Zuverlässigkeit im Fahrzeug- und Maschinenbau: Ermittlung von Bauteil- und System-Zuverlässigkeiten, 3. Auflage

Bernd Bertsche Gisbert Lechner Zuverlassigkeit im Fahrzeug- und Maschinenbau

Springer Berlin Heidelberg New York Hongkong London

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Bernd Bertsche Gisbert Lechner

und Maschinenbau Ermittlung von Bauteilund System-Zuverlassigkeiten 3., iiberarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 344 Abbildungen

Q - Springer

Professor Dr. Bernd Bertsche Universitat Stuttgart Institut fiir Maschinenelemente Pfaffenwaldring 9 70569 Stuttgart e-mail: [email protected]

Gisbert Lechner

ISBN 3-540-20871-2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

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Vorwort zur 3. Auflage

Seit dem Erscheinen der 1. Auflage sind inzwischen 14 Jahre vergangen, so dass eine Überarbeitung und Erweiterung notwendig erschien. Nach wie vor ist festzustellen, dass im Maschinenbau und in der Fahrzeugindustrie bei zunehmendem Einsatz der Elektronik immer komplexere Produkte entwickelt werden. Dieser Trend zu immer leistungsfähigeren, komplexeren und doch wirtschaftlichen Produkten ist auch verbunden mit höheren Anforderungen an die Produktzuverlässigkeit. Während sich früher „zuverlässige“ Produkte vor allem durch die Qualität der Konstruktion und der Fertigung kritischer Bauteile ergaben, müssen heute bereits in der Entwicklungsphase umfassende Zuverlässigkeitsbetrachtungen am ganzen System durchgeführt werden. Nach wie vor sieht der Kunde die Bedeutung der Zuverlässigkeit an erster oder zweiter Stelle. Damit handelt es sich bei der Zuverlässigkeit um ein Top-Thema des Produkts und es verwundert sehr, dass es im Entwicklungsalltag nicht als das Thema mit der höchsten Priorität gesehen wird. Gleichzeitig hat sich von 1992 bis 2002 die Anzahl der Rückrufaktionen fast verdreifacht! Es besteht somit zunehmender Bedarf an Zuverlässigkeitsmethodik, die sinnvollerweise alle Phasen des Produktlebenszyklus umfassen sollte. Diese Situation und der gestiegene Bedarf an Zuverlässigkeitsanalysen und -methoden veranlasste uns zu einer eingehenden Betrachtung und Erweiterung von Theorie und Praxis der vorhandenen Zuverlässigkeitsarbeit. Die Praxiserfahrung wurde mit einer wissenschaftlichen Vorgehensweise verknüpft und es wurden und werden verschiedene Forschungsprojekte und Industrieaufträge durchgeführt. Die Folge hiervon waren zahlreiche Seminare bei Firmen und Weiterbildungseinrichtungen. Das vorliegende Buch entstand auf diesen Grundlagen. Es ist sowohl als eine Einführung in die Zuverlässigkeitstheorie für Ingenieure des Fahrzeug- und Maschinenbaus gedacht, als auch als Nachschlage- und Vertiefungswerk für bereits praktisch tätige Zuverlässigkeitsspezialisten. Besonderer Wert wurde bei der Erstellung der Kapitel auf gute Verständigkeit und Anschaulichkeit des Stoffes gelegt. Gegenüber der 1. und 2. Auflage erfolgte eine Überarbeitung der bisherigen Kapitel und eine Erweiterung um zahlreiche neue Themen. Gleichzeitig wurden auch zur vertieften Einarbeitung Übungsaufgaben mit Lösungen aufgenommen.

VI

Vorwort zur 3. Auflage

Während der Arbeit an der 3. Auflage dieses Buches verstarb völlig unerwartet der Mitautor Prof. Dr.-Ing. Gisbert Lechner. Prof. Lechner ist nicht nur als Mitautor, sondern als Begründer des Forschungs- und Lehrgebiets Zuverlässigkeitstechnik am Institut für Maschinenelemente anzusehen. Neben meiner fachlichen Ausbildung habe ich ihm auch persönlich sehr viel zu verdanken. Sein überraschender Tod hat mich sehr betroffen gemacht. Dieses Buch sehe ich ausdrücklich als Würdigung seiner Verdienste um die Zuverlässigkeitstechnik an. Das vorliegende Buch wäre nicht ohne die Mithilfe zahlreicher Personen entstanden. Mein besonderer Dank gilt hier Frau Dr.-Ing. Heydrun Schröpel und Frau Dipl.-Ing. Monika Trost. Beide haben durch ihre große organisatorische Unterstützung, durch ihre wertvolle Kritik und durch ihre redaktionelle Arbeit dieses Buch ermöglicht und mitgestaltet. Bei der Ausarbeitung der einzelnen Kapitel haben mitgewirkt: Frau Dipl.-Ing. M. Trost (Kap. 2, Kap. 5 und Kap. 7), Frau Dipl.-Ing. B. Rzepka (Kap. 3), Herr Dipl.-Ing. P. Müller und Herr Dipl.-Ing. K. Pickard (Kap. 4), Herr Dipl.-Ing. P. Jäger (Kap. 5), Frau Dipl.-Ing. M. Krolo (Kap. 6), Herr Dipl.-Ing. T. Hitziger und Frau Dipl.-Ing. A. Krolo (Kap. 8), Herr Dipl.-Ing. M. Maisch (Kap. 9), Herr Dipl.-Ing. P. Pozsgai und Herr Dr.-Ing. A. Fritz (Kap. 10) und Herr Dipl.-Ing. M. Wacker (Kap. 11). Bei allen möchte ich mich für das große Engagement bedanken. Zu bedanken habe ich mich auch bei cand. mach. Thomas Müller, der durch die Ausarbeitung von Bildern, bei der Erstellung des Textlayouts und bei der kritischen Durchsicht einzelner Artikel einen großen Beitrag zur Erstellung des Buches geleistet hat. Dem Springer-Verlag ist für die gute Zusammenarbeit ebenso zu danken wie unseren Familien für das Verständnis und die Unterstützung.

Stuttgart, im Frühjahr 2004

B. Bertsche

Inhalt

1 Einleitung.................................................................................................. 1 2 Grundlagen quantitativer Methoden ....................................................... 7 2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ......... 9 2.1.1 Statistische Beschreibung und Darstellung des Ausfallverhaltens................................................................. 9 2.1.2 Statistische Maßzahlen...................................................... 28 2.1.3 Zuverlässigkeitskenngrößen.............................................. 30 2.1.4 Definition der Wahrscheinlichkeit .................................... 34 2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung ....... 36 2.2.1 Normalverteilung .............................................................. 37 2.2.2 Exponentialverteilung ....................................................... 39 2.2.3 Weibullverteilung.............................................................. 41 2.2.4 Logarithmische Normalverteilung .................................... 56 2.2.5 Weitere Verteilungen ........................................................ 59 2.3 Berechnung der Systemzuverlässigkeit mit der Booleschen Theorie.......................................................................................... 78 2.4 Übungsaufgaben zu Lebensdauerverteilungen............................. 83 2.5 Übungsaufgaben zu Systemberechnungen ................................... 87 3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes........................... 92 3.1 Systemanalyse .............................................................................. 94 3.1.1 Ermittlung der Systembauelemente .................................. 94 3.1.2 Ermittlung der Systemelemente ........................................ 96 3.1.3 Klassifizierung der Systemelemente ................................. 96 3.1.4 Ermittlung der Zuverlässigkeitsstruktur............................ 98 3.2 Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeiten ...................... 99 3.3 Berechnung der Systemzuverlässigkeit ...................................... 102 4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse........................ 106 4.1 Grundlagen und Allgemeines zur FMEA-Methodik .................. 107 4.2 FMEA nach VDA 86 (Formblatt-FMEA) .................................. 110 4.3 Beispiel einer Konstruktions-FMEA nach VDA 86................... 116 4.4 FMEA nach VDA 4.2................................................................. 119

VIII

Inhalt

4.4.1 Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur............... 125 4.4.2 Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur .................. 128 4.4.3 Schritt 3: Fehleranalyse................................................... 130 4.4.4 Schritt 4: Risikobewertung.............................................. 137 4.4.5 Schritt 5: Optimierung..................................................... 143 4.5 Beispiel einer System-FMEA Produkt nach VDA 4.2 ............... 146 4.5.1 Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur des Anpassungsgetriebes ....................................................... 147 4.5.2 Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur des Anpassungsgetriebes ....................................................... 149 4.5.3 Schritt 3: Fehlfunktionen und Fehlfunktionsstruktur des Anpassungsgetriebes................................................. 150 4.5.4 Schritt 4: Risikobewertung des Anpassungsgetriebes..... 151 4.5.5 Schritt 5: Optimierung des Anpassungsgetriebes............ 152 4.6 Beispiel einer System-FMEA Prozess nach VDA 4.2 ............... 153 4.6.1 Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle ........................... 153 4.6.2 Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle ........................... 155 4.6.3 Schritt 3: Fehlfunktionen und Fehlfunktionsstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle..................... 155 4.6.4 Schritt 4: Risikobewertung des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle ............................................................ 158 4.6.5 Schritt 5: Optimierung des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle ............................................................ 158 5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)................................. 160 5.1 Allgemeine Vorgehensweise bei der FTA.................................. 161 5.1.1 Ausfallarten ..................................................................... 162 5.1.2 Symbolik ......................................................................... 162 5.2 Qualitative Fehlerbaumanalyse .................................................. 163 5.2.1 Qualitative Ziele.............................................................. 163 5.2.2 Prinzipieller Aufbau ........................................................ 164 5.2.3 Vergleich zwischen FMEA und FTA.............................. 166 5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse ................................................ 168 5.3.1 Quantitative Ziele............................................................ 168 5.3.2 Boolesche Modellbildung ............................................... 168 5.3.3 Anwendung auf Systeme................................................. 173 5.4 Zuverlässigkeitsgraph................................................................. 178 5.5 Beispiele ..................................................................................... 179 5.5.1 Zahnflankenriss ............................................................... 179 5.5.2 Fehlerbaumanalyse einer Wellendichtung ...................... 182

Inhalt

IX

5.6 Übungsaufgaben zur Fehlerbaumanalyse................................... 186 6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken ........ 190 6.1 Planung von Lebensdauerversuchen .......................................... 191 6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen ............................................ 193 6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten................................... 202 6.3.1 Ermittlung der Weibullgeraden (zweiparametrige Weibullverteilung) ............................. 203 6.3.2 Berücksichtigung der Vertrauensbereiche ...................... 206 6.3.3 Berücksichtigung der ausfallfreien Zeit t0 (dreiparametrige Weibullverteilung)............................... 210 6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten................. 214 6.4.1 Zensorisierung Typ I und Typ II ..................................... 216 6.4.2 Multiple Zensorisierung .................................................. 218 6.4.3 Sudden-Death-Test.......................................................... 219 6.5 Vertrauensbereiche bei niedrigen Summenhäufigkeiten ............ 236 6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen.......................................................... 238 6.6.1 Momentenmethode.......................................................... 238 6.6.2 Regressionsanalyse ......................................................... 241 6.6.3 Maximum-Likelihood Methode ...................................... 246 6.7 Übungsaufgaben zur Auswertungen von Lebensdauerversuchen.................................................................................... 250 7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente .................................. 255 7.1 Formparameter b ........................................................................ 256 7.2 Charakteristische Lebensdauer T................................................ 259 7.3 Ausfallfreie Zeit t0 bzw. Faktor ftB .............................................. 262 8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung ........................................ 264 8.1 Testplanung auf Basis der Weibullverteilung ............................ 265 8.2 Testplanung auf Basis der Binomialverteilung .......................... 267 8.3 Lebensdauerverhältnis................................................................ 268 8.4 Verallgemeinerung für Ausfälle während des Tests................... 272 8.5 Berücksichtigung von Vorkenntnissen (Bayes-Methode) .......... 274 8.5.1 Verfahren nach Beyer/Lauster ........................................ 274 8.5.2 Verfahren nach Kleyner et al. ......................................... 277 8.6 Beschleunigte Lebensdauerprüfung ........................................... 281 8.6.1 Raffung............................................................................ 281 8.6.2 Step-Stress-Methode ....................................................... 283 8.6.3 HALT (Highly Accelerated Life Testing)....................... 284 8.6.4 Degradation Test ............................................................. 286

X

Inhalt

8.7 Übungsaufgaben zur Zuverlässigkeitstestplanung ..................... 287 9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen....... 290 9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit.... 292 9.1.1 Statische und dauerfeste Auslegung................................ 292 9.1.2 Zeitfestigkeit und Betriebsfestigkeit ............................... 297 9.2 Belastung .................................................................................... 301 9.2.1 Ermittlung der Betriebsbelastung.................................... 302 9.2.2 Das Lastkollektiv ............................................................ 307 9.3 Die ertragbare Belastung, Wöhlerkurven ................................... 319 9.3.1 Spannungs- und dehnungskontrollierte Wöhlerkurven... 320 9.3.2 Ermittlung der Wöhlerlinien ........................................... 321 9.4 Lebensdauerberechnung ............................................................. 324 9.4.1 Schadensakkumulation.................................................... 324 9.4.2 Zweiparametrige Schädigungsrechnung ......................... 329 9.4.3 Nennspannungskonzept und örtliches Konzept .............. 331 9.5 Zusammenfassung ...................................................................... 333 10 Berechnung reparierbarer Systeme..................................................... 337 10.1 Grundlagen der Instandhaltung .................................................. 337 10.1.1 Instandhaltungsmaßnahmen ............................................ 338 10.1.2 Instandhaltungsebenen .................................................... 341 10.1.3 Reparaturprioritäten ........................................................ 342 10.1.4 Kapazitäten der Instandhaltung....................................... 342 10.1.5 Instandhaltungsstrategien ................................................ 345 10.2 Lebenslaufkosten........................................................................ 346 10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen ....................................................... 350 10.3.1 Der Zustandsverlauf ........................................................ 350 10.3.2 Instandhaltungskenngrößen............................................. 352 10.3.3 Verfügbarkeitskenngrößen.............................................. 355 10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme ........................ 359 10.4.1 Periodisches Instandhaltungsmodell ............................... 360 10.4.2 Markov-Modell ............................................................... 365 10.4.3 Boole-Markov-Modell .................................................... 374 10.4.4 Gewöhnliche Erneuerungsprozesse................................. 375 10.4.5 Alternierende Erneuerungsprozesse................................ 380 10.4.6 Semi-Markov-Prozesse ................................................... 389 10.4.7 Systemtransporttheorie.................................................... 391 10.4.8 Vergleich der Berechnungsmodelle ................................ 396 10.5 Beispiel: Simulation einer bestandsabhängigen Lagerhaltung ... 397 10.5.1 Das Programm SPAR...................................................... 397 10.5.2 Szenario........................................................................... 397

Inhalt

XI

10.5.3 Die Simulation mit SPAR ............................................... 398 10.6 Übungsaufgaben zu reparierbaren Systemen ............................. 403 10.6.1 Kurzfragen ...................................................................... 403 10.6.2 Berechnungsaufgaben ..................................................... 405 11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm ................................................ 411 11.1 Einleitung ................................................................................... 411 11.2 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm ........................................ 413 11.2.1 Produktdefinition............................................................. 413 11.2.2 Produktgestaltung............................................................ 414 11.2.3 Produktion und Nutzung ................................................. 418 11.2.4 Allgemeine Aktivitäten ................................................... 419 11.3 Zusammenfassung ...................................................................... 419 Lösungen.................................................................................................. 421 Anhang..................................................................................................... 475 Sachverzeichnis ....................................................................................... 491

1 Einleitung „Es ist unmöglich, alle Fehler zu vermeiden“ „Natürlich bleibt es unsere Aufgabe, Fehler nach Möglichkeit zu vermeiden“ Sir Karl R. Popper

Im allgemeinen Sprachgebrauch ist der Begriff Zuverlässigkeit sehr gebräuchlich. Er wird dabei mit der Funktionsfähigkeit eines Produkts in Zusammenhang gebracht. Erfüllt ein Produkt seine Funktionen jederzeit und unter allen Bedingungen, so spricht man von einem sehr zuverlässigen Produkt. Bekannte Definitionen unterscheiden sich hiervon recht wenig, es erfolgt nur eine Erweiterung um den Begriff der Wahrscheinlichkeit: Zuverlässigkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Produkt während einer definierten Zeitdauer unter gegebenen Funktions- und Umgebungsbedingungen nicht ausfällt (VDI-Richtlinie 4001). Der Wahrscheinlichkeitsbegriff berücksichtigt, dass das vielfältige Ausfallgeschehen von zufälligen, stochastisch verteilten Ursachen ausgeht und sich nur mit Wahrscheinlichkeiten quantitativ beschreiben lässt. Die Zuverlässigkeit erfasst somit das Ausfallverhalten eines Produkts und ist deshalb neben den Funktionseigenschaften ein wichtiges Kriterium zur Produktbeurteilung. Werden Kunden nach der Bedeutung von Produkteigenschaften befragt, so erscheint die Zuverlässigkeit meist an erster Stelle, s. Abb. 1.1. Nur gelegentlich erscheint sie auf Platz 2, falls die Produktkosten als wichtiger angesehen werden. Damit handelt es sich bei der Zuverlässigkeit um ein Top-Thema des Produkts und es verwundert sehr, dass es im Entwicklungsalltag nicht als das Thema mit der höchsten Priorität gesehen wird. Zuverlässigkeit Kraftstoffverbrauch Kaufpreis Aussehen Serienausstattung Reparatur- / Wartungskosten Wiederverkaufswert Kundendienstnetz Lieferzeit Prestigewert Guter Preis bei Inzahlung nahme des Vorwagens

Bewertung auf einer Skala von 1 (= sehr wichtig) bis 4 (= unwichtig)

1,3 1,6 1,6 1,6 1,7 1,7 2,0 2,0 2,0

2,3 2,6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Abb. 1.1. Kaufkriterien beim Autokauf (DAT-Verdol-Report 2002)

3,5

4

2

1 Einleitung

Anzahl Rückrufe

Kundenbefragungen spiegeln die Wunschvorstellungen wieder. Wie sieht nun die Realität aus? Die Firmen halten sich verständlicherweise mit Aussagen zu ihrer Produktzuverlässigkeit sehr zurück. Niemand redet gerne über mangelnde Zuverlässigkeiten. Oft unterliegen derartige Aussagen einer strikten Geheimhaltung. Eine interessante amtliche Angabe findet sich beim Kraftfahrt-Bundesamt zur Anzahl der Rückrufaktionen wegen sicherheitskritischer Mängel in der Automobilindustrie: innerhalb von zehn Jahren hat sich die Anzahl von 37 (1992) auf 115 (2002) fast verdreifacht, s. Abb. 1.2. Die damit verbundenen Kosten sind sogar um den Faktor acht gestiegen! Bekannt ist auch, dass die Garantie- und Kulanzkosten in der Größenordnung des Gewinns einer Firma liegen (bei manchen auch deutlich darüber) und somit etwa 8 bis 12 Prozent des Umsatzes erfordern. Das für die Produktentwicklung wichtige Dreieck aus Kosten-Zeit-Qualität ist damit deutlich aus dem Gleichgewicht geraten. Die unbestritten erreichten Kostenreduzierungen bei Produkt und im Entwicklungsprozess und die erzielten Entwicklungszeitverkürzungen gehen einher mit einer verringerten Zuverlässigkeit. 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

113 94 82 57

52

62 50

85

58

35

1992 1993 1994 1995 1996

1997 1998 1999 2000 2001

Abb. 1.2. Entwicklung der KfZ-Rückrufaktionen (Statistik des KraftfahrtBundesamtes); „Steigerung der Schadensaufwendungen um 800% innerhalb der letzten 10 Jahre“ (Marsh, Leiter Automotive Deutschland, Beratungsdienstleister für Risiko- und Versicherungsmanagement)

Die Entwicklung moderner Produkte ist heute konfrontiert mit steigenden Funktionsanforderungen, einer höheren Komplexität, der Vernetzung von Hardware, Software und Sensorik und mit verringerten Produkt- und Entwicklungskosten. Diese und einige weitere Einflüsse auf die Zuverlässigkeit zeigt Abb. 1.3. In diesem schwierigen Umfeld kann die Systemzuverlässigkeit nur durch zusätzliche Maßnahmen sichergestellt werden.

1 Einleitung Minimierung von Fehlerkosten

3

Höhere Komplexität Größere Funktionalität

Kürzere Entwicklungszeit

System / Produkt mit Mechanik / Werkstofftechnik, Elektronik, Sensorik und Software in Makro- oder Mikrotechnik Verringerte Entwicklungskosten

Steigende Produkthaftung

Gestiegene Kundenanforderungen

Abb. 1.3. Allgemeine Einflüsse auf die Zuverlässigkeit

Qu a lita tiv

Zum Erreichen einer hohen Kundenzufriedenheit muss die Systemzuverlässigkeit während des gesamten Produktentstehungsprozesses so gesehen werden, wie der Kunde dies tut: als Top-Thema. Hierzu müssen geeignete organisatorische und inhaltliche Maßnahmen umgesetzt werden. Sehr wichtig ist, alle Bereiche entlang der Entwicklungskette mit einzubeziehen: Fehler entstehen in allen Phasen. Das methodische Handwerkszeug, seien es quantitative oder qualitative Ansätze, ist ausreichend vorhanden und bedarf nur punktuell einer Verbesserung. Es gilt, die Methoden situationsgerecht entlang des gesamten Produktlebenslaufs sehr sorgfältig auszuwählen, aufeinander abzustimmen und konsequent umzusetzen, s. Abb. 1.4.

- Erfahrungswissen LastenLa s te nhheft e ft

- ... Zeit

Qu a n tita tiv

Planung

Zuverlässigkeitsziele

Konzeption

- Unscharfe Daten - Berechnungen

- ABC- Analyse - Design Review - FMEA - FTA - ....

-Qualitäts- Felddaten management sammeln - Audits

- Frühwarnindikator

-....

Q

- Recyclingpotential - ....

- ....

Kunden- WiederAusEntwurf arbeitung Fertigung einsatz verwendung - Weibull, Exponential... - Versuchsplanung - Boolesche Theorie - Markov Modell - FTA - ....

- Statistische Prozessplanung - ...

- Felddaten- - Restlebensauswertung dauer - ......

Abb. 1.4. Zuverlässigkeitsmethoden im Produktlebenszyklus

- ....

4

1 Einleitung

Einige Firmen zeigen damit heute bereits, dass Produkte mit einer sehr hohen Systemzuverlässigkeit erreichbar sind. Der Nutzen von Zuverlässigkeitsanalysen ist umso höher je früher ihr Einsatz erfolgt. Die bekannte “Rule of Ten“ zeigt dies recht eindringlich, s. Abb. 1.5. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass von einem Reaktionszwang in späten Phasen (z.B. Rückrufaktionen) zu präventiven, frühzeitigen Maßnahmen übergegangen werden muss. Fehlerverhütung Aktionschance

Fehlerentdeckung Reaktionszwang

Kosten pro Fehler

100,00.-

10,00.0,10.-

1,00.-

Entwicklung

Produktion

Feld

Abb. 1.5. Beziehung zwischen Fehlerkosten und Produktlebensphase

Am einfachsten lässt sich die Zuverlässigkeit eines Produkts im Nachhinein anhand der festgestellten Ausfälle bestimmen. Wie bereits vorstehend erwähnt ist die weitaus bessere und zunehmend geforderte Möglichkeit jedoch, bereits in der Entwicklungsphase die erwartete Zuverlässigkeit zu ermitteln. Mit entsprechenden Zuverlässigkeitsanalysen können dabei die Produktzuverlässigkeit prognostiziert, vorhandene Schwachstellen erkannt und bei Bedarf eine Vergleichsstudie durchgeführt werden, s. Abb. 1.6. Bei den Zuverlässigkeitsanalysen lassen sich quantitative oder qualitative Methoden einsetzen. Die quantitativen Methoden verwenden Begriffe und Verfahren aus der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Kapitel 2 werden deshalb die wichtigsten Grundbegriffe aus der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt. Zudem werden die bekanntesten Lebensdauerverteilungen vorgestellt und erläutert. Sehr ausführlich wird hier auf die im Maschinenbau häufig verwendete Weibullverteilung eingegangen.

1 Einleitung

5

Sicherstellung der Systemzuverlässigkeit Konstruktiv:

Analytisch:

Optimaler Konstruktionsprozeß mit ausgereiften Konstruktionsmethoden und -verfahren

Ermittlung bzw. Prognose der Zuverlässigkeit durch Zuverlässigkeitsmethoden und anschließender Optimierung Ziele: - Prognose der Zuverlässigkeit - Erkennung von Schwachstellen - Durchführung von Vergleichsstudien

quantitativ ••genaues genauesund undvollvollständiges ständigesLastenLastenheft heft • gesicherte • gesicherte Berechnung mit Berechnung genau erfaßtenmit Lastgenau erfaßten Lastkollektiven kollektiven • bewährte •Konstruktionsbewährte Konstruktionsrichtlinien richtlinien und um• frühzeitige •fassende frühzeitige und umErprobung fassende Erprobung ••......

• Berechnung der voraussagbaren Zuverlässigkeit • Ausfallratenanalyse • Probabilistische Zuverlässigkeitsanalyse • ..... Methoden: - Boole - Markoff - FTA - ....

qualitativ • Systematische •Untersuchung Systematische der Untersuchungvon der Auswirkungen Auswirkungen von Fehlern und Ausfällen Fehlern und Ausfällen • Ausfallartenanalyse Ausfallartenanalyse • •..... • ..... Methoden: - Methoden: FMEA/FMECA FMEA/FMECA - -FTA FTA - -Ereignisablauf-analyse Ereignisablaufanalyse - Checklisten Checklisten - -....

Abb. 1.6. Sicherstellung von Systemzuverlässigkeiten

Das Kapitel 3 zeigt am Beispiel eines einfachen Zahnradgetriebes eine komplette Zuverlässigkeitsanalyse. Die beschriebene Vorgehensweise basiert auf den Grundlagen und Methoden die im vorstehenden Kapitel beschrieben wurden. Die bekannteste qualitative Zuverlässigkeitsmethode ist die FMEA (Failure Mode and Effects Analysis). Im Kapitel 4 werden die wesentlichen Inhalte nach dem aktuellen Standard der Automobilindustrie (VDA 4.2) dargestellt. Sowohl qualitativ als auch quantitativ lässt sich die Fehlerbaumanalyse einsetzen, die in Kapitel 5 beschrieben wird. Einen Schwerpunkt des Buches bilden die Auswertung von Lebensdauerversuchen und Schadensstatistiken, die in Kapitel 6 behandelt werden. Mit diesen Auswertungen können allgemein gültige Aussagen über das Ausfallverhalten gewonnen werden. Als Lebensdauerverteilung wird die Weibullverteilung verwendet, die im Maschinenbau die gebräuchlichste Verteilung ist. Neben der grafischen Auswertung von Ausfallzeiten werden noch analytische Auswertungen behandelt und die theoretischen Grundlagen dargelegt. Auf die wichtigen Begriffe „Ranggröße“ und „Vertrauensbereich“ wird dabei ausführlich eingegangen.

6

1 Einleitung

Bisher gibt es nur sehr wenige gesammelte und aufbereitete Informationen über das Ausfallverhalten von mechanischen Bauelementen. Die Kenntnis des Bauteilausfallverhaltens ist jedoch notwendig, um bei ähnlichen Einsatzbedingungen die erwartete Zuverlässigkeit prognostizieren zu können. Auch das erwartete Ausfallverhalten für das System kann dann mit einer Systemtheorie berechnet werden. In Kapitel 7 werden einige Ergebnisse aus einer Zuverlässigkeitsdatenbank für die Maschinenelemente Zahnräder, Wellen und Wälzlager aufgeführt. Die angegebenen Weibullparameter können in vielen Fällen als erste Orientierungshilfe dienen. Um noch vor Serienbeginn Zuverlässigkeiten nachweisen zu können bedarf es entsprechender Tests. Hierbei sind besonders die Anzahl der Prüflinge, die erforderliche Prüfdauer und das erreichbare Vertrauensniveau von Interesse. Auf die Planung von Zuverlässigkeitstests wird in Kapitel 8 eingegangen. Jede quantitative Zuverlässigkeitsmethode stellt eine Art erweiterte Festigkeitsberechnung dar. Die wichtigsten Grundsätze bei der Lebensdauerberechnung von Maschinenelementen sind in Kapitel 9 zusammengefasst. Die Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit von Systemen, die reparierbare Einheiten enthalten, kann durch verschiedene Berechnungsmodelle ermittelt werden. Sie unterscheidet sich in ihrer Komplexität zum Teil erheblich. Die Methoden und ihre Bewertung sind in Kapitel 10 enthalten. Um eine hohe Systemzuverlässigkeit zu erreichen, bedarf es einer ganzheitlichen Prozessbetrachtung. Daraus lässt sich ein Zuverlässigkeitssicherungsprogramm ableiten, dessen wesentliche Elemente in Kapitel 11 gezeigt werden. Abschließend bietet dieses Kapitel eine Gesamtsicht auf einen optimalen Zuverlässigkeitsprozess.

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Mit entsprechenden Zuverlässigkeitsanalysen kann die Produktzuverlässigkeit prognostiziert, vorhandene Schwachstellen erkannt und bei Bedarf Vergleichsstudien durchgeführt werden, Abb. 2.1. Es lassen sich dabei quantitative oder qualitative Methoden einsetzen. Die quantitativen Methoden verwenden Begriffe und Verfahren aus der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dies ist erforderlich, weil die bei Lebensdauerversuchen oder aus Schadensstatistiken ermittelten Ausfallzeiten erheblich streuen.

Zuverlässigkeitsanalyse in der Entwicklungsphase Ziele:

- Prognose der erwarteten Zuverlässigkeiten - Erkennung und Beseitigung von Schwachstellen - Durchführung von Vergleichsstudien

quantitativ

Berechnung der vorausgesagten Zuverlässigkeit

Ausfallratenanalyse Probabilistische Zuverlässigkeitsprognose Methoden: • Boole • Markoff • FTA • ...

qualitativ Systematische Untersuchung der Auswirkungen von Fehlern und Ausfällen

Ausfallartenanalyse Methoden: • FMEA / FMECA • FTA • Ereignisablaufanalyse • Checklisten • ...

Abb. 2.1. Möglichkeiten zur Analyse der Zuverlässigkeit

Die Ergebnisse des Wöhlerversuches in Abb. 2.2 und Abb. 2.3 zeigen dies beispielhaft sehr deutlich. Trotz identischer Randbedingungen und Belastungen ergaben sich recht unterschiedliche Ausfallzeiten [2.15]. Einem Bauteil kann somit keine bestimmte ertragbare Lastwechselzahl zugeord-

8

2 Grundlagen quantitativer Methoden

net werden. Die Lastwechselzahl nLW bzw. die Lebensdauer t ist vielmehr als eine Zufallsvariable aufzufassen, die einer gewissen Streuung unterliegt [2.1, 2.5, 2.23, 2.29, 2.33]. Bei Zuverlässigkeitsbetrachtungen interessiert neben der Angabe des Streubereichs zwischen nLW, min und nLW, max vor allem auch, welche Ausfallzeiten bevorzugt, d.h. häufiger, auftreten. Man benötigt dazu eine Angabe, wie die Lebensdauerwerte verteilt sind.

Zahnfußbiegespannung σ

1000 N mm2

Wöhlerkurve 640 600

400

200 5

10

50

500

100

Lastwechsel nLW ·103

Abb. 2.2. Zahnradbruch-Wöhlerversuch [2.15] mit Streuung der Ausfallzeiten

50

Ausfälle

% 30 20 10

nLW, min

nLW, max

0 200

250

300

350

400

450

Lastwechsel nLW ·102

Abb. 2.3. Histogramm der Häufigkeit für das Lastniveau ı = 640 N/mm2 aus Abb. 2.2

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

9

Für die als zufällige Ereignisse anzusehenden Ausfallzeiten können die Begriffe und Verfahren der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden. In Abschn. 2.1 werden deshalb die wichtigsten Grundbegriffe aus der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt. In Abschn. 2.2 werden die bekanntesten Lebensdauerverteilungen vorgestellt und erläutert. Sehr ausführlich wird hier auf die im Maschinenbau häufig verwendete Weibullverteilung eingegangen. In Abschn. 2.3 erfolgt eine Verknüpfung von Bauteilzuverlässigkeiten zu einer Systemzuverlässigkeit mit Hilfe der Booleschen Theorie. Die Boolesche Theorie ist dabei als grundlegende Systemtheorie anzusehen. Weitere Systemtheorien finden sich in Kap. 10.

2.1

Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Das Ausfallverhalten von Bauteilen und Systemen kann durch verschiedene statistische Verfahren und Funktionen grafisch sehr anschaulich dargestellt werden. Die Vorgehensweise hierzu wird in diesem Kapitel beschrieben. Des Weiteren werden „Maßzahlen“ behandelt, mit denen das gesamte Ausfallverhalten auf einzelne Kennzahlen reduziert wird. Man erhält dadurch eine sehr komprimierte, aber auch eine vereinfachende Beschreibung des Ausfallverhaltens. 2.1.1 Statistische Beschreibung und Darstellung des Ausfallverhaltens Im Folgenden werden die vier unterschiedlichen Funktionen zur Darstellung des Ausfallverhaltens vorgestellt. Die einzelnen Funktionen gehen von den beobachteten Ausfallzeiten aus und lassen sich auch ineinander überführen. Mit jeder Funktion können bestimmte Aussagen zum Ausfallverhalten verdeutlicht werden. Die Anwendung einer Funktion richtet sich deshalb nach der besonderen Fragestellung. 2.1.1.1 Histogramm und Dichtefunktion Die einfachste Möglichkeit zur grafischen Darstellung des Ausfallverhaltens bietet das Histogramm der Ausfallhäufigkeiten, s. Abb. 2.4. Die Ausfallzeiten in Abb. 2.4a treten in einem gewissen Zeitbereich rein zufällig auf. Ordnet man diese streuenden Ausfallzeiten, so erhält man die Darstellung in Abb. 2.4b.

10

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Ausfallzeit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1-12

b)

Versuch

Versuch

a)

50

Ausfälle

c)

% 30 20 10

nLW,min

0 200 250

nLW, max 300

350

Lastwechsel nLW

400

450

·10 2

Abb. 2.4. Ausfallzeiten und Histogramm der Ausfallhäufigkeiten für das Lastniveau V = 640 N/mm2 aus Abb. 2.2: a) Ausfallzeiten der Versuche; b) geordnete Ausfallzeiten; c) Histogramm der Ausfallhäufigkeiten mit empirischer Dichtefunktion f *(t)

Je dichter die Punkte in Abb. 2.4b zusammen liegen, umso „häufiger“ liegen die Ausfallzeiten in diesem Bereich. Um dies grafisch zu verdeutlichen, wird das Histogramm der Ausfallhäufigkeiten, Abb. 2.4c, erstellt. Dazu unterteilt man die Abszisse in Zeitintervalle, die als Klassen bezeichnet werden. In diesen Klassen wird die Anzahl der Ausfälle ermittelt. Fällt dabei ein Ausfall direkt auf eine Klassengrenze, so wird er je zur Hälfte in den beiden angrenzenden Klassen mitgezählt. Durch geschickte Wahl der Klassen kann dies jedoch meist vermieden werden. Die Anzahl der Ausfälle in den verschiedenen Klassen wird durch unterschiedlich hohe Balken dargestellt.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

11

Als Höhe bzw. Ordinatenwert des Balkens kann die absolute Häufigkeit

habs

Anzahl der Ausfälle in einer Klasse n A

(2.1)

oder die gebräuchlichere relative Häufigkeit

hrel

Anzahl der Ausfälle in einer Klasse Gesamtanzahl der Ausfälle

nA n

(2.2)

verwendet werden. In Abb. 2.4c wurden die Balkenhöhen mit der relativen Häufigkeit ermittelt, wie auch die Prozentskala der Ordinate zeigt. Die Einteilung der Zeitachse in Klassen und die Zuordnung der Ausfallzeiten zu den einzelnen Klassen bezeichnet man als Klassierung. Bei diesem Vorgang geht Information verloren, da einer gewissen Anzahl von Ausfällen eine einzige Häufigkeit zugeordnet wird, unabhängig von der genauen Ausfallzeit im Intervall. Jedem Ausfall innerhalb einer Klasse wird durch die Klassierung der Wert der Klassenmitte zugeordnet. Dem Verlust an Information steht aber ein Gewinn an Anschaulichkeit gegenüber. Die Anzahl der Klassen lässt sich nicht immer einfach bestimmen. Wählt man die Klassen zu breit, so geht zu viel Information verloren. Im Extremfall ergibt sich dann nur ein Balken, der natürlich sehr wenig aussagt. Werden die Klassen dagegen zu schmal gewählt, so können auf der Zeitachse einzelne Lücken auftreten. Diese Lücken unterbrechen das kontinuierliche Ausfallverhalten und sind deshalb für eine korrekte Beschreibung nicht geeignet. Als grobe Näherung bzw. erster Schätzwert für die Anzahl der Klassen kann die folgende Formel dienen [2.30]:

Anzahl der Klassen | Gesamtanzahl der Ausfälle bzw. Versuchswerte nk | n .

(2.3)

Alternative Ansätze zur Berechnung der Klassenanzahl und teilweise der Klassenbreite sind in [2.30] angegeben: n k | 1  3,32 ˜ log n ,

(2.4)

nk | 2 ˜ 3 n ,

(2.5)

n k | 5 ˜ log n .

(2.6)

Bis zu einem Stichprobenumfang von n = 50 ergeben sich vergleichbare Ergebnisse, sie differieren aber bei größeren Stichprobenumfängen stark.

12

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Eine Faustregel zur Schätzung der Klassenbreite b einer Häufigkeitsverteilung basiert auf der Spannweite R und dem Stichprobenumfang n:

b|

R . 1  3,32 ˜ log n

(2.7)

Dabei ist die Spannweite R ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert innerhalb einer Stichprobe R

n LW, max  n LW, min .

(2.8)

Das Ausfallverhalten kann statt mit dem Histogramm auch mit der oft verwendeten „empirischen Dichtefunktion f *(t)“ beschrieben werden, s. Abb. 2.5. 50

empirische Dichtefunktion f*(t)

Ausfälle

% 30 20 10

nLW, max

nLW, min

0 200

250

300

350

400

450

Lastwechsel nLW · 10 2 Abb. 2.5. Histogramm der Ausfallhäufigkeiten und empirische Dichtefunktion f *(t)

Dazu werden die Balkenmitten im Histogramm mit Geradenstücken verbunden, und so die Funktion von Ausfallzeit und Ausfallhäufigkeit dargestellt. Der Zusatz „empirisch“ bei der Dichtefunktion deutet darauf hin, dass die Dichtefunktion auf Grund einer Stichprobe, d.h. mit einer beschränkten Anzahl von Ausfällen, gezeichnet wurde. Die eigentliche „ideale“ Dichtefunktion ergibt sich, wenn die Anzahl n der geprüften Bauteile zunehmend erhöht wird. Die Anzahl der Klassen kann dann nach der einfachen Formel (2.3) ebenfalls gesteigert werden. Dies bedeutet, dass sich die Klassenbreite immer mehr verringert, während die sich als Ordinatenwerte ergebenden Häufigkeiten im Wesentlichen unverändert bleiben. Für den Grenzübergang n ĺ ’ nähert sich der Umriss des Histogramms einer glatten, stetigen Kurve, s. Abb. 2.6.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

13

1,0

Dichtefunktion f (t)

Ausfälle

% 0,5

0,0

200

250

300

350

Lastwechsel nLW·10

400

450

2

Abb. 2.6. Histogramm der Ausfallhäufigkeiten und Dichtefunktion f (t) (Anzahl der Ausfälle n o f)

Diese Kurve des Grenzübergangs stellt die eigentliche Dichtefunktion f(t) dar. Die Abb. 2.6 hat im Vergleich zu Abb. 2.5 eine geänderte Ordinatenskalierung, da sich bei der verringerten Klassenbreite prozentual weniger Ausfälle je Klasse ergeben. Der Grenzübergang n ĺ ’ bedeutet, dass man sämtliche Teile einer sehr großen Gesamtmenge geprüft und damit exakt das Ausfallverhalten ermittelt hat. Von den experimentell ermittelten Häufigkeiten kommt man damit zu den theoretischen Wahrscheinlichkeiten. Die Grundlagen für diesen Übergang liefert das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen. Diese theoretischen Zusammenhänge werden in Abschn. 2.1.3 ausführlich behandelt. Auf der Grundlage von realen Versuchsumfängen lässt sich immer nur die empirische Dichtefunktion f *(t) ermitteln. Besonders bei einer kleinen Anzahl von Versuchswerten kann die empirische Dichtefunktion f *(t) dabei erheblich von der idealen Dichtefunktion f(t) abweichen. Bei der Auswertung von Ausfällen versucht man, ausgehend von der empirischen Dichtefunktion f *(t), diejenige Dichtefunktion f(t) zu finden, die dem Ausfallverhalten zugrunde liegt. In Kap. 6 wird die genaue Vorgehensweise gezeigt. Die Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(t) wird gleich 1, falls man die relativen Häufigkeiten als Ordinatenwerte verwendet. Das Histogramm der Häufigkeiten bzw. die Dichtefunktion beschreibt die Anzahl der Ausfälle als Funktion der Zeit. Sie sind damit die einfachste und anschaulichste Möglichkeit, das Ausfallverhalten darzustellen. Neben dem Streubereich der Ausfallzeiten erkennt man dabei immer auch den Bereich, in dem die meisten Ausfälle auftreten.

14

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Abb. 2.7. Dreidimensionale Wöhlerkurve für die Versuche aus Abb. 2.2

Mit der Dichtefunktion f(t) kann die Wöhlerkurve aus Abb. 2.2 als dreidimensionales „Gebirge“ gezeichnet werden, s. Abb. 2.7. Für jeden Zeitpunkt und jede Belastung wird die entsprechende Ausfallhäufigkeit des Bauteils dargestellt. Ein Beispiel für eine Dichtefunktion ist in Abb. 2.8 für ein NKWGetriebe dargestellt. Dabei wurden 2115 Schadensereignisse, aufgeteilt in 82 Klassen, berücksichtigt [2.28]. 1

Ausfalldichte f(t)

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

Normierte Lebensdauer - Variable (t/T) Abb. 2.8. Ausfalldichte f (t) eines 6-Gang-NKW-Getriebes

2,7

3

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

15

Man erkennt eine linkssymmetrische Verteilung, d.h. es handelt sich hauptsächlich um Frühausfälle. Diese können meist auf Material- oder Montagefehler zurückgeführt werden, was für komplexere Systeme nicht selten ist. Ein weiteres Beispiel für die Dichtefunktion zeigt die Abb. 2.9. Aufgetragen wurde hier die Anzahl der Todesfälle über dem Sterbealter. Man erkennt den Bereich der Kindersterblichkeit, einen weiteren Bereich mit sehr wenigen Todesfällen zwischen 15 und 40 Jahren und eine stark ansteigende Zahl von Todesfällen mit zunehmendem Alter. Die häufigsten Todesfälle treten bei Männern in einem Alter von 80 Jahren auf, bei Frauen in einem etwas höheren Alter. 50

Frauen

Dichtefunktion f(t)

40 30

Männer 20 10 0 0

20

40

60

80

Jahre 100

Sterbealter Abb. 2.9. Dichtefunktion f(t) der menschlichen Sterbefälle

2.1.1.2 Verteilungsfunktion bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit

In vielen Fällen ist nicht die Anzahl der Ausfälle zu einem bestimmten Zeitpunkt bzw. Intervall von Interesse, sondern man möchte vielmehr wissen, wie viele Teile insgesamt bis zu einem Zeitpunkt bzw. Intervall ausgefallen sind. Diese Frage lässt sich mit dem Histogramm der Summenhäufigkeit beantworten. Die beobachteten Ausfälle, s. Abb. 2.10a, werden mit fortlaufender Intervallzahl aufaddiert und damit das in Abb. 2.10b angegebene Histogramm der Summenhäufigkeit gebildet. Die Summenhäufigkeit H(m) der m-ten Klasse ergibt sich somit zu: m

H ( m)

¦ hrel (i) , i 1

i: Klassennummer.

(2.9)

16

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Wie bei der Dichtefunktion in Abschn. 2.1.1.1 kann auch die Summe der Ausfälle durch eine Funktion dargestellt werden. Diese Funktion wird als „empirische Verteilungsfunktion F *(t)“ bezeichnet, s. Abb. 2.10b. 50

Ausfälle

a)

%

2

30 20 10 1 0 200 250

3 4 5 300

350 400

450

Lastwechsel nLW ·10 2 100 %

Summe der Ausfälle

b)

4

5 4

3 3

3

80 60

F*(t )

40

2 2

2

2

1

1

1

20 0

1 1

200 250 300

350

400

450

Lastwechsel nLW·10 2

Abb. 2.10. Summenhäufigkeit und Verteilungsfunktion: a) Histogramm der Häufigkeiten; b) Histogramm der Summenhäufigkeit und empirische Verteilungsfunktion F *(t)

Die eigentliche Verteilungsfunktion F(t) ergibt sich wieder, wenn die Anzahl der Versuchswerte zunehmend erhöht wird. Die Klassenbreite kann dann immer kleiner gewählt werden und der Umriss des Histogramms nähert sich auch hier im Grenzfall n ĺ ’ einer glatten Kurve: der Verteilungsfunktion F(t), s. Abb. 2.11. Die Verteilungsfunktion beginnt stets bei F(t) = 0 und wächst dann monoton, da zu jedem Zeitpunkt bzw. Intervall ein positiver Wert – die beobachtete Ausfallhäufigkeit – hinzukommt. Die Verteilungsfunktion endet stets bei F(t) = 1 wenn alle Teile ausgefallen sind.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

17

100

Summe der Ausfälle

% 80

F (t) 60 40

20

0 200

250

300

350

400

450

Lastwechsel nLW·102 Abb. 2.11. Histogramm der Summenhäufigkeit und der Verteilungsfunktion F(t) (Anzahl der Ausfälle n o f)

Ausgehend von Gl. (2.9) und unter Berücksichtigung des Grenzübergangs ergibt sich die Verteilungsfunktion als Integral über der Dichtefunktion: F (t )

³ f (t )dt .

(2.10)

Die Dichtefunktion ergibt sich damit als Ableitung der Verteilungsfunktion: f (t )

dF (t ) . dt

(2.11)

In der Zuverlässigkeitstheorie wird für die Verteilungsfunktion F(t) der Begriff „Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)“ (F von engl. Failure) verwendet. Dieser Begriff ist sehr zutreffend, da die Funktion F(t) ja die Wahrscheinlichkeit beschreibt, mit der die Ausfälle zu einem Zeitpunkt t insgesamt auftreten. Obwohl die Ausfallwahrscheinlichkeit weniger anschaulich ist als die Dichtefunktion, kann sie bei der Auswertung von Versuchen sehr vorteilhaft eingesetzt werden. In Kap. 6 wird deshalb vor allem die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) verwendet. Als Beispiel für eine in der Praxis auftretende Ausfallwahrscheinlichkeit dient dazu wieder das 6-Gang-NKW-Getriebe, Abb. 2.12. Aufgrund der normierten Lebensdauer lässt sich wieder nur eine qualitative Aussage treffen. Man erkennt, dass z.B. der B10-Wert, der F(t) = 10 % entspricht,

18

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) in %

0,2 beträgt. Das heißt, 10% der Getriebe sind ausgefallen, wenn die Lebensdauer 0,2 · T erreicht wird. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

Normierte Lebensdauer - Variable (t/T) Abb. 2.12. Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) eines 6-Gang-NKW-Getriebes

Abbildung 2.13 zeigt wieder am Beispiel des Menschen eine konkrete Ausfallwahrscheinlichkeit F(t). Man erkennt mit dieser Funktion F(t), dass z.B. mit 60 Jahren bereits 20% eines Jahrgangs verstorben sind.

Verteilungsfunktion F(t)

100 80 60

Männer 40

Frauen 20 0 0

20

40

60

80

Jahre 100

Sterbealter Abb. 2.13. Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) der menschlichen Sterbefälle

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

19

2.1.1.3 Überlebenswahrscheinlichkeit bzw. Zuverlässigkeit

Die Ausfallwahrscheinlichkeit in Abschn. 2.1.1.2 beschreibt die Summe der Ausfälle als Funktion der Zeit. Bei vielen Problemstellungen interessiert aber vielmehr die Summe der noch intakten Bauteile bzw. Maschinen. Diese Summe der funktionsfähigen Einheiten kann mit dem Histogramm der Überlebenshäufigkeit dargestellt werden, s. Abb. 2.14. Dieses Histogramm ergibt sich, wenn von der Gesamtanzahl der Bauteile bzw. Maschinen die Summe der bereits ausgefallenen Einheiten abgezogen wird. In Abb. 2.14 ist auch die empirische Überlebenswahrscheinlichkeit R *(t) dargestellt, die man durch Verbinden der Balkenmitten mit Geradenstücken erhält. Die Summe der Ausfälle und die Summe der noch intakten Einheiten ergeben zu einem Zeitpunkt t bzw. bei einer Klasse i stets 100%. Die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) ist somit das Komplement zur Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) R (t ) 1  F (t ).

(2.12)

Mit der Gl. (2.12) kann das Histogramm in Abb. 2.14 auch aus der Abb. 2.10 durch eine Spiegelung an der 50%-Achse gewonnen werden. Die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) beginnt stets bei R(t) = 100%, da bei t = 0 noch keine Ausfälle aufgetreten sind. Die Funktion R(t) fällt dann monoton ab und endet bei R(t) = 0%, wenn alle Einheiten ausgefallen sind. Summe der intakten Einheiten

100 % 80

R*(t)

60

40 20

0 200

250

300

350

400

450

Lastwechsel nLW·102 Abb. 2.14. Darstellung des Ausfallverhaltens von Abb. 2.10 mit dem Histogramm der Überlebenshäufigkeit bzw. mit der empirischen Überlebenswahrscheinlichkeit R *(t)

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

20

f (t )

R ((tt x ))

F ((tt x )) F tx

Ausfallzeit t

Abb. 2.15. Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) als Komplement zur Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

Eine anschauliche Darstellung der Gl. (2.12) für die Ausfallzeit tx zeigt mit Hilfe der Dichtefunktion und der Gl. (2.10) die Abb. 2.15. Die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) wird in der Zuverlässigkeitstheorie auch als „Zuverlässigkeit R(t)“ (R von engl. Reliability) bezeichnet. Mit der Funktion R(t) kann der oft nur qualitativ verwendete Begriff „Zuverlässigkeit“ objektiv und quantitativ festgelegt werden. Die Funktion R(t) entspricht damit dem in [2.2, 2.3, 2.36, 2.38] definierten Begriff der Zuverlässigkeit: ZUVERLÄSSIGKEIT ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Produkt während einer definierten Zeitdauer unter gegebenen Funktions- und Umgebungsbedingungen nicht ausfällt.

Die Zuverlässigkeit entspricht somit der zeitabhängigen Wahrscheinlichkeit R(t) für den Nicht-Ausfall. Zu beachten ist, dass für eine Zuverlässigkeitsangabe neben der betrachteten Zeitdauer insbesondere auch die genauen Funktions- und Umgebungsbedingungen benötigt werden. Für unser NKW-Getriebe, Abb. 2.16, erkennt man, dass sich bei der normierten Lebensdauer von 0,2 eine Überlebenswahrscheinlichkeit von R(t) = 90% ergibt, was einer Ausfallwahrscheinlichkeit von F(t) = 10%, s. Abb. 2.12, entspricht. Also überleben 90% der Getriebe die Lebensdauer 0,2·T.

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

21

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Normierte Lebensdauer - Variable (t/T) Abb. 2.16. Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) eines 6-Gang-NKW-Getriebes

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

Für die Überlebenswahrscheinlichkeit des Menschen, s. Abb. 2.17, ergibt sich für ein Sterbealter von 60 Jahren der Wert R(t) = 80%. Dies entspricht einer Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = 20%, s. Abb. 2.13. 100 80

Frauen 60

Männer 40 20 0 0

20

40

60

80

Jahre 100

Sterbealter Abb. 2.17. Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) beim Menschen

22

2 Grundlagen quantitativer Methoden

2.1.1.4 Ausfallrate

Bei der Beschreibung des Ausfallverhaltens mit der Ausfallrate Ȝ(t) werden die Ausfälle zu einer Zeit t bzw. in einer Klasse i nicht auf die Summe der Ausfälle bezogen, wie bei der relativen Häufigkeit in Abschn. 2.1.1.1, sondern auf die Summe der noch intakten Einheiten: Ausfälle (zum Zeitpunkt t bzw. in Klasse i ) Summe der noch intakten Einheiten (zum Zeitpunkt t bzw. in Klasse i )

O (t )

(2.13) Für die Versuchsreihe aus Abb. 2.4 zeigt Abb. 2.18 das Histogramm der Ausfallrate und den Verlauf der empirischen Ausfallrate Ȝ *(t). Zu beachten ist, dass die Ausfallrate in der letzten Klasse zwangsläufig gegen ’ strebt, da keine intakten Einheiten mehr vorhanden sind und damit der Nenner in Gl. (2.13) zu Null wird. 4

Ausfallrate

3

λ *( t)

2 1 0 200

250

300

350

400

450

Lastwechsel nLW·102 Abb. 2.18. Histogramm der Ausfallrate und der empirischen Ausfallrate O *(t) für die Versuche aus Abb. 2.4

Die Dichtefunktion f(t) beschreibt die Anzahl der Ausfälle und die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) die Summe der intakten Einheiten. Die Ausfallrate Ȝ(t) kann deshalb als Quotient dieser beiden Funktionen ermittelt werden:

Ot

f t . Rt

(2.14)

Eine grafische Darstellung der Gl. (2.14) für die Ausfallzeit tx zeigt Abb. 2.19.

Dichtefunktion f(t), Ausfallrate λ(t)

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

23

λ(t)

λ(t x) =

f (t x) R (t x) f (t )

f (t x)

R (t x )

tx

Ausfallzeit t

Abb. 2.19. Ermittlung der Ausfallrate aus Dichtefunktion und Überlebenswahrscheinlichkeit

Die Ausfallrate zu einem Zeitpunkt t lässt sich interpretieren als ein Maß für das Risiko eines Teiles auszufallen, unter der Voraussetzung, dass es bereits bis zu diesem Zeitpunkt t überlebt hat. Betrachtet man einen bestimmten Zeitpunkt t, so gibt die Ausfallrate an, wie viele von den insgesamt noch vorhandenen Teilen in der nächsten Zeiteinheit ausfallen werden. Die Ausfallrate Ȝ(t) wird sehr häufig dazu benutzt, nicht nur Ermüdungsausfälle wie in Abb. 2.18 zu beschreiben, sondern zusätzlich auch Früh- und Zufallsausfälle. Man versucht damit das gesamte Ausfallverhalten eines Teiles oder einer Maschine zu erfassen. Es ergibt sich dabei immer ein ähnlicher, typischer Verlauf der Kurve, s. Abb. 2.20. Entsprechend der Form der Kurve wird sie als „Badewannenkurve“ bezeichnet [2.29, 2.34]. Drei Bereiche lassen sich bei der Badewannenkurve deutlich unterscheiden: Der Bereich 1 der Frühausfälle, der Bereich 2 der Zufallsausfälle und der Bereich 3 der Verschleiß- und Ermüdungsausfälle. Der Bereich 1 ist durch eine abnehmende Ausfallrate gekennzeichnet. Das Risiko eines Teiles auszufallen, nimmt hier mit zunehmender Zeit ständig ab. Verursacht werden diese frühen Ausfälle überwiegend durch Montagefehler, Fertigungsfehler, Werkstofffehler oder durch einen deutlichen Konstruktionsfehler.

Ausfallrate λ(t)

24

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Frühausfälle

Zufallsausfälle

(Bereich 1)

(Bereich 2)

z.B. Montagefehler, Fertigungsfehler, Werkstofffehler, eklatante Konstruktionsfehler

z.B. verursachtdurch Bedienungsfehler, Schmutzpartikel, Wartungsfehler

Verschleiß- und Ermüdungsausfälle (Bereich 3) z.B. Dauerbruch, Alterung,Grübchen

Lebensdauer t

Maßnahmen Versuche, Nullserie, Fertigungs-und Qualitätskontrolle

KorrekteBedienung u. Wartung, richtiger Einsatz

Berechnung, Versuche

Abb. 2.20. Die „Badewannenkurve“

Im Bereich 2 der Zufallsausfälle ist die Ausfallrate konstant. Das Ausfallrisiko eines Teiles ist somit immer gleich hoch. Zumeist ist dieses Risiko auch relativ gering. Diese zufälligen Ausfälle werden durch Bedienungsoder Wartungsfehler, durch Schmutzpartikel usw. ausgelöst. Im Allgemeinen sind diese Ausfälle im Voraus schlecht abzuschätzen. Im Bereich der Verschleiß- und Ermüdungsausfälle (Bereich 3) steigt die Ausfallrate stark an. Das Risiko auszufallen, wird für ein Teil mit zunehmender Zeit immer größer und zwar drastisch größer. Die Verschleißund Ermüdungsausfälle werden verursacht durch Dauerbruch, Alterung, Grübchen etc. Jedem der drei Bereiche liegen verschiedene Ausfallursachen zugrunde. Entsprechend den verschiedenen Ausfallursachen erfordert jeder Bereich andere Maßnahmen zur Erhöhung der Zuverlässigkeit, s. Abb. 2.20. Im Bereich 1 bieten sich insbesondere Versuche und eine umfangreiche Nullserie an. Auch sollte die Fertigung und die Qualität der Teile sorgfältig

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

25

kontrolliert werden. Im Bereich 2 sollte auf eine korrekte Bedienung und Wartung geachtet werden und der richtige Einsatz des Produkts muss sichergestellt sein. Der Bereich 3 erfordert eine sehr genaue Berechnung der Bauteile bzw. entsprechend praxisnahe Versuche. Die Maßnahmen im Bereich 1 und 2 müssen durch entsprechende Schritte im Entwicklungsablauf sichergestellt werden. Die Verbesserungen im Bereich 3 liegen dagegen allein bei der konstruktiven Auslegung. Diesen Bereich kann der Konstrukteur somit sehr stark beeinflussen. Der Bereich 3 ist zudem meist von ausschlaggebender Bedeutung für die Zuverlässigkeit und nur dieser Bereich kann rechnerisch erfasst werden. Eine Prognose der zu erwartenden Systemzuverlässigkeit kann sich deshalb oft nur auf diesen Bereich beschränken. Auch am Beispiel des Menschen, s. Abb. 2.21, lassen sich die drei Bereiche deutlich unterscheiden. Der Bereich 1 mit abnehmender Ausfallrate ist hier der Bereich der Kindersterblichkeit. Je älter ein Kind wird, umso geringer ist sein Risiko, an einer Kinderkrankheit zu sterben. Der Bereich 2 der Zufallsausfälle ist nicht sehr ausgeprägt. Hier treten vor allem Unfälle auf, die als zufällige Ereignisse anzusehen sind. Sehr deutlich erkennt man den Bereich 3 der altersbedingten Sterbefälle mit einer drastisch ansteigenden Ausfallrate. 1

Ausfallrate λ(t)

% Jahr 0,6

Männer

0,4

Frauen

0,2 0 0

20

40

60

Sterbealter Abb. 2.21. Ausfallrate O(t) des Menschen

80 Jahre 100

26

2 Grundlagen quantitativer Methoden 3

Ausfallrate λ(t)

2,7 2,4 2,1 1,8 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Normierte Lebensdauer (t/T) Abb. 2.22. Ausfallrate O(t) eines 6-Gang-NKW-Getriebes

Das Beispiel des 6-Gang-NKW-Getriebes, Abb. 2.22, zeigt, dass die Badewannenkurve nicht für alle technischen Systeme beispielhaft ist. Vielmehr treten häufig nur einzelne Bereiche der Badewannenkurve auf. Das Ausfallverhalten von komplexen Systemen ist also nicht allein durch die Badewannenkurve charakterisiert, vielmehr werden verschiedene Ausfallverläufe unterschieden, die in den einzelnen Bereichen unterschiedliches Verhalten aufweisen. In Abb. 2.23 ist im Ausfallverhalten „A“ die typische Badewannenkurve mit ihren drei Bereichen – Frühausfälle, Zufallsausfälle, Verschleiß- und Ermüdungsausfälle – zu erkennen. Bei „B“ treten keine Frühausfälle auf, die Ausfallwahrscheinlichkeit bleibt lange Zeit konstant bis schließlich im Bereich 3 Verschleiß- und Ermüdungsausfälle auftreten. Das Ausfallverhalten „C“ ist gekennzeichnet durch eine stetig ansteigende zustandsbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit; Verschleiß und Ermüdung sind nicht erkennbar. Das System nach dem Verlauf „D“ zeigt bei der Inbetriebnahme eine geringe zustandsbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit, gefolgt von einem steilen Ansteigen der Ausfälle auf ein dann konstant bleibendes Niveau. Bei einer Anlage nach „E“ bleibt die Ausfallwahrscheinlichkeit dagegen über die gesamte Zeitdauer konstant (Random failure). Das Ausfallverhalten nach „F“ ist charakterisiert durch eine hohe zustandsbedingte Ausfallrate im ersten Bereich der Frühausfälle (Burn-in), fällt dann aber auf einen konstanten Wert über die gesamte Lebensdauer ab.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Ausfallverhalten

allgemeine Charakteristik



Zufallsausfälle

Verschleißausfälle

O

A

 t

B



O

C

t



O

D

t



O

E

t



O

F

x Alte Dampfmaschinen (spätes 18. frühes 19. Jh.)

x einfache Geräte x komplexe Maschinen schlechter Konstruktion (einzelne dominierende Ausfallart) x Strukturen x Verschleißteile

x Wasserpumpe in Kfz x Schnürsenkel x 1974 Vega Motor

x komplexe Maschinen mit High-Stress Tests nach Inbetriebnahme x Gut konstruierte komplexe Maschinen

x Hochdruckentspannungsventile

x Elektronische Bauteile x komplexe Bauteile nach Instandsetzung

t

allgemeine Beispiele

x Ungewöhnlicher Verlauf t

O

27

x Karosserien x Flugzeug- und Autoreifen

x Kreiselkompass x Mehrfachverdichtende Hochdruck-Zentrifugalpumpe x Computer „Motherboards“ x Programmierbare Steuerungen

Abb. 2.23 Unterschiedliches Ausfallverhalten mit Beispielen [2.32]

In unterschiedlichen Arbeiten ist die Häufigkeit des Auftretens dieser charakteristischen Verläufe untersucht und in [2.32] zusammengefasst worden, s. Abb. 2.24. Ausfallverhalten

1968 UAL

1973 Broberg

MSDP Studien

1993 SSMD

4%

3%

3%

6%

2%

1%

17 %

5%

4%

3%

7%

11 %

6%

14 %

15 %

42 %

60 %

68 %

66 %

29 %

33 %

Zufallsausfälle

Verschleißausfälle

O

A

t



B

O

C

O

D E F

t



O

 

t

t

O

t



O

t

Abb. 2.24. Prozentuale Anteile gemäß verschiedener Lebensdauerstudien [2.32]

28

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Studien in der zivilen Luftfahrt (1968 UAL) belegen, dass sich nur 4% der Ausfälle nach dem Muster „A“, 2% nach dem Muster „B“, 5% nach dem Muster „C“, 7% nach dem Muster „E“ und 68% nach dem Muster „F“ verhalten. Anzustreben wäre bei einer Entwicklung sicherlich ein konstantes Ausfallverhalten entsprechend dem Muster „E“. 2.1.2 Statistische Maßzahlen

Das Ausfallverhalten kann mit den in Abschn. 2.1.1.1 bis 2.1.1.4 beschriebenen Funktionen vollständig in allen Einzelheiten beschrieben werden. Dies erfordert aber auch eine entsprechend aufwändige Ermittlung und Darstellung der gewünschten Funktion. In vielen Fällen genügt es jedoch zu wissen, wo ungefähr die „Mitte“ der Ausfallfunktion liegt und wie weit die Ausfallzeiten um diesen Mittelwert „streuen“. Dazu können „Lageund Streuungsmaßzahlen“ verwendet werden. Aus den Ausfallzeiten lassen sich diese Werte sehr einfach berechnen. Die Charakterisierung des Ausfallverhaltens mit Maßzahlen bedeutet allerdings eine Vereinfachung, bei der zwangsläufig Information verloren geht. Die bekanntesten Maßzahlen sind der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung. Sie werden deshalb zuerst behandelt. Mittelwert

Der meist kurz als Mittelwert bezeichnete empirische arithmetische Mittelwert wird aus den Ausfallzeiten t1, t2, ... , tn folgendermaßen berechnet: tm

t1  t 2  ...  t n n

1 n

n

¦ ti .

(2.15)

i 1

Der Mittelwert gibt als Lageparameter an, wo ungefähr die Mitte der Ausfallzeiten liegt. Stellt man sich die in Abb. 2.4b dargestellten Ausfallzeiten als Massenpunkte vor, so entspricht der Mittelwert tm dem Schwerpunkt dieser Massenpunkte. Für das Beispiel in Abb. 2.4 beträgt der Mittelwert tm = 31200 Lastwechsel. Der arithmetische Mittelwert ist sehr empfindlich gegenüber „Ausreißern“, d.h. eine extrem kurze oder lange Ausfallzeit beeinflusst die Größe des Mittelwertes extrem. Varianz

Die empirische Varianz s2 beschreibt die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittelwert und ist damit ein Maß für die Streuung der Ausfallzeiten um den Mittelwert tm:

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

s2

1 n (t i  t m ) 2 . n 1 i 1

¦

29

(2.16)

Bei der Berechnung der Varianz werden die Differenzen der Ausfallzeiten zum Mittelwert ermittelt und nach dem Quadrieren aufsummiert. Das Quadrieren ist erforderlich, da sich sonst die positiven und negativen Abweichungen aufheben würden. Standardabweichung

Die empirische Standardabweichung s ergibt sich als Wurzel aus der Varianz: s

s2 .

(2.17)

Die Standardabweichung hat gegenüber der Varianz den Vorteil, dass sie die gleiche Dimension wie die Ausfallzeiten ti besitzt. Weitere wichtige Maßzahlen sind der Median und der Modalwert. Median

Der Median ist diejenige Ausfallzeit, unterhalb und oberhalb derer genau die Hälfte der Ausfälle liegen. Der Median lässt sich deshalb am einfachsten mit der Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) ermitteln:

F t median 0,5 .

(2.18)

Wird das Ausfallverhalten mit der Dichtefunktion f (t) dargestellt, so unterteilt der Median die Fläche unterhalb der Kurve f (t) nach Gl. (2.10) in zwei gleich große Flächenstücke. Ein großer Vorteil des Median besteht im Vergleich zum Mittelwert tm darin, dass er sehr unempfindlich gegenüber „Ausreißern“ ist. Eine sehr kurze oder sehr lange Ausfallzeit kann den Median nicht verschieben. Modalwert

Als Modalwert wird diejenige Ausfallzeit bezeichnet, die am häufigsten auftritt. Der Modalwert tmodal kann deshalb mit der Dichtefunktion f (t) einfach bestimmt werden: tmodal entspricht der Ausfallzeit beim Maximum der Dichtefunktion.

f ' (t modal )

0.

In Abb. 2.9 z.B. beträgt der Modalwert tmodal § 78 Jahre.

(2.19)

30

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

Der Modalwert besitzt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine große Bedeutung. Wird ein Versuch durchgeführt, so ist zu erwarten, dass die meisten Teile beim Modalwert ausfallen werden. Die Lagemaßzahlen Mittelwert, Median und Modalwert stimmen bei den üblichen unsymmetrischen Verteilungen nicht überein, s. Abb. 2.25.

t modal

tm t median

Ausfallzeit t

Abb. 2.25. Mittelwert, Median und Modalwert bei einer linkssymmetrischen Verteilung

Nur wenn die Dichtefunktion vollkommen symmetrisch verläuft, sind die drei Werte identisch. Dies ist z.B. bei der in Abschn. 2.2.1 beschriebenen Normalverteilung der Fall. 2.1.3 Zuverlässigkeitskenngrößen

Neben statistischen Maßzahlen wie sie in Abschn. 2.2.2 beschrieben sind, werden im Bereich der Zuverlässigkeitstechnik noch weitere Kennzahlen verwendet, um Zuverlässigkeitsdaten zu charakterisieren. Dabei werden x x x x x

MTTF, MTTFF und MTBF, Ausfallrate O und Ausfallquote q, Prozent (%), Promille (‰), Parts Per Million (PPM) sowie Bq-Lebensdauer

oftmals für die Beschreibung der Ausfall- bzw. Zuverlässigkeitseigenschaften herangezogen.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

31

MTTF

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Lebensdauer einer nichtreparierbaren Komponente anzugeben. Der Mittelwert der ausfallfreien Zeit einer Betrachtungseinheit, meist bezeichnet als MTTF (Mean Time To Failure), ist der Erwartungswert E(W) der Lebensdauer t, den man aus dem Integral MTTF

E W

f

f

0

0

³ t· f t dt

³ Rt dt

(2.20)

erhält, s. Abb. 2.26. Was nach dem Ausfall mit der Komponente geschieht, ist für die MTTF nicht relevant. š Als Schätzung der MTTF kann MTTF (t1  ...  t n ) / n der arithmetische Mittelwert dienen, wobei t1 bis tn unabhängige Realisierungen (Beobachtungen) von ausfallfreien Arbeitszeiten statistisch identischer Betrachtungseinheiten sind [2.2]. MTTFF und MTBF

Zur Beschreibung der Lebensdauer einer reparierbaren Komponente kann hingegen die MTTFF (Mean Time To First Failure) dienen

MTTFF

mittlere Lebensdauer bis zum ersten Ausfall ,

(2.21)

die die mittlere Lebensdauer einer reparierbaren Komponente bis zu derem ersten Ausfall beschreibt, s. Abb. 2.26. Damit entspricht sie der MTTF für nicht-reparierbare Komponenten. Zur weiteren Definition der Lebensdauer nach dem ersten Ausfall dieser Komponente dient die MTBF (Mean Time Between Failure)

MTBF

mittlerer Ausfallabstand ,

(2.22)

die die mittlere Lebensdauer einer Komponente bis zu ihrem nächsten Ausfall und damit bis zur Reparatur bestimmt. Geht man davon aus, dass das Element nach der Reparatur wieder neuwertig ist, dann ist der Mittelwert der nächsten ausfallfreien Zeit ab Ende der Reparatur MTBF gleich dem der vorhergehenden mittleren Lebensdauer MTTFF.

32

2 Grundlagen quantitativer Methoden MTTF

Dichtefunktion f(t) 50.000

MTTFF

100.000

MTBF

1. Ausfall

km

150.000

MTBF 2. Ausfall

3. Ausfall usw.

50.000

100.000

150.000

km

Abb. 2.26. Erläuterungen zu MTTF, MTTFF und MTBF anhand eines Beispiels Ausfallrate O und Ausfallquote q

Die Ausfallrate Obeschreibt das Risiko eines Teiles auszufallen, wenn es bis zu diesem Zeitpunkt überlebt hat. Dabei erhält man die Ausfallrate, indem man die Ausfälle pro Zeiteinheit auf die Summe der noch intakten Einheiten bezieht, s. Abb. 2.27. Als Schätzwert für die Ausfallrate O kann die Ausfallquote q dienen. Im Gegensatz zur Ausfallrate gibt die Ausfallquote q

Ausfälle im Zeitintervall Anfangsbestand ˜ Intervallgröße

(2.23)

die relative Bestandsänderung im betrachteten Zeitintervall an. Fallen beispielsweise 5 Einheiten von einem Anfangsbestand von 50 Einheiten innerhalb einer Stunde aus, so ergibt sich eine Ausfallquote von 1 q 0,1 („10% pro Stunde“) [2.8]. h

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Ausfallrate

90 80

100

70

¼

60 50

¼

40

Ausfallquote

%

¼ Ausfälle

intakte Einheiten

%

intakte Einheiten

100

¼

30

¼

20

usw.

33

¼ Ausfälle

80 60 40

20

10 0

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

Laufstrecke ·10 km

100.000

200.000

∆t 100.000 km

Abb. 2.27. Ausfallrate O und Ausfallquote q Prozent, Promille und PPM

Im Bereich der Zuverlässigkeitstechnik werden Sachverhalte größtenteils anteilsmäßig dargestellt, wie z.B. die Ausfalldichte, die Ausfallwahrscheinlichkeit oder die Zuverlässigkeit. Zur Darstellung dieser Werte werden dabei am häufigsten Angaben in x Prozent: x Promille: x PPM:

Anteil von 1 Hundert, d.h. 1 von 100 = 1 %, Anteil von 1 Tausend, d.h. 1 von 1.000 = 1 ‰ und Anteil von 1 Million, d.h. 1 von 1.000.000 = 1 ppm

verwendet. Bx-Lebensdauer

Die Bx-Lebensdauer gibt den Zeitpunkt an, zu dem bereits ein Anteil von x % der gesamten Teile ausgefallen ist. Dies bedeutet speziell, dass eine B10-Lebensdauer den Zeitpunkt bestimmt, an dem 10% der Teile ausgefallen sind, s. Abb. 2.28. In der Praxis dienen B1-, B10- bzw. B50-Lebensdauerwerte als Maß für die Zuverlässigkeit eines Produktes.

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Summe der auftretenden Ausfälle

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

34

%

Verteilungskurve z.B. Weibull-, ExponentialVerteilung

Summe intakter Einheiten

50 Summe ausgefallener Einheiten

20 10 5 100.000

250.000

B5

B10

700.000 1.200.000 Laufleistung [km] B20

B50

Bq-Lebensdauer

Abb. 2.28. Bq – Lebensdauer

2.1.4 Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Ausfallzeiten von Bauteilen und Systemen können, wie in den vorhergehenden Abschnitten beschrieben, als Zufallsvariable angesehen werden. Für diese zufälligen Ereignisse lassen sich die Begriffe und Gesetze der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden. Von besonderer Bedeutung ist dabei der Begriff der Wahrscheinlichkeit, der im Folgenden auf verschiedene Arten definiert wird. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit (Laplace 1812)

Die ersten Betrachtungen zu Wahrscheinlichkeiten wurden bei Glücksspielen angestellt. Dabei interessierte man sich für die möglichen Wettchancen und die optimalen Einsätze. Auf die Fragestellung wie oft bzw. „wie wahrscheinlich“ ein bestimmtes Ereignis A bei einem Glücksspiel eintritt, wurde von Laplace und Pascal folgende Definition festgelegt: Wahrscheinlichkeit P ( A)

Anzahl der für A günstigen Fälle . Anzahl aller möglichen Fälle

(2.24)

Damit beträgt z.B. die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 6 (Ereignis A) zu würfeln: P(Wurf einer 6) =

1 = 0,167, 6

d.h. bei sehr vielen Würfen müssten 16,7% der Würfe eine 6 zeigen. Die Definition von Gl. (2.24) ist jedoch nicht allgemeingültig. Sie eignet sich nur für Anwendungen, bei denen nicht unendlich viele Ereignisse auftreten können und bei denen jeder mögliche Ausgang gleich wahrscheinlich ist.

2.1 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

35

Dies trifft bei Glücksspielen im Allgemeinen zu. In der technischen Wirklichkeit werden jedoch die Ausfallmöglichkeiten meist sehr unterschiedlich häufig auftreten. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit (von Mises 1931)

Betrachtet wird eine Stichprobe vom Umfang n. Alle Elemente der Stichprobe werden in einem Versuch gleich belastet. Dabei wird der Ausfall von m Elementen registriert. Die relative Ausfallhäufigkeit beträgt somit (vgl. Abschn. 2.1.1.1): relative Häufigkeit hrel

m . n

(2.25)

Relative Häufigkeit hrel

Kann man unabhängig voneinander Versuche mit unterschiedlichen Stichproben durchführen, so werden sich auch verschiedene relative Häufigkeiten ergeben. Bei größer werdendem Stichprobenumfang n zeigt jedoch die Erfahrung, dass hrel,n immer weniger um einen festen Wert hx streut, Abb. 2.29.

hx = P(A)

Stichprobenumfang n Abb. 2.29. Relative Häufigkeit in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang

Es ist deshalb nahe liegend, den Grenzwert der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeit für den Ausfall A zu definieren: m n of n lim

P  A .

(2.26)

Die genauen theoretischen Betrachtungen hierfür liefern das schwache und starke Gesetz der großen Zahlen bzw. das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen [2.18, 2.25, 2.27]. Die Definition der Wahrscheinlichkeit nach Gl. (2.26) ist jedoch ebenfalls nicht allgemeingültig. Es handelt sich dabei um keine Definition sondern um eine Schätzung. Zum Aufbau einer umfassenden Wahrscheinlich-

36

2 Grundlagen quantitativer Methoden

keitstheorie auf der Grundlage der Gl. (2.26) ergaben sich erkenntnistheoretische und mathematische Schwierigkeiten, die nicht beseitigt werden konnten. Für allgemeine Zuverlässigkeitsbetrachtungen und im Rahmen dieses Buches ist die Definition von Gl. (2.26) allerdings ausreichend. Auch wegen ihrer Anschaulichkeit wird sie im Folgenden verwendet. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit (Kolmogoroff 1933)

Bei der axiomatischen Definition wird die „Wahrscheinlichkeit“ im strengen Sinne nicht definiert. In der modernen Theorie wird die „Wahrscheinlichkeit“ vielmehr als ein Grundbegriff betrachtet, der gewissen Axiomen genügt. Die von Kolmogoroff aufgestellten Axiome der Wahrscheinlichkeiten lauten: 1. Jedem zufälligen Ereignis A ist eine reelle Zahl P(A) mit 0 d P ( A) d 1 zugeordnet, welche man die Wahrscheinlichkeit von A nennt. (Dieses Axiom lehnt sich an die Eigenschaften der relativen Häufigkeiten an, vgl. vorstehenden Abschnitt) 2. Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist: P(E) = 1 (Normierungs-Axiom) 3. Sind A1, A2, A3,... zufällige Ereignisse, die paarweise unvereinbar sind, d.h. Ai ˆ A j 0 für i z j , so gilt: P ( A1 ‰ A2 ‰ A3 ‰ ...) (Additions-Axiom).

P ( A1 )  P ( A2 )  P ( A3 )  ...

Die Axiome stützen sich auf einen Ereignisraum aus Elementarereignissen, der auch als Boolescher Mengenkörper oder Boolescher V-Körper bezeichnet wird. Mit den Axiomen 1. bis 3. kann die ganze Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt werden.

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung In Abschn. 2.1 wurde gezeigt, wie man das Ausfallverhalten durch verschiedene Funktionen grafisch anschaulich darstellen kann. Von besonderem Interesse ist aber, welchen genauen Verlauf diese Funktionen für einen ganz konkreten Fall besitzen und wie man den Verlauf der Kurven mathematisch beschreiben kann. Die hierfür verwendeten „Lebensdauer-

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

37

verteilungen“ werden in diesem Kapitel behandelt. Die bekannteste davon ist die Normalverteilung, die jedoch in der Zuverlässigkeitstheorie nur sehr selten angewendet wird. Die Exponentialverteilung wird häufig in der Elektrotechnik eingesetzt, während im Maschinenbau die Weibullverteilung die am meisten verwendete Lebensdauerverteilung ist. Die Weibullverteilung wird deshalb sehr ausführlich behandelt. Die Lognormalverteilung wird gelegentlich in der Werkstofftechnik und auch im Maschinenbau verwendet. 2.2.1 Normalverteilung

Die Normalverteilung besitzt als Dichtefunktion f(t) die bekannte Glockenkurve, die zum Mittelwert P = tm vollkommen symmetrisch verläuft, s. Abb. 2.30. Durch die Symmetrie der Dichtefunktion fallen der Mittelwert tm, der Median tmedian und der Modalwert tmodal zusammen. Die Normalverteilung besitzt die beiden Parameter tm (Lageparameter) und ı (Formparameter), s. Tabelle 2.1. Die Standardabweichung ı ist ein Maß für die Streuung der Ausfallzeiten und für die Form der Ausfallfunktionen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet dabei eine schmale, hohe Glockenkurve und eine große Standardabweichung einen entsprechend flachen Verlauf der Dichtefunktion, s. Abb. 2.30. Durch die Standardabweichung kann jedoch der prinzipielle Verlauf der Ausfallfunktionen nicht geändert werden. Immer müssen die meisten Ausfälle am Mittelwert auftreten und dann vollkommen symmetrisch zu diesem Mittelwert abnehmen. Es kann somit im Wesentlichen nur eine Art von Ausfallverhalten beschrieben werden. Dies ist ein großer Nachteil der Normalverteilung. Die Normalverteilung beginnt allgemein bei t = -’. Da Ausfallzeiten aber nur positive Werte annehmen, kann die Normalverteilung nur verwendet werden, wenn die Beschreibung von Ausfällen im negativen Zeitbereich vernachlässigbar ist, s. Tabelle 2.1. Die Integrale der Gln. (2.28), (2.29) und (2.31) lassen sich bei der Normalverteilung nicht elementar lösen. Zur Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) bzw. der Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) werden deshalb Tabellen verwendet.

38

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

1,0

σ=0,5

0,8 0,6 0,4

σ=1 σ=2

0,2 0

0

1

2

3

4

5

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

σ=0,5

0,8

0,4 0,2 0

0

1

2

1,0

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

σ=2

σ=1

0,6

3

4

5

4

5

σ=0,5

0,8

σ=1

0,6

σ=2

0,4 0,2 0

0

1

2

3

Ausfallrate λ(t)

10 8

σ=0,5

6

µ=t m =t modal =t median =2,5

4 2 0

σ=1

σ=2 0

1

2

3

4

5

Lebensdauer t

Abb. 2.30. Verlauf der Ausfallfunktionen bei der Normal-(Gauß)-Verteilung

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

39

Tabelle 2.1. Formeln der Normal-(Gauß-)Verteilung f t

Dichtefunktion

F t

Ausfallwahrscheinlichkeit

1 V 2˜S 1 V 2˜S



t P 2 2 V2

˜e t

³

˜ e



(2.27)

WP 2 2V 2

dW

(2.28)

dW

(2.29)

0

2

Rt

Überlebenswahrscheinlichkeit

O t

Ausfallrate

1 V 2˜S f t Rt

f  WP 2 ˜ e 2V

³ t

(2.30)

Parameter: t:

Statistische Variable (Beanspruchungszeit, Lastwechsel, Anzahl der Betätigungen, ...)

P:

Lageparameter P = tm = tmedian = tmodal

V:

Streumaß

2.2.2 Exponentialverteilung

Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung nimmt entsprechend einer inversen Exponentialfunktion von einem Anfangswert monoton ab, s. Abb. 2.31. Es lässt sich somit ein Ausfallverhalten beschreiben, bei dem anfangs eine hohe Ausfallhäufigkeit beobachtet wurde, die dann kontinuierlich abnimmt. Die Formeln der Exponentialverteilung in Tabelle 2.2 zeigen den mathematisch einfachen Aufbau dieser Verteilung. Die Exponentialverteilung besitzt nur einen einzigen Parameter: die Ausfallrate Ȝ. Diese Ausfallrate Ȝ ist der inverse Wert zum Mittelwert tm: O

1 . tm

(2.31)

Aus den Gln. (2.33) und (2.34) ergibt sich für den Mittelwert die Zuverlässigkeit R(tm) = 36,8% und die Ausfallwahrscheinlichkeit F(tm) = 63,2%.

2 Grundlagen quantitativer Methoden Dichtefunktion f(t)

40

2,0

λ=2

1,5 1,0

λ=1

0,5

λ=0,5

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

0 1,0

0

1

2

λ=2

0,8

3

λ=1

4

5

λ=0,5

0,6 0,4 0,2

tm

tm

tm

0 0

1

2

3

4

5

2

3

4

5

3

4

5

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 0,8

λ=0,5

0,6 0,4

λ=1

0,2 0

λ=2 0

1

Ausfallrate λ(t)

2,5

λ=2

2 1,5

λ=1

1

λ=0,5

0,5 0

0

1

2

Lebensdauer t

Abb. 2.31. Ausfallfunktionen der Exponentialverteilung

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

41

Neben der kontinuierlich abfallenden Dichtefunktion ist die konstante Ausfallrate Ȝ ein wesentliches Kennzeichen der Exponentialverteilung. Eine konstante Ausfallrate Ȝ bedeutet, dass sie unabhängig vom betrachteten Zeitpunkt immer gleich groß ist. Bezogen auf die noch vorhandenen Teile fällt zu einem Zeitpunkt immer ein gleich großer Prozentsatz der Teile aus. Die Exponentialverteilung kann deshalb zur Beschreibung von Zufallsausfällen und damit auch für den Bereich 2 der Badewannenkurve, s. Abschn. 2.1.1.4, verwendet werden. Ebenso wie die Normalverteilung eignet sich die Exponentialverteilung im Wesentlichen nur zur Beschreibung einer ganz bestimmten Art von Ausfallverhalten. Dieses Ausfallverhalten muss mit einer großen Ausfallhäufigkeit beginnen und dann ständig geringer werden. Ein derartiges Ausfallverhalten kann im Maschinenbau jedoch nur sehr selten beobachtet werden. Tabelle 2.2. Formeln der Exponentialverteilung Dichtefunktion

f t O ˜ e  Ot

(2.32)

Ausfallwahrscheinlichkeit

F t 1  e Ot

(2.33)

Überlebenswahrscheinlichkeit

Rt e Ot

(2.34)

Ausfallrate

O t konst.

(2.35)

Parameter: t:

Statistische Variable (Beanspruchungszeit, Lastwechsel, Anzahl der Betätigungen, ...)

O:

Lage- und Formparameter O

1 tm

2.2.3 Weibullverteilung 2.2.3.1 Grundbegriffe und Gleichungen

Mit der Weibullverteilung kann unterschiedliches Ausfallverhalten sehr gut beschrieben werden. Am deutlichsten zeigen dies die mit der Weibullverteilung darstellbaren Dichtefunktionen, s. Abb. 2.32a. In Abhängigkeit von einem Parameter der Verteilung – dem Formparameter b – ändert sich die Dichtefunktion deutlich. Für kleine b-Werte (b < 1) werden die Ausfälle ähnlich wie bei der Exponentialverteilung beschrieben, d.h. man hat

42

2 Grundlagen quantitativer Methoden

anfangs eine sehr hohe Ausfallhäufigkeit, die dann kontinuierlich abnimmt. Beim Formparameter b = 1 ergibt sich exakt die Exponentialverteilung. Für Formparameter b > 1 beginnt die Dichtefunktion stets bei f(t) = 0, erreicht dann mit zunehmender Lebensdauer ein Maximum und fällt schließlich flach ab. Das Maximum der Dichtefunktion verschiebt sich dabei immer mehr nach rechts für größer werdende b-Werte. Mit dem Formparameter b = 3,5 kann näherungsweise eine Normalverteilung dargestellt werden. Die Weibullverteilung lässt sich in eine zweiparametrige und eine dreiparametrige Verteilung untergliedern, s. Tabelle 2.3. Die zweiparametrige Weibullverteilung besitzt als Parameter die charakteristische Lebensdauer T (Lageparameter) und den Formparameter b. Die charakteristische Lebensdauer T ist eine Art Mittelwert und gibt damit an, wo ungefähr die Mitte der Verteilung liegt. Der Formparameter b ist ein Maß für die Streuung der Ausfallzeiten und, wie bereits erwähnt, für die Form der Ausfalldichte, s. Abb. 2.32a. Die Ausfälle werden bei der zweiparametrigen Weibullverteilung stets ab dem Zeitpunkt t = 0 beschrieben. Die dreiparametrige Weibullverteilung besitzt neben den Parametern T und b als zusätzlichen Parameter die ausfallfreie Zeit t0. Mit diesem dritten Parameter können Ausfälle beschrieben werden, die erst ab einem Zeitpunkt t0 beginnen. Die dreiparametrige Weibullverteilung lässt sich durch eine Zeittransformation aus der zweiparametrigen Weibullverteilung ableiten, wozu nur die Ausfallzeit t und die charakteristische Lebensdauer T durch t - t0 und T - t0 ersetzt werden muss (t ĺ t - t0, T ĺ T - t0). Die ausführlichen Formeln sind ebenfalls in der Tabelle 2.3 angegeben. Die Zuverlässigkeit R(t) entspricht bei der Weibullverteilung einer inversen Exponentialfunktion. Der Exponent dieser Exponentialfunktion besteht bei der zweiparametrigen Weibullverteilung aus dem Quotienten (t / T), der selbst wieder durch den Exponenten b variiert werden kann. Die Formeln der restlichen Ausfallfunktionen sind ebenfalls in der Tabelle 2.3 dargestellt.

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

43

Tabelle 2.3. Formeln und Bezeichnungen der Weibullverteilung Zweiparametrige Weibullverteilung: Überlebenswahrscheinlichkeit bzw. Zuverlässigkeit Ausfallwahrscheinlichkeit

Dichtefunktion

Ausfallrate

b

Rt

§t · ¨ ¸ e ©T ¹

F t

§t · ¨ ¸ 1 e ©T ¹

f t

dF t dt

Ot

f t Rt

(2.36) b

(2.37)

b §t· ˜¨ ¸ T ©T ¹

b §t · ˜¨ ¸ T ©T ¹

b1 §¨ t ·¸ e ©T ¹

b

(2.38)

b 1

(2.39)

Dreiparametrige Weibullverteilung: Überlebenswahrscheinlichkeit bzw. Zuverlässigkeit Ausfallwahrscheinlichkeit

Dichtefunktion

Ausfallrate

b

Rt

§ t t0 · ¸ ¨¨ T t ¸ e © 0¹

F t

§ t t 0 ¨¨ T t 1 e © 0

f t

dF t dt

Ot

f t Rt

(2.40) · ¸ ¸ ¹

b

(2.41)

b T  t0

b T  t0

§ t  t0 ˜ ¨¨ © T  t0

§ t  t0 ˜ ¨¨ © T  t0

· ¸ ¸ ¹

· ¸ ¸ ¹

b 1

§ t t0 · ¸ ¨¨ T t ¸ ˜e © 0 ¹

b

(2.42)

b 1

(2.43)

Parameter: t:

Statistische Variable (Beanspruchungszeit, Lastwechsel, ...)

T:

Charakteristische Lebensdauer, F(t) = 63,2% bzw. R(t) = 36,8%

b:

Formparameter oder Ausfallsteilheit. Er legt die Kurvenform fest.

t0:

Ausfallfreie Zeit. Der Parameter t0 legt den Zeitpunkt fest, ab dem die Ausfälle beginnen. Es handelt sich um eine Verschiebung längs der Zeitachse.

„Lageparameter“.

Bei

t=T

ist

44

2 Grundlagen quantitativer Methoden 2,0

b=5 Dichtefunktion f(t)

1,5

3,5 1,0

2,5 2,0 1,5 1,25 1,5

0,5

1,0 0,5 0,25

0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Lebensdauer t

Abb. 2.32a Dichtefunktion f (t) der Weibullverteilung für unterschiedliche Formparameter b (charakteristische Lebensdauer T = 1, ausfallfreie Zeit t0 = 0) 100

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

%

b=5

3,5 2,5 2,0

80

1,5 1,25 1,0 0,5 0,25

63,2 60

40

20

T 0 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Lebensdauer t

Abb. 2.32b Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) der Weibullverteilung für unterschiedliche Formparameter b (charakteristische Lebensdauer T = 1, ausfallfreie Zeit t0 = 0)

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

45

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

100 % 80

60

40

36,8

b = 0,25 0,5

20

0

T

0

3,5 2,5 2,0 5,0

1,0 1,5 1,25

0,5

1,0 1,5 2,0 2,5 Lebensdauer t Abb. 2.32c Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) der Weibullverteilung für unterschiedliche Formparameter b (charakteristische Lebensdauer T = 1, ausfallfreie Zeit t0 = 0) 5

b = 5 3,5 2,5

Ausfallrate λ(t)

4

2,0 3

1,5

2

1,25 1,0

1

0,5 0,25

0 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Lebensdauer t Abb. 2.32d Ausfallrate O(t) der Weibullverteilung für unterschiedliche Formparameter b (charakteristische Lebensdauer T = 1, ausfallfreie Zeit t0 = 0)

46

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Die unterschiedlichen Ausfallraten der Weibullverteilung in Abb. 2.32d lassen sich in drei Bereiche einteilen, die mit den Bereichen der Badewannenkurve in Abschn. 2.1.1.4 identisch sind: b < 1: die Ausfallraten nehmen mit zunehmender Lebensdauer ab. Es lassen sich damit Frühausfälle beschreiben; b = 1: die Ausfallrate ist konstant. Der Formparameter b = 1 eignet sich somit zur Beschreibung von Zufallsausfällen im Bereich 2 der Badewannenkurve; b > 1: die Ausfallraten steigen mit zunehmender Lebensdauer deutlich an. Mit b-Werten größer 1 lassen sich deshalb Verschleiß- und Ermüdungsausfälle beschreiben. Die Gleichungen der Weibullverteilung enthalten die statistische Variable t in bezogener Form t / T bzw. (t - t0) / (T - t0). Für den Zeitpunkt t = T wird deshalb der Quotient gleich 1 und die Ausfallwahrscheinlichkeit ergibt sich zu:

F T 1  e 1

0,632 .

(2.44)

Dichtefunktion f (t)

Damit ist der charakteristischen Lebensdauer T eine Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = 63,2% bzw. entsprechend eine Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) = 36,8% zugeordnet. Ähnlich wie beim Median, bei dem F(t) = 50% beträgt, kann die charakteristische Lebensdauer T deshalb als ein besonderer Mittelwert aufgefasst werden, Abb. 2.33. F(t) = 63,2 %

f (t)

R(t) = 36,8 %

T

Ausfallzeit t

Abb. 2.33. Charakteristische Lebensdauer T als „Mittelwert“

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

47

Der Mittelwert tm der Weibullverteilung lässt sich nur mit Hilfe der Gammafunktion ermitteln: § 1· t m T ˜ *¨1  ¸ (2.45) © b¹ bzw. t m

T  t 0 ˜ *§¨1  1 ·¸  t0 . ©

b¹

(2.46)

Die Funktionswerte der Gammafunktion sind z.B. in [2.4] tabelliert. 2.2.3.2 Weibullwahrscheinlichkeitspapier

Die Ausfallwahrscheinlichkeiten F(t) in Abb. 2.32b weisen einen s-förmigen Kurvenverlauf auf. Mit einem speziellen „Weibullwahrscheinlichkeitspapier“ ist es möglich, die Funktionen F(t) der zweiparametrigen Weibullverteilung als Geraden zu zeichnen, s. Abb. 2.34. Dadurch kann das Ausfallverhalten auf eine einfache grafische Weise dargestellt werden. Sehr große Vorteile ergeben sich auch bei der Auswertung von Versuchen, da durch die eingetragenen Versuchswerte recht einfach eine Gerade gelegt werden kann, s. Kap. 6.

3,5 3,0 ,5

0 b=

10,0 5,0 3,0 2,0

2,0

0

b

=

1,

1,5 1,0 b= 3,5

=

2,0

1,0 0,5 0,3 0,2 0,1

2,5

0,5 Pol

0,1

Formparameter b

63,2 50,0 30,0 20,0

4,0

b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

1

T

10

Lebensdauert

0,1 100

Abb. 2.34. Weibullwahrscheinlichkeitspapier mit verschiedenen Ausfallwahrscheinlichkeiten F(t)

48

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Ausfallwahrscheinlichkeit F (t) [%]

Als Beispiel dazu ist in Abb. 2.35 die schon in Abschn. 2.1.1.2 verwendete Ausfallwahrscheinlichkeit eines NKW-Getriebes zu sehen, die hier im Weibullwahrscheinlichkeitspapier dargestellt ist. Man erkennt, dass die in Abb. 2.12 durch eine s-förmige Kurve beschriebene Ausfallwahrscheinlichkeit hier zu einer Geraden wird. 99,9 99 90 60 40 20 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,02

0,05

0,1

0,2

0,5

1

2

5

Normierte Lebensdauer - Variable (t /T) Abb. 2.35. Ausfallwahrscheinlichkeit eines 6-Gang-NKW-Getriebes im Weibullwahrscheinlichkeitspapier

Die Umwandlung der Kurven in Geraden wird durch eine bestimmte Skalierung der Abszisse und Ordinate erreicht. Die Abszisse ist logarithmisch geteilt, während die Ordinate einen doppeltlogarithmischen Maßstab besitzt:

x y

ln t ,

(2.47) ln  lnR t .

ln ln 1  F t bzw. y

(2.48)

Diese spezielle Achsenskalierung ergibt sich, ausgehend von der zweiparametrigen Weibullverteilung, folgendermaßen: F t

§t · ¨ ¸ 1 e ©T ¹

b

,

(2.49)

b

1  F t

§t · ¨ ¸ e ©T ¹

,

(2.50)

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

49

b

1 1  F t

§t · ¨ ¸ e ©T ¹

.

(2.51)

Durch zweimaliges Logarithmieren erhält man:

§ 1 · ¸¸ ln¨¨ ln © 1  F t ¹

§t· b ˜ ln¨ ¸ , ©T ¹

ln ln 1  F t b ˜ ln t  b ˜ ln T .

(2.52) (2.53)

Die Gl. (2.53) entspricht einer Geradengleichung in der Form

y

a˜xc

(2.54)

mit den Werten

a

b

(Steigung),

(2.55)

c b ˜ ln T

(Achsabschnit),

(2.56)

x

ln t

(Abszissen-Skalierung),

(2.57)

y

ln ln1  F t

(Ordinaten-Skalierung).

(2.58)

Jede zweiparametrige Weibullverteilung lässt sich damit als eine Gerade im Weibullwahrscheinlichkeitsnetz darstellen, s. Abb. 2.34. Die Steigung der Geraden im Wahrscheinlichkeitsnetz ist dabei ein direktes Maß für den Formparameter b. Der Formparameter b kann auf der rechten Ordinate in Abb. 2.36 abgelesen werden, wenn die Gerade parallel durch den Pol P verschoben wird. Die Lage des Pols und die Einteilung der linearen Ordinate für den Formparameter b kann mit den Gleichungen (2.55), (2.57) und (2.58) ermittelt werden: b

'y 'x

ln  ln1  F2 t 2  ln ln1  F1 t1 . ln t 2  ln t1

(2.59)

50

2 Grundlagen quantitativer Methoden 99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

3,0

30

2,5

20

10

2,0

5 4 3

1,5

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

50 40

2 1

1,0

0,5 0,4 0,3

0,5

0,2 0,1 1

Pol Pol

10

100

0 1000

Lebensdauer t

Abb. 2.36. Weibullwahrscheinlichkeitspapier Beispiel:

Eine zweiparametrige Weibullverteilung mit dem Formparameter b = 1,7 und der charakteristischen Lebensdauer T = 80.000 Lastwechsel soll in ein Weibullwahrscheinlichkeitspapier gezeichnet werden. Die gesuchte Funktion lautet damit:

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

51

1, 7

F t

§ · t ¸¸  ¨¨ 80 . 000 LW ¹ 1 e ©

.

Zuerst wird eine Hilfsgerade mit der Steigung b = 1,7 in das Wahrscheinlichkeitspapier gezeichnet, s. Abb. 2.37. Die Hilfsgerade geht dabei vom Pol P aus und endet an der rechten Ordinate bei b = 1,7. Die Steigung der gesuchten Weibullgerade ist damit bereits gefunden. Die Hilfsgerade muss nun noch parallel verschoben werden, bis sie bei F(t) = 63% die charakteristische Lebensdauer T = 80.000 Lastwechsel schneidet. Die Weibullgerade in Abb. 2.37 entspricht damit der gesuchten Ausfallwahrscheinlichkeit F(t). 4,0 3,5

63,2 50,0 30,0 20,0

2,5

10,0

1,0 0,5 0,3 0,2 0,1

1,5

lfs

rad

e

b = 1,7

ge

2,0

5,0 3,0 2,0

Formparameter b

3,0

1,0

Hi

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,5 T=8 0,1

1

Pol 10

Lebensdauer t·10 4

0,1 100

Abb. 2.37 Weibullwahrscheinlichkeitspapier mit der Weibullgeraden aus dem Beispiel

Eine dreiparametrige Weibullverteilung ergibt im Weibullwahrscheinlichkeitspapier keine Gerade sondern eine nach oben konvex gekrümmte Kurve, s. Abb. 2.38. Allerdings kann auch eine dreiparametrige Weibullverteilung als Gerade gezeichnet werden, wenn auf der Abszisse die um t0 korrigierten Ausfallzeiten (t - t0) abgetragen werden. Durch diese Zeittransformation wird die dreiparametrige Weibullverteilung auf eine zweiparametrige Weibullverteilung zurückgeführt, s. Abb. 2.39.

2 Grundlagen quantitativer Methoden 99,9 % 90,0

4,0 3,5

63,2 50,0 30,0 20,0

3,0 2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2 0,1

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

52

0,5 t0 1

Pol

0,1 100

10

Lebensdauer t ·10 3

Abb. 2.38. Originalwerte der dreiparametrige Weibullverteilung im Weibullwahrscheinlichkeitspapier 4,0 3,5

63,2 50,0 30,0 20,0

3,0 2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2 0,1

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t )

99,9 % t0 = 5000 LW 90,0

0,5 Pol 1

10

3

Lebensdauer (t -t0)·10

0,1 100

Abb. 2.39. Dreiparametrige Weibullverteilung mit um t0 korrigierten Ausfallzeiten (t - t0)

53

Ausfallrate λ(t)

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

Frühausfälle Zufallsausfälle

Bereich 1

Bereich 2

4,0

1,0

3,5

b>

63,2 50,0 30,0 20,0

3,0 2,5

10,0

2,0

1,0

5,0 3,0 2,0

b=

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

% 90,0

1,5

1,0

Formparameter b

99,9

Ermüdungs u. Verschleißausf älle Bereich 3

1,0

0,5 0,3 0,2

b<

1,0

0,5 Pol

0,1 0,1

1

Laufzeit t

10

0,1 100

Abb. 2.40. Badewannenkurve im Weibullwahrscheinlichkeitspapier

Wie bereits in Abschn. 2.1.1.4 erwähnt, lässt sich das gesamte Ausfallverhalten von Bauteilen bzw. Systemen mit der Ausfallrate Ȝ(t) in Form der Badewannenkurve darstellen. Die drei Bereiche der Badewannenkurve, die unterschiedliche Ausfallursachen beschreiben, können auch in das Weibullwahrscheinlichkeitspapier übertragen werden, s. Abb. 2.40. Jeder Bereich im Weibullwahrscheinlichkeitspapier wird dabei durch eine eigene Weibullverteilung beschrieben.

54

2 Grundlagen quantitativer Methoden

2.2.3.3 Historische Entstehung der Weibullverteilung

Zwischen den Jahren 1930 und 1950 führte W. Weibull verschiedene Ermüdungsversuche durch. Das dabei festgestellte Ausfallverhalten konnte er mit den bis dahin üblichen Verteilungen nicht korrekt beschreiben. Er versuchte deshalb selbst, eine universelle Verteilung zu entwickeln, die er 1951 in [2.40] ausführlich beschrieb. W. Weibull ging davon aus, dass sich jede Verteilungsfunktion in der Form

F t 1  e  Mt

(2.60)

darstellen lässt. An die Funktion ij(t) stellte er die einsichtigen MinimalForderungen: x ij(t) ist positiv und monoton steigend (damit wird die prinzipielle Forderung nach stetiger, monotoner Zunahme einer Verteilungsfunktion erfüllt), x es existiert eine untere Grenze t0, vor der ij(t) = 0 ist (damit kann eine Mindestlebensdauer bzw. ausfallfreie Zeit berücksichtigt werden). Die einfachste Funktion, die diesen Bedingungen genügt, lautet: b

Mt

§ t  t0 · ¨ ~ ¸ . © T ¹

(2.61)

Vor der Zeit t0 ist das Argument in Gl. (2.61) negativ und damit die Funktion nicht definiert. Ab der Zeit t0 beginnt ij(t) monoton zu steigen. ~ Wird statt dem Bezugswert T ein Wert (T - t0) eingesetzt, so ergibt sich für t = T immer F(t) = 63,2%. Dies bedeutet keine Einschränkung der Bedingungen, erleichtert aber den Umgang mit der Funktion. Durch Einsetzen von (2.61) in (2.60) ergibt sich die bekannte Weibullverteilung in dreiparametriger Form: F t

§ t t 0 ¨¨ T t 1 e © 0

· ¸ ¸ ¹

b

.

(2.62)

Bei der Postulierung der Funktion durch W. Weibull gab es keine wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung, warum sich gerade diese Funktion so gut zur Beschreibung von Lebensdauerversuchen eignet. W. Weibull entwickelte die Funktion auf rein empirischer Grundlage.

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

55

2.2.3.4 Wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung der Weibullverteilung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Weibullverteilung den „asymptotischen Extremwertverteilungen“ zugeordnet. Unter dieser Bezeichnung wurde die Verteilung bereits sehr früh sowohl durch Fisher und Tippett [2.10] als auch durch Gnedenko [2.14] grundlegend theoretisch untersucht. Nachdem W. Weibull die Verteilung empirisch entwickelt und vorgestellt hatte, wurde die Verteilung insbesondere von Freudenthal und Gumbel [2.11, 2.16, 2.17] und in neuerer Zeit durch Galambos [2.13] wahrscheinlichkeitstheoretisch begründet. Alle diese Quellen enthalten im Wesentlichen die folgende Definition: Die Weibullverteilung entspricht einer asymptotischen Extremwertverteilung der kleinsten (ersten) Ranggröße einer Stichprobe vom Umfang n, falls n sehr groß wird (n ĺ ’). Zum Verständnis dieser Definition muss bekannt sein, was die Begriffe Ranggröße und Ranggrößenverteilung bedeuten. Falls diese Begriffe noch nicht bekannt sind, sollte zuerst Abschn. 6.2 bearbeitet werden, wo auf Ranggrößen und ihre Verteilungen ausführlich eingegangen wird. Gedanklich kann jedes Bauteil in n Teile zerlegt werden: Bauteil

n Teile

Bezeichnet man mit t1, t2, … tn die Lebensdauer der n Teile, so ist die Lebensdauer des gesamten Bauteils tBauteil = min (t1, t2, … tn). Das Bauteil versagt also durch den Ausfall des schwächsten Gliedes. Die Ausfallzeit tBauteil entspricht daher der geringsten Ausfallzeit der „Stichprobe“ vom Umfang n. Diese geringste Ausfallzeit wird als 1. Ranggröße der Stichprobe bezeichnet. Für ein anderes, gleichartiges Bauteil mit der identischen „Stichprobenanzahl“ n wird tBauteil bzw. die kleinste Ranggröße etwas unterschiedlich sein. Dieser Ranggröße kann somit eine Verteilung zugeordnet werden. Da die 1. Ranggröße (bzw. auch die n-te Ranggröße) eine extreme Ranggröße darstellt, wird sie als Extremwert und ihre Verteilung als Extremwertverteilung bezeichnet. Für den Grenzübergang n ĺ ’ ergibt sich dann, dass die Lebensdauer des Bauteils weibullverteilt ist [2.13, 2.18].

56

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Der Ausfall des Bauteils durch seinen schwächsten Bereich entspricht dem Prinzip des schwächsten Gliedes einer Kette. Nur für den Fall, dass den realen Ausfallursachen dieses Prinzip zugrunde liegt, kann die Weibullverteilung theoretisch genau das Ausfallgeschehen beschreiben. Wegen ihrer großen Universalität, s. Abb. 2.32 , wird die Weibullverteilung in der Praxis jedoch meist aus rein pragmatischen Gründen angewendet. 2.2.4 Logarithmische Normalverteilung

Die logarithmische Normalverteilung, die meist kurz als Lognormalverteilung bezeichnet wird, geht aus der Normalverteilung von Abschn. 2.2.1 hervor. Die Zufallsvariable t wird dazu in logarithmierter Form lg t in die Gln. (2.27) bis (2.30) eingesetzt. Dies bedeutet, dass die logarithmierten Ausfallzeiten einer Normalverteilung folgen. Die Formeln der Lognormalverteilung sind in der Tabelle 2.4 zusammengefasst. Tabelle 2.4. Formeln der Lognormalverteilung

Dichtefunktion

f t

t ˜V 2˜S t

Ausfallwahrscheinlichkeit

F t



1

³ W˜V

Überlebenswahrscheinlichkeit

Rt 1  F t

Ausfallrate

O t

f t Rt

˜e

2 V2



1

0

lg t P 2

2˜S

˜e

(2.63)

lg W  P 2 2V 2

dW

(2.64) (2.65) (2.66)

Parameter: t:

Statistische Variable (Beanspruchungszeit, Lastwechsel, Anzahl der Betätigungen, ...)

P:

Lageparameter. Der genaue Mittelwert der Lognormalverteilung beträgt t median, LV 10 P .

V:

„Formparameter“, Streumaß

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

Dichtefunktion f(t)

2,5

σ=5

2,0 1,5

σ=0,25

σ=2

1,0

σ=1 σ=0,5

0,5 0

0

0,5

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

1,5

2

2,5

σ=0,25

0,8

σ=0,5

0,6 0,4

σ=2

σ=5

1,5

2

σ=1

0,2 0

0

0,5

1,0

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1

1

2,5

σ=0,25 σ=0,5

0,8 0,6

σ=1 σ=5

0,4

σ=2

0,2 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

2

2,5

Ausfallrate λ(t)

5,0

σ=0,25

4,0 3,0

σ=5

σ=0,5

2,0

σ=2

1,0 0

0

σ=1

0,5

µ=1

1

1,5

Lebensdauer t

Abb. 2.41. Ausfallfunktionen der Lognormalverteilung

57

58

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Im Gegensatz zur Normalverteilung können mit der Lognormalverteilung sehr unterschiedliche Dichtefunktionen erzeugt werden, s. Abb. 2.41. Mit der Lognormalverteilung kann deshalb, wie mit der Weibullverteilung, sehr unterschiedliches Ausfallverhalten gut beschrieben werden. Die Anwendung der Lognormalverteilung wird durch die Tatsache sehr erleichtert, dass die Normalverteilung die wohl am besten untersuchte Verteilung darstellt und dass sich die Verfahren der Normalverteilung einfach auf die Lognormalverteilung übertragen lassen. Ein großer Nachteil der Lognormalverteilung besteht allerdings wie bei der Normalverteilung darin, dass sich nur die Dichtefunktion in geschlossener Form darstellen lässt und dass sich die anderen Ausfallfunktionen nur durch eine aufwändige Integralbildung bzw. mit Tabellen ermitteln lassen. Die Ausfallrate der Lognormalverteilung steigt mit zunehmender Lebensdauer zuerst an, um dann nach Erreichen eines Maximums abzufallen. Für sehr große Lebensdauern strebt die Ausfallrate schließlich gegen Null, s. Abb. 2.41. Die monoton ansteigende Ausfallrate bei Ermüdungs- und Verschleißausfällen kann deshalb mit der Lognormalverteilung nur bedingt beschrieben werden. Dagegen lässt sich sehr gut ein Ausfallverhalten beschreiben, bei dem anfänglich die Ausfallrate schnell zunimmt, bei dem aber auch entsprechend viele Bauteile sehr robust und widerstandsfähig sind, um eine lange Belastungszeit zu ertragen. Während zum Entstehen einer Normalverteilung viele Zufallsfaktoren additiv zusammenwirken, sind bei der Lognormalverteilung die Zufallsfaktoren multiplikativ verknüpft. Die einzelnen Zufallsfaktoren sind somit proportional voneinander abhängig. Sehr gut lässt sich dies z.B. bei Ermüdungsbrüchen veranschaulichen. Es wird dabei vorausgesetzt, dass ein Bruch durch die aufgebrachte Belastung stufenweise entsteht und sich ausbreitet und dass die Anzahl der Rissverlängerungen bis zum Bruch sehr groß ist. Der Risszuwachs auf jeder Stufe kann als eine Zufallsvariable angesehen werden, die der erreichten Risslänge im Mittel proportional ist. Mit dem zentralen Grenzwertsatz [2.18, 2.25, 2.27] ergibt sich dann die Lognormalverteilung als Modell zur Beschreibung des Ermüdungsbruches [2.24]. Auch für die Lognormalverteilung gibt es ein Wahrscheinlichkeitspapier, in dem die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) als Gerade abgebildet wird und das sich deshalb sehr gut zur Auswertung von Versuchen eignet, s. Abb. 2.42. Das Wahrscheinlichkeitsnetz hat eine nach dem dekadischen Logarithmus geteilte Abszisse und eine der Normalverteilung gemäß geteilte Ordinate [2.18]. Der Medianwert tmedian = 10P entspricht dem Schnittpunkt mit der 50%-Linie der Ausfallwahrscheinlichkeit.

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

59

Die Standardabweichung ı ergibt sich zu: V

lg

t84% t50%

bzw.

V

lg

t50% . t16%

(2.67)

Einige Beispiele für Ausfallwahrscheinlichkeiten F(t) zeigt Abb. 2.42.

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99 % 95

σ = 0,3

90 84 80 70 60 50

0,5 1,0 2,0

30 20 16 10 5 3 2 1

1

10

Lebensdauer t

100

Abb. 2.42. Lognormalwahrscheinlichkeitspapier mit verschiedenen Ausfallwahrscheinlichkeiten F(t)

Von der Lognormalverteilung gibt es wie bei der Weibullverteilung eine dreiparametrige Version mit einer ausfallfreien Zeit t0 als dritten Parameter [2.18]. Die dreiparametrige Lognormalverteilung wird jedoch nur in sehr wenigen Fällen angewendet. 2.2.5 Weitere Verteilungen

Die nachfolgend dargestellten Verteilungen werden seltener eingesetzt. Sie bieten allerdings in einzelnen Fällen gewisse Vorteile und werden deshalb der Vollständigkeit halber aufgeführt.

60

2 Grundlagen quantitativer Methoden

2.2.5.1 Gammaverteilung

Die Gammaverteilung existiert wie die Weibullverteilung in einer zweioder dreiparametrigen Form. Als verallgemeinerte Gammaverteilung kann sie sogar vier freie Parameter enthalten. Allerdings verursacht die statistische Analyse von Daten mit einem so flexiblen Modell einen sehr großen Aufwand, so dass diese Form hier nicht in Betracht gezogen wird [2.19]. Die Verteilungsdichte der Gammaverteilung lautet in der zweiparametrigen Form f t

a b t b 1e  at *b

(2.68)

und in der dreiparametrigen Form ab t  t0 b 1 e  a t  t 0 , *b

f t

(2.69)

wobei a ein Maßstabsparameter, b ein Formparameter und t0 ein Lageparameter ist. Weiterhin bedeuten f

*b

³x

b 1  x

e

dx

(2.70)

0

die vollständige, s. Tabelle A.4, und at

*b, at

³x

b 1  x

e dx

(2.71)

0

die unvollständige Gammafunktion, die z.B. in Bronstein [2.4] tabelliert ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufälligen Veränderlichen mit zweiparametriger Gammaverteilung lässt sich nur als Integral beschreiben F t

ab *b

f

³u

b 1  au

e

du ,

(2.72)

0

wobei daraus auch gleichzeitig die Überlebenswahrscheinlichkeit resultiert Rt 1 

ab *b

f

³u 0

b 1  au

e

du .

(2.73)

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

61

Die Ausfallrate der Gammaverteilung lässt sich nicht in geschlossener Form angeben, es gilt die allgemeine Beziehung Ot

f t . 1  F t

(2.74)

Der Erwartungswert und die Varianz einer zweiparametrigen Gammaverteilung ergeben sich zu E t

b a

Var t

b

(2.75)

und a2

.

(2.76)

Die dreiparametrige Gammaverteilung besitzt neben den Parametern a und b wie bereits erwähnt den zusätzlichen Lageparameter t0. Mit diesem Parameter können, ähnlich wie bei der Exponential- und der Weibullverteilung, Ausfälle beschrieben werden, die erst ab einem Zeitpunkt t0 beginnen, also eine ausfallfreie Zeit besitzen. Bei der dreiparametrigen Gammaverteilung lautet der Erwartungswert E t t0 

b a

(2.77)

und die Varianz folgt nach Gl. (2.76), was bedeutet, dass die Varianz in der zweiparametrigen und dreiparametrigen Form die gleiche Größe besitzt, und somit unabhängig von t0 ist. Mit der Gammaverteilung kann, ähnlich wie mit der Weibullverteilung, sehr unterschiedliches Ausfallverhalten gut beschrieben werden. Dies wird vor allem in den Dichtefunktionen der Gammaverteilung, s. Abb. 2.43, deutlich. In Abhängigkeit von einem Parameter – dem Formparameter b – ändert sich die Dichtefunktion deutlich. Für b = 1 lässt sich die Gammaverteilung direkt in die Exponentialverteilung überführen, s. Abb. 2.31.

62

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

2,5 2,0

b=0,5

1,5 1,0

b=1

0,5 0

b=2 0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

1

2

b=4 3

4

5

6

4

5

6

4

5

6

5

6

b=0,5

0,8

b=1

b=2

0,6

b=4

0,4 0,2 0

0

1

2

3

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 0,8

b=4 b=2

0,6

b=1

0,4 0,2 b=0,5 0

0

1

2

3

Ausfallrate λ(t)

3,0 2,5

b=0,5

2,0

b=1

1,5 1,0

b=2

0,5 0

0

1

2

b=4 3

4

Lebensdauer t

Abb. 2.43. Ausfallfunktionen der zweiparametrigen Gammaverteilung mit a = 1

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

63

Wird der Formparameter b als eine positive ganze Zahl (b = 1, 2, …) angenommen, so entsteht aus der Gammaverteilung die Erlangverteilung. Für Formparameter b > 1 beginnt die Dichtefunktion stets bei f(t) = 0, erreicht dann mit zunehmender Lebensdauer ein Maximum und fällt schließlich flach ab. Das Maximum der Dichtefunktion verschiebt sich mit größer werdendem Formparameter immer weiter nach rechts, s. Abb. 2.43. In Abb. 2.43 werden auch die Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. die Überlebenswahrscheinlichkeit der Gammaverteilung gezeigt. Wie aus Abb. 2.43 ersichtlich, eignet sich die Ausfallrate der Gammaverteilung wie die der Weibullverteilung zur Beschreibung des Ausfallverhaltens mit zunehmender, abnehmender oder konstanter Ausfallrate. Mit wachsendem t konvergiert die Ausfallrate gegen den Maßstabsparameter a. Sie unterscheidet sich dadurch von der Weibullverteilung, deren Ausfallrate den Faktor (b - 1) im Exponent enthält und sich damit mit wachsendem t immer stärker ändert [2.19]. 2.2.5.2 Erlangverteilung

Die Erlangverteilung ist ein Sonderfall der Gammaverteilung. Sie kann für ganzzahlige positive Zahlen für den Formparameter b direkt aus der Gammaverteilung abgeleitet werden. Somit treffen alle beschriebenen Eigenschaften der Gammaverteilung auch auf die Erlangverteilung zu. Insbesondere die Einfachheit und der Zusammenhang mit der Exponentialverteilung für den Parameter b = 1 sind ein Vorteil dieser Verteilung. Der Zusammenhang mit der Exponentialverteilung ist die eigentliche wichtige Bedeutung der Erlangverteilung. So entspricht die Erlangverteilung der Summe von n statistisch unabhängigen Zufallsgrößen t1, …, tb, welche ein und dieselbe Exponentialverteilung besitzen. In der Anwendung ist dies zum Beispiel sehr nützlich, um Ausfälle zu beschreiben, die sich in Stufen ereignen und der Ausfall am Ende der b-ten Stufe eintritt. Die Dichtefunktion der Erlangverteilung lautet f t

aat b 1 e  at b  1 !

(2.78)

und die durch Integration der Dichtefunktion entstehende Ausfallwahrscheinlichkeit F t 1 

b 1  at

¦ r 0

e

at r

r!

.

Damit gilt für die Überlebenswahrscheinlichkeit

(2.79)

64

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Rt

b 1  at

¦ r 0

at r

e

(2.80)

r!

und die Ausfallrate a at b 1

Ot

b 1

b  1 ! ¦

at r

.

(2.81)

r!

r 0

Der Erwartungswert und die Varianz der Erlangverteilung lauten nach [2.12]: E t

b , a

Var t

b a2

(2.82) .

(2.83)

Die grafischen Darstellungen der Funktionen aus den Gln. (2.78) bis (2.81) zeigt Abb. 2.44. Darin sieht man, dass sich unterschiedlichste Dichtefunktionen realisieren lassen (linkssymmetrische, symmetrische, abfallende). Die Eigenschaften sind, wie bereits angedeutet, dieselben wie bei der Gammaverteilung. Die Ausfallrate der Erlangverteilung ist stets wachsend und es gilt O (0) 0 , sowie lim Ot

t of

aat b 1 b 1

b  1 ! ¦

r 0

at r

.

(2.84)

r!

Dies bedeutet, dass die Ausfallraten der Erlang- und Gammaverteilung für t o f gegen einen Grenzwert konvergieren. Im Gegensatz dazu konvergiert die Ausfallrate der Weibullverteilung für b-Werte größer eins gegen unendlich.

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

Dichtefunktion f(t)

3,0 2,5

a=3, b=1

2,0 1,5

a=16, b=32

1,0

a=1, b=2

0,5

a=2, b=4

0 0

1

2

3

4

3

4

3

4

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

a=3, b=1

0,8 0,6

a=1, b=2

a=2, b=4

0,4

a=16, b=32

0,2 0

0

1

2

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0

a=16, b=32

0,8

a=2, b=4

0,6

a=1, b=2

0,4

a=3, b=1

0,2 0

0

1

2

Ausfallrate λ(t)

4,0

a=3, b=1 3,0

a=16, b=32 2,0

a=2, b=4 1,0

a=1, b=2 0

0

1

2

Lebensdauer t

Abb. 2.44. Ausfallfunktionen der Erlangverteilung

3

4

65

66

2 Grundlagen quantitativer Methoden

2.2.5.3 Hjorthverteilung

Aus einer Studie von U. Hjorth [2.21], die den Zusammenhang zwischen Fehlerabschätzung und Wahrscheinlichkeitsmodell untersuchte, ging die Hjorthverteilung hervor. Mit der Hjorthverteilung kann, ähnlich wie mit der Gamma- und Weibullverteilung, unterschiedliches Ausfallverhalten sehr gut beschrieben werden. Es kann der komplette Bereich der Badewannenkurve mit dieser Verteilung beschrieben werden, d.h. es kann zunehmendes, abnehmendes, konstantes und badewannenförmiges Ausfallverhalten dargestellt werden. Die Hjorthverteilung besitzt einen Parameter mehr als die Weibullverteilung, einen Maßstabsparameter E und zwei Formparameter T und G. Somit lässt sich in manchen Situationen das Ausfallverhalten besser beschreiben, beispielsweise wenn das Ausfallverhalten sich ändert bzw. die gesamte Badewannenkurve mit nur einer Verteilung dargestellt werden soll [2.21]. Die Dichtefunktion der Hjorthverteilung lautet 2

Gt  1  E t Gt  T  2 f t e T 1 1  Et E

.

(2.85)

Daraus lässt sich leicht durch Integration ihre zugehörige Ausfallwahrscheinlichkeit mit

F t 1 

e



Gt 2 2 T E

(2.86)

1  Et

und die Überlebenswahrscheinlichkeit mit

Rt

e



Gt 2 2 T E

(2.87)

1  Et berechnen. Die Ausfallrate ergibt sich dann zu Ot Gt 

T . 1  Et

(2.88)

Der Erwartungswert und die Varianz lassen sich bei der Hjorthverteilung nur auf numerischem Weg berechnen. Dazu muss das Integral

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

f

I a, b

e



at 2 2

³ 1  t b

67

(2.89)

0

definiert werden. Mit Gl. (2.89) ergibt sich dann der Erwartungswert zu E t

2 §¨ § G T · § G T · ·¸ I ¨ ,  1¸  I ¨ , ¸ E2 ¨© ¨© E 2 E ¸¹ ¨© E 2 E ¸¹ ¸¹

(2.90)

und die Varianz Var t

2 § G T · 2 I ¨ ,  1¸  E2 ¨© E2 E ¸¹ E2

§ G T· 1 § G T· I ¨¨ 2 , ¸¸  2 I 2 ¨¨ 2 , ¸¸ . ©E E¹ E ©E E¹

(2.91)

Die grafischen Verläufe der Hjorthverteilung sind in Abb. 2.45 dargestellt. Ein weiterer Vorteil der Hjorthverteilung gegenüber der Weibullverteilung zeigt sich, wenn man die Ausfallrate der Hjorthverteilung mit der Ausfallrate der Weibullverteilung vergleicht. Die Ausfallrate der Weibullverteilung strebt für b < 1 und kleine t-Werte gegen unendlich, wogegen die Ausfallrate der Hjorthverteilung für diese Eigenschaften gegen den Formparameter T strebt, s. Abb. 2.45. Die Gl. (2.88) kann auch als Summe aus einem steigenden und einem T abfallenden Term interpretiert werden, wobei Gt der steigende und 1  Et der abfallende Anteil ist. Dies ist von Vorteil, weil sich damit z.B. zwei unterschiedliche Ausfallarten charakterisieren lassen.

68

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

3,0 2,5

β=3, δ=0, θ=2

2,0 1,5

β=0, δ=1, θ=0

1,0

β=2, δ=1, θ=1,5

0,5 0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

0

1

2

β=3, δ=0, θ=2

0,8

3

4

β=0, δ=1, θ=0

0,6

β=2, δ=1, θ=1,5

0,4 0,2 0

0

1

2

3

4

3

4

1,0

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

0,8

β=2, δ=1, θ=1,5

0,6

β=0, δ=1, θ=0

0,4

β=3, δ=0, θ=2

0,2 0

0

1

2

5,0

β=3, δ=0, θ=2

Ausfallrate λ(t)

4,0 3,0

β=0, δ=1, θ=0

2,0

β=2, δ=1, θ=1,5

1,0 0 0

1

2

Lebensdauer t

Abb. 2.45. Ausfallfunktionen der Hjorthverteilung

3

4

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

69

2.2.5.4 Sinusverteilung

Die Sinusverteilung wurde aus der arcsin P -Transformation hergeleitet. Die arcsin P -Transformation ist ein einfaches Verfahren zur grafischen und rechnerischen Auswertung von Dauerschwingversuchen. Diese Methode, die auf R. A. Fisher zurückgeht, empfahl sich umfassenden Untersuchungen zufolge als einfache, robuste und zuverlässige Auswertemethode für Dauerschwingversuche, vor allem in denjenigen Fällen, in denen aus wirtschaftlichen Erwägungen das Versuchsaufkommen vergleichsweise niedrig gehalten werden musste [2.6]. Der besondere Vorteil dieser Transformation besteht darin, dass die Varianz der Transformationsgröße z arcsin P mit steigendem z bzw. mit steigendem Stichprobenumfang n asymptotisch einem konstanten Wert zustrebt, somit also von n unabhängig wird. Wie schon angedeutet wird sie hauptsächlich zur Abschätzung der Dauerfestigkeit im Übergangsgebiet und der Mindestlebensdauer im Zeitfestigkeitsgebiet angewendet. Dabei werden die Punkte (V, z) nach den Rechenregeln der Regressionsrechnung durch eine Gerade ausgeglichen, wobei die Transformationsgröße z arcsin P für die beobachteten Ausfälle pro Stichprobenumfang aus Tabellen abzulesen ist. ˆ a  bz werden dann die Koeffizienten In den Ausgleichsgeraden V mittels Regressionsrechnung ermittelt. Für die grafische Auswertung stehen arcsin P -Netze zur Verfügung. Näheres ist in [2.6, 2.7, 2.9] nachzulesen. Die statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung zu dieser Transformation lautet nach [2.26]: F P a  b arcsin P ,

(2.92)

wobei P hier die Bruchwahrscheinlichkeit darstellt. Diese Gleichung wurde nach P umgestellt und es ergab sich somit folgende Ausfallwahrscheinlichkeit: 2

§t a· F t 1  Rt sin ¨ ¸ . © b ¹

(2.93)

Durch Ableitung nach der Zeit folgt die Dichtefunktion

f t

§t a· §t a· sin¨ ¸ cos¨ ¸ b ¹ © b ¹ © 2 b

(2.94)

70

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

0,5 0,4

a=0, b=3

0,3

a=3, b=4 a=5, b=5

0,2 0,1 0

0

2

4

6

8

10

12

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0 0,8

a=0, b=3

0,6

a=3, b=4

0,4

a=5, b=5 0,2 0

0

2

4

6

8

10

12

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 0,8

a=5, b=5 0,6

a=3, b=4

0,4

a=0, b=3 0,2 0

0

2

4

6

8

10

12

Ausfallrate λ(t)

4,0 3,0

a=0, b=3 a=3, b=4

2,0

a=5, b=5

1,0 00

2

4

6

8

Lebensdauer t

Abb. 2.46. Ausfallfunktionen der Sinusverteilung

10

12

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

71

und die Ausfallrate

Ot

§t a· §t a· sin ¨ ¸ cos¨ ¸ b ¹ © b ¹ © 2 . 2· § t  a § · b¨1  sin ¨ ¸ ¸ ¨ b © ¹ ¸¹ ©

(2.95)

In Abb. 2.46 befinden sich die grafischen Darstellungen der Sinusverteilung, woraus man erkennen kann, dass die Dichtefunktion, die Ausfallwahrscheinlichkeit, sowie die Überlebenswahrscheinlichkeit jeweils nur für bestimmte Zeitbereiche definiert sind, da sonst die nächste Periode des Sinus wieder beginnt. Außerdem lassen sich nur symmetrische Dichtefunktionen realisieren, so dass diese Verteilung im Allgemeinen für den Maschinenbau nicht sehr nützlich ist. 2.2.5.5 Logitverteilung

Die von J. Berkson in die Untersuchungsmethodik der Biologie eingeführte Logitfunktion wird nach [2.9 ] durch die Ausfallwahrscheinlichkeit F t 1  Rt

1 1 e

 D  Et

(2.96)

beschrieben. Somit lautet ihre zugehörige Dichtefunktion f t

E e  D  E t 1  e  D  E t





2

(2.97)

und die Ausfallrate

O t

E e  D Et . 1 ·  D  E t 2 § 1 e ¨1  ¸ © 1  e  D  E t ¹





(2.98)

Die Logitfunktion wird ebenfalls zur Abschätzung der Dauerschwingfestigkeit angewendet und kann deshalb gut mit der arcsin P -Transformation verglichen werden. Dies wurde z.B. von Dorff in [2.9] durchgeführt. Bei diesem Vergleich wird Gl. (2.96) ähnlich wie bei der arcsin P Transformation in eine Geradengleichung transformiert.

72

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

1,0 0,8

α=-6, β=3

0,6

α=-7, β=2

0,4

α=-5, β=1

0,2 0

0

2

4

6

8

10

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

α=-6, β=3

0,8 0,6

α=-5, β=1

0,4

α=-7, β=2

0,2 0

0

1

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0

2

3

4

5

8

10

8

10

α=-7, β=2

0,8 0,6

α=-5, β=1

0,4

α=-6,β=3

0,2 0

0

2

4

6

4,0

Ausfallrate λ(t)

α=-6, β=3 3,0

α=-7, β=2 2,0

α=-5, β=1

1,0 0

0

2

4

6

Lebensdauer t

Abb. 2.47. Ausfallfunktionen der Logitverteilung

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

73

Diese Transformation lautet nach [2.9] bei der Logittransformation logit F

ln

F R

D  Et ,

(2.99)

wobei sich die Parameter wieder durch Regression ergeben. Der Begriff logit F dient dabei nur als Erkennungsmerkmal der Logitverteilung. Die grafischen Darstellungen der Logitverteilung sind in Abb. 2.47 aufgeführt. Die Dichtefunktionen der Logitverteilung zeigen ein ausgeprägtes symmetrisches Verhalten. Die Logitverteilung ist daher zur Beschreibung des Ausfallverhaltens von Maschinenbauprodukten weniger geeignet. 2.2.5.6 Verschobene Paretoverteilung

Die Paretoverteilung findet z.B. Anwendung in der Luftfahrt für die Abschätzung der Minimallebensdauer von Bauteilen oder im Rückversicherungsbereich bei der Modellierung von Großschäden. Die Dichtefunktion der Paretoverteilung lautet nach [2.20, 2.22]: f t

1 § [t · ¨1  ¸ D© D¹

§1 ·  ¨¨ 1 ¸¸ ©[ ¹

,

(2.100)

wobei D ein Größenparameter ist, der den Anfangswert der Dichtefunktion für t = 0 festlegt und [ ein Formparameter, der die Ausfallsteilheit beschreibt. Dabei wird gefordert, dass D > 0 und [ > 0 gilt. Durch Integration lässt sich Ausfallwahrscheinlichkeit berechnen zu

F t

[t · § 1  ¨1  ¸ D¹ ©



1 [

,

(2.101)

die Überlebenswahrscheinlichkeit ist dann

Rt

§ [t · ¨1  ¸ D¹ ©



1 [

(2.102)

74

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Dichtefunktion f(t)

1,0

α=1, ζ=1 α=1, ζ=3 α=4, ζ=1 α=4, ζ=5

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

2

4

6

8

10

6

8

10

4

6

8

10

4

6

8

10

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

1,0

α=1, ζ=1

0,8

α=1, ζ=3

0,6

α=4, ζ=1

0,4

α=4, ζ=5

0,2 0

0

2

4

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 0,8

α=4, ζ=5

0,6

α=4, ζ=1

0,4

0

α=1, ζ=3

α=1, ζ=1

0,2 0

2

Ausfallrate λ(t)

4,0 3,0 2,0

α=1, ζ=1 α=1, ζ=3 α=4, ζ=1 α=4, ζ=5

1,0 00

2

Lebensdauer t

Abb. 2.48. Ausfallfunktionen der verschobenen Paretoverteilung

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

75

und die Ausfallrate resultiert daraus zu Ot

1 § [t · D ¨1  ¸ D¹ ©

.

(2.103)

Der Erwartungswert ergibt sich nach [2.20] zu E t

D 1 [

konst.

(2.104)

und die Varianz zu

Var t

D 2 §¨ 1 1 ·¸  [2 ¨© 1  2[ [  1 2 ¸¹

konst.

(2.105)

Die grafische Darstellung der verschobenen Paretoverteilung ist in Abb. 2.48 dargestellt. 2.2.5.7 SB-Johnson-Verteilung

Die SB-Johnson-Verteilung kann mit ihren 4 Parametern das Ausfallverhalten eines Bauteils bzw. Systems über die gesamte Lebensdauer mit Früh-, Zufalls- und Verschleißausfällen darstellen. Sie kann somit die vollständige „Badewannencharakteristik“ der Ausfallrate nachbilden. Die Dichtefunktion der SB-Johnson-Verteilung ist nach [2.37] gegeben als

f t

K

G 2S t  H ˜ G  t  H ˜

2· § 1§ ¨  ¨ J  K˜ln § t  H · ·¸ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨¨ 2 ¨© © G  t  H ¹ ¹ ¸¸ ¹ ˜ e©

(2.106) .

Darin ist H der linke Grenzwert, G der Größenparameter und somit H + G der rechte Grenzwert der Zufallsvariable. Die Parameter K und J sind Formparameter. Beispielhaft sind in Abb. 2.49a einige Dichtefunktionen der Verteilung dargestellt, deren Parameter in Tabelle 2.5 angegeben sind. Die Parameter müssen dabei folgenden Bedingungen genügen:

İ  x  İ  į, Ș ! 0,f  Ȗ  f, į ! 0. Die Ausfall- sowie Überlebenswahrscheinlichkeit, Ausfallrate, Erwartungswert und Varianz der SB-Johnson-Verteilung lassen sich nur numerisch berechnen.

76

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Abb. 2.49a. SB-Johnson-Verteilung, Ausfallwahrscheinlichkeitsdichte (Parameter s. Tabelle 2.5)

Abb. 2.49b. SB-Johnson-Verteilung, Ausfallwahrscheinlichkeit (Parameter s. Tabelle 2.5)

2.2 Lebensdauerverteilungen zur Zuverlässigkeitsbeschreibung

Abb. 2.49c. SB-Johnson-Verteilung, Überlebenswahrscheinlichkeit (Parameter s. Tabelle 2.5)

Abb. 2.49d. SB-Johnson-Verteilung, Ausfallrate (Parameter s. Tabelle 2.5)

77

78

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Die aus den Dichtefunktionen in Abb. 2.49a resultierenden Graphen der Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeit und der Ausfallrate sind in Abb. 2.49b bis Abb. 2.49d dargestellt. Deutlich erkennt man die sehr unterschiedlichen Verläufe, die die SB-Johnson-Verteilung für die gewählten Parameter annehmen kann. Für die Parameterkombinationen 3, 5 und 9 aus Tabelle 2.5 stellt sich der Verlauf der Ausfallrate als „Badewanne“ dar. Diese „Badewannen“Kurven sind zusätzlich noch in einer zweiten Darstellung in Abb. 2.49d angegeben. Tabelle 2.5. Parameter der dargestellten Graphen Graph K J

2.3

1 0,5 -2

2 0,5 -0,5

3 0,5 0,5

4 5 0,5 0,09 2 1 H = 0, G = 1

6 2 2

7 2 0,05

8 1 -2

9 0,3 0,02

Berechnung der Systemzuverlässigkeit mit der Booleschen Theorie

Ausgehend vom Bauteilausfallverhalten lässt sich mit der Booleschen Systemtheorie das Ausfallverhalten von Systemen berechnen [2.2, 2.33, 2.35, 2.36, 2.39]. Das Ausfallverhalten der einzelnen Bauelemente kann dabei, wie in Abschn. 2.1 beschrieben, dargestellt werden (z.B. durch eine Weibullverteilung mit den Parametern b, T und t0). Für die Anwendung der Booleschen Theorie müssen einige wesentliche Voraussetzungen gegeben sein: x das System ist „nicht reparierbar“, d.h. der erste Systemausfall beendet die Systemlebensdauer. Bei reparierbaren Systemen kann deshalb nur bis zum ersten Systemausfall gerechnet werden; x die Systemelemente können nur die beiden Zustände „funktionsfähig“ oder „ausgefallen“ annehmen; x die Systemelemente sind „unabhängig“, d.h. das Ausfallverhalten eines Bauelements wird durch das Ausfallverhalten anderer Bauelemente nicht beeinflusst. Unter diesen Bedingungen können sehr viele Maschinenbauprodukte mit der Booleschen Theorie behandelt werden. Mit den Systemelementen lassen sich „Zuverlässigkeitsschaltbilder“ aufstellen, aus denen die Zuverlässigkeitsstruktur eines Systems erkennbar

2.3 Berechnung der Systemzuverlässigkeit mit der Booleschen Theorie

79

wird. Das Zuverlässigkeitsschaltbild zeigt dabei, wie sich der Ausfall einer Komponente auf das gesamte System auswirkt. Die Verbindungen zwischen Eingang E und Ausgang A des Schaltbildes aus Abb. 2.50 und Abb. 2.51, stellen die Möglichkeiten für die Funktionsfähigkeit des Systems dar. Das System ist somit genau dann funktionsfähig, wenn im Zuverlässigkeitsschaltbild zwischen Ein- und Ausgang eine Verbindung besteht, auf der sämtliche eingezeichneten Komponenten intakt sind. Bei einer Serienstruktur, Abb. 2.50a, führt der Ausfall einer beliebigen Komponente zum Ausfall des gesamten Systems. Bei einer Parallelstruktur, Abb. 2.50b, fällt das System erst aus, wenn sämtliche Komponenten ausgefallen sind. Die Abb. 2.50c zeigt eine Kombination von Serien- und Parallelstruktur. a) E

Komponente 1

b)

Komponente 2

Komponente n

A

Komponente 1

E

Komponente 2

A

Komponente n

c) Komponente 2/1 E

Komponente 1

A Komponente 2/2

Abb. 2.50. Grundstrukturen von Zuverlässigkeitsschaltbildern: a) Serienstruktur b) Parallelstruktur c) Kombination von Serien- und Parallelstruktur

Zu beachten ist, dass sich der Aufbau des Zuverlässigkeitsschaltbildes nicht am mechanischen Aufbau einer Konstruktion orientiert. So kann eine Komponente durchaus an mehreren Stellen des Zuverlässigkeitsschaltbildes vorkommen.

80

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Die Abb. 2.51 zeigt beispielhaft die Erstellung eines Zuverlässigkeitsschaltbildes. Das Beispielsystem „Freilauf“ besteht aus drei Wellen (W1, W2, W3), die mit zwei Freiläufen (F1, F2) verbunden sind, Abb. 2.51a und b. Sperren

a)

Freilauf

T E

b)

W1

E

c)

W2

F1

F1

U

F2 F1

A

d)

F1

K F1

e)

F1

A

U

K

E

E

A

W3

F2

U

F2

K A

U F1

K

Abb. 2.51. Erstellung eines Zuverlässigkeitsschaltbildes: a) Konstruktionszeichnung des Beispielsystems „Freilauf“ b) Prinzipskizze des Freilaufsystems c) Serienstruktur für die Ausfallursache „Unterbrechung“ d) Parallelstruktur für die Ausfallursache „Klemmen“ e) Gesamte Zuverlässigkeitsstruktur für das System Freilauf

Der Systemeingang ist mit E und der Systemausgang mit A bezeichnet. Die Funktion des Systems besteht darin, in einer Drehrichtung das Drehmoment T zu übertragen und in der anderen Drehrichtung durch Ansprechen der Freiläufe die Verbindung zwischen E und A zu unterbrechen, so dass keine Momentübertragung mehr erfolgen kann.

2.3 Berechnung der Systemzuverlässigkeit mit der Booleschen Theorie

81

Als Ausfallursachen kommen für die Freiläufe entweder Unterbrechung oder Klemmen in Betracht. Während bei der Unterbrechung in keiner Drehrichtung ein Moment übertragen wird, erfolgt im Fall Klemmen in beiden Drehrichtungen eine Mitnahme der Wellen. Das Zuverlässigkeitsblockschaltbild für die Unterbrechung zeigt die Abb. 2.51c. Es handelt sich hier um eine Serienstruktur, da schon bei Unterbrechung eines Freilaufs das System seine Funktion nicht mehr erfüllen kann. Im Fall Klemmen, Abb. 2.51d, besitzt das Zuverlässigkeitsschaltbild eine Parallelstruktur, da beim Klemmen eines Freilaufs der andere Freilauf noch die Funktionsfähigkeit des Systems ermöglicht. Das gesamte Blockschaltbild, Abb. 2.51e, ergibt sich als Serienschaltung der beiden Teilstrukturen in Abb. 2.51c und Abb. 2.51d. Die meisten Maschinenbauprodukte besitzen eine Zuverlässigkeitsserienstruktur, da der Einbau von Redundanzen sehr aufwändig ist. Dies gilt insbesondere für Serien- und Großserienprodukte. Bei den kritischen Bauteilen wird statt einer Redundanz eine größere Dimensionierung mit entsprechend höheren Sicherheiten durchgeführt. Dadurch wird das Ausfallverhalten auf einfache Weise verbessert. Die Berechnung der Zuverlässigkeit eines Seriensystems erfolgt nach dem Produktgesetz der Überlebenswahrscheinlichkeiten: RS t RB1 t ˜ RB 2 t ˜ ...·RBn t bzw. RS t

n

– RBi t .

(2.107)

i 1

Bei einer endlichen Zuverlässigkeit jedes Bauteils (RB(t) < 1) ergibt sich für die Systemzuverlässigkeit immer ein Wert, der kleiner ist als die Zuverlässigkeit des schlechtesten Bauelements. Durch jedes zusätzliche Bauteil wird die Systemzuverlässigkeit weiter verringert. Bei sehr vielen Bauteilen ergibt sich dabei, trotz hoher Bauteilzuverlässigkeiten, eine kleine Zuverlässigkeit des Systems, Abb. 2.52. Wird das Bauteilausfallverhalten mit der dreiparametrigen Weibullverteilung beschrieben, so ergibt sich für die Bauteilzuverlässigkeit: R B t

§ t t0 ¨¨ T t e © 0

b

· ¸ ¸ ¹

.

(2.108)

82

2 Grundlagen quantitativer Methoden 100 RB(t) = 99,9%

System-Zuverlässigkeit Rs(t)

80

60

RB(t) = 99,5%

40

RB(t) = 99% 20 RB(t) = 95% 0

0

100

200

300

Anzahl der Komponenten n

Abb. 2.52. Abnahme der Systemzuverlässigkeit mit zunehmender Anzahl der Bauteile bei unterschiedlichen Bauteilzuverlässigkeiten RB(t)

Die Systemzuverlässigkeit erhält man mit Gl. (2.107) zu: RS t

b § t  t 01 · 1 § t  t 02 ¸¸  ¨¨  ¨¨ T1  t 01 ¹ T t © e ·e © 2 02

b

 ln RS t

b · 2 ¸¸ ¹

b § t  t 03 · 3 ¸¸  ¨¨ T t ·e © 3 03 ¹

§ t  t01 · 1 § t  t02 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨T t ¸ ¨T t ¸ © 1 01 ¹ © 2 02 ¹

b2

bzw. b

§ t  t03 · 3 ¸ .  ¨¨ ¸ T  t © 3 03 ¹

(2.109)

Für eine gewünschte Systemzuverlässigkeit RS(t) lässt sich die zugehörige Zeit t, abgesehen von Sonderfällen, nur iterativ mit einem Näherungsverfahren bestimmen. Für RS(t) = 0,9 erhält man die oft verwendete B10SLebensdauer des Systems. Die sich aus den Bauteilzuverlässigkeiten ergebende Funktion RS(t) ist nur in Sonderfällen wieder exakt eine Weibullverteilung. Wegen der großen Universalität der Weibullverteilung kann die Systemzuverlässigkeit jedoch immer in sehr guter Näherung durch eine bestimmte Weibullverteilung beschrieben werden.

2.4 Übungsaufgaben zu Lebensdauerverteilungen

83

Bei Parallelsystemen erhält man die Zuverlässigkeit des Systems nach der Formel: R S t 1  1  R1 t · 1  R 2 t ·...· 1  Rn t bzw.

RS t 1 

(2.110)

n

– 1  R t .

(2.111)

i

i 1

Hierbei bedeutet n der Redundanzgrad des Systems.

2.4

Übungsaufgaben zu Lebensdauerverteilungen

Aufgabe 2.1

R

6

Ø8

32

M16x1

R

Ø5

Maennig führte Schwingfestigkeitsversuche an leicht gekerbten Wellen durch. Die Wellen wurden dabei mit sinusförmigen, rein wechselnden Zug-Druck-Schwingungen belastet [2.31].

96

Abb. 2.53. Gekerbte Welle für Schwingversuche

Bei einem Spannungsausschlag von 380 N/mm2 ergaben sich für einen Versuch mit n = 20 Wellen folgende Ausfallzeiten: 100.000 LW, 117.000 LW, 125.000 LW, 132.000 LW,

90.000 LW, 177.000 LW, 118.000 LW, 97.000 LW,

59.000 LW, 98.000 LW, 99.000 LW, 87.000 LW,

80.000 LW, 158.000 LW, 186.000 LW, 69.000 LW,

126.000 LW, 107.000 LW, 66.000 LW, 109.000 LW,

(LW: Lastwechsel). a) Klassieren Sie die Ergebnisse und ermitteln sie die Histogramme und empirischen Funktionen b) der Ausfalldichte, c) der Ausfallwahrscheinlichkeit, d) der Überlebenswahrscheinlichkeit und e) der Ausfallrate.

84

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Aufgabe 2.2

Berechnen Sie zur weiteren Auswertung der Versuchsergebnisse aus Aufgabe 2.1 a) deren Lagemaßzahlen (Mittelwert, Medianwert und Modalwert) sowie b) deren Streuungsmaßzahlen (Varianz und Standardabweichung). Aufgabe 2.3

Zeichnen Sie für die folgenden Parameter der Weibullverteilung die entsprechenden Diagramme (lineare Skalierung): a) Weibulldichtefunktionen: b = 1,0 b = 1,5 b = 3,5

T = 2,0 T = 2,0 T = 2,0

t0 = 1,0 t0 = 1,0 t0 = 1,0

b) Weibullausfallwahrscheinlichkeiten: b = 1,0 b = 1,5 b = 3,5

T = 2,0 T = 2,0 T = 2,0

t0 = 1,0 t0 = 1,0 t0 = 1,0

Aufgabe 2.4

Gegeben sei die Dichte einer Rechteckverteilung (Gleichverteilung): ­ 1 ° für a d t d b . f t ® b  a °¯ 0 sonst Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t) und die Ausfallrate O(t) und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar. Aufgabe 2.5

Die Zuverlässigkeit eines technischen Bauteils sei durch die Gleichung



R t exp  O·t

2



für t t 0

gegeben. Berechnen Sie die Ausfalldichte, die Ausfallwahrscheinlichkeit und die Ausfallrate. Stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar. Aufgabe 2.6

Die Lebensdauer eines Bauteils lasse sich mit einer Normalverteilung mit P = 5.850 h und V = 715 h beschreiben. a) Zeichnen Sie die Verteilung in ein Normalverteilungsnetz ein.

2.4 Übungsaufgaben zu Lebensdauerverteilungen

85

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t1 = 4.500 h nicht ausfällt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t2 = 6.200 h ausfällt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil zwischen den Zeitpunkten P r V ausfällt? e) Welchen Zeitpunkt t3 überlebt ein Bauteil mit genau 90% Sicherheit? Aufgabe 2.7

Das Ausfallverhalten einer Pumpe wird mit einer Lognormalverteilung, mit P = 10,1 h und V = 0,8 h, gut beschrieben. a) Zeichnen Sie die Verteilung in ein Lognormalnetz ein. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Pumpe vor dem Zeitpunkt t1 = 10.000 h nicht ausfällt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Pumpe vor dem Zeitpunkt t2 = 35.000 h ausfällt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Pumpe zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 ausfällt? e) Welchen Zeitpunkt t3 überlebt eine Pumpe mit genau 90% Sicherheit? Aufgabe 2.8

Die Lebensdauer (in h) elektrischer Bauteile lasse sich mit der Exponentialverteilung beschreiben f (t ) O ˜ exp(O ˜ t ) t t 0; O 1 /(500h) . a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t1 = 200 h nicht ausfällt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t2 = 100 h ausfällt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil zwischen den Zeitpunkten t3 = 200 h und t4 = 300 h ausfällt? d) Welchen Zeitpunkt t5 überlebt ein Bauteil mit genau 90% Sicherheit, welche Zeitpunkte überlebt ein Bauteil mit mindestens 90% Sicherheit? e) Für welchen Wert des Parameters O ergibt sich eine Lebensdauerverteilung, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% die Lebensdauer eines Bauteiles mindestens 50 h beträgt? Aufgabe 2.9

Das Ausfallverhalten wird im Maschinenbau meist mit der Weibullverteilung beschrieben. Berechnen Sie allgemein den Erwartungswert (auch MTBF-Wert oder MTTF-Wert genannt) der zwei- und dreiparametrigen

86

2 Grundlagen quantitativer Methoden

Weibullverteilung. Geben Sie Zahlenwerte für den Erwartungswert für folgende Parameterkombinationen an: a) b = 1; T = 1.000 h; t0 = 0 h; b) b = 0,8; T = 1.000 h; t0 = 0 h; c) b = 4,2; T = 1.000 h; t0 = 100 h; d) b = 0,75; T = 1.000 h; t0 = 200 h; Hinweis: Verwenden Sie die tabellierte Gammafunktion f

*x

³e

t

˜ t x 1 ˜ dt .

0

Aufgabe 2.10

Das Ausfallverhalten von Rillenkugellagern wird durch eine Weibullverteilung recht gut beschrieben. Folgendes sei bekannt: Formparameter b = 1,11, Faktor ftB = t0 / B10 = 0,25 und die B50-Lebensdauer B50 = 6.000.000 LW. a) Wie groß ist die B10-Lebendsdauer? b) Bestimmen Sie die Weibullparameter T und t0 der Ausfallverteilung. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil zwischen den Zeitpunkten t1 = 2.000.000 LW und t2 = 9.000.000 LW ausfällt? d) Welchen Zeitpunkt t3 überlebt ein Bauteil mit genau 99% Sicherheit? e) Für welchen Wert der Ausfallsteilheit b (bei unverändertem T und t0) ergibt sich eine Lebensdauerverteilung, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die Lebensdauer eines Bauteiles mindestens 5.000.000 LW beträgt? Aufgabe 2.11

Man berechne den Modalwert tm einer dreiparametrigen Weibullverteilung für b > 1. Überprüfen Sie das Ergebnis grafisch für folgende Parameter: b = 1,8; T = 1.000 h; t0 = 500 h. Tip: df(tm) / dt = 0. Aufgabe 2.12

Folgendes sei über das Ausfallverhalten eines Motors bekannt: Das Ausfallverhalten werde durch eine zweiparametrige Weibullverteilung beschrieben. Zum Zeitpunkt t1 beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit x1, zu einem zweiten Zeitpunkt t2 beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit x2. Bedingung: t1 < t2 und x1 < x2. Man berechne b und T der Ausfallverteilung.

2.5 Übungsaufgaben zu Systemberechnungen

2.5

87

Übungsaufgaben zu Systemberechnungen

Aufgabe 2.13

Bestimmen Sie die jeweilige Systemzuverlässigkeitsfunktion RS(t) der abgebildeten Systeme als Funktion der jeweiligen Komponentenzuverlässigkeiten Ri(t): a) E

1

3

b) E

2

1

3

2

4

E A

1

1

e) E

c)

1

E

2

3

A

3

3 2 4

d)

A

5

A

2 A 5

4

Abb. 2.54 Blockschaltbilder zu Aufgabe 2.13 Aufgabe 2.14

Geben Sie die allgemeingültigen Beziehungen für die Ausfallwahrscheinlichkeit, Ausfalldichte und Ausfallrate eines Seriensystems an. Aufgabe 2.15

Gegeben sei das Zuverlässigkeitsblockdiagramm eines ABS-Systems: X21

X31

X41

X51

X61

X22

X32

X42

X52

X62

X1

Abb. 2.55. Zuverlässigkeitsblockdiagramm zu Aufgabe 2.15

Das Ausfallverhalten aller 11 Komponenten werde mit Exponentialverteilungen beschrieben. Die zeitlich konstanten Ausfallraten sind, jeweils auf ein Jahr bezogen, in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Tabelle 2.6. Ausfallraten der Systemkomponenten zu Aufgabe 2.15 Komponente: X1 X21, X22 X31, X32 X41, X42 X51, X52 X61, X62

Bauteil: Versorgung Verkabelung Relais Sensoren Elektronik Regelventile

Ausfallrate: O1 = 4 ˜ 10-3 a-1 O21 = O22 = 7˜ 10-3 a-1 O31 = O32 = 5˜ 10-3 a-1 O41 = O42 = 0,2˜ 10-3 a-1 O51 = O52 = 1,5˜ 10-3 a-1 O61 = O62 = 0,3˜ 10-3 a-1

88

2 Grundlagen quantitativer Methoden

a) Geben Sie eine Beziehung für die Systemzuverlässigkeit RS(t) als Funktion der Komponentenzuverlässigkeiten Ri(t) an. b) Wie groß ist die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Nutzungsdauer von 10 Jahren? Wie viele ABS-Systeme von 100 sind nach dieser Zeit ausgefallen? c) Bestimmen Sie den MTBF-Wert (= Erwartungswert) des Systems. d) Geben Sie die Gleichung zur iterativen Berechnung der B10Lebensdauer des Systems an. Schätzen Sie einen geeigneten Startwert. e) Bis zum Zeitpunkt t1 = 5 Jahre sei kein Systemausfall aufgetreten. Wie groß ist unter Berücksichtigung dieser Information (Bedingung) die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Nutzungsdauer von 10 Jahren? Aufgabe 2.16

Gegeben sei das folgende Zuverlässigkeitsblockschaltdiagramm eines Systems. Das Ausfallverhalten aller Systemkomponenten wird mit Exponentialverteilungen beschrieben. Die Ausfallraten sind ebenfalls angegeben. 1 E

2 3

A 4

O1 = 2,2˜ 10-3 h-1 O2 = O3 = 4˜ 10-3 h-1 O4 = 3,6˜ 10-3 h-1

Abb. 2.56 Blockschaltbild zu Aufgabe 2.16

a) b) c) d)

Wie groß ist die Systemzuverlässigkeit nach 100 h Betrieb? Wie viele Systeme von 250 sind im Zeitraum von 100 h ausgefallen? Wie groß ist der MTBF-Wert des Systems? Geben Sie die Gleichung zur iterativen Berechnung der B10Lebensdauer des Systems an und schätzen Sie einen geeigneten Startwert für die Berechnung.

Aufgabe 2.17

In einem Versuchsprüfstand werden Lebensdauerversuche an einem System, das aus n = 9 identischen Zahnrädern in Reihenschaltung besteht, durchgeführt. Das Ausfallverhalten eines einzelnen Zahnrades werde durch eine dreiparametrige Weibullverteilung beschrieben. Wie lautet die Zuverlässigkeitsfunktion des Systems? Die B10-Lebensdauer des Systems sei B10S = 100.000 LW. Für ein einzelnes Zahnrad wird angenommen, dass es eine Ausfallsteilheit von b = 1,8 und einen Faktor ftB = 0,85 hat (Ausfall durch Zahnbruch). Welche charakteristische Lebensdauer T hat ein einzelnes Zahnrad?

Literatur zu Kapitel 2

89

Literatur zu Kapitel 2 [2.1] Anderson T. Theorie der Lebensdauerprüfung. Kugellagerzeitschrift 217 [2.2] Birolini A (2004) Reliability Engineering: theory and practice. Springer, Berlin, Heidelberg [2.3] Bitter P et al (1986) Technische Zuverlässigkeit. Herausgegeben von der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Springer, München [2.4] Bronstein I N, Semendjajew K A (2000) Taschenbuch der Mathematik – 5., überarb. und erw. Aufl. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main. [2.5] Buxbaum O (1986) Betriebsfestigkeit. Verlag Stahleisen, Düsseldorf [2.6] Dengel D (1975) Die arcsin P -Transformation – ein einfaches Verfahren zur graphischen und rechnerischen Auswertung geplanter Wöhlerversuche. Zeitschrift für Werkstofftechnik, 6. Jahrgang, Heft 8, S 253-258 [2.7] Dengel D (1989) Empfehlungen für die statistische Absicherung des Zeitund Dauerfestigkeitsverhaltens von Stahl. Materialwissenschaft und Werkstofftechnik 20, S 73-81 [2.8] Deutsche Gesellschaft für Qualität (1979) Begriffe und Formelzeichen im Bereich der Qualitätssicherung. Beuth, Berlin [2.9] Dorff D (1966) Vergleich verschiedener statistischer Transformationsverfahren auf ihre Anwendbarkeit zur Ermittlung der Dauerschwingfestigkeit. Dissertation, TU-Berlin [2.10] Fisher R A, Tippett L H C (1928) Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest members of a sample. Proc. Cambridge Phil. Soc. 24, p 180 [2.11] Freudenthal A M, Gumbel E J (1954) Maximum Life in Fatigue. American Statistical Association Journal, Sept, pp 575-597 [2.12] Gäde K W (1977) Zuverlässigkeit – Mathematische Methoden. HanserVerlag, München [2.13] Galambos J (1978) The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistic. John Wiley & Sons Inc., New York [2.14] Gnedenko B V (1943) Sur la distribution limite du terme maximum d’une série aléatoire. Ann. Math., 44, S 423ff [2.15] Groß H R W (1975) Beitrag zur Lebensdauerabschätzung von Stirnrädern bei Zahnkraftkollektiven mit geringem Völligkeitsgrad. Dissertation [2.16] Gumbel E J (1956) Statistische Theorie der Ermüdungserscheinungen bei Metallen. Mitteilungsblatt für mathematische Statistik, Jahrg 8, 13. Mittbl., S 97-129 [2.17] Gumbel E J (1958) Statistics of Extremes. Columbia University Press [2.18] Härtler G (1983) Statistische Methoden für die Zuverlässigkeitsanalyse. Springer Wien New York [2.19] Härtler G (1983) Statistische Methoden für die Zuverlässigkeitsanalyse. VEB Verlag Technik, Berlin

90

2 Grundlagen quantitativer Methoden

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Literatur zu Kapitel 2

91

[2.38] Verein Deutscher Ingenieure (1986) VDI 4001 Blatt 2 Grundbegriffe zum VDI-Handbuch Technische Zuverlässigkeit. VDI, Düsseldorf [2.39] Verein Deutscher Ingenieure (1998) VDI 4008 Blatt 2 Boolesches Model. VDI, Düsseldorf [2.40] Weibull W (1951) A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. Journal of Applied Mechanics, September, pp 293-297

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

Das wesentliche Ziel der Zuverlässigkeitsarbeit ist, das erwartete Ausfallverhalten eines Produktes schon sehr frühzeitig zu ermitteln bzw. zu prognostizieren. Dadurch können Schwachstellen einer Konstruktion rechtzeitig erkannt und beseitigt werden. Um auf umfangreiche und damit zeitintensive Versuche verzichten zu können, werden Berechnungsmethoden angestrebt, die sich auf die vorstehend beschriebenen statistischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen stützen. Eine treffsichere Prognose erhält man dabei nur, wenn das Ausfallverhalten der Komponenten entsprechend genau bekannt ist. Die Früh- und Zufallsausfälle im Bereich 1 und 2 der Badewannenkurve sind, wie in Abschn. 2.2.1.4 bereits erwähnt, sehr schlecht im Voraus abzuschätzen. Sie eignen sich damit nur bedingt für prognostizierende Berechnungsmethoden. Die im Folgenden durchgeführte Ermittlung der Zuverlässigkeit beschränkt sich deshalb auf Verschleiß- und Ermüdungsausfälle (Bereich 3 der Badewannenkurve), die in den meisten Fällen die dominierende Ausfallursache darstellt. Die entwickelte Vorgehensweise basiert auf den in [3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.9] beschriebenen Berechnungsmethoden. Als Beispielsystem wurde das in Abb. 3.1 dargestellte einstufige Getriebe ausgewählt. Auf der Eingangswelle (EW) des Getriebes sitzt das kleine Getriebe-Eingangszahnrad. Die Leistung wird über das größere Zahnrad auf die Getriebe-Ausgangswelle (AW) übertragen. Neben den Lagern für die Wellen besteht das Getriebe aus einem Gehäuse mit einem Gehäusedeckel und verschiedenen kleinen Lagerdeckeln, die durch Flachdichtungen bzw. Radialwellendichtringe (RWDR) abgedichtet werden. Bei dem Beispielgetriebe handelt es sich somit um ein überschaubares System. Zur Ermittlung der erwarteten Systemzuverlässigkeiten geht man zweckmäßigerweise entsprechend dem Ablaufplan in Abb. 3.2 vor. Bei der Analyse des Systems werden im Wesentlichen die zuverlässigkeitsrelevanten Bauteile und die Zuverlässigkeitsstruktur des Systems ermittelt.

3.1 Systemanalyse

93

Danach werden die Systemelemente eingehender betrachtet und deren Zuverlässigkeit bestimmt. Abschließend wird die Zuverlässigkeit des gesamten Systems berechnet. Diese drei Ablaufschritte werden im Folgenden detailliert erläutert.

Abb. 3.1. Beispielsystem „Einstufiges Zahnradgetriebe“

Analyse des Systems Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeit

Berechnung der Systemzuverlässigkeit

Abb. 3.2. Ablaufplan zur Ermittlung von Systemzuverlässigkeiten

94

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

3.1

Systemanalyse

3.1.1

Ermittlung der Systembauelemente

Zu Beginn der Analyse sollten sämtliche Bauelemente des Systems ermittelt werden, um einen Überblick über das System zu erhalten, Abb. 3.3. Als Bauelemente sind Bauteile bzw. Bauteilschnittstellen anzusehen. In Abb. 3.4 sind alle Bauelemente des Beispielsystems „Zahnradgetriebe“ aufgelistet. Bereits dieses kleine, überschaubare System besteht aus 27 Bauelementen. Bauteilschnittstellen sind z. B. Schrumpfverbindungen, Schweißverbindungen usw., die neben den Bauteilen zuverlässigkeitskritische Bestandteile eines Systems sein können. Im Funktionsblockdiagramm, Abb. 3.5, sind die Bauelemente des Systems vollständig dargestellt. Bauelemente des Systems ermitteln (Bauelement = Bauteil bzw. Bauteil-Schnittstelle) Systemelemente für die Berechnung festlegen (Systemelement = Bauelement je Schadensart) Systemelemente klassifizieren (A-, B-, C-Einteilung oder FMEA / FMECA-Analyse) Zuverlässigkeitsstruktur (Boolesches Seriensystem) mit den A-und B-Systemelementen aufstellen (evtl. über Leistungsfluss)

Abb. 3.3. Ablaufschema zur Analyse des Systems Gehäuse Gehäusedeckel Gehäuseschrauben Gehäusedeckeldichtung Eingangswelle Ausgangswelle Zahnrad 1 Zahnrad 2 Paßfederverbindung

Wälzlager 1 Wälzlager 2 Wälzlager 3 Wälzlager 4 Sicherungsring 1 Sicherungsring 2 Distanzring Lagerdeckel 1 Lagerdeckel 2

Lagerdeckel 3 Lagerdeckel 4 Lagerdeckeldichtung 1 Lagerdeckeldichtung 2 Lagerdeckeldichtung 3 Lagerdeckeldichtung 4 Radialwellendichtring 1 Radialwellendichtring 2 Sechskantschraube 1-12

Abb. 3.4. Bauelemente des Beispielsystems „Zahnradgetriebe“

Abb. 3.5. Funktionsblockdiagramm des Beispielgetriebes AV2

Sechskantschraube

SV

AV1

Lagerdeckel

ZE: Zahneingriff SV: Schraubverbindungen

DI2

UV1

Zahnrad 2

ZE

Eingangswelle

WN2

WN2

4

Wälzlager

WN2

2

Wälzlager

WN2

AV1

AV1

DI1

DI2

Radialwellendichtring

Sicherungsring

Lagerdeckel

Lagerdeckel

AV2

DI1

AV2

DI1

SV

Sechskantschraube

SV

LagerdeckelDI1 dichtung

Sechskantschraube

LagerdeckelDI1 dichtung

DI: Dichtung WN: Wellen-Naben-Verbindung UV: Verbindung in Umfangrichtung 1 statisch 1 Zentrierung 1 Formschluss 2 dynamisch 2 Lagersitz 2 Reibschluss

Gehäuse

Ausgangswelle

WN1

AV1 Distanzring AV1

WN2

1

Wälzlager

Gehäuse

DI1

Gehäusedeckeldichtung

WN2

UV1 WN1

Passfeder

WN2

WN2

3

Wälzlager

Zahnrad 1

AV1

DI1

AV: Verbindung in axialer Richtung 1 Formschluss 2 Reibschluss 3 Stoffschluss

AV1

AV1

RadialwellenSicherungsring dichtring

DI1

Lagerdeckel

Verwendete Bezeichnungen:

DI1

SV

Lagerdeckeldichtung

AV2

Sechskantschraube

DI1

DI1

DI1

Lagerdeckeldichtung

Gehäusedeckel

3.1 Systemanalyse 95

Gehäuse

Gehäuse

96

3.1.2

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

Ermittlung der Systemelemente

Einige der ermittelten Bauelemente können durch mehrere Ursachen ausfallen. Ein Zahnrad z. B. kann durch Zahnbruch, Grübchen oder Fressen seine Funktionsfähigkeit verlieren. Für die spätere Berechnung empfiehlt es sich, diese Schadensarten getrennt zu betrachten. Es werden deshalb so genannte Systemelemente festgelegt, die die Bauelemente nach ihren Schadensarten weiter unterteilen. Abb. 3.6 zeigt die 28 Systemelemente für das Beispielsystem. Es wurden dabei nur die beiden Bauelemente Zahnrad 1 und Zahnrad 2 in die Schadensarten Bruch und Grübchen unterteilt. Gehäuse Gehäusedeckel Gehäuseschrauben Gehäusedeckeldichtung Eingangswelle Ausgangswelle Zahnrad 1 Bruch Zahnrad 2 Bruch Zahnrad 1/2 Grübchen Paßfederverbindung

Wälzlager 1 Wälzlager 2 Wälzlager 3 Wälzlager 4 Sicherungsring 1 Sicherungsring 2 Distanzring Lagerdeckel 1 Lagerdeckel 2

Lagerdeckel 3 Lagerdeckel 4 Lagerdeckeldichtung 1 Lagerdeckeldichtung 2 Lagerdeckeldichtung 3 Lagerdeckeldichtung 4 Radialwellendichtring 1 Radialwellendichtring 2 Sechskantschraube 1-12

Abb. 3.6. Systemelemente des Beispielsystems „Zahnradgetriebe“

3.1.3

Klassifizierung der Systemelemente

Die verschiedenen Systemelemente erfüllen recht unterschiedliche Funktionen und leisten damit auch einen unterschiedlich großen Beitrag zur Systemzuverlässigkeit. Es ist daher nicht sinnvoll bzw. zulässig, alle Systemelemente als gleichwertig anzusehen. Eine Klassifizierung der Systemelemente nach zuverlässigkeitsrelevanten und zuverlässigkeitsneutralen Teilen sollte deshalb durchgeführt werden. Des Weiteren ist zu unterscheiden, ob die Teile einer definierbaren Belastung unterliegen oder ob sich deren Beanspruchung nur schlecht erfassen lässt. Eine unter diesen Gesichtspunkten entwickelte ABC-Analyse der Systemelemente zeigt Abb. 3.7. Während das Ausfallverhalten von A-Systemelementen berechnet werden kann, ist man bei B-Systemelementen auf Erfahrungswerte oder Versuche angewiesen. Die zuverlässigkeitsneutralen C-Systemelemente werden bei der Berechnung nicht weiter berücksichtigt.

3.1 Systemanalyse A-Teile (risikoreich)

B-Teile (risikoreich)

C-Teile (risikoneutral)

z.B.

z.B.

z.B.

Beanspruchung durch definierbare statische Belastung; Lastkollektiv bekannt; leistungsführend

Beanspruchung vorwiegend durch Reibung, Verschleiß, extreme Temperaturen; Erschütterungen, Schmutz und Korrosion

Lebensdauerberechnung möglich und weitgehend gesichert

Lebensdauerberechnung nicht möglich ö oder nicht gesichert

Ausfallverhalten aus Wöhlerversuchen bekannt; Formparameter b > 1,0

Ausfallverhalten schätzen oder durch Versuche ermitteln; Formparameter b ≥ 1,0

97

Beanspruchung stochastisch durch Stöße, Reibung Verschleiß etc. rechnerische Auslegung nur bedingt möglich bzw. irrelevant nur Zufalls- und Frühausfälle; Formparameter 0 < b ≤ 1

Abb. 3.7. ABC-Klassifizierung von Systemelementen

Die entwickelte ABC-Klassifizierung ist eine vereinfachte Form einer FMEA-Analyse und eignet sich für kleine und überschaubare Systeme. Bei sehr umfangreichen und neuen Systemen sollten die zuverlässigkeitskritischen Elemente mit einer vollständigen FMEA-Analyse ermittelt werden (s. Kap. 4).

A-Teile

B-Teile

C-Teile

Eingangswelle Ausgangswelle Zahnrad 1 Bruch Zahnrad 2 Bruch Zahnrad 1/2 Grübchen Paßfederverbindung Wälzlager 1 Wälzlager 2 Wälzlager 3 Wälzlager 4

Radialwellendichtring 1 Radialwellendichtring 2

Gehäuse Gehäusedeckel Gehäuseschrauben Gehäusedeckeldichtung Sicherungsring 1 Sicherungsring 2 Distanzring Lagerdeckel 1 Lagerdeckel 2 Lagerdeckel 3 Lagerdeckel 4 Lagerdeckeldichtung 1 Lagerdeckeldichtung 2 Lagerdeckeldichtung 3 Lagerdeckeldichtung 4 Sechskantschraube 1-12

Abb. 3.8. ABC-Klassifizierung der Systemelemente des Beispielsystems

98

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

Für das Beispielsystem „Zahnradgetriebe“ ergab sich durch Vorberechnungen, durch Erfahrungen mit ähnlichen Getrieben und durch Fachgespräche die in Abb. 3.8 angegebene Klassifizierung für die Systemelemente. Das komplette System aus 28 Systemelementen wurde durch die Klassifizierung auf 12 zuverlässigkeitsinteressante Systemelemente reduziert. Es handelt sich hierbei, abgesehen von den Radialwellendichtringen, um die leistungsführenden Teile Eingangswelle, Ausgangswelle, Zahnräder, Passfederverbindung und die Wälzlager. 3.1.4

Ermittlung der Zuverlässigkeitsstruktur

Nach der Klassifizierung wird im nächsten Schritt der Analyse die Struktur des Systems ermittelt, s. Abb. 3.3. Zur Aufstellung des Zuverlässigkeitsschaltbildes geht man zweckmäßigerweise vom Funktionsblockdiagramm oder vom Schaltbild des Leistungsflusses aus (s. Abschn. 2.4). Beide Diagrammarten zeigen, welche Systemelemente beansprucht werden und wie sich deren Ausfälle auf das System auswirken. Ausgehend von einem dieser Diagramme lässt sich das Zuverlässigkeitsblockschaltbild recht einfach erstellen. Betrachtet man das Funktionsblockdiagramm des Zahnradgetriebes, Abb. 3.5, so erkennt man, dass alle Systemelemente für eine korrekte Systemfunktion notwendig sind. Als Zuverlässigkeitsblockscha1tbild ergibt sich damit eine reine Serienstruktur, Abb. 3.9. Eingangswelle

Ausgangswelle

Wälzlager 1

Wälzlager 2

Wälzlager 3

Wälzlager 4

Zahnrad 1, Bruch Paßfeder

Radialwellendichtr. 1

Zahnrad 2, Bruch

Zahnrad 1/2 Grübchen Radialwellendichtr. 2

Abb. 3.9. Zuverlässigkeitsblockschaltbild des Zahnradgetriebes (Boolesche Serienstruktur)

Die Systemzuverlässigkeit RS ergibt sich bei einem Booleschen Seriensystem nach Abschn. 2.4 aus dem Produkt der Zuverlässigkeiten der Systemelemente RE und beträgt damit: R System

R EW ˜ R AW ˜ R Zahnrad 1, Bruch ˜ R Zahnrad 2, Bruch ˜ R Zahnrad 1 / 2,Grübchen ˜ R Paßfeder ˜ RWälzl .1 ˜ RWälzl .2 ˜ RWälzl .3 ˜ RWälzl .4 ˜ R RWDR1 ˜ R RWDR 2 .

(3.1)

3.2 Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeiten

99

Die Systemgleichung (3.1) beschreibt die zuverlässigkeitsrelevanten Systemelemente und ihren funktionalen Zusammenhang. Sie stellt damit das eigentliche Ergebnis der Systemanalyse dar.

3.2

Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeiten

Nach der Analyse des Systems muss das noch unbekannte Ausfallverhalten der zuverlässigkeitskritischen Systemelemente ermittelt werden, Abb. 3.10. B-Systemelemente

A-Systemelemente

Belastung ermitteln (Lastkollektiv, σ, Temp., ...)

Werkstoffdaten beschaffen (Wöhlerlinie, ...)

Betriebsfestigkeitsberechnung durchführen (evtl. Schadensakkumulation ...) Erg.: Lebensdauer, Laufzeit etc. bei einer Ausfallwahrscheinlichkeit (meist B10-Lebensdauer) damit: 1. Parameter der Weibull-Verteilung (Lageparameter,B10 bzw. t0)

Ausfallverhalten der Systemelemente: • aus ähnlichen Fällen Werte beschaffen • sinnvolle Annahmen machen • schätzen • Versuche

2. und evtl. 3. Parameter (b und t0) der WeibullVerteilung bestimmen (berechnen, schätzen, ...)

Erg.: komplettes Ausfallverhalten jedes Systemelements:

RElement i = e

⎛ t −t 0 i ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Ti −t 0 i ⎠

bi

F=1-R S31

S33 S1

S42 S2 t

Abb. 3.10. Schema zur Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeit

Bei den A-Systemelementen existieren relativ genaue Belastungskollektive und Wöhlerlinien. Damit kann durch eine Betriebsfestigkeitsberechnung die Lebensdauer der Systemelemente ermittelt werden. Diese berechnete Lebensdauer entspricht meist der B10- oder B1-Lebensdauer und ist dadurch einer bestimmten Ausfallwahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Umrechnung der B10- bzw. B1-Lebensdauer in die charakteristische Lebensdauer T ist in Gln. (7.1) und (7.2) angegeben. Im Wahrscheinlichkeitsnetz erhält man damit einen Punkt bzw. einen Parameter der Verteilung: den Lageparameter. Mit Kenntnis der restlichen Parameter der Verteilung – Formparameter b und evtl. ausfallfreie Zeit t0 – ergibt sich das gesamte Ausfallverhalten des Elements.

100

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

Bei den B-Systemelementen ist man bei der Ermittlung des Ausfallverhaltens auf Erfahrungswerte angewiesen. Sind diese Erfahrungen nicht vorhanden, so muss das Ausfallverhalten sinnvoll abgeschätzt werden. Sehr genau lässt sich die Zuverlässigkeit der B-Systemelemente durch Versuche bestimmen. Bei dem Beispielsystem „Zahnradgetriebe“ sind außer den Radialwellendichtringen nur A-Systemelemente zu berücksichtigen, deren Ausfallverhalten berechnet werden kann. Für diese A-Systemelemente wurden für ein angenommenes Eingangsbelastungskollektiv die wichtigen Belastungsgrößen berechnet, z.B. Zahnfußspannungen, Hertzsche Pressungen, Lagerkräfte, usw. Die Belastungen führen mit Wöhlerlinien und den Lagerdaten zu den in Abb. 3.11 zusammengefassten Lebensdauern. Eingangswelle Ausgangswelle Zahnrad 1 Bruch Zahnrad 2 Bruch Zahnrad 1/2 Grübchen Passfederverbindung Wälzlager 1 Wälzlager 2 Wälzlager 3 Wälzlager 4

dauerfest dauerfest 70.000 Umdr. EW (B1) 120.000 Umdr. EW (B1) 500.000 Umdr. EW (B1) dauerfest 1.500.000 Umdr. EW (B10) dauerfest dauerfest 2.500.000 Umdr. EW (B10)

Abb. 3.11. Berechnete B1- und B10-Lebensdauern der Systemelemente

Diese B1- und B10-Lebensdauern sind definitionsgemäß einer Ausfallwahrscheinlichkeit von F(t) = 1% bzw. F(t) = 10% zugeordnet. Die B1- und B10Lebensdauern können mit Gl. (7.1) und (7.2) in die charakteristische Lebensdauer T umgerechnet werden. Damit ist ein Parameter der Ausfallverteilung bekannt: der Lageparameter. Die beiden weiteren Parameter der Verteilung – Formparameter b und evtl. ausfallfreie Zeit t0 – wurden entsprechend den Werten von Kap. 7 ausgewählt. Alle Weibullparameter der nicht dauerfesten A-Systemelemente zeigt Tabelle 3.1. Für die beiden B-Systemelemente Radialwellendichtring 1 und 2 lässt sich das Ausfallverhalten nicht berechnen. Von diesen beiden Elementen ist jedoch aus Schadensstatistiken ähnlicher Getriebe bekannt, dass sie fast ausschließlich durch Zufallsausfälle versagen. Diesen beiden Systemelementen ist deshalb der Formparameter b = 1 zuzuordnen. Für die charakteristischen Lebensdauern wurden ebenfalls die Werte aus den Schadenssta-

3.2 Bestimmung der Systemelementzuverlässigkeiten

101

tistiken ähnlicher Getriebe übernommen, s. Tabelle 3.2. Eine ausfallfreie Zeit t0 konnte aus den Schadensstatistiken für diese typischen Zufallsausfälle nicht ermittelt werden. Mit den Werten aus Tabelle 3.1 und Tabelle 3.2 lässt sich das gesamte Ausfallverhalten der Systemelemente aufzeichnen, s. Abb. 3.12. Tabelle 3.1. Weibullparameter der A-Systemelemente b 1,4 1,8 1,3 1,11 1,11

Zahnrad 1 Bruch Zahnrad 2 Bruch Zahnrad 1/2 Grübchen Wälzlager 1 Wälzlager 4

T 106.600 185.000 2.147.300 9.400.000 15.700.000

t0 68.600 114.500 450.700 300.000 500.000

ftB 0,9 0,85 0,6 0,2 0,2

Tabelle 3.2. Weibullparameter der B-Systemelemente T 66.000.000 66.000.000

er lag

er

2

Zah

W

2,5

u. 2

W

älz

2

DR

1

1,5

1

1

0,5 0,3 0,2 0,1 0,1

Formparameter b

lag älz

d1 nra

3

1

u. 2

,G

rad 2 Zahn

3,5

RW

5 3 2

Zahnrad 1, Bruc

10

h

30 20

ftB 0 0

rüb c

, Bruc

h

99 % 90 70 63 50

t0 0 0

hen

b 1,0 1,0

System

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

RWDR 1 RWDR 2

0,5 Pol

1

10

0 100

Lebensdauer t [·105 Umdr.] Abb. 3.12. Ausfallverhalten der Systemelemente und des Systems (System: gestrichelt; B10-System = 76.000 Umdrehungen der Eingangswelle)

102

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

3.3

Berechnung der Systemzuverlässigkeit

Den letzten Schritt der Zuverlässigkeitsermittlung bildet die Berechnung der Systemzuverlässigkeit. Dazu werden die ermittelten Systemelementzuverlässigkeiten in die Systemgleichung Gl. (3.1) eingesetzt, Abb. 3.13. Das gesamte Systemausfallverhalten lässt sich graphisch darstellen, wenn durch mehrere Wertepaare RS(tS) eine Kurve gelegt wird. Diese Systemausfallkurve verläuft links neben den Elementausfallkurven, Abb. 3.13. Oft interessiert jedoch nicht das gesamte Systemausfallverhalten, sondern nur welche Systemlebensdauer sich bei einer bestimmten Systemzuverlässigkeit ergibt oder welche Systemzuverlässigkeit sich bei einer festgelegten Systemlebensdauer einstellt. Diese Werte können aus der Systemgleichung durch eine Iteration bzw. durch eine analytische Lösung ermittelt werden, Abb. 3.13. Ausfallverhalten des Systems ergibt sich aus den Systemzuverlässigkeiten: ⎛ t −t 01 ⎞ 1 ⎟⎟ −⎜⎜ ⎝ T1 −t 01 ⎠ b

RS (t ) = e

⋅e

⎛ t −t 02 −⎜⎜ ⎝ T2 −t 02

⎞ ⎟⎟ ⎠

b2

⋅ ...

Ges.: Systemlebensdauer bei best. Systemzuverlässigkeit (z.B. tS = ? für RS(t) = 90%)

Ges.: Systemzuverlässigkeit bei best. Systemlebensdauer (z.B. RS(t) = ? bei tS = 100.000 LW)

Iterative Lösung: tS in Systemgleichung so lange variieren, bis sich ein gesuchtes RS(t ) ergibt (Bauteile mit t0 > tS nicht berücksichtigen)

Analytische Lösung: tS in Systemgleichung einsetzen RS(t) (Bauteile mit t0 > tS nicht berücksichtigen)

tem

F=1-R Sys

Mit mehreren Wertepaaren RS(tS): Kurve des Systemausfallverhaltens

t

Abb. 3.13. Schema zur Berechnung der Systemzuverlässigkeit

Bei der Berechnung der Systemzuverlässigkeit muss unterschieden werden zwischen Systemelementen mit einer zweiparametrigen und mit einer dreiparametrigen Weibullverteilung. Systemelemente, die mit einer zweiparametrigen Weibullverteilung beschrieben werden, sind bei der Berechnung der Systemzuverlässigkeit immer zu berücksichtigen. Ihre Zuverläs-

3.3 Berechnung der Systemzuverlässigkeit

103

sigkeit wird schon ab der Laufzeit t = 0 kleiner als 1. Jedes zusätzliche Systemelement mit einer zweiparametrigen Weibullverteilung verringert deshalb unmittelbar die Systemzuverlässigkeit. Die Aussage, dass weitere Bauteile die Zuverlässigkeit des Systems zwangsläufig verringern, wird damit für zweiparametrige Systemelemente bestätigt. Systemelemente mit einer dreiparametrigen Weibullverteilung müssen dagegen bei der Berechnung der Systemzuverlässigkeit nicht immer berücksichtigt werden. Nur diejenigen dreiparametrigen Systemelemente können Ausfälle verursachen, deren ausfallfreie Zeit t0 kleiner als die betrachtete Laufzeit t ist. Somit haben dreiparametrige Systemelemente nur dann einen Einfluss auf die Systemlebensdauer txS (bzw. BxS) wenn gilt:

t 0  t xS .

(3.2)

Wird ein System um zusätzliche dreiparametrige Systemelemente erweitert, deren ausfallfreie Zeit t0 größer als z. B. die B10S-Lebensdauer ist, so haben diese Bauteile keinen Einfluss auf die B10S-Zuverlässigkeit des Systems. Ein direkter Zusammenhang zwischen Teileanzahl und Systemzuverlässigkeit besteht in diesen Fällen nicht. Bei Systemen mit zweiparametrigen und dreiparametrigen Systemelementen ist zu beachten, dass das System eine zweiparametrige Verteilung besitzt. Dies bedeutet, dass schon ab t = 0 mit dem Ausfall von zweiparametrigen Systemelementen zu rechnen ist. Das Beispielsystem „Zahnradgetriebe“ besteht überwiegend aus dreiparametrigen Systemelementen. Nur die beiden Radialwellendichtringe RWDR 1 und RWDR 2 besitzen eine zweiparametrige Weibullverteilung. Bei der Berechnung der Systemzuverlässigkeit für das Beispielgetriebe ergibt sich, dass das Ausfallverhalten ausschließlich durch die vier Systemelemente Zahnrad 1 Bruch, Zahnrad 2 Bruch, RWDR1, RWDR2 festgelegt wird. Die Systemgleichung lautet in diesem Fall:

R System

RZahnrad 1, Bruch ˜ RZahnrad 2, Bruch ˜ R RWDR1 ˜ R RWDR 2 .

(3.3)

Durch eine iterative Lösung ergibt sich eine B10S-Systemlebensdauer der Eingangswelle von 76.000 Umdrehungen, s. Abb. 3.12. Den überwiegenden Anteil der Ausfälle verursacht das Systemelement Zahnrad 1 Bruch. Dieses Systemelement mit seiner Schadensart Bruch stellt die eindeutige Schwachstelle des Systems dar. Zusammen mit den Systemelementen Zahnrad 2 Bruch, RWDR1 und RWDR2 bestimmt es die gesamte Zuverlässigkeit des Zahnradgetriebes. Die restlichen Bauteile sind so sicher ausgelegt, dass mit ihrem Ausfall erst zu einem sehr späten Zeitpunkt gerechnet werden muss.

104

3 Zuverlässigkeitsanalyse am Beispiel eines Getriebes

Die ermittelten vier zuverlässigkeitsrelevanten Systemelemente sind typische Beispiele für so genannte Schwachstellen eines Systems, die das Ausfallverhalten überwiegend oder fast ausschließlich festlegen. Eine umfassende Zuverlässigkeitsanalyse führt somit bei einer teilweisen oder vollständigen Beschreibung des Bauteilausfallverhaltens mit der dreiparametrigen Weibullverteilung auf eine Schwachstellenermittlung [3.1]. Eine aktualisierte Vorgehensweise findet sich in [3.10, 3.8]. Eine Übersicht dieser modifizierten Methodik zeigt Abb. 3.14. GETRIEBE ARBEITSMASCHINE

MOTOR

Systemdefinition

SYSTEMANALYSE

Funktionen, Lastenheft, Daten, …

QUALITATIVE ANALYSE

Kritische, berechenbare Systemelemente

QUANTITATIVE ANALYSE

e, ch e itis tiv Kr alita m q u s t e nte S y eme el

Berechnete Ausfallkurven

Systemausfallverhalten (Prognose) quantitativ qualitativ F(t) st Sy

em

Systemelemente

t

Abb. 3.14. Aktualisierte Vorgehensweise zur Berechnung der Systemzuverlässigkeit

Literatur zu Kapitel 3 [3.1] Bertsche B, Lechner G (1987) Einfluss der Teileanzahl auf die SystemZuverlässigkeit. Antriebstechnik 26, Nr 7, S 40-43 [3.2] Birolini A (2004) Reliability Engineering: theory and practice. Springer, Berlin, Heidelberg [3.3] Heise W (2002) Praxisbuch Zuverlässigkeit und Wartungsfreundlichkeit. Hanser München Wien [3.4] Kececioglu D (2002) Reliability engineering Handbook, Volume 2. Prentice Hall, cop. Engelwood Cliffs, N.J. [3.5] Lechner G, Hirschmann K H (1979) Fragen der Zuverlässigkeit von Fahrzeuggetrieben. Konstruktion 1, S 19-26

Literatur zu Kapitel 3

105

[3.6] Lewicki D G, Black J D, Savage M, Coy J J (1986) Fatigue Life Analysis of a Turboprop Reduction Gearbox. Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, June, vol 108, pp 255-262 [3.7] O`Connor P D T (2001) Practical Reliability Engineering. John Wiley & Sons [3.8] Rzepka B, Schröpel H, Bertsche B (2002) Studie zur Anwendung von Zuverlässigkeitsmethoden in der Industrie. Tagung TTZ 2002, 10. und 11. Oktober 2002, Stuttgart / VDI-Gesellschaft Systementwicklung und Projektgestaltung, VDI-Berichte Nr. 1713, S 279-299 [3.9] Savage M, Brikmanis C, Lewicki D G, Coy J J (1988) Life and Reliability Modeling of Bevel Gear Reductions. JK. Of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, June, vol 110, pp 189-196 [3.10] Verband der Automobilindustrie (2000) VDA 3.2 Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. VDA, Frankfurt

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und EinflussAnalyse

Die FMEA kann als die bekannteste qualitative Zuverlässigkeitsmethode betrachtet werden. Zugleich wird sie am häufigsten im Bereich der Zuverlässigkeitsmethodik eingesetzt. Die FMEA wurde Mitte der sechziger Jahre in den USA von der NASA (National Aeronautics and Space Administration) für das Apollo-Projekt entwickelt. Danach erfolgte die allgemeine Anwendung der Methode in der Luft- und Raumfahrttechnik. Als wichtige Literatur ist der MilitärStandard MIL-STD-1629A [4.1] der USA anzusehen, auf den sich die meisten Literaturen stützen. Dieser Standard ist in der Luft- und Raumfahrttechnik ein Zulassungsstandard, der für alle Teile gefordert wird. Er ist sehr ausführlich ausgearbeitet und besitzt eine klare Vorgehensweise. Die weitere Nutzung der FMEA erfolgte in der Kerntechnik und der Automobilindustrie. Die amerikanische Firma Ford integrierte die Methode als erste Automobilfirma in ihr Qualitätssicherungskonzept, s. Abb. 4.1. 1963

NASA (Apollo Projekt)

1965

Luft- und Raumfahrt (MIL-STD 1629A*)

1975

Kerntechnik

1978

Automobilindustrie (Ford)

1980

Normung in Deutschland

1986

Verstärkter Einsatz in der Automobilindustrie (VDA)

1990

Einsatz in der Elektronik, Software etc.

1996

Weiterentwicklung der System FMEA.

VDA 4 Teil 2 System FMEA

Abb. 4.1. Entstehungsgeschichte der FMEA

Heute ist die FMEA im Zuge der ständig steigenden Qualitätsforderungen seitens der Kunden, den neuen gesetzlichen Auflagen (Produkthaftungsgesetz [4.5]) und Normen (DIN ISO 9000 ff [4.2]), der steigenden Produktkomplexität, dem ständig wachsenden Kostendruck, der immer kürzer

4.1 Grundlagen und Allgemeines zur FMEA-Methodik

107

werdenden Innovationszeiten und schließlich durch zunehmendes Umweltbewusstsein zum festen Bestandteil der Qualitätssicherung geworden. Als Standard für die methodische Durchführung einer FMEA hat sich in Deutschland die Vorgehensweise nach VDA (Verband der Automobileindustrie) [4.7] durchgesetzt. Im Nachfolgenden werden Grundlagen und allgemeine Bemerkungen zur FMEA-Methodik und die Vorgehensweise der Formblatt-FMEA nach VDA 86 gegeben. Den Schwerpunkt bildet die FMEA nach VDA 4.2, deren wesentlichste Inhalte in Abschnitt 4.4 zusammengefasst sind.

4.1

Grundlagen und Allgemeines zur FMEA-Methodik

Die Abkürzung FMEA steht für „Failure Mode and Effects Analysis“, die im deutschen Sprachgebrauch als „Fehler-Möglichkeits- und -EinflussAnalyse“ übersetzt wird, s. Abb. 4.2. Da der Begriff „failure“ jedoch einen Ausfall oder ein Versagen bezeichnet, kann eine FMEA am besten mit „Ausfallarten und Ausfallauswirkungsanalyse“ oder kurz „Ausfallverhaltensanalyse“ übersetzt werden. Unter der Bezeichnung „Ausfalleffektanalyse“ ist die Methode seit 1980 in der DIN 25 448 [4.3] genormt. FMEA? x

Failure Mode and Effects Analysis

x

Fehler-Möglichkeits- und -Einfluss-Analyse

x

Ausfalleffektanalyse (DIN 25 488)

x

Verhaltensanalyse

x

Analyse von Ausfallarten, Ausfallfolgen und Ausfallursachen

Abb. 4.2. Der Begriff FMEA

Die FMEA ist eine systematische Methode. Ihr Grundgedanke ist, für beliebige Systeme, Teilsysteme oder Bauteile alle denkbaren Ausfallarten zu ermitteln. Gleichzeitig werden die möglichen Ausfallfolgen und Ausfallursachen aufgezeigt. Eine Bewertung des Risikos und die Festlegung von Optimierungsmaßnahmen schließen das Vorgehen ab, s. Abb. 4.3. Das Ziel der Methode ist, die Risiken bzw. Schwachstellen eines Produkts so früh wie möglich zu erkennen, um rechtzeitig Verbesserungen durchführen zu können.

108

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Die FMEA ist eine Methode, um für Bau- oder Systemteile x x x

mögliche Ausfallarten mögliche Ausfallfolgen mögliche Ausfallursachen

aufzuzeigen, das Risiko wird bewertet und Maßnahmen zur Optimierung werden festgelegt. Abb. 4.3. Grundgedanke der FMEA

Bei der FMEA handelt es sich um eine Risikoanalyse, die in die Entwicklung und Prozessplanung neuer Produkte integriert ist. Sie ist ein wichtiger Teil der Qualitätssicherung vor Serienanlauf. Sie lässt sich den qualitativen Zuverlässigkeitsanalysen zuordnen und muss systematisch, lückenlos, präventiv und teamorientiert erfolgen. Eine Variante der FMEA aus dem englischsprachigen Raum ist die FMECA (Failure Mode, Effects and Criticality Analysis), die eine Erweiterung der ursprünglichen FMEA um eine weitere separate Risikocharakterisierung ist. Die FMEA gliedert sich je nach Art und Umfang des zu untersuchenden Systems bzw. der benötigten Ergebnisse in verschiedene Ausführungsarten und -tiefen. Eine Übersicht der am häufigsten verwendeten FMEA-Arten zeigt Abb. 4.4. Gesamtsystem (Fahrzeug)

System-FMEA Teilsystem (Getriebe)

Bauteil (Zahnrad) Konstruktions-FMEA Prozess-FMEA

Abb. 4.4. FMEA-Arten

Funktions-FMEA

4.1 Grundlagen und Allgemeines zur FMEA-Methodik

109

Die FMEA-Durchführung erfolgt in interdisziplinären Gruppen, den so genannten FMEA-Teams. Die Erstellung einer FMEA erfolgt sinnvollerweise im Team, da nur dann gewährleistet ist, dass alle betroffenen Betriebsbereiche ausreichend beteiligt werden können. In der Praxis hat es sich als vorteilhaft erwiesen, die FMEA unter der Leitung eines FMEAModerators, der die methodische Vorgehensweise genau kennt, durchzuführen. Hierdurch lassen sich zeitraubende Methodendiskussionen verhindern. Im Allgemeinen setzt sich das FMEA-Bearbeiterteam aus dem Moderator, der die methodischen Kenntnisse besitzt, und dem FMEA-Team, welches das Fachwissen mitbringt, zusammen. Der Moderator, der auch geringe Sachkenntnisse besitzen kann, stellt sicher, dass die Teammitglieder Grundkenntnisse der FMEA-Methodik haben. Eine Kurzschulung zu Beginn der FMEA-Aufgabe ist sinnvoll. Der Teamkreis für eine Konstruktions-FMEA sollte sich aus Fachleuten verschiedener Bereiche zusammensetzen, s. Abb. 4.5, wobei in jedem Fall die beiden mit einem X gekennzeichneten Bereiche Konstruktion und Produktionsvorbereitung vertreten sein müssen.

E Versuch

Q Qualität

F Finanzen

E Konstruktion X

FMEA Team

L Logistik Lieferant

P Produktionsvorbereitung X

P Produktion

V Vertrieb (Kunde)

Abb. 4.5. Das FMEA-Bearbeiterteam

Die Teilung zwischen Fachwissen der Fachbereiche und Methodik der FMEA-Erstellung bietet weiterhin den Vorteil, dass die Experten aus den jeweiligen Fachbereichen nur ihr Fachwissen, frei von methodischen Über-

110

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

legungen, einbringen müssen. Beim Expertenteam sind also Grundkenntnisse der FMEA völlig ausreichend. Die Teamgröße liegt idealerweise bei 4 - 6 Personen. Nehmen weniger als 3 - 4 Teammitglieder an der FMEA-Ausarbeitung teil, so besteht die Gefahr, dass wichtige Teilbereiche vergessen oder nur ungenügend behandelt werden. Bei einer Teamgröße von über 7 - 8 Personen hingegen schwächt sich der gruppendynamische Effekt stark ab, d.h. es fühlen sich oft nicht alle Teammitglieder angesprochen, wodurch eine gewisse Unruhe bei den FMEA-Sitzungen unvermeidbar wird. Folgende Punkte sind entscheidend für den Erfolg einer FMEA: x Vorgesetzte, die entschieden und erkennbar hinter den FMEA-Aktivitäten stehen, x ein Moderator, der über gute methodische und moderatorische Kenntnisse verfügt; x eine kleine, erfolgsorientierte Arbeitsgruppe, die aus engagierten, produktnah ausgerichteten Mitarbeitern besteht. Einen weiteren Vorschlag für die Organisation einer FMEA zeigt Abb. 4.6.

V

E

=

F

F:

Fachbereich (Initiator) Gesamtprojektleiter

V:

Verantwortlicher für das FMEA Projekt (Entwickler, Konstrukteur, Planer, Betreiber)

E:

Experten (Entwickler, Konstrukteur, Versuchsingenieur, Planer, Produzent, Laborant, Betriebsmittel-planer, Prüfplaner, Meister, Werker, weitere Wissensträger)

M:

Methodenspezialist FMEA (kann auch mit dem Experten bzw. dem Verantwortlichen identisch sein

M

Abb. 4.6. Das FMEA-Team nach VDA 4.2

4.2

FMEA nach VDA 86 (Formblatt-FMEA)

Die ursprüngliche Vorgehensweise einer FMEA erfolgte mit Hilfe eines Formblattes. Der Ablauf orientierte sich dabei an den vorgegeben Spalten, die sukzessive von links nach rechts auszufüllen waren. Unterschieden wurde grundsätzlich zwischen den Arten Konstruktions-FMEA und Prozess-FMEA. Ein Bereich des Formblattes ist für die Beschreibung der Bauelemente und ihrer Funktion vorgesehen. Ein weiterer Bereich behandelt die Risikoanalyse, die als wesentlichster Bearbeitungsteil anzusehen

4.2 FMEA nach VDA 86 (Formblatt-FMEA)

111

ist. Es schließt sich eine Risikobewertung an, um zu einer Rangfolge der im Allgemeinen sehr zahlreichen Ausfallarten zu kommen. Den Abschluss bildet eine Konzeptoptimierung, die aus einer Analyse der Risikobewertung abgeleitet wird, s. Abb. 4.7. Fehler- Möglichkeits- und Einfluß- Analyse Konstruktions- FMEA

UNI STUTTGART Nr.

Funktion

Prozeß- FMEA

Name/Abteilung/Lieferant

D

Technischer Änderungszustand

Erstellt durch (Name/Abteilung)

Datum

DERZEITIGER ZUSTAND Verhütungs- und

RPZ

Verantwortlichkeit

von ___

VERBESSERTER ZUSTAND Getroffene Maßnahmen

Entdeckung

Vorgesehene Prüfmaßnahmen

Empfohlene Abstellmaßnahmen

___

Überarbeitet Datum

Bedeutung

Potentielle Ausfallursachen

Blatt

Auftreten

Potentielle Ausfallfolgen

Teil- Nummer

Modell/System/Fertigung

Entdeckung

Potentieller Ausfall

Teil- Name

Name/Abteilung/Lieferant

Bedeutung Auftreten

Bauelement/ Prozessschritt

Bestätigung durch betroffene Abteilungen und/oder Lieferant

RPZ

Risikoanalyse

Bauelement, Funktion

Risikobewertung Konzeptoptimierung

Abb. 4.7. FMEA-Formblatt VDA 86

Im Einzelnen ergibt sich dabei der Ablauf gemäß Abb. 4.8. Den wesentlichen Schritt einer FMEA bildet die Suche nach allen denkbaren Ausfallarten (Spalte 4). Hierbei sollte am meisten Sorgfalt verwendet werden. Jede nicht gefundene Ausfallart kann eine risikohafte Ausfallart sein und damit später zu drastischen Zuverlässigkeitsproblemen führen. Die Möglichkeiten zur Ermittlung der Ausfallarten zeigt Abb. 4.9. Als zwingende Grundlage kann die Betrachtung der bisher in ähnlichen Fällen aufgetretenen Schäden angesehen werden. Durch die Erfahrungen der FMEA-Teilnehmer werden weitere Ausfallarten ermittelt. Dies erfolgt in Teamsitzungen, die durch den FMEA-Moderator entsprechend angeleitet werden. Zu berücksichtigen sind hier positive Gruppendynamikeffekte. Sehr häufig lassen sich ergänzend Checklisten zur Suche nach Ausfallarten einsetzen. In besonders risikoreichen Fällen ist der Einsatz von Kreativitätstechniken sinnvoll. Ein sehr systematischer Ansatz ist über Funktionsbetrachtungen mit Fehlfunktionen und Fehlerbäumen denkbar.

112

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse Tei

Fehler- Möglichkeits- und Einfluß- Analyse Konstruktions- FMEA

UNI STUTTGART Nr.

Bauelement/ Prozessschritt

Bestätigung durch betroffene Abteilungen und/oder Lieferant Funktion

Potentieller Ausfall

Prozeß- FMEA

Name/Abteilung/Lieferant

Mod

Name/Abteilung/Lieferant Erst (Na

Potentielle Ausfallfolgen

D

Potentielle Ausfallursachen

DERZEITIGER Vorgesehene Verhütungs- und Prüfmaßnahmen

1. Spalte 2. Spalte 3. Spalte 4. Spalte

6. Spalte 7. Spalte

Konstruktions-FMEA: > Eintragen der Bauteile und Ihrer Funktion(en) Prozess-FMEA: > Eintragen der Prozeßschritte und ihrer Funktion(en) Vorteile: > kein Bauteil/Prozess wird vergessen > sehr konkrete Ausfallsuche > Methode bottom up Potentieller Ausfall: > Suche nach allen möglichen/potentiellen Ausfallarten (Prognose!) > wichtigster und gleichzeitig auch schwierigster Schritt der FMEA! Potentielle Ausfallfolgen: > Suche nach allen möglichen/potentiellen Ausfallfolgen Potentielle Ausfallursachen: > Suche nach allen möglichen/potentiellen Ausfallursachen Vorgesehenen Verhütungs- und Prüfmaßnahmen: > Definition/Ermittlung aller vorgesehenen Verhütungsund Prüfmaßnahmen

Abb. 4.8. Vorgehensweise im FMEA-Formblatt

x

Schadensstatistiken

x

Erfahrungen der FMEA-Teilnehmer

x

Checklisten (Ausfallartenlisten)

x

Kreativitätstechniken (Brainstorming, 635, Delphi, …)

x

Systematisch über Funktionen bzw. Fehlfunktionen (Fehlerbäume)

Abb. 4.9. Möglichkeiten zur Ermittlung der Ausfallarten

4.2 FMEA nach VDA 86 (Formblatt-FMEA)

113

Das ausgefüllte Formblatt ergibt eine „Baumstruktur“, s. Abb. 4.10. Ein ausgewähltes Bauteil hat eine (oder mehrere) Funktionen und im Allgemeinen mehrere Ausfallarten. Jede Ausfallart besitzt wiederum verschiedene Ausfallfolgen und unterschiedliche Ausfallursachen. Teil- Name

Fehler- Möglichkeits- und Einfluß- Analyse Konstruktions- FMEA Bestätigung durch

UNI STUTTGART Nr.

Bauelement/

Name/Abteilung/Lieferant

Name/Abteilung/Lieferant

betroffene Abteilungen und/oder Lieferant Funktion

(Name/Abteilung) Ausfall

Ausfallfolgen

D

Potentielle Ausfall-

DERZEITIGER ZUSTAND Vorgesehene V erhütungs- und P rüfmaßnahmen

Entdeckung

Potentielle

Bedeutung

Potentieller

ursachen

1

Modell/System/ Fertigung Erstellt durch

Auftreten

Prozessschritt

Prozeß- FMEA

RPZ

1

2

Abb. 4.10. „Baumstruktur“ im FMEA-Formblatt

An die Risikoanalyse schließt sich eine Risikobewertung an. Damit sollen aus der großen Menge der gefundenen Ausfallarten die wesentlichen Risiken durch Bildung einer Rangfolge ermittelt werden. Die Bewertung erfolgt nach 3 Kriterien. Mit der Bewertungsnote A wird geschätzt, wie wahrscheinlich das Auftreten der Ausfallursache ist. Es wird damit die Frage behandelt, ob es sich um einen eher hypothetischen Fehler handelt oder ob er bereits häufiger in der Praxis vorkam. Die Bewertungsnote B beschreibt die Bedeutung der Ausfallfolge. Die Gefährdung von Personen führt zu einer hohen Bewertung, während z.B. geringe Komfortbeeinträchtigungen eine entsprechend geringere Note erhalten. Mit der Entdeckungsnote E wird festgelegt, wie sicher die Entdeckbarkeit der Ausfallursache vor der Auslieferung an den Kunden gelingt. Das letztendliche Maß ist auch hier der Kunde. Der Fehler hat zwar bereits Kosten verursacht, aber der Kunde erhält kein unzuverlässiges Produkt. Die drei Einzelbewertungen werden noch zu einer Gesamtbewertung verwendet. Hierzu wird durch Multiplikation von A, B und E eine Risikoprioritätszahl RPZ gebildet, s. Abb. 4.11.

114

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse Risikobewertung:

DERZEITIGER ZUSTAND Entdeckung

Prüfmaßnahmen

Bedeutung

Verhütungs- und

Auftreten

Vorgesehene

RPZ

Wie wahrscheinlich ist das Auftreten der Ausfall-Ursache Wie groß ist die Bedeutung der Ausfall-Folge Wie groß ist die Entdeckung der Ausfall-Ursache vor Auslieferung RPZ (Gesamtrisiko) = Auftreten X Bedeutung X Entdeckung

Abb. 4.11. Risikobewertung

Die Werteskala zur Bewertung umfasst üblicherweise die ganzzahligen Werte von 1 bis 10. Für Einschätzungen, die für ein zuverlässiges Produkt günstig bzw. positiv sind, wird eine 1 vergeben (sehr seltenes Auftreten, geringste Bedeutung, beste Entdeckbarkeit). Bei extrem negativen Bewertungen ist eine 10 zu verwenden. Die Abstufung der Skala erfolgt meist mit Hilfe von Tabellen (s. z.B. VDA-Tabelle Abschn. 4.4.4). Für die Risikoprioritätszahl ergibt damit sich somit eine Spannweite von 1 (1*1*1) bis 1.000 (10*10*10). Als mittlerer Wert einer RPZ wird häufig 125 (5*5*5) angesehen, s. Abb. 4.12. Risikobewertung – Werteskala: x

Werteskala von 1 bis 10 positiv, günstig negativ, schlecht

= =

1 10

x

Abstufungen mit Hilfe von Tabellen (VDA etc.)

x

Produkt aus Einzelbewertungen = Risikoprioritätszahl RPZ: Risiko der ermittelten Fehlerursache

Abb. 4.12. Werteskala einer Risikobewertung

Die letzte Phase einer FMEA beinhaltet die Optimierungsphase. Sie erfolgt nach der Bewertung des Risikos. Zuerst werden die ermittelten Risikoprioritätszahlen nach ihrer Größe geordnet. Die Optimierung beginnt bei der Fehlerursache mit der größten RPZ und sollte je nach Umfang entweder bei einer gewissen Untergrenze (z.B. RPZ = 125) oder gemäß des ParetoPrinzips nach 20 - 30 % der RPZs beendet werden. Neben der RPZ müssen

4.2 FMEA nach VDA 86 (Formblatt-FMEA)

115

auch hohe Einzelbewertungen betrachtet werden. So bedeutet ein Wert A > 8, dass der Fehler meistens auftritt. Dies muss natürlich behoben werden. Ein Bedeutungswert B > 8 weist auf gravierende Funktionsbeeinträchtigungen bzw. auf Sicherheitsrisiken hin. Auch diese Fälle müssen genau betrachtet werden. Bei Werten E > 8 können die Fehler äußerst schwer entdeckt werden. Damit steigt die Gefahr, dass diese Fälle den Kunden erreichen, s. Abb. 4.13. x

Fehlerursachen nach Höhe der RPZ ordnen

x

Optimierung beginnend bei Fehlerursache mit größter RPZ ż bis festgelegte Grenz-RPZ (z.B. RPZ = 125) oder ż bis festgelegte Anzahl von Ausfallarten (üblich: nach Pareto-Prinzip ca. 20 - 30 %)

x

Fehlerursachen mit

A > 8, E > 8 und B > 8 gesondert betrachten

Fehlerfolgen x

FMEA-Ergebnis gesondert betrachten

Abb. 4.13. Vorgehen bei der Konzeptoptimierung

Für die optimierten Fehlerursachen werden die neuen Maßnahmen im rechten Teil des Formblatts eingetragen und die Verantwortlichkeit festgehalten. Der verbesserte Zustand, wird einer neuen Bewertung unterzogen und die neue, verbesserte RPZ berechnet, s. Abb. 4.14. Teil- Name

Teil- Nummer

Modell/System/Fertigung

Technischer Änderungszustand

Erstellt durch (Name/Abteilung)

Datum

ZUSTAND

___

VERBESSERTER ZUSTAND Getroffene Maßnahmen

Lösungen, Maßnahmen

Abb. 4.14. Konzeptoptimierung im Formblatt

Ergebnis, Beurteilung

Entdeckung

RPZ

von

Überarbeitet Datum

Bedeutung

Verantwortlichkeit

___

Auftreten

Entdeckung

Bedeutung Auftreten

Empfohlene Abstellmaßnahmen

Blatt

RPZ

116

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

4.3

Beispiel einer Konstruktions-FMEA nach VDA 86

Anhand eines kleinen Beispiels soll die Vorgehensweise der klassischen FMEA verdeutlicht werden. Ausgewählt wurde hierzu ein tatsächlich aufgetretener Schaden in einem Automatgetriebe. Nur diese eine Ausfallart soll betrachtet und damit die Wirksamkeit einer FMEA verdeutlicht werden. In Abb. 4.15 ist das Getriebeschema eines 5-Gang-Automatikgetriebes dargestellt. Br3

BrS Br2

Br1

KS

K2 K1

F

FS

Abb. 4.15. FMEA-Beispiel – Automatikgetriebe [4.4]

Zur Betrachtung des Schadensfalles genügt es, nur einen kleinen Ausschnitt aus dem Getriebe zu behandeln: das vordere Axiallager, s. Abb. 4.16. Dieses Lager stützt einen drehenden Außenlamellenträger gegenüber einer festen Statorwelle ab. Auf dieser Statorwelle hat das Axiallager eine Laufbahn. Die andere Laufbahn wird durch eine Laufscheibe realisiert. Zum Axiallager gehören noch Ausgleichsscheiben, um die auftretenden Axialspiele im Getriebe auszugleichen. Bei dem aufgetretenen Schadensfall bzw. der zu betrachtenden Ausfallart handelt es sich um: Vertauschen der Laufscheibe mit den Ausgleichsscheiben. Das „Vertauschen von Bauteilen“ ist als Standardausfallart anzusehen, die in jeder einfachen Checkliste bereits enthalten ist. Beim Automatgetriebe führt das Vertauschen zur Zerstörung des Lagers und damit zum Getriebeausfall. Besonders unangenehm hierbei ist, dass ein Funktionstest im Werk ohne Beanstandung absolviert wird. Der Funktionstest erfolgt mit relativ niedriger Last, die von den bis zu 0,1 mm dünnen und ungehärteten Ausgleichsscheiben ertragen werden kann. Erst bei höheren Belastungen und entsprechender Laufzeit verformen sich die Ausgleichsscheiben sehr stark, führen zum Blockieren des Axiallagers und

4.3 Beispiel einer Konstruktions-FMEA nach VDA 86

117

damit auch zum Blockieren des Getriebes. Eine relativ kleine Ursache erzeugt damit einen sehr großen Schaden.

Abb. 4.16. Detaillausschnitt des 5-Gang-Automatik-Getriebes

Bei einer FMEA wäre der Fehler wie folgt bewertet worden. Die Auftretenswahrscheinlichkeit des Fehlers müsste mit 3 bis 6 bewertet werden (manuelle Montage, denkbarer Fehler). Die Bedeutung der Fehlerfolge ist mit 9 bis 10 als sehr kritisch einzustufen, da das Fahrzeug liegen bleiben wird. Die Entdeckung der Fehlerursache ist sehr unwahrscheinlich und ist mit 10 zu bewerten. Als Risikoprioritätszahl ergeben sich aus dem Produkt der drei Einzelbewertungen Werte zwischen 300 und 600. Dies sind Größenordnungen, die eine Optimierung unbedingt erforderlich machen, s. Abb. 4.17.

118

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Abb. 4.17. FMEA–Formblatt für Automatgetriebe

4.4 FMEA nach VDA 4.2

4.4

119

FMEA nach VDA 4.2

Im Folgenden wird die Vorgehensweise bei der FMEA-Erstellung nach der VDA-Richtlinie 4.2 [4.7] behandelt. Die bisherige FMEA wurde wesentlich erweitert. Grund hierfür war der verstärkte Einsatz der FMEA und die Erkenntnis einiger Mängel in der Vorgehensweise. Als neuer, übergeordneter Begriff wurde definiert: System-FMEA. Wesentliche Einflussfaktoren für den verstärkten Einsatz der FMEA sind: x gestiegene Qualitätsansprüche der Kunden, x Kostenoptimierung der Produkte und x gesetzlich geforderte Produkthaftung der Hersteller. Die mit der System-FMEA verfolgten Ziele lauten: x x x x x x x x

Steigerung der Funktionssicherheit und Zuverlässigkeit von Produkten, Reduzierung von Garantie- und Kulanzkosten, kürzere Entwicklungsprozesse, störungsärmere Serienanläufe, bessere Termintreue, wirtschaftlichere Fertigung, bessere Dienstleistungen und bessere innerbetriebliche Kommunikation.

Da die System-FMEA eine präventive Zuverlässigkeitsmethode ist, sollte der Zeitpunkt des Einsatzes so früh wie möglich im Produktentstehungsprozess erfolgen. Falls eine Anwendung der FMEA-Methodik in der Lastenheftphase nicht erfolgen kann, sollte spätestens beim Entstehen erster Entwürfe oder danach eine System-FMEA durchgeführt werden. Die FMEA muss entwicklungsbegleitend durchgeführt werden, d.h. sie ist permanent anzupassen und darf nicht als statisches Dokument verstanden werden. Für die Weiterentwicklung gab es verschiedene Gründe. x Bei der Konstruktions-FMEA erfolgte eine Fehler- bzw. Ausfallbetrachtung überwiegend auf Bauteilebene, d.h. ein funktionaler Zusammenhang der betrachteten Bauteile wurde nicht systematisch erfasst. x Bei der bisherigen Prozess-FMEA wurden lediglich Fehlerbetrachtungen in einzelnen Prozessschritten durchgeführt. Der gesamte Herstellungsprozess bis hin zur Auslegung von Werkzeugen und Maschinen wurde nicht analysiert.

120

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

x Sowohl für Konstruktions- und Prozess-FMEA erfolgte die Erstellung der FMEA über ein Formblatt, d.h. es wurde keine strukturierte Beschreibung von Funktions- und möglichen Fehlfunktionszusammenhängen in Systemen durchgeführt. Der wesentliche neue Ansatz bestand nun darin, über die Struktur des zu betrachtenden Systems in eine System-FMEA einzusteigen. Dies bedeutete die Entwicklung einer System-FMEA Produkt und einer System-FMEA Prozess. Das alte Formblatt wurde überarbeitet und in ein neues Formblatt VDA 96 übergeführt, s. Abb. 4.18.

Abb. 4.18. Vergleich der FMEA-Formblätter VDA 86 und VDA 96

Für die neue Vorgehensweise sind zusätzlich System- und Funktionsbetrachtungen notwendig. Im Einzelnen bedeutet das: x Strukturierung des zu untersuchenden Produkts als System mit Systemelementen und Aufzeigen von funktionalen Zusammenhängen dieser Elemente, x Ableiten der denkbaren Fehlfunktionen (mögliche Fehler) eines Systemelements aus dessen zuvor beschriebenen Funktionen und die

4.4 FMEA nach VDA 4.2

121

x logische Verknüpfung der zusammengehörigen Fehlfunktionen unterschiedlicher Systemelemente, um die in der System-FMEA zu analysierenden möglichen Fehlerfolgen, Fehler und Fehlerursachen beschreiben zu können. An dieser Stelle ist eine genauere Definition des Begriffs „System“ hilfreich: Jedes technische Gebilde (Anlage, Maschine, Gerät, Baugruppe,...) ist beschreibbar als System. Ein System x lässt sich von der Umgebung abgrenzen; es besitzt damit eine Systemgrenze; die Schnittstellen an den Systemgrenzen sind Ein- und Ausgangsgrößen; x lässt sich in Teilsysteme bzw. Systemelemente untergliedern; x kann auf verschiedenen Hierarchiestufen gebildet werden; x kann je nach Zweck in unterschiedliche Systeme eingeteilt werden (z.B. in Baugruppen, in Funktionsgruppen,...); x ist eine abstrakte Produktbeschreibung.

Abb. 4.19. System „Kupplung“ nach [4.6]

122

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Eine Verdeutlichung des Systembegriffs erfolgt in Abb. 4.19. Hier wird eine Schnittdarstellung in eine Systemdarstellung und damit in eine andere Abstraktionsebene übergeführt, die für die FMEA-Methodik von Vorteil ist. Der zweite wichtige Begriff im Zusammenhang mit der System-FMEA ist die „Funktion“. Eine Funktion beschreibt den allgemeinen und eindeutigen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgrößen von technischen Gebilden, Systemen, etc. Die Vorstellung als „Black Box“ dient zur Aufgabenbeschreibung auf abstrakter und lösungsneutraler Ebene, s. Abb. 4.20.

Vorstellung:

“Black Box“

Funktion Eingangsgrößen

Ausgangsgrößen

Abb. 4.20. Begriff Funktion

Beispiele für Funktionen bei technischen Systemen: x x x x

Getriebe Elektromotor Überdruckventil RAM

Æ Æ Æ Æ

Drehmoment / Drehzahl wandeln; el. in mech. Energie wandeln; Druck begrenzen; Signale speichern.

System ELast Prüfling S

ELast S

Prüfling

Prüfling auf Kraft-VerformungsZusammenhang untersuchen

Energie in Kraft und Weg wandeln

EVerformung Prüflingverformt SKraft Funktionen SVerformung

Kraft messen

SF

Verformung messen

S∆l

Prüfling belasten

Abb. 4.21. Gesamtfunktion Prüfmaschine, Grobstruktur [4.6]

(Gesamt-, Haupt-, Nebenfunktionen)

EVerformung Prüflingverformt

4.4 FMEA nach VDA 4.2

123

In Abb. 4.21 wird die Vorgehensweise anhand einer Prüfmaschine verdeutlicht. Das Gesamtsystem wird dabei schrittweise untergliedert. Die Gesamtfunktion wird in einem ersten Schritt in Haupt- und Nebenfunktionen unterteilt. Eine Feinstruktur mit weiteren Haupt- und Nebenfunktionen wird in einem weiteren Schritt erstellt, s. Abb. 4.22. EHilf SF soll S∆L soll

ELast S

Soll-IstVergleich Energie in Kraft und Weg wandeln

Messgrößen verstärken

Energiegröße einstellen

Kraft messen

SF

Verformung messen

S∆l EVerlust

Prüfling

Prüfling halten

Prüfling belasten

EVerformung Prüflingverformt

Abb. 4.22. Gesamtfunktion Prüfmaschine, Feinstruktur [4.6] System-FMEA Produkt (Übersicht)

Mit der System-FMEA Produkt werden Fehlfunktionen bzw. Ausfallarten von Produkten (Maschinen, Geräten, Apparaten, ...) betrachtet. Die Analyse erfolgt über die verschiedenen Systemhierarchieebenen bis zu den Versagensarten auf der Bauteilebene. Die Fehlfunktionen der Bauteile sind hierbei physikalische Ausfallarten wie z.B. Bruch, Verschleiß, Klemmen, etc. Der Begriff „Fehlfunktion“ steht somit allgemein für eine Ausfallart, Versagensart oder einen Fehler. Die Inhalte der bisherigen FMEA nach VDA-Richtlinie 86 sind vollständig integrierbar s. Abb. 4.23. Ein erstes Beispiel für den Aufbau einer System-FMEA Produkt zeigt hingegen Abb. 4.24.

124

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Abb. 4.23. Konstruktions-FMEA für ein Getriebe nach der bisherigen Vorgehensweise (VDA 86) Karosserie Aufbau Fahrwerk Fahrzeug

Motor Antriebswelle Triebstrang

Getriebe Zahnrad Kupplung

Abb. 4.24. System-Struktur „Gesamtsystem Fahrzeug“ [4.7] System-FMEA Prozess (Übersicht)

Bei der System-FMEA Prozess werden die möglichen Fehlfunktionen eines Produktionsprozesses (Fertigung, Montage, Logistik, Transport, etc.) betrachtet. Über eine Systembeschreibung wird der Prozess strukturiert, wobei die letzte Struktur-Ebene durch die „5M’s“ (Mensch, Maschine, Material, Methode, Milieu/Mitwelt) gebildet wird, s. Abb. 4.25.

4.4 FMEA nach VDA 4.2

125

Teilprozess 1.1 Prozess 1 (Aufbau) Teilprozess 1.2 Gesamtprozess (Fahrzeug)

Mensch Teilprozess 2.1 Maschine

Prozess 2 (Triebstrang)

Teilprozess 2.2 Material Teilprozess 2.3

Methode Milieu/ Mitwelt

Abb. 4.25. Beispiel einer Systemstruktur eines Gesamtprozesses [4.7]

Die Vorgehensweise bei der Erstellung einer System-FMEA nach VDA 4.2 erfolgt grundsätzlich in 5 Schritten (s. Abb. 4.26). Diese 5 Schritte werden im Folgenden detailliert behandelt. 1. Schritt

Systemelemente und Systemstruktur

2. Schritt

Funktionen und Funktions struktur

3. Schritt

4. Schritt

Fehleranalyse

5. Schritt

Risikobewertung

Optimierung

Abb. 4.26. Die 5 Schritte der System-FMEA

4.4.1

Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur

Der erste Schritt einer FMEA gliedert sich in folgende Teilschritte: 1. Das zu untersuchende System abgrenzen, s. Abb. 4.27, d.h. es muss zunächst genau festgelegt werden, welcher Systemumfang mit Hilfe der FMEA untersucht werden soll. Dies bedeutet im Einzelnen: x Definition der Schnittstellen der Konstruktion (bei System-FMEA Produkt) bzw. x Definition der Prozessschnittstellen (bei System-FMEA Prozess).

126

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Abb. 4.27. Abgrenzung des zu betrachtenden Systems

2. Das System aufteilen in einzelne Systemelemente (SE); diese Untergliederung kann erfolgen in: x Baugruppen (Subsysteme) x Funktionsgruppen (Subsysteme) x Bauteile 3. Die Systemelemente hierarchisch anordnen in einer Systemelementstruktur (Systembaum), s. Abb. 4.28. SE 1.1 SE 1 SE 1.2 SE 2.1 System

SE 2

SE 2.2.1

SE 2.2 SE 2.2.2 SE 2.3

SE 3

SE 3.1 SE 3.2

Abb. 4.28. System und Systemstruktur [4.7]

Die Systemstruktur ordnet, vom Topelement (Wurzelelement) beginnend, einzelne Systemelemente auf unterschiedlichen hierarchischen Ebenen an. Unter jedem Systemelement können weitere Teilstrukturen (Subsysteme) mit unterschiedlicher Ebenenanzahl angeordnet werden. Der Aufbau der Systemstruktur ist prinzipiell frei wählbar, häufig ist bei einer ProduktFMEA eine Gliederung nach Baugruppen, wie sie in Abb. 4.29 beispielhaft zu sehen ist. Bei der Bildung der Systemstruktur ist folgendes zu beachten:

4.4 FMEA nach VDA 4.2

127

x die Anzahl der Hierarchieebenen ist beliebig, x jedes Systemelement darf nur einmal vorkommen (Eindeutigkeit), x zur besseren Übersichtlichkeit können einzelne Systemelemente nur zur Strukturierung eingesetzt werden (so genannte „Dummy-Systemelemente“); sie werden in der weiteren Analyse nicht verwendet. Die zur Erstellung der Systemstruktur benötigten Hilfsmittel sind auszugsweise in Abb. 4.30 dargestellt. Ein Beispiel dafür ist in Kapitel 4.5.1. zu finden. 1. Strukturerstellung Abgrenzung des zu untersuchenden Systems Einteilung in Baugruppen

2. Funktionen 3.

Fehleranalyse

Risiko4.bewertung

5. Optimierung

Produktstruktur und Systemelemente festlegen

Gesamtprodukt

+

Einteilen des Systems in: – Baugruppen i.a. – Bauteile 1 Gesamtsystem

Baugruppen

+

Bauteile (zusätzliche Ebenen möglich)

1.1

Baugruppe 1

1.2

Baugruppe 2

1.3

Baugruppe 3

1.4.1

Einzelteil 1

1.4.2 1.4

Baugruppe 4

1.4.3

Einzelteil 2 Einzelteil 3

1.4.n-1 Einzelteil n-1

........... 1.n-1 Baugruppe n-1 1.n

Baugruppe n

Abb. 4.29. Schritt 1 – Strukturerstellung Konstruktion: - Zeichnungen - Stücklisten - Konstrukteur Prozess:

5x Mutter 1x Niete 2x Tür 4x Rad

- Prozessablaufplan - Prozessplanung - Fertigung - Qualitätsplanung

Abb. 4.30. Hilfsmittel zur Erstellung des Strukturbaums

1.4.n

Einzelteil n

128

4.4.2

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur

Die Einteilung in Systemelemente (SE) und der Aufbau der Systemstruktur (Strukturbaum) ist Basis, um entsprechend genau Funktionen und Fehlfunktionen festzulegen. Zur Bestimmung der Funktionen bieten sich folgende Möglichkeiten an: 1. Ermittlung der Funktionen „top-down“, d.h. ausgehend von Topfunktionen des Systems werden die Funktionen (Funktionsbeiträge der nachgeordneten Systemelemente) ermittelt, s. Abb. 4.31. 2. Ermittlung der Funktionen „einzeln je Systemelement“. Hierzu sind genaue Kenntnisse über die Einsatzbedingungen erforderlich, z.B. durch Lastenheftangaben wie Belastung, Hitze, Kälte, Staub, Spritzwasser, Salz, Vereisung, Schwingungen, elektrische Störungen, etc. Einzelteil1 Einzelteil 1

Systeme Systeme

Baugruppe1 Baugruppe 1

Einzelteil Einzelteil 2

Funktion Funktion 1

Baugruppe2 Baugruppe 2

Einzelteil3 Einzelteil 3

Funktion Funktion 2

Baugruppe3 Baugruppe 3

Funktion Funktion 3

Funktionen des Systems = Topfunktion Funktionen der Funktionsgruppen Funktionen der Baugruppen Funktionen der Bauteile

Die Erfüllung der Topfunktionen führt zu den Funktionen der verschiedenen Hierarchieebenen Abb. 4.31. Funktionsanalyse bei der FMEA

In beiden Fällen sind geeignete Hilfsmittel: x die „Black-Box“-Betrachtung, s. Abb. 4.32, x die allgemeine „Leitlinie“ aus der Konstruktionsmethodik, s. Abb. 4.33. Eine Leitlinie ist als Such- oder Anregungsliste mit übergeordneten Begriffen anzusehen. Sie soll ermöglichen, nichts Wesentliches zu vergessen. Damit kann die Vollständigkeit der gefundenen Funktionen überprüft werden.

4.4 FMEA nach VDA 4.2

129

Black-Box Eingang

Funktionen

Drehzahl

- Drehmoment-/ Drehzahl wandeln - Gang wechseln - Gang wählen

Hydraulik Druck Signale Signal Strom

- Signale verknüpfen - Licht erzeugen

Vorgabe von Top funktionen

spezielle Funktion

Ausgang gewandelte Drehzahl gewandeltes Moment anderer Gang Licht führt zur Erfüllung der Topfunktion

Getriebe

Anzeige Allgemein

Abb. 4.32. Black-Box als Hilfsmittel zur Funktionsermittlung

übergeordnete Begriffe Größe, Höhe, Breite, Länge, Durchmesser, Raumbedarf, Anzahl, Anordnung, Anschluß, Kinematik Ausbau und Erweiterung Kräfte Bewegungsart, Bewegungsrichtung, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kraftgröße, Kraftrichtung, Krafthäufigkeit, Gewicht, Last, Verformung, Steifigkeit, Federeigenschaften, Stabilität, Resonanzen Energie Leistung, Wirkungsgrad, Verlust, Reibung, Ventilation, Zustandsgrößen wie Druck, Temperatur, Feuchtigkeit, Erwärmung, Kühlung, Anschlußenergie, Speicherung, Arbeitsaufnahme, Energieumformung Stoff Physikalische und chemische Eigenschaften des Eingangs- und Ausgangsprodukts, Hilfsstoffe, vorgeschriebene Werkstoffe (Nahrungsmittelgesetz), Materialfluß und transport Signal Eingangs- und Ausgangssignale, Anzeigeart, Betriebs- und Überwachungsgeräte, Signalform Sicherheit Unmittelbare Sicherheitstechnik, Schutzsysteme Betriebs-, Arbeits- und Umweltsicherheit Ergonomie Mensch-Maschine-Beziehung, Bedienung, Bedienungsart, Übersichtlichkeit, Beleuchtung, Formgestaltung Fertigung Einschränkung durch Produktionsstätte, größte herstellbare Abmessung, bevorzugtes Fertigungsverfahren, Fertigungsmittel, mögliche Qualität und Toleranzen Kontrolle Meß- und Prüfmöglichkeiten, besondere Vorschriften (TÜV, ASME, DIN, ISO, ADMerkblätter) Montage Besondere Montagevorschriften, Zusammenbau, Einbau, Baustellenmontage, Fundamentierung Transport Begrenzung durch Hebezeug, Bahnprofil, Transportwege nach Größe und Gewicht, Versandart Gebrauch Geräuscharmut, Verschleißrate, Anwendung und Absatzgebiet, Einsatzort (Tropen, ..) Instandhaltung Wartungsfreiheit bzw. Anzahl und Zeitbedarf der Wartung, Inspektion, Austausch und Instandsetzung, Anstrich, Säuberung Recycling Wiederverwendung, Wiederverwertung, Entsorgung, Endlagerung, Beseitigung Kosten Max. zulässige Herstellkosten, Werkzeugkosten, Investition und Amortisierung Termin Ende der Entwicklung, Netzplan für Zwischenschritte, Lieferzeit Geometrie

Abb. 4.33. Leitlinie für Anforderungsliste nach [4.6]

130

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Das Zusammenwirken der Funktionen mehrerer Systemelemente für eine einzelne, ausgehende Funktion wird als Funktionsstruktur bezeichnet. Die Verknüpfung der Funktionen zu einem Funktionsnetz bzw. einer Funktionsstruktur ist möglich. Für die Gesamtsystemfunktion werden Topfunktionen festgelegt, die zur Erfüllung der Produktziele unerlässlich sind, wie z.B. Qualitätsmerkmale, Konstruktionsvorgaben oder Angaben aus der Vorgänger-FMEA. Die Topfunktionen werden weiter untergliedert in Teilsystemfunktionen und Subsystemfunktionen bis hin zu Bauteilfunktionen, s. Abb. 4.34. Ein Beispiel dafür ist in Kapitel 4.5.2. dargestellt.

1. Strukturerstellung

2. Funktionen

3.

Fehleranalyse

4.

Risikobewertung

5. Optimierung

Funktionen der Systemelemente Gesamtsystemfunktion + Teilsystemfunktionen + Subsystemfunktionen (Produktziele: - Qualitätsmerkmale - Vorgabe aus der Produktion - Vorgabe FMEA) 1 Gesamtsystem Topfunktion Topfunktion Topfunktion … Topfunktion

1 2 3

1.1 Teilsystem 1 … 1.2 Teilsystem 2 … 1.3.1

Subsystem

1.3 Teilsystem 3 Teilsystemfunktion 1 Teilsystemfunktion 2

n

Subfunktion 1 … Subfunktion n-1 Subfunktion n

1.4 …

Abb. 4.34. Funktionen der Systemelemente

4.4.3

Schritt 3: Fehleranalyse

Für jedes Systemelement kann eine Fehleranalyse durchgeführt werden. Jedoch muss im Einzelfall entschieden werden, bei welchen Systemelementen eine Fehleranalyse sinnvoll ist. Fehleranalyse bedeutet Ermittlung aller potentiellen Fehlfunktionen. D.h. die mögliche Nichterfüllung bzw. die Einschränkung einer Funktion wird in Betracht gezogen. Bei abstrakten Funktionen kann eine Funktionsfehlerliste mittels der in Abb. 4.35 gezeigten Möglichkeiten erstellt werden.

4.4 FMEA nach VDA 4.2 Funktionsfehlerliste erstellen

131

oft nur negieren der Funktion mehrere Funktionsfehler für eine Funktion alle Betriebszustände beachten

Abb. 4.35. Ermittlung der Fehlfunktionen

Auf der Bauteilebene, sind die Fehlfunktionen per Definition physikalische Ausfallarten. Tabelle 4.1. Typische Fehlerarten x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Ermüdung (auch Setzen, Pittings, ...) Bruch, Anriss Korrodiert Gelockert, lose, wackelt, löst sich Verbrannt Kurzschluss Unterbrechung Drift Funktionsfehler Blockierung Vibration, Schwingung Verunreinigt Verstopft Undicht Geplatzt Drucklos Druck falsch Deformiert, verformt, verbeult, überdehnt, durchbiegen, durchhängen Beschädigt Verschlissen (frühzeitig) Berührung mit Nachbarteilen

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Klemmt, schwergängig Verschleiß Gefressen Schmierung (zu gering, zu hoch) Fällt ab Eingefallen Leistungsabfall Abgezogen Hoher Widerstand Farbunterschied Fluchtungsfehler, Ausrichtungsfehler, falsche Lage Aufnahme zum Gegenteil falsch Schmutz-, Wassereintritt Dejustiert, verdreht, verstellt Verschmutzung Vertauscht, falsches Teil Fehlt, verloren Lunker Abweichende Maße Oberflächenhärte, Rauheit weicht ab ...

Die Tabelle 4.1 zeigt eine Auflistung typischer Fehlerarten, wie sie auch zur Überprüfung der Vollständigkeit eingesetzt werden kann. Diese Fehl-

132

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

funktionen auf Bauteilebene sind die klassischen Fehler- bzw. Ausfallarten der FMEA. Die Darstellung der Fehlfunktionen im Strukturbaum zeigt Abb. 4.36.

1. Strukturerstellung 1. Strukturerstellung

3. 2. Funktionen 2. Funktionen

Fehleranalyse

4. Risikobewertung

5. Optimierung

Fehlfunktionen der Systemelemente festlegen Gesamtsystemfehler +

Teilsystemfehler

+ Subsystemfehler

1.1 Teilsystem 1 ..... 1 Gesamtsystem Topfunktion 1 Topsystemfehler Topfunktion 2 Topsystemfehler … Topsystemfehler Topsystemfehler

1.2 Teilsystem 2 ..... 1 2 n-1 n

1.3 Teilsystem 3 Teilsystemfunktion 1 Teilsystemfehler 1 Teilsystemfunktion ... Teilsystemfunktion nicht erfüllt Teilsystemfunktion teilweise erfüllt .....

FehlerFolgen FF

1.3.1 Subsystem Subfunktion 1 Subsystemfehler 1 Subfunktion 2 Subsystemfehler 2 Subfunktion 3 Subfunktion nicht erfüllt Subfunktion teilweise erfüllt Subfunktion n-1 Subfunktion n

1.4 .....

FehlerArten F(FA)

FehlerUrsachen FU

Abb. 4.36. Fehlfunktionen (FF , FA, FU)

Die Topsystemfehler bzw. die Topfehlfunktionen werden aus den Topfunktionen abgeleitet. Die Tiefe der Fehleranalyse wird durch die Tiefe der Strukturierungsebenen der Systemstruktur begrenzt, Wenn nötig muss zur Ermittlung aller Fehlerursachen die Strukturierungstiefe erweitert werden. Die Ermittlung der Fehlerarten (FA) können durch folgende Methoden unterstützt werden: x x x x x

Schadensstatistiken, Erfahrung der FMEA-Teammitglieder, Checklisten (Ausfallarten wie z.B. Tabelle 4.1), Kreativitätstechniken (Brainstorming, 635, Delphi, etc.), Systematisch über Funktionen bzw. Fehlfunktionen/ Fehlerbäume.

Sehr hilfreich zur Fehlersuche hat sich die Checkliste erwiesen.

4.4 FMEA nach VDA 4.2

133

Bei der im 3. Schritt durchzuführenden Fehleranalyse bestehen folgende Zusammenhänge: x Mögliche Fehlerart (FA) des betrachteten SE sind seine aus den bekannten Funktionen abgeleiteten und beschriebenen Fehlfunktionen, z.B. Nichterfüllung der Funktion oder eingeschränkte Funktion. x Die möglichen Fehlerursachen (FU) sind die denkbaren Fehlfunktionen der in der Systemstruktur untergeordneten SE und der über Schnittstellen zugeordneten SE. x Die möglichen Fehlerfolgen (FF) sind die sich ergebenden Fehlfunktionen der in der Systemstruktur übergeordneten SE und der über Schnittstellen zugeordneten SE. Den Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Fehlern soll folgendes Beispiel nochmals etwas vertiefen. x Fehlerart: x Mögliche Fehlerursache: x Mögliche Fehlerfolge:

Plötzlicher Druckverlust eines Autoreifens spitzer Gegenstand (z.B. Nagel) auf der Straße Fahrzeug bricht aus ĺ Unfall, Fahrzeug ist fahruntüchtig

Typische Fehlerursachen (FU) auf Bauteilebene zeigt Tabelle 4.2. Oftmals ist es sinnvoll, derartige Listen unternehmensspezifisch zu erstellen, um sie bei zukünftigen FMEAs wieder verwenden zu können. Tabelle 4.2. Typische Fehlerursachen auf Bauteilebene x x x x x x x x x x

Falsche Materialwahl Unvorhergesehene, unzulässige Belastung Materialfehler Auslegungsfehler Falsche Oberflächenhärte Zu hohe Betriebstemperatur Schmiermittelmangel Korrosion Falsche Toleranzwahl Beschädigung der Dichtfläche

x x

Undicht Verschluss

x x x x x x x

Ermüdung Falscher Einbau Ungenügende Erprobung Personalfluktuation Missverständnis Fehlende Kontrolle ...

Die Durchführung der Fehleranalyse kann unterschiedlich erfolgen: 1. Definition der Funktionen bis auf Bauteilebene; aus Bauteilfunktionen: Æ Bauteilfehlfunktionen = Ausfallarten;

134

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Fragestellung: „Welche Ausfallarten sind bei der betrachteten Bauteilfunktion denkbar“ (Beispiel Hülse, Abb. 4.55). 2. Definition der Funktionen nur bis Baugruppen- bzw. Funktionsgruppenebene (Bauteilfunktion = „Dummy“-Funktion); aus Fehlfunktionen der Bau- bzw. Funktionsgruppen: Æ Bauteilfehlfunktionen = physikalische Ausfallarten; Fragestellung: „Welche Ausfallarten sind notwendig, um die betrachtete Baugruppen- bzw. Funktionsgruppenfehlfunktion zu erzeugen?“ (Beispiel Dichtungen, Abb. 4.55). Die ermittelten Fehlfunktionen werden zu Fehlerbäumen / Fehlfunktionsbäumen bzw. Fehlernetzen verknüpft, s. Abb. 4.37.

1. Strukturerstellung

2. Funktionen 3. Fehler-

analyse

Risiko4. bewertung

5. Optimierung

Fehlfunktionen zu Fehlernetz / Fehlerbaum verknüpfen

1.1 System 1

1

Subsystemfehler 1

es en ein Erstell rnetzes/ Fehle rbaumes Fehle

Topsystemfehler 1

1.2 System 2 Gesamtsystem Topfunktion 1 Topsystemfehler 1 Topsystemfehler 2 Topfunktion 2

1.3.1 1.3

Topsystemfehler n-1 Topsystemfehler n

FehlerFolgen

1.4

FehlerArten

Subsystemfehler 2 Subsystemfunktion 1 nicht erfüllt Subsystemfunktion 2 teilweise erfüllt

Substelle Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe nicht erfüllt Aufgabe teilweise erfüllt Aufgabe 3

System 3 Teilsystemfunktion 1 Teilsystemfehler 1 Teilsystemfunktion .. Teilsystemfehler...

Teilsystemfehler 1

Subfunktion 1 Subfunktion nicht erfüllt Subfunktion teilweise erfüllt Subfunktion n-1 Subfunktion n

FehlerUrsachen

Abb. 4.37. Fehlernetz

Weitere Beispiele für Fehlernetze zeigt Abb. 4.38 für den Bruch der Hülse. Hier wird der Zusammenhang zwischen Fehlerursache (FU), Fehlerart (FA oder F) und Fehlerfolge (FF) deutlich. falsche Materialwahl axiale Bewegung der Bauteile

Bruch

Abb. 4.38. Fehlernetz für Bruch der Hülse

unvorhergesehene/ unzulässige Belastung falsche Montage (seitenverkehrt)

4.4 FMEA nach VDA 4.2

135

Die Fehlfunktionsstruktur für ein Getriebe ist in Abb. 4.39 dargestellt. In diesem Beispiel sind auch die System-FMEA Produkt von Zulieferteilen eingebunden. [Getriebegehäuse] dichtet den Ölraum zur Umgebung nicht ab

...

[Getriebegehäuse-Lagerdeckel (antriebsseitig)]

... ...

nimmt Wellendichtring nicht funktionsgerecht/ leckagefrei auf

[Lauffläche-Wellendichtring] Lauffläche verschleißt

[ZB Antriebswelle] [Getriebe] gewährleistet keinen umweltgerechten und funktionssicheren Betrieb

dichtet gegenüber Wellendichtring nicht funktionsgerecht ab

... ... ...

[Lauffläche-Wellendichtring]

...

gewährleistet Ölfilmaufbau für Wellendichtring nicht

... ...

... ... ...

[Kupplung (*)] erzeugt Schwingungen

[ZB Antriebswelle] dichtet gegenüber Wellendichtring nicht leckagefrei ab

[Lauffläche-Wellendichtring] fördert das Öl zur Umgebung

[Wellendichtring (*)] dichtet Ölraum statisch und dynamisch gegenüber Umgebung nicht leckagefrei ab

... ... ...

(*) System-FMEA Produkt (Zulieferteile)

Abb. 4.39. Fehlfunktionsstruktur „Getriebe“ [4.7]

Die Inhalte der Fehlfunktionsstrukturen werden im FMEA-Formblatt nach VDA als x „Fehlerfolge“ FF, x „Fehlerart“ FA und x „Fehlerursache“ FU, je nach Wahl der Ebene übernommen. Die FMEAs, die auf verschiedenen Ebenen durchgeführt werden, überlappen sich. Die Fehlerart der oberen Ebene wird als Fehlerfolge der FMEA der nächstunteren Ebene übernommen. Die Fehlerursache der oberen Ebene kann als Fehlerart der nächstunteren Ebene übernommen werden. Die Überlappungen zeigen Abb. 4.40 und 4.41.

136

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Triebstrang FF

F

FU

gewährleistet gewährleistet keinen störungs- keinen Vortrieb freien/ wirtschaft - des Fahrzeuges lichen Betrieb gemäß Lastenheft

Getriebe FF

gewährleistet keinen umweltgerechten/ funktionssicheren Betrieb

F

gewährleistet (keinen Vortrieb) des Fahrzeuges

FU

gewährleistet keinen umweltgerechten/funktionssicheren Betrieb

dichtet gegenüber Wellendichtring nicht funktionsgerecht ab

ZB Antriebswelle FF gewährleistet keinen umweltgerechten/funktionssicheren Betrieb

F

System-FMEA Produkt

FU

dichtet gegenüber Wellendichtring nicht funktionsgerecht ab

gewährleistet Ölfilmaufbau für Wellendichtring nicht

Lauffläche-Wellendichtung FF F

Konstruktions-FMEA (System-FMEA auf

dichtet gegenüber Wellendichtring nicht funktionsgerecht ab

FU

Lauffläche gewährleistet Ölfilmaufbau für verschleißt Wellendichtring nicht

Bauteil-Ebene) Eigenschaften Lauffläche-Wellendichtung FF F FU Lauffläche gewährleistet Ölfilmaufbau für verschleißt Wellendichtring nicht

Auslegungsdaten Durchmesser n.i.O. Rz n.i.O Härte nicht ausreichend Schleifproblem

System-FMEA Prozess

Abb. 4.40. Überlappung nach [4.7] Überlappungsstellen Produkt/ Prozeß

SE FF

F

FU

FF

F

FU

FF

F

FU

FF

F

System-FMEA Produkt, Ebene 1 System-FMEA Produkt, Ebene 2

FF

FF: Fehlerfolge

System-FMEA Produkt, Ebene 3 (Konstruktions-FMEA)

FU F

System-FMEA Prozess, Ebene 1 FU

F: Fehler

System-FMEA Prozess, Ebene 2 (Prozess-FMEA)

FU: Fehlerursache

Abb. 4.41. Überlappung der System-FMEA Produkt und Prozess nach [4.7]

4.4 FMEA nach VDA 4.2

4.4.4

137

Schritt 4: Risikobewertung

Die Risikobewertung erfolgt mit drei Bewertungskriterien. Diese sind: x B: Bedeutung der Fehlerfolge, x A:Auftretenswahrscheinlichkeit der Fehlerursache und x E: Entdeckungswahrscheinlichkeit der aufgetretenen Fehlerursache. Die Darstellung der Risikobewertung im Formblatt zeigt Abb. 4.42. 1. Strukturerstellung

Fehler2. Funktionen 3. analyse

4. Risikobewertung

5. Optimierung

Maßnahmensuche + Bewertung Erarbeitung von Vermeidungsmaßnahmen

Fehlerfolge

B Fehlerart

Erarbeitung von Entdeckungsmaßnahmen

Fehlerursache Subsystemfehler 1 Subsystemfehler 2

Topsystem fehler1

Bewertung der Bedeutung B der Fehlerursachen

System fehler1

Subsystemfunktion 1 nicht erfüllt Subsystemfunktion 2 teilweise erfüllt

Bewertung der Auftretenswahrscheinlichkeit A der Fehlerursachen

Bewertung der Entdeckungs wahrscheinlichkeit E der Fehlerursachen

Ermittlung der RPZ

Abb. 4.42. Risikobewertung im Formblatt

Die Bewertungsskala reicht jeweils von 1 bis 10 und es werden nur ganzzahlige Werte verwendet. Als Richtlinie für die Bewertung können die Tabellen nach VDA, s. Abb. 4.43 oder unternehmensspezifische Tabellen verwendet werden. Unternehmensspezifische Tabellen lassen sich eventuell aus Vorgänger-FMEAs zusammenstellen. Bedeutung B

Die Bewertungszahl B wertet die Bedeutung der Fehlerfolgen für das Gesamtsystem. Die Bewertung erfolgt stets aus der Sicht des Endverbrauchers (externer Kunde). Der Wert 1 steht für eine äußerst geringe Bedeutung, entsprechend steht der Wert 10 für eine extrem hohe Bedeutung (z.B.

138

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

bei Gefährdung von Personen). Gleiche Fehlerfolgen müssen grundsätzlich gleich bewertet werden, s. Abb. 4.43. Bewertungszahl für die Bedeutung B

Bewertungszahl für die Auftretenswahrscheinlichkeit A

Sehr Hoch: 10 Sicherheitsrisiko, 9 Nichterfüllung gesetzlicher Vorschriften , Liegenbleiber.

Sehr Hoch: 10 Sehr häufiges 9 Auftreten der Fehlerursache Unbrauchbares, ungeeignetes Konstruktionsprizip.

Hoch: 8 Funktionsfähigkeit 7 des Fahrzeugs stark eingeschränkt, sofortiger Werkstattaufenthalt zwingend erforderlich, Funktionseinschränkung wichtiger Teilsysteme. Mäßig: 6 Funktionsfähigkeit 5 des Fahrzeugs 4 eingeschränkt, sofortiger Werkstattaufenthalt nicht zwingend erforderlich, Funktionseinschränkung von wichtigen Bedienund Komfortsystemen. Gering: 3 Geringe Funktionsbe2 einträchtigung des Fahrzeugs, Beseitigung beim nächsten planmäßigen Werkstattaufenthalt, Funktionseinschränkung von Bedien- und Komfortsystemen. Sehr gering: 1 Sehr geringe Funktionsbeeinträchtigung, nur vom Fachpersonal erkennbar.

Hoch: 8 Fehlerursache tritt 7 wiederholt auf , problematische, unausgereifte Konstruktion.

Mäßig: 6 Gelegentlich auftre5 tende Fehlerursache, 4 geeignete, im Reifegrad fortgeschrittene Konstruktion.

Gering: 3 Gelegentlich auftre2 tende Fehlerursache, geeignete, im Reifegrad fortgeschrittene Konstruktion.

Sehr gering: 1 Auftreten der Fehlerursache ist unwahrscheinlich.

Fehleranteil in ppm

100.000 50.000

50.000 10.000

5.000 1.000 500

100 50

1

Bewertungszahl für die Entdeckungswahrscheinlichkeit Sehr Gering: 10 Entdecken der 9 aufgetretenen Fehlerursache ist unwahrscheinlich, Zuverlässigkeit der Konstruktionsauslegung wurde nicht oder kann nicht nachgewiesen werden, Nachweisverfahren sind unsicher. Gering: 8 Entdecken der 7 aufgetretenen Fehlerursache ist weniger wahrscheinlich, wahrscheinlich nicht zu entdeckende Fehlerursache, unsichere Prüfung. Mäßig: 6 Entdecken der 5 Fehlerursache ist 4 wahrscheinlich, Prüfungen sind relstiv sicher.

Hoch: 3 Entdecken der 2 aufgetretenen Fehlerursache ist sehr wahrscheinlich, Prüfungen sind sicher, z.B. mehrere voneinander unabhängige Prüfungen. Sehr hoch: 1 Aufgetretene Fehlerursache wird sicher entdeckt.

Sicherheit der Prüfverfahren 90%

98%

99,7%

99,9%

99,99%

Abb. 4.43. Kriterien für die Bewertungszahlen der System-FMEA Produkt nach [4.7]

4.4 FMEA nach VDA 4.2

139

Vermeidungsmaßnahmen und Auftretenswahrscheinlichkeit A

Die Bewertungen der Auftretenswahrscheinlichkeit A wird entsprechend der Wirksamkeit der Vermeidungsmaßnahmen der jeweiligen Fehlerursachen vergeben. Je detaillierter die Fehleranalyse der System-FMEA bei den Ursachen durchgeführt wird, desto differenzierter kann die Bewertung A vorgenommen werden. In der System-FMEA für übergeordnete Systeme wird bei der A-Bewertung von Ursachen auf Erfahrungswerte zurückgegriffen (z.B. Zuverlässigkeitsraten). Werden bekannte Teilsysteme in ein anderes System integriert, so sind aufgrund veränderter Einsatzbedingungen die Bewertungen zu überprüfen. Unter Vermeidungsmaßnahmen werden alle (meist präventiven) Maßnahmen verstanden, die ein Auftreten der Fehlerursache einschränken oder vermeiden. Eine solche Maßnahme können z.B. Berechnungen während der Entwicklungsphase sein, s. Abb. 4.44.

Vermeidungsmaßnahmen …sind Maßnahmen, die das Auftreten von Fehlerursachen einschränken bzw. vermeiden Einige Beispiele: systemspezifisch: konstruktiv: fertigungsspezifisch:

Redundanzen (beeinflussen die Bedeutungsnote) Erfahrung mit vergleichbaren Systemen Grundlagenuntersuchungen, Simulationen, Berechnungen, bewährte Konstruktionsqualität, Werkstoffauswahl, Anwendung auf Normen Prozessvorschriften, Prüfvorschriften, usw.

Abb. 4.44. Vermeidungsmaßnahmen

Die Bewertung der Auftretenswahrscheinlichkeit einer Fehlerursache erfolgt unter Berücksichtigung aller aufgelisteten Vermeidungsmaßnahmen, s. Abb. 4.44. Die Zahl 10 wird vergeben, wenn es nahezu sicher ist, dass eine Fehlerursache auftritt. Die Zahl 1 wird vergeben für eine sehr unwahrscheinliche Fehlerursache. Die A-Bewertung macht eine Aussage darüber, wie groß die fehlerbehaftete Restmenge in einem Gesamtlos eines Produktes ist.

140

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Entdeckungsmaßnahmen und Entdeckungswahrscheinlichkeit E

Die Bewertungen der Entdeckungswahrscheinlichkeit E wird entsprechend der Wirksamkeit der Entdeckungsmaßnahmen der jeweiligen Fehlerursachen vergeben. Je detaillierter die Fehleranalyse der System-FMEA bei den Ursachen durchgeführt wird, desto differenzierter kann die Bewertung E vorgenommen werden. In der System-FMEA für übergeordnete Systeme wird bei der E-Bewertung von Ursachen auf Erfahrungswerte zurückgegriffen (z.B. Zuverlässigkeitsraten). Werden bekannte Teilsysteme in ein anderes System integriert, so sind aufgrund veränderter Einsatzbedingungen die Bewertungen zu überprüfen. Bei den Entdeckungsmaßnahmen sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. Entdeckungsmaßnahmen in Entwicklung und Produktion: Entdeckungsmaßnahmen, die entwicklungs- bzw. produktionsbegleitend durchgeführt werden und an einem Konzept bzw. Produkt mögliche Fehlerursachen bereits während der Entwicklung oder Produktion aufzeigen. 2. Entdeckungsmaßnahmen im Betrieb / Feld: Entdeckungsmöglichkeiten, die das Produkt (System) im Betrieb aufweist oder die durch den Betreiber (Kunde) erkannt werden. Sie deuten auf die im Betrieb aufgetretenen möglichen Fehler bzw. mögliche Fehlerursachen hin und sollen weitere mögliche Fehlerfolgen vermeiden.

Entdeckungsmaßnahmen …sind Maßnahmen,

einen Fehler zu entdecken, bevor das Teil den Kunden (Weiterverarbeiter) erreicht bzw. bevor im Betrieb eine Fehlerfolge auftritt

Man geht davon aus, dass die Fehlerursache aufgetreten ist und listet alle Prüfmaßnahmen oder Betriebshinweise zur Entdeckung auf Einige Beispiele: Dauerlauferprobung (Prüfstand, Fahrzeug), Laborprüfung, Labortests, Fahrversuche, Kupplungsschlupf, Geräusch, usw.

Abb. 4.45. Entdeckungsmaßnahmen

Die Bewertung der Entdeckungswahrscheinlichkeit erfolgt unter Berücksichtigung aller aufgelisteten Entdeckungsmaßnahmen. Auch Entde-

4.4 FMEA nach VDA 4.2

141

ckungsmaßnahmen, die zwar nicht direkt die Fehlerursachen aber die zugehörigen Fehlerfolgen erkennen, werden mit berücksichtigt, s. Abb. 4.45. Die Bewertungszahl 10 wird vergeben, wenn keinerlei Entdeckungsmaßnahmen benannt werden. Die Zahl 1 wird vergeben, wenn ein Fehler mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit vor der Auslieferung an den Kunden gefunden wird. Die E-Bewertung macht eine Aussage darüber, wie groß der nicht entdeckte, fehlerhafte Anteil in einem Gesamtlos eines Produktes ist. Risikoprioritätszahl RPZ

Aus den Bewertungskriterien errechnet sich durch Multiplikation die Risikoprioritätszahl RPZ, s. Abb. 4.46. Die Risikoprioritätszahl stellt das Gesamtrisiko für den Systemanwender dar und dient als ein Entscheidungskriterium zur Einleitung von Optimierungsmaßnahmen.

B x A x E = RPZ 1...10

1...10

1...10

1...1000

Abb. 4.46. Berechnung der Risikoprioritätszahl RPZ

Grundsätzlich gilt: x Je größer die RPZ ist, um so vorrangiger muss durch konstruktive und qualitätssichernde Maßnahmen das Risiko gesenkt werden, s. Abb. 4.47; x Einzelwerte von B, A und E, die über 8 liegen, sollten ebenfalls näher betrachtet werden;

142

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

x Die Aussage des Produktes A · E ist, dass mit dieser Restwahrscheinlichkeit fehlerhafte, nicht entdeckte Teile zum Kunden gelangen werden. Die Risikobewertung erfolgt für die bereits umgesetzten Maßnahmen. Um das Risiko weiter zu senken sind meist zusätzliche Maßnahmen notwendig. Anzahl der Bewertungen

250

Anfangszustand 200 150 100 50 0 1

502

3

1504

5

2506

7

3508

9

10 450

11

55012

13

14 650

15

16 750

17

85018

19

95020

Risikoprioritätszahl (RPZ)

Abb. 4.47. Risikobewertung: RPZ-Verteilung Analyse von Risikoprioritätszahlen

Die Betrachtung des Absolutwertes einer Risikoprioritätszahl (das Produkt B · A · E) reicht in vielen Fällen nicht aus, um Ansatzpunkte für Optimierungsmaßnahmen zu finden. Ebenso ist es nicht sinnvoll, eine „starre RPZ“ (z.B. Optimierung erfolgt bei RPZ t 250) als Eingriffsgrenze unternehmensweit zu definieren, da unter Umständen die Bewertungsmaßstäbe für jede FMEA unterschiedlich sein können und die Betrachtung kleinerer Risikoprioritätszahlen unterlassen werden könnte. Die folgenden Beispiele, s. Tabelle 4.3, sollen aufzeigen, dass die Betrachtung kleinerer RPZ durchaus sinnvoll sein kann. Tabelle 4.3. Beispiele für Bewertungen Beispiel 1 2 3 4

B-Note 10 5 3 1

A-Note 2 10 10 1

E-Note 10 2 5 1

RPZ 200 100 150 1

4.4 FMEA nach VDA 4.2

143

Analysiert man die Faktoren im Einzelnen, so ergibt sich für: Beispiel 1: Eine vereinzelt auftretende Fehlerursache wird nach ihrem Auftreten keinesfalls entdeckt und führt beim Kunden zu einer äußerst schwerwiegenden Fehlerfolge. Hier besteht, unabhängig vom relativ niedrigen Absolutwert der Risikoprioritätszahl, Handlungsbedarf. Beispiel 2: Eine sehr häufig auftretende Fehlerursache führt zu einer relativ bedeutenden Fehlerfolge aus Kundensicht. Die aufgetretene Fehlerursache wird nicht in jedem Fall entdeckt, gelangt also von Zeit zu Zeit zum Kunden. Hier gilt es, geeignete Fehlervermeidungsmaßnahmen einzusetzen, gegebenenfalls können diese die aufgewendeten Entdeckungsmaßnahmen ersetzen. Beispiel 3: Eine sehr oft auftretende Fehlerursache wird häufig nicht entdeckt und führt beim Kunden zu einem relativ unbedeutenden Fehler. Dieser Zustand kann dennoch zu häufigen Kundenreklamationen führen und sollte durch geeignete Optimierungsmaßnahmen verbessert werden. Beispiel 4: Eine höchst unwahrscheinlich auftretende Fehlerursache würde zu einer unbedeutenden Fehlerfolge beim Kunden führen. Wirksame Entdeckungsmaßnahmen würden dies aber verhindern. Bei einer solchen Bewertung gilt es, die geplanten Entdeckungsmaßnahmen zu überprüfen, gegebenenfalls sind diese kostenintensiv und könnten reduziert werden. Die vorgenannten (fiktiven) Beispiele zeigen, dass eine Analyse der RPZ „top-down“ sinnvoll ist, unabhängig vom Absolutwert. Selbst sehr niedrige Risikoprioritätszahlen können bei einer näheren Betrachtung Ansatzpunkte zur Konzeptoptimierung bieten. 4.4.5

Schritt 5: Optimierung

Bei hohen RPZs und hohen Einzelbewertungen sind Optimierungsmaßnahmen durchzuführen. Zuerst werden die ermittelten Risikoprioritätszahlen nach ihrer Größe geordnet, s. Abb. 4.48. Die Optimierung beginnt bei der Ausfallart mit der größten RPZ und sollte je nach Umfang entweder bei einer gewissen Untergrenze (z.B. RPZ = 125) oder gemäß des ParetoPrinzips nach 20 - 30 % der RPZs beendet werden. Neben der RPZ müssen auch hohe Einzelbewertungen betrachtet werden. So bedeutet ein Wert A > 8, dass der Fehler meistens auftritt. Dies muss natürlich behoben werden. Ein Bedeutungswert B > 8 weist auf gravierende Funktionsbeein-

144

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

trächtigungen bzw. auf Sicherheitsrisiken hin. Auch diese Fälle müssen genau betrachtet werden. Bei Werten E > 8 können die Fehler äußerst schwer entdeckt werden. Damit steigt die Gefahr, dass diese Fälle den Kunden erreichen. x

Ausfallarten nach Größe sowie RPZ ordnen

x

Konzeptoptimierung beginne bei Ausfallart mit größter RPZ ż bis festgelegte Grenz-RPZ (z.B. RPZ = 125) oder ż bis festgelegte Anzahl von Ausfallarten (üblich: nach Pareto-Prinzip ca. 20 - 30 %)

x

Ausfallarten mit

x

A>8 B>8 E>8

gesondert betrachten

FMEA-Ergebnis gesondert betrachten

Abb. 4.48. Vorgehen bei der Konzeptoptimierung

Optimierungsmaßnahmen sind Maßnahmen, die aufgrund der FMEAErgebnisse als zusätzliche oder neue Vermeidungs- und/oder Entdeckungsmaßnahmen eingeführt werden. Dies können sein: x Maßnahmen, die Fehlerursachen verhindern oder das Auftreten von Fehlern reduzieren. Dies ist nur durch Konstruktions- oder Prozessänderungen möglich. x Maßnahmen, die die Bedeutung eines Fehlers reduzieren. Dies ist erreichbar durch konzeptionelle Änderungen am Produkt (z.B. Redundanz, Fehleranzeigen, usw.). x Maßnahmen, um die Entdeckungswahrscheinlichkeit zu erhöhen. Dies können Änderungen der Erprobung- oder Prüfmaßnahmen und/oder der Konstruktion, des Prozesses und/oder geänderte Prüfmaßnahmen sein. Die Optimierungsmaßnahmen sollten nach folgender Priorität geordnet werden: 1. Konzeptänderungen, um die Fehlerursache auszuschließen bzw. die Bedeutung zu reduzieren. 2. Erhöhung der Konzeptzuverlässigkeit, um das Auftreten der Fehlerursache zu minimieren. 3. Wirksame Entdeckungsmaßnahmen. Diese sollten das letzte Optimierungsmittel sein, da sie kostenintensiv sind und keine Qualitätsverbesserung bringen.

4.4 FMEA nach VDA 4.2

145

Die Maßnahmen werden inkl. erneuter Bewertung von A und E (sogenannte Prognose) mit Verantwortlichem (V) und Termin (T) unter einem Änderungsstand ins Formblatt eingetragen, s. Abb. 4.49 und Abb. 4.50. Nach der Optimierung müssen bei Konzeptänderungen eventuell alle 5 Schritte der FMEA neu durchlaufen werden, s. Abb. 4.50. Empfehlung von Abstellmaßnahmen • (V)ermeidend • (A)uswirkungsbegrenzend • (E)ntdeckend Festlegung der Verantwortlichkeit Festlegung des Einführungstermins Bewertung der eingeführten Maßnahmen • Bedeutung “B” • Auftrittswahrscheinlichkeit “A” • Entdeckungswahrscheinlichkeit “E”

Abb. 4.49. Risikominimierung

1. Strukturerstellung 2. Funktionen 3.

Festlegen von verbesserten Vermeidungsmaßnahmen

Fehleranalyse

4.

Risiko bewertung

5. Optimierung

Festlegen von verbesserten Ermittlung verbesserte RPZ Entdeckungsmaßnahmen

Vergleich RPZ vorher - nachher

Abb. 4.50. Optimierung

146

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Nach Festlegung neuer Vermeidungs- und/oder Entdeckungsmaßnahmen erfolgt die Bewertung dieser neuen Maßnahmen. Die Bewertung stellt hierbei eine Prognose bzgl. des zu erwartenden Verbesserungspotentials dar. Die endgültige Bewertung wird erst nach Umsetzung und Prüfung der festgelegten Maßnahmen vergeben. Zum Vergleich des Anfangsstands mit dem Änderungsstand kann eine Darstellung entsprechend Abb. 4.51 gewählt werden, in dem beide Zustände dargestellt sind.

Anzahl der Bewertungen

400 350 Anfangszustand Änderungszustand

300 250 200 150 100 50 0 1502

31504

52506

7350 8

550 650 750 950 9450 10 11 12 13 14 15 16 17850 19

Risikoprioritätszahl (RPZ)

Abb. 4.51. Darstellung von Anfangs- und Änderungszustand

4.5

Beispiel einer System-FMEA Produkt nach VDA 4.2

Als Beispiel wird im Folgenden das Produkt „Anpassungsgetriebe“ betrachtet. Auf der Eingangswelle (Bauteil 1.1) sitzt das Ritzel (Bauteil 1.2). Die Leistung wird über das Zahnrad (Bauteil 2.2) auf die Ausgangswelle (Bauteil 2.1) übertragen. Neben den Lagern für die Wellen, besteht das Getriebe aus einem Gehäuse mit einem Gehäusedeckel und verschiedenen kleinen Lagerdeckeln, die durch Flachdichtungen bzw. Radialwellendichtringe abgedichtet werden.

4.5 Beispiel einer System-FMEA Produkt nach VDA 4.2

4.5.1

147

Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur des Anpassungsgetriebes

Für den ersten Schritt der Systemstrukturierung bietet es sich an, sofern schon vorhanden, technische Unterlagen wie Schnittzeichnungen, Stücklisten, usw. heranzuziehen. Dies können bei der Erstellung der Struktur sehr nützlich sein. Eine konventionelle Schnittzeichnung und das Getriebeschema zeigt Abb. 4.52. 3.15

3.14

3.9

1.2

1.5

1.4

3.7

1.1

1.3

1.6

3.5

1.7

3.6

3.3

2.5

2.1

2.6

3.4

2.4

3.12

2.3

3.13

2.2 3.8

3.1

3.2

3.10

3.11

Ritzel

RollenlagerA

RollenlagerC

Zahnrad

Rollenlager B

Rollenlager D

Abb. 4.52. Schnittbild und Getriebeschema des Anpassungsgetriebes

148

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Die dazugehörige Stückliste ist in drei verschiedene Baugruppen unterteilt, die sich aus der Funktionsweise des Anpassungsgetriebes ergeben, s. Tabelle 4.4. Tabelle 4.4. Baugruppen und Stückliste des Anpassungsgetriebes

Baugruppe

1 Antrieb

2 Abtrieb

3 Gehäuse

Bauteil- Anzahl Bauteil Nr. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 8 2 1 1 1 1 1 1

Eingangswelle Ritzel Rollenlager Radialwellendichtring Passfeder für Ritzel Passfeder für Kupplung Hülse Ausgangswelle Zahnrad Rollenlager Radialwellendichtring Passfeder Hülse Gehäuse links Gehäuse rechts Lagerdeckel Lagerdeckel Lagerdeckel Lagerdeckel Schraube Lagerdeckel Schraube Gehäuse Passstift Ölablassschraube Dichtung für 3.10 Schauglas Dichtung für 3.12 Entlüfter Dichtung für 3.14

Bezeichnungen EW ZR RL1 RD1 PF1 PF2 HS1 AW ZD RL2 RD2 PF3 HS2 GHL GHR LD1 LD2 LD3 LD4 SRL SRG PS ÖAS DT1 SG DT2 EL DT3

4.5 Beispiel einer System-FMEA Produkt nach VDA 4.2

149

Die sich ergebende Systemstruktur des Anpassungsgetriebes zeigt Abb. 4.53. Eingangswelle Ritzel Rollenlager Antrieb

Radialwellendichtring Paßfeder für Ritzel Paßfeder für Kupplung Hülse

Fehlerursachen

Ausgangswelle Zahnrad Getriebe

Abtrieb

Rollenlager Radialwellendichtring Paßfeder Hülse Gehäuse links Gehäuse rechts

Gehäuse

Statische Dichtung

Fehlerursachen

Lagerdeckel 1 Lagerdeckel 2 ....

Abb. 4.53. Systemstruktur Anpassungsgetriebe

4.5.2

Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur des Anpassungsgetriebes

Für die Ermittlung der Funktionen und der Funktionsstruktur wurde die Black Box Betrachtung und die Leitlinien für Anforderungslisten nach [4.6] herangezogen. Ausgehend vom obersten Element, dem Wurzelelement, wurde die Funktionsbestimmung der einzelnen Baugruppen und Bauelemente durchgeführt. Die ermittelte Funktionsstruktur des „Anpassungsgetriebe“ ist auszugsweise in Abb. 4.54 dargestellt.

150

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse Eingangswelle Funktion

Ritzel Funktion

Rollenlager Funktion

Antrieb

Radialwellendichtring

- Antriebs moment übertragen

Paßfeder für Ritzel

Funktion Funktion

Paßfeder für Kupplung Funktion

Hülse

axiale Fixierung

Fehlerursachen Funktion

Ausgangswelle Funktion

Zahnrad

Getriebe - Drehmoment übertragen -Umweltverträglichkeit gewährleisten

Funktion

Abtrieb

Rollenlager

- Abtriebs moment übertragen

Radialwellendichtring

Funktion Funktion

Paßfeder Funktion

Hülse Funktion

Gehäuse links Funktion

Gehäuse rechts Gehäuse -Dichtheit gewährleisten - ...

Funktion

Statische Dichtung Abdichtung

Fehlerursachen Funktion

Lagerdeckel 1 Funktion

Lagerdeckel 2 Funktion

Abb. 4.54. Funktionsstruktur des Anpassungsgetriebes

4.5.3

Schritt 3: Fehlfunktionen und Fehlfunktionsstruktur des Anpassungsgetriebes

Für die Ermittlung der Fehlfunktionen und der Fehlfunktionsstruktur auf oberster Ebene, unter Berücksichtigung aller Betriebszustände, wurde durch negieren der Funktion und durch Ermittlung weiterer Funktionsfehler die Topfehlfunktionen (Fehlerfolgen) bestimmt. Für die Ermittlung der Fehlerarten wurde die Checkliste für physikalische Ausfallarten zu Rate gezogen. Für die Fehlerursachen wurde ebenfalls auf die in Kap 2.5.3 genannte Checkliste zurückgegriffen. Die ermittelten Fehlfunktionen sind in Abb. 4.55 dargestellt.

4.5 Beispiel einer System-FMEA Produkt nach VDA 4.2

151

Eingangswelle Funktion

Ritzel Funktion

Antrieb

Rollenlager

Antriebsdrehmoment übertragen nicht übertragen teilweise übertragen

Funktion

Radialwellendichtring Funktion

Paßfeder für Ritzel Funktion

Getriebe Drehmoment übertragen überträgt Drehmoment nicht überträgt Drehmoment teilweise nicht Umweltverträglichkeit gewährleisten keine Umweltverträglichkeit Eingeschr. Umweltverträglichkeit …

Fehlerursachen

Hülse

Subfunktion falsche Materialwahl unvorhergesehene… falsche Montage

axiale Fixierung Bruch Verschleiß

Abtrieb Abtriebsdrehmoment Übertragen …

Gehäuse links Funktion

Gehäuse rechts Funktion

Gehäuse

Statische Dichtung

Dichtheit gewährleisten Komplettausfall Dichtung

Fehlerursachen

Funktion stat. Dichtung Ausfall Dichtungsmecha nismus

Subfunktion Ungeeigneter Dicht… dynamische Beanspruchung Relativbewegung

Lagerdeckel 1 Funktion

Abb. 4.55. Fehlfunktionen des Anpassungsgetriebes

4.5.4

Schritt 4: Risikobewertung des Anpassungsgetriebes

In Abb. 4.56 ist die Risikoanalyse des Anpassungsgetriebes auszugsweise dargestellt. Nummer: Struktur: Getriebe

Strukturelement: Hülse axiale Bewegung der Bauteile [Getriebe]

erhöhtes axiales Spiel [Getriebe]

B Fehlerart

Fehlerursache Vermeidungsmaßnahme

Sachnummer: Erstellt: 20.08.97

A Entdeckungsmaßnahme

E RPZ V/T

Funktion: axiale Fixierung 6 Bruch

falsche Materialwahl [Hülse] unvorhergesehene/unzulässige Belastung [Hülse]

Anfangsstand: 20.08.97 Berechung 2 Materialprüfung Anfangsstand: 20.08.97 Berechung 2 Funktionsprüfung

falsche Montage Anfangsstand: 20.08.97 (seitenverkehrt) Konstruktionsrichtlinien 7 Keine [Hülse] falsche Material- Anfangsstand: 20.08.97 Erfahrung Prüfstands- 2 Materialprüfung wahl [Hülse] 3 Verschleiß versuch unvorhergese- Anfangsstand: 20.08.97 hene/unzuläs- Erfahrung Prüfstands- 3 Funktionsprüfung sige Belastung versuch [Hülse]

Risikobewertung

Abb. 4.56. Risikoanalyse des Anpassungsgetriebes

4

48 Müller

6

72 Müller

10 420 Bertsche 7

42 Maier

7

63 Maier

Risikoanalyse

Fehlerfolge

Team: Fmea Team Getriebe

152

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Nach der Risikobewertung wurden die Ergebnisse der ermittelten RPZ analysiert. Hierfür wurden eine Häufigkeitsanalyse erstellt und die kritischsten 30% der schlechtesten RPZ (nach dem Pareto-Prinzip) ermittelt. Zusätzlich wurden die Einzelbewertungen die größer 8 sind herausgezogen. Die Ergebnisse wurden in den „Highlights“ zusammengefasst. Die „Highlights“ bzgl. RPZ und sehr hoher Einzelbenotungen der gesamten FMEA können entsprechend Abb. 4.57 komprimiert dargestellt werden und dienen so als Managementinformation. Risikoprioritätszahl RPZ 1.4 2.4

Radialwellendichtring, 540 keine oder falsche Förderwirkung

1.7 2.6 1.3 2.3

Hülse, Bruch

420

Radialwellendichtring, Verschleiß

180

Auftretenswahrscheinlichkeit A 1.4 2.4 1.7

Radialwellendichtring, keine oder falsche Förderwirkung Hülse, Bruch

9 7

Bedeutung B 1.1 2.1

Eingangswelle / Ausgangswelle Gewaltbruch / Dauerbruch

9

Entdeckungswahrscheinlichkeit E Auslegungsfehler unvorhergesehene, unzulässige Belastung

10 10

Abb. 4.57. Auszug der Highlights für das Anpassungsgetriebe

4.5.5

Schritt 5: Optimierung des Anpassungsgetriebes

Für die als kritisch identifizierten Punkte werden in diesem Schritt weitere Vermeidungs- und /oder Entdeckungsmaßnahmen definiert um das Risiko der Fehlerursachen zu minimieren. Diese Maßnahmen werden im Formblatt dokumentiert und erneut einer Risikobewertung unterzogen.

4.6 Beispiel einer System-FMEA Prozess nach VDA 4.2 Nummer: Team: Fmea Team Getriebe

Struktur: Getriebe Fehlerfolge

B Fehlerart

Strukturelement: Hülse axiale Bewegung der Bauteile [Getriebe]

Fehlerursache Vermeidungsmaßnahme

153

Optimierung

Sachnummer:

Erstellt: 20.08.97 Verändert : 23.08.97

A Entdeckungsmaßnahme

E RPZ V/T

Funktion: axiale Fixierung 6 Bruch

erhöhtes axiales Spiel [Getriebe]

falsche Materialwahl [Hülse] unvorhergesehene/unzulässige Belastung [Hülse]

Anfangsstand: 20.08.97 Berechung 2 Materialprüfung Anfangsstand: 20.08.97 Berechung 2 Funktionsprüfung

falsche Montage Anfangsstand: 20.08.97 (seitenverkehrt) Konstruktionsrichtlinien [Hülse] Änderungsstand: 20.08.97 Hülse mit beidseitiger Fase innen falsche Material- Anfangsstand: 20.08.97 3 Verschleiß wahl [Hülse] Erfahrung Prüfstandsversuch unvorhergese- Anfangsstand: 20.08.97 hene/unzuläs- Erfahrung Prüfstandssige Belastung versuch [Hülse]

7 Keine

4

48 Müller

6

72 Müller

10 420 Bertsche

2 Sichtprüfung

6

72

2 Materialprüfung

7

42 Maier

3 Funktionsprüfung

7

63 Maier

erneute Risikobewertung

Abb. 4.58. Optimierung des Anpassungsgetriebes

4.6

Beispiel einer System-FMEA Prozess nach VDA 4.2

Als Beispiel wird im Folgenden der Prozess der Fertigung der Abtriebswelle des Anpassungsgetriebes betrachtet, da dies als ein kritischer Prozess identifiziert wurde. Das geschah unter Berücksichtigung nachfolgender Schwerpunkte: x neuer Werkstoff, x teilweise neue Bearbeitungsverfahren bzw. Prozesse, x hohes zu übertragenden Drehmoment. 4.6.1

Schritt 1: Systemelemente und Systemstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle

Bei der Erstellung der Systemstruktur wurde neben der Bauteilzeichnung, s. Abb. 4.59, der Fertigungsablaufplan, s. Abb. 4.60, herangezogen. In dem Ablaufplan sind alle Arbeitsschritte in ihrer Abarbeitungsreihenfolge mit dazugehörigen Spezifikationen aufgelistet.

154

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse Schrumpfsitz für Zahnrad

Lagersitz

Lauffläche RWDR

Lagersitz

Abb. 4.59. Bauteilzeichnung der Abtriebswelle Anpassungsgetriebe Benennung: Abtriebswelle Anpassungsgetriebe

Teilenummer: A 130.246.1

AVO KST Arbeitsvorgang

Produktionsmittel

Bemerkung

Weichbearbeitung 10

XXX Ablängen und Zentrieren

Abläng- und Zentriermaschine

20

Drehen komplett und XXX Fräsen (Passfedernut)

Drehmaschine

30

XXX Waschen + abblasen

Durchlaufwaschmaschine

40

XXX Abstapeln in Korb

Korbstapeleinheit

Außenkontur und Freistiche

Härten 50

XXX Einsatzhärten

Durchstoßofen

60

XXX Richten

Richtmaschine

70

XXX Entspannen

Anlaßofen

80

XXX Waschen + abblasen

Durchlaufwaschmaschine

90

XXX Abstapeln in Korb

Korbstapeleinheit

Hartbearbeitung Hartdrehen Abtriebswellen- Vertikaldrehmaschine XXX zapfen einspindlig Schleifen Lagersitze, 100 XXX Dichtfläche (RWDR) Außenschleifmaschine 90

110

XXX Waschen + abblasen

unterbrochener Schnitt, Aufn. zwischen Spitzen und Mitnehm. Aufnahme zwischen Spitzen und Mitnehmer am Abtriebswellenz.

Durchlaufwaschmaschine

120 XXX Endkontrolle

Kontrollarbeitsplatz

130 XXX Abstapeln in Korb

Korbstapeleinheit

Messen der Funktionsmaße (Stichprobenmessung)

Abb. 4.60. Fertigungsablaufplan für die Fertigung der Abtriebswelle

4.6 Beispiel einer System-FMEA Prozess nach VDA 4.2

155

Mit diesen Hilfsmitteln und unter Berücksichtigung des Fachwissens der beteiligten FMEA-Teammitglieder wurde die Systemstruktur für die Fertigung der Getriebeabtriebswelle aufgebaut, s. Abb. 4.61. Weichbearbeitung Abtriebswelle Härten Abtriebswelle Logistik zum Hartdrehen Mensch Fertigung Abtriebswelle

Maschine Hartdrehen Abtriebswellenzapfen

Material Methode

Hartbearbeitung Abtriebswelle

Milieu Logistik zum Schleifen Schleifen Lagersitze, Dichtfläche (RWDR), Schrumpfsitz (Zahnrad) Logistik zum Waschen + abblasen Waschen + abblasen Logistik zur Endkontrolle Endkontrolle Logistik zum Abstapeln der Teile Abstapeln in Korb

Abb. 4.61. Systemstruktur der Fertigung Abtriebswelle

Zwischen den wertschöpfenden, prüfenden und messenden Arbeitsschritten wurde die Systemstruktur um die jeweiligen Logistikschritte ergänzt. 4.6.2

Schritt 2: Funktionen und Funktionsstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle

Die Ermittlung der Funktionen wurde mit Hilfe der Black Box Methodik, dem Wissen der beteiligten Teammitglieder und des in Abb. 4.60 dargestellten Fertigungsablaufplanes erstellt. Die Funktionsstruktur ist auszugsweise in Abb. 4.62 dargestellt. 4.6.3

Schritt 3: Fehlfunktionen und Fehlfunktionsstruktur des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle

Für die Ermittlung der Fehlfunktionen und der Fehlfunktionsstruktur, unter Berücksichtigung aller Fertigungszustände, wurde zum einen durch negieren der Funktion inkl. weiterer Spezifikationen und zum anderen durch Ermittlung weiterer Funktionsfehler die Topfehlfunktionen (Fehlerfolgen) und Fehlerarten der jeweiligen Prozessschritte bestimmt. Die Fehlfunktionsstruktur ist in Abb. 4.63 dargestellt.

Funktionssicherhei t Komfortanforderungen Bearbeitung nach Arbeitsbeschreibung

Fertigung Abtriebswelle

Hartbearbeitung Abtriebswel le

Wei chbearbeitung Abtriebswel le Härten Abtriebswell e

Methode

Waschen + abblasen Logistik zur Endkontrol le Endkontrolle Logistik zum Abstapeln der Teile Abstapeln i n Korb

Logistik zum Waschen + abblasen

Logistik zum Schl eifen Schleifen Lagersitze, Dichtfl äche (RWDR), Schrum pfsitz (Zahnrad)

Ausri chten und Spannen der Abtri ebswelle (Aufna... Messung (Postprozessmessung - Durchm esser)

Mili eu

Ausri chten und Spannen der Abtri ebswelle (Aufna... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens (Durchm ess... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens (RWDR-Einf...

Material

Hartdrehen Abtriebswel lenzapfen Abtriebswell e mit Mani pul ator aus Korb... Ausri chten und Spannen der Abtri ebsw... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens... Messung (Postprozessmessung... ) Sichern der Abtriebswell e durch Mani p... Abtriebswell e mit Mani pul ator in Korb...

Logistik zum Hartdrehen

Abtriebswell e mit Mani pul ator aus Korb... Ausri chten und Spannen der Abtri ebsw... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens... Messung (Postprozessmessung...) Sichern der Abtriebswell e durch Manip... Abtriebswell e mit Mani pul ator in Korb...

Maschi ne

Mensch

156 4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Abb. 4.62. Funktionsstruktur des Fertigungsprozesses (Auszug)

Funktionssicherheit [10] Sicherheitskritisch [9] Liegenbleiber Komfortanforderungen [8] Ger äuscharmer Betrieb ist nicht sichergeste ... Bearbeitung nach Arbeitsbeschreibung [8] Bearbeitung nach Arbeitsbeschreibung ist ni ...

Fertigung Abtriebswelle

Hartbearbeitung Abtriebswelle

Härten Abtriebswelle

Weichbearbeitung Abtriebswelle

Milieu

Abstapeln in Korb

Logistik zum Abstapeln der Teile

Endkontrolle

Logistik zur Endkontrolle

Waschen + abblasen

Logistik zum Waschen + abblasen

Schleifen Lagersitze, Dichtfläche (RWDR), Schrumpfsitz (Zahnrad)

Logistik zum Schleifen

Ausrichten und Spannen der Abtriebswelle... Sp äne bzw. Verschmutzung an den Spitzen... Sp äne bzw. Verschmutzung am Ausrichtan... Sp äne bzw. Verschmutzung am Spann... Messung (Postprozessmessung - Durchmesser)

Methode

Material Ausrichten und Spannen der Abtriebswelle... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens (Durchm... Hohe Stossbelastung auf Schneidplatte aufgr... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens (RWDR...

Abtriebswelle mit Manipulator aus Korb entn... Ausrichten und Spannen der Abtriebswelle... Signalgeber am Ausrichtanschlag defekt Spannmimik des Mitnehmerkranzes verschl... Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens ( Durchm... Unzulässiger Werkzeugverschleiß NC-Geber defekt Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens ( RWDR... Messung (Postprozessmessung - Durchmesser) Sichern der Abtriebswelle durch Manipulator... Abtriebswelle mit Manipulator in Korb ablegen

Maschine

Abtriebswelle mit Manipulator aus Korb... Abtriebswelle wird beschädigt/vermackt Abtriebswelle fällt herunter Ausrichten und Spannen der Abtriebswelle.. Rundlauffehler/ Zylindrizitätsfehler der Abtr... Abtriebswelle wird beschädigt/vermackt Abtriebswelle nicht korrekt ausgerichtet Abtriebswelle nicht korrekt gespannt Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens... Werkzeugbruch (Schneidplatte) Durchmesser ausserhalb Toleranz - zu gross Hartdrehen des Abtriebswellenzapfens... Messung (Postprozessmessung- ... Sichern der Abtriebswelle durch Manipulator.. Abtriebswelle mit Manipulator in Korb ablegen

Hartdrehen Abtriebswellenzapfen

Logistik zum Hartdrehen

Mensch

4.6 Beispiel einer System-FMEA Prozess nach VDA 4.2

Abb. 4.63. Fehlfunktionsstruktur des Fertigungsprozesses (Auszug)

157

158

4.6.4

4 FMEA – Fehler-Möglichkeits- und Einfluss-Analyse

Schritt 4: Risikobewertung des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle

Für den Fertigungsprozess der Abtriebswelle wurde der Ist-Stand der Fertigung mit den bereits in die Fertigung integrierten Vermeidungs- und Entdeckungsmaßnahmen dokumentiert. Die Bewertung der Auftretensund Entdeckungswahrscheinlichkeit wurde mit Hilfe der Bewertungskriterien nach VDA 4.2, s. Abschn. 4.4.4, dem Wissen um den aktuellen und um vergleichbare Vorgängerprozesse durchgeführt. Die Risikobewertung ist auszugsweise zusammen mit dem entsprechenden Optimierungsstand in Abb. 4.64 zu sehen. 4.6.5

Schritt 5. Optimierung des Prozesses Fertigung der Abtriebswelle

Für die als kritisch identifizierten Punkte werden in diesem Schritt weitere Vermeidungs- und /oder Entdeckungsmaßnahmen definiert, um das Risiko der Fehlerursachen zu minimieren. Diese Maßnahmen werden im Formblatt dokumentiert und dann erneut einer Risikobewertung unterzogen, s. Abb. 4.64.

Abb. 4.64. Risikobewertung und Optimierungsstand (Auszug)

Literatur zu Kapitel 4

159

Literatur zu Kapitel 4 [4.1] Department of Defence (1980) MIL-STD-1629 A, Procedures for Performing a Failure Mode, Effects and Critically Analysis. Washington DC [4.2] Deutsches Institut für Normung (1981) DIN 9000 ff Qualitätsmanagementsysteme. Beuth, Berlin [4.3] Deutsches Institut für Normung (1981) DIN 25448 Ausfalleffektanalyse. Beuth, Berlin [4.4] Förster H J (1991) Automatische Fahrzeuggetriebe Grundlagen, Bauformen, Eigenschaften, Besonderheiten. Springer, Berlin [4.5] Gesetz über die Haftung für fehlerhafte Produkte (Produkthaftungsgesetz ProdHaftG) 15.12.1989 (BGBl. I S 2198) [4.6] Pahl G, Beitz W (2003) Konstruktionslehre: Grundlagen erfolgreicher Produktentwicklung; Methoden und Anwendung. Springer, Heidelberg Berlin [4.7] Verband der Automobilindustrie (1996) VDA 4.2 Sicherung der Qualität vor Serieneinsatz System FMEA. VDA, Frankfurt

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Die Fehlerbaumanalyse (engl.: Fault Tree Analysis, FTA) ist eine strukturierte Vorgehensweise zur Feststellung der internen oder externen Ursachen, die allein oder in Kombination zu einem definierten Zustand des Produkts (meist Fehlzustand) führen [5.8]. Dabei soll die FTA eine abgesicherte Aussage über das Verhalten eines Systems bezüglich eines bestimmten Ereignisses (bzw. Fehlers) machen. Die FTA wurde im Jahr 1961 von H. A. Watson (Bell Laboratories) im Auftrag der U.S. Air Force entwickelt. Boeing erkannte als erstes Unternehmen den Nutzen der Methode und begann, FTA bei der Entwicklung kommerzieller Flugzeuge anzuwenden (1966). In den 70er Jahren wurde die Methode speziell im Bereich der Kernkrafttechnik eingesetzt, worauf in den 80er Jahren die weltweite Verbreitung der FTA folgte. Heutzutage findet die Methode weltweit in vielen Bereichen Anwendung wie z.B. in der Automobilindustrie, bei Nachrichtensystemen und seit einigen Jahren auch im Bereich der Robotertechnik [5.1, 5.4]. Die FTA dient zur Abbildung des Funktionssystems und zur Quantifizierung der Systemzuverlässigkeit. Die Methode kann dabei als Diagnoseund Entwicklungswerkzeug eingesetzt werden, besonders sinnvoll in frühen Entwicklungsphasen. Auf diese Weise können potentielle Ausfälle in einem System identifiziert und Konstruktionsalternativen beurteilt werden. Einer der größten Vorteile der FTA liegt darin, dass diese Methode sowohl qualitative als auch quantitative Ergebnisse liefert. Die FTA kann für die Zuverlässigkeitsanalyse von Systemen aller Art einschließlich gemeinsam verursachter Ausfälle (common mode) sowie menschlicher Fehler, herangezogen werden. Dort liefert die Fehlerbaumanalyse vollständige Ergebnisse, d.h. dass bei konsequenter Durchführung alle Ausfallarten bzw. Ausfallursachen aufgrund der deduktiven Vorgehensweise aufgedeckt werden können. Dabei wird die Methodik einerseits von den Systemkenntnissen beschränkt, andererseits stellt die Bewertung des betriebswirtschaftlichen Nutzens eine Grenze dar, die vom Anwender festgelegt werden muss. Die FTA basiert auf der Booleschen Algebra und der Wahrscheinlichkeitstheorie, so dass durch eine Reihe von einfachen Regeln und Symbolen

5.1 Allgemeine Vorgehensweise bei der FTA

161

selbst die Untersuchung komplexer Systeme und komplexer Abhängigkeiten z.B. zwischen Hardware, Software und Menschen möglich ist. Beim vorhandenen Wettbewerbsdruck spielt der Produktentstehungsprozess aufgrund seines hohen Kostenoptimierungspotentials eine wichtige Rolle. Denn die Kosten der Fehler steigen mit dem Fortschreiten des Produktentwicklungsprozesses, so dass eine frühzeitige Fehlererkennung zu einer großen Kosteneinsparung führen kann. In diesem Zusammenhang hat sich die Anwendung der FTA für präventive Qualitätssicherung in den früheren Entwicklungsphasen als vorteilhaft erwiesen. Bei Durchführung einer FTA bereits in der Konzeptphase könnte z.B. das Systemkonzept bestätigt oder mögliche grundsätzliche Fehler gefunden werden. Durch diese Analyse können dann entsprechend bereits bei der Erstellung des Lastenhefts neue Anforderungen für die Fehlervermeidung eingefügt werden, s. Abb. 5.1. Grobmaßkonzept Projektbeschluß Initialphase

Rahmenheft

Modellauswahl

Lastenheft MK

Konzeptphase

Gestal tungsphase

Modellentscheid

Designentscheid

Serienbeginn

SerienMarktfreigabe einführung

Beginn Nullserie Job Nr.1

Serienent wicklungsphase

Anlaufphase

Nutzung

FTA/ FMEA

Abb. 5.1. Einordnung in den Produktentwicklungszyklus (PKW)

5.1

Allgemeine Vorgehensweise bei der FTA

Der erfolgreiche Einsatz einer Fehlerbaumanalyse setzt eine Systemanalyse voraus. Dabei wird das System modellhaft in Subsysteme und Komponenten unterteilt. Um das Ausfallverhalten des Systems bzw. der Systemteile und ihre Verknüpfungen zu ermitteln, werden zuerst die unerwünschten Systemereignisse festgelegt. Im nächsten Schritt wird untersucht, welche möglichen Ausfälle auf der nächst tieferen Systemebene zu erwarten sind und wie sie mit dem übergeordneten Ausfall verknüpft werden können. Dieser Schritt wird so oft wiederholt, bis die unterste Systemebene, die Komponentenausfallart, erreicht ist, so dass als Ergebnis das komplette Ausfallverhalten gefunden wird.

162

5.1.1

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Ausfallarten

Nach DIN 25424 wird zwischen drei Ausfallarten unterschieden: Primär-, Sekundär- und Kommandoausfälle, s. Abb. 5.2. Ein Primärausfall ist der Ausfall einer Komponente unter zulässigen Bedingungen. Dagegen stellt ein Sekundärausfall einen Folgeausfall durch unzulässige Einsatzbedingungen einer Komponente dar. Ein Kommandoausfall entsteht trotz funktionsfähiger Komponente infolge einer falschen bzw. fehlenden Anregung oder des Ausfalls einer Hilfsquelle [5.3]. primärer Ausfall

sekundärer Ausfall

kommandierter Ausfall

Sand

Komponentenausfall durch eigene Schwäche

Komponentenausfall durch entsprechende Umgebungs- oder Einsatzbedingungen (nur bei offenen Systemen)

Ausfall trotz funktionsfähiger Komponente, in folge einer falschen oder fehlenden Ansteuerung

Abb. 5.2. Ausfallarten des Systems nach DIN 25424

5.1.2

Symbolik

Um ein System systematisch in einem Fehlerbaum darzustellen, werden die einzelnen Eingänge auf verschiedene Weise miteinander verknüpft. Dabei finden zur Visualisierung dieser Verknüpfungen verschiedene Symbole Verwendung. Nachfolgend werden die gebräuchlichsten kurz beschrieben und in Abb. 5.3 dargestellt: x Standardeingang: Dieses Symbol steht für ein primäres Versagen eines Funktionselementes. Es beschreibt eine Fehlerursache, die keine anderen Bedingungen enthält und dem Bildzeichen werden Kenngrößen für den Primärausfall zugeordnet. x Übertragungseingang und -ausgang: Mit diesem Symbol wird der Fehlerbaum abgebrochen bzw. an einer anderen Stelle fortgesetzt. x Kommentar: Die Beschreibungen der Ein- und Ausgänge werden in diesem Symbol zwischen den Verknüpfungssymbolen eingetragen. x Bei der UND-Verknüpfung tritt das Ereignis am Ausgang nur auf, wenn alle Ereignisse am Eingang auftreten.

5.2 Qualitative Fehlerbaumanalyse

163

x Die ODER-Verknüpfung bedeutet, dass nur eines der Ereignisse am Eingang auftreten muss, damit das Ereignis am Ausgang geschieht. x Die NICHT-Verknüpfung steht für den Fall der Negation. So wird gezeigt, dass die Bedingung am Eingang nicht vorliegen soll, damit das Ereignis am Ausgang eintritt. Standardeingang Übertragung Ein-- und Ausgang Kommentar Symbolik der Fehlerbaumanalyse nach DIN 25424: UNDVerknüpfung y

ODERVerknüpfung y

& x1

NICHTVerknüpfung y

1 x1

x2

x2

x

weitere Symbolik der Fehlerbaumanalyse nach Meyna [5.9]: UNDVerknüpfung (Konjunktion)

ODERVerknüpfung (Disjunktion)

x1

x1 y

x2

NICHTVerknüpfung (Negation)

y

x

y

x2

Abb. 5.3. Symbolik der Fehlerbaumanalyse

5.2 5.2.1

Qualitative Fehlerbaumanalyse Qualitative Ziele

Die qualitative Fehlerbaumanalyse beschäftigt sich mit den unerwünschten Ereignissen, die in einem System auftreten können. Solche Ereignisse (auch TOP-Events genannt) sind unerwünschte Systemzustände, die bis auf ausgefallene einzelne Komponenten (DOWN-Ursache) zurückzuführen sind. Der Fehlerbaum ist ein Modell, das alle Kombinationen von unerwünschten Systemzuständen grafisch darstellt und logisch verknüpft.

164

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Dabei sind die Ziele der FTA: x Systematische Identifikation aller möglichen Ausfälle sowie Ausfallkombinationen und deren Ursachen, die zu einem unerwünschten Ereignis, dem Hauptereignis führen. x Besonders kritische Ereignisse bzw. Ereigniskombinationen darstellen (z.B. Fehlfunktionen, die zu einem unerwünschten Ergebnis führen). x Objektive Beurteilungskriterien für Systemkonzepte erzielen. x Eine klare und übersichtliche Dokumentation der Ausfallmechanismen und deren funktionale Zusammenhänge. 5.2.2

Prinzipieller Aufbau

Um das Ausfallverhalten (Fehlfunktionen, Versagensarten) des Systems bzw. der Systemteile (Baugruppen, Bauteile) und ihre Verknüpfungen zu ermitteln, werden zuerst die unerwünschten Systemereignisse (TOPEvents) festgelegt. Da es sich um eine deduktive Vorgehensweise (TOPDOWN-Methode) handelt, wird im nächsten Schritt untersucht, welche möglichen Ausfälle auf der nächst tieferen Systemebene zu erwarten sind und wie sie mit dem übergeordneten Ausfall verknüpft werden können. Dieser Schritt wird so oft wiederholt bis die unterste Systemebene, die Ausfallarten, erreicht ist, so dass als Ergebnis das komplette Ausfallverhalten gefunden wird, s. Abb. 5.4. Unerwünschtes Ereignis,Systemausfall (TOP) Ausfall des Teilsystems

Ausfall der Baugruppe

Ausfall des Bauteils Ausfallarten Primär, Sekundär, Kommando

Bauteilmerkmal, Entwicklungsfehler (DOWN)

Abb. 5.4. Prinzipielle Vorgehensweise beim Aufbau eines Fehlerbaumes

5.2 Qualitative Fehlerbaumanalyse

165

In der DIN 25424 ist für diese Aufstellung des Fehlerbaumes die nachfolgende systematische Vorgehensweise beschrieben [5.3]: 1. Das unerwünschte Ereignis wird festgelegt. 2. Ist dieses Ereignis bereits eine Ausfallart einer Komponente so wird die Vorgehensweise mit Schritt 4 fortgesetzt. Ansonsten folgt die Ermittlung aller Ausfälle, die zu dem unerwünschten Ereignis führen. 3. Diese Ausfälle werden in die Kommentarrechtecke eingetragen und entsprechend mit Hilfe der Fehlerbaumsymbolik logisch verknüpft. Stellen die Ausfälle eine Ausfallart dar, so wird die Bearbeitung mit Schritt 4 fortgesetzt, andernfalls wird wieder mit Schritt 2 begonnen. 4. In den häufigsten Fällen sind die einzelnen Ausfälle durch eine ODERVerknüpfung verbunden, da jedes Eingangsereignis das Ereignis am Ausgang hervorruft. Diese Eingänge sind dabei dann mit Primärausfall, Sekundärausfall und kommandiertem Ausfall belegt. Primärausfälle können mit Hilfe der Fehlerbaumanalyse nicht weiter untersucht werden und stellen damit einen Standardeingang des Systems dar. Hingegen müssen Sekundärausfälle und kommandierte Ausfälle nicht unbedingt vorhanden sein. Liegen sie allerdings vor und ist der Ausfall kein Funktionselementausfall, so wird dieser Ausfall noch weiter untergliedert und die Bearbeitung beginnt wieder bei Schritt 2. Ein Beispiel für einen solchen qualitativen Fehlerbaum ist in Abb. 5.5 dargestellt. Hier wird das TOP-Event, der Ausfall des Getriebes zunächst in einzelne Baugruppen unterteilt, deren Ausfälle jeweils den Ausfall des gesamten Getriebes verursachen und die aus diesem Grund alle durch eine ODER-Verknüpfung verbunden sind. Danach wird der Ausfall der Baugruppe Abtrieb weiter untersucht und dabei die Bauteile ermittelt, die zu einem Ausfall der übergeordneten Baugruppe führen können. Auf diese Art werden die einzelnen Bauteile, in diesem Beispiel speziell das Versagen des Zahnrades, weiter untergliedert in die Ausfallarten der Bauteile, wozu unter anderem der Bruch des Zahnrades zählt. Dieser Zahnbruch kann unterschiedliche Ursachen haben, so dass diese Ausfallart noch weiter unterteilt wird bis in die Ebene der Bauteilmerkmale bzw. Entwicklungsfehler. Hierbei können Überlast und falsche Berechnung zum Bruch des Zahnrades führen. Diese beiden Fehler stellen allerdings noch keine Standardeingänge dar, sondern müssen noch weiter untersucht werden. Die Fehlbedienung allerdings repräsentiert einen Standardeingang und kann nicht mehr weiter untergliedert werden, so dass an dieser Stelle der Fehlerbaum abgeschlossen ist.

166

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Ausfall Getriebe

System 1 Versagen der Ausfall Abtrieb Lagerung ... 1 Ausfall Synchro- Versagen nisierung Zahnrad 1

Versagen des Gehäuses

Versagen Zahnrad 2

...

Baugruppe ...

Bauteil / -element ...

1 Fressen ...

Bruch

...

1 Überlast

...

Falsche Berechnung

Ausfallarten je Bauteil

Grübchen

Fehlbedienung

Bauteilmerkmale, Entwicklungsfehler ...

Abb. 5.5. Fehlerbaum Beispiel Getriebe

5.2.3

Vergleich zwischen FMEA und FTA

Im Gegensatz zur FTA sind die Ausfallkombinationen nicht Gegenstand der FMEA, deshalb eignet sich FMEA nur eingeschränkt als Grundlage der Fehlerbaumanalyse. Die FMEA beschäftigt sich vielmehr mit der Bewertung der Ausfallarten eines Systems und deren Auswirkungen auf das System [5.11]. Deswegen kann die FMEA als Quelle bzw. systematischer Katalog möglicher Ausfallarten für die Fehlerbaumanalyse dienen. Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Methoden besteht darin, dass die FMEA eine induktive und die FTA eine deduktive Methode ist. Das bedeutet, dass die FMEA die Wirkung der Fehlerursache eines Bauteils auf die Einheit untersucht, hingegen wird bei der FTA der Fehler der Einheit bis auf die Fehlerursache des Bauteils zurückgeführt.

5.2 Qualitative Fehlerbaumanalyse

FMEA:

FTA:

Fehlerzustandsart- und auswirkungsanalyse Fault Modes and Effects Analysis VDA Schrift Nr.4 IEC 812 DIN 25 448 induktiv

Fehlzustandsbaumanalyse Fault Tree Analysis

Wirkung auf die Einheit

Wirkung an der Einheit

Fehlerursache vom Bauteil

Fehlerursache im Bauteil

Vom Einzelnen zum Gesamten

Vom Gesamten zum Einzelnen

167

DIN IEC 1025 DIN 25 424 deduktiv

Abb. 5.6. Vergleich FMEA und FTA

Beim Vergleich der beiden Methoden lässt sich die FMEA speziell durch nachfolgende Merkmale charakterisieren: x FMEA kombiniert beide Fragestellungen (Was sind Ursachen?, Was sind Folgen des Fehlers?). x Nicht so systematisch wie FTA. x Bewertet durch Kombination beider Fragestellungen die Risiken eines Fehlers und definiert je nach Risikopotential Verbesserungsmaßnahmen. Hingegen zeichnet sich die FTA durch folgende Eigenschaften aus: x Systematische Suche nach Ursachen eines Ereignisses bzw. Fehlers. x ETA (Event Tree Analysis) Ereignisablaufanalyse sucht nach den Folgen des Fehlers. Zusammenfassend lässt sich beim Vergleich der beiden Verfahren feststellen: x FMEA und FTA sind verschiedene Methoden mit ähnlicher Thematik. x Bestimmung der Ausfallarten bei der FTA leichter bei Vorkenntnissen aus FMEA. x FMEA untersucht Einzelfehlerfolgen und überspringt Ebenen. x FTA untersucht systematischer. x FTA kennt Verknüpfungen UND, ODER, NICHT, Wartung / Reparatur.

168

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

5.3

Quantitative Fehlerbaumanalyse

5.3.1

Quantitative Ziele

Mit Hilfe der Fehlerbaumanalyse kann das System nicht nur qualitativ beschrieben werden, sondern es besteht die Möglichkeit, eine quantitative Aussage über das Ausfallverhalten des Systems zu machen. Die Zuverlässigkeitskenngrößen (z.B. Eintrittswahrscheinlichkeit des unerwünschten Ereignisses oder Systemverfügbarkeit) können aus der Systemstruktur mit Hilfe des Booleschen Modells berechnet werden, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeiten aller Einzelkomponenten bekannt sind. Dabei können Faktoren, die am schwerwiegendsten die Systemzuverlässigkeit beeinflussen sowie Änderungen zur Verbesserung dieser Zuverlässigkeitskenngröße, untersucht werden. 5.3.2

Boolesche Modellbildung

5.3.2.1 Grundverknüpfungen der Booleschen Modellbildung Zur Ermittlung der Systemzuverlässigkeit kann das Boolesche Modell (s. Kap.2) eingesetzt werden [5.12]. Dabei wird die Symbolik des Fehlerbaums mit Hilfe einfacher Rechenregeln in Zahlenwerte umgesetzt. Negation

Hat eine Boolesche Variable den Wert 1, dann ist die negierte Variable 0 und umgekehrt, s. Tabelle 5.1 y

x.

(5.1)

Disjunktion

Die Disjunktion steht für die Boolesche Funktion ODER und findet Anwendung in Fällen, bei denen es ausreicht, wenn am Eingang ein Ereignis von zwei oder mehreren eintritt, um das Ereignis am Ausgang auszulösen [5.9]. Für zwei binäre Variablen bedeutet das, dass eine Disjunktion gegeben ist, wenn x1 oder x2 gleich 1 sowie x1 und x2 gleich 1 ist. In diesen Fällen ist dann der Ausgang y = 1. In diesem Fall spricht man von einem inklusiven oder (lat. vel). Nur für den Fall, wenn x1 und x2 gleich 0 sind, ist y = 0, s. Tabelle 5.1

y

x1 › x2 .

(5.2)

5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse

169

Aus dieser Gleichung folgt dann speziell, dass

x › 1 1; x › x x›0

x, (5.3)

x; x › x 1

sowie

x1 › x2

x2 › x1

(Kommutativgesetz)

(5.4)

für eine Disjunktion von zwei Variablen gilt. Für die Disjunktion n unabhängiger Variablen gilt demnach n

›x

y

i

mit y

i 1

­0 für alle xi ® ¯1 sonst

0

.

(5.5)

Konjunktion

Die Konjunktion steht für die Boolesche Funktion UND. Alle Ereignisse am Eingang müssen vorliegen, damit das Ereignis am Ausgang eintritt. Eine Konjunktion für zwei binäre Variablen ist demnach gegeben, wenn x1 und x2 gleich 1 sind. Nur in genau diesem Fall ergibt sich dann y = 1, s. Tabelle 5.1. Tabelle 5.1. Übersicht über die Grundverknüpfungen Boolesche Gleichung y

1

Konjunktion Disjunktion

Negation

Name andere Bezeichnung NICHT, Negator, Inverter, Phasendreher ODER, OR

UND, AND

y

x

x1 › x 2 x1  x 2

y

Operator FunktionsSymbol tabelle x1 x2 y DIN 25424 nach [5.9] x x y x y 0 - 1

› 

x1 š x 2

š

x1 ˜ x 2 x1 x 2

˜ &

x1 & x 2

1

-

0

y x

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

y

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

•1

y x x1

y

x2 x1 x2 y &

x1 x2

x1 x2

y

170

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Mit Hilfe so genannter Venn-Diagramme lassen sich die beschriebenen Booleschen Grundverknüpfungen graphisch veranschaulichen. Dabei werden alle Möglichkeiten : durch ein Rechteck, die tatsächlich eintretende Möglichkeit durch die schraffierte Fläche dargestellt, s. Abb. 5.7. Negation

Konjunktion

Disjunktion

(Ω)

(Ω)

(Ω)

x2

x2 x x1

x1 y=x

y = x1 ∧ x2

y = x1 ∨ x2

Abb. 5.7. Venn-Diagramme der Grundverknüpfungen [5.13]

5.3.2.2 Axiome und Sätze der Booleschen Algebra

Durch die nachfolgend vorgestellten Axiome und Sätze der Booleschen Algebra besteht die Möglichkeit Boolesche Ausdrücke mathematisch zu verändern bzw. zu vereinfachen [5.6]. Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

x1 š x 2

x 2 š x1 ,

(5.6)

x1 › x2

x2 › x1 ,

(5.7)

Das Assoziativgesetz (Anreihungsregel)

x1 › ( x2 › x3 )

( x1 › x2 ) › x3 ,

(5.8)

x1 š ( x2 š x3 )

( x1 š x2 ) š x3 ,

(5.9)

Das Distributivgesetz (Mischungsregel)

x1 › ( x2 š x3 )

( x1 › x2 ) š ( x1 › x3 ) ,

(5.10)

x1 š ( x2 › x3 )

( x1 š x2 ) › ( x1 š x3 ) ,

(5.11)

Diese drei Gesetze sind bereits aus der gewöhnlichen Algebra bekannt, so dass bei der Booleschen Algebra zur Vereinfachung der Terme ebenfalls Klammern ausmultipliziert werden können.

5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse

171

Postulate

Existenz eines 0- und 1-Elements

x›0

x,

(5.12)

x š1 x ,

(5.13)

Existenz eines Komplements xš x 0,

(5.14)

x › x 1,

(5.15)

x› x

x,

(5.16)

xšx

x,

(5.17)

Idempotenzgesetz

Absorptionsgesetz

x1 › ( x1 š x2 )

x1 ,

(5.18)

x1 š ( x1 › x2 )

x1 ,

(5.19)

x1 › x2

x1 š x2 ,

(5.20)

x1 š x2

x1 › x2 ,

(5.21)

x,

(5.22)

De Morgansches Gesetz

weiter gilt:

x

x ›1 1,

(5.23)

xš0 0.

(5.24)

In der Zuverlässigkeitstheorie sind bei der Umwandlung zwischen Fehlerund Funktionsbäumen speziell das De Morgansche Gesetz sowie das Idempotenz- und Absorptionsgesetz von großer Bedeutung.

172

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

5.3.2.3 Fehlerbaum und Funktionsbaum

Die Funktionsbaummethode beinhaltet prinzipiell die gleiche Vorgehensweise wie die FTA. Anstatt als Hauptereignis eine Ausfallart zu definieren, wird allerdings bei dieser Methode ein wünschenswertes bzw. erstrebenswertes Ereignis festgelegt und alle dazwischen liegenden und primären Ereignisse, die das Auftreten des Hauptereignisses sichern, werden deduktiv aufgefunden. Wenn der logische Gegensatz vom TOP-Event eines Fehlerbaums als Hauptereignis von einem Funktionsbaum verwendet wird, ergibt sich deswegen auch die Boolesche Struktur, der Funktionsbaum, als logischer Gegensatz des Fehlerbaums. Ein Fehlerbaum kann daher mit Hilfe der Negation in einen Funktionsbaum umgewandelt werden und umgekehrt. Der Unterschied besteht nur darin, dass ein Funktionsbaum statt der Ausfallwahrscheinlichkeit die Systemzuverlässigkeit als Ergebnis liefert, s. Abb. 5.8. Dasselbe kann erreicht werden, wenn der bestehende Zusammenhang FS (t ) 1  RS (t )

(5.25)

zwischen Ausfallwahrscheinlichkeit und Zuverlässigkeit angewandt wird. ⇔

Fehlerbaum x1

y

Funktionsbaum x1

y

xn

xn

Daraus ergibt sich: Systemausfallwahrscheinlichkeit FS = FS (F1,..., Fn )

Systemzuverlässigkeit RS = RS (R1,..., Rn )

Abb. 5.8. Zusammenhang zwischen Fehlerbaum und Funktionsbaum

5.3.2.4 Übergang zu Wahrscheinlichkeiten

Das Ausfallverhalten jeder einzelnen Komponente lässt sich durch ihre Ausfall- bzw. Überlebenswahrscheinlichkeit beschreiben. Beim Übergang von Booleschen Ausdrücken zur Beschreibung mittels Wahrscheinlichkeiten lässt sich die Ausfall- bzw. Überlebenswahrscheinlichkeit des gesamten Systems durch Anwendung einfacher Transformationen ermitteln [5.9]. Dabei lässt sich die Boolesche Funktion zunächst in einen Ausdruck mit reellen Variablen xi überführen, falls nur die reellen Zahlen 0 und 1 ver-

5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse

173

wendet werden und alle Variablen linear auftreten. Damit lässt sich das Systemverhalten nur durch eine diskrete Null-Eins-Verteilung beschreiben. Im zweiten Schritt kann dann von diesen diskreten Variablen auf die kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsfunktionen für Ausfall bzw. Überleben einer Komponente übergangen werden. Für die wichtigsten Verknüpfungen erfolgt dieser Übergang von der logischen zur mathematischen Schreibweise gemäß Tabelle 5.2. Tabelle 5.2. Übergang zu Wahrscheinlichkeiten logisch Negation

y

mathematisch RS (t ) FK (t ) 1  RK (t ) zuverlässigkeitstechnisch unsinnig

x n

y

› xi i 1

Disjunktion

n n

RS (t )

R1 (t ) › R2 (t ) › ...

RS (t ) 1 

– (1  R (t )) i

i

› Ri (t )

1

i 1

n

y

š xi i 1

Konjunktion

n

RS (t )

5.3.3

n

R1 (t ) š R2 (t ) š ...

š Ri (t )

RS (t )

– R (t ) i

i 1

i 1

Anwendung auf Systeme

5.3.3.1 Reihen- und Parallel-Anordnung

Ein technisches System lässt sich in Abhängigkeit von den Zuständen seiner Komponenten mit Hilfe der Booleschen Algebra beschreiben, wenn man dem System und den Komponenten lediglich die zwei Zustände funktionsfähig und ausgefallen zuordnet. Für die Definition der Systemfunktion liegt die Positivlogik zugrunde. Dabei wird die Systemzuverlässigkeit über die Zuverlässigkeiten der einzelnen Komponenten ermittelt. Bei Anwendung im Bereich der FTA wird jedoch in der Regel die Negativlogik zugrunde gelegt, um ein Fehlverhalten, also die Ausfallwahrscheinlichkeit, zu bestimmen. Die nachfolgenden Tabellen (Tabelle 5.3 und Tabelle 5.4) zeigen einige typische Grundstrukturen und deren Entwicklung zu Systemfunktionen (Positivlogik und Negativlogik).

174

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Tabelle 5.3. Positivlogik Systemstruktur

Reihenanordnung

Parallelanordnung x1

y x1

Blockschaltbild

y

xn xn

x1

x1

y

Funktionsbaum

xn

xn

x1 š x 2 š ... š x n

y Boolesche Funktion

y

x1 › x2 › ... › xn

n

n

š

i

y

1

›x

xi

i

i

1

n

n

Systemzuverlässigkeit

RS (t )

–

Ri (t )

R S (t ) 1 

i 1

– (1  R (t )) i

i

1

Tabelle 5.4. Negativlogik

Systemstruktur

Reihenanordnung

Parallelanordnung

y x1

Blockschaltbild

x1

xn

y

xn x1

x1

y

Funktionsbaum

xn

xn

y

x1 › x2 › ... › xn

Boolesche Funktion Systemausfallwahrscheinlichkeit

y

x1 š x2 š ... š xn

n i

›1

y

n

xi

i

š1 x i

n

FS (t ) 1 

– 1  Fi (t ) i 1

n

FS (t )

– F (t ) i

i

1

5.3.3.2 Brückenkonfiguration

Bei der Brückenkonfiguration, s. Abb. 5.9, lässt sich die Zuverlässigkeit nicht mit den elementaren Gleichungen für Serien- und Parallelsysteme berechnen. Für Systeme mit einer geringen Anzahl an Elementen kann noch die disjunktive Normalenform angewendet werden [5.5]. Besitzt das

5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse

175

System eine größere Anzahl n an Elementen erhöht sich der Aufwand extrem, da die Systemgleichung jeweils 2n Terme besitzt. Um in diesem Fall die Zuverlässigkeit bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit dieses Systems mit geringerem Aufwand ermitteln zu können, werden die Methoden x der minimalen Ausfallschnitte, x der minimalen Erfolgspfade und x Lösen durch Separation angewendet. x1

x3

x5 x2

x4

Abb. 5.9. Brückenkonfiguration Methode der minimalen Ausfallschnitte (Cut Sets)

Bei der Methode der minimalen Ausfallschnitte werden alle Kombinationen von Komponenten, die durch Ausfall zum Versagen des Systems führen, durch gedankliche Schnitte in der Struktur gesucht. Alle Komponenten werden negiert angesetzt und innerhalb der Cut Sets durch und und außerhalb durch oder verknüpft, wodurch sich der negierte Ausgang, die Ausfallwahrscheinlichkeit, ergibt, s. Abb. 5.10. C2

x1

x3

C4

x5

Cut Sets: C1 = { x1, x 2 }

C1

x2

C2 = { x 3 , x 4 }

C3 = { x1, x 4 , x 5 } C 4 = { x 2 , x 3 , x 5 }

Systemfunktion: y = ( x1 ∧ x 2 ) ∨ ( x 3 ∧ x 4 ) ∨ ( x1 ∧ x 4 ∧ x 5 ) ∨ ( x 2 ∧ x 3 ∧ x 5 )

x4

Fehlerbaum:

C3

x1 x2

x3 x4 x1 x4 x5 x2 x3 x5

Abb. 5.10. Methode der minimalen Ausfallschnitte (Cut Sets)

y

176

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Das System ist ausgefallen, wenn alle Komponenten in einem der minimalen Ausfallschnitte ausgefallen sind. Damit ergibt sich die Boolesche Funktion für den Systemausfall zu C1

{x1 , x 2 }, C 2

C3

{x1 , x 4 , x 5 }, C 4

y

{x 3 , x 4 }, (5.26)

{x 2 , x 3 , x 5 },

( x1 š x 2 ) › ( x 3 š x 4 ) › ( x1 š x 4 š x 5 ) › ( x 2 š x 3 š x 5 ).

(5.27)

Methode der minimalen Erfolgspfade (Path Sets)

Bei der Methode der minimalen Erfolgspfade werden alle Kombinationen von Komponenten, die durch Funktionsfähigkeit zur Funktion des Systems führen, durch gedankliche Pfade in der Struktur gesucht. Alle Komponenten werden positiv angesetzt und innerhalb der Path Sets werden die Komponenten durch und und außerhalb durch oder verknüpft, woraus sich der positive Ausgang, die Zuverlässigkeit, ergibt, s. Abb. 5.11. P1

x3

x1 P3 P4

Path Set‘s: P1 = { x1, x 3 }

x5

x2

x4

P2

P2 = { x 2 , x 4 }

P3 = { x1, x 4 , x 5 } P4 = { x 2 , x 3 , x 5 }

Systemfunktion: y = ( x1 ∧ x 3 ) ∨ ( x 2 ∧ x 4 ) ∨ ( x1 ∧ x 4 ∧ x 5 ) ∨ ( x 2 ∧ x 3 ∧ x 5 )

Funktionsbaum: x1 x3 x2 x4

y

x1 x4 x5 x2 x3 x5

Abb. 5.11. Methode der minimalen Erfolgspfade (path set)

Das System ist funktionsfähig, wenn mindestens ein Pfad funktionsfähig ist und die Boolesche Funktion für die Funktionsfähigkeit des Systems ergibt sich zu {x1 , x 3 , } P2

P1 y

{x 2 , x 4 } P3

{x1 , x 4 , x 5 } P4

{x 2 , x 3 , x 5 } ,

( x1 š x 3 ) › ( x 2 š x 4 ) › ( x1 š x 4 š x 5 ) › ( x 2 š x 3 š x 5 ) .

(5.28) (5.29)

5.3 Quantitative Fehlerbaumanalyse

177

Der Übergang zu Wahrscheinlichkeiten kann bei diesen beiden Methoden z.B. mit Hilfe des Poincaréschen Algorithmus (Inklusions-ExklusionsMethode) oder des Top-Down-Algorithmus durchgeführt werden, die in [5.9] näher beschrieben sind. Methode der relevanten Systemkomponente (Separation)

Da die Systemkomponente x5 in beiden Richtungen arbeiten kann, nimmt sie in dieser Brückenkonfiguration eine Schlüsselposition ein und kann aus diesem Grund separiert werden, s. Abb. 5.12. x5 ständig funktionsfähig

x2

x4

(x 2 ∧ x 3 )∨ (x 2 ∧ x 4 )]

x3 x5

x2

x3

yI = x 5 ∧ [(x1 ∧ x 3 )∨ (x1 ∧ x 4 )∨

Brückenkonfiguration x1

x1

x4

Separation von x5

Path Sets

x5 ständig ausgefallen x1

x33

x2

x44

yII = x 5 ∧ [(x1 ∧ x 3 )∨ (x 2 ∧ x 4 )]

Path Sets Abb. 5.12. Methode der relevanten Systemkomponente (Separation)

Für die Komponente x5 werden dabei die zwei Zustände ständig funktionsfähig und ständig ausgefallen getrennt betrachtet und anschließend wieder miteinander verknüpft. Für den ersten Fall, x5 ständig funktionsfähig, wird die positiv angesetzte Komponente x5 mit den einzelnen erfolgreichen Pfaden durch eine UND-Verknüpfung verbunden:

yI

x5 š >x1 š x3 › x1 š x 4 ›  x 2 š x3 ›  x 2 š x 4 @ .

Durch Anwendung des Distributivgesetzes

(5.30)

178

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

yI

x 5 š > x1 š  x 3 › x 4 › x 2 š  x 3 › x 4 @

(5.31)

und des Kommutativgesetzes

yI

x5 š > x3 › x 4 š x1 › x 3 › x 4 š x 2 @

(5.32)

sowie durch Ersetzen von x 3 › x 4 durch x *

>

@



y I x5 š x * š x1 › x * š x 2 und erneuter Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich yI

>

@

x5 š x * š x1 › x2

x5 š >x3 › x 4 š x1 › x2 @ .

(5.33)

(5.34)

Durch den Übergang zu Wahrscheinlichkeiten erhält man damit als Zuverlässigkeit für den ersten Fall

RI

R5 ˜ >1  1  R3 ˜ 1  R4 ˜ 1  1  R1 ˜ 1  R2 @ .

(5.35)

Dasselbe wird für den zweiten Fall, dass x5 ständig ausgefallen ist, durchgeführt. Dabei ist es möglich direkt zur Überlebenswahrscheinlichkeit überzugehen:

x5 š >x1 š x3 › x 2 š x 4 @ ,

(5.36)

1  R5 ˜ >1  1  R1 R3 ˜ 1  R2 R4 @ .

(5.37)

y II

RII

Die beiden Wahrscheinlichkeiten werden wegen der Unabhängigkeiten der Ereignisse nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeiten durch eine Addition miteinander verknüpft [5.2], so dass sich die nachfolgende Systemzuverlässigkeit ergibt:

y

x5 š > x1 š x3 › x1 š x 4 ›  x2 š x3 ›  x2 š x4 @› x5 š >x1 š x3 ›  x2 š x 4 @ ,

R

R5 ˜ >1  1  R3 ˜ 1  R4 ˜ 1  1  R1 ˜ 1  R2 @  1  R5 ˜ >1  1  R1 R3 ˜ 1  R2 R4 @ .

5.4

(5.38)

(5.39)

Zuverlässigkeitsgraph

Eine weitere Möglichkeit, Systeme anschaulich zu beschreiben, stellen Zuverlässigkeitsgraphen dar. Zuverlässigkeitsgraphen werden speziell zur

5.5 Beispiele

179

Beschreibung der Zuverlässigkeit von Netzwerken eingesetzt [5.7]. Sie bestehen aus Knoten und (Verbindungs-) Kanten. Die Kanten werden unterschieden in Komponentenkanten und ’-Kanten. Eine Komponente wird durch höchstens eine Komponentenkante dargestellt, d.h. wiederholte Kanten sind nicht erlaubt. Der Ausfall einer Komponente wird durch die Unterbrechung einer Kante angezeigt. Die ’-Kanten und die Knoten fallen nicht aus. Das modellierte System wird als funktionsfähig betrachtet, solange mindestens ein Pfad mit nicht ausgefallenen Kanten von einem „Quellknoten“ zum „Senke-Knoten“ führt, s. Abb. 5.13.

D 8

A C

Senke

8

Quelle

B

E

Abb. 5.13. Beispiel für einen Zuverlässigkeitsgraphen

5.5 5.5.1

Beispiele Zahnflankenriss

Das erste Beispiel zeigt den Fehlerbaum für einen Zahnflankenriss bei einem Werkstofffehler. Im Verlauf der Analyse wird schrittweise nach möglichen Ursachen für den aufgetretenen Zahnflankenriss gesucht. Zunächst muss in Betracht gezogen werden, dass das Zahnrad unzulässigen Betriebsbedingungen ausgesetzt war und der Riss zum Beispiel durch eine nicht zulässige zu hohe Betriebsbeanspruchung hervorgerufen wurde. Eine weitere Ursache für das Fehlverhalten kann jedoch eine fehlerhafte Zahnflanke sein, s. Abb. 5.14. Hierfür gibt es auf der nächst unteren Ebene drei mögliche Fehlerursachen: Ein Fertigungsfehler bei der Herstellung der Zahnflanke, ein Konstruktionsfehler oder ein fehlerhafter Werkstoff. Wird die Untersuchung für einen fehlerhaften Werkstoff fortgesetzt, so können prinzipiell sowohl ein falscher Werkstoff, also ein Werkstoff, der für diesen Anwendungsfall nicht geeignet ist, als auch ein fehlerhaftes Gefüge beim richtigen Werkstoff einen fehlerhaften Werkstoff darstellen.

180

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA) Zahnflankenriss 1

unzulässige Betriebsbedingungen

fehlerhafte Zahnflanke 1

fehlerhafter Werkstoff

falsche Konstruktion

Fertigungsfehler

1

fehlerhaftes Gefüge

falscher Werkstoff

1

1 falsche Werk- Werkstoffver- falsche Legierungsstoffpaarung wechslung zusammensetzung

Einschlüsse

Grobkorn Seigerungen

Hohlräume

1

Schlacken

1

Fremdstoffe

kristalline Risse

Lunker

Abb. 5.14. Fehlerbaum für einen Zahnflankeneinriss bei einem Werkstofffehler

Als Ursachen für die Verwendung des falschen Werkstoffs kommen neben einer falschen Legierungszusammensetzung auch eine Werkstoffverwechslung oder eine falsche Werkstoffpaarung in Frage. Diese drei Ursachen stellen jeweils Standardeingänge des Fehlerbaums dar. Ein fehlerhaftes Werkstoffgefüge kann hingegen durch Seigerungen, Grobkornbildung, Einschlüsse oder Hohlräume hervorgerufen werden. Bei Einschlüssen kann es sich dabei entweder um Schlacken oder um Fremdstoffe handeln. Hohlräume im Gefüge entstehen durch Lunker oder durch die Ausbildung von kristallinen Rissen. Da diese Punkte jeweils ebenfalls Standardeingän-

5.5 Beispiele

181

ge des Fehlerbaums darstellen, ist damit der Ast des fehlerhaften Werkstoffes abgeschlossen und die Fehlerbaumanalyse kann mit den weiteren Ästen fortgesetzt werden. Während im vorigen Beispiel als Fehlerursache für den Zahnflankenriss ein Werkstofffehler angenommen wurde, wird in Abb. 5.15 die Fehlerbaumanalyse für einen Konstruktionsfehler fortgesetzt. Zahnflankenriss 1

unzulässige Betriebsbedingungen

fehlerhafte Zahnflanke 1

fehlerhafter Werkstoff

falsche Konstruktion

Fertigungsfehler

1 falsche Dimensionierung

falsche Zahngeometrie

falsches Zahnspiel

1 falsche Berechnung

falsche technische Zeichnung

1 Fehler in der Rechnung

1 falsches Rechenmodell

falsche Maßangabe

falsche zeichnerische Darstellung

1 Rechenmodell ungeeignet

Rechenmodell ungenau

Abb. 5.15. Fehlerbaum für einen Zahnflankeneinriss bei einem Konstruktionsfehler

182

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Dabei wird ermittelt, dass der Zahnflankenriss durch einen Fehler in der Konstruktion hervorgerufen wird, dessen Ursachen wiederum in falscher Dimensionierung, falscher Zahngeometrie bzw. falschem Zahnspiel zu suchen sind. Die beiden letztgenannten Fehler stellen Standardeingänge des Fehlerbaumes dar und müssen nicht weiter untersucht werden, so dass die weitere Betrachtung allein für den Fall der falschen Dimensionierung erfolgt. Zu einer falschen Dimensionierung der Zähne kann es durch eine falsche Berechnung, aber auch durch Fehler in der technischen Zeichnung, die die Grundlage für die Fertigung der Zahnflanke darstellt, kommen. Fehler in der technischen Zeichnung können falsche Maßangaben oder eine falsche bzw. ungenaue zeichnerische Darstellung sein. Liegt die Ursache für die falsche Dimensionierung in einer falsche Berechnung des Zahnrades, ist entweder in der Berechnung ein Fehler unterlaufen oder es wurde das falsche Rechenmodell für die Berechnung verwendet. Das dafür benutzte Rechenmodell ist möglicherweise zu ungenau oder für die durchgeführte Berechnung prinzipiell ungeeignet. Da nun alle Eingänge dieses Fehlerbaumastes Standardeingänge darstellen, ist die Bearbeitung des Fehlerbaumes für einen Konstruktionsfehler abgeschlossen. Die Fehlerbaumanalyse für den Zahnflankenriss wird entweder mit den Fertigungsfehlern, die zu einer fehlerhaften Zahnflanke führen, oder mit der Betrachtung unzulässiger Betriebsbedingungen fortgesetzt 5.5.2

Fehlerbaumanalyse einer Wellendichtung

Dieses Beispiel [5.10] bezieht sich speziell auf die Entwurfsphase. Eine Wellendichtung in der Bauform einer Packungsstopfbüchse, s. Abb. 5.16, dient zur Sperrung von Luftleckagen aus der unter Überdruck stehenden Kühlluft eines Großgenerators, der mit einer Rohrturbine gekuppelt ist. Die Druckdifferenz beträgt 1,5 bar, die Abmessungen sind beachtlich. Die Stopfbüchsenpackung läuft gegen eine sog. „Wärmeschutzhülse“. Die Baugruppe ist auf denkbares Fehlverhalten zu untersuchen.

5.5 Beispiele 11

10

9

183

8 6 p1 5

p0

100

Ø1200

4 3 7

Ø 920

H7 h6

Ø 989

2a 2 1

228

Abb. 5.16. Wellendichtung eines Großgenerators zum Sperren der Kühlluft [5.10]

Die Gesamtfunktion ist „Sperren der Kühlluft“. Zu Beginn der Untersuchung ist es zweckmäßig, sich die Teilfunktionen klar zu machen, die von den einzelnen Bauteilen erfüllt werden müssen. Dies geschieht, wenn z. B. noch keine Funktionsstruktur vorliegt, am besten mit Hilfe einer Tabelle, s. Tabelle 5.5. Für die Sperrfunktion sind folgende Teilfunktionen wesentlich:

x Anpresskraft aufbringen, x gleitend abdichten und x Reibungswärme abführen.

184

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Tabelle 5.5. Analyse der Teile nach Abb. 5.16 zum Erkennen der von ihnen übernommenen Funktionen [5.10]

Nr. 1

Teil Welle

2, 2a Hülse (2-teilig, verschraubt) 3 Packungsringe 4 5 6 7 8 9 10 11

Abstreifring Stopfbüchsengehäuse Gestell Runddichtung Zugfeder Federaufnahme Spannring Schraube

Funktion Drehmoment übertragen, Hülse aufnehmen, Reibungswärme ableiten Lauf- und Dichtfläche bieten, Welle schützen, Reibungswärme leiten Medium gleitend abdichten, Anpresskraft aufnehmen und Dichtdruck ausüben Spritzöl abhalten Packungsringe aufnehmen, Anpresskraft aufnehmen und übertragen Teile 4 und 5 aufnehmen Zwischen p1 und p0 abdichten Anpresskraft erzeugen Federkraft leiten Anpresskraft übertragen, Zugfedern aufnehmen Federn einstellbar vorspannen

Im weiteren Verlauf der Analyse werden nun diese Teilfunktionen negiert und gleichzeitig nach möglichen Ursachen eines Fehlverhaltens gesucht, s. Abb. 5.17. Das Ergebnis der Fehlerbaumanalyse deutet in erster Linie auf ein Fehlverhalten der Wärmeschutzhülse 2 infolge wärmeinstabilen Verhaltens hin: Die an der Gleitfläche entstehende Reibwärme kann praktisch nur über die Hülse in die Welle abfließen. Dabei erwärmt sich die Hülse und dehnt sich aus. Damit verstärkt sie aber den Reibungseffekt und hebt bei weiterer Erwärmung von der Welle ab, wodurch eine zusätzliche Leckage und eine Schädigung der Wellenoberfläche durch unzulässiges Gleiten der Hülse auf der Welle entstehen. Diese Anordnung ist untauglich und bedarf einer prinzipiellen konstruktiven Verbesserung: Entweder Packungsstoffbüchse mit Welle verspannen und unter Wegfall der Wärmeschutzhülse mit der Welle umlaufen lassen (Wärmeabfuhr über Gehäuse 5) oder Verwendung einer Gleitringdichtung mit radialen Dichtflächen. Weitere konstruktive Abhilfemaßnahmen sind bei Beibehaltung der Bauart als Packungsstopfbüchse erforderlich:

x Die Abstützung des Gehäuses 5 gegen das Gestell 6 ist ungenügend, da das Gehäuse sich bei vorgespannter Packung mit der Welle mitdrehen kann. Die Anpresskraft aus der Druckdifferenz ist bei der innenliegenden Dichtung 7 zu gering, um das Reibmoment über einen Reibschluss aufnehmen zu können. Abhilfe: Dichtung 7 am äußeren Durchmesser

5.5 Beispiele

185

von Gehäuse 5 anordnen, besser wäre eine zusätzliche Formschlusssicherung zur Übertragung des Reibmoments. x In der gezeichneten Lage lassen sich die Federn 8 nicht weiter nachspannen. Abhilfe: Ausreichenden Spannweg einplanen. x Aus Gründen der Betriebssicherheit und Einfachheit der Bauweise ist eine Druckfeder statt einer Zugfeder vorteilhafter. Grundsätzlich sind neben konstruktiven Maßnahmen auch solche im Bereich Fertigung, Montage und Betrieb (Gebrauch und Instandhaltung) vorzusehen, wenn trotz einer verbesserten konstruktiven Gestaltung dies noch erforderlich erscheint. Gegebenenfalls sind entsprechend Prüfprotokolle zu erzwingen, s. Abb. 5.17. Kühlluftstrom wird nicht gesperrt 1

Anpresskraft wird nicht aufgebracht

System wird nicht gleitend abgedichtet

Reibungswärme wird nicht abgeführt

1

1

1 Hülse läuft nicht mit Welle

Packungsringe laufen um

1 Feder (8) falsch eingestellt Feder (8) nicht nachstellbar Federn ungleich eingestellt Feder überdehnt Feder gebrochen Untersch. Federn eingebaut Federaufnahme defekt Relativbewegung zw. 10 und 5 behindert Packungsringewerkstoff falsch Zahl der Packungsringe falsch

Behinderter Wärmefluß

1 Vorspannung der Schrauben (2a) zu klein Passung zw. Hülse (2) und Welle (1) falsch Hülse dehnt unter Wärme und hebt ab

Wärmezufuhr zu hoch

1 Anpresskraft Temperatur zu klein der UmgePackungsringe bung zu hoch zu klein (z.B. Lager) Trennfläche zw. Hülse hebt Hülse und von Welle ab Packungsringen aufgerauht, beschädigt Reibmoment wird nicht von 5 nach 6 übertragen

Abb. 5.17. Fehlerbaum der Wellendichtung [5.10]

1 Anpresskraft (Dichtkraft) zu hoch Hülse (2) dehnt sich aus, erhöhte Pressung

186

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA)

Zusammenfassend lässt sich für die Fehler- und Störgrößensuche und ihre Beseitigung folgendes Vorgehen angeben:

x Funktionen erkennen und negieren. x Gründe für Nichterfüllung suchen (aus nicht eindeutiger Funktionsstruktur, nicht idealem Wirkprinzip, nicht idealer Gestalt).

5.6

Übungsaufgaben zur Fehlerbaumanalyse

Aufgabe 5.1

Berechnen Sie die Überlebenswahrscheinlichkeit aus dem in Abb. 5.17 gegebenen Funktionsbaum. Ermitteln Sie weiterhin den Fehlerbaum. x1 x2 y x3 x4

Abb. 5.18. Funktionsbaum zu Aufgabe 5.1 Aufgabe 5.2

Erstellen Sie aus den Blockschaltbildern in Abb. 5.19 jeweils die Fehlerund Funktionsbäume. Bestimmen Sie die jeweilige Ausfallwahrscheinlichkeit Fs der abgebildeten Systeme als Funktion der jeweiligen Komponentenzuverlässigkeiten Ri. a) E

b) E

c) E

1

3

E

1

3

2

4 2 3

1

5

A 1

e) 1

3 2 4

d)

A

2

E A

3 4

Abb. 5.19. Blockschaltbilder zu Aufgabe 5.2

2 A 5

A

5.6 Übungsaufgaben zur Fehlerbaumanalyse

187

Aufgabe 5.3

Gegeben sei die Prinzipskizze eines Jumbo-Jets, s. Abb. 5.20. Das System „Fahrwerk“ fällt dann aus, wenn das Fahrwerk vorne ODER das Fahrwerk hinten rechts UND hinten links ODER das Tragflächenfahrwerk rechts ODER links ausfällt. Die Fahrwerksgruppen fallen dann aus, wenn kein einziges Rad mehr zur Verfügung steht.

Abb. 5.20. Prinzipskizze Fahrwerk Boeing 747

a) Zeichnen Sie den Fehlerbaum. b) Geben Sie die Boolesche Systemfunktion für den Ausfall des Systems Fahrwerk an. c) Ermitteln Sie die Systemgleichung für die Ausfallwahrscheinlichkeit FS. d) Geben Sie die Boolesche Systemfunktion für die Funktionsfähigkeit des Systems Fahrwerk an. e) Ermitteln Sie die Systemgleichung für die Zuverlässigkeit RS und stellen Sie das Blockschaltbild dar. Aufgabe 5.4

Um die Zuverlässigkeit einer Sicherheitseinrichtung zu gewährleisten, wird diese redundant aufgebaut. Sie besteht aus drei Generatoren (im Blockschaltbild mit x1, x2, x3 bezeichnet) und zwei Motoren (x4, x5), s. Abb. 5.21.

188

5 Fehlerbaumanalyse (Fault Tree Analysis, FTA) x1

E

x4 A

x2

x3

x5

Abb. 5.21. Blockschaltbild einer Sicherheitseinrichtung

Ermitteln Sie durch Separation von x2 die Überlebenswahrscheinlichkeit der Sicherheitseinrichtung. Aufgabe 5.5

Gegeben sei der Teilfehlerbaum eines ABS-Steuergeräts. a) Ermitteln Sie die Boolesche Systemfunktion für den Ausfall des Steuergeräts. b) Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems. c) Geben Sie die Systemfunktion für die Funktionsfähigkeit des Steuergeräts an. d) Stellen Sie das Blockschaltbild dar. _

x1

Spannungsregler kann über Ventilrelais nicht abschalten

x2

Leitung VR hat Kurzschluss gegen Masse

x3

Leitung FSA1 hat Kurzschluss gegen Masse

_ _

_

_

x4

Leitung FSA2 hat Kurzschluss gegen Masse

x5

Kontakt am Ventilrelais verschweißt

_ _

x6

Prozessorfehler an der seriellen Schnittstelle

x7

Softwarefehler Microcontroller 1

x8

Softwarefehler Microcontroller 2

_ _ _

x9 _ x10

Leitung FSA2 hat Kurzschluss gegen Masse Softwarefehler Microcontroller 2

Abb. 5.22. Teilfehlerbaum eines ABS-Steuergeräts

y

Literatur zu Kapitel 5

189

Literatur zu Kapitel 5 [5.1] Barlow R E, Fussel J B, Singpurwalla N D (1975) Reliability and Fault Tree Analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia [5.2] Bronstein I N, Semendjajew K A (2000) Taschenbuch der Mathematik – 5., überarb. und erw. Aufl. Thun, Frankfurt am Main [5.3] Deutsches Institut für Normung (1981) DIN 25424 Teil 1-2 Fehlerbaumanalyse. Beuth, Berlin [5.4] Ericson C (1999) Fault Tree Analysis – A History from the Proceeding of the 17th International System Safety Conference [5.5] Gaede K W (1977) Zuverlässigkeit Mathematischer Modelle. Hanser, München Wien [5.6] Grimms T (2001) Grundlagen Qualitäts- und Risikomanagement. Vieweg [5.7] Malhotra M, Trivedi K S (1994) Power-Hierarchy of Dependability Model Types. In: IEEE Transactions on Reliability, Vol. 43, No. 3, September 1994, pp 493-502 [5.8] Masing W (1994) Deutsche Gesellschaft für Qualität DGQ-Schrift 11-19 Einführung in die Qualitätslehre. DGQ, Frankfurt am Main [5.9] Meyna A (1994) Zuverlässigkeitsbewertung zukunftsorientierter Technologien. Vieweg, Wiesbaden [5.10] Pahl G, Beitz W (2003) Konstruktionslehre: Grundlagen erfolgreicher Produktentwicklung; Methoden und Anwendung. Springer, Heidelberg Berlin [5.11] Schlick G H (2001) Sicherheit, Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit von Maschinen, Geräten und Anlagen mit Ventilen. Expert Verlag. [5.12] Verein Deutscher Ingenieure (1998) VDI 4008 Blatt 2 Boolesches Model. VDI, Düsseldorf [5.13] Vesely W E, Goldberg F F, Roberts N H, Haasl D F (1981) Fault tree handbook. United States Nuclear Regulatory Commission, Washington DC

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Im vorliegenden Kapitel wird zuerst auf die Planung von Lebensdauerversuchen und auf verschiedene Auswertungsstrategien eingegangen. Die wichtigsten Grundsätze für die Vorgehensweisen werden dabei behandelt. Den Schwerpunkt des Kapitels bildet allerdings die Auswertung von Ausfallzeiten, um damit das Ausfallverhalten von Bauteilen und Systemen angeben zu können. Dazu werden durch verschiedene grafische und analytische Methoden die unbekannten Verteilungsparameter bestimmt. Als Lebensdauerverteilung wird im Wesentlichen die Weibullverteilung verwendet, da sie die im Maschinenbau am häufigsten angewendete Verteilung ist. Die für die Auswertung wichtigen „Vertrauensbereiche“ werden ausführlich erläutert. Dies ist notwendig, da man üblicherweise nicht in der Lage ist, die Lebensdauern sämtlicher Teile (statistisch: der Grundgesamtheit) zu erfassen. Nur von einer kleinen Anzahl von Bauteilen kann man im Allgemeinen die Ausfallzeiten ermitteln. In der Statistik wird diese beschränkte Anzahl als Stichprobe aus der Grundgesamtheit bezeichnet, s. Abb. 6.1. Bei der Auswertung erhält man deshalb nur eine Aussage über die Stichprobe. Von Interesse ist aber eine Aussage über die Grundgesamtheit! Besonders bei wenigen geprüften Teilen kann das Ergebnis der Stichprobe von dem tatsächlichen Verhalten der Grundgesamtheit stark abweichen. Hier hilft wieder die Statistik mit ihren „Vertrauensbereichen“ weiter, mit denen die Vertrauenswürdigkeit der Stichprobenergebnisse angegeben werden kann. Das Ausfallverhalten der Grundgesamtheit lässt sich damit abschätzen.

6.1 Planung von Lebensdauerversuchen

191

Ausfallwahrscheinlichkeit

kumulierter Ausfall

Grundgesamtheit Stichprobe

99%

10%

Lebensdauer 95% -Vertrauensgrenze 99%

Vertrauensbereich

10%

5% -Vertrauensgrenze Lebensdauer

Lebensdauer / Grundgesamtheit

Abb. 6.1. Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit

6.1

Planung von Lebensdauerversuchen

Die Planung von Lebensdauerversuchen lässt sich aufteilen in eine versuchstechnisch-messtechnische Planung und eine statistische Prüfplanung. Versuchstechnisch-messtechnische Planung Es gelten hier die üblichen Grundsätze für eine korrekte Versuchsdurchführung. Die wichtigsten dieser Grundsätze sind: x Die Randbedingungen und Grenzwerte müssen genau definiert und eingehalten werden. Das gilt bei Lebensdauerversuchen insbesondere für das Lastkollektiv.

192

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

x Die Messverfahren zur Registrierung und Kontrolle der Randbedingungen müssen einschließlich ihrer Genauigkeit festgelegt werden. Hier gilt, dass nach Möglichkeit mehr Messinformation am Prüfstand gewonnen wird, als man schließlich benötigt. x Werden lange Prüfzeiten erwartet, so sind automatisierte bzw. prozessrechnergesteuerte Messwerterfassungs- und Regeleinrichtungen anzustreben. x Für eine Bestimmung der Lebensdauer ist die genaue Festlegung eines Grenzwertes, bei dem die Sollfunktion nicht mehr erfüllt ist, notwendig. Dies gilt insbesondere dann, wenn der Schaden eine sich stetig ändernde Größe ist, wie z.B. die Leckagemenge bei einer Dichtung. x Die Überwachungseinrichtungen müssen so aufgebaut werden, dass die primäre Ausfallursache auch nach Folgeausfällen ermittelt werden kann. Das ist deshalb wichtig, da jeder Ausfallursache eigene charakteristische Zuverlässigkeitsparameter zuzuweisen sind. Statistische Prüfplanung Bei der statistischen Prüfplanung ist vor allem die Prüflosgröße festzulegen. Die Prüflosgröße steht in engem Zusammenhang mit dem Vertrauensbereich und der Streuung der Messwerte, s. Abschn. 6.2 und 6.3.2. Je weniger Teile geprüft werden, umso größer ist der Vertrauensbereich und umso unsicherer ist damit das Ergebnis der statistischen Auswertung. Für ein genaues Ergebnis müssen deshalb entsprechend viele Bauteile geprüft werden. Dies kann aber den Prüfaufwand enorm erhöhen. Bei der statistischen Prüfplanung ist auch festzulegen, wie die Bestimmung der zu prüfenden Bauteile - die Stichprobenentnahme - erfolgen soll. Die Stichprobe sollte eine wirkliche Zufallsstichprobe sein, d.h. die zu prüfenden Bauteile müssen rein zufällig ermittelt werden. Nur dann ist die Grundbedingung einer repräsentativen Stichprobe gegeben. Als weiterer wichtiger Punkt bei der statistischen Prüfplanung ist eine geeignete Teststrategie festzulegen. Man unterscheidet hierbei zwischen x vollständigen Tests, x unvollständigen (zensierten) Tests und x Strategien zur Testzeitverkürzung. Die statistisch beste Möglichkeit bietet ein vollständiger Test, bei dem sämtliche Bauteile einer Stichprobe einem Lebensdauerversuch unterworfen werden. Es wird hier also bis zum Ausfall des letzten Elementes geprüft. Damit stehen die Ausfallzeiten aller Elemente für die Auswertung zur Verfügung.

6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen

193

Um den Prüfaufwand zu beschränken kann es sinnvoll sein, einen unvollständigen Test durchzuführen, der gelegentlich auch als zensierter Test bezeichnet wird. Hierbei wird nur bis zu einer vorab festgelegten Lebensdauer oder bis zu einer gewissen Anzahl von ausgefallenen Bauteilen geprüft. Derartige Tests sind nicht so aussagekräftig wie vollständige Tests, aber dafür mit einem oft wesentlich geringeren Prüfaufwand verbunden. Eine weitere Möglichkeit für eine starke Testzeitverkürzung bieten der Sudden-Death-Test und Versuche mit einer verschärften Beanspruchung. Auf Verfahren zur Testplanung wird in Kap. 8 ausführlich eingegangen. Im Folgenden wird zuerst auf die grundsätzliche Auswertung von vollständigen Tests eingegangen.

6.2

Ranggrößen und ihre Verteilungen

Die Auswertung von Ausfallzeiten, die in den folgenden Abschnitten behandelt wird, beruht auf der Verteilung von Ranggrößen. Um die Vorgehensweise bei der Auswertung genau verstehen zu können, ist es deshalb sehr wichtig, die Entstehung und die Bedeutung von Ranggrößenverteilungen zu kennen. Allerdings ist die Herleitung der Ranggrößenverteilungen wahrscheinlichkeitstheoretisch etwas aufwendig. Dieser Abschnitt richtet sich deshalb an besonders Interessierte, die die genauen Zusammenhänge verstehen möchten. Ist man dagegen nur an der Auswertung der Ausfallzeiten interessiert, so kann dieser Abschnitt übersprungen werden. Ermittlung von F(t) der ausgefallenen Bauteile Aus Lebensdauerversuchen oder Schadensstatistiken erhält man die Ausfallzeiten der Bauteile bzw. Systeme. Für eine Auswertung mit dem Wahrscheinlichkeitsnetz stehen mit diesen Ausfallzeiten aber lediglich die Abszissenwerte der einzelnen Ausfälle zur Verfügung, nicht aber die Ordinatenwerte. Jedem Ausfall muss also noch eine bestimmte Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) zugeordnet werden. Ein Beispiel soll die Zusammenhänge verdeutlichen: Geprüft wurde eine Stichprobe vom Umfang n = 30 Bauteilen:

Bauteil 1

Bauteil 2

...............

Bauteil 30

194

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Der Versuch ergab 30 unterschiedliche Lebensdauerwerte ti, die entsprechend ihrer Größe geordnet wurden: t1, t2, t3, … t29, t30;

ti < ti+1;

z.B. t1 = 100.000 LW, … t5 = 400.000 LW, … t30 = 3.000.000 LW. Diese geordneten Größen werden als Ranggrößen bezeichnet. Der Index entspricht der Rangzahl. Nach Ausfall der 1. Ranggröße sind 1/30 der Stichprobe ausgefallen. Mit der 2. Ranggröße sind es 2/30 usw. Man könnte nach dieser Betrachtungsweise der 1. Ranggröße entsprechend eine Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) = 1/30 = 3,3% zuordnen, der 2. Ranggröße ein F(t) = 6,7% usw. Dadurch würde sich das Ausfallverhalten der geprüften Bauteile in Form einer Summenhäufigkeit bzw. einer empirischen Verteilungsfunktion, s. Abb. 3.10, darstellen lassen. Zu beachten ist hier allerdings, dass nur die Ausfallzeiten einer einzigen Stichprobe betrachtet werden. Bei einer anderen Stichprobe vom gleichen Umfang ergeben sich natürlich etwas verschiedene Werte, z.B. t1 = 120.000 LW, ... t5 = 350.000 LW, ... t30 = 2.500.000 LW. Für m Stichproben ergibt sich die Matrixstruktur von Abb. 6.2. ϕ(ti)

tn,1

1. Stichprobe vom Umfang n

t1,2

t2,2

....

tn,2

2. Stichprobe vom Umfang n

t1,m

t2,m

....

tn,m

Ranggröße Rangzahl

i=1

i=2

.........

....

.........

t2,1

.........

f(t)

t1,1

m. Stichprobe vom Umfang n

i=n

Abb. 6.2. Ranggrößen von m Stichproben mit Umfang n

Die Ausfallzeit einer Ranggröße, d.h. einer Spalte in Abb. 6.2, schwankt somit in einem gewissen Bereich. Eine Ranggröße ist damit als eine Zufallsvariable aufzufassen, der eine Verteilung zugeordnet werden kann. Im

6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen

195

Gegensatz zu den Lebensdauerverteilungen wird die Dichtefunktion von Ranggrößen mit ij(ti) bezeichnet. Die mathematische Herleitung der Ranggrößenverteilung führt zu einer Multinomialverteilung (Trinomialverteilung), die eine erweiterte Binomialverteilung darstellt [6.2, 6.6, 6.7, 6.8]. Die Ranggrößenverteilung lässt sich deshalb ähnlich wie eine Binomialverteilung theoretisch entwickeln. Ausgangspunkt für die Herleitung ist eine Grundgesamtheit von Bauteilen mit den bekannten Ausfallfunktionen f(t) bzw. F(t). Von dieser Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von n Bauteilen ausgewählt. Betrachtet wird nun die i-te Ranggröße, die in Abb. 6.3 bei der Zeit ti im Bereich 2 liegt. Für einen Versuch mit einem Bauteil ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ausfallzeit in den Bereich 2 fällt gleich f(ti)dt, für den Bereich 1 beträgt die Wahrscheinlichkeit gleich F(ti-0,5dt) und für den Bereich 3 gleich (1F(ti+0,5dt)). Nach Beendigung aller Stichproben-Versuche wird die ite Ranggröße im Bereich 2 liegen, während sich im Bereich 1 (i-1) und im Bereich 3 (n-i) Ausfälle befinden. Für die gesamten Stichprobenversuche dieser einen Stichprobe beträgt deshalb die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Bauteil im Bereich 2 von Abb. 6.3 ausfällt:

M(t i )

F (t i ) i 1 ˜ f (t i ) ˜ >1  F (t i )@ni .

Bereich 1

Bereich 2

(6.1)

Bereich 3

dt

ti - 0,5 dt

ti

ti + 0,5 dt

8

0

Abb. 6.3. Einteilung der Zeitachse in drei Bereiche zur Herleitung der Multinomialverteilung

In der Gl. (6.1) wurde dabei der Grenzübergang dt ĺ 0 vollzogen. Da jedes Bauteil in jedem der drei Bereiche auftreten kann, müssen noch sämtliche Kombinationsmöglichkeiten berücksichtigt werden. Als Dichtefunktion der Ranggrößen ergibt sich schließlich:

M(t i )

n! F (t i ) i 1 ˜ f (t i ) ˜ >1  F (t i )@ni . (i  1)! 1! ( n  i )!

(6.2)

Wie bereits erwähnt bedeuten f(ti) und F(ti) die Dichtefunktion bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit der Ausgangsverteilung an der Stelle ti.

196

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Die Abb. 6.4 zeigt die grafische Darstellung von Gl. (6.2) an einem Beispiel. Als Ausgangsverteilung wurde eine zweiparametrige Weibullverteilung mit den Parametern b = 1,5 und T = 1 verwendet. Man erkennt in Abb. 6.4 sehr deutlich, dass die Ausfallzeiten der Ranggrößen in einem gewissen Zeitbereich mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit streuen. Die 5. Ranggröße streut z.B. zwischen ungefähr 0,1 und 0,7, wobei eine Ausfallzeit von 0,3 (= Modalwert) am häufigsten auftreten wird. Die Extremwerte 0,1 und 0,7 werden dagegen nur mit einer recht kleinen Wahrscheinlichkeit eintreten. Da die Weibullverteilung mit b = 1,5 mit zunehmender Zeit immer kleinere Werte annimmt, werden auch mit zunehmender Rangzahl die Dichtefunktionen ij(ti) flacher. 5

i=5

Dichtefunktion

ϕ 30 (ti)

4

i = 10 3

i = 15 i = 20

2

i = 25 1

0 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Ausfallzeit t

Abb. 6.4. Dichtefunktionen der i-ten Ranggrößen in einer Stichprobe vom Umfang n = 30 (Ausgangsverteilung: zweiparametrige Weibullverteilung mit b = 1,5 und T = 1)

Bei den bisherigen Überlegungen musste die Verteilung der Ausfallzeiten bekannt sein. Bei einer üblichen Auswertung ist dies jedoch nicht der Fall, sondern die Ausfallfunktionen der Ausfallzeiten sollen ermittelt werden. Die gesuchten Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ausfallzeiten müssen Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Keine der Ranggrößen sollte dabei bevorzugt werden, so dass die Ranggrößen etwa gleichmäßig den Ausfallwahr-

6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen

197

scheinlichkeiten von 0 bis 1 zuzuordnen sind. Es hat sich deshalb als zweckmäßig erwiesen, folgende Transformation durchzuführen: F (t i )

F (u )

f (u ) 1,

u,

0  u 1,

(6.3)

0  u  1.

(6.4)

Die Gln. (6.3) und (6.4) beschreiben eine Rechteckverteilung, die die vorstehend genannten Voraussetzungen erfüllt: Die Verteilungsfunktion ist im Bereich 0...1 definiert und durch die konstante Dichtefunktion sind die Ranggrößen als gleichwertig anzusehen. Die Ranggrößen sind deshalb im Intervall 0...1 etwa gleichmäßig verteilt. Durch Einsetzen der Gln. (6.3) und (6.4) in Gl. (6.2) erhält man die gesuchte Dichtefunktion für die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ranggrößen:

M n (u )

n! ˜ u i 1 ˜ (1  u ) n i . (i  1)! (n  i )!

(6.5)

Die Gl. (6.5) entspricht einer Betaverteilung mit der Betavariablen u und mit den Parametern a und b, wobei a = i und b = n-i+1 zu setzen ist [6.6, 6.7]. Die Aussagen von Gl. (6.5) lassen sich durch die Abb. 6.5 grafisch veranschaulichen. Die Abb. 6.5 zeigt für den in Abb. 6.4 dargestellten Fall die Dichtefunktion der Betavariablen u über einem Weibullwahrscheinlichkeitspapier. Wegen der Gl. (6.3) kann die Betavariable u als Ausfallwahrscheinlichkeit F(ti) interpretiert werden. Die Abb. 6.5 zeigt somit sehr deutlich, dass die der i-ten Ranggröße zuzuordnende Ausfallwahrscheinlichkeit F(ti) in einem gewissen Bereich mit der dort angegebenen Dichte streut. Der 25. Ranggröße z.B. müsste eine Ausfallwahrscheinlichkeit von etwa 60% bis 98% zugeordnet werden. Der Modalwert mit 75% wäre in den meisten Fällen die richtige Zuordnung, wogegen die Extremwerte nur in sehr seltenen Fällen für die 25. Ausfallzeit passend wären.

Dichtefunktion ϕ(u)

198

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken i=5

7 6 5 4 3

i = 10 i = 15 i = 20 i = 25

2 1 0,2

Au

sfa llze

90

it t

1

5 2

2 1

Au

s

10

20

ah lw l fa

99

i

% e 50 hk c

in he c rs

) (F i i u t

li

Abb. 6.5. Dichtefunktionen der Betavariablen u für den Fall von Abb. 6.4 (dargestellt für feste Werte ti, die aus dem Medianwert der Weibullverteilung berechnet wurden)

Bei der Auswertung von Ausfallzeiten versucht man jeder Ausfallzeit eine einzige Ausfallwahrscheinlichkeit zuzuordnen und dann durch die in das Weibullwahrscheinlichkeitsnetz eingetragenen Punkte eine Gerade zu legen. Aus dem Streubereich der Ausfallwahrscheinlichkeit muss deshalb ein am besten geeigneter Wert ausgewählt werden. Als guter Schätzwert eignet sich einer der drei Mittelwerte: arithmetischer Mittelwert, Median oder Modalwert. Die Größe dieser Mittelwerte lässt sich aus der Dichtefunktion ij(u) bzw. der Betaverteilung ermitteln: i ; n 1

Mittelwert:

um

Median:

u median |

i  0 ,3 ; n  0,4

(6.7)

Modalwert:

u modal

i 1 . n 1

(6.8)

(6.6)

Für den Median gibt es keine geschlossene Lösung. Die Gl. (6.7) ist deshalb nur eine Näherungslösung. Sehr genaue Werte für den Median sind in der Tabelle A.2 im Anhang enthalten. Es stellt sich nun die Frage, welcher der drei Mittelwerte als Schätzwert für die Ausfallwahrscheinlichkeit F(ti) zu nehmen ist. Bei genauer Be-

6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen

199

trachtung ergibt sich jedoch, dass keiner der drei Maßzahlen der Vorzug vor den anderen zu geben ist. Die Werte unterscheiden sich für große n und nicht zu nahe bei 1 oder n gelegene Ranggrößen i sowieso recht wenig. In der Praxis wird neben der einfachsten Möglichkeit – dem Mittelwert um – vor allem der Median umedian verwendet. Den Ausfallzeiten ti werden damit die Ausfallwahrscheinlichkeiten

F (t i )

i n 1

F (t i ) |

i  0,3 n  0,4

(Mittelwert) oder

(6.9)

(Median)

(6.10)

Dichtefunktion ϕ(u)

zugeordnet. Für i = 25 ergibt sich z.B. als Median F(t25) = 81,3%, s. Abb. 6.6. In 50% der Fälle ist also zu erwarten, dass die tatsächlich zuzuordnende Ausfallwahrscheinlichkeit größer als 81,3% ist. In den restlichen 50% der Fälle liegen die Werte unterhalb von 81,3%. Im Idealfall kann durch die Wertepaare (ti, F(ti)) eine Gerade - die Weibullgerade - gelegt werden, s. Abb. 6.6. i=5

7 6 5 4 3

i = 10 i = 15 i = 20 i = 25

2 1 0,2

Weibullgerade

n dia Me

e M

Au

sfa llze

it t

n dia

n ia ed M

n ia ed M

n ia ed M

1 5

2

2 1

Au

s

10

90

20

ah lw l fa

99

i

% e 50 hk c

in he c rs

) (F i i u t

li

Abb. 6.6. Dichtefunktionen der Ranggrößenausfallwahrscheinlichkeiten mit den Medianwerten und der Weibullgerade

200

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Dichtefunktion ϕ(u)

Vertrauensbereiche Die Zuordnung der Ausfallzeiten zu einem ganz bestimmten Mittelwert ist nicht ganz befriedigend, da die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ranggrößen ja in einem gewissen Bereich streuen können. Die Weibullgerade ist damit nur eine Möglichkeit das Versuchsgeschehen zu beschreiben. Wird der Median zur Ermittlung von F(ti) benutzt, so stellt die Weibullgerade die Gerade dar, die im Mittel die wahrscheinlichste ist. In 50% der Fälle liegen die Ausfallereignisse unterhalb, in 50% der Fälle oberhalb der Weibullgeraden. Möchte man wissen, in welchem Bereich die tatsächliche Gerade zu erwarten ist bzw. wie stark man der Weibullgeraden vertrauen kann, so muss man den so genannten Vertrauensbereich der Weibullgerade ermitteln. Ein Vertrauensbereich wird dabei gekennzeichnet durch die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable in diesem Bereich liegt. Ein 90%-iger Vertrauensbereich z.B. bedeutet, dass in 90 von 100 Fällen die beobachteten Werte in diesem Bereich auftreten. In Abb. 6.7 sind solche 90%-Vertrauensbereiche für die Ranggrößen eingezeichnet. i=5

7 6 5 4 3 2 1 0,2

i = 10 i = 15 i = 20 i = 25 95%-Vertrauensgrenze Weibullgerade

n dia Me

e M

Au

sfa llze

it t

n dia

n ia ed M

1

2

5%-Vertrauensgrenze )i n 99 u i(F ia 0 d 9 e it M % ke 50 ich l 20 ein h 0 1 rsc 5 ah 2 llw a 1 sf Au

n ia ed M

Abb. 6.7. Dichtefunktionen der Ranggrößenausfallwahrscheinlichkeiten und ihre 90%-Vertrauensbereiche

Die Grenzwerte der Vertrauensbereiche können mit dem Integral der Dichtefunktion von Gl. (6.5) berechnet werden. Eine Näherungsformel für die Grenzwerte ist in [6.10] angegeben. Üblicherweise verwendet man aber Tabellen, um die Werte für die Vertrauensgrenzen einzeichnen zu können. In den Tabellen A.1 und A.3 im Anhang sind die Werte für die 5%- und

6.2 Ranggrößen und ihre Verteilungen

201

gr

en

4,0

uens

Weibullgerade

10,0 5,0 3,0 2,0

3,0 2,5 2,0 1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Formparameter b

ze gren

tra

ue

ns

3,5

5%Vert ra

30,0 20,0

%Ve r

63,2 50,0

ze

99,9 % 90,0

95

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

95%-Vertrauensgrenze angegeben. Der Bereich zwischen diesen Vertrauensgrenzen entspricht einem 90%-Vertrauensbereich. Für das Beispiel in Abb. 6.7 ergeben sich z.B. für i = 25 die GrenzAusfallwahrscheinlichkeiten F(t25)5% = 68,1% und F(t25)95% = 90,9%. Durch Verbinden aller Grenzpunkte der verschiedenen Ranggrößen erhält man die Grenzlinie des Vertrauensbereichs über die gesamte Ausfallzeit, s. Abb. 6.7. Im üblichen Weibullwahrscheinlichkeitspapier ergibt sich die Darstellung von Abb. 6.8. Die Weibullgerade der Medianwerte und der Vertrauensbereich lässt sich somit folgendermaßen interpretieren: Die in Abb. 6.8 eingezeichnete Weibullgerade ist im Mittel - über viele Stichproben betrachtet - die wahrscheinlichste.

Pol 1

10

Lebensdauer t·106 LW

0,1 100

Abb. 6.8. Weibullwahrscheinlichkeitspapier zum Beispiel von Abb. 6.7

Bei einer bestimmten Stichprobe kann es jedoch sein, dass die Gerade eine beliebige Lage innerhalb des Vertrauensbereiches einnimmt, s. Abb. 6.9. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ausfallereignisse außerhalb des Vertrauensbereiches liegt, beträgt nur 10%. Dies bedeutet, dass man nur in einem von zehn Fällen dem Vertrauensbereich nicht „vertrauen“ darf. Die Berücksichtigung des Vertrauensbereiches ist besonders bei einem kleinen Stichprobenumfang unerlässlich, da er hierbei einen sehr großen

202

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Bereich umfassen kann. Mit steigendem Stichprobenumfang n wird der Vertrauensbereich immer enger und lässt sich eventuell für n > 50...100 ganz vernachlässigen.

nz e

3,0

9

2,5

rtra -Ve

2,0 1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

Lebensdauer t·106 LW

Formparameter b

tr

er -V 5%

10,0 5,0 3,0 2,0

3,5

au

ns gre

30,0 20,0

4,0

ue

63,2 50,0

e

gr

s en

e nz

5%

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 100

Abb. 6.9. Weibullwahrscheinlichkeitspapier mit Weibullgeraden von verschiedenen Stichproben innerhalb des 90%-Vertrauensbereiches

6.3

Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

Die Vorgehensweise bei der grafischen Auswertung lässt sich am einfachsten an einem Beispiel zeigen. Die einzelnen Auswertungsschritte können dabei genau nachvollzogen und auch auf einen konkreten eigenen Fall übertragen werden. Als Beispiel wurde ein Zahnradgrübchenversuch ausgewählt, der während eines Forschungsvorhabens durchgeführt wurde [6.5]. Insgesamt wurden dabei n = 10 Zahnräder auf Grübchenausfall untersucht. Die Belastung betrug ıH = 1528 N/mm2. Als Ausfallzeiten der Zahnräder ergaben sich in Millionen Lastwechsel und in der Reihenfolge ihres Auftretens: 15,1; 12,2; 17,3; 14,3; 7,9; 18,2; 24,6; 13,5; 10,0; 30,5.

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

203

Die Kenntnis von Ranggrößen und ihren Verteilungen, s. Abschn. 6.2, ist für die grafische Auswertung sehr nützlich und für das genaue Verständnis der Auswertung unumgänglich. Die im Folgenden angegebenen Auswertungsschritte sind allerdings so aufgebaut und erläutert, dass eine Auswertung auch ohne genaue Kenntnis von Ranggrößen durchgeführt werden kann. 6.3.1

Ermittlung der Weibullgeraden (zweiparametrige Weibullverteilung)

Schritt 1.1:

Ausfallzeiten nach ihrer Größe ordnen t1 < t2 ... < tn bzw. ti < ti+1 ;

i = 1...n.

(6.11)

Durch das Ordnen der Ausfallzeiten erhält man einen Überblick über den zeitlichen Verlauf der Ausfallzeiten. Zudem sind die geordneten Ausfallzeiten für die nachfolgenden Auswertungsschritte notwendig. Die geordneten Ausfallzeiten werden in der Statistik als Ranggrößen bezeichnet. Ihr Index entspricht der Rangzahl. Für die Versuchsreihe ergeben sich folgende Ranggrößen (in Millionen Lastwechsel): t1 = 7,9;

t2 = 10,0;

t3 = 12,2;

t4 = 13,5;

t5 = 14,3;

t6 = 15,1;

t7 = 17,3;

t8 = 18,2;

t9 = 24,6;

t10 = 30,5.

Schritt 1.2:

Ausfallwahrscheinlichkeiten F(ti) der einzelnen Ranggrößen ermitteln

F (t i ) |

i  0,3 n  0,4

(6.12)

bzw. die etwas genaueren Werte aus Tabelle A.2 (s. Anhang). Den Ranggrößen ti von Schritt 1.1 werden damit die Ausfallwahrscheinlichkeiten F(ti) zugeordnet. Da Ranggrößen als Zufallsvariablen aufzufassen sind, besitzen sie eine Verteilung. Die Gl. (6.12). entspricht dem Median dieser Verteilung, s. Abschn. 6.2. Für das Beispiel ergeben sich die Ausfallwahrscheinlichkeiten: F(t1) = 6,7%;

F(t2) = 16,3%; F(t3) = 25,9%; F(t4) = 35,6%; F(t5) = 45,2%;

F(t6) = 54,8%; F(t7) = 64,4%; F(t8) = 74,1%; F(t9) = 83,7%; F(t10) = 93,3%.

204

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Schritt 1.3:

Wertepaare (ti, F(ti)) in das Weibullwahrscheinlichkeitspapier eintragen.

Die Ausfallzeit ti entspricht dem Abszissenwert und die zugehörige Ausfallwahrscheinlichkeit F(ti) somit dem Ordinatenwert der einzuzeichnenden Punkte. Die Abb. 6.10 zeigt für das Beispiel die in das Weibullwahrscheinlichkeitspapier eingetragenen Wertepaare. 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

Lebensdauer t·106 LW

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 100

Abb. 6.10. Ausgefallene Zahnräder (Wertepaare (ti, F(ti))) des Beispiels im Weibullwahrscheinlichkeitspapier

Schritt 1.4:

Ausgleichsgerade näherungsweise durch die eingezeichneten Punkte legen und Weibullparameter T und b ermitteln.

Charakteristische Lebensdauer T:

Schnittpunkt der 63,2%-Linie mit der Ausgleichsgeraden.

Formparameter b:

Ausgleichsgerade parallel durch Pol P verschieben und Formparameter b auf der rechten Ordinate des Wahrscheinlichkeitspapieres ablesen.

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0 b

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

T

Lebensdauer t·106 LW

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

205

0,1 100

Abb. 6.11. Ausgleichsgerade und Ermittlung der Parameter T und b

Die Ausgleichsgerade und die Ermittlung der Parameter T und b sind in Abb. 6.11 eingezeichnet. Das Ausfallverhalten der Zahnräder lässt sich somit am besten durch folgende Weibullverteilung beschreiben:

F (t )

§ · t ¸ ¨ ¨ 18 ˜10 6 LW ¸ © ¹ 1 e

2, 7

(6.13) .

In manchen Fällen lässt sich das Ausfallverhalten nur durch zwei oder mehr Geraden annähern, s. Abb. 6.12. Bei einer derartigen Mischverteilung muss für jede Gerade getrennt eine Weibullverteilung ermittelt werden. Das Gesamtausfallverhalten ergibt sich dann aus der Kombination der einzelnen Schadensarten [6.11].

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken 99,9 % 90,0

4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

206

0,1 100

Lebensdauer t·106 LW

Abb. 6.12. Mischverteilung einer ausgefallenen Kupplung (2 Schadensarten: Kupplung verbrannt / Kupplung verschlissen)

6.3.2

Berücksichtigung der Vertrauensbereiche

Ist man in der Lage, von einer Bauteilserie mehrere Stichproben vom gleichen Umfang zu prüfen, so wird die i-te Ranggröße immer etwas unterschiedlich sein. Die Ranggrößen müssen deshalb als Zufallsvariable angesehen werden, die eine Verteilung besitzen, s. Abschn. 6.2. Die in Abschn. 6.3.1 ermittelte Weibullgerade stellt deshalb eine „mittlere“ Weibullgerade dar, die in den meisten Fällen das Ausfallverhalten näherungsweise gut beschreibt. Durch die streuenden Ranggrößen kann sich aber die Lage der Weibullgerade für die unterschiedlichen Stichproben in einem gewissen Bereich verändern. Dieses Streuungsverhalten lässt sich durch die so genannten „Vertrauensbereiche“ berücksichtigen, s. Abschn. 6.2. Mit den Vertrauensbereichen kann von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit geschlossen werden, s. Abb. 6.1. Ein Vertrauensbereich ist gekennzeichnet durch die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable in diesem Bereich liegt. Ein 90%-iger Vertrauensbereich z.B. bedeutet, dass in 90 von 100 Fällen die beobachteten Werte in diesem Bereich auftreten. Ein 90%-iger Vertrauensbereich wird durch die 5%- und 95%-Vertrauengrenze begrenzt.

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

207

Die Ermittlung der Vertrauensgrenzen und des Vertrauensbereiches zeigt der folgende Arbeitsschritt. Schritt 2:

Ausfallwahrscheinlichkeiten F(ti)5% und F(ti)95% mit den Tabellen A.1 und A.3 im Anhang ermitteln und in das Weibullwahrscheinlichkeitspapier eintragen. Ausgleichskurve durch alle F(ti)5% bzw. durch alle F(ti)95% zeichnen. Die Ausgleichskurven entsprechen der 5%- und der 95%Vertrauensgrenze. Der Bereich zwischen diesen Vertrauensgrenzen entspricht einem 90%-Vertrauensbereich.

Für das Beispiel des Zahnradversuches ergeben sich folgende Werte: Tabelle 6.1. Medianwerte und Vertrauensbereiche i

ti

F(ti)5%

F(ti)50% (Median)

F(ti)95%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7,9 10,0 12,2 13,5 14,3 15,1 17,3 18,2 24,6 30,5

0,5 % 3,7 % 8,7 % 15,0 % 22,2 % 30,4 % 39,3 % 49,3 % 60,6 % 74,1 %

6,7 % 16,3 % 25,9 % 35,6 % 45,2 % 54,8 % 64,4 % 74,1 % 83,7 % 93,3 %

25,9 % 39,4 % 50,7 % 60,8 % 69,7 % 77,8 % 85,0 % 91,3 % 96,3 % 99,5 %

Der Vertrauensbereich kann entweder von der Verteilungskurve oder direkt von den einzelnen Punkten abgetragen werden, so dass man entsprechend entweder einen kurvenbezogenen oder einen punktbezogenen Vertrauensbereich erhält. In Abb. 6.13 sind F(ti)5% und F(ti)95% von den Punkten aus als Kreise in das Weibullwahrscheinlichkeitsnetz eingezeichnet. Durch Verbinden aller Kreise der verschiedenen Ranggrößen durch eine Ausgleichskurve erhält man die Grenzlinien der Vertrauensgrenzen über die gesamte Ausfallzeit. Der Bereich zwischen diesen Vertrauensgrenzen entspricht einem 90%Vertrauensbereich.

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

au en sg re nz e

4,0

2,5

10,0 5,0 3,0 2,0

2,0 1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

Lebensdauer t·106 LW

Formparameter b

ren z

3,0

5%Vert rau

30,0 20,0

3,5

e

63,2 50,0

95 %Ve rtr

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

ens g

208

0,1 100

99,9 % 90,0

4,0 bmax 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5 bmin

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Tmax

Pol 1

10

Tmin

Lebensdauer t·106 LW

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

Abb. 6.13. Weibullgerade und 90%-Vertrauensbereich

0,1 100

Abb. 6.14. Vertrauensbereich mit Minimal- und Maximalwerten von T und b

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

209

Die Weibullgerade der Medianwerte und der Vertrauensbereich lassen sich folgendermaßen interpretieren: Die in Abb. 6.13 eingezeichnete Weibullgerade ist im Mittel – über viele Stichproben betrachtet – die wahrscheinlichste. Bei einer bestimmten Stichprobe kann es jedoch sein, dass die Gerade eine beliebige Lage innerhalb des Vertrauensbereiches einnimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ausfallereignisse außerhalb des Vertrauensbereiches liegt beträgt nur 10%. Dies bedeutet, dass man nur in einem von zehn Fällen dem Vertrauensbereich nicht „vertrauen“ darf. Die Minimal- und Maximalwerte der Parameter T und b für einen 90%Vertrauensbereich zeigt Abb. 6.14. Die grafische Auswertung der Versuchswerte liefert somit folgende Parameter für die zweiparametrige Weibullverteilung: Tmin = 15 · 106 LW; bmin = 1,5;

Tmedian = 18 · 106 LW; Tmax = 23 · 106 LW; bmedian = 2,7; bmax = 3,7; Vertrauensbereich: 90%

Der Streubereich der charakteristischen Lebensdauer und des Formparameters kann auch durch einfache Näherungsgleichungen berechnet werden [6.10]. Dadurch kann eventuell der Auswertungsschritt 2 eingespart werden. Für die charakteristischen Lebensdauern Tmin und Tmax lauten die Näherungsgleichungen:

Tmin

Tmax

T5%

T95%

§ 1 1 ·¸ Tmedian ˜ ¨1   1,645 ¨ 9n 9n ¸¹ ©

3 bmedian

§ 1 1 ·¸ Tmedian ˜ ¨¨1   1,645 9n ¸¹ © 9n

,

(6.14)

3 bmedian

(6.15)

(Tmedian: entspricht der in Abb. 6.11 ermittelten charakteristischen Lebensdauer T). Der Streubereich des Formparameters lässt sich näherungsweise ermitteln durch: bmedian , bmin b5% (6.16) 1,4 1 n bmax

b95%

§ 1,4 ·¸ bmedian ˜ ¨¨1  n ¸¹ ©

(6.17)

210

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

(bmedian: entspricht dem in Abb. 6.11 ermittelten Formparameter b). Die Berücksichtigung des Vertrauensbereiches ist besonders bei kleinem Stichprobenumfang unerlässlich, da er hierbei einen sehr großen Bereich umfassen kann. Bei wenigen Versuchswerten ist der Vertrauensbereich als das Maß für den gesuchten Parameter anzusehen. Mit steigendem Stichprobenumfang n wird der Vertrauensbereich immer enger und lässt sich eventuell für n > 50 ... 100 vernachlässigen. 6.3.3

Berücksichtigung der ausfallfreien Zeit t0 (dreiparametrige Weibullverteilung)

Beim Vorhandensein einer ausfallfreien Zeit t0 liegen die Punkte im Weibullwahrscheinlichkeitspapier nicht mehr auf einer Geraden, sondern auf einer nach oben konvexen Kurve, s. Abschn. 2.3.3. Schritt 3.1:

Prüfen, ob sich durch die Punkte im Weibullwahrscheinlichkeitspapier besser eine Ausgleichskurve als eine Ausgleichsgerade legen lässt. Eine Ausgleichskurve deutet auf eine dreiparametrige Weibullverteilung mit einer ausfallfreien Zeit t0 hin. Die ausfallfreie Zeit t0 kann näherungsweise mit den im Folgenden beschriebenen grafischen Verfahren oder genauer mit den analytischen Methoden von Abschn. 6.6 bestimmt werden.

Für das Beispiel zeigt Abb. 6.15, dass mit einer Ausgleichskurve eine gute Annäherung an die Versuchspunkte möglich ist. Es sollte deshalb die dazugehörige dreiparametrige Weibullverteilung ermittelt werden. Eine ausfallfreie Zeit t0 kann aufgrund mehrerer Ursachen auftreten [6.1]. Die wichtigsten Gründe sind: x Es kann prinzipiell vor der Zeit t0 kein Ausfall auftreten. Zum Beispiel muss zur Beschädigung einer Bremsscheibe zuerst der Bremsbelag verschlissen sein. x Es besteht eine zeitliche Verschiebung zwischen Herstellung, Auslieferung und Inbetriebnahme eines Produktes. x Die Entwicklung und Ausbreitung eines Schadens benötigt eine gewisse Zeit, z.B. zur Entstehung von Grübchen beim Zahnradversuch müssen sich erst Risse bilden und ausbreiten. Die Ermittlung der ausfallfreien Zeit t0 kann grafisch nur näherungsweise erfolgen. Eine sehr einfache Schätzung von t0 erhält man durch Verlängern der Ausgleichskurve bis zur Abszisse in Abb. 6.15. In einem gewissen Bereich vor dem Schnittpunkt der Ausgleichskurve mit der Abszisse kann

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

211

die ausfallfreie Zeit t0 angenommen werden, s. Abb. 6.15. Die beste Schätzung für den Parameter t0 erhält man, wenn die korrigierten Ausfallzeiten t ic t i  t 0 eine Gerade im Weibullwahrscheinlichkeitspapier ergeben. 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 100

Lebensdauer t·106 LW

Abb. 6.15. Ausgleichskurve bzw. dreiparametrige Weibullverteilung durch die Versuchspunkte (vgl. Abb. 6.10 und Abb. 6.11)

Schritt 3.2:

Ausgleichskurve in eine Weibullgerade überführen. Dazu Ausfallzeiten transformieren: t ic t i  t 0 . Die beste Schätzung für t0 ergibt sich, falls durch die Wertepaare tic , F (tic ) eine Weibullgerade gelegt werden kann.

Die am besten geeignete ausfallfreie Zeit t0 lässt sich nur iterativ bestimmen. Dazu müssen verschiedene Werte für t0 ausprobiert werden. Für den Zahnradversuch ergab sich dabei als günstigster Wert t0 = 6 Mill. LW, s. Abb. 6.16. Die Parameter der Weibullgeraden in Abb. 6.16 lassen sich wie bei Schritt 1.3 ermitteln. Für die charakteristische Lebensdauer ergibt sich T = 18 Mill. LW und als Formparameter erhält man b = 1,6, s. Abb. 6.16. (Der Formparameter b unterscheidet sich bei einer zwei- und dreiparametrigen Auswertung s. Abschn. 6.3.1 und Abschn. 3.4.1).

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken 4,0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5 Pol

0,1 1

10 T-t0

Formparameter b

212

0,1 100

Lebensdauer (t-t0)·106 LW

Abb. 6.16. „Weibullgerade“ für die um t0 korrigierten Ausfallzeiten

Das Ausfallverhalten der Zahnräder kann somit durch folgende dreiparametrige Weibullverteilung gut beschrieben werden: 1, 6

F (t )

§ t 6 ˜106 LW · ¸ ¨ ¨ (186 ) ˜106 LW ¸ © ¹ 1 e

(6.18) .

Die ausfallfreie Zeit t0 kann auch mit einem Verfahren von Dubey [6.3] näherungsweise berechnet werden. Dieses Verfahren ist recht einfach und schnell anzuwenden. Es wird dabei folgendermaßen vorgegangen: x Durch die Versuchswerte im Weibullwahrscheinlichkeitspapier wird eine Ausgleichskurve gezeichnet, s. Abb. 6.17. x Die Ordinate wird in zwei gleichgroße Abschnitte ' zerlegt und die zugehörigen Lebensdauern t1, t2 und t3 bestimmt. x Mit den in Abb. 6.17 ermittelten Ausfallzeiten t1, t2 und t3 ergibt sich die ausfallfreie Zeit t0 zu: t0

t2 

(t 3  t 2 ) ˜ (t 2  t1 ) . (t 3  t 2 )  (t 2  t1 )

(6.19)

99,9 % 90,0

4,0 3,5 ∆

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5 ∆

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

Pol

0,1 10

213

1

10

2

t1 10 t2 3

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

6.3 Grafische Auswertung von Ausfallzeiten

0,1 105

104t3

Lebensdauer t

Abb. 6.17. Ermittlung der ausfallfreien Zeit nach Dubey [6.3]

Schritt 3.3:

Vertrauensbereiche der dreiparametrigen Weibullverteilung für die korrigierte „Weibullgerade“ (s. Abb. 6.16) wie bei Schritt 2 ermitteln.

Den 90%-Vertrauensbereich für das Beispiel zeigt Abb. 6.18. Es ergeben sich somit insgesamt folgende Werte für die Parameter der dreiparametrigen Weibullverteilung: Tmin = 13 · 106 LW; Tmedian = 18 · 106 LW; bmin = 0,8; bmedian = 1,6; t0 = 6 Mill. LW; Vertrauensbereich: 90%.

Tmax = 25 · 106 LW; bmax = 2,5;

Ein Vertrauensbereich für die ausfallfreie Zeit t0 lässt sich nur mit den analytischen Methoden von Abschn. 6.6 berechnen.

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 1

10 Tmin-t0

Tmax-t0

Formparameter b

214

0,1 100

Lebensdauer (t-t0 )·106 LW

Abb. 6.18. Vertrauensbereich für die „Weibullgerade“ und die Verteilungsparameter

Bei dem als Beispiel ausgewählten Versuch kann wegen des geringen Versuchsumfanges von n = 10 keine eindeutige Entscheidung für eine zweioder eine dreiparametrige Weibullverteilung getroffen werden. Beide Verteilungsarten sind nach der durchgeführten Auswertung möglich. Nur falls bekannt ist oder angenommen werden kann, dass es eine ausfallfreie Zeit gibt, sollte die dreiparametrige Weibullverteilung verwendet werden. In allen anderen Fällen sollte man sich auf eine zweiparametrige Weibullverteilung beschränken, da sie im Anfangsausfallbereich eine konservativere Beschreibung liefert.

6.4

Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

Der Prüfaufwand kann, wie in Abschn. 6.1 beschrieben, durch unvollständige Tests oder durch Strategien zur Testzeitverkürzung erheblich verringert werden. Einige häufig verwendete Verfahren und Methoden werden in diesem Kapitel vorgestellt. Eine Übersicht der Verfahren zur Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten zeigt Tabelle 6.2.

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

215

Tabelle 6.2. Zusammenstellung zur Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten Datenart

Zensierungstyp

Vollständige Keine Daten Zensierung r=n

Zensierung Typ I oder Typ II

Unvollständige Daten r
Multiple Zensierung

Bezeichnungen: r = Anzahl der Ausfälle n = Stichprobenumfang

Merkmal

Verfahren

Alle Einheiten sind ausgefallen

Median-Verfahren i  0,3 Fi | i 1(1)n n  0,4

Lebensdauermerkmale (z.B. Laufzeiten) aller nicht ausgefallenen Einheiten sind größer als das Lebensdauermerkmal der zuletzt ausgefallenen Einheit r Die Lebensdauermerkmale der nicht ausgefallenen Einheiten sind nicht bekannt

Median-Verfahren i  0,3 Fi | i 1(1)r n  0,4

Sudden-Death Verfahren

Verfahren zur Berücksichtigung noch nicht eingetretener Ereignisse (Auswertung bei variablen Bedingungen) Informationen über die Verfahren zur Berücknichtausgefallenen sichtigung noch nicht Einheiten liegen in eingetretener EreignisForm einer „Laufleis- se aus der Fahrstretungsverteilung” vor ckenverteilung Die Lebensdauermerkmale der nicht ausgefallenen Einheiten sind bekannt

s. Abschn. 6.3

6.4.1

6.4.3

6.4.3.2

6.4.3.3

216

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

6.4.1

Zensierung Typ I und Typ II

Prüfobjekt Nr.

Wird (beispielsweise) ein Prüfstandsversuch abgebrochen, bevor alle n Prüflinge ausgefallen sind, so liegt eine „unvollständige Stichprobe“ vor. Erfolgt der Abbruch (Versuchsstopp) nach einer vorgegebenen Zeit, so spricht man von Typ I-Zensierung, s. Abb. 6.19 darin markiert „x“ einen Ausfall. Objekte Nr. 4 und Nr. 5 erreichen das Versuchsende ohne Ausfall. Man kennt in diesem Fall also nur die Ausfallzeiten von r < n Prüflingen. Von den übrigen n - r „Durchläufern“ ist lediglich bekannt, dass sie beim Abbruch des Versuches noch intakt waren. Die Anzahl r der Ausfälle ist eine Zufallsgröße, sie ist vor dem Versuch nicht bekannt.

×

6 5 4 3 2 1

×

× ×

Zeit (bzw. Lebensdauermerkmal)

Abb. 6.19. Schema zur Typ I-Zensierung.

Prüfobjekt Nr.

Wird der Versuch abgebrochen, nachdem eine vorgegebene Anzahl r von Prüflingen ausgefallen ist, so spricht man von Typ II-Zensierung, s. Abb. 6.20. Versuchsstopp ist hier nach 4 Ausfällen. Die Objekte Nr. 3 und Nr. 4 erreichen das Versuchsende ohne Ausfall. In diesem Fall ist der Zeitpunkt des r-ten Ausfalls eine Zufallsgröße, die Gesamtversuchsdauer folglich bis zum Versuchsende offen.

×

6 5 4 3 2 1

×

×

×

Zeit (bzw. Lebensdauermerkmal)

Abb. 6.20. Schema zur Typ II-Zensierung.

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

217

In beiden Fällen (Typ I- und Typ II-Zensierung) kann eine Auswertung, wie im vorangegangenen Abschn. 6.3 beschrieben, vorgenommen werden. Dabei werden die Summenhäufigkeiten für die Eintragung im Weibullnetz nach der Näherungsformel F (t j ) |

i  0,3 n  0,4

für i = 1, 2, ... , r

berechnet. Die Tatsache, dass n - r Prüflinge nicht ausgefallen sind, wird also dadurch berücksichtigt, dass in der Näherungsformel n und nicht r im Nenner auftritt. Bei der Auswertung von Versuchen mit Typ-I oder Typ-II Zensierung ist es meist notwendig, zur Abschätzung der charakteristischen Lebensdauer T die Ausgleichsgerade im Weibullnetz über den Zeitpunkt des letzten Ausfalles hinaus zu extrapolieren. Dies ist grundsätzlich problematisch, sofern weitere Ausfallmechanismen nicht ausgeschlossen werden können. Im Zweifelsfall darf sich also eine statistische Aussage über das Ausfallverhalten nur auf die Zeit zwischen kleinster und größter beobachteter Lebensdauer beziehen. (s.a. nachfolgenden Hinweis) Hinweis zur Extrapolation im Weibullnetz Der vorstehende Hinweis lässt sich verallgemeinern: Sowohl bei vollständigen als auch bei unvollständigen Stichproben liefert eine Auswertung im Weibullnetz Informationen über das Ausfallverhalten, die auf den Bereich zwischen kleinstem und größtem Wert des Lebensdauermerkmals beschränkt sind. Sofern bzgl. des Ausfallverhaltens unterhalb des ersten bzw. oberhalb des letzten Werts keine weitere Information vorliegt, ist es grundsätzlich problematisch, über den Bereich der eingetragenen Punkte hinaus (nach oben oder nach unten) zu extrapolieren. Beispiel: Zensierung Typ I oder Typ II

Grundgesamtheit Anzahl der Ausfälle

n=6 r=4

Ausfallwahrscheinlichkeit:

Fi

Rangzahlen i Ranggrößen ti Ausfallwahrsch. Fi

1 900 10,94%

r o n f t F (t i ) |

2 1300 26,26%

i  0,3 i 1(1) r n  0,4

3 1900 42,19%

4 2300 57,81%

5 ?

6 ?

218

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Grafik (Weibullnetz): 99,9

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

% 90,0 63,2 50,0 30,0 20,0 10,0 5,0 3,0 2,0 1,0 102

103

t1 t2 t3 t4

104

Lebensdauer t

Abb. 6.21. Beispiel zur Extrapolation im Weibullnetz

6.4.2

Multiple Zensierung

Bei Lebensdauertests kommt es häufig vor, dass Prüfobjekte vor dem Ausfall aus dem Versuch herausgenommen werden müssen. Anders als bei der Typ I-Zensierung, bei der die bis zum Teststopp überlebenden Durchläufer alle zum gleichen (geplanten) Zeitpunkt aus dem Versuch genommen werden, können sich dabei unterschiedliche (zufällige) Zeitpunkte der „Herausnahme“ ergeben (multiple Zensierung, engl. multiply censored data), s. Abb. 6.22, „x“ markiert darin einen Ausfall. Der Pfeil bedeutet, dass das Objekt bis zum Zeitpunkt seiner Herausnahme aus dem Versuch bzgl. des betrachteten Ausfallmechanismus intakt war. Dieser Fall tritt insbesondere dann auf, wenn Erzeugnisse bzgl. der Ausfallart A (z.B. Ausfall einer elektronischen Komponente) untersucht werden sollen, der Ausfall aber auch wegen Ausfallart B (z.B. mechanischer Defekt) erfolgt.

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

×

6

Prüfobjekt Nr.

219

5 4

×

3 2

×

1

Zeit (bzw. Lebensdauermerkmal)

Abb. 6.22. Schema zur Veranschaulichung der multiplen Zensierung.

6.4.3

Sudden-Death-Test

Beim Sudden-Death-Test wird eine Stichprobe in eine Anzahl m von gleich großen Prüflosen aufgeteilt, Abb. 6.23. Bei einer Stichprobe mit n = 30 Teilen z.B. in m = 6 gleich große Prüflose mit jeweils k = 5 Teilen: Stichprobe:

1

2 . . . . . . . . . . .30 .

Prüflos 1:

1

2

3

4

5

2

(Ausfallzeit tT 2)

Prüflos 2:

6

7

8

9

10

8

(Ausfallzeit tT 8)

Prüflos 3:

11

12

13

14

15

14

(Ausfallzeit tT 14)

Prüflos 4:

16

17

18

19

20

18

(Ausfallzeit tT 18)

Prüflos 5:

21

22

23

24

25

25

(Ausfallzeit tT 25)

Prüflos 6:

26

27

28

29

30

27

(Ausfallzeit tT 27)

Abb. 6.23. Aufteilung der Stichprobe in Prüflose beim Sudden-Death-Test

Die Teile jedes Prüfloses werden nun gleichzeitig so lange getestet, bis jeweils das erste Teil ausgefallen ist. Dazu sind entsprechend viele Versuchseinrichtungen nötig (in unserem Beispiel 5) oder die Versuche werden intervallartig durchgeführt (z.B. jedes Bauteil mit jeweils x Stunden). Nach dem Ausfall eines Prüflosteiles werden die restlichen Teile des Prüf-

220

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

loses nicht weiter geprüft. Man erhält somit für alle Prüflose die Laufzeit des ersten ausgefallenen Teils, Abb. 6.23, rechts. Die Ausfälle werden anschließend in steigender Reihenfolge der Ausfallzeiten geordnet:

tT 8  tT 27  tT 14  tT 2  tT 18  tT 25 bzw.

(6.20)

t1  t 2  t3  t 4  t5  t 6 .

(6.21)

Die weitere Auswertung kann auf zwei Arten erfolgen. Zum einen kann jeder ermittelten Ausfallzeit eine hypothetische Rangzahl zugeordnet werden, die die nicht schadhaften Teile mit berücksichtigt. Die kürzeste Ausfallzeit tT8 in Gl. (6.20) entspricht auch der kürzesten Ausfallzeit in der gesamten Stichprobe. Für die zweitkürzeste Ausfallzeit tT27 gilt jedoch nicht, dass sie in allen Fällen der zweitkürzesten Ausfallzeit der Stichprobe entspricht. Es ist durchaus möglich, dass im Prüflos 2 nach der Ausfallzeit tT8 das nächste Teil bei einer Zeit ausgefallen wäre, die geringer ist als tT27. Die zu ermittelnde hypothetische Rangzahl berücksichtigt diese Zusammenhänge. Die korrigierte mittlere Rangzahl berechnet sich wie folgt: Die mittlere Rangzahl j(tj) ist gleich der vorherigen Rangzahl j(tj-1) plus Zuwachs N(tj): j (t j )

j (t j 1 )  N (t j ) ;

j ( 0)

0.

(6.22)

Der Zuwachs N(tj) wird berechnet aus: N (t j )

n  1- j (t j-1 ) 1  (Anzahl der nachfolgenden Teile)

.

(6.23)

Unter der Anzahl der nachfolgenden Teile versteht man die Anzahl der noch folgenden Prüflinge einschließlich des betrachteten ausgefallenen Prüflings. Daher kann N(tj) auch folgendermaßen ermittelt werden

N (t j )

n  1 - j (t j-1 ) 1  (n - davorliegende Teile)

.

Für unser Beispiel gilt somit: j1 = j0 + N1; j0 = 0;

N1 =

30  1  0 31 = = 1,0 1  30  0 31

j1 = 0 + 1,0 = 1,0 j2 = j1 + N2; j1 = 1,0; N2 = j2 = 1,0 + 1,15 = 2,15

30  1  1,0 30 = = 1,15 26 1  30  5

(6.24)

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

j3 = j 2 + N 3 ;

221

30  1  2,15 28,85 = = 1,37 1  30  10 21

j2 = 2,15; N3 =

j3 = 2,15 + 1,37 = 3,52 usw.. Die Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeiten erfolgt mit der bekannten Gl. (6.10) für den Median von Ranggrößen: F (t j ) |

j (t j )  0,3 n  0,4

.

(6.25)

Die weitere Vorgehensweise entspricht einer normalen Auswertung im Weibullwahrscheinlichkeitsnetz. Ein einfacheres Auswerteverfahren kann direkt mit Hilfe des Weibullnetzes durchgeführt werden. Die Lebensdauerwerte werden, wie im vorherigen Verfahren, in aufsteigender Reihenfolge geordnet, Gl. (6.21), und ins Weibullwahrscheinlichkeitspapier eingetragen. Jedem dieser ersten Ausfälle wird dabei der Median der Ranggrößen F (t i ) |

i  0,3 m  0,4

(6.26)

zugeordnet, Abb. 6.24, wobei m die Anzahl der Prüflose ist. Im Wahrscheinlichkeitspapier ergibt sich dadurch die Gerade der ersten Ausfälle. Die Theorie besagt nun, dass die Steigung der Geraden bzw. der Formparameter b bei einer Weibullfunktion sowohl bei einer Teilmenge einer Stichprobe als auch bei der gesamten Stichprobe gleich ist. Dies bedeutet, dass die Steigung der ersten Ausfälle auch dem Formparameter der Gesamtverteilung entspricht, der damit gefunden wäre. Zur genauen Darstellung des Ausfallverhaltens muss die Gerade noch nach rechts verschoben werden. Die Größe dieser Verschiebung ergibt sich aus der Tatsache, dass dem ersten Ausfall eines Prüfloses eine Ausfallwahrscheinlichkeit von F1* = 0,7 / (k + 0,4) zuzuordnen ist und dass als repräsentativer Wert für diesen ersten Ausfall der Median (50%-Wert) der ermittelten ersten Ausfälle genommen wird. Durch den Schnittpunkt der 50%-Linie mit der Geraden der ersten Ausfälle wird deshalb eine senkrechte Linie gezogen, deren Schnittpunkt mit der F1*-Linie des ersten Ausfalls einen Punkt der Geraden der Gesamtverteilung ergibt. Die Gerade der ersten Ausfälle muss nun nur noch parallel durch diesen Punkt verschoben werden, Abb. 6.24. Im obigen Beispiel, mit k = 5, ergibt sich F1* = 12,9%.

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

St ich p

ge Ge ra de d

B12,9

10,0 5,0 3,0 2,0

3,0 2,5

er

30,0 20,0

3,5

2,0 1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1

Pol 0,1

1

10

Formparameter b

ed

B50

ten

er

63,2 50,0

ro b

1. Au sf ä lle

e

4,0

Ge ra d

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

sa m

222

0,1 100

Laufzeit t

Abb. 6.24. Grafische Auswertung eines Sudden-Death-Tests

Der Sudden-Death-Test lässt sich auch auf Feldversuche anwenden, indem alle ausgelieferten Maschinen in gleich große Prüflose eingeteilt werden [6.4, 6.12, 6.14]. Die Anzahl der Prüflose ergibt sich aus der Summe der Ausfälle erhöht um einen, wodurch die nicht ausgefallenen Einheiten vor dem ersten Ausfall mit berücksichtigt werden. Die Prüflosgröße ergibt sich dann zu: n  n f t k 1. (6.27) n f t  1 Dabei ist k die Prüflosgröße, n die Anzahl aller im betrachteten Zeitpunkt ausgelieferten Maschinen und nf (t) die Zahl der davon ausgefallenen. Die Auswertung erfolgt dann wie oben angegeben. 6.4.3.1 Anwendung „Sudden Death Testing“ bei Feldausfällen, wenn keine Angaben zu nicht ausgefallenen Teilen vorliegen

Auch bei der Auswertung von Felddaten geht man gedanklich von der Einteilung der Grundgesamtheit in gleich große Prüflose aus [6.13]. Weil sich jedoch die z.B. aus einem bestimmten Produktionsabschnitt (1 Monat) im Feld befindlichen Fahrzeuge nicht so einfach gruppenweise beobachten

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

223

lassen wie ein kleiner Teileumfang im Labor, wird hier von einer berechneten, fiktiven Prüflosgröße ausgegangen. Beispiel: Gegeben:

n = 4800

Teile eines Produktionsmonats, die an Kunden ausgeliefert wurden n f (t ) = 16 ausgefallene Teile liegen mit ihren Fahrstrecken vor. Nämlich: t f 1 = 1.500 km mit (Summenhäufigkeit: 4,2% aus Tabelle A.2 für n = 16) t f 2 = 2.300 km

t f 3 = 2.800 km

t f 4 = 3.400 km

t f 5 = 3.900 km

t f 6 = 4.200 km

t f 7 = 4.800 km

t f 8 = 5.000 km

t f 9 = 5.300 km

t f 10 = 5.500 km

t f 11 = 6.200 km

t f 12 = 7.000 km

t f 13 = 7.600 km

t f 14 = 8.000 km

t f 15 = 9.000 km

t f 16 = 11.000 km (Summenhäufigkeit: 95,8% aus Tabelle A.2 für n = 16)

Die Teilemenge k (entspricht der Prüflosgröße) wird errechnet aus k

n  n f t n f t  1

Hinweis: Die einfachere Formel k

1.

(6.28)

n ist auch ausreichend und n f t  1

führt annähernd zum gleichen Ergebnis. Für das Beispiel ist

k

4800  16 1 16  1

4784  1 281,4  1 Ÿ k | 282 . 17

Es gibt also 281 nicht ausgefallene Teile zwischen den einzelnen Ausfällen, nämlich vor dem 1. Ausfall, zwischen dem 1. und 2., 2. und 3 … und nach dem 16. Ausfall. Gleichzeitig wird angenommen, dass über eine gleich große Teileanzahl bis zum 1. Ausfall nichts bekannt ist, so dass unentschiedene Fälle angenommen werden. Wie im vorangegangenen Abschnitt wird auch hier jeder 1. Ausfall 1  0,3 durch den Medianrang ˜ 100 % 0,25 % für k 282 in der k  0,4 Grundgesamtheit n = 4800 Teile repräsentiert.

224

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Die Anzahl der nicht schadhaften Teile ist angenähert

¦ ns (t ) m ˜ (k  1) mit m Ÿ ¦ n s (t ) 4777 ,

17 und k

282 ,

genau: 4800 – 16 = 4784. Die Grundgesamtheit ist angenähert n

¦k

m ˜ k mit m

17 und k

282 ,

Ÿ n 4794 genau: 4800. Die Gerade der Gesamtausfallverteilung der 4800 Teile findet man, indem man vom Schnittpunkt der 50%-Linie mit der „Geraden der ersten Ausfälle” eine Senkrechte zeichnet. Im Schnittpunkt der 0,25%-Linie mit der Senkrechten wird eine Parallele zur „Geraden der ersten Ausfälle” gezeichnet. Das ist die gesuchte Gerade der Gesamtausfallverteilung, s. Abb. 6.25. 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,25% 0,25% 0,2

0,5

0,1 3 10

Pol Pol

104

105

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 106

Lebensdauer t in km

Abb. 6.25. Gesamtausfallverhalten für das Sudden-Death-Testing

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

225

Auswerteverfahren bei variablen Bedingungen Im Prinzip kann das in Abschn. 6.4 beschriebene Verfahren auch für variable Bedingungen angewandt werden, wenn es nicht möglich ist, gleich große Prüflose zu bilden, die unter gleichen Bedingungen getestet werden [6.13]. Für dieses Auswerteverfahren muss auch für die nicht schadhaften Teile der Wert des Lebensdauermerkmales bekannt sein. Das folgende Beispiel beschreibt die Berechnung der Ausfallverteilung für den Fall, dass das Lebensdauermerkmal der schadhaften und nicht schadhaften Teile bekannt ist. Bei Kraftfahrzeugen kann man sich die Kenntnis über das Lebensdauermerkmal der nicht schadhaften Fahrzeuge/Bauteile auch aus der Fahrstreckenverteilung der Fahrzeuge errechnen. 6.4.3.2 Bekannte Einzeldaten schadhafter und nicht schadhafter Teile – Stichprobe

Die untenstehende Auswertung zeigt die Berechnung der Ausfallverteilung für den Fall, dass die Lebensdauermerkmale der schadhaften und nicht schadhaften Teile bekannt sind [6.13]. Gegeben sind folgende Daten: n 50 Stichprobenumfang mit n f (t ) 12 schadhaften und ns (t ) 38 nicht schadhaften Teilen. Die zugehörigen Fahrstrecken [km · 103] der schadhaften f und nicht schadhaften s Teile sind in aufsteigender Reihenfolge sortiert: t s1

40;

ts2

51; t f1

54; t f 2

55; t s3

58; t s 4

59; t s5

59;

t f3

60; t s 6

60; t f 4

61; t s 7

62; t f 5

63; t f 6

65; t s8

66;

t s9

66; t f 7

67; t f 8

70; t s10

70; t s11

70; t s12

70; t s13

70;

t f9

71; t s14

72; t s15

72; t s16

72; t s17

72; t s18

72; t s19

73;

t s 20

73; t s21

73; t s22

74; t f10

75; t s23

77; t s 24

78; t s 25

78;

t s26

79; t s 27

80; t s28

81; t s 29

81; t s30

82; t s31

82; t s32

83;

t f11

84; t s33

85; t s34

86; t s35

86; t s36

88; t f12

91; t s37

92;

ts38

92.

Die vorsortierten Fahrstreckenwerte werden schrittweise einander zugeordnet, nämlich die der nicht schadhaften Teile denen der schadhaften, Tabelle 6.3. Das geschieht so, dass der Wert eines nicht schadhaften Teiles in der Zeile des nächst höheren Wertes der schadhaften Teile notiert wird,

226

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

wenn er kleiner ist als dieser, oder in dieselbe Zeile, wenn er gleich groß ist. Das gilt auch für mehrere nicht schadhafte Teile. Nach dem Zwischenschritt bei der Zuordnung zur besseren Verdeutlichung erfolgt die endgültige Form der tabellarischen Aufbereitung der schadhaften und nicht schadhaften Teile in Tabelle 6.3. Tabelle 6.3. Zwischenschritt bei der Zuordnung (Gruppierung der Fahrstreckenwerte) [6.13]

Ordnungszahl j

1 2

3 4 5

Aufsteigende Reihenfolge des Merkmals tj [km · 103] 40 51 54 55 58 59 59 60 60 61 62 63 . . . usw.

schadhaft

nicht schadhaft

Anzahl der davor liegenden Teile

X X X X

2 3 X X X

X

7 X

X

9 X

X . . . usw.

11 . . . usw.

Die Werte ts37 und ts38 können den schadhaften Teilen nicht zugeordnet werden, weil entsprechende gleich große oder sogar größere Werte von schadhaften Teilen nicht vorliegen. Sie werden bei dieser Rechnung dadurch berücksichtigt, dass mit n = 50 und nicht (!) mit n = 48 (= 12+36) gerechnet wird. Die nächsten Schritte umfassen die Berechnung der mittleren Ordnungszahl und damit die des Medianranges. Dabei wird der rechnerische Ablauf nur für die ersten Schritte erläutert. Die komplette Berechnung ist analog durchzuführen.

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

227

Berechnung der mittleren Ordnungszahl j(tj) Die mittlere Ordnungszahl j(tj) ist gleich der vorherigen Ordnungszahl j(tj-1) plus der Anzahl der Ausfälle nf (tj) mal dem Zuwachs N(tj) j (t j )

N (t j )

j (t j 1 )  [n f (t j ) ˜ N (t j )] ,

(6.29)

n  1  j (t j 1 ) 1  Anzahl der noch folgenden Teile

.

(6.30)

Die Anzahl der noch folgenden Teile ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Stichprobenumfang n und der Anzahl aller davorliegender Teile, s.a. hierzu Tabelle 6.3:

N (t j )

n  1  j (t j 1 ) 1  (n  davorliege nde Teile)

.

(6.31)

Für dieses Beispiel – hier ist zufällig immer nf (tj) = 1 – gilt: j1

j0  N1 mit j 0

0.

(6.32)

Daraus folgt: 50  1  0 51 N1 1,04 1  (50  2) 49 j1 0  1,04 1,04 50  1  1,04 49,95 j 2 j1  N 2 mit N 2 1,04 1  (50  3) 48 j 2 1,04  1,04 2,08 50  1  2,08 48,92 j3 j2  N3 mit N 3 1,11 1  (50  7) 44 j3 2,08  1,11 3,19 usw. j 4  j12 . Berechnung der Medianränge F(tj) [%] Die Berechnung erfolgt mit der Näherungsformel:

FMedian (t j ) |

j (t j )  0,3 n  0,4

˜ 100% .

(6.33)

228

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Auf die konkreten Zahlenwerte des Beispiels bezogen ergibt sich: j  0,3 1,04  0,3 FMedian (t1 ) | 1 ˜ 100% ˜ 100% 1,47% n  0,4 50  0,4 j  0,3 2,04  0,3 FMedian (t 2 ) | 2 ˜ 100% ˜ 100% 3,53% n  0,4 50  0,4 j  0,3 3,19  0,3 FMedian (t 3 ) | 3 ˜ 100% ˜ 100% 5,73% n  0,4 50  0,4 usw. FMedian (t 4 )  FMedian (t12 ) . Die nachfolgende Tabelle enthält sämtliche errechneten Werte. Tabelle 6.4. Ergebnisse der Auswertung [6.13]

Berechnung Ord- AufsteiAnzahl nungs gende der zahl Reihen- schadhafj folge des ten Teile Merkmals n f (t j ) [km ·103] tj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

54 55 60 61 63 65 67 70 71 75 84 91 >91

Anzahl der nicht schadhaften Teile ns (t j )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 3 7 9 11 12 15 16 21 31 42 47

3 1 1 2 4 9 10 4 2

n f (t ) 12 ns (t )

n

50

Anzahl Zuwachs Mittlere Mediandavor Ord- rang [%] liegen- N (t j ) nungs- FMedian (t j ) der zahl Teile j (t j )

38

1,04 1,04 1,11 1,14 1,16 1,17 1,23 1,23 1,4 2,02 4,28 8,54

1,04 2,08 3,19 4,33 5,49 6,66 7,89 9,12 10,52 12,54 16,82 25,36

1,47 3,53 5,73 7,99 10,31 12,62 15,07 17,51 20,28 24,30 32,77 49,73

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

229

Die errechneten Medianränge FMedian(tj) bilden zusammen mit den Lebensdauerwerten tj die Koordinaten der Punkte im Lebensdauernetz nach Weibull, deren Ausgleichsgerade die Lebensdauergerade ist, Abb. 6.26. 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1 10 3

Pol Pol

10 4

10 5

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 10 6

Lebensdauer t in km

Abb. 6.26. Weibulldiagramm mit bekannten Einzeldaten schadhafter und nicht schadhafter Teile

Ihre Parameter sind: x Formparameter x Charakteristische Lebensdauer x Mittlere Lebensdauer

b = 6,4 T = 92 ‚ 10³ km MTTF = 91 ‚ 10³ km.

Die beiden Beispiele haben sich aus in der Praxis angefallenen Daten ergeben und betreffen das gleiche Bauteil. Es wird deutlich, dass mit einer wesentlich kleineren Stichprobe ( n d 50 ) von schadhaften und nicht schadhaften Teilen das gleiche Ergebnis berechnet werden kann, wie mit einer recht großen Stichprobe ( n 360 ) nur schadhafter Teile. Dadurch ergeben sich wesentliche zeitliche Verkürzungen bei der Datenbeschaffung und bei der Rechnung. Die Beispiele zeigen aber auch, dass bei der Betrachtung von nur schadhaften Teilen Stichprobenumfänge der genannten Größenordnung vorlie-

230

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

gen sollten, um ein Ergebnis mit großer Aussagewahrscheinlichkeit zu erhalten. Für Stichproben mit n t 50 (schadhafte und nicht schadhafte Teile) werden die angefallenen Daten sinnvollerweise einer Klassierung unterzogen. Die Berechnung der Ordnungszahlen und Medianränge erfolgt wie oben beschrieben. 6.4.3.3 Berechnen des Ausfallverhaltens mit nicht schadhaften Teilen aus der Fahrstreckenverteilung

Die Vorgehensweise dazu ist in diesem Abschnitt anhand eines Beispiels aus der Praxis beschrieben. Auf besondere Punkte bei der Beschaffung und Aufbereitung der Daten wird hingewiesen, mögliche Grenzen des Verfahrens werden genannt [6.13]. Bei entsprechenden Abschätzungen des Ausfallverhaltens von Bauteilen und Aggregaten für den Nachgarantiezeitraum muss sinnvollerweise mit repräsentativen Stichproben schadhafter und nicht schadhafter Teile gearbeitet werden. Die mengenmäßige Erfassung und statistische Zuordnung der Einzelwerte nach dem Lebensdauermerkmal, in der Regel die Fahrstrecke in Kilometern, bereitet hier für die nicht schadhaften Teile kein Problem. Innerhalb des Gewährleistungszeitraumes kann auf die Bildung repräsentativer Stichproben verzichtet werden, da die Kenntnis über die Anzahl der schadhaften Teile umfassend und vollständig ist. Problematisch ist lediglich die Informationslücke in Bezug auf die nicht schadhaften Teile. Wenn es also gelingt, diese Lücke zu schließen, ist verhältnismäßig frühzeitig eine Trendaussage zum Langzeitverhalten von Bauteilen und Aggregaten möglich. Liegt für die Fahrzeuge, in denen das betreffende Bauteil oder Aggregat verbaut wurde, eine Fahrstreckenverteilung vor, so ist die Berechnung des Anteils der nicht schadhaften Teile pro Fahrstreckenintervall möglich. Im nachfolgenden Beispiel sind die Angaben zu den schadhaften Teilen vollständig vorhanden, während für die nicht schadhaften Teile nur die Gesamtzahl bekannt ist. Für die Berechnung der Anzahl nicht schadhafter Teile je Fahrstreckenintervall kann die Fahrstreckenverteilung auf die Gesamtmenge der Teile (schadhafte plus nicht schadhafte) bezogen werden. Die Einzelmengen nicht schadhafter Teile erhält man dann durch Subtraktion der Anzahl schadhafter Teile von der Gesamtzahl je Fahrstrecke. Der Einfachheit halber liegt es jedoch nahe, die Fahrstreckenverteilung nur auf die Menge der nicht schadhaften Teile zu beziehen und daraus für diese die fehlenden Einzelwerte je Fahrstrecke zu errechnen. Für diese

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

231

Vereinfachung sollte die Anzahl der fehlerhaften Fahrzeuge deutlich kleiner sein als die der zugelassenen. Die praktische Vorgehensweise wird mit Daten aus der Praxis für ein Nutzfahrzeugbauteil gezeigt. Beispiel: Aus nFzg = 3780 zugelassenen Fahrzeugen werden die Schadensfälle aus dem Gewährleistungszeitraum in aufsteigender Fahrstreckenreihenfolge nach Klassen geordnet (Tabelle 6.5, erste Spalte). Da die Fahrstreckenklasse 20.000... 24.000 km durch kein Schadensteil besetzt ist, entfällt sie in der weiteren Betrachtung. Aus der als bekannt vorausgesetzten Fahrstreckenverteilung im logarithmischen Wahrscheinlichkeitspapier nach Gauß (Abb. 6.27) wird nun der Anteil der nicht schadhaften Teile in den einzelnen Fahrstreckenklassen errechnet. Für die Obergrenze dieser Fahrstreckenklassen liest man aus der Fahrstreckenverteilung den zugehörigen Ordinatenprozentwert ab. Das ist die Summe der Fahrzeuge, die eine beliebige Fahrstrecke bis zur Klassenobergrenze erreicht hat. So erreichen 80% der Fahrzeuge eine Fahrstrecke bis 40.000 km, d.h. 20% der Fahrzeuge erreichen Fahrstrecken, die größer sind als 40.000 km. Die Bezugsmenge für die spätere Berechnung der Anzahl nicht schadhafter Teile in den einzelnen Klassen ist die Anzahl gefertigter Fahrzeuge in einem bestimmten Fertigungszeitraum bzw. die Anzahl zugelassener Fahrzeuge im Markt in einem entsprechenden Zeitraum. Für sämtliche Fahrzeuge muss eine etwa gleich große Einsatzdauer vorliegen. Andernfalls muss eine Korrekturrechnung erfolgen. Damit wird erreicht, dass die Streuung der vorliegenden Fahrzeugfahrstrecken geringer ist, als wenn zusätzlich noch der Einfluss von unterschiedlichen Einsatzdauern auf die Fahrstrecke hinzukommt. D.h., die Wahrscheinlichkeit für den Schadenseintritt ist entsprechend der Fahrstrecke für sämtliche Fahrzeuge gleich. Im vorliegenden Fall geht man bei der Rechnung von den nFzg = 3780 gefertigten und zugelassenen Fahrzeugen aus, von denen nf (t) = 19 Fahrzeuge ein schadhaftes Teil aufweisen. Entsprechend ist bei ns(t) = 3761 Fahrzeugen kein schadhaftes Bauteil aufgetreten. Die erste Fahrstreckenklasse der geordneten Schadensfälle (Tabelle 6.5) hat eine Obergrenze von 4.000 km. Aus der Fahrstreckenverteilung in Abb. 6.27 liest man dafür einen Summenhäufigkeitswert von ca. 0,035% ab.

232

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

99,9 %

Summenhäufigkeit L(t)

98,2

86,2 50,0 15,9 2,28

0,135 10

3

10

4

10

5

Fahrstrecke in km

Abb. 6.27. Fahrstreckenverteilung (Laufstreckenverteilung)

Der Anteil nicht schadhafter Teile in der Klasse bis 4.000 km beträgt demnach 0,035% von 3761 Fahrzeugen ohne Schaden, also ca. 1 Fahrzeug (ns(t1)). Hier tritt durch Idealisierung der Fahrstreckenverteilung im unteren Bereich eine gewisse Ungenauigkeit auf, die sich jedoch auf das spätere Gesamtergebnis nicht auswirkt. Die nächste Klassenobergrenze ist 8.000 km. Der zugehörige Summenhäufigkeitswert aus der Fahrstreckenverteilung ist 1,7% für die nicht schadhaften Teile (Fahrzeuge). Da es sich bei der Fahrstreckenverteilung um eine Summenhäufigkeitsfunktion handelt, für das hier vorzustellende Verfahren jedoch der prozentuale Anteil der betrachteten Klasse von Interesse ist, muss vom abgelesenen Wert jeweils die Summenhäufigkeit der Vorgängerklasse abgezogen werden. Damit ergibt sich für die Klasse von 4.000 bis 8.000 km ein prozentualer Anteil von 1,7% - 0,035% = 1,665% (ns(t2)). Analog zu der beschriebenen Vorgehensweise lassen sich auch die übrigen ns(tj)-Werte berechnen, Tabelle 6.5.

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

233

Tabelle 6.5. Ermittlung der ns(tj)-Werte [6.13]

Fahrstreckenklasse [km] tj

Summenhäufigkeit [%] L tj

... 4.000 ... 8.000 ...12.000 ...16.000 ...20.000 ...28.000 ...32.000 ...36.000 ...40.000

0,035 1,7 8,6 20,0 33,5 57,0 67,0 74,0 80,0



Einzelhäufigkeit [%] Anzahl der nicht schadhaften Teile nS t j l t j L t j  L t j 1

   0,035 1,665 6,9 11,4 13,5 23,5 10,0 7,0 6,0



1 63 260 429 508 884 376 263 226

Mit den so errechneten ns(tj)-Werten erfolgt die Berechnung des Ausfallverhaltens nach dem Medianrangverfahren, s. Tabelle 6.6. Tabelle 6.6. Berechnung des Ausfallverhaltens mit Medianrangverfahren [6.13]

Fahrstre- Anzahl der Anzahl der ckenklas- schadhaften nicht schadse [km] Teile haften Teile tj n f (t j ) ns (t j ) ... 4.000 ... 8.000 ...12.000 ...16.000 ...20.000 ...28.000 ...32.000 ...36.000 ...40.000 > 40.000

5 2 2 2 1 1 2 3 1 n f (t ) 19 n Fzg (t )

1 63 260 429 508 884 376 263 226 751 ns (t ) 3761

Anzahl der davor liegenden Teile 1 69 331 762 1.272 2.157 2.534 2.799 3.028

Berechnung ZuMittlere wachs OrdnungsN (t j ) zahl j (t j ) 5,00 2,03 2,19 2,5 1,5 2,32 6,04 11,48 4,98

5,00 7,03 9,22 11,72 13,22 15,54 21,58 33,06 38,04

Medianrang [%] FMedian (t j )

0,12 0,17 0,23 0,30 0,34 0,40 0,56 0,86 0,99

3.780

Die grafische Auswertung von Tabelle 6.6 im Wahrscheinlichkeitspapier nach Weibull zeigt, dass eine Mischverteilung vorliegt, Abb. 6.28.

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1 103

Pol Pol

10

4

10 5

Formparameter b

234

0,1 10 6

Lebensdauer t in km

Abb. 6.28. Weibulldiagramm einer Mischverteilung [6.13] 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2

0,5

0,1 103

Pol Pol 4

10

105

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,1 106

Lebensdauer t in km

Abb. 6.29. Weibulldiagramm mit echten Langzeitdaten [6.13]

6.4 Auswertung von unvollständigen (zensierten) Daten

235

Das zu erwartende Langzeitverhalten durch Verschleiß wird durch den zweiten Bereich der Verteilung - durchgezogener Kurvenzug 2 - dargestellt. Dieses Verhalten wurde zu einem späteren Zeitpunkt mit Langzeitdaten aus dem Feld bestätigt, Abb. 6.29. Bei alleiniger Betrachtung von schadhaften Teilen aus der Gewährleistungszeit, zeigt sich ein vollständig anderes Ausfallverhalten (Abb. 6.28, gestrichelter Kurvenzug 1), das jedoch die Feldsituation nicht korrekt wiedergibt. Die Zusammenstellung der dazu erforderlichen Felddaten und errechneten Medianränge enthält Tabelle 6.7: Anzahl Fahrzeuge n Fzg = 140 Fahrzeuge mit Schaden am Bauteil

n Fzg f (t ) = 10

Fahrzeuge ohne Schaden am Bauteil

n Fzg s (t )

= 130.

Daraus folgt für die Rechnung mit je 1 Schaden pro Fahrzeug: Gesamtstichprobenumfang n = 140 Anzahl schadhafte Teile n f (t ) = 10 Anzahl nicht schadhafte Teile

ns (t ) = 130.

Tabelle 6.7. Berücksichtigung von Langzeitdaten im Medianrangverfahren [6.13]

Berechnung AufsteiAnzahl gende der schadReihenhaften folge des Teile Merkmals n f (t j ) [km] tj 36110 45311 53.000 61.125 72.700 75.098 87.000 110.000 >110.000

Anzahl der nicht schadhaften Teile ns (t j )

Anzahl der davor liegenden Teile

Zuwachs N (t j )

1 1 1 1 2 2 1 1

42 19 22 9 11 2 14 16 5

42 62 85 95 107 111 127 144

1,38 1,68 2,24 2,6 6,51 6,83 5,4 17,77

n s (t ) 10

n s (t ) 140

n s (t ) 150

Mittlere MedianOrdnungs- rang [%] zahl FMedian (t j ) j (t j )

1,38 3,06 5,30 7,90 14,41 21,24 26,64 44,41

0,72 1,83 3,32 5,05 9,38 13,92 17,51 29,33

236

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Bemerkungen zur Anwendung des beschriebenen Verfahrens: Bei der Aufbereitung der Gewährleistungsdaten muss sichergestellt sein, dass es sich bei den schadhaften Teilen jeweils um den ersten Schadensfall im betreffenden Fahrzeug (Erstausstattung) handelt. Nur in diesem Fall sind die Fahrzeugfahrstrecke und der entsprechende Wert für das Schadensteil gleich groß. Ist die Schadenshäufigkeit schon im Gewährleistungsbereich so groß, dass mehr als ein Schadensfall pro Fahrzeug eintritt, also das Ersatzteil auch schadhaft geworden ist, muss sichergestellt sein, dass nur die Erstausfälle berücksichtigt werden. Wenn möglich, sollten alle Schadensteile angeliefert werden.

6.5

Vertrauensbereiche bei niedrigen Summenhäufigkeiten

Bei der Betrachtung von kurzen Einsatzdauern/Fahrstrecken, z.B. 1 Jahr oder 15.000 km, oder bei Elektronik- bzw. Elektrikbauteilen bewegt man sich im Bereich kleiner Summenhäufigkeitswerte, nämlich bis etwa 10%. Für diesen Bereich empfiehlt sich ein anderes Verfahren zur Ermittlung des Vertrauensbereiches, nämlich über die Ermittlung von Faktoren [6.13]. Hierbei legt man, abhängig vom Stichprobenumfang n einzelne tq-Werte fest. Aus den Abbildungen im Anhang können für PA = 90% (zweiseitig) Vertrauensbereichsfaktoren Vq entnommen werden. Diese sind abhängig vom Stichprobenumfang n und vom Weibullformparameter b. Für Zwischenwerte von b muss interpoliert werden. Der untere Lebensdauergrenzwert bei q-prozentiger Ausfallwahrscheinlichkeit ergibt sich zu t qu

tq ˜

1 . Vq

(6.34)

Der obere Lebensdauergrenzwert bei q-prozentiger Ausfallwahrscheinlichkeit ergibt sich zu tqo

tq ˜ Vq .

(6.35)

Durch Verbinden der einzelnen Punkte wird mit der oberen und unteren Grenze der gesamte Vertrauensbereich ermittelt.

6.5 Vertrauensbereiche bei niedrigen Summenhäufigkeiten

237

Beispiel: Stichprobenumfang n = 100; Versuchsdurchführung bis Ordnungszahl j = 10. Die Zuordnung von tj und Fj ergibt sich gemäß Tabelle 6.8 mit

Fj |

j  0,3 ˜ 100% . n  0,4

(6.36)

Tabelle 6.8. Zuordnung von t und Fj [6.13]

j tj [Zykl.] Fj [%]

1

2

3

4

5

6

7

8

62 0,70

190 1,69

288 2,69

332 3,68

426 4,68

560 5,68

615 6,67

780 7,67

9

10

842 1.000 8,66 9,66

Die Einzelwerte werden in das Weibullnetz eingetragen, Abb. 6.30. Anschließend wird die Ausgleichsgerade durch diese Punkte gelegt. 4,0 3,5

63,2 50,0

3,0

30,0 20,0

2,5

10,0

2,0

5,0 3,0 2,0

1,5

1,0

1,0

0,5 0,3 0,2 0,1

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

0,5 t1u 0,1

t1 1

t1o

Pol 10

0,1 100

Lebensdauer t ·100 in Zyklen

Abb. 6.30. Vertrauensbereich bei niedrigen Summenhäufigkeiten

Aus den Abbildungen im Anhang werden nun für t1, t3, t5 und t10 die Vertrauensbereichsfaktoren Vq für jeweils b = 1 und n = 100 entnommen s. Tabelle 6.9.

238

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Tabelle 6.9. Vq-Faktoren

q [%] 1 3 5 10

6.6

tq 96 295 500 1030

Vq

tqo = tq˜ Vq

5,0 2,6 2,1 1,7

480 767 1050 1751

tqu = tq/Vq 19,2 113,5 238,1 606,0

Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

Die Auswertung von Ausfalldaten kann mit verschiedenen analytischen Methoden erfolgen. Die bekanntesten Methoden sind x die Momentenmethode, x die Regressionsanalyse (Methode der kleinsten Fehlerquadrate nach Gauß) und x die Maximum-Likelihood Methode. Diese Methoden werden im Folgenden verteilungsunabhängig vorgestellt und ihre Anwendung am Beispiel der Weibullverteilung gezeigt. 6.6.1

Momentenmethode

Bei der Momentenmethode wird die beste Verteilung durch Vergleichen der Stichprobenmomente mit den theoretischen Verteilungsmomenten ermittelt. Als Momente sind hierbei gewisse Maßzahlen einer Verteilung zu verstehen. Die bekanntesten sind: x Mittelwerte, x Standardabweichung bzw. Varianz, x Schiefe. Eine Maßzahl allein gibt sehr wenig Auskunft über eine Verteilung. So sagt der Mittelwert nur aus, wo ungefähr die Mitte der Verteilung liegt. Mehrere Momente zusammen können aber ein sehr genaues Bild der gesuchten Verteilung liefern. Mit der Momentenmethode können nur vollständige Stichproben ausgewertet werden. Die Parameterschätzung erfolgt durch den Vergleich von empirischen Stichprobenmomenten mit den theoretischen Verteilungsmomenten. Empirische Stichprobenmomente sind Maßzahlen der Stichprobe.

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

239

Liegen n Beobachtungswerte ti , i = 1(1)n, vor, ergibt sich als erstes empirisches Moment der Stichprobe der arithmetische Mittelwert t 1 n ˜ ti . n i 1

¦

t

(6.37)

Für das zweite empirische Stichprobenmoment, die Streuung s oder Varianz s2, gilt

s

2

2º ª 1 « n 2 1 §¨ n ·¸ » ˜ ti  ˜ ti . n 1 «i 1 n ¨© i 1 ¸¹ » ¬ ¼

n 1 ˜ (t i  t ) 2 n 1 i 1

¦

¦

¦

(6.38)

Das dritte empirische Moment heißt Schiefe J und ist ein Maß für die Asymmetrie der Verteilungsdichte: J

n 1 ˜ 3 ( n  1) ˜ ( n  2) s

n

¦ (t i  t ) 3 .

(6.39)

i 1

Theoretische Verteilungsmomente kennzeichnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallgrößen. Das erste theoretische Verteilungsmoment, meist als Erwartungswert E(t) bezeichnet, erhält man aus dem uneigentlichen Integral über die mit der statistischen Variablen t multiplizierten Dichtefunktion f(t): f

E (t ) m1

³ t ˜ f (t ) ˜ dt .

(6.40)

f

Die allgemeine Definition für ein auf den Ursprung bezogenes Moment k-ter Ordnung mk lautet: f

mk

³t

k

˜ f (t ) ˜ dt k 1,2,... .

(6.41)

f

Neben den Ursprungsmomenten gibt es noch die zentralen Momente mkz, welche durch folgenden Ausdruck definiert sind: f

mkz

³ (t  m1 )

f

k

˜ f (t ) ˜ dt

k 1,2,... .

(6.42)

240

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Das zweite zentrale Moment heißt Varianz Var(t)

m 2  m12 .

Var (t ) m 2 z

(6.43)

Die Schiefe S3(t) ist das dritte theoretische Verteilungsmoment, welches durch den Ausdruck m3 z

S 3 (t )

(6.44)

m 22z

definiert ist. Durch Gleichsetzen der empirischen und theoretischen Momente erhält man ein Gleichungssystem, aus welchem die zu bestimmenden Verteilungsparameter ermittelt werden können: E (t ) t , Var (t ) S 3 (t )

s 2 und

(6.45)

J.

Aus diesen drei Gleichungen können drei Parameter berechnet werden. Bei ein- oder zweiparametrigen Verteilungen benötigt man lediglich die erste bzw. die ersten beiden Gleichungen zur Ermittlung der gesuchten Parameter. Beispiel: Dreiparametrige Weibullverteilung Die Anwendung der Momentenmethode bei der Weibullverteilung ist mathematisch etwas aufwendig. Die theoretischen Momente lassen sich nur mit Hilfe der Gammafunktion *(x) ausdrücken. Für den Erwartungswert E(t), die Varianz Var(t) und die Schiefe S3(t) einer dreiparametrigen Weibullverteilung gelten die folgenden Beziehungen:

§ 1· E (t ) (T  t 0 ) ˜ *¨1  ¸  t 0 , © b¹

ª § Var (t ) (T  t 0 ) 2 ˜ «*¨1  ¬ ©

S 3 (t )

§ * ¨1  ©

(6.46)

2· 1 ·º 2§ ¸  * ¨1  ¸ » und b¹ © b ¹¼

2· 1· 2§ ¸  * ¨1  ¸ b¹ © b¹

3 *§¨1  3 ·¸  3 ˜ *§¨1  2 ·¸ ˜ *§¨1  1 ·¸  2 ˜ * 3 §¨1  1 ·¸ © b¹ © b¹ © b¹ © b¹

(6.47)

.

(6.48)

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

241

Im Fall einer zweiparametrigen Verteilung ist in obigen Gleichungen t0 = 0. Die Schiefe ist nach Gl. (6.48) nur vom Formparameter b abhängig. Da die empirische Schiefe J aus Gl. (6.39) bekannt ist, kann aus J = S3(t) b iterativ, z.B. über das Newtonverfahren, bestimmt werden. Ist b bekannt, kann t0 aus Gl. (6.46) und Gl. (6.47), in Verbindung mit dem arithmetischen Mittelwert t , Gl. (6.37), und der Streuung s, Gl. (6.38), bestimmt werden:

t0

§ 1· * ¨1  ¸ © b¹

t

2· § § 1· *¨ 1  ¸  * 2 ¨ 1  ¸ © b¹ © b¹

˜s.

(6.49)

Als letzter Parameter wird die charakteristische Lebensdauer T aus Gl. (6.46) berechnet: T

6.6.2

t  t0  t0 . § 1· * ¨1  ¸ © b¹

(6.50)

Regressionsanalyse

Die Regressionsanalyse ist ein Ausgleichsverfahren, welches auch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate genannt wird. Die Ermittlung der gesuchten Verteilung erfolgt bei dieser Methode über eine Ausgleichsgerade und zwar so, dass die Summe der Abstandsquadrate zwischen den Wertepaaren (ti, F(ti)) und der Ausgleichsgeraden zu einem Minimum wird. Nachdem die Abstände zu einer in allgemeiner Form angenommenen Geraden berechnet und aufsummiert sind, lassen sich durch Differenzieren die bekannten Normalengleichungen ableiten. Im Gegensatz zur Momentenmethode können mit der Regressionsanalyse auch unvollständige Stichproben ausgewertet werden. So liegen bei einer unvollständigen Stichprobe r Versuchswerte ti, i = 1(1)r, aus einer Stichprobe der Größe n vor. Die Versuchswerte werden der Größe nach geordnet, so dass t1 ” t2 ” ... ” ti ” ... ” tr gilt. Sie heißen dann Ranggrößen, der zur Ranggröße gehörende Index i heißt Rangzahl. Diesen Ranggrößen wird nun eine Ausfallwahrscheinlichkeit Fi zugeordnet. Als Schätzwert für diese Ausfallwahrscheinlichkeit lassen sich verschiedene, mit der Betaverteilung verbundene Größen mit Hilfe der Rangzahlen definieren:

242

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Median:

Fi |

i  0,3 n  0,4

i 1(1) r ,

(6.51)

Mittelwert:

Fi

i n 1

i 1(1) r ,

(6.52)

Modalwert:

Fi

i 1 n 1

i 1(1) r .

(6.53)

Diese Ausfallwahrscheinlichkeiten sollen nun an eine Geradengleichung der Form y ( x) m ˜ x  c

(6.54)

angepasst werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Zuverlässigkeitsanalyse können durch entsprechende Umformungen in die Form einer Geradengleichung transformiert werden. Nach einer solchen Transformation wird die Veränderliche x zur Funktion der Lebensdauer t: x x(t ) .

(6.55)

Die Geradensteigung m und der Achsabschnittsfaktor c werden zu Funktionen der k Verteilungsparameter

\ " , " 1(1) k ,

(6.56)

welche zu einem Parametervektor zusammengefasst werden: & \ (\ 1 ,..., \ " ,..., \ k ) .

(6.57)

Da die Gerade durch Steigung und Achsabschnitt eindeutig festgelegt ist, können nach dieser Anpassung maximal zwei Parameter bestimmt werden. Aus Gl.(6.54) wird & & y ( x(t )) m(\) ˜ x(t )  c(\) , (6.58) dabei gilt unter Verwendung der Ranggrößen xi

x (t i ) und y ( x(t i ))

y ( xi ) .

(6.59)

Durch diese Transformation müssen auch die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ranggrößen entsprechend transformiert werden:

yi

y ( Fi ) .

(6.60)

Zur Anpassung subtrahiert man nun von den transformierten Ausfallwahrscheinlichkeiten yi den Funktionswert y ( x(t i )) . Die Ergebnisse dieser

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

243

Subtraktionen werden als Fehler ri interpretiert, Abb. 6.31. Man erhält n Gleichungen der Form y ( Fi )  y ( x (t i ))

yi  m ˜ xi  c

ri .

(6.61)

y

y(x(t)) = m·x(t)+b y(x(ti)) ri

y(Fi)

x(t)

x(ti)

Abb. 6.31. Regressionsgerade

Eine gute Schätzung für die beiden gesuchten Größen m und c der Geraden erhält man nach Gauß, wenn man die Fehlerquadratsumme U 2 minimiert: n

U2

¦ i 1

n

ri2

¦  y i  m ˜ xi  c 2 o Min.

(6.62)

i 1

Zur Minimierung bildet man die ersten partiellen Ableitungen von U 2 nach m und c und setzt sie gleich Null: wU 2 wc

wU 2 wm



n

n

i 1 n

i 1

¦ 2 ˜ ( y i  m ˜ x i  c) Ÿ ¦ ( y i  m ˜ xi  c)



0,

¦ 2 ˜ x i ˜ ( y i  m ˜ xi  c) Ÿ ¦ x i ˜ ( y i  m ˜ x i  c) i 1

(6.63)

n

0.

i 1

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (Normalengleichungen) für die beiden Unbekannten m und c:

244

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

· § n n ˜ c  ¨ xi ¸ ˜ m ¨ ¸ ©i 1 ¹ § n · § n · ¨ xi ¸ ˜ c  ¨ xi2 ¸ ˜ m ¨ ¸ ¨ ¸ ©i 1 ¹ ©i 1 ¹

¦

¦

¦

n

¦ yi , i 1

(6.64)

n

¦ xi ˜ y i , i 1

woraus man mit Hilfe des arithmetischen Mittelwerts Gl. (6.37) die folgenden Lösungen erhält: n

n

¦ ( xi  x ) ˜ ( y i  y ) ¦ ( xi  x ) ˜ ( y i  y ) m

i 1

i 1

n

¦

(6.65)

n

xi2

¦

 n˜ x

i 1

( xi2

 x)

i 1

c

y m˜x .

(6.66)

Da m und c Funktionen der Verteilungsparameter sind, können aus obigen Gleichungen maximal zwei Parameter durch Rücktransformation berechnet werden. Wie gut die Annäherung durch die Gerade ist, lässt sich durch den Korrelationskoeffizenten K ermitteln: n

¦ ( xi  x ) ˜ ( y i  y ) K

i 1

n

¦ ( xi  x ) ˜ ¦ ( y i  y ) 2

i 1

.

n

(6.67)

2

i 1

Der Korrelationskoeffizient ist eine Maßzahl für die Stärke und Richtung eines Zusammenhanges zwischen Wertepaaren. Im Fall einer vollständigen linearen Abhängigkeit ist der Korrelationskoeffizient K = -1 oder K = 1, je nachdem, ob sich die Wertepaare gegensinnig oder gleichsinnig ändern. Man spricht dann von einem funktionalen Zusammenhang. Liegt kein Zusammenhang zwischen den Wertepaaren vor, ist K = 0. Liegt der Betrag des Korrelationskoeffizienten zwischen 0 und 1 (0 < |K| < 1) spricht man von stochastischer Abhängigkeit. Abb. 6.32 zeigt die verschiedenen Möglichkeiten. Die Güte der Anpassung einer linear transformierten Verteilungsfunktion an die Wertepaare kann anhand des Korrelationskoeffizienten abgeschätzt werden. Die Anpassung ist umso besser, je näher der Betrag von K bei 1,0 liegt. Bei der Anpassung einer Verteilung an Ausfalldaten besteht stets eine positiv stochastische Abhängigkeit.

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

gegensinnig x

y

y

gleichsinnig x

x y

y

245

y

y

y

y

x x

x

K = -1

-1 < K < 0

funktionale

stochastische

x

y x

0
x K=1

stochastische funktionale

y

Abhängigkeit

Abhängigkeit x K=0

Kein Negativer Zusammenhang Zusammenhang

Positiver Zusammenhang

Abb. 6.32. Formen des Zusammenhangs zwischen Wertepaaren (x, y) und dem Korrelationskoeffizienten K

Beispiel: Weibullverteilung Ausgangspunkt zur Regressionsanalyse bildet das Weibullnetz. Mathematisch entspricht dies der Geradengleichung

ln ln(1  F (t )  y ( x (t ))

b, ˜ ln( t )  b ˜ ln(T ) , , 

m (b )

x (t )

c (b ,T )

(6.68)

wobei hier zuerst von der zweiparametrigen Verteilung ausgegangen wird. Die transformierten Ausfallwahrscheinlichkeiten ergeben sich, z.B. unter Verwendung des Medianwertes, zu yi

§ i  0,3 · · § ln¨¨  ln¨1  ¸ ¸¸ . © n  0,4 ¹ ¹ ©

(6.69)

Durch Anwendung der Regressionsanalyse findet man folgende Bestimmungsgleichungen für die beiden Weibullparameter b und T:

246

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

n

¦ ( xi  x ) ˜ ( yi  y ) b

i 1

n

¦ ( xi  x ) 2 i 1

mit

yi

und xi

ln( ln(1  Fi )) ; y ln(ti ) ; x

sowie T

1 n

1 n

n

(6.70)

¦ ln( ln(1  Fi )) i 1

n

¦ ln(ti ) i 1

§ y b˜x · exp¨  ¸. b © ¹

(6.71)

Den Korrelationskoeffizienten erhält man aus Gl. (6.67). Falls die Verteilung jedoch als dritten Parameter eine ausfallfreie Zeit t0 besitzt, gestaltet sich die Berechnung mit der Regessionsanalyse aufwendiger, da sie iterativ erfolgen muss. Man kann die Berechnung wie im zweiparametrigen Fall durchführen, jedoch werden die Messwerte zu xi ln(t i  t 0 ) . Im Weibullpapier stellt dies wiederum eine Gerade dar, falls der Wert von t0 der Gesuchte ist. Wie gut diese Annäherung ist, ergibt sich aus dem Wert des Korrelationskoeffizienten, Gl. (6.67). Es muss also durch gezielte Variation des Parameters t0 das Maximum des Korrelationskoeffizienten ermittelt werden. Die Iteration erfolgt mit Hilfe des Golden Selection Search Algorithmus [6.9]. 6.6.3

Maximum-Likelihood Methode

Eine sehr gute statistische Methode zur Bestimmung von unbekannten Parametern einer Verteilung ist die Maximum-Likelihood Methode von R.A. Fisher. Das Verfahren geht von folgender Überlegung aus: Das Histogramm der Ausfallhäufigkeit zeigt die Anzahl der Ausfälle je Intervall, Abb. 6.33.

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen 50

247

45%

Ausfälle in %

40

f(t) 30

26%

20

8%

10

3% 0 200

3% 250

300

350

400

450

Lastwechsel

Abb. 6.33. Histogramm der Ausfallhäufigkeit und Dichtefunktion

Bei sehr großem Stichprobenumfang n kann man vom Histogramm zur Dichtefunktion und damit von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten übergehen (Gesetz der großen Zahlen). Man kann damit angeben, dass z.B. in Abb. 6.33 im 1. Intervall wahrscheinlich 3% der Ausfälle auftreten werden. Im 2. Intervall wird es wahrscheinlich sein, dass 45% der Ausfälle auftreten usw. Die Wahrscheinlichkeit L, dass genau die in Abb. 6.33 angegebene Stichprobe auftreten wird, ergibt sich nach der Theorie als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Intervalle: L

f (t1 ) ˜ f (t 2 ) ˜  ˜ f (t n ) .

(6.72)

Diese Funktion wird Likelihoodfunktion genannt. Das Prinzip des Verfahrens besteht nun darin, eine Funktion f zu finden, bei der das Produkt L maximal wird. Dazu muss die Funktion f in Bereichen mit vielen Ausfallzeiten ti entsprechend hohe Werte der Dichtefunktion besitzen, während sie in Bereichen mit wenigen Ausfällen nur geringe Werte von f aufweisen darf. Dadurch wird das tatsächliche Ausfallverhalten sehr gut wiedergegeben. Die so bestimmte Funktion f besitzt damit die größte Wahrscheinlichkeit, die Stichprobe am besten zu beschreiben. Liegt eine Stichprobe mit n Beobachtungswerten ti, i = 1(1)n vor, deren Dichtefunktion f(t) k unbekannte Parameter \ " , " = 1(1)k enthält, die oft & zu einem Parametervektor \ (\ 1 ,..., \ " ,..., \ k ) zusammengefasst werden, lautet die Likelihoodfunktion: n

L(t1 ,..., t i ,..., t n ; \1 ,..., \ " ,..., \ k )

– f (ti ; \1 ,..., \ " ,..., \ k ) . i 1

(6.73)

248

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Als Schätzung der k Parameter \" werden nach den obigen Überlegungen diejenigen Parameter verwendet, für welche die Likelihoodfunktion ihr Maximum erreicht. Man findet diese Parameter indem man die k partiellen Ableitungen der Likelihoodfunktion nach den k Parametern Null setzt. Üblicherweise wird die Likelihoodfunktion logarithmiert. Aus der Produktformel wird dadurch eine Summenformel, was die durchzuführende partielle Differentiation erheblich erleichtert. Da der natürliche Logarithmus eine monotone Funktion ist, ist dieser Schritt mathematisch zulässig. Es bleibt & ln( L) lnL(t1 ,..., t i ,..., t n ; \ )

n

&

¦ ln f (t i ; \) .

(6.74)

i 1

Das Maximum der logarithmierten Likelihoodfunktion und damit die im statistischen Sinne optimalen Parameter \ " erhält man aus den Gleichungen: & wf (t i ; \ ) w ln( L) n 1 ˜ 0 , " 1(1)k . (6.75) & w\ " f ( t ; \ ) w\ i " i 1

¦

Diese Gleichungen können nichtlinear in den Parametern sein, deshalb wird man oft auf die Anwendung geeigneter numerischer Verfahren angewiesen sein. Abb. 6.34 zeigt schematisch diese Verhältnisse für die zweiparametrige Weibullverteilung.

ln( L)

ln( L) = f(T,b)

ln( L opt )

b opt

b

Topt T Abb. 6.34. Schematische Darstellung der logarithmierten Likelihoodfunktion

Daraus ergibt sich die Möglichkeit, die Güte der Anpassung einer Verteilungsfunktion an die Ausfalldaten, auch wenn die Berechnung nicht mittels der Maximum-Likelihood Methode erfolgte, durch den Likelihood-

6.6 Analytische Methoden zur Auswertung von Zuverlässigkeitsversuchen

249

Funktionswert abzuschätzen. Je größer der Likelihood-Funktionswert ist, desto besser beschreibt die ermittelte Verteilungsfunktion das reale Ausfallverhalten. Verwirrend erscheint oft, dass sich durch die logarithmische Transformation negative Werte für ln(L) ergeben. Die bessere Anpassung erkennt man dann am kleineren Betrag von ln(L). Beispiel: Weibullverteilung Zur Durchführung der Maximum-Likelihood Methode wird die Ausfalldichte in einer anderen Form, mit dem Parameter K T  t 0 verwendet. Sie lautet dann

b § t  t0 ˜¨ K ¨© K

f (t )

· ¸¸ ¹

b 1

§ t t · ¨¨ 0 ¸¸ ˜e © K ¹

b

(6.76)

.

Die logarithmierte Likelihoodfunktion lautet damit:

ln( L(t1 ,..., ti ,..., t n ; b, K, t0 )) b § b · n ª § tt  t 0 · º . ¨ ¸ «(b  1) ˜ ln(ti  t0 )  ¨¨ ¸¸ » n ˜ ln¨ b ¸  © K ¹ »¼ © K ¹ i 1 «¬

¦

(6.77)

Die partiellen Ableitungen nach den Parametern ergeben sich zu w ln( L) wb

n  b

ª §t t «ln¨ i 0 « ¨ K 1¬ ©

n

¦ i

w ln( L) wK w ln( L) wt 0

n 

n

1 Kb

· ­° § t i  t 0 ¸¸ ˜ ®1  ¨¨ ¹ °¯ © K

· ¸¸ ¹

°» ¾ °¿»¼

0,

(6.78)

n

˜

ª 1 b

¦ (t i  t 0 ) b

0,

b

º

(6.79)

i 1

¦ «« t i  t 0  Kb ˜ (t i  t 0 ) b1 »» i 1

b ½º

0.

(6.80)

¼

¬

Dieses Gleichungssystem ist nichtlinear, deshalb muss auch hier iterativ vorgegangen werden. Zuerst werden jedoch einige Umformungen vorgenommen. Für den neu eingeführten Parameter K erhält man aus Gl. (6.79): 1 n K b ˜ (t i  t 0 ) b . n i1

¦

(6.81)

250

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

Einsetzen dieser Gleichung in Gl. (6.80) führt zu:

ª º « » n (t i  t 0 ) b 1 » « 1 b  n˜b˜ n « » t  t i 0 b» i 1« (t j  t 0 ) « » j 1 ¬ ¼

¦

0.

(6.82)

¦

Es hat sich folgende Vorgehensweise bewährt: 1. Wähle ein t0 aus dem Bereich 0 < t0 < t1. 2. Bestimme zu diesem t0 mit Gl. (6.82) iterativ den Formparameter b. 3. Berechne mit diesen beiden Werten K aus Gl. (6.81). 4. Berechne mit diesen Werten den Wert der Likelihood-Funktion über Gl. (6.77). 5. Variiere t0 solange und wiederhole ab Schritt 2, bis das Maximum gefunden ist. Zur Bestimmung des Maximums wird die Methode nach Brent [6.9] verwendet, damit kann das Maximum schnell ermittelt werden.

6.7

Übungsaufgaben zur Auswertung von Lebensdauerversuchen

Aufgabe 6.1 Bei einem Vorserienversuch wurden Bauteile auf ihre Lebensdauer geprüft. Alle Baugruppen sind ausgefallen. Die entsprechenden Ausfallzeiten sind bekannt: 69.000 km, 29.000 km, 24.000 km, 52.500 km, 128.000 km, 60.000 km, 12.800 km 98.000 km. a) Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, die Standardabweichung und die Spannweite der Ausfalldaten. b) Bestimmen Sie die Ranggrößen und ordnen Sie diesen eine Ausfallwahrscheinlichkeit zu. c) Ermitteln Sie mit Hilfe des Formblatts (Weibullnetz) die Parameter der das Ausfallverhalten beschreibenden Weibullverteilung. d) Ermitteln Sie die B10-Lebensdauer und den Median. e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt ein Bauteil den Zeitpunkt t1 = 70.000 km? f) Zeichnen Sie den 90%-Vertrauensbereich der Weibullgeraden ein.

6.7 Übungsaufgaben zur Auswertung von Lebensdauerversuchen

251

g) Berechnen Sie die 90%-Vertrauensbereiche der Parameter b und T. Ermitteln Sie diese Vertrauensbereiche auch grafisch. Aufgabe 6.2 Gegeben sind die vollständigen Ausfalldaten eines mechanischen Schalters: 470, 550, 600, 800, 1.080, 1.150, 1.450, 1.800, 2.520, 3.030 Betätigungen.

a) Ermitteln Sie grafisch die Parameter der Weibullverteilung. b) Ermitteln Sie die B10-Lebensdauer und den Median. c) Zeichnen Sie den 90%-Vertrauensbereich der Weibullgeraden ein. Aufgabe 6.3 Gegeben sind die Lebensdauerwerte aus Torsionsschwingversuchen einer unzensierten Stichprobe gekerbter Antriebswellen aus 41 Cr 4 bei einer Spannungsamplitude von 200 MPa. Lebensdauerwerte (in 103 LW): 264, 208, 222, 434, 382, 198, 380, 166, 435, 242. Werten Sie die Lebensdauerdaten mit Hilfe eines Weibullnetzes aus und bestimmen Sie den 90%-Vertrauensbereich. Aufgabe 6.4 Bei einem Versuch wurden 8 gleiche Bauteile zeitlich parallel auf Prüfständen getestet. Der Versuch wurde nach dem Ausfall des 5-ten Bauteils abgebrochen. Bestimmen Sie die das Ausfallverhalten der Bauteile beschreibende Weibullverteilung, deren 90%-Vertrauensbereich und die Vertrauensgrenzen der Parameter. Ausfalldaten (in h): 192, 135, 102, 214, 167 Aufgabe 6.5 Gegeben ist eine unvollständig geprüfte Stichprobe, in der die Lebensdauer von Planetenträger-Kopfschrauben von Ackerschleppern aufgenommen wurde. Insgesamt waren 1075 Schlepper an dem Feldversuch beteiligt. Nach Auftreten von 10 Ausfällen infolge gebrochener Kopfschrauben soll eine Auswertung der Daten durchgeführt werden. Die Laufstunden bis zum Bruch der Planetenträger-Kopfschraube sind gegeben: 99, 200, 260, 300, 340, 430, 499, 512, 654, 760. Die Laufstunden der zum Zeitpunkt der Auswertung noch intakten Einheiten sind unbekannt.

252

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

a) Werten Sie die Stichprobe nach dem grafischen Sudden-Death Verfahren aus (bestimmen Sie die Gerade der 1. Ausfälle und extrapolieren Sie die Lebensdauerverteilung für die gesamte Stichprobe). b) Werten Sie die Stichprobe nach dem rechnerischen Sudden-Death Verfahren aus (Bestimmung der hypothetischen Rangzahlen). Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Teilaufgabe a). Aufgabe 6.6 Es wurde ein Feldversuch zur Zuverlässigkeitsanalyse einer Kfz-Kupplung durchgeführt. Es standen 20 Kupplungen zur Verfügung. Bis zum Auswertezeitpunkt sind nf = 8 Kupplungen ausgefallen, d.h. ns = 12 Kupplungen waren noch funktionsfähig. Folgende Fahrstrecken (in 103km) von ausgefallenen und nicht ausgefallenen Kupplungen liegen vor: Ausgefallen 7, 24, 29, 53, 60, 69, 100, 148, Nicht ausgefallen: 5, 6, 19, 32, 39, 40, 65, 70, 76, 85, 157, 160. a) Bestimmen Sie die Lebensdauerverteilung unter Berücksichtigung der nicht ausgefallenen Kupplungen. b) Bestimmen Sie den 90%-Vertrauensbereich und die dazugehörigen Vertrauensgrenzen der Parameter. Aufgabe 6.7 Die Garantie- und Kulanzdaten eines Omnibusgetriebes sollen nach einem Jahr ausgewertet werden. Insgesamt sind n = 178 Getriebe ausgeliefert worden, r = 7 Getrieben sind davon ausgefallen. Ausfalldaten (in km): 18.290, 160.770, 51.450, 89.780, 130.580, 35.200, 51.450. Die Fahrstreckenverteilung für die Omnibusse ist durch eine Normalverteilung mit P = 80.000 km und V = 45.000 km gegeben. Bestimmen Sie die das Ausfallverhalten beschreibende Weibullverteilung. Aufgabe 6.8 Gegeben sind die Ausfalldaten einer unzensierten Stichprobe: 42, 66, 87 und 99 h. a) Berechnen Sie die Parameter b und T der das Ausfallverhalten beschreibenden zweiparametrigen Weibullverteilung mit Hilfe der Regressionsanalyse. b) Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? c) Bestimmen Sie den logarithmierten Likelihoodfunktionswert.

Literatur zu Kapitel 6

253

Aufgabe 6.9 Geben Sie allgemeingültige Beziehungen zur Schätzung der Ausfallrate O und der ausfallfreien Zeit t0 der zweiparametrigen Form der Exponentialverteilung mit der Dichte

f (t )

O ˜ exp O (t  t0 )

aus bekannten Ausfalldaten ti, i = 1(1)n a) nach der Momentenmethode, b) mit Hilfe der Maximum-Likelihood Methode und c) unter Verwendung der Regressionsanalyse an.

Literatur zu Kapitel 6 [6.1] Bertsche B, (1989) Zur Berechnung der System Zuverlässigkeit von Maschinenbau-Produkten. Diss Universität Stuttgart, Institut für Maschinenelemente und Gestaltungslehre, Inst. Ber. Nr. 28 [6.2] Bonin v L, Ganz W, Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Festigkeitsanalyse. DFVLR – Mitt. 86–17 [6.3] Dubey S D (1967) On Some Permissible Estimators of the Location Parameter of the Weibull and Certain Other Distributions. Technometrics, Vol 9, No. 2, May, p 293–307 [6.4] Eckel G (1976-9) Bestimmung des Anfangsverlaufs der Zuverlässigkeitsfunktion von Automobilteilen. Qualität und Zuverlässigkeit 22 [6.5] Forschungsvereinigung Antriebstechnik (1981) Einfluss moderner Schmierstoffe auf die Pittingbildung bei Wälz- und Gleitbeanspruchung. Arbeitsgruppe „Pitting-Ringversuch“, FVA-Forschungsreport, Wiesbaden [6.6] Härtler G (1983) Statistische Methoden für die Zuverlässigkeitsanalyse. Springer-Verlag Wien, New York [6.7] Kapur K C, Lamberson L R (1977) Reliability in Engineering Design. John Wiley & Sons Inc., New York [6.8] Klein H (1954-6) Über die Streugrenzen statistischer Verteilungskurven. Mitteilungsblatt für mathematische Statistik – Würzburg, S 140–169 [6.9] Press W H, Flannery B P, Teukolsky S A, Vetterling W T(1988) Numerical Recipes in C - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press [6.10] Reichelt C (1978) Rechnerische Ermittlung der Kenngrößen der WeibullVerteilung. Fortschr.-Ber. VDI-Z, Reihe 1 Nr. 56 [6.11] Tittes E (1973) Über die Auswertung von Versuchsergebnissen mit Hilfe der Weibullverteilung. Qualität und Zuverlässigkeit 18, Heft 5, S 108–113, Heft 7, S 163–165

254

6 Auswertung von Lebensdauerversuchen und Ausfallstatistiken

[6.12] Uludag A I (2/1972) Aussagen über die zeitliche Entwicklung von Schadensfällen anhand weniger Informationen aus dem Felde – Anwendung von Computer und Weibull-Methode. Grundl. Landtechnik, S 47/48 [6.13] Verband der Automobilindustrie (2000) VDA 3.2 Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. VDA, Frankfurt [6.14] Weber H (8/1976) Statistische Auswertung von Lebensdauerversuchen nach Weibull bei Entwicklung von Bauelementen der Pneumatik. Hydraulik und Pneumatik, S 529–533

7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente

Das Ausfallverhalten von Bauelementen lässt sich durch entsprechend umfangreiche statistische Auswertungen recht genau ermitteln. Die Auswertungen können dabei mit den Ergebnissen eigener Versuche, mit den Daten von Schadensstatistiken oder mit Angaben aus der Literatur erfolgen. Die Kenntnis des Ausfallverhaltens ermöglicht es, bei ähnlichen Einsatzbedingungen das erwartete Ausfallverhalten des Bauelementes zu prognostizieren. Auch das erwartete Ausfallverhalten von Systemen kann dann mit einer Systemtheorie berechnet werden. Bisher gibt es allerdings nur sehr wenige gesammelte und aufbereitete Informationen über das Ausfallverhalten von mechanischen Bauelementen. Es wurde deshalb am Institut für Maschinenelemente (IMA) der Universität Stuttgart mit dem Aufbau einer Zuverlässigkeitsdatenbank begonnen [7.2]. Im Folgenden werden einige Ergebnisse aus dieser Datenbank für die Maschinenelemente – Zahnräder, Wellen und Wälzlager – aufgeführt, über die umfangreiche Informationen vorlagen. Beim Aufbau der Zuverlässigkeitsdatenbank zeigte es sich, dass für eine Auswertung in den meisten Fällen nur sehr wenige Ausfallzeiten vorhanden waren (n = 5,..., 10,..., 20). Die Aussagekraft der statistischen Auswertung steigt jedoch, wie bei jedem statistischen Verfahren, sehr deutlich mit der Anzahl der ausgefallenen Bauelemente. Die Größe der gesuchten Parameter lässt sich aber auch aus den vielen Ergebnissen mit großem Vertrauensbereich zumindest abschätzen. Ein weiteres Problem beim Aufbau einer Zuverlässigkeitsdatenbank besteht darin, dass die statistischen Parameter b, T, t0 von verschiedenen Einflussgrößen abhängen: (b, T, t0)= f(Form, Werkstoff, Bearbeitung, Belastung). Dies bedeutet, dass möglicherweise jedes Bauelement für jeden Einsatzfall spezielle Parameter erfordert. Die ausgewerteten Versuche und Schadensstatistiken haben jedoch gezeigt, dass für ein Bauelement bei einer bestimmten Belastung der Formparameter b und der Faktor ftB = t0/B10 für die auftretende Schadensart weitgehend konstant ist. Die vorliegenden Ergebnisse deuten deshalb darauf hin, dass die Parameter nur durch die Beanspruchungsart, den Ausfallmechanismus und teilweise durch die Belastung

256

7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente

bestimmt werden. Es genügt somit, den Formparameter und den Faktor für die ausfallfreie Zeit einmal mit einem sehr umfangreichen Versuch zu bestimmen oder aus den Ergebnissen vieler Versuche abzuschätzen. Die im Folgenden wiedergegebenen Parameter können deshalb in den meisten Fällen als erste Orientierungshilfe dienen. Die statistische Auswertung der Zuverlässigkeitsdatenbank erfolgte mit den Rechenprogrammen WEIBULL und SYSLEB. Für die untersuchten Ermüdungs- und Verschleißausfälle wurde immer eine dreiparametrige Weibullverteilung angesetzt. Diese Annahme stützt sich auf neuere Untersuchungen in [7.2, 7.3, 7.5]. Als Auswertungsmethode wurde die Methode der kleinsten Fehlerquadrate verwendet. Die Unterschiede zu der Momentenmethode und zur Maximum-Likelihood-Methode erwiesen sich bei durchgeführten Vergleichsauswertungen als sehr gering.

7.1

Formparameter b

Die Zusammenfassung der ermittelten Formparameter zeigt Abb. 7.1. Die Streubereiche der Formparameter berücksichtigen die Vertrauensbereiche bei der statistischen Auswertung und eine Abhängigkeit zur Höhe der Belastung. Bei Zahnrädern und Wellen muss der Formparameter b entsprechend der Belastung gewählt werden. Eine hohe Belastung erfordert deshalb bei ihnen einen großen Formparameter. Wellen

Bruch

Wälzlager

Grübchen

Zahnräder

Grübchen Bruch 0

1,1...1,9 Kugellager Rollenlager

1

1,1 1,35 1,1...1,5 1,2...2,2

2

3

Formparameter b Abb. 7.1. Ermittelte Formparameter b der dreiparametrigen Weibullverteilung für einige Maschinenelemente (bei Zahnrädern und Wellen: hohe Belastung ĺ großer Formparameter; geringe Belastung ĺ kleiner Formparameter)

Für die Ermittlung des Formparameters b bei Wellen (Schadensart Bruch) existieren zwei sehr interessante Versuche: einer nach Maennig [7.6] und einer nach Kitschke [7.5]. Maennig führte auf sehr vielen Lastniveaus Versuche mit jeweils n = 20 Versuchswerten durch. Dadurch lässt sich eine

7.1 Formparameter b

257

Abhängigkeit zwischen Formparameter und Belastung deutlich zeigen. Maening begann seine Versuche im Zeitfestigkeitsbereich nahe an der Dauerfestigkeit und steigerte die Belastung dann stufenweise bis nahe der statischen Festigkeit. Der Formparameter b vergrößerte sich dabei von b = 1,1 bis b = 1,9. Kitschke führte nur einige Versuche durch, allerdings mit sehr vielen Versuchswerten (n = 99 ... 112). Die sich dadurch ergebende statistische Sicherheit ist recht groß. Zudem ist Kitschke der einzige, der eine umfassende statistische Auswertung vorgenommen hat. Er gibt damit ein exzellentes Beispiel für die Ermittlung von Zuverlässigkeitsparametern. Die von ihm ermittelten Formparameter liegen bei einer mittleren Belastung zwischen b = 1,5 und b = 1,9. Bei Wälzlagern existieren sehr umfangreiche Versuche bis n = 500, die eine ausgesprochen gute statistische Sicherheit besitzen. Wälzlager sind zudem das einzige Maschinenelement, dessen Ausfallverhalten in Normen dokumentiert ist: DIN 622 und ISO DIN 281. Die Formparameter wurden zwar mit einer zweiparametrigen Weibullverteilung ermittelt, da aber die ausfallfreie Zeit bei Wälzlagern relativ gering ist (s. Abschn. 7.2), ergibt sich bei Anwendung der dreiparametrigen Weibullverteilung nur eine geringfügige Änderung. Nach Bergling [7.1] ist der Formparameter unabhängig von der Größe, Art und Belastung des Lagers. Dies vereinfacht die Anwendung beträchtlich. Die ermittelten und ausgewerteten Zahnradversuche wurden mit relativ wenigen Versuchswerten je Versuch durchgeführt (n = 5 ... 20). Eine Abhängigkeit zwischen Formparameter und Belastung ist aber auch hier zu erkennen. Mit größer werdender Belastung steigt auch hier der Formparameter b an. Bei der Schadensart Bruch ergeben sich ähnliche Formparameter b wie bei Wellen (Schadensart Bruch). Bei Grübchen ist der Streubereich der Zahnräder nicht so groß wie bei Bruch und die b-Werte liegen ungefähr im Bereich der Wälzlagergrübchen. Die ermittelten Formparameter liegen alle in einem Bereich von b § 1 ... 2. Betrachtet man Abb. 7.2, so erkennt man, dass das Ausfallverhalten aller Elemente eine linkssymmetrische Verteilung aufweist. Eine derartige linkssymmetrische Verteilung scheint charakteristisch für das Ausfallverhalten der klassischen Maschinenelemente zu sein.

258

7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente

Dichtefunktion f (t)

1

b=1,1 b=1,5

b=1,9

0,5

0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Lebensdauer t für T=1 Abb. 7.2. Dichtefunktionen der Weibullverteilung für b = 1,1 ... 1,9

Dichtefunktion f (t)

Durch die Anwendung der dreiparametrigen Weibullverteilung ergaben sich für den Formparameter b immer kleinere Werte als bei der zweiparametrigen Auswertung. Die Ursache dieser Diskrepanz lässt sich mit Abb. 7.3 erklären. Das Histogramm der Dichtefunktion weist bei den meisten Versuchen eine linkssymmetrische Form auf und besitzt als geringste Ausfallzeit die Zeit t0. Die zweiparametrige Weibullverteilung muss, entsprechend ihrer Definition, bei t = 0 beginnen und versucht mit dieser Randbedingung das Histogramm zu beschreiben. Es ergibt sich damit ein Kurvenverlauf der ungefähr symmetrisch ist (b § 2 ... 3). zweiparametrige Weibull-Verteilung dreiparametrige Weibull-Verteilung Histogramm des Versuchs

t0 Lebensdauer t Abb. 7.3. Histogramm eines Versuches und Dichteverläufe der zwei- und dreiparametrigen Weibullverteilung

7.2 Charakteristische Lebensdauer T

259

Die dreiparametrige Weibullverteilung kann bei t0 beginnen und damit das Histogramm wesentlich besser approximieren. Dadurch erhält man eine linkssymmetrische Verteilung (b § 1 ... 2), deren Formparameter b definitionsgemäß kleiner als bei der symmetrischen ist.

7.2

Charakteristische Lebensdauer T

Die charakteristische Lebensdauer T ist der Lageparameter der Weibullverteilung und kann damit als eine Art Mittelwert der Verteilung angesehen werden. Ein Vergrößern der charakteristischen Lebensdauer T bedeutet deshalb, dass das Ausfallverhalten insgesamt zu längeren Ausfallzeiten verschoben wird. Während der Formparameter b und der Faktor ftB im Wesentlichen nur vom Bauelement und der Schadensart abhängen, s. Abschn. 7.1 und 7.3, ist die charakteristische Lebensdauer T als Funktion der Belastung anzusehen. Eine geringe Belastung wird bei allen Bauelementen zu längeren Ausfallzeiten führen und damit die charakteristische Lebensdauer T vergrößern. Für eine Prognose des Ausfallverhaltens wird die charakteristische Lebensdauer T im Allgemeinen mit einer Lebensdauer- bzw. Betriebsfestigkeitsberechnung ermittelt. Ein bestimmtes Berechnungsverfahren führt dabei zu einer Lebensdauer, die mit einer erwarteten Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) verknüpft ist. Zum Beispiel ergibt sich bei der Wälzlagerberechnung definitionsgemäß die B10-Lebensdauer (F(t) = 10%) und bei der Zahnradberechnung die B1-Lebensdauer (F(t) = 1%). Mit diesen Lebensdauern erhält man jeweils einen Punkt im Wahrscheinlichkeitsnetz, Abb. 7.4. Das gesamte statistische Ausfallverhalten ergibt sich durch die zusätzliche Kenntnis des Formparameters b und evtl. der ausfallfreien Zeit t0. Bei Bauelementen, für die es keine abgesicherte Lebensdauerberechnung gibt, ist man auf Erfahrungswerte (z.B. aus Schadens- und Kulanzstatistiken), Schätzungen oder Versuche angewiesen. Aus der B1- bzw. der B10-Lebensdauer kann dementsprechend die charakteristische Lebensdauer T (F(t) = 63,2%) mit Gln. (7.1) und (7.2) berechnet werden. Charakteristische Lebensdauer T bei ermittelter B1-Lebensdauer: B1  f tB ˜ B10 T  f tB ˜ B10 , (7.1) b  ln 0,99 wobei B10

B1

1  f tB ˜ b ln 0,99  f tB ln 0,9

.

260

7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente

99 % 90

3,5

70 63 50

3

30 20

2,5

10

2

5 3 2

1,5

1

1

(7.2)

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

Charakteristische Lebensdauer T bei ermittelter B10-Lebensdauer: B10  f tB ˜ B10 T  f tB ˜ B10 . b  ln 0,9

0,5 0,5

0,3 0,2 B1-Lebensdauer 0,1 0,1

B10 -Lebensdauer Pol

1

10

0 100

Lebensdauer t·103 LW

Abb. 7.4. Berechnete B1- bzw. B10- Lebensdauer im Weibullwahrscheinlichkeitspapier (Beispiel)

Für den allgemeinen Fall einer Bx-Lebensdauer erhält man entsprechend die charakteristische Lebensdauer T als: T wobei B10

Bx  f tB ·B x b

 f tB ·Bx  ln 1  x Bx

(7.3)

1  f tB ·b ln1  x  f tB ln 0,9

(Gln. (7.1) bis (7.3) wurden aus der allgemeinen Gleichung der Weibullverteilung abgeleitet).

7.2 Charakteristische Lebensdauer T

261

9,0 6,0 4,0

Grübchen

LX / L0 bzw. KX / K0

2,0

⎛ TGetr⎞ ⎟⎟ ⎝ TMot ⎠

6,25

L X = L 0⋅ ⎜⎜

1,5 1,2 Standard- Preis

bzw. Lebensdauer 1,0

Preis ⎛

0,8

KX = K0 ⋅ ⎜⎜ 0,09 + 0,91⋅ ⎝

0,6

TGetr⎞ ⎟ TMot⎟⎠

StandardGetriebe

0,4 0,2

0 T 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Getr

unterdimensioniert

überdimensioniert

TMot

Abb. 7.5. Abhängigkeit der Grübchentragfähigkeit und des Getriebepreises von der Dimensionierung

Die Bedeutung bzw. Empfindlichkeit einer genauen Ermittlung der charakteristischen Lebensdauer T zeigt am Beispiel der Grübchentragfähigkeit eines Zahnrades die Abb. 7.5. Die geringe Neigung der Wöhlerlinie, ausgedrückt durch den Exponenten k = 6,25, führt bei einer Überdimensionierung von nur 10% zu einer beinahe doppelt so großen Lebensdauer. Bei dem gefährlicheren Fall einer Unterdimensionierung von 10% fällt das Zahnrad schon nach der halben Standardlebensdauer aus. Die Kosten für das Zahnrad ändern sich dagegen nur geringfügig. In [7.2] wird ebenfalls gezeigt, dass eine Änderung der charakteristischen Lebensdauer T den größten Einfluss auf die berechnete Systemzuverlässigkeit besitzt. Eine entsprechend genaue Prognose der Systemlebensdauer lässt sich deshalb nur mit einer gesicherten Betriebsfestigkeitsberechnung durchführen.

262

7 Weibullparameter einiger Maschinenelemente

7.3

Ausfallfreie Zeit t0 bzw. Faktor ftB

Bei Ermüdungs- und Verschleißausfällen kann, wie bereits erwähnt, das Ausfallverhalten der Bauelemente in den meisten Fällen nur durch eine dreiparametrige Weibullverteilung genau beschrieben werden. Besonders bei der Berechnung von Systemlebensdauern muss der Anfangsbereich des Ausfallverhaltens genauestens erfasst werden. Dies macht die Berücksichtigung der dreiparametrigen Weibullverteilung mit ihrem dritten, zusätzlichen Parameter – der ausfallfreien Zeit t0 – unbedingt notwendig s. [7.2, 7.3, 7.4, 7.5]. Der ausfallfreien Zeit t0 liegt bei Verschleiß- und Ermüdungsausfällen zugrunde, dass eine gewisse Zeit für die Schadensentstehung und Ausbreitung benötigt wird. Ohne diese Annahme müssten Ausfälle durch Verschleiß, Ermüdung, Alterung etc. schon nach kürzester Betriebszeit auftreten können. Dies widerspricht aber der allgemeinen Erfahrung und Vorstellung. Bei der durchgeführten Auswertung der Datenbank hat es sich als zweckmäßig erwiesen, die ausfallfreie Zeit t0 nicht absolut, sondern als Faktor ftB = t0/B10 anzugeben. Dadurch lassen sich die Werte wesentlich besser vergleichen. Die Lebensdauer B10 wurde als Bezug gewählt, da sie sich bei einer zwei- oder dreiparametrigen Auswertung nicht wesentlich unterscheidet und weil sie im Anfangsbereich des Ausfallgeschehens liegt. Die Zusammenfassung der ermittelten Faktoren ftB zeigt Abb. 7.6. Bruch

Wellen Grübchen

Wälzlager

0,1...0,3 Grübchen

Zahnräder Bruch 0

0,2

0,7...0,9

0,4

0,6

0,8

0,4...0,8 0,8...0,95 1

Faktor ftB = t0/B10

Abb. 7.6. Faktoren ftB = t0/B10 für einige Bauelemente

Eine Abhängigkeit der Faktoren zur Höhe der Belastung konnte bisher nicht ermittelt werden. Für eine konservative Abschätzung sollte deshalb ein kleiner Faktor ftB gewählt werden, während bei einer optimistischen Einschätzung ein hoher Faktor verwendet werden kann.

Literatur zu Kapitel 7

263

Die ausfallfreie Zeit t0 wurde mit dem Test von Mann, Scheuer und Fertig [7.7] ermittelt. Dabei wurde immer das Signifikanzniveau Į für den Zeitbereich 0 < t0 < t1 berechnet. Da sowohl t0 als auch die Lebensdauer B10 statistische Variable darstellen, wurde der Faktor ftB jeweils mit den Medianwerten der beiden Größen ermittelt. Bei Wellen (Schadensart Bruch) konnte mit den umfangreichen Versuchen von Kitschke [7.5] der nahezu zwingende statistische Nachweis erbracht werden, dass eine ausfallfreie Zeit t0 vorhanden sein muss. Bei Wälzlagern ergaben sich interessanterweise recht geringe Faktoren ftB. Für Zahnräder mit der Schadensart Grübchen konnte nur ein recht großer Bereich für die ausfallfreie Zeit ermittelt werden. Durch die Auswertung weiterer Versuche lässt sich dieser Bereich jedoch sicher noch eingrenzen. Für Zahnräder mit der Schadensart Bruch ergaben sich ähnliche Werte wie für Wellen mit der gleichen Schadensart.

Literatur zu Kapitel 7 [7.1] Bergling G (1976) Betriebszuverlässigkeit von Wälzlagern. SKF Kugellager / Zeitschrift 188, Jhrg 51 [7.2] Bertsche B (1989) Zur Berechnung der System-Zuverlässigkeit von Maschinenbau-Produkten. Dissertation Universität Stuttgart, Institut für Maschinenelemente und Gestaltungslehre, Inst. Ber. Nr 28 [7.3] Bertsche B, Lechner G (1986) Verbesserte Berechnung der Systemlebensdauer von Produkten des Maschinenbaus. Konstruktion 38, Heft 8, S 315320 [7.4] Bertsche B, Lechner G (1987) Einfluß der Teileanzahl auf die SystemZuverlässigkeit. Antriebstechnik 26, Nr 7, S 40-43 [7.5] Kitschke E (1983) Wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden zur Ermittlung der Zuverlässigkeitskenngrößen mechanischer Systeme auf der Grundlage der statistischen Beschreibung des Ausfallverhaltens von Komponenten. Dissertation Ruhr-Universität Bochum, Lehrstuhl für Maschinenelemente und Fördertechnik, Heft 83 [7.6] Maennig W W (1967) Untersuchungen zur Planung und Auswertung von Dauerschwingversuchen an Stahl in den Bereichen der Zeit- und der Dauerfestigkeit. VDI-Fortschrittberichte, Nr 5, August [7.7] Mann N R, Fertig K W (1975) A Goodness of Fit Test for the Two Parameter vs. Three Parameter Weibull; Confidence Bounds for Threshold. Technometrics, vol 17, No 2, May

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

In diesem Kapitel wird auf die Planung von Lebensdauerversuchen eingegangen und die wichtigsten Grundsätze und Vorgehensweisen behandelt. Die Planung von Lebensdauerversuchen lässt sich aufteilen in eine statistische Prüfplanung und eine versuchstechnisch-messtechnische Planung, s. Kap. 6. Bei letzterer gelten hier die üblichen Grundsätze für eine korrekte Versuchsdurchführung [8.3, 8.4, 8.8, 8.11, 8.12 ]. Bei der statistischen Prüfplanung ist vor allem die Prüflosgröße festzulegen. Die Prüflosgröße steht in engem Zusammenhang mit dem Vertrauensbereich und der Streuung der Messwerte, s. Abschn. 6.3. Je weniger Teile geprüft werden, umso größer ist der Vertrauensbereich und umso unsicherer ist damit das Ergebnis der statistischen Auswertung. Für ein genaues Ergebnis müssen deshalb entsprechend viele Bauteile geprüft werden. Dies kann aber den Prüfaufwand deutlich erhöhen. Bei der statistischen Prüfplanung ist auch festzulegen, wie die Bestimmung der zu prüfenden Bauteile – die Stichprobenentnahme – erfolgen soll. Die Stichprobe sollte eine wirkliche Zufallsstichprobe sein, d.h. die zu prüfenden Bauteile müssen rein zufällig ermittelt werden. Nur dann ist die Grundbedingung einer repräsentativen Stichprobe gegeben. Des Weiteren ist es bei der statistischen Prüfplanung wichtig, eine geeignete Teststrategie festzulegen. Man unterscheidet hierbei zwischen x vollständigen Tests, x unvollständigen (zensierten) Tests und x Strategien zur Testzeitverkürzung. Die statistisch beste Möglichkeit bietet ein vollständiger Test, bei dem sämtliche Bauteile einer Stichprobe einem Lebensdauerversuch unterworfen werden. Es wird hier also bis zum Ausfall des letzten Elements geprüft. Damit stehen die Ausfallzeiten aller Elemente für die Auswertung zur Verfügung. Um den Prüfaufwand zu beschränken, kann es sinnvoll sein, einen unvollständigen Test durchzuführen, der gelegentlich auch als zensierter Test bezeichnet wird. Hierbei wird nur bis zu einer vorab festgelegten Lebensdauer oder bis zu einer gewissen Anzahl von ausgefallenen Bauteilen ge-

8.1 Testplanung auf Basis der Weibullverteilung

265

prüft. Derartige Tests sind nicht so aussagekräftig wie vollständige Tests, aber dafür mit einem oft wesentlich geringeren Prüfaufwand verbunden. Eine weitere Möglichkeit für eine starke Testzeitverkürzung bieten der Sudden-Death-Test und Versuche mit einer verschärften Beanspruchung. Auf die Auswertung von unvollständigen Tests und auf Strategien zur Testzeitverkürzung wurde in Abschn. 6.4 ausführlich eingegangen. Die wesentliche Aufgabe der Testplanung besteht darin, aus vorgegebenen Zuverlässigkeitsanforderungen x die Anzahl der Prüflinge (n = ?) und x die erforderliche Prüfdauer (tPrüfung = ?) zum Nachweis der geforderten Zuverlässigkeit zu ermitteln. Übliche Vorgaben in der Praxis sind z.B. eine Mindestzuverlässigkeit bei einer bestimmten Lebensdauer, z.B. R(200.000 km) = 90%, was einer geforderten B10-Lebensdauer von 200.000 km entspricht. Zusätzlich wird ein Vertrauensniveau bzw. eine Aussagewahrscheinlichkeit PA festgelegt (z.B. 95%, 90% oder 80%), mit der die Zuverlässigkeitsanforderung nachgewiesen werden soll. Es ist üblich, dass kein Ausfall bei Testlauf erwartet wird, daher spricht man auch von Erfolgslauf oder „Success Run“. Zusätzlich können Kosten- und Zeitbedingungen vorgegeben werden. Die Möglichkeiten zur Festlegung der Prüflingsanzahl und der Prüfdauer werden im Folgenden gezeigt.

8.1

Testplanung auf Basis der Weibullverteilung

Als Vorgabe soll hier R(t) = 90% bei einem einseitigen Vertrauensniveau von PA = 95% dienen. Die allgemeine Situation ist in Abb. 8.1 im Weibullnetz dargestellt. Beispiel:

Gefordert wird die Zuverlässigkeit R(200.000 km) = 90% bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 95%. Aus der 95%-Vertrauensbereichtabelle sucht man jene Spalte, die für i = 1 eine geringere Ausfallwahrscheinlichkeit als die zuvor geforderte Ausfallwahrscheinlichkeit von F(200.000 km) = 10% liefert. Dies ist hier für n = 29 der Fall. In Abb. 8.2 ist die Situation im Weibullnetz dargestellt. Damit ergibt sich folgende Aussage: Falls n = 29 Prüflinge die Prüfzeit t = 200.000 km ohne Ausfall erreichen, gilt: R(t) = 90% mit 95%-iger Sicherheit/Wahrscheinlichkeit. Ein universelles Verfahren auf Basis der Binomialverteilung wird im Folgenden vorgestellt.

266

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0

95%-Vertrauensgrenze

63,2 Weibullgerade des Tests 50,0 nachzuweisender Punkt 30,0 20,0

F(t)

10,0 5,0 3,0 2,0

Lage abhängig von: n, b, T, t 0

1,0 0,5 0,3 0,2 0,1

t

1

103

100

10

Lebensdauer t

·102

104

LW

Abb. 8.1. Testplanung mit der Weibullverteilung

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

99,9 % 90,0 63,2 50,0

?

95%- Vertrauensgrenze

30,0 20,0

?

10%

10,0 5,0 3,0 2,0

9,8% i=1, n=29

1,0

2,4%

Weibullgerade

0,5 0,3 0,2 0,1

t 1

10

100

103

10 4

Lebensdauer t ·1000 km

Abb. 8.2. Beispiel für eine Testplanung mit der Weibullverteilung

8.2 Testplanung auf Basis der Binomialverteilung

8.2

267

Testplanung auf Basis der Binomialverteilung

Den Ausgangspunkt bildet hier die Betrachtung von n Prüflingen. Sind die Prüflinge identisch, werden sie alle die Zuverlässigkeit R(t) aufweisen, Abb. 8.3. Zum Zeitpunkt t gilt dann für die einzelnen Prüflinge R1(t), R2(t), R3(t), …, Rn(t) mit Ri(t) = R(t). Für die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Prüflinge bis zum Zeitpunkt t überleben, gilt dann nach dem Produktgesetz der Wahrscheinlichkeiten R(t)n. 1

2

........

3

n

n Prüflinge mit der Verteilung R(t)

Abb. 8.3. Ausgangspunkt für die Testplanung mit der Binomialverteilung

Wird also bei der Prüfung einer Stichprobe vom Umfang n bis zum Zeitpunkt t, welche die geforderte Lebensdauer darstellt, kein Ausfall beobachtet und ist R(t) die Überlebenswahrscheinlichkeit des Prüfobjekts, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n untersuchten Teile bis zum Zeitpunkt t „überleben“, gleich R(t)n. Anders formuliert kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, bis zum Zeitpunkt mindestens einen Ausfall zu beobachten, PA = 1–R(t)n ist. Aus der Umkehrung dieser Überlegung kann man sagen, dass wenn sich beim Test einer Stichprobe vom Umfang n bis zum Zeitpunkt t kein Ausfall ereignet, die Mindestzuverlässigkeit eines Prüflings gleich R(t) ist mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA. Daher gilt:

PA

n

1  R (t ) oder R(t )

(1  PA

1 )n

.

(8.1)

Gl. (8.1) wird in der Literatur und Praxis meist als „Success Run“ bezeichnet. Beispiel:

Folgende Zuverlässigkeitsvorgabe sei gegeben: R(200.000 km) = 90%. Der Nachweis soll mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 95% erfolgen. Mit Hilfe von obiger Gleichung ergibt sich ein erforderlicher Stichprobenumfang nach Umstellung:

268

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung 1

(1  PA ) n œ n

R (t )

ln 1  PA Ÿn ln R(t )

ln(0,05) ln(0,9)

28,4 .

Üblich ist hier auch der Einsatz von Diagrammen. So ist beispielhaft in Abb. 8.4 die Mindestzuverlässigkeit R(t) in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n für verschiedene Aussagewahrscheinlichkeiten PA aufgetragen, falls bis zum Zeitpunkt t kein Ausfall eingetreten ist (Success Run). 100%

Zuverlässigkeit R(t)

90%

Aussagewahrscheinlichkeit PA = 95% PA = 90% PA = 80% PA = 50%

80%

70%

60%

50% 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Stichprobenumfang n

Abb. 8.4. Mindestzuverlässigkeit R(t) in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n und der Aussagewahrscheinlichkeit PA, wenn bis zum Zeitpunkt t kein Ausfall eingetreten ist (Success Run)

8.3

Lebensdauerverhältnis

Es soll nun betrachtet werden, wie sich die Erhöhung bzw. die Verringerung der Testzeit auf den erforderlichen Stichprobenumfang auswirkt. Nach Weibull ist R (t ) exp (t / T ) b . Prüft man bis zu der Zeit tp z t so ist entsprechend R(t p )

exp (t p / T ) b . Daraus folgt:

ln(R(t p )) ln( R(t ))

§ tp ¨ ¨ t ©

· ¸ ¸ ¹

b

LV b ,

(8.2)

8.3 Lebensdauerverhältnis

und folglich ist R (t )

b LV

269

R (t p ) .

Das Verhältnis von Prüfdauer tP zu geforderter Lebensdauer t LV

tp t

(8.3)

,

wird als Lebensdauerverhältnis LV bezeichnet. Im Fall des Vorhandenseins einer ausfallfreien Zeit wird

LV

t p  t0 t  t0

LV (t  t0 )  t0 .

und damit t p

(8.4)

Das Einsetzen des Lebensdauerverhältnisses in Gl. (8.1) liefert schließlich 1

R(t ) (1  PA )

b LV ˜n

(8.5)

.

Eine Erhöhung der Prüfdauer tP führt also bei konstanter Zuverlässigkeit R(t) und Aussagewahrscheinlichkeit PA zu einer Verringerung des erforderlichen Stichprobenumfangs n und umgekehrt, s. Abb. 8.5 und Abb. 8.6. Diagramme und Beispiele:

Mindestzuverlässigkeit R

PA = 80% 100% 90% 80% 70% 60%

b = 2,0

keine Ausfälle beobachtet

n= 10 n= 9 n= 8 n= 7 n= 6 n= 5 n= 4 n= 3 n= 2 n= 1

50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

0,5

1

1,5

2

Lebensdauerverhältnis LV

2,5

3

Abb. 8.5. Zuverlässigkeit in Abhängigkeit vom Lebensdauerverhältnis und Stichprobenumfang [8.2]

270

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung R = 80%

Aussagewahrscheinlichkeit PA

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

b = 2,0

keine Ausfälle beobachtet

n = 10 n= 9 n= 8 n= 7 n= 6 n= 5 n= 4 n= 3 n= 2 n= 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Lebensdauerverhältnis LV

Abb. 8.6. Aussagewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Lebensdauerverhältnis und Stichprobenumfang [8.12] Beispiel 1: Nachweis der Zuverlässigkeit – Bestimmung der Testlänge und der Probenzahl [8.2]

Gegeben: Budget für Lebensdauertest von 40.000 km ohne Ausfall für ein Produkt; angenommener Formparameter b = 2,0. Gesucht: Anzahl der Proben für die zweckmäßigste und wirtschaftlichste Art der Testdurchführung, um eine Zuverlässigkeit von R = 80% bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 80% zu gewährleisten. Lösung: Es gibt zwei Lösungsansätze: Durch die Vorgabe b = 2,0 und R = 80% ist das Diagramm in Abb. 8.5 zu verwenden oder durch die Vorgabe PA = 80% das Diagramm in Abb. 8.6. Beide Möglichkeiten führen zum gleichen Ergebnis. Bestimmung von LV: Auf der Ordinate geht man von der R- bzw. PA - Marke = 80% nach rechts bis man den n-Wert schneidet. Das Lot von den Schnittpunkten auf die Abszisse ergibt in beiden Diagrammen die zugehörigen Lebensdauerverhältnisse LV.

8.3 Lebensdauerverhältnis

271

Ergebnis: Der kostengünstigste Test sei der mit einer Testeinheit (1 Probe, 1 Versuch, 1 Person), also n = 1. Das Lot des 80%-Schnittpunktes mit der n = 1 - Kurve ergibt auf der Abszisse das zugehörige Lebensdauerverhältnis LV = 2,7. Für diesen einen Test (n = 1) beträgt die Testlänge 2,7 · 40.000 km = 108.000 km. Der kostengünstigste Test zur Erreichung der vorgegebenen Zuverlässigkeitsziele (R und PA t 80 %) wird mit einem Versuch (n = 1) über eine Testlänge von 108.000 km realisiert. Beispiel 2: Zuverlässigkeitstest [8.2]

Die Entscheidung für einen kostengünstigen Zuverlässigkeitstest soll begründet werden. Gegeben: x x x x x

Drei Proben Budget für einen Testabschluss von 120.000 km Geforderte Mindestlebensdauer: 40.000 km Geschätzter Formparameter b = 2,0 Erforderliche Aussagewahrscheinlichkeit PA = 80%.

Gesucht: Art der Testdurchführung, d.h. a) eine Probe insgesamt 120.000 km testen oder b) drei Proben je 40.000 km (insgesamt 120.000 km) testen. Lösung: Diagramm, Abb. 8.5 (mit b = 2,0 und PA = 80%) a) Test mit einer Probe (n = 1) über 120.000 km; Lebensdauerverhältnis LV = 120.000 / 40.000 = 3. Für LV = 3 und n = 1 ist nach Diagramm in Abb. 8.5 die Zuverlässigkeit R = 83,6%. b) Test mit drei Proben über 40.000 km. LV = 1; n = 3; R = 58,5%. Ergebnis: Da der Aufwand bzgl. der zu erreichenden Fahrstrecken in beiden Tests gleich ist, ist dem Verfahren mit der höheren Mindestzuverlässigkeit der Vorzug zu geben, d.h. Durchführung des Tests mit einer Probe (n = 1) über 120.000 km. Die erhaltene Zuverlässigkeit beträgt damit R = 83,6%. Hinweis: Man kann auch einen festen Wert für die Zuverlässigkeit einführen und dann die Aussagewahrscheinlichkeit über Abb. 8.6 bestimmen. Hier wäre

272

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

die höhere Aussagewahrscheinlichkeit für das Erreichen des Ziels zum Ausdruck gekommen. Beispiel 3: Bestimmung der Zuverlässigkeit [8.2]

Bestimmung der Zuverlässigkeit, wenn ein Teil vor Erreichen der gewünschten Lebensdauer aus dem Test genommen wird: Gegeben: Ein Test mit dem Ziel, eine Zuverlässigkeit R = 80% und eine Aussagewahrscheinlichkeit PA = 80% nachzuweisen. Der Test erfordert, dass ein Teil ohne Ausfall bis zum 2,7-fachen der Soll-Lebensdauer getestet wird. Das Teil wurde aber nach dem 1,1-fachen der Soll-Lebensdauer aus dem Test genommen. Angenommener Weibullformparameter b = 2,0. Gesucht: Wie lange muss ein zweites Teil ohne Ausfall getestet werden, um die ursprüngliche Zuverlässigkeitsforderung R t 80% zu bestätigen? Lösung: Aus Abb. 8.5 (b = 2,0 und PA = 80%) ergibt sich die Anzahl erforderlicher Tests um eine Zuverlässigkeit von R = 80% bei einem Lebensdauerverhältnis LV = 1,1 zu erhalten mit n = 6. Da bereits ein Teil mit LV = 1,1 getestet wurde, sind noch 5 weitere Tests mit LV t 1,1 durchzuführen. Fünf Tests mit LV = 1,1 entsprechen in ihrer Zuverlässigkeitsaussage einem Test mit LV = 2,45. Die Zuverlässigkeitsforderung für R t 80% wird erfüllt, wenn nach der Entnahme des ersten Teils bei LV = 1,1 aus dem Test ein weiteres Teil erfolgreich bis zum 2,45-fachen der geforderten Lebensdauer getestet wird.

8.4

Verallgemeinerung für Ausfälle während des Tests

Allgemein gilt für die Aussagewahrscheinlichkeit der Binomialsatz: x

PA

1

§ n·

¦ ¨¨© i ¸¸¹ ˜ (1  R(t )) ˜ R(t ) i

n i

.

(8.6)

i 0

Dabei bezeichnet x die Anzahl der Ausfälle im Zeitraum t und n den Stichprobenumfang. Ereignet sich während des Versuchs bis zum Zeitpunkt t ein Ausfall, so ist PA

1  R(t ) n  n ˜ (1  R(t )) ˜ R (t ) n 1 .

(8.7)

8.4 Verallgemeinerung für Ausfälle während des Tests

273

Üblich ist auch hier der Einsatz von Diagrammen. Abb. 8.7 zeigt beispielhaft ein Larson-Nomogram (siehe z.B. [8.12]). Eingezeichnet ist eine Stichprobe mit n = 20 Elementen, wobei x = 2 Prüflinge während der Testzeit t ausgefallen sind. Um die erreichte Zuverlässigkeit bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 90% zu ermitteln, zeichnet man eine Gerade von PA = 0,9 durch den Punkt (n = 20; x = 2) und liest am Schnittpunkt mit der R-Geraden die Zuverlässigkeit ab. Die Zuverlässigkeit R(t) zur Testzeit t beträgt über 75% mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von 90%. 0,99

00

0,98

5 10

0,97

10 5

0,80

200

2 0

0,75

x= A in d nzahl er S Aus tich fälle prob e

Zuverlässigkeit R

gn

fan

140

um

0,85

en

100

0,9999 0,999 0,995 0,99 0,98

ob

70

pr

20 30 40 50

ich

0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90

St

0,96

0 70 0 50 00 4 0 30 0 20 0 14 0 10 70 50 40 30 20

1

0,70

2 3 4 5

0,65 0,60 0,55 0,50

Abb. 8.7. Larson-Nomogramm

7 9

0,95 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05

Aussagewahrscheinlichkeit PA

0 10

0,02 0,01 0,005 0,002 0,001

274

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

8.5

Berücksichtigung von Vorkenntnissen (BayesMethode)

Zur Reduktion des erforderlichen Stichprobenumfangs n kann der Satz von Bayes zur Berücksichtigung von Vorkenntnissen angewendet werden. Die Vorkenntnisse gehen in Form der a-priori-Verteilungsdichte mit der Dichte f(-) ein. Für ein konkretes Ereignis A gilt die Wahrscheinlichkeit P(A|-) mit dem unbekannten Parameter -. Weiß man nun, dass - entsprechend der Dichte f(-) verteilt ist, so ergibt sich die a-posteriori-Verteilungdichte unter Berücksichtigung dieses Vorwissens durch den Satz von Bayes: f (- | A)

P( A | -) ˜ f (-)

.

f

³ P( A | -) ˜ f (-) ˜ d-

(8.8)

f

Mit Hilfe dieser Dichte können Vertrauensbereiche durch Integration berechnet werden: b

P ( a d - d b)

³ f (- | A) ˜ d- .

(8.9)

a

Berücksichtigt man beim Success Run als Vorkenntnis, dass R eine Wahrscheinlichkeitsgröße ist (durch die Gleichverteilung 0 d R d 1), ergibt sich durch Anwendung des Satzes von Bayes eine Reduzierung des Stichprobenumfangs um ein Erprobungsteil (n + 1 statt n im Exponent): 1

³R

PA

P R0  R  1

n

˜ dR

R0

1  R n 1 .

1

³R

n

(8.10)

˜ dR

0

Weiterführende Literatur zu diesem Thema findet sich in [8.6]. Die Problematik bei weiterer Anwendung der Bayes-Methode liegt in der Aufstellung der a-priori-Verteilung. 8.5.1

Verfahren nach Beyer/Lauster

Ein praktischer Ansatz hierzu stammt von Beyer/Lauster [8.2]. Die Vorkenntnisse über die Zuverlässigkeit zu der Zeit t werden durch einen Wert R0 berücksichtigt, der selbst eine Aussagewahrscheinlichkeit von

8.5 Berücksichtigung von Vorkenntnissen (Bayes-Methode)

275

63,2% besitzt. Nach [8.2] ergibt sich unter Berücksichtigung dieser Vorkenntnisse folgende Beziehung für die Aussagewahrscheinlichkeit bei nach Weibull verteiltem Ausfallverhalten: PA

1 R

b n ˜ LV 1 ln 1 R0

b § n  1 /( LbV ˜ ln1 R0 ) ·§¨ 1  R LV ¸ ˜ ¨¨ ¸¨ Lb i i 0© ¹© R V

x

¦

i

· ¸ . ¸ ¹

(8.11)

Hierin steht b für den Weibullformparameter und x für die Anzahl der Ausfälle bis zu der Zeit t. Werden keine Ausfälle zugelassen (Success Run), d.h. x = 0, erhält man

1 R

PA

b n˜ LV 

1 ln(1 / R0 )

.

(8.12)

Umgestellt nach dem erforderlichen Stichprobenumfang ergibt sich: n

1 Lbv

ª ln 1  PA 1 º ˜«  ». ln 1 R0 ¼ ¬ lnR

(8.13)

d.h. der erforderliche Stichprobenumfang reduziert sich bei Berücksichtigung der Vorkenntnis R0 um n*

Lbv

1 . ˜ ln(1 / R0 )

(8.14)

Üblich ist auch hier der Einsatz von Nomogrammen, Abb. 8.8. Beispiel:

Für die Freigabe eines Aggregats soll eine Lebensdauerprüfung durchgeführt werden. Gefordert ist eine Lebensdauer B10 = 20.000 h, also R(20.000 h) = 0,9. Von vergleichbaren Vorgängermodellen sind folgende Vorkenntnisse bekannt: x R0 = 0,9 (mit 63,2% Aussagewahrscheinlichkeit) und x Formparameter b = 2. Der Nachweis soll mit PA = 85% und n = 5 Prüflingen erfolgen. Damit ergibt sich nach Abb. 8.8 ein Lebensdauerverhältnis von Lv = 1,25 und damit eine Prüfdauer von tp = 25.000 h (Linie n).

276

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Aus dem Nomogramm in Abb. 8.8 ergeben sich noch folgende Aussagen: x Für den Fall, dass Vorkenntnisse nicht berücksichtigt werden, sind n = 10 Prüflinge (ebenfalls mit Lv = 1,25) zu testen (Linie o). x Fällt ein Aggregat aus, so erhöht sich der zu prüfende Stichprobenumfang auf n = 14 (ebenfalls mit Lv = 1,25, Linie p). 50 60 70 80

90 95

Anzahl der Ausfälle x

99 % 99,9 % 99 95 90

1

VorkenntnisseR0 (PA0=63%)

50

Prüfung mit Ersatz

2

Prüfung ohne Ersatz (untere Grenze n*=10)

3 10

200 n* 100

99

99

50

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Auswertung)

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Prüfplan)

95

95 20 90

90 10

80

50

ohne

10

20

50

5 100 200 0,5 LVb


 

n ⋅ LVb 1

1,5 2

70 3

geforderte Zuverlässigkeit Rmin in %

0,75

Ausfallsteilheit b

0,5 1

5

10

20

Anzahl Prüflinge n

50

2 100 0,5

1

1,5

Lebensdauerverhältnis LV

Abb. 8.8. Nomogramm von Beyer/Lauster [8.2]

2

8.5 Berücksichtigung von Vorkenntnissen (Bayes-Methode)

8.5.2

277

Verfahren nach Kleyner et al.

Von Kleyner et al. [8.5] wird ein weiterführendes Verfahren zur Berücksichtigung von Vorkenntnissen vorgeschlagen. Als a-priori-Verteilung wird eine Mischung aus einer Gleichverteilung und einer Betaverteilung verwendet. Die Anteile beider Verteilungen werden über den so genannten „knowledge factor“ U gewichtet. Weiß man über R praktisch nichts, so sind viele Teile zu prüfen, um zu einer Zuverlässigkeitsaussage zu kommen. In [8.5] werden Felddaten eines älteren Produkts benutzt, um die Vorverteilung zu schätzen. Dies ist eine objektive Vorgehensweise. Eine Subjektivität kommt dadurch zum Tragen, dass man den Ähnlichkeitsgrad zwischen neuem und altem Produkt schätzen muss, indem man den „knowledge factor“ U angibt. Keine Ähnlichkeit, also keine Übertragbarkeit der Zuverlässigkeitsinformation von dem alten auf das neue Produkt wird durch U = 0 gekennzeichnet. Je größer U wird, umso ähnlicher werden altes und neues Produkt eingeschätzt und umso geringer wird der notwendige Stichprobenumfang. Im Fall U = 1 entspricht die a-priori-Verteilung praktisch der reinen Betaverteilung ohne Gleichverteilungsanteil. Dies entspricht einem sehr guten Vorwissen über R und es ist nachvollziehbar, dass dann der notwendige Stichprobenumfang recht klein wird. Die subjektive Schätzung von U ist der Hauptkritikpunkt an der Kleyner-Methode. In [8.5] ist angegeben, wie man die Berechnung durchzuführen hat. Unter der Voraussetzung, dass bei den Tests keine Ausfälle auftreten, erhält man nach Anwendung des Satzes von Bayes die a-posteriori-Dichte nach [8.5] R A n 1 ˜ (1  R ) B 1 E( A, B ) 1 U E( A  n, B ) U˜ n 1 E( A, B )

(1  U) ˜ R n  U ˜ f ( R)

(8.15)

und durch Integration die Aussagewahrscheinlichkeit 1

PA

³ f ( R) ˜ dR .

(8.16)

R

Der „knowledge factor“ U muss im Intervall 0 d U d 1 geschätzt werden. A und B sind die Parameter der Betaverteilung, die aus Ausfalldaten des Vorgängerprodukts zu ermitteln ist.

278

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Die Dichtefunktion der Betaverteilung lautet allgemein: ­ *( A  B ) A1 x (1  x) B 1 0  x  1; A ! 0; B ! 0 ° f ( x) ® *( A) ˜ *( B ) . °¯0 sonst

(8.17)

Dabei steht * (..) für die Eulersche Gammafunktion. Mit dem „knowledge factor“ ergibt sich aus der Betaverteilung und der Gleichverteilung die a-priori-Verteilung. Nach Anwendung des Satzes von Bayes erhält man die a-posteriori-Verteilung nach Gl. (8.15). 8 7

Dichte f(R)

6 5 4 3 2 1 0 0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0,9

0,95

1

Zuverlässigkeit R Verteilungsfunktion F(R)=1-PA

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

Zuverlässigkeit R

Abb. 8.9. Betadichte- und -verteilungsfunktion von R mit A = 25, B = 3

8.5 Berücksichtigung von Vorkenntnissen (Bayes-Methode)

279

Die Zuverlässigkeit R und die Aussagewahrscheinlichkeit PA werden im Allgemeinen vorgegeben. Sind nun A und B bekannt, ist die einzige Unbekannte der Stichprobenumfang n. Dieser kann numerisch aus dem Integral berechnet oder aus dem Diagramm abgelesen werden. Abb. 8.9 zeigt beispielhaft eine Betadichtefunktion mit den Parametern A = 25 und B = 3 und die entsprechende Betaverteilungsfunktion von R. Der Mittelwert (Median) dieser Betaverteilung liegt bei einer Zuverlässigkeit von Rmedian = 90,22%. Beispiel:

In Abb. 8.10 ist die Aussagewahrscheinlichkeit PA in Abhängigkeit vom erforderlichen Stichprobenumfang n für verschiedene Knowledge Faktoren (U = 0; U = 0,1; U = 0,2; U = 0,4; U = 0,6; U = 0,8; U = 1) und für den Success Run nach Gl. (8.1) dargestellt. Die geforderte Zuverlässigkeit beträgt R(tp) = 0,9. Die dazugehörige Betaverteilung der a-priori-Dichte besitzt die Parameter A = 25, B = 3 s. Abb. 8.9. Die Parameter wurden aus einem vorangegangenen Versuch ermittelt. Aus Abb. 8.10 erkennt man die deutliche Reduktion von n bei steigendem U.

Aussagewahrscheinlichkeit PA

100% 90% 80% 70%

ρ= 1 ρ = 0,8 ρ = 0,6 ρ = 0,4 ρ = 0,2 ρ = 0,1 ρ= 0 Success Run

60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

5

10

15

20

25

30

Stichprobenumfang n

Abb. 8.10. Aussagewahrscheinlichkeit PA über dem erforderlichen Stichprobenumfang n für verschiedene Werte des Knowledge-Faktors U bei der Zuverlässigkeit R = 90%

In Abb. 8.11 ist die erforderliche Anzahl an Prüflingen lediglich in Abhängigkeit des knowledge factors aufgezeigt. Sowohl Aussagewahrscheinlichkeit als auch Zuverlässigkeit wurden mit 90 % festgelegt. Dies entspricht

280

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Werten, wie sie in der Praxis häufig vorgeschrieben werden. Sind bei einem Sucess Run Test noch 22 Probanden nötig, so lässt sich der Stichprobenumfang auf bis zu sieben Teile reduzieren, falls die Vorinformationen vollständig übernommen werden können. Für ȡ = 0 geht der Ansatz von Kleyner et al. in eine reine Gleichverteilung über und es kann genau ein Prüfling eingespart werden. 24

Stichprobenumfang n

22 20

22

21

18 16 14

14

12 10

10

8 6

7

4 Success Run

0,0

0,2

0,6

1,0

knowledge factor ρ

Abb. 8.11. Notwendiger Stichprobenumfang n in Abhängigkeit des knowledge factors ȡ bei einer Aussagewahrscheinlichkeit PA von 90 % und einer Zuverlässigkeit R von 90 %

Eine ausführliche Beschreibung der Mathematik zu diesem Thema findet man im Buch von Martz und Waller „Bayesian Reliability Analysis“ [8.7]. Ein weiteres Verfahren wurde in [8.6] vorgestellt. Die Methode beschreibt Zuverlässigkeitsinformationen mittels Betaverteilungen und ist daher bezüglich des Rechenaufwands einfacher gestaltet als das Verfahren nach Kleyner et al. Vorinformationen werden durch den so genannten Transformationsfaktor übertragen. Durch die Einbindung eines Raffungsfaktors ist es möglich, Informationen, die in einem Raffungstest ermittelt wurden, zur Reduktion der Probandenanzahl zu nutzen. Des Weiteren können über das Lebensdauerverhältnis auch Tests mit von der nachzuweisenden Lebensdauer abweichender Prüfzeit berücksichtigt werden.

8.6 Beschleunigte Lebensdauerprüfung

8.6

281

Beschleunigte Lebensdauerprüfung

In diesem Kapitel geht es um Verfahren, bei denen aus Ergebnissen von Versuchen auf hohen Belastungsniveaus unter Anwendung eines physikalisch begründbaren Modells auf die Lebensdauer bei „normaler“ Belastung geschlossen wird [8.12]. Ein solcher Schluss ist selbstverständlich nur unter der Annahme gerechtfertigt, dass durch die Laststeigerung keine Änderung des Ausfallmechanismus verursacht wird. Ein Spezialfall hiervon sind Versuche, bei denen in vorher festgelegten Schritten die Last erhöht wird (Step-Stress-Test). Einen weiteren Spezialfall bilden die Versuche zur Ermüdungslebensdauer, bei denen die Grenze der Dauerfestigkeit bestimmt werden soll (Wöhlerlinie). 8.6.1

Raffung

Ein sehr praxisnahes Verfahren besteht darin, im Fahrversuch unter realistischen Betriebsbedingungen Lastkollektive aufzuzeichnen, daraus Zeitoder Streckenanteile oder Betätigungs- oder Einsatzhäufigkeiten zu bestimmen (Histogramme) und diese auf die nachzuweisende Lebensdauer hochzurechnen. Durch Nachbildung der Belastung im Prüfstandsversuch unter erhöhter Last, d.h. Anwendung eines physikalischen Modells, ergibt sich eine dem zugrunde gelegten Modell entsprechende Raffung [8.12]. Durch die erhöhte Belastung ergeben sich im Versuch höhere Schädigungen als im realen Betrieb und dadurch auch niedrigere Lebensdauern. Das Verhältnis zwischen der Lebensdauer unter normalen Betriebsbedingungen und der Lebensdauer im Rafferversuch ergibt den Raffungsfaktor RF: RF

t traff

.

(8.18)

Bei Gl. (8.18) ist zu beachten, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit für beide Lebensdauern identisch ist. Mit zeitraffenden Versuchen ist es möglich, die Versuchsdauer um den Raffungsfaktor zu reduzieren. Dies soll an folgendem Beispiel gezeigt werden.

282

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Beispiel („Understanding Accelerated Life-Testing Analysis“ von Pantelis Vassiliou, aus RAMS 2001 - Tutorial Notes):

Bei diesem Beispiel soll untersucht werden, welches Ausfallverhalten sich für eine Büroklammer ergibt, die abwechselnd mit einem bestimmten Biegewinkel auf- und zugebogen wird. Vorderansicht

Seitenansicht

Aufbiegung

α

Abb. 8.12. Büroklammer und Biegewinkel

Bei dem Versuch wurden jeweils 6 Büroklammern unter verschiedenen Biegewinkeln belastet: 45°, 90° und 180°. Die Ausfallzeiten sind in Tabelle 8.1 in Lastwechseln gegeben (1 Lastwechsel = Büroklammer um Į auf- und wieder in Ausgangslage zurückbiegen). Tabelle 8.1. Versuchsergebnisse Büroklammerversuch

Nr. 1 2 3 4 5 6

Į = 45° 58 63 65 72 78 86

Į = 90° 16 17 18 21 22 23

Į = 180° 4 5 5 5,5 6 6,5

In Abb. 8.13 sind die Weibullgeraden für die verschiedenen Biegewinkel dargestellt. Die Weibullverteilungen besitzen etwa gleiche Formparameter, d.h. der Ausfallmechanismus der Büroklammer ändert sich bei diesen Biegewinkeln nicht. Anhand der charakteristischen Lebensdauer erhält man für den Raffungsfaktor beim Biegewinkel von 180° (bezogen auf den Biegewinkel von 45°):

RF180q

t 45q t180q

74,85 13 . 5,72

8.6 Beschleunigte Lebensdauerprüfung

283

Bei einer Prüfung der Büroklammer mit einem Biegewinkel von 180° ergibt sich gegenüber einer Prüfung mit einem Biegewinkel von 45° eine Reduktion der Prüfzeit um den Raffungsfaktor 13. Für den Raffungsfaktor beim Biegewinkel von 90° (bezogen auf den Biegewinkel von 45°) ergibt sich:

RF90q

t 45q t 90q

74,85 20,78

3,6 .

Die Prüfung der Büroklammer mit einem Biegewinkel von 90° ergibt eine Prüfzeitreduktion um den Raffungsfaktor 3,6.

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) in %

Weibullnetz 99,9 99,0 90,0 80,0 63,2 50,0 30,0 20,0 10,0 5,0 3,0 2,0 1,0 0,5 0,3 0,2 0,1

45° 90° 180° W - b=7,036 T= 74,85 to= 0,00 - Vtb =0% W - b=6,859 T= 20,78 to= 0,00 - Vtb =0% W - b=6,139 T= 5,72 to= 0,00 - Vtb =0%

1

2

5

10

20

Lebensdauer t

50

100

200

500 1000

LW

Abb. 8.13. Ausfallverteilungen für verschiedene Biegewinkel im Weibullnetz

8.6.2

Step-Stress-Methode

Eine Methode zur beschleunigten Lebensdauerprüfung namens „StepStress-Methode“ wurde von Nelson [8.9] bereits 1980 vorgeschlagen. Durch stufenweise Erhöhung der Belastung nach jedem Ausfall wird die Testzeit verkürzt. Wichtig ist dabei, dass sich der Ausfallmechanismus nicht ändert, d.h. die Steigung der Weibullgeraden erhalten bleibt. Nach der Auswertung der so gewonnenen Ausfalldaten wird auf die Ausgangsverteilung zurückgerechnet. Die Methode ist teilweise umstritten und für mechanische Bauteile experimentell nicht überprüft. Die Anwendung der Methode ist jedoch als Variantenvergleich und bei extremem Zeitmangel

284

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

denkbar. Der Zusammenhang zwischen Belastung und Lebensdauer (z.B. Wöhlerlinie) muss allerdings bekannt sein. Das Prinzip ist in Abb. 8.14 dargestellt.

Lebensdauer t

Abb. 8.14. Prinzip der Step-Stress-Methode im Weibullnetz

8.6.3

HALT (Highly Accelerated Life Testing)

Seit etwa 1993 wird in der Literatur unter dem Acronym HALT eine weiterführende Methode zur beschleunigten Prüfung diskutiert [8.1]. HALT steht für Highly Accelerated Life Testing und bezeichnet eine von G. K. Hobbs (Hobbs Engineering Corporation, Westminster, Colorado, siehe im Internet unter: http://www.hobbsengr.com) entwickelte Vorgehensweise zur Zuverlässigkeitssicherung von Erzeugnissen in der Entwicklungsphase. Die Methode ist vorwiegend bei elektrischen und elektronischen, teilweise auch bei elektromechanischen, weniger bei mechanischen Baugruppen anwendbar. Durch Tests mit schrittweiser Laststeigerung sollen relevante Ausfallmechanismen zutage gefördert werden und zwar mit minimalen Kosten und in kürzest möglicher Zeit. HALT arbeitet mit Belastungsniveaus, die deutlich über diejenigen hinausgehen, denen das Erzeugnis beim normalen Gebrauch ausgesetzt ist, bzw. die spezifiziert sind. Der HALT-Prozess beginnt mit einer Analyse möglicher Belastungen, wie elektrischer (Betriebsspannung, -frequenz, Leistung), mechanischer (Vibration, Schock) oder thermischer Stress (extreme Temperaturen, schnelle Temperaturwechsel). Sie müssen für jedes Produkt individuell festgestellt werden. Dabei gibt es keine vorbestimmten Belastungsgrenzen. Es sollen möglichst viele versteckte Ausfallmechanismen provoziert werden. Ziel ist der Aus-

8.6 Beschleunigte Lebensdauerprüfung

285

fall, nicht das Überstehen des Tests. Das Erzeugnis muss während des Versuchs in Betrieb sein und überwacht werden. Diese Phase stellt den Beginn eines iterativen Prozesses dar, der aus den folgenden Schritten besteht: x Test mit schrittweiser Laststeigerung; x Analysieren der Testergebnisse (Suche der „Root Causes“); dabei ist es wesentlich, allen Ausfallursachen auf den Grund zu gehen, auch wenn die Ausfälle sich außerhalb der Spezifikationsgrenzen ereignet haben; x Durchführen von Korrekturmaßnahmen (z.B. konstruktive Änderung, Material, Zulieferer, Montage); x erneuter Test. Im Rahmen von Versuchen mit Laststeigerung werden die Betriebsgrenzen (Funktionsgrenzen) und Zerstörungsgrenzen (Ausfallgrenzen) ermittelt. Bei Überschreitung (Unterschreitung) der oberen (unteren) Betriebsgrenze arbeitet das Erzeugnis fehlerhaft, geht aber bei Unterschreitung (Überschreitung) wieder in den Normalbetrieb über. Zur Ermittlung der Zerstörungsgrenzen (upper and lower destruct limit) tastet man sich schrittweise an die technologischen Grenzen (Fundamental Limits of Technology, FLT) heran. Außerhalb der Zerstörungsgrenzen wird das Gerät dauerhaft geschädigt und fällt irreversibel aus. Bei Kombination mehrerer Belastungen ergeben sich in der Regel niedrigere Grenzniveaus. HALT beginnt mit den untersten modularen Einheiten und geht dann schrittweise zu höheren Komplexitätsstufen. Ergebnisse von HALT müssen zurückfließen in die x konstruktive Auslegungen/Designs bei Nachfolgern; x Fertigungsprozesse; x Bestimmung von Stressprofilen. HALT wird als höchst effektive Methode verstanden, mit der x x x x x

Design- und Fertigungsmängel erkannt; Auslegungsgrenzen ermittelt und erweitert; Erzeugniszuverlässigkeit erhöht; Entwicklungszeit verkürzt und die Auswirkungen von Modifikationen eingeschätzt werden soll(en).

Nachteil: Es ist nicht möglich, im Rahmen von HALT auf statistischer Basis Zuverlässigkeitswerte zu prognostizieren.

286

8.6.4

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Degradation Test

Es kann vorkommen, dass innerhalb der zur Verfügung stehenden Prüfzeit keine Ausfälle der Bauteile beobachtet werden können. In diesem Fall ist es nicht möglich, durch herkömmliche Zuverlässigkeitstests Aussagen über das Ausfallverhalten des Bauteils zu machen. Viele Ausfallursachen lassen sich jedoch auf Verschleißvorgänge innerhalb des Bauteils zurückführen. Materialabnutzungen führen zu einer Schwachstelle, die einen Ausfall des Bauteils bewirkt. Ist der entstandene Verschleiß messbar, so können wichtige Informationen über den zeitlichen Ablauf der Abnutzung gewonnen werden. Beim „Degradation Test“ ist der an einem Bauteil auftretende Verschleiß maßgebend. Die Bestimmung des Ausfallverhaltens des Bauteils wird ohne das Auftreten von Ausfällen möglich. Das Ausfallverhalten wird über die Höhe des Verschleißes ermittelt. Ist die Beziehung zwischen Belastungszeit und Höhe des Verschleißes bekannt, lässt sich das Lebensdauerende jedes geprüften Bauteils anhand seines Verschleißes ermitteln. Dabei wird eine bestimmte Verschleißgrenze als Versagensart definiert. Die anhand des tatsächlichen Verschleißes ermittelten Lebensdauern der Bauteile können anschließend statistisch ausgewertet und beispielsweise im Weibullnetz dargestellt werden. In vielen Anwendungsfällen ist es möglich, während der Testphase den entstandenen Verschleiß direkt zu messen. Man erhält somit innerhalb einer Versuchsreihe den zeitlichen Verlauf des Verschleißes, beispielsweise die Abnutzung eines Reifenprofils über der Laufleistung. Es gibt aber auch Anwendungen, bei denen man nicht oder zumindest nicht zerstörungsfrei den Verschleiß messen kann. Oft helfen auch andere Größen, den entstandenen Verschleiß messbar zu machen. Beispielsweise die zeitliche Abnahme der Leistung oder Funktionsfähigkeit eines Bauteils. Je nach Anwendungsfall kann die Verschleißmessung kontinuierlich oder nach festgelegten Zeitintervallen erfolgen. Durch die Verschleißmessungen erhält man den zeitlichen Verlauf des Verschleißes für das betreffende Bauteil. Je nach Bauteil ergibt sich ein unterschiedliches Verschleißverhalten. Manche Materialien besitzen eine so genannte Einlaufzeit, d.h. der Verschleiß ist anfangs höher als nach einer gewissen Zeit. Es gibt auch Bauteile, deren Verschleiß am Anfang geringer ist und danach ansteigt. In Abb. 8.15 sind die verschiedenen Verschleißverhalten über der Betriebszeit beispielhaft dargestellt.

287

Verschleiß

8.7 Übungsaufgaben zur Zuverlässigkeitstestplanung

Betriebszeit

Abb. 8.15. Unterschiedliches Verschleißverhalten

Der Degradation Test basiert auf normalen Betriebsbedingungen, wie sie das Bauteil im normalen Betrieb erfährt. Der beschleunigte Degradation Test ist eine Kombination aus einer zeitraffenden Prüfung, die durch eine Erhöhung des Belastungsniveaus zustande kommt, und dem herkömmlichen Degradation Test. Die Abnutzungserscheinungen der Bauteile werden dabei zusätzlich erhöht. Der Zusammenhang zwischen Raffungsfaktor und Verschleiß muss für eine Bewertung des Ausfallverhaltens unter normalen Betriebsbedingungen bekannt sein.

8.7

Übungsaufgaben zur Zuverlässigkeitstestplanung

Aufgabe 8.1

Für ein Fahrzeuggetriebe wird im Lastenheft die Lebensdauer B10 = 250.000 km mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 95% gefordert. Die Ausfallsteilheit soll, falls erforderlich, mit b = 1,5 abgeschätzt werden. Ermitteln Sie die erforderliche Getriebeanzahl für Prüfung ohne Ausfall a) auf Basis der Weibullverteilung und b) auf Basis der Binominalverteilung (Success Run). Die Prüfung ohne Ausfall soll unter folgenden Einschränkungen erfolgen: c) Aus zeitlichen Gründen steht nur die Zeit für 150.000 Versuchskilometer je Getriebe zur Verfügung. Wie groß legen Sie jetzt die Anzahl der zu prüfenden Getriebe fest? d) Aus Kostengründen stehen nur n = 15 Getriebe zu Versuchen zur Verfügung. Wie lange müssen diese ohne Ausfall laufen, um die geforderte Zuverlässigkeit nachzuweisen?

288

8 Methoden der Zuverlässigkeitstestplanung

Die Lebensdauerversuche wurden mit der Stichprobenanzahl n = 30 durchgeführt. Drei Getriebe sind jedoch vor 250.000 km Laufleistung ausgefallen, d.h. x = 3. Die anderen n - x Getriebe haben die geforderte B10Laufleistung ohne Ausfall überlebt. e) Welche Zuverlässigkeit können Sie dem Getriebe mit unveränderter Aussagewahrscheinlichkeit PA bescheinigen? f) Mit welcher Aussagewahrscheinlichkeit können Sie die geforderte B10Lebensdauer nachweisen? g) Wie viele Getriebe n* müssten wegen der aufgetretenen Ausfälle zusätzlich bis zur B10-Lebensdauer ohne Ausfall geprüft werden, um die geforderte Zuverlässigkeit mit der geforderten Aussagewahrscheinlichkeit nachzuweisen? Im Folgenden sollen zusätzlich Vorkenntnisse aus einem Vorgängermodell berücksichtigt werden. Aus einem Vorgängermodell sei die Zuverlässigkeit von R0 = 90% bekannt. Verwenden Sie zur Lösung der folgenden Teilaufgaben die Vorgehensweise nach Beyer/Lauster (sowohl das Nomogramm als auch die analytischen Beziehungen). h) Wie viele Getriebe sind mit Lv = 1 ohne Ausfall zu testen? i) Welche Prüfdauer tp muss ohne Ausfall getestet werden, wenn 12 Getriebe zur Verfügung, stehen? Aufgabe 8.2

Bei der Erprobung eines Geräts werden n = 2 Versuchsträger eingesetzt. Die Erprobung wird bis zur Zeit t durchgeführt, wobei x = 1 Gerät vor der Zeit t ausgefallen ist. Welche Zuverlässigkeit R(t) können Sie dem Gerät in Abhängigkeit von der Aussagewahrscheinlichkeit PA bestätigen? Stellen Sie diese Abhängigkeit qualitativ grafisch dar. Aufgabe 8.3

Durch eine Erprobung soll die über eine Betriebsfestigkeitsberechnung ermittelte charakteristische Lebensdauer T = 1,2·106 LW eines Zahnrads nachgewiesen werden. Der Formfaktor sei mit b = 1,4 bekannt, die ausfallfreie Zeit stehe mit t0 = 2·105 LW fest. Insgesamt stehen n = 8 Erprobungszahnräder zur Verfügung. Welche Prüfdauer tp müssen die n Erprobungszahnräder geprüft werden, um die Charakteristische Lebensdauer mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 90% bestätigen zu können. Aufgabe 8.4

Eine Fahrzeugbaugruppe soll laut Lastenheft die Lebensdauer B10 = 250.000 km bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von PA = 95%

Literatur zu Kapitel 8

289

haben. Es wird eine zweiparametrige Weibullverteilung angenommen, die Ausfallsteilheit soll mit b = 1,5 abgeschätzt werden. Es stehen n = 23 Getriebe zur Erprobung zur Verfügung. a) Ermitteln Sie die erforderliche Prüfdauer tp für Prüfung ohne Ausfall. b) Welche Prüfdauer tp müssen die n Getriebe geprüft werden, wenn die rechnerisch ermittelte charakteristische Lebensdauer T = 1,5·106 km als Vorwissen berücksichtigt werden soll. Verwenden Sie den BayesAnsatz von Beyer/Lauster.

Literatur zu Kapitel 8 [8.1] AT&T Strategic Technology Group (1997) HALT, HASS and HASA as applied at AT&T. AT&T Wireless Services, Strategic Technology Group [8.2] Beyer R, Lauster E (1990) Statistische Lebensdauerprüfpläne bei Berücksichtigung von Vorkenntnissen. QZ 35, Heft 2, S 93-98 [8.3] Kececioglu D (1993) Reliability and life testing handbook. vol 1. Prentice Hall, cop. Engelwood Cliffs, N.J. [8.4] Kececioglu D (1993) Reliability and life testing handbook. vol 2. Prentice Hall, cop. Engelwood Cliffs, N.J. [8.5] Kleyner, Bhagath, Gasparini, Robinson, Bender (1997) Bayesian techniques to reduce sample size in automotive electronics attribute testing. Microelectronic Reliability, vol 37, No 6, pp 879-883. [8.6] Krolo A, Bertsche B (2003) An Aproach for the Advanced Planning of a Reliability Demonstration Test based on a Bayes Procedure. Proc. Ann. Reliability & Maintainability Symp., 2003, S 288-294 [8.7] Martz H F, Waller R A (1982) Bayesian reliability analysis. John Wiley & Sons, New York, [8.8] Meyna A, Pauli B (2003) Taschenbuch der Zuverlässigkeit. Hanser, München, Wien [8.9] Nelson W (1980) Accelerated Life Testing - Step-Stress Models and Data Analysis. Trans. of Reliability, vol. R-29, No 2, June [8.10] O’Connor P D T (1990) Zuverlässigkeitstechnik. VDH Verlag, Weinheim [8.11] Tobias P A, Trindade D C (1994) Applied reliability. 2nd ed. Chapman & Hall [8.12] Verband der Automobilindustrie (2000) VDA 3.2 Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. VDA, Frankfurt

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Die methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen stellt eine wesentliche Grundlage bei quantitativen Zuverlässigkeitsmethoden dar. Dabei sind die ermittelten Festigkeits- bzw. Lebensdauerwerte als Eingangsgrößen für die Zuverlässigkeitsverfahren anzusehen. In diesem Sinne ist Zuverlässigkeitstechnik eine Art erweiterter Festigkeitsrechnung. Auf Grund des Umfangs dieser Thematik kann im vorliegenden Kapitel nur ein Überblick über die Vorgehensweise und Aspekte der Lebensdauerberechnung mechanischer Komponenten gegeben werden. Eine detaillierte Beschreibung und Vertiefung der Zusammenhänge ist in der weiterführenden Fachliteratur [9.7, 9.14, 9.15, 9.33] zu finden. Ziel der Produktentwicklung im Sinne der Zuverlässigkeit ist es, Produkte mit hoher und definierter Lebensdauer zu entwickeln [9.5, 9.18]. Für eine Lebensdauervorhersage ist die Kenntnis aller Versagensursachen notwendig. Sie lassen sich in drei Kategorien einteilen: 1. Ermüdungsausfälle, Alterungsausfälle, Verschleißausfälle und Ausfälle bedingt durch Umwelteinflüsse, wie Korrosion etc., verursacht durch zeitabhängige Veränderungen der beteiligten Materialien, z.B. bei hochbelasteten Komponenten der Fahrzeugtechnik. 2. Toleranzausfälle führen zu unzulässigen Abweichungen, die eine einwandfreie Funktion verhindern, z.B. bei Werkzeugmaschinen, die gewünschte Fertigungsgenauigkeiten nicht mehr erzielen oder bei Dichtungen, die unzulässig hohe Leckage aufweisen. 3. Ausfälle, bedingt durch Fehler, die in der Fertigung, Montage oder bei der Bedienung von Maschinen gemacht werden. Während sich das Ausfallverhalten der Kategorien 2. und 3. zur Zeit nur statistisch beschreiben lässt, existieren für die Materialermüdung Verfahren für eine rechnerische Lebensdauervorhersage, s. Abb. 9.1. Im Sinne einer optimalen Konstruktion werden die an den kritischen Stellen eines Bauteils auftretenden Betriebsbeanspruchungen, bestimmt durch äußere Lasten, mit der ertragbaren Beanspruchung, bestimmt durch Werkstoff, Gestalt, Fertigung und Umgebungseinflüsse, aufeinander abgestimmt [9.15].

9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

291

Je nach Lastfall wird das Bauteil statisch oder dynamisch, d.h. zeit-, daueroder betriebsfest, ausgelegt. Für die statische, zeitfeste und dauerfeste Auslegung stehen bewährte Verfahren der Festigkeitsberechnung zur Verfügung. Zur betriebsfesten Bemessung von Bauteilen gibt es eine ständig steigende Anzahl von Veröffentlichungen [9.12]. Die Lebensdauerberechnung ist aber wegen Unsicherheiten bei der Vorhersage der Betriebsbeanspruchung und der oft ungenauen linearen Schadensakkumulationshypothese großen Streubreiten unterworfen. Trotz dieser Unsicherheiten werden die immer detaillierteren Verfahren heute für die Vordimensionierung und in Verbindung mit Versuchen zur Optimierung und zum Lebensdauernachweis eingesetzt. Für eine letztendliche Freigabe der Serienprodukte sind auch heute noch Versuche zwingend notwendig. Bauteil

Belastung Äußere Kräfte

BeanspruchungsZeit-Funktion

Gestaltung

Fertigung

Geometrie global

Eigenspannung

Geometrie lokal Formzahl

Oberflächen

Auftretende Beanspruchung

Umgebung Werkstoff

Temperatur Korrosion

Zul. Beanspruchung

etc.

Ertragbare Beanspruchung

Beanspruchungskollektiv 1.Rechnerische Lebensdauervorhersage (Vordimensionierung) 2. Bauteillebensdauer unter simulierter lokaler Beanspruchung (Optimierung Gestalt) 3. Bauteillebensdauer unter simulierten äußeren Kräften bzw. Lebensdauernachweis

Abb. 9.1. Rechnerische Lebensdauerermittlung mit Schadensakkumulationshypothesen

292

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

9.1

Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

Bei der statischen und dauerfesten Auslegung von Maschinenelementen verwendet der Konstrukteur nach den Methoden der Festigkeitslehre Nennwerte oder örtliche Beanspruchungsspitzen der auftretenden Belastung und entsprechende Werte der ertragbaren Belastbarkeit in Verbindung mit einem Sicherheitsfaktor, s. Abb. 9.2. Der Sicherheitsfaktor wird so gewählt, dass möglichst alle Unsicherheiten im Berechnungsverfahren und bei den Lastannahmen sowie die Streuungen der Werkstoffkennwerte mit berücksichtigt werden [9.7]. Bei den Lastannahmen werden u.U. die Betriebsbedingungen durch einen Betriebsfaktor, wie z.B. der Dynamikfaktor KA bei der Auslegung von Zahnrädern nach DIN 3990, erfasst. Diese Vorgehensweise hat sich bewährt. • Statische Auslegung - Sicherheitsfaktor

• Dynamisch dauerfeste Auslegung - Sicherheitsfaktor

• Dynamisch zeitfest oder betriebsfest - Lebensdauer Wöhlerlinie - Lebensdauer Lebensdauerlinie

Ausfallwahrscheinlichkeit nur für Ausfall berechenbar!

Abb. 9.2. Ausfallarten bei mechanisch berechenbaren Ausfallursachen

9.1.1

Statische und dauerfeste Auslegung

Bei den meisten Produkten sind jedoch die Belastung und die Belastbarkeit Zufallsvariablen und demnach statistisch verteilt, s. Abb. 9.3. Am Beispiel der Beanspruchung eines Fahrzeuggetriebes wird dies deutlich. Die Belastung erfolgt durch das zeitlich veränderliche Torsionsmoment an der Getriebeeingangswelle. Sie hängt von dem verwendeten Motorkonzept, dem Motorkennfeld, der Fahrzeugmasse einschließlich Zuladung, dem Antriebskonzept, den Übersetzungen, dem Streckenprofil und insbesondere dem Fahrer ab [9.1]. Die Belastbarkeit des Bauteils hängt nicht nur von den verwendeten Werkstoffen sondern auch von den Fertigungsqualitäten

9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

293

-s1

Normalqualität -s2

s2

Ausfälle

s1

3·s1

3·s1

3·s2

3·s2

σW Überlast

σB Unterlast Unterqualität

Widerstandsverteilung Belastbarkeitsverteilung

Nennlast

Belastungsverteilung

Häufigkeit der auftretenden bzw. ertragbaren Belastung

ab. Die Kenntnis der Verteilungen (Dichte f ) von Belastung VB und Belastbarkeit VW und deren Überlappung ermöglicht Aussagen über die Ausfallwahrscheinlichkeit und Zuverlässigkeit von Maschinen und deren Elementen auf statistischer Basis, s. Abb. 9.3. Dieser Zusammenhang zwischen Belastung, Belastbarkeit und Ausfallwahrscheinlichkeit wird auch als Stress-Strength-Interference bezeichnet. Dabei ist es vorerst unwichtig, welcher Verteilung sie folgen.

Auftretende bzw. ertragbare Belastung Überqualität

s: Standardabweichung σB , σW : Mittelwerte der Verteilung der Belastung bzw. Belastbarkeit

Abb. 9.3. Zusammenhang zwischen auftretender und ertragbarer Belastung bzw. Beanspruchung

Die Zuverlässigkeit R ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die auftretende Belastung die ertragbare Belastung nicht überschreitet:

R

P (VW ! V B ) .

(9.1)

Für eine Belastung VX werden alle Bauteile nicht versagen, für die gilt VW ! V X . Die Anzahl der zuverlässigen Bauteile bzw. ihre Wahrscheinlichkeit lässt sich nach Abb. 9.4 mit dem Dichteintegral f

³ f W ( V W ) ˜ dV W

Vx

(9.2)

294

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

beschreiben. Die Belastung V B Wahrscheinlichkeit

V X tritt jedoch nur mit der relativen

f B (V B ) ˜ dV B

(9.3)

auf. Die Zuverlässigkeit des Bauteils, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die auftretende Belastung die ertragbare nicht überschreitet, erhält man für die auftretende Belastung VX nach dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeit, Abb. 9.4, als f

f B ( V B ) ˜ dV B ˜

³ f W ( V W ) ˜ dV W .

(9.4)

Vx

Dichtefunktion fB

dσB

fB(σB )

fB (σB ) ⋅ d σB

Dichtefunktion fB

σX

Belastung σB ∞

∫f

W

(σW ) ⋅ dσW

σx

fW ( σW )

σX

Belastbarkeit σW

Abb. 9.4. Ermittlung der Zuverlässigkeit aus äußerer Belastung und Belastbarkeit

9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

295

Werden nun alle möglichen auftretenden Belastungen berücksichtigt, so erhält man die Zuverlässigkeit aus Gl. (9.4) für alle Belastungen: f

R

³

f

ªf º f B ( V ) ˜ « f W ( V ) ˜ dV » ˜ dV . « » ¬V x ¼

³

(9.5)

Dabei sind x VW: die ertragbare Belastung, x VB: die auftretende Belastung und x B, W: die Indizes der Belastung bzw. Belastbarkeit. Die Gl. (9.5) besagt, dass beim Vorliegen der Dichtefunktion der ertragbaren Belastung fW(VW) und der auftretenden Belastung fB(VB) die Zuverlässigkeit R des Bauteils berechnet werden kann. In Abb. 9.5 ist dies anschaulich dargestellt. Ein Maß für den Abstand zwischen auftretender Belastung und ertragbarer Belastung ist die Zufallsvariable Y [9.22]: Y

VW  V B mit Y

VW  V B .

(9.6)

x PR P(Y t 0) ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Y t 0 ist, die Zuverlässigkeit, x PF P(Y  0) die Wahrscheinlichkeit, dass Y  0 ist, die Ausfallwahrscheinlichkeit.

Werden die Zufallsvariablen Belastung VB und ertragbare Belastung VW aufgrund ihrer zahlreichen zufälligen Einflussgrößen als normalverteilt angenommen, so lautet mit den Parametern Mittelwert und Streuung, (V B , s B ), (V W , sW ) , die Dichtefunktion der normalverteilten Belastung:



f B (V B )

1 s B ˜ 2S



2· § ¨ V V B ¸ ¨ B ¨ 2˜s B 2 ¸¸ ¹. ˜e ©

(9.7)

Die Dichtefunktion der Belastbarkeit ergibt sich analog. Die Zufallsvariable Y ist dann ebenfalls normalverteilt. Man transformiert

Z

Y Y mit sY sY

sW 2  s B 2 .

(9.8)

296

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Die normalverteilte Zuverlässigkeit R errechnet sich mit den Gln. (9.5), (9.7) und (9.8) zu:

R( z )

f

1 2S

˜

³e



z2 2

˜ dz mit z 0

 z0

fB(σB ) fW(σW )

y . sy

(9.9)

Verteilung der Belastbarkeit fW(σW )

Verteilung der Belastung fB(σB)

sB

Ausfall bzw. Unzuverlässigkeit

sW

σB

σB, σW

σW

Belastung (-B ) , Belastbarkeit/Festigkeit(-W)

Abb. 9.5. Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. Unzuverlässigkeit aus Belastung und Belastbarkeit

Mit dem Sicherheitsabstand SM nach Abb. 9.5

SM

( VW  V B ) (9.10)

sW 2  s B 2

berechnet sich die Zuverlässigkeit dann einfach durch R

§ ¨ ( VW  V B ) I¨ ¨ s 2 s 2 B © W

· ¸ ¸¸ , ¹

(9.11)

wobei I die Normalverteilungsfunktion ist [9.6, 9.22, 9.30, 9.31]. Zur Berechnung können die Werte der standardisierten Normalverteilung (d.h. Mittelwert 0 und Standardabweichung 1) mit der Error-Function erfc(x) z.B. mit Tabellenkalkulationsprogrammen berechnet oder aus Tabellen entnommen werden.

9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

297

Zum Vergleich ergibt sich bei der üblichen Festigkeitsberechnung der Sicherheitsfaktor SF als Quotient der Mittelwerte zu: SF

VW VB

z.B.

5000 3500

1,4 .

(9.12)

Welchen entscheidenden Einfluss die Streuung von Belastung und ertragbarer Belastung auf die Ausfallwahrscheinlichkeit hat, zeigt Abb. 9.6. An Stelle der Normalverteilung können auch andere Verteilungsfunktionen, wie z.B. die logarithmische Normalverteilung oder die Weibullverteilung verwendet werden. Sie schätzen im Allgemeinen die Extremwerte der Verteilung, die ja von besonderem Interesse sind, besser ab [9.15]. Beispiel:

Eine Bauteilserie hat eine Belastungsfähigkeit, die normalverteilt ist, mit einem Mittelwert von 5.000 N und einer Standardabweichung von 400 N. Die Belastung ist ebenfalls normalverteilt mit Mittelwert 3.500 N und Standardabweichung 400 N. Wie groß ist die Zuverlässigkeit der Bauteile? R

§ 5.000  3.500) I¨ ¨ 2 2 © 400  400

· ¸ ¸ ¹

I(2,65)

0,996 .

(9.13)

Die bisherige Betrachtungsweise eignet sich nur für statisch beanspruchte oder dynamisch beanspruchte Maschinenelemente, sofern sie im Dauerfestigkeitsbereich liegen. 9.1.2

Zeitfestigkeit und Betriebsfestigkeit

Für den Zeitfestigkeitsbereich kann angenommen werden, dass sich unter der Betriebsbeanspruchung die beiden Streubänder der ertragbaren und auftretenden Belastungs- bzw. Spannungsamplituden aufeinander zubewegen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit steigt mit zunehmender Lebensdauer, Abb. 9.6, was im Zeitfestigkeitsbereich eine zunehmende Bauteilschädigung verursacht. Es kann keine geschlossene Funktion nach Gleichung (9.5) mehr angegeben werden. Kennt man für das betreffende Bauteil die Bauteilwöhlerlinie mit ihrem Lebensdauerexponent k, so erhält man aus der Geradengleichung im doppellogarithmischen Diagramm Abb. 9.6 V VD

§ N ¨¨ © ND

· ¸¸ ¹



1 k

.

(9.14)

298

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Setzt man nun die Gl. (9.14) in Gl. (9.11), so berechnet sich die Zuverlässigkeit dann durch die stückweise für die einzelnen Lastwerte gültige Gleichung im Zeitfestigkeitsbereich [9.29]

Lastamplitude (lg)

R

§ ª§ · 1 ¨ ¨ V D ˜ N D 1k ·¸ ˜ N  k º  V B ¸ » ¨ «© ¸ ¹ ¼ I¨ ¬ ¸. sw 2  sB 2 ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Streuband der ertragbaren Lastamplituden des Bauteils

10%

90% Sicherheit iS

10%

90% Streuband der auftretenden Lastamplituden im Betrieb

Ausfallwahrscheinlichkeit %

(9.15)

i L = i Sk

Lastspielzahl N (lg)

50% L50% 10%

Ausfallsummenkurve (Gaußsche Summenkurve)

L10%

iL

Lebensdauer L (lg)

Sicherheit

Abb. 9.6. Zunahme der Ausfallwahrscheinlichkeit mit zunehmender Lebensdauer [9.15]

Für Bauteile, die bei Betriebstemperaturen oberhalb der Kristallerholungstemperatur des verwendeten Werkstoffs eingesetzt werden, erhält man ein ähnliches Verhalten, das Kriechen. Bei der Zeitstandsfestigkeitsberechnung ist die Verschiebung der Bauteilwiderstandsfähigkeit jedoch noch zusätzlich eine Funktion der Zeit t und der Temperatur T, Abb. 9.7. Aus

9.1 Äußere Belastung, ertragbare Belastung und Zuverlässigkeit

299

der Literatur sind entsprechende Ansätze wie das Exponentialmodell bekannt, um das zeit- und temperaturabhängige Verhalten warmfester Werkstoffe zu beschreiben [9.23]. Für den Fall der Betriebsfestigkeit, Abb. 9.8, können die auftretenden Belastungen sowohl im Zeit- als auch im Dauerfestigkeitsbereich liegen. Häufigkeit und Amplitude der auftretenden Belastung sind ebenfalls Zufallsgrößen. Die ertragbare Belastung streut ebenfalls und Aussagen über die Zuverlässigkeit betriebsbeanspruchter Maschinen lassen sich mit Hilfe von Schadensakkumulationshypothesen machen. Die betriebsfeste Dimensionierung eines Bauteils erfolgt mit dem Ziel, den Ausfall des Bauteils für die vorgesehene Betriebsdauer mit der notwendigen Sicherheit zu verhindern. Hierzu muss zunächst die Bauteilbelastung für die vorgesehene Betriebsdauer beschrieben werden. Damit erhält man unter Berücksichtigung des dynamischen Systemverhaltens Belastungsverläufe, die durch eine geeignete Klassierung zu Belastungskollektiven zusammengefasst werden. Zur Beschreibung der Belastbarkeit dient die Bauteilwöhlerlinie. Sie ist durch den Werkstoff und die Geometrieparameter des Werkstücks wie Form, Größe und Oberfläche bestimmt. Der Vergleich zwischen Belastungskollektiv und Wöhlerlinie erfolgt dann mit Hilfe einer Schädigungshypothese, im allgemeinen mit der linearen Schadensakkumulationshypothese von Palmgren Miner.

Lastamplitude

Ertragbare Belastung fW

+

+

(Ri,Pi)

+ +

Masterkurve Mittelwert der ertragbaren Belastung als Funktion von t, T

+

Belastungsverteilung fB

Zeit t, Temperatur T

Abb. 9.7. Zeitstandsfestigkeit

300

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen Schwingfestigkeit

ε

εa

σ

σ

σm

σm

σm

t 6

t 4

t

6

4

1·10 < N < 2·10

be

ns

ie

lin

ler

öh

2·106 log(N)

6

Le

W

e

ni

rli

Lastkollektiv

le

2·10 6 log(N)

öh

log(σa/σD )

N >2·10

W

e

ni

rli

le

öh

log(N)

W

e

ni

rli

le

öh

log(σa/σD )

2·10 < N < 5·10

W

log(σa/σD)

Lastspielzahl: 4 N<5·10

σa

1Lastspiel

Betriebsfestigkeit

log(σa/σD)

σ

Dauerfestigkeit

σD

σ

Zeitfestigkeit

σa>σD

Kurzzeitfestigkeit

da

ue

rlin

ie

2·106 log(N)

Bemessungskriterium

Abb. 9.8. Schwingfestigkeit mit Lebensdauerbemessungskurven [9.7]

Um Aussagen über die Zuverlässigkeit nach Gl. (9.11) zu machen, muss anstelle der Wöhlerlinie für ein mit einer Wahrscheinlichkeit eintretendes vorliegendes repräsentatives Lastkollektiv die Lebensdauerlinie ermittelt werden, Abb. 9.8, oder das Lastkollektiv auf ein äquivalentes einstufiges Ersatzkollektiv, dass die gleiche Schädigung hervorruft, transformiert werden. Die Ermittlung des Belastungskollektivs ist aber schwierig und zeitaufwendig. Daher ist die Verteilungsfunktion fB in der Regel nicht bekannt. Die Belastung wird dann unter verschiedenen ungünstig hohen Beanspruchungen ermittelt. Die einzelnen Belastungsanteile werden entsprechend ihrer zu erwartenden auftretenden Häufigkeit zusammengesetzt und das Kollektiv wird auf die gesamte Nutzungsdauer extrapoliert [9.1]. Für diese ungünstige Belastung wird meist die Eintrittswahrscheinlichkeit angesetzt. Die Zuverlässigkeit kann dann vereinfacht aus der Verteilung der ertragbaren Belastung berechnet werden, Abb. 9.9.

9.2 Belastung

301

fW(σW) Belastung PE = 1% Wendepunkt der Kurve sW

σB

σW

Verteilung der Belastbarkeit/Festigkeit

σB, σW

Zuverläsigkeit: R = 1- PE·FW

Abb. 9.9. Vereinfachter Zusammenhang zwischen Belastung und Belastbarkeit

9.2

Belastung

Bei der Betrachtung der Betriebsbelastungen und -beanspruchungen der meisten Bauteile kann festgestellt werden, dass konstante Lastamplituden in der Technik sehr selten sind, Abb. 9.10. Die Belastungen laufen in mehr oder weniger regelloser Form ab. So treten bei einem Pkw z.B. völlig regellose stochastische Beanspruchungsverläufe infolge der Straßenunebenheiten und des Fahrers, sowie an Schiffen und Bohrinseln infolge des Seegangs auf, Abb. 9.10. Häufig sind rein stochastischen Vorgängen auch deterministische Vorgänge überlagert. Bei einem Flügel eines Transportflugzeugs findet z.B. eine Mittellaständerung statt, wenn das Flugzeug am Boden rollt, vom Boden abhebt oder landet. Dies ist ein deterministischer, genau vorhersehbarer Vorgang, der mit mehr oder weniger regellosen Vorgängen infolge der Böenbelastung in der Luft oder der Rollbewegung am Boden überlagert ist. Ähnlich sind die Vorgänge an einem Reversierwalzwerk. Die Beanspruchung der Scheibe der Gasturbine eines Transportflugzeugs ist dagegen weitgehend deterministisch, der Lastablauf aber trotzdem variabel. Die Ursache hierfür ist, dass die Drehzahl dem Piloten bei einem bestimmten Flug fast völlig deterministisch vorgegeben ist und die Beanspruchung der Scheibe in erster Linie vom Quadrat der Drehzahl abhängt. Um diese Last-Zeit-Schriebe für eine Lebensdauervorhersage verwenden zu können, müssen diese mit statistischen Verfahren ausgewertet werden.

302

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

σ

t

Schiff: Offshorestruktur, Kraftfahrzeug, Schienenfahrzeug

σ

Transportflugzeug

t

σ

Reversierwalzwerkantrieb

t

σ Scheibe der Gasturbine eines Transportflugzeuges

t

Abb. 9.10. Stochastische und deterministische Lastabläufe [9.15]

9.2.1

Ermittlung der Betriebsbelastung

Zur Ermittlung der Betriebsbelastung wird ein Last-Zeit- oder Last-WegSchrieb der Beanspruchung am Bauteil benötigt. Diese Last-Zeit-Schriebe lassen sich über verschiedene Möglichkeiten, Messung oder Simulation, ermitteln, Abb. 9.11.

9.2 Belastung

303

Verifikation/Vergleich

Getriebe Motor nab Messignale Tk

nan t

Abfragetakte Rechenschritte

Messung Ausgabe

t u.a..

∆t

Simulation Statistische Auswertung

Lastkollektiv

Abb. 9.11. Ermittlung der Beanspruchung durch Simulation und Messung am Fahrzeuggetriebe

Telemetriesender

Drehmomentmesswelle Verstärker

Tiefpassfilter

µ Prozessor

Klassiergerät

Abb. 9.12. Ermittlung von Drehmomenten an Getriebewellen durch Messung

304

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Zum ersten können die Belastungs- und Beanspruchungsverläufe am Bauteil im wirklichen Betrieb direkt gemessen werden. Diese Betriebsmessung ist jedoch recht aufwendig und an bestimmten kritischen Stellen oft gar nicht möglich, z.B. Zahnfußspannungen in Getrieben. In Abb. 9.12 ist das Blockschaltbild für die Messung von Drehmomentverläufen an Fahrzeuggetrieben angegeben. Beim mobilen Einsatz in Fahrzeugen wird der Drehmomentverlauf direkt, also online, mit Hilfe eines Mikroprozessors klassiert oder nur aufgezeichnet und zeitversetzt klassiert. Hohe Abtastraten und lange Messzyklen benötigen eine Onlineverarbeitung, da die Zahl der zu speichernden Messwerte zu groß wird. Mit einfachen Algorithmen und schnellen Prozessoren ist heute auch für hochfrequente Belastungs-Zeit-Funktionen eine Onlineklassierung möglich [9.10, 9.31].

1.

Tk(t)

Globales Lastkollektiv

c1

c2 m1 Lokales Lastkollektiv m0

3.

FZahn(t)

m2

Tk

2.

c3 m3

m4

c4

m5 c5

Lokale Spannung

Ft σF(t)

SpannungsDehnungsverlauf

Abb. 9.13. Ermittlung der lokalen Betriebsbeanspruchung aus Belastungsnennfunktion [9.16]

Der Aufwand für die direkte Messung am Bauteil wird jedoch häufig dadurch reduziert, dass an einer Stelle im Kraft- oder Momentenfluss, die Belastungsnennfunktion, ermittelt und durch Rechnung auf die übrigen Komponenten übertragen wird. Für ein Fahrzeug bedeutet dies z.B., dass

9.2 Belastung

305

das Kupplungsmoment gemessen wird, aus dem gemessenen Moment die Momente an den Rädern und daraus die resultierenden lokalen Spannungen ermittelt werden. Da jedoch die Verbindung zwischen Kupplung und Rädern und die Räder selbst keine starren Gebilde sind, sondern Massen, Steifigkeiten und Dämpfungen haben, lassen sich die an der Kupplung gemessenen Werte nur durch die Betrachtung des dynamischen Gesamtverhaltens des Systems auf die einzelnen Komponenten übertragen, s. Abb. 9.13. Zur weiteren Analyse eignen sich Programme zur Simulation starrer oder elastischer Mehrkörpersysteme (MKS) (2.), Finite-Elemente (FEM) oder Boundary-Elemente Programme (BEM) (3.), s. Abb. 9.13. Geschwindigkeitsu. Höhenprofile v [km/h]

freie Bundesstr.

+

Fahrzeug-, Motoru. Getriebedaten

Stadtverkehr

rote Ampel

+

Fahrerdaten

freie Bundesstr.

Steigung

α = 0% α = 10%

∆s

s [km] Rechenschritte

Ausgabe

Tk t ∆t

Belastungs-Zeit Verlauf/ Lastkollektiv

Abb. 9.14. Simulierte Fahrt eines Kraftfahrzeugs

Eine zweite Methode Belastungs- und Beanspruchungsverläufe zu ermitteln bietet die Simulation, am Beispiel von Abb. 9.14 für Fahrzeugantriebsstränge dargestellt [9.25]. Auch Simulationen benötigen gemessene Daten, z.B. beim Kraftfahrzeug die Strecken-, die Fahrzeug- und die Fahrerdaten. Weiter wird ein Algorithmus benötigt, der es erlaubt, abhängig von den stationären Eingangsgrößen, den dynamischen Verlauf der Belastung als zeit- oder weg-

306

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

abhängige Größe zu ermitteln. Die Simulation führt dann zum gleichen Ergebnis wie die Betriebsmessung, dem Belastungs- oder Beanspruchungsverlauf, sofern Randbedingungen und Algorithmus repräsentativ sind. Die Auswahl, ob die Nennbeanspruchung oder die örtliche Beanspruchung ermittelt wird, hängt von der Modellierungstiefe des verwendeten Modells ab. Unter Umständen können lokale Beanspruchungen wieder aus den Nennbeanspruchungen abgeleitet werden. Eine dritte Methode umgeht die aufwendige Ermittlung der Last-ZeitFunktion [9.19]. Die Lastannahmen erfolgen meist direkt in Form eines Lastkollektivs. Die Form des Kollektivs kann z.B. aufgrund eines Zufallsprozesses als normalverteilt angenommen werden [9.7, 9.15], kann in Regelwerken vorgegeben sein, wie z.B. für die Dimensionierung von Kranwerken, oder ist durch mehrere Langzeitmessungen bekannt, s. Abb. 9.15. σA/σmax

Normalkollektiv

Logarithmisches Normalkollektiv

Geradlinienkollektiv

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

log (N) 100

101

102

103

104

105

106

Abb. 9.15. Verschiedene normierte Standardkollektive mit 8 Stufen

Als weitere Vereinfachung wird das Lastkollektiv in einem Betriebsfaktor zusammengefasst. Hierzu wird ein einstufiges äquivalentes Lastkollektiv mit der gleichen Schädigung ermittelt. Das Verhältnis äquivalente Last zu Nennlast Vequ/Vnenn wird als Betriebsfaktor der Nennlast zugeschlagen.

9.2 Belastung

9.2.2

307

Das Lastkollektiv

Die gemessenen oder simulierten Last-Zeit-Schriebe müssen für die Lebensdauerberechnung mit statistischen Zählverfahren ausgewertet werden [9.32]. Diesen Vorgang bezeichnet man als Klassierung. In DIN 45667 sind die einparametrigen Klassierverfahren ausführlich dargestellt [9.9]. Neben den einparametrigen gibt es noch zweiparametrige Verfahren, die sich für die Klassierung von Belastungs-Zeit-Funktionen durchgesetzt haben. Für Lebensdauerabschätzungen interessieren in erster Linie die Höhe der Belastung bzw. Beanspruchung und deren Häufigkeit. Die Frequenz der Belastungs-Zeit-Funktion und die Reihenfolge des Auftretens der Ereignisse werden dabei vernachlässigt, es sei denn bei hohen Temperaturen, bei Korrosion und wenn die Belastungs-Zeit-Funktionen wieder aus Lastkollektiven für durchzuführende Versuche rekonstruiert werden müssen, s. Abb. 9.16. Diese Annahmen sind im Allgemeinen zulässig, müssen jedoch von Fall zu Fall genau untersucht werden [9.32]. Bei der Klassierung wird der Belastungsverlauf möglichst gut in einzelne Schwingspiele zerlegt, um eine Zuordnung zu Wöhlerversuchen herstellen zu können, die im Einstufenverfahren mit sinusförmiger Belastung durchgeführt werden. Dynamische Beanspruchung

Ein Schwingspiel z.B. Sinusschwingung σ

t

Vernachlässigung:

Ein Schwingspiel für Klassierung σ

t

t

• Form der Schwingung • Frequenz der Schwingung • Reihenfolge der Schwingspiele

Abb. 9.16. Schwingungen bei Lebensdauervorhersage und Vereinfachungen bei der Klassierung

Die Verdichtung des Belastungszeitverlaufs erfolgt durch Einordnen des jeweiligen Schwingspiels in ein Klassenraster als Zählgröße. Die Genauigkeit bei der Erfassung der Belastungsamplitude wird durch die Feinheit des Klassenrasters bestimmt. Eine ausreichende Einteilung ist mit 16 bis 64 Klassen gegeben. Die Kollektivbildung liefert die Klassenbesetzung und die Summenbesetzung. Dabei gibt die Klassenbesetzung an, wie viele

308

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

erfasste Schwingspiele in den Grenzen der betreffenden Klasse liegen. Die Summenbesetzung gibt an, wie viele der Schwingspiele kleiner oder gleich der oberen Grenze der betrachteten Klasse sind. Die Kollektivform hat einen entscheidenden Einfluss auf die Bauteillebensdauer. Beschrieben wird ein Lastkollektiv durch die Form in halblogarithmischer Darstellung, durch den Umfang H (Summenhäufigkeit) sowie Maximal- und Mittelwert der Belastung bzw. Beanspruchung (Vo, Vm), s. Abb. 9.17. Im Folgenden werden die für die Lebensdauerermittlung geeigneten einund zweiparametrigen Verfahren vorgestellt. Einparametrige zählen nur Amplitude bzw. Klassengrenze. Zweiparametrige zählen dagegen Amplitude und Mittelwert oder Maximum und Minimum. Weiterhin werden die Verfahren unterschieden in die, die Schwingspiele zählen und damit das Spannungs-Dehnungs-Verhalten im Sinne der Werkstoffmechanik erfassen, und Verfahren, die eine zeit-, drehzahl- oder winkelabhängige Abtastung eines Signals, z.B. in der Antriebstechnik durchführen, woraus die Beanspruchung an den einzelnen Bauteilen ermittelt werden kann. 9.2.2.1 Einparametrige Zählverfahren Klassengrenzenüberschreitungsverfahren (KGÜZ)

Am Beispiel des Klassengrenzenüberschreitungsverfahrens (Klassendurchgangsverfahren, Level crossing counting) soll die prinzipielle Vorgehensweise bei der Klassierung beschrieben werden, s. Abb. 9.17. Beim Klassengrenzenüberschreitungsverfahren wird beim Überschreiten jeweils einer Klassengrenze eine Zählung ausgelöst. Die Klassenbreiten sind in Abhängigkeit von der Streuung der Messwerte festzulegen. In den positiven Klassen werden alle von der Bezugslinie weg ins Positive gerichteten Klassenübergänge gezählt, in den negativen Klassen alle von der Bezugslinie weg ins Negative gerichteten Klassenübergänge. Die Durchgänge durch die Bezugslinie (Nulllinie) sollen in der ersten positiven Klasse gezählt werden. In Abb. 9.17 ist dieser Klassierungsvorgang für eine stochastische Funktion dargestellt und zwar als Histogramm mit der Klassennummer j über der absoluten Klassenbesetzungszahl nj und umgekehrt nj über j. Durch Aufsummieren der absoluten Besetzungszahl erhält man die absolute Summenhäufigkeit Hj. Weiter ist ein Histogramm der absoluten Summenhäufigkeit der Beträge angegeben. Die Klassengrenzenüberschreitungszählung beschreibt die tatsächlichen Beanspruchungshöhen. Da die Amplituden der einzelnen Lastwechsel jedoch verloren gegangen sind, erfordert die Anwendung für eine Schädigungsrechnung die Reproduktion eines Ausschlaglastkollektivs aus dem Klassengrenzenüberschreitungskollektiv. Dazu wird vorausgesetzt, dass für jeden Punkt des Kollektivs die

9.2 Belastung

309

Klassengrenze

(z.B. Beanspruchungsschwellen)

Überschreitungszahl gleich der Summenhäufigkeit der Ausschlagslast ist, die der Differenz zwischen oberem und unterem Kollektivast entspricht. Dies gilt genau genommen nur dann, wenn alle Schwingspiele durch eine Klasse gehen. j=Klassennummer 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

1E 2E 2E 3E 6E 6E 6E 2E 2E 1E

Zeit t Absolute Klassenbesetzungszahl nj Klassierung Beanspruchung eines Häufigkeitsverteilung der BeBauteils oder Geräts anspruchungen (Histogramm) durch Zählen j 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

3E 5E 8E 14E 20E 11E 5E 3E 1E

Absolute Summenhäufigkeit Hj

Lastkollektiv 5 4 3 2 1 0

1E

1 4 8 13 25 31

|Absolute Summenhäufigkeit Hj|

5 4 3 2 1 0

1E 4E 8E 13E 25E 31E

|Absolute Summenhäufigkeit Hj|

Abb. 9.17. Klassierung mit dem Klassengrenzenüberschreitungsverfahren KGÜZ

Die Erstellung des getreppten Ausschlaglastkollektivs erfordert das Einlegen von Blöcken in das Klassengrenzenüberschreitungskollektiv. Die Höhe eines Blocks entspricht der durchschnittlichen Differenz zwischen oberer und unterer Kollektivlast und stellt die zugehörige Ausschlagslast dar. Die Breite des Blocks beschreibt die entsprechende Lastspielzahl. Das Verfahren liefert die zur Schadensakkumulationsrechnung benötigten Ausschlagslasten nur nach einer Umformung.

310

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Das Klassengrenzenüberschreitungsverfahren wurde in der Vergangenheit häufig bei Lebensdauerabschätzungen angewendet. Das Verfahren ist härter als andere Verfahren. Bei veränderlichen Mittellasten sind getrennte Kollektive zu erstellen. Spannen- und Spannenpaarverfahren

Das Spannen- (Bereichszählung BZ, range counting) und Spannenpaarverfahren (Bereichspaarzählung BPZ, range pair counting) sind in DIN 45667 genormte Verfahren, s. Abb. 9.18. Sie erfordern zunächst die Erkennung der Maximal- und Minimalwerte des auszuwertenden Beanspruchungsverlaufs. Die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Extremwerten wird als Spanne bezeichnet und wird beim Spannenverfahren als halbes Schwingspiel aufgefasst. Gezählt werden steigende oder fallende Spannen. Dieses Verfahren reagiert empfindlich auf kleine Zwischenschwingungen, die zwar vom zugehörigen Schädigungsanteil her vernachlässigbar sind, jedoch große Spannen zerlegen, so dass wegen des exponentiellen Schädigungsgesetzes die berechnete Gesamtschädigung stark vermindert wird. Wenn möglich, sollten deshalb kleine Zwischenschwingungen während oder vor dem Klassiervorgang herausgefiltert werden. Das Verfahren ist für die Lebensdauerabschätzung nicht geeignet. Die Spannenpaarzählung ermittelt die Summenhäufigkeit von Spannenpaaren, die sich aus jeweils gleich großen ansteigenden und abfallenden Spannen zusammensetzen. Die Spannen können sich aus mehreren, auch zeitlich versetzt aufgetretenen Spannenabschnitten zusammensetzen und brauchen mit dem gleich großen Gegenstück nicht auf einer Höhe zu liegen. Eine Kennzeichnung der Mittelspannung ist daher nicht möglich. Die Absolutwerte der Maxima und Minima gehen verloren. Die überlagerten Zwischenschwingungen werden jedoch zusätzlich zum Grundbelastungszyklus erfasst, ohne ihn zu zerteilen. Da das Ergebnis der Spannenpaarzählung eine Summenhäufigkeitsverteilung ist, aus der erst nach Abschluss des Klassiervorgangs die Häufigkeiten der einzelnen Klassen ermittelt werden können, kann es nicht zur Online-Auswertung eingesetzt werden. Die Spannenpaarzählung wird häufig für Lebensdauerabschätzungen verwendet. Bei der Auswertung sollte jedoch darauf geachtet werden, dass nur Bereiche mit gleicher Mittelspannung zusammengefügt werden.

9.2 Belastung

311

Spannenverfahren

S6 S5

S2

S4

S3

S1

Schwingungsgröße

(Range counting)

Differenzbildung zwischen Extremwerten

Zeit Spannenpaarverfahren

S2

S2

S1 S3

Zählung getätigt

S2

S3

S4

S5

S5

S4

Zählung vorbereitet

S1

Schwingungsgröße

S3

S1

(Range pair counting)

Zeit

Abb. 9.18. Spannenverfahren und Spannenpaarverfahren [9.15] Verweildauerzählung und Momentanwertzählung

Zu den Verfahren mit drehzahlabhängiger Abtastung gehören die in Abb. 9.19 und Abb. 9.20 für ein Fahrzeuggetriebe vorgestellte Verweildauerzählung (time at level counting) und die Momentanwertzählung (level distribution counting). Diese Zählverfahren, insbesondere die Momentanwertzählung, sind heutzutage Standardverfahren für die Zahnrad- und Lagerlebensdauerberechnung, da sich aus der Drehmoment-Zeit-Funktion die Einzelbeanspruchung am Zahn und die Lagerbeanspruchung ermitteln

312

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

lassen. Beim Verweildauerzählverfahren wird die Summe der Zeiten ermittelt, die das Signal innerhalb der einzelnen Klassengrenzen verweilt. Beim Momentanwertzählverfahren wird in gleichen Zeitabständen der Signalwert abgefragt und in die jeweilige Klasse gezählt. Die Häufigkeit der Zählung pro Klasse ist ein Maß für die Verweildauer in dieser Klasse. Mk in 7 Klassen

Getriebe Motor

10

(Nm)

nab

20

10 10 20 20 40 t 130 60

1500 1250 Klassierung: Verweildauer- 1000 750 verfahren 500 t 250 30 20 10 0 Umdrehungen [10·U] -250 Messignale

Mk

nan

Nullspur

30 (U)

Σ 290

Abb. 9.19. Erfassung Getriebelastkollektiv (Drehmoment) mit Verweildauerzählung Tk Klassen

Tk Klassen

1500 1 1250 1 Zugflanke 1000 2 750 2 4 500 13 250 -250 6 10 20

30

1500 1 1250 1 1000 2 750 2 4 500 250 10·U -250 10

Absolute Kollektive 19 20

10·U

30

Schubflanke Tk Klassen 1500 1250 1000 750 500 250 -250

Tk Klassen

1 2 4 6 10 23 6 10

20

30

1500 1250 1000 750 500 250 10·U -250

Zug- und Schubflanke (Grübchenbildung)

1 2

SummenKollektive

4 6 10

29 10

20

30 10·U

Gesamtkollektive (Wälzlager und Zahnbruch)

Abb. 9.20. Erstellung des Getriebelastkollektivs

9.2 Belastung

313

Bei kleinen Abtastintervallen entspricht das Zählergebnis praktisch der Verweildauerzählung. Bei der Beanspruchung am Beispiel Zahnräder ist zwischen der Beanspruchung an der Zug- und an der Schubflanke zu unterscheiden, wenn die Lebensdauer auf Grübchenbildung (Vorder- und Rückflanke getrennt) untersucht werden soll. Für die Ermittlung der Lebensdauer der Wälzlager und die Untersuchung auf Zahnbruch werden das Zugflanken- und Schubflankenkollektiv zu einem Gesamtkollektiv zusammengefasst, da sowohl im Zug- als auch im Schubbetrieb der gleiche Zahnfuß beansprucht wird.

9.2.2.2 Zweiparametrige Zählverfahren

Bei den einparametrigen Zählverfahren werden Amplitude bzw. Klassengrenzen allein gezählt, bei den zweiparametrigen dagegen MaximumMinimum bzw. Amplitude-Mittelwert, s. Abb. 9.21. Spannenmittelverfahren

Das Spannenmittelverfahren (Bereichs-Mittelwert-Zählung, range mean counting), s. Abb. 9.21 a, ist eine Erweiterung des einparametrigen Spannenpaarverfahrens. Das Zählergebnis ist eine Häufigkeitsmatrix für Bereiche und Mittelwerte. Das Verfahren ist nicht mehr gebräuchlich, da die Übergangsmatrix des folgenden Verfahrens besser ist. Von-Bis-Zählung in eine Übergangsmatrix

Die positiven und negativen Flanken einer Belastungs-Zeit-Funktion werden in ihrer Aufeinanderfolge in einer Matrix abgelegt, s. Abb. 9.21 b. Die Matrix wird auch als von Von-Bis-Matrix, Übergangsmatrix, Korrelationsmatrix oder Markov-Matrix bezeichnet. Die ansteigenden Flanken befinden sich in der oberen Dreiecksmatrix, die fallenden in der unteren. Die Diagonale ist nicht besetzt. Die Übergangsmatrix enthält anschaulich die wesentlichen Inhalte der Belastungs-Zeit-Funktion (Extremwerte etc.). Ergebnisse von einparametrigen Zählfunktionen können leicht abgeleitet werden, s. Abb. 9.25. Eine Onlineklassierung mit beliebig langen Messzyklen ist möglich.

314

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

M2

S2

M1 M3

M5 M4

S3

S4

S5

S1

Schwingungsgröße

a) Spannenmittelverfahren (Range mean counting)

Zeit nach Klasse j

b) Von-Bis-Zählung in eine Übergangsmatrix Umkehrpunkte

4 Klasse

j= 1

2

3

4

0

1

1

1

2

1

0

1

1

3

0

2

0

0

4

1

1

0

0

i= 1

3

von Klasse i

2 1 Beanspruchungs-Zeit-Funktion

c) Bereichspaar-Mittelwertzählung

Zeit

Abb. 9.21. Zweiparametrige Zählverfahren Bereichspaar-Mittelwert-Zählung

Dieses Zählverfahren, s. Abb. 9.21 c, entspricht der Bereichspaarzählung (Spannenpaarverfahren), jedoch wird der Mittelwert mitregistriert und das Ergebnis in einer Matrix abgelegt. Das Ergebnis ist mit dem der RainflowZählung identisch, bis auf das Residuum, das nur beim RainflowVerfahren ermittelt werden kann. Zweiparametrige Momentanwertklassierung

Die zweiparametrige Momentanwertklassierung verbindet die Momentanwertklassierung von zwei Signalen. Die Werte werden in eine Matrix ge-

9.2 Belastung

315

schrieben. Dieses Verfahren ist Standard bei der DrehmomentDrehzahlklassierung für die Ermittlung der Lagerlast- und Zahnradkollektive. Aus dem Wert der Drehzahl kann die Anzahl der Umdrehungen bzw. Überrollungen ermittelt werden [9.24]. Rainflow-Zählung

Das Rainflow-Zählverfahren ist ein in Japan von Matsuishi und Endo [9.11] und in den USA entwickeltes Konzept zur Zerlegung eines beliebigen Beanspruchungsverlaufs in ganze Schwingspiele. Das Rainflowverfahren zählt geschlossene Hystereseschleifen der Beanspruchungs-ZeitFunktion, die für die Schädigung metallischer Werkstoffe maßgebend sind. Nichtgeschlossene Hysteresekurven werden als Residuum abgelegt, s. Abb. 9.22. Die zur Entwicklung des Rainflowverfahrens führende Aufgabenstellung war, das Spannungs-Dehnungs-Verhalten eines nicht einstufig elastisch-plastisch beanspruchten Werkstoffs in der Weise zu klassieren, dass die nach der neueren Anschauung im Zusammenhang mit der Ermüdungsschädigung (Zerrüttung) stehenden Merkmalsgrößen dieses Verhaltens bestimmt und einer Speicherung zugänglich gemacht werden können. Als solche Kenngrößen werden Merkmalsgrößen der im Falle von Einstufenversuchen automatisch geschlossenen Spannungs-Dehnungs-Hystereseschleifen und bei nicht einstufigen Belastungsabläufen der sich im Laufe der Last-Zeit-Funktionen jeweils vollständig schließenden Hystereseschleifen angesehen, s. Abb. 9.22. Hierzu zählen z.B. die Gesamtdehnungsschwingbreite Hges) und die plastische Dehnungsschwingbreite (Hpl) also Merkmalsgrößen, zu deren Bestimmung nur die Dehnungs-Zeit-Funktion bekannt sein muss. Natürlich können mit der Rainflowmethode alle Belastungsgrößen klassiert werden, in der Regel sind das die äußeren Belastungen. Beim Rainflowverfahren gelten die folgenden Annahmen [9.8, 9.21]: x Zyklisch stabiles Werkstoffverhalten, d.h. die zyklische SpannungsDehnungs-Kurve bleibt konstant, also keine Ver- oder Entfestigungen. x Gültigkeit der Masinghypothese, d.h. die Form der Hystereseschleifenäste entspricht der doppelten Erstbelastungskurve. x Memory Verhalten des Werkstoffs, vgl. Abb. 9.22, d.h. nach einer geschlossenen Hystereseschleife folgt der VH-Pfad der vorher noch nicht vollständig geschlossenen Hystereseschleife.

316

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen σ

Regentropfenstrommodell: -6,0

-6,0

-3,0

6,0

-3,0

3,0

6,0

ε 1.Stoppregel

ε

Wert des Maximums (Minimums) größer (kleiner) oder gleich dem Wert des vorherigen Maximums (Minimums). 2. Stoppregel Regentropfenstrom wird von vorherigem Strom abgeschlossen.

t

Abb. 9.22. Erfassung des Beanspruchungs-Zeit-Verhaltens durch die Rainflowzählmethode

Für eine Automatisierung der Auswertung gibt es zahlreiche Algorithmen, die sich nur leicht unterscheiden. Die zwei gebräuchlichsten sind die PushDown-Liste [9.32] und die für eine EDV gestützte Auswertung günstigere HCM (Hysteresis Counting-Method) [9.8]. 9.2.2.3 Vergleich der verschiedenen Zählverfahren

Zum Vergleich der verschiedenen Zählverfahren sind in Abb. 9.23 und Abb. 9.24 Klassierergebnisse bei konstanter und veränderlicher Mittellast dargestellt. Bei konstanter Mittelspannung, s. Abb. 9.23, werden die Schwingspiele vollständig erfasst. Bei veränderlicher Mittellast, s. Abb. 9.24, weichen Rainflow- und Spannenpaarzählung nicht voneinander ab. Die Klassengrenzenüberschreitungszählung hat bei kleinerem Kollektivumfang einen höheren Anteil großer Schwingspiele (schädigungsintensiver). Bei der Spannenzählung ist es genau umgekehrt. Wird, wie z.B. in der Antriebstechnik, nicht unmittelbar an der kritisch beanspruchten Stelle der exakte Spannungs-Dehnungs-Verlauf erfasst, sondern der Mittelwert der Belastungsfunktion im Leistungsfluss davor oder danach, so sollte das Verweildauerverfahren oder die Momentanwertzählung eingesetzt werden.

9.2 Belastung

317

Ausschnitt

Beanspruchung

t

KGÜZ 10 8

Klasse

6 4 2 0

2 4

6

8

N

2 4

6

8

N

2 4

6

8

N

2 4

6

8

N

log N

8 6 4 2

BZ

BPZ

σa

σa

Lastkollektiv

σa

Rainflow

σa

Abb. 9.23. Vergleich von Klassierverfahren bei Beanspruchungen mit konstanter mittlerer Beanspruchung

318

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen Ausschnitt

Beanspruchung

BPZ

N

2

4 6 8

N

2

4 6 8

N

2

4 6 8

N

σa

σa

σa

σa

Rainflow

4 6 8

log N

BZ

2

Klassendurchgangszählung

12 10 8 6 4 2 0

12 10 8 6 4 2 0

Spannenzählung

Klasse

Lastkollektiv

KGÜZ

Rainflowzählung/Spannenpaarzählung

t

Abb. 9.24. Vergleich von Klassierverfahren bei veränderlicher mittlerer Beanspruchung

Da rechnerische Lebensdauerabschätzungen mit großen Unsicherheiten behaftet sind, besteht auch der Wunsch, aus den Beanspruchungskollektiven stochastische Beanspruchungs-Zeit-Funktionen zu rekonstruieren, um mit servohydraulischen Anlagen einen experimentellen Lebensdauernachweis durchführen zu können. Die Rekonstruktion einer repräsentativen

9.3 Die ertragbare Belastung, Wöhlerkurven

319

Beanspruchungs-Zeit-Funktion aus den Lastkollektiven allein ist jedoch nicht möglich. Eine Übersicht, welche einparametrigen Zählergebnisse aus zweiparametrigen ableitbar sind, gibt Abb. 9.25. Bereichspaarmittelwertzählung

Spitzenzählung

Bereichspaarzählung

Klassengrenzüberschreitungen

RainflowMatrix

Momentanwert(Verweildauer-) Zählung

einparam. Zählverfahren zweiparam. Zählverfahren Speichermatrizen

Bereichsmittelwertzählung Bereichszählung

Markov-MatrixSpitzenwerte

Momentanwertfolgezählung Markov-MatrixMomentanwerte

Abb. 9.25. Zusammenhang zwischen ein- und zweiparametrigen Zählverfahren

Zusammenfassend kann man sagen: das gewählte Zählverfahren beeinflusst das Ergebnis der Lebensdauerabschätzung. Für das Erfassen der lokalen Spannungs-Dehnungs-Hystereseverläufe ist nach dem heutigen Kenntnisstand das zweiparametrige Rainflowzählverfahren am besten geeignet. Die meisten Erfahrungen liegen jedoch zu den einparametrigen Zählverfahren wie Klassengrenzenüberschreitungszählung und Bereichspaarzählung vor. In der Antriebstechnik werden die Klassengrenzenüberschreitungszählung sowie die ein- und zweiparametrige Momentan- und Verweildauerzählung verwendet.

9.3

Die ertragbare Belastung, Wöhlerkurven

Für die Berechnung der Zeitfestigkeit und Betriebsfestigkeit wird als Werkstoffverhalten die Wöhlerkurve benötigt. Man unterscheidet zwischen der spannungskontrollierten und der dehnungskontrollierten Wöhlerkurve.

320

9.3.1

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Spannungs- und dehnungskontrollierte Wöhlerkurven

Lastamplitude σa (lg)

Die spannungskontrollierte Wöhlerkurve beschreibt das Werkstoffverhalten als Zusammenhang zwischen der zulässigen Lastspielzahl N für eine bestimmte Spannungsamplitude bei konstanter Dehnung, Abb. 9.26.

Ausfallwahrscheinlichkeit 90 % 50% 10%

ND statische Festigkeit

Zeitfestigkeit

Schwingspiele N (lg) Dauerfestigkeit

Abb. 9.26. Spannungskontrollierte Wöhlerkurve

Bei den Wöhlerkurven unterscheidet man in der doppellogarithmischen Darstellung zwischen drei Bereichen: 1. Quasistatische Festigkeit, bis ca. N = 101 - 103 Schwingspiele, 2. Zeitfestigkeit, den Bereich der geneigten Geraden, bis zur Ecklastspielzahl ND = 106 - 107, 3. Dauerfestigkeit, Bereich der horizontalen Geraden ab N > ND. Einige Werkstoffe wie z.B. austenitische Stähle besitzen jedoch keine ausgeprägte Dauerfestigkeit. Im Bereich der Zeitfestigkeit lässt sich die Wöhlerkurve in doppellogarithmischer Darstellung durch die folgende Gleichung beschrieben: N

§V N D ˜ ¨¨ a © VD

· ¸¸ ¹

k

.

(9.16)

Die dehnungskontrollierte Wöhlerlinie dagegen beschreibt das Werkstoffverhalten bei konstant gehaltener Spannung, s. Abb. 9.27. Die Werkstoffschädigung wird besser beschrieben, da bei schwingender Beanspruchung, durch die bei jedem Lastwechsel auftretende bleibende Dehnung, die bei großen Dehnungen praktisch gleich der Gesamtdehnung ist, als schädigend angesehen werden kann.

Gesamtdehnungsamplitude 2·εa,ges

9.3 Die ertragbare Belastung, Wöhlerkurven

321

εa,ges = ε a,el + εa,pl

2·εa,ges 2·εa,el

2·εa,pl Schwingspiele N (lg)

Abb. 9.27. Dehnungswöhlerlinie bei konstanter Spannung

Die Linien der elastischen und plastischen Dehnungsamplituden lassen sich beim doppellogarithmischen Maßstab z.B. durch die Manson-Coffin Gleichungen darstellen: H a ,el H a , pl

k el

E ˜ N Ab ,

k pl ˜ N A c .

(9.17) (9.18)

kel, kpl ist der Spannungs- bzw. Dehnungskoeffizient des Werkstoffs, b, c ist der Spannungs- bzw. Dehnungsexponent. Die Dehnungswöhlerlinie wird meistens als Anrisswöhlerlinie angegeben, d.h. die Schadensursache ist Anriss. 9.3.2

Ermittlung der Wöhlerlinien

Die Ermittlung der Wöhlerkurven für Betriebsfestigkeitsrechnungen soll möglichst am realen Bauteil erfolgen, wird aber meist aus Kosten- und Zeitgründen nur an speziellen Proben durchgeführt. Die sich ergebenden Bruchlastwechselzahlen sind Zufallsgrößen, d.h. sie streuen um einen Mittelwert. Die Übertragung der im Einstufen-ZugDruck-Wechselversuch gewonnenen Ergebnisse auf die wirklichen Bauteile bereitet heute noch Schwierigkeiten [9.26]. So ist die genaue Ermittlung der Kerbwirkung über den ganzen Lastspielbereich bis heute noch nicht möglich. Man ist daher auf Versuche angewiesen.

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen Sinusförmige, einstufige Beanspruchung

σ σa t

Beanspruchung σa

322

Wöhlerkurve meistens ermittelt aus Zug-DruckWechsel-Versuchen mit σa = konst . R=0 R = 0,5 R=1

Lastspielzahl N

Abb. 9.28. Werkstoffkennwerte, Wöhlerlinie

Für die Berechnung werden die Formzahl Dk bzw. die Kerbwirkungszahl Ek verwendet. Sie geben an, wie viel mal höher die örtliche Spannung im Kerbgrund als die Nennspannung ist. Weiterhin beeinflusst die Mittelspannung die Lebensdauer, wobei eine Zugmittelspannung die Lebensdauer verkürzt, eine Druckmittelspannung die Lebensdauer erhöht. Die Wirkung einer Zugmittelspannung ist vom Werkstoff abhängig. Hochfeste Werkstoffe sind sehr empfindlich gegen Zugmittelspannungen, niedrigfeste Werkstoffe weniger. Gusswerkstoffe sind empfindlicher gegen Zugmittelspannungen als Knetwerkstoffe gleicher Zugfestigkeit, Schweißverbindungen verhalten sich im Allgemeinen wie Gusswerkstoffe. Eigenspannungen können ebenfalls die Lebensdauer stark beeinflussen. Sie wirken wie Mittelspannungen gleicher Größe und gleichen Vorzeichens, sofern sie nicht im Betrieb, beispielsweise bei erhöhten Temperaturen wieder abgebaut werden. Der Einfluss der Eigenspannungen auf die Lebensdauer ist quantitativ schwierig festzustellen. Zudem können die Eigenspannungen durch die Schwingbeanspruchung im Laufe der Lebensdauer wieder verschwinden. Ein weiterer Einflussparameter ist die Größe des Bauteils. Der technologische Größeneinfluss, z.B. bei schlechter Verformung beim Schmieden, führt allgemein zu ungünstigeren Werkstoffeigenschaften und Werkstofffehlern. Der geometrische Größeneinfluss erfasst die ungleichmäßige Spannungsverteilung im Bauteil, der statistische Größeneinfluss, die Anzahl der möglichen Fehler im Verhältnis zum Volumen des Bauteils. Die Beanspruchungsart ist ein weiterer Einflussparameter. Bei Biegebeanspruchung tritt z.B. die so genannte Stützwirkung auf. Dieser Einfluss wird durch eine Stützziffer berücksichtigt. Auch die Oberflächenrauhigkeit spielt selbstverständlich eine Rolle. Bauteile mit glatten Oberflächen erreichen eine höhere Lebensdauer als solche mit rauen Oberflächen. Von Einfluss ist ferner die Umgebung mit Parametern, wie Korrosion oder Temperatur.

9.3 Die ertragbare Belastung, Wöhlerkurven

323

Sollen diese Parameter mit ihren verschiedenartigen positiven und negativen Auswirkungen auf die Lebensdauer berücksichtigt werden, so ist es erforderlich, von allen anderen Schwierigkeiten abgesehen, auch noch ihre Wechselwirkung zu berücksichtigen. Deshalb ist es bis heute noch nicht gelungen, auch nur für den einfachen Fall der konstanten Spannungsamplituden eine wissenschaftlich einwandfreie Methode der Lebensdauervorhersage zu entwickeln, die z.B. auf den metallkundlichen Eigenschaften des Werkstoffs beruht. Es bleibt also nur der Wöhlerversuch, möglichst am Originalbauteil. In Fällen, in denen die benötigte Wöhlerlinie nicht verfügbar ist, bietet z.B. die FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis“ [9.12] eine Hilfe. Einen weiteren Ansatz hat Hück [9.17]. Es handelt sich dabei um eine statistisch abgesicherte Formel, entwickelt aus vielen Wöhlerlinien, die die Einflussparameter wie Werkstoffart, Formzahl, Beanspruchungsart, Grenzspannungsverhältnis, Oberflächenrauheit und Fertigungsverfahren berücksichtigt. Bei all diesen Abschätzungen besteht jedoch immer die Gefahr, dass maßgebliche Einflussfaktoren nicht mit berücksichtigt werden. So zeigt das Beispiel in Abb. 9.29 den Vergleich einer Bauteilwöhlerlinie eines geradverzahnten Stirnrads mit der Wöhlerlinie nach DIN 3990 für Zahnfußspannungen. Die Bauteilwöhlerlinie des Zahnrades wurde im Getriebe an einem elektrischen Verspannungsprüfstand ermittelt [9.4]. 2500 MPa 2250 2200 140 Nm

1750 F(t)

Zahnfußspannung σf

160 Nm

120 Nm

1500

B10

B50

B90

t

B10 - Wöhlerlinie DIN 3990 1250 1

2

5

10

20

50

100

200

Lebensdauer t ·104 LW

Abb. 9.29. Vergleich DIN-Wöhlerlinie und Bauteilwöhlerlinie für Zahnfußspannung

324

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

9.4

Lebensdauerberechnung

Bei der Lebensdauerberechnung vergleicht man die auftretende Belastung (Lastkollektiv) mit der ertragbaren Belastung. Es gibt prinzipiell drei unterschiedliche Konzepte: x das Nennspannungskonzept, x das örtliche Konzept oder Kerbgrundkonzept und x das Bruchmechanikkonzept.

Das Bruchmechanikkonzept geht von einem angerissenen Bauteil aus und berechnet die restliche Lebensdauer des Rissfortschritts bis zum endgültigen Bruch [9.15]. Es soll hier wegen seiner geringen Bedeutung bei Maschinenelementen nicht weiter betrachtet werden. In Abschn. 9.4.1 bis 9.4.2 wird die prinzipielle Vorgehensweise am Beispiel des Nennspannungskonzepts vorgestellt. In Abschn. 9.4.3 wird dabei auf die Unterschiede des Nennspannungskonzepts und des örtlichen Konzepts eingegangen. 9.4.1

Schadensakkumulation

Schwingende Beanspruchungen rufen im Werkstoff eine Wirkung hervor, die im Allgemeinen als „Schädigung“ bezeichnet wird, sobald diese Beanspruchung eine gewisse Höhe überschreitet. Es wird angenommen, dass diese Schädigung der einzelnen Lastspiele akkumuliert wird und zu einer Werkstoffzerrüttung (Werkstoffermüdung) führt. Für eine exakte Berechnung müsste diese Schädigung quantitativ erfasst werden, was jedoch bis heute noch nicht gelungen ist. Um dennoch aus den Ergebnissen von Wöhlerversuchen auf die Lebensdauer L bei ungleichmäßigen Spannungszyklenfolgen schließen zu können, entwickelte Palmgren bereits um das Jahr 1920 den Grundgedanken der linearen Schadensakkumulation, zugeschnitten auf die Wälzlagerberechnung. Im Jahre 1945 veröffentlichte dann Miner den gleichen Gedanken in allgemeiner Form. Dabei geht Miner davon aus, dass ein Bauteil während des Ermüdungsvorgangs Arbeit aufnimmt, und er betrachtet das Verhältnis von bereits aufgenommener zu maximal aufnehmbarer Arbeit als Maß für die vorhandene Schädigung. So wird das Verhältnis einer Spannungsspielzahl n zur Bruchspannungsspielzahl N, die im Einstufenversuch mit übereinstimmender Amplitude ermittelt wurde, bei Gleichheit zum Verhältnis von aufgenommener Arbeit w zur aufnehmbaren Arbeit W als Teilschädigung bezeichnet:

9.4 Lebensdauerberechnung

w W

n . N

325

(9.19)

Die Voraussetzung gleicher aufnehmbarer Brucharbeiten W bei allen auftretenden Spannungshöhen erlaubt nun die Addition der einzelnen Teilschädigungen von Spannungsspielen unterschiedlicher Größe: n n1 n  2  ...  m N1 N 2 Nm

w w1 w2   ...  m . W W W

(9.20)

Die Grenzbedingung der Beanspruchbarkeit tritt bei Gleichheit von aufgenommener und aufnehmbarer Arbeit ein: w1  w2  ...  wm W

1.

(9.21)

Durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (9.20) verschwinden die nicht quantifizierbaren Arbeitsgrößen und es entsteht eine für Dimensionierungsaufgaben verwendbare Bedingung: n n1 n  2  ...  m d 1 . N1 N 2 Nm

(9.22)

Die Anwendung dieser Grundgleichung der Schadensakkumulationshypothese erfordert die Kenntnis der Beanspruchungsspielzahlen Ni für die zugehörigen Spannungsbeträge Vi. Diese können z.B. einer im doppellogarithmischen Koordinatensystem durch den Dauerfestigkeitspunkt (VD, ND) und die Steigung k definierten Wöhlerlinie entnommen werden. Aus der Geradengleichung dieser Wöhlerlinie erhält man ja für die ertragbare Lastspielzahl N die Gl. (9.16): N

§V N D ˜ ¨¨ a © VD

· ¸¸ ¹

k

.

(9.23)

Nach Einsetzen von Gl. (9.23) in (9.22) beschreibt Gl. (9.24) die Schädigung mit der Schadenssumme S eines getreppten Kollektivs mit den m Spannungsstufen Vi: m

S

¦ i 1

ni ND

§V ˜ ¨¨ i © VD

k

· ¸¸ ; ¹

V D d V i d V max .

(9.24)

326

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Die Anwendbarkeit dieser Gleichung schränkte Miner durch die folgenden Bedingungen ein: x x x x

Sinusförmiger Beanspruchungsverlauf; Keine Ver- oder Entfestigungserscheinungen im Werkstoff; Ein Rissbeginn wird als einsetzender Schaden betrachtet; Oberhalb der Dauerfestigkeit liegende Beanspruchungen.

Die Nichtbeachtung dieser Einschränkungen, insbesondere der letzten, führte in vielen Fällen zu Berechnungen, die auf der unsicheren Seite lagen, was zu einer Negativeinschätzung dieser Hypothese beitrug. In Abb. 9.30 ist die Palmgren-Miner-Hypothese graphisch dargestellt. σ

σ Bauteilwöhlerlinie σi Miner

t

σD i = 1 i=2 i=3 i= 4 ni Ni

i=5

N

wirklicher Beanspruchungsverlauf

Summenhäufigkeit

Abb. 9.30. Lineare Schadensakkumulationshypothese nach Palmgren Miner

Eine Vielzahl verschiedener Forscher beschäftigt sich mit der Hypothese der Schadensakkumulation, so dass gegenwärtig mehrere Varianten existieren. Sie unterscheiden sich im Prinzip nur durch die zugrunde gelegte fiktive erweiterte oder reale Wöhlerlinie, Abb. 9.31. Es sind dies die Hypothesen von Haibach, Corten-Dolan [9.15] und Zenner-Liu [9.20, 9.34] die auch bei Belastungen im Dauerfestigkeitsbereich eine Schädigung annehmen. Das Verfahren Miner elementar nach Corten und Dolan ist eine Anwendung der Palmgren-Miner-Regel auf eine Wöhlerlinie, die ohne die Berücksichtigung der Existenz einer Dauerfestigkeit bis zur Spannung V = 0 gerade verlängert wird, so dass auch Schädigungsanteile von Spannungswechseln, die kleiner als die Dauerfestigkeit sind, berücksichtigt werden: m

S

¦ i 1

ni ND

§V ˜ ¨¨ i © VD

k

· ¸¸ ; ¹

0 d V i d V max .

(9.25)

9.4 Lebensdauerberechnung Modifikation nach Haibach und Corten-Dolan σ

⎛σ ⎞ N = ND ⎜ D ⎟ ⎝ σ ⎠

Modifikation nach Zenner-Liu

k

σ

arctan(k)

σi

arctan(k)

σa arctan(m)

N=

8

arctan(2k-1)

σD

⎛σ ⎞ N = ND ⎜ D ⎟ ⎝ σ ⎠ Ni

ND

327

2 k −1

k +m 2

σD σD

arctan(k+m/2)

Na

N

Miner Original Miner modifiziert (Haibach) Miner elementar (Corten-Dolan)

⎛σ ⎞ N = ND ⎜ D ⎟ ⎝ σ ⎠

ND

N

Rißfortschrittswöhlerlinie m Bezugswöhlerlinie k* = (k+m)/2

Abb. 9.31. Wichtigste Modifikationen der Miner-Regel

Diese Annahme einer nicht vorhandenen Dauerfestigkeit führt zu Ergebnissen, die auf der sicheren Seite liegen, insbesondere bei einem hohen Anteil von Belastungen unterhalb der Dauerfestigkeit. Bei niedriger werdendem Anteil von Lastwechseln die kleiner als die Dauerfestigkeit sind, verringert sich der Unterschied zum Ergebnis bei Anwendung der Palmgren-Miner-Regel. Das Verfahren Miner modifiziert von Haibach orientiert sich an der durch Experimentalergebnisse gestützten These einer bei fortschreitender Schädigung abnehmenden Dauerfestigkeit. Die dazu notwendige, allerdings mit großem Aufwand verbundene, schrittweise Berechnung des Schädigungszuwachses unter Berücksichtigung des gerade vorhandenen Schädigungsgrades (Modifikation Miner konsequent) vermeidet der Haibach-Ansatz durch die Definition einer unterhalb der Dauerfestigkeit fortgeführten fiktiven Zeitfestigkeitslinie. Die Berechnung der Schädigung eines Kollektivs erfolgt nun mit der Wöhlerliniensteigung k für Beanspruchungen, die größer als die Dauerfestigkeit sind und mit der Steigung (2k - 1) der fiktiven Zeitfestigkeitslinie für Beanspruchungen, die kleiner als die Dauerfestigkeit sind: m

S

¦ i 1

ni ND

§V ˜ ¨¨ i © VD

k

· ¸¸  ¹

l

nj

¦ ND j 1

§V ˜ ¨¨ i © VD

· ¸¸ ¹

V1 t V i t V D ; V D t V j t 0 .

2 k 1

,

(9.26) (9.27)

328

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Die Modifikation Miner konsequent unterscheidet sich vom Verfahren Miner modifiziert darin, dass die Lebensdauerlinie asymptotisch auf die Dauerfestigkeit übergeht. Ein weiterer Ansatz zur Verbesserung wurde von Zenner und Liu [9.20, 9.34] vorgeschlagen. Sie beschreiben die Bauteilwöhlerlinie als nicht geeignete Bezugsgröße der Lebensdauerberechnung. Da ein Schaden meist aus den zwei unterschiedlichen Phasen Rissbildung und Rissfortschritt besteht, betrachten sie die Rissfortschrittslinie mit der vom Werkstoff weitgehend unabhängigen Steigung m = 3,6. Die fiktive Bezugswöhlerlinie wird aus der Bauteilwöhlerlinie und der Rissfortschrittswöhlerlinie gebildet. Der Drehpunkt der Bezugswöhlerlinie liegt beim Kollektivhöchstwert und hat die Steigung: k*

km . 2

(9.28)

Die Dauerfestigkeit der Bezugswöhlerlinie ist die halbe Dauerfestigkeit der Bauteilwöhlerlinie:

VD

VD . 2

(9.29)

Damit ergibt sich die Schädigung des Bauteils analog zu Gl. (9.24): l

S

¦ i 1

ni ND

§V ˜ ¨¨ i © VD

Vˆ a t V i t

· ¸¸ ¹

k m 2

VD . 2

,

(9.30)

(9.31)

Die Bewertung dieses Verfahrens ist in der Literatur unterschiedlich. So findet sich bei Melzer [9.21] und Zenner [9.20] eine Verbesserung der Aussagefähigkeit, während bei anderen Literaturstellen [9.13, 9.28] eine Verschiebung zur unsicheren Seite erfolgt. Liegen also Belastungs- bzw. Spannungskollektiv und Wöhlerlinie vor, so kann mit Hilfe einer Schadensakkumulationshypothese die Lebensdauer des Bauteils berechnet werden. In der Praxis hat sich jedoch oft gezeigt, das beim Ausfall die Schadenssumme von S = 1 häufig nicht übereinstimmt. Daher kann mit einer anderen Schadensumme S = konst. gerechnet werden, die sich aus experimentellen Betriebsfestigkeitsversuchen ergeben hat [9.2]. Dieses Verfahren wird als Verfahren Miner relativ bezeichnet und hat sich in der Praxis durchgesetzt [9.13]. Die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Ausgangswahrscheinlichkeiten.

9.4 Lebensdauerberechnung

9.4.2

329

Zweiparametrige Schädigungsrechnung

Die in den vorangegangenen Abschnitten dargestellten Berechnungsgleichungen zur Schadensakkumulation berücksichtigen zur Bewertung der Einzelspannungsspiele nur deren Ausschlagspannung als wichtigste Einflussgröße. Die Berücksichtigung weiterer Parameter, wie z.B. von Mittelspannung oder Frequenz, ist grundsätzlich möglich, wenn eine entsprechende Kennzeichnung der Beanspruchung und die nötigen Werkstoffkennwerte vorliegen. Da die Mittelspannung als zweiter Parameter nach der Ausschlagspannung im Allgemeinen den größten Einfluss auf die Dauerhaltbarkeit hat, erfolgt bei einer zweiparametrigen Schädigungsrechnung die zusätzliche Berücksichtigung der Mittelspannung, wobei in manchen Fällen die Kennzeichnung der Mittelspannung durch das Grenzspannungsverhältnis R = Vu / Vo bevorzugt wird. Beide Größen stehen z.B. durch eine Klassierung nach dem Rainflowverfahren zur Verfügung. Die Durchführung der Schädigungsrechnung erfordert für jede betrachtete Mittelspannung (jedes Grenzspannungsverhältnis) das Ausschlagspannungskollektiv und die Bauteilwöhlerlinie, Abb. 9.32.

log σ

Wöhlerlinien in Abhängigkeit der Mittelspannung

R=

σu σo

log N

Abb. 9.32. Zweiparametrige Schädigungsrechnung mit Berücksichtigung der Mittelspannung

330

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Die Gleichung zur Berechnung der relativen Schädigung beinhaltet in der inneren Summation die Erfassung der einzelnen Ausschlagspannungsklassen, die bedingt durch die äußere Summation für jede der berücksichtigten Mittelspannungsklassen (Grenzspannungsverhältnisklassen) durchgeführt wird, z.B. für die Modifikation Miner elementar: k § p n § V ij · j ·¸ ¨ ij ¸ (9.32) S ˜¨ ¨ ¸. ¨ ¸ N V ¨ ¸ Dj © Dj ¹ j 1 i 1 © ¹ Alternativ besteht die Möglichkeit der Einbeziehung der Mittelspannung über das modifizierte Haigh-Schaubild. Das Schaubild beschreibt den Zusammenhang (Gerberparabel oder Goodmangerade) zwischen Mittelspannung und Amplitudenspannung bei gleich bleibender Grenzschwingspielzahl. Dazu wird z.B. bei der Rainflowzählung jedes Matrixelement durch eine transformierte Amplitude für die Mittelspannung 0 nach q

¦¦

V a,trans

f V a , M , V m

(9.33)

mit der Mittelspannungsempfindlichkeit Va (R

M

1)  V a ( R V m ( R 0)

0)

1

(9.34)

N=0,5

N
R

=0

Spannungsamplitude

ersetzt, vgl. Abb. 9.33, und man erhält ein Amplitudenlastkollektiv [9.17].

N=ND

Gerberparabel

Grenzgerade durch statische Festigkeit

R=-1

Goodmangerade

R=1

Mittelspannung

Abb. 9.33. Haigh-Schaubild mit Goodmangerade und Gerberparabel

9.4 Lebensdauerberechnung

331

Weitere Untersuchungen haben gezeigt, dass die Reihenfolge der auf ein Bauteil einwirkenden Beanspruchungsamplituden einen signifikanten Einfluss auf die Lebensdauer hat. Eine größere Lebensdauer ist zu erwarten, wenn bei gleichem Lastkollektiv zuerst die Schwingspiele mit kleineren und dann mit größeren Amplituden auf das Bauteil wirken. Es führt zur Forderung, dass die für die Lebensdauerabschätzung zugrunde gelegten Versuchslasten möglichst die gleiche Durchmischung aufweisen wie die Lasten im Betrieb, da sonst größere Abweichungen auftreten. Grundsätzlich besteht die Tatsache, dass bei der rechnerischen Lebensdauervorhersage Unzuverlässigkeiten auftreten können. Neben der Betriebsbeanspruchung sind die Festigkeitswerte mit Unsicherheiten behaftet und eine rechnerische lineare Akkumulation der Bauteilschädigung ist nach den Erkenntnissen der Bruchmechanik nur bedingt richtig. Die betriebsfeste Bemessung eines Bauteils muss durch Experimente gestützt werden. 9.4.3

Nennspannungskonzept und örtliches Konzept

Üblicherweise wird die Lebensdauer von Bauteilen auf Grund von Nennspannungen abgeschätzt (Nennspannungskonzept). Diese Vorgehensweise, s. Abb. 9.34, wurde in den letzten Abschnitten dieses Kapitels gezeigt. σB

σA

R=0 R = 0,5 R=1

LW

LW Bauteilwöhlerlinie

Beanspruchung

Schadensakkumulationshypothese

Lebensdauer

Abb. 9.34. Lebensdauerberechnung nach Nennspannungskonzept

332

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

Ausgehend von einem Lastkollektiv, das über ein Zählverfahren, meistens die Rainflowmethode, unter Umständen mit Berücksichtigung von Mittelspannungseinflüssen ermittelt wird, wird die Lebensdauer über die relative lineare Schadensakkumulation nach Palmgren Miner mit der Bauteilwöhlerlinie ermittelt. Diese Vorgehensweise hat sich bewährt, weist jedoch viele Unzulänglichkeiten auf. Oft ist es jedoch besser, den aus der äußeren Last entstehenden örtlichen Spannungs-Dehnungs-Verlauf von höchstbelasteten Stellen, d.h. die lokale Beanspruchungs-Zeit-Funktion zu ermitteln (örtliches Konzept, Kerbgrundkonzept) [9.2, 9.3, 9.13, 9.27, 9.28, 9.34]. Unter anderem wird dann nur eine einzige Werkstoffwöhlerlinie benötigt. Beim örtlichen Konzept wird der lokale Belastungsablauf mit Hilfe der Rainflowmethode klassiert, s. Abb. 9.35. Der Zusammenhang zwischen der äußeren Belastung und den lokalen Dehnungen, der aufgrund von Wechselplastifizierungen nicht immer linear sein muss, erfolgt über Spannungsanalysen, z.B. durch Finite-Elemente Analysen. Die zyklische Spannungs-Dehnungskurve, die sich aus den SpannungsDehnungs-Hysteresen ergibt, vgl. Abb. 9.22, stellt den Zusammenhang zwischen den auftretenden Dehnungen und Spannungen her. Ver- und Entfestigungen des Werkstoffs werden dabei nicht berücksichtigt. Eigenspannungen müssen gegebenenfalls mitberücksichtigt werden. Ausgehend von diesen Parametern wird ein geeigneter Schädigungsparameter z.B. üblicherweise nach Smith, Watson und Topper, [9.27], ausgewählt: PSWT

V max ˜ E ˜ H a , ges .

(9.35)

Andere Schädigungsparameter, die unter Umständen die Mittelspannungseinflüsse besser berücksichtigen, sind in [9.3, 9.15] beschrieben. Alternativ kann auch ein bauteilgebundenes Haigh-Diagramm zur Abschätzung des Mittelspannungseinflusses dienen. Mit Hilfe einer Schadensakkumulationshypothese wird über die Dehnungswöhlerlinie des Werkstoffs an einer Normprobe der Schädigungsanteil berechnet. Der Vorteil dieses Konzepts besteht nun darin, dass lokale Spannungen direkt mit den Werkstoffwerten verglichen werden. Allerdings bringt das örtliche Konzept aufgrund zahlreicher Einflussparameter auch mehr Unsicherheiten mit sich. In der Praxis findet sich oft eine Mischung aus Nennspannungskonzept und örtlichem Konzept, so dass z.B. die Bauteilwöhlerlinie benutzt wird, da sie auch Einflüsse der Fertigung und Oberflächen mitberücksichtigt, in Verbindung mit experimentellen Nachweisen [9.13].

9.5 Zusammenfassung

333

Rainflow-Matrix der äußeren Last Zyklische Spannungs-Dehnungs-Kurve σ

ε

Spannungsdehnungsanalyse z.B. mit FEM: äußere Last - σ - ε Zusammenhang σa

Haigh-Schaubild

Mittelspannungsempfindlichkeit über bauteilgebundenes Haigh-Schaubild oder Schädigungsparameter z.B. PSWT

Schadenakkumulationshypothese z.B. Haibach

Lebensdauernachweis

σm ε

Dehnungswöhlerlinie / PSWT-Wöhlerlinie / Bauteilwöhlerlinie

N

Abb. 9.35. Lebensdauerberechnung nach dem Örtlichen Konzept bzw. Kerbgrundkonzept

9.5

Zusammenfassung

Bei Kenntnis des Belastungskollektivs und der zulässigen Werkstoffbeanspruchung in Form eines Wöhlerdiagramms, lässt sich mit Hilfe einer Schadensakkumulationshypothese eine Lebensdauervorhersage für ein Maschinenelement machen. Dabei ist zu beachten, dass diese Vorhersage nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gemacht werden kann, da u.a.

334

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

sowohl Belastungskollektiv als auch Belastbarkeit in Form der Wöhlerlinie Zufallsgrößen sind und die bekannten Schadensakkumulationshypothesen nur empirisch gefunden wurden und nicht auf werkstoffmechanischen Gesetzen aufbauen. Die praktische Lebensdauervorhersage erfordert deshalb ein ausgewogenes Verhältnis von Feldversuchen, Prüfstandsversuchen und Berechnung und eine sorgfältige Auswertung und Bewertung der Daten, wenn sie ein wirkungsvolles Werkzeug für den Konstrukteur sein soll, Abb. 9.36. Repräsentativ ? Feldversuch Verlust der realen Betriebsbedingungen Prüfstandversuch

Verlust der Interaktion zwischen den Nachbarkomponenten

Komponenetenversuch Verlust des Gestalteinflusses (Dimension, Kerben, Toleranzen, etc.) Wöhlerversuch

Abb. 9.36. Versuchsvarianten

Literatur zu Kapitel 9 [9.1] Best R, Klätschke H (1996) Belastungsanalyse manuell geschalteter Fahrzeuggetriebe - Voraussetzung zur beanspruchungsgerechten Dimensionierung. VDI-Berichte Nr 1230: Getriebe in Fahrzeugen, S 257-272 [9.2] Borenius G (1990) Zur rechnerischen Schädigungsakkumulation in der Erprobung von Kraftfahrzeugteilen bei stochastischer Belastung mit variabler Mittellast. Dissertation Universität Stuttgart [9.3] Britten A (1994) Lebensdauerberechnung randschichtgehärteter Bauteile basierend auf der FE-Methode: Anwendung des örtlichen Konzepts auf ein Zweischichtmodell. VDI-Berichte Nr 1153, S 61-72 [9.4] Brodbeck P, Dörr C, Lechner G (1995) Lebensdauerversuche an Zahnrädern - Einfluss unterschiedlicher Betriebsbedingungen. DVM-Berichte 121: Maschinenelemente und Lebensdauer, S 137-147 [9.5] Brunner F J,(1985) Lebensdauervorhersage bei Materialermüdung. Automobilindustrie H 2, S 157-162

Literatur zu Kapitel 9

335

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336

9 Methodische Lebensdauerberechnung bei Maschinenelementen

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10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Zuverlässigkeit, die Verfügbarkeit, die Instandhaltbarkeit und die Kosten einer Maschine oder Anlage hängen unmittelbar zusammen  sie beeinflussen sich gegenseitig. Die Verfügbarkeit einer Anlage kann durch Erhöhen der Zuverlässigkeit ihrer Komponenten gesteigert werden. Damit steigen aber gleichzeitig die Kosten dieser Komponenten, da ein größerer Entwicklungsaufwand und bessere Werkstoffqualität nötig sind. Der Nutzen der gesteigerten Verfügbarkeit kann durch die erhöhten Entwicklungskosten wieder zunichte gemacht werden. Deswegen führt eine einseitige Betrachtungsweise oft nicht zum Ziel. Das Ziel muss daher im allgemeinen Fall die optimale Auslegung eines Systems sein, um ein bestmögliches Verhältnis von Verfügbarkeit zu eingesetzten Kosten zu erreichen. Der Begriff der Lebenslaufkosten gewinnt in den letzten Jahren zunehmend an Bedeutung. Durch die Betrachtung der Kosten, die während der gesamten geplanten Einsatzdauer eines technischen Systems entstehen, werden Investitionsentscheidungen maßgeblich beeinflusst. Für die Prognose der Lebenslaufkosten ist die Information über die Zuverlässigkeit und auch über die geplante Instandhaltungsaktivität notwendig. Zur Analyse der Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit eines Systems, das in einen Instandhaltungsprozess eingebunden ist, sind verschiedene Berechnungsmodelle bekannt. Diese unterscheiden sich in ihrer Komplexität teilweise erheblich. Viele der Modelle haben Einschränkungen dahingehend, welches Instandhaltungsgeschehen nachgebildet werden kann. Daher wird im zweiten Teil dieses Kapitels eine Übersicht über mögliche Berechnungsmodelle gegeben und gezeigt, welche Kenngrößen eines Systems jeweils mit ihnen ermittelt werden können.

10.1 Grundlagen der Instandhaltung Die Instandhaltung beeinflusst – neben dem Ausfallverhalten – maßgeblich die Verfügbarkeit eines technischen Systems im Maschinenbau [10.8].

338

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Sie ist wie folgt definiert [10.15, 10.46]: Die Instandhaltung bezeichnet Maßnahmen zur Feststellung und Beurteilung des Istzustandes sowie zur Bewahrung und Wiederherstellung des Sollzustandes von Anlagen, Geräten und Komponenten. Man unterscheidet in diesem Zusammenhang zwischen planmäßigen und außerplanmäßigen (korrektiven) Instandhaltungsmaßnahmen. Die Maßnahmen der Instandhaltung sind Wartung, Inspektion, Überholung und Instandsetzung (Reparatur). Im Rahmen der Instandhaltungsstrategie werden Inspektionsintervalle, Wartungsumfänge, Reparaturprioritäten und Instandsetzungskapazitäten in Form von Ersatzteilen und Reparaturpersonal festgelegt. Zur Sicherstellung der Instandhaltung ist es notwendig, die benötigten Ersatzteile in der erforderlichen Menge und Güte zur rechten Zeit bereitzustellen analog zu den Anforderungen der Materialwirtschaft [10.32]. Damit verbunden sind logistische Aspekte wie Transport und zweckmäßige Lagerung. Ebenso wie die Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit ist die Instandhaltbarkeit als Wahrscheinlichkeit aufzufassen. Man geht davon aus, dass das Ziel der Instandhaltungsarbeit darin besteht, eine geforderte Einsatzverfügbarkeit zu erreichen bzw. aufrechtzuerhalten. 10.1.1 Instandhaltungsmaßnahmen Die Instandhaltungsmaßnahmen untergliedern sich in Maßnahmen zur planmäßigen Instandhaltung, zur außerplanmäßigen Instandhaltung und zur zustandsorientierten Instandhaltung. Im Folgenden werden diese Maßnahmen näher erläutert. 10.1.1.1 Planmäßige Instandhaltung Die planmäßige Instandhaltung (engl. preventive maintenance) umfasst denjenigen Teil der Instandhaltungsmaßnahmen, der planmäßig d.h. zu vorher festgelegten Zeitpunkten oder periodisch nach einer bestimmten Anzahl von Betriebsstunden, durchgeführt wird. Planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen dienen zur Feststellung und Beurteilung des Istzustandes sowie zur Bewahrung des Sollzustandes von Anlagen, Geräten und Komponenten [10.46]. Diese Maßnahmen gliedern sich in: x Wartung: Maßnahmen zur Bewahrung des Sollzustandes, z.B. Reinigen, Ergänzen von Schmier- und Kühlmitteln, Justieren, Kalibrieren.

10.1 Grundlagen der Instandhaltung

339

x Inspektion: Maßnahmen zur Feststellung und Beurteilung des Istzustandes, z.B. Überprüfung auf Verschleiß, Korrosion, Leckagestellen, gelockerte Verbindungen, periodisches oder kontinuierliches Messen und Auswerten. x Überholung: Zerlegung soweit, dass bestimmte Bauteile, Baugruppen und Komponenten zugänglich sind und ggf. Austausch von Bauteilen, Baugruppen und Komponenten. Planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen werden ohne Rücksicht auf den Zustand des Gerätes durchgeführt. Als planmäßige Arbeiten werden solche Arbeiten betrachtet, die durchgeführt werden, ohne dass ein aktueller Störfall vorliegt. Der Zweck planmäßiger Instandhaltungsmaßnahmen besteht im Wesentlichen darin, Störungen und Ausfällen vorzubeugen, die durch Verschleiß, Alterung, Korrosion und Verschmutzung entstehen und sich daraus ergebende Folgeausfälle zu verhindern. Planmäßige Instandhaltung wird daher auch als vorbeugende (präventive) Instandhaltung bezeichnet. 10.1.1.2 Zustandsorientierte Instandhaltung Die zustandsorientierte Instandhaltung vermeidet feste Inspektions- und Überholungsintervalle und so den periodischen Austausch noch voll funktionsfähiger Bauteile und Baugruppen [10.46]. Weiterhin kann eine Reduzierung der Verfügbarkeit durch zu häufig durchgeführte planmäßige Maßnahmen vermieden werden. Durch kontinuierliche oder periodische Messungen bzw. Beobachtungen bestimmter Größen und deren Änderungen an Bauteilen, Baugruppen und Komponenten während des Betriebs kann z.B. der Fortschritt von Verschleiß bei laufendem Betrieb festgestellt werden. Diese Messungen, Beobachtungen und Auswertungen der Messergebnisse sind eine Sonderform des Inspizierens (engl. condition monitoring). Damit ist es möglich, den Instandhaltungsaufwand zu reduzieren, ohne die Zuverlässigkeit und die Sicherheit zu beeinträchtigen. In [10.48] wird der Begriff einer zustandsorientierten Instandhaltung (engl. on condition maintenance) definiert. Ihre Zielsetzung besteht darin, Instandhaltungsmaßnahmen zeit-, qualitäts- und kostenoptimal zu planen und durchzuführen. Mit dieser Instandhaltungsstrategie wird eine intensive Überwachung wichtiger Bauteile und Geräte im laufenden Betrieb durchgeführt (z.B. durch automatische Messgeräte). Dadurch soll eine Vorhersage ermöglicht werden, wann ein Ausfall auftreten würde. Damit kann rechtzeitig eine Instandhaltungsmaßnahme z.B. eine Erneuerung stattfinden bevor sich der Ausfall ereignet.

340

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Anwendung von zustandsorientierter Instandhaltung ist möglich bei Systemen und Komponenten, bei denen die Betriebsbedingungen über der Zeit gemessen und überwacht werden können. Überwachungstechniken für die zustandsorientierte Instandhaltung sind: x x x x

die thermographische Überwachung, die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung, die Ölanalyse und die Vibrationsanalyse.

Anzeigen an Fahrzeugbremsen messen die Größe des Belagverschleißes und erlauben so, die Vorhersage der restlichen Einsatzdauer, bevor eine Erneuerung nötig ist. Abbildung 10.1 zeigt die relative Häufigkeit der heute eingesetzten Verfahren zur Maschinenzustandsüberwachung. Lagerdiagnosen und die Untersuchung von Maschinenschwingungen zählen demnach zu den am häufigsten eingesetzten Verfahren. Sonstige Diagnosen Prozessvisualisierung Online-Diagnosen Getriebediagnosen Thermographie Maschinenschwingungen Lagerdiagnosen 0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

Abb. 10.1. Verfahren zur Maschinenzustandsüberwachung [10.9]

Dieses Vorgehen bedingt einen sehr hohen Aufwand seitens der Datenerfassung und Auswertung, sie senkt aber auch die Gesamtinstandhaltungskosten recht deutlich, ohne dass in irgendeiner Form die Sicherheit und Zuverlässigkeit des Gerätes beeinträchtigt wird. Diese Strategie wird mit Erfolg von einer Reihe von amerikanischen Fluggesellschaften angewendet [10.8]. 10.1.1.3 Außerplanmäßige Instandhaltung Außerplanmäßige (korrektive) Instandhaltungsmaßnahmen (engl. corrective maintenance) sind erforderlich bei Teil- und Totalausfällen von Anlagen, Geräten und Komponenten, sie dienen also zur Wiederherstellung des

10.1 Grundlagen der Instandhaltung

341

Sollzustandes [10.46]. Diese Maßnahmen werden mit dem Begriff Instandsetzung umschrieben. Oft wird auch von Reparatur anstelle von Instandsetzung gesprochen [10.7]. Hierbei ist anzumerken, dass auch planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen, wie beispielsweise Inspektionen, korrektive Maßnahmen nach sich ziehen können. Ist nur eine Instandhaltungsebene vorhanden, gliedern sich korrektive Instandhaltungsmaßnahmen in folgende Einzelmaßnahmen: x x x x x x x x x x x

Feststellung der Störung bzw. des Ausfalls (Ausfallerkennung)*, Meldung an zuständiges Instandhaltungspersonal, Anmarsch des Instandhaltungspersonals zum Ort der Störung, Bereitstellung von Werkzeugen und Prüfgeräten, Lokalisierung der Störung auf Geräte- bzw. Komponentenebene (Ausfalllokalisierung)*, Ausbau des fehlerhaften Gerätes (Komponente)*, Bereitstellung der benötigten Ersatzteile, Auswechseln der fehlerhaften Teile (Ausfallbehebung)*, Justieren, Kalibrieren und Prüfen des reparierten Geräts (Komponente)*, Einbau des reparierten Geräts (Komponente) in die Anlage*, Funktionsprüfung der kompletten Anlage*.

Ebenso wie die präventiven Instandhaltungsmaßnahmen erfordern auch diese Einzelmaßnahmen einen bestimmten Aufwand an Zeit, Personal und Material. Die Summe der den Einzelmaßnahmen zugeordneten Zeitabschnitte ergibt die Ausfalldauer. Die eigentliche Instandsetzungsdauer setzt sich zusammen aus den Zeitabschnitten, welche den mit * besonders gekennzeichneten Einzelmaßnahmen entsprechen. 10.1.2 Instandhaltungsebenen Sind mehrere Instandhaltungsebenen vorhanden, wird das fehlerhafte Gerät (Komponente) durch ein anderes, voll funktionsfähiges ersetzt [10.46]. Das fehlerhafte Gerät wird einem Instandhaltungskreislauf zugeführt. Dadurch verringern sich zwar die Ausfalldauer und die Instandsetzungsdauer der betreffenden Anlage, jedoch nicht ohne weiteres der gesamte Instandsetzungsaufwand. Entscheidungskriterien für die Einführung von Reparaturebenen können beispielsweise die Auswirkungen auf die Verfügbarkeit bzw. die Reparierbarkeit vor Ort sein [10.8].

342

10 Berechnung reparierbarer Systeme

10.1.3 Reparaturprioritäten Die Vergabe von Reparaturprioritäten ist dann sinnvoll, wenn eine Systemkomponente eine höhere Bedeutung besitzt als andere. Die Bedeutung einer Komponente ist vom Systembetreiber zu definieren. Im betriebswirtschaftlichen Sinn hat diejenige Komponente die größte Bedeutung, bei deren Ausfall die höchsten Kosten anfallen. Dies kann am Beispiel einer Förderbandanlage verdeutlicht werden. Sie besteht aus einer Antriebseinheit (Komponente 1) und drei parallel arbeitenden Förderbändern (Komponenten 2 - 4), die von der Antriebseinheit angetrieben werden. Das entsprechende Zuverlässigkeitsblockdiagramm ist in Abb. 10.2 gezeigt. K2 Förderband 1 E

A K1 Antrieb

K3 Förderband 2 K4

Förderband 3

Abb. 10.2. Zuverlässigkeitsblockdiagramm einer Förderbandanlage

Wenn der Motor ausfällt, dann steht die ganze Anlage still. Ist aber nur ein Förderband ausgefallen, so laufen die beiden andern Bänder weiter und bringen dem Betreiber der Anlage finanzielle Erlöse ein. In diesem Beispiel ist also offensichtlich der Motor die Komponente mit der höchsten Reparaturpriorität, weil er für die Rentabilität der Anlage am bedeutendsten ist. 10.1.4 Kapazitäten der Instandhaltung Bei den stochastischen Prozessen, die gewöhnlich zur Berechnung der erreichten Verfügbarkeit eingesetzt werden (Erneuerungsprozess, MarkovProzess, ...) wird stets angenommen, dass sämtliche erforderliche Instandhaltungsarbeiten ohne Verzögerung vorgenommen werden [10.5, 10.30, 10.43]. In der Praxis ist dies selten der Fall, da für die Bemessung der Instandhaltungskapazitäten ein wirtschaftlicher Kompromiss gefunden werden muss zwischen den Aufwendungen für die Bereitstellung der Instandhaltungskapazität (Infrastruktur, Personal, Werkzeuge und Geräte, Aus-

10.1 Grundlagen der Instandhaltung

343

tausch- und Ersatzteile) und Wartezeiten, die durch die Nichtverfügbarkeit erforderlicher Instandhaltungskapazitäten verursacht werden. Für die realitätsnahe Modellierung eines technischen Systems sind daher begrenzte Instandhaltungsressourcen zu berücksichtigen. Dies geschieht durch die Miteinbeziehung der Reparaturmannschaften, der Ersatzteilbevorratung und weiterer Instandhaltungsressourcen. 10.1.4.1 Reparaturmannschaften Durch eine Instandhaltbarkeitsanalyse [10.8] sind die Art und Dauer der plan- und auch außerplanmäßigen Instandhaltungsarbeiten abschätzbar. Hieraus lassen sich die benötigte Personenzahl und auch die geforderte Qualifikation ableiten. Im Rahmen der Instandhaltungsstrategie werden für die Instandhaltungsarbeiten entsprechende Reparaturmannschaften gebildet. Ihre Anzahl ist im Allgemeinen beschränkt. 10.1.4.2 Grundlagen der Ersatzteillagerhaltung Laut Pfohl [10.42] sind „Lagerbestände Puffer zwischen Input- und Output-Flüssen von Gütern“. Aus der Sicht der Instandhaltung sind die Güter Ersatzteile, die für entsprechende Instandhaltungsmaßnahmen benötigt werden. Ein unnötig großes Lager ist aus betriebswirtschaftlicher Sicht negativ, weil dadurch zu hohe Kosten anfallen. Ziel ist es daher, ein für die Bedürfnisse der Instandhaltung optimales Bestandsmanagement zu betreiben. Im Folgenden sind einige Grundlagen der Lagerhaltung aufgeführt. Nutzen der Lagerhaltung

Die Bevorratung von Ersatzteilen in Lagern ermöglicht das Ausnützen folgender Vorteile: x Vermeidung von Wartezeiten: Durch die sofortige Verfügbarkeit eines Ersatzteils bei einem unvorhergesehenen Ausfall werden Wartezeiten vermieden. x Größendegressionseffekte: Lagerbestände erlauben es sog. Größendegressionseffekte zu nutzen, z.B. Mengenrabatte. x Lagerbestände als Schutz vor Prognoseunsicherheit. x Lagerbestände zur langfristigen Sicherstellung der Ersatzteilverfügbarkeit.

344

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Der Lagerbestandsverlauf

Im Folgenden sollen die Grundbegriffe im Zusammenhang mit dem Lagerbestand erläutert werden. In Abb. 10.3 ist ein Verlauf des Lagerbestands L(t) über der Zeit dargestellt. Der Lagerbestand L(t) beträgt zum Zeitpunkt t = 0 LNenn Ersatzteile. Durch die Entnahme von Ersatzteilen bei Bedarf durch die Reparaturmannschaften, nimmt der Lagerbestand stetig ab. Wird ein bestimmter Lagerbestand LBest unterschritten, so wird eine gewisse Anzahl an Ersatzteilen nachbestellt. Den Zeitpunkt tBest, bei dem die Bestellung ausgelöst wird, nennt man Bestellpunkt. Die Anzahl der bestellten Ersatzteile ist die Bestellmenge NBest. Bis zum Eintreffen der Bestellmenge prognostiziert man die sog. Nachfrage an Ersatzteilen während der Wiederbeschaffungszeit. Der Bestellpunkt sollte so gewählt werden, dass bis zum Eintreffen der nachbestellten Ersatzteile der Sicherheitsbestand LS nicht angetastet ist. Aufgrund von Unwägbarkeiten ist in jedem Lager ein Sicherheitsbestand vorgesehen [10.42]. L(t) Bestellzyklus

Lagerbestand

Lnenn Bestellung Bestellmenge LBest Lieferung LS

Verbrauch während Wiederbeschaffung

Wiederbeschaffungszeit Sicherheitsbestand tBest

tLief

t

Abb. 10.3. Verlauf des Lagerbestands

Die Bestellmenge NBest ergibt sich aus der Differenz zwischen Lagernennbestand LNenn und Sicherheitsbestand LS zu NBest = LNenn – LS. Wurde die Bestellmenge richtig abgeschätzt, wird bei der Lieferung der Ersatzteile zum Zeitpunkt tLief wieder der Nennbestand LNenn erreicht.

10.1 Grundlagen der Instandhaltung

345

10.1.5 Instandhaltungsstrategien Nach DIN 31051 [10.15] schließen Instandhaltungsmaßnahmen die Abstimmung der Instandhaltungsziele mit den Unternehmenszielen und die Festlegung auf eine entsprechende Instandhaltungsstrategie ein. Die optimale Instandhaltungsstrategie ist das Ergebnis eines Zielkonflikts zwischen erzielter Verfügbarkeit einer Anlage und aufzuwendenden Instandhaltungskosten. Die Instandhaltungsstrategie legt folgende Kenngrößen der Instandhaltung für das System und seine Komponenten fest: x Art und Häufigkeit der Instandhaltungsmaßnahmen (z.B. Inspektionsintervalle und Wartungsumfänge), x Strategie der Ersatzteillagerhaltung, x Anzahl und Qualifikation der Reparaturmannschaften, x Reparaturprioritäten, x Instandhaltungsebenen. Die Instandhaltungsstrategie bildet das Fundament der Instandhaltung, wie es anschaulich in Abb. 10.4 dargestellt ist.

Instandhaltung

Planmäßige Instandhaltung • Wartung • Inspektionen • Überholung

Außerplanmäßige Instandhaltung • Instandsetzungen (Reparaturen)

Zustandsorientierte Instandhaltung

Instandhaltungsmaßnahmen Instandhaltungskapazitäten • Ersatzteillagerhaltung • Instandhaltungsebenen • Reparaturmannschaften • Reparaturpriorität Instandhaltungsstrategie

Abb. 10.4. Die drei Säulen der Instandhaltung

346

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Instandhaltungsmaßnahmen können nach folgenden Strategien eingesetzt werden: x x x x

Ausschließlich korrektive Instandhaltungsmaßnahmen, Instandhaltungsmaßnahmen bei planmäßigen Inspektionen, Ausschließlich planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen, Kombination von planmäßigen und korrektiven Instandhaltungsmaßnahmen, x Zustandsorientierte Instandhaltung.

10.2 Lebenslaufkosten Zuverlässigkeit, Instandhaltbarkeit und Verfügbarkeit haben einen großen Einfluss auf die Kosten, die während der Produktnutzung entstehen. Zur Bewertung des Nutzens und der Rentabilität der Maßnahmen der Zuverlässigkeitstechnik ist die Betrachtung der Kostenaspekte daher unumgänglich. Daher wird das Konzept der Lebenslaufkosten näher betrachtet. Durch die Zuverlässigkeitstechnik unmittelbar beeinflussbare Kostenanteile dieser Lebenslaufkosten sind die Zuverlässigkeitskosten und die Instandhaltungskosten. Die Zeitspanne von der ersten Idee, bzw. vom Auftrag über die Entwicklung, Fertigung und Nutzung bis zur Entsorgung, bezeichnet man als den Lebenslauf des Produkts oder als Produktlebensdauer. Während dieser Zeit fallen immer wieder Kosten an, die der Nutzer direkt (z.B. in Form von Betriebskosten) oder indirekt (z.B. die Herstellungskosten über den Einstandspreis) zu tragen hat. Die Summe dieser Kosten wird als Lebenslaufkosten (engl. Life-cycle-costs) bezeichnet. Sie beinhalten alle Kosten, die beim Produktnutzer aufgrund des Kaufs und während der Nutzung eines Produkts (Anlage, Maschine, Gerät) im Laufe der Produktlebensdauer anfallen. Das vordergründige Kriterium für den Kunden ist oft nur der Kaufpreis. Mit dieser Einstellung erlitt aber schon manch ein Anwender „Schiffbruch“ [10.28]. Die Problematik der entstehenden Lebenslaufkosten wird in [10.28] mit Hilfe der Darstellung eines Kosteneisbergs verdeutlicht, s. Abb. 10.5. Die Lebenslaufkosten LCC setzen sich aus Einstandskosten, einmaligen Kosten, Betriebskosten, Instandhaltungskosten und sonstigen Kosten zusammen.

10.2 Lebenslaufkosten

347

Armer Kunde! Kaufpreis

Einmalige Kosten für Inbetriebnahme, Anlernen

Betriebskosten (Energie, Betriebsstoffe, Hilfsstoffe, Bedienung, Software)

Einmalige Kosten für Transport und Aufstellen

Kosten für Instandhaltung und Wartung

Einmalige Kosten für Umwelt und Entsorgung

Abb. 10.5. Der Eisberg der Lebenslaufkosten aus der Sicht des Nutzers [10.28]

Die Entstehung dieser Kosten ist vereinfacht in Abb. 10.6 dargestellt. Es sind die sich aufsummierenden Kosten über der Produktlebensdauer aufgetragen.

Zeichnung Maschine

Einsatz

Hersteller

Nutzer

Einflußmöglichkeiten auf Herstellkosten

Instandhaltungskosten einmalige Kosten Einstandskosten Einflußmöglichkeiten auf Betriebskosten (Nutzer)

Planung Fertigung Entwicklung

Investitionskosten (ohne Verzinsung)

kumulierte Kosten

Betriebskosten

Lebenslaufkosten (life-cycle-costs)

Entsorgungskosten

Zeit

Nutzung Entsorgung

Abb. 10.6. Lebenslaufkosten während der Produktlebensdauer (ohne sonstige Kosten) [10.28]

348

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Kosten für Entwicklung und Konstruktion sind noch gering. Trotzdem werden hier die später stark ansteigenden Kosten für das Produkt und dessen Nutzung weitgehend festgelegt. Der Kaufpreis des Nutzers kann als dessen Investitionskosten aufgefasst werden. Die Investitionskosten des Nutzers sind hier als fester Betrag ohne Verzinsung angegeben. Beim Betrieb der Maschine entstehen während der Nutzungsphase Betriebs- und Instandhaltungskosten. Diese steigen bis zum Nutzungsende an und können ein Vielfaches der Investitionskosten ausmachen. Die Minimierung dieser beim Nutzer entstehenden Lebenslaufkosten sollte das Ziel einer kostenbewussten Entwicklung sein [10.28]. Oft ist dem Nutzer der Systeme nicht bekannt, wo die Hauptanteile an seinen Lebenslaufkosten liegen. Die Lebenslaufkosten hängen stark von den Kenngrößen Zuverlässigkeit und Instandhaltbarkeit ab. Zu den Ausfallkosten zählen die Kosten durch Produktionsausfälle bei Nichtverfügbarkeit einer Anlage. Bei sicherheitsrelevanten Anlagen können im Schadensfall auch Schadensersatzkosten anfallen. Jede Produktart besitzt eine für sie typische Lebenslaufkostenstruktur, wie in Abb. 10.7 beispielhaft dargestellt ist. 100 % Betriebskosten Instandhaltungskosten

Lebenslaufkosten Entsorgungskosten Investitionskosten 0%

Gabelschlüssel

PKW

Wasserwerkpumpe

Abb. 10.7. Strukturierung von Lebenlaufkostenanteilen bei verschiedenen Produkten [10.28]

10.2 Lebenslaufkosten

349

In dieser sind einige Anteile der Lebenslaufkosten enthalten. Bei einfachen Geräten, beispielsweise einem Schraubenschlüssel entstehen nur Investitionskosten, d.h. es fallen weder Betriebs- noch Instandhaltungskosten an. Bei Fahrzeugen sind dagegen alle drei Kostenarten von Bedeutung. Für die Pumpe eines Wasserwerks sind jedoch die Energiekosten der dominierende Kostenanteil (ca. 96 %) [10.28]. Die Nichtverfügbarkeit eines Produkts kann seine LCC maßgeblich beeinflussen. Daher muss die Verfügbarkeit eines Produkts dahingehend optimiert werden, um die niedrigsten resultierenden LCC zu erreichen. Die Beziehung zwischen Verfügbarkeit und den LCC ist in Abb. 10.8 in vereinfachter Form dargestellt. Hohe Zuverlässigkeit und schnelle Instandsetzbarkeit führen zu erhöhten Einstandskosten. Die Instandhaltungskosten steigen ebenfalls, je besser die Instandhaltungsorganisation ausgebildet wird. Höhere Investitionen in diese beiden Kostenarten resultieren in einer steigenden Verfügbarkeit. Gleichzeitig nehmen die Kosten, die durch Stillstandszeiten entstehen, mit steigender Verfügbarkeit ab. Die Summe aus Einstands- und Instandhaltungskosten und den Stillstandskosten besitzt für eine bestimmte Verfügbarkeit Aopt ein Minimum. An dieser Stelle werden für die optimale Verfügbarkeit die niedrigsten Lebenszykluskosten erreicht. Kosten

Gesamte Lebenszykluskosten

Kostenminimum

Einstandskosten + Instandhaltungskosten Durch Stillstandszeiten bedingte Kosten

A opt

Verfügbarkeit

Abb. 10.8. Vereinfachter Zusammenhang zwischen Verfügbarkeit und Lebenszykluskosten

350

10 Berechnung reparierbarer Systeme

10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen Eine Anlage ist normalerweise nicht ständig in Betrieb. Durch Ausfälle oder planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen ergeben sich Stillstandszeiten. Verzögerungen ergeben sich durch Wartezeiten auf Instandhaltungspersonal oder fehlende Ersatzteile. Einzelne Zeitabschnitte lassen sich bestimmten Zuständen der Anlage zuordnen. 10.3.1 Der Zustandsverlauf In einem System ergibt sich, bedingt durch das Ausfallverhalten der Komponenten und durch anstehende Instandhaltungsmaßnahmen, ein Ereignisstrom über der Zeit. In Abb. 10.9 ist beispielhaft ein solcher Ereignisstrom dargestellt. Die Zustände lassen sich durch einen so genannten Zustandsindikator zt darstellen. Dieser kann über der Zeit verschiedene Werte annehmen. Ordnet man dem Zustandsindikator die Werte

­1, °0, °° z (t ) ® 1, ° 2, ° °¯ 3

falls aktiver Betrieb falls in Reparatur falls in Wartung falls Instandhaltungswartezeit falls logistische Wartezeit

zu, dann beschreibt Abb. 10.9 einen möglichen zeitlichen Zustandsverlauf eines Systems: Zum Zeitpunkt t = 0 wird das System in Betrieb genommen. Es ist aktiv bis zum Ausfall einer ihrer Komponenten. Durch den Ausfall wird eine Erneuerung der defekten Komponente erforderlich d.h. die Komponente wird durch eine neue Komponente ersetzt. Da das benötigte Ersatzteil nicht zur Verfügung steht, muss bis zu dessen Eintreffen gewartet werden. Da das Reparaturpersonal momentan an anderer Stelle dringender benötigt wird, muss noch auf dessen Eintreffen gewartet werden. Erst dann erfolgt der eigentliche Reparaturvorgang. Nach Abschluss der Reparatur wird die Baugruppe wieder in Betrieb genommen. Zu einem im Rahmen der Instandhaltungsstrategie festgelegten Termin erfolgt eine planmäßige Stillegung der Anlage, um eine Wartung im Rahmen des Instandhaltungsplans durchzuführen. Da die Wartungsarbeiten organisatorisch vorbereitet werden, ergeben sich keine Wartezeiten auf fehlende Teile. Nach Beendigung der Wartungsarbeiten wird die Anlage wieder in Betrieb genommen.

10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen

tez

Ausfall v

ti ak

z(t)

0

gi

lo

h

sc sti

In

a

n ltu

te ar

w

gs

h nd

sta

it

ze

eit

ar eW

351

n

he sc u sta ktiv a Au

ng

tu ar W

tiv

ak

t

aktiver Betrieb in Reparatur in planmäßiger Instandhaltung Instandhaltungswartezeit logistische Wartezeit

Abb. 10.9. Beispielhafter Ereignisverlauf über der Zeit und zugeordnete Zustände

Der Zustandsverlauf über der Zeit lässt sich also bestimmten Tätigkeiten und Wartezeiten zuordnen: x Logistische Wartezeit (engl. Supply Delay Time, SDT): Beinhaltet das Warten auf die Produktion bzw. Lieferung von Ersatzteilen, administrative (verwaltungsbedingte) Durchlaufzeiten, Produktionszeiten, Beschaffungszeiten, Transportzeiten. Zu einem großen Teil wird diese Wartezeit durch die Bandbreite und Anzahl der bevorrateten Ersatzteile beeinflusst, die der Instandhaltungseinheit zur Verfügung stehen. Die logistische Wartezeit wird Null sein, wenn das Ersatzteil unmittelbar verfügbar ist. x Instandhaltungswartezeit (engl. Maintenance Delay Time, MDT): Ist die Wartezeit auf Instandhaltungskapazitäten oder -einrichtungen. Hierin können auch Meldezeiten und Reisezeiten beinhaltet sein. Instandhaltungskapazitäten sind Personal, Test- oder Messgeräte, Werkzeuge, Handbücher oder andere technische Daten. Einrichtungen sind Reparaturwerkstätten, Prüfstände, Flugzeughangars, etc. Die Instandhaltungszeit wird durch die Anzahl der zur Verfügung stehenden Reparaturkanäle beeinflusst. Ein Reparaturkanal wird definiert als Gesamtheit aller Instandhaltungskapazitäten und -einrichtungen, die zur erfolgreichen Durchführungen einer Reparatur benötigt werden. Ist ein Reparaturkanal unmittelbar verfügbar, wenn ein Ausfall stattfindet, dann ist die Instandhaltungswartezeit gleich Null.

352

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Da logistische und Instandhaltungswartezeiten durch externe Parameter beeinflusst werden, zählen sie nicht zu den Systemeigenschaften, d.h. sie sind durch konstruktive Maßnahmen nicht beeinflussbar. Sie werden daher nicht als Anteil an der inhärenten Instandsetzungszeit berücksichtigt. 10.3.2 Instandhaltungskenngrößen

Die Zeitdauern der Tätigkeiten und der Wartezeiten für die Instandhaltungsmaßnahmen sind nicht deterministisch bestimmt, sondern können variieren. Sie werden daher als Zufallsgröße aufgefasst. Diese Zufallsgrößen werden durch die Instandhaltungskenngrößen charakterisiert. Wie die Zuverlässigkeit ist auch die Instandhaltbarkeit ebenfalls als Wahrscheinlichkeit aufzufassen. Die Instandhaltbarkeit ist wie folgt definiert [10.7]: Die Instandhaltbarkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die benötigte Zeitdauer für eine Reparatur bzw. für eine Wartung kleiner als ein vorgegebener Intervall ist, wenn die Instandhaltung unter definierten materiellen und personellen Bedingungen erfolgt. Die Zufallsgröße WM ist hierbei die Dauer der Instandhaltungsmaßnahme, wie in Abb. 10.10 dargestellt ist. Der Index M steht für Maintenance. Ausfallerkennung bzw. Stillegung

Beendigung der Instandhaltungsmaßnahme

z(t) 1

τM 0 0

t

Abb. 10.10. Dauer der Instandhaltungsmaßnahme als Zufallsgröße

Die Instandhaltbarkeit als Zufallsgröße umfasst nicht nur die eigentliche Instandhaltungsarbeit, sondern den Gesamtzeitraum zwischen Ausfallerkennung (Stilllegung) der betrachteten Einheit und ihrer Wiederinbetriebnahme (inklusive Wartezeiten zur Beschaffung von Ersatzteilen oder Messgeräten, Pausen, administrative Zeiten, etc.).

10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen

353

In Analogie zum Ausfallprozess definiert man die Kenngrößen der Instandhaltung. Die Verteilungsfunktion der Instandhaltungsdauer WM

P (W M d t )

G (t )

(10.1)

wird als Instandhaltbarkeit G(t) bezeichnet. Die entsprechende Dichtefunktion ist die Instandhaltungsdichte g(t). Die Instandhaltungsrate P(t) hat die Bedeutung P(t) = P(IH beendet in [t, t + dt] _ IH während [0, t]). IH: Instandhaltung Der Erwartungswert E(WM) der Instandhaltungsdauer WM ist definiert als f

MTTM

E (W M )

³

f

tg (t )dt

0

³ 1  G(t ) dt .

(10.2)

0

Die Abkürzung MTTM steht für Mean Time To Maintenance, ist also der Mittelwert der Instandhaltungsdauer WM. Die Lognormalverteilung wird häufig zur Beschreibung der Instandhaltbarkeit eingesetzt. In Abb. 10.11 ist beispielhaft die Dichtefunktion der Instandhaltbarkeit als Lognormal- und Exponentialverteilung für ein gleiches MTTM dargestellt.

Ausfalldichte g(t)

Lognormalverteilung Exponentialverteilung

MTTM

Instandhaltungsdauert

Abb. 10.11. Instandhaltbarkeit G(t) als Lognormal und Exponentialverteilung für gleiches MTTM

354

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Instandhaltungsmaßnahmen werden in planmäßige (präventive) und in außerplanmäßige (korrektive) Instandsetzungen unterschieden. Die Kenngrößen der planmäßigen Instandhaltung erhalten den Index PM (Preventive Maintenance) und die der außerplanmäßigen erhalten den Index R (Repair). Je nach Art der Instandhaltungsmaßnahmen wird folglich WPM für präventive Instandhaltungsmaßnahmen und WR für Instandsetzungen verwendet. In der deutschsprachigen Literatur werden präventive Maßnahmen auch häufig zusammenfassend als Wartung bezeichnet. Folglich wird die Instandhaltbarkeit unterschieden in Wartbarkeit GPM(t) und Instandsetzbarkeit GR(t) (Reparierbarkeit) [10.7]. Zur Charakterisierung der Wartungs- und Instandsetzungsdauer sind analog zu Gl. (10.2) die Begriffe x MTTPM (Mean Time To Preventive Maintenance) für den Mittelwert der Wartungsdauer und x MTTR (Mean Time To Repair) für den Mittelwert der Reparaturdauer gebräuchlich [10.7]. In Tabelle 10.1 sind die beschriebenen Kenngrößen des Überlebensbzw. Ausfallverhaltens sowie der Instandhaltung zusammengefasst. Tabelle 10.1. Zusammenfassung der Überlebenskenngrößen und der Instandhaltungskenngrößen Zufallsgröße Lebensdauer

Instandhaltungsdauer

Wartungsdauer

Instandsetz.dauer

W L

WM

WPM

WR

Verteilungsfunktion

F(t)

G(t)

GPM(t)

GR(t)

Überlebenswahrscheinl.

R(t)

-

-

-

Dichtefunktion

f(t)

g(t)

gPM(t)

gR(t)

Austrittsrisiko

O(t)

P(t)

PPM(t)

PR(t)

MTTF

MTTM

MTTPM

MTTR

Kenngröße Symbol d. Zufallsgröße

Erwartungswert

Qualitativ dient die Instandhaltbarkeit als Maß für die Leichtigkeit mit der Instandhaltungsarbeiten an einem System bzw. dessen Komponenten durchgeführt werden können. Aufgrund des direkten Einflusses auf die Verfügbarkeit einer Maschine und der starken Zunahme der Instandhaltungskosten wird der Instandhaltbarkeit eine immer größere Bedeutung zugemessen. Sie wird bereits während der Entwicklungsphase in ein Sys-

10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen

355

tem „hineinentwickelt“. Die beim Betrieb erreichte Instandhaltbarkeit hängt aber in gleichem Maße von der Installation der Maschine bzw. der Anlage, sowie von der Organisation der Instandhaltung ab. Konstruktive Tätigkeiten, die die Instandhaltbarkeit einer Komponente direkt beeinflussen sind [10.27]: x Einbau von Funktionstests (BITs), x Modularisierung, x Technische Ausführung einer Komponente (z.B. elektrische gegenüber mechanische), x Ergonomische Faktoren, x Beschriftung und Kodierung, x Anzeigen und Indikatoren, x Standardisierung, x Austauschbarkeit/Kompatibilität. Bereits in der Konstruktionsphase kann durch Beachtung dieser Aspekte der Zeitaufwand zur Entdeckung und Beseitigung einer Störung reduziert werden. 10.3.3 Verfügbarkeitskenngrößen

Die Einsatzdauer eines technischen Systems ist nach seinem ersten Ausfall in der Regel noch nicht beendet. Vielmehr wird durch die Maßnahmen der Instandhaltung das System wieder in seinen betriebsfähigen Zustand versetzt. Die Güte der Zuverlässigkeit und der Instandhaltbarkeit beeinflussen maßgeblich die Verfügbarkeit des Systems. Die Definition der Verfügbarkeit lautet allgemein [10.7, 10.27]: Die Verfügbarkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein System zum Zeitpunkt t oder während einer definierten Zeitspanne in einem funktionsfähigen Zustand befindet, wenn es vorschriftsmäßig betrieben und instandgehalten wurde. Der aktive Betriebszustand sei im Zustandsdiagramm als z = 1 definiert. Die Verfügbarkeit A(t), oder genauer gesagt, die Punktverfügbarkeit [10.7] ist unter dieser Voraussetzung definiert als A(t )

z (t )

1 neuwertig zum Zeitpunkt t

0 E z (t ) ,

dem Erwartungswert des Zustandsindikators z(t).

(10.3)

356

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die durchschnittliche Verfügbarkeit AAv(t) [10.7] A Av ( t )

1 E t

(totale Betriebszeit in [0,t] _ neuwertig zum Zeitpunkt t = 0)

(10.4)

ist gleich dem zu erwartenden Prozentsatz der Zeit t, während dem das System im Betriebszustand ist. Es gilt: t

1 AAv (t ) A( x) d x . t0

³

(10.5)

Die durchschnittliche Verfügbarkeit lässt sich verallgemeinert darstellen als so genannte Missions- oder Intervallverfügbarkeit [10.27] AInt (t )

1 t 2  t1

t2

³ A( x) d x .

(10.6)

t1

Sie stellt die durchschnittliche Verfügbarkeit während eines Intervalls [t1, t2] dar. Für große Zeiten t konvergieren die Ausdrücke der (Punkt-) Verfügbarkeit und der durchschnittlichen Verfügbarkeit gegen konstante Werte, die unabhängig von den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 sind. Allgemein lässt sich diese Dauerverfügbarkeit AD definieren als AD

lim A(t )

t of

MTTF MTTF  M

1 M 1 MTTF

(10.7)

mit der mittleren Stillstandszeit M . In Abb. 10.12 ist beispielhaft die Punktverfügbarkeit und Dauerverfügbarkeit einer Komponente dargestellt. Das Ausfallverhalten der Komponente ist durch eine Weibullverteilung mit b = 3,5 und T = 1.000 h beschrieben. Die Verteilungsfunktion der Reparaturdauer ist eine Weibullverteilung mit b = 3,5 und T = 10 h. Die Parameter sind so gewählt, damit das Einschwingverhalten im Anfangsbereich und der Übergang in den konstanten Wert der Dauerverfügbarkeit deutlich dargestellt werden.

10.3 Zuverlässigkeitskenngrößen

357

1

0,998

A(t)

Verfügbarkeit A(t)

0,996 0,994 0,992 0,99 0,988

AD

0,986 0,984 0,982 0,98

0

7

14

21

28

35

42

Zeit t ·102 h

49

56

63

70

Abb. 10.12. Punktverfügbarkeit und Dauerverfügbarkeit

Je nachdem, welche Zeitanteile in der mittleren Stillstandszeit berücksichtigt sind, werden die folgenden Arten der Dauerverfügbarkeit definiert. Die innere (inhärente) (engl. inherent) Dauerverfügbarkeit AD(i ) ist definiert als [10.27, 10.47] AD( i )

MTTF mit M = MTTR. MTTF  MTTR

(10.8)

Sie berücksichtigt ausschließlich das Ausfallverhalten des Systems und außerplanmäßige Instandsetzungen. Sie basiert auf der Verteilungsfunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) und der Instandsetzbarkeit GR(t). Sie kann daher als Bewertungskriterium für die konstruktive Güte eines Produkts betrachtet werden. Die technische Dauerverfügbarkeit AD(t ) ist definiert als [10.47] MTTF MTTF  MTTPM  MTTR mit M = MTTM = MTTPM + MTTR. AD(t )

(10.9)

Sie berücksichtigt das Ausfallverhalten des Systems, planmäßige Instandhaltungsmaßnahmen sowie Instandsetzungen. Die operative (engl. operational) Dauerverfügbarkeit AD(o ) ist definiert als [10.47]

358

10 Berechnung reparierbarer Systeme

AD( o )

MTTF MTTF  MTTPM  MTTR  SDT  MDT

(10.10)

mit M = MTTPM + MTTR + SDT + MDT. Die logistische Wartezeit SDT (engl. Supply Delay Time) beinhaltet im Wesentlichen das Warten auf die Produktion bzw. die Lieferung von Ersatzteilen. Die Instandhaltungswartezeit MDT (engl. Maintenance Delay Time) beinhaltet die Wartezeit auf Instandhaltungskapazitäten oder einrichtungen. Die operative Verfügbarkeit ist dann ein sinnvolles Bewertungskriterium, wenn die Anzahl der Ersatzteile und die Anzahl der Reparaturkanäle abgewägt werden soll. Sie berücksichtigt neben den konstruktiven Parametern, also der Zuverlässigkeit und Instandsetzbarkeit, auch die Güte der Instandhaltungsorganisation. Die praktische (engl. total) Dauerverfügbarkeit AD( p ) beschreibt den allgemeinsten Fall der Dauerverfügbarkeit. Sie berücksichtigt sowohl das Ausfallverhalten des Systems, sämtliche Instandhaltungsmaßnahmen und administrative Stillstandszeiten, als auch logistische Verzögerungen. Zusätzlich werden fremdbedingte Nichtverfügbarkeitsgründe berücksichtigt, beispielsweise Streiks, oder Einflüsse durch höhere Gewalt. Diese Einflussgrößen sind vom Systembetreiber nicht beeinflussbar. In Tabelle 10.2 sind die verschiedenen Definitionen der Dauerverfügbarkeit in einer Übersicht zusammengefasst. Die Einflussgrößen, die bei der jeweiligen Dauerverfügbarkeit berücksichtigt werden, sind markiert. Weiterhin sind die den Einflussgrößen zugeordneten Mittelwerte bzw. Maßzahlen angegeben. Tabelle 10.2. Übersicht über Dauerverfügbarkeiten Konstruktionsbedingt Zuverlässigkeit

Instandsetzbarkeit

AD(i)

Planmäßige Instandhaltung

Verfügbarkeit der Ersatzteile

Reparaturmannschaften

Instandhaltungseinrichtungen

Fremdeinflüsse

-

-

-

-

-

-

-

-

-

AD(t) AD(o) AD(p) Maßzahl

-

MTTF

MTTR

MTTPM

SDT

MDT

-

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

359

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme Der erste Ausfall einer Maschine oder Anlage beendet in der Regel nicht seine Betriebsdauer. Vielmehr wird durch Instandhaltungsmaßnahmen – wie Wartung und Reparatur – die Funktionsfähigkeit über einen längeren Zeitraum erhalten. Ein System, das in einen Instandhaltungsprozess eingebunden ist, wird als reparierbares System bezeichnet. Zur Analyse der Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit eines solchen Systems sind verschiedene Berechnungsmodelle bekannt. Diese unterscheiden sich in ihrer Komplexität teilweise erheblich. Viele der Modelle haben Einschränkungen dahingehend, welches Instandhaltungsgeschehen nachgebildet werden kann. Daher wird im zweiten Teil dieses Vortragsblocks eine Übersicht über mögliche Berechnungsmodelle gegeben und gezeigt, welche Kenngrößen eines Systems jeweils mit ihnen ermittelt werden können. Die vorgestellten Modelle sind im Wesentlichen aus [10.30, 10.43, 10.50] entnommen. Die Zuverlässigkeit einer Komponente kann durch Instandhaltungsmaßnahmen gesteigert werden, die nach festgelegten Intervallen durchgeführt werden. Mit der Markov-Methode können reparierbare Systeme behandelt werden. Die Methode ermöglicht es, die Verfügbarkeit des Systems bzw. eines Bauelements zu ermitteln. Grundlegende Voraussetzung ist jedoch, dass sich das Ausfall- und das Reparaturverhalten durch Exponentialverteilungen beschreiben lassen. Besteht ein System aus voneinander unabhängigen, reparierbaren, Systemelementen kann das Boole-Markov-Modell zur Berechnung der Dauerverfügbarkeit des Systems angewendet werden. Der gewöhnliche Erneuerungsprozess liefert eine Näherungslösung zur Berechnung der benötigten Ersatzteile über der Zeit, um für eine Komponente oder ein System einen Instandhaltungsprozess aufrechterhalten zu können. Instandhaltung bedeutet hier das Ersetzen durch eine neuwertige Komponente. Die Zeitdauer für die Erneuerung wird beim gewöhnlichen Erneuerungsprozess jedoch vernachlässigt. Wird die Reparaturdauer bzw. die Erneuerungszeit einer ausgefallenen Komponente nicht mehr vernachlässigt, treten alternierende Erneuerungsprozesse auf. Mit ihnen kann man die Realität besser nachbilden, da gewöhnlich sowohl die Entdeckung der defekten Komponente als auch deren Reparatur bzw. deren Erneuerung eine gewisse Zeit beansprucht. Damit ist die Verfügbarkeit berechenbar. Bei Systemen, die durch Erneuerungsprozesse beschreibbar sind, braucht man hinsichtlich der auftretenden Verteilungen kaum Einschrän-

360

10 Berechnung reparierbarer Systeme

kungen zu machen. Jedoch sind mit diesen Prozessen nur einfach strukturierte Systeme zu erfassen und die Anzahl der Zustände ist auf zwei beschränkt – „in Betrieb“ und „in Reparatur“. Mit den Semi-MarkovProzessen können mehr als zwei Zustände dargestellt werden, beispielsweise ein dritter Zustand „in Wartung“. Die Systemtransporttheorie liefert die allgemeinste Beschreibungsmöglichkeit eines technischen Systems. Sie erlaubt die Modellierung von komplexen Systemen mit beliebiger Struktur, beliebigen Verteilungsfunktionen zur Beschreibung des Ausfall- und Reparaturverhaltens der Komponenten und beliebigen Interaktionen der Komponenten im System. Eine Vielzahl von Instandhaltungsstrategien kann nachgebildet und die Ersatzteillogistik kann berücksichtigt werden. 10.4.1 Periodisches Instandhaltungsmodell

Bei komplexen Systemen oder Komponenten kann die Zuverlässigkeit oft durch planmäßige Instandhaltung gesteigert werden. Durch die planmäßigen Instandhaltungsmaßnahmen können die negativen Einflüsse von Alterung und Verschleiß vermieden werden. Weiterhin kann die Einsatzdauer der instand gehaltenen Einheit deutlich erhöht werden. 10.4.1.1 Grundlagen

Das im Folgenden beschriebene Modell setzt voraus, dass die instand gehaltene Einheit nach jeder Instandhaltungsmaßnahme wieder als neuwertig angesehen werden kann, d.h. als Instandhaltungsmaßnahme ist eine Überholung bzw. Erneuerung vorgesehen. R(t) ist die Zuverlässigkeit der Einheit ohne planmäßige Instandhaltung. Die Instandhaltungsmaßnahmen werden nach festgelegten Instandhaltungsintervallen TPM (PM = Preventive Maintenance) unabhängig vom Zustand der Einheit durchgeführt. Um die Zuverlässigkeit RPM(t) des Elements mit planmäßiger Instandhaltung zu ermitteln, betrachtet man einen Instandhaltungsplan in der zeitlichen Abfolge, wie er beispielhaft in Abb. 10.13 dargestellt ist.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

361

planmäßige Erneuerungen

Betrieb TPM

TPM

TPM

Zeit t

Stillstand 2·TPM (k-1)·TPM k·TPM t

Abb. 10.13. Instandhaltungsplan in der zeitlichen Abfolge

Folgende Annahmen liegen dem Instandhaltungsmodell zugrunde: x Die Stillstandsdauer zur Erneuerung sei vernachlässigbar klein. x Nach jeder Erneuerung sei die Betrachtungseinheit wieder neuwertig. x Die Erneuerung wird periodisch, in konstanten Intervallen TPM, durchgeführt. x Das Ausfallverhalten vor und nach einer Wartung sei stochastisch unabhängig. x Erfolgt nach der k-ten Erneuerung ein Ausfall während der darauf folgenden Betriebsperiode, wird erst wieder zum nächsten vorgesehenen Instandhaltungszeitpunkt (k+1)˜TPM eine Erneuerung durchgeführt.

Da die Ereignisfolge als stochastisch unabhängig angesehen wird, ergibt sich die Zuverlässigkeitsfunktion einer gewarteten Einheit zu [10.35] RPM (t ) R (TPM ) k ˜ R (t  k ˜ TPM ) für k ˜ TPM d t d (k  1)TPM und k = 0(1)f.

(10.11)

Der Term R(k˜TPM)k beschreibt die Wahrscheinlichkeit, k Erneuerungsperioden ohne Ausfall überlebt zu haben. R(t  k˜TPM) ist die Überlebenswahrscheinlichkeit in der Betriebsperiode nach der letzten (k-ten) durchgeführten Instandhaltung. Der Erwartungswert MTTFPM einer Komponente ergibt sich bei periodischer Erneuerung zu [10.27] TPM

³ R ( t ) dt

f

MTTFPM

³R

PM

0

(t )dt

0

1  R (TPM )

.

(10.12)

362

10 Berechnung reparierbarer Systeme

10.4.1.2 Periodische Erneuerung von Komponenten mit konstanter Ausfallrate

Entspricht das Ausfallverhalten eines Elements einer Exponentialverteilung, so beeinflusst die periodische Erneuerung das Ausfallverhalten des Elements nicht, da RPM (t )

e  k ˜O˜TPM ˜ e  O (t k˜TPM )

e  O˜t

R (t )

(10.13)

ist, d.h. das Ausfallverhalten eines Elements ohne und mit periodischer Erneuerung ist identisch. Bei konstanter Ausfallrate zeigen sich keinerlei Alterserscheinungen, daher ist dieses Ergebnis anschaulich nachvollziehbar. 10.4.1.3 Periodische Erneuerung von Komponenten mit zeitabhängiger Ausfallrate

Liegt eine zeitabhängige Ausfallrate vor, wird das Ausfallverhalten der Komponente von der Größe des Erneuerungsintervalls beeinflusst. Ist das Ausfallverhalten einer Komponente durch eine dreiparametrige Weibullverteilung gegeben, ergibt sich die Zuverlässigkeit RPM(t) durch die Beziehung ª § § T  t ·b § t  k ˜ T  t ·b · º PM 0 ¸ ¸» RPM (t ) exp «  ¨ k ˜ ¨¨ PM 0 ¸¸  ¨¨ ¸ ¸» ¨ T  t0 ¹ © T  t0 « ¹ ¹¼ ¬ © © für k˜TPM d t d (k +1)TPM.

(10.14)

Für eine Komponente mit dreiparametriger Weibullverteilung mit Formparameter b = 2,0, charakteristischer Lebensdauer T = 2.000 h und ausfallfreier Zeit t0 = 500 h ist in Abb. 10.14 der Verlauf der Zuverlässigkeitsfunktion für eine Komponente ohne und mit periodischer Erneuerung dargestellt. Der Instandhaltungsintervall wird hier mit TPM = 1000 h vorgeschrieben. In Abb. 10.14 ist eine Zuverlässigkeitsfunktion nach Gl. (10.14) dargestellt. Nach jeder Erneuerung ergeben sich Knicke im Verlauf der Überlebenswahrscheinlichkeit, was zu unstetigen Ausfalldichten und Ausfallraten führt. Die Erneuerung wird zu den Zeitpunkten TPM, 2·TPM, 3·TPM,... durchgeführt. Der Verlauf von RPM(t) liegt deutlich oberhalb vom Verlauf von R(t), d.h. die Überlebenswahrscheinlichkeit mit periodischer Erneuerung ist größer als ohne diese Maßnahme.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

363

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 R(TPM)·R(t-TPM)

0,9

R(TPM)2·R(t-2·TPM)

0,8

R(TPM)3·R(t-3·TPM)

0,7 RPM(t) mit periodischer Erneuerung

0,6 0,5 0,4

R(TPM)4·R(t- 4·TPM)

R(t) ohne periodische Erneuerung

0,3 0,2 0,1 0 0

5

10

TPM

15

20

2·TPM

25

30

3·TPM

35

40

45

50

4·TPM Zeit t ·102h

Abb. 10.14. Zuverlässigkeit mit und ohne periodische Erneuerung

In Abb. 10.15 ist der Erwartungswert MTTFPM (normiert zur charakteristischen Lebensdauer T) einer Komponente als Funktion des Formparameters b mit dem Instandhaltungsintervall TPM als Parameter dargestellt. Angenommen wurde hierbei eine ausfallfreie Zeit der Komponente von t0 = 0. Deutlich ist zu erkennen, dass bei einem Formparameter b > 1 bei planmäßiger Instandhaltung der Erwartungswert MTTFPM größer ist als der MTTF-Wert, der sich ohne Instandhaltung ergibt (TPM = ’). Bei vorgegebenem Formparameter b steigt MTTFPM in Abhängigkeit des Instandhaltungsintervalls TPM unterschiedlich stark an. Grundsätzlich gilt: Je größer b ist – und damit der Einfluss von Alterung und Verschleiß auf die Ausfallursache ist – , desto größer ist der positive Effekt, der durch periodische Erneuerungen erzielt werden kann. Für Formparameter b < 1 ist der Effekt genau umgekehrt, d.h. durch Erneuerungen würde die mittlere Lebensdauer verkleinert. Für Formparameter b = 1 ergibt sich, wie bereits in Abschn. 10.4.1.2 gezeigt, dass Instandhaltungsmaßnahmen keinen Einfluss auf die Zuverlässigkeit und damit auf die mittlere Lebensdauer haben.

364

10 Berechnung reparierbarer Systeme

MTTFPM T 3 TPM = 0,1·T 0,2·T

2,5

0,3·T 0,4·T

0,5·T 0,7·T

0,6·T

0,8·T

2

0,9·T 1,5

1,0·T

5·T

0,8 1

MTTF (TPM=

1,5

)

8

0,5

0

1,2·T

2·T

1

2

2,5 2,7

3

3,5

4

b

Abb. 10.15. MTTFPM einer Komponente in Abhängigkeit von Formparameter b und Instandhaltungsintervall TPM Beispiel:

Für eine Komponente ist durch Lebensdauerversuche das Ausfallverhalten in Form einer Weibullverteilung mit den Parametern b = 2,7 und T = 1.000 h ermittelt worden. Die mittlere Lebensdauer MTTF ergibt sich dabei zu 889,3 h. Gefordert ist jedoch eine mittlere Lebensdauer von 2.000 h. Diese soll durch periodische Erneuerungen im Rahmen von Instandhaltungsmaßnahmen erreicht werden. Gesucht ist nun der Instandhaltungsintervall, mit dem die geforderte MTTFPM erreicht wird. Dieser ergibt sich aus Abb. 10.15 zu TPM = 0,7 ˜ T = 700 h aus dem Schnittpunkt von gegebenem Formparameter b und gefordertem MTTFPM. In Abb. 10.16 ist die Dauerverfügbarkeit AD nach Gl. (10.8) einer Komponente als Funktion des Formparameters b mit dem Instandhaltungsintervall TPM als Parameter dargestellt. Hierbei wird angenommen, dass die planmäßigen Erneuerungen keine zusätzliche Stillstandszeit erfordern, sondern während Schichtpausen durchgeführt werden. Kommt es zu einem (ungeplanten) Ausfall, wird sofort die Reparatur der Komponente eingeleitet. Hierfür wird eine mittlere Reparaturdauer von MTTR = 0,1 ˜ T angenommen.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

365

AD 1 TPM = 0,1· T 0,98

0,2·T

0,3·T 0,5·T

0,4·T

0,6·T 0,96 95,24%

0,7·T

8

0,8·T TPM=

0,9·T

0,94

1,0·T 0,92 1,2·T 0,9 89,89%

1,5·T

2·T 5·T

0,88 0,8 1

1,5

2

2,5 2,7

3

3,5

4

b

Abb. 10.16. Dauerverfügbarkeit einer Komponente mit periodischer Instandhaltung bei einer mittleren Reparaturdauer MTTR von 0,1 ˜ T Beispiel:

Für eine Komponente aus dem vorigen Beispiel ergab sich mit MTTR = 0,1 ˜ T = 100 h ursprünglich eine Dauerverfügbarkeit nach Gl. (10.8) von AD = 89,89 %. Nach Einführung des Instandhaltungsprogramms läßt sich eine Dauerverfügbarkeit von AD = 95,24 % erzielen. Dies bedeutet eine Steigerung der Dauerverfügbarkeit um 5,95 %. 10.4.2 Markov-Modell

Mit dem Markov-Modell [10.7, 10.31, 10.35] können reparierbare Systeme behandelt werden. Ziel ist es, die Verfügbarkeit des Systems bzw. eines Bauelements zu ermitteln. Zur Vereinheitlichung der Modelle und zur Vereinfachung der Berechnung werden folgende Voraussetzungen vereinbart: x die Betrachtungseinheit wechselt ständig zwischen Arbeits- und Reparaturzustand, x nach jeder Instandsetzung ist die reparierte Einheit neuwertig,

366

10 Berechnung reparierbarer Systeme

x die Arbeitszeiten und die Reparaturzeiten jeder Betrachtungseinheit sind stetig und stochastisch unabhängig und x der Einfluss der Umschalteinrichtung wird nicht berücksichtigt. Die Markov-Methode basiert auf dem Markov-Prozess, einem stochastischen Prozess X(t) mit endlich vielen Zuständen Z0, Z1, ..., Zn für den für jeden beliebigen Zeitpunkt t seine weitere Entwicklung nur vom gegenwärtigen Zustand und von der Zeit t abhängig ist. Das bedeutet, dass mit dem Markov-Modell nur Systeme behandelt werden können, deren Elemente konstante Ausfall- und Reparaturraten besitzen. Die Methode basiert auf einer Bilanzierung der möglichen Zustandsänderungen in Form von Gleichgewichtsbeziehungen. Man erhält ein System aus Zustandsdifferentialgleichungen, aus denen die Verfügbarkeit der Betrachtungseinheit als Funktion der Zeit ermittelt werden kann. 10.4.2.1 Verfügbarkeit eines Einzelelements

Die Vorgehensweise der Markov-Methode wird zuerst an einem Einzelelement schrittweise gezeigt [10.50]. a) Zustandsdefinition

Jedes Element kann nur die zwei Zustände "funktionsfähig" oder "ausgefallen" annehmen: x Zustand Z0: Das Element ist funktionsfähig und im Betriebszustand. x Zustand Z1: Das Element ist ausgefallen und befindet sich im Reparaturzustand. Die zugehörigen Zustandswahrscheinlichkeiten werden mit P0(t) und P1(t) bezeichnet. b) Erstellung des Zustandsgraphen

Der Zustandsgraph stellt anschaulich die Zustandsänderung des Elements dar. Das Element geht mit einer gewissen Übergangswahrscheinlichkeit von einem Zustand in einen anderen Zustand über. Die Summe der Übergangswahrscheinlichkeiten der von einem Knoten (Zustand) ausgehenden Pfeile besitzt immer den Wert Eins. Zur Vereinfachung gibt man im Markov-Graph die Übergangsraten, d.h. die Ausfallrate O und die Reparaturrate P an. Ein solcher Markov-Graph für ein Einzelelement ist in Abb. 10.17 dargestellt.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

λ

1-λ

367

1-µ

Z1

Z0 µ Abb. 10.17. Markov-Graph für ein Einzelelement

c) Aufstellung der Zustandsdifferentialgleichungen

Zur Aufstellung der Zustandsdifferentialgleichungen bilanziert man die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Zustandsänderungen. Die Änderung der Zustandswahrscheinlichkeit setzt sich additiv aus den Übergangswahrscheinlichkeiten zusammen. Diese Übergangswahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation der Zustandswahrscheinlichkeit mit den jeweiligen Übergangsraten. Alle vom Zustand ausgehenden Pfeile werden dabei negativ, alle zum Zustand zeigenden Pfeile werden positiv angesetzt. Dies führt im Falle eines Einzelelementes zu folgenden zwei Differentialgleichungen: d P0 (t ) dt d P1 (t ) dt

O ˜ P0 (t )  P ˜ P1 (t ) und

(10.15)

P ˜ P1 (t )  O ˜ P0 (t ) .

(10.16)

d) Normierungs- und Anfangsbedingungen

Weil sich das Element jeweils in einem Zustand aufhalten muss, ist die Summe aller Zustandswahrscheinlichkeiten zu jedem Zeitpunkt eins. So erhält man die Normierungsbedingung

P0 (t )  P1 (t ) 1 .

(10.17)

Die Anfangsbedingung gibt an, in welchem Zustand sich das Element zu der Zeit t = 0 befindet. Zu Beginn ist das betrachtete Element normalerweise neuwertig und betriebsfähig. Die Anfangsbedingungen lauten dann

P0 (t

0) 1 und P1 (t

0) 0 .

(10.18)

368

10 Berechnung reparierbarer Systeme

e) Auflösung der Zustandswahrscheinlichkeit

Aus den Differentialgleichungen (10.15) und (10.16) der Normierungsbedigung (10.17) und den Anfangsbedingungen (10.18) erhält man

P0 (t )

P O  ˜ e  O  P ˜t . PO PO

(10.19)

Die Zustandswahrscheinlichkeit P1(t) erhält man über die Normierungsbedingung P1 (t ) 1  P0 (t ) .

(10.20)

f) Ermittlung der Verfügbarkeit

Die Verfügbarkeit A(t), mit der sich das Element zum Zeitpunkt t im funktionsfähigen Betriebszustand befindet, ist gleich der Zustandswahrscheinlichkeit P0(t): A(t )

P0 (t ) .

(10.21)

Die Nichtverfügbarkeit U(t) ergibt sich aus dem Komplement der Verfügbarkeit zu U (t ) 1  A(t )

P1 (t ) .

(10.22)

Stationäre Lösung

Die Verfügbarkeit konvergiert für t o ’ gegen den Grenzwert der stationären Lösung. Diese so genannte Dauerverfügbarkeit AD, wird meist durch den x Mittelwert der Betriebsdauer MTTF = 1/O (engl. Mean Time To Failure) und den x Mittelwert der Reparaturzeit MTTR = 1/P (engl. Mean Time To Repair) ausgedrückt und hat eine große praktische Bedeutung in der Instandhaltung: AD

lim A(t )

t of

P O P

MTTF MTTF  MTTR

1 . MTTR 1 MTTF

(10.23)

Die Dauerverfügbarkeit ist nur vom Quotienten MTTR/MTTF abhängig, was in Abb. 10.18 grafisch dargestellt ist. Je größer der Quotient wird, d.h. desto geringer wird die Dauerverfügbarkeit.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

369

Dauerverfügbarkeit AD in %

110 100 90 80 70 60 50 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

MTTR 1,2 MTTF

Abb. 10.18. Dauerverfügbarkeit AD als Funktion des Quotienten MTTR/MTTF Beispiel:

Als Beispiel zur Markov-Methode wird ein Element behandelt, dessen Ausfall- und Reparaturverhalten exponentialverteilt ist. Die Verfügbarkeit wird für verschiede Reparaturraten Pi und einer konstanten Ausfallrate O dargestellt. In Tabelle 10.3 sind die Parameter zusammengestellt. Die ermittelten Verfügbarkeiten A(t) sind in Abb. 10.19 dargestellt. Verfügbarkeit A(t)

Überlebenswahrscheinlichkeit R(t)

1,0 0,9 K1

0,8

K2

K3

AD1 = 91%

K4

AD2 = 67,7%

0,7 0,6

AD3 = 50%

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

AD4 = 0%

0 0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

Lebensdauer t ·102h

Abb. 10.19. Verfügbarkeit A(t) für verschiedene Reparaturraten P bei konstanter Ausfallrate O

370

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Deutlich kann man die Konvergenz zur Dauerverfügbarkeit für große t erkennen. Für P = 0, was wiederum einer unendlich langen Reparaturdauer (MTTR o f) entspricht, fallen Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit zusammen. Die Dauerverfügbarkeit nimmt mit zunehmender Reparaturdauer ab. Tabelle 10.3. Parameter zum Markov-Beispiel Nr. K1 K2 K3 K4

O [1/h] 0,001 0,001 0,001 0,001

MTTF [h] 1.000 1.000 1.000 1.000

P [1/h] 0,01 0,002 0,001 0

MTTR [h]

AD [%]

100 500 1.000 ’

91 66,7 50 0

10.4.2.2 Markov-Modell mit mehreren Elementen

Wird ein aus mehreren Elementen bestehendes System analysiert, muss das Zusammenwirken aller Elemente berücksichtigt werden. Wenn n Elemente mitwirken, kann ein Markov-Modell 2n Zustände für alle denkbaren Kombinationen von Ausfällen und Übergängen annehmen. Im einfachsten Fall besteht ein System aus zwei Elementen K1 und K2. Bei diesem System sind vier Zustände möglich, Tabelle 10.4. Tabelle 10.4. Zustandsbeschreibung für ein System mit zwei Elementen Zustand Z0 Z1 Z2 Z3

Beschreibung Beide Elemente K1 und K2 sind intakt K1 defekt und K2 intakt K1 intakt und K2 defekt Beide Elemente K1 und K2 sind defekt

Wahrscheinlichkeit P0(t) P1(t) P2(t) P3(t)

Abb. 10.20 zeigt den zugehörigen Markov-Zustandsgraphen dessen Struktur alle denkbaren Vorgänge nachbildet. Die Raten O1, P1 beschreiben das Übergangsverhalten des Elements K1, O2 und P2 das von K2. Die Übergänge von Z0 zu Z3 und von Z1 zu Z2 werden nicht berücksichtigt, denn ein solcher Zustandswechsel würde bedeuten, dass beide Elemente gleichzeitig ihre Zustände ändern würden.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme Z1

λ1

Z0

λ2

µ1

µ2

µ2

µ1

λ2

371

Z3 λ1

Z2

Abb. 10.20. Markov-Zustandsgraph von zwei Elementen

Das Differentialgleichungssystem für die Zustandswahrscheinlichkeiten ergibt sich wiederum aus der Bilanzierung der Zustandsübergänge im Markov-Graph. Man erhält d P0 (t ) dt d P1 (t ) dt

d P2 (t ) dt d P3 (t ) dt

O1  O 2 ˜ P0 (t )  P1 ˜ P1 (t )  P 2 ˜ P2 (t ) , O1 ˜ P0 (t )  O 2  P1 ˜ P1 (t )  P 2 ˜ P3 (t ) ,

(10.24) O 2 ˜ P0 (t )  O1  P 2 ˜ P2 (t )  P1 ˜ P3 (t ) und O 2 ˜ P1 (t )  O1 ˜ P2 (t )  P1  P 2 ˜ P3 (t ) .

Als Normierungsbedingung erhält man wiederum aus der Summe der Zustandswahrscheinlichkeiten

P0 (t )  P1 (t )  P2 (t )  P3 (t ) 1 .

(10.25)

Die Anfangsbedingungen lauten im vorliegenden Fall P0 (t

0) 1 und Pi (t

0) 0i 1(1)3 .

(10.26)

Das Differentialgleichungssystem muss unter Berücksichtigung der Normierungs- und Anfangsbedingungen, z.B. mit Hilfe der Laplace Transformation, gelöst werden. Diese Auflösung ist allerdings recht aufwendig.

372

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Nach längerer Rechnung erhält man O1 ˜ O 2 ˜ e (O1 P1O2 P2 )˜t  P1 ˜ O 2 ˜ e ( O2 P2 )˜t  P 2 ˜ O1 ˜ e (O1 P1 )˜t  P 2 ˜ P1 , (O1  P1 ) ˜ (O 2  P 2 )

P0 (t )

(10.27)





O1 ˜ O 2 ˜ e  ( O1 P1 O 2 P2 )˜t  O 2 ˜ e  ( O2 P2 )˜t  P 2 ˜ e  ( O1 P1 )˜t  P 2 , (10.28) (O1  P1 ) ˜ (O 2  P 2 )

P1 (t )



P2 (t )

O 2 ˜  O1 ˜ e  ( O1 P1 O2 P2 )˜t  P1 ˜ e  ( O2 P2 )˜t  O1 ˜ e  ( O1 P1 )˜t  P1 , (10.29) (O1  P1 ) ˜ (O 2  P 2 )



P3 (t )







O1 ˜ O 2 ˜ e  ( O1 P1 O 2 P 2 )˜t  e  ( O1 P1 )˜t  e  ( O2 P2 )˜t  1 . (O1  P1 ) ˜ (O 2  P 2 )

(10.30)

Zur Ermittlung der Verfügbarkeit muss nun die Systemstruktur betrachtet werden. Da es sich um zwei Elemente handelt, können diese nur in Reihe oder parallel geschaltet sein. Für die Verfügbarkeiten gilt damit

A(t )

P0 (t ) und

(10.31)

P0 (t )  P1 (t )  P2 (t ) 1  P3 (t ) .

(10.32)

bei Serienschaltung bei Parallelschaltung

A(t )

Im stationären Zustand bleiben die Zustandswahrscheinlichkeiten konstant, d.h. die Zustandsänderungen werden Null lim Pi (t )

t of

d Pi (t ) t of dt

pi Πund damit lim

0 i

0(1)3 .

(10.33)

Im stationären Fall wird also aus dem Differentialgleichungssystem ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Aus Gl. (10.27) bis (10.30) erhält man folgende stationären Lösungen: p0

P1 ˜ P 2 , p O1  P1 ˜ O 2  P 2 1

O1 ˜ P 2 , O1  P1 ˜ O 2  P 2

p2

O 2 ˜ P1 und p3 O1  P1 ˜ O 2  P 2

O1 ˜ O 2 . O1  P1 ˜ O 2  P 2

(10.34)

Damit erhält man Beziehungen für die Dauerverfügbarkeiten bei Serienund Parallelschaltung der beiden Elemente.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

373

Bei

1 und bei § O1 · § O 2 · ¨¨1  ¸¸ ˜ ¨¨1  ¸¸ © P1 ¹ © P 2 ¹

AD

Serienschaltung ist

AD

Parallelschaltung gilt

1

(10.35)

1 . § P1 · § P 2 · ¨¨1  ¸¸ ˜ ¨¨1  ¸¸ © O1 ¹ © O 2 ¹

(10.36)

Beispiel:

Das Ausfall- und Reparaturverhalten beider Systemkomponenten sei exponentialverteilt. Die Parameter sind in Tabelle 10.5 zusammengestellt. Tabelle 10.5. Parameter der Ausfall- und Reparaturverteilungen Nr. K1 K2

Ausfallverhalten MTTF [h] O [1/h] 0,001 1.000 0,002 500

Reparaturverhalten MTTR [h] P [1/h] 0,01 100 0,02 50

Dauerverfügbarkeit ADi [%] 90,9 90,9

In Abb. 10.21 sind die Verfügbarkeiten Gln. (10.31) und (10.32) für die Serien- und Parallelschaltung der beiden Komponenten eingetragen. 1,00 ADP = 99,2%

0,98 A(t) bei Parallelschaltung

Verfügbarkeit A(t)

0,96

K1

0,94

K2

0,92

AD1= AD2 = 90,9%

0,90 0,88

A(t) bei Serienschaltung

0,86 0,84

ADS = 82,6%

0,82 0,80 0

1

2

3

4

5

6

Lebensdauer t . 10 2

7

8

9

10

Abb. 10.21. Verfügbarkeit bei Serien- und Parallelschaltung zweier Komponenten

374

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die über die Gln. (10.35) und (10.36) berechneten Dauerverfügbarkeiten sind dort ebenfalls angegeben. Deutlich erkennt man wie schnell dieser stationäre Zustand erreicht wird. 10.4.3 Boole-Markov-Modell

Besteht ein System aus voneinander unabhängigen, reparierbaren Systemelementen kann ein so genanntes Boole-Markov-Modell gebildet werden [10.50], Abb. 10.22. Das reparierbare System wird also als System mit reparierbaren Elementen angesehen. Die Dauerverfügbarkeit der einzelnen Systemelemente wird mit dem Markov-Modell ermittelt. Die Verknüpfung zwischen den Elementen erfolgt nach dem Booleschen Modell.

Ki

K2

K1

Z0i

λi µi

Kn

Z1i

Abb. 10.22. Boole-Markov-Modell

Die bisherige Untersuchung des Markov-Modells für reparierbare Systeme beschränkte sich darauf, dass die zugehörigen Elemente eine konstante Ausfall- und Reparaturrate besitzen. Falls Ausfall- oder Reparaturraten der Elemente zeitabhängig sind, ist die Auflösung nach den Zustandswahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der Laufzeit nicht möglich. Daher wird beim Boole-Markov-Modell nur der stationäre Zustand, d.h. die Dauerverfügbarkeit, betrachtet. Für die Dauerverfügbarkeit ADi der einzelnen Elemente gilt auch für zeitabhängige Übergangsraten: ADi

lim Ai (t ) t of

Pi Oi  Pi

MTTFi . MTTFi  MTTRi

(10.37)

Dabei berechnet man den Mittelwert der Betriebsdauer MTTFi und den Mittelwert der Reparaturzeit MTTRi als Erwartungswert E(t) der Ausfallbzw. Reparaturverteilung. Die Systemdauerverfügbarkeit kann nun mit Hilfe des Booleschen Modells abgeschätzt werden:

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme n

Seriensystem:

ADS

n

–

ADi

i 1

– i 1

Pi O i  Pi

n

MTTFi

– MTTF  MTTR , i

i 1

n

ADS

1

– 1  ADi

n

1

i 1

Parallelsystem:

n

1

– i 1

–O i 1

375

(10.38)

i

Oi i  Pi

.

MTTRi MTTFi  MTTRi

(10.39)

Beispiel:

Als Beispiel zur Systemverfügbarkeit wird ein System von drei in Reihe geschalteten Weibullverteilungen betrachtet. Das Reparaturverhalten der Komponenten werde jeweils durch eine Exponentialverteilung mit einem Reparaturmittelwert vom MTTR = 100 h beschrieben. In Tabelle 10.6 sind die Parameter der Verteilungen zusammengestellt und die Dauerverfügbarkeiten der Einzelkomponenten sowie die Systemdauerverfügbarkeit berechnet. Tabelle 10.6. Parameter der Systemkomponenten – Berechnung der Systemdauerverfügbarkeit Nr.

K1 K2 K1

Ausfallverhalten b 2,0 1,8 1,5

T [h] t0 [h] 3.000 0 3.200 500 2.500 1.000

Systemdauerverfügbarkeit:

MTTF [h] 2.658 2.901 2.354 n

ADS

– i 1

Reparaturverhalten MTTR [h] 100 100 100

MTTFi MTTFi  MTTRi

Dauerverfügbarkeit ADi 0,9637 0,9667 0,9593

n

–A

Di

0,8937

i 1

10.4.4 Gewöhnliche Erneuerungsprozesse

Die Erneuerungstheorie entstand aus der Untersuchung über "sich erneuernde Grundgesamtheiten", hat sich jedoch im Laufe der Zeit den Untersuchungen allgemeiner Ereignisse über die Summe unabhängiger, nicht negativer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie zugewandt [10.13, 10.14]. Die frühen Arbeiten auf dem Gebiet der Erneuerungstheorie sind von Lotka [10.40] zusammengestellt.

376

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Gewöhnliche Erneuerungsprozesse [10.1, 10.2, 10.3, 10.7, 10.13, 10.14, 10.45] zählen auch zu der Klasse der stochastischen Punktprozesse und beschreiben das Grundmodell einer einzelnen Komponente im Dauerbetrieb. Dabei wird angenommen, dass eine Komponente bei einem Ausfall am Ende ihrer Lebensdauer sofort durch eine neue, statistisch identische Komponente ersetzt (erneuert) wird. Dies bedeutet, dass beim gewöhnlichen Erneuerungsprozess die Reparaturdauern gegenüber den Betriebsdauern vernachlässigt werden, d.h. es wird MTTF >> MTTR vorausgesetzt. Diese Vereinfachung bedeutet aber auch, dass die Verfügbarkeit mit dem gewöhnlichen Erneuerungsprozess nicht berechenbar ist. Trotzdem soll auf den gewöhnlichen Erneuerungsprozess zuerst eingegangen werden. 10.4.4.1 Zeit bis zur n-ten Erneuerung

In Abb. 10.23 ist ein gewöhnlicher Erneuerungsprozess symbolisch dargestellt.

Z(t)

1.Ausfall und sofortige Erneuerung

Inbetriebnahme

2.Ausfall und sofortige Erneuerung

3.Ausfall und sofortige Erneuerung

1 1. Komponente Lebensdauer τ1

2. Komponente Lebensdauer τ2

3. Komponente Lebensdauer τ3

0 T0 = 0

T1

T2

T3

Zeit t

Abb. 10.23. Ablauf eines gewöhnlichen Erneuerungsprozesses

Die Punkte T1, T2, ... werden als Erneuerungspunkte oder Regenerationspunkte bezeichnet. Die Größe Tn beschreibt damit den Abstand des n-ten Erneuerungspunkts vom Nullpunkt und ist somit die Zeit bis zur n-ten Erneuerung. Erneuerungsprozesse erzeugen Folgen von Punkten, deren Erneuerungszeiten unabhängig voneinander sind – daher die Bezeichnung als Punktprozesse. Die Lebendauern Wn sind nicht negative, unabhängige Zufallsgrößen, die alle dieselbe Verteilungsfunktion F(t) besitzen. Für den gewöhnlichen Erneuerungsprozess gilt n

Tn

¦W i 1

i

, n = 1 (1) f .

(10.40)

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

377

Der Nullpunkt wird nicht als Erneuerungspunkt mitgezählt, für ihn gilt als Sonderfall T0 = 0. Die Verteilungsfunktion für die n-te Erneuerung, also des Zeitpunkts Tn, ist durch die n-te Faltungspotenz von F(t) F *( n ) (t )

Fn (t )

(10.41)

gegeben und entspricht der Verteilung der Summe von n Lebensdauern. Die n-te Faltungspotenz von F(t) lässt sich rekursiv durch t

F ( n ) (t )

³F

( i 1)

(t  t c) f (t c) d t c  i = 2(1)n

(10.42)

0

mit

F (1) (t ) { F (t ) berechnen.

10.4.4.2 Anzahl der Erneuerungen

Die Anzahl der Erneuerungspunkte N(t) im Zeitraum [0, t] ist eine diskrete Zufallsgröße, für sie gilt N (t )

­0 für t  T1 . ® ¯ n für Tn d t  Tn1

(10.43)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau n Erneuerungspunkte im Zeitintervall zwischen 0 und t liegen gilt Wn (t ) P ( N (t ) n) . Somit erhält man Wn (t )

F *( n ) (t )  F *( n1) (t ) .

(10.44)

Die Wahrscheinlichkeit für null Erneuerungen zwischen der Inbetriebnahme der ersten Komponente und dem Zeitpunkt t ist die Zuverlässigkeit W0 (t ) 1  F (t )

R (t ) .

(10.45)

10.4.4.3 Erneuerungsfunktion und Erneuerungsdichte

Die so genannte Erneuerungsfunktion H(t) ist definiert als Erwartungswert der Anzahl von Erneuerungen im Zeitraum [0, t]. Aus Gl. (10.44) erhält man H (t )

E N (t )

f

¦ n 1

f

nWn (t )

¦>

n F *( n ) (t )  F *( n1) (t )

n 1

f

@ ¦F n 1

*( n )

(t )

(10.46)

für t t 0 .

Die Erneuerungsfunktion dient als Grundlage für die Bestimmung des Ersatzteilbedarfs, da sie die Anzahl der erfolgten Erneuerungen bis zum

378

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Zeitpunkt t mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% angibt. Anders ausgedrückt: Soll der Erneuerungsprozess mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% aufrechterhalten werden, so müssen bis zum Zeitpunkt t insgesamt H(t) Ersatzkomponenten bereitstehen. Durch Ableitung der Erneuerungsfunktion erhält man die Erneuerungsdichte h(t )

f

dH (t ) dt

¦f

( n )

(t )

(10.47)

n 1

als unendliche Summe der Faltungspotenzen der Ausfalldichten. Diese kann rekursiv durch t

f S (t )

f ( i ) (t )

³f

( i 1)

(t  t c) f (t c) d t c  i = 2(1)n mit (10.48)

0

f (1) (t ) { f (t ) berechnet werden. Der Ausdruck h(t)dt ist die mittlere Wahrscheinlichkeit der Zahl von Ausfällen im Intervall [t, t+dt]. Die Erneuerungsdichte beschreibt also die mittlere Anzahl von Ausfällen pro Zeiteinheit. In Abb. 10.24 ist dieser Zusammenhang beispielhaft für eine normalverteilte Ausfalldichte mit P = 36 h und V = 6 h dargestellt.

Erneuerungsdichte h(t) Ausfalldichte f(t)

0,70

.

0,56 0,42 h(t) 0,28 0,14 f(t) 0

f*(2)(t) f*(3)(t) 60

120

f*(4)(t)

f*(5)(t) 180

f*(6)(t)

f*(7)(t) 240

f*(8)(t) 300

Lebensdauer t [h]

Abb. 10.24. Erneuerungsdichte als unendliche Summe der Faltungspotenzen der Ausfalldichte [10.35]

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

379

10.4.4.4 Erneuerungsgleichungen

Die Laplace-Transformation der Erneuerungsdichte lässt sich geschlossen als geometrische Reihe darstellen [10.6]. Man erhält durch Anwendung des Faltungssatz der Laplace-Transformation auf Gl. (10.47) ~ L^h(t )` h ( s )

f

~n

¦f

(s)

~ ~ ~ ~ f ( s )(1  f ( s )  f 2 ( s )  f 3 ( s )  ...)

n 1

. (10.49)

~ f (s) ~ s (1  f ( s))

Für die Erneuerungsfunktion resultiert unter Berücksichtigung des Integrationssatzes der Laplace-Transformation ~ f 1 f ~n f ( s) ~ ~n L^H (t )` H ( s ) F (s) f ( s) . (10.50) ~ sn1 s (1  f ( s )) n 1

¦

¦

Eine andere Interpretation ergibt sich, indem man Gl. (10.49) bzw. Gl. (10.50) in ~ ~ ~ ~ h ( s ) f ( s )  h ( s ) f ( s ) und (10.51) ~ H (s)

~ ~ ~ F ( s)  H ( s) f ( s )

(10.52)

umschreibt. Bildet man die Rücktransformation von Gl. (10.51) bzw. Gl. (10.52) und beachtet dabei den Faltungssatz der LaplaceTransformation so bleibt t

h(t )

f (t )  h f (t )

³

f (t )  h(t  t c) f (t c)dt c und

(10.53)

0

t

H (t )

f (t )  H f (t )

³

F (t )  H (t  t c) f (t c)dt c .

(10.54)

0

Diese Beziehungen heißen Integralgleichungen der Erneuerungstheorie oder einfach Erneuerungsgleichungen. Sie sind oft Ausgangspunkt für Untersuchungen. 10.4.4.5 Abschätzung des Ersatzteilbedarfs

Für den gewöhnlichen Erneuerungsprozess sind nach [10.3] asymptotische Grenzwerte für H(t) bekannt, die für große Werte der Zeit t Näherungen

380

10 Berechnung reparierbarer Systeme

für H(t) sowie für die Verteilung von N(t) liefern. Dabei wird stets E(W) = MTTF < f und Var(W) < f vorausgesetzt. Der Fundamentalsatz der Erneuerungstheorie ermöglicht weitere asymptotische Aussagen über den Erneuerungsprozess. Eine wichtige so erhältliche Implikation ist, dass die Gerade Hˆ (t )

t Var (W)  MTTF 2  1 MTTF 2 ˜ MTTF 2

t Var (W)  MTTF 2  MTTF 2 ˜ MTTF 2

(10.55)

die Asymptote der Kurve H(t) darstellt. Hˆ (t ) liefert eine Näherungslösung zur Berechnung der benötigten Ersatzteile über der Zeit, um für eine Komponente oder ein System einen Erneuerungsprozess aufrechterhalten zu können. 10.4.4.6 Anmerkung zur Verfügbarkeit

Da beim gewöhnlichen Erneuerungsprozess angenommen wird, dass die Komponente bei einem Ausfall ohne zeitliche Verzögerung sofort durch eine neue Komponente ersetzt wird, folgt für die Verfügbarkeit des gewöhnlichen Erneuerungsprozesses A(t ) 1 t t 0 .

(10.56)

10.4.4.7 Analyse des gewöhnlichen Erneuerungsprozesses

Die Erneuerungsgleichungen Gl. (10.53) und Gl. (10.54) sind lineare Volterrasche Integralgleichungen der 2. Art. In [10.30] und [10.43] wird die Lösung durch die Anwendung numerischer Integrationsverfahren gezeigt. 10.4.5 Alternierende Erneuerungsprozesse

Wird die Reparaturdauer bzw. die Erneuerungszeit einer ausgefallenen Komponente nicht mehr vernachlässigt, treten alternierende Erneuerungsprozesse [10.1, 10.2, 10.3, 10.7, 10.13, 10.14, 10.40, 10.51] auf. Mit ihnen kann man die Realität besser nachbilden, da gewöhnlich sowohl die Entdeckung der defekten Komponente als auch deren Reparatur bzw. deren Erneuerung eine gewisse Zeit beansprucht. Damit ist die Verfügbarkeit berechenbar. 1959 haben Cane [10.10] und Page [10.41] erstmals die Anwendungen alternierender Erneuerungsprozesse auf Probleme der animalischen Ethologie bzw. der Wartung elektronischer Rechenanlagen publiziert [10.13].

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

381

10.4.5.1 Ablauf des alternierenden Erneuerungsprozesses

Mit Hilfe des alternierenden Erneuerungsprozesses wird die in Abb. 10.25 dargestellte Situation modelliert.

Zustand

1. Inbetriebnahme

Betriebszustand

Ausfall

1. Komponente, Lebensdauer τ1,1

Reparaturzustand

WiederWiederinbetriebnahme Ausfall inbetriebnahme

2. Komponente, Reparatur- Lebensdauer τ Reparatur1,2 dauer τ0,2 dauer τ0,1

Zeit t

0

Abb. 10.25. Ablauf des alternierenden Erneuerungsprozesses

Die erste Komponente wird zum Zeitpunkt t = 0 in Betrieb genommen. Während ihrer ersten Lebensdauer W1,1 befindet sich die Komponente im aktiven Betriebszustand. Am Ende ihrer Lebensdauer fällt die Komponente aus und befindet sich nun im ausgefallenen Zustand bzw. Reparaturzustand. Innerhalb der Reparaturdauer W0,1 wird die defekte Komponente entweder repariert oder durch eine Ersatzkomponente erneuert. Nach erfolgter Reparatur bzw. Erneuerung wird die Komponente sofort wieder in Betrieb genommen. Nach Ablauf der zufälligen Lebensdauer W1,2 wird sie in der zufälligen Zeit W0,2 wieder vollständig repariert bzw. erneuert. Die Lebensdauern und die Reparaturdauern folgen also alternierend aufeinander. Die Zeitpunkte T1,n, in denen jeweils eine Lebensdauer endet sowie die Zeitpunkte T0,n, in denen jeweils eine Reparaturdauer endet, sind in Abb. 10.26 entlang der Zeitachse dargestellt. Z(t) 1

τ1,1

τ0,1

τ1,2

τ0,2

0 T0,0= 0

T1,1

T0,1

T1,2

Abb. 10.26. Zeitverlauf des alternierenden Erneuerungsprozesses

T0,2

t

382

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Die Lebensdauern W1,n sind damit gegeben als W1,n

T1,n  T0,n1 , n = 1(1) f

(10.57)

mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme T0,0 = 0, der als Erneuerungspunkt nicht mitgezählt wird. Für die Reparaturdauern gilt: W 0 ,n

T0,n  T1,n , n = 1(1)f

(10.58)

Die Folge der Zeitpunkte T1,1, T0,1, T1,2, T0,2, T1,3, ... heißt alternierender Erneuerungsprozess, wenn ihre in Gl. (10.57) und (10.58) gegebenen Differenzen unabhängige, nicht negative Zufallsgrößen sind. Darüber hinaus gilt die Bedingung, dass alle Lebensdauern W1,n und alle Reparaturdauern W0,n jeweils dieselbe Verteilung besitzen. Da angenommen wird, dass zum Zeitpunkt t = 0 eine neue Komponente in Betrieb genommen wird, ist die Verteilung der ersten Lebensdauer W1,1 gleich der Verteilung der folgenden Lebensdauern W1,n. Zur Unterscheidung nennt man einen alternierenden Erneuerungsprozess, der diese Bedingung nicht erfüllt, einen allgemein alternierenden Erneuerungsprozess [10.7, 10.45]. Das Verhalten der Lebensdauern W1,n ist durch F(t), f(t) und MTTF charakterisiert und das Verhalten der Reparaturdauern W0,nsei durch G(t), g(t) und MTTR gegeben. Beendet wird die Lebensdauer W1,n durch den Erneuerungspunkt T1,n, der in diesem Zusammenhang im Folgenden auch Ausfallpunkt genannt wird. Der Erneuerungspunkt T0,n, welcher die Reparaturdauer W0,n beendet, wird auch als Zeitpunkt der Inbetriebnahme bezeichnet. 10.4.5.2 Erneuerungsgleichungen

Durch Laplace-Transformation, geometrische Reihenentwicklung und Umformung im Laplace-Bereich und Laplace-Rücktransformation findet man die Erneuerungsgleichungen der eingebetteten Prozesse als Integralgleichungen analog zum gewöhnlichen Erneuerungsprozess. Für den eingebetteten 1-Erneuerungsprozess, der durch die Ausfallpunkte gebildet wird, ergibt sich die Erneuerungsgleichung für die Erneuerungsdichte zu t

h1 (t )

f (t )  h1 ( f g (t ))

f (t )  h1 (t  t c) f g (t c) dt c

³

(10.59)

0

und die Erneuerungsgleichung für die Erneuerungsfunktion zu t

H 1 (t )

F (t )  H 1  f g (t ) F (t )  H 1 (t  t c) f g (t c) dt c .

³ 0

(10.60)

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

383

Zur Abschätzung des Ersatzteilbedarfs verwendet man aus praktischer Sicht die Erneuerungsfunktion der Ausfälle H1(t), damit für den nach dem Ausfall beginnenden Reparaturzustand die benötigte Ersatzkomponente bereits zur Verfügung steht. Für den eingebetteten 0-Erneuerungsprozess ergibt sich die Erneuerungsgleichung für die Erneuerungsdichte zu h0 (t )

f g (t )  h0  f g (t )

t

f g (t )  ³ h0 (t  t c) f g (t c) dt c

(10.61)

0

und die Erneuerungsgleichung für die Erneuerungsfunktion zu H 0 (t )

F g (t )  H 0  f g (t )

t

F g (t )  ³ H 0 (t  t c) f g (t c) dt c .

(10.62)

0

10.4.5.3 Abschätzung des Ersatzteilbedarfs

Für die beiden eingebetteten Erneuerungsprozesse können auch Erneuerungssätze angegeben werden. Sie liefern für große Werte der Zeit t Näherungen für H1(t) und H0(t). Dabei werden MTTF < f, MTTR < f, Var(W1) < f und Var(W0) < fvorausgesetzt. Für den eingebetteten 1-Erneuerungsprozess findet man, dass die Gerade [10.43] Hˆ 1

Var (W1 )  Var (W 0 )  MTTR 2  MTTF 2 t  MTTF  MTTR 2( MTTF  MTTR ) 2

(10.63)

die Asymptote der Kurve H1(t) ist. Für den eingebetteten 0-Erneuerungsprozess gilt, dass die Gerade [10.43] Hˆ 0

Var (W1 )  Var (W 0 )  ( MTTF  MTTR ) 2 t  1 MTTF  MTTR 2( MTTF  MTTR ) 2

(10.64)

die Asymptote der Kurve H0(t) ist. Somit liefern Gl. (10.63) und Gl. (10.64) für große t eine bessere Näherung der Erneuerungsfunktion H1(t) bzw. H0(t) als der elementare Erneuerungssatz. Gleichzeitig ermöglichen sie die Abschätzung des Ersatzteilbedarfs für große Zeiten t. Hierbei sollte die Näherung der Erneuerungsfunktion H1(t) verwendet werden, da zum Zeitpunkt des Ausfalls das Ersatzteil bereits verfügbar sein soll.

384

10 Berechnung reparierbarer Systeme

10.4.5.4 Punktverfügbarkeit

Die in der Praxis häufiger interessierende Leistungskenngröße eines technischen Systems ist die Punktverfügbarkeit. Sie ist nach Gl. (10.3) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Komponente zum Zeitpunkt t in Betrieb ist. Die Punktverfügbarkeit kann auf Basis der alternierenden Erneuerungsprozesse auf unterschiedliche Weise ermittelt werden. Im Folgenden werden drei Methoden vorgestellt. Methode I:

Man erhält die Punktverfügbarkeit als Spezialfall der Intervallzuverlässigkeit [10.30] für x = 0 als t

A(t )

R(t )  R h0 (t )

³

R(t )  R(t  t c) h0 (t c) d t c .

(10.65)

0

Zur Berechnung der Punktverfügbarkeit in Gl. (10.65) wird vorausgesetzt, dass die Erneuerungsdichte h0(t) bekannt ist. Methode II:

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung der Punktverfügbarkeit A(t) einer Komponente, ohne dass die Erneuerungsdichte h0(t) explizit bekannt sein muss, wird in [10.7] und [10.45] vorgestellt. Es wird angenommen, dass die Komponente bei t = 0 im Arbeitszustand (1-Zustand) startet. Betrachtet werden nur die Zeitpunkte der Wiederinbetriebnahme der erneuerten Komponente bei T0,n. Die erste Erneuerung nach Beendigung der ersten Reparaturdauer sei im Zeitpunkt t', Abb. 10.27. Z(t) 1

t – t´ 0 0

t' = T0,1

t

Zeit

Abb. 10.27 Zustandsverlauf eines alternierenden Erneuerungsprozesses

Die Verteilungsdichte des Zeitpunkts der ersten Wiederinbetriebnahme T0,1 ist gleich f g (t c) . Weiter ist unter der Bedingung, dass bei t' mit t c d t

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

385

die erste Wiederinbetriebnahme stattfindet, die Wahrscheinlichkeit des 1-Zustands bei t gleich A(t  t'). Das Integrieren über alle möglichen t' ergibt dann: t

P( Z (t ) 1 | T0,1

tc d t )

³ A(t c  t ) f g (t c) d t c .

(10.66)

0

Es muss noch der Fall berücksichtigt werden, dass die erste Wiederinbetriebnahme T0,1 erst nach dem Zeitpunkt t stattfindet. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit des 1-Zustands bei t P ( Z (t ) 1 | T0,1

t c ! t ) 1  F (t )

R (t ) .

(10.67)

Nach der Regel der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Gl. (10.66) und Gl. (10.67), mit jeweils disjunktiven Bedingungen, für den Zeitpunkt T0,1 unmittelbar die Rekursionsformel für die Punktverfügbarkeit t

A(t )

R(t )  A  f g (t ) R(t )  A(t  t c) f g (t c) d t c .

³

(10.68)

0

Methode III:

Die Punktverfügbarkeit ist nach Gl. (10.3) als Erwartungswert des Zustandsindikators Z(t) zum Zeitpunkt t definiert. Zur Berechnung des Zustandsindikators kann man auf die Zählfunktionen N1(t) und N0(t) zurückgreifen. Es bezeichnet N1(t) die Anzahl der im Intervall [0, t] erfolgten Ausfälle und N0(t) die Anzahl der im Intervall [0, t] erfolgten Reparaturen. Der Zustandsindikator =(t) zum Zeitpunkt t ist dann Z (t ) 1  N 0 (t )  N1 (t ) ,

(10.69)

wie man aus Abb. 10.28 erkennen kann. Aus dieser Beschreibung des Zustandsindikators ergibt sich durch Erwartungswertbildung eine weitere Form der Punktverfügbarkeit. Unter der Berücksichtigung der Gesetzmäßigkeiten für Summen von Zufallsgrößen und der Tatsache, dass der Erwartungswert einer Konstanten die Konstante selbst ist, erhält man für die Punktverfügbarkeit [10.1] A(t )

E Z (t ) 1  E  N 0 (t )  E  N1 (t ) 1  H 0 (t )  H 1 (t ) .

(10.70)

Durch Laplace-Transformation lässt sich zeigen, dass Gl. (10.65), Gl. (10.68) und Gl. (10.70) äquivalente Ausdrücke zur Berechnung der Punktverfügbarkeit A(t) darstellen [10.30].

386

10 Berechnung reparierbarer Systeme

N0(t) 3 2 1 0 0

Zeit t

0

Zeit t

0

Zeit t

N1(t) 3 2 1 0

Z(t) 1

0

Abb. 10.28. Zusammenhang zwischen Zählfunktionen und Zustandsfunktion

10.4.5.5 Asymptotisches Verhalten

Für große Zeiten t konvergiert die Verfügbarkeit A(t) gegen einen konstanten Wert, der unabhängig von den Anfangsbedingungen zu der Zeit t = 0 ist. Mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Erneuerungstheorie folgt für die Dauerverfügbarkeit AD

lim A(t ) t of

MTTF . MTTF  MTTR

(10.71)

Bezeichnet man die Zeitspanne zwischen zwei benachbarten Erneuerungspunkten als Erneuerungszyklus, so ist die Dauerverfügbarkeit gleich dem Erwartungswert der Arbeitszeit bezogen auf den Erwartungswert der Zykluslänge.

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

387

10.4.5.6 Analyse des alternierenden Erneuerungsprozesses

Die Erneuerungsgleichungen Gl. (10.59) bis (10.62) sind lineare Volterrasche Integralgleichungen der 2. Art. In [10.43] und [10.30] wird die Lösung durch die Anwendung numerischer Integrationsverfahren gezeigt. Die Gleichungen (10.65), (10.68) und (10.70) zur Berechnung der Punktverfügbarkeit A(t) lassen sich ebenfalls numerisch berechnen. 10.4.5.7 Beispiel

In Abb. 10.29 sind exemplarisch die Erneuerungsdichten, die Erneuerungsfunktionen, die Ausfall- und Reparaturdichten sowie die Verfügbarkeit für verschiedene Weibullausfallverteilungen bei identischer Weibullreparaturverteilung dargestellt. Die Reparaturverteilung ist mit b = 3,5 ähnlich einer Normalverteilung. Die unterschiedlichen Ausfallverteilungen wurden so gewählt, dass der MTTF Wert konstant bleibt. Variiert wird der Formparameter b der Ausfallverteilung in 5 Stufen, was bei konstantem MTTF Wert auch zu unterschiedlichen charakteristischen Lebensdauern T führt. Die Parameter der verwendeten Verteilungen sind in Tabelle 10.7 zusammengestellt. Tabelle 10.7. Parameter der Ausfall- und Reparaturverteilungen

Ausfallverteilung F(t) Nr. 1 2 3 4 5

b MTTF [h] 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

T [h] 1000 1107,73 1128,38 1119,85 1103,26

Reparaturverteilung G(t)

Var (W) [h] b MTTR [h] T [h]

1000 678,97 522,72 363,44 280,54

3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

600 600 600 600 600

666,85 666,85 666,85 666,85 666,85

Var (W) [h]

189,87 189,87 189,87 189,87 189,87

In Abb. 10.29 ist deutlich die Konvergenz gegen den stationären Wert der Erneuerungsdichten hf = 1/(MTTF + MTTR) = 1/1600 hí1 = 6,25 10í4 hí1 zu erkennen. Die Erneuerungsdichten nehmen in Abhängigkeit vom Formparameter dabei unterschiedlichste Formen an. Je größer der Formparameter b ist, desto mehr schwingt die Erneuerungsdichte um den stationären Wert hf.

10 Berechnung reparierbarer Systeme Erneuerungsdichte h1(t)

Erneuerungsdichte h0(t)

1,5

b = 4,0 b = 3,0 b = 2,0

h1(t)·1000 0,5

b = 4,0 b = 3,0 b = 2,0 b = 1,5 b = 1,0

0,5 h

h∞

8

1,5

h0(t)·1000

388

b = 1,0 b = 1,5 0

10

20 Zeit t/1000 [h] 50

Erneuerungsfunktion H1(t)

H1(t)·1000

3,0

0

0

3,0

b = 1,0 b = 1,5

1,0

1,0

20 Zeit t/1000 [h] 50

2,5

Ausfall- und Reparaturdichte g(t)

50

0 0 100

b = 3,0 b = 4,0

10

20 Zeit t/1000 [h]

50

Verfügbarkeit A(t) b = 1,0 b = 1,5 b = 4,0 b = 2,0 b = 3,0

75 f(t) b = 4,0 b = 3,0 b = 2,0 b = 1,5 b = 1,0

1,0

0

b = 1,0 b = 1,5 b = 2,0

A(t) in %

10

f(t),g(t)·1000

0

20 Zeit t/1000 [h]

Erneuerungsfunktion H0(t)

b = 2,0 b = 3,0 b = 4,0 0

10

H0(t)·1000

0

50

25 0

4

8 Zeit t/1000 [h] 20

AD = 62,5%

0

10

20 Zeit t/1000 [h] 50

Abb. 10.29. Erneuerungsdichten, Erneuerungsfunktionen, Ausfalldichte, Reparaturdichte und Verfügbarkeit bei weibullverteiltem Ausfall- und Reparaturverhalten

Je kleiner dabei die Varianz der Ausfallverteilung ist, desto schneller erfolgt das Einschwingen der Erneuerungsdichte zum entsprechenden Grenzwert. Die zugehörigen Erneuerungsfunktionen zeigen ein entsprechendes Verhalten. Dabei ist deren Konvergenz gegen die linearen Asymptoten

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

389

nach Gl. (10.63) bzw. Gl. (10.64) deutlich zu erkennen, wobei die Steigungen der Erneuerungsfunktionen gegen 1/hf konvergieren. Die Verschiebungen der Erneuerungsfunktionen in horizontaler Richtung sind mit den unterschiedlichen Varianzen zu erklären. Die Verfügbarkeit nimmt in Abhängigkeit vom Formparameter ebenfalls unterschiedlichste Formen an. Je größer der Formparameter b gewählt wurde, desto mehr schwingt die Verfügbarkeit um die Dauerverfügbarkeit AD = MTTF / (MTTF + MTTR) = 10 / 16 = 62,5%. 10.4.6 Semi-Markov-Prozesse

Bei Systemen, die durch Erneuerungsprozesse beschreibbar sind, braucht man hinsichtlich der auftretenden Verteilungen kaum Einschränkungen zu machen. Jedoch sind mit diesen Prozessen nur einfach strukturierte Systeme zu erfassen. Mit den gewöhnlichen Markov-Prozessen dagegen können auch komplizierte Systeme adäquat beschrieben werden. Dafür muss man aber fordern, dass Exponentialverteilungen vorliegen. Bei den im Folgenden vorgestellten Semi-Markov-Prozessen (SMP) werden in gewisser Weise die günstigen Eigenschaften von Erneuerungs- und MarkovProzessen vereint. Lévy [10.38] und Smith [10.44] formulierten ursprünglich diese Prozesse 1954 (Bernet [10.4]). Eine Zusammenfassung der Anwendbarkeit von SMP sowie tiefere Einblicke in die Theorie der SMP mit Herleitungen und Beweisen findet man z.B. bei Cocozza-Thivent et al.[10.11, 10.12] Fahrmeir et al. [10.29] und Gaede [10.31]. 10.4.6.1 Ablauf eines Semi-Markov-Prozesses

Ein SMP ist ein stochastischer Prozess mit m + 1 Zuständen (Z0, ..., Zm), der folgende Eigenschaften aufweist: Wurde der Zustand Zi zu einem bestimmten Zeitpunkt t eingenommen, so wird der nächste Zustand durch die Semi-Markov-Übergangswahrscheinlichkeit (SMÜ) Qj(t) bestimmt. Diese erlaubt es, die letzte Eintrittszeit t' in die Berechnung mit einzubeziehen. Ein beispielhafter Verlauf der Zustandsindikatorfunktion Z(t) beim SemiMarkov-Prozess ist in Abb. 10.30 dargestellt. Die Verteilungsfunktionen der unbedingten Verweilzeiten in den Zuständen Zi ergeben sich durch Addition: m

Qi (t )

¦ Q (t ) . ij

j 0

(10.72)

390

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Z(t) Z3= 3

Z2 = 2 Z1= 1 Z0= 0

0

Zeit t

Abb. 10.30. Beispielhafter Verlauf des Zustandsindikators beim Semi-MarkovProzess

Die Verweilzeit im Zustand Zi mit Übergang in den Zustand Zj ist eine positive Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion Fij(t). Mit den Fij(t) und der Angabe der Anfangsbedingung ist der Prozess vollständig bestimmt. Man spricht dann auch von einem Markov-Erneuerungsprozess (MEP) [10.31]. Im Gegensatz zu den Erneuerungsprozessen, erlaubt der Semi-MarkovProzess die Modellierung von mehr als zwei Zuständen. Im Zusammenhang mit der Instandhaltung reparierbarer Systeme können daher neben den Zuständen „in Betrieb“ und „ausgefallen bzw. in Reparatur“ auch weitere Zustände wie „Stillstand wegen planmäßiger Instandhaltung“ oder „Wartezeit auf Ersatzteile“ nachgebildet werden. 10.4.6.2 Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Verfügbarkeit

In der Zuverlässigkeitstheorie interessiert meist die bedingte Wahrscheinlichkeit Pi , j (t )

P ( Z (t )

Z j | Z ( 0) Z i ) ,

(10.73)

die der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur Zeit t im Zustand j entspricht, wenn der Prozess im Zustand i zum Zeitpunkt t = 0 gestartet wurde. Diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist definiert durch ein System von Integralgleichungen, welche in der Literatur (z.B.[10.29]) oft auch als Kolmogorov-Gleichungen eines SMP bezeichnet werden: m t

Pi , j (t ) G ij (1  Qi (t )) 

¦³q k 00

ik (t c) Pk , j (t

 t c)dt c ,

(10.74)

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

391

mit dem Kronecker Delta Gij = 0 für j z i, Gii = 1 und der SMÜ-Dichte qij (t )

dQij (t ) dt

.

(10.75)

Für die Ermittlung der Verfügbarkeit ist es zweckmäßig, aus den Zuständen des Prozesses zwei komplementäre Teilmengen zu bilden: *S ist die Menge aller Zustände, in der die Betrachtungseinheit funktionstüchtig und *F die Menge aller Zustände, in der die Betrachtungseinheit ausgefallen ist. Für die Punktverfügbarkeit folgt damit A(t )

¦P

i , j (t )

.

(10.76)

j*S

10.4.7 Systemtransporttheorie

Auf der Suche nach einer umfassenden Theorie zur Verfügbarkeitsanalyse wurde von Dubi die Systemtransporttheorie entwickelt [10.17 - 10.26]. Sie basiert auf einer Analogie zur Partikeltransporttheorie in Materie. Im Folgenden wird auf die Analogie eingegangen und das Grundkonzept dieser Theorie zur Beschreibung des Systemverhaltens vorgestellt. 10.4.7.1 Analogie zur physikalischen Partikeltransporttheorie

Dubi fand eine enge mathematische Analogie zwischen dem physikalischen Transport von Partikeln in einem Medium und dem Ausfall- und Reparaturverhalten eines Systems in der Zeit [10.17]. Diese Analogie besteht darin, dass sich ein Teilchen im dreidimensionalen Raum bewegt, dabei mit anderen Teilchen kollidiert und dann eine Zustandsänderung erfährt. Diese Analogie wurde auch von Devooght [10.16], Labeau [10.33, 10.36] und Lewins [10.39, 10.49] untersucht und veröffentlicht. Ein Partikel (Neutron) bewegt sich innerhalb eines Mediums im Raum auf einer geraden Bahn, bis es auf einen Atomkern trifft. Der Ort der Kollision wird mit einem Vektor r beschrieben. Die Richtung, in der das Neutron in die Kollision eintritt, beschreibt der Vektor :. Vor der Kollision hat das Partikel die Energie E. Man sagt, das Partikel tritt im Punkt P = (r, :, E) des Zustandsraums in die Kollision ein. Bei der Kollision findet eine nukleare Reaktion statt, in der das Partikel absorbiert oder wieder abgestoßen wird. Im zweiten Fall verlässt das Teilchen die Kollision im selben Ort r, allerdings mit einer anderen Richtung :' und einer anderen Energie E'. Das Partikel verlässt also das Ereignis mit dem Zustandsraumvektor P' = (r, :', E'). Nach der Kollision bewegt sich das Teilchen

392

10 Berechnung reparierbarer Systeme

wieder auf einer geraden Bahn vom Punkt r bis zum Punkt r', an dem sich die nächste Kollision ereignet. Ergo tritt das Teilchen im Punkt P' = (r', :', E') des Zustandsraums in die nächste Kollision ein. Dieser Prozess setzt sich so lange fort, bis das Partikel absorbiert wird oder die Grenzen des Mediums verlässt. Der Prozess, der den Transport von einem Ereignis P zum nächsten Ereignis P' kontrolliert, wird mit der Neutronentransporttheorie beschrieben. Dieser Neutronentransportprozess in einem Medium ist in Abb. 10.31 schematisch dargestellt.

Bahn des Neutrons vor Bahn des Neutrons der 1. Kollision: nach der 1. Kollision: Richtung Ω Richtung Ω´ Energie E Energie E´

Atom 2 Bahn des Neutrons nach der 2. Kollision: Richtung Ω´´ Energie E´´

Neutron Atom 1

y

Vektor r zum z Ort der 1. Kollision

x

Vektor r´ zum Ort der 2. Kollision

Abb. 10.31. Neutronentransportprozess in einem Medium

Der Prozess kann in zwei Teile separiert werden. Zum einen in die Kollision selbst und zum anderen in den Freiflug von einer zur nächsten Kollision. Die Kollision selbst wird beschrieben durch die Beziehung zwischen Energie und Richtung vor und nach der Kollision. Zu diesem Zweck definiert man den Collision-Kernel C r ; :, E o :c, E c als Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass ein Partikel, welches im Punkt r mit Richtung : und Energie E in eine Kollision eintritt, diese mit Richtung :' und Energie E' verlässt. Der Kernel T :c, E c; r o r c beschreibt den Freiflug (free flight) des Partikels, als Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das Partikel, welches bei r eine Kollision mit Richtung :' und Energie E' verlässt, die nächste Kollison im Punkt r' haben wird. Das Produkt aus Collision- und Free-Flight-Kernel ist der Transport-Kernel: K P o Pc C r;ȍ;ȍ o ȍc,E c T ȍc,E c;r o r c .

(10.77)

Dieser ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass ein Partikel, welches im Punkt P eine Kollision erfuhr, seine nächste Kollision im Punkt P' erfahren wird. Darauf basierend wird nun die Kollisions- oder Ereignisdichte

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

393

\(P) eingeführt, welche für die Anzahl der Kollisionen im Punkt P steht. Die Definition der Ereignisdichte ist durch die Boltzmannsche Transportgleichung [10.17, 10.22] gegeben. Diese lautet

\P S P  \P c K r,ȍ,ȍ o r c,ȍ c,E c dP c ,

³

(10.78)

P

wobei S(P) der so genannte Source-Term ist, der die erste Kollision im Medium beschreibt. Die Bolzmann Transportgleichung beschreibt die Verhältnisse der hintereinander ablaufenden Ereignisse und ist die grundlegende und einzige Gleichung, die zur Analyse des Verhaltens der Partikel in einem Medium gelöst werden muss. Analytische Lösungen der Gleichung existieren nur für sehr wenige, einfache Fälle. Numerische Lösungen existieren für ein- und zweidimensionale Näherungen. Eine vollständige Lösung, in allen Dimensionen, ist nur mit Hilfe der Monte-CarloMethode möglich. 10.4.7.2 Allgemeine Form der Systemtransportgleichung

Die Situation in der Zuverlässigkeitstheorie ist vergleichbar mit der oben beschriebenen Situation in der physikalischen Partikeltransporttheorie. Daher können die Methoden der Partikeltransporttheorie auf die Zuverlässigkeitstheorie übertragen werden [10.17, 10.22]. Es wird ein System aus n Komponenten betrachtet. Jeder Komponente wird ein Zustandsindikator bi und eine zugehörige Eintrittszeit Wi, i = 1(1)n zugeordnet. Der Zustandsindikator kann soviel verschiedene Werte annehmen, wie die jeweilige Komponente Zustände annehmen kann. Beispielhaft könnte bi = {0,1,2} für die Zustände ausgefallen, funktionsfähig und in Reserve stehen. Die Anzahl der möglichen Zustände einer Komponente i wird mit mi bezeichnet. Die Größe Wi steht für den Zeitpunkt, in dem die i-te Komponente in den Zustand bi eingetreten ist. Alle n Zustandsindikatoren werden zu einem Systemzustandsvektor B und Systemeintrittszeitenvektor W zusammengefasst. Dargestellt durch: B

b1 , b2 ,..., bi ,..., bn und

(10.79)

W W1 , W2 ,..., Wi ,..., W n . (10.80) Die beiden Vektoren werden nun mit der kontinuierlich fortlaufenden Systemzeit t zu dem so genannten Zustandsraumvektor P kombiniert mit P

( B, W, t ) .

(10.81)

394

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Dieser Vektor sagt aus, dass sich das System zum Zeitpunkt t im Zustand B befindet, welcher zu den Zeiten Wi erreicht wurde. Die Zusammenfassung aller möglichen Vektoren P liefert eine Menge {P}, welche als Zustandsraum des Systems bezeichnet wird. Das System wird nun von einem Zustandsvektor zum nächsten, in einem n-dimensionalen diskreten Zustandsraum, in Abhängigkeit von der kontinuierlichen Systemzeit t, wechseln. Dieser Vorgang kann folgendermaßen dargestellt werden: Zum Zeitpunkt t = t0 = 0 befindet sich das System in seinem Anfangszustand B = B0. Zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 ereignet sich eine Zustandsänderung im System. Dieses Ereignis verursacht eine Änderung eines Zustandsindikators bi einer Systemkomponente. Diese Änderung kann nun selbst die sofortige Änderung von Zustandsänderungen in anderen Systemkomponenten hervorrufen. Diese Koppelungen müssen durch logische Verknüpfungen im Systemmodell definiert werden. Dem Zeitpunkt t1 ist also ein eindeutiger Zustandsvektor B1 zugeordnet. Das System bleibt daraufhin im Zustand B1, bis sich zu einem anderen Zeitpunkt t2 eine erneute Zustandsänderung ergibt. Dieser Transportprozess setzt sich bis zum Ende der Beobachtungszeit Tmax immer weiter fort. In Abb. 10.32 ist dieser Transportprozess dargestellt. Es wechseln sich Zustandsänderungen und Freiflugphasen, in Dubis Terminologie als Collision und Free-Flight bezeichnet, ab. Bis zum Zeitpunkt Tmax treten insgesamt p Zustandswechsel und p+2 Freiflugphasen auf. Zustands- B=B1 änderungen t=t1

B=B2 t=t2

B=B3 t=t3

B=Bp-1 t=tp-1

B=Bp t=tp

B=B0 t=0

Zeit Tmax

Freiflugphasen

Abb. 10.32. Transport eines Systems im Zustandsraum

Diese Sequenz von aufeinander folgenden Wechseln von Zustandsänderungen und Freiflugphasen wird zu einer "History" (Zeitgeschichte) des Systems Ck zusammengefasst. Eine solche "History" beschreibt die Zufallsfolge von Zustandsänderungen mit den dazugehörigen Zustandsänderungszeitpunkten: Ck

c ,c ,,c 1

2

p1,c p

(B ,t ),(B ,t ),, (B 1 1

1 1

p1 , t p1 ),( Bp , t p )

.

(10.82)

10.4 Modelle zur Berechnung reparierbarer Systeme

395

Da sowohl der Zeitpunkt der Zustandsänderung als auch die Zustandsänderung selbst stochastische Größen sind, ist die Folge Ck keine exakte Lösung des Systemtransportproblems, sondern nur eine mögliche Sequenz. Für die Ereignisdichte, als fundamentale Größe zur Berechnung der Verfügbarkeit, gibt Dubi eine zur Bolzmannschen Transportgleichung (Gl. (10.78)) äquivalente Form an [10.22]: \ ( B , IJ, t )

P ( B0 )G(t ) 

¦ ³³ \( Bc, IJc, t c) K ( Bc, IJc, t c o B, IJ, t )dIJcdt c . Bc W t c

(10.83)

Diese Transportgleichung stellt die Basis für die Berechnung der Verfügbarkeit von Systemen in Abhängigkeit von der Zeit dar. Die Verfügbarkeit A(t) erhält man aus [10.22] t

A(t )

¦ ³ \(B, IJ, t c) R

S

(B, IJ, t c)dt c .

(10.84)

B*S 0

Der Ausdruck RS(B, W, t) wird dabei als die Systemzustandszuverlässigkeit bezeichnet, und als fiktive Reihenschaltung der einzelnen Systemkomponenten in Abhängigkeit von B und IJ gebildet. Eine allgemeine analytische Auswertung dieser Beziehung ist noch nicht bekannt und auch nur in Sonderfällen zu finden. 10.4.7.3 Anwendbarkeit und Analyse der Systemtransporttheorie

Die Systemtransporttheorie erlaubt die Modellierung von komplexen Systemen mit beliebiger Struktur, beliebigen Verteilungsfunktionen zur Beschreibung des Ausfall- und Reparaturverhaltens der Komponenten und beliebigen Interaktionen der Komponenten im System [10.19, 10.20, 10.24]. Eine Vielzahl von Instandhaltungsstrategien kann nachgebildet und die Ersatzteillogistik kann berücksichtigt werden [10.34]. Die einzige anwendbare Methode zur Lösung der Systemtransportgleichungen ist die Monte-Carlo-Simulation [10.18, 10.21, 10.22, 10.30]. Mit dieser Methode wird mit dem modellierten System ein „Spiel gespielt“, d.h. es werden in vielen Simulationsdurchläufen eine große Zahl von verschiedenen Ereignisströmen generiert. Ein Ereignisstrom beschreibt den Zustandsverlauf des Systems und seiner Komponenten über der Zeit. Auf Basis der Ereignisströme können dann Kenngrößen des Systems, beispielsweise die Verfügbarkeit oder benötigte Ersatzteile ermittelt werden.

Beschreibungsart

algebraisch

expon.

2 beliebig beliebig

Gewöhnlicher Erneuerungsprozess 2 beliebig -

Alternierender Erneuerungsprozess -

2 -

beliebig

beliebig

-

-

n

-

beliebig

beliebig

beliebig

SemiMarkov Prozess

Systemtransporttheorie 2 -

n -

n -

analytisch -

-

numerisch

-

-

-

Ersatzteilbedarf

Dauerverfügbarkeit AD(t)

Verfügbarkeit A(t)

Zuverlässigkeit R(t)

analytisch analytisch Lösungsmöglichkeit

algebraisch DGL-System

Komplexität, Abhängigkeiten

-

Ausfallverhalten

Zustände der Komponenten

Planmäßige Instandhaltung

Komplexe Struktur

Instandhaltungsstrategie

Markov Reparaturen

-

Systemtrans- Integralgleich.- Integralgleichung portgleichungen system numerisch/MCnumerisch MC-Simulation Simulation

Modell

Integralgleichung

Reparaturverhalten

beliebig

expon.

BooleMarkov

beliebig

Periodische Instandhaltung Einzelkomponente

396 10 Berechnung reparierbarer Systeme

10.4.8 Vergleich der Berechnungsmodelle

In Tabelle 10.8 sind die Berechnungsmodelle in einer Übersicht zusammengestellt.

Tabelle 10.8. Vergleich der Modelle

-

10.5 Beispiel: Simulation einer bestandsabhängigen Lagerhaltung

397

Für jedes Modell ist angegeben, welche Aspekte der Systembeschreibung bei der Modellierung berücksichtigt werden können. Es ist aufgeführt, welche Arten von Verteilungsfunktionen zur Beschreibung des Ausfallund Reparaturverhalten verwendet werden können. Jedes Modell besitzt eine charakteristische Art der beschreibenden Gleichungen. Für die Analyse der Modelle sind die jeweiligen Lösungsmöglichkeiten angegeben. Ferner ist dargestellt, welche Kenngrößen des Systems oder der Komponenten berechnet werden können.

10.5 Beispiel: Simulation einer bestandsabhängigen Lagerhaltung Im Folgenden soll an einem Beispiel [10.34] die Möglichkeiten der Simulation zur Analyse eines komplexen Systems demonstriert werden. 10.5.1 Das Programm SPAR

Das Programm SPAR [10.20] basiert auf der Systemtransporttheorie. Zur Analyse verwendet das Programm die Monte-Carlo-Methode. Das Programm besitzt eine Verknüfungslogik, mit der neben der menügeführten Eingabe auch anwenderspezifische Vereinbarungen getroffen werden können. Somit ist es möglich, einen anwendungsspezifischen Lagerbestandsverlauf, eine begrenzte Anzahl an Reparaturmannschaften, Reparaturprioritäten und Erneuerungsgrade zu modellieren und zu simulieren. SPAR bietet aufgrund eines sehr detaillierten und vom Anwender gestaltbaren Ausgabe-Files die Möglichkeit umfangreiche Analysen durchzuführen. Dieser Aspekt ist bei Verfügbarkeits- und Kostenananalysen sehr hilfreich. 10.5.2 Szenario

Dargestellt werden soll ein Maschinenpark von zehn identischen Maschinen. Zur Aufrechterhaltung des Produktionsprozesses ist es erforderlich, dass alle zehn Maschinen zur gleichen Zeit in Betrieb sind. Treten Ausfälle an den Maschinen auf, werden Ersatzteile aus einem zentralen Ersatzteillager entnommen. Eine Bestandsregelung des Lagers nach dem in Abb. 10.3 abgebildeten Lagerbestandsverlauf ist an ein Nachbestellverhalten gebunden, das von der Ausfallhäufigkeit der jeweiligen Maschinen abhängt. Eine Nachbestellung soll erst erfolgen, wenn das so genannte Bestellniveau erreicht ist. Diese Art von Bestandsverlauf ist mit SPAR

398

10 Berechnung reparierbarer Systeme

modellierbar, wenn eine entsprechende Verknüpfungslogik erstellt wird. Bei einem gewissen Bestellniveau, legt das Programm eine vom Benutzer gewählte Anzahl an Ersatzteilen ans Lager. Wenn man ein bestandsabhängiges Bestellverhalten modelliert, so sind die beiden Variablen, die zur Verfügung stehen: x Lagernennbestand LNenn, x Bestellniveau (also der Bestand, bei dem ein Bestellvorgang ausgelöst wird).

Diese beiden Variablen erscheinen auch in der Verknüpfungslogik. Im Folgenden werden nun für den Maschinenpark die Verfügbarkeit und die resultierenden Kosten für die Lagerhaltung in Abhängigkeit dieser beiden Variablen ermittelt. Auf diese Weise kann die kostenoptimale Lagerhaltungsstrategie gefunden werden. 10.5.3 Die Simulation mit SPAR

Im Folgenden wird die Vorgehensweise von der Systemmodellierung bis zur Verfügbarkeits- und Kostenanalyse dargestellt. 10.5.3.1 Das Systemmodell

Als Systemmodell für die Simulation wurde das in Abb. 10.33 abgebildete Blockschaltbild verwendet.

Abb. 10.33. Zuverlässigkeitsblockdiagramm des Maschinenparks

Die Elemente im Blockschaltbild heißen in der Terminologie in SPAR Last Repairable Units (LRU). Hierbei stellen die LRUs 1-10 die zu betrachtenden Maschinen dar. LRU 12 ist eine Uhr, mit der man Lieferzeiten simulieren kann. Wenn die Bestellgrenze erreicht ist, so wird ein Fehler bei LRU 12 induziert. Erst nach Beendigung der fiktiven Reparatur an LRU 12 werden Ersatzteile ans Lager gelegt. LRU 11 stellt nur eine Durchleitung dar, um das zu betrachtende System von der Uhr unabhängig

10.5 Beispiel: Simulation einer bestandsabhängigen Lagerhaltung

399

zu machen. Die einzelnen LRUs sind unabhängig voneinander. Somit werden beim Ausfall eines LRUs die anderen LRUs nicht passiv gesetzt. 10.5.3.2 Verteilungsfunktionen der Lebens- und Reparaturdauern

Maschinenpark LRU 1 bis LRU 10: Das Ausfallverhalten entspricht einer Weibullverteilung (b = 2,5; T = 2500 h, t0 =500 h) und die Reparaturdauerverteilung entspricht einer Normalverteilung (P = 5 h; V = 2 h). LRU 11: Dieses LRU fällt nie aus und dient lediglich als Durchleitung, falls LRU 12 gerade repariert wird (die Bestellung läuft). LRU 12: Dieses LRU fällt nur aus, wenn ein Fehler durch die Verknüpfungslogik induziert wird. Die Reparaturdauerverteilung entspricht der Lieferzeit und ist durch eine Normalverteilung gegeben (P = 240 h; V = 60 h). 10.5.3.3 Die Verknüpfungslogik

Wie oben bereits kurz angeschnitten muss ein bestandsabhängiges Bestellverhalten mittels einer Verknüpfungslogik modelliert werden. Diese Logik ist in Abb. 10.34 und Abb. 10.35 zu sehen.

Abb. 10.34. Definition des Anfangsbestandes

Sinngemäß bewirkt die Logik Folgendes: VAR1 ist der Anfangslagerbestand und wird bei T = 0 im BUBBLE MAKER definiert, wie in Abb. 10.34 zu sehen ist. Wenn ein LRU ausgefallen ist, so wird VAR1 um 1 verringert. Wenn VAR1, also der Lagerbestand, eine gewisse Grenze erreicht (in diesem Fall 4) so wird ein Fehler bei LRU 12 induziert, wie in Abb. 10.35 zu sehen ist. Wenn die Lieferzeit verstrichen ist, was gleichbedeutend mit dem Reparaturende der Uhr ist, so werden neue Ersatzteile ans Lager gelegt.

400

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Abb. 10.35. Definition der Bestelllogik

Der Anfangsbestand soll, wie in Abb. 10.34 ersichtlich, aus 40 Teilen bestehen. Diese Anzahl muss auch im INPUT-Menüpunkt von SPAR bei dem Ersatzteilstrategiefenster eingegeben werden. Die beschriebene Logik vermag bestandsabhängige Bestellvorgänge auszulösen und kann dabei verschiedene Lieferzeitverteilungen mit einbeziehen. 10.5.3.4 Simulation der Verfügbarkeit als Funktion von Lagernennbestand und Bestellniveau

Es werden zwei Szenarien modelliert. Diese beiden Szenarien betrachten die Intervallverfügbarkeit in Abhängigkeit vom Lagernennbestand LNenn und in Abhängigkeit vom Bestellniveau. Die Lieferverzögerung beträgt aus Gründen der Vergleichbarkeit im Mittel 240 Stunden (s. LRU 12). Die Intervallverfügbarkeit wird als Ergebnis der Simulation über dem Bestellniveau aufgetragen. Beim ersten Szenario (Szenario A) beträgt der Lagernennbestand LNenn = 20 Teile beim zweiten Szenario (Szenario B) beträgt er 40 Teile.

10.5 Beispiel: Simulation einer bestandsabhängigen Lagerhaltung

401

Die Intervallverfügbarkeit als Funktion des Bestellniveaus ist in Abb. 10.36 für einen Lagernennbestand von 20 und 40 Ersatzteilen dargestellt. Verfügbarkeit in Abhängigkeit von Lagernennbestand und Bestellgrenze

Intervallverfügbarkeit

0,98 0,979 0,978 0,977 0,976 0,975 0,974 0

2

4

6

8

10

Bestellgrenze Anfangsbestand: 40 Teile

Anfangsbestand: 20 Teile

Abb. 10.36. Verfügbarkeitsvergleich von Szenario A und B in Abhängigkeit vom Bestellniveau

In Abb. 10.36 wird der Einfluss eines höheren Lagernennbestands deutlich. Bei hohen Lagerbeständen muss während der Betrachtungsdauer weniger oft bestellt werden. Man geht weniger oft das Risiko ein, dass während der Lieferzeit die Ersatzteile ausgehen. Dieser Effekt kann nur bei geringen Bestellniveaus beobachtet werden, weil nur hier das Risiko besteht, dass auf die Lieferung fehlender Ersatzteile gewartet werden muss. 10.5.3.5 Kostenanalyse

Aus der obigen Betrachtung ist ersichtlich, dass es mit beiden Ersatzteilstrategien (Szenario A und Szenario B) möglich ist, eine Verfügbarkeit von ca. 98 % zu erreichen. In einem Unternehmen wird die Strategie angewandt, die die geringsten Kosten verursacht. Die beiden Modelle unterscheiden sich in ihrer Kostenstruktur im Hinblick auf: x Lagerplatzgröße (Lagernennbestand), x Kapitalkosten,

402

10 Berechnung reparierbarer Systeme

x Bestellkosten (Verwaltungsaufwand, Transportkosten, Warenannahme), x Größendegressionseffekte (Rabatte bei größeren Mengen).

Für die Kostenanalyse der beiden Szenarien gelten folgende betriebswirtschaftliche Annahmen: x Ein Ersatzteil ohne Rabatt kostet 1.000 €. x Bei einer Bestellmenge von mehr als 30 Teilen pro Bestellung wird ein Rabatt von 15% gewährt. x Der Verwaltungsaufwand pro Bestellvorgang liegt bei 300 €. x Ein Lager für 40 Teile kostet 5.000 € pro Jahr, eines für 20 Teile nur 2.500 € pro Jahr. x Die Transportkosten sind bei beiden Varianten im Preis enthalten. x Der Zinssatz liegt bei 6 %.

Es wird das 20 Teile Modell mit Bestellgrenze 3 Teile mit dem 40 Teile Modell mit Bestellgrenze 3 Teile verglichen, da sich ab diesem Wert die beiden Modelle in der resultierenden Verfügbarkeit nicht mehr unterscheiden. Somit ist die Vergleichbarkeit gewährt und das Modell mit den geringsten Kosten ist das, welches tatsächlich benutzt würde. In Abb. 10.37 ist als Ergebnis der Kostenanalyse die Kostenstruktur der beiden Ersatzteilstrategien dargestellt. 60000 50000

Kosten

40000 Bestellkosten Kapitalkosten Raumnutzungskosten

30000 20000 10000 0

20 Teile Modell

40 Teile Modell

Abb. 10.37. Kostenstruktur der beiden Ersatzteilstrategien

10.6 Übungsaufgaben zu reparierbaren Systemen

403

Das Modell mit einem Lagernennbestand von 20 Ersatzteilen und einer Bestellgrenze von 3 Teilen schneidet um ca. 20 % besser ab. Dies hängt hauptsächlich mit den hohen Raumnutzungskosten zusammen. Das Ergebnis der Kostenanalyse hängt von den betriebswirtschaftlichen Rahmenbedingungen ab. Gelten andere Vorgaben, kann das Ergebnis anders sein. Daher ist es notwendig, bei einem komplexen Szenario so viele Randbedingungen wie möglich zu berücksichtigen.

10.6 Übungsaufgaben zu reparierbaren Systemen Im Folgenden sind zu den einzelnen Abschnitten Kontrollfragen aufgeführt. Diese dienen zur Abprüfung und Vertiefung des behandelten Stoffes. Anschließend folgen einige Berechnungsaufgaben. Der Schwerpunkt der Berechnungsaufgaben liegt dabei auf Abschnitt 10.5. Ergänzend sind in den Abschnitten 10.5.1.3, 10.5.2.1, 10.5.2.2, 10.5.3 und 10.5.5.7 Beispiele zu den einzelnen Berechnungsmodellen aufgeführt. 10.6.1 Kurzfragen

Abschnitt 10.1 1. Wie ist der Begriff Instandhaltung definiert? 2. Was ist das Ziel der Instandhaltungsarbeit? 3. In welche drei Kategorien lassen sich die Instandhaltungsmaßnahmen unterteilen? 4. Was versteht man allgemein unter planmäßiger Instandhaltung? 5. Welche Maßnahmen können im Rahmen der planmäßigen Instandhaltung durchgeführt werden? 6. Beschreiben Sie den Begriff der zustandsorientierten Instandhaltung. 7. Welche Verfahren lassen sich zur Zustandsüberwachung einsetzen? 8. Was versteht man allgemein unter außerplanmäßiger Instandhaltung? 9. Wie werden die Maßnahmen der außerplanmäßigen Instandhaltung bezeichnet? 10.Welche Vorteile werden durch die Ersatzteillagerhaltung gewonnen? 11.Beschreiben Sie den Lagerbestandsverlauf während eines Bestellzyklus. 12.Wie sollte der Bestellpunkt in einem Ersatzteillager gewählt werden? 13.Was wird durch die Instandhaltungsstrategie festgelegt?

404

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Abschnitt 10.2 1. Aus welchen Bestandteilen setzen sich die Lebenslaufkosten zusammen? 2. In welcher Lebenslaufphase ist der Einfluss auf die Lebenslaufkosten am größten? 3. Warum entsteht für eine bestimmte Verfügbarkeit ein Minimum der Lebenslaufkosten? Abschnitt 10.3 1. 2. 3. 4.

Was versteht man unter logistischer Wartezeit? Was beinhaltet die Instandhaltungswartezeit? Wann wird die Instandhaltungswartezeit zu Null? Warum sind die logistische und die Instandhaltungswartezeit nicht durch konstruktive Maßnahmen beeinflussbar? 5. Wie ist die Instandhaltbarkeit definiert? 6. Welche Verteilungsfunktion wird häufig zur Beschreibung der Instandhaltbarkeit eingesetzt? 7. Was wird durch die Instandhaltbarkeit qualitativ beschrieben? 8. Durch welche konstruktiven Tätigkeiten kann die Instandhaltbarkeit verbessert werden? 9. Wie ist die Verfügbarkeit allgemein definiert? 10.Geben Sie die Dauerverfügbarkeit AD eines Systems in Abhängigkeit von mittlerer Lebensdauer MTTF und mittlerer Stillstandszeit M an. 11.Welche Arten der Dauerverfügbarkeit kennen Sie? 12.Welche Art der Dauerverfügbarkeiten kann als Bewertungskriterium für die konstruktive Güte eines Produkts betrachtet werden? Begründen Sie! 13.Welche Zeitanteile werden bei der Berechnung der operativen Dauerverfügbarkeit AD (o ) in der mittleren Stillstandszeit M berücksichtigt? Welche dieser Zeitanteile können vom Hersteller und welche vom Betreiber beeinflusst werden? Abschnitt 10.4: 1. Das Ausfallverhalten eines Elements wird durch eine Exponentialverteilung beschrieben. Zeigen Sie, warum durch periodische Erneuerungen die Zuverlässigkeit des Elements nicht verbessert werden kann. 2. Das Ausfallverhalten eines Elements wird durch eine Weibullverteilung beschrieben. Für welchen Bereich des Formparameters b kann durch periodische Erneuerungen die mittlere Lebensdauer MTTFPM vergrößert werden?

10.6 Übungsaufgaben zu reparierbaren Systemen

405

3. Das Ausfallverhalten eines Elements wird durch eine Weibullverteilung beschrieben. Die Reparaturdauer wird durch eine Exponentialverteilung angenähert. Kann zur Berechnung der Verfügbarkeit A(t) der MarkovProzess eingesetzt werden? Begründen Sie! 4. Warum ergibt sich beim gewöhnlichen Erneuerungsprozess für eine Komponente immer eine Verfügbarkeit A(t) = 100 %? 5. Welchen zeitlichen Ablauf beschreibt der alternierende Erneuerungsprozess? 6. Warum wird die Näherung der Erneuerungsfunktion H1(t) zur Bestimmung des Ersatzteilbedarfs bevorzugt verwendet? 7. Welches ist die fundamentale Größe der Systemtransporttheorie zur Berechnung der Verfügbarkeit? 8. Nennen Sie die einzige anwendbare Methode zur Lösung der Systemtransportgleichungen. 10.6.2 Berechnungsaufgaben Aufgabe 10.1:

Eine Komponente hat einen MTTF-Wert von 5.000 h. Wie groß darf der MTTR-Wert der Komponente höchstens sein, damit eine Dauerverfügbarkeit AD = 99 % gewährleistet ist? Aufgabe 10.2:

Ein System bestehe aus drei identischen Komponenten, die in Serie angeordnet sind. Der MTTF-Wert einer Komponente beträgt 1500 h. Das System besitzt eine Dauerverfügbarkeit von 90 %. Wie groß ist dann der MTTR-Wert einer Komponente? Aufgabe 10.3:

Ein System bestehe aus drei identischen Komponenten, die parallel angeordnet sind. Das System besitzt eine Dauerverfügbarkeit ADS von 99,9 %. Wie groß ist dann die Dauerverfügbarkeit ADi einer Komponente? Aufgabe 10.4:

Ein System bestehe aus drei identischen Komponenten, die parallel angeordnet sind. Der MTTF-Wert einer Komponente beträgt 1500 h. Das System besitzt eine Dauerverfügbarkeit von 99 %. Wie groß ist dann der MTTR-Wert einer Komponente?

406

10 Berechnung reparierbarer Systeme

Aufgabe 10.5:

Ein System bestehe aus 3 Komponenten, die entsprechend dem unten dargestellten Zuverlässigkeitsblockdiagramm angeordnet sind. Das System soll eine Dauerverfügbarkeit ADS von 95 % erreichen. Die Dauerverfügbarkeit AD2 und AD3 der Komponenten 2 und 3 beträgt jeweils 90 %. Die Komponente 1 besitzt eine mittlere Lebensdauer MTTF von 1.000 h.

2 E

A

1 3

Abb. 10.38. Bild zu Aufgabe 10.5

a) Berechnen Sie die erforderliche Dauerverfügbarkeit AD1 der Komponente 1 damit die Systemdauerverfügbarkeit erreicht wird b) Welcher MTTR-Wert muss für die Komponente 1 erreicht werden, damit sich die erforderliche Dauerverfügbarkeit AD1 aus a) ergibt? Aufgabe 10.6:

Für ein Bauteil soll die Größe des Ersatzteillagers festgelegt werden. Die Lebensdauer IJ1 des Bauteils lässt sich durch eine Exponentialverteilung beschreiben mit der Ausfallrate Ȝ = 0,002 1/h. Die Reparaturdauer IJ0 wird ebenfalls durch eine Exponentialverteilung beschrieben mit der Reparaturrate µ = 0,1 1/h. Hinweis: Var(IJ1) = 1 / Ȝ2 und Var(IJ0) = 1 / µ2. Die Lagergröße wird mit A (=Anfangsbestand) bezeichnet. a) Geben Sie mit Hilfe der Näherungsgleichung für Hˆ 1 (t ) des alternierenden Erneuerungsprozesses eine allgemeingültige Gleichung für den Lagerbestand L(t) an. b) Bestimmen Sie die Lagergröße A, damit während einer Betriebsperiode von 8.760 h die Ersatzteilversorgung garantiert ist, d.h. der Lagerbestand L(t) nicht vorher schon zu Null wird.

Literatur zu Kapitel 10

407

Aufgabe 10.7:

Für eine Einzelkomponente sind die Ausfallrate Ȝ = 0,03 1/h und Reparaturrate µ = 0,2 1/h bekannt. Die Einzelkomponente wird zum Zeitpunkt t = 0 h zum ersten Mal in Betrieb genommen. a) Berechnen Sie die Dauerverfügbarkeit AD der Einzelkomponente. b) Welche Verfügbarkeit A(t) besitzt die Einzelkomponente zum Zeitpunkt t = 2,1 h? Aufgabe 10.8:

Für eine Einzelkomponente sind die Ausfallrate Ȝ = 0,01 1/h und Reparaturrate µ = 0,1 1/h bekannt. a) Berechnen Sie die Dauerverfügbarkeit AD der Einzelkomponente. b) Zu welchem Zeitpunkt t* hat die Einzelkomponente eine Verfügbarkeit von A(t*) = 95 % erreicht?

Literatur zu Kapitel 10 [10.1] Aven T, Jensen U (1999) Stochastic Models in Reliability. Springer [10.2] Beichelt F (1995) Stochastik für Ingenieure. Teubner, Stuttgart [10.3] Beichelt F (1997) Stochastische Prozesse für Ingenieure. Teubner, Stuttgart [10.4] Bernet R E (1992) Modellierung reparierbarer Systeme durch Markoffund Semi-regenerative Prozesse. Dissertation, ETH Zürich, Nr 9682 [10.5] Bertsche B (1989) Zur Berechnung der System-Zuverlässigkeit von Maschinenbau-Produkten. Dissertation Universität Stuttgart, Institut für Maschinenelemente. Inst. Ber. 28 [10.6] Birolini A (1985) On the Use of Stochastic Processes in Modeling Reliability Problems. Habilitationsschrift, ETH Zürich, Springer, Berlin [10.7] Birolini A (1991) Qualität und Zuverlässigkeit technischer Systeme. Springer, Berlin [10.8] Bitter P et al (1986) Technische Zuverlässigkeit. Herausgegeben von der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH. München, Springer [10.9] Brumby, Lennart (2000) Marktstudie Fremdinstandhaltung 2000. Ergebnisse einer Expertenstudie des Forschungsinstituts für Rationalisierung (FIR) an der RWTH Aachen, Sonderdruck 5/2000, 1.Auflage [10.10] Cane V R (1959) Behaviour Sequences as Semi-Markov Chains, Royal Statistic Journal, no 21, pp 36-58

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10 Berechnung reparierbarer Systeme

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Literatur zu Kapitel 10

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10 Berechnung reparierbarer Systeme

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11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

11.1 Einleitung Die Entwicklung zuverlässiger Produkte erfolgt unter Randbedingungen, die sich zunehmend verschärfen (s. Abb.1.3). Besonders die größere Komplexität der Produkte und die kürzeren Entwicklungszeiten fordern vom Produktentwickler den vermehrten und erweiterten Einsatz der Zuverlässigkeitstechniken. Die hohe Produktzuverlässigkeit kann deshalb nicht mehr allein auf dem klassischen Weg über ausgereifte Konstruktionsmethoden und -verfahren sichergestellt werden. Nur mit der Anwendung spezieller analytischer Zuverlässigkeitsmethoden lassen sich die gestiegenen Anforderungen erfüllen (s. Abb. 1.6). Diese Aktivitäten müssen zudem den gesamten Produktlebenszyklus umfassen, um ganzheitlich zu optimieren. Das Ergebnis ist dann ein umfassendes Zuverlässigkeitssicherungsprogramm [11.2]. Zur Beherrschung der Zuverlässigkeit bestehen die Prozessschritte aus einer Abfolge von Tätigkeiten, die auf jede einzelne Phase eines Produktlebenszyklus angewendet werden können. Ein beispielhaftes Vorgehen ist in Abb. 11.1 dargestellt. 1. Lege Zuverlässigkeitsziele fest 2. Analysiere das Ausmaß der erforderlichen Zuverlässigkeitsarbeiten 3. Plane die Strategie und Tätigkeiten zum Erreichen der Zuverlässigkeitsziele 4. Führe ausgewählte Zuverlässigkeitsaufgaben aus 5. Analysiere Ergebnisse der ausgewählten Zuverlässigkeitsaufgaben 6. Beurteile erreichte Zuverlässigkeitsergebnisse zur weiteren Verbesserung

Abb. 11.1. Systematische Prozessschritte zur Beherrschung der Zuverlässigkeit nach DIN EN 60300-1 [11.3]

412

11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

Die Integration von Rückkopplungsschleifen in den verschiedenen Prozessschritten erlaubt dabei an notwendiger Stelle eine ständige Verbesserung des Produkts. Ein weiteres Beispiel der Praxis soll verdeutlichen, wie im Einzelnen die Umsetzung eines Zuverlässigkeitsprogramms aufgebaut werden kann. Neben der Beschreibung der Prozessschritte wird hierbei zusätzlich auf die Ablaufbedingungen verwiesen, vgl. Abb. 11.2. Diese Beispiele veranschaulichen die bereits angewandte Implementierung der Zuverlässigkeitsmethoden im Entwicklungsprozess. Zukünftig wird die Notwendigkeit der Zuverlässigkeitssicherung zunehmend an Bedeutung gewinnen und als Vorraussetzung für ein erfolgreiches Produkt gewertet.

Unternehmenspolitik

Erfahrungswerte des Herstellers Zuverlässigkeitsanforderungen Zuverlässigkeitsziele

Zuverlässigkeitsprüfplanung

Studie zur Umsetzung der Zuverlässigkeit Zuverlässigkeitsspezifikationen

Entwicklungstest Prototypentest Vorserientest Fertigungstest Felddaten

Wettbewerbsdaten Produktplan Ziele Zuordnung zu Systemen Detailziele für Bauteile

Lieferverträge

Zuverlässigkeitsvorhersage und Beurteilung Zuverlässigkeitsnachweis Fertigungsspezifikation Zuverlässigkeitsüberprüfung

Ausfallursachenanalyse Konstruktionsund Abhilfeüberprüfung maßnahmen

Zuverlässigkeits-IST-Aufnahme Anforderungen für neue Produkte

Verfahrensüberprüfung

Abb. 11.2. Elemente eines Zuverlässigkeitsprogrammes [11.1]

Im Folgenden werden die grundsätzlichen Inhalte eines Zuverlässigkeitssicherungsprogramms dargestellt.

11.2 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

413

11.2 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm 11.2.1 Produktdefinition Jede Entwicklung beginnt mit der Planungsphase zur Vorgehensweise und zur Klärung der Aufgabe [11.5]. Entsprechend dem Motto „Wer kein Ziel hat, kann auch keins erreichen“, bedeutet das für die Zuverlässigkeitsarbeit, zuerst die erwartete Zielzuverlässigkeit festzustellen, s. Abb. 11.3. Diese Zielgröße wird sich sinnvollerweise an den Kundenerwartungen orientieren oder aus Wettbewerbsplatzierungen ableiten. So kann z.B. eine prozentuale Steigerung der bisher erreichten Zuverlässigkeit oder die geringste Ausfallquote eines Wettbewerbers als Maßstab festgelegt werden. In manchen Fällen sind gesetzliche Vorgaben zu übernehmen. Pr oduktdefinition

Produktgestaltung

Produktion

Nutzung

1. Ermittlung der Kundenerwartungen an die Gesamtzuverlässigkeit, Funktionalität, Life-Cycle -Costs, ... 2. Feststellung von Vergangenheitswerten und Wettbewerbsdaten (Marktposition, ...) 3. Festlegung eines Gesamtzuverlässigkeitsziels 4. Aufteilung der Gesamtzuverlässigkeit auf Systeme und Bauteile 5. Festlegung von Bauteil- und Systemzuverlässigkeiten im Lastenheft

Abb. 11.3. Zuverlässigkeitsaktivitäten während der Produktdefinition

Die Zielzuverlässigkeit muss im nächsten Schritt auf die Systeme und Bauteile des Produkts verteilt werden. Üblicherweise erfolgt dies mit Hilfe der Booleschen Theorie. Beim häufigen Fall einer Zuverlässigkeitsserienstruktur und einer anzustrebenden geringen Gesamtausfallquote ergibt sich die Gesamtausfallquote näherungsweise als Summe aus den Ausfallquoten der Systeme und Bauteile. Die ermittelten Zuverlässigkeitskennwerte sind in Anforderungslisten bzw. Lastenheften festzuschreiben. Hierbei ist auf die Vollständigkeit der Angaben zu achten. Zur vollständigen Zuverlässigkeitsangabe wird von der Definition des Begriffs Zuverlässigkeit ausgegangen. So sind als erstes die maßgebenden Funktions- und Umgebungsbedingungen zu beschreiben, s. Abb. 11.4. Da diese Inhalte auch Gegenstand weiterer Lastenheftkapitel sind, genügt möglicherweise ein entsprechender Verweis.

414

11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

LASTENHEFT für [Bauteil/System]

Kapitel Zuver lässigkeit 1. Funktions- und Umgebungsbedingungen (evtl. s. Kapitel...) 2. Definition der Ausfälle Ausfallarten und daraus resultierende Folgen für das Gesamtsystem 3. Zuverlässigkeitsanforderung max. zulässige Ausfallrate und/oder B 10-Wert usw. 4. Zuverlässigkeitsnachweis Prüfstandserprobung, Nachweisverfahren, Testbedingungen und Testdauer usw.

Abb. 11.4. Lastenheft Kapitel Zuverlässigkeit

Spezielle Bedeutung hat die Definition der Ausfälle, für die dann entsprechende Zuverlässigkeitskennwerte anzugeben sind. Die in der Praxis gebräuchlichsten Werte sind die Überlebenswahrscheinlichkeit R(t), die Ausfallrate Ȝ(t), eine Bq-Lebensdauer (B10-Lebensdauer), ein MTBF-Wert (meantime between failure) oder im einfachsten Fall eine Ausfallquote (meist ppm-Wert), s.a. Kap. 2. Gegebenenfalls kann der Zuverlässigkeitskennwert mehrere Ausfallarten eines Bauteils einschließen. Die genaue Wahl des Wertes richtet sich nach der gewünschten Genauigkeit und nach branchenspezifischen Gegebenheiten. Angaben zum durchzuführenden Zuverlässigkeitsnachweis schließen das Lastenheft ab. Dieser Nachweis soll an festgelegten Punkten im Produktlebenszyklus die erreichte Produktzuverlässigkeit nachvollziehbar dokumentieren. Das geschieht häufig mit einer experimentellen Überprüfung. 11.2.2 Produktgestaltung Die Produktgestaltung ist die für den Produktentwickler wichtigste Phase. In ihr wird das Produkt konzipiert, entworfen und ausgearbeitet. Hier sind auch die umfangreichsten Zuverlässigkeitsaktivitäten durchzuführen. Es handelt sich dabei um spezielle Methoden zur Analyse und Optimierung von Zuverlässigkeiten, s. Abb. 11.5 und die vorangegangenen Kapitel des Buches. Die Zuverlässigkeitsmethoden lassen sich in quantitative und qualitative Methoden einteilen. Die quantitativen Methoden liefern über Berechnungsverfahren direkte Wahrscheinlichkeitswerte für die zu erwartende Zuverlässigkeit. Sie basieren auf den Begriffen und Verfahren der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

11.2 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

Produktdefinition

Pr oduktgestaltung

Produktion

415

Nutzung

1. Zuverlässigkeitsanalysen Vorausbestimmung der Zuverlässigkeit über quantitative Berechnung, systemanstische Untersuchung von Fehlern und Ausfällen über qualitative Systemstudien 2. Prüfvorgaben festlegen, Testplanung durchführen 3. Zuverlässigkeitsnachweis für Komponenten, Systeme und das Gesamtfahrzeug durchführen

Abb. 11.5. Zuverlässigkeitsaktivitäten während der Produktgestaltung

Die qualitativen Methoden dagegen ermitteln aufgrund des planmäßigen und systematischen Vorgehens die möglichen Fehler und Ausfälle sowie deren Wirkungen. In den meisten Fällen wird mittels Schätzung oder Einstufung bewertet, um eine qualitative Rangfolge der Schwachstellen zu erhalten. Eine Übersicht der gängigsten Methoden zeigt Abb. 11.6. Der bekannteste Vertreter der qualitativen Methoden ist die FMEA (Failure Mode and Effects Analysis). Diese Methode wird bereits in größerem Maße in der Praxis eingesetzt. Analytische Methoden zur Prognose der Zuverlässigkeit und anschließender Optimierung quantitativ

• Systemtheorie nach Boole • Fehlerbaumanalyse (FTA) • Markov-Theorie • Monte-Carlo Simulation • Erneuerungstheorie

qualitativ

• FMEA (FMECA) • Fehlerbaumanalyse (FTA) • Ereignisablaufanalyse • Checklisten • Design-Review

Abb. 11.6. Übersicht über qualitative bzw. quantitative Zuverlässigkeit

Bei den quantitativen Methoden ist zur Ermittlung der genauen Zuverlässigkeitswerte notwendig, das Ausfallverhalten der Systemelemente und ihre Verknüpfung zu kennen; die jeweilige Systemtheorie muss sich dabei für die entsprechende Situation eignen, s. Abb. 11.7.

416

11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

RSystem = f ( R Systemelement1 , R Systemelement2 ,... ) Modellbildung System / Systemtheorie

Ausfallverhalten Systemelemente/ Komponentenverteilungen Weibullverteilung:

Boolesches Modell: RS ( t ) =

m

∑ j =1

n

x(i j )

1− x(i j )

(Ri ( t )) ⋅ (1 − Ri ( t )) ∏ i=1

( j) ( j) ϕ S (x ) ⋅

R( t ) = e

Markov -Prozess:

R( t ) = e − λ⋅t

Normalverteilung:

Monte-Carlo-Simulation: t

R (t ) =

B∈ΓS 0

Erneuerungstheorie: 0

∞

⎛ (τ − µ )2 ⎞ ⋅ ∫ exp ⎜ − ⎟ ⋅ dτ 2 ⋅σ 2 ⎠ ⎝ σ ⋅ 2⋅π t 1

Lognormalverteilung:

t

h( t ) = f ( t ) + ∫ h(τ ) ⋅ f ( t − τ ) ⋅ dτ

b

Exponentialverteilung:

n n dPi ( t ) = − ∑ α ij ⋅ Pi ( t ) + ∑ α ij ⋅ Pj ( t ) dt j =1 j =1

A( t ) = ∑ ∫ ψ (B, τ ) ⋅ RS ( B, t − τ ) ⋅ dτ

⎛ t − t0 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ T −t 0 ⎠

R( t ) = 1 −

1 σ ⋅ 2 ⋅π

t

⋅∫

1

(τ − t 0 ) 0

.......

⎛ 1 ⎡ ln( τ − t 0 ) − µ ⎤ 2 ⎞ ⎟ ⋅ exp ⎜⎜ − ⋅ ⎢ ⎥ ⎟ ⋅ dτ σ ⎦ ⎠ ⎝ 2 ⎣

.......

Abb. 11.7. Ermittlung quantitativer Systemzuverlässigkeit

Sowohl für die Elementverteilungen als auch für die Systemmodelle gibt es mathematische Beschreibungen. Diese mathematischen Modelle gelten als sehr umfassend und weit fortgeschritten. Die Modelle sind die Grundlage aller Ermittlungen der Systemzuverlässigkeiten. Es lässt sich feststellen, dass die mathematisch-theoretische Beschreibung sehr gut bekannt ist. Allerdings bedarf es bestimmter Erweiterungen und besonders der praxisnahen Umsetzung. Im Maschinenbau werden am häufigsten die Weibullverteilung und das Boolsche Modell eingesetzt [11.4]. Diese Analysen beschreiben umfassend das erwartete Zuverlässigkeitsverhalten, sowohl von den Bauteilen als auch vom ganzen System. Abbildung 11.8 zeigt das beispielhaft für ein Omnibusgetriebe, s.a. Abb. 11.9. Die Analyseergebnisse können genutzt werden, um zuverlässigkeitsschwache Bauteile zu verbessern oder um zuverlässigkeitsunkritische Bauteile bezüglich der Kosten zu optimieren. Neben den theoretischen Untersuchungen ist in der Phase der Produktgestaltung auch der im Lastenheft geforderte Zuverlässigkeitsnachweis zu erbringen. Dazu sind die genauen Prüfvorgaben festzulegen und die entsprechenden Untersuchungen durchzuführen. Der Zuverlässigkeitsnachweis sollte zumindest die kritischen Systeme und Komponenten umfassen.

11.2 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

417

Abb. 11.8. Ausfallverhalten des Getriebes (Abb. 11.9) und der Systemelemente im Weibullnetz [11.2]

Abb. 11.9. Getriebeschema eines mechanischen Leistungsverzweigungsgetriebes mit hydraulisch gekoppelten Hydroeinheiten (H1, H2) zur stufenlosen Übersetzungsänderung. Antriebsmoment Tmax = 900 Nm, Wandlung igmax = 14 (Werkbild Voith Turbo Gmbh) [11.2]

418

11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

11.2.3 Produktion und Nutzung Die Produktlebensphasen Produktion und Nutzung betreffen den Konstrukteur nicht unmittelbar. Eine Zusammenstellung der Zuverlässigkeitsaktivitäten zeigt Abb. 11.10. Während der Produktion muss die Zuverlässigkeit der Verfahren sichergestellt und in entsprechenden Audits an Baugruppen und am Endprodukt überprüft werden. Für den Produktentwickler sind die während der Produktion auftretenden konstruktionsbedingten Fehler von besonderem Interesse. Sie müssen zur Überprüfung der vorangegangenen Zuverlässigkeitsarbeit führen. Die während der Nutzungsphase auftretenden Ausfälle, die so genannten Felddaten, sind ebenfalls wichtig. Sie zeigen das tatsächliche Ausfallverhalten des Produkts. Mit ihrer Analyse sind die prognostizierten Zuverlässigkeiten zu vergleichen. Daraus lässt sich dann die Zuverlässigkeitsberechnung verbessern, und es lassen sich Zuverlässigkeitsvorgaben für das Nachfolgeprodukt ableiten. In der Nutzungsphase erfolgt auch der endgültige Zuverlässigkeitsnachweis, da hier meist Ausfälle vermehrt festzustellen sind. Der Idealfall ist die vorgegebene Zielzuverlässigkeit. Produktdefinition

Produktgestaltung

Produktion

Nutzung

1. Statistische Prozeßplanung 2. Qualitätsmanagement 3. Zuverlässigkeitsaudits

Produktdefinition

Produktgestaltung

Produktion

Nutzung

1. Ermittlung von Felddaten 2. Soll-Ist-Vergleich von Erprobungsdaten mit Felddaten 3. Ermittlung von charakteristischen Verteilungsparametern für Bauteile 4. Bestimmung der Korrelation zwischen Versuch und Feldeinsatz 5. Endgültiger Zuverlässigkeitsnachweis

Abb. 11.10. Zuverlässigkeitsaktivitäten während der Produktion und Nutzung

11.3 Zusammenfassung

419

11.2.4 Allgemeine Aktivitäten Weitere unterstützende Maßnahmen haben die am Lebenszyklus orientierten Aktivitäten zu begleiten. Die wichtigsten sind: x Aufbau eines umfassenden Zuverlässigkeitsdatensystems als Grundlage für Prognoserechnungen und Rückmeldesysteme; x Schulungen und Weiterbildung der Mitarbeiter zu Fragen der Zuverlässigkeit; x Informationssystem für die Mitarbeiter und das Management über die Zuverlässigkeitsarbeit ( Zeitschrift, Berichte, Zusammenfassungen, ... ); x Fortentwicklung der Zuverlässigkeitsmethoden und Beratung bei der Anwendung; x Einbindung der EDV, d.h. Einsatz und Verknüpfung von Analyseprogrammen, CAD/CAE und Produktlebenslaufsystemen. Diese ergänzenden Maßnahmen sind losgelöst vom Produktentstehungsprozess. Erst ihre Beachtung und Verankerung sichert im gesamten Entwicklungsablauf die optimale Zuverlässigkeitsarbeit.

11.3 Zusammenfassung Zuverlässigkeit und damit Verfügbarkeit gehören zu den wichtigsten Merkmalen einer Produkt- und Prozessqualität. Zuverlässigkeitsaktivitäten können bereits während der Produktinnovation und Produktgestaltung von besonderer Wirksamkeit sein. Hierzu stehen leistungsfähige Methoden zur Verfügung, die unmittelbar in der Praxis umgesetzt werden können. Es bedarf der gesamtheitlichen Prozessbetrachtung über alle Phasen im Produktlebenszyklus, um die hohen und sich verschärfenden Zuverlässigkeitsforderungen sicherzustellen. Daraus muss sich ein Zuverlässigkeitssicherungsprogramm ableiten, dessen wesentliche Elemente beschrieben wurden. Für den Produktentwickler ist hierbei besonders die Festlegung der Zielzuverlässigkeit, die genaue Lastenheftdefinition der Zuverlässigkeitskennwerte und -aktivitäten sowie der Einsatz vorhandener Zuverlässigkeitsanalysen während der Produktgestaltung wichtig. Hierbei sollte besonders der Einsatz und der Ausbau quantitativer Methoden vorangetrieben werden.

420

11 Zuverlässigkeitssicherungsprogramm

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Lösungen Lösung 2.1 a) Klassierung Als ersten Schritt der Auswertung empfiehlt es sich, die Ausfallzeiten der Größe nach zu ordnen: t1= 59.000 LW, t5= 87.000 LW, t9= 99.000 LW, t13= 117.000 LW, t17= 132.000 LW,

t2= 66.000 LW, t6= 90.000 LW, t10= 100.000 LW, t14= 118.000 LW, t18= 158.000 LW,

t3= 69.000 LW, t7= 97.000 LW, t11= 107.000 LW, t15= 125.000 LW, t19= 177.000 LW,

t4= 80.000 LW, t8= 98.000 LW, t12= 109.000 LW, t16= 126.000 LW, t20= 186.000 LW.

Anzahl der Klassen für die Klasseneinteilung nach der Näherungsgleichung (2.3): nK | n 20 4,5 . Gewählt: 5 Klassen wegen besserer Auflösung. Berechnung der Klassenbreite: t 20  t1 186.000 LW - 59.000 LW 'K 26.000 LW . nK 5 Ausgehend von der kürzesten Ausfallzeit ergeben sich damit folgende Klassen: Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5:

59.000 LW 85.000 LW 111.000 LW 137.000 LW 163.000 LW

... ... ... ... ...

85.000 LW, 111.000 LW, 137.000 LW, 163.000 LW, 189.000 LW.

b) Dichtefunktion Anzahl der Ausfälle und die relativen Häufigkeiten nach Gl. (2.2) in den einzelnen Klassen: Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5:

4 Ausfälle; 8 Ausfälle; 5 Ausfälle; 1 Ausfall; 2 Ausfälle;

hrel,1 hrel,2 hrel,3 hrel,4 hrel,5

= = = = =

4/20 8/20 5/20 1/20 2/20

= = = = =

20%, 40%, 25%, 5%, 10%.

Histogramm der Ausfallhäufigkeiten und die empirische Dichtefunktion f*(t) s. Abb. c)

Ausfallwahrscheinlichkeit Das Histogramm der Summenhäufigkeit und die empirische Ausfallwahrscheinlichkeit F*(t) ergeben sich nach Gl. (2.8) durch aufaddieren der Ausfallhäufigkeiten: Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5:

Summenhäufigkeit Summenhäufigkeit Summenhäufigkeit Summenhäufigkeit Summenhäufigkeit

H1 H2 H3 H4 H5

= = = = =

hrel,1 H1 + hrel,2 H2 + hrel,3 H3 + hrel,4 H4 + hrel,5

= = = = =

20% 20% + 40% 60% + 25% 85% + 5% 90% + 10%

= = = = =

20%, 60%, 85%, 90%, 100%.

422

Lösungen Histogramm der Summenhäufigkeit und die empirische Ausfallwahrscheinlichkeit F*(t) s. Abb.

d) Überlebenswahrscheinlichkeit Die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich am einfachsten mit Gl. (2.11) als Komplement zur Ausfallwahrscheinlichkeit: Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5:

Überlebenswahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit

R1 * R2 * R3 * R4 * R5 *

=100% - H1 =100% - H2 =100% - H3 =100% - H4 =100% - H5

=100% - 20% =100% - 60% =100% - 85% =100% - 90% =100% - 100%

= = = = =

80%, 40%, 15%, 10%, 0%.

Histogramm der Überlebenswahrscheinlichkeit und die empirische Überlebenswahrscheinlichkeit R*(t) s. Abb.

[in %]

80

Summe der Ausfälle

100

60

F *(t)

[in %]

50 40

f *(t)

Ausfälle

30 20 10 0

40

20

0

0

50

100

150

200

250

0

Lastwechsel n·103

50

100

150

200

250

Lastwechsel n·103

Abb. Lösung 2.1b

Abb. Lösung 2.1c

80

3

R *(t)

60

Ausfallrate λ

Summe der intakten Einheiten [in %]

100

40

20

2,5

λ *(t)

2 1,5 1 0,5 0

0 0

50

100

150

200

250

0

50

Abb. Lösung 2.1d

100

150

Lastwechsel n·103

Lastwechsel n·103

Abb. Lösung 2.1e

200

250

Lösungen e)

423

Ausfallrate Zur Ermittlung der Ausfallrate können die bereits berechneten relativen Ausfallhäufigkeiten und die Überlebenswahrscheinlichkeiten verwendet werden. Die Ausfallrate ergibt sich nach Gl. (2.12) als Quotient dieser beiden Werte: Klasse 1: Klasse 2: Klasse 3: Klasse 4: Klasse 5:

Ausfallrate Ausfallrate Ausfallrate Ausfallrate Ausfallrate

Ȝ1 Ȝ2 Ȝ3 Ȝ4 Ȝ5

= = = = =

hrel,1/ R*1 hrel,2/ R*2 hrel,3/ R*3 hrel,4/ R*4 hrel,5/ R*5

= = = = =

20% / 80% 40% / 40% 25% / 15% 5% / 10% 10% / 0%

= = = = =

0,25, 1,00, 1,67, 0,50, ’.

Histogramm der Überlebenswahrscheinlichkeit und die empirische Überlebenswahrscheinlichkeit O*(t) s. Abb. Lösung 2.2 a) Mittelwert, Median und Modalwert (Lagemaßzahlen) Der empirische arithmetische Mittelwert beträgt nach Gl. (2.14): t1  t 2  ...  t n 59  66  ...  186 tm ˜10 3 LW 110.000 LW . n 20 Der Median kann am einfachsten mit der empirischen Ausfallwahrscheinlichkeit F*(t) aus der Lösung zu Aufgabe 2.1c ermittelt werden. Er ergibt sich dort als Schnittpunkt mit der 50%-Linie der Summenhäufigkeit. Für die Versuchswellen beträgt der Median damit tmedian | 95.000 LW . Der Modalwert tmodal entspricht der Ausfallzeit beim Maximum der Dichtefunktion und kann deshalb mit der Lösung zu Aufgabe 2.1a bestimmt werden. Der Modalwert beträgt für die Versuchswellen tmodal = 98.000 LW.

b) Varianz und Standardabweichung (Streuungsmaßzahlen) Die empirische Varianz der Versuchsreihe berechnet sich mit Gl. (2.15) zu: 1 n s2 ¦ (t i  t m ) 2 n 1 i 1 1 59  110 2  66  110 2  ...  186  110 2 ˜10 6 LW 2 1.170.400.000 LW 2 . 19 Die empirische Standardabweichung ergibt sich als Wurzel aus der Varianz:

>

s

s2

@

34.200 LW .

424

Lösungen

Lösung 2.3 3,0

Dichtefunktion f(t)

a)

2,5 2,0 1,5

b=3,5

b=1

1,0

b=1,5

0,5 0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

0

b)

1

2

1,0

3

4

b=3,5

0,8

b=1

0,6

b=1,5

0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

Lebensdauer t

Abb. Lösung 2.3

Lösung 2.4 Berechnung nach Umrechnungstabelle: t

F (t )

³

f (W) ˜ dW

a dt db

0

F (t )

­0 °° t  a ® °b  a ¯°1

f (t ) R(t )

³ a

R (t ) 1  F (t )

O(t )

t

1 ˜ dW ba

W ba

t a

t a  ba ba

ta ba

für t  a für a d t d b für t ! b a dt db

­ 1 ° ®b  t °¯0

1

t a ba

ba  a t ba

für a d t d b sonst

­1 °° b  t ® °b  a °¯0

( ˆ Hyperbel)

für t  a für a d t d b für t ! b

Lösungen f(t) F(t) R(t) λ(t)

425

λ(t)

1 R(t)

1 b- a

f(t) F(t)

Zeit t 0 a

b

Abb. Lösung 2.4

Lösung 2.5 Die Rayleightverteilung entspricht einer zweiparametrigen (t0 = 0) Weibullverteilung mit Formparameter b = 2,0 und einer charakteristischen Lebensdauer 1 T . Berechnung der Zuverlässigkeitskenngrößen nach Umrechnungstabelle: O

 d  (O ˜ t ) ˜

F (t ) 1  R (t ) 1  exp  (O ˜ t ) 2

dF (t ) Kettenregel dt

f (t )

tt0

2

dt



dF (t ) d ((O ˜ t ) 2 )





2 ˜ (O ˜ t ) ˜ O ˜  exp((O ˜ t ) 2 2 ˜ O2 ˜ t ˜ exp((O ˜ t ) 2 f (t ) 2 ˜ O2 ˜ t (linear ansteigene Anfallrate) R(t )

O(t ) 1



λ(t)

0,9

F(t)

0,8 0,7

f(t) F(t) R(t) λ(t)

0,6

f(t)

0,5 0,4 0,3 0,2

R(t)

0,1

0

0

3

6

9

12

15

18

Lebensdauer t ·10-1

Abb. Lösung 2.5

21

24

27

30

426

Lösungen

Lösung 2.6 a) Siehe Grafik: Normalverteilungsnetz Normalverteilungsnetz 99,9 99,8 99,5 99,0 98,0 95,0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) in %

90,0 µ+σ 70,0 50,0 30,0 µ-σ 10,0 5,0 2,0 1,0 0,5 0,2 0,1 1

1,9

2,8

3,7

4,6 5,5 6,4 7,3 5135 h 5850h 6565h

8,2

9,1

Lebensdauer t ·103h

Abb. Lösung 2.6a

Vorgehensweise beim Einzeichnen in Normalverteilungnetz: 1) Einzeichnen P: t = 5.850h; F =50% 2) Einzeichnen P + V: t = 5.850h + 715h = 6.565h; F = 84% 3) Einzeichnen P - V: t = 5.850h - 715h = 5.135h; F = 16% 4) Gerade einzeichnen b) Gesucht ist:

P(t ! t1 ) 1  P(t d t1 ) 1  F (t1 )

R (t1 )

t1  P 4500h  5850h 1,8882 V 715h Aus Tabelle Wert für F(t1): F (t1 ) I(1,8882) 1  I(1,8882) 1  0,9699 0,0301 | 3% R (t1 ) 1  F (t1 ) 0,9699 ˆ 96,99%

Transformation: x1

10

Lösungen c) Gesucht ist: P (t d t 2 ) Transformation: x2

d)

F (t 2 )

I(0,4895)

PV

6.565h

tu

427

F (t 2 )

t2  P 6.200  5.850 V 715 ˆ 0,6879 | 68,8% PV

5.135h

0,4895

t0

Gesucht ist P(t u d t d t 0 ) F (t 0 )  F (t u ) P (5.135 d t d 6.565) F (6.565)  F (5.135) T ransformationen: t  P 5.135  5.850 t  P 6.565  5.850 xu u 1 und x0 0 1 V 715 V 715 P (tu d t d t0 ) I( x0 )  I( xu ) I( x0 )  (1  I( xu )) I(1)  1  I(1) 2 ˜ I(1)  1 2 ˜ 0,8413  1 0,6826 ˆ 68,26

e)

!

Bedingung: P(t 3  t ) 1  F (t 3 ) 0,9 ; Benötige also x3, dann folgt t3 aus

Rücktransformation! Aus Tabelle: I( x3 ) 0,1 ? Nicht in Tabelle!! Aber mit Hilfe der Formel: I( x 3 ) 1  I( x 3 ) 0,1 Ÿ I( x 3 ) 0,9 Ÿ  x 3 1,28 Ÿ x 3 1,28 Rücktransformation: t3 x3 ˜ V  P 1,28 ˜ 715h  5.850h 4.934,8h Lösung 2.7 a) Beachte, daß für die LNV gilt: t 0,5 exp(P) und t PrV exp(P r V) . Also: t10,5 exp(P) exp(10,1) 24.343h; F 50% tP  V

exp(P  V) exp(10,1  0,8) 54176,4; F

84%

tP  V

exp(P  V) exp(10,1  0,8) 10938; F 16%

Gerade einzeichnen (siehe Grafik Log-Normalnetz) b) Gesucht ist:

P(t1  t ) 1  P (t1 t t ) 1  F (t1 )

R (t1 )

ln(t1 )  P ln(10.000h )  10,1 1,112 V 0,8 I( x1 ) 1  I( x1 ) 1  I(1,112) 1  0,8665 0,1335 ˆ 13,35% , damit R(t1 ) 1  F (t1 ) 86,55%

Transformation: x1

428

Lösungen Lognormalverteilungsnetz 99,9 99,8 99,5 99,0

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) in %

98,0 95,0 90,0 µ+s 70,0 50,0 30,0 µ-s 10,0 5,0 2,0 1,0 0,5 0,2 0,1 1

2

5

10 20 50 100 10938 24343 54176

200

500

1000

Lebensdauer t ·103h

Abb. Lösung 2.7a

c) Gesucht ist:

P (t 2 t t )

Transformation: x 2 I( x2 )

I(0,4538)

d) Gesucht ist: P (t1 d t d t 2 )

F (t2 )

ln(t 2 )  P ln(35000)  10,1 0,4538 V 0,8 0,6736 ˆ 67,36% , damit F (t2 ) 67,36%

F (t 2 )  F (t1 )

0,6736  0,1335 !

e) Bedingung: P(t 3 ) 1  F (t 3 ) 0,9 Ÿ F (t 3 )

0,5401 ˆ 54,01%

0,1 .

Benötige also x3, dann folgt t3 aus Rücktransformation. Aus Tabelle I( x3 ) 0,1 ? Nicht in Tabelle, aber es gilt I( x3 ) 1  I( x3 ) 0,1 !

und damit I( x 3 ) 0,9 Ÿ  x 3

1,28 Ÿ x 3

1,28

Lösungen

429

Rücktransformation: t3 exp(P  x3 ˜ V) exp(10,1  1,28 ˜ 0,8) 8.742,92h Lösung 2.8 a) Gesucht ist: P (t1 d t ) 1  F (t1 )

b)

exp(O ˜ t1 )

exp(

200h ) 500h

0,6703 ˆ 67,03%

Gesucht ist: P (t2 t t )

c)

R(t1 )

F (t2 ) 1  exp(O ˜ t2 ) 1  exp(

Gesucht ist: P (t 3 d t d t 4 )

100 ) 500

F (t 4 )  F (t 3 ) 1  exp(O ˜ t 4 )  1  exp(O ˜ t 3 )  exp( ˆ 12,15%

300 200 )  exp( ) 500 500

0,5488  0,6703 0,1215

d) Bedingung: P (t 5  t ) 1  P (t 5 t t ) 1  P(t 5 t t ) 1  F (t 5 ) R (t 5 )

!

exp( O ˜ t 5 ) 0,9

ln(0,9)  ln(0,9) ˜ 500h 52,68h O Mit mindestens 90%: alle Zeiten t d t 4 Ÿ t5



e) Bedingung: P(50 d t ) ŸO



0,1813 ˆ 18,13%

ln(0,9) 50h

R(50)

!

exp(O ˜ 50) 0,9

 0,0021072%

430

Lösungen

Lösung 2.9

Hinweis: Zum Erwartungswert, die Umrechnung: f

E (t )

f

³ t ˜ f (t ) ˜ dt ³ t ˜ 0

0

f

Ÿ E (t )

dF (t ) ˜ dt dt f

³ t ˜ f (t ) ˜ dt ³ t ˜ 0

0

dF(t) dt

mit

³t ˜ f o ³ R 

dR (t ) ˜ dt dt b

Verwende partielle Integration:

³

b

b

u c ˜ v ˜ dx

u ˜ v a  u ˜ v c ˜ dx

³

a

a

f

>

@

 t ˜ R(t ) f0 

damit bleibt E (t )

dR(t ) dt

f

 R(t ) ˜ dt

o0

q.e.d

³ R(t ) ˜ dt

³ 0

0

(Herleitung nur zur Vertiefung) f

Erwartungswert (Mittelwert): E (t )

f

³ t ˜ f (t ) ˜ dt ³ R(t ) ˜ dt 0

0

Dreiparametrige Weilbull-Verteilung: b 1 ª § t t § t  t0 · b 0 ¸ ˜ exp « ¨ f (t ) ˜ ¨¨ T  t 0 © T  t 0 ¸¹ « ¨© T  t 0 ¬ f

Einsetzen, also: E (t )

³ 0

t ˜b T  t0

t  t0 dt c und T  t0 dt c Ÿ t t ˜ (T  t 0 )  t 0 tc

Substitution:

f

Einsetzen: E (t )

³ 0

· ¸ ¸ ¹

bº

» » ¼

b 1

ª § t t 0 ˜ exp « ¨¨ « © T  t0 ¬

1 T  t0 und dt

· ¸ ¸ ¹

bº

» ˜ dt » ¼

dt c ˜ (T  t 0 )

t c ˜ (T  t 0 ) ˜ b  t 0 ˜ b ˜ t c b 1 ˜ exp((t c) b ) ˜ (T  t 0 ) ˜ dt c T  t0

Nochmals Substitution: x

(t c) b und

Ÿ tc f

Also: E (t )

§ t  t0 ˜ ¨¨ © T  t0

· ¸ ¸ ¹

x

1

b

dx dt c

b ˜ (t c) b 1

und dt c

dx b ˜ (t c) b 1

dx § 1b · b 1 ¨ x ˜ (T  t 0 ) ˜ b  t 0 ˜ b ¸ ˜ t c ˜ exp x ˜ © ¹ b(t c) b 1 0

³

Kürzen und es bleibt:

Lösungen f

E (t )

³

x

1

f b

˜ (T  t 0 ) ˜ exp( x) ˜ dx  t 0 ˜ exp( x) ˜ dx

³

0

0  t0

f

Vergleich mit der Gammafuktion *( z )

³ exp( y) ˜ y

z 1

˜ dz (ist tabelliert)

0

1 y und b

Es gilt hier: x

z-1 Ÿ z

1 1 b

Damit gilt für den Erwartungswert: E (t ) Ähnlich: VAR(t ) a)

b 1,0 ; T

T  t 0 ˜ *§¨1  1 ·¸  t 0 ©

b¹

T  t 0 2 ˜ «*§¨1  2 ·¸  * 2 §¨1  1 ·¸» ª

º

b¹

¬ ©

1.000h ; t0

©

b ¹¼

heißt Varianz

0

§ · ¨ 1¸ MTBF E (t ) 1.000h ˜ *¨1  ¸ 1.000h ˜ 1 1.000h ¨ ,1 ¸ © 2 ¹ 1 (Vergleiche Exponential-Vt: E (t ) T) O

b)

b

0,8 ; T

1.000h ; t0

0

§ 1 · E (t ) 1.000h ˜ *¨¨1  ¸¸ 1.000h ˜ *2,25 1.000h ˜ 1,25 ˜ *1,25 © 0,8 ¹ 1.000h ˜ 1.25 ˜ 0,906402477 1.133,00h

c)

b

4,2 ; T

MTBF

d)

b

100h

§ 1 · (1.000h  100h) ˜ *¨¨1  ¸¸  100 © 4,2 ¹ § · 900h ˜ *¨1, ,238 ¸  100 900h ˜ 0,908521  100 ¨ ¸ © 1, 24 ¹ E (t )

0,75 ; T

MTBF

1.000h ; t0

1.000h ; t 0

917,67h

200h

§ 1 · (1.000h  200h ) ˜ *¨¨1  ¸¸  200 © 0,75 ¹ 800h ˜ * 2,3 3  200h 800h ˜ 1,3 3 ˜ * 1,3 3  200h

E (t )







800h ˜ 1,3 3 ˜ 0,89337  200h 1150,54h

431

432

Lösungen

Lösung 2.10 By

a) B10 (1  f tB ) ˜ b

y 50%

ln(1  y )  f tB ln(1  0,1)

6 000 000 (1  0,25) ˜ 1,11

ln(1  0,5)  0,25 ln(1  0,1)

1 .381 .265,5 LW

b)

t0

B10 ˜ f tB

1 .381. 265,5 ˜ 0,25 345.316,4 LW

Aus F ( B50 ) ŸT

t0 

b

0,5 B50  t0  ln(1  0,5)

345 316,4 

6.000.000  345.316 ,4 1,11

 ln 0,5

8.212.310 LW

c)

P (t1 d t d t 2 )

F (t 2 )  F (t 1 )

§ § 9.000.000 - 345.316,4 ·1,11 · § § 2.000.000 - 345.316,4 ·1,11 · 1  exp¨  ¨ ¸ ¸  1  exp¨  ¨ ¸ ¸ ¨ © 8.212.310 - 345.316,4 ¹ ¸ ¨ © 8.212.310 - 345.316,4 ¹ ¸ © ¹ © ¹ 0,3289  0,8376 0,508 ˆ 50,8%

d)

P(t 3 ! t )

Ÿ ln(0,99) Ÿ t3

§ § t t 0 exp¨  ¨¨ ¨ T t 0 © ©

!

R(t 3 ) 0,99 §t t ¨¨ 3 0 © T  t0

b

· ¸ ¸ ¹

· ¸ Ÿ b  ln(0,99) ¸ ¹

b

· ¸ ¸ ¹ t3  t0 T  t0

(T  t0 ) ˜ b  ln(0,99)  t0 (8.212.310 - 345.316,4) ˜ 1,11  ln(0,999)  345.316,4 470.046,6 LW

e)

P (5.000.000 ! t ) R (t )

!

R(5.000.000) 0,5

§ § t t 0 exp¨  ¨¨ ¨ T t 0 © ©

· ¸ ¸ ¹

§ t  t0 Ÿ ln( R(t )) ¨¨ © T  t0 ln - ln R (t ) Ÿb § t  t0 · ¸¸ ln¨¨ © T  t0 ¹

b

· ¸ ¸ ¹ b

· § t  t0 · ¸¸ Ÿ ln( ln( R(t )) b ˜ ln¨¨ ¸¸ ¹ © T  t0 ¹ ln  ln 0 ,5 0,698 § 5.000.000 - 345.316,4 · ln¨¨ ¸¸ © 8.212.310 - 345.316,4 ¹

Lösungen

433

Lösung 2.11 ~ df ( t ) ! Bedingung Modalwert ~t : 0 dt

df (t ) dt a˜b c

§ d ¨ b dt ¨¨ T  t 0 ©

ac˜b  a˜bc

b T  t0

b T  t0

§ t  t0 ˜ ¨¨ © T  t0 §d ˜¨ ¨ dt ©

· ¸ ¸ ¹

b 1

§ t  t0 ¨ ¨T t 0 ©

§§ b 1 ¨¨ ¨¨ T  t 0 ©©

b ˜ (b  1) § t  t 0 ˜ ¨¨ (T  t 0 ) 2 © T  t 0

· ¸ ¸ ¹

§ § t t 0 ˜ exp¨¨  ¨¨ T  t 0 © ©

· ¸ ¸ ¹

b 1

· § t  t0 ¸˜¨ ¸ ¨T t 0 ¹ ©

· ¸ ¸ ¹

· ¸ ¸ ¹

b

·· ¸¸ ¸ ¸¸ ¹¹

§ t  t0 ˜ R(t )  ¨¨ © T  t0

b2

· ¸ ¸ ¹

b 1

§ t  t0 ˜ R(t )  ¨¨ © T  t0

b2

· ¸ ¸ ¹

· ˜ f (t ) ¸ ¸ ¹

b 1

§ § t  t ·b · b2 0 ¸ ¸ ˜ exp¨  ¨¨ ¨ T  t ¸ ¸ (T  t ) 2 0 ¹ 0 © © ¹ ~ t  t0 Substution : ~ x T  t0

· ˜ f (t ) ¸ ¸ ¹

§ t  t0 ˜ ¨¨ © T  t0

· ¸ ¸ ¹

~ df ( t ) ! 0 dt ! b 0 e x ˜ ˜ b  1 ˜ ~ x b2  b ˜ ~ x 2b  2 2 (T  t 0 ) Ÿ b  1 ˜ ~ x b2 b ˜ ~ x 2b  2 b 1 Bedingung ! 0 Ÿ b ! 1 (nur dann existiert ein Modalwert!!! ) b § b 1 · ln¨ x (2b  2) ˜ ln ~ x ¸  (b  2) ˜ ln ~ © b ¹ § b 1 · ln¨ x ¸ 2b  2  b  2 ˜ ln ~ © b ¹ 1 § b 1 · ln ~ x ˜ ln¨ ¸ b © b ¹ jetzt :



1

~ x

§ b 1 · ¨ ¸ © b ¹

~ t

§ b 1 · (T  t 0 ) ˜ ¨ ¸ © b ¹



b

1

b

 t0

b ! 1 !

Beispielrechnung für Weibullverteilung mit: b 1,8 ; T ~ t

1000h ; t 0

§ 0,8 · (1000  500) ˜ ¨¨ ¸¸ © 1,8 ¹

500h 1 1,8

 500 818,64h

2b  2

§ § t  t0 ˜ exp¨  ¨¨ ¨ T t 0 © ©

·· ¸¸ ¸¸ ¹¹

434

Lösungen

Kontrolle rechnerisch : ~ ~ Eine mögliche Bedingung : f (800)  f ( t ) š f (850)  f ( t ) 0,8 § § 300 ·1,8 · 1,8 § 300 · ¨¨ f (800) ˜¨ ˜ exp ¸ ¸ ¸ 0,0016057 ¨ © 500 ¹ ¸ 500 © 500 ¹ © ¹ 0,8 1,8 · § 1,8 § 350 · § 350 · ¸ f (850) ˜¨ 0,001599 ¸ ˜ exp¨  ¨ ¸ ¨ © 500 ¹ ¸ 500 © 500 ¹ © ¹ 0, 8 1,8 § 1,8 § 318,64 · § 318,64 · ·¸ ¨ f (818,64) ˜¨ ˜ exp  0,0016097 ¸ ¨ ¸ ¨ © 500 ¹ ¸ 500 © 500 ¹ © ¹ 2 1,8

Ausfalldichte f(t) ·10-3

1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4

~ t

0,2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Lebensdauer t ·102

Abb. Lösung 2.11

Lösung 2.12 Gegeben:

t1 , x1 , t2 , x2

Bedingungen:

x1

§ § t ·b · 1  exp¨  ¨¨ 1 ¸¸ ¸ š x 2 ¨ ©T ¹ ¸ © ¹

§ §t 1  exp¨  ¨¨ 2 ¨ ©T ©

· ¸¸ ¹

Umformen: §t ¨¨ i ©T

b

§t · ln ln ln 1  x i b ˜ ln¨¨ i ¸¸ ©T ¹ ! ln  ln 1  x1 ln  ln 1  x 2 Über b gleichsetzen Ÿ b ln(t1 )  ln(t 2 ) ln(t 2 )  ln(T ) Substituti on : / i ln  ln 1  x i ln(1  x i )

· ¸¸ ¹

Ÿ

(*)

b

· ¸ ¸ ¹

Lösungen

435

ln(t1 )  ln(T ) ln(t 2 )  ln(T ) /1 /2 § 1 1 · ln(t 2 ) ln(t1 ) ¸¸ ln(T ) ˜ ¨¨   /2 /1 © /2 /2 ¹ § § ln(t 2 ) ln(t1 ) · · § / 1 ˜ ln(t 2 )  / 2 ˜ ln(t1 ) ˜ / 1 ˜ / 2 ¨¨ ¸¸ ˜ / 2 ˜ / 1 ¸  ¨ ¨ ¨ © /2 ¸ /1 ¹ /1 ˜ / 2 ¨ Ÿ T exp¨ ¸ exp¨ /1 - / 2 /1 - / 2 ¨ ¸ ¨¨ ¨ ¸ © © ¹ § ln ln 1  x1 ˜ lnt 2  ln  ln1  x 2 ˜ ln t1 · ¸¸ Ÿ T exp¨¨ ln  ln 1  x1  ln  1  x 2 © ¹

ln(T) und in (*) b

ln ln 1  x1 ln  ln1  x1 ˜ ln t 2  ln  ln 1  x 2 ln t1  ln  ln1  x1  ln  ln 1  x 2

Lösung 2.13

a)

RS RE

R3 ˜ R E 1  1  R1 ˜ 1  R2

Ÿ RS

b)

R3 ˜ 1  1  R1 ˜ 1  R2

R p1 1  1  R1 ˜ 1  R2

R p 2 1  1  R3 ˜ 1  R4

c)

Ÿ RS

R p1 ˜ R p 2

Ÿ RS

1  1  R1 ˜ 1  R2 ˜ 1  1  R3 ˜ 1  R4

RS 1  1  RE ˜ 1  R3 RE R1 ˜ R2 Ÿ RS

d)

e)

1  1  R1 ˜ R2 ˜ 1  R3

RE

1  1  R2 ˜ 1  R3 ˜ 1  R4

RS

R1 ˜ RE ˜ R5

R1 ˜ R5 ˜ 1  1  R2 ˜ 1  R3 ˜ 1  R4

RS 1  1  RE1 ˜ 1  RE 3 RE1 R1 ˜ R2 RE 3

RE 2 ˜ R5

RE 2 1  1  R3 ˜ 1  R4

· ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¹

436

Lösungen Einsetzen : RS 1  1  R1 ˜ R2 ˜ 1  R5 ˜ 1  1  R3 ˜ 1  R4

Lösung 2.14 Für die Reihenschaltung ist bekannt (n = Anzahl der Komponenten) n

R S (t )

– Ri (t ) i 1

Ÿ 1  F S (t )

Fi (t ) 1  Ri (t )

und

n

– 1  Fi t

FS (t) 1 - R S (t) n

Ÿ FS (t ) 1 

i 1

– 1  Fi t i 1

Dichte f S (t ) ? · dFS (t ) d 1  R S t dR t d § n ¨ – Ri t ¸ o schlecht zu differenzieren f S (t )  S ¨ ¸ dt dt dt dt © i 1 ¹ o l ogarithmieren dann wird aus Produkt eine Summe : log(a ˜ b) log a  log b Ÿ ln R S t

n

¦ lnRi t i 1

n

d Ÿ ln R S t dt

d

¦ dt lnRi t i 1

Verwende logarithmische Ableitung: d Allg . gilt (f Funktion) : ln f t dt n dR S t 1 dRi t 1 Ÿ ˜ ˜ dt R S t i 1 dt Ri t

df t 1 ˜ dt f t

¦

Ÿ  f S t R S t ˜

n

1

¦  f t ˜ R t i

i O i (t ) Systemausfalldichte bei Reihenschaltung: i 1

n

f S (t )

RS (t ) ˜

¦ O (t ) i

i 1

Systemausfallrate bei Reihenschaltung: O S t

f S (t ) R S (t )

n

¦ O (t ) i

i 1

(= Summe der Ausfallraten der Systemkomponenten) Lösung 2.15 a) Systemstruktur sukzessive zusammenfassen:

Lösungen

437

xo X21

X31

X41

X51

X61

X22

X32

X42

X52

X62

X1

xu xE

Abb. Lösung 2.15a 6

Ro

–R

R 21 ˜ R31 ˜ R 41 ˜ R51 ˜ R61

i1 ;

i 2 6

Ru

–R

R 22 ˜ R32 ˜ R 42 ˜ R52 ˜ R62

i2

i 2

RE RS

§ 1  (1  Ro ) ˜ (1  Ru ) 1  ¨1  ¨ ©

6

– i 2

· § Ri1 ¸ ˜ ¨1  ¸ ¨ ¹ ©

6

–R

i2

i 2

· ¸ ¸ ¹

R1 ˜ R E R1  R1 ˜ (1  R21 ˜ R31 ˜ R 41 ˜ R51 ˜ R61 )·(1  R 22 ˜ R32 ˜ R 42 ˜ R52 ˜ R62 )

b) Alle Komponenten Exponentialverteilung, Verwende Potenzgesetz: Ri RS

O* RS

exp O i ˜ t

– R – exp O i

i

˜ t exp 

¦ O ˜ t i

§ § ·· ¨ ¨ ¸¸ exp O 1 ˜ t  exp O 1 ˜ t ˜ ¨1  exp¨  O 21  O 31  O 41  O 51  O 61 ˜ t ¸ ¸ ˜ ¨¨ ¨  ¸ ¸¸ O* © ¹¹ © § § ·· ¨ ¨ ¸¸ ¨1  exp¨  O 22  O 32  O 42  O 52  O 62 ˜ t ¸ ¸ ¨¨ ¨  ¸ ¸¸ O* © ¹¹ © 7  5  0,2  1,5  0,3 ˜10 3 ˜ 1 14 ˜10 3 1 a a exp O 1 ˜ t  exp O 1 ˜ t ˜ 1  exp  O* ˜ t ˜ 1  exp  O* ˜ t









exp O 1 ˜ t ˜ §¨1  1  exp  O* ˜ t ©









·¸¹ 2





R S 10 a exp  4 ˜10 3 ˜10 a ˜ §¨1  1  exp  14 ˜10 3 ˜10 a © 0,944 ˆ 94,4% FS (10 a) 1  R(10 a)



0,0556 ˆ 5,56%



2

· ¸ ¹

438

Lösungen von 100 sind 5 ABS-Systeme ausgefallen.

c)

RS





exp O 1 ˜ t  exp O 1 ˜ t ˜ 1  exp  O



*

˜t



2

    ³ 2 ˜ exp O  O ˜ t  exp 2 ˜ O  O ˜ t dt

exp O 1 ˜ t  exp O 1 ˜ t ˜ 1  2 ˜ exp  O* ˜ t  exp  O* ˜ 2 ˜ t exp O 1 ˜ t  exp O 1 ˜ t  2 ˜ exp  O*  O 1 ˜ t  exp  2 ˜ O*  O 1 ˜ t f

MTBF



f

*

³ R (t ) ˜ dt S

0

*

1

1

0

ª 2 º 1 2 1 «   » * * * * ¬« O1  O 2 ˜ O  O1 ¼» O1  O 2 ˜ O  O1 2˜a 1˜ a  79,86 a 3 18 ˜ 10 28  4 ˜103

d) Iterative Berechnung Æ Newton Verfahren: f x i x i 1 x i  hier : x ˆ B10 f cx i

  ) 0 0,9  2 ˜ exp O  O ˜ B  exp 2 ˜ O  O ˜ B ) 2 ˜ O  O ˜ exp O  O ˜ B  2 ˜ O  O ˜ exp 2 ˜ O  O ˜ B 0,9  2 ˜ exp O  O ˜ B  exp 2 ˜ O  O ˜ B B  2 ˜ O  O ˜ exp O  O ˜ B  2 ˜ O  O ˜ exp 2 ˜ O  O ˜ B

Bed : FS B10 0,1 1  2 ˜ exp  O*  O1 ˜ B10  exp  2 ˜ O*  O1 ˜ B10 Ÿ f ( B10 f ( B10 i 1 also : B10

!

*

*

i 10

*

1

*

1

1

*

1

*

10

10 * 1

*

1 i 10

1

10

*

1

i 10

*

*

1

1

i 10

1

*

10

1

i 10

Startwert: R(10a) = 94,4% Æ F(10a) = 5,56% < 10% 0 Æ Wähle B10 12 a e) Für die Überlebenswahrscheinlichkeit den Zeitpunkt t zu überleben, unter Berücksichtigung, dass der Zeitpunkt t1 überlebt wurde (Vorwissen) gilt allgemein (bedingte Wahrscheinlichkeit): Pt ! 10 a R S 10 a P t ! 10 a t ! t1 R S 10 a R S t1 , Pt ! t1 R S t1 sowohl für Komponente als auch System, hier R S (10 a) 0,944 R S (t1 5 a) 2 ˜ exp  18 ˜10 3 ˜ 5  exp  32 ˜10 3 ˜ 5 0,97572 0,944 R S 10 a R S (5 a) 0,9682 ˆ 96,82% 0,975









Lösungen Lösung 2.16 a) Erst die Systemgleichung: RE1 1  1  R2 ˜ 1  R3 1  1  R3  R2  R3 ˜ R2 R2  R3  R3 ˜ R2 RE 2 RS

RE1 ˜ R4

R2 ˜ R4  R3 ˜ R4  R2 ˜ R3 ˜ R4

1  1  R1 ˜ 1  RE 2 R1  RE 2  R1 ˜ RE 2 R1  R2 ˜ R4  R3 ˜ R4  R2 ˜ R3 ˜ R4  R1 ˜ R2 ˜ R4  R1 ˜ R3 ˜ R4  R1 ˜ R2 ˜ R3 ˜ R4

Verteilungen einsetzen, Potenzgesetz anwenden : RS exp O1 ˜ t  exp O 2  O 4 ˜ t  exp O 3  O 4 ˜ t  exp O 2  O 3  O 4 ˜ t - exp O1  O 2  O 4 ˜ t  exp O1  O 3  O 4 ˜ t  exp O1  O 2  O 3  O 4 ˜ t

Zusammenfassen, Ȝ 2 RS

Ȝ 3 verwenden und Ersatzausfallraten einführen : § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ exp O1 ˜ t  2 ˜ exp¨  O 2  O 4 ˜ t ¸  exp¨  O 2  O 3  O 4 ˜ t ¸   ¨ ¸ ¨ ¸ Ob Oc © ¹ © ¹ § · § · ¨ ¸ ¨ ¸  2 ˜ exp¨  O1  O 2  O 4 ˜ t ¸  exp¨  O1  O 2  O 3  O 4 ˜ t ¸   ¨ ¸ ¨ ¸ Od Oe © ¹ © ¹

O a O 1 2,2 ˜10 3 h 1 , O b 4  3,6 ˜10 3 h 1 7,6 ˜10 3 h 1 , O c 4  4  3,6 ˜10 3 h 1 11,6 ˜10 3 h 1 , O d 2,2  4  3,6 ˜10 3 h 1 9,8 ˜10 3 h 1 , O e 2,2  8  3,6 ˜10 3 h 1 13,8 ˜10 3 h 1 . Damit R S (t ) exp O a ˜ t  2 ˜ exp O b ˜ t  exp O c ˜ t  2 ˜ exp O d ˜ t  exp O e ˜ t Gesucht ist: P(t ! 100 h ) R S (t 100 h ) exp- 0,22 ˜1  2 ˜ exp 0,76 ˜1  exp 1,16  exp 0,98  exp 1,38 0,9253 ˆ 92,53%

b)

FS (100 h ) 1 - RS (100 h) 0,0746 ; N ˜ Fs (t ) 250 ˜ 0,0746 18,66 Ÿ 18 Systeme

nf

f

c)

MTBFS

³R 0

S

(t )dt

439

440

Lösungen

f

³ exp O

a

˜ t  2 ˜ exp O b ˜ t  exp O c ˜ t  2 ˜ exp O d ˜ t  exp O d ˜ t dt

0

1 2 1 ª «¬  O ˜ exp O a ˜ t  O ˜ exp O b ˜ t  O ˜ exp O c ˜ t a b c f 2 1 º  ˜ exp O d ˜ t  exp O d ˜ t » Od Oe ¼0 ª 1 2 1 2 1 º 1 2 1 2 1 0  «         » O O O O O O O O O O a b c d e¼ a b c d e ¬

ª 1 2 1 2 1 º MTBF 10 3 ˜ «     »h ¬ 2,2 7,6 11,6 9,8 13,8 ¼ d)

!

Bedingung : FS ( B10 ) 0,1 Ÿ f ( B10 )

499,8 h | 500 h

FS ( B10 )  0,1

FS (t ) 1  RS (t ) 1  exp O a ˜ t  2 ˜ exp O b ˜ t  exp O c ˜ t  2 ˜ exp O d ˜ t  exp O e ˜ t dFS (t ) ˆ f c( B10 ) dt 0  O a ˜ exp O a ˜ t  2 ˜ O b ˜ exp O b ˜ t  O c ˜ exp O c ˜ t

f S (t )

 2 ˜ O d ˜ exp O d ˜ t  O e ˜ exp O e ˜ t IterativÆ Newton: Verfahren: i f B10 i 1 i B10 B10  i f c B10

 

i B10

O a ˜B10i  2 ˜ e Ob ˜B10i  e Oc ˜B10i  2 ˜ e O d ˜B10i  e O e ˜B10i O ˜Bi O ˜Bi O ˜Bi O ˜Bi O ˜Bi e a 10  2 ˜ O ˜ e b 10  O ˜ e c 10  2 ˜ O ˜ e d 10  O ˜ e e 10 0,9  e

 O a˜

b

c

d

0 Startwert : R 100 h 0,92 Ÿ F 100 h 8% Ÿ Startwert B10

Lösung 2.17 n

Serie : R S (t )

–

!

Ri (t ) >Ri (t )@n

(*)

i 1

Alle i gleich Einsetzen und nach T auflösen.

e

105 h

Lösungen R S ( B10 S ) 1  F ( B10 S ) 1  0,1 0,9 System : n

ª § § B  t · b ·º 0 ¸ ¸» ( R S (t )) 0,9 «exp¨  ¨¨ 10 S « ¨ © T  t 0 ¸¹ ¸» ¹¼ ¬ © § § B  t ·b · 0 n 0,9 ¸ ¸ exp¨  ¨¨ 10 S ¸ ¸ ¨ T  t 0 ¹ ¹ © © b

§B  t0 · ¸ ¨¨ 10 S ¸ © T  t0 ¹ ( B10 S  t 0 ) / B10 b  ln n 0,9 (T  t 0 ) / B10 B10 S  f tB B10 b n  ln 0,9 T  f tB B10 B10 S  f tB B10 T  f tB B10 b  ln n 0,9



 ln n 0,9













T



§ B10 S ·  f tB ¨ ¸ ¨ B ¸ B10 ˜ ¨ 10  f tB ¸ b n ¨¨  ln 0,9 ¸¸ © ¹

Jetzt noch B10



?

jetzt mit f tB



(**)

(Zahnrad)

Aus (*) : R S ( B10 S ) Ri ( B10 S ) n Ÿ Ri ( B10 S ) n R S ( B10 S ) n 0,9 0,98836 Ÿ x 1  Ri ( B10 S ) 0,0116385) Fi ( B10 s )

t0 B10

0,85

441

442

Lösungen FS

F 10%

Fi X

B10S=BX

Zeitpunkt

B10

t

Abb. Lösung 2.17

Zahnrad: !

B x ( B10 S ! )

B10

100 000

1  f tB ˜ b ln1  x  f tB 0,15 ˜ 1,8 ln0,98836  0,85 ln 0,9 ln 0,9 in (**) § 100 000 ·  0,85 ¨ ¸ 111 824,6 ¨ T 111 824,6 ˜  0,85 ¸ ¨ 1,8 ¸  ln 9 0,9 ¨ ¸ © ¹ Ÿ T 153 613,09 LW



t0

f tB ˜ B10



95 050,91 LW

Lösung 5.1 y

( x1 š x2 ) › ( x3 š x4 )

o RS

1  (1  R1R2 ) ˜ (1  R3 (1  R4 ))  F4

Negieren und Anwenden von de Morgan: y

( x1 š x 2 ) › ( x3 š x 4 )

y

( x1 š x 2 ) š ( x3 š x 4 )

y

( x1 › x 2 ) š ( x3 › x 4 )

111 824,6 LW

Lösungen Fehlerbaum: x1 x2 y x3 x4

Abb. Lösung 5.1

Lösung 5.2 a) Fehlerbaum

Funktionsbaum

y

y

x3

x2

x1

x3

x2 x1

Abb. Lösung 5.2a

y FS FS

b)



x3 › x1 š x 2



1  1  F3 ˜ 1  F1 ˜ F2 1  R3 ˜ 1  1  R1 ˜ 1  R2 Fehlerbaum

Funktionsbaum

y

x1

x2

y

x3

x4

x1

x2

Abb. Lösung 5.2b

y

FS FS

x1 š x2 › x3 š x4

1  1  F1 ˜ F2 ˜ 1  F3 ˜ F4 1  1  1  R1 ˜ 1  R2 ˜ 1  1  R3 ˜ 1  R4

x3

x4

443

444

Lösungen

c)

Fehlerbaum y

Funktionsbaum y

x2 x1

x3

x3

x2 x1

Abb. Lösung 5.2c



y

x 3 š x1 › x 2



FS

F3 ˜ 1  1  F1 ˜ 1  F2

FS

1  R3 ˜ 1  R1 ˜ R2

d)

Fehlerbaum y

x 1 x2

x3 x4

Funktionsbaum y

x1 x2

x5

x3 x4

Abb. Lösung 5.2d

y FS FS





x1 › x2 š x3 š x 4 › x5 1  1  F1 ˜ 1  F2 ˜ F3 ˜ F4 ˜ 1  F5 1  R1 ˜ 1  1  R2 ˜ 1  R3 ˜ 1  R4 ˜ R5

x5

Lösungen e)

Fehlerbaum y

x1 x2

Funktionsbaum y

x5

x1 x2

x5

x3 x4

x4

x3 Abb. Lösung 5.2e

y

x

1





› x2 š x5 › x3 š x4



1  1  F1 ˜ 1  F2

FS

Fa ˜ Fb und

FS

Fb 1  1  F5 ˜ 1  F3 ˜ F4 1  1  F1 ˜ 1  F2 ˜ 1  1  F5 ˜ 1  F3 ˜ F4

FS

1  R1 ˜ R2 ˜ 1  R5 ˜ 1  1  R3 ˜ 1  R4

Fa

Lösung 5.3 a) Fehlerbaum aus Prinzipskizze und Beschreibung: y

V

Ausfall System "Fahrwerk"

T

TL

H

TR

HL

HR

xV1 xV2

xTLi

Abb. Lösung 5.3a

xTRi

xHLi

xHRi

445

446

Lösungen

b) Geben Sie die Boolesche Systemfunktion für den Ausfall des Systems Fahrwerk an. aus a) y V ›T › H mit und

V T

mit T L mit H L

xV 1 š xV 2 T L › TR

4

4

š x TLi , T R

š x TRi und H

i 1

HL š HR

i 1

4

4

š x HLi und H R

š x HRi .

i 1

i 1

Einsetzen ergibt: y

x

V1

§§ 4 · §4 ·· §§ 4 · §4 ·· š x V 2 › ¨¨ ¨¨ š x TLi ¸¸ › ¨¨ š x TRi ¸¸ ¸¸ › ¨¨ ¨¨ š x HLi ¸¸ š ¨¨ š x HRi ¸¸ ¸¸ . ¹ ©i 1 ¹¹ ©©i 1 ¹ ©i 1 ¹¹ ©© i 1



c) Ermitteln sie die Systemgleichung für die Ausfallwahrscheinlichkeit FS. Aus Zusatzaufschrieb: FS 1  1  FV ˜ 1  FT ˜ 1  FH mit FV

4

FH

§ 1  ¨1  ¨ ©

FV 1 ˜ FV 2 , FT

4

– i 1

· § FTLi ¸ ˜ ¨1  ¸ ¨ ¹ ©

4

–F

TRi

i 1

· ¸ und ¸ ¹

4

– F ˜– F HLi

i 1

HRi

.

i 1

d) Geben sie die Boolesche Systemfunktion für die Zuverlässigkeit des Fahrwerks an. Linke und rechte Seite der Systemfunktion aus b) negieren y V ›T › H

De Morgan anwenden:

y V šT š H

und T

› xTLi und T R

TL š TR , TL

und H Ÿy

4

i 1

i 1

i 1

4

xV 1 › xV 2

4

› x HLi und H R

4

V

› xTRi

4

HL › HR , HL §

mit

·

4

› x HRi

i 1

§

4

4

·

xV 1 › xV 2 š ¨¨ §¨¨ › xTLi ·¸¸ š §¨¨ › xTRi ·¸¸ ¸¸ š ¨¨ §¨¨ › x HLi ·¸¸ › §¨¨ › x HRi ·¸¸ ¸¸ . ©© i

1

¹

©i

1

¹¹

©©i

1

¹

©i

e) Ermitteln sie die Systemgleichung für die Zuverlässigkeit RS. R S RV ˜ RT ˜ R H (aus Folie, oder R = 1F) mit RV

1  1  RV 1 ˜ 1  RV 2 ,

1

¹¹

Lösungen

RT RH

f)

4 4 § · § · ¨1    1  RTLi ¸ ˜ ¨1  1  RTRi ¸ und ¨ ¸ ¨ ¸ i 1 i 1 © ¹ © ¹ . 4 4 § § · § § · · ·¸ ¨ ¨ ¸ 1  ¨1  ¨1  1  R HLi ¸¸ ˜ ¨1  ¨¨1  1  R HRi ¸¸ ¸ ¸ ¨ i 1 i 1 © ¹ © © ¹¹¹ ©

–

–

–

–

Stellen sie das dazugehörige Blockschaltbild dar (aus Boolescher Systemfunktion für Funktionsfähigkeit des Fahrwerks). E

V

T

A

H

HR1 HR2

E

TL1

TR1

HR3

V1

TL2

TR2

HR4

V1

TL3

TR3

HL1

TL4

TR4

HL2 HL3 HL4

Abb. Lösung 5.3f

Lösung 5.4 x2 ständig funktionsfähig RI(t)

x2 ständig ausgefallen RII(t)

x4

x1

x4

x3

x5

+ x5

Abb. Lösung 5.4

R R 2 ˜ R I  1  R2 ˜ R II mit R I 1  1  R4 ˜ 1  R5 R

R II 1  1  R1 ˜ R 4 ˜ 1  R3 ˜ R5 R2 1  1  R4 ˜ 1  R5  1  R2 ˜ 1  1  R1 ˜ R4 ˜ 1  R3 ˜ R5 .

A

447

448

Lösungen

Lösung 5.5 a) Ermitteln Sie die Systemfunktion für den Ausfall des Steuergeräts.

y x1 › x 2 › x34 › x5 › x 69 › x10 x34 x3 š x 4 x 69 x 68 š x9 x 68 x 6 › x 7 › x8 y x1 › x 2 › x 3 š x 4 › x5 › x 6 › x 7 › x8 š x9 › x10











b) Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems.

FS

1  1  F1 ˜ 1  F2 ˜ 1  F34 ˜ 1  F5 ˜ 1  F 69 ˜ 1  F10

F34

F3 ˜ F4

F69

F68 ˜ F9

F68

1  1  F6 ˜ 1  F7 ˜ 1  F8

FS

1  1  F1 ˜ 1  F2 ˜ 1  F3 F4 ˜ 1  F5 ˜ 1  >1  1  F6 ˜ 1  F7 ˜ 1  F8 @˜F 9 ˜ 1  F10

c) Geben Sie die Systemfunktion für die Funktionsfähigkeit des Steuergeräts an. Negieren und Anwenden von De Morgan

y x1 › x 2 › x34 › x5 › x 69 › x10 y x1 š x 2 š x 34 š x 5 š x 69 š x10 x 34 x 3 › x 4 x 69 x 68 › x9 x 68 x 6 š x 7 š x8 y x1 š x 2 š x3 › x 4 š x5 š x 6 š x 7 š x8 › x9 š x10 d) Stellen Sie das Blockschaltbild dar. Aus Systemfunktion für Funktionsfähigkeit o Blockschaltbild x3

E x1

x6

x2

x7

x8

x5

x10

x4

x9

Abb. Lösung 5.5d

Lösung 6.1

a) Mittelwert: t

t

1 n

n

¦t

i

hier: n = 8

i 1

1 ˜ 69  29  24  52,5  128  60  12,8  98 ˜10 3 8

59.162,5 km

A

Lösungen

Standardabweichung: s s

n

¦ t

i

t

2

i 1

1 ˜ 69  59,162 2  29  59,162 2    98  59,162 2 ˜ 10 6 8 1 39068,65 km

>

@

Spannweite: r

1 n 1

s

r

128  12,8 ˜ 10

3

t max  t min

115.200 km i 1 1 n  1

b) Ranggrößen heißt: ti d ti 1 also: der Größe nach ordnen Tabelle Auswertung Rangzahl i

Ranggröße

1 2 3 4 5 6 7 8

12.800 24.000 29.000 52.000 60.000 69.000 98.000 128.000

ti >km@

Ausfallwahrscheinlichkeit

Fi

i  0,3 n  0,4

0,083 = 8,3% 0,202 = 20,2% 0,321 = 32,1% 0,440 = 44,0% 0,559 = 55,9% 0,678 = 67,8% 0,797 = 79,7% 0,916 = 91,6%

Ausfallwahrscheinlichkeit (nach Tabelle) 8,3% 20,1% 32,0% 44,0% 55,9% 67,9% 79,9% 91,7%

Ausfallwahrscheinlichkeiten: Berechnen

Fi

Tabelle

Fi

i  0,3 (Median) n  0,4 f i, n, P

c) Einzeichnen in Weibullnetz (siehe Netz) Gerade einzeichnen o zweiparametrig b 1,43 ; T 66.000 km d) Ablesen: B10 F 1 0,1 14.000 km ; t50

F 1 0,5 52.000 km .

Wahrscheinlichkeit

449

450

Lösungen 99,9 99 %

3,5

90

95%-Vertrauensgrenze

80 70 63,2

3,0

50

5%-Vertrauensgrenze

30

2,5 bmax=2,4

20

10

2,0

5 4

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

40

1,5 b=1,43

3 2 1

1,0

0,5 0,4 0,3

bmin=0,57 0,5

0,2 Pol Pol

0,1 1

10

B10=14000km

0 1000 Lebensdauer t·10 km T=66000km 100

t50 =52000km

3

Abb. Lösung 6.1c

e) Gesucht ist Rt1 70.000 1  F t1 F t1 70.000 | 66% o Rt1 34% f)

Aus Tabelle Werte für 5% und 95% - Vertrauensgrenze ablesen und von der Geraden abtragen, somit erhält man einen geradenbezogenen Vertrauensbereich.

Lösungen

F 95%

Fi

F 5% Abb. Lösung 6.1f

g) Formparameter b: Rechnerisch: (Gl. 6.16) bmedian 1,43 b5% 1,008 1,4 1,4 1 1 n 8 § § 1,4 ·¸ 1,4 ·¸ 1,43 ˜ ¨1  b95% bmedian ˜ ¨1  ¨ ¨ n ¸¹ 8 ¸¹ © © Grafisch: bmin | 0,57 ; bmax | 2,4

2,028

Charakteristische Lebensdauer T: Rechnerisch: (Gl. 6.14) T5%

§ 1 1 ·¸ T ˜ ¨1   1,645 ˜ ¨ 9n 9n ¸¹ ©



3 b

§ 1 1 ·¸ 66.000 ˜ ¨1   1,645 ˜ ¨ 9˜8 9 ˜ 8 ¸¹ © T95%

§ 1 1 ·¸ T ˜ ¨1   1,645 ˜ ¨ 9n 9n ¸¹ ©





3 1, 43

46.640,3 km

3 b



3

§ 1 1 ·¸ 1, 43 66.000 ˜ ¨1   1,645 ˜ 107.578,5 km ¨ 72 72 ¸¹ © Grafisch: T5% | 37.000 km ; T95% | 110.000 km

451

452

Lösungen

Lösung 6.2 a) n 10 : Daten sind schon der Größe nach sortiert o Ranggrößen Fi nach Tabelle A.2, Median Tabelle Auswertung Rangzahl i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ranggröße ti 470 550 600 800 1080 1150 1450 1800 2520 3030

Fi (Median) in % 6,7 16,2 25,9 35,5 45,2 54,8 64,5 74,1 83,8 93,3

99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

3,0

50 30 20

10

Kr ümmung! Deutet auf ausfallfreie Zeit t 0 hin!

2,5

Also: - Diese schätzen - Auswertung mit t i * = ti - t 0 wiederholen

2,0

5 4

1,5

3 2 1

1,0

0,5 0,4 0,3

0,5

0,2

Pol Pol

0,1 1

t0≈400 Betätigungen

Abb. Lösung 6.2a

10

100

0 Lebensdauer t ·10 2

1000

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

40

Lösungen Einzeichnen o Punkteverlauf deutet auf ausfallfreie Zeit hin o t0 schätzen: t 0 | 400 Betätigungen Auswertung wiederholen mit t i

ti  t0

Tabelle Auswertung mit t0 I

ti  t0

Fi in %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

70 150 200 400 680 750 1.050 1.400 2.120 2.630

6,7 16,2 25,9 35,5 45,2 54,8 64,5 74,1 83,8 93,3

In neues Weibullnetz eintragen o Annäherung durch Gerade jetzt besser o Bestätigung für ausfallfreie Zeit Parameter ablesen: b 0,95 , t0 400 T  t0

930 o T 930  400 1.330 Betätigungen

b) Ablesen: B10 90  t 0

490 Bet . ;

B10  t 0

90 o

t 50  t 0

640 o t 50 640  400 1.040 Bet .

c) Einzeichnen: siehe Weibullnetz Tabelle Auswertung Rangzahl i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti  t 0

Fi5%

70 150 200 400 680 750 1.050 1.400 2.120 2.630

0,5116 3,6771 8,7264 15,0028 22,2441 30,3537 39,3376 49,3099 60,5836 74,1134

Fi Median

6,7 16,2 25,9 35,5 45,2 54,8 64,5 74,1 83,8 93,3

Fi95%

25,8866 39,4163 50,6901 60,6624 69,9493 77,7559 84,9972 91,2736 96,3229 99,4884

453

454

Lösungen 99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

95%-Vertrauensgrenze 3,0

50 30

2,5

20

10

5%-Vertrauensgrenze

2,0

5 4

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

40

1,5

3 2 1

1,0

b= 0,95 0,5 0,4 0,3

0,5

0,2 Pol

0,1

1

B10 - t0 =90

T-t0 = 930

0 100 1000 Lebensdauer (t -t0) ·10 Betätigungen

10

t50 -t0=640

Abb. Lösung 6.2c

Lösung 6.3 Sortieren und Ausfallwahrscheinlichkeiten zuordnen. Tabelle Auswertung

>

i

ti ˜ 103 LW

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

166 198 208 222 242 264 380 382 434 435

@

Fi

i  0,3 n  0,4 6,7% 16,3% 26,0% 35,6% 45,2% 54,8% 64,4% 74,0% 83,7% 93,3%

Lösungen

455

99,9 99 %

3,5

90

b=3,4 95%-Vertrauensgrenze

80 70 63,2

3,0

50 30

2,5

20

10

2,0

5 4

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

40

1,5

3 2 1

1,0

5%- Vertrauensgrenze 0,5 0,4 0,3

0,5

0,2 Pol Pol

0,1 1

10

B 10=173000LW

0 100 1000 4 Lebensdauer t ·10 LW T =340000LW

Abb. Lösung 6.3

Einzeichnen:

Punktefolge liegt weder auf Geraden noch zeigt sie typischen Verlauf bei ausfallfreier Zeit, sieht eher nach Mischverteilung aus. Trotzdem: Auswertung als zweiparametrige Weibull-Verteilung ĺ t0 0

Ablesen der Parameter: Vertrauensgrenze einzeichnen. Lösung 6.4 Stichprobenumfang: Anzahl der Ausfälle:

n 8 r 5

b

3,4; T

340.000 LW

n z r o unvollständig oder zensiert

Zeitlich parallel und Abbruch nach 5-tem Ausfall o Zensierung Typ II

456

Lösungen

Tabelle Auswertung Ranggröße t i >h@

Rangzahl i 1 2 3 4 5

Median Fi

102 135 167 192 214

8,3% 22,1% 32,0% 44,0% 56,0% Aus Tabellen mit n

Fi5%

5%

95% Fi95%

0,6% 4,6% 11,1% 19,2% 29,0% 8 bis i

31,2% 47,0% 60,0% 71,1% 80,7%

5 abgelesen!

Schnitt bei bmax≈5,7

99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

b=3,2 3,0

50 30

2,5

20

Tmax=370h 10

(extrapoliert)

2,0

5 4

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

40

1,5

3 2 1

1,0

bmin=0,95 0,5 0,4 0,3

0,5

Tmin=170h

0,2

Pol Pol

0,1 1

10

100

Lebensdauer t ·10h

0 1000

T=230 h

Abb. Lösung 6.4

Einzeichnen, b und T ablesen (für T extrapoliert !) o b 3,2 ; T Vertrauensbereich einzeichnen, Vertrauensgrenzen extrapolieren o ablesen: bmin 0,95 ; bmax 5,7 ; Tmin 170 h ; Tmax 370 h

230 h

Lösungen

457

Lösung 6.5 a) Daten schon geordnet Æ Ranggrößen n 1.075 ˆ Stichprobenumfang n f r 10 ˆ Anzahl der Ausfälle

Prüflosgröße: nr 1.075  10 k 1  1 97,8 | 98 r 1 10  1 99,9 Gerade der ersten Ausfälle

99 %

Gerade der gesamten Stichprobe

90 80 70 63,2

3,5

3,0

F (t)

50 40 2,5

20

10

2,0

5 4

b = 1,74

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit

30

1,5

3 2 1

1,0

0,711 % 0,5 0,4 0,3

0,5

0,2

T = 6600h Pol

0,1 1

10

0 100 1000 Lebensdauer t ·100h

Abb. Lösung 6.5a

Es liegen also ca. 97 nicht ausgefallene Schlepper zwischen den einzelnen Ausfällen:

458

Lösungen je 97 Nicht Ausgefallene

Ausfälle Abb. Lösung 6.5a

Kontrolle: 97 ˜ 11  10 1.077 | 1075 9 Gerade der ersten Ausfälle einzeichnen ; Fi nach Tabelle mit n 10 . Gerade verschieben: 50%-Wert der Geraden der ersten Ausfälle wird neue 1  0,3 0,7 Ausfallwahrscheinlichkeit F t50 0,711% zugeordnet. k  0,4 98,4 Steigung b bleibt unverändert, also Gerade verschieben Æ Gerade der gesamten Stichprobe. Parameter ablesen: b 1,74 ; T 6.600 h b) hypothetische Rangzahlen: j i ji 1  N i j0 0 n  1  ji 1 ji  0,3 F ti 1  n  Davorliegende n  0,4 Bei Sudden-Death können „Davorliegende“ berechnet werden, da „Dazwischenliegende“ konstant: n  1  ji 1 hier Ni i 11 r 1  n  i ˜ k  i  1 Ni

Dazwischenliegende

Davor ausgefallene

Anmerkung: bei Versuchsauswertung gilt: Ni

n  1  ji 1 1  n  i  1 ˜ k  1

Tabelle Hypothetische Rangzahlen i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti

99 200 260 300 340 430 499 512 654 760

Davorliegende 97 195 293 391 489 587 685 783 881 979

Ni

ji

Fi >%@

1,099 1,22 1,37 1,56 1,82 2,18 2,72 3,62 5,41 10,76

1,099 2,32 3,69 5,25 7,07 9,25 11,97 15,59 21,00 31,76

0,075 0,189 0,315 0,461 0,630 0,833 1,086 1,423 1,926 2,930

Lösungen r 10 ; n 1.075

Einzeichnen: b 1,77 ; T

6.800h

Vergleich mit grafischer Methode: x Beide Methoden stimmen gut überein ! x Unterschiede nur aus zeichnerischer Ungenauigkeit ! 99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

3,0

F(t)

50 40 2,5

20

10

2,0 b ≈ 1,77

5 4

1,5

3 2

1

1,0

0,5 0,4 0,3

0,5

0,2 Pol

0,1

0 1

10

100 T = 6800h Lebensdauer t . 100h

Abb. Lösung 6.5b

Lösung 6.6

a)

nf

8

(f steht für „Failure“)

ns 12 (s steht für „Survivor“) n 20 ˆ Stichprobenumfang

1000

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit

30

459

460

Lösungen Auswertung unter der Berücksichtigung der nicht ausgefallenen Teile Ÿ hypothetische Rangzahlen ! j0

ji 1  N i i 11 n f ji  0,3 Fi n  0,4

0

ji n  1  ji 1 1  n  Davorliegende

Ni

o Tabelle Tabelle Hypothetische Rangzahlen i

1 2 3

4 5 6

7 8

Zeiten in 103 km 5 6 7 19 24 29 32 39 40 53 60 65 69 70 76 85 100 148 157 160

Nicht ausgefallen X X

Ausgefallen

Davorliegende

Ni

ji

Fi >%@

X

2

1,10

1,10

3,92

X X

4 5

1,17 1,17

2,28 3,45

9,68 15,42

X X

9 10

1,46 1,46

4,91 6,37

22,59 29,76

X

12

1,62

8,00

37,73

X X

16 17

2,60 2,60

10,60 13,20

50,48 63,23

X X X X X X X X X X ns

12

n

ns  n f

nf

8

20

o Einzeichnen, ablesen: b 1,15 ; T

150 ˜ 103 km

b) Vertrauensbereich o 2 Möglichkeiten Interpolation in Tabelle

Vq-Verfahren (Kap. 6.5)

Lösungen

461

1) Interpolation mit Tabellen 5% und 95% mit n = 20. Vorgehensweise: x Bilde ganzzahlige Rangzahl mi , so daß mi  ji  mi 1 x Berechne Inkrement 'ji ji  mi Aus Tabelle ablesen: F 5% mi ; F 5% mi 1 ; F 95% mi ; F 95% mi 1 ; Interpolation F 5%  ji F 5% mi 1  F 5% mi ˜ 'ji  F 5% mi F 95%  ji F 95% mi 1  F 95% mi ˜ 'ji  F 95% mi Einzeichnen

x x



x







99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

3,0

50 40

VB durch Interpolation 2,5

20

10

2,0

VB mit Fq-Verfahren

5 4

1,5

3 2

VB mit Fq-Verfahren

b =1,15

1

1,0

VB durch Interpolation 0,5 0,4 0,3

0,5

0,2

T= 150· 103km Pol

0,1 1

Abb. Lösung 6.6

10

0 100 1000 Lebensdauer t ·10 3 km

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

30

462

Lösungen Tabelle Interpolation i

ji

1 2 3 4 5 6 7 8

1,10 2,27 3,44 4,90 6,36 7,99 10,59 13,13

mi

'j i

1 2 3 4 6 7 10 13

0,1 0,27 0,44 0,9 0,36 0,99 0,59 0,13

F 5% mi F

0,256 1,807 4,217 7,135 13,956 17,731 30,196 44,196

5%

mi 1 F 5%  ji

1,807 4,217 7,135 10,408 17,731 21,707 34,692 49,219

F 95% mi F 95% mi 1 F 95%  j i

0,41 2,45 5,48 10,07 15,37 21,66 32,86 45,15

13,911 21,611 28,262 34,366 45,558 50,781 65,308 78,293

21,611 28,262 34,366 40,103 50,781 55,804 69,804 82,269

14,67 23,41 30,98 39,53 47,52 55,75 67,96 79,06

(Aufwendige Rechnerei) Einzeichnen

2) Vq-Verfahren n = 20 o ab t5 zeichenbar (b = 1,15) Tabelle Vq-Verfahren q

tq ˜ 103 km

Vq

5 10 30 50 80* 90*

10,8 20,5 59 106 215 290

4 2,9 1,8 1,6 1,5 1,49

t qo

t q ˜V q

t qu

43,2 59,5 106,2 169,6 322,5 432,1

t q / Vq 2,7 7,1 32,8 66,3 143,3 194,6

*extrapoliert (besser) Parameter-Vertrauensgrenzen: einzeichnen, ablesen

Einzeichnen

Lösung 6.7

Stichprobenumfang: n 178 Anzahl der Ausfälle: r 7 Æ Anzahl der nicht ausgefallenen ns n  r 171 Aufteilung der nicht ausgefallenen ergibt sich durch Laufleistungsverteilung. ausgefallene i

2

1 14

14

34 20

nicht ausgefallene

Abb. Lösung 6.7

5 55

6 44

7 19

5

Lösungen

463

Tabelle Ausfallwahrscheinlichkeit über Laufleistungsverteilung i

ti

Auftretenswahrscheinlichkeit Lti

Einzelhäufigkeit 'Li Lti  Lti 1

Anzahl der „Dazwischenliegenden“ ns ti 'L ˜ ns

1 2 3 4 5 6 7

18.290 35.200 51.450 51.450 89.780 130.580 160.770 >160.770

8% 16% 28% 28% 60% 86% 97%

8% 8% 12% 0% 32% 26% 11% 3%

14 14 20 0 55 44 19 5

¦171 Runden, so dass Summe stimmt Laufleistungsverteilung 99.9 99.8 99.5 99.0 98.0

90.0 µ+s

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) in %

Auftretenswahrscheinlichkeit L(t) in %

95.0

70.0 50.0 30.0 µ-s

10.0 5.0 2.0 1.0 0.5 0.2 0.1

0

20

40

60

80

100

120

· 3 km Lebensdauer t ·10

Abb. Lösung 6.7

140

160

464

Lösungen

99,9 99 %

3,5

90

3,0

50 40 30

2,5

20

10

2,0

5 4

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F (t )

80 70 63,2

b = 1,55

3

1,5

2 1

1,0

0,5 0,4 0,3

0,5

0,2

T = 600000 km Pol

0,1 1

10

100 Lebensdauer t ·10 4 km

0 1000

Abb. Lösung 6.7 Tabelle Ausfallwahrscheinlichkeit über hypothetische Rangzahlen i

ti

ns ti

1 2 3 4 5 6 7

18.290 35.200 51.450 51.450 89.780 130.580 160.770

14 14 20 0 55 44 19

Davorliege nde 14 29 50 51 107 154 174

Ni

ji

Fi >%@

1,08 1,20 1,37 1,37 2,41 6,86 32,93

1,08 2,28 3,65 5,02 7,44 14,30 47,23

0,6 1,11 1,87 2,65 4,00 7,85 26,3

in Weibull-Netz einzeichnen

Ablesen:

b 1,55; T

600.000km

Lösungen Lösung 6.8 Unzensiert = Vollständig Æ n r 4 a) Regression + Weibull Æ Gl.(6.70) und Gl.(6.71) x

n

1 n

¦ lnt

1 n

¦ ln ln1  F

y

i

i 1 n

i

i 1

Ergebnis: b) c)

b

2,63 ; T

83,84 h

KWei 0,98958 ln L 18,380

Lösung 6.9 a) 2 Parameter Æ erste beide Momente ausreichend empirische Stichprobenmomente: t

1 n

n

¦

s2

1

ti

i 1

1 n 1

n

¦ t  t

2

i

2

i 1

theoretische Momente: Aus Vergleich mit Weibullverteilung mit 1 1 b 1 und O o T  t0 T  t0 O E t

E t

Var t

T  t 0 ˜ *§¨1  1 ·¸  t 0 ©

Anmerkung: *(n) (n  1)!

b¹ 2

1 ˆ O 1  t0 O

ˆ 1

T  t 0 2 ˜ ª«*§¨1  2 ·¸  * 2 §¨1  1 ·¸º» ˆ

1

¬ ©

b¹

b ¹¼ O2

©

3 O2 2 Momentenmethode: 1 t E t  t0 ; s 2 Var t O 1 t  t0 s  t0 o t0 t  s O

1

1 1

O

2

Ÿ O

1 s

465

466

Lösungen

b) Maximum Likelihood n

Lt i , O, t 0

n

f t i , O, t 0

– i 1

– O ˜ e

 O ti t 0



i 1

ln L

logarithmieren:

n

¦ lnO ˜ e

O ti t0



i 1

w ln L w lnL 0 0 wO wt 0 Allgemein durch logarithmische Differentiation:

Ableiten:

w ln L w
1

¦ f t , < ˜ i



wf t i , < w
e O ti t0  O ˜  t i  t 0 ˜ e O ti t0

w ln L wO o 0

n

¦O˜e

0

i 1

!n

¦

1  O ˜ t i  t 0

i 1

n  O

o

1  O ti t0

O n

¦

˜ 1  O ˜ t i  t 0 ˜ e O ti t0 n  O

n

ti 

i 1

¦t

1  O ˜ t i  t 0 ˜ e O ti t0

n

¦ t

i

 t0

i 1

0

i 1

n˜t

n  n ˜ t  n ˜ t0 O O ˜ n ˜ t  n ˜ t0 n n 1 o O n ˜ t  n ˜ t0 t  t0

n ˜ t0

o 0





wf t i , b, t 0 wt 0 w ln L wt 0 0

O2 ˜ e O ti t0

n

¦ O˜e i 1 n

¦O i 1

1  O ti t0

˜ O2 ˜ e O ti t0

0

n ˜ O Widerspruch Ÿ Schätze t 0

t1

Lösungen

467

c) Regression: f t O ˜ exp O ˜ t  t 0 Ÿ F t 1  e O t t0 Ÿ 1  F t e O t t0 Transformation: ln 1  F t O ˜ t  t 0 O ˜ t  O ˜ t 0 y xt

cO, t 0 xt t

mO

Transformierte Ausfallwahrscheinlichkeiten: § i  0,3 · y i ln¨¨1  ¸ n  0,4 ¸¹ © Aus Umdruck: n

m

¦ x

i



 x ˜ yi  y



i 1

n

¦x

2 i

 n˜ x

i 1

c

y m˜x

hier: xi yi

ti

x

t

§ i  0,3 · ln¨¨1  ¸ n  0,4 ¸¹ ©

o O

m

t0

y

1 n

n

¦y

i

i 1

c O

Lösung 8.1 a) B10 250000 km

Ausfallwahrscheinlichkeit F t B10 10% ĺ geforderte Zuverlässigkeit R t Aussagewahrscheinlichkeit PA

B10 90% 95%

Suche in Tabelle für die 95%-Vertrauensgrenze jene Spalte, deren Wert für i 1 gerade unter 10% liegt Ÿ n hier (Auszug):

468

Lösungen Tabelle Auszug 95%-Vertrauensgrenze n 27 10,502 16,397

i 1 i 2

Also: n b)

n 28 10,147 15,851

n 29 9,814 15,340

n 30 9,503 14,859

29 1

Rt

1  PA n

1 ln 1  PA n ln 1  PA ln 1  0,95 n 28,43 29 ln Rt ln 0,9 (Ergebnis stimmt mit a) sehr gut überein!) ln Rt

c)

t p max §tp ¨ ¨ t ©

· ¸ ¸ ¹

150000 km und t soll

b

Lbv

§ 150000 · ¨ ¸ © 250000 ¹

nerf

d)

1

o o tp

Lbv

˜

1 Lbv

˜n

˜ ln 1  PA

ln 1  PA ln Rt

1 ln 1  PA ˜ 0,46 ln Rt

62 Getriebe !

n 15 ; t p Rt

0,46

1  PA Lbv ˜n

ln Rt n

1,5

1

Rt

jetzt:

250000 km

? tp

28,43 0,46

61,17

ˆ n aus b) Lv ˜ t soll

1

1  PA Lbv ˜n b 1 ln 1  PA §¨ t p ·¸ b Lv ˜ n ln Rt ¨© t soll ¸¹ 1 ln 1  PA 1 ln 1  0,95 t p t soll ˜ b ˜ 250000 ˜ 1,5 ˜ n ln R t 15 ln 0,9 382909,3 km

e) Larson-Nomogramm:

PA

f)

R

Larson-Nomogramm:

g) Larson-Nomogramm: PA 0,95 ; R 0,9 ; x

0,95 ; n 30 ; x 0,9 ; n 30 ; x

3 o n notw

80 o n *

3o R 3 o PA

n notw  n

76% 31% !

80  30

50

Lösungen

0.98 0.97 0.96

en ob fan gn

140

um 10

5 0.80

2 0

200

0.75

1

0.70

2 3 4 5

0.65 0.60 0.55

x= A in d nzahl e r S Aus tich fälle prob e

Zuverlässigkeit R

0.999 0.999 0.995 0.99 0.98

pr ich

0.85

St

0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90

00 0 10 0 nnotw = 80 70 0 50 00 5 4 0 10 30 0 20 20 0 14 0 30 10 40 70 50 50 40 70 30 20 100

7 9

0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001

Aussagewahrscheinlichkeit PA

0.99

469

0.50

Abb. Lösung 8.1e-g

h) Nach Beyer/Lauster mit Vorkenntnissen R0 lichkeit 63,2%) gilt: ª º « » 1 « ln 1  PA 1 » * n ˜  § 1 ·» Lbv «« ln R ¸» ln¨¨ ¸ «¬ © R0 ¹ »¼ ª º « » 1 « ln 1  0,95 1 »  § 1 ·» 11,5 « ln 0,9 ln¨¨ ¸¸ » « © 0,9 ¹ ¼» ¬«

i)

0,9 (mit Aussagewahrschein-

28,43  9,49 18,93| 19

Gleichung (*) aus Teil h umgestellt nach t p

Lv ˜ t :

470

Lösungen 1

tp

§ ª ¨ « ¨ 1 « ln 1  PA 1 t ˜¨ ˜ «  § 1 ¨ n « ln R ln¨¨ ¨ « © R0 © ¬

º·b »¸ »¸ ¸ ·»¸ ¸»¸ ¸» ¹¼¹ 1

§ · 1,5 ¨ ¸ ¨ 1 ª ln 1  0,95 º ¸ 1 250000 km ˜ ¨ ˜ « » ¸  12 ln 0 , 9 ¬ ¼ ln§¨ 1 ·¸ ¸ ¨ ¨ 0,9 ¸ ¸ ¨ © ¹¹ © 338.781,43 km | 340.000 km

50 60 70 80

90 95

Anzahl der Ausfälle x

99 % 99.9 % 99 95 90

1 50

Prüfung mit Ersatz

2

Prüfung ohne Ersatz (untere Grenze n*=10)

3

Vorkenntnisse R0 (PAO = 63%)

10 200 n* 100

99

99

50 95

95 20 90

50 ohne

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Auswertung)

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Prüfplan)

90 10 10

50

20

100 200 5 0.5

80 b V

n⋅ L

1 1.5 2 3 b V

L

geforderte Zuverlässigkeit Rmin in %

70

0.75

Ausfallsteilheit b

0.5 1

5

10

20

Anzahl Prüflinge n i)) n

˜

50

2 100 0.5

1

1.5

2

Lebensdauer-Verhä Lebensdauer-Verhältnis LV i ) Lv 1,4 ˜ 12 h)) n ˜ 19 t p = Lv ·t = 1,4 · 250000 km = 350000 km

Abb. Lösung 8.1h-i

Lösungen Lösung 8.2 n 2 ; x 1 Ausfälle während des Tests ĺ Verallgemeinerter Binomialansatz PA 1  R n  n ˜ 1  R ˜ R n 1 für x 1 R PA 1  R2  2 ˜ 1  R ˜ R 1 1  R 2  2 ˜ R  2 ˜ R2 1  2 ˜ R  R2

1  R 2 PA r1  R Ÿ R1

0,5

PA  1

Widerspruch  >0,1@ Ÿ R2

0,5

R 1  PA

1 PA

Abb. Lösung 8.2

Lösung 8.3 F (T ) 63,2% o R(T ) 36,8% t  t 1 ln(1  PA ) p 0 LV b · m wegen t 0 n ln( R(T )) T  t0 o tp

(T  t0 )b

1 ln(1  PA ) ·  t0 n ln( R (T ))

1 ln(0,1) (12  2)·105 ·1, 4 ·  2·105 8 ln(0,368)

610.925 LW

Lösung 8.4 250.000 km o R B10 90%

Vorgabe B10 a)

tp

B10 ˜ b

o tp

1 ln 1  PA ˜ n ln RB10

250000 ˜ 1,5

1 ln0,05 ˜ 23 ln 0,9

287.964 km

b) Vorkenntnis: T

1,5 ˜ 10 6 km

Beyer/Lauster: Vorkenntnis R0 B10 nötig ! R0 B10

§B · ¨ 10 ¸ e © T ¹

b

1, 5

§ 250 · ¨ ¸ e © 1500 ¹

0,9342 ˆ 93,4%

471

472

Lösungen

tp

ª º « » 1 ln 1  PA 1 » B10 ˜ b ˜ «  n « ln RB10 § 1 ·» « ln¨¨ ¸¸ » © R0 ¹ ¼» ¬«

250000 ˜ 1,5

ª º « » 1 « ln 0,05 1 » 177.339,66 km ˜  23 « ln0,9 § 1 ·» ln¨¨ ¸¸ » « © 0,9342 ¹ ¼ ¬

Lösung 10.1 MTTF ADi MTTF  MTTR Ÿ

MTTR

1 MTTR 1 MTTF

§ 1 · ¨ ¸ ¨ A  1¸ ˜ MTTF © D ¹

§ 1 · ¨¨ 0,99  1¸¸ ˜ 5.000 h 50,51 h © ¹

Lösung 10.2 Dauerverfügbarkeit einer Einzelkomponente: MTTF 1 ADi MTTR MTTF  MTTR 1 MTTF Für drei identische Komponenten gilt: 3

ADS

Ÿ

§ · ¨ ¸ 3 1 ¨ ¸ ADi ¨ 1  MTTR ¸ ¨ ¸ MTTF ¹ © § 1 · MTTR ¨  1¸ ˜ MTTF ¨3 A ¸ DS © ¹

§ 1 · ¨  1¸ ˜ 1.500 h 53,62 h ¨ 3 0,9 ¸ © ¹

Lösung 10.3 ADS Ÿ

1  1  ADi 3 ADi

1  3 1  ADS

Lösung 10.4 ADS

1  1  ADi 3

1  3 1  0,999

90 %

Lösungen Für eine Einzelkomponente gilt: MTTF MTTR 1  ADi 1  MTTF  MTTR MTTF  MTTR

473

1 MTTF 1 MTTR

Ÿ Für drei identische Komponenten gilt: 3

§ · ¨ ¸ 1 ¸ Ÿ 1 ¨ ¨ MTTF ¸  1¸ ¨ © MTTR ¹

ADS

MTTF 1

MTTR 3

1  ADS

1

1500 h 1 3

1  0,99

411,91 h 1

Lösung 10.5

a)

b)

ADS

AD1 ˜ 1  1  AD 2 ˜ 1  AD 3 ;

Ÿ

AD1

MTTR

ADS 1  1  AD 2 2

§ 1 · ¨¨  1¸¸ ˜ MTTF © AD1 ¹

AD 2

AD 3

95,96 %

42,1 h

Lösung 10.6 a) L(t) = Lagerbestand zu der Zeit t A = Anfangsbestand š

L(t )

A  H 1 (t )

L(t )

§ Var IJ 1  Var IJ 0  MTTR 2  MTTF 2 t A¨  ¨ MTTF  MTTR 2 ˜ MTTF  MTTR 2 ©

b) A auflösen: § Var W1  Var W 0  MTTR 2  MTTF 2 t A L(t )  ¨  ¨ MTTF  MTTR 2 ˜ MTTF  MTTR 2 © mit 1 1 Var W1 250 000 h 2 ; MTTF 500 h 2 O 1· § ¨ 0,002 ¸ h¹ © 1 1 Var W 0 100 h 2 ; MTTR 10 h 2 P § 1· ¨ 0,1 ¸ © h¹ L(8760 h ) 0 A 17,18 Teile Ÿ 18 Teile

· ¸ ¸ ¹ · ¸ ¸ ¹

474

Lösungen

Lösung 10.7 1 a) MTTF O 1 MTTR P Ÿ

b)

AD

33,3 h

5h MTTF MTTF  MTTR

86,96 %

P O  ˜ e O P ˜t PO PO A(2,1 h ) 95 % A(t )

Lösung 10.8 1 1 a) MTTF 100 h ; MTTR 100 h O P MTTF AD 90,91% MTTF  MTTR P O b) At  ˜ e P  O ˜t PO PO Ÿ t



A t

§ P  O ˜ At P · ln¨  ¸ O O¹ ©  P  O 95 % Ÿ t

7,26 h

Anhang Tabelle A.1. 5 %-Vertrauensgrenze Tabelle A.1.1. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 5 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (1 ” n ” 10) und der Ranggröße i n=1 i =1 5,0000 2

2 2,5321

3

4

5

6

7

8

9

1,2742

1,0206

0,8512

0,7301

0,6391

22,3607 13,5350

9,7611

7,6441

6,2850

5,3376

4,6389

4,1023

3,6771

36,8403 24,8604 18,9256 15,3161 12,8757 11,1113

9,7747

8,7264

3

0,5683

10

1,6952

0,5116

4

47,2871 34,2592 27,1338 22,5321 19,2903 16,8750 15,0028

5

54,9281 41,8197 34,1261 28,9241 25,1367 22,2441

6

60,6962 47,9298 40,0311 34,4941 30,3537

7

65,1836 52,9321 45,0358 39,3376

8

68,7656 57,0864 49,3099

9

71,6871 60,5836

10

74,1134

Tabelle A.1.2. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 5 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (11 ” n ” 20) und der Ranggröße i n = 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

i =1

0,4652

0,4265

0,3938

0,3657

0,3414

0,3201

0,3013

0,2846

0,2696

0,2561

2

3,3319

3,0460

2,8053

2,5999

2,4226

2,2679

2,1318

2,0111

1,9033

1,8065

3

7,8820

7,1870

6,6050

6,1103

5,6847

5,3146

4,9898

4,7025

4,4465

4,2169

4 13,5075 12,2851 11,2666 10,4047

9,6658

9,0252

8,4645

7,9695

7,5294

7,1354

5 19,9576 18,1025 16,5659 15,2718 14,1664 13,2111 12,3771 11,6426 10,9906 10,4081 6 27,1250 24,5300 22,3955 20,6073 19,0865 17,7766 16,6363 15,6344 14,7469 13,9554 7 34,9811 31,5238 28,7049 26,3585 24,3727 22,6692 21,1908 19,8953 18,7504 17,7311 8 43,5626 39,0862 35,4799 32,5028 29,9986 27,8602 26,0114 24,3961 22,9721 21,7069 9 52,9913 47,2674 42,7381 39,0415 35,9566 33,3374 31,0829 29,1201 27,3946 25,8651 10 63,5641 56,1894 50,5350 45,9995 42,2556 39,1011 36,4009 34,0598 32,0087 30,1954 11 76,1596 66,1320 58,9902 53,4343 48,9248 45,1653 41,9705 39,2155 36,8115 34,6931 12

77,9078 68,3660 61,4610 56,0216 51,5604 47,8083 44,5955 41,8064 39,3585

13

79,4184 70,3266 63,6558 58,3428 53,9451 50,2172 47,0033 44,1966

14

80,7364 72,0604 65,6175 60,4358 56,1118 52,4203 49,2182

15

81,8964 73,6042 67,3807 62,3321 58,0880 54,4417

16

82,9251 74,9876 68,9738 64,0574 59,8972

17

83,8434 76,2339 70,4198 65,6336

18

84,6683 77,3626 71,7382

19

85,4131 78,3894

20

86,0891

476

Anhang

Tabelle A.1.3. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 5 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (21 ” n ” 30) und der Ranggröße i n = 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

i=1

0,2440

0,2329

0,2228

0,2135

0,2050

0,1971

0,1898

0,1830

0,1767

0,1708

2

1,7191

1,6397

1,5674

1,5012

1,4403

1,3842

1,3323

1,2841

1,2394

1,1976

3

4,0100

3,8223

3,6515

3,4953

3,3520

3,2199

3,0978

2,9847

2,8796

2,7816

4

6,7806

6,4596

6,1676

5,9008

5,6563

5,4312

5,2233

5,0308

4,8520

4,6855

5

9,8843

9,4109

8,9809

8,5885

8,2291

7,8986

7,5936

7,3114

7,0494

6,8055

6 13,2448 12,6034 12,0215 11,4911 11,0056 10,5597 10,1485

9,7682

9,4155

9,0874

7 16,8176 15,9941 15,2480 14,5686 13,9475 13,3774 12,8522 12,3669 11,9169 11,4987 8 20,5750 19,5562 18,6344 17,7961 17,0304 16,3282 15,6819 15,0851 14,5322 14,0185 9 24,4994 23,2724 22,1636 21,1566 20,2378 19,3960 18,6220 17,9077 17,2465 16,6326 10 28,5801 27,1313 25,8243 24,6389 23,5586 22,5700 21,6617 20,8243 20,0496 19,3308 11 32,8109 31,1264 29,6093 28,2356 26,9853 25,8424 24,7934 23,8271 22,9340 22,1059 12 37,1901 35,2544 33,5148 31,9421 30,5130 29,2082 28,0120 26,9111 25,8944 24,9526 13 41,7199 39,5156 37,5394 35,7564 34,1389 32,6642 31,3139 30,0725 28,9271 27,8669 14 46,4064 43,9132 41,6845 39,6785 37,8622 36,2089 34,6972 33,3090 32,0296 30,8464 15 51,2611 48,4544 45,9544 43,7107 41,6838 39,8424 38,1613 36,6197 35,2005 33,8893 16 56,3024 53,1506 50,3565 47,8577 45,6067 43,5663 41,7069 40,0044 38,4392 36,9948 17 61,5592 58,0200 54,9025 52,1272 49,6359 47,3838 45,3360 43,4645 41,7464 40,1629 18 67,0789 63,0909 59,6101 56,5309 53,7791 51,3002 49,0522 47,0021 45,1235 43,3945 19 72,9448 68,4087 64,5067 61,0861 58,0480 55,3234 52,8608 50,6211 48,5730 46,6914 20 79,3275 74,0533 69,6362 65,8192 62,4595 59,4646 56,7698 54,3269 52,0988 50,0561 21 86,7054 80,1878 75,0751 70,7727 67,0392 63,7405 60,7902 58,1272 55,7064 53,4927 22

87,2695 80,9796 76,0199 71,8277 68,1758 64,9380 62,0330 59,4034 57,0066

23

87,7876 81,7108 76,8960 72,8098 69,2374 66,0598 63,2004 60,6053

24

88,2654 82,3879 77,7107 73,7261 70,2309 67,1127 64,2991

25

88,7072 83,0169 78,4700 74,5830 71,1628 68,1029

26

89,1170 83,6026 79,1795 75,3861 72,0385

27

89,4981 84,1493 79,8439 76,1402

28

89,8534 84,6608 80,4674

29

90,1855 85,1404

30

90,4966

Anhang

477

Tabelle A.2. Medianwerte Tabelle A.2.1. Medianwerte in % bei einem Stichprobenumfang von n (1 ” n ” 10) und der Ranggröße i n=1

2

3

4

5

6

i =1 50,0000 29,2893 20,6299 15,9104 12,9449 10,9101

7 9,4276

8 8,2996

9 7,4125

10 6,6967

2

70,7107 50,0000 38,5728 31,3810 26,4450 22,8490 20,1131 17,9620 16,2263

3

79,3700 61,4272 50,0000 42,1407 36,4116 32,0519 28,6237 25,8575

4

84,0896 68,6190 57,8593 50,0000 44,0155 39,3085 35,5100

5

87,0550 73,5550 63,5884 55,9845 50,0000 45,1694

6

89,0899 77,1510 67,9481 60,6915 54,8306

7

90,5724 79,8869 71,3763 64,4900

8

91,7004 82,0380 74,1425

9

92,5875 83,7737

10

93,3033

Tabelle A.2.2. Medianwerte in % bei einem Stichprobenumfang von n (11 ” n ” 20) und der Ranggröße i n = 11 i =1

6,1069

12 5,6126

13 5,1922

14 4,8305

15 4,5158

16

17

18

19

20

4,2397

3,9953

3,7776

3,5824

3,4064

2 14,7963 13,5979 12,5791 11,7022 10,9396 10,2703

9,6782

9,1506

8,6775

8,2510

3 23,5785 21,6686 20,0449 18,6474 17,4321 16,3654 15,4218 14,5810 13,8271 13,1474 4 32,3804 29,7576 27,5276 25,6084 23,9393 22,4745 21,1785 20,0238 18,9885 18,0550 5 41,1890 37,8529 35,0163 32,5751 30,4520 28,5886 26,9400 25,4712 24,1543 22,9668 6 50,0000 45,9507 42,5077 39,5443 36,9671 34,7050 32,7038 30,9207 29,3220 27,8805 7 58,8110 54,0493 50,0000 46,5147 43,4833 40,8227 38,4687 36,3714 34,4909 32,7952 8 67,6195 62,1471 57,4923 53,4853 50,0000 46,9408 44,2342 41,8226 39,6603 37,7105 9 76,4215 70,2424 64,9837 60,4557 56,5167 53,0592 50,0000 47,2742 44,8301 42,6262 10 85,2037 78,3314 72,4724 67,4249 63,0330 59,1774 55,7658 52,7258 50,0000 47,5421 11 93,8931 86,4021 79,9551 74,3916 69,5480 65,2950 61,5313 58,1774 55,1699 52,4580 12

94,3874 87,4209 81,3526 76,0607 71,4114 67,2962 63,6286 60,3397 57,3738

13

94,8078 88,2978 82,5679 77,5255 73,0600 69,0793 65,5091 62,2895

14

95,1695 89,0604 83,6346 78,8215 74,5288 70,6780 67,2048

15

95,4842 89,7297 84,5782 79,9762 75,8457 72,1195

16

95,7603 90,3218 85,4190 81,0115 77,0332

17

96,0047 90,8494 86,1729 81,9450

18

96,2224 91,3225 86,8526

19

96,4176 91,7490

20

96,5936

478

Anhang

Tabelle A.2.3. Medianwerte in % bei einem Stichprobenumfang von n (21 ” n ” 30) und der Ranggröße i n = 21

22

23

24

25

26

27 2,5345

28 2,4451

29 2,3618

30

i =1

3,2468

3,1016

2,9687

2,8468

2,7345

2,6307

2,2840

2

7,8644

7,5124

7,1906

6,8952

6,6231

6,3717

6,1386

5,9221

5,7202

5,5317

3 12,5313 11,9704 11,4576 10,9868 10,5533 10,1526

9,7813

9,4361

9,1145

8,8141

4 17,2090 16,4386 15,7343 15,0879 14,4925 13,9422 13,4323 12,9583 12,5166 12,1041 5 21,8905 20,9107 20,0147 19,1924 18,4350 17,7351 17,0864 16,4834 15,9216 15,3968 6 26,5740 25,3844 24,2968 23,2986 22,3791 21,5294 20,7419 20,0100 19,3279 18,6909 7 31,2584 29,8592 28,5798 27,4056 26,3241 25,3246 24,3983 23,5373 22,7350 21,9857 8 35,9434 34,3345 32,8634 31,5132 30,2695 29,1203 28,0551 27,0651 26,1426 25,2809 9 40,6288 38,8102 37,1473 35,6211 34,2153 32,9163 31,7123 30,5932 29,5504 28,5764 10 45,3144 43,2860 41,4315 39,7292 38,1613 36,7125 35,3696 34,1215 32,9585 31,8721 11 50,0000 47,7620 45,7157 43,8375 42,1075 40,5089 39,0271 37,6500 36,3667 35,1679 12 54,6856 52,2380 50,0000 47,9458 46,0537 44,3053 42,6847 41,1785 39,7749 38,4639 13 59,3712 56,7140 54,2843 52,0542 50,0000 48,1018 46,3423 44,7071 43,1833 41,7599 14 64,0566 61,1898 58,5685 56,1625 53,9463 51,8982 50,0000 48,2357 46,5916 45,0559 15 68,7416 65,6655 62,8527 60,2708 57,8925 55,6947 53,6577 51,7643 50,0000 48,3520 16 73,4260 70,1408 67,1366 64,3789 61,8386 59,4911 57,3153 55,2929 53,4084 51,6480 17 78,1095 74,6156 71,4202 68,4868 65,7847 63,2875 60,9729 58,8215 56,8167 54,9441 18 82,7911 79,0894 75,7032 72,5944 69,7305 67,0837 64,6304 62,3500 60,2251 58,2401 19 87,4687 83,5614 79,9853 76,7014 73,6759 70,8797 68,2877 65,8785 63,6333 61,5361 20 92,1356 88,0296 84,2657 80,8076 77,6209 74,6754 71,9449 69,4068 67,0415 64,8320 21 96,7532 92,4876 88,5425 84,9121 81,5650 78,4706 75,6017 72,9349 70,4496 68,1279 22

96,8984 92,8094 89,0132 85,5075 82,2649 79,2581 76,4627 73,8574 71,4236

23

97,0313 93,1048 89,4467 86,0578 82,9136 79,9900 77,2650 74,7191

24

97,1532 93,3769 89,8474 86,5677 83,5166 80,6721 78,0143

25

97,2655 93,6283 90,2187 87,0417 84,0784 81,3091

26

97,3693 93,8614 90,5639 87,4834 84,6032

27

97,4655 94,0779 90,8855 87,8959

28

97,5549 94,2798 91,1859

29

97,6382 94,4683

30

97,7160

Anhang

479

Tabelle A.3. 95 %-Vertrauensgrenze Tabelle A.3.1. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 95 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (1 ” n ” 10) und der Ranggröße i n=1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

i =1 95,0000 77,6393 63,1597 52,7129 45,0720 39,3038 34,8164 31,2344 28,3129 25,8866 2

97,4679 86,4650 75,1395 65,7408 58,1803 52,0703 47,0679 42,9136 39,4163

3

98,3047 90,2389 81,0744 72,8662 65,8738 59,9689 54,9642 50,6901

4

98,7259 92,3560 84,6839 77,4679 71,0760 65,5058 60,6624

5

98,9794 93,7150 87,1244 80,7097 74,8633 69,6463

6

99,1488 94,6624 88,8887 83,1250 77,7559

7

99,2699 95,3611 90,2253 84,9972

8

99,3609 95,8977 91,2736

9

99,4317 96,3229

10

99,4884

Tabelle A.3.2. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 95 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (11 ” n ” 20) und der Ranggröße i n = 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

i =1 23,8404 22,0922 20,5817 19,2636 18,1036 17,0750 16,1566 15,3318 14,5868 13,9108 2 36,4359 33,8681 31,6339 29,6734 27,9396 26,3957 25,0125 23,7661 22,6375 21,6106 3 47,0087 43,8105 41,0099 38,5389 36,3442 34,3825 32,6193 31,0263 29,5802 28,2619 4 56,4374 52,7326 49,4650 46,5656 43,9785 41,6572 39,5641 37,6679 35,9425 34,3664 5 65,0188 60,9137 57,2620 54,0005 51,0752 48,4397 46,0550 43,8883 41,9120 40,1028 6 72,8750 68,4763 64,5201 60,9585 57,7444 54,8347 52,1918 49,7828 47,5797 45,5582 7 80,0424 75,4700 71,2951 67,4972 64,0435 60,8989 58,0295 55,4046 52,9967 50,7818 8 86,4925 81,8975 77,6045 73,6415 70,0013 66,6626 63,5991 60,7845 58,1935 55,8034 9 92,1180 87,7149 83,4341 79,3926 75,6273 72,1397 68,9171 65,9402 63,1885 60,6415 10 96,6681 92,8130 88,7334 84,7282 80,9135 77,3308 73,9886 70,8799 67,9913 65,3069 11 99,5348 96,9540 93,3950 89,5953 85,8336 82,2234 78,8092 75,6039 72,6054 69,8046 12

99,5735 97,1947 93,8897 90,3342 86,7889 83,3638 80,1047 77,0279 74,1349

13

99,6062 97,4001 94,3153 90,9748 87,6229 84,3656 81,2496 78,2931

14

99,6343 97,5774 94,6854 91,5355 88,3574 85,2530 82,2689

15

99,6586 97,7321 95,0102 92,0305 89,0093 86,0446

16

99,6799 97,8682 95,2975 92,4706 89,5919

17

99,6987 97,9889 95,5535 92,8646

18

99,7154 98,0967 95,7831

19

99,7304 98,1935

20

99,7439

480

Anhang

Tabelle A.3.3. Ausfallwahrscheinlichkeiten in % für die 95 %-Vertrauensgrenze bei einem Stichprobenumfang von n (21 ” n ” 30) und der Ranggröße i n = 21

22

23

24

25

26

27

28

i =1 13,2946 12,7306 12,2123 11,7346 11,2928 10,8830 10,5019 10,1466

29 9,8145

30 9,5034

2 20,6725 19,8122 19,0204 18,2893 17,6121 16,9831 16,3975 15,8507 15,3392 14,8596 3 27,0552 25,9467 24,9249 23,9801 23,1040 22,2893 21,5300 20,8205 20,1561 19,5326 4 32,9211 31,5913 30,3637 29,2273 28,1723 27,1902 26,2739 25,4170 24,6139 23,8598 5 38,4408 36,9091 35,4932 34,1807 32,9608 31,8242 30,7627 29,7691 28,8372 27,9615 6 43,6976 41,9800 40,3899 38,9139 37,5405 36,2595 35,0620 33,9402 32,8873 31,8971 7 48,7389 46,8494 45,0975 43,4692 41,9520 40,5354 39,2098 37,9670 36,7995 35,7009 8 53,5936 51,5456 49,6435 47,8728 46,2209 44,6767 43,2302 41,8728 40,5966 39,3947 9 58,2801 56,0868 54,0456 52,1423 50,3642 48,6998 47,1391 45,6731 44,2936 42,9934 10 62,8099 60,4844 58,3155 56,2893 54,3933 52,6162 50,9478 49,3789 47,9012 46,5073 11 67,1891 64,7456 62,4607 60,3215 58,3162 56,4337 54,6640 52,9979 51,4270 49,9439 12 71,4200 68,8737 66,4853 64,2436 62,1378 60,1576 58,2931 56,5355 54,8765 53,3086 13 75,5005 72,8687 70,3906 68,0579 65,8611 63,7911 61,8387 59,9956 58,2536 56,6055 14 79,4250 76,7276 74,1757 71,7645 69,4871 67,3358 65,3028 63,3803 61,5608 59,8371 15 83,1824 80,4437 77,8364 75,3611 73,0147 70,7918 68,6861 66,6909 64,7996 63,0052 16 86,7552 84,0059 81,3656 78,8434 76,4414 74,1576 71,9880 69,9275 67,9704 66,1108 17 90,1156 87,3966 84,7520 82,2040 79,7622 77,4300 75,2066 73,0889 71,0728 69,1536 18 93,2193 90,5891 87,9785 85,4313 82,9696 80,6039 78,3383 76,1728 74,1056 72,1331 19 95,9901 93,5404 91,0191 88,5089 86,0525 83,6718 81,3780 79,1757 77,0660 75,0474 20 98,2809 96,1776 93,8324 91,4115 88,9944 86,6226 84,3181 82,0923 79,9504 77,8941 21 99,7560 98,3603 96,3485 94,0992 91,7709 89,4404 87,1478 84,9149 82,7535 80,6691 22

99,7671 98,4326 96,5047 94,3437 92,1014 89,8515 87,6331 85,4678 83,3674

23

99,7772 98,4988 96,6480 94,5688 92,4064 90,2318 88,0831 85,9815

24

99,7865 98,5597 96,7801 94,7767 92,6886 90,5845 88,5013

25

99,7950 98,6158 96,9022 94,9692 92,9506 90,9126

26

99,8029 98,6677 97,0153 95,1480 93,1944

27

99,8102 98,7159 97,1204 95,3145

28

99,8170 98,7606 97,2184

29

99,8233 98,8024

30

99,8292

Anhang

481

Tabelle A.4. Standardnormalverteilung Die Tabelle enthält Werte der Standardnormalverteilung Ix

NV P

0, V 1

für x t 0 . Für x  0 beachte man I x 1  Ix . t P . V ln t  t 0  P Transformation einer LogNormalverteilung: x . V Transformation einer Normalverteilung: x

x

+0,00

+0,01

+0,02

+0,03

+0,04

+0,05

+0,06

+0,07

+0,08

+0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990

482

Anhang

Tabelle A.5. Gammafunktion Die Gammafunktion wurde von Euler als uneigentliches Parameterintegral (zweites Eulersches Integral) wie folgt definiert: Für alle reellen Zahlen x ! 0 ist *x

f

 t x 1 ³ e ·t ·dt .

0

Es gelten folgende Funktionalgleichungen: *x  1 *x 1 1 , *x  1 x·*x , *x , * x x

x  1 ·*x  1 .

x

*(x)

x

*(x)

x

*(x)

x

*(x)

1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24

1 0,994325851 0,988844203 0,983549951 0,978438201 0,973504266 0,968743649 0,964152042 0,959725311 0,955459488 0,95135077 0,947395504 0,943590186 0,93993145 0,936416066 0,933040931 0,929803067 0,926699611 0,923727814 0,920885037 0,918168742 0,915576493 0,913105947 0,910754856 0,908521058

1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49

0,906402477 0,904397118 0,902503064 0,900718476 0,899041586 0,897470696 0,896004177 0,894640463 0,893378053 0,892215507 0,891151442 0,890184532 0,889313507 0,888537149 0,887854292 0,887263817 0,886764658 0,88635579 0,886036236 0,885805063 0,88566138 0,885604336 0,885633122 0,885746965 0,885945132

1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74

0,886226925 0,886591685 0,887038783 0,887567628 0,888177659 0,888868348 0,889639199 0,890489746 0,891419554 0,892428214 0,893515349 0,894680608 0,895923668 0,897244233 0,89864203 0,900116816 0,901668371 0,903296499 0,90500103 0,906781816 0,908638733 0,91057168 0,912580578 0,914665371 0,916826025

1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00

0,919062527 0,921374885 0,923763128 0,926227306 0,92876749 0,931383771 0,934076258 0,936845083 0,939690395 0,942612363 0,945611176 0,948687042 0,951840185 0,955070853 0,958379308 0,961765832 0,965230726 0,968774309 0,972396918 0,976098907 0,979880651 0,98374254 0,987684984 0,991708409 0,99581326 1

Beispiele: a) *1,35 0,891151442 b)

*0,8

c)

*3,2

*1,8 0,931383771 1,16497971375 0,8 0,8 2,2·*2,2 2,2·1,2·*1,2 2,2·1,2·0,918168742

2,42397

Anhang

483

Graphiken zur Bestimmung des Vertrauensbereichs nach dem Vq-Verfahren:

Stichprobenumfang n

b=4

2 1,5

1

0,75

0,5

2

3

4 5

10 15 20 30 40 Faktor Vq

100

50

PA = 90% 1,05

Abb. A1

1,1

1,2 1,3 1,41,5

Vertrauensbereich der t1-Lebensdauerwerte (q = 1 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

b=4

Stichprobenumfang n

3

200 150

3

2 1,5

1

0,75

0,5

200 150 100

50

PA = 90% 1,05

Abb. A2

1,1

1,2 1,3 1,41,5

2

3

4 5

10 15 20 30 40 Faktor Vq

Vertrauensbereich der t3-Lebensdauerwerte (q = 3 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

484

Anhang

b= 4

200

3

2

1,5 1 0,75 0,5

150 100

Stichprobenumfang n

50 40 30 20

PA = 90% 10

5

1,05

1,1

1,2 1,31,41,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40

Faktor Vq

Abb. A3

Vertrauensbereich der t5-Lebensdauerwerte (q = 5 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

b=4 3

2 1,5

1 0,75 0,5

200 150 100

Stichprobenumfang n

50 40 30 20

10

PA = 90% 5

1,05

Abb. A4

1,1

1,2 1,31,41,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40 Faktor Vq

Vertrauensbereich der t10-Lebensdauerwerte (q = 10 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

Anhang

200

b= 4 3

485

2 1,5 1 0,75 0,5

150 100

50 40

Stichprobenumfang n

30 20

10

5

PA = 90% 1,05

Abb. A5

1,1

1,2 1,31,41,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40 Faktor Vq

Vertrauensbereich der t30-Lebensdauerwerte (q = 30 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

b=4 3

2 1,5 1 0,75 0,5

200 150 100

50 40 Stichprobenumfang n

30 20

10

5

PA = 90%

1,05

1,1

1,2 1,3 1,4 1,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40 Faktor Vq

Abb. A6

Vertrauensbereich der t50-Lebensdauerwerte (q = 50 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

486

Anhang b= 4 3

200

2 1,5

1 0,75 0,5

150 100

Stichprobenumfang n

50 40 30 20

10

PA = 90%

5

1,05

Abb. A7

200

1,1

1,2 1,3 1,4 1,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40 Faktor Vq

Vertrauensbereich der t80-Lebensdauerwerte (q = 80 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

b=4

3

2 1,5 1 0,75 0,5

150 100

50 40

Stichprobenumfang n

30 20

10

PA = 90%

5

1,05

Abb. A8

1,1

1,2 1,3 1,4 1,5

2

3

4 5

10

15 20 30 40 Faktor Vq

Vertrauensbereich der t90-Lebensdauerwerte (q = 90 %) für verschiedene b-Werte nach dem Vq-Verfahren [VDA 4.2]

Anhang

487

50 60 70 80

90 95

99 % 99.9 % 99

Anzahl der Ausfälle x

95 90 1 50

Prüfung mit Ersatz

2

Prüfung ohne Ersatz (untere Grenze n*=10)

3

Vorkenntnisse R0 (PA0 = 63 %)

10 200 n* 100

99

99

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Auswertung)

Aussagewahrscheinlichkeit PA (Prüfplan)

50 95

95 20 90

90 10

50 ohne

80 10

50

20

100

200

5 0,5 LVb

n ⋅ LVb

1

1,5 2

70 3

geforderte Zuverlässigkeit Rmin in %

0,75 Ausfallsteilheit b

0,5 1

5

10

20

50

100

Anzahl Prüflinge n

Abb. A9

Beyer-Lauster Nomogramm

2

0.5

1

1,5

Lebensdauer-Verhältnis LV

2

0,99

be gn

140

an mf

nu

0,85

ro

0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90

p ich St

Zuverlässigkeit R

0,98

00 0 10 0 70 00 5 00 5 4 0 10 30 0 20 20 0 14 0 30 10 40 70 50 500 4 70 30 20 100

10 5

0,80

200

2 0

0,75

1 2 3 4 5

0,70 0,65 0,60 0,55 0,50

Abb. A10 Larson-Nomogramm

7 9

0,9999 0,999 0,995 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001

Aussagewahrscheinlichkeit PA

Anhang

x=A in d nzahl er S Aus tich fälle prob e

488

Anhang

489

99,9 99 %

3,5

90 80 70 63,2

3,0

30

2,5

20

10

2,0

5 4 3

1,5

2 1

1,0

0,5 0,4 0,3

0,5

0,2 Pol Pol

0,1 1

10

100

Lebensdauer t

Abb. A11

Weibullnetz

0 1000

Formparameter b

Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)

50 40

Sachverzeichnis

ABC-Analyse 96 arithmetischer Mittelwert 28, 198, 238 Auftretenswahrscheinlichkeit 117, 137, 139 ausfallfreie Zeit 31, 42ff, 61, 99ff, 210ff, 246, 262f Ausfallquote 32, 413 Ausfallrate 22ff, 32, 36ff, Ausfallwahrscheinlichkeit 15ff, 29, 36ff, 99ff, 168ff, 193ff, 265 ff, 292ff Auslegung dauerfeste 290ff statische 290ff Badewannenkurve 23ff, 92 Bayes Satz von 274ff Beanspruchung 96, 193, 255, 265, 290ff Bedeutung 111ff, 137f Beispielgetriebe 92ff Belastbarkeit 292ff Belastbarkeitsverteilung 293 Belastung 7, 96ff, 254ff, 281ff, 291ff, 307ff Belastungsverteilung 293 Bereichspaar-Mittelwert-Zählung 314 Betriebsbelastung 301ff Bestellniveau 397ff Bestellpunkt 344 Betriebsfestigkeit 99, 259, 297ff Beyer/Lauster 274ff Nomogramm 276 Binomialsatz 272 Black Box 122, 128ff

Bruchmechanikkonzept 324 Brückenkonfiguration 174ff Boolesche Algebra 170ff Theorie 78ff, 102ff, 160, 413 Modell 168ff, 416 Boole-Markov-Modell 359, 374f Bx-Lebensdauer 33, 260 Cut Sets 175f Dauerfestigkeit 281, 297ff, 320ff Dauerverfügbarkeit 356ff innere 357 operative 357 praktische 358 technische 357 Degradation Test 286f De Morgansche Gesetz 171 Dichtefunktion 9ff, 36ff, 195 a-posteriori 274 a-priori 274 empirische 12f Gammafunktion 270 DOWN-Ursache 163 Dynamische Beanspruchung 307 Entdeckungsmaßnahmen 140 Entdeckungswahrscheinlichkeit 137ff Ereignisdichte 392ff Ermüdungsausfälle 23ff, 46, 92, 262, 290f Erneuerung 367 Erneuerungsdichte 377ff Erneuerungsfunktion 377ff Erneuerungsgleichungen 379ff Erneuerungsprozesse

492

Sachverzeichnis

alternierende 380 gewöhnliche 3375 Erneuerungstheorie 375ff Ersatzteil 343 Ersatzteilbedarf 379ff Ersatzteillagerhaltung 343 Erwartungswert 31, 239ff, 353ff Exponentialverteilung 39 Extrapolation 217f Fahrstreckenverteilung 215, 230ff Failure Mode and Effects Analysis 106ff Faltungspotenz 377 Fault Tree Analysis 160ff Fehleranalyse 130ff Fehlerart 131ff Fehlerbaumanalyse 160ff Fehlerfolgen 132 Fehler-Möglichkeits- und -EinflussAnalyse 16ff Fehlerursachen 133ff FMEA 106ff nach VDA 86 110ff nach VDA 4.2 119ff FTA 160ff Funktionsblockdiagramm 94ff Funktionen und Funktionsstruktur 128 Gammafunktion 47, 60f, 240f, 278, 482 Gerberparabel 330 Goodmangerade 330 Grundgesamtheit 190ff Haigh-Diagramm 330ff HALT highly accelerated life testing 284 Histogramm 9 Ausfallhäufigkeit 10ff Summenhäufigkeit 15ff Überlebenswahrscheinlichkeit 19ff Inspektion 339

Instandhaltbarkeit 352 Instandhaltung 337 außerplanmäßige 340 planmäßige 338, 360 zustandsorientierte 339 Instandhaltungsebenen 341 Instandhaltungsintervalle 360 Instandhaltungskapazitäten 343 Instandhaltungskenngrößen 352 Instandhaltungsmaßnahmen 338 Instandhaltungsmodell periodisches 360 Instandhaltungsrate 353 Instandhaltungsstrategie 345 Instandsetzung 341 Kerbgrundkonzept 324, 332 Klassengrenzenüberschreitungsver fahren 308 Klassierung 11, 230, 299ff Klassenanzahl 11 Klassenbreite 11 Kleyner 277 knowledge factor 277 Konstruktions-FMEA 110 Korrelationskoeffizent 244 Kostenanalyse 402 Kurzzeitfestigkeit 300 Lagerbestand 344 Lagerhaltung 397 Lagernennbestand 398 Larson-Nomogram 273 Lastannahme 306 Lastkollektiv 97, 191, 281, 300ff Lebensdauerberechnung 97, 259, 290ff Lebensdauerprüfung beschleunigte 281ff Lebensdauerverhältnis 268ff Lebensdauerversuch 54, 190ff Lebensdauerverteilung 36ff, 190 Lebenslaufkosten 346ff Likelihoodfunktion 246ff Logarithmische Normalverteilung 56

Sachverzeichnis Markov-Graph 366ff Markov-Modell 365ff Maschinenzustandsüberwachung 340 Maximum-Likelihood Methode 246ff Medianwert 29f, 198ff, 240ff Minimale Ausfallschnitte 175 Minimale Erfolgspfade 176 Mischverteilung 205f, 233 Mittelspannungseinfluss 332 Mittelspannungsempfindlichkeit 330ff Mittelwert 28ff, 198ff, 238ff Modalwert 29f, 198, 242 Momentanwertzählung einparametrige 311f zweiparametrige 314f Momentenmethode 238ff Monte-Carlo Simulation 395ff MTBF 31 MTTF 31 MTTM 353 MTTPM 354 MTTR 354 Nennspannungskonzept 324ff Newtonverfahren 241 Normalverteilung 37ff Optimierung 143ff örtliches Konzept 324ff Parametervektor 242 Pareto-Prinzips 115 Path Sets 176 Prozess-FMEA 110 Prüflos 219ff Prüflosgröße 222ff Prüfplanung 191f, 264ff statistische 192 versuchstechnisch-messtechnische 191 Raffung 281ff Raffungsfaktor 281ff

493

Rainflow-Zählung 315ff Ranggröße 55, 193ff, 234 Ranggrößenverteilung 55, 193ff Rangzahl 193ff hypothetische 220 Regressionsanalyse 238ff Reparatur 341ff Reparaturdauer 381 Reparaturmannschaften 343 Reparaturprioritäten 342f reparierbarer Systeme 337ff Risikobewertung 137ff Risikoprioritätszahl 141ff Schadensakkumulation 99, 291, 299, 324ff Schadensstatistiken 100 Schädigung 281, 297ff Schiefe 238f Semi-Markov Prozesse 389ff Separation 177 Sicherheitsbestand 344 Simulation 139, 302ff, 295ff Spannenmittelverfahren 313 Spannenpaarverfahren 310f Spannenverfahren 310f Standardabweichung 28ff, 238ff Stichprobenmomente empirische 238ff Stichprobenumfang 11f, 34f, 201ff stochastischer Prozess 357 Stress-Strength-Interference 292 Sudden-Death-Test 219ff Success Run 265ff Summenhäufigkeit 15ff, 217 Systemanalyse 92ff Systemelemente 93, 125ff Systemelementzuverlässigkeiten 99ff Systemstruktur 98, 125ff Systemtransportgleichung 393ff Systemtransporttheorie 391ff Systemzuverlässigkeit 78, 92ff Parallelstruktur 83 Serienstruktur 81 System-FMEA 119

494

Sachverzeichnis

Produkt 120ff Prozess 120ff Test vollständiger 192ff zensierter 92ff Testplanung 264ff Binomialverteilung 267f Weibullverteilung 265f Testzeitverkürzung 192f, 264ff theoretische Verteilungsmomente 231 tq-Werte 236f TOP-Event 163 Überholung 339f Überlebenswahrscheinlichkeit 19ff empirische 19ff Ursprungsmomente 239ff Varianz 28f, 238ff Venn-Diagramme 170 Verfügbarkeit 355ff Dauerverfügbarkeit 356ff durchschnittliche 356ff Punktverfügbarkeit 355ff Verfügbarkeitskenngrößen 355 Verknüpfung NICHT-Verknüpfung 163 ODER-Verknüpfung 163 UND-Verknüpfung 162 Verfahren von Dubey 212 Vermeidungsmaßnahmen 139ff Verschleiß 23, 46, 97, 151f, 256ff, 286f Verteilungen Betaverteilung 197f, 241, 277ff Binomialverteilung 195, 265ff Erlangverteilung 63ff Exponentialverteilung 39ff Gammaverteilung 60ff Gleichverteilung 269 Hjorthverteilung 66ff Logarithmische Normalverteilung 56ff Logitverteilung 71ff

Multinomialverteilung 195f Normalverteilung 37ff Rechteckverteilung 191 SB-Johnson-Verteilung 75ff Sinusverteilung 69ff Trinomialverteilung 195 verschobene Paretoverteilung 73ff Weibullverteilung 41ff Verteilungsdichte a-priori 274 a-posteriori 275 Verteilungsfunktion 15 empirische 15, 194 Verteilungsparameter 190ff Vertrauensbereich 200ff Vertrauensgrenzen 200ff Verweildauerzählung 311 Von-Bis-Zählung 313 Vq-Werte 236ff Wahrscheinlichkeit 34 Wartezeit Instandhaltungswartezeit 351ff logistische 351ff Wartung 338ff Weibullparameter 204f, 255ff ausfallfreie Zeit 262 charakteristische Lebensdauer 259 Formparameter 256 Weibullverteilung 41ff, 190f Weibullwahrscheinlichkeitspapier 47 Wöhlerkurve 319f dehnungskontrolliert 320 spannungskontrolliert 320 Wöhlerversuch 7f, 97, 307ff Zählverfahren einparametrige 308ff zweiparametrige 313ff Zeitfestigkeit 297ff Zensorisierung 216ff multiple 218 Typ I 216

Sachverzeichnis Typ II 217 zentrale Momente 239ff Zufallsvariable 194 Zustandsindikator 350, 390ff Zustandsverlauf 350 Zustandswahrscheinlichkeiten 366f Zuverlässigkeit 19ff Zuverlässigkeitsanalyse 92f, 106ff, 160ff

495

Zuverlässigkeitsblockschaltbild 98ff Zuverlässigkeitsgraph 178f Zuverlässigkeitskenngrößen 30f, 350 Zuverlässigkeitsstruktur 98ff

Druck: Verarbeitung:

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