Analyse non standard

j ('f/;-
cp (z ) � f(0z) $ f/;(z) et De p lu s on

(3 1)

< c

.

a:

Commentaire : Au chapit re 1, on a m ontré qu 'une fon ction stan da rd fest int ég rable au sens de Riemann si elle satisfait la p rop ri été suivante :

3D �v(f) � 0 où D est un dé co upage de l 'inte rvalle [0, 1] et �v(f) l 'écart entr e les sommes par vale urs supé rieures et inférieures de f s ur ce découpage. Cette carac téri sation est t ri vialement équivalente à la s ui vante :

Ceci s 'éc rit enco re :

d'où,

par

t ransfe rt,

y•t� > 0 3'tcpE E 3'tt/J E E
J ('f/;- cp)<�.

On a donc le résultat su ivant : Theorème 3.3.2 (critère d'intégrabilité au sens de Riemann) So itE l'e nse mble d esfo nc tio ns e nesc alie r sur [0, 1]. U ne fonc tion standard f : [0, 1] --+ R est intég rable au se ns de Rie mann si e t seule me nt si :

y•t� > 0 3't

[4), [8)

ou

[19)

par exemple.

J (t/J- cp) <�.

(3.2)

3.3. INTÉGRALE DE LEBESG UE

43

On notera que cette caractérisation est très proche de la caractérisation 3 . 1 ci-dessus. Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Lebesgue, on n 'impose pas aux fonctions t/J et cp d 'être standard ni d 'encadrer effectivement f mais seulement de vérifier la double inégalité cp ( x ) :5 f(0x) :5 .,P(x) ,condition qui , aux points standard, s e réduit à l a condition cp ( x ) :5 f (x) :5 .,P(x) utilisée dans 3.2. Preuve : intégrabilité au sens de Lebesgue. Pour prouver qu 'une fonction standard est intégrable au sens de lebesgue si et seulement si elle vérifie 3 . 1 , nous nous bornerons à prouver qu 'une partie A de R est mesurable au sens de Lebesgue, de mesure nulle si et seulement si sa fonction caractéristique lA vérifie 3 . 1 , avec J lA = 0 . Le théorème en découle facilement . Soit 0 l'ensemble des intervalles ouverts de [0, 1] et soit A une partie stan­ dard de [0, 1] . La partie A est négligeable au sens de Lebesgue si et seulement si pour tout e > 0 on peut trouver un ouvert U qui recouvre A et dont la mesure I'(U) est inférieure à e. Ceci peut s'écrire :

Ve > 0 3J.J E 0 A C U et I' (U) < e ou bien encore par transfert, (i)

Nous allons montrer que cette propriété (i) est équivalente à la propriété

:

(ii) où lA est la fonction caractéristique de A. Ceci terminera la preuve car (ii) exprime précisément que lA est intégrable au sens de la carac térisation 3. 1 , d 'intégrale nulle. (i) => (ii) O n choisit pour t/J la fonction caractéristique de U . Si x E U , l'inégalité lA (0x) :5 t/J( x ) est vérifiée. Sinon, comme U est un ouvert standard , 0X ri U et donc 0X ri A , car ACU, d 'où lA (0x ) = O. (Ü) => (i) Soit V = {x E [0, 1] 1 t/J(.z:) ::f 0} et soit U = 5 {x E V 1 y :::: x => y E V} (cet ensemble est l ' ombre intérieure de V, voir l'exercice 5 . 15 ) . L'ensemble U est un ouvert standard donc si x est un élément standard de A, alors par hypothèse t/.• vaut 1 sur tout le halo de x, donc x E U . D'où , par transfert, A CU . Enfin on vérifie sans peine (exercice 5 . 19) que si une partie V de [0, 1] est une réunion finie d 'intervalles, la mesu re de son ombre intérieure I'(U) est inférieure ou équivalente à I'(V) . Comme I' ( V) = J t/J < e, il en résulte que I'(U) < e. 0

Exemples

:

Voici deux exemples d 'utilisation de ces critères.

CHAPITRE 3. LE PRINCIPE DE STANDARDISATION

44

1) Tou te fonction con tinue f : [0 , 1] - R es t in tégrable (au sens de Lebesgue) .

En effet il suffit, par transfert, de le mont re r pour une fonction stan­ dard. Soient f s tandard, et :c e t y deux élémen ts standard de [0, 1]. La continu i té entraîne : Soit e

>

0 3'1 '7

0 lz - YI < '1 =? 1/( z ) - f( y) j < e . 0 standard e t soit D un découpage standard d e [0, 1] V''e

>

0

>

=

:co
=

tel que, pour i = 0, . . . , n - 1 , on ait l zi+ l - :c; l les deux fonc tions en escalie r défin ies par :

tp ( :c ) -

_

t/1( ) -

_

:z:

{ {

1

< '1 ·

Soient enfin tp et 1/J

inf{!( z ) 1 :c E [z; , z;+ l ] } /( 1 )

pou r x ; :S: :z: :S: z ; +l pour :c = 1

sup {!( x ) 1 :c E [z; , zi + l] } /( 1 )

pou r :z:; :S: x :S: pour x = 1

Xï+l

Comme D est standard , si x E [z; , Xï+1] , sa partie standard 0X E [x; , x i+t ] et donc tp ( x) :S: f(0x) :S: t/J(x ) . Enfin , on a

J ( t/1 -
:S:

e

l::)

xi+ l - x; )

:S:

e.

2 ) La fonc tion caractéristique d e Q, pour x élément d e [0 , 1], !( x ) -

_

{

1 si x E Q 0 si x rt Q

n 'est pas Riemann intégrable mais elle est Lebesgue intég rable, d 'intégrale nulle. Mont rons que la p rop riété 3.2 n 'est pas satisfaite pour f(x) : si

J

Tout rationnel standard co rrespond à un indice n standard . Soient w :::::: +oo et '7 > 0 standard . On choisit pour tp la fonction en escalie r qui vau t 1 sur les intervalles [rn - 11/2 n , rn + '7/2n] pour lesquels n :S: w et qui vau t 0 ailleu rs . En particuli e r

D'o ù , pour tout e standard ,

J tp J (

17

� e/2 .

ESPACES MÉTRIQ UES

3.4.

3 .4

45

Espaces mét riques

Dans ce paragraphe nous considé rons un espace mét rique standa rd E ; la dis­ tance d : E - R+ sera donc également supposée standard . Il convient de p réciser quelques éléments de terminologie qui n 'ont été utilisés jusqu 'ici que dans R. On dit que deux éléments x et y de E sont équivalents, x � y, si d(x, y) � O. On dit qu'un élément x possède une o m bre ou partie s ta nd ard , notée 0x , ou enco re qu'il est presque s ta nd ard ( respectivement presque s ta ndard dans une partie A de E) s'il existe un standa rd de E ( respectivement de A), noté 0x, tel que x � 0x . On dit qu'un élément est li mi tés'il existe un élé ment standa rd y dans E tel que d(x , y) soit limitée. Enfin on dit qu'une p a rtie A C E es t p resque standard ( resp. limitée) si tous ses éléments sont p resque standard ( resp . limités) . La notion de pa r�ie limitée est l'équivalent non standard de la notion de p ar tie bo rnée . Moyennant ces p récisions, il est bien cl air que les caracté risations non stan­ dard que nous avons établies dans le cas particulie r de R, telles que la continuité ou la continuité unifo rme d 'une application , la conve rgence d'une suite . . . etc , se généralisent immédiatement aux espaces métriques standard. Par cont re, le fait que, dans R tout élément limité est p resque standard ne se généralise pas, comme l 'indique l'exemple suivant : Exemple

:

suite définie par

Soit 100 l'espace des su i t es réelles bornées et soit ( un ) E 100 la :

Un = où

{

0 si n "# w 1 si n = w

w

est un entie r illimité fixé. On a clairement d00 (un , 0) = supn>O !un - Ol = 1 . Donc ( un ) est limité . Cependant ( Un ) n 'est pas presque standard ca r si ( Vn ) était une suite standard équivalente , on aurait nécessairement, pou r tout n standard , Vn � 0 et donc Vn = 0 d'où, par transfert , Vn = 0 pou r tout n. Ceci est absu rde car dans ce cas d00 ( (un ) , ( vn ) ) = 1 n 'est pas infinitésimale. Theorème 3.4.1 (critère de convergence d'une suite d'applications) Soit Un ) un e s u i t e s t a n d a rd d ' applications de E d ans F {F, com me E, es t u n espa ce métrique stan dard). On a les équiv alences suiv antes : a) ( /n ) converge si mple men t vers f si e t seule ment si

Y't z Yn� +oo fn (x) � f(x) . b ) ( ! ) converge unifor mé men t vers f si et seule men tsi

Yx Yn � +oo fn ( x ) � f(x) .

CHAPITRE 3. LE PRINCIPE DE STANDARDISATION

46 Preuve :

a) Par définition , (/n) converge simplement ve rs f si et seulement si , pour tout z E E, limn-+oo fn ( z) = f (z ) . Par transfe rt il suffit que ce soit vrai pou r tout z standard, d 'où la cara.ctérisaton indiquée (théo rème 1 .2.3) .

b)

=>

De la. conve rgence unifo rme de (!n ) ve rs f , on déduit que

V'' e > 0 3N > 0 ['v'z E E n > N

=>

l fn (z) - /( z) l

<

e: ]

d 'où par t ransfe rt

V'' e: > 0 3'' N > 0 Vz E E [n >

N

=>

l fn (z) - /( z ) l

<

e: ] .

En particulier Vn � +oo Vz E E fn (z ) - f ( x) � O. b)

<=

On a.; par hypothèse :

V''e: > 0 3N Vx [n > N => l fn ( x ) - f (z ) l < e: ]. En effet il s uffit de choisir N � +oo. Il en résul te , par t ransfert q ue :

Ve: > 0 3N Vz [n > N => lfn ( z ) - f(x) l < e:] . 0

Les espaces mét riques qui , comme R, ont tous leu rs éléments limités p resque standard sont connus classiquement sous le nom d 'espaces p rop res . Rappelons qu'un espace mét rique est propre si toutes ses boules fermées sont compactes (et donc, dans le cas des espaces no rmés , s'il est de dimension finie) . Theorème 3.4.2 (caractérisation des espaces propres) So it E u n espace mé tri que st an dard ; E es t propre si e t seu el men t si t out é lémen t l imité de E es tpresque s ta ndard.

Ce théo rème est un co rollaire facile du théorème suivant : Theorème 3.4.3 (caractérisation de la compacité) Soit A un sous-ensem b le standard d 'un espa ce métrique stanàard E ; A est compac t si e tseu el men t s itout point de A est presque standard dans A.

Soulignons que cette caracté risation des partie s compactes (on peut diffi­ cilement rêve r plus simple) s 'étend san s modification aux espaces topologiques comme nous le ver rons au chapit re 4. Une nouvelle caracté risation topologique de la relation "�" nous se ra utile.

3.4.

ESPACES MÉTRIQ UES

47

Lemme 3.4 . 1 (caractérisation topologique de la relation "::=" ) Soit y un élément standard d 'un espace métrique E standard ; pour tout :z: E E, :z: est équivalent à y si et seulement si tout voisinage stan dard de y contient :z: . Preuve Soient Y l'ensemble des voisinages de y e t B(y, r) la b oule ouver te de centre y et de rayon r. =?

On a :

VU E Y

3r

>

0 B(y, r)

C U

Donc, par transfert, Vd U E Y

38tr > 0 B( y , r)

si d(:z: , y) ::= 0 , :z: E B (y, r) p �ur tout standard <=

Par hypothèse, :z: E B(y, r) pour tout standard r v• f r

>

0 d(:z: , y)

<

r

C U >

>

0 ; don c :z: E U .

O. Don c

r

d 'où d(:z:, y) ::= 0 0

Preuve : (du théorème 3.4.3) =?

Supposons qu'il existe un élément :z: de A qui n 'est pas pres que standar d . Comme au cun élément st andard y de A n 'est équivalent à :z: , en vertu d u lemme, o n peu t asso cier à ch aque standard y d e A u n voisi nage ouvert U, de y ne contenant pas :z:. Soit n le standardisé de l ' e n se mb le de ces U, . Par transfert , 'R. C T, où T désigne la topologie de E et 'R. est un recouvrement de A . Supposons qu 'on puisse en extraire un recouvrement fini 'R.' . On peut supposer 'R.' standard, par transfert. Don c 'R.' ne contient que des éléments stand ard de 'R., c'est-à- dire des U, . Or :z: n ' appartient à au cun U, , ce qui est absurde. Don c A n 'es t pas compact .

<=

Supposons à présent que tout élément :z: de A est presque standard . Soit n C T un recouvrement ouvert ( infini) de A. Montrons qu'on peut en extraire un recouvrement fini. Par transfert on peut supposer ce re cou­ vrement standard. Don c puis que V:z: EA

3U E T

on en déduit, par transfert, que

U E 'R.

et

:z: E U

:

Soit F = { U1 , U2 , U3 , . . . , Ur..J } une part ie finie contenant tous les éléments standard de 'R . On va montrer que Fn'R. est un sous recouvrement fini de

CHAPITRE 3. LE PRINCIPE DE STANDARDISATION

48

A. Soit z E A. Par hypot hè se 0Z E A. Comme 1?. est un recouvrement de A, il existe U E 1?. tel que 0:r E U . Par transfert (0z et 1?. étant standard) on peut su p p oser que U est stan d ar d et don c U E F. M ais comme U est un ouvert st an d ar d , on a également z E U. Donc F est un recouv rement fin i de A. 0

Exercices : a) Déduire du théorème p récéden t une caractérisation non standard des es­ paces métriques propres.

b ) Montrer que tout espace no rmé localement compact est prop re.

3.5

Exercices et problèmes

Exercice 3. 1 Soit é ::::: 0 posi tif et soit G = 5{n� 1 nEZ}. Vérifier que G est un sous groupe (standard) de R . Déterminer G lo rs que e = 1/q, avec q en t i e r premier , et lo rs que é = ljq, avec q f 2 ent ier premie r . Peu t-on chois i r é pour que G = ../2Z, G = Q, G = Q + ../2Q ?

Exercice 3.2 Soient e et 1J deux infinitésim aux positifs. Mont re r qu il existe une un ique d roite standard d 'é quation a:r + by = 0 telle qu e ( ae + bTJ)f>/a2 + b2 soit minimum. Mont rer qu 'il existe un uni que ce rcle standa rd passant par (0, 0) tel que sa d istan ce à ( e , '7 ) soit minimale. '

Exercice 3.3 Soient e et 1J deux infinitésimaux positifs. Mont rer que s 'il existe un polynôme st a nd ar d Qn de degré infé rieu r ou égal à n, tel que TJ - Qn (e) soit minimum, alors Qn est unique. Mont re r que si n' < n alors Qn' est le t ron qué d e Qn . Exercice 3.4 So ient e e t 1J de ux infinitésimaux p ositifs. Existe-t-il toujou rs ' un polynôme P( :c , y ) standa rd tel que P( e , '1 ) = 0 ? Exercice 3.5 (Unicité de la décomposition de Goze) Soit V un ve cteur de R 2 . Mont re r que s i V = Vo + é1 V1 + é 1 ! 2 V2 et V = Vo+éi V{+éi é2 V2 sont deux décompositions de Goze de V, alo rs il existe a, b et c standard tels que :

= =

ae1 + bé1 ! 2 Cê 1 é2 a V{ b V{ + cV2

Exercice 3. 6 (Désingularisation) Soit V un vecteur infinitésimal de R 2 , de composantes ( '71 t TJ2) ayant pou r décomposition de Goze V = é1 V1 + é 1 e2 V2 .

3.5.

EXERCICES ET PROBLÈMES

49

a) Montrer que l 'application L : ( e 1 , e ) 1-+ ( 771 , 77 ) est une transformation 2 2 quadratique standard de R 2 de l'un des types suivants :

L ( z , y) = (z , z y) ou L ( z , y) = ( x ( a + y) , x ) . b ) Montrer que si V #; (0, 0) appartient à la courbe (singulière en 0) d 'équation X3 - Y2 = 0 , la transformation L associée est du premier type et la préimage de V par cette transformation est un point de la courbe (non singulière en 0) d 'équation z - y2 = O. Exercice 3. 7 Montrer à l'aide de la formule non standard de l'intégrale de Riemann que, comme 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 , on a, pour tout z ,

Même exercice pour

J; t2 dt = x3/3 , sachant que

1 2 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6. Exercice 3.8 Montrer qu'une fonction standard f : [0 , +oo [ - R est inté­ gra ble sur [0 , +oo[ , au sens de Riemann généralisé, si et seulement si "'w :::::: +oo, co w "'w' :::::: +oo , Jrw' .., f( x) dx :::::: 0 . Montrer qu'alors f0 ! ( x ) d x = "(f0 x dx) pour n 'importe quel w illimité. Exercice 3.9 Soit f : E - F continue. Montrer, en utilisant les critères non standard , que l'image par f de tout compac t est compact. Pourquoi existe-t-il , pour ê :::::: 0 , des éléments dans l 'image par f(x) = exp(xfe ) de [0 , 1] qui ne sont pas presque standard (par exemple ezp( l /ë)) ? Exercice 3. 10 Montrer que si (un ) est une suite b ornée standard , alors pour tout w illimité , lim sup n-oo U n = "(sup { u 1 n E [w , +oo[} ) . En particulier ce nombre ne dépend pas de w . Exercice 3. 1 1 Montrer que s i u est une valeur d 'adhérence de ( un ) , telle que u = "(u.., ) avec w pair (resp . impair) , alors il existe une sous suite de ( u,. ) d 'indices pairs (resp. impairs) qui converge vers u . Exercice 3. 1 2 ( Théorème de Bruij n ) On appelle graphe la donnée d'un ensemble E et d 'un sous ensemble G de E x E. Pour k E N, on appelle k-coloriage de (E, G) une ap plication f de E dans {1 , . . . , k} telle que, pour tout ( x , y) E G, f ( z ) #; f(y) . Montrer que s 'il existe, pour toute partie finie F , un k-coloriage de ( F, Gn F x F) , alors (E, G) possède un k-coloriage. Exercice 3.13 Enoncer et établir un critère non standard pour la convergence uniforme sur tou t compact d'une suite standard de fonctions.

50

CHAPITRE 3. LE PRINCIPE DE STANDARDISATION

Exercice 3. 14 Montrer que si Un ) est une suite standard de fon ctions conti­ nues qui converge simplement vers une fonction non continue, alors pour tout w :::::: +oo, fw n 'est pas presque standard dans l'ensemble des fonctions conti­ nues muni de la métrique de la convergence uniforme. Donner un exemple de fonction limitée et non p resque standard dans cet ensemble. Exercice 3. 15 Soit

A une partie standard d'un espace métrique standard

E.

a ) Indiquer un critère non standard pour que A soit dense dans E.

b) Montrer qu'une application f : A --+ F possède un unique pro ol ngemen t f : E --+ F continu si et seulement si les images par f de deux éléments de A presque standard dans E et équivalents sont presque standard dans E et équivalents. Exercice 3.16 Enoncer et établir un critère non standard pour qu'une appli­ cation standard f : E --+ F soit p rop re , c'est-à-dire telle que l 'image réciproque de tout compact de F soit un compact de E. Exercice 3.17 Montrer, en utilisant les critères non standard que si E est compact et si f : E --+ F est b ij ec t ive et continue alors /- 1 est co nt i nue . Exercice 3.1 8 Soit 1 un ensemble standard d 'indices et (Ei ) e i une famille d ' es paces métriques standard . a ) Montrer que si un élémen t X = (x; );eJ de l'espace E = f1;eJ E; est standard alors ses composantes x; sont standard pour tout i stand ard. b ) Montrer que la réciproque est fausse. Exercice 3.19 (Un ultrafiltre non trivial "explicite" ) Soit w un entier illimité et :F = 5 {Ai wEA C N} . Montrer que :F est un ultrafiltre non trivial.

Chapitre

4

Ensembles externes et premier principe de p ermanence L 'un des progrès décisifs d e l'analyse non standard s u r les précédentes tentatives de construction du calcul infinitésimal est l'introduction des ensembles externes et par conséquent des principes de permanence . C 'est dans l'utilisation de ces nouveaux concepts qu 'apparaît vraiment l 'originalité de la méthode non standard .

4.1

Défi nit io ns et princip e d e Cauchy

Rappelons que nous q ualifi o n s d ' interne une formule exprimable dans le lan­ gage classique (ZFC ) et d ' externe une formule du langage non standard (IST) qui fait intervenir le nouveau prédicat "standard" , ou l'u n de ses dérivés tel qu 'infinitésimal ou limité . Par exemple la formule [a < e � 2a < 2e] est interne alors que la formule [a ::::: 0 � 2a ::::: 0] est externe. Comme habituellement en mathématique, on utilise en analyse non stan­ dard les formules pour définir des ensembles , comme par exemple

{xE R 1 lxi < e} ou {xE R 1 x ::::: 0}. Nous disposons donc, tou t comme pour les formules , à la fois d' ensembles internes et d ' e ns e m b les ext e rnes. Notons cependant qu 'un ensemble défini au moyen d 'une formule externe n 'est pas nécessairement ext erne comme le montre l 'ensemble {x ::::: 0 1 st(x)} égal au singleton {0} qui est non seulement interne mais standard. Comment fait-on dans ces conditions pour distinguer un ensemble externe d 'un ensemble interne ? En pratique on u tilise les règles suivantes :

51

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

52

Règle 4. 1.1 On appelle interne to u te nse m ble d éfi ni à l'aide d 'u ne formule in­ terne. E nparticulier, to us les e nsem bles déjà d éfi nis e nma th éma tique classique sont in te rnes. A ces e nse m ble s s'appliq u en tsa ns res tri c ti o n to us les th éorèm es c la s siq ues. Règle 4. 1.2 On appelle externe tou t sous e nsem ble d 'u n e nsem ble interne défi ni au moye n d 'u ne formule extern e, pour lequ el u n th éorème cla ss qi u e au moi ns es t e n d f éaut. Exemples : 1 ) Soit c > 0 (infinitésimal ou non) . Les ensembles suivants sont internes :

[1 - c, l + c]

{xE R 1 e:x 2::: 1}

{n/t 1 nE N}.

2) Soit e: > 0 infinitésimal. L'ensemble {x E R 1 x + c :::: x} est interne , et égal à R, bien qu'il soit défini au moyen d 'une formule externe.

3 ) L'ensemble hal (0) = {x E R 1 x :::: 0} est externe . En effet, s 'il était interne , il vérifierait le théorème classique : "toute partie majorée de R possède une borne su périeure" . Or c.ette b orne supérieure, a, ne peut être infinitésimale car 2a serait un infinitésimal strictement supérieur ; elle ne peut être appréciable c ar a/2 le serait aussi. Donc il met ce théorème en défaut. 4) L'ensemble O' N = {n E N 1 st ( n) } est externe. En effet, s 'il était interne, il vérifierait le principe de récurrence (car 0 est standard et st ( n ) implique st ( n + 1 )) et donc serait égal à N tout entier. Or ce n 'est pas le cas, puisqu 'il existe des entiers non standard. Exercice

:

Montrer que les ensembles suivants sont externes :

hal (x) = {y E R 1 y ::: x} O' l = {n E Z 1 s t(n ) } {n E N 1 n n 'est pas standard } Commentaire : IST et les "ensembles" externes A première vue, la manipulation des ensembles externes nous conduit iné­ vitablement à quitter le cadre de la théorie axiomatique IST, de Nelson . En effet, dans cette théorie tout comme dans la théorie classique ZFC, tous les en­ sembles, objets de la théorie , sont internes , ceux que nous qualifions d 'externes ne méritant pas, à proprement parler , le nom d'ensembles . En p articulier aucun ensemble externe ne peut apparaître comme une constante dans une formule de IST. Cependant on peut nuancer ce point de vue de la façon suivante : s1 nous employons, par exemple, une formule telle que

'v'x E R hal (x) n Q #= 0

4. 1 .

DÉFINITIONS ET PRINCIPE DE CA UCHY

53

qui n'est pas une formule de IST puisqu'elle contient la constante externe h al (x) ( ensemble des réels équivalents à x ) , nous la considérons simplement comme une abréviation commode de la formule

Vx E

R

3 y V6t ê > 0 lx - YI

<

ê

et

yEQ

qui, elle, est une formule ( externe) de IST. Plus généralement tout ensemble externe au sens de la règle ci-dessus étant défini au moyen d 'une formule externe de IST, il est toujours possible de remplacer une formule le contenant comme constante par une formule de IST. S 'il est envisageable avec ces conventions de manipuler des const a n t es ex­ ternes dans des formules de IST, les v a ri ables, elles, do iv e n t n écessaire m e n t être inte rn es. Par exemple on ne pourra pas, dans le contexte dans lequel nous nous sommes placé ici, quantifier sur des ensembles externes ou, ce qui revient au même, considérer des ensembles dont certains éléments sont externes comme par exemple l 'ensembles des parties internes ou externes de R ou l 'ensemble quotient de R par la relation =::: . . Notons que de telles constructions sont possibles ( et ont été envisagées avec succès ) si l'on se place, pour faire des mathématiques non standard, dans le cadre de la théorie des modèles . ( voir [4] ou [20] , par exemple ) . Par ailleurs , il existe également des présentations a.xiomatiques , qui formalisent la notion d 'ensembles externes ( voir Hrbacek 1 ou [12] ) . On vérifiera facilement qu 'il découle des règles ci-dessus que : Règle

4. 1 . 3

•

Se uls les e nse mbles inte rn es sont stan dard o u non standard.

•

Tout élém e n t d 'u n ensemble in tern e est i n t e rn e .

La manipulation des ensembles externes requ iert au départ une certaine vi­ gilance car ce sont des objets mathématiques qui à la fois ressemblent beaucoup aux ensembles usuels et qui pourtant n'en sont pas. Cependant, on découvrira peu à peu que ce sont bien souvent les ensembles externes et les principes de permanence qui sont la clef des raisonnements non standard originaux. Notations : On utilise les symboles suivants pour désigner quelques uns des ensembles externes les plus utilisés :

1

•

u N est l 'ensemble des e ntiers st and a rd ( ou limités ) .

•

hal (0) est l ' ensemble des réels infinitésimaux, appelé le

•

hal ( oo ) est l 'ensemble des réels illimités , appelé le

Hrbacek

(K .)

Non 1tandard 1et th eory Amer.

h a lo de

h alo de

0.

l'infini.

Math. Monthly 83 (8) 1 979.

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

54 •

G est l'ensemble des réels limités, app elé la galaxi epri ncipale.

•

A est l 'ensemble des r éels appréc ia ble s.

•

01 R est l'ensemble des réels standard ; plus généralement 01 E est l 'ensemble des éléments standard de E.

On a, par exemple, les relations ensemblistes suivantes 01 N= 01 R n N R = hal (O) U A U hal (oo)

:

Ge = hal (oo)

Exercices : a) Montrer que hal (oo) , G , A, 01 R sont externes . b ) On dit qu'une fonction est externe si son graphe est un ensemble externe. Dire si les fonctions suivantes sont intern es ou externes (e :::: 0) :

ft ( :r: ) h (x) = f ( :r: ) 3

{

_

-

{

=

:r: arc tg e

0 si :r: rf; h al (0) 1 si :r: Ehal (0) 0 si 1 si

:r:

:r:

$ 1 /e > 1 /e:

!4 ( :r: ) = ft ( e: :r: ) fs ( :r:) : [0, 1] - R /s (:r:) = 0X /6 (:r:) = m ax (h( :r: ) , 1 ) . O n peut s e demander d e quelle façon vont être utilisés les ensembles ex­ ternes , sachant qu 'on ne peut pas, à priori, leur appliquer les théorèmes clas­ siques. En fait nous disposons, pour manipuler les ensembles externes, de nouveaux outils, les pri ncip es d e p enna nenc e, dont nous allons étudier main­ tenant le plus simple, le principe de Cauchy. Nous verrons d'autres principes de p ermanence au chapitre 5. Principe 4.1.1 (Principe de Cauchy) 2 A u cu n ens em ble externe n'est interne. 2 C'est à

bleme nt ce

D.Laugwitz, l'un des nom de "Principe de

pionniers d e l'analyse non standard, que l'on doit proba­ C auchy"

.

Dans son cou rs Th e th eor11 of infinit e&im o. l& :

o.n int rod�&ction to n o n 1 t o. n d o. rd o.no.l1/&Ï8[9] , il écrivait notamment : "Among others, it

who sometimes used arguments of thefollowing type : if a certain property good for ali points infinitesimally close to a given Po then i t is valide through out a neighbourhood of Po " . Cauchy

was

holds finite

4.1.

55

DÉFINITIONS ET PIUNCIPE DE CAUCHY

Ce principe , trivial à première vue, est très utile dans la pratique parce qu'il permet d 'étendre la validité d'une propriété à un domaine plus vaste que celui sur lequel elle a pu être vérifiée. Ainsi, par exemple, supposons que l 'on ait établi qu'une propriété interne F(z) est vraie p our tout z � O. Alors , en vertu de ce principe, elle est nécessairement vraie également pour certains z non infinitésimaux. En effet , l'ensemble des réels vérifiant F est un ensemble interne qui contient hal (0) mais il ne peut pas coïncider avec hal (0) , car ce der nier est ex te r ne .

Theorème 4. 1 . 1 Soit (un ) une suite réelle. Alors (Un ) est de Cau chy si et seulement si (un) est convergente. Preuve : Par transfert, il suffit de montrer ce théorème pour les suites standard . Rappelons que, dans ce cas :

(un ) convergente <=> 3'tl Vn � +oo lun - l i � 0 (un ) de Cauchy <=> Ym � +oo Vn � +oo Un � Um . La partie directe du théorème est donc triviale. Pour établir la réciproque, il suffit de montrer qu'il existe un indice illimité w tel que Uw soit limité (dans ce cas (un ) converge vers 1 = � u.., ) ) . Or, l 'ensemble { n E N 1 lun - u... l :$ 1 } est interne et contient tous les indices n illimités. Donc, en vertu du principe de Cauchy, il contient aussi un indice n o standard Le terme correspondant Un 0 0 est standard (car la suite (Un ) est standard) , donc Uw est limité. .

Exercice : Quelle affirmation de cette preuve est mise en défaut lorsque le raisonnement est mené dans Q au lieu de R ?

Theorème 4. 1 . 2 S o i t f : R - R une fonction standard. S 'il existe w � +oo tel que f( x) � 0 pour tout .r illimité inférieur à w, alors limz - + oo f(x) = O . Preuve

:

Raisonnons par l'absurde. Si la conclusion est fausse, on a : Ve > 0 3(xn ) lim xn n

=

+oo et lf (x n ) l �

e.

Par transfert on a donc :

L 'ensemble { n E N 1 Xn :$ w } est interne et contient tous les n standard. Il cont ient donc aussi un illimité N , par le principe de Cauchy. Mais comme 0 x.v :$ w, on devrait avoir f(x.v ) :::::: O Or lf(.rN ) I � e, par construction. .

Le résultat3 suivant est passablement surprenant si on le compare à la carac­ térisation non standard de l'intégrabilité au sens de Lebesgue, théorème 3.3. 1 .

3 dû à F. BLAIS : L 'in t igrœle d e Loo• Preprint.

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

56

Proposition 4.1.1 Soit f : [0, 1] - R stan dard. S 'il e xiste n t des fonctions en e scali e r cp et t/J te lle s que cp (z) :$ f(0z) :$ t/J(z) pour tout z E [0, 1] et si J ( t/J - cp) � 0, alors f est constante. Preuve : On raisonne par l'absurde. Supposons la fonction f non cons­ tante. Alors il existe zo tel que tout voisinage V(zo ) de zo contienne un élément Yo tel que f(y0 ) ::1 f(z0 ) . Par transfert , on peut supposer zo , V(zo ) et Yo stan­ dard . Soient cp et t/J les deux fonctions en escalier telles que cp (z) :$ /(0z) :$ t/J(z) pour tout z E [0, 1] et telles que J (..P - cp) � O . Notons a = /(z0) et b = f (y0 ) . L'ensemble interne des r tels que sur l'intervalle Ir (zo) =]zo - r, zo + r[,

cp{z ) :$ a :$ t/J (z) contient tous les r > 0 infinitésimaux donc également , par le principe de Cauchy un ro > 0 standard . lr0 (zo) est un voisinage standard de zo donc on peut choisir Y o dans ce voisinage. M ais pour les mêmes raisons il existe également un voisinage standard V(yo ) de Yo , qu 'on supposera inclus dans lr0 (zo ) , tel que, sur ce voisinage, on ait :

cp(z) :$ b :$ t/J(x). Comme

a

et b sont standard ,

a

-:/:. b donc, sur V(y0 ) , t/J -

cp

� O . D 'où

J (..P - cp) � 0, puisque V(yo ) est un voisinage standard, ce qui est absurde .

0

Theorème 4. 1.3 Soit ( êi } i e i une famille interne de réels infin itésimaux (resp . limités). A lors supi E I ( êï ) et inf,er { êi ) s o n t i nfin it és im a u x (resp . limités). P reuve : L'ensemble des majorants de la famille interne (êi) est un en­ semble interne qui contient tous les réels non infinitésimaux (resp. tous les réels illimités) positifs. En vertu du principe de Cauchy, il contient aussi un infinitésimal (resp . un réel limité) positif. Le nombre sup ( êï ) sera donc in­ finitésimal ( resp. limité). On montrerait de même que le nombre inf ( êï ) est 0 infinitésimal ( resp. limité). Remarque : On peut se poser les questions suivantes : quel est l'équivalent standard de ce dernier énoncé ? Cet équivalent est-il un théorème classique en mathématiques ? O n trouve une réponse à cette question dans les oeuvres de P. du Bois Raymond, rep rises par G . H . Hardy4 • L'énoncé ci-dessous , par exemple , porte le nom de Lemme de du Bois Raymond : 4 G. H. HARDY Ord� r• of infi n ity, th e lnfinitircalc ul of Paul du B o is Raym o n d, Cam­ bridge University Press, 1 910.

4. 1 .

DÉFINITIONS ET PRINCIPE DE CA UCHY

57

Soit -< la relat ion d 'ordre partielle sur l'ensemble des fonctions de R dans R, définie par f -< g <::? limz-oo = O . Soit Un ) une suite de fonctions, croissante pour cette relation. Il existe une fonction g telle que, fn -< g pour tout n. Et si g est une telle fonction , il existe une fonction h telle que , pour tout n, fn -< h -< g .

�f=�

Les liens qui existent entre l e principe d e Cauchy e t c e type d 'énoncés classiques ont été mis en évidence par D. Laugwitz (9] . Corollaire 4. 1 . 1 Soient f et g deux fon ctions intégra bles de l 'intervalle stan­ dard [a , b] dans R, telles que f - g soit infiniÛsimale. A lors

Corollaire 4.1. 2 ( intégrale dépendant d'un paramètre) Soit f : [a , b] x R - R une fonction continue, ( x , t)" ...... f(x, t ) , et soit g(t) = f(x, t ) dx . Alors g est contin ue.

J:

Preuve : Par transfert , il suffit de prouver ce corollaire dans le cas où f (et donc aussi a , b, et g ) est standard. Donc, il suffit de montrer la continuité de g en tout point stand ard ta , plus précisément , il suffit de montrer que

v•1 ta

t ::::: ta :::} g ( t ) ::::: g(t a ) .

Comme (a , b] es t compact et standard, pour tout x E [a , b] , 0X existe et ap p ar­ tient à (a , b]. Comme f est continue (et standard) , on a, pour tout t ::::: ta et pour tout x E [a , b] , f ( x , t) ::::: /( 0x , t a ) ::::: /(x , ta). Don c

lb f(x, t) dx ::::: lb f(x , t a ) dx. 0

Exercices : a) Existe-il une fonction interne f : R - R nulle sur hal (0) et appréciable hors de hal (0) ? Même question en remplaçant nulle par infinitésimale .

b) Existe-il un infinitési mal dont le développement décimal est nul pour toute décimale de rang limité et égal à 1 pour toutes les suivantes ? Theorème 4. 1.4 (caractérisation des espaces complets) Soit E un espace métrique standard. A lors E est complet si et seulement si pour tout x E E, ou bien x est presque sta ndard, ou bien il existe u n standard r > 0 tel qu e la boule B ( x , r) ne con tienne aucun élément standard.

CHAPITRE 4. ENSEMBLES

58

EXTERNES

Preuve : =>

Supposons

E

complet et soit

z

un élément de

E

tel que

En prenant r = 1/n, on construit ainsi, pour tout n standard, une sui te de standard Yn tel que Yn E B(:r, 1/n). Ceci définit, par extension, une suite standard ( Yn ) n eN · Cette suite est de Cauchy car d(y11 , y9 ) < 2/p ( pour p < q ) . Donc elle est convergente de limite y et on a y = 0Yn , pour tout n � +oo. Or, {n E N 1 Yn E B(z, 1/n)} est un ensemble interne contenant tous les n limités . Donc il contient, par le principe de Cau chy, un w illimité et on aura d(y.., , :r) < 1/w � O. D 'où ; � y.., � y. Donc z est presque standard . <=

Réciproquement, soit (Un ) une suite de Cauchy standard. Pour tout p et q illimités, up � u 9 • Supposons, par l'absurde, qu 'il existe w � +oo, tel que u.., ne soit pas presque standard . Dans ce cas , on a par hypothèse :

Or { n E N d( u , u.., ) < r} est interne et contient tous les indices illimités , donc aussi , par le principe de Ca uc hy , un indice no standar d . Comme (Un ) est une suite standard, Un0 est un élément standard de E, ce qui est absurde. 0

Exercice : Vérifier que R est complet et que Q n'est pas complet . Montrer que 100 est complet. En considérant la suite u

_

n-

{ 01/n

si n $ w si n > w

montrer que l 'espace des suites nulles à partir d 'un certain rang muni de la métrique de 100 n 'est pas complet. Theorème 4. 1.5 Dans un espace m étrique standard toute partie interne limi­ t ée est contenue dans une boule standard.

Rappelons qu'une partie interne est limitée si tous ses éléments sont limités , c'est-à-dire à une distance limitée d 'un élément standard. Preuve : Soient (E, d) un espace métrique standard et A limitée. Soit z un élément standard quelconque de E. Comme

C E A

une partie est limité ,

59

4.2. ESPACES T OPOLOGIQ UES

Mais , comme d est une application standard, on a aussi d(y, z ) < +co . Donc d(x, z) est limité (inégalité triangulaire) pour tout x E A. Il en résulte que l 'ensemble des entiers N tels que A C {y E E 1 d( z , y) < N} est interne et contient tous les entiers illimités. Donc , en vertu du principe de Cauchy, il 0 contient aussi un entier standard.

4.2

Espaces top ologiques

Dans ce paragraphe on considère un espace topologique standard (E, T).Donc la topologie T est standard, mais, sauf si elle finie , elle contient à la fois des ouverts standard et des ouverts non standard. Par contre tous les ouverts sont internes et de même tous les voisinages. Définition : Soit aT l'ensemble des ouverts standard. Pour tout x élément de E, on appelle halo topo logiqu e de . x l'ensemble

Hal(x) =

n

zeUeT

U.

De même on appelle halo topologique d 'une partie interne Hal(A) =

n

A

de E l 'ensemble

U.

A C UET

Généralement, les halos topologiques sont des parties externes de E (sauf, par exemple, si T est la topologie discrète) . Par ailleurs lorsque E est un espace métrique , le halo topologique d 'un point x standard est égal au halo usuel, c'est-à-dire que l'on a, pour tout x standard , Hal( x ) = {y E E 1 d(x, y) ::::: 0} = hal ( x ) . En effet ceci découle de la caractérisation topologique de la relation ::::: (lemme 3.4 . 1) . Cependant cette égalité devient fausse si x n 'est p as standard. Par exemple , dans R muni de sa topologie usuelle, ]0 , +co[ est un voisinage standard de tout ë infinitésimal positif et donc - ë n 'est pas un élément de Hal(t) . De même U,. e Nln - � , n + � [ est un voisinage standard de tout w entier non limité et donc w + ( 1/../W) n 'est pas un élément de Hal(w) . Dans un espace métrique , il y a donc deux notions de halo, le halo topologique Hal( x) et le halo usuel (métrique) hal (x) qui coïncident pour tous les éléments x standard mais ne coïncident pas p our les z non standard. Il convient donc de ne pas appliquer aux halos topologiques l'intuition que 1 'on a du halo d'un point, intuition liée en fait à la métrique : le halo topologique d 'un point peut fort bien être non connexe (voir l'exercice 4.21).

CHA PITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

60

Exercice : Vérifier que, losrque x est standard , on a y E Hal(x)

=>

Hal(y) C Hal(x).

Don ner un exemple où l 'inclusion est stricte (voir l'exercice 4.6) . Theorème 4.2.1 ( caractérisation des ouverts) Une partie standard A de E est o uverte si et seulement si elle contient le h. a lo topologique de tous ses points. Preuve : =>

évident (mais faux si A n 'est pas standard) .

<=

découle facilement de lemme

sui vant. D

Lemme 4.2 . 1 Pour tout point x E E, il existe tel q u e x E V(x) C Hal(x ) .

un

voisin. age de x , n oté V(x) ,

Preuve : S i E = R (muni d e s a métrique us uelle ) et s i x est standard, il suffit évidemment de choisir pour V u n intervalle centré en x d e r ayo n r in­ finitésimal . D ans le cas général , on considère la relation binaire B sur l 'ensemble des voisinages de x définie par

B ( U, V) = ( U

::>

V).

Il est clair que B est concourante car si U1 , . . . , Un est une famille finie de voisinages de x l 'intersection des U; est encore un voisinage de x. Don c , par idéalisation , on en déduit qu 'il existe un voisinage de x , V(x ) , contenu dans D tous les voisinages standard de x, donc également, dans Hal(x). Exercice : Indiquer une caractérisation analogue pour les parties fermées , pour l 'adhérence, la frontière d 'une p artie. Corollaire 4.2 . 1 (caractérisation des espaces séparés) Un espa ce topologique E sta nd a rd est séparé si et seulement si V'' x E

E

V.t y E E Hal(x) n Hal(y) = 0 . .

Dans un espace topologique, on défini t , exactement comme dans R, la notion de point presque standard : x sera dit presque standard s 'il existe un standard y tel que x E H al(y) . Si l 'espace est séparé, un tel standard, s 'il existe, est unique. Dans ce cas , on peut définir l' ombre de tout point presque standard : c'est l'unique élément standard y tel que x E H al(y) .

OMBRE D 'UN ENSEMBLE

4.3.

61

Ceci permet d 'étendre aux espaces topologiques séparés l a caractérisation non standard de la compacité : un esp a ce topologiqu e st andard sép a ré est com­ pact si et s e u lement si tous ses élém e n ts son t presqu e st a n d a rd( théorème 3.4.3) ; la p reuve se généralise immédiatement. Grace à cette caractérisation , la démonstration du théorème suivant est particulièrement simple : Theorème 4. 2 . 2 ( de Tychonov) Un p roduit E =

TI; e r E;

d 'esp a ces comp a cts e s t

compact.

Preuve : Soient ( E; ) ï e i une famille standard d 'espaces métriques com­ pacts et soit E = Ti ï e i E; . L 'espace E étant muni de la topologie produit, tout élément standard y = (y; ) o de E a la propriété suivante : un élément de E , x = ( x; ) ; e i , appartient à Hal(y) si et seulement si, pour tout i standard, x; appartient à H al(y; ) ( sinon on peut facilement exhiber un voisinage ouvert standard de y qui ne contient pas x ) : Soit x = ( x ; } ; e J un élément de E. On a, pour tout i , x; E E; .Comme les E; sont compacts, et standard pourvu que i Je soit, les x; sont presque standard pourvu que i soit standard. On a donc :

En vertu du p rin c ipe d 'ext e nsion, on définit ainsi un élément standard de E y = (y;)ie i et , par construction , on a x E H al(y) . Donc x est un élément 0 presque standard . : O n notera la similitude entre la démonstration précédente et la démonstration classique qui utilise les ultrafiltres. L 'analogue de la carac­ térisation de la compacité est le fait qu'un espace topologique est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur cet espace est convergent et l 'analogue du lemme précédent est le fait qu'un ultrafiltre sur un produit est convergent si et seulement si toutes ses projections sur les composantes du produit sont convergentes .

Remarque

4.3

O mbre d ' un ensemble

On a vu au chapitre précédent comment associer à tout ensemble son stan­ dardisé. Cependant le standardisé n 'est pas toujours une réplique fidèle de l 'ensemble . Ainsi la droite d 'équation y = ex , pour e infinitésimal , a pour stan­ dardisé le point ( 0 , 0 ) , car c 'est le seul point standard de cette droite. L'ombre de cette droite sera quant à elle la droite y = 0 : on l 'obtient en prenant le standardisé non pas de l 'ensemble lui-même mais de l'ensemble légèrement "épaissi" . Dans ce paragraphe, comme dans le précédent, E désigne un espace topolo­ gique ou métrique standard.

CHA PITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

62

Définition : Soit A une partie interne ou externe d 'un espace topologique E. On ap p elle ombre5 de A, notée 0A, l'ensemble standard

Exemples :

1) L'ombre de la courbe d'équat ion y = z = o.

3 'z ,

t � 0 est la droite d'équation

2) L'ombre de l 'ensemble A = { z i E R 1 Zi = i/w , i = 1 , . . . , w } est , lorsque w est illimité, le segment [0, 1] tout entier . 3) L'ombre de la courbe linéaire par morceaux passant par les points de coor­ données (z i , zl), Zi E A est le segment de parabole y = z 2 , z E [0 , 1] . 4) L 'ombre d 'une géodésique de pente irrationnelle sur le tore plat est le tore tout entier ( voir l'exercice 5 . 17). Exercices : a)

Dé ter min e r

�] - 1 - t, 1 + t [) et �] - 1 + ' · 1 - t [) .

b ) Montrer que si A C B alors 0A C 0B mais pas né ce ss aire ment 0A C B, ni

A c 0B.

c) Montrer que l 'on a "(A U B) = 0A U 0B

m

ais pas nécessairement

Theorème 4.3.1 Si A est standard, l'ombre de A est précisément l 'adhérence de A.

Ce théorème est clairement équivalent au théorème suivant : Theorème 4.3.2 (caractérisation de l'adhérence) Pour toute partie standard A d 'un espace topologique standard et pour tout point standard x , on a : z

est adhérent à A

{::}

H al(z) n A '# 0 .

5 Cette ombre correspond, comme l'indique le théorème suivant, à un e o m b re e:rt érie ure.

On peut également définir une o m b re int érieure ( voir l'exercice

5.15).

4.3.

OMBRE D'UN ENSEMBLE

63

Pour prouver ces théorèmes, nous utiliserons le lemme topologique :

Soient A une partie interne de E et x E E un point standard. Si tout voisinage standard de x rencontre A, alors Hal(x) rencontre A. Lemme 4.3.1 (topologique)

Preuve : définie par

d u lemme 4.3.1. L a relation binaire sur les voisinages d e

B(V, W)

=

(W

:::>

V

et

V n A i 0)

x,

est concourante par hypothèse

(car l'intersection d'un nombre fini de voisinages standard est encore un voisi­ nage standard). Donc, en vertu du

principe d'idéalisation, il existe un voisinage

V C Hal(x) tel que V nA i 0. Preuve

du théorème 4.3.1.

:

DA

Pour prouver que

=

A,

il suffit de

montrer que ces deux ensembles ont mêmes éléments standard (puisqu'ils sont standard). Soit

x

un élément standard de

tout voisinage standard de de

x

rencontre A.

x

voisinage de

x

Réciproquement si

rencontre

A,

A.

D

Comme

Hal(x)

rencontre A,

rencontre A, donc par transfert, tout voisinage

x

est un élément standard de

donc, en vertu du lemme

4.3.1, Hal(x)

A,

tout

rencontre

A.

o

Exercice

:

Montrer le lemme précédent dans le cas où E est métrique en

utilisant le principe de Cauchy, à la place du principe d'idéalisation. Theorème 4.3.3 (théorème de l'ombre fermée)

Si A est interne, l'ombre de A est fermée. Preuve

:

Il convient de montrer que

Vx Hal(x) n D Ai 0

=>

Hal(x) nA i 0

Comme, par hypothèse, si V est un voisinage ouvert de

x,

on en déduit, par transfert, que

Donc

Hal(y) nA :f. 0 (car y E DA) mais comme Hal(y) CV (car V est nA :f. 0. On conclut grâce au lemme 4.3.1 ci-dessus.

et y standard), V Exercice :

Soit

A

=

U,t(n)B(O, 1 - 1/n),

ouverte de centre 0 et de rayon

r.

où

Vérifier que DA

=

ouvert 0

B(O, r ) désigne la boule B(O, 1). Pourquoi cette

ombre n'est-elle pas fermée ? On est tenté de voir dans l'ombre d'une partie une généralisation de la notion de partie standard d'un élément. Il convient cependant d'observer tout

l>'l

<JHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

d'abord que l'ombre d'une partie A e xiste toujours , que la partie soit presque standard ou non, et ensuite que cette ombre n'est pas nécessairement "quasi confondue" avec la partie A, comme 1 'indiquent les exemples suivants : Exemples : 1) Si A est le cercle de centre ( 0 , 0 ) de rayon

w

( illimité ) , alors DA= 0.

2 ) Si A est le cercle de centre (O,w ) , de rayon w, alors DA est la droite d'équation y = o. 3} Si A = [O,w[ alors 0.4 = R+ .

Précisons ce que nous entendons par quasi confondue. Nous dirons que deux parties A et A' de l'espace métrique E sont quasi confon dues si tout élément de A est équivalent à un élément de A' et réciproquement tout élément de A' est équivalent à un élément de A. Cette propriété coïncide, dans le cas p articulier des parties compactes de E, avec celle d'éléments équivalents au sens de la métrique de Hausdorff ( voir l'exercice 4.19) ; mais elle garde un sens si les parties considérées ne sont pas compactes. Rappelons qu'un espace métrique est dit propre si toute b oule fermée est compacte. On a le théorème suivant : Theorème 4.3.4 Soit E un espace mét riqu e propre. L'ombre de toute partie interne presque standard est quasi confon due avec cette partie. Preuve : Soit A une partie presque standard. Alors tout élément de A est équivalent à un point standard de hal (.4), donc à un point standard de DA. Réciproquement, comme A est presque standard, A est limité donc contenu dans une boule ouverte standard B(z, N). Donc 0A C B(x, N + 1) ( voir l'exercice 4.12). L'ombre de A étant fermée· et standard, il en résulte que la partie standard de tout élément de 0A est contenue dans 0A. Donc tout élément de 0A est équivalent à un élément standard de DA ou, ce qui revient au même, D de hal (A) et donc, en p articulier, équivalent à un élément de A.

Corollaire 4.3.1 Si E est un espace métrique propre, l'ombre de toute partie interne presque standard est compacte. 4.4

Exercices et problèmes

Exercice 4.1 Soit f: R --+ Rune fonction interne . L'image directe et l 'image récip roque d'une partie interne est interne. Pourquoi? L'image réciproque p ar f de hal (0) peut être interne ou externe. Donner des exemples. Trouver un critère pour qu'elle soit externe.

4.4.

EXERCICES ET PROBLÈMES

65

Exercice 4.2 Soit E externe et A( C E) interne. Montrer que le complémen­ taire de A dans E est externe. Exercice 4.3 Soit (An ) une suite interne de parties de R. Montrer que si An est strictement croissante alors Une�NAn est un ensemble externe . Exercice 4.4 Soit (un) une suite interne de réels.

a) Montrer que si, pour tout que u.., � 1 .

n

standard, Un � 1 , alors il existe

w

� +oo tel

b) E n déduire qu 'une suite, dont tous les termes d 'indice limité sont bornés par un standard, admet une valeur d'adhérence. Est-ce encore vrai si l 'on suppose seulement que tous ses termes d'indice limité sont limités ? c

) Montrer que si, pour tout n standard Un � 1, alors il existe que, pour tout n � w , Un � 1..

d ) Montrer que si, pour tout n standard que, pour tout n � w , nun � 1. e ) En déduire que si pour n standard pour tout n � w, Un� O.

Un

nun

� 1 , alors il existe

� 0, alors il existe

w

w

� +oo tel

w

� +oo tel

� +oo tel que,

Exercice 4.5 Montrer en utilisant les critères non standard que tout espace métrique compact est complet. Montrer que si E est un espace métrique com­ plet, une partie de E est fermée si et seulement si elle est complète. Montrer que tout espace propre est complet . Exercice 4. 6 (halos basiques) Soient (E, T) un espace topologique, 8 une base standard de la topologie T. On appelle halo basique6 d 'un point x , noté Hals(x), l'intersection des éléments standard de 8 qui contiennent x .

a) Montrer que s i x est standard Hal(x )= Hals(x). b) Si E = R et si 8 est la base des boules ouvertes pour la topologie usuelle

de R, montrer que , pour

x

� 0 strictement positif,

Hala(x ) = hal (0) n (0, +oo(. c) Si E = R2 et si 8 est la base des boules ouvertes pour la topologie usuelle de R2 , montrer que, pour (x , y) infinitésimal , on a :

y' y} Hala(x, y)= {(x' , y' )�(O,O) 1 -; � x

4Notion introduite par J.P. Reveilles:

Notes

aux

Une définition (1984).

C.R.A.S. 299, Série 14, 707-710

ezterne de /11

x

dimen�ion topologique

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

66 si

� est standard, et

y' Hals(x,y)={(z',y')�(O, O) 1 ' �!!.. z

z

et

y' (!!__o(!!_))( ' -"(.:_))� 0} z x z y

sinon . On notera que dans R2, on peut trouver des chaînes de p oints (M0, M1, M2) telles que Hals(Mo) ::> Hals(M1) ::> Hals( M2) alors que dans R on p ourra seulement trouver des chaînes (Mo, M1) ayant cette propriété. d ) Même question que c ) p our la base des rectangles, produit de la base usuelle de R.

Exercice 4.7 a

) Montrer qu'une application standard f d 'un espace topologique standard E dans un espace topologique standard F est continue si et seulement si , pour tout zEE standard , f(Hal(z)) C Hal(f(z)). Donner une caracté­ risation analogue pour une application ouverte, un homéomorphisme.

b) Indiquer et démontrer une caractérisation non standard des espaces régu­ liers (espaces où l'on peut séparer, par deux ouverts disjoints, un fermé et un point) et des espa ces normaux (espaces où l 'on peut séparer, par deux ouverts disjoints, deux fermés disj oints) . Exercice 4.8 On dit qu'une fonction interne 1{): [a, b]--+ R S-majore (respec­ tivement S-minore) une fonction f: [a, b]--+ R si l 'on a ,pour tout xE [a, b],

a) Montrer que si 1{) S-majore (resp . S-minore) une fonction standard/, alors 1{) est minorée (resp. majorée) par un standard. b ) Montrer que si 1{) S-majore f alors la fonction fonction J+= sup(f, 0) . c

1{)

+

=

sup(1{) , 0) S-majore la

) Montrer que si une fonction standard f satisfait au critère d'intégrabilité au sens de Lebesgue (théorème 3.3.1), alors il en est de même de J+ et , -.

Exer cice 4.9 On dit que deux fonctions ont même germe en un p oint, s 'il existe un voisinage de ce point sur lequel elles coïncident. Montrer que deux fonctions standard ont même germe en un p oint standard si et seulement si elles coïncident sur le halo de ce p oint. Exercice 4.10 Soit F un filtre standard sur un espace topologique standard E ne contenant pas 0 et satisfaisant les deux conditions

E (c'est-à-dire une famille de parties de i) X E F, Y E F::::? X n Y E F

ii) X E F Y

::>

X ::::? Y E F ).

On appelle monade du filtre F, l 'ensemble, généralement externe, p(:F) nxe ,.X , où tTJ=' désigne l'ensemble des éléments standar d du filtre. ..

4.4. EXERCICES ET PROBLÈMES a

67

) Montrer qu 'il existe X E :Ftel que X C J.' ( :F) . On notera en outre que la monade du filtre de Frechet ( parties de E dont le complémentaire est une partie finie de N) est précisément le halo de l'infini.

b) Montrer que p(:F) est interne si et seulement si :Fest l'ensemble des parties de E contenant une partie donnée ( i .e. :Fest un filtre principal ) . c) Vérifier que si :Fest le filtre des voisinages d 'un point x de E, alors

p(:F) = Hal(x) . Exercice 4.11 ( Sur les fonctions presque périodiques) A toute fonction f : R - R, on peut associer l'ensemble, généralement externe , de ses presque périodes P(f) = {rER 1 Vx ER f(x + r) � f(x) }. On dit qu'une fonction standard continue est presque périodique si et seulement si (4.1) 31 'ri x PU) n (x , x+ n # 0 a

) Montrer qu 'une fonction standard continue qui possède une presque période T appréciable est périodique de période T = 0T.

b) Montrer que la fonction f(x) = cos 21fx + cos ...fi:rxr est presque périodique et non périodique. c) Montrer que, si l'on note P(f, e ) = {rER 1 Vx l f(x + r) - f(x) l < e}, la condition (4.1) est équivalente, pour f standard, à la condition :

v•1e > O

3/ 'rix

P(f, e)n[x , x+l] ;é0.

d) Montrer que toute fonction presque périodique est bornée et uniformément continue. O n notera aussi que f est S-continue si et seulement si

P(f)

:::>

hal (0) .

e) En appliquant le principe de Cauchy à l'ensemble interne

l = {eER 1 'rix P(f, e) n[x , x+w] ;é0}, montrer que, pour f standard, ( 4.1) est aussi équivalent à :

'r/w � oo 'rix P(f) n [x, x +w] # 0 f) Montrer que ( théorème d e Bohr) f est presque périodiqu e si et seulement si l'ensemble de ses translatés {!(.+ a) 1 a E R } est relativement compact dans l'ensemble des fonctions continues pour la topologie de la convergence uniforme . Exercice 4.12 Soit B = B( x , N ) une boule ouverte standard d'un espace métrique E. Montrer que A C B n'implique pas 0A C B mais implique 0A C

B(x, N + 1).

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

68

Exercice 4.13 Soit w � +oo. Déterminer l'ombre de la courbe du plan d'équation z2w + y2"" = 1. Trouver les ombres des ensembles suivants :

{(z,y,z)ER3 1 z+y+z=1} {(z,y, z ) ER3 1 (z2 +y2) + z= 1}

{ (z,y,z) E R3 1 :r2 + y2-

1 w

z2 +-

=·

0 et

z

< 0}

Ces ensembles sont des surfaces lisses ( c'est-à-dire des sous variétés de classe C00) de dimension 2. Qu 'en est-il de leurs ombres? Exercice 4.14 Montrer que pour tout g � 0 p ositif, l'ensemble E(g) d éfi ni par

E(g) = {v'!

N

L exp(2 i11"e:n2 )

n =l

1

N

>

0 et NJ! < +oo}

a pour ombre la spirale de Cornu, image de R + par l'application

Cette ombre n 'est pas fermée. Pourquoi n'est-ce théorème de l 'ombre fermée?

pas

en contradiction

avec

le

Exercice 4.15 (Exemple s d'ombres de g raphes de fonctions) a) Soit w� +oo. Déterminer les ombres des graphes des fonctions suivantes ( la notation xfw} est définie p ar : xl"·) = x"" si x 2:: 0 et xlw} =-(-x)"' si x< 0) :

fi (x) =wx2 f4 (x) =sin xfw h (x) =exp -wx2 flo(x) = (x2)"'

h(x) = arctgwx fs (x) =wexpx fs(x) = s i n wx fu (x) =(x3 - x)!w]

h(x) =wsinx f6 ( z ) =exp wx /9(x) =sinwx + x2 !12 (x) =xfwl.

On observera qu 'une telle ombre peut être vide, non connexe ou même d 'intérieure non vide. (On a, en fait, le résultat suivant7 : Tout fermé standard de R2 est l'ombre d'un graphe de fon ction (éven tuellement non continue) deR dans R . ) b ) Tr ouver un polynôme ayant pour ombre la fon c tion lzl pour x E [-1,+1). c) Trouver une fonction C00 ayant pour ombre la fonction 21r-périodique définie par go(x) =+1 p our xE [0 , 1r[ et go(:r) = -1 pour x E [7r, 27r[. 7 Ce

résultat est dû à Bobo Seke

Strasbourg. 1981.

:

Ombre& de gra.phe1 de frmction& continue& Thèse.

4.4.

EX t·:tWICES ET PROBLÈMES

69

d ) Trouv•·r une fonction coo dont le graphe a pour ombre la réunion du pavé [0, JI x [0, 1] et des deux demi droites z = ±1, y 2:: g. e) Monf.r•·r qu'il existe un polynôme P est. 1·· pavé [0, 1] X [0, 1].

:

[0, 1]

---+

R dont l'ombre du graphe .

Ex ercic:" 4. 16 a)

Vérili••r que si E est un espace métrique standard, on peut aussi définir l'ou•hre d'une partie A de E par :

0A = 'h al (A)

(4.2)

b) Soit (1•:, T) l'espace topologique défini p ar E = {1, 2, 3} avec la topologie 7 . { 0 , E, {1}, {1, 2}}. Montrer que, pour A = {2}, 0A -f: 'H al(A), et qu" .le plus H al( A) n'est pas fermé. c) Carad•:riser les espaces topologiques dans lesquels (4.2) est vérifiée. Ex erci c:c• -1.17 (Ombre d 'un sous espace ve ctoriel) Soit \ un sous espace vectoriel de R", n standard. ·

a)

Mo n t. r<· r que OV est un sous espace vectoriel.

b) Mo n f. •• ·r que, si ( el, . .. , ep ) est une base de V, ( 0el, ... , 0ep ) n'est pas néc­ es11: .. rcment une base de OV.

c) Mont.11·r que 0V et V ont même dimension (on pourra utiliser des bases ort.h• 111ormées ). d) Que 1 .. ·ut-on dire de l'ombre d'un sous espace d'un espace standard de diuu·nsion infinie? Exercic:P 4.18 Soit P ( x) = L�=O a ; x i un polynôme standard (ret les a; sont standard) ..t soit Q( x) = L�=O a;x un polynôme tel que a; :::::: a; Vi = 0, ... , r. a) Mont.r..r que 0{:& ER 1 Q( x)

=

0} C {xE R 1 P ( x) = 0}.

b) Monf.r•·r que l'inclusion peut être stricte. c) Mon t. r<·r que tout zéro de Q est limité. Exerck•• ·&.19 Soit D la distance de Hausdorff de deux sous ensembles com­ pacts A ..t. A' d'un espace métrique ( E, d) ; on rappelle que D est définie par la formu k : D(A,A'l = max !sup{i nf{d(x,y) , yE A'}, x E A},sup{inf{d(x,y),x E A}, yE A' }}. Montrer

'lU<) :

1 J( :\,A') :::::: 0 si et seulement si A et

A' sont quasi confondus

70

CHAPITRE 4. ENSEMBLES EXTERNES

( en d'autres termes, dans l'espace métrique ('P{ E), D) des partie compactes de E muni de la métrique D, l'ombre d'un élément coïncide avec son ombre comme sous ensemble E). En déduire que si E est propre, l'ensemble des compacts de E ·muni de la distance de Hausdorff est également propre. Exercice 4.20 Soit E un espace topologique standard et ACE une partie in­ terne dense. Montrer que 0A = E. On désigne par "Q l'ensemble des rationnels standard. Déterminer "Q et "("Q ) . Exercice 4. 21 Montrer que, dans R , le halo topologique d"'un entier illimité 0 est non connexe : on pourra montrer que w + 1 n'appartient pas à ce halo et considérer la relation B(y, V) définie par

w>

V est un voisinage ouvert de

w

contenant y et y>

w

+ 1.

Chapitre 5 Principes de permanence Au chapitre 4, nous avons étudié un premier principe de permanence, le principe de Cauchy. Les mathématiques non standard disposent d'un grand nombre d'autres principes de permanence. Nous nous bornerons ici à en présenter quelques uns parmi les plus souvent utilisés et plus particulièrement les descen­ dants directs du lemme de Robinso n qui fut, historiquement, le premier.

5.1

Halos

et

galaxies : un cas particulier

Mais, avant d'énoncer ces p r in c i p es , nous allons étudier dans ce paragraphe certaines classes d'ensembles externes, que nous considérons pour commencer dans un cas particulier. La définition générale sera donnée au paragraphe 2 . Comme précédemment, on désigne par " N l'ensemble (externe) des entiers standard.

Définiti on : cas particulier Soit E un ensemble interne. •

•

Un sous-ensemble G de E est appelé une galaxie de E s'il est externe et s'il existe une suite interne (An)neN de parties de E telle que G = Uner NAn.

Un sous-ensemble de E ( interne ou externe) ayant cette dernière propriété est appelé une prégalaxie de E.

Exemples : •

•

"Net G

U ne- N[-n, +n] sont des gala.xies .. R+ =U ne"' N[n,+oo[ est une prégalaxie, mais n'est pas une galaxie. =

Exercice: Montrer que l'ensemble A des réels appréciables est une galaxie.

71

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

72

Défini ti on : Cas particulier Soit E un ensemble interne . •

•

U n sous-ensemble H de E est appelé un halo d e E s'il est externe e t s 'il existe une suite interne (An)neN de p arties de E telle que H = nne•NAn.

Un sous-ensemble de E ( interne ou externe ) ayant cette dernière propriété est app elé u n préhalo de E.

Exemples : •

•

N = {nE N 1 n:::::: +oo} et hal ( O ) = nne'N] -1/n,+l/n[ sont des halos.

{0}

=

nne ' N [ - n , +n] est un préhalo, mais n'est pas un halo.

Exercice : Montrer que l'ensemble h al { oo) des réels illimités est un halo.

Voici deux critères permettant de distinguer plus facilement galaxies et prégalaxies, hal os et préhalos. Proposition 5.1.1 G est u n e galaxie si ct seulement s'il existe une suite terne {An)neN strictement croissante telle que G = une'NAn.

in­

Preuve : <=

S 'il existe une telle suite An strictement croissante, alors G ne peut être interne. Sinon l'ensemble {n EN 1 An C G} serait interne également. Or il est précisément égal à "N, ce qui est absurde d 'après le principe de Cauchy. ·

::::}

Soit G = Une'NBn une galaxie. On peut supposer les Bn croissants. De plus, pour tout n standard, il existe p > n tel que Bn C Bp strictement (sinon G = Bn serait interne). On construit ainsi, par extension, une sous suite d 'entiers standard {neheN telle que Bn.. C Bn�<+l strictement et on a clairement G = unkE'NBnk. 0

Proposition 5.1 .2 H est un halo de E si et seulement s'il existe une suite interne {An)neN strictement décroissante telle que H = nne'NAn. Preuve : laissée en exercice.

0

P ropri étés : Voici quelques propriétés des halos et galaxies qui permettent d'en construire un grand nombre. Leurs démonstrations sont évidentes.

73

5.1. HALOS ET GALAXIES

a) Le complémentaire d'une galaxie (resp . d'un halo) est un halo (resp. une galaxie).

b) Un sous ensemble externe G d'un ensemble interne E est une galaxie si et seulement s'il existe une foncti on interne g : E - R telle que G = g-1(6). c

) Un sous ensemble externe H d'un ensemble interne E est un halo si et seulement s'il existe une fonction interne h : E - R telle que H = h-1 {hal (O)) . Exemp le s : Soient x un réel quelconque et ê > 0 un infinitésimal. •

On appelle €-galaxie de x l'ensemble :

ê-gal (x) = {y E R 1 (x - y)/ê est limi té} . •

C'est une g al axie strictement contenue dans hal (x) et qui contient stricte­ ment le ê-ha/o de x défini par : ê-hal (x)= {yER 1 ( x - y)/ ê � 0}.

•

Ce dernier ensemble est un halo cont enan t x, "p etit" comp aré à hal (x) mais "infi n i men t plus gros" que le ê-microha/o de x défini par : ê-microhal (x) = {yER 1 V''n lx -

•

YI< ê"}.

Enfin ce halo contient strictement la ê-microgalaxie de

x

dé fini e par :

ê-microgal(x) = {y E R 1 3'1n > 0 lx - yj < e1/(nc)}. En résumé, on a les inclusions suivantes : xE e-microga/ ( x ) C ê-microhal(x) C ê- hal ( x ) C é-gal (x) Chal (x).

Mais on rencontre également des halos ou des galaxi es qui ne sont pas aussi m icrosc opiqu es que les précédents : ainsi le halo H = hal ([- 1 , + 1 ]) = {yER 1

-

1 :5 °y :5 + 1 }

contient strictement le halo

H' = {y[eJ 1 y� 0} où ê � 0 et y[c] désigne yt si y ;::: 0 et st r ictement la galaxie :

-IYie

si y < O. Mais H' contient

A l 'u sage , on notera que les sous ensembles définis à l 'aide d'une propriété externe faisant intervenir (sans quantificateur) des adjectifs tels que limités, standard ou ap pré c iables sont, généralement, des galaxies alors que ceux défi­ nis à l'ai de d'une propriété externe faisant intervenir des adjectifs tels que infinitésimaux, illimités ou équivalents sont, généralement, des halos.

74

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

5.2

Enoncés des principes de permanence

Les énoncés ci-dessous vont mettre en évidence le fait que les deux classes d'ensembles externes introduites au paragraphe précédent, les halos et les ga­ laxies, sont essentiellement disj ointes. Proposition 5.2.1 Soient H un préh alo et G un e prégalaxie telle que G C H . Alo rs il existe un ensemble interne E tel que G C E C H. P reuve : Par définition , il existe deux suites internes (An) et (Bn) telles que G = Une'NAn et H = nne•N Bn. On peut supposer les suites An et Bn respectivement croissante et décroissante . Considérons l'ensemble interne {n E N 1 An C Bn}· Par hypothèse il contient O'N donc, par le principe de Cauchy , il contient également des entiers illimités. Soit w l'un deux. On peut choisir p our E l'ensemble Un$wAn ou bien o en core l 'ensemble nn$wBn.

De cette proposition et du principe de Cauchy, on déduit i mmédiatement le principe fondamental suivant ( dont nous donnons au paragraphe 2 la preuve dans le cas général) : Principe

5.2.1

(Princip e de Fehrele) Aucun halo n'est une galaxie.

Exercice : Montrer qu'un préhalo n 'est pas une galaxie et qu 'un halo n 'est pas une prégalaxie.

L 'une des formes les plus couramment utilisées de ce principe est le lemme de Robinson : Lemme 5.2.1 ( Lemme de Robin son) Soit (un) une suite interne de réels. Si Un ::::: 0 pour tout il existe w illimité tel que Un ::::: 0 pour tout n �w.

n

standard, alors

Preuve : On p ose Vn = maxp$n lupl· L'ensemble H ={nE N 1 Vn::::: 0} est un préhalo qui contient la galaxie O'N. Il la contient donc strictement, en vertu du principe de Cauchy s'il est interne ou du principe de .Fehrele s'il est 0 externe .

Voici une démonstration "directe" du lemme de Robinson, n 'utilisant pas le principe de Fehrele: P reuve

:

on p ose Vn = maxp$n lupl· On considère l 'ensemble interne < 1}. Il contient l 'ensemble O'N par hypothèse. En vertu du principe de Cauchy, il le contient donc strictement. Soit w E N n I avec 0 w ::::: +oo. Alors Vp � w lup 1 � v.., < 1/w ::::: 0 I = {nE N 1 nvn

5.2. PRINCIPES DE PERMANENCE

75

Exercice : Montrer que si f: R �Rest in fi n i tés imale pour tout que 0x < 1, alors il existe Ç, Ç� 1, tel que f(Ç)� O.

x

tel

Parmi les ensembles externes les plus courants, figurent quelques exemples qui ne sont ni des halos, ni des gala."
Proposition 5.2.2 L'ensemble C1R des réels stan dard n'est ni un halo, ni une galaxie, au sens des définitions ci-dessus.

Preuve :

a)

C1R

n'est pas un halo.

En effet , supposons par l'absurde qu'il existe une suite interne (An), s tr ictement décroissante tell� que C1R = n n � NAn, ou , ce qui re v ient E_ au même, telle que C1R = UneN-B, avec (Bn) strictement croissante et N = N _e1 N. Pour tout n E N, Bn est in tern e et contenu dans e1R, donc Bn ne contient que des éléments standard. Donc le cardinal c ( n ) de Bn est limité pour tout n E N. En vertu du principe de Fe h rel e, il existe donc un mE C1N tel que c ( n ) soit limité pour tout n � m. Mais comme C1R C Bm , il s'ensuit que C1R ne contient qu'un nombre lim i t é d'éléments s tand ard ; il est donc standard , ce qui est absurde (C1N = N ne1 R le serait aussi).

b ) 17R n'est pas une galaxie (au sens de la d éfi nition précédente, mais nous verrons que c'est une gala.xie au sens plus général ci-dessous).

En effet, supposons par l ' abs urde qu ' il existe une suite (An) s t ric t ement croissante telle que 17R = Une�NAn. Po ur tout n E C1N , (An) est in t e rne et ne contient que des éléments standard . Donc (An) contient un nombre fini d 'éléments, pour tou t n E 17N. En vertu du p rin cipe de Cauchy, il existe donc un m E N tel que Am n'a qu'un nombre fini d'éléments. Notons c ( n ) le cardinal de An. On peut construire une bije ction f de Am sur {O, . . ,c( m)} dont la restriction à toute partie An, n $ m , est encore une bijection de An sur {0, 1 , ... , c ( n )}. Elle induit une injection de C1R sur 17N qui se prolong e, en vertu du p r incipe d 'extension , en une application standard de R sur N, qui, par transfert , est ég alement une injection, ce qui est absurde. .

0

Définition : (cas général) Soient 1 et E deux ensembles in ternes . Un sous ensemble G de E est app e lé une galaxie de E s ' il est externe et s'il existe une suite int er ne (A;);ei de parties de E telle que G = U;erJA; où 111 es t l 'ensemble des éléments standard de /.

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

76

Les galaxies considérées au paragraphe 1 sont des galaxies pour lesquelles l 'ensemble d 'indice I est l 'ensemble N. L 'ensemble des réels standard uR est un exemple de galaxie au sens général . D éfini tion : (cas g én éral) Soient I etE deux ensembles internes. Un sous ensemble H de E est appelé un halo de E s'il est externe et s'il existe une suite interne (A;);EI de parties de E telle que H = r\e..IA où ul est l'ensemble des éléments standard de/.

Les halos considérés au paragraphe 1 sont des halos pour lesquels l 'ensemble d 'indice I est l'ensemble N. Les halos topologiques sont des exemples de halos au sens général. En terme de formules et non plus d 'ensembles , on peut caractériser les h alos et les galaxies de façon très simple : P ropriét és : Un ensemble défini par une formule externe F, c'est-à-dire un ensemble du ty pe {x 1 F(x)}, est une galaxie (res p. un halo ) si F peut se mettre sous la forme : 3'1i E I F(i, x )

(resp . V''i E

I

F(i, x))

où Ë' est une formule interne. La preuve est immédiate . Le Principe de Fchrele que nous avons établi dans le cas particulier au paragraphe 1 reste valable dans le cas général. En voici la preuve : Preuve : p reuve du Principe de Fehrele. On va montrer que si G et H sont respectivement une galaxie et un halo tels que G Ç H, il existe E interne tel que G Ç E Ç H. On conclut alors en utilisant le principe de Cauchy. Soient (Az)zex et {By)yEY tels que G = Uze .. xAz et H = nyE'l'By, et soit R(x,y) la relation définie par [Az C B11]. Puisque G Ç H, on a R(x,y) pour tout (x, y) standard. En appliquant le prin cipe d'idéalisation à la relation

F(Z, u)

=

[u E Z

Z C R et Z est un produit cartésien] ,

on en déduit qu 'il existe deux ensembles internes X1 et Y1, u X C X 1 C X , uy C Y1 C Y tels que R( x , y ) pour tout ( x, y) E X1 x Y1. Donc E = Uzex,Az ( ou E = n11ey,B11) est un ensemble interne tel que G Ç E Ç H ( On pourra 0 rapprocher cette preuve de l'exercice 2.10. Voir aussi [2]).

5.3. QUELQUES PROPRIÉTÉS SYNTAXIQUES DE IST

Quelques propriétés syntaxiques

5.3

77

de IST

Le principe de Fehrele indique que les halos et les galaxies forment deux classes disjointes d 'ensembles externes . On peut se demander s'il existe beaucoup d'autres classes et ce que sont les ensembles externes qui ne sont ni des halos ni des galaxies. En fait la situation est remarquablement simple, comme l'indique le théorème suivant :

Theorème 5.3.1 (classification des ensembles externe s) Tout ensemble externe E est de l'un des 9 types suivants : 1.

zEE<::? 3'tiE I

F(i,z) (galaxie)

2.

zEE<::? 'V'1iE 1

F(i,z) (halo)

3.

zEE <=?'V'tj E J 3'1iE 1 F(i,j, x ) où F est une formule inte:ne.

Exemple : L'ensemble {x ER 1 0 < 0X �1} est un ensemble du type 3 ci dessus, c 'est-à-dire ni halo ni g al a.'
F(x)=['v''1s>0 3'1r>O r<x
h 4 un exemple un peu moins trivial d'ensemble n'est ni un halo, ni une galaxie. Il s'agit du sous ensemble de R formé des r éels d é velo pp abl es en ê-ombres. Nous verrons au p a ra gra p e

externe qui

Le

théorème précédent es t une conséquence de l'algorith me de réduction de

Nelson do nt nous nous bo rn e ro n s à décrire brièvement le principe. Pour plus

de détails, nous renvoyons le le c teu r intéressé à l'article origi na l de Nelson [13]. Cet a lgo r i t h me consiste à rédu ire toute formule externe � d e IST à une i formule interne icp é qu ival ente au sens suivant : �et �sont équivalentes pour toutes valeurs standard de leur variables lib res . L'intérêt d e cet algorithme est qu ' i l permet d e traduire par u n e procédure a ut oma tique tout théorème ou toute définition externe en un théorème ou une dé fini t ion in te rne équi val ent, qui est donc standard si les constantes qui y fi g u­ rent sont standard. On peut en décrire les diverses ét a pes de la. façon su ivant e formule externe.

soit � une

1 . Re m pla ce r les prédicats externes t els que � . �. illimité , ... qui y fi gu re nt par des fo r mu l es de IST é qu i val en t es ; par exem p l e remplacer x � y pa r 'V'1r lx- YI < r .

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

78

2. Mettre la formule sous forme prénexe, c'est-à-dire déplacer, en respectant les règles usuelles , les qua n t ific ateu r s internes, V . . ou 3 .. , et les quan tifi­ cateurs externes, V' ' . . . ou 3'' . . . , en début de formule. La formule 4> s'écrit alors sous la forme

où les Qi sont des quantificateurs internes ou externes et � un e formule interne. 3. En appliquant le principe d'idéalisation, échanger l'ordre des quantifi­ cateurs de telle sorte que les quantificateurs externes soient regroupés en début de formule. En effet le p rinci pe d 'idéalisation peut être utilisé comme une règle formel le d échange des quantificateurs V'' . . . 3 . . . en 3 . .. V" . . . ou , pour sa contraposée, 3'' .. . V ... en V ... 3'' ... . '

4. En appl iquant le principe d e xtension , qui permet d 'éch an ge r deux quan­ tificateurs externes, réduire finalement la formule à la forme '

y•tx 3''y

F(x , y , . .. )

où F est une formule interne, l'un des quantificateurs ou les deux pouvant être absents. Cette formule est équivalente, par transfert , pour les valeurs standard des variables libres de F, à la formule standard

Vx 3y

F(x,y, . . .) .

Voici un exemple de réduction : Exemple : Choisissons pour 4> la formule

4>(!, x) = p a fonction f est S-continue au point x] qui s 'écrit 4>(/,x) = ['ty (y� x::? f(y):::::: /(x))]. Cette formule se transforme successivement e n :

1. Vy ( (V"TJ lx- YI< TJ) ::? (V''e lf(x)- f(y)l< e) ) 2. Vy V''e 3''TJ (lx- YI< TJ) ::? (1/(x)- f(y)l< t:)1 3. V''ê Vy 3''77 (lx- YI< TJ) ::? (1/(x)- J(y)l< ê) 1

On applique ici les règles (classiques) suivantes :

Règle 1

Règle 2

(A V:c B(:c) ) (v:c A(:c) => B ) =>

V:c (A B(:c)) équivaut à 3x (A(x) B)

équivaut à

=>

=>

,

p ar commutation .

5.3. QUELQUES PROPRIÉTÉS SYNTAXIQUES DE IST

4. '�P1€ 3'177 Vy (lx- YI< 77)

=>

(lf(x)- f( y)l < €)

,

79

p ar idéalisation .

Pour f et x standard, on obtient la définition usuelle de la continuité : Y€ 377 Vy (lx-

YI< 77)

=>

(lf(x)- f(y)l < e).

Exercice : Trouver l'équivalent standard du théorème 2.1.2 : Un ense mble est standard et fini si et seulement si tous ses éléments sont standa rd. (Voir [13) ; solution : Tout sous ensemble d 'un ensemble fini est fini.)

Voici à présent une autre conséquence utile de l'algorithme de Nelson, le prin cipe d 'extension généralisé: nous avons vu au chapitre 3 que si l'on sait associer à tout élément standard d'un ensemble E une image standard on a ainsi défini une application standard sur E tout entier ; c'est le principe d'extension . Nous allons voir à présent que si l'on sait associer a tous les éléments standard d'un ensemble E des images internes (et non plus nécessairement standard), alors cette application peut se prolonger en une application interne cette fois. Nous verrons un exemple d 'utilisation de ce principe au paragraphe 4. Princ ipe 5.3.1 (principe d'extension généralisé) Soit une formule F interne ou externe. Ona : V'1x 3y F (x,y)

{:::>

3jj V'1x F (x,y(x)).

Preuve : Seu le l'implication directe est à prouver, la réciproque ét ant immédiate. Pour cela, commençons par écrire F sous sa forme "rédu ite" par l'algorithme de Nelson c'est-à-dire sous la forme v•l v u 3'1 v F-( x,y,u,v)

où È' est une formule interne. Notre hypothèse s'écrit donc :

V'1:r: 3y V'1u 3'1 v F(:r:,y,u,v).

(5.1)

En utilisant successivement le principe d'extension , une simple commuta­ tion de quantificateurs , le principe d'idéalisation puis à nouveau le principe d 'extension, on tranforme la formule (5.1) en : V'1x 3y 3'1ii V'1u

qui équivau t à :

F(:r:, y,u,ii(u))

V'1x 3'1ii 3y V'1u È'(z,y,u ,ii(u))

qui équivaut à : n V'1:r: 3'1v y•l/i iu' 3y Vu eu' F(:r:,y,u,v (u ))

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

80 qui équivaut à :

On a donc, après commutation ,

3••v· v•tfiniul L• l'.l•t .,. 3y vuE ul Y

Y

"'

v "'• u))] F(• "'' y , u , ·(·

•

Comme tout élément d 'un ensemble standard fini est standard , la formule entre crochets implique, v et u1 étant fixés,

[V•tfini:c1 3ii VzE :c1 VuE u1 F(:c,y(:c),u,v(z,u))] On a donc établi :

3tv· v•tfiniul v•tf ini ....,.1 3y- v.,. E .,.1 vu E u l F (• y-(·) u v· (· u)) y

y

v ...

...

v

... ,

"'

1

1

... ,

•

Examinons à présent la conclusion à laquelle nous cherchons à parvenir . Compte tenu de l'écriture de F sous sa forme réduite, nous devons montrer :

3ii v••:c v••u 3'1v fr(:c, ii( x) , u, v)

(5.2)

En utilisant successivement le p rincipe d 'extension , une commutation de quantificateurs , puis le principe d 'idéalisation, on tranforme la formule 5.2 de la façon suivante :

3ii 3'' v(:c, u) v••x v••u Ë'(:c, ii( x), v(:c,u)) u,

qui équivaut à :

3'1v(:c,u) 3y v•tx V'1 u Ë'(z,y(z),u,v(z,u)) qui équivaut à :

3'1il(z,u ) v•tfiniz1 v•tfiniu1 3y V:cE :c1 VuE u 1 Ë'(:c,y(:c),u,v(:c,u)}. Or cette dernière formule est précisément celle que nous avons déduite ci-dessus 0 de notre hypothèse.

5.4

Applications

Theorème 5.4.1 Toute suite de fonctions con tinues qui con verge unifonné­ ment possède u n e limite continue. Preuve : Par transfert, il suffit de le montrer pour une suite standard Un)· En particulier f = lim nUn) est standard. Soient x standard et y::::: :c. Comme Un) converge uniformément vers f, on a, pour tout n ::::: +oo, fn(x)::::: f(x) et

5.4. APPLICATIONS

81

également fn (Y) � f(y) ( voir la caractérisation de la convergence uniforme au chapitre 3). Or l 'ensemble {n 1 fn(z) � fn(Y)} qui est , par définition, un préhalo, contient tous les entiers standard puisque les fonctions fn sont standard lorsque n est standard, et qu'elles sont continues, par hypothèse. Donc cet ensemble contient strictement la galaxie uN, en vertu d u principe de Fehrele s'il est externe et du principe de Cauchy s'il est interne . On en déduit qu'il existe w � oo tel que fw(z) � fw(y). Comme f w( z) � f(z) et fw(Y) � f(y), il en résulte que f(z) � f(y). 0 Theorème 5.4.2 ( cube de Hilbert) Soit l2 l 'espace des suites réelles de carré somma ble avec la norm e usuelle unl ll l = O::=o lunl2)1/2 L'ensemble C = {(un) 1 't/n � 1 lunl � �} est compact. •

Preuve : Il suffit de montrer que tout élément de C est presque standard dans C. Soit (un)E C. Pour tout n, Un est presque standard. On peut donc définir, par extension, une suite standard Vn, par 't/61n Vn ='Xun). Il convient de s 'assurer que d'une part VnE C e t d'autre part llun- vnll �O . Par construction, on a clairement pour tout n � 1 standard, lvn 1 � � Donc, par transfert, ( Vn)E C. Par ailleurs on a aussi :

Donc, par le Lemme de Robinson , il existe

w

illimité tel que :

Enfin, comme, pour tout n � 1, l u n - v n l � lunl + lvnl :S 2/n , on a :

D 'où 0

Theorème 5.4.3 (approximation dominée ,version "iutégrale") Soient f : R --+ R et g : R --+ R deux fo n ctions int ég ra bles telles que f(x) � g(z) po ur tout x limité. Su pp oso n s qu'il existe une fon c t i on standard h : R --+ R intégrab le telle q?te, pour to u t z, lf(x)l � h(x) et lg(.r)l � h(x). Alors J f � J g.

CHAPITRE 5. PIUNCIPES DE PERMANENCE

82

Preuve : La démonstration est t rès semblable à celle du théorème précé­ dent . Comme , pour tout ::: limité , /(::: ) :::::: g(z) , on dédu i t que fU - g) :::::: 0 pour tout p standard. Donc, par le lemme de Robinson, il e xis te w :::::: +oo tel que J�,.,(f - g ) :::::: O. Par ailleurs, puisque h est intégrable, limp-+oo �.ri > P h = 0, d 'où l'on déduit, puis q ue h est s tand ard , que , p our tout w :::::: +oo, �z l > w h :::::: 0,

If

Jlz: l >w

1

( f - g) �

1iz:l> w l/ 1 + Jiz:lf > w lg l < 2 1l z:l >w h ::::: O

Mais comme f U - g) = f�"' U - g) + �.r l > w U - g ) , i l en résulte que D

f U - g ) ::::: O.

Exercice : Le théorème précédent ne s'applique pas au couple de fonctions suivant : f(:z:) = 0 et g(x) = ex p - ( x - w)2 , w :::::: + oo , bien que g soi t intégrable sur R, d 'intégrale limi tée. Pourquoi? Tbeorème 5.4.4 (approximation dominée, version "série" ) Soient (an) et (bn ) deux suites réelles sommables te lles que On :::::: bn pour tout n � +oo. Supposons qu 'il existe une su it e réelle sommable (en) sta ndard, telle que, pour t out n :::::: +oo , lan 1 � Cn e t Ibn 1 � Cn . Alo rs

Preuve : Identique à celle du théorème précédent n

D

Exercice : Trouver deux suites (an) et (bn ) telles que an :::::: bn pour tout li m ité et telles que L n e N a n et LneN bn ne soient pas équivalents.

La preuve non standard du théorème suivant est dûe à O. Loos2 : Tbeorème 5.4.5 (théorème de convergence dominée de Lebesgue) Soit fn : [0, 1) --+ R une suite de fonctions, à valeurs positives ou nulles, intégra bles (au sens de Lebesgue) sur [0 , 1) telle que, pour tout x E [0, 1) , L�=l fn(x ) < oo et E:= l J ln ( ::: ) < oo. Alors f = L�=l ln ( x ) est intégra ble et J f = L�= 1 J fn •

Preuve : Par transfert, on peut s up p oser Un ) et donc f standard . Soit e > 0 standard. On associe à tout n s t andar d une fonction en escalier à valeurs posi ti ves ou nulles tPn telle que

(5.3) 2 A non atandard approach t o Lebe6gu e integral. Analyse non standard et Représentation du réel. Publications mathématiques de l'université Paris VII 27-35(1 989).

5.4. APPLICATIONS

83

et

(5. 4)

( critère d'intégrabilité pour les fonctions standard, théorème 3.3.1). En vertu du principe d 'extension généralisé, on définit ainsi une fonction interne n 1-+ 1/J,.. , de N dans l'ensemble des fonctions en escalier sur [0 , 1] à valeur positives ou nulles telle que 1/J,.. satisfasse les inégalités ( 5 3 ) et (5. 4) pour tout n < +oo. En vertu du principe de Cauchy, il existe w � +oo tel que (5.4) soit satisfaite pour tout n � w. Posons t/J = (1 + e) ( t/11 + + t/Jw ) et montrons que, pour tout z e [0, 1] , /(0x ) � t/J ( x) . Soit x E [0, 1] et soit a = 0X. Si /(a) = 0, on a bien f(a) = 0 � t/J(x). Supposons f(a) > O. Comme o n a pour tout n standard , f,.. (a) � 1/J,.. ( x ) , ceci reste vrai, en vertu du principe de Cauchy, p our tout n � w' , pour un w' illimité ( dépendant de x) que l'on peut choisir tel que w' � w. Par hypothèse 2::� �1 f,.. (a) � / ( a ) donc f(a) � ( 1 + e) 2::� � 1 f,.. (a) , puisque e et f(a) sont standard et strictement positifs. Donc

.

· ·

w

f ( a) � ( 1 + e)

'

·

w

L 1/J,.. ( x ) � (1 + e) L 1/J,.. (x)

n=l

n=l

=

t/J (x) .

D 'autre part, comme t/J es t une somme finie de fonctions en escalier,

d 'où

Ce dernier terme étant standard, on en déd uit q u e

:

Introduisons les notations suivantes :

1• f inf { 0 (! !;') J. f = sup { 0 (j ) =

5

5

V'

V' V'

Nous devons prouver que tout e > 0 standard

} fonction en escalier et Vx E [0, 1] !;'(x) � /( 0x) } fonction en escalier et Vx E [0 , 1] /( 0x) � V'( x)

r 1 = J 1 = E::l J f,.. . Tout d 'abord , on a pour

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

84 d 'où, après transfert ,

ln $ 1, ln � f l f (� ln) 1 (� ln) $ 1 1 $ 1• $�f ln

D e p lus, pour tout N , nulles. On a donc :

puisque les

'L:�=l

n=

sont à valeurs positives ou

1

=

D'où , en faisant tendre N vers l 'infini ,

f J ln $ 1 1 $ 1 • 1 $ f j ln·

n= l

•

n:l

0

Voici à présent, une brè ve présentation de la notion de développement en é-ombres , équivalent non standard de la notion classique de développem ent asy m ptot ique : D éfinitions : •

S oit ê ::j:. 0 infinitésim al. Un nombre réel a possède un développem e n t e n ê-ombres d 'o rdre k , k entier p ositif standard, s 'il existe k + 1 réels standard

•

a0 , a 1 , . . . , a �:

et un infinitésim al

tels que :

1:

Une fonction R n ---+ R poss ède un #veloppement e n ê-om.bres d 'ordre k, k entier positif standard , s 'il existe k + 1 fonctions standard lo (t• ) , Il (v) , (v) et une fonction q(v) infinitésimale pour tout v pres que standard telles que :

. . . , 1�:

l (v) = lo(v) + fl (v)é + •

"1

. .

. + /1: (v ) ê 1: + q(v) ê 1: .

Un nombre a ou une fonction 1 sont dit développables e n ê- ombres s 'ils possèdent un développement en é-ombres d 'ordre k, pour tout k standard.

Exemples : a) Si F est une fonction de classe C00 au voisinage de zéro, alors pour tout ê infinitésimal, F(ê) est développable en ê-ombres. b ) Le nombre a = .,fi n 'est pas développable en t.-vmbres . Il est développable à l 'ordre zéro m ais pas à l 'ordre k dès que k � 1 .

85

5.4. APPLICATIONS

c) Lorqu'il existe, le développement en e-ombres d 'un nombre est unique et ses coefficients successifs sont donnés par :

d) Par contre deux nombres distincts peuvent avoir le même développ ement a = 0 et a = e - l / � par exemple. L 'ensemble des nombres ayant le même développement en e-ombres qu'un nombre donné x es t précisément le e-microhalo de x.

Rappelons qu'une somme L n >O a n xn est app elée développement asympto­ ti que de F en série de puissances -de x si l 'on a, pour tout k � 0 :

Theorème 5.4.6 (développement asymptotique) Une fonction standard F : R - R possède un développement asymptotique en série de puissances de x si et seulement si , pour tout ê :: 0, t: =/; 0, F(e) est développable en e-ombres. Preuve : =>

Co m me F est standard , son développement est standard (unicité) et don c , pour tout k standard , L � = O a n xk est une fonction stan dard de x . En

vertu de la caractérisation non standard de limite, on a, pour tout k standard , équivalence entre

et

Ceci prouve que, pour tout k standard et p our tout développable en €-ombres jusqu 'à l 'ordre k . .ç:

t:

0, F(e) est

L 'hypothèse se traduit comme ci-dessus, par

Les a n étant standard pour tout transfert pour tou t k � O.

n

standard , l'égalité reste vraie, par 0

86

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

Exercice : Etablir la caractérisation analogue pour une fonction standard F(v, z), v E R n , p os sèdant un dé veloppement asymptotique en puissances de

z.

Lorsqu 'un réel a possède un développement e n !-ombres , o n peut lui as­ socier, pour tout k standard, des standard a 0 , a 1 , . . . , a�: , . . . et donc, en vertu du principe d 'extension, une suite standard (a n )neN· On peut s e poser la question de la réciproque : toute suite stan dard est-elle le développement en E-ombres d 'un réel au moins ? La réponse est affi r mative (exercice 5.12), e t o n p eut regarder l'ensemble ( externe ) des réels développables en !-ombres comme la réunion ( externe ) , indexée sur l'ensemble des suites standard , des é­ microhalos m(z), où m(z) est l e n se mb l e des réels ayant même développement en !-ombres que z. Cet ensemble est donc un exemple d 'ensemble externe de type 3 ( voir le théorème 5.3.1), c'est-à-dire ni halo, ni galaxie. '

Le problème de déterminer effectivement un nombre a ayant un développe­ ment en !-ombres don né n 'est pas toujours facile ; lorsque le développement est une série convergente, il suffit, de prendre pour a la somme de cette série. En effet cette somme est alors une fon ction analytique de é dont le développe­ ment considéré est le développement de Tay l or ; lorsque la série est divergente, on peut encore , dans certains cas, résoudre ce problème, comme le montre le théorème suivant : Theorème 5.4 . 7 (sommation à la Borel) Soit (a n ) une suite réelle standard. Supposo ns que : (i) la série L n e N(a n z n )/n! est con vergente e n z = 0 de somme

a(x) . (ii) /a fonction a( x) est p rolongeable sur tout R+ en une fonction C 00 telle qu e, pour tout k stan dard et tout b ;::: 1, ft e-6ta(l:)(t) dt existe. Alo rs le nombre a = J000 e-'a(ét) dt a pour développement e n ! - ombres Exemple : La série ( divergente ) L n e N (- 1 ) n n !tn satisfait aux hypothèses (i) et (ii) , avec a(x) = 1/(1 + x) . Donc le nombre a = J000 e-'/( 1 + ét) dt admet cette série comme développement en !-ombres . Preuve : On veut montrer que , pour tout k standard ,

5.5. EXERCICES ET PROBLÈMES

Comme, d 'après (ü) , a(x) est C'X> et standard, on a pour tout

87 t

>0 :

avec iJ E [0 , 1] . O n a donc:

Comme, d'après (i) , a(x) est analytique en x = 0 , a(k) (iJët) � a�: pour tout k et t limités, l 'hypothèse (ii) permet d'appliquer à cette dernière intégrale le théorème d'approximation d ominée. On a donc, p our tout k et t limités,

avec

1J

0

� 0, d 'où la conclusion .

Exercice : Montrer que , même si l 'on ne dispose que de l 'hypothèse (i) (et plus nécessairement de (ii)), il existe un réel T � +oo tel que le nombre n a = J T e - ta(ët) dt ait pour développement en ë-ombres la série L n an é .

0

Remarque : On trouvera dans [2] nombre de résultats non standard , plus fins que le t héorème précédent , concern ant la sommation des séries di ve r gent es .

5.5

Exercices et problèmes

Exercice 5.1 Montrer que :

E R 1 - 1 � 0X � + 1 } est un halo

•

H = {x

•

G = {x E R 1 - 1 < 0x < 1 } est une galaxie

•

H'

•

G' = { ( x , y) E R 1 lx yi
=

{( x , y) E R2 1 I 0YI � 1} est un halo

Que peut-on dire de l 'ensemble K

=

{(x, y) E R 2 1 x � 0 et y
Exercice 5. 2 Soit f : R2 --+ R standard et continue et soit C la courbe d 'équation f(x, y ) = O. a

) Montrer que hal (C) n 62 = { (x , y) E 6 2 1 f( x, y) � 0} .

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

88

b ) Soit ê� 0 strictement positif. A-t-on égalité entre les ensembles suivants :

U(r,y)ec ê - gal { x,y) et

{{ x , y)

1 1 /(x, y)/ E" I �

+ oo} ?

Exercice 5.3 Soient E métrique, A C E, x fi. hal { A) et B(x, ê) la boule ouverte de centre x et de rayon ê. Montrer que l'ensemble

{ ê> 0 1 B (x , , ) n hal ( A ) = 0 } est une galaxie. Exercice 5.4 Soit f : R - R une fonction standard. On dit que f respecte le halo de x (resp. les petites galaxies de x) si /(hal (x)) C hal (!(x)) (resp . pour tout ê� 0 , /(é- gal (x)) C é-gal { !(x))). Vérifier que l 'on a : a

)

f est continue si et seulement si elle respecte le halo de tout point presque standard .

b ) f est uniformément continue si et seulement si elle respecte le halo de tout point.

c) f est localement lipschit=ienne si et seulement si e l le respecte les petites galaxies de tout point presque standard. d ) Si f est dérivable, alors elle respecte les petites galaxies de tout point stan­ dard. e) S i f est strictement dérivable a u point x, alors elle respecte les petites ga­ laxies de tout p oint y� x . f ) Si f est d e classe C1 , alors elle respecte les petites galaxies d e tout point presque standard. Exercice 5.5 Montrer que les ensembles ,:.gal (0) et ê-hal (0) ont toutes les propriétés des sous-groupes convexes de R(mais pas celles des Z-modules ! ) , que hal (0) a toutes les propriétés d 'un idéal maximal d e 6 e t que donc le quotient 6/hal (0) a les propriétés d 'un corps. Ce dernier "ensemble" n 'est cependant pas un ensemble externe au sens où nous l'avons défini au chapitre 4. Exercice 5.6 Une galaxie convexe de R , ayant les propriétés d 'un sous groupe additif, est dite linéaire si elle est l 'image de la galaxie principale 6 par une homotéthie . Donner des exemples de galaxies linéaires . Montrer que si G s'écrit G = U nE;" N [-a n , an ] , alors G est non linéaire si et seulement si on peut extraire de la su1te (an ) une sous suite (b n ) telle que, pour tout n standard, bn+ l fbn soit illimité. En déduire que G est non linéaire si et seulement si

Vg E G - {0} 3g ' E G (g ' f g ) � +oo . Vérifier que la ê-microgalaxie d 'un point

x E R est non linéaire.

5. 5. EXERCICES ET PROBLÈMES

89

Exercice 5. 7 Soient A et B deux galaxies disjointes de R. Montrer qu'il existe une partition interne de R, R = A' U B' telle que A C A' et B C B'. Même question pour deux halos disjoints. Exercice 5.8 ( Saut d'une fonction, origine, extrémité, épaisseur) Soit f : [a, b] - R une fonction interne de classe C 1 • On dit que f présente un saut croissant (resp. décroissant) sur l'intervalle [t 1 , t 2] C [a, b] si et seule­ ment si f' (t ) =: +oo ( resp. -oo ) pour tout t E [t 1 , t 2] et f(t l ) < j(t2) ( resp. ! (t t ) � f(t 2 ) ) .

a)

Vérifier que s i f présente un saut sur [t 1 , t 2 ] , elle n 'est pas 5-continue e n t = tl .

b) Si

f présente un saut croissant sur [t1 1 t2 ] et s'il existe un élément standard z_ de hal ( ! ( [a, b]) ) tel que pour tout t E [a , tl], f(t) � z Ç? f'(t ) =: +oo ,

on dit que z est l'o rigin e du saut. Définir de façon analogue l 'extrémité d 'un saut et montrer que , € étant infinitésimal positif, f(t) = arctg ( t / € ) présente u n saut dans le halo de t = 0 dont on précisera l'origine et l'extrémité . c

) Si f présente un saut croissant d 'origine x_ et d 'extrémité x+ , on appelle épaisseur C du saut l 'ensemble :

C = { t E [a, b] l x_ < f( t ) < x + } (resp . C = {t E [a, b]

1 f ( t) < x + } si le saut est sans origine) (resp. C = {t E [a , b] 1 x_ < f(t)} si le saut est sans ext rémité ) . Vérifier que C est une gala.xie. d ) Déterminer les origines, extrémités et épaisseurs des sauts des fonctions suivantes :

f(t ) = ar gt h ( t /€ )

2 g(t) = € /t , t > 0 h(t )

= - d og t , t > O.

Exercice 5.9 ( Classification des coupures de R en halo et galaxie3 ) . a) Soit G une gala.xie et H un halo tels que R = G U H e t tels que pour tout (x, y) E G x H, z < y. On dit que le couple (G, H ) est une coupure de R en galaxie et halo. On appelle épaisseur du bord de la coupure l 'ensemble K

où Vérifier que K 3 voir

(2)

D. a

=

{z E R 1

'Vd

E D. lz l < d }

= {d 1 3(x, y ) E G x H y - x = d} .

les propriétés d'un sous groupe additif convexe de R.

90

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

b) Vérifier que R = G u Ge où G = {x E R 1 °x < a} est une coupure de R en h alo et galaxie . Calculer l ' é pai ss e ur du bord. Même question ave c G = {x E R 1 a < +oo} puis avec G = {x E R 1 x $ 0 où dog x � +oo} , où E est infinitésimal et positif. c) Soit (G, H) une coupure d 'épaisseur K . 1\ l ontrer que s 'i l existe a E R tel q ue G =] - oo, a] U {a + K } , alors K es t une g alax ie . Montrer qu e s i un tel a n'existe p as , o n peut é c rir e G = Une-·N l - oo, an] avec an+ l n 'ap p arten ant pas à {an + K } , q ue dn = an + I - a n ap part i e n t à � pour tout n E N et enfin que K = nn eNl - dn , +dn ] · En déduire qu 'alors K est un halo. •

d) Soit (G, H) une coupure d 'ép ais seu r K. Montrer q u ' il existe a E R t el que G =] - oo, a) U { a + K} si K est une galaxie , ou tel q u e H = {a + K } U [a , +oo[ si K est un halo, les deux p ossi bi l ités s 'exc l u an t mu t u el le me nt . e) Déduire de d) qu e toute gal ax i e G con vexe de R peut s u i vante :

s 'écrire

sous la forme

soit la ré u n i on soit la différence en s e mb l i st e , a et b so n t des et. L des co n ve xes q u i sont soit des préhalos et d an s ce c as dés ign e la d i ffé r e n ce , soit. d es prégala.x ies et d ans ce cas * d és i gne l a

où

*

désigne

r ée l s , e t K *

réu nion . Décomposer

de

cette

façon l es

galaxies su ivantes :

G = {x E R 1 0 < 0x < 1 } G = U., e [ o,t]E-gal (x) G = {x � 0 1 EX � +oo} Vérifier que a et b ne sont pas uniquement déterminés mais que !{ et L le sont.

f) Trouver la décomposition analogue pour les d es ex emples .

h alos

convexes de R . Don ner

Exercice 5.1 0 (Equations externes4 ) Soit f : R --+ R une fonction interne. Une é quivale nc e du ty pe f(x) :::::: 0 est ap p e l l é e une presque-équation e t un rée l x tel que f(x) :::::: 0 un presqu e-zéro de f. Vérifier que l 'ensemble des p res qu e- z é r os d 'une fonction interne est un préhalo. A quelle co n d i t ion sur f est-ce u n halo ? Contient-il nécéssairement un zéro d e f ? S 'il est convexe, montrer en utilisant l'exercice 5.9 qu 'il est caractérisé par un quintuple (H, K, [a, b) , •, •). Donner d es exe mp l es.

91

5.5. EXERCICES ET PROBLÈMES Exercice 5.11 ( Sommation au plus petit terme)

a) Soit g ::::: 0 p ositif et soit (a n ) une suite standard j amais nulle telle que la série L: > o a n ê n est divergente . Supposons qu'il existe w tel que l e terme n law ltw ( pTus petit terme) soit inférieur ou égal à lan ltn p our tout n . On suppose enfin que w est le plus petit indice tel que law lgw < law + dtw + l . Montrer que w ::::: +oo. b)

p ose a = L: � = O a n gn , pour w choisi comme en a ) . Montrer que lorsque t w « +oo, alors a est développable en €-ombres, de dévelop­ pement L: 2: 0 a n ên .

On

n

Exercice 5.12 Soient (an ) une suite réelle standard et g > 0 un infinitésimal. On se p ropose de montrer l 'existence d 'un réel a ayant pour développement en €-ombres la somme L -> o a n t n (version non standard du théorème d e Boreln Ritt) . a) Montrer qu 'il existe un b)

entier

w o ::::: +oo tel que 2:: � � 1 la n ltn

:::::

0 .

que, plus généralement1 il existe une suite d 'entiers (wp )p 2: 0 telle que, pour tout p standard , on ait : n p ( i ) Wp :::::! +oo ( ii ) Wp+ l � Wp ( iii ) L:� �p+ l l a n l t - :::::! O.

Montrer

qu 'il existe un entier N illimité tel que la suite (wp )p 2:0 vérifie (i) , (ii) et (iii) p our tou t p � N . d ) On pose a = L:��o a n t n . Montrer que a est développable en !"-ombres , de développement L: n 2:0 an g n . c)

Montrer

e) Montrer qu i l existe v > 0 , t e l que, pour toute suite s t an d a r d ( an ) , on ait L:�:O an ê n L: n 2: 0 an €0 • Exercice 5.13 Soi t 1 : A -+ R + continue. Mont rer que si A est un espace '

"'

topologique con nexe et si 1(A) contient à la fois des infinitésimaux et des appréciables alors 1- 1 ( hal (0)) est un halo. Exercice 5.14 (Théorème de l'indice universel de Van den Berg ) . Montrer ( e n util isant le principe d e Fehrele ) que si X est un ensemble stan­ dard et 1 une application interne de X dans N, prenant des valeurs illi mi tées en tou t point standard de X, alors i l existe un entier p illimité tel que, pour tout x E X standard , on ait p < 1(x ) . Exercice 5.15 ( O mbre s intérieures et extérieures d'un ensemble ) . Dans un espace métrique standard E, o n appelle o m b re in t érieure 5 (resp. ombre extérieure (ou simp lement ombre)) d ' u n ensemble A de E, le standardisé de { x E E 1 hal (x) C A} ( resp. de { x E E 1 hal (x) n A :/= 0 } ) . s Notions introdui tes par HOMER ( B . J .) e t THOMPSON

( C . L . ) dans

Sh. ad o w8 a n d h. a l o 8

in n o n 1 t a n d a rd a n a lyai8 w i t h. a p p lication8 to t o p o logical dy n a m i ca ( Preprint , Uni versity o f

Southampton , 1 986 ) .

CHAPITRE 5. PRINCIPES DE PERMANENCE

92

a) Soit w � +oo. Déterminer les ombres intérieures et exterieures des sous ensembles suivants de R : [O, w[, [w , +oo[, [1/w , w[, [1/w , 1 + 1/w] . b ) Montrer que le complémentaire de l'ombre intérieure de A est l 'ombre (ex­ térieure) du complémentaire de A . c) Montrer que l'ombre intérieure d'une partie standard est l 'intérieure de cette partie.

d) Montrer que l 'ombre (extérieure) d 'un préhalo est fermée et que l 'ombre intérieure d 'une prégalaxie est ouverte. Exercice 5. 1 6 On considère la partition externe du plan en les quatres qua­ drants :

Q l = { ( z , y) 1 °Z > 0 Q 3 = { (z , y) 1 °Z $ 0

et

0y > O }

Q 2 = { (z , y) 1 °Z > 0

et Oy $ 0 } Q4 = { ( z , y) 1 °Z $ 0

et 0Y $ 0 } e t 0y > 0 }

a) Montrer qu'il existe un chemin interne continu ayant son origine dans Q1 et son extrémité dans Q3 et qui ne rencontre n i Q 2 ni Q4 • b ) Montrer que tout chemin interne continu ayant son origine dans Q4 extrémité dans Q 2 rencontre nécessairement Ql ou Q 3 .

et

son

Exercice 5.17 ( Rotations sur le cercle T1 ) Soient 17Q l 'ensemble des rationnels standard et r un réel presque standard n 'appartenant pas à 17Q. Montrer que l 'ombre de l 'ensemble

{rn (mod 1) 1 n E N} est le cercle T 1 = R/Z tout entier (on pourra distinguer le cas où <>r E Q et celui où CT � Q). Exercice 5.1 8 Dans R n , n standard, l 'ensemble des points presque standard forment une galaxie. Le vérifier. Ce n 'est pas vrai dans un espace topologique quelconque : montrer que l'ensemble des rationnels presque standard n 'est ni un halo ni une galaxie de Q Trouver un exemple de partie de R pour laquelle l 'ensemble des points presque standard forment un halo. Vérifier qu 'un sous ensemble standard non vide de Rn , n standard , est ouvert si et seulement si l 'ensemble de ses points presque standard est une galaxie. .

Exercice 5. 1 9 Soit V une partie de [0, 1] réunion d 'un nombre fini d 'intervalles et soit U = 5 {z E [0, 1] 1 hal (z) C V } son ombre intérieure (exercice 5 . 15) Montrer que la mesure de Lebesgue de U es t inférieure ou équivalente à la mesure de Lebesgue de V.

C hapit re

6

S - Cont inuit é Nous nous proposons d 'étudier dans ce chapitre et dans le suivant quelques propriétés élémentaires des fonctions internes f : ( E, d) - ( F, 8) où E et F sont des espaces métriques standard. Ces fonctions sont donc soit standard, par exemple y = 2x, soit non standard par exemple y = x + ! , ê � O . Nous nous interesserons tout d 'abord aux fonctions internes les plus régulières , c'est­ à-dire celles qui sont "presques égales" à une fonction standard continue , que l 'on appelle fonctions de classe S0 .

6.1

D éfi nit io ns et exemp les

Définition : Une fonction interne f : E - F est dite S- co n t in u e en un point x de E si, pour tout y E E, y � x implique f(y) � /(x) (ou encore , si / ( hal (x)) C hal (/(x) ) ) .

On a v u au Chapitre 1 que , pour les fonctions standar d , la S-continuité en un point x standard équivaut à la continuité en ce point et la S-continuité en tout point ( standard ou non) à la continuité uniforme. Pour les fonctions non standard par contre, continuité et S-continuité sont deux notions distinctes. Ainsi , par exemple, la fonc tion f : R - R , définie par

f( x) =

{�

si x � 0 si x < 0

est s-continue et non continue alors que la fonction f f(x) = arctg ( x / ê) est continue et non S-continue.

:

R

__.

R, définie par

Proposition 6.1.1 So it f : E - F. S 'il existe une application standard E ---> F continu e telle que, pou r tout x presque stan dard f (x) � g (x) , alors f est S- continue en tout po in t presque standard.

g :

93

94

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

Preuve : Si x est presque standard , x � 0:r . Donc , puisque g est standard et continue au point 0:r, on a g(:r) � g(0x ) . De même si y � z, y est également presque standard car y � 0:z: et donc g(y) � g( 0:z:) . D ' où f( :z: ) � g( :z: ) � g (0:z: ) � 0 g ( y) � f(y) .

C'est la réciproque de cette proposition , qui constitue le principal résultat de ce chapitre. Elle fait l 'objet du prochain paragraphe . Il est clair qu 'elle ne sera pas vraie sous la seule hypothèse que f est S-continue , car , par exemple , la fonction constante f(:z:) = w , w � +oo est S-continue en tout point et n 'est presque égale à aucune fonction standard . Il convient au minimum de supposer que f prend des valeurs presque standard aux points presque standard . Définition : Soit f : E --+ F. O n dit que f est de classe S 0 au point :z: E E si et seulement si f est presque standard et S-continue au point x. On dit que f est de classe S0 sur une partie A de E si et seulement. si f est de classe S0 en tout point standard de A, c 'est-à-dire si et seulement si, pour tout x E A standard , O(_f ( :z:)) existe et "( /( z ) ) = !(0x ) .

Exemples : Soit ! > 0, infinitésimal. 1 . La fonction f(:z:) = (z + t ) 2 est de classe 2. L a fonction f (x ) =

est de classe

S0

z [•J = { �(- z )'

sur R . si :z: ;::: 0 si x < 0

S0 sur R \ {0} .

3. La fonction f( x)

=

exp(z/t) est de classe S0 sur ] - oo , 0 [.

Exercice : Vérifier que si f et g sont deux fonctions de classe f.g et f o g sont également de classe S0 .

Voici une caractérisation utile des fonctions de classe

S0 , f + g,

S0 :

Proposition 6. 1.2 On suppose que E et F sont des espaces normés standard et que f : E --+ F est dérivable sur une partie convexe A de E . Pour que f soit de classe S 0 sur A, il suffit qu e f et f' soient presque standa rd en tout point presque standard de A. P reuve : Soient :z: et y presque standard dans A tels que :z: � y. Comme J' est définie et presque standard en tout point du segment [z, y] (tous les points de ce segment sont presque standard) , et comme on a

11/(z)- f(y) l l � l l z - YI! M ,

avec M = équivalents.

sup

{ 11/' (z) l l

1

z

E [x , y] } limité, /(x) et f(y) sont donc 0

95

6. 1 . DÉFINITIONS ET EXEMPLES

Souvent les fonctions internes ne sont pas définies explicitement, comme celles des exemples précédents, mais au travers de formules de récurrence. Dans ce cas, il n 'est pas toujours facile de déterminer un domaine sur lequel elles sont de classe S0 • Le lemme de l 'ombre local (théorème 6.2 .2 ci-dessous) permet de résoudre (localement) ce problème dans le cas des fonctions à pas limités, ou à petits pas. Définition : Soit F un espace métrique standard. Une fonction f : R - F est à pas limités ( resp. à petits pas) sur l'intervalle [a, b] si f(a) est presque standard et s'il existe un découpage infinitésimal a = x0 < x 1 < < xw = b de (a, b] tel que, pour tout i = 0 , . . . , w - 1, s'il existe f. E (x; , Xï + d tel que f(f.) est presque standard alors f(x) est presque standard ( resp. f(x) !:::: /(f.)) pour tout x E [x; , x; + d · · ·

·

Une fonction à p as limités P.ossède e n particulier la propriété suivante , sur le découpage infinitésimal (xo , . . , x n ) : 1 . f(xo ) est presque standard

2. Si f(x n ) est presque standard alors f(x n+ l ) est presque standard. On se gardera d 'en déduire cependant qu 'une fonction à pas limités reste presque standard sur tout l'intervalle [a , b] . En effet le fait d 'être presque stan­ dard est une propriété externe et ne peut servir d 'hypothèse à une récurrence (interne) . Tou t au plus p eut-on en déduire, par récurrence externe, que f est presque stan d ard sur [x 0 , xn ] pour tout n standard , conclusion bien faible car, pour tout n standard , Xn reste équivalent à xo . Pour les mêmes raisons , il n 'est pas vrai, en général, qu 'une fonction à p etits pas sur [a , b] reste presque constante sur cet intervalle. On notera enfin que la classe des fonctions à petits pas contient à la fois celle des fonctions continues et celle des fonctions S-continues . En effet c 'est immédiat pour les fonctions S-continues et, pour une fonction f continue sur [a, b] , donc uniformément continue, on a :

'v'e

>

0 37]

>

0 'v'x E [a , b] 'v'x' E [a , b] [l x - x' l <

donc, ê étant choisi infinitésimal, on peut choisir

Exemples :

Soit

ê >

7]

7] =?

6 ( f(x ) , f ( x' ) ) < e]

!:::: 0 et poser

x; =

a + Ï7].

0 infinitésimal.

1. La fonction f ( x) = ex/( 1 + e 2 - x) est à petits pas sur l'intervalle [0 , 1 ] puisqu 'elle est continue mais elle n 'est S-continue qu 'aux points de cet intervalle d 'abcisse non équivalente à 1. 2. La fonction constante par morceaux définie par f(x) = (1 + ê) i pour ( i - 1)e :5 x < ie, i � 1, est par construction à petits pas, quoique non continue . En fait elle est de classe S0 sur ] - oo , +oo [ puisqu 'elle est presque égale en tout point presque standard à la fonction exp x.

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

96

3. La fonction /( z ) = ![z/!2] , où [ ] désigne la partie entière, est à p etits pas sur [0, 1] ; on le vérifie facilement en choisissant, par exemple, comme subdivision de [0, l] la suite Zi = i!2 • Cependant cette fonction n 'est ni continue, ni S-continue.

6.2

Théorème d e l 'ombre continue

Theorème 6.2.1 (théorème de l'omb re continue) Pour tout f : E - F de classe S0 , il existe une unique fon ction standard continue de E dans F, équ ivalente à f en tout point presqu e standard de E . Définition : La fonction standard continue dont l'existence est assu rée par le théorème précédent s'appelle l' ombre de f et se note 0/.

La preuve du théorème utilise les deux lemmes suivants : Lemme 6.2.1 ( caractérisation macroscopique de la S-continuité) Une fon ction f : E - F est S-continue au po in t x E E si et seulement si 'rJ'1 ê

>

0 3' 1 '7

>

0 'rJy d(x , y) <

1J ::::}

6 (/(x), f ( y) )

< !.

Preuve : ::::}

<=

Soit ! standard positif. Comme f est S-continue, il est clair que la formule interne ['v'y d(x , y) < 1J ::::} 6 (/(z) , /(y)) < !] est vérifiée pour tou t TJ infinitésimal positif. Donc, e n vertu du principe de Cauchy, il existe un standard '7 positif pour lequel elle est encore vérifiée. Soit y E E tel que y � x. Des hypothèses, on déduit que, pour tout ! standard positif, comme d(x , y) � 0, on a 6 (/(z) , /(y)) < !. D 'où f( x ) � f( y ) . 0

Lemme 6.2.2 Soit f : E - F u n e application n e prenant que des vale u rs presque standard aux points standard. Il existe u n e uniqu e fonction stan dard, notée 5/, appellée la standardisée de /, telle que

Preuve : On applique le principe d 'extension à la fonction qui à chaque 0 élément standard x de E associe l 'élément standard �/(z)) de F. Exemples

:

Soit

ê >

0 , infinitésimal.

6.2. THÉORÈME DE L'OMBRE CONTINUE

97

1 . f(x ) = tx a p our standardisée 5f(x ) = 0 2. f(x ) = (x + t) 2 a pour standardisée 5f(x ) = x2 3. f(x ) = arctg (z/e) a pour standardisée

5/(x) =

{

- 7r/2 0 7r/2

si x < 0 si x = 0 si x > 0

On observera que dans ce dernier cas, f n'est pas de classe sa et 5! n 'est pas continue. Preuve : Nous prouvons à présent le théorème de l'ombre continue . Comme f est de classe sa , la standardisée de f existe et elle est par cons­ truction équivalente à f en tout point standard. Montrons qu 'elle est continue . Comme 5f est une application standard, il suffit de montrer que :

Comme f est de classe sa , on a, en particulier,

Or, puisque x, y et 6 sont standard, on a

Donc

d 'où la conclusion par (double) transfert. On pose alors 0/ = 5f. Il reste à s ·assurer que f et 0f sont équivalentes en tout point presque standard . Ceci résu lte immédiatement de la continuité de 0/ et de la $-continuité de f. En effe t, si x E E, et si 0:r: existe et appartient à E, on a 0

Commentaire : S tandardisées et limites simples. Le lemme précédent indique la possibilité d'associer à toute fonction in­ terne une fonction standard , pourvu qu 'elle soit presque standard aux points standard. Cette standardisée (qui coïncide avec l 'ombre lorsque f est de classe sa) correspond, en termes standard, à la notion de limite simple d 'u n e s u ite de fon ctions, et, comme celle-ci , elle conduit à certaines pathologies (que 1 'on évite facilement si l 'on se borne à considérer les standardisées de fonctions de classe sa ) .

98

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

Précisons cela. La plupart des fonctions internes f(:z:) d 'une variable que l 'on rencontre dans les situations simples (en particulier tous les exemples donnés depuis le début de ce chapitre) sont définies en fait à l 'aide d'une fonction standard de deux variables ( :z: , e ) , en donnant à la deuxième variable e une valeur non standard ( par exemple infinitésimale e = e). L'analogue standard consisterait à choisir une suite ( en ) tendant vers un standard (par exemple 0) telle que, pour un indice w illimité, ew = e et à considérer la suite de fonctions fn (x ) = F(:z: , e n ) au lieu de l'unique fonction f(x ) , égale à fw (:z:) . Demander que f soit presque standard aux points standard revient à sup­ poser que Un ) possède une limite simple ; cette limite n 'est autre que 5f (exercice 3 . 14). Si la convergence est uniforme sur tout compact , cette limite est continue et elle est égale à l 'ombre de f (voir la caractérisation de la convergence uniforme au chapitre 3). Par contre si fw n app ar t ie n t à aucune sous suite uniformément convergente, alors 5f,.., est non seulement non continue, mais elle peut même être non mesurable (exercice 6 . 1 3 ) ! '

Le théorème de l 'ombre continue a été formulé , pour simplifier, dans le c as où f est de classe S 0 dans E tou t entier . O n l 'étend faci lement au cas où f n 'est de classe S0 que dans une partie ( i n t e r n e ) A d e E : Corollaire 6.2. 1 Si f est u n e fo nctio1l d e classe S 0 sur u n e partie in tern e A de E, alors l 'ombre de 0f existe s u r 5A et elle est équivalente à f en t o u t point de A n 5A presqu e standard dans A.

Le corollaire suivant est une version géométrique du théorème de l 'ombre continue à laquelle ce dernier doit son nom. Corollaire 6.2.2 Une fon ctio n f : E - F presque standard est de classe 5° si et seulement si l 'ombre de son g ra ph e est le graphè d 'u n e fon ction standard (continue). Preuve : Soient c, le gr ap h e de f e t oc, so n ombre. Cette ombre est le graphe d 'une fonction (standard) si et seulement si :

y•t x 3y y unique e t (:z: , y ) E °CJ donc, par transfert, si et seulement si y•t :z: 3't y y unique et ( :z: , y) E °CJ Mais , par définition de OC1 , ceci est é qu ivale n t à y•t :z: 3't y y unique

et

h al (:z: , y ) n C, ;é 0 ,

ce qui exprime précisément la $-continuité de la fon ction f en tout point :z:' tel D que O(:z:') = :z: .

6.2.

THÉORÈME DE L 'OMBRE CONTINUE

99

Corollaire 6 . 2.3 (Valeur intermédiaire (non standard) } Soient a e t b deux rée ls s t a n d a rd e t soit f : [a , b] R d e classe SO , telle q u e / ( a ) < 0 et f(b) > O . A lo rs il exis t e un sta n dard c E [a , b] tel q ue / (c) � O . ----+

Preuve : Si /(a) � 0 ou f(b) � 0 , il suffit de prendre c = a ou c = b . Sinon l 'ombre de /, qui existe puisque f est de classe S0 et qui est continue sur [a , b] , vérifie (0/)(a) < 0 et (0 f ) ( b ) > O. Par le théorème de la valeur intermédiaire ( classique) , il existe donc c E [a, b] tel que (0/) (c) = O. Par transfert on peut supposer que c est standard ; en ce point f et 0/ sont équivalentes. Donc o f(c) � o. Exercices :

1 . Montrer par un exemple que l 'énoncé précédent peut être faux si f n 'est pas de classe S0 .

2 . Montrer par un exemple que l'on n'a pas, en général , sous les hypothèses du corollaire précédent , l 'existence d 'un zéro de /, compris entre

a

et

b.

Theorème 6.2.2 {lemme d e l'ombre locale) n Soit f : R ---+ R , n st a n dard, à pas limités s u r un in t e rt•a lle [a , b] n on infi n it és i m a l. A lo rs si f e s t de classe 5° su r to u t i n t e rv a lle o ù e lle est p resq u e s t a n da rd, tout éléme n t x d e [a , b] t e l qu e a � x � b e t tel qu e f(x) e s t pres q u e st a n d a r-d poss è de

un

v o is i n ag e sta n da rd

sur

le q u e l

f admet

un

e o m b re.

Preuve : Soit x E [a , b] , a � x � b , tel que f(x) est presque standard et soit a = ;r 0 < x 1 < . . . < Xw = b un découpage infi n i tésimal de [a , b] sur lequel f est à p as limités. Notons io l'indice tel que i E [x; 0 , x; 0 + t ] . Soient enfin G et H les deux ensembles suivants : G = { i ?: io 1 Vj io � j � i ::} f(xj ) est presque standard }

ll = { i ?: io 1 Vj io � i � i :} f ( xi ) := f( x)}

Nous al lons montrer qu'il existe x+ � i tel que f es t presque standard sur [x, x+] · O n montrerait de même l'existence de x _ � i tel que f est presque standard sur [x _ , x] . O u bien G = { i 0 , , w } et il suffit de poser x + = x.., = b . Ou bien G C { i0 , . . , w } et alors G est une gala.xie (image réciproque des éléments presque n standard de R ) , ce que nous supposerons dorénavant. Cette gala.xie contient H qui est un préhalo. En vertu d u principe de Fehrele (ou du principe de Cauchy si H est interne) , l 'inclusion H C G est donc stricte. Soit jo E G \ H et soit x + = Xjo Il reste à s 'assurer que x+ � x . Si l 'on avait x+ := i , comme f est de · classe SO sur [i , x+] puisqu 'elle est presque standard , on aurait / (x + ) := f( x ) et donc x + E JI c e qui est absurde. .

.

•

CHAPITRE 6. $-CONTINUITÉ

100

6.3

Applicat ions à l'analyse classique

Le théorème de l'ombre continue est souvent utilisé dans des raisonnements où , classiquement , on utilise le théorème d 'Ascoli ou ses dérivés (voir par exemple la preuve du théorème 8 . 1 . 1 d'existence des solutions d 'une équation différen­ tielle). La démonstration non standard du théorème d 'Ascoli (dans une version simple) , que nous proposons ci-dessous, met en évidence le lien qui existe entre ces deux théorèmes. On notera sa grande simplicité. The orème 6.3.1 ( théorème d'A s c oli) Soient E e t F deux espaces métriques co mpacts, C( E , F ) l 'espace des ap­ plications co ntinues de E dans F, m u n i de la m étrique u n iforme et K u n e partie de C( E , F). A lors K e s t rela tivem e n t compa cte si et s e ulement si K est unifo rmément équicontinue.

Nous avons vu au chapitre 3 la caractérisation non standard de la compacité et de la relative compacité, dans un espace métrique : rappelons qu 'une partie K de C(E , F) est re lative m e nt compa cte si et seulement si : 'V/ E l< 3'1/o E C( E , F) / -::=. Jo . Voici la caractérisation non standard de l'uniforme équicontinuité : The orème 6.3.2 ( critère d'uniforme équicontinuité) Soit K un s o u s ensemble standard de C( E , F ) . Alors /{

e s t u n ifo rm ément

équicontinu si e t seule m e n t si tout élément de K est S- con tinu en tout point de

E

(i. e.

V/ E K 'Vz , y E E z -:::=.

y =>

/(z ) -:::=. /( y) ).

Preuve : �

Soient f E K, et z , y E E tels que z -:::=.

Y:

Par hypothèse, on a :

Ve > 0 3 '7 > 0 'V/ E K 'Vz , y E E d( z, y ) < '7

=>

6 ( /( z ) , f(y) ) < e

en particulier, et par transfert, Pour z -:::=. y, on en déduit que : 'V'1e > 0 'V/ E K 6 (/( z ) , f( y) ) < e. Ç::

On vérifie que, sous les hypothèses du théorème, on a bien : 'V'1e > O 3'7 > 0 'V/ E K Vz , y E E d (z , y) < '7 :} 6 ( /(z) , /( y) ) < t puisqu'il suffit de prendre '7 -:::=. O. On conclut par transfert. 0

6.3. APPLICATIONS

À L 'A NALYSE CLASSIQ UE

101

Preuve : Montrons à présent l e théorème d'Ascoli : Par transfert, on p eut supposer E, F, et K standard. =>

Si K est relativement compact, alors V/ E K 3 •t fo E C (E, F) f � fo . Donc , pour tout x et y tels que x � y, on a /(x ) � /o (x ) � fo ( y ) � f ( y ) car Jo est standard et continue.

<::::

Réciproquement si K est uniformément équicontinue , alors tout f E K est S-continue en tout p oint de E et également presque standard car F est compact. Donc, en vertu du théorème de l'ombre continue, il existe Jo standard et continue, équivalente à J en tout point presque standard. Par compacité de E, fo et J sont équivalentes en tout point de E, donc J � Jo au sens de la métrique de C(E, F). 0

On peut également montrer, à l'aide du théorème de l 'ombre continue un autre théorème de type Ascoli : ce sera l'occasion de rencontrer un joli lemme sur les fonctions analytiques . Theorème 6.3.3 (théorème de Vitali) Soient D un ouvert de C et F u n e famille de fo n ctions h o lomorphes de D dans C, u n iformément born ées sur tout compact de D. Alo rs F est une fam ille n o nn ale .

Rappelons qu 'une famille d e fonctions holomorphes est dite n o rm ale s i toute suite d 'éléments d e F contient u n e sous suite qui converge uniformément sur tout compact, la limite n'appartenant pas nécessairement à F . Lemme 6.3.1 Soit D u n ouvert standa rd de C . A lors toute fon ctio n holo­ morphe de D dans C, lim itée e n tout point presq u e standa rd de D , possède u n e ombre holomorphe d a n s D . Preuve : Soit J u n e fonction holomorphe sur D, limitée en tout point presque standard de D. Montrons tout d 'abord que , pour tout zo E D standard, la fonction f est S-continue en zo . Désignons par 8 > 0 un standard tel que

B 6 = {z 1 1 = - = l < 8 } C D a et par M le maximum de I J I su r B 6 . Par hypothèse M est limité ( car il est atteint ) et l 'on a, par le lemme de Schwarz, Vz E B6 IJ(z) - J ( zo ) l :5 l z - zo i ( 2 Mf 8 ) Donc si

z

�

zo , J(z) � J(zo ) .

102

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

En vertu du théorème de l 'ombre continue , f possède une ombre 0/ dans D. Pour vérifier que 0/ e s t analytique, montrons que pour tout z o E D et t o u t 6 > 0 tel que B6 C D o n a :

�

of ( zo ) = 2 71"1

f Jlz - z o i = P

of( z ) dz . zo

Z -

Par transfert, on peut supposer z 0 , é et p standard et donc pour tout z , tel que 1= - =o l = p , on a If( : ) - 0/( z ) l � 0 (car z est alors presque st an d a r d ) . Donc 1 -. 2 7r t

1

lz-zoi=P

1 °/(z) dz � -. z -

Zo

2 7r t

1

lz -zo i= P

z

f( ) -dz = /(zo ) � 0f ( zo ) . z - Zo

L 'égalité cherchée s'en déduit immédiatement puisque les deux quantités trêmes sont standard et équivalentes , donc égales.

ex­ 0

Preuve : Montrons à p r é se nt le théorème de Vital i . On peut su p p ose r , par transfer t , que :F et d onc D sont s tand ard . Soit Un ) u ne suite stan d ard d 'éléments de :F. Pour prouver qu 'elle possède une sous s u i te u n i formément c o n ve r g e n t e sur tout c om p a ct de D, il suffit de montrer qu 'il existe w � + oo tel q u e /..... ait u n e ombre analytique sur D . Don c , en ver t u du lemme , il su ffi t. de p rou ve r qu 'il existe w � +oo tel qu e fw soi t limitée en tout p oi n t presque stan d ard de D. Soi t zo un élé me n t stan dard de D. Il exi st e é > 0 stan d ard tel que B6 C D ( c ar D est un o u vert stan d ard ) . Par hypothèse il ex iste un standard M > 0 tel que, pour tout z E B6 et p o u r tout n E N , l/n (z) l $ M . En p artic ulier , pour 0 t ou t w � +oo, lw est limité sur le halo du point z0 . Exercice

:

Donner u n énoncé

standard

équivalent au lemme p récéden t .

Parmi les nombreuses applications du théorème d e l'ombre continue, fi­ p lus i eu rs t héorèmes d 'existen ce, c o mm me le théorème d 'existen ce des sol u t ions d 'une éq u at ion différentielle que nous établirons a u cha pit r e 8. Le p r i n c i pe de ces p r e uve s consiste à con s t r u i r e explicitement un objet non stan­ dard ayant pour ombre l 'objet cherché, la seule difficulté étant de montrer que cette ombre existe. Pour finir ce paragraphe, indiquons une formulation non standard du théo­ rème d e We i e rs t r as s : g u r e nt

Theorème 6.3.4 (théorème •

•

non

s tandard

Toute fon ction standard co ntinue f nôme.

:

de

[0 , 1]

Toute fon ction standard con tinu e f : R

____.

Weierst rass )

---+

R est l 'ombre d 'un poly­

R est l 'o m bre d 'un polynôme.

6.4. A PROPOS DES DISTRIB UTIONS

103

P reuve : On utilise le théorème classique de Weierstrass. Rappelons qu'il assure que pour toute fonction continue f d 'un intervalle compact I de R à valeurs dans R, il existe une suite de polynômes Pn (z) qui converge uniformé­ ment vers f sur I. •

•

Comme f est standard , il découle du théorème classique et du critère de convergence uniforme ( théorème 3.4. 1) l 'ex iste nce d 'une suite standard ( Pn ) de polynômes telle que Vz E [0 , 1] Vw � +oo p.., (z) � f(z) . Don c , pour tout w � + oo , p.., a pour ombre f ( z ) sur [0, 1].

Si l'on choisit pour I un intervalle du type [-w , w] avec w illimité , il résulte du théorème classique que pour tout e > 0, il existe un polynôme p(z) tel que lf(z) - p( z ) l :$ e pour tout z E 1 et donc en particulier pour tout z presque standard. Il su ffi t de prendre e � O. 0

Remarque : Notons enfin que . le théorème classique possède lui-même une intéressante preuve non standard. Elle reprend l 'idée de Bernste in : elle con­ siste à montrer que si J est une fonction standard (ce qu'on peut supposer par tr ans fert ) , 1 = [0, 1] et w un entier illimité quelconque, le polynôme ( de B ernste i n ) w x) = p.., ( I: c: x"'( 1 - z) w - k f ( k jw )

a pour ombre la fo n ct ion f .

6 .4

.1: : 0

A p rop os des d ist ribut io ns

Nous nous interessons ci-dessous aux fonctions internes f de R dans R qui satisfont la propriété suivante : Pour toute fon ction s t a n d a rd cp : R - R, coo à support compac t , l 'intégrale fR f(z)cp(z) dz est presque st and ard. On désign e pa r Q l 'e nsemble (ext e rn e) de ces fo n ctio ns. Une fonction localement à carré i n tégrable app art i e nt à Q si elle est s tan­ d ard, en vertu de l'inégalité de Schwarz , mais ce n 'est p as nécessairement vrai si elle est non standard . La fonct i on f définie par

f ( x)

=

{ �je

si l z l < e sm on

est un exemple de fonction non standard appartenant à Q . On va voir que Q contient,en u n se ns à p ré c iser , toutes les distributions standard sur R. Les fonctions cp de cl asse C00 à support compact sont appellées les fonctions test. Si f E Q , on peut ass o cier à t ou t e fonction test standard cp le nombre standard sui vant :

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

1 04

Par le principe d 'extension , on peut étendre cet opérateur A, à l'ensemble 1) de toutes les fonctions test, standard ou non . Cet opérateu r est cl ai re me n t linéaire sur l'ensemble 'D . Lorsqu 'il est continu , cet opérateur est une distribution standard. Par exemple si f est une fonction standard, la distribution A J est précisément la•"distribution fonction" usuelle associée à cette fonction . Exemple : Soient € :::: 0 positif e t f ( x ) = €/7r(x 2 + ' 2 ) . Il est clair que f E Q. Montrons que l 'opé rate ur associé AJ est l a distribution de Dirac é. On a, pour tout IP E 1), en posant x = €X ,

{ IP(€X) f f(x)l{)(x ) dx = if 7r €1{)(x) = dx i 2 + 2 R 7r ( X2 + 1 ) dX R x ) € i R ( Comme, pour tout X lim i t é , IP(ê X) 1r(X2 + 1 )

-

�P( O ) 1r(X 2 + 1 )

et que cette dernière fon ction est standard e t intégrable, o n en du théorème d'approxim ation dominée (théorème 5 .4.3) , que

déduit,

en vertu

Exercice : Montrer que si f est de c l ass e S0 , la distribution AJ n 'es t autre que la "distribution fonction" associée à 0f. Etudier la réciproque. Theorème 6.4.1 1 Pour toute distribution sta ndard A, il existe une fon ction f (en fait un polynôme} telle que A = AJ . Preuve : Par transfert il suffit

de

montrer qu 'il existe f tel le que :

Nous allons en fait prouver l'existence de f telle que, pour tout IP

s t an d ar d ,

f sera e n particulier un élément de Q , p u i s que A est stan d ar d . E n vertu d u p r i nci pe d 'idéalisation , i l suffit d e montrer que :

donc

�W•tf i n i { v

1

Voir Robinson

(18)

1{) 1 ,

• • •

,

IP m } C 1) _

3f

6.4. A PROPOS DES DISTRIB UTIONS

105

tp1 ,

Soit une famille standard et finie { . . . , lfJm } de fonctions test. Comme ces fonctions ont un support standard et compact, on peut supposer ces sup­ ports contenus dans [- 1 , + 1] . Quitte à renuméroter, on peuf supposer que , I{Jt}, k � m , est une partie linéairement indépendante engendrant le { même espace que {tp! J .. Il suffit donc de prouver l 'existence de f telle que, pour tout i 1, . . , k,

tp1 ,

.•

=

. ,tpm}·

1-+11 f(x)tpi (x ) dx = �[lfJi] := ai les

m -

(6 . 1)

k autres équations étant alors automatiquement vérifiées par linéarité.

tp-,.

a) Un cas particulier : supposons que les I{J l , , soient k polynômes de Legendre Dans ce cas, on détermine facilement une fonction f qui satisfait (6 . 1) . En effet, sachant que l'on a :

Pit(x) , . . . , Pi.( x) .

• • •

si i ::f; j si i j

=

il suffit de poser :

b) Le cas général : on se ramene au cas particulier de la façon suivante : on développe les I{Ji en :

lfJi (x) = >.�

Po ( x ) + · · · + >.� Pn (x)

+

·

· · pour i

=

1,

..

. , k.

L a matrice

étant de rang le, il existe un mineur k

et soient:

x

( ::) = c: ) 0) = c:) A- 1

et

k inversible . Notons le :

A- 1

1 06

CHAPITRE 6. S-CONTINUITÉ

On a, pour tout i = 1 , . . . , k , h; = Pj, + TI; où IT; est une fonction dont le développement en polynômes de Legendre ne contient aucun des polynômes P; . , . . . , Pj � . Donc les équations (6.1 ) s'écrivent simplement, pour i = 1 , . . . , k :

1+- 1 f (:r )h;( :r) d:r = b; Il suffit de choisir pour J, la1 combi n ais on (6.2) , avec C; = b; (2j; + 1 )/ 2 . 0

L 'une des conséquences du théorème précédent est que , pour bien des pro­ blèmes pour lesquels il était naturel classiquement de se placer pour les ré­ soudre dans l'espace des distributions, il sera possible en analyse non standard de rechercher les mêmes solutions ( et d 'autres éventuellement . . . ) en se plaçant d ans l 'ensemble des fonctions internes , ce qui p rése n te bien des avantages, car il s 'agit alors de fonctions . . . Ceci est valable pour certaines équations d ifféren­ tielles ou aux dérivées partielles (exercice 8.5) mais aussi , par exemple, pour faire progresser le délicat problème du produit de distributions (exercice 6 . 1 7) .

6.5

Exercices e t problèmes

Exercice 6. 1 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer le domaine de R sur lequel elle est de classe S 0 (! > 0 est un infinitésimal donné) : fl ( :r) = ê /:r !4 (:r ) = ê:r

h ( :r ) = arctg (:r/ê) fs ( :r ) = ê/(:r - e )

h ( :r ) = z[1 / c ] /6 ( :r ) = u/2V:r 2 + ê

Comparer, dans chaque cas, le graphe de 0/ et l 'ombre du graphe de f. Exercice 6.2 Trouver une fonction f : R so .

�

Exercice 6.3 Soient e � 0 positif e t f : R tion de f au point :r le nombre standard

R limitée et nulle part de classe

�

R limitée. On appelle oscilla­

O ( ! , :r ) = 0( su p { f (t ) l lt - :r l $ ê} - in f{ f (t ) 1 1t - :r l $ ê}) .

a) Vérifier que O( !, :r ) est bien définie, indépendamment de e , lorsque f et :r sont standard. Montrer que f est continue en :r 0 si et seulement si 0 (!, :r o ) = O. b ) Montrer que si f est non standard , 0 (!, :r) peut être non définie ou dépen dre de ê. Vérifier que f est de classe S 0 en :ro si et seulement si, pour tout ê � 0, 0 (! , :r o ) = O .

6.5. EXERCICES ET PROBLÈMES

1 07

Exercice 6.4 Donner des exemples de fonctions de classe SO sur R , ou sur une partie A de R qui ne sont pas équivalentes à leur ombre en certains points (non presque standard) de R ou de A. Exercice 6.5 O n dit qu 'une fonction f : (a, b] --+ R est quasicro issante si , pour tout x et y tels que x � y, on a "(f(x)) � "(f ( y)) . Donner des exemples de fonctions quasicroissantes et non croissantes. Montrer que si f est de classe S 0 et si a et b sont limités , alors f est quasicroissante si et seulement si 0f est croissante. Exercice 6. 6

2 2 ) Montrer que f : R --+ R , (x, y) �--+ f(x, y) est de classe S 0 si et seulement si les deux applications x 1-+ f( x, y) et y 1-+ f( x , y) le sont , pour tout y et x limités respectivement. 2 b ) Soit f : R --+ R de classe S0 telle que x 1-+ f( x , y) est intégrable sur un intervalle limité [a, b] . Mon.t rer que g(y) = J: f(x, y) dx est de classe S0 . a

Exercice 6. 7 Soient E et F deux espaces normés standard. Montrer qu'une fonction f : E --+ F, S-continue sur E et presque standard en un point limité , est limitée en tout point limité . (On pourra appliquer le principe de Cauchy à l 'ensemble interne 1 défini par

1 = { e > O 1 'v'x, y E [.ro , x d

ll x - y ll < e ::} ll f(x) - f (y) l l < l } sachant qu 'elle l 'est en xo) . Si F est p ropre

pour établir que f est limité en X t cela ent raîne que f est de classe S0 , mais c 'est faux en général . Pourquoi ?

Exercice 6.8 Soient E et F des espaces normés standard . Montrer que si f est linéaire, alors f est de classe S0 sur E si et seulement si f est de classe S0 en x = O . En déduire que toute application linéaire limitée aux points limités est de classe 5° . Exercice 6.9 Une fonction f : [a, b] --+ R de classe 5° est-elle Riemann intégrable ? Si elle l'est , montrer que son intégrale est limi tée, pourvu que [a, b] soit presque standard, et montrer que "(f f) = J 0f. Exercice 6.10 Soit f de classe SO . Montrer que si f est linéaire, 0f est linéaire , mais que si f est inversible, 0f ne l 'est pas forcément. Exercice 6.11 Les applications de classe 5° n 'étant pas ( nécessairement) con­ tinues les propriétés topologi ques telles que la connexité, ou la com pacité ne sont pas nécessairement conservées par image par de telles applications. a

) Donner des exemples de parties compactes (resp. connexes) dont l 'image par une application de classe S0 n'est pas compacte (resp. pas connexe).

b ) Montrer que cependant si f : E --+ F est de classe S0 et si A C E est une partie connexe et presque standard, alors l'ombre de f(A) est connexe.

108

CHAPITRE 6. $-CONTINUITÉ

c ) A-t-on un résultat analogue pour les parties compactes

?

Exerci ce 6.12 Soit f : E - F de classe S 0 et soit A C E. A-t-on

Exerci ce 6.13 (Un exemple de fonction non mesurable) a) Montrer que, pour tout a E R , la standardisée f(x) = <>( cos ax) de la fonction cos a x satisfait la formule d'addition :

f ( x + y) + f ( :z: - y)

=

2 /( :z: ) f( y ) .

D'après le théorème de Vietoris2 , on peu t donc en déduire que, si elle est mesurable, elle est égale à une fonction cos b x et elle est donc, en particulier, continue. b) Montrer qu'il existe un entier positif illimité w pour lequel on peut trouver à la fois une suite croissante ( n .�: ) k > 1 d 'entiers posit ifs tels que, p our tout k standard , n.1: divise w et à la f� s un entier p pos i t if standard q ui ne divise pas w .

c ) Soient w , n .�= et p définis comme dans l a question b) et soit f la fonction définie par f(:z:) = O(cos 2?rwx ) . Vérifier que pour la suite (at ) = 1 /(pn .�= ) qui tend vers 0 , o n a , pour tout k standard , wa.�=

=

N.�= +

r.�= fp avec N.�= E N et 1 $ r.�= $ p - 1 .

E n déduire que, p our tout k standard, f(a.�= )

=

0cos (21r(r.�=fp)).

d) Conclure que , si limz .... o f ( :z:) existe, alors elle ne peut êt.re égale à /(0) = 1 et donc que f n 'est pas mesurable. Exer cice 6.14 Soit (:z:n , Yn ) une suite de poi nts de R 2 , Xn + l ;::: :Z:n et soit f ( :z: ) la fonction constante par morceaux définie par f (:z:) = Yn pour :z: E [:z:n , :Z:n + l ] · a) Si pour tout n Xn + l � Xn e t s i [Yn
(L.)

Zur K ennze ichnung tl.e• Si nua untl. VerwtL n tl. t e r Funkti o n e n tl.urch Funk­

t i o n tLlg leich ung e n. J. Reine Angew. Math. 186

(1942)

1-15.

6.5.

1 09

EXERCICES ET PROBLÈMES

Exercice 6.16 Soit é par f�c (x ) =

{

::.:::: -

0 positif et pour tout k =

le

: - lc ( 1 - k) . . . (n- k)

1,

2, . . . , soit /J, ( x) définie

si lxi � é si ne < l x i � (n + 1 ) e

Montrer que les distributions !::.. 1� associées sont les dérivées d 'ordre (le - 1 ) de l a distribution de Dirac o (i.e. t::..1� = o (lc-1) ) . Exercice 6.17 (Produit de distributions) 3 a) On dit que deux fonctions f et g internes, appartenant à Q , sont V­ équivalentes si les opérateurs associés !::.. J et !::..9 sont égaux. Montrer que si 1 et Ï, g et g sont deux à deux V-équivalentes , on n 'a pas en général !::..J .g = t::..J. g · Pour définir un produit de deux distributions standar d , que l'on peut écrire t:l. J et !::..9 ,il ne suffit donc pas de considérer l 'opérateur tl. associé au produit de deux représentants 1 et g quelconques , il convient de choisir d 'abord des représe�tants adhéquats. b ) A chaque distribution T, on peut associer un représentant analytique 'Î' qui est une fonction analytique sur C \ R, définie à l'addition d 'une fonction entière près, telle que , pour tout

T [
iR

(on ad mettra ce résultat) . Soit é interne de R dans C définie p ar

::.:::: 0 p osi tif.

Montrer que la fonc tion

ft ( x) = 'Î' ( x + ie) - 'Î'( x - iê) est telle que l ft l es t contenue dans Q et telle que l 'opérateur es t p réc isémen t égale à

T.

assoc ié

t::.. f.t

c) Sachant que pour T = 8 , on a 'Î' = 6(.:) = - 1/(27ri ) z , c al c u l e r Ii, puis vérifier que t:l.f.t = o . Même question pour T = 1/x , sachant que

T = 1/ x = ·

{ 1/2z1/2z -

si Im(z) > 0 si Im(z) < 0

d) Montrer que si S et T sont deux distributions standard , ( S\ , 'Î'l ) et ( S2 , 'Î'2 ) deux cou ples de représentants analytiques de S et T, on a, pour tout