CAHIERSDU CENTREDE LOGIQUE
1 /NTUITIONN|SME et THÉoRtE de ta o ÉtwoNsTRATT oN
CAHIERSDU CENTREDE LOGIOUE
1 INTUITIONNISME et THÉoat E de ta DÉmoNSTRATtoN
UNIVERSITE C A T H O L I Q U ED E L O U V A I N
rNSTrrursupÉntEUR DEpHtLosopHtE
C A B A Y. L O U V A I N . L A . N E U.V1E 980
D/ 1980 | 2457 | 17 @CABAY,LibraireConseil. Tous droits réservés
Ce recueil rassemble des exposés prÉsentés .mi-naire au "S de logique f ormal-isée " de l-'Institut
Supérieur de Phj l-osr:phie d e I ' I J C L p e n d a n t l _' a n n é e a c a d é m l q u e 19?8-r 979.
C R A B B Ee t
Th. LUCAS.
TABLE DtrS I'AT]EBES
L I J C A ST h . L e s t h è s e s d e l a D R A B B EJ .
i]9ABBE J.
lcgique intuitirnn.ste..
Pr'Ésentaticn tcnol cqi.oue Cu caIcul si ticnnel- intulti cnniste L:glque
lr.::,"rsi.trcnnelle
lntuitr
prot_.c11.
cnni-ste et
i : i I R E A UI 1 . l l o d r ) l - e s d e K r i o k e i ' t i E N - qJ . L .
lléductirn
C R A S B É" .
e
...
1g.
45.
"Dial ecti,ca"
lJornitl rsati en du ca.r.cul des frncti r é c u r s i v e s r r i r , r :t j , v e s
L ' : 1 ' Î , i A n DR . F l e m a r q u e s s u r
forcinq.
27 ,
naturelf
LU3A9 Th. L'interprÉtati.,.n
1.
69. nnnelles
l - a r l r j . - ' l , c s o n hei d e B r r , - u ' , ; e r
e3 . gS.
LES THESES DE LA LOGIQUETNTUITIONNTSTE Th. LUCAS
Bibliographie [fl
:
fr-eer'rE S.C.
,,Introduction
North-Holland,
fzl
to Metamathemati_cs,,
Amsterdam, London, lg?1,
r/|vHru- .t.
"Embedding classical
Zeitschr.
f , tiath.
Deux parties
Logik
dans cet
sembre des thèses
de la
1e système formel
(ae type
queront
lmplications
certaines
plicatlon
non retournée
La deuxième montre négation"
permettent
intuitionniste:
La première
de Kleene;
démontrables
basée sur [-fl
I.
en général
a) Pour Ie
le
calcul
système décrit
par Kleene.
des propositions
:
p -(o+p) (p -' o) -
( ( p * ( e - - - R ) ) - ( e - - *n ) ) P , P r e a + ( A . - - ' R nR ) e Pn
Q--rP
Pn
8--rQ
p-+pV
g
Q.-+Pv
A
( e - - +n) - ( ( o* + B ) -_ r(e v a _ .>n )) (P-- e) -' ((p - -ze)-*zp) ( zt -, I P'Q ))
lndi-
dans re systèrne. ,,doubre
du type
classique
pp,4g2
tlonniste. Voicl
sur lren-
reorend
des tabreaux
sens des transformations 1a logique
(rszsJ.
dans ce système1 une irn-
pas démontrable
de plonger
Logic,, pp.93-96
lg,
des lndicatlons
intultionnlste.
hilbertienJ
n'est
e11e est
1n rntuitlonistlc
exposé donneront
loglque
en quer
Logic
und Gruncilagen d. Math.
dans 1a logique
ss et
[Z].
2.
b) eour
des prédicats
calcul
le
: a)
et
z
I -+ P(x) Vx p(x)
Q -
V xP(x)+ e(t) P(xl -+ e .?xP(r)-o P(t)-+Jxp(x) avec les
rastrlctlons
classiques
c) Pour lrarithmétique:
a),
b) et
sur
x et
t.
:
P ( " ' ) 1- + e ( x )
P(o) n V" (p(r)1r=yr+x-y -7 Xr -
o
Xoy-+(x=
z+l-z)
X=Y-+Xt=y' o -
X*
x
x+yr-(r+y)' X.O
=
O
x.Yt=x.y+x
Les systèmes du schéma
classiques
1'7
de la
s'obtlennent
par
1'adJonctlon
:
que cect
A notcr
correspondants
négatlon
P --t P
affecte
mals aussi
directement
le
caractère
du quantlflcateur
cclul
intuitionniste unlversel,
car
aJoutcr 77 P(t) revlent
P(*)
à aJoutar
V x b z p (x ) -+ P(* ) ) , d'où
lron
déduira
V x z z P ( x )- - V x e ( x ) , rs
écrasant
atnsi
les
différences
que lrtntuitlonnisme
met entre
Vlt,
et v.
de la
Volcl
guelgues
négatlon.
Pour
tableaux
drautres
qui
éclalrent
théorèmes,
surtout
voi.r i1].
le
comportement
ztV
.t(ttPvrtQ)
-r1j -
^' t (1P ^,tQ)
* 17(pva)
tVt
,u llSll
,-t 7 P--+ttQ - n (tP-+Q)
ztPv-Tje
itt
17P
Tq
ttQnâ)-
ztPnztQ 7t(ttPatzô
Pvq
Pnq
t ( P v Q )- I ? t t Q
t A - Vt
- ttVT
t (tt P rttzQ)
tP vle
-
1t
,1,
zVrt
, rtv
tQa,q)
rt zt(tPvtq) - t (ttP att Q)
1V
,- ll3'1
lÀlt
4.-
p -+ tte ,ï., |
I I
^J tt(e-->q) , . . r - t - T P- z z Q '- -(P'tzQ)
/\.,1 (tt pat e)
p_e 4
I
I
I tt p-e 4t I
I
I 71vQ ,/\ ,/\ t'P
ttP
\q
IÏ.
Plongements des systèmes classiques
Le prototype négation
: si
de ces plongements
P est
on associe
rons ci-dessous Cu type
et
fô\
T*
Pa
'E;
T1
tçJ I est
e p
, t'ç,1;i ces propositions
l**
p*
P une formule
traductions
fr|-
des résultats
pT
des traductions
classique
les
de f et Ifr ,lf , de conséquence du cal_cul
relations
, du ca1cul des propositions
classique
crassique,
nécessaires
, du calcul
des prédi-cats
de I'arithmétique
oour
qui
la
intuitionniste,
lntuitionniste.
suivent
établir
intuitionniste,
permettent plupart
de simplifier
des propriétés
des
gue nous envisagerons.
Soi.ent une traduction 1es condittons x
des formules
x et
suivantes
un ensemble
pour toutes
A
de forrnules
formules
:
i tl A 7 - 7- 7 p* - - p * p o u r p a to m i q u e ( . 2 )A 7 0 e 1 * < - ) - 7 p b (:l A7(nn e)*4eprtn qrr (al A q1r.-+t(zp*nl8#) v 7(n L t T na*- * Q * e n rra în e A tT tz fp -, q )t-, (p --- s)* !u t (o) A?(J'e)*ooTVxzp* (.t) A r y7r p*+ pf , e n tra în e z t(* )r - ( V re ) x . Ah
(que nous appelle-
de prouver
p+
Les deux lemmes techniques -es vérifications
Alors,
géné-
ptr
'l:t"
respectivement
des prédicats
Je Iarithmétique
variable
plus
intuitionniste.
on essaie
r P e n tra^în e f* E:
sont
cu calcul
entralne entraîne
lrensemble
'r.
faisant
de double
crassique,
:
(eJ t-t
LemmeL.
1a transformation
propositionnel-
à chague formule
sa "traduction")
( n )' l - ; -
:ù
est
systèmes intuitionnistes
un théorème du calcul- propositionnel
71 P est un théorème du calcul ralement'
dans les
pour toutes 77P.F-- px.
formulesf,
p et
satls-
e et pour toute
6.-
Démonstration.On
If)
donne I,étape
Si P est
de la
hypothèse si
démontre
P sst
Af-71Px
"
-78,
e y R ou
à partir
P est
!xe,
de (z),
ou Vx g,
de ra forms E-+R si
de Ia
forme I
L, 1 n (a n a ),x -
Ie
(a)
Solent
conditions
sur
forme de p
la
on appllque
du lernme (1)
A 1:7Rx.,
<-+ Q*n
gx
et
ou (z).
.
par I'hypothèse
d'induction,
pàr (s).
un ensemble 4 pour tous p,
de plus,
et
s'chtientsans
par (a),
<-+ z7q*
*
(s)
^ R, on a :
? t t7 (g x a n * )
une traductlon
résultat
ou (o).
< .. (e n n 1 x Lenme 2.
induction
atomique.
forme
drtnductlon
Finalement,
par
+ P*'
satisfaisant g,
x,
les
t
(e) 4 I 7z{p.? oft<- (znx -+ zzo*) (sJ ô l- SxzE*è7(Vxe)* (fO)sf
x nra pas droccurences
droccurences (rr)si
t
est
libre
libres
libres
dans p,
alors
x n,a pas
dans pf
pour x dans p,
alors
t
est
tibre
pour x dans
FdÉ. Alors,
pour
tout
ensemble
r
de formules,
f-*vA hL pI. 0émonstration. Par inductlon partlr de f .
i- tP
entraîne
sur la démonstration (classlque)
sl P€ /? , alors p)Ê e f/' et de 1à lf u A Eprç. s i P e s t u n a x i o m e c r a s s i q u e , o n p r o u v e q u eA t = p k ; i r [-* uAl=p*. Nous envisageons cl-dessous la plupart
en résuIte que
des cas, Iaissant
des autres au lecteur. Sl P est de la forme A -+ (n - O), on a : Zz.0r - (tza* -+ 7z B*J, f
A r y - 7 7 ( a- ( R - " s ) ) r
par (e),
A t. (e -+ (n-r A))'( t-
p a r I e l e m m el - .
ae n a
Ia vérification
e p.
Si P est de Ia forme A --:(n-+g n RJ, on a : t-.-77e* --,(-nno - 77(Ax ^ R*) ) , A A'77 e*-+ ('tzr{. )77(s ^ npe) par [s), et on achève par (e) et Ie lemme I commecj_-dessus. Sj- P est
forme O .-r [A V B) , on a :
de la
l: 7ZR*-r A
772(7et
ç et on achève par
^ zR{),
y BJff
77e*-+ zz(a [e)
et
1e lemme I.
Le cas de lraxiome rarticulières,
si
/\
P est
8-t
I
n'offre
pas de difficultés
:
(zzo)*<- 77 qte.
A ,t
rn a :
classique'17
(ZJ entraîne
car
(a),
par
de ra forme et
-+ Sxex
(avec t
libre
pour
(avec t
libre
pour x dans
x dans g),
par (tt), ry Vx-tex*--zetr --+-777 tf tz Qt* VxzoxÉ, y zz et* + tt (a xox)t
et on achève par
(e)
Si P est
et
de Ia
rn a : A r, Jx 7ExÉ*
le
lemme l.
forme Vxex---ret
z ( VxaxJ*
A
78tx'---r lx78x* I ( VxRx)*, t- Tetrt -7
A
t-; n(
rl
(A)
nous reste
(g) ,
par
(tt)
q),
,
-778t{,
Vxox)r
et on achève par
par
et le
lemme 1.
à envisager
1es cas où p est
obtenu
par
Ies
règ1es de dérivation.
Si P existentiel,
est
obtenu par la
lrhypothèse
règ1e drlntroduction
drinduction
est
du type
7"u A 1(or -- B)x, droù lron tire
:
l-*u A *u A f l-*u A
t-:72(gx.-R)(, fTzQx*=+ 77R* par (e), l-:-l Rfr-+zgx'*,
du quantificateur
A
It*u
--Vx:,€,x*
1A*
T
A ff 777 VxrQx* -r7 ( -r 77 Rx par J"q")* V ( e ) p a r achève et Ie lemme 1.
la*u f-*u et
lron
(o),
A
Le cas où P est de façon
plus
Final,ement, teur
(to),
par
+-77R*,
encore,
simple
sl
unLversel,
la
(a)
en appllquant
et
le
est
du type
se traite
lernme I. du quantifica-
drintroduction
drinduction
1'hypothàse
de modus po i€ns
règIe
par 1a règle
obtenu
P est
par
obtenu
:
t-*uA 7 (o-R")*, dtoù lron
tire
:
l-*u  \.-t1 (rr-+ n,.)f par (a) , l'77ar +-77Rx* f*U A E-ng* --r BxÈ par Ie lemme 1, 'nEF-, /-*u ^ f V*Rxtpar (to), 77VxRx'x, {nua l:.Tlft+ fa*u A
e t o n a c h è v e p a r ( e ) e t I e l e m m eL . Volci
EÆI,PLE 1. où P I est
quelques
exempLes de "traduction".
La traductlom déflnle
pour tout
déflnie
selon
lnductivement
la
P par P* *-7-7Pt,
forme
de P par les
satisfait
toutes
:
clauses
Pt*PpourPatomlque,
tre),18,, (e n n1r = 8'^ H', (Ovn1 '=8'v R', (o+n1 '=8'-R', (3 x o)' =3xQ', (VxO)'o7
3x?Q'.
On vérifle
que cette
traduction
1es conditions
des lemmes pour A = 6.
On en déduira vaut
ausst
sl
I'on
immédiatement
consldère
le
Ie
calcul
résultat
dégénéré de cafcul
des prédicats
on retrouve
théorème
de 1a double
p t-rFC
ztl
l-cl
Ie
(e).
propositionnel
[où 1'ensemble négatlon
!-ntp FL
comme un cas
des varlables 3
(n)
Ue résultat
est
vide)
;
lcar
dans ce cas p'
= pJ.
un corollaire des calcurs
de ce g€tnre de résultats
de propositions
(ou des carcurs
et intuitlonniste
si ; en effet, à savoir -77(p' ,r -t p')
(e n ze)*, niste
était
en ssrait
r, équiconsistance classique
une théorème classique,
un du système intuition-
correspondant.
On en
déduit
I)GMFLE 2. La traduction les
clauses
pour
gue
aussi
l-'Pc P
:ar
p n 7p
est
de prédicats]
---.>
t--- P " Y.
p*
définie
P sans autres
connecteurs
inductivement
selon
la
que
A
et I ,
de p
forme
: P*=Ppourpatomlque
(zo)x=78* (Oa n)Ë= Q*n Rr ( o v p 1 x = t(7 l * n 7 R f,) (a -+ n1r = Q* --;,RF (3xQJ*=7
VxzRf,
( Vxo)* =
Vxq*
On vérifir des lemmes pour
que cette A
0n en déduit
0n peut Jésignant
={zz
traduction
satisfait
toutes
les
conditions
Al0 atomique}.
T , f-,zp
que pour tout
établir
I'ensemble
g -
1e résultat
[ - * u A I P *t ' r z ] .
[C) par 1'argument suivant,
Ar
des axiomes de l- 'artlométi que :
/-k P l*u
1-*ur Ar
--_,
l-* u Ar
---t . , 4 t
- v
^!
résultat
Ar*uA
--,
entraîne
de 1'arithmétique
l--
*
l-:- er par (rz)
,-, À
:L F____ t
Pf, (car e*
Ar
F;
(car Ar
r.- À
Ar*) )
'La t |'>* '
l'équiconsistance intuitionniste.
de I rarithmétique
classioue
E)GIFLE 3.
La traduction
de lrexemple
par
P* défj-nie
les
mêmes clauses
que ceL1es
2 sauf
(e --B)* = z(oË^ 7 RxJ. On vér'Lfia que cette traductlon satisfait toutes les condltions des renmcs pour A = 1 - r 7 g - + e J Q a t o m i a u ej . 0 n é t a b l i t t e r é s u r t a t ( C ) , c o m m ac l - d e s s u s . O n a a u s s i l e r é s u l t a t ( n ) p o u r V = fi, en utili.sant Ia darnièru r"marque de lrexemple 1. Ê)GMPLE 4.
La traductlon
de lrexempre double
p*i7
2 en remplaçant
obtenue dans p*
à partlr
de la
chaque formure
p*
traduction atomique
par
sa
négation.
0n vérifle que cette traductlon satisfait toutes Ies conditions d e s l e m m e sp o u r A = 6 , 0 n é t a b l i t l e s r é s u l t a t s ( n ) , ( e l e t ( C J p o u r tout l-.
Cet exemple admet plusieurs
E)GI,PLE 5.
La traduction
variantes.
p+i aerinie
inductivement
par
res
clauses
:
P*=PpourPatomique
(zo)* - Tgrr (0 n n1x = 8*n Px (a v nJ,t = -z(zO* ^ 7#) (e -t n)* = z(8* ^ 7R)t) ( -3 xe)* = z VxTQ* ( V xe)* = -7 1x78rç . Gette -
A
9,
sauf
traductlon (t),
vérifie
on modifie
ss démonstration
forme
en prouvant
de P. De même on modi.fie
b P et
la
démonstration
subsiste
Pour une dlscussi.on
les
conclusion
->
tZP et
toutes la
clauses
des lemmes pour
du 1emme(f)
en :
Ertp*---p* cette
ra
assertion
concrusion
---->
par induction
sur
Ia
du lemme 2 en :
Vr*
moyennant quelques
des avantages
adaptations
de cette
traduction,
évidentes.
voir
[.2].
]t .P R E S E N T A T I O NT O P O L O G T S U D E U C A L C U L P R O P O S I T I T } J N E LI N T U I T I T N N I S T E . J.
I,
DRABBE.
fntroduction.
La présentation classique lrobJet
par
de généralisatlons
supérieur Ïheory
élémantalre
lrintermédiaire
à 2 (voirr
usuelle
des tables permettant
pâr
propositronnel
a fait
très
un nombre de valeurs
exemple, E. P0ST "Introduction
propositions",
of Elementary
rJu ca1cul
de vérité
Amer. Journal
tôt
de vérité
to
of ilath.
a General (rga1),
æ
ep. 163-fSS). i
Notons qu'i1 résulte immédiatement du théorème de représentade M. STONE(fS34J pour les algèbres de Boole que si l,on utilise les éIéments d'une algèbre de Boore (de cardinal e, v, ).2) ^ ' ' , --> (où a -+ b est défini par a, V b) comme valeurs de ,,érité, en interorétant : -e ttvrai" par le maximum de B, V, Â , / , J -a disjonction par V tion
-a conjonction -a négation
par A
par
-'implication n retrouve jette
/
(comp1ément booléien) ---)
par
exactement
, les
Nous aI1ons montrer :u calcul -anière
propositionnel très
-a topologie -rpropre -ette 'Jer
tautologies
remarque sera utilj.sée
simple
/R .orre
présentatlon
intuitionniste
désignée
résulte
et
1,étude
peuvent être
1es ouverts
comme valeurs
vaLeur
Aussagenkalkûl
classiques.
1oin.
que la
en utilisant
usuelleJ
présentation
plus
de la
É1émentaires
réa1isécs
droite
de
réerre
[avec
de vérité Ivaleur
essentiellement
en adr:aettant lrouvert ,,vraie,,).
de travaux
de A. TARSKT
und die Topologie,,,
Fund. Math. 3l (fS:e), :r. 103-134 et de J. MCKTNSEY - A. TARSKT ,'on closed Erements in ,-osure Algebras,,, Annals of Math. 42 (1g46), pp. LZZir62. -re introduction =:re
trouvée
-rtuitionism',
I ï *
I
(très
détaillée)
dans 1e récent 0xford
Univ.
a ra logique
ouvrage press
intuitionniste
d e M . o u M r ï r E T T, , E l e m e n t s o f
(tSlZ).
peut
L2.-
II.
Notatlons
- Terminologie.
Désignons par
PourAc
posons !
R,
lfEnsemble
des ouverts
-A
=
[R. \
int
A = intérieur
6
= int
Aa
Nous dirons
Lrensembre Boole
que A (€ G)
est
Rég dss ouverts
-
un ouvert
réguriers
de la
droite
réerIe.
R, de A.
A.
régulier
peut
être
ssi
érigé
Arl
= A.
en argèbre
de
(complète)
Rég,V,A,,,
A v B = (nu B)ar A A B = AN B Ar
=
A1I
A*B=(nruBJrr ce résultat
est essentierlement
Si, A, B eE (i) n c Aal (ii) nr= Ai-aL (iii) (i") (voir,
une conséquence des propriétés
:
, alors :
Ac
B + A"c Bt' (R n s)rl = drn etr par exampre, p. HALMos'Lectures
Van No*rend,
on Boorean Algebras*,
1963).
III.
.
Ensemble des valeurs de vérité
v*eur
gÉ:1g!ég :
ÀU
8
q
p^
B
A
^)p int(-A)
E
fR
I A
,
q ANB
B
P:+q A
A
int(-n
u e)
B
Notons que Ies car la
réunion
ouverts.
f
C o m m ei l
des ouverts, int
et
-A et -
de
A U B sont
et
"tautologie est
iil
(pnq)
-à
N.e
classique
la
des
A et B sont 'rcorrection"
pour définir
intuitionniste"
les
tables
toute
que soient
formule
l_es valeurs
dont Ia
de vérité
propositionnelles.
p est une tautologie
g =+ p !'est
a Ia valeur
ij-i)
que si
:
inr(-(nne) .ilJ
sont encore
encore des suysr.fs,
, que}res
ll{
à ses variables
Exemples
vrai
naturelles
sont
A
:?.
valeur
de vérité
de V et
de deux ouverts
à 1a si-tuation
Nous appellerons
attribuées
de vérité
pas nécessairement
n'est
a été apportée
de vérité
tables
intersection
pgg une tautologie p reçoit
lR\/ollorsque
On vérifie
très
intuitionnlste
car pour A, B €U
u A) =lR.
facilement
intuitionniste
car.^/d p
è
tR\lo].
ta valeur
que
pV-o (-p Êe sont gg
.rv)
toute
des tautologies
tautologie
à une traductlon :estreintes =:nt
.+
,,q)
:>
intuj-tionniste près,
triviale
aux cas où les
l.es tables
:V. La structure
(q
intuitionnistes.
de vérité
G,v
est
une tautologle
1es tables
variables
de vérité
prennent
leurs
classique intuitionnistes
veleurs
dans
lP,,Rl
classiques).
, A,
'
t -,2 .
Les tables de vérité intuitionnistes fournissent une motivation -aÈuPelle nous permettant drériger E,v, A,/ ,--+ êR C en structure :osant : AV B = AU B An8=AnB Ar
= Al-
A
B = int
[ - n . . , ,e ) .
p
1 4 .-
Ceci
va nous pcrmettre
de donner
une démonstration
simple
du théorème
de Glivenko.
Théorème
de GLIVENKO
si
est une tautologle ? intuitionnlste.
Notons
que ra
propriété
V.
réciproque,
(iv)
en vertu
Ara
est
Soit
du théorème
lrapplication
est ais6 LL
gue
En vertu
de
a (rv),
valeur la
et,
C. Q.f. d.
de ra
page fz
pour tout
ouvert
A,
A1 ,
. . .,
res propriétés
G , v, A,'
, -
An sont dans 6
ynç
booléienne Ai-a
de
T
(A*t pour
(iJ
à (iv),
page 12)
dans Rég, V,t\, r, è.
proposj-tionnel
, nous notons
pour ra valuation
de y
Agr
par
Aa!
f,6(A1,-qui topologique
, o*t ra valuation
) l'ouvert booléienne
qui
.
on a :
(ç6n,..,A,,))tt
€ E
une tautologie
en vertu
p6 ) une formule du calcul
topologj-que
valeur
de (a),
11 en résulte
est
dans Bég. définle
6
(en utili.sant
.)
donne à pg ra vateur
donne à p,
mais trivi-ale
l------------->
de vérifier
vareur
régulier,
y
de Glivenko.
e s t u n m o r p h i s m ed e
(U) Soit ?(pro.. intultionniste. si '..rAn) Ia
,--
régulier.
A
rl
vraie
(iJ
des propriÉtés
un ouvert
rl
est
arors
page 13.
Démonstratlon
(a)
crassique,
que si (-u
,f
=
est une tautologie .
fln(ao, p a r c o n s é o r r T a, u u v
, An) = /R
y*rs(oii.. classique,
,ortt alors
p o u r t o u t A 4 ,, - . , A r r est une tautorogie intuitionniste.
i
On montre aisément des consi-dérations une tautologie
en
classique,
est
une tautoJ_ogie
VI.
Indépendance
I1
est
que si
f
o
et
est
I
intuitionniste.
V , /\
.4
, -/
en logique
pro_
intuitionniste.
bien
connu que chacun des connecteurs
intuitionniste
Nous allons
étabrir,
par rapport
à
Posons
théorème de Glivenko
*-Y
:7
des connecteurs
positionnelle
le
érÉmentaires
alors
.u.uf
ra logique
utilisant
topologiques
à titre
Arurè
A =
est
d'illustration,
en utilisant
(z=,22+r)
LJ
( z z + L , 2 z. + z ) .
ze Z
trois
V, A r,v, =, cle autres.
1,indépendance
de v
une méthode topologique.
U
z€z B;
indépendant.des
Trivialement,
I û, A, B, tR] est stable pour l,intersection. cette partie est stable pour ,(=int-.) car d' = lR, A' - B, B, = A et
rR' = fl,
La table dans
suivante
donne les
A, B, A d B, IRJ { A,
valeurs
de
pour
les
arguments
i5. -
6
rR
A
B
,R rRF
B
A
AfR
AU B
û û
rR
fR
Ar,lB
/iR
fR
fR rK
R
IR
AB
,R R
AB
AUB
fR
rR
I d , o , B , t R ] e s t d o n c s t a b r e pour Not ons que lr on a to u J o u rs :
--à
X-+ p v
q ne peut
que
VII.
A
donc être
N
r
-)
,
Les
équivalente
ssi
XC.y.
à une formule
ne faisant
lntervenir
(donneràplavaleurAetàqIavaleurEl.
définitions
SiL
données dans re paragraphe
naturellement
dfintrodulre
Ia
notion
est l - a c l a s s e
O" réelIe
plus
(par
haut.
tautologie.
1es espaces
établi
cette
dans 1,'article
"propriété
des réels) sans point
drun
ce qui
E,
topologiques,
des teutblogies
notamment pour
celle
métrisables
Variante
de E-
topoLogique
3 peuvent
être permet
on a
:
est E- tautologie]
est
se retrouve
induite
espace
= I'ensemble
ce résultat mentionné
à tout
de tous
y
I
t.f
VIII.
Y=lR
Bemarque
adaptées
bres
.
résultat
et
les
de K.
de McKinsey,
universelle" rationnels
donc pour
isorés
intuitionnistes.
Tarski topologie
munis de 1a topologie
tous
(tnéorème
de la
les
espaces
dénombra-
de sierpinski).
GOOEL.
11 est triviar que si E est un espace toporoglque à r élémeht, alors lrensembre des E-tautologies est rrensemble des tautologies classlques.
Nous allons simple
pour
Frécise
:
Si
E est
alors,
montrer
qu'on
1e calcul
un espace topologique des E -
Irensemble
ne peut
propositionnel
espérer
une situation
qu'un
ne contenant
tautologies
nombre fini
distinct
est
aussl
de maniàre
intuitionniste;
d'ouverts,
de lrensemble
des
a
Démonstration
que E contienne
Supposons
(a)
ff
2
est
aisé
n ouverts.
exactement
que
de vérifier
\/ V
PieP,
1<;<)1fi+'r estuneE-tautologie.
(U) Nous montrons tautologie
que la
intuitionniste.
supposons fl = 5 ; la
Défnissons
les
rl
Ar= H
formule
d'éviter
généralisation
ouverts
(réeIs)
n
I
-1
A. = U n qJ
-r 1 t.a
, '- [ - n + c=. . !
^'=tl '
-t-r,111 (m--r= , 467)
"-/-
n;-
-1
u
Posons { =rR, B ?= AtUAz UA3 UA4, 33=AluApuA3, 84 = A1 ù Az, 85= A',' 86 = É:
triviale.
:
=..r),
r u | , 617-ç.) V
€
et
compliquées,
(aïTT, G)
sJ
(a=;1
ài,.r
pas una trop
1I
rl
(-*,-4;*=i"
-t
immédiate
par
à A
n'est
des notations
sera
( e n p o s a n l- ! = - & , A.^ '2 =- L--,1
en (a)
considérée
Afin
1 | ,(A-.;U,
Ur---,J ne6-.i.ffi
u(ffi.a7,
I
4-;-1)
; ffit
rr-ç=)
1 8 .-
(')""n.Ti ;:",::ï"'li"l,ï.:',:'l;""1: ll,l"i.i::"eî::'i: ;, ! -
u
Bi)
(aucun ouvert
J_
Noter
cependant
décidabre haut).
(voir,
/
comprenant
que le par
calcul
exemple,
o n'est
contenu es,,us,
propositionnel r'ouvrage
dans - 8.. r./ B ) j :) ,l e
intuitionniste
de Dummett mentionné
est plus
Logique propositionnelle
intuitionniste
forcinq
et
J. DRABBE. 1.
Terrninologie
et
notations
Les notations des notes intui
et
tionni
et
toujours
topologique
Nous nous proposons
calcu1
propositionnel
intuitionniste, tel- que
des "points"
f
1l
ceI1es
I
des rée1s
est
noté
que si
t(
est
de montrer
il
existe
pas une E, E
: si
existe
usuel
Lp
6
est
finle
L.l n'est
forme
consi.déré
qui
n'est
{R,Eu, (du
une formule
pas une tautorogie
un espace topologique
fini
ÉrE
-tautologie.
pas une tautologie
n'est
une topologie
sous la
de I,espace
(ae e).
ouvertes
intuitionniste)
alors nrest
Proposition alors,
sont
propositionner
du calcul
un espace topologique
1'ensemble des parties
6
non expricitées
topologique
où E désigne lrensemble
L'espace
2.
terminologie
ste,, .
Nous noterons Erë
la
"une présentation
f,
=r"
fi
telle
intuitionniste que :
;
pas une
fR.,G - tautologie.
DÉgglglrcttgl : si
Gl , pn), (avec la notation usuelle II toutes l-es variables proposi-tionnelles figurant dans la alors,
liste i-l
Ar,....,
p1r'..
existe
Rn (oe
r pn) n'est
G
dans
pas une tautologie
prévoit ,(
que
sont
intuitionniste,
des ouverts
R,Eu,
) tels que
An)I
Y'^,3^(ot" "" Soit 61e
qui
plus petit
fR
e n s e m b l ed e p a r t i e s d e R
comprend f et
tel
que
IR
...., An) e s t f o r m u r ep a r t i e a " y J G - I f'n,e,r(o,-', I V
2C.-
vV v . \ ) Y e E II
que 6
est aisé de vérifier
résulte
des propriétés
Trlvlalement réguIlère
et
xuYeE
xnYeE
de distributivité
de U,fl
).
IR, % est un espace topologique et une induction
sur la complexité des sous-formules de
démontrer que pour toute sous-formule ,b^"(A:,..., I tK)('tÆ En partlculier
(ceci
est un ensemble fini
An) =
d" I
V tt
( A . 1 ,. . . . ,
fo,ïa
(d ,n '''1 ' ' ' ' ' AnJ n'est î r R /. U
t
-tautologie.
permet de
? :
An).
pas une
l'R "ë
Proposition que tel
soit
E, é
2. lgpggggryfln1. Alors, il
un espace topologique
soit
existe un espace topologique fini
tel E*r6*
que l-es structures (G,
VrA
et (6T,
,',+)
soient isomorphes (notations
-+)
v,,/\,'r
page13 de lrarticle
: voir
cité
p r é c é d e m m e n)t .
ssi
x=y Soit
1a relation
Définissons
PÉgggg!f3!193 : E par
Vx
x
e%
dréquivalence xë,
€
_
sur
€x.
ë la classe dféquivalence de x € E par É.
Notons f la fonction
de domaine 6
f (x) = { *
tel1e que pour tout X eE,
| x e xi .
Posons rT=1(s)
Ë=
f t(x) 1 xe Ëi que EI,
On vérifie
aisément
Corollaire
J
tautologie
intuitionniste.
ErE
te1
que
: Pour toute
,P
nrest
for:u-= :1
propriétés
= les
6\
I e:::s:e
pas u:e
teIle
souhaitées.
que rYnrest
pas une
un espace topologique
=, Z-
tautologie.
fini
-'l
3.
Nous nous proposons
qurà
Rappelons
formêe par
toutes
de E, (
tiale
aont
une partie
E
e
V*ry
: Un ouvert
Oéfinition
c€E
A est
BUc
A-
éIémentaire
Propriété
irréductible,
E,6sera
dit
ouA=c.
A=B
A, B,
C sont
de ErE
des ouverts
et
si
alors =à
ACB
AëC
ou
:
Vérification
u(cn
A-(Bnl)
A-(BUc)n C o m m eA e s t
4
Proposition
A -
irréductible
A ;
c.C.
topologique
tout
J, (
et un morphisme
pourrait
qr.r" d soit
existe
un ord.onné fini
dans (T.,
+
A=E.
être
forrnulée
un isomorphisme,
: soit PÉggl:!:g!193 d.e E, 6 ord.onné par
J, é
Posons (pour A €G
)
ûrrl=
iI
Y,A,',-)
de manière
plus
fine
mais nous nraurons
en
besoin
que
indiouée).
faible
Les propriétés
E, 6
A € V
tout
(La proposition
fini
0-gg (E,v.A,',-)
d(A)-J
de 1a forne
Cn
:
espace
Pour
que pour
A). A ou A =
Bn
cBouA
A
parconséquent
exigeant
A).
xe.
espace topologiQne
+
: Si
ACBUC
tel
+
A
ini-
Alfret
irréductibÀessi
Vn,
(une section
que
A de E telle
A drun
un espace topo-
associer
de Er.(
initiales
x
J.
Ë_.admet une base d.rouverts
1a topologie
les æctions
est
on peut
Er-4
ordonné
tout
ErQ
noté
logique
du corollaire
une amélioration
dtétablir
lfensemble
lrinclusion
tD € J[
des ouverts
irréductibles
ensembliste.
D c
suivantes sont triviales
AJ. :
Pour tout A, B <.8 . $tnl
I
est une section de J, c
(et donc un ouvert de J,
G-
) ;
22.-
. 0(rns)= e(r)n Stel; . 6ral u dre> c.A (r u e; ,
. o@)=fr.
On a également,
.
e (A u B) c dCa) u d (g) car si D est irréductible et D C A U B , a l o r s D c A o u D C B ( p r o p r i é t é é l é m e n t a i r e rp a g e 2 1 ] .
Dtautre
.
part,
0 (l -- n) = d (A) -? Ornl.
En effetr
i1
(-
D Gint
de nontrer
suffit
A u B)
De (&A)
ssi
pour
Cfest-à-dire,
: s i D t i r r Ë i 1 . ' .C D
€
: considérons (i)
D'C(-
(ii)
si
ulA
D € (iii)
si
cD
A U B) n
est
int DnA
alors
C o m m et o u s
D c
-
A. A et
donc D cint
alors
Dn A c.B
(-A U n). et
trivialement
u e).
nrest
une réunion
A et donc DrGB.
Dfl
inéductible,
(-a
D' e -gCaluS(B)
et Df é. 0 f Al
lf ouvert
D fl A = 9,
si
D irréductible,
-+ dCell
VD'irréo
'+
alors
tout
D irréductible,
tout
Dcint(-AUB)ssi
que pour
ni
f inie
irréductible, drouverts
1es Dt CB,
ni
vide,
on ottient
D.4A
De
A est
Dt U. ..
U qf-.
alors
irréd.uctibles e
B et dès
lorsDGint(-AUB).
11 est
trivial
= (&n))'
. d(a') Finalement réunion
oue
d(n)
de tous
car Âf = ;.'-+fr.
= J entral:e les
:-te .l = E car
ouverts:::é:;ctibles
tout quril
ouvert
est
contient.
)3,.-
:
Corollaire
5
Pour toute
formule
J.
-
de J,
prolonger
Jt
le
calcul
est
4.
McKinsey
le
f'
pas dréIérnent
nfadmet
Jr(
que
en exigeant
amé1iorée
être
4 peut
proposition
maximum'
régulier).
et
122-162)
Tarski
formule -
E,E
ot
47 (
Math.
1946) '
:
1e résultat
8,617est une
(Annals
étatti
ont
Théorème7:Pourtoqlg
fini
4
2 et sur
supérieure
une limitation
un ordonné maximé (si
soit
1,
U"
à Partir
: la
Remarque 6
pages
Pas une
nt est
des propositions
des d.émonstrations récursivement
permet drobtenir
J, (
q
tautologie.
un examen attentif
cardinal
que
J,(tel
fini
o"do"tè
tt
u*iut"
iI
G.
I-
I
tionnister
intui-
pas une tautologie
que
telle
I
si
rp , I
# o r r . t - n ' ln o i c -
pour
espace topologique
tout
une
<,O est
al ors.
tautoloFie
intuitionniste.
de
proposition
LA
our
Théorème B :
1)
:
toute
éouivalent
es
(' a t,0 est I )
une tautologie
I
(b)
pour
formule
(c)
pour tout
espace topologique
(e)
pour
ordonné fini
!.
tout
Topologie
Soient
Pr(
des variabres v détermine encore v)
des sections
r 1es propriétés
f
Jr<
ErE fini yrest
i'nitialeset
1a Er6
une Er 6
est
une {r (
propositionnell-es
dans lrensembre
évid.emment une valuation ces formules
des ouve:'ts âe PrA
-tautologie
-tautologie'
forcinF'
v une fonction
dans lfensemble
sont
-tautologiel
uner-Er 6
yest
un ordonné maximé et
de lfensemble
suivantes
intuitionnistel
espace topologique
tout
immédiate
une généralisation
(en utilisant
aisément
On en d é d u i t
de lfensemble des ouverts
de Prtr<'
(que nous notons
topologique d'u ca1cul
propositionnel
vérifiant
:
2 4 .-
t <7v ) f {r7t,f)
v v
t,7 ) V v (y) A v
=v =v
(.f+y) (^'Y )
v v
(f)
v (f)
"9)"
Pour p € Pr
9)
q)
formule d.u calcu1 propositionnel Y rh ( q u e n o u s n o t e r o n s
définissons
plus
n l1-f
ssi
p €
(1ire
"(1)
intuitionniste,
simplement
"p force
f
tF ) par
t' pou" pH,f).
P r opos it ion 9 : P our t or P t p , 9 € p , p o u r to u te fo rn u l e rp,f: (i) ( rtt-f et q-
:"r. (vi) (vii)
et,-y)y
ssi
On ne peut
avoir
pour
toute
Vérification
(i)
p ft-(f
tautologie
et
)
p F-^/?
intuitionnist
e tg.
n lF@.
:
résulte
(ii)
=+ ttrf
Vq
du fait
et (iii)
(iv)ptr-Ny
que v (y) est un ouvert de p, Ea
sont triviaies. ssi
pe"(-y)
ssi p€int (-v(p))
ssi
ssi V q<
p€(fl(v))'
p
v kp)
tf
ssi Vq
,tt+y. p € int (-v(g) u v(f)) ssi Vq < p o € -v (< 7 ) u v (f) s si Vq < p ( e e v(g) =r q é',, ,fi, ssi (qp-lp Vq
(vi) (vii)
est est
alors
triviaie.
une conséquence immédiate
du théorème g.
Remarque : Notons 1 1e naxinun ce p, ( ( V p e P p lFp) ssi - r;-qp i (en vertu de 1a n"ono'.rrlî p(:'). Notons p HJ pour p t+-.,t^t(p. it II
. on a alors
25.
1O :
Proposition pour
tout
P lt-cP g I p l*-f
\aa/ I
a t t
( 1v,
P,
p €
I
P ng ssi
@
est
formule
Ç
f
p - l trt,-Q
p VÊ? I
ssi
P É5 f^* si
tcute
nour
une tautologie
,tprÊY
4È1
alors
classique,
Vérification:
(i),
(ii)
12,dans
positionnel
(iv)
(iii)
et
lfarticle
en utilisant
décrites
du calcul
page pro-
du théorème de Glivenko
et
du théorènre B.
: Ie
d.es tautologies
i
de I
topologique
intuitionnisterr.
Gonséquence triviale
Remarque_l-1
1es propriêtés
: utiliser
ItUne présentation
théorème B, intuitionnistes
iI
est
aisé
drobtenir
en termes
urle caractérisation
de forcing-
2?.-
Modàles de Kripke Michel
Moreau
O. Introduction
Le but logique Logic
de ces notes
Lntuitionniste
(Qxford,
Colloquium
ment le
texte
(Z)).
au travail
que nous renvoyons Nous ferons, Beth oour
1.
dr"états
de ce quron peut
créateur
profite
du temps qui
passant
d'un
rien
tableaux
qui
nous servira La méta-
classique.
état
long
Notre
d'un
meublant
point
futur
ainsi
même, maintenant admet ainsi
créateur
dans Ie-
riche,
1'évidence
créateur
indécidables.
d'un
être
selon
présentant
l'ordre
sur
de
états de Ieur
de chaÎnes
succes-
dirlgées
s'accrolssent.
sujet
celui
srouvre
encore
des ramifications,
divers
eux les
intuitionniste
évidences
des évidences
oublié,
entre
lrunivers
de vue ne pouvant
drun sujet
1'éventail
plus
à un autre,
être
de relier
les
i1
dynamique,
inchoatlve.
même sujet
desquelles
de 1'ensembl-e
constitué
est
son domaine d'évidences,
élargir
ne peut
Nous Conviendrons
sion,
comme une collection
essentiellement
étant
de connaissance
sous sa guise
connaissance
se penser
Chaque état
va pour
du précédent
1réternité
Ie
de
les
par un "suJet créateur" iusqu'à ce moment, t r é v i d e n c e " d e c es obJets à ce savoj-r avec
construits
moment. Le sujet
quel
peut
intuitionniste
de connaissance".
des objets
le
par
Motivations
Lrunivers
et
drélargir
(sans démonstration).
constament
sera
son horizon).
des prédicats,
théorème de complétude
de 1'exposé
de Fitting
détailIé
crochet
un large
de Melvj-n Fitting
de celles
désireux
lecteur
intuitionniste
1e ca1cul
à amener le logique
tout
chemin faisant,
(f)J'
(cfr
Actes du colloque
complet et
très
essentielle-
Nous suivons
1963).
proches
plus
seront
(C'est
du huitième
par SauI KRIPKE lors
dans les
édité
de 1a
sén'antique
1'abord
d'exposer
Juillet
de Kripke,
mais nos notations (cfr
est
proposée
de Ia
science
divers
à conquérir,
et
Une chaîne
d'états
présantant
la
achevée,
possibles,
selon
doncr Par le
fait
de connaissance
structure
classique
des branches
drun arbre.
oans un contexte dtexistence cumulatlf
les
tous
unique
arbre
cependant
qui
en lui,
des évidences
2.
comme le
successifs
permet
présent,
r'état
prendra
et
à venir.
ces restrictions
allant
au sens où les
notion
qui
de négl1récapi-
l,aspect
drun
se compriquant
rejeter
selon
ne sont ou les
quenous allons
de validité
des remarques
caractère
Çui les
origine,
pas essentielles, pas la
on ne reconnaitra
et
intuitionniste
un état
en nous lnspirant
créateur,
précèdent
lrunivers
ayant
ne modifie
Brouwerien,
suJet
de connaissance
états
1rhésitation
ter
un unique
des états
ger tous tule
qurà
strictement
adop-
défiririr
précèdent.
Forrnallsatlon
Supposons lfensemble
donnés
7a",
un langage
formules
ModèIe (intuitionniste)
de Y
/,
du premi.er
ordre,
et
. Nous appellerons
de Kripke
:
l a d o n n é e( 9 , p , f , , r > a)
d'un
b)
d'une tlva le
c)
ensemble E (des états relatlon et
fait
p drordre
antlsymétrique.J que I,état
î
à chaque état
Jusqu I en 1 'état
ô
d
partiel (eour
i-et
de E dans les l-
;
sur E (i.".
de connaissance
drune application pondre,
de connaissance)
t,ensemble
réflexive,
on notera fpL
A dans E, lr- est
ou précède 1'état A).
e n s e m b l e s (qui J(f)
transi-
falt
corres-
ar= obJets construits
[- J .
doit satisfaire pour tout
f
à Ia conditi.on : ,21 dans E
l- p A =+ (^) "1,,- ç "f d)
dfune relation suivantes
ts entre E et7,
satisfalsant
aux conditions
:
pour tous états I-, À dans E, ::ur â' - [&.. . ."n )
tcut n-uple
d ' é r é m e n t sd e pour
toutes
:J J(A) "t Ae Ê
formules
on a
f
dans
g,Ç;
-) i . î6-)
o. l- = ,p fdl t*
1O y L è Jn o te Ie ré s u l ta t d e l a substi tuti on dans f
r.r
( * , , ,- . x n )
è?
et
," ai à xi ) ;
f-pA
Aof
2' r- i - - ? " V
e = >l * f
et l-rf
3. l-
Frf"Y
+>
ou
4. l-
*-f
!-=rf
ê7 pour tout A dansE, si l- n A, ou nra pas A
s. l- l : r l . l
< = + p o u tro u t A ,
6.r
c1G) e2
#r)
?. T
si p o u r t o u t est
valide
définition
si
lrensemble
de T
eIIe
qr"
est
,l'extension que p soit
ainsi
l-es conditions
était
un état
explicitement
.[çf),cna
â
dans tout
quelques
muni de Ia
E,
!-
1'est
de ce qui
des états
ss:.
drexiger
A *f
existe E- c f(,It)t'r
il
relque
formuLer
au Jour
1. Lrensemble
p A
sj.l- pÂet si
ators A"f f * yF)
e s t d i te v a l i d e d a n s l e modè1e(E , p,J,= )
l-eE
Nous allons
[-
--Y
4r)y6){*pour tout A ter que l-p A et pour tout â . &n), ^ F tplal .
Une f or m ule y tâ ]
f
l-e{
de connaissance Â
pouvant être réflexive 4,
terminal,
est
chargé
dt
les
chaÎnes
, A
étendant
nu1le si. A
les
est
permet d'alléger
cette
/-
de représenter qui
pour
et
. Le fait
certaines
1'on T.
1es reli.ent
connai.ssances
éventuellement
sans successeur, écrites
éclairer
pr
5 et ? seraient
ces conditions
pour
des rnotivations,
dit
relation
ou précède
modèle.
remargues
a été
feçaâ)
devrait
conditions vides
si
aJouter
T
Notons qu'en général antisymétrique
("
à l'exlstence dans Ia étant
p y et
pourtant
de ses éléments,
dans une boucle
des raisons
que des arbres inltiat
-+
bre
des obJets
tout
objet
étendant
chargée
y
,
I
; crest
t
de lier
ecp I
notion
si
une démonstration
en r'état Ie
effective
exactement
les
chaque boucl-e sur
un
de
|
*of,
, on a aussi
A
pour tout
arors Fy
, et
sous
/\*V.) parfois
à ne considérer
cette
(r)).
avec élément
restriction
est
de validlté.
dans cet l.- est
: bien
conservé
condition
et
l,ensem-
entendu,
dans res
imposée sur
1ue 'force"
conquises y
de connalssance
état
de connaissance
évidences
pour p n'est
(crr
, générarement
res
en générarité
préordonnés
sens de Ia
états
gain
valide
que si
à chaque état
déJà construits
3" La relation est
Ia
un changement
: ensembles autres
associe
/
construit 7
res
boucre
un modèle de M non
on se restreint
au sens strict
Ltapplication
clair
l t + q' t t '
tous
qui
d'écraser
f
sans conséquence pour
2.
est
techniques,
précédant
une telre
le
de transformer
contenant
m ê m e sc o n d i t i o n "
Pour
En fai't,
alors
par exempleJ
pas I'antisymétrie
suffit
puisqu'ir
l,
avec nos motivations,
facire
que M (ir
ne s'oppose
, Vp
de connalssance,
n'imposerait
est
: rien
ApV
A,
en un modèle illx préordonné
mêmes formules
les
( Tp
pas que p soit
on n,exige
= y)
à un progrès.
qui
qu'apparente:11
A
y p x *x
pau compatible
drune déflnltion
(Z)J,
et
des états
corrtsspondant
préordonné
(f)
drune boucrr
successi-on
drétat
(cfr
états 3
dans ce contexte, formules
à 1,état
f-
du langage permettent
La condition à 1'état encore
o)
ia
construits
La condition sormais
el.le parle
si
été
d'obJets
en
f
des évidences.
dans tout (Cette
par inducti-on
sur la
Les conditions
2,
état
alors
3 et 5 sont
Par contre,
la
tout
futur,
iI
'lf et
convient
de s'assurer
ne conduiront
I dition être qu'on
5
: i1
soutenue,
dération états
4.
obJets
tous
est
excru
les
objets
formu1eJ.
: une conjonction,
à tous
qui
une
au moment même. les
futurs
ue l--
-7f
dans
une contradiction,
de nouvelles
évidences
état
étendant
aussi.
Enfln,
f la
, si
étendant
en
T
pourront
, mais qu'on être
con -
tf peut
conditi'on'?
d'une proposition
construits
érément,
classiques sans avenir
s:ns les
que si
condi.tions
habituelles. ...
peine
4,
seulement
exige au
prenne en consi-
construits
dans les
l,ensemble
E est
réduit
à un
s et ? se ramènent aux conditions,
Le logicien
s
querconque
. 11 en va de mêmeoour la
y
lrêtre
éternel
aux fornule
une formule
d'admettre
que jamais
dé-
ilaspect
restrelnte
pour
solt
ultérieurs.
on vérifi_era
seul
appel
ne Juge pas lruniversalité
vu des seuls
être
c'est
de cette
que dans tout
tfz puisse I
l--:
en f
i.mpose quron soutienne
à soutenir
faut
soutenu
se décident
4 fait
aujourdrhui comme il
à bon droit
qui nront pas
[at...an)
classiques
ou une existentierle
soutentr
peut
sa varidité
disjonction
car
a été
construction
condition
soutenue
r1
-
a
étendant
condltion
; on déduit
être
.
1) impose que ce qui
soutenu
atomiques
eue .gfa] ne oeut
exprime
classique
est
un intuitionniste
3. Plnemières appllcations.
voici
querqùes modères très
exemple pour certaines
a : Ie tlers
exclu
on utllise
é1émentaires servant de contre
tautologies
classi-ques i
,f u -, ,f
,
un modèfe (e, p, S , F ) ainsi
constitué
:
E= 1,, ,ry\ e = { ( q , q \ , ( Ç . ,q ) , 0 ; , - : i r ) J , i a e s r c
p r é c è dÇ e,
quelconque;
â
F =l(tl,y)),id est e_"y On visualise
ce modèIe ainsi 1-1
Ç
I
Dans ce modèIe,
on nra pas
( y
Ç"y
pas démontrable
n'étant
q
) , e t o n n ' a p a s n o np l u s Ç * r r f ( p u i s q u e Ç e y !). "" o n n ' a d o n cp a s et n , e s t p a sv a l i d e . yury Ç=rFv1y,
b: ( ry--y)-'(y-,f) on utillse
Ie modèle (E' p, f
, p ) a é t e r m : . n ép a r :
Erpettcommaena;
F ={(q,il, (Ç,y),(Ç,,r)J (,r(
Y. 'f 1
r-1 lL
r-1 ' Dans ce modè1e t , t s [ r f de
q
, y compris
puisqueÇ"f
Ç
n,
\ Y ),
puisque dans aucune extension
, on n'urf
, mais on n,a pas
Ç,OV-y),
naisÇtlf.
Ffemarque: tout
ici
sembre se jouer
pas possible
de réduire
en
Ç;
1e -cdèIe
il
n'est au seul
cependant point
q
,
.1..{ -
puisque devrait
f,
dans ce cas *fV
adjoindre plus
n'!aurait
La présence
d'un
1a nécessité
aux évidences
f = t < p - - +t
Ç
on on
, et
o^" liet(.
permet de surseoir
q
dès
I:
de
, n'ayant
|
à venir
Ç
d'opter
aucun futur,
ntayant
oour
à
ou 1\f
f
.(vr) y(x) -- (: x)t y(,). Modèle:(E,p,f,F) Eetpcommeena;
, 1: [ ( ' : ) = i a ] , E ( , ; ; = { a , 6 } P= lq,,ytsJ)] ,/t5l '- t r L rd-J) 0n voit
de BETH et
Les procédures sont
bien
à expliciter
( p u i s q u ' o nn ' a p a s I 1 p z q l a )
(J") t yU)
Çc
Les tableaux
tiques
l 1 a - t(v ^ )f (x ) , ators qu' on
que
facilement
n'a pas
4.
Ç,1o,bI
les
le
connues dans le
on conclut
que la
formure
conditions
soient
prises
des tableaux:
ou leurs
est
imposent
et
la
formule
(p
que vous supposez fausse
I
droite
Afin
on recourt la
moitié
gauche 1es plaines -
pt,
ou non une contradiction, que toutes
en compte systématiquement, alternations,
séman-
consistent
drune formule,
ou non varide.
du faux,
dans la partie
: el-les
cas classique
dans chaque tableau, moitié
de BETH ou tableaux
de fabrlcation
selon oue loLlf,ss ces conditions
enchaînements
théorème de complétude
dénom:'éestableaux
conditions
).
de la et
à Ia droite vérité.
écrivez
par
selon
ces leurs
mise en scène figure Si
lranbre la
conséquent
de votre tabreau - est de la forme
y u X_
,
34. -
vous écrirez la
fausseté
et
également simultanée
suffisante
de ra
de
fausseté
de
1e schéma suivant
(où
est biffée,
sa présence àdroitede
si
été
indépendamment,
on peut
f,
du tableau
est
forme
de celle
^
Y
de
I
drolte)
, ou de celle
faux
1e premler
0n aura
donc
formant (resp.
O=
ra
présence
décourer,
. Afin
X
alternatifs",
de
de scinder 1'usage
re
vourant
en deux, Ia part,'faux',
moltié
Ia
avec la
moitié
secondJ tableau
2
où TL-,,.et Ta, s o n t
cette
pouvait
on convient
en deux "tabreaux
en deux également, du vrai
par
restituée
, sa fausseté
quron scinde Ia part,vrai,'(gauche) (gauche)
symboliser
nécessaire
.)
de la
dtorigine
puisque
Y,
est une condition
/
compte de ces deux possibilités,
tableau
,y , et I/t
:
V tenir
droite
puisque toute f information donnée par
droite
A et/ IlV
avait
Y
à la
de
et
f
démarche par
tt / \u X
partie
dans la
gauche (resp.
la
gauche fresp.
moitié
droite)
du
de Iralternative.
_
"sous-tableaux"
d " T o , T o 1 e t TnZ contiennent
tout
c e T _ . En tant
que prolongement
ce c.ie c:ntenait
T .' 5i CJ
T
'tc
et
A
représentent
schéma ci-dessus
res
autres
devient
règles
classique
sont
1es autres
formules
:
de déconstruction
bien
connues et
des formules
découlent
connecteurs
rogiques,
application
mécanique de ces règles,
fois
à droite
qui si
met fj-n au jeu tous
pour
les
cr
vrai-faux
1'ambiance partie
on dispose est
établi,
plus
drune démonstration alors
revient
que la
une terle alors
plus
portion
clôturé. des règ1es,
peuvent
être
que 1e simple
gouvernant pour
1es tableaurx rester
au début,
des formules
effective droite
déoonstration
à recenser
dit
en vertu
rlche
complexes.
contient
à la
y
tenue pour vraj-e.
énoncées tout
gauche drun tableau
est
supposée fausse
1es règles
naturerLement
par
une contradiction,
construire,
étant
du sens des
une même formule
être
cas
dans un mâme tableau,
: ce tableau
y doit
A l
intuitionniste
des motivations
pour lesquelres Le jeu
que
dans le
naturellement
clairement
a farru
du monde classique,
de Beth y sont
Ia
quril
une formure
conclut
L'univers
d'obtenir
dans ce tableau
tableaux
déconstruire
clôturés,
Le fait
à gauche constitue
et
dans T o , l e
orésentes
non plus
dans
nous dlrons pour
que
lesquelles
au moment où ce"tableau contient
des formules
n.existe.pas 1es manières
à ce moment. drinfirmer
*
36. -
une formule, "manquer
de déionstration".
prlx
9u'au
,(
si
i.B.
un prlncipe
Q , I
on trouve
qui
simultanément
de cohérence
une formule
ne peut
a et
impose
tableau
présente
une formule nta
oeut
manquer de démonstration
( dans tout
d'une. contradicti-on
déconstruire droite,
mais des modes sous 1""Ouels
servant
à
à gauche et
à
pas de démonstration),
d'accepter
comma démontrée.
Lp I
Pour manquer
certaines
de démonstration
connaissance tion.
formulesr
ceci
plus
tuitionnlstes tableau
en tableau;
tableaux
nouveaux,
règles
en plus
al-ternatifs étagés
selon
forme
aura
,f
de formation de la
de
des tableaux
celle
diachronie
Ia
,
une démonstra-
technique
syncnrones,
1y
à des états
renvoie
dans resquels
que les
comportent,
exemple de Ia
aujourd'hui
étendus,
explique
pâr
in-
de scission
d'un
de création
de
des états
de connaj-s-
sance.
Volci
ces règles
| 5i
Ag
",
A1
crll
: Si
Y ,l
Al,
de formation
apparaît
à gauche dans Ie
à gauche dans T et
Q nç
apparaît
:
biffer
à droite
dans le
T en deux tableaux alternatifs, (reso.Tr) recopier T sauf ,f ^f à droite
V
y ^
tableau Y
inscrire
T,
dédoubler
;
tableau
T., et T
T,
=:
dans T,
, et ajouter ty (resp,,l
;
: Si qVQ apparaît à gauche dans T, dédoubler T en T étr-1 et T, : dans T T, recopier T sauf a(reso. ", fny, ajouter c? (resp. / ) à gauctre ; I'
)
v4
Si
a p p a r a î t à droite dans T , é c r i r e fvf f", dans T et biffer
à droite
f
?ny,
z si -7f apparaît
1d.
à gauche dans T , écrire
ct
à droite
f
dans T
et bi-ff er 7tp;
14
si
7f
apparaît
Y transcrlre que
est
un tableau
a une démonstration ^7
dans T et
?
dans T,
à gauche toute
( t
F
à droite
créer part
la
un nouveau tableau
gauche de T ainsi
succédant
à T,
en T en a forcément
poursuivre
la
et
ce qui
tout
une en sJ,
déconstruction
biffer
dans T et
S
séparément:
--->6
Si
d
a p p a r a î t à g a u c h e d a n s T , d é d o u b l e r T en T,
y--V
et rp : dansÏ1 ajouter
à gauctre (re=p. ,f à droite)
/ -+J
: SltTrpapparaft
à droite
II
S succéaant part
Pour les classique tituant vantes jet
T.rl recopier T sauf
(resp.
à T et
y transcrire,
gauche de T ainsi
formules
dtintroduire
dans T,
que
i1
l-e "domai-n'" du tableauJ, : à l.'ouverture
a ; 1es autres
imposé par
convient,
en respectant
du tableau
objets
sont
une des règ1e.
initial,
introduits
Va r-t
scission
présent
à partir
dans tous de T,
et
1es tabreaux
dans tous
les
toute
la ;
f
comme dans re cas a,
b,
les
(cons_
c,... règ1es
sui-
on admet un unioue seurement si
ci-après +
dans T est
un nouveau tabl_eau
à droite
des symboles pour objet
I et
i
à gauche, , et
f
quantiflées
créer
-rt f
: tout
alternatifs tabreaux
cela
objet
ob-
est
présent
obtenus par
succédant
à T.
s
38.-
vs,
Si Wy(^)
à gauche-dans
.oo"raît
dans T pour
tout
obJet
introduit
b est
succédant
à T,
a présent
obJet
il
par
et
pour
écrire
un nouvel
dans T ou dans un tableau
d'!écrire cette
à gaucfe
,(")
dans T : si
après
convient
dans ce tableau,
T,
également yG)
raison
a gauche
on ne biffera
pas
Vx ok\;
V:
Si Vx gU) bleau
S succédant
encors
apparu
a est
introduit
recopie,
à droite
à T
: si
a est
comme nouvel
à gauche toute
51 Jx
dans T,
&
de ra
en cours
objet
constructlon
présent
dans S, où on
gauche de T,
dans r
V\l
un nouveau tæ n'étant
portion
la
créer
un symbole drobjet
dans aucun tableau
: bifrer
y@)
lg'
apparaît
et
à droite
;
apparaît à gauche dans T, et si a est un sym-
bole drobJet nrétant encore apparu dans aucun tableau de Ia constn:ctlon
en cours, a est introdult
obJet présent dans T, et y(a) biffer
commenouvel à gauche dans T :
inscrite
3x tyG) ;
-lr
:;
: Si 3 xy(x)
appgraît à droite
dans T, écrire
c g @ )à d r o i t e
dans T pour tout objet a présent dans T, ou tout objet nouveau : ne pas biffer
Un tableau à gauche et
est
à droite,
dit
lxg$)
clôturé et
dès qu'une
en stoppe
suite
de tableaux
lrest
; un ensembre de tabreaux
successifs
est
.
alors
clôturée alternatifs
même formule
sa construction si
lrun est
y apparaît ; une
de ses tableaux clôturé
si
tous
bleaux
le
bleaux
alternatifs
sont).
Voici Iier
(plus
1e sont
ses tableaux
le
ses sui"tes de ta-
toutes clôturée
si
tous
les
ta-
sont.
deux exemples
tout
est
Une construction
de mieux oercevoir
Considérons
exactement
d'abord
qui
permettront
au lecteur
fonctionnement
Ie
tautologie
la
non fami-
des tableaux.
intuitj-onniste
(,f , VxfG)) - V* (rt v f (^\) Tableau
de départ
: T avec {"}
domaine :
oor"
r, t^] ,7v V*l0\ -+V^ (c1v,ySù Application
de --rd, ! création
d'un
nouveau tableau
S succédant
à T avec même domaine
f'] application
de
V;
Vx,tG)
VrWû,
V"(fvf(tt)
,l (â)
application et
de
drun tableau
domaine de R
,fa,
: création
VJ
d'un
R, succédant à S,
tableau
R ., succédant
: domaine de R
,:
à 5.,
{a,n};
*
Vx | (.). , / ( a ), ! ( r )
Xr'-Y6 Y,*G)
c1ôturé
cIôturé
40.-
Les suites de tableaux (T, toutes
deux clôturées
narif
(r,
1,
puisOue
s, E, q ) et (r, s, s2, q) sont et
\
(r, s2, Rr)
[),.
R, 1e sont
I'est
: lrensemble puisque
aussi
alter-
chaque
suite 1rest.
Considérons par contre la formule tconveroe V x ( .r roTv-, .. ,J1, 1 l f .x-) ) pas une tautologie
n'est
intuitionniste
ï,
:
{a
VrqrV6))-yvVxl(x) de S ( -- o]
création
S, {a}
YG))
x)
rJe R { V o]
crÉaticn
R,1a,b1 V, (yv ,f(x))
,f (b)
Yrvca),9-v+6r R,
R
4*ftef,7 Rn,
Y
R,,"
V6),Y
R1
RL
, ? nV ( a ; , g ( o ) ,y(o) cf ôturé
Rr, I R* ,l (b) f (o)
c1 fturô
/-'
Htt
rt
R*
toute
I1
}a
est
donc (t,
sont non clôturables,
S, R, Rr I et
finalement
construction.
assez facile
de Beth
non clôturé
Kripke.
Pour le
de transposer en un contre
voir,
reprenons
1a situation
par un tableau
décrite
exemple au sens des modèles de 1'exemple c
du $ 3 :
tVx yU)--- 3x -y(x)
r, {ai t <7Q)
r:r irti
(*a)
n n r - r e1 ,
QU) t-
/\-cl: l r \.l /-f
\_'d
'r
-le R
nn
de 0
r\cr;rb' /
trs )
(vr)
crr'ati
Q,tr,b]
t (â) I
n'est
Considérons le E =
pas cIôturab1e,
modà1ede Krinke ff , p, d,
/f, réflexo-transitive T précède S qui
r(ll
S, R, A ] contenant
précède R qui
: p est ta Sl,
(s,
t(t, précède 01.
F)
suivant
plus petite RJ, (n, al]
: relation (uonc
42.-
J(t)= R - t sy ( " )
J[r) = Jtrt
J(qt = 1u,bJ
{" }
,p(a)
et Q e
u] Dans ce modèle, on a T sion
u
de T on n'a
pour tout T V
objet
3"
(obtenu leur
7
succession,
(x),
puisque dans toute g ("), " que dans une extension u1térieure
ts
états
pour
et
v
f puisque Tg
pour
figurant
assez proche
-7
jamais
v de V, V
f en prenant
atomiques
F
(v),
puisque I f -t
y (").
de connaissance
connaissances
proposé
v de
U,
par contre
yb).
Ce contre_modèt_e res
à un état
tabreaux,
dans
donné l_es formul-es
à gauche dans 1e tabr-eau correspondant)
de celui
exten-
dans 1, exemple c au \
3
est
:
a(a\
, taI
T 1 11 va de soi Kripke 1'ordre n'est tir
que re
ne saurait
passage des tabreaux
condulre
d'application pas fixé.
que toute
de Beth
Proposition
I
à un modèle naturel
Ces indications formule
de Kripke.
:
de Beth aux modères de ou canonique,
des règ1es de déconstruction
non cIôturabre
lisation
rr,l", u)
informelles
donnant lieu peut
être
0n dispose
Une formule est
valide
donne lieu
font
cependant pressen -
à une construction montrée non valide
en fait
en tableaux pour
du résurtat
(crrfr]
intuiti-onnistes
modèles de Kripke
à une construction
ra modé-
suivant
du ca1cu1 des prédicats pour les
puisque
d,une formule
ssi
par tableaux
elle de Beth
cIôturée. On trouvera
égalernent
Propositlon
2 :
Si
dans
LÏ
1a démonstration
une formule
donne lieu cIôturée,
de ca1cul
des prédicats
à une construction alors
des prÉdicats
elle
est
dÉtai1Iée
de ]a
intuitionniste
par tableaux
de Beth
dérnontrable dans Ie
intuitionniste
carcul
)
43.-
Du fait valides tion ble
que les
pour 1a modélisation
préservent doit
axiomes du calcu1
être
1a validité, valide.
Tout
des prédicats et
de Kripke,
que toute
on déduit ceci
conduit
T H E O R E M ED E C O ù I P L E T U D E: U n e f o r m u l e
valide
formule
démontra-
au
est
des prédicats
sont
intuitionniste
que 1es règ1es de déduc-
dans le
démontrable
calcul
ssi- elle
intuitionniste
est
au sens des modèIes de Kripke.
BIBLIOGRAPHIE
lll]
Formal- Systems and Recursive eig'hthLogic
Function
Col-loquium , Oxf ord , July
(Proceedings 1963 J ed.
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of Intuitionistic
fzJ
nrefv:-n Fitting, North-Ho1land,
(Le texte
sous l-e titre
of
the
by Crossley
-
de Kripke
Semantical
Analysis
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Tntuitionistic Amsterdam, 1969.
Logic,
Model Theory and Forcing,
D E D U C T I O NN A T U B E L L E J. L . fuIOENS
O. B]BLTOGRAPHIE
[:')
corrrcted
plpsrs
of G. Gentzen. Edited
Hol_1and, 1969. IzJ
ruaturat
[g]
tuer= of
deduction.
and results
the
proof
second Scandinavian
Fenstad,
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by M.E. szabo.
Alrnqrirlst and wiksell D. prawitz,
theory, logic
in
symposium. Edited
North_
, 1965. proce.dlngs by J.E.
irg?I.
TNTRODUCTTON
La uhéorie de démcntrer était
de ra
démonstration
1a consistance
est
née avec Ie projet
des merthématiques. En gros,
de Hilbert
son j.dée
La suivante
: il c o n s j r _ d é r a it 1 e s D r e u v e s m a t h . l m a t i q u e s comme m a t h é m a t l q u e s c r - r n s t jt u é s c i , u n e sui-te de symboles concrets. Prcuver l-a cansi-stance revena.it af ors à montrer qu,aucune suite de symboles ne pnuvait se terminer par 0 = f, pelr exemple. Ceci amenart l'r une démonstratlon finitlste de 1a consistance des mathématiques iL f intérieur d ' e r l e s - m ê m e s , d e m ê r n eq u , i l existe une démonstrati.-rn fjnitiste de l'énoncé: il n'y a pas de nombre ratlonner éga1 à des objets
V2-
llalheureusement, inettre
un point
Das pos5ibre la
théorie
final
âr eet espoir.
de prouver
élémentaire
cn nrutilj,sant
1e ilrécrème drincomplétude
que les
ra
de Gôdel est
ce théorème affirme
c.nsistance
d,une théorie
des nombres à r-,intérieur techniques pernises
qu,il
venu n,est
T comprenant
deT, crest_i)_dire
dans T.
Ce théorèr,re obli ge donc un changement de prograrnme cJeHi]bert : s'intéresser aux c,-nsistances reratives et nln ;r1us ii 'a ccnsrstance en génrlral . c'est 1 , objet de ce qu,on ai,:,e1Le ,,1-a thc
a6.-
réductive
de Ia
sistance teindre
faut
plus
résuLtats
Tout C'est
ceci
l-e sujet
nécessite
preuve et
s'intéresse
théorie
par
des arbres
suite qui
d'applications
sont
rel-atives
tibilité
si
à leurs
propriétés.
Les démonstrations
qui
en fait
démons-
étudier
(il, sont
de
ici
appelée sysforma]isées
Tr:ute dérirzation
est
une
atomiques (1es schémas de dÉductionl
connecteur
et
où intervient
pour un intuitionniste. la
une preuve.
de 1a notion
Nous a]]ons
dues à Genrzen (i-ssa)
à un seul
naturellement
que des principes
gÉnérale de la
"théorie
appell-e dérivations.
importante
intéressants,
étud1ée.
des formali-sations
de règles
rejoint est
de la
fournit
naturelle.
qu'on
soient
une connaissance de ce qu,est
une de ces formalisations, tème de déduction
théorie
l-a con-
en question.
théorie
des preuves n,utilise
drinvestigation
Cette
donc de réduire
el_le se propose d,at-
obtenus par ces techniques
que ceux de la
tration".
est
des preuves dans la
encore que r'étude
é1émentaires
son but
à cel-Ie drune autre;
ce but par 1'étude
Pour que les il
démonstration".
d'une théorie
notj-on de preuve
essentiel-lement
c'est
1a construc-
ainsi
que I,on
pour un intuitionniste,
une construction
de la
ce
formule
dé
montrée.
Pour illustrer de dualité
de la
ce principe qui
parle
cet
et
IOualJ
ce principe
théorèmes
: i1
fournit
transforme
C'est
schémas de déduction formules la
si-tuées
formule
être par
"point,'
en un nouveau ,,pr:int,, par
et
de Gentzen
qu'iI
: ils
de 1a barre
preuve
toute
un principe
manière
si-tuée en-dessous.
projective
transformé
de manière constructive
effecti-vement
de cette
au-dessus
peut
,'droite'r
en une preuve de son duaL. crest monstration.
1e pr nclpe
considérons
théorème de 1a géométrie
de droj.tes
en ramp]açant
"droite".
cr:nstructif,
projective.
que tout
affirme de points
théorème
aspect
géométrie
de no,veaux d'un
de théorie
faut
théorème
de la
dé-
comprendre chacun des
transforment d'inférence
1es preuves
des
en une nreuve
de
II.
L E G A L C U LD E D E O U C T I O NN A T U R E L L Ef G e n t z e n .
ce calcul nction
constitue
une des formalisations
de démonstration.
dérivation
Une démonstratlon
, c'est-à-dire
nombre de règ1es
un arbre
dri;nférence.
de ce que ce calcul
est
Qui sont
util-isés
réeLlement
}934IT1.)
lié
Nous travaillerons
possibles
sera
construit
à 1'aide
certain
provient
près aux raisonnements
dans les
toujours
par une
d,un
Le qualificatif"naturel" de très
de la
représentée
dÉmonstrations
dans 1e langage X
des variables
, des symboles fonctionners et -7,V,1. constantes logiques,{, l, V,--r,
logiques
mathématiques.
aerini
à l,aide
relationnels
et
des
Les variables
seront
notéesx,
y,...; les termes t, s,...: les formules ,p, V, ,.. tt Nous écrrrons pour désisner des 7 g ,' ,et _ _ > e',, J x- e , V r ç V t g , V v t , t t I I I I | / formul-es dont le connecteur princi-pal est respectivement A,v -7,). ,
1,V. Ce cadre étant
fixé,
nous définissons
les
différents
schémas
de déduction:
AT
f
/
E
F^/ v; ->T
-7I
f FNl trl
--f-,l'
ANf
f / FNF
vE
X --ob
.
r-,/ -i,r
LçJ LPJ i +
evJ/
?
t
cP-+ a
--t-T--
/Y
f cpl
È t J
-
l=
-TtO
cD -t-
r-
T"t Vr
f('), vx y(r)
a-r
,o/t)
fv-rrre'nr,
Ve
.
JL
f4-
J_r yF)
Y
Vxfk) (t) f , 1
tfJ tl a L/:-
-J
lx çhc)
v
,
{vnjr
r-,
'1i
o.r.:
Remarques ----i---
1. Les schémurYI concernant
doivent
etJE
vérifier
}a restri.ction
x (appe1ée paramètre
1a variable
suivante
propre
du schémal qui
Y aPparaÎt. PaurVI,
il
(*)
f
lx
faut
que x n'apoaraisse
dépend. Dans ce cas il
iI
hypothèse
que x n,apparaisse
faut dont
/t
2 . chaque schéma doit pour
transformer
oessus de ]a
aépena, sauf
en question. comme suit
être
dfautres
fournit
tt
peut
veryons
)et{zE)
plpg intéressant dans ies
naturel-
groupes:les nati-on(E). crest
le
obtenir Ï1
le
peuvent
exemples qui
est
être
{p parmi |
supE::riméssi
rurrtr
de
(nI)
^"
f
ses hypo-
on rempt_ace
Ies
la
plus
de ses schémas se divise
logique
en deux
quortLiuet)
classification,
nécessaire
pour
intuitionniste.
connecteur
montre la
sequitur
de déduc-
et fes schémas d'élimi-
pas dans cette
schéma ne rentre (E ratso
comme nous Ie
remarquabl-es du calcul-
schémas d'introductl-on(r) Un seul
hypothèses
suivent.
que I'ensembre
schéma rnt
d'un
se comprend
t'^ l_e schéma
plus
de numÉroter les
y a une correspondance
tive
(--Il
V-.L .
5 . Une des particularités tion
alors
n'ayant
|
au-
de l-a formule
de l-a fcrmul-e
Éventuellement, de ?-p
apparaissant
quron décharge 1'hypothèse
une dérivation
une dérivation
sar
dans aucune
g G).
en une déri-vation
signifient
thèses
7 (p
des formules
Felr exemple, 1e schéma
j'ai
formules
3 . Les schéma (zT
ni
comme un procédé constructif
compris
horizontal-e
Ainsir : si
dans,{l
éventue1lement
des dérivations
barre
ni
I
du dessous. Les crochets
4 . I1
qu'on peut en déduire
clair
E Q).
Pour 1E,
et
pas dans r-es hypothèses dont
est
étroite
logique
et
entre sa règle
remarque 2 pour l-e +I).
la
s:qrn-ficationconstruc-
d'rntr:ducti-on
(comme
6.
Pcur obtenir
fa
logique classique, i1 suffit
suivante
d'ajcuter
Ia
règle
i7 of 1
C
i:
Vy
q(r,il tl
r
Exemples Démontrons
a.
l,
Rai-sonnement intuitif
Supposons qu'ilSoit
existe
a un te1 x;
Donc, iI
alors
-
/v1x
:
quel b,
b. Formali-sation
que pour tout
un x te1 pour tout
y a un x [x = a) tel
pour n'importe
.
ç(r,y)
individu
que on ait
donc pour tout
b,
y,
f yG,d)
(^,y)
valide.
est valide.
et ceci
V(x,bJ I
soit
est
vrai
y.
1-
Yv f (",v) L _lxVy f
3 ^ rG'r)
(*,y) Vy 1,
J^ V y ?(r,v)'Vy tl tette
dérivati-"n
est
servj- d'hypothèses
rII.
g(x,y)
VvSx g(*,yl
bien
-1
J x f(r,y) s:ns
au cours
- zk
Ay;rothèse, car les
du raisonnement
ont
formules
qui
ont
été décharqées.
ESUTVALENCE DU CALCULDE DEDUCTION NATURELLE ET DE L'AXTOMATISIJE DE KLEENEPOURLA LTJGIQUE INTUITTONNI]STE.
R:rppelons cette
axiomatique
:
(r.rJ
f-(f.f) (r.zl 'f-f) -, ((f -(y--tr))--'(fèX)) [z.rl f - (y.-(f n/)) (z.zl -.f f ^/
F ^/ ' F
(:.rl (f -l) - ((/-,/) - (fvy -/)) (:;.zl .f Fn/ /--'ç'/ fa.rl (y -'yt -: ((f -ry).-,f)
5 Û .-
-
(a.z)
-+(f .--.y)
f
Bèg1e d'inférence
(s.r) (o.r1
,i
:
,f ---t' , alors ,fi
et
.rf
Vx yk)-- y(t)' ,7(t)- JzyG-)
Bèg1es d'inférence
- si - si
,y -'f(x)
(valables
:
pas ribrement
x n'apparait
si
f(*)-,y
Dans ce système,
une démonstration
est
une suite
de frrr,;iul,es
comprenant que des axiomes ou des formules
obtenues i:1'aide
règ1es
d'inférence
précèdent.
Le but
de ce paragræb
qui
des formules
et
à une démonstration
3.a.
de montrer
est
les
'
dans L'axiomatique
Pour démontrer ce point, axiomes de Kleene et
sont
i}
ne oes
que
de Kleene,
Passage du système de Kl-eene aux déductions
naturelle
dans
(^ ) a l o rs ,f -, V ^ f * f alors 1" f U)
suffit
et
que tous
dans 1e cafcul
que 1es règ1es d'inférence
versa.
naturelles.
de montrer
dérivables
vice
1es
cJe déduction
s'expriment
à I'aide
de schémas de déduction. Procédons
[f .ri
Voici
point
par
point.
,f "-(/
de
une dérivation
.f
)
4
E
a[aJ
V-f ç - ( 'Pt ' n I Le passage (a) les
fait
s'est
cccurrences
geant
_.1 v)
I'
à I'aide
dont
de
ty
(
de
déoend .
f
I J en i.e.
rJrj
9-/
r
fiu'lt
( F ' + / l . t - + . Y t , t - - l+f - > Y t
ry'+/)*
ne
déchar-
rien.
(r.zl ,f ,Y'-f T .
déchargeant en
(t
t\
#
12 \P
,l-,
-z
((f o(F-,lD -, ('?+p)
.-t
-z
f"Y
,- l - [ çt rt i v )t
t
(ç"9)) f n/V '/ --+ ' '
1
_7
]
(z.z\
tri,v ii-'l
35
'Ff'/*F',' Y
-?v,//
[s.r)
I
",
?v*n"
_:
(f'/)--tpv/--l\
-
-,
Q*X) - ( tt),() - (f u/ -L))
(s.zJ trivial. (a.i)
't3,tz ?P çèp
ç
7@
? -î---
(q.z)
e-+z,L
J------r 4, _____-_t_
_/
v->Q - - 4
z'ç n /ç-tP) ,/ ,'
/
La règ1e d'inférence nens qui [5.1]
correFpond
pour l_e cafcul exactement
est
l - e m o du s c o -
trivial, i - e f ,.
[o. i J triv Les rèqles
d'inférence
pour l-e cal-cuf
respectivement a ( V r)
3.6.
à
propositionnel_ [ --z El.
et
(J
des préclicats
El.
Passage des dérluctions naturelles Décrdons de noter ce 1a collection de
,P I
règles
l- a,-p toute lt de fornrules /-
d a n s l - ' a x i o r n a- t i q u e d'inférence
et
correspondent
à 1'axior"natique de Kreene. dérivation et
f
à partlr
de e
Drp toute dérnonstration jaide d e s qa^ xa i ou m d l r r -e J s u 9e 5 q t
de Kleene à r
des formures
de ra suite
T
.
s 2 .-
rr
sragit
fcrmer
que toute
de montrer
en une démonstration
/ rV
dérivation
fDç
peut se trans-
'
. I
Nous allons Ia
dérivation
prouver
cera par induction
sur la
longueur
de
l-t-cp I
Par définition,
la
barres. horizontales
longueur
A
f^f
Les cas
",
V A.y,f'{ Y
on
(vr),
le
nombre
sont trivi-aux, de même oue{- et
ft*
fait
correspondre
(y,f-
,+q
f),
/,
sans problème pour 1es dérivations
1.
à utiliser
1'hypothèse
6rJ, ( z r),
Analysons
est
contient.
que ceLa va se passer
bien
de longueur
11 reste
qu, el1e
drune dérivation
: on fait corresponrJre (y ,f ,f -,(y--rynf)),2',-+1ynf),y^p-
1
?L
On voit
longueur
d'abord
(f
d'induction
pour des règles
eJ c"r pour les autres.
1e cas du ( -+ I)
c,est
comme
11"ivia1.
: métathéorème de 1a déduction.
ry, : fiV; vatlon I1
|
_' ,
Par hypothèse d'induction, ,/
f donc associer
faut
Par hypothèse, que
diate
à la
dérivation
nous avons une suite
=
pour tout Y "t soit une formure
f,, axiome,
nous savons qu'à
on assocj_e une démonstratlon
par 1es règles
i
compris
de l-,
d'inférence
o" formules
f^ I
et
est soit un f, une conséquence imrné-
figurant
cit-i '
1. Si 2. Si F
f, % n
?l
)
".t
parmi
?o ...
l- D (y -fr)
( f . n, - ( f - - "f ) , f . ft ( l(y -, al-ors , , y1 -fr) , une démonstration.
est un axj.ome, on construit est une fr:rmu1e de f
t-D(y+,y).
terles
n,
, soit
f de formules
Dans un premier temps, montrons que
une déri_
O
f f donnée une démonstration
f, entre
soit
f,
rfr)
3. 4.
= c'est trlvia}. f , f,, ne peut être une formule
Si
Y, Lllontrons maintenant on aura aussi
/-D
du quatrième
que si/i,
(
f
-f,.),
i( et
i6
cela
type.
on a
(Lp-fiJ
i-D
achèvera la
alors
démonstration.
Le seul nouveau cas à envisager est fe cas où
?1"
est Ia
c o n s é q u e n c ed ' u n e r è g 1 e d ' i n f é r e n c e , 1.
Yh (i'
est obtenue par modusrrnensà partir in (
de
et
f,,
=ft"
Pr',-fto
t",.
::'Ë"::':::"il^{:^ii^,l"l"o?r:";,\':",i"ï'ïi,.o1r'lir 2. Si
V;o que ,f *
= rf '-Vx
'n (r), on sait f (x) obtenueà partj-r de f f (ty''- f(^)) ! ( c 'est 1'hyp a r t i r est démontrableà de
p o t h è s e d ' i n d u c t i o n q u i n o u s 1 ' a f f i r m e ) a e m ê m eé v i d e m m e n tq u e ,l' --, ("). Mais alor' (lr'-'f (x))J * Ul'* (r)) est V^ f f démontrablegrâce à 1'axiome (1.1. J et le fait que y'-Vx (") f est démontré.
E t d o n c, y - ( ( y t -
/
trable grâce a (f.rJ vient 3. Si
que
g
V ,
(x)) est aussi démon-
("))
K
if
est démontrable à partir
f f ?, est obtenue grâce à 1a règ1e d'inférence
fio l-e connecteur J
Analysons
--> (f'-
et ce qui précède.En appliquant (f.zl, -n
(
*
(*))
de f-
qui concerne
, o n p r o c è d e c o m m ee n 2 .
. maintenant
1e cas ( ,,z E).
tTl Lfl t:r_rno':tion' f:ï_/__L X
nous avons deux démonstrations o"
Nous avons à en construire , lrf Dl- et!-l,yDtr.
x-
une
l-' À ., f v'lt Dl. G r â c e a u m é t a t h é o r è m ed e l - a d é d u c t i o n q u e n o u s v e n o n s d e d é m o n trer ci-dessus, nous avonsdonc /-D (ltX) et  D(f 7). Dès lors, à partir del-, A et à d e l ' a i d e l ' a x i c r n e( A . f ) , , fuf ncus obtenons une démonstration de / où (t et n'apparaissent plus f c c n m eh y p o t h è s e s .
il.-
Le cas de ( 5
E) est
analogue,
Précède en remplaçant Ceci
achève Ia
1?
par
et
le
cas [-Zf1 se réduit
a
ce
qu1
Q I +!.
démonstraii-on.
IV. ENcORESUELSUEsEXEû,4PLEs DE DERIVÊTIcN.
ol
fal
-2
3x q
tJx cp I
-æ;-'
v-'?
-,
- t J x q - - ' V ^, ,
tr
I
bJ
Vx-
4
- fC,
Txrp
,f'(^) L
I -a" a F V -x.-, r f - , t J x c 7 cJ 3I
- 77 V ^ ç I t
,tt
a) ,f t
ig-rp I
1 Vx ç -L
--L
pour toute formule rp.
al
1
-Er ^- 7- -ç r - _ T - - - - |c-P- ^ 7 9 -7
T
v,-t
rnrf -r e)
Enfln'
un exemple de dérivation pour la logi-que classique, utilisant la règ1e ( -zCJ.
c'est-à-dire
1Z 1Q zt cD I J_ _,, (rC)
T ??'f'--à T
-r-
,
ï1
est
suffi
que dans 1'autre
clair
t.
2. rp
(
sens
T
-- -rrf
) ta règ1" (zr)
1 1@
'll
I
-z
"f
-> a-7 ç
ft t
V . P B I N C I P E D ' I N V E R S I O N E T T H E O R E M ED E N O B M A L T S A T T O N
Nous avons déjà de déduction définissent
en quelque
Introduction
et
de I'autre. de neuf
vu qu'à
ee rangent
si
sorte
élimination
En effet,
la
prémisse
la
part
1a règ1e rnt,
en deux catégories
: les
l-e connecteur sont
tous
et
en un certain
schémas qui
introductions
l-es éLiminations. sens inverses
conclusi-on d'une érimination
iriajeure de cette
les
éLimination
I'une
n,apporte était
rien
e]Ie-même
concl-usion d,une introduction.
Ai-nsi, tion
de la
raissant
dans 1es deux exemples su"ivants, donnant une dériva-
formul"
plus
,i,
y avait
iI
l0 A it---.il--
Y ',r-'l
,1,
Y
I
ces deux dérivations
t:-:
encore
C'est
Ia
el1es
ons cle Q
. t"
de
V
pour abou-
théorème aà normalisation
I
rigrureuse
tous
ces détours.
de "détour
Mais
cela
dans une dérivationl,.
de seqment maximum.
Cn appelfe nôme formule
donc ce qu'on peut appeler
de dérivations
de court-circui-ter
une définiticn notion
contiennent
partent
à des dérivati
va nous permettre nécessite
f "oo"-
q
;J-tl)
ouisqu'
de
r,(l
,l)
-Jrp
un détour
déià une dérivation
haut.
telle
segment une suite oue
h,..
O,occurrences fn
de Ja
n ' e s t p a s $ - ac c n s é q u e n c ed ' u n e ( v E ) o u ( : f l . fu ( i < n J e s t o r é r n i s s em i n e u r e d ' u n e ( v e o u ( J r l J Yt p a s p r é m , i s s em i n e u r e d ' u n e ( v f l ?n "'est "r(lE),
et
5'6r-
Un segment maximum (,f, conclusion règre
...
yn) est
d'une introduction
d'élimination.(i.". ?n
minéJ. Si
n = 1,
on parle
Dans les
fn contient
soit
la
que soit La n prémi_ssemajeure d,une
le
connecteur
et
,7-rl, a6ient
dui
est
é1i-
maximaLe
deux exemples ci-dessus,
ment deg formules Voici
de formule
un segment tel
et
,,(^f
respective_
maximales.
deux exemples de segments maximaux 2
aJ_ i{ I
X
,,f
,f'uf -4
l^ûlu'l)
().
'-
1
|g
"rç.t
t g&)
gt-çb)
I*ff"l :TGî,rt't).,W) 3x(. ^,(@l exyG) Nous a1l-ons définir Èt hccourcirl_a
une réduction
longueur
sur
des dÉtours,
1es dérivations c'est-à-dire
qui
1^?6)
_,
consiste
des segments maxj-_
maux.
^R,
Z,
L
?,
Y,
s-
Y,n?, Yt
t=1,)Q. IL
L 'f;
f,rJ zo
?''utP, +R
:
z- | c('
! Y
V y
Eptl Z;
v
symbclise I'enlrfrl sembl_edes hypothèses r1écharoÉe. po" apparaissart
L =l r L
[,],) z2'
z
ryJ _L
Z, E,1,) ' ?z
lrytJ
(vgJ et
rJans {.
syrubr:lise 1' en-
sembl-e des hypothèses ae à,
déchargées par
( *r).
Zt,l
Vn:
r&)
YG) Vr tF(x) , p( t \
,y(c)
l'./
3n ,
Les deux derniers
corrects
-
1e paramètre propre
fe
Y schémas de réduction propres
supposent la
(voir
2,
d'au
plus
converltion
remarque 1)
pour être
:
une variabl_e
-
>"(t)
1es paramètres
-
de la
fty&)J
Y
v
suj-vante sur
z1
L',lt',t1 Zr(.r)
2, y G) 3x?(x)
est
conclusion
paramètre d'une
de f
paranrètre proore
de fa
propre ( V fj
une règ1e d'inférence,
jntervient
seulement
intervient
uniquement
au-dessus
inférence
drune ( 3
fl
au-dessus
prémisse mineure de I'inférence.
Cette
convention
schémas de réductlon 1es autres
v F - r 1:
aoplications
11
,f,Y
i-ntervi,ent
tacitement
pour assurer de (Vtl
clans les
qu'on ne perturbe ou
(3
cleux dern-Lers
pas d'éventuel-
EJ en substituant
Lë-
-4
X- T
'
,fnf
Cette
réduction
i-,taximum.
est
valable
de y est /\
si,
dans lâ dérivation
1a dernière
occurrence
à x.
Zr n'
v' -!' :ccurrence inf érieure
t
X'
de gauche, drun segmenr
58. -
rç
3 E.R;
-LzL zt ' -Zt 3x cf(r> X
z-L
/-1
.x fa) 1N
/L
,t,
2,r
r
r Î r 1 ê n er e m a r q r € p o u r
tI q u " p l u s
haut.
Le théorème de normalisation
Toute
dériv
ion
dérivation
contenant
une pareille on peut
dérivation
de plus
dérivation
l-a longueur
qu'i1s
n
de déduction formu]e
est
montrer
donnée est
La démonstration sur
du calcul
s,énonce alors
dite
que la
unique
c o m m es u i t
naturelle
maximal-e. ni
normare, dérivation
ûr
:
se réduit s
ent
FOus forme normare.
norrnale associée
(ttréorème de normalisation
de ce théorème se fait
par induction
des segments maximaux et
la
à une
max j- mu.'r
longueur
à une
forte], à la
fois
des formules
contiennent.
Pr:ur la
je vous renvoie
démonstration,
au texte
de prawitz
((z)
p. 50). Voici Soient
un exemple de réduction
à une forme normale
:
:
w'{x (çn
r-
I
)v
et
Y
clrt(,!vt) w
v
Te T"
tY^,l) r(,f^") 1,"'/ Yv"/
Y^(Y'il
inry'D gtuL
Y^V
,
q ^*'1, t',(^" t Ç" f ) v (g^1\
Y,' '
,f ^(,l,uu)
#
c,f"TT1V^Xt
Remplaçcns dans cette I'hypothèse
dernière
t t uI ( f v X )
forme normale qui
dérivation
toutes
per sa dérivaticn,
correspond
à cette
1es cccurrences
oe
et vcyons que1le est la
dérivation
nouvel_l-e.
Ctn ob-;ien-ld'aboro
qnL VÆ
W vy
q^y
Q"r!
Uvy
rp^Q
) v (q^X)
)u(
q^y) v(Y^I) rlc cut
se réCuir
l.a forrne
normal_e:
W ,r,t.,r^^',r\flll 'Y!LYtI-+---g
Erf[{g^I
W
Y^ ,l
YY rP^V
---
^ .twy Lt-------r'r
Vt*t v(Ytv't
q^q)v(f^X) vsici est
un système qui
de 1'i-mplication (avec -> et n'y
n'admet pas de théorème de normalisation.
basé sur l-e système dri.,rplicaticn
Dans ce système, on
est
perd Ia
accepte 1a règle
décharge effectivement -+L)
propriété
faibl-ede ( +
si
on ajoute
fl
qui
I'introd
re connecteur
ne peut
A,
le
c ( - _ - (- V - -
se réduire
rction
ce sy.:f,lrns
mais r,axiome
de normali_sation , mais I ,axiome
par une dérivation
rl_
Church, avec négation. ssi
une hypothèse.
admet ra normalisation,
pas démontrabte.
démontrable nnrmale.
1=
f-q ,-r
(ç,rrli) v {tprX)
)
q^)
eaQ
q^l)'k^x,-{ T YI" (p^
-v) !-(f système
y est V) à une forme
6 t J .-
ç)q
-ï-----.--f-
.
9^V a --l---t
--
A-'+ ---#-z
t0
f '(Y''l)
Cette
dérivation
utiLise
ment une hypothèse La dérivation
1a règ1e
( -+ IJ
en déchargeant
effective-
chaque fois.
normale qui
lui
serait
devrait
associée
être
:
4
rp r
,.
rà\
Q-V
_
_7
to -> [o -> r.0\ '/ I
mais f
(a)
inférence
d'hypothèse) dérivation
est
I
Ll
(introduction
ill-icite
de I'irnplication
dans ce système, et
pas une
du système.
VI.
A P P L I C A T I O N D U T H E O R E M ED E N O R M A L I S A T I O N
(a)
forre
Définition
sans décharger
donc. n'est
des dérivations
: une suite dérivation
sous forme normale.
de formul_es
,1, .,.
,h e s t u n e ,o " l i l i l o mme t -
pour i(
aooaraissant
{n
dans une
forme un chemin si
n,
ft
n'est
non décharséepar (ve]ou(: e l
pas prémj-ssemineure d'une (-:E)
et
"=:':.:::"':il::::.ï:ï':.1.";cu(rE)' l"' ï,T: clans l-e cas contraire,
?t*t déchargées par 1'application
une des hypcthèses ') de cette rèqle (tff o,
est
(-3 El.
J:= :':.::::"':::::' :"';":]"::::,' ::.."" ,,,,' "."î='.î' hypothèse soit
enfin
1a formule
final-e
ce La dérlvation.
Al-
i.:jri-vat:_:r
ryvù
(çnv\ v
ryvx) 11 y a qua.tre cherins
i Q ^ f ) " ( y ^ /, )t r, ? ^l ) fl,' 1, ,,,f,7,- ft T, -,4f^) t( f ' , D ) ,
:
((,f^f1v(
I'L y^ry,n)
et enri "
C o m m eo n I e
facilement,
vcit
r-;uite de segments. Ainsi formule qui
forme à eIle
ctrnstituent
((<paf)u (f ^l),?^)(,f ,fvl,yvt,y^H"Iù. u n c h e m i n 1 - r s u l Ê b r . , - ,t t , r t : - i . , 1 4 r . 3 r)rn..J t
dans I'exemple
seule
donné plus
un segment sauf les
haut,
sultes
chaque
souliqnées
chacune un segment.
D, sormais un chemin ( ,1, sera noté ( q ... Ç_) où tes 6 ?n ) ( r< i <m J forment r-'ensemble des segments qui constituent re c h e m in .
Théorème c^i! u r - LL (\ *v l , , . . J n 1. l u n c h e m i n d a n s u n e d é r i v a t i o n
A]ors le
i]
exi-ste un segment o-, , aprelé
chemin en deux parties
p.lrcpri étés
suivantes
normal-e.
segment minlrnum qui
éventuell-ement vides,
et vérifiant
sépare ies
:
1. Pour tout g (i >i) 6 a e s t l a p r é m i s s em a j e u r e d ' u n e r è g l e d ' é limlnation et La forrule qui apparait dans est sous-forT*, mule de cel1e qui aplaraît dans q ÇL
(si
i
I
nJ est
]a
prémisse d,une règ1e d,introduction
ou
de
Ia rès1e (rntJ.
3'
Pour tout tion
et
celle
c. (la i(n), .rj la formule qui
qui- ap.sl"aît
dans
Ç
est
apparaît %
prémisse d,une règ1e d,introduc-
dans
o-, est
sous_formuLe de
+ f .
Ce théorème possède un corollaire fcrmules:
la
impartant.
l-e pr-ncipe
des sous-
62.-
Toute
qui
formule
formuLe de la
dans une déduction
ap':araît
formule
finale
ou d'une
normale
des hypothèses
est
sous-
de 1a dériva-
t'!r".
Ceci ble
évidemment qu'aucune
entraîne (i.e.
dérivable
démontrable,
drcats
sous hypothèsel.
ce qui
ccnnu par ailleurs
forrnule
fournit
En particulier,
une démonstration
non-contradiction
de la
n'est
atomique
I
du fait
de la
démontran'est
déjà
pas
bien
des pré-
logique
intuitionniste
En fait,
ce résultat
peut
Un système de Post S est -
d'un
manière
par Ia
descr_iptives
suivante
:
donnê
(inAividuelles,
prédi-catives)
et
ensemble de règles
q u e s d u t y- pa eI f u " = ' f r , o ; n'apparaissent
de la
un système déterminé
drun ensemble de constantes opérationnelles
-
se générallser
d'inférences q
entre
ne contient
pas dans un des A,
formules
atomi-
pas de variabl-es
au moins.
lL
Dans un te1
0n appelle est et
celui
I
plus
(S) 1e système de déduction pl-us haut,
les
(voir
des sous-fcrrmules
langage
du système S,
des sous-fsrmules
se
p.e. (3J).
donne lieu
au ccrollaire
démontrable dans f(SJ,
c'est
suivant.: qu'el1e
déjà dans S.
Prenons donc le
-
dont le
de S.
1e principe
au système IISJ
Si une formule atomique est lrétait
obtenue
sont ceux ie 1a l-ooioue lntuition-
règ1es d'inférence
Le théorème de normal-isation,
Le principe
naturelle
augmenté des constantes
schémas de déduction
généralisent
atomique
sans prémisse.
décrit
dont les
niste
une formule
système un axiome est
Par gns règIe
svstème de Post A suivant
l-es constantes descriptives cr:nstante individuelle,
sont o, s,
s une cnnstante
:
=, *r
oi; [r est
opératinnnelfe
une
uraire.
= une ccnstante catives
prédicati-ve
ternaires
binaire
et +,.
intercrétation
{f
mcdèle canonique de -l'arithmétique
-
les
règ1es d'inférences
les
règ1es correspondant
induites
par les
muftipl-ication,
sont
est
dans 1e
évidentel.
pour 1'éga1i-té,
habituell-es
celles
prédi-
deux constantes
de ces constantes
aux 3è r1,4èaxi-omes de Péano, 1es règIes
définitions
récursives
de iladdition
1es règ1es donnant l-e caractàre
et
de l-a
fonctionnel
de
+et Par exemple, 1e quatrième s(xl
axiome de Péano donne
= s(v)
x=y
De nouveau chacune de ces règles
est modè1e canonique de f ,arithrnétique.
Dans lrarithméti-que ae r(a),
vérifiée
dans le
de Péano, nn oeut rlémontrer l-a normaljsation
c a r c o m m en o u s I ' a v n n s
rène de normal-isation Et
trivlalement
utilise
remarqué, 1a déoonstration
du théo-
une sirnple induction.
donc on peut démontrer dans I r;rrithmétinrrc
de péano, ]a
consis-
tance ue f(nl. D'une manière générale,
normafisation
la
d'un
système implique
sa
consi stan ce.
(bJ Si
fl _ ccnnecteur
"trr=.
est v
de formules
r" r.
pour pouvoir
intuitionniste,
démontrer
il
?n{
dr3nrnntrer- e ou d) tt dÉnronstraticn
:
i)n aopelle
segment final
un segment qui
de la
l,Jcus procédons f1
contient
1a formule
fina-
dérivation.
Considérons une dérivationTJ-no"rrIe
1.
le
T t,/-.'
IdÉe de la
le
ne contgrantpas
j"-r e v,l/,
si
r or - f r-,
Dcnc, en logique faut
une suite et
en deux Étaoes
y a exactement
En effet,
srj-l
drune règfe
(VEJ dont
ils
de T
.
:
un seul- segrnent final
y en avait
à partir
de WQ tl
deux, ils
C-
Oans Tf
proviendraient
contiendraj-ent
. automatiquernent
chacun une des premi-ssi;s
64. *
prér'nlsse majeure de cette
mineures.
Soit X, u h rf 1e chemin qui
la
Soient
contient
située
au sommet de ft.
en effet (:
eI
rl
par construction
(c'est
la
définition
nlus 7 ne peut être /v
(-t
car il
I)
pas déchargée
f,h1 v1
| ^/
tvl .-AL)
J
fv|
vvY
,t,/Y
des (ge).
a
!
,f"Y
ft,ï,
(
L )
C o m m ed e p l u s
f. frao-.artient'l dans la partie éliminatoire
(voir
des sous-formules
est
se trouve Y"vT., /1:t /w théorème 6.a) le princi-pe
sous-formule
laquelle Crest
2. Trois
-
est
de TL que
affirme
fruX, donc qr* /- contj-ent une formulre ftaans Xet }e connecteur de disjonction.
à 1'hypothèse
possi-bilités
C
Donc
O"
apparaît
contraire
de
a pas de
n'y
En effet, ft
furh. sous fa forme suivante
:i
(i)
décharqée par (VEl ou
en-dessousde
(
ligne
peut ôtre
TU, "t l.la b cLair queI, n'est
1"" de :hemin que nous l-,assure') et
/U
avec sous la
fVEl.
formute
déchargée par
pareil-1e règ1e utilisée se présente en fait
est
règle
n
et
s'ouvrent
i1
y a bien
un seul
maintenantnnur
segment fina].
d:
s e g m e n t m i - n i m u m: o n m o n t r e a L o r s q u e c e l a
que VvLlt soit II
sous-formul-e d'une formule
implique
ce qui
de 7,
est
impossible: -
dest cette
- 0.est
0n voit trations toutes
conséquence drune règ1e Int, règle
I
par
?'/v
de les
ou de
/ Y occurrences
n
ud5
utr
nomnl:no
_t_
ou par
Y' --r--,
?,v
conséquence d'une ràg1e
aisément que les
auquel -L
deux derniers
cas fournissent
II
des démons-
en remplaÇant par, exemple
à Oartir
de f,
de tpvV
d a n s O - p a n . .q ) o u p s e l e n
tlll
rp'v ty
fvr).
les
cas.
QgæÉsselgg: - Le contrexemole La formule ment. Gar si
de Gôdel.
/ 1 7 . n(' p .i ç - + p j.' J n ' e s t p a s v a l i d e i n t u i t i o n n i s t l q u e t.<- i\ < e]ld 1'était, eil-e serait démontrable (voir 3),et
dcnc par ce qul ce qui
est
- Sj g est rtl En effet,
précède on pourrait
clairement
atomique,
(ce1a implique
impossible
çv-7Lp
une dÉmonstration
i r v v u f
v 4 "
j,
f
par exemple..1|4-tTl.
qui est f("e également impossible en
i ànne-i h] o f^, u) ou .une de ltp, ce qui- est - i
pour i
non démcntrable.
est
sinon on en déduit
démontrer p. *pj
t " ,
de
I
vertu
du principe
des sous-formules.
{'"J fnUEpendance des constr,ntes
cl.
Un connecteur
ou un quantificateur
dans un sys'bil.re S s'il toute
formule
exi-ste
x est
s(y)
Lrrrempfaçant
intui-tionniste
faiblemett
une transformation
en une formul-e
f - €(y) s'- btient
vérifie
es en loqique
ne contenant dans
,p
défjrnissable-
€ qui
transforme
pas x et
toutes
qui
l-es sous-
formules du type
par eU^{ ) ou X * P' o r "o u x x f € (xxf) (en suppoJJ.,a * n,"Jp."aît ni uans ni f uans f,) F: ekp\ ssi f:
'r'
c2.
Des constantes système S si
ûn démontre Ie
. Y'
logiques elles
sont
fortement
indépendantes
ne sont pas faiblement
théorème suivant
dans l_e
définissables
dans S.
:
f ogique intuitionniste.
A titre V
et
exempratif, I.
nous allons
démontrer L'indépendance
iJn procède par I'absurde
transformation
vérifiant
cI
pour
: on supirose que
chaque constante.
du v,
€ est
une
66,-
1. ll9Éesl9elgs-gg-!. SoientP soit
et 0 deux symboles relationnels
R un symbole relationnel
pV e et f= n'apparalssant pas dans
o-aire
tftil= ùI .t/ on sait que r ( e v O J- + ( [ p e t donc r - ( n -- n ] ^ (e -- R J - n f En substituant Par l-e point liais
P v
I
P*f
et Arf
est
clairement
n ) ^ ( O- , H l - - n ) r- p V A.
à R, on ob:ient
(Ul ci-dessus,
comme P F- P V I
et
o-aires,
on en ccnclut/pp
0 F p v
g,
on a les
ou y,-A. séquents
. C e c i a m è n eà c o n c l u r e p F g imoossibre
gf-p,
ou
du principe
en vertu
ce qui
des sous-formules.
2. Indépendance du -).
ceci
est
immédiat
En effet
soitune
c:nsj-dérons la
une fornrure qui
déchargée. forumle
dérivation
lf
O" la
un chemin contenant
dérivation
f]-
drhypothèses),
la
car
ne contlent
--ù
r,as
ntest
dÉmontrable,
las
L'occurrence
finale
du sommet. par
le
I'implication
,p
de
il
dans
a pas
n,y
c e c h e m i - n c o m m e n c ep a r u n e l c c u r r e n c e
déchargée par v E ou = E,
forrnule
f
. C o m m eT j - e s t u n e p r e u v e ( i . e .
C o m m eu n c h e m i n n e p e u t
chnc contenir
formule
de fcrmu]e
c o m n n e n c e rp a r u n e o c c u r r e n c e c'est
théorème introduite
-;r
donc une
qui
(-J , l_a f orr^nul y " rre cetb manlère.
de
riécnarge doit
3. Il9Éeelgers_gs_y_. Soient
P un symbol-e relationnel
y une variable Comme
FVx
En admettant
n'apoaraissant P(") -rP(vl,
le
t_-aire, pas dans
y ne cnntient
Alors
V,.n(*)
lemme suivant
S (
,(nL
.
V ,
7r1 r . r - n d é n e n d a n c es e m o n t r e f a c . i l _ e r n e n t .
Vx
p (");
et
.
(sa démonstraticn
pas de connecteur implique
=
f on a aussil--f -)p(yl,
p. 61J Si
y
et
drnc
se trcu
l"V.p("J e dans fel
En effet,
il
cst
Lrr par définiticn r- Vxp(x)-I
cl-ai r
que
est
VxP(x)-rI
de fa.Lble définissabilité, F t(
ssi
ilr' l-e seccndl séquent n'est
Vxp(x)-_LJ autre
lemme. Nous débouchons donc sur
non déni:ntrabr-e. l'équivalence
est vraie.
que f- rp- Lqui
est
l-a contradiction
va1ide
par le
attendue.
4. I$Éeglg{ge_ge_-t: scrt
t ( L ) et sup.)osons que -L Y= changer 1a démonstrabilité.
si
P est
un symbole relationnel-
puj-sse être
o-aire
Ê t - r : , 5 q v sl - L - > P o n a a u s s i F S ( I - +
pl
remplacé
n'apparaissant et
rJonc j--(f-p
r:ar
?
sans
pas dans y
,
nu encore
! r-P; ceci
i-mplique par le
f irrmule de
qa ce qul I
pri nci-pe des sous-formules contredit
que p est
est
sous-
l,hypothèse.
1ç,r""qr.
certains ;:récédent
des résultats exposé par
Que l-es résultats rlus
généraux
':ropcsi-tions
ci-dessus
dÉjà Été démontrés dans un
des méthcrdes topoloqi.ques.
d'indépendance
ouisque
ont
valabl-es
intuitionnistes
rl
faut
remarquer
que nous venons d'établir
sont
non seul-ement dans l.a logi.que
mals aussi
des
dans.!.a logi-que des prédicats.
59.-
L IINTERPRETAT]ON''DIALECTfCA'' Th. LUCAS
Bibliographle.
[f]
eOeoeU x.
"Ueber eine
des finiten Diafectica,
fz]
L?,
(fSSe),
pp.
"Aspects
of
Constructive
"Handbook of Mathematical
Holland,
benûtzte
Erweiterunq
Logic,,
ftesley, Reading, lJass., etc...
f n O S I - S T R AA . S . in
noch nicht
ZBO-ZB?.
s H c eT . T F I E L D J. R. "Mathematical Addison -
[:]
bisher
Standpunktes',
Logic,j ga.
Amsterdam, etc. . . l.g?rt.
1967.
tilathematics,, B A R W I S EJ . , N o r t h _
?4.-
Le programme de Hilbert de l-'arithmétique
demandait de prouver
"Par des moyens finitistes" (t]
par 1a seure considération d'assertions deals
IZ]
only
1a consistance
par des moyens finitisles.
é1émentaires with
concrete
par des raisonnements thes"e ob jects
in
peut siqnifier de signes,
sur
de combinaisons de si-gnes,
ces combinaisons
objects"
[-2,
("a
fashion,'f2,
deals
p.
1'arlthrnétlque AÉ
A est
ob jets
concrets
binaisons
sont
1'assertion (al
tous
que :
Ces démonstratj-ons t'représentés"
que A est
affirmant nitistes
q u r ' 5 - 1 -n ' y
Dans ft],
"Da die ist,
finlte
de
concepts abstraits
Mathematik af s die
der Zahlentheorle
unter
(= .A.
comme
des moyens fi-
de A'!
so bedeu-;et das f...1,
das hei:st,
Objekte
par
A.
[])
Ique seront
les
:
abstrakten
sol-che zu verstehen, die sind,
sont "représentés,,dans
a pas moyen de démontrer
ccnsidération
freiheitsbeweis Dabei sind
l-eurs c:.rir-
Gûde1 propose de conserver (2J mais d'élarqir
la
fo ncti onnel 1es )
definlert
et
que cono "représente"
donc 1e deuxième théorème d'inccmplétude
1a consistance
en admettant
finitistes
dans A et
coi-rsistante,
1es ralsonnements constructifs
on interprète
de G6del
al_ors
Con
0n admet généralement (f'J les
consistante,
with
Zirqf).
Par ai-1]-eurs, 1e deuxième théorème d'incr:mplétude montre que si
proof
finitary
nA])
(,,the proof
constructifs
a constructive
p.
die
(oder
wesentlich
nicht
der anschau.l.ichen Evidenz
dass man fi-jr den lViderspruchs-
gewisse,
abstrakte
nichtanschaulichenl von zweiter
Eigensclraften
Begrif,fe
braucht.
Begriffen
oder hôherer stufe
oder Rel-ation konkreter
von Zeichenkombinationen') be intraf ten,
sondern sich
a u f D e n k g e b i l d e i = . g . B e w e i s e , s l n v o l - 1 e A u s s a g e n u s ' , v I. b e z j C h e n . t';obei in. den .Beweise_0Ei_nsi,chtpn ûber die letzteren gebrai.rcht
u/erden, die
sich
Eigenschaften
a u s d e n k r : r ' , n b i - n a t c r i s c h e n( r a u m z e i t l i c h e n
nicht
der sie
darste]Lenden
Zeichenkombinationen.
)
sonoern
nur aus deren Sinn ergeben".
Quelques remarques préliminai-res paragraphe de cet cul
Prétation
I;
exfosé.
de fonctionnel-1es.
un cal-
nous présenterons"f
Dans 1e troisièrne
inter-
Dialectica".
Quelques remarques pré1imi,naires.
Bappelons que pour prouver de 1'arithrbétique, tui-tionniste. tion
x qui
f ormul-e
,l*
O" tel}e
"t
= f"
et
Lridée
puis
A lT
associe
une
y*, ofl y démontrerait
0 = I,
(O = fJ*
car
ci.-dessus).
proche de 1a procédure
théorie.
in-
une transforma-
A ti
entraîne
! inconsistante,
était
l-T (O = l)*,
d'une
effective
langage de 1'arithmétlque que A 16
classique
de Gôdel est
1a consistance
cel-le de 1'arithmétlque
de façon
(Vo:-r.1,exposé ;age 1
"skolemisation" ple),
en effet
sorte
de 1à : A
(O = f].
cle façon finitiste
rle prouver
suffit
à ttne formulefdu
I'arithmétique
est
i1
0n décrit
si
Dans cette
classique
de
(à titre
prncédure,
d'exem-
à une formule du tvoe
V, dans un langage de fr:nctions
1v
de sorte
une formule
de fonctions.
(",
r
et
hxz')
(r) de symboles
iz)
à r'aspect aux formules
sorte
h. Pour formaliser
à prorvrr
T revient
des axiomes sur
constructivement
de g et
résultat
9x, z,
attentifs
et ceLa de telle g et
construction le
I
d-n= une théorie
T* contenant
d'associer
"construire"
(tl
I (", y, z, tl
Jt
dans 1e J-angage L enrichi
du tvoe
En termes plus
des fonctions,
$ ZJ et
V.
que prouver
dans une théorie
s'agira
Vz
L , on associe
Vr
la
re premier
constitueront
Dans 1e seconc, nous esquisserons
que si
constructif.
Ah- (l],
il
que (f)
tel-les
on puisse
quelque peu, nous présenterons
h dans un langage de fonctionnelles
de G5de1 prendra
[2)
ces symboles
la
forme sui-vante
:
LF (voir
P (r]
"A chaque formule
pg(.t, 9,
tificateurs
Ies
variables
de P('7] dans 1'arithmétique
effectivement
scnt
une formule
sans quan-
4.
A une démonstration on peut associer
de A, on associe
dans 7J
une suiteFUe
de tell-e
intuiticnnjste de LF (ctcnt
terres
que pr., tX,
sorte
V, Z\ soit
val i de',
La consistance A FT (0 = 1),
de I'arithmétique (o = t)0,
alors
qui
en découl-e commesuit
s'avère
être
rndépendamrnentde nos remarques inltiares, finitiste
de cette
validité
de ]a
l''évaluation apparaître jusqu'à
formule
de consistance
des concepts
des articles
non fini tj-stes
est
de Tait,
Les fonctionnel.
0n définit
fin
exige
Howard font
ou une induction
aussi note à la
non
dans lrexamen de la
transfinie
Ëo dans 1a preuve que ces éva.luations s'achèvent (voir
valide.
I'aspect
po (X-, V, z) qui
sans quantificateurs
des termes oel:
un ncmbre entier
II.
démonstration
o = I
on retrouve
: s1
pour donner
de cet articreJ.
es.
les
types
inductivement
:
{l -. =l U €Sï un Eype, 2)
si
1: sont
6-et
des types,
Les types de forme ( c (rr \ -]r....r.rr.r)*T.
Une fonctionnelle une fonctionnelle
treindre
cette
Gôdel parle
hiérarchie
de type
calculable f
entjprs,
un type. ))
1a fcncticn
de f'ensemble
clans l-'ensemble des fonctj.onnel]es
de type
( a--C
de l'interprÉtation
) est
être
une ap,:1icalculables
e s c a , lc u l a b l e s d e t v i r e
de cette
de foncticnnelles
de
: I'article
("berechenbar"') :
"cafculabfes"
successeur et
de tyoe Z
on sera amené à res-
de 1'ensemble des fonctionnelles
ces hiérarchies
sont notés
un nombre entier. une application
dans 1'ense:nbl,e des fnncticnnelf
d'ap,,l i-cation .
.)...
Cn*T
de fonctionnell-es
calculable
Quoi qu'11 en sait bilité,
est
constructiviste,
de fcnctionnelle
une f onritionnelle cation
(o--rT)
de typeO-
Dans une.perspective
) est --- ...-r(
de type 0 est
de type
des fonctionnelres
f
(o---r .-(ÇZ
nltion
d.ivcnt stables
de ealcula-
crntenir
îour
fes
]es
ri.irati:n-
T
7 3 .-
d'abstraction dréga1ité lité
(y compri-s 1a compatibilité
efle
ne doit
Vx
= g (")i.
r(*J
noti-on est ci-s à la tout
notion
(voir
de validité
avant
d'en
plus
formefle
préciser
Pour parler
les
d'une
donner un sens préd'autre
part
donner
adopter
une
un ca1cg1 de fonctj-onnelles
modèles : cfr
éventuels
de 1'égarécursion),
de vue que cette
(On peut aussi
développer
tg]).
nous introduisons
des fonctionnelles,
pour fonctionnell_es
part,
ci-dessousl,
de Gôdei. et
polnt
le
la
(F = G dès que
extensionnelle
pour,
cl-aire
son sens à l'entreprise
perspective
être
Nous adopterons ici
suffisamment
et
avec I'abstraction
pas nécessairement
notion
la
aux règ1es habitueltes
obéit
fonctionnelles
entre
cependant que si
à noter
de récurslon;
et
un langage
LF.
Les symboles de LF sont
(ll
pour
(zl
les
chaque type
çt
constantes o, (q
Rs-, de type
les
1es symboles Àet
(al
Ie
L-es termes (: I vari.ables
(S]
si
X est
sont et
ap,
X est
si I
définis
un terme
x X est
Les termes abréviera
par
c
de type
un terme
clauses: des termes de type
de tyoe
x une variable
de type
o- ,
( c-->a1.
notés
. .*rr) . Le symbole )
\^n.,.
fi,
(-+T,
T,
de forme ap X Y seront
X et
J
et Y un terme de type
de type T et
(. . . ( (xnxr)^rl.
x dans lx
les
V,
de type C sont
ccnstantes
un terme
<.,
, r,
un terme de type
ap X Y est
liant
4-,
symbole =,
(S] 1es symboles-t, r\ , V
,
de type
de type (o-+oJ,
.+c-, , oJ
o -->(t'+o-J
(s)
(Zj
variables
de type 0, s,
À"r, X est noté
(X V) et est
XrXr..,
considéré
À*r..."n
X.
Xn
comme
Ia
forme X = Y où X et
Les formules
necteurs ables
à partir
s'obtiennent
à partlr
atomiques
Les formules
de type 0
atomi-ques de type O par 1es con1es quanti-ficateurs
Oe (S') et
en des vari-
de type 0 sans quanti-
une formule
Une O-f-ormule est
0.
de
c.
des formules
de (S).
logiques
des formules
propositionnels
de type
des termes de type
Y sont
au moyen des connecteurà s'obtiennent
fcrmules
atomiques _ de type s- de LF sont les
Les formules
f i -c a t e u r s .
Modulo 1es remarques du dÉbut de ce paragraphe, validité
est
naturel
ration
claire.
S par la
0,
tionnelle
La constante
et
entre
su|vra
de définrr d,:nnée et
satisfactir--in pour toutes
valuations,
la
pour ce qui
= 2ar 1'égalité
P est
il-frrmule Voici
de fonc-
fcnct]onnelles.
1a satisfact:-on
"
F
d'une
ccmmela
sa validité,
que
P" signifiera
valicle.
maj-ntenant quelques indications
sion
de LF. Pour faciliter
type
dævariables
le
les
de
ntrmbre
R par I'cpé-
par 1'abstraction,
À
f1-formule pcur une va]uaticn
11 suffit
noticn
la
par le
interprétée
successeur, ap par I'application
fonction
à fonctionnelle,
de récursion
0 est
et
termes,
sur
pouvoir
le
d'expres-
on ne mentionnera pas l-e
1a lecture,
peut être
lorsqu'il
reconstitué
par
contexte.
immédiatement de nos définitions
11 résu1te de variables
Stexpri-me dans LF,
de type 0 et
pour toutes
Z de LF dont les f6rentes
fPrendre Z =
x4r...r
sont parmi cel1es
dans LF; plus
différentes
de
"1,
variables
. . . xn et
libres tel
que i
que fes
oréclsément'
m e s X , d e t y p e t - re t Y , p o u r t o u t e s v a r i a b l e s les
de X, mais di-f-
xn = X.
que F Z *I...
xn X)
s'exprirnent
un terme Z sont
terme X
Xn, j-1 y a un terme
1es symboles Ro- , on mlntrera
En utilisant de récurs|on"
]ibres
, x r . .e, t t e l
Àxt..,.
en ce sens que pour tout
variabl-es
variables
de x,,...
que I'explicitaticn
scnt
"schémas
pour tous ter-
xl ,... r Xn, z iI
parmi cefles
y a
de X, mais
x1...
FZO
"n=X
F z (s z) xl...
ceci fonction
té
entre
prédécesseur,
= 0<+x = yJ,
les
tabreaux
0n en déduira
xp de type
que
de vérité
o sans autres
1a multiplication, définie,
variabres
1'éga1i-
y a un terme E avec
des connecteurs il
gue celles
libres
proposi-
y a un rerde p tel
tsP<-+Xp = O.
ûn en déduira
aussi
que les
et Y de type 0 et pour toutes Z;lont
1es variables
mais différentes
"définitions
de l-'addition
et
F7P
X
utiliser
termes X
y a un terme
de X ou de y,
_Y n n
nos remarques sur 1'expressibilité
multiplication
que celui
utilisé
pour i-dentifier
Les formules
par exemple p. 2 à des
de type 0 de LF.
"Dialectica"
Dans 1es définitions de variables
de t - f , E
[X1,...,
et
xt...
pour tous Xn, il
que
tel
X
L' j-nterprétation
XrYt...
X1;...r
s o n t p a r m i c e r - l - e sd e p ,
ts P '--+ Z*1. . .
de la
du langage de A tel formu}es
ribres
par cas" s'expriment p,
o-formule
variables
de x,,. . . , xn et
0n peut enfin
5
^r,
[ J - f o r m u J - ep ,
que pour toute
dans LF ' en ce sens que pour toute
ÏII.
xI...
partout
1a soustraction
terrnes de type 0 (en ce sens qu'i-I
ti-onnels. t"
(2.)
nous permet d'"expri-mer" 1'adriition,
fa
tsExy
^n = y
xr)
YnJ. si Jt".
Y,...
qui
suivent,
des suites
i,
Vr. . , dési-gnent des suices
d e termes de LF.Si
7 = ( Y r , . . . , y n ) , ( x v - )e s t r - (^1,... rr), Vk est
1a suite V^1...
X =
(xryr...yn ,... , Vxn,et
JXest
/o.-
A chaque formuLe p de LF nous associ-ons une formule forme et
fx
Po où Po est
vv
dont les
définitions ticulier
variabtes
une formule
r-ibres sont
entraîneront une formule
que si
sans quantificateure
parmi r,
p est
pDoe
cerles
/et
une fcrmule
du langage de l,arithmétiqueJ,
de LF
de p. Les
de type
o(
pO est
e., parune 0-
formule.
[r)
si
P est
atomique,
to
oo = ,.
:
En particu]ier,
.LD = -LD = ]_.
( z J s i p = p r  p , e t = i -R f ^ = "a v V y p . , D P u z =3 r ' v v , , z D , a r - o r sp D= l x i l V i v , " t fpro ^ ozo) (tt
est
sous-entendu qu'on
PD n'est
défini
qu'à
évite
les
confusions
un changement de variabres
de vari-ables ]iées
et
que
près).
( g) s i p = p.t V p , e t s :_e ! = J x Vg e ro "t P"z= 3a Vr.,pzo, alors pD= 3' x;t V v f [ ( , = 0 - p ] D ) n (z l o * r s . ) ) (où z est
une variable
de type
0)-
( al s i. P Lf z o e t s l e D = f; W eo, alor s pD = az v Vv A o . ( s J s i p : . V z I e t s i e D= J t V V Q D (x , 2 , . . . ) a l o r s P D= f F V t g A g ( I - z , 2 , . , . ) (o) si p - pr-p2 et si e! = f I VV p:o (x, y,...) et P! =_ -fir V v , p 2 D( i , , / l . . . 1 , p D = 1V,T" V:*T,(n.,rix,;nif'',...)*p2D(F;, arors pour 1 a justification P o u r c e l _ 1 ed e ( O l ,
4
ct
appliquer
d e ( S ' T, v n i r
considérer
les
le
\
3x V"
3x'( Vv Pro ---) Vv' pro)
V,
3 x, V y'
à cette
:ref ée dans 1e 5 1.
dernière
l.
équival-ences classiques
Vv Pro-f ,,
ti,....1.1.
:
Vy, ,2o
pzol
3 y, (pro formule
(0n peut aussi
la
procédure
raisonner
de Skolerr rap-
en termes de rreuvesl.
?7. -
ÏHEOREI.,lE soit
une for:nule P (|zl du langage de 1'arithmétique.
tion
de P(zJ dans 1'arithrnÉtique
une suite Éorte
intuiticnniste.
de termes F oe tp' dont F pD[X, g,
que
les
Elle
démonstration.
Un systàme se pliant
est
(voir[r]etf:])
par inducti-on
se fait
donné par les
P^
I
| --
-?q^p
p--+
e
t
U t-:
R Vg
;
p^
s ; Vx a(",...J
démons-
g
;p-+pApl
+
B
Q(t,...1:
;
p+(g_rRJ p^
e--+R
I
. - - ;R ;
;
J xg .+ R
8(t,...J
-+
avec les
restrictions
-Jx G(",...J
1
(ces quatre derniers axiomes et règles
usuelleg);
Peano mais où 1'axiome (n
forme de cette
e-.*R;pVp-p;
P-VxG
o
ra
quj- suivent
p--+R
e-+{G+Rl
L--P;
dans ? de tetre
P--+ B
P+PV8;PVq-+8Vp;
Q-rP;
sur
règles
Q
ln
sont
bien aux nécessi-tés de la
axiomes et p--re;
:p
variables
z).
Démonstration.
tration
A une démonstra-
on peut associer
les
d'induction
axiomes de 1'égalité est
et
ceux de
rempracé par 1a règ1e
,
P(2,. . . I
Nous examinerons quelques cas et, pour aIléger la notation, supposerons autant qu'il.est possible avoir à faire à des suites de variabl-es réduites à une seul-e variable. (-)
u" est
cas des axiomes arithmr:tiques trivial.
(nJ t-e cas de ta
rèq]e
p
p --r e n
autres
que ilinduction
78.-
Scient PD =Jx Vy e..(x, yJ et gD = Jx, La formule (n->0JD"r"." de forme a x"y"
Lrhypothèse IOont Ies
V r y . , ( e o ( x , y , , x y ,) d'induction
vari-ab1es sont
respectivement)
tels
0n en tire
eD (x"x, y' )
nous donne des termes
parmi les
variables
libres
')
X,
Xtt, Ytt
de P,
I
( r) ao(x"^,y') (z)
successivement F PD( X, y"xy'J F po (x,y"xy' ) *
(:], go(x"x,y'
')
F Q D ( x " x ,y ' l
par (t),
( a J, p a r ( z ) , (sl, oar (s) et (al,
Le terme X',Xest le terme recherché. fcJ Ue cas de l'axiome P v P --+ p. Ecrivons PD sous les forme= !" po(x,,y,) et Jx,' 3 x' Vy'
Vy no(x,yJ, Vy,,
t o ( X , , , y , , 1( e l . La.'fîirmule (e v pJo ='écrira sous la forme Jz x x' Vv y'( (z = o +p'(x, y)l ,lklO-pD(^,,y,)). flotons-la ici Jz x x' Vv v, (n[r,X,X,,y,y,). La formule (eV P -+ p)D ='écrit alors en considérant (Ol : 3 y r rr y t v x r rI V a * ^ ' ( e ( z r x t x , , y ' , , z x x r . y ,r y, t v z x x , y ' , ) aPD (x"'zxx',y")J.,
nà
rl
lYutrrv (
et
que
F P D ( x , y) F eo(x, Y"xy') -
et
V y , ( - r D( " , , y , ] .
xtrr
(t=o *
Vz x x'
PD(r,y"'zxx' r"))a( zlo*r(x',y,r'
-rPg (x','zxx,,yrrJl
zxx,y,')'')
tc)
N o u s d e v o n sd o n c t r o u v e r d e s t e r m e s y ' r , y r V , X " r t e b o u e p({ ao -+ P9(X, y,,,zxx,y"))n( zfrt->po(x',y,r' zxx,y,,')) --tPD( Xrr. zxxr
, y"') .
11 suffit et Y"'
de tel-le
sorte
= y 'rr et
de poser y'v
pour cela
de déterminer
X,',
oue
F Yttt zxx'ytt = ytl et
F Xt', zxx,
ce qui
peut
= Xr
se faire
dans LF (en respectant
les
contraintes
sur
variables).
(oJ le
cas de l'axiome
0n vérifi-era 3 y"xx, -+
que (p n
p
(p n
r
pJ.
p --r pJD ='écrit
sous la
forme
V y y. yrt (eo(x",y,,x,,yy, J Pg(xx",y) n po(x'x,',y'JJ.
Itlous devons donc trouver
des termes yrt,X,Xr tels
ts Po(x",y"x"yy' ] -
que
pD(x*",yJ n pg(X'x",y'l.
On commencera par poser X'= X et
déterminer
X par
F Xxtt = X".
Le problème
revient
donc à trcuver
F Po(X", Y"x"yy'J
rl
suffit
pour cela
par cas"
de déterminer
P Po(x",yJ
en effet,
sorte
que
y"
-->y"x',yy, = y, y"x"yy,
Po(x",yl
--r
= y
(eo(x",y"x,'yy')
entraine l=7Pol.x",y)-z
(zl,
au moyen d,une "définiti_on
(g) (sl;
I F) entraîne f
(Sl
de ter-le
:
preg(x",y)
et
y"
--+ po(x",y.) n eo (r.",y')
po( x",y,'x"yy'),
-->
po(x",y'JJ
les
8 0 .-
d'cù (Z) résultera en utilisant p P o ( x " , y ) v - l p g ( x " , y J, (eJ ue cas de 1a rèsle p(o)
p(zl+p(szl p(")
(P(o))D est de forme Jr. Vy ro(x,y,oJr (P{.J'+ P(sz)Dest de forme V r y . ( e o ( x, y x y , , z ) + p o ( x , x , y ' , s z ) ) , lyx' de sorte que par hypcthèse d'induction, i1 y a des termes X, y, Xr (z peut figurer dans ces deux derniersl tels que
et
F PD(x,y,o)
(to)
f P o ( x , y x y ', z ) - - > p D ( x ' x , y , , s z l
(rrJ.
11 s'agit
de trouver un terme X,' pour lequel
F o , ( x , ,, y . , z ) 0n commence par Yt et X',
(rzJ. z de y et
variabre
F X'l que (ffJ f
On dÉtermlne
en déterminant
= Yxy,
xz = Xrx
s,écrit
:
Po(x,Yrxy't
un terme X",
rz)
-zeo(X'1"r,vjsz)
(cu en posant directement on pose X" = X"I
val"eur de z.
si
z,
(ia)
est
[r_s)
= R X1 X,I
z a ra vat-eur o,
PD(X" ,y",zJ y"
X'i
Un prouve a]ors
Nous supposons maintenant
(r:J.
par récursion:
Fxio=x F x i [ s z J= x i ( x i z ) z
et
X'
par F Yt xy'z
de sorte
la
"expliciter"
[rz)
)
(tz)
par récurrence
est assuré par (ro)
sur Ia et(ra].
que satisfait
une val-eur quelconque
lorsque
z
prend la [fet.
valeur
n et
Jr:
(t:)
l leurs,
entraîne
p eo(X",yaX"y"z,z)rpDIx,
En vertu fait
de (lo),f'antécédentde
z prend la
lorsque
Donc, toujours
ax"z,
valeur
pour cette
y",sz].
cette
imprication
est satls-
n.
m ê m ev a l _ e u r d e z ,
P D ( x , l _x " t , y , , , s z ) , ir Savoir
pD(x'1 (x'i . )2,y,',SzJ , pD(x'i (srl, y,, ( r n vertu ,sz)
à savoir est
satisfait.
En d'autres
ue(r$)J,
termes,
P D ( x , ,, Y , ,, z ) est
sati-sfai"t
z prend l-a valeur
lorsque
n + 1,
De qu'iI
fa1 rait
dérnontrer.
N.B. Sj- le
cal-cul
facon formelle I'r' crabbé
des fonctionnelles
Isans notion
page 83
est
entièrement
présenté
sémantiquercomme dans ]-'articl-e
J 1a oéronstration
précédente
de
de
montre que
PD(X" ,y" rz) pour tout terme cl-os z seul-ement si tout terme f ermé de type o se réduit à un numéral. pl-us précisémentrpour z clos et de type 0,
IJ
2)
si
I'on
admet 1e point
et
ceci
justifie
si- 1'nn ]a
la
adopte le
preuve
poi-nt de vue syntaxique,
par induction,
là un numéra];
de vue sérnantique, z désigne un naturel,
preuve par induction.
cette
démontrer
démonstration
il
au préalable
faut
pour
justifier
que z se réduit
excède I'arithmétique.
o1
NORMALISATION DU CALCUL DES FONCTIONNELLES RECURSIVES PRIMITIVES
Crabbé
Marcel
Dialecticatr
pour
techniques,
i1
justification
la
manière
dont
cela
suit.
r r Ï , fi n t e r p r é t a t i o n Pour des raisons
d.e présenter fut
fait
1e système T
dans lfarticle
comment on peut
brièvement
nous indiquons
'
Lucas
de ce qui
nous a semblé nécessaire
indépendamment de la En annexe,
de Th.
à lf article
Nous renvoyons
cité. les
raccorder
deux formulations.
1.
32 (1967),
J.s.L.
type.
Intensional
TAIT.
Référence.
interpretations
pp.
of
of
functionals
finite
198-212.
Types
T,es types prend
est
o et
de 1a plus
1es éléments
sont
fernée
pour
lfopérateur
petite
classe
Le type
(C-*t)
qui
com-
(C-+E).
Remarques -
1e type
o est
Le type
des fonctionnelles
type
C
de type
et
dont
-
Tout type est de la
-
Le typ"
2.
des nombres naturels. calculables
dédnies
sur
les
une fonctionnelle
forme (%*...
fonctionnelles de type T
(6n-o).-.)
) pourra être
(n>ro
noté
.
)
Çr..-rAn+T.
Ternes
Pour chaque type ables
uT,u[,.,.de
type d
On dispose chaque type
Si era
est
valeur
' -+(Cn'-T)
-t.-
(q
Ia
est
que
f
{
C
également de deux constantes
| dtune
constante
f est un termg et est
on se donne une suite
infinie
de vari-
.
de type fr.
f
: O et
Set,
pour
Ru-
un type,
1a notation
f
pC
signifi-
1e
84. -
des termes
R èc1es de formation --=-----
'1. Toute
-t(c'-f))r ,( s
A
3.
Si f
4.
si
f
g Ff
t(6-r)et
de types
C'
( o
o,
respectivement.
o-+C
Àxf
x FC alors
F=E et
de type
un terme
est
f
des ternes
RO- sont
O, S et
2.
de type
variable
(te)
alors
F
(a+
e
f
(atstraction)
r)
(évaluation)-
Remarques
-
. -
\*l
Le terme
de type
f
)"1
cr,.
aussi
se note
..Fn-r
\ * f , r .- . r f r , r . (...(1
-
Le terme
-
On peut
-
Tout terme est et
f
omettre
m >/
où n,
- xh.(fgr...ç)
de 1a forme \rr.-
0
ou un terme de 1a forme
une variable
une constante,
est
8r,'
extérieures.
parenthèses
les
18t....
8,.) se note aussi
Sr)..
À v f '.
-
et
occgrrenceFlibres
Substitution.
d.e la
Une occuTrence
x dans Ie
variable de f
a"rr")â'o,rs-terme
se trouve
1iées
de Ia
terme
forme
)
est
f
1iée
E11e est
libre
pour
"
e11e
si
g.
libre
sinon.
Une occurrence e1le
ssi
pas dans un sous-terme
1e type
cte gg (1 E i{
est
n)
le
est
de f
g
de 1a forme
dans g.
libre
y h où y a une occurrence
^ Si
ne se trouve
x dans f
variable
de Ia
libre
nême que celui
alors
de x;,
de la substitution est le résultat er,/xnJ ,..., iSr/xn ( f i de xg dans f -< < n). Toutefois, aux occurrenceslibres
de gi
f
prêsentc un intérêt libre
plus '=
pour
gi.
formellement entre
termes
1es variables
nous pouvons en postulant
Iiéesrr.
si
libre
chaque occurrence
que si
Nous supposerons
r
et
qufil
en est
introduire 1= F sont
g ssi les
de x;
toujours
une relation ttg ne diffère classes
ceci
dans f
ne est
ainsi.
dféquivalence de f
dt6quivalence
que par de
f
g et
et
Les
x est
si
qui
considérations
mêmér,mais à leurs
s dans f
suivent
classes
alors
î est let"1 F non aux termes eux-
se rapportent
dféquivalence.
1a méthod.e que nous venons d resquisser
En fait, ter
pour
libre
1e système à lraide
on peut
également
combinateurs, structure
des carrés
éliminer
1es variabres
comme chez Tait,
à présen-
revient
de Bourbaki. 1iées
mais ceci
en utilisant
modifie
des
en même temps 1a
du système.
La réduction
3.
f
e (ttf
V
pour
stable
à gtt; est
se réauit
1es opérations
la
dtabstraction
relation et
transitive,,
drévaluation
engendrée
par R1. (Àxf)e gu
R2. R f
f
>
R3.Rfe(st)Fet(Rrst) 0n vérifie
sans peine
-
f P g et
f
-
si
un terme
f
est
pfr
que
impliquent et
i
gFî
f D g alors
g est
un terme.
Définitions
f
se réduit
sitivité f
immédiatement (pIus
de F.
une occurrence
d.fun sous-terme
gauche de F dans les mentionné
f
et
(Toute
de f
est
d.ans laquelle
immédiate
un terme
règles
on a f F : si ayant
R1, R2 et
g sans utiliser
g sfobtient
une des formes RJ par
1o tran_
en rêmp1açant dans
1e terme
indiquées
à
correspond.ant
à droite).
une réduction est
à g si
précisément
une suite
d.e termes
chaque autre
terme
dont est
le
premier
obtenu
par
terme
réduction
du précédent.
f
est
réduction
normal de
ssi f
est
il
nry
a pas d.e terme
de longueur
1)
g tel
que f p
g
8 6 .-
Exenples
-
(so)
CI( À x y.x)
R
à ( )
inmédiatement
se réduit
x y.x)
0(no(Àxy.x)o). - Les suites
:
R 0( À x y.x) (so), ( À x y.x) o (R0() ()vo)0,0.
x y.x)o),
( )
x y.x) oo,
et R o ( I
x y.x) so, ( )
x y.x) o (nO (,À x y.x)o),
( , Àv o ) ( n o ( À * y . x ) o ) , o . s o n t d e s r é d u c t i o n s d e R , 0( ^ x y . x ) - Les termes À**,
0,
ÀyQ
l,e théorème suivant
(SO1
So et Ro( ^ x y.x) z sont normaux.
se démontre dtune nanière finitiste
:
Théorème de Church-Rosser
Si
f Fg._et f 12g ^et 1.2L2 g _ p h et &Ph
g_ I
g
qurà
un terme
alors
i1
un terme h tel
existe
que
J.Z
Corollaire Un terme
4.
ne se réduit
normal
au p1us.
Numéraux
Définition
:
Les numéraux S t
pour
sont t
tout
Le numéral (SO O = O).
1es termes
d.ans la
(S...(SO)...) Tous les
de 1a plus
petite
classe
contenant
O et
classe.
où S
a n occurrences
numéraux sont
d.e cette
est
noté
SnO ou I
forne.
Lemme 1 Tout
terme nornal
variables)
est
fermé de type
un numéral
(et
O (c.à.d.
sans occurrences
réciproquement).
libres
d.e
P1 -
Dénonstration
La réciproque Lfautre Soit
partie
t
: )
comne t
se démontre
xr...
est
évidente.
est
xn.(f
de type
o,
par
g1...
induction
sur
1a longueur
du terme.
g6) un terme normal ferné
n = 0.. En outre
f
est
de type O.
une constante,
car
t
est
fermé.
Trois
cas sont
à envisager.
1.
f
est
O. Alors
t
2.
f
est
S.
g4 est
Alors
est
f. ferné
Par lrhypothèse-dtinduction k. Donc t est sk * 1 o.
de type
Or et
ust
o pour un certain
sk
m = 1 naturel
f est Ro- . Alors BlFg-r gg ts O--r(d--+6) par "t A tsO. lrhypothèse drinductior ga est un numéral. Dès lors t nrest pas normal. Ce cas est impossible.
t.
Théorème de norrnalisation
).
le
théorème de normalisation
Tout
terme
y a une réduction
i1
En vertu fern6
de type
réside
11 sfensuit
tion
qufil
point
tration
o(r-+
de lrari.thmétique de vue finitiste
de Gentzen.
:
normar.
(pour
a comme corollaire
implique
tout
terme
que tout
Ltintérôt
terme
de ce corollaire
éIémentairement
Ia
cohérence
de
au classique). de normalisation
Howar:d a nontré
du schéna dtinduction
cohérence
i1
à un numéral.
théorème
de ltarithmétique
de 1a fonction
à un terne
(intuitionniste que Ie
sfénonce
finie).
du lemme 1,
dans ltarithmétique. extension
se réduit
o se réduit
dans 1e fait
lrarithnétique
le
et g,
primitive jusqurà ce résultat via de la
quron
ne peut-être peut
récursive lrordinal montre
ltinterprétation même manière
démontré
1rétablir obtenue
dans une par
to (prenier que ra
preuve
attdi_
point
fixe
de la
de Gôde1 transgresse que Ia
fameuse démons_
E
88.-
Nous présentons
ici
que 1e théorème
de normalisation.
une d.émonstration
Théorème de normalisation
Toute
réduction
Lridée voir
drun
directrice
1es termes
Cette
terme
est
de cette
est
fort
finie.
démonstration,
primitives)
interprétaticn
plus
théorème
:
comme des notations
(récursives
Iab1es
forte
dfun
pour
due à Tait,
est
de conce-
1es fonctionnelles
calcu-
au sens de Gôde1.
clarifiée
dans 1es définitions
qui
suj.vent
Définition
un terme sont
est
absolument
normalisable
ssi
toutes
ses réductions
finies.
Notion
(Gôdel-Tait)
de calculabilité
T,a calculabilité plexité
des termes
est
par récurrence
définie
sur
1a com-
des types.
Si
f =0,
Si
f F(nT,
fg
est
f
est f
calculable
est
calculable
ssi
calculable (notez
f
ssi
absolument
est pour
tout
normalisable.
terme
g de type
C,
que fg tsT) .
Remarque On peut suivante
Si
f
remplacer
la
définition
alors
F S r... ,Ç*O, g, calculables
Br
Bn est
f
vient
est
r Bo (S;
termes t
qui
dfêtre
donnée par
:
absolument
calculable l:
L
ssi (1
normalisable.
Lemme 2 1.
Toute
2.
Tout
variable terme
est
ca1culable.
calculable
est
absolument
pour
tous
< i < n ))
normalisable.
la
:
on démontre sun la
simultanément
complexité
Soient X une variable
1.
1es deux points
des types.
absolument
induction
Le cas du type o est
de type
g-ndes termes calculables Par lf hypothèse
par
C1,
im,rédiat.
Çn
...,
de récumence
normalisables.
les
termes
g1r... r
O et
de types respectifs gj
Ç1r...,
o-n.
(f _< i _( n)
sont
Donc , x g,r.... , gn est
absolument
nor-
malisable.
2.
Soit
f
un terme
calculable
Par lrhypothèse types xn
respectif
est
...
, a4
sont
normalisable.
...,
calcuIablu.l
rferitiquetr
de réduction
O
x,r
x
oorr",
Par conséquent
t
à
r si
fc/x)
I
est
x nra Rfgt
-
Ç
Ç, 1es variables
f
lrest
(noté
D"
d.e
f X I... également.
en
)
:
g
f)
a1 ,
un concept
postulant
('Àx
t
absolument
on d'éfinit
de type
de récurrence,
f
?
absorument
normalisable
pas droccurrences
libres
lorsque dans f;
,sitetgsontabsolumentnormalisables ettFo.
R f
g t
à
e tt(Rfgtf),
si
toute
terme
un terme gauche de critique
critique et
est
un terme
vérifiant
les
à correspondante.
réduction
de la
forme
de 1a forme conditions
de t St*
c o m p r e n d .u n et
indiquée
t F
St r.
ci-d.essus
de 1a règ1e
à
de réduction
Lemme J si
r
s
est
est
un terme
calcuIable,
critique alors
et r
est
si
pour
tout
terme
calculable.
Démonstration
on envisage
chacune des trois
réductions
critiques.
s tel
que r
k
u,
B
9 0 .-
1. (.\x f )s q
f ft/*) .
que f
On sait
lisable(par que ou par
1a condition
imposée
Ie
Les termes
que toute
oùf
h,r
étant
...hm
réd.uction
gÈBt,
r)fr,
...,
nn,
absolument récluction
que (À xf)
tels
hl...h
absolument
de 1a forme (lx
successifs
nta...nI,
première
Lg/4 f ) g ht...h,., lf est
()x
Br hr,
clair
est
termes
que g est
que f
O .Sachant
montTer que
faut
à
et 1q
norma-
criti-
lemme 1)
tte type
soit
r1
calculable
des termes calculables
Soient h-
est
[e/*)
g h
calculable,
r... il
également.
(lemme 1)
nornalisables
de (Àxf) f f ) gt
est
ghr... hrt...
n- Onir...,
h"
comprend deux
htm,
trflr/{
h,hphrnr.
' hf1 ...h';. ls/") hA... h- pf Ler/{ ( À g x f) h f... hra un tefme en commun Ainsi toute réduction âe avec une réduction de f [.e/4 q...\". Mais cette dernière réducPar ailteurs
tion
f
est finie.
On peut
illustrer
cet
argument
(,\ x r) s h1... h ,n V (Ix
gr htl...ntr_
ft)
fl fe'/x) h'1... n'',J'
de 1a façon
suivante
:
t lc/xJ h1... h, " ...4 "
2.Rfgt>f. On sait
que t
et
I
La démonstration,
v'
par
1e diagranme
R f
e t
R ff
v v_ f 3.
I
gt
h"...
sont
suivant
hn
htn
nornnalisables
à 1a précédente
peut
et
calcu1able.
(lemne 2)
O.
h1...
hi,,
" "'
, "
de la forme R f g t où toute réduction de t "'"", d . e P a r g un terme la forme St'F. hypothèse trÉ (n est
que t >
se représenter
: f
o hr1...hrm,A
hr1...
absolument
analogue
Dès lors
f,
g et
t
sont
absolument
comprend t
g tx) normalisables
termes successifs hl
de R f
Toute réduction
de type ô.
tels
des termes calculables
ht...h,
Soient
g t
que R f
hl...h,
h'...
hl
h,
r Bf tr
...hf
soit
deux
contient
(stt)
de 1a forme : R ftgt
g t
(n rtgttr)
lal
Rfgt
Drautrepart,
%
(ntgtt)r
gtt
quiest
calculablepar
hypothèse. hI...h,
de remarquerque g tt
donc, pour terminer,
11 suffit
(n rrgftr)
l)gttt
est
f
ntr...htm.
sous substitution
Calculabilité
Un terme
(n f g tt)
Pour un terme donc avec la
sous substitution
calculable
hi...hn,
calculables
t
fermé
la
nn/"nl
fnr/xr...t calculabilité
ssi
pour
est
calculable.
tous
sous substitution
termes
coîncide
calculabilité.
Théorème
Tout
terme
est
sous
calculab].e
substitution.
Démonstration
Par induction
sur
1a structure
1.
O est
calculable.
2.
S est
ca1culab1e.
J.
Ro-est
Soient
f
des termes.
calculablel
g d.eux termes
et
calculables
de type
ç-7(f+Ç)
d-et
respectivement.
Un terme
cal-culable
de type
sktùoù ttnrest
nas d.e la
Nous montrons
par
de type
c,
R f
g t
induction est
o -se réduit
forme
à un unique
terme
normaL
stf .
sur
calculable.
k que,
pour
tout
terme
t
ealculable
92.-
1. k 11 t'+
Alors
Donc R
r6
12t*
ÉO.
t
Soient h;
distingue
OOn =U.
est
qui
f,
f calculable
est
ca1cu1ab1e.
(lemme l).
des termes calculables tels que R f g t i-... \r...r \ de type o. Tout terme apparaissant dans une réduct::: :=
soit g t
R f
deux cas. g t
R f
est d.e 1a forme R f tgtttntl
}:l...h"
h.L>t,',1 t...
hm >h;.
Une telle
réduction
...hth est
où f >:',
:- )
nécessaire=e::
finie.
2r k = p + 1 Soit qui
tr est
par
4.
Toute
variable
5.
Si
est
par
calculable
Donc,
f
que t
un terme te1
1e lemme 4,
est
si
hnt
hy pot hès e . o n a p p Ii q ,,," 6.
Si
f
et
g sont
de même pour
f
est
dt
calculables
g t ? S tt(R (tf F SP
f
calculable.
alors
À x f
ltest
ca1cu1ab1es, alors)x lqui
i " r" * * "
est
4
sous substitution,
alors
il
en va
Corollaires 1.
Tout
terme
est
ca1cu1abIe.
Tout
terme
est
absolunent
3.
Tout
6.
Annexe
terme
fermé
Nous relions Dialecticart
de T.
de type
ici
Lucas.
normali eable. o se réduit
lrexposé
à un numéral.
précédent
aussi.
f ln,/r_, pâr calculablel
g.
2.
g :'
*).
sous substitution.
g sont
" to i "
R f
ind.uction
nr/*.rr...h-/x
tfc/x,
4
Alors
sous substitution,
hrr...,
g
...ç/x,.1
g t
R f
calculable
calculable
En effet,
>Stt.
lthypothèse
à ttl,tlnterprétation
9 3 .-
On montre récursive
It,
de
f O,
1e type
fltUt .r""u
toute
que pour toute
suite
de T ayant 7 d.e naturels \.r...,
ynt..k-n
En particulier,
1es définitions
considérons
T
=a;f ) ry. Rx Q-P)1
;
T
=àaç)x *--(So)x
;
V
= à é F1 ( 1
(i,)(Ty)
On remarquera
que
PO>O
;Pii--il>-n-
=nm
si
f
-
par
:déf- À^y. î(lx
f
g P o
ssi
f
À
f
g >o
ssi
fl)o
Fo
ssi
f/o;
-f
gFo
Vr
s >o
closd.e type
de normalisation),
g se réduisent
et
par un terme
et
de te1le
V
rterme *r
(se
on a
réduisant
:
ssi fpo ou eDo; ssi fDo ou gFO.
généraIrr
..
O et
*
f
("rr...rxn)
sorte que pour tous termes fermé-
ssi
tr YG,,""rtn) 3
o
ePo;
de type O
forne
(7y))
au même numéral-;
on peut dès lors représenter toutO-formule
T de type
;
^nmlri+m;
des termes
1e théorème
E
Appelons
T (=rl(=yr)
.
;
g sont
et
à un numéral,
nf
- - d é F^ ' y .
E
;
n:ef',
>
Dès 1ors,
:
suivantes
À 1a;r)'Y-R"(ItS)Y
;
P = d, a.f, R o ( À r j . * )
h
primitive
fonction
un terme
existe
tt'{:.r
O -r O te1
...,
que pour
facilernent
toute
h ,...,
Yt,"'tn>0. métalinguistique
expression
Vr.,,... Vytrl t .3*,r, ittaiqne les occurrences
de LF
(Èt
où f
libres
est
de 1a
un terne
de variables
de autres
que x.1'...x;rrJ1r...lr.
Lrinterprétation
Dialectica
à chaque formule
g é n ér a1 3?
Vy
Y@
de l-farithmétique
,A( n I
peut-être
considérée
comme associant
intuitionniste
i l ? ), a e s o rte q u e
un terme
94.-
si H A l- rf €),
alors
on peut construire
une suite i
(f
'...fn) de termes de T tell-e que pour toutes 1es suites A et ? de termes tle T y(?i, d, llpO ( f t est 1a suite trt ,...f nT"). Cela montre Ia consistance de H A (et aussi de PA, via lfinterprétation
de lfarithmétique
HA FO
= 1 entralnerait
E O (SO)>S0.
classique dans lfintuitionniste) E O(SO) F 0, ce qui est faux car
puisque
R E M A B Q U E SS U R L A P H I L O S O P H I E D E B B O U I , T E R Ri chanJLeonard
Dans un livre sur
f
importance
récent,
que revêt
oes mathématiques.
r1
Michaêl
affirme
très
des mathématiques
oppose d'une tionnisttrà matrques
deux autres -
celfes
sa suprématie
"l-e seul
quand plusieurs qui
d'une
cette
vaste
1a réa1i-sation
d'un
Dummett à lier
malencontreusement
tuitionnistes autres cette et
bataille,
la
"sj- jamais
pratique
est
une perte
trop
étonnant
: 1'apport
une philosophie
jamais
si
s'avérait
plus n'a
des mathématiques intuitionnj-ste
trompe
ici
fausses.
puisqu'ell-e
de Dummett telles
ti-onnistessont
loglciens
vaines
Les
perd
réaliste
pour ainsi
E1les
ne dit
annoncent
pas assez.
cell-es-ci
dire,
:
,,...
rr
toutes p.
viiis).
en mathématioue
intuitionnistesdevralt
al-ors
des mathématiques
à une vue de l'esprit
qui ensurface,
sont
in-
sur
(1, intuitiorni-srne
que cel)-e des intuitionni-stes.Mais
pas à faire
des affirmations en pr(rfondeur
juste
à
semble pousser
constructiviste
être
rejeté
même
rigidement
de temps" (Dummett, Er,
et
tions
ir
en con-
Encore moins
même des mathémat,iques intuitionnrstes
dû aux mathématiciens
qui
valeur
mathé-
époque,
déforme l-'idée
en r-a ri.ant
la
en
donné les
étaient
l).
métamathématique des systèmes intuiti-on:,:stes
qui
que I'on
qui
-
J-a philosophie
rivales
de 1a philosophie
rivales.
deux, deviendront
voilà
englobant
mathémati-que précis,
victoire
philosophies
l'étude
les
à la
des mathé-
de Hilbert
de 1'ancienne
affirmation,
intui-
r]ummett, étant
(Dummett, ET, p.
des mathématiques projet
et
de cohérence,
mathématiques
a survécu intact...',
philosophie
D'après
système unifié
philosophies
raisonnabl-ement
de Freç
iI
philosophie
la
système rogique
d'une preuve finitiste
intuiti-onnisteest
flit,
total_e.
à une philoso-
de 1a philosophie
courants
d'un
que 1a pratique
Iiée
il,aoinsraisonnablement,
simplifiée
des travaux
échecs de construction
matiques et
et
grands
dérivant
étroitement
motive.
la
manière abstraite
vue d'établir les
qui
avec force intuitionniste
raisonnablement
mathématique de l-,intuitionnisrieest Phie
Dummett insiste
à ses yeux 1a philosophie
? rl sont
une vérité en va ainsi
est-ce existe
vraies,
mais
partielle des affirma-
1es mathématiques intui-
en dehors de ra motivation
philosophique
qui
96.-
Ies
ne peuvent être Les mathématiques i-ntuitionnistes ' ( D u m mett, EI, p. mathématique par leur seul intérêt
sous-tend...
justifiées vi.ii
).
f
intuitionnisne
quelque entre
en quelque
est car
sorte
ftlais ce rapport
n'est
mathématiciens,
ni
mathématiques défini
et
Iors et
il
drune philosophie
sans démonstration
qui
C'une maniàre
également
ait
l-es éléments factices qu'il la
fail-lcFaire
philosoohie
discute dateur L.E.J. et
quand on parle
d'un
philosophie
de la
iI
est
sa pratique
(et
? CeIa se que le
c'est
mathématiquel qu'il
sa philosophie
et
exactement que
question
ici
indiscutable
est
avant tout
Brouwer. C'est
éléments réels
à d'autres
mais ce qui
philosophie
de cette
se peut que
If
des choses. Mais qu'est-ce
intuitionrristedont
sans doute,
de chaque é1ément
substantiel-1e
s'accol-ent
1a part
indi-f-
mathématique intuitionrriste
à un moment ou l'Eutre.
pu se présenter
et
On ne peut pas supposer
évolutive. pratique
que la
mathématique
ma1 défini
tout
Dès
en un tout.
entre 1a pratique
non pas d'un
fon-
nombre d'éféments
composée d'un
rapport et
chacun des éléments,
férencié,
intuitionnistedes
ou moins harmonieusement intégrés
exami-ner Ie
faut
dérive
est
ElIe
mathématique.
en un système parfaitement
pas constituée
statlque.
damentaux plus
La philosophie
transparent.
n'est
1a pratique
et
assumé consciemment par fes
forcément
ni
organique
y a un rapport
des mathématiques
de
en
mathémati-que. Je dis
sorte
évj-dent qu'il
est
i1
philosophie
la
prlncipal
on peut penser que l'intérêt
Au contrai"t,
faut
fon-
est vclr,
de 1'époque de grandes éccles
système unifié
de son système que ]'o-r
c'est
des mathématiques,
Parle.
Les prémisses En 1905 à 1'âge Art
"Life,
de 24 ans Brouwer rédigea
philosophi-e. A 1'origine trui la
du monde qui
et chute
misère. seule "Jibre
; les 11 faut
protection et
Qui éclaire
And Mysticism",
alors,
tous
avec 1es autres dit
possible
ittuminé"
humain vivait
1'être
s'opposaient
contacts
Brouwer, ccntre
reconnaît,
les
bien
les
opérer
du reste'
j-ntituié
prémisses de sa
isolé,
insouciant
deux à 1ui.
; la
"ce triste
un texte
tristesse
un retour
d'au-
Intervient et
fa
au Soi'
monde" que 1e Soi
commeétant
"une réaLité
!?.
qui
plus
n'est
complètement distincte
dedans du soi
et
avec le
avantage
de tout
sci-même.
"Ayant
contemplé
toi-même. En toi est
en grande
en ton
rnaîtriser, ra
p.
[tnu,
mauvais tour ce qui
perception source et
placé
indépendent guide,
est
une i11usion, sa confusion du savoir cation
qui
par langage
de guide. du soi-,
N'ayant
vie
celui-ci,
n'a
d'autres
la
vérité
à la était
société
humaine;
gouvernée
de raison
sont
jamals
?).
sa seule
étranger
Langage et
la
tout
vie,
de Babel avec logique,
à la
nous servi_r
vie
rigides
véhicules
La communi-
ne peut
et
et
l,activité
inadéquats
La logique
accompagner la
vie
de gui-de en vertu
monde vers plus
:
est
ra
en dehors
de
de ses
en effet,
erle
nous dit
f
Brouwer,
un mieux. La science
ou moins rationner-s sur
si ra
f la
sur les ou
commel,art
et
ce que Brouwer appefre
impesse dans laquelle
bêti-se et
par l-ramour et
à son existence,
à la
confiance.
logique
deviennent
servir
science
un substra-
pas notre
re
6J.
à savoi-r, la
, nous jouent
c o m m eu n e t o u r
nous renseigner
"...
conscience...
celres-ci
construit
elle
pas avoi-r d'ilrusion,
rmmanente,
monde se trouve:
de en
avec 1e soi,
que par rapport ils
de changer le
peuvent
tout
dans un monde de
pas de signification
formes de savoir
1a retigion
vie
imposslble,
pouvoi_rs', (LnM, p.
11 ne faut
offre
causée par r-'rntelfect.
complètement
humain ; e11e peut
e11e ne peut
possi-bilités
est
dans la
coupés de celui-ci
du cerveau
seuls
qui
Ensuite
de réalité
"Le rangage en soi
contenu de ta
humeurs et
; re lien
ne mérltent
est
le
tes
en dehors du soi,
de langues'r (tRlr, p.
rati-onnel-,
après
de nous-mêmes. "Dans la
rompu'.
aglt
s'agit
re savoi-r rationnel
du soi
tum mathématico-logique
il
au
au soi
de ce monde, regarde
humain fut
de nous distancer
perçu est
est
par
mais dirigée
Le retour
fs).
sa production,
et
car
tristesse
déterminé
La chute de r-'être [-'rnte]-lect
z),
y a conscience. ..
il
partie
pouvoir',
(LAM, p.
soi"
1e grand
du soi,
injustice socj-été
fraternité,
n'existerait
l_e triste
sont essentierles humaine étai-t
meilleure,
ir- n,y
pas
aurait
simplement pas
98. -
Ceux qui
sont
Non, le bien le
libres
volent
monde ne peut
à lrhomme'r(tnfr|, p. S).
savoir
Vérité
élevée
irreligieuses
(sinful)
ae ta
de 1a pensée logique,'
Non, il et
dropérer
la
Vérité
nous libérer
science,
en Soi.
nous faire
de ra
d,une
des "chaînes
foi
dans la
réarlté
est
de quitter
c'est plus
Une vérité
entrevoir qui
Transcendante
notre
définie
l-e monde
salut.
émanant et
se résorbant'
(r-nu. p.
nous place
au plan
sagesse qui
efface
qui
la
de }a
distance
entre
Libérée.
La sagesse r:st au-del-à de 1a science est
Soi
1e norr-Soi et
et
religieuse,
1a théologie
tout
]e
Dans ces réflexions.sur voit
t'idéalisme
ego est isolée iI
et
cela
importe
lrautrui,
injuste
monde
en moi,
absolument
I'est
plus.
p.'?).
prise
sur
ie
le
contrôle
Ce qui
de cette Moi je
moi.
vie
crée,
les
traits
fonda-
par Brouwer
Z) le
Le soi
:
reductionnj.sme
est
tout.
alors
on
de mon
une forteresse Dès lors
en dehors de moi,
Ie monde,
Le Soi-forteresse
devant personne. La société des hal-l-ucinations. être
du Soi
Ce oue je
et btarement
de mes constructions dans les
des irruptions
je contrôle
Tout,
ramené à moi.
immédiatement
va au-deLà
sont
trois
Le monde en dehors
1a science.
doit
"Les manifestations
particulières (UU,
sûr.
autrui,
et 1e mysticisme,
fondée
contrôIe
responsable
et
(sinful).
m'échappe.
est
Vie
de 1a logique. reli;ion
il
logique,
Ia
y compris la
il
; mes sembl-ables sont
matériel
constru:i s est
n'est
Ia
et
La Vérité
irreligleuse
solipsiste,
à moi ce qui
langage,
ne dépend de et est
mieux car
B).
procure
I'art
constructi-visme.
aggressif;
vaut
de réduire le
du type
3J Ie
méchant et et
vie,
intuitionniste
subjectif
positivj-stique
la
, est
pLus ou moins clairement
se dessiner
mentaux de 1a philosophie t)
reste,
spécu]ative)
de
11 s'agit
comme "1'Auto-réflexion
TranscenCante
Ientendez
et
élevée que 1a Vérité
éternellement
El1e seule
par
Immanente, accesslble
nry a qu'une solution,
le
Ie
(Unfa, p. SJ.
1e repli
Immanente peut
à apporter
nos yeux à 1a possibilité
ne peut
mais elle
commeune hal-l,ucinati-on...
de manière
La Vérité
peut ouvrir
rationnel,
plus
prochain
leur
transformé
être
; Ie
limites de Ia
reste
n'a
; il ne formes
et
Vérité" plus
aucune
oo
Philosophie
générale
Si
maintenant
on demande à quoi
beaucoup de mal pour déveJ-opper le fait
Brouwer pour les
peut servir
cela
savoir
rationnel
mathématiques, Ia réponse n'est
Pourquoi ne pas se consacrer
uniquement à la
scientifique"
nrest
à I'intérieur
des l-imi-tes de l-a tête
rien
pas claire. pensée
sagesse si,,l-a
qu'une fixation
d'autre
de se donner
, c o m m e1 , a
de la
volonté
humaine, une vérité
scientj-fi que [n'est] rien d'autre qu'un engouement, un désir rimité à 1 I esprit hurnain"(tnl,l, p. 4 ) . peut-être parce que si en partie I'on est condamné à passer par ce triste monde autant vaut faire ce qui nous rap:rroche Ie plus de la vérité Transcendante et de la Vie Libérée. Sans doute, Brouwer, ne voyait-i] pas la pratique de l-a vérité
r m m a n e n t e c o m m eu n e p r o p é d e u t i q u e
suprême. Peut-être logique
aussi
par la
mentales
Vo]onté.
rl- est
cette
domination
avant
toute
lrunique
de la
autre
cas il- place
à l'étape
étant
néfaste,
le
soi
En mathématiques du moins, disciprine
Brouwer se consacra,
constructions
nécessaire
parce que. en bonne
schopenhauerienne, I'rntel-l-ect
c o n Ç u s o m m ev o l o n t é . quelle
partiellement
fe
la volonté
savolr
possible Volonté
activité
crée librement est
par des
ai_nsi dominé
qu,aux yeux de Brouwer. c'est qui- rend les
consciente,
a.priori
donc
mathématiques dignes,
de notre
Les mathÉmatiques au centre
source du savoir
qui
rationnel-
est
à l_a-
attention.
En tout
pensée comme
de toute
du poids
et donc libéré
défor-
mant du monde pragmatioue.
Dans son texte tu
reconnaîtras
oe se retirer obtenant
ta Li-bre volonté,
une Direction
d'une manière réversible
une conférence que joue "Ia conscience
dans la
du monde de 1a causalité
seulement alors
brement et
donnée en rg28 iL
Volonté
à }a vie"
(trlws, p. 4r?).
dépendance de toute en fait
de r9o5 grouwer avait
dépendre les
insistera
dans le
sur
ensuite
qu'er1e plus le
li-bre libre,
suivra tard
rôle
l_i-
dans
pri-mordial
développement de ra il
rationnerle
"principales
: "A orésenr
de rester
définie
(Lnu, p. zl.
Dans ce texte
activité
et
écrit
mesure où ell-e est
fonctions
s e m b r - ei n d i q u e r de ra voronté, de I'activi-té
ra car des
i1
-
1 0 0 .-
hommes", à savoir,
les
mathématiques, la
selon
1ui
trois
formes opérationnelles
ces trois
de cette
mathématique, I'abstraction volonté
par Ia
principales
activités
parole.
0n 1e voit,
Fhilosophie
de Brouwer est
dont 1'attri-but
Volonté
principal
et
imposlti-on de l-a humaine est
conçue
subjuguéeà 1a volonté. axée sur
sembre être
de
: I'attention
I'activité
consciente
et 1e langage.
des hommesdérivent
mathématique et f
c o m m ee s s e n t i e l l e m e n t idéal-iste
science,
le
soi
ra Volonté,
La
conscient,
et
son dévelop-
pement.
Dans une bommunication tation
globale
rntitulée
de rg48 Brouwer donna une présen-
de sa philosophie
générale.
"Consciousness, Philosophy
cette
communication,
and Llathematics,,, explique
1'ontogénèse
de la Conscience qui, d'après Bruuwer consiste en troj-s phases ou niveaux de dével-oppement : 1a phase naïve, Ia phase cau-
sale
phase sociale.
et la
tonscience
et
rtoter
qu'à
dire
1a plus
isolée,
pei-ne Brouwer a-t-il à son attitude
de ce voyage est
ConsclenceJ n'implique point
comfortablement
le
drattentlon,
E}1e "semble oscill-er
semble que cet attitude
état
vraiment
de passivité
immobilité
de grâce et
d'attention
du terme
{des phases de Ia pourrait
d'un
processus du développement, 1a
en dehors de toute lentement,
sans volonté
et sensation"
de tranquili-té
est
attitude
irUiOl.
j-sclée est
et
d'une
Illa
seule
religieuse.
La Conscience quitte attitude
I'irréalité
expli_cation
conscience
1ogée dans sa demeure profonde,
tranquille
entre
cependant
un monologue" (CeU, p. 480J.
clans un état
manière réversible
0n doit
pas un entendement mutuel et
Avant que ne s'enclenche Conscience,
"nous".
de coopé-
annoncé ce voyage dela
: "Cette
de vue rester
mène la
profonde', (deepest home], et
solipsistique,
rappelée
ontologique
au "monde extérieur"
d'entendement mutuel entre
Qu€, fidèIe
certain
évolution
de sa "demeure 1a plus
pourrait-on ration
cette
vis-à-vis
son sei-n ontologique des sensations
en adoptant
qui- l-ui viennent,
une
lf
Dnns 1e monde-rêve du départ employer une terminologie au moyen d'un
qui
ère que ]a c'est
stagit
devient
perdue,
et
ce phénomène initi_al_ est
cède l-a place par la
retenue
à une autre
conscience
phase naive
eua la
c'est-à-dire,
ce dernier
Ia
devient
étranger
ou I'appréhender.
peut aussj- être
un phénomène de "deux-ité"
qui
est
séquent de toute f
idée
à la
sensations,
engagée. Du
à moi et
de l,objet je peux dès
(two-1ty)
réitérab1e
base de ra pensée mathématique et par con-
elle
et sinon à f
oe sensations,
est
que 1a
time)
ce phénomène de di-scernement
pensée scientifique.
de nombre, si
mani-
comme passée.
nature subjective
Lors 1e désirer
à volonté
de telle
"dépracement du temps"(move of
espritr
coup 1"'ÉgoÏcité", est
qui
est
grâce à un te1
pour
par Brouwer Ior),
ailleurs
d e 1 a f i - x a t i , r r n r l c - l - t , 1 t r ; r : r r i,:rrt : i r . t r .r l . r i J
passe ct
première
conscience
utilisée
phénomène de discernement.
temporel , car i1 sensation
un monde pragmatique,
surgit
ne tient
conduit
à
des
idée de séquence ou complexe temporel
c'est-à-di-re,
La phase causale
La réitératlon
aucun compte quaLitatif
des séquences causales et
est
r-e fait
de r-'attention
res objets.
causale
qui
srexerce
sur 1es séquences dégagées de ra "pluraLité hétéroclite,, des sensations. on identifie une séquence des sensations avec une
autre
faite
ce sont ratif
de sensations
semblab]es
des complexes ltératifs
de sensations,
dont l-es éléments
dans 1e temps, tandis
produit,
les
également dans le (iuioJ.
Des objets,
objets
suivante
: I'ordre
les
objets
et les
est
c'est
un ordre
invariable
un de ses éIéments se censés se produire
causées par ces objets,
des séquences causales
temporel
de sensations
corps semblables,
à savoir,
par 1e biai-s de r-'attention dans Le monde extérieur.
une séquence causale,
if
se peut
;
"un complexe ité-
au sens normar du mot, sont réduit
sont
temporel
appelé une séquence causale,'
composant 1e monde extérieur
autres
intervenons
ont
que si
é1éments subséquents sont bon ordre,
aux complexes de sensations ment les
dans mêmeordre
de sensations.
oe succession tout
et
qui
est
ont
en fait
plus ta
précisé-
propriété parmi-
permutable.
du sujet
i1
y a mon corps
des indlvidus.
causare que nous
[lon attention
étant
fi-xée sur
que je r1ésire un éLément oui
ne
r-
1 0 2 .-
mrest pas conativement disponible la
production
tivement cela
d'un
disponible,
rusé [cunnlng
sphère causare d'infruence destructive
utiles, tion
et
dans la
qui sera suivi
et
s'appe11e I'acte
actlvité
dans I'imrcédiat;
é1ément antérieur
plus
actJ,
que d'un côté...
de lrautre
côté... (j')étenos de nouverles
par l'élément
désiré.
grâce à ]-ui je crée ,,une (:")
de choses qui- menacent
de choses capables
séquence qui m,est conatard
et
al,ors j'effectue
protège par une
des séquences causales
par une actlvité
de construc-
séquences causares utir-es,,
(ceu,p. 48tJ. 11 est
évj-dent que dans ma sphère causale d'infl-uence
des individus lors
et
stinstal]e
que par.conséquent une sorte
Conscience passe à la le
langage et la
j'agis
r l € l r r r r r r ; r é r ni .t. , - ,r - . r . : i . ri' .r,-,rl i r r i d u s , e t 1 a
phase sociale
science.
principales
où les
activltés
La Conscience passe d,actes
causals. En premier lieu
"dtune manière économe et
ir
séquences causales coopératives" est
avant
tout
basée sur
une manière de généraliser
les
fait et
rt
catalogue l-es vastes
mathémati-ques qui
et universaliser
incommunicable. car cela
de différentes
s'i1
un savoir
des individus brutes.
en un "trei-1lis
Brouwer ne reconnaît flty a pas dtautres
consiste
fié
est
(pluralified')
qui existe
p. 4Bs).
soritaire
très et en
L'organisation
coopérative
métaltique
wilL-transmission)
de trans-
(iulo).
de sujets.
r1
a pas non prus échange de
exposé sur le discusslon
est un jeu de dialectique d'un super-sujet
: une ren.contre plus
d'une pluralité
consciences, il- n'y
un monologue, et toute
thèse colLective tif
of
{wire-netting pas 1'existence
pensée. "En dehcrs de 1'âme, tout de l-a vie
dans 1'abstrait
uniquement au nlveau de I,interaction
conatives
d'une groupe d'indivldus de volontés"
essentiel-l-ement
donc fcrcément
ou moins harmonieuse des volontés
mission
qu:
groupes de
y a une phase soci-al-e de 1a conscience
se manifeste
activités
sont
librement
observées et
y a donc savoi-r, mais c'est
du langage,
actes coopé -
(cplt, p. 4F2.). La pensée scientifiqué
des groupes de séquences causales limitées.
les
de pensée scientlfioue
s'agit
efficace,
sont
causa1s indivi-
duels aux systèmes de pensée causal-s qui sous-tendent ratifs
se trouvent
conativement sur eux. Dès
collectif
i n d é p e n d a m m e n td e s s o i - d i s a n t
sers et I'essence sur 1'espri-t
dans l,arène
plurali-
de l,hypo-
apercevant un monde objecsujets
humains...,IcpM.
]i- 3. -
A y a n t e s o u i s s é l - e d é v e l o p o e n n e n t d e l - a C o n s c i e n c e , B r o u ' , r , e rs e demande t'si et beauté,
où, pendant et
1'entendement mutuel,
trouvés"
(CPM, p.4F3l.
qutil- n'y
exclu,
au bout d'un et l-'action
Ia vérité
est
chemin difficile
et
de la
constructionnel-1e".
abondamment... f
extérieur,
et
éclatée,
peut s'y
et
La ohil"osophie Ell-e est
conceptlon
crainte.
que dans les
intuition
Le sujet
et
ltour créer définies.
il
faut
faut
lutter
de toute
quten stisolant "...
"pluralité
hétéroc1ite"
faut
certains
construire sont
d'incertitude.
de toute
vers notre
libération
coopératif
et
des raplorts
désordonnée c o m m ed i s a i t
r-a réarité. imrédiatement 11 les
Les données
rassemble mal
contraintes
]a Conscience, 1a
Le monde est
triste
ne peut se libérer
responsabilité
et
mé-
de la
complètement
dans ce triste
dans ses propres
sagesse nous invite réversible
origi--
sur une
él-éments des séquences causales;
Le sujet
soripsistiquement
il- se peut que la
subjectif,
e n s e 1 { 5 _ ig n a n t à q u e l q u e s
pour survivre.
dépendance et
de profondément
rlen
bien que cela soi_t peu clair,
"détruire"
quel
n'imoorte
d'une foule
il
par consé-
qui remonte à Locke et à
échappe partieJ-lement au sujet.
f1
pas enchatné au monde
responsabilité;
p. 4F4I.
de ce monde percerrtuel
un monde tout
ir
assailli
par conséguent l-ibres
Car,
vol-onté, chant.
de 1aquelle
disnarates
n'est
bon idéalisme
est
une
rnomenta-
y a "r,a beauté
peuvent atteindre
de Brouwer ne recèle
percevant
trouvée{(ibi-dl,
ncus ]ibérer
mathématiques qu'el-l-e
et à la
de l-a perception
empiriste
pensée
"Dans la
de base des mathématiques est
finitude
b a s é e , c o m m et o u t
Brouwer, à partir
au sujet
sagesse se trouve
Plus impcrtant.
de clarté"(Cpt/,
désunie de sensations,
nar'ties
la
en soi.
im;-nisceret
quent ses harmonies introspectives
et
et
épanouissement... Iqri')
par 1à à ]a
degrÉ de richesse
pour savoir
dans ces domaines. L'entendement
de retraite
ce n'est
Laissée à un libre
Berkeley.
vérité
causales 1a beauté ne peut guère être
nément du désir
naf.
la
l-a
peuvent être
Nous avons d6jà vu suffisament
un aspect ludlque
fleurit
1a sagesse et
a pas beaucouo rl'espoir
mutuel- est
m ê m es i
après cet exode de f a conscience,
monde
constructions
à ncus tendre
participation
présup',osant une pluralité
:
patiemment
dans 1e cum.nerce d ' B s p r i t ' , ( c p i , r, i
1 0 4 .,?. 4A?).
conception elle
purement pragmatioue.
H u m é e n n ed e l a
prédit.
pour la
est
La science
causarité
Heyting
C o m m ed i t
, B, p. 3fO).
vie'(Heyting
a u x r n o n o l , o g u e s .S e u I e s ' 1 e s logique
elle
ter
et l-a vocation.
le
désir
Le langage sert
refuge
principalement
en dehors de la
Elles
fa contrain-
nous ramène vers 1a demeure profonde
Elle
pour la
Lutte
crainte,
1a
de Ia
vi-e; les
sagesse. La science
mathématj-ques sont
un
menant au sa1ut.
Philospphie
des mathématiques
En 1905, nous 1'avons vu, Brouwer publia apparaissent
Les prémisses de sa philosophie
oubl-ia sa thèse laquel1e
doctr:rale
sur les
1a première
apparaÎt
mathématiques. Je voudrais chapitre,
intitulé
des ratiomels
formul-ation
de base" pour arriver
ted"(FM,
no other
p. 51).
à partir
des unités
construction continus,
tandis
Dans le
of Mathematics".
than that
Dans ce chapitre,
des nombres négatif,s, des "intui-
has itself
which it
commentBrouwer conclut
par Ia simple ou
on a montré comment
e m p l o y é s c o m m ed e s n o u v e l l e s i1
sera expliqué
qui n'a
par conséquent 1a seule fondation
pourquoi
adnrises par f autre tentative
être
d'observer
intuiti-on
et
pas été construite
recherchée
unités.
pourquoi aucune mathé-
cette
sous obli-gation
1a
ou en construisant
des T, p r o c e s s u s chaque étape du des systèmes ccmplets
chap-tre,
des mathémati-ques doit
construites
juxtapositi-on,
matique ne peut exister manière;
construc-
sa (relconstruction
des mathérnatiques oeuvent être
de perception
qu'à
des
sur 1e pr-mier
à une concl_usion intitulée,'Mathematics
peuvent être
troisième
1'attention
des entiers,
des séquences du type(ù,
déjà construits
de sa philosophie
: "Dans 1es pages précédentes
fondamentales
dans 1equel
et 1a géométrie à partir
matter
Voici
des mathématiques parties
attirer
"The Construction
des irrationnels
can deal- with
un texte
généra1e. En 190?, il
fondements des mathématiques dans
d'abord
Brouwer esquisse 1a constructi-on
Ies
lutte
dans un moindre degré,
par l-à nous rapirrochent
Conscience et
une arme dans la
tions
basée sur une pas,
échappent quelque peu au miasme du monde pragmatique. des jeux poursuivis
de la
est
"une arme dans la
mathématj-queset
ont I'aspect
est
est
elle
n'explique
; elle
intuitivement
dans une telle
de
possible
ccnstruction
attentivement
quelles
quelfes
sont pas; et pourquoi toute
ne le
constructions
d e f o n c l e m e n te s t v o u é e à 1 ' é c h e c " ( F M , p . 5 1 s J .
sont
de l-a philcsophi-e intuit-i,nrf,isteest
L'essentiel
mathématique ntexiste
ne peut par conséquent I'obtenlr purement logiques. intuitives
0n part
del'absolument certain
immédiates et transparentes.
p.6).
ccrrectement.
car oui,
vide
intell-ectuel,
tranqui"lle
de f
intuition
on se laisse
par des principes
logiques
de plus fondamental à ]a pensée scientifj-que
les
fonder
expllcitement
sur autre
Ce noyau de fa =^:endu, l':n
:=:tées F:ur
ni
philosoohie
Au cérart
un écrit
suc'osées
tardif
publié
De ces axiomes on déduisait
emplcyant li-nguistiquement
par la les
très
de constructions principes
ne
blen
schÉmatique ac-
sont admlssibles.
intuitionistes Background,
de princlpl-es
en 1gS2.
observationnelles.
on
du temps et de 1'espace, de 1a perceptlon,
percues conme absol-ur"ent invad'autres
perception
principes
de la
Cette période nbservatinnnelle
si-èc1e, quand due i
déri-
de base peuvent être
, "Historical
1es propriétés
ces ra.isoftrementsrl... guidés
l'étude
les
l-aisse ouvert
Etant
perceptions
en axiornes l-es propriÉtôs
(Hgt:, o.50gl.
mathéma-
dt,s mathématiques.0n
intuitionnrstt.
mathémati-ques étaient
d'observer
que les
de Brouwer font
immuables et indépendantes du langage et
en ér:geant riabLes.
les
écrits
logique,
exactement quels principes
l,ethcds of fntuitionism",
sreff3lç3it
les
importantes.
avec plus de précision
v:ir
à travers pour arriver
chose; el1es fondenttout.
pas encore quelles
3:':ur'.er regardons ar:
la
beaucoup de questions
ne sait
.."
mathématiques bien conoues. 0n ne peut rien
Plus ou moins explicitement et très
dit
faisant
guider
relatifs
tloues.
:eut
de mon in-
suffit.
trouver
ver tout,
soumise à
y a des mauvaises mathématiques, à savoir,
if
= une des contradictions
méthodes
commeL'a
Les bonnes mathématiques sont fondées en les
cel-les où s'éloignant ie
eLle aussi,
j-ntuitj-vement tout.
Je contrô1e directement,
on
: mes r:erceptions
chaque étape est
Heytingtr. . . une conscience scientj_fique [i,
Un objet
construit;
par 1'absurde ou d'autres
ra survei-11ance, immédiate et transparente tuition.
Ià.
que dans 1a mesure où 1'cn l'a
propriétés
en faisant
mais en suivant logique
et
en
classique"
a duré jusqu'au lgo
1e découverte des géométries non-euc]idiennes,
de I'esDace perdait
sa place à côtp de celle
du temps oour
1 0 6 .-
devenir
une mathématique aopliquée.
Le succès oue rencontrait
moment-là 1a méthode logicr:-linguistique géométriques étroitement perception tisés
non-observationnels logique
et
en dével-oo:ant
amenait à des tentatives
mathématiques en dehors de toute
mathématique.
fl
s'agit
Russell
et Zermel-o. Para1lèl-ement certains
Qré-intuitir-rruristes "une attitude n'auraient raient
fait
cela
dépendre de la
étant
tuitinrnisne i nhérents
(Po:,ncaré, BoreL,
d'après
peano, Hilbert,
Erouwer 1'évoLution
elres
Deux actes
I es choses en place. ::lètement les
et
loin
dans leur
limites
essentiell,ement
tion
d'un
par 1a loqique
alinguisti-que
retenue par la
en étant de toute
qualité.
i]
et
dans 1a perceç.ld'un
cédant 1a place à l-'autre
l'une
1'on déporljlle
forme vide
cette
du substratum
communeà toute
deux-ité.
C'est
vide,
intuition
d e b a s e d e s m a t h é m a t i q u e s ' , ( H e R l ,, l p . S t l 9 s J .
qui
est f
Nous avons ici tique; ité et
on voudrait
construire
nous passons directement drainsi-de-suite.
communcette
fondamentales de 1'édifice avec elles.
forme
mathéma-
Du concept de deux-
aux concepts d'entité,
Cela nous suffit
"un déroulennent sans limite", tération
ce substratum
1es pierres tout
d'encors-uns-fcris
pour ce que Brouwer appelle
c'est-à-dire,
r
recon-
de l-'es-
]a désagrégation
mémoire. Si la
en particuli
théorique,
ayant son origine
restera
remettre
sont une activité
déplacement du ternps, c'est-à-dire,
r n o m e n tv é c u e n d e u x c h o s e s d i s t i n c t e s ,
1a logi-
de l'expérience
de 1' j-ntuitiorrrrsnre "sépare com-
nrathématiques j-ntuitiomistes
que les
prit
deux-ité
développement. Les
de ]a Conscience intuitiannrsbvont Le premier acte
in-
1es problèmes
dépendance de
mathématiques du langage mathématique, et
nalt
mais f,au-
des mathématiques. f
pour résoudre
ont outrepassé les
des phénomènesdu langage décrits
à maintenir
Ils
l-e continu,
aux mathématiques à ce stade de leur
que et du langage;
mais tout
cherchai-ent
et du langage.
pour clarifier
intervient
ou
mathématiciens
IHScU, p. S0gl.
i-ntuitivement
logique
mathématiques sont all"ées trcp
lntuitive.
Lebesquel
observationnel-1e modifiée"
pas cherché à fonder
de lier expérience
de systèmes formel-l-ement axioma-
d é v e l o p p é s p a r d e s g e n s c o m m eD e d e k i n f l , C a n t o r ,
Frege,
à ce
des systèmes
I'engendrement
d ' u n e s é q u e n c e d é n o m b r a b l - e m e n ti - n f i n i e
du type d'
par ré1ordre ô.
1, 1J
Les nornbres naturels, dlrectement
t'-ailhrilétique,
par l-'intuition.
en termes d'axiomes et termes d'intuition, propriétés Principe
de déductions
d'évidence
dont sont
logiques,
tible
des naturel-s.
que 1'artth*Étique.
introspective
euand il
s'appuyant
certain, faut
une certitude
des
lntuitionr:istes
sur le
aussi
inductif
cette
que dans Ie
absolue
contrô-
au-detà du fini
caractère
le
construc-
immédiat et
a1]er
pour engendrer des séquences infinies.
lrcgul"g
]es intuition;iscæen
d'inspection
prus
Rien n'est
une loi
pensent
pas un axiome mais une proprlété
n'est
lable
re1s,
et
dotées 1es nombres. Pour les
d'induction
rntroduisons
ncus sont donnés plus ou moins
Les mathématiciens classiques
nous
des natu-
1éga1ité
nous
cas de constructlons
finies.
On conclut
oonc que ce premieracte
.,a base des mathématiques icndamentales
de f
3ucune difficulté
sérieuse
:::s pl-us d'ailIeurs, 'teyting, r, p. 14). -enent historique :'est :u
: "une fois
induction
et
en possession
de la
récursion,
dans 1'arithmétique
Mais le
surtout
passage de "1a nature discrète, nombre dans le domaine 'combinatorial' " à "Ia
nature
continue
des mét'-odes
des nombres naturels, o u m ê m ed e s r a t i o m e l s , ,
problème posé par }e dévelop-
véritable
des mathématiques,
pour
nous ne recontrons
que dans cell_e des entiers
ie
::cueJ
d,intuitionnisnesuffit
aux lgo
qualitative
et
lgo
sièereç,
et individuelle
du dénombrement (arithmé-
, quantitative
et homogène des points :e I'espace (ou du temps) dans le domaine'analytique,,de la mesure -3écmétrique)" (Fraenkel and Bar-HiLlel, FST, p. ZirZ). Dans 1a thèse t-:;nnistesqu'il
de 1g0? Brouwer,
critiqua
t:onnlstementvalable
i
plus "...
tard,
comme1es soi-disant accepte l_e continu
re continu
ucntc par l-'intuition;
une constructi-on
créerait
intuition
pcints tuition
à partir en tant
de f
qu'individus,
mathématique
est
inconcevable
(de baseJ est
un continu
en tant
du type
qu'untcutr
neus était
pour lui,
une action qui mathématique (de baseJ ,tous. ses
incapable
cies ensembres dénombrables d'i-ndividus. avoj-r créé une échelle
qu'un tout
en tant
pré-intui-
c o m m ei n t u i _
drordre eui
et impossible. de créer
lvlais el-le est
autre
capabre,
de super;roser sur
f, ultérieurement
L'inchose oue
peut être
après
cerre-ci inversement
-
ltr8.-
considéré
cette f
conception
infini
rnesurable, et qui
c o m m eu n c o n t i n u
sur l'écheIle"(FM,
car très
"pré-intuitionniste'f
c o m m eu n t o u t
actuel,
complété,
nj-s au ban. ce genre de conception t ' cantor
est
lrinfini etre
potentiel,
de manipulerr
me une enti-té close
la
délaissé
des pcints
assez vjte concept de
étendu ou exrstentie] aux théories
est
de
pure,.nent intuitior:nistede
en devenir
ou constructif.
par exemple, 1a totalité
sur pied d'égalité
matrice
vi.te tout
essentrel-le
par une conception
remplacé
c o m m eé t a n t
question
est
p. 451. Brouwer semble avoir
r1 ne peur c o r : --r
des naturels
avec ses membres pris
individu-
el lement.
Donc, il tude;
ne peut ôtre
cel-a revient
ne peut être théorie
ncn plus
?amifiée
sur plus
nent
ccnstructi-ve;
de remoljr
simpl-e quIr1
ce qu'i1
sur toutes
c'est
le
fes
fal1ai.t
librement
ptrti
fa oossibilité
prernier
que la
é1Ément o,
liberté
d'un p"ul-térieur,
durables
plus
tions
être
restrictives,
qui
sujette
et encore
contraignantes
tandis
juste.
c,est
un
génération d'entités
forme de séquences procédant
sont choisis
plus cu moins acquj ses de
jcue éventuelrement à une restriction
o u m ê r n e1 ' a b o l i t i o n
que les
les
pour re durabLe
à des restrictions
que 1'on peut faire ainsi
troD
qui nous place sur la qui est
de la
dans la
de choix
pourrait
à partir
uftérieurs,
ou sur toutes
mathé'rati ques prÉalablernsnt
1es entrtés
. nl
de quantificatj-cn
condi_tion.
o.l, 1.2, . . . , dnnt I es ter-es
sorte
foi-s. Car"...
une mesure nositive-
une possibilité
mathématique de l'infini
: d'abord
de l-a
portant
rnathématiques du contjnu.
jamais avoir
séquences de naturels
mathématiques nouvel-les i.nfiniment
à la
1l
dénombrable de "nombres
fonctians
c'est
une certaine
reconnaît
"..,qui
les
ne peut
celle
toutacuantification
second acte de t'intuitlonisme
vole d'une théorie
telle
c o m m ed i s o n s
llals,
d e z é r o , ' I H B p l ,,l o . S 0 g l . Nj _ n o n - c o n s t r u c t i v e
séquences satisfaisant
acte
un axiome de complé-
constructiviste.
d'une théorie
qui rejette
inachevé et toujours
incapable
raison
dlf f érente
portant
d,accepter
d ' u n s o u s - e n s e m b l e d é n o m b r a b l - ed e s r é e l s
est
pour la
question
des tyoes
un système toujours réels"
question
à abandonner 1'attitude
choix
à d'autres
dépendre toutes des p.
n"
ces j,nterven-
eux-mêmes. des expei-
possibles
rr encesfutures ir1'rs
du sujet
créateur;
deuxièmement dans l_a
d'espèces mathématiques, c'est-à-dire,
buables
des propriétés
mathémati-ques préalablement
aux entités
attri-
acqui ses,
et
satisfai-
sant la condition que si elles s'appriquent à une certaine entité -athfm3f,iqus, e11es s'appliquent également à toute entité mathématilue
définie
être
comme éga1e à cel]e-ci
symétriques,
réflexives
:ues préalablement ':peIées
les
::ssibilité :ss
de construction
.: emier acte,
1a totalité
de I'intuition
-= i:rme
:--:-rn.
:'rtuitions
:= :J'
est
:::es,
mais une seule
i Ft' , i.
être
parle
ou
Ie
de Erouwer est phase sociale
dans la les
mathématiques en qualitative
considération
ies
la
répétition
éIément a priori
et
a prilori suffisant
y a plusinurs
0r ir
des nombres qui
de 1,inpriori
1'a
seul est
res:'mathématiques
peut servir
en science
dans
des
des constructions
d,après 1ui,
Uin-
possible
p. S3J. Comme
Brouwer restreint
mathématiques.
science
est (fU,
oes
est
mathématiques sont
dérivées
de Kant,
puisque,
de I'intuition
Les objets
séparés de la découverts.
temporelle
parle
mathématiques ne sont
géomé-
à tout
est
qu'e1Ie
dit
Heyting,
nrapporte
"ce qui
qui
caractérise
pas de vérité
mais s'occupe seulement des constructions
d'une
dès lors
conscience et indépendanLsd'el1e
comme 1'a
nathématj-que c'est :j.eur,
plus
Le temps,,
6tJ.
conscience.
:bjets
l-'esnèce
erocédant
encore chose"...
synthétiques
Donc, "Le seul
Mais qui de la
toute
communà toutes
toutes
C'est
proposi.tions
différence
à Ia fois
::nstruire.
icléa1iste.
temps et
temporelles
:l-.,rr c3nstruire
sont
1à, avec ce qu'apporte
tenir
dans laquel1e
pour Brouwer Ies
fJlais à Ia
de ratiornels
d u t e m p s : " L e p h é n c r m è n ed e b a s e . . .
du temps,
a priori
s'applique
Cet acte crée la
que 1e constructi-visme
pure (i.e.
"chose dans le
:-: Kant, -::::sitions
devant
mathémati-
intuitior,nistecomrne
Conscience que naissent
mise à part)
t-:rn simple
d'égalité entités
des bonnes mathématiques.
sans surprise
-'- développernent de la
:-x
infinies
ancré dans sa philosophie
-=rtu
les
1a propriété
du continu
Et Brouwer croit
0n notera
:=-sations
relations
éIéments de I'espèceD(HenU, p.Sl1).
librement.
:ren
: les
transitives;
acquises auxquelles
séquences convergartes
-l-ns
:-
et
sur le
activité pas oes doivent la
pensée
r n o n d ee x t é -
mentalesr (r,
p. gs],
'llrl
-
0u encore dans Ia
: "Toute affirmation 'J'ai ef€ectué
mathématique peut être
forme :
(Heyting,
p. 1g).
r,
conscience et,
1a construction
Les objets
mathématiqueè se trouvent
pour Brouwer au moins, nulle
on l-'a vu Brouwer adopùe une philosophie que 1e sujet
créateur
mathématicien
Le solipsisme
f'accepte.
plus,
qui
in
on pourrait
Pour regarder
le
L'idéalisme
subjectif
mathématique dont et
je
plus
d'un autre
pourrait En fai-t tes
objets
et
mathématiques.
propriétés,
pas existé
est-ce
vire
à ses perceptions,
pratiquent
les
de bon sens.
l_e sofipsime
-
le
eu'est-ce
qui
mathématiques intuiti6n*,sd'atténuer
de .l'idéalisme
affirmÉ
la qu'i1
concept drun nombre naturel"(I, de permanence peut être
t-lons mentares en les
fixant,
br:îteuse.
sont embarassantes,
une attitude vers
peut res
-,_: rncj.nsd'un coup de fcrce.
un rnondeobjectif
disons,
que 1'on
ses intuitions,
mathématique est amené;i dire
solution
qu'ils
dans mon esp.,i_t dans
conséquences inacceota[ùes
cette
oue
est-ce
propri-étés,
suctgérer qutune sorte
qu:,, peut
est-ce
pense pIus,
subjectif
que ceux qui
semble tout un objet
avant,
simplement ces problèmes ou essaient
que rleu notre
donc l_e de Brour,rer
Mais que devient
dans mon esprlt
rnathématicien ? Questions qui
r:xemple, HeytinçJ après avoir
l-'activité
Laissons idéaliste
des mathématiques qui
quand je n'y
prccurer
on voi.t
taisent
que ma1 les [-rar
limité
lui
est
de Brr:uwer veut que 1e mathématici_en l-es cbjets
n'auraient
Toute forme de I'idéalisme étant
qui
pas forcément
n'est
de 1a philosophie
du moins pour ceux qui entendent maintenir
sujet
une phi-
une théorie,
pri-ncipes,
découvre certaines
ccrnparer avec d'autres lresprit
par l,absurde
refutée
je construis
? si
ses propriétés
nrexisterai-ent
dire que.peu de monde
M a i s c o m m eo n s a i t
intersubjective
de mêmeirrécusable
lrobjet
faut
donc
côtÉ subjectif.
construiS e dans son esprit al-ors l-a valeur
sorte
donné son extrême invraisembl-ance, pour estimer
sollpsiste
telle
comme
cohérente, et
par l-'échec d'un de ses princioes.
toto
côté spéclfiquement
car
à lui-même.
phirosophique
de plusieurs
faite
dans 1a
ai11eurs.
solipslste,,de
cependant i1
étant
mène jusque là.
presque toujcurs refutée
part,
D'autre
ne pas dire losophie
qui veut.
part
se suffit
est une attitude
;:ossiblerqu'accepte
exprimée
A dans mon esprit,,r
nature
sub jective
faut"... p.
tant
bien
subjectif.
15].
reviser
oe quel-
11 semble
associée
sur papi-er (ioiaJ.
à nos construcAcceptera
Les écrits ce f
idéalisme
subjectif
:le lhilosophie :e fa valeur
de l-leyting i-llustrent
on est
notoirement
s:uvent
traÎtre.
-e suffit
peut-être
---ltnteévident -'exi-stence
1'axiome
on constate
:-:
une proposition.
emploient
? !'u, avait
découlant
les
autres
d'être
tranquil-pour
évident
Frege ccrnsidérait que 1'on
d'avis
Les uns acceptent
les
est
un
démonrre
de ses axiomes. D'autre
intuitlorristesdiffèrent
négation
:--'é:rème de 1'éventail
versa.
de compréhension avant
substantiels. la
l,rlais ce qui
pas pour vous et vice
que les
en plus
qu'une consci-ence scientifique
dit
naif
pour juger
"l'évidence"
mathématique. frr l_,évidence est
dtune contradiction
='-.:jets pourtant
de Brr:uwer. Dans ce genre
sur
d'une personne à 1'autre
variable
Heyting
pour accepter
ne 1'est
:art
accul-É à s'apouyer
d'une proposition
critère
-:i
philr:sophje
de la
problème dérivant
bien un autre
sur des
des constructions
pas, 1es uns acceptent
le
p a s . B r o u w e r l u i - m ê m e , c o m m el . ' c n
autres
à un moment donné accepté I'idée
du continu
c o m m ei n t u i -
:t\/ernent valable pour 1a rejeter par 1a suite. 5a conscience scienti--.ue n'était-elle pas tranqurlle ? Heyting a été amené à distinguer -.s'noins de sept degrés différents d'évidence [8, p. 316J.'y aurait- :lnc
des consciences
=^:'estement
sci-entifiques
pour ceux qui veulent
::-:es des particularités -':-ératiques le recours
ce n'est
plus
ou moins tranquj.lLes
discuter,
des individus, à 1a seule
sur
de 1a valeur
des propositions
"évidence'r subjective
pas une pure coincidence
?
des bases indépen-
est
que ces objections
exclu.
au subjec-
:-.:sre de 1a phj.losophle intuiticrniste6gBrouwer semblent être reprises '::-ieurs. Elles ont étÉ appliquées ri une autre forme de subjectivis-::;cuctifr à savoir, le positivisme. Ce1le-là faisait appel à 1'évi:€âte
certitude
"3es sensations
de nos sensations (cel1es
C o m m er e m a r q u e H e y t i n g : correspondent aux 'PrntokoL-
aussi.
de Bn:uwerl
des nositivistes... C o m m el e s p o s i t i v i s t e s , Erouwer accepte . =:t3"t :-Fae principe méthodologique la nécessité de partir de ce qui est i::ectement
observé et
immédiatement clair,
et
il- trace
1e ce matérie1 de base au même'endroit ou'eux"(B,
l-a frontière
p. 312).
Rien
a'ét-nnant
p a r e x e m p l e , H e y t i n g d é ç l i g r e r c o m m ed e t a alors de voir, '::taphysi.que, entendez mystification, tout ap,rel à une réaIité objeciive
en dehors des constructions
Rien d'étonnant remplacer a::rise
et
non plus
signification
de voir
mentales du sujet Oummett, tout
(I,
p.
f-Iz).
c o m m eL o c k e e t H u m e ,
et référence par Ia manière que nous âVot-ls que nous comprenons, ou de le voir s,étonner que lron
TL2.-
puisse
que notre
supposer
crètement observer,
Voulant
la
aux observations tes
réduisent
certitude
grands pans de la de parties
Fp. l-Fl.
Pour la
aux constructions
sol-ue, peut-on I'avoir,
f
eréduisaient
à partir
mentales
des sensaticns
amène 1a réjection
intuition,'risrreabr:utit
à la
des mathématigues. Du reste, pas plutôt
où n'est-elIe
périence
historique
indiquer
que nous ne disposons que de certitudes
chimérique
reratives.
arrive
rr
m ê m ec o n c l u s i o n .
est
dès lors
difficile
sophie qui nous fait
des parties
délaisser
collectif
que nous propose Brouwer serait
et
fertile
raison
de sa "consÈience scientifique
produites cela
placer crest
les
idée qu'un
tranquille",
et acceptées collectivement
frap3e
d'autant
plus
dominante dans les
derniers.
Le langage et
fications
plus ou moins utiles
sonnante
de la Conscience. Ils
jamais perdre de vue Ie alinguistiouesoui
la
(codifiée)
de la
vie
en
des théories
de toute
à
critique.
codifiée.
de toute
cette
idée
pensée est aux
ne sont que Ces ossi-
l-ibrÊç_spontanée et foi-
peuvent nous servi-r mais il
fond des choses : "...
dérivent
de l-a faillite,
de Brouwer des premiers
écri-ts
logique
vigoureux
que Les mathématiques
de 1a logique
des mathématiques comme fondement auto-fondé une thèse
?
jugement
intuitionnistetend
au-delà
de cet idéalisrne subjectif
sont indépendantes du langage et
au Soi d'autres
dans 1e temps et l-'espace.
que La philosophie
mathématiques intuitlor.rlstes
un corollaire
de I'acquis
ou mêmed'un courant
de pensée mathématique, puisse décider
com-
d'une ohilo_
un moyen, mais y en a-t-il
d'un mathématicien génial,
une épis-
solipsi-stioue
y a quelque chose de demesuré dans f
Il
semble
antérieures,
considérables
de 1'homme. Le "retour"
ao-
? L'ex-
de voir
m e n t o n p e u t s r a c c o m q s ç l e rd a n s u n c a s c o m m e d a n s L ' a u t r e
personnel
réjection
du déveJ-oppementde l-a pensée scientifique
de l-'ap1;ort des philosophes
scientifique
de
La certituoe
témolog r,e conséquente, riche à la
tout
m ê r n er a j . s o n , 1 e s i n t u i t i o n n i s -
Le positivisme
physique;
importantes
positivistes
absolue les
temporelles.
ce que no s avons pu c:n-
transcende
perceptuelles.
tout
introspectives
savoir
apprendre (et,
les
ne faut
constructions
de I' autr:-rjéroulement Iself-unfoldinql
r---l
ie
1'rntuitlon
de base, sont exactes
et vraies,
:résence
mêmedans Ia
oui
passer en revue ces ccnstructicns,
et
doit
suscelrtible
des signes
mémoire, mais 1a faculté
de faire
erreur,
linguistiques.
de l-eur
humaine de mémoire
est
m ê , n ee u a n c j e l 1 e
Doncr pour un esprit
en vertu
par sa nature sn]-licite
fimitée
l-e supcrrt
humain éouicé d,une
-émoire
illimitée, les mathématiques pures, oratiquées cjans 1a solitude et sans 1'emploi des signes linguistiques, seraient exactes. ^rais f 'exactitude serai-t perclue dans la communication rnathématique entre
les êtres humains avec une mémoire illimitée, j'autres moyens d'entendement que 1e langage "(vKL.
l:qique
:e langage, erreur.
serblant :€rver
en effet,
à savoir,
en raison
codification
on peut s'attendre
ctest,
-:eique,
de leur
le
tiers-excLu.
nature,
intacte
libres
-eurs
total plus
lar;-'crt JF,
i1s
mâis ils
du lest
beaux développements
p. 5o3).
sur si
spirituel
les
en
jamais
:,,...
réalité
pensÉe
a 1o r s ,
crj.ti ouer
que moi ?
par surite de l,:ffranchis-
rlant jr:ruissent les n'auront
à pré,
suffire de la
? Oui pr:urait,
slnt
pour un
de compte ne concernent
technlques,
base de que1le
dans
aussi
(ccdifiéeJ
utiles
et 1'exactitude
comme suj.t
des objets,
avec Les questions
::nstructions
en fin
logique
peuvent être
ne oeuvent
ra richesse
::t 1950 8rr:uwer se résumait
La
apparaissant
nous induise
Langage et
viciés;
oui
n,auraien.i.
rle Erouwer, du moins pour un princ-ipe
et encore moins de 1'Épuiser
cnnstructions
:3îent
des structures
à ce ou'ell-e
1tavis
de communicationr totalement
=:l'itaire -es
que la
n'étant
car iLs p.4431.
mathématiques...
probablement
jamais.aucun
Économiques ou politiques,' pcrurrai-t-on
critisuer
des
?
?-.cl:eio": I ' J o u s . ' a v o n sv u q u e d e i r u i s s a p r e m i è r e f o r m u l a t i o n 1a ohilosonhie - ntuitionnistede Brouwer se compose rje trois é1Éments essentieLs : --': riéalisne subjectif du type solipsistique, le rÉductic.nnisne nositi_ '-" stique,
et le constructivisme. Dummett affirrne que c,est le seu] s)'stème encore intact cle 1'épnoue hérnïque des chercheurs de fonde-ents des riathÉmatiques. Manifestement c'est inexact. gue reste-t-ir_ :l-:rs du système de départ ? pour Heyting, "seule 1'attitude soriosist-: oue' .. est j nessentielle or:ur sa (Brouwer') fondation des mathématiques',
]14. -
p. srzl.
[e,
9ardant
Heyting
ampute, donc, très
non seulement
subjectif.
11 est
mod6rément ]-e systènne en
l-e réductionnisne
vrai
rnais également f
que ce dernier
est
i-déalisme
organiquement
lié au que dans r-a mesure où 1,on estime prinrordiale r-a llossession de 1a certitude absorue, 1,on est poussé à réduire Le saréductinn:lsnÇ
voir
au contenu
en raison rejet
des parties
parfaitement
cultés
radicat
que soulève
de cette
cette
i1
est
sorte
certitude
difficire
et
le
absolue paraît
de voir
comment cn
réductir:nnisme.Les
de phil-osophie
sont
très
dlffi-
nombreu..es
pas comment 1es résoudre en dehors de leur le
Cependant
amène au
évacua_
sol-i-psisrne.0n constate que cette
philc-
que peu dradhérents.
Pourtant
j-ntuitiannlstes
1es travaux
nuent bon traln
et
A quoi cela peut-i1
suscitent tenir
un intérêt
si
ce n'est
mathématique du constructivisme Heyting
qui
conception
reconnues comme valables Cu savoir
subjectif
c'est-à-dire,
scPhie n'a
de 1a ilonscience.
donné que la
étant
I'idéalisme
totale,
non-réfLéchi
chimérique,
l-'on ne voit
tlon
et
généralement
humain, et
peut retenir
et
immédiat
du caractère
collectif être
et
et
d'autres
? rl
intulti:rrnlstæ
par Brouwer ccnti-
lancés
mathémati-queet
logique
rée1.
philcrscphique et
à I'intérêt
me semble clair
que mêmepour
pour Heytingl mathématiques sont des constructions mental-es. Troelstra pense de même : r'L'objet de I'intultionnisùeoourrait être décrit en premier lieu comme'la pensée mathématique constructive' " (pI, o.2) (c,est moi qui souligne'). Mental d'accord, mais ce qul compte avant touç c'est que }es objets mathématiques soient constrults et non pas simplement imposés par 1a rigueur des lois logiques. 11 n,y a aucune c'est
là
l-'essentiel_.
les
nécessité
logique,
Kreisel aspects
de f
négatlf
qui
ensemblesJ et constructi-on basantsur "théorie
du reste,
à ce qu'une construction
semble adopter intuitionisme rejette
une tel-le
1e réalisme
un aspect positif et
cette
conceptuel
abstraite
car i1
de Heyting); Ittréorie
f Kreise'r , FrL.
Kreisel- s'est
de cinstruction"
appliqué
qui oourraj-t
mental-e.
distlngue
deux
un aspect
classique
qui met en val-eur les
de preuve constructive distinction
attitude,
de Brou,,er {et
soit
des
notir:ns de p.
lggl.
se
È, dével-opper une
servir
d,interr:ré-
I l{i
:1tion
aux systèmes intuitionn:stes.[.]u
-lu,'rmett, Kreisel
rejette
.'arder rlte \''.i.,",
i'
i'aspect
ositif.
veau du constructivisne
reste,
négatif
c'est
placer
sans rejeter
com,le 1e remarque
de f
intuiti.onnisrepour
mais il
:ues intuiti
intelrigibles
sujef, -:nce
créateur ce n'est
(Dummett, Ef,
intérêt"
peut-être,
solipsi-ste
reste
que, si
au ni-
simplernent pas vrai.
1es nrathé-
que les
, a1ors, bien
onnj.sts soj-ent peut-être
largernent leur
ne
1es "mathémati-ques classiques".
Dumnett ne l-'accepte pas: "... -etiques classiques sont intelligibles
:ent
princical
I'intÉrêt
aussi,
mathémati
pour 1e reste
meis
11 ne faut
per-
e1les
pour 1e
p, 361).
être
ni
du
solipsiste
ni - --sitiviste pour voj-r un grand intérât subjectif à déterminer ce qui '=ut être effectivement ccnstruit en mathématiques et éventuellement :3 qui ne le :!:
peut pas,Même si
ne peut être
:=-a veut -:;ncdes r:aenkel:-:
dire
construit
construire
on construit.
l-'on est
cel_a reste ? rL
faut
déterminé à rejeter
0n peut regarder
c o m m eu n e c o n s t r u c t i o n
cénombrablernentinfini-
à partir
à 1'aide
avec quoi
=:: -:: -
a a r n m es p e c t r a f e et
les
ce dfgager
-:rtie
est
en fait,
pour tetle
et
n'accepter
point
voir
ou telle
d'une théori-e mathémati.quesans préjuger
]'ensem-
on peut
c o m m eu n e
graduées sel-on Ie
se donne, Ne pourrai-t-on
1e minimurn nécessalre
vide
opérations.
douteux et
est,
que
de ZermeLo-
de I'ensemble
de certaines
de possibil:-tés
moyens que I'on
qu'est-ce
ce
et avec quelles
l.'axicmatique
-':----er aussi que le principe d'induction --= ces nombres finis. Le constructivisme :::e
Et puis
vrai.
voir
tout
ici
de déun ef-
théori.e
de Ia valeur
oe ce
.. des différences parmi tes intuitionistes et ceux qui sont nroches '=-x. \'est-ilnas mieux d'y voir sirnplement différent.esnnssibilités - = :nnstructions -:
::::res
I1 '
et
que de voul-cir
légiférer
et
discerner
me semble que 1a philoscphj-e i_ntuj-tionnistede
.;a j:sne '::-'ssant,
des brevets
de mauvai_sesrnathrimatioues ?
s u Qj e c t i f
et
le
réductionnisme,
à un grand nnmbre d'rbjections
si-rnt sujets, oui
Brnuwer n'est
en orcrre
rend rnaLaisé leur
_
1 1 6 .-
Toute personne qui- accepte une ohilosophie
rétention.
nethématiques r ' r ê m ee e l 1 e ]'intérêt était
ne pourrait
qui
du constructivisnre
incontestablement
Ia
tlfdes res.
à un
psychologique
constructivister
de voir
profonde
rivales sienne
Ia
chilosophiques rées,
f
aussi
et
En ce qui
i-mportant
les
idéalisme
le
auJourd'hui
rrortant
tempéra-
propice
soit
rr
ce sont
toujours
cette tout
étroites
rÉalité
qu'el1,e;
Les retonnbéeei
bien
que libé-
de l-eur premiÈqui semble vi-
des mathématiques construc-
plutôt
ou 1e réductionnisme
que le
solipsi-sme,
positiviste.
Béférences
Dans le de I'auteur Brouwer et
texte
suivi les
chaque référence
du sigle
cas clairs
est
pour 1'écrit où Ie
na-
passage. Les
intactes
subsistent,
au
quelcr:noue,
sur une réal1té
que celles-1à.
des limites
à une phi-
deux soient
une valeur est
qui veut interdire
associés
évo]u-
constructivisme
concerne L'intuitionnismerce
systèmes formels subjectif
créative
caractère
permet d'éclaircir
peu intacte
du moins on peut 1'espérer,
goureux et
et
decell-e de Brouwer sont aussi est
1a vi-
sans aucun oou.e salutai-
du premier.
et mathématiques de toutes
re définition.
tives
qui
en un mur intransigeant
ou plutôt
le
comprenrlre,)utun certain
reconnaissance
Ses trare méri-
mais on ne peut admettre que les
une intuition
philosophies
sur
1e subjectivisme
1es mathématiques par exemple, s'ériger
ils
franchise,
de tel,l-e façon que reconnaître
l-iées la
et
l-ogique sont
vers
logicien.
a mis sur I'intuiticn
sur 1e subjectlvisme
porté
deuxième nÉcessite
qu'iI
à outrance
pas. On oeut
ne 1e sont
indissolublement
vrant
de la
Brouwer
eu un grand écho et marquée par la
est
L'accent
Mais son j-nsistance
losophie
ont
fnrmalisme
rnathématiques et
à outrance nent
logiques
des
oersonne
peut reconnaître
réaliste,
un grand mathématj-cien et
sincérité.
en opposition
réaliste toute
sous une fcrme ou 1'autre.
Sa pensée philosophique
gueur et
Par contre.
accepter.
adhère à une philosophie
vaux mathématiques et tent.
les
faite
en donnant le
sauf pour les
nom n'est
pas donné.
écrits
nom oe
l - i . . j
_: . t ' - \ ! e r , L . E . J . (cnl
l.E.J.
Brouvuer, collected
llorks,
Cam : North-Hol_Iand publishing rhy
and FounCaticns
€d. par A. Heyting,
Co.,
1g?S, voI.
I.
Arnster-
philosc_
of fu,tathernatics
ICer) Consciousness, philosoohy
and ],4athematics, in
fCwl .
pp. 480 -494
(orl
oiscours
finat,
(HAPU) Histcr:.ca1
Backgrcund,
tionisrn , in
(lnlr)
Life,
Art
(c.f),
in
iFr,') 0n the Foundations
rwl
and trlethods of f ntur-
in
(Cg1 ,op. l-lc.
af tiliathematics, in
, V J si s e n s c h a f t
I Volition,
Principles
(CWJ t e?. SOB-S1S.
and Mysticisrn,
r r " À Sl l ; i a t 6 r r . * t o
p. S03
f C W l, c i r . 1 3 - 1 0 1 .
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Kn:rurledge,Langage, in
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4::?4ZB
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