Methodes et analyse non standard (Cahiers du Centre de Logique)

DE LOGIQUE DU CENTRE CAHIERS

METHODESET ANALYSE NON STANDARD sousla direction d'André Pétry avec descontributionsde I. MAWHIN, C.E.ORTIZ, y. pERRlN,Th. GILBERTN. ROUCHE& P. WANTIEZ

Université catholique de Louvain Département de Philosophie AilIB

BRUYTANT

LOUVAIN.LA-NEUVE

',996

CAHIERS DU CENTRE DE LOGIQUE

Pre´face

Table des matie`res

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Inte´gration et analyse non standard

1. La the´orie des ensembles internes de Nelson

2. Inte´grale de Darboux-Peano ou DP-inte´grale

3. Caracte´risation non standard de la DP-inte´grale

4. L'inte´grale de Lebesgue ou L-inte´grale

5. Caracte´risation non standard de la L-inte´grale

6. L'inte´grale de Riemann ou R-inte´grale

7. Caracte´risation non standard de la R-inte´grale

8. Inte´grale de Kurzweil-Henstock ou KH-inte´grale

9. Caracte´risation non standard de la KH-inte´grale

Re´fe´rences

Universite´ catholique de Louvain De´partement de mathe´matique Chemin du cyclotron 2 1348 Louvain-la-Neuve Belgique e-mail :

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Approximate Truth and Nonstandard Analysis

Abstract.

1. Introduction

Theorem 1: Henson's Approximation Principle

2. Definition of the logic

2.1. The signature

Example 1: Typical signatures

– – – –

2.2. Terms in

Definition 1: Terms in

2.3. Formulas in

Definition 2: Atomic formulas.

Definition 3: Formulas in

Example 2: Some formulas in

2.4. Semantics for

Definition 4: Model

–

–

Definition 5: Validity

Example 3: Models of

3. Approximate Formulas in

Definition 6: Approximate formulas

Definition 7: Approximation of formulas in

– –

–

–

–

–

–

–

Example 4: Example of approximate formulas

3.1. Approximate truth

Definition 8: Approximate validity

Proposition 2: Properties of approximate truth

4. Elementary properties of approximate truth

Lemma 3: Dense subset of

Proposition 4: Basic properties of approximations

Example 5: Proposition 4 fails in general for existential step.

Definition 9: Rich Models

Theorem 5: Test for rich models

Theorem 6: Standard Models are rich

Theorem 7: Nonstandard hulls models are rich

5. Concluding remarks

References

Mathematics Department University of Wisconsin–Madison Van Vleck Hall 480 Lincoln Drive Madison WI 53706 USA e-mail:

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Re´solution d'e´quations diffe´rentielles par les me´thodes infinite´simales

1. Proprie´te´s e´le´mentaires des fonctions de´rive´es

De´finitions

Proposition 1.

Proposition 2.

Proposition 3.

Lemme 4.

2. Re´solution de l'e´quation diffe´rentielle

De´finitions

The´ore`me 5.

Stabilite´ des solutions de l'e´quation

The´ore`me 6.

3. Fonctions e´le´mentaires

3.1. Fonction exponentielle.

3.2. Fonctions sinus et cosinus

Re´fe´rences

Universite´ Blaise Pascal Laboratoire de Mathe´matiques Pures 63177 Aubie`re CEDEX France e-mail:

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Constructive Nonstandard Analysis

1. Introduction

2. Formalising analysis in HA and related theories

2.1. Real numbers

2.2. Functions defined by limits

Theorem 1.

3. A constructive foundation for nonstandard analysis

3.1. Nonstandard principles

Theorem 2.

Remarks.

Theorem 3: The transfer principle

Theorem 4: Saturation

Corollary 5: overspill

Remarks.

3.2. Relating S and iS

Theorem 6.

Theorem 7.

4. Nonstandard analysis

4.1. Nonstandard characterisations

Theorem 8.

Proposition 9.

Proposition 10.

Example 1.

4.2. Near standard points

Proposition 11.

Remarks.

Lemma 12.

Lemma 13.

4.3. A nonstandard summation method

Lemma 14.

Theorem 15.

Corollary 16.

Remark.

4.4. S-continuity and S-differentiability

Example 2.

Proposition 17.

Example 3.

Theorem 18.

Example 4.

5. Existence of solutions to differential equations

Theorem 19

Lemma 20.

Lemma 21.

Lemma 22.

Lemma 23.

Claim:

6. Concluding remarks

Acknowledgement.

References

Department of Mathematics Uppsala University PO Box 480 S-751 06 Uppsala Sweden e-mail:

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Y a-t-il vraiment autant de nombres pairs que de naturels?

1. “Le tout est plus grand que la partie.”

1.1. L'infini embarrasse Galile´e.

Figure 1

Figure 2

1.2. Regard insolite sur un pavage ordinaire

1.3. Cantor traite le paradoxe, il ne l'e´vacue pas.

1.4. Ce que sugge`re le sens commun

2. Un projet de the´orie

3. L'e´quinume´rosite´ et l'ordre 3.1. Deux de´finitions a` l'essai

3.2. Des ensembles qualifie´s, un ultrafiltre

4. “Nombre d'e´le´ments” d'un ensemble e´tiquete´ 4.1. Nume´rosite´

4.2. Ordre et ope´rations sur les nume´rosite´s

4.3. Les nume´rosite´s sont insuffisantes

Figure 3

Remarque

5. Les hypernaturels 5.1. Nume´rosite´s et hypernaturels

5.2. Les hypernaturels infiniment grands

6. Vers les hyperrationnels et les hyperre´els 6.1. Les hyperrationnels

6.2. Les nume´rosite´s, mate´riaux de construction des hyperrationnels

–

–

–

Figure 4

Figure 6

Figure 8

Figure 5

Figure 7

Figure 9

7. Nume´rosite´s et pavages 7.1. Pavages et de´coupages

7.2. Nume´rosite´s de pavages : une solution

Appendice sur les ultrafiltres

– – –

–

Re´fe´rences

Universite´ catholique de Louvain De´partement de mathe´matique Chemin du cyclotron 2 1348 Louvain-la-Neuve Belgique e-mail :

Cahiers du Centre de logique Volume 9

Limites d'espaces me´triques et ultraproduits

1. Introduction

2. Groupes a` croissance polynomiale

Proprie´te´s

De´finitions

Exemples

The´ore`me 1

Exemples.

The´ore`me 2.

3. Ultraproduits d'espaces me´triques

Remarques

Proprie´te´s

Remarque.

4. Limites d'espaces me´triques 4.1. Distance entre deux espaces me´triques

4.1.1. Distance entre deux sous-espaces d'un espace me´trique

4.1.2. Distance de Hausdorff entre deux espaces compacts

4.1.3. Distance entre deux espaces me´triques propres

Proprie´te´s

4.2. Limites d'espaces me´triques 4.2.1. Convergence

Proposition 3

4.2.2. Suites uniforme´ment compactes d'espaces me´triques De´finition.

Crite`re de compacite´.

Lemme 4.

Lemme 5.

Lemme 6.

Corollaire du crite`re de compacite´.

Proposition 7.

De´finition

Lemme 8

5. Espace me´trique (continu) associe´ a` un espace me´trique discret

De´finition.

Proposition 9.

Remarque.

Corollaire 10.

Proposition 11.

Proposition 12.

Remarque.

Corollaire 13.

Re´fe´rences

Universite´ de Mons–Hainaut Institut de Mathe´matique et d'Informatique Avenue Maistriau, 15 7000 Mons Belgique e-mail :