ni man nun (7) mit der Kette

1

von Primzahlordnung ist (i = + 1; : : : ; `). Setzt

G = N` N` 1 N = N zusammen, so ergibt sich die im Satz die gesuchte Kette. Sind in 11.66 die Gruppen Ni =Ni 1 von der Ordnung pi , so gilt jGj = p1 : : : p` . Die auftretenden Primzahlen pi hangen somit nur von jGj ab und nicht von der Wahl der jeweiligen Untergruppenkette. Die Gruppen Z =(pi ) sind als die Atome anzusehen, aus denen sich die au osbare Gruppe G zusammensetzt. Nach einem Satz von Jordan-Holder besitzt jede endliche Gruppe eine entsprechende \Atomzerlegung" in einfache Gruppen. Die endlichen au osbaren Gruppen sind gerade die, deren Atome zyklisch von Primzahlordnung sind.

U bungen

153

11.67.Bemerkung: Die symmetrische Gruppe Sn ist fur n

5 nicht au osbar,

denn sie enthalt die einfache nichtabelsche Gruppe An (11.44). Hieraus werden wir spater folgern, da es fur n 5 keine allgemeine Losungsformel fur algebraische Gleichungen vom Grad 5 durch Radikale gibt. Einen schnellen Beweis, da Sn fur n 5 nicht au osbar ist, enthalt die U bungsaufgabe 81). Nach einem schwierigen Satz von Feit und Thompson sind alle Gruppen ungerader Ordnung au osbar. Ubungen:

Die Aufgaben 1)-8) dienen der Wiederholung von Begrien und Tatsachen der Gruppentheorie, die im Text als bekannt vorausgesetzt werden. Gruppen werden hier multiplikativ geschrieben, wenn nicht ausdrucklich etwas anderes gesagt wird. Mit e wird ihr neutrales Element bezeichnet. 1) Untergruppenkriterium: Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G , wenn gh 1 2 U fur alle g; h 2 U . 2) Sei : G ! H ein Gruppenhomomorphismus (d.h. (g1g2) = (g1 ) (g2) fur alle g1; g2 2 G ) und U := fg 2 G j (g) = eg sein Kern: U = ker . a) U ist eine Untergruppe von G , im := f(g) j g 2 Gg eine Untergruppe von H. b) U ist sogar Normalteiler von G (d.h. gUg 1 = U fur alle g 2 G ). c) ist genau dann injektiv, wenn U = feg . 3) a) Die Zusammensetzung zweier Gruppenhomomorphismen ist ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus. b) Ist ein Gruppenisomorphismus (bijektiver Gruppenhomomorphismus), so ist auch 1 einer. c) Die Automorphismen einer Gruppe G (d.h. die Isomorphismen G ! G ) bilden bzgl. der Komposition von Abbildungen eine Gruppe Aut(G), die Automorphismengruppe von G . d) Geben Sie Beispiele fur nichttriviale Gruppenautomorphismen an. 4) Fur eine Gruppe G mit den Elementen e = g1; g2; : : : ; gn heit die Matrix

2g 1 66 g2 64 .. . gn

g2 : : : gn 3 g22 : : : g2n 77 .. .. 75 . . gn2 : : : gnn

die Gruppentafel von G .

mit gij := gi gj

x 11 Gruppentheorie

154 a) b) c) d)

In jeder Zeile und Spalte der Gruppentafel stehen alle Elemente der Gruppe. Wie ndet man in der Gruppentafel schnell das Inverse eines Elements? Was bedeutet es fur die Gruppentafel, da G abelsch ist? Stellen Sie die Gruppentafel der symmetrischen Gruppe (Permutationsgruppe) S3 auf. 5) Die beiden Matrizen 2e a b c3 2e a b c3 66 a e c b 77 66 a b c e 77 4b c e a5 4b c e a5 c b a e c e a b sind Gruppentafeln zweier Gruppen. Diese sind nicht isomorph, aber jede Gruppe mit 4 Elementen ist zu einer von ihnen isomorph. (Die erste heit die Kleinsche Vierergruppe). 6) a) Der Durchschnitt von Untergruppen einer Gruppe G ist eine Untergruppe von G. b) Sei fgg2 eine Familie von Elementen g aus einer Gruppe G . Die von fgg erzeugte Untergruppe U = (fgg) ist der Durchschnitt aller Untergruppen von G , welche fgg2 enthalten. Zeigen Sie, da U die Menge aller \Worte" a1 : : : an ist, wobei ai 2 fgg oder ai 1 2 fgg fur i = 1; : : : ; n . c) Geben Sie kurzeste Erzeugendensysteme fur die beiden Gruppen in Aufg. 5) an. Q 7) Fur eine Familie fGg2 von Gruppen ist das direkte Produkt G die 2 Menge aller Familien fgg2 mit g 2 G ( 2 ), wobei komponentenweise multipliziert wird. G ist eine Gruppe. Sie enthalt bis auf Isomorphie jedes G als Normalteiler und besitzt G auch als homomorphes Bild. Welches \universelle Problem" lost G ? 8) Seien N1 ; N2 Untergruppen einer Gruppe G und N1 N2 ihr direktes Produkt. Genau dann wird durch

N1 N2 ! G

(a; b) 7! ab

ein Gruppenisomorphismus gegeben, wenn gilt: a) G wird von N1 [ N2 erzeugt b) N1 und N2 sind Normalteiler von G c) N1 \ N2 = feg . Man sagt dann, G sei das (innere) direkte Produkt von N1 und N2 und man schreibt G = N1 N2 . 9) Eine Gruppe operiere auf einer Menge. Die Isotropiegruppen zweier Elemente auf derselben Bahn sind konjugiert.

U bungen

155

10) Fur jede Gruppe G bilden ihre inneren Automorphismen einen Normalteiler von Aut(G). 11) Eine Gruppe der Ordnung 55 operiere auf einer Menge von 39 Elementen. Dann besitzt die Operation einen Fixpunkt. 12) Sei M := f1; 2; : : : ; ng und Sn die auf der Potenzmenge von M operierende symmetrische Gruppe. Fur eine Teilmenge L M mit L 6= ; , L 6= M sei UL die Isotropiegruppe von L . a) Es gibt genau vier Teilmengen von M , die bei jedem g 2 UL als ganzes fest bleiben. b) Die Konjugierten von UL sind ebenfalls Isotropiegruppen. c) UL hat in seinem Normalisator N (UL ) den Index 1 oder 2. Fur welche L tritt der Index 2 auf? 13) N sei ein Normalteiler einer Gruppe G und U G eine Untergruppe mit U \ N = feg . Liegt N im Normalisator von U , dann ist N auch im Zentralisator von U enthalten. 14) Eine Gruppe G besitze eine Untergruppe U vom Index 2. Dann ist U ein Normalteiler von G . Die Elemente ungerader Ordnung von G erzeugen eine echte Untergruppe von G . 15) Seien U und V Untergruppen einer endlichen Gruppe G und UV := fuv j u 2 U; v 2 V g . a) jUV j = jjUUjj\VV jj b) Ist V ein Normalteiler von G , so ist UV eine Untergruppe von G und [UV : V ] ist ein Teiler von jU j und [G : V ]. Sind jU j und [G : V ] teilerfremd, so gilt U V . c) Ist V ein Normalteiler von G und sind jV j und [G : V ] teilerfremd, so gilt: Ist G Normalteiler in einer Gruppe H , dann ist auch V Normalteiler in H . 16) Sei G eine Gruppe. Fur a; b 2 G heit [a; b] := aba 1 b 1 der Kommutator von a; b . Die von allen Kommutatoren [a; b] mit a; b 2 G erzeugte Untergruppe von G wird mit [G; G] bezeichnet. Sie heit die Kommutatorgruppe von G . a) [G; G] ist ein Normalteiler von G und G=[G; G] ist abelsch. b) Sei " : G ! G=[G; G] der kanonische Epimorphismus. Ist ' : G ! H ein Homomorphismus von G in eine abelsche Gruppe H , so existiert genau ein Gruppenhomomorphismus h : G=[G; G] ! H mit ' = h " . 17) Sei U eine Untergruppe einer Gruppe G . Durch Linkstranslation operiert G auf der Menge M der Linksnebenklassen von G modulo U . Zeigen Sie mit Hilfe dieser Operation: Ist M endlich, so enthalt U einen Normalteiler N von G , fur den auch G=N endlich ist.

x 11 Gruppentheorie

156 18)

a) Fur jeden kommutativen Ring R mit 1 ist die Menge R aller Matrizen

a b c d

19)

mit a; b; c; d 2 R; ad bc = 1

bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe und a fubrjeden Homomorphismus ( a ) ( b ) kommutativer Ringe : R ! S wird durch c d 7! (c) (d) ein Gruppenhomomorphismus R ! S induziert. a b b) Sei := Z und fur n 2 N sei (n) die Menge aller c d 2 mit a d 1 mod n , b c 0 mod n . Zeigen Sie, da (n) ein Normalteiler von ist und bestimmen Sie den Index [ : (p)], wenn p eine Primzahl ist.

a) Eine Gruppe ist nie Vereinigung von zwei echten Untergruppen. b) Sei G eine endliche abelsche Gruppe, U1; U2; U3 seien echte Untergruppen von G und G = U1 [ U2 [ U3 . Dann ist U1 \ U2 = U1 \ U3 = U2 \ U3 und Ui besitzt den Index 2 in G (i = 1; 2; 3). Welche Gruppe ist G=U1 \ U2 \ U3 ? 20) Die Menge G aller rationalen Zahlen, die eine Darstellung sr mit r; s 2 Z und quadratfreiem s gestatten, ist eine Untergruppe von (Q; +). Durch x 7! x wird der einzige nichttriviale Automorphismus von G gegeben. 21) Seien U und V Untergruppen von (Q; +). a) Ist U 6= Q , so ist Q=U nicht endlich. b) Ist Q=U zyklisch, so ist U = Q . c) Ist U 6= f0g , V 6= f0g , so ist U \ V 6= f0g . d) (Q; +) besitzt keine maximale Untergruppe. 22) In der Automorphismengruppe A des Polynomrings Q [X ] gibt es Untergruppen U; V mit folgenden Eigenschaften: a) U = (Q; +), V = Q. b) A = U V und U ist Normalteiler von A . 23) Fur m; n 2 Z n f0g sei d := ggT(m; n) und v := kgV(m; n). Dann existiert ein Gruppenisomorphismus (m)=(v) = (d)=(n). 24) a) Fur eine Gruppe G mit dem Zentrum Z sei G=Z zyklisch. Dann ist G abelsch. b) Die Gruppe der inneren Automorphismen einer nichtabelschen Gruppe ist niemals zyklisch. 25) Welche Ordnung besitzt die Automorphismengruppe einer zyklischen Gruppe der Ordnung m ? Bestimmen Sie die Automorphismengruppe von ( Z ; +) und die Automorphismengruppe von Z als Ring.

U bungen

157

26) Seien G1; G2 zwei Gruppen, ' : G2 ! Aut(G1 ) ein Gruppenhomomorphismus. Fur (g1 ; g2); (h1 ; h2) 2 G1 G2 setze man (g1 ; g2) (h1; h2) := (g1 '(g2)(h1 ); g2 h2)

27)

a) Durch diese Verknupfung wird G1 G2 zu einer Gruppe (sie wird G1 ' G2 geschrieben und heit semidirektes Produkt von G1 und G2 bzgl. ' ). b) G1 feg und feg G2 sind Untergruppen von G1 ' G2 . c) In welchem Fall ist G1 ' G2 eine abelsche Gruppe?

a) Geben Sie ein x 2 Z an, dessen Restklasse x in Z =(30) eine Einheit mit ord x = 4 ist. b) Ist die Einheitengruppe von Z =(30) zyklisch? c) Ist die Einheitengruppe des Rings Z =(45) zyklisch? 28) Fur eine endliche Gruppe G mit jGj > 1 sind folgende Aussagen aquivalent: a) G ist zyklisch von Primzahlpotenzordnung. b) G hat genau eine maximale Untergruppe. c) Fur beliebige Untergruppen U; V G gilt U V oder V U . 29) Gibt es in einer Gruppe G der Ordnung n fur jeden Teiler d von n hochstens eine Untergruppe der Ordnung d , so ist G zyklisch. 30) Sei (G; +) eine abelsche Gruppe, T (G) die Menge aller Elemente endlicher Ordnung von G (die Torsion von G ). G heit torsionsfrei, wenn T (G) = f0g ist. Zeigen Sie, da T (G) eine Untergruppe von G und G=T (G) torsionsfrei ist. 31) Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe. H heit charakteristische Untergruppe von G , wenn fur jeden Automorphismus ' von G gilt: '(H ) H . a) Fur jedes m 2 N ist Gm := fam1 : : : amk j a1 ; : : : ; ak 2 G; k 2 N g eine charakteristische Untergruppe von G . b) Ist m ein Teiler von n , so ist Gn eine charakteristische Untergruppe von Gm . c) G=G2 ist abelsch (Hinweis: Jeder Kommutator kann als Produkt von 3 Quadraten geschrieben werden). 32) Sei p eine Primzahl, G eine zyklische Gruppe der Ordnung p , H eine zyklische Gruppe der Ordnung p2 . Wie viele Endomorphismen (Automorphismen) besitzt GH? 33) a) (Q; +) ist keine freie abelsche Gruppe. b) Endlich erzeugte Untergruppen von (Q; +) sind zyklisch (man sagt: (Q; +) ist lokal zyklisch). c) Untergruppen und homomorphe Bilder lokal zyklischer abelscher Gruppen sind wieder lokal zyklisch.

158

34)

x 11 Gruppentheorie

d) Jeder Homomorphismus zwischen zwei Untergruppen von (Q; +) wird durch die Multiplikation mit einer rationalen Zahl vermittelt. e) Zwei Untergruppen U; V von (Q; +) sind genau dann isomorph, wenn U \ V in U und in V endlichen Index hat.

a) Sei U Z 3 die von den Elementen u1 = (4; 3; 1); u2 = (8; 3; 1) und u3 = (2; 2; 2) erzeugte Untergruppe. Bestimmen Sie eine Basis (b1 ; b2 ; b3 ) von Z 3 und Zahlen "1 ; "2 ; "3 2 N mit "i j "i+1 (i = 1; 2), so da ("1 b1 ; "2 b2 ; "3 b3 ) eine Basis von U ist. Schreiben Sie Z 3 =U als direkte Summe zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. b) Analog fur die durch (1; 1; 3), (2; 3; 1), (5; 1; 4) und (0; 5; 2) erzeugte Untergruppe U Z 3 . 35) Eine endliche abelsche Gruppe G sei in der Form G = Z =("1 ) Z =(") mit "i 2 N , 1 < "1 , "i j "i+1 (i = 1; : : : ; 1) zerlegt. Bestimmen Sie die Fittingideale (x 6, Aufg. 44)-46)) von G als Z {Modul und folgern Sie, da die Zahlen "i (i = 1; : : : ; ) Invarianten der Gruppe G sind. 36) a) Wie viele Isomorphieklassen von abelschen Gruppen der Ordnung 1991 (1992; 2048) gibt es? b) Bestimmen Sie das kleinste n , so da es genau 6 Isomorphieklassen von abelschen Gruppen der Ordnung n gibt. 37) Sei G eine abelsche Gruppe, in der jede absteigende und jede aufsteigende Kette von Untergruppen endlich ist. Dann ist G endlich. 38) Sind G; H und K endliche abelsche Gruppen und gilt G H = G K , so folgt H = K. 39) a) Eine nichttriviale endliche zyklische Gruppe besitzt ebenso viele maximale wie minimale Untergruppen. b) Eine endliche abelsche Gruppe besitzt genau dann nur eine minimale Untergruppe, wenn sie nur eine maximale Untergruppe besitzt. Fur welche Gruppen gilt dies? 40) a) Sind Z1 und Z2 endliche zyklische Gruppen mit teilerfremden Ordnungen, so ist auch Z1 Z2 zyklisch. b) Sind p und q verschiedene Primzahlen, so wird jede abelsche Gruppe der Ordnung p2q2 von 2 Elementen erzeugt. 41) Sei End(G) der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe G . Es bezeichne Z =(n)+ f ur n 2 N die additive Gruppe des Rings Z =(n). a) End( Z =(n)+ ) = Z =(n) fur alle n 2 N .

U bungen

159

b) Fur eine endliche abelsche Gruppe G ist End(G) genau dann ein Korper, wenn eine Primzahl p mit G = Z =(p)+ existiert. 42) Die additive Gruppe eines Korpers ist niemals isomorph zu seiner multiplikativen Gruppe. 43) Ein lineares Gleichungssystem n P

k=1

aik Xk = bi

(i = 1; : : : ; m; aik ; bi 2 Z )

ist genau dann in Z n losbar, wenn es fur alle d 2 N + modulo d losbar ist. Hinweis: Man kann das System in ein aquivalentes System mit lauter Gleichungen "i Yi = ci ("i ; ci 2 Z ) umwandeln. 44) Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste Zahl m 2 N + , so da gm = e fur alle g 2 G . Sei G abelsch vom Exponenten m . a) Es gibt eine Zerlegung G = G1 G2 , wobei G2 zyklisch von der Ordnung m ist. b) Ist ' ein Endomorphismus von G mit '(U ) U fur jede Untergruppe U von G , so gibt es eine modulo m eindeutige Zahl n 2 N , so da '(g) = gn fur alle g 2 G. 45) Sei G eine Gruppe und G0 die Menge aller (linearen) Charaktere von G in einem Korper K (vgl. 10.1). Fur 1; 2 2 G0 de niert man 1 2 durch (1 2 )(g) = 1 (g) 2 (g) fur alle g 2 G . a) G0 ist mit dieser Multiplikation eine Gruppe (die Charaktergruppe von G in K ). b) Ist G endlich und abelsch und K = C , so ist G0 = G . (Anleitung: Betrachten Sie zuerst zyklische Gruppen und wenden Sie dann den Hauptsatz fur abelsche Gruppen an). 46) Sei G eine endliche abelsche Gruppe vom Exponenten r und K ein Korper, dessen Charakteristik kein Teiler von r ist und welcher die r {ten Einheitswurzeln enthalt, d.h. alle Wurzeln des Polynoms X r 1 2 K [X ] liegen schon in K . Sei G0 die Charaktergruppe von G und G00 die Charaktergruppe von G0 (Aufg. 45)). Die Abbildung : G ! G00 , die jedem g 2 G die Abbildung G0 ! K mit 7! (g) zuordnet, ist ein Gruppenisomorphismus. 47) Eine Gruppe heie zerlegbar, wenn sie das direkte Produkt zweier echter Untergruppen ist, andernfalls heie sie unzerlegbar. a) Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle unzerlegbaren endlichen zyklischen Gruppen. b) Zeigen Sie, da ( Z ; +) und (Q; +) unzerlegbar sind. c) Zeigen Sie, da Q= Z zerlegbar ist. (Hinweis: Fur eine Primzahl p betrachte man die Untergruppe U Q aller Zahlen, deren Nenner eine Potenz von p ist und die Untergruppe U= Z Q= Z ).

x 11 Gruppentheorie

160

Q

48) Sei P die Menge aller Primzahlen, ` P := p2P Z =(p) das direkte Produkt der Gruppen ( Z =(p); +) und S := p2P Z =(p) ihre direkte Summe (d.h. die Menge der Elemente des Produkts, bei denen hochstens endlich viele Komponenten 6= 0 sind). a) S ist die Torsionsuntergruppe von P (vgl. Aufgabe 30)). b) Fur jedes s 2 S nf0g gibt es eine Primzahl p , so da die Gleichung px = s keine Losung in P hat. c) Fur jede Primzahl p ist p P=S = P=S . d) S ist kein direkter Summand von P . 49) Eine abelsche Gruppe G habe die Ordnung ps ( p Primzahl, s 2 N +) und sei direkte Summe von m zyklischen Untergruppen. U sei die Untergruppe von G , die aus 0 und den Elementen der Ordnung p besteht. a) Welche Ordnung besitzt U ? b) Wie sieht fur U eine Darstellung als direkte Summe zyklischer Gruppen aus? 50) Sei G eine endliche abelsche Gruppe und G2 := fg 2 G j g = gg . r a) GP2 ist eine PUntergruppe P von G und G2 = ( Z =(2)) fur ein r 2 N . b) g= h und 2 g = 0. g2G h2G2 P g2G c) Genau dann ist g 6= 0, wenn G2 = Z =(2). g2G 51) Eine Sequenz abelscher Gruppen und Gruppenhomomorphismen f

f

f

0 1 2 f0g ! G1 ! G2 ! : : : ! Gn

1

fn

f

1 n ! Gn ! f0g

heit exakt, wenn im fi = ker fi+1 fur i = 0; : : : ; n 1. Sind in einer solchen i Qn Sequenz die Gruppen Gi endlich von der Ordnung ai , so gilt a(i 1) = 1, sind i=1

52)

n P die Gi freie abelsche Gruppen von Rang ri < 1 , so gilt ( 1)i ri = 0. i=1

a) Besitzt eine endliche abelsche Gruppe genau zwei maximale Untergruppen, so ist sie zyklisch von der Ordnung paqb , wobei p und q verschiedene Primzahlen sind und a; b 2 N + gilt. b) Geben Sie ein Beispiel fur eine nichtzyklische endliche Gruppe mit genau 4 maximalen Untergruppen an. 53) Eine Gruppe ist dann und nur dann endlich, wenn sie nur endlich viele Untergruppen besitzt. Welche Gruppen haben genau 4 Untergruppen? 54) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) Zerlegen Sie die Permutation = 3 10 7 8 4 5 1 6 9 2 aus S10 in disjunkte Zyklen und bestimmen Sie sign ( ) sowie ord( ).

U bungen

55)

56)

161

b) Wie viele zu konjugierte Elemente gibt es in S10 ? c) Ist p eine Primzahl und 2 Sp ein Element der Ordnung p , so ist ein p {Zyklus. a) Sei G Sn eine Untergruppe, die nicht in An enthalten ist. Genau die Halfte der Elemente von G liegt in An . b) Bestimmen Sie das Zentrum von Sn .

a) Sn wird fur n 2 von (1; 2) und (1; 2; : : : ; n) erzeugt. b) Ist n eine Primzahl und i eine ganze Zahl mit 1 < i n , so wird Sn von (1; i) und (1; 2; : : : ; n) erzeugt. c) S4 wird nicht von (1; 3) und (1; 2; 3; 4) erzeugt. 57) Die Drehungsgruppe eines regularen Tetraeders ist zu A4 isomorph. 58) Wie viele Konjugierte besitzt ein Element der Ordnung 5 in A5 ? 59) Sei G eine Gruppe und S 1 die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Ferner bezeichne Hom(G; S 1) die Menge aller Gruppenhomomorphismen G ! S 1 . Wie viele Elemente besitzt Hom(G; S 1), wenn mit n 2 N + a) G = Sn , b) G zyklisch von der Ordnung n , c) G = Dn . 60) Ist P eine p {Sylowuntergruppe einer endlichen Gruppe G und N ein Normalteiler von G , so ist P \ N eine p {Sylowuntergruppe von N . 61) Sei G eineTendliche Gruppe und H G eine Untergruppe. a) N := gHg 1 ist ein in H enthaltener Normalteiler von G . (Lassen Sie G g2G auf den Linksnebenklassen modulo H operieren). b) Jeder in H enthaltene Normalteiler von G liegt in N . c) Sei p der kleinste Primteiler von jGj . Jede Untergruppe vom Index p in G ist Normalteiler von G . d) Fur jede Primzahl p ist der Durchschnitt aller p {Sylowuntergruppen von G ein Normalteiler von G . Er enthalt jede p {Untergruppe von G , die Normalteiler von G ist. 62) Seien p 6= q zwei Primzahlen. Jede Gruppe G der Ordnung p2q besitzt eine Sylowuntergruppe, die Normalteiler in G ist. 63) Jede Gruppe der Ordnung 200 besitzt einen nichttrivialen abelschen Normalteiler. 64) Fur ein n 2 N + gebe es (bis auf Isomorphie) nur eine Gruppe der Ordnung n . Dann ist n quadratfrei und fur je zwei verschiedene Primteiler p; q von n gilt p - q 1. 65) Sei Dn Sn die Diedergruppe n {ten Grades mit den in 11.47 angegebenen Erzeugenden a und b . a) Jede Untergruppe von (a) ist ein Normalteiler von Dn . b) (a2 ) ist die Kommutatorgruppe von Dn .

162

66)

x 11 Gruppentheorie

c) Ist p eine Primzahl 3 und n = pk m (k; m 2 N ; p - m), so ist (am ) die einzige p {Sylowuntergruppe von Dn .

a) Die Sylowuntergruppen jeder Gruppe G der Ordnung 45 sind Normalteiler in G und G ist das direkte Produkt seiner Sylowuntergruppen. G ist abelsch. b) Jede Gruppe der Ordnung 45 besitzt hochstens 12 verschiedene Untergruppen. c) Wie viele Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 45 gibt es? 67) Sei p eine Primzahl und N der Normalisator einer p {Sylowuntergruppe der Permutationsgruppe Sp . Dann ist jN j = p (p 1). (Hinweis: Zahlen Sie die Elemente der Ordnung p von Sp ). 68) Sei G eine Gruppe, U G eine Untergruppe und G=U die Menge der Linksrestklassen g := gU (g 2 G). Ferner bezeichne S (G=U ) die Permutationsgruppe von G=U . a) Durch '(g)(h) = gh fur g; h 2 G ist ein Gruppenhomomorphismus ' : G ! S (G=U ) de niert. b) Es ist N := ker ' U . Ist [G : U ] =: t endlich, so gilt t j [G : N ] und [G : N ] j t!. c) Jede Gruppe G der Ordnung 392 besitzt eine 7{Untergruppe, die Normalteiler von G ist. 69) Sei G eine Gruppe, U G eine Untergruppe. Eine Untergruppe U 0 G heit Komplement von U in G , wenn G = U 0 U und U 0 \ U = feg gilt. a) Ist G eine endliche zyklische Gruppe und besitzt U ein Komplement in G , so sind jU j und [G : U ] teilerfremd. b) Sei G endlich und seien jU j und [G : U ] teilerfremd. Dann ist jede Untergruppe U 0 G mit jU 0 j = [G : U ] ein Komplement von U in G . c) Sei G endlich und abelsch. Jede p {Sylowuntergruppe von G besitzt ein Komplement in G . 70) Sei G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe und p eine Primzahl. a) Tp(G) := fg 2 G j png = 0 fur ein n 2 N g ist eine Untergruppe von G (sie heit die p {Torsion von G ). b) Ist G := G=Tp(G), so gilt Tp(G) = f0g . c) Ist G endlich, so ist Tp(G) die (einzige) p {Sylowuntergruppe von G . d) Sei n 2 N , n = pk m mit k 0, p - m , und G =: Z =(n). Dann ist Tp(G) = Z =(pk ). e) A := f pze j z 2 Z ; e 0g ist eine Untergruppe von (Q; +). f) Ist G = Q= Z , so ist Tp(G) = A= Z . g) In diesem Fall ist jede echte Untergruppe von Tp(G) von der Form Z p1k = Z (k 1).

U bungen 71)

72)

163

a) Wie viele Untergruppen der Ordnung 8 besitzt S4 ? Sind diese Untergruppen paarweise isomorph? b) Ist U := f 2 S4 j (4) = 4g eine Untergruppe, ein Normalteiler von S4 ? c) Gibt es in S4 ein Element der Ordnung 6? d) Alle Untergruppen der Ordnung 6 von S4 sind isomorph. e) S4 hat nur eine Untergruppe der Ordnung 12, namlich A4 . f) Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen Z =(5) ! S4 an. g) S4 besitzt genau 4 Normalteiler, namlich f1g; V; A4 ; S4 , wobei V eine Kleinsche Vierergruppe (vgl. Aufg. 5)) ist.

a) Die alternierende Gruppe A4 besitzt keine Untergruppe der Ordnung 6. b) Jede Gruppe der Ordnung 12, welche keine Untergruppe der Ordnung 6 besitzt, ist zu A4 isomorph. (Anleitung: Eine solche Gruppe G besitzt genau 4 3{Sylowuntergruppen. Die Operation von G auf der Menge der 3{Sylowuntergruppen durch Konjugation bewirkt eine Einbettung von G in S4 ). 73) Aut(A4 ) ist isomorph zu S4 . (Anleitung: Aut(A4 ) enthalt S4 als Untergruppe). Jeder Automorphismus von S4 ist ein innerer Automorphismus. 74) Welche auf f1; 2; 3; 4g transitiv operierenden Untergruppen von S4 gibt es, deren Ordnung durch 3 teilbar ist? 75) a) Bestimmen Sie die Struktur und die Anzahl der 2{Sylowuntergruppen von S5 . Wie viele 5{Sylowuntergruppen besitzt S5 ? b) Alle Untergruppen der Ordnung 10 in S5 sind in A5 enthalten. c) S5 besitzt keine Untergruppen der Ordnung 15 und 30. d) A5 ist die einzige Untergruppe der Ordnung 60 in S5 . e) Besitzt S5 zwei zueinander nicht isomorphe Untergruppen der Ordnung 6? 76) Bestimmen Sie alle Gruppen G (bis auf Isomorphie), welche zwei Normalteiler M und N besitzen, fur die G=M = S5 , G=N = S6 , M \ N = feg . 77) Eine endliche Gruppe G sei direktes Produkt von Sylowuntergruppen (solche Gruppen heien nilpotent). Dann ist G au osbar. 78) Eine endliche Gruppe, in der Elemente teilerfremder Ordnung stets miteinander vertauschbar sind, ist nilpotent. 79) Welches ist die kleinste Zahl n 2 N + , fur die es eine nicht nilpotente Gruppe der Ordnung 3n 5 gibt? 80) Seien p1; : : : ; pt paarweise verschiedene Primzahlen, wobei pi 6 1 mod pj fur i; j = 1; : : : ; t . Ferner sei G eine Gruppe der Ordnung n := p1 : : : pt . a) Sei p eine Primzahl, g 2 G ein Element der Ordnung p und N ein zyklischer Normalteiler von G . Dann gilt xg = gx fur alle x 2 N .

x 11 Gruppentheorie

164

81)

b) Beweisen Sie mit Hilfe von a) durch Induktion nach n , da jede au osbare Gruppe der Ordnung n zyklisch ist. a) Fur n 5 sei U eine Untergruppe von Sn und N ein Normalteiler von U , so da U=N abelsch ist. Enthalt U alle Dreierzyklen, dann auch N . Hinweis: Sind a; b; c; d; e 2 f1; : : : ; ng paarweise verschieden, so gilt (a; b; c) = (a; b; d) (c; e; a) (d; b; a) (a; e; c)

b) Folgern Sie aus a), da Sn fur n 5 nicht au osbar ist. 82) Sei p eine Primzahl, M eine Menge mit p Elementen und G eine Gruppe, die treu und transitiv auf M operiert. a) G ist endlich und enthalt ein Element der Ordnung p . b) Ist N 6= feg ein Normalteiler von G , so operiert auch N treu und transitiv auf M. c) Ist G au osbar, so gibt es eine Untergruppenkette

G = N` N` 1 N1 N0 = feg wobei Ni 1 Normalteiler in Ni ist mit zyklischen Quotienten Ni =Ni 1 von Primzahlordnung (i = 1; : : : ; `) und wobei jN1j = p ist. 83) Sei p eine Primzahl. a) Jede Gruppe der Ordnung p2 ist abelsch. b) Jede nichtabelsche Gruppe der Ordnung p3 wird von 2 Elementen erzeugt. Welche Ordnung hat ihr Zentrum? c) Beweisen oder widerlegen Sie, da es eine endliche Gruppe G gibt mit

jG=Z (G)j = 14 ; jG=Z (G)j = 15 84) Geben Sie eine Gruppe der Ordnung 36 an, deren Zentrum die Ordnung 6 besitzt. 85) Sei N ein Normalteiler einer endlichen p {Gruppe, N 6= feg . Dann ist Z (G) \ N 6= feg . 86) Eine endliche Gruppe der Ordnung 2 (2m + 1) (m 2 N +) ist nicht einfach. Hinweis: Benutzen Sie die Permutationsdarstellung der Gruppe und Aufgabe 55a). 87) Sei P = G G das direkte Produkt einer Gruppe G mit sich selbst. Ferner sei G1 := G feg und G2 := feg G . a) Die \Diagonale" D := f(g; g) 2 P j g 2 Gg ist eine Untergruppe von G . b) Fur jede Untergruppe U von P mit D U ist U \ Gi Normalteiler von Gi (i = 1; 2). c) Genau dann ist D eine maximale Untergruppe von P , wenn G einfach ist.

U bungen

165

88)

a) Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 333. b) Es gibt eine abelsche, nicht zyklische Gruppe der Ordnung 333. c) Es gibt eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 333 (ein semidirektes Produkt). 89) Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung pn ( n > 0). a) Die Elementezahl jeder Klasse konjugierter Elemente von G ist ein Teiler von jGj . b) Fur i 2 N sei ai die Anzahl der Klassen konjugierter Elemente mit genau pi Elementen. Dann gilt pn = a0 + a1 p + + an 1pn 1 . c) Ist n 2 und Z (g) der Zentralisator eines g 2 G , so ist jZ (g)j > p , folglich an 1 = 0. 90) Sei p eine Primzahl. Eine Abbildung ` : Fp ! Fp heie linear, wenn es Elemente a; b 2 Fp , a 6= 0 gibt, so da `(x) = ax + b fur alle x 2 Fp . a) Die linearen Abbildungen bilden eine Gruppe G . b) Welche Ordnungen haben die Elemente von G ? c) G besitzt genau eine Untergruppe U der Ordnung p . d) U ist Normalteiler in G und G=U = Fp . e) Ist G zyklisch, abelsch, au osbar? 91) Ist p eine Primzahl und R ein kommutativer Ring mit p2 Elementen, so ist R entweder ein Korper oder isomorph zu genau einem der Ringe Z =(p2 ) ; Z =(p) Z =(p) ; Z =(p)[X ]=(X 2 )

92)

Bestimmen Sie die Einheitengruppe dieser Ringe. a) Die Q {Algebra K mit der Basis f1; i; j; kg und der Multiplikationstabelle 1

i

j

k

i j k

1 k j

k 1 i

j i 1

ist ein Schiefkorper (der Quaternionenschiefkorper). b) Q := f1; i; j; kg ist eine Untergruppe der Einheitengruppe von K (sie heit Quaternionengruppe). c) Jede Untergruppe von Q ist Normalteiler in Q . 93) Stellen Sie eine Tabelle fur die Isomorphieklassen der Gruppen mit der Ordnung 15 auf. (Fur die Ordnung 12 ist Aufg. 72b) hilfreich.)

x 11 Gruppentheorie

166

94) Heisenberg-Gruppen. Sei R ein kommutativer Ring, n 2 N+ und HP n (R) := n n n n R R R . Fur v = (a1 ; : : : ; an ) 2 R , w = (b1 ; : : : ; bn ) 2 R sei vw = ni=1 ai bi das Standard-Skalarprodukt auf Rn . Auf Hn(R) wird durch (v; w; t) (v0 ; w0 ; t0 ) := (v + v0 ; w + w0 ; v0 w + t + t0 ) fur v; v0 ; w; w0 2 Rn; t; t0 2 R eine Multiplikation de niert. Zeigen Sie: a) Hn(R) ist mit dieser Multiplikation eine Gruppe. b) Sei Gl(n; R) die Gruppe aller invertierbaren n n -Matrizen mit Eintragen in R . Die ' 2 Gl(n; R) mit '(v) '(w) = (det')2v w fur v; w 2 Rn bilden eine Untergruppe Gl (n; R) von Gl(n; R) und fur diese ' wird durch

' (v; w; t) := ('(v); '(w); (det')2t) ein Automorphismus ' von Hn (R) gegeben. Ferner ist

Gl (n; R) ! AutHn (R) (' 7! ' ) ein injektiver Gruppenhomomorphismus. c) Die Abbildung : H1(R) ! Gl(3; R) mit

21 w t 3 (v; w; t) := 4 0 1 v 5 0 0 1

ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus. d) Die Gruppe Hn(Z) wird erzeugt von den Elementen ai := (ei ; 0; 0); bi := (0; ei ; 0) (i = 1; : : : ; n) und c := (0; 0; 1), wobei ei der i-te kanonische Basisvektor von Rn ist.

167 x 12.

Fortsetzung der Galoistheorie

Wir kommen jetzt zu einigen Aussagen der Galoistheorie, die starkeren Gebrauch von der Gruppentheorie machen. Beispiele fur die Bestimmung der Galoisgruppe und ein hinreichendes Kriterium fur Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal folgen.

Sei L=K eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe G . Dann operiert G auf L , aber auch auf der Menge Z aller Zwischenkorper von L=K . F urZ 2 Z heien die Korper (Z ) mit 2 G die Konjugierten von Z . Ist GZ die Isotropiegruppe von Z 2 Z , so ist GZ 1 nach 10.4e) die Isotropiegruppe von (Z ). Es entsprechen sich daher eineindeutig: Die Konjugierten eines Zwischenkorpers und die Konjugierten seiner Isotropiegruppe. Das Kompositum der Konjugierten von Z ist die kleinste Z enthaltende Galoiserweiterung von K , die galoissche Hulle von Z=K . Genau dann ist Z 2 Z galoissch uber K , wenn GZ ein Normalteiler in G ist.

2 Z sei Z=K galoissch. Dann de niert die Einschrankung der Automorphismen 2 G auf Z einen Gruppenisomorphismus G=GZ = G(Z=K ) (GZ 7! jZ ) 12.1.Satz. Fur Z

Beweis: Wenn Z=K galoissch ist, dann ist (Z ) = Z fur alle

daher einen Gruppenhomomorphismus

2 G . Man hat

: G ! G(Z=K ) ( 7! jZ ) Sein Kern ist gerade die Isotropiegruppe GZ , daher wird durch ein injektiver Gruppenhomomorphismus : G=GZ 7! G(Z=K ) induziert. Es ist aber jG(Z=K )j = [Z : K ] und nach 10.4 jG=GZ j = jGjGjj = [[LL :: KZ ]] = [Z : K ] Z folglich ist ein Isomorphismus. In 10.8 haben wir gesehen, da fur jedes n 2 N + die symmetrische Gruppe Sn als Galoisgruppe auftritt, namlich als die des Zerfallungskorpers des allgemeinen Polynoms n {ten Grades. Da jede Gruppe G der Ordnung n mittels der Permutationsdarstellung (vgl. 11.2b)) als eine Untergruppe von Sn betrachtet werden kann, tritt nach 10.4 auch G als die Galoisgruppe einer galoisschen Korpererweiterung auf. Ungelost ist aber das Umkehrproblem der Galoistheorie (Hilbert 1882), welches danach fragt, ob jede endliche Gruppe G auch als Galoisgruppe einer Erweiterung von Q realisiert werden kann. Diesem Problem wurde viel Forschungsarbeit gewidmet (vgl. Matzat [M]). Fur zahlreiche Klassen von Gruppen konnte bewiesen werden, da sie Galoisgruppen uber Q sind, z.B. gilt dies fur alle au osbaren Gruppen (Shafarevic 1954). Ein Beweis fur endliche abelsche Gruppen wird in 13.9 skizziert werden.

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

168

12.2.Definition: Eine Korpererweiterung L=K heit zyklisch (abelsch,

au os-

bar etc.), wenn L=K galoissch ist und die Galoisgruppe G(L=K ) zyklisch (abelsch, au osbar etc.) ist. Ein separables Polynom f 2 K [X ] heit zyklisch etc., wenn

seine Galoisgruppe G(f ) die entsprechende Eigenschaft hat. Mit den au osbaren Polynomen wird sich x 15 befassen, wo ihr Zusammenhang mit der Au osbarkeit durch Radikale (2.2) geklart wird. Hier wollen wir zunachst einige Folgerungen aus dem Hauptsatz der Galoistheorie und der Gruppentheorie zusammenstellen. 12.3.Bemerkungen:

a) Ist L=K eine zyklische Erweiterung vom Grad n , so entsprechen die Zwischenkorper von L=K eineindeutig den Teilern von n (11.21): Zu jedem Teiler m von n gibt es genau ein Z 2 Z mit [Z : K ] = m . Dabei ist L=Z zyklisch vom Grad mn und Z=K zyklisch vom Grad m . b) Ist L=K abelsch, so sind fur Z 2 Z auch L=Z und Z=K abelsch. Zu jedem Teiler m von [L : K ] existiert mindestens ein Z 2 Z mit [Z : K ] = m (11.32). c) Ist L=K au osbar, so ist fur jedes Z 2 Z auch L=Z au osbar. Ist Z=K galoissch, dann ist auch Z=K au osbar (11.65). Es gibt eine Kette von Zwischenkorpern Zi 2 Z (1)

K = Z0 Z1 Zr = L

so da Zi+1=Zi fur i = 0; : : : ; r 1 zyklisch von Primzahlgrad ist (11.66). d) Jede Galoiserweiterung von Primzahlpotenzgrad pr ist au osbar und es gibt eine Kette (1) mit zyklischen Erweiterungen Zi+1 =Zi vom Grad p (i = 0; : : : ; r 1). e) Eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe Sn ist fur n 5 nicht au osbar (11.67). Es sollen nun zwei etwas kompliziertere Beispiele fur die Bestimmung von Galoisgruppen betrachtet werden, einem sehr beliebten Thema fur Prufungsaufgaben. 12.4.Beispiele:

a) Die Galoisgruppe des Polynoms f := X 4 X 2 1 2 Q [X ]. ) f ist irreduzibel. Oensichtlich besitzt f keine Nullstelle in Z und daher auch keine in Q . Ware f in quadratische Polynome zerlegbar, also

f = (X 2 + aX + 1)(X 2 + bX 1)

(a; b 2 Z )

so wurde a + b = 0, ab = 1 und a b = 0 folgen, ein Widerspruch.

Beispiele zur Bestimmung der Galoisgruppe

169

) Bestimmung der Wurzeln von f . Mit Y = X 2 loq st man zunachst die quadratische p 1 2 Gleichung Y Y 1 = 0. Man erhalt y1=2 = 2 14 + 1 = 21 (1 5). Somit hat f die Wurzeln p p p p 1 + 5 x1 = p ; x2 = x1 ; x3 = 1p 5 ; x4 = x3 2 2

) Bestimmung des Grads des Zerfallungskorpers L von f . Es ist L = Q [x1 ; x3 ]. Da Q [x1 ] R ist, aber x3 2= R , ist Q [x1] noch nicht der Zerfallungsk p5 orper. Da f irreduzibel ist, pgilt [Q [x1 ] : Q ] = 4. Ferner ist 1 1+ 5 2 2 x3 = 2 2 Q [x1], denn x1 = 2 . Es folgt [L : Q [x1 ]] = 2 und somit [L : Q ] = 8. ) Die Galoisgruppe von f . Da G(f ) die Ordnung 8 besitzt und eine Untergruppe von S4 ist, mu G(f ) eine der 2{Sylowgruppen von S4 sein. Eine solche ist auch die Diedergruppe D4 . Es ist also G(f ) = D4 , die Symmetriegruppe eines Quadrats. Insbesondere ist G(f ) nicht abelsch. " ) Beschreibung von G(f ) als Permutationsgruppe der Wurzeln von f . Beachtet man, da p p p p p x1 x3 = x2 x4 = 1p+ 5 1p 5 = 2 4 = i 2 2 ist, so erhalt man L = Q [x1 ; x3 ] = Q [x1 ; i] = Q [x3 ; i] Der identische Automorphismus von Q [x1 ] besitzt 2 Fortsetzungen auf L , namlich x x x x id und 1 = x1 x2 x3 x4 =: (x3 ; x4 ) 1 2 4 3 Der Q {Automorphismus von Q [x1 ] mit x1 7! x2 besitzt die Fortsetzungen x x x x 2 = x1 x2 x3 x4 =: (x1 ; x2 )(x3 ; x4 ); x2 x1 x4 x3 3 = x1 x2 x3 x4 =: (x1 ; x2 ) 2 1 3 4 Entsprechend ergibt sich fur den Q {Isomorphismus Q [x1] ! Q [x3] mit x1 7! x3 x x x x 4 = x1 x3 x2 x4 =: (x1 ; x3 )(x2 ; x4 ); x3 x1 x4 x2 5 = x1 x3 x2 x4 =: (x1 ; x3 ; x2 ; x4 ) 3 2 4 1

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

170

und fur den Q {Isomorphismus Q [x1] ! Q [x3] mit x1 7! x4 = x3

x 6 = x1 x4 7 = x1 4

x4 x1 x4 x2

x2 x3 x2 x3

x3 =: (x ; x )(x ; x ); 1 4 2 3 x2 x3 =: (x ; x ; x ; x ) 1 4 2 3 x1

# ) Die Untergruppen von G(f ) und ihre Fixkorper. G(f ) besitzt 5 Untergruppen der Ordnung 2 namlich:

f1 ; idg; f2; idg; f3 ; idg; f4 ; idg; f6; idg Die entsprechenden Fixkorper sind:

p Q [x1 ]; Q [i; 5]; Q [x3 ]; Q [x1 + x3 ]; Q [x1 + x4] p

p

Man beachte, da fur y := x1 + x3 gilt: y2 = 1+2 5 + 1 2 5 + 2i = 1 + 2i . Es gibt in Q (i) aber keine Zahl y mit y2 = 1 + 2i , somit ist [Q [x1 + x3 ] : Q ] = 4. Entsprechendes gilt fur Q [x1 + x4 ]. G(f ) besitzt 3 Untergruppen der Ordnung 4, namlich

fid; 1 ; 2 ; 3 g ; fid; 2 ; 4 ; 6 g ; fid; 5 ; 2 ; 7g mit den Fixkorpern

p p Q [ 5] ; Q [i] ; Q [ 5] Der Graph der Zwischenkorper von L=Q sieht folgendermaen aus:

p Q [i; 5] ist der einzige Zwischenkorper von Grad 4 uber Q , der uber Q galoissch

ist.

b) Die Galoisgruppe des Polynoms f := X 5 4X + 2 2 Q [X ].

Der Satz vom primitiven Element

171

Das Polynom ist irreduzibel nach Eisenstein. Seine Galoisgruppe G(f ) ist eine Untergruppe von S5 . Ferner ist 5 ein Teiler der Ordnung von G(f ). Nach dem Satz von Cauchy 11.52 enthalt G(f ) ein Element der Ordnung 5, also einen 5{Zyklus (vgl. 11.36a)). Bei geeigneter Numerierung der Wurzeln von f kann = (1; 2; 3; 4; 5) genommen werden. q f hat genau 3 reelle Nullstellen, denn f 0 = 5X 4 4 hat die Nullstellen 4 45 . q q Dabei besitzt f in 4 45 ein lokales Minimum < 0 und in 4 45 ein lokales Maximum > 0. Hieraus ergibt sich die Aussage uber die reellen Nullstellen. In C ist der Ubergang zum Konjugiert-Komplexen ein Q {Automorphismus, welcher die reellen Wurzeln von f festlat und die komplexen vertauscht. G(f ) enthalt somit auch eine Transposition = (a; b). Unter den Potenzen von kommt auch ein 5{Zyklus der Form (a; b; : : : ) vor. Man kann daher = (1; 2; 3; 4; 5), = (1; 2) annehmen. Diese beiden Permutationen erzeugen aber ganz S5 , denn durch Konjugation von mit den Potenzen von ergibt sich, da G(f ) alle Transpositionen (i; i + 1) fur i = 1; : : : ; 4 enthalt. Es ergibt sich G(f ) = S5 . Da S5 nicht au osbar ist (11.67), ist f ein Beispiel eines nichtau osbaren Polynoms. Wir charakterisieren nun die algebraischen Korpererweiterungen, die nur endlich viele Zwischenkorper besitzen. 12.5.Theorem. (Satz vom primitiven Element).

Fur eine algebraische Korpererweiterung L=K sind folgende Aussagen aquivalent: a) L=K besitzt nur endlich viele Zwischenkorper. b) Es gibt Elemente x1 ; : : : ; xn 2 L , wobei x2 ; : : : ; xn uber K separabel sind, so da L = K [x1 ; : : : ; xn ]. c) L=K besitzt ein primitives Element, d.h. es gibt ein x 2 L , so da L = K [x]. Ist Char K =: p > 0, so sind a)-c) auch aquivalent zu d) Es ist [L : K ] < 1 und [L : K (Lp)] p . Beweis: Wenn K ein endlicher Korper ist, so folgt aus jeder der Bedingungen a)-

d), da auch L endlich ist. Nach 11.26a) ist dann die multiplikative Gruppe von L zyklisch, es gibt daher ein x 2 L mit L = K [x]. Die Aussagen a)-d) sind dann aquivalent mit der Endlichkeit von L=K , insbesondere sind sie untereinander aquivalent. Im folgenden sei K ein unendlicher Korper. a) ! b). Aus a) folgt zunachst, da Elemente x1 ; : : : ; xn 2 L existieren, so da L = K [x1 ; : : : ; xn ] ist. Wenn L=K separabel ist, so ist man fertig. Im allgemeinen Fall hat man noch zu zeigen, da L uber Lsep von einem Element erzeugt wird. Sei jetzt Char K =: p > 0. Jedenfalls besitzt L=Lsep nur endlich viele Zwischenkorper, und

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

172

nach 8.20 ist [L : Lsep] eine Potenz von p . Wir konnen L 6= Lsep annehmen und haben dann [L : Lsep] = p zu zeigen. Angenommen, der Grad ware p2 . Dann gabe es Elemente x; y 2 L , so da die Elemente xi yj (0 i; j < p) uber Lsep linear unabhangig waren. Die Zwischenkorper Z := Lsep[x + y] waren dann fur verschiedene 2 Lsep verschieden, denn aus x + y 2 Lsep[x + y] mit 2 Lsep erhalt man eine Gleichung

x + y =

pP1 i=0

i(x + y)i

(i 2 Lsep)

und durch Koezientenvergleich ergibt sich = . Da Lsep unendlich ist, hatte L=Lsep unendlich viele verschiedene Zwischenkorper. Dieser Widerspruch zeigt, da [L : Lsep] = p ist und daher L uber Lsep von einem Element erzeugt wird. b) ! c). Es genugt, diese Implikation fur n = 2 zu zeigen, weil sich anschlieend der allgemeine Fall sofort durch Induktion ergibt. Sei also L = K [x1; x2 ], wobei x2 uber K separabel ist. Das Minimalpolynom von xi uber K werde mit fi bezeichnet (i = 1; 2), es seien 1; : : : ; r die Wurzeln von f1 und 1 ; : : : ; s die von f2 , wobei wir 1 = x1 und 1 = x2 annehmen wollen. Da K unendlich ist, existiert ein 2 K , das von den Elementen i 1 (i = 1; : : : ; r; k = 2; : : : ; s) 1 k verschieden ist. Es ist dann

i + k 6= 1 + 1

(i = 1; : : : ; r; k = 2; : : : ; s)

Wir wollen zeigen, da K [x1 ; x2 ] = K [x] gilt mit x := 1 + 1 = x1 + x2 . d d P P Sei f1 = ai X i und F := f1(x X ) = ai(x X )i . Fur dieses Polynom i=0 i=0 aus K [x][X ] gilt F (x2 ) = f1(x x2 ) = f1 (x1 ) = 0 und fur k 2 f2; : : : ; sg ist

F ( k ) = f1 (x k ) 6= 0 da x k 6= i fur i = 1; : : : ; r und k = 2; : : : ; s . Die Polynome F und f2 haben also genau eine gemeinsame Nullstelle, namlich x2 . Da f2 separabel ist, haben F und f2 uber dem algebraischen Abschlu von K den groten gemeinsamen Teiler X x2 . Der grote gemeinsame Teiler von F und f2 kann mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt werden. Da F und f2 Polynome aus K [x][X ] sind, ist es

Der Satz vom primitiven Element

173

auch ihr groter gemeinsamer Teiler, somit ist x2 2 K [x]. Dann ist aber auch x1 = x x2 2 K [x] und es ergibt sich K [x1 ; x2] = K [x]. c) ! a). Fur jeden Zwischenkorper Z von L=K sei fZ das Minimalpolynom von x uber Z . Es ist ein normiertes Polynom, welches fK teilt, daher gibt es nur endlich viele verschiedene Polynome fZ . Es genugt daher zu zeigen, da jedes fZ den Zwischenkorper Z eindeutig bestimmt. d P Sei fZ = ai X i mit a0 ; : : : ; ad 2 Z . Dann ist Z 0 := K (a0 ; : : : ; ad ) Z und fZ i=0 ist irreduzibel uber Z 0 . Ferner gilt L = Z 0 [x] = Z [x]. Es folgt [L : Z ] = [L : Z 0 ] und damit Z = K (a0 ; : : : ; ad ). Sei nun Char K =: p > 0. Die Aussage c) ! d) ist dann trivial. Gilt d), so ist L= Lsep(Lp )[x] mit einem x 2 L . Weil [L : K ] < 1 ist, gibt es ein e 2 N mit e Lp Lsep . Es folgt wie oben L = Lsep[x] und es ergibt sich b). Der Satz ist damit bewiesen. 12.6.Korollar. Jede endliche separable Erweiterung L=K besitzt ein primitives

einem Korper der Element. Insbesondere gilt dies fur jede Galoiserweiterung. Uber Charakteristik 0 besitzt jeder endliche Erweiterungskorper ein primitives Element. p In Beispiel 12.4a) besitzt der K o rper L := Q ( i; 5) das primitive Element p p p 1 x := i + 5, denn es ist 6x = 5 i 2 Q [x], also auch 5; i 2 Q [x] und somit L = Q [x]. Die folgenden Betrachtungen spielen sowohl bei den Anwendungen der Galoistheorie auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal wie auch fur die Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale eine Rolle.

Z2 sowie Z Zwischenkorper von L=K . Ist Z2 =Z1 galoissch, so ist es auch Z Z2 =Z Z1 und die Galoisgruppe von Z Z2=Z Z1 ist isomorph zu einer Untergruppe der Galoisgruppe 12.7.Satz. Sei L=K eine Korpererweiterung und seien Z1

von Z2=Z1 .

2 Z1[X ] (9.11). Adjungiert man alle Nullstellen von f zu Z Z1 , so erhalt man Z Z2 , daher ist Z Z2 =Z Z1 endlich und normal. Ein irreduzibler Faktor ' von f in Z1[X ] kann uber Z Z1 zerfallen. Da aber ' separabel ist, sind es auch die Faktoren von ' in (Z Z1)[X ] und folglich ist Z Z2 =Z Z1 auch separabel, also galoissch. Jeder Automorphismus von Z Z2 =Z Z1 liefert durch Beschrankung auf Z2 Beweis: Z2 ist der Zerfallungskorper eines separablen Polynoms f

einen Automorphismus von Z2 =Z1 . Man erhalt so einen Gruppenhomomorphismus : G(Z Z2=Z Z1) ! G(Z2 =Z1) ( 7! jZ2 ) Jedes ist aber durch seine Wirkung auf die Nullstellen von f schon eindeutig festgelegt. Daher ist injektiv.

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

174

12.8.Definition: Sei p eine Primzahl. Eine Korpererweiterung L=K heit meta-

zyklisch ( p {metazyklisch), wenn es eine Kette

K = Z0 Z1 Zr = L

(2)

von Zwischenkorpern Zi von L=K gibt, so da Zi+1=Zi fur i = 0; : : : ; r 1 eine zyklische Erweiterung (vom Grad p ) ist. Wegen der Transitivitat der Separabilitat sind solche Erweiterungen separabel. Ist L=K galoissch, so ist L=K nach 12.3c) genau dann metazyklisch ( p {metazyklisch), wenn L=K au osbar ist (bzw. die Galoisgruppe eine p {Gruppe ist). Ist Char K 6= 2, so ist L=K genau dann 2{metazyklisch, wenn L aus K durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht. Dies ist klar, weil jede Korpererweiterung von Grad 2 galoissch ist und durch Adjunktion einer Quadratwurzel entsteht. 12.9.Satz. Sei p eine Primzahl und seien Z1 ; Z2 Zwischenkorper einer Korperer-

weiterung L=K . Sind die Erweiterungen Zi =K metazyklisch ( p {metazyklisch) (i = 1; 2), dann ist es auch Z1 Z2=K . Beweis: Seien

K = K0 K1 Kr = Z1

und

K = K00 K10 Ks0 = Z2 Korperketten wie in der De nition 12.8. In der Kette K = K0 K1 Kr = Z1 Z1K10 Z1Ks0 = Z1 Z2 sind die Erweiterungen Z1 Ki0+1=Z1 Ki0 nach 12.7 zyklisch (vom Grad p oder 1) und somit folgt die Behauptung. 12.10.Satz. Sei p eine Primzahl und L=K eine metazyklische ( p {metazyklische)

Korpererweiterung. Ist N die galoissche Hulle von L=K , so ist N=K au osbar (die Galoisgruppe von N=K eine p {Gruppe). Beweis: Betrachte innerhalb des algebraischen Abschlusses L von L die zu L kon-

jugierten Korper L1; : : : ; Lr . Es ist klar, da diese metazyklisch ( p {metazyklisch) uber K sind. Da N das Kompositum aller Li (i = 1; : : : ; r) ist, ist N=K nach 12.9 ebenfalls metazyklisch ( p {metazyklisch). Da N=K aber galoissch ist, folgt die Behauptung.

Anwendung auf die Konstruktion mit Zirkel und Lineal

175

12.11.Korollar. Sei K ein Korper der Charakteristik = 6 2 und K sein algebra-

ischer Abschlu. Fur ein uber K separables Element x 2 K sei f 2 K [X ] das Minimalpolynom von x und L der Zerfallungskorper von f uber K . Dann sind folgende Aussagen aquivalent: a) x ist in einem Zwischenkorper Z von L=K enthalten, der uber K 2{metazyklisch ist. b) [L : K ] ist eine Potenz von 2. Beweis: a)

! b). Nach 12.10 ist die galoissche Hulle N von Z=K 2{metazyklisch.

Wegen L N ergibt sich, da [L : K ] eine Potenz von 2 ist. b) ! a). Da L=K galoissch ist und [L : K ] eine Potenz von 2, ist L=K au osbar, insbesondere 2{metazyklisch. Da x 2 L ist, kann in a) Z = L genommen werden. Es ergibt sich nun ein notwendiges und hinreichendes Kriterium fur die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal, welches das in 1.14 angegebene vereinfacht und das in 3.17 gegebene notwendige Kriterium erganzt. Fur die Konstruierbarkeit einer Zahl kommt es auf die Galoisgruppe ihres Minimalpolynoms an.

C eine Teilmenge mit 0; 1 2 M und sei M die Menge der konjugiert-komplexen der Zahlen aus M . Ferner sei K0 := Q (M [M ). Die komplexe 12.12.Satz. Sei M

Zahl z sei algebraisch uber K0 und besitze uber K0 das Minimalpolynom f . Dann sind folgende Aussagen aquivalent: a) z ist aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar. b) Ist L der Zerfallungskorper von f , so ist [L : K0] eine Potenz von 2. c) G(f ) ist eine 2{Gruppe. Dies folgt unmittelbar aus der fruheren Charakterisierung der Konstruierbarkeit in 1.14 und aus 12.11. 12.13.Beispiel: Fur eine Primzahl p > 2 ist die Konstruierbarkeit eines regularen

p {Ecks damit aquivalent, da der Grad des Zerfallungskorpers des Minimalpoly2i p noms von := e uber Q eine Potenz von 2 ist. Dieses Minimalpolynom ist X p 1 + X p 2 + + X + 1 (vgl. 5.7c)) und sein Zerfallungskorper ist Q (). Notwendig und hinreichend fur die Konstruierbarkeit des regularen p {Ecks ist also, da p von der Form p = 2m + 1 ist. Fur Primzahlen dieser Art gilt: 12.14.Satz. Ist p eine Primzahl der Form p = 2m + 1 (m

Potenz von 2:

p = 22 + 1

2 N +), so ist m eine

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

176

Beweis: Angenommen, m ware keine Potenz von 2. Schreibe m = 2 r mit einer

ungeraden Zahl r 2 N , r > 2. Dann ist

2m + 1 = 22 r + 1 = (22 )r ( 1)r

Diese Zahl ist durch 22 ( 1) = 22 + 1 teilbar. Primzahlen der Form 22 +1 heien Fermatsche Primzahlen. Fur = 0; 1; 2; 3; 4 erhalt man die Primzahlen 3; 5; 17; 257; 65537. Fur diese ist das regulare p {Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Weitere Fermatsche Primzahlen sind bisher nicht gefunden worden (vgl. Ribenboim [R], S. 71 ). Welche n {Ecke mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, wenn n keine Primzahl ist, wird sich im nachsten Paragraphen ergeben (13.8). Blicken wir zuruck auf den Weg, der zu Satz 12.12 fuhrte. Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal als theoretisches Problem entstand in der Platonischen Akademie ( 400 v. Chr., siehe Tropfke [T4 ], S. 105 ), die man vielleicht als die Geburtsstatte der reinen Mathematik bezeichnen kann, also der Mathematik, die um ihrer selbst willen, ihrer Schonheit und logischen Klarheit wegen geliebt wird, und nicht wegen ihrer Mitgift. Die griechischen Mathematiker losten viele spezielle Konstruktionsaufgaben, zum Beispiel die der Konstruktion des regelmaigen Funfecks. Mittels der im 17.Jahrhundert ausgebauten Koordinatenmethode lie sich das Konstruktionsproblem wie alle elementargeometrischen Probleme in ein rechnerisches ubersetzen. Es erwies sich schlielich als gunstig, die Ebene als die Gausche Zahlenebene zu interpretieren und die Aufgabe in ein Problem der Korpertheorie zu verwandeln. Man erhalt dann eine notwendige und hinreichende Bedingung fur die Konstruierbarkeit einer Zahl (1.14), die aber i.a. nicht leicht direkt uberprufbar ist. Aus einfachen Tatsachen der Korpertheorie folgt jedoch bald als notwendiges Kriterium fur die Konstruierbarkeit einer Zahl, da sie uber einem durch die Konstruktionsdaten bestimmten Korper K0 algebraisch ist und da der Grad ihres Minimalpolynoms uber K0 eine Potenz von 2 ist (3.17). Dieser Satz gestattet Unmoglichkeitsbeweise, speziell den Nachweis fur die Unmoglichkeit der Wurfelverdoppelung, der Winkeldreiteilung und letzten Endes auch der Quadratur des Kreises, wobei der Beweis in diesem Fall allerdings aus der Algebra heraus in die analytische Zahlentheorie fuhrt (Transzendenz von ). Um ein eektives hinreichendes Kriterium fur Konstruierbarkeit herzuleiten, bedient man sich einer weiteren Grundidee der Algebra, namlich der U bersetzung korpertheoretischer Probleme in solche der Gruppentheorie mittels der Galoisschen Theorie. Das Schlusselresultat aus der Gruppentheorie ist der Satz 11.64 von der Au osbarkeit der p {Gruppen (speziell der 2{Gruppen) in Verbindung mit 11.66, aus dem sich schlielich das Kriterium 12.12 gewinnen lie.

U bungen

177

Ubungen:

1) Ein Polynom f habe lauter verschiedene Wurzeln und seine Galoisgruppe operiere transitiv auf der Menge der Wurzeln. Dann ist f irreduzibel. 2) Bestimmen Sie fur die folgenden Polynome aus Q [X ] die Galoisgruppe und alle Zwischenkorper des Zerfallungskorpers L des Polynoms:

X 4 2X 2 + 2 ; X 4 + 5X 2 + 5 ; X 4 + 6X 2 + 1 ; X 6 + 2X 5 + 2X 4 + X 2 + 2X + 2 Geben Sie auch ein primitives Element von L=Q an. 3) Zeigen Sie, da die folgenden Korper L galoissch uber Q sind. Bestimmen Sie die Galoisgruppe und alle Zwischenkorper der Erweiterung L=Q :

L=Q

p

p

1 + 2i; 1 2i ; L = Q

q

p

6+2

p

q

7; 6 2

p 7

p

4) Bestimmen Sie die Galoisgruppe von X 4 5 uber Q ( 5) und Q (i 5). 5) Bestimmen Sie die Galoisgruppe des Polynoms (X + 1)8 + X 8 + 1 2 Q [X ]. (Anleitung: Mit jeder Wurzel x sind auch x1 und (x + 1) Wurzeln). 6) Sei K ein Korper der Charakteristik 6= 2. Ein Polynom Q f vom Grad n besitze n verschiedene Wurzeln x1 ; : : : ; xn und es sei := (xi xj ). Ferner sei i>j L = K (x1 ; : : : ; xn ) und die Galoisgruppe G von L=K werde als Permutationsgruppe von fx1 ; : : : ; xng betrachtet. a) K () ist der zu G \ An gehorige Zwischenkorper von L=K . b) Ist f irreduzibel und vom Grad 3, so gilt

G=

S3

A3

falls 2= K falls 2 K

7) Das Polynom f := X 4 +X +1 2 Q [X ] besitzt keine reelle Nullstellen. Ist z = u+iv (u; v 2 R ) eine Wurzel von f , so ist g := X 3 4X + 1 das Minimalpolynom von 4u2 uber Q . Daher besitzt G(f ) ein Element der Ordnung 3. Ist z aus der Menge M = f0; 1g mit Zirkel und Lineal konstruierbar? 8) Sei K ein Korper, f 2 K [X ] ein normiertes irreduzibles Polynom und eine Wurzel von f . Es sei auch f ( + 1) = 0. a) Es gilt Char K =: p > 0. b) Ist p 2 K , so ist f = X p X p + und K ()=K ist eine zyklische Erweiterung. 9) p p p a) Wie viele Zwischenkorper besitzt Q ( 2; 3; 5)=Q ? b) Galoiserweiterungen vom Grad 45 besitzen hochstens 12 Zwischenkorper.

178

x 12 Fortsetzung der Galoistheorie

10) Die Galoisgruppe eines irreduziblen separablen Polynoms f sei abelsch. Dann ist jede Wurzel von f ein primitives Element des Zerfallungskorpers von f . 11) Sei L=Q ein galoisscher Zahlkorper (L C ) und sei L0 := L \ R . Dann ist [L : L0 ] 2. Unter welcher Bedingung ist L0 =Q galoissch? 12) Sei L = K0(T ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten T uber einem Korper K0 der Charakteristik p > 2. Ferner seien 1 und 2 die durch 1 (T ) = T , 2 (T ) = 1 T bestimmten Automorphismen von L=K0 und K der Fixkorper der von 1 und 2 erzeugten Untergruppe G von Aut(L=K0 ). a) G besitzt die Ordnung 2p . Ist G abelsch? b) (X p X )2 (T p T )2 2 K [X ] ist das Minimalpolynom von T uber K . Geben Sie auch das Minimalpolynom von 1 T uber K an. c) Betrachten Sie 1 und 2 als Endomorphismen von L als K {Vektorraum, bestimmen Sie das Minimalpolynom von i und die Eigenraume von i (i = 1; 2). 13) a) Welche endlichen Untergruppen besitzt Aut(Q [X ]=Q )? b) Sei f 2 Q [X ] ein nichtkonstantes Polynom. Dann ist Q (X )=Q (f ) endlich. Jeder Automorphismus von Q (X )=Q (f ) bildet Q [X ] auf sich ab. c) Falls deg f 3 ist, ist Q (X )=Q (f ) nicht normal. 14) a) Fur jedes a 2 Z besitzt das Polynom f = X 3 + aX 2 + (a 3)X 1 keine rationale Nullstelle. b) Ist x eine Wurzel von f , so auch 1+1x . c) Durch x 7! 1+1x wird eine xpunktfreie Permutation von R n f0; 1g gegeben, welche die Ordnung 3 besitzt. d) f besitzt 3 verschiedene reelle Nullstellen und es ist G(f ) = Z =(3). 15) Die Charaktere der Galoisgruppe. Sei G die Galoisgruppe einer Galoiserweiterung L=K und G0 die Gruppe der Charaktere : G ! K (x 11, Aufg. 45)). P a) Fur jedes 2 G0 gibt es ein a 2 L , so da := (g) g(a) 6= 0 ist. Es g2G gilt dann (g) = g() fur jedes g 2 G und ist durch diese Bedingung bis auf Multiplikation mit einem Element aus K eindeutig bestimmt. b) Existiert ein 2 L , so da g() 2 K fur jedes g 2 G , dann wird durch g 7! g() ein Charakter von G in K gegeben. c) Man hat einen injektiven Gruppenhomomorphismus

i : G0 ! L =K d) Besitzt G den Exponenten r (x 11, Aufg. 44)), so ist i(G0 ) Wr =K , wobei Wr L die Untergruppe aller 2 L mit r 2 K ist.

U bungen

179

16) (Korpererweiterungen vom Grad 4 ohne echte Zwischenkorper) Fur a 2 Z n f0g ist f := X 4 aX 1 uber Q irreduzibel. Sei L := Q () mit einer Wurzel von f. p a) Sei Z = Q ( d) mit einer quadratfreien Zahl d 2 Z n f0g ein echter Zwischenkorper von L=Q , d.h. Q $ Z $ L . Sei X 2 + uX + v 2 Z [X ] das Minimalpolynom p von puber Z und sei der2 nichttriviale Q2 {Automorphismus von Z=Q , p( d) = d . Es gilt f = (X + uX + v)(X + (u)X + (v)), wobei u = r d mit r 2 Q und a2 = (r4 d2 + 4)r2 d . b) Es ist r 2 Z . c) Fur jede Primzahl a 3 besitzt L=Q keine echten Zwischenkorper. 17) Sei L ein Erweiterungskorper eines Korpers K , so da jedes nichtkonstante Polynom f 2 K [X ] in L eine Nullstelle xf besitzt und L uber K von der Menge der xf erzeugt wird. Sei L die algebraische Abschlieung von L . Zeigen Sie: a) Ist Z=K eine Galoiserweiterung mit Z L , so ist Z L . (Man kann den Satz vom primitiven Element benutzen.) b) Ist K ein Korper von Primzahlcharakteristik und u 2 L rein inseparabel uber K , so ist u 2 L . c) Ist Z=K eine endliche normale Erweiterung mit Z L , so ist Z L . (Man kann x 10, Aufg. 8) verwenden.) d) Es ist L = L , d.h. L ist bereits die algebraische Abschlieung von K . 18) Sei L=K eine galoissche Korpererweiterung mit einer zur alternierenden Gruppe A4 isomorphen Galoisgruppe. a) Bestimmen Sie fur jedes n 2 N die Anzahl der Zwischenkorper Z von L=K mit [Z : K ] = n . b) Wieviele Zwischenkorper Z gibt es, fur die Z=K galoissch ist?

x 13 Einheitswurzelkorper

180

x 13. Einheitswurzelk orper (Kreisteilungsk orper) Dies sind die Korper, die aus einem Grundkorper durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen. Fur den Grundkorper Q sind sie fur die Konstruktion von regularen n {Ecken (Kreisteilung) von Bedeutung, worauf schon vielfach hingewiesen wurde. Sie spielen auch eine sehr wichtige Rolle in der Zahlentheorie, wo sie Gegenstand eingehender Untersuchungen sind.

Sei K ein Korper und n 2 N + 13.1.Definition: Der n {te Einheitswurzelkorper u ber K ist der Zerfallungsn korper L des Polynoms X 1 2 K [X ]. Die Nullstellen von X n 1 in L heien n {te Einheitswurzeln uber K . Die n {ten Einheitswurzeln in L bilden oensichtlich eine Untergruppe von L . Nach 11.25 ist sie zyklisch. Daher ist L = K () wenn ein primitives Element dieser Gruppe ist. Im Fall K = Q ist L = Q (e 2ni ). Ist dagegen Char K =: p > 0 und n = p h (; h 2 N ; p - h), so gilt fur jede n {te Einheitswurzel x 2 L xn 1 = (xh )p 1 = (xh 1)p = 0 und somit xh 1 = 0, d.h. x ist schon eine h {te Einheitswurzel. Es genugt daher, die Einheitswurzelkorper fur n 6 0 mod p zu betrachten. 13.2.Satz. Sei p := Char K und sei n 6 0 mod p . Der n {te Einheitswurzelkorper L

ist uber K galoissch. Die n {ten Einheitswurzeln in L bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung n . Beweis: Sei f := X n

1. Nach Voraussetzung zerfallt f in L in Linearfaktoren. Fur jede n {te Einheitswurzel 2 L ist f 0 () = n n 1 6= 0, da n 6 0 mod p , somit ist eine einfache Nullstelle von f und daher f ein separables Polynom. Als Zerfallungskorper von f ist L uber K galoissch. Da f genau n verschiedene Nullstellen besitzt, bilden die Einheitswurzeln in L eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Im folgenden sei n 6 0 mod p , wenn p die Charakteristik von K ist. Ein erzeugendes Element der Gruppe der n {ten Einheitswurzeln in L heit eine primitive n {te Einheitswurzel. Da eine zyklische Gruppe der Ordnung n genau '(n) primitive Elemente besitzt, gibt es '(n) primitive Einheitswurzeln in L . Es seien dies 1; : : : ; '(n) . Wir setzen dann n := (X 1) : : : (X '(n)) und betrachten n zunachst als Polynom in L[X ].

Kreisteilungspolynome 13.3.Lemma. X n

1=

181

Q

djn

d

Beweis: Ist eine beliebige n {te Einheitswurzel und d := ord( ), so ist d ein Teiler

von n und ist eine primitive d {te Einheitswurzel.

13.4.Lemma. Die Koezienten von n liegen im Primring von K . Beweis: Es ist 1 = X

1. Sei nun n > 1 und sei die Behauptung fur alle echten Teiler von n schon bewiesen. Dann ist X n 1 = n g nach 13.3, wobei g ein normiertes Polynom mit Koezienten aus dem Primring von K ist. Man erhalt n , indem man X n 1 durch g dividiert. Folglich hat auch n nur Koezienten aus diesem Primring. 13.5.Definition: n heit n {tes Kreisteilungspolynom.

Im Fall K = Q ist n 2 Z [X ] fur alle n 2 N + . Ist n = p eine Primzahl, so gilt p p = XX 11 = X p 1 + + X + 1 ein Polynom, von dem wir schon lange wissen, da es uber Q irreduzibel ist (5.3). 13.6.Satz. Sei L der n {te Einheitswurzelkorper u ber K , wobei n 6 0 mod p . Dann

ist G(L=K ) isomorph zu einer Untergruppe von E ( Z =(n)), der primen Restklassengruppe modulo n . Insbesondere ist G(L=K ) abelsch. Beweis: Jedes 2 G(L=K ) permutiert die primitiven n {ten Einheitswurzeln. Ist

eine von ihnen, so ist durch Angabe von () eindeutig bestimmt: Falls () = r (r 2 f1; : : : ; ng; ggT(r; n) = 1), so ist ( ) = ( )r = r fur jedes 2 f1; : : : ; ng mit ggT(; n) = 1. Man hat somit eine Injektion

: G(L=K ) ! E ( Z =(n))

( 7! r + (n))

und ist ein Gruppenhomomorphismus, denn ist 2 G(L=K ) und () = s (s 2 f1; : : : ; ng; ggT(s; n) = 1), so gilt ( )() = (r ) = rs , also ( ) = ( ) (). Im Fall K = Q gilt genauer 13.7.Satz. Die Kreisteilungspolynome n sind u ber Q irreduzibel. Daher ist

[Q (e 2ni ) : Q ] = '(n) und G(Q (e 2ni )=Q ) ist isomorph zur primen Restklassengruppe modulo n .

182

x 13 Einheitswurzelkorper

Beweis: Wenn die Irreduzibilitat von n gezeigt ist, folgen die weiteren Aussagen

des Satzes unmittelbar aus 13.6. Sei eine primitive n {te Einheitswurzel uber Q und f ihr Minimalpolynom uber Q . Es gilt dann f j n . Wir werden zuerst zeigen, da f ur jede Primzahl p mit p - n p r auch eine Nullstelle von f ist. Ist dann irgendeine primitive n {te Einheitswurzel, so ist ggT(r; n) = 1 und r ist ein Produkt von Primzahlen, welche n nicht teilen. Es folgt induktiv, da auch r eine Nullstelle von f ist. Aus Gradgrunden mu dann f = n sein und die Irreduzibilitat von n ist bewiesen. Sei also p eine Primzahl, die n nicht teilt, und sei g das Minimalpolynom von p uber Q . Als Teiler von X n 1 haben f und g Koezienten aus Z . Wir wollen f = g zeigen. Ware dies nicht richtig, so hatte man (1) X n 1 = f g h (h 2 Z [X ]) Da g(X p) die Nullstelle besitzt, ware ferner (2) g(X p) = f j (j 2 Z [X ]) Auf die Gleichungen (1) und (2) wenden wir nun den kanonischen Epimorphismus (Reduktion mod p ) : Z [X ] ! Z =(p)[X ] an. Wir benutzen, da der Frobenius-Endomorphismus Z =(p) ! Z =(p) die identische Abbildung ist (11.26b). Es ist somit (g(X p)) = [(g(X ))]p und aus (2) folgt [(g(X ))]p = (f (X )) (j (X )) Jedes irreduzible Polynom 2 Z =(p)[X ], welches (f ) teilt, teilt somit auch (g). Wegen (1) teilt dann 2 das Polynom ' := X n 1 2 Z =(p)[X ]. Wegen p - n ist ' ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und kann nicht vom Quadrat eines Polynoms aus Z =(p)[X ] geteilt werden. Dieser Widerspruch zeigt, da f = g ist, q.e.d. Wir beantworten jetzt die Frage, welche n {Ecke mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind und beenden damit gleichzeitig die Diskussion der Konstruktionsprobleme. 13.8.Satz. (Gau) Fur n 2 N + ist das regulare n {Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n von der Form n = 2 p1 : : : pr ist, wobei 2 N ist und p1; : : : ; pr paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind (r 0). 2i Beweis: Nach 12.12 ist zu prufen, fur welche n die Zahl '(n) = [Q (e n ): Q ] eine Potenz von 2 ist. Sei n = 2 p1 1 : : : ps s (pi 6= 2) die Primzahlzerlegung von n . Dann gilt nach 6.35 2 1 p1 1(p1 1) : : : ps 1 (ps 1) fur > 0 s '(n) = 1 1 1 1 p1 (p1 1) : : : ps s (ps 1) fur = 0

Zum Umkehrproblem der Galoistheorie

183

Damit dies eine Potenz von 2 ist, mu 1 = = s = 1 sein und die pi mussen Fermatsche Primzahlen sein. Das Umkehrproblem der Galoistheorie (vgl. x 12) lat sich fur abelsche Gruppen auf folgende Weise losen. 13.9. Satz. Zu jeder endlichen abelschen Gruppe G existiert eine Galoiserweiterung

L=Q mit G(L=Q ) = G.

Beweis: Nach dem Hauptsatz fur abelsche Gruppen (11.30) ist G = Z1 Zr ,

wobei die Zi zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung qi sind (i = 1; : : : ; r). Wir verwenden, da es in jeder Restklasse 1+(qi ) unendlich viele Primzahlen pi gibt. Dieser Spezialfall des Dirichletschen Primzahlsatzes aus der analytischen Zahlentheorie (Satz von der arithmetischen Progression) wird anschlieend in 13.10 bewiesen. Man kann somit paarweise verschiedene Primzahlen pi wahlen mit pi 1 2 (qi ) (i = 1; : : : ; r). Daher existiert ein Gruppenepimorphismus

H := Z =(p1 1) Z =(pr 1) ! Z =(q1 ) Z =(qr ) = G

Sei N sein Kern. Mit n := p1 : : : pr ist E ( Z =(n)) = Z =(p1 1) Z 2=i(pr 1) nach 13.7 isomorph zur Galoisgruppe des n {ten Kreisteilungskorpers Q (e n ). Sei L der Fixkorper von N . Nach 10.5b) ist L=Q galoissch und nach 12.1 ist G(L=Q ) isomorph zur Restklassengruppe H=N q.e.d. = G, 13.10.Satz. Fur jedes n

k n + 1 mit k 2 N .

2 N + gibt es unendlich viele Primzahlen der Form p =

Beweis: Man kann annehmen, da n 2 ist. Seien fur r 0 schon r verschiedene

Primzahlen p1; : : : ; pr der gewunschten Gestalt gefunden. Wir konstruieren eine weitere. Setze a := n p1 : : : pr . Dann ist a 2 und ja j > 1 fur jede primitive n {te Einheitswurzel . Daher ist n(a) 6= 1. Nach 13.4 ist n(a) eine ganze Zahl. Sei p ein Primteiler von n(a). Wegen n(a) j an 1 gilt dann an 1 mod p , folglich ist p kein Teiler von n und von p1; : : : ; pr verschieden. Es ist noch zu zeigen, da n ein Teiler von p 1 ist. Dies folgt aus der Tatsache, da a + (p) in der multiplikativen Gruppe von Z =(p) die Ordnung n besitzt: Ware namlich bereits ad 1 mod p fur einen Teiler d von n mit 1 d < n , so ware an 1 = 1 + ad + + (ad ) nd 1 n mod p ad 1 d Nach 13.3 ist n(a) ein Teiler der linken Seite dieser Relation und damit p ein Teiler von nd , ein Widerspruch, da p - n .

184 Ubungen:

x 13 Einheitswurzelkorper

1) Sei eine primitive (2n + 1){te Einheitswurzel uber Q (n 2 N ). Dann ist := 2 eine primitive (4n + 2){te Einheitswurzel und Q () = Q ( ). 2) Geben Sie eine komplexe Zahl z an, so da Q (z)=Q eine galoissche Korpererweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung 11 ist. 3) 2 C sei eine primitive n {te Einheitswurzel mit n > 1. Es sei N : Q () ! Q die Norm und Z (p) = f ab j a; b 2 Z ; p - bg fur eine Primzahl p 6 0 mod n . a) Das Minimalpolynom von 1 uber Q ist ein Teiler von (1 X )n 1 in Z [X ]. b) N (1 ) ist ganzzahlig und teilt n . c) 1 ist eine Einheit in Z (p)[]. 4) Beweisen Sie, da man einen Winkel von 120 Grad nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen kann. 5) Der Korper Q(e i3 ; e i5 ; e 215i ) ist galoissch uber Q . Ist seine Galoisgruppe abelsch? 6) Sei K ein Korper, X eine Unbestimmte und n 2 N + . a) Die Gruppe G aller Automorphismen von K (X )=K (X n ) ist zyklisch. b) Bestimmen Sie den Fixkorper F von G und alle Teilkorper von K (X ), welche F umfassen. c) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafur an, da K (X )=K (X n ) galoissch ist. 7) Sei p eine ungerade Primzahl und eine primitive p {te Einheitswurzel. Q ()=Q besitzt genau einen Zwischenkorper Z mit [Z : Q ] = 2. Genau dann ist Z R , wenn p 1 mod 4 ist. 8) Das Polynom X 4 X 3 + X 2 X + 1 2 Q [X ] besitzt gerade die primitiven 10{ten Einheitswurzeln als Nullstellen. Geben Sie die primitiven 10{ten Einheitswurzeln an und beschreiben Sie G(f ) als deren Permutationsgruppe. 9) Wie viele (maximale) Ideale besitzt der Ring Q [X ]=(X 1991 1)? 10) Sei p eine Primzahl der Form p = 2i + 1 (i 2 N ) und sei eine primitive p {te Einheitswurzel. a) Q ()=Q enthalt genaupeinen minimalen Zwischenkorper Z 6= Q . b) Fur p = 5 ist Z = Q ( 5). c) Bestimmen Sie fur n = 20 die minimalen Zwischenkorper Z 6= Q des n {ten Kreisteilungskorpers. 11) Sei eine primitive 13{te (49{te) Einheitswurzel. Wie viele Zwischenkorper besitzt Q ()=Q ? 12) Berechnen Sie das Kreisteilungspolynom 45 uber Q . 13) Sei p eine Primzahl und 2 N + . a) Berechnen Sie das Kreisteilungspolynom p uber Q . b) Zeigen Sie, da p (1) = p ist, und folgern Sie hieraus, da p irreduzibel ist.

U bungen

185

14)

a) Welchen Grad hat der Zerfallungskorper L von X 6 + 1 uber Q ? b) Bestimmen Sie G(L=Q ) und alle Zwischenkorper von L=Q . c) Geben Sie ein z 2 L mit L = Q (z) an. 15) Sei K=Q eine endliche Korpererweiterung und sei WK die Gruppe der in K enthaltenen Einheitswurzeln. a) WK ist eine endliche Gruppe. p b) Fur welche quadratfreien ganzen Zahlen d enthalt der Korper K = Q ( d) Einheitswurzeln 6= 1 ? 16) Sei K ein Korper und n 2 N . Die Restklasse von X in K [X ]=(X n 1) werde mit bezeichnet. nP1 a) Die Abbildung : K n ! K [X ]=(X n 1) mit (c0 ; : : : ; cn 1) 7! cii ist ein i=0 Isomorphismus von K {Vektorraumen. b) Fur einen Untervektorraum C K n sind folgende Aussagen aquivalent: ) F ur alle 0(;c: : : ; cn 1) 2 C ist auch (cn 1; c0; : : : ; cn 2) 2 C . ) (C ) ist ein Ideal in K [].

) Es gibt einen Teiler f von X n 1, so da

C = f(c0; : : : ; cn 1) 2 K n j

nP1 i=0

ci X i = f h; h 2 K [X ]g

17) Sei C (X ) der Korper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten X uber C und n 2 N . a) Zeigen Sie (induktiv), da X n +X n = fn (X +X 1 ) gilt mit einem ganzzahligen Polynom fn vom Grad n . b) fn besitzt n reelle Nullstellen. c) G(fn ) ist isomorph zur Galoisgruppe des reellen Teils des 4n {ten Kreisteilungskorpers uber Q . d) Fur welche n ist G(fn ) zyklisch? 18) Sei K := C (t; u), wobei t transzendent uber C ist und u der Gleichung u2 +t2 = 1 genugt. a) Berechnen Sie fur m 2 N + die Galoisgruppe G von C (t; u)=C (tm ; um). b) Zeigen Sie, da 12 ((t + iu)m +(t iu)m ) 2 C (tm ; um ) und folgern Sie, da cos mx eine rationale Funktion von cosm x und sinm x ist. c) Fur welche m ist sin mx eine rationale Funktion von cospm x und sinm x ? p p 19) Der Korper der 24. Einheitswurzeln uber Q ist in Q ( 1; 2; 3) enthalten.

x 14 Endliche Korper

186

x 14. Endliche K orper (Galois-Felder) Es folgt eine kurze Zusammenstellung der wichtigsten Aussagen u ber endliche Korper. Sie ergeben sich sehr schnell aus den bisherigen Satzen. Zahlreiche weitere Tatsachen kann man den U bungsaufgaben entnehmen.

K sei ein endlicher Korper, p seine Charakteristik. Wir identi zieren den Primkorper von K mit Fp . Nach 8.19 ist jeder endliche Korper vollkommen und nach 11.26a) ist seine multiplikative Gruppe zyklisch. Ist [K : Fp ] = m , so besitzt K genau pm verschiedene Elemente. Ferner ist K=Fp eine Galoiserweiterung. 14.1.Satz.

K besitzt uber Fp eine Basis der Lange m und hat daher pm Elemente. m K ist eine zyklische Gruppe der Ordnung pm 1. Daher gilt xp 1 = 1 fur jedes m x 2 K und xp x = 0 fur jedes x 2 K . Da es mpm Elemente in K gibt, ist K der Zerfallungskorper des separablen Polynoms X p X 2 Fp [X ] und somit uber Fp galoissch. Beweis:

Fur jede Primzahl p und jedes m 2 N + gibt es einen Korper mit pm Elementen. Er ist bis auf Isomorphie eindeutig. 14.2.Satz.

Sei K der Zerfallungskorper des Polynoms f := X pm X 2 Fp [X ]. Da f 0 = 1 ist, hat dieses Polynom pm verschiedene Nullstellen in K . Die Nullstellen m 1 p x 6= 0 von f genugen der Gleichung x = 1, sie bilden daher bzgl. der Multiplikation eine Gruppe. Sind x und y zwei Nullstellen von f , so gilt nach Frobenius Beweis:

m

m

m

(x y)p = xp yp = x y und somit ist x y auch eine Nullstelle von f . Die Nullstellen von f bilden somit schon selbst einen Korper mit pm Elementen, der notwendigerweise mit K ubereinstimmt. Auerdem ist K der (pm 1){te Einheitswurzelkorper uber Fp und somit bis auf Isomorphie eindeutig. Der Korper mit q = pm Elementen wird mit Fq bezeichnet und auch Galoisfeld der Ordnung q genannt. Der Frobeniusendomorphismus

F : Fq ! Fq

(x 7! xp)

ist injektiv, daher ein Automorphismus von Fq . Nach 11.26b) lat F den Primkorper Fp elementweise fest und ist somit ein Element von G(Fq =Fp ).

Galoisgruppe eines endlichen Korpers

187

Die Galoisgruppe von Fq =Fp ist zyklisch von der Ordnung m . Sie wird vom Frobenius-Automorphismus F : Fq ! Fq (x 7! xp ) erzeugt. 14.3.Satz.

Es sei x ein primitives Element von Fq . Dann ist F i(x) = xpi fur jedes i 2 N . Da die Elemente xpi (i = 1; : : : ; m) paarweise verschieden sind, sind die F i (i = 1; : : : ; m) paarweise verschiedene Automorphismen von Fq =Fp . Da [Fq : Fp] = m ist, ergibt sich G(Fq =Fp ) = fF; F 2 ; : : : ; F m g . Beweis:

Sei L=K eine Korpererweiterung vom Grad m , wobei L ein endlicher Korper ist. Dann ist L=K galoissch und G(L=K ) zyklisch von der Ordnung m . Die Zwischenkorper von L=K entsprechen eineindeutig den Teilern von m . 14.4.Korollar.

Da L=Fp galoissch ist, ist es auch L=K . Die Galoisgruppe G(L=K ) ist eine Untergruppe von G(L=Fp), also ebenfalls zyklisch. Beweis:

Sei K ein endlicher Korper und f 2 K [X ] ein irreduzibles Polynom vom Grad m . Dann ist f separabel und G(f ) ist zyklisch von der Ordnung m. 14.5.Korollar.

L := K [X ]=(f ) ist ein Erweiterungskorper von K vom Grad m . Da L=K galoissch ist, ist L der Zerfallungskorper von f uber K , folglich ist f separabel und G(f ) = G(L=K ). Endliche Korper spielen in der Kodierungstheorie eine wichtige Rolle. In dieser Theorie geht es darum, Verfahren zu entwickeln, die es erlauben, bei der Datenubertragung auf storanfalligen Kanalen Nachrichten so zu kodieren (digitalisieren), da Fehler in den gesendeten Nachrichten entdeckt und automatisch korrigiert werden. Eine Einfuhrung in dieses Gebiet ist [Sch]. Beweis:

Ubungen:

1) Gibt es einen Integritatsring mit genau 6 Elementen? 2) Geben Sie explizit ein Polynom f 2 F2 [X ] an, so da F2[X ]=(f ) ein Korper mit 8 Elementen ist. Wie viele Teilkorper besitzt ein Korper mit 1024 Elementen? 3) Sei K ein endlicher Korper. Fur ein Ideal I K [X ] sei (I ) das Minimum der Grade der Polynome f 6= 0 aus I . Sind M1 und M2 maximale Ideale mit (M1 ) = (M2 ), so sind K [X ]=M1 und K [X ]=M2 K {isomorph. 4) Sei K ein Korper mit q Elementen und seien p1 ; : : : ; pr 2 K [X ] paarweise verschiedene normierte irreduzible Polynome mit deg pi =: ni (i = 1; : : : ; r). Wie viele Elemente besitzt die Einheitengruppe des Restklassenrings K [Q X ]=(p1 : : : pr )? P 5) Sei K 6= F2 ein endlicher Korper. Dann ist x = 0 und x = 1. Insbex2K x2K sondere ist (p 1)! 1 mod p fur jede Primzahl p (Wilsonscher Satz).

x 14 Endliche Korper

188

6) Sei K ein Korper undm 2 K . a b (a; b 2 K ) bilden bzgl. der Matrizenaddition und a) Die 2 2{Matrizen mb a -multiplikation einen kommutativen Ring Lm . b) Genau dann ist Lm ein Korper, wenn m kein Quadrat in K ist. c) Ist in diesem Fall K = Fp mit einer ungeraden Primzahl p , so ist Lm = Fp2 . 7) Sei K ein Korper mit q Elementen. Bestimmen Sie die Ordnungen der folgenden Gruppen: a) Der Gruppe Gl(2; K ) aller invertierbaren 2 2{Matrizen uber K . b) Der Gruppe Sl(2; K ) aller A 2 Gl(2; K ) mit det A = 1. c) Des Zentrums von Sl(2; K ). 8) Geben Sie eine Gruppe G von 3 3{Matrizen uber einem geeigneten Korper an, welche folgende Eigenschaften besitzt: Es ist jGj = 27, G ist nicht abelsch und x3 = 1 fur alle x 2 G . 9) Jede Derivation (x 8, Aufg. 11) eines endlichen Korpers ist die Nullabbildung. Die Fq -Algebra Fq [X ]=(X 2 ) besitzt nichttriviale Derivationen. 10) Sei R := F4[X ]=(X 5 X 2 ). Wie viele Elemente, Primideale, Einheiten, Nullteiler besitzt R ? 11) a) Zerlegen Sie f := X 5 + X 2 X + 1 uber F3 in irreduzible Faktoren. b) Ist die Einheitengruppe des Rings F3[X ]=(f ) zyklisch? 12) Fur welche n 2 N + gilt (n + 10)n+10 nn mod 10? 13) Sei K ein endlicher Korper. a) Gibt es in K [X ] irreduzible Polynome jeden Grades? b) Gibt es ein irreduzibles Polynom uber dem rationalen Funktionenkorper K (t), das im algebraischen Abschlu von K (t) mehrfache Nullstellen besitzt? 14) Sei p eine Primzahl. Fur n 2 N sei In die Menge der normierten irreduziblen Polyn p nome aus Fp [X ] vom Grad n und un ihre Anzahl. Ferner sei g := X X 2 Fp[X ]. Q P a) Es gilt g = f und pn = dud . f 2Id djn

djn

b) Berechnen Sie u4 fur p = 2 und u9 fur p = 3. 15) Welche Ordnung hat die Galoisgruppe des Polynoms X 4 + X + 1 uber F2 und uber F3 ? 16) a) Bestimmen Sie den Zerfallungskorper und die Galoisgruppe des Polynoms f := X 6 + X 4 + X 2 + 1 uber Q . b) Bestimmen Sie die Galoisgruppe von f uber F5 . 17) Fur eine Primzahl p sei fp := X p X 1 2 Q [X ].

U bungen

189

a) fp bezeichne auch die Reduktion des Polynoms in Fp[X ]. Keine Wurzel a von fp ist in Fp enthalten und es gilt fp(a + 1) = 0. Die Galoisgruppe von fp uber Fp ist zyklisch von der Ordnung p . b) Als Polynom in Q [X ] ist fp irreduzibel. 18) Fur f := X 5 + aX 4 b 2 F5[X ] mit b 6= 0 sei eine Wurzel von f im algebraischen Abschlu L von F5 und K := F5 (). Ferner bezeichne F : L ! L den Frobeniusendomorphismus. a) F () lat sich in der Form ab00++ba11 mit ai ; bi 2 F5 (i = 0; 1) schreiben. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f in F5 . c) Fur welche a; b 2 F5 ist f irreduzibel? d) Berechnen Sie fur irreduzibles f die Nullstellen von f in K . 19) Der Zerfallungskorper des Polynoms X 9 X + 1 uber F3 ist zu F36 isomorph. 20) Seien K L zwei endliche Korper, wobei jK j =: qn = pr (p := Char K ) ist und [L : K ] =: n . Es sei N : L ! K die Norm, m := qq 11 und F : L ! L bezeichne den Frobeniusautomorphismus. a) G(L=K ) wird von F r erzeugt. b) Fur alle a 2 L gilt N (a) = am . c) N de niert einen Epimorphismus von L auf K . 21) a) X 4 + X 3 + 1 ist irreduzibel uber F2 . b) Sei das Bild von X in F16 := F2[X ]=(X 4 + X 3 +1). Dann ist eine primitive 15. Einheitswurzel uber F2 und (; 2 ; 4 ; 8) ist eine F2 {Basis von F16 . c) Sei S : F16 ! F2 die Spurabbildung. Fur ai 2 F2 (i = 0; : : : ; 3) gilt

S (a0 + a1 2 + a2 4 + a3 8) = a0 + a1 + a2 + a3 d) Fur 2 F16 hat X 2 + X + keine Nullstelle in F16 , falls S ( ) 6= 0 ist, und genau 2 Nullstellen, falls S ( ) = 0. 22) Sei K ein Korper der Charakteristik p > 0 und } : K ! K die durch }(x) = xp x fur x 2 K gegebene Abbildung. a) } ist ein Endomorphismus von (K; +), dessen Kern der Primkorper von K ist. b) Ist K separabel abgeschlossen (d.h. jedes uber K separabel algebraische Element schon in K enthalten), dann ist } surjektiv. 23) Sei p eine Primzahl und q := pm mit m 2 N + . Ferner bezeichne Fp den Primkorper von Fq . Es sei S : Fq ! Fp die Spur und } : Fq ! Fq die in Aufg.22) eingefuhrte Abbildung. a) S ist surjektiv. b) ker S = im } . 24) Sei p eine Primzahl und K = Fq der Korper mit q := pm Elementen und L der Zerfallungskorper von X n 1 uber K (n 2 N +; p - n).

190

x 14 Endliche Korper

a) Die Ordnung der Galoisgruppe G(L=K ) ist gleich der Ordnung des Bildes q von q in der Einheitengruppe von Z =(n). b) Genau dann ist das n {te Kreisteilungspolynom n 2 K [X ] irreduzibel, wenn q die Einheitengruppe von Z =(n) erzeugt. c) 12 ist fur alle p uber Fp reduzibel. 25) Seien p 6= q Primzahlen und sei K der algebraische Abschlu von Fq . Ferner sei ~p = (X ), wobei die primitiven p {ten Einheitswurzeln in K durchlauft, und L sei der Zerfallungskorper von ~p uber Fq . a) Wie lat sich [L : Fq ] berechnen? b) Berechnen Sie [L : Fq ] fur q = 5; p = 3; = 2. c) Ist ~9 irreduzibel uber F5 ? 26) a) Fur welche Primzahlen p ist X 2 + X + 1 modulo p reduzibel? b) Bestimmen Sie alle maximalen Ideale von Z [X ], welche X 2 + X + 1 enthalten. 27) Geben Sie alle ganzzahligen Losungen der Gleichung X 2 + XY + Y 2 = 667 an. 28) Es gibt keinen kommutativen Ring mit Eins, der genau 5 Einheiten besitzt. 29) a) Es gibt bis auf Isomorphie genau eine Gruppe der Ordnung 1295. b) Jeder Ring mit 1, der aus 1295 Elementen besteht, ist direktes Produkt von 3 Korpern. 30) Sei K der algebraische Abschlu von F2 und P die Menge aller Primzahlen. a) Fur jedes k 2 N enthalt K genau einen Korper mit 2k Elementen. Er wird im folgenden mit F2k bezeichnet. S b) Fur p 2 P ist Kp := F p` ein Teilkorper von K . Bestimmen Sie alle `2N 2 Teilkorper vonS Kp . c) K wird von p2P Kp erzeugt. d) Jeder nichtidentische Automorphismus von K hat unendliche Ordnung. 31) Quadratische Reste. Sei n 2 N , n > 1. Eine Zahl a 2 Z heit quadratischer Rest modulo n , wenn ggT(a; n) = 1 ist und ein x 2 Z existiert, so da x2 a mod n . a) Sei n = p1 1 : : : ps s die Primzahlzerlegung von n . Genau dann ist a 2 Z quadratischer Rest modulo n , wenn a quadratischer Rest modulo pi i ist fur i = 1; : : : ; s . b) Welche zu 30 teilerfremden Zahlen a mit 1 a < 30 sind quadratische Reste modulo 30? c) Geben Sie alle Losungen der Kongruenz X 2 217 mod 1992 an. 32) Sei p eine ungerade Primzahl und q = pm (m 2 N +). a) Genau die Halfte der Elemente von Fq sind Quadrate.

U bungen

191

b) Fur a 2 Fq ist a q 2 1 = 1 oder a q 2 1 = 1. Der zweite Fall tritt genau dann ein, wenn a kein Quadrat in Fq ist. c) Sind a; b 2 Fq keine Quadrate, so ist ab ein Quadrat. 33) Die Voraussetzungen seien wie in Aufg. 32). a) Fur welche q ist 1 ein Quadrat in Fq ? b) Ist 1 ein Quadrat in Fq , so ist die Summe aller Quadrate aus Fq gleich 0. Von den Aufgaben 31)-33) ist es nicht mehr sehr weit zum Quadratischen Reziprozit atsgesetz von Gau, einem ber uhmten Resultat der elementaren Zahlentheorie. Wir verweisen hierfur auf die Literatur, etwa [Fr], Kap. IV, Satz 2.1. 34) Sei q = pm mit einer Primzahl p (m 2 N +). a) Jede der Gleichungen X 2 Y 2 = a und X 2 + Y 2 = a ist fur a 2 Fq in Fq losbar. b) In welchem Fall besteht fX 2 + Y 2 j X; Y 2 Fq g nur aus Quadraten? 35) Fur jede Primzahl p 6 1 mod 4 ist X 2 = 2 oder X 2 = 2 in Fp losbar. 36) Das Polynom X 4 16X 2 + 4 ist uber jedem endlichen Korper reduzibel. 37) Sei Fq der Korper mit q Elementen ( q 2 N ) und

f = anX qn + an 1X qn 1 + + a1 X q + a0 X (a0 ; : : : ; an 2 Fq ; a0 an 6= 0) Zeigen Sie: a) Die Nullstellen von f im Zerfallungskorper Z von f uber Fq bilden einen Fq Untervektorraum W von Z von der Dimension n . b) Fur jedes 2 G(Z=Fq ) ist jW ein Automorphismus des Fq -Vektorraums W und durch 7! jW wird ein injektiver Gruppenhomomorphismus von G(Z=Fq ) in die Gruppe Aut(W ) aller Automorphismen von W gegeben. c) Es gibt in Aut(W ) ein Element der Ordnung qn . 38) Sei p eine Primzahl und die algebraische Abschlieung des Korpers Fp . Es sei K ein Teilkorper von mit pr Elementen ( r 2 N+ ) und ein primitives Element von K=Fq . Ferner sei L ein Teilkorper von mit ps Elementen ( s 2 N+ ). Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen: a) r und s sind teilerfremd. b) Das Minimalpolynom von uber Fp ist in L[X ] irreduzibel. c) K \ L = Fp .

x 15 Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale

192 x

15. Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale In diesem abschlieendenParagraphen wird noch gezeigt, da die au osbaren Polynome gerade die sind, die eine Wurzel in einer Radikalerweiterung besitzen. Es schliet sich damit der Kreis, der in x 2 seinen Anfang nahm.

Sei K ein Korper. Eine Gleichung X n a = 0 (a 2 K ) wird eine reine Gleichung genannt. Ist p := Char K und gilt p - n , so ist f := X n a ein separables Polynom. Wir interessieren uns fur seine Galoisgruppe. Fur ein n 2 N + mit p - n seien die n {ten Einheitswurzeln schon in K enthalten. Dann gilt: a) Die Galoisgruppe des Polynoms f = X n a (a 2 K ) ist zyklisch. b) Zu jeder zyklischen Erweiterung L=K vom Grad n gibt es ein 2 L mit L = K [] und n 2 K . 15.1.Satz.

a) Sei L der Zerfallungskorper von f und sei 2 K eine primitive n {te Einheitswurzel. Wenn 2 L eine Nullstelle von f ist, dann ist f; ; : : : ; n 1 g die Menge aller Nullstellen von f . Daher ist L = K []. Jedes aus der Galoisgruppe G von L=K ist durch () = schon eindeutig bestimmt, also durch die Restklasse + (n) 2 Z =(n). Man hat daher eine injektive Abbildung ' : G ! Z =(n) ('() = + (n); wenn () = ) ' ist ein Homomorphismus von G in ( Z =(n); +): Fur 2 G mit () = gilt ( )() = ( ) = () = + und somit '( ) = + + (n) = [ + (n)] + [ + (n)] = '( ) + '( ) Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist G selbst zyklisch. b) Es sei ein erzeugendes Element von G und 2 K eine primitive n {te Einheitswurzel. Die Automorphismen 1; ; : : : ; n 1 sind nach 10.2 linear unabhangig uber K . Es gibt daher ein x 2 L , so da die \Lagrangesche Resolvente" (; x) := x + (x) + 2 2(x) + + n 1n 1 (x) nicht verschwindet. Aus (; x) := (x) + 2 (x) + + n 2 n 1 (x) + n 1 x = 1 (; x) ergibt sich ((; x)n ) = ( (; x))n = (; x)n fur alle 2 G(L=K ) Somit ist (; x)n 2 K . Aus (; x) = (; x) ( = 0; : : : ; n 1) sieht man, da es n verschiedene K {Automorphismen von K [(; x)]=K gibt. Da aber [L : K ] = n ist, mu L = K [] mit := (; x) sein, q.e.d. Beweis:

Au osbare Galoisgruppe

193

Ist unter den Voraussetzungen des Satzes f = X n a irreduzibel, so ist G(f ) zyklisch von der Ordnung n . 15.2.Korollar.

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Korper. Die Zahl n 2 N + werde nicht von der Charakteristik von K geteilt und K (X ) sei der rationale Funktionenkorper uber K . Dann ist K (X )=K (X n ) eine zyklische Erweiterung vom Grad n . In der Tat ist Y n t mit t := X n das Minimalpolynom von X u ber K (t) und 15.2 ist anwendbar. Die Galoistheorie liefert nun das folgende hinreichende Kriterium fur die Au osbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale, das im Fall abelscher Gruppen zuerst von Abel bewiesen worden ist. 15.3.Beispiel:

K sei ein Korper, f 2 K [X ] ein irreduzibles separables Polynom mit au osbarer Galoisgruppe G(f ). Die Ordnung von G(f ) werde nicht von der Charakteristik von K geteilt. Dann ist die Gleichung f = 0 durch Radikale au osbar 15.4.Satz.

und alle Losungen sind Radikale.

Sei L der Zerfallungskorper von f uber K . Da G(f ) au osbar ist, existiert nach 11.66 eine Untergruppenkette (1) G(f ) = N` N` 1 N1 N0 = feg wobei Ni 1 Normalteiler in Ni ist und Ni =Ni 1 zyklisch von Primzahlordnung fur i = 1; : : : ; ` . Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie und nach 12.1 entspricht (1) eine Kette von Zwischenkorpern von L=K (2) K = Z0 Z1 Z` = L wobei Zi =Zi 1 eine zyklische Erweiterung vom Primzahlgrad pi ist (i = 1; : : : ; `). Sei n := [L : K ], sei K 0 der n {te Einheitswurzelkorper uber K und L0 := K 0 L das Kompositum von K 0 und L im algebraischen Abschlu von K . Da n = p1 : : : p` ist und da n nicht von p := Char K geteilt wird, gilt pi 6= p fur i = 1; : : : ; ` . Ferner enthalt K 0 die pi {ten Einheitswurzeln fur i = 1; : : : ; ` . In der Korperkette (3) K 0 = K 0 Z0 K 0 Z1 K 0 Z` = L0 sind die Erweiterungen K 0 Zi=K 0 Zi 1 nach 12.7 zyklisch (i = 1; : : : ; `). Nach 15.1b) existiert ein i 2 K 0 Zi und ein i 2 N + , so da K 0 Zi = K 0 Ki 1 [i] und i 2 K 0 Zi 1 (i = 1; : : : ; `). Mit andern Worten: L0 =K 0 ist eine Radikalerweiterung (vgl. Def. 2.1). Da auch K 0 =K eine Radikalerweiterung ist, ist L0=K eine. Alle Nullstellen von f liegen aber in L0 . Somit ist der Satz gezeigt. Der nachste Satz gibt eine notwendige Bedingung fur die Au osbarkeit durch Radikale. Beweis:

i

194

x 15 Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale

K sei ein Korper der Charakteristik 0 und f 2 K [X ] ein irreduzibles Polynom. Wenn die Gleichung f = 0 durch Radikale au osbar ist, dann ist G(f ) 15.5.Satz.

au osbar.

Nach Voraussetzung besitzt f eine Nullstelle in einer Radikalerweiterung L von K . Es gibt dann Elemente 1 ; : : : ; ` 2 L und Zahlen r1 ; : : : ; r` 2 N + , so da L = K (1 ; : : : ; ` ), r11 2 K; : : : ; ri+1+1 2 K (1 ; : : : ; i ) f uri = 1; : : : ; ` 1. Setze Zi := K (1; : : : ; i) (i = 0; : : : ; `). Sei n := r1 : : : r` und sei K 0 der Korper der n {ten Einheitswurzeln uber K . Er enthalt die ri {ten Einheitswurzeln fur i = 1; : : : ; ` . In der Korperkette Beweis:

i

K K 0 K 0 Z1 K 0 Z` = L0

sind die Erweiterungen K 0 Zi =K 0 Zi 1 (i = 1; : : : ; `) nach 15.1a) jeweils zyklisch und K 0 =K ist abelsch nach 13.6. Daher ist L0 =K eine metazyklische Erweiterung. Die galoissche Hulle N von L0=K ist dann au osbar nach 12.10. Der Zerfallungskorper Z N von f u ber K ist galoissch u ber K und seine Galoisgruppe ist nach 12.1 eine Restklassengruppe von G(N=K ). Mit G(N=K ) ist dann auch G(f ) = G(Z=K ) au osbar nach 11.65. Der Satz ist bewiesen. Da die Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung n {ten Grades fur n 5 nicht au osbar ist (11.67), ergibt sich (Abel) Fur n 5 ist die allgemeine Gleichung n {ten Grades nicht durch Radikale au osbar. 15.6.Korollar.

In 12.4b) wurde ein Polynom 5.Grades uber S5 besitzt, namlich X 5 4X + 2. Daher gilt

Q

angegeben, das die Galoisgruppe

(Galois) Es gibt irreduzible Polynome 5.Grades in Q [X ], die nicht durch Radikale au osbar sind. 15.7.Korollar.

Galois hat einen genaueren Satz uber die Au osbarkeit irreduzibler Polynome vom Primzahlgrad angegeben (vgl. Aufg.11)). Wie sich die Au osungsformeln fur die Gleichungen 3. und 4.Grades mit Hilfe der Galoistheorie herleiten lassen, ist ausfuhrlich bei van der Waerden [vdW1 ] behandelt. Mit den abelschen Korpererweiterungen vom Exponenten r beschaftigt sich die Kummertheorie ([A], Abschnitt M). Dies waren weitere Themen, denen wir uns jetzt zuwenden konnten. Da wir aber nun die in x 1 und x 2 gesteckten Ziele erreicht und daruberhinaus auch viel Basiswissen aus der Algebra angesammelt haben, soll jetzt Schlu sein.

U bungen

195

Ubungen:

5 1) Bestimmen Sie den Grad des Zerfallungsk p5 orpers von X 7 uber Q und die Galoisgruppe von Q (; )=Q (), wenn := 7 und eine primitive 5. Einheitswurzel ist. 2) Sei K := Q (t) der Korper der rationalen Funktionen in der Unbestimmten t uber Q . Bestimmen Sie die Galoisgruppe G(f ) von f := X n t 2 K [X ]. 3) Die Galoisgruppe des Polynoms X 6 + 3 2 Q [X ] ist zu S3 isomorph. Die Galoisgruppe von X 5 5 2 Q [X ] ist au osbar. 4) Die Galoisgruppe des Polynoms X 4 +2 2 Q [X ] ist zur Diedergruppe D4 isomorph. Welche Galoisgruppe ergibt sich, wenn man das Polynom uber F5 betrachtet? 5) Zeigen Sie, da der Zerfallungskorper des Polynoms X 6 2 uber Q genau 3 quadratische Zwischenkorper besitzt und bestimmen Sie diese. 6) K sei ein Korper der Charakteristik 0, der eine primitive n {te Einheitswurzel enthalt. Fur a1; : : : ; ar 2 K sei

f = (X n a1 )(X n

a2 ) : : : (X n ar )

a) G(f ) ist abelsch. b) Die Ordnung jedes 2 G(f ) teilt n . 7) Sei K ein Korper der Charakteristik 0, welcher die n {ten Einheitswurzeln enthalt, sei f := X n a 2 K [X ] ein irreduzibles Polynom, L sein Zerfallungskorper und eine Wurzel von f . Sei n = k ` (k; ` 2 N ). Dann ist K (` ) der einzige Zwischenkorper Z von L=K mit [Z : K ] = k . 8) Sei K ein Korper der Charakteristik 6= 2 und sei a 2 K kein Quadrat in K . a) Ist c ein Element eines Erweiterungskorpers von K mit c2 = a , so ist c genau dann in K (c) ein Quadrat, wenn 4a eine vierte Potenz in K ist. b) X 4 a ist genau dann irreduzibel uber K , wenn 4a keine vierte Potenz in K ist. c) Wie viele Elemente besitzt der Zerfallungskorper von X 4 3 uber F5 ? 9) a) Sei X 4 a 2 Q [X ] irreduzibel. Fur eine Wurzel b von f := X 4 a sei bt := it b (t 2 Z ). Dann ist W = fb1 ; : : : ; b4 g die Menge aller Wurzeln von f . Fur r; u 2 Z , u ungerade, sei r;u : W ! W die durch r;u (bt ) = but+r (t 2 Z ) de nierte Abbildung. Dann ist D := fr;u j r; u 2 Z ; u ungeradeg eine Untergruppe der Ordnung 8 von S (W ), der Permutationsgruppe von W , und es ist G(f ) D . b) Falls a > 0 ist, gilt G(f ) = D , falls a = 1 ist, gilt G(f ) = Z =(2) Z =(2). 10) Sei K := Q (i) und L := K [], wobei eine Nullstelle von f := X 8 2 ist. a) f ist uber K irreduzibel. b) L ist ein Zerfallungskorper von f uber K .

196

x 15 Au osung algebraischer Gleichungen durch Radikale

c) Es gibt genau einen Automorphismus von L=K mit () = (1 + i) 3 und dieser erzeugt die Galoisgruppe von L=K . d) Bestimmen Sie alle Zwischenkorper von L=K .

11) Der Satz von Galois uber au osbare Polynome vom Primzahlgrad. a) Sei K ein Korper und f 2 K [X ] ein irreduzibles separables Polynom vom Primzahlgrad p , dessen Galoisgruppe G(f ) au osbar ist. Es soll gezeigt werden, da G(f ) isomorph ist zu einer Untergruppe der Gruppe der linearen Abbildungen von Fp (x 11, Aufg. 90). ) Zeigen Sie, da es in G(f ) eine Untergruppenkette G(f ) = N` N` 1 N1 N1 N0 = feg

wie in x 11, Aufg. 82c) gibt. Identi ziert man die Menge der Wurzeln von f mit Fp und fat G(f ) als Untergruppe von Sp = S (Fp) auf, so wird N1 bei geeigneter Numerierung der Wurzeln von f von der Abbildung : Fp ! Fp mit (x) = x + 1 fur alle x 2 Fp erzeugt. ) Sei H G(f ) eine Untergruppe und N ein Normalteiler von H , der enthalt und ganz aus linearen Abbildungen besteht. Fur jedes 2 H gilt dann 1 = mit 2 f1; : : : ; p 1g und es folgt (x) = ax + b mit der Restklasse a von in Fp und b := (0).

) Folgern Sie, da ganz G(f ) aus linearen Abbildungen besteht. b) Unter den Voraussetzungen von a) soll gezeigt werden: Sind 6= zwei beliebige Wurzeln von f , so ist K (; ) der Zerfallungskorper von f uber K . ) Wie viele Fixpunkte konnen lineare Abbildungen : Fp ! Fp besitzen? ) Betrachten Sie nun die Isotropiegruppe von K (; ) unter der Operation der Galoisgruppe auf dem Zerfallungskorper von f . c) Sei K R ein Teilkorper und f 2 K [X ] ein irreduzibles Polynom vom Primzahlgrad p 6= 2 mit au osbarer Galoisgruppe. Dann sind nur die folgenden Falle moglich: ) f besitzt genau eine reelle Wurzel. ) Alle Wurzeln von f sind reell.

197

Hinweise zu den U bungsaufgaben Die Hinweise sollen Hilfen sein, um die Losung der Aufgaben zu erleichtern oder um die Richtigkeit der eigenen Losung nachzuprufen. Es ist auf jeden Fall empfehlenswert, zunachst die Losung ohne diese Hilfen zu versuchen. Der folgende Teil des Textes war fur den Autor und seine Mitarbeiter etwas muhevoll und die Gefahr von Irrtumern ist hier gro. Fur eventuelle Fehlleistungen hot der Autor auf Nachsicht. In Klausuren werden gewohnlich ausfuhrlichere Antworten auf die gestellten Fragen erwartet. Die hier angebotenen \Losungen" konnten wohl nicht mit der Bestnote bewertet werden. Bei rechnerischen Aufgaben bieten Computeralgebra-Systeme wie Maple Programme zur Losung an, mit deren Hilfe man Rechenfehler vermeiden oder die eigene Losung uberprufen kann. Es ist aber auch wichtig zu verstehen, auf welchen Grundlagen diese Programme beruhen. Ubungen zu

x 1:

1) Mit den Bezeichnungen von x S 1 zeigt man induktiv, da die Mengen Mn abzahlbar ^ sind. Dann ist es auch M = Mn . Ist die Abzahlbarkeit von Mn schon gezeigt, n2N so folgt, da auch G(Mn ) und K (Mn) abzahlbare Mengen sind, und es ergibt sich die Abzahlbarkeit von Mn+1 = Mn0 . 2) p p a) Verwenden Sie pa+1 pb = aa b b (a 6= b). p p p b) Sei K := Q ( 2 + 3 + 5). Aus

p

p

p

p

p

p

folgt ( 2 + 3

p

p

p

p

( 2 + 3 + 5)2 ( 2 + 3 5)2 2 K und somit auch

( 2+ 3

p

p

p

p

p

5)2 = 24

p

5)2 + ( 2 + 3 + 5)2 = 20 + 4 6 2 K

p

p p

Nacheinander p p ndet p man nun 5 2 K , 2; 3 2 K und damit K = Q ( 2; 3; 5). p 3) Wegen genugt es, r 2 Q (M ) fur jedes r 2 Q zu zeigen. Schreibe nun pr = apM1 bW2 mit r 1 a; b 2 Q , falls r 6= 1. (a = r+1 2 ; b = r+1 ). 4) a) Wenn die Geraden parallel sind, so liefert viermalige Anwendung des Strahlensatzes, da C 0 der Mittelpunkt der Strecke AB ist. Wird dies vorausgesetzt, so betrachte man die Parallele zu AB durch A0 und wende die schon gezeigte Aussage an. Es folgt dann, da A0 B0 zu AB parallel ist.

U bungen zu x2

198

b) Durch die Konstruktionsdaten sind zwei Paare paralleler Geraden gegeben, die man dazu verwendet, mittels a) Parallelen zu konstruieren. Schritt fur Schritt fuhrt man nun die gewunschten Konstruktionen durch. c) Da ML ein M [ M umfassender Korper ist, folgt aus b). Verwende nun 1.10. d) Eine Gerade ist genau dann konstruierbar, wenn sie eine Gleichung aX + bY = c ((a; b) 6= (0; 0)) besitzt mit a; b; c 2 ML . Die Parallele durch einen konstruierbaren Punkt und das Lot von einem konstruierbaren Punkt auf die Gerade haben wieder solche Gleichungen und mussen daher ebenfalls konstruierbar sein. 5) Es genugt zu zeigen, da man Winkel halbieren kann (klar) und da man zu einer p konstruierten Zahl r 2 R + auch r konstruieren kann. Mit dem Strahlensatz fuhrt man dies auf den Fall 0 < r < 1 zuruck und geht dann wie im Beweis von 1.5 vor. 6) p p p p c) Aus 3 2 = a + b d folgt (a3 + 3ab2 d 2) + (3a2 + b3d) d = 0. Wegen d 2= L ergibt sich 3a2 b + b3 d =2 0 und damit auch a3 + 3ab2 d 2 = 0. Die erste Gleichung zeigt d = 3 ab2 . Eingesetzt in die zweite erhalt man 2 = 8a3 , also p3 2 = 2a , ein Widerspruch. Ubungen zu

1) X 4 + X

x 2:

1 4

besitzt die kubische Resolvente X 3 + X + 1 mit den Nullstellen

x1 := 13 (A B) 2 R x2 := 13 (2A + B) 2= R x3 := 13 (A + 2B) 2= R

p p wobei A := + 32 93, B := 3 272 + 23 93 mit positiven 3. Wurzeln und := e 2i3 . Das Polynom X 4 + X 14 hat zwei reelle und zwei konjugiert-komplexe q

3

2)

3)

q

27 2

Nullstellen. a) b) c) d)

qnf ( pq ) = a0 qn + a1 pqn 1 + + an 1pn 1q + an pn = 0. Nach a) sind 4; 2; 1; 21 ; 14 mogliche rationale Nullstellen. Einsetzen! Das Polynom besitzt die rationalen Nullstellen 3 und 53 . Nein.

p

a) Konstruktion von 3 r fur r 2 R : Schneide P mit dem (konstruierbaren) Kreis (X r2 )2 + (Y 21 )2 = 14 (1 + r2 ). b) Dreiteilung eines Winkels ' : Schneide P mit dem Kreis mit dem Mittelpunkt p 1 7 1 2 ( 8 cos '; 8 ) und dem Radius 8 cos ' + 49. c) ergibt sich aus a) und b).

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

199

4) Die Bestimmung der Schnittpunkte schon konstruierter Geraden oder Kreise mit der Parabel fuhrt auf Gleichungen vom Grad 4. Nach den Cardanoschen Formeln sind die Schnittpunkte durch Quadratwurzeln und Kubikwurzeln darstellbar. 5) Ist := e 2i7 , so erfullt + 1 die Gleichung X 3 + X 2 2X 1 = 0 und die Gleichung X 2 ( + 1 )X + 1 = 0. 6) a) Der Ansatz f = x0 + x1 X + + xnX n mit unbekannten xi fuhrt auf ein lineares Gleichungssystem mit einer van der Mondeschen Determinante. b) Fur jedes a 2 K existiert ein a 2 K [X ] mit a (a) = 1, a(b) = 0 fur b 6= a . Das gesuchte f ist eine Linearkombination der a (a 2 K ). 7) Man ndet f mit f (a1 ; : : : ; an) = 1, f (x1 ; : : : ; xn ) = 0 fur (x1 ; : : : ; xn) 6= (a1 ; : : : ; an) mittels 6b) und vollstandiger Induktion nach n . Dann bildet man wieder eine geeignete Linearkombination solcher Polynome. 8) a) Subtrahieren Sie ein geeignetes Vielfaches von Xn von f , um den Grad zu erniedrigen. X X b) Fur g = i gilt g = i 1 . c) Die Eigenschaft von f vererbt sich auf f . Wenden Sie Induktion nach dem Grad an. n P 9) Sei A := (0; : : : ; 0; 1) der \Sudpol" der (n 1){Sphare S n 1 : Xi2 = 1. Die i=1 Gerade

g = f(0; : : : ; 0; 1) + (t1; : : : ; tn 1; 1) j 2 R g schneidet die Hyperebene H : Xn = 0 im Punkt B := (t1 ; : : : ; tn 1 ; 0) und S n in

1

nP1 2 ti 2 t 2 t 1 n 1 i =1 C := nP1 ; : : : ; nP1 ; nP1 2 1 + ti 1 + t2i 1 + t2i i=1 i=1 i=1

1

Umgekehrt: Ist C = (x1 ; : : : ; xn ) 2 S n 1 , C 6= A gegeben, so schneidet die Gerade xn 1 ; 0). Man hat durch A und C die Hyperebene H im Punkt B = ( 1+x1xn ; : : : ; 1+ xn eine Bijektion S n 1 n fAg e! H (C 7! B). Sie heit die stereographische Projektion und liefert die gewunschte Parameterdarstellung.

U bungen zu x3

200

Hat B Koordinaten in einem Teilkorper K R , so auch C ; hiervon gilt auch die Umkehrung. 10) Die Gleichung p2 + q2 = 3r2 hat keine Losung (p; q; r) 2 Z 3 n f(0; 0; 0)g . Diskutieren Sie die moglichen Falle fur gerade und ungerade Zahlen p; q; r . Kurzer geht es, wenn man die Gleichung \modulo 4" betrachtet.

x 3: 1) Ist f 2 Q [X ] n f0g und f (z) = 0, so ist auch f (z ) = 0. Dann sind z z ebenfalls Ubungen zu

2) 3) 4) 5) 6) 7)

algebraisch. [z : Q p ] = 2. [Q ( 2; i) : Q ] = 4. Minimalpolynom: X 4 2X 2 + 9. Sei L=K eine Korpererweiterung vom Primzahlgrad p . Nach der Gradformel besitzt L=K keinen echten Zwischenkorper und es ist L = K (x) fur jedes x 2 L n K . Die Formel (2) aus dem Beweis von 3.8 zeigt, da jedes y 2 R n f0g in R ein Inverses besitzt. Gradformel. Mit n = 2m gilt

X n 1 + X n 2 + + X + 1 = (X m 1 + X m 2 + + X + 1) (X m + 1) 8)

9)

b) a 1 = z2 + 2z + 1. c) z4 = z2 z , z6 = z2 2z + 1. Minimalpolynom von z2 : X 3 2X 2 + X 1. b) Sei K die algebraische Abschlieung von K in L . Aus Zi K (i = 1; 2) folgt Z1 Z2 K .

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

201

c) Es gilt ni j[Z1 Z2 : K ] (i = 1; 2) nach der Gradformel. Ferner ist [Z1 Z2 : Z1] [Z2 : K ], da Elemente von Z2 , die uber Z1 linear unabhangig sind, erst recht uber K linear unabhangig sind. Nach der Gradformel folgt [Z1 Z2 : K ] n1 n2 . Sind n1; n2 teilerfremd, so folgt aus ni j[Z1 Z2 : K ] (i = 1; 2) die Gleichheit: n1 n2 = [Z1 Z2 : K ]. 10) Elemente von Z , die uber K (x) linear unabhangig sind, sind es erst recht uber K. 11) a) Es ist klar, da Q (M ) K . Umgekehrt enthalt Q (M ) nach der Au osungsformel fur quadratische Gleichungen alle Losungen solcher Gleichungen. b) Es gibt Elemente a1 ; : : : ; an 2 K mit [ai : Q ] = 2 und Z = Q (a1 ; : : : ; an). c) Gradformel. p p p 12) Falls a 6= 0, b 6= 0, so gilt Q ( a) = Q ( b) genau dann, wenn ab 2 Q . 13) Nein: ( p3 p)2 lat sich nicht in der Form a + b p3 p (a; b 2 Q ) schreiben. Verwenden Sie, da p3 p irrational ist. 14) a)-d) durften im wesentlichen aus der linearen Algebra bekannt sein. e) Wahlen Sie eine Basis (!1 ; : : : ; !m ) von K (a) uber K und eine Basis (1; : : : ; n) von L uber K (a). Dann ist (i !j )i=1;:::;n;j=1;:::;m eine von L=K . Wenden Sie nun c) auf diese Basis an. 15) Anwendung bekannter Tatsachen der linearen Algebra. 16) a = X 2 20X + 20 21 d . Ubungen zu

1)

x 4:

b) Die Nullteiler sind die Matrizen a0 ab mit a = 0, die Einheiten die mit a 6= 0. 0 1 1 0 c) Sei B := 0 0 und E := 0 1 . Dann ist (BX + E )( BX + E ) = E . 2) Ist f g = 0 mit einem g 2 R n f0g , so existiert ein nichtleeres oenes Intervall I (a; b), auf dem g nicht verschwindet, und es mu f = 0 auf I gelten. (

e f := 0 3)

1 x2

fur x > 0 fur x 0

ist eine C 1 {Funktion, die Nullteiler in C ( 1; 1) ist. a) Induktion nach n . b) (1 + X )n+m = (1 + X )n (1 + X )m . Anwendung der binomischen Formel und Koezientenvergleich.

U bungen zu x4

202

4)

a) Ist xn = 0, ym = 0, so gilt (x y)n+m = 0. Nun Anwendung des Untergruppenkriteriums. nP1 b) Sei xn = 0 und " "0 = 1 ("0 2 R). Dann gilt (" + x) "0 ( 1) ("0 x) = 1. =0 c) Verwenden Sie 4a) und Induktion nach n . 5) Fur alle c 2 R gilt abc = ac und somit bc = c . 6) Angenommen, fp1; : : : ; pr g ware ein Reprasentantensystem fur die Klassen assoziierter Primelemente von K [X ]. Betrachten Sie wie Euklid p1 : : : pr + 1. 7) nP 2 1 a) Ware n = n1 n2 (ni 2 N +), so ware 2n 1 = (2n1 1) (2n1 )i zerlegbar. i=0 b) Satz 12.14. 2m + 1 teilt. Dann teilt p auch c) Seimm < n und sei p eine Primzahl, die 2 (22 + 1)(22mn 1) = 22m+1 1 und 22n 1 fur jedes n > m . Folglich kann p nicht auch 22 + 1 teilen. 8) Angenommen, die Wurzel ware rational: p1 : : : pr = ( ab )m mit a; b 2 Z , b 6= 0. Aus p1 : : : pr bm = am ergibt sich mit Hilfe des Satzes von der eindeutigen Primzahlzerlegung ein Widerspruch. 9) b) exp(z) ist eine Einheit in R , aber nicht konstant. c) Sei f eine ganze Funktion mit genau einer Nullstelle 1.Ordnung, etwa a 2 C . Wenn f ein Produkt g h ganzer Funktionen teilt, so mu einer der Faktoren die Nullstelle a besitzen, etwa g . Dann gilt g = f fg , wobei fg nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz eine ganze Funktion ist. d) Nach dem Weierstraschen Produktsatz gibt es fur jedes n 2 N eine ganze Funktion fn , so da alle m 2 N mit m n Nullstellen 1. Ordnung von fn sind und fn sonst keine Nullstellen besitzt. Es gilt dann fn+1 j fn und fn+1 6 fn fur alle n 2 N . 10) In Q [X ] : X 2 + X + 1 = 14 ( 3X + 5)f + 14 (3X 2 + X 1)g . In F2 [X ] : X 3 + 1 = f X g . 11) Die Polynome sind teilerfremd und konnen daher keine gemeinsame Nullstelle besitzen. 12) f und seine Ableitung f 0 haben die Nullstelle a , sie sind daher nicht teilerfremd. ggT(f; f 0 ) ist ein echter Teiler von f in K [X ]. 13) a) Sei n = p11 prr die Primzahlzerlegung von n . Es genugt, die Teiler von p1 : : : pr zu betrachten, also die Teilmengen von f1; : : : ; rg . Es ist aber r P P (d) = ri ( 1)i = ( 1 + 1)r = 0. djp1pr

i=0

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

203 b) ) ! . Es ist P

djn

14)

15)

(d)g( nd ) =

P

djn

(d)

P

P

d0 j d

dd0 jn

f (d0 ) = n

(d)f (d0 ) =

P

d0 jn

f (d0 )

P

dj dn0

(d) = f (n)

nach a). Der Beweis von ) ! ) ist ahnlich. a) Ware a = 2p +1, b = 2q +1 (p; q 2 Z ), so ware a2 + b2 = 2+4(p + q)+4(p2 + q2). Diese Zahl ist kein Quadrat. b) Nach x 2, Aufg. 9) existiert ein t 2 Q , so da a = 2t ; b = 1 t2 c 1 + t2 c 1 + t2 Schreibe t = uv mit teilerfremden u; v 2 Z . Es sind dann auch 2uv; u2 v2 und u2 + v2 teilerfremd, wobei u2 v2 und u2 + v2 ungerade sind, und es folgt a = 2uv , b = u2 v2 , c = u2 + v2 .

p

p

a) Fur a + b n , c + d n 2 Rn mit (c; d) 6= (0; 0) ist a + bp n = ac bdn + bc ad pn 2 Q p n c + d n c2 + d2 n c2 + d2n woraus Q(Rn ) = Qn folgt. b) Es ist N (xy) = N (x) N (y) fur x; y 2 Qn . Ist x; y 2 Rn und x y = 1, so folgt N (x) N (y) = 1, N (x); N (y) 2 Z , und daher N (x) = 1. Fur n < 0 entsprechen die Einheiten von Rn eineindeutig den Gitterpunkten auf der Ellipse X 2 nY 2 = 1, fur n > 0 den Gitterpunkten auf dem Hyperbelpaar X 2 nY 2 = 1 (Pellsche Gleichung). Es gilt E (R 1) = f1; ig und E (Rn) = f1g fur n < 1.

U bungen zu x4 16)

17)

18)

204

a) Mit Hilfe der Norm sieht man, da die Zahlen keine echten Teiler besitzen. b) In Rn gilt fur alle n der Teilerkettensatz fur Elemente. p c) Ein groter gemeinsamer Teiler mute der Form 2(a + b 5) sein und seine p von 2 2 Norm 4(a +p 5b ) m uteN (2(1 + 5)) = 24 teilen. Es folgte a; b 2 f1g . Aber 2(1 5) ist kein Teiler von 6. a) Man argumentiert wie in 4.27 mit ' fur deg. b) Man zeigt, da jedes irreduzible Element p von R ein Primelement ist: Angenommen fur a; b 2 R gilt p j ab , p - a . Schreibe 1 als Linearkombination von a und p , multipliziere mit b und erhalte pjb .

a) Fur z; w 2 Z [i], w 6= 0, schreibe wz = a + bi (a; b 2 Q ) und wahle m; n 2 Z mit ja mj 12 , jb nj 21 . Setze q := m + ni . Dann gilt z = q w + r mit N (r) < N (w) oder r = 0. b) Aufg.17). c) Aus p = a2 + b2 (a; b 2 Z ) folgt p = (a + ib)(a ib). Dabei sind a + ib und a ib nicht zu p assoziiert. Ist umgekehrt a + ib ein echter Teiler von p in Z [i], so auch a ib , und daher ist a2 + b2 ein Teiler von p in Z . Es folgt p = a2 + b2 . d) 210 = i(1 + i)2 3 (1 + 2i)(1 2i) 7. 19) a), b) Analog p zu 18a). p c) 19 = (1 + 3 2)(1 3 2). 20) Es ist N (x) = (a + b)(a + b) und es gilt N (xy) = N (x) N (y) fur x; y 2 Z []. a) E (R) = f1; ; g . b) Analog zu 18a). c) Da x ein Teiler von N (x) ist, wird einer der Primfaktoren p von N (x) in Z von x geteilt. Es folgt N (x) = p oder N (x) = p2 . Ware im ersten Fall x zu einer Primzahl q assoziiert, so ware q2 = p . Im zweiten Fall wird p in Z [] von x = a + b und von a + b geteilt. d) Hatte x einen echten Teiler y in Z [], so ware N (y) ein echter Teiler von N (x) = p . e) Sei a + b ein Primelement von Z [], welches p teilt (a; b 2 Z ; b 6= 0). Dann ist auch a + b ein Teiler von p und es folgt p = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab . Da (a + b)2 2 niemals durch 3 teilbar ist, ergibt sich ein Widerspruch. 21) Beide Ringe sind nicht faktoriell. 22) Seien p1; : : : ; pn paarweise verschiedene Primzahlen aus Z und N die Menge aller nicht durch pi (i = 1; : : : ; n) teilbaren ganzen Zahlen. Der Quotientenring R := Z N hat die gewunschte Eigenschaft. P 23) Seien f; g 6= 0. Mit deg f =: p sei fp := a1 n X11 Xnn . Entspre1 ++n =p chend sei gq mit q := deg g de niert. Es ist fp gq 6= 0 und daher

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

205 24)

deg(f g) = p + q . t P

a) Fur jedes x 2 Z hat man eine Relation x = zi ai mit zi 2 Z . Dividiere nun i=1 zi fur i = 2; : : : ; t durch a1 mit Rest. t P b) Schreibe r = zir ai (z1r 2 Z ; z2r ; : : : ; ztr 2 N ) f urr 2 f0; : : : ; a1 1g . Mit i=1 z := Min fz1r j r = 0; : : : ; a1 1g erfullt c := z a1 die Bedingung. c) Jedes x 2 Z besitzt eine eindeutige Darstellung

x = z1 a1 + z2 a2 mit z1; z2 2 Z ; 0 z2 < a1 Hierbei gilt x 2 H genau dann, wenn z1 2 N . Es folgt, da c 1 x = ( z1 1)a1 + (a1 z2 1)a2 genau dann zu H gehort, wenn z1 < 0 ist, d.h. wenn x 2= H . Speziell ist c 1 2= H , aber c + N H . 25) Betrachten Sie die Reste bei der Division durch 3. Ubungen zu

x 5:

2) Der Ansatz mit Teilern der Form X + a , X 2 + aX + b (a; b 2 Z ) fuhrt zu einem Widerspruch. 3) n = 4 und n = 2. 4) Alle Polynome vom Grad 1 und alle Polynome aX 2 + bX + c (a; b; c 2 R ) mit b2 4ac < 0. 5) Es gibt genau 14 solche Polynome. 6) Reduzibel ist nur X 4 6X 2 + 5 und X 3 Y 3 . 7) Sei g 2 Z [X ] irgendein Polynom 5. Grades mit 1 bzw. 3 bzw. 5 einfachen Nullstellen, wobei 0 eine der Nullstellen ist. Fur eine Primzahl p ist dann f := g + p1 irreduzibel (s. etwa Aufg. 22). Wenn p genugend gro gewahlt wird, hat f ebensoviele Nullstellen wie g . 8) Man kann annehmen (4.30), da alle ai 6= 0 sind (i = 1; : : : ; n). Im Fall n = 2 ist a1X1m1 + a2 X2m2 +1 ein Eisensteinpolynom, da a2X2m2 +1 nur einfache Nullstellen n P besitzt. Fur m 3 ist f = a1X1m1 + p , wobei p := ai Ximi +1 nach Induktionsi=2 voraussetzung irreduzibel ist. Speziell sind die Quadriken de nierenden Polynome n P 2 ai Xi + 1 (mindestens zwei ai 6= 0) irreduzibel, ebenso die \Fermatpolynome" i=1n X + Y n 1. 9) X 2 + Y 3 ist in K [Y ][X ] irreduzibel, da es von keinem Polynom geteilt wird, das in X vom Grad 1 ist. Jetzt Anwendung des Eisenstein-Kriteriums und des Gauschen Satzes. 10) Mit z ist auch z = z1 eine Nullstelle von f . Da f keine reellen Nullstellen besitzt, ist die Anzahl aller Nullstellen gerade.

U bungen zu x5

206

11)

a) Ein Primelement p von R teilt genau dann alle Koezienten von f g , wenn es alle Koezienten von f oder alle Koezienten von g teilt. b) Schreibe f = g h mit echten Teilern g; h 2 K [X ], beseitige Nenner in g und h und wende a) an. c) geht ahnlich wie b) und d) wie x 2, Aufg. 2a). p 12) X 3 3 besitzt keine Nullstelle der Form a + b 2 (a; b 2 Q ). 13) Man hat Zerlegungen

p

p

X 4 16X 2 + 4 = (X 2 8 2 15)(X 2 8 + 2 15) q p q p q p q p = X 8 2 15 X + 8 2 15 X 8 + 2 15 X + 8 + 2 15

p

p

p

p

= (X 2 + 2 3X 2)(X 2 2 3X 2) = (X 2 + 2 5X + 2)(X 2 2 5X + 2) Verwende nun x 3, Aufg. 12). n P 14) Schreibe i i = 1 mit geeigneten i 2 Z . Betrachte mit einer weiteren i=1 Unbestimmten Y den Polynomring K (Y )[X1 ]. Die Substitution Xi 7! X1 Y i (i = 1; : : : ; n) f uhrt das gegebeneolynom P uber in X1i Y 1 1, welches in K (Y )[X1 ] irreduzibel ist. 15) Wegen f (X ) = f (X ) konnen fur die Zerlegung von f uber Q () nur folgende Falle auftreten: a) f zerfallt in 2 irreduzible Faktoren g vom Grad 3, wobei g(X ) = g(X ). b) f besitzt einen Linearfaktor X c (c 2 Q ()). Dann sind auch X c und X 2c Faktoren von f und X 3 c3 teilt f . Entweder zerfallt f ganz in Linearfaktoren oder es hat noch einen irreduziblen Faktor vom Grad 3. c) f besitzt einen irreduziblen Faktor g = X 2 + cX + d 2 Q ()[X ]. Dann sind auch g(X ) und g(2X ) irreduzible Faktoren und es ist b = d3 . Ist Y 2 + aY + b irreduzibel, so besitzt f keine irreduziblen Faktoren der Form X 3 u (u 2 Z ). Die obigen Falle a) und b) sind nicht moglich. Es bleibt nur c) mit g 2 Q (X ) und b = d3 (d 2 Z ). 16) a) Schreibe f = X 2 (Y +1) + X + (Y + 1)3 . Substituiere Y 7! Y 1 und verwende Eisenstein bzgl. X . b) Analog. 17) X n p ( n 2 N + , p Primzahl). 18) X 4 10X 2 + 1 bzw. X 3 + 9X 2 + 3X + 3 19) Verwende x 2, Aufg.2a). Fur beliebiges a0 6= 0 wird eine grobe Abschatzung durch Min fn; 2 (a0 ))g gegeben, wobei (a0) die Anzahl der Teiler von a0 ist. Diese Abschatzung kann aber verbessert werden.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

207 20)

a) Sei a = fg 2 L uber K algebraisch, wobei f; g 2 K [X ] teilerfremd sind. Sei Y n + an 1Y n 1 + + a0 das Minimalpolynom von a uber K . Die Gleichung f n + an 1 f n 1 g + + a0 gn = 0 zeigt, da f und g konstant sind. b) Die Zwischenkorper K (X n ) (n 2 N +) sind paarweise verschieden: [L : K (X n)] = n . 21) f1 besitzt den gleichen Grad wie f und die Nullstelle z2 . Es folgt f1 = f und damit fn = f fur alle n 2 N . Ware q 6= 0, so besae f unendlich viele verschiedene Nullstellen. 22) Man kann analog wie im Beweis des Eisensteinschen Kriteriums schlieen. Alternativ: Es ist F := X deg f f ( X1 ) 2 R[X ] ein Eisensteinpolynom. Ware f = g h eine Zerlegung von f , so ware F = X deg g g( X1 ) X deg h h( X1 ) eine von F . 23) b = a3 + a + 1. Minimalpolynom: X 4 X 3 + 4X 2 4X + 1. 24) X m p1 : : : pr ist nach Eisenstein und Gau in Q [X ] irreduzibel. Daher kann pp1 : : : pr keine rationale Zahl sein. m 25) a) Zerlege f und g in irreduzible Faktoren fi bzw. gj . Es genugt zu zeigen, da die Systeme fi = gj = 0 nur endlich viele Losungen haben. b) Euklidischer Algorithmus und Nennerbeseitung. c) Fur eine Losung (x; y) 2 C 2 ist x eine Nullstelle des Polynoms D aus b). Vertausche nun die Rollen von X und Y . 26) a) Setze a = X 3 1; b = Y 3 1. Mit dem euklidischen Algorithmus ndet man a2 + b3 = (bY + a)f (bY 2 + aY b2 )g b) Nach Aufg. 25) ist die Losungsmenge endlich. Mit (x; y) 2 C 2 ist auch (y; x) eine Losung. Eine Losung der Form (x; x) gibt es nicht, da sich 2x3 = 1 und 2x2 = 1 widersprechen. c) Im Reellen geht es um die Schnittpunkte der Fermatkurve X 3 + Y 3 = 1 mit dem Kreis X 2 + Y 2 = 1. Es gibt nur die Schnittpunkte (1,0) und (0,1). Ubungen zu

1)

2)

x 6:

b) Sei J ein beidseitiges Ideal aus M (n n; R) und sei Ijk die Menge der Elemente ajk der Matrizen (ars )r;s=1;:::;n 2 J . Dann ist Ijk ein beidseitiges Ideal von R . Ferner stimmen die Ijk uberein: Ijk = I fur alle j; k = 1; : : : ; n , und es ist J = M (n n; I ). a) Ist die Bedingung erfullt, so schreibt man 1 = r1 c + r2 d (r1 ; r2 2 R). Mit x := r1 a + r2 b ergibt sich (a; b) = (x). Umgekehrt folgt aus a = cx; b = dx , da (c; d) = R und ab = dc ist.

U bungen zu x6

3)

208

b) Fur a 2 R n f0g wird (a) (a2 ) : : : stationar, also an+1 = "an mit einem " 2 E (R). Es folgt, da a = " invertierbar ist. c) Sei (R; ') wie in x 4, Aufg. 17). Jedes Ideal I R , I 6= (0) wird von einem a 2 I n f0g mit minimalem '(a) erzeugt

a) Nach der binomischen Formel ist die Summe nilpotenter Elemente nilpotent. b) RadJ ist das Urbild in R der Menge der nilpotenten Elemente von R=J . c) Fur die Ideale (p1 : : : pt ) mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1; : : : ; pt und das Nullideal. 4) R=(x) besitzt genau dann Nullteiler 6= 0, wenn x 6= 0 und kein Primelement von R ist. R=(x) besitzt genau dann nilpotente Elemente 6= 0, wenn x vom Quadrat eines Primelements geteilt wird. 5) a) e02 = (1 e)(1 e) = 1 2e + e2 = 1 e = e0 . b) Da 1 = e + e0 ist, gilt r = re + re0 fur alle r 2 R . Aus r = r1 e + r2e0 (r1 ; r2 2 R) folgt wegen e e0 = 0, da r1e = re , r2e0 = re0 ist. 6) Nein, denn R R besitzt Nullteiler 6= 0. 7) a) Z =(n) besitzt (n) Ideale, wenn (n) die Anzahl der Teiler von n ist. b) 2s . 8) Z =(3)[X ] besitzt 2 Einheiten, Z =(4)[X ] unendlich viele. 9) a) Es gibt genau 28 verschiedene irreduzible Polynome in F3 [X ] vom Grad 3. b) Seien f 2 F2 [X ] und f~ 2 F3[X ] die Reduktion von f . Dann ist f = (X + 1)(X 3 + X + 1) und f~ = X 4 + X 2 + X + 1 hat keine Nullstelle in F3 . W urdef zerfallen, so mute ein Faktor vom Grad 3 und einer vom Grad 1 sein. f~ zeigt, da dies nicht geht. 10) Ware h := f m +pg zerlegbar, so gabe es eine Zerlegung h = (f m1 +p'1)(f m2 +p'2) mit m1; m2 2 N + , '1; '2 2 Z [X ] und es ware g = '2f m1 + '1f m2 + p'1'2 modulo p durch f teilbar. 11) Die Polynome (X 2)i sind gemeinsame Teiler der drei gegebenen Polynome. Nach Kurzung bleiben teilerfremde Polynome zuruck. 12) Sei R ein kommutativer Ring mit 1, der genau 4 Elemente besitzt, : Z ! R der kanonische Homomorphismus. Dann ist ker = (n) mit n = 2; 3 oder 4. Fur n = 3 ist F3 R und R ist ein F3 {Vektorraum. Die Anzahl der Elemente von R ware dann 3d mit d := dimF3 R . Der Fall n = 3 kann nicht eintreten. Im Fall n = 4 ist R = Z =(4). Im Fall n = 2 ist F2 R und R ein F2 {Vektorraum der Dimension 2. Wahle x 2 R n F2 und betrachte den Einsetzungshomomorphismus : F2 [X ] ! R (X 7! x). Es ist ker = (f ) mit einem Polynom f 2 F2 [X ] vom Grad 2, folglich R = K [X ]=(f ). Es ergeben sich 3 Isomorphieklassen von

209

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

Algebren, je nachdem ob f irreduzibel ist, zwei verschiedene oder eine doppelte Nullstellenbesitzt. n P P 13) Sei x1 = ai xi . Dann ist ai xi+1 1 = 0, d.h. x ist uber K algebraisch. i=0 i=0 14) Q + Q i ist der Quotientenkorper von Z + Z i (x 4, Aufg. 15)). Der Q {Homomorphismus Q [X ] ! Q + Q i mit X 7! i ist surjektiv und besitzt den Kern (X 2 + 1). Anwendung des Homomorphiesatzes liefert die Behauptung. 15) a) (X 2 + 2) ist ein Primideal, da X 2 + 2 irreduzibel in Z [X ] ist, es ist aber nicht p 2 maximal, weil Z [X ]=(X + 2) = Z + Z 2 kein Korper ist. b) (X 2 + 1; 3) ist maximal: Z [X ]=(X 2 + 1; 3) = F3[X ]=(X 2 + 1) und X 2 + 1 ist irreduzibel in F3[X ]. Ferner ist (2; X 2 + X + 1) ein maximales Ideal von Z [X ]. 16) (f; g) = (X 1) ist ein maximales Ideal von Q [X ]. 17) Sei I Z [X ] ein Ideal, welches die Primzahl p enthalt und sei I Fp[X ] das Bild von I . Dann ist I ein Hauptideal von Fp[X ]: Es gibt ein f 2 I , dessen Bild f in I dieses Ideal erzeugt, und es folgt I = (p; f ). 18) I = (X 2 ) ist kein Primideal. 19) a) Fur a 2 R folgt aus a2 = a und (a + 1)2 = a + 1, da 2a = 0 ist. b) Aus a(a 1) = 0 folgt, da a = 1 oder a Nullteiler ist. c) Auch in R= p ist jedes Element idempotent. Da R= p Integritatsring ist, kann R= p nur aus 0 und 1 bestehen. Beispiele: F2 und F2 F2 . 20) a 2 c a) R = c a + c j a; b 2 K . a 0 b) K wird durch a 7! 0 a in R eingebettet und R wird als K {Algebra von 0 2 A := 1 1 erzeugt. A besitzt uber K das Minimalpolynom X 2 X + 2, somit ist R = K [X ]=(X 2 X + 2). c) X 2 X + 2 ist mod 3 irreduzibel, mod 11 jedoch nicht. 21) a) dimK R = 8. b) Seien x und y die Restklassen von X bzw. Y in R . Sie erzeugen ein maximales Ideal von R . Da x und y nilpotent sind, mu jedes p 2 Spec R die Elemente x; y enthalten, d.h. p = (x; y). 22) p 5] und erzeugt p nicht. a) 2 ist irreduzibel in Z [ p p b) Es ist Z [ 5] = Z [X ]=(X 2 +5) und Z [ 5]= p = F2 [X ]=(X 2 +1; X +1) =pF2 , daher ist p ein maximales Ideal. Jedes 2 enthaltende Primideal q von Z [ 5]

U bungen zu x6

p

p

p

210

mu wegen (1 + 5)(1 5) = 6 2 q eine der Zahlen 1 5 enthalten, d.h. q = p . 23) Fur p 2 Spec R und a 2 R= p gilt a(an 1 1) = 0 mit einem n 2 N , n 2. Es folgt, da a = 0 oder eine Einheit ist. 24) a) Wenn die Nichteinheiten von R ein Ideal m bilden, so ist dieses maximal. Es kann kein weiteres maximales Ideal geben, denn dieses wurde eine Einheit enthalten. Ist umgekehrt R lokal mit dem maximalen Ideal m und a 2 R n m , so ist (a) = R , denn sonst ware a in einem maximalen Ideal 6= m enthalten (6.25). b) Ist Max R = f m g , so ist I m und m =I ist das einzige maximale Ideal von R=I . c) Die nilpotenten Elemente von R bilden ein Ideal (Aufg. 3a)). d) Sei Max R = f mg und e2 = e fur ein e 2 R , ferner e0 := 1 e . Aus e e0 = 0 folgt e 2 m , e0 2= m oder e0 2 m , e 2= m . Mithin ist e oder e0 eine Einheit und es folgt e = 0 oder e0 = 0. e) Die Nichteinheiten von RN sind die Elemente der Form ps (p 2 p ; s 2= p). Sie bilden ein Ideal von RN . 25) a) Sei R := R=I . Aus R= p = R= P folgt die Aussage uber P . b) Fur P 2 Spec R ( P 2 Max R) mit I P ist p := P =I 2 Spec R=I ( p 2 Max R=I ). c) S= p = K [X; Y; Z ]=(XY Z 2)=(X; Z )=(XY Z 2) = K [X; Y; Z ]=(X; Z ) = K [Y ] ist ein Integritatsring. d) Sei m 2 Max R und K := R= m . Der Polynomring K [X ] = R[X ]= m R[X ] besitzt unendlich viele Primideale (x 4, Aufg. 6)), daher auch R[X ]. 26) a) Es gilt E (R) = f(xn ) 2 R j xn 6= 0 fur alle n 2 N g . Sei x = (xn ) und u = (un) mit un = xn 1 fur xn 6= 0 und un = 1, falls xn = 0. Dann ist x = x2 u . b) I werde von a(1); : : : ; a(t) 2 R erzeugt. Sei x = (xn ) 2 R das Element mit xn = 0, falls alle a(i) die n {te Komponente 0 besitzen und xn = 1 sonst. Dann ist I = (x) und x ist idempotent. c) M ist ein Ideal, das die Elemente e(k) = (ekn )n2N mit ekn = kn enthalt. Fur y = (yn ) 2 R n M ist yn 6= 0 fur groe n und es ergibt sich ( M ; y) = R . Daher ist M maximal. Angenommen, M ware endlich erzeugt, also M = (x) mit einem x = (xn ) 2 R . Sei xn = 0 fur n n0 . Dann ware e(no) 2= M . d) M ist endlich erzeugt und daher gilt M = (x) mit einem idempotenten Element x = (xn), xn = 0 oder 1. Enthielte x zwei Nullen, so besae R= M Nullteiler. 27) a) Fur a; b 2 R mit ab 2 Rad(I ) existiert ein 2 N mit ab 2 I . Da I ein Primarideal ist, gibt es ein 2 N mit a 2 I oder b 2 I .

211 28)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

b) Die Ideale (pn), wobei p eine Primzahl und n 2 N + ist, ferner (0). a) Da R= p ein endlich-dimensionaler Vektorraum uber K ist, besitzt jedes a 2 R= p (a 6= 0) ein Inverses in R= p : Man verwendet das Minimalpolynom von a uber K. b) Sind m 1; : : : ; m t die maximalen Ideale von R , so ist nach 6.27 m 1 \ \ m i+1 6= m 1 \ \ m i (i = 0; : : : ; t 1)

Die Durchschnitte sind Untervektorraume von R und es folgt t d . 29) a) 96, b) 324, c) 2, d) 16, e) 24, f) 4, g) 4. Es gilt a 1 = 11 + (420). 30) R besitzt 16 Elemente, 2 Primideale, 4 Einheiten und 4 nilpotente Elemente. a 0 31) Durchlaufen die Matrizen b c ein zweiseitiges Ideal von R , so durchlaufen a; b und c voneinander unabhangig Ideale Ia , Ib und Ic von Z , wobei Ia + Ic Ib . Gibt mansich umgekehrt Ideale in Z mit dieser Eigenschaft vor, so bilden die a 0 Matrizen b c mit a 2 Ia , b 2 Ib und c 2 Ic ein zweiseitiges Ideal I von R . Genau dann ist I maximal, wenn Ia = Ib = Z und Ic = (p) mit einer Primzahl p oder Ic = Ib = Z und Ia = (p). F ur ein zweiseitiges Ideal I von R ist R=I 0 0 genau dann kommutativ, wenn 1 0 2 I . Dann ist R=I = Z =(a) Z =(c) fur gewisse a; c 2 Z . 32) a) Es ist x2nn+1 = x2nn 1 = = x20 = 0. Da m von den xi erzeugt wird, ist jedes r 2 m nilpotent (binomische Formel). b) Das Urbild von m in P ist M := (X0 ; X1 ; : : : ) und es ist P= M = K , folglich ist nach dem Noetherschen Isomorphiesatz auch R= m = K und m 2 Max (R). Jedes Primideal p von R enthalt die nilpotenten Elemente von R , also ist p = m. c) Die Einheiten von R sind die Elemente aus R n m . d) r 2 R ist Restklasse eines Polynoms f 2 K [X0 ; : : : n; Xn ],n also r = f (x0 ; : : : ; xn ). n i 1 2 2 2 Hierbei ist xi = xn (i = 0; : : : ; n), also r = f (xn ; xn ; : : : ; xn ). Mit c) folgt die Behauptung. e) ergibt sich aus d). 33) a) m a ist der Kern des surjektiven R {Homomorphismus R ! R mit f 7! f (a). b) Hatten die f 2 I keine gemeinsame Nullstelle in [0; 1], so gabe es wegen der Kompaktheit von [0; 1] Elemente f1 ; : : : ; fn 2 I ohne gemeinsame Nullstelle und f := f12 + + fn2 ware eine in I enthaltene Einheit von R .

U bungen zu x6

212

34)

a) Es ist h(i) = i und h0 (i) = 0. Aus der Taylorentwicklung von h an der Stelle i folgt, da h i von (X i)2 geteilt wird. Dann wird h2 + 1 = (h + i)(h i) in Q [X ] von (X 2 + 1)2 = [(X + i)(X i)]2 geteilt. Folglich ist h()2 + 1 = 0 und der Q {Homomorphismus Q [Y ] ! R mit Y 7! h() besitzt den Kern (X 2 + 1). Sein Bild ist nach dem Homomorphiesatz ein zu Q (i) Q {isomorpher Korper K . b) Da 2 + 1 nilpotent ist, ist K \ K (2 + 1) = f0g . Aus dimQ R = 4 folgt nun R = K K (2 + 1). Der K {Homomorphismus K [Z ] ! R mit Z 7! 2 + 1 ist surjektiv. Aus Dimensionsgrunden ist (Z 2) sein Kern. 35) x 77 mod 360. 36) Q a) Nach dem chinesischen Restsatz ist 'n surjektiv und ker 'n = ( p). Da p2P n jedes x 2 Z nf0g nur endlich viele Primteiler besitzt, ist ' injektiv. Da R nicht abzahlbar ist, kann ' nicht surjektiv sein. c) Fur x 2 Z n f0g ist '(x) 2= I , da x nur endlich viele Primteiler besitzt, daher ist ' injektiv. Immer noch ist R uberabzahlbar. 37) Nach dem chinesischen Restsatz ist Z =(6) = F2 F3 . Ferner ist (F2 F3)[X ] = F2 [X ] F3 [X ] ((ai ; bi )X i 7! (ai X i ; bi X i )) 38) Unendlich viele der Zahlen der Folge gehoren zur gleichen Restklasse modulo a . Die Dierenz zweier Zahlen dieser Restklasse ist von der Form b 10m mit einem b aus der Folge und m 2 N . Da a zu 10 teilerfremd ist, folgt ajb . 39) Z =(30) = Z =(2) Z =(3) Z =(5). Betrachten Sie die 4. Potenzen der Elemente aus Z =(2), Z =(3) und Z =(5). 40) Vgl. die Diskussion nach 4.29. 41) Nein. 42) a) 2m , b) 21000 4 mod 12. 43) a) Nach dem chinesischen Restsatz ist E ( Z =(m1 m2)) = E ( Z =(m1))E ( Z =(m2)). Vergleichen Sie die Ordnungen dieser Gruppen. b) m = 1 oder m = 2. c) m = 1 oder m = 23 ( 1; 0) d) Fur M 2 R gibt es nur endlich viele Primzahlen p M , etwa p1 ; : : : ; pt . Es gibt auch nur endlich viele Zahlen n = p1 1 pt t (i 2 N ) mit '(n) M . n P 44) Setze '(a1 ; : : : ; an) = ai mi fur alle (a1 ; : : : ; an ) 2 Rn . Die Aussage M = Rn=U i=1 folgt aus dem Homomorphiesatz fur Moduln. 45) a) Die Entwicklung einer (n k){reihigen Determinante nach der ersten Zeile liefert eine Linearkombination von (n k 1){reihigen Unterdeterminanten.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

213

b) Sei B = (si )2N;i=1;:::;n eine weitere Relationenmatrix von M bzgl. m1; : : : ; mn . Sei v := (s1 ; : : : ; sn) die {te Zeile von BPund u := (r1; : : : ; rn) die {te Zeile von A . Schreibe v = a u (a 2 R). 2 Jeder (n k){Minor von B ist wegen der Multilinearitat der Determinante eine Linearkombination von (n k){Minoren von A und umgekehrt. c) Sind fm1; : : : ; mng und fm01; : : : ; m0t g Erzeugendensysteme von M , so sind es auch die Systeme fm1; : : : ; mn; m01 ; : : : ; m0i g (i = 0; : : : ; t) und fmj ; : : : ; mn; m01; : : : ; m0tg (j = 1; : : : ; n +1). Zwei aufeinanderfolgende Systeme unterscheiden sich jeweils nur um ein Element, so da es genugt, die im Hinweis angegebene Situation zu betrachten. Prufe, da die angegebene Matrix eine Relationenmatrix ist. Die (n + 1 k){Minoren dieser Matrix sind = 0 oder (bis auf den Faktor 1) die (n k){Minoren von A . 46) Fm (M ) = ("1 : : : "n m) (m = 0; : : : ; n 1). 47) Nur der Nachweis der linearen Unabhangigkeit der Xi1 : : : Xip in c) ist problematisch. Ubungen zu

x 7:

1) Ein normiertes Polynom kleinsten Grades aus Z [X ] mit der Nullstelle z ist irreduzibel und damit das Minimalpolynom von z uber Q . Mit z ist auch z Nullstelle des Minimalpolynoms von z . 2) Sei R faktoriell und rs 2 Q(R) ( r; s 2 R teilerfremd) ein uber R ganzes Element. Mittels einer Ganzheitsgleichung fur sr uber R ergibt sich sjr und damit ist s eine Einheit inn R . n P P 3) Sei f = aiX i (ai 2 K; an 6= 0). Dann ist g := a1n ( ai Y i f ) ein normiertes i=0 i=0 Polynom aus K [f ][Y ], von dem X eine Nullstelle ist. Somit ist X ganz uber K [f ] und algebraisch uber K (f ), daher ist K [X ]=K [f ] ganz und K (X )=K (f ) algebraisch. g ist irreduzibel, da in f linear, folglich ist [K (X ) : K (f )] = n . 4) a) I ist der Kern des K {Homomorphismus K [X; Y ] ! K [T ] mit X 7! f , Y 7! g . Da K [T ] ein Integritatsring ist und K [X; Y ]=I K [T ], ist I ein Primideal. b) f und g mussen konstant sein. 5) Rd besteht auspganzen algebraischen Zahlen, denn fur d = 1 + 4m (m 2 p N) 1+ d 2 genugt z := 2 der Gleichung X X m = 0. Ist umgekehrt z = a + b d (a; b 2 Q ; b 6= 0) ganz uber Z , so mu S (z) := 2a 2 Z und N (z) := a2 b2d 2 Z gelten. Hieraus folgt die Behauptung. 6) a) Ware p R = R , so ware 1p ganz uber Z . Es ist (p) ein maximales Ideal von Z mit (p) m \ Z und daher mu m \ Z = (p) sein. b) Fur x 2 m gibt es eine Gleichung xn + an 1xn 1 + + a0 = 0 (ai 2 Z ; a0 6= 0) (vgl. 1a)). Dann ist a0 2 m \ Z und folglich m \ Z 6= (0), also m \ Z = (p)

U bungen zu x7

7)

8)

9)

214

mit einer Primzahl p . Es folgt, da k = Fp der Primkorper von K ist. Da R ganz uber Z ist, mu K uber k algebraisch sein. c) Jedes normierte Polynom aus R[X ] zerfallt in Linearfaktoren der Form X a (a 2 R). a) Sei a eine Wurzel von f und g das Minimalpolynom von a uber K . Dann gilt f jg , weil f das Minimalpolynom von a uber L ist. Umgekehrt folgt fur ein normiertes irreduzibles g 2 K [X ] aus f jg , da g(a) = 0 ist und somit ist g das Minimalpolynom von a uber K . b) Zerlege f in irreduzible Faktoren und wende a) auf jeden Faktor an. a) f ist irreduzibel, daher (f ) Primideal und A Integritatsring. b) Fur g 2 ker gilt f jg . Da Y in g nicht auftritt, ergibt sich g = 0. c) Q(A) enthalt Q (X ) und ist somit nicht algebraisch uber Q . n P

a) f und a ( 1) X sind Minimalpolynome von uber K . Daher mu =0 a = 0 fur alle ungeraden gelten. b) = 1 . 10) Verwende x 4, Aufg. 6). 11) Fur 2 C sei K die algebraische Abschlieung von Q () in C . Dann enthalt K nur abzahlbar viele Zahlen und es gibt daher uberabzahlbar viele verschiedene K . 12) a) Ist a > 0, so ist a2 > 0. Ist a > 0, so ist a2 = ( a)2 > 0. b) Es ist 1 = 12 > 0 und n 1 = |1 + {z + 1} > 0 f ur allen 2 N + . Somit ist n

Char K = 0. c) Betrachte i 2 K mit i2 = 1. d) f 2 R (X ) n f0g besitzt nur endlich viele Nullstellen und Polstellen. Auerhalb der Polstellen ist f stetig. Fur groe a 2 R ist somit stets f (a) > 0 oder ( f )(a) > 0. e) Das Archimedische Axiom gilt nicht. 13) Man hat der Reihe nach folgende Zerfallungskorper

p p p p p p Q ( 2; i); Q ( 3; 5); Q (i); Q ( 3 7; 3); Q ( 3)

mit den Graden 4; 4; 2; 6; 2. 14) Fur eine Wurzel von f sind ; 1 alle Wurzeln. Ferner ist f irreduzibel. 15) Sei eine Nullstelle von X 4 7. Dann ware P () eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms X 3 X + 2 und es mute [P () : Q ] = 3 ein Teiler von [Q () : Q ] = 4 sein.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

215

16) Fur (a1 ; : : : ; an ) 2 K n ist (X1 a1; : : : ; Xn an ) der Kern des K {Homomorphismus K [X1; : : : ; Xn] ! K mit Xi 7! ai (i = 1; : : : ; n), somit ist das Ideal maximal. Umgekehrt ist nach dem Nullstellensatz fur jedes M 2 Max (K [X1 ; : : : ; Xn ]) der Korper K [X1; : : : ; Xn]= M algebraisch uber K , also gleich K . Sind a1 ; : : : ; an 2 K die Bilder der Xi , so ist M = (X1 a1 ; : : : ; Xn an ) . n P 17) Sei I das von den Polynomen ai0 + aik Xk (i = 1; : : : ; m) in K [X1 ; : : : ; Xn ] k=1 erzeugte Ideal. Die Rangbedingung ist aquivalent damit, da I 6= K [X1 ; : : : ; Xn ] ist. Man ndet dann lineare Polynome `1 ; : : : ; `t , so da M = (I; `1 ; : : : ; `t ) ein maximales Ideal mit dem Restklassenkorper K ist, woraus die Losbarkeit des Systems folgt. 18) a) Jedes g 2 K [X1; : : : ; Xn] lat sich in der Form g = g0 + + gp schreiben, wobei gi homogen vom Grad i und gp 6= 0 ist. Sei f homogen vom Grad d und P f =Pg h mit h = h0 + + hq ( hj homogen vom Grad j , hq 6= 0). Aus f= gi hj folgert man g = gp . i+j =

b) Sei f 2 K [X; Y ] homogen vom Grad d . Dann ist f = Y df ( XY ; 1). Das Polynom f (T; 1) zerfallt in Faktoren aT +b und somit f in Faktoren Y (a XY +b) = aX +bY . Ubungen zu

1)

x 8:

R = K [t]=(t2 ) mit einem unendlichen Korper K der Charakteristik 2. Ist := t + (t2 ), so sind die Elemente 1 + a (a 2 K ) Nullstellen von X 2 + 1.

2) X 7 mod 11, siehe 11.26b). Hoentlich haben Sie sich nicht zu viel Muhe gemacht. 3) Nein: L1=K ist inseparabel, L2=K separabel. 4) Fur x 2 K (u; v) ist xp 2 K und daher [K (x) : K ] p . 5) Sei f irreduzibel vom Grad > 1 mit nur einer Wurzel . Schreibe f (X ) = g(X pe ) pe mit einem irreduziblene separablen Polynom g; e > 0. Da g nur die Wurzel besitzt, ist g = Xe 1 p und f = X pe a mit a = pe . Ware a = bp mit b 2 K , so ware f = (X p b)p , also nicht irreduzibel. Ist umgekehrt f vone der obigen e p Form, dann besitzte es nur eine Wurzel , denn aus = a = p folgt nach Frobenius ( )p = 0, also = . 6) a) Da L=Lsep rein inseparabel ist, folgt aus der De nition von Lsep und der Transitivitat der Separabilitat. Fur jedes x 2 L ist := xp 2 K [Lp] und x ist Nullstelle von X p . Es folgt, da x 2 K [Lp] oder da x uber K [Lp] inseparabel ist. pe = a b) Seien u; v 2 P . Dann gibt es ein e 2 N mit upe ; vpe 2 K und es ist ( u + v ) 2 K . Das Minimalpolynom von u + v teilt dann X pe a und kann dann nur eine Wurzel besitzen, folglich ist u + v 2 P . Fur die Dierenz und das Produkt

U bungen zu x8

216

von u und v und das Inverse eines Elements 6= 0 schliet man analog. Die Aussage P \ Lsep = K folgt aus den De nitionen. c) Das Minimalpolynom fe eines uber K inseparablen Elements u 2 L hat die Eigenschaft f (X ) = g(X p ) mit einem irreduziblen separablen Polynom g 2 K [X ]. e p Das uber Ke inseparable Element u ist Nullstelle von g , also ist deg g = 1 und f = X p a mit a 2 K . Es folgt, da u uber K rein inseparabel ist. d) Jedes x 2 L ist uber jedem Zwischenkorper Z von L=K rein inseparabel, sein Grad uber Z ist daher eine Potenz von p . Man konstruiert die gesuchte Korperkette durch sukzessive Adjunktion von Elementen, die jeweils den Grad p uber dem bereits konstruierten Zwischenkorper besitzen. 7) Ware L 6= K [Lp], so ware L=K [Lp] gleichzeitig separabel und inseparabel (Aufg. 6)). 8) a) Nachrechnen mit Hilfe der Formel aus xP 4, Aufg. 3b). P P P i b) Sei f = iX . Dann ist f (X + a) = i(X + a)i = ( i i ai )X = i i i P (f )(a)X . P c) Aus f (X ) = f (X a + a) = (f )(a)(X a) folgt die Behauptung. d) 2 ist fur Char K = 7 eine vierfache Nullstelle, sonst eine dreifache Nullstelle. Ferner ist 5 fur Char K 6= 7 eine einfache Nullstelle. 9) a) Sei fw1; : : : ; wr g eine Basis von L=Z und fv1; : : : ; vsg eine von Z=K . Dann ist r fwivj gi=1;:::;r;j=1;:::;s eine von L=K . Fur a 2 L sei awi = P zki wk (i = 1; : : : ; r)

k=1 s ij P k i 2 Z , also SpL=Z (a) = zk . Sei zk vj = xk` v` (j = 1; : : : ; s; xijk` 2 K ), k=1 `=1 s P P ij also SpZ=K (zki ) = xi`k` . Aus awi vj = xk` wk v` folgt `=1 k;` r P

mit zki

SpL=K (a) =

10)

P

k;`

P

k xk` k` = SpZ=K ( zk ) = SpZ=K (SpL=Z (a)) k

b) folgt aus x 3, Aufg. 15d). c) Wegen a) und Aufg. 5) genugt es, eine einfache Erweiterung L = K [a] zu betrachten, wobei a uber K inseparabel vom Grad p ist (p := Char K ). Dann ist SpL=K (x) = px = 0 fur x 2 K und SpL=K (b) = 0 fur b 2 L n K nach b). a) b) c) d)

Vgl. x 5, Aufg. 20). f (X ) Ug(X ) ist in K [U; X ] irreduzibel. Nach b) ist [K (T ) : K (U )] = Max fdeg f; deg gg . K (T )=K (U ) ist genau dann separabel, wenn f 0 6= 0 oder g0 6= 0 ist.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

217

11) kerd ist eine Untergruppe von (R; +), und aus der Produktregel folgt x y 2 kerd fur x; y 2 kerd . Ferner ist d(1) = d(1 1) = d(1) + d(1), also d(1) = 0. Daher ist kerd ein Unterring von S . Wenn S ein Korper ist und x 2 S n f0g , so folgt aus x x1 = 1 die Quotientenregel d( x1 ) = x12 dx , also d( x1 ) = 0, wenn dx = 0. Somit ist kerd in diesem Fall ein Teilkorper von S . b) Aus der Produktregel folgt die erste Formel durch Induktion nach n . Wegen der R -Linearitat von d ergibt sich dann die zweite. c) Die erste Aussage ergibt sich aus der Produktregel fur die Ableitung von Polynomen. Ist d eine beliebige Derivation und dx = g , so ist df = f 0 g fur jedes f 2 S nach b). d) Sei x 2 S beliebig und f 2 R[X ] das Minimalpolynom von x uber R . Aus f (x) = 0 folgt f 0 (x)dx = 0 nach b). Da f 0 (x) 6= 0 ist, ergibt sich dx = 0. Ubungen zu

x 9:

1) Sei L=K eine Korpererweiterung vom Grad 2 und a 2 L n K . Dann ist L ein Zerfallungskorper des Minimalpolynoms von a uber K . Dieses ist separabel, wenn L=K es ist. 2) Verwende 9.5b) fur Z1 Z2 und 9.5c) fur Z1 \ Z2 . 3) Ja, denn fur x 2 L besitzt das Minimalpolynom von x uber K die Form X pe ( 2 K ), siehe x 8, Aufg. 5c). Ferner ist x die einzige Wurzel dieses Polynoms und L wird naturlich uber K von allen x 2 L erzeugt. 4) a) Jeder K {Automorphismus von K [X ] ist durch (X ) eindeutig bestimmt. Sei (X ) = a0 + a1 X + + adX d (a0 ; : : : ; ad 2 K; ad 6= 0) und sei 1(X ) = g 2 K [X ]. Dann ist X = 1 ((X )) = a0 + a1 g + + ad gd und es folgt d = 1. Andererseits besitzt jeder K {Homomorphismus : K [X ] ! K [X ] mit (X ) = aX + b (a 2 K ; b 2 K ) die durch X 7! a 1 X a 1 b gegebene Abbildung als Umkehrung. b) Sei (X ) = fg ( f; g 2 K [X ) teilerfremd). Nach x 8, Aufg. 9c) ist Maxpfdeg f; deg gpg = 1. 5) Q (i + 2) = Q (i; 2) ist derpZerf (X 2 + 1)(X 2 2), pallungskorper p des p Polynoms p ahnlich schliet man fur Q ( 2; 5) und Q ( 2; 3; 5). Die Automorphismen aus der Galoisgruppe bilden die Quadratwurzeln auf sich oder ihr Negatives ab. In den ersten beiden Fallen ergibt sich eine zu Z =(2) Z =(2) isomorphe, im letzten eine zu Z =(2) Z =(2) Z =(2) isomorphe Galoisgruppe. 6 432 7 1. Sei a := p 6) Der erste Korper ist isomorph zum Zerf a llungsk o rper von X p p p da einepWurzel, fur die a2 = 3 432 reell ist: p3 432 = 6 p3 2. Man ndet, p 6 6 3 [Q ( 432) : Q ] = 6 ist. Ferner ist a = 432 = 12 3 und Q ( 432) enthalt die 6. Einheitswurzeln. Es handelt sich somit um den Zerfallungskorper von X 6 + 432.

U bungen zu x9

p

218

7) Die ersten beiden Aussagen folgen auspAufg. 1), die letzte gilt, weil i 2= Q ( 4 2). p 8) X 4 4 besitzt die Wurzeln 2, 2. Wie in Aufg. 5) ist die Galoisgruppe zu Z =(2) Z =(2) isomorph. X 4 6X 2 + 5 besitzt einen Zerfallungskorper vom Grad 2 uber Q . Eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 kann nicht Galoisgruppe eines separablen Polynoms f vom Grad 4 sein, denn ist f irreduzibel, so mte 4 ein Teiler von 6 sein (9.13,d), zerfallt f in Faktoren kleineren Grades, so gibt es keine Permutation der Wurzeln von der Ordnung 6. p 3 9) Fur a = 0 ist die Galoisgruppe trivial. Ist p a 2 Qnf0g , dann hat der Zerfallungs3 korper von X a den Grad 2 uber Q . Ist 3 a 2= Q , so hat der Zerfallungskorper den Grad 6 uber Q und die Galoisgruppe ist zu S3 isomorph. 10) Die Polynome besitzen keine rationale Nullstellen und sind daher irreduzibel. Ihre Ableitungen verschwinden nirgends in R , somit besitzen die Polynome genau eine reelle Nullstelle und zwei konjugiert-komplexe. Die Galoisgruppe ist zu S3 isomorph. 11) A hnlich zum 2. Teil von Aufg. 6). 12) Die Galoisgruppe von L=K [a] besteht aus den 2 G(L=K ), die a festlassen. Da nur = id dies tut, ist G(L=K [a]) = fidg und L = K [a]. Ubungen zu

x 10:

1) Seien x = x1 ; x2 ; : : : ; xn die Konjugierten von x . a) Ist f 2 R[X ] ein normiertes Polynom mit der Nullstelle x , dann sind auch die xi Nullstellen von f (i = 1; : : : ; n). b) Ist g 2 K [X ] das Minimalpolynom von x uber K . Seine Koezienten lassen sich durch die elementarsymmetrischen Funktionen in x1; : : : ; xn ausdrucken. Sie sind ganz uber R und in K enthalten, also aus R . 2) a) Vgl. x 8, Aufg. 8b). Im Beweis von 10.3 wird gezeigt, da S surjektiv ist. b) Sei N=K eine normale Hulle von L=K . Nach a) ist SN=K surjektiv. Wegen SN=K = SL=K SN=L mu auch SL=K surjektiv sein. 3) X12 + X22 + X32 = "21 2"2 . 4) a) (f ) ist symmetrisch in x1; : : : ; xn , also ein Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen in x1 ; : : : ; xn , folglich auch in a1 ; : : : ; an . b) p (f ) verschwindet genau dann, wenn f eine mehrfache Nullstelle besitzt. Q c) (f ) = (xi xj ) 2 L . i<j 5) n = 2 : (f ) = a21 4a2 n = 3 : (f ) = 4a31a3 + a21 a22 + 18a1 a2a3 4a32 27a23 . 6) a) L^ ist der Zerfallungskorper von f uber K^ und f ist auch uber K^ separabel. b) permutiert a1; : : : ; an und lat K fest.

219

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

c) G(L^ =K^ ) ! G(L=K ) mit 7! jL ist wohlde niert nach b) und bijektiv, da sich jedes 2 G(L=K ) zu einem ^ 2 G(L^ =K^ ) fortsetzen lat. n P d) Klar wegen (`) = (ai )Xi . i=1 e) x 9, Aufg. 12). 7)

8)

a) Es ist Lp = K (XSp; Y p) und [L : Lp] = p2 . b) Es gilt L = Lp[a]. Hierbei ist [Lp[a] : Lp] = p < [L : Lp]. Gabe es a2LnLp nur endlich viele Zwischenkorper von L=Lp , so ware die Vereinigung endlich. Nach einem Satz der linearen Algebra kann aber der Lp {Vektorraum L nicht Vereinigung von endlich vielen echten Untervektorraumen sein. a) Fur 2 G(L=K ) und u 2 P ist (u) eine Wurzel des Minimalpolynoms von u uber K , also (u) = u und somit u im Korper K0 der G(L=K )-invarianten Elemente von L enthalten. Ist umgekehrt u 2 K0 , f das Minimalpolynom von u uber K und v eine weitere Wurzel von f , so gibt es einen K -Isomorphismus : K (u) ! K (v) mit (u) = v . Dieser lat sich auf die algebraische Abschlieung von K fortsetzen und wegen der Normalitat von L=K zu einem 2 G(L=K ). Da aber u 2 K0 , ist v = (u) = u und somit u 2 P . Aus dem Satz von Artin (10.3) folgt nun, da L=P galoissch ist mit G(L=K ) = G(L=P ). b) Das Minimalpolynom eines x 2 Lsep zerfallt uber L in Linearfaktoren. Die ubrigen Nullstellen von f sind ebenfalls separabel, daher zerfallt f schon uber Lsep in Linearfaktoren. Somit ist Lsep=K normal, also galoissch. Die Abbildung 7! jLsep liefert einen Gruppenhomomorphismus ' : G(L=K ) ! G(L=Lsep)). Dieser ist surjektiv, da jedes 2 G(Lsep =K ) eine Fortsezung auf die algebraische Abschlieung von K besitzt und diese L auf sich abbildet. ' ist auch injektiv, weil L=Lsep rein inseparabel ist. Also ist ' ein Isomorphismus. c) Auch Lsep P ist normal uber K und nach a) galoissch uber P mit

G(Lsep P=P ) = G(Lsep=K ) = G(L=P ) Durch Gradvergleich folgt Lsep P = L . 9) L := K [a1; : : : ; an] ist eine Galoiserweiterung von K . Die Elemente "i (a1 ; : : : ; an) (i = 1; : : : ; n) bleiben bei allen Automorphismen von L=K invariant, liegen somit in K . 10) a) Es ist r~() 6= 0, da bijektiv ist. Fur ; 2 gilt ( )(r) = r~() r~( ) r = r~( ) r . b) Fur r; s 2 L gilt (rs) = r~() s~() r s und (s 1 ) = s~( 1 ) s 1 .

U bungen zu x11

220

c) G lat K [X ] invariant. Aus ((pq)) = ( pq ) = pq ( 2 K ) folgt (p)q = (q)p und wegen der Teilerfremdheit von p und q ergibt sich (p) = 1p , (q) = 2q mit 1; 2 2 K . d) Wegen c) genugt es, Polynome zu betrachten. Sei f = a X (a 2 K ). Aus f (X ) = f (X ) fur 2 K , 2 K folgt a = a und = fur a 6= 0. Da K unendlich ist, ergibt sich, da a 6= 0 nur fur ein 2 N moglich ist. Sei n := deg f . Aus f (X + ) = f (X ) mit 2 K , 2 K folgt an = an und f (X + ) = f (X ). Da K unendlich ist, kann dies nur fur konstante Polynome gelten. e) Angenommen, f 2 K [X ] mit n = deg f > 0 sei {invariant. Fur ; 2 wurde f (X + ) = f (X ) und somit n = 1 folgen. enthielte Automorphismen ; mit unendlich vielen verschiedenen 2 K . Die Gleichung f (X + ) = f (X ) ergibt einen Widerspruch. 11) Auer der direkten Anwendung des Hauptsatzes fur symmetrische Funktionen werden nur elementare Aussagen der Analysis fur komplexwertige Funktionen einer Veranderlichen benutzt. Ubungen zu

x 11:

1) Mit h = g ergibt sich e 2 U und mit g = e die Existenz des Inversen von h in U . Ferner ist g h 2 U fur alle g; h 2 U . 2) a) folgt aus dem Untergruppenkriterium. b) Fur u 2 ker und g 2 G ist (gug 1) = (g)(u)(g) 1 = (g)(g) 1 = e . c) Ist U = feg und (g) = (h) fur g; h 2 G , so ist (gh 1) = e , also gh 1 = e und g = h . 3) b) Sei : G ! H ein Gruppenisomorphismus und seien h1 = (g1), h2 = (g2) Elemente aus H . Dann ist 1(h1 h2) = 1 ((g1 ) (g2 )) = 1((g1 g2)) = g1g2 = 1(h1 ) 1 (h2). d) Etwa ( Z ; +) ! ( Z ; +) mit m 7! m . 4) a) Fur g 2 G sind gg1; : : : ; ggn bzw. g1g; : : : ; gng gerade wieder alle Elemente von G. b) Gehe von g in der ersten Spalte nach rechts bis zu e und dann nach oben in die erste Zeile. Finde g 1 . c) Symmetrie der Matrix. 5) Die erste Matrix ist die Gruppentafel der Gruppe (F2 F2 ; +), die zweite die der Drehungsgruppe eines Quadrats. Im ersten Fall gilt 2 = e fur jedes aus der Gruppe, im zweiten Fall gilt das nicht. Da jede Gruppe mit 4 Elementen eine der beiden Gruppentafeln besitzt, lat sich leicht nachprufen.

221 6)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a) Untergruppenkriterium. b) Die \Worte" bilden eine Untergruppe, welche alle g enthalt, und jede Untergruppe, die fgg umfat, enthalt auch alle \Worte". c) fa; bg bzw. fag . Q 7) G identi ziert sich mit der Menge aller Familien fg0 g02 2 0 G0 mit g0 = e 2 fur 0 6= . Es ist klar, da dies ein Normalteiler des direkten Produkts ist. Ferner ist p : G0 ! G (fg0 g02 7! g) ein Gruppenepimorphismus. Ist H eine beliebige Gruppe und ' : H ! G ( 2 ) eine Familie von Gruppenhomomorphismen, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ' : H ! G mit ' = p ' fur alle 2 . 8) Sind N1 und N2 Normalteiler in G mit N1 \ N2 = feg , so ist : N1 N2 ! G ((a; b) 7! ab) ein Gruppenhomomorphismus mit ker = f(a; a 1 ) j a 2 N1 \ N2g = f(e; e)g , also ist injektiv. ist genau dann surjektiv, wenn G von N1 [ N2 erzeugt wird. Ist umgekehrt ein Isomorphismus, so sind N1 und N2 Normalteiler in G , weil N1 feg und feg N2 Normalteiler in N1 N2 sind, und es ist N1 \ N2 = feg . 9) Die Gruppe G operiere auf der Menge M . Sei x 2 M und y := g(x) fur ein g 2 G . Ist U die Isotropiegruppe von x , so ist gUg 1 die von y . 10) Fur g 2 G und 2 Aut(G) ist cg 1 = c(g) . 11) Die Bahnen besitzen 1; 5; 11 oder 55 Elemente , wobei der letzte Fall nicht eintreten kann. Besae die Operation keinen Fixpunkt, so ware 39 = 5a + 11b mit a; b 2 N . Diese Gleichung ist aber nicht losbar. 12) a) UL operiert auf L und M n L transitiv. Lat UL eine Menge L0 M , L0 6= ; fest, so gilt L L0 oder M n L L0 oder M = L0 . Die gefragten Mengen sind ;; L; M n L und M . b) gULg 1 = Ug(L) . c) Fur g 2 N (UL ) ist g(L) = L oder g(L) = M n L . Fur jLj = 6 n2 ist jg(L)j = jLj 6= jM n Lj , folglich N (UL ) = UL . Fur jLj = n2 gibt es ein h 2 G mit h(L) = M n L und es gilt N (UL ) = UL [ UL h , also [N (UL ) : UL ] = 2. 13) Fur g 2 N , u 2 U gilt gug 1 =: u0 2 U , da N N (U ). Es folgt gug 1u 1 = u0 u 1 2 U \ N = feg , da ug 1u 1 2 N , also u0 = u . Damit ist N Z (U ) = fx 2 G j xux 1 = u fur alle u 2 U g . 14) Ist U G eine Untergruppe mit [G : U ] = 2, so ist G = U [ gU = U [ Ug fur jedes g 2 G n U , folglich gU = Ug . Beim kanonischen Epimorphismus G ! G=U gehen Elemente ungerader Ordnung in das neutrale Element uber, sie sind daher in U enthalten.

U bungen zu x11 15)

16)

222

a) Fur u 2 U ist juV j = jV j . Ferner hat bei der Abbildung u 7! uV jede Linksnebenklasse uV genau jU \ V j Urbilder. b) Fur ui 2 U; vi 2 V (i = 1; 2) gilt (u1v1 )(u2v2 ) 1 = u1v1 v2 1u2 1 2 UV , somit j ist UV eine Untergruppe von G . Ferner ist [UV : V ] = jUjU\Vj j = jUV jV j ein Teiler von jU j und von [G : V ]. Sind jU j und [G : V ] teilerfremd, so folgt [UV : V ] = 1 und damit U V . c) Fur h 2 H ist U := hV h 1 hGh 1 = G eine Untergruppe von G mit jU j = jV j . Aus b) ergibt sich U V , also hV h 1 = V .

a) Fur a; b; c 2 G gilt c[a; b]c 1 = [cac 1; cbc 1] und in G=[G : G] hat man ab[G; G] = ba[G; G] wegen aba 1 b 1 2 [G; G]. b) Es ist [G; G] ker ' . Anwendung des Homomorphiesatzes. 17) Die Operation induziert einen Gruppenhomomorphismus : G ! S (M ) in die Permutationsgruppe S (M ) von M . Sei N := ker . Fur x 2 N und g 2 G ist dann xgU = gU , speziell xU = U und somit N U . Als Untergruppe von S (M ) ist G=N endlich. 18) a) Fur A; B 2 R ist auch A B 2 R und A 1 2 R . Die Aussage uber Homomorphismen ist klar nach De nition der Matrizenaddition und -multiplikation. b) (n) ist der Kern von : ! Z =(n) . Ist p eine Primzahl, so ist Z =(p) = Sl(2; Fp ) die Gruppe der 2 2{Matrizen A u ber Fp mit det A = 1. Ferner ist surjektiv, da Sl(2; Fp) von den folgenden Matrizen erzeugt wird (elementare Umformungen): 1 t ; 1 0 ; 0 1 und x 0 (t; x; y 2 F ; xy = 1) p 0 1 t 1 1 0 0 y Mit dem Homomorphiesatz ergibt sich [ : (p)] = jSl(2; Fp )j = p(p2 1). 19) a) Seien U1 ; U2 echte Untergruppen einer Gruppe G und sei G = U1 [ U2 . Aus jGj = jU1j + jU2j jU1 \ U2 j ergibt sich ein Widerspruch. Alternativ: Fur x1 2 U1 n U2; x2 2 U2 n U1 ist x1 x2 2= U1 [ U2 . b) Angenommen, U2 \ U3 6 U1 . Wahle x1 2 U1 n (U2 [ U3 ), x2 2 (U2 \ U3) n U1 . Dann ware x1x2 2= U1 [ U2 [ U3 . Es ergibt sich U2 \ U3 = U1 \ U2 \ U3 , entsprechendes gilt fur U1 \ U2 und U1 \ U3 . Aus jGj = jU1j + jU2j + jU3j jU1 \ U2 j jU1 \ U3j jU2 \ U3 j + jU1 \ U2 \ U3j = jU1j + jU2j + jU3j 2jU1 \ U2 \ U3j folgt zunachst, da [G : Ui ] = 2 fur ein i 2 f1; 2; 3g , etwa i = 1. Da

Uj =Uj \ U1 = Uj + U1 =U1 = G=U1

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

223 fur j 6= 1, ergibt sich

jG=U1 \ U2 \ U3j = jG=Uj j jUj =U1 \ Uj j = 2jG=Uj j und 2jU1 \ U2 \ U3 j = jUj j , also jGj = 12 jGj + jUj j und damit jG : Uj j = 2 fur j = 1; 2; 3. Ferner ist G=U1 \ U2 \ U3 eine Kleinsche Vierergruppe. 20) Fur rs 2 G und ' 2 Aut(G) ndet man, da '( rs ) = rs '(1) gilt. Sei '(1) = sr00 mit teilerfremden r0 ; s0 2 Z , wobei s0 quadratfrei ist. Aus '( s10 ) = rs020 folgt 0 s0 = 1. Ist analog ' 1(1) = r10 (r00 2 Z ), so ist 1 = ' 1 ('(1)) = r0 r00 und r00 = 1. 21) a) Ist jQ =U j =: n < 1 , so ist n Q U . Fur jedes q 2 Q ist dann q = n nq 2 U . b) Angenommen, es sei Q =U = (x) mit x = ab + U (a; b 2 Z ; b 6= 0). Sei r 2 U \ N + . Dann ist (rb) ab = ra 2 U , d.h. jQ=U j rb . Aus a) folgt Q = U . c) U und V enthalten ganze Zahlen p; q 6= 0 und es ist p q 2 U \ V . d) Fur eine maximale Untergruppe U Q ware Q=U zyklisch. 22) a) U bestehe aus den \Translationen" a : X 7! X + a (a 2 Q ) und V aus den \Streckungen" b : X 7! bX (b 2 Q ). b) Jeder Automorphismus von Q [X ] ist von der Form a b (x 9, Aufg. 4a)). Ferner gilt b ab 1 = ab . 23) Wegen d v m n sind (m)=(v) und (d)=(n) zyklische Gruppen derselben Ordnung. 24) a) Sei gZ ein primitives Element von G=Z (g 2 G). Fur a; b 2 G gilt dann a = gn1 z1 , b = gn2 z2 mit geeigneten n1; n2 2 Z und z1; z2 2 Z und es folgt ab = ba . b) Fur die Gruppe I (G) der inneren Automorphismen von G gilt I (G) = G=Z (G). Wende nun a) an. 25) j Aut( Z =(m))j = '(m), denn Z =(m) hat '(m) primitive Elemente und jeder Automorphismus fuhrt ein primitives Element in ein primitives Element uber. Die Gruppe ( Z ; +) besitzt genau zwei Automorphismen. Jeder Automorphismus des Rings Z ist trivial. 26) a) Neutrales Element von G1 ' G2 ist (e; e) und zu (a; b) 2 G1 ' G2 ist ('(b 1 )(a 1 ); b 1 ) das Inverse. b) gilt oensichtlich nach De nition der Multiplikation. c) Damit G1 ' G2 abelsch ist, mussen es G1 und G2 sein und ' mu der triviale Homomorphismus sein. Dann ist G1 ' G2 = G1 G2 .

U bungen zu x11

224

27)

a) x = 7. b) E ( Z =(30)) = Z 2 Z 4 ist nicht zyklisch. c) E ( Z =(45)) = E ( Z =(9))E ( Z =(5)) = Z 2 Z 3 Z 4 ist ebenfalls nicht zyklisch. 28) a) ! c) ! b) sind evident. Besitzt G nur eine maximale Untergruppe U und ist g 2 G n U , so ist G = (g) zyklisch, notwendigerweise von Primzahlpotenzordnung. 29) Fur jeden Teiler d von n sei (d) die Anzahl der Elemente d {ter Ordnung von G . Dann ist (d) P'(d), weilP G hochstens eine Untergruppe der Ordnung d besitzt. Es ist n = (d) '(d) = n , wobei die letzte Gleichung gilt, weil djn djn Z n genau '(d) Elemente der Ordnung d besitzt. Es folgt (n) = '(n) 1 und somit enthalt G ein Element der Ordnung n . 30) T (G) ist eine Untergruppe von G nach dem Untergruppenkriterium. Hat x + T (G) 2 G=T (G) endliche Ordnung n , so ist nx 2 T (G), also m(nx) = 0 fur ein m 2 N + und somit x 2 T (G). 31) a) ist trivial und b) ergibt sich aus der Formel (am ) mn = an . c) Fur a; b 2 G ist aba 1 b 1 = a2(a 1 b)2 (b 1 )2 , daher ist [G; G] G2 und G=G2 ist abelsch, weil G=[G; G] es ist. 5 32) p Endomorphismen, p3 (p 1)2 Automorphismen. 33) a) Je zwei Elemente von Q sind linear abhangig uber Z . Ware (Q ; +) eine freie abelsche Gruppe, so mute (Q ; +) = ( Z ; +) sein. Kein Element von Q erzeugt aber Q als Z {Modul. b) Wird die Untergruppe von f rs1 ; : : : ; rsn g (s 2 Z n f0g; r1 ; : : : ; rn 2 Z ) erzeugt, so auch von st mit t := ggT(r1 ; : : : ; rn ). c) ist klar. d) Sei ' : U ! V ein solcher Homomorphismus und sei U 6= h0i . Wahle a 2 U nf0g . Dann wird ' durch die Multiplikation mit '(aa) gegeben. e) Fur x 2 Qnf0g und jede Primzahl p sei p(x) die Ordnung von x an der Stelle p (vgl. x 4, III). Fur eine Untergruppe U Q , U 6= f0g , sei U (p) := inf fp(x) j x 2 U n f0gg . Fur eine Untergruppe V U , V 6= f0g , gilt V (p) U (p) fur alle Primzahlen p . Man zeigt, da [U : V ] genau dann endlich ist, wenn V (p) = U (p) fur fast alle p gilt. Seien nun U; V Q nichttriviale Untergruppen. Ist U = rs V ( sr 2 Q ), so gilt U (p) = V (p) fur alle p , die r und s nicht teilen, und es folgt [U : U \ V ] < 1 , [V : U \ V ] < 1 . Wenn diese Bedingungen erfulltQ sind, gilt U (p) = V (p) fur fast alle p und es ergibt sich U = xV mit x := pU (p) V (p) . 34) a) b1 = ( 2; 1; 1), b2 = (0; 1; 0), b3 = (1; 0; 0), e1 = 1, e2 = 2, e3 = 6.

Z 3=U = Z =(2) Z =(2) Z =(3)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

225

b) b1 = (1; 0; 1), b2 = (0; 1; 1), b3 = (0; 0; 1), e1 = e2 = 1, e3 = 3.

Z 3 =U = Z =(3) Qm

Qm

35) Es ist Fm (G) = "i (vgl. x 6, Aufg. 46)), daher sind die Produkte "i i=1 i=1 Invarianten von G und folglich auch die "i selbst. Um die Anzahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung n zu bestimmen, hat man festzustellen, auf wie viele Weisen sich n in der Form n = "1 : : : " ("i 2 N ; "1 > 1; "i j "i+1 (i = 1; : : : ; m 1)) schreiben lat. 36) a) Jede abelsche Gruppe der Ordnung 1991 = 11 181 ist zyklisch. Es gibt 3 Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 1992 = 23 3 83 und 56 Klassen von abelschen Gruppen der Ordnung 2048 = 211 . b) n = 72. 37) G ist endlich erzeugt, sonst gabe es eine echt aufsteigende, nicht abbrechende Kette von Untergruppen. Ware G nicht endlich, so enthielte G ein Element unendlicher Ordnung und es gabe eine echt absteigende, nicht abbrechende Kette von Untergruppen. 38) Folgt aus der Eindeutigkeitsaussage im Hauptsatz fur abelsche Gruppen. 39) a) Sei n = p1 1 : : : ps s die Primzahlzerlegung von n 2 N , n > 1. Die minimalen (maximalen) Untergruppen von Z n entsprechen eineindeutig den Zahlen pi (bzw. pni ) (i = 1; : : : ; s). b) Zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung. 40) a) folgt aus 11.23. b) Eine solche Gruppe ist zu Z p2q2 oder Z p Z pq2 oder Z q Z p2q oder Z pq Z pq isomorph. 41) a) Jeder Endomorphismus ' von Z =(n)+ ist eindeutig bestimmt durch seine Wirkung auf 1+(n). Ist '(1+(n)) = a +(n), so wird durch End( Z =(n)+) ! Z =(n) (' 7! a + (n)) ein Ringisomorphismus gegeben. b) Ist G = Z =(p)+ , so ist End(G) = Z =(p) ein Korper. Sei umgekehrt End(G) ein Korper. Jeder Endomorphismus ' 6= 0 ist dann ein Automorphismus. Zerlege G in ein direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Man ndet immer nichttriviale Endomorphismen, die nicht Automorphismen sind (Multiplikation mit ganzen Zahlen), auer wenn G zyklisch von Primzahlordnung ist. 42) Bei endlichen Korpern ist dies klar. Ist K ein Korper der Charakteristik 0, so hat (K; +) keine Elemente 6= 0 von endlicher Ordnung, aber (K ; ) hat solche. Ist

U bungen zu x11

226

Char K = p > 0, so besitzt (K; +) unendlich viele Elemente der Ordnung p , aber (K ; ) nur endlich viele, da X p 1 hochstens p Nullstellen besitzt. 43) Es genugt, Systeme zu betrachten, die in Q n au osbar sind. Man kann auch n P annehmen, da die Linearformen aik Xk (i = 1; : : : ; m) linear unabhangig uber k=1 Q sind, also m n . Sei A = (aik ). Es gibt invertierbare Matrizen S und T mit Koezienten aus Z , so da 2

SAT =

44)

45)

6 6 6 4

"1 0

"2

0 ...

"m

3 7 7 7 5

und das gegebene System ist aquivalent zu einem der Form "i Yi = ci (i = 1; : : : ; m). Dies gilt auch fur die Systeme, die man durch Reduktion modulo d fur d 2 Z erhalt. Das letzte System ist genau dann losbar, wenn "i j ci (i = 1; : : : ; m), d.h. wenn das System modulo "i losbar ist. a) folgt aus dem Hauptsatz fur abelsche Gruppen. b) Wahle Zerlegung G = G1 G2 gema a). Sei g ein erzeugendes Element von G2 . Dann ist '(g) = gn fur ein eindeutiges n 2 N mit 0 n < m . Ferner ist fur jedes h 2 G auch '(h) = h mit einem 2 N . Schreibe h = g1 gi (g1 2 G1 ; i 2 N ) und wende ' an. Es ergibt sich leicht, da '(h) = hn fur alle h 2 G.

a) Neutrales Element von G0 ist der triviale Charakter mit (g) = 1 fur alle g 2 G . Der zu 2 G0 inverse Charakter ist durch 1(g) = (g) 1 gegeben. b) Sei G zyklisch von der Ordnung m , sei g ein primitives Element von G und eine primitive m {te Einheitswurzel. Dann ist der durch (gi ) = i (i = 0; : : : ; m 1) gegebene Charakter ein erzeugendes Element der Ordnung m von G0 . Ist G = G1 Gr direktes Produkt endlicher zyklischer Gruppen und i die Beschrankung von 2 G0 auf Gi , so ist G0 ! G01 G0r ( 7! (1 ; : : : ; r )) ein Gruppenisomorphismus, also G0 = G01 G0r = G1 Gr = G. 46) Fur g; h 2 G und 2 G0 gilt (gh)() = (gh) = (g) (h) = (g)() (h)(), somit ist ein Gruppenhomomorphismus. Fur g 2 ker gilt (g) = 1 fur alle 2 G0 . Es gibt aber zu jedem g 6= e einen Charakter mit (g) 6= 1. (Hier benutzt man die Voraussetzung uber Char K ). Daher ist ker = feg . Wegen jGj = jG0 j = jG00 j mu ein Isomorphismus sein. 47) a) Zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

227

b) Je zwei nichttriviale Untergruppen haben nichttrivialen Durchschnitt. c) Sei U := f prs j r 2 Z ; s 2 N g und U 0 := f ab j a; b 2 Z ; p - bg . Dann sind U und U 0 Untergruppen von (Q ; +) mit U \ U 0 = Z . Fur xy 2 Q (x; y 2 Z ; y 6= 0g schreibe y = ps z (s 2 N ; z 2 Z ; p - z) und x = az + bps . Dann ist xy = pas + zb 2 U + U 0 . 48) Sei s = fsp + (p)gp2P 2 P (sp 2 Z ). a) Ist s 2 S , so gibt es nur endlich viele p 2 P mit sp 6 0 mod p , etwa p1 ; : : : ; pt . Dann ist p1 : : : pt s = 0. Ist dagegen s 2= S , so gibt es kein n 2 N + mit n s = 0, da n nur endlich viele Primteiler besitzt. b) Sei sp 6= 0. Dann ist sp + (p) kein Vielfaches von p . c) Man zeigt p P + S = P . d) Ware P = S U mit einer Untergruppe U P , so ware pU = U fur jede Primzahl p . Hieraus wurde aber U = f0g folgen. 49) a) pm . b) |Z =(p) {z Z =(p)} . 50)

m

a) Wegen 2g = 0 fur g 2 G2 ist G2 ein F2 {Vektorraum, also G = F2r mit einem r 2P N. b) In g heben sich fur g 2 G n G2 die Summanden g und g weg. Die Aussage gP 2G 2 g = 0 folgt nun nach a). g2G c) Man braucht nach a) und b) nur den Fall G = G2 = Fr2 zu betrachten. Ist r > 1, so haben jeweils 2r 1 Elemente von G P die i {te Koordinate 0 und ebenso viele die i {te Koordinate 1. Es folgt dann g = 0. g2G 51) Ist n > 1, so ist Gn = Gn 1 = ker fn 1 = Gn 1 =im fn 2 und

f0g ! G1 ! G2 ! ! Gn 2 ! im fn 2 ! f0g

52)

ist exakt. Fur endliche Gruppen ergibt sich die Behauptung sofort durch Induktion. Fur freie abelsche Gruppen zeigt man zuerst, da Gn 1 = Gn im fn 2 ist, wobei im fn 2 frei vom Rang rn rn 1 ist, und wendet nun Induktion an.

a) Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit genau zwei maximalen Untergruppen. Ist G zyklisch, so wird jGj von genau 2 Primzahlen geteilt. Zerfallt G in eine direkte Summe, so konnen nur 2 Summanden auftreten und diese mussen zyklisch von Primzahlpotenzordnung sein zu verschiedenen Primzahlen. Dann ist G aber selbst zyklisch (Aufg. 40a)). b) S3 . 53) Betrachte die zyklischen Untergruppen der Gruppe. Jede Gruppe mit genau 4 Untergruppen ist zu Z pq mit verschiedenen Primzahlen p; q oder zu Z p3 mit einer Primzahl p isomorph.

U bungen zu x11 54)

55) 56)

228

a) = (1; 3; 7)(2; 10)(4; 8; 6; 5), sign ( ) = +1, ord( ) = 12. b) 151200 c) Zerlege in disjunkte Zahlen. Dann ist p = ord das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen dieser Zyklen. Es kann daher nur ein p {Zyklus auftreten. a) sign : G ! f1; 1g ist ein Gruppenepimorphismus mit dem Kern G \ An . b) Z (Sn) = Sn fur n = 1; 2, Z (Sn) = fidg fur n 3.

a) Sei := (1; 2; : : : ; n). Dann ist i (1; 2) i = (i +1; i +2) fur i = 0; : : : ; n 1. Da Sn von den Transpositionen benachbarter Elemente erzeugt wird, folgt die Behauptung. b) Es ist i = (1; i; : : : ) ein n {Zyklus, da n eine Primzahl ist. Wende nun a) an. c) (1; 3) und (1; 2; 3; 4) erzeugen in S4 eine Diedergruppe D4 . 57) Drehungen im R 3 besitzen eine Drehachse. Fur die Drehungen eines regularen Tetraeders sind folgende Falle moglich:

) Die Drehachse fuhrt durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenuberliegenden Seite. Ohne die Identitat sind das 8 Drehungen. ) Die Drehachse geht durch die Mittelpunkte zweier gegenuberliegender Kanten (3 Drehungen 6= id). Alle diese Drehungen liefern gerade Permutationen der vier Ecken des Tetraeder. Da jA4 j = 12 ist, folgt die Behauptung. 58) 12. 59) a) 2, b) n , c) 2 fur ungerades n , 4 fur gerades n . 60) Es gilt jN P j jP \ N j = jN j jP j (Aufg. 15) und P ist eine Sylowuntergruppe von N P . Daher ist jP \ N j die hochste p {Potenz, welche jN j teilt.

229 61)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a) Sei M die Menge der Linksnebenklassen von G modulo H . Die Gruppe N ist der Kern des Gruppenhomomorphismus G ! S (M ), der x 2 G die durch gH 7! xgH de nierte Permutation von M zuordnet. b) ist klar. c) Sei H G eine Untergruppe mit [G : H ] = p . Fur N wie in a) gilt [G : N ] = [G : H ] [H : N ] = p [H : N ] und [G : N ] ist ein Teiler von p!, also [H : N ] einer von (p 1)!. Nach Wahl von p mu H = N sein. d) folgt aus a), da die p {Sylowuntergruppen von G konjugiert sind, und jede p {Untergruppe in einer p {Sylowuntergruppe liegt. 62) Sei sp die Zahl der p {Sylowuntergruppen von G , entsprechend sei sq de niert. Es ist sp = 1 oder sp = q , wobei p j q 1. Ferner ist sq = 1 oder sq = p , wobei q j p 1 oder sq = p2 , wobei q j p2 1. Die Falle sp = q , sq = p und sp = q , sq = p2 fuhren zu Widerspruchen. Daher mu sp = 1 oder sq = 1 sein. 63) Es ist 200 = 8 25. Aus den Sylowsatzen folgt, da eine Gruppe mit jGj = 200 genau eine 5{Sylowuntergruppe besitzt. Diese ist Normalteiler in G und von der Ordnung 25, also abelsch (Aufg. 83a)). 64) Die Gruppe mu zyklisch von der Ordnung n sein. n ist nicht durch das Quadrat einer Primzahl teilbar, denn sonst gabe es eine abelsche, nicht zyklische Gruppe der Ordnung n . Gibt es Primteiler p und q von n mit p j q 1, so ist Z p eine Untergruppe der Automorphismengruppe von Z q und es gibt eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung p q (Aufg. 26)), folglich auch eine der Ordnung n . 65) a) Es ist gam g 1 fur jeden Teiler m von n und jedes g 2 Dn ein Element der Ordnung mn von (a), also g(am )g 1 = (am ). b) aba 1 b 1 = a2 ist ein Kommutator. Ferner ist wegen b2 = e , ba = a 1 b jeder Kommutator in (a2 ) enthalten. c) (am ) besitzt die Ordnung pk und ist nach a) Normalteiler in Dn . 66) Aus den Sylowsatzen ergibt sich, da G genau eine 3{Sylowuntergruppe und genau eine 5{Sylowuntergruppe besitzt. Diese sind Normalteiler in G und G ist ihr direktes Produkt (vgl. Aufg. 8)). Jede Gruppe der Ordnung 9 ist abelsch und daher zu Z 9 oder zu Z 3 Z 3 isomorph. Daher ist G = Z 45 oder G = Z 3 Z 15 . Im ersten Fall besitzt G genau 6 Untergruppen, im zweiten genau 12. 67) sp := [Sp : N ] ist die Anzahl der p {Sylowuntergruppen von Sp . Es gibt pp! = (p 1)! Elemente der Ordnung p in Sp ( p {Zyklen) und somit (p 2)! p {Sylowuntergruppen von Sp . Es folgt jN j = p(p 1). 68) a) Operation durch Linkstranslation. b) '(g) = id gilt dann und nur dann, wenn ghU = hU fur alle h 2 G . Mit h = e folgt g 2 U . Ist t := [G : U ] endlich, so ist es auch S (G=U ). Da G=N nach

U bungen zu x11

69)

230

dem Homomorphiesatz eine Untergruppe von S (G=U ) ist, ist [G : N ] ein Teiler von jS (G=U )j = t! und ferner gilt [G : N ] = t [U : N ]. c) Es ist 392 = 23 72 . Wende b) an mit einer 7{Sylowuntergruppe U von G .

a) Sei G = U U 0 . Dann ist jU 0 j = [G : U ]. Hatten jU j und [G : U ] einen gemeinsamen Primteiler p , so ware die Untergruppe der Ordnung p von G in U \ U 0 enthalten. b) U U 0 und G haben die gleiche Ordnung. Der Kern des Homomorphismus U U 0 ! G ((u; u0 ) 7! u u0 1) ist trivial, weil U \ U 0 = feg ist wegen der Teilerfremdheit von jU j und jU 0 j . c) folgt aus dem Hauptsatz fur abelsche Gruppen (11.30). 70) a) und b) sind analog zu Aufg. 30). c) Zerlege G in ein direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Dann ist Tp(G) die Summe der zyklischen Summanden von der Ordnung pn (n 2 N ). d) Nach dem chinesischen Restsatz ist Z =(n) = Z =(pk ) Z =(m). e) Untergruppenkriterium. f) Sei x = q + Z 2 Q = Z (q 2 Q ). Genau dann gilt pnx = 0, wenn pn q 2 Z , d.h. wenn q 2 A . g) Jede echte Untergruppe von Tp(G) ist von der Form U= Z mit einer Untergruppe U $ A , Z $ U . Es gibt ein k 2 N + , so da p1k 2 U , pk1+1 2= U . Ist r = pze 2 U (z 2 Z n f0g; p - z), so gibt es Elemente a; b 2 Z mit ape + bz = 1 und es folgt a + b r = p1e 2 U , also e k . Somit ist U = p1k Z . 71) a) S4 besitzt 3 Untergruppen der Ordnung 8, welche konjugiert und somit isomorph sind. b) U ist die Isotropiegruppe von f4g , aber kein Normalteiler von S4 . c) Nein. d) Es sind die Untergruppen, welche eine Zahl aus f1; 2; 3; 4g festlassen. e) Ist U S4 eine Untergruppe mit jU j = 12, so ist U Normalteiler von S4 (Aufg. 14)) und U enthalt alle Elemente ungerader Ordnung von S4 , also insbesondere die Dreierzyklen, die A4 erzeugen. f) Es gibt nur triviale Gruppenhomomorphismen Z =(5) ! S4 . g) Untergruppen der Ordnung 2 und 3 sind nicht Normalteiler. Es bleiben nur noch die Untergruppen der Ordnung 4 zu betrachten. Zyklische Untergruppen der Ordnung 4 sind ebenfalls keine Normalteiler. Es bleibt nur noch die Untergruppe V := fid; 1 ; 2 ; 3 g mit 1 = (12)(34), 2 = (13)(24), 3 = (14)(23). Diese ist Normalteiler und eine Kleinsche Vierergruppe.

231 72)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a) Eine Untergruppe U A4 mit jU j = 6 wurde einen 3{Zyklus = (a; b; c) und ein Element 1 der Ordnung 2 enthalten, etwa 1 = (12)(34). Ist o.B.d.A. (1) = 1, so enthalt U auch 2 = (13)(24) und 3 = (14)(23). Dann ware fid; 1 ; 2 ; 3 g eine Untergruppe von U , ein Widerspruch. b) Sei jGj = 12 und G enthalte keine Untergruppe der Ordnung 6. Die Gruppe G besitzt eine oder 4 3{Sylowuntergruppen U . Im ersten Fall ware U ein Normalteiler mit jG=U j = 4 und G hatte doch eine Untergruppe der Ordnung 6. Sei M = fP1 ; P2; P3 ; P4g die Menge der 3{Sylowuntergruppen von G . Dann operiert G auf M transitiv durch Konjugation. Ist N der Kern des entsprechenden Homomorphismus G ! S (M ), so ist jG=N j 4. Es folgt N = feg und G S (M ) = S4 . Wende 71e) an. 73) S4 ! Aut(A4 ) ordne jedem 2 S4 den durch bewirkten inneren Automorphismus i zu. Ist i = id, so ndet man leicht, da = id ist, also S4 Aut(A4 ). Die Gruppe A4 wird von (123) und (12)(34) erzeugt. A4 besitzt 8 Elemente 3. Ordnung und 3 Elemente von der Ordnung 2. Die Gruppe Aut(A4 ) kann somit nur 24 Elemente besitzen, d.h. es ist S4 = Aut(A4 ). Jeder Automorphismus 2 Aut(S4) lat A4 invariant. Wenn jA4 = id ist, dann gilt ( ) = () ( ) = id fur alle ungeraden Permutationen ; und es folgt = id, somit Aut(S4) = Aut(A4 ) = S4 . 74) Untergruppen der Ordnung 3 und 6 von S4 operieren nicht transitiv und A4 ist die einzige Untergruppe der Ordnung 12 von S4 . Es kommen somit nur A4 und S4 in Frage. 75) a) Es ist D4 S5 und jD4j = 8, also sind die 2{Sylowuntergruppen zu D4 isomorph. Es gibt 15 solche Untergruppen und 6 5{Sylowuntergruppen in S5 . b) Eine Untergruppe G S5 mit jGj = 10 wird erzeugt von einem 5{Zyklus = (12345) und einem Element der Ordnung 2. Ist eine Transposition, so konnte = (12) angenommen werden und es wurde G = S5 folgen. Somit mu eine gerade Permutation sein. c) Gruppen der Ordnung 15 sind zyklisch und daher nicht in S5 enthalten. Eine Untergruppe U S5 mit jU j = 30 enthielte einen 3{Zyklus, sowie einen 5{Zyklus und wurde von diesen erzeugt. Es ware U A5 vom Index 2, also Normalteiler, im Widerspruch zur Einfachheit von A5 . d) Eine Untergruppe U S5 mit jU j = 60 wird von einem 3{Zyklus und einem 5{Zyklus erzeugt, d.h. U = A5 . e) Ja. 76) Man kann G S5 S6 annehmen. M N ist Normalteiler in G und G=M N eine Restklassengruppe von G=M = S5 . Somit besitzt M N in G den Index 1 oder 2. Im ersten Fall ndet man G = S5 S6 , im zweiten

U bungen zu x11

232

G = f(a; b) 2 S5 S6 j sign (a) = sign (b)g . 77) Die Sylowuntergruppen sind au osbar und ein direktes Produkt au osbarer Gruppen ist au osbar. 78) Sei G eine solche Gruppe und seien P1; : : : ; Pt Sylowuntergruppen zu den verschiedenen Primteilern von jGj . Betrachte den Gruppenhomomorphismus : P1 Pt ! G mit (p1 ; : : : ; pt ) = p1 : : :pt (pi 2 Pi ). Dann ist ker = feg , t Q da ord(p1 : : : pt ) = ord(pi ) nach 11.23. Aus jP1 Pt j = jGj ergibt sich, i=1 da ein Isomorphismus ist. 79) n = 4. 80) a) N ist direktes Produkt von Gruppen Z q mit Primzahlen q j n und der durch g bewirkte Automorphismus von N lat alle Faktoren invariant. Da j Aut( Z q )j = q 1 ist und p kein Teiler von q 1, ist der Automorphismus trivial. b) Sei G = N` N` 1 N0 = feg eine Untergruppenkette wie in 11.63, wobei N`=N` 1 zyklisch von Primzahlordnung p ist (11.66). Weiterhin kann man durch Induktion annehmen, da N` 1 zyklisch ist. Es ist p kein Teiler von jN` 1j , daher wird G von N` 1 und einem g 2 G mit ord(g) = p erzeugt. Nach a) ist N` 1 Z (G) und nach 24a) ist G abelsch: G = Zp1 Zpt = Zn . 81) a) Die angegebene Formel zeigt, da Dreierzyklen Kommutatoren sind. Weil U=N abelsch ist, sind sie in N enthalten, wenn sie in U enthalten sind. b) Ware Sn au osbar, so wurde aus a) folgen, da alle Dreierzyklen = id sind, was absurd ist. 82) a) G ist Untergruppe der Permutationsgruppe S (M ) = Sp . Nach 11.5 wird jGj von p geteilt und G enthalt nach Cauchy einen p {Zyklus. b) Da N treu operiert, ist klar. Ferner besitzen alle Bahnen von M unter der Operation von N gleich viele Elemente, denn ist U die Isotropiegruppe eines x 2 M , so ist gUg 1 die Isotropiegruppe von g(x) fur jedes g 2 G . Da jM j = p eine Primzahl ist, kann es nur eine Bahn geben. c) Aus a) und b) folgt durch Induktion, da N1 ein Element der Ordnung p enthalten mu. 83) a) Jede endliche p {Gruppe hat ein nichttriviales Zentrum. Wende 24a) an. b) Da G nicht abelsch ist, gibt es a; b 2 G , so da aba 1 b 1 6= e . Dann gilt G = (a; b). Ferner ist jZ (G)j = p . c) Die Diedergruppe D7 hat triviales Zentrum und jD7 j = 14. Da jede Gruppe der Ordnung 15 zyklisch ist, kann jG=Z (G)j = 15 nach 24a) nicht eintreten.

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

233

84) D6 Z 3 oder Z 6 S3 . 85) Lasse G auf N durch Konjugation operieren und wende 11.51 an. 86) Bette G mit Hilfe der Permutationsdarstellung in Sn (n := 2(2m + 1)) ein. Sei 2 G ein Element der Ordnung 2. Als Permutation ist Produkt disjunkter Transpositionen. Die Bilder der Elemente aus G n feg in Sn sind xpunktfreie Permutationen nach der Kurzungsregel in G . Daher ist Produkt von 2m + 1 Transpositionen, also sign = 1 und somit G 6 An . Daher besitzt G den Normalteiler An \ G 6= G . 87) a) Untergruppenkriterium. b) Fur (g; e) 2 U \G1 und (h; e) 2 G1 ist (h; h) 2 D U und (h 1 ; h 1) 2 D U . Es folgt (h; e)(g; e)(h 1 ; e) = (hgh 1; e) = (h; h)(g; e)(h 1 ; h 1) 2 U . c) Ist N ein von feg und G verschiedener Normalteiler von G , so ist U := f(g; h) j gh 1 2 N g eine Untergruppe von P mit D $ U $ P . Ist umgekehrt G einfach und U P eine Untergruppe mit D $ U , so ist U \ Gi = Gi nach b) und es folgt U = P . 88) a) 333 = 32 37. Wende Aufg. 62) an. b) Z 3 Z 111 . c) Man hat einen injektiven Gruppenhomomorphismus ' : Z 9 ! Aut( Z 37). Sei G := Z 9 ' Z 37 das semidirekte Produkt bzgl. ' (vgl. Aufg. 26)). Alternativ: Es gibt eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 111 (vgl. Aufg. 64)). 89) a) folgt aus 11.5 (wobei G keine p {Gruppe sein mu). b) Nach a) besitzt jede Konjugationsklasse pi Elemente mit einem i n . Da feg eine Konjugationsklasse ist, kann G keine sein, d.h. i = n tritt nicht auf. Da G die disjunkte Vereinigung von Konjugationsklassen ist, folgt die angegebene Formel. c) Es ist jZ (G)j p nach b). Fur g 2 Z (G) ist Z (g) = G . Ist g 2 G n Z (G), so ist g 2 Z (g), also Z (g) % Z (G). Die Gleichung an 1 = 0 folgt, weil [G : Z (g)] die Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse von g ist. 90) Schreibe im folgenden ` =: a;b . a) ist klar. b) Es ist abi (x) = ai x + (1 + a + + ai 1 )b (i 2 N ). Hieraus folgt 8 > <

a = 1; b = 0 a = 1; b 6= 0 a 6= 1 c) U = f1;b 2 G j b 2 Fpg . Beachte, da es in G nach b) nur p 1 Elemente der Ordnung p gibt. 1 ord a;b = > p : ord a

U bungen zu x11

234

d) Durch ab 7! a wird ein Gruppenepimorphismus G ! Fp mit dem Kern U gegeben. e) G ist fur p > 2 nicht abelsch, aber au osbar, da U und G=U zyklisch sind. 91) Betrachte den Kern des kanonischen Ringhomomorphismus : Z ! R . Ist surjektiv, so ist R = Z =(p2 ). Andernfalls ist ker = (p) und R eine Fp {Algebra. Fur ein x 2 R n Fp gilt dann R = Fp Fpx . Sei f := X 2 + aX + b 2 Fp[X ] das Minimalpolynom von x uber Fp . Die drei weiteren Falle ergeben sich, je nachdem f irreduzibel ist, zwei verschiedene oder eine doppelte Nullstelle besitzt (vgl. x 6, Aufg. 12)). 92) a) Die Bestimmung des Reziproken von z = a0 + a1i + a2 j + a3 k ((a0 ; a1 ; a2 ; a3) 2 Q 4 n f0g) fuhrt auf ein lineares Gleichungssystem mit nichtverschwindender Determinante. b) ist klar. c) Jede Untergruppe U 6= f1g von Q enthalt 1. Fur x 2 G n f1g ist x 1 = x . Fur y 2 Q gilt xyx 1 = xyx = y . 93) Ordnung Gruppen 1 feg 2 Z2 3 Z3 4 Z4, Z2 Z2 5 Z5 6 Z 6 , S3 7 Z7 8 Z 8 , Z 4 Z 2 , Z 2 Z 2 Z 2 , D4 , Quaternionengruppe 9 Z9, Z3 Z3 10 Z 10 , D5 11 Z 11 12 Z 12; Z 2 Z 6 ; A4; D6 ; Z 3 ' Z 4 (semidirektes Produkt) 13 Z 13 14 Z 14; D7 15 Z 15 94)

a) Die Gultigkeit des Assoziativgesetzes ergibt sich durch einfache Rechnung. Offensichtlich ist (0; 0; 0) neutrales Element in Hn(R) und ( v; w; v w t) das Inverse von (v; w; t). b) Fur '; 2 Gl (n; R) ist (' )(v)(' )(w) = (det')2 (v) (w) = (det')2(det )2 v w = (det' )2 v w

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

235

Ferner ist v w = '(' 1(v) ' 1(w)) = (det')2 (' 1(v) ' 1(w)), und daher gilt ' 1(v) ' 1(w) = (det' 1)2 v w . Durch einfache Rechnung unter Verwendung des Produktsatzes fur Determinanten zeigt man ebenfalls, da ' ein Automorphismus von Hn (R) ist und da ' = ' gilt. Die Abbildung ' 7! ' ist injektiv, da ' = idHn(R) nur fur ' = idRn gilt. c) folgt aus 2 1 w t 3 2 1 w0 t0 3 2 1 w + w0 v0 w + t + t0 3 4 0 1 v 5 4 0 1 v0 5 = 4 0 1 v + v0 5 0 0 1 0 0 1 0 0 1 d) Fur v = (v1 ; : : : ; vn); w = (w1; : : : ; wn); t 2 Z zeigt man, da n Y

n Y v i (v; w; t) = ai bwi i ct i=1 i=1 Ubungen zu

x 12:

1) Klar, da die Galoisgruppe die Wurzeln der irreduziblen Faktoren des Polynoms unter sich permutiert. 2) f = X 4 2X 2 + 2 p p Zerfallungskorper Q [ 1 + i + 2 1 i], G(f ) = D4 . f = X 4 + 5X 2 + 5 p p Zerfallungskorper Q [ 10 2 5], G(f ) = Z 4 . f = X 4 + 6X 2 + 1 p p Zerfallungskorper Q [ 3 + 8], G(f ) = Z 2 Z 2 . 2 2 4 f = X 6 + 2X 5 + 2X 4 + X p + 2X + 2 = (X + 2X + 2)(X + 1) Zerf pallungskporper Q[i + 2], G(f ) = Z 2 Z 2 . 3) Q [ 1 + 2i; 1 2i] ist der Zerfallungskorper von X 4 2X 2 + 5 uber Q und folglich ist zu D4 isomorph. p galoissch. pDie Galoisgruppe p p Q [ 6 + 2 7; 6 2 7] ist der Zerfallungskorper von X 4 3X 2 + 4. Die Galoisgruppe ist zu Z 2 Z 2 isomorph. 4) Z 2 Z 2 in beiden Fallen. 5) Es ist

f := (X +1)8 + X 8 +1 = 2(X 2 + X +1)(X 6 +3X 5 +10X 4 +15X 3 +10X 2 +3X +1) Sei h der letzte Faktor und L sein Zerfallungskorper uber Q . Ist x eine Nullstelle von h , so sind x0 := 1+1 x und x00 := 1+x x weitere Nullstellen. Der durch x 7! x0 gegebene Automorphismus besitztpdie Ordnung 3. Ferner erzeugt a := x+x0 +x00 den quadratischen Zahlkorper Q [ 43] L , daher ist G(h) = S3 . p 2 Der Zerfallungskorper Q [ 3] von X + X + 1 ist nicht in L enthalten. Somit ist G(f ) = Z 2 S3 .

U bungen zu x12

236

6)

a) ist invariant unter allen geraden Permutationen der Wurzeln und wechselt das Vorzeichen bei ungeraden Permutationen. Ferner ist 2 2 K . Die Gruppe G \ An ist ein Normalteiler von G vom Index 2 oder 1. In jedem Fall ist K () der Fixkorper von G \ An . b) Es ist jGj durch 3 teilbar. Die Behauptung folgt aus a). q 0 3 7) f = 4X + 1 verschwindet im Reellen nur fur x = 3 14 und f hat dort ein lokales Minimum > 0. Mit z ist auch z = u iv eine Wurzel von f und daher wird f von X 2 2uX + u2 + v2 geteilt. Dividiert man f durch dieses Polynom, so ndet man, da g( 4u2) = 0 sein mu. Da g irreduzibel ist, mu es das Minimalpolynom von 4u2 uber Q sein. Der Zerfallungskorper von f uber Q enthalt den Zwischenkorper Z := Q (u2 ) mit [Z : Q ] = 3. Daher ist G(f ) keine 2{Gruppe und z ist nicht aus M konstruierbar. 8) a) Andernfalls hatte f unendlich viele Nullstellen. b) Das Polynom X p X p + hat die p Nullstellen + ( 2 Fp ), die auch Nullstellen von f sind. Es folgt f = X p X p + und K []=K ist der Zerfallungskorper von f . Ferner ist G(f ) = (Fp; +). 9) a) 16, b) Vgl. x 11, Aufg. 66). 10) Sei f 2 K [X ] mit einem Korper K und sei eine Wurzel von f . Dann ist K []=K galoissch, weil G(f ) abelsch ist. K [] mu dann schon der Zerfallungskorper von f sein. 11) Der Fixkorper der komplexen Konjugation liegt in L0 , daher ist [L : L0 ] 2. Genau dann ist [L0 : Q ] galoissch, wenn einen Normalteiler von G(L=Q ) erzeugt. 12) a) Es ist (2 1 )(T ) = T + 1, (1 2 )(T ) = T 1, daher ist G nicht abelsch. G wird von 1 und 2 1 erzeugt und es ist ord(1 ) = 2, ord(2 1 ) = p . Daher ist jGj 2p . Fur 2 G ist andererseits (T ) = T + ( 2 Fp ) und somit jGj 2p . b) Es ist [K0 (T ) : K ] = 2p . Da T eine Nullstelle des gegebenen Polynoms ist, mu es das Minimalpolynom sein. 1 T besitzt das gleiche Minimalpolynom. c) Als Endomorphismen haben 1 und 2 beide das Minimalpolynom X 2 1. Fur den Eigenwert 1 erhalt man die Eigenraume pL1 i=0

KT 2i bzw

pL1 i=0

K (T

1 )2i 2

K (T

1 )2i+1 2

und fur den Eigenwert 1 die Eigenraume pL1 i=0

KT 2i+1 bzw.

pL1 i=0

237 13)

14)

15)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a) Die von den \Spiegelungen" X 7! X + ( 2 R ) erzeugten Untergruppen der Ordnung 2 und fidg . b) X ist Nullstelle des Polynoms g := f (Y ) f 2 Q (f )[Y ]. Als Polynom in Q [f; Y ] ist g irreduzibel, denn es ist linear in f . Folglich ist g auch in Q (f )[Y ] irreduzibel und [Q (X ) : Q (f )] = deg f . Da Q [X ] uber Q [f ] ganz ist und Q [X ] ganzabgeschlossen in Q (X ), gilt (X ) 2 Q [X ] fur jedes 2 Aut(Q (X )=Q (f )). c) folgt aus a) wegen [Q (X ) : Q (f )] = deg f . a) Vgl. x 2, Aufg. 2a). b) , c) Nachrechnen. d) f besitzt eine reelle Nullstelle x und nach c) drei verschiedene Nullstellen. Der Zerfallungskorper von f uber Q ist Q [x]. Da f nach a) keine rationale Nullstelle besitzt, ist f irreduzibel. Es folgt G(f ) = Z =(3).

a) Die Existenz von a ergibt sich aus der linearen Unabh angigkeit der Charaktere P P (10.2). Fur g 2 G ist g() = g( (h) h(a)) = (h)(g h)(a) und folglich h2G h2G (g) g() = . Aus g() = g( ) fur alle g 2 G folgt 2 K . b) Fur g; h 2 G ist (gh)() = g(g)(g()h()) = g() h() . c) Ordne 2 G0 die Restklasse K mit wie in a) zu. d) Sei i() = K . Es ist (g)r = 1 fur jedes g 2 G , also g(r)r = 1 und somit r = g(r ), folglich r 2 K . 16) Aus f = (X 2 + uX + v)(X 2 + u0X + v0 ) ergibt sich durch Koezientenvergleich

u + u0 = 0; v + v0 + uu0 = 0; uv0 + u0v = a; vv0 = 1

17)

Dieses System ist uber Z nicht losbar, folglich ist f in Q [X ] irreduzibel. Ist X 2 + uX + v das Minimalpolynom von uber Z , so ist auch X 2 + (pu)X + (v) ein Teiler von f , also o.B.d.A. u0 = (u), v0 = (v). Man erhalt u = r d (r 2 Q ) aus u + u0 = 0 und die weiteren Bedingungen liefern a2 = (r4 d2 + 4)r2 d . Diese Gleichung ist fur r 2 Q n Z nicht erfullbar. Wenn a eine Primzahl 3 ist, kann sie auch mit r 2 Z nicht erfullt werden. a) Sei x ein primitives Element von Z=K und f sein Minimalpolynom. Dann ist auch K [xf ] eine Galoiserweiterung vom K , also x 2 K [xf ] und damit Z = K [xf ] L . b) Sei f das Minimalpolynom von u uber K . Da f nur eine Wurzel besitzt, ist xf = u und damit u 2 L . c) Z=K ist eine normale Erweiterung und Zsep=K ist galoissch (x 10, Aufg. 8b). Nach a) ist Zsep L . Ferner wird Z uber Zsep von Elementen erzeugt, die uber

U bungen zu x13

18)

238

K rein inseparabel sind (x 10, Aufg. 8c). Nach b) liegen diese in L , folglich ist Z L. d) Jedes x 2 L ist uber K algebraisch. Ist Z L der Zerfallungskorper des Minimalpolynoms von x , so ist Z L nach c), also x 2 L . Es folgt L = L . a) Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ist die Anzahl zn der Z mit [Z : K ] = n gleich der Anzahl der Untergruppen von A4 vom Index n . Man erhalt zn = 0, wenn n kein Teiler von 12 ist, z1 = z12 = 1; z2 = 0; z3 = 1; z4 = 4; z6 = 3. b) 3.

Ubungen zu

x 13:

2(2n+1) = 4(2n+1) = 1. Ist t 2 N 2t 6= 1, und 2t = 4t = 1 gilt nur

1) Es ist ein Teiler von 2n + 1, so ist t = fur t = 2n + 1. Da 2 = 4 eine primitive (2n + 1){te Einheitswurzel ist, ergibt sich Q () = Q ( ). 2) Sei eine primitive 23{te Einheitswurzel. Wahle z := + 1 . 3) a) Klar, da 1 Nullstelle des Polynoms (1 X )n 1 ist und dieses den Gradkoezienten 1 besitzt. b) N (1 ) ist bis auf das Vorzeichen das konstante Glied des Minimalpolynoms und (1 X )n 1 = X ( n + : : : ). c) n ist eine Einheit von Z (p) , da p - n . Da 1 ein Teiler von N (1 ) in Z (p)[] ist und N (1 ) ein Teiler von n in Z , ergibt sich, da 1 Einheit in Z (p)[] ist. 4) Konnte man einen Winkel von 120 Grad dreiteilen, so konnte man auch das regulare2i9{Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren. Alternativ: 2 i [Q (e 9 ) : Q (e 3 )] = 3. 5) Q (e i3 ; e i5 ; e 215i ) ist ein Teilkorper von Q (e 230i ) und daher galoissch mit abelscher Galoisgruppe. 6) a) Die Automorphismen von K (X )=K (X n ) werden durch X 7! X gegeben, wobei die in K enthaltenen n {ten Einheitswurzeln durchlauft. G ist isomorph zur Gruppe der in K enthaltenen n {ten Einheitswurzeln. b) Sei jGj =: d . Dann gilt djn und F = K (X d ). Die Zwischenkorper von K (X )=F sind die Korper K (X m ) mit m 2 N + , mjd . c) Genau dann ist K (X )=K (X n ) galoissch, wenn Char K - n und wenn K die n {ten Einheitswurzeln enthalt. 7) Die Galoisgruppe von Q ()=Q ist zyklisch von der Ordnung p 1 und hat genau eine Untergruppe U vom Index 2. Genau dann istp Z1 R , wenn die komplexe Konjugation 7! 1 zu U gehort, d.h. wenn ( 1) 2 = 1 ist. 8) X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 hat die primitiven 5{ten Einheitswurzeln (e 2i5 ) ( = 1; 2; 3; 4) als Nullstellen und daher hat X 4 X 3 + X 2 X + 1 die primitiven

239

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

10{ten Einheitswurzeln := (e 2i5 ) ( = 1; 2; 3; 4) als Wurzeln. Die entsprechenden Permutationen werden durch id, (1243), (1342) und (14)(23) gegeben. 9) Da 1991 die Teiler 1; 11; 181 und 1991 besitzt, hat X 1991 1 vier nichtassoziierte irreduzible Faktoren und R := Q [X ]=(X 1991 1) genau 4 maximale Ideale. R ist das direkte Produkt von vier Korpern und hat 24 = 16 Ideale (x 6, Aufg. 7b)). 10) a) Die Galoisgruppe von Q ()=Q ist zyklisch von der Ordnung 2i . p b) z := +p 1 genugt der Gleichung z2 + z 1 = 0, d.h. es ist z = 21 (1 5) und Q ( 5) Q (). c) Der 20{te Kreisteilungskorperpbesitzt die Galoisgruppe Z 2 Z 4 und hat drei p minimale Zwischenkorper: Q ( 5); Q (i) und Q ( 5). 11) Es gibt 6 bzw.45 8 Zwischenkorper. Benutze, da E ( Z =(49)) zyklisch ist. X 61 3 24 X 21 + X 15 X 12 + X 9 X 3 + 1. 12) 45 = (X 15 1)( X +X +1) = X 13) pP1 a) p = XXpp 1 11 = (X p 1 )i . i=0 b) p (1) = p folgt unmittelbar. Angenommen, p besitzt ein normiertes Polynom g 2 Z [X ] als echten Teiler. Dann kann g(1) = 1 angenommen werden. Die Nullstellen von g sind Q gewisse primitive p {te Einheitswurzeln. Daher ist p ein Teiler von h := g(X j ). Aus p (1) = p und h(1) = 1 ergibt 0<j
U bungen zu x13 17)

18)

240

a) Aus X n+1 + X (n+1) = (X + X 1)(X n + X n) (X n 1 + X (n 1)) ergibt sich eine Rekursionsformel zur Bestimmung von fn . b) fn besitzt die Nullstellenmenge fz + z 1 j z 2 C ; zn + z n = 0g . Dies sind n verschiedene reelle Zahlen. c) Ist z + z 1 eine Nullstelle von fn , so ist z eine 4n {te Einheitswurzel. Der Zerfallungskorper von fn ist der reelle Teil des 4n {ten Einheitswurzelkorpers, d.h. der Fixkorper der komplexen Konjugation 7! 1 , wenn eine primitive 4n {te Einheitswurzel ist. d) Genau dann, wenn n eine Primzahlpotenz ist.

a) Fur 2 G ist (t) = t , (u) = t mit m {ten Einheitswurzeln ; , wobei 2tt + 2u2 = 1 ist. Man ndet G = fidg , falls m ungerade, und G = Z2 Z2, wenn m gerade, wobei die Automorphismen aus G durch t 7! t , u 7! u gegeben werden. Insbesondere ist C (tm ; um ) = C (t; u) f ur ungeradesm und C (tm ; um ) = C (t2) fur gerades m . b) 12 ((t + iu)m +(t iu)m) ist invariant unter G und damit in C (tm ; um) enthalten. Die Funktion cos x ist transzendent uber C . Man hat einen C {Isomorphismus C (t; u) e! C (cos x; sin x) mit t 7! cos x , u 7! sin x . Bei diesem wird 1 ((t + iu)m + (t iu)m ) auf 1 (eimx + e imx ) = cos mx abgebildet, folglich ist 2 2 cos mx 2 C (cosm x; sinm x). c) sin mx ist das Bild von 21i ((t + iu)m (t iu)m ) in C (cos x; sin x). Fur gerades m ist dieses Element nicht invariant unter G . p 1; p 2 und p 3. 19) K enthalt die 8. und die 3. Einheitswurzeln und damit p p p Umgkehrt ist in Q ( 1; 2; 3) eine primitive 3. und 8. Einheitswurzel enthalten, also auch eine primitive 24. Einheitswurzel. Ubungen zu

x 14:

1) Nein, denn ein endlicher Integritatsring ist ein Korper und es gibt keinen Korper mit genau 6 Elementen. 2) f = X 3 + X + 1. Genau 4 Teilkorper. 3) Die Mi sind Hauptideale, erzeugt von irreduziblen Polynomen gleichen Grades n := (M1 ) = (M2 ). Ist jK j =: q , so gilt K [X ]=M1 = Fqn = K [X ]=M2 . r n Q 4) (q i 1). i=1 5) Sei jK j =: q . Die Elemente von K (von K ) sind die Wurzeln von X q X (von P Q X q 1 1), daher ist x = 0 und x = 1. Der Wilsonsche Satz folgt mit x2K x2K K = Fp , falls p eine ungerade Primzahl ist. Fur p = 2 ist er trivial. 6) a) Nachrechnen.

241

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a b = a2 mb2 6= 0 fur alle (a; b) 6= (0; 0), wenn m b) Genau dann gilt det mb a kein Quadrat ist. In diesem Fall ist das Gleichungssystem ax + mby = 1 bx + ay = 0

a b inverses Element. fur alle (a; b) 6= (0; 0) losbar und liefert in Lm ein zu mb a 2 c) ist klar, da jLm j = p . 7) a) q(q 1)(q2 1), b) q(q2 1), c) 1 oder 2, je nachdem q gerade oder ungerade ist. 2 1 a b3 8) Die Gruppe der Matrizen 4 0 1 c 5 mit a; b; c 2 F3 . 0 0 1 9) Sei K ein endlicher Korper der Charakteristik p > 0. Nach Frobenius gibt es zu jedem x 2 K ein y 2 K mit x = yp . Es folgt dx = p yp 1 dy = 0. Sei nun die Restklasse von X in R := Z [X ]=(X 2 ). Dann ist R = Z Z . Durch d(z0 + z1) = z1 (z0 ; z1 2 Z ) wird eine Derivation d : R ! R gegeben. 10) Sei F4 = f0; 1; a; bg . Dann ist X 5 X 2 = X 2 (X 1)(X a)(X b) und R = F4 [X ]=(X 2 ) F4 F4 F4 . Dieser Ring besitzt 45 = 1024 Elemente, 4 Primideale, 4 34 = 324 Einheiten und 1024 324 = 700 Nullteiler. 11) a) f = (X 2 + 1)(X 3 X + 1). b) F3[X ]=(f ) = F9 F27 besitzt eine zu Z 8 Z 26 isomorphe Einheitengruppe. Diese ist nicht zyklisch. 12) Fur alle n 2 N + mit n 0 mod 5 oder n 1 mod5. 13) a) Ja. b) Ja: X p t , wenn p := Char K . 14) Sei K = Fpn der Zerfallungskorper von g uber Fp . a) Ist f 2 Id ein Teiler von g und a 2 K eine Nullstelle von f , so ist d = [Fp(a) : Fp ] ein Teiler von n = [K : Fp ]. Ist umgekehrt f 2 Id fur einen Teiler d von n , und pd = a fur alle Wurzeln a ist L der Zerfallungsk o rper von f u ber F , so gilt a p von f , also auch apn = a und somit f jg . Die zweite Formel in a) folgt aus der ersten durch Gradvergleich. b) u4 = 3, u9 = 2184. 15) 4 bzw. 3. 16) a) f = (X 2 + 1)(X 4 + 1) besitzt uber Q den Zerfallungskorper Q (e 2i8 ) und die Galoisgruppe E ( Z =(8)) = Z2 Z2. b) Fur F5 ist f = (X 2)(X 3)(X 2 2)(X 2 3) und G(f ) = Z2.

U bungen zu x14 17)

18)

242

a) Ware a 2 Fp , so ware ap = a und fp (a) = 1. Es ist fp(a + 1) = ap + 1 (a + 1) 1 = ap a 1 = 0. Folglich hat fp die Wurzeln a + x (x 2 Fp) und den Zerfallungskorper Fp[a] uber Fp . Ist 2 G(fp ) n fidg , so ist (a) = a + x mit x 6= 0 und i(a) = a + ix (i = 0; : : : ; p 1). Es folgt, da G(fp ) = () zyklisch von der Ordnung p ist. b) fp ist uber Fp irreduzibel, erst recht auch uber Q .

a) Es ist 5 ( + a) = b 6= 0 und somit 5 = ab + . b) Genau dann besitzt f eine Nullstelle in F5 , wenn b 6= a ist, und := b a ist dann diese Nullstelle. c) Nach b) ist nur f = X 5 + aX 4 a mit a 6= 0 zu betrachten. Angenommen, f besitze einen irreduziblen quadratischen Faktor g . Ist eine Wurzel von g , i j dann sind auch F i () = aa +i (i = 0; : : : ; 4) Wurzeln von g . Da F () = F () nur fur i = j gilt, ergibt sich ein Widerspruch. Fur b = a ist f irreduzibel. d) Wenn f irreduzibel ist, dann sind F i() = a+ai (i = 0; : : : ; 4) die samtlichen Nullstellen von f in K . 19) Ist eine Wurzel von X 9 X +1, so ist 36 = ( 1)634 = a34 1 = ( 1)32 1 = 9 +1 5= , folglich ist X 9 X +1 ein Teiler von X 3 X und L F36 . Dagegen gilt 3 = 3 +1 6= , denn X 3 X + 1 teilt X 9 X + 1 nicht. Es folgt L = F36 . 20) a) G(L=Fp) wird von F erzeugt und G(K=Fp) von F jK . Da (F jK )r = idK , ist F r 2 G(L=K ). Ferner erzeugt F r eine Untergruppe n {ter Ordnung von G(L=Fp), also G(L=K ). b) Fur a 2 L ist F r (a) = apr = aq und daher N (a) = a aq : : : aqn 1 = am . c) Der Gruppenhomomorphismus L ! L (a 7! am ) besitzt eine Untergruppe der Ordnung m als Kern. Sein Bild hat daher mindestens m1 (qn 1) = q 1 Elemente und ist somit ganz K . 21) a) Das Polynom hat keine Nullstelle in F2 und wird nicht von X 2 + X + 1 geteilt. b) Da F16 = F2 [], besitzt in F16 die Ordnung 15. Die Elemente ; 2; 4 = 3 + 1, 8 = 3 + 2 + sind linear unabhangig uber F2 . Es sind die vier Wurzeln von X 4 + X 3 + 1. c) folgt aus S () = S (2) = S (4) = S (8) = 1 und der F2 {Linearitat der Spur. d) Sei x = a0 + a1 2 + a2 4 + a38 , = b0 + b1 2 + b2 4 + b38 (ai ; bi 2 F2 ). Die Gleichung x2 + x + = 0 ist wegen a2i = ai (i = 0; : : : ; 3) aquivalent zu dem System

a0 + a3 = b0 ; a0 + a1 = b1 ; a1 + a2 = b2 ; a2 + a3 = b3

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

243 3 P

22)

23)

24)

25)

26)

welches genau dann losbar ist, wenn bi = S ( ) = 0 ist. Notwendigerweise i=0 besitzt die Gleichung X 2 + X + = 0 dann zwei verschiedene Losungen. a) Da } ein Endomorphismus ist, folgt mit Hilfe des Frobenius-Endomorphismus. ker } ist die Nullstellenmenge des Polynoms X p X , also Fp . b) Fur y 2 K ist X p X y 2 K [X ] ein separables Polynom. Nach Voraussetzung liegen die Wurzeln des Polynoms schon in K , d.h. es gibt ein x 2 K mit }(x) = y . a) Da Fq =Fp separabel algebraisch ist, ist S surjektiv (x 10, Aufg.2)). b) Fur y 2 Fq ist S (y) = 1 + yp + yp2 + + ypm . Fur y = xp x mit x 2 Fq folgt S (y) = 0, also im } ker S . Die Gleichheit folgt aus 22a) und 23a). a) Es ist L = Fqr , wobei r 2 N die kleinste Zahl mit n j qr 1 ist, d.h. r ist die Ordnung von q + (n) in E ( Z =(n)). Ferner ist jG(L=K )j = [Fqr : Fq ] = r . b) Es ist deg n = '(n) = jE ( Z =(n))j . c) E ( Z =(12)) ist nicht zyklisch. Wende b) fur p 5 an. a) Nach 24a) ist [L : Fq ] gleich der Ordnung von q + (p ) in E ( Z =(p )). b) [L : F5] = 6. c) Ja, denn deg ~9 = 6 = [L : F5 ].

a) Das Polynom f := X 2 + X + 1 ist modulo 3 reduzibel. Fur p 6= 3 ist es genau dann modulo p reduzibel, wenn Fp alle 3. Einheitswurzeln enthalt, d.h. wenn 3jp 1. b) Jedes maximale Ideal M von Z [X ] mit X 2 + X +1 2 M enthalt eine Primzahl p . Ist p 6 1 mod 3, so ist M = (p; X 2 + X + 1), sonst ist M von der Form M = (p; X a) mit einem a 2 Z , fur das pja2 + a + 1. 27) Die Gleichung besitzt keine ganzzahlige Losung. Verwenden Sie 667 = 29 23 und zeigen Sie, da die Gleichung mod 23 unlosbar ist, da F23 nicht alle 3. Einheitswurzeln enthalt. 28) Betrachte den kanonischen Homomorphismus : Z ! R , wenn R ein Ring mit jE (R)j = 5 ist. Es mu jE (( Z ))j ein Teiler von 5 sein, hieraus folgt ( Z ) = Z =(2), also ist R eine F2 {Algebra. Ist x ein primitives Element von E (R), dann ist F2[x] ein homomorphes Bild von F2[X ]=(X 5 1) und nach dem chinesischen Restsatz ein direktes Produkt von Korpern, die uber F2 endlich sind. Die Ordnung der Einheitengruppe eines solchen Produkts ist aber niemals durch 5 teilbar.

U bungen zu x14 29)

30)

31)

32)

33)

244

a) Aus den Sylowsatzen ergibt sich, da jede Gruppe der Ordnung 1295 = 5 7 37 zyklisch ist. b) Sei R ein Ring mit 1295 Elementen und (n) der Kern des Strukturhomomorphismus : Z ! R . Dann gilt nj1295. Fur n = 1295 ergibt sich R = Z =(1295) = F5 F7 F37 . Ist etwa n = 5 7, so ist Z =(n) = Z =(5) Z =(7) R . Seien e1; e2 die Bilder der Eins von Z =(5) bzw. Z =(7) in R . Dann ist R = Re1 Re2 , wobei Re1 ein F5 {Vektorraum ist und Re2 ein F7 {Vektorraum. Somit ist jRe1 j eine Potenz von 5 und jRe2j eine Potenz von 7, was einen Widerspruch ergibt. A hnlich schliet man die anderen moglichen Teiler von 1295 aus. a) Den Zerfallungskorper von X 2k X uber F2 . b) Nach der Galoisschen Theorie gilt F2` F2k fur k; ` 2 N genau dann, wenn `jk . Wegen F2p` F2p`+1 ist Kp ein Teilkorper von K . Seine Teilkorper sind Kp und die F2p` (` 2 N ). c) Sei k = p1 1 : : : ps s die Primzahlzerlegung von k 2 N + und qi := pi i (i = 1; : : : ; s). Dann ist F2k = F2q1 : : : F2qs (Korperkompositum). d) Jedes 2 Aut(K ) lat alle Kp invariant. Hat endliche Ordnung, so ist jKp = id, denn in Kp gibt es nach b) keinen Teilkorper L mit [Kp : L] < 1 . Aus c) folgt = id. a) Chinesischer Restsatz. b) a = 1 und a = 19. c) Losungen sind alle Zahlen, die mod 1992 zu einer der folgenden kongruent sind: 47; 119; 379; 451; 545; 617; 877; 949. a) b) c)

Fq ! Fq (x 7! x2 ) ist ein Gruppenhomomorphismus mit dem Kern f1; 1g . Der zweite Fall tritt genau dann ein, wenn a ein primitives Element von Fq ist. folgt aus b).

a) q 1 mod 4. b) Fur a 2 Fq ist a 6= a und a ist genau dann ein Quadrat, wenn a eines ist. 34) Der Fall p = 2 ist trivial. Sei nun p ungerade. ur a 2 Fq a) Die Menge Q aller Quadrate aus Fq besteht aus q+1 2 Elementen. F ist Q \ (a + Q) 6= ; und Q \ (a Q) 6= ; . b) Nur im Fall p = 2 (vgl. a)). 35) Verwende 32b): Ist 2 p 2 1 1 mod p , so ist ( 2) p 2 1 1 mod p , da p 2 1 ungerade. 36) Es genugt, das Polynom uber Fp mit einer Primzahl p > 3 zu betrachten. Ist 3 a2 mod p , so ist f (X 2 + 2aX 2)(X 2 2aX 2) mod p . Ist 5 a2 mod p ,

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

245

37)

so ist f (X 2 + 2aX + 2)(X 2 2aX + 2) mod p . Wenn keiner der beiden Falle vorliegt, ist 15 quadratischer Rest modulo p . In diesem Fall ergibt sich aus f = (X 2 8)2 4 15 eine Zerlegung von f modulo p .

a) Fur ; 2 Fq und Nullstellen u; v von f gilt nach Frobenius ( u + v)qi = qi uqi + qi vqi fur alle i 2 N . Der Frobeniusautomorphismus F ist auf Fq die Identitat. Es folgt, da W ein Untervektorraum von Z ist. Wegen f 0 (X ) = a0 6= 0 ist f ein separables Polynom, wegen an 6= 0 ist degf = qn , folglich hat W genau qn Elemente und ist ein Fq -Vektorraum der Dimension n . b) Die Automorphismen von Z=Fq sind Fq -linear und permutieren die Nullstellen von f , folglich ist jW ein Automorphismus des Vektorraums W . Fur ; 2 G(Z=Fq ) gilt ( ) jW = jW jW , daher ist : G(Z=Fq ) ! Aut(W ) ( 7! jW ) ein Gruppenhomomorphismus. Da Z = Fq [W ] ist, folgt aus jW = idW , da = idZ ist, daher ist injektiv. c) Z ist ein Korper mit [Z : Fq ] = qn , ferner ist G(Z=Fq ) zyklisch von der Ordnung qn und wird vom Frobeniusautomorphismus F erzeugt. Daher ist (F ) ein Element von Aut(W ) der Ordnung qn . 38) Jede endliche Korpererweiterung von Fp besitzt eine zyklische Galoisgruppe. Daher gibt es zu jeder Potenz q von p genau einen Korper Fq mit q Elementen, und genau dann ist Fpd Fpd0 , wenn d j d0 . Es folgt, da K \ L = Fpd mit d = ggT(r; s) und L() = K L = Fpv mit v = kgV (r; s). Mithin gilt K \ L = Fp genau dann, wenn d = 1. Das Minimalpolynom von uber Fp ist genau dann irreduzibel in L[X ], wenn [L() : L] = r , also [L() : Fp ] = v = r s ist. kgV(r; s) = r s ist aber aquivalent mit ggT(r; s) = 1. Ubungen zu

x 15:

1) [Q (; ) : Q ] = 20 und G(Q (; ) : Q ()) = Z5. 2) Sei Q n der n {te Kreisteilungsk orper uber Q . Das Polynom f ist auch uber Q n(t) pn irreduzibel und Q n( pt) ist sein Zerfallungskorper uber K . Die n '(n) Automorphismen von Q n ( n t)=Q (t) ergeben sich wie folgt: Wende pn die 2 G(Q n=Qpn ) auf die Koezienten der rationalen Funktionen aus Q n( t) an und ersetze t pn durch t mit einer beliebigen n {ten Einheitswurzel . Die Galoisgruppe ist das semidirekte Produkt von Z n mit E ( Z =(n)), wobei E ( Z =(n)) auf Z n als Automorphismengruppe operiert. p p 3) Der Zerfallungskorper pvon X 6 +p3 uber Q ist Q( 6 3). Sei := 12 + 12 3 6 i6 und sei i der Automorphismus p durch p 3 7! 3 gegebene p p (i = 0; : : : ; 5). Dann ist i ( 3) = 3 fur gerade i und i ( 3) = 3 fur ungerade i , 1 d.h. i () = fur gerade i , i () = fur ungerade i . Die Automorphismen 1 ; 3 ; 5 haben die Ordnung 2 und 2; 4 die Ordnung 3. Die Galoisgruppe ist somit zu S3 isomorph. Die Galoisgruppe von X 5 5 uber Q ist au osbar, da die Gleichung X 5 = 5 durch Radikale au osbar ist.

U bungen zu x15 4)

246

a) Ist eine Wurzel von p f := X 4 +2, p so ist L := Q (i; ) der Zerfallungskorper von f uber Q . Erpenthalt 2 und 2,pdaher auch eine primitive 8. Einheitswurzel und folglich 4 2. Wegen L = Q (i; 4 2) ergibt sich [L : Q ] = 8. Da G(f ) eine Untergruppe der Ordnung 8 von S4 ist, also eine 2{Sylowuntergruppe von S4 , folgt G(f ) = D4 . b) f ist auch uber F5 irreduzibel und hat daher eine zu Z 4 isomorphe Galoisgruppe uber F5 . p p 5) Der Zerfallungskorper ist Q ( 3; 3 2), er ist vom Grad 12 uber Q . Die Galoisgruppe ist zu D6 isomorph. Diese besitzt 3 Untergruppen der Ordnung 6: Die Drehungsgruppe des regularen 6{Ecks, die Symmetriegruppe eines einbeschriebenen Dreiecks und die Drehungsgruppe des Dreiecks zusammen mit den Spiegelungen, welche die beiden einbeschriebenen p Dreieckep vertauschen. Die quadratischen p Zwischenkorper sind Q ( 3), Q ( 2) und Q ( 6). 6) Sei eine primitive n {te Einheitswurzel und i eine Wurzel von X n ai (i = 1; : : : ; r). Fur 2 G(f ) sei (i ) = i i . Durch G ! ( Z =(n))r , 7! (1 +(n); : : : ; r +(n)) wird ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben. a) und b) folgen hieraus sofort. 7) G(L=K ) ist zyklisch von der Ordnung n , daher besitzt L=K genau einen Zwischenkorper Z mit [Z : K ] = k , den Fixkorper des durch 7! k gegebenen Automorphismus, wenn eine primitive n {te Einheitswurzel ist. Dieser ist K (` ). 8) a) (1; c) ist eine Basis von K (c) uber K . Ist c = (r + sc)2 mit r; s 2 K , so ergibt sich 4a = (2r)4 . Wenn umgekehrt 4a = (2r)4 ist (r 2 K ), so ndet man c = (r + sc)2 mit s := (2r) 1 . b) Sei b eine Wurzel von X 4 a . Dann ist [K [b2 ] : K ] = 2, da a kein Quadrat in K ist. Nach a) gilt [K [b] : K ] = 4 genau dann, wenn 4a keine 4. Potenz in K ist. c) X 4 3 ist nach b) uber F5 irreduzibel, sein Zerfallungskorper uber F5 hat 625 Elemente. 9) a) Fur r; s; u; v 2 Z mit ungeraden u; v gilt r;u s;v = us+r;uv . Ferner ist r;u s;v = id, wenn s; v Losungen der Kongruenzen uv 1 mod 4, us + r 0 mod 4 sind. Somit ist D eine Untergruppe von S (W ). Man ndet schnell, da jDj = 8. Fur 2 G(f ) ist (i) = iu ( u ungerade) und (b) = ir b (r 2 Z ). Durch 7! r;u wird ein injektiver Gruppenhomomorphismus G(f ) ! D gegeben. b) Ist a > 0, so kann man fur b eine reelle Wurzel von X 4 a wahlen. Man ndet [Q (b; i) : Q ] = 8, also jGj = 8 = jDj . Fur a = 1 ist b eine primitive 8. Einheitswurzel und G(f ) = E ( Z =(8)) = Z 2 Z 2 .

247 10)

11)

Hinweise zu den Ubungsaufgaben

a) b) L = Q (; i) ist ein Zerf p allungsk p orper von f uber Q , da L die primitive 1 8. Einheitswurzel := 2 ( 2 + 2i) enthalt. Da [L : Q ] = 16 ist, mu f uber Q (i) irreduzibel sein. i c) (1p+ i) 3 = 1+ 4 =p ist eine p Wurzel von f . Da 4 4 ( 2) = ( ) = 2 = 2 ist, gilt () = . Es folgt 2 () = 2 , 4() = . Notwendigerweise ist ord =p8. p d) Die nichttrivialen Zwischenkorper sind K ( 2) und K ( 4 2). a) ) Die Voraussetzungen von x 11, Aufg.82) sind erfullt, da G(f ) nach Cauchy ein Element der Ordnung p besitzt. Das erzeugende Element von N1 ist ein p {Zyklus, bei geeigneter Numerierung der Wurzeln von f wird somit durch (x) = x + 1 (x 2 Fp) gegeben. ) 1 ist nach Voraussetzung eine lineare Abbildung und ein Element der Ordnung p . Nach x 11, Aufg. 90c) ist 1 = mit 2 f1; : : : ; p 1g . Aus = ergibt sich (x + 1) = a + (x) f ur allex 2 Fp und folglich (x) = ax + b mit b := (0).

) Mittels der Untergruppenkette aus ) folgert man aus ) induktiv, da G(f ) aus linearen Abbildungen besteht. b) ) Ist 6= id, so hat hochstens einen Fixpunkt. ) Nach ) ist die Isotropiegruppe trivial, also K (; ) schon der Zerfallungskorper. c) Sind 6= zwei reelle Wurzeln von f , so ist K (; ) nach b) der Zerfallungskorper von f und es sind alle Wurzeln reell.

248

Literatur Das Literaturverzeichnis enthalt nur Veroentlichungen, auf die im Text direkt Bezug genommen wurde. Die Satze und Beweise dieses Buches sind mathematisches Allgemeingut, nur selten wird der Name ihrer Entdecker erwahnt. [A] [B] [F]

Artin, E. Galoissche Theorie. Zurich-Frankfurt 1966 Bieberbach, L. Theorie der geometrischen Konstruktionen. Basel 1952 Faltings, G. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern. Invent. Math. 73 (1983) 349-366 [Fi] Fischer, G. Lineare Algebra. 9. Au . Braunschweig/Wiesbaden 1989 [FL] Fischer, W. u. I.Lieb. Funktionentheorie. Braunschweig/Wiesbaden 1992 [Fo] Forster, O. Algorithmische Zahlentheorie. Braunschweig/Wiesbaden 1996 [Fr] Frey, G. Elementare Zahlentheorie. Braunschweig/Wiesbaden 1984 [G] Gorenstein, D. Finite Simple Groups: An Introduction to Their Classi cation. New York 1982 [Kr] Krotenheerdt, O. Zur Theorie der Dreieckskonstruktionen. Eine vollstandige Aufzahlung aller unmoglichen Dreieckskonstruktionen aus Seiten, Winkeln, Hohen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden. Wiss. Zeitschrift Univ. Halle-Wittenberg 15 (1966), 677-700 [K] Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Boston-Basel-Stuttgart 1985 [M] Matzat, B. Konstruktive Galoistheorie. Springer Lect. Notes in Math. 1284 (1987) [N] Neukirch, J. Class Field Theory. Berlin-Heidelberg-New York-Tokio 1986 [P] Perron, O. Algebra II. Theorie der algebraischen Gleichungen. BerlinLeipzig 1927. [R] Ribenboim, P. The Book of Prime Number Records. New York-BerlinHeidelberg-London-Paris-Tokio 1988 [Sch] Schulz, R.-H. Codierungstheorie. Braunschweig/Wiesbaden 1991 [T1 ] Tropfke, J. Geschichte der Elementarmathematik. Band 1. Arithmetik und Algebra. 4. Au . Berlin 1980 [T4 ] | Band 4. Ebene Geometrie. 3. Au age. Berlin 1940 [vdW1 ] van der Waerden, B.L. Algebra I. Berlin-Heidelberg-New York 1971 [vdW2 ] | Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin-Heidelberg-New York-Tokio 1983 [vdW3 ] | A History of Algebra. Berlin-Heidelberg-New York 1985 [W] Wiles, A. Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem. Annals Math. 142 (1995) 443-551

249

Sachwortverzeichnis Abbildungsgruppe 127 Ableitung formale 102 hohere 103, 110 Abzahlbarkeit der Menge aller algebraischen Zahlen 24 der konstruierbaren Punkte 14, 60 Adjunktion in Korpern 8 in Ringen 80 sukzessive, von Quadratwurzeln 11 -, von Wurzeln 20 Algebra ane 81 assoziative 79 endlichen Typs 80 freie 79 freie alternierende 87 kommutative 79 algebraisch abgeschlossen 94 algebraische Abschlieung 29, 95 Dierentialrechnung 102 Geometrie 16, 81, 99 Gleichungen 18 Gleichungssysteme 16, 63, 99 Korpererweiterungen 25 Zahl 24 Zahlentheorie 29, 92 algebraischer Funktionenkorper 92 Zahlkorper 29, 92 algebraisches Element 24

Algebraisierung der Konstruktion mit Zirkel und Lineal 5 Algebrenhomomorphismus 79 Algorismus Ratisbonensis 48 allgemeine Gleichung n-ten Grades 122, 194 alternierende Gruppe 143 angeordneter Korper 100 Archimedisches Axiom 101 arithmetische Geometrie 17 assoziierte Elemente 35 au osbar durch Radikale 20, 192 au osbare Gleichung 168 Gruppe 150 Korpererweiterung 168 Automorphismengruppe einer Gruppe 153, 155, 156, 163 einer Korpererweiterung 111 eines Rings 116 Bahn einer Operation 129 Basissatz von Hilbert 66 Bestimmung der Galoisgruppe 115, 168, 177, 183, 187, 195 Bewertung 50 binomische Formel 52, 103 Bruchrechnungsregeln 48 Cardanosche Formeln 19 Charakter (linearer) 117 Charaktere der Galoisgruppe 178 Charaktergruppe 159 Charakteristik eines Rings 71 charakteristische Untergruppe 157 charakteristisches Polynom 31

250 chinesischer Restsatz 75 Cosinus 185

Sachwortverzeichnis

Elementarteiler 140 Endlichkeit der Losungsmenge algebraischer Delisches Problem der Gleichungen 63 Wurfelverdoppelung 3, 13, 15, 29, 59 endlich erzeugte Derivation 111, 188 abelsche Gruppe 139 Diagonale 164 Korpererweiterung 92 Diedergruppe 146, 161 endlich erzeugtes Ideal 65 diophantische Erweiterungskorper 24 Geometrie 17 Erzeugung Gleichung (lineare) 44 einer Algebra 80 direktes Produkt einer Korpererweiterung 92 von Gruppen 154 eines Ideals 65 von Ringen 76 eines Korpers 8 direkte Summe einer Untergruppe 154 von Gruppen 160 Euklidischer Dirichletscher Primzahlsatz 183 Algorithmus 43, 77, 172 disjunkte Ring 54, 81 Permutationen 141 Eulersche ' -Funktion 78, 86, 136, 181 Diskriminante 19, 124 exakte Sequenz 160 Division mit Rest 35 Exponent Divisionsalgorithmus 35 einer Gruppe 140, 159 Dreieckskonstruktionen 2, 12, 61 Dreiteilung des Winkels 3, 13, 29, faktorieller Ring 40 59 fast konstante Folge 84 Fehlstand 143 echter Teiler 36 Fermatpolynom 205 Einbettung 105 Fermatproblem 17 Einheit 33 Fermatsche Primzahl 176, 182 Einheitengruppe 33 Fermat-Test fur Primalitat 131 Einheitswurzeln 24, 136, 180 Fittingideale (-Invarianten) 87 Einheitswurzelkorper 180 Fixkorper 119 Einsetzungshomomorphismus 58 Fixpunkt einer Operation 128 Eisenstein formale Potenzreihen V -kriterium 56 Formel -polynom 57 binomische 52 elementarsymmetrische fur die Eulersche Funktionen (Polynome) 121 ' -Funktion 79

251 Fortsetzung von Homomorphismen 95, 105 freie abelsche Gruppe 138 freie Algebra 79 freie alternierende Algebra 87 Frobenius-Endomorphismus 103, 186 Fundamentalsatz der Algebra 18, 93, 98 Funktionenringe 34, 51, 85 Galois-Feld 186 Galoisgruppe 113 eines Polynoms 114 galoissche Hulle 167 Korpererweiterung 113 Galoistheorie 20, 113 unendliche 113 ganzabgeschlossen 91 ganze Abschlieung 91 algebraische Zahl 88 Funktion 52 Gausche Zahl 54 Ringerweiterung 88 ganzes Element 88 Ganzheitsgleichung 91 Gausche Zahlen 54, 82 Zahlenebene 5 Gauscher Satz uber irreduzible Polynome 58 Gewicht eines Polynoms 61 Gleichheit von Bruchen 48 Grad einer Korpererweiterung 25 eines Elements 25 eines Polynoms V, 55

Gradformel 27 Gradkoezient V groter gemeinsamer Teiler 42 Gruppe alternierende 143 au osbare 150 einfache 144 endlich erzeugte abelsche 139 freie abelsche 138 lokal zyklische 157 nilpotente 163 symmetrische 127, 141 torsionsfreie abelsche 157 zerlegbare 159 zyklische 134 Gruppenautomorphismus 153 homomorphismus 153 isomorphismus 153 Gruppentafel 153 Halbgruppe numerische 55 Hauptideal, Hauptidealring 65 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 33, 40 der der Galoistheorie 117 fur abelsche Gruppen 136, 138, 148 uber symmetrische Funktionen 120 Heisenberg-Gruppe 166 Hilbertscher Basissatz 66, 81 Nullstellensatz 88, 92, 98, 101 holomorphe Funktionen 52 homogenes Polynom 101 Homomorphiesatz fur Gruppen 132 fur Moduln 212

252 fur Ringe 70 Ideal 64 beidseitiges (zweiseitiges) 64 maximales 73 primares 85 idempotentes Element 82 Index 130 induzierter Homomorphismus auf dem Restklassenring 69 auf der Restklassengruppe 132 innerer Automorphismus 128 inseparable Korpererweiterung 105 inseparables Element 105 Polynom 104 Integritatsring 33 invariante Faktoren 140 invertierbares Element 33 involutorischer Automorphismus 9 Irrationalzahl 52 Irreduzibilitatskriterien 56 irreduzibles Element 36 Polynom 36 Isotropiegruppe 119, 128 kanonische Abbildung auf den Restklassenring 68 auf die Restklassengruppe 132 in den Quotientenring 47 von Z in einen Ring mit Eins 70 Kern eines Gruppenhomomorphismus 153 Ringhomomorphismus 64 Klassengleichung 131 Klassi kationssatz fur

Sachwortverzeichnis endliche einfache Gruppen 145 Kleiner Fermatscher Satz 130 Kleinsche Vierergruppe 154 kleinstes gemeinsames Vielfaches 42 Kodierungstheorie 187 Kongruenz modulo einem Ideal 67 einem Normalteiler 132 Kommutator, Kommutatorgruppe 155 Komplement einer Untergruppe 162 Konjugation 128 Konjugationsklasse 130 Konjugierte eines Elements 115 eines Teilkorpers 167 einer Untergruppe 130 konstantes Glied eines Polynoms V Konstruktion der Restklassengruppe 132 des Quotientenrings 48 des regularen 5-Ecks 13 des regularen 7-Ecks 21 des regularen n-Ecks 4, 13, 30, 61, 181 des Restklassenrings 67 mit dem Lineal allein 14 mit Hilfe einer gezeichneten Parabel 21 Korper angeordneter 100 aller algebraischen Zahlen 29 der rationalen Funktionen 59, 63, 99, 100, 110, 116, 121, 124, 178, 193, 195 der symmetrischen Funktionen 121 vollkommener 108

253 Korpererweiterung 24 abelsche 167 algebraische 25 au osbare 167 einfache 25 endliche 28 endlich erzeugte 92 galoissche 113 inseparable 105 metazyklische 173 normale 112 p-metazyklische 173 rein inseparable 109 separable 105 transzendente 25 von endlichem Typ 92 zyklische 167 Korperkompositum 31, 166, 173 Kreisteilungskorper 180 polynom 181 kubische Resolvente 19 Kummertheorie 194 Kurzungsregel 33, 73 Lagrangesche Resolvente 192 Linkshauptideal 65 ideal 64 nebenklasse 130 translation 128 lokaler Ring 83 Matrizenringe 51, 81, 85, 188 Maximalbedingung fur Ideale 66, 75 spektrum 73 maximale Untergruppe 157, 158, 160

mehrfache Nullstellen 102, 109 metazyklische Korpererweiterung 174 Minimalpolynom 25 Mobiusfunktion 53 multiplikativ abgeschlossen 46, 73 Multiplizitat von Wurzeln 94 Nenner 48 Nennermenge 47 nilpotente Gruppe 163 nilpotentes Element 52, 81 Noethersche Rekursion 38 Noetherscher Ring 65 Isomorphiesatz 73, 134 Norm einer endlichen Korpererweiterung 32, 54, 110, 189 normale Hulle 113 Korpererweiterung 112 Normalisator 129 Normalteiler 153 Nullteiler 33 numerische Halbgruppe 55 Operation durch Konjugation 128 durch Linkstranslation 128 einer Gruppe auf einer Menge 127 transitive 129 treue 127 Ordnung bzgl. eines Primelements 42 einer Gruppe 111 eines Elements einer Gruppe 135

254 Ordnungsfunktion 50 Parameterdarstellung der pythagoraischen Zahlentripel 53 Pellsche Gleichung 203 Permutation gerade, ungerade 143 Permutationsdarstellung 128 gruppe 127, 141 p-Gruppe 147, 150 Platonische Akademie 176 Polarkoordinaten 6 Polynomalgebra 79 division 35 Polynomring V Prasentation einer Algebra 80 Primelement 38 ideal 73 korper 8, 71 ring 70 zahl VI Primelementzerlegung 39, 42 prime Restklassengruppe 78, 181 primitive n-te Einheitswurzel 136, 180 primitives Element einer Korpererweiterung 171 einer zyklischen Gruppe 135 Primzahltabelle 51 Primzahlzwillinge 55 Produktregel 102 p-Sylowuntergruppe 148 p-Torsion 148, 162 Pythagoraische Zahlentripel 53

Sachwortverzeichnis quadratisch abgeschlossene Teilkorper 8 quadratische Reste 190 Quadratisches Reziprozitatsgesetz 191 Quadratur des Kreises 4, 13, 30, 125 Quadriken 205 Quaternionengruppe 165 schiefkorper 165 Quotientenring 47 voller 49 Quotientenkorper 49 Radikale 20 Radikal eines Ideals 82 Radikalerweiterung 20 Rang einer (freien) abelschen Gruppe 138, 140 rationaler Funktionenkorper 99 Rechtsideal 64 nebenklasse 129 translation 128 Reduktion der Koezienten eines Polynoms 57, 75 regulare Darstellung 31 reine Gleichung 192 reines Polynom 115 rein inseparabel 109 Relationenmatrix 87 modul 87 Resolvente kubische 19 Lagrangesche 192 Restklasse 68

255 Restklassenalgebra 79 gruppe 131 ring 68 Riemannscher Hebbarkeitssatz 202 Ring V euklidischer 54 faktorieller 40 ganzabgeschlossener 91 lokaler 84 noetherscher 65 Ringadjunktion 80, 92 homomorphismus V, 57, 64, 88 Satz vom primitiven Element 171 von Cauchy 147 von der arithmetischen Progression 183 von Feit-Thompson 153 von Galois uber Polynome vom Primzahlgrad 196 von Gau uber irreduzible Polynome 58 von Jordan-Holder 152 Satze von Sylow 147 Schiefkorper 71 semidirektes Produkt 157 separabel abgeschlossen 189 separable Abschlieung 107 Korpererweiterung 105 separables Element 105 Polynom 104 Separabilitatsgrad 107 Signum einer Permutation 143

simultane Kongruenzen 75 Sinus 185 Spektrum eines Rings 73 Spur 32, 110, 124, 189 stereographische Projektion 199 Strukturhomomorphismus einer Algebra 79 Summe von Idealen 76 Sylowuntergruppe 148 Symmetriegruppe 146 symmetrische Funktion 121 Gruppe 127, 141 Teilbarkeit 33 Teiler 35 echter 36 groter gemeinsamer 42 teilerfremde Elemente 43 Ideale 76 Teilerkette 37 Teilerkettensatz fur Elemente 37, 52 fur Ideale 66 Torsion 157 torsionsfrei 140 transitive Operation 129 Transitivitat der Ganzheit 91 der Separabilitat 107 Transposition 141 transzendente Korpererweiterung 25 Zahl 24 transzendentes Element 24 Transzendenz von 30, 125

256 treue Operation 127 Tschirnhausen-Transformation 18 Umkehrproblem der Galoistheorie 167, 183 universelle Eigenschaft der Polynomalgebra 80 des Restklassengruppe 131 des direkten Produkts 154 des Quotientenrings 47 des Restklassenrings 69 Unteralgebra 79 Untergruppe charakteristische 157 maximale 156, 157, 158, 160, 164 zyklische 135 Untergruppenkriterium 153

Sachwortverzeichnis Weierstrascher Produktsatz 202 Wilsonscher Satz 187 Wurzel eines Polynoms 94 mehrfache 102

Zahl algebraische 24 ganze algebraische 88 Gausche 54 transzendente 24 Zahler 48 Zentralisator 129 Zentrum 129 Zerfallungskorper 97 Zerlegbarkeit von Gruppen 138, 159 ZPE-Ring 40 Zornsches Lemma 75, 95, 148 Zwischenkorper 27, 95, 117, 171 Variablentransformation 57 Zyklenzerlegung 142 Verdoppelung des Wurfels 3,13,15,29,59 Zyklische Gruppe 134 Vielfaches 35 Zyklus 141 kleinestes gemeinsames 42 Vielfachheit einer Wurzel 94 vollkommener Korper 108

257

Symbolindex N = f0; 1; 2; : : : g N + = f1; 2; : : : g Z Q R R+ C :=

= jM j M nN K E (R) ajb ajjb ab

ggT kgV R[X ]; R[X1 ; : : : ; Xn ] deg f RN Q(R) R=I

Spec Max (a1 ; : : : ; an) [L : K ] SpL=K NL=K G(L=K ) GZ LU

Fq '(n) n

Menge der ganzen Zahlen | rationalen Zahlen | reellen Zahlen | reellen Zahlen > 0 | komplexen Zahlen ist de niert durch kongruent isomorph Elementezahl der Menge M Komplementarmenge von N in M multiplikative Gruppe eines Korpers K Einheitengruppe eines Rings R a teilt b a ist echter Teiler von b a und b sind assoziiert groter gemeinsamer Teiler kleinstes gemeinsames Vielfache Polynomring uber R Grad des Polynoms f Quotientenring zur Nennermenge N voller Quotientenring, Quotientenkorper Restklassenring Spektrum Maximalspektrum Ideal (oder Untergruppe), erzeugt von a1 ; : : : ; an Korpergrad Spur Norm Automorphismengruppe (Galoisgruppe) Isotropiegruppe von Z Fixkorper von U Korper mit q Elementen Eulersche ' {Funktion n {tes Kreisteilungspolynom

258

L

jGj

ord(x) [G : U ]

cg Z (M ) Z (G) N (U ) [a; b] = aba 1 b 1 [G; G]

Zn sign

Zeichen fur direkte Summe Ordnung der Gruppe G Ordnung des Gruppenelements x Index von U in G Konjugation mit g Zentralisator von M Zentrum der Gruppe G Normalisator einer Untergruppe U Kommutator Kommutatorgruppe zyklische Gruppe der Ordnung n Signum einer Permutation

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