Optik, Licht und Laser, 3. Auflage

Dieter Meschede Optik, Licht und Laser

Dieter Meschede

Optik, Licht und Laser 3., durchgesehene Auflage STUDIUM

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Prof. Dr. rer. nat. Dieter Meschede Studium in Hannover, Köln, Boulder, Co (USA) und München von 1973 bis 1984. Postdoc und Assistant Professor an der Yale University, New Haven, Ct (USA) von 1984 bis 1987. Von 1988 bis 1990 Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Quantenoptik in Garching. Professor für Experimentalphysik in Hannover von 1990 bis 1994 und seit 1994 in Bonn.

1. Auflage 1999 2. Auflage 2005 3., durchgesehene Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0143-2

Vorwort

z u r 2. u n d 3. A u f l a g e

Die Optik spielt eine wachsende Rolle im Lehrplan naturwissenschaftlicher F~cher. Diese Entwicklung geht nicht zuletzt auf die zunehmende technologische Bedeutung der Photonik zurfick. Manche sagen, mit dem 21. Jahrhundert breche die Zeit des Photons nach der Zeit des Elektrons an. Urn Licht als Sensor ffir MefSgrSt3en, als Tr~ger zur 0bermittlung von Nachrichten und vieles anderes nutzbar zu machen, mut3 man seine Eigenschaften verstanden haben und kontrollieren k6nnen. Auch die neuesten Erkenntnisse und AnwendungsmSglichkeitenfut3en auf den seit mehr als 200 Jahren entwickelten Konzepten der Optik. Dieser Text schl~igt einen Bogen yon der Strahlenoptik fiber die Wellenoptik bis hin zur Optik mit einzelnen Photonen. Natfirlich wird dem Laser, der 1960 die noch immer anhaltende revolution~tre Entwicklung der Optik angestot3en hat, breiter Raum gewidmet. Im naturwissenschaftlichen Studium soll dieser Text ein kompakter Begleiter auf dem Weg zur modernen Optik sein: Angebote zur klassischen Optik, Laserphysik, Laserspektroskopie, Nichtlinearen Optik, Angewandten Optik und Photonik kSnnen davon profitieren. Im Vordergrund stehen Konzepte, die zum vertieften Studium in der Spezialliteratur anregen sollen. Der Leser finder erg~nzende Informationen im Internet unter der Adresse: www.uni-bonn.de/iap/OLL Dozenten und andere Vortragende kSnnen sich dort die meisten Abbildungen des Buches ffir den Einsatz in der Lehre besorgen. Sechs Jahre nach dem ersten Erscheinen ist die 2. Auflage an vielen Stellen fiber die erste hinausgewachsen: Es gibt zu jedem Kapitel Aufgaben, die in verschiedener Intensit~t zum Nachdenken fiber den Stoff anregen sollen. Ein neues Kapitel vermittelt erste Begriffe und Konzepte aus der Quantenoptik und zahlreiche neue Abschnitte, z.B. fiber photonische Materialien, nehmen aktuelle und sehr erfolgreiche Entwicklungen der Optik auf. Schon die erste Auflage ist sehr wohlwollend aufgenommen worden. Ich bedanke mich fiir die zahlreichen Anregungen und Kommentare, die alle in diese Auflage eingeflossen sind. Bficher zu einem aktuellen Thema kSnnen gar nicht fertig werden, sie sind aber ein grot]es Privileg kontinuierlichen Lernens. Auch eine Neuauflage kostet viel Vorbereitung, ffir die daffir gezeigte Geduld danke ich meiner Familie. Bonn, im Oktober 2005 und im August 2008

1

Lichtstrahlen

1.1

L i c h t s t r a h l e n in m e n s c h l i c h e r E r f a h r u n g

1.2

Strahlenoptik

1.3

1 ............

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Reflexion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Brechung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Fermatsches Prinzip

1.6

Prismen

1.7

L i c h t s t r a h l e n in G l a s f a s e r n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.8

Linsen und Hohlspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.9

Matrizenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.10

Strahlenoptik und Teilchenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2

Wellenoptik

35

2.1

Elektromagnetische Strahlungsfelder

. . . . . . . . . . . . . .

35

2.2

Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3

Gau~Strahlen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4

Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.5

Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3

Lichtausbreitung in Materie

85

3.1

D i e l e k t r i s c h e Grenzfl~ichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.2

Komplexe Brechzahl

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.3

Lichtwellenleiter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.4

Funktionstypen von Fasern

3.5

Photonische Materialien

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

VHI

Inhalt

3.6

L i c h t p u l s e in d i s p e r s i v e n M a t e r i a l i e n

. . . . . . . . . . . . . .

119

3.7

Anisotrope optische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

3.8

Optische Modulatoren

138

4

Abbildungen

4.1

Das menschliche Auge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

4.2

Lupen und Okulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

4.3

Mikroskope

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

4.4

Teleskope

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

4.5

Linsen: Bauformen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

5

Koh~irenz und Interferometrie

179

5.1

Youngs Doppelspalt

179

5.2

Koh~irenz u n d K o r r e l a t i o n

5.3

Der Doppelspaltversuch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

5.4

Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

5.5

Fabry-Perot-Interferometer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

5.6

Optische Rescnatoren

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

5.7

Diinne optische Schichten

5.8

Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

5.9

Speckelmuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

6

Licht und Materie

221

6.1

Klassiscl7 e S t r a h l u n g s w e c h s e l w i r k u n g

6.2

Zwei-Niveau-Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

6.3

Stimulierte und spontane StIahlungsprczesse ..........

244

6.4

Inversion und Verstarkung

248

7

Laser

255

7.1

Die Klassiker: Helium-Neon-Laser . . . . . . . . . . . . . . . .

258

7.2

Andere Gaslaser

269

7.3

Die Aibeitspferde: FestkSrper-Laser . . . . . . . . . . . . . . .

278

7.4

Ausgew~ihlte FestkSrperlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

282

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

222

Inhalt

IX

7.5

L a s e r m i t v i b r o n i s c h e n Zust~inden . . . . . . . . . . . . . . . .

290

7.6

Durchstimmbare Ringlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

8

LaserdynAmik

299

8.1

Grundzfige einer Lasertheorie

8.2

Laser-Ratengleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

8.3

Schwellenlose L a s e r u n d M i k r o l a s e r . . . . . . . . . . . . . . .

310

8.4

Laserrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

8.5

Gepulste Laser

323

9

Halbleiter-Laser

337

9.1

Halbleiter

337

9.2

Optische

9.3

Heterostruktur-Laser

9.4

Dynamische

Eigenschaften

yon

9.5

Laserdioden

- Diodenlaser

- Lasersysteme

9.6

Hochleistungs-Laserdioden

10

Sensoren f'dr Licht

375

10.1

KenngrS~en optischer Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . .

376

10.2

Schwankungen

381

10.3

Photonenrauschen

10.4

Thermische

10.5

Quantensensoren

I: Photomultiplier

10.6

Quantensensoren

II: Halbleitersensoren

10.7

Positions-

11

Laserspektroskopie

11.1

Laserinduzierte Fluoreszenz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

11.2

Absorption und Dispersion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408

11.3

Spektrallinien: Form und Breite . . . . . . . . . . . . . . . . .

410

11.4

Doppler-freie Spektroskopie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

417

11.5

Transiente Ph~i~omene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften

von

Halbleitern

340

.......................

und

350

Halbleiter-Lasern

.......

...........

....................

optoelektrischer

Mei3grSfien

Nachweisgrenzen

Detektoren

und

.............

........... ............

.....................

Bildsensoren

............... .............

...................

360 367 370

383 389 391 396 401

407

X

Inhalt

11.6

Lichtkr~ifte

12

Grundziige der Quantenoptik

445

12.1

H a t das Licht Q u a n t e n c h a r a k t e r ? . . . . . . . . . . . . . . . .

445

12.2

Q u a n t i s i e r u n g des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Feldes . . . . . . . . .

447

12.3

S p o n t a n e Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

450

12.4

Schwache K o p p l u n g u n d starke K o p p l u n g

457

12.5

R es o n a nz f l uor e s zenz

12.6

Lichtfelder in der Q u a n t e n o p t i k . . . . . . . . . . . . . . . . .

469

12.7

Zwei-Photonen-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

479

12.8

Verschr~inkte P h o t o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

484

13

Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

493

13.1

A n h a r m o n i s c h e geladene Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . .

493

13.2

Nichtlineare Suszeptibilit~it 2. O r d n u n g . . . . . . . . . . . . .

495

13.3

W e l l e n a u s b r e i t u n g in n i c h t l i n e a r e n Medi en . . . . . . . . . . .

501

13.4

Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

504

13.5

S u m m e n - u n d Differenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . .

517

14

Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

525

14.1

F r e q u e n z v e r d r e i f a c h u n g in G a s e n

526

14.2

Nichtlineare B r e c h z a h l - d e r optische K e r r - E f f e k t . . . . . . .

527

14.3

Selbstphasenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

536

A

Mathematik f'tir die Optik

539

A.1

S p e k t r a l z e r l e g u n g s c h w a n k e n d e r MefigrSflen . . . . . . . . . .

539

A.2

Poynting-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

545

B

Erg~inzungen zur Quantemnechanik

546

B.1

Zeitliche E n t w i c k l u n g eines Z w e i z u s t a n d s s y s t e m s

B.2

Dichtematrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

547

B.3

Zustandsdichten

548

Literaturverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

................

.......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

461

546

551

Inhalt Sachverzeichnis

XI

561

1

Lichtstrahlen

1.1

Lichtstrahlen in menschlicher Erf hrung

Die Entstehung eines Bildes geh5rt zu den faszinierenden sinnlichen Erfahrungen eines Menschen. Schon im Altertum wurde erkannt, dai~ unser ,,Sehen" von sich geradlinig ausbreitenden Lichtstrahlen getragen wird, denn jedermann kannte die scharfen Schatten beleuchteter Objekte. Allerdings kann die geradlinige Ausbreitung durch bestimmte optische Elemente auch beeinfluBt werden, zum Beispiel durch Spiegel und Linsen. Das Wissen fiber die geometrische Optik ffihrte nach den Erfolgen von Tycho Brahe (1546 - 1601) zur konsequenten Konstruktion von VergrSi3erungsgl~isern, Mikroskopen und Fernrohren. Alle diese Instrumente dienen als Sehhilfe. Durch ihre Unterstfitzung wurden uns ,,Einsichten" vermittelt, die in besonderer Weise zu unserem naturwissenschaftlichen Weltbild beigetragen haben, weil sie uns Beobachtungen sowohl in der Welt des Mikrokosmos als auch des Makrokosmos ermSglicht haben. So ist es gar nicht sehr verwunderlich, dab die Begriffe und Konzepte der Optik in viele Bereiche naturwissenschaftlichen Erkennens eingedrungen sind. Selbst ein so riesenhaftes Instrument wie der neue LHC-Teilchenbeschleuniger in Genf ist im Grunde nichts weiter als ein zugegebenermafien sehr aufwendiges Mikroskop, mit welchem wir die Welt der Elementarteilchen auf einer subnuklearen Langenskala beobachten wollen. Geistesgeschichtlich ebenso bedeutsam ist vielleicht die wellentheoretische Beschreibung der Optik, die bei der Entwicklung der Quantenmechanik Pate gestanden hat. In unserer menschlichen Erfahrung steht die geradlinige Ausbreitung von Lichtstrahlen - - in einem homogenen Medium - - im Vordergrund. Allerdings gehSrt es eher zur neueren Erkenntnis, daf~ unsere F~ihigkeit, Bilder zu schauen, durch eine optische Abbildung im Auge verursacht wird. Immerhin kSnnen wir die Entstehung eines Bildes schon mit den Grunds~tzen der Strahlenoptik verstehen. Deshalb soll am Beginn dieses Lehrbuches fiber Optik und Licht ein Kapitel fiber Strahlenoptik stehen.

1 Lichtstrahlen

2

1.2

Straldenoptik

Wenn sich Lichtstrahlen in einem homogenen Medium allseitig und kugelfSrmig ausbreiten, dann stellen wit uns im allgemeinen eine idealisierte, punktfSrmig und isotrop leuchtende Quelle als ihren Ursprung vor. GewShnliche Lichtquellen erfiillen jedoch keines dieser Kriterien, erst in sehr grofier Entfernung vom Beobachter (im ,,Unendlichen") kann man mit einer Blende ein nahezu paralleles Strahlenbfindel herausschneiden. Bei einer gewShnlichen Lichtquelle muff man daher einen Kompromifi zwischen Intensit~t und Parallelit~t eingehen, um einen Strahl geringer Divergenz zu erzielen. Optische Demonstrationsexperimente werden aber heutzutage fast immer mit Laserlichtquellen betrieben, die dem Experimentator einen nahezu perfekt parallelen, intensiven Lichtstrahl bieten. Wenn die Strahlen eines Bfindels nur kleine Winkel mit einer gemeinsamen optischen Achse bilden, kann man in der sogenannten ,,paraxialen N~iherung" die rechnerische Behandlung der Ausbreitung des Strahlenbiindels durch Linearisierung sehr vereinfachen. Diese Situation trifft man in der Optik so h~iufig an, dab man darfiber hinaus gehende Eigenschaften z.B. einer diinnen Linse als ,,Fehler" bezeichnet.

Abb. 1.1 Lichtstrahlen.

1.3

Die Ausbreitungsrichtung von Lichtstrahlen wird durch Brechung und Reflexion ge~ndert. Sie werden verursacht durch metallische und dielektrisehe Grenzfl~ichen. Die Strahlenoptik beschreibt ihre Wirkung durch einfache ph~nomenologische Gesetze.

Reflexion

Reflexion oder Spiegelung von Lichtstrahlen beobachten wir nicht nur an glatten metallischen Fl~ichen, sondern auch an Glasscheiben und anderen dielektrischen Grenzfl~ichen. Moderne Spiegel haben viele Bauformen: In der Alltagswelt bestehen sie meistens aus einer diinn mit Aluminium bedampften Glasscheibe; wenn aber Laserlicht verwendet wird, kommen h~iufiger dielektri-

1.4 Brechung

3

sche Vielschichtenspiegel zum Einsatz, die wir im Kapitel fiber Interferometrie (Kap. 5) ausffihrlicher behandeln werden. Ffir die Strahlenoptik spielt die Bauform aber keine Rolle.

1.3.1

Ebene Spiegel

Wir wissen intuitiv, daft an einem ebenen Spiegel wie in Abb. 1.2 der Einfallswinkel 01 identisch ist mit dem Ausfallswinkel 02 des reflektierten Strahls,

01 =

02

,

(i.l)

und dab einfallender und reflektierter Strahl mit der Flichennormalen in einer Ebene liegen. Erst die Wellenoptik gibt uns eine strengere Begrfindung ffir die Gesetze der Spiegelung. Dabei werden auch Einzelheiten wie z.B. die Intensititsverh~iltnisse bei der dielektrischen Reflexion (Abb. 1.3) erklirt, die sich mit den Mitteln der Strahlenoptik nicht ableiten lassen.

1.4

Abb. 1.2 Reflexion am ebenen Spiegel: Die Ebene mit einfallendem und reflektiertem Strahl steht senkrecht auf der Spiegelfliiche.

Brech-ng

An einer ebenen dielektrischen Fl~che wie zum Beispiel einer Glasscheibe finden Reflexion und Transmission gleichzeitig statt. Der transmittierte Teil des einfallenden Lichtstrahls wird dabei ,,gebrochen". Seine Richtungs~nderung kann mit einer einzigen physikalischen Gr6fie, dem ,Brechungsindex" (auch: der Brechzahl, engl. refractive index), beschrieben werden. Er ist in einem optisch ,dichteren" Medium grSfier als in einem ,dfinneren". In der Strahlenoptik reicht die pauschale Beschreibung mit diesen GrSi3en schon vSllig aus, um die Wirkung wichtiger optischer Komponen- Abb. 1.3 Breehung und Reflexion ten zu verstehen. Die Brechzahl spielt aber auch an einer dielektrischen Fl~iche. eine Schlfisselrolle beim Zusammenhang mikroskopischer physikalischer Eigenschaften von dielektrischen KSrpern und ihrer

4

1 Lichtstrahlen

Wirkung auf die Ausbreitung makroskopischer optischer Wellen. Diese Wechselwirkung wird im Kapitel fiber Licht und Materie (Kap. 6) nAher beschrieben.

1.4.1

Brechungsgesetz

Beim Llbergang von einem optischen Medium ,,1" mit Brechungsindex nl in ein Medium ,2" mit n2 (Abb. 1.3) gilt das Brechungsgesetz des Snellius (Willebrord Snell, 1580-1626), nl sin 81 = n2 sin 82

,

(1.2)

wobei mit 01,2 der Einfalls- und Ausfallswinkel an der Grenzflache bezeichnet werden. Eigentlich ist es etwas ktinstlich, zwei absolute, materialspezifische Brechungsindizes festzulegen, denn nach Gleichung (1.2) wird zun~Lchst nur deren Verh~ltnis n12 = nl/n2 bestimmt. Wenn wir aber den Ubergang von ,, 1" in ein drittes Material ,3" mit n13 betrachten, stellen wir lest, dab wir dann wegen n23 n21n13 auch die Brechungseigenschaften des Ubergangs von ,,2" nach ,,3" kennen. Diesen Zusammenhang kSnnen wir z.B. begrfinden, indem wir zwischen ,, 1" und ,, 2" ein dfinnes Blatt des Materials ,,3" einffigen. Wenn wir noch festlegen - und im Rahmen der Wellenoptik genauer begrfinden -, daft das Vakuum den Brechungsindex nv~ = 1 erh~lt, sind ffir alle dielektrischen Materialien spezifische und absolute Werte festgelegt. =

In Tab. 1.1 auf S. 11 haben wir physikalische Eigenschaften einiger ausgew~hlter Gl~ser zusammengestellt. Die Brechzahl liegt ffir die meisten Gl~Lser in der N~he von ncl~ = 1, 5. Unter gewShnlichen atmosph~rischen Bedingungen variiert der Brechungsindex von Luft zwischen 1,00002 und 1,00005. Er kann daher mit nLuft = 1 ffir die Brecheigenschaften der wichtigsten optischen Grenzfl~Lche, des Glas-Luft-Ubergangs, ffir die Zwecke der Strahlenoptik hinreichend genau beschrieben werden. Geringe Abweichungen und Variationen des Brechungsindexes von Luft spielen aber bei alltaglichen optischen Ph~Lnomenen in der Atmosphere ein wichtige Rolle (s. Beispiel Luftspiegelung S. 7).

1.4.2

Totalreflexion

Nach dem Snelliusgesetz kann an einer Grenzfl~che yon einem dichteren Medium ,,1" zu einem dfinneren ,2" (nl > n2) die Bedingung Gl.(1.2) nur ffir kleinere Winkel als den kritischen Wert 8c erffillt werden, 0 < 0c -- sin -1 n2/nl

(1.3)

F fir 8 > 8~ wird die einfallende Intensit~Lt an der GrenzflAche vollst~Lndig reflektiert. Wir werden aber im Kapitel fiber Wellenoptik sehen, daft das Licht auch dann noch etwa eine Wellenl~i~lge weit mit der sogenannten ,,evaneszen-

1.5 FermatschesPrinzip

5

ten" Welle in das diinnere Medium eindringt, und daft der Spiegelpunkt nicht genau auf der Grenzfl~che liegt (Abb. 1.4). Das Auftreten der evaneszenten Welle ermSglicht die Anwendung der sogenannten ,frustrierten" Totalreflexion z.B. zum Bau von Polarisatoren (Kap. 3.7.4).

1.5 Fermatsches Prinzip: Die optische Weglfinge Solange sich Lichtstrahlen in einem homogenen Medium ausbreiten, scheinen sie dem kiirzesten geometrischen Weg von einer Quelle zu einem Punkt zu folgen und damit diesen Weg in der kiirzest mSglichen Zeit zurfickzulegen. Wenn auf dem Weg Brechung stattfindet, dann bewegt sich der Lichtstrahl aber ebenso offensichtlich nicht mehr auf dem geometrisch kiirzesten Weg.

Abb. 1.4 Totalreflexion an einer dielektrischen Fl~iche, kritischer Winkel 0r Der Reflexionspunkt der Strahlen liegt nicht genau auf, sondern etwas jenseits der Grenzfldche (Goos-Hdnchen-Effekt [62, 1~0]).

Der franzSsische Mathematiker Pierre de Fermat (1601-1665) postulierte schon 1658, daft auch in diesem Fall der Lichtstrahl noch einem M i n i m a l p r i n z i p gehorcht und sich stets auf dem zeitlich kiirzesten Weg von einer Quelle zu einem anderen Punkt ausbreitet. Zur Erl~uterung dieses Prinzips kann man sich keinen Berufeneren als den amerikanischen Physiker Richard P. Feynman (1918-1988) vorstellen, der Fermats Prinzip auch auf andere physikalische Ph~nomene verallgemeinert hat [55]. Es lafit sich an einem menschlichen Beispiel veranschaulichen: Man stelle sich vor, dab Romeo am Ufer eines gem~chlich fliefienden Stromes in einiger Entfernung seine g..rofieLiebe Julia entdeckt, die im Wasser um ihr Leben k~mpft. Er rennt ohne Uberlegung geradewegs auf das Ziel los - - und h~tte doch wertvolle Zeit sparen kSnnen, wenn er den grSfieren Teil der Strecke an Land zuriickgelegt hatte, wo man eine deutlich hShere Geschwindigkeit als im Wasser erreicht. Wir kSnnen diese 0berlegung auch etwas formaler anstellen, indem wir die ben5tigte Zeit vom Beobachtungspunkt zu der Ertrinkenden als Funktion der geometrischen Wegl~nge bestimmen. Dabei stellt man fest, daft die kfirzeste Zeit genau dann erreicht wird, wenn ein an der Wasser-Land-Grenze gebrochener Weg gew~hlt wird. Er erffillt das Brechungsgesetz Gl.(1.2) genau dann,

6

1 Lichtstrahlen

wenn wir die Brechungsindizes nl und n2 durch die inversen Geschwindigkeiten zu Wasser und zu Lande ersetzen, d.h. r/, I

V2

n2

Vl

Nach dem Minimalprinzip von Fermat mut3 man fordern: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in einem Dielektrikum c~ wird im Vergleich zur Vakuumgeschwindigkeit c um den Brechungsindex n reduziert: Cn ~ c / n

Die optische Wegldnge entlang einer Trajektorie C, auf welcher der Brechungsindex n vom Ort r abh~ingt, kSnnen wir nun ganz allgemein definieren nach Z:opt--c~

c/dsr)

_ fcn(r)d s

(1.4)

Mit dem Tangenteneinheitsvektor e~ wird das Wegelement ds = et 9 dr entlang des Lichtwegs berechnet.

Beispiel: Fermatsches Prinzip und Brechung Als ein Beispiel ffir die Verwendung des Extremalprinzips wollen wir noch einmal die Brechung an einer dielektrischen Oberfl~che betrachten und variieren dazu die L~inge des optischen Weges zwischen den Punkten A und B in Abb. 1.5 (rAo:Vektor von A nach O etc., e: Einheitsvektoren), ~opt ---- n l e l 9rAO H- n2e2 9rOB Wenn der Weg minimal sein soll, darf sich die Wegl~nge bei beliebigen kleinen Modifikationen 6r ~ nicht ~ndern, d ~ o p t ---- (nlel - n2e2) 96r' ----0

Abb. 1.5 Das Fermatsche Prinzip und Brechung an einer dielektrischen Oberfliiche.

Richtungs~nderungen treten nur bei Variatiohen 6r I entlang der Oberfl~che mit der Fl~ichennormalen N auf, 6r' ---- N x 6 r , denn ansonsten propagiert das Licht geradlinig in homogenen Umgebungen.

Wir nutzen die Vertauschbarkeit des Spatprodukts, ( n l e l - n u e 2 ) . 6r' = ( n l e l n2e2). ( N • = ((hie1- n2e2)• 6r, und finden minimale Variation fiir (nlel - n2e2) x N = 0 Wie man leicht nachrechnet, reproduziert die vektorielle Formulierung das Snellius-Gesetz (1.2).

1.5 Fermatsches Prinzip

1.5.1

7

Inhomogene Brechzahl

Der Brechungsindex eines K6rpers ist r~iumlich i. Allg. nicht homogen, sondern unterliegt kontinuierlichen, wenn auch geringen Schwankungen (wie das Material selbst), die die Ausbreitung von Lichtstrahlen beeinflussen: n = n(r). Solche Schwankungen beobachten wir z.B. im Flimmern der heii~en Luft fiber einer Flamme. Vom Ph~inomen der Luftspiegelung wissen wir gut, dab dabei wie an einer Glasoberfl~iche unter streifendem Einfall sogar Reflexion auftreten kann, obwohl der Brechungsindex zum hei~en Boden hin nur geringffigig abf~illt. Auch dieser Fall der Ausbreitung eines Lichtstrahls l~it3t sich in der Strahlenoptik mit Hilfe des Fermatschen Prinzips behandeln, indem wir wieder die Idee des Extremalprinzips verwenden. Der Beitrag eines Wegelements ds zur optischen Wegl~inge betr~igt d~opt = n d s = n e t . dr, wobei et = 5 r i d s den tangentialen Einheitsvektor der Trajektorie bezeichnet. Andererseits gilt im Einklang mit Gl.(1.4) dLopt -- V~opt" dr und man erh~ilt den Zusammenhang dr

net -- n~ss

und

---- V ~ o p t

n 2 ---- ( V ~ o p t )

2

,

der als Eikonalgleichung der Optik bekannt ist. Die wichtige Strahlengleichung der Optik erhalten wir, indem wir die Eikonalgleichung erneut nach dem Weg differenzierenI , ds \

(1.5)

ds/ = Vn

F fir homogene Materialien ( V n -- 0) reproduziert man ohne Schwierigkeiten aus (1.5) eine Geradengleichung.

Beispiel: Luftspiegelung Wir wollen als ein kurzes Beispiel die Reflexion an einer heiBen, bodennahen Luftschicht betrachten, die eine Verdfinnung der Luft und damit eine Verringerung der Brechzahl verursacht. (Ein weiteres Beispiel ist die Ausbreitung yon Lichtstrahlen in einer Gradienten-Lichtfaser, Kap. 1.7.3.) Wir nehmen in guter N~herung an, dat3 bei ruhiger Luft die Brechzahl mit dem Abstand y vom Boden zunimmt, z.B. n -- n0(1 - ee-~Y). Der Effekt ist klein, daher wird gewShnlich ~ << 1 gelten, w~hrend die Skalenlange c~ v o n d e r GrSi3enordnung 1Dabei verwenden wir --vz: ds

d/ds

= et 9 V

= (e~. v ) v z :

und im Folgenden

= I(vL. n

v)vz:

=

v(vL) ~ =

w ~

8

1 Lichtstrahlen

----1 m -1 ist. Wir b e t r a c h t e n Gl.(1.5) k o m p o n e n t e n w e i s e fiir r = (y(x),x) u n d finden ffir die x - K o o r d i n a t e m i t der K o n s t a n t e n C

dx = C

Abb. 1.6 Brechzahlprofil und Strahlengang bei einer Luftspiegelung. Dieses Ergebnis kSnnen wir als TeillSsung ffir die y - K o o r d i n a t e verwenden,

-~s n

=-~x

n

~

-~s-dx

n-

Oy

Die K o n s t a n t e kSnnen wir frei w~hlen, C -- 1, d e n n sie skaliert lediglich die xKoordinate. Wir erhalten wegen 2nOn/Oy = On2/Oy u n d n 2 -~ n2(1 - 2ce - ~ ) fiir ~ << 1:

d2y(x____))_ 1 0 n2(y ) = n2c(~e_~y dx 2 20y Diese Gleichung k a n n m i t e l e m e n t a r e n M e t h o d e n gelSst werden. Wir fiihren den Steigungswinkel r ein u n d schreiben das R e s u l t a t m i t a = ( a / 2 ) t a n r giinstig in der Form: Y = Y0 + _1 In [cosh 2(~(x - Xo)] ~(~-~o)>>1 ~ Y = Y0 + -2~ - ( x - x0) Bei grofien Abst~inden v o m Spiegelpunkt bei x = x0 finden wir wie erwartet geradlinige Ausbreitung. Der m a x i m a l e Winkel Cm~x = a r c t a n 2n/a, u n t e r welchem Reflexion noch m6glich ist, wird d u r c h ~ < noa(r 1/2 beschrankt. Der Beobachter n i m m t wie in Abb. 1.6 dargestellt zwei Bilder wahr, von denen eines auf d e m K o p f steht u n d d a m i t einem Spiegelbild entspricht. Die K r i i m m u n g der Lichtstrahlen n i m m t m i t d e m A b s t a n d v o m B o d e n schnell ab u n d wird deshalb fiir die ,,obere" S i c h t v e r b i n d u n g vernachlKssigt. Bei (x0,Y0) k a n n ein ,,virtueller" Spiegelpunkt definiert werden.

1.6 Prismen

1.g

Prismen

Abb. 1.7 Reflexions- oder 90~

Dieses Prisma wird zur rechtwinkligen Strahlablenkung verwendet. Es kann auch zur Konstruktion eines Retroreflektors verwendet werden, durch dessen Verschiebung eine einfache optische VerzSgerungsstrecke mit A t = 2 A i / c realisiert wird.

Die technisch wichtige rechtwinklige Reflexion wird bei Spiegelung unter einem Einfallswinkel von 0i -- 45 ~ erreicht. Dieser liegt ffir gewShnliche Gl~ser (n -~ 1,5) schon fiber d e m Winkel der Totalreflexion 0c -- sin -1 (1/1, 5) -- 42 ~ GlasPrismen sind deshalb h~iufig verwendete, einfache optische Elemente, die zur Strahlsteuerung verwendet werden. Kompliziertere Prismen werden in zahlreichen Varianten ffir Mehrfachreflexionen realisiert, bei denen sie wegen der geringeren Verluste u n d der k o m p a k t e n u n d robusten Bauform gegenfiber den entsprechenden Spiegelkombinationen Vorteile aufweisen. Zu den h~ufig b e n u t z t e n Bauformen z~hlen das Porro-Prisma u n d der Retroreflektor aus Abb. 1.8 (andere Bezeichnungen sind ,,Katzenauge" oder ,,Tripelspiegel" u n d engl. c o r n e r cube reflector). Das Porro-Prisma u n d seine Varianten werden zum Beispiel in Ferngl~sern verwendet, u m aufrechte Bilder zu erzeugen. Der Retroreflektor spielt eine wichtige Rolle nicht nur in der optischen LangenmeBtechnik u n d Interferometrie, sondern verhilft - in Kunststoff gegossen - auch den Sicherheitsreflektoren an Fahrzeugen zu ihrer Funktion.

Abb. 1.8 Das Porro-Prisma wird aus zwei rechtwinkligen Prismen kombiniert, mit dehen die Bildebene eines Objekts so rotiert wird, daft man in Kombination mit einer Linsenabbildung ein aufrechtes Bild erhdIt. Der Retroreflektor wirft jeden Lichtstrahl unabhdngig yon seinem Einfallswinkel parallel verschoben zu~ick.

In einem zylindrischen Glasstab (Abb. 1.11) wird ein Lichtstrahl immer wieder an der Grenzfl~iche in das Innere zurfick gelenkt, ohne seinen Laufwinkel relativ zur Stabachse zu ~ndern.

i0

1 Lichtstrahlen

Solche Glasstiibe werden z.B. benutzt, um das Licht einer Strahlungsquelle an einen Photodetektor heranzuffihren. In miniaturisierter Form finden sie als Lichtwellenleiter Anwendung in der optischen Kommunikationstechnik. Ihre Eigenschaften werden im Kapitel Strahlenausbreitung in Wellenleitern (1.7) und spiiter in der Wellenoptik (3.3) genauer beschrieben.

1.6.1

Dispersion

Prismen haben eine historische Rolle bei der spektralen Zerlegung des weifien Lichtes in seine Bestandteile gespielt. Der Brechungsindex und damit der Ablenkwinkel 6 in Abb. 1.9 ist niimlich abhiingig yon der Wellenliinge, n -- n(A), so daft Strahlen verschiedener Farbe mit unterschiedlichen Winkeln abgelenkt werden. Bei normaler Dispersion werden blaue stiirker als rote Wellenliingen

A b b . 1.9 Brechung und Dispersion am symmetrischen Prisma. Aus dem Minimalwinkel der Ablenkung 6 = 5rain kann man den Brechungsindex n auf einfache Art und Weise bestimmen.

gebrochen, n(Abmau) > n()~rot). Brechzahl und Dispersion sind sehr wichtige technische Gr6fien bei der Anwendung optischer Materialien. Die Brechzahl ist in den Unterlagen der Hersteller fiir verschiedene Wellenlangen tabelliert, und es werden (zahlreiche verschiedene) empirische Formeln fiir ihre Abhiingigkeit v o n d e r Wellenl~nge verwendet. Die Konstanten aus Tab. 1.1 gelten ffir die Formel

BIA2 B2A2 B3A2 n 2 = 1 + A2 _ C-----~+ A 2 ~ + A2~

(A in #m)

(1.6)

Durch geometrische LIberlegungen findet man, daft der Ablenkungswinkel 6 in Abb. 1.9 aufier vom Einfallswinkel 0 nur vom (]ffnungswinkel a des symmetrischen Prismas und natfirlich seinem Brechungsindex n abhiingt,

6

---- 0 - a + arcsin (sin (a~/n 2 - sin 20) - cos a sin 0)

6min

=

2 0 s y m m - - OZ

Der minimale Ablenkwinkel 6mi~ wird beim symmetrischen Durchgang durch das Prisma erreicht (0 = 0~ymm) und ermSglicht eine pr~zise Bestimmung der

1.6 Prismen

11

Tab. 1.10ptische Eigenschaften ausgewghlter Gliiser Kurzname

BK7

SFll

LaSF N9

Name Abbe-Zahl A

Borkron 64,17

Brechzahl n bei X= 486, lnm ), = 587, 6nm -- 656, 3nm

ausgew/ihlten Wellenl/ingen 1,5224 1,8065 1,8690 1.5168 1.7847 1.8503 1,5143 1,7760 1,8426

Schwerflint 25,76 32,17

Dispersionskonstanten der Brechzahl nach Gl.(1.6) 1, 0396 1, 7385 1, 9789 B1 0, 2379 0,3112 0, 3204 B2 1,0105 1, 1749 1, 9290 B3 0, 0136 0,0119 0, 0060 C1 0, 0200 0, 0616 0, 0528 C2 103, 56 121,92 166, 26 C3

BaK 1

F 2

Barytkron 57,55

Flint 36,37

1,5794 1.5725 1,5695

1,6321 1.6200 1,6150

1, 1237 0, 3093 0, 8815 0, 0064 0, 0222 107, 30

1, 3453 0, 2091 0, 9374 0, 0100 0, 0470 111,89

Dichte p (g/cm -3)

II

2'5114'7414'441

3,19

I

3,61

I

8,2

Ausdehnungskoeffizient 5g./f (-30 C bis 4-70 C) x l06 (K -1)

II

7,116,117,41

7,6

Spannungsdoppelbrechung: typ. 10 nm/cm Homogenit~it der Brechzahl von Schmelze zu Schmelze: 5n/n = 4-1 x 10-4 Brechzahl. Das Endergebnis driickt m a n vorteilhaft durch die Met3grSgen a u n d 6min aus, n~

sin [(a + 5rain)/2]

sin

Ffir eine quantitative Abseh/~tzung des Dispersionsverm6gens K yon Gl~sern b e n u t z t m a n gerne die Abbe-Zahl A. Sie setzt den Breehungsindex bei einer gelben Wellenl/inge (bei A = 587, 6 nm, der D-Linie yon Helium) ins Verh/iltnis zur Brechzahl~nderung, die dureh die Differenz der Brechzahlen bei einer blauen (~ = 486, 1 nm, Fraunhofer-Linie F yon Wasserstoff) u n d einer roten ()~ -- 656, 3 nm, Praunhofer-Linie C yon Wasserstoff) gesch/itzt wird,

A= K_I_

riD--1 •F

-- nC

D a n a c h b e d e u t e t eine groge Abbe-Zahl geringe Dispersion, eine kleine AbbeZahl starke Dispersion. Die Abbe-Zahl ist auch bei der K o r r e k t u r von Farbfehlern (chromatischen Fehlern) wichtig (s. g a p . 4.5.3).

12

1 Lichtstrahlen

Die Brechzahl beschreibt die Wechselwirkung von Licht und Materie, und wir werden noch sehen, da~ sie eine komplexe GrSt]e ist und nicht nur die Dispersions-, sondern auch die Absorptionseigenschaften beschreibt. Es ist darfiberhinaus Aufgabe einer mikroskopischen Beschreibung der Materie, die dynamische Polarisierbarkeit zu bestimmen und auf diesem Weg den Zusammenhang mit der makroskopischen Beschreibung herzustellen.

1.7

Lichtstrahlen in Glasfasern Die 0bermittlung von Nachrichten mittels Lichtzeichen ist eine sehr naheliegende und schon sehr lange verwendete Methode. Zum Beispiel wurden im 19. Jahrhundert mechanische Zeiger auf hohen Tfirmen montiert und per Fernrohr abgelesen, um 0bertragungsstrecken von vielen Hundert km zu realisieren. Grunds~tzlich wird die Freiluft-0bertragung auch heute mit Laserlichtquellen eingesetzt. Sie ist aber in der Atmosph~ire selbst auf kurzen Distanzen immer durch deren Streuverluste beeintr~ichtigt, denn Turbulenzen, Staub und Regen k6nnen die Ausbreitung eines freien Laserstrahls schnell behindern.

Schon seit langem gibt es Ideen zur Ffihrung von optischen Wellen. Zum Beispiel Abb. 1.10 Station Nr. 51 an der optisch- hat man zun~chst in Anlehnung an die mechanischen Licht-Meldestrecke Berlin- Mikrowellentechnik Hohlrohre aus KupKSln-Koblenz auf dem Turin der KSlner fer eingesetzt, deren D~mpfung aber zu Kirche St. Pantaleon. Gem5Ide yon Weihoch ist, um eine 0bertragung fiber grSt3eger 1840. re Strecken zu erlauben. Sparer wurden zum gleichen Zweck periodische Linsensysteme verwendet, deren Einsatz aber ebenfalls an den groBen Verlusten und an der geringen mechanischen Flexibilit~t scheiterte. Den entscheidenden Durchbruch erlebte die ,optische Nachrichtenfibertragung" mit der Entwicklung verlustarmer G l a s f a s e r n , die nichts anderes sind als Elemente zur Ffihrung von Lichtstrahlen. Sie k6nnen verlegt werden wie elektrische Kabel, vorausgesetzt, da~ es geeignete Sende- und Empfangsger~te gibt.

1.7 Lichtstrahlenin Glasfasern

13

Mit Uberseekabeln lassen sich deutlich kiirzere Signallaufzeiten und damit ein hSherer Komfort bei Telefongespriichen als mit geostation~en Satelliten realisieren, bei denen zwischen Frage und Antwort stets eine unangenehme und hemmende Pause liegt. Die Ausbreitung von Lichtstrahlen in dielektrischen Wellenleitern ist daher ein wichtiges Kapitel der modernen Optik. Einige Grundziige lassen sich schon mit den Mitteln der Strahlenoptik verstehen.

1.7.1

Strahlenoptik in Wellenleitern

Die Totalreflexion an einem optisch dichteren Medium stellt das fundamentale physikalisehe Phiinomen zur Verffigung, um Liehtstrahlen in einem dielektrischen Medium zu ffihren. Danach werden zum Beispiel in homogenen Glaszylindern diejenigen Strahlen yon einem Ende zum anderen Ende gefiihrt, deren Winkel mit der Zylinderachse kleiner bleibt als der Winkel der Totalreflexion 0c. Die Fiihrung der Lichtstrahlen wird in einem homogenen massiven Glaszylinder durch jede StSrung der Oberfl~che behindert, und ein Schutzmantel wfirde die Totalreflexion sogar unterdriicken, Daher sind mehrere Konzepte

Abb. 1.11 Brechzahlprofile und Strahlfiihrung in optischen WeUenleiter: Oben: Wellenleiter mit homogenet Brechzahl; Mitre: Mit Stufenprofil der Brechzahl (Stufenfaser); Unten: Mit kontinuierlichem Brechzahlprofil (Gradientenfaser).

entwickelt worden, bei denen die Lichtwellen durch Brechzahlvariationen im Zentrum eines Wellenleiters gefiihrt werden. Diese Wellenleiter kSnnen mit einer Kabelumhiillung versehen werden und iihnlich wie elektrische Kabel verlegt werden. Wir werden die beiden wichtigsten Typen vorstellen, wobei die Stufen-IndexFaser aus zwei homogenen Zylindern mit unterschiedlicher Brechzahl besteht (Abb. 1.11). Um Strahlfiihrung zu erreichen, mut] die hShere Brechzahl im Mantel liegen. Gradientenfasern mit kontinuierlich ver~nderlichem, in guter Niiherung parabolischem Brechzahl-Profil sind aufwendiger herzustellen, besitzen aber technische Vorteile wie zum Beispiel eine geringe Gruppengeschwindigkeitsdispersion.

14

1 Licbtstrahlen

Exkurs: Herstellung

von Glasfasern

Abb. 1.12 Herstellung yon Glasfasern. Die Vorform wird aus geeigneten Materialien mit ausgewdhlter Brechzahl hergestellt, die auf der Innenwand eines Quarzrohrs dutch chemische Reaktionen abgeschieden werden. Als Ausgangsmaterial wird ein handelsiibliches Rohr aus Quarzglas verwendet. Es rotiert auf einer Drehbank und wird innen von einem Gasgemisch (Chloride wie hochreines SIC14, GeC14 u.a.) durchstr6mt. Ein Knallgasbrenner erhitzt eine kleine Zone von wenigen Zentimetern auf ca. 1600~ C, in welcher die gewiinschten Materialien als Oxide auf der Innenwand abgeschieden werden (Abscheidung aus der Gasphase, engl. chemical vapour deposition, CVD). Durch vielfaches Verfahren wird so das Brechzahlprofil aufgebaut, bevor das Rohr bei ca. 2000~ C zu einem massiven Glasstab von ca. 10 mm Durchmesser verschmolzen wird, der als Vorform bezeichnet wird. Im letzten Schritt extrahiert eine Faserziehmaschine aus einem Tiegel mit z~ihflfissigemMaterial die Faser. Handelstibliche Querschnitte sind 50 und 125 #m, die zum Schutz und zur besseren Handhabung noch mit einem Mantel umgeben werden.

1.7.2

Stufenfasern Das Prinzip der Totalreflexion wird in S t u f e n f a s e r n (Abb. 1.13) angewendet, die aus einem K e r n m i t Brechungsindex n l u n d einem M a n t e l mit n2 < n l bestehen (im Englischen step i n d e x fibre, core u n d cladding). Allerdings betr~gt der relative Brechzahlunterschied

Abb. 1.13 Der Grenzwinkel aG in der Stufenfaser wird durch den kritischen Winkel der Totalreflexion an der Grenze yon Kern und Mantel bestimmt.

A - n l - n2 nl

(1.7)

nur 1-2 %, u n d die Lichtstrahlen werden nur gefiihrt, wenn der Winkel a zur Faserachse flach genug ist, kleiner als der Winkel a a , der die B e d i n g u n g fiir die Totalreflexion gerade erfiillt. Z u m Beispiel findet m a n fiir Quarzfasern (n2 = 1,45 @ A = 1,55 #m), deren Kernbrechzahl durch G e O 2 - D o t i e r u n g auf n l = n2 + 0,015 erhSht worden ist, nach 0c -- s i n - 1 ( n 2 / n l ) den kritischen Winkel 0c -- 81, 8 ~ Der komplement~ire Strahlenwinkel relativ zur Faserachse, OLG = 9 0 ~ wird wegen n 2 / n l -- 1 - A

1.7 Lichtstrahlen in Glasfasern

15

n~iherungsweise durch --- s i n

-----

(1.8)

in Relation zu A gesetzt und ffir diesen Fall auf a _< 8, 2 ~ begrenzt. Wenn die Lichtstrahlen die Achse einer Faser schneiden, findet die Ausbreitung in der Schnittebene statt, die als meridionale Ebene bezeichnet wird. Schiefe Strahlen (engl. skewed rays) laufen an der Achse vorbei und werden auf einem Polygon im Kreis herumgefiihrt. Man kann zeigen, dai~ auch schiefe Strahlen mit der z-Achse einen Winkel a < ac einschliefien mfissen, um durch Totalreflexion geffihrt zu werden.

Numerische Apertur einer Faser Um einen Lichtstrahl in einer Faser zu ffihren, muff der Einfallswinkel bei der Einkopplung genfigend klein gew~ihlt werden. Der maximale (~ffnungswinkel ~A des Akzeptanzkegels (Abb. 1.13) kann nach dem Brechungsgesetz ermittelt werden, NA -- sin0A ----nl eos0c ---- (n~ -- n~) 1/2 ~-- nl ~

(1.9)

Der Sinus des Offnungswinkels wird als Numerische A p e r t u r NA bezeichnet und kann wegen (1.8) auch nach NA -~ nlx/~A abgesch~itzt werden. Ffir die schon oben erw~ihnte Quarzfaser erh~ilt man z.B. NA = 0, 21, einen trotz des geringen Brechzahlunterschiedes brauchbaren, durchaus typischen Wert ffir optische Standardfasern.

Ausbreit ungsgeschwindigkeit In der Strahlrichtung breitet sich das Licht im Faserkern mit der Geschwindigkeit v0 -- c / n l aus. Entlang der z-Achse aber breitet sich der Strahl mit einer reduzierten Geschwindigkeit aus,

(vz) = ( c / n l ) e o s a In Kapitel 3.3 fiber die Wellentheorie der Lichtpropagation in Fasern werden wir sehen, daft die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Propagationskonstante und der Phasengeschwindigkeit zusammenh~ingt. In der Nachrichtentechnik ist es wichtig, digitale Nachrichten, also Pulssequenzen zu fibertragen, und am Empf~ialger mfissen die Lichtpulse natfirlich noch erkennbar sein. In der Glasfaser werden vielleicht schon bei der Einkopplung, sp~itestens an jeder Krfimmung auch schiefe Strahlen erzeugt, die je nach Einfallswinkel a verschieden schnell entlang der Faser laufen und den Lichtpuls zerfliefien lassen. In der Wellentheorie wird dieser Effekt, der die Frequenzbandbreite von Glasfasern begrenzt, als Modendispersion bezeichnet.

16

1.7.3

1 Lichtstrahlen

Gradientenfasern

Strahlfiihrung kann man auch in einer Gradientenfaser (engl. gradient index fibre, GRIN) erreichen, wobei der quadratischen Variation der Brechzahl besondere Bedeutung zukommt. Um die Krfimmung eines Lichtstrahls durch das Brechzahlprofil zu bestimmen, verwenden wir die Strahlengleichung (1.5). Sie wird in paraxialer N~herung (ds ~- dz) und ffir die zylindrisch symmetrische Faser stark vereinfacht, d2r 1 dn dz 2 n dr" Ein parabolisches Brechzahlprofil mit der Brechzahldifferenz A = (nl--n2)/nl, r~(r __~ a ) ---- /~1

]- -- /~

und

n(r

>

a)

= T~2

(1.lO)

ffillt vom Maximalwert nl bei r -- 0 auf n2 bei r ---- a ab. Man erh~ilt die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators, d2r 2A dz 2 + 62 r 0 und erkennt sofort, dai~ der Lichtstrahl Pendel-Bewegungen um die z-Achse ausfiihrt, r(z) = rosin (27rz/A) ,

(1.11)

mit der Periodenl~inge A = 2 7 c / K = 2~ra/V~-A .

(1.12)

Die maximal zul~sige Auslenkung betr~gt r0 = a, denn sonst verliert der Strahl seine Fiihrung. Dabei tritt auch der gr6fite Laufwinkel a a = ~ beim Aehsendurehgang auf. Er ist mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion in der Stufenfaser (G1. 1.8) identisch und hat auch den gleichen Zusammenhang mit der numerischen Apertur (G1. 1.9) zur Folge.

Beispiel: Propagationsgeschwindigkeit in der Stufenfaser Der Lichtstrahl ben6tigt ffir die Ausbreitung entlang der Faser ffir eine Periodenl~nge nach (1.11) die Zeit T ----

/0

dt' --

/0

dz/vz(z) .

Die Geschwindigkeit h~ingt vom Brechzahlprofil (G1.1.10) ab, v(z) = c/n(r(z)). Die z-Komponente wird nach vz(z) = v ( z ) / r + r'(z) 2 berechnet, so daft man T berechnet nach T = [ h ~ ( 1 -- A(ro/a)2 sin 2 g z ) ( 1 + 2A(ro/a)2 cos 2 g z ) l / 2 d z . Jo

c

1.8 Linsen und Hohlspiegel

17

Die Beitr~ige der oszillierenden Faktoren sind sehr klein wegen A ( r o / a ) 2 << 1, daher kSnnen wir entwickeln T--

fjrlA- ~ ( 1 - A ~ 2r2sin2 K z ) ( I + Ara2COS2 K z + . . nlh__ ( - A a~r2 c L 2~.1 ~ sin2 x +

Ar~ a2 c~

x +

I~dZ

O(A2(r~

und erhalten nach elementarer Integration das bemerkenswerte Ergebnis T ,.~ n l A / c

:

die Propagationsgeschwindigkeit h~ngt in der Gradientenfaser anders als in der Stufenfaser gar nicht vom Laufwinkel ab, jedenfalls bis zur Ordnung A 2(ro/a) a. Insbesondere wird auch ein parallel einfallendes Strahlenbiindel nach der L~nge A/4 in einem Punkt fokussiert. Kurze Faserstiicke mit dieser L~inge werden als Linsen verwendet, sie heifien GRIN-Linsen . Wie wir noch sehen werden, spielt die geringe Abh~ingigkeit vom Laufwinkel eine wichtige Rolle bei der Signalausbreitung in Glasfasern (s. Kap. 3.3).

1.8

Linsen und Hohlspiegel

Die Entstehung eines Bildes nimmt in der Optik eine zentrale Stellung ein, und Linsen und Hohlspiegel sind unverzichtbare Bauteile optischer Ger~te. Wir befassen uns zun~chst nur mit der Wirkung dieser Komponenten auf optische Strahleng~nge, der Bildentstehung haben wir wegen ihrer grofien Bedeutung ein eigenes Kapitel (4) gewidmet.

1.8.1

Linsen

Unter einer idealen Linse wollen wir ein optisches Element verstehen, das alle Strahlen einer punktfSrmigen Quelle wieder in einem Punkt vereinigt. Eine Abbildung, bei der alle mSglichen Gegenstandspunkte in Bildpunkte iiberfiihrt werden, bezeichnen wir als stigmatische Abbildung (von griech. Stigma, Punkt). Die Quelle kann auch sehr welt entfernt liegen und die Linse mit einem parallelen Strahlenbiindel ausleuchten. In diesem Fall soll der Vereinigungspunkt B r e n n p u n k t heiBen. Wir betrachten das Biindel paralleler Strahlen in Abb. 1.14, das die Linse trifft und im Brennpunkt vereinigt wird. Nach dem Fermatschen Prinzip muff die optische Wegl~nge fiir alle mSglichen Wege gleich sein, das heiBt unabh~ngig vom Abstand eines Teilstrahls zur Achse. Dann mug

18

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.14 Oben: Stigmatische Linsenabbildung. Alle Strahlen, die yon einem Objektpunkt P ausgehen, werden in einem Bildpunkt P~ wieder vereinigt. Die Lichtstrahlen werden durch den dickeren LinsenkSrper nahe der Achse stdrker verzSgert als in den Randbereichen, so daft aUe Strahlen zum Bildpunkt den gleichen optischen Weg zuriicklegen. Die Linse ist als eine Kombination yon mehreren Prismen vorgesteUt. Unten: Ein paralleles Strahlenbiischel stammt aus einer unendlich welt entfernten Quelle und wird im Brennpunkt f fokussiert.

die Lichtausbreitung auf der Symmetrieachse der Linse am st~rksten und zum Rand der Linse hin immer weniger verz6gert werden! Ffir eine vereinfachte Analyse vernachl~ssigen wir die Dicke des LinsenkSrpers, betrachten die geometrische Zunahme der Wegl~nge yon der Linse zum Brennpunkt im Abstand fund entwickeln ffir achsnahe Strahlen nach der Abh~ingigkeit vom Achsabstand r,

e(r) = v / p +

__

f

1+

.

(1.1a)

Um das quadratische Anwachsen der optischen Wegl~nge l(r) zu kompensieren, muff die VerzSgerung durch den Weg im Linsenglas - und damit dessen Dicke - ebenfalls quadratisch variieren. Das aber ist genau die Bedingung ffir die Kugelflachen, die sich ffir Sammellinsen als auflerordentlich erfolgreich erwiesen haben! Auf dasselbe Ergebnis stSfit man mit sehr viel mehr rechnerischem Aufwand, wenn man die Brechungseigenschaften an der Linsenoberfl~iche untersucht und sich vorstellt, daft eine Linse aus vielen dfinnen Prismen zusammen gesetzt ist (Abb. 1.14).

Die Frage, nach welchen Kriterien man eine plankonvexe oder eine bikonvexe Linse ausw~ihlt, werden wir im Kapitel fiber Bildfehler behandeln.

1.8 Linsen und Hohlspiegel

1.8.2

19

Hohlspiegel

Unter den gekrfimmten Spiegeln spielen die Hohl- oder Parabolspiegel die wichtigste Rolle. Sie sind von den groBen astronomischen Teleskopen (s. Kap. 4) sehr bekannt, weil wir mit ihrer Hilfe tief in die faszinierende Welt des Kosmos eingedrungen sind. Noch viel h~iufiger finden sie aber in Laser-Resonatoren Anwendung (Kap. 5.6). Wir kSnnen die Verh~iltnisse der ebenen Reflexion auf die gekriimmten Spiegelfl~ichen iibertragen, wenn wir im Aufpunkt die Tangentialebene beriicksichtigen. Hohlspiegel besitzen meistens axiale Symmetrie, und die Wirkung auf ein paralleles Strahlenbiindel in einer Schnittebene veranschaulicht Abb. 1.15: Die reflektierten Teilstrahlen treffen sich wie bei der Linse im Brennpunkt oder Fokus auf der Spiegelachse. Es ist aus der Geometrie bekannt, dab dann die Reflexionspunkte auf einer Parabel liegen mfissen. In der Achsenn~ihe kSnnen Parabolspiegel in guter N~iherung durch sph~rische Spiegel ersetzt werden, deren Herstellung sehr viel einfacher ist. In Abb. 1.16 sind links die geometrischen Elemente dargestellt, aus welchen man die Abh~ingig- Abb. 1.15 Strahlengang am Hohlspiekeit der Brennweite f (hier durch den gel. Bei achsnahem Lichteinfall werden Schnittpunkt mit der optischen Achse sph~rische Spiegel verwendet. definiert) vom Achsenabstand Y0 eines parallel einfallenden Strahl berechnet,

2 cos ~

2

2

+""

)

Im allgemeinen vernachl~issigen wir die quadratische Korrektur, die einen (~ffnungsfehler verursacht, der in Kap. 4.5.2 n~iher untersucht wird. Im Laserresonator tritt h~iufig die Situation auf, dab der sph~irische Spiegel zugleich als Umlenkspiegel benutzt wird, zum Beispiel im ,,Bowtie-Resonator" aus Abb. 7.33. Dann wird die Brennweite von Strahlen in der Strahlebene (fx) und von derjenigen senkrecht dazu (fy) von f0 = R / 2 abweichen, R f0 - - - - fx - 2 cos ~ cos a

und

R cos f y - - 2

-f0cosc~

20

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.16 Fokussierung eines parallel (links) und schief (mitte: Draufsich# rechts: Seiten-

ansicht) zur optischen Achse einfallenden Strahlenbiindels.

Die geometrischen Verh~Itnisse in der Draufsicht (Abb. I. 16 Mitre) sind leicht einzusehen. In der Seitenansicht betrachtet man die Projektion auf eine Ebene senkrecht zur Ausfallsrichtung. Die Projektion von Radius und Brennweite ist dort auf R cos c~ bzw. f cos c~ verkiirzt. Die hier auftretende Differenz zwischen den beiden Ebenen wird als astigmatischer Fehler bezeichnet und kann manchmal durch einfache Mittel (s. Beispiel S. 173) kompensiert werden.

1.9

Matrizenoptik

Wegen der geradlinigen Ausbreitung l~ifitsich ein freier Lichtstrahl rechnerisch wie eine Gerade behandeln. In der Optik sind Systeme mit axialer Symmetrie besonders wichtig, und der einzelne Lichtstrahl wird dann dutch den Abstand und die Steigung relativ zur Achse vollst~indig beschrieben (Abb. 1.17). Wenn das System nicht rotationssymmetrisch ist, zum Beispiel nach dem Durchgang durch eine Zylinderlinse, dann kSnnen wit mit derselben Methode zwei unabh~ingige Anteile in x- und y-Richtung betrachten. Die Modifikation der Strahlrichtung durch optisehe Komponenten -- Spiegel, Linsen, dielektrische Fl~ichen -- wird bei der Brechung durch einen trigonometrischen und daher nicht immer ganz einfachen Zusammenhang beschrieben. Ffir achsnahe Strahlen kann man diese Funktionen h~iufig linearisieren und damit die rechnerische Behandlung enorm vereinfachen. Das wird zum Beispiel bei der linearisierten Form des Brechungsgesetzes (1.2) deutlich: n101 = n202

(1.14)

Diesen Umstand haben wir uns schon bei der Anwendung des Fermatschen Prinzips auf eine ideale Linse zunutze gemacht. Achsnahe Strahlen erlauben auch den Gebrauch yon Kugelfl~ichen fiir Linsen, die erheblich einfacher herzustellen sind als die mathematischen Idealfl~ichen. Dariiber hinaus sind die Idealsysteme i. Allg. nur ffir ausgew~ihlte Strahlensysteme ,,ideal", leiden ansonsten wie andere Systeme an Bildfehlern.

1.9 Matrizenoptik

21

Weil wir die Modifikation eines Lichtstrahls durch optische Elemente in dieser N~herung durch lineare Transformationen angeben kSnnen, sind Matrizen ein bequemes mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung der fundamentalen Eigenschaften optischer Systeme. Die Entwicklung dieser Methode hat zu dem Begriff Matrizenoptik gefiihrt. Die Transformationsmatrizen lassen sich fiir die Strahlenoptik sehr anschaulich einfiihren. Entscheidende Bedeutung haben sie aber erlangt, weil sich ihre Form fiir die Behandlung achsnaher Strahlen nach der Wellenoptik (s. Kap. 2.3.2 ) nicht ~ndert! Dariiber hinaus ist der Formalismus auch fiir andere Formen der Optik wie ,,Elektronenoptik" oder noch allgemeiner ,,Teilchenoptik" verwendbar.

1.9.1

Die Paraxiale N~iherung

Wir betrachten die Propagation eines Lichtstrahls unter einem kleinen Winkel c~ zur z-Achse. Der Strahl wird durch den Abstand r v o n d e r z-Achse und die Steigung r r = tan a vollst~ndig bestimmt. In der sogenannten paraxialen Ngherung linearisieren wir nun den Tangens des Winkels, ersetzen ihn durch sein Argument, r r _~ a, und fassen r und r ~ zu einem Vektor r = (r, ~) zusammen. Ein Lichtstrahl besitze zu Beginn Achsenabstand und Steigung rl = (rl, ~1). Wenn er entlang der z-Achse die Strecke d zuriickgelegt hat, dann gilt r2

:

rl + a i d

Ol2

:

OL1

Man verwendet 2x2-Matrizen, um die Translation fibersichtlich zu schreiben,

Abb. 1.17 K e n n g r S f l e n eines optischen

r2=Trl=

0 1

rl.

(1.15)

Strahls

bei

der

einfachen

Translation.

Etwas komplizierter ist die Modifikation durch eine brechende optische Flgche. Da~u betrachten wir die Situation yon Abb. 1.18 a), in der zwei optisehe Medien mit Brechungsindizes nl und n2 durch eine kugelf6rmige Grenzfl/iche mit Radius R voneinander getrennt sind. Wenn der Radiusvektor mit der z-Aehse den Winkel r bildet, dann f~llt der Liehtstrahl offenbar unter dem Winkel 01 = O~1 -~- q~ auf die Grenzfl~ehe und ist mit dem Ausfallswinkel 02 = c~2 + r durch das Brechungsgesetz verknfipft. In der paraxialen N~herung gilt naeh Gl.(1.2) nlO1 ~- n202 und r _~ r l / R sowie an der Grenzflache rl = r2, so daft man schliefilich erhalt:

n1(o1§ n2(o2§

22

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.18 Modifikation

eines Lichtstrahls an gekriimmten brechenden Fliichen.

Die linearisierten Beziehungen lassen sich mit der Brechungsmatrix B leicht angeben, (r2)(~2 = B ( )C~l rl = ( nlTt2__/~--I n2 ~22n~0)()c~1 rl

1.9.2

(1.16)

ABCD-Matrizen

Die wichtigsten optischen Elemente kann man durch ihre auch als M a t r i z e n bezeichnete Transformationen angeben,

( . .~)

~.) (rl) ~

=

ABCD-

,11 ,

die wir zu Nachschlagezweeken in Tab. 1.2 auf S. 23 gesammelt haben und im Folgenden noch n~her vorgestellt werden. Die Wirkung einer Linse auf einen Lichtstrahl ist nach Abb. 1.18 b) durch eine Brechung B beim Eintritt, eine Translation T i m Glas und eine weitere Brechung B / beim Austritt charakterisiert. Die Matrizenmethode entfaltet nun ihre St~irke, weil wir die Wirkung der Linse als Produkt L -- BITB der drei Operationen einfach ausrechnen kSnnen,

~

,11 ,

Bevor wir die Linse und andere Beispiele n/~her untersuchen, miissen wir noeh einige Konventionen festlegen, die in der Matrizenoptik iiblicherweise verwendet werden: 9 1: Die Strahlrichtung 1/iuft yon links nach rechts in positiver Richtung der z-Achse.

1.9 Matrizenoptik

23

9 2: Der Radius einer konvexen Fl~iche ist positiv, R > 0, derjenige einer konkaven Fl~iche negativ, R < 0.

9 3: Die Steigung ist positiv, wenn sich der Strahl von der Achse entfernt, negativ, wenn er sich darauf zubewegt. 9 4: Eine Gegenstands- oder Bildweite ist positiv (negativ), wenn sie vor (hinter) dem abbildenden Element liegt.

9 5: GegenstandsgrSfien werden oberhalb (unterhalb) der z - A c h s e positiv (negativ) gez~ihlt.

9 6: Reflektive Optik wird behandelt, indem der Strahlengang nach jedem Element umgeklappt wird. Tab. 1.2 W i c h t i g e A B C D - M a t r i z e n

24

1.9.3

1

Lichtstrahlen

Linsen in Luft

Wir rechnen nun die Linsenmatrix L explizit nach Gl.(1.18) aus und beriicksichtigen den Brechungsindex nLua = 1 in Gl.(1.14) und (1.16): ( ( l n - l n~ ( ) L--

1 _ 1 _ ~ ~

(n-l)

nd

n--l) RR'n

l+n--1 n

) d -~

Der Ausdruck macht zun~ichst einen komplizierten und wenig niitzlichen Eindruck. Er erlaubt uns zwar die Behandlung auch sehr dicker Linsen, am wichtigsten sind aber die fiberwiegend verwendeten diinnen Linsen, deren Dicke d klein ist gegen die Kriimmungsradien R, R ~ der Oberfl~ichen. Mit d/R, d / R ~<< 1 oder durch direkte Multiplikation B~B erhalten wir die viel einfachere Form L--

(

(n-l)

~ 1

-

und fiihren mit D die Brechkraft der Linse ein, :D -- - ( n -

1) ( R '

(1.19)

R)

Die ABCD-Matrix fiir diinne Linsen lautet dann sehr einfach

1 o)

-

1

-1/f

(1.20)

1

wobei das Vorzeichen so gew~ihlt wurde, daft Sammellinsen eine positive Brechkraft besitzen. Die Brechkraft ist identisch mit der inversen Brennweite, 7) -1/f. Die Brechkraft 7) wird in Dioptrien (1 dpt -- 1 m -1) gemessen.

Abb. 1.19 Punktabbildung mit einer Linse.

Um die Interpretation von Gl.(1.20) zu untermauern, betrachten wir ein Strahlenbiindel, das von einer Punktlichtquelle G auf der z-Achse (Abb. 1.19) stammt. Ein solches Strahlenbfindel kann im Abstand g von der Quelle nach

o( )1

,1 1,

besehrieben werden. Wir berechnen die Wirkung der Linse in der Form a

=a

1 -g/f

=

.

(1.22)

1.9 Matrizenoptik

25

Die Linse transformiert das einfallende Strahlenbiindel in ein neues Biindel, das wieder die Form (1.21) besitzt. Es konvergiert fiir a ' < 0 zur Achse, schneidet sie im Abstand b > 0 (Regel 4!) hinter der Linse und erzeugt dort ein Bild der Punktquelle. Wenn b < 0 gilt, dann liegt das virtuelle Bild der Punktquelle vor der Linse und die Linse besitzt die Eigenschaften einer Zerstreuungslinse. Durch Koeffizientenvergleich kSnnen wir aus G1. (1.22) den Zusammenhang von Gegenstandsweite g und Bildweite b bei der Linsenabbildung gewinnen: 1

--

1

+

1

(1.23)

Diese Gleichung ist die bekannte Grundlage ffir optische Abbildungen. Wir kommen auf das T h e m a in Kap. 4 ausfiihrlicher zurfick.

Beispiel: A B C D - M a t r i x eines abbildenden S y s t e m s Ffir eine Abbildung durch ein allgemeines ABCD-System wird gefordert, dab in einem bestimmten Abstand d -- g + b ein Strahlenbiischel (rl, oL1) wieder in einem Ort vereinigt wird:

(r2) (1 b)(A a2

0 1

C

D

0 1

ai

Ffir die stigmatische Abbildung muB r2 dort von a i unabh~ngig sein, und man erh~ilt durch Nachrechnen die Bedingung b D + g A + b g C + B -- 0, die fiir B -- 0 durch geeignete Wahl von g und b erfiillt werden kann, falls auch z.B. C < 0. Damit erh~lt die ABCD-Matrix genau die Form, die wir von den Linsen und Linsensystemen schon kennen.

1.9.4

Linsensysteme

Die Matrizenmethode erlaubt es, auch die Wirkung eines Systems aus zwei verschiedenen Linsen mit Brennweiten fl und f2 im Abstand d zu untersuchen. Wir multiplizieren die ABCD-Matrizen nach G1. (1.20) und (1.14) und erhalten die Matrix des Systems M M = L2TLI

=(

1

-1//2

1 o)=

1

0

i

-I/I~

i

(1.24) = -

i-Td

26

1 Lichtstrahlen

Das System von zwei Linsen ersetzt eine einzelne Linse mit der Brennweite

1 1 1 --f : -~2 + f l

d flf2

(1.25)

Wir betrachten zwei interessante Grenzf~lle: (i) d << fl,2. Zwei Linsen, die ohne Zwischenraum hintereinander ,,geschaltet" werden, addieren ihre Brechkrafte, M _~ L2L1 mit :D -- :D1 + Z)2. Dieser Umstand wird beispielsweise bei der Anpassung yon Augenglasern genutzt, wenn Brechkraft solange kombiniert wird, bis die geeignete Brillenst~ke gefunden worden ist. Eine bikonvexe Linse kSnnen wir offensichtlich aus zwei plankonvexen Linsen zusammensetzen und erwarten, dab dabei die Brennweite des Systems halbiert wird. (ii) d = fl § f2. Wenn die Brennpunkte aufeinanderfallen, wird ein Teleskop realisiert. Insbesondere wird ein paralleles Strahlenbfischel mit Radius rl in ein ebenfalls paralleles Strahlenbfischel mit dem neuen Durchmesser ( f 2 / f l ) r l aufgeweitet oder kollimiert. Die Brechkraft des Systems verschwindet nach G1.(1.25), ~ --0. Solche Systeme werden afokal genannt. Dfinne Linsen gehSren zu den ~iltesten optischen Instrumenten und haben je nach Anwendung zahlreiche Bauformen. Weft es dabei vor allem auf die Linsenfehler ankommt, widmen wir den Bauformen einen eigenen Abschnitt (4.5.1).

1.9.5

Periodische Linsensysteme

Abb. 1.20 Vielfachreflexionen in einem 2-Spiegel-Resonator sind dem Strahlengang in einem periodischen Linsensystem dquivalent. Periodische Linsensystem sind schon frfihzeitig untersucht worden, um damit optische Lichtfibertragungsstrecken zu realisieren. Ffir eine solche Anwendung ist es wichtig, dab ein Lichtstrahl auch fiber groi~e Strecken das System nicht verl~t3t. Wir betrachten eine periodische Variante des Linsensystems mit Linsen der Brennweiten fl und f2, die sich im Abstand d befinden sollen. Die Tranformationsmatrix aus G1.(1.24) wird dazu um eine weitere, identische Translation

1.9 Matrizenoptik

27

ergiinzt und ist dann auch zu einem System aus 2 Hohlspiegeln mit Radien rl,2 -- 2fl,2 iiquivalent (Abb. 1.20): C

D

( (1

i 0)(1,)(

-1/f2

1

0

1 0)(1,)

1

-1/fl

,)(1

-1/f2

1- d/f2

-1/fl

1

0

1

,)

1- d/fl

Abb. 1.21 Stabilitdtsdiagramm fiir Linsensysteme (Brennweiten f1,2) und optische Resonatoren (Radien rl,2) nach Bedingung (1.27). Im schra~erten Bereich befinden sich die stabilen Resonator-Konfigurationen. Die gestrichelten Linien geben die Position der konfokalen Resonatoren an (d -- (rl + r2)/2). Die symmetrisch planparallelen, konfokalen und konzentrischen Resonatoren nehmen die Positionen 1,2,3 ein.

Das Einzelelement wird nun bei n-facher Anwendung eine Gesamttransformation n

C,~D,~

CD

verursachen. Diese Matrix kann algebraisch ausgewertet werden, wenn wir zun/ichst coso=l(A+D)=2(l-~fl)

(1-~-~f2)-1

(1.26)

28

1 Lichtstrahlen

einfiihren. Damit berechnet man C

D

sinO

CsinnO

DsinnO-sin(n-1)O

)

Der Winkel O muff reell bleiben, damit die Matrixkoefl:izienten nicht unbegrenzt waehsen. Das h~tte n~mlieh zur Folge, daft ein Liehtstrahl das Linsensystem verlassen wiirde. Die Bedingung lautet also - l _< cos O _< l

,

und man erh/ilt zusammen mit G1.(1.26)

Dieses Ergebnis legt ein Stabilit~tskriterium ffir den Betrieb eines Lichtleiters aus Linsensystemen fest, und das zugehSrige wichtige Stabilit~tsdiagramm ist in Abb. 1.21 dargestellt. Es wird uns noch genauer besch/ff-I;igen, weil damit die Vielfaehreflexion zwischen den Hohlspiegeln eines optisehen Resonators (Kap. 5.6) beschrieben werden kann.

1.9.6

A B C D - M a t r i z e n f'tir Glasfasern

Man kann nach Kapitel 1.7 und mit Hilfe der Wellenzahlkonstanten K -- 2~r/A (Gl.(1.12)) eine einfache ABCD-Matrix fiir die Transformation eines Strahls durch eine Gradientenfaser der L~inge ~ angeben: G--(

cosK~ - K sin K t

K - I sinK~ ) cos Kg

(1.28)

Mit kurzen Faserstiicken (6 < A/4) kann man auch diinne Linsen realisieren und zeigen, daft der Brennpunkt bei f = K -1 cot Kg liegt. Diese Komponenten werden als GRIN-Linsen bezeichnet (s. auch Beispiel S. 16).

1.10

Straldenoptik und Teilchenoptik

Die traditionelle Optik, die mit Lichtstrahlen arbeitet und Thema dieses Buches ist, war begriffiich in j eder Hinsicht ein Vorbild ffir die ,,Teilchen-Optik", die mit der Erforschung von Elektronenstrahlen und radioaktiven Strahlen um das Jahr 1900 herum begann. Die Strahlenoptik beschreibt die Ausbreitung von Lichtstrahlen, deshalb ist es naheliegend, die Analogie in den Trajektorien

1.10 Strahlenoptik und Teilchenoptik

29

von Teilchen zu suchen. Wir werden aber im Kapitel fiber Koh~irenz und Interferometrie (5) sehen, dab auch der Wellenaspekt der Teilchenstrahlen ganz entscheidend durch die Begriffe der Optik gepr~gt ist. Um die Analogie explizit herzustellen, halten wir uns an die 0berlegungen zum Fermatschen Prinzip (Abschn. 1.5), denn dort wird ein Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit und dem Brechungsindex hergestellt. Besonders einfach ist der Zusa.mmenhang, wenn sich ein Teilchen in einem konservativen Potential (Potentielle Energie Epot(r)) bewegt, wie zum Beispiel ein Elektron im elektrischen Feld. Wegen der Energieerhaltung Ekin(r) -~- Epot(r) = Etot

kSnnen wir

aus

v(r)

E k i n ----

my2~2 sofort folgern:

= ./ 2 E V ~ ( tot Epot(r))

falls sich die Teilchen nicht zu schnell bewegen und wir die klassische Newtonsche Mechanik anwenden kSnnen. (In einem Teilchen-Beschleuniger ffir hohe Energien muB man die spezielle Relativitiitstheorie verwenden.) Wir kSnnen einen effektiven relativen Brechungsindex festlegen durch v(rl) v(r2)

_

nor(r2) neff(r1)

_

v/(Etot- Epot(r2)) v/(Etot- Epot(ri) )

Er muB wie beim Licht eine zus~itzliche Bedingung erffillen, um absolut festgelegt zu werden. Zum Beispiel kSnnen wir fordern neff -- 1 ffir Epot -- 0. Damit ist aber auch schon klar, dab neff sehr stark yon der Geschwindigkeit auBerhalb des Potentials abh~ngig ist - die Teilchenoptik besitzt stark chromatische Eigenschaften! Der tiefere Grund ffir diesen Unterschied ist der unterschiedliche Zusammenhang zwischen kinetischer Energie E und Impuls p ffir Licht und ffir massebehaftete Teilchen, der ebenfalls als Dispersionsrelation bezeichnet wird, wobei wir uns auf den nichtrelativistischen Fall (v/c << 1) beschr~nken: Licht E = pc Teilchen, nichtrelativistisch E -- p2 / 2 m In geladenen Teilchenstrahlen kann aber dutch Beschleunigung eine schmale Geschwindigkeitsverteilung pr~pariert werden, so dab der Unterschied nicht ins Gewicht fallt. Die grope Geschwindigkeitsbreite von thermischen Strahlen neutraler Atome ruft aber erhebliche Probleme hervor. Allerdings kann deren Geschwindigkeitsverteilung mit sogenannten Dfisenstrahlen oder durch Laserkfihlung (s. Kap. 11.6) so manipuliert werden, dab man damit sogar ,,Atomoptik" betreiben kann [91]. In Abb. 1.22 haben wir einige wichtige Bauelemente der Elektronen- und Atomoptik vorgestellt.

30

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.22 Teilchenoptische Linsen. Oben: Sogenannte ,Einzellinse" fiir die Elektronenoptik

mit AquipotentialflSchen qU [132]. Das Potential wird durch die symmetrische Anordnung aus drei leitfdhigen Elektroden, yon denen die dufleren auf gleichem Potential liegen, erzeugt. Unten: Magnetische Linse fiir die Atomoptik mit Aquipotentialfldchen I#" BI [91]. Ein axialer magnetischer Hexapol wird aus Kreissegmenten gebildet, die aus homogen magnetisierten Dauermagneten (zum Beispiel NdFeB oder SmCo) gefertigt werden. Der Betrag des Magnetfeldes steigt in radialer Richtung quadratisch an.

Aufgaben

31

Aufgaben zu Kapitel 12 1.1 S o n n e n b i l d e r Im Schatten eines dicht belaubten Baumes (an den Spalten eines Rolladen, ...) beobachtet man bei klarem Himmel zahlreiche runde Lichtflecke. Was stellen sie dar? Wie hfiagen sie v o n d e r Form der Blattlficken ab? 1.2 S p i e g e l b i l d e r Wieso sieht man im Spiegel links und rechts vertauscht, aber nicht oben und unten? 1.3 Sind p a r a b o l i s c h e Spiegel p e r f e k t ? Betrachten Sie einen sp~rischen Spiegel mit Radius R und zur Linken der y-Achse und geben Sie die Parabel an, die sich bei x -- - R anschmiegt (Abb. 1.23). Licht, das in der -x-Richtung propagiert, wird von den Spiegeln fokussiert. Vergleichen Sie die Eigenschaften des sph~rischen und des parabolischen Spiegels, indem Sie ein zur Spiegelachse paralleles Strahlenbfindel betrachten und den Brennpunkt als Funktion des Abstandes y << R v o n d e r Achse bestimmen. Wie unterscheiden sich qualitativ die Bilder eines parallelen Strahlenbfindels, das unter einem kleinen Winkel zur x-Achse propagagiert, fiir die beiden Spiegeltypen? 1.4 R e g e n b o g e n Erkl~ren Sie den Ursprung des Regenbogens. Regentropfen sind fiber einen weiten Parameterbereich in guter N~herung als Kugeln zu betrachten. Wie grot] ist der Ablenkwinkel 5 in Abb. 1.24. Der Brechungsindex von Wasser betr~igt etwa n ----1,33 (der exakte Wert hangt v o n d e r betreffenden Lichtfarbe ab). Sch~tzen Sie anhand des Erscheinungsbildes des Regenbogens die Dispersion des Wassers dn/d)~ ab. Die Grenzwellenl~ingen des sichtbaren Spektrums sind/~ -- 700 nm ffir rotes und A -- 400 nm ffir violettes Licht. (Erinnerung: d/dx(arcsin(x)) = 1/(1 - x2) 1/2)

Abb. 1.23 Reflektion am parabolischen und am sph~rischen Spiegel.

Abb. 1.24 Geometrie der Bre-

chung am WassertrSpfchen.

Abb. 1.25 Bauteile eines Refraktometers nach Abbe. S: Streuscheibe;

P1,2: Prismenpaar; f:

Brennweite der Linse; Sch: Beobachtungsschirm 1.5 R e f r a k t o m e t e r Mit dem abbeschen Refraktometer wird der Brechungsindex von Flfissigkeiten bestimmt-. Dazu tupft man ein TrOpfchen der zu untersuchenden Flfissigkeit anf ein Glasprisma und klappt dann ein zweites Prisma darauf. Mit einem Drehknopf (Winkel c~ in Abb. 1.25) wird das Doppelprisma solange gedreht, bis im Blickfeld eines Okulars eine scharfe Grenze zwischen Licht und Dunkelheit erscheint. Die Brechzahl kann dann aus dem 2MusterlSsungen kSnnen von Dozenten beim Autor erbeten werden

32

1 Lichtstrahlen

Drehwinkel bestimmt werden. (Manchmal zeigt die Skala am Drehknopf direkt die Brechzahl der Fliissigkeit an, manchmal auch den Zuckergehalt einer LSsung). Erlautern Sie die Funktionsweise des Ger~tes. Wenn n die Brechzahl der Glasprismen ist, welcher Wertebereich yon Brechzahlen der Fliissigkeit liit~t sich dann mit dem Instrument messen? 1.6 H a l o Die haufigste Haloerscheinung ist ein Ring um Sonne oder Mond mit 22 ~ Offnungswinkel, ganz schwach gef~rbt mit Rot innen. Eis hat die Brechzahl 1,31. Nadelf6rmige Eiskrist~lchen, wie sie sich in der Hochtroposph~e bilden, haben vorwiegend Prismenform mit gleichseitig-dreieckigem Querschnitt. Wie kommt der 22~ zustande? 1.7 F e r m a t s c h e s P r i n z i p Das Fermatsche Prinzip kann vereinfacht wie folgt ansgedriickt werden: Von einem Punkt zum n~chsten w~hlt Licht den Weg, der die geringste Zeit in Anspruch nimmt. Leiten Sie ausgehend von diesem Prinzip das Reflexions- und das Brechungsgesetz her. 1.8 L i c h t k r i i m m u n g Leiten Sie das Krfimmungsmafi (die zweite Ableitung des Strahlengangs) eines Lichtstrahles in einem Medium mit stetig ortsabh~ngiger Brechzahl rein geometrisch-optisch her. Vermeiden Sie zunachst den Fall, daft der Strahl senkrecht zum Gradienten von n l~uft. 1.9 A b l e n k u n g i m P r i s m a (I) Bei symmetrischem Durchgang durch ein Prisma ist die Ablenkung minimal. Zeigen Sie, dab diese Eigenschaft allein aus der Umkehrbarkeit des Lichtweges folgt. 1.10 A b l e n k u n g i m P r i s m a ( I I ) Zeigen Sie, da~ der Brechungsindex aus der minimalen Ablenkung 6min eines Lichtstrahls durch ein symmetrisches Prisma bestimmt werden kann nach n -- sin [(~min + a ) / 2 ] / s i n (c~/2). Wie w~hlt man a, um hSchste Pr~zision zu erzielen? 1.11 P e n t a p r l s m a Im Pentaprisma wird ein Lichtstrahl durch zweifache Reflektion u m / 3 -- 90 ~ abgelenkt (Abb. 1.26). Welchen Winkel c~ miissen die Prismenfl~chen im symmetrischen Pentaprisma bilden? Ist Totalreflektion fiir Glas (n=l,5) mSglich? Untersuchen Sie die Abh&ngigkeit des Ablenkungswinkels ffir kleine Verkippungen ~r gegenfiber dem Idealfall und vergleichen Sie mit dem rechtwinkligen 90~ s. Abb. 1.7. 1.12 G l a s f a s e r n (I) Eine Quarz-Glasfaser habe einen Kern mit Brechungsindex nl = 1,465 und einen Mantel mit BrePentaprisma. chungsindex n2 1,4500. Bestimmen Sie die grSt]te Winkelapertur (halber Offnungswinkel des Lichtkegels, der anf die Faser tritft) fiir die das Licht durch die gera~ie Faser transmittiert wird. Der Kern habe einen Durchmesser von 50 #m. Wie grot3 ist der kleinste Kriimmungsradius, urn den die Faser gebogen werden darf, bevor es zu starken Lichtverlusten kommt?

Abb. 1.26 Strahlengang im

=

1.13 M o d e n d i s p e r s i o n Betrachten Sie einen optischen Puls mit der Liinge T. Wenn die Lichtenergie gleichmiitlig auf alle Winkel unterhalb des Grenzwinkels der Totalreflexion verteilt wird, werden die einzelnen Strahlen auseinanderlaufen und verschieden schnell entlang der Faserachse propagieren. Wie lange diirfen die Pulse auf einer typischen Glas-Stufenfaser dauern, damit sich die Pulsliinge auf einer Laufstrecke g u m nicht mehr als 50% erhSht? 1.14 A s t i g m a t i s m u s Welche Abbildungseigenschaften hat eine Zylinderlinse (brechende Fl~che gleich Ausschnitt eines Zylindermantels)? Kann man mit zwei Zylinderlinsen punktf6rmig abbilden? Sind sie dann ganz ~quivalent zu einer sph~rischen Linse? Erliiutern Sie, warum die Optiker statt von Astigmatismus auch von einem Zylinderfehler reden!

Aufgaben

33

1.15 B r e n n w e i t e n b e s t i m m u n g Uberlegen Sie, wie man die Brennweite einer Linse schnell sch~itzen kann, und wie man sie genau bestimmen kann. Falls Sie Brillentr~iger sind, probieren Sie es mit Ihrer Brille aus. Wieviele Dioptrien haben Ihre Glaser? 1.16 N e w t o n - G l e i c h u n g Zeigen Sie rechneriseh und geometrisch, dab die Gleiehung fiir die Linsenabbildung (1.23) ~tquivalent ist zu (g - f ) ( b - f ) = f2. (S. auch G1. (4.1).) 1.17 Schiil"fentiefe Wie groi3 ist die Sch~irfentiefe bei der Abbildung durch den Hohlspiegel? Wie definieren Sie die Schiirfentiefe sinnvoll fiir die Beobachtung des Bildes mit blof~em Auge bzw. ffir die Photographie? Wie kann man sie steigern? 1.18 L i n s e u n d G l a s p l a t t e Nutzen Sie die ABCD-Gesetze, um den Einfluf~ einer Glasplatte mit der Dicke d auf eine Linse mit f > d zu bestimmen, wenn sie sich innerhalb der Brennweite befindet. Verwenden Sie diesen Zusammenhang, um die Brechzahl der Glasplatte zu bestimmen. Sch~tzen Sie die Genauigkeit der Methode ab. 1.19 G l a s f a s e r n ( I I ) Eine kleine Glaskugel (Radius R, Brechzahl n), welche vor der Eingangsfacette einer Glasfaser platziert wird, kann dazu dienen, Licht in die Faser einzukoppeln. Berechnen Sie die ABCD-Matrix fiir eine Glaskugel und die Transformation eines kollimierten Lichtstrahls, der dutch die Glaskugel tritt. Diskutieren Sie die optimalen Parameter (R, n) fiir die Kugel, werm Lieht mSglichst effektiv in die Faser eingekoppelt werden soll. Verwenden Sie als realistisches Beispiel die Glasfaser-Werte aus Aufg. 1.12. 1.20 D e t e r m i n a n t e tier A B C D - M a t r i z e n Die Determinanten der Translationsmatrix T (G1. 1.15) und der Brechungsmatrix B (G1. 1.16) sind ITI = 1 und IBI = n l / n 2 . Zeigen Sie, daf~ fiir die Linsenmatrix ILl = 1 gelten muff. Leiten Sie daraus ferner die Bedingung fiir dfinne Linsen ab, die Newton-Cleichung ( f - g ) ( f - b) -- f2. 1.21 G R I N - L i n s e n Zeigen Sie, da~ ein kurzes Stiiek einer Gradientenindex-Faser mit einer L~nge s < A/4 (A: Pendell~inge, G1. 1.12) mit der ABCD-Matrix (1.28) als eine dfinne Linse mit Brennweite f = K -1 cot Ks verwendet werden kann. 1.22 D i c k e L i n s e n u n d H a u p t e b e n e n Bei der Bildentstehung muff auch ffir eine dicke Linse das Ergebnis aus dem Beispiel auf S. 25 gelten, b D + g A + b g C + B = 0. Hier bezeichnen {b, g) die Gegenstands- und Bildentfernung von den Sehnittpunkten der Linse mit der zAehse. Dann k6nnen wir in der ABCD-Matrix C = - 1 I f mit der Brennweite identifizieren. Zeigen Sie zun~hst, daf~ dann gilt ( J A - g ) ( f D - b) = f2. Wo liegen die Brennpunkte der dicken Linse? Schreiben Sie die Gleichung urn in der Form [f - (g - gp)][f - (b - bp)] = f2. Die Punkte {bg, g p } bezeichnen die Lage der konjugierten Ebenen oder Hauptpunkte. Interpretieren Sie ihre Bedeutung und geben Sie dazu die zugehSrige Newton-Gleiehung an. 1.23 G ~ r t n e r l a t e i n ? Manehe G~irtner raten ab, Blumen bei Sonne zu gief~en, weil die Brennglaswirkung der Tr6pfehen anf den Bl~ittern diese zerst5re. Was sagen Sie? 1.24 Stabilittit in k o n f o k a l e n R e s o n a t o r e n Zeigen Sie, daf~ im Stabilit~itsdiagramm (Abb. 1.21) die konfokalen Resonatoren (d : (rl +r2)/2) anf der Kurve y : x / ( 2 x - 1 ) liegen mit x = d/r1 - 1, y = d/r2 - 1. Zeigen Sie graphiseh, daf~ der Lichtweg im symmetrischen Resonator (rl = r2) nach zwei Uml~iufen geschlossen wird. Geben Sie Beispiele fiir instabile Lichtwege in nicht-symmetrischen Resonatoren.

2

Wellenoptik

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts waren einige Ph~nomene bekannt, die sich mit der einfachen geradlinigen, strahlenfSrmigen Ausbreitung von Licht nicht in Einklang bringen liefien und eine Wellentheorie erforderten. Am Anfang steht das Huygenssche Prinzip des holl~ndischen Mathematikers und Physikers C. Huygens (1629-1695), eine bis heute viel gebrauchte anschauliche Erklarung der Wellenausbreitung. Etwa 100 Jahre sp~ter entwickelten T. Young (17731829) aus England und A.P. Fresnel (1788-1827) aus Frankreich eine sehr erfolgreiche Wellentheorie, die alle damals bekannten Ph~nomene der Interferenz beschreiben konnte. Nachdem G. Kirchhoff (1824-1887) dem Huygensschen Prinzip eine mathematische Formulierung gegeben hatte, kam der endgfiltige Durchbruch mit den beriihmten Maxwellschen Gleichungen, die auch hier als systematische Grundlage der Wellentheorie des Lichtes dienen sollen. Die Entwicklung einer gemeinsamen theoretischen Beschreibung elektrischer und magnetischer Felder durch den schottischen Physiker J.C. Maxwell (18311879) hat entscheidende Einflfisse nicht nur auf die Physik, sondern fiberhaupt auf die Wissenschaft und Technik des 20. Jahrhunderts ausgefibt. Die MaxwellGleichungen, die zun~ichst aufgrund empirischer Kenntnisse und asthetischer 0berlegungen gewonnen worden waren, veranlafiten zum Beispiel Heinrich Hertz 1887 zur ersten Erzeugung von Radiowellen, der damit die Grundlage der modernen Kommunikationstechnik legte.

2.1

ElektromagnetischeStrahhmgsfelder

Elektromagnetische Felder werden durch zwei Vektorfelder bestimmt, 1 E(r, t) und H(r, t)

, die elektrische Feldst~rke, gemessen in V/m, , die magnetische Erregung, gemessen in A/re.

Sie werden durch elektrische Ladungen und Str5me verursacht. lWir folgen der neueren Literatur, in der iiblicherweise mit B(r,t) die magnetische Feldst~ke, mit H(r, t) die magnetische Erregung bezeichnet wird.

36

2.1.1

2 Wellenoptik

Statische Felder

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes. Der formale Zusammenhang von Feldsts und Ladungsdichte p bzw. Gesamtladung Q in einem Volumen mit der Oberfls S wird durch das Gaufische Gesetz in differentieller oder integraler Form angegeben,

V.E--p/Co

oder

~E.df--Q/e0

(2.1)

Ein elektrostatisches Feld ist dariiberhinaus wirbelfrei, das heifit, es gilt V • E = 0, und es l~flt sich als Gradient eines skalaren elektrostatischen Potentials (I)(r) darstellen, E(r) = -V(I)(r) Quellen oder Ladungen der magnetischen Erregung sind nicht bekannt, V.H--0

,

(2.2)

wohl aber Wirbel, die von StrSmen (Stromdichte j, Gesalntstrom I durch eine Fl~Lche mit der Umrandung g) verursacht werden. Nach dem Stokesschen Satz gilt V•

--j

oder

~c H . dl -- I

(2.3)

Die magnetische Erregung l~ifit sich als Wirbel eines Vektorpotentials A(r) darstellen, H(r) = 1 V • #0

2.1.2

Dielektrische M e d i e n

Die 0berlegungen des vorangegangene Abschnitts gelten nur fiir freie Ladungen und StrSme. Ublicherweise sind diese aber an Materialien gebunden, die wir grob in zwei Klassen einteilen kSnnen, in Leiter und in Isolatoren. In leitf~higen Substanzen kSnnen sich Ladungen frei bewegen; in Isolatoren sind sie an ein Zentrum gebunden, ein ~iufieres Feld verursacht aber durch Ladungsverschiebung eine makroskopische dielektrische Polarisierung2: zum Beispiel kSnnen die polaren Molekiile in einem Wasserbad ausgerichtet werden, oder in urspriinglich symmetrischen Molekiilen kann eine Ladungsasymmetrie hervorgerufen werden (Abb. 2.1). In einer homogenen Probe kompensieren sich 2Genauer handelt es sich um eine Polarisierungsdichte. Die deutsche Sprache erlaubt es auBerdem, zu unterscheiden zwischen Polarisierung (polarisieren: in seiner Gegens~tzlichkeit immer stoker hervortreten) und Polarisation (Herstellen einer festen Schwingungsrichtung aus sonst unregelm~iBigenSchwingungen.). [48]

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

37

Abb. 2.1 In einem Festk6rper (links) werden Ladungen im elektrischen Feld getrennt. In

einem Gas mit polaren Molekiilen (rechts) werden vorhandene Dipole ausgerichtet.

negative und positive Ladungen, und es bleibt nur eine effektive Ladungsdichte an den R~ndern des polarisierten Volumens fibrig. Wenn allerdings die Polarisierung kontinuierlich variiert, dann wird die Kompensation aufgehoben und man erhalt eine effektive Ladungsdichte Ppol ---- - - V "

P(r, t)

Polarisierungsladungen miissen natiirlich genauso wie die freien Ladungen beriicksichtigt werden und deshalb gilt in dielektrischer Materie V . E = _1 (Pfrei ~- Ppol) s

In vielen wichtigen optischen Materialien ist die Polarisierungsladung proportional zur aufieren Feldst~irke, und der Koeffizient wird als lineare dielektrische Suszeptibilitiit X bezeichnet, P = e0XE Wir fiihren die dielektrische Verschiebung mit der relativen Dielektrizit~tskonstanten n = 1 + X ein, D=e0E+P=e0nE

,

(2.4)

und k6nnen dann einfacher schreiben V.D=p Analog zur dielektrischen kann auch eine magnetische Polarisierung M(r, t) = XmagH(r, t) auftreten, die gew6hnlich als Magnetisierung bezeichnet wird. Magnetooptische Effekte (zum Beispiel der Faraday-Effekt, s. Kap. 3.8.5) haben

38

2 Wellenoptik

zwar eine etwas geringere Bedeutung als die dielektrischen Ph/inomene, spielen aber durchaus eine wichtige Rolle bei optischen Anwendungen. In den meisten F/illen, die wir hier behandeln werden, ist aber die Annahme gerechtfertigt, dab die magnetische Permeabilit/it des Vakuums gilt, ~ m a g ---- 1 + X m a g ---- 1.

2.1.3

D y n a m i s c h e Felder

Es ist bekannt, dat3 die Anderung des magnetischen Flusses in einer Leiterschleife eine Spannung hervorruft. Wir folgen der heute gebr~iuchlichen Konvention und bezeichnen mit B(r,t) = #0H(r,t) das Magnetfeld, das sich in unmagnetischen Materialien nur durch #0, die Permeabilit~t des Vakuums, v o n d e r magnetischen Erregung unterscheidet. Damit formulieren wir das Induktionsgesetz als dritte Maxwell-Gleichung, V x E = - OOt B

'

oder

Jc E . d l -

Ors B d f Ot

(2.5)

Ganz analog fiihrt eine ver/inderliche elektrische Feldst/irke zu einem Verschiebungsstrom jdis = eo(O/Ot)E, und eine zeitabh/ingige Polarisierung zu einem Polarisierungssstrom, jpo] -- (O/Ot)P. Wir erhalten die vollstgndige vierte Maxwell-Gleichung fiir zeitlich ver/inderbare Felder, wenn wit diese Beitr/ige in G1.(2.3) beriicksichtigen ((O/Ot)D = jdis + jpol): V x H = j + ---0D Ot

2.1.4

(2.6)

Fourierkomponenten

Elektrische und magnetische Felder mit harmonischer Zeitentwicklung stehen im Zentrum einer optischen Wellentheorie. Unter den Fourierkomponenten eines elektromagnetischen Feldes wollen wir die Fourieramplituden g, 7-I verstehen: 3 E(r,t)

= ~Re{g(w,k)e-i( wt-

H(r,t)

-- ~Re {Tl(w,k)e-i( wt- kr)}

kr)}

(2.7)

3Wir werden dynamische elektromagnetische Felder weitgehend in komplexer Notation schreiben. Die physikalischenFelder sind dabei stets als Realteil aufzufassen, auch wenn dies nicht wie hier explizit ausgedriickt ist.

2.1 ElektromagnetischeStrahlungsfelder

39

Tab. 2.1 Zusammenfassung: Maxwell-Lorentz-Gleichungen im Vakuum

in Materie

im (w, k)-Raum

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes:

V . E---- p/co

s. (2.1)

V. D = p

ik. I)---- p

Es gibt keine magnetischen Ladungen:

s. (2.2)

V.B=0

ik-B--0

Induktionsgesetz:

s. (2.5) VxE=-

ikxg=-~

B

~

StrSme sind Wirbel des magnetischen Feldes:

s. (2.3)

Coulomb-Lorentzkraft:

(2.7)

d2 m~-~r = q(E + v x B )

Ganz allgemein wird der Zusammenhang ffir eine Amplitude im Orts- bzw. Zeitraum, ,4(r, t), und dem (w, k)-Raum angegeben durch sogenannte Fourier-

transform-Paare, ,4(r,w)

= - ~ /A(r,t)e-iWtdt

," A(r,t) --

,4(k,t)

= - ~ /A(r,t)eikrdar

9 h(r,t)

-~1 S,4(w,t)eiWtdw 1 [,4(k,t)e-ikrd3k

(2.8)

J

Hier werden mit ,4 Amplitudendichten im Frequenz- bzw. k-Raum bezeichnet. Die elektrische Feldamplitude g(r, w) wird z.B. in [V/m.Hz] gemessen. Im Experiment bezieht sich die Dichte auf die vielleicht sehr kleine, aber immer endliche Bandbreite der Lichtquelle, mit der das Experiment ausgeffihrt wird. Mit den Fourierkomponenten lassen sich besonders monochromatische Felder, die eine feste harmonische Frequenz w0 = 2~r~0 besitzen, gfinstig beschreiben. Ffir diese Wellen muff man nach (2.8) eigentlich g(r,w) = g0(r)e-~tS(w-w0) schreiben. Die Integration fiber w kann aber ffir die Deltafunktion (definiert nach f f(w)5(w- wo)dw = f(wo)) direkt ausgeffihrt werden. Dann hat die Amplitude $ in G1. (2.7) die Einheit [V/m].

40

2 Wellenoptik

Selbstverst~ndlich kSnnen Zeit- und Ortsvariable auch gleichzeitig Fouriertransformiert werden. Wenn wir die Maxwell-Gleichungen darauf anwenden, werden aus den Differentialgleichungen Vektorgleichungen. Eine Ubersicht aller Varianten haben wir in Tab. 2.1 zusammengefat]t und um die CoulombLorentz-Kraft (2.7) erg~inzt, die auf eine Ladung q am Ort r und bei der Geschwindigkeit v = dr~dr ausgefibt wird.

2.1.5

Maxwell-Gleichungen f'tir die O p t i k

Ffir die allermeisten Anwendungen der Optik kSnnen wir davon ausgehen, dat3 es keine freien Ladungen und StrSme gibt. Es ist Aufgabe einer mikroskopischen Theorie, die dynamisehe dielektrisehe Funktion c(w) -- c0~(w) -e0(1 +X(W)) aus G1. (2.4) zu berechnen. Ffir einfaehe F~lle werden wit dieser Frage im Kapitel fiber die Wechselwirkung von Licht und Materie (Kap. 6) nachgehen. Zun~chst ersetzen wit die dielektrische Funktion e0~ auf ph~inomenologische Art und Weise durch den Brechungsindex n, c0~ ----e0n2 der sowohl vonder Frequenz w als auch vom Ort r abh~ingen kann, und erhalten einen ffir die Optik sinnvollen Satz von Maxwell-Gleichungen, der sich durch eine hohe Symmetrie auszeichnet: V " n2E

=

0

WxE

--

#0OH

V.H

=

0

VxH

=

e0~Ttn2E

(2.10)

Da wir besonders an der Bewegung geladener, polarisierbarer Materie interessiert sind, mfissen wir noch die Lorentzkraft (2.7) hinzu nehmen. Die ffinf Gleichungen werden auch als Maxwell-Lorentz-Gleichungenbezeichnet. Sie sind in Tab. 2.1 in differentieller und integraler Form angegeben.

2.1.6

Kontinuit~itsgleichung und Superpositionsprinzip

Wir k6nnen aus den Maxwell-Gleiehungen zwei wiehtige Folgerungen ziehen: Die Ladungen einer Probe sind erhalten, wie man durch Divergenzbildung yon G1. (2.3) und unter Benutzung von (2.1) schnell berausfindet. Man erh~lt die

Kontinuit~itsgleichung 0 v . j = -b-/p Das Superpositionsprinzip ist eine Konsequenz der Linearit/it der MaxwellGleichungen: Zwei unabh/ingige elektromagnetische Felder El,2 fiberlagern sich

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

41

linear zum Superpositionsfeld Esup, Esup = E1 + E2

(2.11)

Das Superpositionsprinzip ist als Grundlage der Behandlung von Interferenzen besonders wichtig (Kap. 5).

2.1.7

Die Wellengleichung

Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum ( n v ~ = l ) mit Lichtgeschwindigkeit aus, und sie sind eine direkte Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen. Im Vakuum gibt es weder StrSme, j = 0, noch Ladungen, p = 0. Dann werden die Maxwell-Gleichungen (2.1) und (2.5) erheblich vereinfacht, V.E=0

und

0 VxH=e0~-~E

Mit der Vekgoridentit/it V x ( V x E ) = V ( V . E) - V 2 E u n d c = 1/~/#0e0 erhalgen wir aus dem Indukgionsgesetz (2.5) die Wellengleiehung im Vakuum, (V 2

102 ) c~ ~ E(r,t) = 0

(2.12)

Die entsprechende eindimensionale Wellengleichung kann man in der Form

sehreiben und durch Naehreehnen sehnell feststellen, dag sie LSsungen der Form

E(z,t) = E(z + ct) besitzt. Die LSsungen breiten sieh mit der Phasengeschwindigkeit c aus, deren Wert im Vakuum als Lichtgesehwindigkeit c (yon lat. celeritas, Geschwindigkeit) bezeichnet wird. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine der bedeutendsten Naturkonstanten. Ihr numerischer Wert wird seit 1983 nicht mehr immer genauer vermessen, sondern wurde fiir alle Zeiten auf den Vakuumwert der

Lichtgeschwindigkeit:

c = 299.792.458 m / s

festgelegt. Exkurs: Lichtgeschwindigkeit c und Relativit~tstheorie

Das Licht breitet sich nach unserer unmittelbaren Erfahrung ,,instantan"aus. Der dfia]ische Astronom Olaf Rcemer (1644-1710) stellte aber 1676 fest, dab die Phasen des innersten Jupitermondes Io kfirzer wurden, wenn sich der Jupiter auf die Erde zubewegte, und grSt]er,

42

2 Wellenoptik

wenn er sich von ihr weg bewegte [141]. Er folgerte daraus, dab die Ausbreitung der Lichtstrahlen nicht unmei3bar schnell vor sich geht, sondern mit einer endlichen Geschwindigkeit, die Huygens aus seinen Daten zu 225 000 k m / s bestimmte (s. auch Aufgabe 2.1.) Seit 1983 ist der Wert der Lichtgeschwindigkeit c ein fiir allemal durch internationale Konvention festgelegt. Es mag z u n ~ h s t iiberraschen, dab man eine physikalische Naturkonstante einfach definieren kann. Man muB aber bedenken, dab eine Geschwindigkeit durch die physikalischen GrSBen Zeit und L~inge bestimmt wird und deshalb zu ihrer Bestimmung stets u n a b h ~ g i g e Zeit- und L~genmessungen erfordert. Die Zeitmessung kann man durch

Abb. 2.2 Die Lichtgeschwindigkeit besitzt seit dem 1Z Kongress ~ber Marie und Gewichte

(1983) einen lest definierten Wert. Die Karos geben die Meriwerte verschiedener Labors mit ihrer Unsicherheit an [52]. Vergleich mit einem atomaren Zeitstandard (einer Atomuhr) mit extremer Genanigkeit vornehmen, fiir die L~i~genmessung fehlt jedoch ein solcher Mat3stab. Man hat deshalb das Verfahren umgekehrt und leitet nun - - zumindest im Prinzip - - jede L~i~genmessung von einer sehr viel genaueren Zeitmessung ab: Ein Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1/299 792 458 s zuriicklegt. Die Lichtgeschwindigkeit hat eine zentrale Rolle bei der Formulierung der speziellen Relativit~tstheorie durch A. Einstein gespielt [49]. In einem beriihmten Interferenzexperiment haben die amerikanischen Physiker Michelson und Morley n~mlich 1886 festgestellt, dab sich das Licht vom Standpunkt eines Beobachters immer mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet, u n a b h ~ g i g yon der Bewegung der Lichtquelle selbst. Zu den Konsequenzen dieser Theorie geh6rt, dab sich kein Teilchen und kein Objekt, ja iiberhaupt keine Wirkungeiner physikalischen Ursache im Raum schneller als mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten oder bewegen kann. Die Relativitatstheorie steht an einem herausragenden Schnittpunkt zwischen klassischer und moderner Physik. Danach ist es n6tig, die Gleichungen der mechanischen Bewegung bei sehr groBen Geschwindigkeiten zu modifizieren. Die Maxwell-Gleichungen, die die Ausbreitung des Lichtes beschreiben, stehen aber von Beginn an mit der Relativit~itstheorie im Einklang. Diese Eigenschaft bezeichnet man als ,,relativistische Invarianz".

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

43

Die Wellengleichung wird weiter vereinfacht, wenn wir nur monochromatische Wellen mit harmonischer zeitlicher Entwicklung zulassen. Wir verwenden komplexe Zahlen, well sich viele Wellenformen damit formal iibersichtlich behandeln lassen. Generell wird aber nur der Realteil der komplexen Amplitude als physikalisch reale Gr56e betrachtet. Aus E(r, t) = ~e{E(r)e -iwt} erhalt man mit w2 = c2k2 die Helmholtz-Gleichung, die nur noch vom Ort r abh~ngt: (V 2 + k 2) E(r) = 0.

(2.13)

In homogener Materie (d.h. bei konstantem Brechungsindex n) erf~hrt die Wellengleichung (2.12) wegen (2.10) nur eine _Anderung: die Ausbreitung wird durch eine andere Phasengeschwindigkeit bestimmt, c ~ c/n, ansonsten breitet sich die Welle genau wie im Vakuum aus. Man erhalt (V2 - ( n ) 2 ~--~2) E(r, t) = 0.

(2.14)

In der theoretischen Elektrodynamik werden auch die dynamischen elektrischen und magnetischen Felder h~ufig und etwas eleganter von einem gemeinsamen Vektorpotential A(r, t) = A0e -i(~t-kr) abgeleitet, das seinerseits die Helmholtz-Gleichung (2.13) erfiillt: - - ~ - A -iwA 1vOt• i A (2.15) H#0 fi0 k • Eine vollst~indige Festlegung des Potentials A erfordert eine zus~itzliche Bedingung in Form einer Eichvorschrift. Ffir unsere Zwecke ist die sogenannte Coulomb-Eichung ( V 9 A = 0) eine sinnvolle Wahl, in anderen Situationen kSnnen aber Alternativen wie die Lorentz-Eichung bei relativistischen Problemen Vorteile bieten. Aus V 9E = 0 und (2.15) folgt, da6 Strahlungsfelder im freien Raum transversal sind (d.h. sie sind orthogonal zum Wellenvektor k) (ADD. 2.3), 4 E

--

E-k--H-k--0 Ferner kann man aus (2.15) eine nfitzliche Relation gewinnen, 1 n:--ek• /-toe Sie zeigt, dat3 E- und H-Feld auch zueinander senkrecht stehen, s. Abb. 2.3. 4Statische Felder von Ladungsverteilungen werden longitudinalgenannt, denn nach G1.(2.1) gilt dann V 9E ----p(r) r 0. Die longitudinalen und transversalen Eigenschaften h~izlgen allerdings von der Eichung ab.

44

2 Wellenoptik

Abb. 2.3 Die Richtungen des elektrischen (E) und magnetischen Feldes (H) einer elektromagnetischen Welle (hier: linear polarisiert) stehen im isotropen Raum senkrecht sowohl zueinander als auch auf der Ausbreitungsrichtung mit dem Wellenvektor k.

2.1.8

Energie trod Impuls

Die instantane Energiedichte U eines elektromagnetischen Feldes betr~gt 1 U = ~ (e0[E[ 2 + #0[H[ 2) = co[E[ 2.

(2.16)

Die Gesamtenergie/4 eines elektromagnetischen Feldes wird durch Integration fiber das zugehSrige Volumen V gewonnen,

1,4 = eo Iv [E(r)[2d3r" Formal besitzt ein ,,Photon" bei der Schwingung mit der Frequenz w die Energie /4 -- hw. Daraus kann man auch die mittlere Feldst/~rke ([E[) -- ~/hw/2eoY gewinnen, die einem Photon entspricht (Fiir Details vergl. Abschn. 12.2.). Diese GrSt3e ist wichtig, wenn man zum Beispiel die Kopplung eines Atoms an die Feldschwingung eines Resonators beschreiben will. Elektromagnetische Wellen transportieren Impuls und Energie. Die Energiestromdichte wird durch den Poynting-Vektor S gekennzeichnet, S -- E •

-- ce0ek[E[ 2

,

(2.17)

die wegen p = U/c zur Impulsdichte g -- S/c 2 proportional ist. In einem Experiment ist die fiber eine Periode T = 2~r/w gemittelte Intensit/it I = c(U) einer elektromagnetischen Welle am leichtesten me6bar. Sie besitzt mit der elektrischen Feldamplitude Co bei linearer Polarisation den Zusammenhang I--

1

2

2.2 Wellentypen

2.2

45

Wellentypen

Wir wollen nun Grenzf~ille einfacher und wichtiger Wellentypen vorstellen.

2.2.1

Ebene Wellen

Ebene W e l l e n sind die charakteristischen LSsungen der Helmholtz-Gleichung (2.13) in kartesischen Koordinaten (x,y,z):

(020205 ) ~ x 2 + ~y2 § ~ z 2 § ks

E(r) ----0

(2.18)

Ebene Wellen sind Vektorwellen mit konstantem Polarisationsvektor e und Amplitude $0, n ( r , t ) = ~ e { E o e e - i ( w t - kr)} Sie besitzen generell zwei unabh~ingige, orthogonale Polarisationsrichtungen e, die wir in Kap. 2.4 n~iher behandeln werden. Der Wellenvektor definiert durch k . r = const. Ebenen mit identischer Phase (I) = w t - k r (Abb. 2.4).

Abb. 2.4 Momentaufnahme wichtiger Wellentypen: (a) die isotrope (skalare) Kugelwelle hat eine einfache Struktur; sie kann elektromagnetische Wellen, die immer Vektorfelder sind, jedoch nicht korrekt beschreiben; (b) Ebene Welle mit Wellenvektor; (c) die Dipolwelle entspricht einer KugelweUe mit anisotroper Intensitdtsverteilung; (d) schon im Abstand yon wenigen WeUenldngen yon der QueUe wird die Dipolwelle der ebenen Welle sehr dhnlich.

46

2.2.2

2 Wellenoptik

Kugelwellen

Es entspricht unserer Erfahrung, daft sich Licht im Raum allseitig ausbreitet, und daft dabei die Intensit~it abnimmt. Demnach w~ire es naheliegend, die Strahlenausbreitung dutch eine Kugelwelle wie in Abb. 2.4(a) zu beschreiben. In Kugelkoordinaten (r, 0, r lautet die Helmholtz-Gleichung (2.13): - -2 = - r 200r -- + ~r [10rO

r2sinO00 s m l0

.

0 -0 ~ +

- 21- ~0r - 02 + 2k r- 2sin

2// E ( r ) = 0 .

(2.19)

Weil die elektromagnetischen Felder Vektorcharakter besitzen, muff man aber L6sungen fiir ,,Vektor"-Kugelwellen suchen. Sie sind durchaus bekannt und gebr~iuchlich, ffir unsere Zwecke aber mathematisch zu aufwendig. Die Probleme werden aber vereinfacht, weil in der Optik haufig nur ein kleiner Raumwinkel in einer bestimmten Richtung von praktischer Bedeutung ist. Dort ~indert sich die Polarisation des Lichtfeldes nur ganz geringffigig und wir k6nnen in guter N~herung die vereinfachte, skalare LSsung dieser Wellengleichung verwenden. Eine isotrope, skalare Kugelwelle hat die Form

E(r,t) = ~e ~$o

e-i(wt ~

kr) } (2.20)

Die Amplitude der Kugelwelle f~illt invers mit dem Abstand E c( r -1 ab, ihre Intensit~it mit dem Quadrat des inversen Abstandes I c~ r -2. Mit der skalaren Kugelwellenn~iherung l~ii~tsich die Wellentheorie der Beugung in guter Naherung nach Kirchhoff und Fresnel beschreiben (s. Kapitel 2.5).

2.2.3

Dipolwellen

Dipolstrahler sind die wichtigsten Quellen elektromagnetischer Strahlung. Das gilt bei Radiowellen mit Wellenl~ingen im m oder km-Bereieh, die yon makroskopischen Antennen abgestrahlt werden, aber genauso bei optischen Wellenl~ingen, wo die induzierten Dipole mikroskopischer Atome oder FestkSrper die Rolle der Antennen fibernehmen. Eine positive und eine negative Ladung • im Abstand x besitzen das Dipolmoment d(t) = qx(t). Dipole kSnnen induziert werden, indem durch ein ~iufieres Feld die Schwerpunkte der positiven und der negativen Ladungsverteilung z.B. eines neutralen Atoms gegeneinander verschoben werden. Ladungsschwingungen x -- xoe -i~t verursachen ein oszillierendes Dipolmoment,

d(t) =

doe-iwt,

(2.21)

das eine Dipolwelle abstrahlt und die einfachste Version einer Vektorkugelwelle bildet. Wir nehmen nun an, daf unser Beobachtungsabstand grofi ist gegen die

2.2 Wellentypen

47

Wellenl~inge r >> )~ = 27~c/w. Unter diesen Umst~inden befinden wir uns im Fernfeld des Strahlungsfeldes. Wenn auch der Abstand Ixl der Ladungen sehr

Abb. 2.5 Winkelverteilung der Intensitiit (oc [E[2) eines linear und eines zirkular schwin-

genden Dipols. klein ist gegen die Wellenl~nge, k5nnen wir die Intensit~tsverteilung mit den Ergebnissen ffir den Hertzschen Dipol 5 beschreiben. Die einfachste Form zeigt ein linearer Dipol entlang der z-Richtung, d = doe-i"~tez, dessen Feldamplitude in sph~rischen Koordinaten (r, 0, r gegeben wird:

e - i ( w t - kr) kado sin 0 e0 ~o kr

Enn -

Die F1/ichen konstanter Phase sind wiederum Kugelfl~chen, nur wird mit dem Winkelfaktor sin 0, der genau die Komponente des Dipolmoments senkrecht zur Ausbreitungsrichtung angibt, die Antennencharakteristik eines Dipols erzeugt. Fiir einen zirkularen Dipol, d = doe-i~t(ex + iey) findet man Ecirc

-

k3d~ cos 0 e - i ( w t - kr) (cos 0ee q- ie~) Co kr

In Abb. 2.5 ist die Intensit/itsverteilung schwingender Dipole gezeigt. Beim linearen Dipol treten im Gegensatz zum zirkularen Richtungen auf, in welche keine Energie abgestrahlt wird. Die Dipolcharakteristik lafit sich beim TyndallEffekt mit relativ einfachen Mitteln sehr schSn beobachten. Man benStigt einen linear polarisierten Laser und einen Plexiglasstab (Abb. 2.6): Die Doppelbrechung des Plexiglasstabes verursacht eine Modulation der Polarisationsebene, und der seitliche Beobachter sieht ein periodisches An- und Abschwellen des Streulichts im Plexiglasstab. 5Der Hertzsche Dipol besitzt keine r/iumliche Ausdehnung (x --* 0), wohl aber ein von Null verschiedenes Dipolmoment d.

48

2 Wellenoptik

Abb. 2.6 Tyndall-Effekt in einem Plexiglasstab. Durch Doppelbrechung wird die Polarisation periodisch moduliert (O.A.: Optische Achse; s. Abschn. 3. 7.1). Ein seitlicher Beobaehter sieht deshalb ein periodisches An- und Abschwellen der gestreuten Lichtintensitiit. Insbesondere zeigt an den Knoten die Polarisation linear in Riehtung des Beobaehters.

2.3

Gaufl-Strahlen

Wir wollen nun die Verbindung von Strahlen- und Wellenoptik herstellen. Dazu werden wir die Ausbreitung eines Lichtstrahls im Wellenbild, das heigt mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen beschreiben. Wir wissen von unseren Beobachtungen, dab sich das Profil eines Lichtstrahls nur sehr langsam ver~indert, und besonders augenf~llig ist das an der starken Bfindelung der Laserstrahlen. Entlang einer Ausbreitungsrichtung z verh~ilt sich ein Lichtstrahl sehr ~ihnlich wie eine ebene Welle mit konstanter Amplitude ,40, die eine bekannte LSsung der Wellengleichung (2.12,2.18) ist, E ( z , t) = Aoe - i ( w t - k z )

Andererseits wissen wir, dag sich in groBer Entfernung von einer Quelle das Licht eher wie eine andere bekannte L5sung von G1. (2.12,2.20) verhalten sollte, divergent wie die schon betrachtete Kugel- oder Dipolwelle n~imlich, deren Amplitude radial mit der Entfernung vonder Quelle abnimmt, E(r, t) ----,4o e - i ( w t -

kr)

Ikrl

Um die Ausbreitung yon Lichtstrahlen zu verstehen, betrachten wir nut einen Ausschnitt einer Kugelwelle in der N~he der z-Achse (,,paraxial") und zerlegen sie in ihre longitudinalen (z-Koordinate) und ihre transversalen Anteile. Augerdem betrachten wir Strahlen mit axialer Symmetrie, die nur noch yon einer transversalen Koordinate p abh~ngen. Man kann unter diesen Umst~nden kr = k r ersetzen und in der sogenannten Fresnel-Ndherung wegen p << z, r die N~iherung r -- ~ ~-- z + p2 / 2 z verwenden: E(r)-

~

e

-~

A p)

exp \ -~-z]

(2.22)

Diese Form hat schon viel Ahnlichkeit mit einer ebenen Welle, deren r~umliche Phase transversal geringfSrmig mit dem Fresnel-Faktor exp ( i k p 2 / 2 z ) moduliert bzw. gekrfimmt ist.

2.3 Gaut3-Strahlen

49

Wir bemerken, daft wir eine weitere KugelwellenlSsung erhalten, indem wir in (2.22) z dureh den Radius der Wellenfronten R ( z ) -- z - Ro ersetzen, deren Zentrum nun bei Ro liegt, oder auch, wenn wir adhoc die lineare komplexe Ersetzung (Zo ist eine reelle Zahl) z - * q ( z ) ---- z - izo

vornehmen. Auf diese Art und Weise haben wir den G a u f l s c h e n G r u n d m o d e 6 bereits konstruiert, wenn wir eine konstante Amplitude ,4o verwenden:

E(z,p)

Ao exp \(i kq(z)

kp2

e ikz"

(2.23)

Wir werden die hier , , g e r a t e n e " LSsung in Kiirze als L6sung der paraxialen Helmholtz-Gleichung (2.30) wiederfinden.

Abb. 2.7 Fin Gauflscher Grund-Mode in der Ndhe der Strahltaille. hn Zentrum werden nahezu ebene Wellenfronten erreicht, auflerhalb ndhern sich die Wellen wieder schnell der Kugelform an. Die Rayleighzone ist ira unteren Teil sehra~ert.

Die Gaui3moden propagieren im freien, isotropen Raum, anders als etwa die Wellen in einem dielektrischen Lichtleiter, die auf die inhomogenen optischen Eigenschaften des Wellenleiters angewiesen sind. Im isotropen Raum sind sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld transversal zur Ausbreitungsrichtung und die Wellenformen werden als Transversaler Elektrischer und Magnetischer Mode mit Indizes (m, n) bezeichnet. Die Grundl6sung tr~igt die Bezeichnung TEMoo-Mode. Sie ist die mit Abstand wichtigste Form aller verwendeten Wellentypen und soll daher nfiher analysiert werden, bevor wir uns den h6heren Moden zuwenden. 6Der Begriff,,Mode", der hier erstmals auftaucht, ist vom 1at. Modus, Marl, Melodie entlehnt und sollte im Deutschen besser als der Mode angesprochen werden.

50 2.3.1

2 Wellenoptik Der Gauflsche Grtmd- oder TEMoo-Mode

Die Darstellung der Feldverteilung ist in G1.(2.23) noch nicht sehr iibersichtlich. Deshalb ffihren wir die Ersetzung q(z) ---* z - izo explizit aus, 1

z + izo

1

2

q(z---) -- z 2 + z--~o-- R(z---) + i kw2(z-----~

,

(2.24)

und fiihren neue Gr6fien Zo, R(z) und w(z) ein. Die Zerlegung des Fresnelfaktors nach Real- und Imagin~teil erzeugt zwei Faktoren, einen komplexen Phasenfaktor, der die Kriimmung der Wellenfronten beschreibt, und einen reellen Faktor, der die Einhiillende des Strahlprofils wiedergibt: -

Die Form des Gaut3sehen Grundmodes in Abb. (2.7) wird durch das Para.meterpaar (wo, z0) vollst/indig charakterisiert. Folgende Begriffe haben sieh zur Beschreibung wichtiger Eigensehaften eingebiirgert: 9 R a y l e i g h z o n e , k o n f o k a l e r P a r a m e t e r b:

b = 2z0

Die Gaui3welle erf~hrt ihre gr6flte Anderung im Bereich des sogenannten Rayleigh-Parameters z0 aus G1.(2.24), fiir -z0 _< z _< z0. Dieser Bereich wird Rayleighzone genannt und h~ufig auch mit dem konfokalen Parameter b = 2z0 charakterisiert. In der Rayleighzone befindet man sich im Nahfeld des kleinsten Strahlquerschnitts oder Brennflecks (,,Fokus"). Bei z << z0 propagiert eine nahezu ebene Welle und die Wellenfront ~ndert sich nur geringffigig. Die Rayleighzone ist umso kfirzer, je starker ein Lichtstrahl fokussiert wird. Im Zusammenhang mit Abbildungen sprechen wir dabei auch vonder Tiefenschdrfe (s. Kap. 4.3.3). Im Fernfeld (z >> Zo) gleicht die Ausbreitung wieder der Kugelbzw. Dipolwelle. 9 R a d i u s d e r W e l l e n f r o n t e n R(z):

R(z) = z(1 + (Zo/Z) 2)

(2.25)

In der Rayleighzone gilt bei z << z0: R(z) ~- oc, im Fernfeld dagegen R(z) ~- z. Die grSfite Kriimmung oder der kleinste Radius der Wellenfronten tritt am Rand der Rayleighzone mit R(zo) = 2z0 auf. 9 Strahltaille 2Wo:

w2 = AZo/Ir

Strahltaille 2w0 bzw. -radius w0 (engl. waist) geben den geringsten Strahlquerschnitt bei z -- 0 an. Wenn die Welle sich im Medium mit dem Brechungsindex n ausbreitet, muff A durch A / n ersetzt werden. Der Durchmesser der Strahltaille betr~gt dann w~ = AZo/~rn.

2.3

Gaut3-Strahlen

51

9 S t r a h l r a d i u s w(z):

wa(z)--w2 1 +

In der Rayleighzone bleibt der Strahlradius nahezu konstant. Im Fernfeld dagegen nimmt er linear zu nach w(z) ~- WoZ/Zo. 9

f

Divergenz Odiv:

O d i v - - W__O __ t [

Zo

A

V7rZOn

Im Fernfeld (z >> b) l~t3t sich die Divergenz aus e(z) = w(z)/z,z ~ bestimmen. ~(z) = tan-l(z/zo)

9 G o u y - P h a s e ~?(z):

oc

(2.26)

Die Gaufiwelle erfghrt beim Durchgang dutch den Fokus etwas mehr Kriimmung als eine ebene Welle. Zur Verdeutlichung khnnen wir alternativ zu (2.24) und unter Verwendung von a +ib -- (a 2+ b2) 1/2ei t~n-1(b/a) auch die Ersetzung

i

q(z)

1 Wo _itan-l(z/zo) --

-

-

e

zow(z)

vornehmen. (Der imagin~ire Faktor stellt die iibliche Konvention her, bei z = 0 eine reelle Amplitude oder verschwindende Phase zu finden). Durch die Funktion ~?(z) wird dann die geringe Abweichung vonder linearen Phasenentwicklung der ebenen Welle beschrieben, -~r/2 < ~?(z) < ~r/2. Diese Extra-Phase ist unter dem Namen Gouy-Phase bekannt und wird zur Halfte in der Rayleighzone aufgesammelt. Das Gesamtresultat des Gaui3schen Grundmodes oder TEM00-Modes lautet mit diesen Bezeichnungen:

E(p,z) = Ao Wo _(p/w(z))2 jkp2/2n(z) j ( k z w(z)

~(z))

(2.27)

Der erste Faktor beschreibt die transversale Amplitudenverteilung, der zweite (Fresnel-)Faktor die kugelfhrmige Kriimmung der Wellenfronten und der letzte die Phasenentwicklung entlang der z-Achse. In der Physik und der optischen Technik wird in der iiberwiegenden Zahl aller Anwendungen ein Gaui3scher Grund- oder TEM00-Mode verwendet.

Beispiel: Intensit~it des TEMoo-Modes Die Intensit~tsverteilung in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung entspricht der bekannten Gaui3verteilung,

I(p,z) = ~ E E * =

~lAol 2

wo

e-2(p/w(z))2

52

2 Wellenoptik

mit dem axialen Spitzenwert

i(0,

o_ _lAol

Man gibt als ,,Querschnitt" eines Ganfistrahls im allgemeinen die Breite 2w(z) an, bei der die Intensit~it nur noch 1/e 2 oder 13% des Maximalwertes betr~igt. Innerhalb dieses Radius sind 87% der Gesamtleistung konzentriert. Entlang der z-Achse folgt die Intensit~it einem Lorentz-Profil 1/(1+(z/z0)2). Sie f~illt yon ihrem Maximalwert I(0,0) : (ce0/2)lA01u ab (Abb. 2.7) und erreicht bei z = z0 noch den halben Wert. Der konfokale Parameter b ist also auch ein Marl ffir die longitudinale Halbwertsbreite der Fokuszone. Die gesamte Energiestromdichte P : 27r f I(p, z)pdpz einer Gauflwelle kann sich wegen der Energieerhaltung nicht/indern, wie man auch durch explizite Integration nachprfifen kann, P / ceo = 2 1 r ~ w ~ f ~ Jo

2.3.2

pdp e _ 2 ( p / w ( z ) ) 2 = ~rWo.A2

Das A B C D - G e s e t z f'tir Gauflmoden

Die Niitzlichkeit der Gaufmoden bei der Analyse eines optischen Strahlengangs wird besonders durch eine einfache Erweiterung des aus der Strahlenoptik bekannten A B C D - G e s e t z e s (Kap. 1.9.2) gefSrdert. An jedem Ort z auf der Strahlachse kann ein Gaufstrahl entweder durch das Parameterpaar (w0, z0) oder alternativ den Real- und Imaginarteil von q(z) nach G1.(2.24) vollstandig charakterisiert werden. Wir wissen, daft die beiden Parameter eines Lichtstrahls nach Gl.(1.17) linear transformiert werden, und dab fiir jedes optische Element ein bestimmter Typ einer Matrix T mit den Elementen A B C D existiert. Die Parameter des Gaufstrahls werden durch lineare Operationen transformiert, deren Koeffizienten mit denen aus der Strahlenoptik identisch sind: Aqo + B ql = T | qo - Cqo + D

(2.28)

Es ist nun gar nicht so schwer zu zeigen, daft diese Operationen auch mehrfach angewendet werden kSnnen und dab die Gesamtwirkung T dem Matrizenpro-

2.3 Gaut3-Strahlen ^

53

^

dukt T2T1 entspricht: A Alqo ~2Clq~ C2Alqo lqo

q2 = T2 | (T1 |

+ + + +

B1 0 1 + B2 _ (A2A1 + B2C1)qo + ... B1 ... D1 + D2

Wir kSnnen also die Wirkung s/imtlicher Elemente wieder durch die schon bekannten Matrizen aus Tab. 1.2 beschreiben.

Beispieh Fokussierung mit einer dfinnen Linse Als ein wichtiges und instruktives Beispiel greifen wir die Wirkung einer diinnen Linse mit der Brennweite f heraus, mit der ein Gaufistrahl im TEM00Mode fokussiert werden soll, und vergleichen ihn mit den Vorhersagen der Strahlenoptik. Wir betrachten die Parameter der Welle in den Ebenen 1 (unmittelbar vor der Linse), 2 (unmittelbar nach der Linse) und 3 (im Fokus). E b e n e E l . Ein Gaufistrahl mit grofier Strahltaille 2w01 und unendlich grossem Krfimmungsradius R ( z -0) -- oc kommt unserer Vorstellung von einer ebenen Welle recht nahe. Dann ist iibrigens auch wegen zm -zcw~l/)~ die Rayleighl/inge recht grofi, z.B. misst sie bei einem Strahldurchmesser von nur 1 cm und einer Wellenl/inge von 632 nm schon 124 m! Daher nehmen wir an, daft die Strahltaille des einlaufenden Strahls bei z -- 0 liege und folglich q(z) rein imagin/ir sei,

Abb. 2.8 Fokussierung emes Gauj~strahls dutch eine diinne Linse der Brennweite f.

97rw21 q~ ---- - i z o ~ ---- - ~

A

E b e n e E2. Durch die diinne Linse ~ndert sich der Strahlradius nicht sofort (Wo2 -- Wol), wohl aber der Urfimmungsradius, der nun 1/R2 -- - 1 / f betragt: 1

1 -

q2(z = O)

f

1

§

Z0i

Man h/itte dasselbe Ergebnis auch durch formale Anwendung der Linsentransformation aus Tab. 1.2 und mit G1.(2.28) erhalten. E b e n e E3. Ftir die Translation v o n d e r Linse zum neuen Fokus gilt q3(g) ----q2(0) -t- g

,

54

2 Wellenoptik

aber die gPosition der Ebene 3 ist zun~chst unbekannt und muB aus der Bedingung bestimmt werden, dab q31 -- i)~/1rw23 dort wieder rein imagin~r wird. Dazu bestimmen wir Real- und Imagin~rteil von q2,

, q2 :

1 -J- (f/z01) 2

~01

Offenbar wird der Realteil von qa genau bei

f

_

1 + (f/zo1) 2

--

g__

f 1

+ ()~f/Trw21) 2

kompensiert, d.h. dort finden wir wieder ebene Wellenfronten. Nach der Strahlenoptik h~itten wir den Fokus genan bei g -- f erwartet. Wenn aber die Brennweite kurz ist gegen die Rayleighl~nge des einfallenden Strahls, f << z01 oder, was gewbhnlich der Fall ist, )~f/w21 << 1, dann wird sich die Lage des Brennpunktes nur sehr geringffigig davon unterscheiden. Interessanter ist die Frage, wie groB der Durchmesser des Strahls im Fokus ist. Wir wissen, dat3 die Strahlenoptik darauf keine Antwort gibt und dab wir Beugungseffekte an der Apertur der Linse berficksichtigen mfissen. Wir berechnen zunachst den Rayleigh-Parameter 1

zo3

I 1

f

+ (f/zoi) 2 f /zol

und bestimmen dann das Verhaltnis der Strahldurchmesser an der Linse und im Fokus,

w01

(2.29)

x/1 + (//zo~)2

\ z01 /

Ersetzen von l/z01 durch A/1rw~i liefert

Af ~03 =

~01

1

v/i

+ (~//~0~112

Af -

~01

'

und wir erhalten mit dem ersten Faktor das aus der Beugungstheorie bekannte Rayleighkriterium fiir das Auflbsungsvermbgen einer Linse, welches wir im Kapitel fiber Beugung (Kap. 2.5, Gl.(2.50)) noch einmal behandeln.

2.3 Gau6-Strahlen

2.3.3

55

H6here Gauflmoden

Ffir eine formale Behandlung der Gau~Moden zerlegen wir nun auch die Helmholtz-Gleichung (2.13) in transversale und longitudinale Beitr~ge, 02 V 2 + k 2 - Oz2 + V2T + k 2 und

02 02 V2T -- Ox 2 + Oy2

,

und wenden sie auf das elektrische Feld aus G1.(2.22) an. Wir gehen davon aus, da6 sich die Amplitude Jt auf der Wellenl~ngen-Skala nur sehr langsam ~ndert, ~--A -- ,4' << kA

Oz

erhalten die N~herung

022 .4 eikp2 /2z eikz Oz kz ~-- ( 2 i k A ' - k2A) eikp2/2z eikz kz und gewinnen schlie61ich die paraxiale Helmholtz-Gleichung, ( V 2 § 2ikff---~),4(p, z) = 0

(2.30)

Sie wird offensichtlich von .A -- const, erffillt. Das ist nicht weiter verwunderlich, denn wit haben damit nur best~tigt, dat3 die verwendete Kugelwelle in der N~he der z-Achse die paraxiale Helmholtzgleichung erffillt. Die niedrigste L6sung der paraxialen Helmholtz-Gleichung hatten wir durch Intuition und Konstruktion bereits gefunden (G1.(2.23)), der Grundmode ist aber nur eine, wenn auch eine besonders wichtige LSsung. Die hSheren LSsungen suchen wir als Varianten der schon aus G1.(2.27) bekannten GrundlSsung, das heit3t wir betrachten eine ortsabh~ngige Amplitude .A(x, y, z). Wir verwenden der Ubersichtlichkeit halber wieder q(z) = z - izo,

E(x,y,z) - ~4(x,y,z) exp (i k(x2 + y2)~ eikz q(z) \ /

'

(2.31)

und verwenden kartesische Koordinaten, die uns die bekanntesten LSsungen liefern, die als Hermite-Gaufl-Moden bezeichnet werden. Es gibt aber noch andere Klassen von LSsungen, zum Beispiel die Laguerre-Gaufl-Moden, (s. Aufg. 2.4) die man bei Verwendung von Zylinderkoordinaten {x,y} --* {r, ~} erh~lt. Die paraxiale Helmholtz-Gleichung (2.30) lautet

(02 2ikx 0 02 2ikyO O) ~x ~ + q(z---~Ox + ~ + q(z---~Oy + 2ik A(x,y,z) = 0

(2.32)

Wir suchen wie ffir den Grundmode Amplituden, die symmetrisch von x und y abh~ngen und in longitudinaler Richtung nur eine geringffigige Korrektur der

56

2 Wellenoptik

Phasenentwicklung verursachen: A(x, y, z) -- 7 ( x ) 0 ( y ) e x p ( - i ~ ( z ) ) Wit beriicksiehtigen 1/q(z) -- 2 ( 1 - iz/zo)/ikw2(z) und setzen diese Form ein in G1.(2.32). Wenn wir ausschliet31ich reelle LSsungen fiir 9r, G, 7-/fordern, entfallen imagin/~re Anteile und wir erhalten

1

[ 0 2 ~/x~ 1

c9 .~/x~]

4x

02

4

_-0

Aus der Erwartung heraus, daft sieh die transversale Amplitudenverteilung entlang der z-Aehse nieht/indert, nehmen wir die Variablentransformationen

u = v ' 2 x / w ( z ) und v = v ' 2 y / w ( z ) vor (Der Faktor v'~ dient dazu, die neuen Gleiehungen auf ihre Normalform zu bringen.): 1 1

~=(~) [7'(u)-2uT(u)]

[r162

+ ~

+ kw2(z)~'(z) = o

Durch diese Tranformation haben wir eine Koordinaten-Separation erreicht, und die Gleichung kann durch Eigenwert-Probleme gel6st werden kSnnen: 7'(u) 2uT(u) + 2mr(u) G"(v) - 2uG'(v) + 2nG(v) -

kw2(z)~'(z)

-

= 0 = 0

2(m + n) =

(2.33)

o

Die Gleichung fiir die (u, v)-Koordinaten ist als Hermitesche Differentialgleichung bekannt, ihre L6sungen werden als Hermite-Polynome Hj (x) bezeichnet, die nach den Rekursionsrelationen Hj+l(X) -- 2 x H j ( x ) - 2jHj_I(x) Hi(x) = (-) J e x2 ~dj (2.34) (e -x2 ) leicht zu bestimmen sind. Die niedrigsten Hermite-Polynome lauten H0(x) = 1

Hi(x) -- 2x

H2(x) -- 4x 2 - 2

Ha(x) = 8x 3 - 12x

Ihr Betragsquadrat gibt die transversale Intensit~tsverteilung an und ist in Abb. (2.9) ffir die niedrigsten Moden dargestellt. Sie bilden ein System orthonormaler Funktionen mit der Orthonormalit/itsbedingung

F

2

Hj(x)Hj,(x)e - x d x -

5jj,

2JT.v~

(2.35)

Die dritte Gleichung aus (2.33) wird von

7-l(z) -- (n + m)~(z)

(2.36)

2.3 Gau6-Strahlen

57

Abb. 2.9 TransversaleIntensitiitsverteilungniedrigerHermite-Gauss-Moden ~.Am (x, y)12 =

IHm(x)H.(y)12). mit rl(z) = tan-l(z/zo) (G1.(2.26)) gel6st. Sie erhSht die Phasenverschiebung der Gouy-Phase und spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Resonanzfrequenzen optischer Resonatoren (s. Kap. 5.6). Das Ergebnis fiir die ortsabh/ingige Amplitude fiir hShere Gaug- oder TEMm~-Moden in G1. (2.31) lautet also

e-i(m +

n)?](z)

und fiir das Gesamtergebnis nach Einsetzen, mit p2 = x 2 + y2 und den Bezeichnungen ftir Wo, w(z) und R(z) aus Abschn. 2.3.1:

\w(z) ] x

kw(z) ] ~(z) e

(2.37)

eikp2/2R(z) ei( kz - (m + n + 1)rl(z)).

Insbesondere wird natiirlich das Ergebnis fiir den TEM00-Mode, .A00=const., reproduziert. Alle Moden werden von einer gau6fSrmigen Einhiillenden beschrieben, die aber durch die Hermite-Polynome moduliert wird. Man spricht deshalb von Hermite-Gaufl-Moden. Man mag sich noch die Frage stellen, weshalb wir die kartesische Form der paraxialen Helmholtz-Gleichung gew/ihlt haben, und weshalb eigentlich die zylindersymmetrischen LSsungen selten auftauchen. Der Grund ist technischer Natur, denn die Spiegel und Fenster im Innern realer optischer Resonatoren zeigen immer geringe Abweichungen von der Zylindersymmetrie, so daft die kartesischen Gau6moden gegeniiber den Laguerre-Moden, die man als LSsung der Gleichungen mit zylindrischer Symmetrie findet, gewShnlich bevorzugt werden.

58

2.3.4

2 Wellenoptik

Erzeugung von Gauft-Moden

Abb. 2.10 Gauflmoden hoher Ordnung aus einem einfachen Titan-Saphir-Laser. Der TEM4s,o-Mode ist geringfiigig verkleinert worden. Die Asymmetrie der hohen Moden wird dutch technische Ungenauigkeiten der Resonatorelemente (Spiegel, Laserkristall) verursacht. [167] In den meisten Experimenten ist man an dem TEM00-Grundmode interessiert. Er ist in einem Laserresonator yon Natur aus bevorzugt, well er die geringsten Beugungsverluste aufweist: nach Abb. (2.9) ist klar, dab die effektive Flache eines Modes mit den Ordnungen (m, n) w~chst, so daft die Offnungen eines Resonators (Spiegelr~nder, Aperturen) wachsende Bedeutung erhalten. Weft andererseits auch das r~umliche Verst~rkungsprofil mit dem gewiinschten Mode optimal iibereinstimmen rout3, kann man dutch absichtliche Fehljustierung eines Resonators Moden bis zu sehr hoher Ordnung erzeugen (Abb. (2.10)). Die kontrollierte Formung von Lichtfeldern kann auch durch geeignete Filterung erreicht werden; dabei spricht man yon einer r~umlichen Filterung (engl. spatial filter). Ein solches Raumfilter ist in Abb. 2.11 gezeigt, es besteht

Abb. 2.11 Rdumliche Filterung. Vor der Blende besteht der Strahl aus einer Uberlagerung vieler Gaufl-Moden. Am Beispiel der TEMm ist dargestellt, wie hShere Moden durch die Blende unterdriickt werden. Die Felder in den beiden Ohren des Modes schwingen mit entgegengesetzter Phasenlage.

in seiner einfachsten Form aus einer Fokussierungslinse (zum Beispiel einem Mikroskop-Objektiv) und einer Lochblende (engl. p i n hole), deren Durchmesser auf den TEM00-Grundmode abgestimmt ist.

2.4 Polarisation

59

Die Transmission hSherer Gaufi-Moden wird durch die Blende nicht nur verhindert, weil deren Durchmesser mit der Ordnung schnell ansteigt, sondern sie wird auch dutch die r~umlich alternierende Phasenverteilung unterdrfickt. Die Blende wird deshalb nicht dipolartig erregt wie bei dem TEM00-Grundmode, sondern mit einer hSheren Ordnung, deren Abstrahlung bekanntlich schwacher ist. Auf der Ausgangsseite propagiert ein ,,gereinigter" Gaut3strahl, der selbstverst~ndlich an Intensit~t verloren hat. Besonders gute Unterdriickung hSherer Moden wird erzielt, wenn statt der Lochblende ein Einmoden-Wellenleiter verwendet wird (s. Kap. 3.3).

2.4

Polarisation

Wir haben schon im vorherigen Abschnitt festgestellt, dab elektromagnetische Wellen Vektorwellen sind, deren Richtung im freien Raum mit zwei orthogonalen Polarisationsvektoren e, e ~ beschrieben wird 7. Wir betrachten eine transversale Welle, die sich in ez-Richtung ausbreitet. Die Polarisation muff in der xy-Ebene liegen (Einheitsvektoren ex,y), und wir betrachten zwei Komponenten, deren zeitliche Phasen voneinander abweichen kSnnen, E(z, t) = gxe~ cos (kz - wt) + gyey cos (kz - wt + r

(2.38)

Ffir r = 0, -4-~, -4-27r,... sind die Komponenten phasengleich und die Welle ist linear polarisiert, E(z, t) -- ($~e~ -4- Cyey)cos (kz - wt). Ffir r -- -4-~r/2, +37r/2,... oszillieren sie gerade aufier Phase und ergeben eine im allgemeinen elliptische, flit C~ = Ey zirkular polarisierte Welle: E(z, t) = •ex cos (kz - wt) • ~yey sin (kz - wt). Man kann die Feldamplitude statt nach G1.(2.38) auch in der Form E(z,t) =

Ecos(aex+bey)eos(kz-wt+a)+ +~sin(-bex +aey) sin ( k z - w t +a).

mit a 2 + b2 -- 1 darstellen, die der um den Winkel a verdrehten Ellipse in Abb. 2.13 entspricht. Durch Koeffizientenvergleich bei ( k z - wt) = ~ r / 2 , - r kann man den Winkel a ausrechnen,

tan 7S. Fut3note S. 36.

- 2&E cosr

(2.39)

60

2 Wellenoptik

Abb. 2.12 Das Feld der zirkular polarisierte Welle (links) rotiert iiberaU mit gleicher Amplitude um die Ausbreitungsachse. Die linear polarisierte Welle (rechts) ist eine gew6hnliche Sinuswelle. In Abb. 2.13 ist aufierdem die Zerlegung der linearen u n d der elliptischen Polarisation in zwei zirkulare Wellen vorgestellt.

Abb. 2.13 (a) Elliptisch polarisierte WeUe. Die linear polarisierte Welle (b) kann in zwei gegensinnig zirkulare Wellen mit gleicher Amplitude, die elliptische Welle (c) mit unterschiedlicher Amplitude zerlegt werden

2.4.1

Jones-Vektoren

Ganz allgemein k5nnen wir jede transversal polarisierte Lichtwelle entweder in zwei linear oder zwei zirkular orthogonale Wellen zerlegen. Zum Beispiel findet man fiir das Feld aus GI.(2.38): E ( z , t ) ---- ~e(Cxex + ~yeiCey)e -i(~t-kz)

--

~ e

{(Ez-ieiCEy)e+ + (Ez +ieiCEy)e- } e -i(~

--

]{e {E+e-ia+e+ + E _ e i a - e _ } e -i(~

,

wobei zwei neue kolnplexe A m p l i t u d e n C• Ti"• -- (CxTieir definiert wurden. Die Phasenwinkel a • h a n g e n m i t G1. (2.39) nach a = (a+ + a _ ) / 2 z u s a m m e n . Fiir r = 7r/2 findet m a n z. B. speziell E• = (E~ 4 - E y ) / v ~ , d.h. fiir E~ = Sy eine perfekt rechtsh~ndig zirkular polarisierte Welle. R. Jones h a t 1941 [88] die o r t h o g o n a l e n k o m p l e x e n E i n h e i t s v e k t o r e n

e+ = (e~ + iey)/v/2 e_ ---- (ex -- i e y ) / x / 2

und

e~ -- (e+ + e _ ) / v ~ ey ---- --i(e+ -- e _ ) / x / ~

2.4 Polarisation

61

zur Charakterisierung der Polarisation vorgeschlagen: e~,u vorzugsweise ffir linear, alternativ e• ffir zirkular polarisierte Komponenten. In Komponentenschreibweise erhalten wir

e~=

0

ey=

(0) 1

e•

+i

"

Wir k6nnen sofort zeigen, daft jede linear polarisierte Welle in zwei gegensinnig zirkular polarisierte Wellen zerlegt werden kann, i

-i

=

o

Optische Elemente, die zum Beispiel wie VerzSgerungsplatten auf die Polarisation wirken, kSnnen in diesem Formalismus sehr einfach mit Jones-Matrizen beschrieben werden (s. Kap. 3.7.4).

2.4.2

Stokes-Parameter mad Poincar~-Kugel

Im Experiment werden gewShnlich Intensits gemessen, also Is 2 und nicht die Amplituden E~,y. Aufterdem nimmt jeder Detektor eine Mittelung fiber eine typische Zeit T vor, (IEx,ul2)T. Der Jones-Formalismus ist nur dann sinnvoll verwendbar, wenn aus dieser Messung auch die Amplitude direkt entnommen werden kann, das ist nur ffir idealisierte, perfekt polarisierte Felder der Fall, nicht ffir (im zeitlichen Mittel) nur teilweise oder gar nicht polarisierte Felder.

Abb. 2.14 Stokes-Parameter und -Vektoren fiir ausgewiihlte Polarisationszustdnde. Von links nach rechts: Linear x polarisiert, linear y polarisiert, unpolarisiert, rechtshgndig zirkular polarisiert. Das | deutet an, daft die Propagationsrichtug (die k-Vektoren) aus dem Bild herauszeigt.

Zur vollst~ndigen Charakterisierung des Polarisationszustandes einer Welle kSnnen die Intensitgten fiir zwei orthogonale Komponenten (z. B. e~,y oder e• sowie deren relative Phase verwendet werden. G. G. Stokes (1819 - 1903) hat vorgeschlagen, die GrSften = (E~_) + (E~_) So = (E:) + (E~) = (2E+E_) cos 2~ = S0cos(2"y) cos(2a) (2.40) $1 = (E:) - (E~) $2= (2E~Ey) cos r = (2E+E_) sin2a = 8o cos(2~) sin(2~) $ 3 = (2E~s sin r = (E~_) - (E~_) = So sin(2~/)

62

2 Wellenoptik

zur Charakterisierung zu verwenden. Die geometrische B e d e u t u n g des Winkels ist schon aus Abb. 2.13 bekannt, den Winkel 9' besprechen wir hier. Der erste P a r a m e t e r So ist proportional zur Intensitat. Wenn m a n die g - P a r a m e t e r auf si = g i / g o normiert, gilt stets So = 1 u n d aufierdem Y -- s 2 + s 2 + s 2 _< 1

(-- 1 fiir vollst~ndig polarisiertes Licht)

Man erkennt, dat3 es nur drei unabh~ngige P a r a m e t e r gibt. Ferner gilt bei der 0 b e r l a g e r u n g zweier Wellen nach d e m Superpositionsprinzip ffir die StokesP a r a m e t e r g" -- g § S ~. Die ,,Zirkularit~t" einer Welle kann offenbar durch das Achsenverh~ltnis der Ellipse aus Abb. 2.13 angegeben werden, die GrSt3e

g++g_

tang" - g+ _ g _

variiert zwischen § ffir rechtsh~ndige u n d -1 fiir linksh~ndig zirkular polarisierte Wellen. H. Poincar@ (1854-1912) hat vorgeschlagen, den Winkel t a n (29') -( g 2 _ g 2 ) / ( 2 g + $ _ ) z u r Charakterisierung zu verwenden u n d damit den Parametersatz aus der 3. Spalte in G1. (2.40) erhalten, der offenbar den Kugelkoordinaten eines dreidimensionalen Vektors entspricht. Jeder Polarisationszustand eines perfekt polarisierten Lichtfeldes wird danach durch genau einen P u n k t auf der sogenannten Poincar@-Kugel festgelegt, s

Abb. 2.15 DarsteUung eines Polarisationszustandes auf der Poincard-Kugel. Die linear polarisierten Lichtfelder befinden sich am Aquator, zirkulare an den Polen.

SWir werden im Kapitel fiber Licht und Materie (Kap. 6) sehen, dab diese Struktur in den Blochvektoren der analogen atomaren Zwei-Zustands-Systeme wieder auftaucht.

2.5 Beugung

2.4.3

63

Polarisation und Projektion

Eine ganz erstaunliche Eigenschaft der Polarisation l~Bt sich mit Polarisationsfolie sehr anschaulich vorffihren. Polarisationsfolie erzeugt aus unpolarisiertem polarisiertes Licht, indem eine Polarisationskomponente, die parallel zur Vorzugsrichtung kettenartiger organischer Molekfile in der Folie schwingt, absorbiert wird. Weitere Polarisationskomponenten werden wir im Kapitel fiber Wellenausbreitung in Materie (Kap. 3) behandeln. In Abb. 2.16 ist links dargestellt, dab zwei gekreuzte Polarisatoren zur AuslSschung der Transmission ffihren. Etwas fiberraschend ist es aber schon, wenn man einen weiteren Polarisator mit 45 ~ Polarisationsrichtung zwischen die beiden anderen schiebt, und dann ein Viertel des vom ersten Polarisator transmittierten Lichtes (bei Vernachl~issigung yon Verlusten) auch durch den orthogonalen Polarisator hindurchtritt! Die Polarisation des elektromagnetischen Feldes wird auf die Durchlat3richtung des Polarisators ,,projiziert", der Polarisator Intensit~t.

2.5

Abb. 2.16 Transmission gekreuzter Polarisatoren. Die Schraffur deutet die Polarisationsrichtung an. Im unteren Bild ist der dritte Polarisator unter 45~ zwischen die beiden anderen eingeschoben.

wirkt auf das Feld und nicht auf die

Beugung

Die Lichtbeugung hat bei der Entwicklung der Wellentheorie des Lichtes eine wichtige Rolle gespielt. Selbst berfihmte Physiker haben lange bezweifelt, daft das ,,Licht wie der Schall um die Ecke komme", aber schon Leonardo da Vinci (1452-1519) wut3te, dab auch in den Schatten eines beleuchteten Objektes Licht f~llt - entgegen den Vorhersagen der geometri- Abb.2.17 Huygens Prinzip: Beugung an einer schen Optik. Blende. C. Huygens hat der Wellentheorie eine erste anschauliche Vorstellung verliehen, indem er jeden Punkt des Raumes als Erreger einer neuen Welle auffat]te. Die allgemeine mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips ist allerdings extrem aufwendig, weil die elektrischen und magnetischen Strahlungsfelder

64

2 Wellenoptik

Vektorfelder sind, E = E(x, y, z, t) und B = B(x, y, z, t). Es gibt bis heute nur wenige in Allgemeinheit gelSste Beispiele, zu den Ausnahmen z~hlt das von A. Sommerfeld (1868-1951) 1896 gelSste Problem der ebenen Wellenausbreitung an einer unendlich diinnen Kante. Eine enorme Vereinfachung wird erzielt, wenn wir die vektoriellen durch skalare Felder ersetzen, wobei wir den Giiltigkeitsbereich der N~iherung abstecken miissen. Zu unserem Vorteil breiten sich Lichtstra.hlen h~ufig mit nur geringen Richtungs~inderungen aus. Die Polarisation andert sich dann nur geringfiigig und die skalare N~iherung beschreibt das Verhalten ganz ausgezeichnet.

2.5.1

Skalare Beugungstheorie

Wir betrachten in diesem Kapitel 9 ausschliefllich die Ausbreitung monochromatischer Wellen: l~ E ( r , t ) = g ( r ) e -i~vt Es ist unser Ziel, das Huygenssche Prinzip mit den Mitteln der Mathematik in skalarer N~herung zu erfassen, indem wir das Superpositionsprinzip verwenden: Das totale Lichtfeld C(rp) an einem P u n k t P (Abb. 2.18) setzt sich aus der Summe aller Beitrs der einzelnen Quellen Q, Q~, ... zusammen. Wir wissen bereits, daft Kugelwellen aus einer punktfSrmigen Quelle Q die skalare Form aus G1. (2.20) besitzen, Abb. 2.18 Das Lichtfeld bei P wird yon den Quellen Q, Q', Q', .. gespeist.

g = gQeikr/kr

Um die auf den P u n k t P einstrSmenden Felder zu erfassen, betrachten wir die Quellen auf der Flache S und ihre Wirkung auf ein sehr kleines Volumen mit der Flache S t u m P herum (Abb. 2.19). Wir kSnnen uns dabei das aus der Mathematik wohl bekannte Greensche Integraltheorem zunutze machen, das fiir zwei LSsungen r und r der HelmholtzGleichung (2.13) die Form annimmt -

: o

Wir setzen e~kr/kr und g(rp) fiir r und r ein und schneiden in Abb. 2.19(a) eine Kugel mit sehr kleinem Radius r' und Oberfl~chenelement d S ' = r2df~'er 9Dieses Kapitel ist mathematisch etwas anstrengender. Man kann es fiberschlagen und nur die Resultate Gleichungen (2.46) und (2.47) verwenden. l~ Behandlung setzt raumliche und zeitliche Koh~renz der Lichtfelder voraus, die wir im Kapitel fiber Interferometrie n~her behandeln werden (Kap. 5).

2.5 Beugung

65

Abb. 2.19 Kirchhoffs Theorem. (a): Wahl der Flgchen zu GI.(2.41). (b): Die Fliiche S wird

vonder Quelle Q erregt und strahlt auf den Punkt P. u m den P u n k t P aus, u m sie dort z u s a m m e n zu ziehen,

Auf der kleinen Kugel u m den P u n k t P gilt dS' ]1 er u n d daher V $ 9 dS' = (Os '. Ferner nutzen wir - V e ikr /r = (1/r 2 - ik/r)eikrer u n d finden

[

VE-

[

Ev Jk -

-

dS

=

r

(2.41)

Wir lassen nun den Radius des Volumens u m P h e r u m immer kleiner werden (r ~ O) u n d kSnnen mit

!

--

~

= 47rg(rp)

das Kirchhoffsche Integraltheorem begriinden:

$(rp)=l

Feikr eikr ] Js [ - - - ~ - V E - E V - - - ~ - J dS

(2.42)

In seiner immer noch relativ groi3en Allgemeinheit macht das Kirchhoffsche T h e o r e m nicht den Eindruck, besonders nfitzlich zu sein. Wir wollen deshalb weitergehende Ns studieren u n d wenden es zu diesem Zweck auf eine Punktquelle Q an (Abb. 2.19(5)). Wir n e h m e n an, dab sich von dort eine skalare Kugelwelle der Form

$(p,t) = ~ppei(kp - wt)

66

2 Wellenoptik

ausbreitet. Wir verwenden Kugelkoordinaten und setzen in G1.(2.42) die Kugelwelle zun~chst einfach nur ein, e(rp) =

~gQ k Js ~I~(

O~p( ~ ) ) e p

eikp (0 [eikr~ ] dS.

-

-

-

p

Orr ~,~--)) er]

Dann nutzen wir die N~herung

oeikP-k2eikp(i

1 )"eikpik

op

(kp)

-

p

(2.43) '

fiir p und r. Sie wird schon im Abstand von wenigen Wellenl~ngen wegen kp >> 1 sehr gut erfiillt. Dann kann man auch das Kirchhoff-Integral (2.42) noch einmal entscheidend vereinfachen, E(re)

-

igQ ~ eik( r + P)N(r,p)dS rp

(2.44)

wobei wir den ,,Neigungsfaktor" N(r, p), der auch Stokes-Faktor genannt wird, eingefiihrt haben: N(r,p) =

ere8 - epe8 1 2 = - ~ ( c o s (r, e ~ ) - cos (p, es))

(2.45)

Abb. 2.20 Zur Interpretationdes Neigungsfaktors.Links: GeometrischeRelationen.Rechts: Winkelabhdngigkeityon N(r, p IIe~)--(l+cos(r Um den Neigungsfaktor und seine Bedeutung zu verstehen (bzw. um ihn in den meisten F~llen durch den Wert ,,1" zu ersetzen) betrachten wir Abb. 2.20. Dabei nutzen wir schon ein realistischeres Beispiel, in welchem sich die Strahlen eher achsnah, das heit3t in der N~he der Verbindungsachse von Q nach P ausbreiten. Die ,,Erregung", die vom Fl~chenelement dS ausgeht, k6nnen wir mit dgs = (gQ/kp)exp(ikp)cos(p,e~)dS, den ,,Beitrag" bei P mit dEp = dgs cos (er, e s ) e x p (ikr)/r angeben und finden damit genau die Faktoren aus G1.(2.44).

2.5 Beugung

67

Eine bemerkenswerte Eigenschaft des Neigungsfaktors ist die Unterdriickung der Strahlung in Riickw~rtsrichtung, nach G1.(2.45) gilt n~mlich N ~ 0 ffir ep ~ erl Ffir achsnahe Strahlen in Vorw~rtsrichtung finden wir dagegen N --* 1, und auf diesen h~ufigen Fall wollen uns im Folgenden beschr~nken. Der rechte Teil von Abb. 2.20 zeigt die vollst~ndige Winkelverteilung des Neigungsfaktors ffir eine ebene einfallende Welle mit p = es. Wir betrachten nun nur noch die Ausbreitung achsnaher Strahlen fiir N --- 1 in der Geometrie und mit den Bezeichnungen von Abb. 2.21. Wir nehmen ferner

Abb. 2.21 Fraunhofer-Beugung fiir N~I. an, da6 die Fl~che S mit einer ebenen Welle ausgeleuchtet werde. Dann ist die Feldst~rke Es ~- ~Q/kp konstant, aber die Intensit~tsverteilung kann durch eine Transmissionsfunktion T(~, 7]) charakterisiert werden (die grunds~tzlich imagin~r sein kann, wenn Phasenverschiebungen verursacht werden). Nach G1.(2.44) kSnnen wir fiir die Feldst~rke am Punkt P berechnen nach $(rp) -

iCs e ikr -~ Is T(~, ~)---~d~d~]

(2.46)

Auch dieses Ergebnis ist ffir eine allgemeine Behandlung noch zu schwierig. Weitere N~herungen werden aber durch den Umstand erleichtert, dab der Abstand des beugenden Objekts vom Beobachtungsraum im allgemeinen grofi ist gegen die Wellenl~nge und gegen die transversalen Dimensionen, die in Abb. 2.21 durch den Kreis mit Radius a in der Ebene des beugenden Objekts markiert sind. Die Abstande r und r0 driicken wir nun in den Koordinaten der jeweiligen Ebenen aus, r 2--(x-~)2+(y-7)2+z

2 und

r~----x 2 + y 2 + z 2

Wir betrachten r als Funktion von r0, )

'

68

2 Wellenoptik

und entwickeln r mit n~ = -kx/ro und ny = -ky/ro, I

r = ro 1+

2 ( n~+nyrl ~2+r] 2 ) r--~o ~- r~ 1+ kro + 2r---~o "

2(n~+nyr])~2+r]

kro

+

Der Phasenfaktor in G1.(2.46) zerfgllt dann in drei Beitr~ige, exp ikr --~ exp ikro exp i( n ~ + nyr]) exp

2r0

Der erste Faktor liefert lediglich einen pauschalen Phasenfaktor, der zweite ist linear von den transversalen Koordinaten in der beugenden und der Beobachtungsebene abh/ingig, der letzte nur von den Koordinaten der beugenden Ebene. (Er ist uns schon als ,,Fresnel-Faktor" bei der Behandlung von Gaut3Strahlen (s. S. 48) begegnet.) In vielen Experimenten weicht der Fresnelfaktor wegen ka2/ro << 1 nur wenig von 1 ab. Er liefert deshalb das Unterscheidungsmerkmal ffir die beiden wichtigen Beugungs-Grundtypen, die Fraunhofer- und die Fresnel-Beugung (r0 -~ z): (i)

Fraunhofer-Beugung

(ii) Fresnel-Beugung

a 2 << )~z/Tr

a 2 > ~z/Tr und

(2.47) a << z

Die Beugungsph~nomene haben seit dem friihen 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Wellentheorie des Lichtes gespielt und sind bis heute mit den Namen von Joseph von Praunhofer (1787-1826) und Augustine Jean Fresnel (1788-1827) eng verkniipft. Der Radius a -- ~~/r~-z-/Tr definiert in der beugenden Ebene den Giiltigkeitsbereich der Fraunhofer-N/iherung. Man sagt, daft das Objekt in diesem Fall vollst~ndig in der ersten Fresnel-Zone liegt (s. auch S. 78). Wenn man den Abstand zum beugenden Objekt z nur genfigend grog wahlt, gelangt man iibrigens immer ins Fernfeld, in welchem die Fraunhofer-Bedingung gilt.

2.5.2

Fraunhofer-Beugung

Die Fraunhofer-N~iherung wird im Fernfeld eines beugenden Objekts (z.B. eines Spaltes) angewendet, wenn die Bedingung (2.47(i)) erfiillt ist. Bei achsnahen Strahlen kSnnen wir den Faktor 1/r ~- 1/ro ~- 1/z ersetzen, so dab wir nach dem Einsetzen der N~iherungen in G1.(2.46) den Ausdruck erhalten C(rp) -

iEseikro ~z fs T(~'~)ei(nx~ + nYrl)d~dr]

(2.48)

2.5 Beugung

69

Im Phasenfaktor behalten wir aber r0 bei, exp

(ikro) ~- exp (ikz) •

exp \

ik(x 289+ y2) )

'

(2.49)

weil hier auch kleine Abweichungen zu einer schnellen Phasenrotation filhren kSnnen, die dann bei Interferenzph~nomenen eine wichtige Rolle spielen. Die Feldamplitude am Punkt P hat danach die Form einer Kugelwelle, die mit dem Fourierintegral T(t~x, t~y) der Transmissionsfunktion ~-(~, 7) moduliert ist,

fF Die Fouriertransformation hat nieht zuletzt wegen ihrer Bedeutung in der Behandlung optischer Beugungsprobleme ihren Siegeszug durch viele Bereiehe der Physik angetreten. Wir wollen nun einige wiehtige Beispiel behandeln.

Beispiele: Fraunhofer-Beugung 1. Beugung am langen Einzel-Spalt Wir betrachten den langen, quasieindimensionalen Spalt (Abb. 2.22, Breite d = 2a) und nehmen wieder an, daft die Beleuchtung homogen ist. Weil wir mehrere N~herungen im Hinblick auf die Strahlenausbreitung eingefiihrt haben (z.B. Neigungsfaktor N = 1), kSnnen wir den eindimensionalen Fall nicht ohne Weiteres dutch Integration der 7-Koordinate in G1.(2.48) von - c ~ nach c~ gewinnen. Stattdessen muff man das Konzept des Kirchhoffschen Integral-Theorems ffir eine linienfSrmige Abb. 2.22 Beugung am langen Spalt. (statt einer punktfSrmigen) Quelle ausarbeiten. Von einer linienfSrmigen Quelle geht eine Zylinderwelle aus, deren Intensit~t nicht mehr wie 1/z 2 bei der Kugelwelle, sondern nut noch mit 1/z abf~llt. Es stellt sich dann heraus, daft das Ergebnis sehr ~hnliche Struktur besitzt. Die Amplitude der Zylinderwelle muff mit 1/v/-z abfallen und die eindimensiohale Variante von G1.(2.48) hat die Form

iC~eikro -

JS

70

2 Wellenoptik

Im Fall des linearen, unendlich langen Spaltes hat die Transmissionsfunktion die einfache Gestalt ~-(~) -- 1 ffir I~1 ~ d / 2 und ~-(~) -- 0 sonst. Man berechnet ~(X)

--

i~seikr~

a

9

sin ( k x a / z )

d e ikr~

Die Intensitatsverteilung I ( x ) c( I$(x)l 2 ist in Abb. 2.22 vorgestellt und zur Verdeutlichung in der Grauskala leicht verzerrt worden. 2. Beugung am ,,Gau~Transmitter" Wir betrachten eine GauBsche Amplitudenverteilung, die man zum Beispiel durch ein Filter mit gaut3fSrmigem Transmissionsprofil aus einer ebenen Welle erzeugen kSnnte. Andererseits kSnnen wir auch gleich den Gaut3strahl aus Kap. 2.3 benutzen und nur in Gedanken eine Blende einffigen - das physikalische Resultat ist das gleiche. Auf einem Schirm hinter der Blende mut3 die Intensit~tsverteilung durch die Beugung an dieser fiktiven Blende zustande gekommen sein! Wir verwenden die Form und Bezeichnungen aus Kap. 2.3 mit der fiktiven Transmission 2 =

Das Beugungsintegral .

Abb. 2.23 Beugung am ,,GauflTransmitter".

g(x) = i g o - -oJk

~

eikro

.

-(~/Wo) 2

kann mit f_~d~exp (-(~/Wo) 2) exp ( i t ~ ) -x/~Wo exp (-(a~Wo/2) 2) ausgewertet werden und wir finden unter Verwendung der Bezeichnungen yon S. 50 (Strahltaille Wo, L~nge der Rayleighzone Zo usw.): co

ikz e ikx /2z e

Die letzte N~herung gilt im Fernfeld (z >> z0) und man findet mit geringen Umformungen, dat3 sie dort exakt dem Gaui]-TEM00-Mode aus Kap. 2.3 entspricht. Tatsachlich h~tte man die Suche nach stabilen Moden in einem Spiegeloder Linsensystem auch vom Standpunkt der Beugung beginnen k6nnen: Die Amplitudenverteilung mut3 eine selbsterhaltende LSsung (oder EigenlSsung) des Beugungsintegrals sein, sie ist ,beugungsbegrenzt". Allerdings sind Integralgleichungen in der Lehre weniger beliebt, deshalb wird fiblicherweise der

2.5 Beugung

71

komplement/ire Weg fiber die Differentialgleichungen nach Maxwell beschritten. In unserer Behandlung haben wir fibrigens die x- und y-Koordinaten ganz getrennt voneinander behandelt. Die Wellenausbreitung nach der Gaut3schen Optik findet deshalb auch unabh~ngig in x- und y-Richtung statt, eine wichtige Voraussetzung ffir optische Systeme, bei denen die axiale Symmetrie gebrochen ist, wie zum Beispiel in Ringresonatoren. 3. Beugung an der Kreisblende Ein weiteres, ffir die Optik aufJerordentlich wichtiges Element der Beugung ist die Kreisblende, denn an allen kreisfSrmigen optischen Elementen, zu denen zum Beispiel auch Linsen z~hlen, findet Beugung statt. Wir werden sehen, dat3 durch die Beugung an diesen Blenden zum Beispiel die AuflSsung optischer Instrumente begrenzt wird, dab Beugung eine fundamentale Grenze ihrer Leistungsf~ihigkeit, die sogenannte Beugungsgrenze (engl. diffraction limit) verursacht. Wir ffihren Polarkoordinaten ein, ( p , r der (~/,~)-Ebene der Blende und (r,r in der (x,y)-Ebene des Schirms. Das Beugungsintegral aus G1.(2.48) lautet in diesen Koordinaten

9 eikro

$(r) = - , e S ~ z

a 21r fo pdP fo de e - i ( k r p / z ) c ~ 1 6 2 1 6 2

Es kann mit den mathematischen Beziehungen ffir Bessel-Funktionen,

Jo(x) = ~1 fo 2'~exp(ixcos(r162 und

Z d~'x'Jo(~')

=~J~(~)

,

ausgewertet werden. Das Ergebnis lautet: E(r) = -~es~ ~kro kay Jl(kaAz)

z (kar/z)

Das zentrale Beugungsmaximum wird aueh Airy-Seheibehen genannt (nieht zu verweehseln mit der Airy-Punktion!).

Abb. 2.24 Beugung an

kreisfOrmigenLochblende.

Die Intensit/itsverteilung wird dureh Betragsbildung ermittelt,

(2Jl(kar/z)) 2 z(~)= I(r=o) • \ kar/z

der

72

2 Wellenoptik

Der Radius fAiry des ,,Airy-Scheibchens" wird durch die erste Nullstelle der Besselfunktion Jl(x = 3, 83) = 0 definiert. Aus karAiry/ro ---- 1, 22-~r = 3, 83 erh~lt man den Radius z~ fAiry : 1, 22 ~ 2a Mit diesen Angaben kSnnen wit bereits das Rayleighkriterium fiir den Fokusdurchmesser einer Linse mit Durchmesser 2a ---, D und Brennweite z --* f ermitteln,

fAiry • 1,22--~

,

(2.50)

das bis auf geringfiigige konstante Faktoren mit dem Ergebnis aus der Behandlung Gaufischer Strahlen fibereinstimmt (s. S. 54).

2.5.3

Optische Fouriertransformation, Fourier-Optik

Abb. 2.25 Eine Linse als optischer Fouriertransformator. Durch eine zweite Linse kann das Bild rekonstruiert werden. Die Eigenschaften des Bildes kSnnen im Fourierraum, d.h. in der Fourierebene manipuliert werden.

Nach G1. (2.48) erzeugt ein beugendes Objekt im Fraunhofer-Fernfeld eine Feldverteilung, die der Fouriertransformierten der komplexen Amplitudenverteilung in der Objektebene entspricht und eine Funktion der Ortsfrequenzen t% -- - k r l / z bzw. ~ -- - k ~ / z ist. Eine Sammellinse fokussiert parallel einfallende Strahlen und verlegt die Fouriertransformierte der Amplitudenverteilung in die Brennebene bei der Brennweite f (Abb. 2.25): $(~,7,~) = =

.A(~,~) ~T(x,y)ei((~'7 x + tc~Y)dxdy

2.5 Beugung

73

Zur Betrachtung eines Fraunhofer-Beugungsbildes setzt man daher geschickterweise eine Linse (direkt nach dem beugenden Objekt) ein, um den Arbeitsabstand gering zu halten. Man kann zeigen, daft der Faktor A(T/, ~) unabhangig yon (r/, ~) wird, falls sich das beugende Objekt in der vorderen Brennebene befindet. Wenn man unter diesen Umstanden die Intensitatsverteilung I(~?,~) ~ [s162 2 c< ].T'{s 2 studiert, erhalt man offenbar ein Leistungspektrum in den Ortsfrequenzen des beugenden Objekts. Die Fouriertransformation eines beugendes Objekts durch eine Linse ware aber nicht so spannend, bildete sie nicht die Grundlage der Abbeschen Theorie der Abbildung im Mikroskop (s.S. 158) oder allgemeiner der F o u r i e r - O p t i k [109]. Deren Behandlung geht fiber den Rahmen dieses Buches hinaus, wir wollen aber, ohne in die Einzelheiten zu gehen, anhand von Abb. 2.25 darauf hinweisen, dab eine zweite Linse die Fouriertransformation der ersten Linse wieder rfickgangig macht oder invertiert. In der Brennebene der ersten Linse, der Fourierebene, kann nun das Bild manipuliert werden. Durch schlichtes Ausblenden (Amplitudenmodulation) kSnnen bestimmte unerwfinschte Fourierkomponenten unterdrfickt werden und man erreicht eine Glattung der Bilder. Man kann aber auch Phasenmodulation anwenden, z.B. durch Einffigen von GlasverzSgerungsplatten, die nur auf ausgewfihlte Beugungsordnungen wirken. Dieses Verfahren ist auch die Grundlage der Phasenkontrast-Verfahren in der Mikroskopie. Die Abbildung kann fibrigens eine Vergr6Berung durch Verwendung von Linsen verschiedener Brennweite einschliefien.

2.5.4

Fresnel-Beugung

Bei der Fraunhofer-Beugung muff der Schirm nicht nur im Fernfeld liegen, die Ausdehnung a der Strahlungsquelle muff auch in die erste Fresnel-Zone passen, d.h. es muB gelten a < r~0~/~r. Wenn diese Bedingung verletzt ist, kann man die Fresnel-N~herung anwenden, die die volle quadratisehe N~herung in (x, y, ~/, ~) verwendet: r~

--

( x - ~ ) ~ + ( y - ~)~ + z ~.

r

+ =

z

+

(x-~) ~ -

2z

+

-

~ -~)~ -

+ 2z

....

Das Beugungsintegral lautet dann nach G1.(2.46) $(rp)---- Zs

z

(2.51)

74

2 Wellenoptik

Es ist analytisch erheblich weniger zug~nglich als die Fouriertransformation in der Fraunhofer-N~herung (G1.2.48), aber mit numerischen Methoden leicht zu behandeln.

Beispiel: Fresnel-Beugung an der e b e n e n K a n t e

Abb. 2.26 Fresnel-Beugung an einer geraden Kante.

Wit fiihren zun~ichst im Beugungsintegral

7( 2 : = ~k ~u

(x-77)2;

die normierte Variable u ein,

uo=u(??=0)=

x;

du

dT/=-

und ersetzen (K: Konstante)

~(x-~

.~

_-

~v~Lox~[~u].u

In grofier Entfernung (x, u0 ~ oe) yon der Kante erwarten wir ein homogenes Feld und eine homogene Intensit/it, die wir zur Normierung verwenden kSnnen.:

e0 K ~f-~(1 +i)12--

2K2z)~

Damit lassen sich die Intensit~ten berechnen, die mit Hilfe der Fresnel-Integrale

C(u) :-- fondU ' cos ~ru'22 und S(u):-- fondU ' sin ~ru'22 iibersichtlich ausgedrtickt werden kSnnen:

I ( x = ~ u o7() z

= I$(x)l 2

~1 I, o/~:exp

7( [i-~u2]du

2

}

2.5 Beugung

75

Abb. 2.27 Cornu-Spirale

und Beugungsintensit~t nach einer geraden Kante.

Als Ergebnis erh~ilt man die Cornu-Spirale und die Intensit~itsverteilung nach einer geraden beugenden Kante, die beide in Abb. 2.27 vorgestellt werden. B e i s p i e h F r e s n e l - B e u g u n g an einer K r e i s b l e n d e U m das Beugungsintegral (2.51) im Fall der Nahfeldbeugung an einer Kreisblende mit Radius a zu bestimmen, verwenden wir x = r cos r y = r sin r = p cos r u n d ~ = p sin r

eikz eikr2 /2z i$~

Az

x

(2.52)

• f0a s

r

Die Winkelintegration kann ausgefiihrt werden u n d fiihrt mit der Substitution := ka2/z zu d e m erwarteten radialsymmetrischen Ergebnis g(r)

=igseikze i~(r/a)2/2 t~ ~01 e - ~ x /2Jo(~xr/a) xdx 9

2

Das Integral kann nur numerisch ausgewertet werden u n d ergibt d a n n die Beugungsbilder aus Abb. 2.28. Auf der optischen Achse (r -- 0) kann das Integral auch analytisch ausgewertet werden mit d e m Ergebnis: s

= 0) =

I(r----0) =

is ikz 2sin(n/4)ein/4 4 • g-~l$sl2sin2(ka2/4z)

und (2.53)

Auf der Achse trifft m a n also die bis zu 4-fache Intensit~t der einfallenden ebenen Welle! Die Fraunhofer-N~herung wird fiir t~ << 1 erreicht, dort gilt sin(t~/4) ___ t~/4 o( 1/z. Auf S. 78 werden wir dieses Ergebnis noch einmal mit HiKe der Fresnelzonen interpretieren. Aui~erdem wird uns das komplement~ire

76

2 Wellenoptik

Problem, das kreisfSrmige Hindernis, auf S. 77 beschiiftigen.

Abb. 2.28 Beispiel fiir Fresnelbeugung an einer Kreisblende vom Fresnel- bis zum FraunhoferGrenzfall. Das rechte Bild deutet die Helligkeitsverteilung bei ka2/z=40 an.

2.5.5

Babinets Prinzip

Das Prinzip von Babinet ist nichts weiter als eine Anwendung des SuperpositionsPrinzips (Kap. 2.1.6). Bei der Analyse von Beugungsphiinomenen erlaubt es hiiufig eine sehr geschickte Formulierung, weil es insbesondere auch in der beugenden Fliiche linear ist. Wenn wir das Lichtfeld betrachten, das von zwei komplementiirenbeugenden GeomeAbb. 2.29 Beugung am kreisf~rmi- trien $1 und $2 erzeugt wird, dann ist das gen Hindernis: Babinets Prinzip. Gesamtfeld, das sich ohne diese Objekte ausbreitet, einfach die Summe der beiden einzelnen beugenden Felder. Wenn wir uns an Abb. 2.29 orientieren, kSnnen wir das nicht abgebeugte Feld (Index NA) aus einem gebeugten Feld und dem dazu komplementiiren Feld zusammen setzen:

2.5 Beugung

77

ENA(rp) = E(rp) + Ekomp(rp) Diese Feststellung scheint zuns einigermafien banal, sie erlaubt aber die geschickte Behandlung komplement~rer Geometrien.

Beispieh Kreisf6rmiges Hindernis Wir kSnnen das von einer kreisfSrmigen Scheibe gebeugte Lichtfeld mit dem Babinetschen Prinzip und den Ergebnissen der kreisfSrmigen Blende konstruieren: Es besteht einfach aus der Differenz des nicht abgebeugten Feldes, im einfachsten Fall einer ebenen Welle, und des komplement~ren Feldes, das von der Kreisblende ausgeht:

EIr) = Eseikz (1 + i ei'(rla)2/2 ~ /o le-i€200

x~x)

Abb. 2.30 Fresnelbeugung an einem kreisfSrmigen Hindernis. Im Zentrum ist der Poissonsche Fleck zu erkennen. Vgl. die komplementdre Situation in Abb. 2.28.

Das Beugungsbild des kreisfSrmigen Hindernisses besteht aus der 0berlagerung von ebener Welle und Beugungswelle der Kreisblende. Im Zentrum ist i m m e r ein heller Fleck zu beobachten, der als ,,Poissonscher Fleck" (engl. h o t

78

2 Wellenoptik

spot) beriihmt geworden ist: E(r--O)--Eseikz(1 + 2isin(~/4)e i~/4) und I(r -- 0) -- ~IE~I2! Nach einer Anekdote soll Poisson gegeniiber der Fresnelschen Beugungstheorie geltend gemacht haben, das gerade erzielte Ergebnis sei absurd, es kSnne im Zentrum des Beugungsbildes hinter einer Blende kein stets heller Fleck beobachtet werden. Er wurde durch das Experiment widerlegt, wobei diese Beobachtung nicht ganz einfach ist, denn die R~inder des beugenden Scheibchen miissen mit optischer Genauigkeit (d.h. mit geringen Abweichungen im Mikrometerbereich) gearbeitet sein. Kleine Kugellager-Kugeln, die man auf einer Glasscheibe befestigt und in einen Laserstrahl h~ilt, machen den Effekt gut sichtbar.

2.5.6

Fresnel-Zonen und Fresnel-Linsen

Im Fall der Fraunhofer-Beugung kSnnen wir den Fresnel-Faktor exp(-ik(x 2 + y2)/2z) aus G1. (2.52) wegen ka2/z << 1 gleich 1 setzen, nicht aber im Fall der Fresnel-Beugung. Der Faktor gibt an, mit welcher Phase (I) F die Teilwellen aus dem beugenden Bereich zum Interferenzbild beitragen, z.B. im Fraunhofergrenzfall alle mit n~iherungsweise OF = 0. Wenn wir dagegen in einem festen Abstand z den Radius a des beugenden Objektes langsam vergrSilern, dann werden beginnend bei ai = ~ die Teilwellen wegen ka2/z = ~r mit entgegengesetzer Phase beitragen. Wir k6nnen daher das auf Fresnel zuriickgehende Kriterium a 2 = N zA

(2.54)

verwenden, um die beugende Ebene nach dem Charakter ihrer Phasenlage einzuteilen. In Abb. 2.31 ist die Einteilung mit weit3en und schwarzen Zonen

Abb. 2.31 Fresnelzonenund Zonenplatte.

2.5 Beugung

79

vorgestellt, deren ~ufiere Radien nach G1. (2.54) anwachsen. Zur Verdeutlichung betrachten wir noch einmal die Beugung an der Kreisblende aus dem Beispiel auf S. 75: Nach G1.(2.53) erreicht die Helligkeit auf der Achse bei a2/z), = 1, 3, ... ein Maximum, wEhrend bei a2/z), = 2, 4, ... ein Minimum auftritt.

Abb. 2.32 Fresnelsche Stufenlinse: Schema und ringf6rmige Anwendung (,,Giirtellinse") bei einer alten Bootslaterne. Quelle: Wikipedia, Urheber des Fotos: Anton (rp) 2004. In einer radialsymmetrischen Blende tr~gt jede Fresnelzone mit gleicher Fl~che und Intensit~t zum Gesamtfeld auf der Achse bei. Aus den ungeraden Fresnelzonen stammende Teilwellen haben auf der Achse eine Wegdifferenz von ( N - 1) x A/2 -- 0, 2, 4...A angesammelt (links in Abb. 2.31), die zur konstruktiven Interferenz ffihren. Aus den geraden Zonen wird dagegen nach einem Weg von N • ),/2 ein Beitrag mit entgegengesetzter Phase erzeugt, der bei gleichen Zahlen von geraden und ungeraden Zonen zur AuslSschung des Lichtfeldes ffihrt. Schon auf Fresnel geht der Vorschlag zuriick, sich diesen Umstand zunutze zu machen und jede zweite Zone auszublenden. Die Zoneneinteilung aus Abb. 2.31 stellt daher auch genau das Bild einer Fresnelschen Zonenplatte dar. Alternativ kann man auch eine entsprechende Phasenplatte verwenden, die unter dem Namen Fresnel-Linse oder Fresnelsche Stufenlinse (Abb. 2.32) besser bekannt ist. Diese Linsen finden h~ufige Verwendung bei grofien Aperturen, zum Beispiel in Overhead-Projektoren.

80

2 Wellenoptik

A u f g a b e n zu K a p i t e l 2 2.1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Rcemer und Huygens O. Rcemer hat Variationen in den beobachteten Umlaufzeiten des innersten Jupitermondes Io (Tio = 1,8 Tage oder 42,5 Stunden) verwendet, um daraus abzuleiten, wie lange das Licht benbtigt, um die Umlaufbahn der Erde um die Sonne (1 Astronomische Einheit, 1AE = 150 106 km) zu durchqueren. Abb. 2.33 Aus der Laufzeit des Lichtes zwi- C. Huygens hat aus diesen Daten die erschen den Verfinsterungen des Jupitermondes ste Schiitzung der Lichtgeschwindigkeit erhat O. Roemer die ersten Daten gewonnen, mittelt. Betrachten Sie die Erdumlaufbahn aus denen sich die Lichtgeschwindigkeit be- und geben Sie an, was v o n d e r Erde aus zu stimmen liefl. beoba~hten ist (Verfinsterung oder Austritt von Io?). Wo erwarten Sie die grbflten Abweichungen der beobachteten von der ,,wahren" Umlaufzeit? Welche Ganggenauigkeit mfissen Uhren besitzen, damit die Verzbgerung/Beschleunigung schon bei einem Umlauf gemessen werden kann? Roemer hat 40 Uml~ufe vor und 40 Uml~ufe nach der Opposition (Sonne zwischen Erde und Jupiter) verglichen und daraus geschlossen, daft das Licht den Durchmesser der Erdbahn in 22 Minuten durchquert. Welchen Wert konnte Huygens daraus ffir die Lichtgeschwindigkeit absch~tzen? 2.2 F e l d v e r t e i l u n g e n u n d P o y n t i n g - V e k t o r in e l e k t r o m a g n e t i s c h e n W e l l e n Skizzieren Sie die elektrische und magnetische Feldverteilung sowie den Poynting-Vektor bei der Uberlagerung von ebenen, linear polarisierten Wellen zu (a) einer ebenen Stehwelle (b) zwei orthogonal gekreuzten Wellen. 2 . 3 0 p t i s c h e Q u a d r u p o l s t r a h l u n g In der N~he leitender Ebenen kann man sich viele Eigenschaften eines strahlenden Dipols aus der Uberlagerung seines eigenen Dipol-Feldes mit demjenigen des Bild-Dipols erkl~ren, der sich im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Ebene befindet. Diese Uberlegungen gelten auch ffir atomare Dipole, die sichtbares Licht ausstrahlen. Betrachten Sie die beiden mbglichen Orientierungen in Abschn. 12.3.3, Abb. 12.5, (a- und ~r-Orientierung, senkrecht bzw. parallel zur Fl~ichennormalen) und fiberzeugen Sie sich, dai3 die Dipole einmal parallele und einmal antiparallele Orientierungen besitzen mfissen, damit die Randbedingung eines verschwindenden elektrischen Feldes auf der leitenden Ebene erffillt wird. Geben Sie die r~umliche Verteilung der Strahlung im Fernfeld (r Abstand vom Zentrum der beiden Dipole, r >> A) ffir den Grenzfall an, dab die Entfernung der Dipole zur Ebene klein ist gegen die Wellenliiage A. Wie f'~llt die Amplitude des Feldes ffir die beiden Orientierungen mit r ab? 2.4 L a g u e r r e - G a u t ~ - M o d e n Eine alternative Beschreibung ffir zylindrisch symmetrische paraxiale Lichtstrahlen bieten die Laguerre-Gaufl-Moden. In diesem Fall lautet die Amplitudenverteilung statt G1. (2.37) mit den Bezeichnungen ffir wo, w(z), R(z) und ~?(z) aus Abschn. 2.3.1:

Etm(r,~,z)= Eo ~w(z)] Lm ~w(z)] •

eig~eikp2/2R(z) ei(kz - (2m + g + 1)~?(z)).

Informieren Sie sich fiber die Eigenschaften der Laguerre-Polynome (z.B. in [7]) und skizzieren Sie die transversalen Intensit~tsverteilungen und Phasenlagen dieser Moden.

Aufgaben

81

2.5 B a h n - D r e h i m p u l s v o n L a g u e r r e - G a u ~ M o d e n Studieren Sie den EinflufJ des azimuthalen Phasenfaktors e i~r in den Laguerre-Gaufi-Moden aus der vorigen Aufgabe. In Erweiterung des Poynting-Vektors, der die Impulsdichte eines Lichtstrahls beschreibt, kann man auch eine Drehimpulsdichte nach M=rxExH definieren [83]. Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilung des Poynting-Vektors, der Drehimpulsdichte M und bestimmen Sie den Gesamtdrehimpuls des Strahls L = c f Md3r. Interpretieren Sie das Ergebnis [2]. 2.6 W e l l e n f r o n t - S e n s o r e n Optimale Bedingungen werden beim Einsatz optischer Komponenten insbesondere mit koh~irentem Laserlicht nur dann erreicht, wenn auch die Voraussetzungen stimmen. Beispielsweise wird ffir optimale Abbildungseigenschaften mit einer Linse h~iufig eine ebene Wellenfront angenommen, aber praktisch l~iagst nicht immer realisiert. Ein Beispiel fiir einen Sensor zur Charakterisierung der Wellenfronten ist der HartmannShack-Sensor [71, 153] . Stellen Sie das Konzept der Mei~methode vor. 2.7 M i k r o w e l l e n - G a u f ~ - S t r a h l Eine typische Satellitenantenne hat einen Durchmesser von 50 cm und eine Brennweite von 25 cm. Schatzen Sie mit Hilfe der Gauf~schen Strahlenoptik den Durchmesser des Brennflecks ab, in den die vom Astra-Satelliten abgestrahlte Mikrowellenstrahlung bei 11 GHz fokussiert wird. 2.8 I n t e n s i t i i t y o n M i k r o w e U e n u n d o p t i s c h e n W e U e n Nehmen wir nun an, dass wir mit der Antenne aus der vorigen Aufgabe ein 11 GHz Signal zum Astra-Satelliten schicken wollen. Die Leistung unseres Senders betrage 1 W. Sch~itzen Sie mit der GauBschen Strahlenoptik ab, wie grot~ die maximale Intensit~it ist, welche den Satelliten erreicht. Sch~itzen Sie anschlief3end die Intensit~it ab, wenn wir anstatt der 11 GHz Strahlung einen 1 W HeliumNeon-Laser (~He--Ne : 632nm) verwenden. 2.9 G o u y - P h a s e Denken Sie sich eine experimentelle Anordnung aus, um die Gouy-Phase nachzuweisen. (Phasenlagen werden fiblicherweise durch interferometrische Anordnungen nachgewiesen.) Gibt es in der Strahlenoptik ein Analogon zur Gouy-Phase? 2.10 E i n k o p p l u n g in o p t i s c h e F a s e r n Ftir eine optische Faser wird bei A = 850 nm eine numerische Apertur yon NA ----0.1 spezifiziert. Wie groi3 ist der Durchmesser des gefiihrten Strahls, wenn wir n~herungweise ein Gauf~sches Profil annehmen? Nehmen Sie an, Sie wollen einen gut kollimierten Strahl mit Halbwertsbreite 2 m m und Divergenz 1 mrad in die Faser mit einer Linse einkoppeln. Sie haben Linsen mit 10 cm, 5 cm, 2 cm, 1 cm Brennweite zur Verfiigung. Welche Linse liefert die besten Resultate, und wo muff sie positioniert werden? 2.12 A c h s e n eines P o l a r i s a t o r s Die Achsen eines unbekannten Polarisators k_ann man so bestimmen: Suchen Sie in Ihrer Umgebung eine mSglichst glatte Bodenfl~che mit Restspiegelung und betrachten Sie sie durch den Polarisator in 2-3 m Entfernung. Rotation des Polarisators sollte die Fl~iche heller und dunkler erscheinen lassen. Wodurch kommt die Polaxisation zustande, und wie identifizeren Sie die Achsen? 2.13 P o l a r i s a t i o n u n d R e f l e x i o n Bestimmen Sie den lokalen Polarisationszustand des elektrischen Feldes von Paaren von Lichtstrahlen, die sich gegenl~iufig in der § bzw. - z Richtung ausbreiten, als Fhnktion der z-Koordinate: (a) lin[[lin: b-~lin ~lin. ~+z II ---z, (b) lin_l_lin: E ~ • EH~; (c) a + a + : E ~ k+, E ~ k + ; (d) a + a - : E~j~k+, E ~ k-. Welche optischen g o m p o nenten werden verwendet, wenn der gegenl~iufige Laserstrahl durch Reflexion des hinlanfenden Strahls am ebenen Spiegel erzeugt wird?

82

2 Wellenoptik

2.14 P r o j e k t i o n u n d R o t a t i o n d e r P o l a r i s a t i o n Zwei gekreuzte Polarisatoren 15schen einen Strahl aus. Wird ein Polarisator unter 45 ~ dazwischen gestellt, wird aber wieder Licht transmittiert (s. Abb. 2.16). Zeigen Sie, dab die transmittierte Intensitat fiir verlustfreie Polarisatoren 25% betr~tgt. F~ihren Sie das Beispiel fort, indem Sie 2, 3, ... Polarisatoren mit gleichen Winkelabst~den 30 ~ 22,5 ~ etc. einsetzen. 2.15 L i n e a r e u n d z i r k u l a r e P o l a r i s a t i o n H~ufig ist es wichtig, eine bestimmte Polarisation sehr genau zu definieren. Nehmen Sie an, nach zwei perfekten gekreuzten Polarisatoren betrage das AuslSschungsverh~ltnis 1:106. Wie gut sind die Anteil der beiden zirkularen Komponenten des Feldes bestimmt? 2.16 F r a u n h o f e r - B e u g u n g a n e i n f a c h e n u n d irregul~iren O f f n u n g e n Wie sieht das Beugungsbild einer quadratischen (~ffnung im Fernfeld (Fraunhofer-Grenzfall) aus? Wie ~ d e r t sich das Bild fiir zwei gekreuzte Spalte? Wie sieht der Einflut3 von irregul~en (Sffnungen (z.B. gestanzte Buchstaben) aus?

Abb. 2.34 Bezeichnungen zur Beugung am Spalt, Aufg. 2.15-18. 2.17 Einfachspalt" Teilwellen Eine ebene Welle (Wellenvektor k = 2~r/~) falle senkrecht auf einen unendlich ausgedehnten Spalt der Breite d. Wir interessieren uns fiir die Intensit~itsverteilung, welche wir auf einem Schirm in der Entfernung z hinter dem Spalt beobachten k6nnen (Abb. 2.34). Wir nehmen dabei an, dat3 die Anordnung dem Fraunhofer Grenzfall (d 2 ~>~ )kz/Tr) entspricht. Berechne die Lage der ersten Beugungsminima nach der folgenden Methode: Wir zerlegen den Spalt in zwei gleich breite Teilspalte. Im jedem Punkt auf dem Schirm berechnen wir die Differenz der mittleren Phasen der beiden Teilstrahlen. Die Teilstrahlen 15schen sich nun aus, wenn die Phasendifferenz gerade ~r betr~igt. 2.18 E i n f a c h s p a l t : H u y g e n s P r i n z i p Ein realistischeres Bild als in der vorigen Aufgabe liefert das Huygensche Prinzip: Es besagt, daft yon jedem Punkt des Spaltes eine Kugelwelle in den Halbraum hinter dem Spalt emittiert wird (Abb. 2.34). In unserem Fall kann aufgrund der Translationssymmetrie des Spaltes diese Kugel- durch eine Zylinderwelle der Form E(p) c< exp ikp/v/-fi ersetzt werden, wobei p die Entfernung vom Zentrum der ZylinderweUe ist. Die Feldamplitude auf dem Schirm ergibt sich dann durch Aufsummierung aller Teilwellen. Berechnen Sie mit dieser Methode den Intensit~tsverlauf der Spalt-Beugungsfigur in Abh~ngigkeit vom Winkel a << 1. 2.19 D o p p e l s p a l t : B a b i n e t s P r i n z i p Konstruieren Sie das Beugungsbild des Doppelspalts nach Babinets Prinzip aus zwei Einzelspalten mit Breiten dl > d2. 2.20 K i r c h h o f f - I n t e g r a l Das Kirchhoffsche Beugungsintegral erlaubt die Berechnung der Feldverteilung, welche durch Beugung an einem beliebigen Objekt hervorgerufen wird. Im Fernfeld eines Beugungsspaltes (Abb. 2.34) reduziert sich das Kirchhoffsche Beugungsintegral durch Anwendung der Fraunhofer-N~iherung und unter Ausnutzung der Translations-

Aufgaben

83

symmetrie zu einem eindimensionalen Integral: ~(x)

ig8 exp (ikro) f ~ ~vz~ J-o~ T(~) exp (i~x~)d~

wobei a x := - k X / r o ( ~ kaffir a << 1) und gs die Amplitude der einfallenden ebenen Welle am Ort des Spaltes sind. (a) Geben Sie die Form der Transmissionsfunktion T(~) fiir den Beugungsspalt an. (b) Berechnen Sie g(X) mit Hilfe der Formel fiir den Fall ol << 1. 2.21 B e u g u n g a m d t i n n e n D r a h t Berechne mit Hilfe des Babinetschen Prinzips die Feldverteilung, welche durch Beugung einer ebenen Welle an einem diinnen Draht im Fernfeld hervorgerufen wird. Wie ~ d e r t sich das Bild, wenn der Draht durch ein langes schmales Glaspl~ttchen mit der optischen Dicke ~opt = (nGlas-1)g ----A/2 ersetzt wird?

3

Lichtausbreitung in Materie

Wir haben gesehen, daft wir die Brechung an dielektrischen Grenzfl~chen wie zum Beispiel an einer Glasscheibe mit Hilfe ph~inomenologiseh eingeffihrter Brechzahlen beschreiben kDnnen. Andererseits kSnnen wir die Brechung auch als Antwort der Glasscheibe auf die einfallende elektromagnetisehe Liehtwelle betrachten. Das elektrische Feld verschiebt die geladenen Bestandteile des Glases und verursacht dadurch eine dynamische Polarisation. Diese strahlt ihrerseits eine elektromagnetischen Welle ab und wirkt durch Interferenz auf die einfallende Lichtwelle zurfick. Hier behandeln wir die Materieeigenschaften mit makroskopisch-ph~inomenologischen Breehzahlen. Grundzfige des Zusammenhangs mit einer mikroskopischen Theorie werden in Kap. 6 vorgestellt. Die Wellenausbreitung in homogener Materie hatten wir schon im voraufgegangenen Kapitel untersucht und festgestellt, dai~ sie sich nur durch die Phasengesehwindigkeit vom Vakuum unterscheidet (Gl. (2.14)). Wit wollen nun untersuchen, wie sich Grenzfl~ichen oder Dielektrika mit inhomogener Brechzahl auf die Ausbreitung yon elektromagnetischen Wellen auswirken.

3.1

Dielektrische Grenzfliichen

Um die dielektrischen Grenzfl~chen behandeln zu kSnnen, mfissen wir noch wissen, wie sie auf die elektromagnetischen Felder wirken. Die Begrfindung der Regeln (der mathematischen Randbedingungen) mit Hilfe der Maxwellgleichungen (2.10) fiberlassen wir den Lehrbfichern fiber Elektrodynamik und zitieren hier nur die fiir die Optik wichtigen Relationen. Die Grenzflache trenne zwei Medien mit Brechzahlen nl und n2 mit dem Normalen-Einheitsvektor eN. Dann werden die elektromagnetischen Strahlungsfelder vollstandig charakterisiert durch ( E 2 - E l ) • eN----0 und (H2 - H1) • eN : 0 und

(n22E2-n2E1).eN----0 (H2 - H1) 9e s : 0

(3.1)

wobei E1,2 und H1,2 in unmittelbarer N/ihe, aber auf verschiedenen Seiten der

86

3 Lichtausbreitung in Materie

Grenzfl~che zu nehmen sind. Wir bemerken noch, dab wir uns in der Optik h~ufig auf die Anwendung der Vektorprodukte aus (3.1) beschr~inken kSnnen, die Skalarprodukte werden dann durch das Snellius-Gesetz (1.2) berficksichtigt.

3.1.1

Brechung und Reflexio- an Glasfliichen

Wir kSnnen beim Einfall einer transversalen elektromagnetischen Welle auf eine dielektrische Grenzfl~che zwei Polarisationskonfigurationen unterscheiden: Die Polarisation der einfallenden Welle kann linear senkrecht auf der Fl~ichennormalen und Einfallsebene stehen ((s) in Abb. 3.1) oder parallel zur Einfallsebene (p).

Abb. 3.1 Elektromagnetische Felder an einer dielektrischen Grenzfldche fiir s- und pPolarisation. Das Symbol if) markiert Feldvektoren senkrecht zur Zeichenebene.

Die Wellen mit s- bzw. p-Polarisation des elektrischen Feldes werden als sbzw. p-Wellen bezeichnet. Alternativ werden auch die Bezeichnungen a- und ~rbzw. TE- und TM-Wellen verwendet. Wir miissen die beiden F~lle komponentenweise und getrennt behandeln. Elliptische Polarisationen kSnnen nach dem Superpositions-Prinzip auf l)berlagerungen dieser F~lle zurfickgeffihrt werden.

(a) s - P o l a r i s a t i o n . Wir betrachten die (E, H, k}~-Dreibeine des einfallenden (i), des reflektierten (r) und des transmittierten (t) Strahls und verwenden die Bezeichnungen aus Abb. 3.1 mit E~ =

go~eze-i(w~t-

Ha ---

g0~ k #0cwa a •

k~r) e-i(w~t

und - k~r)

(3.2)

Das s-polarisierte elektrische Feld steht senkrecht auf der Fl~chennormalen,

3.1 Dielektrische G r e n z f l ~ h e n

87

daher gilt (3.3)

E t -- E i -~- E r

Wenn diese Beziehung fiberall und zu allen Zeiten auf der Grenzfl~che erffillt werden soll, mfissen offensichtlich alle Wellen dieselbe Frequenz besitzen und wir kSnnen den Zeitpunkt t = 0 betrachten. Wegen (3.1) muff aufierdem ffir beliebige y gelten

$oteikyty = EoieikyiY + $oreiky ry

,

so dab alle y-Komponenten der k-Vektoren gleich sein mfissen, (3.4)

kyt -- kyi = kyr

Als n~ichstes betrachten wir die Komponenten getrennt ffir den reflektierten und den transmittierten Anteil. Weil die reflektierte Welle im selben Medium 2 2 -- n21(kx~ 2 + ky,) 2 gelten propagiert wie die einfallende Welle, muff wegen nlk,~ kx2r---- kx2iund kxr ---- - k x i

,

denn das positive Vorzeichen erzeugt ein weitere einlaufende Welle, die physikalisch nicht sinnvoll ist. Das Reflexionsgesetz ist damit erneut etabliert. Ffir die transmittierte Welle gilt kt/n2 = ki/nl. Aus der Geometrie erh~ilt man direkt ks -- ky,/sin 0, und damit auch wieder das Gesetz des Snellius (1.2), nl sin 0~ = n2 sin Ot Es gilt zun~ichst nut ffir reelle Brechzahlen, kann aber verallgemeinert werden durch Verwendung von n2

2 2 - ky2 i k2xt = k2t - k~ = n--~lki

(3.5)

Alle bisherigen Resultate haben lediglich die Ergebnisse bestatigt, die wir schon aus der Strahlenoptik kannten. Mit deren Mitteln konnten wir aber keine Aussagen fiber die Amplitudenverteilungen treffen, die nun mit Hilfe der Wellenoptik mSglich werden. Die Tangential-Komponenten des H-Feldes sind nach (3.2) mit den E-Komponenten verknfipft,

7-/y.-

Co. --kx.

,

~t0cw

sie mfissen wegen (3.1) stetig sein und deshalb der Gleichung kxt~0t GOt

---- kxi~0i ~- kxr~0r ---~0i ~- ~0r

--

kxi(~0i - ~0r)

(3.6)

88

3 Lichtausbreitung in Materie

gehorchen, die wir u m die B e d i n g u n g (3.3) zu einem Gleichungssystem erg~nzt haben. Es besitzt die LSsungen

g0r -

kxi-kxtg0i kxi + kxt

und

g0t-

2kxi kxi + kxt g0i

Aus den A m p l i t u d e n lassen sich die zugehSrigen I n t e n s i t a t e n ohne P r o b l e m e berechnen. M a n k a n n den Reflexionskoeffizienten r u n d den Transmissionskoeffizienten t auch nach n l cos 0i - n2 cos 0t n l cos 0i + n2cos 0t 2nl cos 0i nl cos Oi -~ n2 cos Ot

r

t

beschreiben u n d d u r c h A u s n u t z e n von n l / n 2 = sin 0~/sin 0i nach Snellius u m formen zu g0r

sin (0i - 0t)

goi

sin

+ 0,)

und

t

2 cos 0i sin 0t

sin

+

Abb. 3.2 Reflexionskoe~zient und Reflektivitiit an einer Glasfliiche mit Brechzahl n=1,5 fftr s- und p-Polarisation. Durchgezogene Linie: Vom Vakuum ins Glas; gestrichelt: vom Glas ins Vakuum. TIR: Bereich der Totalreflexion (yon engl. total internal reflection). Die Abh~ngigkeit von Reflexionskoeffizient u n d Reflektivit~t v o m Einfallswinkel 0i ist in Abb. 3.2 dargestellt. Die G r a p h i k zeigt u n t e r a n d e r e m den Vorzeichenwechsel des Reflexionskoeffizienten bei der Reflexion a m dichteren Mediu m , dort tritt ein P h a s e n s p r u n g von 180 ~ auf. Ein sehr wichtiger Spezialfall tritt auf, w e n n das Licht senkrecht, das heifit m i t 0i -- 0 ~ einf~llt. Fiir Reflektivit~t R u n d Transmission T gelten d a n n die

3.1 Dielektrische Grenzfl~hen

89

Fresnel-Formeln R-

IErl 2 (nx-n2~ iEil 2 - \ n l + n 2 ]

2

und

T-

]Etl 2 4nln2 IEil 2 (nl~-Tt2) 2

(3.7)

Insbesondere rechnet man leicht nach, daft am Glas-Luft-Ubergang (hi = 1, n2 = 1, 5) 4% der Intensit~t reflektiert werden. (b) p - P o l a r i s a t i o n . Die Behandlung eines p-polarisierten elektrischen Feldes, das in der Einfallsebene schwingt, folgt dem gerade erprobten Muster und kann daher auf die Ergebnisse beschrgnkt werden. Das Snellius-Gesetz wird erneut reproduziert, und ffir die Amplituden finder man das Gleichungssystem ktg0t = kig0t =

kigOi -~- krg0r kt(goi - got)

mit den L6sungen -- k2 ~_~..2goi und

got

-

2k& +

Der Reflexionskoeffizient der p-Welle gehorcht got goi

tan ( Oi - Or) tan (0i + Or)

und wird zusammen mit der Reflektivit~t ebenfalls in Abb. 3.2 gezeigt. Er verschwindet ffir

Oi - Ot = O und

Oi + Ot = Tr/2.

Die erste Bedingung wird nur trivial fiir nl = n2 erfiillt. Die zweite ffihrt auf die Brewster-Bedingung n2 nl

sin 0 B sin Ot

sin 0 B = tan 0B, sin (~r/2 - 0B)

die ffir den Glas-Luft-Ubergang (n--1,5) den Brewster-Winkel bei 0 B ---- 57 ~ ergibt. Die Brewster-Bedingung laBt sich mit der Winkelverteilung der Dipolstrahlung (s. Kap. 2.2.3 und Abb. 3.3) physikalisch interpretieren: Die lineare dielektrische Polarisation im brechenden Medium steht transversal zum gebrochenen Strahl und kann in Richtung der reflektierten Welle nicht abstrahlen, wenn diese mit der gebrochenen Welle gerade einen rechten Winkel bildet.

90

3 Lichtausbreitung in Materie

Abb. 3.3 Links: Am Brewster-Winkel OB wird nur s-polarisiertes Licht reflektiert. Rechts: Bei der Totalreflexion am dichteren Medium (nl > n2) entsteht im diinneren Medium ein evaneszentes WeUenfeld. 3.1.2

Totalreflexion

Wit wollen die Totalreflexion, deren Einflut3 auf die Reflexion schon in Abb. 3.2 fiir den Ubergang vom dichteren ins diinnere Medium zu erkennen ist, noch genauer analysieren. Wir betrachten die Komponente k~t = k2 cos 0t, die das Eindringen der Welle in das diinnere Medium beschreibt. Wir k6nnen die LSsungen ffir die laufenden Wellen unterhalb des kritischen Winkels 0c -- s i n - l ( n 2 / n l ) , nl > n2, den wit schon aus G1. (1.3) kennen, iibernehmen, indem wir die Snelliusbedingung fiir 0i > 0c auf imagin~ire Werte verallgemeinern. Man kann mit W = sin 9t = sin 0 i / s i n 0c > 1 schreiben cos0t-- ( 1 - sin 2 Or)1/2 : ( 1 - W2) 1 / 2 : iQ

,

worin Q wieder eine reelle Zahl ist. Wir schreiben nun das elektrische Feld fiir Einfallswinkel jenseits des kritischen Winkels als laufende Welle, E(r, t) = E20 exp { - i ( w t - k2r) } Mit k = k2(cos 0rex + sin Otey) erh~lt man dann E -- E2oe - k 2 Q x exp { - i ( w t - k 2 W y ) }

Fiir 0i > 0c propagiert die Welle entlang der Grenzflache. Sie dringt au6erdem in das diinnere Medium ein, wird dort aber exponentiell mit der Eindringtiefe ~ -- 1/(k2Q) ged~mpft (Abb. 3.3). Die Welle im dfinneren Medium wird haufig als evaneszentes Wellenfeld oder auch als querged6mpfte Welle bezeichnet.

3.1 Dielektrische Grenzfl~hen

91

Beispiel: Eindringtiefe u n d E n e r g i e t r a n s p o r t

bei der Totalreflexion

Die Eindringtiefe einer total reflektierten Welle in das optisch dfinnere Medium (nl > n2 -- 1, k2 -- 2~/A) betr~gt nach dem voraufgegangenen Absatz 1

A/27r

k2Q

y/n 2 sin 2 0i - 1

e -- m

Man berechnet ffir den Fall des 90~ (Einfallswinkel 45 ~ Brechzahl n1=1,5) aus Abb. 1.7 Q = 0, 35 und 5~ = 0, 27#m @ 600 nm.

Abb. 3.4 Links: Frustrierte Totalreflexion am Luftspalt zwischen zwei 45~

Rechts: Das elektrische Feld der laufenden Wellen ist posit@, das der quergeddmpften WeUe negativ gekriimmt. Um e~iziente Transmission zu erreichen, muff die Breite des Luftspaltes geringer sein als die Eindringtiefe der evaneszenten Welle.

Es ist instruktiv, den Energietransport nach G1. (2.17) durch die Grenzflache in die evaneszenten Welle zu betrachten. Es stellt sich heraus, daft die NormalKomponente des zeitlich gemittelten Poynting-Vektors rein imaginar ist, (S).eN

=

(ExH).eN

=

ne{ceo/2lEl2iQ} = 0

und deshalb kein Energietransport fiber die Grenzfl~che stattfindet. Allerdings last sich diese Situation andern, wenn wir wie in Abb. 3.4 eine zweite Grenzfliiche in die N~he bringen. Dabei tritt die sogenannte frustrierte oder behinderte Totalreflexion auf (engl. F T I R , Frustrated Total Internal Reflection). Sie wird nicht nur eingesetzt, um optische Strahlteiler zu bauen, sondern auch, um Licht in variabler Weise (durch Variation des Luftspaltes) in Wellenleiter (s. Abb. 3.7) oder monolithische optische Resonatoren (s. Abb. 13.12) einzukoppeln, oder um zum Beispiel Spektroskopie in unmittelbarer N~he einer Oberfl~che zu treiben.

92

3.2

3 Lichtausbreitung in Materie

Komplexe

Brechzahl

Wit haben bisher reelle Brechzahlen betrachtet, die eine gute N~iherung ffir absorptionsfreie Medien sind. Die Absorption l~ifitsich aber ph~inomenologisch leicht berficksichtigen, indem wir den Brechungsindex zur komplexen GrDfie verallgemeinern, rt = rt' + irt" Im homogenen

Medium

wird die Wellenausbreitung dann naeh

E(r, t) = Eoe - i ( w t - n'kr) e - n " k r beschrieben, wobei offenbar a -- 2n"kz die D~impfung der Intensit~it (I c( IEI 2) angibt, hier bei Ausbreitung in z-Richtung: I(r) = I(0)exp (-c~z) = I(0)exp (-2n"k~z)

3.2.1

(3.8)

Brechungsindex leitf'~ihiger Materialien

Bei Laseranwendungen werden heute in der Regel dielektrische Vielschichtenspiegel verwendet (s. Kap. 5.7). Konventionelle Spiegel aus aufgedampften Metallschichten spielen aber wegen ihres geringen Preises und wegen ihrer Breitband-Wirkung eine wichtige Rolle, vor allem auch in der optischen ,,Alltagstechnik". Metalle zeichnen sich dutch extrem hohe Leitfiihigkeit aus, die auch die hohe Reflektivit~it verursacht. Wir betrachten ein klassisches, ph~inomenologisches Modell ffir die Leitf~ihigkeit a, das auf Paul Drude (1863-1906) zuriickgeht. Es hat sich als aut3erordentlich leistungsfiihig erwiesen und erst viel sp~iter durch die Quantentheorie fester K6rper eine mikroskopische Begrfindung erfahren. Im Drude-Modell wird die Bewegung der freien Elektronen eines Metalls durch eine Reibungskraft mit der D~impfungsrate T-1 ged~impft,

+

=

}

,

die pauschal alle inneren Verluste im Kristall beriicksichtigt. Der Ansatz v = Vo e x p ( - i w t ) ergibt im Gleichgewicht eine mittlere Geschwindigkeitsamplitude

Vo.

q$o 1 . . . m -iw+l/T

q$oT 1 m 1-iwT

(3.9)

Mit der Ladungstr~igerdichte Af und der Stromdichte j = aS = Afqv kann man die frequenzabh~ingige Leitfiihigkeit eines Metalls bestimmen, wobei wir die Plasmafrequenz w~ = Afq2/mco einfiihren, ~r(w) -- Afq2-- - T _m 1 - iwT C~

wp~- iwT

(3.10)

3.2 Komplexe Brechzahl

93

Die Plasmafrequenzen typischer Metalle mit hohen Ladungstr/igerdichten (iV" -- 1019cm -3) liegen bei 02p ,.~ 1016s-1 und damit oberhalb der Frequenzen des sichtbaren Lichtes. In Halbleitern kann die Leitf~higkeit durch die Dotierung eingestellt werden und diese Frequenz leicht in den sichtbaren oder infraroten Spektralbereich geschoben werden. Um den EinflufJ der Leitf~higkeit auf die Wellenausbreitung zu analysieren, greifen wir auf die vierte Maxwell-Gleichung (2.6) zuriick und fiihren die gerade bestimmte Stromdichte ein, 0 V x H -- #0aE + c0-~. O$E Sie verursacht eine Modifikation der Wellengleichung (2.12), c2 0 ~

E(r,t)

e0c2aOt 0 E = 0

(3.11)

Die LSsung E -- $ o e e - i ( w t - n ( u ) k r ) fiihrt naeh k 2 -- n2(02)(02/c) 2 zu einem komplexen Brechungsindex, der v o n d e r ph~nomenologisch zu bestimmenden Leitfahigkeit des Mediums abhangt, (3.12)

n 2 ( w ) -- 1 + i a(02) 60O2

Es lohnt sich, die Grenzf~lle niederer und hoher Frequenzen zu unterscheiden: (i) H o h e F r e q u e n z e n : wp~- >> WT >> 1 Diesen Fall erwarten wir bei optischen Frequenzen, es gilt direkt nach (3.10) ~-- i~ou~/02

und

n~(02) -----1 - (02p/02)~.

Der Brechungsindex wird fiir u < 02p imagin~r, n = i (022p - 025)1/5 = i n "

,

(3.13)

02 die Welle pfianzt sich in diesem Medium gar nicht mehr fort, dringt abet ffir 02 < Up wie bei der Totalreflexion auf einer L/~nge

C ----(n"k)-l-- ~p2_022 in das Medium ein. Ffir 7 -1 << u << wp gilt n " ~ u p ~ w , das Eindringen wird als ,,anomaler Skineffekt" mit n~herungsweise konstanter Eindringtiefe 5a~ bezeichnet, die gerade der Plasmawellenl~nge A -- 02p/2~rc entspricht, 5as = c/02p =

94

3 Lichtausbreitung in Materie

(ii) N i e d e r e F r e q u e n z e n : w7 << 1 << wpT. Am niederen Ende des Frequenzspektrums ist die Leitf/ihigkeit in guter N/iherung frequenzunabh~ingig, a(w) ~- coW2p7-

und der Imagin/irteil der Brechzahl lautet in diesem Fall nach G1. (3.12) und wegen n 2 -~ iw2T/W n" ~-- wp~-~/2w

Die Brechzahl bestimmt nun die Eindringgiefe, die bei niederen Prequenzen als ,,normaler Skineffekt" bezeichnet wird:

a, Dieser Fall spielt weniger in der Optik, wohl aber bei Radiofrequenzanwendungen eine groge Rolle.

3.2.2

Metallische Reflexion Wit kSnnen die Ergebnisse des voraufgegangenen Kapitel nun verwenden, um die metallische Reflexion zu untersuchen. Allerdings beschr/inken wir uns auf den senkrechten Einfall. Der schr~ige Einfall besitzt viele interessante Eigenschaften, erfordert aber eine mathematisch aufwendige Behandlung und ist in der Spezialliteratur dargestellt.

Bei optischen Wellenl/ingen kSnnen Abb. 3.5 Elektromagnetische Felder bei der wir den Grenzfall hoher Frequenzen Reflexion unter senkrechtem Einfall. (wT- >> 1) aus dem vorausgegangenen Kapitel mit dem rein imagin/iren Brechungsindex (3.13) n = in" = i ~ p - w 2/ w verwenden. Die Bestimmungsgleichungen kSnnen wir aus G1. (3.6) entnehmen und fiir den die Luft-Metall-Grenzfl/iche gleich k t / k i = in" verwenden, in"s GOt

=

~oi -- ~Or

=

~0i -~- ~0r

Man findet ohne Probleme die L5sungen s

1 -- in" -- 1 + in '~~~

2in" und

~ot -

1 + in '~C~

3.2 Komplexe Brechzahl

95

Das interessante Ergebnis zeigt sich bei der Berechnung der Reflektivitgt,

R

IE"12 IE~I~

ll-in"l 2 11 + ~n"l ~

Allerdings haben wir die Ohmschen Verluste (Relaxationsrate r - l ! ) dabei vernachliissigt, die in realen Metallen natiirlich immer vorhanden sind. In der Tat findet man, dab im sichtbaren Spektralbereich wichtige Metalle wie A1, Au, Ag Refiektivitgten von 90-98% besitzen. Normalerweise wird dieser Wert noch durch die oxidierten Oberflgchen reduziert, so dab man die metallischen Spiegelschichten entweder auf der Rfickseite einer Glasscheibe aufbringt oder mit einer transparenten, diinnen Schutzschicht versieht.

Beispieh Hagen-Rubens-Beziehung. Um den Einflut Ohmscher Verluste in G1. (3.10) zu ber(icksichtigen, verwenden wir die Ngherung

oo

,oo (,_ 2)

a(co) -- 1 - iwr

co---7

die fiir den Breehungsindex bei optisehen Frequenzen (COp >> co >> r -1) die Ngherung

liefert. Weiterhin verwenden wir ~/1 - i / c o z ~_ - i ( 1 - i/2~or) und finden mit n " nach (3.13) und mit n ' / n " = 1~2COT aus n2(co) ~ c~

- -j

i+

~

-- n "2

i +n,,]

fiir die Reflektivitgt die Hagen-Rubens-Beziehung

R = 1 - 4 n ' / n "2 ~ 1 - 2/copr

Aluminium besitzt eine Plasmafrequenz cop ~ 1, 5-101% -1, die bei einer optimalen Reflektivitgt einer frischen Schicht von 95% fiir sichtbare Wellenlgngen auf eine pauschale Stotrate r ,,~ 2 9 10-15s schlieBen lgBt.

96

3.3

3 Lichtausbreitungin Materie

Lichtwellenleiter (LWLs)

Wir schlieflen an das Kapitel fiber Strahlenausbreitung in Lichtwellenleitern an (Kap. 1.7), wollen aber hier die Eigenschaften der Wellenausbreitung untersuchen und dazu die entsprechende Helmholtz-Gleichung 15sen. Dabei konzen-

Abb. 3.6 Stufenfaser mit transversaler Feldverteilung. Die Kriimmung der Feldverteilung muff im Kern positiv, im Mantel negativ sein. Links ist die Feldverteilung fiir einen GrundMode, rechts fi~r den ersten hSheren Mode dargestellt.

trieren wir uns wieder auf die Wellenleiter, die umgangssprachlich als ,,Glasfasern" bezeichnet werden, zylindrischen Querschnitt (Abb. 3.6) besitzen und wie schon in Kap. 1.7 erw~hnt das Rfickgrat der optischen Nachrichteniibertragung bilden - v o n kurzen Verbindungen zur lokalen Vernetzung von Geraten bis hin zu Uberseekabeln der optischen Nachrichtentechnik.

Abb. 3.7 Wellenleitertypen. Zylindrische, mechanisch sehr flexible Fasern (links, das Licht wird durch Linsen ein- und ausgekoppelt) werden bei der Ubertragung iiber kleine und grofle Distanzen eingesetzt. Fiir die integrierte Optik spielen Wellenleiter mit rechteckigem Querschnitt (rechts) an der Oberfl5che geeigneter Substrate (z.B. LiNb03) eine wichtige Rolle. Die Einkopplung kann direkt iiber eine Kante erfolgen oder durch frustrierte Totalreflexion mit einem aufgesetzten Prisma.

Wellenleiter sind auch ein wichtiges Grundelement der integrierten Optik. Dabei werden planare Strukturen bevorzugt (Abb. 3.7), auf denen mit den wohlbekannten Verfahren aus der Halbleitertechnologie transversale Strukturen mit #m-Dimensionen hergestellt werden kSnnen. Im LiNbO3 lgt]t sich zum Beispiel

3.3 Lichtwellenleiter

97

die Brechzahl durch Eindiffusion von Protonen um ca. 1% variieren, so daft an der Oberfl~che ebener Kristalle Wellenleiter entstehen, die n~herungsweise rechteckige Brechzahlprofile besitzen. Lichtwellenleiter werden durch relativ einfache Strukturierung von dielektrischen Materialien hergestellt, z.B. durch Kern-Dotierung eines Glasrohrs (s. den Exkurs auf S. 14) oder die Preparation von Oberfl~chenwellenleitern. In jiingerer Zeit ist es gelungen, deutlich komplexere Strukturen auf der Skala der optischen Wellenlange oder sogar darunter zu fertigen. Solche photonischen oder Metamaterialien, zu denen auch die photonischen Kristallfasern z~ihlen, behandeln wir niiher in Kap. 3.5. Die mathematische Untersuchung der Wellenformen in einer optischen Faser ist durchaus anspruchsvoll und aufwendig. Als Beispiel skizzieren wir nun die Behandlung der zylindrischen Faser, dem ffir Anwendungen wichtigsten Typus.

3.3.1

Stufenfasern

In der Stufenfaser (Abb. 3.6) ist die Brechzahl zylindrisch symmetrisch und in Kern und Mantel jeweils homogen. Ihr Wert f~llt von nl im Kern bei r-- a stufenartig auf den Mantelwert n2 < nl ab. Der Geometrie angemessen suchen wir LSsungen der Form E = E(r, r -i(~t-zz), die eine Welle beschreiben, die sich entlang der Faser-z-Achse ausbreitet. Die effektive Wellenzahl t3 wird Propagationskonstante genannt und gibt die Phasengeschwindigkeit entlang der Faser an.

Die Wellengleichung ffir zylindrische (r,r ist kompliziert, weil die er- und er nicht konstant sind. Eine skalare Wellengleichung, in welcher W• r den transversalen Anteil des Nabla-Operators bezeichnet, bleibt aber fiir die Cz, 7-tz-Komponenten erhalten,

Erfreulieherweise gewinnt man ein vollst~ndiges System yon LSsungen, wenn kann man zun/iehst die Komponenten {gz, ~ } ermittelt und erst ansehliet3end {gr, gr ~ , 7-/r mit Hilfe der Maxwell-Gleiehungen konstruiert: VxH=-iwe0n~E

und

VxE=iw#0H

(3.14)

Das Ergebnis ist in Glgn. (3.19, 3.20) zu finden. Die Propagationskonstante muff als Eigenwert aus der Helmholtzgleichung ffir {gz, 7-t~} bestimmt werden. Sie lautet in Zylinderkoodinaten mit kl,2 = nl,2W/C

~r2+r-~r+r-~Or

Hz(r, r

'

98

3 Lichtausbreitung in Materie

und wird mit den Ans~itzen {s 7-/~} = {e(r),h(r)}e •162 auf eine Bessel-Gleichung ffir die radialen Amplitudenverteilungen reduziert, +

-

-

r Or

-~

h(r)

= 0

Die Krfimmung der radialen Amplituden {e(r),h(r)} h~ngt vom Vorzeichen von k2 - ~ 2 ab. Im Kern kSnnen wit positive, konvexe Kriimmungen und damit oszillierende LSsungen zulassen, im Mantel aber muff die Amplitude schnell abfallen und deshalb eine negative Kriimmung besitzen - andernfalls entstiinde dort unerwiinschter Energieverlust durch Abstrahlung (vgl. Abb. 3.6): imKern imMantel

0 < 0 >

k 2 = kl2_f~2 -t~ 2 -- k ~ - ~ 2

(3.15)

Die Propagationskonstante ~ mut3 anders ausgedrfickt einen Wert zwischen den Wellenzahlen ki = niw/c des homogenen Kern- und Mantelmaterials annehmen,

n2w/c

_<

~ = Propagationskonstante

_<

nlW/C

,

und unterscheidet sich bei geringen Brechzahldifferenzen (A -- (nl--n2)/nl ~ 1 (1.7)) nur wenig von kl,2. Solche Wellenleiter werden schwach fiihrend genannt. Per Definition gilt nach G1. 3.15 k 2 ~_/~2 = (~d/C)2(Tt2 _ n22) ___ 2A(T~10.)/c)2 << f12

(3.16)

Ffir kl -~ k2 --- fl sind die transversalen Wellenvektoren k• ~ klein gegen die Propagationskonstante ft. Die transversalen Feldverteilungen miissen endlich bleiben, so dab im Kern (Mantel) allein die Besselfunktionen Je (modifizierte Besselfunktionen Ke ) 1. Art fibrigbleiben. Der 0bersichtlichkeit halber verwenden wit die skalierten Koordinaten X := k• Y := ar bzw.

X a : : k•

Ya : =

ha:

A . Jr(X)

r~O

A

r ~ cc(c

B. h(r) =

Kt(Y) K~(Ya)

JdX)

(k•

~

e-ar/v/-~

Kern Mantel (3.17)

r~ 0

(k•

~"

Kern

J~(Xa) B

K (Y)

K (Ya)

r

Mantel

Wir haben die noch zu bestimmenden Koeffizienten {A, B} schon so definiert, gab die {s 7-/z}-Komponenten bei r = a stetig sing. Fiir die {s Er 7-/r, 7-/r Anteile erhalten wir die Bestimmungsgleichungen aus (3.14) unter Verwendung

3.3

Lichtwellenleiter

99

von Zylinderkoordinaten:

-iwcon2E~-- igh(r).e'~r162 r

-iweon~Er

iflT-l~-O h(r)eitr (3.18)

iw#oT-l~-- i~e(r) eier162 r

iw~o?/~= ifl&-O~(~)e "~ Einsetzen der LSsungen ffir {e(r), h(r)} und die Verwendung der normierten Koordinaten X = k.r ergibt die radialen Komponenten:

., [W#o iBt Jt(Z) -~ A J~(X) ~ ~i~r &(x,r ?-/r(X,r

=

wa~Txx~_

=

, [weon~ At J~(Z) + iB J~(X) ~ eigr pa ~ -~ -X-Xi J~--~) - XaJt(Xa)J

z=J~(Zo-----)]-

(3.19)

und die azimuthalen Anteile:

.. f iAl J~(X) .

{'

Bg Jt(X)

W#o B J~(X) ~ i~r .

(3.20)

weon~iA J~(X)~eig r

~ ( x , ~) = ,a ~,-2-K~J,---~) + -fi ~ J~--(27~))

Dabei gelten Glgn. 3.19 und 3.20 im Kern, fiir den Mantel kann die entsprechende Gleichung leicht durch den Austausch X ---, Y, J~ ~ K~ gewonnen werden. Zur Bestimmung der Propagationskonstanten fl verwendet man die Stetigkeitsbedingungen (3.1) bei X -- X~ in G1. 3.20. Man erh~lt nach kurzer Rechnung ein lineares Gleichungssystem in A, B, BW--~/~ J~(X).

K'e(Y)

A~_~ (n~Y'~(X)+ ~K'~(Y)~ \ x J~(x)

fl

+ .j

=

0

----

0

,

das zu der charakteristischen Eigenwertgleichung

( J'~(X) K'~(Y) ~ {k~J'~(Z) k~K'~(Y)~ XJ~(X) + YK~(Y)J ~XJ~(X) + YK~(Y) J =

(3.21)

ffihrt. Wenn wir G1. (3.16) mit a 2 multiplizieren, erhalten wir die Zusatzbedingung

X~,~ + Yt2 -- (w/c)2(n 2 - n2)a 2 -- Y 2

(3.22)

i00

3 Lichtausbreitung in Materie

Dabei haben wir den V-Parameter eingefiihrt, der sich auch direkt mit der numerischen Apertur NA aus G1. (1.9) ausdrficken l~flt und zu jeder Wellenl~nge )~ die Eigenschaffen der Stufenfaser - die Brechungsindizes (nl, n2) und den Kernradius a - vollst~ndig berficksichtigt: V-

2~ra A .NA

(3.23)

Die numerische Behandlung der transzendenten Gleichung 3.21 zusammen mit der Zusatzbedingung 3.22 liefert zu jedem V und t = 0, 1, 2, ... einen Satz von L6sungen (Xtm, Ytm) mit m ---- 1, 2, 3, ... und die Propagationskonstante firm nach G1. (3.15), ]3~m ---- ( k 2 - ( Z t m / a ) 2 ) ) 1/2 -- ( k 2 -~- (Y~m/a)2)) 1/2

Die Propagation im LWL kann also zu jeder Frequenz bzw. Wellenlange w = 2~c/~ durch die Angabe (/~tm, W) beschrieben werden. Die numerische Behandlung ist i. Allg. aufwendig und nimmt in der Literatur breiten R a u m ein [145]. Vereinfacht wird das Problem im Fall schwach ffihrender Wellenleiter, den wir auch schon in der Strahlenoptik (Abschn. 1.7.2) behandelt haben. Schwach f'tihrende Stufenfasern

Abb. 3.8 Graphische Auswertung yon Gl. (3.26) fiir eine schwach fiihrende Stufenfaser und V - I O ; hier wurden die Kehrwerte aus G1. 3.26 verwendet, und die Argumente yon YKt/Kt• lauten ~/V 2 - X 2. Links: TE- und TM-Moden flit ~ = O. I m schattierten Bereich gibt es nur eine LSsung (Monomode). Rechts: HE- und EH-Moden fiir ~ = O.

In schwach ffihrenden Wellenleitern gilt nl -~ n2 und mit kl ~ k2 -~/3 vereinfacht sich G1. 3.21 zu

(J~(X) X Jr(X)

+

K~(Y) ~ -YKdY) ]

1

1

-~-t/-~-~ + ~--~/ \A-X-~

(3.24)

3.3 Lichtwellenleiter

101

Die Ableitungen kSnnen wir mit den Identit~ten

J~(X) =

-~-JgTl(X) ::F gJ~(X) -~ ;

K~(Y)---- - - K / T I ( Y )

:F

gK~_Y) (3.25) --

ersetzen. Ffir g = 0 finden wit transversale elektrische TE- und transversale magnetische TM-LSsungen. Ffir die beiden Vorzeichen in g-4-1 ergeben sich nach der Umformung zwei Klassen von sogenannten H y b r i d - M o d e n . Die Bedingungen lauten: g = 0 TE~m,TM~m g __>1 HEgm g __>1 E H e m

Jo(Xem) XgmJl ( Xgm) Jg-l(Xgm) x~mJ~(X~) Jg+l(Xgm) X~mJ~(X~,O

-_ -

Ko(Y~m) - Y~mKI (Y~m) K~-I(Y~m) Y~K~(Y~) Kl+l(Ygm) Y~,~K~(Y~m)

(3.26)

Graphische L6sungen sind unter der Zusatzbedingung (3.22) in Abb. 3.8 skizziert. Aus diesen LSsungen wird die Dispersionsrelation W(/3tm) konstruiert.

Abb. 3.9 Links: (w, fl)-Dispersionsrelation einer schwach f~hrenden Stufenfaser. In den normierten Einheiten hat die ,Lichtgerade", die Gerade w = ct3 die Steigung 1. Rechts: Effektive Brechzahl als Funktion des V-Parameters. In Abb. 3.9 ist die Dispersionsrelation in charakteristischer Form vorgestellt: 9 Links: Dispersionsrelationen in normierten Gr6fien (wa/c bzw./3a). Die Geraden mit den Steigungen 1/nl bzw. 1/n2 teilen das Diagramm in drei Bereiche ein: Unterhalb von w a / c -- 1/nl, im dunkel schattierten Bereich, kann fiberhaupt keine Propagation stattfinden. Oberhalb der Geraden mit Steigung 1/n2 liegende Moden propagieren frei im Mantel, oberhalb der als Lichtgerade bezeichneten Geraden w = c/3 auch im Vakuum. Ein einzelner Mode wird durch die Werte (w,/3) charakterisiert, wobei/3 nur die Komponente des Wellenvektors in Faserrichtung angibt, daher ist das Spektrum dort kontinuierlich.

102

3 Lichtausbreitung in Materie

Zwischen den Geraden mit den Steigungen 1/nl und 1/n2 kann Propagation nur bei den diskreten Werten der entlang der Faser geffihrten Moden stattfinden. Im hellgrau schattierten Bereich besitzt die Faser Monomoden-Charakter, dort existiert zu jeder Frequenz nur eine Propagationskonstante. Der vergrSt3erte Ausschnitt zeigt das Ende des Monomoden-Bereiches und das Anfangsverhalten der TE01-Moden. 9 Rechts: Manchmal ist es zweckm~fiig, statt der Propagationskonstante eine effektive Brechzahl anzugeben: r~eff ---- ~ / k ---- C~/Sd mit n2 < neff < r~l (3.27) Die effektive Brechzahl gibt auch einen besseren 0berblick fiber die erlaubten Moden im engen Bereich zwischen 1 / n l und 1/n2. Man kann mit G1. (3.24) eine Bedingung ffir die (A,B)-Koeffizienten aus (3.17) angeben, die die Amplituden festlegen. Das ,,+"-Zeichen gilt ffir die HE-, das ,,-"-Zeichen ffir die EH-Moden: ( A • i ( w # o / ~ ) B) t = 0

(3.28)

Man entnimmt daraus, dat3 die elektrischen und magnetischen z-Komponenten um 90 ~ aui3er Phase schwingen. Um uns einen 0berblick fiber die geometrischen Eigenschaften der LWL-Moden zu verschaffen, betrachten wit die Spezial-F~lle: (1) / ---- 0: T E - u n d T M - M o d e n . Bei g = 0 gilt A=0 (B=0), d.h. entweder ist das E- oder das H-Feld rein transversal, und deshalb werden die TE/TM-Bezeichnungen verwendet. In Abb. 3.8 haben wir die graphische Bedingung ffir die (entarteten) TE0m und TM0mModen angezeigt. Sie werden erst ffir Y > 2,405 (J0(2,405) -- 0) bzw. oberhalb der zugehSrigen Absehneidefrequenz Wcut = 2,405c/a(n~ - n~) 1/2 geffihrt. Bei Y = 5,520 (J1(5,520) = 0) kommt der nachste TE-/TM-Mode hinzu.

Abb. 3.10 Intensitdtsverteilung (E-Feld) fiir verschiedene Modentypen der Stufenfaser. Als Modell wurde eine Stufenfaser mit der numerischen Apertur NA--O,12 und dem Kerndurchmesser 2a--5,1#m angenommen. Der gestrichelte Kreis deutet den Kern an. Linkes Bild: )~=850 nm, V=2,26; sonst: Jk=400 nm, V=~,81.

3.3 Lichtwellenleiter

103

(2) 6_> 1: HE- und EH-Moden. Die niedrigste Mode ist die HEll-Mode, sie existiert bis hinunter zu X--0: Der Kern heftet den Mode sozusagen ffir beliebig schwach gekrfimmte transversale Amplituden lest, wobei ein immer grSt3erer Anteil der Energie im Mantel propagiert und sich dort auch immer mehr ausdehnt. Bei der mathematischen Behandlung hatten wir angenommen, dab der Mantel eine unendlich grot3e Ausdehnung hat, so dab man hier auch an technische Grenzen stSt]t. Die HE- und EH-Moden unterscheiden sich nach G1. (3.26) und G1. (3.28). Der Unterschied aut3ert sich neben den unterschiedlichen Propagationskonstanten darin, dat3 die H- (HE) bzw. E-Anteile (EH) der jeweiligen z-Komponenten fiberwiegen.

(3) 6_> 1: L P - M o d e n . Ffir g > 0 mut3 nach G1. (3.28) A = • B gelten. Dureh Einsetzen in Glgn. (3.19, 3.20) und Verwendung der Rekursionsformeln (3.25) stellt man nach kurzer Rechnung fest, dab die HElm-Moden lineare transversale Polarisation besitzen und dab die transversalen Anteile gx = Cr cos(C) + Ccsin(r die longitudinalen Ez-Anteile um den Faktor ~tma/Xtm >> 1 fiberragen. Diese Moden werden auch als linear polarisierte (LP-)Moden bezeichnet. Sie entstehen aus den HE-Moden bzw. ffir hShere g-Werte aus linearen Superpositionen der entarteten {HE~+2,m,EH~,m}-Moden:

HE~,m ~

LPt-I,m

bzw.

HEi+2,m, EH~,m --~ LPi+I,m

(6 _~ 2).

Beispiel: Kern-Durchmesser eines Mono-Mode-Wellenleiters. In technischen Katalogen werden ffir Wellenleiter, die ffir Mono-Moden-Anwendungen vorgesehen sind, typischerweise Angaben zur numerischen Apertur und zur cut-off-Wellenl~inge gemacht, beispielsweise:

NA cut-off (nm)

0,13 0,12 1260 800

0,11 620

Aus diesen Angaben l~it3t sich der Kerndurchmesser 2a nach G1. (3.23) und 2a = V.~/~rNA absch~tzen. Das Ergebnis lautet:

2a(#m) II 7,4 I 5,11 4,3

3.3.2

GRIN-Fasern

Hinter der Bezeichnung ,,Quadratische Indexmedien" verbergen sich durchaus h~ufig vorkommende Systeme wie zum Beispiel die schon im Kapitel fiber

104

3 Lichtausbreitung in Materie

Strahlenoptik behandelten Gradientenfasern mit ihrem parabolischen Indexprofil (s. nebenstehende Abbildung), die man als den Grenzfall einer unendlich dicken Linse auffassen kann. Realistische Gradientenfasern besitzen nur im Zentrum ein quadratisches Profil, das dann wieder in Stufenformen iibergeht. Wir betrachten stattdessen ein vereinfachtes, rein quadratisches System, das aber die Eigenschaften der Gradientenfaser bereits reflektiert. Das Brechzahlprofil soll vom normierten Radius r / a abh~ngen und lautet mit der Brechzahldifferenz (A = (n I - - r t 2 ) / n l , S. Kap. 1.7.3)

n(r)=nl(1-A(r/a)

Abb. 3.11 Vereinfachtes Brechzahlprofil einer GRIN-Faser.

2)

und

A<
Wir suchen LSsungen zur Helmholtz-Gleichung (2.13), deren Einhfillende sich entlang der Ausbreitungsrichtung nicht andert, d.h. in der Form $ ( x , y , z ) = J t ( x , y ) e x p ( i ~ z ) , und erhalten die modifizierte Gleichung

(V• + n2k 2 - 2n2k~A((x/a) 2 + (y/a) 2) - Z 2) .A(x,y) -- 0

,

wobei wir (nlk(1 - A(r/a)2)) 2 ~- (nlk)2(1 - 2 A ( r / a ) +...) genutzt haben. Wir nehmen nun an, daft die transversale Verteilung wie schon bei den hSheren Gaufi-Moden (s. Kap. 2.3.3) einer modifizierten Gaufi-Funktion entspricht, 2

=

2

2

2

/yo)

Mit diesem Ansatz erhalten wir

(7'

If

--

4x~,

~_

--

2 "z'~ ?t:rl n. T

_~_ ,J

4x0 2n2kXO..~ +

(,",,

4y~,

~, ( 4

Yo Yo ! 2n2k2A~ 2 ]

2

n'~

~"gl-

n~k2~6+ ,

in welehem wir dureh Wahl von

kxo = kyo

=

(ka)l/2/(2n~A) 1/4 ~ 1

die i. Allg. unangenehme quadratische Abhangigkeit beseitigen kSnnen. Nun kann man durch die Substitution v~X/Xo --~ u und vf2y/yo ---, v wieder auf das System der Hermiteschen Differentialgleichungen transformieren, das wir schon von den hSheren Gaufimoden kennen. Mit den Indizes m und n erhalten wir zun&chst 2(9u" - 2u9u' + 2tabu)6 + 2(6" - 2v6' + 2n6)gu+ +(n~k2x~ - ~2x] - 4 ( m + n + 1))9c'6 -- 0

3.3 Lichtwellenleiter

105

Die ersten Beitr~ge sind so konstruiert, daft sie bei Einsetzen der HermitePolynome 7-/m,n (S. S. 56) gerade verschwinden. Ffir die hier im Zentrum stehende Propagationskontante findet man nach kurzer Rechnung [

w

I

4v/2-~( m + n + 1)

C ~1--

nlka

nlw

flmn(W)=neffC --

Die transversale Amplitudenverteilung entspricht dann ebenfalls denjenigen aus Abb. 2.9. Im Unterschied zu den Gaut3-Moden ~ndert sich aber der Modendurchmesser nicht. Das Beispiel der vereinfachten GRIN-Faser zeigt, daft Multi-Mode-Fasern zus~tzlich zur ,,Material-Dispersion", die durch den frequenzabh~ngigen Brechungsindex charakterisiert wird, eine ,,Moden-Dispersion" zeigen. Sie beeinflufit die Form von Pulsen, weft verschiedene Teil-Moden verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten besitzen.

3.3.3

Faserabsorption

Der Erfolg optischer Fasern ist nicht denkbar ohne ihre aufiergewShnlich vorteilhaften Absorptionseigenschaften (Abb. 3.12). Diese werden auf der kurzwelligen Seite durch die Rayleighstreuung an kleinen Inhomogenit~ten begrenzt (c< 1/~4), auf der langwelligen durch die Infrarot-Absorption in den Flanken des Phononen-Spektrums. Die wichtigsten Wellenl~ngen ffir die optische Kommunikationstechnik, 1,3 und 1,55 #m, liegen bei sehr niedrigen Absorptionskoeffizienten, und gleichzeitig verschwindet bei 1,3 #m die Abb. 3.12 Absorptionseigenschaften optiGruppengeschwindigkeit sdispersion (s. scher Fasern aus Silikatglas. Die relaS. 124). Dazwischen liegen Resonanzen, tiv scharfen Resonanzlinien werden dutch die z.B. dutch OH-Verunreinigungen im OH--Einlagerungen im Glas verursacht. Glas verursacht werden. Die Graphik gibt bei A = 1,55 #m den Wert a -- 0, 3 dB/km an. Die Leistung f~llt danach erst nach ca. g -- 10 km Laufstrecke auf 50% ihres Anfangswertes ab (Nach der Definition des Dezibels gilt P / P o -- 10-(~/l~

106

3.4

3 Lichtausbreitungin M a t e r i e

l

mktionstypen von Fasern

9 M u l t i - M o d e n - F a s e r n : In Abb. 3.8 erkennt man, daft mit wachsendem VParameter, Y = (27ra/)O(n2-n2) 1/2 (3.23), in fast regelm~6igen Abst~nden bei 7r, 2~, 3~, ... ein neuer Mode mit zunachst Y~m = 0 und ~ = n2w/c auftritt. In Abb. 3.9 liegen alle gefiihrten Moden zwischen den beiden Geraden (Steigungen c/nl und c/n2), die die Propagation im homogenen Kern- bzw. Mantelmaterial beschreiben. Bei hSheren Frequenzen spielen natfirlich immer grSt3ere g-Werte ein Rolle. Man kann zeigen [145], daft die Anzahl der Moden M nicht linear, sondern quadratisch mit dem V-Parameter wachst nach (s. Aufg. 3.8.6)

M ~ V2/2 Wenn in einer Viel- oder Multimodenfaser Licht eingekoppelt wird, wird im Allgemeinen eine Uberlagerung mehrerer Moden angeregt, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten (,,Modendispersion"). Am Ausgang des Wellenleiter wird aus dem Multimodenfeld wieder ein freies Feld, dessen transversales und longitudinales Profil aber durch die verschiedenen Beitr~ge zur Dispersion verformt worden ist. Solche Fasern werden verwendet, wenn die transversale Koh~renz keine grofie Rolle spielt, z.B. beim Pumpen yon Hochleistungslasern (siehe z.B. Kap. 7.4.2). 9 M o n o - M o d e n - F a s e r n , auch SM-Fasern (von engl. single-mode): Fiir Werte des V-Parameters (3.23) von V < 2,405 (3.29) l~nn in der Stufenfaser nur der LPol- bzw. HErmll-Mode propagieren. In Abb. 3.9 sind die Eigenschaften der Stufenfaser in einem Dispersions- oder Propagationsdiagramm zusammengefa6t. In diesem Diagramm zeichnen sich gefiihrte Moden dadurch aus, daft die freie Propagation im Kern erlaubt, im Mantel nicht erlaubt ist. Der schmale schraffierte Bereich zwischen den Geraden mit Steigungen c/nl,2 umfa6t das Terrain der gesamten optischen Komunikationstechnologie! Der niedrigste Mode in der zylindrischen Stufenfaser (HE11/LP01) hat ein glockenfSrmiges, dem freien TEM00-Gaut3mode sehr ahnliches Profil. Ein Gau6strahl la6t sich effizient in diesen Grundmode einer Mono-Mode-Faser einkoppeln. Die Mono-Mode-Faser wird sogar h~ufig als sehr effizientes r~umliches Filter eingesetzt (s. Abschn. 2.3.4), denn aus der eingekoppelten Amplitudenverteilung wird dann nur der erwiinschte Grundmode propagieren und am Ende als sehr ,,sauberer" TEM00-Mode abgestrahlt. 9 P o l a r i a t i o n s - e r h a l t e n d e Fasern, auch PM-Fasern (von engl. polarization maintaining): Selbst die ideale zylindrische Stufenfaser ist aber noch im Hinblick auf zwei orthogonale Polarisationszust~nde entartet. In realistischen Fasern ist deshalb der Polarisationszustand am Auskoppelende nicht vorhersagbar und schwankt zudem durch Temperatur~nderungen oder mechanische

3.5 PhotonischeMaterialien

107

Schwingungen in den Faserkriimmungen. Diese Probleme werden durch polarisationserhaltende Mono-Moden-Fasern gelSst. Sie werden realisiert, indem zum Beispiel die Brechzahl des Faserkerns geringfiigig elliptisch verzerrt wird (Abb. 3.13) und dadurch verschiedene Propagationskonstanten ffir die Hauptachsen verursacht.

Abb. 3.13 Die doppelbrechenden Eigenschaften einer optischen Faser werden durch MantelElemente beeinflusst, die auf den Faserkern mechanische Spannungen ausiiben. Gebriiuchliche Typen sind die ,Bowtie"- und die ,PANDA "-Struktur.

9 P h o t o n i s c h e Fasern: Seit etwa 1995 werden Lichtwellenleiter mit Strukturen ausgestattet, deren Komplexitiit weit fiber das von Stufen- oder GRINFasern bekannte Marl hinausgeht. Diese Fasern sind ein sehr aktuelles Forschungsgebiet, weil man ihre Eigenschaften, zum Beispiel die Rolle der Dispersion bei nichtlinearen Prozesse, kontrollieren kann. Photonische Fasern sind eng verwandt mit den sogenannten Photonischen Materialien, dort ist ihnen ein eigener Abschnitt gewidmet (3.5.6).

3.5

Photonische Materialien

Bisher haben wir im allgemeinen die Propagation von Licht in mehr oder weniger homogenen Materialien studiert, lediglich Grenzfliichen und langsam veriinderliche Brechungsindizes haben eine Rolle gespielt. Die Methoden der Mikrostrukturierung erlauben uns aber heute, die optischen, d.h. die dielektrischen Eigenschaften auf der Nanometerskala, bei der Wellenliinge des Lichts und darunter zu modifizieren. Mit Photonischen Materalien l~ii~tsich die Propagation von Licht in einer Weise beeinflussen und kontrollieren, wie es natiirlich vorkommende Materialien nicht zulassen.

Strukturierte dielektrische Materialien, bei denen sich der Brechungsindex in zwei oder drei Dimensionen periodisch iindert, spielen ffirdie photonischen Materialien eine grofie Rolle. Weil solche Materialien den periodischen Strukturen eines Kristalls entsprechen, wird auch yon ,,photonischen Kristallen" gesprochen. Anders als bei gewShnlichen Kristallen sind aber die Periodenliingen

108

3 Lichtausbreitung in Materie

vonder GrSfienordnung der Wellenlangen des verwendeten Lichts und betragen fiir sichtbares Licht einige 100 nm bis einige #m. Photonische Kristalle ffir experimentelle und technische Anwendungen miissen i. Allg. technisch hergestellt werden. Es gibt aber in der Natur auch Beispiele von Materialien, deren Farbigkeit gerade auf der Wirkung von periodisch strukturierten Materialien beruht, z.B. Schmetterlingsfliigel oder Opale.

3.5.1

Photonische Kristalle

Abb. 3.14 Beispiele fiir photonische Kristalle (s. Text). Mit freundlicher Erlaubnis yon Y. Yamamoto (links, [95]), M. Giersig (mitre, [143]) und R. Wehrspohn (rechts, [119]). In Abb. 3.14 sind Beispiele flit photonische Kristalle verschiedener Dimensionalit~t gezeigt: 9 Links: Der eindimensionale ,,Pillar" besteht aus GaAs-Schichten mit wechselnder Zusammensetzung [95]. In transversaler Richtung wird die Propagation des Lichtfeldes in dieser Hybrid-Struktur dutch Totalreflexion unterdriickt, so daft ein geschlossener Resonator entsteht. 9 Mitre: Zweidimensionale (2D) Kristalle kSnnen, wie hier gezeigt, durch Selbstorganisation hergestellt werden [143] oder mit konventionellen Methoden der Mikrostrukturierung. 2D-photonische Kristalle (Abschn. 3.5.4) sind fiir Anwendungen in der integrierten Optik interessant, denn das Licht wird mit Hilfe eines Brechungsindexsprungs innerhalb einer diinnen Schicht gefiihrt. In photonischen Kristallfasern (Abschn. 3.5.6) wird das Licht dutch transversale 2D-photonische Strukturen entlang einer Faserachse gefiihrt. 9 Rechts: Der hier dargestellte dreidimensionale photonische Kristall wurde durch kontrolliertes photoelektrochemisches _~tzen entlang der sogenannten (100}-Richtung eines Si-Kristalls erzeugt [119]. Er hat eine sogenannte photonische Bandliicke bei der infraroten Wellenl~inge yon 5 #m.

3.5 Photonische Materialien

109

Um die Propagation von Licht in photonischen Kristallen theoretisch zu beschreiben, kann man die aus der Festk5rperphysik bekannten Begriffe verwenden, die Punktsymmetriegruppen und das reziproke Gitter spielen eine wichtige Rolle. Bei vielen Konzepten hat insbesondere das Biindermodell der Bewegung von Elektronen Pate gestanden, und hier in besonderer Weise Halbleitermaterialien mit ihrer Bandliicke, deren Kontrollierbarkeit uns die Mikroelektronik beschert hat. Die theoretische Behandlung ist aufwendig, weil nicht wie in der Festk5rperphysik mit skalaren elektronischen Wellenfunktionen schon gute Ergebnisse erzielt werden, sondern von vornherein vektorielle MaxwellGleichungen gelSst werden miissen. In Materialien mit einer Photonischen Bandliicke (PBG, von engl. Photonic Bandgap) ist die Lichtpropagation in gewissen Wellenl~ingenbereichenvollst~indig unterdrfickt. Periodische Vielschichtensysteme lassen sich schon lange durch Aufdampfen herstellen, sie werden als Spiegel oder Interferenzfilter eingesetzt (s. auch Abschn. 5.7.2). Sie sind als 1D-Modell gut geeignet, um den Ursprung der Bandliicke physikalisch zu verstehen. Von besonderem Interesse fiir Anwendungen werden die PBG-Materialien aber erst in 2 und 3 Dimensionen, weil sie dort die Konstruktion komplexer optischer Schaltkreise versprechen.

Lichtpropagation in 1D-periodisch strukturierten Dielektrika Wir studieren zur Einfiihrung die Propagation von Licht in einem Kristall, dessen Brechungsindex in einer Richtung (1D) mit der Periodenl~nge A moduliert ist. Das 1DBeispiel ist eng mit der Behandlung dielektrischer Vielschichtenstapel in Kap. 5.7 verbunden, die durch Aufdampfen hergestellt werden und in einer Dimension schon lange Zugang zu diesen Materialien bieten. Fiir unser Problem ist es zweckm~ii~ig, fiir eine Welle E ( z , t ) = E ( z ) e - ~ t mit w = cko die HelmholtzGleichung (2.13) in der Form

(n21zld?.

+ k

E(z) = 0

Abb. 3.15 Ein periodisches Schichtensystem mit alternierenden Brechungsindizes wird dutch eine Fouriersumme geniihert. Die gestrichelte Kurve zeigt die Ndherung bis zur 1. Ordnung.

(3.30)

zu verwenden. Der Brechungsindex n ( z ) ist eine (reelle) Funktion mit Periodizit/it A, n(z) = n(z+A). Daher kann man eine Fourierreihe n(z) = n o + n a e ~gz +

110

3 Lichtausbreitung in Materie

n_ge -igz + ... angeben. Die Fourier-Koeffizienten nG mit G = 0, -4-~, + 2 ~ , . . . und G = 21r/A bilden die Punkte des reziproken Gitters, das aus der FestkSrperphysik wohl vertraut ist. Weil n(z) eine reelle Funktion ist, muff n g = (n_g)* gelten. Zur LSsung der G1. 3.30 empfiehlt es sich, n-2(z) ebenfalls in eine Fourierreihe zu entwickeln. Fiir kleine Entwicklungskoeffizienten nG << n0 erhglt man n-2(z) ~-- no 2 - Z ~ -e'c~ G no

3.5.2

Bloch-WeUen

Wir nehmen an, daft wir die Welle im Material mit periodischer Brechzahlvariation durch eine Summe ebener Wellen mit Koeffizienten eK beschreiben kSnnen,

E(z) =

~.,eKe K

Das propagierende Feld E(z) muff aber nicht periodisch in A sein. Aus der Helmholtzgleichung (3.30) gewinnen wir durch Einsetzen und geringfilgiges Umsortieren

1

2naK2eKei(K+G)z--

n]

no

E(K

2

--noko)eKe

=0

K

Den Koef[izienten eines einzelnen Wellenvektors K kann man durch Multiplikation der Gleichung m i t e -ig'z und anschliet3ende Integration mit f eiK'ze--igzdz : V / ~ 5 ( K - K') gewinnen. Im Ergebnis ersetzen wir K ' ~ k und erhalten die Form ( 0k0 - k2)ek +

(k - a)2

k_G = 0

,

(3.31)

G

die solche Wellen miteinander verknfipft, deren K-Vektoren sich gerade um einen reziproken Gittervektor unterscheiden. Die LSsung hat deshalb die Form

G

\G

/

Die Fourier-Reihe in der g l a m m e r ist periodisch in A, g(z) = g(z + A). Damit haben wir das Blochsche Theorem begriindet, das zuerst fiir Kristallelektronen formuliert wurde: Elektronen, die sich in einem periodischen Potential bewegen, werden dutch eine Wellenfunktion der Form Ck(r) = uk(r)e ikr beschrieben, in der Uk(r) die Periodizit~t des Kristallpotentials besitzt. Da sich die Wellenvektoren in 1D um G = -4-t~Q unterscheiden, t~ = 1, 2 , . . . , verwendet man praktischerweise die k-Vektoren aus der 1. Brillouin-Zone, d.h. - G / 2 < k < G/2 zur Beschreibung einer spezifischen Welle.

3.5 Photonische Materialien

3.5.3

Photonische

111

Bandliicke in 1D

Um die Koeffizienten ek-G in G1.3.32 zu bestimmen, mut] das unendlich grot3e System der Glgn. 3.31 gelSst oder geeignet gen~hert werden. Zur Illustration betrachten wir den Spezialfall, dab nur die Koeffizienten no und n• -- n• von Null verschieden sind. Dann lauten die Gleichungen fiir die ersten drei Koeffizienten

(nok ~~ _ k2)e k

2hi (k - G)~e~_~ n

2 2 (n0k0

02nl , -

k2)e

-

-

2n_l (k + ~)~ek+~ no

2n_l k2ek

2~)2ek_2 g -

(rt2k2 _ k2)ek+ g _ 2?21 k2ek no

n0

2 n _ l (k -4- 2~)2ek+26 no

= 0 0

(3.33)

=

---- 0

Fiir eine Abschtitzung der Koeffizienten k6nnen wir G1. 3.31 verwenden, ~G>0 2(nG/no)(k -- G)2ek_C =

(no

/e)2 -

ks

In der Ntihe des Ursprungs der Brillouin-Zone, wenn (k, w/c) << G gilt, wird der Nenner fiir ek dureh ((now/c) 2 - k2), fiir die anderen Koeftizienten ek• durch ( ( n o w / C ) 2 - ( k - G ) 2) ~-- G 2 >> I(now/c)2-k21 bestimmt, d.h. es dominiert der Koeffizient ek und in guter Ntiherung gilt der lineare Zusammenhang k = noo2/ c. Eine andere Situation tritt am Rand der Brillouin-Zone bei k ~- G/2 auf, dort gilt Ik - G I _~ G, und wenigstens die beiden Koeffizienten ek und ek-c sind von Bedeutung. Wir betrachten ek und ek-g und vereinfachen die Glgn. 3.33, indem wit alle anderen Komponenten vernachltissigen,

(nok 2 ~2 _ k2)e k

2nl ( k no

6)2ek_~

= 0

2 n _ l k 2 e k _ (nok 2 02 _ k2)ek_g ---- 0 no Dieses Gleichungssystem hat bekanntlich dann eine L5sung, wenn die Determinante verschwindet,

((now/C)2 _ k2)2 _ ( (21nll/no)2(k(k _ ~) )2 _- 0 Man findet ohne Umsttinde die Dispersionsrelation, den Zusammenhang zwischen w und k, w•

ck ( no

1+

2.nl. k - G) 1/2 Tt0

k

fiir

k~/2=~r/A

(3.34)

der in Abb. 3.16 qualitativ dargestellt ist. Fiir Frequenzen zwischen w_ und w+ gibt es keine L6sung, d.h. dort wird die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen unterdrfickt, man spricht von einer ,,photonischen Bandlficke" (engl.

112

3 Lichtausbreitung in Materie

Abb. 3.16 Dispersionsrelation fi~r elektromagnetische Wellenpropagation in einem 1Dphotonischen KristaU mit Bandliicke. Addition eines reziproken Gittervektors ~ verschiebt den markierten Ast der Dispersionsrelation in die 1. Brillouin-Zone.

Kiirzel ,,PBG" von Photonic Bandgap) in Analogie zum Bandermodell der FestkSrperphysik. Ihre GrSf~e kann man aus G1.3.34 ffir k ~ G/2 und nicht zu groBe nl/no absch~tzen. Mit Wo = ck/mo gilt: 41nll no

Wie erwartet verschwindet die Bandliicke mit verschwindender Modulation, nl ---* 0. Fiir k - - G / 2 wird auch der maximale Mischungsgrad erreicht - die vorw~rts laufende Welle ( k - - ~ / 2 ) wird an die riickw~rts laufende ( k - G / 2 - - G / 2 ) gekoppelt, so daft dort Reflexion stattfindet und eine Stehwelle ausgebildet wird. Die Bedingung entspricht gerade der Bragg-Bedingung ffir Reflexion, k=2~/~=~/2=~/A

oder

2A=~,

wobei A die Wellenl~nge im Kristall bezeichnet. Im Kap. 5.7 werden wir einen derartigen ,Bragg-Stapel", mit dem dielektrische Verspiegelung erzeugt wird, noch einmal genauer betrachten. Die wellenl~ngenabh~ngige Reflexion aus Abb. 5.27 zeigt genau die photonische Bandliicke, auf die wir in unserem Modell gestof~en sind. Bragg-Stapel mit alternierenden Brechungsindizes spielen auch bei der Konstruktion von Halbleiterlasern ein grof~e Rolle (Kap. 9.5.2).

3.5.4

Bandliicken in 2D und 3D

W~hrend in einer Dimension immer eine Bandlficke auftritt, ist aus der FestkSrperphysik wohl bekannt, dab das Auftreten einer Bandlficke (ffir Elektronen) in zwei und drei Dimensionen von der genauen Kristallsymmetrie

3.5 Photonische Materialien

113

Abb. 3.17 Das Bild bietet eine physikalische Erklgrung fiir die Entstehung der Bandliicke (~: Wellenlgnge der im Kristall propagierenden Welle; A: Periode des photonischen Gitters.) Die Maxima der oberen Stehwelle erfahren im Mittel eine h6here Brechzahl, diejenigen der unteren eine niederere Brechzahl. Der effektive Brechungsindex ist also sehr verschieden und fiihrt zu einer Frequenzerh6hung bzw. -erniedrigung gegeniiber dem mittleren Brechungsindex (s. auch Abb. 9.27).

abh~ngt. Photonische Bandlficken, die Propagation in allen oder wenigstens 2 Raumrichtungen unterdriicken, haben aber schon l~inger Interesse hervorgerufen [87, 178], weil sie es - in Analogie zur Halbleiterphysik - gestatten, elektromagnetische Schwingungsenergie an einen ,,Defekt" zu heften. 2D-Photonische Kristalle

Abb. 3.18 Links: Hexagonales 2-dimensionales Gitter mit primitiver EinheitszeUe (schraffiert). Rechts: Reziprokes Gitter und 1. BriUouin-Zone. Die gestrichelten Linien geben die halben Abstgnde zum ngchsten reziproken Gittervektor an. Aus Symmetriegriinden ist alle Information schon in dem karierten Dreieck F-M-K enthalten. Bandstrukturen werden hSufig durch ihre Dispersionsrelationen auf den Rdndern dieser irreduziblen Brillouin-Zonen dargestellt, s. Abb. 3.19. In Abb. 3.18 ist ein wichtiges Beispiel einer (hexagonalen) 2-dimensionalen Struktur mit ihrem reziproken Gitter gezeigt. Die Propagationseigenschaften

114

3 Lichtausbreitung in Materie

werden wie im 1D-Fall mit der Dispersionsrelation w(k), (k = (k~,ky)) charakterisiert, die jetzt selbst flgchigen 2D-Charakter hat. Sie ist am Beispiel in Abb. 3.19 vorgestellt. Man behilft sich i. Allg., indem man statt der gekrfimmten Flgche der Dispersionsrelation ihre Werte entlang der Rgnder der irreduziblen Brillouin-Zone auftrggt.

Abb. 3.19 Beispiele fiir Bandliicken in 2D-Photonischen KristaUen. Die Bezeichnungen fiir die reziproken Gitter-Vektoren sind in Abb. 3.18 erkl~irt. (a) Periodische dielektrische Zylinder mit n 2 = 12. (b) Periodische zylindrische LScher in einem Dielektrikum mit n 2 = 12. Mit freundlicher Erlaubnis yon Steven G. Johnson. Weitere Eigenschaften in [82]

Ffir 2D-Photonische Kristalle kann man zwei Gruppen von Komponenten unterscheiden: 9 In dfinnen, fl~tchigen Hybrid-Strukturen wird die Ffihrung der Lichtwellen in der Ebene durch Indexffihrung, d.h. dutch Totalreflexion an den ebenen Begrenzungsfl~tchen erreicht (Abb. 3.20). In der Ebene bestimmt die periodische Modulation der Brechzahl die Propagation. 9 In photonischen Fasern wird die transversale Ausbreitung durch eine photonische Bandlficke unterdrfickt, das Licht propagiert entlang ihrer Achse. Diesen Komponenten, die wegen ihrer besonderen Eigenschaften schnell ein ganz neues Gebiet nichtlinearer optischer Wechselwirkungen erschlossen haben, ist ein eigener Abschnitts gewidmet (3.5.6). Die Dispersionskurven aus Abb. 3.19 geben detaillierte Auskunft fiber die Pro-

3.5 Photonische Materialien

115

Abb. 3.20 Links: Hybridstrukturen: In einem 2D-Photonischen Kristall kann die transversale Feldverteilung dutch (Total-)Reflexion an den Grenzfliichen eines scheibenfSrmigen Kristalls eingeschrdnkt werden. Rechts: Zustandsdichte der TE-Moden in einem 2D-Photonischen Kristall aus einem quadratischen Gitter yon zylindrischen LSchern mit r /a = O, 2 in einem Dielektrikum mit n 2 = 10. Nach [90]. Die gestrichelte Gerade deutet den erwarteten Verlauf der 2D-Zustandsdichte in einem homogenen Material an (s. Anhang B.3).

pagation einer eben Welle mit einem gegebenen k-Vektor. H~ufig reicht aber die pauschale Information der sogenannten Zustandsdichte vollkommen aus. Ffir homogene Materialien ist die Berechnung im Anhang B.3 vorgestellt, die periodischen Strukturen mfissen numerisch behandelt werden. In Abb. 3.20 ist rechts als Beispiel die Zustandsdichte der TE-Moden zu der Struktur links mit r / a -- 0, 2 vorgestellt. 3D-Photonische KristaUe

In drei Dimensionen wird die Struktur der Dispersionsrelationen aufgrund der Geometrie notwendigerweise noch einmal komplexer, geht aber konzeptionell nicht fiber die schon aus zwei Dimensionen bekannten Eigenschaften hinaus. Eine 3D-Bandlficke aufiert sich in der Zustandsdichte ebenfalls als eine Lficke. Die Suche nach Methoden zur Strukturierung geeigneter dielektrischer Materialien mit einer vollst~ndigen Bandlficke, die die Propagation in allen drei Dimensionen unterdrfickt, ist ein sehr aktives Forschungsgebiet. Schon die theoretische Berechnung und Vorhersage erfordert aufwendige numerische Verfahren, die den Rahmen dieses Buches weit fibersteigen, und tats~chlich sind bisher sogar theoretisch nur wenige Strukturen bekannt, die eine vollstandige Bandlficke bieten. Eine grofie Herausforderung stellt auch die Preparation solcher Kristalle bei Nanometer-Dimensionen dar. Ffir die Herstellung mfissen namlich neue Verfahren der Nanostrukturierung ersonnen werden, weil die konventionellen Verfahren der Mikroelektronik vor allem ffir die Strukturierung von dfinnen Schichten auf geeigneten Oberfl~chen anwendbar sind. Ein Beispiel mit einer Bandlficke bei ca. 5 # m Wellenl~nge ist in Abb. 3.14 gezeigt.

116

3.5.5

3 Lichtausbreitung in Materie

Defekte und Defektmoden

Das groBe Interesse an den photonischen Kristallen w~ire kaum vorstellbar ohne die sogenannten Defektmoden. Defekte sind lokale St6rungen des perfekt periodischen Brechzahlgitters, z.B. ffihren VergrSt3erung oder Verkleinerung eines Loches in dem 2D-Photonischen Kristall aus Abb. 3.20 zu solchen Defekten. In Abb. 3.21 sind Beispiele fiir Defekte gezeigt: Verkleinerung eines Loches fiihrt zu einem dielektrischen Defekt, denn der Brechungsindex wird dadurch lokal erh6ht. VergrSBerung eines Loches verringert den Brechungsindex lokal und erzeugt einen lochartigen Defekt. Defekte k6nnen in der photonischen

Abb. 3.21 Defekte in 2D-Photonischen Kristallen: (a) dielektrischer Defekt, punktfSrmig; (b) lochartiger Defekt, punktfSrmig; (c) dielektrischer Defekt, linienfSrmig; (d) linienfSrmige Defekte in 2D-Hybridstrukturen kSnnen genutzt werden, um komplexe Lichtleit-Bahnen zu realisieren.

Bandlficke isolierte und lokalisierte Zustande verursachen. Die Propagation des Feldes wird dort unterdrfickt und damit auch der spontane strahlende Zerfall, es gibt nut die exponentiell v o n d e r StSrung abfallenden Felder des sogenannten ,,Defektmodes", ~hnlich dem quergedampften, ,,evaneszenten" Feld der Totalreflexion (Kap. 3.1.2). An einem punktfSrmigen Defekt l~Bt sich ein Lichtfeld ~hnlich wie in einem optischen Resonator speichern. Der optische Defekt hat ~hnliche Eigenschaften wie die Donator- und Akzeptor-Atome in einem Halbleiter, die ein Elektron lokal speichern kSnnen (Kap. 9.3.4).

Abb. 3.22 2D-Photonischer Kristall aus dielektrischen Zylindern mit Radius r/a = 0, 2 zeigt eine Bandliicke f i i r n u = 12, s. Abb. 3.19. Die Lage (Frequenz) der Defektmoden in der Bandliicke hiingt vom Defektradius ab. Fiir r/a < O, 2 sind die Defekte lochartig, fiir r /a > O, 2 dielektrisch.

3.5 PhotonischeMaterialien

117

Die dielektrischen Defekte scheinen sich in Abb. 3.22 aus dem oberen (Luft-) Band zu 15sen, die lochartigen aus dem unteren (dielektrischen) Band. Qualitativ kann man diese Entwicklung verstehen, wenn man berficksichtigt, dat3 Frequenz und Propagationskonstante nach w = c ~ / n e ~ (G1. 3.27) zusammenh~ingen. Wir erwarten, daft ein dielektrischer Defekt neff lokal erh6ht, ein lochartiger erniedrigt. Die Frequenz wird im ersten Fall verringert, im zweiten erhSht. Das ,,Anheften" einer lokalisierten Mode an einen dielektrischen Defekt l~t3t sich in direkter Analogie zur geffihrten Mode einer Stufenfaser verstehen, bei welcher der Faserkern die axiale Propagation unterhalb der im homogenen Mantelmaterial erlaubten Zust~nde (w, t3) ermSglicht (s. Abb. 3.9). Bei lochartigen Defekten wird der ,,verbotene" Bereich, die photonische Bandlficke, durch Interferenz an der periodischen Struktur erst erzeugt.

3.5.6

Photonische Kristallfasern (PCFs)

Abb. 3.23 Photonische Kristallfasern werden durch Ausziehen eines Stapels yon KapillarrShren geformt (mitte). Links: Fasern mit dielektrischem Kern. Rechts: Faser mit Hohlkern (BlazePhotonics Ltd). Mit freundlieher Erlaubnis yon P. St. Russell.

Photonische Kristallfasern (PCFs, von engl. P h o t o n i c Crystal Fibre) gehSren seit ihrer Erfindung um 1996 [100] zu den interessantesten mikrostrukturierten Materialien der Optik. Sie bieten nicht nur aufJergewShnliche Eigenschaften, sondern sind trotz ihrer Komplexit~t vergleichsweise einfach herzustellen: Die

118

3 Lichtausbreitungin Materie

gewiinschte Struktur wird als Vorform aus einem Biindel von hohlen oder massiven Glaskapillaren hergestellt. Anschliet3end wird das Bfindel wie die gewShnlichen Fasern der Telekommunikation erhitzt und ausgezogen, und es erh~lt dabei im wesentlichen seine strukturellen Eigenschaften, nur mit geringerem Querschnitt. In Abb. 3.23 werden der Prozet3 skizziert und zwei Beispiele vorgestellt. Im Gegensatz zu den Hybridstrukturen aus Abschn. 3.5.4, die das Licht in der Ebene diinner 2D-Photonischer Kristalle fiihren, propagiert das Licht in den PCFs entlang des Faserkerns, der den Defekten aus Abschn. 3.5.5 entspricht. Es ist naheliegend, ein Dispersionsdiagramm analog zu Abb. 3.19 fiir photonische Kristallfasern anzugeben [142]. In Abb. 3.24 ist ein solches Diagramm mit charakteristischen Eigenschaften vorgestellt. Im Vollmaterial (Brechzahl nz), aus dem der 2D-Photonischen Kristall aufgebaut ist, gibt es sicher keine (w, ~)-Zust~nde unterhalb der Geraden mit der Steigung c / n l , d.h. dieser Bereich ist verboten. Bei grot3en Wellenl~ngen bzw. kleinen Propagationskonstanten t3 kann man fiir die Dielektrikum-LuftStruktur einen mittleren Brechungsindex nave < nz annehmen, der die untere Grenze fiir die erlaubten Moden nach oben verschiebt.

Abb. 3.24 Dispersionsdiagramm yon photonischen Fasern. Unterhalb der Geraden mit der Steigung 1/nl ist die Propagation yon Licht strikt verboten. Die fingerartigen Strukturen zeigen photonische Bandliicken, dort ist Propagation auch oberhalb der Luftgeradeniinterdriickt. Dielektrische Faserkerne verursachen gefiihrte Moden im gestrichelten Bereich, Hohlkerne in den photonischen Bandliicken.

Wenn die Licht-Wellenlange die Gr5t3enordnung der 2D-Periodizitat erreicht, kann aber nicht mehr gemittelt werden, der Grenzbereich der Propagation in diesem Material n~hert sich der Geraden des homogenen Materials an, weil das Licht starker im Dielektrikum konzentriert wird. Ein dielektrischer Defekt erzeugt dann einen gefiihrten Mode in dem schraffierten Bereich der Graphik. Im Gegensatz zu den Stufenfasern treten in den PCFs Bandlficken auf. Sie

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

119

verursachen in der (w, ~)-Ebene Bereiche, bei denen die Propagation sogar oberhalb der Luft-Geraden mit der Steigung c unterdriickt wird. In einer solchen Lficke k5nnen auch ,,Hohlkerne" - lochartige Defekte - gefiihrte Moden hervorrufen. Die Anwendungsm6glichkeiten der PCFs sind aut3erordentlich vielf~ltig und werden in der Spezialliteratur [21, 142] vorgestellt. Wir beschranken uns auf ein qualitatives Beispiel, das das wachsende Interesse an diesen mikrostrukturierten optischen Lichtwellenleitern beleuchten soll.

Beispiel: Eine endlos monomodige Faser [20] Um eine Stufenfaser monomodig zu verwenden, muff fiir den VParameter Y -- (27ra/,~(n2-n2) 1/2 < 2,405 gelten (3.23, 3.29). In gewShnlichen Stufenfasern ist der VParameter bei vernachl~issigbarer Dispersion wellenl~i~genabh~ngig und fibersteigt den Schwellwert 2,405 mit abnehmender Wellenlange. Ein dielektrischer Voll-Kern kann Licht in PCF-Materialien aus einer Glas- Abb. 3.25 Berechnete Werte des effektiven Luft-Struktur fiihren. Qualitativ V-Parameters fiir photonische Kristallfasern l~nn man grob den Brechungsindex vom Typ Abb. 3.23 links. Mit freundlieher Erdes Defekts (nz) mit dem mittleren laubnis yon P. Russell, Erlangen. Brechungsindex (n2) des periodisch strukturierten Mantelmaterials vergleichen. Er h~ngt jetzt selbst - wie auch im Dispersionsdiagramm Abb. 3.24 angedeutet - v o n der Wellenl~nge ab, er w~chst mit )~ und modifiziert auch den V-Parameter. Eine ,endlos monomodige Faser" fiir die der V-Parameter unterhalb des Schwellwertes 2,405 bleibt, ist in Abb. 3.23 links oben gezeigt. Die hier gezeigte Graphik Abb. 3.25 zeigt berechnete V-Werte fiir verschiedene Verh~ltnisse des Lochdurchmessers d zum Lochabstand A.

3.6

Lichtpulse in dispersiven Materialien

Elektromagnetische Wellen werden benutzt, um Information zu iibertragen. Damit am anderen Ende einer 0bertragungsstrecke noch geniigend Leistung zur Verfiigung steht, um die Nachricht von einem Empf~nger abzulesen, mut3

120

3 Lichtausbreitungin Materie

das Material (i. Allg. eine optische Faser), in welchem die 0bertragung stattfindet, hinreichend transparent sein. Diese Bedingungen gelten natfirlich fiir alle Typen von elektromagnetischen Wellen, die zur Nachrichtenfibertragung verwendet werden, fair Radiowellen mAt Ultrakurz- oder Langwellen, oder fair Mikrowellensysteme. Bei optischen Wellenl~ingen werden die Eigenschaften

Abb. 3.26 Qualitativer Verlauf yon Absorptionskoej~zient und Brechzahl als Funktion der Wellenldnge fiir transparente optische Materialien. Das schmale Band sichtbarer Wellenldngen (400-700 nm) und die optischen Kommunikationsfenster (850, 1300, 1550 urn) sAnd markiert. eines transparenten Mediums pauschal durch die frequenzabh~ngigen Indizes von

Absorption a(w)

und

Dispersion n(w)

beschrieben. Ein Lichtpuls ward n~imlich nicht nut dutch die Absorption yon Lichtenergie geschw~cht, sondern durch die damit verbundene Dispersion auch in seiner Gestalt ver~ndert. Es ist daher wichtig herauszufinden, ob ein solcher Puls am Ende einer 0bertragungsstrecke noch in seiner urspriinglichen Form zu erkennen ist. WAr wissen, daft es ausreicht, ein kontinuierliches, monochromatisches Feld durch den Absorptionskoeffizient a(w) und die reelle Brechzahl n(w) zu beschreiben, deren spektrale Eigenschaften in Abb. 3.26 qualitativ gezeigt sAnd. Die Amplitude des Feldes am Oft z betr~igt dann mAt dem Ausbreitungskoeflizienten ~(w) = n(w)w/c am Anfang bei z--0: E(0, t) am Ort z: E(z,t)

-- Eoe - i w t -- E o e - i ( w t - ~ ( w ) Z ) e - a ( w ) z / 2 .

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

121

Einen Lichtimpuls kSnnen wir als Wellenpaket, das hei6t durch Oberlagerung vieler Teilwellen darstellen. Dazu betrachten wir ein elektrisches Feld E(0, t)

=

E(z,t)e -iwot

mit der Tr@erffequenz ~o = Wo/2~r und der zeitlich ver~inderlichen Einhfillenden (engl. envelope) E(z,t), die die Pulsform beschreibt, aber au6er bei sehr kurzen Femtosekundenpulsen langsam variiert im Vergleich zur Feldschwingung selbst,

(3.35)

~t E(t) << woE(t)

Wir bestimmen das Feldspektrum $ ( z , ~) des Lichtimpulses dutch Fourierzerlegung:

$(z,v) = F E(z't)ei21r~tdt=~ E(z't)ei2~r(v-~~ O0

E(z,t)

=

O0

g(z,~)e-i2~td~ O0

(3.36)

=

g(z,w)e-iWtdw/2~ O0

Wegen (3.35) ist das Spektrum des Wellenpaketes bei ~ = ~'o lokalisiert und seine Breite ist klein gegen die Oszillationsfrequenz ~o. In Abb. 3.27 geben wir zwei Beispiele fiir wichtige und gebr~uchliche Impulsformen.

Abb. 3.27 Zwei wichtige Pulsformen im Zeitbereich und im Frequenz- oder Fourier-Raum. Zur Verdeutlichung ist dem sech- oder cosh-l-Impuls der Gaufl-Puls hinterlegt. Die Amplituden sind so gewiihlt, daft die Pulse gleiche Gesamtenergie (f IE(t)12dt) besitzen. Die K-Werte geben das Halbwertsbreite-Pulsldnge-Produkt aus Gl. (3.38) an.

Wichtige Kenngr56en gepulster Laserstrahlung sind die spektrale Bandbreite A~ und die Pulsl~nge At, die nicht ganz einfach zu definieren und noch schwe-

122

3 Lichtausbreitung in Materie

rer zu messen sind. Wir kSnnen sie beispielsweise wie die gewShnliche Varianz definieren: (~v) 2 = ( ( v - vo) 2> =

( v - vo)2lE(v)12dv / cx)

IE(v)12dv CK~

Entsprechend wird die Pulsl/inge bestimmt durch (At) 2 = < ( t -
( t -
IE(t)12dt

Man kann zeigen, da6 zwisehen diesen beiden Gr56en der allgemeine Zusammenhang 27rAuAt > 1/2

(3.37)

besteht. Das Gleichheitszeichen gilt nur ffir Pulse mit Gau6scher Enveloppe im Zeitbereich und Gau6schem Spektrum, solche Pulse werden ,,Fourierlimitiert" genannt. Vom experimentellen Standpunkt ist es leichter, Halbwertsbreiten tp = 2 K A t zu messen, dann wird das Pulsl/ingen-Bandbreite-Produkt geschrieben Ms 2~rAul/2t v = K

(3.38)

,

und bei den beiden Beispielen in Abb. 3.27 ist auch die Konstante genannt. Sie ist i. Allg. kleiner als 0,5, weil die Halbwertsbreite die Varianz gewShnlich untersch/itzt. In Abb. 3.27 sind als Grund dafiir die wesentlich weiter ausgreifenden Flanken des cosh-l-Pulses zu sehen. Fiir die monochromatischen Teilwellen E ~ ( z , t ) = E(z, u)e -i2~rVt eines Wellenpaketes sind Absorptionskoeffizient a(u) und Ausbreitungskonstante ~(v) hKufig bekannt, aber auch frequenzabh~ngig. Ffir jede monochromatische Teilwelle wird der Zusammenhang zwischen dem Anfang und dem Ende einer Ubertragungsstrecke wird durch die lineare, frequenzabh/ingige Transfer- oder Ubertragungsfunktion T(z, u) im Frequenzraum beschrieben: C(z, u) = ei~(~)ze-~(u)z/2E(0, u) = T(z, u)E(0, u) Ein Puls setzt sich aber aus allen FrequenzbeitrKgen zusammen, und der zeitliche Verlauf der Feldamplitude am Oft z wird dann nach

E(z, t) =

/2~ ~-(z, ~,)E(0, ~)e -~2~'te~,

bestimmt. Naeh dem Faltungstheorem der Fouriertransformation gilt iibrigens ein niehtlokaler Zusammenhang im Zeitbereieh,

E(z,t)

=

T(z,t)

=

T ( z , t - t')E(O,t')dt'

mit

F

~-(z,u)e-i2~utdv

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

123

Die optische Bandbreite iiblicher Lichtpulse ist i. Allg. klein gegen die spektralen Eigenschaften eines transparenten optische Materials, wie es zum Beispiel in Lichtwellenleitern verwendet wird. Daher sind folgende Annahmen sinnvoll: Die Frequenzabhangigkeit des Absorptionskoeffizienten spielt bei der Pulsausbreitung keine Rolle, es gilt in guter N~herung

a(v) ~_ a(Vo) -- const Die Pulsform wird dutch die frequenzabh~ngige Dispersion sehr empfindlich ver~ndert, und die Ausbreitungskonstante fl(v)= 2~rvn(v)/c kann dutch die Entwicklung

dfl (v - vo) + ~1 ~Vd d2fl (v - vo)2 + '

fl ( ~ ) =

~o + ~

1

~- flo + f l ' ( ~ - ~o) + 2 f l " ( ~ -

(3.39)

~o) ~

beschrieben werden. Der Frequenzgang der Ausbreitungskonstanten fl(v) wird in dieser N~herung durch die materialabh~ngigen Parameter rio, fit, ft, beschrieben, deren physikalische Interpretation wir nun vorstellen wollen. Die zugehSrige Transferfunktion lautet mit To -- e-aZ/2: T(Z, V) = TOjZ0Z j f l ' ( V - ~0)Z jfl"(V -- ~0)2Z/2

3.6.1

Pulsverformung dutch Dispersion

Wir werden nun den Einflut3 der dispersiven Beitr~ge im Detail untersuchen. Wenn die Dispersion frequenzunabh~ingig ist, dann gewinnen wir die Wellengleichung (2.14) zurfick, in welcher lediglich die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums durch die materialabhangige Phasengeschwindigkeit ersetzt wird, ~0 = 2 ~ n ( ~ 0 ) ~ 0 / c

= 2~o/v~

Als nachstes betrachten wir den Fall, wenn fl" = 0. Dieser Fall tritt beim Glas tatsachlich auf, und man erkennt qualitativ schon in Abb. 3.26, dab irgendwo zwischen der Gitterabsorption und der elektronischen Absorption die Krfimmung der Brechzahl verschwinden muB. Dies tritt bei der Wellenl~nge von A -- 1,3 #m ein, die genau aus diesem Grund ein wichtiges Fenster ffir die optische Kommunikation anbietet. Die Pulsform nach der Laufstrecke z gewinnen wir aus

E(z, t) = Toeifl~ / i ~ eifl'(v -- v~ g (o' v) e-i2~rvt dv Nach kurzen Umformungen erhalten wir daraus mit der Ersetzung ritz ~ 2~tg die Form

E(z,t)=

~-oeifl~ -i2~v~ / ~ g(0, v) e - i 2 ~ ( V - Vo)(t- tg)dv oo

=

~o e - i ( 2 ~ ' ~

- Zoz) E(O, t - tg)

124

3 Lichtausbreitung in Materie

Die einzige Wirkung der Dispersion ist eine VerzSgerung der Pulslaufzeit tg = z/vg, die wir als GruppenverzSgerungszeit interpretieren, als Definition der Gruppengeschwindigkeit vg verwenden kSnnen und mit einer ,,Gruppenbrechzahl" ng versehen kSnnen: 1 _

vg

1 d~= l(n(w)+wdn(w) )_ng(w) 21rdv c c

(3.40)

In den meisten Anwendungen breiten sich optische Pulse im Bereich normaler Dispersion aus, d.h. bei dn/dw > O. Dann gilt wegen G1. (3.40) vg < vr = c/n(w). Rote Frequenzanteile im Material laufen zwar schneller als blaue, behalten aber ihre Form, solange die Gruppengeschwindigkeit konstant (,,dispersionsfrei") ist: Eine gfinstige Voraussetzung in der optischen Nachrichtentechnik, in welcher ein Sender digiAbb. 3.28 Beispiel: Dispersionsparameter tale Signale (,BitstrSme") in Form yon yon BKT-Glas. Pulsen in Lichtwellenleiter injiziert, die vom Empf~nger am anderen Ende dekodiert werden miissen. In Glasfasern tritt dieser Fall ahnlich wie beim BKT-Glas gerade bei A-- 1,3 #m ein, in Abb. 3.28 am Nulldurchgang des Materialparameters M(A) zu erkennen, den wir im n~chsten Abschnitt behandeln.

Beispiel: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in Gl~isern Tab. 3.1

DispersionseigenschaftenausgewdhlterGldser.

Kurzname

BK7

S F 1 1 LaSF N9

BaK 1

F2

Brechzahl bei 850 nm

n II 1'5119 I 1'76211 1,8301 I 1,5642 I 1,6068 Gruppenbrechzahl

ng

II 1,527011,80341 1,8680 11,581011,6322

Materialdispersion c.M(A)[#m -11 II-0,032 I -0,135 I -0,118 I -0,042 I -0,075 Wir kSnnen die Angaben aus Tab. 3.1 verwenden, um die Brechzahl und die Gruppenbrechzahl als MaB fiir Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in wichtigen optischen Glgsern zu ermitteln. Die Wellenlgnge 850 nm ist von groger

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

125

Bedeutung ffir die Arbeit mit kurzen Laserpulsen, weil dort einerseits GaAsDiodenlaser mit hoher Modulationsbandbreite existieren (bis zu Pulsdauern von 10 ps und weniger), und weil die Wellenl~nge im spektralen Zentrum des Ti-Saphir-Lasers liegt, der gegenwgrtig der wichtigste Oszillator ffir extrem kurze Laserpulse von nicht mehr als 10-100 fs Pulsdauer ist. Dort findet man mit Hilfe der Sellmeier-Formel G1. (1.6) und der Koeffizienten aus Tab. 1.1 die Werte ffir Tab. 3.1. Die Werte ffir die Gruppenbrechzahl liegen stets um einige % fiber der (Phasen-)Brechzahl.

Bei immer kfirzeren Pulsen steigt die Bandbreite wegen G1. (3.37) und auch die Frequenzabhgngigkeit der Gruppengeschwindigkeit beeinflufit die Pulsausbreitung. Sie wird mit einem der beiden Parameter Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD): Materialdispersionsparameter: M(~)- d 1 _ 2~W2D.(~) d~ vg als Funktion der Frequenz oder der Wellenlgnge spezifiziert. Das Kfirzel ,, GVD" nimmt auf den englisehspraehigen Ausdruck group velocity dispersion Bezug. Die Pulsform gewinnen wir wie zuvor aus

E(z, t)= "roe-i(w~ - J3oZ) • x f:

g(O,u)e iD~(w-w~

e-i(w-w~

(3.41)

Der Puls wird diesmal nicht nur verz5gert, sondern auch in seiner Form vergndert. Diese Modifikation kSnnen wir nicht mehr allgemein angeben, sondern mfissen uns konkrete Beispiele ansehen.

Beispiel: P u l s v e r z e r r u n g i m Gauflpuls. Wir nehmen an, daft der optische Impuls E(O,t) = Eoe-21n2(t/tp)2e -iwot mit Intensitgts-Halbwertslgnge tp bei z = 0 das Spektrum g(0, y) = s

-[(w - w~

2/8 in 2

besRzt. Am Ende der Laufstrecke bei z = ~ ist das Spektrum entsprechend G1. (3.41) verformt. Der 0bersichtlichkeit wegen ffihren wir ein ~D = t2/4 In 2D~ und finden

$(~,w) = ,foe-((w - w~

2/81n2 ei(g/gD) " ( (w - wo)tp)2/81n2

126

3 Lichtausbreitung in Materie

Inverse Fouriertransformation liefert die zeitabh/ingige Form, E(~,t) =

~oEo e - i ( 2 ~ ~

- iz~

•

(s163

21n2(t-tg) 2 • exp t~(l+

fig \

21n2(t-tg) 2 + )

Der Puls wird danach nichtnur wie zuvor verzSgert,sondernauch verl/ingert, t$(z=g) = tpv/1 + (g/gD) 2

(3.42)

AuBerdem erf'a_hrt das Spektrum einen sogenannten ,,frequency chirp" , bei welchem sich die Frequenz w/ihrend des Pulses ~indert: 1 d

1 !

t - z/vg

~(t) - 2~- ~(I)(t) -- ~o + 7r ~D tp2(1 + (~/~D) 2)

Abb. 3.29 Die Pulsverzerrung diuflert sich als Pulsverbreiterung und als Frequency Chirp: Die roten Frequenzanteile laufen voraus (ira Bild links), die blauen nach. Zum Vergleich ist der weder verformte noch verzSgerte Puls schattiert eingetragen.

Wir kSnnen nun bestimmen, wie weit ein Puls in einem Material l~iuft, ohne sein Form entscheidend zu verlieren. Zum Beispiel gilt nach G1. (3.42), dab die Pulsdauer sich bei l = ~D

gerade um den Faktor V~ verl~ngert hat. Diese Laufstrecke wird auch als Dispersionsl/inge bezeichnet und spielt in der LTbertragung von Pulsen eine /ihnliche Rolle wie die Rayleigh-Zone bei der Propagation von Gaufi-Strahlen

(s. s. 50). Fiir das BKT-Glas aus Tab. 3.1 gilt D(A -- 850nm) -- 100 ps2/m 2. Dann findet man fiir einen GaAs-laser (tp -- 10 ps) bzw. einen konventionellen Ti-Saphir-

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

Laser

127

(tp = 100 fs): GaAs-Diodenlaser tp -- 10 ps Ti-Saphir-Laser tp 50 fs =

200 m ---- 5 m m

~D = ~D

Es zeigt sich, dai~ der kurze Puls im BK7-Glas schon innerhalb von 100 # m stark verformt wird[

3.6.2

Solitonen [47]

Alle optischen Materialien zeigen Dispersion, die zu den gerade vorgestellten, ffir Anwendungen aber h~iufig unerwfinschten Pulsverformungen ffihren. In einigen Materialien kann man aber nichtlineare Eigenschaften, die wir erst im Kapitel fiber nichtlineare Optik (Kap. 13) genauer besprechen werden, ausnutzen, um die Effekte der Dispersion dynamisch zu kompensieren. Insbesondere interessiert uns hier der optische Kerr-Effekt, der den intensit~itsabhangigen Brechungsindex beschreibt,

n(I) -- no + n2I

(3.43)

Der nichtlineare Index nimmt im Glas zwar nur Werte von n2 ~ lO-15/(W/cm 2) an, weil die Leistungsdichte in optischen Fasern aber sehr hoch ist, spielt dieser Effekt schon bei Leistungen von wenigen m W eine Rolle und erlaubt die Erzeugung von sogenannten ,,Solitonen", die unter geeigneten Bedingungen fiber Tausende km mit stabiler Form in einer optischen Faser propagieren kSnnen. Wir studieren den Einflu6 der Nichtlinearit~it in der 1-d-Wellengleichung, wobei der lineare Anteil wie bisher im Brechungsindex bzw. der Propagationskonstanten fl berficksichtigt wird,

~

+/32(w) E(z,t)e - i ( w o t - ~oz) _

1 02 eoc2 ot2PNL(z,t)

(3.44)

und betraehten ein harmonisehes Feld E(z, t) = E(z, t)exp -i(wot -/~oz). In der Wellengleichung trennen wir die linearen und nichtlinearen Anteile der Polarisation (P = eo(n2-1)E -~ co(no2-1 + 2non2I + . . . ) E = eo(no2-1)E + PNL),

PNL(Z, t) = 2conon2C~ ]E(z, t)] 2 E(z, t)e - i ( w ~ -- ~oZ) Um N~iherungslSsungen zu gewinnen, nutzen wir die sogenannte Slowly Varying Envelope Approximation, in der wir zweite Ableitungen wegen O/Oz E << kE vernachl~issigen,

(:z)

Oz2E(z,t)e-i(wot- ~oz) ~_ e-iWot 2i~o

- N

E(z,t)

128

3 Lichtausbreitung in Materie

Diese N~herung haben wir auch schon bei der Entwicklung der paraxialen Helmholtzgleichung verwendet (s. G1. (2.30)). Die statisch dispersiven Eigenschaften des Materials berficksichtigen wir mit Aw = w - w0 und angelehnt an G1. (3.39) dutch

~(w) ~ ~o + Aw/v9 + D~(Aw)2/2 + .... Bei nicht zu grofier Bandbreite des Pulses (Aw << w0) kSnnen wir - wir fibergehen hier eine strengere mathematische Transformation mit Hilfe der Fouriertransformation - die t~quivalenz - i A w E ~- O/Ot E usw. ausnutzen und schreiben 2i~0 0 02

vg Ot Wenn wir nun alle Beitr~ge in G1. (3.44) einsetzen, erhalten wir als Endergebnis nach wenigen algebraischen Schritten die Bewegungsgleichung des Solitons,

-~ + -~g-~z + ~

Ot ----~

i~/IE(z,t)l 2

E(z,t) = 0

(3.45)

Die Ausbreitung eines Pulses mit der Einhfillenden E(z, t) wird offenbar neben den beiden Dispersionsparametern Gruppengeschwindigkeit vg und Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD) D~ durch einen nichtinearen Koeffizienten

= eoc2n2~o/no charakterisiert. Auch nach den erheblichen N~herungen, die wir schon angewendet haben, erfordert die LSsung dieser Gleichung noch einigen mathematischen Aufwand. Wir wollen uns daher auf die Angabe der einfachsten SolitonL5sung beschr~nken (engl. Solitary Envelope Solution). Ein Puls (Pulsdauer 70) der am Anfang einer Faser mit der Dispersionslange 6o (s. G1. (3.42)) die Form

soc ( 0) besitzt (sech(t/~-0) = 1/cosh(t/~-0)), kann unter Beibehaltung seiner Form propagieren, E(z,t)--E~

'

T eiz/~D o

falls die Bedingungen ~ ~ n2 > 0 und aufierdem die Amplitude gerade

Dv < 0 eingehalten werden, und falls

E0 -- (IDylls) 1/2 I~o betr~gt. Diese Bedingungen werden in optischen Fasern im Bereich der anomalen Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD < 0) typischerweise bei A > 1,3

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

129

#m gefunden, bei gleichzeitig moderaten Anforderungen an die Leistung im Puls. Aut3er der GrundlSsung existieren wie bei den Gaut3-Moden auch noch Solitonen hSherer Ordnung, die sich durch eine periodische Wiederkehr ihrer Form nach der Laufstrecke CO auszeichnen, die wir aber hier iibergehen wollen.

Abb. 3.30 FAn Solitonenfeld yon Leichtathleten (Mit freundlicher Erlaubnis yon Linn Molleuauer).

Linn Mollenauer, der mit seinen Kollegen als erster die Ferniibertragung yon optischer Solitonen auf Glasfasern demonstriert hat [124], hat ein anschauliches Modell zur Verdeutlichung der physikalischen Eigenschaften eines Solitons vorgelegt (Abb. 3.30): Er vergleicht die verschiedenfarbigen Anteile eines Pulses mit einem kleinen Feld unterschiedlich schneller L~ufer, das sich ohne besondere Einwirkungen schnell auseinander zieht. Die Dispersion kann aber durch einen weichen, nichtlinearen Untergrund kompensiert werden, wie im unteren Tell der Zeichnung zu sehen ist Solitonen spielen auch in vielen anderen Systemen eine wichtige Rolle (ein weiteres Beispiel geben wir in Kap. 14.2.1). Der Zusammenhang von G1. (3.45) mit der nichtlinearen SchrSdingergleichung, i

~x

v +

1 02

Iv12

= 0

,

l~Bt sich mit der Transformation in ein bewegtes Bezugssystem mit x = Z - V g t und den Ersetzungen ko = ~-0~/TrTI/D~lE, Z / g o ~ x = 7rlD~lx/7- ~ demonstrieren. Rgumliche Solitonen behandeln wir in Abschn. 14.2.1.

3 Lichtausbreitung in Materie

130

3.7

Anisotrope optische Materialien

Bei der bisherigen Behandlung der Lichtausbreitung in Materie haben wir stets angenommen, dab das Medium isotrop sei. Diese Isotropie hat zur Folge, dab die induzierte dielektrische Verschiebung stets parallel steht zum erregenden Feld und ffir transparente Materialien durch einen einzigen Parameter, die Brechzahl, gut beschrieben werden kann, D = c0n2E. Reale Kristalle sind jedoch sehr haufig anisotrop und der Brechungsindex hangt von der relativen Orientierung der elektrischen Feldvektoren zu den Kristallachsen ab.

3.7.1

Doppelbrechung

Die Doppelbrechung im Calcit hat die Physiker schon lange fasziniert (s. Abb. 3.31) und z~hlt zu den bekanntesten optischen Eigenschaften anisotroper Kristalle. Doppelbrechende Elemente spielen aber auch eine wichtige Rolle in Anwendungen, Abb. 3.31 Kalkspat-Kristall (5x5x15cm3), der zum Beispiel als VerzSgerungsplatca. 1850 dem Bonner Physiker Julius Pliicker ten (S. 134), als doppelbrechendes Filter zur Frequenzselektion (S. 136) yon Sir Michael Faraday geschenkt wurde. oder als nichtlineare Kristalle bei der Frequenzkonversion (Kap. 13.4). Kristall-Anisotropien kSnnen auch durch ~iuBere Einfliisse wie mechanische Verspannung (Spannungs-Doppelbrechung) oder elektrische Felder (Pockels-Effekt) hervorgerufen werden. Wir beschNinken uns auf den einfachsten Fall uniaxialer Kristalle, in welchen man die Symmetrieachse als ,,optische Achse" (O.A.) bezeichnet und dabei das formale Problem von 3 auf 2 Dimensionen reduziert. Ein Lichtstrahl, der parallel zur optischen Achse polarisiert ist, erfiihrt eine andere Brechzahl als ein Strahl mit orthogonaler Polarisation. In einem einfachen mikroskopischen Modell m5gen wir uns vorstellen, dab die Ladungen des Kristalls mit unterschiedlichen Federkonstanten an dessen Achsen gebunden sind (Abb. 3.32). Folglich werden sie bei gleicher Erregung unterschiedlich ausgelenkt und der Zusammenhang von dielektrischer Verschiebung D (r, t) zum einfallenden elektrischen Feld E(r, t) muB durch einen Tensor beschrieben werden, der bei Verwendung der optischen Achse als einer Koordinatenachse gleich diagonale Form besitzt,

3.7 Anisotrope optische Materialien

131

Abb. 3.32 Links: Mikroskopisches ModeU der elektromagnetischen Kristall-Anisotropie. Rechts: Elektromagnetische Feld- und Propagationsvektoren im anisotropen Kristall.

(,00) no

D

=

eo

0

n o2

0

0

0

n e2

E

(00) no 2

,

E

=

0

no 2

0

0

0

ne- 2

D/co

In uniaxialen Kristallen (Einheitsvektoren e• _1_ O.A., ell II O.A.), gibt es zwei identische Indizes (ordentlicher Index n• -- no) u n d einen aufierordentlichen Brechungsindex nil = ne # no. Ausgew~ihlte Beispiele sind in Tab. 3.2 genannt, wobei die Differenz A n - - n o - n e h~ufig selbst als Doppelbrechung bezeichnet wird, die sowohl positive wie negative Werte a n n e h m e n kann. Tab. 3.2 Doppelbrechung ausgewdhlter Materialien bei A = 589 nm. Material ~uarz ~alcit biNbO3

no

ne

A n = ne - no

1,5442 1,5533 1,6584 1 , 4 8 6 4 2,304 2 , 2 1 5

0,0091 -0,1720 -0,0890

Pmax

0,5~ 6,2~ 2,3~

Wir miissen auch in den Maxwell-Gleichungen G1. (2.10) ftir die Optik nun statt D -- c0n2E den korrekten tensoriellen Z u s a m m e n h a n g verwenden u n d schreiben genauer ik.D ik.H

-=

0 0

ik•

=

ipowH

ik•

=

-iwD

Daraus folgern wir direkt k x (k x E) = -0.)2D/s

c2

Mit geringen U m f o r m u n g e n kSnnen wir schreiben D -- c0n 2 E

k(k-E)~ k2 ]

,

(3.46)

132

3 Lichtausbreitung in Materie

wobei wir den Brechungsindex n 2 = (ck/w) 2 eingefiihrt haben, der die P h a sengeschwindigkeit ve -- c / n der Welle beschreibt. Dessen Wert gilt es nun in seiner Abh~ngigkeit yon den K r i s t a l l p a r a m e t e r n zu bestimmen. Im nachsten Schritt zerlegen wir den P r o p a g a t i o n s v e k t o r k = k•177+ kllell u n d kSnnen mit D• = s177 usw. komponentenweise schreiben

k•177 - n2k~(k" E) (n 2 _ n2o)k2 u n d

n2k~(k 9 E) k l l E i i - (n 2 _ n2)k2

Die S u m m e dieser beiden Beitr~ige entspricht gerade d e m Skalarprodukt k . E, u n d aus

k . E = \ (n 2 -~oo)k2 + (n 2 _ n~)k 21 erhalten wir nach kurzen Umformungen ten Fresnelgleichung [25],

1

k ,/k 2

n 2 -- n 2 -

k /k 2

2+

n o

eine vereinfachte Form der sogenann-

n

~ --- - -n 2e

,

die eine in n 2 lineare Gleichung ergibt, weil der n 4Beitrag beim Ausmultiplizieren herausf~illt (k 2 -k~_ + k~). W e n n wit z u m Schlug die K o m p o n e n t e n des Propagationsvektors k durch k_L/k = sin0 u n d kll/k = cos0 ersetzen, sind wir a m wichtigsten Ergebnis zur Beschreibung der Wellenausbreitung in einem einachsigen Kristall angelangt: 1 - -

n2(0) Abb. 3.33 Index-Ellipsoid.

O.A.: Optische Achse.

3.7.2

OrdentUche

cos 2 0 sin 2 0 - - - + - -

(3.47)

Diese Gleichung beschreibt das sogenannte ,,IndexEllipsoid" der Brechzahl in einem uniaxialen Kristall, das wir in Abb. 3.33 vorgestellt haben.

u n d auBerordentliche Lichtstrahlen

Wir betrachten nun den Einfall eines Lichtstrahls auf einen Kristall, dessen optische Achse mit der Ausbreitungsrichtung einen Winkel 0 bildet. Wenn der Lichtstrahl senkrecht zur optischen Achse (O.A., Abb. 3.34) polarisiert ist, spielt nur der ordentliche Brechungsindex no eine Rolle. Der ordentliche Lichtstrahl (Eo) folgt dem gew5hnlichen Snellius-Gesetz GI. (1.2). Wenn die Polarisation in der Ebene aus Ausbreitungsrichtung k und optischer Achse

3.7 Anisotrope optische Materialien

133

liegt, dann wirken unterschiedliche Brechzahlen auf die Komponenten des Feldes parallel und senkrecht zur optischen Achse, und der Strahl propagiert nun als aut3erordentlicher Lichtstrahl (Eao). Weil nach den Randbedingungen Glgn.(3.1) die Normal-(z-)Komponente der dielektrischen Verschiebung stetig ist, muB sie bei senkrechtem Einfall des Feldes verschwinden; daher liegt die dielektrische Verschiebung parallel zur Polarisation des einfallenden elektrischen Feldes. Der Ausbreitungsvektor k steht wegen (3.46) senkrecht auf D und H und beh~lt seine Richtung auch im aut3erordentlichen Strahl. Die Ausbreitungsrichtung des Strahls wird aber nach wie vor durch den Poyntingvektor S bestimmt,

Abb. 3.34 Ordentlicher und auflerordentlicher Strahl bei der Doppelbrechung.

S = E x H

d.h., die Richtung von S bildet mit dem Wellenvektor k denselben Winkel wie E und D. Es reicht dann nach Abb. 3.34, den Winkel tan p = E~/E~ aus den elektrischen Feldkomponenten im Kristall zu bestimmen, um den Ablenkungswinkel des aut3erordentlichen Strahls zu bestimmen. Der Zusammenhang zwischen D und E ist ohne Umst~nde zu berechnen, wenn wir das Hauptachsensystem unter EinschluB der optischen Achse verwenden,

()

)(2 0)(cos0 sin0) ( 2cos20§ n o sin0cos0)( )

Dz D~

__ -

( cos 0 - sin 0 = \sin0 cos0

n~ 0 n 2o

- sin 0 cos 0

Ex

ne

(n~ - %2) sin 0 cos 0

ne2 cos 2 0 § %2 sin 2 0

Ex

Wegen der Randbedingungen (Glgn. (3.1)) mut3 die Dz-Komponente verschwinden, und wir kSnnen direkt folgern 1 ( n ~ - n~o) Sin20 tan p = 2 %2 cos 2 0 § n2osin 2 0

Das ,, Ausweichen" des auBerordentlichen Strahls wird in der englischsprachigen Literatur als beam walk-offbezeichnet und muB beim Einsatz doppelbrechender Komponenten stets berficksichtigt werden. Eine ~quivalente Formulierung fiir

134

3 Lichtausbreitung in Materie

den walk-off-Winkel kSnnen wir unter Verwendung von n(0) aus G1. (3.47) finden,

tanp--

2

1)

n2

sin 20

(3.48)

Beispiel: Walk-Off-Winkel von Quarz Wir berechnen den maximal mSglichen Abweichungswinkel bei der Doppelbrechung im Quarzkristall mit den fiblichen Methoden und finden: 0max ----arctan ne/no ----45, 2~ Bei 0m~x berechnet man den walk-off-Winkel nach G1. (3.48), p = 0, 53 ~ Man kann sagen, daft der walk-off-Winkel generell nur wenige Grad betr~gt, auch beim viel starker doppelbrechenden Kalkspat (s. Tab. 3.2) w~chst er nur auf ca. 6 ~ In der nichtlinearen Optik wird aber zum Beispiel die Effizienz bei der Frequenzkonversion im Fall der sogenannten Winkel-Phasenanpassung (s. Kap. 13.4) durch den walk-off begrenzt.

3.7.3

VerzSgerungsplatten

Abb. 3.35 Verz6gerungsplatten; Mitte: iV2-Platte; Rechts: A/~-Platte. Eine wichtige Anwendung doppelbrechender Materialien sind sogenannte ,,VerzSgerungsplatten" (engl. retarder plates), mit denen der Polarisationszustand von Lichtstrahlen manipuliert werden kann, indem die optische Achse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gestellt wird. Ordentlicher und aufierordentlicher Strahl propagieren dann kollinear durch den Kristall, und ihre Komponenten sind durch die Projektion auf die optische Achse gegeben, deren Winkel relativ zur einfallenden Polarisation durch Drehung justiert wird (s. Abb. 3.35).

3.7 Anisotropeoptische Materialien

135

Zur Behandlung verwenden wir geschickterweise Jones-Vektoren, die in einer Basis linear polariserten Lichts (Kap. 2.4.1) z.B. die Form E -- aex +bey besitzen. Der ordentliche und der aut3erordentliche Strahl werden in einem Plattchen der Dicke d mit Phasenverschiebungen exp iao = exp (inowd/c) bzw. exp ia~ = exp (in~wd/c) gegeneinander verz6gert. Die Koordinaten des elektrischen Feldes transformieren wir vor der Verz6gerungsplatte durch Drehung um den Winkel r in das Koordinatensystem der optischen Achse und nachher wieder zuriick. Dann l~ifitsich die allgemeine Transformationsmatrix angeben, \sine

sin )( Ooei~0)(cosO

cosr

0

-sine

cosr

E.

Daraus erhalt man nach kurzer Umformung

E' = ( eic~~c~162 sin2r (e.iC~~ sinr162 (eiao_eia~)sinr r e~aosin2r r

E.

(3.49)

Wir betrachten nun zwei wichtige Spezialf~lle, die ),/2 und die )`/4-Platte. )`/2-Platte Bei der )`/2-Platte wird der Spezialfall expiao = - e x p i a ~ gewahlt. Dazu mfissen sich die optischen Weglangen von ordentlichem und auflerordentlichem Strahl gerade um eine halbe Wellenl~nge unterscheiden. Die Jones-Matrix M~/2 lautet in diesem Fall

M~/2 __eiao ( COS2r sin 2r

sin2r ) - cos 2r

und zeigt eine Rotation eines beliebigen Eingangszustandes um einen Winkel 2r (Abb. 3.35 Mitte). )`/4-Platte Bei der )`/4-Platte wird der Spezialfall exp ic~, = i exp ic~ogew~hlt, der einer viertel Wellenl~nge Gangunterschied entspricht. Die Jones-Matrix M~/4 lautet in diesem Fall eiao ( (l +i)+(1-i)eos2r (1-i)sin2r ) M)'/4 = ~ (1-i)sin2r (1 + i ) - ( 1 - i ) c o s 2 r

---- ei(a~l x / ~

( -i

-i)1

fiirr

Insbesondere bei der Winkelstellung r = 45~ transformiert das )`/4-Plattchen lineare Polarisation in zirkulare Polarisation und umgekehrt. Die Weglangendifferenzen der VerzSgerungsplatten betragen i. Allg. nicht genau A/2 oder A/n, sondern A(n+ 1/2) oder l ( n + 1/4), und die Zahl der ganzen Wellen n wird als Ordnung bezeichnet. Sie erfiillen ihren Zweck unabh/ingig

136

3 Lichtausbreitungin Materie

yon ihrer Ordnung, aber wegen der Dispersion, die auch noch unterschiedliche Temperatur-Koeffizienten fiir no und n~ besitzt, sind Verz6gerungsplatten hoher Ordnung sehr viel empfindlicher auf Frequenz- und Temperaturvariationen als solche niedriger Ordnung. Sogenannte Verz6gerungsplatten nullter Ordnung bestehen aus zwei Platten fast gleicher Dicke, aber mit Gangdifferenz A/2 oder A/4. Wenn die beiden Platten mit gekreuzten optischen Achsen aufeinander montiert werden1, dann werden die Einfliisse der hohen Ordnungen kompensiert und eine effektive Platte niederer Ordnung bleibt iibrig, die geringere spektrale und Temperaturempfindlichkeit zeigt. ,,Echte" Platten nullter Ordnung waren i. Allg. zu diinn und schon in der Herstellung zu empfindlich.

Lyot-Filter Die relative Verz6gerung der beiden Teilwellen in einer Verz6gerungsplatte der Dicke d, deren optische Achse zur einfallenden Polarisation unter dem Winkel r steht, betr~igt A = 27c(no - n ~ ) d / . ~ und ist wellenl~ngenabh~ngig. Wenn man VerzSgerungsplatten mit Polarisatoren kombiniert, kann man eine wellenl~ingen- bzw. frequenzabh~ngige Transmission erzielen. Solche Anordnungen werden doppelbrechende oder Lyot-Filter genannt. In Abb. 3.36 ist eine

Abb. 3.36 Unten: 3-Platten-Lyotfilter unter Brewsterwinkel zur Verwendung im LaserResonator. Rechts: Transmissionskurven der Einzelkomponenten und des zusammengesetzten Filters aus drei Platten.

VerzSgerungsplatte (nun zweckm~t3ig hSherer Ordnung) unter r ~ zwischen zwei parallele Polarisatoren gestellt. Nur bei bestimmten Wellenl~ngen wirkt sie z.B. als A/2-Platte und 15scht die Transmission aus. ZSiewerdenh~ufig,,optischkontaktiert", d.h. sie werdenauf zweisehr gut polierten Fl~hen (deren Ebenheit mut]sehr viel besser sein als eine optischeWellenl~nge)alleindurch Adh~sionskr~ifteverbunden.

3.7 Anisotropeoptische Materialien

137

Das einfallende Licht wird in Abhangigkeit vom Winkel der optischen Achse r in elliptisch polarisiertes Licht transformiert. Wir berechnen die Transmission eines anfangs in x-Richtung linear polarisierten Lichtfeldes nach G1. (3.49), nach der Verz6gerungsplatte und einem weiteren x-Polarisator,

. a o + a ~ . ( c o s ( _ ~- ) E~, -- exp (i----~) und erhalten mit (ao-a~) transmittierte Intensit~t

iT

=

+ i sin . ,ao-a~, (----~)

= (no-n~)27cud/c

lx (eos2 ( (no-ne)Tr~d) c

cos 2r E~

zur einfallenden Intensit~t I. die

+ sin2 ( (no-ne)Tr~d c ) c~ 2r )

Insbesondere fiir r -- 45 ~ erh~lt man eine zu 100% modulierte Transmission mit der Periode (oder dem ,,Freien Spektralbereich") Ay = c/(no-n~)d. Wenn man mehrere Lyot-Filter mit Dicken dm -- 2"~d hintereinander schaltet, bleibt der freie Spektralbereich erhalten, abet die Breite der Transmissionskurve nimmt schnell ab. Lyot- bzw. doppelbrechende Filter (engl. birefringent filter) k6nnen auch unter dem Brewster-Winkel in den Strahlengang gebracht werden, um die Verluste mSglichst gering zu halten (Abb. 3.36). Die optische Achse liegt in der Plattenebene, und die Zentralwellenl~nge des Filters mit den geringsten Verlusten kann durch Drehen der Achse abgestimmt werden. Solche Elemente werden bevorzugt in breitbandigen Laseroszillatoren (z.B. Ti-Saphir-, Farbstoff-Laser, Kap. 7.5) zur groben Frequenzselektion eingesetzt.

3.7.4

Polarisatoren

Eine weitere wichtige Anwendung doppelbrechender Materialien ist der Einsatz in Polarisatoren. Unter den zahlreichen Varianten stellen wir den Glan-Luff-Polarisator vor. Seine Wirkung beruht auf den verschiedenen kritischen Winkeln der Totalreflexion fiir den ordentlichen Strahl (der bei Komponenten aus Kalkspat reflektiert wird) und den auBerordentlichen Strahl (Abb. 3.37). In der Anwendung eines Polarisators kommt es auf das Ausl6schungs- oder Abb. 3.37 Glan-Luft-Polarisator. Extinktions-Verh~ltnis sowie auf den Akzeptanzwinkel an, der die Justierempfindlichkeit bestimmt und vom Unterschied der ordentlichen und der auflerordentlichen Brechzahl a b h ~ g t . Mit Glan-Polarisatoren werden sehr

138

3 Lichtausbreitung in Materie

hohe Ausl6schungsverhiiltnisse yon 1:108 u n d mehr erreicht. Eine Variante ist der Glan-Thompson-Polarisator, bei welchem zwischen den Prismen ein Kitt mit einer Brechzahl zwischen no u n d n~ eingeffigt wird. Dann wird der Teilstrahl mit der niedrigeren Brechzahl immer transmittiert u n d der Akzeptanzwinkel steigt von ca. 10 ~ auf 30 ~ Allerdings reduziert der Kitt die Zerst6rschwelle.

3.8

Optische Modulatoren

Materialien, in welchen sich die Breehzahl dutch iiufiere Felder - elektrisch oder magnetiseh - steuern oder schalten liifJt,bieten zahlreiche M6gliehkeiten, die Polarisation oder Phase yon Lichtfeldern zu beeinflussen und damit mechanisch triigheitslose optische Modulatoren ffir Amplitude, Frequenz, Phase oder Strahlrichtung zu realisieren. Wir greifen einige wichtige Beispiele heraus.

3.8.1

Pockels-Effekt und Elektrooptische Modulatoren

Abb. 3.38 Elektrooptischer Modulator mit einem KDP-Kristall, auf Sperren geschaltet.

Der elektrooptische Effekt bezeichnet die lineare Abhiingigkeit der Brechzahl von einer elektrischen Feldstiirke u n d wird auch Pockels-Effekt genannt. Wenn die Brechzahl quadratisch von der Feldstarke bzw. linear v o n d e r Intensitiit abhiingt, spricht m a n vom optischen Kerr-Effekt, der uns im Kapitel fiber nichtlineare Optik (Kap. 14.2) interessieren wird. Die Selbstmodulation einer optischen Welle durch den KerrEffekt war uns auch schon im Abschnitt fiber Solitonen Kap. 3.6.2 begegnet.

Das elektrische Feld wird durch Elektroden erzeugt, die auf den Fl~chen des Kristalls aufgebracht werden. Die Brechzahliinderungen werden allgemein dureh die Kristallsymmetrien bestimmt, wir beschriinken uns hier auf ein einlaches und wichtiges Beispiel, den uniaxialen KDP-Kristall. Der KDP-Kristall wird zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren eingebaut und seine optische Achse wird parallel zur Ausbreitungsrichtung gelegt. Mit transparenten Elektroden wird ein longitudinales elektrisches Feld erzeugt (Abb. 3.38). Im feldfreien Zustand herrscht axiale Symmetrie, die durch das iiufiere Feld aufgehoben wird und einen optisch geringffigig biaxialen Kristalls erzeugt. Da-

3.80ptische Modulatoren

139

bei werden die Brechungsindizes in x- und y-Richtung, die um 45 ~ gegen die Polarisatorstellung gedreht sind, um den gleichen Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung ver~ndert: nox -- no - rn3oU/2d

und

noy -- no + rn3oU/2d

In dieser Anordnung ist die Transmission proportional zu IT = Io cos2(2~rrn3U/d) Zu den wichtigen technischen Kriterien bei der Anwendung yon EOMs z~ihlt die Halbwellenspannung, bei welcher der Brechzahlunterschied gerade eine PhasenverzSgerung der x- und y-Komponenten um A/2 verursacht. Die maximale Modulationsfrequenz wird durch kapazitiven Eigenschaften der Treiberschaltung bestimmt. Bei sehr grot3en Frequenzen (> 200 MHz) kommen LaufzeitEffekte hinzu, so dab man Wanderwellen-Modulatoren verwenden mut3, in welchen die Radiofrequenz-Welle und die optische Welle kopropagieren.

Beispieh Halbwellenspannung von KDP Der elektrooptische Koeffizient von K D P betr~gt r -- 11 p m / V bei einer Brechzahl no = 1,51. Bei einem Kristall von d = 10mm L~inge berechnet man bei der Wellenl~inge A -- 633 nm eine Halbwellenspannung (E--U/d) U--2x

A 1 - - - 84 V / c m 2 rnao

Die Halbwellenspannung hangt in diesem Fall gar nicht v o n d e r Kristall~nge ab. Es ist daher giinstiger, Anordnungen mit transversalen elektrooptischen Koeffizienten zu w~hlen.

Beispiel: P h a s e n m o d u l a t i o n m i t e i n e m E O M Wenn man die lineare Polarisation eines Lichtstrahls parallel zu den Hauptachsen des Kristalls stellt und die Polarisatoren aus Abb. 3.38 wegl~it3t, erf~hrt der Strahl keine Amplitudenmodulation, wohl aber eine Phasen- bzw. Frequenzmodulation. Der Brechungsindex h~ngt linear mit der treibenden Spannung zusammen und verursacht am Ausgang des EOMs eine Phasenvariation O(t) = w t + m s i n ( f t )

und E(t) = Me { Eo exp ( - i w t ) exp ( - i m sin(fit) ) }

,

(3.50)

wobei der Modulationsindex m die Amplitude angibt und mit den Materialparametern durch m ----wrn3U/2c

140

3 Lichtausbreitung in Materie

zusammenh/ingt. Auch die zugeh6rige instantane Frequenz erf~Lhrt eine harmonische Modulation, w(t) = d ~ ( t ) = w + m ~ c o s ( ~ t )

,

worin der Modulationshub M = m ~ auftritt. Wir kSnnen gar nicht ganz streng zwischen Phasen- und Frequenzmodulation unterscheiden. Der Modulationsindex erlaubt aber eine grobe und gebr~uchliche Einteilung in verschiedene Bereiche:

Abb. 3.39 Phasenmodulation mit einem EOM. Die Spektren sind fiir die Modulationsidizes m = 0,1 (oben) und m = 2,4 (unten) dargestellt. Die LSnge der Balken gibt den Beitrag des Seitenbandes, die Richtung die Phasenlage nach Gl. (3.51) an. Der Unterschied wird deutlicher, wenn wir die elektromagnetische Welle (3.50) mit der Identit/it

e - i m s i n ( ~ t ) = J o ( m ) + 2(J2(m)cos(2~t) + J4(m)cos(4~t) + ...) - 2 i ( J 1 (m) sin(~tt) + ga(m) sin(3~t) + ...) nach ihren Fourierfrequenzen zerlegen:

E(t) = Eoe - i w t (go(m) + Jl (m)(e - i ~ t - e i ~ t ) + J 2 ( m ) ( e - " z2~t +e"z2~t ) + J a ( m ) ( e - " z3~t - e "~3~t ) + ...)

(3.51)

Diese Spektren haben wir ffir die Falle m--0,1 und m--2,4 in Abb. 3.39 vorgestellt. Bei kleinem Modulationsindex (PM) ist die Intensit~t bei der Tr~gerfrequenz w kaum ver/~ndert, es treten aber Seitenb/~nder im Abstand der Modulationsfrequenz auf. Die Intensit/it der Seitenb/inder ist iibrigens proportional zu J~(m).

3.8 OptischeModulatoren

141

Bei grofiem Hub (FM) ist die Intensitiit bereits auf viele Seitenbiinder verteilt, und in unserem speziellen Beispiel wird der Triiger wegen J0(2, 4) -- 0 sogar vollst~ndig unterdriickt. Im Gegensatz zur harmonischen Amplitudenmodulation (AM), bei welcher bekanntlich genau zwei Seitenbiinder erzeugt werden, treten bei der PM/FMModulation viele Seitenbiinder auf. Ein weiterer wichtiger Unterschied besteht darin, daft die AM-Variation mit einem einfachen Photodetektor nachgewiesen (,,demoduliert") werden kann, nicht aber die PM/FM-Information.

3.8.2

Fliissigkristall- (LC-) Modulatoren

Die Fliissigkristall-Modulatoren (auch LCModulatoren) sind uns von den LCDAnzeigen (engl. liquid crystal display) wohlbekannt. Unter ,,Fliissigkristallen" versteht man bestimmte Typen der Ordnung von stab- oder scheibenfSrmigen organischen Molekiilen in einer Fliissigkeit (die durchaus hiiufig auftreten). In der nematischen Phase (es gibt auch noch smektische und cholesterische Phasen) zeigen Abb.3.40 Fliissigkristall-Modulator. die molekularen St~ibchen alle in die gleiche Richtung, ohne daft ihre Zentren ausgerichtet sind. Wenn die Molekiile einer Oberfliiche mit einer Vorzugsrichtung (Rillen, anisotrope Kunststoffe) ausgesetzt werden, ordnen sie sich in dieser Richtung an. Der Einschlufi eines Flfissigkristalls zwischen Glasplatten mit gekreuzten Rillen verursacht dann die gedrehte nematische Phase aus Abb. 3.40, bei der die Molekfilachsen kontinuierlich vonder einen zur anderen Richtung gedreht werden. Die gedrehte nematische Phase rotiert die Polarisation einer einfallenden polarisierten Lichtwelle ebenfalls um 90~ Dutch ein elektrisches Feld kSnnen die Molekiil-St~be aber parallel zu den Feldlinien ausgerichtet werden und die Polarisation wird bei der Transmission nicht veriindert. Das elektrische Feld kann also verwendet werden, um die transmittierte Amplitude zu schalten. LCAnzeigen (LCDs) arbeiten nach demselben Prinzip, aber i. Allg. in Reflexion.

142

3.8.3

3 Lichtausbreitungin Materie

R~iumliche Lichtmodulatoren

Die digitale Revolution hat mehr und mehr auch die optischen Technologien ver~ndert, und insbesondere werden die fiir die Halbleiterindustrie entwickelten Methoden der Mikrostrukturierung auch bei dielektrischen Materialien eingesetzt.

Abb. 3.41 Impulsformung mit einem rdum-

Die Mikrostrukturierung hat zur Entwicklung von Modulatoren gefiihrt, mit denen die Intensit~it und die Phase ausgedehnter Lichtfelder ortsaufgelSst kontrolliert werden kann, sogenannten ,,r~iumlichen Lichtmodulatoren", engl. spatial light modulators und abgekiirzt ,,SLMs". Konzeptionell ffihrt ein direkter Weg von den allgegenw~irtigen LCAnzeigen (LCDs) des vorausgegangenen Kapitels und den digitalen Computerbildschirmen zur Aufteilung der LCSysteme in Felder mit individuell addressierbaren Pixeln. Bei hinreichender optischer Qualit~it kann eine LC-Matrix eingesetzt werden, um Wellenfronten aktiv und mit r~iumlicher AuflSsung zu kontrollieren.

W~ihrend Anwendungen fiir die dynamische Display-Technologie ziemlich offensichtlich sind (s.u.), stellen wir zun~ichst ein anderes Beispiel vor, in welchem Fliissigkristall-SLMs verwendet werden, um die Form von ultrakurzen Licht-Impulsen zu manipulieren. (Zur Erzeugung von Femtosekunden-Impulsens. Kap. 8.5.3.) In Abb. 3.41 wird ein sehr kurzer Lichtimpuls von einem Gitter in seine spektralen Bestandteile zerlegt. Eine Linse erzeugt dann ein paralleles Wellenfeld mit r~iumlich variabler Farbe. Ohne den r~iumlichen Lichtmodulator (SLM) wiirden die zweite Linse und das zweite Gitter den Impuls einfach wieder herstellen.

lichen Lichtmodulator (SLM). Der einlaufende ultrakurze Impuls (typischerweise einige Femtosekunden fang) wird mit einem Gitter in seine spektralen Komponenten zerlegt. Der SLM modifiziert die Intensitdt der einzelnen Kan~ile (1-8) oder verursacht kleine VerzSgerungen. Mit dem zweiten Gitter wird der Impuls rekombiniert.

In jedem einzelnen Kanal des SLMs (In Abb. 3.41 8, typischerweise 128 und mehr Kan~ile.) wird eine individuell kontrollierbare Abschw~ichung oder VerzSgerung eingestellt, falls notwendig durch Hinzuffigen von Polarisatoren oder anderen optischen Elementen. Nach der Rekombination hat der auslaufende Impuls eine ganz andere Form als der einlaufende. Diese Methode wird beispiels-

3.8 OptischeModulatoren

143

weise verwendet, um die Effizienz chemischer Reaktionen durch geeignet geformte Femtosekunden-Impulse zu steigern (,,Femtochemie") [30]. Im Jahr 1987 hat Larry Hornbeck von der Firma Texas Instruments das digital m i r r o r device (DMD, soviel wie ,,Digitale Spiegel-Baugruppe") erfunden. Auf einem Silizium-Chip werden dazu mehr als 1,3 Millionen kleine Spiegel integriert, die an einem elektromechanisch steuerbaren Gelenk befestigt sind. Jeder Spiegel in Abb. 3.42 hat eine Kantenlange von 15#m und entspricht gerade einem Pixel eines digitalen Bildes. Er ist vom Nachbarspiegel durch einen l # m breiten Spalt getrennt und kann in 1 ms bis zu 12~ durch elektromechanische Stellelemente gekippt werden. DMDs ebenso wie LC-Matrizen ermSglichen die Darstellung digitaler Bilder, sie haben mit der Digital L i g h t P r o c e s s i n g - T e c h n o l o g i e

(DLP TM) eine Revolution in der Projektionstechnologie hervorgerufen. Ein Video-Projektor (in Deutschland ,,Beamer" genannt) Abb. 3.42 Ein Abschnitt mit 3x3 Spiegeln aus eierzeugt mit den DMDs ,,schwarz" nero Feld yon 1280x102~. Auf der rechten Seiund ,,welt3", indem ein einzelner te wurde einer der Spiegel entferut, um die Spiegel in das Licht der Projek- elektromeehanisehen SteUelemente zu zeigen. Mit tionslampe hinein- oder heraus- freundlieher Erlaubnis yon Texas Instruments, gekippt wird. Weil jeder Spiegel auswww.dlp.com/dlp.technology. mehrere tausend Mal pro Sekunde geschaltet werden kann, kSnnen auch Graustufen durch Variation der ,,an"- bzw. ,,aus"-Zeit des Spiegels realisiert werden. Farben werden durch zus~tzliche Farbr~der oder drei parallel betriebene DMDs realisiert.

3.8.4

Akustooptische Modulatoren

Wenn eine Schallwelle in einem Kristall propagiert, verursacht sie periodische Dichteschwankungen, die eine Brechzahlvariation bei gleicher Frequenz und Wellenl~nge verursachen. Die periodische Brechzahlschwankung wirkt wie ein laufendes optisches Gitter, an welchem der Lichtstrahl gebeugt wird. Die Beugung l~t]t sich auch als Bragg-Streuung oder -Beugung interpretieren. Ein akustooptischer Modulator besteht aus einem Kristall, dem an einem Ende ein Piezoelement zur Erzeugung von Ultraschallwellen aufgeklebt wird (Abb. 3.43). Um Reflexionen und Stehwellen zu vermeiden, wird am anderen Ende ein Schallabsorber eingebaut. Der Ultraschallkopf wird mit einer Radiofrequenz (typ. 10 - 1000 MHz) in me-

144

3 Lichtausbreitung in Materie

chanische Schwingungen versetzt und sendet Schallwellen durch den ModulatorKristall. Der Lichtstrahl durchlauft dann ein i. Allg. ausgedehntes Schallwellenfeld und erf~hrt in diesem ,,Bragg-Bereich" Beugung in nur einer Ordnung. Wenn der Lichtstrahl durch ein dilnnes Schallwellenfeld wie bei einem optischen Gitter l~uft, treten mehrere, hier unerwiinschte Beugungsordnungen auf. Dieser Grenzfall wird als ,,Raman-Nath-Bereich" bezeichnet. Um den Einflut3 der Schallwelle auf die Ausbreitung des Lichtstrahls genauer zu behandeln, betrachten wir die v o n d e r Schallwelle mit Frequenz ~ und Wellenvektor q = qe~ in x-Richtung verursachte Brechzahlvariation, n(t) = =

Abb. 3.43 Akustooptischer Modulafor.

no + ~n(t) no + ~no cos(~t - qx)

Wir nutzen die Wellengleichung in der Form G1. (2.14), beriieksiehtigen (no + 5n(t)) 2 ~n 2 + 2nogn(t) + ..). Aufierdem beschr/inken wir uns auf die Variation der x-Komponente, denn in den anderen Richtungen erwarten wir keine _~nderung durch die Schallwelle,

Wir wollen nun betraehten, wie sieh die Amplitude der einfallenden Welle entwiekelt, die zur Vereinfaehung nur eine lineare Polarisationskomponente besitzt: E~(r, t) = E ~ o ( x , t ) e - i ( cot - kr) Der modulierte Breehungsindex fiihrt zu einer zeitabh~ngigen Variation bei den Frequenzen w 4- f~, daher kSnnen wir ein zusiitzliehes Feld, das wir als reflektiertes Feld interpretieren k6nnen, E r ( r , t ) = Eao(x,t)e - i ( c o ' t - krr)

,

mit co~ = co + f~ und k~ = k + q ,,erraten", das durch die Beugung an der Sehallwelle entsteht. Die oszillierende Brechzahl hat auf den Propagationsvektor keinen Einflut3, daher muff sehon hier gelten (Abb. 3.44) k 2 = (k + q)2 = n2(w + a ) 2 / c 2 ___ (now~c)2

,

wegen f~ << w. Daraus folgt sofort die Bragg-Bedingung q -- - 2 k ~

3.80ptische Modulatoren

145

Wir studieren nun G1. (3.52) mit dem Gesamtfeld E = Ei + Er und nehmen wieder an, daft die Amplitudenfia]derung auf der Skala der Wellenl~nge vernaehl~ssigbar ist, d.h. 02/Ox2(E(x)e ik~ ~- ( - k 2 + 2ikE'(x))e ikx. Wir gewinnen in kurzer Rechnung mit kx2 + k~ + k~ = (now~C) 2 und (k~ + K) 2 + k 2 + k 2 = (no(w + f~)/c) 2 zun~ehst die Gleiehung 2 2

o

x) +

2 2no no

=0

Um ein vereinfachtes System fiir die beiden Amplituden Eio und Ea0 zu gewinnen, verwenden wir die cos-Terme in ihrer komplexen Form, sortieren nach den Oszillationsfrequenzen und ignorieren oszillierende Terme, bei welchen das einfallende Feld nicht beteiligt ist: o 2ikx ~Eiovw § a;2n~176 c2 Eao = 0 w2n~176 Eio 0 -2ik~ o-~ Eao + c2 = 0

,

Abb. 3.44 Bragg-Geometrie.

Zum SchlufJ ersetzen wir die x-Abh~ingigkeit durch die Abh~ingigkeit entlang der Hauptausbreitungsrichtung z (dabei breitet sich Ea in entgegen gesetzter Riehtung aus wie Ei) Mit k~ -- k s i n 0 - - (now/c)sin~ gilt dann

Die LSsungen des Systems sind bekanntlich harmonische Schwingungen mit der Frequenz

kSno no sin Well am Eingang des AOMs i. Allg. E~0 -- 0 gilt, finden wit die PendellSsung 7-

Ei(z,t) = E~(z,t) =

Eiocos(Tz/2)e-i( w t - kr) E~osin(Tz/2)e-i(( w + ~ ) t -

krr)

Der reflektierte Strahl ist also frequenzverschoben wie erraten. Fiir kleine z ist die reflektierte Intensit~t proportional zu (Tz) 2. Die Brechzahl-Modulationsamplitude bei der Schall-Intensit~t betr~gt

5no =

M~--~s/2

Der Ad-Koeffizient h~ngt von den Materialparametern ab und soll hier nur ph~inomenologisch eingefiihrt werden. Bei kleinen Leistungen ist die reflektier-

146

3 Lichtausbreitung in Materie

te (in anderer Sprache: gebeugte) Intensit~it c< IEal 2 nach diesem Ergebnis proportional zur applizierten Schalleistung.

3.8.5

Faraday-Rotatoren

Bestimmte Materialien zeigen den Faraday-Effekt, bei welchem die Schwingungsebene yon linear polarisiertem Licht unabh~ingig yon der Anfangsorientierung proportional zu einem longitudinalen Magnetfeld gedreht wird,

(cOOsno-sioO)coso mit der V e r d e t - K o n s t a n t e n V (Einheit m - i T - l ) , der magnetisehen Feldst~rke B und der Kristall/inge ~. Die Magnetisierung eines Faraday-Kristalls wirkt mit untersehiedliehen Breehungsindizes auf reehts- und linksh/indig zirkular polarisierte Wellen: n• = no 4- V . B . ~/2~r.

Abb. 3.45 Faraday-Rotation. Es sind

nur Feldlinien gezeigt, die den Kristall durchdringen. Die Polarisation des Lichtstrahls wird immer in einer Richtung gedreht,

Im Untersehied zu den VerzSgerungsplatten aus Kap. 3.7.3 wird die Polarisationstransformation einer elektromagnetisehen Welle im Faraday-Rotator nicht rfickg/ingig gemaeht, wenn die Welle in gleicher Konfiguration zurfiekgesehiekt wird. Der FaradayRotator ist ,,nieht-reziprok" und eignet sieh daher bestens zum Bau yon Isolatoren und Dioden. Allerdings werden wegen der kleinen Verdet-Konstanten relativ hohe Magnetfeldst~irken ben5tigt, die aber mit Dauermagneten aus SmCo oder NdFeB gut erreicht werden. [177]

Tab. 3.3 Verdet-Konstante ausgewdhlter Materialien bei 589 nm Material Quarz Schwerflint TGG* V (Grad .T -1 9m -1) 209 528 -145 9TGG--Terbium-Gallium-Granat

3.8.6

Optische Isolatoren und Dioden

In den meisten Anwendungen wird Laserlicht fiber verschiedene optische Komponenten zur zu untersuchenden Probe geschickt. Dabei treten immer Rfickreflexionen auf, die schon bei sehr geringer Intensit~it Amplituden- und Frequenzschwankungen des Laserlichtes verursachen. Optische Isolatoren bieten

3.8 OptischeModulatoren

147

Abb. 3.46 Optische Isolatoren. Links: )~/4-Platten-Isolator; Mitre: Faraday-Isolator; Rechts: Die Wirkung des AOM-Isolators beruht auf Frequenzverschiebungen.

eine M6glichkeit, Experiment und Lichtquelle voneinander zu entkoppeln. Dabei spielen die in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Komponenten eine zentrale Rolle. In Abb. 3.46 haben wir drei Konzepte vorgestellt, die die Reflexe vom oberen Reflektor unterdriicken sollen: Der linke Isolator verwendet eine A/4-Platte, die die lineare Polarisation in zirkulare Polarisation verwandelt, z.B. rechtsh~indig. Nach der Reflexion wird die nun linksh~ndige Polarisation weiter gedreht und die in Gegenrichtung propagierende Welle wird am Polarisator ausgelenkt. Diese Anordnung wirkt allerdings nur gegen die Reflexion zirkular polarisierten Lichtes isolierend. Der Faraday-Isolator dagegen erlaubt in Kombination mit einem zweiten Polarisator zwischen Rotator und Spiegel die Unterdriickung beliebiger Reflexe. Ein Nachteil ist die technisch unpraktische Rotation um 45~ die aber mittels einer A/2-Platte oder einer zweiten Rotatorstufe kompensiert werden kann [177]. Gelegentlich wird auch der akustooptische Modulator zu Isolationszwecken eingesetzt. Seine Isolationswirkung beruht auf der Frequenzverschiebung des reflektierten Lichtes um 2 • Modulationsfrequenz, die z.B. aufierhalb der Bandbreite der Laserlichtquelle liegt.

148

3 Lichtausbreitung in Materie

A u f g a b e n zu K a p i t e l 3 3.1 P h a s e n v e r s c h i e b u n g b e i d e r T o t a l r e f l e x i o n Zeigen Sie zun~chst, daft der Reflexionskoeffizient der dielektrischen Reflexion bei p-Polarisation (S. 89) alternativ auch durch r = Eor/Eo~ = (nl cos 0 t - n 2 cosO~)/(nl cos 0t +n2 cos 0~) gegeben wird. Betrachten Sie die Reflexionskoeffizienten fiir den Fall der Totalreflexion (n2 < nl), also fiir Einfallswinkel oberhalb des kritischen Winkels Oi > Oc = sin-l(n2/nl). Zeigen Sie mit der verallgemeinerten Snelliusbedingung (cos(0t) = ( 1 - sinOi/sinOc) 1/2 = iQ, Q reell), daft die goeffizienten fiir s- und p-Polarisation fiir 0i > 0~ den Wert R = ]r] 2 = 1 annehmen. Zeigen Sie ferner, daft die Phasenverschiebung der reflektierten Wellen die Werte ~s = 2 t a n - l ( n l cosOi/n2Q) bzw. ~p 2tan-l(nlQ/n2cosOi) annimmt. =

3.2 P h a s e n v e r s c h i e b u n g a n M e t a l l e n Zeigen Sie, daft unter senkrechtem Einfall bei der Reflexion an der Oberfl~iche eines Metalls (Brechzahl n = n' + in" = n(1 + ia)) die Phasenverschiebung 2na tanr

2

auftritt. Zeigen Sie, dat3 fiir den perfekten Leiter (Leitf~higkeit a ~ ec) gilt t a n r --~ 0. 3.3 S t r a h l t e i l e r m i t M e t a l l f i l m Einfache Strahlteiler werden aus diinnen Metallfilmen hergestellt, die auf ein Prisma aufgedampft werden. Wie dick muft die Schicht bei einem Metall mit der LeitfKhigkeit a gewKhlt werden, damit die IntensitKt gleichmKftig aufgeteilt wird? Nehmen Sie der Einfachkeit halber senkrechten Einfall an. 3 . 4 0 b e r f l ~ i c h e n - P l a s m o n e n Die imagin~re Brechzahl mit n2met(W) = C(W) < 0 von Metallen erm5glicht die Anregung besonderer elektromagnetischer Schwingungen, sogenannter OberflKchen-Plasmonen, an der Grenzfl~che zu einem Dielektrikum. Betrachten Sie eine Metall-Vakuum-Grenzfl~che in der (z = 0)Ebene. Nehmen Sie Wellen v o n d e r Form E(x, y, z) = Eo exp[i(kxx + kyy wt) - t~• an (1/t~• Eindringtiefe im Vakuum (,,+": z > O) bzw. im Metall (,-": z _< 0), 16sen Sie die Wellengleichung und zeigen Sie, daft die Randbedingungen in diesem Fall genau erffillt werden kSnnen. Ermitteln Sie die Dispersionsrelation w(k). Oberlegen Sie sich eine Anordnung, um die Schwingungen anzuregen und nachzuweisen. 3.5 S c h i c h t w e l l e n l e i t e r ~ m a x i m a l e Oberfl~ichenfeldst~irke Betrachten Sie eine diinne dielektrische Schicht mit Dicke d und Brechzahl n. Studieren Sie, bei welchem Dicke/Wellenl~ngenverh~ltnis die maximale Oberfl~chenfeldst~rke der gefiihrter Lichtfelder auftritt. 3.6 F a s e r k o p p l u n g ~ R i c h t k o p p l u n g (a) Fiir Anwendungen z.B. in der Kommunikation miissen LWLs hKufig stumpf aneinander gekoppelt werden. Studie-

Aufgaben

149

ren Sie quantitativ den Einfluf von transversalem Versatz, kleinen Verkippungen und axialem Versatz. Nehmen Sie zur Vereinfachung ein kastenfSrmiges Modenprofil an. Welche Breite wird sinnvollerweise gew~ihlt? (b) Das Signal, das auf einer Faser propagiert, muff hiiufig aufgeteilt werden. Dazu dienen Richtkoppler, die im einfachsten Fall durch paralleles Versehmelzen zweier LWLs hergestellt werden kSnnen. Durch die Versehmelzung wird eine Kopplung zwischen den Moden der Einzelfasern verursacht. Betrachten Sie ein einlaches Modell, in welchem die elektrischen Feldamplituden der ungest6rten Moden der Einfachfasern gekoppelt werden. Wie h~ingt die Verteilung der auslaufenden Leistung yon Kopplungsst~irke und Liinge der Verschmelzungszone ab? 3.7 Lineare Polarisation der LP/HE-Moden Konstruieren Sie explizit die linearen transversalen Komponenten Cx, Cy des LP01-Mode aus dem HEllMode nach Gl. (3.19, 3.20) und best~itigen Sie die Berechtigung fiir die LPBezeichnung. 3.8 Mono-Moden-Faser Schiitzen Sie fiir eine Stufenfaser mit NA = 0, 12 bei A = 0, 85#m ab, welcher Anteil der Leistung eines LP01-Moden im Kern, welcher im Mantel propagiert. Wie mud ein Gaufischer TEM00-Mode fiir optimale Einkoppelemzienz auf das Faserende fokussiert werden? 3.9 Modenzahl Wenn der V-Parameter (3.23) w~ichst, nehmen nicht nut die erlaubten g-Werte yon Ji(X) zu, es treten auch immer mehr Wurzeln (Nullstellen) Xtm < V hinzu. Um die Modenzahl abzuschiitzen, fiberzeugen Sie sich zuniichst, dai~ J~(x) ~ (2/Trx) 1/2 cos(x - (~ + 1/2)1r/2) eine gute Niiherung fiir grofe x ist. Berechnen Sie mit dieser N~iherung explizit die Summe der erlaubten Moden und zeigen Sie, dad sie mit M ~ 4 V 2 / ~ 2 anwiichst. Berechnen Sie die Modenzahl fiir eine Standard-Stufenfaser mit NA -- 0, 2 und Kerndurchmesser 2a -- 50#m. Wie iindert sich die Modenzahl, wenn Sie eine reine Glasfaser mit Durchmesser 50#m verwenden? 3.10 B r i l l o u i n - Z o n e in e i n e m 2 - d i m e n s i o n a l e n r e c h t e c k i g e n G i t t e r Konstruieren Sie das reziproke Gitter zu einem quadratischen Gitter (Seitenliinge a) und zu einem Parallelgramm-Gitter (Seitenliingen a und b, Winkel 45~ Geben Sie jeweils die erste Brillouin-Zone an. 3.11 P o l a r i s a t o r e n Informieren Sie sich und beschreiben Sie die Polarisationswirkung folgender Polarisator-Bauteile: Glan-Taylor-, Glan-Thompson-, Rochon-, S~narmont- und Nicol-Prismen; Diinnschicht-Polarisatoren; Polarisationsfolie (auch Polaroid-Filter). Machen Sie Angaben zur Transmission, zum LSschungsverhgltnis und zum Akzeptanzwinkel. 3.12 W o l l a s t o n - P r i s m a Zwei Dreikantprismen von rechtwinklig-gleichschenkligem Querschnitt sind aus einem einachsigen Kristall geschnitten (meist aus

150

3 Lichtausbreitung in Materie

Abb. 3.47 Wollastonprisma mit zwei m6glichen Eingdngen. Quarz), und zwar so, dass in dem einen die optische Achse im Querschnitt liegt, im anderen senkrecht dazu (Abb. 3.47). Beide werden mit den Hypotenusenfliichen zusammengekittet (oft einfach mit einem Tropfen Wasser aneinander geheftet). Was wird aus einem engen unpolarisierten Lichtbfindel, das senkrecht auf eine der vier Kathetenfliichen fiillt? Welche Winkel treten fiir Kalkspat auf? Was unterscheidet die Situationen (1) und (2) in Abb. 3.47? 3.13 L i c h t s c h a l t e r lJberlegen Sie, wie schnell man Licht ein- und ausschalten kann: (a) mit einem mechanischen Verschlufi; (b) mit einem AOM; (c) mit einem EOM.

4

Abbildungen

Abbildungen gehSren traditionell zu den wichtigsten Anwendungen der Optik. Ihr Grundelement ist die Sammellinse, die bei einer stigmatischen Abbildung alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, wieder in einem Punkt zusammenfiihrt. Mit Hilfe der Geometrie (Abb. 4.1) kSnnen wir die wichtigsten Eigenschaften der (reellen) optischen Abbildung zu verstehen: 9 Ein achsenparalleler Strahl wird von einer Sammellinse durch den Brennpunkt gelenkt. 9 Ein Strahl, der durch den Brennpunkt die Linse erreicht, verl~fit die Linse parallel zur Achse. 9 Strahlen durch den Mittelpunkt der Linse werden nicht gebrochen. Aus geometrischen tJberlegungen kSnnen wir die Abst~nde yon Gegenstand G und Bild B mit der Brennweite f verbinden und daraus die Linsengleichung (auch Newton-Gleichung) ableiten, x'

f -

f

(4.1)

x

Die Form der Abbildungsgleichung 1 f

--

1 + 1 g b

(4.2) '

Abb. 4.1 Konventionelle Konstruktion einer Linsenabbildung mit den iiblichen Bezeichnungen.

haben wir schon in G1. (1.23) bei der Behandlung der Matrizenoptik kennengelernt, sie entsteht aus der Linsengleichung, wenn man Gegenstands- und Bildweite, g -- f + x' und b -- f + x, verwendet. Die Linsenabbildung ist die Grundlage zahlreicher optischer Instrumente, denen wir hier ein eigenes Kapitel widmen. Sie haben die Entwicklung der Optik mat3geblich beeinflufit und uns buchst~blich den Blick in den Makrokosmos und den Mikrokosmos erm5glicht. Neben den Funktionsprinzpien wollen wir an vorderster Stelle die Frage nach der Leistungsf~higkeit solcher Instrumente stellen -welche Objekte k5nnen wir in grofier Entfernung sichtbar machen, welche sind die kleinsten Objekte, die wir mit dem Mikroskop betrachten kSnnen?

152

4 Abbildungen

Auch in unserem Auge findet eine Linsenabbildung statt, die wir bei allen Sehvorg~ngen mit berficksichtigen mfissen, deshalb stellen wir zuvor noch einige wichtige Eigenschaften unseres ureigenen Sehinstruments vor.

4.1

Das menschliche Auge

Leider sind wir hier nicht in der Lage, auf die spannenden physiologischen Zusammenh~inge beim Sehvorgang einzugehen und miissen dazu auf die einschl~igige Literatur verweisen. Fiir unsere Zwecke reicht es, gewissermaBen ein

Abb. 4.2 Menschliches Auge, auf die wesentlichen optischen ,,Komponenten" reduziert. reduziertes technisches N o r m a l a u g e zu konstruieren. Der A u g e n k S r p e r h a t gewShnlich etwa 25 m m Durchmesser, u n d einige wichtige optische Eigenschaften h a b e n wir in Tab. 4.1 zusammengefafit. Die Brechkraft des gesamten Tab. 4.10ptische Eigenschaften des menschlichen Auges Glask5rper, Kammerwasser Hornhaut (Cornea) Kristallinse Brennweite vorn Brennweite hinten Deutliche Sehweite Pupille (Durchmesser) Pupille (Verschlut3zeit) AuflSsungsvermSgen @ 250mm Empfindlichkeit (Netzhaut)

n = 1,336 ~ 4/3 n = 1,368 n---- 1,37-1,42 f ----14-17 mm f =19-23 mm 150 mm - co, S0=250 mm d =1-8 mm T=ls Ax = 10 #m 1,5x10 -17 W/Sehzelle ~ 30 Photonen/s

Auges wird in erster Linie durch die K r i i m m u n g der H o r n h a u t erzielt (typischer R a d i u s 5,6 mm, Brechzahlunterschied zur Luft A n ~ 0,37), w~hrend die

4.2 Lupen und Okulare

153

Kristallinse durch Kontraktion die ,,Scharfstellung" gew~ihrleistet. Man kann durch H o r n h a u t - F o r m u n g die Sehf~higkeit des Auges zum Vorteil eines Patienten ver~indern, wobei sich in jiingerer Zeit die A b t r a g u n g durch Laser-Ablation mit Femtosekunden-Lasern als eine vielversprechende Methode etabliert hat. Durch A d a p t i o n der Brennweite unserer Augen sind wir gew5hnlich in der Lage, Gegenst~nde im A b s t a n d von 150 m m oder m e h r deutlich zu erkennen. Als standardisierte Sehentfernung wird bei optischen I n s t r u m e n t e n h~ufig die konventionelle Sehweite von So = 250 m m angenommen, bei der die besten Ergebnisse mit den Sehhilfen erzielt werden.

4.2

Lupen und Okulare

Abb. 4.3 VergrSfle~'angsglas oder Lupe. Die VergrSflerung wird dutch die Aufweitung des Sehwinkels verursacht. Der Gegenstand befindet sich innerhalb der Brennweite der Lupe, die Position des virtuellen Bildes wurde in diesem Beispiel bei der Standardsehweite So gewiihlt.

Das einfachste, seit d e m A l t e r t u m bekannte optische I n s t r u m e n t ist die als Lupe verwendete Sammellinse. Die W i r k u n g des VergrSt]erungsglases kann m a n am schnellsten verstehen, wenn m a n den Winkel c~ betrachtet, unter welchem ein Objekt der GrSt3e y gesehen wird, denn dieser b e s t i m m t unseren physiologischen Eindruck von seiner Gr6t3e - ein 1000 m hoher Berg in 10 k m Entfernung erscheint uns ebenso grot3 wie eine Streichholzschachtel in 25 cm Abstand, erst unser Wissen u m die Entfernung identifiziert die Objekte nach ihrer tats~chlichen GrSt3e. Ohne technische Hilfen sehen wir einen Gegenstand der Gr5t3e y mit dem Auge (Abb. 4.3) unter d e m Winkel a = t a n ( y / S o ) ~- y / S o , der durch die Sehweite So b e s t i m m t wird. Wir halten nun die Lupe unmittelbar vor das Auge: Die Lupe erweitert den Winkel, unter welchem wir ein Objekt sehen. Wenn wir den Gegenstand in die N~ihe der Brennweite rficken, x ~ f , d a n n gelangen parallele Strahlen zum Auge, so dat] das Objekt ins Unendliche geriickt scheint. Wir

154

4 Abbildungen

kSnnen aus den geometrischen Beziehungen den Zusammenhang Y f bestimmen. Daraus kSnnen wir unmittelbar die maximale Lupen-VergrSfierung M entnehmen, O~max ~

--

O~max M

__

_

_

SO --

Je kleiner also die Brennweite einer Lupe, desto starker ihre VergrSBerung. Weil aber die kleinste Sehn~he festgelegt ist (So ,'~ 250 mm), und weft bei kleineren Brennweiten immer dickere, starker gekrfimmte Linsen erforderlich sind, ist die praktikable VergrSt3erung von Lupen auf M < 25 beschr~nkt. Im Gegensatz zu der im ersten Abschnitt beschriebenen reellen Abbildung entwirft die Lupe ein virtueUes Bild, das lediglich auf der Netzhaut entsteht und sich nicht auf einen Schirm projizieren lgfit. Wenn das Auge nicht wie in Abb. 4.3 unmittelbar an die Lupe gehalten wird, ist die VergrSfierung etwas geringer, wie man durch Geometrie-0berlegungen nachvollziehen kann. Der Unterschied ist aber i. Allg. sehr gering, und ein individueller Benutzer sucht sich sowieso den geeigneten Arbeitsabstand durch manuelle Variation der Abstgnde von Lupe, Auge und Gegenstand. In optischen Ger~ten werden reelle Zwischenbilder erzeugt, die wir dann mit einem sogenannten Okular betrachten. Das Okular besteht i. Allg. aus zwei Linsen, um die Farbfehler zu korrigieren, die wir in Abschn. 4.5.3 besprechen werden. Im HuygensOkular (Abb. 4.4) wird von der Feldlinse ein reelles Zwischenbild erzeugt, das mit der Augenlinse betrachtet wird. Davon abgesehen erffillt das Okular genau die Aufgabe einer Lupe mit einer effektiven Brennweite fOku und der VergrSt3erung Moku = So/fOku ffir ein Auge, das auf unendliche Sehweite adaptiert ist. Beispiel: Effektive B r e n n w e i t e u n d Vergr6flerung e i n e s H u y g e n s - O k u l a r s . Strahlengang. Ein Huygens-Okular besteht aus zwei Linsen im Abstand d = (fl + f2)/2, weil dort der geringste Farbfehler auftritt (s. Abschn. 4.5.3). Wir bestimmen die effektive Brennweite und VergrSfierung eines Systems aus zwei Linsen mit fl--30 mm und f2--15 mm. Abb. 4.4 Huygens-Okular

mit

4.3 Mikroskope

155

Die effektive Brennweite des Systems betr/igt

1

4.3

_

--

1 + 1

/l+f

fl+/

-- _ _ -- (20mm) -1 fl f2 211f2 2flf2 fok. und erzeugt eine VergrSt3erung Moku = 250/20 = 12,5• _

Mikroskope [94]

Kleines ,,grofi" zu sehen, gehSrt zu den alten Tr/iumen der Menschen und bildet bis heute eine Triebfeder unserer naturwissenschaftlichen Neugier. Die Lupe allein reicht, wie wir schon wissen, nicht aus, um die Struktur sehr kleiner Objekte, zum Beispiel Details einer biologischen Zelle, sichtbar zu machen. Durch Vorschaltung einer oder mehrerer Linsen, mit denen zun~chst ein reelles Bild entworfen wird, ist es aber seit dem 19. Jahrhundert mSglich, bis zu 2000fache VergrSfierung zu erreichen. Wir betrachten ein Mikroskop (Abb. 4.5) in welchem ein Objektiv Obj mit der Brennweite fObj ein reelles Zwischenbild bei Z B erzeugt. Die Zwischenbildebene eignet sich, um zum Beispiel L/ingenmat3st/ibe unterzubringen, die gleichzeitig mit dem Mikroskopier-Objekt betrachtet werden. Dazu wird ein Okular O k u mit der Brennweite fOku oder Abb. 4.5 Strahlengang im Mikroskop. einfacher dem Mat3stabsfaktor Moku = t: Tubusl~inge; fObj,fOku. Brennweiten S0/fOku = 2 5 0 m m / f o k u verwendet, typi- yon Objektiv und Okular; ZB: Zwischerweise mit Faktoren 10x oder 20x. In schenbild. der Praxis sind Objektiv und Okular ihrerseits Linsenkombinationen, um Bildfehler (s. Abschn. 4.5.3) zu korrigieren. Die Gesamtbrennweite f , des zusammengesetzten Mikroskops ermittelt man nach G1. (1.25), 1 1 1 t ft,

Yobj

fOku

fobjfOku

156

4 Abbildungen

Nun haben Mikroskope i. Allg. festgelegte Tubusliingen von t----160 mm, und wegen t >> fObj,Oku kann man niiherungsweise angeben fobjfOku fobjfOku t 160ram Die BildgrSfe kSnnen wir in zwei Schritten bestimmen: Das Objekt befindet sich n~therungsweise in der Brennebene des Objektivs, wiihrend sich die Entfernung des reellen Bildes vom Objektiv nut wenig v o n d e r Tubusl~inge t unterscheidet. Nach Abb. (4.1) gilt sinngem~if G / f o b j "~ B/l; und das Objektiv bewirkt eine Vergr6ferung MODj = B I G ~_ t/fObj. Das Okular vergr6fert das Bild noch einmal, wie im Kapitel fiber die Lupe beschrieben, um den Faktor Moku ----y"/y' ----So/foku. Die Gesamtvergr6ferung M~ des Mikroskops betriigt dann f~,~

So

t

Mu = MOkuMObj "~ fOku fObj

So f.

Das letzte ErgeblliS zeigt, daft das Mikroskop in der Tat wie eine effektive Lupe mit extrem geringer Brennweite wirkt.

Beispiel: Vergr6flerung eines Mikroskops. Wir konstruieren ein Mikroskop aus einem Okular mit der Okular-VergrSferung 10• und einem Objektiv mit der Brennweite fObj----8mm. Die Mafistabszahl des Objektivs betrggt Mobj=16Omm/8mm = 20. Die GesamtvergrSflerung errechnet man direkt nach M~,--10• -- 200. Standardmikroskope sind auf einen schnellen Wechsel der optischen Elemente eingerichtet, um die VergrSferung leicht veriindern zu kSnnen. Okular und Objektiv sind gew6hnlich mit ihren Mafistabszahlen gekennzeichnet, die Komponenten verschiedener Hersteller sind i. Allg. untereinander austauschbar. Die Gesamtvergr6fierung kann man ohne Schwierigkeiten nach dem beschriebenen Verfahren bestimmen. Bei Priizisionsmessungen ist es notwendig, den Abbildungmafstab mit Hilfe geeigneter L~gennormale zu kalibrieren.

4.3.1

AuflSsungsvermSgen yon Mikroskopen

Wir haben das Mikroskop bisher allein vom Standpunkt der geometrischen Optik betrachtet und sind davon ausgegangen, daft ein Punkt immer wieder in einen idealen Punkt abgebildet wird. Das ist aber wegen der Beugung an den Aperturen der Linsen nicht m6glich, die Aufl6sung wird also durch die Beugung begrenzt. Ein erstes Mar fiir das Aufl6sungsverm5gen k6nnen wir aus

4.3 Mikroskope

157

dem Ergebnis fiir den Durchmesser des Beugungsscheibchens nach G1. (2.47) gewinnen: Wir fordern, dab der Abstand zweier Beugungsscheibchen AXmin wenigstens deren Durehmesser entspreehen soil: /~Xmin > 1, 22 fobjA --

(4.3)

D

Der systematische Zugang wird durch die Numerische Apertur NA (oder Abbesche Sinusbedingung, s. n~ichstes Kapitel) geliefert. Sie ist wie beim Akzeptanzwinkel von Glasfasern .(G1. 1.9) als der Sinus des halben Offnungswinkels definiert (Abb. 4.6), d.h. der Randstrahlen, die gerade noch zur Abbildung beitragen: NA = n sin a Dabei bezeichnet n die Brechzahl im Objektraum. Die OrtsauflSsung eines Mikroskops wird gew5hnlich definiert durch: )~ iXmin __~ N A

(4.4)

Abb. 4.6 AuflSsung und Numerische Apertur. Rechte Hdlfte: Steigerung der AuflSsung mit ImmersionsSl. Die AuflSsung wird auch durch die Beleuchtung beeinfluflt. Hier ist eine Kondensor-Linse re,vender, die einen m6glichst groflen Raumwinkel ausleuchtet.

Bei geringeren Vergr6Berungen treten liingere Brennweiten und deshalb kleinere Winkel auf. Dann sind die beiden Bedingungen wegen sin a -~ tan c~ _~ D/2 fobj /iquivalent. Weil sich das betrachtete Objekt immer ganz in der N~he der Fokusebene befindet, ist die NA eine Eigenschaft des verwendeten Objektivs und auf den Standard-Komponenten fiblicherweise angegeben. Das AuflSsungsvermSgen wird also dutch kurze Wellenl/ingen (optische Mikroskope verwenden ffir hohe AuflSsung blaues oder sogar UV-Licht) und eine groBe NA erhSht. An Luft werden bei kurzen Brennweiten, d.h. bei Objektiven mit hoher VergrSt3erung, NA-Werte um 0,7 erreicht. Um die theoretischen Werte der AuflSsung zu erreichen, rout3 schon bei der Konstruktion des Objektivs das Deckglas beriicksichtigt werden, das i. Allg. das Objekt bedeckt (s. Abb. 4.6). Dabei ist z.B. auch die Totalreflexion hinderlich, die den maximalen Winkel im Deckglas auf ca. 40 ~ begrenzt. Mit Hilfe yon Immersionsflfissigkeiten kann der nutzbare NAWert aber deutlich gesteigert werden, wobei man zum Beispiel eine Fliissigkeit mit einer Brechzahl verwendet, die derjenigen der Deckgl~er gerade angepasst ist. Auch die genaue Form der Beleuchtung ist von Bedeutung, wenn man die volle theoretische Aufl6sung erzielen will, Details fibersteigen aber den Rahmen

158

4 Abbildungen

dieses Buches bei weitem. Die besten optischen Mikroskope erreichen bei blauer Beleuchtung AuflSsungen von ca. 0,2 #m. Kfirzere Wellenl~ngen kSnnen bei Verwendung von alternativem ,,Licht" wie zum Beispiel Elektronen in einem Elektronenmikroskop erzielt werden.

4.3.2

Abbe-Theorie der Auflasung Um das AuflSsungsvermSgen eines Mikroskops noch etwas genauer zu fassen, wollen wir eine periodische Struktur (ein Gitter mit der Periode Ax) betrachten, die wir mit dem Mikroskop beobachten. Ernst Abbe (1840-1905) hat als Professor fiir Physik und Mathematik an der Universitat Jena und enger Mitarbeiter yon Carl Zeiss (18161888) ganz entscheidende apparative und theoretische Beitr~ge zur Entwicklung der modernen Mikroskopie geleistet.

In Abb. 4.7 ist diese Situation dargestellt, und eine ganz entscheidenAbb. 4.7 Mikroskop mit Brenn- oder Fou- de Rolle spielt nun die Brenn- oder rierebene nach E. Abbe. FE: Fokus- oder Fourier-Ebene des Objektivs. Dort werFourier-Ebene den parallele Strahlenbiindel fokussiert und man beobachtet das Praunhofer-Beugungsbild des Objekts, wobei die Struktur natiirlich nut fiir das hier gew~hlte Beispiel eines l-dimensionalen Gitters so einfach ist. Entscheidend ist aber: Das Objektiv erzeugt in der Fokusebene die Fouriertransformierte der komplexen Amplitudenverteilung in der Objektebene, wie wir schon in Abschn. 2.5.3 gesehen haben. Eine Struktur mit einer bestimmten GrSfie a kann nur rekonstruiert werden, wenn aufier der 0. Ordnung wenigstens eine weitere Beugungsordnung in das Objektiv eintritt und zur Bildentstehung beitr~gt. Darans erh~lt man wiederum die Abbesche Sinusbedingung a _> ) , / s i n s

(4.5)

Im optischen Mikroskop wird das Fourierspektrum eines beugenden oder streuenden Objekts durch Okular und Auge oder ein Kameraobjektiv zum vergrSfierten Bild rekonstruiert. Die Rekonstruktion kann grunds~tzlich anch durch ein rechnerisches, numerisches Verfahren gewonnen werden. In diesem Sinne sind auch die Streuexperimente der Hochenergiephysik, in denen das Fernfeld

4.3 Mikroskope

159

der B e u g u n g e x t r e m kurzwelliger Materiewellen an sehr kleinen Beugungsobj e k t e n vermessen wird, nichts anderes als riesige Mikroskope. Exkurs: Optische Lithographie Die optische Lithographie ist in vieler Hinsicht die Umkehrung der Mikroskopie, denn in der Lithographie, die heute eine der machtigsten Antriebskr~ifte der Weltwirtschaft ist, geht es in erster Linie um die Miniaturisierung elektronischer Schaltkreise auf mSglichst kleine Dimensionen. Das Verfahren ist schematisch in Abb. 4.8 vorgestellt. In einem ,,Wafer-Stepper" wird Schritt ffir Schritt eine Maske mit der Struktur des gewfinschten Schaltkreises immer wieder auf cm2-grofie Fl~ichen verkleinert abgebildet. Dabei wird ein geeignetes Filmmaterial (,,Resist") chemisch so ver~indert, da~ anschliefiend in eventuell mehreren Prozefischritten Transistoren und Leiterbahnen hergestellt werden kSnnen. Den Herstellern der Lithographie-

Abb. 4.80ptische Lithographie: Schema yon Wafer-Stepper und UV-Belichtungs-Einrichtung. Die Linsensysteme enthalten zahlreiche Komponenten, um Bildfehler zu korrigieren. Objektive, die heute 60 und mehr Einzellinsen umfassen k5nnen, ist es in beeindruckender Weise gelungen, die Aufl5sung ihrer Wafer-Stepper unter Verwendung immer kfirzerer Wellenl~ngen unmittelbar an der AuflSsungsgrenze nach G1. (4.3) entlang zu fiihren. Deshalb ist die Verkleinerung der elektronischen Schaltkreise derzeit durch die verwendete WellenNinge begrenzt, heute i. Allg. die Wellenl~ingen des KrF*-Lasers bei 248 nm und die 193 nm des ArF*-Lasers. Weitere Fortschritte verursachen enorme Kosten, weil bei diesen kurzen Wellenl~gen grofle Probleme in der Herstellung und Bearbeitung geeigneter, d.h. transparenter und homogener optischer Materialien auftreten.

4.3.3

Schiirfentiefe und konfokale Mikroskopie

Jeder Benutzer eines Mikroskops weifl, daft er die A b b i l d u n g ,,scharf" stellen muff u n d dab der Bereich von Einstellungen, bei welchen scharfe Bilder entstehen, mit z u n e h m e n d e r VergrSt3erung a b n i m m t . Der longitudinale A b s t a n d in R i c h t u n g der optischen Achse, fiber welchen zwei P u n k t e noch gemeinsam

160

4 Abbildungen

scharf abgebildet werden, wird als ,,Sch/irfentiefe" bezeichnet. Ein quantitatives Mat3 ffir die Sch/irfentiefe erh/ilt man zum Beispiel aus den geometrischen Llberlegungen in Abb. 4.9. Im Mikroskop verursacht die Verrfickung eines Objektpunktes um 5g aus der ,,wahren" Objektebene in der Zwischenbildebene ZB einen Fleck mit dem Durchmesser Ax. Zun/ichst k6nnen wir aus G1. (4.2) ffir 5g/g << 1 n/iherungsweise Abb. 4.9 Geometrie der Schdirfentiefe beim eine Verrfickung der Bildweite Mikroskop. um 5b/b ~ - S g / g entnehmen. Geometrische tlberlegungen ffihren dann unmittelbar zu dem Ergebnis A x = 15bD/2bl = 15gD/2gl ~-15gD/2fl mit g ~ f. Wenn wir fordern, daft dieser Fleck kleiner als das Beugungsscheibchen des Gegenstandspunktes bleibt, erhalten wir ffir die tolerierbare Verrfickung Az: f )~f2 A z < AXminD/2_ ~ (D/2)2

)~ NA 2

Bei hohen VergrSt3erungswerten wird auch die Sch/irfentiefe sehr gering, sie erreicht die GrSgenordnung der Wellenl/inge. Die geringe Sch~rfentiefe beim umgekehrten Prozeg der Mikroskopie, der Verkleinerung, stellt hohe Anforderungen an die mechanischen Toleranzen der Wafer-Stepper in der optischen Lithographie. Wir kSnnen noch eine Analogie aus der GauBschen Strahlenoptik angeben (s. S. 53): Die L/inge der Rayleighzone des fokussierten koh/irenten Lichtstrahls steht im selben Verh/iltnis zum Durchmesser des Brennflecks wie die Sch~rfentiefe! Die konfokale Mikroskopie macht sich die geringe SchKrfentiefe einer Abbildung mit kurzer Brennweite und hoher numerischer Apertur zunutze, um fiber die fl/ichige Information hinaus, die die gew6hnliche Mikroskopie bietet, dreidimensionale Information fiber das untersuchte Objekt zu gewinnen. In Abb. 4.10 ist das Grundprinzip der konfokalen Mikroskopie vorAbb. 4.10 Prinzip der konfokalen Mikroskopie. gestellt: Ein koh~renter Lichtstrahl erzeugt in der Probe einen engen Brennfleck mit geringer Sch/irfentiefe. Nur die aus dem Brennfleck reflektierte

4.3 Mikroskope

161

bzw. gestreute Lichtintensit~it wird auf eine Blende fokussiert. Strukturen in anderen Ebenen werden in eine andere Ebene abgebildet und daher durch die Blende stark unterdrfickt. Die durch die Blende transmittierte Intensit~it wird von einem Photodetektor kontinuierlich aufgezeichnet und von einem Computer zu einem Bild verarbeitet. Die konfokale Mikroskopie ist ein Beispiel einer Rastersonden-Methode, denn der Brennfleck mut3 die Probe abrastern. In unserem Bild wird das durch einen beweglichen Strahlversetzer (,,Scanner") erreicht. Die konfokale Mikroskopie erreicht eine Aufl6sung von ca. 1 #m, ihr Vorteil ist der Zugriff auf die dritte Dimension, der aber selbstverstandlich nur in transparenten Proben zug~nglich ist.

4.3.4 Nahfeld-optische Mikroskopie (SNOM) Die begrenzte AuflSsung des Mikroskops ist eine ,,Folge" der Maxwell-Gleichungen: Die Kriimmung eines elektrischen Feldes kann im freien Raum auf keiner kleineren Skala als der Wellenl~nge stattfinden, eine ideale Punktlichtquelle wird von einem optischen Abbildungssystem im besten Fall in einen Fleck abgebildet und begrenzt die AuflSsung durch Beugung auf einen Wert von etwa der halben Wellenl~nge des verwendeten Lichtes )~/2. Im Nahfeld eines strahlenden Systems kann diese Grenze aber durchaus fiberwunden werden, denn in Gegenwart polarisierbarer Materie ist die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen nicht mehr an die Beugungsgrenze gebunden. Eine typische Anordnung ist in Abb. 4.11 vorgestellt: Eine Glasfaser wird mit einem Pipettenziehger~t zu einer Spitze ausgezogen, deren Krfimmungsradius weniger als 100 nm betr~gt. Sie erh~lt einen Mantel, z.B. aus relativ verlustarmem Aluminium, d e r n u r eine kleine Offnung fibrig l~it3t, die als Strahlungsquelle oder Detektor des lokalen Lichtfeldes (oder beides gleichzeitig) dient.

Abb. 4.11 Nahfeld-optisches Mikroskop (SNOM): Eine Apertur am Ende einer Glasfaser dient als Quelle oder Detektor yon Strahlungsfeldern mit einer Auflgsung unterhalb optischer Wellenlgngen.

Das Faserende, das mit Hilfe des Piezoantriebs in Schwingungen versetzt wird, erf'mhrt bei einem typischen Abstand von 10 #m eine anziehende Van der Waals-

162

4 Abbildungen

Kraft und eine Diimpfungskraft, die wie in der Kraftmikroskopie zur Abstandsregelung genutzt werden kann und deshalb Informationen fiber die Oberfl~ehentopographie der Probe liefert. Die optische Information wird durch Nachweis des am Faserende aufgenommenen oder reflektierten Lichtes gewonnen. Mit immer kleinerer Apertur wird auch die OrtsauflSsung besser und kann deutlich unter die verwendete Wellenl~inge (typisch A/20) getrieben werden; sie h~i~gt iibrigens im wesentlichen vom Aperturdurchmesser und nicht yon der Wellenl~inge selbst ab. Andererseits wird auch die Nachweisempfindlichkeit immer geringer, well die Empfindlichkeit mit einer hohen Potenz des Aperturdurchmessers abnimmt und weil schon Leistungen von 1 mW die Aperturen sch~idigen. Nach dem grofien Erfolg der Rastersonden-Mikroskopie, die durch die TunnelMikroskopie und die Kraff-Mikroskopie in den 1980er-Jahren eingeleitet wurde, ist heute auch die Nahfeld-optische Mikroskopie (engl. SNOM) zu einer neuen Mikroskopiermethode herangereift.

OpticalMicroscopy,

4.4

ScanningNearfield

Teleskope

Ferngl~ser und Teleskope dienen dazu, entfernte irdische oder astronomische Objekte besser sichtbar zu machen. Sie sind i. Allg. zusammengesetzt aus zwei Linsen oder Spiegeln, deren Brennpunkte genau zusammenfallen, d.h. fiir ihren Abstand gilt d = f l + f 2 . Im Galilei-Teleskop in Abb. 4.12 wird dabei eine Linse mit negativer Brennweite verwendet. Unter diesen Umst~nden lautet die

Abb. 4.12

WinkelvergrSflerang im Galilei-Teleskop.

Abbildungsmatrix des Systems nach G1. (1.24):

MTel= ( -f2/flO -fl/f2d ) Die Gesamtbrechkraft dieses Systems verschwindet, ~Wel ---- 0. Solche Systeme werden als afokal bezeichnet [136], ihre Wirkung beruht allein auf der Winkelvergr66erung: Die Objekte befinden sich effektiv stets in unendlich gro6er

4.4 Teleskope

163

Entfernung. Von dort kommen parallele Strahlenbiindel, die in parallele Strahlenbfindel bei einem anderen Winkel transformiert werden.

4.4.1

Theoretische AuliSsung eines Teleskops

Bevor wir die Vergr5t3erung bestimmen, wollen wir uns schon iiberlegen, welche Objekte wit denn wirklich erkennen kSnnen. Dazu miissen wir uns an das Aufl6sungsverm6gen einer Sammellinse halten, das wir schon in G1. (2.47) und (4.3) bestimmt haben. Dort hatten wir schon festgestellt, daft bei fester

Abb. 4.13 St~ukturerkennung yon entfernten Objekten mit dem Auge (1), einem Teleskop mit 10 cm-Spiegel (2) und dem Hubble-Space-Teleskop (3). (1 Lichtjahr = 9,5 Bio km)

Wellenl~inge die Apertur einer Abbildungsoptik den Winkel bestimmt, unter welchem man zwei punktf6rmige Objekte noch unterscheiden kann. Wir reformulieren diese Bedingung ffir Fernrohre: Wellenl~nge x Entfernung Minimale StrukturgrSt3e _~ Apertur Die Konsequenzen fiir das menschliche Auge (Pupille 1 mm), ein SchillerTeleskop mit 10 cm-Spiegel und den 2,4 m-Spiegel des Hubble-Space-Teleskops (HST) haben wir in Abb. 4.13 dargestellt. Objekte oberhalb der Begrenzungslinien 1-3 kSnnen wir in ihrer Struktur erkennen, unterhalb bleiben die Objekte immer scheinbare Punkte.

164

4.4.2

4 Abbildungen

VergrSi3erung eines Teleskops

In Abb. 4.12 hatten wir die von G. Galilei erfundene Form vorgestellt, die aus einer Sammellinse mit der Brennweite fObj und einem ZerstreuungslinsenOkular mit der Brennweite fOku zusammengesetzt ist. Geometrische 0berlegungen wie die Betrachtung der Systemmatrix Mwel zeigen schnell, daft die Winkelvergr6fierung eines Fernrohrs VergrSfierung M - aM _

fObj (4.6) fOku betr~gt. Ein negatives Vorzeichen von M bedeutet ein invertiertes Bild, daher bietet das Galilei-Teleskop wegen der Zerstreuungslinse ein nicht invertiertes Bild an. Teleskope sind groflvolumige Ger~te, weil grofie Aperturen und grofle Brennweiten vorteilhaft sind. Die minimale Baulange betr~gt

Abb. 4.14 Spiegelteleskop (Cassegrain-Typ) und Hubble-Space-Teleskop.

4.4.3

Bildfehler yon Teleskopen

Teleskope werden wie alle optischen Instrumente durch zahlreiche Bildfehler, die Inhalt des n~ichsten Abschnitts sind, beeintrgchtigt. Wir beschr~nken und hier auf ausgew~hlte Probleme, aut3erdem wird der Schmidt-Spiegel als Beispiel flit die Korrektur der sph~rischen Aberration auf S. 172 vorgestellt. Linsen- u n d Spiegel-Teleskope Chromatische Aberrationen, die wir in Abschn. 4.5.3 eingehend besprechen

4.4 Teleskope

165

werden, wurden schon frfihzeitig als Hindernis bei der technischen Verbesserung der Linsen-Teleskope erkannt. I. Newton hatte daher als einer der ersten (1668) erkannt, dab die refraktive, stark dispersionsbehaftete Linsenoptik vorteilhaft durch die reflektive Optik der Spiegelteleskope ersetzt werden sollte, die heute zur Standardbauform geworden ist. In Abb. 4.14 ist die Cassegrain-Bauform vorgestellt, die in Analogie zum Galilei-Teleskop aus einem prim~ren Hohlspiegel und einem konvexen Sekund~rSpiegel aufgebaut ist. Wenn der Prim~rspiegel parabolische Form besitzt, mut3 der sekund~re hyperbolisch geformt sein, es sind aber auch andere Formen (mit anderen Typen von Bildfehlern) mSglich. Eines der neuesten Instrumente dieses Typs ist das Hubble-Space-Teleskop, das seit 1990 die Astronomen in aller Welt mit immer neuen, faszinierenden und von atmosph~rischen Schwankungen unbeeinflussten Bildern ferner Sterne und Galaxien beliefert [79]. Wirkliche Freude fiber die neuen Informationen stellte sich allerdings erst ein, nachdem die Optik des Teleskops durch ein zus~tzliches Spiegelpaar korrigiert worden war, als man dem HST gewissermai3en eine ,,Brille" verpaBt hatte: In der ursprfinglichen Konfiguration hatte ein Fehler in den Berechnungen der Spiegeleigenschaf- Abb. 4.15 Point Spread Function des Hubbleten zu Abbildungsfehlerngeffihrt, Space-Teleskops nach Einbau der COSTARdie die volle theoretisch verffigba- Korrektur-Optik. Nach [39]. re AuflSsung verhinderten! Um die Qualit~t eines Abbildungssystems zu beurteilen, wird h~iufig die sogenannte Point Spread Function verwendet, mit der die Abbildung eines Punktes nach der Wellentheorie unter Berficksichtigung der genauen Form des abbildenden Systems beschrieben wird. In Abb. 4.15 ist das Ergebnis der Berechnungen fiir das HST vor und nach dem Einbau der Korrektur-Optik gezeigt.

Atmosph~irische Turbulenzen. Das HST verffigt mit einem Spiegel von 2,4 m Durchmesser fiber gar keinen besonders groi3en Durchmesser, das neue Mt. Keck Observatory in Hawaii hat mit 10 m viel mehr zu bieten. Dennoch ist seine AuflSsung denen erdgebundener Teleskope deutlich fiberlegen, weil deren Aufl6sungsverm6gen durch die turbulente Bewegung der Atmosphere auf effektive 10 cm (das Schfiler-Teleskop aus Abb. 4.13!) begrenzt wird! Die irdischen Riesenteleskope bieten aber durch ihre groBe Sammelleistung die MSglichkeit, auch sehr lichtschwache Objekte

166

4 Abbildungen

Abb. 4.16 Das Teleskop des Keck Observatory auf Hawaii besteht aus 36 Segmenten, der Gesamtdurchmesser betrdgt 10 m. Rechts: Kiinstliche oder Referenz-Sterne fiir die adaptive Optik.

Zur Aufstellung der grot3en Spiegel-Teleskope sucht man Umgebungen mit giinstigen atmosph~rischen Bedingungen, z.B. in den chilenischen Anden oder auf den Hawaii-Inseln. Das 10 m-Teleskop im Mt. Keck-Observatorium gehSrt zu den gr6fiten Einrichtungen (Baujahr 1992). Um die volle theoretische Leistungsf~ihigkeit eines Spiegels ausnutzen zu k6nnen, muff die optische Form einer Kugel, eines Hyperboloids oder welcher Form auch immer - mit einer Genauigkeit unterhalb einer Wellenl~inge eingehalten werden. Diese Forderung ist aber mit zunehmender Spiegelgr6fie immer schwieriger zu erffillen, weil sich die schweren Spiegel schon unter dem Einflufi der Schwerkraft verzerren und dadurch Abbildungsfehler hervorrufen. Der Keck-Spiegel wurde daher aus 36 Segmenten hergestellt, deren Position und Form durch hydraulische Stellelemente so korrigiert werden kann, daft optimale Abbildungsergebnisse erzielt werden. Aktiv geregelte optischen Komponenten werden in wachsendem Marl verwendet und unter dem Begriff ,,adaptive Optik" zusammengefafit. In einer neueren Entwicklung wird versucht, die atmosph~rischen Turbulenzen, die sich auf einer langsamen Zeitskala von ca. 100 ms ver~ndern, zu kompensieren. Typischerweise muff dazu die Wellenfront analysiert und in einer Riickkopplungsschleife zur Steuerung eines verformbaren Spiegels eingesetzt werden. Die Wellenfront kann bei atmosph~rischer Beobachtung durch Analyse des Lichtes von einem sehr hellen Referenz-Stern oder durch Positionierung eines ,,kiinstlichen Sterns" (Abb. 4.16), das sind z.B. Laserlichtquellen, in der oberen Atmosph~ire erreicht werden [57].

4.5 Linsen: Bauformen und Fehler

4.5

167

Linsen: Bauformen und Fehler

Die sph~irisch-bikonvexe Linse ist gewissermai~en der Kardinalfall der Sammellinse und wird in Abbildungen als die Linse schlechthin dargestellt. A1le sph~irischen Linsen verursachen aber Abbildungsfehler, und die Anwendung bestimmter Bauformen h~ingt ganz von deren Einsatzgebiet ab. Um eine Faustregel zu erhalten, welcher Linsentyp fiir welche Anwendung Vorteile verspricht, erinnern wir uns an die paraxiale N~iherung: Die linearisierte Form des Snellius-Gesetzes (sin0 ~ 0, G1. (1.14)) wird umso besser erfiillt, je kleiner die Brechungswinkel sind! Es ist daher zweckmiit3ig, die Brechung eines Strahlenbiindels beim Passieren einer Linse auf die beiden brechenden Fl~ichen mSglichst gleichm~it3ig zu verteilen. Fiir ausgewahlte Punkte kann man Abbildungsfehler (,,Aberrationen") dann durch geeignete Wahl der Fl~ichen kompensieren. In einem mehrlinsigen System (Dublett, Triplett, ...) stehen zur Korrektur weitere Kriimmungsfl~ichen und damit Freiheitsgrade zur Verfiigung. Das perfekte Linsensystem, eines, das mehrere Typen von Bildfehlern (s.u.) gleichzeitig korrigiert, l~it3t sich aber auch so nicht realisieren, und so sind alle mehrlinsigen Systeme (,,Objektive") i. Allg. fiir bestimmte Anwendungszwecke konstruiert. Bevor wir die technische Behandlung von Linsenfehlern vorstellen,

Abb. 4.17 Wichtige Linsentypen: (a) Plankonvex-Linse; (b) Bikonvex-Linse; (c) konvergente Meniskuslinse; (d) Plankonkav-Linse. wollen wir einige intuitive Argumente fiir den Umgang mit ein oder zwei Linsen sammeln. Kompliziertere Systeme miissen numerisch analysiert werden.

4.5.1

Bauformen

P l a n k o n v e x e Linsen. Dieser Linsentyp (Abb. 4.17(a)) ben6tigt nur eine gekriimmte Fliiche und ist deshalb relativ giinstig herzustellen. Bei typischen Brechungsindizes technischer Gl~ser von n -- 1, 5 erh~lt man nach G1. (1.19) f -- -1/7:) ___2R. Bei der Fokussierung eines Lichtstrahls kann die plankonvexe Linse mit zwei verschiedenen Orientierung verwendet werden. In Abb. 4.18 ist angedeutet, wie sich vor allem die sph~irischen Aberrationen auf die Fokussierbarkeit auswirken. Die sogenannten ,, Spot-Diagramme" zeigen die Entwicklung

168

4 Abbildungen

Abb. 4.18 Spot-Diagramme einer plankonvexen Linse fiir zwei verschiedene Orientierungen (nach einem kommerziellen Programm zur Analyse yon Bildfehlern). Die Entfernungsangaben beziehen sieh auf den Abstand zum nominellen Brennpunkt (hier: 66 ram).

der Fleckgr6i~e entlang der optischen Achse. Offenbar ist es giinstig, die Brechkraft auf mehrere Fl~ichen zu verteilen - in der unteren Orientierung findet diese n~mlich nur auf einer Seite der Linse statt. B i k o n v e x e L i n s e n u n d D u b l e t t e n . Eine bikonvexe Linse kSnnen wir uns aus zwei plankonvexen Linsen Riicken an Riicken zusammengesetzt denken, wie in Abb. 4.19 angedeutet. Dabei addieren sich die Brechkr~ifte u n d wir erhalten fiir gewShnliche Gl~iser wieder nach G1. (1.19) mit n ~ 1,5: f~-R

Bikonvexe Linsen haben minimale sph~irische Aberrationen bei l:l-Abbildung, die z u m Beispiel fiir Kollimatoren wichtig sind. Die Brechkraft der plankonvexen Linsen wird aber genauso addiert, wenn sie mit den Kugelfl~ichen Abb. 4.19 Bikonvexe Linse und plankonvexes Dublett.

gegeniiber montiert werden. Dabei wird die Brechkraft in der 1:1 Abbildung auf 4 Fl~ichen verteilt u n d m a n kann weitere Linsenfehler reduzieren.

4.5 Linsen: Bauformen und Fehler

169

M e n i s k u s - L i n s e n . Meniskuslinsen (Abb. 4.17(c)) kSnnen als Singletts die Bildfehler fiir eine gegebene Gegenstand-Bild-Entfernung minimieren. Sie sind aber vor allem auch Teil von mehrlinsigen Objektiven und dienen z.B. dazu, die Brennweite anderer Linsen zu ver~indern, ohne daf~ sph~irische Aberrationen oder Koma zus~itzlich eingefiihrt werden. Diese Formen werden aplanatisch genannt [112].

4.5.2

Abbildungsfehler: $eidel-Aberrationen

Wir wollen hier kurz den grundsatzlichen formalen Weg, der auf Seidel zuriickgeht, beschreiben, um Abbildungsfehler zu klassifizieren. Weil es notwendig ist, auch die nichtaxialen Beitr~ige zu untersuchen, bieten sich komplexe Zahlen ro = x + iy zur Behandlung an. Wir verwenden die Bezeichnungen aus Abb. 4.20, in Anlehnung an die Behandlung Abb. 4.20 Bezeichnungen zu Bildfehlern. in der Matrizenoptik (Abschn. 1.9). Dann gilt fiir den Zusammenhang zwischen einem Gegenstandspunkt bei ro mit der Steigung r~ und einem Bildpunkt bei r(z): I

*

I*\

r(z) = g ( z ; x , x ' , y , y ' ) = :(z;ro,~o,~o,~o : Man kann die aus der Theorie komplexer Zahlen bekannte Laurent-Entwicklung verwenden, ~(z) =

~

C~

~ , , 5-o roa ~o* ~ ,-o

(4.7)

o~fl75~_0

Eine Drehung um den Winkel e in der Gegenstandsebene, ro ~ roe ie, muf~ eine Drehung um denselben Winkel in der Bildebene hervorrufen, r(z)e '~ =

~:

C~Z76 • r o % o * g r ~ T r g 6 e ~O(~ - Z + 6 - 7 )

~/375 Daraus erh~ilt man unmittelbar die erste Bedingung (i) (ii)

a-~+7-6=1 a+~+7+6=1,3,5,...

(4.8) ,

w~hrend die zweite aus dem Spezialfall O = 7r bzw. r(z) --+ - r ( z ) folgt, aus der Spiegelung an der optischen Achse. Sie legt fest, daf3 nur ungerade Ordnungen 1, 3, ... auftreten k5nnen.

170

4 Abbildungen

Strahlenpropagation in 1. Ordnung In 1. Ordnung (a + ~ + 7 + 5 -- 1 in G1. (4.8)) findet man ~ -- 5 -- 0 und I

r(Z) : C1000 r0 -~- C0010 r 0

Diese Form entspricht exakt der linearen Naherung, die wir als Grundlage der Matrizenoptik verwendet hatten und in Abschn. 1.9 schon ausffihrlich diskutiert haben.

Strahlenpropagation in 3. Ordnung In 3. Ordnung (a +/~ + 9' + 5 = 3) tauchen insgesamt 6 Beitr~ge auf, deren Vorfaktoren als ,,Seidelkoeffizienten" bekannt sind. Wir finden die Bedingungen a + 7 = 2 und fl+5 = 1, die mit 6 verschiedenen Koeffizienten C ~ erffillt werden kSnnen und in Tab. 4.2 aufgezahlt sind. Aus dieser Tabelle werden wir Tab. 4.2 Seidel-Koe~zienten der Bildfehler m

Koeffizient C0021 C1011 C0120 Cl110 C2001 C2100

a

~

7

5

0 1 0 1 2 2

0 0 1 1 0 1

2 1 2 1 0 0

1 1 0 0 1 0

0(

7 /,t2/, rt2T ?d/.2 rt/. 2 r3

Bildfehler Sph~irische Aberration Koma I Koma II Astigmatismus Bildfeldkriimmung Verzeichnung

nun einige ausgew~ihlte Fehler und ihre Korrektur im Detail behandeln. Die Koemzienten sind Eigenschaften der Linse oder des Linsensystems und ihre theoretische Bestimmung war in der Vergangenheit wegen des hohen numerischen Rechenaufwandes nur ffir ausgew~ihlte Anwendungen mSglich. Heute werden diese Aufgaben yon geeigneten Computer-Programmen erledigt.

(}ffnungsfehler oder sphfirische Aberration Die Wirkung der sph~irischen Aberration haben wir in Abb. 4.18 am Beispiel der plankonvexen Linse mit Spot-Diagrammen schon vorgestellt. Sie h~ingt nur vom C)ffnungswinkel ab (r~ in G1. (4.7)), kann dutch dessen Begrenzung reduziert werden und wird deshalb auch als ,, Offnungsfehler" bezeichnet. Allerdings verliert das abbildende System dabei sehr schnell an Lichtst~irke. Fiir praktische Anwendungen sind daher weitere Korrekturen notwendig, die zum Beispiel durch die Wahl einer Kombination giinstiger Kriimmungsradien (,,aplanatische Systeme") oder durch die Verwendung eines Linsensystems erreicht werden

4.5 Linsen: Bauformen und Fehler

171

kSnnen. Speziell die sph~rische Aberration wird h~ufig im Zusammenhang mit der chromatischen Aberration (s. den Abschnitt 4.5.3) korrigiert.

Beispieh ()ffnungsfehler einer diinnen Linse Well die sph~rische Abberation nur vom Offnungswinkel bestimmt wird, betrachten wir einen Punkt auf der Achse, r0 -0, und im Abstand g von der Linse (Abb. 4.21). Wie wir schon auf S. 24 n~her betrachtet haben, muff der Bildpunkt ebenfalls bei r ( z ) = 0 liegen und v o n r 0 unabh~ngig sein. Man erhalt aus der Kombination der linearen N~iherung mit der Seidel-N~iherung zun~chst r ( z ) = O = gz

+--

z

to+

Abb. 4.21 Sph~irische Aberrationen.

oo21 o

In der paraxialen N~herung ist G1. (4.2) fiir z = b exakt erfiillt. Hier jedoch hangt der Schnittpunkt mit der optischen Achse von r~ ab. Bei kleinen Verriickungen 5z gilt in linearer N~Lherung (z -- b + 5z(r')) und bei r(z) -- 0 flit r~:

= -b c0021T 3 g

Wir haben hier die sogenannte longitudinale sphdrische Aberration bestimmt. In ~hnlicher Weise l~t]t sich auch die transversale sph~rische Aberration (Sr(r t) in Abb. 4.21) berechnen.

Beispieh Schmidt-Spiegel. Eine interessante Variante des meist gebrauchten Cassegrain-Konzepts ist das sogenannte Schmidt-Teleskop, das zus~tzlich mit einer asph~rischen Kompensatorplatte aus Glas ausgerfistet ist. Sie korrigiert nicht nur den Offnungsfehler, sondern auch Koma und Astigmatismus. Dadurch erreicht man grofle Bildfelder bis zu 6~ die ffir Himmelsdurchmusterungen besonders gut geeignet sind. Standard-Teleskope erreichen nur ca. 1,5 ~ Schmidts Idee berficksichtigt zun~chst, daft ein Parabolspiegel zwar perfekte Abbildungen in unmittelbarer Achsenn~he, aber starke Koma-Verzerrungen schon in geringer Entfernung verursacht, w~hrend der sph~rische Spiegel mit einer kreisfSrmigen Bildfl~che ein viel gleichm~i]igeres Bild erzeugt. Man kann

172

4 Abbildungen

die Ortskurve des sph~irischen Spiegels in Achsenn~ihe nach y2 z=

y4 +

+

beschreiben, wobei der erste Term exakt der Paraboloid-Form entspricht. Die Kompensatorplatte mit Brechzahl n gleicht den optischen Wegl~ngenunterschied zwischen Kugel- und Paraboloidfl~che genau dann aus, wenn ihre Dickenvariation y4 A(y) -( n - 1)32f 3 betragt (Der Faktor 2 tritt wegen der Reflexion auf). Diese Form w~ichst zur Apertur des Teleskops hin an, w~hrend die gestrichelte Variante aus Abb. 4.22 auch die chromatische Abberationen minimiert. [25] Wenn die Kompensatorplatte in der Ebene des Abb. 4.22 Cassegrain- Kriimmungsmittelpunktes des Prim~rspiegels einSchmidt- Teleskop. gebaut wird, gilt die Korrektur in guter N~herung auch ffir grSt3ere Einfallswinkel.

Astigmatismus

Abb. 4.23 Astigmatismus einer Linse. In der sagittalen (punktiert) und der meriodionalen Ebene (schattiert) liegen die Bildpunkte bei unterschiedlichen Entfernungen.

4.5 Linsen: Bauformen und Fehler

173

Wenn Gegenstandspunkte nicht auf der optischen Achse liegen, ist die axiale Symmetrie verletzt und wir mfissen die ,,sagittale" und die ,,meridionale" Ebene der Strahlenausbreitung getrennt behandeln. 1 Die effektive Brennweite einer Linse hangt vom Einfallswinkel ab, wie in Abb. 4.23 zu erkennen ist, in der die Lichtstrahlen der sagittalen und der meriodionalen Ebene in zwei verschiedenen Brennlinien konzentriert werden. Zwischen den beiden Linien gibt es eine Ebene, in der man als KompromiB einen Bildpunkt ,,geringster Zerstreuung" identifizieren kann.

Beispiel: Astigmatismus geneigter Planplatten. In Abb. 4.24 haben wir qualitativ dargestellt, dat3 eine Planplatte, die von einem Lichtstrahl unter einem schiefen Winkel durchlaufen wird, zu verschiedenen effektiven Brennweiten und damit zu Astigmatismus ffihrt. Eine Planplatte kann damit auch eingesetzt werden, um den Astigmatismus anderer Komponenten zu kompensieren. Astigmatismus tritt z.B. als Eigenschaft der Lichtstrahlen von Diodenlasern auf, die in der kantenemittierenden Bauform generell keine axiale Symmetrie besitzen (s. Abschn. 9).

Abb. 4.24 Astigmatismus einer Planplatte.

Optische Komponenten werden in Laserresonatoren h~ufig unter dem Brewster-Winkel eingebaut. Wenn dabei gekrfimmte Hohlspiegel verwendet werden, kann deren Astigmatimus (s. S. 20) durch Wahl der Winkel ihrerseits zur Kompensation verwendet werden [101].

Koma und Verzeichnung Unter allen Bildfehlern ist der als Koma (von griech, langes Haar) oder Asymmetriefehler bezeichnete am ~gerlichsten. Die Korea verursacht einen kometenartigen Schweif (daher die Bezeichnung) fiir nichtaxiale Gegenstandspunkte, den wir in Abb. 4.25 qualitativ dargestellt haben. 1Der Astigmatismus einer optischen Linse tritt auch ffir eine perfekt rotationssymmetrische Komponente auf. Er ist zu unterscheiden vom Astigmatismus des Auges, der durch eine zylindrische Asymmetrie der Hornhaut hervorgerufen wird und schon fiir axiale Punkte Bildpunkte bei unterschiedlichen Weiten erzeugt.

174

4 Abbildungen

Abb. 4.25 Koma (links) und Verzeichnung (rechts). Die BildfeldwSlbung hat nach Tab. 4.2 eine ~hnliche Form wie der Astigmatismus, ist abet axialsymmetrisch. Die Verzeichnung kennt eine kissenfSrmige und eine tonnenfSrmige Variante, die ebenfalls in Abb. 4.25 angedeutet sind. Dieser Beitrag ist nur vom Radius abh~i~gig.

4.5.3

Farbfehler oder chromatische Aberration

Der Farbfehler wird durch die Dispersion optischer Materialien verursacht, denn der Brechungsindex der Linsengl~ser h~ingt vonder Wellenl~inge ab: Die Brechkraft einer Sammellinse ist fiir blaues Licht i. a. hSher als ffir rotes Licht. Wir untersuchen die Wirkung der Dispersion anhand der LinsenmacherGleichung (1.19) ffir eine Linse mit der Brechzahl n()Q und den Kriimmungsradien R und R':

1 -- 1 + 1 ----(n-l) (R

1)

f g b _~' Die Gegenstandsweite ist natiirlich festgelegt, aber die Bildweite ver/indert sich mit der Brechzahl,

1

A t=An

(R

1)

R'

An 1 -n:-l]

Abb. 4.26 Farbfehler und Korrektur mit sogenannten Achromaten. Wie wir wissen (s. S. 26), addieren sich die Brechkr~fte :D zweier unmittell/f1 + 1/f2. Die bar benachbarter Linsen, und wegen :D -- 1 / f gilt 1/s =

4.5 Linsen: Bauformen und Fehler

175

Brennweite des zusammengesetzten Systems soll sich nun nicht mehr mit der Wellenl~nge andern, 1 Anl 1 An2 1 Afges nl l fl + - - l f2 0 , --

n 2

--

und wit erhalten eine Bedingung, um den Farbfehler zu korrigieren: Anl An2 f2-- -fl-(4.9) nl - 1 n2 1 Dabei miissen wir genauer die lineare Entwicklung der Brechzahl verwenden, -

dni 1 d2ni 2 A n i = --d-2Aa + - ~ - d V ( A a ) + . . .

,

well man sieh aber ftir A~ auf bestimmte Standardwellenl~ngen geeinigt hat (s. Tab. 1.1), ist aueh die obige Sehreibweise ausreiehend. Weil die Dispersion ftir alle bekannten G1/iser das gleiehe Vorzeiehen hat, mug eine Linse ohne Farbfehler, die achromatisch genannt wird, aus einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse zusammengesetzt werden (s. Abb. 4.26). Linsen spielen aueh in der Teilehenoptik eine wichtige Rolle, dort ist es aber viel sehwieriger als in der Liehtoptik, aehromatisehe Systeme zu konstruieren. 0brigens werden durch die Bedingung (4.9) zur Korrektur des Farbfehlers die Radien der beiden Linsen noeh nicht festgelegt. Dieser Preiheitsgrad wird h/iufig verwendet, um niehg nur den Farbfehler, sondern gleiehzeitig die sph/irisehe Aberration einer Linse zu korrigieren. Mit einem Aehromaten erh/ilt man daher h~ufig aueh eine sph/iriseh korrigierte Linse.

176

4 Abbildungen

A u f g a b e n zu K a p i t e l 4 4.1 G r a p h i s c h e B i l d k o n s t r u k t i o n Konstruieren Sie graphisch das Bild des Objekts O welches durch das Abbildungssystem (a) (z.B. F1,2 -- 3 cm, Abstand der Linsen d -- 8cm, Abstand des Objekts vom ersten Brennpunkt x--2cm) und (b) (z.B. F1 = -2cm, F2 = 2cm, x = 2 cm, d= 1,5 cm) erzeugt wird.

Abb. 4.27 Linsensysteme zu Au]g. 4.1. 4.2 L i n s e n a b b i l d u n g Zeigen Sie, daft der Abstand zwischen einem Objekt und seinem mit einer Sammellinse erzeugten reellen Bild mindestens 4f betr~gt. Wie grofi ist das Bild der Sonne, das eine Linse mit Brennweite f erzeugt? 4.3 Z a h n a r z t - S p i e g e l Wie mut3 man einen (Zahnarzt-)Spiegel konstruieren, damit man bei einem Arbeitsabstand von 15 mm ein aufrechtes, um den Faktor 2 vergr6fiertes Bild erh~ilt? 4.4 K u r z s i c h t i g e im Vorteil Warum k6nnen Kurzsichtige kleine Dinge besset erkennen? Wie viel kann dieser Effekt einbringen? 4.5 G r e n z e n d e r L u p e Wieso kann man mit einer Lupe nicht mehr als 2030-fache VergrSfierung erzielen? 4.6 P r o j e k t i o n Bei einer Projektion entwirft ein Objektiv ein vergrSt3ertes Bild eines kleihen Objekts (z.B. eines Diapositivs) auf einer Leinwand. Ffir den Eindruck des Beobachters ist eine gleichmafiige Ausleuchtung des Objektes entscheidend. Erl~iutern Sie das BeleuchtungsAbb. 4.28 Schema einer Projektionseinrich- konzept aus der Zeichnung, d.h. die tung mit Beleuchtung. Funktionen von Lampenwendel W, Reflektor R, Kondensorlinse KL und Projektionsobjektiv PO. Welche Qualit~t miissen die Linsen besitzen? 4.7 Deckgl~ischen Handelsiibliche Mikroskopobjektive sind so berechnet, daft sie ihre optimale AuflSsung erreichen, wenn die zu untersuchenden Proben mit

Aufgaben

177

einem Deckgl~ischen (Normdicke 0,17 mm) bedeckt sind. Wie wirkt sich das Fehlen des Deckgl~ischens auf die Mikroskopabbildung aus, besonders bei hoher Numerischer Apertur? 4.8 K o n t r a s t e r z e u g u n g in der M i k r o s k o p i e Der Informationsgehalt von Bildern beruht in erster Linie auf der Wirkung von Kontrasten, d.h. der Verteilung der Grauwerte (oder Farbwerte), und das menschliche Auge benStigt - bei hellem Hintergrund - 5rtliche Intensit~itsschwankungen von 10 - 20 %. Das Bild beruht also vor allem auf der Absorption von Licht. Informieren Sie sich fiber folgende Verfahren zur Kontrastverbesserung: (a) Die DunkelfeldMethode erzeugt im Mikroskop einen kfinstlichen dunklen Hintergrund durch geeignete Beleuchtung des Pr~iparats. (b) Mit dem Phasenkontrastverfahren kSnnen Bakterien oder Zellkulturen sichtbar gemacht werden, die kaum Licht absorbieren, indem kleine Brechzahlunterschiede zwischen den Zellen und der w~issrigen Umgebung ausgenutzt werden. Betrachten Sie als ein Modell ein transparentes Objekt, das einen schmalen Streifen enth~ilt, der eine andere optische Wegl~inge besitzt und die zus~itzliche Phasenverschiebung e ir verursacht. Nach Abbe betrachten wir die Bildentstehung im Mikroskop in Analogie zur Fourieroptik, d.h. wir beAbb. 4.29 ModeUobjekt fiir das stimmen zun~ichst die Intensit~itsverteilung Dunkelfeld- und Phasenkontrastverin der Brennebene durch Fouriertransfor- fahren. mierte des Beugungsbildes des Objekts. Das Bild wird dann durch Rficktransformation dieser Verteilung gewonnen, wobei wir durch geeignete Filter in der Brennebene die Amplituden- oder Phasenverteilung beeinflussen k6nnen. Zeigen Sie, daft das Beugungsfeld in der Brennebene die Form hat ~(~) = 5(~) + d(e ir - 1 ) s i n ( ~ d / 2 ) ( ~ d / 2 ) . Beim Dunkelfeldverfahren wird der zentrale Strahl (das Hellfeld) ausgeblendet, beim Phasenkontrastverfahren wird er gegenfiber dem fibrigen Beugungsbild um n/2 verzSgert. Studieren Sie den Einflufl dieser Operationen auf das Bild.

4.9 Vierzackige S t e r n e Wieso sieht man auf astronomischen Bildern, die mit Spiegelteleskopen aufgenommen wurden, Sterne h~iufig als vierzackige Form? 4.10 T e l e o b j e k t i v e u n d Z o o m - L i n s e n Weit entfernte Objekte kSnnen mit Fernrohren beobachtet werden, ffir die VergrSfierung ist dabei eine grofie ObjektivBrennweite wichtig (G1. 4.6). Ffir eine Kamera sind Fernrohre aber wegen ihrer Baul~inge sehr unpraktische Bauteile. Man verwendet stattdessen Teleobjektive, bei denen eine lange Brennweite mit vergleichsweise kurzer Baul~inge erzielt wird. Aufierdem liegt das Bild in der N~ihe der Linsen. lJberzeugen Sie sich zun~ichst davon, daft man ein mSglichst groi~es Bild weit entfernter Objekte

178

4 Abbildungen

auf einem Film (oder heute wichtiger auf dem CCD-Chip einer Digitalkamera) ebenfalls mit einer mSglichst langbrennweitigen Linse erzielt. Ein Teleobjektiv ist ein Linsensystem aus einer Sammellinse (Brennweite fs) und einer Zerstreuungslinse (Brennweite - f z ) . Zeigen Sie, daft ffir d > f s - f z das Linsensystem einer Sammellinse gquivalent ist. Geben Sie an, fiber welchen Bereich die Brennweite durch Variation des Abstandes variiert werden kann. Skizzieren Sie die Positionen, die die beiden Linsen in einem Zoom-Objektiv (d.h. bei festgelegter Bildposition) einnehmen mfissen. 4.11 Trikolore Unser Auge ist offenbar chromatisch gut korrigiert. Da aber rotes Licht schw~icher gebrochen wird als blaues, muss der Akkommodationsmuskel die Linse starker wSlben, wenn eine rote als wenn eine blaue Flgche in gleichem Abstand betrachtet wird. Wie kommt es, dab Rot, wie die Maler sagen, ,,aggressiv auf uns zukommt" und Blau ,,uns in seine Tiefen zieht"? Wenn man bunte Kirchenfenster betrachtet, scheinen die verschiedenen Farben oft in verschiedenen Ebenen zu stehen. In der franzSsischen Trikolore ist der rote Streifen merklich breiter (37%) als der weifie (33%) und dieser breiter als der blaue (30%). Warum?

5

Koh irenz und Interferometrie

Das Superpositionsprinzip aus Absehn. 2.1.6 liefert die Voraussetzung, um die lJberlagerung yon Wellenfeldern zu behandeln, und man k5nnte Interferometrie und Koh~irenz einfach als Teil der Wellenoptik behandeln,..als Ausffihrungen des Superpositionsprinzips. Ganz entscheidend wird die Uberlagerung in der Interferometrie aber yon den Phasenbeziehungen der Teilwellen bestimmt. Wegen ihrer enormen Bedeutung g5nnen wit diesen Aspekten der Wellenoptik ein eigenst~indiges Kapitel, und insbesondere wollen wir dabei auch dem etwas sperrigen Koh~irenzbegriff selbst Rechnung tragen. Nahezu alle Gebiete der Physik, in denen Wellen- und insbesondere Interferenzph~inomene eine Rolle spielen, haben den Koh~irenzbegriff fibernommen, zum Beispie] auch die Quantenmechanik, in der die ~Iber]agerung zweier Zust~nde - die durch Amplitude und Phase charakterisiert sind - als Koh~irenz bezeichnet wird. Mit Hilfe der Quantenmechanik werden zum Beispiel Interferenzexperimente mit Materiewellen beschrieben und gedeutet. Tab. 5.1 Interferometer-Grundtypen Zweistrahl-Interferometer I Vielstrahl-Interferometer I Koh~irenztyp Youngs Doppelspalt Optisches Gitter transversal Michelson-Interferometer Fabry-Perot-Interferometer longitudial Zum T h e m a Interferometrie gibt es eine kaum iiberschaubare Fiille von Literatur, nicht zuletzt wegen ihrer Bedeutung ffir Anwendungen etwa in der Prazisions-L~ngenmefitechnik. Wir beschr~nken uns hier auf die Grundtypen aus Tab. 5.1, die allen Varianten zugrunde liegen.

5.1

Youngs Doppelspalt

Der Doppelspaltversuch von Thomas Young (1773-1829), einem friihen Advokaten der Wellentheorie des Lichtes, gehSrt wohl zu den beriihmtesten Experimenten der Physik, weil es eine der einfachsten Anordnungen ist, um In-

180

5 Koh[irenz und Interferometrie

terferenzen zu erzielen. Das Konzept findet bis heute in zahlreichen Varianten Nachahmung, um die Welleneigenschaften anderer Ph~nomene nachzuweisen, zum Beispiel bei den Materiewellen aus Elektronen- [122] oder Atomstrahlen [33], die wir in einem kleinen Exkurs (s. S. 186) behandeln. Eine grunds~tzliche Darstellung der Interferenzerscheinung von Licht, das aus einem Doppelspalt austritt, ist im Vergleich zu einem Einfachspalt in Abb. 5.1 vorgestellt.

Abb. 5.1 Doppelspalt-Experiment nach T. Young. Auf der rechten Seite ist das Interferenzmuster des Doppelspalts gezeigt, auf der linken das Muster eines Einfachspalts (ein Spalt verschlossen) zum Vergleich. Im Zentrum der Interferenzfigur betr~igt die Intensitdt das vierfache der maximalen Intensitdt im Beugungsbild des Einfachspaltes. Um das Interferenzmuster sichtbar zu machen, wurde eine logarithmische Grauskala gewdhlt.

5.2

Koh

enz und Korrelation

Mit dem Begriff der ,,Koh/irenz" ist die ,,Interferenzfahigkeit" von Wellenfeldern gemeint, und wir werden sehen, wie wir sie auch quantitativ dutch ,,Koh~renzl~inge" und ,,-zeit" beschreiben k6nnen. Der Begriff stammt aus der Wellenlehre der Optik und gibt an, fiber welche Entfernungen oder Zeitraume zwischen (mindestens) zwei Teilwellen eine feste Phasenbeziehung existiert, so dat3 w/ihrend dieser Zeit das Superpositionsprinzip ohne Umst/inde angewendet werden kann. Wenn man die Intensit~tsverteilung aus der 0berlagerung zweier koh~renter Teilwellen E1,2(r, t) berechnet, mfissen zun~chst die Amplituden addiert und

5.2 Koh~irenzund Korrelation

181

erst dann das Betragsquadrat gebildet werden: Ir

--

ce0 2 IEl(r't) + E2(r't)[2 =

=

Ii(r,t)+ I2(r,t)+CeoNe{El(r,t)E~(r,t)}

(5.1)

Im inkoh~irenten Fall dagegen werden einfach die IntensitKten addiert, Iioc(~, t) = c~0 (IEl(r,t)l 2 + IE2(r,t)l 2) = Ii(r, t ) + I2(r,t)

Y

und wir sehen sofort, daft der Unterschied durch den Beitrag der Uberlagerung bestimmt wird. Dieser Beitrag zu Ir wird allerdings nur dann zu beobachten sein, wenn wenigstens w~ihrend der Mefzeit eine feste Phasenbeziehung zwischen E1 und E2 vorliegt, denn jeder reale Detektor nimmt eine Mittelung fiber ein endliches Zeit- und Raum-Intervall vor. Die Fluktuationszeiten zum Beispiel einer thermischen Lichtquelle finden auf der pico- und femtoSekundenskala statt, die von gewShnlichen Detektoren auf einer typischen nano-Sekundenskala nicht erreicht wird.

5.2.1

Korrelationsfunktionen

Quantitativ kSnnen wir die Zeitentwicklung der Phasenbeziehung mit dem Begriff der Korrelation erfassen. Wir definieren die allgemeine komplexe Korrelationsfunktion, die auch als KohSrenzfunktion bezeichnet wird, r 1 2 ( r 1 , r2, t, ~ )

-

c ~ 0 , ~. ~l ~ r,l , t

_

Ceo 1 --/t+WD/2El(rl,t, + T)E~(r2, t')dt' 2 To Jt-WD/2

+ ~)E~(r~,t)>

=

die in der Mittelung (spitze Klammern (>) nur die endliche Integrationszeit

To des Detektors berficksichtigt. Genauer handelt es sich um die Korrelationsfunktion 1. Ordnung. Weitergehende Theorien der Koh~irenz ben5tigen auch Korrelationsfunktionen hSherer Ordnung, in denen etwa in 2. Ordnung 4 Feldamplituden in Beziehung gesetzt werden [114, 118], s. auch Abschn. 12.6.1. In der Interferometrie werden wir Korrelationen betrachten, die sich selbst in der Zeit nicht ver~indern, so daft bei der Mittelung nur noch die Abh~ingigkeit v o n d e r VerzSgerung ~- iibrigbleibt. Aufierdem werden wir i. Allg. die Intensit~it von Wellenfiberlagerungen bestimmen, d.h. F12 an nur einem Ort r - - r l - - r 2 aber zu verschiedenen Zeiten (t, t + T) betrachten, also r12(r, ~) = ~ c o-0( E l ( r. , t

+ T)E~, (r, t))

(5.2)

Bei sehr grofen VerzSgerungszeiten 7- erwarten wir ganz allgemein, daft die Phasenbeziehung zwischen E1 und E2 verloren geht. Dann ist das Vorzeichen

182

5 Koh/irenz und Interferometrie

der Feldamplituden zuf/illig und F12 schwankt statistisch um 0 herum und verschwindet im Mittel, r12(r, ~- ~ oo) ~ 0. Um den Zusammenhang mit G1. (5.1) herzustellen, miissen wir berfieksichtigen, dab die Teilwellen in einem typischen Interferometrie-Experiment mit Hilfe yon Strahlteilern aus derselben Lichtquelle gewonnen werden. Die VerzSgerung ~besehreibt dann untersehiedliehe Laufzeiten der Teilwellen zum Uberlagerungsort, und die Funktion I~12(r, "1-) beschreibt ihre F~ihigkeit, Interferenzstreifen auszubilden. Es ist sehr bequem, die normierte Korrelationsfunktion zu definieren, die ein quantitatives Marl ffir den Interferenzkontrast bietet, g~) (r, T) ---- [g~i)(r, T)[ COSr ---- CO0(El(r, 7)E~(r, 0)>

(5.3)

2 v/(Zl(rl)(i2(r)) Der Phasenfaktor cos r beschreibt die Phasendifferenz zwischen den beiden Teilamplituden und kann konstruktiv, r -- 0, und destruktiv ausfallen, r -- 7r. Die Funktion g~12)ist i. Allg. komplex und nimmt Werte an zwischen

0 _<

r)l _< 1

Ein wichtiger Spezialfall yon (5.3) ist die Autokorrelationsfunktion, g~11)(r, o-) ---- Ceo (El(r, T)E~(r, 0)) 2 (Ix(r))

'

(5.4)

die in diesem Fall die Amplitude eines elektromagnetischen Feldes mit sich selbst bei einer Verz6gerung ~- in Beziehung setzt. Wir werden noeh sehen, dab sie eine wiehtige Rolle in der quantitativen Analyse von Koh~irenzeigenschaften spielt. Wir kSnnen nun die Intensit/itsberechnung ffir koh~irente und inkoh~irente LTberlagerung zusammenfassen nach (I(r)) = (Ix(r)) + (I2(r)) + 2r

T)}

In der Interferometrie rufen i. Allg. unterschiedliche Wege Sl,2 der Lichtstrahlen, die aus ein und derselben Quelle stammen, die VerzSgerung T = (Sl--s2)/e hervor. Um den Grad der Koh/irenz auch quantitativ zu erfassen, ffihren wir die VisibilitSt ein (engl. visibility), v-

Imo

- Ira,. _

Ima +I n

ig )l

(5.5)

wobei/max und 1,un die Intensit~Ltsmaxima bzw. -minima eines Interferenzmusters bezeichnen. Das Mefiergebnis ,,1" wird koh~irent genannt, der Wert ,,0" inkohdrent. Der Koh/irenzgrad 0 _< Ig )l < kann in einem interferometrischen

5.2 Koharenz und Korrelation

183

Experiment durch Bestimmung der Visibilit~t gemessen werden, z. B. in einem Michelson-Interferometer (Abschn.5.4). Interferenzf~higkeit war keineswegs selbstverst~ndlich und hat in der Entwicklung der Wellentheorie eine bedeutende Rolle gespielt. Der Grund fiir die grofie Bedeutung der Interferometrie fiir die Wellentheorie liegt darin, daft man die physikalischen GrSfien der Welle, n~mlich P h a s e und A m p l i t u d e , nur durch Uberlagerung mit einer anderen Welle messen kann, also durch ein interferometrisches Experiment. Ob die Interferenz beobachtet werden kann, h~ingt entscheidend von den Koh~renzeigenschaften der Welle ab.

5.2.2

Strahlteiler

Abb. 5.2 Wellenfront- (links) und Amplitudenstrahlteiler (rechts). Strahlteiler besitzen einen zweiten Eingang, der nicht immer so leicht wie am rechten Typ zu erkennen ist.

Das zentrale Element einer interferometrischen Anordnung ist der Strahlteiler. Zun~chst konnte man fiberhaupt nur durch Teilung einer optischen Welle, die einer einzigen Lichtquelle entstammte, 1 zwei interferenzfahige, getrennte Teilwellen erzeugen. Grunds~tzlich kann man dabei die beiden verschiedenen Typen von Strahlteilern aus Abb. 5.2 unterscheiden: Den ,,Wellenfrontteiler", dessen klassische Form der Doppelspalt ist, und den ,,Amplitudenteiler", ffir gewShnlich in Form eines teildurchl~ssigen Spiegels. Bei fortgeschrittenen Anwendungen bekommt die Existenz eines zweiten Eingangs in die Interferometer Bedeutung. Der zweite Eingang ist im rechten Interferometer leicht zu erkennen.

1Heute kSnnen wir zwei individuelle Laserlichtquellen so gut synchronisieren, dai] wir damit Interferenzexperimente durchffihrten kSnnen.

184

5.3

5 Koh/irenz und Interferometrie

Der Doppelspaltversuch

Wir betrachten den Einfall einer ebenen Welle auf einen Doppelspalt (Abb. 5.3). Die beiden Spalte wirken als neue, virtuelle und phasensynchrone (,,koh~rente") Lichtquellen. Um das Interferenzmuster auf dem Schirm P zu verstehen, mfissen wit die optische Wegdifferenz der beiden W e g e , 1" und ,,2" bestimmen. Wenn die Entfernung z zwischen Doppelspalt und Schirm sehr viel grSt]er ist als der Spaltabstand und die Ausdehnung des Interferenzmusters, d, x << z, dann kSnnen wir den Gangunterschied A12 zwischen 1 und 2 geometrisch nach der Konstruktion aus Abb. 5.3 bestimmen.

Abb. 5.3 Analyse des Interferenzmusters aus Abb. 5.1. Links: Bezeichnungen und Geometrie des Doppelspalts. Rechts: Das Interferenzmuster kann als Produkt aus der Beugung am Einfachspalt (gepunktete Linie) und einer sinusfSrmigen Modulation (diinne Linie) verstanden werden. Hier wurde der Fall D=d/4 angenommen.

Wenn der ,,Gangunterschied" ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenl~inge ist, Ale = n)~, erwarten wir konstruktive, bei halbzahligem Vielfachen destruktive Interferenz. Unter dem Winkel a findet man fiir die Wellenlt~nge A den Gangunterschied A12 =

dsina

,

und auf dem Schirm erwarten wir mit a -~ x / z ein periodisches Streifenmuster der Form I ( x ) = Io

(

1+cos

)~ z ]

Bei dieser Analyse haben wir so getan, als ob die beiden Spalte unendlich diinn wt~ren. In einem realen Experiment haben sie natiirlich endliche Ausdehnung und wir miissen die Beugung am Einzelspalt beriicksichtigen. Die Uberlagerung dieser beiden Ph~inomene kSnnen wir mit Hilfe der Fraunhoferbeugung am Spalt nach S. 69 beriicksichtigen. Besonders einfach wird die

5.3 Der Doppelspaltversuch

185

Situation, wenn wir die Spalte um ~0 = • = • aus der Achse verschieben. Wenn wir mit ~-(~) wieder die kastenfSrmige Spaltfunktion der Breite D bezeichnen, erhalten wir fiir das Beugungsintegral mit ~ = 2~rx/Az

E c< fs (m(~-~o)e i~x~ + 7(~ + ~o))ei~d~ = = fsT(~)eiax~d~ (eia~~ + e--ia~~ Die Intensitgtsverteilung wird wie gew6hnlich fiir lineare Polarisation aus I = CeolEI2/2 bestimmt,

I= I~ (1 27cdx ]\ 2 (~xn/Az) 2 . + c ~ Man erkennt sofort, daft das vollstgndige Interferenzbild das Produkt aus dem Beugungsbild des Einzelspaltes und des Doppelspaltes enth~ilt (Abb. 5.3).

5.3.1

Transversale Kohiirenz

Wenn nun die Lichtquelle eine endliche Ausdehnung besitzt, dann kSnnen wir sie uns aus punktfSrmigen Lichtquellen zusammengesetzt vorstellen, die zwar mit gleicher Farbe oder Wellenlgnge, aber mit vSllig unabhgngiger Phase den Doppelspalt ausleuchten. Dann tritt eine zus~tzliche Phasendifferenz auf, die sich nach derselben geometrischen Konstruktion wie in Abb. 5.3 ermitteln l~it3t. Wenn eine dieser Punktquellen S unter dem Winkel ;3 zur Achse liegt, dann betr~gt die gesamte Phasendifferenz ffir kleine Winkel a und ~: 2'n-d ( a - / 3 ) Ar = kA12 - T Die Verschiebung der Lichtquelle verursacht danach auf dem Beobachtungsschirm eine transversale Verschiebung des Interferenzmusters. Wenn alle Verschiebungen zwischen 0 und 2~r vorkommen, sind die Streifenmuster der einzelnen Punktquellen gegeneinander verschoben und 15schen sich aus. Damit wir die Interferenzen beobachten kSnnen, darf die maximale Phasenverschiebung Am~, die von zwei Punktquellen einer Lichtquelle im Abstand Aa -- zs(~-~ t) voneinander und in der Entfernung zB vom Doppelspalt auftritt, nicht zu grot3 werden, /kCmax

----k/kmax - -

27cdAa -

-

<

1

Azs Die Bedingung wird erfiillt, wenn der Winkel ~ = / 3 - f~' = man die beiden Quellpunkte sieht, hinreichend klein ist, Aa 1 = - < - - zs 2~- d

Aa/zs,

unter dem

(5.6)

186

5 Koharenz und Interferometrie

Danach kSnnen wir ffir eine gegebene Wellenl~nge ), und gegebenen Abstand zs die Interferenzf~higkeit durch Lichtquellen mit hinreichend kleiner (,,punktfSrmiger") Fl~che (Aa _< A z s / 2 ~ d ) oder durch kleine Spaltabst~nde (d _< Azs/2~rAa) erreichen. Die Koh~renzfl~che einer Quelle wird bestimmt, indem wir bei festem Abstand der Quelle den Abstand d der Spalte ver~indern und den zentralen Interferenzstreifen (der stets ein Maximum ist) mit seinen benachbarten Minima beobachten und nach G1. (5.5) auswerten. Als Koh~renzl~inge definieren wit dann den Abstand, bei dem der Wert V = 1/2 erreicht wird. Exkurs: Doppelspaltexperimente mit MaterieweUen

Abb. 5.4 Beugung yon Materiewellen am Doppelspalt. Mit freundlicher Erlaubnis yon J. Mlynek und T. Pfau [103]. Wir haben die Zweispalt-Interferenz im voraufgegangenen Abschnitt als ein reines Wellenphanomen behandelt, aber auch schon auf seine Ubertragung auf andere Wellenph~nomene, insbesondere auf die Materiewellen, hingewiesen. Von besonderem, unsere Intuition auf eine harte Probe stellenden Reiz ist dabei die Tatsache, da~ das Interferenz-Muster auch von einem einzelnen Teilchen, als sogenannte Selbstinterferenz, erzeugt wird! Obwohl wir also stets nur ein Teilchen nachweisen, mui] seine Materiewelle durch die beiden Spalte gleichzeirig hindurchgetreten sein! Diese Vorstellung entnehmen wir der theoretischen Behandlung

5.3 Der Doppelspaltversuch

187

durch die Quantenmechanik. Sie ist im Experiment unz~hlige Male best~tigt worden, steht aber im bizarren Widerspruch zu unserer natiirlichen, n~imlichmakroskopischen Auffassung eines ,,Teilchens". Eine erste Best~itigung wurde von MSllenstedt [122] mit Elektronenstrahlen demonstriert. Dazu wurde ein Elektronenstrahl kollimiert und durch eine elektrische Feldanordnung geschickt, die dem Fresnelschen Biprisma entspricht. In jiingerer Zeit hat sich die Atomoptik [1] als ein neues Feld etabliert, und mit HeliumAtomen ist ein Doppelspalt in perfekter Analogie zum Youngschen Experiment ausgeffihrt worden [33]. Einerseits sind die de-Broglie-Wellenl~ngen der neutralen Atome mit Masse m und Geschwindigkeit v i m Atomstrahl sehr klein, ~deBroglie h/mv ~- 20pro. Deshalb mui3ten sehr geringe Spaltbreiten und -abst~nde verwendet werden, d < l#m, und der atomare Flut3 wurde entsprechend klein. Helium-Atome im metastabilen 3S-Zustand kSnnen aber mit Hilfe von Kanalplatten (s. Abschn. 10.5) nahezu Atom fiir Atom nachgewiesen werden, und diese hohe Nachweisempfindlichkeit hat das atomare Young-Experiment mSglich gemacht. =

Im unteren Teil der Abb. 5.4 ist das Ergebnis des Experiments aufgetragen. Die geringe atomare Flui3dichte hat sogar noch einen Vorteih Bei einer gepulsten Strahlquelle kann man die Geschwindigkeit des Atoms durch Flugzeitmessung registrieren und beobachtet dabei eine Ver~i~derung des Interferenzbildes. Diese k~unn direkt als Folge der Variation der deBroglie-Wellenl~nge interpretiert werden, die sich aus der Flugzeitmessung direkt ermitteln l~t. Zum guten Schlui] kSnnen wir die Interpretation noch einmal herumdrehen und nun das Licht vom Standpunkt der Teilchen oder Photonen betrachten. Dazu stellen wir uns ein Experiment vor, in welchem der Doppelspalt mit so geringer Intensit~it ausgeleuchtet wird, da~ dort nur ein Photon gleichzeitig vorhanden ist - die Bedingung fiir Selbstinterferenz also wieder erfiillt ist. Empfindliche ortsauflSsende Photonenz~hler sollen eingesetzt werden, um das Interferenzmuster zu detektieren. Wir beobachten in der Tat ein statistisches Muster, das nach l~gerer Zeit eine H~iufigkeitsverteilung produziert, die genau durch die Interferenz der Lichtwellen beschrieben wird.

5.3.2

Optische oder Beugungs-Gitter

W e n n m a n die A n z a h l der Spalte vervielfacht, gelangt m a n z u m optischen Gitter, das ein Beispiel ist fiir Vielstrahl-Interferenz. Optische G i t t e r werden als Amplituden-, Phasen- oder Reflexionsgitter verwendet wie in Abb. 5.5 qualit a t i v vorgestellt. Sie werden nach der A n z a h l der S t r i c h e / m m spezifiziert, bei optischen Wellenl~ngen typischerweise 1 0 0 0 / m m u n d mehr. Es ist erstaunlich u n d eindrucksvoll, dat3 die Herstellung auch sehr feiner G i t t e r mechanisch durch ,einfaches" R i t z e n mit D i a m a n t e n m6glich ist. Die mechanisch hergestellten G i t t e r leiden allerdings an Streuverlusten u n d an zusatzlichen StSrungen m i t langer Periode (,,Gittergeister"). Bessere optische Qualit~t bieten die nach d e m Herstellungsverfahren als ,,holographische Gitter" bezeichneten K o m p o n e n t e n : Sie werden mit den M e t h o d e n der optischen

188

5 Koh/irenz und Interferometrie

Lithographie hergestellt: Ein Film (,,Photoresist") wird auf einem Substrat optischer Qualit/it einer Licht-Stehwelle ausgesetzt. Die LSslichkeit des belichteten Films h/ingt von der Dosis ab, daher bleiben die Knoten der Stehwelle iibrig (s. Abb. 5.5). Auf dieser Struktur kann dann z.B. durch Bedampfen ein Reflexionsgitter gefertigt werden. Allerdings ist es beim holographischen Gitter schwieriger, den Glanzwinkel (engl. blaze) durch Formung der Rillen zu kontrollieren.

Abb. 5.5 Links: Amplituden-, Phasen- und Reflexionsgitter. Der Glanzwinkel eines Reflexionsgitter kann so gewdhlt werden, daft die Beugung iiberwiegend in eine bestimmte, erwiinschte Ordnung gelenkt wird. Rechts: Herstellung eines holographischen Gitters mit asymmetrischer Furche. Die Interferenzbedingung des Beugungsgitters ist identisch mit der des Doppelspalts. Wir betrachten die Strahlen, die von den N Strichen eines Gitters der L/inge L ausgehen. Zwei benachbarte Strahlen haben den Gangunterschied A(0) = ( k L / N ) s i n O

(5.7)

Bei gleichm~$iger Ausleuchtung betr/igt die Feldamplitude E:

E l J- E2 + . . . + E N

= =

Eo(1 + e - i A + e - 2 i A + ... + e - N i A ) e -i~~ sin(gA/2) Eoexp(-i(a~t + ~ 2 : - ! A ) ) sin(A/2)

Das Beugungsmuster des Gitters hat Hauptmaxima bei A ----2m~r, m ----0, 1,..., und dort berechnet man die Intensitat mit Io = Cco[Eo[2 /max = e~0]E(A = 2 , ~ ) ] 2 / 2 = N2Io Allerdings wird die Beugung zwischen den Intensit/~tsmaxima nun stark unterdrfiekt und das Gitter kaan sehr vorteilhaft als dispersives Element zur spektralen Analyse verwendet werden.

5.3 Der Doppelspaltversuch

189

Das erste M i n i m u m tritt bei A = 2 ~ / N auf, das erste N e b e n m a x i m u m bei A -- 37r/N. Dort ist ffir groBe N nur noch die Intensitgt I ( A -3~r/g) "" N2/(3~r/2) 2 ~ 0,05Imax enthalten: Das Beugungsgitter konzentriert die Strahlungsenergie in den H a u p t m a x i m a . Von grot3em Interesse ist das spektroskopische AuflSsungsvermSgen. Naeh dem Rayleigh-Kriterium soil das H a u p t m a x i m u m einer Wellenl~nge in die 1. Nullstelle der gerade noeh auflSsbaren Naehbar-Wellenl~inge fallen, d.h. naeh G1.(5.7)

Abb. 5.6 Beugungsbild eines Gitters aus 6 Einzelspalten und fiir zwei verschiedene Wellenlgngen. Der Beitrag des Einzelspaltes (gestrichelt, Breite -- 0,6x Spaltabstand) ist vernachldssigt worden.

A ( 0 + 5 0 ) - A ( 0 ) _~ 27r L cos(0) 50 AN

27r N

Die Bedingung fiir die H a u p t m a x i m a variiert mit der Wellenlgnge nach m 5~ = ( L / N ) cos(0)S0 = A / N u n d ergibt damit schliei31ich das AuflSsungsvermSgen T~-

--m.

N

Es n i m m t mit der Anzahl der ausgeleuchteten Spalte N u n d mit der O r d n u n g der Interferenz m zu, wie m a n auch in Abb. 5.6 leicht erkennt.

Beispiel: AuflSsungsvermiigen eines optischen Gitters. Wir b e s t i m m e n das AuflSsungsvermSgen eines Gitters yon 100 m m Durchmesser bei )~ -- 600 n m mit der Strichzahl 8 0 0 / m m in 1. Ordnung, d.h. m -- 1: 7~ -- 100 m m x 8 0 0 / m m -- 0, 8.105 Damit kSnnen Wellenl~ingen noch bei einer Differenz yon 5)~ -

- m.N

getrennt werden.

- 7.10-3nm

190

5.3.3

5 Koharenzund Interferometrie

Monochromatoren

Gitter-Monochromatoren gehSren zur Standard-Ausrtistung eines optischen Labors und sie spielen eine grofie Rolle, weil sie eines der einfachsten Verfahren der Spektroskopie mit hoher AuflSsung bieten. Allen gemeinsam ist die Verwendung von Reflexions-Gittern, die bessere optische Eigenschaften haben als Transmissions-Gitter. Sie unterscheiden sich lediglich in den Details des Aufbaus, die Bedienbarkeit oder Aufl5sung betreffen. Beispielhaft stellen wir den Aufbau nach Czerny-Turner (Abb. 5.7) vor. Das Gitter muff vollst~ndig ausgeleuchtet werden, um hSchstm5gliche AuflSsung zu erzielen, daher mut3 das Licht auf den Eingangsspalt fokussiert werden. Das Gitter dient gleichzeitig als Spiegel, der mit einem linearen Vortrieb gedreht wird. Man finder nach G1.(5.7) = L (sin 0 - sin 0')

Abb. 5.7 Prinzip des Czerny-TurnerMonochromators.

Wegen 0 = a / 2 - Oa und 0' gilt dann

a / 2 + 0c =

2L

A-

mN

cos(c~/2)sin(0G)

und die Wellenl~nge hgngt nur noch vom Drehwinkel 0v ab. Monochromatoren werden mit Standard-Baul~ingen angeboten, 1/8 m, 1/4 m, 1/2 m usw., die ein grobes Mat3 ffir ihre AuflSsung darstellen. Oberhalb yon ca. 1 m werden sie aber grofi, schwer und unpraktikabel, so daft AuflSsungen oberhalb von 106 schwer zu erzielen sind. Durch die Entwicklung der Laser-Spektroskopie, die wir in Kap. 11 behandeln, konnten aber AuflSsungen erzielt werden, die mit den in diesem Kapitel beschriebenen klassischen Verfahren unvorstellbar waren.

5.4

Michelson-Interferometer

Die erstmals von dem amerikanischen Physiker M. Michelson (1852-1931) angegebene Interferometer-Anordnungist zu grot3er Beriihmtheit gelangt. Sie war erdacht worden, um dem im 19. Jahrhundert postulierten ,,Ather", der ffir die Ausbreitung des Lichtes verantwortlich sein sollte, auf die Spur zu kommen. Falls der Ather existierte, sollte die Lichtgeschwindigkeit v o n d e r Relativgeschwindigkeit der Lichtquelle zu diesem Medium abh~ngen.

5.4 Michelson-Interferometer

191

Die Ergebnisse von Michelson und Morley liefien sich aber nur so interpretieren, daft die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes unabh~ngig war vom jeweiligen Bezugssystem - eine Entdeckung, die Poincar~, Lorentz und schliefilich Einstein zur Entwicklung der Relativit~tstheorie veranlat3ten. Herzstfick eines Michelson-Interferometers ist der Amplituden-Strahlteiler, (ST in Abb. 5.8), der meistens aus einem halboder teildurchl~ssigen Spiegel besteht. Eine einlaufende ebene Welle E = Eine-i(Wt-kr) wird in zwei Teilwellen mit Amplituden Ea,b = Ein/V~ aufgespalten. Nun besteht der Strahlteiler gewShnlich aus einem polierten Glassubstrat, das auf einer Seite beschichtet ist, und der reflektierte und der transmittierte Strahl passieren unterschiedliche optische Wege. Zum Abb. 5.8 Michelson-Interferometer. Ausgleich ffigt man gelegentlich in den einen Arm ein weiteres Glassubstrat gleicher Dicke ein, um die Interferometer-Arme m6glichst symmetrisch aufzubauen. Bei monochromatischem Laserlicht spielt das keine Rolle, weil wir den optischen Wegl~ngenunterschied einfach geometrisch ausgleichen kSnnen. Wenn abet das Licht mehrfarbig ist, dann verursacht die Dispersion der Glassubstrate einen wellenl~ngenabh~ngigen Wegunterschied, der durch das zus~itzliche Substrat kompensiert werden kann. Am Ende der beiden Interferometeraxme werden die beiden Teilwellen in sich reflektiert und passieren erneut den Strahlteiler. Das Interferometer erzeugt an seinen beiden Ausg~ngen zwei Teilwellen E1 und E2, -

1(c

§

§

Wir berechnen die Intensit~t in den beiden Ausg~hngen und erhalten mit I0 -e0c$$*/2

I1 =

89 (1 + cos2k(ro - rb))

/2 =

12i~ ( 1 - c o s 2 k ( r a - rb))

(5.9)

Danach wird die Gesamtintensit~t in Abhangigkeit vom Wegl~ingenunterschied s = 2 ( r l - r2) auf die beiden Ausg~nge verteilt. In der rechnerischen Behandlung werden fibrigens die unterschiedlichen Vorzeichen in der Summe der Teilstrahlen in (G1.(5.8)) (E1,2 -- (E~ -4- ED)), durch die Reflexionen am Strahlteiler verursacht, in einem Fall am dichteren, im anderen am dfinneren Medium. Der

192

5 Koh~renzund Interferometrie

90~ ren.

5.4.1

ist auch wichtig, um die Energieerhaltung zu garantie-

Longitudinale oder zeitliche Koh~irenz

Mit dem Michelson-Interferometerwird die zeitliche Koh~renzl~nge vermessen, indem die L~inge eines Arms solange vergr5Bert wird, bis der Interferenzkontrast auf die H~ilfte abgefallen ist. Als quantitatives Marl verwendet man dabei fiblicherweise wieder die Visibilit~it aus G1.(5.5). Der Interferenzkontrast mirt nach G1.(5.4) mit ~- = s i c die Feld-Autokorrelations-Funktion FEE,(S/C). Sie ist nach gem Wiener-Khintchin-Wheorem (s. Anhang A, Gl.(A.9)) mit der spektralen Leistungsdichte nach

1

r~.(s/c)ei~S/Cd s

verknfipft. Fourier-Transformation des Spektrometer-Signals liefert also Information fiber die spektralen Eigenschaften der Lichtquelle. Eine Analyse des Lichtes einer Natrium-Dampflampe mit dem Michelson-Interferometer zeigt den Zusammenhang sehr klar, wie wir qualitativ in Abb. 5.9 dargestellt haben. Dieser Zusammenhang wird auch im ,,Fourier-Spektrometer" genutzt, das

Abb. 5.9 Interferometer-Signale eines Michelson-Interferometers fiir eine einzelne und eine doppelte gpektrallinie wie zum Beispiel die gelbe D-Linie der Natrium-Dampflampe. In den oberen Kdsten sind die zugehSrigen Spektren eingezeichnet.

wir hier aber nicht behandeln kSnnen. Ferner kann man die Selbst-HeterodynMethode aus Abschn. 7.1.7 als Variante des Michelson-lnterferometers betrachten. Darin muff die Differenz der Arml~ingen sogar so gror sein, daft im zeitlichen Mittel gar keine stabile Interferenz zu beobachten ist. Das Verfahren dient zur Bestimmung der spektralen Eigenschaften einer schmalbandigen Laserlichtquelle.

5.4 Michelson-Inter ferometer

193

Beispiel: Das Wavemeter. Eine in vielen Labors verwendete Form des Michelson-Interferometers ist das w a v e m e t e r (deutsch soviel wie ,,Wellenl~ngenmeter", auch Lambda-Meter). Monochromatische Laser-Lichtquellen verffigen fiber eine sehr groi3e Koh~renzl~inge (> 10 m). Sie verursachen daher bei einer kontinuierlichen Variation der Arml~tngendifferenz eine sinusfSrmige Modulation des Interferometersignals, deren Periode nach G1.(5.9) proportional ist zur Frequenz des Laserlichts. Aus d e m Vergleich des Interferometer-Signals einer unbekannten Wellenl~nge Aneu mit einer Referenz-Laserwellenl~tnge )~ref kann die unbekannte Frequenz bzw. Wellenl~nge b e s t i m m t werden. In der wavemeter-Anordnung

Abb. 5.10 Wavemeter-Anordnung zur B e s t i m m u n g von Laserwellenlgngen. Der Ubersichtlichkeit wegen ist der zu messende Laserstrahl (gestrichelt) nur am Eingang und am Ausgang eingezeichnet.

werden dazu zwei Retroreflektoren (s. Abschn. 1.6) auf einem fahrbaren Schlitten montiert (Abb. 5.10), so daft der vorlaufende u n d rficklaufende Strahl des Michelson-Interferometers r~umlich getrennt sind. A m einen Ausgang wird der Referenzstrahl auf eine P h o t o d i o d e gelenkt, am anderen Ausgang dient er als Ffihrungsstrahl ffir den zu messenden, andersfarbigen Laserstrahl. Dessen Interferometer-Signal wird auf einer zweiten P h o t o d i o d e registriert u n d elektronisch mit d e m Referenzlaser verglichen.

Exkurs: Gravitationswellen-Interferometer Eine besonders ungewShnliche Form von Michelson-Interferometer mit riesigen Abmessungen wird derzeit an mehreren Orten weltweit konstruiert. Zum Beispiel besitzt das als GEO600 bezeichnete Projekt bei Hannover eine Arml~ingevon 600 m, wfiahrendan anderen Orten sogar bis zu 4 km Arml~inge geplant sind. Mit einem Michelson-Interferometer k6nnen wie mit allen optischen Interferometern Lfiaagen

194

5 Koharenz und Interferometrie

oder L~gen~nderungen mit einer Genauigkeit weit unterhalb der optischen Wellenlgngen gemessen werden. Genau diese Eigenschaft kann dazu dienen, Raumverzerrungen nachzuweisen, die durch Gravitationswellen verursacht werden. Sie werden von A. Einsteins Allgemeiner Relativit~ttstheorie zwar im Detail vorhergesagt, konnten aber noch niemals direkt beobachtet werden, weil sie eine aufierordentlich schwache Kraft selbst auf groBe Massen ausfiben.

Abb. 5.11 Gravitationswellen-Nachweis mit

einem Michelson-Interferometer.

Um mit dem Interferometer mSglichst empfindlich eine L~izlgen~nderung 5g nachweisen zu k6nnen, rout3 das Instrument selbst eine m6glichst grofle Lange g besitzen. Na~h der Relativit~itstheorie sind aber selbst bei starken astronomischen ,,Gravitationsstrahlern" wie z.B. Supernova-Explosionen relative Empfindlichkeiten von 5i/~ 10 -20 notwendig, das entspricht bei einer L~nge von 1 km etwa dem 100sten Teil eines Protonenradius! Die Gravitationswellen breiten sich wie elektromagnetische Wellen aus, sie sind transversal, haben aber Quadrupolcharakter.

Man kann die Empfindlichkeit steigern, indem man das Licht in jedem Arm faltet. Auch die schmalbandige Beobachtung der schw~icheren, dafiir aber kontinuierlichen und streng periodischen Abstrahlung eines Doppelsternsystems (s. Abb. 5.11) verspricht eine Steigerung der Empfindlichkeit. Zur Erzielung hinreichender Signal-Rausch-Verh~iltnisse des Interferometersignals ist der Einsatz sehr leistungsstarker und frequenzstabiler Laserlichtquellen notwendig. Gegenw~rtig sollen dafiir in erster Linie Neodym-Laser eingesetzt werden. Der Nachweis yon Gravitationswellen k6nnte nicht nur eine schon lange gesuchte Bestatigung fiir die Allgemeine Relativit~tstheorie bieten. Mit den Gravitationswellen-Antennen kSnnte auch ein neues Fenster zur Beobachtung des Weltraums aufgestoflen werden. Angesichts dieser Erwartung scheinen auch die Plaice fiir LISA (Laser Interferometer Space Antenna, [129]) nicht mehr vSllig abwegig: In diesem Raumfahrt-Projekt soll ca. 2014 ein aus 3 Raumschiffen bestehendes Michelson-Interferometer (2 Spiegel und ein Strahlteiler mit Lichtquelle) um 20 ~ versetzt auf der Erdumlaufbahn um die Sonne geparkt werden. Dieses Michelson-Interferometer soll eine Arml~nge von 5 Mio km erhalten!

5.4.2

Mach-Zehnder- und Sagnac-Interferometer

E s gibt z a h l r e i c h e V a r i a n t e n des M i c h e l s o n - I n t e r f e r o m e t e r s , die v e r s c h i e d e n ste m e t h o d i s c h e Vor- u n d N a c h t e i l e b e s i t z e n . Zwei b e d e u t e n d e Beispiel sind d a s M a c h - Z e h n d e r - u n d d a s S a g n a c - I n t e r f e r o m e t e r , d a s g e n a u g e n o m m e n eine e i g e n e K l a s s e bildet.

5.4 Michelson-Interferometer

195

Mach-Zehnder-Interferometer Das Mach-Zehnder-Interferometer (MZI) geht aus dem Michelson-Interferometer hervor, wenn man die Reflexion an den Spiegeln nicht mehr senkrecht ausfiihrt und zur Rekombination der Strahlen einen zweiten Strahlteiler verwendet. Das MZI wird verwendet, um Ver~inderungen der Wellenfronten beim Durchgang durch interessante Objekte auch mit riiumlicher AuflSsung zu studieren [72]. Der Reflexionswinkel an den Strahlteilern und Spiegeln M1,2 in Abb. 5.12 muff keineswegs 90 ~ betragen. Das MZI hat h~iufig Pate gestanden ffir interferometrische Experimente in der Teilchen-Optik, weil dort Spiegel oft nur bei streifendem Einfall, mit kleinen Reflexionswinkeln realisiert werden kSnnen.

Abb. 5.12 Mach-Zehnder- und Sagnac-Interferometer.

Sagnac-Interferometer Das Sagnac-Interferometer geht aus dem Michelson-Interferometer hervor, indem man die Lichtstrahlen nicht in sich zuriickreflektiert, sondern auf entgegengesetzten Wegen umlaufen liifit, die zun~ichst immer identisch sich. Falls aber das Interferometer um eine Achse rotiert, die senkrecht zu seiner Ebene steht, ergibt sich aus der speziellen (und allgemeinen) Relativit~itstheorie eine Phasenverschiebung zwischen den gegenl~iufigen Strahlen. Der Einfachheit halber betrachten wir eine kreisfSrmige Lichtbahn (Radius R) in einer Faser und einen Strahlteiler. Die Umlaufzeit betr~igt T = L/c = 2~rnR/c, wobei n der Brechungsindex der Faser ist. Aus der speziellen Relativit~itstheorie fibernehmen wir das Ergebnis, daft in einem mit der Gesehwindigkeit v bewegten Medium die Lichtgeschwindigkeit naeh c• = c

1 + nv/c n • v/c

.

(5.10)

modifiziert wird [112]. In der rotierenden Faserbahn (Winkelgeschwindigkeit ~) l~uft das Licht in der einen Richtung dem Strahlteiler entgegen, in der anderen davon. Die effektive Wegl~inge wird also vergrSflert bzw. verringert um den Weg R g t T -- vT, den der Strahlteiler zurficklegt, und man erh~lt

196

5 Koh/irenz und Interferometrie

den Zusammenhang implizite Bedingung Ausnutzung von G1. Uberraschenderweise

T• ---- L•177 = (L • vT•177 Daraus leitet man die T• = L/(c• T v) ab, und eine kurze Rechnung unter 5.10 ergibt schlieBlich 1/(c• T v) ~- (n/c)(1 • (vine)). h~ingt T+ - T_ nicht von n a b ,

T+ - T_ ~- 2vR/c 2 = 2R2~/c 2. Ffir Licht mit der Frequenz w = 2~c/A kSnnen wir nun unmittelbar die Wegl/ingendifferenz bzw. Phasendifferenz am Strahlteiler entnehmen aus A =w(T+-T_)

2R2Q _ ~ 4 F --~w c----V Ac"

Das Interferenzsignal ist danach nicht nur zur Winkelgeschwindigkeit ~ proportional, sondern auch zur Fl~iche F = 7rR2 des Sagnac-Interferometers. Die effektive Fl~iche und damit die Empfindlichkeit kann durch spulenartige Wicklung einer Glasfaser gesteigert werden (Abb. 5.12).

Beispiel: Das Phasenverschiebung im Sagnac-Interferometer. Wir bestimmen die Phasenverschiebung, die durch die Erdrotation (27r/24h -1, 8 10-6s -1) in einem Sagnac-Interferometer verursacht wird, bei dem eine Faser von 1 km L/inge auf einer Fl~iche mit 10 cm Durchmesser aufgewickelt ist, und welches mit einem Diodenlaser bei A = 780 nm betrieben wird. A ---- 1,8 x

10 - 6 ~

x 4. (0, 1/2)2(103/zr x 0,1) ( 0 , 7 8 x 1 0 -6 ) x ( 3 x l 0 s ) = 0 , 7 7 x 1 0 -Srad.

Diese Anforderung erfordert hohes experimentelles K6nnen, ist aber im Lasergyro realisierbar.

Wenn man einen Laserverst~irker in das Sagnac-lnterferometer einbaut, gelangt man zum ,,Lasergyro". Es ist sehr weit verbreitet, weil es den sehr empfindlichen Nachweis yon Drehbewegungen erlaubt, zu dessen Studium wir aber auf die Spezialliteratur verweisen mfissen. Es ist aber auch so schon klar, dab die rechts- und die linksherum laufende Welle im Lasergyro verschiedene Frequenzen haben mfissen.

5.5

Fabry-Perot-Interferometer

Wir betrachten zwei plane, parallele F1/ichen, die von einem Lichtstrahl unter einem kleinen Winkel beleuchtet werden. Solch ein optisches Element 1/it]t sich am einfachsten aus einer planparallelen Glasscheibe herstellen. Man spricht in

5.5 Fabry-Perot-Interferometer

197

diesem Fall von einem Fabry-Perot-Etalon (FPE) (von franz, etalon, Eichmafi) das h~ufig zur Frequenzselektion in Laserresonatoren oder als einfaches und sehr hoch auflSsendes Diagnose-Instrument ffir Laserwellenl~ngen verwendet wird. Die Lichtstrahlen werden im FPE viele Male hin und her reflektiert, und zeigen damit in longitudinaler Richtung in Analogie zum Beugungsgitter Vielstrahl-Interferenz.

Abb. 5.13 Vielstrahlinterferenz im Fabry-Perot-Etalon. ST: Streuglasscheibe; L1,2: Linsen; Sch: Schirm. Die Flgchen eines FPEs sind teilweise verspiegelt und miissen eine grofie Ebenheit aufweisen, aut3erdem muff die gegenseitige Verkippung sehr gering sein und fiir Pr~zisionsmessungen mut3 auch der Abstand sehr genau bekannt sein und kontrolliert werden. Die optische L~inge des FPEs hangt vom Brechungsindex des Zwischenraums n a b , ~opt ~

n 9~

,

der sich mit der Temperatur relativ schnell ~indert (dn/dT ~- 10-3K-1). Stabile, weniger empfindliche Etalons werden aus einem Luftspalt zwischen zwei Glasplatten konstruiert, die mit Abstandhaltern geringer thermischer Ausdehnung wie zum Beispiel Quarzst~ben fixiert sind. Wenn der Abstand g des Zwischenraums variiert werden kann, zum Beispiel durch einen Piezovortrieb, spricht man von einem Fabry-Perot-Interferometer (FPI). Es wurde 1899 erstmals von C. Fabry und A. Perot benutzt. Die Bedingung ffir konstruktive Interferenz l~flt sich wieder aus der Phasendifferenz 5 zwischen zwei benachbarten Strahlen bestimmen. Man bestimmt den Weg A-B-C in Abb. 5.14 und findet mit k -- 21r/A = k.~opt = 2nkgcos0 = N . 2Ir

,

(5.11)

wobei N, die Ordnung der Interferenz, gewShnlich eine grofie Zahl ist. Dieses Ergebnis widerspricht unserer Intuition, denn man h~itte aufgrund der Geometrie, des l~ngeren Weges des einzelnen Strahls im Interferometer eher eine Verlfia]gerung des Weges auf ~/cos 0 erwartet. Genau das Gegenteil ist je-

198

5 Koh~renz und Interferometrie

doch der Fall: Verkippen eines Etalons verstimmt die Interferenz-Bedingung zu kiirzeren Wellenliingen! Wit wollen nun die Beitriige der einzelnen Strahlen aufsummieren und miissen dabei Reflexion und Transmission beachten. Mit dem Reflexions- bzw. Transmissions-Koeffizienten wird gewShnlich die Intensitiitsiinderung beschrieben. Wir unterscheiden davon die Koeffizienten der Feldamplituden r = ~ und t= V~, r, r' : Amplitudenreflektivitiit t, t' : Amplitudentransmissivitiit

R, R ' : Reflexionskoeffizient T, T' : Transmissionskoeffizient

Phasenspriinge bei der Reflexion werden wir der gesamten Phasenverschiebung zuschlagen, die wir nach einem Umlauf mit exp (i5) beriicksichtigen, und dann die Beitriige der transmittierten Teilwellen zur Feldamplitude Err im Interferenzpunkt P in einer komplexen geometrischen Reihe summieren,

Err = t' tEein + rr~ eiS tt' Eein + (rr')2 e2iS tt~Eein + ... Wit erhalten das Ergebnis Err -

tt' Eein 1 - rrte i5

(5.12)

Abb. 5.14 Phasenbedingung am Fabry-Perot-Etalon: (a) Gangunterschied der Teilstrahlen; (b) Selbstkonsistenzbedingung des internen Feldes. Zu diesem Ergebnis gelangt man noch schneller, wenn man nut die Welle im Etalon gleich nach dem ersten Spiegel betrachtet (s. Abb. 5.14): Diese mu~ sich namlich im Gleichgewicht aus der einmal umgelaufenen Welle und der einlaufenden Welle rekonstruieren: Eint = eiS rr' Eint + tEein Daraus erh~lt man mit Err = t'Ei~t unmittelbar wieder das erste Ergebnis. Schon aus Griinden der Energieerhaltung mui~ es eine reflektierte Welle Er

5.5 F a b r y - P e r o t - I n t e r f e r o m e t e r

199

geben. Aus diesen Uberlegungen wird deutlich, dab es sich auch hier um einen Interferenzeffekt handelt,

_ r,ei6 Er = rEein - r'tei6Eint - l r - rr,ei6Eein

(5.13)

Das Minuszeichen tritt hier auf, weil in diesem Fall gegenfiber der umlaufenden Welle eine Reflexion weniger stattgefunden hat. Wir wollen nun G1.(5.12) auswerten, indem wir die transmittierte Intensitat betrachten. Durch Betragsbildung erhalten wir zunachst den Ausdruck / t r = /rein

TT'

I1

-

Rv~R--~eiSI2

Er l~Bt sich fibersichtlich schreiben, wenn wir den Finesse-Koeflfizienten F einffihren,

4 Rv~--~ F=

( 1 - Rv/-R--~)2

'

(5.14)

womit wir nach kurzer Rechnung die Airy-Funktion erhalten,

Itr

I~

TT' 1 -- RV~R-~)~ 1 + Fsin'(~/2)

(5.15)

Nach unserer Rechnung variiert die transmittierte Intensitat zwischen (1 -

R)(1 - R') <_ Itr/Iein <_ ( 1 - R ) ( 1 - R') (12

(5.16)

und kann im Idealfall verlustfreier Spiegel mit gleichen Reflexionskoeffizienten sogar mit der eingestrahlten Welle identisch werden: (R,T) -- (R',T') : Itr-6 = N . 2~r : Itr

I~,n

1 + F sin 2(6/2)

= Iein

Wir werdeI1 fiber diesen Fall im Kapitel fiber optische Resonatoren noch mehr hSren. Wir wollell noch die gespeicherte oder im Etalon umlaufende Intensit~t und die reflektierte Intensit~t bestimmen, Iint

----

1 I tr ~-7

/r

=

/ein -- /tr

,

Reale Resonatoren sind ilnmer mit Verlusten behaftet, die man natfirlich so gering wie mSglich halten InSchte. Wenn wir die Verluste pro Umlauf pauschal mit einem Koeffizienten A berficksichtigen, erhalten wir den verallgemeinerten

5 Koh~renz und Interferometrie

200 Finesse-Koeffizienten FA =

4V/RR,(1 - A) (1-~/RR'(1-A))

,

(5.17)

2

mit dem wir die transmittierte Leistung erneut berechnen kSnnen nach:

Itr ---- 4TT'(1 - A) /ein (T + T' + A) 2 1 + FA sin 2 (5/2)

'

und entsprechende Ausdriicke fiir die reflektierte und die eingekoppelte Leistung finden.

Beispiel: Ankopplung eines optischen Resonators. Optische Resonatoren, die wir im Abschnitt 5.6 n~her besprechen, dienen der Speicherung von Lichtenergie, und daher ist die Frage von Interesse, welcher Anteil eines einfallenden Lichtfeldes in den Resonator eingekoppelt wird. Diese Frage l~t3t sich mit den gerade angestellten l)berlegungen beantworten. Besonders wichtig ist auch hier wieder der Resonanzfall 5 -- 0, fiir den wir die Relationen

IT _ ( T ' § A - T I 2 /ein \ / ~+ A - 7~ - T

und

Itr 4 T T ( 1 - A) Iein -- (T' + A + T) 2

finden. Auch die im Resonator zirkulierende Leistung ist nach IR~s ---- I t / T ~ leicht zu ermitteln und in Abb. 5.15 vorgestellt. Das Maximum der eingekop-

Abb. 5.15 Einflufl der Verluste auf die Ankopplung eines Fabry-Perot-Resonator im Reso-

nanzfall 5 = O. pelten Leistung wird bei T / A -- 1 erreicht, und die dort im Resonator zirkulierenden Leistung ist fiir kleine A proportional zu 1/A. Die externen Verluste (durch den Einkoppel-Spiegel) sind in diesem Fall gerade gleich den internen

5.5 Fabry-Perot-Interferometer

201

Verlusten. Diese Situation ist bei Resonatoren ganz allgemein bekannt: Nur bei perfekter ,,Impedanz-Anpassung" wird alle einfallende Leistung in den Resonator gekoppelt, ansonsten ist man im Bereich der Uber- oder Unterkopplung.

5.5.1

Freier Spektralbereich, Finesse und AuflSsungsvermSgen

Das Fabry-Perot-Interferometer liefert nach (5.11) eine periodische Serie von Transmissionslinien als Funktion der Frequenz w = ck des eingestrahlten Lichtfeldes. Der Abstand benachbarter Linien entspricht aufeinanderfolgenden Ordnungen N und N + 1 und wird als ,freier Spektralbereich" (engl. free spectral range, FSR) /kFSa bezeichnet: . . AFSR . YN+I

c

. . 2ng . YN

1 7Um

(5.18)

Der Freie Spektralbereich entspricht auch gerade der inversen Umlaufzeit TUrn des Lichtes im Interferometer. Wenn der Zwischenraum zwischen den Spiegeln leer ist (n -- 1), gilt noch einfacher AFSa ---- c/2t. Typischerweise werden Fabry-Perot-Interferometer mit cm-Abst~nden verwendet, deren freie Spektralbereiche nach 15 GHz AFS R t/cm -

-

berechnet werden und i. Allg. einige 100 MHz bis einige GHz betragen. Das Fabry-Perot-Interferometer lmnn nur dann fiir Messungen verwendet wetden, wenn man die Periodizit~it, die zu Uberlagerungen verschiedener Ordnungen ffihrt, erkennen kann. Wenn das der Fall ist, dann wird das Aufl5sungsverm6gen zwischen zwei eng benachbarten Frequenzen durch die Breite der Transmissionsmaxima bestimmt. Sie l~ifit sich aus (5.15) n~iherungsweiAbb. 5.16 Freier Spektralbereich und Halbse berechnen, wenn man beriicksichtigt, wertsbreite im Fabry-Perot-Resonator. daft die meisten Interferometer grofie FKoeffizienten besitzen. Dann lmnn man die Sinusfunktion durch ihr Argument ersetzen,

hr-----

/ein 1 + F(5/2)2

5 Koharenz und Interferometrie

202

Wenn man annimmt, dab sich zwei Spektrallinien dann trennen lassen, wenn ihre Halbwertsbreiten 51/2 nicht fiberlappen, dann wird die kleinste noch auflSsbare Phasendifferenz aus 51/2 = 2 " 2 / F 1/2 = 4 I F 1/2 bestimmt. Die zur Verschiebung notwenige Frequenzdifferenz A1/2 berechnet man mit A1/2 = cSk1/2/27r nach 51/2 = 2ngSk1/2 = 2 ~ r A 1 / 2 / A f s a und man erh~ilt ffir Spiegelpaare identischer Reflektivit~it AFS R

A1/2

Tv/R - -:9 ~

(5.19)

1- R

Das Verh~iltnis 9~ = AFSR/A1/2 yon freiem Spektralbereich und AuflSsung l~ifit sich leicht wie in Abb. 5.16 von einem Oszillographen-Schirm ablesen. Dieses Marl ist gebr~iuchlicher als der Finesse-Koeffizient F u n d wird als Finesse bezeichnet. Der Zusammanhang lautet =

(5.20)

Die interferometrische AuflSsung liegt tats~ichlich noch wesentlich hSher, n~imlich bei T~ = V N / A 1 / 2 = N A F S R / A 1 / 2 = N . T

und kann leicht dell Wert von 7~ > 10 s fiberschreiten. AuflSsung von Fabry-Perot-Interferometern W i r haben in Tab. 5.2 Kenndaten typischer FP-Interferometer zusammengestellt, die auch schon fiir das n~chste Kapitel, bei ihrer Verwendung als optische Resonatoren, eine wichtige Rolle spielen. Beispiel:

Tab. 5.2 Kenndaten yon Fabry-Perot-Interferometern

[mm]

1-R=T

AFsa [GHz]

A1/2 [MHz]

300 10 1 100

1% 0,1% 20 ppm 20 ppm

0,5 15 150 1,5

1,7 5 1 0,01

300 3000 150.000 150.000

Q @ 600 nm

Taes (ms~j

3 10 s l0 s 5 l0 s 510 l~

0,] 0,0~ 0,i[

In der Tabelle fiillt auf, dab die Halbwertsbreite A1/2 stets von ~ihnlicher GrSBenordnung ist. Der Grund dafiir ist die praktische Anwendbarkeit mit kontinuierlichen Laserlichtquellen im Labor, die typischerweise Linienbreiten von 1 MHz besitzen.

5.60ptische Resonatoren

5.6

203

Optische Resonatoren

Laserstrahlung wird meistens in optischen Resonatoren erzeugt, schon allein deshalb sind sie von Bedeutung. Allgemeiner sind optische Resonatoren Objekte, in denen das Lichtfeld gespeichert werden kann, gewShnlich in Form einer Stehwelle. Ganz besonders wichtig sind Fabry-Perot-Interferometer als optische Resonatoren (engl. optical cavities), die ffir den Bau yon Laserresonatoren benStigt werden oder als optische Spektrum-Analysatoren (Einzelheiten dazu finden sich in Abschn. 7.1.7) breite Verwendung finden.

5.6.1

D impfung optischer Resonatoren

Ein elektromagnetischer Resonator speichert Strahlungsenergie. Er wird einerseits durch das Spektrum seiner Resonanzfrequenzen oder Moden Uqmncharakterisiert, andererseits durch deren Zerfalls- oder Dgmpfungszeiten 7p~s, die sich auf die gespeicherte Energie g o( E 2 beziehen,

1 dE gdt

-

2dE~dr E

-

-

-

Wir kSnnen den Verlust ngherungsweise ermitteln, indem wir die Spiegelreflektivitgten (R = r 2) und sonstige Verluste (A = (1 - t0) 2) auf einen Umlauf TUrn = AF~a verteilen, AE 1 ETum ~- 2 ln((1 -- A)RR') : In V / ( 1 - A)RR' Daraus gewinnt man den Zusammenhang TUrn TRe s =

TUn] ~

In y/(1 - A)RR'

,

1 - V/(1 - A)RR'

der wiederum durch u 1 A1/2 -- Q -- 27r'rRes mit dem Q-Faktor bzw. der Halbwertsbreite /kl/2 verknfipft ist. Ffir A ---* 0 und R = R' geht dieses Ergebnis in das Resultat 5.19 fiber. Die ResonatorD~mpfungszeit 7Res bestimmt das Anschwing- und Abklingverhalten optischer Resonatoren. In Tab. 5.2 haben wir ffir einige Resonatoren Q-Werte und Schwingzeiten angegeben, wobei wit angenommen haben, daft die absorptiven Verluste gegenfiber der Auskopplung vernachl~sigbar sind.

204

5.6.2

5 Koh~renzund Interferometrie

Moden und Modenanpassung

Aus Stabilit~itsgrfinden werden beim Bau von Resonatoren nicht mehr ebene, sondern gekrfimmte Spiegelfl~ichen verwendet 2. Mit unserer Kenntnis fiber Gaufistrahlen aus Absehn. 2.3 kSnnen wir auch sofort angeben, wie ein geeigneter Resonatormode aussehen muff: Die Spiegeloberfl~ichen mfissen an ihrer Position gerade den Abb. 5.17 Gau.~welle und Reso- Krfimmungen der Wellenfronten entsprechen (s. natorspiegel. Abb. 5.17). Ob Resonatoren stabil oder instabil arbeiten, kSnnen wir wieder mit den ABCD-Gesetzen der Strahlenoptik untersuchen. Ein Spiegelpaar ist dem periodischen Linsensystem aus Abschn. 1.9.5 vollst~ndig ~iquivalent, wenn wir die Brennweiten fl,2 durch die Radien R1,2/2 ersetzen. Dann erhalten wir aus G1.(1.27) das Stabilitatsdiagramm (Abb. 1.21 auf S. 27) ffir optische Resonatoren nach

Kenndaten eines Resonators aus zwei Spiegeln sind deren Radien R1,2 und seine L/inge ~. Zwisehen den Spiegeln entwiekelt sieh eine stehende Gaugwelle mit dem konfokalen Parameter b = 2zo und der Strahltaille w0. Die Spiegeloberfl/ichen befinden sich an den Positionen Zl,2, deren Abstand gerade der Resonatorl~inge entsprieht,

~ = Z l + Z2 Die GesamtlSsung der Gaufischen Moden wird nach G1.(2.27) und G1.(2.37) beschrieben,

E,~(x,y,z) = s • exp { _ ( ( x 2 d_y2)/w(z)) 2} exp{ik(x 2 d_y2)/2R(z)} • e x p { - i ( k z - (m + n + 1)~?(z))}.

(5.22)

In der mittleren Zeile steht die geometrische Form der Gaufischen GrundlSsung, die dutch (R(z), w(z)) bzw. (z0, w0) charakterisiert wird. SShere Moden verursachen eine transversale Modulation 7-/m,~ dieser Grundform (obere Zeile), und die Phase wird auf der z-Achse allein durch die Gouy-Phase bestimmt. Wir kSnnen uns daher zun~ichst auf die geometrische Anpassung der Wellenfronten konzentrieren, die dureh R(z) nach G1.(2.22) beschrieben werden. 2Auch instabile Resonatoren finden aber Verwendungz.B. beim Bau von Hochleistungslasern [156]

5 . 6 0 p t i s c h e Resonatoren

205

Bei zl,2 mfissen die Radien der Wellenfronten gerade den Krfimmungsradien der Spiegel entsprechen, R1,2 :

z]

1

2 -~- z2) : Zl,2 -~- - ( Z1,2 Zl,2 Z1,2

Mit Hilfe von z l , 2 - R~,2 _~_v/R12,2 _ 4Zo2 kSnnen wir dann die Parameter der Gau6welle (z0, w0) durch die Resonatorkenngr5t3en (R1, R2, l) ausdriicken, '~Z0

w~ -

(R2-

R1-

2~) 2

'

(5.23)

nTr

Bei der Auswertung dieser Formel mu6 man beriicksichtigen, da6 nach den Konventionen fiir ABCD-Matrizen (S. 22) Spiegeloberfl~ichen mit Zentrum links bzw. rechts von der Oberfl~iche verschiedene Vorzeichen haben. Bei der Anregung eines Resonatormodes miissen die Strahlparameter (z~ w0) schon fiir die eingestrahlte Welle eingestellt werden. Ist diese Bedingung, die ,,Modenanpassung", nicht erfiillt, wird nur der Tell des Feldes eingekoppelt, der dem Uberlapp mit dem Resonator-Mode entspricht.

5.6.3

Resonanzfrequenzen optischer Resonatoren

Ein Resonator wird durch das Spektrum seiner Resonanzfrequenzen gekennzeichnet, und vom FP-Resonator erwarten wir ein ~iquidistantes Raster von Transmissionslinien im Abstand des freien Spektralbereichs AFSR. Fiir eine genauere Analyse miissen wir den Phasenfaktor (die Gouy-Phase, letzte Zeile G1. (5.22) bzw. G1. (2.23)) beriicksichtigen. Die Phasendifferenz mu6 wieder ein ganzzahliges Vielfaches von ~ betragen, (~mn(Zl)--C~mn(Z2)

=

qT~ = k ( z I - z2) - (m-~-Tt-~-1)(rl(Zl ) - rl(Z2)).(5.24)

Mit g = z l - z2 und r/(z) = t a n - l ( z / z o )

finden wir zunaehst

kqmn~ = q~r + ( m + n + 1)[ tan-1 zoZ--!l-tan-1 z~l

Die Resonanzfrequenzen Uqmn bestimmen wir aus kqm~g = 27muqmn~/c = ~vqm~/AFsa und ffihren die Resonator-Gouy-Frequenzverschiebung

206

5 Koh~renzund Interferometrie

ein, die zwischen 0 und AFSa variiert. Wir erhalten das iibersichtliche Ergebnis l/qmn

----

qAFSR + (m + n + 1)AGouy

Es zeigt ein Modenspektrum, das eine grobe Einteilung naeh dem freien Spektralbereieh AFSR zeigt. Die Feinstruktur wird von ebenfalls Resonanzlinien im Abstand AGony bestimmt.

Abb. 5.18 Modenspektrum eines Fabry-Perot-Resonators.

5.6.4

Symmetrische Resonatoren

Wir wollen nun den Spezialfall eines symmetrischen optischen Resonators untersuchen, der aus zwei identischen Spiegeln besteht, R2 = R -- -R1. Dann wird die Form yon (5.23) stark vereinfacht und l~ifitsich interpretieren,

z~~ _ (2R 4- ~)~ und ~0~ - 2 ~ ~/(2R- ~)~

(5.25)

Die L~inge des symmetrischen Resonators kann von ~ -- 0 bis 2R variiert werden, dort wird der Stabilit~itsbereich verlassen. Die Strahlparameter der Gaufiwelle im symmetrischen Resonator, (z0, w0), sind in Abb. 5.19 vorgestellt und dazu auf die Maximalwerte Z o m a x : R / 2 und W0ma~ ---(AR/4~rn) 1/2 normiert worden. Die Instabilit~it des plan-planen und des konzentrischen Resonators driickt sich hier auch in der empfindlichen Abh~ingigkeit der Moden-Parameter vom t~/R-Verh~iltnis aus. Die Gouy-Phase h~ingt im symmetrischen Abb. 5.19 Rayleighl~inge und Strahl- Resonator nach

yon L/i~nge und Krfimmungsradius ab.

5.60ptische Resonatoren

5.6.5

207

Wichtige Spezial-Resonatoren

Die drei Spezialf~ille ~/R -- 0, 1, 2 verdienen besondere Aufmerksamkeit, denn sie entsprechen gerade den ebenen, konfokalen und konzentrischen Resonatoren.

Abb. 5.20 Strahlengang und Resonanzfrequenzen des planparallelen Resonators. Planparalleler Resonator: s -- 0. Das Fabry-Perot-Interferometer oder Etalon, das im vorangehenden Kapitel beschrieben wurde, entspricht genau diesem Grenzfall. Wie wir aus Abb. 1.21 wissen, ist er hinsichtlich der Stabilit/~t ein Grenzfall. Im praktischen Einsatz spielt dabei auch eine Rolle, dab polierte ebene Oberfl~chen aus technischen Grfinden immer eine geringe konvexe Kriimmung besitzen, ein FPE aus zwei ,,ebenen" Spiegeln also stets zur Instabilit~tt tendiert.

Abb. 5.21 Strahlengang und Resonanzfrequenzen des konfokalen Resonators. K o n f o k a l e r R e s o n a t o r : g/R -- 1. Wenn die Brennpunkte der beiden Resonatorspiegel ( f = R / 2 = ~/2) zusammenfallen, ist die Sonfiguration des konfokalen Resonators erreicht. (Dabei miissen die Radien R1,2 nicht unbedingt wie im symmetrischen Fall identisch sein.) In diesem Fall sind die Moden bei zwei je hoch entarteten Frequenzpositionen angeordnet, deren Abstand i k o n f o k __-- c/4ng (5.26) FSR betrggt. Die hohe Entartung besitzt ihr strahlenoptisches Analogon in der Beobachtung, dab paraxiale Trajektorien nach 2 Umlgufen geschlossen sind. Wenn man den konfokalen Resonator ohne Modenanpassung bestrahlt, werden viele transversale Moden angeregt und man beobachtet den Abstand (5.26) als effektiven freien Spektralbereich und nicht c/2ng. Wenn man die Lgnge des konfokalen Resonators geringffigig von der perfekten Position g / R -- 1

208

5 Koharenz und Interferometrie

verschiebt, b e o b a c h t e t m a n das H e r v o r t r e t e n der M o d e n wie in Abb. 5.22 angedeutet. Die hohe E n t a r t u n g m a c h t den konfokalen Resonator besonders unempfindlich in der H a n d h a b u n g u n d geeignet fiir Spektralanalyse (s. Abschn. 7.1.7). Allerdings b e o b a c h t e t m a n i. Allg. eine gr5t3ere Linienbreite, als nach d e m einfachen Z u s a m m e n h a n g nach G1.(5.19) zu erwarten ware. Diese Verbreiterung wird durch die hSheren Moden verursacht, die z u n e h m e n d hShere D~impfung erleiden u n d nur in der paraxialen N~iherung exak-

te Entartung aufweisen. Konzentrischer Resonator g/R = 2. Dieser Resonator ist offensichtlich sehr empfindlich von den Abb. 5.22 Spektrum nahezu konfokaler Resonatoren. genauen Positionen der Spiegel abh/ingig, er ffihrt aber zu einer sehr scharfen Fokussierung, die das Beugungslimit erreicht. In Laserresonatoren werden nahezu konzentrische Teilelemente verwendet, u m eine hohe Verst/irkungsdichte zu erreichen.

Abb. 5.23 Strahlengang und Resonanzfrequenzen des konzentrischen Resonators.

Exkurs" M i k r o - R e s o n a t o r e n

Neuerdings ist man auch an sehr kleinen Bauformen optischer Resonatoren interessiert, die nur Abmessungen von wenigen ttm besitzen. Weil das Strahlungsfeld in einem sehr kleinen Volumen gespeichert wird, kann darin eine sehr starke Kopplung von Strahlungsfeld und Materie erreicht werden. Die aui3ere Ankopplung ist bei solchen Resonatoren aber nicht einfach, weil sich die Richtung der Emission nicht sehr einfach kontrollieren l~i~t. Kiirzlich wurden in diesem Zusammenhang ovale3 Resonatoren untersucht [131], die durch ihre Form dieses Problem 15sen helfen. In Abb. 5.24 wird die berechnete Intensit/itsverteilung fiir einen zylindersymmetrischen, einen elliptischen und einen ovalen Resonator gezeigt. Man erkennt insbesondere am ovalen Resonator den Zusammenhang mit den aus der Strahlenoptik entlehnten Bildern. 3Das sind gerade nicht elliptische Resonatoren, die sich analytisch behandeln lassen und ein diskretes Spektrum zeigen.

5.7

Dfinne optische Schichten

209

Abb. 5.24 Lichtverteilungin kreisrunden, elliptischen und ovalen Mikroresonatoren. Mit der freundlichen Erlaubnis yon Dr. J. Noeckel [131].

5.7

Diinne optische Schichten

Diinne optische Schichten spielen eine grot3e Rolle bei Anwendungen, denn dielektrische Entspiegelungen und Vergfitungen sind seit langem in die Alltagswelt eingedrungen. Wir wollen uns auf die Interferenzph~nomene an diinnen Schichten beschr~nken und mfissen zum Beispiel die wichtigen materialwissenschaftlichen Aspekte zu deren Herstellung fast g~nzlich ignorieren. Metallische Spiegel verursachen bei der Reflexion sichtbarer Wellenl~ngen Verluste von 2-10%, mehr als viele Lasersysteme tolerieren kSnnen, um auch nur die Schwelle zu iiberwinden. Mit einer Vielzahl transparenter Materialien lassen sich dielektrische Schichtsysteme mit strukturierter Brechzahl herstellen, die kontrollierbare Reflektivit~ten zwischen 0 und 100% erm5glichen. Bei sehr hoher Reflektivitat spezifiziert man Transmission und Absorption, die im besten Fall nur noch wenige ppm betragen!

5.7.1

Einfache Schichten

Wir betrachten die Einfachschicht aus Abb. 5.25 und bestimmen die reflektierte Welle ET ---- rlEi + tzr2Ei. Man rechnet mit den bekannten Formeln ffir die Reflexionskoeffizienten aus Abschn. 3.1.1 leicht nach, dat3 die reflektierte Welle bei senkrechtem Einfall die Form

ET =

[~--~ l -+n]-+ 1-~1 + (l+nl) n l - n 2 ei2knld I/ Ei

,,, ( ~1n- nl - n 2+ nl+n2 ei2knld ) Ei

(5.27)

besitzt. Die Vereinfachung in der zweiten Zeile wird durch die Vernachlassigung der geringen Abweichung des Transmissionsfaktors 4nl/(1 + n l ) 2 von 1 im technisch wichtigen Bereich zwischen n--l,3 und n----2 ermSglicht (s. Abb. 5.25).

210

5 Koh~renz und Interferometrie

Abb. 5.25 Reflexion an einer einfachen diinnen Schicht. Links: Schichtensystem. Rechts: Faktor 4nl/(1 + nl) 2 und Wirkung einer Einfachschicht auf Glas mit n = 1,5 bei optimaler Schichtdicke d = A/4nl. Schon mit nur einer diinnen dielektrischen Schicht erreicht man gute Ergebnisse in der Vergiitung optischer G1/iser. Ffir technisch anspruchsvollere Anwendungen werden aber Schichtensysteme mit vielen Schichten benStigt.

Unterdrfickte Reflexion: Vergiitung, AR-Schicht, )~/4-Schicht Die dfinne Schicht aus Abb. 5.25 wird als )~/4-Schicht mit d = A/4 ausgelegt, und aufierdem w~hlen wir nl < n2, so daft wegen der Reflexion am dichteren Medium gilt e x p ( 2 i k d ) = - 1 . Diese im Vergleich zum Substrat niedrigbrechende Schicht wird als L-Schicht (yon engl. low) bezeichnet. Um perfekte AuslSschung der beiden reflektierten Teilwellen zu erreichen, muff die Bedingung 1-nl nl-n2 1+nl nl+n2 erffillt werden. Sie ist ~quivalent zu Die einfachen AR-Schichten (AR: Anti-Reflexion), die zur ,,Vergfitung" yon Brillen und Fenstern verwendet werden, reduzieren die Reflexion von Glas von 4% auf typischerweise 0,1-0,5%. MgF2 kommt dieser Bedingung schon recht nahe und wird daher gerne verwendet. Tab. 5.3 Brechzahl yon Materialien fiir diinne dielektrische Schichten

MgF2 I sio [ TaO2 [TiO2 1,38 [ 1,47[ 2,05 [ 2,30

Verst~irkung der Reflexion: Hochreflektoren In diesem Fall w~hlen wir zun~chst eine hochbrechende (H-)Schicht auf einem Substrat mit niederer Brechzahl, d.h. nl > n2. Der 180~

5.7 Diinne optische Schichten

211

bei der Reflexion am dfinneren Medium verursacht nun konstruktive Interferenz der beiden Teilwellen, und die Reflektivit~it wird erhSht. Beispielsweise schraubt eine einzelne TiO2-A/4-Schicht auf Glas (Brechzahlen in Tab. 5.3) die Reflektivit~it von 4% auf fiber 30% (s. Abb. 5.27).

5.7.2

Vielfachschichten

Als vereinfachtes Beispiel ffir eine Vielfachschicht wollen wir einen periodischen Schichtenstapel aus N Elementen betrachten [98]. Wir mfissen die Wellenaufspaltung an jeder einzelnen Grenzfl~iche betrachten (Abb. 5.26):

E + = tijE + § rj~E; E [ = t j i E 2 + rijE + Wir wollen eine von links einfallende Welle betrachten, formulieren aber die Transformationen in umgekehrter Richtung, weil nach der letzten Grenzfl~iche in Ausbreitungsrichtung keine links laufende Welle mehr auftritt (E N = 0).

Abb. 5.26 Grenzfldche in

der Vielfachschicht.

Das Gleichungssystem l~ifit sich 15sen und gfinstig in Matrixform ffir Ei = (E+,E[) darstellen, wenn wir aui~erdem rij = - r j i und Itijtjil + Irijrjil = 1 verwenden, E~=GjiEj=~

rij

1

E~

Bevor wir die n~ichste Grenzschicht erreichen, erleidet die Welle eine Phasenverschiebung ~ -- njkd fiir die nach rechts bzw. - ~ fiir die nach links laufende Welle. Dann lautet die Gesamttransformation von einer Grenzfl~che zur n~ichsten

Ej = ~jiGjiE~ = SjiEi

air

(~ji = ( e - i ~ 0

0 ) e i~

'

und insbesondere gilt bei N Grenzfl~ichen R21 R22 ) ( E N + )

(5"28)

Der Zusammenhang zwischen einlaufender, reflektierter und transmittierter Welle ist damit eindeutig festgelegt, und insbesondere l~ifit sich die Reflektivit~it aus ]R2112/]Rll] 2 berechnen, wenn R erst einmal bekannt ist. Wahrend eine analytische LSsung mfihsam bleibt, bietet sich dazu die numerische Analyse

212

5 Koharenzund Interferometrie

mit dem Computer an. In Abb. 5.27 haben wir die Entwicklung von einer Einfach-Schicht zu einer hochreflektierenden Schicht vorgestellt.

Abb. 5.27 Wellenldngenabhdngige Reflektivit5t yon Vielfachschichten mit 2, 4 und 10 Schichtenpaaren. Im Beispiel haben wir einen Stapel yon Ti02- und Glasschichten mit einer Dicke yon jeweils 0,15 # m angenommen. Die gestrichelte Linie bezeichnet die Reflektivitiit einer Einfach-Schicht. Der lOer-Stapel hat zwischen O,55 und O,65 # m e i n e Reflektivitiit R > 99~0.

5.8

Holographie

Zu den erstaunlichsten und attraktivsten MSglichkeiten der Optik z~hlen die F~higkeit zur Bildwiedergabe, der wir schon ein ganzes Kapitel (4) gewidmet hatten. Unter den verschiedenen Methoden ruft im allgemeinen die Holographie (von griech, holo, Vorsilbe ffir ganz, unversehrt) das grSt3te Erstaunen hervor. Die Attraktion geht vonder vollst~ndig dreidimensionalen Wiedergabe eines aufgezeichneten Objektes aus! Wir wollen uns hier auf die Vorstellung der interferometrischen Grundprinzipien der Holographie beschr~nken und verweisen ffir ein intensiveres Studium auf die Spezialliteratur [69].

5.8.1

Holographische Aufnahme

Bei der konventionellen Aufnahme eines Bildes, ob es nun noch mit einem altmodischen Film oder mit einer modernen CCD-Kamera geschieht, wird stets die r~iumliche Intensit~tsverteilung des Lichtes auf dem Film oder im Datenregister gespeichert. Bei einer holographischen Aufnahme werden stattdessen Amplitude und Phase des Lichtfeldes registriert, indem das vom Objekt gestreute Lichtfeld, die Signalwelle (Amplitudenverteilung E ~ ( x , y ) = 1/2{s y ) e - ~ t + c.c. }) mit einer koh~irenten Referenzwelle iiberlagert wird,

5.8 Holographie

213

ER(x,y) = 1/2{ER(x,y)e -i~t +c.c.}. Es handelt sich also um eine interferometrische Aufnahme eines Objektes, weil das Interferenzmuster die Bildinformation enthalt! Durch die 0berlagerung von Bild- und Referenzwelle entsteht die Intensit~tsverteilung

2I(x,y)/cco = IEs + ERI 2 = IEsI 2 + IERI2 + ~sE~ + E~ER Dabei haben wir schon angenommen, daft Signal- und Referenzwelle eine hinreichende, wohldefinierte Phasenbeziehung besitzen, weil sie zum Beispiel aus derselben koh~renten Lichtquelle stammen. Andernfalls w ~ e n die Mischterme unerwfinschten zeitlichen Schwankungen unterworfen. Die Beleuchtungsst~rke auf dem Filmmaterial - das gemeinhin nichtlineare Eigenschaften hat - wird so eingestellt, daft man einen linearen Zusammenhang zwischen der Transmission und der Intensit~tsverteilung erreicht,

(5.29)

Abb. 5.28 Die Holographie nutzt den linearen Anteil in der Schwgrzung des Filmmaterials.

T ( x , y ) = To + ~-I(x,y)

(5.30)

Die holographische Aufnahme wird heute, nachdem Laser mit grofier Koh~renzl~nge routinem~t3ig verfiigbar sind, nach dem offaxis-Verfahren von LeithUpatnieks hergestellt, das in Abb. 5.29 zu sehen ist. Die historischen Experimente von D. Gabor wurden dagegen als inline- oder ,,Sichtlinien"-Hologramme gewonnen, weil dabei geringere Anforderungen an die Koh~renz der Lichtquelle gestellt werden. Die monochromatische Signalwelle breite sich in der Anordnung von Abb. 5.29 in z-Richtung aus, und die transversale Phasenverteilung r y) sei verursacht durch das beleuchtete Objekt,

E s : Ese-iWt eikz e ir

y)

Die (nahezu) ebene Referenzwelle werde mit identischer Frequenz w unter dem Winkel 0 mit der z-Achse eingestrahlt. Der Wellenvektor k besitze die Komponenten k~ : k cos 0 und ky : k sin

ER : ERe-iWt eik~z~ ik~y In Anlehnung an G1.(5.29) erhalten wir in der Ebene P mit r Intensit atsverteilung

I p ( x , y ) -- I s + I R + { $ ~ C ~ e i r 1 7 6- i ( k y y + r

+c.c.}

= k~zo die (5.31)

214

5 Koh~renzund Interferometrie

Abb. 5.29 Aufnahme eines Hologramms nach dem Leith-Upatnieks-Verfahren. Alle Beitr~ige verursachen eine Schw~irzung des Filmmaterials. Die Referenzwelle wird im allgemeinen in guter N~iherung einer ebenen Welle entsprechen und deshalb eine gleichm~ifiige Schwarzung verursachen. Die Schwarzung durch die Signalwelle, die wir der Einfachheit halber mit konstanter Amplitude angenommen hatten, wird jedoch im allgemeinen eine inhomogene Intensit~itsverteilung verursachen, weil von einem unregelm~ifiigen Objekt keine ebenen Wellenfronten ausgehen. Dieses Ph~inomen ist in anderem Zusammenhang auch als ,,Laser-Speckelmuster" bekannt und wird in Abschn. 5.9 n~iher besprochen.

5.8.2

Holographische Wiedergabe

Die grofie Faszination der Holographie tritt erst bei der Wiedergabe zutage, denn der holographische Film - das ,,Hologramm" - enth~ilt fiir unser Auge keinerlei Information. Zur Rekonstruktion muff man lediglich das Objekt entfernen und das Hologramm allein mit der Referenzwelle beleuchten. Durch Beugung entstehen dann die Sekund~irwellen aus Abb. 5.30. Formal kSnnen wir die Sekund~irwellen gewinnen, indem wir die Feldverteilung E, ek der aekonstruktion unmittelbar nach Durchtritt durch das Hologramm betrachten. Wir k6nnen vier unterschiedliche Beugungswellen U0, U0~ und U• angeben,

E~ek= T(x,y)ER = ToER+ ERIR + ERI = Uo(x,y) +Uo"(X,y)

+ IERI E

die wir im einzelnen betrachten wollen. Eigentlich ist es sehr kompliziert, das Beugungsfeld des komplizierten Hologramms zu bestimmen. Gliicklicherweise k5nnen wir aber die einzelnen Beitr~ige gut mit bekannten Wellenformen identifizieren, die sich auf natiirliche Weise aus der lokalen Feldverteilung fortsetzen.

5.8 Holographie

Abb. 5.30

215

Wiedergabe eines Hologramms mit Sekunddrwellen (vgl. Abb. 5.29).

O. Ordnung

Uo(x, y) = (To + TIn)$Re--iWte i(kyy + k~z) In 0. Ordnung wird die einfallende Referenzwelle fortgesetzt und nur wegen der Abschw~chung mit einem konstanten Faktor (To + 7IR) < 1 multipliziert.

Halo

Uo"(X,y) =

IsER(x,y) -i tei(ky y + kzz)

Wie schon oben erw~ihnt, verursacht die Signalwelle eine im allgemeinen inhomogene Schw~irzung. Die dadurch verursachte Sekund~irwelle propagiert ebenfalls in 0. Ordnung, die Beugung am Speckelmuster fiihrt aber zu einer Verbreiterung im Vergleich zur transmittierten Referenzwelle und wird gelegentlich als ,,Halo" bezeichnet.

Rekonstruierte Signalwelle

Ul (X, y) -- Tg~e~r

gRs

eikz

Offensichtlich ist mit diesem Beitrag bis auf einen konstanten Faktor genau die Signalwelle wiederhergestellt worden! Die rekonstruierte Signalwelle breitet sich in z-Richtung aus, was wir in Analogie zur Beugung am Gitter als 1. Ordnung bezeichnen wollen. Das virtuelle Bild enthalt alle Informationen des rekonstruierten Objektes und kann deshalb - innerhalb des Lichtkegels - v o n allen Seiten betrachtet werden.

Konjugierte Welle

U_l(x,y )

=

Tg~gse--iwte--ir

+ (2kz - k)z)

216

5 Koharenzund Interferometrie

In einem Vektordiagramm kSnnen wir die Ausbreitungsrichtung des konjugierten Strahls bestimmen. Ffir kleine Winkel 0 -- ky/kz gilt 2kz - k -~ k~ und kc2onj= 4k~ + (2k~ - k) 2 -~ k 2. Die Achse des konjugierten Strahls l~iuft daher unter dem Winkel 20 zur z-Achse und verschwindet sp~testens bei 0 -- ~/4. In der Schreibweise U- l (x, y) = T ~

(

~8r ir

y)

)"e-i(wt

- k(sin (20)y + cos (2~)z))

wird die ,phasenkonjugierte" Form dieses Strahls im Vergleich zur Objektwelle deutlich. Physikalisch gesehen wird die Krfimmung der Wellenfronten invertiert, die Welle l~uft also scheinbar rfickw~rts in der Zeit. Wieder in Anlehnung an die Beugung am Gitter bezeichnet man diese Welle auch als die -1. Beugungsordnung. Die drei interessierenden Sekund~rwellen sind in Abb. 5.30 vorgestellt. Die gebeugten Strahlen lassen sich im Gegensatz zum Sichtlinienhologramm in der off-axis-Holographie geometrisch leicht trennen und beobachten.

5.8.3

Eigenschaften

Hologramme verffigen fiber einige faszinierende Eigenschaften, die hier aufgez~hlt werden sollen. R~iumliche B i l d w i e d e r g a b e . Weil die vom Objekt ausgesandte Signalwelle rekonstruiert wird, erscheint auch das virtuelle Bild, das der Betrachter durch die holographische Platte hindurch sieht, in seiner R~umlichkeit, man kann hinter Kanten und Ecken blicken, falls denn eine Sichtverbindung im beleuchteten Bereich besteht. Stiickweise R e k o n s t r u k t i o n . Aus jedem Bruchstfick eines Hologramms l~t3t sich das gesamte Objekt rekonstruieren. Das scheint zunachst widersprfichlich, wird aber in der Analogie zur Beugung am Gitter schnell klar: Auch dort werden an immer kleineren Bruchstficken stets dieselben Beugungsordnungen beobachtet. Allerdings nimmt die Breite der einzelnen Beugungsordnungen zu, d.h. die Aufl5sung des Gitters wird verringert, weil die Anzahl der ausgeleuchteten Spalte abnimmt. In ahnlicher Weise nimmt bei der Rekonstruktion aus einem holographischen Bruchstfick die AuflSsung ab, im Bild verschwinden die feineren Strukturen, w~hrend die Gesamtform der Signalwelle erhalten bleibt. VergrSBerung. Wenn bei der Rekonstruktion einer Objektwelle Licht einer anderen Wellenl~nge verwendet wird, dann ~ndert sich der Abbildungsmat3stab entsprechend.

5.9 Speckelmuster

5.9

217

Speckelmuster (Laser-Granulation)

Wenn eine matte Wand oder ein rauher Gegenstand mit Laserlicht beleuchtet wird, dann nimmt der Beobachter eine kSrnige, fleckige Struktur wahr, die bei Beleuchtung mit einer konventionellen Lichtquelle nicht auftritt und offensichtlich durch die Koh~irenzeigenschaften des Laserlichtes verursacht wird. Obwohl koh~irente Ph~i~omene, Beugung und Interferenz, auch mit gewShnlichem Licht beobachtet werden kSnnen, hat uns doch die Erfindung des Lasers tats~ichlich eine ganz neue sinnliche Erfahrung beschert. Aber schon I. Newton hatte erkannt, daft das ,,Funkeln" der Sterne, das unsere Vorfahren dichterisch iiberhSht haben, ein koh~irentes Ph~inomen ist, welches durch die Unregelm~ifigkeiten der Atmosph~ire verursacht wird und deshalb eng mit den Speckelmustern zusammenh~ingt. Die kSrnige, unregelm~ifige Struktur wird als ,,Laser-Granulation", bzw. nach Eindeutschung der Bezeichnung speckle pattern (engl. in etwa ,,Fleckenmuster") Speckelmuster genannt. Von der rauhen, zuf~illig geformten Oberfl~iche eines grofen Objekts wird eine koh~irente Welle mit einer komplizierten Wellenfront reflektiert, wie nach dem Durchgang durch eine Mattscheibe. Vereinfacht kSnnen wir uns vorstellen, daft die Lichtstrahlen einer grofen Zahl zuf~illig angeordneter Spalte zur Interferenz kommen. In jeder Ebene entsteht dann ein anderes, eben statistisches Interferenzmuster, und auch jeder Beobachter sieht ein anderes, abet raumfestes Muster. Die formale Behandlung der Speckelmuster erfordert einigen Aufwand mit den mathematischen Methoden der Statistik, wir behandeln dieses Ph~inomen mehr der Vollst~ndigkeit halber und werden uns auf einige einfache Aspekte beschr~inken. Die Laser-Granulation erscheint zun~ichst als ein unerwfinschtes Ph~inomen, well sie aber sehr viel Information fiber die streuenden Oberfl~ichen enth~ilt, eignet sie sich sogar fiir interferometrische Anwendungen in der Mefitechnik zur Bestimmung winziger Oberfl~ichenver~inderungen [75].

Abb. 5.31 Speckehnuster eines fokussierten Helium-Neon-Laserstrahls nach Durchlaufen eiher Streuglasscheibe. Der Fokus wurde yon links nach rechts immer weiter in die Scheibe geschoben.

218

5.9.1

5 Koh/irenz und Interferometrie

Reelle und virtuelle Speckel-Muster

Speckel-Muster lassen sich zum Beispiel beobachten, wenn wir einen Laserstrahl aufweiten und yon einem diffusen Reflektor auf einen Schirm werfen. Auf der Wand entsteht dabei ein k6rniges Muster, welches ortsfest ist und sich nur bei VeNinderung des Reflektors ver~indert. Dieses Muster wird allein durch die Mikrostruktur des Reflektors bestimmt und wird reelles oder objektires Speckel-Muster genannt [109]. Es kann durch direkte Belichtung eines Films registriert werden. Wenn das Muster abgebildet wird, wird es jedoch durch die Abbildung ver~indert: Es entstehen subjektive oder virtuelle Speckel-Muster, deren Eigenschaften durch die Apertur der abbildenden Optik bestimmt wird, zum Beispiel durch die Pupillengr6fie unseres Auges. Diese Eigenschaft l~ifit sich schon mit einem Laserpointer leicht nachvollziehen, mit dem wir eine weifle Wand betrachten: Wenn wir mit unserer Hand ein kleines Loch als kiinstliche Pupille formen, dann werden die Granulationsflecken mit kleinerem Durchmesser immer gr6ber. Eine detaillierte Betrachtung des koh/irenten Wellenfeldes ist i. Allg. gar nicht von Interesse. Sinnvolle physikalische Fragestellungen betreffen aber die Intensit~tsverteilung in den statistischen Wellenfeldern, die zur Lasergranulation fiihren, und die charakteristischen Gr6fien der Speckelk6rner, auf die wir uns hier beschr~inken wollen.

5.9.2

SpeckelkorngrSflen

Die Speckelkorngr6flen lassen sich durch eine einfache lJberlegung absch~itzen [109]. Die Linse einer Abbildungsoptik wird von dem Wellenfeld eines Granulationsmusters mit einer zeitlich festen, aber r/iumlich zuf/illigen Verteilung von Phasen ausgeleuchtet. Die charakteristische Skala d des Interferenzmusters wird durch das Aufl6sungsverm6gen der Abbildung bestimmt und erreicht wie in G1.(2.50) das Rayleigh-Kriterium. Wenn die Wellenfronten aus grofier Entfernung auf die Linse fallen, dann werden die aus einer bestimmten Richtung kommenden Strahlen in der Brennebene im Abstand f fiberlagert. Der Durchmesser der Brennflecke kann daher mit einer kreisfSrmigen Linse mit der Apertur D nicht kleiner werden als

d= 1,22Af/D Bei Verringerung der AperturgrSfie wird man also eine VergrSberung des SpeckelMusters erwarten.

Aufgaben

219

A u f g a b e n zu K a p i t e l 5 5.1 I n t e r f e r e n z b i l d des M i c h e l s o n - I n t e r f e r o m e t e r s Das Interferenzmuster am Ausgang eines Michelson-Interfereometers kann man wie folgt verstehen: Ein Beobachter, welcher in den Ausgang blickt, sieht zwei virtuelle Bilder der Lichtquelle, welche in den Eingang des Interferometers eingestrahlt werden. Diese beiden virtuellen Lichtquellen interferieren miteinander und ergeben in der Beobachtungsrichtung je nach (Fehl-) Justierung des Interferometers verschiedene Interferenzmuster. (a) Vollziehen Sie den Strahlengang nach, welcher zum jeweiligen virtuellen Bild gehSrt und erklgren Sie, warum die Entfernung zwischen den beiden virtuellen Bildern 2(ll - 12+ ~/2) betr~gt. (b) nrkl~ren Sie, unter welchen Bedingungen man das Interferenzmuster (a) beobachtet. (c) Ist das Interferometer nicht perfekt justiert, so kann man auch das Interferenzmuster (b) beobachten. Skizzieren Sie, wie in diesem Fall der Strahlengang verlauft und wie die virtuellen Lichtquellen liegen.

Abb. 5.32

5.2 L i n e a l - I n t e r f e r e n z e n Mit einem Laser kann man schSne Interferenzfiguren schon mit einem einfachen Lineal erzielen. Dazu lgBt man den Laser streifend auf das Lineal fallen. Welche Figuren erhalten Sie fiir die ram- und cm-Maxkierungen? Wie ist deren Verhgltnis? ZSllige Lineale werden hgufig mit einer Einteilung nach 1/2, 1/4, 1/8 ... usw. versehen. Wie ~uBert sich der Unterschied? Warum kann man diese Interferenzen mit einer klassischen Lampe nicht beobachten? 5.3 R i n g e a m F a b r y - P e r o t - I n t e r f e r o m e t e r Das klassische Fabry-PerotInterferometer verwendet eine Streuglasscheibe (Abb. 5.13). Die Linse verursacht ringfSrmige Interferenzringe in der Brennebene. Berechnen Sie die Position der Ringe als Funktion der Linsenbrennweite f.

220

5 Koharenzund Interferometrie

5.4 Spiegelqualit~it b e i m F a b r y - P e r o t - I n t e r f e r o m e t e r Oberfl~chenrauhigkeiten der Spiegel verursachen Deformationen der Phasenfronten des reflektierten Lichtes. Sie beeinflussen das Aufi6sungsvermSgen eines Fabry-PerotInterferometers, das durch die Finesse ~ (G1. 5.20) charakterisiert wird. Betrachten Sie als Modell den Einflut3 einer Stufe auf der Spiegelfl~che mit der HShe h. Zeigen Sie, dab ffir h < ~/2~- das Aufl6sungsverm6gen nicht nennenswert beeinflusst wird. 5.5 I n s t a b i l e r konfokaler R e s o n a t o r Finden Sie die Position der konfokalen Resonatoren mit Radien {R1, R2} im Stabilit~tsdiagramm Abb. 1.21 und zeigen Sie, dab sie mit Ausnahme des symmetrischen Falls R1 = R2 instabil sind. Wie unterscheiden sich die beiden Aste? Um wieviel ~ndert der Strahl ffir R1 # R2 nach jedem Umlauf seinen Querschnitt? Wenn man die Finesse als effektive Zahl der Uml~ufe des Lichts im Resonator deutet, kann man auch dem instabilen Resonator eine effektive Finesse zuordnen. Wieviele Uml~ufe werden als Funktion des Radienverh~ltnisses R1/R2 benStigt, um den Strahl auf die doppelte Fl~che aufzuweiten? Instabile Resonatoren spielen in Hochleistungslaser-Systemen eine wichtige Rolle. Sie werden ausfiihrlich in [156] beschrieben. 5.6 Cavity R i n g D o w n S p e c t r o s c o p y In einem Resonator wird die Speicherzeit des Lichts durch die Verluste bestimmt. 0berlegen Sie, welche Beitr~ge neben der Spiegelreflektivit~t R fiir die Verluste noch zu beriicksichtigen sind. Die Zerfallszeit wird durch absorbierende Substanzen - typischerweise einem Gas aus Atomen oder Molekfilen - im Resonatorfeld verkiirzt. Die Substanzen kSnnen mit der Cavity Ring Down Spectroscopy (dt. soviel wie Resonatorabklingzeit-Spektroskopie) nachgewiesen werden. Zeigen Sie, dab die Speicherzeit nach ~- = (~/c)/((1 - R) + as) beschrieben werden kann, wobei die Resonatorl~nge, a der Absorptionskoeffizient, s < ~ die L~nge der absorbierenden Substanz ist. Wie hoch mut3 die Spiegelreflektivit~t sein, damit man bei einer Resonatorl~nge von 50 cm in einen sinnvoll meBbaren Bereich von T > 10#s gelangt? Wie empfindlich ist die Methode fiir den Nachweis von Atomen mit einer starken atomaren Resonanzlinie? (Hinweis: Sch~tzen Sie den Absorptionskoeffizienten a nach G1. 6.18 ab.) 5.7 C o m p u t e r a n a l y s e von V i e l s c h i c h t e n s p i e g e l n Schreiben Sie ein Computerprogramm (Empfehlung: Computer-Algebra Programme wie Maple T M oder MathematicaWM), um G1. 5.28 graphisch als Funktion der Wellenl~nge oder Frequenz auszuwerten. Untersuchen Sie die Breite des bei )~0 zentrierten Reflexionsbandes als Funktion der Zahl der Schichtensysteme. Was finden Sie bei 2A0 und 3~0? Sie kSnnen das Programm erweitern, indem Sie die Dispersion der Materialien beriicksichtigen.

6

Licht und Materie

Abb. 6.1 Elektromagnetische Felder E erzeugen eine Polarisier~ung P in geladener Materie. Die bewegten Ladungen erzeugen ein Strahlungsfeld und wirken dadurch auf die Felder zuriick.

Eine elektromagnetische Welle beschleunigt elektrisch geladene Teilchen in Gasen, Flfissigkeiten und festen KSrpern, sie erzeugt Polarisierungen und StrSme. Die beschleunigten Ladungen verursachen ihrerseits wieder ein Strahlungsfeld, das sich dem eingestrahlten Feld iiberlagert. Zum Verst~ndnis der makroskopischen optischen Eigenschaften kommt man deshalb nicht ohne eine mikroskopische Beschreibung der Polarisierungseigenschaften der Materie aus, die nur mit der Quantentheorie mSglich ist. Dennoch hat die klassische theoretische Physik viele optische Ph~nomene durch ph~tnomenologische Ans~itze erkl~tren kSnnen.

Tab. 6.1 Licht und Materie in der theoretischen Physik II Materie I Licht I Atomare Bewegung I

K

I

K

Klassische Optik

K

Quantenelektronik

Q

K

Quantenoptik

Q

K

Materiewellen

Q

q

K = Klassische Physik; Q = Quantentheorie

222

6 Licht und Materie

Die quantentheoretische Beschreibung der Materie hat zur Entwicklung der ,, Quantenelektronik" (s. Tab. 6.1) geffihrt, in der die elektromagnetischen Strahlungsfelder zunachst noch klassisch, das heit3t mit wohldefinierter Phase und Amplitude, beriicksichtigt werden. Diese Behandlung der Strahlungswechselwirkung wird auch ,,semiklassisch" genannt. Auch die elektromagnetischen Felder miissen aber quantentheoretisch behandelt werden, wenn man Ph~nomene wie die berfihmte Lamb shift verstehen will. Die ,,Quantenelektrodynamik" oder kiirzer QED gilt heute als Modellbeispiel einer modernen physikalischen Feldtheorie. In der ,,Quantenoptik" im engeren SinneI werden speziell die Quanteneigenschaften yon optischen Strahlungsfeldern behandelt [114, 135], zum Beispiel das Spektrum der Resonanzfluoreszenz oder Photonenkorrelationen. Solche Themen werden in Kap. 12 behandelt. Seit Beginn der achtziger Jahre ist es mSglich, durch Laserkfihlung die Bewegung von Atomen zu beeinflussen. Dabei wird deren kinetische Energie sowelt abgesenkt, dab in einem dermai~en gekiihlten Gas ihre Bewegung nicht mehr wie die yon klassischen, punktfSrmigen Teilchen verstanden werden kann, dab vielmehr ihre Schwerpunktsbewegung nach der Quantentheorie behandelt werden mut] und als Materiewelle gedeutet werden kann. Im Exkurs auf S. 186 haben wir diese Erkl~irung schon fiir die Beugung yon Atomstrahlen verwendet. Die Hierarchie der theoretischen Behandlung der Licht-MaterieWechselwirkung ist in Tab. 6.1 zusammengefat3t. Wenn man die Wirkung eines Lichtfeldes auf dielektrische Proben beschreiben will, dann reicht die elektrische Dipolwechselwirkung im Allgemeinen aus, weil sie starker ist als alle anderen Kopplungen, magnetische und Effekte hSherer Ordnung vernachl~sigt werden k5nnen. Die Konzepte der Optik kSnnen aber ohne Probleme erweitert werden, wenn man derartige Ph~nomene theoretisch formulieren will.

6.1

Klassische Strahlungswechselwirkung

6.1.1

Lorentz-Oszillatoren

Ein einfaches und doch sehr erfolgreiches Modell ffir die Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit polarisierbarer Materie geht auf H. Lorentz (1853-1928) zurfick. In diesem Modell werden Elektronen betrachtet, die wie mit einer Federals kleine Planeten harmonisch an einen ionischen Rumpf gebunden sind und Schwingungen bei optischen Frequenzen w0 ausfiihren. Die 1Der BegriffQuantenoptikwird im allgemeinennicht sehr scharf definiert.

6.1 KlassischeStrahlungswechselwirkung

223

klassische Dynamik eines solchen Systems ist wohlbekannt, und der Einflufi des Lichtfeldes /iufert sich als treibende elektrische oder magnetische Kraft, die zus/itzlich zur Bindungskraft FB = --mw2x wirkt. Weiterhin stellen wir uns vor, daft die D/impfung des Oszillators durch die Abgabe von Strahlungsenergie geschieht. Dieses Konzept 1/ift sich in der klassischen Elektrodynamik zwar nicht ganz ohne Widerspriiche verfolgen, fiihrt aber in einer N/iherung auf die A b r a h a m - L o r e n t z - G l e i c h u n g , in der neben der Bindungskraft eine Reibungskraft F R = - m v ( d x / d t ) auftritt, die eine schwache D/impfung (9' << w0) verursacht. An dieser Stelle werden die Grenzen der klassischen Elektrodynamik deutlich [134], denn eine konsistente und korrekte Berechnung von 9' konnte erst mit Hilfe der Quantenelektrodynamik erreicht werden [171]. Vorl/iufig reicht es aus, 9' als ph/inomenologische D/impfungsrate zu betrachten. Zur Vereinfachung benutzen wir die komplexe Schreibweise fiir den Bahnradius, r = x + iy. Wir betrachten die Bewegungsgleichung des getriebenen Oszillators mit der Ladung q, ~: + 9"i" + w ~ r -- q g e - i w t ra

,

(6.1)

unter dem Einfluf eines treibenden Lichtfeldes ~e -iwt, das zirkular polarisiert sei. Mit der Versuchsfunktion r ( t ) = p ( t ) e - ~ t findet man aus der S/ikulargleichung p ( - w 2 - iwg" + w 2) -- q $ / m die station/ire LSsung p(t) -- Po -- const. und qg/m Po = (w~ - w 2) - iwg"

In nahresonanter N/iherung ersetzen wir (w2 - w 2) _~ 2W(Wo- w) -- - 2 w 5 , fiihren den maximalen Radius Pma~ ----qg/mwog" ein und erhalten

9'/2 Po = Pma~ 5 __ i9"/2

Fiir die x- und die y-Koordinaten des getriebenen Oszillators gilt 9" 5 + i9"/2 e _ i W t r ( t ) ---- x + i y ---- Pmax2 52 q- (9'/2) 2

(6.2)

Wir werden noch sehen, daft x und y im Hinblick auf die Ausbreitung yon Licht in polarisierbarer Materie genau den ,,dispersiven" (x) bzw. ,,absorptiven" (y) Anteil der Strahlungswechselwirkung angeben. Die Form der Dispersion und die L o r e n t z - K u r v e der Absorption sind in Abb. 6.2 vorgestellt. Der positiv ansteigende Ast der Dispersionkurve vor der Resonanzfrequenz ist typisch ffir transparente optische Materialien, deren elektronische Anregungen jenseits des sichtbaren Spektrums bei UV-Wellenl/ingen liegen.

224

6 Licht und Materie

Abb. 6.2 ,,Quadratur"-Komponenten des Lorentz-Oszillators, die in Phase (x, absorptiv) bzw. 90~ aufler Phase (y, dispersiv) mit dem treibenden Feld schwingen. Die Auslenkung ist auf den Maximalwert im Resonanzfall bei 5 -- 0 normiert. U m die D~mpfungsrate abzusch~tzen, berechnen wir die Strahlungsleistung n~herungsweise nach der aus der E l e k t r o d y n a m i k bekannten Larmorformel ffir ein geladenes Teilchen, das die Beschleunigung a erf~hrt, Pr~d -- _ ~ 1 2q___2 2 a2 4~reo 3C3

(6.3)

Die dadurch verursachte D~mpfungwird als Strahlungsriickwirkungbezeichnet und wurde in GI.(6. i) schonphKnomeno]ogischberiicksichtigt.Wir berechnen die Energietransferratedes freien Lorentzoszillator an das Strahlungsfeld (--Prod) aus Gl.(6.1) durch Multiplikation mit ~: +

+ m T r 2 = P~d + mT§ 2 = 0.

Wenn die D~mpfung sehr schwach ist (w0 >> 7), kSnnen wir annehmen, daft wahrend einer Oszillationsperiode 2~r/Wo die A m p l i t u d e n ~ n d e r u n g von r vern a c h l ~ s i g b a r ist. Dann k6nnen wir/~ = w~r u n d § = wor ersetzen, u n d der Vergleich des Energieverlustes durch Reibung bzw. Abstrahlung nach (6.3) ergibt 7-

q2w~ 6~reocam

und

3eOA3s 4~r2q

Pmax -

(6.4)

- -

Dieses Resultat wird h~iufig verwendet, u m den sogenannten klassischen Elektronenradius [55, 134] einzuffihren, mit q -- - e : re]-

e2/47~e~ - 1.41 • 10-15m 2mc2

mit

~/-

4 relC A2 . 3

Damit k6nnen wir das komplexe Dipolmoment eines einzelnen Teilchens aus

6.1 Klassische Strahlungswechselwirkung

225

d = qr nach G1.(6.2, 6.4) gewinnen,

3A3 i + 25/9" d(t) = qr(t) = 47r2 1 + (25/9') 2 e~

(6.5)

Hgufig wird auch die Polarisierbarkeit a verwendet. Sie ist definiert durch d(t) = a $

Sowohl in der x- als auch der y-Komponente tritt zwischen elektrischem Feld und Dipolmoment eine PhasenverzSgerung r auf, die nur v o n d e r D~mpfungsrate 9' und der Verstimmung 5 -- -(w0 - w) abh~ngt (Abb. 6.3), r = arctan 9'/25

(6.6)

Die Phasenlage zeigt das bekannte Verhalten eines getriebenen Oszillators, niimlich gleichphasige Anregung bei zu kleinen (,,roten") Frequenzen, 90 ~ Nachlauf im Resonanzfall und Gegentakt bei zu hohen (,,blauen") Frequenzen.

Abb. 6.3 Phasenlage des Lorentz-Oszillators im eingeschwungenen Zustand: Bei kleinen Frequenzen schwingen treibendes Feld und Dipol in Phase, im Resonanzfal115uft der Dipol dem Feld um 90~ bei groflen Frequenzen schwingt er gegenphasig.

Aus Gl.(6.1) k6nnen wir auch die zeitabhiingige Gleichung fiir p(t) gewinnen. Wir nehmen an, daft sich p(t) nur langsam ~ndert, d.h. ~ << w/~ etc., und erhalten dann niiherungsweise 2row ' wobei wir auch noch iw + 9'/2 --~ iw verwendet haben. Dieses Gleichungssytem besitzt schon grofe Ahnlichkeit mit dem Ergebnis der Quantenmechanik, das wir auf S. 241 diskutieren: Dort werden wir Blochvektor-Komponenten finden, die grofle formale .~hnlichkeit mit den hier eingeffihrten Dipolkomponenten (u, v) besitzen, wenn wir p -- u + iv setzen: it= 0 =

5v- ~u -Su- ~v-

~ q$

(6.7)

226

6 Licht und Materie

W i r k S n n e n diese G l e i c h u n g n o c h u m d 2 + v 2) ---- --')'(u 2 + v 2) ~-~(u

-

- q- $v

m02

(6.8)

e r g ~ n z e n u n d e r h a l t e n d a m i t eine B e z i e h u n g , die die A n r e g u n g s e n e r g i e des S y s t e m s b e s c h r e i b t u n d z u r d r i t t e n o p t i s c h e n B l o c h g l e i c h u n g fiir die w - K o m p o n e n t e d e r n e s e t z u n g s z a h l d i f f e r e n z (s. G1.(6.32)) a n a l o g ist. Exkurs: L o r e n t z - O s z i l l a t o r i m m a g n e t i s c h e n Feld

Wenn ein magnetisches Feld die Bewegung der Ladung beeinfluBt, dann tritt in der Bewegungsgleichung (6.1) auch die Lorentzkraft auf, die hier F L o r : q• x B lautet. Wenn ihr EinfluB auf die Dynamik gering ist, ]qB]/m << w0, dann verursachen die Anteile des magnetischen Feldes in der xy-Ebene eine Drehung der Bahnebene, w~ihrend die Bz-Komponente die Eigenfrequenz des Oszillators modifiziert. Die vollst~ndige Bewegungsgleichung lautet nun ]5 + 7P + w2 P = q (~ + i/SBz) e - i w t m

(6.9)

Die LSsung suchen wir mit denselben Mitteln wie vorher und erhalten mit der LarmorF~equenz WL = q B z / 2 m

die GleichgewichtslSsung pm~,7/2

p0 = (~0 - ~L -- ~) -- i7

(6.1o)

In G1.(6.2-6.5) muB man daher lediglich die Eigenfrequenz Wo durch den modifizierten Wert wo - wL ersetzen und die Ergebnisse ansonsten iibernehmen. Mit dieser Theorie konnte H.

Lorentz den Zeeman-Effekt, die Verschiebung und Aufspaltung atomarer Resonanzlinien durch ~iufiere Magnetfelder, deuten. Wir wollen noch die Wirkung eines transversalen Magnetfeldes auf die Bewegung des Elektrons studieren. Dazu multiplizieren wir G1.(6.9) mit x x und erhalten dabei eine neue Gleichung fiir den elektronischen Drehimpuls L -- m x x ~. Genau genommen ergibt m x x (• B) -LxB + m• aber bei statischen Feldern verschwindet der zweite Term, bei Wechselfeldern entspricht er einer relativistischen Korrektur erster Ordnung ( v / c ) d • E und kann vernachl~issigt werden: dL+TL--

d•

qL•

Man erkennt an dieser Gleichung, daft sowohl das zirkular polarisierte elektrische Lichtfeld als auch ein transversales statisches Feld (B • L) eine Drehung des elektronischen Bahnmoments verursachen kSnnen. Der erstere Fall wird in der Spektroskopie gewShnlich als ,,optisches Pumpen" [68] bezeichnet, der zweite Fall tritt beim Hanle-Effekt [38] auf, s. Aufg. 6.1.

6.1 Klassische Strahlungswechselwirkung

6.1.2

227

M a k r o s k o p i s c h e Polarisierung

Die makroskopische Polarisierung P(r, t) haben wir schon in Abschnitt 2.1.2 eingefiihrt, um die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in einem dielektrischen Medium zu beschreiben. Vom mikroskopischen Standpunkt setzt sich eine Probe aus den mikroskopischen Dipolmomenten von Atomen, Molekfilen oder Gitterbausteinen zusammen. Das ,Nahfeld" der mikroskopischen Teilchen spielt fiir die Ausbreitung des Strahlungsfeldes, das stets ein ,,Fernfeld" ist, keine Rolle. Wenn sich in einem Volumen N mikroskopische Dipole, z.B. polarisierbare Atome befinden, ist die makroskopische Polarisierung im einfachsten Fall das Produkt aus Teilchendichte N / V und mikroskopischen Dipolmomenten d, N

N

P = ~ p = ~ d (u +iv)

(6.11)

Dabei wird das Volumen V groff gegeniiber molekularen Langensknlen (z.B. dmoz < 5)[) und auch dem mittleren Volumen eines einzelnen Teilchens gewiihlt. Wenn die riiumliche Verteilung der Dipole, d.h. die Polarisierungsdichte p(r) bekannt ist, kann man auch schreiben

N fJv p ( r - r', t)dar, P(r, t) = V In unserem klassischen Modell h~ngen die Fourieramplituden der Polarisierung P = .T{P} und des Treiberfeldes g linear zusammen,

P(w) = eoX(W)g(w)

,

(6.12)

und man gibt die Suszeptibilitiit X(W) = X'(w) + ix"(w) an, wobei wir die Bezeichnungen yon G1.(6.5) benutzen, X'(5)

-

X"(5) =

N 3A3 25/7 V "4-fi~ 1 + (25/7) 2 N 3A3 1 V'471+ (25/7) 2

und (6.13)

Weft das zeitliche Verhalten der Polarisierung auch durch Einschwing-Prozesse gekennzeichnet ist, hiingt sie im allgemeinen v o n d e r Feldstiirke auch zu friiheren Zeiten ab. Das wird im Zeitbild deutlicher,

P(r,t) = co

F x(t-

t')E(r,t')dt'

,

O0

wobei x(t - t') = 0 ffir (t - t') < 0 gelten muff, damit die Kausalit~it nieht verletzt wird. Dabei zeigt sich aueh die w6rtliehe Bedeutung yon ,,Suszeptibilit/it" oder ,,Naehwirkung". Wir wollen fiir unsere Zweeke aber annehmen, daff wir Relaxationsprozesse, die in einem FestkSrper auf der PikosekundenSkala oder schneller ablaufen, vernachliissigen und damit eine nur instantane

228

6 Licht und Materie

Wechselwirkung annehmen kSnnen. 2 Nach dem Faltungstheorem der Fouriertransformation ist der Zusammenhang im Frequenzraum nach G1.(6.12) viel einfacher. Die ,,dielektrische Funktion" (G1.(2.4)) e0a(w) = e0(1 + X.(w)) und die Suszeptibilit~t sind genauer Tensoren zweiter Stufe, z.B. Xij = O'Pi/OCj, und reflektieren die Anisotropie realer Materialien. Die magnetische Polarisierung kann bei optischen Ph~inomenen meist vernachl~issigt werden (pr ~ 1), d.h., magnetisches Feld B und magnetische Erregung H sind bis auf einen Faktor identisch, H = B/#0. Die Wellengleichung nimmt zwar nur in einem isotropen ( V - P = 0) und nach G1.(2.4) linearen Medium eine einfache Form an, aber in diesem wichtigen~ h~iufig realisierten Spezialfall treibt offenbar die Polarisierung die Welle an: V2E

1 02 c2 ot~E

1 02 eoC2 ot2P

-

(6.14)

Lineare Polarisiertmg und makroskopischer Brechungsindex Wenn die Polarisierung nach G1.(6.12) linear v o n d e r Feldst~rke abh~ngt, dann kann die Modifikation der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Dielektrikum, c 2 ~ c2/a(w), mit gem makroskopischen Brechungsindex n(w) beriicksichtigt werden (s. G1. (2.14)): V2E

n2(w) 02

c2 Or2 E -- 0

(6.15)

Nach G1.(6.12) gilt E + "P/co = (1 + X(w))E = n2(w)$ mit n2(w) = a(w) = 1 + X(w) Dabei vereinfacht sich der Zusammenhang zwischen dem komplexen Brechungsindex n = n' +in" und der Suszeptibilit~t X erheblich, wenn z.B. in verdiinnter Materie wie in einem Gas die Polarisierung sehr klein ist, IX(w)l<< 1:

n' ~- 1 + Z'/2

n" ~- X"12

oder u --~ 1 +

N 3A3 i + 25/7 v

21 +

2

(6.16)

Durch eine Messung des makroskopischen Brechungsindex kSnnen also mikroskopische Eigenschaften des Dielektrikums bestimmt werden, die eine theoretische Behandlung nach der Quantenmechanik erfordern. Wit kSnnen aus 2Mit den Methoden der Femtosekunden-Spektroskopiekann man sogar diese sehr schnellen Relaxationsph~inomeneseit einiger Zeit im Zeitbereich studieren.

6.1 Klassische Strahlungswechselwirkung

229

G1.(6.16) auch die Teilchendichte nach (N/V)3Aa/87r 2 > 0, 1 abschgtzen, bei der wir den Grenzfall dfinner Medien sp~testens verlassen. Bei optischen Wellenlgngen (A -~ 0,5 #m) findet dieser 0bergang schon bei der relativ geringen Dichte von N / V ~ 1014 cm -3 statt, die wir bei Raumtemperatur in einem idealen Gas mit einem Vakuum-Druck von nur 10 -2 mbar in Verbindung bringen. Die LSsung ffir eine ebene Welle nach G1.(6.15) lautet E(r, t) = Eoe - i ( w t - n ' k .

r)e-n"k, r

Die Ausbreitung findet nicht nut bei ver~nderter Phasengeschwindigkeit V p h = c / n ~ statt, sondern wird aut3erdem nach dem Beerschen Gesetz in z-Richtung mit dem Absorptionskoeffizienten a = 2n"kz exponentiell gedgmpft, I ( z ) = I(O)e - 2 n ' k z z

(6.17)

= I(O)e - a z

Wir haben niimlich nach G1.(6.16) n " , x " > 0 fiir gewShnliche Dielektrika gew~ihlt; wie wir noch sehen werden, kann man in einem ,Lasermedium"auch durchaus n ~, X" < 0 und damit die Verst~rkung einer optischen Welle erreichen. Wir wollen noch kurz der Frage nachgehen, ob wir einem einzelnen mikroskopischen Dipol einen Brechungsindex zuschreiben kSnnen. Dazu formulieren wir den Absorptionskoeffizienten noch einmal um nach a = 2n"k = N 3~ 2

y

1

1+

= N

aQ

(6.18)

y 1 + (25/9")2

Die Wirkung eines einzelnen Atoms wird also durch einen resonanten Wirkungsquerschnitt von aQ = 3A2/27r

bei

5= 0

(6.19)

bestimmt. Wenn es uns nun gelingt, ein einzelnes Atom auf ein Volumen vom Durchmesser der Wellenl~inge zu beschrgnken (V -~ )~2z, die longitudinale Ausdehnung spielt hier keine Rolle), dann wird ein Laserstrahl, der auf dieses Volumen fokussiert wird, eine starke Absorption erfahren. Ein solches Experiment ist an einem gespeicherten Ion ausgeffihrt worden [174]. Bei der Verstimmung 5 = -4-9,/2 kann ein einziges Atom auch eine met3bare Phasenverschiebung 50 = -4-1/8~r verursachen.

Absorption und Dispersion in diinnen Medien Manchmal ist es ntitzlich, die Wirkung der Polarisierung auf die Amplitude einer elektromagnetischen Welle bei der Ausbreitung in einem dielektrischen

230

6 Licht und Materie

Medium direkt zu betrachten. Dazu nehmen wir die eindimensionale Form der Wellengleichung (6.14), ( 02102 )

~zz2

c2~-(2 8(z) e - i ( w t - k z ) -

1 ot2P(z)~-i(~t02 ~oc2

kz)

,

wir legen die Frequenz w -- ck lest ffir IE(z,t)l -- 8(z)e -i(~t-kz) und nehmen aut3erdem an, dat3 sich die Amplitude bei der Wellenausbreitung nur langsam (auf der Skala einer Wellenl~nge) ~ndert:

028(2)

O8(z) <<

Oz 2

k

Dann gilt mit 02/Oz218(z)e ik~] ~ eikZ[2ik~ lengleichung

k218(z) n~herungsweise die Wel-

~02

s

[2ikO-k2+~218(z)--

~)( z )

die sich wegen k = w/c welter vereinfacht zu

~p(z)

(6.20)

~zE(Z) = ik

Wir betrachten nun die elektromagnetische Welle mit reeller Amplitude und Phase, 8 ( z ) = ,A(z)e ir und berechnen

, , de*(z) [z) dz 8*(z) dS(Z)dz

dA ~a2 dO = A---d-z+ ~ dz __ A_d_~dA_ iA2dO _

~kop*(z)8(~) ~p(z)8*(~)

Daraus k6nnen wir nun die .~nderung der Intensit~t I(z) = ~ce0A 1 2 einer elektromagnetischen Welle bei der Ausbreitung im polarisierten Medium nach

dzI(Z) = ~.~.~{8(z). p*(z)} und die Phasenverschiebung nach d ~0

~r

- 2/((z)~e{E(z). p*(z))

bestimmen. Der Absorptionskoeffizienten a und der Realteil des Brechungsindex n ~ lassen sich dann OZ

nI - 1 =

nach

1 dI(z) I(z) dz 1 dO(z) ~----d~

-

-

2~z)'~m{E(~) p*(~)} 2 f - ~ { e ( z ) . p*(z)}

(6.21)

auf naheliegende Weise berechnen. Selbstverst~ndlich erhalten wir wieder die Ergebnisse aus dem Abschnitt fiber den linearen Brechungsindex, wenn wir den

6.1 Klassische Strahlungswechselwirkung

231

linearen Zusammenhang nach G1. (6.12) annehmen. Die hier entwickelte Form erlaubt aber auch, nichtlineare Zusammenh/inge zu untersuchen und wird uns im Kapitel fiber nichtlineare Optik (Kap. 13) nfitzlich sein. D i c h t e dielektrische M e d i e n u n d Nahfelder Sicher machen wir in einem dfinnen Medium keinen grofien Fehler, wenn wir das durch die Polarisierung zus~itzlich erzeugte Feld der Probe vernachl/issigen. Das ist aber in Flfissigkeiten oder FestkSrpern nicht mehr der Fall. Um das ,,lokale Feld" der Probe zu bestimmen, schneiden wir eine fiktive Kugel mit einem Durchmesser dAtom << dKugel <~ )~ aus dem Material mit ,eingefrorener" Polarisierung heraus (Abb. 6.4).

Abb. 6.4 Beitr~ge zum lokalen elektrisehen Feld in einem dichten Medium. Fiir eine transversale Welle verschwinden die Oberfliichenbeitriige bei senkreehtem Einfall.

Um das mikroskopische lokale Feld Elok am Ort eines Teilchens zu bestimmen, zerlegen wit es in die Beitr/ige Elok ----Eext q- Eob + ELor + ENah Sie h/ingen v o n d e r unterschiedlichen Geometrie und Beschaffenheit der Probe ab und werden in ihrer Summe auch als ,,entelektrisierendes Feld" bezeichnet, weil sie das externe Feld normalerweise schw/ichen: 9 Eob: Das Feld der Oberfl/ichenladungen wird durch die Oberfl/ichenladungsdichte POD ----n - P ( r o b ) verursacht. Es verschwindet ffir eine Welle unter senkrechtem Einfall; 9 ELor: Feld der Oberfl/iche einer fiktiven Hohlkugel, die aus dem Volumen herausgeschnitten wird (auch als ,,Lorentz-Feld" bezeichnet); bei homogener Polarisierung gilt ELor = P/3c0; 9 ENah: Feld der elektrischen Ladungen in der Kugel; ffir isotrope Medien gilt ENah = 0; Aus P -- eoXElok ---- CoX(E + P/e0) erhalten wir dann durch Einsetzen die makroskopische Volumensuszeptibilit/it Xy ffir ein isotropes und lineares Material, X V(O..; ) _

1 OPi eo OEj

_

X i

- X/3

232

6 Licht und Materie

Daraus l~fit sich durch Umordnen die Clausius-Mossotti-Gleichung gewinnen, die den Einflut3 des entelektrisierenden Feldes auf den Brechungsindex des Materials mit der Dichte Af = N / V wiedergibt, n2 - 1 Afq 2 1 3n2 + 2 -- X = eo----m(w2 - w 2) - i w 7

(6.22)

Ffir kleine Polarisierungen X/3 << 1 und in Resonanzn~he (w -~ w0) geht G1.(6.22) wieder in G1.(6.16) fiber. Nun besitzen realistische polarisierbare Substanzen nicht wie der hier betrachtete Lorentz-Oszillator nur einen Freiheitsgrad der Schwingung, sondern sehr viele. Wir kSnnen das Lorentz-Modell aber ffir ein nicht zu starkes Feld erweitern, indem wir viele Oszillatoren mit verschiedenen Resonanzfrequenzen Wk und D~impfungsraten 7k linear fiberlagern und mit ihrem relativen Beitrag, der ,,Oszillatorst~irke"fk, wichten, n 2 - 1 _ Afq2 v " fk 3n2 + 2 c0m ~ ( w ~ - w 2 ) _ i w ~ Selbst wenn die Feldst~rke sehr grofi wird, kSnnen wir mit den eingeffihrten Konzepten noch weiterarbeiten, wenn wir eine nichtlineare Suszeptibilit~t einffihren. Dieser Fall wird im Kap. 13 fiber Nichtlineare Optik behandelt. Die dimensionslose Oszillatorst~rke erlaubt einen einfachen 0bergang zur quantenmechanisch korrekten Beschreibung der mikroskopischen Polarisierung. [158] Dazu muff man lediglich das Dipolfibergangs-Matrixelement qrkg = q(r zwischen Grundzustand leg) und angeregten Zust~nden ICk) des Systems verwenden:

fka -- 2mwkglrkgl2 h Dabei mfissen wir keine Voraussetzungen fiber die Natur des Zustandes machen, es kann sich um atomare und molekulare Anregungen, aber z.B. auch um optische Phononen oder Polaritonen in einem FestkSrper handeln. Genau genommen wird durch diesen Zusammenhang der Erfolg des klassischen Lorentz-Modells ffir einfache Atome gerechtfertigt: In Atomen befolgen die Oszillatorst~rken die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel ~k fkg = 1; ffir die niedrig liegenden atomaren Resonanzlinien, wie z.B. die bekannten Dubletten der Alkali-Spektren, gilt schon f ~ 1; die iibrigen Resonanzlinien miissen daher wesentlich schw~cher sein.

6.2 Zwei-Nivean-Atome

6.2

Zwei-Niveau-Atome

6.2.1

Gibt es A t o m e mit n u t zwei Zust

233

inden?

Abb. 6.5 Abstrakte und realistische Zwei-Niveau-Atome Links: Calcium-Atom. Ein a +polarisiertes Lichtfeld koppelt nut die Zustiindc mit den Drehimpuls-Quantenzahlen ]g) = IF, mR) = IO, O) und ]e) = ]1, 1). Rechts: Natrium-Atom. Ein zirkular polarisiertes Lichtfeld (a +) ,,pumpt" die gatrium-Atome in die dufleren IF, mR) ----12,• die mit a• nur an die 13, • ankoppcln. In der Q u a n t e n m e c h a n i k beschreiben wir die Atome durch ihre Zust~nde. Im einfachsten Fall koppelt ein Lichtfeld einen G r u n d z u s t a n d Ig) an einen angeregten Zustand le). Dieses Modellsystem l~fit sich theoretisch gut behandeln u n d ist besonders geeignet fiir das Verst~ndnis der Wechselwirkung von Licht u n d Materie. Selbst einfache, leicht zu beherrschende u n d fiir experimentelle Untersuchungen h~ufig verwendete Atome wie die Alkali- oder Erdalkali-Atome weisen jedoch schon im G r u n d z u s t a n d eine komplizierte Struktur mit vielen Zust~nden a u f ) Gelegentlich ist es aber mSglich, Atome so zu pr~parieren, daft nur noch zwei Zust~hade an das Lichtfeld ankoppeln. Das Calcium-Atom besitzt einen nicht entarteten Singulett-Grundzustand (1S1, g = 0, m = 0). Durch ein Lichtfeld der Wellenl~nge 423 n m u n d Wahl der Polarisation (a • 7r) kSnnen drei verschiedene Zwei-Niveau-Systeme durch Kopplung an die (1pl,g -- 1, m -- 0,-4-1)Zust~nde pr~pariert werden. Das beriihmte gelbe Dublett des N a t r i u m - A t o m s ()~ = 589nm) hat in expe3Die reiche Struktur wird durch die Kopplung der magnetischen Bahn- und Spinmomente von Elektron und Kern verursacht. Bei niedrigliegenden Zust~nden betragen die Aufspaltungen 100 - 10000 MHz. Details erf~hrt man in Lehrbfichern fiber Quantenmechanik [37] oder Atomphysik.[175]

234

6 Licht und Materie

rimentellen Untersuchungen eine grofie Rolle gespielt, obwohl es wegen des Kernspins von I -- 3/2 einen hohen Gesamtdrehimpulses F -- 1, 2 schon im 2S1/2-Grundzustand besitzt u n d eine reiche magnetische U n t e r s t r u k u r aufweist. Durch das sogenannte ,,Optische P u m p e n " [68] mit a+-polarisiertem Licht kann m a n aber alle Atome eines Gases z u m Beispiel in den Zustand mit den Quantenzahlen F -- 2, mF ---- 2 befSrdern. Dieser Zustand wird dann durch dieses Lichtfeld nur noch mit d e m F ~ -- 3, mF, ---- 3 Unterzustand des angeregten 2p3/2-Zustands gekoppelt, a Diese effektiven ,Zwei-Niveau-Atome", deren Liste sich fortsetzen lieBe, spielen eine gro•e Rolle bei physikalischen Experimenten, weil sie das einfachste Modell eines polarisierbaren physikalischen Systems sind, u n d weil die Strahlungswechselwirkung dabei auf ihren einfachsten mSglichen Fall reduziert wird.

6.2.2

Dipolwechselwirkung

Das ,,freie Atom" der Masse M beschreiben wir mit d e m Hamiltonoperator HAt, d e r n u r den G r u n d z u s t a n d [g) u n d den angeregten Zustand [e) besitzt. Wit lassen der Vollstandigkeit halber eine beliebige Schwerpunktenergie E0 = P2 / 2 M zu, HAt

-

-

p2 hWo 2 M + ~ (le)(el - Ig)(gl)

(6.23)

Die Snergie des Atoms betr~gt E~ = (elSitle) = Eo + hWo/2 im angeregten u n d Eg -- E o - hwo/2 im Grundzustand. Die Resonanzfrequenz des Atoms gibt den Snergieabstand der beiden Zust~nde an, Wo = ( E ~ - Eg)/h. Den Dipoloperator Vdip gewinnen wir durch Analogieschlut3, indem wir die Beitr~ge zur klassischen Energie eines Dipols im elektrischen Feld zu Operatoren erheben. Fiir den elektronischen Ortsoperator ~ erhalten wir 5 Vdip ---- - q ~ E In einem realistischen Experiment miissen wir stets die genaue geometrische Orientierung von A t o m u n d elektrischem Feld beriicksichtigen. Wir vernachl~si4In der Realitgt ist die zirkulare Polarisation niemals perfekt. Geringe Beimischungen von a--Licht im a+-Licht verursachen aber z.B. Anregungen mit A m F ---- --1 und begrenzen dadurch die ,Qualitgt" des Zwei-Niveau-Atoms. SEine strenge Analyse nach der Quantenmechanik ergibt das Produkt aus elektronischem Impuls und elektromagnetischem Vektorpotentia115A. Man kann aber zeigen, dab ~E in der Nfi~hevon Resonanzfrequenzen zum selben Ergebnis fiihrt.[147]

6.2 Zwei-Niveau-Atome

235

gen aber diesen geometrischen Einflufi fiir unsere Betrachtungen zum ZweiNiveau-Atom und reduzieren das Problem auf nur eine Dipolkoordinate d -- q~, Ydip : -d~0 cos wt

Mit der Vollst~indigkeitsrelationder Quantenmechanik k6nnen wir den Ortsoperator auf die beteiligten Zust~inde projizieren ((i[d[i) -- 0): d=

>< i IJi>< i

Wir nutzen das Matrixelement deg = (eldlg) des Dipoloperators. Mit der Definition yon atomaren Auf- und Absteigeoperatoren, a = Ig}(el und a t --le)(gl

schreiben wir (6.24)

= dega r + d*ga

Mit diesen Operatoren kbnnen wir den atomaren Hamiltonoperator und den Dipoloperator schon sehr kompakt ausdriicken,

(

HAt --

2----M§ hWo a t a -

l~Zdip

--

:

(6.25)

,

(dega t ~- d*ga) Eo cos wt

Aus den atomaren Feldoperatoren lassen sich durch Linearkombination PauliOperatoren erzeugen, die bekanntlich ein Spin-1/2-System mit nur zwei Zust~inden beschreiben, ax

:

f i t -I- f f

ay (Tz

= :

-i((Tt - (7) (7t(7--(7(7 t

:

[(7t,(7]

Wir werden sehen, daft wir die Erwartungswerte von (Tx und (Ty als Komponenten der atomaren Polarisierung, (7~ als Besetzungszahldifferenz oder ,,Inversion" interpretieren kSnnen. Insbesondere hat der Hamiltonoperator aus G1.(6.25) mit ((7t(7- 1/2) : ((7~ + 1)/2 die Form eines Spin-1/2-Systems im magnetischen Feld: p2

HAt

-

-

hWo

2M + 2 -

((7~ + 1)

(6.26)

Generell kann jedes Zwei-Niveau-Atom kann als Pseudo-Spin-System beschrieben werden und zeigt eine vollkommen analoge Dynamik. Die Pauli-Operatoren haben in der Matrizendarstellung die Form (Tx=

(01) 1 0

(Ty=

i

0

(7~=

(1 0) 0

-1

236

6 Licht und Materie

und befolgen u.a. die hilfreiche Relation [ai, aj] = 2iak bei zyklischer Vertauschung der Koordinaten xyz. Aut]erdem gilt at

=

~(ax+iay) -

,

ion)

Die Bewegungsgleichung der Operatoren wird nach der Heisenberggleichung, 0

i

d i = -~a, + -~[H, a,] gewonnen. Dazu schreibt man den Hamiltonoperator zweckm~Big in der Form H = hw0

1 d

*

i (dog - d*g)C0 cos wtay

,

wobei wir konstante Anteile aus (6.26) fortgelassen haben. H~ufig kann man reelle Werte fiir d~g w~hlen. Dann f~llt der ay-Term weg und man kann einfach schreiben hw0 H = --~-a~ - deg$o cos wt a~ Wenn die Operatoren nicht explizit zeitabh~ngig sind, erh~lt man als Ergebnis ein Gleichungssystem, das als Mathieusche Differentialgleichungen beknnnt ist, O:x ~

--~M00-y

dy = woax O:z ~ - ~

2d go

~

coswt az

(6.27)

COS~dt O'y

Man l~nn leicht zeigen, dab sich nur die Richtung, nicht aber die Gr6t3e des Drehimpulses unter der Einwirkung des Lichtfeldes ~ndert, es gilt wie ffir die Pauli-Matrizen 0~ + ay2_~_ a z2 = 1.

6.2.3

Optische

Blochgleichungen

Wir haben bisher die Entwicklung atomarer Operatoren unter dem Einflut3 eines Lichtfeldes betrachtet. Wir kSnnen in der semiklassischen Betrachtung zu Erwartungswerten S~ = (ai) iibergehen 6 und erhalten dabei wieder das Gleichungssystem (6.27), nur mit komplexen Zahlen bzw. Funktionen [3]. Um zu geeigneten LSsungen zu gelangen, ist es sinnvoll, die Entwicklung neuer GrSt]en 6Es treten keine Operatorprodukte auf, die wegen Nichtvertauschbarkeit typisch quantenmechanische Eigenschaften hervorrufen kSnnten.

6.2 Zwei-Niveau-Atome

237

in einem Koordinatensystem zu betrachten, das sich mit der Lichtfrequenz w um die z-Achse, d.h. mit der Polaxisierung dreht, S~=ucoswt-vsinwt

,

Sy = u sin w t + v cos w t

,

Sz = w

Diese h~iufig verwendete Naherung wird ,,Drehwellennaherung" (engl. r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n , R W A ) genannt. Die Gr56en (u, v) beschreiben die sinund cos-Komponenten des induzierten elektrischen Dipolmoments, w bezeichnet die Differenz der Wahrscheinlichkeiten, das Atom im oberen (w = +1) bzw. unteren Quantenzustand (w = - 1 ) zu finden. Die physikalische Relevanz dieser Gr56en und den engen Zusammenhang mit dem klassischen LorentzModell aus Abschn. 6.1.1 erl~utern wir noch n~iher in Abschn. 6.2.4 - 6.2.7. Mit der Verstimmung 5 -- w - w0 erhalten wir nach einigem Rechnen it = 5v -- ~

~)

sin 2 w t w

--Su -- - e ~ 0 (1 + cos 2 w t ) w

,

Bei gewShnlichen optischen Prozessen spielen die mit 2 w t sehr schnell oszillierenden Beitr~ge nur eine geringe Rolle (sie verursachen die sogenannte B l o c h - S i e g e r t - V e r s c h i e b u n g ) und werden daher vernachlassigt. Wir fiihren die R a b i f r e q u e n z a a = JdegC0/hJ

(6.28)

ein und erhalten die unged~mpften optischen Blochgleichungen, die ursprfinglich von F. Bloch (1905-1983) fiir die magnetische Resonanz gefunden worden waxen, um dort die Wechselwirkung eines magnetischen Moments mit dem Spin 1/2 und einem Hochfrequenzfeld zu beschreiben: i~ = 5v

Abb. 6.6 LSsungen zu (6.29) mit (u, v, w)(t = 0) = (0, 0,-1). Mit wachsender Verstimmung wdchst die Rabifrequenz wobei die Amplitude der Besetzungszahloszillationen abnimmt. Siehe auch Abb. 6.8.

,

i~ = - S u + f l a w

,

(6.29)

(v = - ~ R v

Das Gleichungssystem (6.29) beschreibt in exzellenter N~herung das Verhalten eines magnetischen Dipolfibergangs, z.B. zwischen den Hyperfeinzust~nden

238

6 Licht und Materie

eines Atoms. Auch wenn die Verstimmung 5 nicht verschwindet, tritt eine verallgemeinerte Rabioszillation mit der Frequenz

auf. Allerdings wird die Amplitude der Besetzungszahloszillation mit wachsender Verstimmung immer kleiner. Fast alle Begriffe der koh~renten Optik sind deshalb aus der Elektronen- und Kernspinresonanz entlehnt. Man kann das Gleichungssystem (6.29) kfirzer schreiben, indem man den Bloch-Vektor u -- ( u , v , w ) und ~ -- (~ta,0,5) verwendet: fl = - ~

6.2.4

• u

(6.30)

Pseudo-Spin, Pr[izession und Rabi-Nutation

Jedes quantenmechanische System, das sich durch zwei Zust~nde beschreiben l~t3t, l ~ t sich analog zum Spin-1/2System verstehen (,PseudoSpin"), das nur die ,,auf"Abb. 6.7 Prgzession und Nutation eines Gyromagne- und ,,ab"-Zust~nde kennt. Die ten (Kreisel mit magn. Dipolmoment). Der Pseu- Energieaufspaltung entspricht dospin eines Zwei-Niveau-Atoms zeigt analoge Be- der Pr~zession des zugehSriwegungen, wobei die z-Komponente mit der Besetgen magnetischen Moments im zungszahldifferenz w, die transversalen Komponenten mit den Polarisierungen u und v identifiert wer- aufieren Magnetfeld, und eine zus~tzliche ~ut3ere Kraft (in der den. Magnetresonanz das transversale magnetische Wechselfeld, hier das elektrische optische Wechselfeld) verursacht Nutation zwischen diesen Zust~nden. Die longitudinale z-Richtung wird mit der Besetzungszahldifferenz w, die transversale Richtungen mit den Polarisierungskomponenten u, v identifiziert. Tab. 6.2 Vergleich des Spin-1/2-Systems mit dem Bloch-Vector. Transversale Komponenten Longitudinale Komponente

Spin 1/2 x, y z

Bloch vector u, v w

Polarisierung Besetzungszahldifferenz

Wir betrachten spezielle L6sungen der optischen Blochgleichungen (6.29), um die physikalische Dynamik des Zwei-Niveau-Systems zu analysieren. Besonders leicht ist der Resonanzfall zu bestimmen: Dort ist die Verstimmung 5 -- 0. Die Besetzungszahldifferenz w und die v-Komponente der Polarisierung ffihren

6.2 Zwei-Niveau-Atome

239

eine Oszillation mit der Rabifrequenz nach G1.(6.28) aus. Ein Atom mit einer optischen Anregungsfrequenz befindet sich bei thermischen Energien i. Allg. im Grundzustand, deshalb gilt gewShnlich w(t = 0) = - 1 und

v(t)---- - - s i n ( ~ a t ) =

-cos(

,

t)

Dabei schwingt das atomare System bei ~ a t = ~r in den vollst~indig ,,invertierten" Zustand mit w = +1! Ein elektrischer Feldimpuls, dessen Amplitude und L~nge gerade so bemessen sind, daft ~ a t = ~, wird deshalb als Pi-Puls bezeichnet. Sie spielen eine wichtige Rolle, um 0berlagerungen quantenmechanischer Zustande zu praparieren, z.B. fiir die Ramsey-Spektroskopie (s. Aufg. 11.3).

Abb. 6.8 Dynamik des Blochvektors: (a): Ft = (fiR, 0,0); (b): ~ = ( 0 , 0 , 5 ) ; (c): ~ =

( ~ , O,~).

6.2.5

Mikroskopischer

Dipol und Ensemble

Wie beim klassischen Lorentzmodell mfissen wir wieder den l)bergang vom mikroskopischen Modell zur makroskopisch met3baren physikalischen GrSfie finden. Aus der Quantenmechanik ist bekannt, dat3 die Berechnung yon Erwartungswerten Wahrscheinlichkeiten liefert, die das Meflergebnis an einem Ensemble mit vielen Teilchen vorhersagen. So bestimmt die Anzahl der Atome (oder sonstigen polarisierbaren Teilchen) im angeregten (N~) bzw. im Grundzustand (Ng) die z- oder besser w-Komponente des Blochvektors aus (6.30) Are - Ng -

No+Ng

AN -

- -

N

(6.31)

Die w-Komponente entspricht also gerade der normierten Besetzungszahldifferenz, und streng genommen spricht man nur ffir w > 0, wenn sich mehr Teilchen im angeregten als im Grundzustand befinden, von Inversion. Etwas

240

6 Licht und Materie

ungenauer wird aber auch von w bzw. A N allgemein als Inversion gesprochen, die beliebige Werte annehmen kann. In einem physikalischen System, das sich im thermischen Gleichgewicht befindet, nimmt die mittlere Besetzungszahl der Zustande mit wachsender Energie nach der Boltzmann-Formel ab, nth ~ e - E / k T . Deshalb ist der Gleichgewichtswert fiir die Differenz der Besetzungszahlen im oberen (Ne) und im unteren Zustand (Ng) stets negativ, Wo = (Ne - N g ) / N < 0. Aut3erdem sind optisehe Uberg~inge mit einigen e V viel energiereicher als thermische Energien, die lediglich 1/40 e V betragen, deshalb kann man gewShnlich w0 = - 1 als Anfangsbzw. Gleichgewichtszustand einer ungestSrten Probe annehmen. Um die makroskopische Polarisierungsdichte P einer Probe zu bestimmen, verwenden wir ebenfalls die Teilchendichte N / V und erhalten ffir ein Ensemble von identischen Teilchen ganz wie im klassischen Fall Gl.(6.11) N P = vd~g(u+iv)

,

nur daft jetzt dCg das quantenmechanisch zu berechnende Ubergangsdipolmoment ist und daft (u, v) in nichtlinearer Weise vonder Intensit~t des Lichtfeldes abh~ngt.

6.2.6

OptischeBloch-Gleichungen mit D~impfung

Im bisherigen Modell finder die Bewegung nach (6.29) unged~mpft statt, w~hrend eine optische atomare Anregung dutch vielfaltige Prozesse gedampft wird. Dazu gehSren der strahlende Zerfall, aber auch St5fie oder andere Ph~inomene, die wir vorl~ufig durch ph~nomenologisch begrfindete Relaxationsraten beriicksichtigen: Die longitudinale Relaxationsrate 7 -- 1/T1 beschreibt den Energieverlust des Zwei-Niveau-Systems, der sich in der Besetzungszahldifferenz der w-Koordinate des Blochvektors manifestiert. Im Gleichgewicht muff sich ohne treibendes Lichtfeld der station~re thermische Wert w0 -- - 1 einstellen. Die transversale Relaxationsrate 71 = 1/T2 beschreibt die D~mpfung der Polarisierung, das heifit der u- und v- Komponenten des Blochvektors. In einem Ensemble kann die makroskopische Polarisierung auch dadurch verloren gehen, da~6 die einzelnen Teilchen unterschiedlich schnell pr~zedieren und deshalb ihre ursprfingliche Phasenbeziehung (im Pr~izessionswinkel) verlieren. Bei der reinen Strahlungsd~mpfung gilt T2 = 2T1. Die Polarisierung verschwindet, wenn das Lichtfeld ausgeschaltet ist. Die vollst~ndigen optischen Blochgleichungen, deren Ahnlichkeit mit den klassischen Gleichungen (6.7, 6.8), die Ergebnis des Lorentz-Modells sind, nicht

6.2

Zwei-Niveau-Atome

241

mehr zu iibersehen ist, lauten: it = 6v - 7 ' u b = -6u

,

- 7 ' v + f~RW

~b = -~Rv - 7(w

-

(6.32)

,

wo)

Offenbar bestimmt das Verh~iltnis der Rabifrequenz f~R zu den D~mpfungsraten 7, 7' die Dynamik des Systems: Wir erwarten oszillierende Eigensehaften wie im unged~mpften System nur, wenn sie geniigend grofi ist, d.h. das System hinreiehend stark getrieben wird. Der Grenzfall

~a > 7, 7'

(6.33)

wird als s t a r k e K o p p l u n 9 bezeichnet. Er spielt eine wiehtige Rolle fiir die LiehtMaterieweehselwirkung, weil er nur mit Hilfe intensiven und koh~renten, d.h. monoehromatisehen Laserliehts zu erreiehen ist (s. Kap.12). Hgufig werden die optisehen Blochgleiehungen auch in der kompakteren komplexen Sehreibweise benutzt, die die Sprache der Diehtematrix-Theorie aus der Quantenmeehanik (s. Anhang B.2) verwendet. Mit Peg U + i v und W : flee - - Pgg gilt ----

P;g = - ( 7 ' + iS)peg + i ~ a w

6.2.7

(6.34)

,

S t a t i o n ~ e r Zustand, Inversion und Polarisierung

Wir wollen jetzt den station~ren Zustand bestimmen (fi = 0), das heifit, nach dem Einschalten eines Lichtfeldes ist eine Zeit t >> T1, T2 verstrichen. Dann besitzt (6.32) folgende station~re L6sungen, die man zweckm/~ig in Bezug zur Inversion w0 im thermischen Gleichgewicht, d.h. ohne treibendes Lichtfeld setzt, Wo wst=

~ 1+--

Wo . l .+ s .

1 1+

AN0 1 . N. l + s

'

(6.35)

2

wobei im thermisehen Gleiehgewicht naeh (6.31) und wegen Are << Ng im allgemeinen wo = A N o / N --~ - 1 gilt. Der ,,S~ttigungsparameter" s--

so i -F ( 6 / 7 ' ) 2

mit

So--

I

~

---Io 77'

(6.36)

setzt das Gewicht der kohirenten Prozesse, deren Dynamik durch die Rabifrequenz bestimmt wird, ins Verhgltnis zu den inkohirenten Dimpfungsprozessen, die durch die Relaxationsraten 7, 7' bestimmt werden. Wegen ~ i --

242

6 Licht und Materie

I-degEo/hl 2 = I-deg/hl2(2I/cco) kann man aus So = I/Io = 1 die S~ttigungsintensit~t Io bestimmen:

Ceo h277 ' /0--

--

2

d~g

Wenn wir das bekannte Resultat fiir die spontane Emission nutzen, 3' = d~egw3/37rh~oc3 (6.45), l~nn man die Sattigungsintensitat nur mit Kenntnis der Resonanzwellenl~nge ~ und der transversalen Relaxationsrate 9" bestimmen und erh~lt einen niitzlichen Zusammenhang mit dem resonanten Wirkungsquerschnitt der Absorption o-Q aus G1. (6.19), I0 .

2~hc7' .

. 3A3

.

hwg" aQ

,

(6.37)

der sich interpretieren 1/iftt: Offensichtlich fiieftt bei der S/ittigungsintensit~t gerade die Energie eines Photons w~hrend der transversalen Koh~renzzeit T' durch eine Fl~che yon der GrSfte ffQ. Wenn nur strahlender Zerfall m6glich ist, wie zum Beipiel bei verdiinnten Gasen oder Atomstrahlen, dann ist die S~ittigungsintensit~t mit 3" = 9'/2 allein von den Eigenschaften des freien Atoms abh~ngig und es gilt I0

-

7rhcg"

(6.38)

Als Beispiel geben wir die S/ittigungsintensitat ffir eine Reihe wichtiger Atome an. Sie sind mit kontinuierlichen Laserlichtquellen mit Ausnahme des Wasserstoff-Atoms ohne besondere Anstrengung erreichbar: Tab. 6.3 Sdttigungsintensitdt wichtiger atomarer Resonanzlinien Atom 0bergang

H

Na

IS--*2P 3S--.3P

Rb 5S-*5P

Cs

Ag

6S--*6P 5S-+5P

Ca

Yb

4S-+4P

6S--.6P

9'/2~r [106s-1]

99,5

9,9

5,9

5,0

20,7

35,7

0,18

A [nm]

121,6

589,0

780,2

852,3

328,0

422,6

555,8

-To [mW/cm2]

7242

6,34

1,63

1,06

76,8

61,9

0,14

Die ,,St/irke" des 0bergaags wird durch die Zerfallsrate 9/21r = A1/2 charakterisiert, die wir hier in Einheiten der natfirlichen Linienbreite angegeben haben. Es ist auf den ersten Blick vielleicht verwunderlich, daft die S/~ttigungsintensit~t mit abnehmender Linienbreite und damit bei schw/~cheren Linien sinkt. Man muff aber beriicksichtigen, daft die koh/irente Kopplung auch immer mehr Zeit ben6tigt, um die Anregung zu erreichen.

6.2 Zwei-Niveau-Atome

243

Abb. 6.9 Einwirkung eines Lichtfeldes nach Gl. (6.35, 6.40) auf die Gleichgewichtswerte der Besetzungszahldifferenz (,Inversion") Wst und der Polarisierungskomponenten Ust, vst als Funktion des Siittigungsparameters s(6 = O) = I/Io. Bei verschwindendem Lichtfeld (s = O) wurden die Werte w0 = -1, -0.6, -0.3, -4-0.3 und -4-0.6 verwendet.

Wachsende Intensit~it des Treiberfeldes baut die Besetzungszahldifferenz bzw. Inversion nach Gl. (6.35) ab, man kann unter Verwendung der S~ttigungsintensit,it Io transparent schreiben i + (6/'7') 2 =

+ ZlZo +

Ihre Abh/ingigkeit v o n d e r Intensit/it des Treiberfeldes ist ffir 6 = 0 und verschiedene ,unges/ittigte" Inversionswerte w0 -- W s t ( I / I o ---+ 0) in Abb. 6.9 dargestellt. Es ist bemerkenswert, dat3 sich bei wachsender Intensit~t das Vorzeichen von wst niemals ~ndert. Experimentell sind in erster Linie wieder Brechungzahl und Absorptionskoeffizient zug/~nglich, z.B. der Absorptionskoeffizient a , der nach Glgn. (6.11)(6.13), (6.18) und (6.21) fiber a = 2n"k -

27rN v A V c0g dcg

(6.39)

mit der v-Komponente des Blochvektors zusammenh/ingt. Bevor wir die Eigenschaften des Absorptionskoeffizienten n~her untersuchen (s. Kap. 6.4.3 und 11.2.1) mfissen wir also die station~ren (u, v)-Werte bestimmen,

wo

ftR/7'

vst =

y-+ s 1 + (6/',/) 2

Ztst =

~ Vst

(6.40)

Wenn wir die Rabifrequenz 12a nach (6.36) umgekehrt durch die S/~ttigungsintensit/it ausdrficken und w durch die Besetzungszahlen, erhalten wir ffir v~t

244

6 Licht und Materie

die transparentere Form

Vst =

ANo/N ~0 (~/,~,)1/2 1 + I/Io + (5/7') 2 1 + (5/7') 2

nN~ ~oo (~-~7)1/2

1+I/Io

(6.41)

ffir 5 - * 0

Die Intensit/itsabh/ingigkeit der Polarisierung ist in Abb. 6.9 als Funktion der normierten Intensit~t I/Io fiir den wichtigen Spezialfall der perfekten Resonanz bei 5 = 0 vorgestellt. Sie steigt schnell proportional zur Feldstarke des Treiberfeldes an, y/-I/Io o( $, und sie nimmt bei grofen Intensit/iten wie

1/~/I/Io wieder ab. Bei kleinen Intensit~iten finden wir also den klassischen Grenzfall wieder, (ust, vst) korrespondieren dann mit den (u, v)-Koordinaten des Lorentz-Oszillators aus G1.(6.7) und zeigen natiirlich auch den Frequenzgang aus Abb.(6.2). Die Behandlung nach der Quantenmechanik sagt auch wie im klassischen Fall voraus, daft ein Lichtfeld in einem Ensemble aus Zwei-Zustands-Atomen stets absorbiert wird, denn wegen (6.41) gilt v~t c< AN0 < 0 ffir beliebige Intensit,ten. Wenn allerdings zu Beginn eine Inversion w > 0 erzeugt werden kann, dann erwarten wir einen Vorzeichenwechsel ffir v~t und in der Folge auch fiir a - Lichtfelder werden dann nicht mehr geschwacht, sondern verstarkt.

6.3

Stimulierte und spontane Strahlungsprozesse Im vorausgehenden Kapitel haben wir die Kopplung eines Atoms an eine monochromatische Lichtwelle untersucht. Dabei tauchen drei unterscheidbare Strahlungsprozesse auf, die durch die EinsteinKoeffizienten beschrieben werden: 9 Durch die Kopplung an das treibende Feld kann ein Atom vom Grund- in den angeregten Zustand befSrdert werden. Dieser Prozess wird als ,, (stimulierte) Absorption" bezeichnet und ist nur mSglich, wenn das Feld vorhanden ist.

6.10 EinsteinKoe~zienten, stimulierte und spontane Strahlungsprozesse. 9 Der analoge Prozefl findet auch vom angereg-

Abb.

ten zum Grundzustand statt und heit3t, stimulierte Emission". Dabei verst~rkt die Energie des Atoms das treibende Feld.

6.3 Stimulierte und spontane Strahlungsprozesse

245

Die stimulierten Prozesse beschreiben die koh~rente Entwicklung des AtomFeld-Systems, d.h. die P h a s e n l a g e n des Treiberfeldes u n d der a t o m a r e n Dipole spielen eine wichtige Rolle. Die Einstein-B-Koeffizienten (s. Abschn. 6.3.1) geben die R a t e n dieser Prozesse an. 9 W e n n sich ein A t o m im angeregten Z u s t a n d befindet, d a n n kann es durch ,,spontane Emission" in den G r u n d z u s t a n d zerfallen. Dieser Prozet3 finder, von den A u s n a h m e n aus dem Exkurs auf S. 454 abgesehen, immer s t a t t u n d wurde in G1.(6.32) ph~nomenologisch durch Einffihrung der D ~ m p f u n g s k o n s t a n t e n berficksichtigt. Die R a t e des s p o n t a n e n Zerfalls wird d u t c h den EinsteinA-Koeffizienten gegeben. Die Anregungsenergie wird in diesem Fall mit der A n t e n n e n c h a r a k t e r i s t i k z.B. eines a t o m a r e n Dipols abgestrahlt. Exkurs- Das S p e k t r u m schwarzer KSrper (Hohlraumstrahler) Kurz vor der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert wurde das Spektrum schwarzer KSrper oder Hohlraumstrahler in der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin sehr sorgf~ltig vermessen, iibrigens um ganz praktisch die Qualit~t der damals noch jungen Gliihlampen zu sichern und zu steigern. Dieses Spektrum hat eine herausragende Rolle fiir die moderne Physik und unser Verst~ndnis von Lichtquellen gespielt. In den Messungen der Reichsanstalt stellte sich heraus, daft die von Wien angegebene Formel S~E(U)du = (87rhu3/c 3) exp(-hu/kT)d~, fiir die Energiedichte des Strahlungsfeldes bei kleinen Frequenzen nicht mit dem Experiment fibereinstimmte. Gleichzeitig hatte Lord Rayleigh in England eine abweichende niederfrequente Strahlungsformel S~(~,)dL, -- (8rv2/c3)kTd~ angegeben. Max Planck erhielt seine berfihmte Strahlungsformel durch geschickte Interpolation, in unserer Schreibweise 87r

hv 3

SE(~) dv = ~ exp (hv/kT) - 1 d~ ,

(6.42)

vonder wir heute wissen, daft sie vom Produkt aus der Zustandsdichte des Strahlungsfeldes bei der Frequenz w und der Besetzungswahrscheinlichkeit nach der Bose-Einstein-Statistik gebildet wird. Diese Formel, die Planck am 14. Dezember 1900 in Berlin erstmals 5ffentlich vorstellte, war der Beginn derjenigen Ideengeschichte, die zur modernen Physik fiberhaupt geffihrt hat. Thermische Lichtquellen, die Begriffe der Optik und eine ganz angewandte Fragestellung - die Effizienz von BeleuchtungskSrpern - haben bei der Geburt der Quantenphysik eine wichtige Rolle gespielt! Die ungebrochene Faszination der Strahlungsphysik hat sich in jiingerer Zeit auch bei Messungen der Radioastronomie best~tigt: Es ist schon einigermai3en beeindruckend, dat3 die genaueste Vermessung eines schwarzen K6rpers heute aus dem Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung gewonnen wird, der Unterschied von gemessenen Werten und theoretischer Kurve ist in Abb. 6.11 nicht sichtbar! Dabei konnte die Temperatur dieser Strahlung, die haufig als das ,,Nachleuchten" des inzwischen allerdings erheblich abgektihlten Urknalls interpretiert wird, zu T = 2,726• K bestimmt werden. Die Messungen des COBE-Satelliten (Cosmic Background Explorer) [130, 26] sind schon so genan gewesen, dab man auf einer Himmelskarte die Temperatur-Schwankungen der aus der jeweiligen Richtung empfangenen Strahlung relativ zum Mittelwert eintragen konnte. Das spektakul~re Ergebnis zeigt eine dipolartige Asymmetrie von der GrSt3enordnung

246

6 Licht und Materie

Abb. 6.11 Links: Spekt~um der 2, 7 K Himtergrundstrahlung. Rechts: Himmelskarte der Intensit~itsschwankungen. Oben: Dipolasymmetrie. Unten: Restliche Schwankungen yon maximal A T / T ~_ 10-5. Nach [130].

A T / T ~_ 10 -3, die man durch die Eigenbewegung unserer Milchstrai]e relativ zu einem gleichfSrmigen Strahlungshintergrund erkl~iren kann. Darfiberhinaus ist die Mikrowellenstrahlung bis auf geringere r~iumliche Schwankungen von ca. A T / T ~_ 10 -3 isotrop. Es wird vermutet [26], dab auch die geringen Fluktuationen den Dichteschwankungen des Universums entsprechen, die ihrerseits Keime fiir die beobachtbare Materie ergeben. Die Messungen der WMAP-Mission (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) best~itigen die COBE-Ergebnisse mit noch eindrucksvollerer Pr~ision.

Die Begriffe stimulierte und spontane Emission sind yon A. Einstein im Zusammenhang mit thermischen, breitbandigen Lichtfeldern entwickelt worden [50], well beide Formen aus thermodynamischen Grfinden erforderlich waren. Eine koh~irente Kopplung zwischen Lichtfeld und Atomen war damals, 1917, jedoch weder begriffiich noch experimentel] vorstellbar.

6.3.1

Emission und Absorption im breitbandigen Lichtfeld

W i r wollen hier untersuchen, wie wir den Grenzfall eines breitbandigen, d.h. inkoharenten Lichtfeldes aus den Blochgleichungen zuriickgewinnen kSnnen. D a z u nutzen wir die komplexe Form G1.(6.34) u n d n e h m e n an, daft IPegl << w -~ - 1 . Mit d e m Gleichgewichtswert Peg e n t n e h m e n wir schnell -

9,~2 + 52 w -

7(w-

W i r interessieren uns ffir den ersten Beitrag, der wegen ~ = d~g$~/h 2 2 2 c( I die stimulierten Prozesse (Emission u n d A b s o r p t i o n ) enth~ilt, u n d berficksichtigen

6.3 Stimulierteund spontane Strahlungsprozesse

247

die Breitbandigkeit, indem wir fiber alle Verstimmungen 5 integrieren und mit $o nun die mittlere quadratische Feldamplitude meinen, (v = 7c(d2~g/3)g3/h 2 -

7(w + 1)

Die Kopplung zwischen unpolarisiertem Feld und atomarem Dipol verursacht durch Mittelung fiber die Raumrichtungen den Faktor 1/3, und mit Pee = (w + 1)/2 finden wir die Form 2

-

7rdeg

~

+ 1)/2

=

- p

e)-

(6.43)

wobei mit u(~'0) -- CogS/2 die Energiedichte bei der Resonanzfrequenz ~'0 bezeichnet wird. Der Koeffizient lrd2~g B ~ g - 3e~ 2

(6.44)

wird als Einstein-B-Koeffizient bezeichnet und gibt die Rate der stimulierten Emission bzw. Absorption an. Damit kSnnen wir auch die Ratengleichungen ffir diese Wechselwirkung angeben: ~e = B~u(-o)(p~ - p~) - 7p~

6.3.2

,

Spontane Emission

Eine genauere Berechnung der Rate der spontanen Emission erfordert eine Behandlung nach den Regeln der Quantenelektrodynamik, d.h. mit Hilfe eines quantisierten elektromagnetischen Feldes. Tats~chlich war die Berechnung der Rate der spontanen Emission durch V. Weisskopf und E. Wigner [171], die wir im Kapitel fiber Quantenoptik (Kap. 12) ausffihrlich vorstellen, der erste grofie Erfolg dieser 1930 noch ganz jungen Theorie. Vorl~ufig w~hlen wir einen stark verkfirzten Weg, indem wir die schon beim Lorentzmodell vorgestellte Larmorformel (6.3) 2 e2 P -- 7h~'0 3c3 47re0 wieder verwenden und davon ausgehen, daft w~hrend der charakteristischen Zerfallszeit 9,-1 gerade die Energie h~0 abgegeben wird. Aus der Quantenmechanik fibernehmen wir das Ergebnis/~ -- xw~ und erhalten durch Multiplikation mit dem Faktor 2, den erst die Quantenelektrodynamik liefert, das Ergebnis p 2 3 - degw~ (6.45) 7 -- A e g -- 2 • hL'o

31rheoc 3

248

6 Licht und Materie

fiir den Einstein-A-Koeffizienten. Aus dem Vergleich mit G1.(6.43) best~tigen wir das Ergebnis, das Einstein aus rein thermodynamischen ~lberlegungen gewonnen hatte, hw~ w2 A : B - ~2c3 - hwT~2c ~ (6.46) Die letzte Form enth~lt mit p(w) = w2/7~2c3 gerade die Dichte der Zustande des Strahlungsfeldes zur Frequenz w (s. Anhang B.3). Wenn das treibende Feld in einer bestimmten Mode ~ph Photonen enth~lt, dann muff die Rate der spontanen Emission zur stimulierten Emission in diese Mode A : B = 1 :~ph (6.47) betragen. Obwohl die Existenz und die Rate der spontanen Emission aus thermodynamischen, grunds~itzlichen Argumenten begrfindet werden kann, ist sie doch experimentellen Modifikationen zuganglich, wie wir in Abschn. 12.3.3 naher berichten.

6.4

Inversion und Verst irktmg

Die Behandlung der Licht-Materie-Wechselwirkung in Kap. 6.2.7 verspricht die Preparation eines lichtverstdrkenden Mediums, wenn es nur gelingt, den angeregten Zustand starker zu bevSlkern als den Grundzustand. Formal gesprochen entspricht diese Situation einer negativen Temperatur, denn der BoltzmannFaktor N e / N g = e x p ( - ( E e - E g ) / k T ) kann nur dann grSfier als 1 werden, wenn T < 0 - lichtverstarkende Medien befinden sich nicht im thermischen Gleichgewicht.

6.4.1

Vier-, Drei- und Zwei-Niveau-Lasersysteme

In einem System mit drei oder vier Quanten-Zust~nden kSnnen wir durch Energiezufuhr ein dynamisches Gleichgewicht schaffen, das eine station~re Inversion zwischen bestimmten Zust~inden erzeugt und die Voraussetzung ffir Lichtverst~irkung und den Betrieb eines Lasers schafft. Das idealisierte System ist in Abb. 6.12 vorgestellt. Der Pumpprozefi, der mit der Gesamtrate R = VT~ Teilchen aus dem Grundzustand 10) in das Pumpniveau IP) befSrdert, kann durch Elektronenstofi in einer Entladung verursacht werden, durch Absorption aus dem Licht einer Lampe oder eines Lasers oder noch andere Mechanismen, ffir die wir mehrere Beispiele im Kapitel fiber Laser kennenlernen werden. Unsere besondere Aufmerksamkeit gilt den beiden Niveaus le) und Ig}, die wir zukfinftig als ,,Laserniveaus" ansprechen wollen. Eine Inversion (und damit die

6.4 Inversion und Verst~kung

249

Voraussetzung zum Laserbetrieb) kann auch mit drei Niveaus erzielt werden, wenn zum Beispiel das Pumpniveau IP/und das obere Laserniveau le) identiseh sind. Das Vier-Niveau-System sorgt fiir eine strenge funktionale Trennung der Zustande, die am Pumpprozefi und die am Laserprozefi unmittelbar beteiligt sind. Ein vereinfachtes Lasermodell (s. Abschn. 8.1) betrachtet daher nur die Laserniveaus le} und Ig} (,,Zwei-NiveauLasermodell") und beriicksichtigt die iibrigen Zust~inde in theoretischen Beschreibungen (s. Abschn. 8.1) nur indirekt und pauschal durch die Pumprate R und die Depopulationsrate 7dep.

6.4.2

E r z e u g u n g yon Inversion

Abb. 6.12 Vier-Niveau-System mit Inversion zwischen oberem (lel ) und unterem (Igl ) Niveau. Die greise deuten die Bev~lkerung der Niveaus im Flieflgleichgewicht an.

Wir betrachten die Ratengleichungen ffir die Besetzungszahlen No, Np, Ne, Ng, und wir konzentrieren uns auf schwache Pumpprozesse. Dann werden die meisten Atome im Grundzustand bleiben und in guter N~herung gilt No ~- const. Man findet durch kurze Uberlegung oder Rechnung, daft unter diesen Umst~inden das Ratengleichungssystem auf die beiden Laserzustande le) und Ig) beschr~nkt werden kann. Die Dynamik wird bestimmt durch die Populationsrate R des oberen Zustandes, dessen Zerfallsrate 7, den Anteil 7eg --< 7, der davon ins untere Laser-Niveau fallt, und schliefllich 7dep, die Entleerungsrate des unteren Laserniveaus: /Ve -- R - T N ~ , /Vg = 7ogN~ - 7depgg

(6.48)

Man findet die station~ren LSsungen Ni t = R / 7 und Nit = 7R/TegTdep und berechnet die Besetzungszahldifferenz A N im Gleichgewicht, aber in Abwesenheit eines Lichtfeldes, das die beiden Zust~nde koharent koppeln k6nnte: A N = Ni t - N i t = ~

1

(6.49) 7dep

Wenn die Depopulationsrate 7aep des unteren Zustandes grSt3er ist als die Zerfallsrate des oberen Zustandes, dann wird in diesem System wegen 7/Taep < 1 offenbar eine Inversion aufrecht erhalten, A N > 0. Die Inversion ist vom thermodynamischen Standpunkt eine Nicht-Gleichgewichtssituation und setzt voraus, dab ein Energieflug durch das System stattfindet.

250

6 Licht und Materie

Weil der Imagin~rteil der Polarisierung nun positivist, erwarten wir, daft die Polarisierung das Feld, durch das sie verursacht wird, nicht mehr absorbiert, sondern im Gegenteil verst~rkt! Ein starker werdendes Feld reduziert diese Inversion nach G1.(6.41) zwar, erh~lt aber die verst~rkenden Eigenschaften (Abb. 6.9). Mit diesem System sind daher die Voraussetzungen fiir optische Verst~irker geschaffen. Es ist bekannt, daft sich ein Verst~rker durch Rfickkopplung selbst erregt und als Oszillator arbeitet. Wir bezeichnen diese Ger~te als Laser.

6.4.3

Verstfirkung

Wenn Inversion vorliegt, dann erhalten wir einen negativen Absorptionskoeffizienten, der auch als Verstarkungskoeffizient bezeichnet wird und ebenfalls die Einheit cm -1 besitzt. Um ihn zu berechnen, werten wit G1.(6.39) mit den station/iren Werten fiir vst aus:

21r N [ Wo a -

g

[

1Ts

-d~gg/hT' c0$(1

+

Das Ergebnis lat3t sich mit Hilfe von G1.(6.19) und (6.31) iibersichtlich formulieren,

N = V ~

-ANo/N (1 + s ) ( i +

'

und insbesondere ffir 6 -- 0 finden wir den leicht zu fiberschauenden Zusammenhang

N -ANo/N a = V ~q 1 + I/Io

(6.50)

Nach Abb. 6.9 ist klar, daft die Inversion - und damit die Verst~irkung unter der Einwirkung eines Lichtfeldes abgebaut wird. Im Laserbetrieb werden wir dann von gesiittigter Verst~irkung reden. Ffir sehr kleine Intensits I/Io << 1 ist die Verst/irkung aber konstant und man spricht v o n d e r Kleinsignalverst~irkung. Deren Wert wird typischerweise ffir ein Lasermaterial angegeben. Man kznn G1.(6.50) natfirlich auch mit AN0 = N~ - Ng ausdrficken,

Ng 1 - N~/Ng = ~ - aQ 1 + I/Io

'

(6.51)

und erkennt dann deutlich den von Kramers und Heisenberg 1925 [102] als negative Dispersion eingeffihrten Beitrag. Er wurde schon 1930 von Ladenburg

6.4 Inversion und Verst~kung

251

Abb. 6.13 Die negative Dispersion wurde schon 1930 an einer Entladung mit Neon-Atomen beobachtet [107, 106]. Das Diagramm zeigt die GrSfle ,,hf ", die aus der Brechzahl bei starken Ubergangswellenldngen (in t~ im Nezs_2p-System, vgl. Abb. 7.5) bestimmt wurde und ein Marl ist fiir die GrSfle Ng(1 - N~/Ng) in Gl. (6.49). Anfangs steigt die Zahl der Atome im lsNiveau schnell an. Mit wachsendem Entladungstrom wird aber auch das 2p-Niveau e~zient bevSlkert. Dadurch werden Absorption und Dispersion verringert.

und Kopfermann [107, 106] beobachtet, 25 Jahre vor der ersten Beschreibung des Lasers durch Schawlow und Townes [148].

252

6.4.4

6 Licht und Materie

D e r h i s t o r i s c h e W e g z u m Laser

Tab. 6.4 AusgewShlte Meilensteine auf dem Weg zum Laser [19, 165] Jahr

Ereignis

Ref.

1917

A. Einstein publiziert die Quantentheorie der Strahlung und fiihrt die A- und B-Koeffizienten ein.

[5o]

1925

H.A. Kramers und W. Heisenberg publizieren eine theoretische Arbeit fiber negative Dispersion in atomaren Gasen.

[102]

1930

R. Ladenburg und H. Kopfermann weisen am Kaiser-WilhelmInstitut fiir physikalische Chemie in Berlin die negative Dispersion in einer Neon-Entladung nach.

[107]

1951

W. Paul besucht die Columbia Univeritiit in New York und berichtet C. Townes u.a. von magnetischen Hexapollinsen, mit denen Atome und Molekfile fokussiert werden kbnnen.

[165]

1954

J. Gordon, H. Zeiger und C. Townes verwenden die Paulsche Methode, um Inversion in einem Ammoniak-Strahl zu erzeugen und realisieren den ersten Maser.

[63]

1954

N. Basov und A. Prokhorov publizieren eine theoretische Arbeit fiber MolekularverstSrker am Lebedev Institut in Moskau.

[13]

1958

A. Schawlow und C. Townes beschreiben den Laser bzw. optischen Maser in einer umfangreichen theoretischen Arbeit.

[148]

1960

T. Maiman betreibt den Rubinlaser als ersten, gepulsten und sichtbaren Laser bei Hughes Research Laboratories.

[117]

1960

A. Java,, W.R. Bennett, und D.R. Herriott realisieren den ersten kontinuierlichen He-Ne-Gaslaser an den Bell-Laboratories.

[84]

1962

A. White und J. Rigden betreiben die beknnnteste sichtbare La~ serlinie im He-Ne-Laser bei 633 nm.

[172]

Aufgaben

253

A u f g a b e n zu K a p i t e l 6 6.1 D o p p l e r - v e r b r e i t e r t e r W i r k u n g s q u e r s c h n i t t In einem Gaslaser wird ein realistischer Absorptions- bzw. Verstiirkungskoeffizient durch den Dopplerverbreiterten Wirkungsquerschnitt bestimmt. Verwenden Sie die Geschwindigkeitsverteilung aus Abschn. 11.3.2, um den effektiven Wirkungsquerschnitt ffir eine atomare Resonanzlinie

abzuschiitzen.

6.2 , K l a s s i s c h e B l o c h g l e i c h u n g e n " Vergleichen Sie die optischen Blochgleichungen (G1. 6.32) und die Gleichungen ffir den klassischen Dipol G1. 6.7 und stellen Sie die Bedeutung der Faktoren und Parameter gegenfiber. Wenn sich die Dynamik des (ungediimpften) Bloch-Vektors mit der Bloch-Kugel beschreiben lat3t, welche geometrische Form kommt dann ffir den klassischen Dipol in Frage? Inwiefern ist sie eine Niiherung ffir die Bloch-Kugel? 6.3 H a n l e - E f f e k t Wird ein elektrischer Dipol zu Schwingungen angeregt, strahlt er die Anregungsenergie im feldfreien Raum entsprechend den riiumlichen Verteilungen aus Abb. 2.5 wieder ab. Bei Anregung im feldfreien Raum erwartet man z.B. keine Abstrahlung in Richtung des Detektors, wenn wie in der Zeichnung das linear polarisierte E-Feld genau auf den Detektor gerichtet ist. Falls der Dipol auch ein magnetisches Moment mit Komponente #• senkrecht zum magnetischen Feld besitzt - ffir Atome meistens der Fall , priizediert er mit der Larmorfrequenz o.) L : ~t• um die Achse des externen magnetischen Feldes, und modifiziert dadurch die Strahlungsverteilung. Betrachten Sie ein vereinfachtes, klassisches Dipolmodell, das schon 1924 yon W. Hanle [67] vorgeschlagen wurde: Bei t = 0 werden elektrische Dipole angeregt, die bei Bz = 0 die Amplitude Abb. 6.14 Versuchsanordnung beim E(t) = Eo exp (-iwot) exp ( - ~ t / 2 ) abstrah- Hanle-Effekt. len. Die Dipole sollen ffir Bz ~ 0 mit der Frequenz Wn pr~edieren, d.h. um die Achse des Bz-Feldes rotieren. Die mittlere Intensitiit auf dem Detektor wird durch Integration fiber alle Zeiten bestimmt, ID = f ~ I(t)dt. (a) Lineare Polarisation E II Bz, 7r-Polarisation. Begrfinden Sie, dab das Magnetfeld die mit dem Detektor registrierte Fluoreszenz-Intensitiit nicht beeinflusst, ID(t) = const. (b) Lineare Polarisierung E _[_ B~, a+- und a_Polarisation. Begrfinden Sie, daft man ffir die Analysator-Stellung a auf dem Detektor die Intensitiit I(t) = Io exp-~/tcos2[wt- a] erwartet. Bestimmen und skizzieren Sie die mittlere Intensitiit auf dem Detektor als Funktion des externen Magnetfeldes ffir die Analysatorstellungen a -- 0, ~r/4, lr/2, 3r/4.

254

6 Licht und Materie

6.4 K a n n ein N a t r i u m - A t o m m i t S o n n e n l i c h t ges~ittigt w e r d e n ? Die Natrium-D-Linie bei ~ = 589 nm hat eine natfirliche Linienbreite yon 10 MHz und eine zugeh6rige Sgttigungsleistung yon 63.4 W / m 2. (a) Ein irdisches Natrium-Atom befindet sich Ds-~ = 1.5 9 10s km yon der Sonne entfernt. Lgi3t sich die D-Line mit dem Sonnenlicht sgttigen? (b) Wird die Natrium-D-Linie gesgttigt, wenn sich das Atom direkt auf der Oberflgche der Sonne befindet (Radius rs = 7 9 105 km)? (c) Bestimmen Sie die Temperatur, bei der das Atom auf der Sonnenoberfigche gerade gesgttigt ist. (Hinweis: Betrachten Sie die Sonne als idealen schwarzen KSrper und verwenden Sie die Plancksche Forreel ffir die spektrale Energiedichte G1. 6.42. Die Sonnentemperatur betrggt T -- 5700 K. 6.5 B l o c h g l e i c h u n g e n : M a g n e t r e s o n a n z u n d optische Oberg~inge Die optischen Bloch-Gleichungen, mit denen optische (~berggnge beschrieben werden, sind identisch mit den Bloch-Gleichungen, die verwendet werden, um die Methoden der Magnetresonanz zu beschreiben, yon denen die Kernspinresonanz (NMR, engl. Nuclear Magnetic Resonance) die wichtigste ist. Wo sehen Sie Unterschiede in den relevanten L6sungen? (Hinweis: Studieren Sie die verschiedenen Zeitkonstanten, die die L6sungen bestimmen). 6.6 K r a m e r s - K r o n i g - R e l a t i o n e n Ein wichtiges Ergebnis der der theoretischen Elektrodynamik sind die Kramers-Kronig-Relationen, nach welchen der Real- und Imagingrteil der linearen Suszpetibilit~t durch den Ausdruck (P bezeichnet das Hauptwert-Integral) 71

x-(y_)

o<~ O.)I - -

dJ

und

X'(W)=

P

~o'

~a

50

miteinander verkniipft sind. Zeigen Sie, dab die Suszeptibilitgt nach G1. 6.13 die Kramers-Kronig-Relationen erffillt.

7

Laser

Der Laser hat sich zu einem wichtigen I n s t r u m e n t nicht nur in der physikalischen Forschung, sondern weit darfiberhinaus in fast allen Bereichen des taglichen Lebens entwickelt. Mehr als 50 Jahre nach der experimentellen Realisierung des ersten Lasers k o m m t m a n kaum noch daran vorbei, ihn zu den wichtigsten Erfindungen des 20. J a h r h u n d e r t s zu z~ihlen. Wir wollen in diesem Kapitel die Funktionsprinzipien a n h a n d besonders wichtiger Lasersysteme vorstellen. Im n~chsten Kapitel geben wir eine Einffihrung in die theoretische Beschreibung ihrer wichtigsten physikalischen Eigenschaften, u n d den Halbleiterlasern ist ein eigenes Kapitel gewidmet, weft sie mit ihren kompakten, preisgiinstig herzustellenden Bauformen in besonderer Weise zur noch immer wachsenden B e d e u t u n g des Lasers beitragen. L a s e r -- Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Das Wort Laser ist zu einem selbstst~indigen Begriff der Alltagssprache geworden. Es leitet sich aber von seinem historischen Vorg~nger, d e m Maser ab. Das englische Acronym (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) bedeutet soviel wie ,,Mikrowellen-Verst~rkung durch stimulierte Emission von Strahlung" N a t t i r l i c h e M a s e r - u n d L a s e r q u e l l e n Wir wollen unter einem Laser grunds~tzlich die Quelle eines intensiven, koh~renten Lichtfeldes verstehen. Laserlicht erscheint uns absolut artifiziell, u n d ganz sicher haben unsere Vorfahren niemals die W i r k u n g eines koharenten Lichtstrahls erlebt. 1 Es gibt aber im Kosmos mehrere natiirliche Quellen von koh~irenter Strahlung, die i. Allg.zu langwellig sind, u m noch als Laser zu gelten u n d daher als Maser identifiziert werden [126]. Sie k o m m e n in der N~he heit3er Sterne vor, wo z.B. in molekularen Gasen Inversion erzeugt werden kann. Ein Beispiel mit relativ kurzer Wellenl~nge ist das Wasserstoffgas, das die U m g e b u n g eines Sterns mit lInterferenz- und Koh~irenzph~omene lassen sich aber auch in unserer allt~iglichen Umgebung beobachten. Man nehme ein Stfick dfinnen, feinen Stoff und beobachte hindurch entfernte, am besten farbige Lichter, zum Beispiel die Rficklichter eines Autos. Und das Funkeln der Sterne hat die Menschen zu allen Zeiten fasziniert!

256

7 Laser

dem Namen MWC349 in der Cygnus-Konstellation umgibt und durch die UVStrahlung des heifJen Sterns zum Leuchten angeregt wird. Das scheibenfSrmig angeordnete Wasserstoff-Gas verst~rkt die Fern-Infrarot-Strahlung des Sterns bei der Wellenl~nge von 169 #m millionenfach, so daft es sich auf der Erde nachweisen lafit. Allerdings herrschen im Weltall vSllig andere Dichte- und Temperaturverh~iltnisse als unter irdischen Bedingungen. Unter den 130 heute bekannten kosmischen Maser- und Laser-Wellenl~ingen von 10 verschiedenen Molekfilen werden nur zwei Linien im Labor beobachtet: Neben Vibrationsfiberg~ingen des HCN-Molekfils [149] interessanterweise gerade diejenige Linie des AmmoniakMolekfils, mit der Townes und seine Mitarbeiter 1954 den ersten irdischen Maser betrieben [63]. Die Eigenschaften der kosmischen Maser und Laser liefern den Astronomen interessante Daten fiber die Dynamik grofler Molekfilwolken. Laser-Verst~irker u n d -Oszillatoren

Der Lasers hat historische Wurzeln in der Hochfrequenz- und der Gasentladungsphysik. Man hatte vom Maser gelernt, dat3 es mSglich war, mit einem invertierten molekularen oder atomaren System einen Verst~rker und Oszillator ffir elektromagnetische Strahlung zu konstruieren, und in einer berfihmten Arbeit [148] hatten Arthur Schawlow und Charles Townes die Eigenschaften eines ,,optischen Masers", der dann Laser genannt wurde, zun~chst theoretisch vorhergesagt. Die optischen Eigenschaften atomarer Gase waren schon lange in Entladungen studiert worden und man hatte auch die Frage gestellt, ob sich durch eine geeignete Situation eine Inversion und damit Lichtverst~rkung erzielen liege. So wird verstandlich, daft der erste Dauerstrich-Laser mit einem fiberraschend komplizierten System, einem Gasgemisch aus Helium- und Neon-Atomen, im Jahr 1961 von dem amerikanischen Physiker Ali Javan [84] bei der infraroten Wellenlange von 1,152 #m realisiert wurde. Der Laser besitzt eine enge Analogie zu einem elektronischen Verst~irker, der durch positive Rfickkopplung zu Schwingungen angeregt wird, und dessen Oszillationsfrequenz durch den Frequenzgang yon Verst~rkung und Rfickkopplung bestimmt wird (Abb. 7.1). Es ist bekannt, daft ein Verstarker mit positiver Rfickkopplung schwingt, wenn die Verst~rkung grSfier wird als die Verluste, Oszillationsbedingung: Verst~rkung _> Verluste Die Amplitude w~chst dann immer weiter an, bis die Verluste durch Auskopplung oder auch im Oszillatorkreis die Verst~rkung gerade noch kompensieren. Die effektive Verst~rkung sinkt und man spricht von ,,ges~ttigter Verst~rkung" (s. auch Abschn. 8.1.2).

7 Laser

257

Abb. 7.1 Analogie zwischen einem Laser und einem elektronischen Verstdrker (V), der durch Riickkopplung zum Oszillator wird. Die OsziUatorfrequenz kann zum Beispiel durch ein Filter (F) im R~iekkoppelpfad selektiert werden. Beim Laser wird Ris durch die Resonatorspiegel erzielt. Zur Verdeutlichung wurde ein Ringresonator mit drei Spiegeln gewdhlt. Sowohl das Verstdrkungsmedium als auch die weUenldngenabhdngige Reflektivitdt der Resonatorspiegel bestimmen die Laserfrequenz.

Wie wir aus d e m Kapitel fiber Licht u n d Materie schon wissen, benStigen wir eine Inversion des Lasermediums, u m Verst~irkung einer Lichtwelle zu erzielen. Wenn der Verlustkoeffizient C~v heiBt, muff die Bedingung konkret nach G1. (6.50) lauten N -ANo/N V aQ 1 + I / I o

>

av

Im einfachsten Bild mfissen sich dazu stets sehr viel mehr Atome im oberen angeregten Zustand als im unteren befinden (ANo > 0). Wenn diese Bedingung nicht erffillt ist, erl6scht die Laseroszillation oder schwingt erst gar nicht an. Von einem idealen Laser wfinseht man sich eine frequenzunabh~ingige, m5glichst hohe Verst~irkung. Weil aber solch ein System bis heute nicht gefunden worden ist, wird eine Vielzahl von Lasertypen verwendet. Die wichtigsten Varianten, die wir in Tab. 7.1 grob eingeteilt haben, wollen wir mit ihren technischen Konzepten, St~irken und Schw~ichen vorstellen. Tab. 7.1 Lasertypen Gase Festfrequenz

Neutralatome Ionen

Vielfrequenz

Molekfile

Durchstimmbar

Fliissigkeiten

FestkSrper Seltene-Erd-Ionen 3d-Ionen

Farbstoffe

3d-Ionen, Halbleiter Farbzentren

258

7.1

7 Laser

Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

Abb. 7.2 Helium-Neon-Laser in oftener, experimenteller Bauform. Der Strom wird der EntladungsrShre dutch die beiden Kabel zugefiihrt. Resonatorspiegel und Laserrohr sind feinjustierbar gelagert.

Der Helium-Neon- oder kfirzer HeNe-Laser hat bei der wissenschaftlichen Untersuchung der physikalischen Eigenschaften von Laserlichtquellen eine unfibertroffene Rolle gespielt, beispielsweise bei der experimentellen Untersuchung der Koh~renzeigenschaften. Er ist schon deshalb der ,,Klassiker" unter allen Lasersystemen. Wir wollen wichtige Lasereigenschaften an diesem System beispielhaft vorstellen. 7.1.1

Konstruktion

Der Helium-Neon-Laser bezieht seine Verst~rkung aus einer Inversion in den metastabilen atomaren Anregungen des Neon-Atoms. (Das Leuchten der NeonAtome ist uns auch von den sprichwSrtlichen Neon-RShren bekannt.) VerstArker

In Abb. 7.3 sind die entscheidenden atomaren Niveaus mit einigen wichtigen KenngrSt3en und ausgewiihlten Laserwellenl~ngen (,,Linien") vorgestellt. Wir kSnnen den HeNe-Laser im Bild unabh~ingiger Atome gut verstehen, weil das Gasgemisch relativ diinn ist. Die Neon-Atome werden nicht direkt durch die Entladung angeregt, sondern durch Energiefibertrag von Helium-Atomen, die durch Elektronenstot3 in die metastabilen 1S0 und 3Sz-Niveaus angeregt werden. Das Neon-Atom besitzt eng benachbarte Energieniveaus, so dat] resonante Stot3prozesse einen effizienten Energietransfer ermSglichen.

7.1 Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

259

Die Anregung und der Laserfibergang sind im HeNe-Laser auf zwei verschiedene atomare Systeme verteilt, was bei der Realisierung des wfinschenswerten Vier-Niveau-System hilfreich ist. Allerdings gibt es ein Problem im unteren Laserniveau der Neon-Atome (Abb. 7.3), das ebenfalls metastabil ist und nicht durch strahlende Zerfalle entleert werden l~nn. In einem engen Entladungsrohr fiihren abet WandstSfie zu einer ausreichenden Entleerung des unteren Laserniveaus.

Betriebsbedingungen Die Inversion kann nur in ei- Abb. 7.3 Energieniveaus yon Helium- und NeonAtomen mit dem bekanntesten optischen ~rbergang nero im Vergleich zur atmo- bei 632,8 nm. Als Nomenklatur werden die speksph~rischen Umgebung relativ troskopischen Bezeichnungen verwendet. Zu den dfinnen Gasgemisch aufrecht er- Energieniveaus sind auch die Lebensdauern angehalten werden. Der Helium- geben. Druck p betr~gt einige 10 mbar, das He:Ne Mischungsverh~ltnis ca. i0:i. Die Helium-Entladung wird bei einem Strom yon mehreren mA und einer Spannung yon I - 2 kV betrieben und brennt in einer KapillarrShre (Abb. 7.4, Durchmesser d _~i mm), an deren W~inden die metastabilen NeonAtome (Abb. 7.3) durch Stofirelaxation wieder in den Grundzustand zurfickfallen und ffir einen weiteren Anregungszyklus zur Verffigung stehen.

Abb. 7.4 Schematische Darstellung eines Helium-Neon-Laserrohrs. Der grofle Kathodenbecher verhindert die sehnelle Abtragung durch die Entladung. Die Brewsterfenster an den Enden des Laserrohr verringern die Verluste an den Fenstern und legen die Laserpolarisation eindeutig lest.

260

7 Laser

Die Entladung wird mit einem Spannungspuls von 7 - 8 kV gezfindet. Dieses Bauprinzip ist allen HeNe-Lasern gemeinsam, lediglich bei der Baulange und beim Gasffilldruck gibt es je nach Anwendung geringe Unterschiede. Empirisch findet man optimale Verh~ltnisse ffir das Druck-Durchmesser-Produkt bei p . d-~ 5 mbar- mm. Die Ausgangsleistung kommerzieller HeNe-Laser variiert zwischen gerade noch augensicheren 0,5 m W und 50 mW. Sie hangt vom Entladungsstrom und der Rohrl~nge ab, die beide nicht beliebig vergr5fiert werden kSnnen. Die Verst~rkung ist proportional zur Dichte invertierter Neon-Atome. Diese erreicht aber schon bei wenigen 10 mA ihr Maximum, weil zunehmende ElektronenstSfie die Atome wieder abregen. Die RohrNinge l~ifit sich auch nicht wesentlich fiber g = 1 m steigern, well einerseits der Durchmesser der Gaufimode mit zunehmendem Spiegelabstand w~ichst und nicht mehr in die Kapillare paBt und weil andererseits die 3, 34 #m-Linie bei gr6Berer Bauliinge auch ohne Spiegel als Superstrahler anschwingt und dann konkurrierenden Laserlinien Energie entzieht.

Laserresonator Die Resonatorspiegel kSnnen in die Entladungsr6hre integriert und schon bei der Fertigung endgfiltig justiert werden. Insbesondere ffir Experimentierzwecke wird ein externer Resonator mit manuell justierbaren Spiegeln verwendet und das Rohr mit Fenstern abgeschlossen. Im einfachsten Fall besteht der Resonator lediglich aus zwei (dielektrischen) Spiegeln und dem Entladungsrohr. Um Verluste zu vermeiden, werden die Fenster entweder entspiegelt oder als Brewster-Fenster geformt.

Beispiel: Strahlungsfeld im HeNe-Laserresonator. Die Laserspiegel bestimmen die Geometrie des Laser-Strahlungsfeldes nach den Regeln der Gaut3optik (s. Abschn. 2.3): Sie mfissen so gew~hlt werden, daft das invertierte Neon-Gas in der Kapillare mSglichst optimal ausgenutzt wird. Fiir einen Laserresonator mit symmetrischem Resonator mit Spiegelradien R -- 100cm (Reflektivit~ten 95% und 100%) und ~ -- 30 cm Abstand erh~lt man ffir die rote 633 nm-Linie eine TEM00-Mode mit den Parametern Konfokaler Parameter: Strahltaille: Divergenz: Leistung innen/auflen

b -- 2z0 -- 71 cm 2w0 -- 0,55 m m O d i v ---- 0,8 mrad Pi/Pa= 2 0 m W / l m W

Der Laserstrahl pafit im Resonator auf ganzer L~nge problemlos in den typischen Querschnitt des Plasmarohrs von ca. 1 m m hinein, und auch in einer Entfernung von 10 m hat er erst einen Querschnitt von gut 4 mm.

7.1 Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

7.1.2

261

Modenselektion im HeNe-Laser

Wir widmen den physikalischen Eigenschaften des HeNe-Lasers zwei eigene Abschnitte (Modenselektion und Spektrale Eigensehaften), weil sich daran modellhaft die wichtigsten Lasereigenschaften vorfiihren lassen und weil am HeNe-Laser die physikalische Eigenschaften besonders griindlich untersucht worden sind. Das Ziel der Modenselektion in jedem Laser ist die Preparation eines Laserlichtfeldes, das nur durch eine einzige optische Frequenz w bestimmt wird. Die am HeNe-Laser verwendeten Verfahren sind mit geringen Modifikationen auf alle anderen Lasertypen anwendbar. Die erwiinschte transversale Mode ist meistens vom TEM00-Typ, hat wegen ihres vergleichsweise geringen Querschnitts kleinere Verluste und ist daher h~iufig sowieso schon bevorzugt. Im Zweifelsfall kann eine geeignete Justierung des Resonators oder eine zus~itzliche Blende die erwiinschte transversale Mode selektieren.

Abb. 7.5 WeUenldngenselektion im HeNe-Laser. Links: Ausziige aus dem Energiediagramm

des Neon-Atoms mit wichtigen Laseriibergdngen. Die gebrduchliche Notation folgt nicht der iiblichen Singulett//Triplett-Konvention nach dem LS-Kopplungsschema. Die hier verwendete Notation stammt von Paschen, der die Niveaus einfach nur durchnummeriert hat. Ein sNiveau spaltet in 4, ein p-Niveau in 10 Drehimpulszustdnde auf. Rechts: Littrow-Prisma als dispersiver Endspiegel zur Wellenldngenselektion.

Wenn mehrere Laserlinien des Neon-Atoms ein gemeinsames oberes Laserniveau (z.B. 3s in Abb. 7.5) besitzen, dann wird man nut diejenige mit der hSchsten Verst~irkung beobachten. Wenn die Laserlinie ganz unterschiedliche Niveaus koppelt (z.B. 2s-2p und 3s-3p), dann lassen sich die Linien gleichzeitig beobachten. Durch die Helium-Entladung werden im Neongas sowohl

262

7 Laser

der 2s als auch der 3s-Zustand bevSlkert, wobei in der 3s-Gruppe die Besetzung des obersten 3s2-Unterzustandes dominiert. Die hSchste Verst~rkung besitzen die Wellenl~ngen bei 0,633, 1,152 und 3,392 #m. Uberg~nge mit geringerer Verst~rkung lassen sich aber beobachten, wenn die Riickkopplung durch die Resonatorspiegel mittels geeigneter Elemente frequenzselektiv wirkt. Dafiir kommen grunds~tzlich dispersive optische Elemente wie optische Gitter, Prismen, Fabry-Perot-Etalons in Frage. Zu den einfachsten Methoden geh5rt der Einbau eines LittrowPrismas wie in Abb. 7.5. Das Littrow-Prisma ist ein halbiertes Brewster-Prisma, so daft die Verluste fiir p-polarisierte Lichtstrahlen minimiert werden. Die Riickseite des Littrow-Prismas wird verspiegelt. Weil der Brechungswinkel yon der Wellenl~nge abh~ngt, l~fit sich die Laserlinie durch Verkippen des Littrow-Prismas selektieren. Eine Besonderheit ist noch der extrem hohe Verst~rkungskoeffiziAbb. 7.6 Verstdrkungsprofil eines HeNe-Lasers ent des infraroten 3,34 #m-Oberim Betrieb. Ohne Laserfeld entspricht die KleinsignalverstSrkung dem Neon-Dopplerprofil (ge- gangs (typ. 103 cm-1), der dastrichelte Linie), der Laserbetrieb modifiziert zu fiihrt, dab diese Linie fast imdas Verstdrkungsprofil dutch ,Lochbrennen" (s. mer anschwingt. Sie kann unterText). Ein symmetrisches ,,Bennett-Loch" tritt driickt werden, indem infrarot abim Stehwellenlaser auf, weil das Laserfeld mit sorbierende Gl~ser verwendet werzwei Geschwindigkeitsklassen i v wechselwirkt. den und die Baul~nge des Plasmarohrs begrenzt wird. Der letzte Umstand ist bedauerlich, weil er eine technische Grenze fiir die - mit der L~nge zunehmende - Ausgangsleistung setzt.

7.1.3

Verst~irkungsprofil~ Laserfrequenz~ spektrale Liicher

Wir stellen uns nun am Beispiel des HeNe-Lasers die Frage, wie die OszillationsFrequenz einer Laserlinie von den Eigenschaften des Gases abh~ingt. Das Fluoreszenzspektrum (die Breite der optischen Resonanzlinie) wird durch die Dopplerverbreiterung des Neon-Gases bestimmt (s. Abschn. 11.3.2). Sie ist inhomogen, und das heiBt im Hinblick auf den LaserprozeB insbesondere, dab die Kopplung der Neon-Atome an das Laserlichtfeld sehr stark von ihrer Geschwindigkeit abh~ngt. Ffir die rote Laserlinie bei 633 nm betr~gt die Dopplerlini-

7.1 Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

263

enbreite nach Gl.(ll.8) bei Raumtemperatur etwa AZ~Dopp = 1.5 GHz und kann mit einem hochauflSsenden Spektrometer (z.B. Fabry-Perot) noch gut aufgelSst werden. In Abb. 7.6 ist das Verst~rkungsprofil und seine Bedeutung fiir die Laserfrequenz zu sehen. Sie l~ifit den Laser anschwingen, wenn die Verst~irkung grSfier ist als die Verluste. Die Laserfrequenz wird im Verst~irkungsprofil durch die Resonanzfrequenzen des Laserresonators (angedeutet durch die Transmissionskurve mit den Maxima im Abstand des freien Spektralbereiches /kFSR) bestimmt. Dort kann der Laser anschwingen, wie wir im Detail in Kapitel 8.1 noch n~iher untersuchen werden, wobei eine kleine Verschiebung gegeniiber den Resonanzen des leeren Resonators beobachtet wird, die als mode pulling bezeichnet wird (S. 304). Bei den Eigenschwingungen des Lasers wird man spektrale LScher (sogenannte Bennett holes) beobachten, well dort die Verst~irkung im Gleichgewicht auf den Wert abgebaut wird, der gerade den Verlusten (inklusive der Auskopplung an den Resonatorspiegeln) entspricht. Diese Situation wird ges~ittigte Verst~irkung genannt, wobei die Atome eines Gaslasers nur innerhalb der homogenen Linienbreite zur Verstarkung beitragen. Die Atome bringen die Differenz zwischen ihrer Ruhefrequenz L,0 und der Laserfrequenz VL durch ihre Geschwindigkeit v~ in Richtung der Resonatorachse auf. Die Kleinsignalverst~irkung aus Abb. 7.6 kann man messen, indem man einen sehr schwachen, abtimmbaren Sondenstrahl durch den HeNe-Laser schickt und die Verst~irkung direkt mifit. Weil in einem Stehwellen-Resonator aber Atome an das Lichtfeld in beiden Richtungen ankoppeln kSnnen, werden zwei spektrale LScher bei = ~o • kvz beobachtet. Ein besonders interessanter Fall tritt auf, wenn die beiden LScher zur Deckung gebracht werden, zum Beispiel indem die Resonatorfrequenz durch L~ingenvariation mit einem Piezospiegel veriindert wird. Bei vz = 0 steht dann eine geringere Verst~irkung als aufierhalb des Uberlappbereichs der LScher zur Verfiigung und die Ausgangsleistung des Lasers sinkt. Dieser Einbruch wird nach Willis E. Lamb (geb. 1913) 2 als Lamb-dip bezeichnet und hat den Anstofi gegeben zur Entwicklung der S~ttigungsspektroskopie.

2W. Lamb hat sich in der Physik vor allem durch die Entdeckung der nach ihm benannten Lamb shift unsterblich gemacht, fiir die er 1955 den Nobelpreis erhielt. Er hat aber auch in den Pioniertagen der Laserspektroskopie viele Beitr~igegeleistet.

264

7.1.4

7 Laser

Einfrequenz- oder Single Mode Laser

In Abb. 7.6 liegt nur eine Resonatorfrequenz so im Verst~kungsprofil, daft die Laserschwelle fiberschritten wird. Allerdings erreicht der freie Spektralbereich AFS a = c/2~ des HeNe-Laser bei ca. g = i0 cm die Breite des DopplerProfils, d.h. bei grSi]eren Baul~ingen schwingen i.a. 2-4 Frequenzen an, denn im inhomogenen Verst~irkungsprofil tritt zwischen den Moden kein Wettbewerb um die verffigbare Inversion auf. Wir kSnnen aber zus~tzliche dispersive, mSglichst verlustarme Elemente in den Resonator einffigen, die die spektralen Eigenschaften des Verst~irkungsprofil in geeigneter Weise modulieren, um aus den angebotenen Laserfrequenzen die gewfinschte herauszufiltern. Um zwischen benachbarten Resonatormoden zu diskriminieren, kommt nur ein hoch dispersives Element wie ein Fabry-Perot-Etalon in Frage.

Beispiel: Frequenzselektion mit Intra-Cavity-Etalons.

Abb. 7.7 Frequenzselektion durch Resonatorelemente. Links: ,Diinnes" (oben) und ,dickes" (unten) Etalon (PZT: PiezorShrchen). Zur Grobabstimmung wird das diinne Etalon, ein ein./:aches Glassubstrat, verkippt, wobei der walk-off durch Parallelversatz geniigend klein bleiben muff. Das dicke Etalon wird mit einem Luftspalt unter Brewster-Winkel konstruiert, dessen Ldnge mit einem Piezoantrieb verdndert wird. Rechts: Kombinierte Wirkung von Etalon (freier Spektralbereich AFPE) und Laserresonator (ARes) auf die Transmission (und damit die Verstdrkung). In diesem Beispiel betrSgt die Ldnge des Etalons 1//5 der Resonatorldnge. Der Frequenzabstand AFp E aufeinanderfolgender O r d n u n g e n oder Transmissio n s m a x i m a des Etalons kann durch geeignete Wahl der L~inge g grSt3er gemacht werden als das n~ichst wichtige selektive Element, z u m Beispiel Laserresonator oder Verst~rkungsprofil. Man erhiilt aus geometrischen Uberlegungen nach Abschn. 5.5 Vma~ ---- N AFPE(a ) = N

c --~ N ~ 2gv/n 2 - sin 2 oL

c(

1-

7.1 Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

265

Kleine Verkippungen iindern den freien Spektralbereich nur geringffigig, reichen aber wegen der hohen Ordnung N aus, um die Frequenz sehr effizient zu verstimmen. Das in Abb. 7.7 vorgestellte massive Etalon ist einfach und intrinsisch stabil, ffihrt aber bei Verkippung zu einem walk-offund wachsenden Verlusten. Das Luftspalt-Etalon (der Luftspalt ist am Brewsterwinkel eingebracht, um die Resonatorverluste so gering wie mSglich zu halten) ist mechanisch viel aufwendiger, reduziert aber die walk-off-Verluste des gekippten Bauteils. Die Intra-Cavity-Etalons benStigen hiiufig keine Verspiegelung. Schon bei Ausnutzung der reinen Glas-Luft-Reflektivitiit von 4% erhiilt man nach G1.(5.16) eine Modulation der Gesamtverstiirkung um ca. 15%, die angesichts der geringen Verstiirkung in vielen Lasertypen zur Modenselektion vollkommen ausreicht.

7.1.5

Laserleistung

Wir wollen nun untersuchen, wie wir die Laserleistung Pout optimieren, d.h. aus praktischen Griinden im allgemeinen maximieren kSnnen. Die Eigenschaften des Verstiirkermediums sind physikalisch festgelegt und daher nut durch geeignete Wahl zu beeinflussen, und die Verluste kSnnen wir durch Gestaltung und Wahl der Bauelemente des Resonators so klein wie mSglich halten. Am Ende bleibt dann nut noch die Wahl der Spiegelreflektivitiit als letztem freien Parameter, die sich ebenfalls als Abb. 7.8 Ausgangsleistung eines Lasers als Funktion der Transmission T des AusVerlust auswirkt. Als Modell betrachten koppelspiegels und der VerstSrkung V, wir ein Fabry-Perot-Interferometer mit normiert auf die Resonatorverluste A. Verstiirkung und kSnnen dazu aus Abschn. 5.5 die TJberlegungen zu verlustbehafteten Resonatoren verwenden. Der Laser wird immer im Resonanzfall betrieben, und wir nehmen hier den in Abschn. 8.1, G1.(8.16) genauer begrfindete Abh~ingigkeit der Ausgangsleistung Pout von Verstiirkung V , Verlusten A und Transmission des einzigen Auskoppelspiegels T vorweg, Pout = Po T ( V - A - T ) A+T

und untersuchen sie als Funktion der wiihlbaren Transmission T in Abb. 7.8.

266

7.1.6

7 Laser

Spektrale Eigenschaften des HeNe-Lasers

Laser-Linienbreite Bisher haben wir monochromatische optische Lichtfelder einfach vorausgesetzt, das heit3t, wir haben angenommen, dab die optische Welle durch eine einzige genau definierte Frequenz w beschrieben werden kann. Wir werden im Kapitel fiber die Lasertheorie noch sehen, dab das Laserlicht dieser zutiefst klassischen Vorstellung einer perfekten harmonischen Schwingung wie kaum ein anderes physil~lisches Ph~nomen nahekommt: Die physikalische Grenze ffir die spektrale Breite einer Laserlinie wird nach dem sogenannten Schawlow-TownesLimit (Abschn. 8.4.4) meist in Hz oder sogar darunter gemessen! Diese physikalische Grenze kommt durch die Quantennatur des Lichtfeldes zustande und wurde schon 1958 von Schawlow und Townes in der Arbeit, in der der Laser vorgeschlagen wurde [148], erw~ihnt. Danach betr~gt die Schawlow-TownesLinienbreite Ausw des Lasers (s. G1.(8.30)) A/]ST z

N2 27rhULT~ N 2 - N1 PL

wobei UL die Laserfrequenz bezeichnet, % = Auc die D~mpfungsrate oder Linienbreite des Laserresonators, PL die Laserleistung und N1,2 die Bestzungszahlen des oberen bzw. unteren Laserniveaus.

Beispiel: S c h a w l o w - T o w n e s - L i n i e n b r e i t e des H e N e - L a s e r s . Wit betrachten den HeNe-Laser aus dem vorigen Beispiel. Die Laserfrequenz betr~gt UL = 477 THz, die Linienbreite des Resonators mit den Daten aus dem Beispiel auf S. 260 unter Vernachl~ssigung aller internen Resonatorverluste und nach G1.(5.19) Auc = 8 MHz. Der HeNe-Laser ist ein 4-Niveau-Laser (s. S. 259), so dab N1 -~ 0 gilt. Ffir 1 m W Ausgangsleistung berechnen wir eine Laserlinienbreite von nur /kuST -----2~rh. 476 THz- (8 MH~_ ___z, 2 = 0, 13 Hz lmW

!

Die extrem geringe Schawlow-Townes-Linienbreite der roten HeNe-Linie entspricht einem Q-Wert u//kUsw -----1015! Bis heute fassen die Laserphysiker diese Grenze als grot3e Herausforderung auf, denn sie verspricht, den Laser zu dem Pr~zisionsmet3instrument schlechthin zu machen, wo immer sich eine physikalische GrSt3e mit den Mitteln der optischen Spektroskopie messen l~fk.

7.1 Die Klassiker: Helium-Neon-Laser

267

Der HeNe-Laser hat von Anfang an in Pr~zisions-Experimenten eine herausragende Rolle gespielt, und eine Herausforderung ist es schon, diese Linienbreite auch nur zu vermessen! Wir wollen uns deshalb hier mit der Frage besch~ftigen, welche Methoden eingesetzt werden, um die Linienbreite eines Lasers zu bestimmen. 7.1.7

Optische Spektral-Analyse

Abb. 7.9 Links: Aufbau eines ,,Scanning Fabry-Perot Interferometers" zur spektralen Analyse yon Laserstrahlung. Rechts: Die Flanke der Transmissionskurve kann als FrequenzAmplituden-Wandler verwendet werden. PZT: PiezorShrchen; PD: Photodiode; HV: HochspannungsverstSrker.

Das Spektrum eines Laseroszillator kann wie bei jedem Oszillator mit mehreren Methoden untersucht werden: Ein Fabry-Perot-Interferometer (Abb. 7.9) kann als schmalbandiges Filter verwendet werden, dessen Mittenfrequenz fiber den interessierenden Bereich hinweggestimmt wird. Eine Photodiode mifit die gesamte Leistung, die innerhalb der Filterbandbreite transmittiert wird. Alternativ kann der Laserstrahl mit einem zweiten koh~renten Lichtfeld (Lokaloszillator) auf einer Photodiode fiberlagert werden (Abb. 7.10). Die Photodiode erzeugt durch Mischung die Differenzfrequenz. Das Uberlagerungs- oder Schwebungssignal kann wiederum mit RF-Methoden analysiert werden.

Fabry-Perot Spektrum-Analysator Die einfachste und deshalb im Labor vielf~ltig eingesetzte Methode ist das kurz als ,,Scanning Fabry-Perot" bezeichnete optische Filter, gewShnlich ein konfokaler optischer Resonator, dessen einer Spiegel mit Hilfe eines PiezoStellelements um einige freie Spektralbereiche verstimmt (im Jargon ,,gescanned") werden kann. Die AuflSsung des optischen Filters erreicht gewShnlich einige MHz und kann daher nur ffir grobe Analysen oder Laser mit grofier Linienbreite (wie zum Beispiel Diodenlaser, s. Kap. 9) eingesetzt werden.

268

7 Laser

Wenn die Linienbreite des Lasers kleiner ist als die Breite der Transmissionskurve des Fabry-Perot-Interferometers, kann man aber immer noch Informationen fiber die Frequenzfluktuationen des Lasers gewinnen, indem man seine Frequenz auf die Flanke der Filterkurve setzt und diese als Frequenzdiskriminator verwendet: Frequenzschwankungen werden in Amplitudenschwankungen umgesetzt, die dann wiederum mit den Methoden der RF-Technik oder durch Fouriertransformation analysiert werden kSnnen. Uberlagerungs-VerfAhren Bei der 0berlagerungs-Methode mut3 man darauf achten, dab die Wellenfronten der beiden Lichtfelder mit grot3er Ebenheit auf die Photodiode treffen, weil andernfalls das Schwebungssignal stark reduziert wird.

Abb. 7.10 Uberlagerungsverfahren zur Bestimmung der Linienbreite. Oben: Uberlagerung mit einem als Lokal-OsziUator verwendeten Laser. Unten: Uberlagerung nach dem AutoKorrelations-Verfahren. (PD: Photodiode; BS: Strahlteiler; AOM: Akustooptischer Modulator, s. Abschn. 3.8.4)

In Abb. 7.10 wird das Schema vorgestellt, nachdem man ein 0berlagerungssignal bei RF-Frequenzen gewinnen kann. Einerseits kann man einen zweiten Laser als Lokal-Oszillator verwenden. Er mut3 viel ,,stabiler" sein als der zu testende Laser, und seine Frequenz darf nicht zu weit vonder Testfrequenz abweichen, denn oberhalb von 1-2 GHz werden Hochgeschwindigkeits-Photodioden

7.2 AndereGaslaser

269

im Betrieb immer unhandlicher (die aktive Fl~che wird immer kleiner, um parasit~e Kapazit~Lten zu vermeiden und Bandbreite zu gewinnen) und teurer. Eine Alternative ist das Autokorrelationsverfahren, bei welchem sich der Laser gewissermafien selbst aus dem Sumpf zieht: Ein Teil des Laserlichts wird mit einem AOM (Akustooptischer Modulator) abgespalten und dabei um die Frequenz ~s verschoben, die typischerweise einige 10 MHz betr~Lgt. Einer der beiden Lichtstrahlen wird nun fiber eine lange Lichtleitfaser soweit verzSgert, dat3 keine Phasenbeziehung (,,Koh~renz") mehr zwischen den beiden Lichtwellen besteht. Die beiden Lichtwellen werden wie zuvor auf einer Photodiode fiberlagert und das abgemischte Signal wird mit einem RF-Spektrum-Analysator untersucht. Das Verfahren ist zu einem Michelson-Interferometer vollst~indig analog. Es wird bei einem Gangunterschied betrieben, der grSfler ist als die Koh~renzl~nge. Dort gibt es zwar keine Visibilit~t (d.h. der Mittelwert des Interferenzsignals verschwindet), wohl aber ein schwankendes Schwebungssignal, das ein gutes Marl fiir die spektralen Eigenschaften des Lasers liefert.

7.1.8

Anwendungen des HeNe-Lasers

Zur Herstellung der HeNe-LaserrShre eignete sich die Fertigungstechnologie der RadiorShren ganz ausgezeichnet. RadiorShren wurden in den 60er-Jahren durch die Transistoren abgelSst, deshalb war auch eine grofie Produktionskapazit~t vorhanden, als der HeNe-Laser entdeckt wurde. Dieser Umstand ist seiner schnellen Verbreitung sehr entgegen gekommen. Die bekannteste Wellenl~nge des HeNe-Lasers ist die rote Laserlinie bei 632 nm, die in unz~hligen Justier-, Interferometer- und Leseeinrichtungen verwendet wird. Allerdings geht die Verwendung des roten HeNe-Lasers schnell zurfick, seitdem rote Diodenlaser verffigbar geworden sind, die mit gewShnlichen Batterien betrieben werden k5nnen, eine sehr kompakte Bauform besitzen und inzwischen auch sehr akzeptable TEM00-Strahlprofile bieten. Der HeNe-Laser spielt auch heute noch eine wichtige Rolle in der Metrologie (der Wissenschaft von den Pr~isionsmessungen). Die rote Linie wird beispielsweise benutzt, um L~ngennormale zu realisieren, und die infrarote Linie bei 3,34 #m bildet einen sekund~iren Frequenzstandard, wenn sie auf eine bestimmte Resonanz des Methan-Molekfils stabilisiert wird.

7.2

Andere Gaslaser

Nach dem Erfolg des Helium-Neon-Lasers sind auch viele andere Gassysteme auf ihre Eignung als Lasermedium untersucht worden. Gaslaser haben eine

270

7 Laser

kleine Verst~irkungsbandbreite stimmbarkeit

innerhalb

und sind, wenn man

der Doppler-Bandbreite

von der geringen Durch-

absieht, Festfrequenzlaser.

Tab. 7.2 Ubersicht: Gaslaser Laser

Kfirzel

c w / p 1)

Laserlinien

Leistung

Neutralatomgas-Laser Helium-Neon

Helium-Cadmium

HeNe

HeCd

cw

cw

633 1.152 3.391 442 325

nm

514 488 334 - 364 647 407

nm

10 W

nm

5 W

nm nm nm nm

50 50 50 200 50

mW mW mW mW mW

Edelgas-Ionen-Laser Argon-Ionen

Krypton-Ionen

Ar +

cw

nm

7 W

nm

5 W

nm

2 W

337 n m

100 m W

Kr +

cw

Stickstoff

N2

p

Kohlen-Monoxid

CO

cw

4 - 6 ~m

100 W

Kohlen-Dioxid

CO2

cw

9, 2 - 10, 9 ~ m

10 k W

Molekfilgas-Laser

Metalldampf-Laser Kupferdampf

Cu

P

511 n m 578 n m

60 W 60 W

Golddampf

Au

p

628 n m

9 W

1) cw = kontinuierlich, p = gepulst

Helium-Neon-Laser und andere Gaslaser spielen eine wichtige Rolle als Instrumenten-Laser, falls sie brauchbare physikalisch-technische Eigenschaften besitzen wie zum Beispiel gute Strahlqualit~it, hohe Frequenzstabilit~it und niedrige Verbrauchswerte. Einzelne Gaslaser sind wegen der groflen Ausgangsleistung gefragt, die sie nicht im Puls-, sondern im Dauerstrich-Betrieb (Engl. cw, continuous wave) bieten. In der Tabelle 7.2 sind diejenigen aufgez~hlt, die heute praktische Bedeutung besitzen. Techniseh ist es wfinschenswert, daft die Substanz schon bei Raumtemperatur gasfSrmig vorliegt. Daher sind Edelgase besonders attraktiv. Technische Bedeutung erlangt haben Argon-lonenlaser mit deutlichem Abstand vor den Krypton-Ionenlasern.

7.2 AndereGaslaser

7.2.1

271

Argon-Laser

Eine groi~e Rolle spielt der Argon-Ionen-Laser, weil er zu den leistungsst~irksten Quellen von Laserstrahlung z~ihlt und kommerziell mit mehreren Watt Ausgangsleistung erh~iltlich ist. Allerdings betr~igt die technische Konversionseffizienz, das Verh~iltnis von elektrischer Anschlufileistung und optischer Nutzleistung typischerweise 10 kW:10W. Fiir viele Anwendungen ist das vollkommen inakzeptabel und wird zus~tzlich durch die Notwendigkeit belastet, den grSfiten Tell der aufgewendeten Energie durch eine ebenfalls aufwendige Wasserkiihlung wieder zu vernichten. Es ist daher zu beobachten, daft dem Argon-Laser mit den frequenzverdoppelten Nd:YAG-Lasern (s. Abschn. 7.4.2) derzeit ein wirtschaftlich kr~iftiger Konkurrent heranreift. Im ultravioletten Spektralbereich ist aber noch kein Konkurrent fiir den Ar-Ionen-Laser in Sicht.

Abb. 7.11 Laserprozefl des Argon-Ionenlasers und Schnitt dutch das Plasmarohr. Das Magnetfeld dient zur Biindelung des Plasmastroms auf der Achse. In den Kupferscheiben sorgen zuMitzliche Bohrungen fiir den Riickflufl der Argon-Ionen.

Verst~irker Die Anregung der hochliegenden Ar+-Zust~inde geschieht durch sukzessive StSt3e mit Elektronen. Daher ist eine sehr viel h5here Stromdichte als in einem Helium-Neon-Laser erforderlich. Das obere Laserniveau kann dabei sowohl aus dem Ar+-Grundzustand als auch aus anderen Niveaus darfiber oder darunter bevSlkert werden. Krypton-Laser folgen einem ganz ~ihnlichen Konzept, haben aber weniger technische Bedeutung erlangt.

272

7 Laser

Betriebsbedingungen In den 0, 5 bis 1, 5 m langen Rohren brennt eine Entladung, die ein ArgonPlasma unterhiilt. Der Schnitt durch das Plasmarohr in Abb. 7.11 deutet die komplexe Technologie an, die wegen der hohen Plasmatemperaturen notwendig ist. Die inneren Bohrungen des Plasmarohrs werden durch widerstandsfiihige Wolfram-Scheiben geschiitzt, die in Kupferscheiben eingesetzt sind, um die Warme schnell abzuleiten. Ein Magnetfeld fokussiert den Plasmastrom zusiitzlich auf die Achse, um die Wiinde vor Abtragung zu schiitzen. Weil durch Diffusion die Argon-Ionen zur Kathode wandern, sind die Kupferscheiben mit L5chern fiir den Ausgleichstrom versehen. Ein Argonlaser verbraucht Gas, weil die Ionen in den Wiinden implantiert werden. Die kommerziellen Ionenlaser sind deshalb mit einem automatischen Reservoir ausgestattet. Der Gasdruck betdigt im Argon-Ionenlaser 0, 01 - 0, 1 mbar.

Eigenschaften und Anwendungen Die Ar-Ionen besitzen mehrere optische Ubergiinge bis hinein in den ultravioletten Spektralbereich, die mit hoher Ausgangsleistung betrieben werden kSnnen. Wegen ihrer hohen Ausgangsleistung haben sie bisher den Markt fiir festfrequente Laser mit hoher Pumpleistung beherrscht, werden aber derzeit durch die frequenzverdoppelten Nd:YAG-Laser ernsthaft in Frage gestellt. Im Laserlabor sind sie seit Jahrzehnten nicht wegzudenken, weil mit ihnen andere, abstimmbare Laser wie zum Beispiel Farbstoff- und Titan-Saphir-Laser angeregt, oder wie man salopp sagt, ,,gepumpt" werden.

7.2.2

Metandampf-Laser

Die Kupfer- und Gold-Dampf-Laser sind kommerziell erfolgreich, well sie fiir viele Zwecke attraktive Spezifikationen bieten: Es handelt sich um gepulste Laser, die aber mit ca. I0 KHz sehr hohe Repetitionsraten besitzen. Die Pulsl~nge betdigt einige I0 ns und die durchschnittliche Ausgangsleistung kann i00 W betragen. Die wichtigsten Wellenliingen sind die gelbe 578 nm und die griine 510 nm Linie (2pi/2,3/2 -+ 2D3/2,5/2) des Kupferatoms. Die physikalische Ursache fiirdiesen Erfolg, den man angesiehts einer Betriebstemperatur des Metalldampfes yon ca. 1500 C nicht unbedingt erwartet, sind die hohe Anregungswahrscheinlichkeit durch Elektronenstofi (die Entladung wird zum Beispiel yon einem Neon-Puffergas getragen) und die hohe Kopplungsstiirke der dipolerlaubten LIbergiinge.

7.2 Andere Gaslaser

7.2.3

273

Molekfilgas-Laser

Im Unterschied zu den A t o m e n verffigen Molekfile fiber Schwingungs- u n d Rotationsfreiheitsgrade u n d d a m i t fiber ein viel reicheres Linienspektrum, das im Prinzip auch in einem vielf~ltigen S p e k t r u m von Laserlinien resultiert. A1lerdings sind die elektronischen Anregungen vieler gasfSrmiger Molekfile sehr kurzwellig, so dat3 es im interessanten sichtbaren Spektralbereich gar nicht so viele S y s t e m e gibt, die sich erfolgreich b e t r e i b e n lassen. Zu den A u s n a h m e n gehSren der N a t r i u m - D i m e r e n - L a s e r (Na2), der aber keine praktische Bedeut u n g erlangt hat, weil N a t r i u m d ~ m p f e erst bei sehr hoher T e m p e r a t u r eine sinnvolle Dichte von Dimeren enthalten, u n d der Stickstoff-Laser, d e r n u r noch als D e m o n s t r a t i o n s o b j e k t V e r w e n d u n g findet. I m m e r h i n kann m a n diesen Laser sogar im E i g e n b a u herstellen!

Abb. 7.12 Einfacher ,Luftlaser"zum Eigenbau. Entscheidend fiir die FunktionsfShigkeit ist die hohe Parallelitdt der Schneiden. Exkurs: Kann man mit Luft einen Laser betreiben?

Die kurze Antwort lautet: Ja! Der 78%ige Stickstoffanteil der Luft eignet sich als Laserverst~irker. Und noch schSner: ein primitiver ,,Luftlaser" ist so einfach konstruiert, da~ er mit einigem Geschick (und Vorsicht wegen der Hochspannung!) in der Schule oder in einero wissenschaftlichen Praktikum nachgebaut werden kann. Die urspriingliche Idee eines simplen Stickstoffiasers wurde schon 1974 im Scientific American mit einer Bauanleitung vorgestellt [161]. Sie ist insofern noch auhvendig, als eine Vakuumeinrichtung zur Kontrolle des Stickstoffflusses erforderlich ist. Das Konzept hat mit Vereinfachungen viele Nachahmet gefunden, gar nicht selten in Schfilerprojekten [176]. Diese Laser kSnnen - bei etwas verringerter Ausgangsleistung - direkt mit dem Stickstoff der Luft betrieben werden. In der einfachsten Version wird dazu eine 0berschlag-Entladung entlang der Schneiden von Abb. 7.12 verwendet. Der 0berschlag wird nach der Schaltskizze von Abb. 7.13 erzeugt: Die Schneiden werden zun~hst auf gleiches Hochspannungspotential aufgeladen. Der Luftdurchbruch findet zuerst an der scharfen Spitze der Funkenstrecke statt, wodurch zwischen den Schneiden abrupt die volle Spannung anliegt. Die Entladung brennt entlang der Schneiden

274

7 Laser

und bricht bei den hier in Frage kommenden Hochspannungsquellen mit groi3em Innenwiderstand auch schnell wieder ab. Geeignete Hochspannungsquellen sind in vielen Einrichtungen

Abb. 7.13 Links: Moleki~Ipotentiale im Stickstoff-Molekiil (schematisch). Rechts: Schaltplan

des Luftlasers. verfiigbar, ein kleiner Spannungsvervielfacher kann aber ohne groi3en Aufwand auch selbst a~gefertigt werden. Das zentrale experimentelle Problem ist erfahrungsgem~iB eine reproduzierbare und stabile Entladung. Zwischen den Schneiden wird eine linienfSrmige Besetzungsinversion yon Stickstoff-Molekfilen erzeugt, die zur Laseremission auf der 337,1 nm-UV-Linie ffihrt. In Abb. 7.13 sind relevam te Molekfilniveaus mit ihren Namen schematisch dargestellt. Das untere Laserniveau wird nur sehr langsam entleert, weil die beiden beteiligten Zust~nde zum Triplett-System des Molekiils (parallele Elektronen-Spins) geh6ren, das keine Dipolfiberg~i~ge zum SingulettGrundzustand besitzt. Deshalb kann die Besetzungsinversion auch durch eine kontinuierliche Entladung nicht aufrecht erhalten werden und die Lasert~tigkeit bricht nach wenigen Nanosekunden ab. Der ,,spiegelfreie Luftlaser" ist strenggenommen kein Laser, sondern ein sogenannter ,,Superstrahler". In einem Superstrahler wird die spontane Emission entlang der linienfSrmigen Inversionsverteilung verst~rkt (auch: ASE, von engl. Amplified Spontaneous Emission) und als koh~enter, gerichteter Lichtblitz abgestrahlt.

C02-Laser Die wichtigsten Vertreter der Molekiilgaslaser sind die Kohlenstoffoxide C O u n d CO2, bei denen infrarote 0berg~inge zwischen den V i b r a t i o n s - R o t a t i o n s Niveaus ausgenutzt werden. Der CO2 ist einer der leistungsst~rksten Laser i i b e r h a u p t u n d spielt daher eine wichtige Rolle in der M a t e r i a l b e a r b e i t u n g mit Lasern. [78]

7.2 Andere Gaslaser

275

Verst~irkung Die molekularen Zust~inde, die am Laserprozet3 im CO2-Laser beteiligt sind, findet man in Abb. 7.14, eine symmetrische (Vl), eine antisymmetrische (v3) Streckschwingung und eine Biegeschwingung (v2). Der Zerfall des (001)-Niveaus ist zwar dipolerlaubt, aber dennoch sehr langsam wegen des wa-Faktors im Einstein-A-Koeffizienten. Der wichtigste Laser-0bergang findet zwischen dem (001)- und dem (100)-Niveau statt.

Abb. 7.14 Laserprozesse im C02-Laser. Die anDie CO-Laser werden mit einer Ent- geregten N2-Molekiile iibertragen ihre Energie ladung angeregt. Direkte Bev61ke- durch St6fle auf die C02-Molekiile, deren Larung des oberen Laserniveaus ist seriibergSnge mit den zugehSrigen VibrationsQuantenzahlen dargestellt sind. mSglich, aber unter Beigabe von Stickstoff indirekt wesentlich gfinstiger: Metastabile N2-Niveaus kSnnen nicht nur sehr effizient angeregt werden, sondern iibertragen die Energie auch wirkungsvoll auf die CO2-Molekiile.

Abb. 7.15 Emissionslinien des C02-Lasers auf der 9,6 #m und der 10,6 #m-Linie. Wenn ein Resonator-Spiegel als Gitter ausgelegt wird, kann die Abstimmung sehr leicht durch Rotation des Gitters erreicht werden. Die Bezeichnung R,P-Zweig stammt aus der Molekiilspektroskopie. In den R-Zweigen des Spektrums wird die Rotations-Quantenzahl des Molekiils J u m 1 erniedrigt, in den P-Zweigen um 1 erhSht, J --+ J=hl.

Das (100)-Niveau wird durch Stofiprozesse sehr rasch entleert, und aufierdem ist es energetisch dem (020)-Niveau benachbart, das seinerseits ftir ein schnelles Einstellen des thermischen Gleichgewichts auch mit den (000) und (010)Niveaus sorgt. Dabei spielt die sogenannte vv-Relaxation eine wichtige Rolle,

276

7 Laser

die auf Prozessen vom Typ (020)+(000) --* (010)+(010) beruht. Starke Heizung des C02-Gas ist andererseits unerwiinscht, weil sie die Population im unteren Laserniveau erhSht. Sie kann durch Beimischung von He als W~rmeleitmittel deutlich reduziert werden. In Abb. 7.14 haben wir die Rotationsniveaus des Molekiils ganzlich vernachlAssigt, sie verursachen aber eine Feinstruktur der Schwingungsiiberg~nge, die zu vielen, nahe beieinander liegenden Laserwellenl~ingen ffihrt (Abb. 7.15). Ein typischer CO2-Laser stellt ca. 40 Uberg~nge aus den P- und R-Zweigen des Rotations-Vibrations-Spektrums zur Verfiigung. Die Verst~rkungsbandbreite der einzelnen Linie (50-100 MHz) ist sehr gering, weil der Dopplereffekt bei den niedrigen infraroten Frequenzen keine signifikante Rolle mehr spielt. Die Linien eines CO2-Lasers lassen sich mit einem Gitter selektieren.

Abb. 7.16 Wichtige Bauformen yon C02-Lasern. Der konventionelle Laser (a) wird mit einer abgeschmolzenen RShre bei longitudinaler Entladung betrieben. Zur ErhShung der Ausgangsleistung kann ein longitudinaler Gasflufl (b) oder ein Rf-Wellenleiter-Laser (c) eingesetzt werden. HSchste Leistungen werden erzielt, wenn sowohl der Gas]~ufl als auch die Entladung transversal zum Laserstrahl betrieben werden (TE-Laser) (d).

BetriebsbedingungeDer CO2-Laser gehSrt zu den leistungsst~rksten und robustesten Lasertypen iiberhaupt. Er stellt eine hohe und fokussierbare Energiedichte zur Verfiigung, die sich hervorragend zur berfihrungsfreien Materialbearbeitung eignet. Wegen des hohen Anwendungspotential sind viele technisch verschiedene CO2Lasertypen entwickelt worden (Abb. 7.16).

7.2 AndereGaslaser

277

Der Betrieb des CO2-Laser wird durch induzierte chemische Reaktionen gestSrt. Man mut3 deshalb ffir eine Regeneration des Lasergases sorgen, entweder, indem man ihn im Durchflut3 betreibt, oder indem man das Gas mit geeigneten Katalysatoren versieht, zum Beispiel mit einer kleinen Wasserbeimengung, die die unerwfinschten CO-Molekfile wieder zu CO2 oxidiert. Ausgangsleistungen von mehreren 10 kW werden in grSfieren Lasersystemen routinem~fiig erzielt. Excimer-Laser

Excimer-Laser spielen eine wichtige Rolle in Anwendungen, well sie sehr energiereiche und zudem die kfirzesten UVLaserwellenlangen anbieten, allerdings nur in gepulster Form. Der Begriff Excimer ist eine Kurzform ffir excited dimer und bezeichnet besondere zweiatomige Molekfile (Dimere), die nur in einem angeregten Zustand fiberhaupt existieren. Der Begriff ist heute auf alle Molekfile fibertragen worden, die nur angeregt existieren, z.B. ArF oder XeC1, um zwei ffir die Laserphysik Abb. 7.17LaserprozeflimExcimer-Laser. wichtige Beispiele zu nennen. Das Termschema und Prinzip des Excimer-Lasers ist in Abb. 7.17 vorgestellt. Weil der untere Zustand intrinsisch instabil ist, wird die Inversionsbedingung gewissermat3en immer erffillt, wenn die Excimer-Molekfile erst einmal existieten. Zur deren Erzeugung wird das Gas mit UV-Licht vorionisiert, um die Leitf~higkeit zu erhShen und damit die Anregungsemzienz in der anschlieflenden Entladung zu steigern. Die Lebensdauer der Excimer-Molekfile betr~igt typischerweise 10 ns, die auch die Pulsdauer dieses Lasertyps bestimmt. Erzeugung und Behandlung eines Gases von Excimer-Molekfilen sind durchaus aufwendig, das Gas ist korrosiv und das Lasermedium altert nach einigen Tausend oder Millionen Pulsen (bei typischen Repetitionsraten von 10-1000 Pulsen pro Sekunde). Deshalb mfissen zur Konstruktion ausgesuchte Materialien und ausgefeilte Gastausch-Systeme eingesetzt werden. Die hohe Nachfrage nach Excimer-Lasern ffir medizinische Anwendungen und der zunehmende Einsatz in der Halbleiter-Industrie als Lichtquelle ffir die optische Lithographie (s. Exkurs in Abschn. 4.3.2) haben aber heute schon die KrF-Laser bei

278

7 Laser

248 nm, in Zukunft wohl auch den ArF (193 nm) und sogar den Laser mit der kiirzesten kommerziell erhiiltlichen Wellenliinge, den F2-Laser, zu ausgereiften Produkten werden lassen.

7.3

Die Arbeitspferde: FestkSrper-Laser

Der von T. Maiman [117] konstruierte erste Laser der Welt war ein gepulster Rubin-Laser, dessen rotes Licht ()~ -- 694,3 nm) von den Chrom-Ionen eines Cr:A1203-Kristalls emittiert wurde, und damit ein FestkSrperlaser. Allerdings spielt er heute nur noch aus historischen Griinden eine Rolle. FestkSrperlaser verzeichnen jedoch wachsende Bedeutung, weil viele Typen mit den immer leistungsfiihiger werdenden Diodenlasern angeregt werden kSnnen. Dabei kann vonder in das System gesteckten elektrischen Leistung bis zu 20% in Lichtleistung konvertiert werden. FestkSrperlaser gehSren wegen ihrer robusten Bauformen und 5konomischen Betriebsweise zu den bevorzugten Laserlichtquellen.

7.3.1

Optische Eigenschaften von Laser-Kristallen

In zahlreichen Wirtsgittern k5nnen optisch aktive Ionen gel5st werden, die wir uns wie ein eingefrorenes Gas vorstellen k5nnen. Um von einer L5sung sprechen zu kSnnen, darf die Konzentration nicht gr56er sein als hSchstens einige Prozent. Dennoch ist die Dichte dieser Fremdionen im Kristall sehr viel grSi~er als die Teilchendichte in einem Gaslaser und erlaubt daher auch eine gr56ere Verst~rkungsdichte, falls geeignete optische Ubergiinge existieren. Natiirlich mfissen die Wirtsgitter hohe optische Qualitiit besitzen, denn Verluste durch Absorption und Streuung beeintriichtigen die Laseroszillation. Fremdionen kSnnen besonders leicht in einen Wirtskristall eingebaut werden, wenn sie ein chemisch iihnliches Element ersetzen kSnnen. Daher enthalten viele Materialien Yttrium, das sehr leicht durch Seltene Erden ersetzt wird. Eine andere wichtige Eigenschaft der Wirtskristalle ist ihre Wiirmeleitfiihigkeit, denn in j edem Fall wird im Kristall ein gro6er Anteil der Anregungsenergie in Wiirme umgesetzt. Durch inhomogene Temperaturverteilungen im Laserkristall werden zum Beispiel wegen der BrechungsindexiinderungenLinseneffekte hervorgerufen, welche die Eigenschaften der Gau6schen Resonatormode empfindlich veriindern. Well die wenigsten Lasermaterialien alle Wiinsche auf einmal erfiillen, ist die Zucht neuer, verbesserter Laserkristalle auch heute noch ein wichtiges Forschungsgebiet in der Laserphysik. Im einfachsten Fall werden die Eigenschaften der freien Ionen durch den FestkSrper nur geringfiigig modifiziert. Das zeigt sich am Beispiel der Energieniveaus des Erbium-Ions in verschiedenen Gl~ern (Abb. 7.18). Diese Laser kann

7.3 Die Arbeitspferde: FestkSrper-Laser

279

Tab. 7.3 Ausgew~ihlteWirtsmaterialien [14] Formel Wirt

W~irmeleitf.

0 n/0 T

Wcm-lK-1

10-6K-1

Ionen

Granat

YAG

Y3A15012

0,13

7,3

Vanadat

YVO

YVO4

0,05

3,0 (o) 8,5 (e)

Fluorid

YLF

LiYFa

0,06

-0,67 (o) -2,30 (e)

Nd, Yb

Saphir

Sa

A1203

0,42

13,6 (o) 14,7 (e)

Ti, Cr

SiO2

0,01 typ.

3-6

Glas

Nd, Er, Cr, Yb Nd, Er, Cr

Nd

man mit den Konzepten eines ,,eingefrorenen" Gaslasers sehr gut beschreiben.

Abb. 7.18 Das Absorptionsspektrum des Erbium-Ions Er 3+ zeigt in den Wirtsmaterialien Y A G (oben) und YAI03 (unten) im wesentlichen dieselbe Struktur. Nach [4]

Eine wichtige Gruppe von Elementen bilden die Ionen der Seltenen Erden, deren ungewShnliche Elektronen-Konfiguration sie ffir den Laserbetrieb besonders geeignet machen. Zu einer anderen gehSren die Ionen einfacher Ubergangsmetalle, die es erlauben, fiber groBe Wellenl~ingenbereiche abstimmbare Lasersysteme zu bauen. Sie bilden die Gruppe sogenannter vibronischer Laser, zu der auch die Farbzentrenlaser z~hhlen.

280

7.3.2

7 Laser

Seltene Erd-Ionen

Als Lanthanide oder Seltene Erden a bezeichnet m a n die 13 Elemente, die d e m L a n t h a n (La, Ordnungszahl 57) mit N = 58 (Cer, Ce) bis N = 70 (Ytterbium, Yb) folgen. Als Fremdionen liegen sie gewShnlich in dreifach ionisierter Form mit der Elektronenkonfiguration [Xe]4f '~ vor, wobei 1 _< n < 13 das n-te Element nach d e m L a n t h a n bezeichnet. Die optischen Eigenschaften eines ansonsten transparenten Wirtsgitters werden yon den 4 f - E l e k t r o n e n bestimmt, die im R u m p f dieser Ionen lokalisiert sind u n d deshalb nur relativ schwach an das Gitter des Wirtskristalls ankoppeln. In guter N~herung werden die elektronischen Zust~inde durch die L S - K o p p l u n g u n d die Hundschen Regeln beschrieben [175]. Wegen der grot3en Zahl von Elektronen, die jeweils einen Bahndrehimpuls g = 3 mitbringen, gibt es im allgemeinen eine Vielzahl von Feinstruktur-Zust~nden, die zu der Niveau-Vielfalt in Abb. 7.20 fiihren.

Beispieh E n e r g i e n i v e a u s d e s N e o d y m 3 + - I o n s

Abb. 7.19 Energieniveaus yon Neodym3+-Ionen im FestkSrper. Die Details der Aufspaltungen hgngen vom Wirtsgitter ab. Das Nd3+-Ion besitzt 3 Elektronen in der 4f-Schale; nach den Hundschen Regeln koppeln sie im G r u n d z u s t a n d mit d e m maximalen Gesamtspin S = 3/2 u n d d e m Gesamt-Bahndrehimpuls L = 3 § 2 § 1 = 6. Aus d e m aI-Multiplett wird wegen der weniger als halb besetzen Schale der G r u n d z u s t a n d bei J = 9/2 erwartet. Anders als beim freien A t o m oder Ion wird aber durch die anisot r o p e n Kristallfelder der lokalen U m g e b u n g auch die magnetische E n t a r t u n g in der m - Q u a n t e n z a h l aufgehoben. Die Kopplung an die Gitterschwingungen 3Die Seltenen Erden sind in der Erdkruste keineswegs selten. Weil ihre chemischen Eigenschaften aber sehr fi~hnlichsind, war es lange Zeit schwierig, sie mit groi3er Reinheit darzustellen. Das Element Pm (Promethium) ist nicht verwendbar, weil es stark radioaktiv ist.

7.3 Die Arbeitspferde: Festk6rper-Laser

281

(,,Phononen") ffihrt schlie~lich zu den homogen verbreiterten Multipletts aus Abb. 7.19

Abb. 7.20 Energieniveaus der Seltenen Erden mit ausgewiihlten Bezeichnungen. Der mit Diodenlasern anregbare Bereich ist gekennzeichnet. Nach [73].

Die strengen Dipolauswahlregeln des freien Atoms (At = • werden durch die (schwache) Kopplung der elektronischen Zust~inde an die Umgebung des elektrischen Kristallfeldes aufgehoben, das eine Mischung von 4 f n und 4fn-15d Zust~inden verursacht. Die Energie-Verschiebung durch diese Wechselwirkung ist eher gering, beim strahlenden Zerfall fiberwiegt aber nun die Dipolkopp-

282

7 Laser

lung und verkiirzt die Lebensdauern der Zust~inde dramatisch in den Bereich einiger #s. Man beobachtet daher intensive Absorption und Fluoreszenz der Seltenen-Erd-Ionen auf Ubergangen zwischen den Feinstruktur-Niveaus. Andererseits wird wiederum nicht aus jedem Niveau Fluoreszenz beobachtet, weil es konkurrierende Relaxations-Prozesse dutch die Kopplung der ionischen Zust~inde an die Gitterschwingung..en oder Phononen des Wirtsgitters gibt, die zu vollst~indig strahlungslosen Uberg~ingen ffihren kSnnen. Diese Prozesse sind umso wahrscheinlicher, je n~iher die Feinstrukturniveaus beieinander liegen. Die Fluoreszenzlinien in Abb. 7.18 sind relativ schmal, weil der atomare Charakter der Ionen weitgehend erhalten ist.

7.4

Ausgew ihlte FestkSrperlaser

Anhand von Abb. 7.20 kann man sich leicht vorstellen, dab es zahllose verschiedene Lasermaterialien unter Beteiligung von Seltenen-Erd-Ionen gibt [92]. Wir wollen einige besondere FestkSrperlasern herausgreifen, die eine wichtige Rolle als efliziente, leistungsstarke oder rauscharme Festfrequenzlaser spielen. Solche Laser werden z.B. als Pumplaser ffir durchstimmbare Lasersysteme oder zur Materialbearbeitung verwendet, bei der es auf intensive Laserstrahlung mit guten Koh~enzeigenschaften ankommt. Durchstimmbare Laser, die immer mehr auf FestkSrpersysteme zurfickgreifen werden, sollen erst im folgenden Kapitel fiber vibronische Laser (7.5) besprochen werden.

7.4.1

Neodym-Laser

Der Neodym-Laser gehSrt zu den schon in den Kindertagen des Lasers entwiekelten Ger~iten. Er wurde bis vor einiger Zeit mit Hoehdruck-Edelgaslampen angeregt, von deren Lichtenergie aber nur ein kleinerer Teil absorbiert wurde, w~ihrend der gr5fiere ungenutzt als W~irme abgeffihrt und vernichtet wurde. Auch die Idee, diese Laser mit Laserdioden anzuregen, kam schon sehr frfih auf, konnte aber wegen technischer und 5konomischer Probleme erst in den 80er-Jahren realisiert werden. Heute sind Pumpdioden nicht mehr wegzudenken, und das Ende dieser erfolgreichen Entwicklung ist mehr als zehn Jahre sparer noch nicht abzusehen. In Tab. 7.3 sind ausgew~ihlte Wirtsmaterialien vorgestellt, die heute groi~e Bedeutung ffir den praktischen Einsatz haben.

7.4 AusgewahlteFestkSrperlaser

283

Abb. 7.21 Laseriibergdnge yon Neodym-Lasern und Absorptionsspektrum.

Neodym-Verst~trker Die energetische Struktur der Neodym-Ionen haben wir schon oben beschrieben (Abschn. 7.3.2). Wir haben auch schon erw~ihnt, da6 sich mit Ionen im FestkSrper eine sehr viel hShere Dichte angeregter Atome als im Gaslaser erzielen l~i6t. In den meisten Wirts-Kristallen gilt das ffir Konzentrationen bis zu einigen Prozent. Dariiberhinaus treten die Ionen miteinander in Wechselwirkung, wobei unerwiinschte, nichtstrahlende Relaxationen auftreten kSnnen. Es gibt aber auch spezielle Materialien wie zum Beispiel Nd:LSB (Nd:LaScB), in denen das Neodym stSchiometrisch mit 25% vorkommt. Wegen der extrem hohen Verst~irkungsdichte lassen sich mit solchen Materialien au6erordentlich kompakte, intensive Laserlichtquellen aufbauen. Der ai9/2 ~4Fs/2-(Ibergang des Nd 3+ -Ions l~i6t sich sehr vorteilhaft mit Diodenlasern bei der Wellenl~inge von 808 nm anregen, wobei das obere aF3/2Laserniveau sehr schnell durch phononische Relaxation bevSlkert wird. Weil das untere 4Ill/2-Niveau ebenso schnell entleert wird, ist der Neodym-Laser ein ausgezeichneter 4-Niveau-Laser. Bauarten und Betriebsbedingungen Wegen ihres vielfiiltigen Anwendungspotentials gibt es zahllose technische Varianten der Neodym-Laser. Bevor Diodenlaser-Pumpen in ausreichender Qualit~it zur Verfiigung standen, wurde der Kristall im Dauerstrich-Laser h~iufig mit Hochdruck-Xe-Lampen angeregt, die sich im zweiten Brennpunkt eines elliptischen Hohlraums befanden, um mSglichst hohe Kopplungseffizienz zu erreichen (ADD. 7.22(a)). Mit Diodenlasern ist das Leben in dieser Hinsicht sehr viel einfacher geworden:

284

7 Laser In Abb. 7.22(b) ist ein derart vom Ende her gepumpter (,,endgepumpter") linearer Laser gezeigt, dessen einer Endspiegel in den Laserstab integriert ist. Bei dieser Bauart wird aber die Pumpleistung ungleichm~t]ig absorbiert, so daft auch die Verst~rkung entlang des Laserstrahls schnell variiert. Daher verwendet man auch gerne Z-fSrmige Resonatoren, die symmetrisches Pumpen von beiden Seiten erlauben (s. Abb. 7.23).

Eine ErhShung der Ausgangsleistung kann man mit den sogenannten ,Slab"-Geometrien (slab: Scheibe) erreichen, in denen die Pump-Energie transversal zugeffihrt wird. In dieser Anordnung lafit sich auch das Licht mehrerer Pumplaserdioden gleichzeiAbb. 7.22 Bauformen yon Neodym-Lasern rig ausnutzen. Dabei ist es technisch ($1,2 Resonatorspiegel, P L A usgangleistung) : vorteilhaft, die Laserdioden raum(a) Pumplampe und Laserstab befinden sieh lich getrennt vom iibrigen Laser zu im Brennpunkt des elliptischen Resonators. (b) Longitudinal mit Diodenlasern gepump- betreiben und das Pumplicht mit ter Neodym-Laser. (c) Im Slab-Laser wird Hilfe von Glasfaserbfindeln in einer die Pumpenergie transversal zugefiihrt. Der buchst~blich flexiblen und optimalen Laserstrahl wird unter Ausnutzung der To- geometrischen Anordnung zum Lasertalreflexion im Kristall gef~ihrt. verst~rker zu transportieren. Der eigentliche Laserkopf hat dann selbst bei beachtlichen Ausgangsleistungen von mehreren Watt nur noch die GrSfie einer DIN-A4-Seite. Ein Ende der technologischen Entwicklung ist auf diesem Gebiet heute noch nicht abzusehen.

7.4.2

Anwendungen yon Neodym-Lasern

Neodym-Laser werden schon lange in zahllosen Anwendungen eingesetzt und haben in jiingerer Zeit durch die giinstige Kombination mit Pumplaserdioden bei der Wellenl~nge von 808 nm noch zusatzlichen Auftrieb erfahren. Wit stellen zwei jiingere Beispiele vor, welche die grot3e Breite der mSglichen Anwendungen symbolisieren: Einerseits stellen wir die leistungsstarken frequenzverdoppelten Neodym-Laser vor, die als Ersatz fiir die teuren Argon-Ionen-Laser gelten, und andererseits die extrem frequenzstabilen monolithischen Miser.

7.4 AusgewahlteFestkSrperlaser

285

Frequenzverdoppelter Neodym-Laser In Abb. 7.23 haben wir ein Neodym-Laser-Konzept vorgestellt, mit dem sich sehr intensive sichtbare Laserstrahlung bei 1064/2 -- 532 nm erzeugen l~fit. Die Pumpenergie wird dem Nd:YVO4-Material durch Faserbiindel zugefiihrt. Auf diese Art und Weise kann die Leistung mehrerer Diodenlaser kombiniert werden. Der Z-fSrmige Resonator bietet eine gfinstige Geometrie, um sehr hohe Leistung bei der Grundwellenlange von 1064 nm zu erzeugen. In einem Arm des Lasers wird das Licht mit einem nichtlinearen Kristall (hier: LBO, s. Kap.13.4) frequenzverdoppelt

Abb. 7.23 Leistungsstarker frequenzverdoppelter Neodymlaser. Das Diodenlaserlicht wird dutch Faserbiindel iiber dichroitische Spiegel (DM) in der Z-fSrmigen Anordnung symmetrisch zugefiihrt. Im Resonator zirkuliert 1064 nm Licht mit hoher Intensitiit. Der nichtlineare Kristall dient zur Frequenzverdopplung. HR: Hochreflektor. [137]

Grundsatzlich war schon lange klar, dab sich mit dem hier vorgestellten Konzept intensive sichtbare Laserstrahlung erzeugen lassen sollte. Bevor daraus kommerzielle Ger~ite werden konnten, mufiten aber nicht nur technologische Probleme gelSst werden, die vor allem durch die hohen auftretenden Leistungsdichten verursacht werden, sondern auch physikalische Probleme wie zum Beispiel das sogenannte ,,greening problem". Es wird durch Modenwettbewerb verursacht, [12] ~iufiert sich in heftigen Intensit~itsfluktuationen und kann entweder durch Einfrequenzbetrieb oder durch besonders vielmodigen Betrieb gelSst werden.

Monolithische Miniaturlaser: Miser Die passive Frequenz-Stabilit~t eines gewShnlichen Lasers (ohne aktive Regelelemente) wird zun~chst durch die mechanische Stabilit~t des Resonators

286

7 Laser

Abb. 7.24 Monolithischer Neodym-Ringlaser. Der Strahl wird zwischen B und D aus der Ebene herausgefiihrt. Diese ,,out of plane"-Konfiguration wirkt als optische Diode und ermSglicht den Ein-Richtungsbetrieb. Im rechten Bild ist das zirkulierende Laserfeld durch Streuung zu erkennen. (Mit freundlicher Erlaubnis der Fa. Innolight, Hannover).

bestimmt, dessen Lgnge durch akustische StSrungen der Umgebung (SchallCIbertragung) fluktuiert. Es ist daher vorteilhaft, Laserresonatoren sehr kompakt und aut3erdem leicht zu bauen, denn Bauteile mit geringer Masse haben hShere mechanische Resonanzfrequenzen, die weniger leicht durch akustische StSrungen aus der Umgebung angeregt werden. Im Extremfall kann man die Komponenten eines Ringlasers (s. auch Kap.7.6) - Lasermedium, Spiegel, optische Diode - sogar in einem einzigen Kristall integrieren. T. Kane und R. Byer [93, 56] haben dieses Konzept 1985 realisiert und ihm den Namen M i s e r geben, eine Kurzform der Bezeichnung Monolithically integrated laser. Der Miser wird mit Diodenlaserlicht gepumpt, und der Ringresonator wird unter Ausnutzung der Total-Reflexion an den geeignet geschliffenen und polierten Kristall-Fl~ichen geschlossen. Interessant ist die intrinsische optische Diode: Die sogenannte ,,out of plane"-Anordnung des Resonatormodes (In Abb. 7.24 der Stahlenverlauf BCD) verursacht durch die ,,schiefen" Reflexionswinkel eine Rotation der Polarisation des Laserfeldes analog zu einer Lambda-halbe-Platte, und ein Magnetfeld in Richtung der langen Achse des Misers verursacht eine Faraday-Drehung. In der einen Richtung kompensieren sich die Drehungen, in der anderen addieren sie sich. Weil die Reflektivit~it der Austrittsfacette polarisationsabh~ingig ist, wird eine der beiden Richtungen im Laserbetrieb bevorzugt.

7.4.3

Erbium-Laser

Erbium-Ionen sind in den gleichen Wirtskristallen 16slich wie Neodym-Ionen und vor allem ffir Anwendungen bei tiefer im Infraroten liegenden Wellenl~ingen interessant. Sie kSnnen mit SQW-Laserdioden (strained q u a n t u m well, s. Abschn. 9.3.4) bei 980 nm und damit sehr energieeffizient angeregt

7.4 AusgewahlteFestkSrperlaser

287

werden (Abb. 7.25). Die langwelligen Laserfiberg~nge werden vor allem bei medizinischen Anwendungen genutzt. Eine angenehme Eigenschaft ist der augensichere Betrieb bei diesen langen Wellenl~ngen.

EDFAs Ein besonderer technologischer Durchbruch wurde 1989 von D. Payne und E. Desurvire [43] erzielt, als sie mit Er-dotierten Faserlasern eine Verst~rkung bei der Wellenl~nge von 1550 nm demonstrieren konnten. E r b i u m doped fibre amplifiers sind unter dem Kfirzel EDFA in kfirzester Zeit zu einem wichtigen Verst~rkerbauteil (Verst~rkung typisch 30-40 dB) in der Datenfernfibertragung geworden. Ihnen ist es zu verdanken, daft die restlichen Verluste optischer Fasern in diesem a priori schon verlustarmen (s. Abb. 3.12 auf S. 105) 3. Kommunikationsfenster Abb. 7.25 Ausschnitt aus dem der Telekommunikation heute keine Grenze Energiediagramm des Erbiumlasers mit zwei wichtigen ffir die Erzielung hSchster 0bertragungsraten Laseriibergdngen. Die genaue fiber grofie Entfernungen mehr bedeuten. Auch Obergangswellenldnge hdngt yore dieser Durchbruch ist ohne die Verfiigbarkeit Wirtskristall ab. preiswerter und robuster Diodenlaser zur Anregung nicht denkbar, wie wir im folgenden Kapitel fiber Faserlaser etwas ausfiihrlicher diskutieren wollen.

7.4.4

Faserlaser

Die Gesamtverst~rkung einer optischen Welle in einem Lasermedium wird durch die Inversionsdichte (die den Verst~rkungskoeffizienten festlegt) und die L~nge des verst~rkenden Mediums festgelegt. E. Snitzer hatte schon 1961 bemerkt [157], daft optische Wellenleiter bzw. Fasern mit einer geeigneten Dotierung des Kerns optimale Voraussetzungen bieten sollten, um hohe Gesamtverst~rkung zu erreichen. Das attraktive Konzept der Faserlaser wurde also schon frfih erkannt, aber erst seitdem robuste Diodenlaser als Pumplichtquellen verffigbar sind, erfreuen sich die Faserlaser eines stetig wachsenden Interesses. Selbst die m~fiigen transversalen Koh~enzeigenschaften eines Laserdioden-Arrays (s. Abschn. 9.6) sind n~mlich herk5mmlichen Lampen, wie in den konventionellen NeodymlaserAnordnungen in Abb. 7.22 hinsichtlich der Fokussierbarkeit welt fiberlegen und k5nnen zur effizienten Anregung der kleinen Faservolumina eingesetzt werden. Faserlaser sind ein Feld aktiver technolgischer Entwicklung, die in keiner Weise abgeschlossen ist [164]. Wir wollen uns hier auf die Vorstellung einiger spezifi-

288

7 Laser

scher Konzepte beschr~nken, denn der Aufbau eines Faserlasers unterscheidet sich nicht grundsiitzlich von anderen Lasertypen, er verffigt sozusagen nur fiber ein besonders langes u n d dfinnes Verst~irkungsmedium [182].

Doppelkern-Pumpen Ein interessanter Kunstgriff, u m die Zufuhr der P u m p e n e r g i e zu erleichtern, wurde mit d e m sogenannten ,,Doppelkern"-Pumpen (engl. cladding pumping) entwickelt. Es ist ziemlich offensichtlich, daft m a n fiir das aktive Medium Monomoden-Fasern verwenden sollte. Dann wird aber die effiziente Einkopp-

Abb. 7.26 Cladding-Pumpen im Faserlaser.

lung der Pumplaserstrahlung aus Hochleistungslaserdioden schwierig, well diese nur noch selten ihre Leistung in der TEM00-Grundmode konzentrieren. Man kann dieses Problem aber fiberwinden, wenn man einen doppelten Fasermantel verwendet, der um den aktiven Faserkern herum einen Multimode-Wellenleiter erzeugt. Die Pumpleistung wird in diese Multimode-Faser eingekoppelt, immer wieder in den Kern gestreut und dort absorbiert. Um die Einstreuung zu optimieren, erh~ilt der ~iuflere Kern eine leicht sternfSrmige statt einer rein zylindrischen Struktur. Tab. 7.4 enthiilt eine Reihe nachgewiesener Wellenliingen, die welt fiber das infrarote und sichtbare Spektrum verteilt sind. Mit diesem Tab. 7.4 Elemente und Wellenl~ingen ausgew~ihlter Faserlaser Wellenliinge [#m] Element 3,4 Er 2,3 Tm 1,55 Er 1,38 Ho 1,03-1,12 Yb 1,06 Nd Er 0,98

Wellenl~i~ge[#m] Element 0,85 Er 0,72 Pr 0,65 Sm 0,55 Ho 0,48 Tm 0,38 Nd

Verfahren werden nicht nur sehr niedrige Schwellwerte ffir Lasertiitigkeit erreicht, sondern inzwischen anch beachtliche Ausgangsleistungen von mehr als

7.4 Ausgew~ihlteFestkSrperlaser

289

1 kW. Faserlaser sind noch liingst nicht am Ende ihrer Entwicklung angekommen. Gro~es Interesse wird auch hier der Entwicklung von Lichtquellen bei blauen Wellenl~ingen entgegen gebracht. Dazu existieren mehrere Konzepte, zum Beispiel durch synchrone Frequenzverdopplung des Laserlichtes in derselben Faser, oder auch die sogenannten ,,up-conversion"-Laser, bei denen aus hSherliegenden Energieniveaus, die durch Absorption mehrerer Pumpphotonen angeregt werden, blaue oder noch kiirzere Strahlung emittiert werden kann.

Faser-Bragg-Gitter (FBGs) Um Faserlaser zu praktikablen Ger~iten zu maehen, sind viele Komponenten, die fiir die Kontrolle eines Lichtstrahls wichtig sind, z.B. Spiegel, Auskoppler, Modulatoren, mittlerweile direkt in die Faser integriert worden. Ffir deren detaillierte Behandlung verweisen wir auf die Spezialliteratur [181] und beschriinken uns auf das Beispiel yon Faser-Bragg-Gittern[108], die als effiziente Spiegel oder spektrale Filter eingesetzt werden. Das Bragg-Gitter wird durch eine periodische Abb. 7.27 HersteUung eines BraggModulation der Brechzahl in Ausbreitungs- reflektors (qualitativ). richtung realisiert. Dazu wird der Ge-dotierte Faserkern von zwei unter einem einstellbaren Winkel 0 gekreuzten intensiven UV-Strahlen belichtet. Das UV-Licht induziert Veriinderungen, die chemischer oder photorefraktiver Natur 4 sein kSnnen und zur lokalen Intensit~it des Stehwellenfeldes proportional sind. Die Periode des Braggspiegels kann durch Wahl des Kreuzungswinkels und der UV-Wellenliinge bestimmt werden, A = ~/2 sin 0.

7.4.5

Ytterbium-Laser f'tir hohe Ausgangsleistungen

Der Klassiker der Hochleistungslaser, der Nd:YAG-Laser, bekommt seit etwa dem Jahr 2000 mehr und mehr Konkurrenz yon Yb-Lasern, die sich ebenfalls in den Wirtsmaterialien yon Tab. 7.3 15sen lassen. Die Yb-Laserkristalle haben einige entscheidende Vorzfige auf dem Weg zu hSheren Ausgangsleistungen: Die Dotierung kann 25~ und damit hohe Verst~kungswerte erreichen, welt mehr als die 1-2%, die man mit Nd-Ionen ohne Verluste durch Wechselwir4Bei der Photorefraktion werden durch BeleuchtungLadungen im Kristallgitter verschoben, die eine r~iumlicheModifikation der Brechzahl bewirken.

290

7 Laser

kungen benachbarter Ionen erreicht. Aut3erdem ist fiir die Yb-Ionen, die mit 940 nm-Licht (Nd: 808 nm) angeregt werden, der Abstand der Pump- zur Laserwellenl~nge von 1030-1120 nm (Nd: 1064 nm) und damit die W~irmeverluste deutlich kleiner. Schliet31ichist auch die Absorption in nicht-lasernde Zust~nde und die Reabsorption des Laserlichts beim Yb geringer als beim Nd. Hinzu kommen technologische Durchbrfiche wie das ,,Thin Disc"-Konzept sowie verbesserte Faserlaser-Systeme, die das bei der Konstruktion von Hochleistungslasern mit Laserstaben gravierende Problem der Abfuhr der 0berschut3w~rme fiberwinden. Heute sind Ausgangsleistungen von 1 kW und mehr kommerziell erhaltlich.

Abb. 7.28 Links: Energiediagramm des Yb-Ions. Rechts: Resonator- und Pumpgeometrie eines ,, Thin Disc"Lasers. Die Pumpe wird mehrfach dutch den Kristall geschickt, um e~iziente Absoprtion zu erreichen.

Der wichtigste Vorteil des Thin Disc-Konzepts ist die geometrisch gfinstigere Abfuhr der beim Laserprozet3 erzeugten 0berschut3warme: Im Gegensatz zu Laserst~ben ist das Oberfl~hen:Volumen-Verh~ltnisgfinstig. Ferner entstehen Temperaturgradienten, die die Strahlgeometrie beeinflussen, in longitudinaler und nicht in radialer Strahlrichtung, so dab Laserstrahlen mit ausgezeichneter Modenreinheit erzeugt werden. Wegen der kurzen Kristall~nge ist die Absorption aus dem Punpstrahl relativ klein, kann aber durch 10 und mehr Durchl~ufe auf bis zu 90% in dem kleinen Laservolumen gesteigert werden.

7.5

Laser mit vibronischen Zust inden

Der Markt der durchstimmbaren Laserlichtquelllen war wegen ihrer breiten Abstimmbarkeit noch um 1990 vollst~ndig von den Farbstofflasern dominiert.

7.5 Laser mit vibronischenZust~Luden

291

Abb. 7.29 Abstimmbereiche ausgewdhlter Lasersysteme (gepulst und Dauerstrich). Der fiequenzverdoppelte Bereich des Ti-Saphirlasers ist schra~ert gekennzeichnet. Seitdem ist jedoch die technische Entwicklung zugunsten der Festk5rpersysteme verlaufen, die besonders dann interessant sind, wenn sie mit Diodenlasern angeregt werden kSnnen. Vibronische Lasermaterialien sind fiber grofie Wellenlangenbereichedurchstimmbar. Ihre Durchstimmbarkeit ist eine Folge der starken Kopplung elektronischer Anregungszustande bestimmter Ionen (vor allem 3d-Elemente) an die Gitterschwingungen. Grundsatzlich zahlen auch die Halbleiter- oder Diodenlaser dazu, denen wir wegen ihrer besonderen Bedeutung aber ein eigenes Kapitel widmen wollen. Und selbst die Farbstofflaser kSnnen wir konzeptionell in diese Klasse einordnen, denn deren bandartige Energiestruktur wird durch die Schwingungen grofier Molekfile verursacht. In Abb. 7.29 haben wir eine lJbersicht fiber wichtige abstimmbare Lasermaterialien zusammen gestellt. Wir stellen einige wichtige Systeme in ihren physikalischen Eigenschaften vor und erlautern im anschliefienden Abschnitt das technische Konzept weit verstimmbarer Ringlaser, in welchen diese Lasermedien fiblicherweise verwendet werden. Ubergangsmetall-Ionen Die 3d-lJbergangsmetalle verlieren in ionischen FestkSrpern ihr aufieres 4sElektron und auBerdem einige 3d-Elektronen, ihre Konfiguration lautet [Ar]3d n. Haufig findet man sowohl die 3. als auch die 4. Ionisationsstufe dieser Ionen. Kristallfelder wirken sich auf die 3d-Elektronen viel starker aus als auf die 4f-Elektronen der Seltenen Erden, weil sie sich auBerhalb des Ionenrumpfes

292

7 Laser

Abb. 7.30 (a) Vibronische Zustgnde yon Festk6rperionen. Die schattierten Kurven deuten die (quasi-)thermischen Verteilungen in der Konfigurationskoordinate Q an. Wenn die Gleichgewichtslagen im Grund- und im angeregten Zustand nicht iibereinstimmen, sind Absorptionsund Emissions-Wellenl~ingen deutlich voneinander getrennt und bieten optimale Bedingungen fiir ein ~-Niveau-Lasersystem. Die Relaxation zu einer thermischen oder quasithermischen Verteilung nimmt nur ps in Anspruch. (b) Absorptions- und Fluoreszenzspektrum eines Ti:Saphir-Kristalls. Das Fluoreszenzspektrum wurde bei einer Pumpwellenlgnge yon ~5~ nm angeregt.

befinden. Die Kopplung an die Gitterschwingungen (die man durch eine Konfigurationskoordinate Q beschreibt) fiihrt dabei zu einer bandartigen Verteilung von Zust~inden, und man spricht von ,,vibronischen" 0berg~ngen. Diese Ubergange haben einerseits eine grofie Bandbreite, die sowohl bei der Absorption als auch bei der Fluoreszenz auftritt. Nicht minder bedeutend ist die sehr kurze Relaxationszeit, die auf der ps-Zeitskala zur thermischen Gleichgewichtslage der vibronischen Zustiinde fiihrt. Zu dieser wichtigen Klasse von Laserionen gehSren die Chrom- und seit der ersten Realisierung in den 80er-Jahren vor allem die Titan-Ionen [127]. Die herausragende Stellung des Ti-Saphir-Lasers ist auch in Abb. 7.29 klar auszumachen. Farbzentren

Im Gegensatz zu den optischen StSrstellen von Selten-Erd- und TJbergangsmetallen werden Farbzentren nicht durch Fremdionen, sondern durch Gitterfehlstellen, z.B. Leerstellen, verursacht. Sie werden auch kurz als F-Zentren (engl. colour centers) bezeichnet und sind schon sehr lange untersucht worden. In einem ionischen Kristall besitzen solche Fehlstellen eine effektive Ladung relativ zum Kristall, an die Elektronen oder LScher gebunden werden kSnnen. Verschiedene Typen sind in Abb. 7.31 vorgestellt. Wie bei den lJbergangsmetallIonen haben die elektronischen Anregungen breitbandige, vibronische Struktur und eignen sich daher gut zur Erzeugung yon Laserstrahlung.

7.5 Laser mit vibronischenZust~den

293

Der Betrieb eines Farbzentrenlasers ist technologisch recht aufwendig: Die Kristalle mfissen auf der Temperatur flfissigen Stickstoffs (77K) gehalten werden und manche ben6tigen zus~tzlich zum Pumplaser (i. Allg. Neodym-Laser) noch eine Hilfslichtquelle. Damit werden Farbzentren aus unerwfinschten Zustanden, die nicht am Laserzyklus teilnehmen und in welche sie durch spontane Uberg~nge Abb. 7.31 Modelle einiger Farbzentren. geraten kSnnen, zurfickgeholt. Die F-Zentrenlaser haben noch immer eine gewisse Bedeutung bei nahinfraroten Wellenlangen zwischen 1 und 3 #m, werden aber zunehmend durch OPOs ersetzt, (optische parametrische Oszillatoren) bei denen sogenannte ,,PPLNs", periodisch gepolte nichtlineare Kristallen verwendet werden. (s. Abschn. 13.4.6).

Farbstoffe

Der Farbstoffiaser bietet insbesondere bei Wellenl~ingen von 550-630 nm eine noch immer konkurrenzlose durchstimmbare Lichtquelle. In diesem Teil des sichtbaren Spektrums wechseln unsere farbigen Sinneseindrficke am schnellsten von grfin fiber gelb nach rot, und aus diesem Grund fibertrifft das Licht der Farbstoffiaser alle bisher entwickelten FestkSrperlaser an/isthetische Qualit~t. Farbstoffe sind organische Molekfile mit einer Kohlenstoff-Doppelbindung, d.h. mit einem Elektronenpaar. In Abb. 7.32 ist das typische Energiediagramm eines Farbstoffes vorgestellt. Der gepaarte Grundzustand (SO) besteht aus einem 1S0-Zustand, d.h. Bahndrehimpuls und Gesamtspin verschwinden. Die Farbstoffe sind gelSst (in Alkohol oder, wenn sie in einem Dfisenstrahl oder ,,Jet" frei gespritzt werden, in hSherviskosen Flfissigkeiten wie Glykol). Die elektroni- Abb. 7.32 Laserprozefl im FarbstoJfiaser schen Zust~nde besitzen eine Vibrations- (schematisch). Rotations-Feinstruktur, die durch die Wechselwirkung mit dem LSsungsmittel zu kontinuierlichen B/inden verbrei-

294

7 Laser

tert ist, iihnlich den vibronischen Ionen. Nach der Absorption relaxieren die Molekfile schnell an die obere Bandkante, von wo aus die Laseremission stattfinder. Einige Gruppen von Farbstoff-Molekfilen haben wir auch in Abb. 7.29 eingetragen. Ganz analog zu den Zwei-Elektronen-Atomen wie Helium gibt es in FarbstoffMolekfilen ein Singulett- und ein Triplett-System [175], nur sind die 0bergange zwischen ihnen (Interkombinationslinien) nicht so stark unterdrfickt wie dort. Allerdings ist die Lebensdauer der Triplettzustiinde sehr hoch, so dai~ sich die Molekfile nach mehreren Absorptions-Emissions-Zyklen dort ansammeln und nicht mehr am Laserprozeft teilnehmen. Wiihrend gepulste Farbstofflaser in einer Kfivette betrieben werden kSnnen, muft der Farbstoff in einem Kreislauf umgepumpt werden, um kontinuierlichen Laserbetrieb zu ermSglichen. Dabei hat sich eine Dfisenstrahltechnik durchgesetzt, bei welcher die Flfissigkeit mit einem flachen ,,Jet" frei in den Fokus yon Pumplaser und Laser-Resonator gespritzt wird. Die Oberfl~che des Dfisenstrahls besitzt dabei optische Qualitiit. Einer der robustesten Farbstoffe heiftt Rhodamin 6G, mit ihm werden Ausgangsleistungen bis zu einigen W erzielt, und aufterdem kann er im Gegensatz zu vielen anderen Farbstoffen, die schnell altern, fiber lange Zeit verwendet werden.

7.6

Durchstimmbare Ringlaser

Der Erfolg der vibronischen Lasermaterialien ist eng mit dem Erfolg des Ringlasers verbunden, der die benutzerfreundliche Einstellung einer Wellenliinge bzw. Frequenz erlaubt. Es ist bemerkenswert, daft mit diesem Geriit das Fluoreszenzspektrum dieser Materialien, das eine spektrale Breite von einigen 10 bis 100 nm oder 100 THz besitzt, dutch wenige optische Komponenten auf wenige MtIz, d.h. um bis zu 8 GrSftenordnungen, eingeengt wird! Im Ringlaser propagiert im Gegensatz zum linearen Stehwellenlaser eine laufende Welle, wahrend im linearen Laser das sogenannte ,,riiumliche Lochbrennen" auftritt, weil die Verst~kung in den Knoten des Stehwellenfeldes nicht wirksam ist. Das Verstiirkungsprofil wird dadurch periodisch moduliert und ermSglicht das Anschwingen einer weiteren spektral eng benachbarten Mode, die gerade in dieses periodische Verstiirkungsmuster hineinpasst. Im Ringlaser triigt das gesamte Verst~rkungsvolumen zu einer Laserlinie bei, er ist deshalb das bevorzugte Geriit ffir spektroskopische Anwendungen mit hoher spektraler AuflSsung. In Abb. 7.33 haben wir eine von zahlreichen erprobten Varianten eines Ringlasets vorgestellt. Diese Form wird gewShnlich als bowtie-Resonator bezeichnet.

7.6 Durchstimmbare Ringlaser

295

Abb. 7.33 Ringlasersystem mit optischen Komponenten zur Frequenzkontrolle. RV: Regelverstiirker

Die Brennpunkte von Pumplaserstrahl und Lasermode werden zwischen zwei sph~ischen Spiegeln iiberlappt, die im fibrigen Laser einen mit geringer Divergenz propagierenden Gaufimode erzeugen, der an einem der teilweise transparenten Umlenkspiegel auch ausgekoppelt wird. Zur Vermeidung von Verlusten wird der Verst~rker - der Ti-Saphir-, der Farbzentrenkristall oder der Farbstoffstrahl - ebenso wie andere optische Elemente unter dem Brewsterwinkel eingebaut. Eine optische Diode (s. Abschn. 3.8.6) sorgt fiir den Einrichtungsbetrieb. Zur Wellenl~ngenkontrolle werden i. Allg. mehrere optische Komponenten mit wachsender spektraler AuflSsung (freiem Spektralbereich) verwendet, die wir alle schon kennengelernt haben: Ein Lyot- oder doppelbrechender Filter (S. 136) sorgt fiir eine grobe Einengung, ein oder zwei Etalons (Abschn. 5.5) mit unterschiedlichen freien Spektralbereichen ffir die Auswahl eines einzelnen Resonatormodes. Zur Abstimmung auf der MHz-Skala kann die Resonatorl~nge mit verschiedenen Elementen variiert werden: Ein sogenanntes ,, Galvoplattenpaar" variiert die optische Wegl~nge durch geringfiigige synchrone Drehung der unter Brewsterwinkel montierten Glasplatten; mit einem kleinen und daher leichten Spiegel, der auf einem Piezostellelement montiert wird, kann die Resonatorl~nge mit bis zu 100 kHz Bandbreite kontrolliert werden; noch hShere Stellgeschwindigkeiten werden durch im Resonator eingebaute Phasenmodulatoren (EOMs, s. Abschn. 3.8.1) erzielt. Im Experiment ist eine spannungsgesteuerte Variation der Laserwellenl~nge wiinschenswert. Zu diesem Zweck werden sogenannte feed forward-Werte an den optischen Komponenten des Ringresonators appliziert. Die Laserfrequenz wird aber zus~tzlich mit der ebenfalls spannungsgesteuerten Sollfrequenz ei-

296

7 Laser

nes optischen Resonators verglichen (z.B. nach S. 267) und durch geeignete elektronische Schleifen auf dessen Wert geregelt (feed back). Mit diesen Verfahren werden fiblicherweise kontinierliche Durchstimmbereiche von 30 GHz oder 1 cm -1 erzielt, die ausgezeichnete Voraussetzungen ffir Arbeiten in der hochauflSsenden Spektroskopie bieten. GewShnlich sind die Ringlaser, die man kommerziell erwerben kann, voluminSse Ger~te. Da~6 man aber auch sehr kompakte und dadurch i n h ~ e n t stabilere Ger~te bauen kann, haben C. Zimmermann und seine Kollegen [184] mit winzigen, nur wenige cm groflen Ti-Saphirlasern (allerdings in StehwellenKonfiguration) sehr erfolgreich demonstriert.

Aufgaben

297

A u f g a b e n zu K a p i t e l 7 7.1 l:t~iumliches L o c h b r e n n e n Wir betrachten einen Laserkristall mit homogen verbreitertem Verstiirkungsprofil. Der Kristall soll 10 m m lang und im Zentrum eines 15 cm langen linearen Resonators montiert sein. Die zentrale Emissionswellenl/inge sei 1 #m. Die Stehwelle verursacht r/iumlich inhomogenen Abbau der Verstiirkung, so da6 weitere Moden anschwingen k5nnen. Bei welcher Verstiirkungsbandbreite schwingt mehr als ein longitudinaler Mode an? Skizzieren Sie die Intensit/itsverteilung und die Inversionsdichte im Laserkristall. Was iindert sich, wenn Sie den Kristall direkt vor einem Spiegel montieren? 7.2 M o n o m o d e - B e t r i e b Bei einem Verstiirkungsmedium mit sehr grot3er Verstiirkungs-Bandbreite A G kann Ein-Moden-Betrieb im Prinzip durch einen entsprechend kurzen Laserresonator erzielt werden, der in der Praxis aber nicht realisierbar ist. Betrachten Sie dazu das Beispiel des Ti-Saphir-Lasers mit AG=47 THz. Alternativ kann man ein Etalon in einen linearen Resonator mit der L~nge L einbringen, dessen freier Spektralbereich die Bedingung AFSR > AG/2 erfiillt. Zeigen Sie, dag dann die Bedingung L < cF/AG ausreicht, um Ein-Moden-Betrieb zu erzielen. 7.3 V e r s t ~ i r k u n g i m L a s e r Die Verluste in einem Laserresonator, der aus zwei Spiegeln mit Reflektivit/iten R1 = 100% und R2 = 99 % bestehe, werden durch die Spiegeltransmission dominiert. Die Gas-Laserline habe den Wirkungsquerschnitt a = 10-12cm2, das Gas habe einen Druck von 1 mbar und das Rohr sei 10 cm lang. (a) Berechnen Sie die fiir den Laserbetrieb notwendige Inversionsdichte im Gas. (b) Wie gro6 ist die Dichte angeregter Teilchen im oberen Laser-Niveau, wenn das untere instantan entleert wird? (c) Wie grog ist die Verst/irkung an der Schwelle? 7.4 E i g e n s c h a f t e n des N d : Y A G - L a s e r s Die totale Lebensdauer des oberen 4F3/2-Laserniveaus (Abb. 7.21) wird zu 98% durch strahlende Zerfiille bestimmt und betriigt 240 #s. Das Verzweigungsverhiiltnis fiir die wichtigste Linie bei 1.06 #m betriigt ca. 14 % und ist bei 300 K homogen auf ca. 200 GHz verbreitert. (a) Wie groi~ ist die spontane Fluoreszenzrate der 1,06 #m-Linie? (b) Berechnen Sie den Wirkungsquerschnitt bei 1.06 #m. (Der Brechungsindex yon YAG ist n = 1.82.) (c) In einem Laserkristall seien 1 % aller Y3+-Ionen durch das Laserion Nd 3+ ersetzt. Wie wiire die Verstiirkung ffir Einfachdurchgang bei einer Inversion von 1 % ? (Dichte von YAG: 4.56 g / c m 3, L~nge des Kristalls 1 = I cm. Die Besetzung im unteren Laserniveau ist vernachliissigbar.) 7.5 U b e r g a n g s m a t r i x e l e m e n t y o n S e l t e n e n E r d e n Die Laseriibergiinge zwischen den Energie-Niveaus der Seltene-Erd-Ionen finden zwischen Feinstruktur-Niveaus statt, ffir die A t = 0 gilt, d.h. sie sind nach den DipolAuswahlregeln der Quantenmechanik strahlender Ubergiinge verboten. Im Kri-

298

7 Laser

stall wird aber der 4f-Wellenfunktion ein wenig 5d-Charakter beigemischt. Sch~tzen Sie die Beimischungskoeffizientenab, indem Sie fiir die Nd:YAG-1,06 #m-Linie einen starken Dipolfibergang (Dipolmoment = Ladung ex Bohrradius a0) mit der beobachteten strahlenden Lebensdauer von 240 #s vergleichen. 7.6 W e l c h e r Laser ffir welches P r o b l e m ? Sie wollen ein Experiment zur Atomphysik oder Quantenoptik beginnen und miissen einen Laser kaufen, um die Atom anregen zu kSnnen. Welchen Laser beschaffen Sie flit die Atome aus Tab. 6.3? Begriinden Sie Ihre Wahl, wenn mehrere Alternativen existieren. 7.7 A s t i g m a t i s m u s k o m p e n s a t i o n Die Ringlaser-Konstruktion aus Abb. 7.33 verursacht einen Astigmatimus, deshalb gelten verschiedene Stabilit~tsbedingungen ffir die Feldkomponenten parallel und senkrecht zur Resonatorebene. Identifizieren Sie die Ursache und geben Sie Verfahren und optische Elemente an, die den Astigmatismus kompensieren kSnnen. 7.8 R e g e l g e s c h w i n d i g k e i t Betrachten Sie den Piezo-Spiegel des durchstimmbaren Ringresonators aus Abb. 7.33. Wir verwenden ein Piezo-RShrchen mit dem Ausdehnungskoeffizienten 0,8 #m/100 V, die Kapazit~t betrage 15 nF und das Gewicht des RShrchens sei 2g, des Spiegels 4g. Schatzen Sie ab, wie schnell man die L~nge des Resonators ~ndern kann, wenn die Stromquelle bis zu 10 mA liefert.

8

Laserdynamik

Wit wollen uns in diesem Kapitel den dynamischen Eigenschaften der Laserlichtquellen widmen, zum Beispiel der Antwort des Lasersystems auf Vert~nderungen der Betriebsparameter oder den Schwankungen von Amplitude und Phase. Dazu mtissen wir zungchst den Zusammenhang yon mikroskopischen Eigenschaften des Lasersystems und makroskopischen Met3grSfien wie Intensitter und Phase theoretisch untersuchen.

8.1

Grundziige einer Lasertheorie

In Abschn. 6.2 haben wir die Antwort eines vereinfachten polarisierbaren System mit nur zwei Zustt~nden auf ein t~ufieres treibendes Feld studiert. Dabei hat sich herausgestellt, daft diese Polarisierung ein Lichtfeld verstt~rken und damit selbst zu einer Quelle elektromagnetischer Felder werden kann. Der Zusammenhang zwischen Polarisierung und elektrischem Feld ist uns von der Wellengleichung gelt~ufig, (V2

ne02 ) c20-~ E -

102 e0c20t ~P

,

(8.1)

wobei wit schon beriicksichtigt haben, daft Laserstrahlung hgufig durch angeregte Teilchen in einem Wirtsmaterial mit dem Brechungsindex n erzeugt wird. Das elektrische Feld E entht~lt die Dynamik des Laserfeldes, die Polarisierung P die Dynamik der Atome oder sonstigen angeregten Teilchen, die in der einfachsten Nt~herung nach den Blochgleichungen (6.32) bestimmt wird.

8.1.1

Das Resonatorfeld

Im allgemeinen k6nnen in einem Laserresonator viele Eigenfrequenzen angeregt werden, so daft wir eine komplizierte zeitliche Entwicklung von Feld und Polarisierung erwarten. Diese Situation ist aber auch ffir Anwendungen meistens unerwiinscht, und wir konzentrieren uns deshalb auf den Spezialfall, in

300

8 Laserdynamik

dem nur eine einzelne Mode eines Resonators angeregt wird. Diese Situation wird in vielen F~llen auch im praktischen Laserbetrieb routinem~t3ig erreicht. Formal gesprochen zerlegen wir das Feld in seine Eigenmoden, die einen Index k erhalten und mit faktorisierten zeit- und ortsabh~i~gigen Anteilen: E(r,t) =

l V (Ek(t)e--i~kt + C.C.)uk(r)

Die Amplituden Ek(t) entsprechen einem Mittelwert der Amplitude im Resonatorvolumen V. Die r~umlichen Verteilungen Uk befolgen eine Orthogonalit~tsrelation,

UkuldV =

(~kl ,

(8.2)

und ~k sei die passive Eigenfrequenz des Resonators (ohne ein polarisierbares Medium), so da~ die Helmholtzgleichung gilt: V2Uk(r) --

~

uk(r)

Die Polarisierung kSnnen wir nach denselben Funktionen uk(r) entwickeln, P ( r , t ) = ~1V

(pk(t)e_i~kt +C.C.)Uk(r)

Wegen (8.2) zerfKllt die Gleichung (8.1) in Vntergleichungen, von denen wir nur eine ffir den allerdings sehr bedeutenden Spezialfall des Monomodelasers (engl. single mode oder single frequency laser) nutzen:

(~2 + ~--~)E(t)e-iwt-

1 d2 p(t)e_iW t n~o~

Aus dieser Gleichung muff unter anderem die ,wahre" Oszillationsfrequenz des Lichtfeldes bestimmt werden. DJimpftmg des Resonatorfeldes Eine konsequente Theorie der D~mpfung des Resonatorfeldes kann hier nicht vorgestellt werden. Wir beschranken uns wie bei den Bloch-Gleichungen auf einen ph~nomenologischen Ansatz und nehmen an, daft die Energie des gespeicherten Feldes mit der Rate % relaxiere. Die Feldamplitude muff dann mit %/2 zerfallen,

dE (t) --

8.1 Grundzfige einer Lasertheorie

301

Die Dgmpfung des Feldes wird nicht nur durch die Auskopplung eines nutzbaren Lichtfeldes Eout verursacht, Eout(t) = ~ - E , ( t ) sondern auch durch Streu- und Absorptionsverluste im Resonator, also % = ~out ~- ~Verlust. Wir fiigen diesen Term nun auch in der Wellengleichung (8.1) ein und eliminieren die Ortsabhgngigkeit,

d

d 2 ) Ee_iW t

~2 + %_~ + ~

1 d2

_

9

n2--eo~T2pe-,Wt

Nun interessieren wir uns in erster Linie ffir die Vergnderung der Amplituden, die im Vergleich zur Oszillation mit den Lichtfrequenzen w oder fl langsam verlguft. Wit vernachlgssigen in der schon mehrfach verwendeten Slowly Vawing Envelope Approximation (SVEA) Beitrgge der Form {dE(t),%E(t)}<<wE(t)

,

und erhalten d

(_~2 + w2)E(t) + 2iw~E(t) + i%wE -

o02

--P(t) n2s

In der iiblichen Ngherung, (_~2 + w 2) ~_ 2w(w - ~t), ergeben sich die vereinfachten Amplituden-Maxwell-Gleiehungen, iw p . . Bei abwesenheit polarisierter Materie (P(t) = 0) entnimmt man daraus ohne Sehwierigkeiten ein Feld, das mit der Frequenz w = ~ sehwingt und mit der Rate %/2 gedgmpft wird, ganz wie erwartet. Die makroskopisehe Polarisierung kennen wir sehon naeh (6.11), ihre Dynamik wird naeh den optisehen Bloehgleiehungen (6.32) besehrieben. Darin tritt die Besetzungszahldifferenz w(t) auf, die wit dureh die Inversionsdiehte Af bzw. Gesamtinversion n mit der Definition

fir(t) = n(t)/V = NAt v w(t) ersetzen. Das gesamte System aus Atomen und Lichtfeld wird dann durch die Maxwell-Bloch-Gleichungen beschrieben:

~t S(t)

= i (w - n + ~ - ~

+

d P(t) = ( - i 6 - ~ / ) P ( t ) - i ~ E ( t ) A f ( t ) ~ Af(t) = -~.~m{P(t)*E(t)} - 7(Af(t) - Afo)

(8.4)

302

8 Laserdynamik

Lasert~itigkeit kann nur einsetzen, wenn die Inversion durch einen geeigneten Pumpprozefi aufrecht erhalten wird, die die unges~ittigte Inversionsdichte Af0 -no/Y erzeugt (G1.(6.49)). Insgesamt handelt es sich um fi/nf Gleichungen, weil Feldst~rke E und Polarisierung P komplexe GrhBen sind. Mit diesem Gleichungssystem lassen sich wichtige Zusammenh~nge der Laserdynamik verstehen. Eine andere, transparente Form der Gleichungen khnnen wir gewinnen, wenn wir die intensiven Grhfien Feldamplitude E(t), Polarisierungsdichte P(t) und Inversionsdichte A/'(t) auf die extensiven Grhfien der Feldst~irke pro Photon a(t), Anzahl der Dipole ~r(t) und Gesamtinversion n(t) normieren. Dabei nutzen wir die schon in Abschn. 2.1.8 adhoc eingeffihrte mittlere ,,Feldst~rke eines Photons" (~ph) =

V/~/2s163

a(t) := E(t)/= E(t) /2cC~176 V hw ~r(t) :-- N ( u + i v ) = V P ( t ) / d e g

'

(8.5)

Vorteilhaft ist es auch, ffir die Rabifrequenz f~R und die Verstimmung 6 (zwischen elektrischem Feld und der Eigenfrequenz des polarisierten Mediums) normierte Grhfien zu benutzen, g'-

h V2ee0V

und

a:=(W-Wo)/7'=5/7'

(8.6)

Der Kopplungsfaktor g beschreibt die Rate (oder Rabifrequenz), mit welcher der innere Anregungszustand des polarisierbaren Mediums bei einer Feldst~irke ver~indert wird, die gerade einem Photon entspricht. Der ,cP'-Parameter wird uns im Kapitel fiber Halbleiter-Laser noch einmal besch~iftigen, weil er dort einen wesentlichen Einflufi auf die Linienbreite besitzt. Mit den eingefiihrten Bezeichnungen nehmen die Gleichungen (8.4) eine neue, fibersichtliche Form an, die schon grofie .~hnlichkeit mit einer Quantentheorie auch des Laserfeldes besitzt, weil man nur noch die normierten Amplituden a(t) zu Feldoperatoren erheben muff:

(ii) #(t) = - ~ / ( l + i a ) ~ r ( t ) - ig a(t) n(t) (iii) it(t) = - g .~rn{lr(t)*a(t) } - 7(n(t) - no)

(8.7)

Die Feldamplitude a(t), die Polarisierung ~r(t) und die Inversion n(t) sind mit der Konstanten g gekoppelt. Gleichzeitig findet D~impfung mit den Relaxationszeitkonstanten %, 7 t bzw. 3' statt. Die dynamischen Eigenschaften des Lasersystems werden vom Verh~iltnis dieser vier Parameter bestimmt, die wir in Tab. 8.1 ffir wichtige Lasertypen gesammelt haben.

8.1 Grundzfige einer Lasertheorie Tab. 8.1

303

Typische Zeitkonstanten wichtiger Lasertypen

)~ [#m]

~c [8-1 ]

~ [8-1 ]

~! [8-1]

g [8-1 ]

FIelium-Neon

0,63

10 7

5.10 7

109

104-106

Neodym-Laser

1,06

108

103-104

1011

108-1010

Diodenlaser

0,85

[Lute

8.1.2

1010_1011 3_4.108

1012

108_109

Laserbetrieb im Gleichgewicht

Wir suchen die station~ren Werte a st, 71"st, n ~t und beginnen, indem wir zun~ichst Gl.(8.7(ii)) verwenden, T.st

=

g a stnst

_

+ is)

9~ n st

g

( 1 - i a ) a st

(8.8)

Hier haben wir sehon die GrSge g2 (8.9)

+

eingeffihrt. Sie spielt die Rolle des Einstein-B-Koeffizienten, wie wir im Zusammenhang mit G1.(8.18) noch deutlicher erkennen werden, und ~n ~t kann als Rate der stimulierten Emission interpretiert werden. Ges~ittigte

Verst~kung

Das Ergebnis setzen wir in (8.7(i)) ein, sortieren nach Real- und Imagin~rteil und erhalten mit

eine sehr transparente Gleiehung. Sie besehreibt in guter N/iherung dynamisehe Eigensehaften der Amplitude des Resonatorfeldes, wenn die in (8.7) entseheidende D~mpfungsrate der Polarisierung ',/ grog ist gegen alle anderen Zeitkonstanten und lr(t) immer durch seinen quasistation/iren Wert ersetzt werden kann. Zun~ehst sind wir aber nur an den stationfiren Werten fiir die Inversion n st und die Amplitude a st interessiert: 0 = [i( fl - w

~n~---c~) ~t ,_ -- 21 ('Yc- griSt )] aSt

(8.11)

Falls schon ein Laserfeld existiert (a st ~ 0), mug Gl.(8.11) von Real- und Imagin~rteil getrennt erffillt werden. Insbesondere der Realteil zeigt dabei deutlich,

304

8 Laserdynamik

daft die Rate der stimulierten Emission a n ~t genau der Verstgrkungsrate Gs entspricht, denn sie muff die Verlustrate % gerade kompensieren, n ~t=%/t~

oder

G=%=~n

Abb. 8.1 GesSttigte VerstSrkung und Laserleis-

tung.

St

(8.12)

Wenn der Laser einmal angesprungen ist, hKngt die Verst/irkung gar nicht mehr v o n d e r Pumprate at), sondern nur noch von den Verlusteigenschaften des Systems. In diesem Fall spricht man von ges~ttigter Verstgrkung G = Gs = %. Wenn der Laser noch nicht angesprungen ist, w/ichst die Verst/irkung linear mit der Inversion nach G1.(6.49), G = tr Dieser Zusammenhang ist in Abb. 8.1 dargestellt.

Mode Pulling

Der Imagingrteil yon G1. (8.10) liefert uns die ,,wahre" Laserfrequenz w, mit der das kombinierte System aus Resonator und polarisiertem Medium oszilliert. Wit ersetzen a n ~t = %, benutzen a = ( w - Wo)/'7' nach G1.(8.6) und finden das Ergebnis W=

7 ' ~ + %Wo/2 3" + %/2

Danach werden die Eigenfrequenzen der beiden Bauteile mit den entscheidenden D~tmpfungsraten ffir die Polarisierung des jeweils anderen Anteils gewichtet: Die tats/ichliche Oszillationsfrequenz liegt immer zwischen den Frequenzen von Verst~rkungsmedium (w0) und Resonator (~). F e l d s t ~ k e und P h o t o n e n z a h l im Resonator

Nach G1.(8.5) sind Photonenzahl und normierte Feldstgrke nach nph(t)= la(t)l 2 verkniipft. Man erhglt daher aus der dritten Gleichung von (8.7) ~ph = laStl2 = ~ ( n 0 -- n St)

(8.13)

Erst wenn die unges/ittigte Inversion no die ges/ittigte Inversion n ~t erreicht, springt der Laser an, weil die Photonenzahl positiv sein muff. Unterhalb der Schwelle erhalten wir hier das Ergebnis ~ph ----0. Wit werden aber in Abschn. 8.3

8.1

Grundzfige

einer Lasertheorie

305

sehen, daft auch schon unterhalb der Schwelle stimulierte Emission zu einer erhShten Photonenzahl im Resonator ffihrt.

Laserschwelle

Die unges~ttigte Inversion no muff grSfier sein als die Inversion im Gleichgewicht n st und liefert daher nach no ~ n st und G1.(6.49) einen Wert ffir die Pumpleistung oder -rate R t h a n der Laserschwelle. Eine durchsichtige Form ergibt sieh wieder unter Verwendung der Kopplungsrate g nach (8.6) und (8.12), = %7

1

t~ 1 -

s,

7/7dep =

(8.14)

9ne

An der Schwelle geht in diesem Modell oftenbar die gesamte Pumpenergie gerade noch durch spontane Prozesse verloren, denn das Laserfeld ist noch nicht angeschwungen. Oberhalb der Schwelle kSnnen wir nun auch die Photonenzahl im Laserresonator (8.13) mit Hilfe der Pumprate ausdrficken,

-n p h

--

1-717d~ %

--

P h)

---*

I (R

--

%

--

lhh)

,

(8.15)

die besonders fiir den ,,guten" Vier-Niveau-Laser (7/Tdep --~ 0) eine einfache Form annimmt. Zur Interpretation von G1.(8.14) kann man noch berficksichtigen, dab die allermeisten Laser in oftener Geometrie betrieben werden. Dann ist die Kopp-

lungskonstante nach (8.6) mit der natfirlichen Zerfallsrate nach (6.45) durch g2 : 7(37rC3/w2s verknfipft, wobei Vmo d das Modenvolumen des Resonatorfeldes bezeichnet. Man erh~ilt unter Verwendung von (8.9) P~h = %7'

1 + c~2 1 -- 7/Tdep

w2CVmod 37rc3

Daft man fiber eine geringere Auskopplung (kleines %) die Laserschwelle reduziert, ist intuitiv Mar. Naeh dieser Beziehung sind aber auch kleine 0bergangsst/~rken (kleines 7'), schnelle Depopulationsraten ffir das untere Laserniveau (grofies 7dep) und gute 0bereinstimmung yon Laserfrequenz und Resonanzfrequenz des Verst/irkermediums (a -- 0) vorteilhaft. Der erstrebenswerte Bau yon UV-Lasern wird unter anderem durch den hier sichtbaren Einfiufi der 0bergangsfrequenz w erschwert. Gfinstig ist andererseits die Konzentration des Resonatorfeldes auf ein kleines Volumen Vmod. Diesen Pfad werden wir unter dem Thema Mikrolaser oder schwellenlose Laser in Abschn. 8.3 noch weiter verfolgen.

306

8 Laserdynamik

Laserleistung und Auskopplung Die ausgekoppelte Laserleistung steht mit der Photonenzahl im Resonator in direktem Zusammenhang nach Pout = h~%ut~ph = h~%ut ~ (n~t - n st) %

(8.16)

Es lohnt sich, nach dem Einflufi der Auskopplung in der Resonatordampfung zu fragen, Pout ----h~%ut %ut ~ ")'loss

(8.17)

Fiir sehr kleine Auskopplung (')'out << ~loss) steigt die Ausgangsleistung an, sie durchliiuft ein Maximum, und bei R/(%ut § "Yloss) -- 9'/n erlischt der Laser. Um eine m6glichst hohe Ausgangsleistung zu erreichen, muff man %ut durch die Reflektivitiit der Resonatorspiegel kontrollieren. Am Beispiel des HeliumNeon-Lasers waren wir dieser Frage in Abb. 7.8 auf S. 265 mit geringfiigig verschiedenen Bezeichnungen schon nachgegangen.

8.2

Laser-Rat engleichungen

Die Maxwell-Bloch-Gleichungen (8.4, 8.7) beschreiben das dynamische Verhalten von je zwei Komponenten des elektrischen Feldes E(t) bzw. a(t) und der Polarisierungsdichte P(t) bzw. der Dipolzahl r(t). Aufierdem muff die Inversion durch ihre Dichte Af(t) oder die Gesamtinversion n(t) beriicksichtigt werden. Die Gleichungen lassen ein grunds~itzlich kompliziertes dynamisches Verhalten erwarten, das seinen besonderen Ausdruck in der Isomorphie der Lasergleichungen mit den Lorenz-Gleichungen der nichtlinearen Dynamik findet, die buchstiiblich ins ,,Chaos" fiihren. Traditionelle Laser verhalten sich jedoch dynamisch sehr gutmiitig - oder in guter N~iherung nach der station~iren Beschreibung, die wir gerade ausfiihrlich behandelt haben. Sie verdanken ihre Stabilit~it einem Umstand, der auch die mathematische Behandlung der Maxwell-Bloch-Gleichungen enorm vereinfacht. Die Relaxationsrate der makroskopischen Phase zwischen Laserfeld und Polarisierung, "y', ist n~imlich im allgemeinen sehr viel gr6fier als die Relaxationsraten von Inversion (~,) und Resonatorfeld (%). Vnter diesen Vmstanden folgt die Polarisierungsdichte der elektrischen Feldst~rke nahezu instantan und kann deshalb nach G1.(8.7) durch ihr instantanes Verhiiltnis zu Feldstiirke a(t)

8.2 Laser-Rat engleichungen

307

und Inversionsdichte n(t) ersetzt werden, _~

-

-iga(t) n(t) 7'(i + is)

Wenn die Polarisierungsdichte ,,adiabatisch eliminiert" worden ist, dann lohnt es sich nicht, die Phasenabh~i~gigkeit des elektrischen Feldes weiter zu betrachten, weil diese nur in Relation zur Polarisierung interessant ist. Stattdessen untersuchen wir also die zeitliche Dynamik der Photonenzahl nach d/dt la(t)l 2 = a(t) d/dt a*(t) + a*(t) d/dt a(t). Wir erhalten die vereinfachten Laser-Ratengleichungen, wobei wir statt der ungesittigten Inversion no die Pumprate R ~- no/7 verwenden, (i)

d nph(t)

(ii)

~t n(t)

=

--%nph(t) + ~;nph(t)n(t)

- ~ nph(t)n(t) - 7 n ( t ) + R

(8.18)

Im Unterschied zu gewShnlichen linearen Differentialgleichungen sind diese Gleichungen durch die Kopplung t~nph(t)n(t) nichtlinear verkniipft, die die Rolle der stimulierten Emission spielt: Rstim = B; nph(t)n(t)

,

(8.19)

die Rate der stimulierten Emission h~Lngt davon ab, wieviele Photonen schon vorhanden sind. Wir studieren zun~chst wieder die Gleichgewichtswerte ~ph und n st. Gleichung (8.18(i)) liefert zwei LSsungen, von denen die erste, ~ph = 0, die Situation unterhalb der Laserschwelle bezeichnet. Dort w~chst die Inversion n nach (8.18(ii)) und (6.49) linear mit der Pumprate (Wir nehmen wieder den Fall eines ,,guten" Vier-Niveau-Lasers mit 7/Tdep << 1 an): nph =

O und

n st ----no ~-- R/7

Wenn der Laser anspringt (nph > 0), dann muff die Inversion im Gleichgewicht nach (8.18(i)) stets am Sattigungswert n st festgehalten werden, und man findet wiederum G1. (8.12). Wir gewinnen wie erwartet das Verhalten von Abb. 8.1 zuriick, die Verst~rkung w~Lchst nur, bis die Laserschwelle erreicht ist und nimmt dann einen konstanten Wert an, die gesiittigte Verst~rkung, die im Englischen als gain clamping bezeichnet wird. Gleichzeitig wachst die Photonenzahl wegen (8.18(ii)) nach _

Ttph z

__1 (R_~C) 7c

,

(8.20)

wobei der Wert Rth = 7%/t~ gerade der Pumpleistung an der Schwelle entspricht.

308

8.2.1

8 Laserdynamik

Laser-Spiking und Relaxationsoszillationen

Die Laserratengleichungen (8.18) sind nichtlinear und kSnnen im allgemeinen nur im Rahmen einer numerischen Analyse untersucht werden. In Abb. 8.2 stellen wir zwei Beispiele vor, bei denen der Laser plStzlich eingeschaltet wird. Fiir t < 0 gelte R = 0 und der Schaltvorgang sei instantan, zumindest im Vergleich zu einer der beiden Relaxationsraten 9' (Inversionsdichte) oder % (Resonatorfeld). Die numerische Simulation kann mit vielen Programmen aus der Computer-Algebra leicht bew~ltigt werden und gibt sehr gut das Ph~inomen des ,,Laser-Spiking" wieder, das zum Beispiel beim schnellen Einschalten (Nanosekunden oder schneller) yon Neodym- oder Diodenlasern beobachtet wird. Relaxationsschwingungen im engeren Sinne treten auf, wenn sich die

Abb. 8.2 Relaxationsoszillationen. Links: Inversion n(t) bzw. Verstiirkung und Ausgangsleistung Pout(t). Rechts: Phasenraum-Darstellung. Als System-Parameter wurden in Gl. (8.18) gewdhlt: ~=1; %=2; 3,=0,02; R=O,1.

Verst~irkung (oder auch die Verlustrate) plStzlich ~indert. Schwankungen der Verst~irkung werden durch die Fluktuationen der Pumpprozesse verursacht, zum Beispiel durch Ein- oder Aussehalten eines optischen Pump-Lasers. Fiir viele Zwecke, etwa bei der Stabilit~itsanalyse yon Frequenz und Amplitude eines Laser-Oszillators ist es ausreichend, kleine Abweichungen der Photonenzahl und der Inversion yon ihren Gleichgewichtswerten zu betrachten: nph(t) = ~ph -[- (~nph(t)

und

n(t) = n ~t + 6n(t)

Wir setzen in G1.(8.18) ein, vernachl/issigen Produkte vom Typ 6 n . (~nph und erhalten die linearisierten Gleichungen !

=

(8.21) dt

8.2 Laser-Rat engleichungen

309

Der 0bersichtlichkeit halber ffihren wir die normierte Pump-Rate p = R / R t h = aR/9"% ein, die bei der Schwelle den Wert 1 besitzt, und gewinnen ffir x -- 5n die fibliche Gleichung des ged~mpften harmonischen Oszillators, + 9'p& -t- 9'%(p - 1) x -- 0

(8.22)

Daraus entnimmt man ohne weitere Schwierigkeiten, daft das System ffir (%/9') ( 1 - ~ / 1 - (9"/%)) < p/2 < (%/9')(1 + ~ / 1 - (9'/%)) mit der normierten Frequenz Care1/9" = \ / ( % / 9 " ) ( p - 1 ) - (p/2) 2

(8.23)

schwingf~hig ist und mit der Rate 9'rel = 9"p/2 = 9"R/2Rth

(8.24)

ged~npft wird. Gerade die Festk6rper-Laser haben typischerweise lange Lebensdauern im angeregten Laserniveau und deshalb groi3e %/9'Verhaltnisse, z.B. 103-104 ffir Halbleiterund 10a-105 ffir Nd-Laser. In Abb. 8.3 ist zu erkennen, dab man ffir diesen Fall unmittelbax fiber der Laserschwelle bei p = 1 Relaxationsschwingungen auslSst. Sie kSnnen auch dutch ~uflere Kr~fte angetrieben werden, indem zum Beispiel die Pumprate geeignet moduliert wird, und sie spielen eine wichtige Rolle bei der Amplituden- und Frequenzstabilit~t von Laserquellen (s. Abschn. 8.4), denn sie werden genauso von Rauschquellen aller Art angestot3en.

Abb. 8.3 Relaxationsschwingungen als Funktion yon %/~/und p.

Beispiel: Relaxationsoszillationen im N d : Y A G - L a s e r Wir betrachten die 1064 nm-Linie des Nd:YAG-Laser mit folgenden charakteristischen Gr6t3en: Natfirliche Lebensdauer T ----240 #S 9' ----4, 2 9103S -1 % ----5, 0" 107s -1 Speicherzeit Resonator Tc ----20 ns Normierte Pumpleistung R//Rth = 1, 0 - 1, 5

310

8 Laserdynamik

Abb. 8.4 Spiking und Relaxationsoszillationen im Nd: YAG-Laser. Die Leistung der PumpLaserdiode wird dutch ein Reehtecksignal moduliert. Vollst~indige Modulation (links) verursacht Spiking, teilweise Modulation (rechts, 6~/o) Relaxationsoszillationen.

Die im Experiment beobachteten Eigenschaften der Relaxationsoszillation entsprechen den theoretischen Absch~tzungen. F fir die Nd:YAG-Parameter kann man bei der Berechnung der Oszillationsfrequenz den zweiten Beitrag in G1.(8.23) wegen ~ << % vernachl~ssigen, k.z

• vr

- 1

und die D~impfungsrate betr~gt nach (8.24) 7rel

8.3

'~

, 2" 1 0 3 s - I R / R t h .

Schwellenlose Laser und Mikrolaser

Wir haben schon im Abschnitt fiber die spontane Emission gesehen, dat3 eine spiegelnde Umgebung die Rate der spontanen Emission ver~ndert. Dieser Effekt tritt grunds~tzlich in jedem Laserresonator auf, ist aber meistens so klein, dab er problemlos vernachl~sigt Abb. 8.5 Relaxations- und Pumpraten im werden kann. Der Einflut3 ist deshalb Laser. Der ~-Koe~zient der spontanen so gering, well in oftener ResonatorEmission ist ein grobes Marl fiir den Anteil Geometrie (Abb. 8.5) die isotrope sponder spontanen Emission in die Lasermode tane Strahlung eines angeregten Meund in den iibrigen Raumwinkel. diums, zum Beispiel eines Atoms, nur zum geringsten Teil in denjenigen Raumwinkel emittiert wird, der durch die elektrischen Feldmoden des Laserresonators besetzt wird.

8.3 Schwellenlose Laser u n d Mikrolaser

311

Diese Anderungen k6nnen aber nicht mehr vernachl~ssigt werden, wenn der Resonator sehr klein wird, oder wenn durch grot]e Brechungsindexsprfinge des Lasermediums die abgestrahlte Leistung immer starker im Resonator eingeschlossen wird. F fir diesen Fall wird die modifizierte Wirkung der spontanen Emission h~ufig mit dem sogenannten ,spontanen Emissionskoeffizienten"fl berficksichtigt. Der fl-Faktor gibt pauschal an, welcher geometrische Anteil des Strahlungsfeldes an die Lasermode ankoppelt (Rate ~9') und welcher Anteil in den fibrigen Raum (Rate ( 1 - fl)7) abgestrahlt wird. Wir kSnnen die spontane Emission mit diesem Trick in den Laserratengleichungen (8.18) berficksichtigen. Die spontane Emission kSnnen wir als stimulierte Emission durch ein einzelnes Photon betrachten, sie hangt daher mit dem Kopplungskoeffizienten nach/~7 ----~ zusammen, (i) (ii)

d nph(t) ---- --%nph(t) + ~7 nph(t)n(t) + ~vn(t) d n(t)

=

- Z 7 nph(t)n(t) -- ZTn(t) -- (1 -- Z)vn(t) + R

Man vereinfacht die Gleichungen ffir die Gleichgewichtssituation sofort zu (i) (ii)

0 = 0 :

+ R

-

+ 1)

f l ' y n p h n s t - - ")'nst

wobei die Berficksichtigung der spontanen Emission insbesondere durch den Faktor nph ~- 1 in Gl.(i) realisiert wird. Bei diesem Gleichungssystem ist es gfinstig, zur L6sung die Pumprate als Funktion der Photonenzahl im Resonator auszudrficken. Wir ersetzen n st a u s Gleichung (i) und erhalten R / % = ( ~ + ~ph) ~ P ~ 1

(8.25)

Weit oberhalb der Laserschwelle, d.h. ffir nph >> 1/~ _> 1 geht der Zusammenhang von Pumprate und Photonenzahl offensichtlich und wie erwartet wieder in das Ergebnis G1.(8.15) fiber. Die Laserschwelle wird nach der Bedingung (8.25) dann erreicht, wenn die Photonenzahl im Resonator den Wert 1/Z annimmt. In einem gew5hnlichen Laser (~ << 1) sind also an der Schwelle schon sehr viele Photonen in der Lasermode vorhanden, genauer gesagt soviele, daft die Rate der stimulierten Emission in die Lasermode dort gerade die gesamte spontane Zerfallsrate fiberwiegt. Oberhalb dieser Schwelle wird die zusatzliche Pumpleistung dann fiberwiegend zur ErhShung der Photonenzahl und damit dem Aufbau des koh~renten Strahlungsfeldes verwendet. Exkurs: M i k r o m a s e r , Mikrolaser und E i n - A t o m - L a s e r .

Die Konzepte des ,schwellenlosen"Lasers sind durch die experimentellenArbeiten zun~ehst am sogenannten Mikromaser, sparer am Mikrolaser stark befruchtet worden. Die Bezeichhung ,,Mikro-" bezieht sich dabei weniger auf die miniaturisierte Bauform als vielmehr auf

312

8 Laserdynamik

Abb. 8.6 SchweUverhalten yon Laseroszillatoren: Photonenzahl im Resonator als Funktion der Pumprate. die mikroskopische Art der Wechselwirkung: Die Kopplung zwischen dem Feld eines Mikrolasers oder -masers ist n~nlich so stark, dai3 ein angeregtes Atom seine Energie nicht nur einmal an das Feld abgibt wie in einem gewShnlichen Laser. Dazu muB die Kopplungsrate g aus G1.(8.6) grSt]er sein als alle anderen Zeitkonstanten (s. Tab. 8.1): g >> % % , 7 I

-

Dann speichert das Resonatorfeld die abgestrahlte Energie, und das Atom (die polarisierte Materie) kann die Strahlungsenergie reabsorbieren, sie pendelt zwischen Atom und Resonator hin und her (Abb. 8.7). Diese Situation l ~ t sich schon - oder sogar besonders gut mit einem einzelnen Atom realisieren, daher die zun~chst viel verwendete Bezeichnung ,Ein-Atom-Maser". Um die Mikromaser-Situation experimentell zu realisieren, muff man

Abb. 8.7 In einem Ein-Atom-Laser (,Mikrolaser") ist die Kopplung zwischen Atom und Feld so stark, daft die Anregungsenergie wie bei zwei gekoppelten Pendeln hin und her oszilliert. T bezeiehnet die Dauer einer Periode. Resonatoren mit extrem langen Speicherzeiten verwenden. Weil supraleitende Resonatoren

8.3 Schwellenlose Laser und Mikrolaser

313

fiir Mikrowellen schon l~nger verffigbar waren, wurde der Mikromaser vor dem Mikrolaser realisiert. Die Beschreibung des Mikromasers erfordert eine gemeinsame Behandlung von Atom und Feld nach der Quantentheorie im Rahmen des sogenannten Jaynes-Cummings-

Abb. 8.8 Transmissions-Spektrum eines leeren Resonators (links) und eines Resonators mit einem angeregten Atom (rechts). Ein Photon reicht aus, um die sogenannte , Vakuum-RabiAufspaltung" hervorzurufen.

Modells, das allerdings den Rahmen dieses Exkurses weit fibersteigt. Es ist aber intuitiv klar, dab die Transmission des kombinierten Systems aus Resonator und Atom ein anderes spektrales Verhalten zeigt als der leere Resonator, der der gewShnlichen Lorentzkurve folgt. Schwellenlose Laser sind ffir den Einsatz in der integrierten Optik au~erordentlich interessant. Z u m Beispiel kann m a n sich Halbleiterkomponenten ausdenken, in denen einzelne Elektron-Loch-Paare direkt in einzelne P h o t o n e n konvertiert werden. Zur Realisierung werden derzeit verschiedene Wege gesucht, u m elektrische Felder mit geringem Modenvolumen, langen Speicherzeiten u n d intensiver Kopplung an das angeregte M e d i u m herzustellen. Bei optischen Wellenl~ngen bedeutet ein kleines Modenvolumen auch die Nutzung miniaturisierter Resonatoren. Bei den traditionellen, an lineare Resonatoren angelehnten Bauformen bereitet allerdings die Integration hochreflektierender Spiegel zur Erzielung grofier Speicherzeiten Probleme. Einen Ausweg bietet die geeignete Nutzung der Totalreflexion. Winzige elektrische Resonatoren aus einem monolithischen Substrat mit sehr hoher Giite sind schon realisiert: Auf d e m R a n d von pilz- oder tischfSrmigen Halbleiter-Lasern u n d dielektrischen Silikat-Kugeln konnten umlaufende Feldzustande, sogenannte ,,FlfistergalerieModen" pr~pariert werden. Neuerdings werden Mikroresonatoren mit ovaler Geometrie ffir MikrolaserAnwendungen diskutiert, weil sie eine besonders starke Kopplung von Laserm e d i u m u n d Strahlungsfeld erlauben (s. Absehn. 5.6.4) [131].

314

8.4

8 Laserdynamik

Laserrauschen

Alle physikalischen Gr6t3en unterliegen Fluktuationen, und das Laserlichtfeld macht keine Ausnahme: Die perfekte harmonische Welle mit fester Amplitude und Phase ist eine Fiktionl Das Laserlichtfeld kommt aber dieser Idealisierung eines harmonischen Oszillators so nahe wie kaum ein anderes physikalisches Ph/inomen, denn nach der alten Absch/itzung von Schawlow und Townes zeigt das koh/irente Laserlichtfeld extrem geringe Schwankungen von Amplitude und Phase und inspiriert nicht zuletzt deshalb bis heute weite Bereiche der Experimentalphysik. Die ,,kleine Linienbreite" (sub-Hertz) haben wir am Beispiel des HeNe-Lasers schon in Abschn. 7.1.6 vorgestellt. Sie verspricht extrem lange Koh~irenzzeiten (> ls) oder grot3e Koh/irenzliingen (> l0 s m), die sich ffir Pr~izisionsmessungen zu den verschiedensten Fragestellungen nutzen lassen. Normalerweise ist die sogenannte ,, Schawlow-Townes-Grenze" der Linienbreite durch technisch verursachte und im allgemeinen viel grSgere Schwankungen verborgen. Wenn aber die physikalische Grenze erst einmal erreicht ist, dann enth/ilt sie Informationen fiber die physikalischen Eigenschaften des Lasersystems. In diesem Kapitel soll untersucht werden, durch welche physikalischen Prozesse das ideale Oszillatorverhalten eingeschr~inkt wird.

8.4.1

Amplituden- und Phasenrauschen

Die station/iren Werte des Laser-Lichtfeldes (Abschn. 8.1.2) hatten wir mit der Photonenzahl nph und der tats/ichlichen Laserfrequenz co auf S. 304 bestimmt. Dabei waren wir davon ausgegangen, dab sich die Phasenentwicklung des Feldes nach der klassischen Elektrodynamik wie ein perfekter Oszillator gem/it3

E(t) = ~e{ Eo exp (-i(wt + r verh/ilt. Das gekoppelte System aus polarisiertem Lasermedium und Resonatorfeld ist aber auch noch an seine Umgebung angekoppelt, zum Beispiel dutch die spontane Emission, die stochastische Fluktuationen der Feldst/irke und der fibrigen SystemgrSt3en verursacht: 1

E(t) --, Me{ (Eo + eN(t) )exp--i(cot + r + 6r Dabei nehmen wir an, dab wir Beitr~ge zum Amplitudenrausehen (eN(t)) und zum Phasenrauschen (6r unterscheiden kSnnen, obwohl diese Trennung nieht ganz eindeutig ist, und dab die Fluktuationen nieht zu sehnell sind ( (deg /dt/eg), (dSr << co). lIm Mikromaser (s. S. 311) wird aber versucht, genau diese restliche Kopplung zu unterdriicken.

8.4 Laserrauschen

315

Abb. 8.9 Feldspektrum bei weiflem Amplituden- (a) bzw. Phasenrauschen (b). Die spektrale Breite der Triigerffequenz ist nur durch die Aufli~sung des Spektrum-Analysators begrenzt. In Abb. 8.9 ist vorgestellt, wie sich ein weit]es, d.h. frequenzunabh~ngiges Rauschen der Amplitude bzw. Phase auf das Leistungsspektrum des elektromagnetischen Feldes (zur Definition s. Anhang A. 1) auswirkt. Die genaue Berechnung eines Rauschspektrums setzt voraus, dat3 wir Informationen fiber die spektralen Eigenschaften der Rauschgr5t3en besitzen.

Amplitudenschwankungen Wir beginnen mit den Amplitudenschwankungen und nehmen zun~chst eine perfekte Phasenentwicklung an (5r = 0). Wenn die Schwankungen der Rauschamplitude schon w~hrend der Integrationszeit T des Analysators v611ig regellos, d. h. sehr ,schnell" sind, sind sie iiberhaupt nur bei der Zeitverz5gerung 7- = 0 korreliert (,,delta-korreliert") und wir kSnnen mit dem Schwankungsquadrat erm 2 s • (leN(t)l 2) die Korrelationsfunktion der Rausehamplitude beschreiben, (eN(t)) = 0

und

(eN(t)e*N(t + ~-)) =e2msTS(7)

Mit diesen Informationen kSnnen wir die Korrelationsfunktion eines elektromagnetischen Feldes mit Amplitudenfluktuationen berechnen, wobei wir das Poynting-Theorem (s. Anhang A.2) sinnvoll einsetzen, CE(T)

:

( ~ e { E ( t ) } ~ e { E ( t + T ) } ) = l ( ~ e { E ( t ) E * ( t + T)})

-

2T ~ T / 2 ~ e { ( E ~

=

1 lE0 12 + e msTS( )

1

fT/2

+e*N(t +~-))}

Das endliche Integrationsintervall verursacht Fehler v o n d e r GrSfJenordnung (.9(1/wT), die aber vernachl~ssigt werden kSnnen, weil sie bei optischen Frequenzen w T immer sehr groB ist. Mit dem Wiener-Khintchin-Theorem (G1.(A.9)) erh~ilt man schliet]lich das Spektrum SE(f) ---- 2 o 5(f) + e r 2 m s ( A f ) - 1

316

8 Laserdynamik

Die ,,Fourier-Frequenzen"f geben den Abstand yon der viel grSBeren optischen Frequenz w -- 2ru an. Der zweite Beitrag verursacht einen ,weiBen" Rauschsockel, und wir haben schon T = 1//Nf ersetzt, um damit anzudeuten, dab in einem Experiment hier immer die Filterbandbreite einzusetzen ist. Der erste Beitrag repr~sentiert die Tr~gerfrequenz wie bei einer perfekten harmonischen Schwingung. Die Deltafunktion deutet an, daft die volle Leistung in dieser Komponente immer in einem Kanal eines Spektrumanalysators zu finden ist, dat3 ihre Breite damit allein durch die Filterbandbreite begrenzt ist.

Phasenschwankungen Um den EinfluB einer fiuktuierenden Phase zu studieren, lehnen wir uns an die Darstellungen von Yariv[180] und Loudon[ll4] an und berechnen die Korrelationsfunktion eines elektromagnetischen Feldes E(t) -- ~e{Eo e-~(~t+~ mit langsam schwankender Phase O(t) wieder mit dem Poynting-Theorem (s. Anhang A.2),

cE( ) =

lE012< e{ei(

+

(8.26)

Z

=

89

9

Die Mittelung erstreckt sich allein auf den fluktuierenden Anteil mit AO(t, -r) = O(t + ~r) - O(t). Wir kennen zwar nicht den genauen zeitlichen Verlauf der Phasenfluktuationen (das ist gerade die Natur des Rauschens), wir gehen aber davon aus, dab sie ein station~ires Verhalten zeigen, dab ihre Eigenschaften wie z.B. ihr Frequenzspektrum selbst nicht yon der Zeit abh~ingen. Falls wir dann fiber statistische Aussagen zur Verteilung der mittleren Phasenabweichungen A0(~-) verffigen, kSnnen wir start des Zeitmittels auch das (Schar-)Mittel fiber die Wahrscheinlichkeits-Verteilung p(AO(~-)) verwenden, um den Mittelwert in (8.26) zu berechnen. Bei symmetrischen Verteilungen mfissen wir nur den Realteil berficksichtigen, (eiz~~

= (cosA0(~-))=

F cosAOp(AO(7))dAO

(8.27)

(x)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung wird vollst~indig charakterisiert, wenn p(/NO('r)) explizit angegeben wird, oder wenn wir bei bekannter Form wie zum Beispiel der Normalverteilung eines ihrer Momente, etwa das mittlere 2 S angeben. Schwankungsquadrat/N0rm Wie gewinnen wir die erforderliche statistische Information? Vom Standpunkt der Experimentalphysik durch Messung der Phasenfluktuationen z.B. durch ein Heterodynexperiment, bei dem wir die Schwankungen der makroskopischen Phase bestimmen. Theoretische Modelle sind aber erforderlich, um den

8.4 Laserrauschen

317

Zusammenhang mit den mikroskopischen physikalischen Eigenschaften des Lasersystems herzustellen. Wir wollen uns zun~ichst auf das verbreitete Phasendiffusions-Modell konzentrieren und dazu das PhasorModell der Amplitude des Laserfeldes in Abb. 8.10 betrachten. Durch die Maxwell-Bloch-Gleichungen wird lediglich die Amplitude, nicht aber die Phase des Laserfeldes festgelegt. Es gibt n~imlich keine Rfickstellkraft, welche die Phase an einen bestimmten Wert binden k5nnte, sie dif- Abb. 8.10 PhasormodeU des Laserfeldes. fundiert ungehindert von ihrem Anfangswert weg. Wir werden noch sehen, dai~ daffir - wenn technische StSrungen ausgeschlossen werden kSnnen - vor allem spontane Emissionsprozesse verantwortlich sind. Die Phase kann sich nur in einer Dimension ver~indern und deshalb ist auch unser Modell eindimensional. Nehmen wit also an, dai~ die Phase kleinen Sprfingen ausgesetzt ist, die mit einer noch zu bestimmenden Rate R auftreten. Sie seien vSllig unabh~ingig voneinander, daft heiflt, in jedem einzelnen Fall wird fiber die Richtung des n~ichsten Schrittes neu gewfirfelt. Es ergibt sich eine zufiillige Bewegung, die v o n d e r Brownschen Molekularbewegung her bekannt ist. In der englischsprachigen Literatur spricht man auch vom randomwalk-Problem und zieht h~iufig den Vergleich mit dem Gang einer volltrunkenen Person (drunkard's walk), die nicht mehr weifl, wohin sie ihre Schritte setzt.

Abb. 8.11 Eindimensionale Zufallsbewegungen. Jeder einzelne Schritt wird zufSllig in die + oder -Richtung gesetzt. Die dicke Linie kennzeichnet das mittlere Schwankungsquadrat.

318

8 Laserdynamik

Mit dem Zufallsgenerator des Computers lassen sich solche Bewegungen leicht simulieren. In Abb. 8.11 haben wir mehrere Trajektorien vorgestellt und zus/itzlich den zeitabh~ingigen Erwartungswert des Schwankungsquadrats eingetragen. Fiir das Schwankungsquadrat der Gaufischen Normalverteilung nach N Schritten gilt bekanntlieh (ANr2ms)1/2 ----((N 2) - { N ) 2 ) 1/2 ----V~. Weil die Anzahl der Schritte proportional zur Zeit ~- w~chst, muff auch die Schwankungsbreite proportional zu v ~ sein. Wir kSnnen deshalb die Normalverteilung

p(AO(T)) =

exp(--/kO2/2AO2ms ) v/~A0rms

mit

f'~ o p(AO)dAO = 1

konstruieren, deren Sehwankungsquadrat (A0rms)2 = O~)R'r betrggt, wenn 0o die L~nge eines Einzelsprungs ist. Nun kSnnen wir das Integral G1.(8.27) ausreehnen, erhalten das einfache Ergebnis = e x p (--A0r2ms/2) : exp (-02RT/2)

,

und kSnnen die komplette Korrelationsfunktion (w = 2m,) angeben:

CE(T)---- <E(0)E*(T))-- 1 iEol

- 0o m-/2

Die Korrelationsfunktion 1/~t sich iibrigens auch als die mittlere Projektion des Feldvektors auf seinen Ausgangswert zum Zeitpunkt ~- -- 0 interpretieren. Ihre Form ist identisch mit dem zeitlichen Verhalten eines gedgmpften harmonischen Oszillators. Wir berechnen das Spektrum wieder nach dem WienerKhintchin-Theorem (GI.(A.9)): Weifles Phasenrauschen (AbD. 8.9) fiihrt zu einer Lorentz-fSrmigen Linie mit der Breite Aw = 27rAy1/2 = O~R: S~(u + Au) = IE~ 0~R/2 T (21rAu) 2 + (O~)R/2)2

(8.28)

Hier bezeichnet u die Mittenfrequenz des Oszillators, Au die Abweichung von der Mittenfrequenz.

8.4.2

Mikroskopische Ursachen des Laserrauschens

Die 0berlegungen des vorausgehenden Kapitels sind generell fiir Oszillatoren aller Art giiltig. Wir miissen nun die makroskopisch beobachteten Eigenschaften mit den spezifischen mikroskopischen Eigenschaften des Lasers in Verbindung setzen. Eine rigorose Theorie (d. h. eine konsequente theoretische Berechnung von Korrelationsfunktionen wie in G1. (8.26)) erforderte eine Behandlung nach der Quantenelektrodynamik, ffir die wir aber auf die einschl/~gige Literatur verweisen miissen. Die beiden Theorien von Haken [66] bzw. von Lax und Louisell [115] z/ihlen zu den wichtigen Erfolgen in der Quantentheorie ,,oftener

8.4 Laserrauschen

319

Systeme" und sind schon kurz nach der Erfindung des Lasers vorgestellt worden. Wir miissen uns hier auf vereinfachte Modelle beschr~tnken, kSnnen aber einige Gedanken zur Natur der Rauschkr~fte voranstellen. Die Fluktuationen des Laserlichtfeldes reflektieren mehrere Rauschquellen. Der bekannteste Prozet3 wird durch die spontane Emission aus dem Verst~rkermedium heraus in die Umgebung verursacht. Diese Strahlungsprozesse tragen nicht zum Laserfeld bei, verursachen aber stochastische Fluktuationen der Inversion und der (dielektrischen) Polarisation. Weil die Amplituden von Resonatorfeld und Polarisation wieder auf ihre Gleichgewichtsrelation relaxieren, werden Amplituden- und Phasenfluktuationen verursacht 2 Weitere Rauschprozesse werden verursacht, weil auch das Resonatorfeld zufiillige Verluste erleidet oder weil der Pumpprozet3 seine Rauscheigenschaften auf die stimulierte Emission iibertr~tgt. Er ist normalerweise ,,inkoh~trent" d. h. die Anregungszust~nde werden mit einer bestimmten Rate, aber zuf~llig verteilt produziert. In einem Halbleiterlaser werden Elektron-Loch-Paare in die Verst~trkungszone injiziert. Bei grot3er Stromdichte stot3en sich die Ladungstr~tger untereinander ab, die Abst~nde der Ankunftszeiten n~hern sich an. Es wurde gezeigt, dab diese ,,Regularisierung" des Pumpprozesses auch eine Verminderung der Intensit~ttsschwankungen hervorruft [179]! Viele Prozesse lassen sich heuristisch durch die ,k6rnige" Struktur des quantisierten Lichtfeldes interpretieren. Wit werden in unseren intuitiven Betrachtungen daher Ver~tnderungen von Amplitude und Phase des Laserfeldes studieren, wenn dem Lichtfeld ,Photonen" hinzugefiigt oder entzogen werden.

8.4.3

Laser-Intensit~itsrauschen

Das Zeitverhalten der Laser-Amplitude haben wir in Abschn. 8.2.1 fiir den Fall untersucht, dat3 das System auf plStzliche Veranderungen der P u m p r a t e zum Beispiel bei deterministischen Schaltvorgangen reagiert. In unserem einfachen Modell werden solche Ver~nderungen nun durch zuf~llige Anderungen der Photonenz hl nph(t) = nph + 5n,h(t) hervorgerufen.

2In einer anderen, h~tufig gebrauchten Formulierung spricht man davon, daft die ,,spontane Emission in den Lasermode" erfolgt. Danach miissen Polarisation und Laserfeld ebenfalls wieder auf ihre Gleichgewichtsrelation relaxieren. Weil aber die Kopplung von Resonatorfeld und Polarisation in der theoretischen Beschreibung schon vollst~Ludigenthalten ist, erscheint die hier gew~ihlteInterpretation physikalisch schliissiger.

320

8 Laserdynamik

Quantenlimit der Laseramplitude Wit sch~tzen das Schwankungsquadrat (5n2h/, ohne die Verteilung genauer zu ermitteln, und verwenden dazu die linearisierte Gleichung ftir die Photonenzahl (8.22), wobei wir die station~ire Photollenzahl ~ph aus G1.(8.20) einsetzen: d2

dt25nph

+ (B;nph +

d 7)~(~nph + ~cB;nph~nph • 0

Wir multiplizieren die Gleichung mit (~rtph , ld2 - 2

1

d

2

2 1 2

{~nph

(8.29) -1- ~c/'~ph(~rt2ph

= 0

und suchen nach der GleichgewiehtslSsung (d/dt, d2/dt 2 =0), um den Mittelwert (~n2ph) zu bestimmen. Dann entfallen zwar die Ableitungen der Schwankung, (d/dt)~nph in der ersten Zeile, nieht aber das Quadrat der Schwankungsrate, ((d/dt)~nph) 2. Weil wir allerdings keine strenge theoretische Beschreibung vornehmen, miissen wir uns zu deren Absch~itzung auf intuitive Uberlegungen besehr~nken. Dazu k6nnen wir die erste Gleichung aus (8.21) verwenden, ((d/dt)Snph) 2 = (t~phSn) 2. Wenn wir annehmen, dab die Inversion durch die spontane Emission oder den stochastischen Pumpprozet3 eine Poissonsche Verteilung besitzt, gilt 5n 2 = n st, wit kSnnen G1.(8.29) auswerten und findeI1 mit 7c = ~;nst nach (8.12) d

2

Wir stellell als wichtigstes ErgeblliS fest, dab die Photonenzahl im Resonator um einen Betrag proportional zu nx/W~phschwankt. Eine genauere Analyse zeigt, daft die Verteilung wiederum die Form einer Gaut3schen Normalverteilung annimmt, deren Breite sich unter konstanten Betriebsbedingungen nicht ~Lndert. Die Untersuchung anhand der Photonenzahl liefert ein intuitives Bild, das wir in Abb. 8.13 noch einmal etwas detaillierter untersuchen. Die Photonenzahl ist proportional zur Feldenergie (E 2 c~ hV~ph), und bei einer Anderung der Photonenzahl um gerade ein ,,Photon" andert sich die Feldenergie um den Betrag

hp. Relatives Intensit~itsrauschen, RIN In einem Experiment mifit man die Schwankungen der Laserleistung P(t) = Po + JR(t). Man l~nn die Schwankung der Photonenzahl mit (8.16) in die

8.4 Laserrauschen

321

quadratische Schwankung der Laserleistung 5Prms = (5P2) 1/2 umrechnen:

Die bisher betrachteten Intensit~tsschwankungen eines idealisierten Lasers werden durch Quantenfluktuationen hervorgerufen, u n d ihre relative B e d e u t u n g n i m m t mit steigender Laserleistung ab. Darfiberhinaus zeigen viele Lasertypen aber nicht immer genau identifizierte Rauschbeitr~ige, die proportional zur Ausgangsleistung ansteigen. Zu quantitativen Charakterisierung des Amplitudenrauschens hat m a n das relative Intensitats-Rauschen RIN (von engl. Relative Intensity Noise) eingefiihrt: RIN . -

Abb. 8.12 Photonenzahl- Verteilung

5P~ms p2

'

des Laserfeldes.

das zun~ichst eine ph~nomenologische GrSfie ist u n d einfach gemessen wird. Ffir eine genauere Analyse des Intensit~tsrauschens mut3 m a n wieder dessen spektrale Verteilung bestimmen. Es besitzt im einfachsten Fall, wenn die Flukt u a t i o n e n vSllig regellos sind, die flache Sockelform des weit3en Rauschens aus Abb. 8.9. 3 Im Kapitel fiber Halbleiterlaser werden wir sehen, daft im Intensit~tsspektrum zum Beispiel auch die Relaxationsoszillationen eine Rolle spielen.

8.4.4

Schawlow-Townes- Linienbreit e

Wenn alle technischen St6reinfliisse vernachl~ssigt werden k5nnen - mechanische, Temperatur-, Luftdruckschwankungen etc. - d a n n wird die Laserlinienbreite nur noch durch den Einflufi der spontanen Emission b e s t i m m t u n d heit3t Schawlow-Twones-Linienbreite. Wir verwenden das Phasendiffusionsmodell von S. 316 nach G1.(8.28), u m die Laserlinienbreite /kPSW zu bestimmen. Dazu mfissen wir die Varianz der Phasenvariation 0ST durch einzelne spontane Emissionsereignisse ermitteln, die mit der Rate der P~po~t auftreten: A sT =

P pont

In Abb. 8.13 ist ein einfaches Phasenormodell dargestellt, nach welchem die W i r k u n g eines einzelnen, zuf~llig emittierten P h o t o n s auf die Feldamplitude des Laserfeldes beschrieben werden kann. 3Man sollte sich darfiber klar sein, daft auch ,,weiites Rauschen" eine obere Grenzfrequenz besitzt - sonst w~e nach GI.(A.6) der rms-Wert der Fluktuationen unbeschr~kt!

322

8 Laserdynamik

Die L~inge des elektrischen Feldvektors des Laserfeldes ist proportional zu nvrn-~. Spontane Emission verursacht in diesen Einheiten einen Feldbeitrag der L~inge ,, 1", der relativ zum Laserfeld eine zuf~illige Phase besitzt, d.h. in Abb. 8.13 eine zuf~illige Richtung relativ zum Feldphasor einnimmt. Das resultierende Feld, die Summe aus dem vorhandenen Laserfeld und dem Feld des spontan emittierAbb. 8.13 Wirkung eines .Photons" auf ten Photons, erf~ihrt sowohl eine Amplitudie Entwicklung des Laserfeldes. denver~inderung - die wit schon im letzten Abschnitt behandelt haben - als auch eine wegen nph >> 1 sehr kleine Phasenverschiebung 5r = 0ST -----COS OL/nvf~'-~. Die Varianz, der quadratische Mittelwert hat dann den Wert (cos 20L/rtpn ) ---1/2npH. Die spontanen Prozesse tragen im Verh~iltnis 1 : nph ZU den stimulierten Prozessen, dem Verh~iltnis der Einstein-A und -B-Koeffizienten nach G1.(6.47), zur Entwicklung des Resonatorfeldes bei. Der Beitrag ist proportional zur Anzahl der angeregten Teilchen no, st so daft wir mit Hilfe der Glgn.(8.12, 8.19) schreiben kSnnen

P po t

P ti / ph

~

t

~ -

nSt/nst /

Die Photonenzahl kSnnen wit andererseits nach GI. (8.16) mit der Ausgangsleistung in Verbindung bringen, nph ----P/hu%ut ~--P/hu%, und erhalten damit die Linienbreite st

rhu 2

A//ST- ne nSt p 7;

(8.30)

In einem ,,guten" Vier-Niveau-Laser betriigt der Faktor n~t/n st _~ 1. Diese erstaunliche Formel wurde von Schawlow und Townes schon 1958 angegeben und hat den Namen Schawlow-Townes-Linienbreite erhalten. Wie wir schon im Kapitel fiber HeNe-Laser berechnet haben, erwartet man schon ffir konventionelle Laser eine extrem geringe Linienbreite von nur einigen Hertz oder weniger. GrSfere Linienbreiten werden bei kleinen und gering verspiegelten Resonatoren wie zum Beispiel bei Halbleiterlasern beobachtet, die einen zus~itzlichen Verbreiterungsmechanismus durch Amplituden-Phasen-Kopplung (s. Beispiel in Abschn. 9.4.2) erfahren.

8.5 Gepulste Laser

8.5

323

Gepulste Laser

Im Kapitel fiber die Relaxationsoszillationen (Abschn. 8.2.1) haben wir in Abb. 8.2 gesehen, dab Ein- und Ausschaltprozesse kurze Laser-Impulse erzeugen kSnnen, deren Intensit~it die mittlere Leistung deutlich fibersteigt. Mit gepulsten Lasern kann eine groBe Menge Strahlungsenergie, bei g/ingigen Systemen bis zu mehreren Joule, in einem kurzen Zeitraum fibertragen werden. Die Spitzenleistung h/ingt dabei vonder Pulsl~inge ab. Ein wichtiges Verfahren zur Erzeugung kurzer, aber sehr energiereicher Laserimpulse wird durch die sogenannte ,,Gfiteschaltung" realisiert. Ein anderes Verfahren erzeugt durch ,,Modenkopplung" eine koh/irente TJberlagerung sehr vieler Teilwellen zu einer periodischen Folge extrem kurze Laserpulse.

Abb. 8.14 Zeitliche Entwicklung gepulster Laseroszillation mit und ohne Giiteschaltung.

8.5.1

Giiteschaltung (,,Q-Switch")

Gepulste Neodym-Laser gehSren zu den typischen Systemen, mit denen sehr hohe Spitzenleistungen erzielt werden. In diesen Pulslasern wird schon die Pumpenergie mit einem Anregungspuls z.B. von einer Blitzlampe zugeffihrt. Der Pumppuls (Abb. 8.14) baut die Inversion auf, bis die Laserschwelle fiberschritten wird. Dann setzt stimulierte Emission ein und das System relaxiert auf den Gleichgewichtswert. Im Neodym-Laser erfolgt die Amplitudend~impfung so schnell, dai~ die Ausgangsleistung dem Anregungspuls mit kleinen Relaxationsoszillationen folgt. Alternativ kann man aber die Lasert~itigkeit zun~ichst unterdrficken, indem die Resonatorverluste durch einen Gfiteschalter erhSht werden. Falls die Akkumulationszeit kurz ist gegen die Zerfallsdauer des oberen Laserniveaus (beim Nd-YLF-Laser z.B. 0,4 ms) wirkt das Lasermedium als Energiespeicher und die

324

8 Laserdynamik

Inversion steigt weiter an. Wenn der Giiteschalter auf einen externen TriggerImpuls hin wieder auf hohe Giite oder geringe Resonatorverluste gestellt wird, setzt die stimulierte Emission ein und erzeugt nun durch schnellen Abbau der akkumulierten Energie einen im Vergleich zum ungeschalteten Betrieb kfirzeren Laserpuls mit viel hSherer Spitzenleistung. Die Wiederholrate solcher Lasersysteme liegt iiblicherweise zwischen 10 Hz und 1 kHz. Gfiteschalter

Giiteschalter miissen zwei Bedingungen erfiillen: Im offenen Zustand mut3 die Resonatorgiite effizient reduziert werden, im geschlossenen Zustand muff andererseits die Belastung gegeniiber sonstigen Verlusten gering sein. Zur Giiteschaltung werden im Laserresonator typischerweise die Systeme aus Abb. 8.15 verwendet: Pockels-Zelle. Der Pockels-Effekt, den wir schon in Abschnitt 3.8.1 beschrieben haben, stellt uns eine spannungsgesteuerte VerzSgerungsplatte zur Verfiigung. In Kombination mit einem Polarisator (Abb. 8.15) l~it3t sich die Reso-

Abb. 8.15 Giiteschalter und Cavity Dumping: Elektrooptisch (Pockels-Zelle), akustooptisch (Bragg-Zelle) und mechanisch (rotierendes Prisma). natortransmission sehr effizient modulieren. Die Schaltzeit einer Pockels-Zelle betr~igt einige Nanosekunden und wird in erster Linie durch die Kapazit~it der Kristallelektroden und den Widerstand der Zuleitungen begrenzt. A k u s t o o p t i s c h e r M o d u l a t o r ( A O M ) . Im Akustooptischen Modulator induziert ein RF-Generator eine Schallwelle, die eine periodische Brechzahlvariation verursacht. Die Laserstrahlung wird an diesem Gitter durch Beugung abgelenkt und gleichzeitig frequenzverschoben. Die RF-Leistung kann dutch geeignete Halbleiterschalter mit Anstiegszeiten yon einigen Nanosekunden geschaltet werden. R o t i e r e n d e s P r i s m a . Die Giiteschaltung kann auch durch ein rotierendes Prisma erreicht werden, das nur in einem engen Winkelbereich ein Anspringen des Lasers erlaubt.

8.5 Gepulste Laser

325

Cavity Dumping Die Pockelszelle und der Akustooptische Modulator (AOM) aus Abb. 8.15 besitzen einen zweiten Ausgang. Sie kSnnen daher zum sogenannten cavity dumping (soviel wie ,,Hohlraum-Entleerung") eingesetzt werden. Dabei wird im geschlossenen Laseroszillator zun~ichst eine starke Oszillation aufgebaut, die erst auf einen externen Triggerpuls hin durch den Schalter entleert wird. Das Verfahren kann auch mit der Modenkopplung des folgenden Kapitels kombiniert werden, um besonders hohe Spitzenleistungen zu erzielen.

8.5.2

Modenkopplung

Schon die einfachste ~Jberlagerung von zwei Laserstrahlen mit unterschiedlichen Frequenzen w und w+~ verursacht ein periodisches An- und Abschwellen, das yon der Amplitudenmodulation wohl bekannt ist. Bei gleichen Teilamplituden gilt mit Io -- CcolEol2:

E(t) = Eo e - i w t + Eo e-iWte - i ~ t e - i r I(t) = 89 Io (1 +eos(~tt + r

und

Wenn wir den dispersiven EinfluB der optischen Elemente vernachl~ssigen, bieten Laserresonatoren der L~nge n i (n: Brechzahl) ein ~quidistantes Frequenzspektrum mit gt = 2~c/2n~ (G1. 5.18), das sich zur Synthese zeitlich periodischer Intensit~tsmuster geradezu anbietet: Mit der Modenkopplung (engl.mode locking) wird eine Fourierreihe im Zeitbereich physikalisch realisiert. Ws die Phase r bei zwei Wellen nur eine zeitliche Verschiebung der sinusfSrmigen Modulation verursacht, hingt bei der Uberlagerung vieler Wellen auch die Form des Musters davon ab, wie wir in Abb. 8.16 am Beispiel von 8 fiberlagerten Wellen vorgestellt haben. Die Feldamplitude kSnnen wir allgemein nach N

EN(tl : - Eo ~ e _iwteiN~t/2 ~ ~ne_in~t e_ir n angeben, wobei zu den charakteristischen GrSfien die Pulsfolgefrequenz f = ~/2~ Pulsperiode T : 2~/~

und

z~hlen. Die Mittenfrequenz bezeichnen wir als Tr~gerfrequenz, Wo : w - N ~ / 2 , und verschiedene Wellen mit Frequenzdifferenzen A f : n f tragen zur Gesamtwelle mit den Phasen r bei. Die Teilamplituden haben wir so gew~hlt, daft die Gesamtintensit~t I0 auf Teilamplituden c~nE0 verteilt wird mit I0 --

326

8 Laserdynamik

Abb. 8.16 Zeitliche Intensitiitsvariation bei der Uberlagerung yon bis zu 8 harmonischen Wellen. Die BalkenMitze deuten die relative Stgrke und Phasenlage der TeilweUen an. Oben links: Zum Vergleich Amplitudenmodulation mit 2 Wellen.

(Ceo/2) E2 2 n o~2 mit ~,~ a n2 _- 1. Dann ffihren die Intensit/itsverteilungen in Abb. 8.16 bei der Mittelung fiber eine Periode ~-1 zur gleichen Intensitat. In Abb. 8.16 sind 3 charakteristische Situationen dargestellt: Oben rechts haben alle Teilwellen identische Amplituden a,~ = ~ffl-/n und sind in Phase mit Cn = 0 ffir allen. Dabei treten sehr scharfe periodische Maxima mit kleiner Halbwertsbreite At ,,~ 27r/(Nf~) = T / N auf. Die Nebenmaxima sind charakteristisch ffir eine Amplituden-Verteilung mit scharfer Begrenzung. Unten rechts sind die Teilwellen zwar ebenfalls in Phase, wir haben jedoch die Amplituden nach einer Gaugverteilung gew/~hlt, die zur Trggerfrequenz w0 symmetrisch ist (c~ e( e x p ( - ( ( 2 n - N - 1)/2)2/2)). Dutch diese Verteilung werden die ,,Ohren", die im vorigen Beispiel zwischen den Maxima auftauchen, sehr wirkungsvoll unterdrfickt und die Laserleistung in den Maxima konzentriert, wobei allerdings die erreichbare Spitzenleistung etwas geringer ist. Diese Situation kommt den Verh/iltnissen in einem realen Laserresonator sehr nahe. In Abb. 8.17 ist das mit einem Fabry-Perot-Resonator gemessene Frequenzspektrum eines 32-ps-Ti-Saphirlaser-Pulses zu sehen. Unten links in Abb. 8.16 haben wir zum Vergleich die Situation bei zufglligen Phasen r der Teilwellen dargestellt, die einem periodischen Rauschmuster gleicht.

8.5 Gepulste Laser

327

Abb. 8.17 Frequenzspektrum der 27 ps-Pulse eines modengekoppelten Ti-Saphir-Lasers, aufgenommen mit einem Fabry-Perot-Resonator mit 7,5 mm Spiegelabstand oder AFSa----20 GHz . Die kleineren Bilder zeigen einen vergr6flerten Ausschnitt und die Absorption einer Cdsiumdampfzelle im Strahlengang [22].

Wir wollen uns noch fiber den Z u s a m m e n h a n g von Pulslange u n d Bandbreite Gedanken machen (s. auch Abschn. 3.6) u n d betrachten dazu eine periodische Serie von Gaufi-fSrmigen Pulsen mit E(t) = E ~ E 0 e x p - ( ( t - n T ) / A t ) 2 / 2 . Nach der Theorie der Fourierreihen k6nnen wir die n-re Fourieramplitude zu nFt aus $n = Eo fJT- . //2 2 e _ ( t / A t )2 /2 e _ i n ~ t dt ..~ Eoe_(nf~At )2 /2

gewinnen, wobei wir in guter N~iherung bei scharfen Pulsen nur den einen Puls in diesem Fenster berficksichtigen u n d die Integrationsgrenzen nach +~-/2 • ausdehnen k5nnen. Wir k6nnen eine Bandbreite durch 2~rfB = s = 2 N ~ definieren, wobei 2 N nun die effektive Anzahl der beteiligten Lasermoden bezeichnet. Der Beitrag der Moden zur Gesamtleistung f~illt bei n = N auf das 1/e-fache der zentralen Moden ab. Die Bandbreite fB u n d die Pulslgnge 2At (gemessen am Abfall auf den Wert l / e ) hgngen nach 1

-- A t F W H M / ~

= AtFWHM/2, 35

untereinander u n d mit der Halbwertsbreite AtFWHM zusammen.

328

8.5.3

8 Laserdynamik

Methoden der Modenkopplung

U m mSglichst kurze Pulse zu erzielen, k o m m t es bei der Modenkopplung zuniichst darauf an, Laserverst~irker mit sehr grot3er Bandbreite einzusetzen. Bei hinreichend groBer Lebensdauer des oberen Laserniveaus kann die Anregung mit einem Dauerstrich-Laser geschehen, denn die gespeicherte Energie wird d e m Lasermedium von den Pulsen mit einem A b s t a n d von nur charakteristischen 12,5 ns entzogen, der kurz ist z.B. gegen die 4 its des oberen TiSaphir-Laserniveaus. Bei anderen Systemen wie d e m Farbstoifiaser wird aber auch das sogenannte ,,Synchron-Pumpen" angewendet, wobei wegen der kurzen Lebensdauer des oberen Laserniveaus schon der P u m p l a s e r eine periodische u n d genau synchronisierte Folge kurzer Pulse liefert. Als einen gewissen Sonderfall, den wit an dieser Stelle iibergehen, wollen wir noch den Diodenlaser erwiihnen, der bei geeigneter Modulation des Injektionsstroms (Abschn. 9.4.1) direkt sehr kurze Pulse bis hinab zu derzeit 10 ps liefert u n d wegen seiner B e d e u t u n g fiir die optische K o m m u n i k a t i o n intensiv studiert wird. Tab. 8.2 Modenkopplung und Bandbreite Laser

Wellenlgnge

Bandbreite

Pulsdauer

Pulsl~nge

)~

fB

2At

gp = 2cAt

Helium-Neon

633 nm

1 GHz

150 ns

-

Nd:YLF-Laser

1047 nm

0,4 THz

2 ps

0,6 mm

Nd:Glas-Laser

1054 nm

8 THz

60 fs

18 #m

GaAs-Diodenlaser

850 nm

2 THz

20 ps

6 mm

Ti-Saphirlaser

900 nm

100 THz

6-8 fs

2 #m

NaC1-OH--Laser

1600 nm

400 nm

4 fs

1,5 #m

Tab. 8.2 enth~ilt wichtige Beispiele ffir Laser, die zur Erzeugung extrem kurzer Pulse eingesetzt werden u n d zum Vergleich den Helium-Klassiker. Die typische Wiederholrate modengekoppelter Laser betriigt 80 MHz bzw. 12,5 ns Pulsabstand, der wegen T = 2 n g / c durch die charakteristische Bauliinge g b e s t i m m t ist. Modenkopplung im Laserresonator wird grundsiitzlich durch eine mit d e m Puls synchrone Modulation der Resonatorverluste erzielt. Diese Modulation kann entweder aktiv mit den Giiteschaltern aus Abb. 8.15 kontrolliert werden oder durch passive nichtlineare Elemente erreicht werden. Dazu z~ihlt einerseits der sogenannte ,,siittigbare Absorber", der vor allem bei Farbstoffiasern benutzt wurde. Ein siittigbarer Absorber (die optische Siittigung eines elektrischen Dipol-lJbergangs behandeln wir in Abschn. 11.2.1) zeigt einen Absorp-

8.5 Gepulste Laser

329

Abb. 8.18 Laser mit Modenkopplung. Im Resonator lguft ein rgumlich gut lokalisierter Impuls urn. Die Modenkopplung wird aktiv z.B. durch Giitemodulation, passiv durch Mittigbare Absorber oder Kerr-Linsen-Modenkopplung erzielt.

tionskoeffizienten, dessen Wirkung bei Intensitaten oberhalb der sogenannten Sattigungsintensitat/sat nachlaBt, o~0

a ( I ( t ) ) ---- 1 + I ( t ) / I s , t

Durch einen im Resonator umlaufenden Laserpuls (Abb. 8.18) wird dabei eine Modulation der Resonatorverluste verursaeht, die zur Selbstkopplung der Lasermoden ffihrt. Eine nicht mehr so intensiv studierte Variante der passiven Modenkopplung (CPM-Laser, von colliding pulse modelocking) verwendet zwei im Resonator umlaufende Pulse, die sieh genau im sattigbaren Absorber treffen. Das im Laborbetrieb erfolgreichste Verfahren ist derzeit die sogenannte KerrLinsen-Modenkopplung (KLM), die durch die Intensitatsabhangigkeit der Brechzahl n = no + n 2 I ( t )

eine zeitabhangige Variation der Resonatorgeometrie verursacht. Der dispersive Effekt reagiert extrem schnell auf .~nderungen der Intensitat und ist daher ffir sehr kurze Pulse vorteilhaft. Die Brechzahl wird im Zentrum eines Gaut3fSrmigen Strahlprofils (bei positivem n2) starker erh6ht als in den Flanken und verursacht eine Selbstfokussierung, die wie in Abb. 8.19 gezeigt die Strahlgeometric verandert. Weil die Resonatorverluste von der Strahlgeometrie (der ,, Justierung") abhangen, hat dieser Effekt die gleiche Wirkung wie ein sattigbarer Absorber und kann zur Modenkopplung verwendet werden. Die Kerr-LinsenModenkopplung ist ein Beispiel ffir die Anwendung der Selbstfokussierung und wird im Kapitel fiber Nichtlineare Optik (14.2.1) noch naher besprochen. Sic wurde im Ti-Saphir-Laser von W. Sibbett und seinen Mitarbeitern im Jahr 1991 [159] entdeckt und hat wegen ihrer besonders einfachen Anwendung der Ti-Saphir-Verstarkerkristall liefert den nichtlinearen passiven Modenkopp-

330

8 Laserdynamik

Abb. 8.19 Zeitabhiingigkeit der Resonatorverluste und Einflufl einer Kerr-Linse auf die Strahlgeometrie. Der Modenkopplungseffekt kann durch die Verwendung einer Strahlblende unterstiitzt werden.

ler gleich mit! - zu revolution~iren Vereinfachungen bei der Erzeugung von Ultrakurzzeitpulsen gefiihrt. Allerdings reicht das KLM-Verfahren allein noch nicht aus, um kiirzere Pulse als 1 ps zu erzeugen: In Abschn. 3.6.1 haben wir den EinfluB der Dispersion und der Gruppengeschwindigkeitsdispersion(GVD) auf die Form propagierender Lichtpulse untersucht, die naturgemiiB eine wichtige Rolle spielen, wenn kiirzeste Lichtpulse in einem Laserresonator erzeugt werden sollen, welcher mehrere dispersive Elemente enth~ilt. Die GVD kann durch die Prismenanordnung aus Abb. 14.5 auf S. 529 kompensiert werden, die im linearen Resonator pro Umlauf zweimal durchlaufen wird. In einem Ringresonator muB man zwei Prismenpaare in symmetrischer Anordnung ergiinzen, um die Strahlen wieder zusammen zu fiihren. Seit einigen Jahren kann man auch dielektrische Spiegel so beschichten, dab sie zur Dispersionskompensation eingesetzt werden kSnnen (engl. chirped mirrors) und damit sehr kompakte Femtosekunden-Oszillatoren bauen. Wir haben die modengekoppelten Laser hier nur in ihrer einfachsten Situation betrachtet, n~imlich unter Gleichgewichtsbedingungen. Der Betrieb modengekoppelter Laser wirft aber eine Reihe weitergehender Fragestellungen auf, zu deren Beantwortung wir auf die Spezialliteratur verweisen mtissen. Dazu gehSrt etwa das Start-Verhalten - wie gelangt der passiv gekoppelte Laser iiberhaupt in diesen Zustand? In naiver Sicht kSnnen wir dafiir zum Beispiel Intensit~its-Fluktuationen verantwortlich machen, die schon durch geringe mechanische Erschiitterungen ausgelSst werden kSnnen. Ein anderes Ph~inomen ist die verst~irkte Spontanemission (ASE, von engl. amplified spontaneous emission), die im Experiment gelegentlich liistige Nebeneffekte verursacht. Sie tritt auf, weil der Verst~irker auch w~hrend der Pumpphase zwischen den Pulsen schon Strahlungsenergie abgibt, die aufgrund der Geometrie in Richtung der erwiinschten Laserstrahlen verstiirkt wird.

8.5 Gepulste Laser

331

Man kann die ASE unterdriicken, indem man z.B. s~ttigbare Absorber verwendet, die Licht nur ab einer bestimmten Schwellintensit/~t transmittieren oder durch raumliche Filterung aufierhalb des Resonators abtrennen, weil die ASE i. Allg. eine viel Abb. 8.20 Amplified Spontagr6fiere Divergenz aufweist. neous Emission.

8.5.4

Messung kurzer Pulse

Abb. 8.21 Autokorrelator zur Messung der Zeitabhgngigkeit sehr kurzer Laserpulse. In Richtung der Photodiode (PD) tritt nut dann ein Signal auf, wenn die Laserpulse im nichtlinearen Kristall (NLK) richtig i~berlagert werden.

Die Vermessung der zeitlichen Eigenschaften (insbesondere der Pulsdauer) kurzer Pulse wird mit gew6hnlichen Photodioden und Oszillographen durch deren Bandbreite (einige GHz) auf ca. 100 ps besehr/inkt. Auf elektronischer Seite kann man zur sogenannten streak camera greifen, einer Kanalplatte, die einen Elektronenstrahl erzeugt, der, ~ihnlich einem Oszillographen, schnell abgelenkt wird, eine Spur schreibt und so die Zeit- in eine Ortsabh/ingigkeit umwandelt. In neueren Modellen werden bis zu 100 fs Zeitaufl6sung erreicht. Eine rein optische Standardmethode bietet der Autokorrelator, z.B. nach der Anordnung aus Abb. 8.21: Ein gepulster Laserstrahl wird in zwei Teilstrahlen aufgespalten und in einem nichtlinearen Kristall so iiberlagert, daft ein frequenzverdoppeltes Signal (Einzelheiten zur Frequenzverdopplung werden in Abschn. 13.4 vorgestellt) entsteht. Auf der Photodiode wird nur dann ein Signal registriert, wenn die Teilpulse korrekt fiberlagert sind. Das Spannungssignal als Funktion des Verschiebungsweges Ax c< At in einem Arm, IpD(At) ~ E ( t ) E ( t + A t )

,

332

8 Laserdynamik

hat zwar auch Pulsform, ist aber das Ergebnis einer Faltung des Pulses mit sich selbst (daher Autokorrelation), aus welcher die Pulsform durch geeignete Transformationen oder Modelle ermittelt werden muff.

8.5.5

Tera- und Petawatt-Laser

Die neuen M5glichkeiten zur Herstellung extrem ein Fenster zur kurzzeitigen Erzeugung extrem net: Die Feldst~irken sind so groff, daff Materie versetzt wird, die man bestenfalls in speziellen

kurzer Laserpulse haben auch intensiver Laser,,blitze" erSffdamit in vSllig neue Zust~inde Sternen erwarten kann.

Schon mit einem ,,gewShnlichen" Femtosekunden-Oszillator (Ti-Saphirlaser, -- 850 nm, f ----80 MHz, (P) = 1 W mittlere Leistung) kann man unter Verwendung geeigneter Komponenten zur Kompensation der Cruppengeschwindigkeitsdispersion [163] Pulse mit nur 2At ----i0 fs Dauer erzeugen. Solehe Pulse enthalten zwar nur geringe Energiemengen Epuls, stellen dem Experimentator aber schon beeindruckende Spitzenleistungen Pma~ und Spitzenfeldst~irken Ema~ zur Verfiigung: Epuls = IW/8OMHz Pma~x ~"~ Ep u ] s /(2At)

= 12, 5nJ ~ 1MW

Em x

= 7.10 7 Y/cm

Bei der Berechnung der Feldst~rke haben wir angenommen, daff die Pumpleistung auf einen Brennfleck mit 10#m Durchmesser konzentriert wird. Auch ein 1 mW HeNe-Laser erreicht dort iibrigens Feldst~irken von ca. 1 kV/cm! Eine Anhebung der Pulsenergie auf 1 J, die sich heute mit Tischger~iten erzielen lafft, verspricht danach ca. 100 TW Leistung und selbst die Petawatt-Grenze scheint erreichbar. Dabei werden Feldstarken bis zu 1012 V/cm, ungef~ihr 1000 mal soviel wie die ,,atomare Feldst~irke" Eat -- e/4~coa 2 -- 109V/cm erzielt! Allerdings steht der Erzeugung und Verwendung derart intensiver Laserpulse genau die interessierende starke Wechselwirkung mit der Materie zun~chst im Weg: Es kommt namlich (zuerst durch Multiphotonen-Ionisation) in gewShnlichen Materialien zum dielektrischen optischen Durchbruch, der den Verst~irker zerstSrt. Einen eleganten Ausweg aus dieser Situation bietet das Verfahren der chirped pulse amplification (CPA), bei welchem der kurze Puls zun~ichst gestreckt wird, um die Spitzenleistung zu senken. Der gestreckte Puls wird verst~kt und die Streckung wird unmittelbar vor der Anwendung riickg~ingig gemacht, um die urspriingliche Pulsform wiederzugewinnen. Optische Gitter haben sich als sehr geeignete Komponenten erwiesen, um sowohl Streckung als auch Kompression zu erreichen [160]. Das Konzept eines Gitterstreckers und -kompressors ist in Abb. 8.23 vorgestellt. Das Gitter beugt rote und blaue Anteile des einlaufenden Pulses in unterschiedliche Richtungen. Im Strecker

8.5 Gepulste Laser

333

Abb. 8.22 Chirped Pulse Amplification. Durch Streckung wird die Spitzenleistung soweit gesenkt, daft Verstiirkung ohne Schiidigung mSglich wird.

Abb. 8.23 Strecker und Kompressor fiir Femtosekunden-Pulse. werden zwei Gitter mit einer 1:1 Abbildung kombiniert. In vollst~ndig symmetrischer Anordnung (gestricheltes oberes Gitter links in Abb. 8.23) wfirde das obere Gitter die Impulsform gar nicht ver~indern, wohl aber an der eingezeichneten Position.

8.5.6

K o h ~ e n t e s Weifllicht

Es scheint auf den ersten Blick recht widerspriichlich, von ,,koh~rentem Wei~ licht" zu sprechen, ist doch die monochromatische Farbe eines der wichtigsten Erkennungsmerkmale des koh~renten Laserlichts und verkSrpert doch das weifie Licht der Gliihlampe geradezu die klassische, also maximal inkoh~irente Lichtquelle. Koh~rentes Weit31icht spielt abet eine immer wichtigere Rolle, seitdem man durch nichtlineare Wechselwirkungen von ultrakurzen Lichtpulsen tats~chlich koh~rentes Licht erzeugen kann, das den gesamten sichtbaren Spektralbereich umfafit und deshalb weifi ist.

334

Abb. 8.24 Diese Interenzstreifen

eines Weifllicht-Laserstrahls, der mit sich selbst i~berlagert wird. Die Aufweitung mit einem Prisma demonstriert die gleichzeitige Interferenz bei verschiedenen Farben. Mit freundlicher Erlaubnis yon H. Telle und J. Stenger.

8 Laserdynamik In Abb. 8.24 sind als Beweis ftir die Koh~irenz Interferenzstreifen von Weii31icht-Pulsen gezeigt, die geteilt und mit sich selbst iiberlagert wurden. Man findet auch die Bezeichnung ,,Weii~licht-Laser". Das koharente Weit31icht entsteht aber aus nichtlinearen (,,parametrischen") Prozessen, w~ihrend der Laserbegriff fiir Oszillatoren reserviert werden soll.

Ultrakurze, intensive Lichtpulse sind die Grundlage fiir nichtlineare Prozesse, die das urspriingliche, relativ schmale Spektrum (im Ti-Saphir-Laser ca. 100-200 nm bei 800 nm Wellenl~nge) in ein extrem breites Spektrum transformieren, das den ganzen sichtbaren Spektralbereich und noch mehr umfassen kann. Die Erzeugung von kohiirentem weifJem Licht ist ein aktives Forschungsfeld und noch nicht vollst~indig verstanden, aber es scheint klar zu sein, dat3 dafiir effiziente nichtlineare Prozesse in Fasern ablaufen miissen, die dazu im Grenzfall starker Fiihrung betrieben werden.

Abb. 8.25 Weifllicht-Erzeugung mit einer ultradiinnen optischen Faser. In den konischen Abschnitten (,,taper sections") wird die in elnet Standradfaser schwach gefiihrte WeUe adiabatisch, d.h. ohne Verluste in die stark geffihrte Welle iiberfiihrt.,

In den neuen Photonischen Kristallfasern (Absehn. 3.5.6) [139] und in so genannten ,,Tapered Fibres" [169] wird starke Fiihrung realisiert, bei welcher optische Wellen durch starke Brechungsindexspriinge wie an einer GlasLuft-Grenzschicht eingeschlossen

werden. Weil der Modenquerschnitt viel kleiner ist als in einer schwach gefiihrten Faser (s. Abschn. 3.3) werden hohe Intensit,ten und deshalb starke nichtlineare Wechselwirkungen erzielt. Die nichtlineare Konversion der verschiedenen spektralen Komponenten wird auch durch die ungewShnlichen Dispersionseigenschaften der mikrostrukturierten Fasern unterstiitzt.

Aufgaben

335

A u f g a b e n zu K a p i t e l 8 8.1 R a t e n g l e i c h u n g e n - Q - S w i t c h Schreiben Sie ein Computerprogramm, um die Ratengleichungen (8.18) numerisch zu studieren. Wie setzen Sie die Anfangsbedingungen? Studieren Sie den Einflufi der Pump- und Verlustraten. 8.2 S c h a w l o w - T o w n e s - L i m i t (a) Geben Sie eine qualitative Erkl~rung, wieso die Schawlow-Townes-Linienbreite umgekehrt proportional ist zur Laserintensit~t, ApL c( 1/P. Welchen Ursprung hat die Abh~ngigkeit von 72, der Resonator-D~mpfungsrate? (b) Vergleichen Sie die Schawlow-Townes-Linienbreiten eines He-Ne-Laser bei 633 nm und eines GaAs-Halbleiter-Lasers bei 850 nm fiir vergleichbaren Ausgangsleistungen von P = 1 mW. Bestimmen Sie zu diesem Zweck die D~mpfungsraten ffir Resonatoren mit g -- 20 cm, nBrech = 1 und R1 = 100~, R2 = 99% ffir den He-Ne-Laser, ~ = 300 #m, nBrec h = 3,5 ffir den GaAs-Laser, dessen Spiegel von den Spaltfl~chen des Kristalls geformt werden. (c) Nehmen Sie an, der He-Ne-Laser soll fiir Frequenz-Prazisionsmessungen verwendet werden. Wenn die Pr~zision nur noch durch das Schawlow-Townes-Limit begrenzt werden soll, welche Langenfluktuation ist dann zulassig? Welche Schwankungen des Brechungsindex im Resonator l~nn man zulassen? 8.3 Q - S w i t c h i n g , Pulsl~inge u n d S p i t z e n l e i s t u n g Verwenden Sie die LaserRatengleichungen 8.18, um ein einfaches Modell ffir einen Q-Switch-Laserimpuls zu entwickeln. Die spontane Emission kann ffir diese intensiven Pulse vernachlassigt werden. Wir zerlegen den Puls in 2 Abschnitte: Die Anstiegszeit ~-r und die Abklingzeit Td.

(a) Um die Anstiegszeit abzusch~itzen, vernachl~issigen wir die Anderung der Inversion. Wie steigt die Photonenzahl nph an? Geben Sie die Anstiegszeit als Funktion von n/nst, won die unges~ttigte, nst die ges~ittigte Inversion bedeutet. (b) Wenn die Verst~irkung ersch6pft ist, f~illt die Photonenzahl in der zweiten Phase ab. Welche Zeitkonstante ist relevant, und wie grofl ist die gesamte Pulsl~inge? Nd:YAG und Nd:YLF haben den gleichen Absorptions- bzw. Emissions-Querschnitt, aber die Lebensdauer Abb. 8.26 Bezeichnungen des Laim YAG- ist nut halb so grot3 wie die im YLF- serpulses und Verst~rkungsverKristall. Was ist vorteilhafter fiir die Erzielung lauf. hoher Spitzenleistungen? (c) Schatzen Sie die Photonenzahl, indem Sie Pumprate und Inversionszerfall w~hrend der Pulsdauer vernachl~ssigen. Nehmen Sie eine Anfangsinversion n(to) > nst an und beenden Sie den Anstieg der Photonenzahl nph, wenn n(t) ----nst.

9

Halbleiter-Laser

Schon unmittelbar nach der Demonstration von Rubin- (1960) und HeliumNeon-Laser (1962) wurde auch die Lasert~tigkeit von Dioden oder ,,HalbleiterLasern" vorhergesagt I u n d wenig spiiter im Experiment realisiert. Es hat aber mehr als 20 Jahre gedauert, bis diese Komponenten zu kommerziell erfolgreichen Produkten geworden sind, weil eine Vielzahl technologischer Probleme zu iiberwinden war. So konnten zum Beispiel die ersten Laserdioden nur bei kryogenischen Temperaturen betrieben werden, w~ihrend Anwendungen i. Allg. Betriebstemperaturen in der N~ihe der Raumtemperatur fordern. Aufierdem war GaAs das erste bedeutende Material zur Herstellung von Laserdioden und nicht Silizium, das ansonsten die Halbleitertechnologie dominiert. Laserdioden z~ihlen zu den wichtigsten ,,optoelektronischen" Komponenten, weil sie die direkte Umwandlung eines Stromes in (koh~irentes!) Licht erlauben. Es gibt daher zahllose physikalische, technische und wirtschaftliche Grfinde, diesen Komponenten und Lasersystemen ein eigenes Kapitel zu widmen.

9.1

Halbleiter

Fiir eine detaillierte Beschreibung der physikalischen Eigenschaften von Halbleiter-Materialien verweisen wit auf die bekannte Literatur [81, 97]. Wir fassen aber einige fiir das optische Verhalten wichtige Eigenschaften hier zusammen.

9.1.1

Elektronen und L6cher

In Abb. 9.1 sind Valenz- und Leitungsband eines Halbleitermaterials dargestellt. Elektronen tragen den Strom im Leitungsband (LB), L6cher 2 im Va1j. v. Neumann hat alle wesentlichen Elemente eines Halbleiter-Lasers sogar schon 1953 theoretisch behandelt. Seine unver6ffentlichte Arbeit wurde reproduziert in [168]. 2Man sollte nicht vergessen, dab der Begriff Loch (engl. hole) nur eine - sehr erfolgreiche Kurzbezeichnung fiir ein im Grunde sehr komplexes physikalisches Vielteilchensystem ist: Die meisten physikalischen Eigenschaften (Leitf'~i.higkeit,Hall-Effekt u.a.) der Elektronen des

338

9 Halbleiter-Laser

Abb. 9.1 Das Bgndermodell fiir Halbleiter: Elektronen und L6cher k6nnen sich frei und unabhiingig voneinander bewegen. LB: Leitungsband; VB: Valenzband; Eg: Energie der Bandliicke; EA : Anregungsenergie der St6rstellen. lenzband (VB). Die Verteilung der Elektronen auf die vorhandenen Zustande wird durch die Fermi-Funktion f ( E ) beschrieben,

fe](E,~F) : (1 "~-e(E --~F)/kT) -1

,

(9,1)

die v o n d e r Fermi-Energie SF und der Temperatur T bestimmt wird. Insbesondere sind bei T = 0 alle Energiezustande unterhalb der Fermienergie vollstandig geffillt, dariiber vollstandig leer. Die Verteilung der LScher wird analog beschrieben durch fh = 1 - - re, = (1 + e (~g - E)/kT)

-1

(9.2)

Im Gleichgewicht wird die Besetzung von Elektronen und LSchern durch eine gemeinsame Fermienergie charakterisiert. Im Vorw~rtsbetrieb entsteht an einem pn-Ubergang abet gerade die ffir den Laserbetrieb wichtige Nichtgleichgewichtssituation mit verschiedenen Fermienergien ffir Elektronen (eL) und LScher (Sv). Wichtige Situationen der Fermi-Verteilung in Halbleitern sind in Abb. 9.2 vorgestellt. Bei T--0 gibt die Fermienergie exakt die Energie an, bis zu welcher die Energieniveaus besetzt sind.

9.1.2

Dotierte Halbleiter

Ein intrinsischer Halbleiter besteht aus einem reinen Kristall, z.B. dem technologisch wichtigsten Material Si aus der IV. Hauptgruppe des Periodensystems oder dem III/V-Halbleiter GaAs. In einem solchen Material liegt die Valenzbandes k6nnen sehr gut so beschrieben werden, als ob dort freie Teilchen mit positiver Ladung und einer bestimmten effektiven Masse vorhanden w~ren.

9.1 Halbleiter

339

Abb. 9.2 Fermi-Verteilung in intrinsischen und p- bzw. n-dotierten Halbleitern. Fermi-Energie ziemlich genau in der Mitte der Bandliicke, und die Besetzungswahrscheinlichkeit der Zust~inde nach Gl.(9.1) kann n~iherungsweise nach der Boltzmann-Formel fel(T) --~ e - E C / k T beschrieben werden. Die Bandliicke ist materialabh~ingig und betr~igt normalerweise einige e V, deshalb sind bei Umgebungstemperaturen ( k T ~_ 1 / 4 0 e V ) nur sehr wenige Elektronen im Leitungsband vorhanden. Die revolution~ire Bedeutung der Halbleiter kommt erst durch die MSglichkeit zustande, die Leitf~higkeit durch Dotierungen (z.B. III- oder V-wertige Fremdionen in Si) dramatisch und fiir LScher und Elektronen unterschiedlich (Abb. 9.1) zu erhShen. Die fehlenden oder iiberschiissigen Elektronen der Fremdatome verursachen n~mlich Energiezust~nde in der N~he der Bandkanten, die durch thermische Anregung leicht zu besetzen sind. In einem n-dotierten Halbleiter werden auf diese Art und Weise Elektronen, bei p-Dotierung LScher als Ladungstr~iger erzeugt. In diesem Fall liegt die Fermi-Energie in der N~he der Akzeptor- (pDotierung) oder Donator-Niveaus (n-Dotierung). Auch bei Raumtemperaturen ist dann schon ffir eine groBe Leitf~ihigkeit gesorgt, die im n-(p-)Material von Elektronen (LSchern) getragen wird.

9.1.3

pn-Ubergiinge

Wenn Elektronen und L5chern am gleichen Ort aufeinandertreffen, kSnnen sie unter Aussendung yon Dipolstrahlung ,,rekombinieren". Dieses Aufeinandertreffen wird durch eine Grenzfl~iche zwischen p- und n-dotiertem Halbleitermaterial besonders gefSrdert, die im pn-~Jbergang die Grundlage jeder Diode bildet. In Abb. 9.3 werden wesentliche Eigenschaften des pn-lJbergangs vorgestellt.

340

9 Halbleiter-Laser

Abb. 9.3 Freie Ladungstrdger an einem pn-Ubergang. Links: Spannungsfreies Gleichgewicht. An der Grenzschicht diffundieren Elektronen in das p-, LScher in das n-dotierte Gebiet, wo sie rekombinieren k6nnen. Die Randschicht verarmt an Ladungstrdgern, und es entsteht ein elektrisches Feld, das der weiteren Diffusion entgegenwirkt. Mitte: Bei Gegenspannung wird die Verarmungsrandschicht vergrb'flert. Rechts: Bei Vorw5rtsspannung flieflt ein Strom dutch den ()bergang, Elektronen und LScher fiillen die Randschicht und verursachen Rekombinationsstrahlung. Innerhalb yon Leitungs- und Valenzband herrscht thermisches Gleichgewicht, das aber durch zwei verschiedene Fermienergien fiir Elektronen und LScher charakterisiert wird.

9.2

Optische Eigenschaften yon Halbleitern

9.2.1

Halbleiter f'tir die Optoelektronik

Vom Standpunkt der Optoelektronik ist zun~chst die Energielficke an der Bandkante die wichtigste physikalische Gr5fie, denn sie bestimmt die Wellenl~inge der Rekombinationsstrahlung. Sie ist in Abb. 9.5 ffir die wichtigen optoelektronischen Halbleiter als Funktion der Gitterkonstanten vorgestellt, die technologische Bedeutung bei der Formierung yon Mischkristallen besitzt. Ein besonderes Geschenk der Natur ist dabei der extrem geringe Unterschied

Abb. 9.4 Bandliicke in AIGaAs und InGaAsP als Funktion des Mischungsverh5ltnisses. der Gitterkonstanten von GaAs und AlAs. Wegen der ausgezeichneten Gitteranpassung kann man die Bandlficke fiber einen weiten Bereich durch das Mi-

9.2 Optische Eigenschaften yon Halbleitern

341

schungsverh~iltnis x in ( A 4 G a l _ ~ ) A s - M i s c h k r i s t a l l e n kontrollieren (Abb. 9.4). Auch andere Mischkristalle sind aber schon l~ngere Zeit gebr~uchlich. Insb e s o n d e r e kann m a n d a d u r c h die ffir die optische Nachrichteniibertragung wichtigste Wellenl~nge bei 1,55 # m in einem quatern~ren I n G a A s P - K r i s t a l l erzielen. Silizium, das 5konomisch b e d e u t e n d s t e Halbleitermaterial spielt ffir die E r z e u g u n g von Licht keine Rolle, weil es keine direkte, sondern nur eine indirekte Bandliicke besitzt (s. Kap. 9.2.4).

Abb. 9.5 Bandliicke wichtiger Halbleitermaterialien. Die Materialien, mit denen schon Lasert5tigkeit realisiert worden ist, sind mit einem Kreuz gekennzeichnet. Auf der rechten Seite sind technisch bedeutende Laserwellenldngen angegeben. Exkurs: B l a u l e u c h t e n d e s Gallium-Nitrid, ein wissenschaftliches MRrchen

Die Entwicklung der Laserdioden hat in den 80er- und 9Oer-Jahren schnelle Fortschritte erlebt, aber 1996 wird als ein ganz besonderes Jahr in die Geschichte eingehen: In diesem Jahr konnte Shuji Nakamura vonder japanischen Firma Nichia Chemical Industries, Ltd., die weltweit ersten blauen Laserdioden aus seinen Handen einem staunenden Publikum vorstellen. Er hatte die Bauelemente auf der Basis von GaN hergestellt, das bis kurz zuvor als fiir die Optoelektronik vSllig ungeeignet gegolten hatte! Der Erfolg w~re wohl kaum ohne das weder durch kommerzielle noch akademische Erfolge gestiitzte Vertrauen seines Chefs Nobuo Ogawa mSglich gewesen, der seit 1989 einem in diesem Thema v511ig unerfahrenen

342

9 Halbleiter-Laser

36-jghrigen Ingenieur in seiner Firma erlaubt hatte, ein Forschungsprogramm quer zu allen etablierten Ansichten fiber die M6glichkeiten des Gallium-Nitrid-Materials zu verfolgen. Und dies, obwohl die Schwerpunkte der Firma nur wenig Berfihrung mit Halbleiter-Lasern hatten [128]. Das kommerzielle Interesse an blauer Luminiszenz war noch weit vor dem Interesse an blauer Laserstrahlung durchaus vorhanden, denn erst mit blauen Lichtquellen konnte man hoffen, vollfarbige Bildschirme auf Halbleiterbasis herzustellen. Weltweit wurden deshalb groi]e Summen in die Forschung am ZnSe investiert, dem man die gr6fiten Erfolgschancen einr~iumte. In Lehrbfichern konnte man n~nlich nachlesen, da~ GaN trotz seiner durchaus beka~nten und attraktiven physikalischen Eigenschaften (direkte Bandlficke von 1,95-6,2 eV ffir (A1,Ga,In)N) nicht in Frage l~m, weil es sich nicht p-dotieren liei3. Diese Behauptung liei3 sich allerdings seit 1988 nicht mehr aufrecht erhalten, als Akasashi et al. die Preparation genau solcher Kristalle, zun~hst allerdings mit einer aufwendigen Elektronenstrahl-Technik, gelungen war. Ein entscheidender Schritt gelang S. Nakamura bei der W~rmebehandlung yon GaN-Proben, indem er die NH3-Atmosph~ire durch N2 ersetzte. Er fand herans, da~ die Ammoniak-Atmosph~re dissoziierte und die freigesetzten Wasserstoff-Atome die Akzeptoren im GaN passiviert hatten. Damit waren zwar noch bei weitem nicht alle Probleme gel6st, aber das Tor zur blauen Laserdiode war weir aufgestoi3en worden. Weniger als 10 Jahre nach diesen Entdeckungen konnte man blaue Laserdioden allen Vorhersagen zum Trotz auf GaN-Basis k~uflich erwerben - ein Ereignis aus dem wissenschaftlichen M~chenbuch.

9.2.2

Absorption und Emission von Licht

In einem Halbleiter werden bei der Absorption von Licht mit einer Wellenl~nge

< EG/hc E l e k t r o n e n aus d e m V a l e n z b a n d in das L e i t u n g s b a n d angeregt, so dab Elekt r o n - L o c h - P a a r e e n t s t e h e n . U n t e r b e s t i m m t e n B e d i n g u n g e n , z.B. bei sehr tiefen T e m p e r a t u r e n wird die A b s o r p t i o n von Licht auch schon u n t e r h a l b der B a n d k a n t e b e o b a c h t e t . Bei diesem Prozet3 w e r d e n keine frei beweglichen Lad u n g s t r ~ g e r erzeugt, s o n d e r n in , e x z i t o n i s c h e n " Z u s t ~ n d e n g e b u n d e n e P a a r e , d e r e n G e s a m t e n e r g i e sich geringffigig u n t e r h a l b der K a n t e des L e i t u n g s b a n d e s befindet. E x z i t o n e n w e r d e n a b e r fiir unsere B e t r a c h t u n g e n keine Rolle spielen.

Wenn umgekehrt freie Elektronen und LScher schon vorhanden sind, kSnnen sie unter Emission von Licht rekombinieren, das wegen der Energieerhaltung wiederum eine Wellenl~nge in der N~he der Bandkante besitzt. Die ,,Rekombinationsstrahlung" mut3 aber aut3er dem Energiesatz auch noch die Impulserhaltung 3 ffir das Elektron-Loch-Paar (hkd, hkh) sowie das emittierte Photon (hkph) erffillen: Energie: Impuls:

Eel(kel) = Eh(kh) + hW hkel ---- hkh + hkph

3In einem Kristall sollte man genauer von

Quasi-Impulserhaltung sprechen

(9.3)

9.20ptische Eigenschaften von Halbleitern

343

Die k-Vektoren der Ladungstr~iger sind v o n d e r Gr6fienordnung 7c/ao, wenn a0 die Gitterkonstante bezeichnet, und deshalb sehr viel grSfier als 2~r/)~. Optische lJberg~inge finden deshalb nut statt, wenn sich die tiefstliegenden elektronische Zust~inde im E-k-Diagramm (der ,Dispersionsrelation") direkt fiber den hSchstliegenden Lochzust~inden befinden. In Abb. 9.6 ist die Situation ffir zwei besonders wichtige Halbleiter schematisch dargestellt: Im direkten Halbleiter GaAs trifft ein Leitungsband mit ,,leichten" Elektronen bei k -- 0 auf ein Valenzband mit ,,schweren" LSchern (die effektive Masse der Ladungstr~iger ist zur Krfimmung der Bander umgekehrt proportional), dort sind die direkten optischen TJberg~inge mSglich. Silizium ist dagegen ein indirekter Halbleiter, die Bandkante der Elektronen liegt bei hohen kel-Werten, diejenige der LScher bei k -- 0 - Si kann nicht strahlen! Allerdings gibt es kompliziertere Prozesse unter Beteiligung eines Phonons, das bei geringem Energieaufwand ffir die Impulserhaltung in G1.(9.3) sorgen kann.

Abb. 9.6 Links: Elektronische Zustandsdichte und vereinfachte Dispersionsrelation fiir direkte Halbleiter: GaAs. Die unterschiedliche Kriimmung der Biinder wird durch unterschiedliche effektive Massen (s. Gl(9.4)) beschriebeu. Im Gleichgewicht sind nur an den Bandkanten Ladungstriiger vorhanden (schattierte Bereiche symbolisieren besetzte elektronische Zustiinde). Optische Ubergdnge beginnen und enden fast ohne Anderung des elektronischen k-Vektors, well der Impuls der Photonen auf dieser Skala nicht sichtbar ist. Sie kSnnen nur stattfinden, wenn Elektronen des Leitungsbandes auf einen unbesetzten Zustand, ein Loch im Valenzband treffen. Rechts: Im indirekten Halbleiter Si sind direkte optische Ubergdnge unmSglich.

Die Rekombinationsstrahlung wird durch einen optischen Dipolfibergang verursacht. Dessen spontane Lebensdauer Tree hat typischerweise den Wert: Rekombinationszeit

T~e~ --~ 4. 10-9S

Die Rekombinationsrate wird auch ,,Interband"-Zerfallsrate genannt und ist sehr langsam im Vergleich zur Stoi~zeit T' der Ladungstr~iger an Defekten

344

9 Halbleiter-Laser

und Phononen innerhalb von Leitungs- und Valenzband. Diese ,,Intraband"Streuung finder auf der Pikosekunden-Zeitskala statt, Relaxationszeit T t _~ 10-12s und sorgt dafiir, da6 innerhalb der einzelnen Bander durch Relaxation ein von der Kristalltemperatur bestimmter Gleichgewichtszustand herrscht.

9.2.3

Inversion in der Laserdiode

In einem Halbleiter-Laser wird koharentes Licht durch stimulierte Rekombinationsstrahlung erzeugt. Anfangs musste man die pn-Ubergange sehr tief auf die Temperatur des fliissigen Heliums kiihlen, um mit der Luminiszenz konkurrierende Verlustprozesse zu unterdrficken und um eine ausreichende Inversionsdichte ffir Lasertatigkeit zu erzeugcn. Die Entwicklung der Heterostruktur-Laser, die wir weiter unten besprechen werden, hat dieses Problem fiberwunden und ganz entscheidend zu dem noch immer wachsenden Erfolg der Halbleiter-Laser beigetragen. Die Verstarkung wird durch die Dichte der Ladungstrager bestimmt, die bei einer bestimmten Energiedifferenz Rekombinationsstrahlung aussenden kSnnen. Dazu mut3 man ihre Zustandsdichte aus den (E, k)-Dispersionsrelationen

h2k2

Eel = EL + 2m*----~ und

(

Eh = -- Ev + ~ ]

(9.4)

bestimmen. Mit Ev,L sind die Kanten von Leitungs- und Valenzband gemeint. Die Bander sind in der Nahe der Kanten wie fiir freie Teilchen quadratisch, und die Kriimmung ist proportional zur inversen effektiven Masse m* (Abb. 9.6), die zum Beispiel in GaAs leichte Elektronen mit m'1=0,067 mel und schwere LScher mit m~=0,55 mel ergibt. Im dreidimensionalen Volumen gilt k~ + k~ + k 2 = k 2, und unter Verwendung von pel,h(k)dk = k2dk/27c 2 berechnet man die Zustandsdichte fiir Elektronen und LScher getrennt nach

1 (2m:l,h wobei E ffir Elektronen und LScher von der jeweiligen Bandkante EL,v an gezahlt wird. Damit kSnnen wir auch die Ladungstragerdichte fiir Elektronen und LScher bestimmen (Anhang B.3). Wir fiihren die Gr56en a d = ( E L -~ L ) / k T und ah = ( S y - E v ) / k T ein und ersetzen die Integrationsvariable durch x = ( E - E L ) / k T bzw. x = ( E v - E ) / k T ,

9.20ptische Eigenschaften von Halbleitern

345

fc~

nel,h ---- ---~'/F~,VPel,h fel,h(E, eL,v)dE

_ 1___{2m*l,hkT ~ f~ \

h

exp(--O/el,h ) ~f-xdx

] J0 exp(x) + exp

Absch~itzungen kSnnen leicht ausgefiihrt werden, wenn wit die charakteristischen effektiven Massen fiir GaAs einsetzen. Fiir T = 300 K gilt:

{nol} nh

=

1, 1 1019 [cm -3]

ex -~- e--O~el,h

Mit Hilfe der impliziten G1. (9.5) kann zu jeder Ladungstr~igerdichte eine Fermienergie in Leitungs- und Valenzband numerisch ermittelt werden ({rtel, ha} *-* {EL, Ev}), wobei wir fiir Elektronen und LScher gewShnlich dieselbe Konzentration erwarten. In einer Laserdiode wird die Ladungstr~igerdichte durch den Injektionsstrom aufrecht erhalten (s. S. 348).

Beispieh Ladungst r~igerdichten Ein interessanter Spezialfall tritt bei (~el,h ----0 auf, denn dort erreicht die FermiEnergie gerade die Kanten yon Valenz- und Leitungsband. Dieser Fall l~ifitsich sogar analytisch 15sen:

nel = 4, 7-1017 [cm-3] .~a~ v/-~d------~x--3, 2.1017 [cm-3] eX+ 1 Im allgemeinen muff G1.(9.5) mit numerischen Methoden ausgewertet werden. Das Ergebnis solch einer Auswertung ist in Abb. 9.7 gezeigt. Verursacht durch die kleineren effektiven Massen l~ifit die Elektronenkonzentration die Fermi-Energie CL schneller ansteigen als die (identische) LScherkonzentration Cv, sie erreicht die Bandkante zuerst. Durch starke pDotierung wird die Fermienergie im stromlosen (d.h. ladungstr~igerfreien) Zustand aber n~iher an das Valenzband gerfickt, so daft ~v die Valenzbandkante bei geringerer Ladungstr~igerdichte erreicht.

Abb. 9.7 Ladungstr~gerdichte und Fermi-Energien.

Wie wir noch sehen werden (Gl. 9.9), reicht es zur Inversion schon aus, wenn die Differenz der Fermi-Energien eL -- ~V gr6fier ist als die Bandliicke Eg. Dort wird die ,,Transparenz-Grenze" erreicht, das Strahlungsfeld wird nicht mehr absorbiert, sondern verst~irkt. Fiir GaAs tritt dieser Fall bei einer Ladungstr~igerkonzentration yon ca. nel -- 101S[cm -3] ein.

346

9 Halbleiter-Laser

Im Hinblick auf Lasert~itigkeit sind wir in erster Linie daran interessiert, welehe Zust~inde zu einem IJbergang mit der Energie E -- hw > Eg = EL- Ev beitragen kSnnen oder wo wir Inversion erwarten kSnnen. Die Rate der stimulierten Emission gewinnen wir aus dem Einstein-B-Koeffizienten. Ein bestimmter kVektor tr~igt mit der Rate

RLkv : BLvU(CO(k)){f~(Eel(k))(1 - fV(Eh(k))) } zur Rate der stimulierten Emission bei der Prequenz co = (Eel-Eh)/h bei. Hierin werden die Besetzungswahrscheinlichkeiten im Valenz- (fL(Eel(k))) bzw. Leitungsband ( 1 - fV(Eh(k))) bei der Energiedifferenz des direkten Llbergangs hco(k) und U(co(k)) bezeiehnet die Energiediehte des Strahlungsfeldes. Entspreehend kann man die Rate ftir die Absorption angeben,

RkL = BvLU(CO(k)) {fV(Eh(k)) (1 - fL(Ed(k))) } Die Gesamtrate der m6glichen Llbergfialge zur Frequenz co k6nnen wir nach RLv(co) = ~ k RkvS( co -- ( E e l - Eh))p(k)dak bestimmen, i n s der gemeinsamen Dispersionsrelationen ffir Elektronen und L6cher, h:k 2 h:k 2 E

=

Eol -

Eh =

Eg +

- -

+

2m* 1

- -

2m~

ergibt sich nach Kap. B.3 die sogenannte reduzierte Zustandsdichte mit #-1 = m;11 + m~ -1 und p(w) = hp(E)" 1 ( ~ ) a/2 Prea(co) = ~ (co -- Eg/h) ~/2 (9.6) Dann 1/it3t sich die Differenz der Emissions- und Absorptionsraten mit BLV ---BVL berechnen nach RLV- RVL = =

L BLvU(CO){feJl(1f iVl ) - f v ( 1 - fL)} Pred BLvU(co) { f ~L, - fsV } Pred 9

(9.7)

Die Rolle der Inversion bei atomaren Systemen ( N o - Ng), die die Besetzungszahldifferenz reflektiert, wird nun von dem Produkt ( We - g g )

~

(fLB _ f V B ) P r e d ( ( Z L B _ E V B ) / h )

fibernommen, dessen erster Faktor durch den Injektionsstrom gesteuert wird und offenbar nach 1 1 fL > fV oder > 1 + e sel-eLs 1 + e Eh-eV festlegt, ob Inversion vorliegt oder nicht. Daraus erh/ilt man durch Umformung E e l - E h - - - - hco < e L - - e V

,

9.20ptische Eigenschaften yon Halbleitern

347

das heifit, die zu verst~Lrkenden Frequenzen mfissen kleiner sein als der entsprechende Abstand der Fermienergien ~L und ev. Weil andererseits nur Energien oberhalb der Bandliicke verst~irkt werden kSnnen, folgt daraus wiederum die Inversionsbedingung ftir Halbleiter-Laser, CL -- CV ~

Eg

,

die fiir GaAs bei einer Ladungstr~gerkonzentration yon nel -- nh ---- 10 ls [cm -3] erreicht wird, wie wir im Beispiel auf S. 345 gezeigt haben.

9.2.4

Kleinsignalverst irkung

Wir betrachten eine Lichtwelle, die sich mit der Gruppengeschwindigkeit vg und der spektralen Intensitiit I(w) -- vgU(w) in z-Richtung ausbreitet. Die t~nderung der Intensit~Lt durch Absorption bzw. Emission wird nach (9.7) beschrieben. Nach einer kurzen Laufstrecke Az = vgAt k5nnen wir deshalb schreiben A I -- (RLV -- RVL)~-oAz. Dann ergibt sich der Absorptions- bzw. Emissionskoeffizient nach G1.(6.21), _ ( - R v L + n, v)h

ILXz

vgU(w)

Wir verwenden die Beziehung zwisehen Einstein-A- und B-Koeffizeinten, BLv = ALv / (hoJ(oJ2/~r2c3) = ALv / ( hoJpph(oJ) ) nach G1.(6.46), um den Einstein-Koeffizienten B mit der spontanen Zerfallsrate 7- = AL,~ des Halbleiters in Beziehung zu setzen, und kSnnen dann mit G1.(9.7) schreiben

a(w) -

1 pred(W)(fL _ f v ) = a0(fL _ f v )

Pph( )

wobei wir noch den zur reduzierten Zustandsdichte proportionalen maximalen Absorptionskoeffizienten a0(w) eingefiihrt haben. Zur Absch~itzung verwenden wir typische Daten fiir GaAsLaser: Wellenl~nge AL = 850 rim; reduzierte effektive Masse # = 0, 06 reel; Rekombinationszeit 7rec = 4-10 -9 S; Gruppengeschwindigkeit Vg ~- c/3,5. Bei typischen Abst~nden der Laserfrequenz von 1 THz = 1012 Hz yon der Bandkante (das entspr~iche einer Wellenl~ingendifferenz yon 2 nm) kann man die Variation der Zustandsdichte des Strahlungs-

(9.8)

Abb. 9.8 Absorption und (Kleinsignal)Verstdrkung am pn- Ubergang fiir eine gegebene Ladungstrdgerdichte bei T -- OK und bei erhShter Temperatur.

348

9 Halbleiter-Laser

feldes (Pph(W)) vernachl~ssigen und berechnet ao = 6,8.103 [cm -1] ~/(b'L -- Eg/h)/[THz]

Die enorm grol]en Verst~irkungsfaktoren ao werden im Laser allerdings noch durch den Fermi-Faktor aus GI.(9.8) reduziert werden. Verst~irkung wird wie im Gaslaser erreicht, wenn die stimulierte Emission die Verluste dureh Auskopplung, Streuung und Absorption iiberwiegt. In Abb. 9.8 haben wir das Verst~irkungs- bzw. Verlustprofil beispielhaft vorgestellt. Bei T -- 0 sind die Fermiverteilungen stufenfSrmig und deshalb ]iegt der Betrag des Absorptionskoeffizienten genau bei ao(W). Ubrigens wird hier sofort klar, daft nur dann eine Ladungstr~iger-Inversion vorliegen kann, wenn im Leitungsund im Valenzband verschiedene Fermi-Energien vorliegen, EL -- EV >

hv > Eg

(9.9)

Es handelt sich um ein Fliefi-Gleichgewicht, das nur bei Vorw~irtsbetrieb der Diode erreicht werden kann. Die genauere Berechnung der Halbleiter-Verst~irkung ist eine aufwendige Angelegenheit, denn sie h~iagt von den realen Bauformen ab, die, wie wir noch sehen werden, sehr viel komplizierter sind.

Beispiel: Schwellstromst~irke im Halbleiter-Laser. Die ben6tigte Schwellstromdichte k6nnen wir leicht bestimmen, nachdem die kritische Ladungstr~igerdichte n~l _> 10 is bekannt ist. Die Ladungstr~igerdichte wird durch den Injektionsstrom in den pn-~lbergang befSrdert und rekombiniert dort spontan mit der Rate ~-r~ -- 2, 5 9 10Ss -1 : dnel_ dt

n~l + j "rrcc -~

Wir leiten ohne Schwierigkeiten fiir eine Breite der Raumladungszone d -- l # m des pnAJbergangs die station~ire Stromdichte

j _ neled > 4 k A / c m 2 "rrec ab. Bei einer aktiven Zone von 0,3x0,001 m m 2 Fl~iche entspricht diese Stromdichte bereits 12 mA, die auch genau auf diesen Bereich konzentriert werden miissen. Man bemerkt sofort, daft es sich lohnt, die Breite der Diffusionszone der Ladungstr~iger zu beschr~inken und die Schwellstromdichte zu senken. Dieses Konzept wird mit Heterostruktur- und Quantenfilm-Lasern verfolgt.

9.20ptische Eigenschaftenyon Halbleitern

9.2.5

349

Homo- und Heterostrukturen

Obwohl das grunds~tzliche Konzept zum Betrieb eines Halbleiter-Lasers aus der unmittelbaren Frfihzeit des Lasers stammt, gelang es zun~ichst nur bei kryogenischen Temperaturen, Laserbetrieb an einem pn-l)bergang zu erzielen. Die leichten, beweglichen Elektronen besitzen eine grot3e Diffusionsl~nge (_> 0,5 #m), so dat3 hohe SchwellstrSme erforderlich waren und bei Raumtemperatur die Verst~rkung die Verluste insbesondere durch nichtstrahlende Rekombination und Reabsorption nicht fiberwinden konnte. Dieses Problem konnte in den 70er-Jahren jedoch durch das Konzept der ,,Heterostrukturen" gelSst werden und die Laserdioden ihren Siegeszug als Quellen fiir koharentes Licht antreten. Man spricht von einer Heterostruktur, wenn zwei unterschiedliche Materialien (z.B. mit unterschiedlicher Komposition) und verschiedenen Bandlficken aneinandergrenzen. Dabei entstehen Potentialbarrieren, die die Diffusion der Ladungstr~ger fiber die Grenzschicht hinweg hemmen. Fiir Lasermaterialien w~hlt man die Bandlficken derart, dab Elektronen und LScher in einer Zone mit geringerer Bandlficke zwischen zwei Schichten mit grSt3erer Bandlficke eingesperrt werden kSnnen (,,Doppel-Heterostruktur"). Andernfalls wfirde das im Zentrum generierte Licht in den Randbereichen der Verst~rkungszone wieder absorbiert.

Abb. 9.9 Bandstruktur fiir Elektronen und LScher: Homostruktur, Heterostruktur und Quantenfilme. Die Quantengrenze wird typischerweise bei einer Dicke yon 200 ~ erreicht.

Dieser Vorteil der Heterostrukturen gegeniiber dem einfachen HomostrukturLaser ist in Abb. 9.9 schematisch vorgestellt. Das stark vereinfachte Potentialschema deutet an, dab die Bewegung der Ladungstr~iger nun auf eine enge Lage (--~ 0,1 #m) beschNinkt ist, um durch ihre hohe Konzentration eine entsprechend hohe Verst~irkungsdichte zu erreichen. Wenn der Brechungsindex in diesem Bereich h6her ist als in der Umgebung, wird zus~itzlich der erwiinschte Wellenleitereffekt erzielt, der in diesem Fall als ,Index-Ffihrung" (engl. index guiding) bezeichnet wird. Auch die r~umliche Variation der Ladungstr~iger verursacht Brechungsindex~derungen, die ,,Gewinn-Ffihrung" oder gain guiding

350

9 Halbleiter-Laser

genannt werden. Bei weiterer Miniaturisierung der aktiven Schicht gelangen wir zu den Quantenfilm-Systemen, die aber nicht nur einfach noch kleiner sind, sondern auch qualitativ ver~nderte Eigenschaften aufweisen (s. Abschn. 9.3.4).

9.3

Heterostruktur-Laser

Das wichtigste Material zur Herstellung von Halbleiter-Lasern ist bis heute GaAs. Es bietet als direkter Halbleiter nicht nur die notwendigen mikroskopischen Voraussetzungen, sondern wegen der Variation der Mischkristalle Ga~All_xAs zahlreiche MSglichkeiten, die Bandlficke und den Brechungsindex durch geeignet konstruierte Schichtensysteme an die Erfordernisse anpassen. Die charakteristische Wellenl~inge bei 850 nm hat auch technologische Bedeutung, weil sie in einem yon drei gfinstigen spektralen Fenstern (850, 1310, 1550 nm) zur Konstruktion optischer Netzwerke liegt. Die Konzepte der A1GaAsLaser sind aber auch auf andere Systeme wie z.B. InA1P iibertragen worden.

9.3.1

Konstruktion: Laserkristall

Abb. 9.10 Schichtensysteme fiir Laserdioden. Links: Einfache Homostruktur. Mitte: Die Stromfiihrung wird durch isolierende Oxidschichten eingeengt und verursacht eine Konzentration der Inversionsdichte. Die inhomogene Verstdrkung erzeugt auflerdem einen Wellenleiter, der das Lichtfeld entlang der Verstdrkungszone f~hrt (,Gewinnfiihrang"). Rechts: Doppel-Heterostrukuren erzeugen eine genau kontroUierte Verstgrkungszone.

Die Laserkristalle werden durch epitaktisches Wachstum 4 hergestellt, wobei die Zusammensetzung der Schichten in Wachstumsrichtung durch Regelung der Quellfliisse kontrolliert werden kann. Durch das Wachstum wird die vertikale 4Bei epitaktischem Wachstum werden diinne Schichten des (Halbleiter-)Materials i. Allg. einkristallin auf einer einkristallinen Unterlage (Substrat) abgeschieden.

9.3 Heterostruktur-Laser

351

Doppel-Heterostruktur (DH) erzeugt. Die laterale Strukturierung im Mikrometer-Mat3stab wird mit den aus der Mikroelektronik bekannten Methoden erreicht, z.B. durch optische lithographische Verfahren. Durch die Konstruktion bedingt propagiert das Laserfeld entlang der Oberflache des Kristalls, die Auskopplung findet an der Kante einer Spaltflache statt. Dieser Typ wird deshalb als ,,Kantenemitter" (edge emitter) bezeichnet, im Unterschied zu den neueren Bauformen der senkrecht zur Oberflache strahlenden Oberfl~henemitter, die wir in Abschn. 9.5.2 kurz vorstellen werden. Die Laserkristalle von ca. 0,2-1 mm L~nge werden nach der Herstellung in einero grSt3eren Wafer durch einfaches Spalten gewonnen und kSnnen grunds~tzlich ohne weitere Behandlung in ein geeignetes Geh~use (Abb. 9.11) eingesetzt und mit Standardmethoden kontaktiert werden, um ihre Handhabung zu erleichtern. Die transversalen geometrischen Eigenschaften des Laserfeldes wer-

Abb. 9.11 Standardbauform fiir Laserdioden. Das eigentliche Halbleiterelement ist kaum zu erkennen und hat typische Dimensionen yon 0,3 mm Kantenliinge. Dieser Typ wird als Kantenemitter bezeichnet.

den durch die Form der Verst~irkungszone bestimmt. Im Fernfeld beobachtet man im allgemeinen ein elliptisches Strahlprofil, das durch die Beugung an der Heterostruktur und der transversalen Wellenleiterfiihrung verursacht wird. Das Licht der kantenemittierenden Laserdioden muff daher fiir Anwendungszwecke relativ aufwendig kollimiert werden, ein Grund ffir die Entwicklung der Oberflachenemitter, die a priori ein kreisfSrmiges Strahlprofil anbieten kSnnen.

9.3.2

Laserbetrieb

Im einfachsten Fall formen die Spaltfl~chen des Laserkristalls bereits einen Resonator. Die intrinsische Reflektivit~t eines GaAs-Kristalls betr~gt bei einem Brechungsindex n -- 3,5 schon 30% und reicht h~ufig aus, um Laserbetrieb

352

9 Halbleiter-Laser

zu erreichen. In anderen Fiillen kann die Reflektivitiit der Spaltfl~ichen durch geeignete Beschichtungen modifiziert werden. In Abb. 9.12 ist die Ausgangsleistung eines Halbleiter-Lasers als Funktion der eingepr~gten Stromst~rke zu sehen. Ffir viele Anwendungen, zum Beispiel in der Spektroskopie oder der optischen Kommunikation, ist der Einsatz von Einmoden-Lasern wichtig. Das homogene Verstiirkungsprofil der Laserdiode bietet dafiir ausgezeichnete Voraussetzungen, obwohl der freie Spektralbereich der Halbleiter-Laser bei gtyp = 0,3 m m mit A / ] F S R ---- 150 GHz zwar beachtlich, gegenfiber der VerstiirkungsbandAbb. 9.12 Strom-Leistungskurve einer La- breite von 10 THz und mehr aber immer serdiode. Bei hohen StrSmen kann es durch noch sehr klein ist Tatsiichlich werden Erhitzung des pn-Obergangs zum ,roll- in vielen Komponenten unerwfinschte over" kommen. Ein ,,Kink" ist hdufig Laserfrequenzen (,,Seitenbiinder") sehr Kennzeichen einer Modeninstabilitdt. stark unterdrfickt.

Die SchwellstrSme einer Laserdiode variieren je naeh Bauform, das Ziel ist aber immer eine mSglichst geringe Laserschwelle. Man muff dabei bedenken, daft hohe Stromdichten yon i00 kA/cm 2 und mehr auftreten, die starke lokale Aufheizung bewirken und zur Schiidigung der Heterostrukturen fiihren kSnnen. Aus dem gleichen Grund steigt der Schwellstrom der Laserdiode auch mit der Temperatur an, in Hoehleistungslasern kommt es sogar zum sogenannten ,,rollover", bei dem die ErhShung des Injektionsstroms nicht mehr zu einer ErhShung der Ausgangsleistung ffihrt, sondern diese im Gegenteil durch TemperaturerhShung des pn-~Ibergangs wieder reduziert! Der Zusammenhang zwischen Schwellstromst~irke Ith und Temperatur folgt einem empirischen Gesetz mit einer charakteristischen Temperatur To, Ith = Ioexp ( T - T ~

To

)

(9.10)

Die charakteristische Temperatur nimmt in konventionellen HeterostrukturLasern Werte um To -- 60K an, in neueren Bauformen wie VCSEL oder Quantenfilm-Lasern werden diese Werte abet in wiinschenswerter Weise auf 200400K erhSht, so daft die Temperaturempfindlichkeit der Komponenten deutlich abnimmt. Ein Beispiel, das in guter Niiherung dem idealisierten Verlauf der Laserleistungskurve aus Kap. 8.1.2 folgt, ist in Abb. 9.12 zu sehen. Aus der Steigung der Leistung kann man die differentielle Quanteneffizienz gewinnen,

9.3 Heterostruktur-Laser

353

die typischerweise 30% oder mehr betrggt: e dP

Differentielle Quanteneffizienz - hu dI

Gelegentlich treten in der Strom-Leistungs-Kennlinie sogenannte ,,Kinks" auf (Abb. 9.12). Sie sind ein Hinweis darauf, daft sich die Lasermode vergndert hat, zum Beispiel weil das geometrische Ladungstrggerprofil bei dieser Stromstgrke einen anderen rgumlichen Mode bevorzugt.

9.3.3

Spektrale Eigenschaften

Emissionswellenl~inge und Modenprofil Die Emissionswellenlgnge eines Halbleiter-Lasers ist wie bei anderen Lasertypen durch die kombinierte Wirkung yon Verst~kungsprofil und Laserresonator bestimmt. Wir betrachten hier zungchst die Wellenlgngenselektion der ,,frei laufenden", d.h. ohne zusgtzliche optische Elemente betriebenen Laserdiode. Einmodenbetrieb, der in vielen Typen von Laserdioden erzielt wird, wird durch das wegen der hohen IntrabandRelaxationsrate homogen verbreiterte Verst~irkungsprofil begiinstigt, so dag die Lasermode beim Verstgrkungsmaximum alleine anschwingt. Die detaillierte Geometrie des hgufig kompliziert aufgebauten, mehrschichtigen Laserkristalls kann aber auch mehrmodigen Laserbetrieb zulassen, und selbst in explizit als ,,Einmodenlaser" bezeichneten Komponenten sind weitere Moden gewShnlich nur um einen bestimmten Faktor (typ. x I00 oder 20 dB) unterdrfickt.

Abb. 9.13 Modenspriinge von Diodenlasern bei Temperaturver~inderung.

Obwohl die Resonator-Baulgnge der Laserdioden aUgemein sehr kurz ist (0,30,5 mm, n _~ 3,5) und schon fiir konventionelle Komponenten (Lgnge < lmm) einen freien Spektralbereich yon 80-160 GHz (der ffir VCSEL-Laser noch deutlich hSher liegen kann) liefert, liegen im Verst~kungsprofil bei einer typischen spektrale Breite von einigen 10 nm oder einigen THz noch sehr viele Resonatormoden. Die Brechzahl, die die Resonatorfrequenz bestimmt, hgngt empfindlich sowohl von der Temperatur (Abb. 9.13) als auch von der Ladungstrggerdichte (bezie-

354

9 Halbleiter-Laser

hungsweise vom Injektionsstrom) ab, so dab die genaue Laserfrequenz VL durch Kontrolle dieser Parameter fiber erhebliche Bereiche abgestimmt werden kann: 9 Bei TemperaturerhShung einer ~ufieren Warmesenke (z.B. eines Peltierkfihlers) finden wir typischerweise eine Frequenz~inderung von d v L / d T = -30 GHz/K, d.h. eine Rotverschiebung. 9 Strom~inderungen verursachen eine Verschiebung d v L / d I -- rhh + 7l,,. Sie wird durch TemperaturerhShung in der Heterostruktur hervorgerufen (~hh -~ 3GHz/mA) sowie durch .~nderung der Ladungstr~igerdichte (~/n -- 0,1 GHz/mA). Bei langsamen Strom~inderungen wird die Anderung durch die thermische Rotverschiebung dominiert, oberhalb von Modulationsfrequenzen fmod _> 3 0 k H z dominiert aber der EinfluB der Ladungstr~igerdichte (s. Abschn. 9.4.1). Unglficklicherweise treten bei der Abstimmung sowohl mit der Temperatur als auch dem Strom ,,dunkle" Bereiche auf, weil Verst~irkungsprofil und ResonatorModenstruktur nicht synchron zueinander variieren, diese verhindern die wfinschenswerte kontinuierliche Abstimmbarkeit (Abb. 9.13). Dutch externe optische Elemente kSnnen immerhin auch die verbotenen Bereiche zug~inglich gemacht werden (s. Abschn. 9.5). Elektronische Wellenl~ingenkontrolle

Wenn die genaue Frequenz bzw. Wellenl~inge der Laserstrahlung wichtig ist, wie z.B. bei spektroskopischen Anwendungen, dann mfissen die Temperatur an der Laserdiode und der Injektionsstrom sehr genau kontrolliert werden. Die hohe Empfindlichkeit auf Temperatur- und Stromschwankungen stellt technisch hohe Anforderungen an die Temperaturregelung: Wenn man die technisch verursachten Frequenzschwankungen kleiner als typische 5 MHz halten will, dann muB offensichtlich eine Temperaturstabilit~it von (~Trms ~ 1 mK bzw. eine Stromstabilit~it ~Irms _< 1 #A mit geeigneten Regelsystemen erreicht werden. Bei genauerer Betrachtung muB man das Frequenzverhalten der Regelungen

Abb. 9.14 Passive Regelkomponenten fiir Laserdioden. Als Temperatursensor kSnnen z.B. Thermistoren verwendet werden.

untersuchen, was jedoch fiber den Rahmen dieses Buches hinausffihren wfirde.

9.3 Heterostruktur-Laser

355

Es ist aber einzusehen, daft die Temperaturregelung wegen ihrer hohen thermischen Massen keine grofie Regelbandbreite besitzen kann. Die Bandbreite der Stromregelung ist grundsatzlich nur dutch die Kapazit~it der Laserdiode selbst begrenzt. Es ist aber regelungstechnisch sinnvoll, die Konstant-Stromquelle mit einer geringen inneren Bandbreite auszustatten, um das Stromrauschen zu reduzieren und stattdessen zus~tzliche schnelle, hochohmige Modulationseing~nge wie z.B. in Abb. 9.14 vorzusehen. Die bisherigen Vorrichtungen zur Wellenl~ngenstabilisierung wirken rein passiv, d.h. alle Betriebsparameter der Laserdiode werden kontrolliert. Ffir optische Wellenl~ingenstandards sind noch bessere, absolute Stabilitatswerte erforderlich, die nur von einem spektroskopischen Signal abgeleitet werden kSnnen.

Abb. 9.15 Halbleiterminiaturisierung und Lasertypen mit reduzierter Dimensionalitdt.

9.3.4

Quantenfilme, Quantendr~ihte, Quantenpunkte

Konventionelle Heterostrukturen dienen dazu, die Diffusion der Elektronen und LScher zu hemmen und die Verst~kung in einem kleinen Raumgebiet zu konzentrieren. Die Ladungstr~ger bewegen sich aber in einem Potentialtopf bei Abmessungen von ca. 100 nm noch immer wie mehr oder weniger klassische punktfSrmige Teilchen. Bei weiterer Miniaturisierung (Abb. 9.15) erreichen wir das Gebiet der Quantisierung der elektronischen Bewegung, in welchem die Dynamik der Ladungstr~ger in der vertikalen, zum Schichten-

356

9 Halbleiter-Laser

stapel orthogonalen Richtung nach der Quantenmechanik nun durch diskrete Energieniveaus gekennzeichnet ist. Wenn die Miniaturisierung die Quantengrenze in einer Dimension erreicht wird, entsteht ein ,,zweidimensionales" Elektronengas, das wir hier als ,,Quantenfilm" bezeichnen wollen. In der Literatur sind aber auch andere Bezeichnungen fiir die damit konstruierten Laser iiblich, wie z.B. Quantentrog-, Potentialtopf- oder, aus dem Englischen entlehnt, Quantum-Well(QW)-Laser. Strukturen mit reduzierter Dimensionalit~it bieten geringere SchwellstrSme, h6here Verst~irkung und geringere Temperaturanffilligkeit als konventionelle DHLaser, Vorteile, die schon in den friihen 80er-Jahren grunds~itzlich erkannt wurden. Inversion ira Quantenfilm

Der zweidimensionale Charakter des Ladungstr~igergases ffihrt zu einer ver~inderten Zustandsdichte, der fundamentalen Ursache fiir die verbesserten Betriebseigenschaften, wie zum Beispiel niedriger Schwellstrom und geringe Temperaturempfindlichkeit. Zusiitzlich zur kinetischen Energie des transversalen

Abb. 9.16 Bandst~tktur und Zustandsdichte im Quantenfilm. Die schra~ierten Kurven deuten die WeUenfunktionen der gespeicherten Elektronen und LScher an.

Zustandes EQi gibt es noch zwei kontinuierliche Freiheitsgrade mit Impulskomponenten k• und fiir die Elektronen bzw. L5cher im i-ten Subband des Quantenfilms gilt (k~,i = k~,ix + k~,~): h2k2 i E i = Ev, L +EQi+--

2m *l,h

9.3 Heterostruktur-Laser

357

Zu den interessanten Eigenschaften der Quantenfilm-Laser zKhlt die MSglichkeit, die 0bergangswellenlgnge durch die Wahl der Filmdicke l, die den Abstand der QuantenzustKnde im elektronischen und lochartigen Zustand bestimmt, zu kontrollieren: Nach der Quantenmechanik gilt nKmlich Eel

h2/2m*112. Die Zustandsdichte in der k-Fl~che betr~gt pr = kdk/7~ und kann mit dE = h2k/m*l,hdk in die energetische Dichte umgerechnet werden. In transversaler Richtung tr~gt jeder Quantenzustand (Energie Eql , Quantenzahl i) mit der Dichte roll bei, .i

pel,h(E)dE = ~ m d ' h o ( E 9

h21

EQi )

Die Theta-Funktion hat die Werte O(x)=1 fiir x > 0 und O ( x ) = 0 fiir x _< 0. Auch die effektiven Massen k6nnen yon der Quantenzahl abh/ingen. Die Zustandsdichte wKchst in einem Quantenfilm stufenfsrmig, wann immer die Energie einen neuen transversalen Quantenzustand erreicht nimmt sie genau den Wert an, der dem Volumenmaterial entspricht (gestrichelte Linie in Abb. 9.16). Der Vorteil des QW-Laser wird deutlich, wenn wir wie auf S. 345 die Abh/~ngigkeit der Fermi-Energie vonder Ladungstr/iger-Konzentration bestimmen. Man erhKlt mit/ihnlichen Bezeichnungen wie im 3D-Fall, z.B. ari = E L + E Q ~ _ e L 7tel,h =

~ m*~,hkT 9

~

dx

--o~iel,h ~0r e

i e x -4- ~e O l el,h

Diese Beziehung l~ifit sich analytisch auswerten, und unter Verwendung GaAs-Parameter finden wir bei T = 300K und fiir einen Quantenfilm l = I00~I Dicke die Relation

der mit

i

nel ----3,3- 1015[cm-3] In (1 + e-C%1,h)

,

aus welcher sich die Fermi-Energie gewinnen l~fit. Der Vorfaktor ist um ca. 2 GrSfienordnungen kleiner als beim Volumenmaterial, G1.(9.5)! Er deutet an, dag im QW-Laser Inversion schon bei deutlich geringeren Ladunsgtr~gerkonzentrationen und damit kleineren Schwellstromdichten zu erwarten ist als in konventionellen DH-Lasern.

Multiple QuantumWell (MQW)-Laser Fiir einen fairen Vergleich mit den konventionellen DH-Lasern muB man beriicksichtigen, dab die Gesamtverst~rkung eines Quantenfilms eben wegen des geringeren Volumens kleiner ist als beim DH-Laser. Diesen Nachteil kann

358

9 Halbleiter-Laser

man aber grofJenteils wieder wettmachen, wenn man im Volumen des Laserlichtfeldes mehrere identische Quantenfilme unterbringt. In Abb. 9.17 ist eine Multiple-QuantumWell-Struktur schematisch vorgestellt. Die Ladungstr~ger sollen in den PotentialtSpfen ,eingefangen" werden, aber die Relaxationsrate, zum Beispiel durch Stot3 mit einem Phonon, ist wegen der geringen Filmdicke relativ klein. Um die Konzentration der Ladungstr~Lger in der Umgebung der Quantenfilme zu erhShen, wird deshalb eine zus~Ltzliche Heterostruktur eingesetzt Abb. 9.17 Schema einer Multiple- ( S C H i n Abb. 9.17: Separate Confinement Quantum- WeU-Struktur aus drei Quan- Heterostructure). Sie wirkt darfiber hinaus tenfilmen. SCH: Separate Confinement als Wellenleiter fiir das Resonatorfeld und Heterostructure. konzentriert die Lichtleistung auf diese Zone, die meist viel kleiner ist als eine optische Wellenlange. Die MQW-Laser sind inzwischen zum Standardprodukt der optoelektronischen Industrie geworden. Eine weitere interessante Neuerung wurde durch die ,Verspannten Quantenfilm"-Laser (SQW-Laser, von engl. strained quantum well) eingefiihrt. Sie bieten zus~tzliche technische Vorteile, weil die effektiven Massen in den verspannten Kristallgittern um einen Faktor 2 geringer werden. Dadurch sinken sowohl die Zustandsdichte als auch die Schwellstromdichte erneut. Fassen wir die Vorteile noch einmal zusammen, die die Quantenfilm-Laser gegeniiber herkSmmlichen Doppelheterostruktur-Lasern bieten: 9 Die veranderte Zustandsdichte verursacht geringere SchwellstrSme, weil weniger Zust~i~lde pro Ladungstrager zur Verfiigung stehen, die mit kleineren StrSmen aufgeffillt werden kSnnen. Typischerweise werden Schwellstromdichten von 50-100 A/cm 2 erreicht. Die niedrige Schwelle verbessert indirekt auch wieder die Temperatur-Empfindlichkeit, weil in den Heterostrukturen weniger Abw~Lrme erzeugt wird. 9 Die differentielle Verst~rkung ist grSt3er als bei den DH-Lasern, weil die mit dem Strom wachsende elektrische Verlustleistung eine geringere Reduktion der Verst~rkung verursacht. 9 Die Schwellbedingung h~Lngt weniger stark von der Temperatur ab. Beim konventionellen DH-Laser w~Lchst die Transparenzschwelle mit T s/2, im Quantenfilm-Laser nur proportional zu T. Die charakteristischen Temperaturen (G1. 9.10) betragen ca. 200 K.

9.3 Heterostruktur-Laser

359

Quantendr~hte und Quantenpunkte Die reduzierte Dimensionalitat der Halbleiterstrukturen l~fit sich durch die Konstruktion weiter fortsetzen: Aus den 2-dimensionalen Quantenfilmen werden quasi-l-dimensionale Quantendr~ihte und sogar 0-dimensionale Quantenpunkte (engl. q u a n t u m dots), wenn geeignete Verfahren der lateralen Mikrostrukturierung gew~hlt werden. In Abb. 9.18 ist diese Entwicklung mit ihrer Wirkung auf die Zustandsdichte vorgestellt. Die Eigenschaften der Zustands-

Abb. 9.18 Entwicklung vom Doppelheterostruktur-Laser i~ber Quantenfilme und -drdhte zu Quantenpunkten.

dichte setzen die Tendenz des Quantenfilm-Lasers fort, Verst~rkung schon bei geringen Stromdichten zu erreichen. W~hrend der Schichtenstapel des Quantenfilm-Lasers aber einfach durch Kontrolle der Wachstumsprozesse gesteuert werden kann (in Abb. 9.18 in vertikaler Richtung), mfissen die lateralen Eigenschaften im allgemeinen durch einen g~nzlich anderen Prozefi hergestellt werden. Einerseits besteht zwischen der Herstellung von Quantendr~hten und Quantenpunkten vom technologischen Standpunkt kein grofier Unterschied mehr, andererseits werden die erforderlichen lateralen StrukturgrSfien von 0,10,2 nm mit Standardmethoden der optischen Lithographie nicht so leicht erreicht. Die streng periodische Anordnung der Quantenpunkte in Abb. 9.18 ist bis heute ebenfalls kaum realisierbar, andererseits ffir den Laserprozefi auch gar nicht erforderlich; in jfingster Zeit sind vielversprechende Erfolge damit erzielt worden, Quantenpunkte im Wege der Selbstorganisation eines heterogenen Wachstumsprozesses zu erzeugen.[173, 65]

360

9.4

9 Halbleiter-Laser

Dynamische EigenschaRen yon Halbleiter-Lasern

Zu den technisch attraktivsten Eigenschaften der Laserdiode gehSrt ihre direkte Modulierbarkeit durch Variation des Injektionsstroms: Die Geschwindigkeit, mit welcher der Laser ein- und ausgeschaltet werden kann, bestimmt die Rate, mit der digitale Signale erzeugt und damit iibertragen werden kSnnen. Um die Dynamik der Laserdioden zu verstehen, verwenden wir die Amplitudengleichung (8.10) und die Ratengleiehung (8.18(ii)), denn die transversale Relaxation wird durch die Intrabandstreurate 7 '-1 -- T2 --~ 1 ps dominiert:

[ E(t) = L/i ( u - ~ ff~n(~)) + ff (~n(t) - %)] E ( t ) n(~) = -~n(t)~ph(~) ~n(0 + R 1

1

(9.11)

-

Mit n(t) bezeichnen wir hier allerdings die Ladungstr~igerdichte. Die Stromdichte geht in die Gleichung mit R = j / e d ein, wir ersetzen IE(t)l 2 --+ nph(t) und wollen ferner statt der D~mpfungsrate diesmal die Photon-Lebensdauer % ---+ 1/rph und die Rekombinationszeit 7 -+ 1/rre~ verwenden,

nSt=l/gTph

und

~ph--~Trec

1)

wobei jth ----ed/~Tre~rph. Meistens sind wir an kleinen Abweichungen yore stationgren Zustand interessiert. Dann kSnnen wir linearisieren, n(t) = n ~t + an(t) und nph = %h + anph

und finden die Bewegungsgleiehungen, in denen wir j o / j t h = Io/Ith setzen,

an(t) -

9.4.1

jmoa

1 /~han(t ) _ __1 anph

(9.12)

ModulationseigenschaRen

Wir betrachten die Wirkung kleiner harmonischer Modulationen des Injektionsstroms, jmod = jo + j m e-iWt auf Amplitude und Phase des Laserlichtfeldes.

Amplitudenmodulation Die Modulation der Photonenzahl bestimmt die Variation der Ausgangsleistung. Deshalb verwenden wir anph(t) ----anphoe - ~ t und an(t) ---- anoe -i~t und

9.4 Dynamische Eigenschaften von Halbleiter-Lasern kSnnen 5nph0 = - - ( / 0 / h a Rechnung die Amplitude: 5nph0 ----

361

1)Sno/iWTrec ersetzen. Wir erhalten nach kurzer

Wphjm ( / 0 / / t h - 1) ed W2TrecTph-- (Io/Ith -- 1) + i(Io/Ith)WTph

(9.13)

In erster Linie sind wir am Betrag der resultierenden Modulationsamplitude nach G1. (9.13) interessiert, 15nph01 = Tphj,~

Io/Ith- 1

1)) In Abb. 9.19 stellen wir die Antwort einer typischen Laserdiode auf eine Strommodulation mit der Frequenz fmod = W/21r vor. Wir haben eine spontane Rekombinationszeit 7~er = 2 9 10-% und eine PhotonLebensdauer von 7-ph = 10-128 verwendet. Die Relaxationsresonanz steigt wie auch nach G1.(8.23) erwartet mit dem Injektionsstrom an. Experimentelle Daten werden durch diese Funktion gut wiedergegeben. Ftir Anwendungen zum Beispiel in der optischen Kommunikation ist eine hohe Modulationsbandbreite wichtig. Dazu sollte Abb. 9.19 Amplitudenmodulation im die Frequenzantwort bis zu mSglichst ho- Diodenlaser. hen Frequellzen flach verlaufen, und aufierdem solltell keille groBen Phasendrehungen auftreten (Snpho ist ein komplexe GrSBe!). Heute werden in kompakten VCSEL-Komponenten Modulationsbandbreiten von 40 GHz und mehr erzielt, und ein Ende dieser Entwicklung ist noch nicht abzusehen. Phasenmodulation

Wir wollen auch die Entwicklung der Phase (I)(t) untersuchen, wobei wir mit

E(t) --* $ exp (i(~ - w - a % / 2 ) ) exp (iO(t)) die stationare Entwicklung in G1.(9.11) abtrennen und ftir die Phasenentwicklung die Kopplung 1 ~(t) = ~

5n(t)

an die Ladungstr~igerdynamik finden. Wir erwarten wieder eine harmonische Entwicklung (I)(t) -- (I)0e-i~t, die wir mit einer kurzen Rechnung auch durch

362

9 Halbleiter-Laser

die Modulation der Photonenzahl ausdrficken kSnnen und dabei mit a = ( w W o ) / 9 (G1. 8.6) das sehr transparente Ergebnis erhalten, O ( t ) = ~20e-iwt -

a

5nph0 e_iw t

2 ~ph Das Ergebnis zeigt, daft der Faktor a die Kopplung der Phasenanderung an die Amplituden~inderung beschreibt. Er besitzt in Laserdioden typische Werte von 1,5-6, verschwindet aber gewShnlich im Gaslaser, weil dieser in der N~ihe der atomaren oder molekularen Resonanzlinien schwingt ( a = ( w - W o ) / ~ / ~-- O, G1.(8.6)). Er spielt eine wichtige Rolle in der Linienbreite der Laserdiode, wie wir im n/ichsten Abschnitt sehen werden. Wir haben bisher sowohl die AmplitudenAbb. 9.20 Phasenmodulation yon als auch die Phasenmodulation nur als elHalbleiter-Lasern: Der Modulationsin- ne Folge der dynamischen Ladungstr/igerdex setzt sich aus einer thermischen dichte aufgefafit. Der Modulationsstrom und einer Ladungstriiger-Komponente verursacht aber darfiber hinaus eine pezusammen, riodische Erw/irmung der Heterostruktur, die die optische Lange der Laserdiode ebenfalls modifiziert und den Modulationshub bis zu typischen Grenzfrequenzen von einigen 10 kHz sogar dominiert. Temperatur und Ladungstr/igerdichte-Variationen, die wir auf S. 354 auch schon als Ursache ftir die Verstimmung der Laserwellenl/inge mit dem Injektionsstrom ausgemacht hatten, tragen zum niederfrequenten Verhalten der Modulationsamplitude bei.

9.4.2

Linienbreite des Halbleiter-Lasers

Wenn man die Linienbreite einer Laserdiode nach der Schawlow-Townes-Formel G1.(8.30) berechnet, erwartet man schon von vornherein aufgrund der groBen Linienbreite des leeren Resonators % _~ 1012 einen hSheren Wert als etwa beim HeNe-Laser. Im Experiment werden aber noch grSi~ere Linienbreiten von 30 - 100 MHz beobachtet. Diese Verbreiterung wird durch den a - P a r a m e t e r beschrieben, der in unserer einfachen Lasertheorie schon enthalten ist und die Amplituden-Phasen-Kopplung beschreibt. Er wird in diesem Zusammenhang h~iufig Henrys c~-Parameter genannt, weil C. Henry erkannt hatte, dab dieser Faktor bei Diodenlasern eine ungleich wichtigere Rolle spielt als beim

9.4 Dynamische Eigenschaften von Halbleiter-Lasern

363

Gaslaser. [74]

Av T = (1 + a2)Ausv Den a-Faktor hatten wir urspriinglich als ,,Abkfirzung" flit die normierte Verstimmung eingefiihrt. Eine genauere Analyse zeigt, daft er das differentielle Verh~iltnis von Real- und Imagin~irteil der Suszeptibilit~it oder auch der Brechzahl angibt, a= An'/An"

,

das sich nur sehr aufwendig berechnen l~fit und vorzugsweise dem Experiment entnommen wird.

Beispiel: S c h a w l o w - T o w n e s - L i n i e n b r e i t e e i n e s k l e i n e n G a A s - L a s e r s . Wir bestimmen die Linienbreite eines GaAs-Lasers fiir 1 m W Ausgangsleistung und bei einer Laserfrequenz von ~'L ---- 350 THz @ 857 nm. Der kleine Fabry-Perot-Resonator mit 0,3 m m Baul~inge und Brechungsindex 3,5 fiihrt bei Spiegelreflektivit~iten von R = 0,3 zu einer Linienbreite und Zerfallsrate von A y = % / 2 ~ = 3- 10 l~ die viel grSfler ist als bei einem typischen Gaslaser und eine sehr viel grSfiere Schawlow-Townes-Linienbreite verursacht: ~ h . 350THz(2~ 9 50GHz) 2 = 1, 5MHz lmW In der Praxis findet man a-Werte zwischen 1,5 und 6 und damit (lbereinstimmung mit den gemessenen Linienbreiten. A~,ST ----

9.4.3

Injection Locking

In einem gewShnlichen Laser startet die Oszillation des Lichtfeldes aus dem Rauschen heraus von selbst. Wir wollen hier studieren, wie sich ein Laseroszillator bei Einstrahlung eines externen Lichtfeldes verh~ilt. Die TJber- Abb. 9.21 Injection Locking: Das kohdrente Lichtlegungen gelten grunds~itzlich fiir feld des ,Master-Lasers" wird in einen ,Slaveviele Lasertypen, sind aber gerade Laser" injiziert und priigt seine Kohiirenzeigenbei Laserdioden ffir Anwendungen schaften dessen Feld auf. Der Isolator dient der wichtig, denn auf diese Weise las- Entkopplung der beiden Verst5rker. sen sich die Pr~iparation eines Lichtfeldes mit kontrollierter Koh~irenz und die Erzielung hoher Ausgangsleistung in funktional getrennten Komponenten erreichen.

364

9 Halbleiter-Laser

In Abb. 9.21 haben wir eine fiir Laserdioden typische Situation schematisch vorgestellt: In einem ,,Master-Laser" wird ein Laserlichtfeld mit wohl kontrollierten Koh/irenzeigenschaften pr/ipariert. Dessen Licht wird in einen ,,SlaveLaser" injiziert und bestimmt unter Bedingungen, die wir hier untersuchen wollen, dessen dynamische Eigenschaften. Der Slave-Laser wird selbst i. Allg. ungiinstigere Koh/irenzeigenschaften anbieten, kann aber andererseits eine hohe Ausgangsleistung zur Verfiigung stellen, wenn zum Beispiel in Abb. 9.21 ein Breitstreifen- oder Trapez-Laser verwendet wird. Wir fiigen die Kopplung an ein/iui3eres Feld Eext in Gl.(9.11) auf heuristische Art und Weise ein: Der Einkoppelterm mut3 dieselbe Struktur besitzen wie der Auskoppelterm, aber das externe Feld oszilliert mit einer eigenen Frequenz Wext. Wir ersetzen ~n ~ G und schreiben

+.XextE~xte-i(W~xt - w)t + i~ Dann finden wir nach Real- und Imagin/irteil getrennte Gleichungen fiir das Gleichgewicht, (i)

~l(a-%)+

(ii)

"X~xt ~ %xt c o s ~ - - 0 %xt Ecxt O~

(Wext -- ~ -- ~ G )

"~- 2

E

(9.14)

sin ~ :

0

die die Amplitude (i) bzw. die Phase (ii) beschreiben. Wenn wir uns auf den Fall kleiner Einkopplung beschr/inken, ist die Modifikationen der Feldamplitude E vernachl/issigbar. Dann k5nnen wir die modifizierte ges/ittigte Verst/irkung G = '~c -- 2AM COS~p aus G1.(9.14(i)) verwenden, wobei wir die Frequenz

~ext %xt __ eingefiihrt haben. Wir gewinnen aus Gl.(9.14(ii)) die Beziehung Wext -- ( ~ -~- OLeo/2 ) -[- OLAM COS ~ = A M

sin

Das Ergebnis 1/it3t sich mit tan ~0 -- a und Wfrei := ~ ~- OL~c/2 noch giinstiger darstellen und ist fiir a = 0 als Adler-Gleichung bekannt: Wext --Wfrei = /~M~/-i- ~- OL2 sin ( ~ - ~0)

(9.15)

Dann kSnnen wir unmittelbar die einschr/inkende Bedingung fiir den sogenannten ,,Fangbereich" ableiten: Wext -- Wfrei

-1< -

-

AMX/1-I- OL2

<1 -

-

9.4 DynamischeEigenschaftenvon Halbleiter-Lasern

365

Wir stellen fest, daft der Slave-Oszillator auf die Frequenz des externen Feldes einrastet. Der Fangbereich 2AM ist umso grSBer, je mehr Leistung injiziert wird und je st~irker die Ankopplung ist, d.h. je geringer die Reflektivits des Resonators ist. Bei einer Laserdiode, die typischerweise geringe Reflektivits besitzt, wird das Einrasten nach unserer Analyse dariiber hinaus noch durch die Phasen-Amplitudenkopplung, ausgedriickt durch den Faktor v/1 + c~2, unterstiitzt. Die Phasenbedingung zeigt, dab das Einrasten dutch geeignete Einstellung des Phasenwinkels ~ zwischen Master- und SlaveOszillator ermSglicht wird. Eine genauere Stabilit~tsanalyse, die wir hier iibergehen, zeigt, dat3 von den beiden EinstellmSglichkeiten des Winkels nach G1.(9.15) nur eine stabil ist. Aufierhalb des Fangbereichs kann die Einrast-Bedingung nicht erfiillt werden, das externe Feld verursacht aber auch dort eine Phasenmodulation, die bereits zu einer Frequenzverschiebung des Slave- Abb. 9.22 Frequenzgang und PhasenOszillators fiihrt. Die theoretische Analyse lage eines Slave-Lasers beim Injection ist etwas aufwendiger. Sie zeigt aber unter Locking. anderem, dab in der N~he des Fangbereichs durch nichtlineare Mischprozesse zuss Seitenbs aus Master- und Slave-Lichtfeld erzeugt werden.

9.4.4

Optische Riickkopplung und Self Injection Locking

Die Koh~enzeigenschaften von Laserdioden sind aufierordentlich empfindlich auf Riickstreuung yon auBen. Jeder zuf'alligverursachte Reflex kann erhebliche und unkontrollierbare Frequenzsehwankungen ausl6sen. Bei anspruchsvollen Anwendungen, zum Beispiel in der Spektroskopie, miissen daher optische Isolatoren mit hohem Extinktionsverh~iltnis dafiir sorgen, daft die Rfickstreuungen, die an jedem optisehen Element auftreten, unterdrfickt werden.

Abb. 9.23 Optische Riickkopplung yon einem gefalteten Resonator: Die Riickkopplung findet nur im ResonanzfaU start.

366

9 Halbleiter-Laser

Die Rfickkopplung von Laserdioden k6nnen wir ganz analog zum Injection Locking als eine Form von ,,Self Injection Locking" beschreiben, o-

wobei ~- := 2~/c die VerzSgerungszeit bezeichnet, die das Licht v o n d e r Laserquelle zum Streuort im Abstand ~ und zur/ick benStigt. Der Reflexionskoeffizient r(w) des optischen Elements kann selbst frequenzabh/ingig sein, wie zum Beispiel fiir den Resonator aus Abb. 9.22 nach G1.(5.13). Die Analyse fiihrt ganz analog zum Fall des gewShnlichen Injection Lockings wieder auf eine Bestimmungsgleichung ffir die Frequenz, die nun aber kritisch yon der Rfickkehrphase w~- abh~ngt: w --Wfrei = r(w) = V'I + a2 sin (w(7 -- TO))

,

Eine LIbersicht l~fit die sich am einfachsten graphisch gewinnen. In Abb. 9.24

Abb. 9.24 Die Wirkung yon Riickkopplung auf die Oszillatorfrequenz einer Laserdiode. Links: Einfacher Spiegel. Rechts: Gefalteter Resonator nach Abb. 9.23. Die schattierte Kurve zeigt die erwartete Transmission des Resonators bei positivem Durchfahren der Laserfrequenz.

haben wir die Situation ffir einen gewShnlichen Spiegel (links) und einen FabryPerot-Resonator dargestellt. Aus der Abbildung wird klar, dat3 Riickreflexionen von akustisch vibrierenden Aufbauten immer Frequenzschwankungen hervorrufen miissen. Ein stabiler Resonator dagegen zwingt die Laserfrequenz bei geeigneter Wahl der Bedingungen in die N/ihe seiner Eigenfrequenz und verbessert die Koh/irenzeigenschaften. Er wirkt wie ein passives Schwungrad, das die Phasenschwankungen des aktiven Oszillators ausgleicht.

9.5 Laserdioden- Diodenlaser- Lasersysteme

9.5

Laserdioden

- Diodenlaser

367

- Lasersysteme

Eine Laserdiode emittiert koh~irentes Licht, sobald der Injektionsstrom die Schwellstromst~rke durch die Halbleiter-Diode fibersteigt. Konkrete Anwendungen stellen aber an die Wellenl~nge und Koh~renz der Laserstrahlung unterschiedliche Anforderungen. Um diese Eigenschaften zu kontrollieren, wird die Laserdiode mit verschiedenen optischen Anordnungen benutzt und in ,, Systeme" integriert, die wir zur Unterscheidung vom optoelektronischen Bauteil als ,,Diodenlaser" bezeichnen wollen. Wegen der mikroskopischen Dimensionen des Laserkristalls kSnnen einerseits zus~tzliche Bauelemente wie Filter schon beim Herstellungsprozess integriert werden. Solche Konzepte werden bei den sogenannten DFB-, DBR- und VCSELLasern realisiert. Eine andere MSglichkeit besteht darin, Frequenzkontrolle durch Riickkopplung des Laserlichts in den Resonator zu erreichen.

9.5.1

D u r c h s t i m m b a r e Diodenlaser (Gitter-Laser)

Abb. 9.25 Konstruktion eines Diodenlasersystems nach dem Gitterprinzip. Zu den unangenehmsten Eigenschaften der Laserdioden gehSren die Modensprtinge, die wie in Abb. 9.13 dargestellt eine kontinuierliche Ausnutzung des gesamten Verst~rkungsprofils verhindern. Dieses Problem kann gelSst werden, indem die Laserdiode entspiegelt wird und Ms Verst~rkungsmedium in einem ~ut3eren Resonator mit geeigneten Spiegeln und Filterelementen eingebaut wird. Dieses ,,extended cavity" -Konzept gibt aber viele Vorteile des Halbleiter-Lasers wie zum Beispiel die kompakte Bauform wieder auf. Deshalb wird die ,,external cavity" -Methode bevorzugt: Dabei wird die schwache Reflexion (5-15%) eines Gitters in der sogenannten Littrow-Anordnung zur

368

9 Halbleiter-Laser

Rfickkopplung ausgenutzt. Bei dieser Methode wird die -1. Ordnung der Gitterbeugung genau in die Lichtquelle zurfickreflektiert. Das Gitter verursacht eine frequenzselektive Rfickkopplung und eine entsprechende Modulation des Verst~rkungsprofils. Durch Drehen des Gitters kSnnen daher zahlreiche Laserdioden ohne weitere Modifikation ihrer Facettenreflektivit~ten auf nahezu jede Wellenlange innerhalb ihres Verst~rkungsprofils abgestimmt werden.

9.5.2

DFB-, DBR-, VCSEL-Laser

Abb. 9.26 Funktionsprinzip yon DBR- und DFB-Lasern. Die Integration von periodischen Elementen zur Frequenzselektion ist nicht nur mit Halbleiter-Lasern studiert worden, dort bietet sie sich aber an, weil die Methoden der Mikrolithographie zur Herstellung ohnehin erforderlich sind. Die Konzepte der DFB-Laser (ffir Distributed Feed B a c k oder ,,Verteilte Rfickkopplung") und DBR-Laser (Distributed Bragg Reflector) werden auf einem geeigneten Substrat lateral strukturiert (Kantenemitter), w~hrend der VCSELLaser (Vertical Cavity Surface Emitting Laser) durch einen vertikalen Schichtenstapel realisiert wird. Die Funktionsweise der integrierten Bragg-Endspiegel kennen wir schon vom Faserlaser (Kap. 7.4.4), und die beiden kantenemittierenden Typen unterscheiden sich lediglich durch die Anordnung des Bragg-Reflektors: Beim DBR-Laser wird er als selektiver Spiegel aufierhalb der aktiven Zone angebracht (und kann dort mSglicherAbb. 9.27 Gitter mit gleichfSrmiger Periode weise zus~tzlich, z.B. durch einen und mit )~/4-Verschiebung im DFB-Laser. Das Strom, ver~i~dert werden). spektrale Verst~irkungsprofil ist daneben qualita- Beim DFB-Laser sind aktive Zone tiv eingezeichnet, und Bragg-Gitter (das i. Allg. ein Phasengitter ist) in einem Element integriert. Aus Grfinden der einfacheren

9.5

Laserdioden - Diodenlaser - Lasersysteme

369

und sichereren Herstellung hat sich heute der DFB-Laser gegen die DBRVariante bei den Kantenemittern durchgesetzt. Wenn man die spektrale Verst~rkung in der periodischen DFB-Struktur genauer studiert, stellt man fest, dab sie genau bei der wfinschenswerten Wellenl~inge des Gitters selbst stark unterdriickt ist [180, 162]. Die Ursache dafiir ist in Abb. 9.27 qualitativ zu sehen: Wir kSnnen zwei Stehwellen definieren, die einmal einen niedrigeren n_ -- n - 5n und einmal einen hSheren mittleren Brechungsindex n+ -- n + 5n erfahren, so dab zur gleichen Wellenl~inge zwei Frequenzen y• -- n• im gleichen Abstand um die Zentralwellenl~inge ~o = nc/A erlaubt sind. Ein Verst~irkungsmaximum genau an dieser Stelle wird erzeugt, wenn man die sogenannte A/4-Verschiebung der Periode im Zentrum der DFB-Struktur einbaut. Ein konzeptionelles Beispiel eines VCSEL-Lasers [34, 89] ist in Abb. 9.28 dargestellt.Die Schichtstrukturen werden durch epitaktisches Wachstum hergestellt. Die aktive Zone hat eine L~inge von gerade einer Materialwellenl~nge, d.h. A/n ~- 250 nm bei Emissionswellenl~ingen von 850 nm. Dort werden meist mehrere, eng benachbarte Quantenfilme von typischerweise 8 nm Dicke un-

Bauformen yon VCSEL-Lasern. (Die Aufnahme des VCSELs wurde freundlicherweise yon Dr. Michalzik, Universitgt U~m zur Verfiigung gestellt [89].))

A b b . 9.28

tergebracht. Weil die Verst~irkungsl~inge extrem kurz ist, mfissen die BraggSpiegel die sehr hohe Reflektivitat von 99,5% erreichen. Dazu sind i. Allg. 20-40 AlxGal_xAs/AlyGal_yAs-Schichtenstapel mit mSglichst groBem Brechzahlkontrast notwendig. Bei den VCSEL-Lasern bietet die Konzentration des Injektionsstroms auf die gewfinschte Querschnittsfl~iche des Laserfeldes eine grof~e technische Herausforderung. In heutigen LSsungen wird z.B. der Widerstand bestimmter Schichten durch ProtonenbeschuB stark erhSht, ruft dabei aber auch nachteilige Kristallsch~iden im angrenzenden Material hervor. In einer anderen Methode wird

370

9 Halbleiter-Laser

der obere Braggstapel zu runden, tischfSrmigen Spiegeln strukturiert u n d anschliet]end eine dfinne A10,97Ga0,0aAs-Schicht in ein elektrisch isolierendes Oxid umgewandelt. Dabei entstehen Stromblenden mit einem Innendurchmesser von nur wenigen #m.

9.6

Hochleistungs-Laserdioden

Die direkte Konversion elektrischer Energie in kohiirentes Licht u n d mit auflerordentlich h o h e m Wirkungsgrad verspricht eine Vielzahl von Anwendungen. Das kohiirente Licht stellt die Energie, die m a n z u m Beispiel beim Schneiden u n d Schweissen in der Materialbearbeitung benStigt, gewissermafien mit sehr hoher Qualit~t zur Verfiigung, well sie mit sehr hoher riiumlicher u n d zeitlicher AuflSsung gesteuert werden kann. Es war deshalb von A n h a n g an naheliegend, die Ausgangsleistung von Laserdioden in den interessanten Bereich von 1 k W oder mehr zu steigern.

Abb. 9.29 Konzepte fiir Hochleistungslaserdioden: Laserdioden-Arrays, Breitstreifenlaser und Trapez- Verstdrker.

Die ,,Qualitiit" eines Laserstrahls ffir Anwendungen hiingt aber nicht allein yon der erreichbaren Leistung, sondern ebenso entscheidend yon seinen riiumlichen Eigenschaften, der transversalen Kohiirenz ab. Zur Beurteilung ist es fiblich, das Strahlparameterprodukt aus Strahltaille w0 und Divergenzwinkel 0 (s. S. 50) zu verwenden oder den sogenannten M2-Faktor zu messen [162], der diesen Wert auf den Vergleichswert des Gaufistrahls normiert: M2 = w00r~d~v (gemessen)

(9.16)

WoOrmdiv (perfekt ) Er ist ein Marl ffir die Varianz yon Strahlquerschnitt und Divergenz und gibt pauschal an, welcher Anteil des Laserlichtes dem Gaufischen Grundmode zugerechnet werden kann, denn nur dieser kann optimal, d.h. beugungsbegrenzt fokussiert werden und wird durch ein riiumliches Filter (Abb. 2.11, S. 58) trans-

9.6 Hochleistungs-Laserdioden

371

mittiert. Der M2-Faktor w~chst mit abnehmender Strahlqualit~t und weicht im optimalen Fall nur wenig von 1 ab. Wie wir schon in Abb. 9.12 angedeutet hatten, sind der Leistungssteigerung durch schlichte ErhShung des Injektionsstroms enge Grenzen gesetzt: Einerseits setzt durch die Abwarme der ,,roll-over"Effekt ein, andererseits wird auch die Lichtleistung an den Austrittsfacetten so groB, dab dort spontane, h~ufig zum Totalausfall des Bauelements ffihrende Sch~den auftreten. Dieses Problem ist besonders gravierend bei Al-haltigen Schichten, weshalb in Hochleistungslasern zumindest fiir die Verst~rkungszone meistens Al-fTeie Quantenfilme verwendet werden. Man muB aber festhalten, dab die Ausgangsleistung ffir einen Laserdiodenstreifen mit einer Facette yon ca. 1 x3#m 2 i. Allg. auf hSchstens einige 100 mW begrenzt ist. Die Ausgangsleistung der Halbleiter-Bauelemente kann deshalb grunds~tzlich nut gesteigert werden, indem die Verst~rkung auf mSglichst groi3e oder auf viele Facetten und die damit verbundenen Volumen verteilt wird. Heute wird die Ausgangsleistung durch Verwendung yon Laser-Arrays, Breitstreifen- und Trapezlaser gesteigert, die wir schematisch in Abb. 9.29 vorgestellt haben.

Abb. 9.30 Strahlformen yon Laser-Arrays. In der linken Spalte sind symmetrische, in der rechten antismmetrische Phasenlagen der Einzelstreifen dargestellt.

372

9 Halbleiter-Laser

9 Laserarrays. Auf einem Substrat k5nnen ohne Probleme mehrere Laserdiodenstreifen parallel untergebracht werden. Wenn die Abst~nde der einzelnen Streifen nicht zu grofi sind, fiberlappen die Felder benachbarter Moden geringffigig und werden in ihrer Phase gekoppelt, d.h. die Ausgangsleistung aller Einzelstreifen ist koh~rent gekoppelt oder ,,interferenzf~hig". Das Fernfeld eines Laserarrays h~ngt vonder relativen Phasenlage der Einzelstreifen ab. In Abb. 9.30 haben wir die idealisierte Feldverteilung von 2 bzw. 4 identischen Gaut3strahlern ausgerechnet und dabei alle m5glichen Kombinationen von Phasenlagen betrachtet. Ein realistisches Laserarray zeigt h~ufig ein Fernfeld mit zwei ,,Ohren", deren Entstehung aus dieser Betrachtung deutlich wird. Breitstreifen-Laser. In einem Breitstreifen-Laser wird, wie der Name sagt, ein breites Dioden-Volumenzur Verstarkung genutzt. Allerdings wird dabei die Kontrolle der transversalen Feldverteilung immer schwieriger, so dat] Breitstreifen-Laser auf relativ kleine Leistungen (sub-W) begrenzt sind. 9

9 T r a p e z - L a s e r u n d M O P A . Trapez-Verst~rker werden verwendet, um Laseroszillatoren mit niedrigerer Leistung, aber hoher r~umlicher und longitudinaler Koh~renz auf hohe Leistungen zu verst~rken. Ffir dieses Konzept hat sich die Bezeichnung MOPA ffir master oscillator power amplifier eingebfirgert. Die Trapezform wird hier gew~ihlt, um optimale Verst~rkung zu erreichen, aber gleichzeitig die Leistungsdichte zur Vermeidung von Sch~den niedrig zu halten. Mit diesem Konzept werden M2-Faktoren von 1,05 bei Ausgangsleistungen von einigen wenigen Watt erreicht.

Aufgaben

373

A u f g a b e n zu K a p i t e l 9 9.1 V e r s t ~ i r k u n g i m H a l b l e i t e r - L a s e r Betrachten Sie einen GaAs-Halbleiterlaser bei T -- 0 K. Die intrinsische Ladungstr~igerkonzentration betrage n = 1,8-106 cm -3, die Rekombinations-Lebensdauer ~- = 50 ns, die Bandliicke Eg = 1,42 eV. Die effetiven Massen von Elektronen u n d LSchern betragen 0707 mel bzw. 0,5 reel. B e s t i m m e n Sie Zentralwellenliinge, Bandbreite u n d maximale Verstiirkung innerhalb der Bandbreite fiir einen Verst~irker mit der Liinge d -200 #m, Breite w = 10 #m, HShe h = 2 #m, wenn ein Strom von 1 m A durch die Sperrschicht fliei~t. 9.2 B i t - R a t e Berechnen Sie die Bit-Rate, die der Verstiirker aus der vorigen Aufgabe bewiiltigen kann. N e h m e n Sie an, dab ein individueller Audio-Kanal eine Bitrate von 64 k b i t / s benStigt. 9.3 S t r a h l p r o f i l e i n e s B r e i t s t r e i f e n - L a s e r s Ein Gaui~scher Strahl (Abschn. 2.3) mit )~ -- 850 n m hat im Fernfeld die Divergenz 0 -- ,~/lrWo. Ffir alle anderen Strahlen mit grSi~erer Divergenz kann das Strahlprofil mit d e m M2-Faktor nach G1.(9.16) oder 0 = M2,~/~Wo beschrieben werden. Fiir die schmale Richtung in der Zeichnung betrage die Halbwertsbreite des Nahfeldes, also direkt am Chip, 2w0 = d• = 0,8 #m. Die gemessene Divergenz betriigt 0• -- 20 ~ In der breiten, horizontalen Richtung gilt 2w0 -- dll -- 100 # m u n d 0meas z 10 ~ B e s t i m m e n Sie den M2-Faktor Abb. 9.31 . des Laserstrahls. (Beachten Sie, dab der Divergenzwinkel am 1/e2-Punkt deftniert ist.)

10

Sensoren f'tir Licht

Die Anwendung yon optischen Instrumenten ist ganz wesentlich davon abh~ngig, wie empfindlich sich Licht mit Hilfe geeigneter Empf~nger nachweisen laflt. Dabei sind wir vom menschlichen Auge, das - bei allen Schw~chen seiner Abbildungsoptik - ein enorm empfindlicher und vielseitiger Empf~nger ist, durchaus verwShnt. Am Beginn der historischen Entwicklung finden wir vor allem lichtempfindliche Platten. Photographische Emulsionen, in denen das Licht eine bleibende chemische Ver~inderung hervorruft, sind in mehr als einem Jahrhundert intensiver Arbeit zu grofier Empfindlichkeit, hoher AuflSsung und vielfiiltigsten AnwendungsmSglichkeiten entwickelt worden.

Wenn allerdings in einem physikalischen Experiment oder in einer technischen Anwendung die Intensit~it eines Lichtstrahls registriert und ausgewertet werden muff, dann haben FestkSrper- und darunter insbesondere Halbleiterdetektoren dem Film schon seit langem den Rang abgelaufen. Sie liefern ein elektrisches Signal, das nicht nur ohne eine langsame chemische Prozei]reihe gespeichert und aufgezeichnet werden kann, sondern im allgemeinen auch fiber Vorteile zum Beispiel bei der Linearit~it verffigt. Bis vor kurzem waren Filme aber unschlagbar, wenn es darum ging, kontrastreiche Bilder hoher AuflSsung anzufertigen. Mit der kulturtragenden Entwicklung der Halbleitertechnologie und der MSglichkeit, immer grSfiere (elektronische) DatenstrSme immer schneller zu verarbeiten, get,it aber auch dieser Anwendungsbereich in Gefahr, durch optoelektronische Komponenten ersetzt zu werden. Wir werden darfiber im Abschnitt fiber Bildsensoren berichten. Optische Sensoren bestehen i. Allg. aus physikalischen Materialien, die wir nach der Wirkung des einfallenden Lichtstrahls grob in zwei Klassen einteilen kSnnen: 9 T h e r m i s c h e D e t e k t o r e n . Ideale thermische Detektoren sind schwarz, das heifit, sie absorbieren alles einfallende Licht. Der Energiestrom des einfallenden Lichtes ffihrt zu einer TemperaturerhShung gegenfiber der Umgebung, die gemessen und in ein elektrisches Signal umgeformt wird. Zu den thermischen

376

10 Sensorenfiir Licht

Detektoren gehSren Thermos~iulen, Bolometer und pyroelektrische Detektoren. Die St~irken der thermischen Detektoren sind ihre breite spektrale Empfindlichkeit und ihr robuster Aufbau, ihr wichtigster Nachteil die langsame Anstiegszeit. In einem Quanten-Detektor wird durch den inneren oder ~iu~eren Photoeffekt ein Lichtstrahl in einen Elektronenstrom umgewandelt und direkt gemessen. Das suggestive, h~iufig verwendete Bild, nach welchem in einer Photodiode Photonen einfach in Elektronen konvertiert und dann gez~ihlt werden, ist mit Vorsicht zu geniefien. Allerdings iibersteigt eine strengere theoretische Beschreibung des Photonen-Z~ihlens den Rahmen dieses Textes [135, 118]. Zu den Quantendetektoren z~ihlen einerseits die Photomultiplier, andererseits Photoleiter und Photodioden. Die historische Entwicklung v o n d e r R5hrenzur Halbleiter-Technologie Nifit sich auch an diesen Komponenten verfolgen. Wie schon der Name impliziert, kSnnen mit Quantendetektoren einzelne Photonen registriert werden. Ihre Anstiegzeit betr~igt selten mehr als 1 #s, aber sie mfissen h~iufig gekiihlt werden und unterliegen st~irkeren spektralen Beschr~i~kungen als thermische Detektoren. Prinzipiell gehSren auch die Emulsionen photographischer Filme zu den Quantensensoren, weil jeweils ein Photon benStigt wird, um ein AgBr-Molekiil zu reduzieren und dadurch eine Schw~rzung zu verursachen. 9 Quanten-Sensoren.

Wenn ein Anwender vor der Auswahl eines optischen Sensors steht, dann interessiert er sich vom physikalischen Standpunkt zum Beispiel dafiir, ob der Detektor eine hinreichende Empfindlichkeit und genfigend kurze Anstiegzeit besitzt, um die gewfinschte MefigrSfle zu registrieren. Man erfiihrt diese Eigenschaften aus den Datenbl~ittern der Hersteller. Zum Verst~indnis miissen wir aber vorher etwas welter ausholen und insbesondere fiber die Rauscheigenschaften von Detektorsignalen sprechen.

10.1

KenngrSflen optischer Detektoren

10.1.1 Empfindlichkeit In einem optischen Sensor werden Lichtstr5me in elektrische Signal-Spannungen Vv(t) oder-Str5me V/(t) umgewandelt. Dabei gibt die ,,Empfindlichkeit" T~ (engl. responsivity) die pauschale Antwort des Detektors auf die einfallende Lichtleistung PL an, ohne Details wie Wellenl~inge, Absorptionswahrscheinlich-

10.1 KenngrSSen optischer Detektoren

377

keit, Beschaltung o.ii. zu berficksichtigen: Empfindlichkeit 7 4 -

(Vu, VI) PL

(10.1)

Die physikalische Dimension der Empfindlichkeit wird iiblicherweise in [V/W] (vor allem bei thermischen Detektoren) oder [A/W] angegeben.

10.1.2 Quanteneflizienz In einem Quantendetektor werden Photonen in Elektronen konvertiert. Die Elektronen werden so verstiirkt, daft man einzelne elektrische Impulse registrieren und z~i~hlenkann. Die Rate der Photonen rph, die auf der Detektorfliiche A ankommen, kann man nach rph---- ~1 / A

dxdyI(x,y)

(10.2)

leicht bestimmen. Wenn alle Strahlungsleistung absorbiert wird, dann gilt nach Gh(10.2) rpH = PL/hl]. In einem idealen Quantendetektor sollte die Rate der Elektronen rel gleich der Rate der Photonen sein, rel -- rpn, der Photostrom also I -- erph betragen. Nicht jedes einfallende Photon 15st aber ein Elektron aus, well die Absorptionswahrscheinlichkeit kleiner ist als eins oder weil andere Prozesse mit dem Photoeffekt konkurrieren. Die Wahrscheinlichkeit, mit der pro einfallendem Photon ein Ziihlereignis registriert wird, bezeichnet man als

Quanteneffizienz ~?= rel/rpn. Nach Gl.(10.1) kann man die Empfindlichkeit mit diesen elementaren Gr5$en ausdriicken: 7 4 _ Tel e e (10.3) r p h hy - ~?h--~ Eine praktische Faustregel erhiilt man, wenn man statt der Frequenz die Wellenliinge A = c/v in # m verwendet: Dann gilt

74=7 All#m]

(gemessen in [A/W])

woraus man bei bekannter Empfindlichkeit die Quanteneffizienz bestimmen

kann.

10.1.3 Signal-Rausch-Verh~ilt his Eine MefigrSfle kann man erst dann erkennen, wenn sie ,,aus dem Rauschen herauskommt", das heifit, wenn sie gr6fier ist als das Eigenrauschen des De-

378

10 Sensorenfiir Licht

tektors. Formal hat man dazu den Begriff des ,,Signal-Rausch-Verhiiltnisses" eingefiihrt (Kurzform SNR von engl. signal to noise ratio).

SNR = Signalleistung Rauschleistung Hierbei verwenden wit einen verallgemeinerten Leistungsbegriff Pv (f) fiir eine beliebige physikalische Gr5flen V(t) = P(f)cos27rft. Die mittlere Leistung betriigt

79v(f) = l v z ( f )

(10.4)

Die physikalische Dimension dieser Leistungen betriigt A 2, V 2, ..., je nach der GrundgrSfie. Eine fluktuierende GrSfie wie Rauschstrom oder -spannung wird aber nicht durch eine Amplitude bei einer Frequenz, sondern durch Beitriige bei vielen Frequenzen, in der gesamten Bandbreite A f des Detektors, bestimmt. Die mittlere Leistung in einem Frequenzintervall 6f kann man mit einem Filter dieser Bandbreite und der Mittenfrequenz f messen. Wir definieren deshalb die Leistungsdichte

v 2 ( f ) - ~V2(f)

,

,f also z.B. i2(f) in A2/Hz ftir das Strom-, e2(f) in V2/Hz fiir das Spannungsrauschen. Weil die einzelnen Beitr~tge unkorreliert sind, lcann man die Quadratsumme der Leistungsanteile in kleinen Frequenzintervallen zum Mittelwert der Rauschleistung zusammenfassen (s. Anhang A.1):

Pw =

fa v (f)df

(10.5)

Wenn das Rauschen in der Bandbreite A f konstant ist, vereinfacht sich der Wert der Rauschleistung zu Pv -- v2Af. Zum Beispiel betriigt der rms-Wert des Rauschstromes I ~ = v/~z einer Photodioden-Verstiirker-Kombination 92 der konstante Wert des Stromrauschspektrums ist. I ~ = (i~A f) 1/2, wenn ,,, H~iufig wird statt der Rausehleistung die unphysikalisehe Rauschamplitude angegeben, Rauschalilplitude = (Rauschleistungsdichte) l/2

,

die dann in A/v/-H-~ oder V/vZH-~ angegeben wird. Ganz allgemein kann man den Rauschanteil verringern, indem man die Bandbreite des Detektors einschriinkt. Dieser Vorteil wird aber auf Kosten der Dynamik erl~uft, schnellere Signalvariationen werden nicht mehr registriert.

10.1 Kenngr6t3enoptischer Detektoren 10.1.4

379

Rausch-.~quivalente Leistung (NEP)

Die Rausch-J~quivalente Leistung NEP (von engl. noise equivalent power) ist diejenige Strahlungsleistung, welche ben6tigt wird, um genau der Rauschleistung am Detektor zu entsprechen oder urn ein Signal-Rausch-Verh~iltnis von genau eins zu erreichen. Je geringer man die Bandbreite eines Detektors auslegt, desto geringer ist auch die minimal detektierbare Leistung; allerdings wieder auf Kosten der Bandbreite. Die minimal nachweisbare Strahlungsleistung wird deshalb auf 1 Hz Bandbreite bezogen und ebenfalls mit der unphysikalischen Rauschamplitudendichte angegeben,

NEP = (Rauschleistungsdichte ) l /2 Emp f indlichkeit Ihre physikalischeEinheit lautet [W/v/-H-z].Der Herstellereines Detektors gibt sie gerne im spektralen Maximum der Empfind]ichkeitan; man muff aber berficksichtigen, dab der Wert sowohl yon der optischen Wellen]~inge A als auch yon der e]ektrischenSignalfrequenzf abh~ingt.

10.1.5

Detektivit~it D-Star

Der Vollst/indigkeit halber erwghnen wit den Begriff der ,,Detektivitgt" D bzw. D*, den man eingefiihrt hat, um verschiedene Detektortypen miteinander vetgleichen zu k6nnen. Zun~chst war einfach der Kehrwert der rausch-/iquivalenten Leistung, D -- NEP -1, als Detektivit/it eingefiihrt worden. Zu der mit ,,D-Star" (D*) bezeichneten Variante der ,,spezifischen" Detektivitiit gelangte man, weil die Empfindlichkeit vieler Detektoren proportional ist zur Quadratwurzel der Detektorflache A1/2: D* -

NEP

(10.6)

Der Grund dafiir ist die Begrenzung der Naehweisempfindlichkeit durch die thermische Hintergrundstrahlung insbesondere bei Infrarot-Detektoren, die umso st/irker absorbiert wird, je grSfier die F1/iche ist. Die physikalische Dimension von D-Star wird in der Einheit [em/(W/Hzl/2)] = [1 Jones] angegeben, die auch mit dem Namen des Erfinders der Detektivit~t abgekiirzt wird. D-Star ist ein Mat3 fiir das Signal-Rausch-Verh~ltnis, wenn der Detektor mit einer F1/iche vom Durchmesser 1 cm, bei einer Bandbreite von 1 Hz und mit einer Strahlungsleistung von 1 W beleuchtet wird.

380

10 Sensorenfiir Licht

10.1.6 Anstiegszeit Mit optischen Detektoren sollen hiiufig sehr schnelle Ereignisse registriert wetden, das heifit, der Detektor muff schnell auf Variationen der einfallenden Leistung reagieren. Unter der ,,Anstiegszeit" T (genau wie der ,Abfallzeit") versteht man die Zeit, in der die Strom- oder Spannungsiinderung des Detektors (1 - l/e) oder 63% des Endwertes erreicht, wenn die Lichtquelle plStzlich eingeschaltet wird. Sie hiingt vonder Bauart des Detektors ab und kann innerhalb der physikalischen Grenzen beeinflu~t werden. Thermische Detektoren sind triige und antworten mit VerzSgerungen von vielen ms; die Anstiegzeit von Halbleiterdetektoren wird im allgemeinen vonder Kapazitiit der Sperrschicht begrenzt und betriigt in besonderen Fiillen nur wenige ps. Man kann die endliche Responsezeit eines Detektors zum Beispiel beriicksichtigen, indem man der Empfindlichkeit aus Gl.(10.3) die Zeit- bzw. Frequenzabhiingigkeit zuschreibt,

n(0) z 4 ( f ) - 1 + (2 fT) 2 Der Ladungsimpuls eines Photomultipliers kann ebenfalls kiirzer sein als lns, hier muff aber die langere Laufzeit durch die Dynoden-Anordnung beriicksichtigt werden. Laufzeiten in Kabelverbindungen miissen auch in Anwendungen der Regeltechnik beriicksichtigt werden, denn sie begrenzen deren Bandbreite.

10.1.7 Linearit~it und dynamischer Bereich Ein linearer Zusammenhang von Eingangsleistung und Ausgangsspannung oder -strom liefert die besten Voraussetzungen fiir eine kritische Analyse der Mefigr6fie. Es gibt aber stets eine obere Grenze - allein schon durch die starke Temperaturbelastung bei hoher Liehtleistung -, bei der Abweiehungen yon der Linearitiit zu beobachten sind. Die untere Grenze ist meistens durch die Rausch-Aquivalent-Leistung gegeben. Man kann ein quantitatives Marl fiir den dynamischen Bereieh angeben nach Dynamischer Bereich =

Siittigungsleistung

NEP

Der dynamische Bereich (engl. dynamic range) zwischen diesen Grenzen kann zum Beispiel fiir Photodioden eindrucksvolle sechs GrSfienordnungen und mehr betragen.

10.2 SchwankungenoptoelektrischerMeggr6gen

381

10.2 Schwankungen optoelektrischer Meflgriiflen Wir wollen in diesem Abschnitt die physikalisch unterschiedlichen Beitr/ige sammeln, die zum elektrischen Rauschen eines optoelektronisch erzeugten Met3signals beitragen. Auger den Anteilen der Empf/inger-Verst/~rker-Kombination wie Dunkel- und Verst~rkerrauschen zahlt dazu vor allem das Photonenrauschen der Lichtquelle.

10.2.1

Dvnbelrauschen

Ein Detektor erzeugt aueh dann schon ein schwankendes Signal V~(t), wenn iiberhaupt noch kein Lichtsignal einf~llt. Dabei wird die Nachweisempfindlichkeit nicht durch den Mittelwert des Untergrundes verringert - er kann einfach subtrahiert werden -, sondern durch dessen Fluktuationen. In einem thermischen Detektor verursachen spontane Temperaturfluktuationen das Dunkelrauschen, in einem Quantendetektor sind daffir im allgemeinen spontan, das heit3t durch thermionische Emission erzeugte Ladungstr/iger verantwortlich. Im einfachsten Fall betr/igt die Rauschleistungsdichte des Dunkelstroms In nach der Schottkyformel (Gl.(A.13), im Anhang) i 2 = 2eln. Eine bew~hrte, manchmal aber auch aufwendige Methode zur Reduktion des Dunkelrauschens ist die Kfihlung des Detektors.

10.2.2

Intrinsisches Verstfirkungsrauschen

Photomultiplier und Lawinenphotodioden (APDs) verfiigen fiber einen internen Verst~rkungsmechanismus, bei dem die Ladung eines Photoelektrons um viele GrSt3enordnungen vermehrt wird. Der Verst/irkungsfaktor G i s t aber Schwankungen unterworfen, die ebenfalls zum Rauschen beitragen. Der excessnoise-Faktor F~ wird nach F 2 -- (G2) -- 1 + a__~_~

(10.7)

berechnet und kann auch mit der Varianz der Verst~rkung, a~, ausgedrfickt werden. Er wirkt auf Dunkel- und Photostrom in ununterscheidbarer Weise.

10.2.3

Meflverst ~irker-Rauschen

Je nach Bauart wirkt ein Detektor als Spannungs- oder Stromquelle, die durch ihren Innenwiderstand Rs charakterisiert wird. Am Eingang eines idealisierten Met3verst/irkers finden wir die Spannungsrauschamplitude ei, die sich aus den

382

10 Sensoren fiir Licht

unkorrelierten Beitriigen des Detektors, e~, und den Beitriigen von Strom- und Spannungsrauschen des Verstiirkers (i 2 bzw. e2) zusammensetzt: e i2 = e 2 + e n2+ ~ , ,.2R 2s

Abb. 10.1 Rauschenquellen eines idealisierten Verstiirkers.

e2s

Die Rauschspannung am Ausgang des Verstiirkers betriigt dann e = Ave~. Die Rauschamplitude des Detektors setzt sich zusammen aus dem Beitrag des Dunkelstroms, des Parallelwiderstandes yon Detektor und Verstiirkereingang und des Photonenstromes i2h,

2 .2 4kT) = RS(ZPh § i2 § Rs

Der letzte Beitrag berficksichtigt das thermische oder Johnson-Rauschen des Detektorwiderstandes. Um in den wiinschenswerten Bereich zu gelangen, in dem das Rauschen von der Signalquelle selbst dominiert wird, muff man also 4kT

e n2

.2

(10.s)

fordern. In praktischen Anwendungen muff man beriicksichtigen, daft alle vorgenannten Gr6fien frequenzabhiingig sind. Falls mSglich, kann man auch die Frequenz des Signals so wiihlen, daft ein niedriger Rauschuntergrund erreicht wird. Das ist im allgemeinen erst bei hSheren Frequenzen der Fall, weil alle Bauelemente bei niedrigen Frequenzen unAbb. 10.2 Spektrale Eigenschaften des Verst~irkerrau- terhalb einer bestimmten Eckschens, schematisch, frequenz fc das sogenannte 1/foder Funkelrauschen zeigen, das ungefiihr mit 1 / f zu kleinen Frequenzen hin ansteigt. Der typische spektrale Verlauf des Verstiirkerrauschens ist in Abb. 10.2 vorgestellt.

10.3 Photonenrauschen und Nachweisgrenzen

10.3

383

Photonenrauschen und Nachweisgrenzen

Durch die Konversion von Licht in Photoelektronen entsteht in einem optoelektrischen Mefkreis gewissermafen eine Kopie des Photonenstromes, und es liegt nahe, daft man im Strom der Photoelektronen auch dessen Fluktuationen wiederfindet. Nun benStigt man aber fiir die strenge Beschreibung der Vorg/inge bei der Umwandlung von Licht in Photoelektronen eine Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes, die Quantenelektrodynamik, die keinen sehr intuitiven Zugang bietet. Wir werden hier stattdessen die Annahme machen, daft die Wahrscheinlichkeit, ein Z/ihlereignis in einem kurzen Zeitintervall zu beobachten, unter Beriicksichtigung der Ankunftsrate der Photonen (10.2) und der Quanteneffizienz proportional ist zu At: p(1, At) -- ~rph(t)At

(10.9)

Ferner nehmen wit an, daf bei hinreichend kleinen At keine Doppelereignisse auftreten, und daft die Wahrscheinlichkeiten in aufeinanderfolgenden Zeitintervallen statistisch unabh/ingig sind. Die letzte Annahme ist gleichbedeutend damit, daf der Photoemissionsprozef im Detektor keine Nachwirkung besitzt; das ist aber bei hoher Ladungstr~igerdichte nicht unbedingt mehr der Fall, weil sich die Ladungen durch Coulombkr~ifte gegenseitig abstofen. Die so formulierten Bedingungen ftihren zu einer Poisson-Statistik der Z~ihlereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, K Ereignisse in einem beliebigen Zeitintervall ~- zu finden betr~igt --K

p

(K) = p ( K , t , t + 7) =

_

_

_-K

Der Mittelwert K~ lautet nach Gl.(10.3) K~ = 7/rph~-

(10.10)

Die zufiillige Umwandlung der Photonen in Photoelektronen ftihrt zu Schwankungen des Photoelektronenstroms. Dariiberhinaus kann aber auch die Lichtintensit~it PL(t)/A variieren. Wenn das auf deterministische Weise, das heift vorhersagbar, geschieht, k5nnen wir die im Intervall 7- integrierte Leistung W~ definieren,

W~(t) = f t-~-TPL(t')dt' Jt und erhalten mit der Abkiirzung a = 77/hw die Wahrscheinlichkeitsverteilung

p ~ ( K ) - (aW~-)Ke-aWT K!

(10.11)

384

10 Sensorenfiir Licht

In der Photoelektronenstatistik spiegeln sich die Eigenschaften der Lichtquelle wieder, deshalb wollen wir das Lichtfeld eines Lasers und einer thermischen Lichtquelle als wichtige Beispiel betrachten.

10.3.1

Photonenstatistik im k o h ~ e n t e n Lichtfeld

Die mittlere Leistung eines Lasers ist konstant, deshalb ist auch die Ankunftsrate der Photonen rph konstant, und wir k6nnen den Mittelwert direkt aus Gl.(10.10) fibernehmen. Die statistische Verteilung wird durch die Streuung oder Varianz a 2 = (K 2 - K2T) eharakterisiert, die den ffir die Poissonstatistik bekannten Wert a g2r

~

K,

(10.12)

besitzt. Danach ist auch klar, daft die relative Schwankung mit steigender Ereigniszahl abnimmt, O'Kr

-

1

K.,- V/~_

(lo.13)

und flit grofle K~ sehr klein wird. Das Rauschen, das durch die kSrnige Teilchenstruktur des Stroms hervorgerufen wird, nennt man auch ,,Schrotrauschen" (engl. shot noise). Es tritt sehr lautstark auch in dem h6rbaren Trommeln auf, das Regentropfen beim Aufprall auf ein Blechdach erzeugen. Wit erwarten ffir den Photoelektronenstrom eine zufiillige Folge von Ladungsimpulsen. Das Spektrum des Stromrauschens ist frequenzunabh~ingig und kann direkt aus der Schottkyformel (GI.(A.13), im Anhang) gewonnen werden, 92 = 2eXph ~coh

(10.14)

Dieser Rauschstrom berficksichtigt auch den Rauschbeitrag, der bei der zufiilligen Umwandlung eines Photons in ein Photoelektron entsteht, wenn die Quanteneffizienz kleiner als 100% ist. Wir kSnnen die Schottkyformel auch interpretieren, indem wir den rms-Wert der Z~ihlstatistik a~:~ im Zeitintervall ~- mit der Streuung der Ladungstr~gerzahl identifizieren, a~:~ = ~lf2 . ~ /_2 , die wieder auf das Ergebnis aus Gl.(10.14) ffihrt. (Der Faktor 1/2 tritt auf, weil in die spektrale Leistungsdichte nur fiir positive Fourierfrequenzen bestimmt wird, s. Anhang A.1.) Das koh~irente Lichtfeld erzeugt den Photostrom mit dem kleinsten mSgliehen Rauschanteil und kommt damit unserer Vorstellung von einer klassisehen Welle mit konstanter Amplitude und Frequenz besonders nahe. Wir mSgen das Rauschen als eine Folge der ,,K6rnigkeit" des Photostroms bzw. von dessen

10.3 Photonenrauschen und Nachweisgrenzen

385

Poisson-Statistik interpretieren. Wir mfissen uns aber dariiber im Klaren sein, dab wir dieses Ergebnis hier nicht erkliirt, sondern schon hineingesteckt haben.

10.3.2

Photonenstatistik

im thermischen Lichtfeld

Ein thermisches Lichtfeld erzeugt ebenfalls einen mittleren Photostrom; die Intensitiit ist abet nicht wie in einem kohiirenten Laserstrahl konstant, sondern starken, zuffilligen Schwankungen unterworfen. Wir kSnnen deshalb auch fiir die integrierte Leistung W~ nur Wahrscheinlichkeiten p~-,w(W.~) angeben mit f dWTpw~(WT) = 1. Die zusiitzliche Schwankung der Amplitude schliigt sich in Mandels Formel nieder, die formal einer Poisson-Transformation der Wahrscheinlichkeitsdichte PwT (vgl. G1. (10.11)) gleicht:

p(K)

~e

p~-,w(WT)dW~-

(10.15)

Diese Verteilung hat sozusagen doppelte Poisson-Form. Man kann zeigen, da6 der Mittelwert der Ziihlereignisse wie bisher K r -- oLWr betriigt und die Varianz o-2 = ~ - + a2o"2 K~W~-

(10.16)

Die Varianz eines schwankenden Feldes wie zum Beispie] der SchwarzkSrperstrahlung (s. Exkurs S. 245) ist also gr56er als diejenige eines koh~renten Feldes. Wir kSnnen den Zusammenhang (10.16) deuten: Der erste Term wird verursaeht durch die zufiillige Umwandlung yon Photonen in Photolektronen und ist eine mikroskopische, nicht zu beseitigende Eigenschaft der Licht-MaterieWechselwirkung. Der zweite Beitrag repr~entiert die Schwankungen des registrierten Lichtfeldes und tritt auch ohne die Zufallsprozesse bei der Erzeugung yon Photoelektronen auf. Die Berechnung yon a 2 in Gl.(10.16) ist ein keineswegs triviales Problem. Wir betrachten den Fall extrem kurzer und sehr langer Integrationsintervalle T. Ein thermisches Lichtfeld wird von zufiilligen Amplitudenschwankungen charakterisiert. Bei sehr kurzen Zeitintervallen, kfirzer n~nlich als der sehr kurzen restlichen Koh~renzzeit % der Lichtquelle, die ca. 1 ps betriigt, kSnnen wir allerdings eine konstante Intensit~t annehmen, so da6 W~ -- PLT. Die Intensitiit ist aber selbst zufiillig verteilt und gehorcht daher einer negativen exponentiellen Verteilung,

386

10 Sensorenfiir Licht

Wenn man die Integration nach G1.(10.15) ausfiihrt, erh~ilt man die Verteilung der Bose-Einstein-Statistik K

;,(K)- 1 H---KT(1

(i0.17)

Die Varianz dieses Feldes betr~igt =

+ KT

,

und kann wie schon G1.(10.16) gedeutet werden. Die relative Streuung bleibt stets in der N~Lhe yon 1:

~K K~

Kr 1 + K~

Die Verteilung aus G].(10.17) ist ffir ein Lichtfeld besser bekannt, wenn man K durch n ersetzt und KT durch die mittlere thermische Photonenzahl,

1 ~Ph ---- e h v / k T _ 1

(i0.18)

Nun ist abet die Koh~renzzeit einer thermischen Lichtquelle so kurz, dai~ Detektoren mit entsprechend kurzen Ansprech- und Integrationszeiten kaum existieren. Der wichtigere Grenzfall des thermischen Lichtfeldes tritt deshalb bei Integrationszeiten 7- >> % auf. Man kann in diesem Fall zeigen [118], daft ffir die Streuung aK n~iherungsweise gilt

0-~< = K~- -_(i

+

~Tc)

(10.19)

Ffir die allermeisten F~ille gilt daher auch im thermischen Lichtfeld a 2 -~ K r , so daft diese Rauscheigenschaften keinen Aufschlufi fiber die Eigenschaften des Lichtfeldes geben kSnnen! Der zweite Term in Gl.(10.19) l~ifit sich deuten als die Anzahl der Photonen, die w~ihrend eines Kohiirenzintervalls den Detektor erreichen. Erst wenn diese Anzahl grSfier wird als 1, ist eine signifikante ErhShung der Schwankungen zu erwarten. Die Umgebungsstrahlung einer Lichtquelle entspricht meistens dem Spektrum der SchwarzkSrperstrahlung bei 300K, dessen Maximum bei der Wellenl~inge von 10#m liegt und zum sichtbaren Spektralbereich hin schnell abfiillt. Es l~ii~t sich nicht vermeiden, dat3 mindestens ein Teil dieser Strahlung auch auf den Detektor gelangt. Insbesondere bei Infrarot-Detektoren wird die Empfindlichkeit im allgemeinen durch die Hintergrundstrahlung begrenzt. Auch im Bereich thermischer Strahlung gilt noch, daft die Koh~irenzzeit sehr kurz ist, so daft die Varianz des Photoelektronenrauschens der thermischen Strahlung nach G1. (10.19) berechnet werden kann.

10.3 Photonenrauschen und Nachweisgrenzen

387

Um die Emissionsrate der Photoelektronen re1 zu ermitteln, miissen wir die mittlere Photonenzahl ~eh aus Gl.(10.18) mit der Dichte der Oszillatormoden p(v) = 8~rv2/c a bei der Frequenz v multiplizieren, fiber die Detektorfl~che A integrieren, die Quanteneffizienz ~(v) und aut3erdem den Strahlungsflut3 aus dem halben Raumwinkel 27r berficksichtigen, tel

:

A

dv~(v) 21rv2 C3

1 e hv/kT -- 1

Das Spektrum der LadungstrEgerfluktuationen ist proportional zur Varianz der Ankunftsrate, die wir nun nach Gl.(10.19) berechnen kSnnen; wie beim koh~renten Lichtfeld erhalten wir ein weiBes Schrotrauschspektrum. Weil die Photoemission unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz vg bzw. Grenzwellenl~inge Ag = c/vg verschwindet, kann man das Rauschspektrum ffir einen Detektor mit der Bandlficke Eg = hvg nach 29 Zn ----

2e2rel ----

2e2A L: o dv~(v) 27ru2 C2

1 e hv/kT-

1

berechnen. Wenn wir noch annehmen, daft die Quanteneffizienz fiberall den Maximalwert T/(v) = 1 annimmt, dann erhalten wir nach Gl.(10.6) die maximale spezifische Detektivit~t D*(Ag, T) eines idealen BLIP-Detektors (engl. background limited photodetector), die v o n d e r Umgebungstemperatur T und der Grenzwellenl/inge Aa abh/~ngt,

D*(~g,T)=hc

2 /~

c2 eh~'/kT-1

Sie erreieht ein Minimum bei )~ = 14 #m. Ffir grot3e Wellenl~ngen muB D* linear ansteigen, weil die thermisehe Strahlungsleistung sieh nieht mehr ~ndert.

Abb. 10.3 Spezifische Detektivitiit fiir einige wichtige Halbleiter-Detektoren.

388

10 Sensoren fiir Licht

10.3.3 Schrotrauschlimit und .Square Law"-Detektoren Nach Gl.(10.14) ist das Photonenrauschen beim Nachweis eines koh~irenten Laserstrahls im giinstigsten Fall, der vor allem mit Photodioden realisiert wird, proportional zu PL. Wenn man die Leistung nach PL > hy 1 -

2e-[D+

4kT

en + -- + i

= - - r , h

(10.20)

geniigend grot3 w~hlt, dann dominiert das Photonenrauschen des Lichtstrahls alle anderen, leistungsunabh~ingigen Beitrage in G1. (10.8). In diesem Fall spricht man vom ,,Schrotrausch-limitierten" Nachweis. Man kann den Klammerausdruck iibrigens als die Rate rth interpretieren, mit der die Detektor-Verst~irkerkombination zuf~illig Ladungstr~iger erzeugt. Falls die minimale iiberhaupt nachweisbare Lichtleistung die gleiche Anzahl Ladungstr~iger erzeugen soll (SNR ~ 1), betr~igt sie in einer Bandbreite A f

und man erkennt, dab bei hinreiehend langer Integrationszeit (oder entspreehend geringer Bandbreite) im Prinzip beliebig kleine Leistungen registriert werden kSnnen. In der Praxis wird diese MSgliehkeit aber dureh die Dynamik des Signals und langsames Drif-I;en der Detektor-Verst/irker-Eigensehaf-ten zuniehte gemaeht. Quantendetektoren werden aueh als ,, Square-Law"-Detektoren bezeiehnet, well die Ausl6sewahrseheinliehkeit eines Photoelektrons proportional ist zum Betragsquadrat der Feldst/irke IE(t)l 2 -- 2PL(t)/ceoA des Strahlungsfeldes, das die Detektorfl/iehe A beleuehtet. Dies ist insbesondere dann yon Bedeutung, wenn man den sogenannten/,)berlagerungsempfang anwenden will. Dabei wird das Feld eines Lokaloszillators ELOe-i~~ (s. Kap. 7.1.7) mit einem phasenstarr gekoppelten Signalfeld Ese i(~+ws)t auf dem Empf/inger iiberlagert. Im allgemeinen w/ihlt man PLO >> Ps. Der Photostrom wird dann eine zeitliehe Variation Iph --~ ~

PLO + 2

cos wst

)

erfahren. Wenn LO- und Signalfeld mit derselben Frequenz w oszillieren, spricht man vom ,Homodyn"-Empfang, sonst (ws ~ 0) vom ,,Heterodyn"-Empfang. Bei der Uberlagerung optischer Felder auf einem square-law-Detektor entstehen Produkte bei Differenzfrequenzen, er wirkt also als optischer Mischer. Der Nachweis eines Signals bei einer h5heren Frequenz ist gew5hnlich vorteilhaft, weil er bei geringerer Rauschleistungsdichte stattfindet (Abb. 10.2). Wenn man die LO-Leistung steigert, bis dessen Schrotrauschdichte i2o ---2e2~?PLo/ h~ (G1. (10.14)) alle anderen Beitrage dominiert, hangt auch die mini-

10.4 Thermische Detektoren

389

male Signalleistung, die man nachweisen kann, nicht mehr von den thermischen Rauscheigenschaften des Detektors ab. Es gilt Is -- 2e~?x,/PminPLO/h~und die minimale Leistung I~ rout3 gr5t3er sein als die Rauschleistung i~oA f in der Mefibandbreite A f, groin - -

h~,Af

Innerhalb der zeitlichen AuflSsung A f -1 des Detektors rout3 das Signallicht also wenigstens ein Photoelektron erzeugen, um den Nachweis zu erm5glichen.

10.4

Thermische Detektoren

Thermische Detektoren bestehen aus einero Temperaturffihler, der mit einem Absorbermaterial beschichtet ist, z.B. den aus der Lichttechnik bekannten Metalloxiden. 0 b e r weite Wellenlangenbereiche besitzen sie sehr ,,flache" spektrale Abh~ngigkeiten und sind daher ffir Kalibrierzwecke sehr begehrt. Um eine grot3e Empfindlichkeit, d.h. grot3e Temperaturerh5hung A T zu erreichen, sollte der Sensor sowohl eine kleine W~rmekapazit~t K als auch eine kleine W~meverlustrate V an die Umgebung besitzen, die dutch die W~rmeleitung der Konstruktion, Konvektion und Strahlungsaustausch verursacht wird. Die Temperatur~nderung des Ffihlers gehorcht der Differentialgleichung d PL V AT-- ~ T AT

Abb. 10.4 ThermischeDetektoren.

(lo.21)

an der man gleich erkennt, daft ein thermischer Detektor die einfallende Lichtleistung ffir kleine Zeiten integriert. Im Gleichgewicht betr~igt die erzielte Temperaturerh6hung A T ----PL/V, aus der man die Empfindlichkeit Rth mit dem Spannungs-Temperatur-Koeffizienten des Thermofiihlers CTU, P~th--

V

390

10 Sensoren ffir Licht

ermittelt. Es sind aber Kompromisse notwendig, denn die Anstiegszeit wird nach G1. (10.21) durch den Koeffizienten T ----K / V bestimmt und steigt mit sinkender W~irmeverlustrate V. Die minimal detektierbare Leistung eines thermischen Detektors wird im Idealfall durch unvermeidbare, spontane Temperaturfluktuationen verursacht, deren spektrale Leistungsdichte t 2 = 4kBT2V/(V2+ ( 2 n K f ) 2) die theoretische Empfindlichkeitsgrenze bestimmt (kB: BoltzmannKonstante). Fiir Signalfrequenzen f weit unterhalb der Detektorbandbreite A f = 1/27r7 kann man die idealisierte Rausch-Aquivalenz-Leistung angeben:

NEPth = T 2~B V Offensichtlich lohnt es sich, die Umgebungstemperatur zu senken - eine Methode, die besonders bei Bolometer-Empf~ngern verwendet wird.

10.4.1

Thermosiiulen

Die Lichtenergie wird von einem diinnen, geschw~irzten Absorberpl~ittchen absorbiert, das in engem thermischen Kontakt mit einer Diinnschicht-S~iule von Thermoelementen steht, die zum Beispiel aus Kupfer-Konstantan bestehen. Weil die Spannungsdifferenz eines einzelnen Elements nut sehr klein ist, werden einige 10 - 100 von ihnen hintereinandergeschaltet, wobei die ,,heiBen" Enden die Strahlung empfangen und die ,,kalten" Enden auf Umgebungstemperatur gehalten werden. Die Spannung der Thermos~iule ist proportional zur TemperaturerhShung und damit der Leistungsaufnahme des Absorbers. Thermos~iulen werden in der Optik in erster Linie verwendet, um die Intensit,it intensiver Lichtquellen, vor allem Laserstrahlung, zu bestimmen. Sie sind wegen ihres integrierenden Charakters auch geeignet, die mittlere Leistung gepulster Lichtquellen zu bestimmen.

10.4.2

Bolometer

Die TemperaturerhShung durch Bestrahlung kann auch mittels eines Widerstandes mit groi~em Temperaturkoeffizienten gemessen werden und wird dann als Bolometer bezeichnet. Besonders bieten sich fiir diese Anwendung Halbleiter-Widerst~inde an, die als Thermistoren bezeichnet werden. Bolometer werden vorzugsweise in einer Brfickenschaltung eingesetzt. Nur einer yon zwei identischen Thermistoren in derselben Umgebung wird der Bestrahlung ausgesetzt, so da6 Schwankungen der Umgebungstemperatur bereits kompensiert werden. Sehr gro6er Empfindlichkeit erreichen Bolometer bei tiefen Temperaturen, wenn die W~irmekapazit~it des Thermistors sehr klein ist.

10.5 QuantensensorenI: Photomultiplier

391

10.4.3 Pyroelektrische Detektoren In pyroelektrischen Sensoren wird ein Kristall verwendet, dessen elektrische Polarit~it temperaturabh~tngig ist, zum Beispiel LiTa03. Der Kristall wird in einen Kondensator eingebaut, und bei einer Temperatur~inderung wird auf den metallisierten Endfl~ichen eine Ladung induziert, die einen Strom verursacht. Die Empfindlichkeit betr~igt fiir einen Kristall mit pyroelektrischem Koeffizienten p, W~irmekapazit~it K und Abstand d zwischen Kondensatorelektroden

n=p/Kd

(10.22)

Der pyroelektrische Detektor registriert nur .&nderungen der einfallenden Lichtleistung. Seine Empfindlichkeit wird nach G1.(10.22) dutch die Diinnschichttechnik sehr gefSrdert. Daher betr~igt die Dicke des Kristalls nur wenige 10 #m, wodurch auch sehr schnelle Anstiegszeiten von wenigen ns erreicht werden. Die breite spektrale Anwendbarkeit dieser thermischen Detektoren wird durch Verwendung eines geeigneten Absorbers erhalten. Pyroelektrische Detektoren sind preiswert und robust und werden h~iufig verwendet, zum Beispiel beim Bau von Bewegungsmeldern.

10.4.4 Die Golay-Zelle Ein ungewShnlicherer thermischer Detektor ist der nach seinem Konstrukteur Golay-Zellegenannte Strahlungssensor, der aber wegen seiner grofien Empfindlichkeit h~iufige Anwendung findet. Die TemperaturerhShung durch Lichtabsorption verursacht einen Druckanstieg in einem kleinen, mit Xenon geffillten Beh~ilter. Der Beh~ilter ist auf der anderen Seite mit einer Membran abgeschlossen, die sich durch den Druckanstieg aufwSlbt. Die geringe mechanische Bewegung kann mit Hilfe einer ,,Katzenaugentechnik" sehr empfindlich ausgelesen werden.

10.5

Quantensensoren I: Photomultiplier

Es ist vielleicht doch iiberraschend, daft A. Einstein im Jahr 1921 den Nobelpreis ffir die Erkl~rung des Photoeifekts in seinem ,,Wunderjahr" erhielt und nicht ffir einen seiner zahlreichen anderen wissenschaftlichen Triumphe. Er benutzte die Plancksche Hypothese, daft die Lichtenergie nur in ,,Lichtquanten" der GrSfie Ephoton ----hy absorbiert werden kSnne, nicht nur, sondern erweiterte sie, indem er die Quantennatur auch dem Licht selbst zuschrieb. Nach

392

10 Sensoren ffir Licht

Einsteins einfachem Konzept betr~gt die maximale kinetische Energie Ema~ eines Elektrons, das aus der Oberfl~che eines Materials mit der Austrittsarbeit W emittiert wird, E,~ax = h~

-

W

(10.23)

Im allgemeinen erreichen allerdings nut wenige emittierte Elektronen die Maximalenergie Em~. Entscheidend ist die Beobachtung, daft der Photoeffekt bei Frequenzen v _< W / h vollstiindig verschwindet, wobei die Abschneidefrequenz oder -wellenliinge vom W-Wert des verwendeten Material abhiingt. Photokathoden Gew6hnliche Metalle haben meist sehr hohe Werte der Austrittsarbeit zwischen 4 und 5eV, was nach Einsteins Gleichung (10.23) Grenzwellenl~ngen von ca. 310 bis 250 nm entspricht. Im Vakuum kann man aber auch C~sium verwenden, das unter Atmosph~renbedingungen sofort korrodiert. Es besitzt die kleinste Austrittsarbeit aller Metalle mit Wcs = 1,92 eV. Durch Beschichtung einer Dynode mit C ~ i u m wird eine Photokathode fast im ganzen sichtbaren Spektralbereich lichtempfindlich (A < 647 nm).

Abb. 10.5 Aufbau einer Photomultiplier-RShre mit transparenter Dynode. Die Beschaltung ist fiir den Ziihlmodus ausgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, daft durch die Absorption eines Photons ein Photoelektron ausgel5st wird, die Quanteneffizienz, ist generell kleiner als eins. Wegen seiner hohen Quanteneffizienz, die bis zu 30% erreicht, wird sehr hiiufig der Halbleiter CsSb3 zur Beschichtung der Photokathode verwendet. Sie wird in einer Vakuumr5hre aus verschiedenen Gliisern unterschiedlicher Transparenz eingebaut und hat in diesen Kombinationen zur Klassifikation der spektralen Empfindlichkeit unter den Bezeichnungen S-X-Kathode geffihrt (X = 1,2,..). Die ebenfalls schon lange verwendete Trialkali-Kathode S-20 ( N a 2 K C s S b ) erreicht auch bei 850 nm noch 1% Quantenef[izienz, und Cs-aktiviertes GaAs erreicht im nahen Infrarot sogar eine 1%-Grenzwellenliingen von 910 nm. Noch

10.5 Quantensensoren I: Photomultiplier

393

Abb. 10.6 SpektraleEmpfindlichkeit wichtigerPhotokathoden. Q.E.: Quantene2~zienz. weiter in den infraroten Spektralbereich dehnt sich die InGaAs-Photokathode, die zwar nirgends mehr als 1%, abet bei I000 nm immerhin noch 0.1% Quanteneffizienz erreicht. Allerdings hat in diesem Spektralbereich der innere Photoeffekt in Halbleitern eine sehr grofie Quantenemzienz; deshalb konkurrieren die Photomultiplier hier mit den welter unten besprochenen LawinenPhotodioden, die man als Photomultiplier auf Halbleiterbasis ansehen kann. Umgekehrt gibt es auch Situationen, in denen ein Licht-Detektor nur bei UVWellenl~ingen empfindlich sein soil, weil dann das Tageslicht nicht mehr zum Signaluntergrund und zu dessen Rauschen beitr~igt. Fiir diesen Zweck werden sogenannte solar blind-Kathoden verwendet, die zum Beispiel aus Cs2Te oder CsI gefertigt werden. Verst~ktmg Der Erfolg des Photomultipliers (auch im Deutschen hat sich die englische Kurzform der photo multiplier tube (PMT) eingebiirgert) ist gar nicht denkbar ohne die enorme Verst~trkung, die mit einem Sekunddrelektronen-Vervielfacher (Kurzform SEt 0 erreicht wird, der der Photokathode nachgeschaltet ist. In einem SEV werden Elektronen beschleunigt, und 15sen aus einer Anode mehrere sekund~re Elektronen aus. Der Vermehrungsfaktor betr~gt ffir eine Anordnung

394

10 S e n s o r e n fiir Licht

mit n Dynoden bei der angelegten Spannung UpMr ~ = C. ( U p M r / ( n + l ) ) % Die bis zu 15 Stufen verursachen eine lawinenartige Verst~irkung des Photostromes Iph = G . / e l und G = c o n s t . U~rr

,

(10.24)

wobei Geometrie und Dynodenmaterial eine geringfiigige Abschw~ichung des theoretischen Verst~irkungsfaktors der einzelnen Stufe um einen Faktor a = 0, 7 - 0, 8 verursachen. Am Ende der Kaskade, bei der eine Spannung von etwa 1 - 3 k V durchlaufen wird, ist ein Ladungsimpuls mit 105 bis l0 s Elektronen verffigbar. Die hohe intrinsische Verst~irkung G fiihrt zu der extremen Empfindlichkeit, ~Ge RpMT --

h~

die je nach Bauform und Beschaltung Werte v o n RpMT f f 1 0 4 - - 1 0 7 A / W erreicht. Da die Verst~rkung wegen G1.(10.24) empfindlich v o n d e r angelegten Spannung abh~ingt, muff die Spannungsversorgung stabil und rauscharm ausgelegt werden. Ziihlmodus und Strommodus

Weil die Eingangsverst~irker der nachgeschalteten elektronischen Komponenten normalerweise eine Spannung am Eingang erwarten, muff der Strom des Photomultipliers durch einen Lastwiderstand RL umgewandelt werden. Insbesondere bei geringen StrSmen wirkt der PMT wie eine ideale Stromquelle, deshalb kSnnte man RL beliebig grof w~ihlen. In der Praxis wird aber die Anstiegszeit durch den Lastwiderstand und die Streukapazit~it der Anode gegenfiber der Anordnung r = RLCs

begrenzt. Aufferdem wird bei grot3en Lastwiderst~inden das schnelle Abfliet3en der Ladung v o n d e r Anode verhindert. Dadurch wird die Spannung zur letzten Dynodenstufe verringert und die Effizienz der Anode beim Einfang der Sekund~irelektronen vermindert: die Kennlinie wird nichtlinear und der Photomultiplier siittigt bei einer bestimmten Lichtleistung. In der Beschaltung wird daher meistens zwischen dem Z~hlmodus und dem Strommodus unterschieden. Der Z~ihlmodus ist ffir kleinste Lichtleistungen geeignet. Dazu wird die Verstarkung G sehr grot3 und RL so klein gew~ihlt, daff an einer fiblichen 50 ~-Impedanz ein Spannungsimpuls von einigen 10 mV H6he und einigen ns Breite entsteht. Diese Impulse k6nnen direkt mit handelsfiblicher Z~Lhlelektronik verarbeitet werden und verursachen das ,Klicken"

10.5 Quantensensoren I: Photomultiplier

395

eines Photonenz?ihlers. Wegen der Ahnlichkeit mit einem Geiger-Miiller-Z~hlrohr wird hier auch vom Geiger-Modus gesprochen. Natiirlich entsteht eine statistische Verteilung von Impulsen verschiedener HShe und Breite, aus der die Photonenimpulse durch Diskriminatoren herausgefiltert werden. Der Strommodus wird bei grSfieren Lichtintensit~ten verwendet, bei geringerer Verst~rkung G und einem an die gewfinschte Bandbreite angepat3ten Lastwiderstand, der hoch gew~hlt werden sollte, um der idealen Stromquelle mSglichst nahe zu kommen. ttauscheigenschaften yon PMTs Ein geringer Strom flieflt durch den Photomultiplier auch dann, wenn die RShre in vollst~ndiger Dunkelheit betrieben wird. Er wird Dunkelstrom genannt, mit I o bezeichnet und wird vor allem durch thermische Emission von Elektronen aus der Photokathode verursacht, die von Photoelektronen ununterscheidbar verst~rkt werden. Im Z~hlmodus des Photomultipliers kSnnen wit die Schottkyformel direkt verwenden (Anhang A.1.2), wenn wir die effektive mittlere Ladung (Ge) des einzelnen Photoelektrons einsetzen, um die Leistungsdichte des Schrotrauschens der Dunkelz~ihlrate RD zu bestimmen. In diesem Fall berechnet man die Rausch-Aquivalenz-Leistung

NEPz - ~

h~

,

(10.25)

wobei wir die mittlere Verst~trkung (G) verwendet haben. Wenn n~mlich ein Photomultiplier im Strommodus verwendet wird, verursachen die Schwankungen der Verst~rkung zus~tzliches Rauschen: die Rauschleistungsdichte des Stromes betr~tgt dann ~92 -- (2GeID) -- 2e(G2)(ID)/(G) , weil die momentane Verst~trkung mit der momentanen Stromst~rke ID strikt korreliert ist. Das Ergebnis aus G1.(10.25) wird im Strommodus um den excess-noise-Faktor F~ = (G2)/(G} 2 aus Gl.(10.7) erhSht:

NEPs = F~

~/2ID/(eG) hy -~

Ihre enorme Empfindlichkeit hat den Photomultiplier-RShren zahlreiche AnwendungsmSglichkeiten verschafft, die umgekehrt die Entwicklung vieler spezialisierter Typen verursacht hat. Am weitesten verbreitet sind die sogenannten side-on-PMTs, bei denen das Photoelektron aus einer undurchsichtigen Photokathode herausgeschlagen wird und dem Lichtstrahl zun~tchst entgegen l~tuft. Die head-on-Typen sind mit einer durchsichtigen Photokathode ausgestattet, an deren Rfickseite die Photoelektronen in den Sekund~irelektronen-

396

10 Sensorenfiir Licht

Vervielfacher geschickt werden. Sie sind von Vorteil, wenn zum Beispiel in Szintillations-Detektoren grofifliichige Photokathoden wichtig sind. Gewisse Nachteile besitzen Photomultiplier zum Beispiel in Anwendungen der Regeltechnik, wenn nicht nur die Anstiegszeit, sondern auch die durch Laufzeiten im Derektor bedingte VerzSgerungszeit eine Rolle spielt. Mikrokanalplatten und Channeltrons Bei den ,,Mikrokanalplatten" (MCP, von engl. micro channel plate) handelt es sich eigentlich um eine Variante des Sekundarelektronenvervielfachers: Ein einzelner Mikrokanal besteht aus einer GlaskapillarrShre von 6 - 20 #m Durchmesser. Die Wand ist mit einem Halbleitermaterial (z.B. Ni-Cr) beschichtet, das eine verhiiltnismiit3ig geringe Leitfiihigkeit besitzt. Die Enden des RShrchens werden metallisiert und dienen als Photokathode bzw. Anode; eiAbb. 10.7 Mikrokanalplatten, ne Hochspannung fiillt entlang der Wandung ab schematisch, und erzeugt eine ,kontinuierliche Dynode". Diese Sekundiirelektronenvervielfachersind auch unter dem Namen Channeltron bekannt. Sie kSnnen durch geeignete Beschichtung der Eingangsfliiche in sehr kompakte Photomultiplier verwandelt werden. Ihr Nachteil ist das Siittigungsverhalten, das wegen des hohen Wandwiderstandes im allgemeinen frfiher als bei Photomultiplier-RShren einsetzt. Eine Mikrokanalplatte besteht aus mehreren Tausend dichtgepackten KapillarrShren, die parallel yon einer Spannungsquelle versorgt werden und wie ein Feld von SEV-RShren wirken. Als MCP-PMTs besitzen sie Vorteile durch ihre hohe ZeitauflSsung und ihre geringere Empfindlichkeit gegen magnetische Felder (die das Verst~irkungsverhalten jeden SEVs beeinflussen). Darfiberhinaus abet erlauben sie den ortsaufgelSsten Nachweis sehr geringer Lichtintensitiiten und werden deshalb benutzt, um die Bildverstiirker zu konstruieren, die unter Abschnitt 10.7.3 besprochen werden.

10.6

Quantensensoren II: Halbleitersensoren

In Halbleitern miissen die Elektronen nicht aus dem Material herausgeschlagen werden, sondern kSnnen dort selbst bewegliche Ladungstriiger erzeugen. Der innere Photoeffekt wird in zwei unterschiedlichen Typen von Photodetektoren genutzt, den Photoleitern und den Photodioden. In Photoleitern wird die pho-

10.6 Quantensensoren II: Halbleitersensoren

397

toelektrische Ver~inderung der Leitffihigkeit gemessen, w~ihrend Photodioden Quellen eines Photostromes sind.

10.6.1

Photoleiter

Zur Anregung intrinsischer Photoelektronen wird h~iufig eine viel geringere Energie als zur Ejektion eines Elektrons aus einem Material benStigt. Photoleiter, die meistens in Diinnschichttechnik hergestellt werden, entfalten daher ihre St~irke als Infrarotempffinger. In einem intrinsischer Halbleiter kSnnen Ladungstr~iger durch thermische Bewegung oder Absorption eines Photons erzeugt werden, dabei wird die Grenzwellenl~inge )~G durch die Energie der Bandlficke nach G1.(10.23) bestimmt. In Ge betr~igt sie zum Beispiel 0,67 eV, was einer Grenzwellenl~nge von 1,85 #m entspricht. Tab. 10.1 Bandliicken ausgew~ihlterHalbleiter Material 1 CdTe 2 GaAs 3 Si 4 Ge 5 InSb

E~ (eV)Q3OOK A~ (#m) 1,6 1,42 1,12 0,67 0,16

0,78 0,88 1,11 1.85

7,77

Tab. 10.2 Aktivierungsenergie in dotierten Halbleitern Material 1 Ge:Hg 2 Si:B 3 Ge:Cu 4 Ge:Zn

EA (eV)@3OOK AA (#m) 0,088 0,044 0,041 0,033

14 28 30 38

Man kann die spektrale Empfindlichkeit aber zu noch grSt3eren Wellenl~ingen ausdehnen, indem extrinsische Halbleiter verwendet werden. Die Grenzwellenl~inge sinkt dann mit der Aktivierungsenergie EA der Donatoratome. Besonders h~iufig wird dazu Ge verwendet, dessen Grenzwellenl~inge zum Beispiel durch Hg-Dotierung an die 32 #m Grenze ausgeweitet wird.

398

10 Sensorenfiir Licht

Empfindlichkeit Weil die optoelektronische _~nderung der Leitf~ihigkeit in einem Photoleiter gemessen wird, spielt nicht nur die Rate der Ladungstriigererzeugung rL eine Rolle, die sich wie die Empfindlichkeit aller Quantensensoren verhiilt, sondern auch die Relaxationsrate T~, die dafiir sorgt, dab der Halbleiter ins thermische Gleichgewicht zurfickkehrt. Wenn wir der Einfachkeit halber die wiinschenswerte Situation annehmen, dab die gesamte Lichtleistung im Detektorvolumen VD = A. g absorbiert wird, dann betr~gt die Ladungstriigerdichte bei konstanter Lichtintensitiit n~t,ph ----UPL%~JhvVD. MefigrSBe ist aber die Leitfiihigkeit a bzw. der Strom I -- AaU/g, der durch den Photoleiter der Liinge g mit dem effektiven Querschnitt A flieBt, wenn darfiber die Spannung U abfiillt. Sie h~ingt nicht nur von den Ladungstriigerdichten nd und Ph, sondern auch yon den Beweglichkeiten Pel bzw. #hder Elektronen und LSchern ab, a ~-- e n # e l

(10.26)

Die meistens geringe Beweglichkeit der L6cher ffihrt dazu, daft ihr Beitrag zur Leitfiihigkeit vernachl~sigt werden kann. Durch den Photoeffekt wird im Photoleiter Leitf~ihigkeit erzeugt. Sie h~ilt solange an, bis das Elektron-Loch-Paar rekombiniert ist, entweder noch im Photoleiter selbst oder an den Schnittstellen mit den metallischen Zuleitungen. Andererseits flieBt wiihrend der Rekombinationszeit ein Strom, der durch die Beweglichkeit der Elektronen bestimmt ist. Im semiklassischen Drudemodell kann man die Driftgeschwindigkeit der Elektronen einerseits mit der anliegenden Spannung in Zusammenhang bringen, v~l = # e l U / g , andererseits auch mit der Driftzeit 7"d : ~/Vel , in der ein Elektron sich aus dem Photoleiter in die metallischen Zuleitungen hinausbewegt. Aus I -- Aen~lv~l berechnet man die Empfindlichkeit T~ -- ~e Tr~ h v rd

Danach verffigt ein Photoleiter fiber eine intrinsische Verstiirkung G = T ~ e / r d , die allerdings auch schon einmal kleiner als 1 ausfallen kann. Die Verstgrkung wird dariiber hinaus auf Kosten einer reduzierten Detektorbandbreite erkauft, denn die Rekombinationsrate T ~ bestimmt auch das Zeitverhalten der Photozelle.

Rauscheigenschaft en Durch thermische Bewegung wird bereits Leitfiihigkeit erzeugt, die andererseits durch die routinemiiBige Kiihlung des Detektors auch wieder unterdrfickt

10.6 Quantensensoren II: Halbleitersensoren

399

werden kann. Genau genommen hat G1.(10.26) also einen photoelektrischen und einen thermischen Beitrag, (7 -- e (nph % nth) I-tel Das Gleichgewicht der Leitf~higkeit wird in einem Photoleiter aber nicht nur durch die Ladungstr~gererzeugung, sondern ebenso durch die Rekombinationsrate bestimmt, die wiederum ein Zufallsmechanismus ist. Das Schrotrauschen eines Photoleiters wird als G e n e r a t i o n s - R e k o m b i n a t i o n s - R a u s c h e n bezeichnet und ist um den Faktor 2 grSt3er als im Photomultiplier oder in der Photodiode, i2CR = 4e-[ 7u 74

Die Detektivitat ist bei Wellenl~ngen um 10 # m und daxfiber im allgemeinen durch den thermischen Strahlungsuntergrund limitiert. Reale Detektoren erreichen diese Grenze weitgehend.

10.6.2

Photodioden oder Photovoltaische Detektoren

Halbleiter-Photodioden gehSren zu den verbreitetsten optischen Detektoren iiberhaupt, weil sie kompakte Komponenten sind und fiber viele wfinschenswerte physikalische Eigenschaften verffigen, zu denen hohe Empfindlichkeit, schnelle Anstiegszeit und grot3er dynamischer Bereich z~hlen. Aut3erdem werden sie in ungez~hlten Bauformen hergestellt und passen nahtlos zur elektronischen Halbleitertechnologie. Ihre Wirkung beruht auf einer pn-Grenzschicht, in der Elektron-Loch-Paare, die durch Absorption von Licht in der Grenzschicht erzeugt werden, von einem inneren elektrischen Feld beschleunigt werden und dadurch den Stromflut3 im Met3kreis verursachen. Die Grenzschicht wirkt als Stromquelle mit hohem Innenwiderstand.

Abb. 10.8 Bauformen yon Si-Photodioden. Links: Konventionelle Ausfiihrung. Rechts: In der p-i-n-Bauweise wird die Ladungstrennung besonders schnell erreicht.

400

10 Sensorenfiir Licht

pn- und pin-Dioden

Die Entstehung der Verarmungsschicht in der Ns des pn-(~bergangs ist in Abb. 10.8 dargestellt. LScher des p-dotierten bzw. Elektronen des n-dotierten Materials diffundieren auf die jeweils andere Seite und rekombinieren dort. Die LScher verursachen eine positive Raumladungszone auf der n-Seite; die Elektronen, die im allgemeinen beweglicher sind als LScher, die entsprechende negative, weiter ausgedehnte Zone auf der p-Seite. Der Vorgang endet, wenn das durch die Raumladung verursachte elektrische Feld die Diffusion der Elektronen bzw. LScher verhindert. Eine Si-Diode erzeugt in der Verarmungsschicht den bekannten Spannungsabfall yon 0,7 V. Die Konstruktion einer effizienten Photodiode mug zum Ziel haben, mSglichst viel Licht in der Randschicht zu absorbieren, so daft das elektrische Feld, das noch durch eine/~uftere Gegenspannung verst~rkt werden kann, die ElektronLoch-Paare schnell trennt und einen Stromfluf verursacht. Anders als in einem Photoleiter kann dann keine Rekombination mehr stattfinden. Dieser Prozef kann konstruktiv unterstiitzt werden, indem man durch Einbau einer isolierenden Schicht den Detektor zur pin-Photodiode macht. Dabei wird das absorbierende Volumen vergr5Bert und aufterdem die Kapazit~it der Sperrschicht verringert, die die Anstiegszeit begrenzt. Betriebsarten

In Abb. 10.9 ist das elektrische Kennlinienfeld einer Photodiode dargestellt. Es geht aus der Kennlinie einer fiblichen Diode hervor (I -- Is(e ~ y / k T - 1)), indem der negative Photostrom --Iph hinzuaddiert wird. Sie wird gewShnlich in drei Betriebsarten eingesetzt: 9 P h o t o v o l t a i s c h . Wenn die Photodiode an einen offenen Stromkreis angeschlossen ist, dann wird sie photovoltaisch betrieben. Dabei flieBt kein Strom (I = 0), die Empfindlichkeit wird in IV/W] angegeben. Diese Betriebsart wird auch in Solarzellen verwendet. Abb. 10.9 Kennlinienfeld einer Pho-

9 Kurzschlufl-Betrieb. Im Kurzschluftbetodiode, trieb wird der von den Photoelektronen erzeugte Strom gemessen und in [A/W] angegeben.

9 V o r s p a n n u n g s - B e t r i e b . In dieser h~iufigsten Betriebsform wird die Sperrschicht durch eine Gegenspannung noch erweitert, so daft hShere Quanteneffizienz und kiirzere Anstiegszeiten erreicht werden.

10.7 Positions-und Bildsensoren

10.6.3

401

Lawinen-Photodioden

Das Prinzip der Lawinen-Photodiode (APD) (engl. avalanche photodiode) ist schon l~nger bekannt, konnte aber erst in neuerer Zeit in betriebsfeste Produkte umgesetzt werden. In gewisser Weise realisiert sie einen Photomultiplier auf Halbleiterbasis: Wenn eine sehr hohe Vorspannung von einigen 100V (in Rfickw~tsrichtung) fiber die Verarmungszone gelegt wird, dann kSnnen Photoelektronen so stark beschleunigt werden, da~ sie ein weiteres ElektronLoch-Paar erzeugen. Ganz wie im Photomultiplier k,unn durch eine Kaskade solcher Ionisationsereignisse eine hohe Verst~rkung des Photoelektrons erzielt werden. Gelegentlich wird daher sogar der Name ,Festk5rper Photomuliplier" verwendet. Die Verst~rkung der APDs betr~gt 250 oder mehr. Die Photoelektronen werden wie in der gewShnlichen pin-Si-Photodiode in einer Verarmungsschicht mit entsprechend grofJer Quanteneffizienz freigesetzt. Die Empfindlichkeit der APDs kann deshalb fiber IOOA/W betragen. Lawinen-Photodioden werden bei grot3er Lichtintensit~t wie Photomultiplier im Strommodus betrieben. Die Verst~rkung reicht aber auch aus, um sie zum Photonenz~hlen im Geigermodus zu betreiben. Nun werden bei der Ionisation aber nicht nur Elektronen, sondern auch LScher erzeugt. Wenn beide Ladungstr~ger mit gleicher Effizienz erzeugt werden, dann wird der Detektor durch ein erstes Ladungstr~gerpaar ,,gezfindet" und verliert seine Leitf~higkeit gar nicht wieder, weil fortlaufend neue Elektron-Loch-Paare erzeugt werden. Im Silizium ist der Ionisationskoeffizient ffir Elektronen sehr viel grSt3er als ffir LScher. Der Stromflut3 wird aber erst dann unterbunden, wenn alle L5cher die Verarmungsschicht verlassen haben, und erst dann kann ein neuer Ladungsimpuls erzeugt werden. Um die dadurch verursachte Totzeit mSglichst kurz zu halten, kann man in passiver Beschaltung durch einen strombegrenzenden Widerstand die Entladung 15schen. F fir bessere Bedingungen l~nn man sorgen, indem der Entladungsstrom aktiv unterbrochen wird.

10.7

Positions- und Bildsensoren

Es ist naheliegend, die hochintegrierten Konzepte aus der Halbleitertechnologie bei Photodetektoren, insbesondere bei Si, aber auch bei anderen Materialien anzuwenden. Noch relativ grot3e Abmessungen haben die ,,Quadrantendetektoren", bei denen typischerweise 4 Photodioden auf einem Si-KSrper vereinigt sind.

402

10 Sensorenfiir Licht

Mit Quadrantendetektoren kann z.B. die Position eines Lichtstrahls mit Hilfe von Differenzverst~irkern bei erstaunlicher Empfindlichkeit ausgelesen und zur Registrierung geringer Bewegungen genutzt werden. In einer anderen Bauform werden Photodioden zeilen- oder spaltenweise in ,Diodenzeilen" eingesetzt, um zum Beispiel das Spektrum eines Monochromators, ohne mechanische Bewegung eines Gitters, simultan zu messen. In einer Zeilenkamera sorgt ein beweglicher Spiegel fiir den Zeilenvorschub und so ffir den Aufbau eines kompletten zweidimensionalen Brides. Ohne bewegliche Teile kommen zweidimensionale Felder von Photokondensatoren aus, in denen die Intensit~itsverteilung eines reellen Bildes in Form einer zweidimensionalen Ladungsverteilung gespeichert wird. Das technische Problem besteht darin, die in den Kondensatorladungen gespeicherte Information auf Abruf mit elektronischen Mitteln ,auszulesen" und dabei in eine zeitliche Folge von elektrischen Impulsen zu verwandeln, die zum Beispiel mit iibliAbb. 10.10 Qua- chen Videonormen vertr~iglich sind. Fiir diesen Zweck hat drantendetektoren zur Positions- sich das 1970 auf der Basis von MOS-Kondensatoren erbestimmung eines dachte Konzept der CU'D-(Charge Coupled Devices)-SensoLaserstrahls. ren in weitem Umfang durchgesetzt, weft es besonders rauscharm ist. Nur im infraroten Spektralbereich, wenn die Sensoren gekiihlt werden miissen und die MOS-Kapazit~t abnimmt, sind gewShnliche, mit MOSSchaltern ausgestattete pn-Kapazit~iten von Vorteil.

10.7.1

Photokondensatoren

Bei photovoltaischer Betriebsweise und einem offenen Stromkreis fliefit auch in einer gewShnlichen pn-Photodiode die durch die Bestrahlung erzeugte Ladung nicht ab, sondern wird in der Kapazit~it der Raumladungszone gespeichert, die als eine Potentialmulde fiir die in der N~ihe freigesetzten Elektronen wirkt. Wit kSnnen von einem ,,Photokondensator" sprechen. Solche Bauelemente sind fiir Bildsensoren besonders interessant, weil die Bildinformation in den Photokapazit~iten zun~chst gespeichert und dann seriell ausgelesen werden kann. Durch thermische Bewegung wird die Ladung zwar nach einiger Zeit abfliefien, die Speicherzeit betr~igt aber je nach System und Temperatur einige Sekunden bis zu Minuten und Stunden. Als Photokondensatoren haben sich die MOS-Kondensatoren (Metal Oxide Semiconductor) bew~ihrt. An der Metall-Oxid-Halbleiter-Grenzfl~iche,die auch Schottky-Kontakt genannt wird, entsteht ein Potential, welches als Speicher fiir Elektronen dient.

10.7 Positions-und Bildsensoren

403

Die MOS-Kondensatoren erreichen groBe Kapazit~iten und verhindern dadurch, dab der Potentialtopf durch die gespeicherte Ladung reduziert wird und der Kondensator schon mit wenigen Photoelektronen oder -15chern s~ittigt. Ein Modell eines MOS-Kondensators, der aus einem Abb. 10.11 MOS-Photokondensator. Opmetallischen oder polykristallinen tisch erzeugte Elektronen werden in der Silizium-Gate, einer SiO2-Oxidschicht Verarmungszone (Depletion region) gespeiund p-Si besteht, ist in Abb. 10.11 chert. gezeigt. Daran ist insbesondere zu erkennen, dab bei positiver Gatespannung Uc ein Potentialtopf fiir Elektronen in unmittelbarer Nachbarschaft der Oxid-Halbleiter-Grenzschicht entsteht. In der Raumladungszone freigesetzte Elektronen k5nnen befreit werden, indem die Gatespannung wieder herabgesetzt wird. Die Speicherzeit der Photokondensatoren ist begrenzt durch thermische Relaxation und variiert bei Raumtemperatur von Sekunden bis zu mehreren Minuten.

10.7.2 CCD-Sensoren Das Herz digitaler Kameras ist der CCD-Chip, der eine zur Intensit~t der einfallenden Strahlung proportionale Ladung erzeugt und in Photokondensatoren speichert, bis sie durch eine Steuerelektronik abgerufen werden [29]. Gegeniiber der Photoplatte hat die CCD-Kamera die Vorteile eines groBen linearen Bereiches, hoher Quanteneffizienz von 50-80% und die direkte Erzeugung eines Spannungssignals, das digitalisiert und im Computer verarbeitet werden kann. Der Schliissel fiir den Erfolg der CCD-Sensoren ist die Auslesemethodik, die in Abb. 10.12 am Beispiel eines dreiphasigen Systems vorgestellt wird. Sie ist so organisiert, dab durch serielle Ansteuerung der Gateelektroden die in einem Sensor oder Pixel gespeicherte Ladung in den benachbarten Kondensator verschoben wird. Die Taktfrequenz, mit der diese Verschiebung erfolgt, kann mehr als 20 MHz betragen. Der Ladungsverlust bei dieser Ubertragung ist im Mittel geringer als 10-6. Deshalb gelangen selbst bei vielen hundert Taktschritten im Allgemeinen mehr als 99, 99% des Ladungsinhaltes eines Pixels zum Ausleseverst~irker. Bei einer digitalen Aufl5sung yon 12 Bit wird damit noch nicht einmal der Digitalisierungsfehler erreicht! Ein Bildsensor muB zeilenweise ausgelesen werden. Um aber zu verhindern, dab dadurch eine lange Totzeit entsteht und auBerdem noch weiter Ladungen akku-

404

10 Sensorenfiir Licht

Abb. 10.12 Drei-Phasen-Betrieb einer CCD-Zeile. muliert werden, bestehen die CCD-Sensoren aus einer beleuchteten ,,Bildzone" und einer unbeleuchteten ,,Speicherzone". Die Aufnahme eines Bildes wird beendet, indem alle Spalten der beleuchteten Hiilfte parallel und innerhalb 1 ms in die angrenzende Speicherzone verschoben werden. Wiihrend sie von dort zeilenweise fiber ein Ausleseregister sukzessive zum Ausleseverstiirker befSrdert werden, kann in der beleuchteten Hiilfte schon das niichste Bild registriert werden. Die Empfindlichkeit eines CCD-Sensors wird durch die Rauscheigenschaften jedes einzelnen Pixels bestimmt, die einerseits von der Schwankung der thermisch erzeugten Elektronen abhiingen, andererseits aber meistens durch das sogenannte ,,Ausleserauschen" dominiert werden, das dem Ladungsinhalt eines Pixels durch den Ausleseverstiirker hinzugefiigt wird. Weil dieser Rauschbeitrag nur einmal pro Auslesevorgang auftritt, ist es hiiufig gfinstig, solange wie mSglich photoelektronisch erzeugte Ladungen auf dem Sensor zu akkumulieren. Dabei sind allerdings nur langsame Bildfolgen zu erzielen. Die Rauscheigenschaften eines CCD-Sensors werden hiiufig in der Einheit ,,Elektronen/Pixel" angegeben, womit die rms-Breite des Dunkelstroms gemeint ist. Die Niumliche AuflSsung eines CCD-Sensors wird durch die GrSfie der Pixel bestimmt, deren Kantenliinge heute einige #m (bis 25 #m) betriigt. Selbstverstiindlich kann die AuflSsung aber nicht besser sein als das optische Abbildungssystem, das Kameraobjektiv.

10.7.3

Bildverst~irker

Bei Bildverst~rkern werden die extrem empfindlichen Eigenschaften eines Photomultipliers, die auf der Konversion von Licht in Elektronen beruhen, auch

10.7 Positions- und Bildsensoren

405

in ortsauflSsenden Detektoren eingesetzt. Das Anwendungspotential der Bildverst~rkerrShren und ihrer Varianten ist hoch, weil sie es nicht nur erlauben, von extrem lichtschwachen Objekten Bilder anzufertigen, sondern weil sich das Konzept auf viele Arten von Strahlung (zum Beispiel Infrarot- oder RSntgenstrahlung) fibertragen l~t3t, die fiir das menschliche Auge und fiir gew6hnliche Kameras gar nicht sichtbar sind. Kameras mit dieser Technologie werden auch ICCD-Kameras genannt (von engl. intensied CCD). In Abb. 10.13 haben wir zwei erprobte Konzepte ffir optische Bildverst~rker vorgestellt: In der oberen Reihe wird ein Bild durch eine Faseroptik auf eine Photokathode gelenkt. Die dort emittierten Elektronen werden durch eine Elektronenoptik beschleunigt und auf einen Phosphorschirm abgebildet. Dessen Leuchten wird mit dem Auge oder einer Kamera beobachtet. Die ErhShung der Lichtstarke, die ,,Bildverst~rkung", l~nn bis zu 150 l m / l m 1 betragen. In der zweiten Reihe ist ein Modell der sogenannten 2. Generation zu sehen, in welchem durch eine Kanalplatte (MCP, s. S. 396) Verst~rkungen von 104 und mehr erzielt werden. Die OrtsauflSsung des einfallenden optischen Bildes wird durch die Elektronenpakete dabei etwas verringert. In Abb. 12.18 ist ein Bild der Fluoreszenz eines einzelnen gespeicherten Atoms zusehen, das mit einer ICCD-Kamera aufgenommen wurde.

Abb. 10.13 Konzepte fiir Bildverstiirker der 1. und 2. Generation.

Bildverst~rker erlauben nicht nur die Beobachtung sehr lichtschwacher Signale: Die Hochspannung, die an der Kanalplatte zur Verst~rkung ben5tigt wird, kann auf der ns-Skala ein- und ausgeschaltet werden und erlaubt deshalb, Kameras mit extrem hohen Verschlut3-Geschwindigkeiten zu realisieren. 1Hier wird die physikalische SI-Einheit Lumen, Abkfirzung [lm], verwendet: Sie mii3t den Lichtstrom, den eine punktf6rmige Quelle mit 1 Candela Lichtstarke in den Raumwinkel 1 sr aussendet: 1 l m = 1 cd/sr. Die Lichtst~irke wird in der SI-Basiseinheit Candela, Abkiirzung [Cd] gemessen. Bei der Wellenl~nge 555 nm betr~igt ihr Wert 1 Cd -- (1/683) W/sterad, bei anderen Wellenl~i~ngen ist sie auf das Spektrum des Hohlraumstrahlers beim Schmelzpunkt von Platin bezogen.

406

10 Sensorenfiir Licht

A u f g a b e n zu K a p i t e l 10 10.1 T h e r m i s c h e D e t e k t o r e n Betrachten Sie die Differentialgleichung fiir den Temperaturanstieg A T eines ideal schwarzen thermischen Detektors mit der Wiirmekapazit~t K und der totalen Warmeverlustrate V. Wodurch wird die Anstiegszeit 7- bestimmt? Bestimmen Sie die Empfindlichkeit T~ ffir eine Thermosiiule mit dem pauschalen Seebeck-Koeffizienten CTU. Die Leistungsdichte der spontanen Temperaturfluktuationen bei der Frequenz f und der absoluten Temperatur T betriigt t 2 = 4 k B T 2 V / ( V 2 + (2~Kf)2). Zeigen Sie, daft die Rausch-Aquivalent-Leistung weit unterhalb der maximalen Bandbreite (2~f~- << 1) N E P = T ~ betragt. 10.2 P h o t o z e l l e (lberlegen Sie sich einen einfachen Schaltkreis, in dem die Leitfiihigkeitsiinderung eines Photoleiters durch Beleuchtung in eine lineare Spannungsiinderung umgesetzt wird. 10.3 P h o t o v o l t a i s c h e r D e t e k t o r (I) (I) Stellen Sie auf dem Kennlinienfeld einer Photodiode lest (Abb. 10.9), welche Positionen der (a) photovoltaischen, (b) Kurzschlufi- und (c) der Vorspannungs-Betriebsart zukommen. 10.4 P h o t o v o l t a i s c h e r D e t e k t o r (II) Mit welcher Laser-Leistung muff eine Si-Photodiode beleuchtet werden, um in den Schrotrausch-begrenzten Nachweis zu gelangen? Die Empfindlichkeit betrage T~ = 0,55 A / W @ 850 nm, der Innenwiderstand der Photodiode 100 MR und der Dunkelstrom sei ID ----100 pA. Der Verstiirker soll die RauschkenngrSBen en = 10 nV/v/-H-~ und i,, = 1 pA/v~-~ haben. 10.5 P h o t o m u l t i p l i e r Wie grofi ist die minimal detektierbare Leistung eines Photomultipliers im Strommodus mit folgenden KenngrSt3en in einer Bandbreite von A f = 1 Hz: Quanteneffizienz ~? = 10%, Laserwellenliinge UL = 600 nm und Dunkelstrom ID ---- 1 fA. Wie grofi ist die Ankunftsrate der Photonen?

11

Laserspektroskopie

Im Kapitel fiber Licht und Materie (6) haben wir die Besetzungszahl und Polarisation eines atomaren Ensembles bestimmt. Diese GrSfien werden im Experiment aber nicht direkt beobachtet, sondern durch ihre Wirkung auf bestimmte physikalische Eigenschaften einer Probe. Wit werden uns hier auf vollst~indig optische Methoden beschr~inken, d.h. die Fluoreszenz einer angeregten Pro-

Abb. 11.1 Laserspektroskopie: Die spektralen Eigenschaften einer Probe kSnnen dutch laserinduzierte Fluoreszenz oder dutch Absorption nachgewiesen werden. Zum Nachweis der Dispersion sind interferometrische Experimente notwendig. PD: Photodiode

be oder Absorption und Dispersion eines Sondenstrahls; es gibt aber zahllose alternative Nachweisverfahren, bei denen zum Beispiel die Wirkung auf akustische oder elektrische Eigenschaften untersucht wird. F fir einen breiteren lJberblick fiber das umfangreiche Gebiet der Laserspektroskopie verweisen wir zum Beispiel auf [42].

11.1

Laserinduzierte Fluoreszenz (LIF)

Die Fluoreszenz wird durch spontane Emission verursacht, und wir beobachten sie zum Beispiel beim Durchgang eines Laserstrahls durch eine Gaszelle. Sie verursacht die Strahlungsd~impfung und kann nur dann auftreten, wenn sich

408

11 Laserspektroskopie

ein Atom im angeregten Zustand befindet. In den Blochgleichungen (6.32) haben wir die spontane Fluoreszenz ph~i~omenologisch durch die Zerfallsrate V beriicksichtigt. Ein einzelnes Teilchen im angeregten Zustand strahlt wghrend seiner Lebensdauer eine mittlere Leistung ab, die wir auch durch die S~ittigungsintensit~it I0 nach G1.(6.37) ausdrficken kSnnen:

P. = ~ 7 / 2 = 1 ~ ~QI0 2 7' Die Intensit~it der zu beobachtenden Fluoreszenz sollte proportional sein zur Anregungswahrscheinlichkeit (w + 1)/2 und zur Teilchendichte N/V, und aufierdem mfissen wir mit einem Geometriefaktor G unseren experimentellen Aufbau (Verluste, Raumwinkel der Beobachtung ...) berficksichtigen: =

+w)=G

I027,1+s

Der Sgttigungsparameter s ist nach G1.(6.36) zur Intensit~it des anregenden Laserfeldes IA proportional. Im Grenzfall hoher Intensit~it (s >> 1) findet man sofort N 7_ I. = G ~ I027 '

Im Grenzfall schwacher Anregung (s << 1) erlaubt die laserinduzierte Fluoreszenz (Kiirzel LIF) eine lineare Abbildung der spektralen Eigenschaften einer Probe. Die spektrale Abh~ingigkeit der Resonanzlinie eines einzelnen Teilchens besitzt im station~iren Fall Lorentzform, I.(w) -- G.

N 771 IA V 2 ( w - w 0 ) 2 + 7 '2

'

und man erhglt ein Fluoreszenzprofil wie in Abb. 6.2. Mit der laserinduzierten Fluoreszenz kSnnen zum Beispiel ortsaufgelSste Dichtebestimmungen bekannter atomarer oder molekularer Gase vorgenommen werden.

11.2

A b s o r p t i o n trod D i s p e r s i o n

Absorption und Dispersion sind wie die Fluoreszenz nur bei kleiner S~ittigung linear in der anregenden Intensit~it. Den Absorptionskoeffizienten und Realteil des Brechungsindex ermitteln wir daher nach der Behandlung unter G1.(6.21),

oL(w)n'(w)-i =

w ~m{E(z).7),(z)}_ 2I(z) 2i~z)~e{e(z).P*(z)}--

N w degE0Vst v21(z) N2~(z)degeOUst

(11.1)

11.2 Absorption und Dispersion

409

Wenn wir die Polarisationskomponenten (ust, vst) nach G1.(6.41) einsetzen, erhalten wir wieder unter Berficksichtigung der Glgn. (6.19, 6.37) die Beziehungen

Ol(O.)) n ' ( w ) - 1 --

Wo~rQ 1 + I/Io +

2

N 9' A woaQ(w--Wo)/9" V 29"~2~ 1 + I/Io + ( ( w - w0)/9") 2

(11.2)

Aus diesen Beziehungen kann man ohne weitere Schwierigkeiten den Grenzfall kleiner Intensit/it wieder auf den klassischen Fall (6.18) zuriickfiihren (I/Io << 1 und w0 -- -1): Absorptionskoeffizient und Brechungsindex sind dort nur von den atomaren Eigenschaften (Zerfallsraten 9",9"~;Verstimmung 5 = w-w0, Teilchendichte N / V ) und nicht v o n d e r eingestrahlten Intensit~t abh~ngig. Dutch Absorptionsspektroskopie kann man umgekehrt diese physikalischen Gr6t]en bestimmen. Weil die Bestimmung des Brechungsindex im allgemeinen ein interferometrisches Met]verfahren und daher wesentlich gr6t]eren apparativen Aufwand erfordert, ist die Absorptionsmessung ein bevorzugtes Met]verfahren.

11.2.1 Ges ittigte Absorption

Abb. 11.2 S~ittigung yon Resonanzlinien: Normierte Fluoreszenzintensitdt als Funktion der

normierten Verstimmung ~/~/~. Der Parameter gibt die eingestrahlte Laserleistung I/Io normiert auf die Sdttigungsintensitdt an. Die maximale FluoreszenzintensitSt tritt bei Gleichbesetzung der atomaren Niveaus auf.

Bei wachsender Intensit~t (I/Io ~- 1) spielt die S~ttigung einer Resonanz eine immer grSt3ere Rolle, denn der Absorptionskoeffizient wird nichtlinear, er h/ingt selbst vonder Intensit/~t ab. Der 0bersichtlichkeit halber fiihren wir den resonanten, unges~ttigten Absorptionskoeffizienten a0 = - N a e w o / V . 9"/29"~ (-- N a Q / V bei optischen Frequenzen und ffir ungest6rte Atome mit 9'~ --

410

11 Laserspektroskopie

7 / 2 ) ein u n d formulieren Gl.(ll.2) mit der neuen Linienbreite Aw = 2%at =

27'~/1 + I/I0 urn,

7/2 = ~~

~0)~ +7'2(i + 1/10) = ~~

7 t2

~o)2 +TL

(11.3)

Trotz der S~ttigung wird also bei grofler Intensit~it I > I0 die Lorentzform der Resonanzlinie erhalten, sie wird aber verbreitert. Darfiber hinaus f~illtdie Intensit~t nicht mehr nach dem Beerschen Gesetz exponentiell ab, sondern ffir grofie I / I o nur noch linear nach dI -

dz

11.3

-

a I ~-- - s o l o

Spektrallinien: Form und Breite

Abb. 11.3 Wichtige Formen von Spektrallinien: Lorentzlinie (a), Gauflprofil (b) und das Profil der Durchflugsverbreiterung (c) sind ffir identische Halbwertbreiten dargestellt.

Die Beobachtung von Fluoreszenz- u n d Absorptionsspektren geh6rt zu den einfachsten u n d eben deshalb verbreitetsten M e t h o d e n der Spektroskopie, u n d physikalische Information ist sowohl in der Position einer Linie als auch in ihrer Form u n d Breite enthalten. Als Marl fiir deren Breite (Abb. 11.3) wird gewShnlich die Halbwertbreite benutzt, das ist die Frequenzbreite zwischen den Werten, bei welchen die Resonanzlinie den halben Maximalwert annimmt. 1 Nach G1.(6.36, 11.2) e n t n i m m t m a n daraus bei nicht zu grofien Intensit~iten die transversale Relaxationsrate 7t: volle Halbwertbreite:

Aw = 2 ~ A u = 2 97 t

lIn der englischsprachigen Literatur werden die Abkiirzungen F W H M und HWHM fiir full bzw. half width at half maximum verwendet.

11.3 S p e k t r a l l i n i e n : F o r m u n d B r e i t e

411

Fiir ein freies Atom, das seine Energie nur durch strahlenden Zerfall abgeben kann, gilt wegen ~/-- ~/2: Aw

=

(11.4)

-y

Der Q-Weft der Resonanz, das Verh~iltnis von Resonanzfrequenz und Halbwertbreite, kann bei optischen Frequenzen yon 1014 - 1015 Hz leicht sehr grofie Werte yon 106 und mehr annehmen, Q = y/A

Es ist leicht einzusehen, daft mit abnehmender Linienbreite A~ einer Spektrallinie der Q-Wert und damit die Genauigkeit der Wellenl~ngen- oder Frequenzmessung steigt. Die experimentelle Prs solcher ,,scharfer" Resonanzen ist ein begehrtes Ziel der Spektroskopiker. Sie setzt ein tieferes Verst~tndnis fiir die physikalischen Mechanismen voraus, die die Position einer Linie, ihre Breite und Form bestimmen. Als untere Grenze wird gew5hnlich die natiirliche Linienbreite angesehen, die durch den spontanen Zerfall angeregter Zust~inde verursacht wird, obwohl schon seit 1/ingerem bekannt ist, daf diese Zerfallsrate dutch Eigenschaften der Umgebung wie zum Beispiel leitende oder spiegelnde Ws modifiziert wird und die Mefergebnisse systematisch beeinfluft (s. Exkurs S. 454, [120]). Wir kSnnen hier nur die wichtigsten Grenzf~ille vorstellen, eine vollst/indige mikroskopische Theorie wfirde unseren Rahmen sprengen. Auch das Zusammenwirken der verschiedenen Verbreiterungsmechanismen ist h~tufig komplex und muff durch mathematisch aufwendige Faltungen beschrieben werden.

11.3.1

Natiirliche und h o m o g e n e L i n i e n b r e i t e

Der Traum des Pr~izisionsspektroskopikers ist ein ruhendes Teilchen im freien Raum [41], dessen aesonanzlinienbreite nach Gl.(ll.4) nur noeh durch die endliche Lebensdauer T eines angeregten Zustandes begrenzt wird. Sie wird als natiirliche Linienbreite Av ----"/nat/2~ ----I/2~rT bezeichnet und ist mit dem Einstein-A-Koeflizienten der spontanen Zerfallsrate identisch, 1 ~nat =

AEinstein = -T

Fiir eine Absch~itzung der natfirlichen Breite typischer atomarer Resonanzlinien kann man bei einer roten atomarer Resonanzlinie (A -- 600 nm) in G1.(6.45) den Bohrradius reg -- a0 benutzen und findet: AEinstein ~'~ 1 0 8 s - 1 . Die Resonanzfrequenz eines freien, ungestSrten Teilchens wird immer noch durch den Dopplereffekt verschoben, den wir im n~ichsten Abschnitt besprechen werden. Nahezu bewegungslose Atome und Ionen kSnnen aber schon

412

11 L a s e r s p e k t r o s k o p i e

l~ingere Zeit routinem~it3ig in Atom- und Ionenfallen mit der Methode der Laserkiihlung tats~ichlich realisiert werden; weil die bewegungsinduzierte Frequenzverschiebung aber nut durch die Komponente der Bewegung in Richtung des anregenden oder emittierten Lichtes verursacht wird, konnte man auch schon vorher an Atomstrahlen die natfirliche Linienbreite einer atomaren oder molekularen Resonanz direkt beobachten. Die natiirliche Linienbreite ist ffir alle Teilchen eines Ensembles identisch. In diesem Fall spricht man von einer ,,homogenen" Linienverbreiterung.

11.3.2 Doppler-Verbreiterung und inhomogene Linienbreite Bei der Emission eines Photons wird nicht nur die Energiedifferenz zwischen den inneren Anregungszust~inden des Atoms davongetragen, sondern aut3erdem der Impuls hk auf das Atom mit der Masse M fibertragen. Bei kleinen Geschwindigkeiten (v/c << 1) k6nnen wir den Unterschied der Resonanzfrequenz im Laborsystem (~MLabor)und im Ruhesystem (~2Ruh ( E ' - E)/h) aus der Impuls- und Energieerhaltung entnehmen, =

Mv' + hk 1~

E ! -[- ~ Iv1 v

t2

~- hWLabo r

=

Mv

:

E + ~Mv

1

2

Unter Vernachlassigung von Beitragen der Grbfienordnung hw/Mc 2 erhalt man daraus die lineare Dopplerverschiebung WLabor = Wauh + kv

(11.5)

Die Richtung im Laborsystem (k) wird dabei entweder durch den Beobachter (in Emission) oder den anregenden Laserstrahl (in Absorption) festgelegt. Die Strahlungsfrequenz einer Quelle erscheint hbher oder blauverschoben, wenn sie sich auf den Beobachter zubewegt, niedriger oder rotverschoben, wenn sie sich entfernt. In einem Gas sind die molekularen Geschwindigkeiten nach dem MaxwellBoltzmann-Gesetz verteilt. Die Wahrscheinlichkeit f(vz), ein Teilchen bei der Temperatur T mit der Geschwindigkeitskomponentev zu finden, betr~igt

1

_(V/Vmp)2

und die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist Absolute Temperatur) Vmp =

(11.6)

(kB: Boltzmannkonstante, T:

~/2kBT/m

Die Geschwindigkeiten der molekularen Bestandteile eines Gases liegen bei gewbhnlichen Temperaturen im allgemeinen zwischen 100 und 1000 m/s, so dat3

11.3 Spektrallinien: Form und Breite

413

man typische Verschiebun.gen von kv/co = v/c ~- 10 -6 - 10-5 oder einigen 100 bis 1000 MHz erwartet. Ubliche atomare oder molekulare natfirliche Linienbreiten sind viel kleiner und werden deshalb durch die Dopplerverschiebung meist vollst/indig maskiert. Die Methoden der Dopplerfreien Spektroskopie sind aus diesem Grund fiber viele Jahre ein wichtiges Forschungsthema gewesen. Wenn die Abstrahlung der Molekfile ansonsten ungest6rt ist, kann man die spektrale Linienform und -breite der Absorptionslinie des Gases aus der Uberlagerung aller mSglichen ungestSrten Absorptionsprofile nach G1. (11.3) gewinnen,

D(co) =

/2 evzf(v

) (co + kv )

(2O

Wenn a(co) Lorentzform besitzt, wird das mit dieser mathematisehen Faltung besehriebene Linienprofil aD als Gaufl-Voigt-Profil bezeiehnet. Bei Raumtemperatur ist in vielen Gasen die Zerfallsrate ~/eines optisehen Ubergangs sehr viel kleiner als die Dopplerversehiebung kv. Dann/indert sieh die Verteilungsfunktion f(vz) praktiseh nieht in dem Bereieh, in dem a(co + kv~) wesentlieh yon Null versehieden ist, sie kann dureh ihren Wert bei v~ = (co- coo)/k ersetzt und vor das Integral gezogen werden. Die Integration fiber die verbleibende Lorentzkurve ergibt einen konstanten Faktor 7r ~/!

an(co) = So f (co \

-

kW~ k~X + I/Io

und man erhilt mit x/~ In 2 = 2, 18 schliefilich das Gaufiprofil 2, 18. a0

~/

(

O/D(CO) ---- V/1 +/)-I0 ACOD exp \ - l n 2

fco-coo~ \ ACOD/2] ,]

(Ii.7)

in welchem wir bereits die Doppler-Halbwertbreite oder kfirzer Dopplerbreite

/8kBT In 2 = co0v

eingeffihrt haben. Der Absorptionskoeffizient ist ungefihr um den Faktor 7'/WD reduziert, denn die Linienstarke wird nun auf einen sehr viel gr6fleren Spektralbereich verteilt. Es lohnt sich, die Dopplerbreite in Einheiten der dimensionslosen atomaren Massenzahl M und der absoluten Temperatur T in Kelvin auszudrficken, AUD ----AWD/27r ----7, 16 10-TV@-/M 9Vauh

(11.8)

Die Doppler-Verbreiterung ist ein Beispiel ffir eine ,,inhomogene" Linienbreite. Im Gegensatz zur homogenen Linienbreite tr/igt jedes einzelne Teilchen dazu mit einem anderen, yon seiner Geschwindigkeit abh/ingigen Spektrum bei.

11 Laserspektroskopie

414

11.3.3

Druek-Verbreiterung

Abb. 11.4 StSrung yon Strahlungsprozessen durch StSfle in einem neutralen Gas. Die Dauer der StSfle ist sehr kurz gegeniiber der Stoflrate (TZt1) und gegengtber der Lebensdauer des angeregten Zustandes. Der Einflufl der StSfle kann durch zufdllige Phasenspriinge einer ansonsten ungestSrten harmonische WeUe modelliert werden.

In einem Gasgemisch erleiden Atome und Molekfile st~ndig StSt3e mit Nachbarteilchen, die ffir kurze Zeit die Bewegung der Hfillenelektronen stSren. Wahrend des Stot3es ist die Frequenz der Abstrahlung gegenfiber dem ungestSrten Fall leicht ver~ndert. Bei neutralen Atomen oder Molekfilen kann die Wechselwirkung zum Beispiel durch eine van der Waals-Wechselwirkung beschrieben werden, die eine gegenseitigen Polarisierung der Stot3partner verursacht. In einem Plasma ist die Wechselwirkung der geladenen Teilchen sehr viel starker. Es ist nfitzlich, sich zun~chst fiber die typischen Zeiten Rechenschaft abzulegen, die diese Prozesse bestimmen und in Tab. 11.1 zusammengefaBt sind. Die Wechselwirkung zwischen neutralen Teilchen ist generell kurzreichweitig, das heit3t sie ist nur auf einer kurzen Distanz, die etwa dem Durchmesser des Atoms oder Molekfils gleicht, von Bedeutung. Die Stoflzeit kann man daher aus der typischen Flugzeit fiber einen atomaren Durchmesser absch~tzen. Bei thermischen Geschwindigkeiten finden danach wahrend des Stot3es noch einige 10 bis 1000 Schwingungszyklen statt. Well der mittlere zeitliche Abstand zwischen den St6t3en (oder die inverse Stot3rate), der nach der bekannten Formel TAbstand naAV aus dem Stot3querschnitt aA und der mittleren Geschwindigkeit v ermittelt wird, dagegen selbst unter atmosph~rischen Bedingungen viel gr5t]er ist als die Stot3dauer selbst, wird die elektronische Bewegung andererseits nur selten durch die StSt3e gest6rt. In einem einfachen Modell kann man deshalb alle Details der molekularen Wechselwirkung vernachl~ssigen und die Wirkung des Stot3es auf eine zuf~llige Phasenverschiebung der ansonsten ungestSrten optischen Schwingung reduzieren. =

11.3 Spektrallinien: Form und Breite

415

Tab. 11.1 Relevante Zeiten bei der Stoflverbreiterung

Prozefl

II

Optischer Zyklus Stot3zeit

Formel

Bedingungen

Topt = 1/Vop t

10 - 1 4 - - 10--158

0-coll = dAtom/Vther m

StoBabstand

T ----300K T -- 300K n = 1019cm -3

~-= naAVtherm

Lebensdauer

~- =

Dauer

-1

10 -12 - 10-138 10-7 -- 10-gs 10-Ss

AEinstein

dAtom = 22~, ~ A = 71"d2tom/4

Dazu betrachten wir zun~chst das Intensit~ts-Spektrum 5I(w) eines ged~mpften harmonischen Wellenzuges, der bei to beginnt und nach einer zufallig gewahlten Zeit T einfach abgebrochen wird: 2

61 = Io 9 ft t~

e(-i(~~

dt

= Io 9 e-2,~lto

e(i(wo-w)-70~-

1

2

Die Abh~ngigkeit von der Anfangszeit to k6nnen wir durch Integration sofort eliminieren, I ( w ) = 2 7 ' f 5I(w, to)dto. Die Phasensprfinge und damit die L~ngen der ungestSrten Strahlungszeiten sind zuf~llig verteilt und treten mit einer mittleren Rate %t -- T~ 1 auf. Dann k6nnen wir die Form der stoBverbreiterten Spektrallinie mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(T) = e--T/r"t/Tst berechnen, fo ~ e (i(~~

-- 1

= •

2 e_T/T~ t

--dT

Das Ergebnis lautet :

Io

7' + %t +

+%02

Die Lorentzform bleibt erhalten, die Rate der Stot3verbreiterung %t rout3 aber zur transversalen Relaxationsrate 7 t addiert werden. Die Linienform ist wie die natiirliche Linienbreite homogen verbreitert. Spektroskopische Linien werden nicht nur durch die Druckverbreiterung, sondern auch durch eine Druckverschiebung des Schwerpunktes einer Linie beeintr~chtigt. Mit zunehmendem Druck steigt die Anzahl der StSi3e zwischen den Teilchen eines Gases. Naiv kSnnen wir uns vorstellen, dab das Aufenthaltsvolumen der Htillenelektronen reduziert wird und eine ErhShung der Bindungsenergie verursacht. Die Druckverschiebung verursacht deshalb im allgemeinen eine Verschiebung zu blauen Frequenzen hin.

416

ii Laserspektroskopie

11.3.4 Durchflugszeit-Verbreiterung Die Materie-Licht-Wechselwirkung von Atomen und Molekiilen in einem Gas oder in einem Atomstrahl ist meistens von endlicher Dauer. Zum Beispiel benStigt ein Atom 7tr = 2 #s, um mit v = 500 m / s einen Strahl vom Querschnitt d -- 1 m m zu durchqueren. Die Relaxation vieler optischer 0 b e r g i n g e Abb. 11.5 Durchflug yon Atomen durch findet eher auf der Nanosekundenskala einen Laserstrahl. statt, in der das Atom hSchstens einige # m zuriicklegt. Die stationiren LSsungen fiir (6.32) sind in diesen F~illen eine gute N~iherung. In fokussierten Laserstrahlen oder bei langsam zerfallenden 0berg~ingen wird das Gleichgewicht aber nicht mehr erreicht, und die Linienform wird durch die begrenzte Wechselwirkungszeit bestimmt, die zum Beispiel durch die Durchflugszeit gegeben ist. Solche UbergKnge sind aber besonders interessant, u m b e i niedrigen Intensitaten sehr scharfe Resonanzlinien fiir Pr~izisionsmessungen zu erzielen. Die Zweiphotonen-Spektroskopie am atomaren Wasserstoff (s. das Beispiel auf S. 422) liefert dafiir ein ungewShnlich schSnes Beispiel. In diesem Fall gilt f~a, Ttr ~ ')/und wir kSnnen annehmen, daft die Population des Grundzustandes praktisch nicht ge~indert wird ( w ( t ) -~ w0 -- - 1 ) . Wir miissen die erste optische Blochgleichung aus (6.34) 15sen, d d ~pog = v-jizpog = - ( y

+ i~)pog + i~R(z)

,

wobei die Rabifrequenz, f~a(Z) = ( d ~ g $ O / h ) e x p ( - ( Z / W o ) 2 ) / v / i f , nun eine Punktion der Position im Laserstrahl ist, den wir in GauBform mit 1/e2-Radius w0 annehmen. Wir berechnen den mittleren Absorptionskoeffizient eines einzelnen Dipols mit der Geschwindigkeit v naeh G1.(6.21), (a(v)) -

w 1 2 I wo

F

~

(11.9)

dzC2~m{degs

Bevor das Teilehen in das Lichtfeld eintritt, gilt peg(Z = --O~) = 0. Man findet die allgemeine LSsung

peg(Z, v) = i

+ i )z/v f_' oo

+ i )z'/v V

Wenn die typische Durchflugszeit klein ist gegen die typische Zerfallszeit, ")/<< ----I TTOF, k6nnen wir ,~! vernachl~issigen. Unter Einsetzen von Peg(Z, v) kann man

11.4 Doppler-freie Spektroskopie

417

dann G1.(11.9) mit elementaren Mitteln auswerten, w Idegg012Wo e_(~Wo/2V) 2

( ~ ( v ) ) - 2i

h

Um den Absorptionskoeffizienten einer gasfSrmigen Probe mit zylindrischem Laserstrahl zu bestimmen, muff man noeh fiber alle mSgliehen Trajektorien und Gesehwindigkeiten summieren, erh~t dabei aber lediglieh einen modifizierten effektiven Strahlquersehnitt, dessen Details wir hier fibergehen. Die Summation der Gesehwindigkeitsverteilung in einem zweidimensionalen Gas (f (v)dv = (v /~ 2) exp(-(v /V)2)dv (die Geschwindigkeitskomponente entlang der Laserstrahlriehtung spielt hier keine Rolle) ergibt das Resultat

~(~)

=

// dvf(v)(oL(v))

---- ~oe--I~Wo/~l

_-- ~0e--I~TOFI

,

dessen Form in Abb. 11.3(e) sehon vorgestellt wurde. Die effektive Breite dieser Linie wird dutch ~TOF = Wo/~ bestimmt.

11.4

Doppler-freie Spektroskopie

Die Linienbreite atomarer und molekularer Resonanzen wird bei Raumtemperatur gewbhnlich dutch den Doppler-Effekt dominiert. Die intrinsischen und physikalisch attraktiven Eigenschaften eines isolierten Teilchens treten in der Spektroskopie erst bei der Geschwindigkeit v--0 zutage. In der Laserspektroskopie ist es gelungen, ,Doppler-freie" Spektren zu pr~parieren. Die spektroskopische AuflSsung wird dadurch bei optischen Frequenzen typischerweise um den Faktor 100 oder mehr gesteigert. 11.4.1

Abb. 11.6 Diodenlaser-Spektroskopie

am

Indium-A tomstrahl.

Spektroskopie am Atomstrahl

Sobald durchstimmbare Laser in den 70er-Jahren verffigbar waren, wurden hochaufl6sende optische Spektren an Atomstrahlen gewonnen. Bei solchen Experimenten werden routinem~flig AuflSsungen von A u / u ~_ 108 und mehr erzielt. Seit kurzem kann man auch blaue Diodenlaser (s. Exkurs S. 341) ffir

418

11 Laserspektroskopie

diesen Zweck einsetzen - noch vor ganz wenigen Jahren ein kaum vorstellbares Experiment. Das Beispiel in Abb. 11.6 wurde an einem Indium-Atomstrahl gewonnen. Die transversalen Geschwindigkeiten wurden durch geeignete Blenden auf v < 5 m / s beschr~inkt, so dai~ der restliche Doppler-Effekt kv < 10 MHz auf jeden Fall kleiner als die natiirliche Linienbreite von 20 MHz blieb.

11.4.2 S~ittigungsspektroskopie Durch ein Laserlichtfeld werden Atome in den angeregten Zustand befSrdert und ver~indern dadurch die Besetzungszahldifferenz. Wenn es sich um ein inhomogen verbreitertes Linienprofil wie das Doppler-Profil handelt, dann wird bei nicht zu grofier Intensit~it ein spektrales Loch in die Geschwindigkeitsverteilung ,,gebrannt" (In Abb. 11.7 qualitativ dargestellt). Grunds~itzlich kann man die von einem Laserstrahl modifizierte Verteilung nun mit einem weiteren Lichtfeld spektroskopisch ,,abfragen". Noch einfacher ist es, die Probe mit zwei gegenl~iufigen Laserstrahlen anzuregen. Abb. 11.7 zeigt ei-

Abb. 11.7 Prinzip der Siittigungsspektroskopie. Rechts oben: Durch einen Laserstrahl m i t Frequenz w wird bei k v = Wo - w ein spektrales Loch in die Geschwindigkeitsverteilung im Grundzustand gebrannt und eine schmale Besetzung i m angeregten Zustand erzeugt.

ne der einfachsten m5glichen Anordnungen zur sogenannten ,,S~ittigungsspektroskopie". Zur Vereinfachung in der theoretischen Beschreibung nehmen wir an, daft die Intensit~iten von S~ittigungs- und Sondenstrahl schwach sind im Vergleich zur S~ittigungsintensit~t (G1.(6.37)), Isat,p/I0 << 1, und sich untereinander nicht direkt beeinflussen. Wir wollen den Absorptionskoeffizienten nach

11.4 Doppler-freie Spektroskopie

419

Gl.(ll.2) berechnen, verwenden wieder die Maxwell-GauBsche Geschwindigkeitsverteilung f n ( v ) aus G1.(11.6) und ffihren die Dopplerintegration aus, ap(5)---- ~-~

dVfD(v) degE v+(5, v) C~

Wir unterseheiden den vor- (,, +") und den riicklaufenden (,,-") Laserstrahl und verwenden nach G1.(6.40) v+(5, v) = -7'deg~W~/(1 + ( ( 5 - kv)/7')2) , setzen in Anlehnung an (6.35) aber w~ -- - 1 / ( 1 + s-) -~ - ( 1 - s-) ein, um die Modifikation der Besetzungszahl durch den zweiten, gegenl~ufigen Laserstrahl mit S~ttigungsparameter s - -- (Is~t/I0)/(1 + ((5 + kv)/7') 2) zu erfassen. Weil das Dopplerprofil im Vergleich zu den schmalen, Lorentz-fSrmigen Beitr~gen jeder einzelnen Geschwindigkeitsklasse nur langsam variiert, k5nnen wir fD(v) wieder an der Stelle 5 = U~o- kv vor das Integral ziehen:

To

e 7,2+(kv -5)27,2+(kv +

"

Die Auswertung des Integrals [110] ergibt wiederum eine Lorentzkurve, die wegen unserer Annahme sehr geringer S~ttigung (s • << 1) die natiirliche Linienbreite besitzt:

Die Sattigungsresonanz tritt genau bei der Geschwindigkeitsklasse mit v=0 auf. Die vollstandigere Rechnung zeigt, dab die Breite der von beiden Lichtfeldern ges~ttigten Breite entspricht Ell0], in der 7' durch 7sat ----7'V/1 + I / I o ersetzt wird (s. auch Gl.(11.3)). Das Konzept der S~ttigungsspektroskopie erklart das Auftreten der spektralen L6cher im Doppler-Profil (oder in anderen inhomogen verbreiterten Linienformen), wird aber in einem realistischen Experiment durch viele weitere Ph~inomene wie zum Beispiel optisches Pumpen oder magnetooptische Effekte beeinflu•t, die etwas ungenau alle unter dem Begriff ,,S~ttigungsspektroskopie" zusammengefat3t werden.

Abb. 11.8 Dopplerprofil mit Lorentz-fSrmiger SSttigungsresonanz. Die Doppler-freie Linie fiihrt zu erhShter Transparenz.

Ein einfaches und in der Interpretation doch komplexes Experiment kann man mit Diodenlasern an einer C~isium- oder RubidiumDampfzelle ausfiihren, die bereits bei Zimmertemperatur einen Dampfdruck besitzen, der zu Absorptionsl~ngen yon nur wenigen cm L~nge ffihrt. In

420

11 Laserspektroskopie

Abb. 11.9 sind charakteristische Absorptionslinien zusammen mit einem Energiediagramm der C~isium-D2-Linie bei 852,1 nm vorgestellt.

Abb. 11.9 S~ittigungsspektren an einer C~sium-DampfzeUe. Hier sind die F=3 --* F=2,3,4Linien der D2-Linie gezeigt. Das zweite Hyperfeinstruktur (F=4) des Grundzustands ist 9,2 GHz entfernt und hier nicht zu sehen. Der Ubergang F - 3 --* F - 5 ist nach den DipolAuswahlregeln ( A F = 0,=t=1) nicht m6glich. Die Abstiinde der Hyperfeinstrukturniveaus im angeregten Zustand sind in MHz angegeben.

Nach unserer einfachen Annahme erwarteten wir 3 linienfSrmige Einbrfiche in der Absorption, zu sehen sind jedoch 6! Und damit nicht genug, wenn das Magnetfeld manipuliert wird in den oberen Spektren ist das Erdmagnetfeld von 0,5 Gauss mit Hilfe von Kompensationsspulen auf unter 0,01 Gauss reduziert worden -, dann beobachtet man sogar eine Umkehr der Linien. Die Ursachen des komplexen Verhaltens sind in [151] ausffihrlich erl~iutert und kSnnen hier nur angedeutet werden: 9 L i n i e n a n z a h l . Bei Geschwindigkeiten v ~ 0 kSnnen auch zwei verschiedene angeregte Zust~inde gleichzeitig angekoppelt werden, wenn die Frequenzdifferenz durch den Doppler-Effekt kompensiert wird. Dann treten zus~itzliche Resonanzen auf, die als c r o s s - o v e r - L i n i e n bezeichnet werden. In Abb. 11.9 sind drei solche F~ille zu sehen, zum Beispiel bei w = (~dF=3--.F= 4 ~- 02F=3-.F=3)/2. Sie sind hier sogar besonders ausgepr~igt, weil eines der Laserfelder das eine der beiden unteren Hyperfein-Niveaus (F--3) zugunsten des anderen (F=4) durch optisches P u m p e n (,,Depopulations-Pumpen") entleeren kann und dem anderen Lichtstrahl dadurch Absorber entzieht. 9 L i n i e n u m k e h r . In einfachen Laboraufbauten wird man keine Sorge tragen, das Erdmagnetfeld von 0,5 G zu kompensieren, und beobachtet dann die untere Form des Spektrums in Abb. 11.9. Das Erdmagnetfeld, das keine wohl definierte Richtung relativ zur Laserpolarisation besitzt, ist einerseits zu klein,

11.4 Doppler-freie Spektroskopie

421

um die Linien sichtbar aufzuspalten. Andererseits spielen die magnetischen Momente doch schon eine Rolle, weil sie ihre Orientierung durch Pr~zession schnell ~ndern und dadurch alle, ohne Ausnahme vom Lichtfeld angeregt werden kSnnen: Die m-Quantenzahl ist im Erdmagnetfeld keine ,,gute" Quantenzahl. Wenn diese Prazession unterdrfickt wird, kSnnen Atome durch optisches Pumpen einerseits in sogenannten ,,dunklen Zust~nden"gefangen werden, nehmen nicht mehr am Absorptionsprozefi tell (Depopulations-Pumpen) und erhShen die Transparenz. Aber auch der entgegengesetzte Effekt tritt auf, wenn sie bei einer geeigneten Wahl von Frequenzen oder Polarisationen (in Abb. 11.9: tin_l_ tin) in absorbierende Unterzust~iade zuriickgepumpt werden (RepopulationsPumpen) und die Absorption dadurch erhShen. Detailliertes Verst~ndnis setzt hier eine genauere Kenntnis der Niveaustruktur voraus.

11.4.3 Zweiphotonen-Spektroskopie In der Wechselwirkung von Licht und Materie stehen elektrische Dipoliiberg~iage gewShnlich im Zentrum des Interesses, weil ihre relative St~rke alle anderen Typen dominiert. Wir interpretieren diese Prozesse als Absorption oder Emission eines Photons, iibrigens ohne daft wir den Begriff ,,Photon" [135] tiberhaupt n~her festgelegt haben. Neben der Dipolwechselwirkung treten aber auch hShere Multipoliiberg~nge oder Mehrphotonenprozesse auf, und letztere sind nichtlineax in den Intensit~ten der beteiligten Lichtfelder. Ein einfaches und schSnes Beispiel ist die ZweiphotonenSpektroskopie. Dabei wird in einem Atom oder Molekiil eine Polarisation P2ph c(EI(W1)E2(w2) induziert, welche Absorption yon Strahlung verursacht. Abb. 11.10 Zwei-PhotonenZweiphotonen-Uberg~nge befolgen andere Spektroskopie: Doppler-Untergrund Auswahlregeln hinsichtlich der beteiligten und Doppler-freie Resonanzlinie. Anfangs- und Endzust~nde, zum Beispiel muff A t = 0, +2 fiir die Drehimpulsquantenzahl gelten. Ferner kann die Berechnung der ()bergangswahrscheinlichkeiten Probleme bereiten, wobei wir adhoc erwarten, daft Matrixelemente die Form

((ildEllS)(:IdE21f) (ildE21s)(sldE~If) ) M~f -- V

~, E~ - E~ -

~o.)1

"-[-

Eii=--Ess= h~w2

422

11 Laserspektroskopie

besitzen mfissen [154]. Das Betragsquadrat wird also proportional sein zum Produkt I112 der beiden beteiligten Felder, und eine ausffihrlichere Rechnung zeigt, dat3 man wie beim Einphotonen-Prozet3 eine Lorentzlinie mit der Breite 7 ~ = 1/T2 erh~lt, die im Fall freier Atome mit der natiirlichen Linienbreite identisch ist. Auch ein einfacher, anharmonischer Oszillator vermittelt einen Eindruck vom Ursprung der Zwei-Photonen-Absorption (Abschn. 13.1). Die Zweiphotonen-Spektroskopie erlaubt wie die S~ttigungsspektroskopie die Erzeugung geschwindigkeitsunabh~ngiger Signale bei v -- 0. Dazu mut3 die Absorption aus zwei exakt gegenl~iufigen Laserstrahlen gleicher Frequenz erfolgen, denn dadurch wird die lineare Dopplerverschiebung gerade kompensiert: (Ez - E 2 ) / h =

wl + k v + w2 - k v

A]s Ergebnis erh~ilt man Doppler-freie Spektren~ deren Linienbreite durch die natfirliche Lebensdauer oder bei sehr langlebigen Zust~nden yon der Durchflugszeit (s. Kap.ll.3.4) begrenzt wird. Im Unterschied zur S~ttigungsspektroskopie tr~gt aber nicht nur eine einzelne Geschwindigkeitsklasse bei v -- 0 mit der Breite Av = 7 / k zum Signal bei, sondern alle Geschwindkeitsklassen! Die Gesamtst~rke der Doppler-freien Resonanzlinie ist daher ebenso groJ3 wie diejenige der Doppler-verbreiterten und sehr leicht yon dieser zu trennen (Abb. 11.8).

Beispiel: Die M u t t e r aller Atome: Zweiphotonen-Spektroskopie a m Wasserstoff-Atom

Abb. 11.11 Zweiphotonen-Resonanz des ls-2s-Ubergangs von atomarem Wasserstoff. Mit freundlicher Erlaubnis yon T.W. Hdnsch [76].

Ein besonders reizvolles Atom ffir die Spektroskopiker ist das Wasserstoff-Atom, weil es als Zwei-K6rper-System im Gegensatz zu allen anderen Systemen einen direkten Vergleich mit theoretischen Vorhersagen, insbesondere auch der Quantenelektrodynamik, erlaubt: 2 Seine Energieniveaus sind im Prinzip nur durch die Rydberg-Konstante bestimmt, die heute als Ergebnis der ZweiphotonenSpektroskopie die am genauesten vermessene physikalische Konstante iiberhaupt ist.

2Diese Behauptung wird allerdings in Frage gestellt, denn die physikalische Aussagekraft der extrem genauen Messungen wird derzeit begrenzt durch die vergleichsweise ungeniigende Kenntnis der Struktur des Protons, das aus mehreren Teilchen besteht und eben nicht wie vonder Theorie vorausgesetzt punktfSrmig ist.

11.4 Doppler-freie Spektroskopie

423

Die interessanteste Ubergangswellenl~inge ffir PNizisionsmessungen betNigt 2 x 243 nm (Abb. 11.11) und ist damit auch experimentell sehr viel angenehmer zu erzeugen als die 121,7 nm der unmittelbar benachbarten ls-2p-Lyman-a-Linie. Im Gegensatz zum benachbarten 2p-Zustand (Lebensdauer 0,1 ns) betr~igt die Zerfallsrate dieses metastabilen Niveaus nur ungefiihr 7 s -1 und verspricht eine ganz ungew6hnlich schmale Linienbreite von nur 1 Hz! T. H~insch und seine Mitarbeitern haben dazu den ls-2s-Ubergang von atomarem Wasserstoff seit vielen Jahren immer genauer studiert und haben dieses Ziel in greifbare N~ihe geriickt, ihr bester publizierter Wert betr~igt derzeit etwa A~ _~ 1 kHz bei 243 nm [76], das ist bei einer Ubergangsfrequenz von ~ls2s = 2466 THz bereits ein Q-Wert von mehr als 1012! Durch einen phasengenauen Vergleich der optischen Frequenz mit dem Zeitnormal der C~isiumAtomuhr ist die ls-2s-lJbergangsfrequenz inzwischen zur genauesten bekannten optische Frequenz (und damit auch Wellenl~inge, s. S. 42) iiberhaupt geworden [123]: fls2~ = 2 466 061 413 187, 103(46)kHz Bei der Registrierung der Spektren ist ein weiterer interessanter spektroskopischer Effekt zutage getreten: Die beobachteten Linien sind asymmetrisch und mit zunehmender Geschwindigkeit der Atome geringffigig zu roten Frequenzen hin verschoben. Die Ursache ist der Doppler-Effekt zweiter Ordnung, der bei der Zweiphotonen-Spektroskopie nicht unterdrfickt wird und beim Wasserstoff-Atom wegen seiner geringen Masse und daher hohen Ge- Abb. 11.12 Doppler-Effektzweiter Ordnung im schwindigkeit schon eine wichtige Zweiphotonen-Spektrum des atomaren WasRolle spielt, serstoffs. Die Linienverschiebung durch den Doppler-Effekt zweiter Ordnung ist proportional zu A~2.o. = w(v/c)2/2 und kann durch die aus der speziellen Relativit~itstheorie bekannte Zeitdilatation erkl~irt werden: Im bewegten System des Atoms scheint die Zeit langsamer zu vergehen als fiir den ruhenden Beobachter. Im Experiment werden die verschiedenen Linienformen aus Abb. 11.12 als Funktion der Temperatur der Dfise beobachtet, aus welcher die Wasserstoffatome mit einer entsprechenden Geschwindigkeitsverteilung in das evakuierte Spektrometer strSmen und dort auf etwa 30 cm L~inge durch den anregenden UV-Laserstrahl fliegen. Die Linienbreite wird durch die Durchflugszeit bestimmt.

424

11.5

11 Laserspektroskopie

Transiente Ph

inomene

Wit haben die Wechselwirkung zwischen einem Lichtfeld und einem Materieteilchen anhand der optischen Blochgleichungen (Glgn.(6.32)) bisher meistens im Hinblick auf station/~ren LSsungen betrachtet. Im letzten Abschnitt haben wir aber schon das dynamische Verhalten untersuchen mfissen, um die Durchflugszeitverbreiterung langlebiger Zust/inde zu beschreiben. Ganz generell ist es auf einer Zeitskala, die kurz ist gegen die relevanten D/~mpfungszeiten T1,2, immer notwendig, auch die dynamischen Eigenschaften zu berficksichtigen. Als Beispiele studieren wit wichtige Spezialfiille: Pi-Pulse, schnelle Einschaltvorg/~nge und die Einwirkung einer Folge kurzer Lichtimpulse.

11.5.1 H-Pulse Wit betrachten zu Beginn noch einmal den unged/impften Fall der optischen Blochgleichungen nach G1.(6.29). Ffir den h/~ufigen Fall, dat3 sich ein Atom zu Beginn im Grundzustand befindet ( w ( t = O) = - 1 ) , findet man leicht ffir 5 -- 0 die resonante LSsung (u, v, w ) ( t ) = ( 0 , - sin ( 0 ( t ) ) , - cos (0(t)))

,

die eine Rotation des Blochvektors in der vw-Ebene verursacht. Der Winkel 0(t) entspricht genau der Pulsfl/iche O(t) =

~t,(t')dt' -

go(t')dt'

(11.10)

Wenn die Pulsfl/~che den Wert 0 = ~ annimmt, dann wird das Atom genau in den angeregten Zustand befSrdert. Wenn der Wert 2~ betr/~gt, dann beendet das Atom die Wechselwirkung wieder im Grundzustand. Um abzusch~tzen, wann dieser Fall auftritt, betra~hten wir atomare Resonanzlinien, die ein Dipolmoment de~ ~- eao -- 0.85 x 10 -29 Cm besitzen, und Lichtimpulse mit konstanter Intensit/~t und der zeitlichen L/inge T. Dann kann man nach G1.(6.28) aus ~ = ( e a o / h ) goT die erforderliche Lichtintensitit ffir gegebene Pulsl/ingen bestimmen. Man findet den zunichst enorm hoch erscheinenden Wert I0 -~ 120 k W / m m 2 (T/ps) -2 Man mut3 aber bedenken, dab die Pulse nut von sehr kurzer Dauer sind, so dab die mittlere Leistung eines Pikosekunden-Lasers gar nicht so sehr hoch sein mut3. Die meisten kommerziellen Modelle arbeiten bei einer Pulsfolgefrequenz von 80 MHz und man ben6tigt fiir eine F1/~che von 1 m m 2 die mittlere Gesamtleistung (P> ----80 MSz x W x Po -~ 10 W x (W/ps) -1. Obliche Systeme

11.5 Transiente Ph~inomene

425

erreichen eine typische Ausgangsleistung von 1 W, die aber leicht ausreicht, wenn man die Pulsl~inge geringfiigig auf 10 ps erhSht. Die Anregungszeit betr~igt auch dann nur ca. 1/1000 der Lebensdauer eines angeregten atomaren Zustandes.

11.5.2 Einschwingvorg~inge: Free Induction Decay Zu Beginn oder am Ende einer Wechselwirkungsperiode treten in der LichtMaterie-Wechselwirkung Einschwingvorg~inge wie bei dem klassischen ged~impften Oszillator aus Abschn. (6.1.1) auf, dessen station~res Verhalten eine Schwingung mit der erregenden Frequenz w zeigt. Unmittelbar nach dem Ein- oder Ausschalten erwarten wir aber auch eine Bewegung mit seiner Eigenfrequenz w0, die allerdings sehr schnell ausged~mpft wird (mit der Zeitkonstante 7-1). Allgemeine zeitabh~ngige L6sungen der (optischen) Blochgleichungen sind schon 1950 von Torrey [3] angegeben worden. Sie sind aber nut in Spezialfiillen wie zum Beispiel bei exakter Resonanz (5 = 0) iibersichtlich und leicht interpretierbar. Die dynamischen Ph~inomene sind unter dem Namen ,,optische Nutation" bekannt und sind vor allem an isolierten Teilchen zu beobachten. Ein interessanter Fall tritt unter der Bezeichnung Free Induction Decay (FID) auf. Man versteht unter diesem Freien Induktionszerfall insbesondere den Zerfall der makroskopischen Polarisation einer Probe bei Abwesenheit von Laserlicht, zum Beispiel nach Anwendung eines sehr kurzen Laserpulses hoher Intensit,it. Die Entwicklung der Blochvektorkomponenten h~ingt selbstverst~indlich v o n d e r Verstimmung ab, u = u(t, 5). Bei sehr grofier Intensit~t (~a >> 5) und sehr kurzen Zeiten kSnnen wir die Verstimmung aber zun~chst vernachlassigen, weft der Blochvektor w~hrend der Anregung gar keine Zeit hat, um einen signifikanten Winkel zu priizedieren. Wir benutzen zweckmafiig die G1.(6.34) und erhalten mit dem Rabiwinkel aus G1.(11.10)

u(0,5) +@(0,5) peg(t, 5) = isinOe -(~'+i~)t peg(0,5) =

= isin0

und (11.11)

In einer grot3en Probe liegt h~iufig eine inhomogene Verteilung f(wo) von Eigenfrequenzen der einzelnen Teilchen und damit der Verstimmungen 5 = w - w0 vor. In einer Gaszelle wird diese Verteilung zum Beispiel durch die DopplerVerschiebung mit 5D = AWD/2V/-~ 2 bestimmt, 1

f(5)

_ (5/5D) 2

=

Die makroskopische Polarisation berechnen wir nach

P(t) = NAtdege-i~~

f - i f(5)e--(5/SD)2e--(7' + iS)td5

(11.12)

426

11 Laserspektroskopie

Wenn wir den langsamen Zerfall (~/<< 5D) vernachl~issigen, dann l~iBt sich das Integral leicht auswerten, P ( t ) ---- NAt 3 p - - i w o t ~ - - ( J n t / 2 ) 2

---~--~eg~

Es zerf~llt mit der Halbwertzeit T* - 41n2 -<< ~/--1 ik) D und damit sehr viel schneller als die mikroskopische Polarisation, deren Relaxation gew6hnlich die schnellste Zeitskala bestimmt. Der schnellere Abfall wird durch den Zerfall der Phasenkorrelation zwischen den Dipolen verursacht. Zur Beobachtung werden erhebliche Anforderungen an die ZeitaufiSsung gestellt, die typischerweise besser als 1 ns sein muff. In der mittleren Reihe in Abb. 11.13 ist die zeitliche Entwicklung des Strahlungsfeldes gezeigt, das durch die makroskopische Polarisation verursacht wird und das kooperative Strahlungsfeld aller angeregten mikroskopischen Dipole der Probe enth~ilt. Anfangs verursacht konstruktive Interferenz der Dipolfelder ein Strahlungsfeld, das sich genau in Richtung des anregenden Laserstrahls ausbreitet. Bei perfekt synchronisierter Phasenentwicklung der mikroskopischen Dipole wfirde man durch die sogenannte ,,Superradianz" eine gerichtete, beschleunigte und vollst~indige Abstrahlung der Anregungsenergie beobachten. In einer inhomogenen Probe wird diese Emission aber durch den Zerfall der Phasensynchronisation (,,Dephasierung") sehr schnell gestoppt, die gespeicherte Anregungsenergie wird dann mit geringerer Rate nur noch durch die gewShnliche spontane Emission und ungerichtet abgegeben.

11.5.3

Photonen-Echo

Die Methode der ,,Photonen-Echos" an inhomogen verbreiterten Linien ist wie viele andere optische Ph~nomene - durch die ,,Spinecho"-Methode bei Radiofrequenzen angeregt worden, die von I. Hahn in der Kernspinresonanz entdeckt worden war. Wenn eine Probe durch zwei oder mehr kurze Lichtimpulse (T << 7~-1) angeregt wird, wird vonder Probe unter bestimmten Bedingungen ein ,,Echo-Puls" emittiert, der den Anregungspulsen in der Richtung nachl~uft und scheinbar aus dem Nichts kommt. Dieser Widerspruch erklart sich aus der unterschiedlichen Entwicklung der mikroskopischen und der makroskopischen Polarisation in einer makroskopischen Probe, die wir gerade schon im Freien Induktionszerfall kennengelernt haben. Die Photonenechos kSnnen natiirlich nur innerhalb der natiirlichen Lebensdauer der mikroskoskopischen Polarisation beobachtet werden.

11.5 TransientePh~inomene

427

Abb. 11.13 Freier Induktionszerfall (FID) und Photonenecho. Im Beispiel wird eine Probe dutch einen ~r/2-Puls und nach der Zeit T << 9'-1 mit einem 7r-Puls angeregt (obere Zeile). Nach dem ersten Lichtpuls wird zuniichst der freie Induktionszerfall (FID) beobachtet, der durch anfiinglich kooperative Emission aller angeregten Atome entsteht und in der Richtung des Anregungslasers emittiert wird (mittlere Zeile). Danach zerfiillt die mikroskopische Polarisation weiterhin durch spontane Emission. Nach der Zeit 2T wird ein Echopuls in derselben Richtung beobachtet. Die Prdzession der Blochvektorkomponenten in der u-v-Ebene ist in der unteren Zeile markiert.

Wir betrachten die Entwicklung eines individuellen einzelnen Dipols mit der Verstimmung 5 unter der Wirkung zweier resonanter Lichtimpulse. Nach der Zeit T hat der Dipol nach G1.(11.11) den Wert peg(T, 5) = i s i n O e -(~/' + i S ) T

erreicht. Die Anwendung eines ~r-Pulses erzeugt nun eine Inversion der (v, w)Komponenten. Formal ist diese Situation identisch mit einer Spiegelung der Verstimmung, d.h. nach dem ~r-Puls gilt peg(t, 5) = i s i n O e - ( ~ / - i S ) T e - ( 7 ' + i S ) ( t - T )

,

Die Entwicklung der makroskopischen Polarisation kSnnen wir nach G1. (11.12) sofort angeben, NAt d e - i w ~ e - ( 5 ~ P ( t ) = --V-- e g

- 2T)/2)2e -~/'t

Nach der Zeit t = 2T wird danach die Phasenkorrelation aller mikroskopischer Dipole wiederhergestellt und verursacht erneut die kooperative Emission eines Strahlungsfeldes in Riehtung der anregenden Lichtstrahlen. Dieser Puls wird als ,,Photonenecho" bezeiehnet.

428

11 Laserspektroskopie

11.5.4 Quanttun Beats Bei der synchronen Anregung von zwei oder mehr elektronischen Zust~inden mit einem kurzen Lichtimpuls kann man in der nachfolgenden Fluoreszenz eine ged~impfte Schwingung beobachten. Diese Oszillationen werden gewShnlich mit der englischen Bezeichnung Quantum Beats, zu deutsch ,,Quantenschwebungen", belegt. Um eine koh~irente Llberlagerung mehrerer benachbarter Quantenzust~inde zu erreichen, mut3 die inverse L~inge des Lichtimpulses T -1 - oder anders ausgedriickt seine Bandbreite Au = l I T - grSt3er sein als die Frequenz-Abst~inde der Zustiinde untereinander. Die spektrale Struktur wird also durch das anregende Licht nicht aufgelSst! Eine einfache quantenmechanische Beschreibung geht davon aus, dab die koh~irente fJberlagerung zweier angeregter Zust~inde nach der Anregung frei und spontan zerf~illt. Ffir einen einzelnen zerfallenden Kanal kSnnen wir die zeitliche Entwicklung des angeregten Zustandes mit der Wellenfunktion I~(t)/ -e-~'te-i~tle I beschreiben. Die beobachtete Fluoreszenzintensit~it ist proportional zum Betragsquadrat des induzierten Dipolmoments I(gldegle(t))l 2 und man rechnet leicht nach:

Ifl = I(O)e -2v't Wenn zwei Zust~inde [el,2) mit Anregungsfrequenzen Wl,2 in einer koh~irenten Llberlagerung [~(t = 0)) = [el) + [e2) pr~ipariert werden, dann gilt [~(t)) = [el)e-i(~l-~Dt+[e2)e-i(~2-~ )t, und das abgestrahlte Feld enth~ilt auch die Schwebungsfrequenz Aw = Wl - w2. Ffir den Spezialfall 7~ = 7~ berechnet man

Ia = I(O)e -~'t (A + B c o s A w t ) Die Quantum-Beat-Methode hat sich als sehr niitzlich erwiesen, um zum Beispiel die Feinstrukturen angeregter atomarer oder molekularer Zust~inde mit breitbandigem, gepulsten Laserlicht zu untersuchen, das die notwendige spektrale AuflSsung nicht selbst liefert. Fiir ein sauberes Experiment ist es allerdings notwendig, Laserpulse guter Qualit~it zu verwenden (sogenannte ,, Transformlimitierte Pulse"), um die Kohs zu garantieren.

11.5.5 Wellenpakete Mit extrem kurzen Laserpulsen (10 fs entsprechen einer Bandbreite von 16 THz!) kann man zum Beispiel in einem Molekiil sehr viele Schwingungsunterzust~nde koh~irent iiberlagern [15]. Ein anderes, viel untersuchtes System sind atomare Rydbergzust~inde, das sind Zust~inde mit grofien Hauptquantenzahlen n > 10, die ein ebenfalls sehr dichtes Zustandsspektrum zeigen [58]. Weder die

11.5 TransientePhfinomene

429

Rydbergzust~nde noch die molekularen Schwingungszust~nde sind gewShnlich sehr stark strahlende Zust~nde, sie sind deshalb mit gewShnlichen Fluoreszenzdetektoren schwer nachzuweisen. Im Vakuum kSnnen aber die schwach gebundenen Rydbergzustande durch Feldionisation, die molekularen Zustande durch Multiphotonen-Ionisation mit so grofier Empfindlichkeit nachgewiesen werden, daft nur wenige angeregte Teilchen fiberhaupt notwendig sind.

Abb. 11.14 Mehrphotonen-Ionisation am Na2-Molekiil. Der Ionenstrom ist als Funktion der Verziigerung des Anregungs- oder ,,pump"-Pulses und des Ionisations- oder ,,probe"-Pulses aufgetragen. Die Lgnge der Laserpulse betrug 70 ps. Die Oszillation zeigt eine Schwebung, die auf zwei Beitrgge mit Periodenl~ingen yon 306 bzw. 363 fs Dauer zuriickzufiihren ist. Nach [15].

Bei dieser Erweiterung der alten Quantum Beat-Methode kann man sich vorstellen, daft dutch den Lichtpuls ein Wellenpaket aus den angeregten Quantenzustanden prapariert wird, das anschliefiend frei, das heiflt ungestSrt von weiterer Lichteinwirkung propagiert. Solange wir einen perfekten harmonischen Oszillator benutzen, wird das Wellenpaket sogar dispersionsfrei propagieren und periodisch zum Ursprungsort zurfickkehren. Allerdings haben reale Molekfile eine starke Anharmonizitat, die wie beim Freien Induktionszerfall zum Verlust der Phasenkoh~renz der atomaren Wellenfunktionen ffihrt. Die Gesamtwellenfunktion ist dann mehr oder weniger fiber den energetisch zul~ssigen Raum verteilt. Allerdings kommt es bei sehr vielen Systemen - in diesem Fall ohne Einstrahlung eines aufieren Pulses zu einer Wiederkehr des Wellenpaketes. Dieses Phanomen ist schon von Poincar~ vorhergesagt worden. Es tritt immer dann auf, wenn eine endliche Zahl yon Oszillationen fiberlagert wird. Je grSfler deren Anzahl, desto l~inger dauert allerdings diese Wiederkehr. Experimentell kann man die dynamische Entwicklung eines Wellenpaktes in Molekfilen oder Rydbergatomen durch sogenannte ,,pump-probe"-Experimente

430

11 Laserspektroskopie

untersuchen: Mit dem ersten Puls wird eine physikalische Anregung erzeugt, mit dem zweiten nach einer einstellbaren ZeitverzSgerung die dynamische Entwicklung abgefragt. Wir stellen ein durchsichtiges Beispiel, die MehrphotonenIonisation am Modellmolekiil Na2, qualitativ vor. Ein Molekularstrahl mit Na2-Molekiile wird mit einer Folge von Laserpulsen (Pulsdauer 70 fs, )~ -- 627 nm) angeregt. Der erste Laserpuls transferiert Molekiile vom Grundzustand (v = 0) in einen angeregten Zustand, in welchem mehrere Schwingungszust~inde (v --- 10 - 14) iiberlagert werden. Ein weiterer Laserpuls, der in diesem Experiment vom selben Laser erzeugt wird, erzeugt Na+-Molekiile durch Zwei-Photonen-Ionisation. Diese Ionen k5nnen durch einen Sekund~irelektronenvervielfacher, z.B. ein Channeltron, mit fast 100%iger Wahrscheinlichkeit nachgewiesen werden. Im Experiment werden noch einige Filter verwendet, um das Na+-Signal vom Untergrund abzutrennen. Wenn der Ionisationspuls verz6gert wird, beobachtet man eine Oszillation des Ionenstroms als Funktion der VerzSgerungszeit. Da auch eine Schwebung beobachtet wird, muff das Spektrum aus zwei Schwingungsfrequenzen bestehen. Die erste bei 306 fs wird durch die Schwingung des Wellenpaketes im Molekfilpotential verursacht, die zweite bei 363 fs dutch die Wechselwirkung des Nachweislasers mit einem h5her liegenden Molekfilpotential. Mit Laserpulsen extrem kurzer Dauer ist es mSglich geworden, die Dynamik molekularer Wellenpakete direkt auf der Femtosekunden-Zeitskala aufzul6sen. Diese und andere Methoden werden in wachsendem Umfang in der sogenannten ,,Femtochemie" eingesetzt.

11.6

Lichtkr

te

Wenn die Materie-Licht-Wechselwirkung beschrieben wird, steht gewShnlich der Einflut3 auf die innere Dynamik, zum Beispiel von Atomen oder Molekiilen, im Vordergrund. Bei der Absorption und Emission von Licht wird aber auch der ~iufiere mechanische Bewegungszustand der Materie veNindert. Photonen besitzen den Impuls hk, und bei Absorption und Emission mui~ wegen der Impulserhaltung dieser Impuls auf den Absorber fibertragen werden. Wir erwarten bei diesen Prozessen Riickstofi-Effekte und bezeichnen die dabei auftretenden Kr~ifte als Lichtkrdfte. Das Photonenbild, das aus der Quantenmechanik stammt, ist zwar sehr suggestiv, Lichtkr~ifte sind aber in ganz analoger Weise aus der klassischen Licht-Materie-Wechselwirkung bekannt - zum Beispiel beschreibt der Poynting-Vektor die Impulsdichte des propagierenden elektromagnetischen Feldes. Wir wollen daher zu Beginn die mechanische Wirkung einer ebenen elektromagnetischen Welle auf einen klassischen Lorentz-Oszillator

11.6 Lichtkr~ifte

431

Abb. 11.15 Erstmalige Beobachtung der Ablenkung eines Atomstrahls durch LichtkrSfte. Die Meflwerte stammen aus dem Manuskript yon R. Frisch, Z. Phys., 86 42, (1933). Links: Ex-

perimentelle Anordnung; rechts: Die durchgezogenen Linie zeigt das Atomstrahlprofil ohne, die gestrichelte Linie mit Einwirkung yon Lichtkrdften. Darunter ist die Differenz aufgetragen.

Ein inhomogenes elektrisches Feld tibt auf einen induzierten Dipol eine elektrische Kraft aus, die wir komponentenweise beschreiben k6nnen, F[I=

dj(t)-~jE~(t)

oder

= ( (d(t). V) E(t) ).(11.13)

Beim sehwingenden Dipol-Oszillator mtissen wir tiber eine Oszillationsperiode T = 21r/co des Feldes mitteln, (F) = T -1 f~ F(t)dt. In einer ebenen laufenden Welle im freien Raum ist das elektromagnetisehe Feld transversal, und im linearen Lorentzmodell muff deshalb aueh der induzierte Dipol transversal sein. Das elektrische Feld einer ebenen Welle kann sieh andererseits nur in Propagationsrichtung/indern, so daft wir gar keine elektrische Kraft erwarten kSnnen. Allerdings tritt in einem realistisehen Liehtstrahl mit einer zum Beispiel Gaut3f6rmigen Einhtillenden sehr wohl eine Dipolkraft auf, die wir am Beispiel des Stehwellenfeldes n/iher untersuchen. Generell tritt beim neutralen, polarisierbaren Atom nicht nur eine elektrisehe sondern aueh eine magnetisehe Kraft auf, die dureh die Lorentzkraft auf den elektronischen Strom im Atom verursacht wird, F mag ----( d x B ) =

1 (d•215 c

und eine Nettokraft auf das Atom austibt.

,

(11.14)

432

11.6.1

11 Laserspektroskopie

Strahlungsdruck in einer laufenden Welle

Wit wollen die Kraft auf den linearen elektronischen Lorentz-Oszillator aus Abschn. 6. i.I berechnen. Er soll die Eigenfrequenz w0 haben und einer ebenen Welle mit Amplitude E A_ k ausgesetzt sein. Wir verwenden die komplexe Polarisierbarkeit a -- a~ + ia",

cl(t) = - i w a(5) E(t)

mit

q2/2mwo a(5) -- 5 - i 7 / 2

'

Nach dem Poynting-Theorem gilt dann F m~g -- k a"(5)lEI ~ -- k a"(5) 2t/co0 Wir erwarten, daft die klassische Behandlung eine gute Ngherung fiir sehr kleine Intensit/iten ist (I/Io << 1, I0 S/ittigungsintensitgt nach G1.(6.37)). Bei h6heren Intensit/iten miissen wir die innere atomare Dynamik nach den BlochGleichungen behandeln. Wir kSnnen einen verkfirzten Clbergang zu den Ergebnissen der semiklassischen Behandlung suchen, indem wir den klassischen Lorentz-Oszillator adhoc durch den Bloch-Oszillator ersetzen, d. E = a E . E (u+iv) h~R, und die normierte Intensit~t So = I/Io nach G1. (6.37) verwenden, F mag

:

M a = hk

So

1 + So + (25/0') 2

(11.15)

Abb. 11.16 Absorptions-Emissionszyklus und Impulsiibertrag bei der Spontankraft. Bei der

Absorption wird der Impuls stets aus der Richtung des Laserstrahls aufgenommen. Der Riickstofl der Emission er]olgt in zufdlliger Weise, im Mittel iiber viele Zyklen wird deshalb kein Impuls iibertragen.

Das Ergebnis l~fit sich gut interpretieren: Die Kraft w~chst linear mit dem ,Photonen"-Impuls k und (ffir kleine So) der Intensit~t I des Lichtfeldes. Sie ist proportional zur absorptiven Komponente mit der charakteristischen LorentzLinienform. Die Kraft wirkt stets in Richtung des Laserstrahls und entsteht durch den ,,Strahlungsdruck". H~ufig wird auch die Bezeichnung ,,Spontankraft" verwendet, denn sie ist auch proportional zur Rate der spontanen Emission 0/. Bei grot3en Intensit~ten (s >> 1) s~ttigt die Spontankraft beim Wert F sp --. h~/k/2 und iibt eine maximale Beschleunigung

amax = h k T / 2 M

(11.16)

aus: Im Mittel ist ein stark getriebenes Atom mit 50% Wahrseheinliehkeit angeregt und kann pro spontanem Emissionszyklus den Impuls hk aufnehmen.

11.6 Lichtkrafte

433

In Tab.11.2 h a b e n wir fiir wichtige A t o m e u n d ihre ,,Kiihliiberg~inge" mit Wellenl~nge )~ u n d Zerfallsrate 7 die thermische Anfangsgeschwindigkeit Vth, die maximale Lichtkraftbeschleunigung im Verhaltnis zur E r d b e s c h l e u n i g u n g g = 9,81 m / s 2, Bremszeit ~- u n d -weg g, u m thermische A t o m e zu stoppen, sowie die Anzahl der in dieser Zeit gestreuten P h o t o n e n zusammengestellt. Tab. 11.2 Ubersicht: Wichtige A t o m e fiir die Lichtkraft.

Atom 1H 6Li 2aNa

133Cs 4~

A [nm]

7 [106s -1]

Vth [m/s]

a/g

T [ms]

[cm]

121 671 589 852 423

600 37 60 31 220

3000 1800 900 320 800

1,0.10 s 1,6.105

0,003 1,2 0,97 5,9 0,31

4,5 112 42 94 13

0,9.105 0,6.104 2,6.105

N 1800 22000 30000 91000 34000

Exkurs: Zeeman-Bremsen Die Spontankraft eignet sich vorzfiglich, um Atome von hohen thermischen (einige 100 m/s) auf extrem geringe Geschwindigkeiten (einige mm oder cm/s) abzubremsen. Im Laborsystem ist die Ruhefrequenz w0 des Oszillators allerdings durch den Doppler-Effekt verschoben, WLabor---- 0J0 ~ - k v , und ein Atom ger~t schon nach wenigen Zyklen aus der Resonanz. Abb. 11.17 Zeeman-Anordnung zur AbMan kann dieses Problem iiberwinden, indem bremsung yon Atomstrahlen. man entweder den Laser synchron zum Bremsvorgang nachstimmt (,,Verstimmungsbremsen") oder indem man den Atomstrahl durch ein variables magnetisches Feld fiihrt, in welchem der Zeeman-Effekt3 (SZee -- #B/h, #: effektives magnetisches Moment, betr~igt typischerweise #/h = 2~r.14 MHz/mT) die Ver~derung der Doppler-Verschiebung kompensiert (,,Zeeman-Bremsen"): 5 = ~L -- (Wo + kv -- ~ B )

Beim Zeeman-Bremsen strebt man entlang der atomaren Trajektorie eine mSglichst grofJe, konstante Beschleunigung v = - a s p t an und formt das magnetische Kompensationsfeld nach B ( z ) = Bov/1 - Z/Zo

Die Baul~inge z0 ist im allgemeinen vorgegeben und man findet nach kurzer Rechnung, daft nur Geschwindigkeiten mit v < vo = (2aspZo) 1/2 abgebremst werden k5nnen. Dariiberhinaus wird auch die magnetische Feldstfirke limitiert, Bo <_ hkvo/t~. 3Die Zeeman-Verschiebung ist genauer von den magnetischen Quantenzahlen m u n d Land~g-Faktoren des angeregten (e) und des Grundzustands (g) abhgngig: # = # s ( m e g ~ -- mggg) (#S: Bohrsches Magneton). Optisches Pumpen durch zirkular polarisiertes Laserlicht sorgt aber dafiir, daft nur der h5chste m-Wert mit m g ~- 1 von Bedeutung ist.

434

ii Laserspektroskopie

Wie man in Abb. 11.18 sehen kann, wird ans der thermischen Verteilung unter Einwirkung der Laserkiihlung eine schmalere Verteilung erzeugt, deren mittlere Geschwindigkeit durch Laserfrequenz und Magnetfeld einstellbar ist und deren Breite durch die sogenannte Dopplertemperatur (s. Gl.(ll.18)) begrenzt wird. Der Zeeman-Bremser ist gut geeignet, um ,,kalte" Atomstrahlen mit hoher Intensit~t zu pr~parieren [113]

Abb. 11.18 Links: Geschwindigkeitsentwicklung im Zeeman-Bremser. Rechts: Geschwindigkeitsprofile eines Atomstrahls am Ausgang des Zeeman-Bremsers.

11.6.2

Reibungskrfifte

- Heizkr~ifte - Doppler-Limit

Wit betrachten nun die Wirkung der spontanen Lichtkraft aus gegenl~ufigen Laserstrahlen und nehmen dazu naherungsweise an, dab sie sich aus der Summe der Einzelkr~fte nach G1. (11.15) zuammensetzt,

F = F+ + F_ _ hkT ( So 2 i + So + (26+/'7) 2

-

So ) I + So H/-(26-/7) 2 (11.17)

Abb. 11.19 Lichtkrdfte bei gegenldufigen Laserstrahlen in Abhdngigkeit yon der Geschwindigkeit oder Verstimmung. Die Doppler-Verstimmung 5• = 6o • kv h~ngt nun v o n d e r Richtung der Lichtwelle ab, (Abb. 11.19). Bei 50 < 0 (roter Verstimmung) liegt die Dopplerverschobene atomare Resonanzfrequenz stets n~iher bei dem Laserstrahl, welchem es entgegenl~iuft, daher wird das Atom also stets gebremst, seine Bewegung wird wie von einer Reibungskraft ged~impft. Besonders interessant sind

11.6 Lichtkrafte

435

sehr kleine Geschwindigkeiten mit k v / 5 o ~< 1. Dort kSnnen wir die Kraft (11.17) entwickeln und finden mit g ~_

8hk25o

So

7

(1 + So + (250/9')2) 2

9v = - a m y

fiir 5o < 0 eine Reibungskraft mit dem Koeffizienten a: Wiihrend der Strahlungsdruck nur eine Verz6gerung bzw. Beschleunigung verursacht, setzt mit der Reibungskraft echtes Laserkiihlen ein. Das l-dimensionale Konzept der Laserkiihlung kann auf 3 Dimensionen erweitert werden, indem ein Atom in allen Raumrichtungen gegenliiufigen Laserstrahlen ausgesetzt wird. Dazu miissen wenigstens 4 tetraedrisch angeordnete Laserstrahlen verwendet werden. Die Situation entspricht der stark ged~mpften Bewegung in einer hochviskosen Fliissigkeit und wird als ,,Optischer Honig" oder ,,Optische Melasse" bezeichnet. Die spontane Lichtkraft verursacht nicht nur eine Beschleunigung in Strahlrichtung (die mit Kiihlung verbunden sein kann), sondern auch eine fluktuierende Kraft, die zur Aufheizung eines Ensembles von Atomen fiihrt. 4 In einem einfachen Modell kSnnen wir die Heizwirkung durch die stochastische Wirkung des Photonenriickstofies hk bei der spontanen Emission analog zur Brownschen Bewegung oder Diffusion eines Molekfils betrachten. Wenn N Photonen gestreut werden, dann gilt fiir Mittelwert PN und Varianz (Ap2)N ----p-2 -- ~2 der atomaren Impuls~nderung dutch die isotrope Emission PN=0

und

(Ap2)N=Nh2k 2

Die Heizkraft oder -leistung kSnnen wit nun aus der Streurate fiir Photonen abschatzen ( d N / d t = (9"/2)So/(1 + So + (25/9')2), d Ap 2

d p-Y

h2k29"

So

D

dt 2 m

dt 2 m

4m

1 + So + (25/9') 2

m

und aus der Theorie der Brownschen Bewegung ist der Zusammenhang mit der Diffusionskonstanten D bekannt. Wir erwarten, daft sich im Gleichgewicht mittlere Heizleistung PH ---- D / m und mittlere Kiihlleistung P K ---- F . v --- a m y 2 = - a p 2 / m gerade kompensieren, also PH + P K = 0 und p2 = D / a

= MksT

,

woraus wir schliefllich die Doppler-Temperatur hg" 1 + (25/9") 2 k B TDopp --

2

(11.18)

45/9"

4Diesem Umstand liegt die sehr fundamentale Gesetzmiifligkeit zugrunde, dab dissipative Prozesse immer auch mit Fluktuationen und damit Heizprozessen verbunden sind.

436

11 Laserspektroskopie

e r m i t t e l n . Die D o p p l e r - T e m p e r a t u r n i m m t i h r e n g e r i n g s t e n W e r t bei 2 5 / 7 -- 1 an, kBTDopp ---- h7/2. Sie h a t eine w i c h t i g e Rolle gespielt, weil sie fiber viele J a h r e als f u n d a m e n t a l e G r e n z e d e r L a s e r k f i h l u n g a n g e s e h e n w u r d e . E s w a r d a h e r eine grofie ~ ) b e r r a s c h u n g , als in E x p e r i m e n t e n n o c h d e u t l i c h tiefere, sogenannte Sub-Doppler-Temperaturen beobachtet wurden. E x k u r s : M a g n e t o o p t i s c h e Falle ( M O T ) In einer optischen Melasse werden atomare Gase durch die extreme Kfihlung bis zu Temperaturen im mK-Bereich und darunter gekilhlt. Man k~unn aber Atome im Schnittpunkt von 4 oder mehr Laserstrahlen nicht allein durch Strahlungsdruck speichern, weil sie aus dem 0berlapp-Volumen heraus ditfundieren. Dieses Problem wurde durch die Erfindung der magnetooptischen Falle (engl. Magneto-optical trap oder MOT) gelSst, in welcher der Strahlungsdruck r/iumlich durch ein Quadrupolfeld modifiziert wird. In einer Dimension kann man die MOT am Beispiel eines Atoms mit einem

Abb. 11.20 Magnetooptische Falle. J = 0 --~ J = 1 0bergang (Abb. 11.20 (b)) erkl/iren, das in einem linear ansteigenden magnetischen Feld einem Paar gegenl/iufiger Lichtstrahlen mit entgegengesetzter zirkularer Polarisation ausgesetzt wird (a+a--Konfiguration). Ein hinreichend langsames Atom wird bei roter Verstimmung (WL < W0) stets viel starker mit dem Laserstrahl in Resonanz sein, dessen Strahlungsdruck zum Zentrum des Quadrupolfeldes zeigt, und deshalb eine Riickstellkraft anf dieses Zentrum hin erfahren. In drei Dimensionen muff man ein sph/irisches Quadrupolfeld verwenden, das durch zwei Spulen mit entgegengesetzten StrSmen (,Anti-Helmholtz-Spulen") erzeugt wird, wobei die H/i~ndigkeit der zirkularen Polarisationen korrekt gew~hlt werden muff (Abb. 11.20 (a)). Das einfache eindimensionale Konzept hat auch in drei Dimensionen zum Erfolg gef/ihrt. Zur grot]en Verbreitung der MOT hat insbesondere ihre Realisierung an einfachen Dampfzellen beigetragen, die sehon nach wenigen Jahren in zahlreichen Laboratorien bei Experimenten zur Laserkiihlung verwendet werden. In einer MOT stellt sieh ein Gleiehgewieht zwischen Laderate (dureh Einfang yon Atomen ans dem langsamen Anteil der thermisehen Verteilung) und Verlustrate (durch StSfie mit ,,heit]en" Atomen) ein, das typischerweise einige 10s Atome enth/ilt und ein Volumen yon 0,1 mm Durchmesser einnimmt. Der Gasdruek der Zelle darf allerdings nicht zu grot] sein, damit die Atome nicht sehon w~i~hrend des Einfangvorgangs, der einige ms danert, dureh St6Be mit einem schnellen Atom aus der magnetooptischen Falle wieder heransgestot3en werden.

11.6 LichtkrRfte

11.6.3

437

Dipolkr~ifte in einer Stehwelle

Elektrisches u n d magnetisches Feld haben in einer ebenen Stehwelle die Form

E(z) = 2E(t)eos(kz)

und

B(z)= 2iekxE(t)sin(kz) c

u n d m a n findet durch Auswertung von Gl.(ll.14): F mag ---- ka'(5)sin (2kz) [E[ 2 Diese Kraft wird als Dipolkraft bezeichnet u n d kann von einem Potential Udip = ,'(5)1(z)/2cc0 abgeleitet werden. Die Interpretation ist ebenfalls eing~ngig: die Kraft zeigt einen dispersiven Frequenzgang, d.h. sie wechselt das Vorzeichen mit der Vers t i m m u n g yon der Resonanzfrequenz. Eine schSne A n w e n d u n g der Dipolkr~fte in einer Stehwelle wird in der ,,Atom-Lithographie" realisiert. Urn zur semiklassischen Beschreibung zu gelangen, wenden wir wieder den Trick aus d e m vorigen i b s c h n i t t an (s. G1.(11.15)) u n d erhalten:

udip =

h5

In (1 + 8)

Dipolkr~fte sollen m6glichst nicht yon s p o n t a n e n Ereignissen gestSrt werden, daher w~hlt m a n eine grofie Verstimmung 5 >> ~/~ u n d erh~lt entsprechend kleine S~ttigungsparameter s ~- (1/lo)/(5/7') 2 (6.36), so daft sich das Dipolpotential in guter N~herung ergibt zu I h7 ~2 Udip(r) --~ I0 25 Dipolkr~fte existieren aber nur, falls die Intensit~t des elektromagnetischen Feldes ortsabh~ngig ist, z u m Beispiel in der oben a n g e n o m m e n e n Stehwelle, aber auch als Folge eines Gaui3schen Strahlprofils in einer optischen Dipolfalle [64]. Dipolkr~fte treten immer auf, wenn koh~rente Felder fiberlagert werden, wobei die Details wegen der 3-dimensionalen Vektornatur der Felder kompliziert sein kSnnen u n d zum Beispiel das Auftreten ,,Optischer Gitter" [85] verursachen kSnnen: Daxunter versteht m a n periodische Stehwellenfelder in 1-3 Dimensionen, in denen sich lasergekiihlte Atome wie in einem Kristallgitter bewegen.

Exkurs: Atomlithographie Mit Hilfe von Stehwellenfeldern kann man offenbar auf die Bewegung von Atomen starke Kr~ifte ausfiben. Der direkte experimentelle Nachweis ist aber gar nicht so einfach, denn die Bewegung findet bereits auf mikroskopisch kleiner Skala statt. Ein sch6nes Beispiel fiir die Anwendung der Lichtkr~ifte ist aber die sogenannte ,,Atomlithographie" [121]. In dieser Methode wird ein Atomstrahl auf einer Oberfl~che durch Lichtkr~fte r~umlich strukturiert und Ver~nderungen finden nur dort start, wo die Atome aufgetroffen sind. In Abb. 11.21

438

Abb. 11.21

11 Laserspektroskopie

Atomlithographie.

ist das experimentelle Konzept vorgestellt. (a): ein Substrat wird mit einem Atomstrahl belichtet, der unmittelbar zuvor eine Stehwelle passiert, die von dem dahinter angebrachten Spiegel erzeugt wird. Die Simulation atomarer Trajektorien in einer Halbwelle (b) zeigt, dab die Atome anf der Oberfl~iche ganz analog zu einer optischen Linse fokussiert werden, wobei auch sph~rische Abweichungen sichtbar sind. Dieses periodische Mikrolinsenfeld erzeugt anf einem Substrat Ver~inderungen durch Aufwachsen oder chemische Reaktion mit Abmessungen deutlich unterhalb optischer Wellenl~ingen. Die Atomlithographie z~ihlt daher zur Klasse der Methoden, die eine Strukturierung anf der Nanometer-Skala erlauben.

11.6.4

Verallgemeinerung

Wit kSnnen die magnetische Kraft auch nach

ausdrficken. Der erste Beitrag f~illt bei der M.ittelung fiber eine Periode heraus. Wenn die Teilchengeschwindigkeit klein ist, R << c, kann man ferner ( d / d t ) B ~-

11.6 Lichtkrafte (0/0t)B = V •

439 ersetzen und findet

F mag = ( - d x V x E )

,

oder komponentenweise

Der Vergleich mit Gl.ll.13 zeigt, daft die Gesamtkraft sich allgemein aus

F~I+Fm~g=F--<3~. djVEj>

bestimmen l ~ t .

11.6.50ptische Pinzette

Abb. 11.22 Die Wirkung einer optischen Pinzette im Strahlenbild. Weifle Pfeile: Kraft auf die Glaskugel. Punktierte Pfeile: Impulsdnderung der Lichtstrahlen. Wir haben im letzten Abschnitt die mechanische Wirkung von Lichtstrahlen auf mikroskopische Teilchen wie zum Beispiel Atome untersucht. Insbesondere zu den Dipolkr~ften kSnnen wir aber ein makroskopisches Analogon angeben, das in wachsendem Maf~ als sogenannte ,,Optische Pinzette" (engl. Optical Tweezers) verwendet wird [133]. Die dispersiven Eigenschaften eines Atoms ~hneln in vieler Beziehung einer transparenten dielektrischen Glaskugel, an welcher wir die Wirkung makroskopischer Lichtkr~fte qualitativ und im Sinne der Strahlenoptik beschreiben wollen.

440

11 Laserspektroskopie

Dazu ist in Abb. 11.22 die Position einer Glaskugel einmal transversal von einem Gaui~schen Laserstrahlprofil verschoben (links) und einmal axial von einem fokussierten Strahl. Wenn wir beriicksichtigen, dat3 der Lichtstrahl wie beim Atom einen Impuls iibertr~igt, kSnnen wir aus der Richtungs~nderung der Strahlen auf die mechanische Kraft schlieBen, die auf die Glaskugel wirkt. Die Optische Pinzette ist als Greifwerkzeug im Mikroskop niitzlich, man kann damit zum Beispiel Bakterien in Flfissigkeiten fangen und verschieben.

Aufgaben

441

A u f g a b e n zu K a p i t e l 11 11.1 Lock-In-Verst~irker Wir betrachten die experimentelle Anordnung aus der Zeichnung: Eine Probe wird mit Laserlicht beleuchtet, dessen Frequenz nach WL(t) = wOL+ ~02modCOS27rfn moduliert wird. Die Fluoreszenz einer Lorentz-fSrmigen Linie wird mit einer Photodiode beobachtet, L(x) = 1/(1 + x 2) mit x :-- (02L --02A)/~, wobei 02A die Resonanzfrequenz, 7 die atomare Linienbreite bedeuten. (a) Das von der Photodiode kommende Signal n(x,t)

Abb. 11.23 Schema eines Lock-In-Verst~rkers, dessen wichtigste Komponente ein phasen-

empfindlicher Gleichrichter ist. wird mit dem Referenzsignal R(t) = Rosin(2~fRt + r gemischt, d.h. elektronisch multipliziert. Dabei entsteht das Zwischensignal M(x, t). Berechnen Sie das Zwischensignal und zeigen Sie, dab ein Tiefpass mit Grenzfrequenz f c << fR ein Ausgangssignal S(x) erzeugt, das proportional ist zur Ableitung dL(x, t)/dx der ursprfinglichen Linienform. Wie hangt das Signal mit der Modulationsamplitude 5Wmodzusammen? (b) Manchmal ist es sinnvoll, statt der Modulations-Grundfrequenz fR die Vielfachen 2fR oder 3fR als Referenz zu verwenden. Berechnen Sie die Ausgangssignale fiir diesen Fall. (c) Wodurch wird die Bandbreite des Lock-In-Verst~rkers begrenzt? Was ist der Preis, wenn Sie die Bandbreite erhShen? 11.2 R a m s e y - S p e k t r o s k o p i e u n d Spin-Echo Die Methode der getrennten oszillierenden Felder, ffir die N. Ramsey 1989 den Nobelpreis erhielt, wurde urspriinglich fiir die Mikrowellen-Spektrsokopievor allem an atomaren Hyperfeinzust~nden entwickelt. Dort kann man die unged~mpften Bloch-Gleichungen (6.29) problemlos anwenden, weil spontaner Zerfall keine Rolle spielt. Die Methode ist heute auch in der optischen Spektroskopie verbreitet, weil die koh~rente Kopplung zwischen ausgew~hlten Quantenzust~nden viel starker sein kann als die Zerfallsrate. Betrachten Sie zunachst die unged~mpften Blochgleichungen. Fiir einen beliebigen Zustangsvektor gilt Ir = %lg} + c~le}, und die Blochvektor-Komponenten sing u = c*% +c~c*g, v =-ic*%-c~c*g, w = Ic~12+ I%12. (a) Zeigen Sie, dat3 ein resonanter Mikrowellen-Puls (Rabi-Frequenz gtR, Dauer % Verstimmung

442

11 Laserspektroskopie

5) den Blochvektor u(T) um die u-Achse in den Zustand u(T) = O(T)u(0). Geben Sie die Drehmatrix an. Nehmen Sie als Anfangszustand u -- (0, 0 , - 1 ) an. Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeit Pg(T) = I%(T)I 2, das Atom nach der Pulsdauer T im Zustand g zu finden. (b) Zeigen Sie, da6 die freie Pr~izession des Blochvektors bei Abwesenheit eines treibenden Feldes durch eine Rotation um die w-Achse beschrieben wird und geben Sie die Drehmatrix an. Welche Bewegung fiihren Blochvektoren aus, die zuniichst mit einem resonanten lr/2-Puls angeregt wurden?

Abb. 11.24 Operationen eines Ramsey-Experiments. (c) Die Ramsey-Methode fibt zwei resonante ~/2-Pulse (Dauer % Verz5gerungszeit T) auf die Atome aus, gemessen wird die Besetzung im angeregten Pe oder im Grund-Zustand Pg. Schreiben Sie die Ramsey-Sequenz im MatrixFormalismus auf. Berechnen und skizzieren Sie die w-Komponente des Blochvektors, wenn der Angangszuatand immer u(0) = (0, 0 , - 1 ) ist und alle Atome die gleiche Wechselwirkungszeit haben. Geben Sie Pe(T) als Funktion von T an. (d) In Experimenten zeigen die Ramsey-Interferenzen h~ufig einen charakteristischen Abfall, der als Dephasierung durch inhomogene Ensemble gedeutet werden kann, d.h. eines Ensembles mit einer Verteilung von kleinen Verstimmungen (~. Betrachten Sie ein Modell, in welchem die Verstimmungen einer Gau6schen Verteilung gehorchen, p(5) = exp [-(5 - ~)2 / (2a2)]/vr~a. Berechhen Sie die Form des Ramsey-Signals unter dem Einflu6 dieser Verteilung. (e) Wenden Sie nach der Zeit T erst einen ~r-Puls und erst nach 2Z den r/2-Puls an. Untersuchen Sie die Besetzungsverteilung um die Zeit 2T herum. Zeigen Sie, daft der ,,Refokussierungs-Puls" die Oszillation nach der Zeit 2T als EchoPuls wieder aufleben l~i6t. Interpretieren Sie die Wirkung des ~r-Pulses. Welche Phasenlage hat das Echo-Signal? 11.3 D o p p l e r - E f f e k t u n d Z w e i - P h o t o n e n - S p e k t r o s k o p i e In einem Atom oder Molekfil, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wird durch Absorption eines Photons mit Wellenvektor k ein Ubergang von Ea nach Eb induziert. Nach der speziellen Relativit~itstheorie wird die Frequenz des bewegten Atoms im Laborsystem gegeniiber dem Ruhesystem durch den Doppler-Effekt verschoben nach /]Labor PRuh(1 -- V2/C2)1/2/(1 -- vii/c) mit vii -- k . v / k . (a) =

Aufgaben

443

Entwickeln Sie die Frequenzverschiebung nach v/c. (b) Ein Zwei-Photonen~lbergang kann durch Absorption je eines Photons aus entgegen laufenden Laserstrahlen induziert werden. Zeigen Sie, daft beim Zwei-Photonen-Ubergang der Doppler-Effekt 1.Ordnung unterdriickt ist, der Doppler-Effekt 2.Ordnung den gr6fiten Beitrag zur Verschiebung leistet, /]Labor (/]auh/2). (1 v2/c2/2). (c) Berechnen Sie die Linienform in einem thermischen Gas als Funktion der Temperatur T. Vernachl~ssigen Sie dabei die natfirliche Linienbreite und verwenden Sie die thermische Verteilung in einem Gas, p(E) = 2v/E exp ( - E / ksT) /[ (ksT) 3/2~ . =

12

Grundziige der Quantenoptik

Die Quantenoptik I im engeren Sinne befafit sich mit der Frage, wann die Quanteneigenschaften des elektromagnetischen Feldes (und nicht nur der Materie) bei der Licht-Materie-Wechselwirkung eine wahrnehmbare Rolle spielen. Dabei werden Begriffe wie ,,Photon", ,,stimulierte" und ,,spontane" Emission fiber die schon in Kap. 6 hinaus gegebenen Deutungen zu kl~iren sein. Am Beginn dieses Kapitels behandeln wir die Spontane Emission, die auch bei der Entstehung der Quantenelektrodynamik (QED) eine wichtige Rolle gespielt hat.

12.1

Hat das Licht Quantencharakter?

Es ist heute selbstverst~ndlich, daft wir die physikalischen Eigenschaften der Materie auf mikroskopischer Skala mit der Quantentheorie begrfinden. Weniger offensichtlich ist auch heute noch der Zusammenhang von mikroskopischen und makroskopischen Betrachtungsweisen, der auch den Hintergrund der physikalischen ,Theorien-Hierarchie" in Tab. 6.1 bildet. Eine grofie Zahl physikalischer Ph~nomene kann n~imlich zwanglos mit einer semiklassischen Theorie (der ,,Quantenelektronik" in Tab. 6.1) beschrieben werden, d.h. einer Quantentheorie der Materie, die mit klassischen Feldern, die Amplitude und Phase besitzen, in Wechselwirkung steht. Die semiklassische Behandlung ist hinreichend, um die meisten Ph~nomene in den Kapiteln fiber Laserspektroskopie (11) oder Nichtlineare Optik (13, 14) zu erkl~ren. Die Antwort auf die Frage, ffir welche Ph~nomene denn die Quantennatur des elektromagnetischen Feldes eine entscheidende Rolle spielt, ist gar nicht so leicht. Die verbreitete Ansicht, dat3 der Photo- oder lichtelektrische Effekt einen Beweis ffir diese Quantennatur liefert, entpuppt sich bei genauerer Betrachtung lediglich als eine elegante und bequeme Sprechweise ffir ein Resonanzph~nomen [135], das durch die Energiestruktur eines Metalls in der Wechselwirkung mit einem treibenden Feld erzwungen wird. Die Quantennatur des elektromagne1In diesem Kapitel wird Vertrautheit mit den Konzepten der Quantenmechanik vorausgesetzt.

446

12 Grundziige der Quantenoptik

tischen Feldes hat andererseits schon bei der Entstehung der Quantentheorie eine herausragende Rolle gespielt: M. Planck hat die Quantenphysik 1900 aus experimentell-theoretischen Widerspriichen bei der Behandlung des Spektrums der SchwarzkSrperstrahlung heraus begrfindet und A. Einstein hat den Nobelpreis 1922 fiir die Lichtquantenhypothese [?] aus seinem berfihmten ,,Annus Mirabilis" 1905 erhalten. Der Begriff des ,,Photons" geht auf den Chemiker G. Lewis [111] zurfick, der 1926 in einem Beitrag zur Strahlungswechselwirkung schrieb: ,,I therefore take the liberty of proposing for this hypothetical new atom, which is not light but plays an essential part in every process of radiation, the name

photon. ''2 Die Quantennatur elektromagnetischer Felder ist dann beobachtbar, wenn z.B. nur einzelne Atome mit einem Lichtfeld wechselwirken, wenn die Intensit~t der Lichtfelder sehr gering ist oder wenn Photonenziihler zur Beobachtung eingesetzt werden miissen. Mit folgenden Phiinomenen wurde die Notwendigkeit der quantentheoretischen Beschreibung des Lichtfeldes, der ,,Quanten"-Optik, etabliert: 9 L a m b Shift. Die relativistisch korrekte Theorie des Wasserstoff-Atoms von P. Dirac sagt vorher, daft die 2S1/2 und 2p1/2 Feinstrukturzust~i~de zur Hauptquantenzahl n -- 2 perfekt entartet sind. W. Lamb entdeckte abet 1947 eine Verschiebung von Au = 1057 MHz, die durch die sogenannten ,,VakuumFluktuationen" des elektromagnetischen Feldes erkliirt wird. 9 S p o n t a n e E m i s s i o n . Die korrekte Berechnung der Rate der spontanen Emission - des vielleicht einfachsten Prozesses der Licht-Materie-Wechselwirkung - gelang 1930 erstmalig V. Weisskopf und E. Wigner [171] auf der Grundlage der kurz zuvor von P. Dirac eingefiihrten quantisierten Beschreibung des elektromagnetischen Feldes [45]. 9 D a s S p e k t r u m d e r R e s o n a n z f l u o r e s z e n z . Das Spektrum eines getriebenen Atoms, des einfachsten mSglichen Quantenoszillators, weicht von dem eines klassischen getriebenen Oszillators ab. 9 Photonen-Korrelationen, , B u n c h i n g " u n d , A n t i b u n c h i n g " . Wenn die zum Spektrum k o m p l e m e n t ~ e zeitliche Dynamik von Lichtfeldern aus einer atomaren Quelle mit einem Photonenziihler beobachtet wird, treten sogenannte nicht-klassische Korrelationen auf. Wir werden diese Phiinomene mit Ausnahme der Lamb-Shift, die in vielen Lehrbiichern der Quantentheorie behandelt wird (z.B. [144]), in diesem Kapitel vorstellen und um neuere Entwicklungen ergiinzen. Bevor wir die physikalischen Phiinomene behandeln kSnnen, miissen wir als Handwerkszeug die

2,,Ich nehme mir die Freiheit, fiir dieses neue Atom, das kein Licht ist, aber eine wesentliche Rolle bei jedem Strahlungsprozet] spielt, den Namen Photon vorzuschlagen.

12.2 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

447

formale Beschreibung des elektromagnetischen Feldes durch die Quantentheorie vorstellen, d.h. geeignete Feldoperatoren einffihren.

12.2

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Eine strenge Begrfindung der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes mit Hilfe eines geeigneten Lagrange-Formalismus iibersteigt den Rahmen dieses Lehrbuches, ist aber ein Standardthema zur fortgeschrittenen Quantentheorie und z.B. in [144] behandelt. Wir beschr~nken uns auf eine an den Hamilton-Formalismus angelehnte heuristische Einfiihrung. Dazu zerlegen wir das Feld im Innern eines leitenden Hohlraums in seine Eigenschwingungen. Jede Eigenschwingung wird mit dem Index k ffir die Wellenzahl (bzw. der Quantenzahl der Hohlraum-Eigenschwingung) und dem Einheitsvektor e ffir den Polarisationszustand gekennzeichnet und das elektromagnetische Feld aus diesen Gr6fien konstruiert:

E = Y = ~ lak,elE~sin (wt

-

kr) = - i ( E (+)

k,E

= - i E E~e [ak,e(t)e ik~ -- a*k,e~rt~e-ik~],

]

-

E (-)) = (12.1)

k,E

Genauso gut h~tten wir auch die Definition X -- E(+)+E (-) verwenden kSnnen, sie unterscheidet sich nur in der vorl~ufig frei w~hlbaren Phasenlage von Y. Man spricht von den ,,Quadratur-Komponenten" des elektromagnetischen Feldes. Ihre GrSi3e kann man in interferometrischen Experimenten messen, bei denen die Phasenlage durch ein intensives Referenzfeld festgelegt wird. Wir normieren die Amplituden E~ so, daft fiir [ak,e(t)[ 2 = 1 im HohlraumVolumen V gerade die Energie eines ,,Photons" gespeichert ist. Nach G1. (2.16) entfallt die H~lfte der Energie auf das elektrische Feld, die andere auf das magnetische Feld der Schwingung, d.h.

hw2 - e~ /v E " E* dV

,

und wit erhalten nach Einsetzen von (12.1): ( hw ~1/2

= \2 oW/

(12.2)

Die Amplituden (~k,e(t) hangen nach den Maxwell-Gleichungen mit der Fouriertransformierten der Stromdichte

jk,e ----V1 f d3rej(r)e_ik r

448

12 Grundziige der Quantenoptik

zusammen und befolgen die Bewegungsgleichung i

ak,~(t) + iw ~k,e(t) = ~/2~ohw Jk,e(t) Im freien Raum gilt jk,e(t) ----0 und daher ak,e(t) ----ak,e(O)e -~t. Fiir beschleunigte Ladungen gilt jk,e(t) ~ O, dann wird das Feld getrieben, z.B. durch den oszillierenden Dipolstrom eines Atoms.

Abb. 12.1 Die Zustandsleiter der Quantenzustiinde des harmonischen Oszillators (Potential

links, ZustCinde rechts) ist ein perfektes Analogon der Zustiinde des elektromagnetischen Feldes. Die Feldzust~inde werden mit Aufsteige- (&t) und Absteigeoperatoren (ft) konstruiert.

Um zu einer quantentheoretischen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes zu gelangen, erheben wir die normierten Amplituden im Analogieschlufi kurzerhand zu Feldoperatoren,

ak,e(t) ~ ~k,e(t)

und

a~,e(t ) ~ &tk,e(t)

,

SO daft der Feldoperator des elektrischen Feldes nun lautet 1~ = -i(1~ (+) - 8(-)) = - i E Ewe [Sk,e(t)e ikr -- &tk,e(t)e-ik~ ] k,E

w~ihrend der Hamilton-Operator des elektromagnetischen Feldes die bekannte Form /tFeld = ~ hWk(atk,eak,e + 1/2)

(12.3)

k,~

annimmt. Die Quantenzust~nde des elektromagnetischen Feldes werden mit ihren Quantenzahlen (k, e) und der Photonenbesetzungszahl nk klassifiziert. In realistischen physikalischen Situationen (z.B. bei der spontanen Emission) muff die Summe aus G1.(12.3), die im freien Raum dem kontinuierlichen Spektrum entspricht, berficksichtigt werden. Auf der anderen Seite wird dutch einen

12.2 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

449

intensiven Laserstrahl oder bei der Wechselwirkung eines Atoms mit einer isolierten Resonatorschwingung der Grenzfall realisiert, bei dem fiberhaupt nur ein Mode aus der Summe berficksichtigt werden mug. Der Hamilton-Operator eines einzelnen elektromagnetischen Feldzustandes in 12.3 ist formal/iquivalent mit dem Hamilton-Operator eines Masse-Teilchens in einem harmonischen Potential mit Orts- und Impulsoperatoren {2,15},

/:/= h~(aat + 1/2) = 152 + ~2 F fir den harmonisehen Oszillator gilt ~=~(a+af)

und

15=-iv/-s

,

und sehon wegen dieser formalen Analogie kSnnen wir erwarten, daft die beiden Quadraturen 2 = (1~(+) + 1~(-)) und Y = -i(1~ (+) - 1~(-)) eine Unseh/irferelation befolgen mfissen. In Dirae-Schreibweise gelten die bekannten Relationen &k,e In)k,e = In)k,e =

a~k,lEak,l~

(n + 1) 1/2 [n H- 1)k,e n 1/2 [ n - 1)k,e

(12.4)

~ln>~,~ = n In>~,~ ,

ffir Verniehtungs- (&) und Erzeugungsoperator (&t) sowie den Zahloperator ~ = &t&. Jeder Zahl-Zustand kann aus dem Zustand 10) dureh n-malige Anwendung des Erzeugungsoperators erzeugt werden,

In> = --~.,(a*)~10>

und

(n I =

---~.,(ol(a)"

(12.5)

Ffir das elektromagnetisehe Vakuum kSnnen wir einen Produktzustand z.B. naeh IVac) -- IO000... 0000) benennen, wobei jede Ziffer ffir die Besetzungszahl eines individuellen Zustands steht. Danaeh ist unmittelbar klar, dag im Vakuum zwar der Erwartungswert der elektrisehen Feldst/irke versehwindet, nieht aber deren Varianz, die ein Mag ist ffir die sogenannten Vakuumfluktuationen: (Vaell~lVae > = 0

und

(Vaell~l~tlVae) > 0

(12.6)

Die Varianz ist auch proportional zur Energiedichte U = e0 (EE*), die in jedem Raum mit unendlich vielen elektromagnetischen Zust/inden an jedem Punkt divergiert - ein Hinweis auf die begrenzte Gfiltigkeit dieser Form von Quantenelektrodynamik. Diese Problematik wird in Bfichern fiber Quantenelektrodynamik n/iher behandelt [54, 144].

450

12.3

12 Grundzfige der Quantenoptik

Spontane Emission

Abb. 12.2 Lichtquelle, Strahlungsfeld und Detektor miissen bei den Wechselwirkungen aUesamt beriicksichtigt werden.

Einer der einfachsten, wahrscheinlich sogar der einfachste Prozet3 in der Wechselwirkung yon Materie und Strahlungsfeldern ist der strahlende Zerfall eines anfanglich angeregten Atoms im freien Raum. Dieser Vorgang, bei dem ein Atom die Lichtquelle bildet und genau ein Photon in die freie Urngebung (das ,,Vakuum") abstrahlt, wird als spontane Emission bezeichnet.

Das Wort ,,Photon" vermittelt dabei aber eine wohl bequeme, aber auch sehr ungenaue Sprechweise. Wenn nur noch wenige mikroskopische Objekte an einem Prozet3 der Licht-Materie-Wechselwirkung beteiligt sind, kann man auch die Rolle der Detektoren nicht mehr vernachl~issigen. In einer strengeren Interpretation mag man ein Photon als das Ereignis betrachten, dab mit einero ,,Klick" am makroskopischen Detektor registriert und elektronisch gez~hlt werden kann: Ein einzelnes Atom sendet ein Strahlungsfeld aus ganz wie ein klassischer, mikroskopischer Dipol, dessen Energieinhalt gerade einem Photon entspricht. In der Sprache der Quantenmechanik verursacht erst das Met3ereignis am Detektors die Reduktion (oder Projektion) der im Raum ausgedehnten Wellenfunktion des elektromagnetischen Feldes auf den Ort des Detektors: Dort wird ein Photoelektron erzeugt, das man mit geeigneten Verst~rkern, also makroskopischen Ger~ten wie z.B. Photomultiplier-RShren (Abschn. 10.6.2), nachweisen und z~hlen kann.

12.3.1

Spontane Emission

In der klassischen Physik ffihrt die Beriicksichtigung der Abstrahlung elektromagnetischer Felder zu Widerspriichen, die innerhalb der Theorien nach Maxwell und Newton bis heute nicht gelSst wurden (s. Abschn. 6.1.1). Auch die Quantenmechanik, die allein die Bewegung der atomaren Elektronen beschreibt, liefert noch kein schliissiges Konzept: Bekanntlich verschwindet das Dipolmoment yon Atomen in jedem Eigenzustand, wie soll dann ein Strahlungsfeld erzeugt werden? Daher wird auch in der semiklassischen Theorie der Licht-Materie-Wechselwirkung, etwa in den optischen Blochgleichungen, die schon in Abschn. 6.2.6 ausfiihrlich vorgestellt wurden, die spontane Emission lediglich durch einen phanomenologischen Dampfungsterm beriicksichtigt. Erst die Quantenelektrodynamik (QED) stellt eine mikroskopisch begriinde-

12.3 Spontane Emission

451

te und schlfissige Theorie dieser D~mpfung zur Verffigung. Bei der spontanen Emission betrachten wir den strahlenden Zerfall eines angeregten elektronisehen Niveaus zum Beispiel im Atom oder Molekiil. Ubergangsraten aus einem Anfangszustand li) in einen Endzustand If) werden in der StSrungstheorie der Quantenmechanik nach Fermis Goldener Regel berechnet,

W ~ / = '2-~[M~/[2~(Ef - E~)

,

(12.7)

wobei M i / d a s zum Zerfallsprozef gehSrende Matrixelement (mit der Dimension einer Energie) bedeutet. Im Falle eines angeregten Atoms, das spontane Strahlung in das umgebende Vakuum abstrahlt, k6nnen wir die Zustt~nde als Produktzustt~nde (spttter werden wir von ,,dressed states" sprechen, s. Abschn. 12.4.1) aus atomaren Zust~iaden [e), [g) und Feldzustt~nden mit Indizes a -- (k,e) sehreiben. Zu Beginn befindet sich das Feld im Vakuumzustand, sein Endzustand kann von vielen Zust~nden gebildet werden, die sich durch die Quantenzahlen a unterscheiden:

Ii) = le)lO00 .... 000) I.f)~--Ig)lO00..1,~..O00)

(12.8)

Zur Konstruktion des Dipoloperators verwenden wir wie in Abschn. 6.2.2 die atomaren Auf- und Absteige-Operatoren ~ = le)(gl und &t = Ig)(el und ~ = reg(~+&t). Das elektromagnetische Feld wird aber nun mit den Feldoperatoren ~, ~t beschrieben, so daft der Dipoloperator lautet:

el.. E = e~.e(& + at)E~ = e(reg.e)E~((z + &t)(& + &t) In nahresonanter N~herung, die der Drehwellenn~herung aus Abschn. 6.2.3 entspricht, vernachl~ssigen wir die schnell mit 2w rotierenden Terme ~& und st& t u n d erhalten die h/iufig verwendete, iibersichtliche Form

;i. E ~_ e ( r e ~ . e ) E ~ ( ~ t + ~t~) = hg (~,srt + st&)

(12.9)

Dieser Operator hat unter dem Namen Jaynes-Cummings-ModeU grofe Bedeutung erlangt, weft er exakt 15sbare Modelle der Licht-Materie-Wechselwirkung bietet. Die Kopplungskonstante

g = eregE~/h = ereg

,

(12.10)

wird Vakuum-Rabifrequenz genannt, denn sie gibt die Kopplungsst~irke ffir einen atomaren Dipol in einem Feld an, in welchem noch gar kein Photon angeregt ist. Die GrSfie E~ = (hw/2eoY) 1/2 (G1.(12.2)) k6nnen wir als mittlere Feldstt~rke eines im Volumen V gespeicherten Photons interpretieren. Um die Gesamtrate nach G1.(12.7) zu berechnen, verwenden wir M i / / h = g und beriicksichtigen alle mSglichen Endzust~nde a aus G1.(12.8). Wir beziehen

452

12 Grundztige der Quantenoptik

die Endzust~nde nun auf die 0bergangsfrequenz w und mit 5(E) = h-15(w) finden wir mit w = ]ck~ ] =

]g.125(lck.]

-

Ot

Dann ersetzen wir die Summation durch Integration im k-Raum fiber das Volumen Vk mit der Dichte pk(k) = 1/(2~) 3 und bestimmen die Dichte der Endzust~nde im freien dreidimensionalen R a u m nach (s. auch Anh. B.3) Pfrei(Co)---- 2

d 3 k p k ( k ) 5 ( l e k [ - c o i / ) - 7r2ca

Der Faktor 2 berficksichtigt die Polarisationsentartung. Bei der endgiiltigen Auswertung mfissen wir noch den Faktor rr .e im Dipoloperator G1.(12.9) berficksichtigen, der bei der Mittelung im dreidimensionale R a u m einen weiteren Faktor 1/3 verursacht: =

1

27re2r2 h0Jif

2 ~dif

,~2~2 :

o

,3

.if~if

Das Ergebnis ist identisch mit dem Einstein-A-Koeffizienten ffir die spontane Emission und dem Ergebnis nach Wigner und Weisskopf, das im n~chsten Abschnitt vorgestellt wird. Diese Tatsache ist keineswegs selbstverst~ndlich, denn die goldene Regel besitzt nur fiir kurze Zeiten Gfiltigkeit, wenn sich der Zustand des Systems nut unwesentlich ge~ndert hat. Die Zerfallsrate A i ~ / = 7 = 1/w bestimmt die natfirliche Linienbreite ~, = Aw = 2~Au bei spektroskopischen Beobachtungen dieses optischen Ubergangs (Abschn. 11.3.1).

Abb. 12.3 ExponentieUer Zerfall der Anregungswahrscheinlichkeit nach Weisskopf und Wigner. Fermis goldene Regel stimmt im Geltungsbereich bei kurzen Zeiten mit dem Ergebnis iiberein.

12.3 Spontane Emission

453

12.3.2 Spontane Emission nach Weisskopf und Wigner Das Problem der spontanen Emission wurde theoretisch zum ersten Mal 1930 yon V. Weisskopf und E. Wigner [171] gel6st, die dabei Ideen zur Quantenelektrodynamik yon P. Dirac verwendeten [45]. Wir betrachten die atomare Wellenfunktion mit den Bezeichnungen aus (12.8)

=

+

Im Weehselwirkungsbild der Quantenmeehanik gilt die Bewegungsgleiehung ihlq(t)) = l)dipl~(t)), aus der wir ffir die Koeffizienten die Cleichungen -i(w -

d (t)

=

-i

Cfa(t)

=

-ig~e i(w -

Wif )t Ci(t)

erhalten. Weil es unendlich viele Zust/inde If)~ und Koeffizienten C:~ gibt, ist auch das Gleichungssystem unendlich groB] Wir kSnnen die zweite Gleichung formal integrieren und erhalten

c,(t)

=

-

Ct

Igol f'

e -i(w-w~:)(t-t')

Ci(g)dg

In der sogenannten coarse grained solution nehmen wir an, daft G(t') ~- G(t) und daher vor das Integral gezogen werden kann. Dann verwenden wir das aus der Punktionentheorie bekannte Ergebnis (P bezeiehnet das Hauptwertintegral) ~;

I

-

lim [ dr%-i(~-~':)(t-t) = ~ r S ( w - w i : ) - P w i

t--*c~ JO

(12.11)

-- COil

Der Imagin/~rteil aus G1. (12.11) verursacht eine sehr kleine Prequenzverschiebung, wie sie auch bei der D/impfung eines klassischen Oszillators auftritt und entsprieht der beriihmten Lamb-Shift. Diese ist aber nur dann beobachtbar, wenn die Lage der ungedfimpften Energieniveaus aus der Theorie hinreiehend genau vorhergesagt werden kann, das ist nur ffir die einfaehsten Atome wie Wasserstoff und Helium der Fall. Wir nehmen also an, dag dieser Beitrag in der Resonanzfrequenz wi: sehon enthalten ist und erhalten sehlieNieh

Ci(t) = -~Ci(t)

mit

3' = 2 ~ r ~ Ig~l2

Die Summe fiber a wird wie im vorigen Kapitel bereehnet und ergibt denselben Koeffizienten wie bei der Anwendung der goldenen Regel im vorigen Absehnitt. Diesmal haben wir aber das Problem exakt, d.h. ffir alle Zeiten gelSst und dabei den exponentiellen Zerfall ffir die gesamte Prozet3dauer erhalten. W~hrend in der gewShnlichen Quantenmeehanik alle atomaren Zust~nde ,,scharre" Energie-Eigenwerte besitzen, ffihrt die Weehselwirkung mit dem elektro-

454

12 Grundzfigeder Quantenoptik

Abb. 12.4 Wechselwirkung eines angeregten atomaren Zustandes (scharfe Resonanzlinie bei 5d~ 5dhtom ) mit dem elektromagnetischen Vakuum, hier dargestellt dutch seine Modendichte pfrei(w) Die natiirliche Linienbreite angeregter Zustdnde kommt dutch diese Wechselwirkung zustande.

magnetischen Vakuum im allgemeinen zum Zerfall aller angeregten Zust/inde, der sich auch in der endlichen spektralen Breite Kut3ert, s. Abb. 12.4. Langlebige, sogenannte metastabile Zust/inde treten auf, wenn die Kopplung an das elektromagnetische Vakuum schwach ist.

12.3.3 Unterdriickung der spontanen Emission Der natiirliche Zerfall eines angeregten atomaren oder molekularen Zustandes hat scheinbar unausweichlichen, fundamentalen Charakter. In einer Umgebung mit leitenden Oberfl~chen kann die Zerfallsrate aber modifiziert und sogar abgeschaltet werden. Als Beispiel betrachten wir ein Atom, das wir uns vereinfacht als eine mikroskopische Dipolantenne vorstellen, zwischen zwei metallischen, spiegelnden W~nden im Absta.nd d. Die atomare Strahlung wird an den WKnden reflektiert und wirkt auf das Atom zuriick. Je nach Phasenlage der reflektierten Strahlung wird diese reabsorbiert und hemmt den Zerfall, oder sie verursacht durch konstruktive Interferenz einen noch schnelleren Zerfall des angeregten Atoms. Man kann die reflektierte Strahlung nach der intuitiven Methode der Bildladungen (Abb.12.5) angeben und dann die modifizierte Zerfallsrate des Originalatoms in Aquivalenz zur Strahlung der atomaren Bildkette ausrechnen [120]. Noch einfacher ist es, sich die erlaubten Wellen vorzustellen, die sich zwischen den beiden Spiegeln ausbreiten kSnnen. Die beiden metallischen Wande formen n~tmlich einen primitiven Wellenleiter, der zumindest fiir elektrische Felder, die senkrecht zur F1/ichennormale polarisiert (a-polarisiert) sind, eine Abschneidefrequenz bei Wc = r

12.3 Spontane Emission

455

Abb. 12.5 Unterdriickung der spontanen Emission zwischen ebenen Spiegeln. Links: Bildladungsmodell. Das Interferenzfeld der Bilddipole fiihrt bei kleinen Abstgnden in der a-Stellung zur AuslSschung, in der 7f-Stellung zur Verstdrkung. Rechts: Modiflzierte Zerfallsrate fiir aund 7r-polarisierte Strahlungsfelder, normiert auf die Zerfallsrate im freien Raum Ffrei.

besitzt. Wenn also der Abstand der beiden Spiegel kleiner wird als die halbe Resonanzwellenlange, d < 71"C/~dAt ---- )~At/2, dann kann sich das atomare Strahlungsfeld bei dieser Wellenl~nge bzw. Frequenz gar nicht mehr ausbreiten und der spontane Zerfall des angeregten Zustands wird vollst~ndig unterdriickt! Nun sind atomare Resonanzwellenl~gen sehr klein, sie haben nur #mDimensionen, aber genau dieser Typ von Experimenten ist ausgeffihrt worden, um die Abh~ngigkeit des spontanen Zerfalls vonder Umgebung des mikroskopischen Strahlers zu demonstrieren [120].

12.3.4 Interpretation der spontanen Emission Das Beispiel der unterdriickten spontanen Emission zeigt eindrucksvoll, dat3 die Strahlungseigenschaften eines mikroskopischen Teilchens durch seine Umgebung beeinflut3t werden, dab insbesondere die spontane Emission kein unausweichliches Naturph~nomen ist. Von D. Kleppner stammt daffir die Formulierung vom ,,Abschalten des Vakuums" [99]. Dahinter steckt die Vorstellung, dat3 die spontane Emission durch die fluktuierenden elektromagnetischen Felder des elektromagnetischen Vakuums induziert, ausgelSst wird. Dieses Bild liegt unserer Intuition wieder relativ nahe, man mut3 aber feststellen, dat3 es vom Standpunkt der theoretischen Beschreibung keinen zwingenden Grund zu dieser Interpretation gibt - alternativ k6nnte man auch die Fluktuationen der Elektronenbewegung im Atom als erste Ursache heranziehen, die durch Rfickwirkung ebenfalls die spontane Emission auslSsen. Besonders groB ist die Manipulierbarkeit der spontanen Emission in hochreflektierenden Hohlr~umen. Dieses Thema wird unter dem Namen ,,Hohlraum-

456

12 Grundzfige der Quantenoptik

Quantenelektrodynamik" (engl. Cavity-QED) seit vielen Jahren intensiv studiert [18]. Die experimentelle Demonstration solcher Phiinomene [80, 86] hat nicht nur zahlreiche Beweise und Illustrationen ffir die Bedeutung der Quantenelektrodynamik geliefert, sie hat auch den Blick daffir geschiirft, daft sich Quanteneigenschaften kontrollieren und fiir Anwendungen nutzbar machen lassen.

12.3.50ffene Quantensysteme Mikroskopische physikalische Systeme werden in der Quantenphysik mit einem Hamilton-Operator beschrieben: ,,Gebe mir den Hamilton-Operator, und ich sage die Eigenschaften des Systems vorher". Die Hamiltonschen Systeme sind allerdings abgeschlossen, sie verffigen i. Allg. nur fiber wenige Freiheitsgrade, und D~mpfung kommt bei ihnen nicht vor. Reale Systeme sind aber immer an eine Umgebung mit einem kontinuierlichen Spektrum yon Freiheitsgraden gekoppelt. Diese Umgebungen werden auch als ,,Bad" oder ,,Reservoir" bezeichnet, Beispiele sind das elektromagnetische Vakuum, die Schwarzk5rperstrahlung oder auch die Gitterschwingungen eines festen KSrpers, die alle durch eine Temperatur charakterisiert werden. Die Anregungsenergie eines abgeschlossehen (Teil-)Systems kann in diesem Bad ohne Wiederkehr verschwinden, wie Poincar~ Ende des 19. Jahrhunderts schon an klassischen Systemen bemerkte, im Gegensatz zu einem Hamiltonschen, abgeschlossenen System.

Abb. 12.6 Die Wechselwirkung eines Zwei-Niveau-Systems (der ,Materie") mit einem intensiven, kohiirenten Lichtfeld wird durch die Rabi-Frequenz mR beschrieben. Gleichzeitig ist die Materie immer an ein Bad angekoppelt, das die Ddmpfung verursacht. Je nachdem welche der beiden Raten grb~er ist, liegt der Fall schwacher oder starker Kopplung vor (Abschn. 12.4).

Das wichtigste Bad in der Optik ist das elektromagnetische Vakuum, das in der Quantenelektrodynamik (QED) behandelt wird. Es unterliegt Fluktuationen und kann in angekoppelten Systemen Fluktuationen verursachen, die sich zum Beispiel in seinen spektralen Eigenschaften iiufiern. Die spontane Emission ist ein sehr einfaches Beispiel ffir die Kopplung eines einfachen Hamiltonschen

12.4 SchwacheKopplung und starke Kopplung

457

Systems an dieses System mit sehr vielen Zustanden: Es besteht aus einem einzelnen Atom und dem elektromagnetische Vakuum. Die Rate der spontanen Dampfung, wie sie in der Theorie von Weisskopf und Wigner berechnet und im Experiment gemessen wird, ist ein Marl ffir die Kopplungsst~rke des Atoms an das elektromagnetische Vakuum. Ffir eine detailliertere Beschreibung verweisen wir auf [59, 170].

12.4

Schwache Kopplung und starke Kopplung

Schon die gedampften optischen Blochgleichungen Glgn.(6.32) werden im wesentlichen von zwei Zeitkonstanten bzw. Raten regiert: Die Rabi-Frequenz mR = d. E / h beschreibt die (koharente) Kopplung zwischen Lichtfeld und Materie; die Zerfallsraten {7, 7 p} beriicksichtigen die Strahlungsdampfung phanomenologisch. (Sie erfahren durch die QED lediglich eine strengere, mikroskopische Begrfindung.) Es lohnt sich, zwei Grenzfalle zum Typ der Licht-MaterieWechselwirkung nach dem Verhaltnis von Rabi-Frequenz und Dampfungsraten zu unterscheiden. Insbesondere im Grenzfall der so genannten ,,starken Kopplung" treten Phanomene auf, die mit klassischen Lichtfeldern gar nicht mSglich sind. 9 Schwache K o p p l u n g : mR <~ 7, Vt Bei der optischen Anregung z.B. von Atomen oder Molekiilen mit thermischen Lichtquellen oder schwachen Laserstrahlen liegt i. Allg. die schwache Kopplung vor. In diesem Fall werden nur wenige Teilchen angeregt, die Gleichgewichtswerte der Besetzungwahrscheinlichkeiten werden nur sehr wenig geandert: Die w-Komponente des Blochvektors (s. Abschn. 6.2.3) behalt bei optischen Anregungen in guter Naherung ihren Anfangswert w = - 1 . Ratengleichungen sind haufig ausreichend, um die Dynamik des Systems zu beschreiben. Die aus dem anregenden Lichtfeld aufgenommene Energie wird irreversibel an das Bad abgegeben. 9 S t a r k e K o p p l u n g : ~ a >> 7, ~/~ Ubersteigt die Intensit~it des treibenden Laserfeldes die Sattigungsintensitat, I/Io > 1 (Glgn.(6.36), (6.38)), dann ist die Kopplung zwischen treibendem Lichtfeld und Materie sehr viel starker als die Dampfung durch die Kopplung an das Bad, meistens das elektromagnetische Vakuum. Auf Zeitskalen, die kurz sind gegen die Dampfungszeiten 1/7 , treten dann transiente Phanomene auf, z.B. Oszillationen der Besetzungszahl (s. Abb. 6.6), bei denen Energie periodisch zwischen dem starken treibenden Lichtfeld und dem absorbierenden Medium ausgetauscht wird. Die spektralen Linienformen werden durch ,,S~ttigung" verbreitert, wie in Abschn 11.2.1 beschrieben, oder sie zeigen den AC-Stark-Effekt, s. den folgenden Abschnitt. Bei starker Kopplung findet auf Zeitskalen t < 7 -1 koh~rente, d.h. phasenstarre Entwicklung des Treiberfeld-Materie-Systems statt.

458

12.4.1

12 Grundziige der Quantenoptik

AC-Stark-Effekt und Dressed-Ato~t-Modell

Das S p e k t r u m einer Resonanzlinie, die von einem sehr intensiven Laser angeregt wird, d.h. mehrfacher S~ttigungsintensitat I / I o >> 1 (G1. (6.38)) ausgesetzt ist, ffihrt zur S~ttigungsverbreiterung, wie wir in Abschn. 11.2.1 vorgestellt haben. Mit einem zweiten Laser kann m a n das Experiment modifizieren, ind e m der intensive Laser genau auf die Resonanz einer Linie e - g abgestimmt wird (Abb. 12.7) u n d m a n das S p e k t r u m einer Hilfslinie h - e mit einem schwachen Testlaser untersucht. Man findet dann statt eines einzelnen Niveaus die sogenannte Autler-Townes- oder AC-Stark-Aufspaltung der atomaren le)-Zust~nde.

Abb. 12.7 A C-Stark- oder A utler- Townes-A ufspaltung eines Zwei- Niveau-Systems im NeonAtom. Die Intensitdt des Stark-Lasers, der genau auf die Resonanz abgestimmt ist, Wge ---~dStark betr~igt etwa das lO-fache der Sdttigungsintensitdt. Das Spektrum links wurde mit Hilfe eines schwachen Testlasers mit Whe --~~dWestregistriert. (a) ExperimenteUes Spektrum; (b) Berechnetes Spektrum. Nach [17] Die Aufspaltung der Niveaus l~flt sich mit d e m so genannten Dressed-AtomModell ~ gut verstehen. Wir haben Produktzust~inde aus atomaren u n d FeldZust~nden schon in Abschn. 12.3.2 benutzt, u m die Notation der WignerWeisskopf-Theorie zu vereinfachen. Hier erweitern wir dieses Verfahren: Wir betraehten P r o d u k t e aus den Zust~nden des Atoms ({Ig}, Ie) }, Ubergangsfrequenz Wo) u n d eines starken Lichtfeldes bei der nahresonanten Frequenz WL, das durch eine grofie Photonenzahl n gekennzeichnet ist, In): Dressed States, ungestSrt:

{Ig, n + 1), le, n ) }

3Deutsch soviel wie ,,bekleidetes" Atom. Gemeint ist, daft das Atom mit den Zustanden des angekoppelten elektromagnetischen Feldes eine physikalische Einheit bildet.

12.4 Schwache Kopplung und starke Kopplung

459

Das Lichtfeld soll genau einem Mode des Lichtfeldes entsprechen, z.B. einem Gaut]schen Laserstrahl. Genau genommen mfissten wir hier bereits die sogenannten koh~renten Zust~nde aus Abschn. 12.6.2 benutzen, die aus einer Uberlagerung verschiedener n-Zust~nde bestehen. Das Resultat der 0berlegung wird aber fiir intensive Lichtfelder, d.h. grot]e Photonenzahlen n nicht ge~ndert. In Abb. 12.8 sind die Energiewerte der ungestSrten Zust~nde als Funktion der atomaren Energie gestrichelt aufgetragen. Ihr Wert zum ungest6rten Hamiltonoperator H -- ho2La~a-~-h~.d0~to"betrs Eg,,~+l -- (n + 1)hWL -- hWo/2 bzw. E~,n = n h w L + h w o / 2 , wobei die Energie fiir den Grund- bzw. angeregten Atomzustand mit +hw0/2 variiert. Mit der Verstimmung 6 = WL --WO lauten die Energiewerte Eg,n+l = (n ~- 1/2)hWL -- h 5 / 2 bzw. E~,n = (n + 1/2)hWL + h5/2, insbesondere im Resonanzfall WL = WO sind die Zustande {[g, n + 1), [e, n) } etc. perfekt entartet.

Abb. 12.8 Energiediagramm des Dressed-Atom-Modells als Funktion der Anregungsenergie des Atoms hWo und fiir verschiedene Photonenzahlen n. Gestrichelt: UngestSrte Zustiinde. Durchgezogen: Zustiinde unter Beriicksichtigung der Dipolwechselwirkung. Nach [36].

Die Entartung wird durch die Dipolweehselwirkung aufgehoben. Der gesamte Hamiltonoperator unter Beriicksichtigung des Jaynes-Cummings-Wechselwirkungsterms (12.9) lautet

Die Energien der neuen Eigenzust/inde kSnnen durch die iibliche Diagonalisie-

460

12 Grundzfige der Quantenoptik

rung im Zustandsraum {Ig, n + 1), le, n ) ) berechnet werden: Wir berechnen

Hg~ Hgg

=

hg*v~ + 1

h~/2

wobei wir den konstanten Term hwL(n + 1/2) weggelassen haben. Die Eigenwerte A der Matrix ermittelt man mit Standardmethoden und findet, daft sie gerade mit der halben verallgemeinerten Rabifrequenz ~ iibereinstimmen, n-4- = Q-((hr

2 -~- ( h g ~ ) 2 ) l / 2

= Q-~/2

(12.12)

Die neuen Eigenzust/inde [• n}, deren Eigenwerte in Abb. 12.8 mit den durchgezogenen Linien dargestellt sind, haben die allgemeine Form

cosO[e,n I +sinO[g,n + l I [-,n} -- sinO[e,n} -cosO[g,n + l} [+,n/=

mit cos 0 = sin0 =

(~ + 5)/2 ((~ + 6)2/4 + g2(n + 1)) 1/2

und

gv~+ 1

((a + )2/4 + g2(n +

Wir betrachten zwei wichtige Grenzf/flle:

AC-Stark-Aufspaltung, 5 = WL--w0 = 0. Hier gilt f~ = 2 g ~

1 und die Mischungswinkel sind exakt gleich, 0 = 1r/4, cos0 = sin0 = 1/x/2. Die Aufspaltung nimmt den Wert A+ - A_ -- 2gx/~ + 1 = f~R an, der sich bei grofien n-Werten, wie sie in einem Laserstrahl vorkommen, nur sehr langsam mit n andert. Sie wird auch Autler-Townes- oder Rabi-Aufspaltung genannt.

AC-Stark-Verschiebung, [5[ >> g. Jetzt gilt cos0 -~ 1, sin(P) -~ 0, d.h. die Zustgnde werden nur geringffigig vergndert. Durch Taylor-Entwicklung von G1.(12.12) erhglt man A+ - A_ -- h5 {[1 + g2(n + 1)]\ 1/2

\

52/4

/

~_ hS+

hg2(n + 1) 5/2

Bei grofien Verstimmungen wird der Abstand der atomaren Energieniveaus geringfiigig proportional zur Intensit~t, n + 1 o( I, modifiziert. Die alternative Berechnung der AC-Stark-Verschiebung mit der St6rungstheorie 2. Ordnung geh6rt zu den Standard-Problemen der Quantenmechanik.

12.5 Resonanzfluoreszenz

12.5

461

Resonanzfluoreszenz

Als Resonanzfluoreszenz wird der Prozefi bezeichnet, bei dem ein einzelnes Atom Strahlungsenergie aus einem resonanten oder nah-resonanten Lichtfeld absorbiert und dutch stimulierte und spontane Emission immer wieder abgibt. Die durch stimulierte Emission abgegebene Strahlungsenergie wird dem treibenden Laserstrahl wieder zugeffihrt, die spontane Emission in den fibrigen Raum abgegeben. Die Resonanzfluoreszenz hat in der Geschichte der Quantenoptik eine besonders wichtige Rolle gespielt, weil sie zur spontanen Emission lediglich den Anregungsprozefi, den Antrieb durch ein externes Lichtfeld hinzufiigt. Quantenfluktuationen bestimmen wie bei der spontanen Emission die Dynamik, die sich in den spektralen Eigenschaften des Systems aus Lichtfeld und Materie ~ufiert und in komplement~rer Weise in der zeitlichen Entwicklung des Strahlungsfeldes der Atome, beim sogenannten , A n t i b u n c h i n g " auch den Anregungszustand der atomaren Strahlungsquelle reflektiert (s. Abschn. 12.6.4).

Abb. 12.9 Experimentelle Analyse der Resonanzfluoreszenz eines Natrium-Atomstrahls, der mit ~ = 589nm-Licht angeregt wurde. Links: Konzept der experimentellen Anordnung. Mit einer Spannung wird der Piezotranslator aktiviert, der den Fabry-Perot-Spektumanalysator abstimmt. Rechts: Spektren als Funktion der Laserintensitdt. Nach [70] und mit ffeundlicher Erlaubnis yon H. Walther.

462

12 Grundzfigeder Quantenoptik

12.5.1 Das Spektrum der Resonanz-Fluoreszenz Die Resonanzfluoreszenz wurde zuniichst an verdfinntenen Atomstrahlen [70], spiiter an gepeicherten Ionen und Atomen studiert. Das experimentell beobachtete Spektrum der Resonanzfluoreszenz ist in Abb. 12.9 gezeigt. Mit zunehmender Intensitiit spaltet sich die zuniichst einfache Linie in das sogenannte ,,Mollow-Triplett" auf, das nach dem Autor der ersten Berechung dieses Spektrums benannt ist [125]. Erst nachdem durchstimmbare Laser in den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts verfiigbar wurden, konnte dieses konzeptionell eher einfache Experiment durchgeffihrt werden.

12.5.2 Spektren und Korrelationsfunktionen Spektren geh5ren zu den wichtigsten experimentellen GrSfien dynamischer physikalischer Systeme. Wie wir schon im Kapitel fiber die spontane Emission gesehen haben, spielt bei optischen Spektren die Kopplung an das elektromagnetische Vakuum eine grot3e Rolle. Zur theoretischen Vorhersage von Spektren gewinnen wit zunachst die Korrelationsfunktionen, aus denen die komplementiiren spektralen Eigenschaften durch Fouriertransformation gewonnen werden kSnnen. Das Spektrum einer dynamischen MefigrSfie, z.B. der elektrischen Feldstiirke E(t) wird gemessen, indem die Intensitiit in einem Frequenzband w mit der Bandbreite Aw bestimmt wird, I(w) c~ {[E(t)[2}~ = {E(t)- E*(t)}~. Dieses Konzept kann auf beliebige MefigrSflen verallgemeinert werden. Bei der Berechnung der spektralen Eigenschaften eines Systems machen wir uns die Fouriertransformation zunutze, dabei spielen Produkte wie z.B. E(t). E*(t') sowie die schon aus Abschn. 5.2.1 bekannten Korrelationsfunktionen, eine wichtige Rolle. Sie werden theoretisch aus den Bewegungsgleichungen des Systems bestimmt und erlauben die Berechnung der spektralen Eigenschaften von Lichtfeldern. In Abschn. 12.6.1 werden wir sehen, daft die komplement~re, zeitliche Dynamik auch direkt mit Korrelationsfunktionen charakterisiert werden l~nn und dabei wichtige physil~lische Aussagen fiber die Koh~renzeigenschaften der Lichtfelder getroffen werden. Das Lichtfeld, das ein angeregtes Atom abstrahlt, ist proportional zum Dipolmoment bzw. in der Quantenphysik zum Dipoloperator des Atoms,/~+ c( ereg&t, t~- c( ereg~ etc. , wobei wit die Dipoloperatoren aus G1.(6.24) verwenden. Auf einem Detektor wird die Intensitat I.(t)

= -~-(E+(t)/~-(t)} =

~Io(at(t)a(t)} = ~

((az) + 1)

(12.13)

registriert. Die totale Fluoreszenz wird hier auf den maximalen Wert, die Siitti-

12.5 R e s o n a n z f l u o r e s z e n z

463

gungsintensitikt I0 = ~hc')'/A 3 (G1.(6.38)) normiert, von welcher ein durch die Geometrie bestimmter Teil /~ den Detektor erreicht. Formal zeigt sich wieder die Struktur des Pseudo-Spin-Systems aus G1.(6.26), die Fluoreszenzintensit~t ist wegen az + 1 = [e)(e[ proportional zur Besetzung des oberen Zustandes. Da das Feld am Detektor erst mit einer Verz6gerung vom atomaren Sender eintrifft, miissen wir genau genommen die retardierte Funktion E+(t) ~ 5t(~ _-- t - [r[/c) berechnen. In station~ren Prozessen ist die Retardierung aber nicht von Bedeutung. Eine klassische MessgrSf~e E(t) h~ngt nach

E(t) --

~.e(E(w)e~t)dw

mit ihren Fourier-Komponenten g(w) zusammen. E(t) ist eine reelle GrSt3e, daher gilt e(w) = $*(-w) und

e(w) = _1 f~E(t)e_~Otdt

7r J ~ Bei einer Messung wird die spektrale Leistungsdiehte SE(W) dieser Messgr6t3e in der Bandbreite Aw bestimmt, SE(

)=

2 IE(

)I

1

=

=

Tli~rnoo(21r)2T J-T~2

E*(t')e

J--T~2

Wenn das Spektrum nicht explizit v o n d e r Zeit abhikngt, kSnnen wir t I - t ~ ~ersetzen und erhalten ,.~E((M) = lim Ceo f T / 2 [T/2 E*(tl)E( t' + ~-)ei~'~dt'dT T--~oc (2~r)2T J-T~2 J--T~2 Im stationi~ren Fall (der aber durchaus von Fluktuationen gekennzeichnet sein wird!) lassen wir die Integrationszeit T grot3 werden und fiihren die zeitgemittelte ({...}t) Korrelationsfunktion ein, C60 GEE(T) = {E*(t)E(t + T)}t = --~ [T/2 J-T~2 E*(t')E(t' + T)dt'

(12.14)

Dann wird das Spektrum 8E (w) als Fourier-Transformierte der (Auto-)Korrelationsfunktion GEE(T), die nicht mehr explizit v o n d e r Zeit abhangt, berechnet:

CC'O fO 00 GEE(T)e it,tiTdz $E(W)- (2--~)2

(12.15)

Dieser Zusammenhang ist auch als Wiener-Khintchine-Theorem bekannt (s. auch Anh. A.1). Ffir T -- 0 ist die Korrelationsfnnktion proportional zur Inten-

464

12 Grundzfige der Quantenoptik

sit/it, G E E ( T ) = {E*(t)E(t)}t = 2I/ceo. Wir ffihren die normierte Kohdrenzfunktion 1. Ordnung ein, g(1)(~_):

{ E * ( t ) E ( t + T)}t CCoGEE(T) {E*(t)E(t)}t -- 2 I

(12.16) '

die analog zur Visibilit/it eines klassischen Interferometers (G1.(5.5)) definiert wird. Das Spektrum eines klassischen Systems kann daher berechnet werden, sobald die Zeitabh~ngigkeit E(t) bekannt ist.

Beispiel: Spektrum eines getriebenen klassischen Oszillators Unter Einwirkung eines elektromagnetischen Feldes E e - i w i t gehorcht der klassische Oszillator der Bewegungsgleichung G1. (6.1), die hier wieder auf eine Koordinate reduziert ist: m ~ J- "y~cq- w~szx = - e E e - i w i t .

Das abgestrahlte Feld ist proportional zum Dipolmoment, Edip(t) o(d(t). Die GleichgewichtslSsungen ffir d(t), die in Abschn. 6.1.1 behandelt worden sind, erg~nzen wir nun um die EinschwinglSsung. Wenn der Oszillator zu Beginn in Ruhe ist, gilt x(t = 0) = 0, d(t) = do(e - i ~ L t r176 Aus den zeitabh/ingigen Abb. 12.10 Spektrum eines getriebe- L5sungen kann man die Korrelationsfunknen klassischen OsziUators, Treibertion nach G1.(12.14) direkt berechnen und frequenz WL, Oszillatorfrequenz wos~. findet Beitr~ge bei WL, wo~, und 103L -- 02Os z I' wobei der letztere i. Allg. bei sehr kleinen Frequenzen, z.B. im Radiofrequenzbereich, liegt und hier vernachl/issigt wird:

co0

= y

Eo

12{

Die Fouriertransformation nach GI.(12.15) liefert dann die Deltafunktion aus Abb. 12.10 bei WL und die Lorentzresonanz bei WOsz, deren Beitrag aber nur im Einschwingvorgang auftritt und deshalb explizit mit der Mittelungszeit sinkt. Der Einschwingenvorgang tr~igt mit einem relativen Anteil yon I/TT bei, der bei grofier Mittelungszeit sehr klein wird oder auch einfach ausgeblendet werden kSnnte - er ist technischer und nicht grunds~itzlich physikalischer Natur.

12.5 Resonanzfluoreszenz

465

12.5.3 Spektren und Quantenfluktuationen W~ihrend es in der klassischen Physik ausreicht, die zeitabh/ingigen L6sungen E(t) zu kennen, um auch die Korrelationsfunkionen auszurechnen, miissen wir in der Quantenmechanik die Erwartungswerte von Operatorprodukten bestimmen, {E(t)E*(t')}t ~ {(/~(-)(t)/~(+)(t'))}t. Anders als bei klassischen Gr6i3en vertauschen die Operatoren zu verschiedenen Zeiten abet nicht notwendigerweise, G ~ = (E(-) (t)/~(+) (t + r)) r (/~(-)(t))(E(+)(t + r))

i. Allg.

Um den Anteil der Quantenfluktutationen an einem dynamischen Prozef~ zu identifizieren und von den klassisch auch schon zu erwartenden Phgnomenen zu separieren, definieren wir andererseits ein Aquivalent zur klassischen Korrelationsfunktion mit

G~E(T ) ----<E(-)(T)><E(+)(0)>

(12.17)

Der Anteil, der dutch Quantenkorrelationen verursaeht wird, betr/igt dann =

Diese Abtrennung ist bei Interpretationen manchmal hilfreich. Zur Berechn..g

vo.

wird das

Onsager-iax-oder Quanten-Regressions-

Theorem [170] angewendet. Bei sogenannten Markov-Prozessen a gehorchen n/imlich die Operatorprodukte denselben Bewegungsgleichungen wie die Operatoren selber. Zu einem Satz von Operatoren Oi(t) mit linearen Bewegungsgleichungen, 0 69-~<(.0i(t)> = ~ G i j ( t ) < 6 j ( t ) ) , (12.18) J wird also das entsprechende Gleichungssystem fiir die Erwartungswerte der Korrelationsfunktionen verwendet: 0 O---T((~i(T)6k(O)> = E Gij(T)((~j(T)6k(O)) (12.19) J

Falls die LSsungen der Bewegungsgleichungen (12.18) bekannt sind, sind auch die L6sungen zu (12.19) und damit die spektralen Eigenschaften nach dem Wiener-Khintchine-Theorem G1.(12.15) bekannt. Insbesondere die Spektren der Licht-Materiewechselwirkung werden mit Hilfe der optischen Blochgleichungen aus Abschn. 6.2.3 berechnet, die ein System entsprechend G1.(12.18) bilden. Dabei ist es bemerkenswert, dab die station/~ren L6sungen zur Beschreibung des Systems nicht mehr ausreichen. Die Einschwingvorg~ge, so genannte ,,Transienten", spielen eine wichtige Rolle, well Fluktuationen das System immer wieder aus dem Gleichgewicht auslenken. 4Markov-Prozesse haben kein ,,Ged~ichtnis",sie sind ,,delta-korreliert".

466

12.5.4

12 Grundztige der Quantenoptik

Kohfirente und inkohfirente Anteile der Fluoreszenz

Wir wollen versuchen, klassische und nichtklassische Anteile der Fluoreszenz zu unterscheiden. Dazu betrachten wir zun~chst den ,klassischen" Anteil des Spektrums der Resonanzfluoreszenz, indem wir in G1.(12.13) die Erwartungswerte der Amplituden verwenden: I oh =

Die L6sungen ftir die Amplituden erhalten wir ohne Umstgnde aus (a(t)) = (at(t)> * = 1/2(ust + ivst)e -i~Lt mit den station/iren LSsungen {u~t,v~t} der optischen Bloch-Gleichungen fiir das Zwei-Niveau-Atom, Glgn.(6.40), (6.41). Im Spezialfall perfekter Resonanz (5 = w - w 0 = 0) und ffir das freie Atome (3" ='),/2) ergibt sich

:

*

:

9Vst

-

-i

~/I/Io ~-~oLt 1 + I/Io~

bzw. I/Io (1+i/i0)2

It~

(12.20)

Auch die entsprechende Korrelationsfunktion (c%/2)G~E(~-) = Io (a t (~-)) (a(0)) lgBt sich aus diesen LSsungen bestimmen. Das Spektrum wird durch Fouriertransformation nach G1.(12.15) berechnet mit dem Ergebnis

s~oh(w)

=

Io I/Io 2 (1 + I/Io) 2 5(W--WL)

I/Io >> 1 ~

0

(12.21)

Abb. 12.11 Kohdrente und inkohdrente Anteile bei der Resonanz-Fluoreszenz eines ZweiNiveau-Atoms.

12.5 Resonanzfluoreszenz

467

Einerseits ist das Spektrum wie im Beispiel des fiktiven klassischen Oszillators auf S. 464 deltafSrmig, andererseits verschwindet dieser Anteil, der der schon aus der klassischen Physik bekannten Rayleigh-Streuung entspricht, bei groi~en Leistungen des treibenden Feldes! Die gesamte Fluoreszenzintensit~it wird nach G1.(12.13) und mit (a~) -- wst -- - ( 1 + I/Io) -1 berechnet,

Io In(t)=/3

((a,) + 1 ) = /3

I/Io 1~I7/I0

Damit kSnnen wir den durch die Quantenfluktuationen verursachten Anteil Iinc abtrennen, der als ,,inkoh~irent" bezeichnet wird:

:

/3 o [(o-t)(o-) + ((0%-) - (o-*)(o-))]

=

Icoh -[- I i n c = /3

•177

(Z/•

(1 + 1/10) 2 + (1 + 1/10) 2

Wie in Abb. 12.11 als Funktion der normierten Intensit~t des treibenden Feldes I / I o veranschaulicht, bleibt bei grofien Intensit/iten allein der inkoh/irente Anteil der Fluoreszenzintensit/it tibrig, Iinc

Io

(I/Io) 2

= 2 (1 + 1/lo) 2

I/Io >> 1 ---+

l i, -~ o

Die Verteilung der koh~Lrenten und inkoh~Lrenten Komponenten gibt den Unterschied zwischen Polarisierung und Anregung wieder: Bei kleinen Lichtintensit/iten koppelt ein Atom das treibende Lichtfeld in koh/irenter Weise ans Vakuum - ein wenig wie ein mikroskopischer Strahlteiler. Starke Lichtfelder dagegen verursachen Besetzung im angeregten Zustand, die ein zum Treiberfeld unkorreliertes (inkoh~rentes) Lichtfeld ins Vakuum abstrahlt. Das Mollow-Triplett

Um das Spektrum der Resonanzfluoreszenz zu verstehen, mfissen wir die 0berg/inge im Dressed-Atom-Modell kennen, die durch spontane Emission zustande kommen. (Alle stimulierten lJberg/inge sind in dem Modell bereits enthalten!) Durch spontane 0berg~inge werden Photonen aus dem Laserstrahl herausgestreut, li, n) ---, If, n - 1}. Im Resonanzfall enth/ilt jeder Zustand I=k) gleiche Anteile der atomaren Zust/inde {Ig}, le/}, und deshalb sind alle lJberg/inge I=k,n) ~ I • 1} mit gleicher St~irke erlaubt. Man kann das reduzierte Energieschema aus Abb. 12.12 verwenden, um die Linien des Spektrums zu ermitteln. Die Aufspaltung benachbarter Dubletts ist bei intensiven Laserstrahlen in sehr guter N~herung gleich. Deshalb treten zwei Linien bei identischer Frequenz 03L : W0 auf und zwei Seitenb/inder bei kTL = ('dO -[- ~ R b z w . ~ L = ~ 0 -[- ~'~R. Das Triplett wird als ,,Mollow-Triplett"

468

12 Grundziigeder Quantenoptik

[125] bezeichnet und entspricht ffir genfigend hohe Intensitgten (I/Io >> 1) sehr gut den Beobachtungen aus Abb. 12.9. Die Position der Spektrallinien gibt allerdings noch keine Auskunft fiber die Linienform. Die theoretische Berechnung stfitzt sich auf das Onsager-Lax-Theorem (s. Abschn. 12.5.2), dessen detaillierte Behandlung den Rahmen dieses Buches aber fibersteigt. Wir beschriinken uns darauf, das Ergebnis dieser Rechnung z.B. nach Walls [170] vorzustellen und zu interpretieren. Die Berechung des Spektrums der Resonanzfluoreszenz erfordert zuniichst die Bestimmung der Korrelationsfunktion nach G1.(12.14), G a a ( T ) : /0(at(T)cr(0)), und die anschliefiende Berechnung des Spektrums durch Fouriertransformation nach (12.15),

Abb. 12.12 Reduziertes Energieschema im Dressed-Atom-Modell miterlaubten {)berggingen. In(w) = Io crt(T)a(O))ei'~

(12.22)

-

Der Term (at(T)a(0)) ist zeitabhiingig und iihnelt in den gewShnliehen optischen Blochgleichungen den dort auftretenden Einschwingvorgiingen. Zum Beispiel lautet die vollstiindige LSsung ffir die Besetzungszahl mit Anfangswert (crz(t = 0)) = 0 1 [ 1 - e-37t/4(cosh(t~t)+ 37 sinh(t~t))] l + I/Io

-

mit

_- [ ( 7 / 4 ) 2

_

Ffir ~R >> 7/4 gilt n ~ -4-i~R, d.h. der Einschwingvorgang entsprfcht selbst einer gediimpften Schwingung. Die Anfangsbedingung ffir den gesuchten Term der Korrelationsfunktion lautet fibrigens (at(0)a(0)) = ((az) + 1)/2. Wir geben das Ergebnis ffir den Resonanzfall in der Niiherung starker Felder an, I / I o >> 1: SE(W)

Io I / I o (~w_--Wo) 7/4 -- 2w l + I/Io \ l + I / I o + (7/2) 2 + ( w - w o ) 2 +

+

37/16 (37/4? + (w- (WO+~R))2

+

37/16 (37/4) ~ + (w--(Wo--~R)) ~

Die Seitenbgnder des Spektrums der Resonanzfluoreszenz treten also genau bei den Frequenzen auf, denen auch die Einschwingvorgiinge unterliegen. Man

)

12.6 Lichtfelderin der Quantenoptik

469

mag sich vorstellen, daft die Quantenfluktuationen StSrungen des Systems verursachen, die zu immer neuen Relaxationen zurfick zum Gleichgewicht ffihren.

12.6

Lichtfelder in der Q u a n t e n o p t i k

Lichtfelder haben wir bisher in erster Linie anhand ihrer spektralen Eigenschaften unterschieden: Das Feld thermischer (auch chaotischer) Lichtquellen besitzt ein breites Spektrum und zeigt grofie Amplitudenfluktuationen, w~ihrend das Lichtfeld des Lasers sich durch hohe spektrale Reinheit und sehr geringe Amplitudenfluktutationen auszeichnet, wie in Abschn. 8.4.3 beschrieben. Nicht zuf~llig haben die Eigenschaften des Lichtfeldes auch schon im Kapitel fiber Detektoren in Abschn. 10.3.1 und 10.3.2 eine wichtige Rolle gespielt. Hier soll der Quantencharakter wichtiger Feldtypen vorgestellt werden, der yon grundlegender Bedeutung in Experimenten ist. Das Handwerkszeug ffir die formale Beschreibung der Quantenfelder werden wir heuristisch erweitern, ffir strengere Begrfindungen, die unter anderem eine Quantentheorie der Erzeugung yon Photoelektronen z.B. in einem Photomultiplier verlangen, sollte man Texte wie z.B. [114, 170] zu Rate ziehen. Eine umfangreiche Darstellung experimenteller Arbeiten findet man in [ii].

12.6.1 Fluktuationen von Lichtfeldern Die idealisierten klassischen Lichtfelder haben eine feste Amplitude und Phase. Alle realen Lichtfelder unterliegen Fluktuationen sowohl in der Amplitude als auch der Phase. Dabei spielen nicht nur technische Ursachen wie Schalleintrag oder Temperaturschwankungen in der Umgebung der Lichtquelle ein Rolle, die sich prinzipiell, wenn auch mit vielleicht viel Aufwand durch geeignete technische Mat3nahmen kontrollieren lassen.

-

Alle Lichtfelder unterliegen auch intrinsischen, durch ihre Quantennatur hervorgerufenen Fluktuationen, die Thema dieses Abschnittes sind. Solche Fluktuationen sind z.B. verantwortlich ffir die physikalischen Grenzen der Koh~irenzeigenschaften von Lichtquellen, zu deren Charakterisierung schon in Abschn. 5.2 die Korrelationsfunktion eingefiihrt wurden. Die longitudinale oder zeitliche Koh~renz wird beispielsweise mit einem Michelson-Interferometer (Abschn. 5.4) bestimmt, indem der Interferenz-Kontrast- die Visibilit~t, G1.(5.5) als Funktion der Arml~ngendifferenz gemessen wird. Die Korrelationsfunktion 1. Ordnung GEE(T) (G1. 12.14) hat auch schon eine entscheidende Rolle bei der Behandlung des Spektrums der Resonanzfluoreszenz gespielt und dokumentiert, daft die Vorhersage bei der Behandlung nach der klassischen

470

12 Grundztige der Quantenoptik

Elektrodynamik und der Quantenelektrodynamik unterschiedlich sein kann. Wir werden das Konzept noch um die Koh~renz 2. Ordnung erweitern, die ein klare Unterscheidung von klassischen und sogenannten nicht-klassischen Lichtfeldern erlaubt.

Kohfirenz 1. Ordnung Werden zwei Felder/~*(t) und/~*(t + T) an einem Ort zur Interferenz gebracht, z.B. in einem Michelson-Interferometer mit Wegunterschied d = or, registriert der Photodetektor in Analogie zur klassischen Elektrodynamik G1. 12.16 das (normierte) Signal. ((..) symbolisiert die Berechnung der Erwartungswerte und die zeitliche Mittelung.) g(1)(T) =

(F,*(t)F,(t_~ ~-+ T)) (E*(t)E(t))

= (st(t)5(t + T)) (St(t)~(t))

(12.23)

Gemessen wird die Kohfirenzfunktion 1. Ordnung genau wie die in Abschn. 5.2.1 definierte Visibilit/~t G1. (5.5), d.h. durch Bestimmung des Interferenzkontrastes. Die Kohiirenz 1. Ordnung kann ftir klassische und Quantenfelder durehaus unterschiedliche Vorhersagen machen, die Unterschiede sind aber experimentell meistens schwer nachzuweisen. In beiden Fallen gilt n/imlich 0_< Ig(1)(w)l _< 1

,

so daft es keine eindeutige Signatur fiir ein typisehes Quantenfeld gibt. Wiederum in Analogie zur Visibilit~t des konventionellen Interferometers werden Felder mit Ig(l)l = 1 als koharent, mit Ig(1)l = 0 als inkohgrent bezeiehnet.

Kohfirenz 2. Ordnung Sehr viel deutlichere Differenzen und eindeutige Signaturen fiir nicht-klassische Feldzust~nde treten bei der Koh~renz 2. Ordnung auf. Die Koh~renz 2.Ordnung kann unschwer sowohl im klassischen als auch im QED-Fall als Fortsetzung der Koh~renz 1. Ordnung definiert werden, wobei wir uns wieder von vornherein auf den Spezialfall konzentrieren, dag das Signal an ein und demselben Ort entsteht. Die klassische Korrelationsfunktion 2. Ordnung entspricht der Intensit~ts-Intensit~ts-Korrelationsfunktion, sie wird also gemessen, indem die auf einem Detektor registrierte Intensit~it zu verschiedenen Zeiten {t, t +T} verglichen wird. g~)(T) =

{E*(t)E*(t + T)E(t + T)E(t)}t {E*(t)E(t)}t

{1(t+.)1(t)} {l(t)}2

.(12.24)

12.6 Lichtfelder in der Quantenoptik

471

W e n n m a n schreibt I(t) ---- {I} + 5I(t) m i t {5I(t)} = 0, d a n n gilt

{I(t + 7)I(t)}= {({I}+5I(t + 7))({I}+SI(t))}= = {i}2 + {5I(t + T)5I(t)} __, {i}2 + {5I(t)2} ffir T--~ 0. F a r r = 0 bezeichnet {5I(t) 2} > 0 gerade die Varianz der Intensit~itsfluktuationen, d.h. es gilt im klassischen Fall 1 _< 9~)(T) _< OO

(12.25)

Ganz generell erwartet m a n aueh, dab ffir groge Zeiten T jede Korrelation verloren geht, also 9 (2) (T) --+ 1

fiir

r --* C~.

In der Q u a n t e n o p t i k besitzt die n o r m i e r t e K o r r e l a t i o n s f u n k t i o n 2 . O r d n u n g die Form g(2)(T) = (&t(t)&*(t + T)h(t + T)g(t)) (~t(t)~(t))2

,

(12.26)

die wir gleich in der durehsiehtigen Schreibweise der Erzeugungs- u n d Vernicht u n g s o p e r a t o r e n formuliert haben. Ffir ~- = 0 findet m a n m i t d e m Z a h l o p e r a t o r = ata 9(2) (T ---- O) - (fi(fi - 1))

Abb. 12.13 Vorhersage fiir die KohSrenzfunktion 2. Ordnung g(2)(T) fiir verschiedene Typen yon Lichtfeldern. Der Bereich 0 <_ g(2)(T) < 1 ist nur fiir nicht-klassische Lichtfelder mSglich. Details zu verschiedenen Typen yon Lichtfeldern werden in Abschn. 12.6.2 erliiutert. Alle E r w a r t u n g s w e r t e werden aus P r o d u k t e n von O p e r a t o r e n m i t ihren hermiteschen K o n j u g i e r t e n berechnet u n d sind d a h e r positiv. I m Unterschied zur klassischen K o r r e l a t i o n s f u n k t i o n k a n n u.a. wegen der Nichtvertauschbarkeit der O p e r a t o r e n aber keine weitere Aussage getroffen werden, so dab m a n findet 0 < g(2)(T) < o~

(12.27)

472

12 Grundzfige der Quantenoptik

Aus dem Vergleich mit G1.(12.25) ergibt sich dann sofort ein hinreichendes Kriterium, um den nicht-klassischen Charakter eines Lichtfeldes zu beweisen: (2) 0 ~ gnicht-klass. (T) < 1

Lichtfelder, die diese Bedingung erfiillen, werden nicht-klassische Lichtfelder genannt.

Hanbury-Brown und Twiss-Experiment Eine wichtige experimentelle Anordnung zur Beobachtung und Auswertung von fluktuierenden Lichtfeldern wurde 1956 von den australischen Astronomen R. Hanbury-Brown und R.Q. Twiss vorgeschlagen [31]. Ihre Absicht bestand darin, aus Korrelationsmessungen, d.h. aus den Intensit~itskorrelationen des von zwei Teleskopen von einem Stern empfangenen Lichts, den Sterndurchmesser zu bestimmen. Das AuflSsungsvermSgen gewShnlicher Teleskope (Abschn. 4.4.1) reicht n~mlich nicht aus, um den Durchmesser von Sternen direkt zu sehen. Das Licht eines Sterns wirkt fiir ein einzelnes Teleskop wie das einer punktfSrmigen Quelle, d.h. die transversale Koh~irenz ist perfekt. Bringt man das Licht von zwei Teleskopen zur Interferenz, dann sollte wie beim Youngschen Doppelspalt der Interferenzkontrast verschwinden, wenn der Abstand der Teleskope den Wert d > Azs/21rD fiberschreitet (s. Abschn. 5.3.1), wobei A die Beobachungswellenl~inge,zs die Sternentfernung und D den Durchmesser des Sterns bezeichnen.

Abb. 12.14 Schema eines Hanbury-Brown und Twiss-Experiments. Links ist die urspriingliche Idee angedeutet, den Durchmesser yon Sternen mit Hilfe der Intensitdts-Korrelationen yon zwei Teleskopen zu bestimmen.

In ersten Experimenten wurde versucht, mit einem Michelson-Interferometer direkt die Koh~irenz 1. Ordnung zu messen, d.h. die Interferenz der Felder von den beiden Teleskopen zu beobachten. Das Verfahren wurde aber durch die atmosph~irisch verursachten Wellenfrontdeformationen, die schon bei wenigen Metern Teleskopabstand einsetzten, stark beeintr/ichtigt. Die Anordnung von

12.6 Lichtfelder in der Quantenoptik

473

Hanbury-Brown und Twiss iiberwindet diese und andere Probleme, weil phasenunempfindlich Intensit~iten gemessen und als Funktion der VerzSgerungszeit T verglichen werden kSnnen. Die konventionelle Anordnung nach HanburyBrown und Twiss ist in Abb. 12.14 gezeigt: Dort wird das Licht der Quelle aufgespalten und mit zwei Photo-Detektoren werden die Intensit~iten als Funktion der Zeit registriert. Ein elektronischer Korrelator (z.B. ein elektronischer Multiplizierer) berechnet dann g(2)(T). Eine modernere Variante der Hanbury-Brown und Twiss-Anordnung ist in Abb. 12.15 gezeigt. Dort werden die Ankunftszeiten von Photonen registriert. Man berechnet dann die bedingte Wahrscheinlichkeit, ein Photon zu registrieren, wenn zuvor schon eines registriert worden war.

Abb. 12.15 Hanbury-Brown und Twiss-Experiment mit modernen Mitteln: Ein Time-toDigits-Converter registriert die Ankunftszeiten yon Photonen. Die Auswertung der Korrelationen wird yon einem Rechner vorgenommen.

12.6.2

Quanteneigenschaften wichtiger Lichtfelder

Wir wenden die Begriffe, die wir zur Charakterisierung der Quanteneigenschaften von Lichtfeldern entwickelt haben, auf verschiedene wichtige Grenzf~ille an. Ein einzelner Zustand bezeichnet auch immer einen isolierten Resonatorzustand oder einen Gaut3strahl mit einem reinen transversalen TEmn-Mode.

Fock-Zustiinde oder Zahl-Zust~inde Fock-Zust~inde

In}k,e sind

Eigenzust~inde zum Zahloperator

~tk, e =

5tk,eSk,e,

~tk,eln}k,e ---- n In)k,e

Wir wir aus G1. 12.6 wissen, haben Fock- oder Zahl-Zustande In) 5 keine Amplitude, ( n ] E ] n ) = 0. Die mittlere Photonenzahl ist scharf definiert, ~ = n, 5Wir werden die Indizes {k, e}, die den Mode bezeichnen, jetzt meistens weglassen, weil i. Allg. klar ist, welcher Mode gemeint ist.

474

12 Grundztigeder Quantenoptik

wie auch dureh die versehwindende Varianz An 2 = best/itigt wird.

(nl~l n) -

(hi,In) 2 = o

Fiir die Koh/irenzeigensehaften 1. und 2. Ordnung reehnet man aus: Ig(1)(w)l = 1 g(2)(7-) = 1 - 1 / n < 1 Der Fock-Zustand ist also koh~irent in 1. Ordnung und zeigt auflerdem eindeutig nicht-klassische Eigenschaften in 2. Ordnung. Kohfirente Lichtfelder

Das klassische Konzept einer elektromagnetischen Welle mit Amplitude und Phase ist aufierordentlich erfolgreich in der Wellentheorie des Lichts. Wie weiter oben beschrieben, gibt es eine enge formale .~hnlichkeit zwischen elektromagnetischen Schwingungen und einem harmomisch gebundenen Masseteilchen. Schon E. SchrSdinger hat 1926 die sogenannten ,,koh~renten Zust~nde" (auch Glauber-Zust~nde, nach R. Glauber, geboren 1925, Nobelpreis 2005) entdeckt, mit denen sich ein harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik in guter N~herung durch Amplitude und Phase beschreiben l~Bt. Dieses Konzept wurde von R. Glauber auf die elektromagnetischen Feldzust~inde iibertragen. Man konstruiert den koh~renten Zustand als einen Eigenzustand des nichtHermiteschen Vernichtungsoperators a (G1. 12.4), (12.28) Um diesen Zustand nach Fock-Zust~nden In/zu entwickeln,

Is) = ~ E ( ~ l ~ ) l n )

,

n

verwenden wir G1. 12.5, 1 (~1~) = ~]n.v(Ola~la> =

oLn

7~,(o1~)

,

und finden Ol n

Is> = ~ E 7~.,I.> n

Aus der Normierungsbedingung (ala } = 1 und der Taylor-Reihe E , ]al2'~/n! = e x p - ] a ] 2 ergibt sich dann direkt die Entwicklung des koh~renten Zustandes nach Fock-Zust~nden, OLn

Is> -- ~ -I~l~/~ E n

~n., In>

(12.29)

12.6 Lichtfelder in der Quantenoptik

475

Die Koh~renzeigenschaften des koh~renten Zustands berechnet man ohne Umst~nde zu Ig(1)(T)l = 1 g(2)(T) = 1 Koh~rente Zust~inde sind die naheliegenden Zust~inde, um Laserlicht theoretisch zu beschreiben. Well sie yon so grofier Bedeutung sind, sollen weitere wichtige Eigenschaften genannt werden: 9 M i t t l e r e P h o t o n e n z a h l Man berechnet direkt aus der Definition 12.28 ~ - -
9 Variant. der Photonen~.am

Es gilt <~1~'1~> -- I~1~ + I~1~, daher findet

man

~

= < ~ 1 ~ 1 ~ > - <~1~1~> ~ = I~1 =

bzw.

An

=

v~

9 F a s t - O r t h o g o n a l i t ~ i t Es ist nicht verwunderlich, daft die kohtirenten Zust~nde nicht orthogonal sind, denn sie sind Eigenzust~nde zu einem nichtHermiteschen Operator. Ffir einigermaBen groBe c~,/3 sind sie aber in guter N~herung orthogonal, denn der Faktor

1

(~1/3) = exp (-11a12 - ~1/312 +

a*/3)

versehwindet sehnell, wenn c~ und/3 aueh nur ein wenig untersehiedlieh sind. 9 Zust~inde m i n i m a l e r Unsch~irfe Man kann zeigen, daft die Varianzen der Quadraturen P( und Y (s. Abschn. 12.2, [170]) des koh~renten Zustands unabh~ngig sind v o n d e r Amplitude c~ : Ic~le/r Der koh~rente Zustand ist also der Zustand, der am n~ichsten an ein klassisches Feld, das mit Amplitude und Phase beschrieben wird, herankommt. 9 P h o t o n e n z a h l - V e r t e i l u n g Die Wahrscheinlichkeit, n Photonen in einem Mode zu finden (d.h. mit einem Detektor in einer bestimmten Zeit zu registrieren), betr~gt I~1 ~n

Pn : An2 : (n]a> : exp (--Ic~]2) n!

-- exp (--n)~.V

Diese Verteilung entspricht genau einer Poisson-Verteilung.

Thermische Lichtfelder Ein thermisches Feld kann z.B. durch seine Photonenzahlverteilung dargestellt werden. Sie lautet mit der mittleren Photonenzahl Pn

--

(1 ~- ~)lq-n

Allerdings l~fit sich diese Verteilung im Experiment nur dann beobachten, wenn die Mefizeit kurz ist gegen die Kohgrenzzeit ~-cder Lichtquelle. Bei grofen

476

12 Grundzfige der Quantenoptik

MeBzeiten geht die Verteilung wieder in eine Poisson-Verteilung fiber, weil die schnellen Fluktuationen herausgemittelt werden. Die mittlere Photonenzahl ist schon per Konstruktion festgelegt, die Varianz wird berechnet, (~}=~

und

An 2=n 2+

Man kann zeigen [114], daft die Koharenzfunktion 1. Ordnung ffir die beiden wichtigsten Typen von Spektren mit Linienbreiten Aw _~ v~-1 die Form hat

g(1)(7-)= g(1)(T) =

exp(--iWT--(T/%)2/2) exp ( - i w w - IT/Tell)

GauB-f6rmig , Lorentz-fSrmig

(12.30)

Die klassische Vorhersage ist dabei identisch mit der Vorhersage der QED. Auch die Koh/irenz 2. Ordnung hat hier eine einfache und interessate Form, die sich auf die Koh~irenz 1. Ordnung bezieht [114]. Wit geben nur das Ergebnis ffir thermische Lichtquellen an, die aus vielen Teilchen bestehen: g(2)(T)-- 1 + [g(1)(T)[u Sie gilt ffir alle thermischen Felder, also z. B. beide Varianten aus G1. 12.30. Insbesondere gilt wegen der Definition (12.23) g(1)(T = 0) = 1 und g(2)(T = 0) = 2

12.6.3 Photonenzahlverteilung Die Photonenzahlverteilung wird gemessen, indem die Zahl der aus einem Lichtstrahl registierten Photonen, genauer der auf dem Detektor erzeugten Photoelektronen immer wieder in einem festen Zeitintervall T gemessen wird und daraus die H/iufigkeitsverteilung aus Abb. 12.16 gebildet wird. Die Unterschiede in den Photonenzahlverteilungen verschiedener Typen von Lichtfeldern sind allerdings gar nicht so leicht zu beobachten, well die Fluktuationen insbesondere bei thermischen Lichtquellen invers proportional sind zur spektralen Bandbreite und deshalb auf sehr kurzen Zeitskalen T auftreten. Bei l~ingeren Detektorintegrationszeiten T >> T werden dann die interessanten Informationen herausgemittelt und wie wir schon in den Abschn. 10.3.1 und 10.3.2 festgestellt haben, unterscheiden sich dann Laserlicht und thermisches Licht in der Photonenzahlverteilung nicht meflbar voneinander. Die Photonenzahlstatistik bezieht sich lediglieh auf einen ausgew~hlten Mode aus einer Lichtquelle, der Detektor erreieht - bei einem koh~irenten TEM00-Laserstrahl kein Problem, wohl aber ffir eine thermische Lichtquelle. Hier muff man durch Blenden ffir eine transversal koh~irente, quasi punktfSrmige Quelle sorgen, die dann i. Allg. sehr lichtschwach ist.

12.6 Lichtfelder in der Quantenoptik

477

Abb. 12.16 Photonenzahlverteilung fiir einen (pseudo-)thermischen und einen kohdrenten Lichtstrahl. In diesem Experiment aus dem Jahr 1965 wurde fiir beide Messungen ein HeNeLaser als Lichtquelle verwendet. Zur Erzeugung des pseudo-thermischen Lichts wurde das Licht in einem 20 #m groflen Brennfleck durch eine rotierende Streuglasscheibe geschickt, deren Rauhigkeit eine typische 3 #m-Llingenskala aufweist. Nach [5].

Schon in der Friihzeit des Lasers wurden ,, pseudo-thermische"Lichtquellen verwendet, um die Fluktuationen eines thermischen Lichtstrahls durch Manipulation eines koh~renten Laserstrahls zu simulieren. In den Experimenten von Arecchi und Mitarbeitern [5] wurde dazu Laserlicht auf eine sich drehende Streuglasscheibe fokussiert. Steht die Scheibe still, beobachtet man das Speckel-Muster, das wir in Abschn. 5.9 vorgestellt haben. Dreht sich die Scheibe, iiuktuiert die Intensit~t am Detektor um so schneller, je schneller sich die Scheibe dreht. So l~t3t die effektive Koh~renzzeit sich auf experimentell gut beherrschbare 50-1000 #s einstellen. Purcell hatte schon vorher [138] darauf hingewiesen, daft diese Rauscheigenschaften auch mit den Fluktuationen von klassischen thermischen und sogar Laserlichtquellen vertraglich sind. Die Experimente von Arecchi haben aber gezeigt, daft die H~ufigkeitsverteilung der gemessenen Photoelektronen mit der Quantenelektrodynamik, wie sie von R. Glauber [60] vorgelegt worden war, korrekt ist.

12.6.4 Bunching und Antibunching Bunching Die pseudothermische Lichtquelle, die zur Messung der Photonenzahlverteilung in Abb. 12.16 verwendet wurde, kann auch eingesetzt werden, um die Koh~renz- oder Korrelationsfunktion 2. Ordnung g(2)(7), G1. (12.24) zu messen. In Abb. 12.17 sind die Ergebnisse fiir Laserlicht bzw. pseudo-thermisches Licht vorgestellt. Dabei wurde auf die effektive Koh~renzzeit des thermischen Licht-

478

12 Grundztige der Quantenoptik

feldes normiert, die sich durch die Rotationsgeschwindigkeit der Streuglasscheibe einstellen lalit.

Abb. 12.17 Links: Gemessene normierte Kohdrenzfunktion 2. Ordnung f~r kohgrente (schwarze Punkte) und thermische Lichtquellen. Das pseudo-thermische Licht wurde mit derselben Methode wie in Abb. 12.16 erzeugt. Die verschiedenen Symbole gehSren zu verschiedenen Rotationsgeschwndigkeiten der Streuglasscheibe, die unterschiedliche effektive Kohdrenzzeiten TO verursachen. Nach [6]. Rechts: Beispielfolgen verschiedener Formen der Photonenstatistik: (a) Thermische Lichtquelle; (b) Laserlichtquelle; (c) Lichtquelle mit AntibunchingEffekt. Vergleiche Abb. 12.13. Nach [114].

Rechts neben dem Me~ergebnis sind Beispielfolgen zur Photonenstatistik gezeigt: Die Photonen eines koharenten (Laser-)Lichtfeldes (b) sind vollkommen zufallig verteilt. Die Ankunftszeiten mag man sich akustisch wie das Trommeln von Regentropfen auf ein Blechdach vorstellen, die auch zu rein zufalligen Zeiten dort eintreffen. Ein thermisches Lichtfeld zeigt dagegen das ,,Bunching"P h a n o m e n (dt. soviel wie ,,Haufelung"), d.h. gleich nach der Registrierung eines ersten Photons ist es etwas wahrscheinlicher, gleich noch ein Photon zu detekieren. Im Gegensatz dazu verursachen bestimmte Lichtquellen gewissermafien ein Abstofien der Photonen untereinander - ihre Ankunftszeiten sind regelmai~iger, als das bei zuf~illigen Ereignissen der Fall ware.

Antibtmching Die Fluoreszenz eines einzelnen Atoms stellt eine besonders einfach Lichtquelle dar, deren spektrale Eigenschaften wir in Abschn. 12.5.1 schon behandelt haben. Das sogenannte ,,Antibunching" in der Resonanzfluoreszenz einzelner Atome zeigt eine klare Signatur ffir ein nichtklassisches Lichtfeld, namlich g(2)(T) < 1. Die Megdaten in Abb. 12.18 geben an, wie wahrscheinlich es ist, das Atom nach der VerzSgerungszeit ~- wieder im angeregten Zustand zu finden. Zwei Eigenschaften sind besonders auffallig: Bei T = 0 werden - nach Abzug der zufalligen Koinzidenzen des Untergrunds - keine weiteren vom Atom gestreuten Photonen registriert: Das Atom mug erst wieder angeregt werden,

12.7 Zwei-Photonen-Optik

479

bevor es erneut emittieren kann. In der Interpretation der Quantenphysik des Mefiprozesses kann man auch sagen, dab das Atom durch die Registrierung eines Fluoreszenzphotons auf den Grundzustand projiziert wird. Die anschlieflenden Oszillationen in der bedingten Beobachtungswahrscheinlichkeit ffir das zweite Photon zeigen Rabi-Oszillationen beim Einschwingen des Atoms in den Gleichgewichtszustand, der nach der ca. 30 ns erreicht wird, der Lebensdauer des angeregten Zustandes.

Abb. 12.18 Links: Originaldaten zum ,Antibunching" in der Resonanzfluoreszenz eines in einer magneto-optischen Falle gespeicherten einzelnen Caesium-Atoms. Die Oszillationen k~nnen direkt als Rabi-Oszillationen intevpretiert werden. Rechts: ICCD-Kamerabild der Fluoreszenz eines einzelnen gespeicherten Cs-Atoms bei ~ = 850 nm, Verschluflzeit 1 s. Nach [61]

Das erste Antibunching-Experiment wurde an einem extrem verdfinnten Atomstrahl ausgeffihrt [96]. Heute lmnn dieses Experiment mit einzelnen gespeicherten Atome (Abb. 12.18, [61]) oder Ionen [44], oder auch mit FestkSrperquellen [104, 146], die keine aufwendigen Speichertechniken benStigen, mit viel besserer Qualit~t ausgeffihrt werden. Einzelne Teilchen, die man ffir l~ingere Zeit in einem wohl definierten Volumen beobachten kann, sind notwendig, well in einem Ensemble zufallige Koinzidenzen von N streuenden Atomen proportional zu N ( N 1) wachsen, das Antibunching-Signal also schnell im Untergrund verschwindet.

12.7

Zwei-Photonen-Optik

Die im vorausgegangenen Abschnitt behandelten Korrelationsph~nomene zwischen Photonen haben Aufschlut3 fiber die Fluktuationseigenschaften des Lichtfeldes gegeben. Meistens wurden in Experimenten derart verdfinnte Lichtstrahlen verwendet, dab der Abstand der Ereignisse von den Detektoren gerade noch

480

12 Grundzfige der Quantenoptik

zu verarbeiten ist. Trotz der Korrelationen kann man aber die ,,Ankunftszeit" eines Photons am Detektor nicht vorhersagen. Um mit einzelnen Photonen gezielt (,,deterministisch") experimentieren zu kSnnen, sind deshalb Lichtquelle gefragt, mit denen Ein-Photonen-Zustiinde kontrolliert erzeugt und von einem Ort zum anderen transportiert werden kSnnen. Solche Ein-Photonen-Quellen sind ein aktuelles Forschungsgebiet, das in Zukunft vielleicht technisch robuste LSsungen bietet. Schon heute erfolgreich sind seit ca. 1995 Zwei-Photonen-Quellen, mit denen Paare yon Photonen in rt~umlich getrennten Strahlen erzeugt werden. Die Photonen-Paare - genauer spricht man von einem Zwei-Photonen-Zustand - werden zwar noch immer zufiillig erzeugt, weil sie aber auf verschiedenen Wegen propagieren, kann eines als ,,Flagge" dienen, um die Pr~enz des zweiten Photons anzuzeigen. Lichtfelder aus zwei Photonen in unterscheidbaren Lichtstrahlen haben aber insbesondere Experimente ermSglicht, in denen die ungew5hnlichen Quanteneigenschaften der Zwei-Photonen-Zustiinde schon heute genutzt werden, um beispielsweise mit der sogenannten Quantenkryptographie Nachrichten abhSrsichef zu iibertragen. Diese Entwicklung wurde u.a. von L. Mandel (1927-2001) initiiert, einem der Pioniere der Quantenoptik, der die ersten Zwei-PhotonenLichtquellen mit Hilfe der spontanen parametrischen Fluoreszenz entwickelt hat.

12.7.1 Spontane parametrische Fluoreszenz, SPDC-Quellen Die spontane parametrische Fluoreszenz (engl. spontaneous parametric downconversion, SPDC) kann als spontaner Elementarprozei~ des parametrischen Oszillators aufgefasst werden, der ausfiihrlich in Abschn. 13.5.3 besprochen wird. Hier verwenden wir nur eine stark vereinfachte Beschreibung: Wird ein nichtlineares Material, das geniigende Transparenz bei allen beteiligten Wellenliingen aufweisen muff, mit einem starken monochromatischen Laserfeld getrieben, wird eine Polarisierung verursacht, die zur Fluoreszenz von Photonenpaaren ffihrt. Vereinfacht ausgedrtickt miissen dabei lediglich Energie (h~,d 0 : ]~dl -~- hW2) und Impuls (im Kristall) hk0 -- hkl + hk2 erhalten sein: (n0

01c)e0 =

(nl

llC)el +

Die Erfiillung dieser Bedingungen ist wegen der Dispersion, der alle Materialien unterliegen, in isotropen Medien unm5glich: Bei normaler Dispersion gilt i. Allg. 2n0 > nl + n2. In doppelbrechenden Kristallen (ftir Details s. Abschn. 13.4.3.) kann die Bedingung aber erftillt werden, wenn in der Typ IKonfiguration die beiden F]uoreszenzphotonen orthogonal, bei Typ II gemischt

12.7 Zwei-Photonen-Optik

481

orthogonal und parallel zum treibenden Lichtfeld polarisiert sind. Die Impulserhaltung verlangt einen kleinen Winkel zwischen den Emissionsrichtungen, der in Abb. 12.19 iibertrieben grot3 dargestellt ist.

Abb. 12.19 Spontane parametrische Fluoreszenz bei Typ I-Phasenanpassung. Aus historischen Griinden werden die beiden Floreszenzphotonen hier mit ,Signal" bzw. ,Idler" gekennzeichnet. OA: Optische Achse.

In Abb. 12.19 ist die Geometrie der Phasenanpassung bei der spontanen parametrischen Fluoreszenz skizziert. Der nichtlineare Kristall wird mit kurzwelligem Laserlicht bestrahlt. Aus Symmetriegriinden werden die Photonen auf Kegeln emittiert. In der Typ I-Anordnung sind die Brechungsindizes der beiden Farben Wl und w2 nur durch die Dispersion und daher wenig voneinander verschieden, die Kegel fallen im Entartungsfall fiir Wl -- w2 perfekt zusammen. Um einzelne Farben aus dem regenbogenartigen Spektrum herauszufiltern, kann man Interferenzfilter oder Blenden verwenden. Besonders interessant ist der Fall, wenn die beiden Photonen gleich Farbe besitzen, weil sie dann wieder miteinander interferieren k6nnen. Photonen gleicher Farbe kann man durch ein Interferenzfilter bei der doppelten Wellenl~inge des Pumplasers pr~parieren. Mit den hier vorgestellten Zwei-Photonen-Quellen wurde eine Vielzahl von Experimenten ausgefiihrt, die unsere Vorstellungskraft gelegentlich strapazieren [155]. Wir beschr~ken uns hier auf das Experiment von Hong, Ou und Mandel, das als erstes die Interferenzfiihigkeit der beiden Photonen genutzt hat. Sp~iter werden wir dann noch die erweiterte Zwei-Photonen-Quelle von P. Kwiat und Mitarbeitern [105] vorstellen, die innerhalb von 10 Jahren zu einem Standardinstrument der Quantenoptik geworden ist. Mehr und mehr biirgert sich heute der Name ,,SPDC-Quellen" fiir diese Lichtquelle ein.

482

12 Grundzfige der Quantenoptik

12.7.2 Hong-Ou-Mandel-Interferometer In Abb. 12.20 ist die Interferometer-Anordnung von L. Mandel und Mitarbeitern dargestellt. Die beiden Photonen aus der SPDC-Quelle werden auf dem Strahlteiler BS wie in einem Michelson-Interferometer fiberlagert. Zwei Detektoren z~hlen Koinzidenzen von Photonen in den beiden Ausg/ingen, d.h. nur wenn in beiden Armen ein Photon registriert wird, wird ein giiltiges Ereignis angezeigt.

Abb. 12.20 Zwei-Photonen-Interferometer nach Hong, Ou und Mandel. SPDC: Nichtlinearer Kristall zut Erzeugung yon Photonenpaaren mit spontanen parametrischen Fluoreszenz, s. Abb. 12.19; BS: Strahlteiler; LB: Lochblende; IF: Interferenzfilter; Det: Detektor;

Die Rate der Koninzidenzen wird gemessen in Abh/ingigkeit v o n d e r Wegl/inge, die die beiden Photonen bis zum Strahlteiler zuriicklegen. In diesem Fall wird der Strahlteiler (BS in Abb. 12.20) selbst ein wenig verschoben, um die Wegl/~nge zu modifizieren. Lochblenden und Interferenzfilter helfen, aus der spontanen Fluoreszenz gleichfarbige, ununterscheidbare und damit interferenzf/ihige Photonenpaare herauszufiltern. Das Ergebnis des Experiments von Hong, Ou und Mandel zeigt Abb. 12.21. Die Koinzidenzrate zeigt einen deutlichen Einbruch, wenn die Wegl/inge fiir beide Photonen gerade gleich ist: Wir k6nnen diese Situation so interpretieren, da~ die beiden Photonen bei ,,gleichzeitigem" Eintreffen nur gemeinsam in einen der beiden Interferometerarme emittiert werden. Treffen sie dagegen nicht gleichzeitig ein, wird jedes von ihnen mit 50% Wahrscheinlichkeit in die beiden Arme gelenkt, so dat] in 50% aller Ereignisse Koinzidenzen auftreten. Wir betrachten das einfache Modell aus Abb. 12.21: Der Stahlteiler erzeugt beim Eintreffen eines Photon-Wellenpakets im Zustand 101)0 ein ausgehendes Wellenpaket ([01)1 + [10)1)/x/2. Beim Eintreffen von [10)o wird daraus ([01)1-

12.7 Zwei-Photonen-Optik

483

Abb. 12.21 Links: Koinzidenzrate als Funktion der Strahlteilerposition (BS in Abb. 12.20)) im Hong-Ou-Mandel-Interferometer. Nach [77]. Rechts: Bezeichnungen der Feldzustiinde nach dem Strahlteiler in Abb. 12.20.

I10)1)/V/2, weil die Reflexion am Strahlteiler einmal am dichten, einmal am diinnen Medium stattfindet. Mit den Feldoperatoren &llO0)l = Ilo)1

bzw.

&~lO0)l= IOl)1

l~iBt sich die Wirkung der einlaufenden Ein-Photonenzust~inde am 50:50 Strahlteiler auf die auslaufenden Photonenzust~inde simulieren nach: ~1 = (&~ + &~)/v~

und

~2 = (h~ - h~)/v/-~

Die Wirkung von zwei gleichzeitig einlaufenden Photonen entspricht dann dem Produktoperator sis2 und man berechnet den neuen Zustand ~1~2100)1 = {(&l) 2 -(&~)2)100)1/2 = (120)1- 102)1)/2 Offenbar fiihrt die Quanteninterferenz dazu, dab beide Photonen entweder in dem einen oder dem anderen Arm propagieren, nicht jedoch verteilt auf die beiden Arme. Genau diese Situation zeigt das MeBergebnis aus Abb. 12.21. Treffen die beiden Photonen, genauer ihre Wellenpakete, zu verschiedenen Zeiten ein, dann wird jedes Photon wieder mit 50% Wahrscheinlichkeit in einem der beiden Arme registriert und in der H~ilfte aller Ereignisse wird eine Koinzidenz gefunden. Die effektive L~inge der Photonenwellenpakete muB noch g e k l ~ t werden: Der Interferenzkontrast verschwindet nach einem Verschiebeweg von etwa A x / 2 = 16 # m (der Faktor 2 beriicksichtigt, dab sich die Verschiebung in beiden Armen auswirkt), der einer VerzSgerungszeit AT = A x/c _~ 100 fs entspricht. Diese Zeit entspricht gerade der spektralen Breite der Interferenzfilter, mit denen die gleichfarbigen Photonen pr~ipariert wurden.

484

12 Grundzfige der Quantenoptik

12.8

Verschr

nkte P h o t o n e n

12.8.1

Verschr inkte Zust inde nach Einstein-Podolski-Rosen

Eines der bekanntesten - und hiiufig mii~verstandenen - Paradoxa ist das nach den Autoren einer berfihmten Arbeit yon 1935, A. Einstein, B. Podolski, und N. Rosen [51] benannte EPR-Paradoxon. Es wurde bis in die 90er-Jahre des 20. Jahrhunderts eher als Kuriositiit betraehtet, obwohl es seit den theoretischen Arbeiten yon J. Bell [16] 1964 und den ersten Experimenten yon A. Aspect und Mitarbeitern [i0] 1981 einen quantitativen, experimentell realisierbaren Zugang erhalten hatte. In diesem Abschnitt stellen wit zuniiehst das EPR-Paradoxon selbst vor und beschreiben dann die schon erwiihnte erweiterte parametrisehe Zwei-Photonen-Quelle yon Kwiat und Kollegen [105], die zu einem experimentellen Durchbrueh in der Erzeugung und Anwendung verschriinkter, d.h. nur nach den Regeln der Quantenphysik korrelierter Photonenpaare geffihrt hat. Das Einstein-Podolski-Rosen-Paradoxon Einstein hat den enormen Erfolg der Quantenphysik - ihre Vorhersagekraft flit mefibare physikalische Ph/inomene - n i e bezweifelt, abet die Beschreibung durch eine Wellenfunktion und ihre probabilistische Deutung wollte ihm nicht einleuchten. Insbesondere die Unschiirferelation, nach der die MefigrSflen zu zwei nicht kommutierenden Operatoren, z.B. Ort und Impuls, (~, 15), oder die Komponenten eines Spins, & = (ax, ay, az), nicht gleichzeitig genau zu bestimmen sind, weil die Messung der einen GrSfie immer eine .~nderung der jeweils anderen verursacht, hat Einstein irritiert. Seine Vermutung war, daf~ die Quantenphysik ,,unvollstiindig" sei, daft es eine ,,Super-Theorie" geben mfisse, die die Ergebnisse der Quantenphysik reproduziere, aber ansonsten vollkommen deterministisch sei. Er stellte daher folgende Forderungen nach dem Realit/itsgehalt auf, die eine physikalische Theorie erffillen sollte:

9 Wenn wir den Wert einer physikalischen Gr~ifle mit Sicherheit vorhersagen k6nnen (d.h. mit der Wahrseheinlichkeit der Identit~t), ohne das System in irgendeiner Weise zu stSren, dann geh~irt zu dieser physikalischen Grb'fle ein Element physikalischer RealitSt. 6 Um die Widersprfichlichkeit der Quantentheorie zu zeigen, hatten Einstein und seine Ko-Autoren eine hSchst interessante Situation konstruiert, indem 6,,If, without in any way disturbing a system, we can predict with certainty (i.e., with probability equal to unity) the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity." [51]

12.8 Verschr~inktePhotonen

485

Abb. 12.22 Gedankenexperiment yon Bohm und Aharonov [23] zur Erliiuterung des EPRParadoxons. In den beiden inhomogenen Magnetfeldern wird ein Stern-Gerlach-Experiment zur Bestimmung der Spin-Komponenten durchgeffihrt. In der Quantenoptik kann das Experiment mit korrelierten Photonen realisiert werden. Die Stern-Gerlach-Magnete werden dann durch Polarisatoren ersetzt.

sie nicht mehr die Unsch~irferelation ffir konjugierte physikalische GrSi~en eines einzelnen Teilchens betrachteten, sondern stattdessen ffir streng korrelierte Zwei-Teilchen-Systeme. Ein vereinfachtes Beispiel wurde von D. Bohm [24] eingeffihrt, anhand eines Molekfils wie z.B. Hg2 n~imlich, das aus zwei Spin1/2-Atomen (zu beschreiben allein mit Spin-1/2-Operatoren al,2) besteht und den Gesamtspin 0 hat. Die Gesamtwellenfunktion lautet 1

~EPa = ~ (r162 VZ

-- r162

(12.31)

wobei r die Wellenfunktion ffir den Zustand des Atoms 1 mit Spin + h / 2 bezeichnet, das sich in Richtung A entfernt, r entsprechend ffir Atom 2. Das System kann durch Dissoziation getrennt werden, bei der der Gesamtdrehimpuls und damit der Zustand (12.31) erhalten bleibt. Wenn sich die beiden Atome weit voneinander entfernt haben, kann keine direkte Wechselwirkung mehr stattfinden. Wenn wir die Spin-Komponenten mit zwei Apparaturen, z.B. Stern-GerlachMagneten bei A und B analysieren (Abb. 12.22), deren Koordinatensysteme {eA}, {eB} parallel zur z-Riehtung orientiert sind, erwarten wir perfekte Korrelation: Wenn die Messung yon Atom 1 in Richtung {eA} das Ergebnis ,,+" (,,-") anzeigt, dann l~fit sich das Ergebnis ,,-" (,,+") ffir Atom 2 perfekt vorhersagen, genau wir von Einstein verlangt. Solche Korrelationen sind aber schon in der Alltagswelt selbstverst~ndlich. Schicken wir z.B. statt der zwei Spins zwei Kugeln, eine weifie und eine schwarze auf die Reise, ohne zu wissen, welche Kugel sich in Richtung A, welche in Richtung B bewegt. Wenn Empf~nger A die Kugel erh~lt, weifi er instantan fiber das Ergebnis der Messung von B Bescheid, ohne dat3 dabei die Kugel bei B gest5rt worden w~re.

486

12 Grundziige der Quantenoptik

Interessant wird das Problem, wenn die beiden Mefiapparaturen nicht mehr dieselbe Quantisierungsachse verwenden: Beispielsweise kSnnte man fiir {eB} die zu {eA} orthogonale x-Richtung w~ihlen. Nach Einsteins Argumentation wfiflte man durch die Messung bei B instantan fiber die x-Komponente auch bei A Bescheid - im Widerspruch zur Quantenmechanik, die diese Messung wegen der Nicht-Vertauschbarkeit der Spinkomponenten nicht zul~ifit. Einsteins Vermutung, da6 die Quantenmechanik nicht vollst~indig sei, veranlafite D. Bohm zu der Entwicklung einer Theorie mit verborgenen Variablen [23, 24], die auch der Quantentheorie deterministischen Charakter verleihen sollte. Im Gedanken-Experiment von Bohm kommt es nicht darauf an, daft Atome verwendet werden, das Konzept wird von jedem Zweizustandssystem optimal erfiillt. In der Quantenoptik eignen sich zum Beispiel Photonen, deren Polarisationszust~inde verschr~inkt sind, um den Zustand (12.31) zu realisieren. Eine Quelle, mit der solche Photonenpaare so erfolgreich hergestellt werden, daft sich damit zahlreiche Experimente durchfiihren lassen, stellen wir in Abschn. 12.8.4 vor.

12.8.2 Die Bellsche Ungleichung ~Iber 30 Jahre hinweg wurde das EPR-Paradoxon in erster Linie als Kuriosit~it aufgefasst. Erst mit der nach J. Bell [16] benannten Ungleichung ergab sich 1964 eine MSglichkeit, dem Widerspruch zwischen Quantenmechanik und den deterministischen Theorien mit verborgenen Parametern durch eine Messung n~iher zu kommen. Wir messen die Komponenten bei A und B durch &l " e A bzw. ~r2 9 e B , zus~itzlich werden sie durch einen oder mehrere Parameter, die wir pauschal mit bezeichnen, bestimmt. Bekanntlich kSnnen fiir das Zweizustandssystem nur die Werte A(eA,)~) = 4-1,

B(es,)~) = 4-1

(12.32)

angenommen werden. Wenn nun p()~) die Wahrscheinlichkeitsverteilung von )~ ist, dann muff sich der Erwartungswert der Messungen E(eA, eB) berechnen lassen nach:

E(eA, eS) = / d)~ p(~)A(eA,)~)B(eB,~)

(12.33)

Hierbei darf voraussetzungsgem~ifi B nicht von eA und A nicht von e s abh~ingen. Weiterhin mui~ wegen der strikten Antikorrelation fiir parallele Analysatoren gelten A(eA,.~) = --B(eA,)~) und deshalb auch

E(eA, eS) = - f d~ p( A)A(eA, ,~)A(es, .~) J

12.8 Verschr~inkte Photonen

487

Fiihrt man einen dritten Einheitsvektor ec ein, dann gilt ferner E(eA, eB) -- E(eA, ec)---f

= - / d A p(A)(A(eA, A)A(eB, A) - A(eA, A)A(ec, A)) *J

--

] dA p(A)A(eA,.~)A(eB, A) (A(eB, A)A(ec, A) - 1)

,

wobei wir wegen (12.32) A(eB, A)A(eB, A) ---- 1 einfiigen konnten. Das Mefiergebnis A(eA, A)A(eB, A) kann nicht kleiner als -1 werden, deshalb gilt die Ungleichung [E(eA, eS) -- E(eA, ec)l _< / dA p(A)(A(eB, A)A(ec, A) - 1)

,

und wir erhalten mit der Definition (12.33) die Bellsche Ungleichung, 1 + E ( e s , ec) >

IE(eA,eS)-

E(eA, ec)l

(12.34)

Der quantenmechanische Erwartungswert E O l~iik sich fiir den Singulett-Zustand (12.31) explizit berechnen, man erh~ilt Ee(eA, e s ) =

/d Y II/*(o"1 9eA)(&2 " e s ) ~ ------eA " e s

Betrachten wir den Spezialfall mit eA- e s ----0, eA" ec : e s 9ec = 2 -1/2, dann erhalten wir durch Einsetzen in (12.34)

1 - 2 -1/2=0,29>10+2-1/21=0,71 und damit einen klaren Widerspruch!

12.8.3 BeUsche Ungleichung und Quantenoptik Schon D. Bohm hatte auch die orthogonalen Polarisationszust~i~de yon Photonen als geeignete Zwei-Zustandssysteme zum Test der Bellschen Ungleichungen ins Auge gefasst. Die ersten optischen Experimente [I0] wurden mit Paaren yon Photonen ausgefiihrt, die nacheinander in einem Kaskadenzerfall produziert wurden. Die Experimente zur Verletzung der Bellschen Ungleichungen wurden seit 1981 immer welter perfektioniert, um die sogenannten ,,SchlupflScher" zu schliefien, die ihre Aussagekraft einschr/inken, z.B. die endlichen Nachweiswahrscheinlichkeiten der Detektoren. Wir kSnnen auf diese Diskussion, die noch nicht abgeschlossen ist, hier nicht eingehen und beschr~inken uns darauf, neuere experimentelle Konzepte vorzustellen. In den meisten Experimenten zur Untersuchung der Bellschen Ungleichung, schon im Experiment yon Aspect 1981, wurde die yon Clauser und Mitarbeitern [35] 1969 vorgeschlagene Variante der Bellschen Ungleichungen analysiert.

488

12 Grundziige der Quantenoptik

Sie l~it3t auch Abweichungen der Analysatoren und Detektoren v o n d e r perfekten Form zu, formuliert also die Bedingung G1.(12.32) weniger scharf: IA(eA,),)I _< 1,

IB(es,),)l _< 1

(12.35)

Dann kann man zeigen, (s. Aufgabe und [35, 40, 152]) dab eine Theorie mit verborgenen Variablen der Ungleichung - 2 < S(eA, eA,,es, es,) < 2

(12.36)

mit der Definition nach G1.(12.33) S(eA, eA,, es, es,) = = E(eA, e B ) - E(eA, eB,) + E(eA,,eB) + E(eA,,eB,)

geniigen mut]. Die Erwartungswerte werden im Experiment aus Koinzidenzmessungen bestimmt, die mit den Raten R++(ed, es) etc. auftreten: E(eA, eB) ---R++(eA, eS) - R-+(eA, eS) - R+-(eA, eS) + R - - ( e A , eS)

(12.37)

H~ufig helfen die experimentellen Anordnungen, die relativ komplizierte Form zu vereinfachen. So h~ngen die Ergebnisse nicht v o n d e r einzelnen Orientierung eA,B, sondern nur vom relativen Winkel eA 9eB ----COSOLab.

12.8.4 Polarisations-verschr~inkte Photonenpaare

Abb. 12.23 Erzeugung yon polarisationsverschrdnkten Photonenpaaren mit der spontanen parametrischen Fluoreszenz, vgl. Abb. 12.19. Links: Geometrie der Phasenanpassung; der obere Kegels ist auflerordentlich (V), der untere ordentlich polarisiert (H). Mitte: Photographie der spontanen Fluoreszenz in Blickrichtung auf den Kristall. (Nach [105] und mit freundlicher Erlaubnis yon A. Zeilinger) Rechts: Photonenpaare in den umrandeten Schnittpunkten des auflerordentlich und des ordentlich polarisierten Kegels sind verschrdnkt. Verschr~nkte Zust~inde aus genau zwei mikroskopischen Teilchen mit nichtlokalem Charakter sind experimentell nicht leicht herzustellen. P. Kwiat und

12.8 Verschr/inkte Photonen

489

seine Kollegen [105] konnten 1995 die SPDC-Quellen aus Abschn. 12.7.1 weiterentwickeln und damit ein Instrument schagen, das sich schon nach kurzer Zeit viele Anwendungsgebiete erobert hat. Das grunds/itzliche Konzept ist in Abb. 12.23 vorgestellt. Im Unterschied zu den Quellen in Abb. 12.19 wird hier die Typ II-Phasenanpassung eingesetzt. Die optische Achse steht nicht senkrecht auf der Propagationsrichtung des Pumpstrahls, sondern ist um einem Winkel verkippt, der in der N~he des Winkels fiir kollineare Phasenanpassung (Details in Abschn. 13.4.3) liegt. Dort 1/ifit sich eine Situation herstellen, in welcher der ordentlich und der aui3erordentlich polarisierte Fluoreszenzstrahl auf zwei Kegeln emittiert werden, die sich an genau zwei Punkten schneiden. Werden Photonen gleicher Farbe mit einem Interferenzfilter pr/ipariert, dann bilden sie einen Zustand,

1 ([H)I]V)2 q- e i r [~EPR) -- 2_1/2 der genau den EPR-Zust/inden im Sinne yon D. Bohm entsprieht. Weft die beiden Photonen in zwei versehiedenen Armen propagieren, lassen sieh die Polarisationen dureh VerzSgerungsplatten (A/2, s. Absehn. 3.7.3)/indern und dadurch auch andere EPR-Zustande wie ([H)IIH)2 q-eir erzeugen. Mit dieser Quelle lassen sich Photonenkorrelationen produzieren, die haufig einfach ,,Bell-Experimente" genannt werden.

Abb. 12.24 Experimentelle Anordnung [166] zur Messung von Polarisationskorrclationen yon Photonenpaaren mit Polarisationsverschrdnkung. LD: Laserdiode; SPDC: Single Photon Downconversion Source; Sp: Spiegel zur Strahlumlenkung; PA: Polarisationsanalysatoren, bestehend aus einer drchbarcn A/2-Platte und einem polarisiercnden Strahlteiler; PD: Photodetektoren im Photonenzdhlmodus.

12.8.5 Ein einfaches Bell-Experiment Die einfache Anordnung aus Abb. 12.24 entspricht sehr genau dem Konzept von Bohm aus Abb. 12.22. Blaue Laserdioden (Abschn. 9.2.1) bieten genfigend

490

12 Grundztige der Quantenoptik

Leistung (mehrere 10 mW), um diese Experimente heute sogar relativ einfach zu realisieren. Die Struktur der Korrelationsmessungen ist in Abb. 12.25 gezeigt. Bei der spontanen parametrischen Fluoreszenz werden Photonen mit verschr~inkter linearer Polarisation emittiert, deren Achsen durch den Kristall festgelegt sind. Der Winkel des ersten Analysators wird fest relativ zu diesen Achsen orientiert. In der 0~ der )~/2-Platte werden die Photonen des ersten Lichtstrahls in einer (0 ~ 90~ detektiert, bei 22,5 ~ dagegen mit (45~176

Abb. 12.25 Polarisationskorrelationen zwischen Photonen, die in zwei verschiedenen BasisSystemen gemessen werden. Oben sind die Achsensysteme fiir den Nichtlineareen Kristall (NLK) und den Polarisatonsanaylsator (PA) symbolisiert, s. Abb. 12.24. Nach [166].

Wird die A/2-VerzSgerungsplatte im zweiten Lichtstrahl um den Winkel a gedreht, erwartet man, eine Variation der Koinzidenzrate c( sin2a zu finden: Bei gleicher Orientierung k6nnen wegen der AntiKorrelation yon horizontal und vertikaler Polarisation keine Koinzidenzen gefunden werden, bei a = 45 ~ maximal viele. Dieses Verhalten zeigt Abb. 12.25. DaB in beiden Fallen die gleichen Kurven gefunden werden, ist bereits eine Folge der Verschr~nkung.

Ein Ergebnis fiir die CHSH-Ungleichung G1. (12.36) die physikalische Bedeutung der MefigrSfie S erschlieflt sich erst bei dem Versuch, das Marl der Verschrankung quantitativ zu erfassen - wird durch Messungen bei denjenigen Polarisatorstellungen ermittelt, fiir die maximale Verletzung erwartet wird, das ist in diesem Fall: (a,a',b,b') = (45~176176176 Ffir diese Stellung berechnet man nach der Quantenmechanik den Erwartungswert, der die Ungleichung offensichtlich und maximal verletzt: SQM = 2x/2 = 2, 82 _> 2

Auswertung dieses Experiments mit der Anordnung nach [166] ergab mit Sexp -- 2,732 • 0,017 einen Wert, der die Vorhersage nach den Theorien mit verborgenen Variablen um 40 Standardabweichungen verletzt und damit die Giiltigkeit der Quantenmechanik best~tigt.

Aufgaben

491

A u f g a b e n zu K a p i t e l 12 12.1 ,,Dressed S t a t e s " im 3 - N i v e a u - A t o m In Abb. 12.26 ist ein 3-NiveauSystem vorgestellt, das die beiden Grundzustande Igl, 2) mit zwei Laserstrahlen an das angeregte Niveau le) koppelt. Verwenden Sie die Rabifrequenzen ~1,2 als Mat3 ffir die Kopplungsst~rken. Laser 1 soll fiber die Resonanz hinweg verstimmt werden (Laserfrequenz WL1 ---- Wl + 5), Laser soll lest auf die Resonanzfrequenz 02L2 ---- 022 eingestellt sein. Bestimmen Sie die Lage der Ener-

Abb. 12.26 Drei-Niveau-System mit zwei anregenden Lichtfeldern. gieniveaus im Dressed-Atom-Modell (das dazu auf 3 Zust~nde erweitert wird) als Funktion der Verstimmung 5. Zeigen Sie, dat3 ffir perfekte Resonanz (5 = 0) ein sogenannter Dunkelzustand auftritt. 12.2 L i c h t e m p f i n d l i c h e F e u e r w e r k s k S r p e r Ein Hersteller bringt ein neues Produkt auf den Markt: FeuerwerkskSrper (FK), die durch den Kontakt mit Licht gezfindet werden. Der Zfinder ist so empfindlich eingestellt, dab ein Photon zur Ziindung ausreicht. Leider wird eine Ladung funktionsf~ihiger mit funktionsunf~higen FKs gemischt. Um wenigstens Teile der Ladung zu retten, schl~gt ein Quantenoptiker folgenden Test vor: Die FK werden mit ihrem Zfinder in den einen Arm eines Mach-Zehnder-Interferometers (MZI) eingebrach (Abb. 5.12) und dort einem Strom von einzelnen Photonen ausgesetzt. Das leere MZI ist symmetrisch eingestellt, dat3 alles Licht durch Interferenz

Abb. 12.27 Mach-Zehnder-Interferometer f~ir Einzelphotonennachweis. im Ausgang 1 detektiert wird. Auch der funktionslose Zfinder verursacht keine Anderung der Lichtweg. Ein funktionsf~higer Zfinder absorbiert aber das

492

12 Grundzfigeder Quantenoptik

Licht und ziindet den FeuerwerkskSrper. Welche Ereignisse registrieren die Detektoren in diesem Fall? Zeigen Sie, daff einerseits 50% der intakten Zfinder gefeuert werden und 25% als f~lschlich nicht funktionsf~hig aussortiert werden, daff aber immerhin 25% der intakten Kugeln korrekt aussortiert werden. 12.3 T r a n s f o r m a t i o n yon B e l l - Z u s t / i n d e n Eine SPDC-Quelle erzeugt Paare von polarisationsverschr/inkten Photonen (Abschn. 12.8.4), die den SingulettZustand ~I/Ep R = ([H>I[V)2 + eir annehmen. Welche optischen Elemente kSnnen eingesetzt werden, um daraus andere verschr~nkte (nicht faktorisierbare) Zust~nde zu erzeugen? 12.4 C l a u s e r - H o r n e - S h i m o n y - H o l t - U n g l e i c h u n g Der Erwartungswert einer Korrelationsmessung von A und B an zwei Spin1/2-Teilchen mit zwei verschiedenen ,,Stern-Gerlach"-Apparaturen mit Orientierungen {eA, eB}, die von einem verborgenen Parameter A abh~nge, sei

s(eA, eA,,eB, eB,)---- A(eAA)B(eB, A)- A(eAA)B(eB,,A)q+A(eA, A)B(eB, A) + A(eA, A)B(eB,,A) Zeigen Sie zunachst, gaff s fiir {A(eAA),B(eB, A)} = • nur die Werte • 2 annehmen kann. Wir definieren mit Hilfe von G1. (12.33) den Ensemblemittelweft

S(e~,e~,,e.,e.,) = Z(eA,e . ) - Z(eA,e.,) =

+

E(eA,,e . ) - E(,~,, e.,)

Zeigen Sie, daff die Bedingung

-2 < S(eA, eA,, eB, eB,) < 2 fiir Theorien mit verborgenen Variablen A gelten muff. Berechnen Sie auch den Wert nach der Quantenmechanik fiir den Singulett-Zustand (12.31), s. auch Abschn. 12.8.2.

13

Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Abb. 13.1 Durch nichtlineare Wechselwirkung wird in einem dielektrischen Material eine nichtlineare Polarisation PNL erzeugt. Sie wirkt als Quelle eines neuen elektromagnetischen Feldes ENL, das wiederum auf die Polarisation zuriickwirkt.

In den bisherigen F/illen haben wir meistens Polarisationen betrachtet, die linear mit dem treibenden Feld zusammenhgngen. Die Theorie des l i n e a r e n R e s p o n s e s war auch vollkommen ausreichend, solange nur klassische Lichtquellen zur Verfiigung standen. Seit der Erfindung des Lasers kSnnen wir aber Materieproben so stark antreiben, daft auBer den linearen Beitr~gen wie in G1. (6.12) auch nichtlineare Beitr~ge zur Polarisation auftreten.

13.1 Anharmonischegeladene OsziUatoren Wir kSnnen das klassische Modell aus Absehn. 6.1.1 modifizieren, um ein einlaches mikroskopisehes Modell fiir die Eigensehaften niehtlinearer Weehselwirkungen yon Lieht und Materie zu bekommen. Dazu fiigen wir in der Bewegungsgleiehung des linearen Oszillators aus G1.(6.1) eine sehwaehe anharmonisehe Kraft m a x 2 ein. Dieses Modell reflektiert zum Beispiel die Potentialsituation einer Ladung in einem Kristall mit fehlender Inversionssymmetrie. Gleiehzeitig vernaehl~issigen wir die lineare Dfirnpfung dureh Absorption und

494

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Streuung, die bei der Anwendung und beim Studium nichtlinearer Prozesse unerwiinscht ist und, wie wir noch sehen werden, die formale Behandlung nur komplizierter macht. Wir betrachten also die unged~impfte Form + w~x + a x 2 = q g cos (~t) m Wir fordern nun eine LSsung x ( t ) = x(1)(t) + x(2)(t), wobei x (1) den schon bekannten linearen Anteil markiert, x(1)(t) -- XL COS(wt). 1 Die Amplitude be-

Abb. 13.2 Geladener OsziUator in einem anharmonischen Potential. Dutch die anharmonische Bewegung werden OberweUen zur Treiberfrequenz w angeregt. In einem realen Kristall mujff x(t) dutch eine geeignete Normalkoordinate ersetzt werden.

tr~igt XL = q g / m ( w 2 - - w 2 ) , und die kleine, nichtlineare St6rung (Ix(2)l << Ix(1)l) wird niiherungsweise die Gleichung

~(2) + ~0~x(2) = _ ~ [(x(1))~ + 2~(1)~(~) + ] _~- ~ x ~ cos ~ (~t) erffillen. Wit zerlegen die nichtlineare Polarisation nun in einen konstanten und einen mit der doppelten Frequenz des Treiberfeldes 2w oszillierenden Anteil ~(2) und finden die LSsungen X (2) : X(D2)C-~-.v2w

2~ x(~)

:

~x~

-2(w~-nw

2)

cos(2~t)

Der erste Term beschreibt die Verschiebung der mittleren Position der Ladung, die dutch die Asymmetrie des Potentials verursacht wird. Die optische Welle verursacht also eine konstante, makroskopische elektrische Polarisation der Probe, die wir als ,,optische Gleichrichtung" oder als ,,inversen Kerr-Effekt" (s. auch Abschn. 3.8.1) auffassen kSnnen. 1In transparenten Materialien sind die elektronischen Resonanzen weir entfernt und wir kSnnen den absorptiven Beitrag (c( sin (wt)) in guter N~iherungvernachl~issigen.

13.2 Nichtlineare Suszeptibilitat 2. Ordnung

495

Der zweite Beitrag beschreibt die erste Oberschwingung der Ladung bei der Frequenz 2w. Die Probe wird unter geeigneten Bedingungen, die im Kapitel fiber Frequenzverdopplung n~her erl~iutert werden, ein koh~irentes elektrisches Feld bei dieser Frequenz abstrahlen! In Anlehnung an den linearen Fall kSnnen wir eine nichtlineare Suszeptibilit~it einffihren, denn mit der Oberschwingung bei der Frequenz 2w ist eine Polarisation verknfipft, ~(q/m) 2 g2 2 ( ~ - ~ ) ~ ( ~ - 4~ 2) cos (2wt)

P~(t) =

,

aus der wir eine nichtlineare Suszeptibilit~it 1 oL(q/m) 2 X(2w) = Co2(w~ - w2)2(w~) 4w2)

(13.1)

-

entnehmen k5nnen. Sie zeigt interessanterweise eine Resonanz bei w0 = 2w, die als Zwei-Photonen-Absorption interpretiert werden kann (s. Abschn. 11.4.3).

13.2

Nichtlineare Suszeptibilit it 2. Ordnung

Mit Hilfe von nichtlinearen Suszeptibilit~iten kSnnen wir generell die Antwort einer Probe auf eine oder mehrere optische Wellen beschreiben. Wir betrachten im folgenden nur monochromatische elektrische Felder, die wir in komplexer Schreibweise in ihre positiven und negativen Frequenzanteile zerlegen, E(r,t) E(+)(r,t) E(-)(r,t)

= = =

(E (+) + E(-))/2 Ee-i(,~t-l~) , (E(+) (r, t)) * ,

,

und entsprechende dielektrische Polarisationen P(+). Wenn das Feld linear polarisiert ist, dann wird die Amplitude in dieser Definition wegen [E[ 2 = E(+)E (-) nach

IEI--

[

I

Y

nc6 0

berechnet. D e r lineare Z u s a m m e n h a n g

y o n Feldst~rke u n d

Polarisation ist

schon aus GI.(6.11) bekannt. Um die umst~indliche Integralschreibweise der Faltung zu vermeiden, symbolisieren wir sie mit dem Q-Zeichen, P ( r , t ) = c0X(1) |

,

und geben nun zus~itzlich den hochgestellten Index ,,(1)" an, der den linearen Beitrag identifiziert. Im wichtigsten Fall monochromatischer Felder reduziert sich die Faltung im Zeitbereich wieder zu einem einfachen Produkt.

496

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Bei hohen Feldst~irken fiihren aber auch nichtlineare Beitr~ige der Polarisation zu wahrnehmbaren Effekten,

pNL(r,t) = CO{X(2) |

|

+X (3) |

|

|

+...}

Diese hSheren Terme sind das Thema der nichtlinearen Optik. Im allgemeinen kSnnen dabei nichtlineare Produkte zwischen allen vorhandenen Feldkomponenten auftreten ((E | E)~j-- E~ | Ej etc.).

13.2.1

Mischprodukte von zwei Feldern

In jeder Ordnung von X(~) tragen verschiedene Frequenzen zur nichtlinearen Polarisation bei, die sich als ,,Mischprodukte" der Eingangswellen ergeben. Es ist daher sehr viel einfacher und in der nichtlinearen Optik iiblich, die Beitr~ige zur Polarisation, die durch ,Wellenmischung" entstehen, gleich nach Frequenzkomponenten zu sortieren. Einen allgemeinen Ausdruck fiir die Polarisation kann man

in zweiter Ordnung

nach

Pi(w) = ~ ~-~ X}.~)(w; w,~w,,)Ej(wm)Ek(w,,) jk

(13.2)

mn

angeben. Fiir den einfachen isotropen Spezialfall (j -- k) kSnnen wir die Beitr~ige auch dutch Ausmultiplizieren der linearen Superposition finden, E(r,t)2 = E m

(E(m+) + E (-))

=

]

(E(+))2+E~(+)E(_ ,,,-) + 2 ~ - ~ (E(m+)E(+) +E(m+E ) (- )) + c.c. '~:m

Schon bei der Bestrahlung mit nur zwei optischen Wellen (m ----1, 2) verschiedener Frequenzen Wl,2 werden nichtlineare Polarisationen bei 5 verschiedenen Frequenzen erzeugt, die als Treibkraft zur Erzeugung einer neuen Welle bei der Mischfrequenz wirken: P (2Wl) 2. Harmonisehe Frequenz (1) SHG P (2 2) 2. Harmonisehe Frequenz (2) S H a P(Wl + w2) Summenfrequenz SFG P(Wl - w2) Differenzfrequenz DFG P(w -- 0) Optische Gleichrichtung OR

(13.3)

Jeweils zwei Feldkomponenten mit Frequenzen Wl, w2 erzeugen eine Polarisation bei der Frequenz w. Die zugehSrige Suszeptibilit~it wird iiblicherweise in

13.2 Nichtlineare Suszeptibilitat 2. Ordnung

497

Abb. 13.3 Passive X(2)-Prozesse. SUM: Summenfrequenzerzeugung; SHG: Frequenzverdopp-

lung (engl. second harmonic generation); DIF: Differenzfrequenzerzeugun9; OR: Optische Gleichrichtun9 (engl. optical rectification).

der Form (2) /

X i j k [ 0 3 ; 031,

.

03 = 03 1 --~ 032

gekennzeichnet. Die Indizes ,ijk" kSnnen jede der kartesischen Koordinaten (x, y, z) bezeichnen und beriicksichtigen den Tensorcharakter der Suszeptibilitgt. Zu jeder Frequenzkombination gibt es deshalb im Prinzip 27 Tensorelemente. Wenn wir die kartesische Abhgngigkeit zungchst vernachlgssigen, findet man durch Zerlegung der Polaxisation in die Fourierkomponenten Pi(r, t) -- (P(+) + P(-))/2 und durch Vergleich mit G1.(13.3): P(+) (03 = 2031) P(+) (03 = 2032) P(+) (03 = 031 -~- 032) P(+) (03 = 031 - 032) P(+)(03 = 0)

-_ _-

=

eoX(2)(W, Wl,Wl)(E}+)) 2

0x(2)

2,032)

2eoX(2)(03,031,032)E}+)E~ +)

--_ 2eoX(2)(03,031-032)E}+) E~ -) =

2co(X(2)(O;031,-Wl)E}+)E}-)+

(0; 032,-03 )E 13.2.2 Symmetrieeigenschaften der Suszeptibilit~it [28] Die Suche nach Kristallen mit hohen nichtlinearen Koeffizienten ist ein nach wie vor aktuelles Forschungsgebiet. Die Symmetrieeigenschaften der Kristalle spielen dabei eine wichtige Rolle und sollen hier einer kurzen 0berpriifung im Hinblick auf die nichtlineare Optik unterzogen werden.

498

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Intrinsische P e r m u t a t i o n s s y m m e t r i e

Mit zwei Grundwellen und einer Polarisationswelle kSnnen sechs verschiedene Mischprodukte erzeugt werden, wenn wir zus~tzlich w = Wl + w2 fordern: (2), ~ijk[~d;~dl,~d2) ~2)k (~,dl ;--~d2, ~d) ~(~}2)k(~22 ; ~2, --~dl) (2),

~ijktb2;~22,~21)

~/(2)k(~-dl; ~-d,--~-d2) X/(2)k(~22; --~1, ~)

Dabei ist die obere Reihe mit der unteren identisch, wenn mit der Vertauschung der Frequenzen auch die Koordinaten (i, j) vertauscht werden, (2)

)~ijk(~d;~21, ~22) =

X}k2~(02;~d2, ~dX)

Reelle e l e k t r o m a g n e t i s c h e Felder

Weil die harmonische Zeitabh~ingigkeit von P(-) aus P(+) hervorgeht, indem man die Ersetzung wi --* - w i vornimmt, muff gelten (2),

.

(2),

.

Xi3k~wi, wj, wk) = Xijk ~- wi, -wk, -w~)* Verlustfreie M e d i e n

In verlustfreien Medien ist die Suszeptibilit~it reell und dann gilt sogar

(2) / . (2) / . (13.4) Xijk~wi, w~, wk ) = Xijk~-wi, -wk, -wj) Aut3erdem gilt die volle Permutationssymmetrie, das hei6t, alle Frequenzen kSnnen vertauscht werden wenn die zugehSrigen kartesischen Indizes gleichzeitig vertauscht werden. Dabei mu6 man berficksichtigen, da6 man das Vorzeichen der getauschten Frequenzen wechseln mu6, wenn die resultierende erste Frequenz ein Tauschpartner ist, um die Bedingung w -- Wl + w2 zu erhalten: (2)

(2),

.

(2)

Xjik (wl; w,

Im letzten Schritt haben wir (13.4) ausgenutzt. Zum Nachweis dieser Symmetrie kann man die quantenmechanische Berechnung von X oder die Energiedichte im nichtlinearen Medium heranziehen.

13.2.3

Zweiwellen-Polarisation

Wir haben im vorangegangenen Abschnitt gesehen, da6 eine oder mehrere neue Polarisationswellen als Mischprodukt zweier Eingangsfelder entstehen. P(+)

---- c0X(2)(w; w1,-~2'j~L-(+)1,1 L-(+) ~2

P(1+) ---- coX(2)(Wl;-W2, w)E~-)E (+) p(+) = coX(2)(w2;w,-Wl)E(+)E~ -)

(13.5)

13.2 Nichtlineare Suszeptibilitat 2. Ordnung

499

Dabei muff auch ein neues Feld bei der Frequenz der Polarisationswelle entstehen, das nun seinerseits durch nichtlineare Wechselwirkung einen Beitrag zur Polarisation bei den schon vorhandenen Frequenzen liefert. Sie beschreiben die Riickwirkung der nichtlinearen Polarisation auf die Grundwellen, zum Beispiel den Energieaustausch. Mit den Symmetrieregeln aus Abschn. 13.2.2 kSnnen wir feststellen, dab in der N~iherung verlustfreier Medien die X(2)-Koeffizienten identisch sind[ In Abschnitt 13.3.1 werden wir die Kopplung der drei Wellen n~iher untersuchen.

Kontrahierte Notation In der nichtlinearen Optik wird sehr h~iufig die ,,kontrahierte Notation" benutzt, die zunachst durch den Tensor

dijk = 14 (2) 2 ~ijk

definiert ist. Die Notation wird nun vereinfacht und die Anzahl der mSglichen Elemente yon 27 fiir ~ijk (2) auf 18 verringert, indem die letzten beiden Indizes (j, k) zu einem Index l zusammengezogen werden, dijk --* dil. Wegen der intrinsischen Permutationssymmetrie gilt also:

jk: l:

11 22 33 23,32 1 2 3 4

31,13 5

12,21 6

Zum Beispiel lautet die Matrix Gleichung, mit der man die Frequenzverdopplung beschreiben kann, mit dem dij-Tensor:

Pu(2w)

= 2Co

Pz(2w)

Ex()22 / Ez(w)2 (13.6) 2Ex(w)Ey(w)

11 ( 12d1314d1510) d21 d22 d2a d24 d25 d26 d31 d32 d33 d34 d35 d36

Kleinman-Symmetrie H~iufig liegen die Resonanzfrequenzen eines nichtlinearen Materials sehr viel hSher als die der Treiberfelder. Dann sind die Suszeptibilit~ten - deren Form derjenigen unseres klassischen Modells aus Gl.(13.1) ~ihnelt -nur schwach frequenzabh~ingig und unterliegen n~iherungsweise der Kleinman-Symmetrie: Wenn die Suszeptibilit~it gar nicht mehr yon der Frequenz abh~ngt, k5nnen die kartesischen Indizes vertauscht werden, ohne gleichzeitig die zugeh6rigen

500

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Frequenzen zu vertauschen. Die Kleinman-Symmetrie reduziert die maximale Anzahl der unabh~ingigen Matrixelemente yon 18 auf 10.

13.2.4 Kristallsymmetrie Kristalle mit Inversionssymmetrie kSnnen a priori keine Suszeptibilit~it 2. Ordhung zeigen: Bei Inversion aller Koordinaten ~indert sich niimlich sowohl das Vorzeichen der Feldamplituden als auch der Polarisation, P~(r) -- d ~ j k E j ( r ) E k ( r ) r -~ --r

---- d ~ j k E j ( - - r ) E k ( - - r ) . (2)/~

Die Inversionssymmetrie ist deshalb nur mit dijk = Aijk/~ = 0 vertr~glich, so daft yon 32 Kristallklassen die 11 inversionssymmetrischen ausscheiden. Die Symmetrieeigenschaften der iibrigen Kristallklassen reduzieren die Anzahl der nichtverschwindenden u n d voneinander unabh~i.ngigen nichtlinearen d-Koeffizienten erheblich. In Abb. 13.4 sind die Koeffizienten ffir die Kristallklassen in der fiblichen Notation angegeben, die yon Null verschieden sind.

Abb. 13.4 Nichtlineare Koe~zienten deft, die yon Null verschieden sind (nach Zernike und Midwinter 1973, [183, 28]). Identische Koe~zienten sind mit Linien verbunden (gestrichelt: nut bei Kleinman-Symmetrie); voUe und offene Symbole zeigen verschiedene Vorzeichen an; quadratische Symbole versehwinden bei Kleinman-Symmetrie.

13.3 Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien

13.2.5

501

Effektivwert des nichtlinearen d-Koeffizienten

Im allgemeinen sind die nichtlineaxen Kristalle anisotrop und doppelbrechend, ja wir werden noch sehen, da6 die Asymmetrie der Doppelbrechung ihren effizienten Einsatz iiberhanpt erst ermSglicht. In Abhiingigkeit von den sogenannten Winkeln der Phasenanpassung 0 und r werden deshalb effektive Werte de~ ffir die dil-Koeffizienten angegeben, die ebenfalls tabelliert sind [46].

13.3

Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien [32]

Um die Ausbreitung yon Wellen in einem nichtlinearen Medium zu verstehen, betrachten wir zungchst wieder die allgemeine Form der Wellengleichung in Materie, 1 02 1 02 W x ~7 x E ( r , t ) + ~ - ~ E ( r , t ) eoC20 - ~ P ( r , t ) Den ersten Term der Vektoridentitiit W • W • E = V ( W 9 E) - V 2 E kann man in der nichtlinearen Optik nicht mehr so leicht beseitigen wie fiir lineare, isotrope Medien, weil man aus V . D = 0 nicht mehr V . E = 0 schlie6en kann. Glficklicherweise kann man den ersten Beitrag aber in vielen interessanten Fiillen vernachlKssigen, insbesondere anch ffir den Grenzfall ebener Wellen: (V2

102)

E(r,t)- !bs C2

c2 -

02

P(r,t )

Die Polarisation enthiilt lineare und nichtlineare Anteile, P = p(1) + pNL. Der lineare Beitrag wirkt sich nur anf eine oder mehrere Grundwellen oder Fundamentalen E F aus, die den Proze6 antreiben, und wird durch den Brechungsindex n 2 = 1 + X(1) berficksichtigt, p(1) = c0(n 2 _ 1)E F. Dann erhiilt man eine neue Wellengleichung, die v o n d e r nichtlinearen Polarisation p N L angetrieben wird:

(~72 n202 ) - - 02 c2 /2 E(r,t)-- 1 __pNLrrt) Coc20t 2 ~, Wenn diese verschwindet, findet man wieder die bereits bekannte Gleichung ffir die Ausbreitung einer Welle in einem dielektrischen Medium dessen Dispersion den Brechungsindex von der Frequenz abh~ngen l~sst, n = n(w). Wir betrachten nun wieder jede Frequenzkomponente wi des Feldes getrennt, und von den positiven und negativen Polarisationskomponenten trennen wir noch den oszillierenden Anteil ab,

p N L ( r ' t) = E

i

(7~i(r) e-i~'t +

eel'*)/2

502

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Die Wellengleichung zerf~llt danach in einzelne Frequenzkomponenten und kann in der Form

V 2 + n(w)2w2~ c2 ]

ei(r)e

ikr --

02 _

e-~2~l:~i(r)

(13.7)

geschrieben werden.

13.3.1

Gekoppelte Amplitudengleichungen

Um die Gleichungen (13.7) zu vereinfachen, betrachten wir zun~chst nur ebene Wellen, die sich in z-Richtung ausbreiten. Es lohnt sich aut3erdem, wieder die i. Allg. realistische Annahme zu machen, daft sich die Amplituden der Wellen nur langsam im Vergleich zur Wellenl~nge ver~ndern oder daft die Kriimmung der Amplitude klein ist gegen die Kriimmung der Welle:

o2E(z)

OE(z) <<

k

Oz

Dann gilt mit 02/Oz2[C(z)e ikz] ~- e i k z [ 2 i k ~ lengleichung 2ik 0

_ k2 +

n2(02)022] E(z)c2

J

k2]C(z) n~herungsweise die Wel-

-02- 2 p(02) - 9kz

eoC 2

Darin k6nnen wir mit k 2 = n 2 ( w ) w 2 / c 2 den Wellenvektor der Ausbreitung im dielektrischen Medium identifizieren und erhalten schliet31ich w2 i ~

-ikz

d c ( z ) - e0c~ 2-k~'(02)e

(13.8)

Eine genauere Betrachtung zeigt iibrigens, daft nicht nur die vorw~rts laufende Welle, sondern auch eine riickwarts laufende Welle erzeugt wird. Nur die vorw~irts laufende Welle wird aber wesentlich angekoppelt ([154], Zap. 33). Ffir jede der komplizierten Wellengleichungen aus (13.7) kSnnen wir deshalb eine Gleichung nach (13.8) aufstellen und dabei die Polarisation durch ihre explizite Form ersetzen, zum Beispiel nach (13.5). Die wichtigsten Probleme der nichtlinearen Optik kSnnen nach diesem Standardverfahren behandelt werden.

13.3.2

Gekoppelte Amplituden ffir Dreiwellenmischung

Die nichtlineare Polarisation beschreibt die Kopplung zwischen den Grundwellen El(Wz) und E2(w2) und ihrem Mischprodukt Ea(w). Dabei verwenden wir nach G1.(13.5) aus Symmetriegrfinden in allen drei F~llen denselben X(2)Koeffizienten ffir die nichtlineare Suszeptibilit~t.

13.3 Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien

503

Wir schreiben die drei Amplitudengleichungen nach (13.8) ffir diesen Zweck auf, indem wir die Polarisationen nach (13.5) einsetzen und die Abkfirzung Ak = k - kl - k2 verwenden:

753(z)e -ikz = 4eod~f~gleikl z s

e-ikz

= 4eod~fr gl g2e -iAkz

Der Faktor 4 tritt hier auf, weil wir fiber alle Beitr~ige zur Polarisation nach G1.(13.2) summieren mfissen. Wir setzen in G1.(13.8) ein und haben aus Grfinden der Llbersichtlichkeit ffir C2 bereits die komplex konjugierte Gleichung aufgeffihrt:

d&(0:)

=

dc;(0:l)

=

2i0:deff gl$2e-iAkz c~(0:) ~ 2/~1 de~

~n(0:1)

E~&~-iAkz

(13.9)

-2i0:2de~ glg~e-iAkz

~zC~(0:2 ) =

Grunds/itzlich lassen sich nach diesen Gleichungen die wichtigsten X(2)-Prozesse behandeln. Ffir passive Prozesse, zu denen die Frequenzverdopplung, die Summen- und Differenzfrequenzmischung sowie die optische Gleichrichtung gehSren, muff man yon Anfangsbedingungen der Form gl, g2 # 0, g3 : 0 ausgehen. Es ist aber aueh mSglieh, damit einen Parametrisehen Oszillator zu verstehen. Er kann/ihnlieh wie ein Laser als aktives Element betraehtet werden, denn die Anfangsbedingungen haben nun die Form gl, s = 0, s r 0.

13.3.3 Energieerhaltung Die Intensit/it I einer Welle im Dielektrikum mit dem Brechungsindex betr/~gt

I--

n(0:)

n(0:)Ceo ~

IEI 2

Durch Multiplikation der Gleichungen (13.9) mit der komplex konjugierten Amplitude

n(0:~)Ceog*/2 ergibt

1 ~zI3(0: ) 0:

sich die

1 ~I1(0:1) 0:1

Manley-Rowe-Beziehung 1~-zI2(0:2)

0:2

Sie drfickt die Energieerhaltung, denn danach gilt x3(0:) + ~1(0:1) + ~(0:2) -- 0 wegen 0: = 0:1 + 0:2. Dieser Umstand wird auch suggestiv als ,,Photonenerhaltung" bezeiehnet, weil in dieser Interpretation zwei Photonen mit den Fre-

504

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

und w2 zu einem Photon der Frequenz w kombiniert werden. Diese Sprechweise ist aber lediglich ein anderer Ausdruck ffir die Energieerhaltung, die nichtlineare Optik ist auf die Quantenphysik zur theoretischen ErklKrung gar nicht angewiesen. q u e n z e n Wl

Wir k6nnen uns den Umstand der Photonenzahlerhaltung zunutze machen und die Gleichungen (13.9) auf normierte Amplituden .A~ = n ( ~ s V

wi

transformieren. Die Amplitude der elektromagnetischen Welle betriigt nun I = cc0w[A(r, t[ 2 und man erhiilt d~Aa(w)

=

iaA1A2e -iAkz

A~(Wl)

-iaA~A2e -iAkz

-~ ~ A *2l~,w 2)~

_it~A1A~e-iAkz

(13.10)

mit dem Kopplungskoeffizienten t~ -- 2deft i

wwlw2 n(w)n(wl)n(w2)

c

13.4

(13.11)

Frequenzverdopplung

Der erste wichtige Spezialfall der gekoppelten Amplitudengleichungen (13.9) ist die Frequenzverdopplung. Sie hat besonders grot3e Bedeutung, weil mit dieset Methode kohiirente Oberwellen einer Grundwelle erzeugt werden kSnnen. Dadurch werden zum Beispiel ultraviolette Wellenlangen erschlossen. Die Gleichungen (13.9) werden wegen der Entartung yon wl und w2 auf zwei Gleichungen reduziert. Wir rekapitulieren noch einmal die Form fiir die Feldst/~rke der fundamentalen Welle Sru~ und der zweiten Harmonischen Ss~, ~z$~:~(2w)

_

c ni2w ~

~ ~w ), -ei A k z ~efr,-2 c gu~ ~

Wegen der Entartung taucht der Term der Frequenzverdopplung in G1.(13.2) nur einmal auf, daher ist die erste Gleichung um den Faktor 2 kleiner als in G1.(13.9). Die Phasenfehlanpassung 2w Ak -- k2~ 2k~ -- - - ( n 2 ~ n~) (13.12) -

-

c

13.4 Frequenzverdopplung

505

h~ingt offenbar vom Unterschied der Brechungsindizes bei der Grund- und Oberwelle ab. Wegen der Dispersion gewShnlicher Materialien ist sie stets pr~ent, denn es gilt n2~ ~ n~. Zur Vereinfachung benutzen wir wieder normierte Gleiehungen (13.10) mit Jt~N(W) = (n~/w) 1/2 EgjN(W) und J t ~ ( w ) = (n2w/a)) 1/2 ~-IG,

= i~A~A~t~eiAk z

(13.13)

Der Kopplungskoeffizient ist hier wegen der Entartung ebenfalls geringfiigig gegeniiber (13.11) modifiziert, ~ = (2de~/c) 9 (w3/n2~n~)21/2.

13.4.1

Schwache Konversion

lJblicherweise tritt nur die Grundwelle in einen Kristall der L~inge s ein, d.h., es gilt J t ~ ( z = 0) = 0. In einer N~iherung nehmen wir an, daft die Grundwelle nur geringfiigig geschw~icht wird, d.h., .AFdN --~ const. Dann brauchen wir nur die erste Gleichung aus dem System (13.13) zu 15sen und erhalten am Ende bei z = g die Oberwellenamplitude

As-~ -- ~gA~uN(w)e i A k i / 2 sin (Akg/2) Die materialabh~ingigen GrSBen fassen wir in dem Konversionskoeffizienten F Zllsammen~

~

2

~2 __ 4d~frw2 CCoW C3con2n2w

Die Oberwellen-Intensit~it h~ingt dariiber hinaus nur noch v o n d e r Kristall~inge und der Eingangsintensit~t ab, XSHG = r 2 t 2 1 ~ sin 2(nk~/2) (~k~/2)~ Je nach GrSBe der Phasenfehlanpassung Ak pendelt sie offensichtlich w~ihrend der Propagation durch den Kristall zwischen dem fundamentalen Strahlungsfeld und der harmonischen Oberwelle hin und her. Die Phasenfehlanpassung nach (13.12) betr~gt in typischen Kristallen mit normaler Dispersion I n ~ - n2~l ~ 10 -2. Deshalb oszilliert die Oberwellenintensit~it mit einer Periode von wenigen lO#m, die als ,Koh~irenzl~inge" f~oh- A---k- 4(n~.~- n~)

(13.14)

506

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Abb. 13.5 Entwicklung der Intensitiit I ~

der zweiten Harmonischen im Grenzfall schwacher Konversion. Nur bei perfekter Phasenanpassung (Ak = O) erreicht man kontinuierliche Verstdrkung des nichtlinearen Produkts. Andernfalls pendelt die Strahlungsleistung zwischen der Fundamentalen und der OberweUe wie die Wellen im mittleren Bild hin und her.

bezeichnet wird. Nut im Grenzfall der ,,Phasenanpassung" (engl. phase m a t ching), bei ( n ~ - n 2 ~ ) -- 0 wird die Intensitat mit der Kristall~inge kontinuierlich wachsen: I s . o = F2I~uN~2

(13.15)

Danach lohnt es sich, bei der Frequenzverdopplung die Intensitgt durch Fokussierung zu erh6hen und den Kristall zu verlgngern. Allerdings wird bei der Fokussierung, wie wir aus der Beschreibung Gaut3scher Strahlen (Abschn. 2.3) wissen, nur in einem engen Bereich um den Fokus herum eine quasi ebene Welle mit konstanter Intensitgt erzeugt, so daft ein Kompromifi zwischen den Forderungen nach starker Fokussierung und langen Kristallen gefunden werden mu~.

13.4.2

Starke Konversion

Im Grenzfall der starken Konversion kann die Abnahme der Pumpwellenintensitgt nicht mehr vernachlgssigt werden. Wir betrachten den Fall der perfekten Phasenanpassung Ak = 0. Um reelle Gleichungen zu erhalten, fiihren wir die GrSt3en J t ~ = . A ~ e ir und A ~ = .A~jNe ir mit reellen Amplituden ~ ein. Dann gilt ~_zAs_ ~

= iaA~,~e-i(2r

- r

wobei wir nun die Freiheit haben, die relative Phase der Amplituden zu wghlen, zum Beispiel e -~(2r162 = - i . Wegen der Energieerhaltung gilt d(1~4~12 + IJt~NI 2) = 0. Dann lauten die reellen Gleichungen im Fall einer verschwindenden Oberwelle am Eingang bei . A ~ ( z = 0) = 0 und .Ag~N(z = 0) = Jr0 (wir

13.4 Frequenzverdopplung

507

lassen die =Markierungen gleich wieder fort): d A

=

d~l_~A ~uN =

--

2

--

- ~ A s ~ A ~uN

Die erste Gleichung knnn mit Standardverfahren gelSst werden und ergibt A~G(z) = AlO tanh (~Ao) Im Prinzip kann also 100% Konversionseffizienz bei der Frequenzverdopplung erreicht werden, denn am Ende eines langen Kristalls sollte man die Oberwellenintensitat I~:~(z) = I0 tanh 2(FI~X/2)z) finden. Dieses Ergebnis ist besonders ffir die Frequenzverdopplung mit leistungsstarken, gepulsten Lasern wichtig, denn es ist die Voraussetzung ffir deren effiziente Konversion.

Abb. 13.6 Brechungsindizes fiir BBO und KNb03 als Funktion der Wellenliinge. Der or-

dentliche Brechungsindex (no) einer Grundwelle liegt im uniaxialen BBO-Kristall zwischen dem ordentlichen und auflerordentlichen (he) Index der halben WeUenldnge und ermSglicht Winkelabstimmung. Im dreiachsigen KNb03 (Brechungsindizes na, nb, no) kann die Phasenanpassung durch Temperaturanpassung erreicht werden.

13.4.3 Phasenanpassung in nichtlinearen Kristallen Wir haben schon unter (13.14) gesehen, daft die Frequenzkonversion nur fiber eine bestimmte, vonder Dispersion n(w) abh~ngige L~nge stattfindet. Doppelbrechende Kristalle, die schon in Kapitel 3.7.1 vorgestellt wurden, geben uns aber auch die M6glichkeit, ~coh-'+ OO ZU erreichen, indem eine Ausbreitungsrichtung gew~ihlt wird, in der die Brechungsindizes von Grund- und Oberwelle

508

13 NichtlineareOptik I: Optische Mischprozesse

identisch sind. AuBerdem werden wir in Abschn. 13.4.6 das erst in jiingerer Zeit erfolgreiche Verfahren der ,Quasi-Phasenanpassung" diskutieren, mit dem sich die Dispersion fiberlisten l~ik. Am einfachsten sind die Verh~iltnisse in uniaxialen Kristallen. Beim ordentlichen Strahl stehen Polarisation und Ausbreitungsrichtung senkrecht zur optischen Achse. Die Phasengeschwindigkeit wird durch den linearen ordentlichen Brechungsindex no(w) charakterisiert.

Abb. 13.7 Polarisationsrichtungen yon Grund- und Oberwellen bei der Phasenanpassung. In einem Kristall mit negativer (positiver) Doppelbrechung muff die kiirzeste Wellenldnge auf dem auflerordentlichen (ordentlichen) Strahl propagieren. Bei Typ-IAnpassung sind alle Polarisationsrichtungen orthogonal. Bei Typ-II-Anpassung wird eine Polarisationsrichtung yon genutzt, um gleich starke Projektionen auf die optischen Hauptachsen zu erzielen.

Weil die Frequenzkonversion gew5hnlich in Kristallen mit normaler Dispersion stattfindet, muff man fiir die Oberwelle stets den kleineren Brechungsindex w~ihlen, d.h. in einem negativ uniaxialen Kristall (ne < no) muff die Oberwelle als aui~erordentlicher, in einem positiv uniaxialen Kristall (no < n~) als ordentlicher Strahl gew~ihlt werden. Phasenanpassung laik sich dann erreichen, indem die Polarisation der Grundwelle komplement~ir zur Oberwelle gew~ihlt wird (,,Typ-I-Phasenanpassung"). Alternativ kann man aber nach GI.(13.6) in der ,,TypII-Phasenanpassung" die Polarisation der Grundwelle auch auf ordentlichen und aui~erordentlichen Strahl verteilen (d.h. unter 45 ~ zu den Kristallachsen einstrahlen), so dai~ die vier Alternativen aus Abb. 13.7 zur Verfiigung stehen.

Winkelanpassung

Wie wir schon in Abschn. 3.7.1 untersucht haben, h~ingt der Brechungsindex ne(0) der aufierordentlichen Strahlen nach der ,,Indikatrix" von dem Winkel

13.4 Frequenzverdopplung

509

zwischen optischer Achse und Strahlrichtung ab, weil die Polarisation Anteile sowohl parallel als auch senkrecht zur optischen Achse besitzt (G1.(3.47)), 1

cos 20

sin 20

n~(O)

n2o

n2

Abb. 13.8 Phasenanpassung dutch Winkeljustierung. In der linken BildMilfte ist die ,,Indikatrix" fiir einen uniaxialen Kristall dargestellt. Um Winkelanpassung zu erreichen, muff es einen Schnittpunkt zwischen den Brechungsindex-Ellipsoiden fiir den ordentlichen (no) und den auflerordentlichen Strahl (ne) geben. Die Fundamentale muff unter dem so bestimmten Winkel zur optischen Achse eingestrahlt werden. In der rechten BildhgIfte ist ein typischer Aufbau angezeigt, in dem der Kristallwinkel justiert werden kann. Grund- und Oberwelle laufen abet auseinander, well sie den ordentlichen und auflerordentlichen Strahl nutzen miissen. Den Winkel zwischen Ground- und OberweUe bezeichnet man als walk-off.

Phasenanpassung kann dann erreicht werden, indem der Winkel zwischen Grundwelle und optischer Achse geeignet gew~ihlt wird. Fiir einen negativ (positiv) uniaxialen Kristall bestimmt man die Phasenanpassungswinkel ffir Typ-I/II nach TypI

ne9 :0o

ne(O, 2w)

= =

no(W) no(2 )

TypII

ne 9

n~(O, 2w)

=

89

pos

no(2W)

=

~(no(w)+n~(O,w))

und mit Gl. (3.47) den ,,Phasenanpassungswinkel"

Ftir Anwendungen werden die nichtlinearen Kristalle geeignet geschnitten, um von vornherein in die Nghe des idealen Winkels zu gelangen.

510

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Wenn die Phasenanpassung und Winkelabstimmung erreicht wird, tritt das walk-off-Problem auf, well sich der ordentliche und aufierordentliche Strahl zwar mit gleicher Phasengeschwindigkeit, nicht aber in der gleichen Richtung ausbreiten. Auch den walk-off-Winkel p haben wir ffir uniaxiale Kristalle in G1.(3.48) schon angegeben, tanp-

2

n-2 sin 20

Die Oberwelle wird daher den nichtlinearen Kristall mit einem elliptischen Strahlprofil verlassen. Auflerdem wird die Intensit~it nicht mehr quadratisch mit der Kristall~inge zunehmen (wie in G1.(13.15)), sondern nur noch linear, well die bereits erzeugte Oberwelle nach kurzer Laufstrecke nicht mehr mit der Grundwelle fiberlappt.

90~ Man kann die Probleme der Phasenanpassung durch Winkelabstimmung vermeiden, wenn es gelingt, ordentlichen und aufierordentlichen Brechungsindex unter der Bedingung 0 = 90~ abzustimmen. Diese Situation wird in einigen Kristallen erreicht, well sich einer der beiden Brechungsindizes durch Kontrolle der Temperatur fiber einen gr6fieren Bereich abstimmen l~fit. Wegen der groBen Wechselwirkungsl~inge erlaubt diese Methode besonders groBe Konversionseflizienz. KNbO3 ist ein sehr wichtiges nichtlineares Material, well es einen hohen nichtlinearen Koeffizienten besitzt, und well es in dem wichtigen Wellenl~ingenbereichim nahen Infrarot 90~ erlaubt. In Abb. 13.6 sind die Brechungsindizes ffir die 3 Achsen (a, b, c) vorgestellt. Danach kann man im a-Schnitt Phasenanpassung fiir die Frequenzverdopplung von 840-960 nm erwarten, im b-Schnitt von 9 5 0 - 1060. Selbstverst~ndlich lassen sich auch die Methoden der Winkelanpassung mit diesen Kristallen anwenden. Ffir diesen Typ der Phasenanpassung werden neben der Bezeichnung ,,90~ auch die Begriffe Temperatur- und unkritische Phasenanpassung verwendet.

13.4.4 Frequenzverdopplung mit GattBschen Strahlen Nachdem wir die Grunds~itze der Phasenanpassung verstanden haben, miissen wir noch den Einflui~ realistischer Laserstrahlen studieren. Well die Konversionseffizienz mit der Intensit~t der Grundwelle steigt, lohnt es sich zu fokussieren. Auf der anderen Seite fiihrt zu starke Fokussierung zu grofier Divergenz und reduziert die Wirkung wieder (Abb. 13.9). Man erwartet also intuitiv eine optimale Wirkung, wenn die Rayleighl~inge in etwa der Kristall~inge entspricht.

13.4 Frequenzverdopplung

511

Abb. 13.9 Fokussierung einer Grundwelle in einen nichtlinearen Kristall. Wenn die Rayleighzone des Gauflstrahls grSfler ist als die Kristalldnge, breitet sich im Kristallvolumen eine nahezu ebene WeUe aus. Wenn die Fokussierung zu scharf wird, wird die Phasenanpassung in den stark divergenten Bereichen des Strahls wieder verletzt.

Ein Ganfischer Strahl (Details sind im Kapitel 2.3 fiber Wellenoptik zu finden) im TEM00-Mode hat in der N~he der Strahltaille die radiale Intensit~itsverteilung und Gesamtleistung

E(r)

=

p

_

7rCeo 27r.fn~drrlg(r)l 2

2

Z

7rw02

=o-~

mit den Kenngr5t3en /' b)~ ~ 1/2 Radius der Strahltaille b -- 2z0 ~ d i v - 7(wonw

Konfokaler Parameter , Divergenzwinkel des Gaufimodes

Boyd und Kleinman haben sich dieser Frage schon in den 60er-Jahren gewidmet [27] und geeignete mathematische Formeln zur Behandlung dieses Problems erarbeitet. Im Grenzfall schwacher Konversion und schwacher Fokussierung (d.h. b << ~) l~ifit es sich durch einfache radiale Integration bew~iltigen. Man findet am Ende eines Kristalls der L~inge s und bei perfekter Phasenanpassung Ak = 0 die FeldstErke (~ nach Gl.(13.11))

Mit w ~ g -- W~jN/2 berechnet man die totale Ausgangsleistung P~

_- r2g2I~ ~. 2

- r2~P~

rw~x~

(13.16)

wobei W~UN,~ die Strahltaillen von Grund- und Oberwelle bedeuten. Es entspricht dem schon bekannten Ergebnis von G1.(13.15). Man rechnet fibrigens schnell nach, daft Grund- und Oberwelle unter diesen Umst~nden denselben konfokalen Parameter (s. S. 50) bs~ -- b ~ besitzen.

512

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

Boyd und Mitarbeiter haben diese Analyse, die zun/ichst nur ffir den Fall der 90~ gilt, auf die Winkelanpassung erweitert. Dazu werden normierte Koordinaten ffir die Ausbreitungsrichtung (z-+t) und die walk-offRichtung ( walk-off-Winkel p) (x--+ u) eingeffihrt, t

--

U

--

mit

Ca

=

V~w~/p

v~2(z - pc) WgJN

und zwei neue Funktionen definiert, =

1 fl

+

t .ln

G(t)

=

-f~ ~2(u,t)du

Die LKnge g~ wird als ,,Aperturl/inge"bezeichnet und gibt an, wann der Oberwellenstrahl das Volumen der Grundwelle durch walk-offverlassen hat.

Abb. 13.10 Graphische DarsteUung der Funktionen G(t) und h(B, ~) (nach Boyd und Klein-

.~

[27]).

Im Ergebnis wird G1.(13.16) durch die Funktion G(t) _< 1 modifiziert,

Ps-~-

F2g2P~x~ 7~w~UN G(t)

,

die alle Information fiber die Phasenanpassung enth/ilt und die Reduktion der nichtlinear erzeugten Ausgangsleistung beschreibt. Um augerdem den Einftut3 der Fokussierung zu beschreiben, ist es fiblich, die Parameter

h( B, ~) Boyd-Kleinman-Reduktionsfaktor B = lp(kl)l/2 Doppelbrechungsparameter = ~/b Normierte Kristall/inge

13.4 Frequenzverdopplung

513

einzuffihren. Das Ergebnis lautet p ~ _ F2t2p 2 1

7cw~G ~h(B,~) Fiir 90~

gilt B -- 0, und ffir ~ -- g/b < 0.4 aut]erdem

h(O,~) = ho(~) ~- ~, so dat3 das friihere Ergebnis aus G1.(13.16) reproduziert wird. Generell gilt h(0,~)=ho(~)-~l

ffir

1<~<6

Der Maximalwert h0(~) = 1.068 ~ ~ = 2.84 wird bei einer Kristall/inge erreicht, die fast der dreifachen Rayleighl~inge entspricht. Auch mit dem Parameter der Doppelbrechung B -- (1/2)p(kl) 1/2 1/it3t sich eine nfitzliche N~herung fiir h(B, ~) angeben. Fiir 1 _< ~ _< 6 gilt h(B, ~) ~- hM(B),

hM(B) ~-

hM(O)

~--

l_k(4_2)hM(0)

hM(O)

Dabei wurde die effektive Kristall~nge geft eingefiihrt, 7~ ~eff-

7Y

kp2hM(O) - kp 2

13.4.5 Resonante Frequenzverdopplung

Abb. 13.11 Frequenzverdopplung in einem ,,bowtie"-Ring-Resonator. Die geringe Konversionseffizienz nichtlinearer Kristalle kann besser ausgenutzt werden, wenn das Licht nach dem Durchlaufen des Kristalls wiederverwendet

514

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

wird. Das kann man in passiven Resonatoren erreichen, die wir im folgenden in einigen Grundziigen beschreiben. Alternativ kann man nichtlineare Komponenten in aktiven Resonatoren unterbringen, und ein wichtiges Beispiel fiir Frequenzverdopplung im Laser (engl. intracavity frequency doubling) ist der leistungsstarke frequenzverdoppelte Neodym-Laser aus Abschn. 7.4.2.

Passive Resonatoren

Zu den Verlusten des Resonators durch Transmission (T) und Absorption (A) kommt nun die Umwandlung der Strahlungsleistung der Grundwelle in die Oberwelle hinzu. Ashkin und Mitarbeiter [9] haben herausgefunden, daft man die maximale Oberwellenleistung nach der impliziten Gleichung P2~ = [2 - ~

16T2~spP~ (2 - A - ~ ) ] 4

(13.17)

bestimmen kann. Darin ist mit T]sP P~ die Konversionseffizienz beim einmaligen Durchlaufen des Kristalls bezeichnet (engl. single pass). :

In Abb. 13.11 ist ein Ringresonator zur 0berhShung der Grundwelle dargestellt. Der nichtlineare Kristall (NLK) befindet sich im Fokus des Resonators. Die Grundwelle muff bei der Einkopplung genau an die Gaufi-Mode des Resonators angepaflt werden. Ein Resonatorspiegel kann durch einen Piezotranslator (PT) verstellt werden, der von eihem Regelverst/irker (RV) angesteuert wird und dafiir sorgt, dai~ der Resonator immer auf die Grundwelle (FUN) abgestimmt ist. Das Regelsignal kann zum Beispiel aus dem am Eingang reflektierten Licht gewonnen werden. Abb. 13.12 Frequenzverdopplung in Im Idealfall kann man P2~ in (13.17) monolithischen Resonatoren. Im unte- maximieren, indem man die Transmisren Ringresonator wird die Grundwelle sion T anpafit. Das ist nicht mSglich, (FUN) durch frustrierte Totalreflexion wenn Spiegel mit fester Reflektivit~it eingekoppelt, verwendet werden. Man kann aber die frustrierte Totalreflexion ausnutzen, um eine variable Ankopplung eines Resonators an ein Treiberfeld zu erreichen (s. auch Abb. 13.12).

13.4 Frequenzverdopplung

515

Eine kompakte Anordnung zur Frequenzkonversion bieten externe Resonatoren, die direkt aus dem nichtlinearen Kristall, d.h. ,monolithisch" gefertigt sind (Abb. 13.12) und sich besonders gut fiir Temperatur-gesteuerte Phasenanpassung eignen (S. 510). Die Spiegel sind durch diinne Schichten auf den Endfl~ichen des nichtlinearen Kristalls integriert oder nutzen die Totalreflexion aus. Die Einkopplung in den Ring kann vorteilhaft durch frustrierte Totalreflexion erreicht werden, weil dabei die Transmission durch Abstandsvariation eingestellt und daher optimale Konversionsbedingungen nach G1.(13.17) erreicht werden kSnnen.

13.4.6 Quasi-Phasenanpassung Bei der Frequenzkonversion mfissen stets die richtigen Materialien unter den richtigen Bedingungen wie zum Beispiel Phasenanpassung verwendet werden, die generell kleinen elektrooptischen Koeflizienten erlauben keine grofien Toleranzen. Die geringe Konversionseffizienz eines Laserstrahls beim einfachen Durchgang durch ein nichtlineares Material hat die Suche nach besseren Materialien (d.h. vor allem mit grSt3eren elektrooptischen Koeffizienten) oder verbesserten Verfahren wie der resonanten Frequenzverdopplung aus dem letzten Kapitel angetrieben. Die Suche nach neuen Materialien ist aber miihsam und der regeltechnische Aufwand bei resonanten Verfahren ist hoch. Seit einigen Jahren ist die Herstellung sogenannter ,,periodisch gepolter Materialien" mSglich, mit denen existierende und erprobte nichtlineare Materialien so konfektioniert werden, daft sie effiziente Frequenzkonversion erlauben. Das Prinzip der Quasi-Phasenanpassung ist in Abb. 13.13 gezeigt. Es wurde schon kurz nach der Erfindung des Lasers vorgeschlagen [8], fiihrte abet erst mit den Herstellungsmethoden der Mikroelektronik zu reproduzierbaren Abb. 13.13 Quasi-Phasen-Anpassung in nichtund verwertbaren Ergebnissen [116]. linearen Kristallen. Die Orientierung der ferroelektrischen Kristalldomiinen wechselt je-

Zur Herstellung wird ein periodi- wells nach einer Kohiirenzl5nge gc (,,Periodisches Muster alternierender Elek- sche Polung"). Die Welle im unteren Teil zeigt troden auf dem Kristall aufge- die Wirkung des Kristalls ohne periodische Polung. Nach [53]. bracht. Ein Hochspannungspuls erzeugt dann eine alternierende Orientierung oder ,,periodische Polung" der

516

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

ferroelektrischen Dom~nen bestimmter nichtlinearer Kristalle 2 und fiihrt dadurch zu einem periodischen Phasensprung in der Kopplung von Grundund Oberwelle. Zu den erfolgreich verwendeten Kristallen gehSren LiNbO3 und KTiOPO4(KTP), die in der periodisch manipulierten Form unter neuen Kiirzeln wie zum Beispiel P P L N fiir periodically poled LiNb03 bekannt sind. Wit haben schon in Abschn. 13.4.1 die Koh~irenzl~nge (13.14) in einem nicht durch Doppelbrechung angepafiten Material untersucht. Sie bestimmt die einstellbare Periode des kiinstlich induzierten Dom~nenwechsels: An den Domanengrenzen findet wegen der Vorzeichenumkehr des d-Koeffizienten ein Phasensprung in der Kopplung zwischen Grund- und Oberwelle statt, so daft die Riickwandlung, die ohne die periodische Polung auftritt, unterdriickt wird. Die theoretische Beschreibung der Frequenzverdopplung kann auf einfache Art erweitert werden, wenn man die periodische Modulation des Vorzeichens des d-Koeffizienten durch eine Fourier-Reihe beriicksichtigt, oo

d(z) = def~ ~ Gme - i k m z m=-~

und

Gin-- 2 sin(m~r~/A). m~r

Hier bezeichnet k,~ = 27~m/A die reziproken Vektoren des Dom~nengitters, A die geometrische Periodenl~nge, g/A das Tastverh~iltnis der beiden Periodenorientierungen. Unter den Fourier-Komponenten ist nur diejenige von Bedeutung, die gerade der Phasenfehlanpassung entspricht, alle anderen erzeugen nur schwache Konversion wie ohne Dom~nengitter. Sie erfiillt gerade die ,, Quasi-Phasen-Anpassungsbedingung" und wird in den Ordnungen m = 1, 3,.. verwendet. Man findet [53], daft der effektive d-Koeflizient um den Fourierkoeffizienten reduziert wird,

dQ = defrG,~ Wir k6nnen nun die gekoppelten Amplitudengleichungen Glgn. (13.13) der neuen Situation anpassen, indem wir A k --~ AkQ = A k - k m und in Gl.(13.11) dr --~ dQ bzw. a --* aQ ersetzen. Der gr6flte Koeffizient tritt in erster Ordnung m = 1 auf, dQ/deff = 2/7c, hShere Ordnungen erlauben aber gr6fJere Perioden und sind daher herstellungsteehniseh interessant. Die Quasi-Phasen-Anpassung verursacht eine Schw~chung der nichtlinearen Koeffizienten, gewinnt dafiir aber weitgehende Unabh~ngigkeit yon der Doppelbreehung. Mit den neuen Materialien werden inzwischen aueh die kontinuierlichen parametrischen Oszillatoren, die T h e m a des folgenden Kapitels sind, sehr erfolgreich betrieben [150]. 2yon den 18 Kristallklassen, welche Phasenanpassung durch Ausnutzung von Doppelbrechung erlauben, sind aus Symmetriegriinden nur 10 fiir diese Methode geeignet.

13.5 Summen- und Differenzfrequenz

13.5

Summen-

13.5.1

Summeni~equenz

517

trod D i f f e r e n z f r e q u e n z

Diesen Fall k5nnen wir direkt nach Gl.(13.10) betrachten. Im Fall der Summenfrequenz-Erzeugung liegen am Eingang eines Kristalls bereits zwei Felder mit Intensit~ten I1,2(z -- 0) -- /lO,2O vor. Fiir den Spezialfall eines sehr starken Pumpfeldes Ilo >>/2o und im Fall perfekter Phasenanpassung (Ak = 0) werden die Gln. (13.10) stark vereinfacht,

(13.18)

(//)

___ o

(iii) ~zA2

= i~A~A~M

Die L5sungen findet man leicht durch einsetzen von (iii) in (i), d2

~-Z2A~Z~V[= - t ~ 2 1 A l l 2 A ~ und unter Anwendung der Randbedingungen. Mit K=

•/N2110 VCC~

finder man fiir die normierten Amplituden und die Intensit/it:

A~(z) -- A~ocos(Kz) .dsu~(z) = .d20sin(Kz)

~(z) -- ~ocos ~ K z

Ia_N(z) = (WajM/W2)Ieosin 2 K z

Abb. 13.14 Intensiffit der Summenfrequenz-Welle als F~tnktion der KristaUdnge. Die Strah-

lungsleistung pendelt zwischen den beiden schwdcheren Komponenten hin und her.

Die Summenfrequenz-Intensitt~t muff selbstverstt~ndlich um den Faktor WSUM/W2 gr56er sein als /2, weil aus der Pumpwelle Energie dazugewonnen wird. Wenn

518

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

die schw~ichere Eingangskomponente vollst~indig umgewandelt ist, kommt es zur Differenzfrequenzbildung (bei der alten Frequenz w2), bis wieder alle Strahlungsleistung verbraucht ist; die Leistung pendelt also zwischen den beiden schwachen Komponenten hin und her.

13.5.2 Differenzfrequenz und parametrische Verst~irkung Wit betrachten wieder den Fall, dai3 aus einer starken Pumpwelle (normierte Amplitude ,4) durch Differenzfrequenzmischung mit einer zweiten, schw~icheren Welle eine dritte Welle entsteht. Die gekoppelten Amplitudengleichungen lauten dann in Analogie zu GI.(13.18) und fiir den Fall der Phasenanpassung (Ak -- 0) n~iherungsweise

(iii)

(13.19)

= i~A~:~A1

Die entsprechenden L6sungen lauten ,42(z) = .A20cosh (Kz) .A~F(Z) -----iA20sinh (Kz)

I2(z) = I20 cosh 2 (Kz) IDa(Z) ----(w2/•l)I20sinh 2 (Kz)

Ffir K z >> 1 findet man fiir die Intensit~tsabh~ingigkeit das interessante Verhalten I2(z) -~ I2oe2 g z

und

IDIF(Z) --~ (w2/Wz)I2oe2 g z

Beide Wellen werden also bei diesem ,,parametrischen Prozefi" auf Kosten der Pumpwelle verst~kt! Wit k6nnen zu den Gin.(13.19) auch eine allgemeine

Abb. 13.15 Parametrische Verstdrkungbei der Differenzfrequenzbildung. L6sung angeben, .41 (z) = a sinh (Kz) + g cosh (Kz) mit Koeffizienten a,/3, die an die Anfangsbedingungen anzupassen sind.

13.5 Summen- und Differenzfrequenz

13.5.3

519

P a r a m e t r i s c h e Oszillatoren

Die parametrische Erzeugung yon durchstimmbarer koh~renter Strahlung ist nieht nur bei kurzen Wellenl~ingen, sondern im Prinzip fiber sehr weite Wellenl~ingenbereiche yon Interesse. Der Optische Parametrische Oszillator (engl. optical parametric oscillator, OPO) wird daher schon seit langem ffir diesen Zweck vorgeschlagen und untersucht. Die genauen Bedingungen dieses nichtlinearen Prozesses sind dabei aber ein Hindernis, das hier genauer untersucht werden soil. Wir ffigen zun~iehst zu den gekoppelten Amplitudengleiehungen aus GI.(13.9) die Verluste 3` hinzu, die die Wellen beim Durchlaufen des Kristalls erleiden, und ffihren die spezifischen Bezeichnungen Signal- und Leerlaufwelle des parametrischen Oszillators ein: d

(~---7.-~-3`)-Ap(~2)

=

i~-As-Aze - i A k z

Pumpwelle

(~+3`s)-As(ws) -at

=

i~-Ap-A;e iAkz

Signalwelle

(-~z + 3`l)-Al(Wl)

= ire-A's-Ape iAkz

Leerlaufwelle (Idler)

Aufierdem gehen wir wieder davon aus, dab die Intensitat der P u m p w e l l e kons t a n t ist (d-Ap/dz -~ 0). Aus d e m Ansatz .As(z) = = fi, ie(r+iAk/2)z m i t k o n s t a n t e n A m p l i t u d e n ,,'~8,i k a n n m a n die B e d i n g u n g

Ase(r+ Ak/ )z;-Ai(z)

ermitteln. Sie wird ffir k o n s t a n t e -As r 0 g e n a u d a n n erffillt, w e n n der Ausdruek davor versehwindeg. Das isg der Fall ffir 1 ")'1 + "78 r• 2 4- ~ V/(3`1 - 3`s - izXk) 2 + 4~21-API 2 U m die I n t e r p r e t a t i o n zu erleiehtern, b e t r a e h t e n wir den Spezialfall 3' = "78 = 3`i, in welehem die Beziehung ffir F• besonders einfaeh wird, r • = -3` 4- g

,

g = l~-Ak2

+ 4a2l-Ap] 2

(13.21)

Die allgemeine LSsung ffir die g e k o p p e l t e n Wellen lautet

-A; = (-A;§ z +-A;_e-g z) e-3`ze-iAkz/2 u n d m a n erwartet ffir g > 9' Verst~rkung. W e n n a m E i n g a n g des Kristalls die A m p l i t u d e n -AS,l(Z -- 0) -- -ASO,lO anliegen, d a n n finden wir im Grenzfall

520

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

schwacher Konversion, d.h. d/dz~4p ~- 0 am Ende bei z -- / die Feldst~irken As(t)

=

[As0 cosh (gg)-

,4,(t)

--

[,410cosh (gg)-

~ ( Ak.Aso + ia.APA30) sinh (g/)] e - g l e iAkg,/2 (13.22)

~ ( Ak.Aio + ia.ApA*~o ) sinh (g/)] e - g l eiAke/2 Ffir perfekte Phasenanpassung (Ak = 0) und fiir .Ago = 0 reproduzieren wir das alte Resultat aus der Differenzfrequenzbildung. Wie die eingestrahlten Felder tatsachlich verst~rkt werden, hangt offensichtlich von deren Phasenlage am Eingang ab. Wird nur ein Feld eingestrahlt, dann ,,sucht" sich die zweite Welle die richtige Phasenlage ffir optimale Verst~rkung.

Abb. 13.16 Verstgrkung und Leistung der parametrisch erzeugten Felder in einem parame-

trisehen OsziUator als Funktion der Pumpleistung. (Vgl. Abb. 8.1.) Die LSsungen von (13.22) h~ngen davon ab, dab mindestens ein Feld am Kristalleingang schon vorliegt. Wie in einem Laser lKfit sich die Erffillung von Bedingung (13.20) abet auch als Schwellbedingung auffassen: Wenn die parametrische VerstKrkung n~mlich in einem Resonator erzeugt wird, dann wird aus dem parametrischen VerstKrker ein parametrischer Oszillator. Tab. 13.1 Vergleich von Laser und optischem parametrischen Oszillator

Prozefl Mechanismus Pumpprozei~

Laser

OPO

X(1) resonant Besetzungsinversion

X(2) ' X(3)'"" nicht-resonant nichtlineare Polarisation

inkoh~ent Energie speicherbar

koh~irent nicht speicherbar

13.5 Summen- und Differenzfrequenz

521

Wie der Laser springt er spontan an, wenn die Verst~rkung g die Verluste fiberwiegt. Parametrische Oszillatoren k5nnen einfach, zwei- oder sogar dreifach resonant betrieben werden, um die Schwelle mSglichst gering zu halten, allerdings wiederum auf Kosten eines hohen Aufwandes zur Regelung des optischen Resonators. Es ist natiirlich nicht fiberraschend, daft nach G1.(13.21) die Verst~rkung proportional zur Pumplichtintensit~t ist. Auch beim Betrieb von durchstimmbaren Lasern (Titan-Saphir-Laser, Farbstoffiaser) ist es fiblich, die Inversion durch einen leistungsstarken Pumplaser zu erzeugen. Im Gegensatz zum OPO ist ein koh~rentes Pumpfeld dabei aber nicht ausschlaggebend, denn an der Besetzung des oberen Laserniveau sind stets inkoh~rente Prozesse, zum Beispiel ein Zerfall vom Pump- in das Laserniveau, beteiligt.

Abb. 13.17 OPO mit linearem Resonator. Die Abstimmung yon Signal- und Leerlauflvelle wird durch Drehen der Kristallachse erreicht, wenn die Phasenanpassung durch Winkelabstimmung erreicht wird. Eine mehrfach resonante Anordnung ist i. Allg. sehwer zu erreichen.

Weil die Verst~rkung nach G1.(13.21) abh~ngig ist v o n d e r Phasenfehlanpassung Ak, kann man die Wellenl~ngen yon Signal- und Leerlaufwelle, As und ~I, die wegen der Energieerhaltung die Gleichung /~p1 = )ki1 _~_)kS 1

erfiillen miissen, durch die Variation yon Winkel oder Temperatur des doppelbrechenden und nichtlinearen Kristalls verstimmen. Wenn die Pumpwellenl~nge im e n t a r t e t e n P a r a m e t r i s c h e n Oszillator bei w s = w1 = w p / 2 in Urnkehrung der Frequenzverdopplung genau in zwei Photonen zerlegt wird, dann muff auch deren Phasenanpassungsbedingung gelten, n2~(Wp) = n ~ ( w p / 2 ) . Wenn man normale Dispersion nw(ws, i) "~ nw(Cap/2) -~- n(1)(Ws, i - - w p / 2 ) -~-...

zugrunde legt, dann erwartet man in der N~he des Entartungspunktes eine quadratische Bedingung fiir die Phasenanpassungsbedingung v o n d e r Signal-

522

13 Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

und Leerlauffrequenz: cAk=

0 = n2~(Wp)Wp - ( n ~ ( w p / 2 ) W p + n(1)(ws - - w i ) 2 ~- ...)

Andererseits hangt der Brechungsindexunterschied i. Allg. linear von Winkel oder Temperatur ab, so dab man das quadratische Verhalten auch in der experimentellen Abh~ngigkeit findet (Abb. 13.18).

Abb. 13.18 Durchstimmbarkeit eines mit einem BBO-KristaU betriebenen parametrischen Oszillators: Wellenlgngen yon Signal- und Leerlaufwelle. Der OPO wird mit der 2. (532 nm), 3. (355 nm), 4. (266 nm) oder sogar 5. Harmonischen (213 nm) eines Nd-Lasers bei 1064 nm gepumpt.

Aufgaben

523

A u f g a b e n zu K a p i t e l 13 13.1 F r e q u e n z v e r d o p p l u n g m i t K D P (a) Geben Sie den Winkel fiir TypI-Phasenanpassung bei A = 1 # m an. Die Brechungsindizes sind n o = 1,496044 und n o2~ = 1,514928 fiir den ordentlichen, n e -- 1,460993 und ne2~ -- 1,472486 fiir den auBerordentlichen Strahl. (b) Skizzieren Sie das Index-Ellipsoid und die Propagationsrichtung im Kristall relativ zur optischen Achse. Wie wiirden Sie den Kristall schneiden? (c) Ffihren Sie dieselben 0berlegungen ffir Typ-IIPhasenanpassung aus. Welchen Brechungsindex erf~hrt die harmonische Welle? 13.2 T e m p e r a t u r - P h a s e n a n p a s s u n g m i t K N b O 3 Verwenden Sie die Daten aus Abb. 13.6, um die Wellenl~ngenbereiche abzusch~tzen, bei denen sich KNbO3 zur Frequenzverdopplung eignet. 13.3 F r e q u e n z v e r d o p p l u n g m i t e i n e m k u r z e n P u l s Wir betrachten eine gepulste eben Welle mit Gaugscher Einhfillender und Mittenfrequenz w: El (z, t) ---- (1/2){elAl (z, t) exp [ - i ( w t - kz)]+c.c.}, A1 (0, t) = Ao exp ( - t 2/25). Der Brechungsindex bei der Grundwelle sei n, und nehmen Sie an, dag die Phasenanpassungbedingung fiir w in einem Kristall der L~nge ~ erffillt sei. Vernachlfissigen Sie Verluste oder Wellenfront-Deformationen. Die Gruppengeschwindigkeiten von Grund- und Oberwelle sollen Vgl und Vg2 heifien. (a) Driicken Sie A l ( z , t ) als Funktion von Al(O,t) und vgl aus. (b) In der ,,Slowly Varying Envelope Approximation" lautet die Wellengleichung im Kristall

OA2

10A2

.2w

A2.

.

Vg2

wobei Xe die effektive Suszeptibilit/it bezeichnet. Substituieren Sie u = t z/vgl und v = t - Z/Vg2 und fiihren Sie ~ = 1/Vgl + 1/Vg2 ein. (e) LSsen Sie die Wellengleichung fiir A2(u,v). (Hinweis: erf(x) = (2/v/-ff)f~ exp(-u2)du.) Geben Sie A2(z,t) fiir die s A2(0, t) = 0 fiir alle t an. (d) Wechseln Sie in das Bezugssystem, das sich mit der Gruppengeschwindigkeit der Oberwelle vg2 bewegt. Skizzieren Sie, wie sich A2 in diesem Bezugssystem als Funktion der Zeit entwickelt. Geben Sie die Amplitude am Kristallausgang an. (e) Ffir welchen Wert to wird A2(~, t) maximal? Wie sieht A2(~,t0) aus? Was passiert b e i / ~ / 5 >> 1?

14

NichtUneare Optik II: VierweUenmischung

Abb. 14.1 Ausgewdhlte X(3)-Prozesse, bei denen der Zustand des nichtlinearen Materials erhalten bleibt: Frequenzverdreifachung (THG), ein Beispiel fiir VierweUenmischung (FWM) und entartete VierweUenmischung (DFWM).

In Analogie zu den 3-Wellen-Mischprozessen ist es nicht mehr schwer, die Typologie ffir 4-Wellen-Ph~inomene zusammenzustellen. Drei der vier Wellen erzeugen eine Polarisation = s163

W1,W2,w3)Ej(O-)l)Ek(w2)Et(wa)

die durch die Suszeptibilit~t dritter Ordnung charakterisiert wird. Dieser Tensor 4. Stufe besitzt bis zu 81 unabh~ngige Komponenten und soll deshalb nicht einmal mehr den allgemeinen Symmetriebetrachtungen unterzogen werden, die sich bei der Suszeptibilitat zweiter Ordnung noch einigermafien darstellen lieBen. Sie sind bei Bedarf der einschl~gigen Spezialliteratur zu entnehmen. Stattdessen wird es nun von vornherein wichtig sein, Spezialfalle zu betrachten. In der formalen Behandlung ergeben sich im Vergleich zur 3-Wellenmischung keine grunds~tzlich neuen Aspekte, lediglich die Anzahl der gekoppelten Amplitudengleichungen wird um eins erhSht.

526

14.1

14 NichtlineareOptik II: Vierwellenmischung

Frequenzverdreifachung in Gasen

Es ist naheliegend, in Analogie zur Frequenzverdopplung mit Hilfe der X (3)Nichtlinearit~t nach der Frequenzverdreifachung zu suchen. In Abb. 14.1 ist zu erkennen, daft die Third H a r m o n i c Generation (THG) einer von zahlreichen Spezialf~llen der Vierwellenmischung ist. Tatsachlich wird dieser X(3)-Prozefl auch eingesetzt, allerdings erst, wenn man sehr tief im ultravioletten Spektralbereich gelegene Frequenzen erreichen will. Solange n~mlich nichtlineare Kristalle transparent sind (d.h. bei Wellenl~ngen > 200 nm), ist es vorteilhaft, Frequenzverdopplung und anschliefiende Summenbildung zu benutzen (Abb. 14.2). Beispielsweise wird die 1064 nm-Linie der Nd-Laser vorzugsweise mit den Materialien KTP und LBO auf die Wellenl~ngen 532 und 355 nm transformiert. Dabei werden mit gepulstem Licht durchaus 30% Konversionseffizienzerzeugt. Die so erzeugte UV-Strahlung wird sehr h~ufig zum Pumpen blauer Farbstoffiaser verwendet.

Abb. 14.2 Frequenzverdreifachung mit X(2) und

X (3) -

Prozessen.

Wenn wir Geometrieeffekte vernachl~ssigen, betr~gt die Polarisation dritter Ordnung p3~

=

coX(3)(3w;w, w, w)g 3

Die Phasenanpassungsbedingung, die in diesem Fall Ak -- k ~ - 3k,~ lautet, muff hier wie bei der Erzeugung der zweiten Harmonischen durch Anpassung der Brechungsindizes von Grund- und Oberwelle erreicht werden. Wie schon oben bemerkt, sind Kristalle wegen sehr kleiner X(3)-Koeffizienten, mangelhafter Transparenz und der Gefahr optisch induzierter Sch~den durch extreme Eingangsleistungen oder starke Absorption der UV-Oberwellen nur bedingt ffir die Frequenzverdreifachunggeeignet. Gase besitzen dagegen eine hohe ZerstSrschwelle und gute Transparenz unterhalb der Photoionisationsschwelle, die ffir einige Edelgase bei A _~ 50 nm liegt. Den Nachteil geringer Dichte kann man in einem Gas wettmachen, indem der nichtlineare Prozefi durch die N~he einer geeigneten molekularen oder atomaren Resonanz iiberhSht wird. Deshalb werden zur Erzeugung von UV-Licht

14.2 Nichtlineare Brechzahl - d e r optische Kerr-Effekt

527

bei sehr kurzen Wellenl~ngen h~ufig Alkalidampfe verwendet, die durch ihre ~lbergangsfrequenzen bei sichtbaren und im nahen IR gelegenen Wellenl~ngen nahresonante Verst~rkung erlauben. Sie weisen dort auch einen relativ schnell variierenden Brechungsindex, mit normaler oder anomaler Dispersion je nach Lage der Grundfrquenz, auf. Die Resonanzlinien von Edelgasen liegen selbst im tiefen UV (A < 100 nm) und meistens im Bereich der normalen Dispersion. Durch Zugabe der 100 - 10000-fachen Menge an Edelgasatomen zu einem Alkalidampf kann deshalb die Phasengeschwindigkeit der Oberwelle angepat]t werden. Als Beispiel ist in Abb. 14.3 die Phasenanpassung fiir Frequenzverdreifachung der 1064 nm Nd-Laser-Linie in einem Rubidium-Dampf durch Zugabe eines Xenon-Gases qualitativ gezeigt. Auch wenn es gelingt, XUV-Strahlung in

Abb. 14.3 Phasenanpassung ffir die Frequenzverdreifachung yon 1064 nm-Strahlung im Rubidiumdampf (DP-Resonanzlinie bei 780 nm) dutch Zugabe eines Xenon-Gases. einem Gas-Behalter zu erzeugen, wirft der Transport zur vorgesehenen Anwendung noch besondere Probleme auf, denn die Atmosphere und selbst das beste bekannte Fenstermaterial, gekfihltes LiF, verlieren spatestens knapp oberhalb von 100 nm ihre Transparenz. Deshalb muff man sehr kurzwellige koh~rente Strahlung i. Allg. am Ort des Experiments selbst erzeugen.

14.2

Nichtlineare Brechzahl- der optische Kerr-Effekt

In dritter Ordnung entsteht auch ein nichtlinearer Beitrag zur Polarisation bei der Grundwelle selbst. Es handelt sich um einen Sonderfall der entarteten Vierwellenmischung (engl. Degenerate Four Wave Mixing, DFWM), die oftensichtlich wegen Ak = k + k - k von vornherein unter Bedingungen angepat3ter Phasen existiertl In Analogie zum traditionellen elektrooptischen Kerr-Effekt (der Abh~ngigkeit der Brechzahl von einem ~ufieren elektrischen Feld) wird dieses Ph~nomen auch als optischer Kerr-Effekt bezeichnet. Entsprechende nichtlineare Materialien werden h~ufig als Kerr-Medien bezeichnet.

528

14 Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

Der Beitrag zur Polarisation der Grundwelle betr/~gt 1 ~,KE(w) = ~ 0 X ~ ( ~ ; w , w , - ~ ) l E ( ~ ) 1 2 E ( ~ )

,

so dat] die gesamte Polarisation =

(1) +

=

0xo,

betr/igt. Die Gesamtpolarisation ist offenbar abh/ingig von der Intensit/it, und es ist bequem, dieses Ph~nomen fiberhaupt durch einen intensit~tsabh~ngigen Brechungsindex

n = no + n2I zu beschreiben. Dabei bezeichnet no den gewShnlichen, linearen Brechungsindex bei kleinen Intensitgten. Durch den Vergleich mit n 2 = 1 § Xe~ erhglt man mit I = noeoclE]2/2 1 X(3) T t 2 - Tt2Cs eft Der nichtlineare Koeffizient n2 hangt selbstverstKndlich vom Material ab. Seine GrSt3e variiert fiber einen grofJen Bereich und betr~gt z.B. nur 10 -16 lO-14cm2/W f-fir gewShnliche GlKser. Sie kann aber in geeigneten Materialien, z.B. auch dotierten G1/isern, um viele GrSt3enordnungen darfiber liegen. Transversale Intensit/itsvariationen eines Lichtstrahls verursachen Verzerrungen optischer Wellenfronten, die zur Selbst-Fokussierung ffihren; SelbstPhasenmodulation wird durch longitudinale Variationen der Intensit~t zum Beispiel in einem Laserpuls verursacht.

14.2.1 Selbst-Fokussierung Das transverale Gaut3profil der TEM00-Mode ist sicher die bekannteste und wichtigste Intensit/itsverteilung aller Lichtstrahlen. Wenn die Intensit/it genfigend grog ist, z.B. in einem kurzen, intensiven Laserpuls, dann wird sie in einem Kerr-Medium eine naherungsweise quadratische Brechzahlvariation und daher eine Linsenwirkung verursachen, die ffir n2 > 0 wie eine Sammellinse, ffir n2 < 0 wie eine Zerstreuungslinse wirkt (Abb. 14.4). Die Brennweite der Linse ist dabei abh~ngig von der Maximalintensitat. 0brigens ist diese Wirkung der thermischen Linse sehr verwandt, nur wird dabei die Brechzahl~nderung durch eine lokale Temperatur/inderung hervorgerufen. Diese kann auch durch einen Laserstrahl (z.B. durch Absorption) verursacht werden, thermische Anderungen sind aber gewShnlich sehr langsam (ms) im Vergleich zu dem sehr schnellen iEs sind mehrere Definitionen der Suszeptibilit~t gebr~uchlich, die sich vor allem durch Geometrie- und Entartungsfaktoren unterscheiden. Wir verzichten auf diese Details und benutzen eine effektive Suszeptibilit~t.

14.2 Nichtlineare Brechzahl - der optische Kerr-Effekt

529

Abb. 14.4 Selbstfokussierung einer ebenen Welle in einem Kerr-Medium (KM). Das IntensitStsprofil eines Gauflstrahls verursacht eine parabolische transversale Variation der Brechzahl und wirkt daher wie eine Linse.

optischen Kerr-Effekt (fs - ns) und deshalb vom Standpunkt der Anwendbarkeit i. Allg. unerwiinscht. Kerr-Lens-Modecoupling

Die gegenw~irtig vielleicht wichtigste Anwendung der Selbstfokussierung ist die sogenannte Kerr-Linsen-Modenkopplung (KLM, engl. Kerr-Lens-Modelocking), die vor einigen Jahren zu einer Revolution in der Konstruktion von Laserquellen fiir extrem kurze Pulsdauern gefiihrt hat. Die Selbst-Modenkopplung wurde 1991 an einem Ti-Saphir-Laser entdeckt, der durch geriuge Erschiitterungen vom Dauerstrich- in stabilen Pulsbetrieb umgeschaltet werden konnte. Der Laser (Abb. 14.5) besteht dabei lediglich aus dem Laserkristall, den Spiegeln und einem Prismenpaar zur Kompensation der Kristalldispersion im Laserkristall uud den Resonatorkompouenten.

Abb. 14.5 Ti-Saphir-Laser mit Kerr-Linsen-Modenkopplung. Das Prismenpaar dient zur Kompensation der Dispersion. Diese einfache Anordnung erzeugt typische PulsslSngen yon 5o-Ioo

Is.

Der Trick der Selbst-Modenkopplung besteht darin, den Laserresonator so zu

530

14 Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

justieren, daft bei gepulstem Betrieb - bei dem allein die induzierte Kerr-Linse ihre Wirkung entfaltet - das Resonatorfeld geringere Verluste erleidet als im Dauerstrichbetrieb - dort mut3 der Resonator also geringffigig dejustiert sein. Mittels einer zusgtzlichen Blende an einer geeigneten Position im Resonator kann man diese Verluste kontrollieren. Um den Laser vom Dauerstrichbetrieb in den gepulsten Zustand zu versetzen, mfissen Intensit~tsfluktuationen, z.B. durch Relaxationsschwingungen, angestofien werden. Dazu reicht hgufig eine geringffigige und kurzzeitige Dejustierung durch eine mechanische Erschfitterung aus - der Laser wird sozusagen durch einen Fausthieb in den erwfinschten Betriebszustand versetzt! Ffir stabilen Pulsbetrieb ist es notwendig, daft der Puls beim Umlauf im Resonator seine Form beibeh~lt. Durch die Dispersion des Laserkristalls wird der Puls, der ein breites Frequenzspektrum besitzt, aber ver~ndert, insbesondere verl~ngert sich seine Pulsdauer. Deshalb werden Prismenpaare zur Kompensation eingesetzt: Bei normaler Dispersion im Laserkristall laufen lgngere, rote Wellenlgngen schneller als kfirzere, blaue Komponenten. Durch das erste Prisma werden blaue Anteile des Spektrums stgrker gebrochen als rote Anteile. Im zweiten Prisma legen die roten Anteile dann einen l~ngeren Weg zurfick, so daft durch diesen Geometrieeffekt die Dispersion des Laserkristalls ausgeglichen wird. Wenn die Pulse im Laser vor und zurfick laufen, geschehen noch weitere Ver~nderungen, z.B. durch die Selbstphasenmodulation, die im n~chsten Kapitel behandelt wird. Pdiumliche Solitonen

Eine weitere m6gliche Konsequenz der Selbstfokussierung ist noch erw~hnenswert: Wie wir im Kapitel fiber quadratische Indexmedien (Abschn. 3.3.2) untersucht haben, kSnnen optische Wellen in Medien mit axialer Brechzahlvariation wie z.B. einer Gradientenfaser geffihrt werden. Es ist deshalb mSglich, daft ein intensiver Lichtpuls eine ,,Selbstwellenleitung" durch den optischen KerrEffekt verursacht. Wir k6nnen die intensit~tsabh~ngige radiale Variation der Brechzahl, n(p) = n0 + n21(p) = no + 2n~l'4(P)12

,

cn0(0

wie in der paraxialen Helmholtzgleichung (2.30) einffihren. Der (~bersichtlichkeit halber ffihren wir n -- 2k2n2/cn2co ein und erhalten die nichtlineare

Schr~dinger- Gleichung, (V~+

2ikO+/~2,.A,2) ~=0

,

14.2 Nichtlineare Brechzahl - d e r optische Kerr-Effekt

531

die natfirlich mit der Quantenmechanik nur die mathematische Struktur gemeinsam hat. Es ist bekannt, dab diese Gleichung selbstkonsistente und stabile LSsungen besitzt mit der Form:

0soc

(s

Abb. 14.6 Ausbreitung eines Solitons in einem Kerr-Medium.

Die Eigenschaften dieser Welle ~Lhneln den Gaufi-Moden mit einer ,,Strahltaille" w 2 --(m`4o)2/2 und einer ,,aayleighl~Lnge" z0 -- kw2/2. Sie propagieren entlang der z-Richtung und werden r~umliche Solitonen genannt 2. Die Strahlparameter (w0, z0) hiingen aber ganz im Gegensatz zum Gaufistrahl yon der Amplitude .40 ab! Die selbststabilisierellde Mode breitet sich auch nicht divergent aus, sondern behiilt ihre Form ungediimpft fiber groi3e Distanzen. Bei Realisierungen muff man beachten, dab die nichtlineare Schr6dingergleichung eine eindimensionale Situtation beschreibt. In den anderen Richtungen mui3 das Auseillanderlaufen der Wellellpakete durch andere Mai~nahmen, zum Beispiel Wellenleiterstrukturen, erreicht werden.

Nichtlineare optische Bauelemente Der nichtlineare optische Kerr-Effekt ist durchaus ffir bestimmte Anwendungsformell z.B. in der optischen Kommunikation interessant. Zwei Beispiele werden in Abb. 14.7 vorgestellt: Ein nichtlinearer Schalter wird realisiert, indem die Wegl~Lnge in einem Arm eilleS Mach-Zehllder-Interferometers durch einen Kontrollstrahl per Kerr-Effekt ge~ndert wird. Dadurch kalln der Signalstrahl zwischen den beiden Ausg~Lngen hin und hergeschaltet werden. In einem niehtlinearen Riehtkoppler hiingt die Koppeleffizienz yon der Intensitiit des Eingangssignals ab, so dab Pulsfolgen mit verschiedener Intensitiit auf zwei Kaniile verteilt werden kSnnen. 2Die zeitlichen, ,,optischen" Solitonen sind allerdings die bekannteren.

532

14 Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

Abb. 14.7 Anwendungen des nichtlinearen optischen Kerr-Effekts. Ein Kerr-Medium kann eingesetzt werden, um die Ausgdnge eines Maeh-Zehnder-Interferometers dutch Brechzahldnderung in einem Arm zu schalten. In einem Richtkoppler (z.B. durch OberfldchenWellenleiter in LiNb03 realisiert) kann die Koppele~zienz yon der Eingangsintensitdt abhdngen und so Pulse unterschiedlicher GrSfle trennen.

14.2.2 Phasenkonjugation Die Phasenkonjugation (oder WeUenfrontumkehr)tritt uns als ein Sonderfall der entarteten Vierwellenmischung (DFWM, Abb. 14.1 und Abb. 14.8) gegeniiber. Die Phasenanpassung ist auch hier intrinsisch vorhanden, weil nur eine optische Frequenz beteiligt ist. Die Polarisation berechnet man nach •pc(ws)

=

s

(3)

. ~r162 (WS; Wp, Wp~ --wS)r P r

r

Die Phasenanpassung ist wegen ~ i ki = 0 stets auf triviale Art und Weise erfiillbar, wenn zwei Wellen (In Abb. 14.8 die vorw/~rts und riickw~rts laufenden Pumpwellen) einander entgegen laufen. Der phasenkonjugierende Prozefi kann durch eine 1-Photonen-Resonanz stark iiberhSht werden. Wit studieren nun eine vereinfachte theoretische Beschreibung der Phasenkonjugation, deren Ergebnis aber nur unwesentlich von der genaueren Behandlung abweicht, in der auch die nichtlineare fimderung der Brechzahl fiir die Pumpwellen mit beriicksichtigt wird. Wir nehmen insbesondere an, daft sich die Intensit/it der Pumpwellen nicht ~ndert, d/dz Cp -~ 0. Dann mfissen nur zwei

14.2 Nichtlineare Brechzahl -der optische Kerr-Effekt

533

Abb. 14.8 Phasenkonjugation als Spezialfall der entarteten Vierwellenmischung. Einfache Anordnung zur Phasenkonjugation. PCM: Phasenkonjugierendes Medium, z.B. BaTi03, CS2. Die Phasenbedingung ist auf triviale Art und Weise immer erfiillt.

statt vier Wellen betrachtet werden: ~C

----

r ~ (3)~'2C* c0Aeff~P~S . (3)c2 c*

Wir setzen ~ -- wX~/2ncC~ und betrachten die in positiver und negativer z-Richtung propagierenden Signal- und konjugierten Wellen, r C

--

A ~ikz ~tcoc und A s

ii

-- r

~--ikz

~

die die Differentialgleichungen

dAd~ ~d- ~~ * ~s' t~ C0

i-ASo

, Aso(Z = 0) =.a(0) Aoo(Z ~) 0

erfiillen miissen. Die Randbedingungen an den Enden des Kristalls gehen davon aus, dab eine Signal- (bei z -- 0), aber noch keine konjugierte Welle (bei z -- g) eingestrahlt wird. Der Ursprung der Phasenkonjugation tritt hier klar zutage, denn die neu erzeugte konjugierte Welle Jtco wird v o n d e r konjugierten Amplitude r getrieben.

Abb. 14.9 Signal- und konjugierte Welle in einem phasenkonjugierenden Medium (PCM).

534

14 NichtlineareOptik II: Vierwellenmischung

Die LSsungen sind schnell gefunden, man findet sowohl fiir die Signal- als auch ffir die konjugierte Welle Verstgrkung: Aso --

A(0)

und Aco = tan(lal~)A*(0) cos (1 10 Die Phasenkonjugation besitzt eine faszinierende Anwendung in der Wellenf r o n t - R e k o n s t r u k t i o n oder -Umkehr. Bevor wir dieses Ph~nomen genauer studieren, wollen wir noch eine alternative Betrachtungsweise einfiihren, die der gewShnlichen Holographie entlehnt ist, die wit schon in Abschn. 5.8 besprochen haben. In der gewShnlichen Holographie tritt bekanntermat3en auch eine konjugierte Welle aufi

Abb. 14.10 Echtzeit-Holographie und Phasenkonjugation. Die vorw5rts laufende Pumpwelle bildet mit der Signalwelle ein Gitter. Die ri~ckwSrts laufende Pumpwelle erfiillt die BraggBedingung an diesem Gitter und wird in Richtung der Signalwelle gestreut.

Die Interferenz einer Pumpwelle mit der Signalwelle verursacht eine periodische Modulation der Intensit~t und dadurch der Brechzahl im phasenkonjugierenden Medium (PCM in Abb. 14.10) mit dem reziproken Gittervektor K: K--kp-ks

und

A -- ~ sin (0/2)

Die entgegenlaufende Welle des Pumplichts erffillt genau die Bragg-Bedingung A sin (0/2) = ~-~ und wird an diesem Gitter in die Gegenrichtung der Signalwelle gebeugt. Die Wellenfront-Umkehr ist in Abb. 14.11 im Vergleich zu einem konventionellen

14.2 Nichtlineare Brechzahl - der optische Kerr-Effekt

535

Abb. 14.11 WeUenfrontumkehr oder -Rekonstruktion durch einen phasenkonjugierenden Spiegel (PCM) und einen konventionellen Spiegel (M).

Spiegel dargestellt. Der phasenkonjugierende Spiegel (engl. phase conjugating mirror, PCM) schickt auch verzerrte Wellenfronten wieder in sich zuriick, im Gegensatz zum gewShnlichen Spiegel. Eine mSgliche Anwendung ist die effiziente Fokussierung von intensiver Laserstrahlung auf ein Objekt, dessen Oberfl~iche konventionellen, d.h. Gaufi-fSrmigen Laserstrahlen schlecht angepafit ist.

Abb. 14.12 Anwendung eines phasenkonjugierenden Spiegels zur Fokussie~'ung intensiver Laserstrahlung auf ein optisch schlecht angepafltes Objekt.

14 Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

536

14.3

Selbstphasenmodulation

Die nichtlineare Modifikation der Brechzahl wirkt sich nicht nur auf die r~iumlichen Wellenfronten von Laserlicht aus, sondern auch auf die zeitliche Struktur. Diese nichtlinearen Phiinomene sind bei den Kurzpulslasern wegen der hohen Spitzenintensitiiten nicht nur besonders wichtig, sondern finden hier auch definitive Anwendungen. Wir betrachten einen Lichtpuls mit GauBscher Amplitudenverteilung und der charakteristischen Pulsl~nge T,

E(t) = Eoe-('/T)2/2e-'~'

und

I ( t ) = Ioe -(~/~-P

,

beim Durchgang durch ein nichtlineares Medium. Die Phase des Lichtpulses am Ende einer Probe der L~iage t entwickelt sich dabei nach

O(t) = n k z [ ,

= n(t)kt = (no + n2Ioe -(t/TP) k c t

Die instantane Frequenz betriigt dann

w(t) = ~ O ( t ) = ( n o - n 2 I o . 2(t/7) Die instantane Frequenz wird wiihrend des Pulses von blauen zu roten Frequenzen verstimmt oder umgekehrt, je nach d e m Vorzeichen von n2. Das Phiinomen wird allgemein als frequency chirp bezeichnet. Im Z e n t r u m bei exp (-(t/~-) 2) ___ 1 findet m a n eine lineare Variation

n2Io t

w(t) --~ w0 - 2/3t mit fl = w 0 - - -

n o

,

T

Selbstphasenmodulation in Lichtwellenleitern ist die Ursache fiir das Auftreten yon zeitlichen Solitonen, die wir schon in Abschn. 3.6.2 besprochen haben.

Aufgaben

537

A u f g a b e n zu K a p i t e l 14 14.1 E r z e u g u n g der d r i t t e n O b e r w e l l e Betrachten Sie ein Gas zwischen den Ebenen z - - 0 und z--g. Eine monochromatische, ebene Welle propagiert in dem Gas in z-Richtung, E(z,t) = 1 / 2 [ E e x e x p [ - i ( w t - k z ) ] . (a) Geben Sie qualitativ das Spektrum der nichtlinearen Polarisation im Gas an. Welche Rolle spielt die Symmetrie des Systems? (b) Geben Sie einen skalaren Ausdruck ffir die nichtlineare Polarisierung bei 3w an. (c) Berechnen Sie das bei 3w abgestrahlte Feld. Verwenden Sie die Anfangsbedingung A3~(z = O) = O. Wie ~ndert sich die Intensit~t der 3. Oberwelle mit z? (d) Variieren Sie die Dichte des Gases in der Zelle. Wie ~ndert sich die Intensitat der Oberwelle am Ausgang der Gaszelle? 14.2 P h a s e n k o n j u g i e r e n d e r Spiegel I Stellen Sie sich vor, Sie schauen selbst in einen phasenkonjugierenden Spiegel. Was sehen Sie? 14.3 P h a s e n k o n j u g i e r e n d e r Spiegel II In einem phasenkonjugierendenMedium der effektiven L~inge ~ betrachten wit die z-abhangigen Amplituden der konjugierten Welle Ac(z) = Av(0)cos(l~l(z - g))/cos (l~lg) und der Signalwelle A~(z) = itCA*z(O ) sin (It~l(z - g))/cos (l~lg). Die Kopplungskonstante der Wechselwirkung mit den Pumpwellen lautet ~ -- (w/2nc)x(3)ApiAp2. (a) Skizzieren Sie die Entwicklung der Amplituden innerhalb des Kristalls ffir konjugierte und Signalwelle. Wie entwickelt sich das System ffir ~r/4 < I~li = ~r/2? (b) Berechnen und interpretieren Sie die Reflektivit~t des konjugierten Strahls, die nach R = IAc(O)/As(O)I 2 definiert wird. Betrachten Sie besonders den Fall 14.4 K o m p e n s a t i o n d e r D i s p e r s i o n Beschreiben Sie qualitativ die Wirkung der Prismen auf die Dispersion des Resonators in Abb. 14.5. Wie wird die Kompensation justiert?

A

Mathematik fiir die Optik

A.1

Spektralzerlegung schwankender Meflgrfigen

Die Fourier-Transformation ist die ,,natfirliche" Methode, um die Entwicklung einer optischen Welle zu beschreiben, weil letztlich alle optischen Ph~inomene nach dem Huygensschen Prinzip als Summe der Wirkung yon Elementarwellen verstanden werden k6nnen. Genau diese Wirkung berechnet man aber mit Hilfe der Fouriertransformation. Unter Schwankungen oder Fluktuationen einer physikalischen GrSfie wollen wir ihre unregelm~fiigen zeitlichen Variationen verstehen. Physikalische Vorhersagen k5nnen nicht (deterministisch) fiber den tats~ichlichen Verlauf einer zeitlich schwankenden Gr6fie getroffen werden, wohl aber fiber die Wahrscheinlichkeitsverteilung ihrer mSglichen Werte, z.B. die Amplitudenverteilung einer Signalspannung. Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie ist bekannt, daft die Verteilung einer stochastischen Gr5fie V(t) vollst~indig bestimmt ist, wenn alle ihre Momente bekannt sind. Darunter versteht man die Mittelwerte (Y), (y2), (y3),... H~iufig kennt - oder unterstellt - man eine bestimmte Verteilung, zum Beispiel eine Gaufische Normalverteilung ffir zufgllige Ereignisse. Dann reicht es aus, die ffihrenden Momente der Verteilung anzugeben, zum Beispiel den Mittelweft (V) und die Varianz ( ( Y - (Y))2). Die Quadratwurzel aus der Varianz nennt man mittlere quadratische Abweichung oder kfirzer rms-Wert (von engl. root-mean-square) Vrms:

V2 --TIfoT(V(t)_ )2dt _- _

2

(A.I)

Bei der Verwertung des elektrischen Signals spielen Filter eine ganz besondere Rolle, weil damit erwfinschte und unerwfinschte Anteile eines Signals voneinander getrennt werden kSnnen. Die Arbeitsweise eines Filters oder einer Filterkombination Hit3t sich am einfachsten in der Wirkung auf eine sinusfSrmig oder harmonisch variierende GrSfie verstehen, deren Frequenz f = w/2~r ver~indert wird. Es ist deshalb aus theoretischen und praktischen Grfinden wichtig, die Schwankungen einer MefigrSfie nicht nur im Zeitbild, sondern auch im Frequenzraum, das heit3t durch Spektralanalyse zu charakterisieren.

540

Anhang A Mathematik fiir die Optik

In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften hat es sich seit langem von unsch~tzbarem Wert erwiesen, eine zeitabhfia]gige Grbfle durch ihre Frequenzanteile oder Fourierkomponentendarzustellen. So kann zum Beispiel die komplexe Spannung V(t) in Teilwellen zerlegt und im Frequenzraum dargestellt werden, V(t) = ~-~1/,o~12(w)e-~tdw =

f ~~12(f) e_2~riftdf

(A.2)

Wir kbnnen 12(f)df als Amplitude einer Teilwelle bei der Frequenz f u n d mit einer Frequenzbreite df interpretieren. Das Amplitudenspektrum besitzt die Dimension [V/Hz] und enth/ilt als komplexe GrbBe auch die Information fiber die Phasenlage der Fouierkomponenten. Die Funktionen V(t) und 12(w) bilden ein Fouriertransformpaar,mit der Umkehrtransformation

V(~) =

V(t)eiWtdt

(1.3)

OO

Die Wirkung eines einfaehen Filter-Systems, zum Beispiel yon Tier- oder Hoehpfissen, auf eine harmonisehe Erregung kann h~ufig dureh eine Transferfunktion T(w) angegeben werden. Die Vorteile der Prequenz- oder Fourierzerlegung nach GI.(A.2) zeigen sieh dann in dem einfaehen linearen Zusammenhang zwisehen Ein- und Ausgang eines solehen Netzwerkes, r V'(t) = ~1 J_ T(w)Y(w)e-iWtdw

Das Verfahren liefert befriedigende Resultate ffir viele technische Anwendungen. Das gilt insbesondere dann, wenn das Signal periodisch ist und der Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbild genau bekannt ist. Ein Rauschsignal variiert mal schnell, mal langsam, es hat dementsprechend Anteile bei niedrigen und bei hohen Frequenzen. Der Zusammenhang nach G1. (A.2) ist deshalb nicht herstellbar, well man dazu ein unendlich ausgedehntes Met3intervall benbtigte. Unter strengeren mathematischen Gesichtspunkten kann man auch ein sehr grot3es Zeitintervall nicht als hinreichend gute N/iherung betrachten, weil nicht einmal Informationen fiber die Beschriinktheit der Funktion und damit der Konvergenzeigenschaften der Integraltransformation vorliegen. Auf der anderen Seite kann man aber die Fourierkomponenten eines beliebigen Signals mit Hilfe eines geeigneten Filters sehr wohl messen, indem man seine mittlere transmittierte Leistung bestimmt. Bei diesem Verfahren, das in jedem Spektrumanalysatorrealisiert ist, wird allerdings das Betragsquadrat der Signalgrbt3e gemessen, zum Beispiel durch Gleichrichtung und analoge Quadrierung. Wir wollen Py(t) = V2(t) als verallgemeinerte Leistung von Y(t) auffassen. Die transmittierte Leistung h~ngt vonder einstellbaren Bandbreite A f und Mittenfrequenz f des Filters ab.

A.1 Spektralzerlegung schwankender Met3gr6fien

541

Fiir die formale Behandlung fiihren wir die Fouriertransformierte der Funktion V(t) auf einem endlichen Megintervall der L/inge T ein,

fT/2 V(t)ei2~rftdt VT(f) = a-T~2

(A.4)

Die mittlere Gesamtleistung betr/igt in diesem Intervall

1 fT/2 V2(t) dt

(V2)r = T S-rl

wir k6nnen die Fouriertransformierten nach GI.(A.4) einfiihren und die Integrationen vertauschen (wir lassen den Index 0T im folgenden weg, well keine Verwechslung vorliegen kann), T/2

oo

9

Die GrSBe (V 2) ist sehr niitzlich, denn mit ihrer Hilfe kSnnen wir die Varianz AV 2 -- (V 2) - ( V ) 2 und damit das zweite Moment der Verteilung der Mefigr6t3e V(t) berechnen, zumindest in dem beschr~inkten Intervall [-T/2, T/2]. Weil V(t) eine reelle GrSt3e ist, gilt naeh (A.2) ])T(--f) = l)~(f) und man kann sehreiben

iF

(V2) = ~

1:

I])T(f)l 2df

{])T(f)12T(--f)} dr= ~

oo

oo

Es reicht wegen der Symmetrie yon IT(f) aus, die Integration einseitig auszuffihren. Wir definieren die spektrale Leistungsdichte Sv(f)

S v ( f ) - 21VT(f)Iu T

(i.5)

und erhalten einen Zusammenhang, der sieh interpretieren l~gt:

(V 2) =

f: Su(f)df

(A.6)

Oanach ist Sv(f)df genau der Anteil der mittleren Leistung eines Signals V(t), der von einem linearen Filter mit Mittenfrequenz f u n d Bandbreite A f transmittiert wird. Zu gr5t3eren Frequenzen f/illt das Leistungsspektrums Sy(f) normalerweise wie 1/f 2 oder schneller ab, so daft die totale Rauschleistung endlich bleibt. H~ufig wird auch die formale und unphysikalische Schreibweise [ ~ -[ V / ~ ] verwendet, die wieder eine Rauschamplitude angibt, aber stets auf eine Rauschleistung bezogen ist. Fiir optische Detektoren sind die Rauschamplituden yon Spannung und Strom in Einheiten yon [V2/Hz] 1/2 bzw. [I2/Sz] 1/2

542

Anhang A Mathematik fiir die Optik

von grSflter Bedeutung und sollen deshalb noch einmal extra bezeichnet werden:

is(f) = ~ rms-Werte von

e~(f)

= ~-~

(A.7)

Die Rauschstrom und -spannung in einer Detektorbandbreite B betragen dann Irm8 = i~x/B bzw. Urm8 = enx/~. Etwas salopp wird gelegentlich einfach vom ,,Stromrauschen" und vom ,,Spannungsrauschen" gesprochen, man muff sich aber dariiber im Klaren sein, daft in Rechnungen stets nur die quadratische Betr/ige i2B bzw. e2B Verwendung finden.

A.I.1

Korrelationen

Die Schwankungen yon MeBgrSBen kSnnen alternativ auch mit Hilfe yon Korrelationsfunktionen beschrieben werden. Fiir eine MeBgrSBe V(t) wird damit untersucht, wie sich ihr Wert yon einem Anfangswert wegentwickelt,

Cv(t, ~)= ~

1 = ~

/T/]2 V(t)V(t + T)dt

wobei wir schon ein realistisches endliches Met3intervall T angenommen haben. Im allgemeinen werden wir station/ire Schwankungen untersuchen, deren Eigenschaften selbst nicht v o n d e r Zeit abh/ingen, so dab die Korrelationsfunktion nicht explizit v o n d e r Zeit abh/ingt. Physikalische Information wird h/iufig sinnvoll mit der normierten Korrelationsfunktion ayff) 2 ~vff)-

_ 1 + -

-

angegeben, wobei der Beitrag AV(~) 2 = (V(~) - (V)) 2 fiir ~ - , 0 gerade die Varianz ergibt. Diese erlaubt direkt, die Schwankungen zu beurteilen. Wir kSnnen einen wertvollen Zusammenhang mit der spektralen Leistungsdichte herstellen, indem wir die beschr/inkten Fouriertransformierten nach G1. (A.4) verwenden und die Zeit- und Frequenzintegrationen wieder vertauschen, 9

,

.

Cv(q-) = ~ j_ooj_ooj_T/212T(f')12T(f)e--Z27rf te--Z2~rf(t + ~-)dfdf'dt Fiir sehr groBe Zeiten T ---* oc k6nnen wir die Zeitintegration durch die Fouriertransformierte der Delta-Funktion, (~(f) = f ~ e~2~Ytdt, ersetzen und erhalten 1 Cvff)=

~_

_

= fo ~ 21]2T(f)12e--i2~rfTT

df

A.1 Spektralzerlegung schwazlkenderMet3grSi]en

543

Daraus kSnnen wir mit Hilfe von Gl.(A.5) unmittelbar das Wiener-KhintchinTheorem begrtinden, das einen Zusammenhang zwischen der Korrelationsfunktion und der spektralen Leistungsdichte einer schwallkenden GrSt3e herstellt:

Cv(T) =

Sv(f)e-i2~fTdf fo ~176

(A.8)

S y (f) --

f0 ~ Cy('r)ei2~fTdT

(A.9)

und

A.1.2

Schottky-Formel

Eine der wichtigsten und fundamentalsten Formen des Rauschens ist das sogenallnte Schrotrauschen (engl. shot noise). Es elltsteht, wenn eine Met3gr6Be aus einem Strom von Teilchen besteht, der zu zuf/~lligen Zeiten vom Detektor registriert wird; das ist zum Beispiel ftir den Photonenstrom eines Laserstrahls der Fall oder fiir die Photoelektronen in Photomultiplier und Photodiode. Wir betrachtell deshalb einen Strom von Teilchen, die zu zufiflligen Zeiten wie nadelscharfe elektrische Impulse von einem Detektor registriert werden, und interessieren uns fiir das Leistungsspektrum des dabei erzeugten Stromes. Wenn in einem Meflintervall der L/~nge T NT Teilchen registriert werden, kann man die Stromamplitude als Folge einzelner Impulse angebell, die zu individuellen Zeitpullkten tk registriert werden: NT

I(t) = ~ g(t - tk)

(A.10)

k=l

Dabei enth/~lt die Funktioll g(t) die endliche Anstiegszeit T eines realen Detektors, der selbst einem unendlich scharfen Eingangs-Impuls endliche L/~nge verleihen wiirde. Wir bestimmen zun/ichst die Fouriertransformierte NT

Z ( f ) : ~ ~k(f) k=l

mit der Fouriertransformierten des Einzelereignisses Gk(f) = ei2~ftkG(f) :

~(f) =

/2 g(t)e~2'~Stdt

(A.11)

Das Einzelereignis mug naeh f ~ g(t)dt = 1 normiert sein. Wenn die Ereignisse wie Impulse yon der typisehen Liinge ~- = fa/27r geformt sind, dann mug das Spektrum bei Prequenzen welt unterhalb der Grenzfrequenz fa konstant sein, G(f << fa) " 1.

544

Anhang A Mathematik ffir die Optik

Nach der Definition des Leistungsspektrums (A.5) gilt S i ( f ) = 2(IIT(f)I2)/T. Man berechnet

IZT(I)I2

I (f)I2 NT ,-,NT = IG(S)I ~ (NT + ~kYrl~,:l,r Z-~k----1 Z---kl=l

NT

" -e'2"S(t~ tk,))

Bei der Mittelung fiber ein Ensemble verschwindet der zweite Summand, NT wird durch den Mittelwert N ersetzt. Die Rauschleistungsdichte betr/igt daher S ~ ( f ) - 2Nlg(f)12 T

'

(A.le)

die nur noah vom Spektrum Ig(f)12 des Einzelimpulses abh/ingt. Ffir ,nadelscharfe" Pulse mit der tats/ichlichen L/i~ge T erwarten wir ein im wesentlichen flaches, das heifit im Frequenzbereich f _< ~-/2~r weifles Leistungsspektrum. Ffir zuf/illige, unkorrelierte Impulse erwarten wir, dat3 sich nicht die Amplituden, sondern die Intensit/iten addieren. Wenn man noah berficksichtigt, daft Si(f) durch einseitige Integration entsteht, dann khnnen wir alle Faktoren in G1. (A.12) interpretieren. Im Spezialfall des elektrischen Stromes bezeichnet man den Zusammenhang mit der Rauschleistungsdichte als Schottky-Formel, die ffir Fourierfrequenzen unterhalb der Detektorgrenzfrequenz f c gilt,

Sx(f)-- 2el

,

(A.13)

wobei wir -f = e-NIT ausgenutzt haben. Wenn auch die Amplitude des Einzelereignisses schwankt, z.B. f~ ~?k, dann wird Gl.(A.12) ersetzt durch

Sx(f)--

2-N( 2)IG(f)I2 T

g(t--tk)dt = (A.14)

Der mittlere Strom betr/~gt nun -[ = -N~-~/T, mit einer mittleren Ladung e--~. In der Schottky-Formel (A. 13) taucht nun ein zus/itzlicher excess-noise-Faktor Fe -- (7 2) / (7) 2 auf:

S~(f) = 2(e~>(I> (~2) (~>2

(A.15)

Diese Variante ist yon Bedeutung ffir Photomultiplier und Lawinen-Photodioden, die mit intrinsischer, schwankender Verst~rkung ausgestattet sind. Wir betrachten noch den Spezialfall einer Amplitudenverteilung, die nur die zufglligen Werte ~7 = 0 und ~1 = 1 besitzt. In diesem Fall gilt Fe = 1, so daft nicht registrierte Ereignisse keinen zus~tzlichen Beitrag zum Rauschen liefern.

A.2 Poynting-Theorem

A.2

545

Poynting-Theorem

Die ebene Welle ist der einfachste Grenzfall, der bei der Ausbreitung optischer Wellen betrachtet wird. Der Feldvektor an einem bestimmten Ort wird dabei durch eine harmonische Funktion der Zeit beschrieben, F -- Fo e-i~t.

H&iufigwerden Mittelwerte yon Produkten harmonisch variierender Funktionen benStigt. Dabei ist das Poynting-Theorem sehr nfitzlich, wenn physikalische GrSt3en durch den Realteil einer harmonischen komplexen Funktion dargestellt werden. Wenn F und G zwei komplexe, harmonische Funktionen sind, dann gilt im Periodenmittel ffir beliebige Vektorprodukte | 1 < ~F| >= ~ < ~F| >

B

Erg~inzungen zur Quantenmechanik

B.1

Zeitliche Entwicklung eines Zweizustandssystems

B.1.1

Zwei-Niveau-Atome

Ein hypothetisches Zweiniveau-Atom besitzt nur einen Grundzustand Ig) und einen angeregten Zustand le), zu denen die Auf- und Absteigeoperatoren a*--]e)(g]

und

a--]g)(e]

gehSren, die als Linearkombinationen der Paulioperatoren bekannt sind, 1 1

~* = ~ ( ~ + i~),

~ = ~(~ - i~)

Der namiltonoperator der Dipolwechselwirkung l~t3t sich mit wo = ( E e - E g ) / h in semiklassischer N~herung und der Drehwellenn~herung (DWN bzw. RWA) durch H = hwoaCa + hgaCe -i~t + hg*ae iWt

(B.1)

beschreiben. Die Kopplungsst~rke von Atom und Licht wird durch hg = Vdip beschrieben. Dabei gilt mit dem Operator des Dipolmatrixelements qr = d = d (+) + d(-) und dem elektrischen Feld E(r, t) -- E(+)e -i~t + E(-)e i"n Vdip

----

(d(+) + d ( - ) ) . (E (+) + E (-))

Die Drehwellenn~iherung, bei der die Terme d (+). E (+) und d ( - ) . E(-) vernachl~sigt werden, entf'~lt fibrigens bei einem A m ---- • Wegen d (+) = (d)(ex + iey)e -i'~ und E (+) = E0(ex + iey)e -i~~ gilt in diesem Fall exakt d (+) 9E (+) = 0.

B.1.2

Zeitentwicklung reiner Zust~inde

Im Wechselwirkungsbild der Quantenmechanik wird die zeitliche Entwicklung eines Zustandes nach der Gleichung .H_zt I~I(t)) ---- e -~ ~ I~I'i(0)) (B.2)

B.2 Dicht ematrix-Formalismus

547

beschrieben, wobei der Hamilton-Operator der Wechselwirkung lautet:

HI

=

=

hga t + hg* a nlgl(cosr + sinr

(B.3)

Dann gilt mit der Rabifrequenz ~ a -- 2lgl

Ir

,(t)>

= e - i ( ~ a t / 2 ) (cos (r

- sin (r162

(B.4)

Die Zustandsentwicklung kann man dann aus der Matrixgleichung exp - i a t r . n = I cos a - ier 9n sin a

(B.5)

entnehmen.

B.2

Dichtematrix-Formalismus

Fiir Experten stellen wir einige Ergebnisse der Quantenmechanik des Dichteoperators zusammen. In einer Basis von Quantenzust~nden li) mSge der Dichteoperator f~ die Spektraldarstellung ij

besitzen. Die Bewegungsgleichungen der einzelnen Elemente erhiilt man dann aus der Heisenberggleichung mit dem zugehSrigen Hamiltonoperator 7-/ 9

d^

~ h ~ p = [~,~] Zur Auswertung verwendet man giinstig die Spektraldarstellung des Hamiltonoperators mit den Elementen Hij = (il~lj), d -~Pij --

i Ii ~ {HikPkj - pikHkj}

(B.6)

k

Danach besteht die Dichtematrix eines Zwei-Niveau-Atoms aus den Erwartungswerten

Der Hamiltonoperator fiir die Zustande Ig) und le) enthalt den ungestSrten Operator des freien Atoms und in semiklassischer N~herung den Dipolterm w~,p = -(d~g~* + dg~)(E(+)e - ~ + E(-)e~'): 7-I = T t , ~ - a

- aa t) -4- ~k 0

-4-

+

548

Anhang B Erg~Luzungenzur Quantenmechanik

Wir werden sehen, daft die Erwartungswerte (a*) und (a) m i t e i~~ bzw. e -i~~ oszillieren. In der N~ihe der Resonanz (w _~ or0) benutzen wir die ,,rotating wave approximation", bei der die Terme, die mit w + w0 oszillieren, vernachl~sigt werden. Wir ktirzen ab g = - d ~ s und finden 7-I = r~Voata + hge-iWta t + hg* ei~ta Daraus erh/ilt man die Bewegungsgleichungen P'~ = p'~g =

i g* e-i~t P~g - igei~t Pg~ -iwop~g + ige-"~t(p~ - pgg)

= =

- P'ga P'ge*

In der RWA ist es aut3erdem sinnvoll, die ,,rnitrotierenden" Dichtematrixelernente p~g = ~ g e -i~t und pg~ = ~g~ei~t einzuffihren. Man erhs nach Weglassen der Querstriche P'ee = --P'gg = p'~g =

--igpge + ig* peg - i ( w o - w)p~g + i g ( p ~ - pgg)

Aus diesern Gleichungssystern kSnnen durch geeignete Ersetzungen wiederurn die Optischen Bloehgleichungen (6.32) gewonnen werden. Man erh~lt zurn Beispiel nach Einfiihrung der phs Ds und p~g = 89(u + iv) wiederum

B.3

iz

---- - S v -

i~

=

5u-

~u- 2~m(g)w 2 ~v + 2~e(g)w

=

2

m(g)u -

2

(B.7)

e(g)v -

Zustandsdichten

Die Berechnung yon Zustandsdichten p ( E ) -- p(hw) (engl. Density of States, DOS) ist ein Standardproblem der Physik von Vielteilchen-Systemen. Sie h~ngt ab von der Dispersionsrelation, E = E(k)

,

und der Dimension des Problems. Irn allgemeinen Fall kann sie auch anisotrop sein, wir beschr~inken uns aber hier auf den isotropen Fall.

Zwei wichtige Beispiel sind das Elektronen- und das Photonengas: Elektronen:

E(k)-

h2k 2 2m

Photonen:

E ( k ) --

hw ---- hck

B.3 Zustandsdichten

549

Tab. B.1 Zustandsdichten in 1-3 Dimensionen

1D Strahlungsfeld: w = ck 1

m

2D

[

3D

p(02) 03

022

mdw

d02

m

71-C2

71-2C3

dw

Freies Elektronengas: E -- h2k2/2m , p(E)

m (2mE)_l/2d E ~rh

m

m dE ~rh2

~2h3 (2mE)l/2dE

Die Zustandsdichte p(E)dE bezeichnet die Anzahl der Zust~nde in einem Intervall der Breite dE im Energie-Raum. Sie wird in n Dimensionen berechnet nach

p(E) -- 2 /Vk d~k p k ( k ) 5 ( E - E ( k ) ) =

2 ~

d~kS(E-E(k))

,

wobei wir hier die konstante Dichte pk(k)=(1/27r) ~ im Einheitsvolumen I ann e h m e n u n d aufierdem die 2-fache E n t a r t u n g aufgrund der Polarisation bzw. des Elektronenspins berficksichtigt haben. Wir erhalten d a n n die Zustandsdichten aus Tabelle B.1.

Abb. B.1 Zustandsdichten in 1D- und 2D-k-R~iumen.

1Bei der Berechnung physikalisch meflbarer GrSt3en mut] fiber das Volumen des Vielteilchensystems summiert werden. Daher setzen wir hier ffir Abb. B.1 L = I .

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Sachverzeichnis 90~ Offnungsfehler, 170 spatial filter, 58

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Abbe-Zahl, 11 Abbesche Sinusbedingung, 158 Abbildung, stigmatische, 17 Abbildungsfehler, 167 ABCD-Matrizen, 22 ABCD-Matrizen, Gauf~moden, 52 ABCD-Matrizen, Glasfasern, 28 ABCD-Matrizen, Konventionen, 22 Aberration, chromatische, 174 Aberration, sph~rische, 170 Abraham-Lorentz-Gleichung, 223 Absorption, 408 Absorption, ges~ttigte, 409 Absorption, in optischen Materialien, 120 Absorptionskoeffizient, 229 Absorptionsquerschnitt, 242 AC-Stark-Aufspaltung, 458 AC-Stark-Verschiebung, 460 Achromat, 175 Adler-Gleichung, 364 afokal, 26 afokale Systeme, 162 Airy-Scheibchen, 72 Akustooptische Modulatoren, 143 Amplitudenrauschen, 314 Anharmonischer Oszillator, 493 Anisotrope optische Materialien, 130 Astigmatismus, 172 Atomoptik, 29, 187 Atomstrahlen, 417 Auge~ 152 Aut ler-Townes-Aufspaltung, 458 Aut okorrelationsfunktion, 182 B~ndermodell, 109

Babinets Prinzip, 76 Bandliicke, photonische, 111 Beamer, 143 Beersches Gesetz, 229 Bell-Experiment, 489 Bennett-holes, 263 Beugung, 63 Beugung am Gaut3-Transmitter, 70 Beugung am Spalt, 69 Beugung an der Kreisblende, 71 Beugung, Bragg-Bereich, 143 Beugung, Raman-Nath-Bereich, 144 Beugungsgitter, 187 Bildverst~irker, 404 Bloch-Siegert-Verschiebung, 237 Blochwellen, 110 Bragg-Beugung, 143 Bragg-Beugung, PendellSsung, 145 Brechkraft, 24 Brechung, 86 Brechungsgesetz, 4 Brechungsindex, 3 Brechungsindex, mikroskopisch, 228 Brechungsindex, nichtlinear, 527 Brechzahl, 3 Brechzahl, (aui3er-)ordentliche, 131 Brechzahl, effektive, 102 Brechzahl, in leitf~higen Medien, 92 Brechzahl, inhomogene, 7 Brechzahl, intensit~tsabh~ingig, 127 Brechzahl, komplexe, 92 Brechzahlen, Tabelle, 10 Brennpunkt, 17 Brewster-Bedingung, 89 Brewster-Winkel, 89 c, celeritas, 41 Candela, 405 Cavity Dumping, 325

562 Cavity Ring Down Spectroscopy, 220 Cavity-QED, 311,456 CCD-Sensoren, 403 Channeltron, 396 Chirped Pulse Amplification, 332 Clausius-Mossotti- Gleichung, 232 Cornu-Spirale, 75 Coulomb-Eichung, 43 DBR-Laser, 368 Defekt, Defektmode, 116 Dephasierung, 426 Depopulations-Pumpen, 420 Detektoren, photovoltaisch, 399 Detektoren, Quanten-, 376 Detektoren, thermisch, 375 DFB-Laser, 368 Dichtemat rix-Formalismus, 547 dielektrische Funktion, 228 Dielektrische Grenzfl~chen, 85 dielektrische Medien, 36 dielektrische Medien, diinne, 228 dielektrische Medien, dichte, 231 dielektrische Suszeptibilit~it, 37, 227 Diodenlaser Amplitudenmodulation, 360 Diodenlaser Arrays, 372 Diodenlaser Breitstreifen, 372 Diodenlaser durchstimmbar, 367 Diodenlaser Dynamik, 360 Diodenlaser Heterostruktur, 350 Diodenlaser Hochleistung, 370 Diodenlaser Linienbreite, 362 Diodenlaser Optische Riickkopplung, 365 Diodenlaser Phasenmodulation, 361 Diodenlaser Quantum Well, 357 Diodenlaser Trapezverstarker, 372 Diodenlaser WellenNingen, 353 Dioptrie, 24 Dipolcharakteristik, 47 Dipolkraft, 437 Dipoloperator, 234, 451 Dipoloperator, semiklassisch, 235 Dipolwechselwirkung, 234 Dispersion, 10, 223, 408 DispersionsNinge, 126 Dispersionsrelation, 101 DLP-Technologie, 143 DMD, 143 Doppelbrechender Filter, 136

Sachverzeichnis Doppelbrechung, 130 Doppelbrechung, mikroskopisches Modell, 130 Doppelbrechung, Polarisatoren, 137 Doppelbrechung, Spannungs-, 130 Doppelbrechung, uniaxiale Kristalle, 130 Doppelbrechung, walk-off, 133 Doppelspalt, 179 Doppelspalt, Atomstrahlen, 186 Doppelspalt, Elektronenstrahlen, 187 Doppler-Effekt 2. Ordnung, 423 Doppler-Temperatur, 435 Dopplerbreite, 413 Dopplerverbreiterung, 263 Dreiwellenmischung, 502 Drude-Modell, 92 Dunkelrauschen, 381 EDFA, 287 Ein-Photonen-Quellen, 480 Einstein-Koeffizienten, 244, 246 Einzellinse, 30 elektrische Polarisierbarkeit, 225 Elektromagnetisches Feld, Energiedichte, 44 Elektromagnetisches Feld, Energiestromdichte, 44 Elektromagnetisches Feld, Quantisierung, 447 Elektrooptische Modulatoren, 138 Elektrooptische Modulatoren, Halbwellenspannung, 139 entelektrisierendes Feld, 231 Erbium-Laser, 286 Etalon, 197 Evaneszentes Wellenfeld, 90 Fabry-Perot-Interferometer, 196 Fabry-Perot-Interferometer, AuflSsungsvermSgen, 202 Faraday-Effekt, 146 Faraday-Isolator, 147 Faraday-Rotatoren, 146 Farbfehler, 174 Faser-Bragg-Gitter, 289 Faserabsorption, 105 Faserlaser, 287 FBGs, 289 Feldoperator, 448

Sachverzeichnis Femtochemie, 143 Fermats Prinzip, 5 FestkSrperlaser, 278 FID, Free Induction Decay, 425 Filter, raumlich, 106 Finesse, 202 Finesse-Koeffizient, 200 Fliissigkrist all-Modulat oren, 141 Fock-Zustand, 473 Fourierkomponenten, 38 Fourieroptik, 72 Fraunhofer-Beugung, 68 Freier Spektralbereich, 201 Frequency Chirp, 126 Frequenzmodulation~ 139 Frequenzverdopplung, schwache Konversion, 505 Frequenzverdopplung, starke Konversion, 506 Frequenzverdreifachung, 526 Fresnel-Beugung, 68, 73 Fresnel-Formeln, 89 Fresnel-Linsen, 78 Fresnel-Zonen, 78 Fresnelbeugung, ebene Kante, 74 Fresnelbeugung, Kreisblende, 75 FTIR, 91 Giiteschaltung, 324 GaN-Laser, 341 Gaut3-Strahlen, 48 Gaui3-Voigt-Profil, 413 Gauf3scher Grundmode, 49 Gauf3strahlen, ABCD-Gesetze, 52 Gauf3strahlen, Divergenz, 51 Gaut3strahlen, Gouy-Phase, 51 Gauf3strahlen, Grundmode, 49 Gaut3strahlen, hShere Moden, 55 Gauf3strahlen, konfokaler Parameter, 50 Gaut3strahlen, Strahlradius, 51 Gauf3strahlen, Strahltaille, 50 Ges~ttigte Absorption, 409 Ges~ttigte Verst~rkung, 303 Gitter, AuflSsungsvermSgen, 189 Gitter, holographisches, 187 Gitterlaser, 367 Glan-Polarisatoren, 137 Glanzwinkel, 188

563 Glasfaser, Ausbreitungsgeschwindgkeit, 15 Glasfaser, Propagationskonstante, 15 Glasfasern, 96 Goos-H~chen-Effekt, 5 Gradientenfaser, 103 Gravit ationswellen-Interferometer, 193 GRIN-Faser, 103 GRIN-Linsen, 17, 28 Gruppenbrechzahl, 124 Gruppengeschwindigkeit, 124 Gruppengeschwindigkeitsdispersion, 125 Hagen-Rubens-Beziehung, 95 Halbwertbreite, 410 Hanbury-Brown und Twiss-Experiment, 472 Hanle-Effekt, 226 Hartmann-Shack-Sensor, 81 Hauptebenen, Hauptpunkte, 33 HE/EH-Moden, 103 Helmholtz-Gleichung, 43 Helmholtz-Gleichung, paraxial, 55 Hermite-Gaut3-Moden, 55 Hermite-Polynome, 56 Hertzscher Dipol, 47 Hintergrundstrahlung, kosmische, 245 Hohlraum-Quantenelektrodynamik, 456 Hohlraumstrahler, 245 Hohlspiegel, 17, 19 Hohlspiegel, astigmatischer Fehler, 20 Hohlspiegel, Astigmatismus, 19 Hologramm, Rekonstruktion, 214 Hologramm, Sichtlinien-, 213 Hologramm, inline-, 213 Holographie, 212 Holographische Aufnahme, 212 HOM-Interferometer, 482 Huygens-Okular, 154 Huygenssches Prinzip, 63 Hybrid-Moden, 101 ICCD-Kamera, 405 Impulsformung, 142 Index-Ellipsoid, 132 Indikatrix, 132 Injection Locking, 363 Interferenz, Kontrast, 182 Interferometer, Hong-Ou-Mandel, 482

564 Interferometrie, 179 Intrinsische Permutationssymmetrie, 498 Inversion, 240, 241,249 Jaynes-Cumming-Modell, 451 Jones-Vektoren, 60 Katzenauge, 9 Kerr-Effekt, 138 Kerr-Linsen-Modenkopplung, KLM, 329 Kerreffekt, optisch, 527 Kirchhoffsches Integraltheorem, 65 Kleinman-Symmetrie, 499 KLM, Kerr-Lens-Modecoupling, 529 KNbO3, 510 koh~rente 0berlagerung, 428 Koh~renz, 179 Koh~enz 1. Ordnung, 470 Koh~enz 2. Ordnung, 470, 471 Koh~enz, longitudinal, 190 Koh~renz, transversal, 185 Koh~renz, zeitlich, 192 Koma, 173 konfokaler Parameter, 50 Konjugierte Ebenen, 33 Kontinuitiit sgleichung, 40 kontrahierte Notation, 499 Korrelationsfunktion, 181 Kramers-Kronig-Relationen, 254 Krist allfeldaufspaltung, 280 LScher, spektral, 263 Laguerre-Gau~Moden, 55, 80 Lamb-Shift, 446 Lambda-halbe/viertel-Platten, 135 Lambda-Meter, 193 Lanthanide, 280 Larmor-Frequenz, 226 Larmorformel, 247 Laser 255 Laser 0bergangsmet all-Ionen, 291 Laser Amplitudenrausehen, 320 Laser Auskoppelspiegel, 265 Laser Auskopplung, 306 Laser Ein-Atom-, 311 Laser endgepumpter, 284 Laser Fluktuationen, 319 Laser gepulst, 323 Laser Helium-Neon-, 258

Sachverzeichnis Laser Hochleistung, 332 Laser Linienbreite, 266 Laser Linienselektion, 261 Laser Mono-Mode-, 263 Laser natiirliche, 255 Laser Ratengleichungen, 306 Laser RIN, 320 Laser Schwelle, 305 Laser schwellenlos, 310 Laser Spiking, 308 Laser Theorie, 299 Laser Thin Disc, 289 Laser Verstiirkungsprofil, 263 Laser vibronisch, 290 Laser Ytterbium, 289 Laser-Granulation, 217 Laser-Speckel, 217 Lasergyro, 196 Laserkiihlung, 430 Laserrauschen, 314 Laserspektroskopie, 407 Lawinen-Photodioden, 401 LC-Modulatoren, 141 Licht-Mat erie-Wechselwirkung, 445 Lichtausbreitung in Materie, 85 Lichtfeld, nicht-klassisch, 472 Lichtgeschwindigkeit, 41 Lichtgeschwindigkeit, Naturkonstante, 42 Lichtkr~fte, 430 Lichtpulse, 119 Lichtpulse, Spektrum, 121 Lichtpulse, Verzerrung, 125 Lichtsensoren, 375 Lichtstrahlen, aui3erordentliche, 132 Lichtwellenleiter, 96 LIF, Laserinduzierte Fluoreszenz, 407 Linienbreite, 410 Linienbreite, lJberlagerungsverfahren, 268 Linienbreite, Doppler-, 412 Linienbreite, Druck-Verbreiterung, 414 Linienbreite, Durchflugsverbreit erung, 416 Linienbreite, homogen, 412 Linienbreite, inhomogen, 413 Linienbreite, natfirliche, 411 Linienbreite, Phasormodell, 317 Linienbreite, Scanning Fabry-Perot, 267 Linienform, 410

Sachverzeichnis Linse achromatische, 175 Linse Beugungslimit, 54 Linse bikonvex, 168 Linse dfinne, 24 Linse dicke, 24 Linse magnetische, 30 Linse Meniskus-, 169 Linse plankonvex, 167 Linsen, 17 Linsen, Bauformen, 167 Linsen, GRIN-, 17, 28 Linsenfehler, 167 Linsengleichung, 151 Linsenmatrix, 24 Linsensysteme, 25 Linsensysteme, afokale, 26 Linsensysteme, periodische, 26 Lochbrennen, 418 Lock-In-Verst~rker, 441 longitudinale Relaxation, 240 Lorentz-Feld, 231 Lorentz-Kurve, 223 Lorentz-Oszillator, im Magnetfeld, 226 Lorentz-Oszillatoren, 222 LP-Moden, 103 Luftspiegelung, 7 Lumen, 405 Lupe, 153 LWLs, 96 Lyot-Filter, 136 M2-Faktor, 370 Mach-Zehnder-Interferometer, 194 Maser, 255 Maser, natiirliche, 255 Materialdispersionsparameter, 125 Materiewellen, 186 Matrix, Linse, 24 Matrizenoptik, 20 Matrizenoptik, Konventionen, 22 Maxwell-Gleichungen, 40, 41 Maxwell-Lorent z-Gleichungen, 40 MefJgrSBen, optoelektrisch, 381 Meter, Definition, 42 Michelson-Int erferomet er, 190 Mikrokanalplatten, 396 Mikrolaser, 310 Mikroskop, Abbe-Theorie, 158 Mikroskop, AuflSsungsvermSgen, 156

565 Mikroskope, 155 Mikroskopie, konfokal, 160 Mikroskopie, Nahfeld-, 161 Mischprodukte optischer Felder, 496 Miser, 285 mode pulling, 263, 304 Modenanpassung, 204 Modendispersion, 105 Modenkopplung, 325 Modenkopplung, KLM, 329 Modulatoren, r~iumlich, 142 Mono-Mode-Fasern, 106 Monochromatoren, 190 MOPA, 372 MOS-Kondensator, 402 MOT, magnetooptische Falle, 436 Negative Temperatur, 248 Neigungsfaktor, 66 Neodym-Laser, 283 Neodym-Laser, frequenzverdoppelt, 285 Newton-Gleichung, 33 Nichtlineare Optik, Kristallsymmetrien, 497 Nichtlineare Polarisation, 496 Nichtlineare SchrSdingergleichung, 129, 530 Numerische Apertur, 157 Numerische Apertur, Faser, 15 Oberfl~ichen-Plasmonen, 148 Offene Quantensysteme, 456 Okular, 154 OPO, 519 Optical Tweezer, 439 Optisch Kontaktieren, 136 Optische Abbildungen, 151 Optische Achse, 130 Optische Blochgleichungen, 236, 240 Optische Dioden, 146 Optische Fouriertransformation, 72 Optische Gitter, 187 Optische Isolatoren, 146 Optische Lithographie, 159 Optische Modulatoren, 138 Optische Pinzette, 439 Optische Prismen, 10 Optische Resonatoren, 203 Optische Resonatoren, D~impfung, 203

566

Resonatoren, konfokal, 207 Resonatoren, Mikro-, 208 Resonatoren, Moden, 204 Resonatoren, Resonanzfrequenzen, 205 Optische Resonatoren, symmetrisch, 206 Optische Spektral-Analyse, 267 Optische Spektren, 462 optische Verst~irkung, 250 Optischer Resonator, Ankopplung, 200 Optisches Pumpen, 226, 234 Oszillator, Spektrum, 464 Oszillatorst~rke, 232 Optische Optische Optische Optische

Parabolspiegel, 19 Parametrische Fluoreszenz, 480 Parametrischer Oszillator, 519 Paraxiale N~iherung, 21 paraxiale N~herung, 21 PBG, 111 PCF, 117 periodisch gepolte Materialien, 515 Phasenanpassung, 507 Phasenanpassung, Temperatur-, 510 Phasenanpassung, Typ I,II, 508 Phasenanpassung, unkritisch, 510 Phasendiffusionsmodell, 317 Phasenempfindliche Gleichrichtung, 441 Phasengeschwindigkeit, 41, 43, 123 Phasenkonjugation, 532 Phasenmodulation, 139 Phasenrauschen, 314 Phasormodell, 317 Photodioden, 399 Photodioden, Betriebsarten, 400 Photodioden, photovoltaisch, 400 Photodioden, Vorspannung, 400 Photokondensator, 402 Photon, 446 Photonen-Echo, 426 Photonen-Riickstoi], 430 Photonenstatistik, 383 Photonenzahlverteilung, 476 Photonische Kristalle, 108 Photonische Kristallfasern, 117 Photonische Materialien, 107 Photorefraktion, 289 Pi-Pulse, 239, 424 pin-Dioden, 400

Sachverzeichnis

Plasmafrequenz, metallische, 92 Pockels-Effekt, 138 Pockelszelle, 325 Poincar~-Kugel, 61 Point Spread Function, 165 Poissonscher Fleck, 78 Polarisation, 59 Polarisationsfolie, 63 Polarisationsverschr~nkung, 488 Polarisatoren, 137 Polarisierung, dielektrische, 36 Polarisierung, makroskopische, 36, 240 Polarisierung, mikroskopische, 241 Poynting-Vektor, 44 PPLN, 516 Pr~izisionsmessungen, 423 Prisma, minimaler Ablenkwinkel, 10 Propagationskonst ant e, 97 Pseudo-Spin-System, 235 Pseudo-thermisches Licht, 476 Pulsausbreitung, 119 Pulsformen, 121 Pulsl~ingen-Bandbreite-Produkt, 122 Pulsverformung, 123 Q-Switch, 323 Q-Wert, 411 Quadranten-Detektoren, 401 Quadratisches Indexmedium, 103 Quadraturen, 447 Quanten-Sensoren, 376 Quantendr~i~hte, 359 Quanteneffizienz, 377 Quantenelektrodynamik, QED, 222 Quantenelektronik, 221, 222 Quantenfluktuationen, 465 Quantenoptik, 221 Quantenpunkte, 359 Quantum Beats, 428 Quantum Wells, 357 Quasi-Phasenanpassung, 515 Querged~npfte Welle, 90 r~iumliche Filterung, 58 Rabi-Aufspaltung, 460 Rabi-Frequenz, 237 Rabi-Nutation, 238 Ramsey-Spektroskopie, 441 Raumfilter, 58

Sachverzeichnis Rauschamplitude, 541 Rauscheigenschaften von MefigrSt3en, 539 Rayleigh-Streuung, 467 Rayleighzone, 50 Referenz-Stern, 166 Reflektivit~t, 89 Reflexion, dielektrisch, 86 Reflexion, metallische, 94 Reflexionskoeffizient, 88 Relativitatstheorie, 41 Relaxation, longitudinal, 240 Relaxation, transversal, 240 Relaxationsoszillationen, 308 Repopulations-Pumpen, 421 Residual Intensity Noise, RIN, 320 Resonanzfluoreszenz, 461 Resonator, instabil, 220 Resonator, konfokal, 33 Resonatorfeld, D~mpfung, 300 Retroreflektor, 9 Rubin-Laser, 278 Rydberg-Konstante, 422 s~ittigbarer Absorber, 329 S~ttigungsintensit~it, 242 S~ttigungsparameter, 241 S~ttigungsspektroskopie, 418 Sattigungsspektroskopie, am Cs/RbDampf, 419 Sagnac-Interferometer, 195 Scanning Nearfield Optical Microsopy, 161 Sch~fentiefe, 159 Schawlow-Townes-Linienbreite, 266, 321, 362 Schmidt-Spiegel, 171 Schottky-Formel, 543 Schrotrauschen, 543 schwarzer K6rper, 245 Sehentfernung, standardisierte, 153 Seidel-Aberrationen, 169 Selbstfokussierung, 528 Selbstphasenmodulation, 536 Seltene-Erd-Ionen, 280 semiklassisch, 222 Sensoren, Empfindlichkeit, 376 Sensoren, optische, 375 Sensoren, Quanteneffizienz, 377 Skineffekt, anomal, 93

567 Skineffekt, normal, 94 Slablaser, 284 SLM, Fliissigkristall-, 142 SLMs, 142 Slowly Varying Envelope Approximation, 127 Snellius-Gesetz, 4 SNOM, 161 Solitonen, optische, 127 Solitonen, raumlich, 530 Spannungsrauschen, 542 Speckelmuster, 217 Spektrale Leistungsdichte, 541 Spektroskopie, Doppler-freie, 417 Spontane Emission, 446 spontane Emission, 245 Spontane Emission, Rate, 247 Spontane Emission, Unterdriickung, 454 Spot-Diagramm, 168 Stabilit~tsdiagramm, 27, 28 Stabilit ~tskrit erium, 28 Starke Kopplung, 241, 457 stimulierte Absorption, 244 stimulierte Emission, 244 Stokes-Faktor, 66 Stokes-Matrizen, 60, 61 Stokes-Parameter, 60, 61 Strahlteiler, 183 Strahlungsformel, 245 strained quantum well-Laser, 358 Stromrauschen, 542 Stufenfaser, HE/EH-Moden, 103 Stufenfaser, LP-Moden, 103 Stufenfaser, TE/TM-Moden, 102 Stufenfasern, 97 Super-Kontinuum, 333 Superpositionsprinzip, 40, 179 SVEA, 127 TE/TM-Moden, 102 Teilchenoptik, 28 Teleskop, AuflSsung, 163 Teleskop, Galilei-, 162 Teleskop, Hubble-Space-, 165 Teleskop, Schmidt-Spiegel, 164 Teleskop, VergrS~erung, 164 Teleskope, 162 Tiefensch~rfe, 159 Totalreflexion, 90

568 Totalreflexion, frustrierte, 91 Transiente Ph~inomene, 424 Transmission, 89 Transmissionskoeffizient, 88 transversale Relaxation, 240 Tripelspiegel, 9 Tyndall-Effekt, 48 V-Parameter, 99 Vakuum-Rabifrequenz, 451 VCSEL, 368 Verdet-Konstante, 146 Verst~kerrauschen, 381 Verst~kung, ges~ttigt, 263 Verst ~rkungsrauschen, 381 VerzSgerungsplatten, 134 VerzSgerungsplatten nullter Ordnung, 136 Verzeichnung, 173 Video-Projektor, 143 Vielstrahl-Interferenz, 197 Vier-Niveau-System, 248 Vierwellenmischung, 525 Visibilitat, 182 walk-off, 133 Wasserstoff-Atom, Spektroskopie, 422 Wavemeter, 193 WeiBlicht-Laser, 333 Weisskopf-Wigner Theorie, 453

Sachverzeichnis Welle, evaneszent, 90 Welle, quergedampft, 90 Wellen, Dipol-, 46 Wellen, eben, 45 Wellen, Kugel-, 46 Wellenfront-Sensoren, 81 Wellenfrontumkehr, 532 Wellengleichung, 41 Wellengleichung, ffir Stufenfasern, 97 Wellengleichung, mit Leitf~higkeit, 93 Wellenleiter Absorption, 105 Wellenleiter Mono-Mode-, 106 Wellenleiter planare, 96 Wellenleiter polarisationserhaltend, 107 Wellenleiter schwach ffihrend, 98 Wellenleiter V-Parameter, 99 Wellenpakete, 428 Wiener-Khint chin-Theorem, 543 Wiener-Khint chine-Theorem, 463 Winkelanpassung, 508 Wirtskristalle, 278 Zahl-Zustand, 473 Zustandsdichte, 548 Zwei-Niveau-Atom, 234 Zwei-Niveau-Systeme, 233 Zweiphot onen-Spekt roskopie, 421 Zweiwellen-Polarisation, 498