Springer-Lehrbuch
H. E. Siekmann · P. U. Thamsen
Strömungslehre für den Maschinenbau Technik und Beispiele 2. Auflage
123
Prof. Dr.-Ing. Helmut E. Siekmann Prof. Dr.-Ing. Paul Uwe Thamsen Technische Universität Berlin Fluidsystemdynamik – Strömungstechnik in Maschinen und Anlagen Sekretariat K2 Straße des 17. Juni 135 10623 Berlin Germany
[email protected] [email protected]
ISBN 978-3-540-73989-0
e-ISBN 978-3-540-73990-6
DOI 10.1007/978-3-540-73990-6 Springer Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2009, 2001 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de
Vorwort
Der vorliegende zweite Band entspricht unserer Vorlesung Strömungslehre II, die wir in stetig redigierter Form seit vielen Jahren an der Technischen Universität Berlin halten. Wir legen dieses Lehrbuch einer größeren Zielgruppe vor, die aus Studierenden der Ingenieurwissen-schaften und Physik sowie den Praktikern aus vorwiegend strömungstechnischer Industrie besteht. Um den anwendungstechnischen Charakter dieses Buches zu betonen, haben wir in Abstimmung mit dem SPRINGER-Verlag Heidelberg den Titel „Strömungslehre für den Maschinenbau – Technik und Beispiele“ gewählt. Die Kenntnis des ersten Bandes Strömungslehre – Grundlagen ist hilfreich, jedoch keine Voraussetzung zum Verständnis des zweiten Bandes. Neu hinzugekommen ist die Realisierung einer Homepage www.tu-berlin.de/~fsd. Für die Erstellung dieses Werkes haben wir wieder vielfältigen Dank auszusprechen: Frau KOMOLL und Frau LAWRENZ für die Erstellung der Zeichnungen, Frau Bente THAMSEN und Herrn Kristian HÖCHEL für die Redaktion und computerunterstützte Anfertigung der druckfertigen Vorlage und dem Springer-Verlag für das uns entgegengebrachte Vertrauen. Last but not least sind wir der ehemaligen Doktorandin des Institutsbereichs, Frau Prof. Dr.-Ing. (habil) Kitano MAJIDI, für die Mitgestaltung einiger Kapitel, insbesondere 13.3, 13.4 und 14, äußerst dankbar. Wie beim ersten Band sind wir dem SPRINGER-Verlag Heidelberg für die Unterstützung und das uns entgegengebrachte Vertrauen zu Dank verpflichtet. Berlin, im Herbst 2008
Helmut E. Siekmann Paul Uwe Thamsen
Inhaltsverzeichnis
1
Hydrostatik........................................................................................... 1 1.1 1.2
2
Druckstoß..................................................................................... Beispiele....................................................................................... 3.2.1 Fallrohr konstanten Querschnitts...................................... 3.2.2 Horizontale abgestufte Ausflussrohrleitung..................... 3.2.3 Schließvorgang bei einer Wasserturbinenanlage...............
30 32 32 38 41
Anwendungen des Impulssatzes................................................. 45 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
5
Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr.................... 10 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel...... 20
Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide.................................... 30 3.1 3.2
4
1 4 4 5 6 8
Kinematik der instationären Strömung........................................ 10 2.1 2.2
3
Grenzflächenspannung.................................................................. Beispiele........................................................................................ 1.2.1 Luftblase in Wasser oder Wassertropfen in Luft................ 1.2.2 Zwei kommunizierende Seifenblasen................................. 1.2.3 Kapillardepression.............................................................. 1.2.4 Kapillaraszendenz...............................................................
Rohrbogen.................................................................................... 45 Schub eines Flüssigkeitsstrahls...................................................... 48 Schubvorrichtung bei ungleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilung im Austritt.................................................................... 50 Schräger Freistrahl auf vertikale Platte......................................... 53 Reaktionswandkraft eines Duschkopfes....................................... 55 Schiffspropeller............................................................................ 58 Windturbinen................................................................................ 61 Strahlablenker einer PELTON-Wasserturbine............................. 65 Bypass-Luftstrahltriebwerk. ......................................................... 68
Bewegung kompressibler Fluide................................................... 70 5.1 5.2
Strömung aus Pressluftbehälter...................................................... 70 Instationäre Pressluftströmung....................................................... 75
VIII
6
Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung..... 77 6.1
6.2 6.3 6.4
6.5
7
Potentialströmung inkompressibler Fluide.............................. 119 7.1 7.2
8
Funktionentheorie für ebene Potentialströmung......................... 119 Beispiele...................................................................................... 124 7.2.1 Parallelströmung............................................................... 124 7.2.2 Ebene Quell- und Senkenströmung.................................. 126 7.2.3 Potentialwirbel.................................................................. 135 7.2.4 Dipolströmung.................................................................. 139 7.2.5 Umströmung eines nichtrotierenden Zylinders................ 141 7.2.6 Umströmung eines rotierenden Zylinders......................... 146
Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder.............................. 148 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
9
Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung.......... 77 6.1.1 Ruhendes Fluid.................................................................... 77 6.1.2 Drehungsfreie Strömung...................................................... 78 6.1.3 Reibungsfreies Fluid .......................................................... 83 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung................................. 87 HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung......................................... 94 Schleichströmung.......................................................................... 98 6.4.1 Vorbemerkungen................................................................. 98 6.4.2 Strömung im Axial-Segmentlager..................................... 99 6.4.3 HELE-SHAW-Strömung.................................................. 103 6.4.4 Rieselfilmströmung.......................................................... 108 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte.... 112 6.5.1 Strömung im Schwerkraftfeld........................................... 112 6.5.2 Strömung eines geschichteten Fluids............................... 113 6.5.3 Strömung im rotierenden System..................................... 115 6.5.4 Strömung im Magnetfeld.................................................. 117
Endlich langer gebundener Wirbelfaden..................................... Unendlich langer gebundener Wirbelfaden................................ Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation.............. Zwei freie Wirbelfäden mit gleichsinniger Zirkulation.............. Hufeisenwirbelsystem eines Flugzeugs...................................... Ebene Wirbelschicht................................................................... Komplettes Wirbelmodell eines Tragflügels endlicher Spannweite.................................................................................. Polardiagramm............................................................................
148 151 153 158 161 165 172 177
Grenzschichtströmungen.............................................................. 180 9.1 9.2 9.3
Grenzschichtströmungen an technisch relevanten Körpern....... 180 Wandschubspannung und Reibungswiderstand......................... 181 Einfluss des Druckgradienten auf das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht.......................................................................... 183
Inhaltsverzeichnis
IX
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide.................. 186 10.1 Grundgleichungen für turbulente Strömung.............................. 10.1.1 Kontinuitätsgleichung...................................................... 10.1.2 REYNOLDS-Gleichung.................................................. 10.1.3 BOUSSINESQ-Gleichung.............................................. 10.2 PRANDTL-Mischungsweg........................................................ 10.3 Dreibereichsmodell für turbulente Grenzschichten................... 10.4 Turbulente Rohrströmung..........................................................
186 186 187 189 191 195 198
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen............. 202 11.1 Technische Anwendungen von Rohrströmungen....................... 11.2 Rohrreibungskoeffizient bei kreisförmigen Rohrquerschnitten. 11.3 Rohrreibungskoeffizient bei nicht kreisförmigen Rohrquerschnitten....................................................................... 11.4 Druckverluste durch Sekundärströmungen in Rohrleitungen..... 11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen...............
202 202 203 205 210
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern..................... 221 12.1 12.2 12.3 12.4
Körper geringsten Widerstands................................................... Segel............................................................................................ Querangeströmte Zylinder mit periodischer Wirbelablösung..... Düsen und Siebe.........................................................................
221 227 228 231
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre................................. 239 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5
Einleitung..................................................................................... 239 Dimensionsanalyse...................................................................... 241 Fraktionelle Analyse.................................................................... 248 Methode der Differentialgleichungen.......................................... 250 Typische Kennzahlen für fluiddynamische Modellversuche...... 252
14 Numerische Strömungsberechnung........................................... 254 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
Einleitung..................................................................................... 254 Vorgehensweise........................................................................... 255 Modellierung................................................................................ 256 Geometrische Beschreibung des Strömungsgebiets.................... 258 Numerische Algorithmen............................................................. 258 14.5.1 Diskretisierung des Lösungsgebiets................................ 258 14.5.2 Diskretisierung der partiellen Differentialgleichungen... 259 14.6 Auswertung und Darstellung der Ergebnisse.............................. 260 14.7 Beispiele von Ergebnissen numerischer Strömungsberechnung. 260 Namens- und Sachverzeichnis........................................................... 264
1 Hydrostatik
1.1 Grenzflächenspannung Die Grenzfläche stellt die Trennfläche mehrerer Phasen dar, wie z.B. in Bild 1.1 zwischen Wasser-Glas-Luft, Quecksilber-Glas-Luft bzw. PetroleumGlas-Luft. Der Energieinhalt der Moleküle im Inneren der Flüssigkeit und an der Oberfläche der Flüssigkeit ist unterschiedlich. So ist, wie in Bild 1.1 in der oberen Hälfte dargestellt, die resultierende Kraft F res auf ein Flüssigkeitsmolekül im Inneren des Wasser- oder Quecksilberreservoirs Null, wohingegen an der Grenzfläche diese resultierende Kraft vorhanden ist, da, um die Grenzfläche zu erreichen, Verschiebungsenergie gegen die resultierende Kraft notwendig geworden ist.
Bild 1.1. Grenzflächenspannung V bei Petroleum, Wasser und Quecksilber
2
1 Hydrostatik
Wegen des Unterschieds im Energieinhalt nehmen die Moleküle in der Grenzfläche eine Sonderstellung ein. Sie verhalten sich wie eine Membran. Diese Membran hat eine Dicke von ca. 1 nm. Die von Natur aus bestimmte Energieminimierung führt zur Tangentialspannung der Membran. Diese in Bild 1.1 dargestellte Spannung trägt den Namen Grenzflächenspannung V , auch Oberflächenspannung, im Englischen „Surface Tension“, genannt. V hat in der oberen linken Bildhälfte eine andere Richtung als in der rechten. Dies hängt damit zusammen, dass die Anziehungskräfte des Glases größer sind als die Kohäsionskräfte der Wassermoleküle untereinander, in der rechten Bildhälfte sind die Anziehungskräfte des Glases kleiner als die Kohäsionskräfte der Quecksilbermoleküle im Inneren. In der unteren Hälfte des Bildes 1.1 sind die unterschiedlichen Richtungen von V in Form eines Petroleum-, Wasserund Quecksilbertropfens dargestellt. Bei Petroleum handelt es sich um eine „superbenetzende“ Flüssigkeit bei Gleichheit der Anziehungskräfte des Glases und der Kohäsionskräfte des Petroleums, Fazit: Grenzwinkel D = 0°. Bei dem Wassertropfen sind die Anziehungskräfte des Glases größer als die Kohäsionskräfte des Wassers, Fazit: D < 90°, weshalb man Wasser als „benetzende“ Flüssigkeit bezeichnet. Hingegen gilt für den Quecksilbertropfen, dass die Anziehungskräfte des Glases kleiner als die Kohäsionskräfte des Quecksilbers sind, woraus sich D > 90° und der Name „nichtbenetzende“ Flüssigkeit ableiten. Die Grenzflächenspannung V kann u.a. mit dem in Bild 1.2 dargestellten Zuggerät gemessen werden.
Bild 1.2. Zuggerät für Flüssigkeitsmembran
1.1 Grenzflächenspannung
3
Ein U-förmiges Drahtgebilde trägt einen nahezu reibungsfrei verschiebbaren Bügel, mit dem eine Flüssigkeitsmembran mit der Gewichtskraft F g ausgedehnt werden kann. Bei maximaler Ausdehnung gilt folgendes Kräftegleichgewicht:
Fg mit Fg m g FV l
FV mg
Gewichtskraft,
2lV
Messgewicht, Fallbeschleunigung, Grenzflächenspannungskraft, Bügellänge und Grenzflächenspannung 1 .
V
Hieraus folgt: m g
V
2 l V und
mg . 2l
(1.1)
Diese Gleichung kann auch durch die Betrachtung der folgenden Energien gewonnen werden: -
-
Energie zur virtuellen Verrückung d z des Bügels gegen die Gewichtskraft F g m g und Energie zur Vergrößerung der zwei Oberflächen um 2 l dz (Vorder- und Rückseite).
Das Energiegleichgewicht besagt: m g d z 2 l d z V , woraus sich wieder die o.a. Gleichung ergibt. Man beachte, dass die Grenzflächenspannung die Dimension einer Kraft pro Länge, bzw. Energie pro Fläche besitzt. Entsprechend ist die Einheit von V wie folgt: N/m bzw. N m/m². Bekannte Zahlenwerte aus der Praxis sind: = 0,020 N/m, V (Öl-Wasser-Glas) = 0,030 N/m, V (Öl-Luft-Glas) = 0,073 N/m und V (Wasser-Luft) = 0,472 N/m. V (Quecksilber-Luft-Glas) 1
Der Faktor 2 ergibt sich aus der Tatsache, dass die Flüssigkeitsmembran eine Vorder- und eine Rückseite mit den jeweiligen Grenzflächenspannungen besitzt.
1 Hydrostatik
4
Gekrümmte Grenzflächen (Membranen) führen zu Druckdifferenzen zwischen der Vorder- und Rückseite der Membran. Der höhere Druck herrscht auf der hohlen (konkaven) Seite. Dies lässt sich anhand der folgenden Beispiele erklären.
1.2 Beispiele 1.2.1 Luftblase in Wasser oder Wassertropfen in Luft Bild 1.3 gibt die Kraftverhältnisse für eine Luftblase (freigeschnitten) in Wasser oder einen Wassertropfen (freigeschnitten) in Luft wieder. Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung lautet:
F p .i F p . a FV Mit ' p
'p
0 , bzw. ( p i p a )S d ² / 4 VS d
0.
p i p a folgt:
4V d
2V . r
(1.2)
Bild 1.3. Luftblase (freigeschnitten) im Wasser oder Wassertropfen (freigeschnitten) in Luft
Bei einer dreidimensionalen Membran, man spricht auch von einer zweidimensional gekrümmten Membran mit den Hauptkrümmungsradien r1 und r2 (Bild 1.4), ergibt sich entsprechend Gl.(1.2) im Druckmesspunkt folgende Druckdifferenz:
1.2 Beispiele
'p
V(
1 1 ) . r1 r2
Im Grenzfall r1 = r2 = r ergibt sich wieder ' p
5
(1.3)
2V / r .
Bild 1.4. Hauptkrümmungsradien r1 und r2 einer 2D-gekrümmten Membran
1.2.2 Zwei kommunizierende Seifenblasen Bild 1.5 zeigt einen Kleinversuchsstand, in dem sich bei entsprechender Ventilstellung die kleinere Blase in die größere entladen kann. Dies hängt damit zusammen, dass, wie im vorherigen Beispiel gezeigt, in der kleineren Blase ein höherer Druck herrscht als in der größeren.
Bild 1.5. Versuchsaufbau für zwei kommunizierende Seifenblasen
6
1 Hydrostatik
1.2.3 Kapillardepression Ein Kapillarröhrchen („Haarröhrchen“) in der Durchmessergrößenordnung d = 1 Pm...5 mm wird in ein Quecksilberbad getaucht. Es ist festzustellen, dass die Kuppe des Quecksilbers innerhalb der Kapillare um den Betrag h (Bild 1.6) abgesenkt ist. Die Kapillardepression h ist wie folgt zu erklären: a) Betrachtung der Kräfte Gegeben: V , d , U Hg , g . Vorausgesetzt: - Kreisförmiger Kapillarquerschnitt A S d ² / 4 , - Vernachlässigbar kleine Gewichtskraft der Kuppe, - Vernachlässigbar kleine Anziehungskräfte der sehr dünnen Glaskapillare, - Dichte der Luft gegenüber der Dichte des Quecksilbers vernachlässigbar klein und - Grenzwinkel D sei näherungsweise mit 180° angenommen. Gesucht: Kapillardepression h. Lösung: Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung lautet nach Bild 1.6:
F p .a F p .i FV
0 oder [ p a ( p a U Hg g h )]S d ² / 4 VS d
0.
1.2 Beispiele
7
Bild 1.6. Prinzipdarstellung zur Kapillardepression h der Kuppe
Hieraus folgt die Kapillardepression zu:
h
4V d U Hg g
.
(1.4)
Aus dieser Kapillardepression lässt sich die Grenzflächenspannung V experimentell bestimmen. b) Betrachtung der Energien Es wird entsprechend Bild 1.7 eine virtuelle Verrückung dh der Kuppe angenommen. Die hierzu aufzuwendende Energie dE p dE V muss Null ergeben mit dE p
U Hg g h d h S d ² / 4
U Hg g h d h S d ² / 4 S d V d h
und
dE V
SdV dh .
Hieraus
0 , woraus sich wieder Gl.(1.4) ergibt.
folgt
1 Hydrostatik
8
Bild 1.7. Prinzipdarstellung zur virtuellen Verrückung d h der Kuppe bei Kapillardepression
1.2.4 Kapillaraszendenz In Natur und Technik wird auch die Umkehrung der Kapillardepression beobachtet. Es handelt sich hier um die Kapillaraszendenz, das Aufsteigen von Flüssigkeiten in Kapillaren. So zeigt Bild 1.8 die Kapillaraszendenz h von Wasser in einer von Luft umgebenen Kapillare aus Glas. Die Aufstellung des Kräftegleichgewichts entsprechend Bild 1.6 liefert in diesem Falle eine in der Praxis häufig angewendete Gleichung:
h|
30 d
mit h und d in mm im Bereich d d 3 mm .
1.2 Beispiele
9
So lässt sich folgendes Zahlenbeispiel tabellarisch angeben: Tabelle 1: Kapillaraszendenzen von Wasser in Glaskapillaren
Kapillardurchmesser d in mm Kapillaraszendenz h in mm
1 10 0
1 10 1
1 10 2
30
300
3 000
1 10 3 30 000
Aus dem Zahlenbeispiel wird deutlich, dass erhebliche Höhen durch Kapillarwirkung erzielt werden können (vgl. Saugwirkung von Filzmatten und anderen porösen Materialien).
Bild 1.8. Prinzipdarstellung zur Kapillaraszendenz h
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
2
Kinematik der instationären Strömung
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr Bild 2.1 zeigt einen Flüssigkeitsbehälter in vertikaler Aufstellung einschließlich Behälterfestlager und Behälterloslager. Ein Zufluss hält den Flüssigkeitsstand h konstant. Der freie Spiegel A1 ist belüftet, steht also unter Atmosphärendruck pa. Im horizontalen geradlinigen Ausflussrohr befindet sich ein Schieber, der über einen Elektromotor nach einem quadratischen (häufiger Fall) oder einem linearen (seltener Fall) Schließgesetz ferngesteuert wird. Bei Betätigung des Schiebers aus der Stellung „offen“ bishin zur Stellung „geschlossen“ nimmt der Volumenstrom V vom Maximalwert Vst (Index st steht für stationären Volumenstrom bei Stellung „offen“) bishin zum Wert V 0 m³ / s nach einem vorgegebenen quadratischen Schließgesetz ab. Das Bild 2.1 zeigt im unteren Teil das quadratische Schließgesetz mit der Schließzeit 't sowie zum Vergleich das lineare Schließgesetz, das zwar einfach zu rechnen aber in der Praxis kaum zu verwirklichen ist. Es besteht nun die Aufgabe, die durch die instationäre Strömung ins Freie verursachten Behälterkräfte zu ermitteln. Gegeben: h = 12,500 m l = 2,900 m A2 = 0,126 m²
U = 1000 kg/m³ g = 9,81 m/s² 't = 20 s
Wasserstandshöhe über dem horizontalen Ausflussrohr, Länge des horizontalen Ausflussrohrs, Ausflussfläche (entspricht einer lichten Rohrweite von 400 mm), Fluiddichte (Wasser bei 4°C), Fallbeschleunigung und Schließzeit des Schiebers von der Stellung „offen“ bis zur Stellung „geschlossen“ nach dem quadratischen Schließgesetz.
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr
11
Vorausgesetzt: Behälter- und Fluidgewicht als Grundlast unberücksichtigt, Reibungsfreies Fluid, Starre Wände, Richtungsstationäre Strömung (I-Kap.2.2, 3.Beispiel), Strömungsgeschwindigkeit im freien Spiegel (1) vernachlässigbar klein, Rohrquerschnitt A A2 = const (hierbei lokal begrenzte Einengung des Strömungsquerschnitts durch den Schieber vernachlässigt), Geradliniger Rohrverlauf und Rohrdurchmesser gegenüber Wasserstandshöhe h vernachlässigbar.
Bild 2.1. Flüssigkeitsbehälter mit Ausflussrohr und Schieber mit zwei Schließgesetzen
2 Kinematik der instationären Strömung
12
Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Reaktionswandkraft RW in x- und zRichtung sowohl für das quadratische als auch für das lineare Schließgesetz (s. Bild 2.1): Zur Lösung werden das quadratische Schließgesetz
ª § t t ·2 º 0 V ( t ) Vst «1 ¨ ¸ » «¬ © 't ¹ »¼
(2.1)
und die Gleichung (I-4.24) für die Reaktionswandkraft R W herangezogen. Zugeschnitten auf dieses Problem lautet letztgenannte Gleichung: s2
dm >m v 2 @e 2 e ds . dt
³
RW
(2.2)
s1
und v2 Funktionen von der Zeit t, s. Schließgesetz Gl.(2.1). Hierbei sind m Das Integral kann näherungsweise ersetzt werden durch: s2
³ e ds
h ez l ex .
s1
Mit m U V U A2 v 2 folgen:
dv 2 , dt
dm dt
U A2
RW
U A2 v 2
R W.x
2
e
x
U A2
dv 2 he z l e x , dt
(2.3)
dv · § 2 U A2 ¨ v 2 l 2 ¸ dt ¹ ©
(2.4)
dv 2 . dt
(2.5)
und
R W.z
U A2 h
Man beachte, dass RW.x , RW.z und v2 Funktionen von der Zeit t sind. Die Geschwindigkeit v2 und ihre zeitliche Ableitung dv 2 / dt müssen über das Schließgesetz, Gl.(2.1), gewonnen werden. Mit V ( t ) A2 v 2 ( t ) und mit V A 2 gh (nach TORRICELLI-Gl. I-3.13) folgt aus Gl.(2.1): st
2
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr
ª § t t ·2 º 0 2 gh «1 ¨ ¸ » «¬ © 't ¹ »¼
v 2 (t )
13
(2.6)
und nach der Zeit abgeleitet:
dv 2 dt
2 2 gh t t 0 . 't 't
(2.7)
Setzt man Gln. (2.6) und (2.7) in Gln. (2.4) und (2.5) ein, so erhält man für das quadratische Schließgesetz: 2 ½ ª § t t ·2 º 2l 2 gh t t 0 ° ° 0 R W.x (t ) UA2 ®2 gh «1 ¨ ¸ » ¾ 't ° 't «¬ © 't ¹ »¼ °¯ ¿
(2.8)
und RW.z ( t )
UA2
2h 2 gh t t 0 . 't 't
(2.9)
Die graphische Darstellung dieser Gln. (2.8) und (2.9) findet sich im Bild 2.2. Man beachte, dass RW.x im Laufe der Schließzeit ein relativ großes Intervall von RW.x ( t t 0 ) UA2 2 gh bis R W.x (t t 0 't ) UA2 2l 2 gh / 't durchläuft, d.h. von –30 902 N (das ist die bei Schieberstellung „offen“ dauernd auftretende Kraft entsprechend einer Gewichtskraft von ca. 3 to) auf +572 N. Diese verhältnismäßig geringe Kraft in positiver x - Richtung tritt am Ende des Schließvorgangs auf. Danach verschwindet RW.x . Mit sehr kurzen Schließzeiten und langen Ausflussleitungen können auch hier relativ große Werte auftreten. Da die Gewichtskraft für Behälter und Inhalt bei dieser Rechnung nicht berücksichtigt werden, startet RW.z bei Null, d.h.
RW.z ( t t 0 ) 0 N , und erreicht einen Wert von RW.z ( t t 0 't ) UA2 2h 2 gh / 't = +2 467 N (das ist eine Gewichtskraft von ca. 0,25 to) am Ende des Schließvorgangs. Man beachte, dass bei Schnellschluss in 2 s statt 20 s die zehnfachen Werte für RW.x und RW.z auftreten.
14
2 Kinematik der instationären Strömung
Bild 2.2. Reaktionswandkraftkomponenten RW.x und RW.z während der Schließzeit 't für ein geradliniges Ausflussrohr
Es soll nun die Anwendung des „Linearen Schließgesetzes“, s. Bild 2.1, untersucht werden.
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr
15
Das lineare Schließgesetz lautet: ª t t0 º V ( t ) Vst «1 . 't »¼ ¬
(2.10)
A2 v 2 t folgen:
Aus V ( t )
ª t t0 º 2 gh «1 't »¼ ¬
v2( t )
(2.11)
und, nach der Zeit abgeleitet: dv 2 dt
2 gh . 't
(2.12)
Man beachte, dass im Gegensatz zu Gl. (2.7) diese Gleichung zeitunabhängig ist. Setzt man Gln. (2.11) und (2.12) in Gl. (2.4) ein, so erhält man für das lineare Schließgesetz: 2 ° l 2 gh ½° ª t t0 º R W.x (t ) U A2 ®2 gh «1 ¾. 't °¿ 't »¼ ¬ °¯
(2.13)
Diese Gleichung ist als gestrichelte Kurve in Bild 2.2 dargestellt. Durch Einsetzen von Gl.(2.12) in Gl.(2.5) erhält man: RW.z
U A2
h 2 gh . 't
(2.14)
Diese Gleichung ist zeitunabhängig und erscheint als gestrichelte Gerade ebenfalls in Bild 2.2. Zahlenmäßig ergibt sich:
R W.x (t
t0 )
U A2 2 gh UA2 30 902 N 286 N
l 2 gh 't 30 616 N .
Diese Kraft wirkt wie bei dem quadratischen Schließgesetz entgegen der v2Richtung und tritt unmittelbar nach Einleitung des Schließvorgangs auf. Vor dem Schließvorgang ist natürlich der stationäre Wert UA2 2 gh 30 902 N festzustellen. Die Tatsache, dass RW.x bei Einleitung des
16
2 Kinematik der instationären Strömung
Schließvorgangs um 286 N springt, ist mit der Steigungsunstetigkeit des linearen Schließgesetzes bei t = t0 zu erklären. Bei t t 0 't , dem Ende des Schließvorgangs, ergibt sich:
R W.x t
t 0 't UA2
l 2 gh 't
286 N .
Zahlenmäßig ergibt sich für RW.z während der Schließzeit 't: RW.z
U A2
h 2 gh
't
1 233 N .
Diese Reaktionswandkraftkomponente zeigt in g-Richtung (identisch mit positiver z-Richtung) und ist zeitunabhängig. Es treten also bei Anwendung des linearen Schließgesetzes kleinere dynamische Belastungen auf den Behälter auf; dem gegenüber steht der technisch hohe Aufwand zur Umsetzung des linearen Schließgesetzes in die Praxis. Nun soll noch diskutiert werden, wie sich die dynamischen Kräfte RW.x und RW.z ändern, wenn sich statt des geradlinigen horizontalen Ausflussrohres ein hakenförmiges Ausflussrohr nach Bild 2.3 in der Ausflussleitung befindet.
Bild 2.3. Hakenförmiges Ausflussrohr
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr
17
In diesem Fall ist es wichtig zu erkennen, dass in Gl. (I-4.24) bzw. Gl. (2.2) s2
³ e ds
das auftretende Integral
im Rohrleitungsabschnitt (l1+l2) wie folgt
s0
angegeben werden kann: s2
³ e ds
e x (l1 l 3 ) .
(2.15)
s0
Diese Gleichung, in Gl. (2.2) eingesetzt, liefert:
RW
>
U A2 v 2
2
@e
z
U A2
dv 2 >he z (l 1 l3 ) e x @ dt
(2.16)
mit
R W.x
U A2 l 1 l 3
dv 2 dt
(2.17)
und
R W.z
dv · § 2 U A2 ¨ v 2 h 2 ¸ . dt ¹ ©
(2.18)
Man vergleiche hierzu Gln.(2.17) und (2.18) mit Gln.(2.4) und (2.5). So ergibt sich nach dem quadratischen Schließgesetz Gl. (2.1), bzw. Gln. (2.6) und (2.7):
R W.x t U A2 l 1 l 3
2 2 gh t t 0 't 't
(2.19)
und
R W.z t
2 ½ ª § t t ·2 º 2h 2 gh t t 0 ° ° 0 U A2 ®2 gh «1 ¨ ¸ » ¾. 't 't ° «¬ © 't ¹ »¼ °¯ ¿
(2.20)
Auch hier ist ein Vergleich der Gln.(2.19) und (2.20) mit den Gln.(2.8) und (2.9) lohnenswert. Zahlenmäßig folgt mit l = l1+l3: RW.x t
t0 0 N ,
2 Kinematik der instationären Strömung
18
R W.x t
t 0 't UA2
RW.z t
t 0 U A2 2 gh
RW.z t
t 0 't UA2
l 2 gh 't
286 N ,
30 902 N und 2h 2 gh
't
2 467 N .
Legt man nun das lineare Schließgesetz Gl.(2.10) bzw. Gln.(2.11) und (2.12) für das Ausflussrohr in Hakenform zugrunde, so ergeben sich folgende Reaktionswandkräfte in x- und z-Richtung:
R W.x
U A2 l
2 gh
(2.21)
't
und RW.z t
° ª § t t ·2 º 2 gh ½° 0 U A2 ®2 gh «1 ¨ ¸ »h ¾ . 't ° «¬ © 't ¹ »¼ °¯ ¿
Zahlenmäßig folgen:
R W.x
U A2 l
2 gh 't
1 233 N (zeitunabhängig),
RW.z t
° 2 gh ½° t 0 U A2 ®2 gh h ¾ 't °¿ °¯
RW.z t
t 0 't U A2 h
2 gh
't
29 668 N und
1 233 N .
Die graphische Darstellung der Gln. (2.19) ... (2.22) liefert Bild 2.4.
(2.22)
2.1 Flüssigkeitsbehälter mit Schieber und Ausflussrohr
Bild 2.4. Reaktionswandkraftkomponenten RW.x und RW.z während der Schließzeit 't für ein hakenförmiges Ausflussrohr nach Bild 2.3
19
20
2 Kinematik der instationären Strömung
Bei dem Vergleich der Bilder 2.2 (geradliniges Ausflussrohr) und 2.4 (hakenförmiges Ausflussrohr) fällt auf: Die Größenordnung der Kräfte (in der Vertauschung von RW.x und RW.z ) bleibt erhalten, Es schwindet der Unterschied der Kräfte nach quadratischem und linearem Schließgesetz, und schließlich ist zu bemerken: Die Aufnahme der Kräfte RW.z ist in der Praxis leichter zu verwirklichen (durch vertikales Festlager) als die der Kräfte RW.x (durch axiales Widerlager), so dass der Lösung hakenförmiges Ausflussrohr sowohl von den Kräften her, als auch aufgrund der besseren Beladungsmöglichkeit (Tankwagen direkt unter dem Austrittsquerschnitt A2 ) der Vorzug zu geben ist.
2.2. Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel Das Bild 2.5 zeigt eine Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel zur Förderung von vorgereinigtem Abwasser. Die Bauart Membranpumpe ist im Vergleich zur Bauart Kolbenpumpe unempfindlicher gegenüber Verschmutzungen, da die engen Spalte zwischen Kolben und Zylinderwand entfallen. Dies gilt auch für die saugseitigen und druckseitigen Ventile, die in diesem Falle in Form von Kugeln (saugseitige Kugel, druckseitige Kugel) realisiert sind. Dennoch sind die Funktionsweisen von Membran- und Kolbenpumpen sehr ähnlich, so dass die typischen Baugrößen der Membranpumpe mit K (Kolben) indiziert werden. Aus dem Becken wird vorgereinigtes Abwasser (mechanische Reinigung durch Siebrechen mit ca. 40 mm Stababstand) über eine genormte Einlaufdüse durch die Saug- und Druckwirkung der Pumpe hubweise in einen Druckwindkessel gefördert. Dieser Kessel steht unter einem Überdruck von 1...10 bar und bewirkt ein nahezu kontinuierliches Abfließen des Abwassers in eine biologische Reinigungsanlage. In diesem Beispiel soll nun die instationäre Austrittsgeschwindigkeit v 2 ( t ) näher untersucht werden.
2.2 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel
21
Bild 2.5 Membranpumpe zur Förderung von vorgereinigtem Abwasser, Abwasserbecken und Druckwindkessel
22
2 Kinematik der instationären Strömung
Gegeben: d k = 0,570 m l = 1,000 m r = 0,083 m Z = 8,00 s-1 d R = 0,290 m l R.d = 7,000 m l R.s = 4,000 m z K = 1,500 m z 2 = 11,270 m z II = 17,100 m U = 1000 kg/m³ p v = 23 mbar pa = 1 013 mbar g = 9,81 m/s²
Kolbendurchmesser (Membrandurchmesser), Pleuellänge, Kurbelradius, Kurbelwinkelgeschwindigkeit, Lichter Druck- und Saugrohrdurchmesser, Länge des Druckrohrs, Länge des Saugrohrs, Aufstellungshöhe der Kolbenpumpe (Membranpumpe), Geodätische Höhe des Punktes (2), Geodätische Höhe des Punktes (II), Dichte des Abwassers, Dampfdruck des Abwassers, Umgebungsdruck und Fallbeschleunigung.
Vorausgesetzt: Stromfadentheorie (Stromfadendurchmesser d R ), Inkompressibles, reibungsfreies Fluid, Kolbenpumpe oberhalb der Abwasseroberfläche (I) angeordnet, Saugbetrieb, Kolbendurchmesser d K gegenüber z 2 und z II vernachlässigbar Vorgereinigtes Abwasser wie Reinwasser zu behandeln und Kolbengeschwindigkeit (Membrangeschwindigkeit in der Mitte)
r ª º v K t rZ «sin Z t sin 2Z t » , l 2 ¼ ¬
(2.23)
Bild 2.6 gibt den zeitlichen Verlauf der Größen in dieser Gleichung wieder.
Gesucht: 1. Austrittsgeschwindigkeit v 2 (t), 2. Eintrittsgeschwindigkeit v1 (t), 3. Maßnahmen zur Vergleichmäßigung von v 2 (t), 4. Druck ps ( t ) am Saugstutzen (s) und 5. Größte Aufstellungshöhe z K.max . Lösung: Zu 1.: Man mache sich klar, dass v 2 t nur während des Hubvorgangs auftreten kann, s. Bild 2.7. Es gilt also: Die Kurbelwinkel 0 Z t S , 2S Z t 3S , 4S Z t 5S , etc. (Hubvorgänge) ergeben positive Strömungsgeschwindigkeiten v 2 t ,
2.2 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel
Bild 2.6 „Kolbengeschwindigkeit“ v K Kurbelwinkel Z t bzw. von der Zeit t
23
(Membrangeschwindigkeit) in Abhängigkeit vom
Die Kurbelwinkel S d Z t d 2S , 3S d Z t d 4S , etc. (Saugvorgänge) erfordern v 2 = 0 m/s. Die Kontinuitätsgleichung bedingt, dass die Verdrängung der Membran der Verdrängung im Saugrohr (während des Saugvorgangs) bzw. der Verdrängung im Druckrohr (während des Hubvorgangs) entspricht, d.h.:
S dK 2 4
S dR 2
ds K
4
ds R .
Gleichung (2.24), durch dt dividiert, liefert mit ds R / dt v 2 :
v2
§ dK ¨¨ © dR
(2.24) ds K / dt
vK
und
2
· ¸¸ v K . ¹
(2.25)
Setzt man v K t aus Gl.(2.23) in Gl.(2.25) ein, so erhält man:
v 2 t
§ dK ¨¨ © dR
2
· r ¸¸ rZ ª«sin Z t sin 2Z t º» . 2l ¬ ¼ ¹
(2.26)
Diese Gleichung ist in Bild 2.7 mit v 2 0 m / s in den Intervallen (Saugvorgängen) S d Z t d 2S und 3S d Z t d 4S ,etc. dargestellt.
2 Kinematik der instationären Strömung
24
Bild 2.7 Ausflussgeschwindigkeiten winkel Z t bzw. von der Zeit t
v 2 und v 3 (s. Bild 2.5) in Abhängigkeit vom Kurbel-
Zu 2.: Für die Eintrittsgeschwindigkeit v1( t ) gilt während des Hubvorgangs: v1 0 m / s . Während des Saugvorgangs ist s K negativ, so dass Gl. (2.24) entsprechend lautet:
S dK 2 4
S dR 2
ds K
4
ds R .
(2.27)
Hieraus lässt sich wieder entsprechend Gln. (2.249 und (2.25) ableiten:
v1
§d ¨¨ K © dR
2
· ¸¸ v K . ¹
(2.28)
Mit Einsetzen von v k (t ) aus Gl.(2.23) in Gl.(2.28)folgt:
§d v 1 t ¨¨ K © dR
2
· r ª º ¸¸ rZ «sin Z t sin 2Z t » . 2 l ¬ ¼ ¹
(2.29)
In Bild 2.8 ist Gl. (2.29) dargestellt, wobei wiederum zu beachten ist, dass v1 0 m / s während der Hubvorgänge 0 Z t S , 2S Z t 3S , 4S Z t 5S , etc. gilt.
2.2 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel
Bild 2.8 Eintrittsgeschwindigkeit Zeit t
25
v1 in Abhängigkeit vom Kurbelwinkel Z t bzw. von der
Zu 3.: Die zeitlichen Schwankungen der Austrittsgeschwindigkeit v 2 ( t ) sind, soweit sie sich auf nachfolgende Leitungen direkt übertragen, schädlich, z.B. wegen der Anregung zu Bauteilschwingungen. Um dies zu verhindern, wird in der Praxis sehr häufig ein Druckwindkessel zwischengeschaltet. So zeigt Bild 2.7 die Anwendung eines Druckwindkessels mit dem Ergebnis einer stark gedämpften Schwankung der Ausflussgeschwindigkeit v 3 (t ) . Das Bild gibt neben der relativ stark pulsierenden Austrittsgeschwindigkeit v 2 ( t ) direkt hinter dem Druckrohr auch die gedämpft pulsierende Ausflussgeschwindigkeit v 3 (t ) direkt hinter dem Druckwindkessel qualitativ wieder. Die Dämpfung wird im Wesentlichen durch das über dem Spiegel (II), s. Bild 2.5, befindliche Luftpolster hervorgerufen. Der Betrag der Ausflussgeschwindigkeit v 3 hängt sowohl von dem Durchmesser der Ausflussleitung als auch von dem geregelten Druckniveau im Druckwindkessel ab.
Eine andere Möglichkeit der Dämpfung der Geschwindigkeitspulsation v 2 ( t ) besteht darin, statt der einfach wirkenden Kolben- bzw. Membran-Wasserpumpe eine doppelt wirkende Kolbenpumpe zusätzlich zum Druckwindkessel einzusetzen. Zu 4.: Die BERNOULLI-Gl.(I-3.3) zwischen den im Bild 2.5 angegebenen Punkten (I) und (s) liefert:
v I ² pI gz I 2 U und damit
s
v s ² ps wv ds gz s 2 U wt I
³
(2.30)
2 Kinematik der instationären Strömung
26
ps
U
s
v ² v ² wv I gz I s gz s ds , U wt 2 2
pI
³
(2.31)
I
wobei folgende Relationen eingesetzt werden können: p I pa , vI 0 m / s , zI 0 m , z s | z k und v s v1 . Somit folgt: ps
U
pa
U
s
v1 ² wv gz k ds . wt 2
³ I
Das in Gl. (2.31) auftretende Integral kann wie folgt weiterbehandelt werden: s
³ 1
wv ds wt
s
³ 1
s
wv1 ds wt
wv1 ds wt 1
³
wv1 l R.s . wt
Hierbei ist von der Vereinfachung Gebrauch gemacht worden, dass sich keine Geschwindigkeitsschwankungen im Abwasserbecken auf dem Wege von (I) nach (1) auswirken können. Eingesetzt in Gl. (2.31) ergibt sich:
p s (t )
pa
U 2
2
v1 Ugz k Ul R.s
wv1 . wt
(2.32)
Setzt man nun für v1 Gl.( 2.29) und ihre Ableitung nach der Zeit ein, so ergibt sich für den zeitlich abhängigen Druck p s ( t ) am Saugstutzen (s), wie in Bild 2.9 dargestellt:
p s (t )
U § dK ·
4
r º ¸¸ rZ «sin Z t sin 2Z t » p a Ugz k ¨¨ 2 © dR ¹ 2l ¼ ¬ §d Ul R.s ¨¨ K © dR
2ª
2
2
· r º ª ¸¸ rZ 2 «cos Z t cos 2Z t » . l ¼ ¬ ¹
(2.33)
Hierbei ist zu bemerken, dass während der Hubvorgänge 0 Z t S , 2S Z t 3S , 4S Z t 5S , etc. die saugseitige Kugel das Saugrohr abschließt und sich die nach Gl.(I-1.1) zu berechnende hydrostatische Druckver-
2.2 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel
27
teilung („hängende Wassersäule“) einstellt. Der Gültigkeitsbereich der Gl. (2.33) beträgt also S Z t 2S , 3S Z t 4S , etc. Man beachte, dass Gl.(2.33) nur während der Saugvorgänge gültig, d.h. für folgende Kurbelwinkel:
S Zt 2S , 3S Zt 4S , 5S Zt 6S , etc oder allgemein für (2 N 1)S Zt 2 NS mit N
Bild 2.9 Saugdruck
1,2,3....
ps in Abhängigkeit vom Kurbelwinkel Z t bzw. von der Zeit t
Zu 5.: Die größte Aufstellungshöhe z K.max ist dann erreicht, wenn der Saugdruck ps Gl.(2.33) den Dampfdruck p v erreicht. Dies kann nur bei den Kurbelwinkeln Z t S , 3S , 5S etc. eintreten. In diesem Falle wird an der Stelle (s) (Bild 2.5) Kavitation (s. I-Kap. 3.7) eintreten. Für diese Kurbelwinkel ergibt sich:
pv
p s.min
p a Ugz K.max
§d Ul R.s ¨¨ K © dR
2
· · §r ¸¸ rZ 2 ¨ 1¸ . ¹ ©l ¹
(2.34)
Diese Gleichung gilt für den ersten Wassertropfen zu Beginn des Saugvorgangs. Löst man Gl. (2.34) nach z K.max auf, so folgt:
z K.max
§d pa p v 1 l R.s ¨¨ K g Ug © dR
2
· · §r ¸¸ rZ 2 ¨ 1¸ . ¹ ©l ¹
(2.35)
2 Kinematik der instationären Strömung
28
Man erkennt, dass die durch Kavitation bedingte größte Aufstellungshöhe z K.max u.a. von der Saugrohrlänge l R.s , der Kurbelwinkelgeschwindigkeit Z und auch von physikalischen Daten des kavitierenden Fluids ( U , p v ) abhängt. Das Bild 2.10 zeigt diese Abhängigkeiten. Man erkennt, dass die Wassertemperatur T einen entscheidenden Einfluss auf die zulässige Aufstellungshöhe ausübt. Dies hängt damit zusammen, dass der Dampfdruck p v von der Temperatur T und damit auch von der Dichte U(T) abhängt, s. dazu Tabelle I-6.1. In der Praxis ist es sinnvoll, die Aufstellungshöhe nicht maximal zu bemessen, sondern ca. 1 m Sicherheit im Sinne einer geringeren Aufstellungshöhe und damit auch einer geringen Kavitationsgefahr einzubauen.
Bild 2.10 Maximale Aufstellungshöhe
z K.max in Abhängigkeit von der Wassertemperatur T
Die bei T = 20°C angegebene Aufstellungshöhe z K = 1,500 m ist also sicher gegen Kavitation, im Extremfall könnte die Membranpumpe 2,430 m, also 0,930 m höher, aufgestellt werden. Die Kavitationsgefahr ist für die Membranpumpe auch dann gegeben, wenn die Maschine bei z K = 1,500 m schneller dreht als mit Z 8,00 s 1 . In diesem Falle ist Gl. (2.34) nach Z aufzulösen:
Z max
p v pa U g z K
U l R.s d K / d R 2 r r / l 1
.
(2.36)
Dieser Zusammenhang ist in Bild 2.11 dargestellt. Bei 20°C Abwassertemperatur könnte die Kurbelwinkelgeschwindigkeit maximal 8,47 s 1 betragen, bevor die Saugrohrströmung in (s) kavitiert. Die vorgegebene Kurbelwinkel-
2.2 Membranpumpe mit Abwasserbecken und Druckwindkessel
29
geschwindigkeit Z 8,00 s 1 ist also sicher gegen Kavitation. Kurbelwinkelgeschwindigkeiten in dieser Größenordnung können wirtschaftlich nur durch Getriebemotoren verwirklicht werden. Festzustellen ist, dass das Eintreten von Kavitation sensibel auf Aufstellungshöhe, Kurbelwinkelgeschwindigkeit und Wassertemperatur reagiert.
Bild 2.11 Maximale Kurbelwinkelgeschwindigkeit Wassertemperatur T
Z max
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
in Abhängigkeit von der
3
Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
3.1 Druckstoß Bild 3.1 zeigt eine Wasserturbinenanlage (Rohrleitungssystem mit PELTONTurbine, Kap. I-4.5.2) im Prinzip und im Zustand des Schließens des Schiebers S in einer vorgegebenen Zeit 't von ca. 50 s. Durch das relativ schnelle Schließen der Armatur kommt es zur Druckerhöhung vor dem Schieber S aufgrund der „Abbremsung“ des Stromfadens. Zu dessen Berechnung zieht man die Kontinuitätsgleichnung (I-3.9) heran.
. Bild 3.1. Zur Erklärung des Druckstoßes bei einer schließenden PELTON-Turbinenanlage
3.1 Druckstoß
31
Unter den Bedingungen, dass es sich um eine nahezu starre Rohrleitung und ein inkompressibles Fluid handelt, geht Gl. (I-3.9) über in
A1 v1 ( t )
A2 v 2 ( t ) .
(3.1)
Hierbei ist die Stelle (2) unmittelbar vor dem Schieber S und die Stelle (1) an einer beliebigen Stelle davor definiert. Schieber S schließt nach einem bestimmten Schließgesetz, nach dem die Strömungsgeschwindigkeit v2 in Abhängigkeit von der Zeit t bis zum „letzten durchfließenden Tropfen“ auf Null absinkt. Am Ende des Schließvorgangs tritt der höchste Überdruck p 2 p a max auf. Dieser Maximalwert heißt Druckstoß. Wird dieser Druckstoß in derart kurzer Zeit erreicht, dass aufgrund der Elastizität sowohl des Rohrwerkstoffs als auch der Flüssigkeit Druckwellen im Rohrsystem entstehen, so baut sich eine für die Festigkeit ungünstige Überlagerung von Drücken auf. Die Berechnung des momentanen Druckes an der gefährdeten Stelle (2) unmittelbar vor dem Schieber wird durch die Superposition mit reflektierten Druckwellen, die unbedingt vermieden werden müssen, sehr kompliziert. Man spricht hier von dem sog. JOUKOWSKY 2 -Stoß. Über derartige Druckstoßvorgänge in Wasserturbinenanlagen geben PARMAKIAN 3 und TÖLKE 4 schon um die Mitte des letzten Jahrhunderts Auskunft. Um das Problem des Druckstoßes einer Lösung zuzuführen, ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a derartiger Druckwellen in elastischen Rohren und elastischen Flüssigkeiten zu bestimmen. Nach der in den Fußnoten 3 und 4 angegebenen Literatur ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a der Druckwellen in diesem Fall: 1
(3.2) § 1 dR 1 · ¸ U F ¨¨ s E R ¸¹ © EF mit Dichte der Flüssigkeit, z.B. für Wasser 1000 kg/m³, UF dR Innendurchmesser des Rohres, z.B. 1,500 m, s Rohrwandstärke, z.B. 0,015 m, EF Elastizitätsmodul der Flüssigkeit, z.B. für Wasser: 2000 N / mm² und ER Elastizitätsmodul des Rohrwerkstoffs, z.B. für St37: 210 000 N / mm² und GG: 100 000 N / mm² . Hiermit folgt z.B. für eine wasserführende Stahlrohrleitung mit dR/s = 100: a = 1000 m/s gegenüber 1400 m/s in einem Stausee, d.h. ca. 30% langsamer als im Kontinuum : a = 1000 m/s. a
2 3 4
JOUKOWSKY s. Fußnote I-35 PARMAKIAN, J.:Water Hammer Analysis. New York: Prentice Hall Inc. 1955 TÖLKE, F.: Veröffentlichungen zur Erforschung der Druckstoßprobleme, Hefte 1 und 2, Berlin, Heidelberg, SPRINGER 1956
32
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
Es muss nun verhindert werden, dass die mit der Geschwindigkeit a eilende Druckwelle an einer Reflexionsstelle RS umkehrt und am Schieber S eine weitere Druckerhöhung zu der schon aufgrund der Abbremsung des Fluids (BERNOULLI-Gleichung) bestehenden hervorruft. Um diesen zusätzlichen Effekt zu verhindern gibt es zwei Wege: 1. Installation eines Wasserschlosses WS, in dem sich die ankommende Druckwelle „totläuft“ (Energiedissipation durch Anheben des Wasserspiegels in WS). 2. Schließzeitvergrößerung in dem Maße, dass gilt:
't !!
2l . a
Hierbei ist 2l/a die Laufzeit, die eine Druckwelle vom Schieber S bis zur Reflexionsstelle RS und zurück benötigt. Ist diese Zeit genügend klein gegenüber der Schließzeit, so sind die zusätzlichen Druckerhöhungen erfahrungsgemäß vernachlässigbar klein. Bei Auslegung wird darauf geachtet, dass die Schließzeit mindestens zehnfach länger ist, als die Laufzeit der Druckwelle. Im Folgenden sollen zwei praktische Anwendungsfälle behandelt werden, bei denen die Schließzeit mindestens zehnmal länger ist als die Laufzeit der Druckwelle, also die BERNOULLI-Gleichung (I-3.3) für instationäre Strömung allein wirksam wird.
3.2 Beispiele 3.2.1 Fallrohr konstanten Querschnitts mit Schieber Bild 3.2 zeigt ein Fallrohr unter einem Hochbehälter mit konstantem Zufluss, so dass der Wasserstand h1 konstant bleibt (vgl. Bild I-3.12). Am Ende des Fallrohrs befindet sich ein Schieber mit der Schließzeit 't . Diese Schließzeit ist wesentlich länger als die Laufzeit einer Druckwelle zwischen Schieber, Mündungsstelle (h) und Schieber, d.h. 't !! 2h2 / a . Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a geht aus Gl.(3.2) hervor. Das Schließgesetz des Schiebers ist im Bild 3.3 dargestellt. Es handelt sich um ein lineares Schließgesetz, da die Geschwindigkeit v 2 (volumetrischer Mittelwert der Geschwindigkeit im Querschnitt (2), Bild 3.2) sich linear mit der Zeit auf Null verringert. Der Schließvorgang wird bei t 0 eingeleitet und bei t 0 't beendet. Führt man die dimensionslose Zeit W (t t0 ) / 't ein, so ist bei W 0 der Beginn und bei W 1 das Ende des Schließvorgangs. Bei t 0 s bzw. bei W 0 herrscht die stationäre Geschwindigkeit v 2.stationär vor.
3.2 Beispiele
Bild 3.2. Fallrohr mit Geschwindigkeitsverteilung v(z) und Druckverteilung p(z)
33
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
34
Wegen der relativ kleinen Längsabmessungen des Schiebers gegenüber der Rohrlänge h2 kann die Geschwindigkeit in (2) angegeben werden als:
v 2.stationär | v1.stationär
2 gh1 nach der TORRICELLI-Gleichung (I-3.13).
v 2 ARohr ergibt sich der Volumenstrom V aus Betrachtung der Proportionalitäten in der V (W ) -Darstellung zu: V V (1 W )
Mit V
0
oder M
V / V0
1W .
Bild 3.3 Verschiedene Darstellungen des linearen Schließgesetzes
Die V (W ) -Darstellung gibt das lineare Schließgesetz in dimensionsloser Form wieder. Dieser Zusammenhang V (W ) ist ebenfalls im Bild 3.3 dargestellt, mit der dimensionslosen Zeit
W
t t0 . 't
(3.3)
Schließlich ist die völlig dimensionslose Darstellung M (W ) gewählt mit M V / V0 . Es soll nun folgende Aufgabe gelöst werden:
3.2 Beispiele
35
Gegeben: Dichte U, Fallbeschleunigung g, Spiegelhöhe h1 , Fallrohrlänge h2 , Umgebungsdruck pa und Schließzeit 't . Vorausgesetzt: v0 0 m / s , Reibungsfreies Fluid, U = const (inkompressibles Fluid), h1 = const (keine Spiegelabsenkung), ARohr A2 const , z1 | z 2 0 , 't !! 2h2 / a (kein Druckwelleneinfluss) und Lineares Schließgesetz: -
2 gh1 1 W
v2 mit W
(3.4)
t t 0 / 't .
Gesucht: 1. Zeitlicher Verlauf des Druckgliedes
p 2 ( t ) pa
U
, wobei p 2 pa max den
Druckstoß darstellt, und 2. Zeitlicher Verlauf der Geschwindigkeit v 1 (t ) . Lösung: Zu 1.: Die BERNOULLI-Gl. (I-3.3) lautet für die Strömung zwischen den Punkten (0) und (2): v 0 2 pa gz 0 U 2 woraus mit v 0 p 2 ( t ) pa
U
s2
v 2 2 p2 wv gz 2 ds , U wt 2
³
s0
0 m / s , z0
h1 und z 2
0 m folgt:
s2
gh1
v 2 ( t )2 wv ds . 2 wt
³
s0
Das Glied v 2 ( t ) 2 / 2 lässt sich wie folgt lösen: Das v 2 -Schließgesetz liefert (s. Bild 3.3 oben links):
(3.5)
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
36
v2
t t0 · v § 2 gh1 ¨ 1 ¸ bzw. 2 2 ' t ¹ ©
2
§ t t0 · gh1 ¨1 ¸ 't ¹ ©
2
gh1 (1 W ) 2 .
Hierbei läuft W von 0 bis 1. s2
Das Glied
wv
³ wt ds liefert mit ds
dz :
s0 s2
³
s0
wv ds wt
z 0
³
z h1
h1
wv dz wt
³ 0
h2
wv dz wt
wv
³ wt dz . 0
Die letzte Operation erklärt sich damit, dass von den Stellen (0) bis (h) v = m/s und damit auch wv / wt 0 m / s² ist. Wendet man nun die Kontinuitätsgleichung (I-3.9) auf eine beliebige Stelle (s) im Stromfaden und auf die Stelle (2) (s. Bild 3.2) an, so folgt: s2
UARohr v s
UA2 v 2
³ s
w UA ds . wt
(3.6)
Das Integral in Gl.(3.6) wird Null, da U ( t ) const und A(t)=const ist. h2
Hiermit wird
³ 0
wv dz wt
h2
³ 0
wv 2 dz wt
2 gh1 't
h2
³ dz
2 gh1
't
0
h2 .
Eine kürzere Herleitung ist gegeben durch: s2
³ 0
wv ds wt
h1
³ 0
wv dz wt
h2
³ 0
h1
wv wv dz dz t wt w h
³
2
2 gh1 't
h2
³ 0
dz
2 gh1 't
h2 .
Man beachte, dass die Steigung wv / wt der gegebenen Funktion v 2 ( t ) durch 2 gh2 / 't wiedergegeben und das Integral
h1
wv
³ wt dz
h2
ist. Mit diesen beiden Umformungen folgt:
p 2 (t ) pa
U
2
2 gh1 ª t t0 º gh1 gh1 «1 h2 oder » 't 't ¼ ¬
0 wegen v = 0 m/s
3.2 Beispiele
p 2 (t ) pa
U
ª § t t ·2 º 2 gh1 0 h2 . gh1 «1 ¨1 ¸ » 't 't ¹ » «¬ © ¼
37
(3.7)
Der Maximalwert der in Gl. (3.7) angegebenen Größe p 2 p a trägt den Namen „Druckstoß“. Er tritt am Ende des Schließvorgangs auf, also bei t t 0 't Der Druckstoß lautet also formelmäßig für ein Fallrohr konstanten Querschnitts mit Schieber:
p 2 pa max
§
U ¨ gh1 ¨ ©
2 gh1 't
· h2 ¸ . ¸ ¹
(3.8)
Dieser Druck tritt unmittelbar vor dem Schieber auf und wird umso größer, je größer U (Dichte), länger h1 (geodätische Fallhöhe), länger h2 (Rohrlänge) und kürzer 't (Schließzeit) sind. -
Zu 2.: Die BERNOULLI-Gl. (I-3.3), angewendet zwischen den Punkten (2) und (1), lautet: s
2
1 2 p v1 wv a gz1 ds . U wt 2 s
v2 p 2 gz 2 U 2 s1
Mit z1 | z 2 und
³ 2
wv
³ wt ds | 0 wegen s1 | s2
5
folgt:
s2
v12 2
v1
gh1
2 gh1
't
2 gh1 2
h2 bzw. 2 gh1
't
h2 .
(3.9)
Dies ist die zeitlich konstante Ausflussgeschwindigkeit während des Schließvorgangs; es gibt also keinen Maximalwert wie beim Druckstoß. Die Gl.(3.9) 5
Man mache sich klar, dass bei einer Rohrlänge von ca. 10 m die Schieberlänge nur ca. 0,1 m ausmacht.
38
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
zeigt für 't o f (kein Schließvorgang) den typischen TORRICELLI-Wert nach Gl. I-3.13. Man beachte auch, dass Gl.(3.9) nur für konstante Verzögerung gültig und größer ist als im stationären Fall 't o f . Die Ausflussgeschwindigkeit ist umso größer, je länger h1 (geodätische Fallhöhe), länger h2 (Rohrlänge) und kürzer 't (Schließzeit) sind. -
3.2.2 Horizontale abgestufte Ausflussrohrleitung
In der Technik existieren Ausflussvorgänge nicht nur über Falleitungen sondern auch über horizontale Ausflussleitungen, die auch abgestuft sein können. Bild 3.4 zeigt eine derartige Leitung mit Schieber am Ende.
Bild 3.4 Horizontalleitung mit nicht-konstantem Querschnitt
Gegeben: Dichte U, Fallbeschleunigung g, Spiegelhöhe h1 , Rohrlänge l1 des ersten Abschnitts, Rohrlänge l2 des zweiten Abschnitts, Rohrquerschnitt A1 , Rohrquerschnitt A2 , Umgebungsdruck p a und Schließzeit 't . Vorausgesetzt: v 0 = 0 m/s, Reibungsfreies Fluid, -
3.2 Beispiele
39
U = const (inkompressibles Fluid), h1 = const (keine Spiegelabsenkung), A0 !! A1 , A0 !! A2 , Kein Druckwelleneinfluss und Lineares Schließgesetz V (W ) bzw. v 2 (W ) (s. Bild 3.3):
-
2 gh1 1 W mit W
v2
Gesucht: Druckstoß p 2 pa max
t t0 . 't
Lösung: Die BERNOULLI-Gl. (I-3.3), angewendet zwischen den Punkten (0) und (2), ergibt: s2
p 2 pa
v22 wv ds 2 wt
³
gh1
U
(3.10)
s0
Der Term v 2 2 / 2 ist nach dem linearen Schließgesetz (s. Bild 3.3) zu behandeln. Gl.(3.4) liefert v2
2 gh1 1 W
2
2
s2
Der Term
wv
³ wt ds
2
§ t t0 · 2 gh1 ¨1 ¸ . 't ¹ ©
(3.11)
kann wie folgt unter Einbeziehung der Stelle (0´), s.
s0
Bild 3.4, umgeformt werden: 2
³
0
wv ds wt 0c
wobei
0c
³
0
l
1 wv wv ds dx wt wt x 0
³
wv
³ wt ds
l1 l2
³
x l1
wv dx . wt
0 ist, da innerhalb des Flüssigkeitstanks v 0 = 0 m/s ist.
0
Die verbleibenden Integrale lassen sich mit A 1 v1 men: l1
x
³
wv1 ds t w 0
A2 A1
l1
x
³
wv 2 dx und t w 0
A 2 v 2 wie folgt umfor-
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
40 l1 l 2
³
x l1
l1 l 2
wv dx wt
³
x l1
wv 2 dx . wt
Man beachte weiterhin, dass sich aus dem linearen Schließgesetz, Gl.(3.4), ergibt: wv 2 wt
2 gh1
.
't
So erhält man schließlich durch Einsetzen den Ausdruck: 2
wv
³ wt ds
0
2 gh1 't
§ A2 · ¨¨ l1 l2 ¸¸ . © A1 ¹
Der Klammerausdruck trägt den Namen „reduzierte Rohrlänge“ lred . Ist im allgemeinen Fall die Rohrleitung i-fach abgesetzt, so ist die reduzierte Rohrlänge:
Lred
Ai A A A l1 i l2 i l3 ... i li . A1 A2 A3 A ,i
(3.12)
1
Somit wird 2
wv
³ wt ds
0
2 gh1 lred . 't
(3.13)
Setzt man Gln.(3.11) und (3.13) in Gl.(3.10) ein, so erhält man
p2 pa
U
§ t t0 gh1 2 gh1 ¨¨1 't ©
2
· ¸¸ ¹
2 gh1 't
l red .
(3.14)
Der Wert ist zeitabhängig und wird am Ende des Schließvorgangs bei t t 0 / 't 1 maximal, d.h.:
§ p2 pa · ¨¨ ¸¸ © U ¹ max
gh1
2 gh1 lred . 't
Damit lautet der Druckstoß für die horizontale abgestufte Ausflussrohrleitung:
p2 pa max
§ ¨ ©
U ¨ gh1
· 2 gh1 lred ¸ . ¸ 't ¹
Die Gln. (3.14) und (3.15) sind in Bild 3.5 dargestellt.
(3.15)
3.2 Beispiele
41
Bild 3.5. Druckstoß in horizontaler abgestufter Ausflussrohrleitung bei unterschiedlichen Schließzeiten 't
Aus Gl.(3.15) und aus Bild 3.5 ist ersichtlich, dass der Druckstoß p2 pa max umso größer wird, je kürzer 't (Schließzeit), länger lred (reduzierte Rohrlänge), s. Gl.(3.12), höher h1 (Spiegelhöhe) und größer U (Dichte) sind. 3.2.3 Schließvorgang bei einer Wasserturbinenanlage
Im Folgenden soll der Schließvorgang einer Wasserturbinenanlage, hier einer PELTON-Turbinenanlage, wie in Bild 3.1 dargestellt, behandelt werden. Der in diesem Bild dargestellte Schieber S hat in der Praxis die in Bild 3.6 dargestellte Form eines Glockenringschiebers. Diese Bauart zeichnet sich dadurch aus, dass bei Ausfall des Betriebsöldruckes das vorhandene Betriebswasser den automatischen Schluss der Armatur bewerkstelligt (Selbstschließvorgang).
42
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
Bild 3.6 Glockenringschieber, Werkbild Ateliers des Charmilles
Gegeben: p1 = 3,0 bar H geo = 750 m l dR s
UF EF ER g
Druck an der oberen Refexionsstelle RS (s. Bild 3.1), Geodätische Fallhöhe zwischen oberer und unterer Reflexionsstelle RS, = 1700 m Fallrohr-Leitungslänge, = 1,800 m Innendurchmesser des Fallrohres, = 0,015 m Wandstärke des Fallrohres, = 1000 kg/m³ Fluiddichte, = 1864 N/mm² Elastizitätsmodul des Fluids , = 210000 N/mm² Elastizitätsmodul des Fallrohrs und = 9,81 m/s² Fallbeschleunigung.
Vorausgesetzt: Reibungsfreies Fluid, Gleichmäßiger Fallrohrquerschnitt, Quadratisches Schließgesetz (s. Bild 2.1) und Schließzeit 't >> Fortpflanzungsgeschwindigkeit a der Druckwellen. Gesucht: 1. Fortpflanzungsgeschwindigkeit a der Druckwellen und 2. Maximaldruck 'p max (gegen Umgebungsdruck p a = 1013 mbar) vor dem Schieber S am Ende der Schließzeit 't .
3.2 Beispiele
43
Lösung: Zu 1.: Gleichung (3.2) liefert a = 950 m/s. Man beachte, dass diese Geschwindigkeit u.a. wegen der Elastizität des Rohres wesentlich geringer als die Schallgeschwindigkeit in Wasser (1400 m/s) ist. Aus dem Wert a = 950 m/s errechnet sich die Laufzeit, die eine Druckwelle vom Schieber S bis zur oberen Reflexionsstelle RS und zurück benötigt zu: 2l/a = 3,58 s. Die Schließzeit 't muss wesentlich größer sein, z.B. 't = 50 s Zu 2.: Man setzt die BERNOULLI-Gl. (I-3.3) für instationäre Strömung an und er2 hält mit gleicher Strömungsgeschwindigkeit v vol 4V / S d R bei oberer und unterer Reflexionsstelle RS (s. Bild 3.1):
'p
g H geo
UF
s2
4
S dR
wV
³ wt ds .
2
(3.16)
s1
Zur Lösung dieser Gleichung ist das quadratische Schließgesetz, s. Gl. (2.1), nach der Zeit abzuleiten: wV wt
t t0 . 2 Vst 't 2
(3.17)
Das Integral in Gl. (3.16) lautet also: s2
³
s1
wV ds wt
t t0 2 Vst 't 2
s2
³ ds
-2V st
s1
t t0
't 2
l.
Damit folgt aus Gl. (3.16):
'p
U F g H geo
8 U F Vst l t t 0
S dR2
't 2
.
(3.18)
Diese Gleichung ist definiert für t 0 d t d t 0 't . Der Maximaldruck 'p max tritt beim Passieren des letzten Tropfens auf, d.h. bei t t 0 't . So folgt:
'pmax
U F g H geo
8 U FVst l 2
S d R 't Druckstoß
.
(3.19)
44
3 Stromfadentheorie reibungsfreier Fluide
Gleichung (3.19) ist in Bild 3.7 dargestellt.
Bild 3.7 Maximaldruck 'p max beim Schließvorgang einer PELTON-Turbinenanlage in Abhängigkeit von der Schließzeit 't .
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
4
Anwendungen des Impulssatzes
4.1 Rohrbogen Im Rohrleitungsbau sind 90°-Rohrbögen in Gusskonstruktion mit Normflansch sehr häufig anzutreffen. Hierbei wird neben der Strömungsumlenkung oft auch eine Flächenvariation von A1 nach A2 durchgeführt, wenn es sich z.B. darum handelt, einen Rohrabschnitt mit einem Normdurchmesser mit einem Rohrabschnitt eines anderen Normdurchmessers rechtwinklig zu verbinden (s. Bild 4.1). Es sind auch Fälle bekannt, in denen z.B. ein Betonkanal mit nahezu rechteckigem Strömungsquerschnitt A1 rechtwinklig an eine Stahlrohrleitung mit kreisrundem Strömungsquerschnitt A2 anschließt, wobei A1 z A2 sein kann. In der folgenden Aufgabe wird das Flächenverhältnis A1 / A2 mit k bezeichnet, wobei k > 1 einen Beschleunigungskrümmer und k < 1 einen Verzögerungskrümmer charakterisiert, s. Bild 4.1. Gegeben: k A1 / A2 Flächenverhältnis des 90°-Rohrbogens mit 0,6 d k d 3,0.
-
Vorausgesetzt: Verlustfreie, stationäre Strömung von (1) nach (2), Kein Überdruck im Austrittsquerschnitt : p Ü.2 p 2 p a 0 bar , Stromfadengewichtskraft vernachlässigbar: FG R W und Horizontale Lage des Rohrbogens. Gesucht: Richtungswinkel D der Reaktionswandkraft R W in Abhängigkeit vom Flächenverhältnis k
A1 / A2 , s Bild 4.1.
46
4 Anwendungen des Impulssatzes
Bild 4.1 Rohrbogen mit unterschiedlichen Richtungen der Reaktionswandkraft
4.1 Rohrbogen
47
Lösung: Mit Anwendung der Gl.(I-4.24) für die Reaktionswandkraft ergibt sich, bezogen auf dieses Problem:
>m v1 p1 p a A1 @ e1 >m v 2 @ e 2
RW
e1
(4.1)
0,1,0 , e 2 e x 1,0,0 ,
ey
UA1 v1 2 und m v 2
m v1
,
UA2 v 2 2 .
Aus der Kontinuitätsgleichung (I-3.10) folgt v 2 zu:
v2
k v1 .
(4.2)
Mit der BERNOULLI-Gl. (I-3.3) ergibt sich für stationäre horizontale Strömung mit p 2 p a :
k 2
U
p1 p a
2
v1 2 v 1 2
U 2
v1 2 k 2 1 .
(4.3)
Diese Gleichung wird in (4.1) eingesetzt und liefert:
>
@
U 2 2 ª º 2 2 « UA1 v1 2 v1 k 1 A1 » e y UkA1 v1 e x . ¬ ¼
RW
(4.4)
Hieraus folgt: R W.x
U kA1 v1 2
(4.5)
und
RW.y
k 2 1· 2§ ¸ U A1 v1 ¨¨1 2 ¸¹ ©
U A1 v1 2
1 k 2 . 2
(4.6)
Schließlich findet man den Richtungswinkel D aus: tanD
R W.y R W.x
U A1 v1 2 1 k 2 2 U kA1 v1 2
1 k2 . 2k
Dieser funktionale Zusammenhang ist in Bild 4.1 dargestellt. Anschaulicher ist der in demselben Bild gezeigte Verlauf als Funktion:
D
§ 1 k2 arc tan¨ ¨ 2k ©
· ¸ . ¸ ¹
48
4 Anwendungen des Impulssatzes
Tabelle 4.1 gibt die k, D und RW.y / RW.x -Werte wieder: Tabelle 4.1 Richtungswinkel D in Abhängigkeit vom Flächenverhältnis k R W.y / R W.x k A1 / A2 D in Grad 0,3 -1,82 118,8 0,4 -1,45 124,6 0,5 -1,25 128,7 0,7 -1,06 133,2 1,0 -1,00 135,0 1,5 -1,08 132,7 2,0 -1,25 128,7 2,5 -1,45 124,6 3,0 -1,67 121,0
Auffallend ist die Tatsache, dass der Richtungswinkel D für alle Flächenverhältnisse k den Wert 135° nicht überschreitet. Für alle k z 1 zeigt die Reaktionswandkraft mehr oder weniger in die Zuströmrichtung.
4.2 Schub eines Flüssigkeitsstrahls Bei diesem Anwendungsbeispiel soll die Schubwirkung eines freien Flüssigkeitsstrahls studiert werden. Bild 4.2 zeigt einen Schienen-Schubwagen, der aufgrund der Schubwirkung eines horizontal austretenden Flüssigkeitsstrahls mit den Puffern unter Zwischenschaltung einer Schubkraftmessdose gegen ein Widerlager gedrückt wird. Dieses Beispiel hat prinzipiellen Charakter, kann aber als Hintergrund für das Studium der Strahlantriebe dienen. Bekannt sind auch Schubantriebe von Schnellbooten mit einem Freistrahl über Wasser. Gegeben: U 1000 kg/m 3 A2
0,050 m
2
g
9 ,81 m / s
h
2,500 m
Dichte der Flüssigkeit (Wasser), Strahlaustrittsfläche, entspricht d 2
2
Fallbeschleunigung und Geodätische Höhe des Flüssigkeitsspiegels A1 über der Flüssigkeitsstrahlachse.
Vorausgesetzt: Konstante Spiegelhöhe: h = const, Verlustfreie, stationäre Strömung von (1) nach (2), Kein Überdruck im Ein- und Austrittsquerschnitt: p1 Horizontale Lage des Flüssigkeitsstrahls,
-
0,250 m ,
p2
pa ,
4.2 Schub eines Flüssigkeitsstrahls -
49
Strahlgeschwindigkeit v 2 in positiver x-Richtung: v 2 v 2 e x mit e 2 e x und Strömungsgeschwindigkeit v1 im Flüssigkeitsspiegel A1 vernachlässigbar klein.
Bild 4.2. Schienen-Schubwagen mit freiem Flüssigkeitsstrahl (Strahlschub)
Gesucht: Schub S des Flüssigkeitsstrahls. Lösung: Anwendung von Gl.(I-4.24) für die Reaktionswandkraft, zugeschnitten auf dieses Problem, ergibt: S >m v 2 @ e x .
Mit m
(4.7)
UA2 v 2 und v 2
S UA2 v 2
2
2 UghA2
2 gh , Gl. (I-3.13), TORRICELLI-Gl., folgt: (4.8)
und zahlenmäßig: S 2 453 N . Es ergibt sich, gemessen am technischen Aufwand, ein relativ geringer Schub. Auch die Austrittsgeschwindigkeit v 2 7 ,0 m / s ist verhältnismäßig klein. Der Schub S ist im vorliegenden Beispiel von der Fahrzeuggeschwindigkeit unabhängig. Das Fahrzeug wird, falls das Widerlager nicht existiert, durch den
50
4 Anwendungen des Impulssatzes
Schub S solange beschleunigt, bis die sog. Schubleistung = Schub u Fahrzeuggeschwindigkeit der Verlustleistung durch Luftwiderstand und Radverluste bei der erreichten Fahrzeuggeschwindigkeit entspricht. Hier aber bleibt das Fahrzeug vor dem Widerlager. Man nennt derartige Versuche auch „Standschub-Versuche“ oder „Pfahlzugprobe“. Letztgenannter Ausdruck stammt aus der Schiffstechnik.
4.3 Schubvorrichtung bei ungleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilung im Austritt Bild 4.3 zeigt den Vergleich von drei Schubvorrichtungen, von denen die obere (a) eine konstante Geschwindigkeitsverteilung v 2 ( r ) , die mittlere (b) eine ungleichmäßige und die untere (c) wieder eine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung v 2 ( r ) aufweist, allerdings bei doppeltem Öffungsquerschnitt A2 . Charakteristisch ist, dass bei allen Schubvorrichtungen (a)...(c) der gleiche Massenstrom m auftritt.
Gegeben: Geometrie von drei Schubvorrichtungsvarianten (a)...(c) nach Bild 4.3. Vorausgesetzt: Schubvorrichtungen in Ruhe (Standschübe), Stationäre Strömung, Inkompressibles Fluid, p2 pa , Horizontale Strömung, m const für (a), (b), (c), A2. a A2. b , A2. c 2A2. b 2 A2. a und v 2. b ( r ) ungleichmäßig verteilt. Gesucht: 1. Schübe R W. a , R W. b , R W. c und 2. Größenvergleich der Standschübe. Lösung: Zu 1.: Gleichung (I-4.24) für die Reaktionswandkraft liefert, angewendet auf dieses Problem: (a) R W a
m v 2 a e 2 ,
4.3 Schubvorrichtung bei ungleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilung
R W(a)
m v 2(a)
UA2(a) v 2(a) 2 ,
(4.9)
Bild 4.3 Schubvorrichtungen bei unterschiedlicher Geschwindigkeitsverteilung gleichem Massenstrom m
(b) R W b
R W b
51
v 2 ( r ) und
· § ¨ v 2 b dm ¸ e 2 , ¸ ¨ ¹ © m
³
³
v 2 b dm m
U
³ v dA , 2
2b
A 2 b
2b
(4.10)
52
4 Anwendungen des Impulssatzes
R W c
m v 2 c e 2 und
(c) R W c
m v 2 c
UA 2 c v 2 c 2 .
(4.11)
Zu 2.: Größenvergleich der Standschübe:
Wird Gl.(4.11) ins Verhältnis zu Gl.(4.9) gesetzt, so gilt mit v2 c
v2(a)A2 a A2 c
,
Gl.(I-3.10):
RW c
m v 2 c
A 2 a v 2 a
R W a
m v 2 a
A 2 c v 2 a
Es ist also RW a ! RW c , RW a
0,5 . 2RW c .
Die gleiche Prozedur mit Gln. (4.10) und (4.9) liefert:
RW b
U A 2 b v 2 b 2
v 2 b
2
v2
2
R W a
U A 2 a v 2 a 2
v 2 a
2
v2
2
! 1. 6
Dies ist im letzten Teil der Gleichung die sog. SCHWARZ -Ungleichung. Somit ist RW b ! RW a ! RW c . Es zeigt sich also der Höchstschub in der Schubvorrichtung (b). Dies ist damit zu erklären, dass der Impuls in der Strahlmitte wesentlich mehr zum Schub beiträgt als der Mittelwert der Geschwindigkeit v 2. b dieser Schubvorrichtung. Bei konstantem Massenstrom m kommt es also bei Maximierung des Schubes darauf an, den Austrittsquerschnitt A2 möglichst klein bei einer Geschwindigkeitsspitze in Strahlmitte zu gestalten. 6
SCHWARZ, Hermann Amadeus, geb. 1843 in Waldenburg (Schlesien), gest. 1921 in Berlin, Professor für Mathematik (Zürich, Göttingen, Berlin), Begründer der zweidimensionalen Variationsrechnung, Beiträge zur statistischen Mathematik.
4.4 Schräger Freistrahl auf vertikale Platte
53
4.4 Schräger Freistrahl auf vertikale Platte Bild 4.4 zeigt einen horizontal angeordneten schrägen Flachstrahl („eckiger Freistrahl“), der in der Technik häufig zur Oberflächenbehandlung von Platten, z.B. Sandstrahlen, Trocknen, Lackieren, eingesetzt wird. Bei diesem Strömungsvorgang tritt der unerwünschte Effekt des „Backflow“ ein, der den Bearbeitungsprozess empfindlich stören kann. Hierbei wird ein sog. Massenrückstromkoeffizient
H
m 2 m 1
(4.12)
definiert, wobei m 2 den „Backflow“ und m 1 den Zustrom aus der Flachstrahldüse darstellt. Im Folgenden soll dieser Massenrückstromkoeffizient in Abhängigkeit vom Neigungswinkel D ermittelt werden.
Bild 4.4 Horizontaler schräger Freistrahl z.B. zum Trocknen oder Entrosten (Sandstrahlen) einer Platte
4 Anwendungen des Impulssatzes
54
Gegeben: v1 Volumetrischer Mittelwert der Geschwindigkeit in der Austrittsebene (1) der Flachstrahldüse, m 1 Massenstrom aus der Flachstrahldüse und Neigungswinkel der Flachstrahldüse gegen die Flächennormale der D Platte. Vorausgesetzt: Reibungsfreies Fluid, Vernachlässigbar kleine Schubspannungen an der Platte, d.h. RW.y o 0 , Stationäre Strömung, Ebene Strömung in der x- y-Ebene, Horizontale Strömung z1 z 2 z 3 und Freistrahlströmung, d.h. p1 p 2 p 3 p a . -
Gesucht: 1. R W.x Reaktionswandkraft in x-Richtung und 2. H Massenrückstromkoeffizient. Lösung: Zu 1.: Die Reaktionswandkraft R W , angepasst an dieses Problem (s. Bild 4.4), lautet nach Gl. (I-4.25): m 1v1 e1 m 2 v 2 e 2 m 3 v 3 e 3 .
RW
Mit der BERNOULLI-Gl. (I-3.3) ergibt sich für die Strömung zwischen den Stellen (1) und (2):
p1
U
v1 2 gz1 2
p2
U
v22 gz 2 2
und mit p1 p 2 p a und z1 z 2 folgt zwischen den Stellen (1) und (2) v1 v 2 . Dieselbe Prozedur kann auch für die Stelle (3) vollzogen werden, so dass sich insgesamt ergibt: v1 v 2 v 3 v . Die Erhaltung der Masse fordert: m 1
m 2 m 3
mit m 2 H m 1 und m 3 1 H m 1 . Die Reaktionswandkraft R W ergibt sich nach Gl.(I-4.25): RW
m 1 ve1 H m 1 ve 2 1 H m 1 ve 3 .
(4.13)
4.5 Reaktionswandkraft eines Duschkopfes
55
Die Lage der Einheitsvektoren ist: cos D e x sin D e y , e 2
e1
e y und e 3
e y .
So folgt aus Gl. (4.13):
m 1 v cosD e x m 1 v sin D e y H m 1 v e y 1 H m 1 ve y
RW
1v sin D - H m 1v@ e y und m 1v cosD e x > 1 H m 1v - m RW.x
m 1 v cosD .
Da es sich voraussetzungsgemäß um ein reibungsfreies Fluid handelt, also keine Wandschubspannungen auftreten können, so können sich nur die Normalspannungen auswirken, die zur Druckkraft RW.x führen. Durch das alleinige Auftreten des Druckes und nicht der Wandschubspannungen ist also
R W.y
0 .
Hiermit ergibt sich H aus:
1 H m 1 v - m 1 v sin D H m 1 v H
0 , u. zw.:
1 sinD . 2
(4.14)
4.5 Reaktionswandkraft eines Duschkopfes In Bild 4.5 ist ein Duschkopf (Vielstrahldüse) abgebildet. Es handelt sich hierbei um eine vielfach verzweigte Strömung mit i = 1 Eintrittsquerschnitt und k Austrittsquerschnitten. Das Problem kann entsprechend Gl.(I-4.25) nur für stationäre Strömungen behandelt werden.
56
4 Anwendungen des Impulssatzes
Bild 4.5 Zur Anwendung des Impulssatzes auf einen Duschkopf
Gegeben: U = 1000 kg/m 3 Dichte der Flüssigkeit, A1 = 284 10 6 m 2 Eintrittsfläche, entspricht d1 19 mm , A2 = 10 A 1 Fläche des Duschkopfbodens, 6 2 A Düse = 0,785 10 m Einzelne Austrittsfläche, entspricht d 2 k = 120 Anzahl der Austrittsflächen, p Ü.1 = 0 ,4 bar Überdruck p1 p a im Eintritt, p Ü.2 = 0 ,4 bar Überdruck p 2 p a im Austritt, m = 0 ,4 kg / s Massenstrom durch Duschkopf, m = 0,25 kg Fluidmasse im Duschkopf und g = 9,81 m / s 2 Fallbeschleunigung. Vorausgesetzt: Stationäre Verzweigungsströmung, Reibungsfreies Fluid, Inkompressibles Fluid, Dünnwandige Konstruktion, Höhenunterschied vernachlässigbar und Kräfte nur in z-Richtung.
1,0 mm ,
4.5 Reaktionswandkraft eines Duschkopfes
57
Gesucht: Reaktionswandkraft R W.z in Abhängigkeit von k. Lösung: Es wird Gl.(I-4.25) für die Reaktionswandkraft verzweigter Rohrleitungen mit stationärer Strömung angewendet. Diese Gleichung lautet, zugeschnitten auf dieses Problem:
F G m 1 v1 p Ü.1 A1 e1 ¦ > m 2 v 2 p Ü.2 A2 e 2 @k .
RW
k
Mit F G
RW.z
mg e z , e1
e z , e 2
e z , m
m 1
k m 2 folgt:
m g m 1 v1 p Ü.1 A1 k m 2 v 2 p Ü.2 A2 .
(4.15)
Hier erkennt man wieder die wichtige Aussage zum speziellen Impulssatz der Strömungstechnik: Die Impuls- und Druckkräfte sind auf das im Kontrollraum (Innenraum des Duschkopfes) eingeschlossene Fluid gerichtet.
2 v2 und m 1 v1 sowie k m Druckkräfte p Ü.1 A1 sowie p Ü.2 A2 . ergibt sich die Eintrittsgeschwindigkeit Mit dem eintretenden Massenstrom m Hier sind die
Impulskräfte
v1 zu:
v1
0,4 m und zahlenmäßig v1 m 1,41 . 6 1000 28410 1 s U A1
Mit der Kontinuitätsgleichung (I-3.10) folgt die Austrittsgeschwindigkeit v2 aus jeder der k Düsen zu:
v2
2841,41 m A1 v1 und zahlenmäßig v2 120 0,785 4,25 s . 1 k ADüse
Setzt man v1 und v2 in Gl.(4.15) ein, so erhält man:
RW.z
m 2 m 2 mg p Ü.1 A1 p Ü.2 A2 UA1 UkADüse
und mit p Ü.1
RW.z
mg
p Ü.2 : · m 2 § A1 ¨¨ 1¸¸ p Ü.1 A2 A1 . UA1 © kADüse ¹
(4.16)
58
4 Anwendungen des Impulssatzes
Die Reaktionswandkraft RW.z (Rückstoßkraft) setzt sich aus drei Anteilen zusammen, s. Bild 4.5: 1. Schwerkraft
FG
mg
0,25·9,81N
2,5 N ,
2. Impulskraft
FI FI .2 FI .1 und 3. Druckkraft
Fp.Ü
· 2 § A1 0,42 m · § 284 ¨¨ 1¸N 1,1N 1¸¸ 3 ¨ 6 UA1 © kADüse ¹ 10 28410 ©120 0,785 ¹
Fp.Ü .2 Fp.Ü .1
pÜ .1 A2 A1 0,4 105 9 284106 N
102,2 N .
Somit ergibt sich: RW.z 100,8N . Es fällt auf, dass die Druckkraft Fp.Ü die Reaktionswandkraft RW.z dominierend beeinflusst. Das ändert sich auch nicht, wenn die Anzahl k der Austrittsflächen ADüse erheblich verringert wird: k = 120, 60 12
FI = +1,1 N +2,8 N +16,4 N
Fp.Ü = +102,2 N +102,2 N +102,2 N
RW.z = +100,8 N +102,5 N +116,1 N
Im Falle k=60 würde sich eine Austrittsgeschwindigkeit v2=8,5 m/s einstellen und bei k=12 sogar 42,5 m/s (ein wahrscheinlich schmerzhaftes Duschvergnügen).
4.6 Schiffspropeller Bild 4.6 zeigt die Prinzipskizze zur Anwendung des Impulssatzes auf einen Schiffspropeller. Es ist zu beachten, dass beim Durchgang der Strömung durch den Schiffspropeller eine Strahlkontraktion und die repräsentative Energiezufuhr in dieser Modellvorstellung im sog. „Propeller Disk“ stattfinden, einer Scheibe, die von den beiden Ebenen D1 und D 2 , die man sich unendlich nah zusammengerückt denken muss, eingerahmt wird. Vor dem Propeller, d.h. in der Ebene D1 , ergibt sich ein Unterdruck, hinter dem Propeller in der Ebene D 2 ein Überdruck. In der Scheibe „Propeller Disk“ nimmt die Geschwindigkeit den arithmetischen Mittelwert aus An- und Abströmgeschwindigkeit an, wie im nachfolgenden Beispiel u.a. bewiesen.
Gegeben: Schiffsgeschwindigkeit v1 , Axialkomponente v 2. x der Austrittsgeschwindigkeit,
4.6 Schiffspropeller -
59
Propellerdurchmesser D und Fluiddichte U.
Bild 4.6 Anwendung des Impulssatzes auf einen Schiffspropeller
Vorausgesetzt: Stationäre Strömung, Achsparallele, gleichmäßige An- und Abströmung, Inkompressibles Fluid, Reibungsfreies Fluid, Vernachlässigbarer Einfluss des Schiffskörpers auf die Propellerdurchströmung und Eintrittsdruck p1 = Austrittsdruck p 2 . Gesucht: Fs 1.
R W.x
Schub,
4 Anwendungen des Impulssatzes
60
2.
vD
3.
]s
Geschwindigkeit in der Ebene „Propeller Disk“ und
U 2
Fs
Schubbelastungsgrad mit AD
v1 2 AD
SD 2 / 4 .
Lösung: Zu 1.: Mit Gleichung (I-4.24) und mit ex=e1, ex=e2 folgt der Schub zu: Fs
RW.x
m v1 v 2.x 0 .
(4.16)
In der Technik ist es üblich, das negative Vorzeichen von Fs unberücksichtigt zu lassen, so dass folgende in der Praxis übliche Formel für den Schub gilt:
m 'v
Fs
Uv D
SD 2 4
v 2.x v1
.
(4.17)
Zu 2.: Mit der BERNOULLI-Gl. (I-3.3) ergibt sich für stationäre Strömung zwischen den Stellen (1) bis ( D1 ) und ( D 2 ) bis (2) (Bild 4.6):
p1
U
2
p D.2
U
v1 2
p D.1
U
v D.2 2 2
2
v D.1 und 2
p2
U
v 2.x 2 . 2
Zieht man diese Gleichungen voneinander ab, so folgt mit p1 v D.1 v D.2 v D :
p D.2 p D.1
U 2
v
2 2.x
p 2 und
2 v1 .
So ergibt sich für den Schub mit Gl. (4.18):
Fs
S D2 4
p D.2 pD.1
v 2
S D2 U 4 2
Aus Gl.(4.19) folgt mit v 2.x v1 vD
v1 v 2.x . 2
2
2 2.x
v1
2
U vD
S D2 4
v 2.x v1 . (4.18)
v 2.x v1 v 2.x v1 : (4.19)
4.7 Windturbinen
61
Die Strömungsgeschwindigkeit v D in der Ebene„Propeller Disk“ ist also der arithmetische Mittelwert aus axialer An- und Abströmgeschwindigkeit. Zu 3.: Der Schubbelastungsgrad ] s ist wie folgt definiert:
]s
Fs
U 2
v1
2
.
SD 2
(4.20)
4
Wird Fs nach Gl.(4.19) ersetzt, so ergibt sich:
SD 2 U ]s
4
2
U 2
v
v1
2 2.x
2
v1
2
SD 2
v 2.x v1
2
2
1 .
(4.21)
4
Tabelle 4.2 gibt verschiedene Zahlenwerte für ] s und v 2.x 2 / v1 2 aus der Praxis wieder: Tabelle 4.2 Zahlenwerte ] s und v 2.x / v1 für Propeller verschiedener Schiffsbauarten Schiffsbauart v 2.x / v1 ]s
Seegängiges Handelsschiff Binnenschiff Schlepper
1,2...1,5 1,5...2,0 2,0...4,0
0,4...1,2 1,2...3,0 3,0...15,0
4.7 Windturbinen Bild 4.7 zeigt die Prinzipskizze zur Anwendung des Impulssatzes auf eine Windturbine. Es handelt sich hier um einen sog. Horizontalachser, wobei der Rotor vor dem Turm angeordnet ist (Luvläufer). Der vertikale Turm kann aus Stahlbetonrohren, Stahlrohren mit und ohne Drahtabspannung oder aus Stahlgittern bestehen. Im Gegensatz zum Schiffspropeller findet beim Durchgang der Strömung durch die Windturbine eine Strahldilatation (Strahlaufweitung) statt. Hier findet die repräsentative Energieabfuhr in einer Scheibe zwischen den Ebenen D1 und D 2 (s. Bild 4.7) statt, die dem „Propeller Disk“ entspricht. Vor dem Windturbinenlaufrad, d.h. in der Ebene D1 ergibt sich ein Überdruck, hinter dem Windturbinenlaufrad in der Ebene D 2 ein Unterdruck.
62
4 Anwendungen des Impulssatzes
In der Scheibe zwischen D1 und D 2 nimmt wie bei dem Schiffspropeller die Geschwindigkeit den arithmetischen Mittelwert aus An- und Abströmgeschwindigkeit an, d.h., v D v1 v 2.x / 2 . Gegeben: Windgeschwindigkeit v1 , Axialkomponente v 2. x der Austrittsgeschwindigkeit, Windturbinendurchmesser D und Fluiddichte U. Vorausgesetzt: Stationäre Strömung, Achsparallele, gleichmäßige An- und Abströmung, Inkompressibles Fluid, Reibungsfreies Fluid, Vernachlässigbarer Einfluss des Turms auf die Windturbinendurchströmung und Eintrittsdruck p1 = Austrittsdruck p 2 ,
Bild 4.7 Anwendung des Impulssatzes auf eine Windturbine
4.7 Windturbinen
63
Gesucht: 1. Allgemeine Windturbinenleistung P P ( U , D, v1 , v 2.x ) und 2. Maximale Windturbinenleistung Pmax Pmax U , D, v1 . Lösung: Zu 1.: Mit Gl.(I-4.24) und e x e1 e 2 folgt der Schub zu: Fs
m v1 v 2.x > 0 (in x-Richtung, da v1 ! v 2.x ).
RW.x
Die allgemeine Windturbinenleistung ergibt sich hiermit zu: § v v 2.x · P Fs v D m v1 v 2.x ¨¨ 1 ¸¸ . 2 ¹ © Mit m
U vD
SD 2 4
folgt:
SD 2 § v1 v 2.x ·
P
U
P
v § 1 2.x 2 ¨ v1 SD ¨ U v1 4 ¨ 2 ¨ ©
¨ 4 ©
¸ v1 v 2.x , ¹
2
SD 2 v13 §
2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
2
ª § v 2.x « v1 ¨¨1 v1 ¬« ©
·º ¸¸» und schließlich ¹¼»
2
v · v · § ¨¨1 2.x ¸¸ ¨¨1 2.x ¸¸ P U (4.22) v1 ¹ v1 ¹ © 4 4 © In Bild 4.8 ist diese Funktion für konstante Werte U , D und v1 in Abhängigkeit von v 2.x / v1 dargestellt. Es fällt auf, dass P bei v 2.x / v1 1 / 3 ein Maximum aufweist und bei v 2.x / v1 1 , d.h. bei der zylindrischen Durchströmung ohne Strahlaufweitung, keine Leistung übertragen wird. Zu 2.: Die maximale Windturbinenleistung wird durch folgenden Ansatz gefunden:
§ v wP 0 2¨¨1 2.x v 2.x v1 © w v1 Hieraus folgt:
§ v 2¨¨1 2.x v1 ©
· ¸¸ ¹
§ v ¨¨1 2.x v1 ©
·§ v 2.x ¸¸¨¨1 v1 ¹©
· § v 2.x ¸¸ ¨¨1 v1 ¹ ©
· ¸¸ und damit: ¹
2
· ¸¸ . ¹
4 Anwendungen des Impulssatzes
64
v 2.x v1
1 . 3
(4.23)
Wenn also die maximale Leistung dem Wind entnommen werden soll, so bremst die Windturbine die Nachstromgeschwindigkeit auf ein Drittel der Anströmgeschwindigkeit (Windgeschwindigkeit) ab. Hiermit ergibt sich:
Pmax
U SD 2 2
4
v1
3
16 . 27
(4.24)
Man erkennt, dass bei feststehendem U und D die maximale Windturbinenleistung mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit einhergeht. Eine Verdoppelung der Windgeschwindigkeit zieht eine achtfach höhere Windturbinenleistung nach sich.
Bild 4.8 Windturbinenleistung P in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsverhältnis
v 2.x / v1
Die heute üblichen Werte für Pmax je Fläche SD 2 / 4 liegen bei 400...500 W/m² und mehr. Dem Faktor 16/27 in Gl.(4.25) kommt eine besondere Bedeutung zu, nämlich die des maximal erreichbaren Wirkungsgrads. Dies geht aus folgender Betrachtung hervor; der Wirkungsgrad ist in der Technik als Nutzleistung pro aufgewendeter Leistung definiert. Als Nutzleistung fungiert hier Pmax , als aufgewendete Leistung die Windleistung PWind mit: PWind
m Wind 2 v1 2
U SD 2 2
4
v13 .
(4.25)
4.8 Strahlablenker einer PELTON-Wasserturbine
65
Hiermit ergibt sich der maximale Wirkungsgrad zu:
K max
Pmax PWind
16 27
59 ,3% .
(4.26)
Während die meisten Maschinen im Idealfall den Wirkungsgrad Kid 100 % erreichen würden, so kann die Windturbine in diesem Fall maximal nur Kid | 60 % erzielen. In praxi werden aber nur 50 % und weniger erreicht. In der Windturbinenpraxis wird der Wirkungsgrad als Leistungsbeiwert c P bezeichnet. Die Begrenzung auf 60% hängt damit zusammen, dass bei der Durchströmung energiebeladene Luft nutzlos abgeführt werden muss.
4.8 Strahlablenker einer PELTON-Wasserturbine Der Strahlablenker einer PELTON-Wasserturbine wurde bereits in Kap. I4.5.2 gezeigt. Der Strahlablenker tritt in Funktion, wenn der Wasserstrahl innerhalb einer relativ kurzen Zeit von der PELTON-Wasserturbine getrennt werden soll, ohne einen Druckstoß (s. Kap. 3.1) zu erzeugen. Dies tritt z.B. am Ende der Spitzenstromerzeugung auf. Bild 4.9 zeigt eine PELTONTurbinendüse mit Strahlablenker a) in Ablenkungsposition und b) in Normalposition bei Spitzenstromerzeugung. Gegeben: Strahlgeschwindigkeit v1 , Massenstrom m , Ablenkungswinkel D und Momentenhebellänge h. Vorausgesetzt: Stationäre ebene Strömung, Inkompressibles Fluid, Reibungsfreies Fluid, Konstante Freistrahlgeschwindigkeit v1 = v 2 , Eintrittsdruck p1 = Austrittsdruck p 2 und Vernachlässigbarer Einfluss der Schwerkraft auf die Strömungsverhältnisse. Gesucht: Haltemoment M
RW h .
Lösung: Mit Gl.(I-4.24) und mit e1 1,0 und e 2 cosD ,sinD folgt:
4 Anwendungen des Impulssatzes
66
RW
m 1 v1 e1 m 2 v 2 e 2
>m 1 1,0 m 2 cos D , sin D @ v1 ,
Bild 4.9 PELTON-Turbinendüse mit Servomotor (Kolben fest, Zylinder verschiebbar) und Strahlablenker. a) Strahlablenker im Eingriff, b) Strahlablenker in Normalposition (nach Werkbild VOITH)
4.8 Strahlablenker einer PELTON-Wasserturbine
m v 2 e 2 (s. Bild 4.9). Nach Komponenten auf-
mit F I.1 m v1 e1 und F I.2 geteilt ergibt sich: R W.x
m v1 m v 2 cosD
R W.y
m v 2 sinD
67
m v1 1 cosD und
m v1sinD .
Die gesamte Reaktionswandkraft beträgt: RW
2
RW.x RW.y
2
2 m v1 1 cosD sin 2D
m v1 2 1 cosD .
Schließlich erhält man das Haltemoment zu: M
m v1 h 2 1 cosD .
(4.27)
Bild 4.10 zeigt die Abhängigkeit des Haltemoments M vom Strahlablenkungswinkel D für konstante Werte m , v1 und h. Auffällig ist der nahezu lineare Verlauf. In praxi ist eine relativ leichte Abhängigkeit der Momentenhebellänge h vom Strahlablenkungswinkel D feststellbar, ohne den linearen Charakter des Kurvenverlaufs wesentlich zu stören.
Bild 4.10 Haltemoment M in Abhängigkeit vom Strahlablenkungswinkel D bei konstanten Wer , v1 und h. ten m
68
4 Anwendungen des Impulssatzes
4.9 Bypass-Luftstrahltriebwerk Bild 4.11 zeigt die Anordnung eines Bypass-Luftstrahltriebwerks unter dem Tragflügel eines Flugzeugs. Der mit der Geschwindigkeit v E eintretende Luftmassenstrom m E wird in zwei Teilströme: DüsentriebwerksMassenstrom m D und Bypass-Massenstrom m B aufgeteilt. Im Austritt des Luftstrahltriebwerks sind zwei unterschiedliche Geschwindigkeiten feststellbar: die Düsentriebwerks-Austrittsgeschwindigkeit v D und die BypassAustrittsgeschwindigkeit v B .
Bild 4.11. Bypass-Luftstrahltriebwerk an einem Flugzeug
Gegeben: Eintrittsmassenstrom m E = 98,7 kg/s, Düsentriebwerks-Massenstrom m D =15,9 kg/s, Bypass-Massenstrom m B = 82,7 kg/s, Kerosin-Massenstrom m K = 0,1 kg/s, Eintrittsgeschwindigkeit (Reisegeschwindigkeit) v E =203,0 m/s, Düsentriebwerks-Austrittsgeschwindigkeit v D = 490,5 m/s und Bypass-Austrittsgeschwindigkeit v B . Vorausgesetzt: wv/wt = 0, p1 = p 2 p a und m K m E .
4.9 Bypass-Luftstrahltriebwerk
Gesucht: Schub FS
RW.x .
Lösung: Mit Gl.(I-4.25) und e x e1 1,0,0 , e x RW
69
FS
1,0,0 und i = 1, k = 2 folgt: m E v E e1 m B v B m D v D e 2 . e2
So ergibt sich der Schub betragsmäßig zu: RW.x
FS
m B v B m D v D m E v E
.
(4.28)
und zahlenmäßig zu: FS
26 091,9 N 7 799,0 N 20 036,1 N
FS
13 854 ,8 N .
Die Richtung des Schubes FS ist entgegen der x-Achse. Gl.(4.29) enthält ein den Schub verminderndes Glied, den sog. „Inlet Drag“ m E v E , der hier mit 20036,1 N bremsend wirkt. Der sog. „Nutzschub“ beträgt hier:
m B v B m D v D
33 890,9 N , an dem der Bypass mit ca. 77% beteiligt ist.
Man mache sich klar, dass bei einem Bypass-Luftstrahltriebwerk der Großteil (hier rund 84%) der eintretenden Luftmasse m E im Bypass am Triebwerk vorbeigeführt wird. Entsprechend groß ist das sog. Bypassverhältnis m B / m D , hier 5,2, in praxi 4...10 und mehr. Die gegenüber der Eintrittsgeschwindigkeit v E erhöhte Austrittsgeschwindigkeit v B des Bypass-Massenstroms wird durch einen sog. „Eintritts-Fan“ bewerkstelligt, der wiederum wie der Kompressor des Luftstrahltriebwerks von der Gasturbine angetrieben wird.
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
5
Bewegung kompressibler Fluide
5.1 Strömung aus Pressluftbehälter Bild 5.1 stellt einen auf Eisenbahnschienen fahrbaren Pressluftbehälter dar, der für Schubversuche geeignet ist. Im Bild ist die Stellung „Standschub“ dargestellt. Hierbei werden die Puffer mit Kraftmessdosen ausgerüstet. Um das Ausflussverhalten der Pressluft zu studieren, ist die BERNOULLIGleichung der Gasdynamik (I-5.13) anzuwenden. Für diesen Fall lautet diese Gleichung zwischen den Stellen (0) und (2):
N
p0
N 1 U0
v02 2
Mit v 0 = 0 m/s, p 2
N
p0
N 1 U0
N
N
p2
N 1 U2
v2 2
p a und U 2 pa
N 1 Ua
2
.
U a (Freistrahl) lautet diese Gl.:
v 2.oR 2 . 2
Bild 5.1. Instationäre Strömung beim Ausströmen aus einem Pressluftbehälter für Schubversuche
5.1 Strömung aus Pressluftbehälter
71
Der Index oR deutet auf die BERNOULLI-Gl. der Gasdynamik hin, die nur für den reibungsfreien (ohne Reibung, o.R.) Fall gilt. Nach der Ausflussgeschwindigkeit aufgelöst ergibt sich, vgl. Abschnitt I-5.6:
v 2.oR
2N § p 0 p a · ¨ ¸ N 1 ¨© U 0 U a ¸¹
2N p 0 N 1 U0
§ p U · ¨1 a 0 ¸ ¨ p 0 U a ¸¹ ©
und unter Verwendung der Isentropengl. p / U N = const (I-5.6): v 2.oR
2N p 0 ª § p a · ¸ «1 ¨ N 1 U 0 «¬ ¨© p 0 ¸¹
N 1 º N »
»¼
.
(5.1)
Diese Gleichung heißt auch Ausflussformel von de SAINT-VENANT und WANTZEL und lässt sich überführen in:
v 2.oR
2 U 0 p0
Ua
N ª§ p a ·
¸ «¨ N 1 «¬¨© p 0 ¸¹
2
N
§p · ¨¨ a ¸¸ © p0 ¹
N 1 º N »
»¼
.
(5.2)
Der zweite Wurzelausdruck trägt den Namen Ausflussfunktion <. Es ist also:
<
N ª§ pa ·
¸ «¨ N 1 «¬¨© p0 ¸¹
2
N
§p · ¨¨ a ¸¸ © p0 ¹
N 1 º N »
»¼
.
(5.3)
<
Somit lautet die Ausflussgeschwindigkeit: v 2.oR und nach Erweiterung mit U 0 / U 0 und mit a 0
v 2.oR
<
p U0 2 0 Ua U0
<
U0 2 a0 . Ua N
N
p0
U0
2 U 0 p0
Ua , Gl. (I-5.7):
(5.4)
Im Folgenden soll die Ausflussfunktion < diskutiert werden. Bild 5.2 zeigt die Funktion < in Abhängigkeit vom Druckverhältnis p a / p0 für den Isentropenkoeffizienten N = 1,4 (Luft). Die Kurve besitzt ein von p a / p0 abhängiges Maximum. Dieses wird gefunden, in dem man das sog. kritische Druckverhältnis, Gl.(I5.23) in Gl. (5.3) einsetzt. Man vergegenwärtige sich, dass bei Erreichen die-
5 Bewegung kompressibler Fluide
72
ses Druckverhältnisses Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt (hier Austrittsquerschnitt 2) auftritt. Die Schallgeschwindigkeit beträgt in diesem Falle nach Gl.(I-5.7) mit p 2 p a und U 2 U a (Freistrahl): a2
N
p2
U2
N
pa
Ua
.
(5.5)
Bild 5.2. Ausflussfunktion \ in Abhängigkeit vom Druckverhältnis
p a / p 0 (Luft)
So ergibt sich z.B. für N = 1,4 (Luft), p 2 p a 101 325 N / m² (Normatmosphäre) und U 2 U a 1,225 kg / m³ (Luft bei Normatmosphäre und 20°C) a 2 340,3 m / s . Die Schallgeschwindigkeit tritt in (2), Bild 5.1, auf, wenn nach Gln.(I-5.22) und (I-5.23) folgende Relationen gelten (überkritisches Ausströmen): pa § pa · ¸ ¨ p 0 ¨© p 0 ¸¹ krit
N
§ 2 · N 1 ¨ ¸ © N 1¹
U §U · 0,528 und a ¨ a ¸ U 0 ¨© U 0 ¸¹ krit
1
§ 2 · N 1 ¨ ¸ © N 1¹
0,634 .
Der ausströmende Massenstrom m th beträgt: m th
U 2 A2 v 2.oR .
(5.6)
5.1 Strömung aus Pressluftbehälter
73
Der Index th erklärt sich aus dem Fehlen der Reibung. Es ist üblich, den Einfluss von Reibung und Strahlkontraktion auf den Massenstrom wie folgt zu berücksichtigen: m
P m th P
mit
P U a A2 v 2.oR .
(5.7)
Ausflusszahl.
Die Ausflusszahl berücksichtigt sowohl die Reibung als auch die Strahleinschnürung. So beträgt z.B. mit P MD (5.8) die Reibungszahl M = 0,96 (abgerundete glatte Kurzdüse) und die Kontraktionszahl D = 0,99 (zylindrisches Mündungsstück), so dass sich insgesamt eine Ausflusszahl P = 0,95 ergibt. Setzt man Gl.(5.4) in Gl.(5.7) ein, so folgt: m
P \ A2 2 U 0 p 0 .
(5.9)
Der reale Massenstrom nach Gl.(5.9) wird maximal, wenn das kritische Druckverhältnis pa / p0 unterschritten, bzw. erreicht wird. Das kritische Druckverhältnis beträgt nach Gl.(I-5.23): N
§ pa · § 2 · N 1 ¨¨ ¸¸ . (5.10) ¨ ¸ © p0 ¹ krit © N 1 ¹ Hierbei ist von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass im Austrittsquerschnitt A2 (engster Querschnitt) der Umgebungsdruck p a herrscht (Freistrahl). Zahlenmäßig ergibt sich für Luft mit N = 1,4: pa / p0 krit 0,528 , d.h. für alle Druckverhältnisse pa / p0 d 0,528 ist der Massenstrom maximal. Für das kritische Druckverhältnis Gl.(5.10) wird nach Gl.(5.3) auch die Ausflussfunktion \ maximal, so dass gilt: m max
P \ max A2 2 U 0 p0 .
(5.11)
Bild 5.2 zeigt den Wert \ max für N = 1,4, analytisch berechnet durch Einsetzen des kritischen Druckverhältnisses in Gl.(5.3) für überkritisches Ausströmen: 1
<max
N § 2 · N 1 ¨ ¸ N 1 © N 1¹
0,484 .
(5.12)
Gleichung (5.7) lässt sich auch als:
m
U a A2 v 2.mR
(5.13)
5 Bewegung kompressibler Fluide
74
schreiben, so dass mit Gl.(5.4) und Gl.(I-5.7) für die Schallgeschwindigkeit a 0 im Kessel die Geschwindigkeit v mR mit Reibungseinfluss lautet:
v 2.mR
P v 2.oR
P<
U0 Ua
2 p0
U0
P<
U0 2 . a0 Ua N
(5.14)
Wendet man sich nun dem Schub RW.x , wie in Bild 5.1 dargestellt, zu, so erhält man nach Gl.(I-4.24) für den Kontrollzwischenraum (0) und (2): RW.x
m v 2.mR
(5.15)
und durch Einsetzen von Gln.(5.9) und (5.14):
RW.x
2 P<
2
U0 p0 A2 . Ua
(5.16)
Der Höchstschub wird bei < <max erreicht, sie Bild 5.2. Hierbei ist für < Gl.(5.12) und für U a die kritische Größe, Gl.(I-5.22), einzusetzen. So erhält man:
RW.x.max
2 P<max 2
p 0 A2 . U a / U 0 krit
(5.17)
Ein Zahlenbeispiel für überkritisches Ausströmen soll diesen Zusammenhang verdeutlichen. Gegeben: p0 = 30 bar, p a = 1,0 bar, <max = 0,484 (Bild 5.2), P = 0,95, U a / U 0 krit = 0,634, A2 = 0,071 m² (d2 = 0,300 m). Vorausgesetzt: Standschub nach Bild 5.1 . Gesucht: Maximalschub RW.x.max . Lösung: Anwendung Gl.(5.17) liefert: RW.x.max 142 kN . Man vergleiche hiermit den Nenn-Standschub von rund 200 kN eines Triebwerks des Flugzeugs Airbus A340. Der Reiseschub des gleichen Triebwerks in 11 km Höhe beläuft sich auf 50 kN bei einer Geschwindigkeit von 850 km/h. Bei dieser Geschwindigkeit und Höhe halten sich der Reiseschub der Triebwerke und der Widerstand des Flugzeugs das Gleichgewicht. Zahlenbeispiel für unterkritisches Ausströmen: Gegeben: p 0 = 1,8 bar, U 0 =2,14 kg/m³, p a = 1,0 bar, U a = 1,19 kg/m³, N =1,4, P und A2 wie oben. Lösung: Gl.(5.3) und Gl.(5.16) liefern: < = 0,481 und RW.x.max 9,6 kN .
5.2 Instationäre Pressluftströmung
75
5.2 Instationäre Pressluftströmung In diesem Kapitel sollen die instationären Strömungsverhältnisse nach Öffnen des Kugelhahns 2 (s. Bild 5.1) betrachtet werden. Der Luftmassenstrom ist nach Gl.(5.9) zu bestimmen. Hieraus lässt sich auch die Frage beantworten, welche Masse dm in der Zeit dt ausströmt: dm
m dt
P
(5.18)
Die Luftmasse m0 des Tankinhalts während des Ausströmens beträgt: m0
U 0V0 U0
mit
(5.19) Variable Dichte des Tankinhalts und Konstantes Tankvolumen.
V0
Auf der gesamten Strecke von (0) bis (2) ist dm { dm 0 . Setzt man isotherme Expansion eines thermisch idealen Gases voraus, so gilt nach der thermischen Zustandsgleichung (I-5.1): p0
U0
R T0
const .
Dividiert man nun Gl.(5.18) durch Gl.(5.19) so folgt:
dm0 m0
P
dm 0 m0
K < dt
P
dt
P
dt und
mit der zeitlich unabhängigen Konstanten K
PA2 2 R T0 V0
.
Definiert man nach Bild 5.2 den Öffnungszeitpunkt für den Kugelhahn 2, d.h. den Beginn des Höchstschubs mit <max 0,484 , mit Zeitpunkt t1 und das Ende des Höchstschubs bei Erreichen des kritischen Druckverhältnisses mit Zeitpunkt t 2 , so lässt sich eine Zeitspanne 't t 2 t1 zur Ausnutzung des Höchstschubs berechnen. (5.20) Die Integration zwischen den beiden Zeitpunkten t1 und t 2 liefert:
5 Bewegung kompressibler Fluide
76 t2
dm0 m0 t1
³
ln m0
t2 t1
m0 t 2 m0 t1
ln
K<max 't
und schließlich
m0 t 2 m0 t1 . K<max
ln 't
(5.21)
Dies ist also die Entleerungszeit des Druckbehälters zu Höchstschubbedingungen. Gl.(5.21) lässt sich umformen in:
't
ª p t º ln « 0 2 » ¬ p0 t1 ¼
V0
§ 2 · ¸ © N 1¹
PA2 2 RT0 ¨
1 N 1
.
(5.22)
N N 1
Hierzu soll ein Zahlenbeispiel gegeben werden.
Gegeben: V0 =100 m³, p0 t1 = 30 bar, p0 t2 = 1,9 bar (kritisch), A2 = 0,071 m², P = 0,95, R = 287 m²/(s²K), T0=293 K und N N Luft Vorausgesetzt: Standschub nach Bild 5.1. Gesucht: Zeitspanne 't mit Höchstschub. Lösung: Anwendung Gl.(5.22) liefert: 't
1,4 .
20,6 s .
Der oben angegebene Standschub-Versuchstand (s. Bild 5.1) kann also 20,6 s unter Höchstschub R W.x.max betrieben werden. Danach fällt der Schub ab, d.h. ab diesem Zeitpunkt beginnt die Pressluftströmung instationär zu werden (monoton abfallend), u. zw. nach dem folgenden Gesetz, s. Gln.(5.16) und (5.3):
RW.x t 2>P<( t )@
2
U0 ( t ) p 0 ( t ) A2 . Ua (5.23)
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
6
Anwendungen der NAVIER-STOKESBewegungsgleichung
6.1 Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung 6.1.1 Ruhendes Fluid Mit v
0
0 m/s erhalten wir aus Gl.(I-6.17): f
f
1
U
1
U
p und somit
p ,wie Gl.(I-1.2).
In Bild 6.1 ist der Fall f x 0 m/s², f y 0 m/s², f z g stellt. Daraus ergibt sich wieder die bekannte Formel p(z) p( z )
pa U gz , wie Gl.(I-1.1).
9,81 m/s² darge-
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
78
Bild 6.1. Druckverteilung p(z) im ruhenden Fluid
6.1.2 Drehungsfreie Strömung Bild 6.2 zeigt eine drehungsfreie Strömung. Die drehungsfreie Strömung, auch Potentialströmung genannt, wird bekanntlich definiert durch rot v 0 . Es werden zwei Potentialfunktionen ) und U eingeführt. 1. ) sei die Potentialfunktion des Geschwindigkeitsfeldes mit
v
)
w) w) w) ex ey e wz z wy wx
mit w) , vy wx
vx
w) und v z wy
w) . w´z
2. U sei die Potentialfunktion des Kraftfeldes mit f
U
§ wU wU wU · ¨¨ ex ey e ¸. w w wz z ¸¹ x y ©
So ist die Potentialfunktion des Erdschwerefeldes wie folgt definiert: U
gz const
6.1 Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
79
mit fx
0 m / s ², f y
0 m / s ² und f z
g
9,81 m / s ².
Das Minuszeichen erklärt sich daraus, dass die Richtung der Koordinate z und die Richtung von g entgegengesetzt sind, s. Bild 6.2.
Bild 6.2. Äquipotentiallinien ) = const und Stromlinien < = const in drehungsfreier Strömung; (1)-(2) beliebiger Weg im Strömungsfeld
Drehungsfreiheit heißt bekanntlich (s. I-7.1):
rot v
ex w wx w) wx
ey w wy w) wy
ez w wz w) wz
§ w 2) w 2) · § w 2) w 2) · § w 2) w 2) · ¸ ¸ ez ¨ ¸ ey ¨ e x ¨¨ ¨ wxwy wywx ¸ ¨ wxwz wzwx ¸ ¸ ¹ © ¹ © © wywz wzwy ¹
0
für alle ). Man beachte, dass wywz wzwy, wxwz wzwx und wxwy wywx ist. So werden alle Klammerausdrücke zu Null, d.h., alle Potentialfunktionen ) mit ) v erfüllen die Bedingung rot v 0 .
80
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
Um diese Erkenntnis in die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung (I-6.18) für Potentialströmungen einzubringen, soll im Folgenden die Umwandlung der Gl.(I-6.18) in Gl.(I-6.19) vollzogen werden. Es muss also § v2 p · ¨¨ ¸¸ v u rot v Q rot rot v © 2 U¹
f
wv wt
(6.1)
in
v v 1 p Q ' v U
f
wv wt
(6.2)
§ v2 p · überführt werden. Das Glied ¨¨ ¸¸ wird mit U = const wie folgt umge© 2 U¹ formt: § v2 p · ¨¨ ¸¸ 2 U¹ ©
§ v2 ¨¨ © 2
· § p· ¸ ¨ ¸ ¨U¸ ¸ © ¹ ¹
§ v2 ¨¨ © 2
· 1 ¸ p . ¸ U ¹
(6.3)
Es muß also nun § v2 ¨¨ © 2
· ¸ v u rot v Q rot rot v ¸ ¹
f
wv 1 p wt U
(6.4)
in
v v Q ' v
f
wv 1 p wt U
(6.5)
umgeformt werden. Es gilt nun nach BRONSTEIN-SEMENDJAJEW: Taschenbuch der Mathematik, Kap. 4.2.2 Vektoranalysis: rot rot v div v ' v . Für U = const ist nach Gl.(I-2.9) div v
(6.6) 0 . Damit geht Gl.(6.6) über in :
rot rot v ' v .
(6.7)
Nun muss also § v2 ¨¨ © 2
in
· ¸ v u rot v ¸ ¹
f
wv 1 p Q 'v wt U
(6.8)
6.1 Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
v v
f
81
wv 1 p Q 'v wt U
(6.9)
überführt werden, d.h. man zeige: § v2 ¨¨ © 2
v v
· ¸ v u rot v . ¸ ¹
(6.10)
Diese Gleichung wird umgeformt in: v u rot v
· ¸ . ¸ © 2 ¹ §
v v ¨¨ v
2
(6.11)
Die linke Seite dieser Gleichung lautet ausführlich geschrieben, siehe auch Gln. (I-7.2...4):
v u rot v
ex vx
ey vy
ez vz
§ wv z wv y · § wv x wv z · § wv y wv x · ¨ ¨ ¸ ¸ ¨ wy wz ¸ ¨© wz wx ¸¹ ¨ wx wy ¸ © © ¹ ¹ wv § wv · wv wv ¨ vy y vy x vz x vz z ¸ ex ¨ wx ¸¹ wz wy wx ©
wv y · § wv y wv wv ¸¸ e y ¨¨ v x vx x vz z vz w w w w x y y z © ¹ wv y · § wv wv wv ¸e . ¨¨ v x x v x z v y z v y wy wx wz ¸¹ z wz ©
(6.12)
Die x- Komponente von Gl. (6.12) lautet also:
2
w vy / 2 wx
2
w v
w vy / 2 wx
2
/2
z
wx
w v
2 z
wx
v
/2
y
wv x wv vz x wy wz
w v
2 x
/2
w v
2 x
/2
v
wx w x Erweiterung mit Null
y
wv x wv vz x wy wz
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
82
wv wv wv w § v x v y v z ·¸ vx x vy x vz x ¨ ¸ wz 2 wy wx wx ¨© ¹ v
v 2
2
2
x
v 2 /2
· ¸ v v x . ¸ ¹ Das Ergebnis lautet also für die x-, y- und z-Richtung:
w § v2 ¨ wx ¨© 2
v u rot v x
w § v2 ¨ wx ¨© 2
· ¸ v v x , ¸ ¹
(6.13)
v u rot v y
w § v2 ¨ wy ¨© 2
· ¸ v v y und ¸ ¹
(6.14)
· ¸ v v z . (6.15) ¸ ¹ Also gilt allgemein Gl.(6.11), womit die Gleichwertigkeit der Gln.(6.1) und (6.2) bzw. der Gln.(I-6.18) und (I-6.19) bewiesen ist. v u rot v z
w § v2 ¨ wz ¨© 2
Unter Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung folgt mit rot v 0 und f U aus Gl.(I-6.19): § v2 p · wv ¨¨ ¸¸ wt © 2 U¹
U ,
· § v2 p wv ¨¨ U ¸¸ wt ¹ © 2 U
0
und mit: wv wt
w) wt
w) folgt wt
· § w) v 2 p ¨¨ U ¸¸ 2 U ¹ © wt
Mit U
0 .
gz const folgt schließlich aus Gl.(6.16) die
(6.16)
6.1 Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
83
BERNOULLI-Gl für instationäre Potentialströmung: w) v 2 p gz wt 2 U
const .
(6.17)
In diesem Zusammenhang ergibt sich ein wichtiger Sonderfall: stationäre Potentialströmung im Erdschwerefeld mit U = g z + const. Hierfür ergibt sich: v2 p gz 2 U
const .
(6.18)
Es fällt auf, dass die sog. BERNOULLI-Konstante für alle Stromlinien gilt (isoenergetische Strömungen). In der Literatur findet sich oft der Umkehrschluss: Isoenergetische, stationäre Strömungen sind wirbelfrei (Potentialströmungen). 6.1.3 Reibungsfreies Fluid
Die Strömung reibungsfreier Fluide ist wie bekannt an die Bedingung kinematische Viskosität Q = 0 m²/s geknüpft. Es soll vorausgesetzt werden, dass die Strömung dem Erdschwerefeld unterliegt:
f
U
(6.19)
mit U = g z + const (Potentialfunktion des Erdschwerefeldes). Die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung in der Form Gl.(I-6.19) liefert für diesen Fall Q = 0 m²/s und mit Gl.(6.19): § v2 p · wv ¨¨ U ¸¸ v u rot v 0 . wt © 2 U ¹
(6.20)
Diese Gleichung werde mit dem vektoriellen Stromlinien-Wegelement d s skalar multipliziert. In diesem Zusammenhang ergeben sich folgende drei mathematische Vereinfachungen: 1. v d s
v ds , weil d s und v in die selbe Richtung zeigen (s. Bild 6.3)
Es muss also gelten: wv ds wt
wv ds . wt
84
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
Bild 6.3. Stromfaden in einem reibungsfreien Fluid
2. Mit d s
dx, dy, dz folgt:
· § v2 p ¨¨ U ¸¸ds ¹ © 2 U
§ v2 p · § v2 p · § v2 p · w¨¨ U ¸¸ w¨¨ U ¸¸ w¨¨ U ¸¸ © 2 U ¹ dx © 2 U ¹ dy © 2 U ¹ dz wx wy wz
§ v2 p · w¨¨ U ¸¸ © 2 U ¹ ds . ws
6.1 Sonderfälle der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
3. Es ist (v u rot v) d s
85
0 , da der Vektor v u rot v senkrecht auf v und da-
mit auch senkrecht auf d s steht. Wird nun Gl.(6.20) mit ds skalar multipliziert, so ergibt sich mit den drei mathematischen Vereinfachungen: § v2 p · w¨¨ gz ¸¸ 2 U wv ¹ ds ds © wt ws
0.
(6.21)
Wird diese Gleichung längs des Stromlinienweges s von s1 nach s 2 integriert (s. Bild 6.3), so ergibt sich: s2
³ s1
§ v2 p · wv gz ¸¸ ds ¨¨ wt © 2 U ¹ 2
v1 p 1 gz1 2 U
2
0 und 1
2
s2
v2 p wv 2 gz 2 ds . 2 t U w s
³
(6.22)
1
Gleichung (6.22) stellt die BERNOULLI-Gleichung für den Stromfaden bei instationärer Strömung eines reibungsfreien Fluids dar. Man beachte, dass das instationäre Glied auf der Seite der Größen der Ausströmung steht. 7
Einen Sonderfall der Strömung stellt die BELTRAMI -Strömung dar. Es handelt sich um die Strömung eines reibungsfreien Fluids Q 0 m²/s , jedoch sei das Fluid wirbelbehaftet rot v z 0 mit der Besonderheit, dass:
v u rot v
0 ist,
da v rot v , wie in Bild 6.4 angegeben. Bild 6.4 zeigt die Strömungsverhältnisse hinter einem Tragflügelprofil, wo sich ein System freier Wirbel bildet. Auf der Wirbellinie der freien Wirbel kann in guter Näherung die Parallelität der Abströmgeschwindigkeit v und der Wirbelstärke rot v angenommen werden. Führt man nun noch die Bedin-
7
BELTRAMI, Eugenio, geb. 1825 in Cremona, gest. 1900 in Rom. Italienischer Mathematiker, Professor in Bologna, Pisa, Pavia und Rom. In seinen Arbeiten untersuchte er die differentialgeometrischen Eigenschaften von Kurven und Flächen sowie von Räumen. Er stellte die Verbindung zur nichteuklidischen Geometrie von N.I. LOBATSCHEWSKI her: Opere mathematiche (1902-1920, 4 Bände).
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
86
gung ein, dass es sich um eine stationäre Strömung im Einflussgebiet des Erdschwerefeldes handelt, so hat man insgesamt fünf Voraussetzungen getroffen:
Bild 6.4. Freie Wirbel hinter einem Tragflügel zur Erklärung der BELTRAMI-Strömung
1. v u rot v 0 , 2. rot v z 0 , 3. Ȟ 0 m²/s , 4. w v / wt 0 und 5. U = g z + const. Damit erhält man aus Gl.(6.1) und mit Gl. (6.19): § v2 p · ¨¨ U ¸¸ © 2 U ¹
0.
Die skalare Multiplikation dieser Gleichung mit einem beliebigen Wegelement ds und Integration längs einer beliebigen Kurve ergibt: 2
v1 p 1 gz1 2 U
2
v2 p 2 gz 2 . 2 U
(6.23)
Wie bei stationären Potentialströmungen (wirbelfreien Strömungen) fällt auf, dass die sog. BERNOULLI-Konstante im gesamten Strömungsfeld für alle Stromlinien gilt. Isoenergetische, stationäre Strömungen sind also entweder Potentialströmungen oder BELTRAMI-Strömungen. Auch Sekundärströmungen in
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung
87
Hydraulischen Strömungsmaschinen sind als BELTRAMI-Strömung zu behandeln (s. z.B. Dissertation Kitano MAJIDI: Numerische Berechnung der Sekundärströmung in radialen Kreiselpumpen zur Feststofförderung, TU Berlin 1997).
6.2 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung 8
Die Beschreibung dieser Strömung geht auf die beiden Forscher HAGEN und 9 POISEUILLE zurück. Betrachtet wird eine ebene Platte (s. Bild 6.5), die in einem Abstand h über einer feststehenden ebenen Platte in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v 0 verschoben wird. Die Breite b muss genügend groß gewählt werden, damit die Strömung des beliebigen NEWTON-Fluids zwischen den beiden Platten eine ebene Parallelströmung darstellt.
Bild 6.5. Ebene HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung zwischen bewegter und fester Platte mit der Geschwindigkeitsverteilung v x ( y )
Gegeben: v0 Verschiebegeschwindigkeit der oberen Platte in m/s, h Plattenabstand in m, K Dynamische Viskosität in Pa s, wp / wx Druckgradient in x-Richtung in Pa/m und b Breite der Platten in m.
8 9
HAGEN, s. Fußnote I-46 (S.I-201) POISEUILLE, Jean-Louis Marie, geb. 1797 in Paris, gest. 1869 ebd. Französicher Arzt und Physiologe, erforschte Blutströmung und Wasserströmung in sehr engen Rohrquerschnitten
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
88
Vorausgesetzt: - Stationäre Strömung, - Ebene Strömung ( v x v x ( x, y ) , v y - Kraftfeldfreie Strömung, - Laminare Strömung und - Inkompressibles Fluid.
0 m / s , vz
0 m / s ),
Gesucht: v vol Volumetrischer Mittelwert. Lösung: Die Lösung erfolgt durch Anwendung der Kontinuitätsgleichung, Gl. (I-2.9) und der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichungen, Gln. (I-6.14 und 15). Aus der Kontinuitätsgleichung folgt mit wv x / wx 0 : vx
v x ( y) .
(6.24)
Die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichungen liefern unter den gegebenen Voraussetzungen: vx
wv wv x vy x wy wx
1 wp Q U wx
§ w2vx w2vx ¨ ¨ wx 2 wy 2 ©
· ¸ ¸ ¹
(6.25)
1 wp Q U wy
§ w2vy w2vy ¨ ¨ wx 2 wy 2 ©
· ¸. ¸ ¹
(6.26)
und vx
wv y wx
vy
wv y wy
Mit Gl.(6.24) und der Voraussetzung v y 0
p
w2vx 1 wp Q und aus Gl.(6.26) 0 U wx wy 2 p(x) .
0 m / s wird aus Gl.(6.25):
1 wp , d.h. U wy (6.27)
Hiermit können wp / wx als dp/dx und w 2 v x / wy 2 als d 2 v x / dy 2 geschrieben werden. Somit geht Gl.(6.25) über in: 0
d2vx 1 dp Q . U dx d y2
(6.28)
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung
89
Da p nur von x und v x nur von y abhängt, kann Gl.(6.28) nur dann erfüllt sein, wenn dp/dx und d 2 v x / d y 2 weder von x noch von y abhängig sind, d.h. Konstanten darstellen. Diese Konstanten sollen mit K 1 bezeichnet werden: K1
1 dp U dx
(6.29)
und K1
Q
d2v x d y2
.
(6.30)
Aus Gl.(6.29) folgt ein wichtiges Ergebnis: Der Druckgradient in x-Richtung ist konstant. Gleichung (6.30),das zweite Glied in Gl.(6.28), ergibt nach zweimaliger Integration: vx
K1 2 y K 2 y K3 . 2Q
(6.31)
Die erste Konstante K1 folgt aus dem Druckgradienten Gl.(6.29), die beiden anderen Konstanten K 2 und K 3 ergeben sich durch die Wandhaftbedingungen: v x ( y 0) 0 m / s und v x ( y h) v 0 . Nach Einsetzen erhält man: v 0 K1h 2Q h
K2 und K3
0.
K1 ...K 3 in Gl.(6.31) eingesetzt ergibt: v x ( y)
v0
y dp h 2 y § y· ¨1 ¸ . h dx 2K h © h ¹
(6.32)
Gleichung (6.32) stellt ein weiteres wichtiges Ergebnis dar, und zwar das Plattengeschwindigkeitsprofil der Strömung zwischen den beiden Platten, s. Bild 6.5. Die Gleichung beschreibt die HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung und lässt sich wie folgt interpretieren: -
10
Für dp/dx 0 Pa/m (ebene COUETTE -Strömung) ergibt sich, wie in Bild 6.6 dargestellt, eine lineare Geschwindigkeitsverteilung:
10
COUETTE, Maurice Fr. A., geb. 1850 in Paris, gest. 1943 ebd. Französischer Physiker. Veröffentlichung: Sur le frottement des liquides, Ann. de chimie et physique, Paris 1890
90
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
v x ( y) -
-
v0
y . h
(6.33)
Für dp/dx > 0 Pa/m (positiver Druckgradient) kann sich eine Verteilung mit örtlicher Rückströmung (negative Geschwindigkeitswerte) einstellen, s Bild 6.6. Man muss sich die Verteilung so vorstellen, daß die Schleppwirkung der oberen Platte die vom Druckgradienten aufgeprägte Rückströmung im unteren Bereich nicht verhindern kann. Ist der positive Druckgradient hinreichend klein, oder die Schleppwirkung hinreichend groß, so kann die Rückströmung auch unterdrückt werden. Für dp/dx 0 Pa/m (negativer Druckgradient) ergeben sich in diesem Vergleich die größten Geschwindigkeiten. Hier muss man sich vorstellen, dass die Schleppwirkung der oberen Platte die vom Druckgradienten aufgeprägte Vorwärtsströmung noch unterstützt, s Bild 6.6.
Bild 6.6. HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung bei unterschiedlichem Druckgradienten dp/dx , a Geschwindigkeitsverteilungen v x ( y ) ; b Schubspannungsverteilung W ( y )
Nach dem NEWTON-Schubspannungsansatz (Gl.I-6.1) W Gl. (6.32) ist:
Kdv x / dy und mit
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung
W ( y)
v0
K h
dp § h · ¨ - y¸ . dx © 2 ¹
91
(6.34)
Die Schubspannungsverteilung ist also eine lineare Funktion von y. Bild 6.6 zeigt wiederum die Fallunterscheidungen nach dem Druckgradienten dp / dx . Die Lage der Nulldurchgänge ist durch das Maximum und Minimum der Geschwindigkeitsverteilungen gegeben. Um dem Ziel des volumetrischen Mittelwertes näherzukommen, muss der Umweg über den Volumenstrom gegangen werden. Der Volumenstrom V durch den Kanal bei einer Kanalbreite b ist: h
V
³v
x ( y)
b dy .
(6.35)
0
Mit Gl.(6.32) ergibt sich: V
v0
bh dp bh 3 . 2 dx 12K
(6.36)
Diese Gleichung trägt den Namen HAGEN-POISEUILLE-Gesetz. Das Gesetz beschreibt den Volumenstrom zwischen zwei parallelen Platten für eine ebene stationäre Schichtenströmung (laminare Strömung). Der volumetrische Mittelwert der Geschwindigkeitsverteilung v x ( y ) ist wie folgt definiert: v vol
V . bh
(6.37)
Mit Gln.(6.36) und (6.37) ergibt sich schließlich das Ergebnis: v vol
v 0 dp h 2 . 2 dx 12K
(6.38)
Zwei Sonderfälle der HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung sind technisch interessant: 1. v 0 z 0 , dp / dx 0 , ebene COUETTE-Strömung (Viskosimeterströmung), 2. v 0 0 , dp / dx 0 , ebene POISEUILLE-Strömung (Spaltströmung). Zur ebenen COUETTE-Strömung: Aus Gl.(6.38) folgt v vol v 0 / 2 . Der volumetrische Mittelwert v vol , der Abstand h der beiden Platten und die kinematische Viskosität Ȟ bilden zusammen die sog. REYNOLDS-Zahl (s. Kap.13):
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
92
v vol h . Ȟ
Re
(6.39)
Somit folgt: vx v vol
2
y und h
y 2 v vol , h
vx
und nach Gl.(I-6.1) für die Schubspannung:
W
K
dv x dy
2K
v vol h
2
UȞ v vol h
v vol 2 ,
und schließlich
W
4 U 2 v vol . Re 2
(6.40)
Für diesen Fall dp/dx = 0 ist also festzustellen: Die Geschwindigkeitsverteilung ist linear, s. Gl.(6.33), und die Schubspannung ist konstant, s. Gl.(6.40). Dieser Zusammenhang ist für den Betrieb des sog. COUETTE-Viskosimeters von großer Bedeutung. Zur ebenen POISEUILLE-Strömung: Aus Gl.(6.38) folgt für die volumetrisch gemittelte Geschwindigkeit: v vol
dp h 2 . dx 12K
(6.41)
Wird die REYNOLDS-Zahl nach Gl.(6.39) gebildet, so erhält man von Gl.(6.32) und Gl.(I-6.1):
W
12 § y·U 2 ¨1 2 ¸ v vol . Re © h¹ 2
(6.42)
Bild 6.7 veranschaulicht die v x ( y ) - und W ( y ) -Verteilungen. Die Geschwindigkeitsverteilung ist parabolisch und die Schubspannungsverteilung linear.
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung
93
Bild 6.7 Ebene POISEUILLE-Strömung zwischen zwei festen Platten mit Geschwindigkeitsverteilung v x ( y ) und Schubspannungsverteilung W ( y )
Es ist wichtig festzustellen, dass die Geschwindigkeitsverteilung in Kanalmitte ein Maximum von v x.max 1,5 v vol woraus folgt: v vol
2 v x.max 3
(6.43)
und die Schubspannungsverteilung dort einen Nulldurchgang aufweist. Der negative Druckgradient kann auch als längenbezogener Druckverlust in Pa/m aufgefasst werden. Bezeichnet man nach DIN 24 260 den Verlust mit ¨pJ, so ist nach Gl. (6.41):
dp dx
'p J l
12 K
v vol h2
.
(6.44)
Der Druckverlust auf der Spaltstrecke l und der Höhe h ist also proportional zur volumetrisch gemittelten Strömungsgeschwindigkeit. Nach Einführung von Re v vol h /Q mit Q K /U ergibt sich: 'p J
24 l U 2 v vol . Re h 2
(6.45)
24 l als Verlustkoeffizienten ] zu bezeichnen. Re h Die Gleichungen (6.36) und (6.45) werden technisch angewendet bei der Berechnung von Spaltströmungen durch axiale Spaltdichtungen und von Leckströmungen durch Risse.
Es ist üblich, den Ausdruck
94
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung Die laminare Rohrströmung durch ein kreiszylindrisches Rohr mit dem Radius R ist das rotationssymmetrische Analogon zu der ebenen HAGENPOISEUILLE-Schichtenströmung, Kap. 6.2. Die Herleitung der Lösung kann mit Hilfe der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung (I-6.14...6.16) in Zylinderkoordinaten r , 4, x erfolgen (I-6.20...6.22), wobei für eine Parallelströmung v r und v 4 0 m / s sind. Bezeichnet man die Koordinate in Richtung der Rohrachse mit x und entsprechend die axiale Geschwindigkeitskomponente mit v x , so folgt aus der Kontinuitätsgleichung (I-6.23) mit v r und v 4 0 m / s : wv x / wx 0 und somit v x v x (r ) , während nach NAVIER-STOKES der Druck p nur von x abhängen kann. Bild 6.8 zeigt diese Abhängigkeit v x v x (r ) sowie die funktionale Abhängigkeit p(x), die hier als 'p J als Druckverlust auf der Rohrstrecke l gedeutet werden kann (Druckabfall in Strömungsrichtung aufgrund der Dissipation).
Bild 6.8. Rotationssymmetrische HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung mit Geschwindigkeitsverteilung v x (r )
Im Folgenden soll für eine Rohrstrecke dieser Druckverlust 'p J bestimmt werden, außerdem das Geschwindigkeitsprofil v x (r ) , sowie der daraus resultierende Volumenstrom V . Gegeben: d = 2R dp/dx < 0
K
Lichter Rohrdurchmesser in m , Druckgradient in Pa/m in Strömungsrichtung und Dynamische Viskosität in Pa s.
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung
95
Vorausgesetzt: - Inkompressibles Fluid, U = const, - Ebene Strömung, v r und v 4 = 0 m/s, - Vernachlässigbares Feldglied, f 0 , - Stationäre Strömung, wv/wt = 0 , - Druckabhängigkeit nur in Strömungsrichtung, wp/wr 0 aus NAVIERSTOKES-Bewegungsgleichung (I-6.20) und wp/w4 0 aus (I-6.21), so gilt: p p(x) mit wp / wx dp / dx , - Rotationssymmetrische Strömung, v x
v x (r ) mit wv x / wr
dv x / dr ,
- Keine Geschwindigkeitsabhängigkeit in Strömungsrichtung w v x /wx = 0 aus der Kontinuitätsgleichung (I-6.23) und - Verwendung von Zylinderkoordinaten r , 4, x . Gesucht: 1. Geschwindigkeitsprofil v x (r) , 2. Volumenstrom V und 3. Druckverlust 'p J je Meter Rohrstrecke. Lösung: Zu 1.: Von der axialen Komponente der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung (I-6.22) folgt:
0
1 dp 1 d § dv x · Q ¨r ¸. r dr © dr ¹ U dx
(6.46)
Da p p (x) eine Funktion von x und v x v x (r) eine Funktion von r ist, kann Gl.(6.46) nur dann erfüllt werden, wenn: 1 dp
K1
U dx
(6.47)
und K1
Q
r
d § dv x · ¨r ¸. dr © dr ¹
(6.48)
ist, s. Gl.(6.29) und (6.30). Nach zweifacher Integration von Gl.(6.48) ergibt sich folgende Geschwindigkeitsverteilung: v x (r )
K1 2 r K 2 ln r K 3 . 4Q
(6.49)
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
96
Hierbei sind folgende Randbedingungen zu beachten: Die Geschwindigkeit auf der Rohrachse r = 0 m soll endlich sein und die Wandhaftbedingung verlangt v x ( R) 0 m/s. Daher sind die Integrationskonstanten: K2
0
(6.50)
und K3
K1 2 R . 4Q
(6.51)
Führt man K 2 und K 3 in Gl.(6.49) ein und ersetzt die Konstante K1 durch Gl.(6.47), so erhält man: v x (r )
2 R 2 § dp · ª § r · º ¨ ¸ «1 ¨ ¸ » . 4K © dx ¹ «¬ © R ¹ »¼
(6.52)
Die Geschwindigkeitsverteilung ist bei der laminaren Rohrströmung parabolisch, und v x (r ) hat das entgegengesetzte Vorzeichen des Druckgradienten dp/dx . Die Gleichung (6.52) lässt sich auch aus der folgenden Betrachtung des Kräftegleichgewichts am zylindrischen Fluidelement herleiten (s. Bild 6.9):
Bild 6.9. Rotationssymmetrische HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung zur äquivalenten Herleitung von Gl. (6.52)
Das Kräftegleichgewicht des zylindrischen Fluidelements in x-Richtung lautet: ( p1 p 2 ) A W A0 0 mit A S r 2 und A0 2S r'x .
6.3 HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung
97
Hieraus folgt: ( p1 p 2 ) S r 2 W 2S r 'x
0.
Dividiert man diese Gleichung durch 2S r 'x , so ergibt sich: 'p r W 2'x
0 und mit
'p dp { : 'x dx
r dp . (6.53) 2 dx Ersetzt man nun W durch den NEWTON-Schubspannungsansatz, Gl.(I-6.1), so ist mit y { r:
W
W
K
dv x dr
r dp . 2 dx
(6.54)
Nach Integration dieser Gleichung und Einführen der Randbedingung v x m/s bei r = R folgt wieder Gl.(6.52).
0
Zu 2.: Der Volumenstrom V durch das Rohr beträgt: R
V
³v
x ( r ) 2S
r dr .
(6.55)
0
Setzt man nun für v x (r ) Gl. (6.52) ein, so ergibt die Integration: V
SR 4 § dp · ¨ ¸ . 8 K © dx ¹
(6.56)
Gleichung (6.56) stellt das HAGEN-POISEUILLE-Gesetz für laminare Rohrströmung dar. Die volumetrisch gemittelte Geschwindigkeit v vol wird damit:
v vol
V S R2
R 2 § dp · ¨ ¸ . 8 K © dx ¹
(6.57)
Das Geschwindigkeitsprofil Gl.(6.52) lässt sich damit schreiben als: v x r v vol
ª § r ·2 º 2 «1 ¨ ¸ » . «¬ © R ¹ »¼
(6.58)
Die maximale Geschwindigkeit auf der Rohrachse (r = 0 m) ist damit: v max
2 v vol .
(6.59)
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
98
Dieser Zusammenhang ist in Bild 6.8 vermerkt. Die Schubspannung ergibt sich mit Gln. (6.58) und (6.57) zu:
W
K
dv x dr
4K
v vol r R R
r dp . 2 dx
(6.60)
Die Schubspannung ist also eine lineare Funktion von r. Zu 3.: Der Druckverlust im Rohr für eine Rohrlänge l ist nach Gl.(6.60):
'p J l
§ dp · ¨ ¸ © dx ¹
8K
v vol . R2
(6.61)
Führt man die REYNOLDS-Zahl
Re
v vol d
Q
(6.62)
ein, so ergibt sich der Druckverlust 'p J je Meter Rohrlänge zu:
'p J l
64 1 U 2 v vol . Re d 2
(6.63)
Es sei nochmals daran erinnert, dass es sich hier um eine laminare Rohrströmung handelt, d.h. die REYNOLDS-Zahl Re muss die Bedingung erfüllen: Re d 2320, s. Gl.(I-11.6).
6.4 Schleichströmungen 6.4.1 Vorbemerkungen
Strömungen mit sehr langsamen Bewegungen eines Fluids mit relativ großer Viskosität werden Schleichströmungen genannt. Bei diesen Strömungen dominieren die Reibungskräfte über die Trägheitskräfte. Die Schleichströmungen sind als Lösungen der NAVIER-STOKES-Gl. für den Grenzfall sehr kleiner REYNOLDS-Zahlen anzusehen: Re o 0, Schleichströmungen mit
Re = v h /Q, v typische Strömungsgeschwindigkeit im Spalt,
6.4 Schleichströmungen
99
h Spaltweite und Q kinematische Viskosität. Zum Vergleich sei schon jetzt auf die Grenzschichtströmungen (s. Kap.9) hingewiesen. Hier handelt es sich um den Fall sehr großer REYNOLDSZahlen: Re !! 1, Grenzschichtströmungen . 6.4.2 Strömung im Axial-Segmentlager Bild 6.10 stellt eine Prinzipskizze eines Axial-Segmentlagers dar. Derartige Lager finden sich z.B. in großen Wasserturbinen, s. Bild 6.11. In der Praxis werden diese Lager auch Spurlager oder nach einem ihrer Erfinder MICHELL-Lager genannt. Die eigentliche Erfindung dieses Lagers geht auf das Jahr 1886 zurück und wird REYNOLDS zugeschrieben, vergl. REYNOLDS, O.: Phil.Trans. of the Royal Society, Part I, London 1886 und MICHELL, A.G.M.:Z. Math. u. Phys. 52, S.123, Göttingen 1905.
Bild 6.10. Geschwindigkeitsverteilung v x ( x, y ) und Druckverteilung p(x) im AxialSegmentlager, bestehend aus rotierender Spurscheibe und ca. zwölf feststehenden Segmenten (Kissen) am Umfang
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
100
Bild 6.11. FRANCIS-Wasserturbine mit Axial-Segmentlager
Um das Axial-Segmentlager näher zu betrachten, wird folgende Aufgabe analytisch gelöst. Gegeben: Mittlere Spalthöhe hm = 5 Pm, Mittlere Lagerlänge l = 0,500 m Relative Spaltverjüngung H = 1 Promille, Physikalische Daten des Öls: Ȟ 50 10 6 m 2 / s , U 900 kg / m 3 , Spurscheiben-Umfangsgeschwindigkeit v 0 10 m / s und Umgebungsdruck pa 1013 mbar . Aus den gegebenen Werten ergibt sich die REYNOLDS-Zahl zu: Re
v 0 hm Ȟ
1.
(6.64)
Diese niedrige REYNOLDS-Zahl kann in der Strömungslehre als Null angesehen werden (Schleichströmung).
6.4 Schleichströmungen
Vorausgesetzt: Stationäre Strömung w v / wt -
-
101
0,
Feldkräfte vernachlässigbar f 1 / U p Q ' v , Reibungskräfte dominieren über Trägheitskräfte Ȟ' v !! ( v) v , Keilwinkel äußerst klein (Steigung etwa 1:2500), d.h.: w2vx w2vx wv wv x x , , wx wy wx 2 wy 2 Ebene Strömung in x,y-Ebene mit v y wv y
0,
wx
wv y wy
0 ,
Gesucht: Druckverteilung p
w vy wx
2
0 m / s , vz
0 m / s , d.h.
2
2
0,
w vy wy 2
0 .
p(x) .
Lösung: Die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung (I-6.18) vereinfacht sich zu: 1 0 p Ȟ 'v .
U
Mit Ȟ K / U folgt die STOKES-Gleichung.: p K 'v wp wx
mit
K
(6.65)
w2vx wy
2
,
wp wy
stant. Hieraus folgt p
0 . Der Druck p über der Spalthöhe h ist also konp(x) und
wp kann auch wie folgt geschrieben werwx
den: dp dx
K
w2vx wy 2
.
(6.66)
Gleichung (6.66) wird zweimal integriert und mit folgenden vier Randbedingungen versehen: 1. v x ( x,0) v 0 , 2. v x ( x, h) 0 m/s , 3. p( x 0) p a und p ( x l) p a , 4.
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
102
woraus sich schließlich die Funktion v x ( x, y ) ergibt. Mit dieser Funktion wird der Volumenstrom V mit folgender Gleichung bestimmt: h( x)
V
b
³v
x ( x,
y )dy .
(6.67)
0
Hierbei ist die Breite b des Lagers als konstant anzusehen, s. Bild 6.10. Nach der Kontinuitätsgleichung muss der Massenstrom, d.h. mit U = const auch der Volumenstrom V konstant sein, woraus sich eine wichtige Bedingung für das Geschwindigkeitsfeld zwischen Spurscheibe und Segment ergibt: h( x)
³v
x ( x,
y )dy
const .
(6.68)
0
Schließlich bringt die Lösung der Gl. (6.66), die schon REYNOLDS 1886 in London und SOMMERFELD 1904 in Göttingen (Z. Math. u. Phys. 50, S.97, 1904) angegeben haben, folgendes Ergebnis
p( x)
pa
6 K v0 l hm
2
x§ l©
x· l¹
H ¨1 ¸
x· § ¨1 H 2H ¸ l¹ ©
2
.
(6.69)
Nun erhebt sich die Frage, an welcher Stelle x das Druckmaximum auftritt. Hierzu bildet man dp / dx 0 und findet: (1 H ) / 2 mit (1 H )
p max bei x / l
h1 / hm s. Bild 6.10
Mit H o 0 liegt p max bei x / l o 0,5 . Je größer die relative Spaltvergrößerung H ist, desto mehr verschiebt sich das Druckmaximum in Richtung des Austritts. Setzt man H o 0 (z.B. H = 1 Promille) in Gl.(6.69) ein, so erhält man für den Maximaldruck: p max
pa
U 2
v02
3H l . 2 1 H hm Re
Ist also l / hm sehr groß ( t 10 5 ) und die REYNOLDS-Zahl Re 1, so folgt mit den gegebenen Werten:
p max ! 130 bar .
(6.70) v 0 hm /Q bei
6.4 Schleichströmungen
103
Die Tendenz bei heutigen Axial-Segmentlagern geht in die Richtung p max ! 150 bar . Bild 6.12 zeigt ein Axial-Segmentlager-Lager mit Kippsegmenten, die eine der Axiallast angepasste Steigung ermöglichen.
Bild 6.12. Axial-Segmentlager mit Kippsegmenten, die eine der Axiallast angepasste Steigung ermöglichen
6.4.3 HELE-SHAW-Strömung
Eine bekannte Lösung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung für 11 Schleichströmungen ( Re o 0 ) bietet die sog. HELE-SHAW -Strömung. Hierbei handelt es sich um die Strömung zwischen zwei parallelen ebenen Wänden, die einen relativ kleinen Abstand 2h voneinander haben. In die Strömung werden beliebige Umströmungskörper (z.B. Zylinderscheiben, Strömungsprofilscheiben) eingesetzt, die von den beiden ebenen Wänden
11
HELE-SHAW, Henry Selby, geb.(1854) gest. (1941). Schottischer Physiker und Schiffbauer. Bekannteste Veröffentlichung: Investigation of the Nature of Surface Resistance of Water and of Stream Motion under certain experimental Conditions, Trans. Inst. Nav. Arch. XI (1898)
104
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
gehalten werden. Bild 6.13 zeigt einen HELE-SHAW-Versuch mit einer Zylinderscheibe in einer Schleichströmung.
Bild 6.13. Versuchseinrichtung zur Sichtbarmachung der HELE-SHAW-Strömung mit Geschwindigkeitsverteilung v x ( z )
Gegeben: v x 0,010 m / s , h 0,25 mm ,
K 1,0 10 -3 Pa s (Wasser bei 20°C) und U 1000 kg/m 3 . Gegeben seien ebenfalls die Druckgradienten in x- und y-Richtung. Mit diesen Daten ergibt sich eine REYNOLDS-Zahl Re 0,010 0,0005 10 6 5 .
von
Vorausgesetzt: Stationäre Strömung w v / wt 0 ; REYNOLDS-Zahl Re o 0 (Zähigkeitskräfte >> Trägheitskräfte, dies sei bei Re = 5 gerade noch gegeben), Ebene Strömung in der x,y-Ebene ( v z 0 m / s ), v-Änderungen in der x,y-Richtung << v-Änderungen in der z-Richtung, Feldkräfte vernachlässigbar, wv x wv x wv x , so dass gilt: dominiert über und wz wx wy
6.4 Schleichströmungen
105
w2vx ½ ° 2 wx 2 ° w v x , ¾ 2 w vx ° wz 2 2 ° wy ¿ -
wv y
dominiert über
wz
wv y wx
und
wv y wy
, so dass gilt:
w2vy ½ ° 2 wx 2 ° w v y . ¾ w2vy ° wz 2 wy 2 °¿ Gesucht: vx , vy . Lösung: Nach den gegebenen Voraussetzungen vereinfachen sich die NAVIERSTOKES-Bewegungsgleichungen (I-6.14...6.16) wie folgt: w2vx
wp wx
K
wp wy
K
wp wz
0.
wz 2
w2v y wz 2
,
(6.71)
und
(6.72)
(6.73)
Fasst man Gln.(6.71...6.73) zusammen, so erhält man die sog. STOKESGleichung: p K 'v .
(6.74)
Die zweimalige Integration der Gl.(6.74) mit folgenden Randbedingungen (s. Bild 6.13 linker Teil): wv x wz wv y wz
0 für z = 0,
0 für z = 0,
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
106
vx
0 für z = r h und
vy
0 für z = r h
liefert: vx
2 h 2 ª § z · º wp «1 ¨ ¸ » 2K «¬ © h ¹ »¼ wx
(6.75)
und
vy
2 h 2 ª § z · º wp «1 ¨ ¸ » . 2K ¬« © h ¹ ¼» wy
(6.76)
Gleichungen (6.75)...(6.76) lassen sich wie folgt beweisen: Integriert man Gl.(6.71), so folgt: wv x wz
1 wp z K 1 x, y . K wx
Mit der Randbedingung
wv x wz
0 für z
0 ergibt sich K1
0 . Die weitere
Integration liefert: 1 wp 2 z K 2 x, y . 2K wx
vx
Hier lautet die Randbedingung: v x Hieraus ergibt sich: 0
1 wp 2 h K 2 und K 2 2K wx
0 für z
rh .
1 wp 2 h . 2K wx
Schließlich ist: o vx
1 wp 2 z h2 2K wx
h2 2K
ª § z · 2 º wp «1 ¨ ¸ » «¬ © h ¹ »¼ wx
q.e.d.
Eine entsprechende Behandlung, ausgehend von Gl.(6.72), liefert Gl.(6.76) Im Folgenden soll die volumetrisch gemittelte Geschwindigkeit zwischen den beiden parallelen Wänden ermittelt werden. Hierzu wird wie folgt angesetzt: h
V
v x.vol b2h
³
b v x dz . h
6.4 Schleichströmungen
107
Hieraus folgt: h
³
b v x dz h
v x.vol
h 2 wp ª § z · º 2 «1 ¨ ¸ » dz h wx 0 «¬ © h ¹ »¼ 2
b 2h
³
2h 2K h
ª § z ·2 º ª z3 º h3 mit «1 ¨ ¸ » dz = « z 2 » = h 2 2h 3h ¼ 0 « © h ¹ ¼» ¬ 0¬ h
³
h 2 wp 3K wx
2 h . 3
Schließlich ist das Ergebnis: v x.vol
h 2 wp 3K wx
(6.77)
h 2 wp . 3K wy
(6.78)
und v y.vol
Rein formal können durch die Einführung einer Funktion ) mit )
h2 p , 3K
(6.79)
die Gln. (6.77) und (6.78) auch wie folgt erhalten werden: v x.vol
w) wx
und v y.vol
w) . wy
Mit Einführung der Größe ) nach Gl.(6.79) ergibt sich folgende Situation: die x-Komponente der volumetrisch gemittelten Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung nach der x-Richtung, die y-Komponente durch Ableitung nach der y-Richtung. Dieses Vorgehen entspricht formell der Vorgehensweise bei Potentialströmungen Gln. (I-7.12) und (7.13). Das Stromlinienbild der HELE-SHAW-Strömung zeigt in der Tat die gleichen Formen wie bei Potentialströmungen (keine Ablösungen, vorderer und hinterer Staupunkt), sind aber wegen der Zähigkeitseffekte physikalisch nicht mit ihnen verwandt. Der rechte Teil in Bild 6.13 (die Strömung eines viskosen Fluids) würde in einer Potentialströmung (Fluide ohne Reibung) identisch gleich aussehen.
108
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
6.4.4 Rieselfilmströmung Bild 6.14 zeigt eine offene Gerinneströmung auf leichter Neigung und geringer Tiefe h. Es handelt sich um eine ebene stationäre Rieselfilmströmung. Das Gas (Luft) über dem Rieselfilm nimmt keine wesentlichen Schubspannungen auf, so dass der Kontakt Rieselfilm-Gas als reibungsfrei gelten kann.
Bild 6.14. Ebene stationäre Rieselfilmströmung mit Geschwindigkeitsverteilung
Gegeben: pa Umgebungsdruck, U Fluiddichte des Rieselfilms, g Fallbeschleunigung, D Neigungswinkel, h Rieselfilmtiefe und Kinematische Viskosität (Q Wasser.20qC Q Vorausgesetzt: Stationäre Strömung, Inkompressibles NEWTON-Fluid,
1 10 6 m 2 / s ).
v x ( y)
6.4 Schleichströmungen
-
Konstante Viskosität, Laminare Schleichströmung ( Re o 0 ), Ebene Strömung ( v x v x x , y , v y 0 m / s , v z Freie Strömung mit wp/wx 0 , wp/wz 0 , Konstante Tiefe h und
-
Keine Schubspannung zwischen Wasser und Luft ( W y
-
109
0 m / s ),
0 N / m 2 ).
0
Gesucht: Aufstellung der Kontinuitätsgleichung und NAVIER-STOKES1. Bewegungsgleichung in kartesischen Koordinaten x, y, z, Bodendruck p y h , 2. Geschwindigkeitsverteilung v x ( y ) , 3. 4. Volumetrischer Mittelwert v vol und Bodenschubspannung (Sohlenbeanspruchung) W W = W y h . 5. Lösung: Zu 1: Aufgrund der Voraussetzungen vereinfachen sich die Kontinuitätsgleichung und die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung erheblich. Aus den Voraussetzungen:
wv x dv x wp , dy wx wy Kontinuitätsgleichung (I-2.9): vy
0 , vz
wv x wx
0,
0,
wp wy
wp dp und wz dy
0 folgt für die
0
(6.80)
und für die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichungen (I-6.14...6.16): w2vx
0
fx v
0
U fy
0
0 (z-Richtung, Gl.I-6.16).
wy 2
(x-Richtung, Gl.I-6.14 mit f x
wp (y-Richtung, Gl.I-6.15 mit f y wy
g sin D ),
(6.81)
g cos D ) und
(6.82)
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
110
Zu 2: Aus Gl.(6.82) folgt:
dp dy
U g cos D , Die Integration ergibt: p
Die Randbedingung y
pa
K1 . Somit ist:
U g y cos D pa und
p py
0 liefert p
U g y cos D K1 ,
U g h cos D pa .
h
(6.83)
Zu 3: Die Geschwindigkeitsverteilung im Rieselfilm folgt aus Gl.(6.81):
d2vx dy
2
g
Q
sin D . Diese Gleichung wird zweimal integriert:
dv x g y sin D K 2 . Mit der Randbedingung dv x / dy 0 für y=0 (da dy Q nach dem NEWTON-Schubspannungsansatz Gl.(I-6.1) W= 0 sein muss), ergibt sich K 2 = 0. So ist dv x dy
g
Q
y sin D .
(6.84)
Die letzte Integration liefert: vx
y2 g sin D K 3 . 2 Q
Aus der Randbedingung v x K3
0 für y = h folgt:
h2 g sin D . 2 Q
Letztendlich lautet das Ergebnis: v x y
1g sin D h 2 y 2 . 2Q
(6.85)
Das Geschwindigkeitsprofil v x y wird also durch eine Parabel dargestellt, deren Scheitel sich in der Phasengrenzfläche Wasser-Luft befindet (s. Bild 6.14).
6.5 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte
111
Zu 4: Die Definition des volumetrischen Mittelwertes lautet: h
³
b v x dy
h
v vol
V A
v vol
§ h3 h3 · 1g sinD ¨¨ ¸¸ hQ 6 ¹ © 2
0
hb
1 v x (y)dy , d.h. h0
³
1g 2 h sin D . 3Q
In der Praxis wird häufig das Verhältnis v vol v x.max
(6.86)
v vol verwendet. Dieses beträgt v x.max
2 . 3
(6.87)
Gleichung (6.87) leitet sich wie folgt her. Der Maximalwert v x.max ergibt sich aus Gl.(6.85) mit y = 0 zu: 1g 2 h sin D . 2Q
v x.max
(6.88)
Setzt man die Gln. (6.86) und (6.88) ins Verhältnis, so folgt wieder Gl.(6.87). Es ist also wichtig zu wissen, dass der volumetrische Mittelwert als Maß für den Volumenstrom im Rieselfilm allein aus einer Lasermessung der Geschwindigkeit an der Oberfläche ermittelt werden kann. Zu 5: Die Schubspannung berechnet sich nach dem NEWTON-Schubspannungsansatz Gl.(I-6.1) zu § dv x © dy
· ¸¸ . So folgt durch Einsetzen von Gl.(6.84): ¹y h
WW
K ¨¨
WW
U gh sinD .
(6.89)
Der Betrag von W W ist in Bild 6.14 eingezeichnet. Die Sohlenbeanspruchung ist also umso größer, je steiler und je tiefer der Rieselfilm ist.
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
112
6.5 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte 6.5.1 Strömung im Schwerkraftfeld
Wie bekannt lautet die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung: wv v v wt
f
1
U
p Q' v .
f ist die Feldkraft pro Masse und sei hier als Schwerkraft der Erde verstanden. Nach Einführung einer sog. „Potentialfunktion“ U des Schwerkraftfeldes erhält man: g z const .
U
(6.90)
Diese Notation setzt voraus, dass die z-Richtung gegen die g-Richtung weist. Gleichung (6.90) lässt sich für den allgemeinen Fall auch schreiben als: f
U ,
f
wU ½ 0 fx ° ° x ° wwU ° ° ° 0 fy ¾ , ® ° wy ° ° wU g f ° z° ¯° wz ¿
(6.91)
mit
In der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung lautet daher das Glied 1 f p wie folgt:
U
f
1
U
p
U
1
U
p
1
U
p UU
(6.92)
Der Klammerausdruck trägt den Namen „reduzierter Druck“ p red mit p red
p UU
p Ugz .
(6.93)
Nach Einsetzen in die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung erhält man schließlich:
6.5 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte
wv v v wt
1
U
p red Q ' v .
113
(6.94)
Die Feldkraft ist also durch Einführung des reduzierten Druckes p red eliminiert worden. Man erkennt: die absolute Größe des reduzierten Drucks p red beeinflusst nicht das Geschwindigkeitsfeld v( x , y , z ,t ) ; nur die lokalen Veränderungen p red üben einen Einfluss aus. 6.5.2 Strömung eines geschichteten Fluids
Unter einem geschichteten Fluid versteht man ein inkompressibles (volumenbeständiges) Fluid mit einem Dichtegradienten U z 0 . Als Beispiele können hier gelten: Wasserschichten unterschiedlicher Temperatur (z.B. in Baggerseen), Öl/Wasser-Schichten nach Tankerhavarien und Unterwasser-Süßwasserquellen im Meer, wie man sie z.B. in der Nähe von griechischen Inseln findet (s. Bild 6.15).
Bild 6.15 Zur Strömung im geschichteten Fluid bei einer Süßwasserquelle am Meeresgrund
Zunächst muss die Frage geklärt werden, was „inkompressibel“ genau bedeutet. Bei einem inkompressiblen Fluid müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 1.
div v v
2.
dȡ dt
wv x wv y wv z wx wy wz
0
wU wU wx wU wy wU wz wt wx wt wy wt wz wt
(6.95) wU wU wU wU vx vy vz wt wx wy wz
Diese Bedingung für U = const lässt sich auch kürzer schreiben:
0
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
114
dU dt
wU v U wt
0 .
(6.96)
Gleichung (6.96) beantwortet also die Frage, was „inkompressibel“ genauer als U = const bedeutet. In Gl.(6.96) ist der Dichtegradient U wie folgt definiert: U
ex
wU wU wU ez ey . wz wy wx
(6.97)
Der Ausdruck v U in Gl.(6.96) wird zu Null, wenn die Geschwindigkeit v senkrecht zum Dichtegradienten U steht, s. Bild 6.15. Mit der bekannten Potentialfunktion U gz const des Erdschwerefeldes wird die auf die Masse bezogene Feldkraft f wird wie folgt umgeformt:
f
U
U
U
U
1
U
( UU ) ;
dies folgt aus der Produktregel: UU U U U U und weiterbehandelt: U U UU und
U U f
U
U
U
U
1
U
UU q.e.d.
Eingesetzt in die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung: wv ( v ) v wt f
U
U
U
f 1
U
wv ( v ) v wt
1
U
p Q' v und mit
UU ergibt sich:
1
U
p UU
U
U
U Q 'v .
(6.98)
Der Ausdruck p UU trägt den Namen „reduzierter Druck“ p red . Man erkennt, dass bei Dichtegradienten z 0 ein Zusatzglied in der NAVIERSTOKES-Bewegungsgleichung auftritt. Es findet keine Kopplung mit dem Geschwindigkeitsfeld v( x, y, z , t ) statt, wenn der Dichtegradient U senkrecht
6.5 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte
115
zur Geschwindigkeit v steht, d.h. Dichtegradient und Geschwindigkeit haben keine gemeinsamen Komponenten in einer Richtung. 6.5.3 Strömung im rotierenden System
Nach Gl.(I-4.32) v u w existieren in rotierenden umströmten oder durchströmten Systemen drei Arten von Geschwindigkeiten: 1. u Z u r 2. w 3. v
Umfangsgeschwindigkeitsvektor (Systemgeschwindigkeit) mit Z Winkelgeschwindigkeitsvektor und r Ortsradiusvektor, Relativgeschwindigkeitsvektor (vom mitrotierenden Beobachter wahrgenommen) und Absolutgeschwindigkeitsvektor (vom außenstehenden Beobachter wahrgenommen).
Bild 6.16. Beschleunigungen eines Masseteilchens dm in der unmittelbaren Nachbarschaft eines radialen Strömungsmaschinenlaufrades
Wie aus Bild 6.16 ersichtlich, unterliegt das Masseteilchen dm folgenden drei Beschleunigungen (Kräften/Masse): 1. Substantieller Beschleunigung
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
116
ww ( w ) w , wt
dw dt
a subst
(6.99)
12
2. CORIOLIS -Beschleunigung 2 Z u w und
a COR
(6.100)
3. Zentrifugalbeschleunigung ac
rZ 2 .
(6.101)
Aus diesen drei Beschleunigungen setzt sich die resultierende Beschleunigung eines Teilchens in einer Relativströmung zusammen. Diese drei Beschleunigungen definieren die folgenden differentiell kleinen Kräfte (Aktionskräfte: von der Struktur auf das Fluid): 1. Substantielle Trägheitskraft d F subst a subst dm , 2.
CORIOLIS Trägheitskraft d F COR
3.
Zentrifugale Trägheitskraft d F C
a COR dm und a C dm .
Die drei Beschleunigungen a subst , a COR und a c bilden die resultierende Beschleunigung, die nun in die NAVIER STOKES Bewegungsgleichung (I-6.17) anstelle der substantiellen Beschleunigung eingesetzt wird; ebenso muss Gl.(I6.17) auf die Belange der Relativströmung transformiert werden, d.h. es wird anstelle des Reibungsterms Q ' v der Ausdruck Q ' w eingeführt. So lautet die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung: dw 2 Z u w r Z 2 dt
f
1
U
p Q 'w .
Durch Substitution ergibt sich mit
Z r
w
2 2
Z 2r 2
2Z 2 r 2
2 wr
rZ 2 ist) und
ac
f
U mit U = gz + const (const = 0 gesetzt):
dw dt
2
1
U
(da
p U
Z 2r 2 2
2 Z u w Ȟ ' w .
(6.102)
12
CORIOLIS, Gasparol Gustave de, geb. 1792, gest. 1843. Franz. Ingenieur und Physiker. Du calcul de l´effet des machines 1829
6.5 Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung äußerer Kräfte
117
Teilt man d w / dt in lokale und konvektive Beschleunigung auf, so erhält man letztendlich die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung im Relativsystem als: ww ( w ) w wt
U § · ¨ p Ugz Z 2 r 2 ¸ 2 Z u w Ȟ' w . U © 2 ¹ 1
(6.103)
Diese Gleichung stellt die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung für rotierende umströmte bzw. durchströmte Systeme dar; sie spielt eine große Rolle bei der Berechnung der hydrodynamischen Verhältnisse in Strömungsmaschinen, findet aber auch Anwendung in der Meteorologie und Ozeanographie. Der erste Klammerausdruck auf der rechten Seite von Gl. (6.103) wird in der Regel wie folgt als reduzierter Druck abgekürzt: pred
p Ugz
U 2
Z 2r 2 .
(6.104)
So folgt schließlich: ww ( w ) w wt
1
U
pred 2 Z u w Ȟ' w .
(6.105)
Man beachte das CORIOLIS-Zusatzglied bei Relativbewegungen im rotierenden System. Das Glied wird Null, falls w Z . 6.5.4 Strömung im Magnetfeld
Bewegungen von elektrisch leitenden Fluiden (z.B. flüssiges Natrium) in einem magnetischen Feld werden von der Magnetohydrodynamik (MHD) 13 beschrieben. In diesem Fall tritt eine zusätzliche Kraft, die LORENTZ -Kraft, auf. Um sie zu beschreiben, müssen die drei folgenden Größen eingeführt werden: 1. j Stromverteilung in A/m², 2. B Magnetische Induktion in N/(m A) (hier war früher die Einheit Tesla üblich) und 3. v Induzierte Geschwindigkeit in m/s. Diese induzierte Geschwindigkeit wird in sog MHD-Pumpen (Flüssigmetallpumpen) funktional eingesetzt. Aus j und B ergibt sich die LORENTZ-Kraft F LOR je Masse m zu:
13
LORENTZ, Hendrik Antoon, geb. 1853 in Arnheim, gest. 1928 in Haarlem. Niederländischer Physiker, 1877 Professor in Leiden
6 Anwendung der NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung
118
FLOR m mit
1
U
( j u B)
(6.106)
U
Dichte des Fluids, z.B. Natrium, flüssig im Temperaturbereich 98°C ...892°C mit U = 971 kg/m³. Wie aus Bild 6.17 ersichtlich wirkt die LORENTZ-Kraft F LOR gegen die vRichtung; das macht sich z.B. dadurch bemerkbar, dass Geschwindigkeitsspitzen (1) im starken Magnetfeld B abgeflacht (2) werden.
Bild 6.17. Zur Bewegungsgleichung für Strömungen im Magnetfeld. (1) Strömung im schwachen Magnetfeld, (2) Strömung im starken Magnetfeld
So lautet die Bewegungsgleichung im Magnetfeld: wv ( v ) v wt
1
U
p Ugz
1
U
( j u B ) Ȟ' v .
(6.107)
Der erste Klammerausdruck auf der rechten Seite von Gl. (6.107) wird wie bei Gln. (6.103 und 6.105) durch den reduzierten Druck ersetzt: p red
p Ugz .
Somit wird aus Gl.(6.107):
wv ( v )v wt
1
U
p red
1
U
( j u B ) Ȟ' v .
(6.108)
Man beachte die Ähnlichkeit des Gleichungsaufbaus wie bei Gl. (6.105), nur dass hier statt der CORIOLIS-Beschleunigung das LORENTZ-Zusatzglied ( j u B ) / U auftritt. Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
7
Potentialströmung inkompressibler Fluide
7.1 Funktionentheorie für ebene Potentialströmung Bekanntlich kann eine komplexe Zahl z in der GAUSS-Zahlenebene (s. Bild 7.1) wie folgt dargestellt werden: z
x iy
r e iM
r cos M i r sin M
(7.1)
und die konjugiert komplexe Zahl: z mit x
x iy
r e iM
r cos M , y
r cos M i r sin M r sin M und r 2
(7.2)
x2 y2 .
Bild 7.1 Komplexe Zahl z und konjugiert komplexe Zahl
z in der GAUSS-Zahlenebene
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
120
Man führt nun ein sog. komplexes Strömungspotential W = W(z) ein und stellt drei Behauptungen (mit Beweis) auf: 1. Behauptung: Es gibt bei Potentialströmungen immer ein komplexes Strömungspotential W mit: W ( z)
) ( x, y ) i < ( x, y ) .
(7.3)
Hierbei sind: ) ( x, y ) Geschwindigkeits-Potentialfunktion und < ( x, y ) Stromfunktion (s. Kap. I-7.2) Mit diesen beiden Funktionen wird definiert, Gln.(I-7.12,7.13,7.18 und 7.19): vx
w) wx
w< und wy
(7.4)
vy
w) wy
w< . wx
(7.5)
Beispiel: Die ebene Potential-Staupunktströmung (s. Kap. I-7.3.2) lautet in der Formulierung des komplexen Strömungspotentials: W ( z)
C z²
C ( x iy )²
C ( x ² y ²) i C 2 xy
(7.6)
mit C als Einheitenkonstante, z.B. C 1 s 1 . Bezeichnet man den Realteil mit ) und den Imaginärteil mit < , so erhält man: W ) i< , ) C ( x ² y ²) und < C 2 xy . Hieraus lässt sich wiederum gewinnen: v x wI / wx w\ / wy C 2 x und v y wI / wy w\ / wx C 2 y . 2. Behauptung: Die konjugiert komplexe Geschwindigkeit v ergibt sich aus:
dW dz
vx i vy
v .
(7.7)
Beweis:
z wW wx
x i y, wz / wx 1, W dW wz dz wx
dW dz
W ( z ), dW / dz w) w< i wx wx
wW / wx wx / wz ,
v x i v y , d.h.
7.1 Funktionentheorie für ebene Potentialstömung
dW dz
121
v x i v y , q.e.d.
Beispiel: Ebene Potential-Staupunktströmung: dW dz
W z Cz 2 , vx
C 2z
C 2x i C 2 y
v x i v y , d.h.
C 2 y , s. Bild I-7.7.
C 2 x und v y
3. Behauptung: Die komplexe Geschwindigkeit v folgt aus:
dW dz
vx i vy
v
(7.8)
Beweis: wW wx
dW dz
w) w< . i wx wx
Dieser Ausdruck lautet konjugiert komplex: wW wz
w) w< i wx wx
v x i v y , q.e.d.
Beispiel: Ebene Potential-Staupunktströmung: W ( z)
dW dz vx
Cz ² , dW / dz C 2x i C 2 y C 2 x, v y
C2z
C 2x i C 2 y ,
v x i v y , d.h.:
C 2 y , q.e.d. s. Bild I-7.7.
Um das Vorgehen zu erleichtern, folgt nun eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Zusammenhänge bei der hier behandelten ebenen Potentialströmung: 1. Grundgleichungen Definition der Potentialströmung rot v 0 , -
Potentialfunktion
) ) ( x, y ) mit v x
w) / wx und v y
w) / wy ,
-
Stromfunktion
<
w< / wy und v y
w< / wx ,
-
< ( x, y ) mit v x
Zwei LAPLACE-Gleichungen: 1. Kontinuitätsgleichung
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
122
wv x wv y wx wy
0,
w 2) w 2) 2 wy wx 2
') 0 ,
2. Potentialströmungsbedingung: rot v -
0,
w 2< wx 2
w 2< wy 2
'<
0,
Zwei CAUCHY-RIEMANN-Differentialgleichungen: vx
w) wx
w< , in Zylinderkoordinaten: v r wy
w) wy
w) wr
1 w< r wM
und vy
w< , bzw. v M wx
1 w) r wM
w< . wr
2. Funktionentheorie: -
Komplexe Zahl z
xi y
re iM
r cos M i r sin M ,
Konjugiert komplexe Zahl z x i y re iM und Komplexes Strömungspotential W(z). Die wichtigsten drei Rechenregeln für das komplexe Strömungspotential 1. W ) i < , 2. dW / dz
v x i v y und
3. dW / dz
vx i vy .
3. BERNOULLI-Gleichung:
v2 p gz 2 U
const , die Konstante ist im gesamten Strömungsfeld gültig.
Bild 7.2 gibt eine Auswahl verschiedener bekannter komplexer Strömungspotentiale W(z). Es handelt sich hier um die „klassischen“ Strömungen: Parallelströmung, Quell- und Senkenströmung, Dipolströmung und Zylinderumströmung. In der Literatur finden sich noch weitere Beispiele, so z.B. in TRUCKENBRODT,E.: Fluidmechanik, Band 2, SPRINGER.
7.1 Funktionentheorie für ebene Potentialstömung
Bild 7.2. Auswahl bekannter komplexer Strömungspotentiale W(z)
123
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
124
7.2 Beispiele 7.2.1 Parallelströmung 7.2.1.1 Parallelströmung in x-Richtung
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential (s. Bild 7.3 a): W ( z) mit ) ( x, y )
kz
k ( x i y)
kx , < ( x, y )
vy
w) / wy
vx
v
k
kx i ky
ky , v x
w< / wx
)i <
w) / wx
w< / wy
k
0 , d.h.
vf .
7.2.1.2 Parallelströmung entgegen y-Richtung
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential (siehe Bild 7.3 b): W ( z) mit ) ( x, y )
i kz
ky i kx
ky , < ( x, y )
vy
w) / wy
vy
v
k
w< / wx
)i <
kx , v x
w) / wx
w< / wy
0
k ,d.h.
vf .
7.2.1.3 Parallelströmung unter Winkel M gegen x-Richtung
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential (s. Bild 7.3 c): W ( z)
ke iM z
k (cos M i sin M )( x i y ) k ( x cos M y sin M ) i k ( y cos M x sin M )
mit: ) ( x, y ) k ( x cosM y sin M ) und \ ( x, y ) k ( y cos M x sin M ) .
7.2 Beispiele
125
Die v x - und v y -Berechnung soll nun auf zwei verschiedene Arten durchgeführt werden: a) v x w) / wx vy v
k cos M und
w< / wy
w) / wy
w< / wx
2
vx vy
2
k
k sin M , d.h.
vf .
b) Nach Gl. (7.7) gilt: v
dW / dz
ke iM
vx
k cos M , v y
v
vx vy
2
2
k (cos M i sin M )
v x i v y d.h.
k sin M , woraus sich ergibt: k
vf .
Aus dem Beispiel 7.2.1.3 erkennt man, dass alle komplexen Strömungspotentiale der Form W
v e iM z Parallelströmungen beschreiben, die mit der Ge-
schwindigkeit v unter dem Winkel M gegen die positive x-Richtung gerichtet sind. Man erkennt an allen Beispielen auch, dass die Geschwindigkeit auf jeder Stromlinie in die Richtung weist, in der ) längs der Stromlinie zunimmt.
126
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
Bild 7.3. Stromlinien <= const, Äquipotentiallinien )= const für Parallelströmungen, a) Strömung parallel zur x-Richtung, b) Strömung parallel zur y-Achse, c) Parallelströmung unter Winkel M gegen x-Achse geneigt
7.2.2 Ebene Quell- und Senkenströmung
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential: W ( z)
k ln z
(7.9)
mit
k > 0 ebene Quellströmung und k < 0 ebene Senkenströmung. Die Weiterbehandlung ergibt: W (z) mit
k ln z
k ln(re iM )
k ln r i kM
7.2 Beispiele
Realteil = ) ( x, y )
k ln x 2 y 2 und
k ln r
Imaginärteil = < ( x, y ) kM
kr cos M / r 2
kr sin M / r 2
k cos M / r ,
ky x y2 2
k sin M / r ,
2
vx vy
d.h. v
2
w\ / wx
w) / wy
vy
k arctan y / x , d.h.
kx x y2
w\ / wy
w) / wx
vx
127
2
k r
v r r .
Die Geschwindigkeit nimmt also mit 1/r ab. v y /v x
kr sin M kr cos M
tan M .
In Bild 7.4 wird deutlich, dass die Stromlinien \ = const radiale Strahlen mit dem Steigungswinkel M darstellen. Die Gleichung der Stromlinien lautet: <
const
k arctan y / x
y/x = const bzw. M = const.
const , d.h.
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
128
Bild 7.4 Stromlinien <= const. (radiale Strahlen) und Äquipotentiallinien )= const (Kreise) für ebene Quell- und Senkenströmung; a) Quellströmung b) Senkenströmung
Die Äquipotentiallinien ) = const zeigen sich als Kreise um den Ursprung. Ihre Gleichung lautet: )
const 2
2
k ln x 2 y 2
mit x y = const und r = const. Bei einer ebenen Quell- oder Senkenströmung treten also nur radiale Geschwindigkeiten v r auf, die mit 1/r nach außen abnehmen. Für k > 0 (Quellströmung) weisen die Geschwindigkeiten nach außen, für k < 0 (Senkenströmung) nach innen. Der Ursprung (r = 0) stellt einen singulären Punkt mit v r o rf dar.
7.2 Beispiele
129
Bild 7.5 Zur Definition des Quellfadens
Bild 7.5 zeigt einen Quellfaden der Länge L. Im Folgenden soll anhand dieses Bildes der Begriff der „Ergiebigkeit“ (Quellstärke) eingeführt werden: Q V / L
mit
(7.10)
V Volumenstrom durch Mantelfläche A 2S rL , L Zylinderlänge und V v A . r
So ergibt sich mit v r (r ) Q
v r (r ) · A / L
k/r
2S k mit k
Q / 2S .
Man erkennt, dass die Ergiebigkeit vom Radius unabhängig ist. Der Name Quellstärke bedeutet k > 0. Die ebene Senkenströmung mit k < 0 ist analog zu berechnen, wobei für die „negative Quellstärke“ der Ausdruck „Senkenstärke“ verwendet wird. Es lässt sich relativ leicht beweisen, dass die ebene Quell- oder Senkenströmung drehungsfrei ist (Potentialströmung) und die Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Masse) erfüllt. Das komplexe Strömungspotential der Form W ( z ) k ln( z z 0 ) mit k Q / 2S stellt eine ebene Quell-Senken-Strömung mit der Ergiebigkeit Q in z 0 dar (s. Bild 7.6 a), während W ( z ) k ln( z c 2 / z ) eine Quelle 1 in (-c,0) s.Bild 7.6 b, Quelle 2 in (c,0) und eine Senke in (0,0) darstellt.
130
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
Bild 7.6. Quell-Senken-Strömung, a Quellströmung W(z)=kln(z-z0), b Quell-Senken- Strömung W(z)=k ln(z-c2/z)
Die Überlagerung einer Quelle Q mit einer Parallelströmung v f führt zu einem sog. Ebenen Halbkörper (EHK). Diese zusammengesetzte Strömung soll anhand des folgenden Beispiels (s. Bild 7.7) untersucht werden. Das Beispiel ist aber auch von Bedeutung bei der Entwicklung von Profilen der Strömungsmaschinen. Beispiel: Die Anströmung eines Brückenpfeilers in einem Fluss kann zur Minimierung der Verluste durch die Überlagerung einer Parallelströmung mit dem komplexen Potential Wp ( z ) v f z und einer Quellströmung mit dem komplexen Potential WQ ( z ) Q / 2S ln z zu einer resultierenden Strömung mit dem komplexen Strömungspotential
WEHK z v f z
Q ln z 2S
(7.11)
dargestellt werden. Die resultierende Geschwindigkeit v setzt sich aus der vP vf Parallelströmungsgeschwindigkeit und der Quellströmungsgeschwindigkeit v Q zusammen (s. Bild 7.7).
7.2 Beispiele
131
Bild 7.7. Zur Definition des Ebenen Halbkörpers mit vf Parallelströmungsgeschwindigkeit und vQ Quellströmungsgeschwindigkeit
Gegeben : Geschwindigkeit v f der Zuströmung, Statischer Druck pf in der Zuströmung, Dichte U des Fluids und Quellstärke Q. Vorausgesetzt: Ebene Potentialströmung rot v 0 , Stationäre Strömung, Inkompressibles Fluid und Feldkräfte f 0 (befinden sich nicht in der Betrachtungsebene). Gesucht: 1) Potentialfunktion ) EHK ( x, y ) und Stromfunktion <EHK ( x, y ) , 2) Geschwindigkeitsverteilung v x ( x, y ) und v y ( x, y ) , 3) Koordinaten xs und ys des Staupunktes S, 4) Druckverteilung p ( x, y ) entlang der Staupunktstromlinie < <S 5) Druck ps im Staupunkt S und 6) Maßstäbliches Strömungsbild (Zahlenbeispiel).
0,
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
132
Lösung: Zu 1. Zur Ermittlung der Potential- und Stromfunktion wird das komplexe Potential herangezogen: ) EHK i <EHK
WEHK
vf z
Q ln z 2S
Die Aufteilung in Parallel- und Quellströmung ergibt: Parallelströmung : ) P Quellströmung:
)Q
v f x ,
vf y ,
Q ln x 2 y 2 ,
Q y arc tan . 2S x
Hiermit folgt speziell für den Ebenen Halbkörper: ) EHK x, y ) P ) Q
vf x
Q ln x 2 y 2 , 2S
(7.12)
<EHK x, y
vf y
Q y arctan 2S x
(7.13)
Zu 2. Zur Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung wird die Potentialfunktion nach x und y abgeleitet:
v x x, y
w) EHK wx
vf
w) EHK wy
Q y 2 . 2S x y 2
Q x 2S x 2 y 2
(7.14)
und v y x, y
(7.15)
Zu 3. Um die Koordinaten xs und y s des Staupunkts S zu erhalten, werden Gln. (7.14) und (7.15) gleich Null gesetzt: x Q 2 s 2 , 2S xs y s
vx
0
vf
vy
0
ys Q . 2S xs 2 y s 2
Aus den Gln. (7.16) und (7.17) folgt:
(7.16)
(7.17)
7.2 Beispiele
xs
Q 2S v f
133
(7.18)
und ys
0 .
(7.19)
Zu 4. Zur Ermittlung der Druckverteilung p(x,y) entlang der Staupunktstromv2 p linie bedient man sich der BERNOULLI-Gl. gz const . 2 U Für die horizontale Strömung gilt: 2
v2 p . 2 U
p vf f 2 U
Hieraus folgt für p(x,y):
U
p ( x, y )
2
2
v f pf
U 2
v2 .
(7.20)
Für v² erhält man: 2
2
vx vy
2
· §Q § Q x y · ¸ , ¸ ¨ ¨ vf 2 2 2 ¸ ¨ ¨ 2S x y ¹ © 2S x y 2 ¸¹ ©
2
Eingesetzt in Gl.(7.20) ergibt:
U
p ( x, y )
2
2
v f pf
U §¨
Q x vf 2 ¨© 2S x 2 y 2
2
· y U§ Q ¸ ¨ ¸ ¨ 2S x 2 y 2 2 ¹ ©
hingegen für f x xs (Staupunktstromlinie y = 0): p( x)
U 2
2
v f pf
U§
2
Q · ¨¨ v f ¸ . 2© 2S x ¸¹
Gleichung (7.21) lautet im Fernfeld x o f :
lim p
xof
pf
Für den Bereich xs x f gilt Gl.(7.21) wie angegeben. Im Fernfeld x o f gilt lim p xof
pf .
2
· ¸ (7.21) ¸ ¹
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
134
Zu 5. Um den Druck im Staupunkt S zu bestimmen, wird in der BERNOULLI-Gleichung v s 0 gesetzt, womit man
U
ps
2
2
v f pf
(7.22)
erhält. Zu 6. Bild 7.8 zeigt das maßstäbliche Strömungsbild. Um dieses Bild zu gestalten, bedient man sich der allgemeinen Stromfunktion < EHK , Gl.(7.13), die nach x aufgelöst wird:
x
y º ª 2S tan « <EHK v f y » ¼ ¬Q
ª 2S º y cot « <EHK v f y » ¬Q ¼
(7.23)
Dies ist die Bestimmungsgleichung für die Stromlinien < EHK = const, beginnend mit < 0 m²/s (Staupunktstromlinie) und weitergehend in Schritten von '< = 1 m²/s. Die einzusetzenden y-Werte unterliegen zwei Gesetzen: -
Einer unteren Grenze, die durch die Parallelströmung x o f und Einer oberen Grenze, die durch die Parallelströmung x o f
bestimmt sind, d.h.
<EHK < Q y EHK . vf vf 2v f -
Die untere Grenze erklärt sich wie folgt: Aus WP v f z v f x i v f y ,
<EHK -
v f y und daraus y
y min
<EHK / v f .
Die obere Grenze leitet sich daraus ab, dass sich die Stromlinien asymptotisch einer Parallelströmung annähern, die um einen gewissen Betrag oberhalb der ankommenden Parallelströmung verläuft. Dieser Betrag ergibt sich aus der Gleichung
x
ª 2S º ycot « <EHK v f y » ¬Q ¼
x o f , d.h. der und der Bedingung 2S / Qx <EHK v f y S mit < EHK = 0 ergibt 2Sv f y / Q folgt: y o Q / 2 v f .
Ausdruck S , woraus
7.2 Beispiele
135
Es gilt also allgemein: y
y max
Ȍ EHK Q . vf 2v f
(7.24)
Innerhalb der Grenzen lassen sich nun Stützstellen auswählen und Punkte (x,y) berechnen, die die Lage der einzelnen Stromlinien festlegen (s. Bild 7.8)
Bild 7.8 Zahlenbeispiel zum ebenen Halbkörper
7.2.3 Potentialwirbel
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential:
W(z) mit
-i k ln z k>0 k<0
(7.25)
linksdrehendem und rechtsdrehendem Potentialwirbel.
Das Geschwindigkeitsfeld soll nun nach Gln. (7.3)...(7.5) berechnet werden. Danach gilt:
W
)i <
i k ln(re iM )
Hieraus ergibt sich :
i k (ln r iM )
kM i (k ln r ) .
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
136
)
kM
<
k ln r
k arctan y / x (Geraden) und k ln x 2 y 2 (Kreise).
Zu den Geschwindigkeiten v x und v y ist anzugeben: vx
w) wx
k
yx 2 y2 1 2 x
ky x y2 2
k sin M r
oder auch
vx
w< wy
1 1 2 x y2 2 2y k 2 x2 y2
ky x y2 2
k sin M . r
Dabei führt vy
w< wx
kx x y2
2
k cos M r
oder auch vy
w) wy
zu demselben Ergebnis. Bild 7.9 zeigt die Komponenten v x und v y sowohl für den links- als auch
für den rechtsdrehenden ebenen Potentialwirbel.
7.2 Beispiele
137
Bild 7.9 Stromlinien \ = const (Kreise) und Äquipotentiallinien ) = const (radiale Strahlen) für ebene Potentialwirbelströmung. a linksdrehender Wirbel b rechtsdrehender Wirbel
Der Betrag der Geschwindigkeit ist: v
2
vx vy
v
2
k r
(7.26)
Wie in Gl.(I-7.7) eingeführt, beträgt die strömungstechnisch relevante Zirkulation *
³ v ds hier:
(K )
*
k 2S r r
2S k
(7.27)
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
138
für alle Kreise mit Radius r. Dem in Gl.(7.25) eingeführten Faktor k kommt also die Bedeutung einer Zirkulation zu, und zwar: k
* . 2S
(7.28)
Gleichung (7.26) kann auch nach Gl.(7.7) hergeleitet werden: dW dz
vx i vy
i
v
k z
i
k e iM r
k k (i ) cosM i (i ) sin M r r k
sin M cos M i k r r
vx
k
sin M r
vy
k
cos M r
kx . x y2
ky , x2 y2
2
Daraus folgt: v
v
vM
k q.e.d. r
Gleichung (7.26) ist auch über Gl.(7.8) zu erhalten. dW / dz
vx
k
vy
k
vx i vy sin M r
cos M r
v
ky , x y2 2
kx . x y2 2
Hieraus folgt: v
v
vM
k
k , q.e.d. r
sin M cos M i k , r r
7.2 Beispiele
139
Es ist üblich, diese Geschwindigkeit, die nur als Umfangsgeschwindigkeit k auftritt, mit vM zu bezeichnen. Es ist also: vM (r ) oder r r vM (r )
const .
(7.29)
Wie aus Bild 7.9 a und b ersichtlich, sind für den Potentialwirbel die Stromlinien \ = const Kreise und die Äquipotentiallinien ) = const radiale Strahlen. Die Strömung besitzt nur Umfangskomponenten v M , die nach außen mit 1/r abnehmen. Wieder stellt der Ursprung (r = 0) einen singulären Punkt mit vM o f dar. Der rechte Teil des Bildes 7.9 zeigt die Geschwindigkeitsverteilung v M (r ) in einem Potentialwirbel. Es soll schon jetzt darauf hingewiesen werden, dass sich natürliche Wirbel wie RANKINE-Wirbel im Außenbereich annähernd wie ein Potentialwirbel, im Innern aber wie ein Festkörperwirbel verhalten (s.a. Kap.I-8.1). 7.2.4 Dipolströmung
Unter einer Dipolströmung versteht man das Strömungsfeld in der Umgebung eines sog. Dipolfadens. Ein Dipolfaden stellt eine Singularität dar, bei der ein Quellfaden der Ergiebigkeit Q o f und ein Senkenfaden der Ergiebigkeit Q o f unendlich nahe zusammenrücken. Bild 7.10 stellt diesen Sachverhalt dar.
Bild 7.10 Zur Entstehung des Dipols
Hierdurch entsteht folgendes Strömungsbild, s. Bild 7.11, das im Folgenden mathematisch beschrieben werden soll.
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
140
Hierzu lautet das komplexe Strömungspotential: W ( z)
k . z
(7.30)
Bild 7.11 Stromlinien \ = const (Kreise) und Äquipotentialllinien ) = const. für zwei ebene Dipolströmungen W(z)=k/z
Das Bild 7.11 zeigt auf der linken Seite die Stromlinien \= const für k > 0 und auf der rechten Seite für k < 0. Die Äquipotentiallinien I = const stehen wie gefordert senkrecht zu den Stromlinien \= const. \ (x,y) und I (x,y) stellen Kreise dar. Um v x und v y zu erhalten, wird folgender Weg eingeschlagen: W
k z
Mit cos M
k sin M . k cos M i r r
k iM e r x r
x 2
x y
2
und sin M
) ( x, y )
k cos M r
kx und x y2
< ( x, y )
k sin M r
ky . x y2
y r
y 2
x y2
folgt:
2
2
Die Linien ) =const. (Äquipotentiallinien) stellen Kreise durch den Nullpunkt mit Mittelpunkten auf der x-Achse dar, die Linien < = const (Stromlinien) ebenfalls Kreise durch den Nullpunkt, jedoch mit Mittelpunkten auf der
7.2 Beispiele
141
y-Achse. Für k > 0 verlaufen die Stromlinien < = const im positiven yBereich im Uhrzeigersinn, für k < 0 entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Geschwindigkeiten v x und v y werden z.B. nach den Gln.(7.4) und (7.5) wie folgt berechnet: vx
w< wy
vy
k y2 x2
x
w< wx
2
y
x
2
2 2
2kxy y
2 2
k cos 2M , r2
(7.31)
k sin 2M . r2
(7.32)
Der Betrag der Geschwindigkeit ist: v
2
vx vy
2
k / r2 .
Die Geschwindigkeit im Dipolfeld nimmt also umgekehrt proportional mit dem Quadrat des Abstands ab. Wenn auch die Dipolströmung wenig anschaulich ist, so hat sie doch ihre große Bedeutung bei der mathematischen Behandlung mehrerer überlagerter Potentialströmungen. Dies wird am folgenden Beispiel erläutert. 7.2.5 Umströmung eines nichtrotierenden Zylinders
Hierbei handelt es sich um die Überlagerung zweier Potentialströmungen, und zwar einer Parallelströmung und einer Dipolströmung. Die zusammengesetzte Strömung geht aus Bild 7.12 hervor. Ihr komplexes Potential lautet: W ( z)
vf z
vf R 2 . z
(7.33)
Hierbei wird die Parallelströmung durch das komplexe Potential WP 2
und das der Dipolströmung durch WD
vf R repräsentiert. z
vf z
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
142
Bild 7.12. Zur Definition der ebenen Zylinderumströmung mit der Parallelströmungsgeschwindigkeit vf und der Dipolgeschwindigkeit vD
Leitet man Gl.(7.33) nach z ab, so erhält man mit z 2 1 1 i2M 1 cos 2M i sin 2M : e 2 2 z r r2 v R2 dW v f f 2 (cos 2M i sin 2M ) v x i v y ,s. Gl.(7.7). dz r Hieraus folgt: vf cos 2M , v x vf r / R 2 vy
vf
r / R 2
sin 2M .
r 2 e i2M und
(7.34) (7.35)
Aus den Gln.(7.34) und (7.35) lässt sich v v vf
2
vx vy 2
2
vx vy
gewinnen.
vf
bzw. 2
(7.36)
7.2 Beispiele
143
Bild 7.13 zeigt diese Funktionen in Abhängigkeit vom Zentriwinkel M. Man beachte, dass entsprechend Bild 7.12 M bei dem hinteren Staupunkt b beginnt und entgegen dem Uhrzeigersinn gerechnet wird. In den Bildern 7.12 und 7.13 sind vier Punkte auf dem Zylinder besonders hervorgehoben:
A vorderer Staupunkt (Westen) mit r = R und M =180° =S, B hinterer Staupunkt (Osten) mit r = R und M =0° =0, C Höchstspantpunkt (Norden) mit r = R und M =90° =S/2, D Niedrigstspantpunkt (Süden) mit r = R und M =270° =3S/2. Für A und B folgt mit den angegebenen M-Werten: vx
0, v y
0, v
0 (Staupunkte).
Für C und D folgt: v x v max , v max und v y
2v f
(7.37)
0.
Man beachte, dass – typisch für alle Potentialströmungen – an der Wand, außer in A und B, Geschwindigkeiten auftreten. Die Wandhaftbedingung ist bei Potentialströmungen nicht erfüllt.
Bild 7.13. Bezogene Potentialgeschwindigkeitsverteilung v über dem Zentriwinkel M eines querangeströmten Zylinders
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
144
v2 p gz const soll nun die Druckvertei2 U lung über dem Zylinderumfang berechnet werden. Betrachtet man die Strömung in der konstanten Höhe z, so ist: Über die BERNOULLI-Gl.
p pf
U
2
vf v2 . 2
(7.38)
Es ist üblich, einen sog. Druckkoeffizienten cp für derartige Strömungsprobleme zu definieren: cp
p pf
U 2
vf 2
.
(7.39)
Mit Gl.(7.38) folgt hieraus: cp
§ v 1 ¨¨ © vf
2
· ¸¸ . ¹
(7.40)
Im Bild 7.14 ist die potentialtheoretische Druckverteilung über dem Zylinderumfang als Funktion des Druckkoeffizienten cp vom Zentriwinkel M dargestellt. Bemerkenswert ist: cp 0 für M = 30° und 150°, cp
1 für M = 0° und 180° und
cp
3 für M = 90° und 270°.
7.2 Beispiele
Bild 7.14. Druckkoeffizient
145
c p über dem Zentriwinkel M eines querangeströmten Zylinders
Die Tatsache, dass cp 0 für M = 150° ist, nutzt man bei der sog. Zylindersonde aus, die in Bild 7.15 im Querschnitt dargestellt ist.
Bild 7.15 Querschnitt einer Zylindersonde
Dreht man die mittlere Bohrung M = 180° der Zylindersonde derart, dass für die unter 30° geneigt stehenden Nachbarbohrungen M = 150° und M = 210° die gleichen Druckwerte gemessen werden, so steht diese mittlere Bohrung genau in Strömungsrichtung. So kann hieraus der dynamische Druck
146
7 Potentialströmung inkompressibler Fluide
q U / 2 v f ermittelt werden und – wenn die Zylindersonde mit einer Winkelmesseinrichtung versehen ist – auch der Anströmwinkel. An dieser Stelle ist mit cp 0 bei M = 150° bzw. M = 210° der statische Druck p pf ; so ist es möglich, über diese Messleitung auch den statischen Druck in der Strömung mit der Zylindersonde zu messen. Die Sonden haben im Kopfstück eine Endplatte, damit die Anströmung der drei Bohrungen (M = 150°, 180° und 210°) eben verläuft. Die Zylindersonde ist mit diesen Vorzügen ein sehr häufig eingesetztes Messgerät für Strömungsgeschwindigkeit und statischen Druck mit einem relativ guten Preis-Leistungsverhältnis. 2
7.2.6 Umströmung eines rotierenden Zylinders
Hierzu lautet das komplexe Potential: W ( z)
vf z
vf R 2 * z ln ) (i 2S R z
(7.41)
Es handelt sich hier um die Überlagerung dreier Potentialströmungen: Parallelströmung v f z , (s. Kap. 7.2.1.), vf R 2 (s. Kap. 7.2.4.) und z z * Potentialwirbelströmung i ln (s. Kap. 7.2.3.). 2S R Dipolströmung
Bild 7.16 gibt einen Überblick über das Strömungsfeld. Bemerkenswert ist die Verschiebung der Staupunkte A und B aus der x-Achse heraus in Richtung negativer y-Werte. Die Drehrichtung des Zylinders muss für den gezeichneten Fall im Uhrzeigersinn erfolgen, d.h. * 0 . Bei Steigerung des Absolutbetrages von * wandern die Staupunkte A und B immer weiter in Richtung des Niedrigstspantpunktes D. Bei weiterer Steigerung ergeben sich Staupunkte innerhalb der Strömung.
7.2 Beispiele
147
Bild 7.16 Ebene Umströmung eines rotierenden Zylinders
Die Tatsache, dass sich die Staupunkte A und B unterhalb des rotierenden Zylinders befinden, führt zu einem aus der Druckverteilung herleitbaren Auftrieb Fy . Bezeichnet man die Zylindertiefe mit b, so ist aus der Potentialtheorie berechenbar und von KUTTA und JOUKOWSKY schon 1902 angegeben: Fy U vf* . (7.42) b Es ist also festzustellen, dass in einer Potentialströmung um einen rotierenden Zylinder zwar ein Auftrieb, aber kein Widerstand auftritt. Diese Tatsache wird 14 in der Strömungslehre als d´ ALEMBERT -Paradoxon bezeichnet. Es lautet allgemein formuliert: Ein Körper in einer stationären ebenen Potentialströmung eines inkompressiblen reibungsfreien Fluids erfährt keinen Widerstand Fx / b 0 , jedoch einen Auftrieb Fy / b U v f * , wenn innerhalb der Körperkontur eine Zirkulation * wirkt. Der nach Gl. (7.42) berechnete Auftrieb bewirkt, dass sich z.B. rotierende Bälle oder rotierende Partikel auf gekrümmten Bahnen bewegen. Der Effekt hat auch eine technische Anwendung gefunden, die sich aus wirtschaftlichen Gründen noch nicht durchgesetzt hat: der FLETTNER-Rotor (Literatur: WAGNER, C.D. Die Segelmaschine (FLETTNER Rotor), Kabel Verlag Hamburg 1991. Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
14
D´ALEMBERT, Jean Le Rond, geb. 1717 in Paris, gest. 1783 in Paris. Französischer Philosoph und Mathematiker, 1751 Encyclopédie, u.a. Aufstellung von Extremalprinzipien der Mechanik (Differentialprinzip der virtuellen Verrückung).
8
Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
8.1 Endlich langer gebundener Wirbelfaden Bild 8.1 zeigt einen endlich langen gebundenen Wirbelfaden mit dem Wirbelpunkt (Q). Die Wirbelpunktkoordinaten werden mit den griechischen Buchstaben [ , K , ] bezeichnet. Der endlich lange gebundene Wirbelfaden erstreckt sich von A nach B und liegt auf der ] -Achse, so dass sich die Koordinaten des laufenden Punktes (Q) sich wie folgt darstellen lassen:
Q [
0,K
0, ] .
Bild 8.1 Zur Erläuterung des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART, stellen Projektionen auf die x-z-Ebene dar
r B ...r A im oberen Bildteil
8.1 Endlich langer gebundener Wirbelfaden
149
Die Koordinaten des festen Aufpunktes (P) werden mit den lateinischen Buchstaben x,y,z bezeichnet:
P x , y , z . Bei der Anwendung des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART dv
* ds u r ,Gl.(I-8.14) 4S r 3
treten in diesem Falle folgende Größen auf:
0,0, d]
ds
Q0 0P
r
ds u r
e z d] mit e z dem Einheitsvektor auf der ]-Achse,
e z ] e x x e y y e z z
ex 0
ey 0
ez d]
x
y
z ]
e x x e y y e z z ]
x , y , z ]
e x 0 yd] e y 0 xd] e z 0 0
yd] , xd] ,0 . Eingesetzt in die Gl. des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART ergibt sich:
dv
* y, x,0 d] 4S r3
(8.1)
mit dv x
* y d] , 4S r 3
dv y
* x d] , 4S r 3
dv z
0 und
d]
ds .
Integriert man Gl.(8.1) von (A) nach (B), so erhält man die in (P) vom Wirbelfaden AB induzierte Geschwindigkeit v : ]B
v
*
³ 4Sr 3 y , x ,0 d]
]A
.
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
150
Der Klammerausdruck ist von ] unabhängig und kann daher mit den anderen Konstanten vor das Integral geschrieben werden:
* y , x ,0 4S
v
]B
d]
³ r3
.
(8.2)
]A
Im Folgenden soll eine geschlossene Lösung für das Integral angegeben werden. Dafür wird die Größe a eingeführt: a vektorieller Abstand des Wirbelfadens vom Aufpunkt (P) (s. Bild 8.1), a
CO OP
a2
e z z e x x e y y e z z
ex x ey y ,
x2 y2 .
Weiterhin spielt der Radiusvektor von (Q) nach (P) eine entscheidende Rolle: r
QC a
e z z ] a ,
r2
a 2 z ] ,
r3
>a
2
2
z ] 2
@
3/ 2
.
(8.3)
Gl.(8.3) in Gl.(8.2) eingesetzt ergibt: v
* y , x ,0 4S
]B
d]
³ >a 2 z ] 2 @ 3 / 2
]A
z ] * y, x,0 ª « 2 2 4S « a a z ] 2 ¬
>
]
@
º B » 1/ 2 » ¼] A
]
* y , x ,0 ª z ] º B « 2 » . 4S ¬ a r ¼] A
Somit erhält man schließlich: v
* y, x,0 ª z ] A z ] B º « 2 » . 4S a 2 rB »¼ «¬ a rA
(8.4)
8.2 Unendlich langer gebundener Wirbelfaden
Mit cos D A
v
z ] A rA
und cos D B
z ] B rB
151
folgt:
* y, x,0 ª cos D A cos D B º « » . 4S a2 ¬ ¼
(8.5)
Gl.(8.5) kann wie folgt aus der Vektorform in die Betragsform überführt werden: v mit a
>
* cosD A - cosD B y 2 x 2 4S a2
> y
2
x2
@
1/ 2
@
1/ 2
.
So ergibt sich schließlich die bekannteste Form des Wirbelsatzes von BIOTSAVART: v
* cosD A - cosD B 4S a
(8.6)
Man beachte, dass Gl.(8.6) die induzierte Geschwindigkeit als Größe v angibt; der Vektor v , Gl.(8.5) steht senkrecht zu dem Wirbelfaden AB , ohne ihn zu schneiden ( AB und v bilden keine Ebene).
8.2 Unendlich langer gebundener Wirbelfaden Die von einem unendlich langen gebundenen Wirbelfaden in (P) induzierte Geschwindigkeit kann aus den Gln.(8.5) und (8.6) abgeleitet werden: v
*
(8.7)
2S a
mit
] A o f, D A
0, cos D A
1,
] B o f, D B
S , cos D B
1 und
cos D A cos D B
2.
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
152
Bild 8.2 Zur Erläuterung des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART für zwei unendlich lange gebundene Wirbelfäden
In vektorieller Schreibweise lautet Gl.(8.5) für cosD A - cosD B = 2: v
* y , x,0 . 2S a 2
(8.8)
Die Komponenten dieses Geschwindigkeitsvektors v sind: *y , vx 2Sa 2 *x und vy 2Sa 2 vz 0 . Die Größe des Vektors ist v
v x 2 v y 2 , woraus sich wieder Gl.(8.7)
ergibt. Aus Gl.(8.7) ist bei Anwendung auf einen Hurrikane mit der Zirkulation * festzustellen, dass sich die induzierte Geschwindigkeit v reziprok zum Abstand a verringert. Die zerstörerische Wirkung eines Hurrikans nimmt also nur langsam nach außen ab.
8.3 Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation
153
Liegt der Wirbeldurchstoßpunkt durch die [ , K -Ebene nicht in (O) (0,0), sondern in (D)([,K), so erhält man entsprechend Gl.(8.8): v
*> y K , x [ ,0@ 2S a 2
(8.9)
mit den Komponenten: * y K * x [ vx , vy und v z 0 . 2 2S a 2S a 2 Der Betrag des Vektors Gl.(8.9) ist wieder v */(2S a) wie Gl.(8.7). Ein unendlich langer Wirbelfaden der konstanten Zirkulation * induziert also in allen Punkten (P) außerhalb des Wirbelfadens eine Geschwindigkeit, die umgekehrt proportional zum Abstand a ist. Man beachte auch, dass die induzierte Geschwindigkeit v nur aus einer Umfangsgeschwindigkeit besteht, also keine Axial- und Radialkomponenten enthält. Der unendlich lange gebundene Wirbelfaden ist identisch mit dem in Kap.7.2.3. behandelten Potentialwirbel.
8.3 Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation In Bild 8.3 sind zwei gegenläufige unendlich lange freie Wirbelfäden der absoluten Zirkulation * parallel zur [-Achse angegeben. Die Durchstoßpunkte durch die [ , K -Ebene liegen in Q 1 L ,0 ,0 und Q 2 L ,0 ,0 .
154
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
Bild 8.3 Zur Erläuterung des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART für zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation, vergl. Wetterkarte, H Hochdruckgebiet, T Tiefdruckgebiet
Im Folgenden soll das von den beiden Wirbeln induzierte Geschwindigkeitsfeld mit Hilfe des Wirbelsatzes von BIOT-SAVART ermittelt werden. Gegeben: Zirkulation * *1 *2 ( *1 im Uhrzeigersinn, *2 gegen Uhrzeigersinn), Wirbelfadenabstand 2L. Vorausgesetzt: Aufpunkt (P) liegt auf der x-Achse, Zwei unendlich lange freie Wirbelfäden (1) und (2), parallel zur [-Achse, verlaufen durch die Punkte Q1 und Q2 mit -
8.3 Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation
155
Q1 [1 Q2 [ 2
-
L,K1 0 m, ] 1 0 m und L,K 2 0 m, ] 2 0 m . Die Zirkulationen der beiden Wirbelfäden betragen: *1 * (linksdrehend, < 0, : 1 zeigt gegen ] -Richtung,
*2
* (rechtsdrehend, > 0, : 2 zeigt in ] -Richtung.
Gesucht: 1. Induzierte Geschwindigkeit v nach Größe und Richtung in (P) und 2. Eigenbewegungsgeschwindigkeit v w der beiden freien Wirbel. Lösung: Zu 1.: Die induzierte Geschwindigkeit v wird aus zwei Anteilen zusammengesetzt, aus der Induktion des Wirbelfadens (1) und der des Wirbelfadens (2), d.h: v
v1 v 2 .
(8.10)
Die Überlagerung ist nur bei Potentialströmungen, wie hier vorliegend, zulässig. Unter Anwendung des BIOT-SAVART-Wirbelsatzes in der Form von Gl.(8.9) gilt für die von beiden Wirbeln in (P) induzierte Geschwindigkeit:
*1 > 0 0 , x L ,0@
v
2S L x
2
*2 > 0 0 , x L ,0@ 2S L x
2
.
Der erste Term stellt v1 , der zweite v 2 dar. Mit *1
L x 2 x L 2
und
1 1 xL xL
2L 2
x L2
* , *2
* ,
folgt der Geschwindig-
keitsvektor v für y = 0 m: v
L* 0, 1, 0 . S x L2
2
(8.11)
Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors lautet: v(x)
L* = vy S x L2
2
v( x ) .
Bild 8.4 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar.
(8.12)
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
156
Bild 8.4. Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation (s. Bild 8.3)
Die in den Bildern 8.3 und 8.4 eingetragenen Bezeichnungen Nordwind bzw. Südwind stammen aus der Meteorologie, wenn man den Wirbelfaden (1) als Hochdruckgebiet H und den Wirbelfaden (2) als Tiefdruckgebiet deutet. Es ist bekannt, dass auf der nördlichen Halbkugel sich die Winde im Hochdruckgebiet im Uhrzeigersinn und im Tiefdruckgebiet gegen den Uhrzeigersinn drehen. Im folgenden sollen drei Sonderfälle behandelt werden: a) x o 0 : Gl.(8.12) geht über in
v
*
SL
.
(8.13)
b) x !! L , Gl.(8.12) geht über in v
L* 1 . S x2
(8.14)
Im Fernfeld zweier gegenläufiger Potentialwirbel ist also die induzierte Geschwindigkeit umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands. c) x
r L : Gl.(8.12) geht über in
v o rf .
(8.15)
8.3 Zwei freie Wirbelfäden mit gegensinniger Zirkulation
157
Zu 2.: Um die Eigenbewegung der Wirbel zu berechnen, muss man davon ausgehen, dass die Wirbel frei sind, d.h. nicht an den Ort gebunden sind und die Bewegung allein durch die gegenseitige Induktion bestimmt wird. Dann gilt aufgrund der Wirbelinduktion (s. Bild 8.5 ) nach Gl.(8.8) mit y = 0 m, x = 2L und a = 2 L:
Bild 8.5 Gegenläufiges Wirbelpaar mit Eigenbewegungsgeschwindigkeit karte, H Hochdruckgebiet, T, Tiefdruckgebiet
v w , vergl. Wetter-
1. Der Wirbelfaden (1) bewegt den Wirbelfaden (2) mit der Geschwindigkeit vw
* (0, 1, 0) . 4SL
(8.16)
Die Größe dieses Vektors ist: vw
* 4SL
.
(8.17)
2. Der Wirbelfaden (2) bewegt den Wirbelfaden (1) mit derselben Geschwindigkeit Gl.(8.16) und derselben Größe Gl.(8.17) nach Süden.
158
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
Fazit: Ein einzelner Wirbelfaden kann sich aufgrund eigener Induktion nicht fortbewegen, dagegen bewegt sich ein gegenläufiges Wirbelpaar mit v w * / 4SL selbst fort. Dies ist z.B. in der Meteorologie bei der Eigenbewegung eines Hochdruckwirbels (im Uhrzeigersinn drehend) mit einem Tiefdruckwirbel (gegen den Uhrzeigersinn drehend) festzustellen.
8.4 Zwei freie Wirbelfäden mit gleichsinniger Zirkulation Es handelt sich hier um den Fall, dass sich beide Wirbel z.B. in der Art zweier benachbarter Tiefdruckwirbel der Meteorologie bewegen. Es ist bekannt, dass gleichsinnig drehende Wirbelgebiete eine Eigenrotation umeinander aufbauen. Dies soll im folgenden mit dem Wirbelsatz von BIOT-SAVART untersucht werden (s. Bild 8.6).
Bild 8.6 Zwei freie Wirbelfäden mit gleichsinniger Zirkulation, vergl. Wetterkarte mit zwei Tiefdruckgebieten T
Gegeben: Zirkulation * *1 *2 , gegen Uhrzeigersinn drehend, Wirbelfadenabstand 2L.
8.4 Zwei freie Wirbelfäden mit gleichsinniger Zirkulation
159
Vorausgesetzt: Aufpunkt (P) liegt auf der x-Achse, Die beiden unendlich langen freien Wirbelfäden (1) und (2) verlaufen parallel zur z,]-Achse, die Durchdringungspunkte in der [ ,K -Ebene sind -
Q1 und Q2 mit Q1 [1 L,K1 Q2 [ 2 L,K 2
-
0 m, ] 1
0 m und
0 m, ] 2 0 m . Die Zirkulationen der beiden Wirbelfäden seien in Betrag und Richtung gleich * *1 *2 ! 0 m 2 / s (linksdrehend) .
Gesucht: 1. Induzierte Geschwindigkeit v in (P) und 2. Eigenbewegungsgeschwindigkeit v w der Wirbel. Lösung: Zu 1.: Die Überlagerung zweier Geschwindigkeitsfelder ergibt nach Gl.(8.10): v v1 v 2 . Wendet man erneut Gl.(8.9) an, so folgt: v
*1
2S x L
2
0, x L,0
*1
2S x L
2
0, x L,0 ,
v
§ · § · * * ¨¨ 0, ,0 ¸¸ ¨¨ 0, ,0 ¸¸ und © 2S x L ¹ © 2S x L ¹
v
*x 0, 1, 0 S x 2 L2
(8.18)
mit den Komponenten vx
0 m / s, v y
*x , vz S x 2 L2
0 m/s .
Die Größe beträgt: v
* § L2 · S x ¨¨1 2 ¸¸ © x ¹
.
(8.19)
Gleichung (8.19) zeigt, dass die Geschwindigkeit v im Fernfeld x 2 o f bzw. L2 / x 2 o 0 dem Gesetz folgt:
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
160
v
*
S x
~
1 . x
(8.20)
Vergleicht man dieses Ergebnis mit der induzierten Geschwindigkeit v * / 2S r , s. Gl.(I-8.3), eines einzelnen Potentialwirbels, so stellt man fest, dass Gl.(8.20) der Induktion eines Potentialwirbels mit der Zirkulation 2* entspricht. Im Fernfeld verwischt sich also der Unterschied der geometrischen Lage der beiden gleichsinnig drehenden Wirbel.
Bild 8.7. Zur Eigenbewegungsgeschwindigkeit v w zweier freier Wirbelfäden mit gleichsinniger Zirkulation, vergl. Wetterkarte, T Tiefdruckgebiet
Zu 2.: Der einzelne Wirbel induziert auf seinen Nachbarwirbel, s. Gl. (8.17), folgende Geschwindigkeit als absolute Größe:
vw
* 4SL
,
die sich als Eigenbewegungsgeschwindigkeit des freien Wirbels bemerkbar macht. In Bild 8.7 sind die gegensinnig verlaufenden Geschwindigkeitsvektoren v w eingetragen. Die beiden Wirbel führen eine Kreisbewegung um den Ursprung (0) aus. Dieser Effekt des Ineinander-Verdrehens zweier gleichsin-
8.5 Hufeisenwirbelsystem eines Flugzeugs
161
niger Wirbel ist in der Natur häufig zu beobachten (Wasserwirbel, Luftwirbel).
8.5 Hufeisenwirbelsystem eines Flugzeugs Bild 8.8 Zeigt das Wirbelsystem eines Flugzeugs. Das System besteht aus gebundenen und freien Wirbeln, sowie aus dem freien Anfahrwirbel.
Bild 8.8 Hufeisenwirbelsystem eines Flugzeugs
Bild 8.9 zeigt das hier abgebildete Wirbelsystem in vereinfachter Form. Der Wirbelverlauf von (A) über (B) und (C) nach (D) hat dem Wirbelsystem den Namen Hufeisenwirbel eingebracht.
Bei den gebundenen Wirbeln handelt es sich um die aerodynamische Simulation der Tragflügel, die zur Vereinfachung durch einen einzelnen Stabwirbel BC(2) s. Bild 8.9, ersetzt werden. Bei den freien Wirbeln handelt es sich um Wirbel (1) und (3), die durch die Kantenumströmung der Tragflügel an den Stellen (B) und (C) entstehen (Ausgleichsströmung von der unteren Flügeldruckseite auf die obere Flügelsaugseite). Die freien Wirbel setzen sich bis zum Ort des Anfahrwirbels (4) fort, der die beiden Wirbel (1) und (3) verbindet.
162
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
Bild 8.9 Vereinfachte Darstellung des Hufeisenwirbelsystems (vereinfachte Draufsicht zu Bild 8.8)
Im Folgenden sollen die Geschwindigkeitsinduktionen des Hufeisenwirbelsystems näher untersucht werden. Hierbei geht man von den beiden Fällen aus, dass der Aufpunkt (P) einmal auf der x-Achse, wie in den Bildern 8.8 und 8.9 dargestellt, und einmal auf der y- Achse liegt, wie in Bild 8.11 dargestellt. Es sollen im Folgenden die beiden Fälle untersucht werden. 1.Fall: (P) auf der x-Achse
Gegeben: Zirkulation * *1 *2 *3 und Abstand der freien Wirbel (1) und (3): 2L. -
Vorausgesetzt: Die Wirkung des Anfahrwirbels (4) ist wegen der sehr großen räumlichen Entfernung vernachlässigbar klein: v 4 0 ,
-
-
Es treten nur z-Komponenten von v auf: v 0 ,0 , v z und Die vom Wirbel (1) induzierten Geschwindigkeiten sind genau so groß, wie die vom Wirbel (3) induzierten: v1.z v 3.z .
Gesucht: v z in (P) auf der x-Achse
8.5 Hufeisenwirbelsystem eines Flugzeugs
163
Lösung: Die induzierte Geschwindigkeit setzt sich aus der Induktion der freien Wirbel (1) und (3) sowie aus der Induktion des gebundenen Wirbels (2) zusammen: v v1 v 2 v 3 , v v z 2 v1.z v 2.z . So folgt mit Gl.(8.6) und D A o 0q : v 1.z
§ * cosD A cosD B * ¨¨1 2 x 2 4SL 4SL © x L
*
v 2.z
4S x
>cos D B 90q cos 90q D c @
· ¸, ¸ ¹
*
2L
4S x
x L2 2
.
So folgt weiter:
v
vz
* §¨ 1 2SL ¨ ©
x 2 L2 ·¸ . ¸ x ¹
(8.21)
Im Fernfeld für x o f gilt: v 0 m / s . Bild 8.10 zeigt die graphische Darstellung von Gl.(8.21). Im Fernfeld x>>L geht Gl.(8.21) über in: vz
x o f
* . SL
(8.22)
Die hiermit berechnete induzierte Abwärtsgeschwindigkeit wird praktisch schon in einer Entfernung von ein bis zwei Flugzeuglängen hinter dem Flugzeug erreicht. Man bezeichnet diese Grenzgeschwindigkeit als „Geschwindigkeit des induzierten Abwindes“ oder kurz als „Abwind“. Der Abwind kann z.B. bei Strahltriebwerken durch deutliche Abwärtsbewegungen der Abgase beobachtet werden.
164
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
Bild 8.10 Induzierte Geschwindigkeit vz (x) längs der x-Achse
2.Fall: (P) auf y-Achse In diesem Falle (Bild 8.11) befindet sich der Aufpunkt (P) auf der Tragflügelachse (y-Achse). Hierbei ist zu beachten, dass der gebundene Wirbel auf (P) keinen Einfluss ausüben kann. Die Geschwindigkeiten werden also allein aufgrund der Wirkung der freien Wirbel induziert. Die Eckpunkte (B) und (C) stellen singuläre Punkte dar.
Bild 8.11 Induzierte Geschwindigkeit vz(y) längs der y-Achse nur unter Einfluss der freien Wirbel (1) und (3)
8.6 Ebene Wirbelschicht
165
Bild 8.11 zeigt eine exemplarische Lage des Aufpunktes (P) auf der y-Achse. Das Bild gibt in seinem rechten Teil in geeigneter graphischer Darstellung die zu berechnende Geschwindigkeitsverteilung v z ( y ) wieder.
Gegeben: Zirkulation * *1 *2 *3 und Abstand der freien Wirbel (1) und (3): 2L. Vorausgesetzt: Die Wirkung des Anfahrwinkels ist wegen der sehr großen räumlichen Entfernung vernachlässigbar klein, Es treten nur z-Komponenten von v auf: v 0 ,0 , v z und Ein Wirbel kann auf seiner eigenen Achse keine Geschwindigkeiten induzieren. Gesucht: v z in (P) auf der y-Achse Lösung: Die induzierte Geschwindigkeit setzt sich aus der Induktion der beiden freien Wirbel (1) und (3) zusammen: v v1 v 3 , v v z v1.z v 3.z mit
*
4S y L
Mit D A
0q , D B
vz
vz
cosD A - cosD B 90q , D C
* L . 2 2S y L2
*
cosD C - cosD D . 4S y L 90q und D D 180q folgt: (8.23)
8.6 Ebene Wirbelschicht Man geht von einem einzelnen unendlich langen Wirbelfaden der Zirkulation * aus, der parallel zur z,]-Achse durch den Punkt (Q) [ ,K 0 m, ] 0 m verlaufen soll. Bild 8.12 zeigt diesen Zusammenhang. In dem Aufpunkt (P) (x,y,z = 0 m) wird folgende Geschwindigkeit induziert, s. Gl.(8.9) mit K = 0 m: v
* y , x [ ,0 2S a2
(8.24)
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
166
mit a2
x [ 2 y 2 .
Bild 8.12. Einzelner unendlich langer gebundener Wirbelfaden parallel zur z, ]-Achse
Verteilt man nun die diskrete Zirkulation * auf eine ebene Wirbelschicht mit -L d [ d L und K 0 m, so ergibt sich folgender in Bild 8.13 dargestellter Zusammenhang. Bezeichnet man die Gesamtzirkulation der ebenen Wirbelschicht mit *, Einheit m²/s, die örtliche Zirkulation je Länge mit J, Einheit m/s, so ergeben sich folgende Relationen: d* J d[
(8.25)
und [ L
*
³ J d[
.
(8.26)
[ -L
Somit ist die Geschwindigkeitsinduktion nach Gl.(8.9) in P(x,y,0):
v
1 2S
L
y, x [ ,0
³ J d[ x [
2
-L
y2
(8.27)
8.6 Ebene Wirbelschicht
167
mit a2
x [ 2 y 2
.
(8.28)
Bild 8.13 Zur Erläuterung der ebenen Wirbelschicht
Betrachtet man nun den Sonderfall, dass J konstant über [ verteilt ist, d.h. J ([ ) J 0 const o * 2LJ 0 , so ergibt sich für die induzierte Geschwindigkeit aus Gl.(8.27): v
J0 2S
L
y, x [ ,0 d[
³ x [
2
-L
y2
(8.29)
mit den Komponenten (s. BRONSTEIN-SEMENDJAJEW: Taschenbuch der Mathematik):
vx
J0 2S
§ Lx L x· ¨¨ arctan ¸ , arctan y y ¸¹ ©
(8.30)
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
168
vy
J 0 x L 2 y 2 ln 4S x L 2 y 2
(8.31)
und vz
0 m/s.
(8.32)
Führt man nun Zylinderkoordinaten r, M, z ein, mit x= r cos M, y = r sin M und r 2 x 2 y 2 und beschränkt sich auf das Fernfeld r >> L, so ergibt sich aus Gln.(8.30) und (8.31) : vx
2 LJ 0 sinM 2S r
(8.33)
2LJ 0 cosM , 2S r
(8.34)
und vy
und es folgt: vM
vx 2 vy2
* 2S r
,
(8.35)
wie bereits vom Potentialwirbelfeld her bekannt, s. Gl. (I-8.3). Damit ist festzustellen: 1. Eine endlich breite ebene Wirbelschicht und ein in * äquivalenter Potentialwirbel haben die gleiche Fernwirkung, 2. Während ein einzelner Wirbel auf sich selbst keinen Einfluss nehmen kann, so unterliegt die endlich breite ebene freie Wirbelschicht ihren eigenen Induktionen mit folgenden x-abhängigen Geschwindigkeiten, s. Gl. (8.31) mit y = 0 m: v y x, y
0
L-x J0 ln . 2S Lx
(8.36)
Hiermit kann auch das typische Aufrollen von Wirbelschichten erklärt werden, vgl. Ornamente spätminoischer Kultur in Knossos(Kreta). Bild 8.14 zeigt im oberen Teil den Beginn des Aufrollens und im unteren Teil Endzustände des Aufrollens, künstlerisch verfeinert. 3. Eine unendlich breite streng ebene Wirbelschicht induziert keine v y Komponenten, da gilt:
8.6 Ebene Wirbelschicht
vy
ª x L 2 y 2 º J0 lim «ln » 4S Lof ¬« x L 2 y 2 ¼»
169
0.
y 0
Bild 8.14 Zum Aufrollen einer ebenen Wirbelschicht. Im unteren teil des Bildes Ornamente spätminoischer Kultur (Knossos, Kreta)
4. Eine unendlich breite streng ebene Wirbelschicht induziert nur v x Komponenten. Mit vx
§ J0 Lx L x· ¸ arctan lim ¨¨ arctan 2S Lof© y y ¸¹
§ J0 J S L· 2 lim¨¨ arctan ¸¸ 0 2 sign y 2S Lof © y¹ 2S 2
folgt:
vx
J0 2
sign y .
(8.37)
So stellt Bild 8.15 eine ebene Wirbelschicht mit der konstanten Zirkulation J 0 dar, wobei sich an der Oberseite der Wirbelschicht eine Geschwindigkeit v x.oben J 0 / 2 und an der Unterseite v x.unten J 0 / 2 einstellen. Die Geschwindigkeitsdifferenz beträgt J 0 .
170
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
Bild 8.15 Geschwindigkeitsinduktionen Wirbelschicht
v x.oben und v x.unten einer unendlich breiten ebenen
Eine unendlich breite ebene Wirbelschicht der konstanten lokalen Zirkulation J 0 stellt eine Unstetigkeitsfläche (Diskontinuitätsfläche) dar, an der die Tangentialgeschwindigkeit v x einen Sprung von 'v x J 0 aufweist. Das Bild 8.16 gibt zwei bekannte Beispiele für freie Wirbelschichten als Unstetigkeitsflächen wieder: Die Umströmung eines Tragflügels und den Freistrahl aus ebener Düse. Wie aus Bild 8.16 unten ersichtlich, ist die Geschwindigkeit außerhalb des Freistrahls wegen des Mitreißens des Umgebungsfluids nicht exakt Null. Man nennt dieses Mitreißen „Entrainment“ (s. oberes und unteres Entrainment im Bild). Verhindert man z.B. das untere Entrainment durch eine Wand, so legt sich der Freistrahl durch Unterdruckwirkung an diese Wand an (COANDA-Effekt 15 ). Auch das Nachfolgen der Strömung mit vt.oben im Bild 8.16 auf der konvex gekrümmten Tragflügelseite ist auf den COANDA-Effekt zurückzuführen. Die gleiche Wirkung hat der Finger an einem dünnen Wasserstrahl, der den Strahl um den Finger lenkt. Bei geringer Strömungsgeschwindigkeit ist der beschriebene Effekt zusätzlich auf Adhäsionskräfte zurückzuführen.
15
COANDA, Henri (1886 - 1972), rumänischer Ingenieur und Flugpionier.
8.6 Ebene Wirbelschicht
171
Bild 8.16 Beispiele freier Wirbelschichten als ebene Unstetigkeitsflächen. Oben Umströmung eines Tragflügels, unten Ausblasen eines Freistrahls aus einer ebenen Düse
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
172
8.7 Komplettes Wirbelmodell eines Tragflügels endlicher Spannweite Bild 8.17 zeigt das komplette Wirbelmodell eines Tragflügels endlicher Spannweite b. Der gebundene (bound) tragende Wirbel simuliert den Tragflügel. Die Verteilung der Zirkulation *b K des gebundenen Wirbels in KRichtung ist elliptisch angenommen worden, so dass an den Tragflügelenden K rb / 2 die Zirkulation *b 0 m² / s ist. Zu jedem Wert K innerhalb des Tragflügels gehört eine bestimmt Zirkulation *b . Verteilt man diese Zirkulation über die Profillänge l und setzt man wieder eine elliptische Verteilung voraus, so erhält man innerhalb der Profillänge l die Zirkulationsverteilung J b [ ,K .
Beide Verteilungen *b K und J b [ ,K gehen aus dem unteren Teil von Bild 8.17 hervor. Nach dem HELMHOLTZ-Wirbelsatz, Gl.(I-8.13), ist die Zirkulation * längs eines Wirbelfadens räumlich konstant. Daher ergibt sich mit abnehmender Zirkulation jeweils ein freier Wirbelfaden mit einer Zirkulation *f , die der Zirkulationsabnahme des gebundenen Wirbelfadens entspricht: d*f
d*b bzw.
d*f
d*b dK dK
(8.38)
mit
*f *b
Zirkulation des freien Wirbels und Zirkulation des gebundenen Wirbels.
In der Skizze am linken unteren Rand des Bildes 8.17 ist die Abströmung auf der Ober- (Saug-) und Unter-(Druck-) seite angedeutet. Auf der Saugseite ist aufgrund des Wirbeleinflusses die Abströmung nach innen und auf der Druckseite nach außen gerichtet (verdrillte Scherströmung). Im Mittelteil des Bildes ist trotz der starken Vereinfachung der elliptische Charakter der Zirkulationsverteilung *b K zu erkennen.
8.7 Komplettes Wirbelmodell eines Tragflügels endlicher Spannweite
173
Bild 8.17. Zur Erklärung des kompletten Wirbelmodells eines Tragflügels endlicher Spannweite
Wie bereits erwähnt ergibt sich durch die Induktion der freien Wirbel hinter dem Tragflügel eine induzierte Abwärtsgeschwindigkeit v i am Ort des gebundenen Wirbels (s. Bild 8.18). Diese Geschwindigkeit addiert mit der Anströmgeschwindigkeit v f , ergibt eine resultierende Geschwindigkeit v res . Die ungestörte Anströmrichtung wird durch v f unter dem Anstellwinkel D
174
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
charakterisiert. Durch das Vorhandensein der induzierten Abwärtsgeschwindigkeit v i verringert sich dieser Anstellwinkel von D auf D e , der die Richtung der resultierenden Anströmgeschwindigkeit v res beschreibt. Hiermit ergeben sich folgende Anstellwinkel: D
De
Di
Anstellwinkel des Profils, Sehne gegen die ungestörte Anströmgeschwindigkeit v f , effektiver Anstellwinkel des Profils gegen die resultierende Geschwindigkeit v res und induzierter Strömungswinkel zwischen ungestörter Anströmung v f und resultierender Geschwindigkeit v res .
Erinnert man sich, dass der Auftrieb senkrecht zur Anströmgeschwindigkeit v f gerichtet ist, s. Gl.(I-7.9), so ergibt sich bei der resultierenden Geschwindigkeit v res eine Veränderung des Auftriebsvektors von d F A nach d F res . Dieser Fall ist für ein Spannweitenelement dK in Bild 8.18 dargestellt. Die Differenz beider Vektoren ist der induzierte Widerstand d F W.i , der parallel zum Vektor v f verläuft, d.h. d F res
d F A d F W.i .
Bild 8.18 Ungewölbtes, um D angestelltes Profil
(8.39)
8.7 Komplettes Wirbelmodell eines Tragflügels endlicher Spannweite
175
Aus den kongruenten Dreiecken in Bild 8.18 folgt: dFW.i
dFA tanD i
dFA
vi vf
(8.40)
und nach Erweiterung mit dK und Integration über Spannweite b: FW.i
1 vf
b/2
³
-b/2
dFA v i dK . dK
(8.41)
Unter Verwendung des Satzes von KUTTA-JOUKOWSKI, Gl.(I.7.9), dFA dK
Uv f * b
(8.42)
ergibt sich der gesamte induzierte Widerstand des Tragflügels zu: b/2
FW.i
U
³ v i * b dK
.
(8.43)
-b/2
PRANDTL konnte zeigen, dass für eine elliptische Verteilung (s. Bild 8.19) in der Form:
* b K * 0
§ K· 1 ¨2 ¸ © b¹
2
(8.44)
bei einem gegebenen Auftrieb FA der induzierte Widerstand des Tragflügels ein Minimum annimmt.
Bild 8.19 Elliptische Zirkulationsverteilung
*b (K )
Für die elliptische Zirkulationsverteilung wird die induzierte Abwärtsgeschwindigkeit:
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
176
vi y
* 0 2Sb
2
b/2
³
-b/2
K b
§ K·
1 ¨2 ¸ © b¹
2
dK y K
*0 2b
const
Die Lösung dieses Integrals ist nachzulesen in GLAUERT, H.: The elements of Airfoil and Airscrew Theory. 2. Aufl., Cambridge University Press, 1959. Für den induzierten Widerstand folgt nach Gl.(8.43): FW.i
U
*0 2b
b/2
³ * K dK b
-b/2
S 8
U*0 2
(8.45)
und der Auftrieb ist nach KUTTA-JOUKOWSKI, Gl.(8.42): b/2
FA
³ * K dK
U vf
b
- b/2
S 4
Uv f *0 b .
(8.46)
Beschreibt man den Auftrieb mit der bekannten Ingenieurformel: FA
]A
U 2
vf2 A
(8.47)
mit
]A
Auftriebsbeiwert und
A
Flügelgrundrissfläche A = b l ,
so ergibt sich mit Gl.(8.46) für den Auftriebsbeiwert:
]A
S *0 b 2 vf A
.
(8.48)
Verwendet man nun für den Widerstand entsprechend Gl.(8.47) die Formel FW
]W
U 2
vf2 A
(8.49)
bzw. für den induzierten Widerstand die Formel: FW.i
] W.i
U 2
vf2 A ,
so erhält man aus Gl.(8.45) zunächst
(8.50)
8.8 Polardiagramm
177
2 S *0
] W.i
4 vf2 A
und mit dem Seitenverhältnis /
b2 A
b l
und unter Verwendung von Gl.(8.48) den Zusammenhang
] W.i
] A2 . S/
(8.51)
Nun setzt sich der Gesamtwiderstand eines Tragflügels aus dem reibungsbedingten Profilwiderstand (Index P) und dem induzierten Widerstand (Index i) zusammen und entsprechend auch der Widerstandsbeiwert:
]W
] W.P ] W.i .
(8.52)
Es ist interessant festzustellen, dass bei den üblichen Seitenverhältnissen / der Verkehrsflugzeugprofile der Koeffizient ] W.i des induzierten Widerstands die gleiche Größenordnung wie der Koeffizient ] W.P des Profilwiderstands annimmt. Bei einem unendlich langen Flügel mit / o f ergibt sich nach Gl.(8.51) zwingend ] W.i 0 . Der induzierte Widerstand lässt sich auch energetisch erklären: Am Tragflügel mit endlicher Spannweite b werden sowohl im reibungsfreien als auch im reibungsbehafteten Fluid neue freie Wirbelstrecken je Zeiteinheit erzeugt. Es wird daher ständig eine Leistung PW.i aufgebracht. Diese Leistung dient zur Überwindung des induzierten Widerstandes und beträgt: PW.i
FW.i v f .
(8.53)
8.8 Polardiagramm Die im vorhergehenden Abschnitt erwähnten Auftriebsbeiwerte ] A , s. Gl.(8.48), und Widerstandsbeiwerte ] W , s. Gl. (8.52), werden für die Belange der Praxis nach Bild 8.20 exemplarisch für eine Profilklasse dargestellt. Der Parameter ist der ebenfalls im vorhergehenden Kap. erwähnte Anstellwinkel D.
178
8 Wirbelinduzierte Geschwindigkeitsfelder
In neuer Zeit wird Bild 8.20 in die Form ] A ] W bzw. ] i ] W transformiert und als Polardiagramm Bild 8.21 dokumentiert. Der Bestpunkt (BEP) ergibt sich, wenn man eine Tangente vom Nullpunkt an die Polare ] A ] W legt. Für diesen Fall ist ] W / ] A ein Minimum. Bild 8.21 gibt auch den Zusammenhang wieder, dass sich der induzierte Widerstandsbeiwert ] W.i in der gleichen Größenordnung wie der Widerstandsbeiwert ] W.P des Profilwiderstands bewegt.
Bild 8.20 Auftriebsbeiwert ] A und Widerstandsbeiwert winkel D für das unendlich lange Profil Gö 623
]W
in Abhängigkeit vom Anstell-
8.8 Polardiagramm
Bild 8.21 Polardiagramm mit Polaren dem Seitenverhältnis b/l=30
] A ( ] W ) und ] A ( ] W.i ) für
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
179
das Profil Gö 623 mit
9
Grenzschichtströmungen
9.1 Grenzschichtströmungen an technisch relevanten Körpern In Kap (I-9) ist das Phänomen der Grenzschicht vorgestellt worden. In diesem Zusammenhang ist das Studium von Bild I-9.3 wichtig. Es bleibt festzustellen, dass alle Grenzschichten mit der laminaren Grenzschicht beginnen und mehr oder weniger weit vom Staupunkt entfernt in die turbulente Grenzschicht umschlagen. Grenzschichten neigen je nach Stärke des Druckanstiegs zur Ablösung, wobei die Tendenz der Ablösung bei laminaren Grenzschichten stärker ausgeprägt ist als bei turbulenten Grenzschichten, die aufgrund des Impulsaustausches Energie aus der Außenströmung aufnehmen, um gegen einen „Druckberg“ weiter anströmen zu können. Die Umströmung der ebenen Platte und die Durchströmung des Rohres stellen zwei klassische Grenzschicht-Untersuchungsobjekte dar. In dieser Reihe der Untersuchungsobjekte sind auch Tragflügelprofile, Gitter von Strömungsmaschinen (Lauf- und Leiträder), Kraftfahrzeug- Bahn-, Schiffs- und Flugzeugumströmungen zu sehen. Bei der Durchströmung spielt das Grenzschichtverhalten in Diffusoren, Düsen und Kanälen jeglicher Art eine große Rolle. Das Geschwindigkeitsprofil der Rohrströmung kann auch als das Zusammenwachsen der Grenzschichten bis zur Rohrmitte aufgefasst werden (laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung). Die Grenzschichtberechnungen lassen sich heute weitgehend mit CFD (Computational Fluid Dynamics) durchführen, sowohl stationär als auch instationär. Auch die Messtechnik hat bei Grenzschichtströmungen an technisch relevanten Körpern enorme Fortschritte durch Einsatz der Lasertechnik erfahren. Das Interesse an der Grenzschichtforschung wächst besonders unter dem Zwang der Widerstandsminimierung von Jahr zu Jahr.
9.2 Wandschubspannung und Reibungswiderstand
181
9.2 Wandschubspannung und Reibungswiderstand Es wird wieder eine längsangeströmte, unendlich dünne Platte betrachtet, s. Kap. I-9. Bild 9.1 zeigt eine derartige Platte mit dem entsprechenden Geschwindigkeitsprofilen v x y auf der Ober- und Unterseite der Platte.
Bild 9.1 Wandschubspannung
WW
in der BLASIUS-Plattengrenzschicht
Lässt man die in Kap. I-9.2 gemachten Voraussetzungen zu den PRANDTLGrenzschichtgleichungen gelten, dann ergibt sich die Wandschubspannung W W nach dem NEWTON-Schubspannungsgesetz: § wv ·
W W ( x) K ¨¨ x ¸¸ © wy ¹ y
.
(9.1)
0
Man beachte, dass die Wandschubspannung der Steigung des Geschwindigkeitsprofils v x ( y ) an der Wand y = 0 direkt proportional ist. Die BLASIUSPlattengrenzschicht ist, s. Kap. I-9.3, für die laminare Grenzschicht mit p (x,y) = const gültig. Hier kann direkt eine theoretische Lösung gefunden werden, die meist in dimensionsloser Form in der Literatur angegeben wird:
WW U vf 2
0,332 Re x
(9.2)
9 Grenzschichtströmungen
182
mit
Re x
x vf
.
Q
x vf
Für x = 0 m würde Re x
Q
0 und W o f folgen; der Bereich kleiner
x-Werte muss also in jedem Fall ausgespart bleiben. Re x
0 widerspricht
auch der in Kap. I-9.2 gemachten Voraussetzung Re x >> 1. So beträgt der Gesamtreibungswiderstand FW einer beidseitig mit v f längs angeströmten unendlich dünnen Platte: l
FW
³
2b W W dx 0
[W
U 2
2
vf 2 b l .
(9.3)
Setzt man für W W den in Gl.(9.2) gefundenen Wert in Gl.(9.3) ein, so erhält man:
FW
3
1,328 b U Q v f l .
(9.4)
bzw.
[W
1,328
.
Re l
(9.5)
mit Re l
vf l
Q
.
Setzt man den Impulsstromverlust (s. Kap. I-9.4.4) mit dem Reibungswiderstand an einer Plattenseite gleich, d.h. mit l
FW
³
b W W dx , 0
so ergibt sich eine wichtige Beziehung der Grenzschichttheorie: G
FW
IPotentialströmung IRealströmung
³ 0
G
³
v į dm v x dm 0
9.3 Druckgradient und Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht
183
l
vį U b G 2vį
³
b W W dx 0
m
mit G 2 Impulsverlustdicke, s. Gl. (I-9.14). Hieraus folgt: l
l
³
b W W dx
FW
³
U b G 2 v į 2 und W W dx
0
U v į 2G 2 x .
0
Wird letztgenannte Gleichung differenziert, so erhält man
W W x Uv į 2
dG 2 dx
(9.6) 2
mit der Konstanten U v į und dG 2 der Steigung der Impulsverlustdicke G 2 x . dx Gleichung (9.6) stellt den Impulssatz für die Plattengrenzschicht mit dp/dx = 0 Pa/m dar.
9.3 Einfluss des Druckgradienten auf das Geschwindigkeitsprofil in der Plattengrenzschicht Führt man in die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung, s. Gl. (I-9.1), die Wandhaftbedingungen ein, d.h. v x 0 m / s und v y 0 m / s , so folgt: 0
§ w2vx 1 dp Q¨ ¨ wy 2 U dx ©
· ¸ ¸ ¹y
.
(9.7)
0
Aus dieser Gleichung ergibt sich in Verbindung mit Gl.(I-9.4):
§ w2v Q ¨¨ 2x © wy
· ¸ ¸ ¹y
0
1 dp U dx
v į
dv į . dx
Zur Krümmung k des Profils v x y an der Wand y = 0 m ist anzugeben:
(9.8)
9 Grenzschichtströmungen
184
k
§ w2vx ¨ ¨ wy 2 © ª § wv «1 ¨¨ x «¬ © wy
· ¸ ¸ ¹y 2
· ¸¸ ¹y
0
º » 0» ¼
3/ 2
.
Da der Nenner dieses Ausdrucks immer positiv ist, gibt der Zähler stets das Vorzeichen der Krümmung k an, d.h. der Druckgradient dp/dx bestimmt nach Gl.(9.8), ob es sich um eine konvexe (k > 0) oder konkave (k < 0) Krümmung handelt, s. Bild 9.2. Diskutiert man Gl.(9.8) jeweils für fallenden, konstanten und steigenden Druckgradienten dp/dx, d.h. für Düsenströmung, Parallelströmung und Diffusorströmung, so erhält man für die Wandströmung die in Bild 9.3 oben dargestellten Krümmungen des Geschwindigkeitsprofils, die konkav oder konvex sein können. Für die Außenströmung ergibt sich entsprechend ein positiver Geschwindigkeitsgradient (Geschwindigkeit nimmt zu), ein NullGeschwindigkeitsgradient (Geschwindigkeit bleibt konstant) oder ein negativer Geschwindigkeitsgradient (Geschwindigkeit nimmt ab).
Bild 9.2 Konkave und konvexe Krümmung k einer Funktion y(x) bzw. einer Funktion Krümmungsradius R über 1/k mit Krümmung gekoppelt
v x ( y) .
9.3 Druckgradient und Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht
185
Bild 9.3 Grenzschichtprofile a...e für Düsen-, Parallel- und Diffusorströmung mit tabellarischer Zusammenfassung
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10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
10.1 Grundgleichungen für turbulente Strömung 10.1.1 Kontinuitätsgleichung Nach Gl.(I-2.9) lautet die Kontinuitätsgleichung für inkompressibles Fluid in instationärer und stationärer Strömung: wv x wv y wv z wy wx wz
0 .
(10.1)
Dieser Zusammenhang muss nun auch für den zeitlichen Mittelwert gelten, d.h.
wv x wv y wv z wx wy wz
0
oder nach Einsetzen von Gln.(I-10.3):
w v y vcy w v z vcz w v x vcx wz wx wy
w v x wv cx w v y wv cy w v z wv cz wx wx wy wy wz wz
0 oder
0.
Nun sind aber die zeitlichen Mittelwerte der Schwankungsgrößen Null, s. Bild I-10.4, so dass sich ergibt: wv x wv y wv z wx wy wz
0 .
(10.2)
10.1 Grundgleichungen für turbulente Strömung
187
Subtrahiert man diese Gleichung von der Kontinuitätsgleichung (10.1), so folgt: wv x wv x wv y wv y wv z wv z wz wz wx wy wy wx
0.
Mit dieser Gleichung ergibt sich schließlich: wv cx wv cy wvcz wy wz wx
0 .
(10.3)
Die Kontinuitätsgleichung in der Form von Gl.(10.2) und (10.3) gilt also sowohl für die zeitlichen Mittelwerte als auch für die Schwankungswerte. 10.1.2 REYNOLDS-Gleichungen
Die REYNOLDS-Gleichungen spielen insbesondere bei der CFD eine entscheidende Rolle. Führt man in die NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichungen (I-6.14)...(I-.6.16) die Gln. v x v x vcx , v y v y vcy und v z v z vcz ein, so erhält man für die x-Komponente:
w v x vcx w v x vcx w v x vcx w v x vcx v x vcx v y vcy v z vcz wt wx wz wy
fx
ª w 2 v x v cx w 2 v x v cx w 2 v x v cx º 1 w p p c Q « » . (10.4) wx U wx 2 wy 2 wz 2 ¬« ¼»
Für die y- und z- Komponente lautet die Gl. (10.4) entsprechend. Gleichung (10.4) wird nun in fünf Schritten weiterbehandelt: 1. 2.
Wegen v x z f t wird wv x / wt = 0 gesetzt. Auf der linken Seite wird folgendes Glied hinzugefügt: wv cy wv cz · § wv c ¸ v cx ¨¨ x wy wz ¸¹ © wx
3. 4.
0 , s. Gl.(10.3).
Die so erweiterte Gleichung (10.4) wird zeitlich gemittelt. In der so entstandenen Gleichung ergeben sich die folgenden Ausdrücke zu Null: vcx
0 m / s,
w vcx wt
0 m / s ², v cy
0 m / s, v cz
0 m / s, pc
0 Pa .
188
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
5.
Schließlich wird gesetzt: f x
fx , fy
fy , fz
fz .
Ebenso werden die Gl.(I-6.12) und (I-6.16) für die y- und z- Komponenten behandelt. Damit erhält man die zeitlich gemittelten REYNOLDSGleichungen: vx
vx
vx
wv x wv wv vy x vz x wx wy wz
wv y wx
vy
wv y wy
vz
wv y wz
wv z wv wv vy z vz z wx wy wz
§ w 2vx w2vx w 2vx 1 wp Q ¨¨ 2 U wx wy 2 wz 2 © wx
· ¸ Z x (10.5) ¸ ¹
§ w2vy w2vy w2vy 1 wp Q ¨ fy ¨ wx 2 U wy wy 2 wz 2 ©
· ¸ Z (10.6) y ¸ ¹
fx
fz
§ w2v w 2 vz w 2 vz 1 wp Q ¨¨ 2z U wz wy 2 wz 2 © wx
· ¸ Z z .(10.7) ¸ ¹
Abgesehen von der Mittelwertbildung treten, verglichen mit den NAVIERSTOKES-Bewegungsgleichungen (I.6.14)...(I-6.16), bei turbulenten Strömungen inkompressibler Fluide noch folgende Zusatzterme Z auf:
(10.8)
und
(10.9)
Zx
w § 2· w w v cx v cy v cx v cz , ¨ v cx ¸ ¹ wy wx © wz
Zy
w w w 2 v cx vcy §¨ v cy ·¸ vc vc ¹ wz y z wx wx ©
Zz
w w w v cx v cz vcy v cz §¨ v cz 2 ·¸ . ¹ wx wy wz ©
(10.10)
w vcx vcy ist bei allen turbulenten ebewy nen Grenzschichten dominant. Die Zusatzterme Gl.(10.8)...(10.10) besitzen den Charakter von zusätzlichen Zähigkeitskräften bei turbulenten Strömungen. Das in Gl.(10.8) auftretende Glied
Die geschlossene Lösung des komplizierten Gleichungssystems, bestehend aus den REYNOLDS-Gleichungen (10.5)...(10.7) mit den Zusatzgliedern (10.8)...(10.10) und den Kontinuitätsgleichungen (10.2)...(10.3), ist bis heute nicht möglich. Bei Grenzschichtströmungen kann man die schwierigen Gleichungen durch die Voraussetzung ebener Strömung vereinfachen. In diesem Fall kommen nur die Gln. (10.5) und(10.6), (10.8) und (10.9) in der x-, y-
10.1 Grundgleichungen für turbulente Strömung
189
Ebene mit v z 0 m / s zur Anwendung. In derartigen Strömungen ist in erster Näherung alleine das Glied
w v cx v cy wy
von Bedeutung. Diese Tatsache erleichtert erheblich den Lösungsweg zur Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilungen und letztlich der Strömungsverluste aus den REYNOLDS-Gleichungen. 10.1.3 BOUSSINESQ-Gleichung 16
Der französische Forscher BOUSSINESQ hat die ebene Grenzschichtströmung eingehend untersucht. Beschränkt man sich nur auf diese Grenzschichtströmung mit den in Kap. (I-9.2) gemachten elf Voraussetzungen, so wird aus der Grenzschichtgleichung (I-9.1) mit Gl.(10.5)
Zx
w v cx v cy wy
die v x -Komponente der turbulenten ebenen Grenzschichtströmung: vx
wv wv x vy x wy wx
1 dp K w 2 v x w vcx vcy . U dx U wy 2 wy
(10.11)
Diese Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: vx
wv wv x vy x wy wx
º 1 dp 1 w ª wv x U vcx vcy » . «K U dx U wy ¬ wy ¼
(10.12)
Gl. (10.12) ist die an die turbulente ebene Grenzschichtströmung angepasste REYNOLDS-Gleichung (10.5). In der eckigen Klammer entspricht der erste Term dem NEWTON-Schubspannungsansatz Gl.(I-6.1), wobei entsprechend der Herleitung zwischen v x und v x kein Unterschied besteht. Offensichtlich kommt dem zweiten Term in der eckigen Klammer die Bedeutung einer turbulenten Zusatzspannung W t zu, die auch REYNOLDS-Spannung genannt wird. Nach physikalischem Verständnis ist der erste Term auf molekulare Diffusion (s. Kap. I-6.1), der zweite auf turbulente Diffusion (s. Kap.I-10.1) 16
BOUSSINESQ, Valentin Joseph. (1842-1929) geb. in Lille , gest. Paris. Physiker und Mathematiker, Professor der Mathematik und Strömungstechnik in Lille und Paris. Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignés à grandes sections. Paris: Gauthier-Villars, 1897
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
190
zurückzuführen. Der erste Term W l soll die laminare Grundschubspannung, der zweite Term W t die turbulente Zusatzspannung darstellen, also:
W
Wl Wt
(10.13)
mit der laminaren Grundschubspannung
Wl
wv x wy
K
(10.14)
und der turbulenten Zusatzspannung, der sog. REYNOLDS-Spannung,
U v cx v cy .
Wt
(10.15)
Der Ausdruck vcx vcy ist, wie im Folgenden Kapitel gezeigt, stets negativ. So tritt also bei turbulenten Grenzschichtströmungen stets eine reibungserhöhende Schubspannung auf. Aus messtechnischen Gründen ist es wichtig, darauf hinzuweisen, dass
vc vc v v v x
y
x
y
(10.16)
x vy
ist, wovon man sich folgendermaßen überzeugen kann:
v v x
y
mit v cx
v x vcx v y vcy
0 m / s und vcy
v x v y vcx v cy
0 m/s .
Hieraus folgt Gl.(10.16), q.e.d. Schließlich wird aus Gl.(10.12) mit Gln.(10.13)...(10.15): vx
wv wv x vy x wy wx
1 § dp wW · ¨ ¸ . U ¨© dx wy ¸¹
(10.17)
Dies ist die sog. REYNOLDS-Grenzschichtgleichung für ebene turbulente Grenzschichten. Nach einer Idee von BOUSSINESQ (1896) lässt sich Gl.(10.13) wie folgt deuten:
W mit
U Q Q t
Q Qt
wv x wy Stoffwert (kinematische Zähigkeit), Strömungswert (Wirbelzähigkeit) und
(10.18)
10.2 PRANDTL-Mischungsweg
U Qt
wv x wy
U vcx vcy
191
W t (REYNOLDS-Spannung).
Gleichung (10.18) wird auch BOUSSINESQ-Gleichung genannt. Sie gilt für zweidimensionale Grenzschichtströmungen in der x-,y-Ebene. Es muss beachtet werden, dass die hiermit definierte Wirbelzähigkeit Q t im Gegensatz zu Q kein Stoffbeiwert, sondern ein von der Turbulenzstruktur abhängiger Parameter ist. TAYLOR (1915) und PRANDTL (1925) schlugen für die Bestimmung der Wirbelzähigkeit einen sog. Mischungswegansatz (s. Kap. 10.2) der folgenden Form vor:
vcx vcy
wv x / wy
mit
lm
Qt
Qt
lm
2
wv x wy
(10.19)
Mischungsweglänge, d.h. mittlere Weglänge in m, auf der ein Turbulenzballen seinen Impuls behält und Wirbelzähigkeit in m²/s.
Bei der physikalischen Bestimmung der Mischungsweglänge gingen TAYLOR und PRANDTL von unterschiedlichen Vorstellungen aus: zum einen von der Erhaltung der Wirbelstärke, zum anderen von der Erhaltung der Impulses des Turbulenzballens. Im Folgenden soll der PRANDTL-Mischungsweg (Erhaltung des Impulses) erläutert werden.
10.2 PRANDTL-Mischungsweg Bild 10.1 zeigt die Geschwindigkeitsverteilung in der Nähe einer Wand und die Lage eines Turbulenzballens in der Grenzschichthöhe y1 . Der Turbulenzballen bewege sich mit der Geschwindigkeit vcy längs der freien Querweglänge l mit konstantem x-Impuls. Die PRANDTL-Modellvorstellung setzt voraus:
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
192
Bild 10.1 Turbulenzballen in einer zweidimensionalen turbulenten Grenzschichtströmung zum Verständnis des PRANDTL-Mischungswegs
Es handelt sich um eine Parallelströmung mit v x v x ( y ) , v y 0 m / s und v z 0 m / s . Der Turbulenzballen mit v cy ! 0 m / s behält seinen mittleren spezifischen (pro m³) x- Impuls U v1.x über die freie Querweglänge l bei, Die Geschwindigkeitsdifferenz v1.x v 2.x wird als Schwankungsgeschwindigkeit v c2.x < 0 m/s gedeutet. Die Absolutbeträge der Schwankungsgeschwindigkeiten in x- und yRichtung sind von gleicher Größenordnung: vc2.x v cx | v cy .
1. 2. 3. 4.
Nach der dritten Voraussetzung kann also die Geschwindigkeitsschwankung gedeutet werden als: v c2.x
v1.x v 2.x 0 m/s für vcy ! 0 m/s.
Daraus folgt: vcx vcy 0 (m/s)² und auch vcx vcy 0 (m/s)². Erinnert man sich an die TAYLOR-Reihenentwicklung für f(x) im Intervall x0 bis x0 h :
f x 0 h
f x 0
h1 h2 f c x0 f cc x0 ... 1! 2!
und wendet diese Rechenvorschrift auf die Geschwindigkeitsverteilung v x ( y ) im Intervall y1 bis y1 l an, so ergibt sich:
10.2 PRANDTL-Mischungsweg
v y1 l x
v 2.x
§ wv v x y1 ¨¨ l x ¨ wy v1.x ©
y1
l 2 w2vx 2 wy 2
y1
193
· ...¸¸ . ¸ ¹
Für kleinere Werte von l 10 -5...10 7 mm bricht man die Reihe nach dem ersten Glied ab und erhält: vc2.x
v1.x v 2.x
l
wv x . wy
(10.20)
Aus Bild 10.1 und aus dieser Gleichung können zwei wichtige Schlüsse gezogen werden: 1. v cx v cy 0 für wv x / wy ! 0 und 2. v cx | v cy und damit v cx v cy ~ l 2
wv x wv x bzw. vcx vcy wy wy
l m
2
wv x wv x , wy wy
wobei l m im Vergleich mit l den Proportionalitätsfaktor enthält. l m trägt den Namen Mischungsweglänge und ist ein Maß für die mittlere Weglänge eines Turbulenzballens mit konstanten strömungsphysikalischen Größen. 2 wv x Der Ausdruck l m stellt die bereits eingeführte Wirbelzähigkeit dar. wy Setzt man die Wirbelzähigkeit Q t in Gl.(10.18) ein, so erhält man für die Gesamtschubspannung
W
§ ¨ ©
U ¨Q l m 2
wv x wy
· wv x ¸ ¸ wy ¹
mit der laminaren Schubspannung W l
UQ
wv x und wy
der turbulenten Schubspannung
Wt
U lm 2
wv x wv x . wy wy
(10.21)
Mit der BOUSSINESQ-Gl.(10.18) kann die Gesamtschubspannung in turbulenter Grenzschichtströmung wie folgt zusammenfassend geschrieben werden:
W
K
wv x U v cx v cy wy
K
U v cx v cy wv x wv x wy wv x / wy wy
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
194
§
U ¨Q ¨ ©
vcx vcy ·¸ wv x wv x / wy ¸ wy ¹
§ ¨ ©
wv x wy
U ¨Q l m 2
· wv x ¸ . ¸ wy ¹
Es ist also:
W
§ wv x wv Q t x wy © wy
U ¨¨Q
mit Q ges
· ¸¸ ¹
U Q ges
wv x wy
(10.22)
Q Q t .
An der Wand y = 0 m gilt für die Wandschubspannung:
WW
§ wv x © wy
U Q ges.W ¨¨
· ¸¸ . ¹W
(10.23)
Bezieht man die nach Gl.(10.18) berechnete Schubspannung auf den wandnahen Strömungsbereich, so erhält man die sog. Wandschubspannung W W . Bildet man den Ausdruck vW
W W / U , so ergibt sich hierfür die Einheit m/s.
Man bezeichnet wegen dieser Einheit den o.a. Ausdruck mit Wandschubspannungsgeschwindigkeit vW für turbulente Grenzschichten, d.h. vW
WW U WW
mit
(10.24) § wv x · § wv · wv ¸¸ U l m 2 x ¨¨ x ¸¸ w w wy ¹ W y y © © ¹ W W
UQ ¨¨
W l.W
und
W t.W
W l.W laminarer Anteil der Wandschubspannung und W t.W turbulenter Anteil der Wandschubspannung.
Für vW existieren Näherungen a und b an die experimentell ermittelte reale Verteilung c. Dieser Zusammenhang ist in Bild 10.2 schematisch dargestellt. Hier bedeuten: a
Gesetz der zähen Unterschicht: vx vW
b
yvW
Q
,
Logarithmisches Wandgesetz:
(10.25)
10.3 Dreibereichsmodell für turbulente Grenzschichten
vx vW
K1 ln
yv IJ
Q
K2
195
(10.26)
mit K1 | 2,5 und K 2 | 5,0 und c Reale Verteilung (experimentell ermittelt).
Bild 10.2. Zur Ermittlung der Wandschubspannungsgeschwindigkeit schichten mit den Näherungen a und b an die reale Verteilung c
vW in turbulenten Grenz-
10.3 Dreibereichsmodell für turbulente Grenzschichten Bekanntlich zeigen die laminaren und turbulenten Wandgrenzschichten charakteristische Geschwindigkeitsverteilungen auf, die in Bild 10.3 beispielhaft dargestellt sind. Die parabelförmige Form der laminaren Grenzschicht ergibt einen kleineren Geschwindigkeitsquergradienten wv x / wy als die bauchige Form der turbulenten Grenzschicht. Dies erklärt auch die Tatsache, dass Profile mit laminaren Grenzschichten einen geringeren Widerstand aufweisen als Profile mit vorwiegend turbulenten Grenzschichten (laminares und turbulentes Tragflügelprofil). Der bereits erwähnte Umschlag der laminaren Grenzschicht in die turbulente findet bei der Umströmung der ebenen Platte mit dp/dx = 0 Pa/m bei der sog. Umschlags-REYNOLDS-Zahl statt, mit:
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
196
Re x
xlaminar v f
Q
K 10 5
(10.27)
mit K = 3,2 bei hohen Turbulenzgraden, bis K = 5,0 bei niedrigen Turbulenzgraden; Turbulenzgrad s. Gl. (I-10.8).
Bild 10.3 Zur Form laminarer und turbulenter Grenzschichten
Dieser Zusammenhang ist in Bild 10.4 schematisch dargestellt.
Bild 10.4. Zur Umschlags-REYNOLDS-Zahl
10.3 Dreibereichsmodell für turbulente Grenzschichten
197
Bild 10.5 zeigt für eine turbulente Grenzschicht die Verteilung der Schubspannung. Es ergibt sich ein sog. „Dreibereichsmodell“ mit den Bereichen:
1. Wandnächster Bereich (zähe Unterschicht), 2. Wandnaher Bereich und 3. Außenbereich mit den Indizes l laminare Grundschubspannung und t turbulente Zusatzspannung.
Bild 10.5. Dreibereichsmodell. Bereich (1)
W t !! W l
W t W l ,
Bereich (2)
Wt ! Wl
und Bereich (3)
Für die einzelnen Bereiche lassen sich aus Kenntnis der Schwankungsgeschwindigkeiten und der BOUSSINESQ-Gl.(10.18) folgende Relationen ableiten: Bereich (1): W t W l , Bereich (2):
W t ! W l und
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
198
Bereich (3): W t !! W l . Aus diesen drei Relationen besteht das sog. Dreibereichsmodell wie in Bild 10.5 dargestellt. Bild 10.6 zeigt eine vergrößerte Darstellung des wandnahen Bereichs.
Bild 10.6. Schubspannungsverteilung in einer turbulenten Grenzschicht, vergrößerter wandnaher Bereich nach Bild 10.5
10.4 Turbulente Rohrströmung Der turbulente Impulsaustausch aufgrund der Schwankungswerte vc bewirkt bei der turbulenten Rohrströmung eine Vergleichmäßigung des Geschwindigkeitsprofils in der Rohrmitte. Bild 10.7 zeigt für ein und denselben volumetrischen Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeit
v vol mit
4V S d2 V
d
(10.28) Volumenstrom durch das kreisrunde Rohr und Rohrdurchmesser
10.4 Turbulente Rohrströmung
199
ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil im Vergleich zu einem laminaren Geschwindigkeitsprofil, s. Kap. I-11.3.2.
Bild 10.7. Turbulente und laminare Rohrströmung mit volumetrisch gemittelter Geschwindigkeit
v vol
Bei der laminaren Rohrströmung kann eine streng analytische Lösung für V , v x v vol und v x (r ) angegeben werden, insbesondere auch das Verhältnis § v vol ¨¨ © v x.max
· ¸¸ ¹ lam
0,5 .
(10.29)
Es erhebt sich nun die Frage, wie sich dieses Verhältnis bei der turbulenten Rohrströmung darstellt. Die Lösung ist relativ kompliziert, da sich in der Praxis unterschiedliche Beziehungen für das Geschwindigkeitsprofil in Rohrwandnähe ergeben. In Anlehnung an die Druckverlust-Gln. (I-11.8) für lami-
10 Turbulente Strömungen inkompressibler Fluide
200
nare Rohrströmung soll für die turbulente Rohrströmung analog angesetzt werden:
'p J
O
l U 2 v vol . d 2
(10.30)
Während für die laminare Rohrströmung der Rohrreibungskoeffizient O = 64/Re mit Re v vol d / Q ist, ergeben sich für die turbulente Rohrströmung mehrere Funktionen je nach Einfluss zweier Parameter, die lauten: -
REYNOLDS-Zahl Re und Relative Rautiefe Rz / d mit Rz = gemittelte Rautiefe nach DIN 4764 und 4766 (aus fünf maximalen Rauigkeitserhebungen Rmax von fünf Rauigkeitsteststrecken gemittelt).
Im Kap. (I-11.4) ist für die turbulente Rohrströmung der für die technische Belange ermittelte Zusammenhang O O Re , Rz / d dargestellt. Bei der Bestimmung des volumetrischen Mittelwerts nach Gl.(10.27) im Verhältnis zum Maximalwert des Geschwindigkeitsprofils spielt bei der turbulenten Rohrströmung ein sog. „Verteilungsexponent“ N für den rohrwandnahen Bereich (s. Bild 10.8) eine Rolle mit v x z v x.max
1
§ z ·N ¨ ¸ . ©R¹
Bild 10.8. Näherung für die turbulente Geschwindigkeit
(10.31)
v x im rohrwandnahen Bereich
10.4 Turbulente Rohrströmung
201
In der Praxis ist für N = 7 das sog. „1/7-Potenzgesetz“ für den rohrwandnahen Bereich als charakteristisch für Rohrströmungs-REYNOLDS-Zahlen um Re 10 5 bekannt. Aus Experimenten weiß man, dass in guter Näherung gilt (VDI/VDE 2640, Blatt 1): m
§ v vol ¨¨ © v x.max
· ¸¸ ¹ turb
2N 2 . N 1 2 N 1
Der Kurvenverlauf m (Re) sowie N (Re) ist in %ild 10.9 dargestellt.
Bild 10.9. Technisch relevante Verteilungsexponenten N und Geschwindigkeitsverhältnisse m für turbulente Rohrströmungen in Abhängigkeit von der REYNOLDS-Zahl Re
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
11.1 Technische Anwendung von Rohrströmungen Rohrströmungen mit gasförmigen und flüssigen Fluiden spielen in der Technik eine entscheidende Rolle, so z.B. in folgenden sechs Anwendungsgebieten: 1. Energietechnik, 2. Wasserwirtschaftstechnik, 3. Verfahrenstechnik, 4. Schiffstechnik 5. Haustechnik und 6. Antriebstechnik. Hier handelt es sich einmal darum, Lageenergie- Druckenergie- und Geschwindigkeitsenergie-beladene Fluide, zum anderen Chemieenergie-beladene Fluide von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren.
11.2 Rohrreibungskoeffizient bei kreisförmigen Rohrquerschnitten Hier handelt es sich im Wesentlichen um den Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei laminarer und turbulenter Strömung. Bei laminarer Strömung wird auf das Kap. 6.3, sowie auf das MOODYDiagramm, Kap. I-11.4, verwiesen. Man mache sich klar, dass die REYNOLDS-Zahl als Abszisse mit dem Rohrdurchmesser d gebildet wird, d.h. mit dem Durchmesser eines kreisförmigen Rohrquerschnitts. Nun existieren aber in der Technik auch Rohre mit nichtkreisförmigen Rohrquerschnitten, insbesondere bei Rohren, die bautechnisch (Betonrohre und Betonkanäle) erstellt werden. Wie in diesem Falle die REYNOLDS-Zahl gebildet wird, gibt das nächste Kapitel Auskunft.
11.3 Rohrreibungskoeffizient bei nichtkreisförmigen Rohrquerschnitten
203
11.3 Rohrreibungskoeffizient bei nichtkreisförmigen Rohrquerschnitten In der Rohrleitungstechnik zeigen sich vielfältige Beispiele für nichtkreisförmige Strömungsquerschnitte, z.B. Rechteckkanäle, Schlitze, teilgefüllte Abwasserrohre. Für diese Strömungsquerschnitte ist das MOODY-Diagramm nicht sofort anwendbar. Hier ist zunächst eine Umrechnung des nichtkreisförmigen Strömungsquerschnitts auf einen reibungsäquivalenten Kreisquerschnitt erforderlich. Man setzt voraus, dass die Wandschubspannung W W im nichtkreisförmigen wie im kreisförmigen Strömungsquerschnitt gleich sind. Aus Bild 11.1 geht hervor, dass folgendes Gleichgewicht zwischen Druck- und Reibungskräften besteht
p1 p 2 A W W Ul mit
A U
0
(11.1)
nichtkreisförmige Strömungsquerschnittsfläche und benetzter Umfang des Strömungsquerschnitts.
Berechnet man aus Gl.(11.1) die Druckdifferenz und deutet diese als Druckverlust 'p J , so ist:
p1 p 2
'p J
W W Ul A
.
(11.2)
Bild 11.1 Geometrie des Rechteckkanalabschnitts (1)...(2) zur Herleitung des hydraulischen Durchmessers
Diese Gleichung lautet für das reibungsäquivalente Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und der gleichen Rohrlänge l :
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
204
WW
'p J
Sdl
W W 4l
Sd / 4
d
2
(11.3)
U Sd und A Sd 2 / 4 .
mit
Die Gleichsetzung der Gln.(11.2) und (11.3) liefert:
W W Ul
W W 4l
A
d
und aufgelöst nach d : d
4A / U .
Dieser derart ermittelt Durchmesser heißt hydraulischer Durchmesser d hydr und lautet:
d hydr
4 u Strömungsquerschnittsfläche Benetzter Umfang
4A . U
(11.4)
Es ist sofort einleuchtend, dass für den voll benetzten Umfang eines kreisförmigen Rohrquerschnitts der hydraulische Durchmesser mit dem wirklichen Innendurchmesser identisch ist. Im Folgenden sollen für einige technisch wichtige Strömungsquerschnitte der Strömungstechnik die hydraulischen Durchmesser bestimmt werden, s. Bild 11.2:
Bild 11.2 Hydraulische Durchmesser d hydr von verschiedenen nichtkreisförmigen Strömungsquerschnitten; a Offener Rechteckkanal, b Halbgefülltes kreisförmiges Abwasserrohr, c Geschlossener Rechteckschlitz
11.4 Druckverluste durch Sekundärströmungen in Rohrleitungen
205
a) Offener Rechteckkanal: Mit b = 1 m und H = 1 m ergibt sich
d hydr
4bh 2h b
1,333 m .
b) Halbgefülltes kreisförmiges Abwasserrohr:
d hydr
4Sd 2 / 8 Sd / 2
d
Es ist interessant festzustellen, dass in diesem Fall der hydraulische mit dem geometrischen Durchmesser identisch ist, jedoch die Strömung nur den halben Rohrquerschnitt einnimmt. c) Geschlossener Rechteckschlitz: Mit b = 0,200 m und h = 0,030 m folgt:
d hydr
4bh , 2 b h
bei h<< b ist näherungsweise:
d hydr
4bh 2b
2h
0,060 m .
11.4 Druckverluste durch Sekundärströmungen in Rohrleitungen In gekrümmten Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt treten sog. Sekundärströmungen erster Art auf, die sich der axialen Translationsströmung überlagern. Aufgrund der radialen Druckgleichung (I-3.5) ist auf den äußeren Strombahnen ein höherer statischer Druck als auf den inneren Strombahnen festzustellen. Bild 11.3 zeigt, dass sich der höhere Druck zum Unterdruckgebiet über die wandnahen Strömungszonen niederer Geschwindigkeit ausgleicht. Die Erklärung dieses Phänomens ist in Kap.I-3.4 gegeben; man erinnere sich auch an die Teetassenströmung, s. Bild I-3.8. Im Bild 11.3 sind auch die Ablösungsgebiete in Gebieten bei steigendem Druckgradienten eingezeichnet, vgl. Bild I-3.7.
206
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
Bild 11.3. Rohrbogen mit Darstellung der Sekundärströmung erster Art (Druckausgleichsströmung)
Es gibt aber auch Sekundärströmungen zweiter Art. Diese treten bei nichtkreisförmigen Rohrquerschnitten, wie in Bild 11.4 gezeigt, auf. Diese Sekundärströmung wird auch die „Tote Ecken ausfüllende Strömung“ genannt, da aufgrund der erhöhten Reibung in den Ecken das strömende Fluid in diese Ruhegebiete ausweichen will. Es überlagert sich also die zellenartige Sekundärströmung zweiter Art der Translationsströmung. Im streng mathematischen Sinn ist allerdings eine Überlagerung zweier Strömungen nur bei Potentialströmungen, s. Kap. 7 und I-7, gültig. Wie am Beispiel der Rohrbogenströmung gezeigt, können erhebliche Druckverluste durch Ablösung der Strömung bei steigendem statischem Druck hervorgerufen werden. Die Ablösungszonen verursachen starke Verluste und Sekundärströmungen erster und zweiter Art.
11.4 Druckverluste durch Sekundärströmungen in Rohrleitungen
207
Bild 11.4. Rohr mit quadratischem Querschnitt und Darstellung der Sekundärströmung zweiter Art (Tote Ecken ausfüllende Strömung)
Erhebliche Strömungsablösungsverluste treten auch bei den beiden folgenden strömungstechnischen Bauteilen auf. CARNOT
17
-Stoßdiffusor
Bilder 11.5 (oben) und 11.6 zeigen die wesentlichen Zusammenhänge, die zu dem Druckverlust 'p J / U eines Stoßdiffusors führen.
17
CARNOT, Nicolas Leonardi Sardi, geb. 1796 in Paris, gest. 1832 in Paris. Physiker, beschäftigte sich mit der Wärmestofftheorie, Umwandelbarkeit von Wärme und Arbeit (s. 1. Hauptsatz der Thermodynamik). Wichtigstes Werk: Reflexions sur la puissance motrice du feu, 1824. Aus einigen Quellen geht hervor, dass der CARNOT-Stoßdiffusor seinem Vater Lazare Nicolas Marguérite, geb. 1753 in Nolay (Burgund), gest. 1823 in Magdeburg, Physiker und Politiker, zugeschrieben werden muss.
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
208
Bild 11.5. Druckverluste
'p J bei CARNOT-Stoßdiffusor und BORDA-Mündung
Die Herleitung von 'p J / U 1 / 2 v1 v 2 für den CARNOT-Stoßdiffusor in horizontaler Einbaulage mit U = const gestaltet sich wie folgt: 2
a) BERNOULLI-Gl., ohne Verluste, p 2 = Druck nach idealer (verlustloser) Druckumsetzung: p1
U
p2
U
2
v1 2
p1
U
p2
U
2
v2 , 2
1 2 v1 v 2 2 . 2
(11.5)
11.4 Druckverluste durch Sekundärströmungen in Rohrleitungen
209
Bild 11.6. Zur Herleitung des Druckverlusts bei dem CARNOT-Stoßdiffusor
b) Impulssatz mit Strömungsverlusten, p 2 = Druck nach realer (verlustbehafteter) Druckumsetzung beträgt in Anlehnung an Gl. (I-5.33) und nach Bild 11.6: p1 A1 m v1
p 2 A2 m v 2 , A1 { A2 , m
U v 2 A2 ,
A2 p 2 p1 UA2 v 2 v1 v 2 , hieraus folgt: p2
U
p1
U
v 2 v1 v 2 ,
(11.6)
c) Ansatz für den Druckverlust Es wird angenommen, dass der Druckverlust sich aus der Differenz der beiden Drücke aus der Gl. (11.5), Druck ohne Verluste, und aus Gl.(11.6), Druck mit Verlusten, zusammensetzt, d.h.:
'p J
p2 p2
'p J
1 v1 v 2 2 . 2
U
U
U
1 2 v1 v 2 2 v 2 v1 v 2 oder: 2 (11.7)
Gleichung (11.7) kann auch wie folgt geschrieben werden: 'p J
U
1 v1 v 2 2 2
9k
v2 2
2
mit 9 k CARNOT-Stoßverlustzahl.
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
210
Mit
9K
v1 / v 2
A2 / A1 und
§ A2 · ¨¨ 1¸¸ © A1 ¹
2
'p J
U
2
§ A2 · v22 ¨¨ 1¸¸ ist 9 k © A1 ¹ 2
.
(11.8)
BORDA 18 -Mündung 2. Bild 11.5 unten zeigt die sog. BORDA-Mündung, die eine leicht zu fertigende Lösung eines Ausflussstutzens, allerdings mit relativ hohen Strömungsverlusten, darstellt. Innerhalb der Ausflussrohres kontrahiert der Strahl auf den Durchmesser d BORDA mit einer relativ hohen Ausflussgeschwindigkeit v2
4 V
S d 2 BORDA
.
(11.9)
Vielfältige Messungen haben folgende empirische Abschätzung für den Druckverlust ergeben: 'p J
U
3
v2 2
2
.
(11.10)
Hiermit ist 9 k der BORDA-Mündung in der Größenordnung von 3.
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen Unter Arbeitsmaschinen seien in diesem Kapitel Pumpen und Ventilatoren verstanden, also Maschinen, die eine mechanische Leistung in eine Strömungsleistung umwandeln. Die Kompressoren mit einem Druckverhältnis von p Druckstutzen / p Saugstutzen ! 1,3 seien in diesem Kapitel ausgenommen, da hier in allen Fällen ein inkompressibles Fluid vorausgesetzt wird. Bild 11.7 zeigt ein Rohrleitungssystem mit einer Arbeitsmaschine, in diesem Fall mit einer Kreiselpumpe. Das System wird aus einem saugseitigen Kessel gespeist, in dem der Systemeintritt mit (e) bezeichnet wird. Die saugseitige Anlage endet am Saugstutzen (s) der Kreiselpumpe. Die druckseitige Anlage beginnt am Druckstutzen (d) der Kreiselpumpe und endet nach einer längeren
18
BORDA, Jean-Charles, geb. 1733 in Dax, gest. 1799 in Paris. Physiker und Mathematiker, arbeitete auf dem Gebiet der Strömungstechnik, entwickelte Instrumente für Navigation und Geodäsie, widersprach NEWTONs Theorie des Strömungswiderstands. Wichtigste Werke in : Mémoires de l´Académie des sciences, Jg. 1763,1766...69
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen
211
Rohrleitungsstrecke im druckseitigen Kessel, in dem der Systemaustritt mit (a) bezeichnet ist. Im Folgenden sollen die Kennlinien der Anlage und der Kreiselpumpe (bzw. des Ventilators) sowie der Betriebspunkt abgeleitet werden. Gegeben: (e)Æ(s) Saugseitige Anlage, (d)Æ(a) Druckseitige Anlage. Unter der saug- und druckseitigen Anlage wird im Wesentlichen die Rohrleitung verstanden. Die relativ kurzen Kesselstrecken werden wegen der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als quasi verlustfreie Rohrstrecken vernachlässigt. Dies gilt allerdings nicht für die CARNOT-Stoßverluste und die BORDA-Mündungsverluste.
(s)Æ(d) Kreiselpumpe für ein quasi inkompressibles Fluid. Kreiselpumpen können reine Flüssigkeiten oder Gemische mit vorwiegend flüssigen Mischungsanteilen fördern. Man spricht von Ventilatoren, wenn es sich um Gase oder Gemische mit vorwiegend gasförmigen Mischungsanteilen handelt. Hierbei darf das Druckverhältnis pd / ps nur d 1,3 sein. Vorausgesetzt: Stationäre Strömung, Reale Strömung und Quasi inkompressibles Fluid, d.h. Fehler, die durch vernachlässigte Kompressibilitätseffekte hervorgerufen werden, liegen unter 5%. Gesucht: 1. Kennlinie der Anlage, 2. Kennlinie der Pumpe bzw. des Ventilators und 3. Betriebspunkt. Lösung: Zu 1.: Wendet man die BERNOULLI-Gl. (I-11.1) zwischen den Referenzpunkten (e) und (s) bzw. (d) und (a) an, so ergibt sich: pe
U
ve2 gz e 2
ps
U
§ 'p · vs 2 gz s ¨¨ J ¸¸ 2 © U ¹ e,s
(11.11)
212
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
Bild 11.7. Strömungstechnisches System (e) bis (a) mit Arbeitsmaschine (s) bis (d) saugseitiger Anlage (e) bis (s) und druckseitiger Anlage (d) bis (a)
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen
bzw. pd
U
vd 2 gz d 2
pa
U
§ 'p · va 2 gz a ¨¨ J ¸¸ . 2 © U ¹ d ,a p
Führt man für den Ausdruck p tot
Y
U
U
213
(11.12)
v2 gz die sog. Spezifische Leistung 2
ein, mit Y in m²/s² = W/(kg s), so folgt:
Yd
§ 'p · Ya ¨¨ J ¸¸ , © U ¹ d ,a
(11.13)
Ys
§ 'p Ye ¨¨ J © U
(11.14)
· ¸¸ . ¹ e ,s
Subtrahiert man Gl.(11.14) von Gl.(11.13), so erhält man für die spezifische Leistung der Anlage: § 'p · § 'p · Ya Ye ¨¨ J ¸¸ ¨¨ J ¸¸ . © U ¹ e, s © U ¹ d ,a
Yd Ys
YA
(11.15)
Mit
9k Oi
Einbauteil-Druckverlustzahl, s. Gl. (I-11.3) und Rohrreibungskoeffizient, s. Kap. (I-11.3) folgt:
§ 'p J ¨¨ © U
· § 'p · ¸¸ ¨¨ J ¸¸ ¹ e ,s © U ¹ d ,a
¦O i
2
i
2
li v i v ¦9 k k . di 2 2 k
(11.16)
Bild 11.8 zeigt die Verlustquellen durch Einbauteile und gerade Rohrstrecken. Der Index A in den folgenden Gleichungen steht für „Anlage“, so dass YA die spezifische (bezogen auf Massenstrom) Leistung der Anlage im Sinne von Leistungsverbrauch der saugseitigen und druckseitigen Anlage ist. Damit ist die Kennlinie der Anlage definiert als:
pa pe
YA
U
2
2
2
va ve l v v g z a z e ¦ Oi i i ¦ 9 k k 2 di 2 2 i k
2
.(11.17)
Die spezifische Leistung der Anlage kann auch gedeutet werden als: a
YA
' ptot e
U
.
(11.18)
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
214
Setzt man für die Geschwindigkeit den volumetrischen Mittelwert v v vol V / A ein, und bezeichnet den Ausdruck pa pe g z a z e Ystat , so folgt für die Kennlinie YA V der Anlage:
U
l 1§ 1 1 1 · YA V Ystat ¨¨ 2 2 ¦ Oi i 2 ¦ 9 k 2 ¸¸V 2 2 Aa A d A Ak ¹ i k © e i i
(11.19)
K
Setzt man K für den Vorfaktor von V 2 , so kann Gl.(11.19) auch geschrieben werden als:
Bild 11.8. Beispiel für die Kennzeichnung: Index i für gerade Rohrstrecken und Index k für Bauteile
YA
mit Ystat
K
Ystat KV 2 pa pe
U
g z a z e und
li 1 §¨ 1 1 1 ·¸ . O [ ¦ ¦ i k 2 2 2 ¨© Aa 2 Ae 2 d i Ai Ak ¸¹ i k
(11.20)
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen
215
Die Kennlinie YA V der Anlage ist also eine Parabel zweiten Grades. Im Folgenden sollen drei Fälle von Anlagenkennlinien mit unterschiedlichem Ystat diskutiert werden. So zeigt Bild 11.9 drei Beispiele mit Fall 1: Ystat > 0 m²/s², Fall 2: Ystat = 0 m²/s² und Fall 3: Ystat < 0 m²/s². In den drei Fällen tritt als Parameter die Konstante K auf. Für alle drei Fälle gibt es bekannte technische Bespiele, s. Bild 11.10: - Fall 1: Wasserturmanlage mit Ystat g z a z e ! 0 m 2 / s 2 , Y g z z K V 2 , A
a
- Fall 2: Betrieb einer Umwälzanlage mit Ystat YA
- Fall 3: Feuerbekämpfung im Keller mit Ystat YA
Bild 11.9. Spezifische Leistung Bild 11.10
e
0 m2 / s 2 K V 2 und g z a z e 0 m 2 / s 2 g z z K V 2 . a
e
YA in Abhängigkeit vom Volumenstrom V für drei Fälle, s.
216
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
Bild 11.10. Drei Fälle von Anlagen: Fall 1: Wasserturmanlage, Fall 2: Umwälzanlage und Fall 3: Feuerlöschanlage
Zu 2.: Im Folgenden wird die Kennlinie der Pumpe bzw. des Ventilators beschrieben. Die Bilder 11.11...11.14 zeigen den Zusammenhang zwischen der Bauart der Pumpe bzw. des Ventilators und den zugehörigen Kennlinien.
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen
217
Die Kennlinie der Pumpe bzw. des Ventilators wird durch folgende Gleichung beschrieben (Leistungsbilanz zwischen Druckstutzen d und Saugstutzen s): d
Y
' p tot s
U
Yd Ys
p d ps
U
g z d z s
vd 2 vs 2 . 2
(11.21)
Gleichung (11.21) stellt den Zusammenhang zwischen spezifischer Förderleistung Y und den physikalischen Größen Druck p, geodätischer Höhe z und der volumetrisch gemittelten Geschwindigkeit v her.
Bild 11.11. Beispiele radialer Strömungsmaschinen (Arbeitsmaschinen)
Die am häufigsten existierenden radialen Strömungsarbeitsmaschinen (ca. 4 Mrd. in der Welt) sind durch die radiale Kreiselpumpe und den radialen Ventilator vertreten, s. Bild 11.11. Die halbaxialen und axialen Arbeitsmaschinen (Kreiselpumpen und Ventilatoren) sind in Bild 11.12 dargestellt, die einfach
218
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
und doppeltwirkende Hubkolbenpumpe als hydraulische Hochdruckarbeitsmaschine in Bild 11.13; sie steht als Vertreterin weiterer Verdrängungsarbeitsmaschinen, wie Zahnrad-, Drehkolben-, Wasserring- und Schraubenspindelpumpen.
Bild 11.12. Beispiele halbaxialer und axialer Strömungsmaschinen (Arbeitsmaschinen)
11.5 Kennlinien von Rohrleitungen und Arbeitsmaschinen
219
Bild 11.13. Einfach- und doppeltwirkende Hubkolbenpumpe
Bild 11.14. Spezifische Förderarbeit Y in Abhängigkeit vom geförderten Volumenstrom die Arbeitsmaschinen, Bilder 11.11...11.13
V für
11 Strömung inkompressibler Fluide in Rohrleitungen
220
Bild 11.15. Zur Definition des Betriebspunktes als Schnittpunkt der Kurven mungsmaschine mit YA (V ) der Anlage
Y (V ) der Strö-
Zu 3: Der Betriebspunkt stellt sich als Schnittpunkt der Kennlinien von Anlage und Maschine ein, s. Bild 11.15. Der Betriebspunkt ist also definiert als: Y
YA .
(11.22)
Aus Bild 11.15 geht ebenfalls die Möglichkeit der Regelung von Strömungsmaschinen hervor: durch Drehzahlregelung oder Drosselregelung lassen sich alle Werte zwischen V1 oder V2 realisieren. Zu den Regelarten ist noch zu erwähnen, dass die Drehzahlregelung zwar eine teure Investition erfordert, aber ein energiesparendes Verfahren darstellt. Dazu steht im Gegensatz die Drosselregelung, die eine geringere Investition erfordert, allerdings mit hoher Energieverschwendung im Betrieb. Abschließend sei noch erwähnt, dass neben der spezifischen Förderarbeit in der Praxis immer noch der Begriff „Förderhöhe“ H verwendet wird. Die beiden Größen sind wie folgt gekoppelt: Y
mit
gH
Y H g
(11.23) Spezifische Förderarbeit in m²/s² = W/(kg/s), Förderhöhe in m und Fallbeschleunigung in m/s².
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
12.1 Körper geringsten Widerstands In diesem Kapitel wird vorausgesetzt, dass es sich um einen Tragflügel in einer Unterschallströmung handelt, wie in Bild 12.1 dargestellt.
Bild 12.1 Tragflügelprofil mit geometrischen Beziehungen: b Profilbreite, senkrecht zur Bildebene, l Profillänge
Ein typisches Tragflügelprofil für technische Anwendungen bei Axialkompessoren und Axialpumpen ist das Profil NACA 65-1210 Mit
NACA National Advisory Committee for Aeronautics (heute NASA) 6 Kennzeichnung der Profilreihe mit vorgegebener Dickenverteilung xd / l 40% , 5 Lage des Druckminimums, p min bei x / l 50 % ,
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
222
(10 ] A.Nenn ), mit ] A.Nenn 1,2 und Dickenverhältnis d/l = 10 %.
12 10
Es ist ] A.nenn =1,2, wobei der Quotient ] W / ] A minimal ist. Zur Lage der maximalen Profildicke d: Bei dieser Profilfamilie liegt x d bei 40 % der Profillänge. Bei den neuzeitlichen Laminarprofilen („laminar“ bezieht sich in diesem Fall auf die Profil-Grenzschichtstruktur) ist die sog. Dickenrücklage bei 50% der Profillänge. Die wesentlichen Kräfte an einem umströmten Tragflügelprofil sind der Auftrieb FA und der Widerstand FW . Beide Größen werden durch denAuftiebsbeiwert ] A und Widerstandsbeiwert ] W mit folgenden Definitionsgleichungen charakterisiert: FA
]A
U 2
2
v f AFl
(12.1)
und FW mit
]W
U 2
2
v f AFl
AFl = b l
(12.2) für die projizierte Flügelfläche.
Es ist wichtig daraufhinzuweisen, dass die Richtung von FA senkrecht und die von FW parallel zur Anströmgeschwindigkeit v f verläuft. Dieser Zusammenhang ist in Bild 12.2 dargestellt. Hierbei ist der Winkel D der sog. Anstellwinkel, der in maschinenbaulich verwendeten Profilen gegen die Tangente (Schabloneneinstellung), sonst gegen die Profilsehne gemessen wird (Anströmgeschwindigkeit gegen Sehne). In Zusammenhang mit den Gln.(12.1) und (12.2) sei nochmals auf die Bilder 8.20 und 8.21 verwiesen, die typische Darstellungen des strömungstechnischen Verhaltens axialer Strömungsprofile zeigen. Im Bild 8.20 ist die Abhängigkeit des Auftriebsbeiwerts ] A und des Widerstandbeiwerts ] W in Abhängigkeit vom Anstellwinkel D dargestellt. Auffällig sind der quasi lineare ] A -Bereich für kleine bzw. negative D-Werte und der steile Anstieg der ] W Kurve im Bereich großer Anstellwinkel D. Wird der Anstellwinkel D über einen gewissen Grenzwert gesteigert, so spricht man von einer „abgerissenen Strömung“ auf der Saugseite des Profils bzw. von einem „überzogenen“ Profil; in diesem Fall sinkt der ] A -Wert gegen Null, und der ] W -Wert steigt gegen Unendlich.
12.1 Körper geringsten Widerstands
223
In Bild 8.21 ist die Abhängigkeit des Auftriebsbeiwerts ] A vom Widerstandsbeiwert ] W mit dem Parameter D graphisch dargestellt. Das so erhaltene Diagramm heißt Polardiagramm.
Bild 12.2. Kräfte am Tragflügelprofil, Auftrieb zur Anströmgeschwindigkeit v f
F A senkrecht und Widerstand F W parallel
Es wird in der Praxis der Tragflügelprofile häufiger verwendet als das ] A (D) bzw. das ] W (D)-Diagramm. Der Grund liegt darin, dass im Polardiagramm der Nennwert (Best-Efficency Point, BEP) deutlich erkennbar wird. Legt man nämlich vom Nullpunkt eine Tangente an die Kurve ] A ( ] W ), so erhält man im BEP den größten Auftriebsbeiwert bei kleinstem Widerstandsbeiwert. Die Tangente von Null an die Kurve ] A ( ] W ) ergibt den minimalen Gleitwinkel O min , wenn unter dem Tangens des Gleitwinkels das Verhältnis des Widerstands zum Auftrieb bzw. des Widerstandsbeiwerts zum Auftriebsbeiwert verstanden wird, s. Bild 8.21. Gleitzahl H
tan O
FW FA
]W ]A
U 2
U 2
2
v f bl 2
v f bl
]W . ]A
So ist aus dem Polardiagramm Bild 8.21 für den BEP abzulesen:
(12.3)
224
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
] A.BEP 0 ,76 , ] W.BEP 0,01 , ] W / ] A BEP 0 ,013 tan O min mit Omin | 1q (aus Bild 8.21 wegen Maßstabsverzerrung nicht ablesbar). Zu der Gruppe der Körper geringsten Widerstands gehören auch die rotationssymmetrischen, längs angeströmten, Körper, z.B. Flugzeugrümpfe. Bild 12.3 gibt eine Auswahl derartiger Körper, die alle die gleiche Hauptspantquerschnittsfläche A aufweisen. Der Widerstand dieser Körper ist überwiegend Druckwiderstand., da die Oberflächenreibung anteilmäßig gering ist. Der im Bild 12.3 dargestellte Körper geringsten Widerstands ] W 0,058 hat technisch eine relativ geringe Bedeutung. Die fälschlicherweise als Tropfenform (in Wirklichkeit hat der fallende Regentropfen die Form einer Linse) eingestufte Kontur war Vorbild für ein in den 20er Jahren gebautes sog. „Tropfen19 auto“ von RUMPLER . Zwei dieser Automobile sind im Technikmuseum Berlin und im Deutschen Museum in München ausgestellt. Der ] W -Wert dieses Automobils hat den noch heute hervorragenden Wert von 0,27, allerdings bei einer für Personenkraftwagen überdurchschnittlich großen Hauptspantfläche.
Bild 12.3.Widerstand FW von rotationssymmetrischen Körpern gleichen Hauptspantquerschnitts A( d = 0,143 m) in einem Luftstrom mit der Anströmgeschwindigkeit v f =10 m/s 5 (REYNOLDS-Zahl Re 1 10 nach KALIDE: Technische Strömungslehre, Hanser Verlag, München, Wien)
19
RUMPLER, Elias Edmund, geb. 1872 in Wien, gest. 1940 in Züsow (Mecklenburg). Selbstständiger Konstrukteur von Automobilen und Flugbooten.
12.1 Körper geringsten Widerstands
225
Die gegen die Strömung offene Halbkugel hat erwartungsgemäß den größten ] W -Wert mit 1,358. In der anderen Richtung angeströmt, ergibt sich für diesen Körper 0,347. Man nutzt diese Tatsache zum Bau eines sog. Schalenkreuz-Anemometers (Windgeschwindigkeitsmesser) aus. Der Widerstandsbeiwert spielt bei der Automobil-Aerodynamik, soweit es sich um Geschwindigkeitsbereiche oberhalb von 100 km/h handelt, eine große Rolle. Allerdings sollte gleichzeitig auch die Größe der Hauptspantfläche angegeben werden. Vielfach sieht man in der Fachliteratur daher die Angabe des Produkts ] W AHauptspantfläche . Bleibt man bei dem ] W -Wert des Automobils, so besteht der Weltrekord für ein fahrtüchtiges Automobil mit einem Forschungsauto der VW-AG, einem sog. ARVW (Aerodynamic-ResearchVolkswagen) bei ] W = 0,15 (zum Vergleich: VW Golf 0,40). Das Produkt ] W AHauptspantfläche beträgt für dieses Fahrzeug 0,11 m². Während man in dem o.g. Tropfenauto von RUMPLER fast stehen kann, so ist die Fahrhaltung im ARVW eher als liegend zu bezeichnen. Aus einer Veröffentlichung der Automobilfirma BMW geht z.B. hervor, dass ein Modell als Grundmodell einen ] W -Wert von 0,32 aufweist, s Bild 12.4. Verwendet man jedoch statt der normalen Reifen 175/70 die breiteren Reifen 195/65, so erhöht sich der ] W -Wert um 3,5 Prozentpunkte, zwei hinten installierte Schmutzfänger erhöhen den ] W -Wert um 4,5 Prozentpunkte, um den gleichen Betrag wird der ] W -Wert jedoch durch Front-und Heckspoiler verringert.
226
Bild 12.4.
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
Aerodynamische
Formmerkmale
eines
Autos
(Werkbild
BMW
München)
12.2 Segel
227
12.2 Segel In Bild 12.5 ist der Grundriss eines Segelboots mit Großsegel und Vorsegel (Fock) dargestellt. Der Wind hat in der Seetechnik drei Bedeutungen: einmal handelt es sich um den „wahren Wind“ v W , d.h. um den von einem auf dem Wasser befindlichen Messinstrument unabhängig vom Segelboot wahrgenommenen Wind, zum anderen um den sog. „Fahrtwind“ v F , d.h. um den von einem auf dem Boot befindlichen Messinstrument unabhängig vom wahren Wind (bei Windstille) gemessenen Wind. Der wahre Wind und der Fahrtwind ergeben in vektorieller Addition den dritten, den sog. „scheinbaren Wind“ v s . Das Vektordiagramm: vs
vW vF
(12.4)
ist in Bild 12.5 dargestellt. Der scheinbare Wind v s wird vom einem auf dem Boot installierten Messgerät unter realen Verhältnissen, d.h. bei wahrem Wind und Fahrtwind wahrgenommen. Der „scheinbare“ Wind v s ist maßgeblich für die Segelstellung. Im Bild 12.5 sei für die Veranschaulichung der Kräfte aufgrund der Anströmung des Segels unter v s nur das Großsegel betrachtet. Der Wind strömt unter dem Anstellwinkel D (Winkel zwischen Segelsehne und Windrichtung) auf das Großsegel. Hierdurch entsteht ein Auftrieb F A , der hier im Gegensatz zur Flugzeugtheorie nicht nach oben sondern horizontal zeigt, und zwar senkrecht zur Anströmrichtung v s . In Richtung von v s ergibt sich der Widerstand F W . Die Vektoren F A und F W bilden zusammen die Resultierende F Res . In Bild 12.5 ist zu erkennen, dass F Res eine vorantreibende Komponente F V (Vortriebskraft) in Fahrtrichtung und eine Querkomponente FQ (Querkraft), die vom Schwert aufgenommen werden muss, aufweist. FQ führt zum sog. Versatz des Segelboots, der durch entsprechend sinnvolle Ausbildung des Kiels und/oder des Schwertes minimiert werden kann. 20
Die Windstärke des wahren Winds v W wird nach der sog. BEAUFORT Skala angegeben, nach der BEAUFORT 5 (frischer Wind) v W = 8,0 bis 10,7 m/s beträgt. Gut geschnittene Segelboote können gegen den wahren Wind 1 einen Winkel E von ca. 40° realisieren ( E max 40 q ).
20
BEAUFORT, Francis, geb.1774, gest. 1857. Britischer Admiral
228
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
Bild 12.5.Geschwindigkeiten und Kräfte am Großsegel einer Segeljolle. Scheinbarer Wind und v F Fahrtwind
v w Wahrer Wind, v s
12.3 Querangeströmte Zylinder mit periodischer Wirbelablösung Die ebene Umströmung eines Zylinders mit dem Durchmesser d, der Anströmgeschwindigkeit v f und der kinematischen Viskosität Q des Fluids ergibt bei steigenden REYNOLDS-Zahlen Re v f d / Q das folgende im Bild 12.6 dargestellte Stromlinienbild.
12.3 Querangeströmte Zylinder mit periodischer Wirbelablösung
229
Bild 12.6.Wirbelablösungen bei querangeströmten Zylindern in Abhängigkeit von der REYNOLDS-Zahl Re
Auffallend ist die der Potentialströmung ähnliche Umströmung bei niedrigsten REYNOLDS-Zahlen. Bei REYNOLDS-Zahlen im Bereich 100...150 ergeben sich zwei alternierende Ablösewirbel im Nachlauf. Dieses zuerst von Theodore von KÁRMÁN 21 entdeckte Phänomen wird KÁRMÁN-Wirbelstraße genannt. Das Verhältnis von Wirbelabstand h senkrecht zur Strömungsrichtung und Wirbelteilung l hängt zwar in geringem Maße von der REYNOLDS-Zahl ab, jedoch kann festgestellt werden, dass das Strömungsbild einer KÁRMÁNWirbelstraße nur dann stabil bleibt, wenn sich folgender Wert einstellt: h l
0,281 .
(12.5)
21
KÁRMÁN, Theodore von, geb.1881 in Budapest, gest. 1963 in Aachen. Einer der größten Strömungsforscher insbesondere in Verbindung mit der Luft- und Raumfahrttechnik. Prof. in Budapest, Aachen und am California Institute of Technology (Caltech, Pasadena)
230
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
Die KÁRMÁN-Wirbelstraße tritt im REYNOLDS-Bereich 150...300 und dann erst oberhalb Re = 10 7 wieder auf. Es ist bis heute noch ungeklärt, wie das Wirbelsystem mit den Abmessungen des Körpers zusammenhängt. KÁRMÁN-Wirbelstraßen können hinter allen umströmten länglichen Körpern und querangeströmten Zylindern auftreten und regen den Körper selbst zu Schwingungen an. Bekannt sind solche Schwingungen bei Rohrbündeln in Wärmetauschern, gespannten Drähten (singender Telefondraht) und Schornsteinen (Abhilfe durch wendelförmige Stahlrippen, s. Bild 12.7). Weltbekannt wurde der Einsturz der Tacoma-Narrows-Bridge am 07.November 1940 im Staat Washington, USA durch windinduzierte Schwingungen einer relativ breiten aufgehängten Fahrbahn, hervorgerufen durch KÁRMÁNWirbelstraßen.
Bild 12.7.Wendel am Ende eines Stahl-Abgaskamins zur Verhinderung der KÁRMÁNWirbelstraße
12.3 Querangeströmte Zylinder mit periodischer Wirbelablösung
231
Zur Erläuterung mögen zwei Beispiele dienen: 1. Singender Telefondraht: Gegeben: - d = 0,003 m Drahtdurchmesser, - v f =1,4 m/s Anströmgeschwindigkeit und - Q = 15 10 6 m 2 / s Kinematische Viskosität der Luft. Gesucht: Ist eine KÁRMÁN-Wirbelstraße und damit windinduzierte Schwingungsanregung möglich? Lösung: Eine KÁRMÁN-Wirbelstraße ist möglich, denn: Re
1,4 0,003 15 10 6
280 innerhalb des Bereichs 150...300.
2. Schornsteinschwingung: Gegeben: -d=7m Schornsteindurchmesser, - Q = 15 10 6 m 2 / s kinematische Viskosität der Luft und - Re t 10 7 oberer REYNOLDS-Zahl-Bereich mit KÁRMÁN-Wirbelstraße. Gesucht: Windgeschwindigkeit, bei der das Bauwerk in windinduzierte Schwingungen gerät. Lösung: vf
Q Re/ d
15 10 6 10 7 / 7
21,4 m / s (Windstärke 9, Sturm).
Bei Windgeschwindigkeiten über 21,4 m/s gerät der Schornstein in Schwingungen, falls keine bautechnische Abhilfe (z.B. Wendel), s. Bild 12.7, eingeleitet wurde.
12.4 Düsen und Siebe Düsen spielen in der Strömungstechnik eine wesentliche Rolle, und zwar in allen Fällen, in denen Strömungen beschleunigt werden müssen. Düsen bewirken auch, dass eine ungleichmäßige v x -Verteilung wesentlich vergleichmäßigt werden kann. Das sei anhand von Bild 12.8 erläutert:
232
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
Bild 12.8.Düsenauslauf zur Erklärung der Vergleichmäßigung eines gestörten Geschwindigkeitsprofils
Bild 12.8 stellt im Düseneinlauf (1) im oberen Teil (Stromfaden a) eine fiktive Geschwindigkeitsverteilung oberhalb des volumetrischen Mittelwerts, im unteren Teil (Stromfaden b) unterhalb des volumetrischen Mittelwerts dar. Der Geschwindigkeitsunterschied zum Mittelwert wird mit 'v x 1 bezeichnet. Im Düsenauslauf (2) zeigt das Bild aufgrund der Düsenwirkung einen wesentlich kleineren fiktiven Geschwindigkeitsunterschied 'v x 2 zum volumetrischen Mittelwert. Dieser Effekt soll im Folgenden erklärt werden:
Gegeben: - Eintrittsfläche A1 , - Austrittsfläche A2 und - Fiktiver Geschwindigkeitsunterschied 'v x 1 im Eintritt. Vorausgesetzt: p1 über A1 konstant, -
p 2 über A2 konstant,
'v x 1 a 'v x 1 b ,
12.4 Düsen und Siebe
-
'v x 2 a 'v x 2 b ,
-
'p J
-
233
0 Pa , reibungsfreies Fluid,
1, 2
g z<< p/U, U = const und v vol V / A ist von der Zeit unabhängig (stationäre Strömung).
Gesucht: Fiktiver Geschwindigkeitsunterschied 'v x 2 im Austritt Lösung: Anwendung der BERNOULLI-Gl. zwischen (1) und (2) für Stromfaden a und b. Stromfaden a: p1
U
v vol ǻv x 1 2
p2
2
U
v vol ǻv x 1 2
p2
2
U
v vol ǻv x 2 2 2
,
Stromfaden b: p1
U
v vol ǻv x 2 2 2
.
Zieht man die beiden Gleichungen voneinander ab, so ergibt sich: v vol.1 ǻv x 1 v vol.1 v vol.2
ǻv x 2 ǻv x 1
v vol.2 ǻv x 2 und
.
Nun ist aber nach der Kontinuitätsgleichung
ǻv x 2 ǻv x 1
A2 1 . A1
v vol.1 v vol.2
A2 . Somit folgt: A1 (12.6)
Gleichung (12.6) zeigt deutlich, dass Geschwindigkeitsspitzen bzw., Geschwindigkeitsdellen im Maß der Querschnittsreduktion von A1 nach A2 in Düsen abgebaut werden. Von dieser Tatsache macht man in der Strömungstechnik häufig Gebrauch. Der Effekt bezieht sich aber auch auf die turbulenten vcx -Schwankungen, die beim Durchströmen der Düse stark reduziert werden (Minderung des Turbulenzgrades). Sollten große Abweichungen der Schwan-
234
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
kungsgeschwindigkeiten in x- und y- Richtung im Düseneinlauf bestehen, so wird durch den Abbau der höheren Schwankungsgeschwindigkeiten die Turbulenz in die Richtung isotroper Turbulenz überführt. Es erhebt sich die Frage, welche Wirkung eine Düse auf die Wirbelstärke der Strömung ausübt. Die folgende Ableitung wird zeigen, dass die Düse auf die Wirbelstärke anfachend wirkt, s. Bild 12.9.
Bild 12.9. Düsenströmung zur Erklärung der Anfachung von Wirbelstärke
Gegeben: Düseneintrittsdurchmesser d 1 , -
Düsenaustrittsdurchmesser d 2 und
-
Wirbelstärke im Eintritt
:1 .
Vorausgesetzt: p1 über A1 konstant, -
p 2 über A2 konstant,
-
'p J
-
1, 2
0 Pa , reibungsfreies Fluid,
g z << p/U, U = const und v vol V / A ist von der Zeit unabhängig (stationäre Strömung).
Gesucht: Wirbelstärke : 2 im Austritt
12.4 Düsen und Siebe
235
Lösung: Die Zirkulation *1 im Düseneinlauf über die Raumkontur (K), die hier den Düsenumfang bezeichnet, lautet:
*1
³ v ds ³ rot v d A
(K )
v1.u Sd1
:1 A1 .
( A)
Nun ist nach dem HELMHOLTZ-Wirbelsatz (räumliche Konstanz der Zirkulation) und nach dem THOMSON-Wirbelsatz (zeitliche Konstanz der Zirkulation bei U = const und Q = 0 m²/s): *1
*2 oder :1 A1
: 2 A2 .
Daraus folgt:
:2 :1
A1 A2
d1
2
d2
2
!1 .
(12.7)
Aus Gl.(12.7) geht hervor, dass beim Durchströmen einer Düse die Wirbelstärke umgekehrt proportional zur Querschnittsreduktion angefacht wird. Fasst man die Wirbelstärke als die doppelte Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Strömungsteilchens auf, s. Gl.(I-8.1), so wird deutlich, dass eine erhebliche Drehung der Teilchen im Düsenauslauf bei nur schwacher Drehung im Einlauf stattfindet. Der Effekt kann sich je nach Anwendungsfall positiv (Mischvorgänge) oder negativ (Gleichrichtvorgänge) auswirken. Wie in Bild 12.10 dargestellt, befindet sich ein Sieb (Drahtgewebe vorgegebener Maschenweite) in einer Rohrströmung. Im Folgenden soll gezeigt werden, dass auch durch ein Sieb eine ungleichmäßige v x -Verteilung wesentlich vergleichmäßigt werden kann. Im oberen Teil des Bildes im Stromfaden a herrscht vor dem Sieb, an der Stelle (1), eine fiktive Übergeschwindigkeit 'v x 1 über dem volumetrischen Mittelwert v vol.1 , im unteren Teil im Stromfaden b eine entsprechend fiktive Untergeschwindigkeit 'v x 1 unter demselben Mittelwert. Hinter dem Sieb, an der Stelle (2), haben sich die Über- und Untergeschwindigkeiten 'v x 2 deutlich abgebaut (Vergleichmäßigungseffekt). Im Folgenden soll diese Wirkung des Siebes erläutert werden. Gegeben: Fiktiver Geschwindigkeitsunterschied 'v x 1 im Eintritt und - Verlustzahl ] s des Siebes.
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
236
Bild 12.10. Rohrstrecke mit einem Sieb zur Erläuterung der Vergleichmäßigung eines gestörten Geschwindigkeitsprofils
Vorausgesetzt: A1 = A2 , -
p1 über A1 konstant,
-
p 2 über A2 konstant,
-
'v x 1 a 'v x 1 b
g z << p/U, U = const und v vol V / A ist von der Zeit unabhängig (stationäre Strömung).
Gesucht: - Fiktiver Geschwindigkeitsunterschied 'v x 2 im Austritt Lösung: Anwendung der BERNOULLI-Gl. mit Verlusten zwischen (1) und (2) für 2 Stromfaden a und b 'p J / U 9 s v vol r 'v x.2 / 2 :
Stromfaden a: p1
U
v vol ǻv x 1 2
p2
2
U
v vol ǻv x 1 2
p2
2
U
v vol ǻv x 2 2 2
1 ] s .
Stromfaden b:
p1
U
v vol ǻv x 2 2 2
1 ] s .
12.4 Düsen und Siebe
237
Zieht man die beiden Gleichungen voneinander ab, so ergibt sich: v vol.1 ǻv x 1
und mit v vol.1
v vol.2 ǻv x 2 1 ] s ,
v vol.2 folgt:
ǻv x 2 1 1 ǻv x 1 1 ] s
.
(12.8)
Durch ein Sieb werden also Geschwindigkeitsspitzen abgebaut. Zahlenbeispiel:
]s
0,4 , daraus folgt nach Gl.(12.8) ǻv x 2 / ǻv x 1
0,71 .
Es findet also eine Vergleichmäßigung statt, dass die Geschwindigkeitsspitzen auf ca. 70% abgebaut werden. In diesem Zusammenhang ist es interessant, folgende Frage zu behandeln: Ist es strömungstechnisch günstiger, drei Siebe mit ] s 0,4 hintereinanderzuschalten, oder ein Sieb mit 3 ] s = 1,2, um ein und dieselbe Vergleichmäßigung zu erzielen, s. %ild 12.11?
Bild 12.11.Rohrstrecke mit drei Sieben zur Vergleichmäßigung eines besonders stark gestörten Geschwindigkeitsprofils
Antwort: Zur Vergleichmäßigung ist es günstiger, drei Siebe mit ] s der zu schalten, als ein Sieb mit ] s =1,2.
0,4 hintereinan-
Beweis:
§ ǻv x 2 ¨ ¨ ǻv x 1 ©
· ¸ ¸ ¹1 Sieb
1 1 3] s
0,455 ,
(12.9)
238
12 Umströmung und Durchströmung von Körpern
§ ǻv x 2 · ¸ ¨ ¨ ǻv ¸ x 1 ¹ 3 Siebe ©
§ 1 ¨¨ ©1 ] s
· ¸¸ ¹
3
0,364 .
(12.10)
Herleitung der Gl. (12.10) anhand von Bild 12.11:
ǻv x 1a ǻv x 1
ǻv x 1b 1 , 1 ] s ǻv x 1a
ǻv x 2 1 , 1 ] s ǻv x 1b
Daraus folgt: § ǻv x 2 ¨ ¨ ǻv x 1 ©
· ¸ ¸ ¹ 3 Siebe
§ 1 ¨¨ ©1 ] s
3
· ¸¸ q.e.d. ¹
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
1 . 1 ] s
13
Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
13.1 Einleitung Die Ähnlichkeitsgesetze sind unverzichtbare Bestandteile der Strömungslehre. Es gibt vier Wege zur Herleitung der Ähnlichkeitsgesetze: 1. Dimensionsanalyse, 2. Fraktionelle Analyse, 3. Methode der Differentialgleichungen und 4. Transformation der Variablen. In den folgenden Kapiteln soll schwerpunktmäßig die Dimensionsanalyse, 22 auch unter dem Namen S-Theorem von BUCKINGHAM bekannt, behandelt werden. Ein wichtiger Bestandteil der Ähnlichkeitsgesetze sind die sog. Ähnlichkeitskennzahlen. Diese sind der Strömungslehre seit Beginn dieses Jahrhunderts i.d.R. nach Forschern der Strömungstechnik benannt worden. Die bekannteste Kennzahl ist zweifellos die REYNOLDS-Zahl. Sie geht auf eine Arbeit von REYNOLDS (s. Fußnote (I-47)) zurück.: An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous and of the law of resistance in parallel channels, in REYNOLDS, O.: Phil. Transaction of the Royal Society, 174, 1883. Mit der REYNOLDS-Zahl Re wird das Problem der stabilen laminaren und turbulenten Rohrströmung beschrieben in der Art, dass für
Re
vd
Q
! 2320
(13.1)
nur die turbulente Rohrströmung stabil ist. Mit M = Modell und H = Hauptausführung sind zwei Strömungen ähnlich, wenn
22
BUCKINGHAM, Edgar. Physiker, geb. 1867, gest. 1940, "On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Equations." Phys. Rev. 4, 345-376, 1914, "Model Experiments and the Form of Empirical Equations." Trans. ASME 37, 263, 1915.
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
240
vMdM
QM
vHdH
QH
const
ist. Damit ist das Kräfteverhältnis Trägheitskraft / Reibungskraft in M und H gleich. Eine weitere wichtige Kennzahl der Strömungslehre ist die FROUDE-Zahl, die auf den Arbeiten von FROUDE 23 aus dem Jahre 1869 über den Schiffswiderstand beruht. FROUDE hat diese Kennzahl selbst nicht benutzt, vielmehr stammt sie aus einer Veröffentlichung von Moritz WEBER im Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft des Jahres 1919. Die FROUDE-Zahl lautet: Fr
v2 . gl
(13.2)
Sie stellt eine wichtige Ähnlichkeitszahl im schiffbaulichen Modellwesen dar; so ist das Wellenbild zweier Schiffsmodelle ähnlich, wenn ihre FROUDEZahlen (gebildet mit der Schiffsgeschwindigkeit v, der Schiffslänge l und der Fallbeschleunigung g) gleich sind. Mit M = Modell und H = Hauptausführung sind zwei Strömungen ähnlich, wenn vM2 g lM
vH2 g lH
const
ist. Damit ist das Kräfteverhältnis Trägheitskraft / Schwerkraft in M und H gleich. Aus der Bildung der REYNOLDS- und FROUDE-Zahlen ist leicht abzulesen, dass beide Ähnlichkeitsgesetze nicht gleichzeitig erfüllt werden können. Betrachtet man zwei Geschwindigkeitsfelder mit jeweils derselben Re- und Fr-Zahl, hier Re vl/Q , so ist zwangsläufig das Produkt Re Fr
v3 Qg
const .
Bezieht man dieses so gebildete Produkt auf die Geschwindigkeitsfelder zweier umströmter, geometrisch ähnlicher Schiffe, so ist, bei naturgemäßer Konstanz der kinematischen Viskosität Q, die Schiffsgeschwindigkeit v v H v M = const und damit über die FROUDE-Zahl auch die Schiffslänge l l H l M = const. Dieser Fall aber ist die Identität beider Schiffe, es handelt sich also um dasselbe Schiff im Modell und in der Hauptausführung. Hieraus folgt die bekannte Tatsache, dass die REYNOLDS- und FROUDEÄhnlichkeit nicht gleichzeitig erfüllt werden können. 23
FROUDE, William. Britischer Schiffbauer, geb. 1810 in Devon, gest. 1879 in Simonstown (Südafrika). Erbaute die erste Schleppversuchsanstalt in Devon.
13.2 Dimensionsanalyse
241
Eine sehr bekannte Ähnlichkeitszahl der Strömungstechnik stellt die MACHZahl dar, s. Kap.I-5.3.2: v . (13.3) a Es ist erstaunlich, dass diese Kennzahl unter dem Namen MACH-Zahl erst im Jahre 1928 in der Habilitationsschrift von ACKERET 24 an der ETH Zürich zum ersten Mal benutzt wurde. Ma
13.2 Dimensionsanalyse Die Dimensionsanalyse ist ein sehr bekanntes Verfahren, dimensionslose Kennzahlen der Strömungslehre zu gewinnen. Man muss sich aber darüber im Klaren sein, dass man aus der Dimensionsanalyse nicht mehr Informationen gewinnen kann, als man an sinnvoller Physik investiert hat. Die Dimensionsanalyse selbst ist nur Kalkül und liefert keinen neuen physikalischen Beitrag. Das Verfahren soll anhand eines Beispiels erklärt werden. Als Beispiel dient die Behandlung der hydrodynamischen Kugelwiderstandskraft FW . Wie im Bild 13.1 dargestellt, wird eine Kugel von links von einem inkompressiblen Fluid (z.B. Wasser oder Luft im MACH-Zahl-Bereich < 0,4) angeströmt. Die Widerstandkraft FW wird mit einer Kraftmessdose, die in die Haltestange der Kugel integriert ist, gemessen.
Bild 13.1 Anströmung einer Kugel zur Bestimmung der Kugelwiderstandskraft
FW
Der Ansatz für den Kugelwiderstandskraft ist, s. Gl.(12.2):
24
ACKERET, Jakob. Schweizer. Aerodynamiker, geb. 1889 in Zürich, gest. 1981 bei Zürich. Erbaute 1934 den ersten Überlandkanal.
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
242
FW
9W
U 2
vf
2
Sd 2 4
.
(13.4)
Gegeben: - Anströmgeschwindigkeit v f , - Kugeldurchmesser d , - Dichte U des anströmenden Fluids und - Dynamische Viskosität K des anströmenden Fluids. Vorausgesetzt: Es gelte der in der Literatur am häufigsten angegebene Ansatz für die hydrodynamische Widerstandkraft FW , s. Gl.(13.4), Dieser Widerstandskoeffizient ist ein dimensionsloser Parameter und abhängig von der REYNOLDS-Zahl:
Re
vfd . K/U
(13.5)
Die nun folgende Dimensionsanalyse wird zeigen, dass ] W nur von dieser Kennzahl und keiner anderen abhängt.
Gesucht: Herleitung des Widerstandkoeffizienten ] W (Re) als Funktion nur von der ReZahl. Lösung: Das hier geschilderte Problem soll mit Hilfe der Dimensionsanalyse in fünf Schritten gelöst werden. 1.Schritt: Einstellgrößen bestimmen: Einstellgrößen, deren Anzahl mit e bezeichnet wird, sind dimensionsbehaftete Größen, die das Problem, hier die Bestimmung der Widerstandskraft, wesentlich beeinflussen („hineingesteckte Physik“). Hier hat man es mit vier Einstellgrößen zu tun. Diese sind:
1. 2. 3. 4.
Charakteristische Geschwindigkeit v f in m/s, Charakteristische Länge d in m, Dichte des Fluids U in kg/m³ und Dynamische Viskosität des Fluids K in kg/(m s).
Man hat sich hiermit auf vier entscheidende Einflussgrößen festgelegt, so dass gilt:
FW
f v f , d , U ,K
(13.6)
13.2 Dimensionsanalyse
243
und
e 4 . Eine fünfte (hier nicht berücksichtigte) Einstellgröße wäre z.B. der Turbulenzgrad Tu der Anströmung, s. Gl.(I-10.8). 2.Schritt: Grundgrößen festlegen Allgemeine Grundgrößen der Strömungslehre sind Länge, Zeit, Masse und Temperatur. Die Anzahl der Grundgrößen wird mit g bezeichnet. Das hier vorliegende Problem der Bestimmung der Widerstandskraft werde bei konstanter Temperatur betrachtet, so dass sich hier drei allgemeine Grundgrößen ergeben: 1. Länge l in m, 2. Zeit t in s und 3. Masse M in kg
In der Regel ist es sinnvoll, nicht die allgemeinen Grundgrößen sondern Kombinationen zu benutzen, z.B. Geschwindigkeit und Dichte; beide Größen enthalten Länge, Zeit und Masse. Die Kombinationen, die Länge, Zeit und Masse enthalten müssen, werden als problembezogene Grundgrößen bezeichnet. An dieser Stelle ist es wichtig, auf den Unterschied zwischen Dimension und Einheit zu verweisen. Dimensionen sind Länge l , Zeit t, Masse M und u.U. Temperatur T. Die entsprechenden Einheiten nach DIN 1301 sind Meter m, Sekunde s, Kilogramm kg und Grad Kelvin K. Um z.B. die Dimension der Geschwindigkeit v f zu kennzeichnen, ist folgen-
de Schreibweise eingeführt: >v f @
l /t.
Man hat es in diesem Beispiel mit drei problembezogenen Grundgrößen zu tun: >v f @ l / t in m/s, 1. 2. 3.
>D @
>U @
l M /l
in m und 3
in kg/m³.
Die letzte Zeile wird beispielsweise wie folgt gesprochen:“ Dimension von U ist gleich Dimension Masse, dividiert durch Dimension Länge hoch drei in der Einheit Kilogramm pro Kubikmeter“. Man hat sich hiermit auf drei problembezogenen Grundgrößen festgelegt, so dass gilt: g 3 .
244
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
3. Schritt: Allgemeine Dimensionsmatrix aufstellen Die Definition der allgemeinen Dimensionsmatrix ergibt sich aus der folgenden Vorgehensweise in drei Etappen:
3.1
Man analysiert die Einstellgrößen nach folgendem Muster der Exponenten l 1 t 1 M 0 +1 -1 r0
>v f @ >D@ l 1 t 0 M 0 >U @ l 3 t 0 M 1 >K @ l 1 t 1 M 1 3.2
>FW @
+1
r0
r0
–3
r0
+1
–1
-1
+1.
Ebenso analysiert man die gesuchte Größe FW mit der Dimension einer Kraft = Masse Beschleunigung: l 1 t 2 M 1 +1 -2 +1.
3.3 Die allgemeine Dimensionsmatrix wird als Ordnungsschema der Exponenten definiert:
>v f @ >d @ >U @ >K @ >FW @
l 1 1 3 1 1
t
M
1 r 0 r0 r0 r 0 1 1 1 2 1
= Allgemeine Dimensionsmatrix
mit l , t, M = Allgemeine Grundgrößen, g = 3 und
v f , d , U ,K und FW = Einstellgrößen, e = 4 + gesuchte Größe FW . 4. Schritt: Problembezogene Dimensionsmatrix aufstellen
4.1
Allgemeine Grundgrößen durch problembezogene Grundgrößen ersetzen Wie im zweiten Schritt vollzogen, können die allgemeinen Grundgrößen durch einen geeigneten Satz von problembezogenen Grundgrößen ersetzt werden. Entsprechend entsteht aus der allgemeinen Dimensionsmatrix eine problembezogene Dimensionsmatrix. In der Literatur findet sich auch der Ausdruck „natürliche“ Dimensionsmatrix.
13.2 Dimensionsanalyse
245
Betrachtet man im dritten Schritt die allgemeine Dimensionsmatrix, so lautet die Kopfzeile l , t, M. Diese Kopfzeile wird nun durch die problembezogenen Grundgrößen v f , d , U ersetzt, so dass sich die folgende problembezogene Dimensionsmatrix ergibt:
vf
>v f @ >d @ >U @ >K @ >FW @
U
d
1 r 0 r 0 r0
1 r 0
r0 r0
1
D1 E1
D3 E3
D2 E2
= Problembezogene Dimensionsmatrix
mit
v f , d , U = Problembezogene Grundgrößen, g = 3 und
v f , d , U ,K und FW = Einstellgrößen, e = 4 + gesuchte Größe FW . Die vorletzte Zeile der problembezogenen Dimensionsmatrix wird beispielsweise wie folgt gesprochen: „Dimension von K ist gleich Dimension v f hoch D1 , von d hoch D 2 und von U hoch D 3 “. Zum Übergang von den allgemeinen Grundgrößen zu den problembezogenen Grundgrößen ist noch zu erwähnen, dass statt v f , d , U auch folgende Tripel möglich gewesen wären: v f , U , K oder d , U ,K oder v f , d ,K , da in allen Tripeln die Dimensionen l , t und M vollständig vertreten sind. Man kehrt nun zur gewählten problembezogenen Dimensionsmatrix mit dem Tripel v f , d , U zurück. Die noch unbestimmten Exponenten D für die dynamische Viskosität K und E für die Widerstandskraft FW werden mittels der Dimensionsanalyse bestimmt. Das Verfahren läuft in den beiden Schritten 4.2. und 4.3 ab. 4.2
Man analysiert die Dimension K nach folgendem Muster:
>K @ >v f @D >d @D >U @D 1
2
3
.
Mit den in 3.1 bestimmten Größen ergibt sich:
l 1 t 1 M 1 >K @
l
t M l t M l t M 1
1
>v f @
0 D1
1
0
>d @
Aus dem Exponentenvergleich ergibt sich:
l:
1 D 1 D 2 3D 3 ,
0 D2
3
0
>U @
1 D 3
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
246
1 D 1 ,
t:
M: 1 D 3 und somit:
D 1 1, D 2 1, D 3 1, Æ >K @ und der Ausdruck
K vfd U
>v f @1 >d @1 >U @1
muss dimensionslos sein.
Ebenso analysiert man die gesuchte Dimension von FW :
4.2
>FW @ >v f @E >d @E >U @E 1
2
3
.
Mit den in 3.3 bestimmten Größen ergibt sich:
l
t M l t M l t M
l 1 t 2 M 1
1
> FW @
1
0 E1
>v f @
1
0
0 E2
3
>d @
0
1 E 3
>U @
Aus dem Exponentenvergleich ergibt sich:
l : 1 E 1 E 2 3E 3 , t:
2
E1 ,
M: 1 E 3 und somit:
E1
2, E 2
1, Æ >FW @
2, E 3
und der Ausdruck
FW vf d 2 U 2
>v f @2 >d @2 >U @1
muss dimensionslos sein.
5. Schritt: Ergebnis feststellen: Wie im ersten Schritt in Gl.(13.6) angegeben, ist die hydrodynamische Widerstandskraft FW von den vier Einstellgrößen v f , d , U und K abhängig:
FW
f v f , d , U ,K .
Wird nun FW in den gewählten problembezogenen Grundgrößen (s. Schritt 4) angegeben, so muss der dimensionslose Ausdruck
13.2 Dimensionsanalyse
247
FW vf d 2 U 2
eine Funktion folgender Größen in dimensionsloser Schreibweise sein:
· § ¸ ¨ vf d U K ¸. ¨ f , , , ¨ v f1d 0 U 0 v f 0 d 1 U 0 v f 0 d 0 U 1 v f1d 1 U 1 ¸ ¸ ¨ 1 1 1 ¹ ©
FW vf d 2 U 2
(13.7)
Damit ergibt sich:
§K / U · ¸¸ f ¨¨ © vf d ¹
FW vf d U 2
2
(13.8)
mit
K/U vfd
=
Q vfd
1 . Re
=
Man stellt also fest, dass es sich hier auf der rechten Seite von Gl. (13.8) um einen dimensionslosen Parameter handelt, der nur von der REYNOLDS-Zahl, s. Gln.(13.1) und (13.5) abhängt:
FW
]W
U 2
vf
2
Sd 2 4
o FW
§K / U · 2 2 ¸¸ v f d U f ¨¨ © vfd ¹
Stellt man nun Gl.(13.4) und Gl.(13.8) gegenüber und setzt:
§K / U · ¸¸ f ¨¨ v d © f ¹
S 8
] W (Re)
so folgt:
FW
U
] W Re v f 2
2
Sd 2 4
.
(13.9)
Damit ist gezeigt, dass unter den vier angegebenen Einstellgrößen e, d.h. v f , d , U ,K , der Widerstandskoeffizient ] W nur von der REYNOLDS-Zahl und sonst von keiner anderen Kennzahl abhängt. Zu dem gefundenen Ergebnis soll im Folgenden eine Verallgemeinerung angegeben werden, die unter dem Namen S-Theorem von BUCKINGHAM (1914) bekannt ist (S für „Parameterzahl“):
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
248
Gegeben sind e Einstellgrößen. Ist die Anzahl der zugehörigen (problembezogenen) Grundgrößen g, dann gibt es genau:
S
eg
(13.10)
dimensionslose, voneinander unabhängige Parameter S, von denen die gesuchte Größe in dimensionsloser Form abhängt. Für das oben genannte Beispiel gilt: e = 4, g = 3, S = 1, d.h. FW / U v f 2 d 2 hängt nur von einem dimensionslosen
Parameter S ab, nämlich von
Re
vfd
Q
.
13.3 Fraktionelle Analyse Diese Methode (Fractional Analysis) wurde im 19. Jahrhundert von Lord 25 RAYLEIGH auf die Mechanik, insbesondere auf die Strömungsmechanik angewendet. Die fraktionelle Analyse ist ein weiterer Weg zur Findung von strömungstechnischen Kennzahlen. Sie bedient sich folgender massebezogener Kräfte:
Charakteristische Geschwindigkeit m2 Trägheitskraft in 2 ~ Masse Charakteristische Länge s m
2
m Schwerkraft in 2 Masse s
Druckkraft Nm 3 in 2 Masse m kgm
,
~ Fallbeschleunigung ,
~
Charakteristischer Druck , Fluiddichte u Charakteristische Länge
Fluidviskosität u Charakt. Geschwindigkeit Reibungskraft m 2 m . in ~ 2 s sm Masse Charakteristische Länge 2
25
Lord RAYLEIGH, John William Strutt, geb. 1842 in Essex (England), gest. 1919 ebd. Professor für Experimentalphysik in Cambridge . Seine Theorie über Streuung war die erste korrekte Erklärung, warum der Himmel blau ist. Er entdeckte das Inertgas Argon 1895; er erhielt dafür 1904 den Nobelpreis.
13.3 Fraktionelle Analyse
249
In Formelzeichen würden sich folgende Proportionalitäten ergeben, wobei die massenbezogenen Kräfte auf der linken Seite durch f in m/s² abgekürzt werden: v2 l ,
Massenbezogene Trägheitskraft
fT ~
Massenbezogene Schwerkraft
fS ~ g
Massenbezogene Druckkraft
fD ~
Massenbezogene Reibungskraft
fR ~
,
p U l und
Qv l2
.
Es ist hier besonders darauf hinzuweisen, dass die Einheiten der Größen f der Dimension Kraft/Masse gehorchen müssen, d.h. in der Einheit m/s² erscheinen. Man analysiert nun Bewegungsgleichung 6.16). Schränkt man schwerefeld f z g
in diesem Zusammenhang die NAVIER-STOKES(I-6.17) bzw. die dazugehörige z-Komponente Gl.(Iden allgemeinen Fall auf stationäre Strömung im Erein, so erhält man:
wv wv wv vx Z vy Z vz Z wx wy wz 1.
§ w2vZ w2vZ w2vZ · 1 wp ¨ ¸ Q g , U wz ¨ wx 2 wy 2 wz 2 ¸ . (13.11) © 2. ¹ 3.
4.
Man betrachtet nun in dieser Gleichung die einzelnen Blöcke 1...4 nach der Methode der fraktionellen Analyse: 1.: Es handelt sich in diesem Block um Glieder mit der Einheit m/s². Dieser Block steht für die massenbezogene Trägheitskraft v²/l. 2.: Dieser Ausdruck charakterisiert die massenbezogene Schwerkraft g in m/s². 3.: Hiermit wird die massenbezogene Druckkraft p /( U l ) beschrieben mit der Einheit m/s². 4.: In diesem Block findet sich die massenbezogene Reibungskraft Q v/l 2 in m/s². Bildet man nun charakteristische Kräfteverhältnisse (fraktionelle Analyse), z.B. Trägheitskraft/Reibungskraft, so würde sich nach der Betrachtung der Blöcke 1...4 ergeben:
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
250
Trägheitskraft Reibungskraft
v 2l 2 lQ v
Trägheitskraft Schwerkraft
v2 o gl
Druckkraft Trägheitskraft
pl
Ulv
Druckkraft Reibungskraft
p l2 U lQ v
mit Re Fr Eu St
vl
Q
o
Re
Fr
p 2
pl
Kv
(13.12)
,
(13.13)
o Eu
U v2
,
o
St
und
(13.14)
.
(13.15)
REYNOLDS-Zahl, FROUDE-Zahl, EULER-Zahl und STOKES-Zahl.
13.4 Methode der Differentialgleichungen Zur Bestimmung der Ähnlichkeitskennzahlen aus den Differentialgleichungen bildet man mit geeigneten Referenzwerten (Index ref) dimensionslose Variable (Exponent +). Die Kennzahlen erscheinen als Koeffizienten in den Differentialgleichungen. Zum Beispiel für die x-Komponente der NAVIER-STOKESGleichung (I-6.14) für instationäre Strömung inkompressibler Fluide: § w2vx w2vx w2vx · wv x wv wv wv 1 wp ¸ vx x vy x vz x Q ¨¨ fx 2 wt wx wy wz U wx wy 2 wz 2 ¸¹ (13.16) © wx können folgende dimensionslose Variable gebildet werden: vy vz vx U p , vy , vz , p , U vx v ref p ref U ref v ref v ref fx
fx ,K g
K K ref
1, t
t t ref
,
x
x l ref
,
y
y l ref
,
z
1;
z l ref
Setzt man die dimensionslosen Variablen in Gl.(13.16) v x v ref v x ,so erhält man folgende Gleichung:
.
ein,
z.B.
13.4 Methode der Differentialgleichungen
w v ref v x
w t ref t
g fx
v
U
w l
ww v l
ref v x ref x
K U
w p ref p
1 ref U
ref v x
ref x
ref ref
v
ref v y
ww v l
ref v x ref y
v
ref v z
251
ww v l
ref v x ref z
w 2 v ref v x w 2 v ref v x K §¨ w 2 v ref v x 2 2 U ¨© w lref x 2 w lref y w l ref z
·¸
¸ (13.17) ¹
Hieraus folgt: v ref wv x v 2 ref v 2 ref wv x v 2 ref wv x wv x v v v z y x t ref wt l ref l ref l ref wx wy wz
p ref
gf x
U ref U l ref
w2vx w2vx wp K ref v ref K §¨ w 2 v x 2 2 wx U ref l 2 ref U ¨© wx 2 wz wy
· ¸. ¸ (13.18) ¹
Wenn man diese Gleichung mit l ref / v 2 ref multipliziert, so erhält man: l ref wv x wv x wv x wv x v v v x y z v ref t ref wt wx wy wz
g l ref v 2 ref
fx
pref
U ref v 2 ref
Kref K §¨ w 2 v x w 2 v x w 2 v x ·¸ 1 wp 2 2 ¸ (13.19) U wx U ref l ref v ref U ¨© wx 2 wy wz ¹
mit:
g l ref 1 l ref , , 26 STROUHAL Zahl 2 v ref FROUDE Zahl v ref t ref K ref p ref 1 EULER Zahl , 2 U ref l ref v ref REYNOLDS Zahl . U ref v ref Schließlich lautet Gl.(13.19):
26
STROUHAL, Cenek. Tschechischer Physiker, geb. 1850, gest. 1923. Annalen der Physik und Chemie (1878).
13 Ähnlichkeitsgesetze der Strömungslehre
252
Sr
wv x wt
vx
wv x wx
vy
wv x wy
vz
wv x wz
w2vx w2vx wp 1 1 §¨ w 2 v x f x Eu 2 2 Fr Re ¨ wx 2 wx wy wz ©
· ¸ . ¸ ¹
(13.20)
13.5 Typische Kennzahlen für fluiddynamische Modellversuche Im Folgenden sollen die wichtigsten Kennzahlen der Strömungstechnik zusammengestellt werden, die, wenn strömungstechnische Ähnlichkeit zwischen zwei Dimensionen hergestellt werden soll, möglichst genau im Modell und in der Hauptausführung übereinzustimmen haben.
Q
Trägheitskraft Reibungskraft
v2 gl
Trägheitskraft Schwerkraft
p
Druckkraft Trägheitskraft
vl
REYNOLDS-Zahl
Re
FROUDE-Zahl
Fr
EULER-Zahl
Eu
STOKES-Zahl
St
WEBER-Zahl
We
U v 2l V
Trägheitskraft Kapillarkraft
MACH-Zahl
Ma
v a
Strömungsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit
STROUHAL-Zahl
Sr
fl v
U v2 pl Kv
Druckkraft Reibungskraft
l/v f -1
mit l/v { Zeit zum Zurücklegen der Strecke l mit der Geschwindigkeit v und f -1 { Periode des instationären Vorgangs mit der Frequenz f.
13.4 Methode der Differentialgleichungen
Turbulenzgrad
Tu
1 v
vcx 2 vcy 2 vcz 2 3
mit vc 2 v
Mittelwert der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten und Betrag der zeitlich gemittelten Geschwindigkeit (s. I-10.2).
Übungsaufgaben zu diesem Kapitel finden sich unter: www.tu-berlin.de/~fsd
253
14
Numerische Strömungsberechnung
14.1 Einleitung Das wesentliche Ziel einer numerischen Strömungsberechnung besteht in der Bestimmung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes einer Strömung; es können aber auch andere Felder (z.B. Turbulenzgrad- Feld) berechnet werden. Die numerische Strömungsberechnung wird nach der englischen Bezeichnung Computational Fluid Dynamics mit CFD abgekürzt. Die verschiedenen Techniken der Strömungsbestimmung können in drei Hauptteile gegliedert werden: - Analytische Strömungstechnik, - Experimentelle Strömungstechnik und - Numerische Strömungstechnik. Bild 14.1 zeigt, wie diese drei Techniken voneinander abhängen. Die mathematischen Gleichungen der Analytischen Strömungstechnik sind in der Regel partielle Differentialgleichungen, die analytisch in geschlossener Form noch nicht lösbar sind. In einigen Fällen können sie nur unter der Annahme starker Vereinfachungen gelöst werden. CFD bedeutet, dass man die partiellen Differentialgleichungen der Strömungslehre nicht exakt löst, sondern für sie Näherungslösungen anstrebt, d.h., diese partiellen Differentialgleichungen durch die Näherung der numerischen Verfahren in ein System von algebraischen Gleichungen transformiert. Die Lösung dieser algebraischen Gleichungen liefert die gesuchten Größen, so dass man letztlich das Berechnungsgebiet vollständig beschreiben kann, d.h. durch Geschwindigkeits- Druck,- Turbulenz- und Wirbelstärkefelder, sowie die Verteilung der Wandschubspannungen. Der größte Vorteil der numerischen Strömungstechnik liegt darin, dass relativ schnell und kostengünstig Ergebnisse erhalten werden. Im Gegensatz zu analytischen Untersuchungen sind keine Beschränkungen auf lineare Probleme notwendig.
14.3 Modellierung
255
Bild 14.1.Gliederung der Strömungstechnik nach Analytik, Numerik und Experiment
Mit der CFD ist es auch möglich, ausführliche Parameterstudien durchzuführen, bevor eine strömungstechnisch optimierte Kontur einem Experiment (Evaluierung) unterzogen wird. Die wachsende ökonomische Attraktivität der CFD ist auf die folgenden drei Faktoren zurückzuführen: 1. 2. 3.
Fallende Kosten für Hardware, Steigende Computerkapazitäten und Rechnergeschwindigkeiten, auch bei kleinen und mittleren Rechenanlagen und Steigende Zuverlässigkeit und Geschwindigkeit der numerischen Algorithmen.
14.2 Vorgehensweise Sinnvollerweise geht man bei numerischen Strömungsberechnungen in folgenden Schritten vor: - Modellierung durch Grundgleichungen, z.B. Kontinuitätsgleichung (I-2.3) und (I-3.9), Potentialströmungsgleichungen, z.B. (I-7.11)...(I-7.23), EULER-Bewegungsgleichung (I-3.1) und (I-3.7), NAVIER-STOKESGleichung (I-6.14)...(I-6.17), REYNOLDS-Gleichungen (10.5)... (10.10) und PRANDTL-Grenzschichtgleichungen (I-9.2)...(I-9.5),
256
-
14 Numerische Strömungsberechnung
Geometrische Beschreibung des Strömungsgebietes durch ein Netz (dieser Schritt ist einer der aufwendigsten), Erstellung von numerischen Algorithmen für die Diskretisierung des Lösungsgebietes und der partiellen Differentialgleichungen (kommerzielle Programme vorherrschend) und Auswertung und Darstellung der CFD-Ergebnisse
14.3 Modellierung Es stellt sich jetzt die Frage, welches Gleichungssystem man für das zu betrachtende Problem der Strömungstechnik anwenden soll. Bild 14.2 zeigt die wesentliche Vorgehensweise der Modellierung aufgrund der wesentlichen Grundgleichungen.
Bild 14.2. Vorgehensweise bei der Modellierung aufgrund von Grundgleichungen
14.3 Modellierung
257
Die in Bild 14.2 angegebenen Turbulenzmodelle sind übersichtsmäßig in Bild 14.3 dargestellt und können in zwei große Gruppen eingeteilt werden: 1. Wirbelviskositätsmodelle, die den BOUSSINESQ-Wirbelviskositätsansatz verwenden und 2. REYNOLDS-Spannungsmodelle, die direkte Näherungen oder Transportgleichungen für die REYNOLDS-Spannungen angeben. Der Wirbelviskositätsansatz geht von der Isotropie (Richtungsunabhängigkeit) der Turbulenz aus. Für dreidimensionale turbulente Strömungen wird der BOUSSINESQ-Ansatz in der Form U vci vcj
§ § wv wv j · 2 · i ¸ k G ¸ i j ¨ ¨ wx j wx i ¸ 3 ¸ ¹ © © ¹
U ¨Q t ¨
1 2 vci verwendet. G i j ist das 2 1 , wenn i = j und G i j = 0, wenn i z j. Glei-
mit der spezifischen kinetischen Energie k
KRONECKER-Symbol mit G i j
(14.1)
¦
chung (14.1) ist in der sog. Indexnotation geschrieben, die eine kompakte Darstellung von Gleichungen ermöglicht.
Bild 14.3. Turbulenzmodelle der numerischen Strömungsberechnung in der Übersicht
Die REYNOLDS-Spannungsmodelle kommen ohne Wirbelviskositätsansatz aus. Sie berechnen die REYNOLDS-Spannungen direkt aus Transportglei-
258
14 Numerische Strömungsberechnung
chungen. Der Einfluss von Stromlinienkrümmung, sowie von CORIOLISoder Auftriebskräften ist implizit in den Gleichungen vorhanden. Es existieren auch REYNOLDS-Spannungsmodelle, die keine Differentialgleichungen verwenden. Diese Modelle berechnen die REYNOLDS-Spannungen mit algebraischen Ausdrücken. Im dreidimensionalen Fall müssen sechs Gleichungen für die Spannungen und eine Gleichung für die Dissipation
H Q
wvci wv ci wx k wx k
(14.2)
gelöst werden.
14.4 Geometrische Beschreibung des Strömungsgebiets Das Strömungsgebiet, innerhalb dessen eine Strömungsberechnung durchgeführt wird, ist durch das zu behandelnde Problem festgelegt. Die Ränder des Berechnungsgebietes sind durch feste Wände (z.B. Gehäuse, Schaufeln von Lauf- und Leiträdern) fixiert. Die Lage des Eintritts bzw. Austrittsrandes der Strömung kann in vielen Fällen geringfügig verändert werden. In solchen Fällen wird der Eintrittsrand der Strömung so festgelegt, dass Informationen über die Zuströmung vorhanden oder eventuelle empirische Annahmen möglich sind. Die Randbedingungen am Austrittsrand sind in vielen Fällen Gradientenbedingungen. Der Austrittsrand sollte soweit stromab gelegt werden, dass die Randbedingungen eindeutig sind.
14.5 Numerische Algorithmen 14.5.1 Diskretisierung des Lösungsgebietes
Numerische Algorithmen sind notwendig, um zum einen die numerischen Gitter zu generieren, zum anderen, um die partiellen Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Im Zusammenhang mit der Generierung eines numerischen Gitters ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems wichtig, da die notwendigen Grundgleichungen in das gewählte Koordinatensystem transformiert werden. Am häufigsten werden kartesische Koordinaten verwendet. Da kartesische Koordinaten orthogonal sind, treten in den Grundgleichungen keine gemischten Ableitungen auf. Außerdem ist das entsprechende numerische Gitter leicht zu generieren. So sind diese Koordinaten besonders geeignet für die Berechnung von Strömungen mit einfachen Berandungen (z.B. Rohre, Kanäle, Diffusoren, Düsen).
14.5 Numerische Algorithmen
259
Spezielle orthogonale Koordinatensysteme können bei Geometrien verwendet werden, deren Berandung analytisch beschrieben werden. Die Grundgleichungen müssen in diesem Falle mit Hilfe von analytischen Transformationen umgeformt werden und sind daher geringfügig komplexer, als bei der Verwendung von kartesischen Koordinaten. Zylinder-Koordinaten und KugelKoordinaten sind einfache Beispiele für derartige Koordinatensysteme, vergl. z.B. Kap. (I-2.3.4). Bei der Lösung von Strömungsproblemen in beliebigen komplexen Geometrien ist es notwendig, krummlinige Koordinatensysteme zu verwenden. Spezielle numerische Gitter können durch analytische, algebraische oder differentielle Gittergenerierungsverfahren erzeugt werden. Als Anforderungen an ein numerisches Gittergenerierungsverfahren sind drei Punkte zu nennen. 1. Das generierte Gitter muss nichtüberschneidende Gitterlinien besitzen, 2. Gitterpunkte und Gitterlinien müssen in beliebig wählbaren Bereichen zu konzentrieren sein und 3. Starke Gitterverzerrungen müssen vermieden werden, d.h. es sind möglichst orthogonale Gitter anzustreben. 14.5.2 Diskretisierung der partiellen Differentialgleichungen
Die Grundgleichungen, die zur Modellierung und Beschreibung von Strömungen eingesetzt werden, sind i.d.R. partielle Differentialgleichungen, die bei praktischen Problemen nur mit Hilfe numerischer Verfahren zu lösen sind. Es gibt eine große Zahl von Verfahren, die für spezielle Klassen von partiellen Differentialgleichungen entwickelt wurden. Überwiegend verwendet man derzeit zur Lösung der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen in komplexen Geometrien die sog. Diskretisierungsmethoden, mit denen die partiellen differentiellen Transportgleichungen in algebraische Gleichungen überführt werden. Diese Methoden sind im Prinzip bei allen partiellen Differentialgleichungen anwendbar. Als Beispiel für Diskretisierungsmethoden sind die Methode der Finiten Elemente, Finite Volumen und Finite Differenzen zu nennen. Allen Methoden gemeinsam ist, dass in das zu berechnende Strömungsgebiet ein Gitter gelegt wird. Die Verteilung von Feldgrößen, d.h. der abhängigen Variablen, soll an diskreten Punkten, den Rechenpunkten, bestimmt werden. Dabei können z.B. die Knotenpunkte des Gitters auch als Rechenpunkte definiert sein. Die kontinuierliche Verteilung der Feldgrößen wird somit durch die Feldgrößen an diskreten Gitterpunkten ersetzt. So wird die analytische Lösung der Differentialgleichungen durch die numerische Lösung ersetzt. Zur Lösung der linearen LAPLACE-Gleichung (I-7.15) sind spezielle Methoden entwickelt worden, z.B. die Panel-Methode.
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14 Numerische Strömungsberechnung
14.6 Auswertung und Darstellung der Ergebnisse Als Ergebnisse der numerischen Strömungsberechnung liegt i.d.R. eine relativ große Datenmenge vor, die eine sorgfältige Auswertung und Darstellung erfordert. Die Ergebnisse sind z.B. die berechneten Geschwindigkeiten und Drücke an allen diskreten Punkten des Rechengitters, die im sog. Postprozessor zu anschaulichen Informationen aufgearbeitet werden, das sind i.d.R. Vektordiagramme und Isolinien, die Verbindungslinien gleichwertiger physikalischer Größen. Postprozessoren sind sehr wichtige Bestandteile eines CFD Systems.
14.7 Beispiele von Ergebnissen numerischer Strömungsberechnung Im Folgenden werden Beispiele von Strömungsberechnungen vorgestellt, die mit Hilfe verschiedener numerischer Verfahren durchgeführt werden. Es handelt sich um Berechnungen zweidimensionaler und dreidimensionaler turbulenter Strömungen. Der CFD kommt in Zukunft eine in der Strömungstechnik dominierende Rolle zu, so dass sich die Experimente in Zukunft mehr und mehr auf die Zwecke der Evaluierung beschränken müssen und dies i.d.R. mit Schwerpunkt auf die Randbedingungen. So ist es verständlich, dass im Rahmen dieses Buches die Auswahl von Beispielen restriktiv gehandhabt werden muss, da eine unübersehbare Fülle von CFD Ergebnissen bereits existiert. Bild 14.4 zeigt das Ergebnis einer CFD-Simulation einer Zylinderumströmung als Stromlinienbild. Zu erkennen ist zum Einen die Umströmung eines Zylinders im niedrigen REYNOLDS-Zahl-Bereich (unter 3,8 10 5 ) und zum Anderen im oberen REYNOLDS-Zahl-Bereich (über 3,8 10 5 ). Man erkennt die unterschiedlichen Strömungsstrukturen anhand der Stromlinien und auch die verschiedenen Ablösestellen an der Zylinderoberfläche. Hieraus ergeben unterschiedliche Widerstandskoeffizienten 9 W (vergl. I-12.1).
14.7 Beispiele von Ergebnissen numerischer Strömungsberechnung
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Bild 14.4. Stromlinien einer Zylinderumströmung, oben: unterkritische Umströmung Re 3,8 105 , unten: überkritische Umströmung Re ! 3,8 105 [www.cfx-berlin.de]
Bild 14.5 zeigt das Geschwindigkeitsfeld eines Rauchgas-Absaug-Ventilators in Nabennähe anhand von Richtungsvektoren und nach Betrag (Graufärbung). Im Bereich der Laufradschaufeln wird die Relativgeschwindigkeit zum Laufrad dargestellt, stromauf und stromab dagegen die Absolutgeschwindigkeit. Hieraus lassen sich entsprechende Maßnahmen für die Auslegung derartiger Strömungsmaschinen ableiten.
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14 Numerische Strömungsberechnung
Bild 14.5. Geschwindigkeitsvektoren an einem Rauchgasabsaug-Ventilator [www.cfx-berlin.de]
Bild 14.6 oben zeigt ein Rotorblatt einer Windenergieanlage nach längerem Betrieb. Deutlich zu erkennen ist das unterschiedliche Schmutzbild im Nabenbereich des Rotors. Die Schmutzfläche wird begrenzt durch eine Ablöselinie der Strömung. Diese Ablöse-Linie konnte durch CFD-Berechnung eindeutig nachgewiesen werden, wie in Bild 14.6 unten anhand der wandnahen Stromlinien ersichtlich. An dieser Stelle trifft eine radiale Strömung nahe der Rotorblatt-Oberfläche auf die ankommende Umströmung des Rotorblattprofils. Hier entsteht ein radiales Wirbelgebiet, dessen weitere Erforschung in mehreren Themenstellungen aktuell erfolgt. Gerade bei der Erschließung der Strömung um Windenergieanlagen werden die Vorteile der CFD deutlich, da sich diese meist relativ großen Anlagen experimentell nur schwierig erschließen lassen.
14.7 Beispiele von Ergebnissen numerischer Strömungsberechnung
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Bild 14.6. oben: Rotorblatt einer Windenergieanlage mit deutlicher Schmutzfläche an der Ablösestelle im Bereich der nabennahen Strömung; unten: Wandnahe Stromlinien am Rotorblatt einer Windenergieanlage [Diplomarbeit KRÄMER, RAUCH, TU Berlin 2007]
Namens- und Sachverzeichnis
Ablenkungswinkel 65 Ablösewirbel 229 Ablösung 180 Absolutgeschwindigkeitsvektor 115 Abwärtsgeschwindigkeit, induzierte 162, 173, 174, 175 Abwasser, vorgereinigtes 20 Abwasserbecken 20 Abwasserrohr, kreisförmiges halbgefülltes 204, 205 Abwasserrohr, teilgefüllt 203 Abwind 163 Abwind, induzierter 163 Ähnlichkeitsgesetze 239 Ähnlichkeitskennzahlen 239 Analyse, fraktionelle 239, 248 Anfahrwinkel 165 Anfahrwirbel 161, 162 Anstellwinkel 174, 221, 222, 227 Anstellwinkel, effektiver 174 Anströmwinkel 146 Anziehungskräfte 2 Äquipotentiallinien 79, 126, 128 Arbeitsmaschine 210, 217, 219 Aufpunkt 149, 164, 165 Aufrollen 168 Aufstellungshöhe 22, 27 Aufstellungshöhe, zulässige 28 Auftrieb 147,222,223 Auftriebsbeiwert 176,222 Ausflussfunktion 71,73 Ausflussgeschwindigkeit 24, 37, 71 Ausflussrohr, geradliniges 10,20 Ausflussrohr, hakenförmiges 16, 18, 20 Ausflussrohrleitung, horizontal abgestufte 38, 40
Ausflussvorgang 38 Ausgleichsseite 161 Außenbereich 196 Austrittsdruck 65 Austrittsfläche 56 Austrittsgeschwindigkeit, instationäre 20 Austrittsquerschnitt 73 Automobil-Aerodynamik 225 Axial Segementlager 99, 100 Axiallast 102 Backflow 53 Bauteilschwingungen 25 BEAUFORT 227 BEAUFORT-Skala 227 Behälterkräfte 10 BELTRAMI-Strömung 85 Bereich, wandnaher 196 BERNOULLI-Gleichung 35, 70, 71, 122, 134, 208 BERNOULLI-Gleichung für Stromfaden 85 BERNOULLI-Gleichung, intstationäre 82 BERNOULLI-Konstante 83,86 Beschleunigungskrümmer 45 Best Efficency Point 223 Bestpunkt 178 Betonkanal 45 Betriebsöldruck 41 Betriebspunkt 220 Betriebswasser 41 BIOT-SAVART-Wirbelsatz 149, 151, 152, 154 BLASIUS-Plattengrenzschicht 181 BORDA 210
Namens- und Sachverzeichnis
BORDA-Mündung 210 BOUSSINESQ 189 BOUSSINESQ-Gleichung 189, 191, 197 BRONSTEIN-SEMENDJAJEW 167 Brückenpfeiler 130 BUCKINGHAM 247 Bypass-Austrittsgeschwindigkeit 68 Bypass-Luftstrahltriebwerk 68,69 Bypass-Massenstrom 68 CARNOT 207 CARNOT-Stoßdiffusor 207,208, 209 CARNOT-Stoßverluste 211 CARNOT-Stoßverlustzahl 209 CAUCHY-RIEMANNDifferentialgleichung 122 Computational Fluid Dynamics 254 CORIOLIS 116 CORIOLIS-Zusatzglied 117 COUETTE-Strömung 91 COUETTE-Viskosimeter 92 D´ ALEMBERT 147 D´ ALEMBERT-Paradoxon 147 Dampfdruck 22, 27, 28 Dämpfung 25 Dichte 28, 31, 56 Dichtegradient 113, 114 Dickenrücklage 221 Dickenverhältnis 222 Dickenverteilung 221 Differentialgleichungen 250 Diffusion, molekulare 189 Diffusor 180 Dimensionsanalyse 239, 241, 242 Dipol 139 Dipolfaden 139 Dipolfeld 141 Dipolgeschwindigkeit 142 Dipolströmung 141 Drahtabspannung 61 Drehrichtung 146 Drehzahlregelung 220 Dreibereichsmodell 195, 196, 197 Drosselregelung 220
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Druck, reduzierter 112, 113, 114, 117, 118 Druckerhöhung 30,32 Druckgleichung, radiale 205 Druckgradient 87, 89, 96, 104, 183, 184 Druckkoeffizient 144, 145 Druckkraft 55 Druckkraft, massenbezogene 248 Druckmaximum 102 Druckminimum 221 Druckpunkt 223 Druckrohr 22 Druckstoß 31, 34, 37, 40, 41, 65 Druckstutzen 210 Druckverhältnis 71, 210 Druckverhältnis, kritisches 71, 73 Druckverlust 93, 94, 98, 203, 207 Druckverlust, im Rohr 98 Druckverteilung 33, 78, 101, 131, 133, 144 Druckverteilung, hydrostatische 26 Druckwelle 31, 32, 42 Druckwiderstand 224 Druckwindkessel 20, 25 Durchdringungspunkt 159 Durchmesser, hydraulischer 203, 204 Durchstoßpunkt 153 Durchströmung 180, 221 Duschkopf 55 Düse 180, 231, 235 Düse, ebene 170, 171 DüsentriebwerksAustrittsgeschwindigkeit 68 Düsentriebwerks-Massenstrom 68 Ebener Halbkörper 130,132 Eigenbewegungsgeschwindigkeit 155,159,160 Eigenrotation 158 Einbauteil-Druckverlustzahl 213 Einheitenkonstante 120 Einlaufdüse 20 Einstellgröße 242 Eintrittsdruck 65 Eintritts-fan 69 Eintrittsfläche 56
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Namens- und Sachverzeichnis
Eintrittsgeschwindigkeit 24, 25, 68 Eintrittsmassenstrom 68 Elastizität 31 Elastizitätsmodul 30, 31 Elastizitätsmodul, des Fallrohres 42 Elastizitätsmodul, des Fluids 42 Endplatte 146 Energiedissipation 32 Ergiebigkeit 129,139 Expansion, isotherme 75 Fahrtwind 227 Fahrzeuggeschwindigkeit 49, 50 Fallrohr 32 Feldkraft 113,114 Fernfeld 133,163,168 Festkörperwirbel 139 Feuerbekämpfung 215, 216 Flächenvariation 45 Flächenverhältnis 45,48 Flachstrahldüse 53 FLETTNER-Rotor 147 Flügeldruckseite 161 Flügelgrundrissfläche 176 Flügelsaugseite 161 Fluid, geschichtetes 113 Fluid, inkompressibles 119 Fluid, kompressibles Fluid, reibungsfreies 30, 83 Fluid, ruhendes 77 Fluiddichte 42, 58, 62 Fluidmasse 56 Flüssigkeit 31 Flüssigkeit, benetzende 1, 2 Flüssigkeit, nichtbenetzende 1,2 Flüssigkeit, superbenetzende 1,2 Flüssigkeitsbehälter 10 Flüssigkeitsmembran 2 Flüssigkeitsstrahl 48, 49 Flüssigkeitsstrahlachse 48 Flüssigmetallpumpe 117 Förderarbeit, spezifische 219 Förderhöhe 220 Förderleistung, spezifische 217 Fortpflanzungsgeschwindigkeit 31,32,42 Freistrahl 48, 70, 73, 170, 171 Freistrahl, schräger 53
Freistrahlgeschwindigkeit 65 Freistrahlströmung 54 Front-Heckspoiler 225 FROUDE-Zahl 240 Funktionentheorie 119, 122 Gasdynamik 70,71 Gasturbine 69 GAUSS-Zahlenebene 119 Gerinneströmung 108 Gesamtreibungswiderstand 182 Gesamtwiderstand 177 Gesamtzirkulation 166 Geschwindigkeit 74 Geschwindigkeit, induzierte 117, 155, 159, 160, 162, 165, 167 Geschwindigkeit, komplexe 121 Geschwindigkeit, konjugiert komplexe 120 Geschwindigkeit, volumetrisch gemittelte 106 Geschwindigkeitsdifferenz 169 Geschwindigkeitsfeld 78, 114 Geschwindigkeitsfelder, wirbelinduzierte 148 Geschwindigkeitsgradient 184 Geschwindigkeitsinduktion 162,166,170 Geschwindigkeits-Potentialfunktion 120 Geschwindigkeitsprofil 94, 97, 181, 184 Geschwindigkeitspulsation 25 Geschwindigkeitsquergradient 195 Geschwindigkeitsschwankungen 26 Geschwindigkeitsspitze 52, 118, 233, 237 Geschwindigkeitsunterschied, fiktiver 232 Geschwindigkeitsverteilung 33, 93, 95, 96, 108, 110, 131, 132, 139, 191, 195 Geschwindigkeitsverteilung, gleichmäßige 50 Geschwindigkeitsverteilung, ungleichmäßige 50 Geschwindigkeitsverteilung, unterschiedliche 51 Gesetz der zähen Unterschicht 194 Getriebemotoren 29
Namens- und Sachverzeichnis
Gitter 180 Glaskapillaren 9 GLAUERT 176 Gleitwinkel 179, 223 Glockenringschieber 41, 42 GÖRTLER, H. 239 Grenzfläche 1 Grenzfläche, gekrümmte 4 Grenzflächenspannung 2 Grenzflächenspannungskraft 3 Grenzgeschwindigkeit 163 Grenzschicht, laminare 180, 195 Grenzschicht, turbulente 180, 195 Grenzschichtgleichung 189 Grenzschichtströmung 180, 188, 189 Grenzschichtströmung, zweidimensionale 192 Grenzwinkel 1,2 Größenvergleich 50 Großraumflugzeug 68 Großsegel 227 Grundgröße 243 Grundlast 10 Grundschubspannung, laminare 189, 190, 196 HAGEN 87 HAGEN-POISEUILLE-Rohrströmung 94, 96 HAGEN-POISEUILLE-Gesetz 91, 97 HAGEN-POISEUILLE-Schichtenströmung 87, 89, 91 Halbkörper 131 Haltemoment 65,67 Hauptausführung 240 Hauptkrümmungsradius 5 HELE-SHAW-Strömung 103, 107 HELE-SHAW-Versuch 104 HELMHOLTZ-Wirbelsatz 235 Hochbehälter 32 Hochdruckgebiet 157 Hochdruckwirbel 158 Höchstschub 52 Höchstspantpunkt 143 Höhe, geodätische 22, 42 Horizontalachser 61
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Hubkolbenpumpe 217, 219 Hubvorgang 22, 24, 26 Hufeisenwirbel 161, 162 Hufeisenwirbelsystem 161 Impulsaustausch, turbulenter 198 Impulssatz 45,58,62,209 Impulssatz für Plattengrenzschicht 183 Impulsstromverlust 182 Impulsverlustdicke 183 Induktion 163 Induktion, eigene 158, 168 Induktion, magnetische 117 Inkompressibel 113 Inlet drag 69 Innendurchmesser 30 JOUKOWSKY 147 JOUKOWSKY-Stoß 31 Kanal 180 Kantenumströmung 161 Kapillaraszendenz 8 Kapillardepression 6,7 Kapillare 6 Kapillarröhrchen 6 KÁRMÁN 229 KÁRMÁN-Wirbelstraße 229, 230,231 Kavitation 28 Kavitationsgefahr 28 Keilwinkel 101 Kennlinie 210, 214, 215 Kennlinie der Pumpe 211, 217 Kennlinie des Ventilators 211 Kennzahlen 252 Kessel 211 Kessel, saugseitiger 210 Kippsegmente 102 Knossos 168, 169 Kohäsionskräfte 2 Kolbendurchmesser 22 Kolbengeschwindigkeit 22, 23 Kolbenpumpe 20 Kolbenpumpe, doppelt wirkende 25 Kompressibilitätseffekte 211 Kompressor 69, 210
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Namens- und Sachverzeichnis
Konkav 184 Kontinuitätsgleichung 30, 36, 57, 88, 122, 186 Kontraktionszahl 73 Konvex 184 Kräftegleichgewicht 33, 96 Kreiselpumpe 211 Kreiselpumpe, halbaxiale 218 Kreisquerschnitt, reibungsäquivalenter 203 Krümmung 183, 184 Kugel, druckseitige 20 Kugel, saugseitige 20, 26 Kugelwiderstandskraft 241 Kugelwiderstandskraft, hydrodynamische 241 Kuppe 6 Kurbelradius 22 Kurbelwinkel 25, 27 Kurbelwinkelgeschwindigkeit 22 Kurbelwinkelgeschwindigkeit, maximale 29 KUTTA 147 KUTTA-JOUKOWSKY 175, 176 Lackieren 53 Laminarprofil 222 LAPLACE-Gleichung 121 Lasertechnik 180 Laufzeit 32, 42 Leckströmung 93 Leeläufer 61 Leistung, spezifische 212, 215 LORENTZ 117 LORENTZ-Kraft 118 Luftblase 4 Luftmasse 75 Luftmassenstrom 68, 75 Luftmassenstrom, eintretender 68 Luftpolster 25 Luftstrahltriebwerk 68 Luftwiderstand 50 MACH-Zahl 241 Magnetfeld 117, 118 Magnetohydrodynamik 117
MAJIDI 87 Massenrückstromkoeffizient 53, 54 Massenstrom, realer 73 Masseteilchen 115 Maximaldruck 42,43 Maximalwert 111, 200 Membran 1 Membran, zweidimensional gekrümmte 4 Membrandurchmesser 22 Membrangeschwindigkeit 22, 23 Membranpumpe 20 Messtechnik 180 Meteorologie 156, 158 Methode der Differentialgleichungen 239 MICHELL-Lager 99 Mischungswegansatz 191 Mischungsweglänge 191 Mittelwert, arithmetischer 58, 60, 61 Mittelwert, volumetrischer 32, 54, 88, 91, 111, 198, 200 Mittelwert, zeitlicher 186, 187 Mittelwertbildung 188 Modell 240 Modellierung 256 Modellversuche, typische 252 Momentenhebellänge 65, 67 MOODY-Diagramm 202 Mündungsstelle 32 Nachbarwirbel 160 Nasenradius 221 Natrium, flüssiges 117, 118 NAVIER-STOKES-Bewegungsgleichung 77, 80, 82, 83, 88, 94, 95, 101, 103, 105, 112, 114, 116, 183 Neigungswinkel 53 Netz 256 NEWTON-Fluid 87 NEWTON-Schubspannungsansatz 90, 97, 111, 181, 189 Niedrigstspantpunkt 143 Normalspannung 55 Normathmosphäre 72 Normdurchmesser 45
Namens- und Sachverzeichnis
Normflansch 45 Oberflächenbehandlung 53 Oberflächenspannung 2 Oberwasser 30 Ornamente 168, 169 Ortsradiusvektor 115 Parallelströmung 124, 126, 130, 132, 134 Parallelströmung entgegen y-Richtung 124 Parallelströmung unter Winkel 124 Parallelströmung, in x-Richtung 124 Parallelströmungsgeschwindigkeit 130, 131, 142 Parameterstudien 255 PARMAKIAN 31 PELTON-Turbine 30 PELTON-Turbinenanlage 41, 44 PELTON-Wasserturbine 65 Pfahlprobe 50 S-Theorem von BUCKINGHAM 247 Platte 181 Platte, ebene 180 Platte, vertikale 53 Plattengeschwindigkeitsprofil 89 POISEUILLE 87 POISEUILLE-Strömung 91, 92 Polardiagramm 177, 178, 223 Polare 179 Potentialfunktion 78, 112, 121,131 Potentialfunktion des Kraftfeldes 78 Potential-Staupunktströmung, ebene 120, 121 Potentialströmung 78, 80, 107, 119, 155, 206 Potentialströmung, ebene 119 Potentialströmungsbedingung 122 Potentialwirbel 135, 153, 160 Potentialwirbelfeld 168 1/7 Potenzgesetz 201 PRANDTL 175,191 PRANDTL-Grenzschichtgleichung 181 PRANDTL-Mischungsweg 191,192 Pressluft
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Pressluftbehälter 70 Pressluftströmung, instationäre 75 Profilbreite 221 Profildicke 221 Profillänge 172, 221 Profilwiderstand 177 Propeller disk 58, 59, 60 Propellerdurchmesser 58 Propellerdurchströmung 59 Puffer 48 Quell- und Senkenströmung 126, 128, 130 Quellfaden 129 Quellstärke 129 Quellstärke, negative 129 Quellströmung 128, 130, 132 Quellströmungsgeschwindigkeit 130,131 Querweglänge, freie 191 Radiusvektor 150 Radverluste 50 RANKINE-Wirbel 139 Rauhtiefe, gemittelte 200 Rauhtiefe, relative 200 RAYLEIGH, Lord 248 Reaktionswandkraft 12, 45, 46, 48, 50, 54, 55, 67 Rechteckkanal 203 Rechteckkanal, offener 204,205 Rechteckschlitz, geschlossener 204, 205 Referenzpunkte 211 Referenzwert 250 Reflexionsstelle 30, 32, 42, 43 Reibung 73 Reibungseinfluss 74 Reibungskraft 98 Reibungskraft, massenbezogene 248 Reibungswiderstand 181, 182 Reibungszahl 73 Reifen 225 Reinigung, mechanische 20 Relativströmung 116 REYNOLDS, O. 99,240
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Namens- und Sachverzeichnis
REYNOLDS-Grenzschichtgleichung 190 REYNOLDS-Spannung 189 REYNOLDS-Spannungsmodell 257 REYNOLDS-Zahl 91, 92, 98, 240 REYNOLDS-Gleichung 187, 188 Richtungswinkel 45,48 Rieselfilm 108,110 Riss 93 Rohr 180 Rohr, reibungsäquivalentes 203 Rohrbogen 46 Rohrbündel 230 Rohre, elastische 31 Rohrlänge 34 Rohrlänge, reduzierte 40, 41 Rohrleitung 30, 202 Rohrleitung, starre 30 Rohrleitungsbau 45 Rohrleitungsstrecke 211 Rohrquerschnitt, kreisförmiger 202 Rohrquerschnitt, nichtkreisförmig 202, 203 Rohrreibungskoeffizient 200,202,203 Rohrreigungskoeffzient 213 Rohrströmung 97 Rohrströmung, laminare 96 Rohrströmung, turbulente 198 Rohrwand 30 Rohrwandstärke 31 Rohrwerkstoff 31 Rotor 61 RUMPLER 224, 225 Sandstrahlen 53 Saugbetrieb 22 Saugrohr 22, 26 Saugrohrströmung 28 Saugstutzen 22, 26, 210 Saugvorgang 23, 24, 27 Schalenkreuzanemometer 225 Schallgeschwindigkeit 72,74 Schallgeschwindigkeit, Wasser 43 Scherströmung, verdrillte 172 Schieber 10,30,31,32,34,38 Schienen-Schubwagen 48,49
Schiffsbauarten 61 Schiffsgeschwindigkeit 58 Schiffskörper 59 Schiffspropeller 58 Schiffstechnik 50 Schleppwirkung 90 Schließgesetz 11,31,32 Schließgesetz, lineares 10, 15, 16, 18, 32, 34, 35, 39 Schließgesetz, quadratisches 10,12,17,42 Schließvorgang 31, 32, 40, 41 Schließzeit 10, 13, 32, 42, 44 Schlitz 203 Schmutzfänger 225 Schnellboot 48 Schornstein 230 Schornsteinschwingung 231 Schub 48, 49, 59, 69 Schubantrieb 48 Schubbelastungsgrad 59,61 Schubkraftmessdose 48 Schubleistung 50 Schubspannung 92, 97, 98, 111 Schubspannungsverteilung 91,93,198 Schubversuch 70 Schubvorrichtung 50, 51,5 2 Schubvorrichtungsvariante 50 Schwankungsgeschwindigkeit 192, 233 Schwankungsgröße 186 Schwankungswert 187 Schwerkraft, massenbezogene 248 Schwerkraftfeld 112 Schwingung, windinduzierte 230 Schwingungsanregung, windinduzierte 231 Segelboot 227 Segeljolle 228 Sehne, äußere 221 Sehne, innere 221 Seifenblasen, kommunizierende 5 Seitenverhältnis 177 Sekundärströmung 205 Sekundärströmung erster Art 205, 206 Sekundärströmung zweiter Art 206 Sekundärströmungen 87
Namens- und Sachverzeichnis
Selbstschließvorgang 41 SEMENDJAJEW 80 Senkenfaden 139 Senkenstärke 129 Senkenströmung 128 Senkenströmung, ebene 129 Sieb 231,235 Siebrechen 20 Spaltdichtungen, axiale 93 Spalthöhe 100 Spaltströmung 93 Spaltverjüngung 100,102 Spiegelhöhe 48 Spitzenstromerzeugung 65 Spurlager 99 Spurscheiben-Umfangsgeschwindigkeit 100 Stabwirbel 161 Stahlbetonrohr 61 Stahlgitter 61 Stahlrohr 61 Standschub 52, 70 Standschub-Versuch 50 Staudruck 145 Staupunkt 131, 132 Staupunkt, hinterer 143 Staupunkt, vorderer 143 Staupunkt-Stromlinie 131, 133, 134 STOKES-Gleichung 101 Strahlablenker 65 Strahlablenkungswinkel 67 Strahlantrieb 48 Strahlaufweitung 61 Strahldilatation 61 Strahleinschnürung 73 Strahlgeschwindigkeit 49,65 Strahlkontraktion 58, 73 Strahlschub 49, 50 Stromfadengewichtskraft 45 Stromfadentheorie 30 Stromfunktion 120, 121, 131 Stromlinien 79, 126, 128 Stromlinienbild 107 Strömung, abgerissene 222 Strömung, drehungsfreie 78,79 Strömung, instationäre 10
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Strömung, isoenergetische 83 Strömung, isoenergetische, stationäre 86 Strömung, richtungsstationäre 10,11 Strömung, turbulente 186 Strömungsbild 134 Strömungsablösungsverluste 207 Strömungsberechnung, numerische 254 Strömungsleistung 210 Strömungsmaschine 117 Strömungsmaschine, radiale 217 Strömungsmaschinenlaufrad 115 Strömungspotential 123 Strömungspotential, komplexes 120, 126, 135 Strömungstechnik, analytische 254 Strömungstechnik, experimentelle 254 Strömungstechnik, numerische 254 Strömungsumlenkung 45 Strömungsverluste 189 Strömungswinkel, induzierter 174 Stromverteilung117 Superposition 31 Surface tension 2 Systemeintritt 210 Tacoma-Narrows-Bridge 230 Tangentialgeschwindigkeit 170 Tankerhavarie 113 Tankvolumen 75 TAYLOR 191 TAYLOR-Reihenentwicklung 192 Teetassenströmung 205 Telefondraht, singender 230 THOMSON-Wirbelsatz 235 Tiefdruckgebiet 157, 158 TÖLKE 31 TORRICELLI-Gleichung 12, 34, 49 TORRICELLI-Wert 38 Tragflügel 161,170,171,172,221 Tragflügelprofil 180 Trägheitskraft 98,240 Trägheitskraft, massenbezogenen 248 Transformation von Variablen 239 Translationsströmung 206 Trocknen 53 Tropfenauto 224
272
Namens- und Sachverzeichnis
Tropfenform 224 Turbinendüse 65 Turbulenz, isotrope 234 Turbulenzballen 191, 192 Turbulenzgrad 196 Turbulenzmodell 257 Turm 61 Überdruck 45 Überlagerung 159 Umfang, benetzter 204 Umfangsgeschwindigkeit 115, 153 Umgebungsdruck 73 Umschlags-REYNOLDS-Zahl 196 Umströmung 180, 221 Umströmungskörper 103 Umwälzanlage 215, 216 Unstetigkeitsfläche 170 Unstetigkeitsfläche, ebene 171 Unterschallströmung 221 Unterwasser 30 Unterwasser-Süßwasserquelle 113 Ventilator, Axialer Ventilator, halbaxialer 217 Ventile 20 Verdrängung 23 Vergleichmäßigung 22, 236, 237 Verlustkoeffizienten 93 Verlustzahl 235 Verrückung, virtuelle 2,3,7 Verschiebegeschwindigkeit 87 Verschiebungsenergie 1 Verschmutzungen 20 Verteilung, reale 194 Verteilungsexponent 200,201 Verzögerungskrümmer 45 Vielstrahldüse 55 Viskosität, dynamische 87 Viskosität, kinematische 91 Volumenstrom 215 Volumenstrom 91,94,97,102 Volumenstrom, stationärer 10 Vorsegel 227 Wandgesetz, logarithmisches 194
Wandhaftbedingung 96, 143, 183 Wandschubspannung 55, 181, 194, 203 Wandschubspannungsgeschwindigkeit 194 Wandstärke 30,42 Wärmetauscher 230 Wassersäule, hängende 26 Wasserschicht 113 Wasserschloss 30,32 Wasserstand 32 Wassertemperatur 28 Wassertropfen 4 Wasserturbine 99 Wasserturbinenanlage 41 Wasserturmanlage 215,216 Wetterkarte 158,160 Widerlager 48 Widerstand 222 Widerstand, induzierter 174, 175, 176, 177 Widerstandsbeiwert 222 Wind, scheinbarer 227 Wind, wahrer 227 Windgeschwindigkeit 62 Windschatten 61 Windstärke 227 Windturbine 62 Windturbinendurchmesser 62 Windturbinendurchströmung 62 Windturbinenlaufrad 61 Windturbinenleistung 62 Winkelgeschwindigkeitsvektor 115 Wirbel, freier 161,165 Wirbel, gebundener 161,166 Wirbel, gebundener tragender 171 Wirbel, natürlicher 139 Wirbelablösung, periodische 228 Wirbelabstand 229 Wirbeldurchstoßpunkt 153 Wirbelfaden 149,157 Wirbelfaden, endlich langer gebundener 148 Wirbelfaden, freier 158, 160, 172 Wirbelfaden, unendlich langer 153,165 Wirbelfadenabstand 154 Wirbelfreiheit 79
Namens- und Sachverzeichnis
Wirbelinduktion 157 Wirbelmodell 172 Wirbelpaar, gegenläufiges 157, 158 Wirbelpunktkoordinaten 148 Wirbelschicht, ebene 165, 167, 169 Wirbelschicht, endlich breite 168 Wirbelschicht, freie 171 Wirbelschicht, induzierte 168 Wirbelschicht, unendlich breite 170 Wirbelstärke 85, 191, 234 Wirbelsystem 161, 162 Wirbelteilung 229 Wirbelviskositätsmodell 257 Wirbelzähigkeit 190, 191 Wölbungshöhe 221 Wölbungsrücklage 221 Zähigkeit, kinematische 190
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Zähigkeitskraft, zusätzliche 188 Zahl, komplexe 119 Zeit, dimensionslose 32,34 ZIEREP,J. 239 Zirkulation 137, 147, 160, 166, 170 Zirkulationsverteilung 172 Zirkulationsverteilung, elliptische 175 Zuggerät 2 Zusatzspannung, turbulente 189,190,196 Zusatzterme 188 Zustandsgleichung, thermische 75 Zylinder, nichtrotierender 141 Zylinder, rotierender 146, 147 Zylindersonde 145, 146
