Optik, Licht und Laser, 3. Auflage

Dieter Meschede Optik, Licht und Laser

Dieter Meschede

Optik, Licht und Laser 3., durchgesehene Auflage STUDIUM

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Prof. Dr. rer. nat. Dieter Meschede Studium in Hannover, Köln, Boulder, Co (USA) und München von 1973 bis 1984. Postdoc und Assistant Professor an der Yale University, New Haven, Ct (USA) von 1984 bis 1987. Von 1988 bis 1990 Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Quantenoptik in Garching. Professor für Experimentalphysik in Hannover von 1990 bis 1994 und seit 1994 in Bonn.

1. Auflage 1999 2. Auflage 2005 3., durchgesehene Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0143-2

Vorwort

z u r 2. u n d 3. A u f l a g e

Die Optik spielt eine wachsende Rolle im Lehrplan naturwissenschaftlicher F~cher. Diese Entwicklung geht nicht zuletzt auf die zunehmende technologische Bedeutung der Photonik zurfick. Manche sagen, mit dem 21. Jahrhundert breche die Zeit des Photons nach der Zeit des Elektrons an. Urn Licht als Sensor ffir MefSgrSt3en, als Tr~ger zur 0bermittlung von Nachrichten und vieles anderes nutzbar zu machen, mut3 man seine Eigenschaften verstanden haben und kontrollieren k6nnen. Auch die neuesten Erkenntnisse und AnwendungsmSglichkeitenfut3en auf den seit mehr als 200 Jahren entwickelten Konzepten der Optik. Dieser Text schl~igt einen Bogen yon der Strahlenoptik fiber die Wellenoptik bis hin zur Optik mit einzelnen Photonen. Natfirlich wird dem Laser, der 1960 die noch immer anhaltende revolution~tre Entwicklung der Optik angestot3en hat, breiter Raum gewidmet. Im naturwissenschaftlichen Studium soll dieser Text ein kompakter Begleiter auf dem Weg zur modernen Optik sein: Angebote zur klassischen Optik, Laserphysik, Laserspektroskopie, Nichtlinearen Optik, Angewandten Optik und Photonik kSnnen davon profitieren. Im Vordergrund stehen Konzepte, die zum vertieften Studium in der Spezialliteratur anregen sollen. Der Leser finder erg~nzende Informationen im Internet unter der Adresse: www.uni-bonn.de/iap/OLL Dozenten und andere Vortragende kSnnen sich dort die meisten Abbildungen des Buches ffir den Einsatz in der Lehre besorgen. Sechs Jahre nach dem ersten Erscheinen ist die 2. Auflage an vielen Stellen fiber die erste hinausgewachsen: Es gibt zu jedem Kapitel Aufgaben, die in verschiedener Intensit~t zum Nachdenken fiber den Stoff anregen sollen. Ein neues Kapitel vermittelt erste Begriffe und Konzepte aus der Quantenoptik und zahlreiche neue Abschnitte, z.B. fiber photonische Materialien, nehmen aktuelle und sehr erfolgreiche Entwicklungen der Optik auf. Schon die erste Auflage ist sehr wohlwollend aufgenommen worden. Ich bedanke mich fiir die zahlreichen Anregungen und Kommentare, die alle in diese Auflage eingeflossen sind. Bficher zu einem aktuellen Thema kSnnen gar nicht fertig werden, sie sind aber ein grot]es Privileg kontinuierlichen Lernens. Auch eine Neuauflage kostet viel Vorbereitung, ffir die daffir gezeigte Geduld danke ich meiner Familie. Bonn, im Oktober 2005 und im August 2008

1

Lichtstrahlen

1.1

L i c h t s t r a h l e n in m e n s c h l i c h e r E r f a h r u n g

1.2

Strahlenoptik

1.3

1 ............

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Reflexion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Brechung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Fermatsches Prinzip

1.6

Prismen

1.7

L i c h t s t r a h l e n in G l a s f a s e r n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.8

Linsen und Hohlspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.9

Matrizenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.10

Strahlenoptik und Teilchenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2

Wellenoptik

35

2.1

Elektromagnetische Strahlungsfelder

. . . . . . . . . . . . . .

35

2.2

Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3

Gau~Strahlen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4

Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.5

Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3

Lichtausbreitung in Materie

85

3.1

D i e l e k t r i s c h e Grenzfl~ichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.2

Komplexe Brechzahl

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.3

Lichtwellenleiter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

3.4

Funktionstypen von Fasern

3.5

Photonische Materialien

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

VHI

Inhalt

3.6

L i c h t p u l s e in d i s p e r s i v e n M a t e r i a l i e n

. . . . . . . . . . . . . .

119

3.7

Anisotrope optische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

3.8

Optische Modulatoren

138

4

Abbildungen

4.1

Das menschliche Auge

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

4.2

Lupen und Okulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

4.3

Mikroskope

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

4.4

Teleskope

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

4.5

Linsen: Bauformen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

5

Koh~irenz und Interferometrie

179

5.1

Youngs Doppelspalt

179

5.2

Koh~irenz u n d K o r r e l a t i o n

5.3

Der Doppelspaltversuch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

5.4

Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

5.5

Fabry-Perot-Interferometer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

5.6

Optische Rescnatoren

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

5.7

Diinne optische Schichten

5.8

Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

5.9

Speckelmuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

6

Licht und Materie

221

6.1

Klassiscl7 e S t r a h l u n g s w e c h s e l w i r k u n g

6.2

Zwei-Niveau-Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

6.3

Stimulierte und spontane StIahlungsprczesse ..........

244

6.4

Inversion und Verstarkung

248

7

Laser

255

7.1

Die Klassiker: Helium-Neon-Laser . . . . . . . . . . . . . . . .

258

7.2

Andere Gaslaser

269

7.3

Die Aibeitspferde: FestkSrper-Laser . . . . . . . . . . . . . . .

278

7.4

Ausgew~ihlte FestkSrperlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

282

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

222

Inhalt

IX

7.5

L a s e r m i t v i b r o n i s c h e n Zust~inden . . . . . . . . . . . . . . . .

290

7.6

Durchstimmbare Ringlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

8

LaserdynAmik

299

8.1

Grundzfige einer Lasertheorie

8.2

Laser-Ratengleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

8.3

Schwellenlose L a s e r u n d M i k r o l a s e r . . . . . . . . . . . . . . .

310

8.4

Laserrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

8.5

Gepulste Laser

323

9

Halbleiter-Laser

337

9.1

Halbleiter

337

9.2

Optische

9.3

Heterostruktur-Laser

9.4

Dynamische

Eigenschaften

yon

9.5

Laserdioden

- Diodenlaser

- Lasersysteme

9.6

Hochleistungs-Laserdioden

10

Sensoren f'dr Licht

375

10.1

KenngrS~en optischer Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . .

376

10.2

Schwankungen

381

10.3

Photonenrauschen

10.4

Thermische

10.5

Quantensensoren

I: Photomultiplier

10.6

Quantensensoren

II: Halbleitersensoren

10.7

Positions-

11

Laserspektroskopie

11.1

Laserinduzierte Fluoreszenz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

11.2

Absorption und Dispersion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

408

11.3

Spektrallinien: Form und Breite . . . . . . . . . . . . . . . . .

410

11.4

Doppler-freie Spektroskopie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

417

11.5

Transiente Ph~i~omene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften

von

Halbleitern

340

.......................

und

350

Halbleiter-Lasern

.......

...........

....................

optoelektrischer

Mei3grSfien

Nachweisgrenzen

Detektoren

und

.............

........... ............

.....................

Bildsensoren

............... .............

...................

360 367 370

383 389 391 396 401

407

X

Inhalt

11.6

Lichtkr~ifte

12

Grundziige der Quantenoptik

445

12.1

H a t das Licht Q u a n t e n c h a r a k t e r ? . . . . . . . . . . . . . . . .

445

12.2

Q u a n t i s i e r u n g des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Feldes . . . . . . . . .

447

12.3

S p o n t a n e Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

450

12.4

Schwache K o p p l u n g u n d starke K o p p l u n g

457

12.5

R es o n a nz f l uor e s zenz

12.6

Lichtfelder in der Q u a n t e n o p t i k . . . . . . . . . . . . . . . . .

469

12.7

Zwei-Photonen-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

479

12.8

Verschr~inkte P h o t o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

484

13

Nichtlineare Optik I: Optische Mischprozesse

493

13.1

A n h a r m o n i s c h e geladene Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . .

493

13.2

Nichtlineare Suszeptibilit~it 2. O r d n u n g . . . . . . . . . . . . .

495

13.3

W e l l e n a u s b r e i t u n g in n i c h t l i n e a r e n Medi en . . . . . . . . . . .

501

13.4

Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

504

13.5

S u m m e n - u n d Differenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . .

517

14

Nichtlineare Optik II: Vierwellenmischung

525

14.1

F r e q u e n z v e r d r e i f a c h u n g in G a s e n

526

14.2

Nichtlineare B r e c h z a h l - d e r optische K e r r - E f f e k t . . . . . . .

527

14.3

Selbstphasenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

536

A

Mathematik f'tir die Optik

539

A.1

S p e k t r a l z e r l e g u n g s c h w a n k e n d e r MefigrSflen . . . . . . . . . .

539

A.2

Poynting-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

545

B

Erg~inzungen zur Quantemnechanik

546

B.1

Zeitliche E n t w i c k l u n g eines Z w e i z u s t a n d s s y s t e m s

B.2

Dichtematrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

547

B.3

Zustandsdichten

548

Literaturverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

................

.......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

430

461

546

551

Inhalt Sachverzeichnis

XI

561

1

Lichtstrahlen

1.1

Lichtstrahlen in menschlicher Erf hrung

Die Entstehung eines Bildes geh5rt zu den faszinierenden sinnlichen Erfahrungen eines Menschen. Schon im Altertum wurde erkannt, dai~ unser ,,Sehen" von sich geradlinig ausbreitenden Lichtstrahlen getragen wird, denn jedermann kannte die scharfen Schatten beleuchteter Objekte. Allerdings kann die geradlinige Ausbreitung durch bestimmte optische Elemente auch beeinfluBt werden, zum Beispiel durch Spiegel und Linsen. Das Wissen fiber die geometrische Optik ffihrte nach den Erfolgen von Tycho Brahe (1546 - 1601) zur konsequenten Konstruktion von VergrSi3erungsgl~isern, Mikroskopen und Fernrohren. Alle diese Instrumente dienen als Sehhilfe. Durch ihre Unterstfitzung wurden uns ,,Einsichten" vermittelt, die in besonderer Weise zu unserem naturwissenschaftlichen Weltbild beigetragen haben, weil sie uns Beobachtungen sowohl in der Welt des Mikrokosmos als auch des Makrokosmos ermSglicht haben. So ist es gar nicht sehr verwunderlich, dab die Begriffe und Konzepte der Optik in viele Bereiche naturwissenschaftlichen Erkennens eingedrungen sind. Selbst ein so riesenhaftes Instrument wie der neue LHC-Teilchenbeschleuniger in Genf ist im Grunde nichts weiter als ein zugegebenermafien sehr aufwendiges Mikroskop, mit welchem wir die Welt der Elementarteilchen auf einer subnuklearen Langenskala beobachten wollen. Geistesgeschichtlich ebenso bedeutsam ist vielleicht die wellentheoretische Beschreibung der Optik, die bei der Entwicklung der Quantenmechanik Pate gestanden hat. In unserer menschlichen Erfahrung steht die geradlinige Ausbreitung von Lichtstrahlen - - in einem homogenen Medium - - im Vordergrund. Allerdings gehSrt es eher zur neueren Erkenntnis, daf~ unsere F~ihigkeit, Bilder zu schauen, durch eine optische Abbildung im Auge verursacht wird. Immerhin kSnnen wir die Entstehung eines Bildes schon mit den Grunds~tzen der Strahlenoptik verstehen. Deshalb soll am Beginn dieses Lehrbuches fiber Optik und Licht ein Kapitel fiber Strahlenoptik stehen.

1 Lichtstrahlen

2

1.2

Straldenoptik

Wenn sich Lichtstrahlen in einem homogenen Medium allseitig und kugelfSrmig ausbreiten, dann stellen wit uns im allgemeinen eine idealisierte, punktfSrmig und isotrop leuchtende Quelle als ihren Ursprung vor. GewShnliche Lichtquellen erfiillen jedoch keines dieser Kriterien, erst in sehr grofier Entfernung vom Beobachter (im ,,Unendlichen") kann man mit einer Blende ein nahezu paralleles Strahlenbfindel herausschneiden. Bei einer gewShnlichen Lichtquelle muff man daher einen Kompromifi zwischen Intensit~t und Parallelit~t eingehen, um einen Strahl geringer Divergenz zu erzielen. Optische Demonstrationsexperimente werden aber heutzutage fast immer mit Laserlichtquellen betrieben, die dem Experimentator einen nahezu perfekt parallelen, intensiven Lichtstrahl bieten. Wenn die Strahlen eines Bfindels nur kleine Winkel mit einer gemeinsamen optischen Achse bilden, kann man in der sogenannten ,,paraxialen N~iherung" die rechnerische Behandlung der Ausbreitung des Strahlenbiindels durch Linearisierung sehr vereinfachen. Diese Situation trifft man in der Optik so h~iufig an, dab man darfiber hinaus gehende Eigenschaften z.B. einer diinnen Linse als ,,Fehler" bezeichnet.

Abb. 1.1 Lichtstrahlen.

1.3

Die Ausbreitungsrichtung von Lichtstrahlen wird durch Brechung und Reflexion ge~ndert. Sie werden verursacht durch metallische und dielektrisehe Grenzfl~ichen. Die Strahlenoptik beschreibt ihre Wirkung durch einfache ph~nomenologische Gesetze.

Reflexion

Reflexion oder Spiegelung von Lichtstrahlen beobachten wir nicht nur an glatten metallischen Fl~ichen, sondern auch an Glasscheiben und anderen dielektrischen Grenzfl~ichen. Moderne Spiegel haben viele Bauformen: In der Alltagswelt bestehen sie meistens aus einer diinn mit Aluminium bedampften Glasscheibe; wenn aber Laserlicht verwendet wird, kommen h~iufiger dielektri-

1.4 Brechung

3

sche Vielschichtenspiegel zum Einsatz, die wir im Kapitel fiber Interferometrie (Kap. 5) ausffihrlicher behandeln werden. Ffir die Strahlenoptik spielt die Bauform aber keine Rolle.

1.3.1

Ebene Spiegel

Wir wissen intuitiv, daft an einem ebenen Spiegel wie in Abb. 1.2 der Einfallswinkel 01 identisch ist mit dem Ausfallswinkel 02 des reflektierten Strahls,

01 =

02

,

(i.l)

und dab einfallender und reflektierter Strahl mit der Flichennormalen in einer Ebene liegen. Erst die Wellenoptik gibt uns eine strengere Begrfindung ffir die Gesetze der Spiegelung. Dabei werden auch Einzelheiten wie z.B. die Intensititsverh~iltnisse bei der dielektrischen Reflexion (Abb. 1.3) erklirt, die sich mit den Mitteln der Strahlenoptik nicht ableiten lassen.

1.4

Abb. 1.2 Reflexion am ebenen Spiegel: Die Ebene mit einfallendem und reflektiertem Strahl steht senkrecht auf der Spiegelfliiche.

Brech-ng

An einer ebenen dielektrischen Fl~che wie zum Beispiel einer Glasscheibe finden Reflexion und Transmission gleichzeitig statt. Der transmittierte Teil des einfallenden Lichtstrahls wird dabei ,,gebrochen". Seine Richtungs~nderung kann mit einer einzigen physikalischen Gr6fie, dem ,Brechungsindex" (auch: der Brechzahl, engl. refractive index), beschrieben werden. Er ist in einem optisch ,dichteren" Medium grSfier als in einem ,dfinneren". In der Strahlenoptik reicht die pauschale Beschreibung mit diesen GrSi3en schon vSllig aus, um die Wirkung wichtiger optischer Komponen- Abb. 1.3 Breehung und Reflexion ten zu verstehen. Die Brechzahl spielt aber auch an einer dielektrischen Fl~iche. eine Schlfisselrolle beim Zusammenhang mikroskopischer physikalischer Eigenschaften von dielektrischen KSrpern und ihrer

4

1 Lichtstrahlen

Wirkung auf die Ausbreitung makroskopischer optischer Wellen. Diese Wechselwirkung wird im Kapitel fiber Licht und Materie (Kap. 6) nAher beschrieben.

1.4.1

Brechungsgesetz

Beim Llbergang von einem optischen Medium ,,1" mit Brechungsindex nl in ein Medium ,2" mit n2 (Abb. 1.3) gilt das Brechungsgesetz des Snellius (Willebrord Snell, 1580-1626), nl sin 81 = n2 sin 82

,

(1.2)

wobei mit 01,2 der Einfalls- und Ausfallswinkel an der Grenzflache bezeichnet werden. Eigentlich ist es etwas ktinstlich, zwei absolute, materialspezifische Brechungsindizes festzulegen, denn nach Gleichung (1.2) wird zun~Lchst nur deren Verh~ltnis n12 = nl/n2 bestimmt. Wenn wir aber den Ubergang von ,, 1" in ein drittes Material ,3" mit n13 betrachten, stellen wir lest, dab wir dann wegen n23 n21n13 auch die Brechungseigenschaften des Ubergangs von ,,2" nach ,,3" kennen. Diesen Zusammenhang kSnnen wir z.B. begrfinden, indem wir zwischen ,, 1" und ,, 2" ein dfinnes Blatt des Materials ,,3" einffigen. Wenn wir noch festlegen - und im Rahmen der Wellenoptik genauer begrfinden -, daft das Vakuum den Brechungsindex nv~ = 1 erh~lt, sind ffir alle dielektrischen Materialien spezifische und absolute Werte festgelegt. =

In Tab. 1.1 auf S. 11 haben wir physikalische Eigenschaften einiger ausgew~hlter Gl~ser zusammengestellt. Die Brechzahl liegt ffir die meisten Gl~Lser in der N~he von ncl~ = 1, 5. Unter gewShnlichen atmosph~rischen Bedingungen variiert der Brechungsindex von Luft zwischen 1,00002 und 1,00005. Er kann daher mit nLuft = 1 ffir die Brecheigenschaften der wichtigsten optischen Grenzfl~Lche, des Glas-Luft-Ubergangs, ffir die Zwecke der Strahlenoptik hinreichend genau beschrieben werden. Geringe Abweichungen und Variationen des Brechungsindexes von Luft spielen aber bei alltaglichen optischen Ph~Lnomenen in der Atmosphere ein wichtige Rolle (s. Beispiel Luftspiegelung S. 7).

1.4.2

Totalreflexion

Nach dem Snelliusgesetz kann an einer Grenzfl~che yon einem dichteren Medium ,,1" zu einem dfinneren ,2" (nl > n2) die Bedingung Gl.(1.2) nur ffir kleinere Winkel als den kritischen Wert 8c erffillt werden, 0 < 0c -- sin -1 n2/nl

(1.3)

F fir 8 > 8~ wird die einfallende Intensit~Lt an der GrenzflAche vollst~Lndig reflektiert. Wir werden aber im Kapitel fiber Wellenoptik sehen, daft das Licht auch dann noch etwa eine Wellenl~i~lge weit mit der sogenannten ,,evaneszen-

1.5 FermatschesPrinzip

5

ten" Welle in das diinnere Medium eindringt, und daft der Spiegelpunkt nicht genau auf der Grenzfl~che liegt (Abb. 1.4). Das Auftreten der evaneszenten Welle ermSglicht die Anwendung der sogenannten ,frustrierten" Totalreflexion z.B. zum Bau von Polarisatoren (Kap. 3.7.4).

1.5 Fermatsches Prinzip: Die optische Weglfinge Solange sich Lichtstrahlen in einem homogenen Medium ausbreiten, scheinen sie dem kiirzesten geometrischen Weg von einer Quelle zu einem Punkt zu folgen und damit diesen Weg in der kiirzest mSglichen Zeit zurfickzulegen. Wenn auf dem Weg Brechung stattfindet, dann bewegt sich der Lichtstrahl aber ebenso offensichtlich nicht mehr auf dem geometrisch kiirzesten Weg.

Abb. 1.4 Totalreflexion an einer dielektrischen Fl~iche, kritischer Winkel 0r Der Reflexionspunkt der Strahlen liegt nicht genau auf, sondern etwas jenseits der Grenzfldche (Goos-Hdnchen-Effekt [62, 1~0]).

Der franzSsische Mathematiker Pierre de Fermat (1601-1665) postulierte schon 1658, daft auch in diesem Fall der Lichtstrahl noch einem M i n i m a l p r i n z i p gehorcht und sich stets auf dem zeitlich kiirzesten Weg von einer Quelle zu einem anderen Punkt ausbreitet. Zur Erl~uterung dieses Prinzips kann man sich keinen Berufeneren als den amerikanischen Physiker Richard P. Feynman (1918-1988) vorstellen, der Fermats Prinzip auch auf andere physikalische Ph~nomene verallgemeinert hat [55]. Es lafit sich an einem menschlichen Beispiel veranschaulichen: Man stelle sich vor, dab Romeo am Ufer eines gem~chlich fliefienden Stromes in einiger Entfernung seine g..rofieLiebe Julia entdeckt, die im Wasser um ihr Leben k~mpft. Er rennt ohne Uberlegung geradewegs auf das Ziel los - - und h~tte doch wertvolle Zeit sparen kSnnen, wenn er den grSfieren Teil der Strecke an Land zuriickgelegt hatte, wo man eine deutlich hShere Geschwindigkeit als im Wasser erreicht. Wir kSnnen diese 0berlegung auch etwas formaler anstellen, indem wir die ben5tigte Zeit vom Beobachtungspunkt zu der Ertrinkenden als Funktion der geometrischen Wegl~nge bestimmen. Dabei stellt man fest, daft die kfirzeste Zeit genau dann erreicht wird, wenn ein an der Wasser-Land-Grenze gebrochener Weg gew~hlt wird. Er erffillt das Brechungsgesetz Gl.(1.2) genau dann,

6

1 Lichtstrahlen

wenn wir die Brechungsindizes nl und n2 durch die inversen Geschwindigkeiten zu Wasser und zu Lande ersetzen, d.h. r/, I

V2

n2

Vl

Nach dem Minimalprinzip von Fermat mut3 man fordern: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in einem Dielektrikum c~ wird im Vergleich zur Vakuumgeschwindigkeit c um den Brechungsindex n reduziert: Cn ~ c / n

Die optische Wegldnge entlang einer Trajektorie C, auf welcher der Brechungsindex n vom Ort r abh~ingt, kSnnen wir nun ganz allgemein definieren nach Z:opt--c~

c/dsr)

_ fcn(r)d s

(1.4)

Mit dem Tangenteneinheitsvektor e~ wird das Wegelement ds = et 9 dr entlang des Lichtwegs berechnet.

Beispiel: Fermatsches Prinzip und Brechung Als ein Beispiel ffir die Verwendung des Extremalprinzips wollen wir noch einmal die Brechung an einer dielektrischen Oberfl~che betrachten und variieren dazu die L~inge des optischen Weges zwischen den Punkten A und B in Abb. 1.5 (rAo:Vektor von A nach O etc., e: Einheitsvektoren), ~opt ---- n l e l 9rAO H- n2e2 9rOB Wenn der Weg minimal sein soll, darf sich die Wegl~nge bei beliebigen kleinen Modifikationen 6r ~ nicht ~ndern, d ~ o p t ---- (nlel - n2e2) 96r' ----0

Abb. 1.5 Das Fermatsche Prinzip und Brechung an einer dielektrischen Oberfliiche.

Richtungs~nderungen treten nur bei Variatiohen 6r I entlang der Oberfl~che mit der Fl~ichennormalen N auf, 6r' ---- N x 6 r , denn ansonsten propagiert das Licht geradlinig in homogenen Umgebungen.

Wir nutzen die Vertauschbarkeit des Spatprodukts, ( n l e l - n u e 2 ) . 6r' = ( n l e l n2e2). ( N • = ((hie1- n2e2)• 6r, und finden minimale Variation fiir (nlel - n2e2) x N = 0 Wie man leicht nachrechnet, reproduziert die vektorielle Formulierung das Snellius-Gesetz (1.2).

1.5 Fermatsches Prinzip

1.5.1

7

Inhomogene Brechzahl

Der Brechungsindex eines K6rpers ist r~iumlich i. Allg. nicht homogen, sondern unterliegt kontinuierlichen, wenn auch geringen Schwankungen (wie das Material selbst), die die Ausbreitung von Lichtstrahlen beeinflussen: n = n(r). Solche Schwankungen beobachten wir z.B. im Flimmern der heii~en Luft fiber einer Flamme. Vom Ph~inomen der Luftspiegelung wissen wir gut, dab dabei wie an einer Glasoberfl~iche unter streifendem Einfall sogar Reflexion auftreten kann, obwohl der Brechungsindex zum hei~en Boden hin nur geringffigig abf~illt. Auch dieser Fall der Ausbreitung eines Lichtstrahls l~it3t sich in der Strahlenoptik mit Hilfe des Fermatschen Prinzips behandeln, indem wir wieder die Idee des Extremalprinzips verwenden. Der Beitrag eines Wegelements ds zur optischen Wegl~inge betr~igt d~opt = n d s = n e t . dr, wobei et = 5 r i d s den tangentialen Einheitsvektor der Trajektorie bezeichnet. Andererseits gilt im Einklang mit Gl.(1.4) dLopt -- V~opt" dr und man erh~ilt den Zusammenhang dr

net -- n~ss

und

---- V ~ o p t

n 2 ---- ( V ~ o p t )

2

,

der als Eikonalgleichung der Optik bekannt ist. Die wichtige Strahlengleichung der Optik erhalten wir, indem wir die Eikonalgleichung erneut nach dem Weg differenzierenI , ds \

(1.5)

ds/ = Vn

F fir homogene Materialien ( V n -- 0) reproduziert man ohne Schwierigkeiten aus (1.5) eine Geradengleichung.

Beispiel: Luftspiegelung Wir wollen als ein kurzes Beispiel die Reflexion an einer heiBen, bodennahen Luftschicht betrachten, die eine Verdfinnung der Luft und damit eine Verringerung der Brechzahl verursacht. (Ein weiteres Beispiel ist die Ausbreitung yon Lichtstrahlen in einer Gradienten-Lichtfaser, Kap. 1.7.3.) Wir nehmen in guter N~herung an, dat3 bei ruhiger Luft die Brechzahl mit dem Abstand y vom Boden zunimmt, z.B. n -- n0(1 - ee-~Y). Der Effekt ist klein, daher wird gewShnlich ~ << 1 gelten, w~hrend die Skalenlange c~ v o n d e r GrSi3enordnung 1Dabei verwenden wir --vz: ds

d/ds

= et 9 V

= (e~. v ) v z :

und im Folgenden

= I(vL. n

v)vz:

=

v(vL) ~ =

w ~

8

1 Lichtstrahlen

----1 m -1 ist. Wir b e t r a c h t e n Gl.(1.5) k o m p o n e n t e n w e i s e fiir r = (y(x),x) u n d finden ffir die x - K o o r d i n a t e m i t der K o n s t a n t e n C

dx = C

Abb. 1.6 Brechzahlprofil und Strahlengang bei einer Luftspiegelung. Dieses Ergebnis kSnnen wir als TeillSsung ffir die y - K o o r d i n a t e verwenden,

-~s n

=-~x

n

~

-~s-dx

n-

Oy

Die K o n s t a n t e kSnnen wir frei w~hlen, C -- 1, d e n n sie skaliert lediglich die xKoordinate. Wir erhalten wegen 2nOn/Oy = On2/Oy u n d n 2 -~ n2(1 - 2ce - ~ ) fiir ~ << 1:

d2y(x____))_ 1 0 n2(y ) = n2c(~e_~y dx 2 20y Diese Gleichung k a n n m i t e l e m e n t a r e n M e t h o d e n gelSst werden. Wir fiihren den Steigungswinkel r ein u n d schreiben das R e s u l t a t m i t a = ( a / 2 ) t a n r giinstig in der Form: Y = Y0 + _1 In [cosh 2(~(x - Xo)] ~(~-~o)>>1 ~ Y = Y0 + -2~ - ( x - x0) Bei grofien Abst~inden v o m Spiegelpunkt bei x = x0 finden wir wie erwartet geradlinige Ausbreitung. Der m a x i m a l e Winkel Cm~x = a r c t a n 2n/a, u n t e r welchem Reflexion noch m6glich ist, wird d u r c h ~ < noa(r 1/2 beschrankt. Der Beobachter n i m m t wie in Abb. 1.6 dargestellt zwei Bilder wahr, von denen eines auf d e m K o p f steht u n d d a m i t einem Spiegelbild entspricht. Die K r i i m m u n g der Lichtstrahlen n i m m t m i t d e m A b s t a n d v o m B o d e n schnell ab u n d wird deshalb fiir die ,,obere" S i c h t v e r b i n d u n g vernachlKssigt. Bei (x0,Y0) k a n n ein ,,virtueller" Spiegelpunkt definiert werden.

1.6 Prismen

1.g

Prismen

Abb. 1.7 Reflexions- oder 90~

Dieses Prisma wird zur rechtwinkligen Strahlablenkung verwendet. Es kann auch zur Konstruktion eines Retroreflektors verwendet werden, durch dessen Verschiebung eine einfache optische VerzSgerungsstrecke mit A t = 2 A i / c realisiert wird.

Die technisch wichtige rechtwinklige Reflexion wird bei Spiegelung unter einem Einfallswinkel von 0i -- 45 ~ erreicht. Dieser liegt ffir gewShnliche Gl~ser (n -~ 1,5) schon fiber d e m Winkel der Totalreflexion 0c -- sin -1 (1/1, 5) -- 42 ~ GlasPrismen sind deshalb h~iufig verwendete, einfache optische Elemente, die zur Strahlsteuerung verwendet werden. Kompliziertere Prismen werden in zahlreichen Varianten ffir Mehrfachreflexionen realisiert, bei denen sie wegen der geringeren Verluste u n d der k o m p a k t e n u n d robusten Bauform gegenfiber den entsprechenden Spiegelkombinationen Vorteile aufweisen. Zu den h~ufig b e n u t z t e n Bauformen z~hlen das Porro-Prisma u n d der Retroreflektor aus Abb. 1.8 (andere Bezeichnungen sind ,,Katzenauge" oder ,,Tripelspiegel" u n d engl. c o r n e r cube reflector). Das Porro-Prisma u n d seine Varianten werden zum Beispiel in Ferngl~sern verwendet, u m aufrechte Bilder zu erzeugen. Der Retroreflektor spielt eine wichtige Rolle nicht nur in der optischen LangenmeBtechnik u n d Interferometrie, sondern verhilft - in Kunststoff gegossen - auch den Sicherheitsreflektoren an Fahrzeugen zu ihrer Funktion.

Abb. 1.8 Das Porro-Prisma wird aus zwei rechtwinkligen Prismen kombiniert, mit dehen die Bildebene eines Objekts so rotiert wird, daft man in Kombination mit einer Linsenabbildung ein aufrechtes Bild erhdIt. Der Retroreflektor wirft jeden Lichtstrahl unabhdngig yon seinem Einfallswinkel parallel verschoben zu~ick.

In einem zylindrischen Glasstab (Abb. 1.11) wird ein Lichtstrahl immer wieder an der Grenzfl~iche in das Innere zurfick gelenkt, ohne seinen Laufwinkel relativ zur Stabachse zu ~ndern.

i0

1 Lichtstrahlen

Solche Glasstiibe werden z.B. benutzt, um das Licht einer Strahlungsquelle an einen Photodetektor heranzuffihren. In miniaturisierter Form finden sie als Lichtwellenleiter Anwendung in der optischen Kommunikationstechnik. Ihre Eigenschaften werden im Kapitel Strahlenausbreitung in Wellenleitern (1.7) und spiiter in der Wellenoptik (3.3) genauer beschrieben.

1.6.1

Dispersion

Prismen haben eine historische Rolle bei der spektralen Zerlegung des weifien Lichtes in seine Bestandteile gespielt. Der Brechungsindex und damit der Ablenkwinkel 6 in Abb. 1.9 ist niimlich abhiingig yon der Wellenliinge, n -- n(A), so daft Strahlen verschiedener Farbe mit unterschiedlichen Winkeln abgelenkt werden. Bei normaler Dispersion werden blaue stiirker als rote Wellenliingen

A b b . 1.9 Brechung und Dispersion am symmetrischen Prisma. Aus dem Minimalwinkel der Ablenkung 6 = 5rain kann man den Brechungsindex n auf einfache Art und Weise bestimmen.

gebrochen, n(Abmau) > n()~rot). Brechzahl und Dispersion sind sehr wichtige technische Gr6fien bei der Anwendung optischer Materialien. Die Brechzahl ist in den Unterlagen der Hersteller fiir verschiedene Wellenlangen tabelliert, und es werden (zahlreiche verschiedene) empirische Formeln fiir ihre Abhiingigkeit v o n d e r Wellenl~nge verwendet. Die Konstanten aus Tab. 1.1 gelten ffir die Formel

BIA2 B2A2 B3A2 n 2 = 1 + A2 _ C-----~+ A 2 ~ + A2~

(A in #m)

(1.6)

Durch geometrische LIberlegungen findet man, daft der Ablenkungswinkel 6 in Abb. 1.9 aufier vom Einfallswinkel 0 nur vom (]ffnungswinkel a des symmetrischen Prismas und natfirlich seinem Brechungsindex n abhiingt,

6

---- 0 - a + arcsin (sin (a~/n 2 - sin 20) - cos a sin 0)

6min

=

2 0 s y m m - - OZ

Der minimale Ablenkwinkel 6mi~ wird beim symmetrischen Durchgang durch das Prisma erreicht (0 = 0~ymm) und ermSglicht eine pr~zise Bestimmung der

1.6 Prismen

11

Tab. 1.10ptische Eigenschaften ausgewghlter Gliiser Kurzname

BK7

SFll

LaSF N9

Name Abbe-Zahl A

Borkron 64,17

Brechzahl n bei X= 486, lnm ), = 587, 6nm -- 656, 3nm

ausgew/ihlten Wellenl/ingen 1,5224 1,8065 1,8690 1.5168 1.7847 1.8503 1,5143 1,7760 1,8426

Schwerflint 25,76 32,17

Dispersionskonstanten der Brechzahl nach Gl.(1.6) 1, 0396 1, 7385 1, 9789 B1 0, 2379 0,3112 0, 3204 B2 1,0105 1, 1749 1, 9290 B3 0, 0136 0,0119 0, 0060 C1 0, 0200 0, 0616 0, 0528 C2 103, 56 121,92 166, 26 C3

BaK 1

F 2

Barytkron 57,55

Flint 36,37

1,5794 1.5725 1,5695

1,6321 1.6200 1,6150

1, 1237 0, 3093 0, 8815 0, 0064 0, 0222 107, 30

1, 3453 0, 2091 0, 9374 0, 0100 0, 0470 111,89

Dichte p (g/cm -3)

II

2'5114'7414'441

3,19

I

3,61

I

8,2

Ausdehnungskoeffizient 5g./f (-30 C bis 4-70 C) x l06 (K -1)

II

7,116,117,41

7,6

Spannungsdoppelbrechung: typ. 10 nm/cm Homogenit~it der Brechzahl von Schmelze zu Schmelze: 5n/n = 4-1 x 10-4 Brechzahl. Das Endergebnis driickt m a n vorteilhaft durch die Met3grSgen a u n d 6min aus, n~

sin [(a + 5rain)/2]

sin

Ffir eine quantitative Abseh/~tzung des Dispersionsverm6gens K yon Gl~sern b e n u t z t m a n gerne die Abbe-Zahl A. Sie setzt den Breehungsindex bei einer gelben Wellenl/inge (bei A = 587, 6 nm, der D-Linie yon Helium) ins Verh/iltnis zur Brechzahl~nderung, die dureh die Differenz der Brechzahlen bei einer blauen (~ = 486, 1 nm, Fraunhofer-Linie F yon Wasserstoff) u n d einer roten ()~ -- 656, 3 nm, Praunhofer-Linie C yon Wasserstoff) gesch/itzt wird,

A= K_I_

riD--1 •F

-- nC

D a n a c h b e d e u t e t eine groge Abbe-Zahl geringe Dispersion, eine kleine AbbeZahl starke Dispersion. Die Abbe-Zahl ist auch bei der K o r r e k t u r von Farbfehlern (chromatischen Fehlern) wichtig (s. g a p . 4.5.3).

12

1 Lichtstrahlen

Die Brechzahl beschreibt die Wechselwirkung von Licht und Materie, und wir werden noch sehen, da~ sie eine komplexe GrSt]e ist und nicht nur die Dispersions-, sondern auch die Absorptionseigenschaften beschreibt. Es ist darfiberhinaus Aufgabe einer mikroskopischen Beschreibung der Materie, die dynamische Polarisierbarkeit zu bestimmen und auf diesem Weg den Zusammenhang mit der makroskopischen Beschreibung herzustellen.

1.7

Lichtstrahlen in Glasfasern Die 0bermittlung von Nachrichten mittels Lichtzeichen ist eine sehr naheliegende und schon sehr lange verwendete Methode. Zum Beispiel wurden im 19. Jahrhundert mechanische Zeiger auf hohen Tfirmen montiert und per Fernrohr abgelesen, um 0bertragungsstrecken von vielen Hundert km zu realisieren. Grunds~tzlich wird die Freiluft-0bertragung auch heute mit Laserlichtquellen eingesetzt. Sie ist aber in der Atmosph~ire selbst auf kurzen Distanzen immer durch deren Streuverluste beeintr~ichtigt, denn Turbulenzen, Staub und Regen k6nnen die Ausbreitung eines freien Laserstrahls schnell behindern.

Schon seit langem gibt es Ideen zur Ffihrung von optischen Wellen. Zum Beispiel Abb. 1.10 Station Nr. 51 an der optisch- hat man zun~chst in Anlehnung an die mechanischen Licht-Meldestrecke Berlin- Mikrowellentechnik Hohlrohre aus KupKSln-Koblenz auf dem Turin der KSlner fer eingesetzt, deren D~mpfung aber zu Kirche St. Pantaleon. Gem5Ide yon Weihoch ist, um eine 0bertragung fiber grSt3eger 1840. re Strecken zu erlauben. Sparer wurden zum gleichen Zweck periodische Linsensysteme verwendet, deren Einsatz aber ebenfalls an den groBen Verlusten und an der geringen mechanischen Flexibilit~t scheiterte. Den entscheidenden Durchbruch erlebte die ,optische Nachrichtenfibertragung" mit der Entwicklung verlustarmer G l a s f a s e r n , die nichts anderes sind als Elemente zur Ffihrung von Lichtstrahlen. Sie k6nnen verlegt werden wie elektrische Kabel, vorausgesetzt, da~ es geeignete Sende- und Empfangsger~te gibt.

1.7 Lichtstrahlenin Glasfasern

13

Mit Uberseekabeln lassen sich deutlich kiirzere Signallaufzeiten und damit ein hSherer Komfort bei Telefongespriichen als mit geostation~en Satelliten realisieren, bei denen zwischen Frage und Antwort stets eine unangenehme und hemmende Pause liegt. Die Ausbreitung von Lichtstrahlen in dielektrischen Wellenleitern ist daher ein wichtiges Kapitel der modernen Optik. Einige Grundziige lassen sich schon mit den Mitteln der Strahlenoptik verstehen.

1.7.1

Strahlenoptik in Wellenleitern

Die Totalreflexion an einem optisch dichteren Medium stellt das fundamentale physikalisehe Phiinomen zur Verffigung, um Liehtstrahlen in einem dielektrischen Medium zu ffihren. Danach werden zum Beispiel in homogenen Glaszylindern diejenigen Strahlen yon einem Ende zum anderen Ende gefiihrt, deren Winkel mit der Zylinderachse kleiner bleibt als der Winkel der Totalreflexion 0c. Die Fiihrung der Lichtstrahlen wird in einem homogenen massiven Glaszylinder durch jede StSrung der Oberfl~che behindert, und ein Schutzmantel wfirde die Totalreflexion sogar unterdriicken, Daher sind mehrere Konzepte

Abb. 1.11 Brechzahlprofile und Strahlfiihrung in optischen WeUenleiter: Oben: Wellenleiter mit homogenet Brechzahl; Mitre: Mit Stufenprofil der Brechzahl (Stufenfaser); Unten: Mit kontinuierlichem Brechzahlprofil (Gradientenfaser).

entwickelt worden, bei denen die Lichtwellen durch Brechzahlvariationen im Zentrum eines Wellenleiters gefiihrt werden. Diese Wellenleiter kSnnen mit einer Kabelumhiillung versehen werden und iihnlich wie elektrische Kabel verlegt werden. Wir werden die beiden wichtigsten Typen vorstellen, wobei die Stufen-IndexFaser aus zwei homogenen Zylindern mit unterschiedlicher Brechzahl besteht (Abb. 1.11). Um Strahlfiihrung zu erreichen, mut] die hShere Brechzahl im Mantel liegen. Gradientenfasern mit kontinuierlich ver~nderlichem, in guter Niiherung parabolischem Brechzahl-Profil sind aufwendiger herzustellen, besitzen aber technische Vorteile wie zum Beispiel eine geringe Gruppengeschwindigkeitsdispersion.

14

1 Licbtstrahlen

Exkurs: Herstellung

von Glasfasern

Abb. 1.12 Herstellung yon Glasfasern. Die Vorform wird aus geeigneten Materialien mit ausgewdhlter Brechzahl hergestellt, die auf der Innenwand eines Quarzrohrs dutch chemische Reaktionen abgeschieden werden. Als Ausgangsmaterial wird ein handelsiibliches Rohr aus Quarzglas verwendet. Es rotiert auf einer Drehbank und wird innen von einem Gasgemisch (Chloride wie hochreines SIC14, GeC14 u.a.) durchstr6mt. Ein Knallgasbrenner erhitzt eine kleine Zone von wenigen Zentimetern auf ca. 1600~ C, in welcher die gewiinschten Materialien als Oxide auf der Innenwand abgeschieden werden (Abscheidung aus der Gasphase, engl. chemical vapour deposition, CVD). Durch vielfaches Verfahren wird so das Brechzahlprofil aufgebaut, bevor das Rohr bei ca. 2000~ C zu einem massiven Glasstab von ca. 10 mm Durchmesser verschmolzen wird, der als Vorform bezeichnet wird. Im letzten Schritt extrahiert eine Faserziehmaschine aus einem Tiegel mit z~ihflfissigemMaterial die Faser. Handelstibliche Querschnitte sind 50 und 125 #m, die zum Schutz und zur besseren Handhabung noch mit einem Mantel umgeben werden.

1.7.2

Stufenfasern Das Prinzip der Totalreflexion wird in S t u f e n f a s e r n (Abb. 1.13) angewendet, die aus einem K e r n m i t Brechungsindex n l u n d einem M a n t e l mit n2 < n l bestehen (im Englischen step i n d e x fibre, core u n d cladding). Allerdings betr~gt der relative Brechzahlunterschied

Abb. 1.13 Der Grenzwinkel aG in der Stufenfaser wird durch den kritischen Winkel der Totalreflexion an der Grenze yon Kern und Mantel bestimmt.

A - n l - n2 nl

(1.7)

nur 1-2 %, u n d die Lichtstrahlen werden nur gefiihrt, wenn der Winkel a zur Faserachse flach genug ist, kleiner als der Winkel a a , der die B e d i n g u n g fiir die Totalreflexion gerade erfiillt. Z u m Beispiel findet m a n fiir Quarzfasern (n2 = 1,45 @ A = 1,55 #m), deren Kernbrechzahl durch G e O 2 - D o t i e r u n g auf n l = n2 + 0,015 erhSht worden ist, nach 0c -- s i n - 1 ( n 2 / n l ) den kritischen Winkel 0c -- 81, 8 ~ Der komplement~ire Strahlenwinkel relativ zur Faserachse, OLG = 9 0 ~ wird wegen n 2 / n l -- 1 - A

1.7 Lichtstrahlen in Glasfasern

15

n~iherungsweise durch --- s i n

-----

(1.8)

in Relation zu A gesetzt und ffir diesen Fall auf a _< 8, 2 ~ begrenzt. Wenn die Lichtstrahlen die Achse einer Faser schneiden, findet die Ausbreitung in der Schnittebene statt, die als meridionale Ebene bezeichnet wird. Schiefe Strahlen (engl. skewed rays) laufen an der Achse vorbei und werden auf einem Polygon im Kreis herumgefiihrt. Man kann zeigen, dai~ auch schiefe Strahlen mit der z-Achse einen Winkel a < ac einschliefien mfissen, um durch Totalreflexion geffihrt zu werden.

Numerische Apertur einer Faser Um einen Lichtstrahl in einer Faser zu ffihren, muff der Einfallswinkel bei der Einkopplung genfigend klein gew~ihlt werden. Der maximale (~ffnungswinkel ~A des Akzeptanzkegels (Abb. 1.13) kann nach dem Brechungsgesetz ermittelt werden, NA -- sin0A ----nl eos0c ---- (n~ -- n~) 1/2 ~-- nl ~

(1.9)

Der Sinus des Offnungswinkels wird als Numerische A p e r t u r NA bezeichnet und kann wegen (1.8) auch nach NA -~ nlx/~A abgesch~itzt werden. Ffir die schon oben erw~ihnte Quarzfaser erh~ilt man z.B. NA = 0, 21, einen trotz des geringen Brechzahlunterschiedes brauchbaren, durchaus typischen Wert ffir optische Standardfasern.

Ausbreit ungsgeschwindigkeit In der Strahlrichtung breitet sich das Licht im Faserkern mit der Geschwindigkeit v0 -- c / n l aus. Entlang der z-Achse aber breitet sich der Strahl mit einer reduzierten Geschwindigkeit aus,

(vz) = ( c / n l ) e o s a In Kapitel 3.3 fiber die Wellentheorie der Lichtpropagation in Fasern werden wir sehen, daft die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Propagationskonstante und der Phasengeschwindigkeit zusammenh~ingt. In der Nachrichtentechnik ist es wichtig, digitale Nachrichten, also Pulssequenzen zu fibertragen, und am Empf~ialger mfissen die Lichtpulse natfirlich noch erkennbar sein. In der Glasfaser werden vielleicht schon bei der Einkopplung, sp~itestens an jeder Krfimmung auch schiefe Strahlen erzeugt, die je nach Einfallswinkel a verschieden schnell entlang der Faser laufen und den Lichtpuls zerfliefien lassen. In der Wellentheorie wird dieser Effekt, der die Frequenzbandbreite von Glasfasern begrenzt, als Modendispersion bezeichnet.

16

1.7.3

1 Lichtstrahlen

Gradientenfasern

Strahlfiihrung kann man auch in einer Gradientenfaser (engl. gradient index fibre, GRIN) erreichen, wobei der quadratischen Variation der Brechzahl besondere Bedeutung zukommt. Um die Krfimmung eines Lichtstrahls durch das Brechzahlprofil zu bestimmen, verwenden wir die Strahlengleichung (1.5). Sie wird in paraxialer N~herung (ds ~- dz) und ffir die zylindrisch symmetrische Faser stark vereinfacht, d2r 1 dn dz 2 n dr" Ein parabolisches Brechzahlprofil mit der Brechzahldifferenz A = (nl--n2)/nl, r~(r __~ a ) ---- /~1

]- -- /~

und

n(r

>

a)

= T~2

(1.lO)

ffillt vom Maximalwert nl bei r -- 0 auf n2 bei r ---- a ab. Man erh~ilt die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators, d2r 2A dz 2 + 62 r 0 und erkennt sofort, dai~ der Lichtstrahl Pendel-Bewegungen um die z-Achse ausfiihrt, r(z) = rosin (27rz/A) ,

(1.11)

mit der Periodenl~inge A = 2 7 c / K = 2~ra/V~-A .

(1.12)

Die maximal zul~sige Auslenkung betr~gt r0 = a, denn sonst verliert der Strahl seine Fiihrung. Dabei tritt auch der gr6fite Laufwinkel a a = ~ beim Aehsendurehgang auf. Er ist mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion in der Stufenfaser (G1. 1.8) identisch und hat auch den gleichen Zusammenhang mit der numerischen Apertur (G1. 1.9) zur Folge.

Beispiel: Propagationsgeschwindigkeit in der Stufenfaser Der Lichtstrahl ben6tigt ffir die Ausbreitung entlang der Faser ffir eine Periodenl~nge nach (1.11) die Zeit T ----

/0

dt' --

/0

dz/vz(z) .

Die Geschwindigkeit h~ingt vom Brechzahlprofil (G1.1.10) ab, v(z) = c/n(r(z)). Die z-Komponente wird nach vz(z) = v ( z ) / r + r'(z) 2 berechnet, so daft man T berechnet nach T = [ h ~ ( 1 -- A(ro/a)2 sin 2 g z ) ( 1 + 2A(ro/a)2 cos 2 g z ) l / 2 d z . Jo

c

1.8 Linsen und Hohlspiegel

17

Die Beitr~ige der oszillierenden Faktoren sind sehr klein wegen A ( r o / a ) 2 << 1, daher kSnnen wir entwickeln T--

fjrlA- ~ ( 1 - A ~ 2r2sin2 K z ) ( I + Ara2COS2 K z + . . nlh__ ( - A a~r2 c L 2~.1 ~ sin2 x +

Ar~ a2 c~

x +

I~dZ

O(A2(r~

und erhalten nach elementarer Integration das bemerkenswerte Ergebnis T ,.~ n l A / c

:

die Propagationsgeschwindigkeit h~ngt in der Gradientenfaser anders als in der Stufenfaser gar nicht vom Laufwinkel ab, jedenfalls bis zur Ordnung A 2(ro/a) a. Insbesondere wird auch ein parallel einfallendes Strahlenbiindel nach der L~nge A/4 in einem Punkt fokussiert. Kurze Faserstiicke mit dieser L~inge werden als Linsen verwendet, sie heifien GRIN-Linsen . Wie wir noch sehen werden, spielt die geringe Abh~ingigkeit vom Laufwinkel eine wichtige Rolle bei der Signalausbreitung in Glasfasern (s. Kap. 3.3).

1.8

Linsen und Hohlspiegel

Die Entstehung eines Bildes nimmt in der Optik eine zentrale Stellung ein, und Linsen und Hohlspiegel sind unverzichtbare Bauteile optischer Ger~te. Wir befassen uns zun~chst nur mit der Wirkung dieser Komponenten auf optische Strahleng~nge, der Bildentstehung haben wir wegen ihrer grofien Bedeutung ein eigenes Kapitel (4) gewidmet.

1.8.1

Linsen

Unter einer idealen Linse wollen wir ein optisches Element verstehen, das alle Strahlen einer punktfSrmigen Quelle wieder in einem Punkt vereinigt. Eine Abbildung, bei der alle mSglichen Gegenstandspunkte in Bildpunkte iiberfiihrt werden, bezeichnen wir als stigmatische Abbildung (von griech. Stigma, Punkt). Die Quelle kann auch sehr welt entfernt liegen und die Linse mit einem parallelen Strahlenbiindel ausleuchten. In diesem Fall soll der Vereinigungspunkt B r e n n p u n k t heiBen. Wir betrachten das Biindel paralleler Strahlen in Abb. 1.14, das die Linse trifft und im Brennpunkt vereinigt wird. Nach dem Fermatschen Prinzip muff die optische Wegl~nge fiir alle mSglichen Wege gleich sein, das heiBt unabh~ngig vom Abstand eines Teilstrahls zur Achse. Dann mug

18

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.14 Oben: Stigmatische Linsenabbildung. Alle Strahlen, die yon einem Objektpunkt P ausgehen, werden in einem Bildpunkt P~ wieder vereinigt. Die Lichtstrahlen werden durch den dickeren LinsenkSrper nahe der Achse stdrker verzSgert als in den Randbereichen, so daft aUe Strahlen zum Bildpunkt den gleichen optischen Weg zuriicklegen. Die Linse ist als eine Kombination yon mehreren Prismen vorgesteUt. Unten: Ein paralleles Strahlenbiischel stammt aus einer unendlich welt entfernten Quelle und wird im Brennpunkt f fokussiert.

die Lichtausbreitung auf der Symmetrieachse der Linse am st~rksten und zum Rand der Linse hin immer weniger verz6gert werden! Ffir eine vereinfachte Analyse vernachl~ssigen wir die Dicke des LinsenkSrpers, betrachten die geometrische Zunahme der Wegl~nge yon der Linse zum Brennpunkt im Abstand fund entwickeln ffir achsnahe Strahlen nach der Abh~ingigkeit vom Achsabstand r,

e(r) = v / p +

__

f

1+

.

(1.1a)

Um das quadratische Anwachsen der optischen Wegl~nge l(r) zu kompensieren, muff die VerzSgerung durch den Weg im Linsenglas - und damit dessen Dicke - ebenfalls quadratisch variieren. Das aber ist genau die Bedingung ffir die Kugelflachen, die sich ffir Sammellinsen als auflerordentlich erfolgreich erwiesen haben! Auf dasselbe Ergebnis stSfit man mit sehr viel mehr rechnerischem Aufwand, wenn man die Brechungseigenschaften an der Linsenoberfl~iche untersucht und sich vorstellt, daft eine Linse aus vielen dfinnen Prismen zusammen gesetzt ist (Abb. 1.14).

Die Frage, nach welchen Kriterien man eine plankonvexe oder eine bikonvexe Linse ausw~ihlt, werden wir im Kapitel fiber Bildfehler behandeln.

1.8 Linsen und Hohlspiegel

1.8.2

19

Hohlspiegel

Unter den gekrfimmten Spiegeln spielen die Hohl- oder Parabolspiegel die wichtigste Rolle. Sie sind von den groBen astronomischen Teleskopen (s. Kap. 4) sehr bekannt, weil wir mit ihrer Hilfe tief in die faszinierende Welt des Kosmos eingedrungen sind. Noch viel h~iufiger finden sie aber in Laser-Resonatoren Anwendung (Kap. 5.6). Wir kSnnen die Verh~iltnisse der ebenen Reflexion auf die gekriimmten Spiegelfl~ichen iibertragen, wenn wir im Aufpunkt die Tangentialebene beriicksichtigen. Hohlspiegel besitzen meistens axiale Symmetrie, und die Wirkung auf ein paralleles Strahlenbiindel in einer Schnittebene veranschaulicht Abb. 1.15: Die reflektierten Teilstrahlen treffen sich wie bei der Linse im Brennpunkt oder Fokus auf der Spiegelachse. Es ist aus der Geometrie bekannt, dab dann die Reflexionspunkte auf einer Parabel liegen mfissen. In der Achsenn~ihe kSnnen Parabolspiegel in guter N~iherung durch sph~rische Spiegel ersetzt werden, deren Herstellung sehr viel einfacher ist. In Abb. 1.16 sind links die geometrischen Elemente dargestellt, aus welchen man die Abh~ingig- Abb. 1.15 Strahlengang am Hohlspiekeit der Brennweite f (hier durch den gel. Bei achsnahem Lichteinfall werden Schnittpunkt mit der optischen Achse sph~rische Spiegel verwendet. definiert) vom Achsenabstand Y0 eines parallel einfallenden Strahl berechnet,

2 cos ~

2

2

+""

)

Im allgemeinen vernachl~issigen wir die quadratische Korrektur, die einen (~ffnungsfehler verursacht, der in Kap. 4.5.2 n~iher untersucht wird. Im Laserresonator tritt h~iufig die Situation auf, dab der sph~irische Spiegel zugleich als Umlenkspiegel benutzt wird, zum Beispiel im ,,Bowtie-Resonator" aus Abb. 7.33. Dann wird die Brennweite von Strahlen in der Strahlebene (fx) und von derjenigen senkrecht dazu (fy) von f0 = R / 2 abweichen, R f0 - - - - fx - 2 cos ~ cos a

und

R cos f y - - 2

-f0cosc~

20

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.16 Fokussierung eines parallel (links) und schief (mitte: Draufsich# rechts: Seiten-

ansicht) zur optischen Achse einfallenden Strahlenbiindels.

Die geometrischen Verh~Itnisse in der Draufsicht (Abb. I. 16 Mitre) sind leicht einzusehen. In der Seitenansicht betrachtet man die Projektion auf eine Ebene senkrecht zur Ausfallsrichtung. Die Projektion von Radius und Brennweite ist dort auf R cos c~ bzw. f cos c~ verkiirzt. Die hier auftretende Differenz zwischen den beiden Ebenen wird als astigmatischer Fehler bezeichnet und kann manchmal durch einfache Mittel (s. Beispiel S. 173) kompensiert werden.

1.9

Matrizenoptik

Wegen der geradlinigen Ausbreitung l~ifitsich ein freier Lichtstrahl rechnerisch wie eine Gerade behandeln. In der Optik sind Systeme mit axialer Symmetrie besonders wichtig, und der einzelne Lichtstrahl wird dann dutch den Abstand und die Steigung relativ zur Achse vollst~indig beschrieben (Abb. 1.17). Wenn das System nicht rotationssymmetrisch ist, zum Beispiel nach dem Durchgang durch eine Zylinderlinse, dann kSnnen wit mit derselben Methode zwei unabh~ingige Anteile in x- und y-Richtung betrachten. Die Modifikation der Strahlrichtung durch optisehe Komponenten -- Spiegel, Linsen, dielektrische Fl~ichen -- wird bei der Brechung durch einen trigonometrischen und daher nicht immer ganz einfachen Zusammenhang beschrieben. Ffir achsnahe Strahlen kann man diese Funktionen h~iufig linearisieren und damit die rechnerische Behandlung enorm vereinfachen. Das wird zum Beispiel bei der linearisierten Form des Brechungsgesetzes (1.2) deutlich: n101 = n202

(1.14)

Diesen Umstand haben wir uns schon bei der Anwendung des Fermatschen Prinzips auf eine ideale Linse zunutze gemacht. Achsnahe Strahlen erlauben auch den Gebrauch yon Kugelfl~ichen fiir Linsen, die erheblich einfacher herzustellen sind als die mathematischen Idealfl~ichen. Dariiber hinaus sind die Idealsysteme i. Allg. nur ffir ausgew~ihlte Strahlensysteme ,,ideal", leiden ansonsten wie andere Systeme an Bildfehlern.

1.9 Matrizenoptik

21

Weil wir die Modifikation eines Lichtstrahls durch optische Elemente in dieser N~herung durch lineare Transformationen angeben kSnnen, sind Matrizen ein bequemes mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung der fundamentalen Eigenschaften optischer Systeme. Die Entwicklung dieser Methode hat zu dem Begriff Matrizenoptik gefiihrt. Die Transformationsmatrizen lassen sich fiir die Strahlenoptik sehr anschaulich einfiihren. Entscheidende Bedeutung haben sie aber erlangt, weil sich ihre Form fiir die Behandlung achsnaher Strahlen nach der Wellenoptik (s. Kap. 2.3.2 ) nicht ~ndert! Dariiber hinaus ist der Formalismus auch fiir andere Formen der Optik wie ,,Elektronenoptik" oder noch allgemeiner ,,Teilchenoptik" verwendbar.

1.9.1

Die Paraxiale N~iherung

Wir betrachten die Propagation eines Lichtstrahls unter einem kleinen Winkel c~ zur z-Achse. Der Strahl wird durch den Abstand r v o n d e r z-Achse und die Steigung r r = tan a vollst~ndig bestimmt. In der sogenannten paraxialen Ngherung linearisieren wir nun den Tangens des Winkels, ersetzen ihn durch sein Argument, r r _~ a, und fassen r und r ~ zu einem Vektor r = (r, ~) zusammen. Ein Lichtstrahl besitze zu Beginn Achsenabstand und Steigung rl = (rl, ~1). Wenn er entlang der z-Achse die Strecke d zuriickgelegt hat, dann gilt r2

:

rl + a i d

Ol2

:

OL1

Man verwendet 2x2-Matrizen, um die Translation fibersichtlich zu schreiben,

Abb. 1.17 K e n n g r S f l e n eines optischen

r2=Trl=

0 1

rl.

(1.15)

Strahls

bei

der

einfachen

Translation.

Etwas komplizierter ist die Modifikation durch eine brechende optische Flgche. Da~u betrachten wir die Situation yon Abb. 1.18 a), in der zwei optisehe Medien mit Brechungsindizes nl und n2 durch eine kugelf6rmige Grenzfl/iche mit Radius R voneinander getrennt sind. Wenn der Radiusvektor mit der z-Aehse den Winkel r bildet, dann f~llt der Liehtstrahl offenbar unter dem Winkel 01 = O~1 -~- q~ auf die Grenzfl~ehe und ist mit dem Ausfallswinkel 02 = c~2 + r durch das Brechungsgesetz verknfipft. In der paraxialen N~herung gilt naeh Gl.(1.2) nlO1 ~- n202 und r _~ r l / R sowie an der Grenzflache rl = r2, so daft man schliefilich erhalt:

n1(o1§ n2(o2§

22

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.18 Modifikation

eines Lichtstrahls an gekriimmten brechenden Fliichen.

Die linearisierten Beziehungen lassen sich mit der Brechungsmatrix B leicht angeben, (r2)(~2 = B ( )C~l rl = ( nlTt2__/~--I n2 ~22n~0)()c~1 rl

1.9.2

(1.16)

ABCD-Matrizen

Die wichtigsten optischen Elemente kann man durch ihre auch als M a t r i z e n bezeichnete Transformationen angeben,

( . .~)

~.) (rl) ~

=

ABCD-

,11 ,

die wir zu Nachschlagezweeken in Tab. 1.2 auf S. 23 gesammelt haben und im Folgenden noch n~her vorgestellt werden. Die Wirkung einer Linse auf einen Lichtstrahl ist nach Abb. 1.18 b) durch eine Brechung B beim Eintritt, eine Translation T i m Glas und eine weitere Brechung B / beim Austritt charakterisiert. Die Matrizenmethode entfaltet nun ihre St~irke, weil wir die Wirkung der Linse als Produkt L -- BITB der drei Operationen einfach ausrechnen kSnnen,

~

,11 ,

Bevor wir die Linse und andere Beispiele n/~her untersuchen, miissen wir noeh einige Konventionen festlegen, die in der Matrizenoptik iiblicherweise verwendet werden: 9 1: Die Strahlrichtung 1/iuft yon links nach rechts in positiver Richtung der z-Achse.

1.9 Matrizenoptik

23

9 2: Der Radius einer konvexen Fl~iche ist positiv, R > 0, derjenige einer konkaven Fl~iche negativ, R < 0.

9 3: Die Steigung ist positiv, wenn sich der Strahl von der Achse entfernt, negativ, wenn er sich darauf zubewegt. 9 4: Eine Gegenstands- oder Bildweite ist positiv (negativ), wenn sie vor (hinter) dem abbildenden Element liegt.

9 5: GegenstandsgrSfien werden oberhalb (unterhalb) der z - A c h s e positiv (negativ) gez~ihlt.

9 6: Reflektive Optik wird behandelt, indem der Strahlengang nach jedem Element umgeklappt wird. Tab. 1.2 W i c h t i g e A B C D - M a t r i z e n

24

1.9.3

1

Lichtstrahlen

Linsen in Luft

Wir rechnen nun die Linsenmatrix L explizit nach Gl.(1.18) aus und beriicksichtigen den Brechungsindex nLua = 1 in Gl.(1.14) und (1.16): ( ( l n - l n~ ( ) L--

1 _ 1 _ ~ ~

(n-l)

nd

n--l) RR'n

l+n--1 n

) d -~

Der Ausdruck macht zun~ichst einen komplizierten und wenig niitzlichen Eindruck. Er erlaubt uns zwar die Behandlung auch sehr dicker Linsen, am wichtigsten sind aber die fiberwiegend verwendeten diinnen Linsen, deren Dicke d klein ist gegen die Kriimmungsradien R, R ~ der Oberfl~ichen. Mit d/R, d / R ~<< 1 oder durch direkte Multiplikation B~B erhalten wir die viel einfachere Form L--

(

(n-l)

~ 1

-

und fiihren mit D die Brechkraft der Linse ein, :D -- - ( n -

1) ( R '

(1.19)

R)

Die ABCD-Matrix fiir diinne Linsen lautet dann sehr einfach

1 o)

-

1

-1/f

(1.20)

1

wobei das Vorzeichen so gew~ihlt wurde, daft Sammellinsen eine positive Brechkraft besitzen. Die Brechkraft ist identisch mit der inversen Brennweite, 7) -1/f. Die Brechkraft 7) wird in Dioptrien (1 dpt -- 1 m -1) gemessen.

Abb. 1.19 Punktabbildung mit einer Linse.

Um die Interpretation von Gl.(1.20) zu untermauern, betrachten wir ein Strahlenbiindel, das von einer Punktlichtquelle G auf der z-Achse (Abb. 1.19) stammt. Ein solches Strahlenbfindel kann im Abstand g von der Quelle nach

o( )1

,1 1,

besehrieben werden. Wir berechnen die Wirkung der Linse in der Form a

=a

1 -g/f

=

.

(1.22)

1.9 Matrizenoptik

25

Die Linse transformiert das einfallende Strahlenbiindel in ein neues Biindel, das wieder die Form (1.21) besitzt. Es konvergiert fiir a ' < 0 zur Achse, schneidet sie im Abstand b > 0 (Regel 4!) hinter der Linse und erzeugt dort ein Bild der Punktquelle. Wenn b < 0 gilt, dann liegt das virtuelle Bild der Punktquelle vor der Linse und die Linse besitzt die Eigenschaften einer Zerstreuungslinse. Durch Koeffizientenvergleich kSnnen wir aus G1. (1.22) den Zusammenhang von Gegenstandsweite g und Bildweite b bei der Linsenabbildung gewinnen: 1

--

1

+

1

(1.23)

Diese Gleichung ist die bekannte Grundlage ffir optische Abbildungen. Wir kommen auf das T h e m a in Kap. 4 ausfiihrlicher zurfick.

Beispiel: A B C D - M a t r i x eines abbildenden S y s t e m s Ffir eine Abbildung durch ein allgemeines ABCD-System wird gefordert, dab in einem bestimmten Abstand d -- g + b ein Strahlenbiischel (rl, oL1) wieder in einem Ort vereinigt wird:

(r2) (1 b)(A a2

0 1

C

D

0 1

ai

Ffir die stigmatische Abbildung muB r2 dort von a i unabh~ngig sein, und man erh~ilt durch Nachrechnen die Bedingung b D + g A + b g C + B -- 0, die fiir B -- 0 durch geeignete Wahl von g und b erfiillt werden kann, falls auch z.B. C < 0. Damit erh~lt die ABCD-Matrix genau die Form, die wir von den Linsen und Linsensystemen schon kennen.

1.9.4

Linsensysteme

Die Matrizenmethode erlaubt es, auch die Wirkung eines Systems aus zwei verschiedenen Linsen mit Brennweiten fl und f2 im Abstand d zu untersuchen. Wir multiplizieren die ABCD-Matrizen nach G1. (1.20) und (1.14) und erhalten die Matrix des Systems M M = L2TLI

=(

1

-1//2

1 o)=

1

0

i

-I/I~

i

(1.24) = -

i-Td

26

1 Lichtstrahlen

Das System von zwei Linsen ersetzt eine einzelne Linse mit der Brennweite

1 1 1 --f : -~2 + f l

d flf2

(1.25)

Wir betrachten zwei interessante Grenzf~lle: (i) d << fl,2. Zwei Linsen, die ohne Zwischenraum hintereinander ,,geschaltet" werden, addieren ihre Brechkrafte, M _~ L2L1 mit :D -- :D1 + Z)2. Dieser Umstand wird beispielsweise bei der Anpassung yon Augenglasern genutzt, wenn Brechkraft solange kombiniert wird, bis die geeignete Brillenst~ke gefunden worden ist. Eine bikonvexe Linse kSnnen wir offensichtlich aus zwei plankonvexen Linsen zusammensetzen und erwarten, dab dabei die Brennweite des Systems halbiert wird. (ii) d = fl § f2. Wenn die Brennpunkte aufeinanderfallen, wird ein Teleskop realisiert. Insbesondere wird ein paralleles Strahlenbfischel mit Radius rl in ein ebenfalls paralleles Strahlenbfischel mit dem neuen Durchmesser ( f 2 / f l ) r l aufgeweitet oder kollimiert. Die Brechkraft des Systems verschwindet nach G1.(1.25), ~ --0. Solche Systeme werden afokal genannt. Dfinne Linsen gehSren zu den ~iltesten optischen Instrumenten und haben je nach Anwendung zahlreiche Bauformen. Weft es dabei vor allem auf die Linsenfehler ankommt, widmen wir den Bauformen einen eigenen Abschnitt (4.5.1).

1.9.5

Periodische Linsensysteme

Abb. 1.20 Vielfachreflexionen in einem 2-Spiegel-Resonator sind dem Strahlengang in einem periodischen Linsensystem dquivalent. Periodische Linsensystem sind schon frfihzeitig untersucht worden, um damit optische Lichtfibertragungsstrecken zu realisieren. Ffir eine solche Anwendung ist es wichtig, dab ein Lichtstrahl auch fiber groi~e Strecken das System nicht verl~t3t. Wir betrachten eine periodische Variante des Linsensystems mit Linsen der Brennweiten fl und f2, die sich im Abstand d befinden sollen. Die Tranformationsmatrix aus G1.(1.24) wird dazu um eine weitere, identische Translation

1.9 Matrizenoptik

27

ergiinzt und ist dann auch zu einem System aus 2 Hohlspiegeln mit Radien rl,2 -- 2fl,2 iiquivalent (Abb. 1.20): C

D

( (1

i 0)(1,)(

-1/f2

1

0

1 0)(1,)

1

-1/fl

,)(1

-1/f2

1- d/f2

-1/fl

1

0

1

,)

1- d/fl

Abb. 1.21 Stabilitdtsdiagramm fiir Linsensysteme (Brennweiten f1,2) und optische Resonatoren (Radien rl,2) nach Bedingung (1.27). Im schra~erten Bereich befinden sich die stabilen Resonator-Konfigurationen. Die gestrichelten Linien geben die Position der konfokalen Resonatoren an (d -- (rl + r2)/2). Die symmetrisch planparallelen, konfokalen und konzentrischen Resonatoren nehmen die Positionen 1,2,3 ein.

Das Einzelelement wird nun bei n-facher Anwendung eine Gesamttransformation n

C,~D,~

CD

verursachen. Diese Matrix kann algebraisch ausgewertet werden, wenn wir zun/ichst coso=l(A+D)=2(l-~fl)

(1-~-~f2)-1

(1.26)

28

1 Lichtstrahlen

einfiihren. Damit berechnet man C

D

sinO

CsinnO

DsinnO-sin(n-1)O

)

Der Winkel O muff reell bleiben, damit die Matrixkoefl:izienten nicht unbegrenzt waehsen. Das h~tte n~mlieh zur Folge, daft ein Liehtstrahl das Linsensystem verlassen wiirde. Die Bedingung lautet also - l _< cos O _< l

,

und man erh/ilt zusammen mit G1.(1.26)

Dieses Ergebnis legt ein Stabilit~tskriterium ffir den Betrieb eines Lichtleiters aus Linsensystemen fest, und das zugehSrige wichtige Stabilit~tsdiagramm ist in Abb. 1.21 dargestellt. Es wird uns noch genauer besch/ff-I;igen, weil damit die Vielfaehreflexion zwischen den Hohlspiegeln eines optisehen Resonators (Kap. 5.6) beschrieben werden kann.

1.9.6

A B C D - M a t r i z e n f'tir Glasfasern

Man kann nach Kapitel 1.7 und mit Hilfe der Wellenzahlkonstanten K -- 2~r/A (Gl.(1.12)) eine einfache ABCD-Matrix fiir die Transformation eines Strahls durch eine Gradientenfaser der L~inge ~ angeben: G--(

cosK~ - K sin K t

K - I sinK~ ) cos Kg

(1.28)

Mit kurzen Faserstiicken (6 < A/4) kann man auch diinne Linsen realisieren und zeigen, daft der Brennpunkt bei f = K -1 cot Kg liegt. Diese Komponenten werden als GRIN-Linsen bezeichnet (s. auch Beispiel S. 16).

1.10

Straldenoptik und Teilchenoptik

Die traditionelle Optik, die mit Lichtstrahlen arbeitet und Thema dieses Buches ist, war begriffiich in j eder Hinsicht ein Vorbild ffir die ,,Teilchen-Optik", die mit der Erforschung von Elektronenstrahlen und radioaktiven Strahlen um das Jahr 1900 herum begann. Die Strahlenoptik beschreibt die Ausbreitung von Lichtstrahlen, deshalb ist es naheliegend, die Analogie in den Trajektorien

1.10 Strahlenoptik und Teilchenoptik

29

von Teilchen zu suchen. Wir werden aber im Kapitel fiber Koh~irenz und Interferometrie (5) sehen, dab auch der Wellenaspekt der Teilchenstrahlen ganz entscheidend durch die Begriffe der Optik gepr~gt ist. Um die Analogie explizit herzustellen, halten wir uns an die 0berlegungen zum Fermatschen Prinzip (Abschn. 1.5), denn dort wird ein Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit und dem Brechungsindex hergestellt. Besonders einfach ist der Zusa.mmenhang, wenn sich ein Teilchen in einem konservativen Potential (Potentielle Energie Epot(r)) bewegt, wie zum Beispiel ein Elektron im elektrischen Feld. Wegen der Energieerhaltung Ekin(r) -~- Epot(r) = Etot

kSnnen wir

aus

v(r)

E k i n ----

my2~2 sofort folgern:

= ./ 2 E V ~ ( tot Epot(r))

falls sich die Teilchen nicht zu schnell bewegen und wir die klassische Newtonsche Mechanik anwenden kSnnen. (In einem Teilchen-Beschleuniger ffir hohe Energien muB man die spezielle Relativitiitstheorie verwenden.) Wir kSnnen einen effektiven relativen Brechungsindex festlegen durch v(rl) v(r2)

_

nor(r2) neff(r1)

_

v/(Etot- Epot(r2)) v/(Etot- Epot(ri) )

Er muB wie beim Licht eine zus~itzliche Bedingung erffillen, um absolut festgelegt zu werden. Zum Beispiel kSnnen wir fordern neff -- 1 ffir Epot -- 0. Damit ist aber auch schon klar, dab neff sehr stark yon der Geschwindigkeit auBerhalb des Potentials abh~ngig ist - die Teilchenoptik besitzt stark chromatische Eigenschaften! Der tiefere Grund ffir diesen Unterschied ist der unterschiedliche Zusammenhang zwischen kinetischer Energie E und Impuls p ffir Licht und ffir massebehaftete Teilchen, der ebenfalls als Dispersionsrelation bezeichnet wird, wobei wir uns auf den nichtrelativistischen Fall (v/c << 1) beschr~nken: Licht E = pc Teilchen, nichtrelativistisch E -- p2 / 2 m In geladenen Teilchenstrahlen kann aber dutch Beschleunigung eine schmale Geschwindigkeitsverteilung pr~pariert werden, so dab der Unterschied nicht ins Gewicht fallt. Die grope Geschwindigkeitsbreite von thermischen Strahlen neutraler Atome ruft aber erhebliche Probleme hervor. Allerdings kann deren Geschwindigkeitsverteilung mit sogenannten Dfisenstrahlen oder durch Laserkfihlung (s. Kap. 11.6) so manipuliert werden, dab man damit sogar ,,Atomoptik" betreiben kann [91]. In Abb. 1.22 haben wir einige wichtige Bauelemente der Elektronen- und Atomoptik vorgestellt.

30

1 Lichtstrahlen

Abb. 1.22 Teilchenoptische Linsen. Oben: Sogenannte ,Einzellinse" fiir die Elektronenoptik

mit AquipotentialflSchen qU [132]. Das Potential wird durch die symmetrische Anordnung aus drei leitfdhigen Elektroden, yon denen die dufleren auf gleichem Potential liegen, erzeugt. Unten: Magnetische Linse fiir die Atomoptik mit Aquipotentialfldchen I#" BI [91]. Ein axialer magnetischer Hexapol wird aus Kreissegmenten gebildet, die aus homogen magnetisierten Dauermagneten (zum Beispiel NdFeB oder SmCo) gefertigt werden. Der Betrag des Magnetfeldes steigt in radialer Richtung quadratisch an.

Aufgaben

31

Aufgaben zu Kapitel 12 1.1 S o n n e n b i l d e r Im Schatten eines dicht belaubten Baumes (an den Spalten eines Rolladen, ...) beobachtet man bei klarem Himmel zahlreiche runde Lichtflecke. Was stellen sie dar? Wie hfiagen sie v o n d e r Form der Blattlficken ab? 1.2 S p i e g e l b i l d e r Wieso sieht man im Spiegel links und rechts vertauscht, aber nicht oben und unten? 1.3 Sind p a r a b o l i s c h e Spiegel p e r f e k t ? Betrachten Sie einen sp~rischen Spiegel mit Radius R und zur Linken der y-Achse und geben Sie die Parabel an, die sich bei x -- - R anschmiegt (Abb. 1.23). Licht, das in der -x-Richtung propagiert, wird von den Spiegeln fokussiert. Vergleichen Sie die Eigenschaften des sph~rischen und des parabolischen Spiegels, indem Sie ein zur Spiegelachse paralleles Strahlenbfindel betrachten und den Brennpunkt als Funktion des Abstandes y << R v o n d e r Achse bestimmen. Wie unterscheiden sich qualitativ die Bilder eines parallelen Strahlenbfindels, das unter einem kleinen Winkel zur x-Achse propagagiert, fiir die beiden Spiegeltypen? 1.4 R e g e n b o g e n Erkl~ren Sie den Ursprung des Regenbogens. Regentropfen sind fiber einen weiten Parameterbereich in guter N~herung als Kugeln zu betrachten. Wie grot] ist der Ablenkwinkel 5 in Abb. 1.24. Der Brechungsindex von Wasser betr~igt etwa n ----1,33 (der exakte Wert hangt v o n d e r betreffenden Lichtfarbe ab). Sch~tzen Sie anhand des Erscheinungsbildes des Regenbogens die Dispersion des Wassers dn/d)~ ab. Die Grenzwellenl~ingen des sichtbaren Spektrums sind/~ -- 700 nm ffir rotes und A -- 400 nm ffir violettes Licht. (Erinnerung: d/dx(arcsin(x)) = 1/(1 - x2) 1/2)

Abb. 1.23 Reflektion am parabolischen und am sph~rischen Spiegel.

Abb. 1.24 Geometrie der Bre-

chung am WassertrSpfchen.

Abb. 1.25 Bauteile eines Refraktometers nach Abbe. S: Streuscheibe;

P1,2: Prismenpaar; f:

Brennweite der Linse; Sch: Beobachtungsschirm 1.5 R e f r a k t o m e t e r Mit dem abbeschen Refraktometer wird der Brechungsindex von Flfissigkeiten bestimmt-. Dazu tupft man ein TrOpfchen der zu untersuchenden Flfissigkeit anf ein Glasprisma und klappt dann ein zweites Prisma darauf. Mit einem Drehknopf (Winkel c~ in Abb. 1.25) wird das Doppelprisma solange gedreht, bis im Blickfeld eines Okulars eine scharfe Grenze zwischen Licht und Dunkelheit erscheint. Die Brechzahl kann dann aus dem 2MusterlSsungen kSnnen von Dozenten beim Autor erbeten werden

32

1 Lichtstrahlen

Drehwinkel bestimmt werden. (Manchmal zeigt die Skala am Drehknopf direkt die Brechzahl der Fliissigkeit an, manchmal auch den Zuckergehalt einer LSsung). Erlautern Sie die Funktionsweise des Ger~tes. Wenn n die Brechzahl der Glasprismen ist, welcher Wertebereich yon Brechzahlen der Fliissigkeit liit~t sich dann mit dem Instrument messen? 1.6 H a l o Die haufigste Haloerscheinung ist ein Ring um Sonne oder Mond mit 22 ~ Offnungswinkel, ganz schwach gef~rbt mit Rot innen. Eis hat die Brechzahl 1,31. Nadelf6rmige Eiskrist~lchen, wie sie sich in der Hochtroposph~e bilden, haben vorwiegend Prismenform mit gleichseitig-dreieckigem Querschnitt. Wie kommt der 22~ zustande? 1.7 F e r m a t s c h e s P r i n z i p Das Fermatsche Prinzip kann vereinfacht wie folgt ansgedriickt werden: Von einem Punkt zum n~chsten w~hlt Licht den Weg, der die geringste Zeit in Anspruch nimmt. Leiten Sie ausgehend von diesem Prinzip das Reflexions- und das Brechungsgesetz her. 1.8 L i c h t k r i i m m u n g Leiten Sie das Krfimmungsmafi (die zweite Ableitung des Strahlengangs) eines Lichtstrahles in einem Medium mit stetig ortsabh~ngiger Brechzahl rein geometrisch-optisch her. Vermeiden Sie zunachst den Fall, daft der Strahl senkrecht zum Gradienten von n l~uft. 1.9 A b l e n k u n g i m P r i s m a (I) Bei symmetrischem Durchgang durch ein Prisma ist die Ablenkung minimal. Zeigen Sie, dab diese Eigenschaft allein aus der Umkehrbarkeit des Lichtweges folgt. 1.10 A b l e n k u n g i m P r i s m a ( I I ) Zeigen Sie, da~ der Brechungsindex aus der minimalen Ablenkung 6min eines Lichtstrahls durch ein symmetrisches Prisma bestimmt werden kann nach n -- sin [(~min + a ) / 2 ] / s i n (c~/2). Wie w~hlt man a, um hSchste Pr~zision zu erzielen? 1.11 P e n t a p r l s m a Im Pentaprisma wird ein Lichtstrahl durch zweifache Reflektion u m / 3 -- 90 ~ abgelenkt (Abb. 1.26). Welchen Winkel c~ miissen die Prismenfl~chen im symmetrischen Pentaprisma bilden? Ist Totalreflektion fiir Glas (n=l,5) mSglich? Untersuchen Sie die Abh&ngigkeit des Ablenkungswinkels ffir kleine Verkippungen ~r gegenfiber dem Idealfall und vergleichen Sie mit dem rechtwinkligen 90~ s. Abb. 1.7. 1.12 G l a s f a s e r n (I) Eine Quarz-Glasfaser habe einen Kern mit Brechungsindex nl = 1,465 und einen Mantel mit BrePentaprisma. chungsindex n2 1,4500. Bestimmen Sie die grSt]te Winkelapertur (halber Offnungswinkel des Lichtkegels, der anf die Faser tritft) fiir die das Licht durch die gera~ie Faser transmittiert wird. Der Kern habe einen Durchmesser von 50 #m. Wie grot3 ist der kleinste Kriimmungsradius, urn den die Faser gebogen werden darf, bevor es zu starken Lichtverlusten kommt?

Abb. 1.26 Strahlengang im

=

1.13 M o d e n d i s p e r s i o n Betrachten Sie einen optischen Puls mit der Liinge T. Wenn die Lichtenergie gleichmiitlig auf alle Winkel unterhalb des Grenzwinkels der Totalreflexion verteilt wird, werden die einzelnen Strahlen auseinanderlaufen und verschieden schnell entlang der Faserachse propagieren. Wie lange diirfen die Pulse auf einer typischen Glas-Stufenfaser dauern, damit sich die Pulsliinge auf einer Laufstrecke g u m nicht mehr als 50% erhSht? 1.14 A s t i g m a t i s m u s Welche Abbildungseigenschaften hat eine Zylinderlinse (brechende Fl~che gleich Ausschnitt eines Zylindermantels)? Kann man mit zwei Zylinderlinsen punktf6rmig abbilden? Sind sie dann ganz ~quivalent zu einer sph~rischen Linse? Erliiutern Sie, warum die Optiker statt von Astigmatismus auch von einem Zylinderfehler reden!

Aufgaben

33

1.15 B r e n n w e i t e n b e s t i m m u n g Uberlegen Sie, wie man die Brennweite einer Linse schnell sch~itzen kann, und wie man sie genau bestimmen kann. Falls Sie Brillentr~iger sind, probieren Sie es mit Ihrer Brille aus. Wieviele Dioptrien haben Ihre Glaser? 1.16 N e w t o n - G l e i c h u n g Zeigen Sie rechneriseh und geometrisch, dab die Gleiehung fiir die Linsenabbildung (1.23) ~tquivalent ist zu (g - f ) ( b - f ) = f2. (S. auch G1. (4.1).) 1.17 Schiil"fentiefe Wie groi3 ist die Sch~irfentiefe bei der Abbildung durch den Hohlspiegel? Wie definieren Sie die Schiirfentiefe sinnvoll fiir die Beobachtung des Bildes mit blof~em Auge bzw. ffir die Photographie? Wie kann man sie steigern? 1.18 L i n s e u n d G l a s p l a t t e Nutzen Sie die ABCD-Gesetze, um den Einfluf~ einer Glasplatte mit der Dicke d auf eine Linse mit f > d zu bestimmen, wenn sie sich innerhalb der Brennweite befindet. Verwenden Sie diesen Zusammenhang, um die Brechzahl der Glasplatte zu bestimmen. Sch~tzen Sie die Genauigkeit der Methode ab. 1.19 G l a s f a s e r n ( I I ) Eine kleine Glaskugel (Radius R, Brechzahl n), welche vor der Eingangsfacette einer Glasfaser platziert wird, kann dazu dienen, Licht in die Faser einzukoppeln. Berechnen Sie die ABCD-Matrix fiir eine Glaskugel und die Transformation eines kollimierten Lichtstrahls, der dutch die Glaskugel tritt. Diskutieren Sie die optimalen Parameter (R, n) fiir die Kugel, werm Lieht mSglichst effektiv in die Faser eingekoppelt werden soll. Verwenden Sie als realistisches Beispiel die Glasfaser-Werte aus Aufg. 1.12. 1.20 D e t e r m i n a n t e tier A B C D - M a t r i z e n Die Determinanten der Translationsmatrix T (G1. 1.15) und der Brechungsmatrix B (G1. 1.16) sind ITI = 1 und IBI = n l / n 2 . Zeigen Sie, daf~ fiir die Linsenmatrix ILl = 1 gelten muff. Leiten Sie daraus ferner die Bedingung fiir dfinne Linsen ab, die Newton-Cleichung ( f - g ) ( f - b) -- f2. 1.21 G R I N - L i n s e n Zeigen Sie, da~ ein kurzes Stiiek einer Gradientenindex-Faser mit einer L~nge s < A/4 (A: Pendell~inge, G1. 1.12) mit der ABCD-Matrix (1.28) als eine dfinne Linse mit Brennweite f = K -1 cot Ks verwendet werden kann. 1.22 D i c k e L i n s e n u n d H a u p t e b e n e n Bei der Bildentstehung muff auch ffir eine dicke Linse das Ergebnis aus dem Beispiel auf S. 25 gelten, b D + g A + b g C + B = 0. Hier bezeichnen {b, g) die Gegenstands- und Bildentfernung von den Sehnittpunkten der Linse mit der zAehse. Dann k6nnen wir in der ABCD-Matrix C = - 1 I f mit der Brennweite identifizieren. Zeigen Sie zun~hst, daf~ dann gilt ( J A - g ) ( f D - b) = f2. Wo liegen die Brennpunkte der dicken Linse? Schreiben Sie die Gleichung urn in der Form [f - (g - gp)][f - (b - bp)] = f2. Die Punkte {bg, g p } bezeichnen die Lage der konjugierten Ebenen oder Hauptpunkte. Interpretieren Sie ihre Bedeutung und geben Sie dazu die zugehSrige Newton-Gleiehung an. 1.23 G ~ r t n e r l a t e i n ? Manehe G~irtner raten ab, Blumen bei Sonne zu gief~en, weil die Brennglaswirkung der Tr6pfehen anf den Bl~ittern diese zerst5re. Was sagen Sie? 1.24 Stabilittit in k o n f o k a l e n R e s o n a t o r e n Zeigen Sie, daf~ im Stabilit~itsdiagramm (Abb. 1.21) die konfokalen Resonatoren (d : (rl +r2)/2) anf der Kurve y : x / ( 2 x - 1 ) liegen mit x = d/r1 - 1, y = d/r2 - 1. Zeigen Sie graphiseh, daf~ der Lichtweg im symmetrischen Resonator (rl = r2) nach zwei Uml~iufen geschlossen wird. Geben Sie Beispiele fiir instabile Lichtwege in nicht-symmetrischen Resonatoren.

2

Wellenoptik

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts waren einige Ph~nomene bekannt, die sich mit der einfachen geradlinigen, strahlenfSrmigen Ausbreitung von Licht nicht in Einklang bringen liefien und eine Wellentheorie erforderten. Am Anfang steht das Huygenssche Prinzip des holl~ndischen Mathematikers und Physikers C. Huygens (1629-1695), eine bis heute viel gebrauchte anschauliche Erklarung der Wellenausbreitung. Etwa 100 Jahre sp~ter entwickelten T. Young (17731829) aus England und A.P. Fresnel (1788-1827) aus Frankreich eine sehr erfolgreiche Wellentheorie, die alle damals bekannten Ph~nomene der Interferenz beschreiben konnte. Nachdem G. Kirchhoff (1824-1887) dem Huygensschen Prinzip eine mathematische Formulierung gegeben hatte, kam der endgfiltige Durchbruch mit den beriihmten Maxwellschen Gleichungen, die auch hier als systematische Grundlage der Wellentheorie des Lichtes dienen sollen. Die Entwicklung einer gemeinsamen theoretischen Beschreibung elektrischer und magnetischer Felder durch den schottischen Physiker J.C. Maxwell (18311879) hat entscheidende Einflfisse nicht nur auf die Physik, sondern fiberhaupt auf die Wissenschaft und Technik des 20. Jahrhunderts ausgefibt. Die MaxwellGleichungen, die zun~ichst aufgrund empirischer Kenntnisse und asthetischer 0berlegungen gewonnen worden waren, veranlafiten zum Beispiel Heinrich Hertz 1887 zur ersten Erzeugung von Radiowellen, der damit die Grundlage der modernen Kommunikationstechnik legte.

2.1

ElektromagnetischeStrahhmgsfelder

Elektromagnetische Felder werden durch zwei Vektorfelder bestimmt, 1 E(r, t) und H(r, t)

, die elektrische Feldst~rke, gemessen in V/m, , die magnetische Erregung, gemessen in A/re.

Sie werden durch elektrische Ladungen und Str5me verursacht. lWir folgen der neueren Literatur, in der iiblicherweise mit B(r,t) die magnetische Feldst~ke, mit H(r, t) die magnetische Erregung bezeichnet wird.

36

2.1.1

2 Wellenoptik

Statische Felder

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes. Der formale Zusammenhang von Feldsts und Ladungsdichte p bzw. Gesamtladung Q in einem Volumen mit der Oberfls S wird durch das Gaufische Gesetz in differentieller oder integraler Form angegeben,

V.E--p/Co

oder

~E.df--Q/e0

(2.1)

Ein elektrostatisches Feld ist dariiberhinaus wirbelfrei, das heifit, es gilt V • E = 0, und es l~flt sich als Gradient eines skalaren elektrostatischen Potentials (I)(r) darstellen, E(r) = -V(I)(r) Quellen oder Ladungen der magnetischen Erregung sind nicht bekannt, V.H--0

,

(2.2)

wohl aber Wirbel, die von StrSmen (Stromdichte j, Gesalntstrom I durch eine Fl~Lche mit der Umrandung g) verursacht werden. Nach dem Stokesschen Satz gilt V•

--j

oder

~c H . dl -- I

(2.3)

Die magnetische Erregung l~ifit sich als Wirbel eines Vektorpotentials A(r) darstellen, H(r) = 1 V • #0

2.1.2

Dielektrische M e d i e n

Die 0berlegungen des vorangegangene Abschnitts gelten nur fiir freie Ladungen und StrSme. Ublicherweise sind diese aber an Materialien gebunden, die wir grob in zwei Klassen einteilen kSnnen, in Leiter und in Isolatoren. In leitf~higen Substanzen kSnnen sich Ladungen frei bewegen; in Isolatoren sind sie an ein Zentrum gebunden, ein ~iufieres Feld verursacht aber durch Ladungsverschiebung eine makroskopische dielektrische Polarisierung2: zum Beispiel kSnnen die polaren Molekiile in einem Wasserbad ausgerichtet werden, oder in urspriinglich symmetrischen Molekiilen kann eine Ladungsasymmetrie hervorgerufen werden (Abb. 2.1). In einer homogenen Probe kompensieren sich 2Genauer handelt es sich um eine Polarisierungsdichte. Die deutsche Sprache erlaubt es auBerdem, zu unterscheiden zwischen Polarisierung (polarisieren: in seiner Gegens~tzlichkeit immer stoker hervortreten) und Polarisation (Herstellen einer festen Schwingungsrichtung aus sonst unregelm~iBigenSchwingungen.). [48]

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

37

Abb. 2.1 In einem Festk6rper (links) werden Ladungen im elektrischen Feld getrennt. In

einem Gas mit polaren Molekiilen (rechts) werden vorhandene Dipole ausgerichtet.

negative und positive Ladungen, und es bleibt nur eine effektive Ladungsdichte an den R~ndern des polarisierten Volumens fibrig. Wenn allerdings die Polarisierung kontinuierlich variiert, dann wird die Kompensation aufgehoben und man erhalt eine effektive Ladungsdichte Ppol ---- - - V "

P(r, t)

Polarisierungsladungen miissen natiirlich genauso wie die freien Ladungen beriicksichtigt werden und deshalb gilt in dielektrischer Materie V . E = _1 (Pfrei ~- Ppol) s

In vielen wichtigen optischen Materialien ist die Polarisierungsladung proportional zur aufieren Feldst~irke, und der Koeffizient wird als lineare dielektrische Suszeptibilitiit X bezeichnet, P = e0XE Wir fiihren die dielektrische Verschiebung mit der relativen Dielektrizit~tskonstanten n = 1 + X ein, D=e0E+P=e0nE

,

(2.4)

und k6nnen dann einfacher schreiben V.D=p Analog zur dielektrischen kann auch eine magnetische Polarisierung M(r, t) = XmagH(r, t) auftreten, die gew6hnlich als Magnetisierung bezeichnet wird. Magnetooptische Effekte (zum Beispiel der Faraday-Effekt, s. Kap. 3.8.5) haben

38

2 Wellenoptik

zwar eine etwas geringere Bedeutung als die dielektrischen Ph/inomene, spielen aber durchaus eine wichtige Rolle bei optischen Anwendungen. In den meisten F/illen, die wir hier behandeln werden, ist aber die Annahme gerechtfertigt, dab die magnetische Permeabilit/it des Vakuums gilt, ~ m a g ---- 1 + X m a g ---- 1.

2.1.3

D y n a m i s c h e Felder

Es ist bekannt, dat3 die Anderung des magnetischen Flusses in einer Leiterschleife eine Spannung hervorruft. Wir folgen der heute gebr~iuchlichen Konvention und bezeichnen mit B(r,t) = #0H(r,t) das Magnetfeld, das sich in unmagnetischen Materialien nur durch #0, die Permeabilit~t des Vakuums, v o n d e r magnetischen Erregung unterscheidet. Damit formulieren wir das Induktionsgesetz als dritte Maxwell-Gleichung, V x E = - OOt B

'

oder

Jc E . d l -

Ors B d f Ot

(2.5)

Ganz analog fiihrt eine ver/inderliche elektrische Feldst/irke zu einem Verschiebungsstrom jdis = eo(O/Ot)E, und eine zeitabh/ingige Polarisierung zu einem Polarisierungssstrom, jpo] -- (O/Ot)P. Wir erhalten die vollstgndige vierte Maxwell-Gleichung fiir zeitlich ver/inderbare Felder, wenn wit diese Beitr/ige in G1.(2.3) beriicksichtigen ((O/Ot)D = jdis + jpol): V x H = j + ---0D Ot

2.1.4

(2.6)

Fourierkomponenten

Elektrische und magnetische Felder mit harmonischer Zeitentwicklung stehen im Zentrum einer optischen Wellentheorie. Unter den Fourierkomponenten eines elektromagnetischen Feldes wollen wir die Fourieramplituden g, 7-I verstehen: 3 E(r,t)

= ~Re{g(w,k)e-i( wt-

H(r,t)

-- ~Re {Tl(w,k)e-i( wt- kr)}

kr)}

(2.7)

3Wir werden dynamische elektromagnetische Felder weitgehend in komplexer Notation schreiben. Die physikalischenFelder sind dabei stets als Realteil aufzufassen, auch wenn dies nicht wie hier explizit ausgedriickt ist.

2.1 ElektromagnetischeStrahlungsfelder

39

Tab. 2.1 Zusammenfassung: Maxwell-Lorentz-Gleichungen im Vakuum

in Materie

im (w, k)-Raum

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes:

V . E---- p/co

s. (2.1)

V. D = p

ik. I)---- p

Es gibt keine magnetischen Ladungen:

s. (2.2)

V.B=0

ik-B--0

Induktionsgesetz:

s. (2.5) VxE=-

ikxg=-~

B

~

StrSme sind Wirbel des magnetischen Feldes:

s. (2.3)

Coulomb-Lorentzkraft:

(2.7)

d2 m~-~r = q(E + v x B )

Ganz allgemein wird der Zusammenhang ffir eine Amplitude im Orts- bzw. Zeitraum, ,4(r, t), und dem (w, k)-Raum angegeben durch sogenannte Fourier-

transform-Paare, ,4(r,w)

= - ~ /A(r,t)e-iWtdt

," A(r,t) --

,4(k,t)

= - ~ /A(r,t)eikrdar

9 h(r,t)

-~1 S,4(w,t)eiWtdw 1 [,4(k,t)e-ikrd3k

(2.8)

J

Hier werden mit ,4 Amplitudendichten im Frequenz- bzw. k-Raum bezeichnet. Die elektrische Feldamplitude g(r, w) wird z.B. in [V/m.Hz] gemessen. Im Experiment bezieht sich die Dichte auf die vielleicht sehr kleine, aber immer endliche Bandbreite der Lichtquelle, mit der das Experiment ausgeffihrt wird. Mit den Fourierkomponenten lassen sich besonders monochromatische Felder, die eine feste harmonische Frequenz w0 = 2~r~0 besitzen, gfinstig beschreiben. Ffir diese Wellen muff man nach (2.8) eigentlich g(r,w) = g0(r)e-~tS(w-w0) schreiben. Die Integration fiber w kann aber ffir die Deltafunktion (definiert nach f f(w)5(w- wo)dw = f(wo)) direkt ausgeffihrt werden. Dann hat die Amplitude $ in G1. (2.7) die Einheit [V/m].

40

2 Wellenoptik

Selbstverst~ndlich kSnnen Zeit- und Ortsvariable auch gleichzeitig Fouriertransformiert werden. Wenn wir die Maxwell-Gleichungen darauf anwenden, werden aus den Differentialgleichungen Vektorgleichungen. Eine Ubersicht aller Varianten haben wir in Tab. 2.1 zusammengefat]t und um die CoulombLorentz-Kraft (2.7) erg~inzt, die auf eine Ladung q am Ort r und bei der Geschwindigkeit v = dr~dr ausgefibt wird.

2.1.5

Maxwell-Gleichungen f'tir die O p t i k

Ffir die allermeisten Anwendungen der Optik kSnnen wir davon ausgehen, dat3 es keine freien Ladungen und StrSme gibt. Es ist Aufgabe einer mikroskopischen Theorie, die dynamisehe dielektrisehe Funktion c(w) -- c0~(w) -e0(1 +X(W)) aus G1. (2.4) zu berechnen. Ffir einfaehe F~lle werden wit dieser Frage im Kapitel fiber die Wechselwirkung von Licht und Materie (Kap. 6) nachgehen. Zun~chst ersetzen wit die dielektrische Funktion e0~ auf ph~inomenologische Art und Weise durch den Brechungsindex n, c0~ ----e0n2 der sowohl vonder Frequenz w als auch vom Ort r abh~ingen kann, und erhalten einen ffir die Optik sinnvollen Satz von Maxwell-Gleichungen, der sich durch eine hohe Symmetrie auszeichnet: V " n2E

=

0

WxE

--

#0OH

V.H

=

0

VxH

=

e0~Ttn2E

(2.10)

Da wir besonders an der Bewegung geladener, polarisierbarer Materie interessiert sind, mfissen wir noch die Lorentzkraft (2.7) hinzu nehmen. Die ffinf Gleichungen werden auch als Maxwell-Lorentz-Gleichungenbezeichnet. Sie sind in Tab. 2.1 in differentieller und integraler Form angegeben.

2.1.6

Kontinuit~itsgleichung und Superpositionsprinzip

Wir k6nnen aus den Maxwell-Gleiehungen zwei wiehtige Folgerungen ziehen: Die Ladungen einer Probe sind erhalten, wie man durch Divergenzbildung yon G1. (2.3) und unter Benutzung von (2.1) schnell berausfindet. Man erh~lt die

Kontinuit~itsgleichung 0 v . j = -b-/p Das Superpositionsprinzip ist eine Konsequenz der Linearit/it der MaxwellGleichungen: Zwei unabh/ingige elektromagnetische Felder El,2 fiberlagern sich

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

41

linear zum Superpositionsfeld Esup, Esup = E1 + E2

(2.11)

Das Superpositionsprinzip ist als Grundlage der Behandlung von Interferenzen besonders wichtig (Kap. 5).

2.1.7

Die Wellengleichung

Elektromagnetische Wellen breiten sich im Vakuum ( n v ~ = l ) mit Lichtgeschwindigkeit aus, und sie sind eine direkte Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen. Im Vakuum gibt es weder StrSme, j = 0, noch Ladungen, p = 0. Dann werden die Maxwell-Gleichungen (2.1) und (2.5) erheblich vereinfacht, V.E=0

und

0 VxH=e0~-~E

Mit der Vekgoridentit/it V x ( V x E ) = V ( V . E) - V 2 E u n d c = 1/~/#0e0 erhalgen wir aus dem Indukgionsgesetz (2.5) die Wellengleiehung im Vakuum, (V 2

102 ) c~ ~ E(r,t) = 0

(2.12)

Die entsprechende eindimensionale Wellengleichung kann man in der Form

sehreiben und durch Naehreehnen sehnell feststellen, dag sie LSsungen der Form

E(z,t) = E(z + ct) besitzt. Die LSsungen breiten sieh mit der Phasengeschwindigkeit c aus, deren Wert im Vakuum als Lichtgesehwindigkeit c (yon lat. celeritas, Geschwindigkeit) bezeichnet wird. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine der bedeutendsten Naturkonstanten. Ihr numerischer Wert wird seit 1983 nicht mehr immer genauer vermessen, sondern wurde fiir alle Zeiten auf den Vakuumwert der

Lichtgeschwindigkeit:

c = 299.792.458 m / s

festgelegt. Exkurs: Lichtgeschwindigkeit c und Relativit~tstheorie

Das Licht breitet sich nach unserer unmittelbaren Erfahrung ,,instantan"aus. Der dfia]ische Astronom Olaf Rcemer (1644-1710) stellte aber 1676 fest, dab die Phasen des innersten Jupitermondes Io kfirzer wurden, wenn sich der Jupiter auf die Erde zubewegte, und grSt]er,

42

2 Wellenoptik

wenn er sich von ihr weg bewegte [141]. Er folgerte daraus, dab die Ausbreitung der Lichtstrahlen nicht unmei3bar schnell vor sich geht, sondern mit einer endlichen Geschwindigkeit, die Huygens aus seinen Daten zu 225 000 k m / s bestimmte (s. auch Aufgabe 2.1.) Seit 1983 ist der Wert der Lichtgeschwindigkeit c ein fiir allemal durch internationale Konvention festgelegt. Es mag z u n ~ h s t iiberraschen, dab man eine physikalische Naturkonstante einfach definieren kann. Man muB aber bedenken, dab eine Geschwindigkeit durch die physikalischen GrSBen Zeit und L~inge bestimmt wird und deshalb zu ihrer Bestimmung stets u n a b h ~ g i g e Zeit- und L~genmessungen erfordert. Die Zeitmessung kann man durch

Abb. 2.2 Die Lichtgeschwindigkeit besitzt seit dem 1Z Kongress ~ber Marie und Gewichte

(1983) einen lest definierten Wert. Die Karos geben die Meriwerte verschiedener Labors mit ihrer Unsicherheit an [52]. Vergleich mit einem atomaren Zeitstandard (einer Atomuhr) mit extremer Genanigkeit vornehmen, fiir die L~i~genmessung fehlt jedoch ein solcher Mat3stab. Man hat deshalb das Verfahren umgekehrt und leitet nun - - zumindest im Prinzip - - jede L~i~genmessung von einer sehr viel genaueren Zeitmessung ab: Ein Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1/299 792 458 s zuriicklegt. Die Lichtgeschwindigkeit hat eine zentrale Rolle bei der Formulierung der speziellen Relativit~tstheorie durch A. Einstein gespielt [49]. In einem beriihmten Interferenzexperiment haben die amerikanischen Physiker Michelson und Morley n~mlich 1886 festgestellt, dab sich das Licht vom Standpunkt eines Beobachters immer mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet, u n a b h ~ g i g yon der Bewegung der Lichtquelle selbst. Zu den Konsequenzen dieser Theorie geh6rt, dab sich kein Teilchen und kein Objekt, ja iiberhaupt keine Wirkungeiner physikalischen Ursache im Raum schneller als mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten oder bewegen kann. Die Relativitatstheorie steht an einem herausragenden Schnittpunkt zwischen klassischer und moderner Physik. Danach ist es n6tig, die Gleichungen der mechanischen Bewegung bei sehr groBen Geschwindigkeiten zu modifizieren. Die Maxwell-Gleichungen, die die Ausbreitung des Lichtes beschreiben, stehen aber von Beginn an mit der Relativit~itstheorie im Einklang. Diese Eigenschaft bezeichnet man als ,,relativistische Invarianz".

2.1 Elektromagnetische Strahlungsfelder

43

Die Wellengleichung wird weiter vereinfacht, wenn wir nur monochromatische Wellen mit harmonischer zeitlicher Entwicklung zulassen. Wir verwenden komplexe Zahlen, well sich viele Wellenformen damit formal iibersichtlich behandeln lassen. Generell wird aber nur der Realteil der komplexen Amplitude als physikalisch reale Gr56e betrachtet. Aus E(r, t) = ~e{E(r)e -iwt} erhalt man mit w2 = c2k2 die Helmholtz-Gleichung, die nur noch vom Ort r abh~ngt: (V 2 + k 2) E(r) = 0.

(2.13)

In homogener Materie (d.h. bei konstantem Brechungsindex n) erf~hrt die Wellengleichung (2.12) wegen (2.10) nur eine _Anderung: die Ausbreitung wird durch eine andere Phasengeschwindigkeit bestimmt, c ~ c/n, ansonsten breitet sich die Welle genau wie im Vakuum aus. Man erhalt (V2 - ( n ) 2 ~--~2) E(r, t) = 0.

(2.14)

In der theoretischen Elektrodynamik werden auch die dynamischen elektrischen und magnetischen Felder h~ufig und etwas eleganter von einem gemeinsamen Vektorpotential A(r, t) = A0e -i(~t-kr) abgeleitet, das seinerseits die Helmholtz-Gleichung (2.13) erfiillt: - - ~ - A -iwA 1vOt• i A (2.15) H#0 fi0 k • Eine vollst~indige Festlegung des Potentials A erfordert eine zus~itzliche Bedingung in Form einer Eichvorschrift. Ffir unsere Zwecke ist die sogenannte Coulomb-Eichung ( V 9 A = 0) eine sinnvolle Wahl, in anderen Situationen kSnnen aber Alternativen wie die Lorentz-Eichung bei relativistischen Problemen Vorteile bieten. Aus V 9E = 0 und (2.15) folgt, da6 Strahlungsfelder im freien Raum transversal sind (d.h. sie sind orthogonal zum Wellenvektor k) (ADD. 2.3), 4 E

--

E-k--H-k--0 Ferner kann man aus (2.15) eine nfitzliche Relation gewinnen, 1 n:--ek• /-toe Sie zeigt, dat3 E- und H-Feld auch zueinander senkrecht stehen, s. Abb. 2.3. 4Statische Felder von Ladungsverteilungen werden longitudinalgenannt, denn nach G1.(2.1) gilt dann V 9E ----p(r) r 0. Die longitudinalen und transversalen Eigenschaften h~izlgen allerdings von der Eichung ab.

44

2 Wellenoptik

Abb. 2.3 Die Richtungen des elektrischen (E) und magnetischen Feldes (H) einer elektromagnetischen Welle (hier: linear polarisiert) stehen im isotropen Raum senkrecht sowohl zueinander als auch auf der Ausbreitungsrichtung mit dem Wellenvektor k.

2.1.8

Energie trod Impuls

Die instantane Energiedichte U eines elektromagnetischen Feldes betr~gt 1 U = ~ (e0[E[ 2 + #0[H[ 2) = co[E[ 2.

(2.16)

Die Gesamtenergie/4 eines elektromagnetischen Feldes wird durch Integration fiber das zugehSrige Volumen V gewonnen,

1,4 = eo Iv [E(r)[2d3r" Formal besitzt ein ,,Photon" bei der Schwingung mit der Frequenz w die Energie /4 -- hw. Daraus kann man auch die mittlere Feldst/~rke ([E[) -- ~/hw/2eoY gewinnen, die einem Photon entspricht (Fiir Details vergl. Abschn. 12.2.). Diese GrSt3e ist wichtig, wenn man zum Beispiel die Kopplung eines Atoms an die Feldschwingung eines Resonators beschreiben will. Elektromagnetische Wellen transportieren Impuls und Energie. Die Energiestromdichte wird durch den Poynting-Vektor S gekennzeichnet, S -- E •

-- ce0ek[E[ 2

,

(2.17)

die wegen p = U/c zur Impulsdichte g -- S/c 2 proportional ist. In einem Experiment ist die fiber eine Periode T = 2~r/w gemittelte Intensit/it I = c(U) einer elektromagnetischen Welle am leichtesten me6bar. Sie besitzt mit der elektrischen Feldamplitude Co bei linearer Polarisation den Zusammenhang I--

1

2

2.2 Wellentypen

2.2

45

Wellentypen

Wir wollen nun Grenzf~ille einfacher und wichtiger Wellentypen vorstellen.

2.2.1

Ebene Wellen

Ebene W e l l e n sind die charakteristischen LSsungen der Helmholtz-Gleichung (2.13) in kartesischen Koordinaten (x,y,z):

(020205 ) ~ x 2 + ~y2 § ~ z 2 § ks

E(r) ----0

(2.18)

Ebene Wellen sind Vektorwellen mit konstantem Polarisationsvektor e und Amplitude $0, n ( r , t ) = ~ e { E o e e - i ( w t - kr)} Sie besitzen generell zwei unabh~ingige, orthogonale Polarisationsrichtungen e, die wir in Kap. 2.4 n~iher behandeln werden. Der Wellenvektor definiert durch k . r = const. Ebenen mit identischer Phase (I) = w t - k r (Abb. 2.4).

Abb. 2.4 Momentaufnahme wichtiger Wellentypen: (a) die isotrope (skalare) Kugelwelle hat eine einfache Struktur; sie kann elektromagnetische Wellen, die immer Vektorfelder sind, jedoch nicht korrekt beschreiben; (b) Ebene Welle mit Wellenvektor; (c) die Dipolwelle entspricht einer KugelweUe mit anisotroper Intensitdtsverteilung; (d) schon im Abstand yon wenigen WeUenldngen yon der QueUe wird die Dipolwelle der ebenen Welle sehr dhnlich.

46

2.2.2

2 Wellenoptik

Kugelwellen

Es entspricht unserer Erfahrung, daft sich Licht im Raum allseitig ausbreitet, und daft dabei die Intensit~it abnimmt. Demnach w~ire es naheliegend, die Strahlenausbreitung dutch eine Kugelwelle wie in Abb. 2.4(a) zu beschreiben. In Kugelkoordinaten (r, 0, r lautet die Helmholtz-Gleichung (2.13): - -2 = - r 200r -- + ~r [10rO

r2sinO00 s m l0

.

0 -0 ~ +

- 21- ~0r - 02 + 2k r- 2sin

2// E ( r ) = 0 .

(2.19)

Weil die elektromagnetischen Felder Vektorcharakter besitzen, muff man aber L6sungen fiir ,,Vektor"-Kugelwellen suchen. Sie sind durchaus bekannt und gebr~iuchlich, ffir unsere Zwecke aber mathematisch zu aufwendig. Die Probleme werden aber vereinfacht, weil in der Optik haufig nur ein kleiner Raumwinkel in einer bestimmten Richtung von praktischer Bedeutung ist. Dort ~indert sich die Polarisation des Lichtfeldes nur ganz geringffigig und wir k6nnen in guter N~herung die vereinfachte, skalare LSsung dieser Wellengleichung verwenden. Eine isotrope, skalare Kugelwelle hat die Form

E(r,t) = ~e ~$o

e-i(wt ~

kr) } (2.20)

Die Amplitude der Kugelwelle f~illt invers mit dem Abstand E c( r -1 ab, ihre Intensit~it mit dem Quadrat des inversen Abstandes I c~ r -2. Mit der skalaren Kugelwellenn~iherung l~ii~tsich die Wellentheorie der Beugung in guter Naherung nach Kirchhoff und Fresnel beschreiben (s. Kapitel 2.5).

2.2.3

Dipolwellen

Dipolstrahler sind die wichtigsten Quellen elektromagnetischer Strahlung. Das gilt bei Radiowellen mit Wellenl~ingen im m oder km-Bereieh, die yon makroskopischen Antennen abgestrahlt werden, aber genauso bei optischen Wellenl~ingen, wo die induzierten Dipole mikroskopischer Atome oder FestkSrper die Rolle der Antennen fibernehmen. Eine positive und eine negative Ladung • im Abstand x besitzen das Dipolmoment d(t) = qx(t). Dipole kSnnen induziert werden, indem durch ein ~iufieres Feld die Schwerpunkte der positiven und der negativen Ladungsverteilung z.B. eines neutralen Atoms gegeneinander verschoben werden. Ladungsschwingungen x -- xoe -i~t verursachen ein oszillierendes Dipolmoment,

d(t) =

doe-iwt,

(2.21)

das eine Dipolwelle abstrahlt und die einfachste Version einer Vektorkugelwelle bildet. Wir nehmen nun an, daf unser Beobachtungsabstand grofi ist gegen die

2.2 Wellentypen

47

Wellenl~inge r >> )~ = 27~c/w. Unter diesen Umst~inden befinden wir uns im Fernfeld des Strahlungsfeldes. Wenn auch der Abstand Ixl der Ladungen sehr

Abb. 2.5 Winkelverteilung der Intensitiit (oc [E[2) eines linear und eines zirkular schwin-

genden Dipols. klein ist gegen die Wellenl~nge, k5nnen wir die Intensit~tsverteilung mit den Ergebnissen ffir den Hertzschen Dipol 5 beschreiben. Die einfachste Form zeigt ein linearer Dipol entlang der z-Richtung, d = doe-i"~tez, dessen Feldamplitude in sph~rischen Koordinaten (r, 0, r gegeben wird:

e - i ( w t - kr) kado sin 0 e0 ~o kr

Enn -

Die F1/ichen konstanter Phase sind wiederum Kugelfl~chen, nur wird mit dem Winkelfaktor sin 0, der genau die Komponente des Dipolmoments senkrecht zur Ausbreitungsrichtung angibt, die Antennencharakteristik eines Dipols erzeugt. Fiir einen zirkularen Dipol, d = doe-i~t(ex + iey) findet man Ecirc

-

k3d~ cos 0 e - i ( w t - kr) (cos 0ee q- ie~) Co kr

In Abb. 2.5 ist die Intensit/itsverteilung schwingender Dipole gezeigt. Beim linearen Dipol treten im Gegensatz zum zirkularen Richtungen auf, in welche keine Energie abgestrahlt wird. Die Dipolcharakteristik lafit sich beim TyndallEffekt mit relativ einfachen Mitteln sehr schSn beobachten. Man benStigt einen linear polarisierten Laser und einen Plexiglasstab (Abb. 2.6): Die Doppelbrechung des Plexiglasstabes verursacht eine Modulation der Polarisationsebene, und der seitliche Beobachter sieht ein periodisches An- und Abschwellen des Streulichts im Plexiglasstab. 5Der Hertzsche Dipol besitzt keine r/iumliche Ausdehnung (x --* 0), wohl aber ein von Null verschiedenes Dipolmoment d.

48

2 Wellenoptik

Abb. 2.6 Tyndall-Effekt in einem Plexiglasstab. Durch Doppelbrechung wird die Polarisation periodisch moduliert (O.A.: Optische Achse; s. Abschn. 3. 7.1). Ein seitlicher Beobaehter sieht deshalb ein periodisches An- und Abschwellen der gestreuten Lichtintensitiit. Insbesondere zeigt an den Knoten die Polarisation linear in Riehtung des Beobaehters.

2.3

Gaufl-Strahlen

Wir wollen nun die Verbindung von Strahlen- und Wellenoptik herstellen. Dazu werden wir die Ausbreitung eines Lichtstrahls im Wellenbild, das heigt mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen beschreiben. Wir wissen von unseren Beobachtungen, dab sich das Profil eines Lichtstrahls nur sehr langsam ver~indert, und besonders augenf~llig ist das an der starken Bfindelung der Laserstrahlen. Entlang einer Ausbreitungsrichtung z verh~ilt sich ein Lichtstrahl sehr ~ihnlich wie eine ebene Welle mit konstanter Amplitude ,40, die eine bekannte LSsung der Wellengleichung (2.12,2.18) ist, E ( z , t) = Aoe - i ( w t - k z )

Andererseits wissen wir, dag sich in groBer Entfernung von einer Quelle das Licht eher wie eine andere bekannte L5sung von G1. (2.12,2.20) verhalten sollte, divergent wie die schon betrachtete Kugel- oder Dipolwelle n~imlich, deren Amplitude radial mit der Entfernung vonder Quelle abnimmt, E(r, t) ----,4o e - i ( w t -

kr)

Ikrl

Um die Ausbreitung yon Lichtstrahlen zu verstehen, betrachten wir nut einen Ausschnitt einer Kugelwelle in der N~he der z-Achse (,,paraxial") und zerlegen sie in ihre longitudinalen (z-Koordinate) und ihre transversalen Anteile. Augerdem betrachten wir Strahlen mit axialer Symmetrie, die nur noch yon einer transversalen Koordinate p abh~ngen. Man kann unter diesen Umst~nden kr = k r ersetzen und in der sogenannten Fresnel-Ndherung wegen p << z, r die N~iherung r -- ~ ~-- z + p2 / 2 z verwenden: E(r)-

~

e

-~

A p)

exp \ -~-z]

(2.22)

Diese Form hat schon viel Ahnlichkeit mit einer ebenen Welle, deren r~umliche Phase transversal geringfSrmig mit dem Fresnel-Faktor exp ( i k p 2 / 2 z ) moduliert bzw. gekrfimmt ist.

2.3 Gaut3-Strahlen

49

Wir bemerken, daft wir eine weitere KugelwellenlSsung erhalten, indem wir in (2.22) z dureh den Radius der Wellenfronten R ( z ) -- z - Ro ersetzen, deren Zentrum nun bei Ro liegt, oder auch, wenn wir adhoc die lineare komplexe Ersetzung (Zo ist eine reelle Zahl) z - * q ( z ) ---- z - izo

vornehmen. Auf diese Art und Weise haben wir den G a u f l s c h e n G r u n d m o d e 6 bereits konstruiert, wenn wir eine konstante Amplitude ,4o verwenden:

E(z,p)

Ao exp \(i kq(z)

kp2

e ikz"

(2.23)

Wir werden die hier , , g e r a t e n e " LSsung in Kiirze als L6sung der paraxialen Helmholtz-Gleichung (2.30) wiederfinden.

Abb. 2.7 Fin Gauflscher Grund-Mode in der Ndhe der Strahltaille. hn Zentrum werden nahezu ebene Wellenfronten erreicht, auflerhalb ndhern sich die Wellen wieder schnell der Kugelform an. Die Rayleighzone ist ira unteren Teil sehra~ert.

Die Gaui3moden propagieren im freien, isotropen Raum, anders als etwa die Wellen in einem dielektrischen Lichtleiter, die auf die inhomogenen optischen Eigenschaften des Wellenleiters angewiesen sind. Im isotropen Raum sind sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld transversal zur Ausbreitungsrichtung und die Wellenformen werden als Transversaler Elektrischer und Magnetischer Mode mit Indizes (m, n) bezeichnet. Die Grundl6sung tr~igt die Bezeichnung TEMoo-Mode. Sie ist die mit Abstand wichtigste Form aller verwendeten Wellentypen und soll daher nfiher analysiert werden, bevor wir uns den h6heren Moden zuwenden. 6Der Begriff,,Mode", der hier erstmals auftaucht, ist vom 1at. Modus, Marl, Melodie entlehnt und sollte im Deutschen besser als der Mode angesprochen werden.

50 2.3.1

2 Wellenoptik Der Gauflsche Grtmd- oder TEMoo-Mode

Die Darstellung der Feldverteilung ist in G1.(2.23) noch nicht sehr iibersichtlich. Deshalb ffihren wir die Ersetzung q(z) ---* z - izo explizit aus, 1

z + izo

1

2

q(z---) -- z 2 + z--~o-- R(z---) + i kw2(z-----~

,

(2.24)

und fiihren neue Gr6fien Zo, R(z) und w(z) ein. Die Zerlegung des Fresnelfaktors nach Real- und Imagin~teil erzeugt zwei Faktoren, einen komplexen Phasenfaktor, der die Kriimmung der Wellenfronten beschreibt, und einen reellen Faktor, der die Einhiillende des Strahlprofils wiedergibt: -

Die Form des Gaut3sehen Grundmodes in Abb. (2.7) wird durch das Para.meterpaar (wo, z0) vollst/indig charakterisiert. Folgende Begriffe haben sieh zur Beschreibung wichtiger Eigensehaften eingebiirgert: 9 R a y l e i g h z o n e , k o n f o k a l e r P a r a m e t e r b:

b = 2z0

Die Gaui3welle erf~hrt ihre gr6flte Anderung im Bereich des sogenannten Rayleigh-Parameters z0 aus G1.(2.24), fiir -z0 _< z _< z0. Dieser Bereich wird Rayleighzone genannt und h~ufig auch mit dem konfokalen Parameter b = 2z0 charakterisiert. In der Rayleighzone befindet man sich im Nahfeld des kleinsten Strahlquerschnitts oder Brennflecks (,,Fokus"). Bei z << z0 propagiert eine nahezu ebene Welle und die Wellenfront ~ndert sich nur geringffigig. Die Rayleighzone ist umso kfirzer, je starker ein Lichtstrahl fokussiert wird. Im Zusammenhang mit Abbildungen sprechen wir dabei auch vonder Tiefenschdrfe (s. Kap. 4.3.3). Im Fernfeld (z >> Zo) gleicht die Ausbreitung wieder der Kugelbzw. Dipolwelle. 9 R a d i u s d e r W e l l e n f r o n t e n R(z):

R(z) = z(1 + (Zo/Z) 2)

(2.25)

In der Rayleighzone gilt bei z << z0: R(z) ~- oc, im Fernfeld dagegen R(z) ~- z. Die grSfite Kriimmung oder der kleinste Radius der Wellenfronten tritt am Rand der Rayleighzone mit R(zo) = 2z0 auf. 9 Strahltaille 2Wo:

w2 = AZo/Ir

Strahltaille 2w0 bzw. -radius w0 (engl. waist) geben den geringsten Strahlquerschnitt bei z -- 0 an. Wenn die Welle sich im Medium mit dem Brechungsindex n ausbreitet, muff A durch A / n ersetzt werden. Der Durchmesser der Strahltaille betr~gt dann w~ = AZo/~rn.

2.3

Gaut3-Strahlen

51

9 S t r a h l r a d i u s w(z):

wa(z)--w2 1 +

In der Rayleighzone bleibt der Strahlradius nahezu konstant. Im Fernfeld dagegen nimmt er linear zu nach w(z) ~- WoZ/Zo. 9

f

Divergenz Odiv:

O d i v - - W__O __ t [

Zo

A

V7rZOn

Im Fernfeld (z >> b) l~t3t sich die Divergenz aus e(z) = w(z)/z,z ~ bestimmen. ~(z) = tan-l(z/zo)

9 G o u y - P h a s e ~?(z):

oc

(2.26)

Die Gaufiwelle erfghrt beim Durchgang dutch den Fokus etwas mehr Kriimmung als eine ebene Welle. Zur Verdeutlichung khnnen wir alternativ zu (2.24) und unter Verwendung von a +ib -- (a 2+ b2) 1/2ei t~n-1(b/a) auch die Ersetzung

i

q(z)

1 Wo _itan-l(z/zo) --

-

-

e

zow(z)

vornehmen. (Der imagin~ire Faktor stellt die iibliche Konvention her, bei z = 0 eine reelle Amplitude oder verschwindende Phase zu finden). Durch die Funktion ~?(z) wird dann die geringe Abweichung vonder linearen Phasenentwicklung der ebenen Welle beschrieben, -~r/2 < ~?(z) < ~r/2. Diese Extra-Phase ist unter dem Namen Gouy-Phase bekannt und wird zur Halfte in der Rayleighzone aufgesammelt. Das Gesamtresultat des Gaui3schen Grundmodes oder TEM00-Modes lautet mit diesen Bezeichnungen:

E(p,z) = Ao Wo _(p/w(z))2 jkp2/2n(z) j ( k z w(z)

~(z))

(2.27)

Der erste Faktor beschreibt die transversale Amplitudenverteilung, der zweite (Fresnel-)Faktor die kugelfhrmige Kriimmung der Wellenfronten und der letzte die Phasenentwicklung entlang der z-Achse. In der Physik und der optischen Technik wird in der iiberwiegenden Zahl aller Anwendungen ein Gaui3scher Grund- oder TEM00-Mode verwendet.

Beispiel: Intensit~it des TEMoo-Modes Die Intensit~tsverteilung in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung entspricht der bekannten Gaui3verteilung,

I(p,z) = ~ E E * =

~lAol 2

wo

e-2(p/w(z))2

52

2 Wellenoptik

mit dem axialen Spitzenwert

i(0,

o_ _lAol

Man gibt als ,,Querschnitt" eines Ganfistrahls im allgemeinen die Breite 2w(z) an, bei der die Intensit~it nur noch 1/e 2 oder 13% des Maximalwertes betr~igt. Innerhalb dieses Radius sind 87% der Gesamtleistung konzentriert. Entlang der z-Achse folgt die Intensit~it einem Lorentz-Profil 1/(1+(z/z0)2). Sie f~illt yon ihrem Maximalwert I(0,0) : (ce0/2)lA01u ab (Abb. 2.7) und erreicht bei z = z0 noch den halben Wert. Der konfokale Parameter b ist also auch ein Marl ffir die longitudinale Halbwertsbreite der Fokuszone. Die gesamte Energiestromdichte P : 27r f I(p, z)pdpz einer Gauflwelle kann sich wegen der Energieerhaltung nicht/indern, wie man auch durch explizite Integration nachprfifen kann, P / ceo = 2 1 r ~ w ~ f ~ Jo

2.3.2

pdp e _ 2 ( p / w ( z ) ) 2 = ~rWo.A2

Das A B C D - G e s e t z f'tir Gauflmoden

Die Niitzlichkeit der Gaufmoden bei der Analyse eines optischen Strahlengangs wird besonders durch eine einfache Erweiterung des aus der Strahlenoptik bekannten A B C D - G e s e t z e s (Kap. 1.9.2) gefSrdert. An jedem Ort z auf der Strahlachse kann ein Gaufstrahl entweder durch das Parameterpaar (w0, z0) oder alternativ den Real- und Imaginarteil von q(z) nach G1.(2.24) vollstandig charakterisiert werden. Wir wissen, daft die beiden Parameter eines Lichtstrahls nach Gl.(1.17) linear transformiert werden, und dab fiir jedes optische Element ein bestimmter Typ einer Matrix T mit den Elementen A B C D existiert. Die Parameter des Gaufstrahls werden durch lineare Operationen transformiert, deren Koeffizienten mit denen aus der Strahlenoptik identisch sind: Aqo + B ql = T | qo - Cqo + D

(2.28)

Es ist nun gar nicht so schwer zu zeigen, daft diese Operationen auch mehrfach angewendet werden kSnnen und dab die Gesamtwirkung T dem Matrizenpro-

2.3 Gaut3-Strahlen ^

53

^

dukt T2T1 entspricht: A Alqo ~2Clq~ C2Alqo lqo

q2 = T2 | (T1 |

+ + + +

B1 0 1 + B2 _ (A2A1 + B2C1)qo + ... B1 ... D1 + D2

Wir kSnnen also die Wirkung s/imtlicher Elemente wieder durch die schon bekannten Matrizen aus Tab. 1.2 beschreiben.

Beispieh Fokussierung mit einer dfinnen Linse Als ein wichtiges und instruktives Beispiel greifen wir die Wirkung einer diinnen Linse mit der Brennweite f heraus, mit der ein Gaufistrahl im TEM00Mode fokussiert werden soll, und vergleichen ihn mit den Vorhersagen der Strahlenoptik. Wir betrachten die Parameter der Welle in den Ebenen 1 (unmittelbar vor der Linse), 2 (unmittelbar nach der Linse) und 3 (im Fokus). E b e n e E l . Ein Gaufistrahl mit grofier Strahltaille 2w01 und unendlich grossem Krfimmungsradius R ( z -0) -- oc kommt unserer Vorstellung von einer ebenen Welle recht nahe. Dann ist iibrigens auch wegen zm -zcw~l/)~ die Rayleighl/inge recht grofi, z.B. misst sie bei einem Strahldurchmesser von nur 1 cm und einer Wellenl/inge von 632 nm schon 124 m! Daher nehmen wir an, daft die Strahltaille des einlaufenden Strahls bei z -- 0 liege und folglich q(z) rein imagin/ir sei,

Abb. 2.8 Fokussierung emes Gauj~strahls dutch eine diinne Linse der Brennweite f.

97rw21 q~ ---- - i z o ~ ---- - ~

A

E b e n e E2. Durch die diinne Linse ~ndert sich der Strahlradius nicht sofort (Wo2 -- Wol), wohl aber der Urfimmungsradius, der nun 1/R2 -- - 1 / f betragt: 1

1 -

q2(z = O)

f

1

§

Z0i

Man h/itte dasselbe Ergebnis auch durch formale Anwendung der Linsentransformation aus Tab. 1.2 und mit G1.(2.28) erhalten. E b e n e E3. Ftir die Translation v o n d e r Linse zum neuen Fokus gilt q3(g) ----q2(0) -t- g

,

54

2 Wellenoptik

aber die gPosition der Ebene 3 ist zun~chst unbekannt und muB aus der Bedingung bestimmt werden, dab q31 -- i)~/1rw23 dort wieder rein imagin~r wird. Dazu bestimmen wir Real- und Imagin~rteil von q2,

, q2 :

1 -J- (f/z01) 2

~01

Offenbar wird der Realteil von qa genau bei

f

_

1 + (f/zo1) 2

--

g__

f 1

+ ()~f/Trw21) 2

kompensiert, d.h. dort finden wir wieder ebene Wellenfronten. Nach der Strahlenoptik h~itten wir den Fokus genan bei g -- f erwartet. Wenn aber die Brennweite kurz ist gegen die Rayleighl~nge des einfallenden Strahls, f << z01 oder, was gewbhnlich der Fall ist, )~f/w21 << 1, dann wird sich die Lage des Brennpunktes nur sehr geringffigig davon unterscheiden. Interessanter ist die Frage, wie groB der Durchmesser des Strahls im Fokus ist. Wir wissen, dat3 die Strahlenoptik darauf keine Antwort gibt und dab wir Beugungseffekte an der Apertur der Linse berficksichtigen mfissen. Wir berechnen zunachst den Rayleigh-Parameter 1

zo3

I 1

f

+ (f/zoi) 2 f /zol

und bestimmen dann das Verhaltnis der Strahldurchmesser an der Linse und im Fokus,

w01

(2.29)

x/1 + (//zo~)2

\ z01 /

Ersetzen von l/z01 durch A/1rw~i liefert

Af ~03 =

~01

1

v/i

+ (~//~0~112

Af -

~01

'

und wir erhalten mit dem ersten Faktor das aus der Beugungstheorie bekannte Rayleighkriterium fiir das Auflbsungsvermbgen einer Linse, welches wir im Kapitel fiber Beugung (Kap. 2.5, Gl.(2.50)) noch einmal behandeln.

2.3 Gau6-Strahlen

2.3.3

55

H6here Gauflmoden

Ffir eine formale Behandlung der Gau~Moden zerlegen wir nun auch die Helmholtz-Gleichung (2.13) in transversale und longitudinale Beitr~ge, 02 V 2 + k 2 - Oz2 + V2T + k 2 und

02 02 V2T -- Ox 2 + Oy2

,

und wenden sie auf das elektrische Feld aus G1.(2.22) an. Wir gehen davon aus, da6 sich die Amplitude Jt auf der Wellenl~ngen-Skala nur sehr langsam ~ndert, ~--A -- ,4' << kA

Oz

erhalten die N~herung

022 .4 eikp2 /2z eikz Oz kz ~-- ( 2 i k A ' - k2A) eikp2/2z eikz kz und gewinnen schlie61ich die paraxiale Helmholtz-Gleichung, ( V 2 § 2ikff---~),4(p, z) = 0

(2.30)

Sie wird offensichtlich von .A -- const, erffillt. Das ist nicht weiter verwunderlich, denn wit haben damit nur best~tigt, dat3 die verwendete Kugelwelle in der N~he der z-Achse die paraxiale Helmholtzgleichung erffillt. Die niedrigste L6sung der paraxialen Helmholtz-Gleichung hatten wir durch Intuition und Konstruktion bereits gefunden (G1.(2.23)), der Grundmode ist aber nur eine, wenn auch eine besonders wichtige LSsung. Die hSheren LSsungen suchen wir als Varianten der schon aus G1.(2.27) bekannten GrundlSsung, das heit3t wir betrachten eine ortsabh~ngige Amplitude .A(x, y, z). Wir verwenden der Ubersichtlichkeit halber wieder q(z) = z - izo,

E(x,y,z) - ~4(x,y,z) exp (i k(x2 + y2)~ eikz q(z) \ /

'

(2.31)

und verwenden kartesische Koordinaten, die uns die bekanntesten LSsungen liefern, die als Hermite-Gaufl-Moden bezeichnet werden. Es gibt aber noch andere Klassen von LSsungen, zum Beispiel die Laguerre-Gaufl-Moden, (s. Aufg. 2.4) die man bei Verwendung von Zylinderkoordinaten {x,y} --* {r, ~} erh~lt. Die paraxiale Helmholtz-Gleichung (2.30) lautet

(02 2ikx 0 02 2ikyO O) ~x ~ + q(z---~Ox + ~ + q(z---~Oy + 2ik A(x,y,z) = 0

(2.32)

Wir suchen wie ffir den Grundmode Amplituden, die symmetrisch von x und y abh~ngen und in longitudinaler Richtung nur eine geringffigige Korrektur der

56

2 Wellenoptik

Phasenentwicklung verursachen: A(x, y, z) -- 7 ( x ) 0 ( y ) e x p ( - i ~ ( z ) ) Wit beriicksiehtigen 1/q(z) -- 2 ( 1 - iz/zo)/ikw2(z) und setzen diese Form ein in G1.(2.32). Wenn wir ausschliet31ich reelle LSsungen fiir 9r, G, 7-/fordern, entfallen imagin/~re Anteile und wir erhalten

1

[ 0 2 ~/x~ 1

c9 .~/x~]

4x

02

4

_-0

Aus der Erwartung heraus, daft sieh die transversale Amplitudenverteilung entlang der z-Aehse nieht/indert, nehmen wir die Variablentransformationen

u = v ' 2 x / w ( z ) und v = v ' 2 y / w ( z ) vor (Der Faktor v'~ dient dazu, die neuen Gleiehungen auf ihre Normalform zu bringen.): 1 1

~=(~) [7'(u)-2uT(u)]

[r162

+ ~

+ kw2(z)~'(z) = o

Durch diese Tranformation haben wir eine Koordinaten-Separation erreicht, und die Gleichung kann durch Eigenwert-Probleme gel6st werden kSnnen: 7'(u) 2uT(u) + 2mr(u) G"(v) - 2uG'(v) + 2nG(v) -

kw2(z)~'(z)

-

= 0 = 0

2(m + n) =

(2.33)

o

Die Gleichung fiir die (u, v)-Koordinaten ist als Hermitesche Differentialgleichung bekannt, ihre L6sungen werden als Hermite-Polynome Hj (x) bezeichnet, die nach den Rekursionsrelationen Hj+l(X) -- 2 x H j ( x ) - 2jHj_I(x) Hi(x) = (-) J e x2 ~dj (2.34) (e -x2 ) leicht zu bestimmen sind. Die niedrigsten Hermite-Polynome lauten H0(x) = 1

Hi(x) -- 2x

H2(x) -- 4x 2 - 2

Ha(x) = 8x 3 - 12x

Ihr Betragsquadrat gibt die transversale Intensit~tsverteilung an und ist in Abb. (2.9) ffir die niedrigsten Moden dargestellt. Sie bilden ein System orthonormaler Funktionen mit der Orthonormalit/itsbedingung

F

2

Hj(x)Hj,(x)e - x d x -

5jj,

2JT.v~

(2.35)

Die dritte Gleichung aus (2.33) wird von

7-l(z) -- (n + m)~(z)

(2.36)

2.3 Gau6-Strahlen

57

Abb. 2.9 TransversaleIntensitiitsverteilungniedrigerHermite-Gauss-Moden ~.Am (x, y)12 =

IHm(x)H.(y)12). mit rl(z) = tan-l(z/zo) (G1.(2.26)) gel6st. Sie erhSht die Phasenverschiebung der Gouy-Phase und spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Resonanzfrequenzen optischer Resonatoren (s. Kap. 5.6). Das Ergebnis fiir die ortsabh/ingige Amplitude fiir hShere Gaug- oder TEMm~-Moden in G1. (2.31) lautet also

e-i(m +

n)?](z)

und fiir das Gesamtergebnis nach Einsetzen, mit p2 = x 2 + y2 und den Bezeichnungen ftir Wo, w(z) und R(z) aus Abschn. 2.3.1:

\w(z) ] x

kw(z) ] ~(z) e

(2.37)

eikp2/2R(z) ei( kz - (m + n + 1)rl(z)).

Insbesondere wird natiirlich das Ergebnis fiir den TEM00-Mode, .A00=const., reproduziert. Alle Moden werden von einer gau6fSrmigen Einhiillenden beschrieben, die aber durch die Hermite-Polynome moduliert wird. Man spricht deshalb von Hermite-Gaufl-Moden. Man mag sich noch die Frage stellen, weshalb wir die kartesische Form der paraxialen Helmholtz-Gleichung gew/ihlt haben, und weshalb eigentlich die zylindersymmetrischen LSsungen selten auftauchen. Der Grund ist technischer Natur, denn die Spiegel und Fenster im Innern realer optischer Resonatoren zeigen immer geringe Abweichungen von der Zylindersymmetrie, so daft die kartesischen Gau6moden gegeniiber den Laguerre-Moden, die man als LSsung der Gleichungen mit zylindrischer Symmetrie findet, gewShnlich bevorzugt werden.

58

2.3.4

2 Wellenoptik

Erzeugung von Gauft-Moden

Abb. 2.10 Gauflmoden hoher Ordnung aus einem einfachen Titan-Saphir-Laser. Der TEM4s,o-Mode ist geringfiigig verkleinert worden. Die Asymmetrie der hohen Moden wird dutch technische Ungenauigkeiten der Resonatorelemente (Spiegel, Laserkristall) verursacht. [167] In den meisten Experimenten ist man an dem TEM00-Grundmode interessiert. Er ist in einem Laserresonator yon Natur aus bevorzugt, well er die geringsten Beugungsverluste aufweist: nach Abb. (2.9) ist klar, dab die effektive Flache eines Modes mit den Ordnungen (m, n) w~chst, so daft die Offnungen eines Resonators (Spiegelr~nder, Aperturen) wachsende Bedeutung erhalten. Weft andererseits auch das r~umliche Verst~rkungsprofil mit dem gewiinschten Mode optimal iibereinstimmen rout3, kann man dutch absichtliche Fehljustierung eines Resonators Moden bis zu sehr hoher Ordnung erzeugen (Abb. (2.10)). Die kontrollierte Formung von Lichtfeldern kann auch durch geeignete Filterung erreicht werden; dabei spricht man yon einer r~umlichen Filterung (engl. spatial filter). Ein solches Raumfilter ist in Abb. 2.11 gezeigt, es besteht

Abb. 2.11 Rdumliche Filterung. Vor der Blende besteht der Strahl aus einer Uberlagerung vieler Gaufl-Moden. Am Beispiel der TEMm ist dargestellt, wie hShere Moden durch die Blende unterdriickt werden. Die Felder in den beiden Ohren des Modes schwingen mit entgegengesetzter Phasenlage.

in seiner einfachsten Form aus einer Fokussierungslinse (zum Beispiel einem Mikroskop-Objektiv) und einer Lochblende (engl. p i n hole), deren Durchmesser auf den TEM00-Grundmode abgestimmt ist.

2.4 Polarisation

59

Die Transmission hSherer Gaufi-Moden wird durch die Blende nicht nur verhindert, weil deren Durchmesser mit der Ordnung schnell ansteigt, sondern sie wird auch dutch die r~umlich alternierende Phasenverteilung unterdrfickt. Die Blende wird deshalb nicht dipolartig erregt wie bei dem TEM00-Grundmode, sondern mit einer hSheren Ordnung, deren Abstrahlung bekanntlich schwacher ist. Auf der Ausgangsseite propagiert ein ,,gereinigter" Gaut3strahl, der selbstverst~ndlich an Intensit~t verloren hat. Besonders gute Unterdriickung hSherer Moden wird erzielt, wenn statt der Lochblende ein Einmoden-Wellenleiter verwendet wird (s. Kap. 3.3).

2.4

Polarisation

Wir haben schon im vorherigen Abschnitt festgestellt, dab elektromagnetische Wellen Vektorwellen sind, deren Richtung im freien Raum mit zwei orthogonalen Polarisationsvektoren e, e ~ beschrieben wird 7. Wir betrachten eine transversale Welle, die sich in ez-Richtung ausbreitet. Die Polarisation muff in der xy-Ebene liegen (Einheitsvektoren ex,y), und wir betrachten zwei Komponenten, deren zeitliche Phasen voneinander abweichen kSnnen, E(z, t) = gxe~ cos (kz - wt) + gyey cos (kz - wt + r

(2.38)

Ffir r = 0, -4-~, -4-27r,... sind die Komponenten phasengleich und die Welle ist linear polarisiert, E(z, t) -- ($~e~ -4- Cyey)cos (kz - wt). Ffir r -- -4-~r/2, +37r/2,... oszillieren sie gerade aufier Phase und ergeben eine im allgemeinen elliptische, flit C~ = Ey zirkular polarisierte Welle: E(z, t) = •ex cos (kz - wt) • ~yey sin (kz - wt). Man kann die Feldamplitude statt nach G1.(2.38) auch in der Form E(z,t) =

Ecos(aex+bey)eos(kz-wt+a)+ +~sin(-bex +aey) sin ( k z - w t +a).

mit a 2 + b2 -- 1 darstellen, die der um den Winkel a verdrehten Ellipse in Abb. 2.13 entspricht. Durch Koeffizientenvergleich bei ( k z - wt) = ~ r / 2 , - r kann man den Winkel a ausrechnen,

tan 7S. Fut3note S. 36.

- 2&E cosr

(2.39)

60

2 Wellenoptik

Abb. 2.12 Das Feld der zirkular polarisierte Welle (links) rotiert iiberaU mit gleicher Amplitude um die Ausbreitungsachse. Die linear polarisierte Welle (rechts) ist eine gew6hnliche Sinuswelle. In Abb. 2.13 ist aufierdem die Zerlegung der linearen u n d der elliptischen Polarisation in zwei zirkulare Wellen vorgestellt.

Abb. 2.13 (a) Elliptisch polarisierte WeUe. Die linear polarisierte Welle (b) kann in zwei gegensinnig zirkulare Wellen mit gleicher Amplitude, die elliptische Welle (c) mit unterschiedlicher Amplitude zerlegt werden

2.4.1

Jones-Vektoren

Ganz allgemein k5nnen wir jede transversal polarisierte Lichtwelle entweder in zwei linear oder zwei zirkular orthogonale Wellen zerlegen. Zum Beispiel findet man fiir das Feld aus GI.(2.38): E ( z , t ) ---- ~e(Cxex + ~yeiCey)e -i(~t-kz)

--

~ e

{(Ez-ieiCEy)e+ + (Ez +ieiCEy)e- } e -i(~

--

]{e {E+e-ia+e+ + E _ e i a - e _ } e -i(~

,

wobei zwei neue kolnplexe A m p l i t u d e n C• Ti"• -- (CxTieir definiert wurden. Die Phasenwinkel a • h a n g e n m i t G1. (2.39) nach a = (a+ + a _ ) / 2 z u s a m m e n . Fiir r = 7r/2 findet m a n z. B. speziell E• = (E~ 4 - E y ) / v ~ , d.h. fiir E~ = Sy eine perfekt rechtsh~ndig zirkular polarisierte Welle. R. Jones h a t 1941 [88] die o r t h o g o n a l e n k o m p l e x e n E i n h e i t s v e k t o r e n

e+ = (e~ + iey)/v/2 e_ ---- (ex -- i e y ) / x / 2

und

e~ -- (e+ + e _ ) / v ~ ey ---- --i(e+ -- e _ ) / x / ~

2.4 Polarisation

61

zur Charakterisierung der Polarisation vorgeschlagen: e~,u vorzugsweise ffir linear, alternativ e• ffir zirkular polarisierte Komponenten. In Komponentenschreibweise erhalten wir

e~=

0

ey=

(0) 1

e•

+i

"

Wir k6nnen sofort zeigen, daft jede linear polarisierte Welle in zwei gegensinnig zirkular polarisierte Wellen zerlegt werden kann, i

-i

=

o

Optische Elemente, die zum Beispiel wie VerzSgerungsplatten auf die Polarisation wirken, kSnnen in diesem Formalismus sehr einfach mit Jones-Matrizen beschrieben werden (s. Kap. 3.7.4).

2.4.2

Stokes-Parameter mad Poincar~-Kugel

Im Experiment werden gewShnlich Intensits gemessen, also Is 2 und nicht die Amplituden E~,y. Aufterdem nimmt jeder Detektor eine Mittelung fiber eine typische Zeit T vor, (IEx,ul2)T. Der Jones-Formalismus ist nur dann sinnvoll verwendbar, wenn aus dieser Messung auch die Amplitude direkt entnommen werden kann, das ist nur ffir idealisierte, perfekt polarisierte Felder der Fall, nicht ffir (im zeitlichen Mittel) nur teilweise oder gar nicht polarisierte Felder.

Abb. 2.14 Stokes-Parameter und -Vektoren fiir ausgewiihlte Polarisationszustdnde. Von links nach rechts: Linear x polarisiert, linear y polarisiert, unpolarisiert, rechtshgndig zirkular polarisiert. Das | deutet an, daft die Propagationsrichtug (die k-Vektoren) aus dem Bild herauszeigt.

Zur vollst~ndigen Charakterisierung des Polarisationszustandes einer Welle kSnnen die Intensitgten fiir zwei orthogonale Komponenten (z. B. e~,y oder e• sowie deren relative Phase verwendet werden. G. G. Stokes (1819 - 1903) hat vorgeschlagen, die GrSften = (E~_) + (E~_) So = (E:) + (E~) = (2E+E_) cos 2~ = S0cos(2"y) cos(2a) (2.40) $1 = (E:) - (E~) $2= (2E~Ey) cos r = (2E+E_) sin2a = 8o cos(2~) sin(2~) $ 3 = (2E~s sin r = (E~_) - (E~_) = So sin(2~/)

62

2 Wellenoptik

zur Charakterisierung zu verwenden. Die geometrische B e d e u t u n g des Winkels ist schon aus Abb. 2.13 bekannt, den Winkel 9' besprechen wir hier. Der erste P a r a m e t e r So ist proportional zur Intensitat. Wenn m a n die g - P a r a m e t e r auf si = g i / g o normiert, gilt stets So = 1 u n d aufierdem Y -- s 2 + s 2 + s 2 _< 1

(-- 1 fiir vollst~ndig polarisiertes Licht)

Man erkennt, dat3 es nur drei unabh~ngige P a r a m e t e r gibt. Ferner gilt bei der 0 b e r l a g e r u n g zweier Wellen nach d e m Superpositionsprinzip ffir die StokesP a r a m e t e r g" -- g § S ~. Die ,,Zirkularit~t" einer Welle kann offenbar durch das Achsenverh~ltnis der Ellipse aus Abb. 2.13 angegeben werden, die GrSt3e

g++g_

tang" - g+ _ g _

variiert zwischen § ffir rechtsh~ndige u n d -1 fiir linksh~ndig zirkular polarisierte Wellen. H. Poincar@ (1854-1912) hat vorgeschlagen, den Winkel t a n (29') -( g 2 _ g 2 ) / ( 2 g + $ _ ) z u r Charakterisierung zu verwenden u n d damit den Parametersatz aus der 3. Spalte in G1. (2.40) erhalten, der offenbar den Kugelkoordinaten eines dreidimensionalen Vektors entspricht. Jeder Polarisationszustand eines perfekt polarisierten Lichtfeldes wird danach durch genau einen P u n k t auf der sogenannten Poincar@-Kugel festgelegt, s

Abb. 2.15 DarsteUung eines Polarisationszustandes auf der Poincard-Kugel. Die linear polarisierten Lichtfelder befinden sich am Aquator, zirkulare an den Polen.

SWir werden im Kapitel fiber Licht und Materie (Kap. 6) sehen, dab diese Struktur in den Blochvektoren der analogen atomaren Zwei-Zustands-Systeme wieder auftaucht.

2.5 Beugung

2.4.3

63

Polarisation und Projektion

Eine ganz erstaunliche Eigenschaft der Polarisation l~Bt sich mit Polarisationsfolie sehr anschaulich vorffihren. Polarisationsfolie erzeugt aus unpolarisiertem polarisiertes Licht, indem eine Polarisationskomponente, die parallel zur Vorzugsrichtung kettenartiger organischer Molekfile in der Folie schwingt, absorbiert wird. Weitere Polarisationskomponenten werden wir im Kapitel fiber Wellenausbreitung in Materie (Kap. 3) behandeln. In Abb. 2.16 ist links dargestellt, dab zwei gekreuzte Polarisatoren zur AuslSschung der Transmission ffihren. Etwas fiberraschend ist es aber schon, wenn man einen weiteren Polarisator mit 45 ~ Polarisationsrichtung zwischen die beiden anderen schiebt, und dann ein Viertel des vom ersten Polarisator transmittierten Lichtes (bei Vernachl~issigung yon Verlusten) auch durch den orthogonalen Polarisator hindurchtritt! Die Polarisation des elektromagnetischen Feldes wird auf die Durchlat3richtung des Polarisators ,,projiziert", der Polarisator Intensit~t.

2.5

Abb. 2.16 Transmission gekreuzter Polarisatoren. Die Schraffur deutet die Polarisationsrichtung an. Im unteren Bild ist der dritte Polarisator unter 45~ zwischen die beiden anderen eingeschoben.

wirkt auf das Feld und nicht auf die

Beugung

Die Lichtbeugung hat bei der Entwicklung der Wellentheorie des Lichtes eine wichtige Rolle gespielt. Selbst berfihmte Physiker haben lange bezweifelt, daft das ,,Licht wie der Schall um die Ecke komme", aber schon Leonardo da Vinci (1452-1519) wut3te, dab auch in den Schatten eines beleuchteten Objektes Licht f~llt - entgegen den Vorhersagen der geometri- Abb.2.17 Huygens Prinzip: Beugung an einer schen Optik. Blende. C. Huygens hat der Wellentheorie eine erste anschauliche Vorstellung verliehen, indem er jeden Punkt des Raumes als Erreger einer neuen Welle auffat]te. Die allgemeine mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips ist allerdings extrem aufwendig, weil die elektrischen und magnetischen Strahlungsfelder

64

2 Wellenoptik

Vektorfelder sind, E = E(x, y, z, t) und B = B(x, y, z, t). Es gibt bis heute nur wenige in Allgemeinheit gelSste Beispiele, zu den Ausnahmen z~hlt das von A. Sommerfeld (1868-1951) 1896 gelSste Problem der ebenen Wellenausbreitung an einer unendlich diinnen Kante. Eine enorme Vereinfachung wird erzielt, wenn wir die vektoriellen durch skalare Felder ersetzen, wobei wir den Giiltigkeitsbereich der N~iherung abstecken miissen. Zu unserem Vorteil breiten sich Lichtstra.hlen h~ufig mit nur geringen Richtungs~inderungen aus. Die Polarisation andert sich dann nur geringfiigig und die skalare N~iherung beschreibt das Verhalten ganz ausgezeichnet.

2.5.1

Skalare Beugungstheorie

Wir betrachten in diesem Kapitel 9 ausschliefllich die Ausbreitung monochromatischer Wellen: l~ E ( r , t ) = g ( r ) e -i~vt Es ist unser Ziel, das Huygenssche Prinzip mit den Mitteln der Mathematik in skalarer N~herung zu erfassen, indem wir das Superpositionsprinzip verwenden: Das totale Lichtfeld C(rp) an einem P u n k t P (Abb. 2.18) setzt sich aus der Summe aller Beitrs der einzelnen Quellen Q, Q~, ... zusammen. Wir wissen bereits, daft Kugelwellen aus einer punktfSrmigen Quelle Q die skalare Form aus G1. (2.20) besitzen, Abb. 2.18 Das Lichtfeld bei P wird yon den Quellen Q, Q', Q', .. gespeist.

g = gQeikr/kr

Um die auf den P u n k t P einstrSmenden Felder zu erfassen, betrachten wir die Quellen auf der Flache S und ihre Wirkung auf ein sehr kleines Volumen mit der Flache S t u m P herum (Abb. 2.19). Wir kSnnen uns dabei das aus der Mathematik wohl bekannte Greensche Integraltheorem zunutze machen, das fiir zwei LSsungen r und r der HelmholtzGleichung (2.13) die Form annimmt -

: o

Wir setzen e~kr/kr und g(rp) fiir r und r ein und schneiden in Abb. 2.19(a) eine Kugel mit sehr kleinem Radius r' und Oberfl~chenelement d S ' = r2df~'er 9Dieses Kapitel ist mathematisch etwas anstrengender. Man kann es fiberschlagen und nur die Resultate Gleichungen (2.46) und (2.47) verwenden. l~ Behandlung setzt raumliche und zeitliche Koh~renz der Lichtfelder voraus, die wir im Kapitel fiber Interferometrie n~her behandeln werden (Kap. 5).

2.5 Beugung

65

Abb. 2.19 Kirchhoffs Theorem. (a): Wahl der Flgchen zu GI.(2.41). (b): Die Fliiche S wird

vonder Quelle Q erregt und strahlt auf den Punkt P. u m den P u n k t P aus, u m sie dort z u s a m m e n zu ziehen,

Auf der kleinen Kugel u m den P u n k t P gilt dS' ]1 er u n d daher V $ 9 dS' = (Os '. Ferner nutzen wir - V e ikr /r = (1/r 2 - ik/r)eikrer u n d finden

[

VE-

[

Ev Jk -

-

dS

=

r

(2.41)

Wir lassen nun den Radius des Volumens u m P h e r u m immer kleiner werden (r ~ O) u n d kSnnen mit

!

--

~

= 47rg(rp)

das Kirchhoffsche Integraltheorem begriinden:

$(rp)=l

Feikr eikr ] Js [ - - - ~ - V E - E V - - - ~ - J dS

(2.42)

In seiner immer noch relativ groi3en Allgemeinheit macht das Kirchhoffsche T h e o r e m nicht den Eindruck, besonders nfitzlich zu sein. Wir wollen deshalb weitergehende Ns studieren u n d wenden es zu diesem Zweck auf eine Punktquelle Q an (Abb. 2.19(5)). Wir n e h m e n an, dab sich von dort eine skalare Kugelwelle der Form

$(p,t) = ~ppei(kp - wt)

66

2 Wellenoptik

ausbreitet. Wir verwenden Kugelkoordinaten und setzen in G1.(2.42) die Kugelwelle zun~chst einfach nur ein, e(rp) =

~gQ k Js ~I~(

O~p( ~ ) ) e p

eikp (0 [eikr~ ] dS.

-

-

-

p

Orr ~,~--)) er]

Dann nutzen wir die N~herung

oeikP-k2eikp(i

1 )"eikpik

op

(kp)

-

p

(2.43) '

fiir p und r. Sie wird schon im Abstand von wenigen Wellenl~ngen wegen kp >> 1 sehr gut erfiillt. Dann kann man auch das Kirchhoff-Integral (2.42) noch einmal entscheidend vereinfachen, E(re)

-

igQ ~ eik( r + P)N(r,p)dS rp

(2.44)

wobei wir den ,,Neigungsfaktor" N(r, p), der auch Stokes-Faktor genannt wird, eingefiihrt haben: N(r,p) =

ere8 - epe8 1 2 = - ~ ( c o s (r, e ~ ) - cos (p, es))

(2.45)

Abb. 2.20 Zur Interpretationdes Neigungsfaktors.Links: GeometrischeRelationen.Rechts: Winkelabhdngigkeityon N(r, p IIe~)--(l+cos(r Um den Neigungsfaktor und seine Bedeutung zu verstehen (bzw. um ihn in den meisten F~llen durch den Wert ,,1" zu ersetzen) betrachten wir Abb. 2.20. Dabei nutzen wir schon ein realistischeres Beispiel, in welchem sich die Strahlen eher achsnah, das heit3t in der N~he der Verbindungsachse von Q nach P ausbreiten. Die ,,Erregung", die vom Fl~chenelement dS ausgeht, k6nnen wir mit dgs = (gQ/kp)exp(ikp)cos(p,e~)dS, den ,,Beitrag" bei P mit dEp = dgs cos (er, e s ) e x p (ikr)/r angeben und finden damit genau die Faktoren aus G1.(2.44).

2.5 Beugung

67

Eine bemerkenswerte Eigenschaft des Neigungsfaktors ist die Unterdriickung der Strahlung in Riickw~rtsrichtung, nach G1.(2.45) gilt n~mlich N ~ 0 ffir ep ~ erl Ffir achsnahe Strahlen in Vorw~rtsrichtung finden wir dagegen N --* 1, und auf diesen h~ufigen Fall wollen uns im Folgenden beschr~nken. Der rechte Teil von Abb. 2.20 zeigt die vollst~ndige Winkelverteilung des Neigungsfaktors ffir eine ebene einfallende Welle mit p = es. Wir betrachten nun nur noch die Ausbreitung achsnaher Strahlen fiir N --- 1 in der Geometrie und mit den Bezeichnungen von Abb. 2.21. Wir nehmen ferner

Abb. 2.21 Fraunhofer-Beugung fiir N~I. an, da6 die Fl~che S mit einer ebenen Welle ausgeleuchtet werde. Dann ist die Feldst~rke Es ~- ~Q/kp konstant, aber die Intensit~tsverteilung kann durch eine Transmissionsfunktion T(~, 7]) charakterisiert werden (die grunds~tzlich imagin~r sein kann, wenn Phasenverschiebungen verursacht werden). Nach G1.(2.44) kSnnen wir fiir die Feldst~rke am Punkt P berechnen nach $(rp) -

iCs e ikr -~ Is T(~, ~)---~d~d~]

(2.46)

Auch dieses Ergebnis ist ffir eine allgemeine Behandlung noch zu schwierig. Weitere N~herungen werden aber durch den Umstand erleichtert, dab der Abstand des beugenden Objekts vom Beobachtungsraum im allgemeinen grofi ist gegen die Wellenl~nge und gegen die transversalen Dimensionen, die in Abb. 2.21 durch den Kreis mit Radius a in der Ebene des beugenden Objekts markiert sind. Die Abstande r und r0 driicken wir nun in den Koordinaten der jeweiligen Ebenen aus, r 2--(x-~)2+(y-7)2+z

2 und

r~----x 2 + y 2 + z 2

Wir betrachten r als Funktion von r0, )

'

68

2 Wellenoptik

und entwickeln r mit n~ = -kx/ro und ny = -ky/ro, I

r = ro 1+

2 ( n~+nyrl ~2+r] 2 ) r--~o ~- r~ 1+ kro + 2r---~o "

2(n~+nyr])~2+r]

kro

+

Der Phasenfaktor in G1.(2.46) zerfgllt dann in drei Beitr~ige, exp ikr --~ exp ikro exp i( n ~ + nyr]) exp

2r0

Der erste Faktor liefert lediglich einen pauschalen Phasenfaktor, der zweite ist linear von den transversalen Koordinaten in der beugenden und der Beobachtungsebene abh/ingig, der letzte nur von den Koordinaten der beugenden Ebene. (Er ist uns schon als ,,Fresnel-Faktor" bei der Behandlung von Gaut3Strahlen (s. S. 48) begegnet.) In vielen Experimenten weicht der Fresnelfaktor wegen ka2/ro << 1 nur wenig von 1 ab. Er liefert deshalb das Unterscheidungsmerkmal ffir die beiden wichtigen Beugungs-Grundtypen, die Fraunhofer- und die Fresnel-Beugung (r0 -~ z): (i)

Fraunhofer-Beugung

(ii) Fresnel-Beugung

a 2 << )~z/Tr

a 2 > ~z/Tr und

(2.47) a << z

Die Beugungsph~nomene haben seit dem friihen 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Wellentheorie des Lichtes gespielt und sind bis heute mit den Namen von Joseph von Praunhofer (1787-1826) und Augustine Jean Fresnel (1788-1827) eng verkniipft. Der Radius a -- ~~/r~-z-/Tr definiert in der beugenden Ebene den Giiltigkeitsbereich der Fraunhofer-N/iherung. Man sagt, daft das Objekt in diesem Fall vollst~ndig in der ersten Fresnel-Zone liegt (s. auch S. 78). Wenn man den Abstand zum beugenden Objekt z nur genfigend grog wahlt, gelangt man iibrigens immer ins Fernfeld, in welchem die Fraunhofer-Bedingung gilt.

2.5.2

Fraunhofer-Beugung

Die Fraunhofer-N~iherung wird im Fernfeld eines beugenden Objekts (z.B. eines Spaltes) angewendet, wenn die Bedingung (2.47(i)) erfiillt ist. Bei achsnahen Strahlen kSnnen wir den Faktor 1/r ~- 1/ro ~- 1/z ersetzen, so dab wir nach dem Einsetzen der N~iherungen in G1.(2.46) den Ausdruck erhalten C(rp) -

iEseikro ~z fs T(~'~)ei(nx~ + nYrl)d~dr]

(2.48)

2.5 Beugung

69

Im Phasenfaktor behalten wir aber r0 bei, exp

(ikro) ~- exp (ikz) •

exp \

ik(x 289+ y2) )

'

(2.49)

weil hier auch kleine Abweichungen zu einer schnellen Phasenrotation filhren kSnnen, die dann bei Interferenzph~nomenen eine wichtige Rolle spielen. Die Feldamplitude am Punkt P hat danach die Form einer Kugelwelle, die mit dem Fourierintegral T(t~x, t~y) der Transmissionsfunktion ~-(~, 7) moduliert ist,

fF Die Fouriertransformation hat nieht zuletzt wegen ihrer Bedeutung in der Behandlung optischer Beugungsprobleme ihren Siegeszug durch viele Bereiehe der Physik angetreten. Wir wollen nun einige wiehtige Beispiel behandeln.

Beispiele: Fraunhofer-Beugung 1. Beugung am langen Einzel-Spalt Wir betrachten den langen, quasieindimensionalen Spalt (Abb. 2.22, Breite d = 2a) und nehmen wieder an, daft die Beleuchtung homogen ist. Weil wir mehrere N~herungen im Hinblick auf die Strahlenausbreitung eingefiihrt haben (z.B. Neigungsfaktor N = 1), kSnnen wir den eindimensionalen Fall nicht ohne Weiteres dutch Integration der 7-Koordinate in G1.(2.48) von - c ~ nach c~ gewinnen. Stattdessen muff man das Konzept des Kirchhoffschen Integral-Theorems ffir eine linienfSrmige Abb. 2.22 Beugung am langen Spalt. (statt einer punktfSrmigen) Quelle ausarbeiten. Von einer linienfSrmigen Quelle geht eine Zylinderwelle aus, deren Intensit~t nicht mehr wie 1/z 2 bei der Kugelwelle, sondern nut noch mit 1/z abf~llt. Es stellt sich dann heraus, daft das Ergebnis sehr ~hnliche Struktur besitzt. Die Amplitude der Zylinderwelle muff mit 1/v/-z abfallen und die eindimensiohale Variante von G1.(2.48) hat die Form

iC~eikro -

JS

70

2 Wellenoptik

Im Fall des linearen, unendlich langen Spaltes hat die Transmissionsfunktion die einfache Gestalt ~-(~) -- 1 ffir I~1 ~ d / 2 und ~-(~) -- 0 sonst. Man berechnet ~(X)

--

i~seikr~

a

9

sin ( k x a / z )

d e ikr~

Die Intensitatsverteilung I ( x ) c( I$(x)l 2 ist in Abb. 2.22 vorgestellt und zur Verdeutlichung in der Grauskala leicht verzerrt worden. 2. Beugung am ,,Gau~Transmitter" Wir betrachten eine GauBsche Amplitudenverteilung, die man zum Beispiel durch ein Filter mit gaut3fSrmigem Transmissionsprofil aus einer ebenen Welle erzeugen kSnnte. Andererseits kSnnen wir auch gleich den Gaut3strahl aus Kap. 2.3 benutzen und nur in Gedanken eine Blende einffigen - das physikalische Resultat ist das gleiche. Auf einem Schirm hinter der Blende mut3 die Intensit~tsverteilung durch die Beugung an dieser fiktiven Blende zustande gekommen sein! Wir verwenden die Form und Bezeichnungen aus Kap. 2.3 mit der fiktiven Transmission 2 =

Das Beugungsintegral .

Abb. 2.23 Beugung am ,,GauflTransmitter".

g(x) = i g o - -oJk

~

eikro

.

-(~/Wo) 2

kann mit f_~d~exp (-(~/Wo) 2) exp ( i t ~ ) -x/~Wo exp (-(a~Wo/2) 2) ausgewertet werden und wir finden unter Verwendung der Bezeichnungen yon S. 50 (Strahltaille Wo, L~nge der Rayleighzone Zo usw.): co

ikz e ikx /2z e

Die letzte N~herung gilt im Fernfeld (z >> z0) und man findet mit geringen Umformungen, dat3 sie dort exakt dem Gaui]-TEM00-Mode aus Kap. 2.3 entspricht. Tatsachlich h~tte man die Suche nach stabilen Moden in einem Spiegeloder Linsensystem auch vom Standpunkt der Beugung beginnen k6nnen: Die Amplitudenverteilung mut3 eine selbsterhaltende LSsung (oder EigenlSsung) des Beugungsintegrals sein, sie ist ,beugungsbegrenzt". Allerdings sind Integralgleichungen in der Lehre weniger beliebt, deshalb wird fiblicherweise der

2.5 Beugung

71

komplement/ire Weg fiber die Differentialgleichungen nach Maxwell beschritten. In unserer Behandlung haben wir fibrigens die x- und y-Koordinaten ganz getrennt voneinander behandelt. Die Wellenausbreitung nach der Gaut3schen Optik findet deshalb auch unabh~ngig in x- und y-Richtung statt, eine wichtige Voraussetzung ffir optische Systeme, bei denen die axiale Symmetrie gebrochen ist, wie zum Beispiel in Ringresonatoren. 3. Beugung an der Kreisblende Ein weiteres, ffir die Optik aufJerordentlich wichtiges Element der Beugung ist die Kreisblende, denn an allen kreisfSrmigen optischen Elementen, zu denen zum Beispiel auch Linsen z~hlen, findet Beugung statt. Wir werden sehen, dat3 durch die Beugung an diesen Blenden zum Beispiel die AuflSsung optischer Instrumente begrenzt wird, dab Beugung eine fundamentale Grenze ihrer Leistungsf~ihigkeit, die sogenannte Beugungsgrenze (engl. diffraction limit) verursacht. Wir ffihren Polarkoordinaten ein, ( p , r der (~/,~)-Ebene der Blende und (r,r in der (x,y)-Ebene des Schirms. Das Beugungsintegral aus G1.(2.48) lautet in diesen Koordinaten

9 eikro

$(r) = - , e S ~ z

a 21r fo pdP fo de e - i ( k r p / z ) c ~ 1 6 2 1 6 2

Es kann mit den mathematischen Beziehungen ffir Bessel-Funktionen,

Jo(x) = ~1 fo 2'~exp(ixcos(r162 und

Z d~'x'Jo(~')

=~J~(~)

,

ausgewertet werden. Das Ergebnis lautet: E(r) = -~es~ ~kro kay Jl(kaAz)

z (kar/z)

Das zentrale Beugungsmaximum wird aueh Airy-Seheibehen genannt (nieht zu verweehseln mit der Airy-Punktion!).

Abb. 2.24 Beugung an

kreisfOrmigenLochblende.

Die Intensit/itsverteilung wird dureh Betragsbildung ermittelt,

(2Jl(kar/z)) 2 z(~)= I(r=o) • \ kar/z

der

72

2 Wellenoptik

Der Radius fAiry des ,,Airy-Scheibchens" wird durch die erste Nullstelle der Besselfunktion Jl(x = 3, 83) = 0 definiert. Aus karAiry/ro ---- 1, 22-~r = 3, 83 erh~lt man den Radius z~ fAiry : 1, 22 ~ 2a Mit diesen Angaben kSnnen wit bereits das Rayleighkriterium fiir den Fokusdurchmesser einer Linse mit Durchmesser 2a ---, D und Brennweite z --* f ermitteln,

fAiry • 1,22--~

,

(2.50)

das bis auf geringfiigige konstante Faktoren mit dem Ergebnis aus der Behandlung Gaufischer Strahlen fibereinstimmt (s. S. 54).

2.5.3

Optische Fouriertransformation, Fourier-Optik

Abb. 2.25 Eine Linse als optischer Fouriertransformator. Durch eine zweite Linse kann das Bild rekonstruiert werden. Die Eigenschaften des Bildes kSnnen im Fourierraum, d.h. in der Fourierebene manipuliert werden.

Nach G1. (2.48) erzeugt ein beugendes Objekt im Fraunhofer-Fernfeld eine Feldverteilung, die der Fouriertransformierten der komplexen Amplitudenverteilung in der Objektebene entspricht und eine Funktion der Ortsfrequenzen t% -- - k r l / z bzw. ~ -- - k ~ / z ist. Eine Sammellinse fokussiert parallel einfallende Strahlen und verlegt die Fouriertransformierte der Amplitudenverteilung in die Brennebene bei der Brennweite f (Abb. 2.25): $(~,7,~) = =

.A(~,~) ~T(x,y)ei((~'7 x + tc~Y)dxdy

2.5 Beugung

73

Zur Betrachtung eines Fraunhofer-Beugungsbildes setzt man daher geschickterweise eine Linse (direkt nach dem beugenden Objekt) ein, um den Arbeitsabstand gering zu halten. Man kann zeigen, daft der Faktor A(T/, ~) unabhangig yon (r/, ~) wird, falls sich das beugende Objekt in der vorderen Brennebene befindet. Wenn man unter diesen Umstanden die Intensitatsverteilung I(~?,~) ~ [s162 2 c< ].T'{s 2 studiert, erhalt man offenbar ein Leistungspektrum in den Ortsfrequenzen des beugenden Objekts. Die Fouriertransformation eines beugendes Objekts durch eine Linse ware aber nicht so spannend, bildete sie nicht die Grundlage der Abbeschen Theorie der Abbildung im Mikroskop (s.S. 158) oder allgemeiner der F o u r i e r - O p t i k [109]. Deren Behandlung geht fiber den Rahmen dieses Buches hinaus, wir wollen aber, ohne in die Einzelheiten zu gehen, anhand von Abb. 2.25 darauf hinweisen, dab eine zweite Linse die Fouriertransformation der ersten Linse wieder rfickgangig macht oder invertiert. In der Brennebene der ersten Linse, der Fourierebene, kann nun das Bild manipuliert werden. Durch schlichtes Ausblenden (Amplitudenmodulation) kSnnen bestimmte unerwfinschte Fourierkomponenten unterdrfickt werden und man erreicht eine Glattung der Bilder. Man kann aber auch Phasenmodulation anwenden, z.B. durch Einffigen von GlasverzSgerungsplatten, die nur auf ausgewfihlte Beugungsordnungen wirken. Dieses Verfahren ist auch die Grundlage der Phasenkontrast-Verfahren in der Mikroskopie. Die Abbildung kann fibrigens eine Vergr6Berung durch Verwendung von Linsen verschiedener Brennweite einschliefien.

2.5.4

Fresnel-Beugung

Bei der Fraunhofer-Beugung muff der Schirm nicht nur im Fernfeld liegen, die Ausdehnung a der Strahlungsquelle muff auch in die erste Fresnel-Zone passen, d.h. es muB gelten a < r~0~/~r. Wenn diese Bedingung verletzt ist, kann man die Fresnel-N~herung anwenden, die die volle quadratisehe N~herung in (x, y, ~/, ~) verwendet: r~

--

( x - ~ ) ~ + ( y - ~)~ + z ~.

r

+ =

z

+

(x-~) ~ -

2z

+

-

~ -~)~ -

+ 2z

....

Das Beugungsintegral lautet dann nach G1.(2.46) $(rp)---- Zs

z

(2.51)

74

2 Wellenoptik

Es ist analytisch erheblich weniger zug~nglich als die Fouriertransformation in der Fraunhofer-N~herung (G1.2.48), aber mit numerischen Methoden leicht zu behandeln.

Beispiel: Fresnel-Beugung an der e b e n e n K a n t e

Abb. 2.26 Fresnel-Beugung an einer geraden Kante.

Wit fiihren zun~ichst im Beugungsintegral

7( 2 : = ~k ~u

(x-77)2;

die normierte Variable u ein,

uo=u(??=0)=

x;

du

dT/=-

und ersetzen (K: Konstante)

~(x-~

.~

_-

~v~Lox~[~u].u

In grofier Entfernung (x, u0 ~ oe) yon der Kante erwarten wir ein homogenes Feld und eine homogene Intensit/it, die wir zur Normierung verwenden kSnnen.:

e0 K ~f-~(1 +i)12--

2K2z)~

Damit lassen sich die Intensit~ten berechnen, die mit Hilfe der Fresnel-Integrale

C(u) :-- fondU ' cos ~ru'22 und S(u):-- fondU ' sin ~ru'22 iibersichtlich ausgedrtickt werden kSnnen:

I ( x = ~ u o7() z

= I$(x)l 2

~1 I, o/~:exp

7( [i-~u2]du

2

}

2.5 Beugung

75

Abb. 2.27 Cornu-Spirale

und Beugungsintensit~t nach einer geraden Kante.

Als Ergebnis erh~ilt man die Cornu-Spirale und die Intensit~itsverteilung nach einer geraden beugenden Kante, die beide in Abb. 2.27 vorgestellt werden. B e i s p i e h F r e s n e l - B e u g u n g an einer K r e i s b l e n d e U m das Beugungsintegral (2.51) im Fall der Nahfeldbeugung an einer Kreisblende mit Radius a zu bestimmen, verwenden wir x = r cos r y = r sin r = p cos r u n d ~ = p sin r

eikz eikr2 /2z i$~

Az

x

(2.52)

• f0a s

r

Die Winkelintegration kann ausgefiihrt werden u n d fiihrt mit der Substitution := ka2/z zu d e m erwarteten radialsymmetrischen Ergebnis g(r)

=igseikze i~(r/a)2/2 t~ ~01 e - ~ x /2Jo(~xr/a) xdx 9

2

Das Integral kann nur numerisch ausgewertet werden u n d ergibt d a n n die Beugungsbilder aus Abb. 2.28. Auf der optischen Achse (r -- 0) kann das Integral auch analytisch ausgewertet werden mit d e m Ergebnis: s

= 0) =

I(r----0) =

is ikz 2sin(n/4)ein/4 4 • g-~l$sl2sin2(ka2/4z)

und (2.53)

Auf der Achse trifft m a n also die bis zu 4-fache Intensit~t der einfallenden ebenen Welle! Die Fraunhofer-N~herung wird fiir t~ << 1 erreicht, dort gilt sin(t~/4) ___ t~/4 o( 1/z. Auf S. 78 werden wir dieses Ergebnis noch einmal mit HiKe der Fresnelzonen interpretieren. Aui~erdem wird uns das komplement~ire

76

2 Wellenoptik

Problem, das kreisfSrmige Hindernis, auf S. 77 beschiiftigen.

Abb. 2.28 Beispiel fiir Fresnelbeugung an einer Kreisblende vom Fresnel- bis zum FraunhoferGrenzfall. Das rechte Bild deutet die Helligkeitsverteilung bei ka2/z=40 an.

2.5.5

Babinets Prinzip

Das Prinzip von Babinet ist nichts weiter als eine Anwendung des SuperpositionsPrinzips (Kap. 2.1.6). Bei der Analyse von Beugungsphiinomenen erlaubt es hiiufig eine sehr geschickte Formulierung, weil es insbesondere auch in der beugenden Fliiche linear ist. Wenn wir das Lichtfeld betrachten, das von zwei komplementiirenbeugenden GeomeAbb. 2.29 Beugung am kreisf~rmi- trien $1 und $2 erzeugt wird, dann ist das gen Hindernis: Babinets Prinzip. Gesamtfeld, das sich ohne diese Objekte ausbreitet, einfach die Summe der beiden einzelnen beugenden Felder. Wenn wir uns an Abb. 2.29 orientieren, kSnnen wir das nicht abgebeugte Feld (Index NA) aus einem gebeugten Feld und dem dazu komplementiiren Feld zusammen setzen:

2.5 Beugung

77

ENA(rp) = E(rp) + Ekomp(rp) Diese Feststellung scheint zuns einigermafien banal, sie erlaubt aber die geschickte Behandlung komplement~rer Geometrien.

Beispieh Kreisf6rmiges Hindernis Wir kSnnen das von einer kreisfSrmigen Scheibe gebeugte Lichtfeld mit dem Babinetschen Prinzip und den Ergebnissen der kreisfSrmigen Blende konstruieren: Es besteht einfach aus der Differenz des nicht abgebeugten Feldes, im einfachsten Fall einer ebenen Welle, und des komplement~ren Feldes, das von der Kreisblende ausgeht:

EIr) = Eseikz (1 + i ei'(rla)2/2 ~ /o le-i€200

x~x)

Abb. 2.30 Fresnelbeugung an einem kreisfSrmigen Hindernis. Im Zentrum ist der Poissonsche Fleck zu erkennen. Vgl. die komplementdre Situation in Abb. 2.28.

Das Beugungsbild des kreisfSrmigen Hindernisses besteht aus der 0berlagerung von ebener Welle und Beugungswelle der Kreisblende. Im Zentrum ist i m m e r ein heller Fleck zu beobachten, der als ,,Poissonscher Fleck" (engl. h o t

78

2 Wellenoptik

spot) beriihmt geworden ist: E(r--O)--Eseikz(1 + 2isin(~/4)e i~/4) und I(r -- 0) -- ~IE~I2! Nach einer Anekdote soll Poisson gegeniiber der Fresnelschen Beugungstheorie geltend gemacht haben, das gerade erzielte Ergebnis sei absurd, es kSnne im Zentrum des Beugungsbildes hinter einer Blende kein stets heller Fleck beobachtet werden. Er wurde durch das Experiment widerlegt, wobei diese Beobachtung nicht ganz einfach ist, denn die R~inder des beugenden Scheibchen miissen mit optischer Genauigkeit (d.h. mit geringen Abweichungen im Mikrometerbereich) gearbeitet sein. Kleine Kugellager-Kugeln, die man auf einer Glasscheibe befestigt und in einen Laserstrahl h~ilt, machen den Effekt gut sichtbar.

2.5.6

Fresnel-Zonen und Fresnel-Linsen

Im Fall der Fraunhofer-Beugung kSnnen wir den Fresnel-Faktor exp(-ik(x 2 + y2)/2z) aus G1. (2.52) wegen ka2/z << 1 gleich 1 setzen, nicht aber im Fall der Fresnel-Beugung. Der Faktor gibt an, mit welcher Phase (I) F die Teilwellen aus dem beugenden Bereich zum Interferenzbild beitragen, z.B. im Fraunhofergrenzfall alle mit n~iherungsweise OF = 0. Wenn wir dagegen in einem festen Abstand z den Radius a des beugenden Objektes langsam vergrSilern, dann werden beginnend bei ai = ~ die Teilwellen wegen ka2/z = ~r mit entgegengesetzer Phase beitragen. Wir k6nnen daher das auf Fresnel zuriickgehende Kriterium a 2 = N zA

(2.54)

verwenden, um die beugende Ebene nach dem Charakter ihrer Phasenlage einzuteilen. In Abb. 2.31 ist die Einteilung mit weit3en und schwarzen Zonen

Abb. 2.31 Fresnelzonenund Zonenplatte.

2.5 Beugung

79

vorgestellt, deren ~ufiere Radien nach G1. (2.54) anwachsen. Zur Verdeutlichung betrachten wir noch einmal die Beugung an der Kreisblende aus dem Beispiel auf S. 75: Nach G1.(2.53) erreicht die Helligkeit auf der Achse bei a2/z), = 1, 3, ... ein Maximum, wEhrend bei a2/z), = 2, 4, ... ein Minimum auftritt.

Abb. 2.32 Fresnelsche Stufenlinse: Schema und ringf6rmige Anwendung (,,Giirtellinse") bei einer alten Bootslaterne. Quelle: Wikipedia, Urheber des Fotos: Anton (rp) 2004. In einer radialsymmetrischen Blende tr~gt jede Fresnelzone mit gleicher Fl~che und Intensit~t zum Gesamtfeld auf der Achse bei. Aus den ungeraden Fresnelzonen stammende Teilwellen haben auf der Achse eine Wegdifferenz von ( N - 1) x A/2 -- 0, 2, 4...A angesammelt (links in Abb. 2.31), die zur konstruktiven Interferenz ffihren. Aus den geraden Zonen wird dagegen nach einem Weg von N • ),/2 ein Beitrag mit entgegengesetzter Phase erzeugt, der bei gleichen Zahlen von geraden und ungeraden Zonen zur AuslSschung des Lichtfeldes ffihrt. Schon auf Fresnel geht der Vorschlag zuriick, sich diesen Umstand zunutze zu machen und jede zweite Zone auszublenden. Die Zoneneinteilung aus Abb. 2.31 stellt daher auch genau das Bild einer Fresnelschen Zonenplatte dar. Alternativ kann man auch eine entsprechende Phasenplatte verwenden, die unter dem Namen Fresnel-Linse oder Fresnelsche Stufenlinse (Abb. 2.32) besser bekannt ist. Diese Linsen finden h~ufige Verwendung bei grofien Aperturen, zum Beispiel in Overhead-Projektoren.

80

2 Wellenoptik

A u f g a b e n zu K a p i t e l 2 2.1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Rcemer und Huygens O. Rcemer hat Variationen in den beobachteten Umlaufzeiten des innersten Jupitermondes Io (Tio = 1,8 Tage oder 42,5 Stunden) verwendet, um daraus abzuleiten, wie lange das Licht benbtigt, um die Umlaufbahn der Erde um die Sonne (1 Astronomische Einheit, 1AE = 150 106 km) zu durchqueren. Abb. 2.33 Aus der Laufzeit des Lichtes zwi- C. Huygens hat aus diesen Daten die erschen den Verfinsterungen des Jupitermondes ste Schiitzung der Lichtgeschwindigkeit erhat O. Roemer die ersten Daten gewonnen, mittelt. Betrachten Sie die Erdumlaufbahn aus denen sich die Lichtgeschwindigkeit be- und geben Sie an, was v o n d e r Erde aus zu stimmen liefl. beoba~hten ist (Verfinsterung oder Austritt von Io?). Wo erwarten Sie die grbflten Abweichungen der beobachteten von der ,,wahren" Umlaufzeit? Welche Ganggenauigkeit mfissen Uhren besitzen, damit die Verzbgerung/Beschleunigung schon bei einem Umlauf gemessen werden kann? Roemer hat 40 Uml~ufe vor und 40 Uml~ufe nach der Opposition (Sonne zwischen Erde und Jupiter) verglichen und daraus geschlossen, daft das Licht den Durchmesser der Erdbahn in 22 Minuten durchquert. Welchen Wert konnte Huygens daraus ffir die Lichtgeschwindigkeit absch~tzen? 2.2 F e l d v e r t e i l u n g e n u n d P o y n t i n g - V e k t o r in e l e k t r o m a g n e t i s c h e n W e l l e n Skizzieren Sie die elektrische und magnetische Feldverteilung sowie den Poynting-Vektor bei der Uberlagerung von ebenen, linear polarisierten Wellen zu (a) einer ebenen Stehwelle (b) zwei orthogonal gekreuzten Wellen. 2 . 3 0 p t i s c h e Q u a d r u p o l s t r a h l u n g In der N~he leitender Ebenen kann man sich viele Eigenschaften eines strahlenden Dipols aus der Uberlagerung seines eigenen Dipol-Feldes mit demjenigen des Bild-Dipols erkl~ren, der sich im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Ebene befindet. Diese Uberlegungen gelten auch ffir atomare Dipole, die sichtbares Licht ausstrahlen. Betrachten Sie die beiden mbglichen Orientierungen in Abschn. 12.3.3, Abb. 12.5, (a- und ~r-Orientierung, senkrecht bzw. parallel zur Fl~ichennormalen) und fiberzeugen Sie sich, dai3 die Dipole einmal parallele und einmal antiparallele Orientierungen besitzen mfissen, damit die Randbedingung eines verschwindenden elektrischen Feldes auf der leitenden Ebene erffillt wird. Geben Sie die r~umliche Verteilung der Strahlung im Fernfeld (r Abstand vom Zentrum der beiden Dipole, r >> A) ffir den Grenzfall an, dab die Entfernung der Dipole zur Ebene klein ist gegen die Wellenliiage A. Wie f'~llt die Amplitude des Feldes ffir die beiden Orientierungen mit r ab? 2.4 L a g u e r r e - G a u t ~ - M o d e n Eine alternative Beschreibung ffir zylindrisch symmetrische paraxiale Lichtstrahlen bieten die Laguerre-Gaufl-Moden. In diesem Fall lautet die Amplitudenverteilung statt G1. (2.37) mit den Bezeichnungen ffir wo, w(z), R(z) und ~?(z) aus Abschn. 2.3.1:

Etm(r,~,z)= Eo ~w(z)] Lm ~w(z)] •

eig~eikp2/2R(z) ei(kz - (2m + g + 1)~?(z)).

Informieren Sie sich fiber die Eigenschaften der Laguerre-Polynome (z.B. in [7]) und skizzieren Sie die transversalen Intensit~tsverteilungen und Phasenlagen dieser Moden.

Aufgaben

81

2.5 B a h n - D r e h i m p u l s v o n L a g u e r r e - G a u ~ M o d e n Studieren Sie den EinflufJ des azimuthalen Phasenfaktors e i~r in den Laguerre-Gaufi-Moden aus der vorigen Aufgabe. In Erweiterung des Poynting-Vektors, der die Impulsdichte eines Lichtstrahls beschreibt, kann man auch eine Drehimpulsdichte nach M=rxExH definieren [83]. Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilung des Poynting-Vektors, der Drehimpulsdichte M und bestimmen Sie den Gesamtdrehimpuls des Strahls L = c f Md3r. Interpretieren Sie das Ergebnis [2]. 2.6 W e l l e n f r o n t - S e n s o r e n Optimale Bedingungen werden beim Einsatz optischer Komponenten insbesondere mit koh~irentem Laserlicht nur dann erreicht, wenn auch die Voraussetzungen stimmen. Beispielsweise wird ffir optimale Abbildungseigenschaften mit einer Linse h~iufig eine ebene Wellenfront angenommen, aber praktisch l~iagst nicht immer realisiert. Ein Beispiel fiir einen Sensor zur Charakterisierung der Wellenfronten ist der HartmannShack-Sensor [71, 153] . Stellen Sie das Konzept der Mei~methode vor. 2.7 M i k r o w e l l e n - G a u f ~ - S t r a h l Eine typische Satellitenantenne hat einen Durchmesser von 50 cm und eine Brennweite von 25 cm. Schatzen Sie mit Hilfe der Gauf~schen Strahlenoptik den Durchmesser des Brennflecks ab, in den die vom Astra-Satelliten abgestrahlte Mikrowellenstrahlung bei 11 GHz fokussiert wird. 2.8 I n t e n s i t i i t y o n M i k r o w e U e n u n d o p t i s c h e n W e U e n Nehmen wir nun an, dass wir mit der Antenne aus der vorigen Aufgabe ein 11 GHz Signal zum Astra-Satelliten schicken wollen. Die Leistung unseres Senders betrage 1 W. Sch~itzen Sie mit der GauBschen Strahlenoptik ab, wie grot~ die maximale Intensit~it ist, welche den Satelliten erreicht. Sch~itzen Sie anschlief3end die Intensit~it ab, wenn wir anstatt der 11 GHz Strahlung einen 1 W HeliumNeon-Laser (~He--Ne : 632nm) verwenden. 2.9 G o u y - P h a s e Denken Sie sich eine experimentelle Anordnung aus, um die Gouy-Phase nachzuweisen. (Phasenlagen werden fiblicherweise durch interferometrische Anordnungen nachgewiesen.) Gibt es in der Strahlenoptik ein Analogon zur Gouy-Phase? 2.10 E i n k o p p l u n g in o p t i s c h e F a s e r n Ftir eine optische Faser wird bei A = 850 nm eine numerische Apertur yon NA ----0.1 spezifiziert. Wie groi3 ist der Durchmesser des gefiihrten Strahls, wenn wir n~herungweise ein Gauf~sches Profil annehmen? Nehmen Sie an, Sie wollen einen gut kollimierten Strahl mit Halbwertsbreite 2 m m und Divergenz 1 mrad in die Faser mit einer Linse einkoppeln. Sie haben Linsen mit 10 cm, 5 cm, 2 cm, 1 cm Brennweite zur Verfiigung. Welche Linse liefert die besten Resultate, und wo muff sie positioniert werden? 2.12 A c h s e n eines P o l a r i s a t o r s Die Achsen eines unbekannten Polarisators k_ann man so bestimmen: Suchen Sie in Ihrer Umgebung eine mSglichst glatte Bodenfl~che mit Restspiegelung und betrachten Sie sie durch den Polarisator in 2-3 m Entfernung. Rotation des Polarisators sollte die Fl~iche heller und dunkler erscheinen lassen. Wodurch kommt die Polaxisation zustande, und wie identifizeren Sie die Achsen? 2.13 P o l a r i s a t i o n u n d R e f l e x i o n Bestimmen Sie den lokalen Polarisationszustand des elektrischen Feldes von Paaren von Lichtstrahlen, die sich gegenl~iufig in der § bzw. - z Richtung ausbreiten, als Fhnktion der z-Koordinate: (a) lin[[lin: b-~lin ~lin. ~+z II ---z, (b) lin_l_lin: E ~ • EH~; (c) a + a + : E ~ k+, E ~ k + ; (d) a + a - : E~j~k+, E ~ k-. Welche optischen g o m p o nenten werden verwendet, wenn der gegenl~iufige Laserstrahl durch Reflexion des hinlanfenden Strahls am ebenen Spiegel erzeugt wird?

82

2 Wellenoptik

2.14 P r o j e k t i o n u n d R o t a t i o n d e r P o l a r i s a t i o n Zwei gekreuzte Polarisatoren 15schen einen Strahl aus. Wird ein Polarisator unter 45 ~ dazwischen gestellt, wird aber wieder Licht transmittiert (s. Abb. 2.16). Zeigen Sie, dab die transmittierte Intensitat fiir verlustfreie Polarisatoren 25% betr~tgt. F~ihren Sie das Beispiel fort, indem Sie 2, 3, ... Polarisatoren mit gleichen Winkelabst~den 30 ~ 22,5 ~ etc. einsetzen. 2.15 L i n e a r e u n d z i r k u l a r e P o l a r i s a t i o n H~ufig ist es wichtig, eine bestimmte Polarisation sehr genau zu definieren. Nehmen Sie an, nach zwei perfekten gekreuzten Polarisatoren betrage das AuslSschungsverh~ltnis 1:106. Wie gut sind die Anteil der beiden zirkularen Komponenten des Feldes bestimmt? 2.16 F r a u n h o f e r - B e u g u n g a n e i n f a c h e n u n d irregul~iren O f f n u n g e n Wie sieht das Beugungsbild einer quadratischen (~ffnung im Fernfeld (Fraunhofer-Grenzfall) aus? Wie ~ d e r t sich das Bild fiir zwei gekreuzte Spalte? Wie sieht der Einflut3 von irregul~en (Sffnungen (z.B. gestanzte Buchstaben) aus?

Abb. 2.34 Bezeichnungen zur Beugung am Spalt, Aufg. 2.15-18. 2.17 Einfachspalt" Teilwellen Eine ebene Welle (Wellenvektor k = 2~r/~) falle senkrecht auf einen unendlich ausgedehnten Spalt der Breite d. Wir interessieren uns fiir die Intensit~itsverteilung, welche wir auf einem Schirm in der Entfernung z hinter dem Spalt beobachten k6nnen (Abb. 2.34). Wir nehmen dabei an, dat3 die Anordnung dem Fraunhofer Grenzfall (d 2 ~>~ )kz/Tr) entspricht. Berechne die Lage der ersten Beugungsminima nach der folgenden Methode: Wir zerlegen den Spalt in zwei gleich breite Teilspalte. Im jedem Punkt auf dem Schirm berechnen wir die Differenz der mittleren Phasen der beiden Teilstrahlen. Die Teilstrahlen 15schen sich nun aus, wenn die Phasendifferenz gerade ~r betr~igt. 2.18 E i n f a c h s p a l t : H u y g e n s P r i n z i p Ein realistischeres Bild als in der vorigen Aufgabe liefert das Huygensche Prinzip: Es besagt, daft yon jedem Punkt des Spaltes eine Kugelwelle in den Halbraum hinter dem Spalt emittiert wird (Abb. 2.34). In unserem Fall kann aufgrund der Translationssymmetrie des Spaltes diese Kugel- durch eine Zylinderwelle der Form E(p) c< exp ikp/v/-fi ersetzt werden, wobei p die Entfernung vom Zentrum der ZylinderweUe ist. Die Feldamplitude auf dem Schirm ergibt sich dann durch Aufsummierung aller Teilwellen. Berechnen Sie mit dieser Methode den Intensit~tsverlauf der Spalt-Beugungsfigur in Abh~ngigkeit vom Winkel a << 1. 2.19 D o p p e l s p a l t : B a b i n e t s P r i n z i p Konstruieren Sie das Beugungsbild des Doppelspalts nach Babinets Prinzip aus zwei Einzelspalten mit Breiten dl > d2. 2.20 K i r c h h o f f - I n t e g r a l Das Kirchhoffsche Beugungsintegral erlaubt die Berechnung der Feldverteilung, welche durch Beugung an einem beliebigen Objekt hervorgerufen wird. Im Fernfeld eines Beugungsspaltes (Abb. 2.34) reduziert sich das Kirchhoffsche Beugungsintegral durch Anwendung der Fraunhofer-N~iherung und unter Ausnutzung der Translations-

Aufgaben

83

symmetrie zu einem eindimensionalen Integral: ~(x)

ig8 exp (ikro) f ~ ~vz~ J-o~ T(~) exp (i~x~)d~

wobei a x := - k X / r o ( ~ kaffir a << 1) und gs die Amplitude der einfallenden ebenen Welle am Ort des Spaltes sind. (a) Geben Sie die Form der Transmissionsfunktion T(~) fiir den Beugungsspalt an. (b) Berechnen Sie g(X) mit Hilfe der Formel fiir den Fall ol << 1. 2.21 B e u g u n g a m d t i n n e n D r a h t Berechne mit Hilfe des Babinetschen Prinzips die Feldverteilung, welche durch Beugung einer ebenen Welle an einem diinnen Draht im Fernfeld hervorgerufen wird. Wie ~ d e r t sich das Bild, wenn der Draht durch ein langes schmales Glaspl~ttchen mit der optischen Dicke ~opt = (nGlas-1)g ----A/2 ersetzt wird?

3

Lichtausbreitung in Materie

Wir haben gesehen, daft wir die Brechung an dielektrischen Grenzfl~chen wie zum Beispiel an einer Glasscheibe mit Hilfe ph~inomenologiseh eingeffihrter Brechzahlen beschreiben kDnnen. Andererseits kSnnen wir die Brechung auch als Antwort der Glasscheibe auf die einfallende elektromagnetisehe Liehtwelle betrachten. Das elektrische Feld verschiebt die geladenen Bestandteile des Glases und verursacht dadurch eine dynamische Polarisation. Diese strahlt ihrerseits eine elektromagnetischen Welle ab und wirkt durch Interferenz auf die einfallende Lichtwelle zurfick. Hier behandeln wir die Materieeigenschaften mit makroskopisch-ph~inomenologischen Breehzahlen. Grundzfige des Zusammenhangs mit einer mikroskopischen Theorie werden in Kap. 6 vorgestellt. Die Wellenausbreitung in homogener Materie hatten wir schon im voraufgegangenen Kapitel untersucht und festgestellt, dai~ sie sich nur durch die Phasengesehwindigkeit vom Vakuum unterscheidet (Gl. (2.14)). Wit wollen nun untersuchen, wie sich Grenzfl~ichen oder Dielektrika mit inhomogener Brechzahl auf die Ausbreitung yon elektromagnetischen Wellen auswirken.

3.1

Dielektrische Grenzfliichen

Um die dielektrischen Grenzfl~chen behandeln zu kSnnen, mfissen wir noch wissen, wie sie auf die elektromagnetischen Felder wirken. Die Begrfindung der Regeln (der mathematischen Randbedingungen) mit Hilfe der Maxwellgleichungen (2.10) fiberlassen wir den Lehrbfichern fiber Elektrodynamik und zitieren hier nur die fiir die Optik wichtigen Relationen. Die Grenzflache trenne zwei Medien mit Brechzahlen nl und n2 mit dem Normalen-Einheitsvektor eN. Dann werden die elektromagnetischen Strahlungsfelder vollstandig charakterisiert durch ( E 2 - E l ) • eN----0 und (H2 - H1) • eN : 0 und

(n22E2-n2E1).eN----0 (H2 - H1) 9e s : 0

(3.1)

wobei E1,2 und H1,2 in unmittelbarer N/ihe, aber auf verschiedenen Seiten der

86

3 Lichtausbreitung in Materie

Grenzfl~che zu nehmen sind. Wir bemerken noch, dab wir uns in der Optik h~ufig auf die Anwendung der Vektorprodukte aus (3.1) beschr~inken kSnnen, die Skalarprodukte werden dann durch das Snellius-Gesetz (1.2) berficksichtigt.

3.1.1

Brechung und Reflexio- an Glasfliichen

Wir kSnnen beim Einfall einer transversalen elektromagnetischen Welle auf eine dielektrische Grenzfl~che zwei Polarisationskonfigurationen unterscheiden: Die Polarisation der einfallenden Welle kann linear senkrecht auf der Fl~ichennormalen und Einfallsebene stehen ((s) in Abb. 3.1) oder parallel zur Einfallsebene (p).

Abb. 3.1 Elektromagnetische Felder an einer dielektrischen Grenzfldche fiir s- und pPolarisation. Das Symbol if) markiert Feldvektoren senkrecht zur Zeichenebene.

Die Wellen mit s- bzw. p-Polarisation des elektrischen Feldes werden als sbzw. p-Wellen bezeichnet. Alternativ werden auch die Bezeichnungen a- und ~rbzw. TE- und TM-Wellen verwendet. Wir miissen die beiden F~lle komponentenweise und getrennt behandeln. Elliptische Polarisationen kSnnen nach dem Superpositions-Prinzip auf l)berlagerungen dieser F~lle zurfickgeffihrt werden.

(a) s - P o l a r i s a t i o n . Wir betrachten die (E, H, k}~-Dreibeine des einfallenden (i), des reflektierten (r) und des transmittierten (t) Strahls und verwenden die Bezeichnungen aus Abb. 3.1 mit E~ =

go~eze-i(w~t-

Ha ---

g0~ k #0cwa a •

k~r) e-i(w~t

und - k~r)

(3.2)

Das s-polarisierte elektrische Feld steht senkrecht auf der Fl~chennormalen,

3.1 Dielektrische G r e n z f l ~ h e n

87

daher gilt (3.3)

E t -- E i -~- E r

Wenn diese Beziehung fiberall und zu allen Zeiten auf der Grenzfl~che erffillt werden soll, mfissen offensichtlich alle Wellen dieselbe Frequenz besitzen und wir kSnnen den Zeitpunkt t = 0 betrachten. Wegen (3.1) muff aufierdem ffir beliebige y gelten

$oteikyty = EoieikyiY + $oreiky ry

,

so dab alle y-Komponenten der k-Vektoren gleich sein mfissen, (3.4)

kyt -- kyi = kyr

Als n~ichstes betrachten wir die Komponenten getrennt ffir den reflektierten und den transmittierten Anteil. Weil die reflektierte Welle im selben Medium 2 2 -- n21(kx~ 2 + ky,) 2 gelten propagiert wie die einfallende Welle, muff wegen nlk,~ kx2r---- kx2iund kxr ---- - k x i

,

denn das positive Vorzeichen erzeugt ein weitere einlaufende Welle, die physikalisch nicht sinnvoll ist. Das Reflexionsgesetz ist damit erneut etabliert. Ffir die transmittierte Welle gilt kt/n2 = ki/nl. Aus der Geometrie erh~ilt man direkt ks -- ky,/sin 0, und damit auch wieder das Gesetz des Snellius (1.2), nl sin 0~ = n2 sin Ot Es gilt zun~ichst nut ffir reelle Brechzahlen, kann aber verallgemeinert werden durch Verwendung von n2

2 2 - ky2 i k2xt = k2t - k~ = n--~lki

(3.5)

Alle bisherigen Resultate haben lediglich die Ergebnisse bestatigt, die wir schon aus der Strahlenoptik kannten. Mit deren Mitteln konnten wir aber keine Aussagen fiber die Amplitudenverteilungen treffen, die nun mit Hilfe der Wellenoptik mSglich werden. Die Tangential-Komponenten des H-Feldes sind nach (3.2) mit den E-Komponenten verknfipft,

7-/y.-

Co. --kx.

,

~t0cw

sie mfissen wegen (3.1) stetig sein und deshalb der Gleichung kxt~0t GOt

---- kxi~0i ~- kxr~0r ---~0i ~- ~0r

--

kxi(~0i - ~0r)

(3.6)

88

3 Lichtausbreitung in Materie

gehorchen, die wir u m die B e d i n g u n g (3.3) zu einem Gleichungssystem erg~nzt haben. Es besitzt die LSsungen

g0r -

kxi-kxtg0i kxi + kxt

und

g0t-

2kxi kxi + kxt g0i

Aus den A m p l i t u d e n lassen sich die zugehSrigen I n t e n s i t a t e n ohne P r o b l e m e berechnen. M a n k a n n den Reflexionskoeffizienten r u n d den Transmissionskoeffizienten t auch nach n l cos 0i - n2 cos 0t n l cos 0i + n2cos 0t 2nl cos 0i nl cos Oi -~ n2 cos Ot

r

t

beschreiben u n d d u r c h A u s n u t z e n von n l / n 2 = sin 0~/sin 0i nach Snellius u m formen zu g0r

sin (0i - 0t)

goi

sin

+ 0,)

und

t

2 cos 0i sin 0t

sin

+

Abb. 3.2 Reflexionskoe~zient und Reflektivitiit an einer Glasfliiche mit Brechzahl n=1,5 fftr s- und p-Polarisation. Durchgezogene Linie: Vom Vakuum ins Glas; gestrichelt: vom Glas ins Vakuum. TIR: Bereich der Totalreflexion (yon engl. total internal reflection). Die Abh~ngigkeit von Reflexionskoeffizient u n d Reflektivit~t v o m Einfallswinkel 0i ist in Abb. 3.2 dargestellt. Die G r a p h i k zeigt u n t e r a n d e r e m den Vorzeichenwechsel des Reflexionskoeffizienten bei der Reflexion a m dichteren Mediu m , dort tritt ein P h a s e n s p r u n g von 180 ~ auf. Ein sehr wichtiger Spezialfall tritt auf, w e n n das Licht senkrecht, das heifit m i t 0i -- 0 ~ einf~llt. Fiir Reflektivit~t R u n d Transmission T gelten d a n n die

3.1 Dielektrische Grenzfl~hen

89

Fresnel-Formeln R-

IErl 2 (nx-n2~ iEil 2 - \ n l + n 2 ]

2

und

T-

]Etl 2 4nln2 IEil 2 (nl~-Tt2) 2

(3.7)

Insbesondere rechnet man leicht nach, daft am Glas-Luft-Ubergang (hi = 1, n2 = 1, 5) 4% der Intensit~t reflektiert werden. (b) p - P o l a r i s a t i o n . Die Behandlung eines p-polarisierten elektrischen Feldes, das in der Einfallsebene schwingt, folgt dem gerade erprobten Muster und kann daher auf die Ergebnisse beschrgnkt werden. Das Snellius-Gesetz wird erneut reproduziert, und ffir die Amplituden finder man das Gleichungssystem ktg0t = kig0t =

kigOi -~- krg0r kt(goi - got)

mit den L6sungen -- k2 ~_~..2goi und

got

-

2k& +

Der Reflexionskoeffizient der p-Welle gehorcht got goi

tan ( Oi - Or) tan (0i + Or)

und wird zusammen mit der Reflektivit~t ebenfalls in Abb. 3.2 gezeigt. Er verschwindet ffir

Oi - Ot = O und

Oi + Ot = Tr/2.

Die erste Bedingung wird nur trivial fiir nl = n2 erfiillt. Die zweite ffihrt auf die Brewster-Bedingung n2 nl

sin 0 B sin Ot

sin 0 B = tan 0B, sin (~r/2 - 0B)

die ffir den Glas-Luft-Ubergang (n--1,5) den Brewster-Winkel bei 0 B ---- 57 ~ ergibt. Die Brewster-Bedingung laBt sich mit der Winkelverteilung der Dipolstrahlung (s. Kap. 2.2.3 und Abb. 3.3) physikalisch interpretieren: Die lineare dielektrische Polarisation im brechenden Medium steht transversal zum gebrochenen Strahl und kann in Richtung der reflektierten Welle nicht abstrahlen, wenn diese mit der gebrochenen Welle gerade einen rechten Winkel bildet.

90

3 Lichtausbreitung in Materie

Abb. 3.3 Links: Am Brewster-Winkel OB wird nur s-polarisiertes Licht reflektiert. Rechts: Bei der Totalreflexion am dichteren Medium (nl > n2) entsteht im diinneren Medium ein evaneszentes WeUenfeld. 3.1.2

Totalreflexion

Wit wollen die Totalreflexion, deren Einflut3 auf die Reflexion schon in Abb. 3.2 fiir den Ubergang vom dichteren ins diinnere Medium zu erkennen ist, noch genauer analysieren. Wir betrachten die Komponente k~t = k2 cos 0t, die das Eindringen der Welle in das diinnere Medium beschreibt. Wir k6nnen die LSsungen ffir die laufenden Wellen unterhalb des kritischen Winkels 0c -- s i n - l ( n 2 / n l ) , nl > n2, den wit schon aus G1. (1.3) kennen, iibernehmen, indem wir die Snelliusbedingung fiir 0i > 0c auf imagin~ire Werte verallgemeinern. Man kann mit W = sin 9t = sin 0 i / s i n 0c > 1 schreiben cos0t-- ( 1 - sin 2 Or)1/2 : ( 1 - W2) 1 / 2 : iQ

,

worin Q wieder eine reelle Zahl ist. Wir schreiben nun das elektrische Feld fiir Einfallswinkel jenseits des kritischen Winkels als laufende Welle, E(r, t) = E20 exp { - i ( w t - k2r) } Mit k = k2(cos 0rex + sin Otey) erh~lt man dann E -- E2oe - k 2 Q x exp { - i ( w t - k 2 W y ) }

Fiir 0i > 0c propagiert die Welle entlang der Grenzflache. Sie dringt au6erdem in das diinnere Medium ein, wird dort aber exponentiell mit der Eindringtiefe ~ -- 1/(k2Q) ged~mpft (Abb. 3.3). Die Welle im dfinneren Medium wird haufig als evaneszentes Wellenfeld oder auch als querged6mpfte Welle bezeichnet.

3.1 Dielektrische Grenzfl~hen

91

Beispiel: Eindringtiefe u n d E n e r g i e t r a n s p o r t

bei der Totalreflexion

Die Eindringtiefe einer total reflektierten Welle in das optisch dfinnere Medium (nl > n2 -- 1, k2 -- 2~/A) betr~gt nach dem voraufgegangenen Absatz 1

A/27r

k2Q

y/n 2 sin 2 0i - 1

e -- m

Man berechnet ffir den Fall des 90~ (Einfallswinkel 45 ~ Brechzahl n1=1,5) aus Abb. 1.7 Q = 0, 35 und 5~ = 0, 27#m @ 600 nm.

Abb. 3.4 Links: Frustrierte Totalreflexion am Luftspalt zwischen zwei 45~

Rechts: Das elektrische Feld der laufenden Wellen ist posit@, das der quergeddmpften WeUe negativ gekriimmt. Um e~iziente Transmission zu erreichen, muff die Breite des Luftspaltes geringer sein als die Eindringtiefe der evaneszenten Welle.

Es ist instruktiv, den Energietransport nach G1. (2.17) durch die Grenzflache in die evaneszenten Welle zu betrachten. Es stellt sich heraus, daft die NormalKomponente des zeitlich gemittelten Poynting-Vektors rein imaginar ist, (S).eN

=

(ExH).eN

=

ne{ceo/2lEl2iQ} = 0

und deshalb kein Energietransport fiber die Grenzfl~che stattfindet. Allerdings last sich diese Situation andern, wenn wir wie in Abb. 3.4 eine zweite Grenzfliiche in die N~he bringen. Dabei tritt die sogenannte frustrierte oder behinderte Totalreflexion auf (engl. F T I R , Frustrated Total Internal Reflection). Sie wird nicht nur eingesetzt, um optische Strahlteiler zu bauen, sondern auch, um Licht in variabler Weise (durch Variation des Luftspaltes) in Wellenleiter (s. Abb. 3.7) oder monolithische optische Resonatoren (s. Abb. 13.12) einzukoppeln, oder um zum Beispiel Spektroskopie in unmittelbarer N~he einer Oberfl~che zu treiben.

92

3.2

3 Lichtausbreitung in Materie

Komplexe

Brechzahl

Wit haben bisher reelle Brechzahlen betrachtet, die eine gute N~iherung ffir absorptionsfreie Medien sind. Die Absorption l~ifitsich aber ph~inomenologisch leicht berficksichtigen, indem wir den Brechungsindex zur komplexen GrDfie verallgemeinern, rt = rt' + irt" Im homogenen

Medium

wird die Wellenausbreitung dann naeh

E(r, t) = Eoe - i ( w t - n'kr) e - n " k r beschrieben, wobei offenbar a -- 2n"kz die D~impfung der Intensit~it (I c( IEI 2) angibt, hier bei Ausbreitung in z-Richtung: I(r) = I(0)exp (-c~z) = I(0)exp (-2n"k~z)

3.2.1

(3.8)

Brechungsindex leitf'~ihiger Materialien

Bei Laseranwendungen werden heute in der Regel dielektrische Vielschichtenspiegel verwendet (s. Kap. 5.7). Konventionelle Spiegel aus aufgedampften Metallschichten spielen aber wegen ihres geringen Preises und wegen ihrer Breitband-Wirkung eine wichtige Rolle, vor allem auch in der optischen ,,Alltagstechnik". Metalle zeichnen sich dutch extrem hohe Leitfiihigkeit aus, die auch die hohe Reflektivit~it verursacht. Wir betrachten ein klassisches, ph~inomenologisches Modell ffir die Leitf~ihigkeit a, das auf Paul Drude (1863-1906) zuriickgeht. Es hat sich als aut3erordentlich leistungsfiihig erwiesen und erst viel sp~iter durch die Quantentheorie fester K6rper eine mikroskopische Begrfindung erfahren. Im Drude-Modell wird die Bewegung der freien Elektronen eines Metalls durch eine Reibungskraft mit der D~impfungsrate T-1 ged~impft,

+

=

}

,

die pauschal alle inneren Verluste im Kristall beriicksichtigt. Der Ansatz v = Vo e x p ( - i w t ) ergibt im Gleichgewicht eine mittlere Geschwindigkeitsamplitude

Vo.

q$o 1 . . . m -iw+l/T

q$oT 1 m 1-iwT

(3.9)

Mit der Ladungstr~igerdichte Af und der Stromdichte j = aS = Afqv kann man die frequenzabh~ingige Leitfiihigkeit eines Metalls bestimmen, wobei wir die Plasmafrequenz w~ = Afq2/mco einfiihren, ~r(w) -- Afq2-- - T _m 1 - iwT C~

wp~- iwT

(3.10)

3.2 Komplexe Brechzahl

93

Die Plasmafrequenzen typischer Metalle mit hohen Ladungstr/igerdichten (iV" -- 1019cm -3) liegen bei 02p ,.~ 1016s-1 und damit oberhalb der Frequenzen des sichtbaren Lichtes. In Halbleitern kann die Leitf~higkeit durch die Dotierung eingestellt werden und diese Frequenz leicht in den sichtbaren oder infraroten Spektralbereich geschoben werden. Um den EinflufJ der Leitf~higkeit auf die Wellenausbreitung zu analysieren, greifen wir auf die vierte Maxwell-Gleichung (2.6) zuriick und fiihren die gerade bestimmte Stromdichte ein, 0 V x H -- #0aE + c0-~. O$E Sie verursacht eine Modifikation der Wellengleichung (2.12), c2 0 ~

E(r,t)

e0c2aOt 0 E = 0

(3.11)

Die LSsung E -- $ o e e - i ( w t - n ( u ) k r ) fiihrt naeh k 2 -- n2(02)(02/c) 2 zu einem komplexen Brechungsindex, der v o n d e r ph~nomenologisch zu bestimmenden Leitfahigkeit des Mediums abhangt, (3.12)

n 2 ( w ) -- 1 + i a(02) 60O2

Es lohnt sich, die Grenzf~lle niederer und hoher Frequenzen zu unterscheiden: (i) H o h e F r e q u e n z e n : wp~- >> WT >> 1 Diesen Fall erwarten wir bei optischen Frequenzen, es gilt direkt nach (3.10) ~-- i~ou~/02

und

n~(02) -----1 - (02p/02)~.

Der Brechungsindex wird fiir u < 02p imagin~r, n = i (022p - 025)1/5 = i n "

,

(3.13)

02 die Welle pfianzt sich in diesem Medium gar nicht mehr fort, dringt abet ffir 02 < Up wie bei der Totalreflexion auf einer L/~nge

C ----(n"k)-l-- ~p2_022 in das Medium ein. Ffir 7 -1 << u << wp gilt n " ~ u p ~ w , das Eindringen wird als ,,anomaler Skineffekt" mit n~herungsweise konstanter Eindringtiefe 5a~ bezeichnet, die gerade der Plasmawellenl~nge A -- 02p/2~rc entspricht, 5as = c/02p =

94

3 Lichtausbreitung in Materie

(ii) N i e d e r e F r e q u e n z e n : w7 << 1 << wpT. Am niederen Ende des Frequenzspektrums ist die Leitf/ihigkeit in guter N/iherung frequenzunabh~ingig, a(w) ~- coW2p7-

und der Imagin/irteil der Brechzahl lautet in diesem Fall nach G1. (3.12) und wegen n 2 -~ iw2T/W n" ~-- wp~-~/2w

Die Brechzahl bestimmt nun die Eindringgiefe, die bei niederen Prequenzen als ,,normaler Skineffekt" bezeichnet wird:

a, Dieser Fall spielt weniger in der Optik, wohl aber bei Radiofrequenzanwendungen eine groge Rolle.

3.2.2

Metallische Reflexion Wit kSnnen die Ergebnisse des voraufgegangenen Kapitel nun verwenden, um die metallische Reflexion zu untersuchen. Allerdings beschr/inken wir uns auf den senkrechten Einfall. Der schr~ige Einfall besitzt viele interessante Eigenschaften, erfordert aber eine mathematisch aufwendige Behandlung und ist in der Spezialliteratur dargestellt.

Bei optischen Wellenl/ingen kSnnen Abb. 3.5 Elektromagnetische Felder bei der wir den Grenzfall hoher Frequenzen Reflexion unter senkrechtem Einfall. (wT- >> 1) aus dem vorausgegangenen Kapitel mit dem rein imagin/iren Brechungsindex (3.13) n = in" = i ~ p - w 2/ w verwenden. Die Bestimmungsgleichungen kSnnen wir aus G1. (3.6) entnehmen und fiir den die Luft-Metall-Grenzfl/iche gleich k t / k i = in" verwenden, in"s GOt

=

~oi -- ~Or

=

~0i -~- ~0r

Man findet ohne Probleme die L5sungen s

1 -- in" -- 1 + in '~~~

2in" und

~ot -

1 + in '~C~

3.2 Komplexe Brechzahl

95

Das interessante Ergebnis zeigt sich bei der Berechnung der Reflektivitgt,

R

IE"12 IE~I~

ll-in"l 2 11 + ~n"l ~

Allerdings haben wir die Ohmschen Verluste (Relaxationsrate r - l ! ) dabei vernachliissigt, die in realen Metallen natiirlich immer vorhanden sind. In der Tat findet man, dab im sichtbaren Spektralbereich wichtige Metalle wie A1, Au, Ag Refiektivitgten von 90-98% besitzen. Normalerweise wird dieser Wert noch durch die oxidierten Oberflgchen reduziert, so dab man die metallischen Spiegelschichten entweder auf der Rfickseite einer Glasscheibe aufbringt oder mit einer transparenten, diinnen Schutzschicht versieht.

Beispieh Hagen-Rubens-Beziehung. Um den Einflut Ohmscher Verluste in G1. (3.10) zu ber(icksichtigen, verwenden wir die Ngherung

oo

,oo (,_ 2)

a(co) -- 1 - iwr

co---7

die fiir den Breehungsindex bei optisehen Frequenzen (COp >> co >> r -1) die Ngherung

liefert. Weiterhin verwenden wir ~/1 - i / c o z ~_ - i ( 1 - i/2~or) und finden mit n " nach (3.13) und mit n ' / n " = 1~2COT aus n2(co) ~ c~

- -j

i+

~

-- n "2

i +n,,]

fiir die Reflektivitgt die Hagen-Rubens-Beziehung

R = 1 - 4 n ' / n "2 ~ 1 - 2/copr

Aluminium besitzt eine Plasmafrequenz cop ~ 1, 5-101% -1, die bei einer optimalen Reflektivitgt einer frischen Schicht von 95% fiir sichtbare Wellenlgngen auf eine pauschale Stotrate r ,,~ 2 9 10-15s schlieBen lgBt.

96

3.3

3 Lichtausbreitungin Materie

Lichtwellenleiter (LWLs)

Wir schlieflen an das Kapitel fiber Strahlenausbreitung in Lichtwellenleitern an (Kap. 1.7), wollen aber hier die Eigenschaften der Wellenausbreitung untersuchen und dazu die entsprechende Helmholtz-Gleichung 15sen. Dabei konzen-

Abb. 3.6 Stufenfaser mit transversaler Feldverteilung. Die Kriimmung der Feldverteilung muff im Kern positiv, im Mantel negativ sein. Links ist die Feldverteilung fiir einen GrundMode, rechts fi~r den ersten hSheren Mode dargestellt.

trieren wir uns wieder auf die Wellenleiter, die umgangssprachlich als ,,Glasfasern" bezeichnet werden, zylindrischen Querschnitt (Abb. 3.6) besitzen und wie schon in Kap. 1.7 erw~hnt das Rfickgrat der optischen Nachrichteniibertragung bilden - v o n kurzen Verbindungen zur lokalen Vernetzung von Geraten bis hin zu Uberseekabeln der optischen Nachrichtentechnik.

Abb. 3.7 Wellenleitertypen. Zylindrische, mechanisch sehr flexible Fasern (links, das Licht wird durch Linsen ein- und ausgekoppelt) werden bei der Ubertragung iiber kleine und grofle Distanzen eingesetzt. Fiir die integrierte Optik spielen Wellenleiter mit rechteckigem Querschnitt (rechts) an der Oberfl5che geeigneter Substrate (z.B. LiNb03) eine wichtige Rolle. Die Einkopplung kann direkt iiber eine Kante erfolgen oder durch frustrierte Totalreflexion mit einem aufgesetzten Prisma.

Wellenleiter sind auch ein wichtiges Grundelement der integrierten Optik. Dabei werden planare Strukturen bevorzugt (Abb. 3.7), auf denen mit den wohlbekannten Verfahren aus der Halbleitertechnologie transversale Strukturen mit #m-Dimensionen hergestellt werden kSnnen. Im LiNbO3 lgt]t sich zum Beispiel

3.3 Lichtwellenleiter

97

die Brechzahl durch Eindiffusion von Protonen um ca. 1% variieren, so daft an der Oberfl~che ebener Kristalle Wellenleiter entstehen, die n~herungsweise rechteckige Brechzahlprofile besitzen. Lichtwellenleiter werden durch relativ einfache Strukturierung von dielektrischen Materialien hergestellt, z.B. durch Kern-Dotierung eines Glasrohrs (s. den Exkurs auf S. 14) oder die Preparation von Oberfl~chenwellenleitern. In jiingerer Zeit ist es gelungen, deutlich komplexere Strukturen auf der Skala der optischen Wellenlange oder sogar darunter zu fertigen. Solche photonischen oder Metamaterialien, zu denen auch die photonischen Kristallfasern z~ihlen, behandeln wir niiher in Kap. 3.5. Die mathematische Untersuchung der Wellenformen in einer optischen Faser ist durchaus anspruchsvoll und aufwendig. Als Beispiel skizzieren wir nun die Behandlung der zylindrischen Faser, dem ffir Anwendungen wichtigsten Typus.

3.3.1

Stufenfasern

In der Stufenfaser (Abb. 3.6) ist die Brechzahl zylindrisch symmetrisch und in Kern und Mantel jeweils homogen. Ihr Wert f~llt von nl im Kern bei r-- a stufenartig auf den Mantelwert n2 < nl ab. Der Geometrie angemessen suchen wir LSsungen der Form E = E(r, r -i(~t-zz), die eine Welle beschreiben, die sich entlang der Faser-z-Achse ausbreitet. Die effektive Wellenzahl t3 wird Propagationskonstante genannt und gibt die Phasengeschwindigkeit entlang der Faser an.

Die Wellengleichung ffir zylindrische (r,r ist kompliziert, weil die er- und er nicht konstant sind. Eine skalare Wellengleichung, in welcher W• r den transversalen Anteil des Nabla-Operators bezeichnet, bleibt aber fiir die Cz, 7-tz-Komponenten erhalten,

Erfreulieherweise gewinnt man ein vollst~ndiges System yon LSsungen, wenn kann man zun/iehst die Komponenten {gz, ~ } ermittelt und erst ansehliet3end {gr, gr ~ , 7-/r mit Hilfe der Maxwell-Gleiehungen konstruiert: VxH=-iwe0n~E

und

VxE=iw#0H

(3.14)

Das Ergebnis ist in Glgn. (3.19, 3.20) zu finden. Die Propagationskonstante muff als Eigenwert aus der Helmholtzgleichung ffir {gz, 7-t~} bestimmt werden. Sie lautet in Zylinderkoodinaten mit kl,2 = nl,2W/C

~r2+r-~r+r-~Or

Hz(r, r

'

98

3 Lichtausbreitung in Materie

und wird mit den Ans~itzen {s 7-/~} = {e(r),h(r)}e •162 auf eine Bessel-Gleichung ffir die radialen Amplitudenverteilungen reduziert, +

-

-

r Or

-~

h(r)

= 0

Die Krfimmung der radialen Amplituden {e(r),h(r)} h~ngt vom Vorzeichen von k2 - ~ 2 ab. Im Kern kSnnen wit positive, konvexe Kriimmungen und damit oszillierende LSsungen zulassen, im Mantel aber muff die Amplitude schnell abfallen und deshalb eine negative Kriimmung besitzen - andernfalls entstiinde dort unerwiinschter Energieverlust durch Abstrahlung (vgl. Abb. 3.6): imKern imMantel

0 < 0 >

k 2 = kl2_f~2 -t~ 2 -- k ~ - ~ 2

(3.15)

Die Propagationskonstante ~ mut3 anders ausgedrfickt einen Wert zwischen den Wellenzahlen ki = niw/c des homogenen Kern- und Mantelmaterials annehmen,

n2w/c

_<

~ = Propagationskonstante

_<

nlW/C

,

und unterscheidet sich bei geringen Brechzahldifferenzen (A -- (nl--n2)/nl ~ 1 (1.7)) nur wenig von kl,2. Solche Wellenleiter werden schwach fiihrend genannt. Per Definition gilt nach G1. 3.15 k 2 ~_/~2 = (~d/C)2(Tt2 _ n22) ___ 2A(T~10.)/c)2 << f12

(3.16)

Ffir kl -~ k2 --- fl sind die transversalen Wellenvektoren k• ~ klein gegen die Propagationskonstante ft. Die transversalen Feldverteilungen miissen endlich bleiben, so dab im Kern (Mantel) allein die Besselfunktionen Je (modifizierte Besselfunktionen Ke ) 1. Art fibrigbleiben. Der 0bersichtlichkeit halber verwenden wit die skalierten Koordinaten X := k• Y := ar bzw.

X a : : k•

Ya : =

ha:

A . Jr(X)

r~O

A

r ~ cc(c

B. h(r) =

Kt(Y) K~(Ya)

JdX)

(k•

~

e-ar/v/-~

Kern Mantel (3.17)

r~ 0

(k•

~"

Kern

J~(Xa) B

K (Y)

K (Ya)

r

Mantel

Wir haben die noch zu bestimmenden Koeffizienten {A, B} schon so definiert, gab die {s 7-/z}-Komponenten bei r = a stetig sing. Fiir die {s Er 7-/r, 7-/r Anteile erhalten wir die Bestimmungsgleichungen aus (3.14) unter Verwendung

3.3

Lichtwellenleiter

99

von Zylinderkoordinaten:

-iwcon2E~-- igh(r).e'~r162 r

-iweon~Er

iflT-l~-O h(r)eitr (3.18)

iw#oT-l~-- i~e(r) eier162 r

iw~o?/~= ifl&-O~(~)e "~ Einsetzen der LSsungen ffir {e(r), h(r)} und die Verwendung der normierten Koordinaten X = k.r ergibt die radialen Komponenten:

., [W#o iBt Jt(Z) -~ A J~(X) ~ ~i~r &(x,r ?-/r(X,r

=

wa~Txx~_

=

, [weon~ At J~(Z) + iB J~(X) ~ eigr pa ~ -~ -X-Xi J~--~) - XaJt(Xa)J

z=J~(Zo-----)]-

(3.19)

und die azimuthalen Anteile:

.. f iAl J~(X) .

{'

Bg Jt(X)

W#o B J~(X) ~ i~r .

(3.20)

weon~iA J~(X)~eig r

~ ( x , ~) = ,a ~,-2-K~J,---~) + -fi ~ J~--(27~))

Dabei gelten Glgn. 3.19 und 3.20 im Kern, fiir den Mantel kann die entsprechende Gleichung leicht durch den Austausch X ---, Y, J~ ~ K~ gewonnen werden. Zur Bestimmung der Propagationskonstanten fl verwendet man die Stetigkeitsbedingungen (3.1) bei X -- X~ in G1. 3.20. Man erh~lt nach kurzer Rechnung ein lineares Gleichungssystem in A, B, BW--~/~ J~(X).

K'e(Y)

A~_~ (n~Y'~(X)+ ~K'~(Y)~ \ x J~(x)

fl

+ .j

=

0

----

0

,

das zu der charakteristischen Eigenwertgleichung

( J'~(X) K'~(Y) ~ {k~J'~(Z) k~K'~(Y)~ XJ~(X) + YK~(Y)J ~XJ~(X) + YK~(Y) J =

(3.21)

ffihrt. Wenn wir G1. (3.16) mit a 2 multiplizieren, erhalten wir die Zusatzbedingung

X~,~ + Yt2 -- (w/c)2(n 2 - n2)a 2 -- Y 2

(3.22)

i00

3 Lichtausbreitung in Materie

Dabei haben wir den V-Parameter eingefiihrt, der sich auch direkt mit der numerischen Apertur NA aus G1. (1.9) ausdrficken l~flt und zu jeder Wellenl~nge )~ die Eigenschaffen der Stufenfaser - die Brechungsindizes (nl, n2) und den Kernradius a - vollst~ndig berficksichtigt: V-

2~ra A .NA

(3.23)

Die numerische Behandlung der transzendenten Gleichung 3.21 zusammen mit der Zusatzbedingung 3.22 liefert zu jedem V und t = 0, 1, 2, ... einen Satz von L6sungen (Xtm, Ytm) mit m ---- 1, 2, 3, ... und die Propagationskonstante firm nach G1. (3.15), ]3~m ---- ( k 2 - ( Z t m / a ) 2 ) ) 1/2 -- ( k 2 -~- (Y~m/a)2)) 1/2

Die Propagation im LWL kann also zu jeder Frequenz bzw. Wellenlange w = 2~c/~ durch die Angabe (/~tm, W) beschrieben werden. Die numerische Behandlung ist i. Allg. aufwendig und nimmt in der Literatur breiten R a u m ein [145]. Vereinfacht wird das Problem im Fall schwach ffihrender Wellenleiter, den wir auch schon in der Strahlenoptik (Abschn. 1.7.2) behandelt haben. Schwach f'tihrende Stufenfasern

Abb. 3.8 Graphische Auswertung yon Gl. (3.26) fiir eine schwach fiihrende Stufenfaser und V - I O ; hier wurden die Kehrwerte aus G1. 3.26 verwendet, und die Argumente yon YKt/Kt• lauten ~/V 2 - X 2. Links: TE- und TM-Moden flit ~ = O. I m schattierten Bereich gibt es nur eine LSsung (Monomode). Rechts: HE- und EH-Moden fiir ~ = O.

In schwach ffihrenden Wellenleitern gilt nl -~ n2 und mit kl ~ k2 -~/3 vereinfacht sich G1. 3.21 zu

(J~(X) X Jr(X)

+

K~(Y) ~ -YKdY) ]

1

1

-~-t/-~-~ + ~--~/ \A-X-~

(3.24)

3.3 Lichtwellenleiter

101

Die Ableitungen kSnnen wir mit den Identit~ten

J~(X) =

-~-JgTl(X) ::F gJ~(X) -~ ;

K~(Y)---- - - K / T I ( Y )

:F

gK~_Y) (3.25) --

ersetzen. Ffir g = 0 finden wit transversale elektrische TE- und transversale magnetische TM-LSsungen. Ffir die beiden Vorzeichen in g-4-1 ergeben sich nach der Umformung zwei Klassen von sogenannten H y b r i d - M o d e n . Die Bedingungen lauten: g = 0 TE~m,TM~m g __>1 HEgm g __>1 E H e m

Jo(Xem) XgmJl ( Xgm) Jg-l(Xgm) x~mJ~(X~) Jg+l(Xgm) X~mJ~(X~,O

-_ -

Ko(Y~m) - Y~mKI (Y~m) K~-I(Y~m) Y~K~(Y~) Kl+l(Ygm) Y~,~K~(Y~m)

(3.26)

Graphische L6sungen sind unter der Zusatzbedingung (3.22) in Abb. 3.8 skizziert. Aus diesen LSsungen wird die Dispersionsrelation W(/3tm) konstruiert.

Abb. 3.9 Links: (w, fl)-Dispersionsrelation einer schwach f~hrenden Stufenfaser. In den normierten Einheiten hat die ,Lichtgerade", die Gerade w = ct3 die Steigung 1. Rechts: Effektive Brechzahl als Funktion des V-Parameters. In Abb. 3.9 ist die Dispersionsrelation in charakteristischer Form vorgestellt: 9 Links: Dispersionsrelationen in normierten Gr6fien (wa/c bzw./3a). Die Geraden mit den Steigungen 1/nl bzw. 1/n2 teilen das Diagramm in drei Bereiche ein: Unterhalb von w a / c -- 1/nl, im dunkel schattierten Bereich, kann fiberhaupt keine Propagation stattfinden. Oberhalb der Geraden mit Steigung 1/n2 liegende Moden propagieren frei im Mantel, oberhalb der als Lichtgerade bezeichneten Geraden w = c/3 auch im Vakuum. Ein einzelner Mode wird durch die Werte (w,/3) charakterisiert, wobei/3 nur die Komponente des Wellenvektors in Faserrichtung angibt, daher ist das Spektrum dort kontinuierlich.

102

3 Lichtausbreitung in Materie

Zwischen den Geraden mit den Steigungen 1/nl und 1/n2 kann Propagation nur bei den diskreten Werten der entlang der Faser geffihrten Moden stattfinden. Im hellgrau schattierten Bereich besitzt die Faser Monomoden-Charakter, dort existiert zu jeder Frequenz nur eine Propagationskonstante. Der vergrSt3erte Ausschnitt zeigt das Ende des Monomoden-Bereiches und das Anfangsverhalten der TE01-Moden. 9 Rechts: Manchmal ist es zweckm~fiig, statt der Propagationskonstante eine effektive Brechzahl anzugeben: r~eff ---- ~ / k ---- C~/Sd mit n2 < neff < r~l (3.27) Die effektive Brechzahl gibt auch einen besseren 0berblick fiber die erlaubten Moden im engen Bereich zwischen 1 / n l und 1/n2. Man kann mit G1. (3.24) eine Bedingung ffir die (A,B)-Koeffizienten aus (3.17) angeben, die die Amplituden festlegen. Das ,,+"-Zeichen gilt ffir die HE-, das ,,-"-Zeichen ffir die EH-Moden: ( A • i ( w # o / ~ ) B) t = 0

(3.28)

Man entnimmt daraus, dat3 die elektrischen und magnetischen z-Komponenten um 90 ~ aui3er Phase schwingen. Um uns einen 0berblick fiber die geometrischen Eigenschaften der LWL-Moden zu verschaffen, betrachten wit die Spezial-F~lle: (1) / ---- 0: T E - u n d T M - M o d e n . Bei g = 0 gilt A=0 (B=0), d.h. entweder ist das E- oder das H-Feld rein transversal, und deshalb werden die TE/TM-Bezeichnungen verwendet. In Abb. 3.8 haben wir die graphische Bedingung ffir die (entarteten) TE0m und TM0mModen angezeigt. Sie werden erst ffir Y > 2,405 (J0(2,405) -- 0) bzw. oberhalb der zugehSrigen Absehneidefrequenz Wcut = 2,405c/a(n~ - n~) 1/2 geffihrt. Bei Y = 5,520 (J1(5,520) = 0) kommt der nachste TE-/TM-Mode hinzu.

Abb. 3.10 Intensitdtsverteilung (E-Feld) fiir verschiedene Modentypen der Stufenfaser. Als Modell wurde eine Stufenfaser mit der numerischen Apertur NA--O,12 und dem Kerndurchmesser 2a--5,1#m angenommen. Der gestrichelte Kreis deutet den Kern an. Linkes Bild: )~=850 nm, V=2,26; sonst: Jk=400 nm, V=~,81.

3.3 Lichtwellenleiter

103

(2) 6_> 1: HE- und EH-Moden. Die niedrigste Mode ist die HEll-Mode, sie existiert bis hinunter zu X--0: Der Kern heftet den Mode sozusagen ffir beliebig schwach gekrfimmte transversale Amplituden lest, wobei ein immer grSt3erer Anteil der Energie im Mantel propagiert und sich dort auch immer mehr ausdehnt. Bei der mathematischen Behandlung hatten wir angenommen, dab der Mantel eine unendlich grot3e Ausdehnung hat, so dab man hier auch an technische Grenzen stSt]t. Die HE- und EH-Moden unterscheiden sich nach G1. (3.26) und G1. (3.28). Der Unterschied aut3ert sich neben den unterschiedlichen Propagationskonstanten darin, dat3 die H- (HE) bzw. E-Anteile (EH) der jeweiligen z-Komponenten fiberwiegen.

(3) 6_> 1: L P - M o d e n . Ffir g > 0 mut3 nach G1. (3.28) A = • B gelten. Dureh Einsetzen in Glgn. (3.19, 3.20) und Verwendung der Rekursionsformeln (3.25) stellt man nach kurzer Rechnung fest, dab die HElm-Moden lineare transversale Polarisation besitzen und dab die transversalen Anteile gx = Cr cos(C) + Ccsin(r die longitudinalen Ez-Anteile um den Faktor ~tma/Xtm >> 1 fiberragen. Diese Moden werden auch als linear polarisierte (LP-)Moden bezeichnet. Sie entstehen aus den HE-Moden bzw. ffir hShere g-Werte aus linearen Superpositionen der entarteten {HE~+2,m,EH~,m}-Moden:

HE~,m ~

LPt-I,m

bzw.

HEi+2,m, EH~,m --~ LPi+I,m

(6 _~ 2).

Beispiel: Kern-Durchmesser eines Mono-Mode-Wellenleiters. In technischen Katalogen werden ffir Wellenleiter, die ffir Mono-Moden-Anwendungen vorgesehen sind, typischerweise Angaben zur numerischen Apertur und zur cut-off-Wellenl~inge gemacht, beispielsweise:

NA cut-off (nm)

0,13 0,12 1260 800

0,11 620

Aus diesen Angaben l~it3t sich der Kerndurchmesser 2a nach G1. (3.23) und 2a = V.~/~rNA absch~tzen. Das Ergebnis lautet:

2a(#m) II 7,4 I 5,11 4,3

3.3.2

GRIN-Fasern

Hinter der Bezeichnung ,,Quadratische Indexmedien" verbergen sich durchaus h~ufig vorkommende Systeme wie zum Beispiel die schon im Kapitel fiber

104

3 Lichtausbreitung in Materie

Strahlenoptik behandelten Gradientenfasern mit ihrem parabolischen Indexprofil (s. nebenstehende Abbildung), die man als den Grenzfall einer unendlich dicken Linse auffassen kann. Realistische Gradientenfasern besitzen nur im Zentrum ein quadratisches Profil, das dann wieder in Stufenformen iibergeht. Wir betrachten stattdessen ein vereinfachtes, rein quadratisches System, das aber die Eigenschaften der Gradientenfaser bereits reflektiert. Das Brechzahlprofil soll vom normierten Radius r / a abh~ngen und lautet mit der Brechzahldifferenz (A = (n I - - r t 2 ) / n l , S. Kap. 1.7.3)

n(r)=nl(1-A(r/a)

Abb. 3.11 Vereinfachtes Brechzahlprofil einer GRIN-Faser.

2)

und

A<
Wir suchen LSsungen zur Helmholtz-Gleichung (2.13), deren Einhfillende sich entlang der Ausbreitungsrichtung nicht andert, d.h. in der Form $ ( x , y , z ) = J t ( x , y ) e x p ( i ~ z ) , und erhalten die modifizierte Gleichung

(V• + n2k 2 - 2n2k~A((x/a) 2 + (y/a) 2) - Z 2) .A(x,y) -- 0

,

wobei wir (nlk(1 - A(r/a)2)) 2 ~- (nlk)2(1 - 2 A ( r / a ) +...) genutzt haben. Wir nehmen nun an, daft die transversale Verteilung wie schon bei den hSheren Gaufi-Moden (s. Kap. 2.3.3) einer modifizierten Gaufi-Funktion entspricht, 2

=

2

2

2

/yo)

Mit diesem Ansatz erhalten wir

(7'

If

--

4x~,

~_

--

2 "z'~ ?t:rl n. T

_~_ ,J

4x0 2n2kXO..~ +

(,",,

4y~,

~, ( 4

Yo Yo ! 2n2k2A~ 2 ]

2

n'~

~"gl-

n~k2~6+ ,

in welehem wir dureh Wahl von

kxo = kyo

=

(ka)l/2/(2n~A) 1/4 ~ 1

die i. Allg. unangenehme quadratische Abhangigkeit beseitigen kSnnen. Nun kann man durch die Substitution v~X/Xo --~ u und vf2y/yo ---, v wieder auf das System der Hermiteschen Differentialgleichungen transformieren, das wir schon von den hSheren Gaufimoden kennen. Mit den Indizes m und n erhalten wir zun&chst 2(9u" - 2u9u' + 2tabu)6 + 2(6" - 2v6' + 2n6)gu+ +(n~k2x~ - ~2x] - 4 ( m + n + 1))9c'6 -- 0

3.3 Lichtwellenleiter

105

Die ersten Beitr~ge sind so konstruiert, daft sie bei Einsetzen der HermitePolynome 7-/m,n (S. S. 56) gerade verschwinden. Ffir die hier im Zentrum stehende Propagationskontante findet man nach kurzer Rechnung [

w

I

4v/2-~( m + n + 1)

C ~1--

nlka

nlw

flmn(W)=neffC --

Die transversale Amplitudenverteilung entspricht dann ebenfalls denjenigen aus Abb. 2.9. Im Unterschied zu den Gaut3-Moden ~ndert sich aber der Modendurchmesser nicht. Das Beispiel der vereinfachten GRIN-Faser zeigt, daft Multi-Mode-Fasern zus~tzlich zur ,,Material-Dispersion", die durch den frequenzabh~ngigen Brechungsindex charakterisiert wird, eine ,,Moden-Dispersion" zeigen. Sie beeinflufit die Form von Pulsen, weft verschiedene Teil-Moden verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten besitzen.

3.3.3

Faserabsorption

Der Erfolg optischer Fasern ist nicht denkbar ohne ihre aufiergewShnlich vorteilhaften Absorptionseigenschaften (Abb. 3.12). Diese werden auf der kurzwelligen Seite durch die Rayleighstreuung an kleinen Inhomogenit~ten begrenzt (c< 1/~4), auf der langwelligen durch die Infrarot-Absorption in den Flanken des Phononen-Spektrums. Die wichtigsten Wellenl~ngen ffir die optische Kommunikationstechnik, 1,3 und 1,55 #m, liegen bei sehr niedrigen Absorptionskoeffizienten, und gleichzeitig verschwindet bei 1,3 #m die Abb. 3.12 Absorptionseigenschaften optiGruppengeschwindigkeit sdispersion (s. scher Fasern aus Silikatglas. Die relaS. 124). Dazwischen liegen Resonanzen, tiv scharfen Resonanzlinien werden dutch die z.B. dutch OH-Verunreinigungen im OH--Einlagerungen im Glas verursacht. Glas verursacht werden. Die Graphik gibt bei A = 1,55 #m den Wert a -- 0, 3 dB/km an. Die Leistung f~llt danach erst nach ca. g -- 10 km Laufstrecke auf 50% ihres Anfangswertes ab (Nach der Definition des Dezibels gilt P / P o -- 10-(~/l~

106

3.4

3 Lichtausbreitungin M a t e r i e

l

mktionstypen von Fasern

9 M u l t i - M o d e n - F a s e r n : In Abb. 3.8 erkennt man, daft mit wachsendem VParameter, Y = (27ra/)O(n2-n2) 1/2 (3.23), in fast regelm~6igen Abst~nden bei 7r, 2~, 3~, ... ein neuer Mode mit zunachst Y~m = 0 und ~ = n2w/c auftritt. In Abb. 3.9 liegen alle gefiihrten Moden zwischen den beiden Geraden (Steigungen c/nl und c/n2), die die Propagation im homogenen Kern- bzw. Mantelmaterial beschreiben. Bei hSheren Frequenzen spielen natfirlich immer grSt3ere g-Werte ein Rolle. Man kann zeigen [145], daft die Anzahl der Moden M nicht linear, sondern quadratisch mit dem V-Parameter wachst nach (s. Aufg. 3.8.6)

M ~ V2/2 Wenn in einer Viel- oder Multimodenfaser Licht eingekoppelt wird, wird im Allgemeinen eine Uberlagerung mehrerer Moden angeregt, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten (,,Modendispersion"). Am Ausgang des Wellenleiter wird aus dem Multimodenfeld wieder ein freies Feld, dessen transversales und longitudinales Profil aber durch die verschiedenen Beitr~ge zur Dispersion verformt worden ist. Solche Fasern werden verwendet, wenn die transversale Koh~renz keine grofie Rolle spielt, z.B. beim Pumpen yon Hochleistungslasern (siehe z.B. Kap. 7.4.2). 9 M o n o - M o d e n - F a s e r n , auch SM-Fasern (von engl. single-mode): Fiir Werte des V-Parameters (3.23) von V < 2,405 (3.29) l~nn in der Stufenfaser nur der LPol- bzw. HErmll-Mode propagieren. In Abb. 3.9 sind die Eigenschaften der Stufenfaser in einem Dispersions- oder Propagationsdiagramm zusammengefa6t. In diesem Diagramm zeichnen sich gefiihrte Moden dadurch aus, daft die freie Propagation im Kern erlaubt, im Mantel nicht erlaubt ist. Der schmale schraffierte Bereich zwischen den Geraden mit Steigungen c/nl,2 umfa6t das Terrain der gesamten optischen Komunikationstechnologie! Der niedrigste Mode in der zylindrischen Stufenfaser (HE11/LP01) hat ein glockenfSrmiges, dem freien TEM00-Gaut3mode sehr ahnliches Profil. Ein Gau6strahl la6t sich effizient in diesen Grundmode einer Mono-Mode-Faser einkoppeln. Die Mono-Mode-Faser wird sogar h~ufig als sehr effizientes r~umliches Filter eingesetzt (s. Abschn. 2.3.4), denn aus der eingekoppelten Amplitudenverteilung wird dann nur der erwiinschte Grundmode propagieren und am Ende als sehr ,,sauberer" TEM00-Mode abgestrahlt. 9 P o l a r i a t i o n s - e r h a l t e n d e Fasern, auch PM-Fasern (von engl. polarization maintaining): Selbst die ideale zylindrische Stufenfaser ist aber noch im Hinblick auf zwei orthogonale Polarisationszust~nde entartet. In realistischen Fasern ist deshalb der Polarisationszustand am Auskoppelende nicht vorhersagbar und schwankt zudem durch Temperatur~nderungen oder mechanische

3.5 PhotonischeMaterialien

107

Schwingungen in den Faserkriimmungen. Diese Probleme werden durch polarisationserhaltende Mono-Moden-Fasern gelSst. Sie werden realisiert, indem zum Beispiel die Brechzahl des Faserkerns geringfiigig elliptisch verzerrt wird (Abb. 3.13) und dadurch verschiedene Propagationskonstanten ffir die Hauptachsen verursacht.

Abb. 3.13 Die doppelbrechenden Eigenschaften einer optischen Faser werden durch MantelElemente beeinflusst, die auf den Faserkern mechanische Spannungen ausiiben. Gebriiuchliche Typen sind die ,Bowtie"- und die ,PANDA "-Struktur.

9 P h o t o n i s c h e Fasern: Seit etwa 1995 werden Lichtwellenleiter mit Strukturen ausgestattet, deren Komplexitiit weit fiber das von Stufen- oder GRINFasern bekannte Marl hinausgeht. Diese Fasern sind ein sehr aktuelles Forschungsgebiet, weil man ihre Eigenschaften, zum Beispiel die Rolle der Dispersion bei nichtlinearen Prozesse, kontrollieren kann. Photonische Fasern sind eng verwandt mit den sogenannten Photonischen Materialien, dort ist ihnen ein eigener Abschnitt gewidmet (3.5.6).

3.5

Photonische Materialien

Bisher haben wir im allgemeinen die Propagation von Licht in mehr oder weniger homogenen Materialien studiert, lediglich Grenzfliichen und langsam veriinderliche Brechungsindizes haben eine Rolle gespielt. Die Methoden der Mikrostrukturierung erlauben uns aber heute, die optischen, d.h. die dielektrischen Eigenschaften auf der Nanometerskala, bei der Wellenliinge des Lichts und darunter zu modifizieren. Mit Photonischen Materalien l~ii~tsich die Propagation von Licht in einer Weise beeinflussen und kontrollieren, wie es natiirlich vorkommende Materialien nicht zulassen.

Strukturierte dielektrische Materialien, bei denen sich der Brechungsindex in zwei oder drei Dimensionen periodisch iindert, spielen ffirdie photonischen Materialien eine grofie Rolle. Weil solche Materialien den periodischen Strukturen eines Kristalls entsprechen, wird auch yon ,,photonischen Kristallen" gesprochen. Anders als bei gewShnlichen Kristallen sind aber die Periodenliingen

108

3 Lichtausbreitung in Materie

vonder GrSfienordnung der Wellenlangen des verwendeten Lichts und betragen fiir sichtbares Licht einige 100 nm bis einige #m. Photonische Kristalle ffir experimentelle und technische Anwendungen miissen i. Allg. technisch hergestellt werden. Es gibt aber in der Natur auch Beispiele von Materialien, deren Farbigkeit gerade auf der Wirkung von periodisch strukturierten Materialien beruht, z.B. Schmetterlingsfliigel oder Opale.

3.5.1

Photonische Kristalle

Abb. 3.14 Beispiele fiir photonische Kristalle (s. Text). Mit freundlicher Erlaubnis yon Y. Yamamoto (links, [95]), M. Giersig (mitre, [143]) und R. Wehrspohn (rechts, [119]). In Abb. 3.14 sind Beispiele flit photonische Kristalle verschiedener Dimensionalit~t gezeigt: 9 Links: Der eindimensionale ,,Pillar" besteht aus GaAs-Schichten mit wechselnder Zusammensetzung [95]. In transversaler Richtung wird die Propagation des Lichtfeldes in dieser Hybrid-Struktur dutch Totalreflexion unterdriickt, so daft ein geschlossener Resonator entsteht. 9 Mitre: Zweidimensionale (2D) Kristalle kSnnen, wie hier gezeigt, durch Selbstorganisation hergestellt werden [143] oder mit konventionellen Methoden der Mikrostrukturierung. 2D-photonische Kristalle (Abschn. 3.5.4) sind fiir Anwendungen in der integrierten Optik interessant, denn das Licht wird mit Hilfe eines Brechungsindexsprungs innerhalb einer diinnen Schicht gefiihrt. In photonischen Kristallfasern (Abschn. 3.5.6) wird das Licht dutch transversale 2D-photonische Strukturen entlang einer Faserachse gefiihrt. 9 Rechts: Der hier dargestellte dreidimensionale photonische Kristall wurde durch kontrolliertes photoelektrochemisches _~tzen entlang der sogenannten (100}-Richtung eines Si-Kristalls erzeugt [119]. Er hat eine sogenannte photonische Bandliicke bei der infraroten Wellenl~inge yon 5 #m.

3.5 Photonische Materialien

109

Um die Propagation von Licht in photonischen Kristallen theoretisch zu beschreiben, kann man die aus der Festk5rperphysik bekannten Begriffe verwenden, die Punktsymmetriegruppen und das reziproke Gitter spielen eine wichtige Rolle. Bei vielen Konzepten hat insbesondere das Biindermodell der Bewegung von Elektronen Pate gestanden, und hier in besonderer Weise Halbleitermaterialien mit ihrer Bandliicke, deren Kontrollierbarkeit uns die Mikroelektronik beschert hat. Die theoretische Behandlung ist aufwendig, weil nicht wie in der Festk5rperphysik mit skalaren elektronischen Wellenfunktionen schon gute Ergebnisse erzielt werden, sondern von vornherein vektorielle MaxwellGleichungen gelSst werden miissen. In Materialien mit einer Photonischen Bandliicke (PBG, von engl. Photonic Bandgap) ist die Lichtpropagation in gewissen Wellenl~ingenbereichenvollst~indig unterdrfickt. Periodische Vielschichtensysteme lassen sich schon lange durch Aufdampfen herstellen, sie werden als Spiegel oder Interferenzfilter eingesetzt (s. auch Abschn. 5.7.2). Sie sind als 1D-Modell gut geeignet, um den Ursprung der Bandliicke physikalisch zu verstehen. Von besonderem Interesse fiir Anwendungen werden die PBG-Materialien aber erst in 2 und 3 Dimensionen, weil sie dort die Konstruktion komplexer optischer Schaltkreise versprechen.

Lichtpropagation in 1D-periodisch strukturierten Dielektrika Wir studieren zur Einfiihrung die Propagation von Licht in einem Kristall, dessen Brechungsindex in einer Richtung (1D) mit der Periodenl~nge A moduliert ist. Das 1DBeispiel ist eng mit der Behandlung dielektrischer Vielschichtenstapel in Kap. 5.7 verbunden, die durch Aufdampfen hergestellt werden und in einer Dimension schon lange Zugang zu diesen Materialien bieten. Fiir unser Problem ist es zweckm~ii~ig, fiir eine Welle E ( z , t ) = E ( z ) e - ~ t mit w = cko die HelmholtzGleichung (2.13) in der Form

(n21zld?.

+ k

E(z) = 0

Abb. 3.15 Ein periodisches Schichtensystem mit alternierenden Brechungsindizes wird dutch eine Fouriersumme geniihert. Die gestrichelte Kurve zeigt die Ndherung bis zur 1. Ordnung.

(3.30)

zu verwenden. Der Brechungsindex n ( z ) ist eine (reelle) Funktion mit Periodizit/it A, n(z) = n(z+A). Daher kann man eine Fourierreihe n(z) = n o + n a e ~gz +

110

3 Lichtausbreitung in Materie

n_ge -igz + ... angeben. Die Fourier-Koeffizienten nG mit G = 0, -4-~, + 2 ~ , . . . und G = 21r/A bilden die Punkte des reziproken Gitters, das aus der FestkSrperphysik wohl vertraut ist. Weil n(z) eine reelle Funktion ist, muff n g = (n_g)* gelten. Zur LSsung der G1. 3.30 empfiehlt es sich, n-2(z) ebenfalls in eine Fourierreihe zu entwickeln. Fiir kleine Entwicklungskoeffizienten nG << n0 erhglt man n-2(z) ~-- no 2 - Z ~ -e'c~ G no

3.5.2

Bloch-WeUen

Wir nehmen an, daft wir die Welle im Material mit periodischer Brechzahlvariation durch eine Summe ebener Wellen mit Koeffizienten eK beschreiben kSnnen,

E(z) =

~.,eKe K

Das propagierende Feld E(z) muff aber nicht periodisch in A sein. Aus der Helmholtzgleichung (3.30) gewinnen wir durch Einsetzen und geringfilgiges Umsortieren

1

2naK2eKei(K+G)z--

n]

no

E(K

2

--noko)eKe

=0

K

Den Koef[izienten eines einzelnen Wellenvektors K kann man durch Multiplikation der Gleichung m i t e -ig'z und anschliet3ende Integration mit f eiK'ze--igzdz : V / ~ 5 ( K - K') gewinnen. Im Ergebnis ersetzen wir K ' ~ k und erhalten die Form ( 0k0 - k2)ek +

(k - a)2

k_G = 0

,

(3.31)

G

die solche Wellen miteinander verknfipft, deren K-Vektoren sich gerade um einen reziproken Gittervektor unterscheiden. Die LSsung hat deshalb die Form

G

\G

/

Die Fourier-Reihe in der g l a m m e r ist periodisch in A, g(z) = g(z + A). Damit haben wir das Blochsche Theorem begriindet, das zuerst fiir Kristallelektronen formuliert wurde: Elektronen, die sich in einem periodischen Potential bewegen, werden dutch eine Wellenfunktion der Form Ck(r) = uk(r)e ikr beschrieben, in der Uk(r) die Periodizit~t des Kristallpotentials besitzt. Da sich die Wellenvektoren in 1D um G = -4-t~Q unterscheiden, t~ = 1, 2 , . . . , verwendet man praktischerweise die k-Vektoren aus der 1. Brillouin-Zone, d.h. - G / 2 < k < G/2 zur Beschreibung einer spezifischen Welle.

3.5 Photonische Materialien

3.5.3

Photonische

111

Bandliicke in 1D

Um die Koeffizienten ek-G in G1.3.32 zu bestimmen, mut] das unendlich grot3e System der Glgn. 3.31 gelSst oder geeignet gen~hert werden. Zur Illustration betrachten wir den Spezialfall, dab nur die Koeffizienten no und n• -- n• von Null verschieden sind. Dann lauten die Gleichungen fiir die ersten drei Koeffizienten

(nok ~~ _ k2)e k

2hi (k - G)~e~_~ n

2 2 (n0k0

02nl , -

k2)e

-

-

2n_l (k + ~)~ek+~ no

2n_l k2ek

2~)2ek_2 g -

(rt2k2 _ k2)ek+ g _ 2?21 k2ek no

n0

2 n _ l (k -4- 2~)2ek+26 no

= 0 0

(3.33)

=

---- 0

Fiir eine Abschtitzung der Koeffizienten k6nnen wir G1. 3.31 verwenden, ~G>0 2(nG/no)(k -- G)2ek_C =

(no

/e)2 -

ks

In der Ntihe des Ursprungs der Brillouin-Zone, wenn (k, w/c) << G gilt, wird der Nenner fiir ek dureh ((now/c) 2 - k2), fiir die anderen Koeftizienten ek• durch ( ( n o w / C ) 2 - ( k - G ) 2) ~-- G 2 >> I(now/c)2-k21 bestimmt, d.h. es dominiert der Koeffizient ek und in guter Ntiherung gilt der lineare Zusammenhang k = noo2/ c. Eine andere Situation tritt am Rand der Brillouin-Zone bei k ~- G/2 auf, dort gilt Ik - G I _~ G, und wenigstens die beiden Koeffizienten ek und ek-c sind von Bedeutung. Wir betrachten ek und ek-g und vereinfachen die Glgn. 3.33, indem wit alle anderen Komponenten vernachltissigen,

(nok 2 ~2 _ k2)e k

2nl ( k no

6)2ek_~

= 0

2 n _ l k 2 e k _ (nok 2 02 _ k2)ek_g ---- 0 no Dieses Gleichungssystem hat bekanntlich dann eine L5sung, wenn die Determinante verschwindet,

((now/C)2 _ k2)2 _ ( (21nll/no)2(k(k _ ~) )2 _- 0 Man findet ohne Umsttinde die Dispersionsrelation, den Zusammenhang zwischen w und k, w•

ck ( no

1+

2.nl. k - G) 1/2 Tt0

k

fiir

k~/2=~r/A

(3.34)

der in Abb. 3.16 qualitativ dargestellt ist. Fiir Frequenzen zwischen w_ und w+ gibt es keine L6sung, d.h. dort wird die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen unterdrfickt, man spricht von einer ,,photonischen Bandlficke" (engl.

112

3 Lichtausbreitung in Materie

Abb. 3.16 Dispersionsrelation fi~r elektromagnetische Wellenpropagation in einem 1Dphotonischen KristaU mit Bandliicke. Addition eines reziproken Gittervektors ~ verschiebt den markierten Ast der Dispersionsrelation in die 1. Brillouin-Zone.

Kiirzel ,,PBG" von Photonic Bandgap) in Analogie zum Bandermodell der FestkSrperphysik. Ihre GrSf~e kann man aus G1.3.34 ffir k ~ G/2 und nicht zu groBe nl/no absch~tzen. Mit Wo = ck/mo gilt: 41nll no

Wie erwartet verschwindet die Bandliicke mit verschwindender Modulation, nl ---* 0. Fiir k - - G / 2 wird auch der maximale Mischungsgrad erreicht - die vorw~rts laufende Welle ( k - - ~ / 2 ) wird an die riickw~rts laufende ( k - G / 2 - - G / 2 ) gekoppelt, so daft dort Reflexion stattfindet und eine Stehwelle ausgebildet wird. Die Bedingung entspricht gerade der Bragg-Bedingung ffir Reflexion, k=2~/~=~/2=~/A

oder

2A=~,

wobei A die Wellenl~nge im Kristall bezeichnet. Im Kap. 5.7 werden wir einen derartigen ,Bragg-Stapel", mit dem dielektrische Verspiegelung erzeugt wird, noch einmal genauer betrachten. Die wellenl~ngenabh~ngige Reflexion aus Abb. 5.27 zeigt genau die photonische Bandliicke, auf die wir in unserem Modell gestof~en sind. Bragg-Stapel mit alternierenden Brechungsindizes spielen auch bei der Konstruktion von Halbleiterlasern ein grof~e Rolle (Kap. 9.5.2).

3.5.4

Bandliicken in 2D und 3D

W~hrend in einer Dimension immer eine Bandlficke auftritt, ist aus der FestkSrperphysik wohl bekannt, dab das Auftreten einer Bandlficke (ffir Elektronen) in zwei und drei Dimensionen von der genauen Kristallsymmetrie

3.5 Photonische Materialien

113

Abb. 3.17 Das Bild bietet eine physikalische Erklgrung fiir die Entstehung der Bandliicke (~: Wellenlgnge der im Kristall propagierenden Welle; A: Periode des photonischen Gitters.) Die Maxima der oberen Stehwelle erfahren im Mittel eine h6here Brechzahl, diejenigen der unteren eine niederere Brechzahl. Der effektive Brechungsindex ist also sehr verschieden und fiihrt zu einer Frequenzerh6hung bzw. -erniedrigung gegeniiber dem mittleren Brechungsindex (s. auch Abb. 9.27).

abh~ngt. Photonische Bandlficken, die Propagation in allen oder wenigstens 2 Raumrichtungen unterdriicken, haben aber schon l~inger Interesse hervorgerufen [87, 178], weil sie es - in Analogie zur Halbleiterphysik - gestatten, elektromagnetische Schwingungsenergie an einen ,,Defekt" zu heften. 2D-Photonische Kristalle

Abb. 3.18 Links: Hexagonales 2-dimensionales Gitter mit primitiver EinheitszeUe (schraffiert). Rechts: Reziprokes Gitter und 1. BriUouin-Zone. Die gestrichelten Linien geben die halben Abstgnde zum ngchsten reziproken Gittervektor an. Aus Symmetriegriinden ist alle Information schon in dem karierten Dreieck F-M-K enthalten. Bandstrukturen werden hSufig durch ihre Dispersionsrelationen auf den Rdndern dieser irreduziblen Brillouin-Zonen dargestellt, s. Abb. 3.19. In Abb. 3.18 ist ein wichtiges Beispiel einer (hexagonalen) 2-dimensionalen Struktur mit ihrem reziproken Gitter gezeigt. Die Propagationseigenschaften

114

3 Lichtausbreitung in Materie

werden wie im 1D-Fall mit der Dispersionsrelation w(k), (k = (k~,ky)) charakterisiert, die jetzt selbst flgchigen 2D-Charakter hat. Sie ist am Beispiel in Abb. 3.19 vorgestellt. Man behilft sich i. Allg., indem man statt der gekrfimmten Flgche der Dispersionsrelation ihre Werte entlang der Rgnder der irreduziblen Brillouin-Zone auftrggt.

Abb. 3.19 Beispiele fiir Bandliicken in 2D-Photonischen KristaUen. Die Bezeichnungen fiir die reziproken Gitter-Vektoren sind in Abb. 3.18 erkl~irt. (a) Periodische dielektrische Zylinder mit n 2 = 12. (b) Periodische zylindrische LScher in einem Dielektrikum mit n 2 = 12. Mit freundlicher Erlaubnis yon Steven G. Johnson. Weitere Eigenschaften in [82]

Ffir 2D-Photonische Kristalle kann man zwei Gruppen von Komponenten unterscheiden: 9 In dfinnen, fl~tchigen Hybrid-Strukturen wird die Ffihrung der Lichtwellen in der Ebene durch Indexffihrung, d.h. dutch Totalreflexion an den ebenen Begrenzungsfl~tchen erreicht (Abb. 3.20). In der Ebene bestimmt die periodische Modulation der Brechzahl die Propagation. 9 In photonischen Fasern wird die transversale Ausbreitung durch eine photonische Bandlficke unterdrfickt, das Licht propagiert entlang ihrer Achse. Diesen Komponenten, die wegen ihrer besonderen Eigenschaften schnell ein ganz neues Gebiet nichtlinearer optischer Wechselwirkungen erschlossen haben, ist ein eigener Abschnitts gewidmet (3.5.6). Die Dispersionskurven aus Abb. 3.19 geben detaillierte Auskunft fiber die Pro-

3.5 Photonische Materialien

115

Abb. 3.20 Links: Hybridstrukturen: In einem 2D-Photonischen Kristall kann die transversale Feldverteilung dutch (Total-)Reflexion an den Grenzfliichen eines scheibenfSrmigen Kristalls eingeschrdnkt werden. Rechts: Zustandsdichte der TE-Moden in einem 2D-Photonischen Kristall aus einem quadratischen Gitter yon zylindrischen LSchern mit r /a = O, 2 in einem Dielektrikum mit n 2 = 10. Nach [90]. Die gestrichelte Gerade deutet den erwarteten Verlauf der 2D-Zustandsdichte in einem homogenen Material an (s. Anhang B.3).

pagation einer eben Welle mit einem gegebenen k-Vektor. H~ufig reicht aber die pauschale Information der sogenannten Zustandsdichte vollkommen aus. Ffir homogene Materialien ist die Berechnung im Anhang B.3 vorgestellt, die periodischen Strukturen mfissen numerisch behandelt werden. In Abb. 3.20 ist rechts als Beispiel die Zustandsdichte der TE-Moden zu der Struktur links mit r / a -- 0, 2 vorgestellt. 3D-Photonische KristaUe

In drei Dimensionen wird die Struktur der Dispersionsrelationen aufgrund der Geometrie notwendigerweise noch einmal komplexer, geht aber konzeptionell nicht fiber die schon aus zwei Dimensionen bekannten Eigenschaften hinaus. Eine 3D-Bandlficke aufiert sich in der Zustandsdichte ebenfalls als eine Lficke. Die Suche nach Methoden zur Strukturierung geeigneter dielektrischer Materialien mit einer vollst~ndigen Bandlficke, die die Propagation in allen drei Dimensionen unterdrfickt, ist ein sehr aktives Forschungsgebiet. Schon die theoretische Berechnung und Vorhersage erfordert aufwendige numerische Verfahren, die den Rahmen dieses Buches weit fibersteigen, und tats~chlich sind bisher sogar theoretisch nur wenige Strukturen bekannt, die eine vollstandige Bandlficke bieten. Eine grofie Herausforderung stellt auch die Preparation solcher Kristalle bei Nanometer-Dimensionen dar. Ffir die Herstellung mfissen namlich neue Verfahren der Nanostrukturierung ersonnen werden, weil die konventionellen Verfahren der Mikroelektronik vor allem ffir die Strukturierung von dfinnen Schichten auf geeigneten Oberfl~chen anwendbar sind. Ein Beispiel mit einer Bandlficke bei ca. 5 # m Wellenl~nge ist in Abb. 3.14 gezeigt.

116

3.5.5

3 Lichtausbreitung in Materie

Defekte und Defektmoden

Das groBe Interesse an den photonischen Kristallen w~ire kaum vorstellbar ohne die sogenannten Defektmoden. Defekte sind lokale St6rungen des perfekt periodischen Brechzahlgitters, z.B. ffihren VergrSt3erung oder Verkleinerung eines Loches in dem 2D-Photonischen Kristall aus Abb. 3.20 zu solchen Defekten. In Abb. 3.21 sind Beispiele fiir Defekte gezeigt: Verkleinerung eines Loches fiihrt zu einem dielektrischen Defekt, denn der Brechungsindex wird dadurch lokal erh6ht. VergrSBerung eines Loches verringert den Brechungsindex lokal und erzeugt einen lochartigen Defekt. Defekte k6nnen in der photonischen

Abb. 3.21 Defekte in 2D-Photonischen Kristallen: (a) dielektrischer Defekt, punktfSrmig; (b) lochartiger Defekt, punktfSrmig; (c) dielektrischer Defekt, linienfSrmig; (d) linienfSrmige Defekte in 2D-Hybridstrukturen kSnnen genutzt werden, um komplexe Lichtleit-Bahnen zu realisieren.

Bandlficke isolierte und lokalisierte Zustande verursachen. Die Propagation des Feldes wird dort unterdrfickt und damit auch der spontane strahlende Zerfall, es gibt nut die exponentiell v o n d e r StSrung abfallenden Felder des sogenannten ,,Defektmodes", ~hnlich dem quergedampften, ,,evaneszenten" Feld der Totalreflexion (Kap. 3.1.2). An einem punktfSrmigen Defekt l~Bt sich ein Lichtfeld ~hnlich wie in einem optischen Resonator speichern. Der optische Defekt hat ~hnliche Eigenschaften wie die Donator- und Akzeptor-Atome in einem Halbleiter, die ein Elektron lokal speichern kSnnen (Kap. 9.3.4).

Abb. 3.22 2D-Photonischer Kristall aus dielektrischen Zylindern mit Radius r/a = 0, 2 zeigt eine Bandliicke f i i r n u = 12, s. Abb. 3.19. Die Lage (Frequenz) der Defektmoden in der Bandliicke hiingt vom Defektradius ab. Fiir r/a < O, 2 sind die Defekte lochartig, fiir r /a > O, 2 dielektrisch.

3.5 PhotonischeMaterialien

117

Die dielektrischen Defekte scheinen sich in Abb. 3.22 aus dem oberen (Luft-) Band zu 15sen, die lochartigen aus dem unteren (dielektrischen) Band. Qualitativ kann man diese Entwicklung verstehen, wenn man berficksichtigt, dat3 Frequenz und Propagationskonstante nach w = c ~ / n e ~ (G1. 3.27) zusammenh~ingen. Wir erwarten, daft ein dielektrischer Defekt neff lokal erh6ht, ein lochartiger erniedrigt. Die Frequenz wird im ersten Fall verringert, im zweiten erhSht. Das ,,Anheften" einer lokalisierten Mode an einen dielektrischen Defekt l~t3t sich in direkter Analogie zur geffihrten Mode einer Stufenfaser verstehen, bei welcher der Faserkern die axiale Propagation unterhalb der im homogenen Mantelmaterial erlaubten Zust~nde (w, t3) ermSglicht (s. Abb. 3.9). Bei lochartigen Defekten wird der ,,verbotene" Bereich, die photonische Bandlficke, durch Interferenz an der periodischen Struktur erst erzeugt.

3.5.6

Photonische Kristallfasern (PCFs)

Abb. 3.23 Photonische Kristallfasern werden durch Ausziehen eines Stapels yon KapillarrShren geformt (mitte). Links: Fasern mit dielektrischem Kern. Rechts: Faser mit Hohlkern (BlazePhotonics Ltd). Mit freundlieher Erlaubnis yon P. St. Russell.

Photonische Kristallfasern (PCFs, von engl. P h o t o n i c Crystal Fibre) gehSren seit ihrer Erfindung um 1996 [100] zu den interessantesten mikrostrukturierten Materialien der Optik. Sie bieten nicht nur aufJergewShnliche Eigenschaften, sondern sind trotz ihrer Komplexit~t vergleichsweise einfach herzustellen: Die

118

3 Lichtausbreitungin Materie

gewiinschte Struktur wird als Vorform aus einem Biindel von hohlen oder massiven Glaskapillaren hergestellt. Anschliet3end wird das Bfindel wie die gewShnlichen Fasern der Telekommunikation erhitzt und ausgezogen, und es erh~lt dabei im wesentlichen seine strukturellen Eigenschaften, nur mit geringerem Querschnitt. In Abb. 3.23 werden der Prozet3 skizziert und zwei Beispiele vorgestellt. Im Gegensatz zu den Hybridstrukturen aus Abschn. 3.5.4, die das Licht in der Ebene diinner 2D-Photonischer Kristalle fiihren, propagiert das Licht in den PCFs entlang des Faserkerns, der den Defekten aus Abschn. 3.5.5 entspricht. Es ist naheliegend, ein Dispersionsdiagramm analog zu Abb. 3.19 fiir photonische Kristallfasern anzugeben [142]. In Abb. 3.24 ist ein solches Diagramm mit charakteristischen Eigenschaften vorgestellt. Im Vollmaterial (Brechzahl nz), aus dem der 2D-Photonischen Kristall aufgebaut ist, gibt es sicher keine (w, ~)-Zust~nde unterhalb der Geraden mit der Steigung c / n l , d.h. dieser Bereich ist verboten. Bei grot3en Wellenl~ngen bzw. kleinen Propagationskonstanten t3 kann man fiir die Dielektrikum-LuftStruktur einen mittleren Brechungsindex nave < nz annehmen, der die untere Grenze fiir die erlaubten Moden nach oben verschiebt.

Abb. 3.24 Dispersionsdiagramm yon photonischen Fasern. Unterhalb der Geraden mit der Steigung 1/nl ist die Propagation yon Licht strikt verboten. Die fingerartigen Strukturen zeigen photonische Bandliicken, dort ist Propagation auch oberhalb der Luftgeradeniinterdriickt. Dielektrische Faserkerne verursachen gefiihrte Moden im gestrichelten Bereich, Hohlkerne in den photonischen Bandliicken.

Wenn die Licht-Wellenlange die Gr5t3enordnung der 2D-Periodizitat erreicht, kann aber nicht mehr gemittelt werden, der Grenzbereich der Propagation in diesem Material n~hert sich der Geraden des homogenen Materials an, weil das Licht starker im Dielektrikum konzentriert wird. Ein dielektrischer Defekt erzeugt dann einen gefiihrten Mode in dem schraffierten Bereich der Graphik. Im Gegensatz zu den Stufenfasern treten in den PCFs Bandlficken auf. Sie

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

119

verursachen in der (w, ~)-Ebene Bereiche, bei denen die Propagation sogar oberhalb der Luft-Geraden mit der Steigung c unterdriickt wird. In einer solchen Lficke k5nnen auch ,,Hohlkerne" - lochartige Defekte - gefiihrte Moden hervorrufen. Die Anwendungsm6glichkeiten der PCFs sind aut3erordentlich vielf~ltig und werden in der Spezialliteratur [21, 142] vorgestellt. Wir beschranken uns auf ein qualitatives Beispiel, das das wachsende Interesse an diesen mikrostrukturierten optischen Lichtwellenleitern beleuchten soll.

Beispiel: Eine endlos monomodige Faser [20] Um eine Stufenfaser monomodig zu verwenden, muff fiir den VParameter Y -- (27ra/,~(n2-n2) 1/2 < 2,405 gelten (3.23, 3.29). In gewShnlichen Stufenfasern ist der VParameter bei vernachl~issigbarer Dispersion wellenl~i~genabh~ngig und fibersteigt den Schwellwert 2,405 mit abnehmender Wellenlange. Ein dielektrischer Voll-Kern kann Licht in PCF-Materialien aus einer Glas- Abb. 3.25 Berechnete Werte des effektiven Luft-Struktur fiihren. Qualitativ V-Parameters fiir photonische Kristallfasern l~nn man grob den Brechungsindex vom Typ Abb. 3.23 links. Mit freundlieher Erdes Defekts (nz) mit dem mittleren laubnis yon P. Russell, Erlangen. Brechungsindex (n2) des periodisch strukturierten Mantelmaterials vergleichen. Er h~ngt jetzt selbst - wie auch im Dispersionsdiagramm Abb. 3.24 angedeutet - v o n der Wellenl~nge ab, er w~chst mit )~ und modifiziert auch den V-Parameter. Eine ,endlos monomodige Faser" fiir die der V-Parameter unterhalb des Schwellwertes 2,405 bleibt, ist in Abb. 3.23 links oben gezeigt. Die hier gezeigte Graphik Abb. 3.25 zeigt berechnete V-Werte fiir verschiedene Verh~ltnisse des Lochdurchmessers d zum Lochabstand A.

3.6

Lichtpulse in dispersiven Materialien

Elektromagnetische Wellen werden benutzt, um Information zu iibertragen. Damit am anderen Ende einer 0bertragungsstrecke noch geniigend Leistung zur Verfiigung steht, um die Nachricht von einem Empf~nger abzulesen, mut3

120

3 Lichtausbreitungin Materie

das Material (i. Allg. eine optische Faser), in welchem die 0bertragung stattfindet, hinreichend transparent sein. Diese Bedingungen gelten natfirlich fiir alle Typen von elektromagnetischen Wellen, die zur Nachrichtenfibertragung verwendet werden, fair Radiowellen mAt Ultrakurz- oder Langwellen, oder fair Mikrowellensysteme. Bei optischen Wellenl~ingen werden die Eigenschaften

Abb. 3.26 Qualitativer Verlauf yon Absorptionskoej~zient und Brechzahl als Funktion der Wellenldnge fiir transparente optische Materialien. Das schmale Band sichtbarer Wellenldngen (400-700 nm) und die optischen Kommunikationsfenster (850, 1300, 1550 urn) sAnd markiert. eines transparenten Mediums pauschal durch die frequenzabh~ngigen Indizes von

Absorption a(w)

und

Dispersion n(w)

beschrieben. Ein Lichtpuls ward n~imlich nicht nut dutch die Absorption yon Lichtenergie geschw~cht, sondern durch die damit verbundene Dispersion auch in seiner Gestalt ver~ndert. Es ist daher wichtig herauszufinden, ob ein solcher Puls am Ende einer 0bertragungsstrecke noch in seiner urspriinglichen Form zu erkennen ist. WAr wissen, daft es ausreicht, ein kontinuierliches, monochromatisches Feld durch den Absorptionskoeffizient a(w) und die reelle Brechzahl n(w) zu beschreiben, deren spektrale Eigenschaften in Abb. 3.26 qualitativ gezeigt sAnd. Die Amplitude des Feldes am Oft z betr~igt dann mAt dem Ausbreitungskoeflizienten ~(w) = n(w)w/c am Anfang bei z--0: E(0, t) am Ort z: E(z,t)

-- Eoe - i w t -- E o e - i ( w t - ~ ( w ) Z ) e - a ( w ) z / 2 .

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

121

Einen Lichtimpuls kSnnen wir als Wellenpaket, das hei6t durch Oberlagerung vieler Teilwellen darstellen. Dazu betrachten wir ein elektrisches Feld E(0, t)

=

E(z,t)e -iwot

mit der Tr@erffequenz ~o = Wo/2~r und der zeitlich ver~inderlichen Einhfillenden (engl. envelope) E(z,t), die die Pulsform beschreibt, aber au6er bei sehr kurzen Femtosekundenpulsen langsam variiert im Vergleich zur Feldschwingung selbst,

(3.35)

~t E(t) << woE(t)

Wir bestimmen das Feldspektrum $ ( z , ~) des Lichtimpulses dutch Fourierzerlegung:

$(z,v) = F E(z't)ei21r~tdt=~ E(z't)ei2~r(v-~~ O0

E(z,t)

=

O0

g(z,~)e-i2~td~ O0

(3.36)

=

g(z,w)e-iWtdw/2~ O0

Wegen (3.35) ist das Spektrum des Wellenpaketes bei ~ = ~'o lokalisiert und seine Breite ist klein gegen die Oszillationsfrequenz ~o. In Abb. 3.27 geben wir zwei Beispiele fiir wichtige und gebr~uchliche Impulsformen.

Abb. 3.27 Zwei wichtige Pulsformen im Zeitbereich und im Frequenz- oder Fourier-Raum. Zur Verdeutlichung ist dem sech- oder cosh-l-Impuls der Gaufl-Puls hinterlegt. Die Amplituden sind so gewiihlt, daft die Pulse gleiche Gesamtenergie (f IE(t)12dt) besitzen. Die K-Werte geben das Halbwertsbreite-Pulsldnge-Produkt aus Gl. (3.38) an.

Wichtige Kenngr56en gepulster Laserstrahlung sind die spektrale Bandbreite A~ und die Pulsl~nge At, die nicht ganz einfach zu definieren und noch schwe-

122

3 Lichtausbreitung in Materie

rer zu messen sind. Wir kSnnen sie beispielsweise wie die gewShnliche Varianz definieren: (~v) 2 = ( ( v - vo) 2> =

( v - vo)2lE(v)12dv / cx)

IE(v)12dv CK~

Entsprechend wird die Pulsl/inge bestimmt durch (At) 2 = < ( t -
( t -
IE(t)12dt

Man kann zeigen, da6 zwisehen diesen beiden Gr56en der allgemeine Zusammenhang 27rAuAt > 1/2

(3.37)

besteht. Das Gleichheitszeichen gilt nur ffir Pulse mit Gau6scher Enveloppe im Zeitbereich und Gau6schem Spektrum, solche Pulse werden ,,Fourierlimitiert" genannt. Vom experimentellen Standpunkt ist es leichter, Halbwertsbreiten tp = 2 K A t zu messen, dann wird das Pulsl/ingen-Bandbreite-Produkt geschrieben Ms 2~rAul/2t v = K

(3.38)

,

und bei den beiden Beispielen in Abb. 3.27 ist auch die Konstante genannt. Sie ist i. Allg. kleiner als 0,5, weil die Halbwertsbreite die Varianz gewShnlich untersch/itzt. In Abb. 3.27 sind als Grund dafiir die wesentlich weiter ausgreifenden Flanken des cosh-l-Pulses zu sehen. Fiir die monochromatischen Teilwellen E ~ ( z , t ) = E(z, u)e -i2~rVt eines Wellenpaketes sind Absorptionskoeffizient a(u) und Ausbreitungskonstante ~(v) hKufig bekannt, aber auch frequenzabh~ngig. Ffir jede monochromatische Teilwelle wird der Zusammenhang zwischen dem Anfang und dem Ende einer Ubertragungsstrecke wird durch die lineare, frequenzabh/ingige Transfer- oder Ubertragungsfunktion T(z, u) im Frequenzraum beschrieben: C(z, u) = ei~(~)ze-~(u)z/2E(0, u) = T(z, u)E(0, u) Ein Puls setzt sich aber aus allen FrequenzbeitrKgen zusammen, und der zeitliche Verlauf der Feldamplitude am Oft z wird dann nach

E(z, t) =

/2~ ~-(z, ~,)E(0, ~)e -~2~'te~,

bestimmt. Naeh dem Faltungstheorem der Fouriertransformation gilt iibrigens ein niehtlokaler Zusammenhang im Zeitbereieh,

E(z,t)

=

T(z,t)

=

T ( z , t - t')E(O,t')dt'

mit

F

~-(z,u)e-i2~utdv

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

123

Die optische Bandbreite iiblicher Lichtpulse ist i. Allg. klein gegen die spektralen Eigenschaften eines transparenten optische Materials, wie es zum Beispiel in Lichtwellenleitern verwendet wird. Daher sind folgende Annahmen sinnvoll: Die Frequenzabhangigkeit des Absorptionskoeffizienten spielt bei der Pulsausbreitung keine Rolle, es gilt in guter N~herung

a(v) ~_ a(Vo) -- const Die Pulsform wird dutch die frequenzabh~ngige Dispersion sehr empfindlich ver~ndert, und die Ausbreitungskonstante fl(v)= 2~rvn(v)/c kann dutch die Entwicklung

dfl (v - vo) + ~1 ~Vd d2fl (v - vo)2 + '

fl ( ~ ) =

~o + ~

1

~- flo + f l ' ( ~ - ~o) + 2 f l " ( ~ -

(3.39)

~o) ~

beschrieben werden. Der Frequenzgang der Ausbreitungskonstanten fl(v) wird in dieser N~herung durch die materialabh~ngigen Parameter rio, fit, ft, beschrieben, deren physikalische Interpretation wir nun vorstellen wollen. Die zugehSrige Transferfunktion lautet mit To -- e-aZ/2: T(Z, V) = TOjZ0Z j f l ' ( V - ~0)Z jfl"(V -- ~0)2Z/2

3.6.1

Pulsverformung dutch Dispersion

Wir werden nun den Einflut3 der dispersiven Beitr~ge im Detail untersuchen. Wenn die Dispersion frequenzunabh~ingig ist, dann gewinnen wir die Wellengleichung (2.14) zurfick, in welcher lediglich die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums durch die materialabhangige Phasengeschwindigkeit ersetzt wird, ~0 = 2 ~ n ( ~ 0 ) ~ 0 / c

= 2~o/v~

Als nachstes betrachten wir den Fall, wenn fl" = 0. Dieser Fall tritt beim Glas tatsachlich auf, und man erkennt qualitativ schon in Abb. 3.26, dab irgendwo zwischen der Gitterabsorption und der elektronischen Absorption die Krfimmung der Brechzahl verschwinden muB. Dies tritt bei der Wellenl~nge von A -- 1,3 #m ein, die genau aus diesem Grund ein wichtiges Fenster ffir die optische Kommunikation anbietet. Die Pulsform nach der Laufstrecke z gewinnen wir aus

E(z, t) = Toeifl~ / i ~ eifl'(v -- v~ g (o' v) e-i2~rvt dv Nach kurzen Umformungen erhalten wir daraus mit der Ersetzung ritz ~ 2~tg die Form

E(z,t)=

~-oeifl~ -i2~v~ / ~ g(0, v) e - i 2 ~ ( V - Vo)(t- tg)dv oo

=

~o e - i ( 2 ~ ' ~

- Zoz) E(O, t - tg)

124

3 Lichtausbreitung in Materie

Die einzige Wirkung der Dispersion ist eine VerzSgerung der Pulslaufzeit tg = z/vg, die wir als GruppenverzSgerungszeit interpretieren, als Definition der Gruppengeschwindigkeit vg verwenden kSnnen und mit einer ,,Gruppenbrechzahl" ng versehen kSnnen: 1 _

vg

1 d~= l(n(w)+wdn(w) )_ng(w) 21rdv c c

(3.40)

In den meisten Anwendungen breiten sich optische Pulse im Bereich normaler Dispersion aus, d.h. bei dn/dw > O. Dann gilt wegen G1. (3.40) vg < vr = c/n(w). Rote Frequenzanteile im Material laufen zwar schneller als blaue, behalten aber ihre Form, solange die Gruppengeschwindigkeit konstant (,,dispersionsfrei") ist: Eine gfinstige Voraussetzung in der optischen Nachrichtentechnik, in welcher ein Sender digiAbb. 3.28 Beispiel: Dispersionsparameter tale Signale (,BitstrSme") in Form yon yon BKT-Glas. Pulsen in Lichtwellenleiter injiziert, die vom Empf~nger am anderen Ende dekodiert werden miissen. In Glasfasern tritt dieser Fall ahnlich wie beim BKT-Glas gerade bei A-- 1,3 #m ein, in Abb. 3.28 am Nulldurchgang des Materialparameters M(A) zu erkennen, den wir im n~chsten Abschnitt behandeln.

Beispiel: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in Gl~isern Tab. 3.1

DispersionseigenschaftenausgewdhlterGldser.

Kurzname

BK7

S F 1 1 LaSF N9

BaK 1

F2

Brechzahl bei 850 nm

n II 1'5119 I 1'76211 1,8301 I 1,5642 I 1,6068 Gruppenbrechzahl

ng

II 1,527011,80341 1,8680 11,581011,6322

Materialdispersion c.M(A)[#m -11 II-0,032 I -0,135 I -0,118 I -0,042 I -0,075 Wir kSnnen die Angaben aus Tab. 3.1 verwenden, um die Brechzahl und die Gruppenbrechzahl als MaB fiir Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in wichtigen optischen Glgsern zu ermitteln. Die Wellenlgnge 850 nm ist von groger

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

125

Bedeutung ffir die Arbeit mit kurzen Laserpulsen, weil dort einerseits GaAsDiodenlaser mit hoher Modulationsbandbreite existieren (bis zu Pulsdauern von 10 ps und weniger), und weil die Wellenl~nge im spektralen Zentrum des Ti-Saphir-Lasers liegt, der gegenwgrtig der wichtigste Oszillator ffir extrem kurze Laserpulse von nicht mehr als 10-100 fs Pulsdauer ist. Dort findet man mit Hilfe der Sellmeier-Formel G1. (1.6) und der Koeffizienten aus Tab. 1.1 die Werte ffir Tab. 3.1. Die Werte ffir die Gruppenbrechzahl liegen stets um einige % fiber der (Phasen-)Brechzahl.

Bei immer kfirzeren Pulsen steigt die Bandbreite wegen G1. (3.37) und auch die Frequenzabhgngigkeit der Gruppengeschwindigkeit beeinflufit die Pulsausbreitung. Sie wird mit einem der beiden Parameter Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD): Materialdispersionsparameter: M(~)- d 1 _ 2~W2D.(~) d~ vg als Funktion der Frequenz oder der Wellenlgnge spezifiziert. Das Kfirzel ,, GVD" nimmt auf den englisehspraehigen Ausdruck group velocity dispersion Bezug. Die Pulsform gewinnen wir wie zuvor aus

E(z, t)= "roe-i(w~ - J3oZ) • x f:

g(O,u)e iD~(w-w~

e-i(w-w~

(3.41)

Der Puls wird diesmal nicht nur verz5gert, sondern auch in seiner Form vergndert. Diese Modifikation kSnnen wir nicht mehr allgemein angeben, sondern mfissen uns konkrete Beispiele ansehen.

Beispiel: P u l s v e r z e r r u n g i m Gauflpuls. Wir nehmen an, daft der optische Impuls E(O,t) = Eoe-21n2(t/tp)2e -iwot mit Intensitgts-Halbwertslgnge tp bei z = 0 das Spektrum g(0, y) = s

-[(w - w~

2/8 in 2

besRzt. Am Ende der Laufstrecke bei z = ~ ist das Spektrum entsprechend G1. (3.41) verformt. Der 0bersichtlichkeit wegen ffihren wir ein ~D = t2/4 In 2D~ und finden

$(~,w) = ,foe-((w - w~

2/81n2 ei(g/gD) " ( (w - wo)tp)2/81n2

126

3 Lichtausbreitung in Materie

Inverse Fouriertransformation liefert die zeitabh/ingige Form, E(~,t) =

~oEo e - i ( 2 ~ ~

- iz~

•

(s163

21n2(t-tg) 2 • exp t~(l+

fig \

21n2(t-tg) 2 + )

Der Puls wird danach nichtnur wie zuvor verzSgert,sondernauch verl/ingert, t$(z=g) = tpv/1 + (g/gD) 2

(3.42)

AuBerdem erf'a_hrt das Spektrum einen sogenannten ,,frequency chirp" , bei welchem sich die Frequenz w/ihrend des Pulses ~indert: 1 d

1 !

t - z/vg

~(t) - 2~- ~(I)(t) -- ~o + 7r ~D tp2(1 + (~/~D) 2)

Abb. 3.29 Die Pulsverzerrung diuflert sich als Pulsverbreiterung und als Frequency Chirp: Die roten Frequenzanteile laufen voraus (ira Bild links), die blauen nach. Zum Vergleich ist der weder verformte noch verzSgerte Puls schattiert eingetragen.

Wir kSnnen nun bestimmen, wie weit ein Puls in einem Material l~iuft, ohne sein Form entscheidend zu verlieren. Zum Beispiel gilt nach G1. (3.42), dab die Pulsdauer sich bei l = ~D

gerade um den Faktor V~ verl~ngert hat. Diese Laufstrecke wird auch als Dispersionsl/inge bezeichnet und spielt in der LTbertragung von Pulsen eine /ihnliche Rolle wie die Rayleigh-Zone bei der Propagation von Gaufi-Strahlen

(s. s. 50). Fiir das BKT-Glas aus Tab. 3.1 gilt D(A -- 850nm) -- 100 ps2/m 2. Dann findet man fiir einen GaAs-laser (tp -- 10 ps) bzw. einen konventionellen Ti-Saphir-

3.6 Lichtpulse in dispersiven Materialien

Laser

127

(tp = 100 fs): GaAs-Diodenlaser tp -- 10 ps Ti-Saphir-Laser tp 50 fs =

200 m ---- 5 m m

~D = ~D

Es zeigt sich, dai~ der kurze Puls im BK7-Glas schon innerhalb von 100 # m stark verformt wird[

3.6.2

Solitonen [47]

Alle optischen Materialien zeigen Dispersion, die zu den gerade vorgestellten, ffir Anwendungen aber h~iufig unerwfinschten Pulsverformungen ffihren. In einigen Materialien kann man aber nichtlineare Eigenschaften, die wir erst im Kapitel fiber nichtlineare Optik (Kap. 13) genauer besprechen werden, ausnutzen, um die Effekte der Dispersion dynamisch zu kompensieren. Insbesondere interessiert uns hier der optische Kerr-Effekt, der den intensit~itsabhangigen Brechungsindex beschreibt,

n(I) -- no + n2I

(3.43)

Der nichtlineare Index nimmt im Glas zwar nur Werte von n2 ~ lO-15/(W/cm 2) an, weil die Leistungsdichte in optischen Fasern aber sehr hoch ist, spielt dieser Effekt schon bei Leistungen von wenigen m W eine Rolle und erlaubt die Erzeugung von sogenannten ,,Solitonen", die unter geeigneten Bedingungen fiber Tausende km mit stabiler Form in einer optischen Faser propagieren kSnnen. Wir studieren den Einflu6 der Nichtlinearit~it in der 1-d-Wellengleichung, wobei der lineare Anteil wie bisher im Brechungsindex bzw. der Propagationskonstanten fl berficksichtigt wird,

~

+/32(w) E(z,t)e - i ( w o t - ~oz) _

1 02 eoc2 ot2PNL(z,t)

(3.44)

und betraehten ein harmonisehes Feld E(z, t) = E(z, t)exp -i(wot -/~oz). In der Wellengleichung trennen wir die linearen und nichtlinearen Anteile der Polarisation (P = eo(n2-1)E -~ co(no2-1 + 2non2I + . . . ) E = eo(no2-1)E + PNL),

PNL(Z, t) = 2conon2C~ ]E(z, t)] 2 E(z, t)e - i ( w ~ -- ~oZ) Um N~iherungslSsungen zu gewinnen, nutzen wir die sogenannte Slowly Varying Envelope Approximation, in der wir zweite Ableitungen wegen O/Oz E << kE vernachl~issigen,

(:z)

Oz2E(z,t)e-i(wot- ~oz) ~_ e-iWot 2i~o

- N

E(z,t)

128

3 Lichtausbreitung in Materie

Diese N~herung haben wir auch schon bei der Entwicklung der paraxialen Helmholtzgleichung verwendet (s. G1. (2.30)). Die statisch dispersiven Eigenschaften des Materials berficksichtigen wir mit Aw = w - w0 und angelehnt an G1. (3.39) dutch

~(w) ~ ~o + Aw/v9 + D~(Aw)2/2 + .... Bei nicht zu grofier Bandbreite des Pulses (Aw << w0) kSnnen wir - wir fibergehen hier eine strengere mathematische Transformation mit Hilfe der Fouriertransformation - die t~quivalenz - i A w E ~- O/Ot E usw. ausnutzen und schreiben