Logique & informatique (Cahiers du Centre de Logique)

CAHIERSDU CENTREDE LOGIQUE

6

LOGIQUE& INFORMATIQUE

UNIVERSITE CATHOLIQUEDE LOUVAIN DÉPARTEMENT DE PHILOSOPHIE - 1986 CABAY. LOUVAIN-LA-NEUVE

C A H I E R SD U C E N T R ED E L O G I O U E Editéspar

Th. LUCAS M. CRABBÉ Département de Philosophie Centrede Logique Chemind'Aristote1, 1348LOUVAIN-LA.NEUVE

lsBN 2-87077-364-1

D/1986 t2457t19

éd.)CABAY, 6l (JEZIERSKI Libraire-Conseil Agora11, 1348LOUVAIN-LA-NEUVE

et

Centrede Logique Chemind'Aristote1, 1348LOUVAIN-LA-NEUVE

Printedin Belgium Tousdroitsde reproduction, d'adaptation ou de traduction,par quelqueprocédé que ce soit, réservéspour tous payssans I'autorisation écritede l'éditeurou de ses ayantsdroit. Distribuépar:

CABAY Agora 11 1348LOUVAIN.LA-NEUVE

Table des matières

Roland Einnion, Points(presque) fixes ......

..................1

Albert Eoogewiis, Three-valuedlogic and computerscience ...................81 Daniel Drierrgowsti,

Equivalenceélémentairede structuresstratifiées ..47

Marcel Crabbé, Le calcul lambda

...68

Les articlesregroupésdansce numérotraitent de zujetsqui ont été abordée ion de séancesdu séminaire de logique consacréaux rapports et aux apports mutuelsde la logiqueet de l,informatique. La réalisation matérielle de ce numéro est due aux efforts conjuguésde D. Dzierzgowskiet D. Remels-Debefve. Nous tenongà les en remercier.

Les éditeurs.

lll

Points (presque) fixes Rolznd fl.innion (UniversitéLibre de Bruxelles)

1. Introduction Le célèbrethéorèmede Brouwer,appelépar la suite "théorèmedu point txen, fut énoucédans I'article de Brouwer : Ûb"r Abbildung von Mannigfaltigkeiten,MathematischeAnnalen 71, pp. lgll-lgl2. Cet article contient d'ailleurs aussi des aspectsde la théorie du degré, ainsi que le ngairy Ball Tbeorem'. Voici un énoucédu théorèmedu point ûxe : Toute fonction continue d'un compact convexede IR" dans Jui-mêmeadmet un point frxe. Mathématiquement: si/: K - K estcontinueet K c.Rn ætcompactetconvexe A J o r s fc € K f ( r ) - s . En 1951,Brouwermontre que ce théorèmeest faux en intuitionisme,dans An intuitionist corcectionof the frxed-pointtheoremon tàe spàere.A ce moment, il était déjà connu que le théorèmede Bolzano-IVeiersirass est faux en intuitionisme. (Rappelonsun énoncéde ce théorème: tout ensembJeinfrni bornéde ^R" admetun point d'accurnulation.) Cesdeux théorèmes(Brouwer et Bolzano-Weierstrass) sont faux aussien coustructivisme(on peut consulter à cet effet le Haadbookde Tloelstra). Il existeune liste impressionnante de preuves(en logiqueclassique!) du théorèmede Brouwer.On pourrait les classeren deux catélories: les preuves utotalementnon constructivestet lespreuvesoquasiconstnrctivesn, étant bien entenduque desPreuvesvraiment constructives,au sensde I'iutuitionisme ou du constructivisme,n'existentpas puisquedans ce contextele théorème est faux. Les preuvesquasi constructivesmontrent que ie théorèmed,e Brouwer

est obtenuà partir de cequeI'on pourrait appelerle nthéorème du point presque fixe" -dont l'énoncéest : Si f zK+

K estcontinuet K CnRn estcompactconvexe,

A l o r s v t > a ) x € K l l / ( " )- r l l < â

et une utilisation adéquatedu théorèmede Bolzano-Weierstruus. En fait, le théorème du point presqueûxe est vrai en intuitionisme et en constructivisme. On peut même en donner une version frnitiste. I1 est compréhensibledès lors que le théorèmede Brouwer perde sa validité lorsque Ie principe de Boizano-Weierstrass vient à disparaître. Avant dtaborderI'examende certainespreuvesdu théorèmede Brouwer, deux remarquesst imposent : l. Au cours du temps, Ies preuvesse sont considérablement simplifrées grâce à une clarification des notions qui sont réellementen jeul certaines preuves,par exemple,ne demandentplus qu'une connaissance élémentairede I'analyse. 2. Les preuvesquasi constructivesout fourni des algorithmes efficaces pour la recherche de pointspresques frxeslla recherche en vue d'améliorer encorecesméthodesest intense(en particulierchezleséconomistes).

2. Preuves totalement non-constructives Ce type de preuve se fait dans Ie cadre d'une (grosse) théorie générale (géométrie diférentielle, homologie, théorie du degré, ...) ou, dans certains cas, en analyse élémentaire. Ces preuves ne fournissent aucune indication quant à un éventuel algorithme permettant de déterminer effectivement un point fixe, ou au moins un point presque fi.xe. Il est impossible de les passer toutes en revue ici, mais la petite sélection qui suit donuera une idée des divers nstylesn existant.

2.7,. Preuves en analyse élémentaire Certaines preuves sont liées au théorème de non-rétraction dont voici l'éuoncé(daos la version Cr) t Il a'existe pas de rétraction de classeCk. Rappelonsque : o Si B: {r € IR' r ll"ll S l} est la nbouleunitén, si ^9: {z e IR' : llrll - t} est la usphère unitéo, on appellerétractiou une fonction I t B -+ ,s telle que Ve € ^g /(r) _ z; il s'agit donc d'une application de la boule unité sur son bord (la sphère)ayaut la propriété de fi.xerce bord. o Une fonction est de classeCe si sesdérivéespartielles existent et sont continuesjusqu'à l'ordre ,t inclus. Il est clair que si ,t ) ft', le théorèmede non-rétractionversionCe' implique la versionCh. La versionia plus forte est donc celleoù fr - 0. On montre aisémentque la versiouC- impliquele théorèmede Brouwer: voici le schémade cette preuve: Soit / continue : B -' B. Si / n'admet pas de point fixe, alors : vz€ B r@)t'x. Doncvr€Blc >0 ll/(") -,rll > t. commeBest compact,on vériûeque I'on a en fait : lC > }yz € B ll/(") - rll > â (f uni_ forme). Le théorèmed'approximationde Weierstrasspermet d'affrmer qu'il existeun polynômep(r) tel quevz € B llp(r) - f b)n < e lz.on constateque p \'z pas de point ûxe et est une fonction C* : B - B. Ii est alorsfacile de définir uue rétraction Cæ notéeâ :

lt(r)

à(s) E l'intersection de S et de la droite reliant p(r) à r.

Toute Preuved'une version C* (k > 0) dri théorèmede non-rétraction fournit donc une preuvedu théorèmede Brouwer. En voici quelquesexemples: 1. Lanon-rétractionC2 est prouvéedansDunfordet Schwarz(fOSS) [f]. Cette Preuveest simpliûéedansun articlede Kannai (1929) t;iàe" iZ1.

de cespreuvesest la suivante: On considèreV1- [

JB

Vr,@)l d,r (formule classique)

où: o Vj est le volume de I'image de B par Ia fonction fi; o fi est la famillede fonctionsdéfrniepar .fr(") : t+t(h(x) - t); o h est unerétraction de classeC2 (Iapreuvesefait par I'absurde); . Jl, est Ia jacobiennede f , c'est-à-direla matrice desdérivées partiellesd'ordre I de la fonction fi; . lâl désignele déterminantde la matrice r{. On remarqueque pour t : 0 , lrb) : s et donc /e est simplement I'identité. Pour t = 1, fi est exactementà. La famille fi permet douc de passercontinûmentde I'identité à la rétractionfr,.Or on peut démontrerque% estconstantpour t € [0, 1]. Ceciest absurde,puisque Vs est Ie volumede .B (l 0) et Vl est le volumede ,5 (: 0). La preuve nécessiteIe theorèmede Jacobioù interviennentdesdérivéessecoudes mixtes pour lesquelleson a besoinde l'égalité :

Arf ôx;0xi

ô2I 0riôx;'

celle.cis'obtientpar I'hypothèse: à, est de classe C2 2. Daus un article de 1980,Rogersprouve la non-rétractionC0, en se basantsur une idéeoriginalede Milnor (voir [3]). Dtabord, il prouveque les versionsC0 et Cl de Ia non-rétractionsont équivalentes(preuve purement techniqueoù on applique habilement puis, il prouveIa nonIe théorèmed'approximationde rWeierstrass); rétractionde la manièresuinante: Soit à une rétractionCl. On déûnit : g(x) - lz(z)- c, qui est Cl sur B compact et convexe.On montre que dans ce cas g satisfait sur B une conditionde Lipschitz,c'est-à-dire

) M Y r , y e B l l g ( "-)g ( y ) l l< M l l r - y l l . Dès lors, si la familielzt(r) est défrniepar fu(t) = r*tg(z), ou voit facilementque lrt(r) - hr(v) implique ll" - yll S M ltl ll" - vll.

P o u r 0 < t < # , o n a u r a f r t b ) - â r ( y )+ x : y , c ' e s t - à - d i r e h e s t injective. (Cette propriétéd'injectivité de lr.1pour t assezpetit, est le fondemeutde la preuvede Milnor.) De plus,

Ur,l : :

lI+tJol 1 * a . t + p . t z+ . . .

(où / est la matrice identité n x n, Jo Ia jacobiennede g, Jn, la jacobiennede fu). Pour f assezpetit, lJ6,l est donc f 0,ce qui entraînerpil application du théorèmede la fonction réciproque,que la fonction fo est ouverte (c'est-à-direque I'image d'un ouvert est un ouvert). L'image de B (ouvert compact dans B) par fu (fonction ouverte et continue)est donc un ouvert compact daus 8, c'est-à-direest .B lui-même. Ceci montre que pour t assezpetit, àt est une surjectionB B. Conclusion: poull assezpetit, lra est une bijection B + B. Il en r é s u l t e q u e %- | l l o , l d z e s t c o n s t a nst u r u n i n t e n r a l l e 0< t < f . ceci est i*possiJl3.., % est l'intégraled,'unpolynômeet est donc un polynôme. or un polynômeconstantsur uû iutervale]0, C[ est constantpartout, ce qui est absurdepuisqueVo* 0 et I/1 _ Q.

2.2.

Preuves dans le eadre dtune (grosse) théorie générale

Un autre type de preuvefait intervenir le "H"iry Ball Theoremn,d,onton peut montrer qu'il implique le théorèmede Brouwer. Un exempleoriginal de preuvesimple du IIairy Ball Theorem est fourni par Miinor dansun article de 1978[4]. Rappelousque ce théorèmese trouve déjà dansI'article de Brouwer de 1911. l. En geométriedifférentielle,le Hairy Ball Theorem et le théorèmede non-rétractionsont de simplescorollairesde théorèmesplus généraux. 2. Dans Ia théorie de I'homologie,Ie théorèmede Brouwer est un corollaire du theorèmede Lefschetz;il est égalementun corollaireimmédiat dansla théoriedu degré.

(Ces aspectssont examinésavecsoin daus un mémoirerécent [5].)

3. Preuves quasi-constructives Cespreuvesfournissentun algorithmepour Ia recherchede points presque txes, c'est-à-direun algorithme résolvautle problème: Etant donnéê, fournir uaesuite zn convergeaatvers un point r qui est f -fxe (td quell/(") - tll < € ). Montrons d'abord commentIe theorèmedu point presquefixe implique Ie théorèmedu point (vraiment) fixe. Supposonsdonc que Vâ 1r €. X llf b) - 5ll K). On choisit une suite z' telle que convexeet / continueK -

l l / ( ' " )- z ' l l < :n Par Bolzano-Weierstrass,on sait que cette suite admet une sous-suite tne convergeant vers uu point i de K. Eu passant à la limite (fr -" oo) dans

o 5 l l / ( r o * )- c o . l l

TT6

on obtient : 0 S ll/(t) - tll ( 0, c'est-à-dire î(z) - ,. est évidemmeutl'étape non conCette utilisatiou de Bolzano-Weierstrass structive (ce qui expliquequ'en intuitionismeet constructivismeon ait le théorèmedu point presquefixe, mais pas Ie théorèmedu point fixe). Avant d'aborder les algorithmespour Ia recherched'un point C-frxe,il est intéressantde mentionnerutreversionfiuie du théorèmedu point presqueûxe, dont on peut facilementdéduirele théorèmede Brouwer (en logiqueclassique, Pour la clarté de I'exposé et toujours en se servant de Bolzano-r$feierstrass). à toute nous coasidérousle cas de dimensiou2, le résultat étaut généralisable n. dimension

3.1. Théorème finitiste du point presque fixe (version IR,) soit -a un réseaufini dans IR2, c'est-à-direun ensemblede type A:

{ r € I R 2 l ze I N 2e t V i € { 1 , 2 } 1 ( z ; S k }

È est la "tailleo du réseau;INestI'ensembledes naturels. Voici par exempleun réseaude taiile 3 :

iÀXê î2

â)(€ 11

un point r (de â) est voisia de y (de /) (notation : r Ï y) si malq.lrr - y,l < 1.

En clair, les voisinsde y dans le dessinsuivant sont les o :

A

.Y.

Uue fonction / : A * â est dite continue si elle respectela relation de voisinage,c'est-à-diresi V x , Ye A ( x ' L )Y a

f(r)Y f@))

Etaut dounéles défrnitionsqui précMent,on peut énoncerIe theorèmedu point presquefixe suivaut : Théorème (N. Nizette, [6]) Toute fonction continue / d'un réseau.,{ frni dans .4 admet un point presquefixe (c'est-à-direfr € A r 1)l@)) Démonstration La fouction continue / ; A '+ â permet de constmire un champ de nûèchesosur .r{. II y aura 5 types de flèches: (verslehaut), typel: | (à gauche), type II : (versIe bas), type III : | (àdroite), typeW: + (flechenulle). typeV: L'attribution de flèchessefait par le principesuinant: type I en z si /(r) € Bt, type II en x si f(r) € Bz, type III en z si /(z) € Bs, type W en x si f (x) €. B+, type V en r si /(r) € Bs : Ie voisinagede r,

où .B1,Bz,Bs,B*Bs sont les zonesdéfiniespar:

Cette attribution n'est pas univoquepuisque,par exemple,leszones 81 et 82 se recoupe't (par exempleen z). pour le cas où gr'cr 82 oD,choisit /(u) € l'un des types de flèchesI ou II. Remarquonsqu'un point est presquefixe ssi il est muni de la flèchenulle (type V). Comme / est continue, il est clair que le champ de flèchesprésente la particularité d'exclure le cas où deux points voisinsseraient affectésde flèches opposées.On n'a par exempleja.rnais:

une autre particularité, due au fait que est une fonction _+ / â /r est qu'il n'y aurajamais,au bord de â, de flèchessortante, . Lasituation suivante est exclue (par exemple):

.l{ de taille 4

On peut dèslors ajouter à â un bord "artificiel' que I'on munira de flèches srentrautest,sanscontrevenirà la règle disant que deux points voisinsne sont jamais munis de flèchesopposées, et sa^ns introduire de nouveauxpoiats presque fixes: on obtient ainsiun réseauûni /', contenantâ, de taille k+Z (si la taille de â est k), et dont les points presquefi.xessont tous dans A.

Exemple : 1 i '-++i

I

Adetailles

I

l-t

On passeà C' de taille 4 :

lJl -+

--+

t

Il - +

que I'on munit (au bord) de flèchessrentrautes" (il faut remarquer qu'à chaque 'coinn on a le choix entre 2 types de flèches) :

l0

TJ

I

l+-

+

+

j

l-

.-'-

IF

+

I

.{-

111

-_+ 1

Considéronsmaintenant X - la partie connexemaximale de /r, rencontrant Ie bord inférieur de :{' et dont tous les points sout mu1is d'une flèche de type I :

11 -+l

t

l*

I

J-

Rappelonsqu'un sous-ensemble X d'un réseauest dit connexe si deux points quelconquesde X sont toujours reliéspar un chemin situé dans X, un chemiude P à Pt étant une suite finie de points po,...,po telle que _ F Po,Po : Pt et Vi € {1, Z,B,.. . , n} p;_t I p;. Le bord de X (dans â) est un certaiu chemin B; deux points voisins du réseaun'étant jamais munis de flèchesopposéeset X étant muni uniquemment de flèchesde type I, il est clair que tous les points de I sont munis de flèches [,WouV. Commeune extrémité de B porte une flèchede type II et I'autre une flèche de type fV, il y a nécessairemeut dans I une flècheouffu (cf la définition d,un chemiu),donc un point presquefixe.

il

La généralisationde cettepreuvesefait par induction sur la dimensionn de I'espaceIRn contenantle réseau.Examinonsbrièvementle passagede IR2à IR3: courmepréc&emment,on muuit le réseau(cubique)/ d'un champde flèches(6 types de braies" flècheset une flèchenulle). On ajoute un bord artificiel avec ûèchespointant vers I'intérieur et on obtient A'. La partie maximaleconnexe X rencontrant un bord de .r{' et dont les flèches sont toutes de même type poaêde elle-mêmeun bord B qui est une 'surfaceose comportant commeun régeaucarré dans IR2 (commeIe r{' dans la preuve ci-dessus).Par hypothèse d'inductiou, il y a donc un point presqueûxe dans B.

3.2. Preuves eombinatoiree du théorème de Brou\l/er et algorithmes pour la recherche dtun point C-fixe Les premièrespreuvescombinatoiresdu théorèmede Brouwersont basées gur Ie lemmede Speraer(1928)et Ie théorèmede Kuratowski-Knaster-Mazurkiewicz(1929).La preuveinitiale du lemmede Spernerétait non constructive, mais dès 1967une preuve congtructivea êté fournie par Cohen [6]. Les techniquessimplicialespour la recherchede points presquefi.xessesont développéea et amélioréesdepuis,avecScarf(1967),Kuhn (1968),et d'autres. Rappelonsd'abord quelquesnotionsiudispensables. Si s1 s2 . . . sn*r sont despoints (vecteurs)indépendantsdaus IRn+I, Ia fer:netureconvexe,Sde {rt,...ren+t} s'appelleun simplere (de dimension z). Notation : S

==

cona {tt, .. . r sn+r }

:

{ r e R , n * r I l o ; ( " : D a ; s ; e tV i 0 S c ; S 1 e t I " r

o*,

n+l

i= 1

Si r €.9 et s - olsr *...*co+rsn*t,les coordonnées barycentriques de r. E\<emple: dans Rt, S : R3.

- t)}

d=l

n o m b r ê so 1, . . . r o n * t s o n tl e s

conv {rr,rrre3} où êtta2,€3 êst la base staudard de

t2

(Dans ce casi,les coordonnéesbarycentriquessont exactementles coordonnées cartésiennes.) Par définition, une face de dimensionk (S est un sous-simplexede ^9, ") de Ia forme cona{s;r, . . . , er'.+.}. Une triangulation de 5 est un ensemblede simplexescontenusdaus ^9tel que : 1. cessimplocesont mêmedimensionque 5, 2. leur intersection2 à 2 est soit vide, soit une face communeaux deux (dedimeusionn-1), 3. la réuniondonne5. Exemple (dim ,9 - 2) :

32CSs S :

cona {tr, tr, se}, et Ia triangulation

13

est {5t, Sr, Ss, Sl}.

Une iadexation d'une triangulationd'un simplexeS = conu{rt, . . . r sn+l} de dimensionn est unefonctionL:T * {1,2r...tn* l}, où l est I'ensemble des so"t-ets des simplexesde la triangulation (dans I'exempleci-dessus,I : { t t , t r , 9 3 ro r D ,t } ) .

Exemple d'indexation :

232 Une indexation .[ est dite propre si 1. Vr .[(s;) - i 2 . t € c o n a{ t r o , . . . r s r - }= = +L ( r ) € { f 0 , . . . , i ^ l Un simplexe d'une triangulation est dit complet (par rapport à une ind e x a t i o nI ) s i { r ( " ) l r e s tu n s o m m edt e o ) : { 1 , 2 ,. . . , n + 1 } . Exemples:

14

Voici une indexation propre :

2 Voici une indexationnon-propre:

:l23 Pour cette dernièreindexatiotr,Ss est complet,,S2n,est pas complet. Le lemmede Spemerpeut maintenants,énoncer: Le nombredeesimplexescompletsdaas uaejadexation proprc d'une triangtilation d'unsimplore est toujoursimpair (et donc différent de zéro !).

3.2.1. Quelguee algorithmes pour la recherche de pointe presque txee Nous allons examiner ici en quoi la recherchede simplexescomplets est liée à la recherchede points presquefixesd'une applicationcontinue : ^g--+^g. / 15

Le principe fondamentalen jeu ici est le "Principe desdeux portes' : Considéroasune .uraisondont les pieces(en nombre fr'ni) com' une portæt au plus deux portes et gui possMe elr
l3

I

16

9.2.2. Algorithme de Scarf Soit .t'continue S -t ,9 et I I'eusembledes sommetsd'une triangulation. scarf proposeune indexation (non propre!) dite croiggnnte : pour x €. T, n*1

t, :

f-\

L

rrt'

(où s;, . .. r sn*l sont les gommetg de S et z; les coordonnées

d=l

barycentriques), on a f(r) e S carl:

,g -.- ,S,et donc f b) =Ë

orr, (avec

d=l

tr+l

0(a;(1etD"t-t). d=1

Notonsf;@) E od. L'indexationcroissaute.[ est déûniepar : ,,^, _ | (pk)(rp - s; "t" - I jtDU*@) > "r)

si 3r z1 : Q

si Vi r; # o

(rappelonsque "(pk)p" signiûe: Ie plus petit fr tel que p). On voit aisémentque /r(o)(r) 2 xn@\. Pour la clarté de I'exposé,nous travailleronsavec^9de dimension 2 : 91

sr=(1,0,0)€lRs s 2 : ( 0 ,1 , 0 ) E s= ( 0 , 0 ,1 ) s2

83

L'indexationde Scarfdonue (quelleque soit f : S * S) : L ( s 1 )- 2 .[(s2) : 1 tr(s3): 1. Cousidéronsune triangulationI de ,5. Pour les points de f situéssur le bord de ,9, I'indexatiouest indépendantede / et donne:

L7

(i'i,0) et Le point .4 (par exemple)est |(1,0,0) + à(0,1,0) c'est-à-dire (tti)(A; 0). d o n cL ( A ) : 3 : points de î situésà I'intérieurde ^9dépenddu .f, puisque des L'indexation pour cespoints on a : Yi z,; f 0, et que .[ est alors définiepar : L(r)-(p\Ur(r) Considéronsl'exemplesuirrant:

z

t8

)sr).

5 peut être assimilémaintenantà une maisondont les piècessont les triangles ie la triangulatiou et les portes les côtés (de ces triangles) indexéspar I et 2. Ainsi : 2 /\ /\ 11

est une pièceà 2 portes ,/\ 2

,A'' /\

est uue pièceà I porte

31 3 /\ ,/\ 22

est une piècesansporte

L A

L'indexationde Scarfgarantit (cf le dessin)qu'il n'y a qu,uneseuleporte sur Ie bord de 5. Les hypothèses du "principedesdeux portesnsoat satisfaites et il sufrt de pénétrerpar l'unique porte d'entréeet de suivre I'unique trajet possibiepour découvrirune pièceà une porte, ctest-à-direun simpiexecomplet (- portant lesindices1, 2, 3) :

IIIl

L'intérêt d'un tel simplexecompletrésidedansle fait que si A, B, C, sont

19

sessommets(I(.4) = l, L(B) = 2, L(C) - 3), on a : At Bz Bg (puisque lz-y(r) 2 r4ù). Sil'on avait A: B: C: z, alorson aurait f;(r)2 r; ce qui implique ( quet serait fb) :r (car Di/'(") : D, r; = 1 et 0 r; < l;@)), c'est-à-dire un (vrai) point fixe. Dans le cas où .r{, B, C sont sufrsammentprochesl'un de I'autre, chaque point du triangle A B G est un point presquefixe. On peut préciserceci : congidéronsuue suite de triangulations1o dont les normes(norrne= le diamètre du plus grand simplexe de Ia triangulation) tendent vers zéro. Pour chaque 1o on considèreI'indexation .t de Scarf et on détermine un triangle complet Aon,Bo*,Cor Ao Bo Co. Comme.gest un compact,il existedessous-suites convergeantvers A, B, C (élémentsde S). On aura (voir ci-dessus): lt(A"*)

>

(/',n)t

îr(8"*) > (B^*), fa(C"r) > (C"-).'

En passantà la limite : At B2 Cs. Comme la norme de 1o tend vers 0, on a nécessairement A : B : C, dtoù

1(A)- A. La suite Âo admet douc un (vrai) point fixe d commepoint d'accumulation. Il en résulte que Vô > 0 IJV naturel Vn 2 N d(A,, C) < 6. Comme / est coutinue,ceciimpliqueque Vt > 0 fn d(I@"),Ao) < e . Âlgorithme C > O étant frxé, on construit une trian gtlation T pour Laguelle on détermineun simplexe completA B C.

20

,"ilftt|lç

On testealorsd(l\),A) < €. Si oui, on arréÉe. si aon, o'' recomraence avecune trian gulation doat la norae uaut (par exemple)la moitié de Ia norme de T. Le processuss'arrêteen un nombreûui de paspuisque ceci revient à construire une suite de triangulations To à norme tendant vers 0 et que lron sait quedansce cas: VC ln ùU(A*),A*) < €. Remarques l' Les poiuts presquefixes peuvent être trÈs éloignésdu vrai point ûxe :

I i : Lo''r

{ ;:-É * s

r est un point C-fixe I ( y est un point fixe

Cet inconvénient(aux yeux des mathématiciens) n'en est pas un aux yeux deséconomistes pour lesquels,par exemple,une production presque nulle équirrauten pratique à une productionvraiment nulle. 2' D'autresindexationsont été proposées, chacuneprésentantdesavantageset desinconvénients; pour plus de renseig:rements, consulter[5]. 3. cet algorithme(de scarf) ne peut être rafrné, c'est-à-dire que pour chaquetriangulation, tout le trajet est à recomme!.cer: il ne sufrt pas de trianguler uniquement le simplexecomplet trouvé à l'étape précédente. Exemple Voici la triangulation régulière? (subdivisionen B) dont le simplexecomplet est hachuré:

2L

Voici un rafrnement 1' (subdivisionen 6). Ou remarqueque le simplexe complet trouvé précédemment(dans 1) possèdedeux portes.

1111 La recherched'un simplexe complet (pour î') à partir de I'ancien simpiexe complet cycle. Le nouveau simplexe complet se trouve en fait en dehors de I'ancien (voir le trajet). La méthode de raffi,nement suivante, due à Eaves, permet de remédier à l'inconvénient exposé ci-dessus.

22

3.2.3. Méthode de raftaement Pour la clarté de l,exposé,considéronsle simplexe ^9, de dimension I : S = cona{rr,rr} (dausIR,,).

On construit des ucopiesagrandies" U(^)

u(! -^g

de ^g :

u(2) u(3) u(4) u(t

D'une manièrenaturelle,u(^) correspondà s agrandi um fois', et peut être muni de la triangulation régulièrecorrespond,ant à la osubdivisionpar /co:

23

Soit / une fouction coutiuue : ^5-- ^9. : Sur ^9,on déûnit I'indexationdécroissante L : , S- - { 1 , 2 } où I(z) : (pk)(fix(")S ri et ,x # 0). Cette indexationpeut s'étendreà la réuniondes U(*) ea posantf(V) I L(Pr) où P, est la lrojectionn suivantede y :

u(^) u(^)

1'!

Un simplexecomplet,dans ce cadre,sera un simpiexeindicé par {1,2}. On peut remarquerque le bord du "tronc de côue' A = {(", y) € IR2 | r > 0, V 2 0, r * V > U ne comportequ'un seul simplexecomplet (: une porte d'entrée) qui est 5 :

24

Cela est dû à Ia définition de L. En considérantles simplexescomplets comme étant des portes, il est clair que .A est une umaison' à une porte ortérieure. Le trajet unique que I'on peut efectuer à partir de 5 mène nécessairement à dessimplexescomplets(c'est à dire à despoints presquefixes) corresPondantà dessubdivisionsde plus en plus fines. Le procédéde recherche d'un point f,-fixe consistedonc à suivrecet uniquetrajet et à s'arrêterlorsque le bord (d'indice I par exemple)du simplexecompletest f-fixe. Exemple :

l1t111l

u(1) u(2) u(3) u(4) L'(5) u(6) u(7) On voit dans cet exemplequtil arrive que le chemin tremouten vers ,g. CeIaindique un changementdans la zonede ^9où i'on cherchele point presque frxe. Cette constructionest prolongeableindéfinimentet permet, si I'on désire

une meilleure approximation,de partir de la position acquiseprécédemment il n'est plus nécessaireici de repartir de la position initiale. Remarque Les algorithmesdécrits ci-dessusse laisseutfacilement programmer : il ociste d'occellentesprésentationsmatriciellesdes constmctions qui y iriterviennent(voir[s]).

9.2.4. Méthodes de eontinuation Certains auteurs (Smale,Eaves,.. .) ptopoeentune autre approche,fort différente des méthodesqui précèdent,et dont l'efrcacité sembletrès bonue (entre autres en économieappliquée). Le principe de basedes méthodesde continuation est le suivant : Soit / continueC + C, où C eet un compactconvexede IR" dout I'intérieur est non vide. On considèredes copiesC x {t} de C (dansIR' x IR) : t

et l'homologieflr(r) définiepar : Hr(") : t(c - t) + (t - t)(r - /(')), o u t est un point intérieur arbitraire (daus C) e t t € [ 0 , 1 ] .

26

Pour t : 0, on a : Eo(r) - s - l@) Pour t : l, ou a : Er(r) : s -i. La famille .t1 permet donc de passercontinûmentde la fonctiou.u - r à la :cnction - f@). La fonction r - z admet un zéro évident: ?. Ou considère " -a courbe définie par : fltb) - 0. Moyennant de bonnes hypothèses,cette courbemènedu point (e,t) à un point ("',0), où r'n'est un zérode.t6(r), :'est-à-direun point fixe de / :

cx{1}

Cx[o,t]

^t1(c) - 0

cx{0} portent essentiellement sur lesdérivéesde / et Et(") (pour Leshypothèses plus de détaiIs,voir [s] et [7]). En pratique,on suit la courbepar une sorte de procédéde Newton :

On constmit une suitez3 (où (f, 1) est as) de la manièresuivante: zk+t est ltintersectionde la courbe Et(r): o avecle plan II orthogonal au vecteuru3 (le vecteur fuitesaeo,tangent à la courbe,au poiut zft), passantpar zx* €a*: P (où C est fixé et :Ësezpetit).

Le dangerde "cyciage"(Iié au choix de t) existepour cetteméthode(voir dessinci-dessous), mais pour des courbesosages'et un â suffisammentpetit, Iesrésultatssont (paraît-il) excellents.

27

Remarque Le point presquefixedétectépar la méthodede coutinuationest en principe proche (: dans Ie voisinage)du point vraiment fi.xe,contrairementà ce qui se passedans les méthodessimpliciales.

4. Références [1]

DUNFORD et SCHWARTZ, Linear operators,vol I, Interscience,New York, 1958.

l2l

KANNAÏ, An even more elementary calculusproof of the Erouwer frxed point tàeoren, AmericauMathematicalMonthly, 1981.

l3l RoGERS,

 less strange version of Milnar's proof of Brouwer's fxed point tàeorem, AmericanMathematicalMonthly t7, pp. 525-527,1980.

28

[4]

MTLNOR, Analytic proofsof the Eairy BaIl Theoremaad the Brouwer frxed point tàeore.m, AmericanMathematicalMonthly E5, pp. 52l-524,1978.

[5]

EOIIX Marie-Claude, Tùéorèmede Brouwer .. Thærie et Applications, MémoireU.L.B. (Facultédes Sciences), année1982-1983.

t6l MZETTEN., A proposdu tàéorèmede Brouwer, daugMélangesPaul Libois, servicede géométrie(U.L.B.). [7]

HIRSCH and SMALE, On algoritàms for solvins f b) - 0, Communicationson Pure and Applied Mathematics,vo}. 82, pp. 281312,1979. et SMALE, Global Newtoa Methods, Journalof MathematicalEconomics, vol.B,pp.10Z-120,1976. et EAVES, Eomotopiesfor the computationof frxed points, Math. Programming,vol. 3, pp.l-22, Lg7Z.

Université Librede Bruxelles AvenueF. Roosevelt50 B-1050 Bruxelles

29

Three-va-l,uedlogic and computer science Albert Eoogewijs (Rijksuniversiteit

Gent)

A three-valuedlogic considersbesidesthe classicaltruth-values ? (tme) and F (false),a third value t/ (undefined). Accordingto the interpretation of this value suchas meaningless, intermediate,neutral or indeterminate,one gets different truth-tables for the logical counectivesand hencedifferent formalizationsfor the three-valuedlogic (see[9] and IfO]). Now we want to considersomepracticeof this notion in ComputerScience and deducethe appropriateinterpretationand formalizationfor the third value in this context.

1. Digital networks and switchiog theory Switchingtheory or the logical designof digital networks,dealswith the developingof digital systems that are to carry out particular informationprocessingtasks. Sincebinary coding providesfor an adequateway to handle this process,the wholetheory relieson the realizationof functionsof the form f , { 0 ,l } - -

{0,1}",

which can be decomposedinto n functions of the form f ; r { 0 ,l } * *

{ 0 ,t } ,

i : t,,..,n.

trbomthe existenceof the disjunctivenormal form for suchfunctions,they can be representedin the form

31

f(rr,...,2^):

V

rT'...2i;

((tr,"',c-) . f( c 1 , - . . , c - ) = 1

whereuL .: r and t0 :: a (the complementof z) Eence digital networks can be composedof elementary AND-, O-R-and COMPLEMENFgates which are the realizationsof the classicallogical connectivesA, V, - and where 1 standsfor ? and 0 for F. Sincethe disjunctive normal form can easily be obtained from the function-table, as the following ocampleshows,the whole problem seemsto be solved. Howeverin the majority of the cases,this normal form must be simplified in someway to providean ecomicalhardwaresolution-

1.1. Example 11

t2

tg

l(rt, 12,rs, r'a)

î4

I I I I 0 0 1 1 0 I 1 0 0 0 0 0

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 11ll

32

lbt,r'2,rsrra) : V V

î1î,2îsîa î1i2rsîa î172îsra

îttZter+ îtrz rs i + I172tsâa

V

î1i2Tsîa

V

rlr2rgta

L.2. Minimization methods A first way to simplify the canonical form is usiug the following rule of Boolean Algebra :

AsBv AiB - AB

(R)

where C and B are any formulas of the form tit. . rr, or 1. This method has been systematized into two procedures one of which we will illustrate on the considered example. For more details we refer the reader to [7] et [2]. The Karaaugh map method is a graphical procedure which is easy to use for functions with at most four arguments. The starting point is a picture (called the map of the function), containing 23 iabelled squares (where z is the number of arguments). The labels consist of binary codes and stand at the top and the left side of the picture (as on ordinary maps). They are arranged in such a $ray that the labels of two adjacent squar$ (note that the first and the last line [column] are considered to be adjacent) differ only in one variable. Each square contains a binary code according to the value of the function (which has to be represented) applied to the label of the that square. In thig way the map of the fonction / from the example becomes :

33

xl o0

01

11

10

0

0

0

A

00

01

I

ll

C

C

[T-

0

0

B 11

I

0

1

0

D

D l0

0

I

['

The next step in this procedure is combiuing an even number of adjacent squares containing l, in order to form rectangles or squareswhich refer to the terms that can be simplifred. For the cousidered example we get : I(q't2rEsrT4):

îtiz

v

itte

v

i2isra

v

E2tsî,a

ABCD whereeachof this terms is obtained by eucodingthe commonpa.rtof the labels of the squaresin.the correspondingblocks. For a larger number of variables there is the Quiue-McCluekey procedure which consistsof a systematicenumerativetechniqueto find out on which terms the reductionrule (R) may apply (Seethe givenreferences).

1.3. Practical design of a logic circuit Assumethat we haveto devisea circuit that will control a cofee-and-tea machiue which offers the possibility to add sugar and/or milk. Coding the possibilitieswe get :

34

INPUT t1

12

OUTPUT

Dg

t4

0 0 1

0 I 0

no output cofee tea without sugar with sugar without milk with milk

Eence we have to consider a 4-bits input. Since the circuit must coutrol 5 relays Rt,...,Æs for the dosage of the coffee, the tea, the sugar, the milk-powder and the water resp., we have to coneider5 functions .û t {0, l}n * {0, li. Now it is clear that one may not ask for coffee and tea in the same cup. Hence the machiue must be constructed in such a way that an input ..11 is impossible. This leads to the so-called udon't care conditionsn in the functiontable (see [7], [2]). If we denote them U we get the following function tables : 11

12

000 000 001 001 010 010 0ll 011 100 100 101 101 110 110 111 lll

rg

14

0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I

It lz îe 00000 10001 01001 UUUAU 00101 10101 01101

fq

fs

UUUUU 00011 10011 01011

UUUUU 00111 r0111 01111 UUUUU

If we interpret U as "not important', we may take it as 0 and we get for

35

the function /3 :

f"br,1,21rs,ea): V

v V

î1r2isîa ryî2Esîa

7vr2isîa ryr2îsr4

v V

E1r2rsîa r1x2rsî4

Applying the Karnaugh map method we get :

x 00

00

10

11

01

0

0

B I

01

11

0

U1

I'

1

U2

Us

0

A U+ B

10

0

1

0

1

Combining terms as shown on the maP gives us : tzîs

|r@t7r2rrsrz4):

v

rzî+'

AB Eowever,looking at the DèP, we seethat if Ut : U+ 0 and Uz Ue : 1 then we can considera rectangleof 8 squares.Hence/3 becomes: |r@ttT2tE3,ît)

= xz'

snot This meansthat we have consideredthe U's of the function'table as yet defined"with the possibilityto becomeeither 0 or 1 in the Karnaughmap.

36

With this interpretationin mind one gets the followingtruth-tablesfor -r Â, V.

IU 0 I

000

0tu U OUU

2. The third value U in programming 2.L. Introduction Considerthe expression (y:0 ORîly - 5) wherez and y areintegers. Sincerf yls not definedin the casethat y:0, thereis no classicalwayto use the statement (y:0

lf

O R r f y = g ) t b e n , 9 1e l s e , S 2 .

One has to trauslatethis statementiuto the forms : if

then 51 else lf sly - 5 then ,91 e l e e S2

9:0

In [3], Griesintroducestwo operators: CAND: conditionl AND COR: couditionalO.R definedin the followingtruth tables: COR

T F

FU

T

T

IT

FF

FA

TT FU UU

They can be explainedconsideringthe interpretation , b , C A N D ,c , : :

if 'ô' then 'c' else F.

37

A computer is supposedto evaluatethat expressionfrom left to right. If 'c' and acording to this value the result the nalue of,'b' is I he will evaluate 'ô'is.F tbe willbe T, F, orU (wheretI meansabortionof the program).If whole ecpressiouis ^F. Tî,tb' is t/ the program aborts, hencethe result is U. Similary oue gets an interpretation f.or COR as 'b'

COR'c'

::

'ct. lf 'ô' then T e:.ee

A eeriousobjectionagainstthe use of theseoperatorsis the fact that they are not commutative. Gries usesthe CAND and COR in his nProgra"'ming languageo: o which more or lesslooks like Pascalor Algol, o is much simpler in use, . offerssomefacilities in proving programscorrect. Eoweverthere are still no interpretersBor compilersavailableto nrn such programs. The usefullnessof the languagemay be comparedto the useof flowcharts in the older days,which werement to clarify the program structure. But where flowchartsin most caseswerewritten after the prograln wasfinished,to provide for somedocumentation,this languagemay be used c to produce a well-structuredprogram, o to prove the progra.mcorrect, . :Ë a proper base for a well-foundedprogram in most availableprogramming languages.

2.2,

Some specifications of Griest language

of the form 2.2.L. A guarded command is an expression B-S,

38

where the nguard B is a generalizedboolean expression(using CAND and COR) and ,Ssomeinstmction to be ocecutedif .B is true. They can be combined to form : 2.2.2. An alternative co"?rrnend,which in its geueralform looks like if Br*Sr U Bz-Sz

u

U B,.-So û where if and û mark beginningand end of the co-mand resp. and ! separates the componentguardedinstmctions. On executionthe expressiom8j are evaluated,but without any mles on the order of evaluation; o if a .Bi is found to be undefined,abortion occurs, o if no ^Biis tme theu executionaborts, e if a 8i is found to be true the corresponding,sdis executed. 2.2-8. The iterative commnnd which has the generalform .

do Br-Sr U Bz-Sz

u

U Bo-So od Beginning and end are marked do and od resp. and I is used as separatorof the componeuts.On execution,a searchis started for tme guards.B; and the corresponding^9iare executed.Upon termination all the guards are false.

2.3. Example A simpleexamplemay illustrate the useof the latter. Considerthe problem of finding the position i of an elements in an array ô[0..2- l] if r belongs to the array elseif r doesn't belougto ô[0..n- l] put i z: n. The following statementdoesthe job :

39

do

( i < n CAND NoT(r:

ô[i])) +

r=:d+1

od

s

B

2.4. Proving programs correct Gries discussesthe problem of proving correctnessof ioop execution. He introduces3 predicats: o the preconditionQ, which must be tme when executionstarts; o the invariant P, which must be true before,during and after execution of the loop; r the result assertion8, which must be true after executionof the loop. It follows that BBnPaft, .rr

whereBB:

U

d = 1 "r.

For the consideredexamplewe have :

40

e :: P R

::-

0(z 0(d(n (0Sr
A zÇb[O..n-r] n r=ô[i]) v (r:n

^ rÉô[o..n-tl).

3. Recursive procedures and undefinedness 3.1. Introduction Considerthe definition subp(i,j)r- t rt i:

j then 0 elee subp(i+l, j) + I l

which is a recursiveprocedurethat can be deû.nedin PASCAL or ALGOL ... . We get subp(i,i): i -i if j > I but szbp(i,i) is not deûnedif j < f, sincein this casethe proceduredoesnot halt. Ia order to prove that for all integers,rl,j

i
==+subp(i,j):i-i,

(P)

one neesa three'valuedlogic. Barringer,Chengand Jonesin [l] proposeto usethe followingtruth-tables for tbe connectiv€s-r n and V.

Note that thosetable correspondto tableswe got iu l. where I :: ? aud 0 :: ^t'. Moreover McCarty [8] observesthat one get the tables for  and v from the tables of.CAND and COR if one introducesthe a x i o m: ( i f , ô t t h e n , a t e l e e , a r ) :

,o,.

Besidesthey considerpartially defrnedterms and use the following deûnitions for equality

4l

wherer and y stand for two different terms and I denotesan undefinedterm. The formalization of those connectivesand the quantors V and f leads to a proof theory which euablesBarringer et al. to prove some procedures, involving partial defrnedness, to be correct.

3.2. Example As an illustration we copy the proof which showsthat the property (P) follows from classicalpropertiesof the integers,the following rules of the theory:

V-introduction: v-elirninarion: =-substitution

(V-D

#

(v-E)

# 8t = 52rP p(szlst)

(:-subs)

and the propertiesfor subp which follow from the definition :

ù:

d2:

subp(n,u):0 fzr-rftz, subp(n1*

l, n2) - 7ù3

s u b p (n 1 ,n z )* z a :

Note that the proof is basedon natural deduction.

42

I

F Vi,i. i -i 2 O ===1 subp(i,i): i -i. 1 . F V l t .f r > 0 a s u $ p ( i - k , i ) : k . 1 . 1 F s a b p (-j 0 , i ) : 0 L . 2 k ) 0, subp(j- k,i) : k

d1

F s u b p -( (j k + 1 ) , i ) : , t + 1

t.z.L & > 0 r.2.2 k+1>0

t . 2 . 3i - & + L ) + i r.2.4 1.2.5 t.2.6 t.2.7

subp(j- k,j) - k +r i-k-j-(,t+r) subp(j- (e + 1)+ 1,i) : k subp(j- (fr+ 1),i) : ,t + I

1.3

prem 1.2 integers integers prem 1.2 integers :-subs -L;2 d2 -lr-4 induct 1.1,1.2 V.E -1

2. ts i-1>0+subp(j-U-i),i) :i-i 3. l- i - L ) 0 =+ subp(i, i) : i - i 4 . F V i ,j . i - i > 0 + s u b p ( i , j ) : i - i

integers-1 V-I twice -1

In [5] we show that natural deductionimpliesthat selfdenial- and selfassertion- rules cannot hold in the proof theory.

(SeDe)

L, A

t-

-'l

L

F

-A'

(SeAs)

F F

L,-A L

A A

It follows that easyclassicalproofs are much harder to obtain. Eoweverif we introducethe symbol A as in PPC [a], we still haveinterestingrules such LtrA L2 Lrz

F fF

-A aâ -A

and

LT,A L2 Ln, -B

F F

B AA

F

-'1{

which may simplify at least some of those proofs. For further details we refer to [6].

43

4. References [1]

BARRINGER H., CHENG J.H., JONES C.8., A logtc Covenng Undefrnednessin Progrzn: Proofs, Acta informatica2L (1984),pP. 251-269.

[2]

BOOTH T., Digital nefworks and Computer Systerls, John \ililey, New York, 1971.

[3]

GRIES D., ?àe science of programming, SpringerVerlag,New York' 1983.

[4]

HOOGEWIJS 4., On a formalizationof t.beNoa-defnednessNotion, Zeitschr.f. math. Logik 25 (1979),PP. 2L3-22L.

[5]

EOOGE]VIJS4., The Partial Predicate CalculusPPC and Undefnednessin Computer science, Logic ColloquiumMauchester,1984.

[6]

HOOGEWIJS 4., Cut-ruJein a logic for Program Proofs, Draft, Geut, 1984.

[7] LE\ryrND.,

Logical designof Switching Circuits, Nelson,London, 1968.

I8l

McCARTHY J., â basis for a Mathematical theory of Computation, in Computer Programming and Forrnal Systems,(ed. P. Braffort and D. Eirschberg),North-Holland,1967.

N., tel RESCEER Many-ualuedLogic, McGraw Hill, New York, 1969.

44

llol woLF R., A Suwey of Maay-ualuedLogic (1966-1974), in Modera Usesof Multiple-valuedLogic, (ed. J.M. Dunn and G. Epstein), Reidel, 1977,pp. 167-323.

Rijksuniversiteit Gent Galglaan 2 8-9000 Gent

45

Equivalence élémentaire de structures

stratiffées

Daniel Dziengowaki (UaiveraitéCatholiquede Inuvain)

l. Introduction Soit trr,

le langagede la Théorie simple des Tlpea. Rappelonsque tm eetun rangaged'ord.reinfini; il possède un symbolede relation binaire € commeseulsymbolenou logique,et une infinité dénombrable de nriables de type r ri.rgir..., pour tout r'€ cu. De plus, ses formulesatomiquessont de la forme ,i : yi ou sd € gd*t. une structureau sensde !v7 ee,'doncde la formeil - (M, Mrr... ;6r) où les nariableade type i narient dans M;. De plus, devra,éiifi., .M qo.

V r e a rI r I ; # O

(r)

U rU,x M;+t. " x c t'€tr

(2)

et que

Nous demanderonsaussi gue

Vt,i€w i#i+M;nMi-A.

(3)

D'autre part, dans la théorie des ensembleadu premier ord.re, on travaille le plus souvent avec le langage lzr dont le seul symbole non logique est le symbolede relation binaire €. Il est facile de transformer ocanoniquementnla gtructure .M que nous yenonsde nous donner en une structurc au senEde Lzr: il gufrt de définir

Ufi= (U u,;"r). t'€tr

47

Nous allons montrer ici que ltéquinalenceélémentairese conservequand oD pasEede try I tzr, c'est-à-direque ri .l{ et .V gont deux stnrctur€s au sensde Lrr et gue lrl,= N (au sensde L,rr), alors Ult = [Jll (au gensde t,zr). La difrculté provient bien sûr du fait que, avec t tr , on ne peut quantifrer que Bru un type à la foie, tandie qu'avec Lzr otr quantifie en quelquesorte sur tous lee types gimultanémeut.

2. Les types généralisés 2.1. Définition Noug allons maintenant faire connaissanceavec le langage Lc, langage d'ordrc infini dans lequel nous Pourrons"plongerot,rr et tzp. Co-me tn el tzr, tc aur? commeseulsymbolenon logiquele symbole de relatiou binaire €. Comme dans trt,les variablesde lc seront indicéeg (en haut à droite) piu un indice de type. Maig cet indicergù€ nous appellerons indice gén&ali*épourra avoir deux formes : il gera o soit un indice propre, ctest-à-direun uombre naturel (comme pour

î,rr), o soit un indice impropre, c'eet-à-direun ensemblefini de nombres naturels. Intuitivement, la variables{dr,dz,"',d"}prendra sesvaleursparmi les objets qui ne sont ni de type d1,ni de type i2,..., ni de type do. Ires formules atomiquesde Lc eont de la forme î' : g" ou t' e y'', quels que soient les indices généralisésl et lt. Coutrairement à ce qui se pirssedaus Lrr, xi e xi seradonc par exempleune formule de Le . Nous appellerone ra^riablepropre (*rp. impropre) toute variable dont I'indice eet proprc (r.tp. impropre), et fornule propre (top. impropre) toute formule de tc dont toutee lee vzriables, Iibres et lieee, sont propres (toP.

48

impropres). Nous dirons aussi qu'une formule est àomogÈaeai elle est propre ou impropre. Enfin, lee lettree minusculesr, i,... désignerontdans la suite dea indices les lettres majusculesf, Jr... des indicesimpropres,et la lettre r des ProPFeE' indiceagénéraliséaquelconques.

2.2. Stmctures au sens de te De manièreanalogueà ce qui EepiËsedans lrr, Lc aerzde la forme

une stmcture au gensde

, 1 o , r, G 1 1 o , z y. r. .; e g ) , I : ( G o r G r ,... ; G g , G { o } G où chacundes domainesest non-vide. La satisfactionau sensde tc seradéfiniede manièreusuelle,commepour

'

trr.

Si maintenant ,ilt est une gtructure au sens de Lrt, on peut aussi lui associerocanoniquement'une structure au sensde lc. D sufrt de déûnir It c : (Uo, Iu{t,. . . ; Mo, M {ol, M1o,ry,M où, ai I C w, M1 entpar définition

U

.. .i 1o,zy

"r

),

M;.

d € tr \ t

Remaryuonsque par (g),

Mr- tU iut \ (UMù. r'€o

d€I

Dans la suite, ,U désigneratoujours une structure au sengde Lrt.

2.S. Plongement de Lrr et, Lzr dans !c Pour trr, ce plongementest assezsimple. En effet, toute formule g de Lrr æt aussiune formule de lc et il est trivial de vérifier par induction sur la longueur de p que

<+

,[t F çlmt,...,mol

.[tcF plmr,. . . ,r;l 49

( a u s e n sd e ! r r )

i"u *o, a" 1',jl

({)

Pour tzrr le plongementn'est pae beaucoupplus compliqué. Si p est une formule de tzr, déûnisgonspo pzr induction de la manièresuivante: . ( z : y ) C Ie s tx Q : g o ; ( r € ù o e . Fû)o est -(rl,o)

ro eyo

. ({ v[)o eetgo ,f o (3a ,lt)o of fro to . co-'r,e Mo = U M; - [J ,vrr, il eat encor€trivial de mont]er par inductiongur la 1"";:î)%"

o nuit'

s e! z r ) U r l {F p \ m r , . . . , m o j ( a us e n d <=+ il É iôI^r,. ..,nof (ausenede !c).

(5)

2.4. TlG Aûn de pouvoirfairedeeraisonnements purementsyntaxiques, nousallons introduirela théorieTTG, construitedanstc. TTG eeragatisfaitepar les gtructuresde la forme fic et sesaldomes seront,en plus deaa)ciomes logiqueadu calculdesprédicatsmultisorte,les axiomessuivants: - 5 d = Y i e ii + i Gl. G2.

-cd€9jsi i+i+L

GA.

-rd:yJsirgJ

G4.

-zd€yrgir+l€J

G5.

-,xI€,!i aii:o

o u s ij - L e I ,

qui sont inapiréspar (2) et (3), et le schéma G6.

lxr g(zr ) +=+ 3r"ru{d}gz(cru{;}) v 3zd pour toute formule p de t c, et pour tout i f, J, "(Ei)

qui est inspiÉ par la constructionde .[tc.

50

8. Définitions Anant de passeraux démonstrationE,nouEallous rassemblerici quelqueg déûnitionset notations dont I'utilité apparaîtradans la suite.

8.1. me et M? Si p est une formule de tc gui a au moins une variable propre, alqrs . me est le minimum de I'ensembledes indices des v?riables propres de get . Mp est le maximum de I'ensembledes indiceedes\rariableapropres de 9-

8.2. Rang de quantification

de variables impropres

Si p est une formule de tc, alors rqi(p) est défini par induction sur Ia lougueur de g : . rqi(p) : 0 ei g est atomique o rqi(-rl) - rqi({) o rqi(/ v rlt')- ma:<{rgi(/),rqi({,)} o rqi(3zd,lt): rqi(r/) . rqi(3rr {):

rqi(/) + 1.

8.3. Formules corulexes La notion de formule connexedans Lc seraaussidéfiniepar induction gur la longueur des formules : o si p est atomique, alors g est connexe o ai g est connexe,alora rp eEtconnexe o ai g et r/ sont connet(eE et ont au moins ule variable libre GOID. mune, alors gV l) est conno(e o si p est connexeet si ut ûgure dans p, alors l,x" g egt counexe.

51

Cette notion sera surtout utiliséevia la propriété euivalrte,qui ee montre facilement par induction gur la longueur de p : si rp est une formule connexede tc et ei toutea les formuleeatomiquesde g sont homogènes, alors g æ\ homogène.

(6)

Mentionnonsenconeune autrc propriété auesisimple, mais dont I'utilité sera moins fondamentale : si a est un énoncéconnexede tc -1... :,1x' 9. alorso egt de Ia fome 3r, p ou de la fotme

(z\ \"

3.4. Longueur dtune formule Ce que nous appelercnslongueur d'une formule I de tc, e\ que uous noteronglg(p), représenteen quelquesorte la compledté de rp : o si g est atomique, alors tg(e) - 0 . Ig({ v {,') :

maxtls(r/),lg({,')} + 1

. ls(-'r) - tg(r/) + I o lg(lc'l) : Is(r/) + 1. 8.5.

Combinaieon

booléenne

bool&nnequenous Pour ûxer lesidées,voici la définitionde combinaigon : utiliseronedaûsla suite de booléenne o si g egtuneformulede t,c, alorsg 6t unecombinaison P. o si O eat une combinaieon booléenne d" Por...,po, combinaisonbooléennede got... tPn'

alors -O egt une

o ei O est une combinaigonbooléeuned" Por.. . r qtsr... t2n et que iÛ eet une combiuaisonbooléennede pe, .. . tqhtrlto,...,rl)^, alors o v i[ eet une c om bin a i s o nb o o l é e n n ed e p s , ' " tPnt' l or' ' ' r$rn' o si O est une combinaison booléenne de Po,...rPn, et si o est une permutation de t0,... , n), alors O est une combiuaison booléenne de

62

Po(o)t.. . '9o(nl.

1. Idée de la preuye Noue voulons montrer que si J{ - .V, alors U}t = [J,V, où .[t et ,V gont deux stnrcturesau senEde trr. En fait, nous allong montrer que

(au sensde trr) M = N +=+ l'lc : Nc (ausensde tc).

(8)

Par (5), nous auronsdonc ainsi montré ce que nous voulions. La partie difrcile de (8) est ,[t = N + (4)).

tlc

:

.V6r(l'autre découlede

Nouemontreronsdtabord un lem:nefondamentalassurantque tout énoncé o de tc est équivalentà un énoncédont toutes les sous-formulesatomiques sont homogènes. Maig si a est un énoncêde tc dont toutes lea sous-formuleaatomiques sont homogènes,alors nous montreronEque o est equirralentà une combinaison booléennedténoncésconnexesdd dont toutes les sous-formuleeatomiguessont homogènes,c'eat-à-dire,par (6), à une combinaieonbooléeuned'énoncéso; conno(eset homogènee.De plue, pour chaqueo;, rqi(a;) < rqi(o). alors, nous pourrons montrer par induction sur rqi(a) qo.

,,1 = N (ilc Fa {+ Nc}o). En effet, il sufrt de montrer que .[tc F o; ë Nc ? a; pour ciaque o; cité plus haut. Deux eituationesont possibles: o eoit a; est propre, et alors nous verrons eue o; est équinlent à un énoncéstratifié, et nous concluronspar (4);

53

o Boit o; est impropre; supposonspar exemple eue oi soit de la fome 3xI g(zl). Alors

<==+ +:+

l,lc ? 3r' p(rl) ilexisteiew\ftelque irlc F 3x.g@i) il existe d € or\ f tel que Nc F j,ni 9@i)

(parinduction, .îr'-È(=l; +==+

fy;))):

rqi(a;)s rqi(a))

Telle eet I'idée de Ia preuve. Commençonsdonc maintenant par

6. Le lemme fondamental Il sténoncecommesuit : Iremme l: Si p est une formule non homogènede tc telle que si f ed le type d'une variable libre impropre de g a l o r s f ) { f i n p ' 2 r q i ( c ' )S t < M o * 2 ' c i ( e ) } ou ei (p est une formule homogènede !c, alors il exigte une formul" gn de te telle que oTTGFg.ç9n . ryi(pr) S rqi(p) o toute gous-formuleatomique de ?n æt homogène o toute variable libre d" go est aussiune variable libre de p. PREUVE: La preuve se fera par iuduction sur la longueurde p. Nous donueroneen go. fait une constructionjustifiée de p6, tout en montrant que TTG I p ç Le reste de la thèse est assezsimple à vérifieq il sera laisséen exercice. o ei g egt atomique et homogène,alora il sufrt de poser p6 identique à 9o ei g est atomique et non homogène, alors suppoeonsque r; et yI goient legdeux variableequi figurent daus p. Commerqi(p) = 0, alors G3 d- 1,d,d+ I € f, par I'hypothèsedu lem-e. Donc, par les arciomes

64

à G5 de 11G, il sufrt gue pr soit rd * ri v yI + gr, gui, cornm€pr est toujours fausse. o si p est rry', alors il clair que { répond auegiaux hypothèsesdu lemme, et que nous pouvonsposer p1 identiqueà -({t). o si p est r/ v [, alors si par exemple rl est non homogène,et ei r est I'indice d'une variable libre impropre de t/, alora

c

cI.

{l:mç' 2rci(Û) '2rai(r)Sf S Mo*2rsi(e)} {t:mr (car mo 1 mst Mo 2. Me et rqi(r/) S rqi(gr))

ceci sufrt pour montrer que { vérifie les hypothèsesdu lemme; par hypothèsed'induction, {r existe donc. De même,Uo .*irte et il egt clair qu'il sufrt de poserp6 identiqueà ûnvïn pour ardver à la thèse du lemme. t ei g eet fr3 rp et que î' \e figure pas libre dans r/, alors il sufrt que p1 soit ,ltn, par un argument eimilaire à celui du cas précedent. o si g est fad ûbi) et que rd figurelibre dansry',alors firt: tîçrMç: Mo,rqi(lt) - rqi(p) et, comme précédemment,r/ repond apx hypothèsesdu lem"'e et r/;. existe. Il sufrt alors de poser p6 identique à 3xi tlt6. o ai g eat JrJ ,lr@t), que rJ figure libre dans $, e\ que ry'n'a pas de nriable propre, alors, clairement, il sufrt gue pt soit p. c eig est Srr rltbJ), que rJ figure libre daneû,et que { a au moins une variable propre, alors soit J':

J U {l 2frp- 2rei(c)-t

Par G6, nous pourrious poserrpt identiqueà 3rr' t!1(x'') u

V

)xi q{zi).

d€J'\J

Il nous gufrt donc de montrer que ,ltbt') et les ,ttbi) vérifient les hypothèsesdu lemme, ce qui garantira I'existencede t!6(d') et des

55

{r ("d). Voyonsd'abord Ie cas de {(rr'). Si / est l'indice d'une nariablelibre impropre de r/(rJ'), alors goit f est I'indice d'une variable libre d" 9, soit f eû J'. Si f est I'indice d'une nariable libre impropre de 9, alorg {l : mj1cr,) 2rei{9(c''))S t S Mû@r,)4 2roi(Û('"'))} '2ni(e)-1 < t < Mo* 2rei(r)-t} {tzmr (car m, =rng(d'1, Mo: Mççt,y et rqi(r/("'')) - rqi((p)- 1)

:

' 2rci(c)

c {l:mo c I. D'autre part, Jt

f

{l;^o.

2rqi(e)-l < t < M,

* 2rti(e)-ty

(p"r (s)) :

("t')) {I zm^pr,) 2rci(f (co-me plus baut).

û(r'' ) vérite donc bien leg hypothèsesdu lem:ne. Voyonsmaintenant que c'est aussile cas pour chaque tbi). Si r/(rd) est homogène,c'est terrriné. Et si {("d) n'egt pas homogène, soit f I'indice d'une de sesvariables libres impropres. Alors, :{l

{r 7,rt'(",)

c{l

=tf ={l

2rqi(t'(c.l) .S f < M,t@\* 2rei(*(cd))1 - io 1 Éo ,d ) - 2 rc i (r)-t z rc i (c)-t S I S m i n { m o , fr? ' 2 rc i (ra )-t} ' (par (9)) mæ({M,p,M, * 2rqi(p)-t} + erci(n)-t1 (Z re i (e )-t 2 n i (r)-t1 ne "u 2rci(tz)-t11 M, * (2rai(rz)-t -''tI ne.2rai(r) S S Mç+zrsi(e))

cI. t/(rt) vériûe donc aussiles hypothèsesdu lemme.

tr

Renargu: r I*. æriomesGl et G2 n'out pas été utilieés dans cette Preuve.

56

6. Passage aux formules connexes Iremme

2:

Toute formule g de tc est équinalente dans TTG à une combinaison booléenne p" de formulee got.. . tgn telles que pour tout

| < . . o o

n: rqi(rp;) S rqi(,p) g; est connexe toute variable libre d" g, egt une r"ariablelibre de g toute sous-formuleatomiquede g; æt ausEiune sous-formule atomiquede p.

PREUVE: Un théorèmede ce geurea déjà été évoquépar M. CrabM (Âmbiguity ud stratifrcation,FundamentaMathematicæ f0f (lg?8), p. 1a). Nous allons en fait montrer gue pc est de la forme !

A

p;i, où les

piy seront les p; mentionnéesdans l'énoncé du lemme. p:ii'*: tout-à-fait conformeà notre définition de combinaisonbooléenne,cette formule pc pourra

aussis'écrirc V- Y -orr. d<Ê

r<Êi

La preuveaefait par induction gur la longueur de p. En voici une eequisse: o si g est atomique, alors il sufrt que pc soit p. r si p est û v t', alors il sufrt de poser p" identique à ,t" v t,". o al pest -rr, et si r/" est {;t, alorg-,ry'"peut auesiaemettrc sous ! [ d
la formeI

V

-rl,;i,ouencoreeouelafome

V ri<Ër

V A -r/*. a(rrr-r dct

Il gufrt fi:T:'r"it cettedernièreformule. o ei p est fz' û, et si û" *t V A ry'ii, alors nous pouvonEaueEi supposerque pour chaquei,'ii'iilïe un entier li tel gue z. figure libre dans {ii si et seulementsi j mules(3r' A /ir) estcounexe.D'autrepd, commepar hypothèee l'
57

d'induction rqi({;;)

< rqi({) Pour chacunedes r/;;,

tç(3r' A t;) j
I

tr sufrt alorsdeposerp" identiqu.à V 1t*' A tri) d
qui eat équivalenteà 3r'ry'".

i(li

^ A ,r,rl , liSr<&i

J

n

Iremne E: Si o est uu énoncéde tc dont toutes lea sous-Jormulesatomiques sont homogènes, alore a est équirralentdans TTG à un énoncéa" qui eet uûe combinaisonbooléennedtéaoncésoot...,oo tels que Pour tout d S n, o rqi(o;) S rqi(o) o o; est conner(eet bomogène. PRErdVE: Par le lem-e précédent,et commeun énoncén'a pas de variable libre, o sera fuuivalent dana TTG à un énoncéo, qui est une combinaisonbooléenne dtéuoncét connexesoor. .. , oo tele que Pour tout i S n . rç(oi) S rqi(a) o toute sous.fomule atomique de o; est une sous-fotnule atomique de o. Chaqueo; est douc un énoncéconnexedont toutegles sous-formulesatomiques gont homogènes.Par (O), ôaque a; est donc connexeet homogène. tr

7. Consenration de ltéquivalence élémentaire 7.1. Fonnules propres et formules stratifiées Avant dtarriver au résultat priucipal, nouE devons enconemontrer Iemmefacile qui nous servira dane la suite.

5E

Iemme 4: Dans TTG, toute formule propre g de tc æt équivalenteà une fomule stratiûée p, gui a les mêmesvzriables libres. PREUVE: La preuve ge fait par induction sur la longueur de p. o eip eet sd - rirEi: yd ou zr'€ yd+I, alorsclairement,il sufrt que g, soit g. o sipest zd €ri,ei: y i a v e ci * i , o u r j e f avecj fi+t, alors ? æt toujours fausse,par les aniomesGl et G2 (qui seront en rait les eeulsa:riomesde TTG utiliees ici). Et douc, nous pouvors par oremple poser p, identique à d + ri v yi + f . o ai p eat -9, alors, par hypothèsedtinductiotr,nouEpouvonEpoEerp. identiqueà -({,). o ai p eEt / v P, alorsrpâr hypothèsed'induction, nous pouvonsposer p, identiqueà {"vû". r enû.n,si p est 3r' ,1,,alors, par hypothèsed'induction, nous pouvons poser rp, identiqueà 1r'(rl,). n

7.2. Ln et Le Nous a,rrivonsmaintenant au régultat principal dont notre problèmeinitial (.M = ,V =+ Urtt = UX) Eeraun corollaire. Tbéorème l: si .[t et .V sont deux structures au sensde Lrr (qui répondent doncà (l), (2) et (3)), alors +=+

l,l: ll |'l,c= Nc

(au sensde Lrc) (au sensde lc).

PREUVE: L'idée de la preuvea déjà été donnée.Voici tes détails. <-

Si l{c = Nc, alors, en particulier, si a est un énoncéstratifié, ,Mc F

o ë N c F o . M a i s p a r ( 4M ), tso ë |ic!o 59

{+ Nctso ë

N Fo. Donc,ll,: ll (ausensde Lrr). Si .U = N, alors goit o un énoncêde tc. Noue allons montrer par induction sur rqi(a) qou ,[tc F o ë Nc ? o. Comme o n'a pas de nriable libre, nous savouEpar le Le--e 1 que o est équiralent dans TTG à o1 qui est un énoncédont toutes les sous-formulesatomiques sont homogèneaet tel que rqi(ot) < rqi(o). Maintenant, par le Lemme 3, ol est équirnlent,dans TTG, à o6" qui est une combinaisonbooléenned'énonc*fuo; où &aque a; est tel que o rqi(a;) S rqi(a,,) < rqi(o) o o; est conne(e et homogène. D'autre pd, cornmeMc ? TTG, .[16 F o <+ o\ ë o1r",de même pour .V6. Notre problème se ramène donc à moutrer que .f,{6 F o63 +==' llc F on". Mais p commute avec - et V : par exemple, (il" F -r/) ++ -(.f{c F t ). Il nous guffit donc de montrer que }4c ts oi <+ llc ? o6, poûr chacundes o;. Donnons-nousdonc uD oi. Comme o; est homogène,deux cas sont possibles: o goit o; est propre, et alors, avecles notations du Lemms 4, |le F o; <==+ .[tc F (oi),

(par le Lemme 4)

€+

.UF (o,), (p"t (n))

+=+

X F (oi),

(par hypothèse)

<=+ Nc ts (o;)" +==+ lle F oi. o soit oi est improprel comme o; elt conno(e, alors, par (7), o; eat de la forme 1xI g(xI) ou de la forme -r. ,. -,JzI p(sl). Si o; eat de la forme )xI p(rI ), alors .t+ ++

l,lc F ltt p(rl) il ocistei e w \ r tel que lrlc F i"t p@i) il existe i e u \ f tel que Ne F 3rt çb;) (par d'induction,car rqi(3rt p(rd)) < rqi(od)S rqi(o))

Nc F 3xI e@I). 60

p(r'), il sufrt de faire un Et si os'estde la forme -.'.-flr' raisonnementtout-à-fait analogue.

Donctlc ts o (+ )tc F on" {+ Ne F on, {+ Nc ts o, et donc |tl,c = llc. n 7.8. Î,n et Lzr Voici enfin la preuve du problème initial. Théorème 2: Si .U et N eont deux stmctures au serlsde trr doncà (1), (2) et (3)), alors

l,l : N [J,[t = [Jl/

+

(qui répondent

(au aensde tzr) (au sensde tzr).

PREUYE: Soit a un énoncêde Lzr. Alors,

urf{ F o

€+ l'l,e ? oo (par (5)) +=:+ lle F oo (par le théorèmel)

ç==) U,V I o. Et doncUlt = UX. n 7.4. La réciproque

La réciproquedu théorèmeprécédent,c'est-à-direUlt = U,V =+ il, = ll, eat en général fausse! II sufrt pour Ie voir de congidérerles stmctures .[t et ,V dont les domaines et lee relations sont déûnis de la manière euivante : . Mo:

{ 0 ,1 } , e t M ; :

{r+t},gir>1

ocA-O o jY; :

{i}, pour tout d € ur oex -@.

6l

.M et ,V ne sont pas élémentairementéquinalentes(au sensde trr). En ' effet, .[t satisfait l'énoucé3r0 3yo ,o + 90, c€ qui n'eat pas Ie c"s pour l/. z est un isomorphisme.A fortiori, CependantridtUlt -.--. U,V i I â U.[t et [,1.Vsont donc élémentairementéquinalentes(au sensde tzr). La réciproque du théorème précédent eat donc fausse en général. II est cependantpossiblede trouver degconditions sufrsantesgur lee structures pour que cette réciproquesoit vraie. Par exemple,on peut montrer qu'une telle condition est que, pour tout i e w, il oriste une formule rpd(z)ai t,zr telle que pour tout a € U M; et d€t,

pourtoutô€UrYr, j€tr,

. Ult ? p'lol <+ o € M;, et . U,V F et[ô] <+ ô € lYd. Intuitivement, pour que la réciproquesoit vraie, il sufrt que lea types goieut en quelquesorte ndéfinissables".Par oremple, la réciproqueseraencore vraie si t,zr est remplacéparle langageLzr u {?0,Tt,...}, où, chaqueÎd eat un symbole de prédicat unaire représentantle type d.

Remerciements [æeremerciementsd'usageiront à Marcel CRABBE qui a bien voulu lire la premièreversion touffue desidéesprésentéesici et a proposédessimplifications importantesdanela présentation. UniversitéCatholiquede Louvain Facuhédes SciencesAPPliquées Unitéd'lnformatique 2 PlaceSainte-Barbe B-1318 Louvain-la-NeuYe

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Le calcul lambda Marcel Cnbbé (Uuivenité Catholiquede Inuvaia)

1. Le calcul À est une théorie naive desfonctions. La théorie uaive deaensem- toute propriétê g@) détermine bles baséesur le principe de compréhension un ensemble{zlg@)} - est, on le sait, contradictoire(paradoxede Russell). Iæ calcul À basésur un principe analogue- toute expreasionM[z] détermine une fonction \sM["]est non contradictoire(théorèmede Churchet Rosser). Bien plus, si I'on tente d'y reproduire le paradoxeensembliste,on aboutit à un r{sultat simple mais puissant: le theorèmedu point ûxe. Iæ présent article eet une introduction, non un survol. Nous avons omis notamment le calcul À avecextensionnalité(la conversion-7),le calcul À t,'pé et/ou stratifié, la logiquecombinatoireainsi que les modèlesdu calcul À. Nous nous sommesbornéssur le plan techniqueà démontrerle théorèmede Church et Rosserainsi que la représentabilitédesfonctions récur€ivespartielles (via les machineade Cutland). En guise de référencebibliographique nous nous limiterons à la Bible en la matière : E.P. BARENDREGT, The Lambda CalcuJus. Its Syntax and Semantics,North-Holland, Amsterdam, 1981. Nous présentonsdans ce paragraphequelqueeidéessou+jacentegau concept de fonction tel gu'il est mis en æuvre dans le calcul À. Une fonctiou / appliquée à uu argument z produit une rraleur /(r). Etle effectueun certain travail que I'on peut évaluersoit en ne congidérzntque eon réeultat soit en tenant compte du tranail lui-même. Le résultat ou I'ensemble des couplæ (r, f bù est appeléle graphe ou I'qtension de Ia fonction (noue n'examinonapour I'instant que les fouctionsà une nariable). Selonle point de vue eneemblisteou extensionnel,la fonction est ideutiûéeà son graphe. Qui plus eat, une fonction est tout simplement uu ensemblequelconquede couples vérifiaut des conditions d'exigtenceet d'uaicité. Iæ conceptde fonction devient donc extr€mementprécis mais au prix d'une occultation de ce qui constitue la nature même de la fonction. Il devient impossible d'afrrmer que deux fonc-

63

tiong (diatinctee)ont mêmegraphe. Iæ conceptde fonction e'estrétréci. Il e'est aussiélargl car cette déûnition ensemblistequi pæe non seulementque toute fouction est un graphe, maie encoreque tout graphe eet uue fonction, accorde le statut de fouction à deeeneemblesqui ne sont I'extensiond'aucun processug effectif. Ce qui est appeléintension (avec "sn) ou sensd'une fonction s'impose lorsqu'on prend en compte le type de trarrail effectuépar la fonctiou. Cette notion est plus délicateque celled'extension.D'aucunsla considètentcommeune idéevagueet lui préfèrent pour cette raison le conceptd'extengion. Or les idéeg \ragueseont fécondes.Elles sont sourcesde conceptsmultiples. Il en va ainsi de la notion d'intensiou. Une fonction commecelledésignéepar I'expreasion12+2, par exemple,représenteune correspondancequi stétablit en exécutant guccessivement deux instructione : élever ltargument au caré, ajouter I'argument au résultat. Tout un programme ! Si I'on identifie une fonction à sou prograurme,on obtient un conceptintensionneltrès étroit. L'expressionr(z + l) décrit alorsune autre fonction que celledécritepar 12* s. Cette vision un peu trop sensiblepeut être ocorrigéeoen introduisant une relation d'équivaleuce entre progrâmmesayant même extension. Chaquerelation de ce type fournit un conceptd'intension. Les cas limites gont celui où une fonction est un programïne et celui - trivial - où tous les pr'ogrammessont équivalents- ce qui redonnela déûnition extensionnelle.Le conceptd'intension, quelle qu'en soit la détermination,prime celui d'erctension.Outre que I'extensionest une intengion floue, I'intension permet en principe de trouver le graphe mais non Itinverse. Une fonction e'appliqueà deeobjets. Ces objets peuvent à leur tour être deefonctions. L'intégrale définieet Ia dérivéeen font foi. Plug radicalement, il n'est pas indispensablede digtinguer les fonctions des entitée qui ne sont pas des fouctions. L'artitce qui consisteà associerà chaqueobjet Ia fonction conetantedont la valeur est cet objet quel qu'en eoit I'argument, permet de faire l'économiede la dietinctionfonction-objet. Eabituellement,les arguments d'une fonction sont d'un certain type et il en va de même des valeurs. On ne peut pas appliquer une fonction à n'importe quoi. Une fonction ne prend traditionnellement son sens que si I'on précise le domaine des arguments et celui des %leurs possibles. On devrait donc faire une différence entre une fonction courme élevæau czrré dans Jesentiers et la fonction élevs au carré dang læ Éels, négligeant par là I'analogie orietant entre les deux. De même ce ntest que par abus de langageque I'on pourra parler de la fonction triviale d'identité dont la valeur egt identique à I'argument. Il y aurait donc autant

64

de fonctionsd'identité qu'il y a d'ensembles.Par contre, selonle point de vrre naif, l'identité de élever au carré est éIever au czrré et I'ideutité de I'identité eet I'identité. En effet, la notion de type ou de domainedisparaît si I'on prend en compte I'attitude naiïe. Dans le calcul À, tout Eeraune fonction et les fonctions s'appliqueront à n'importe quelle fonction, y comprie à elles-mêmeE. Ceci découled'ailleurs partiellement du point de vue intensionnel. Car gi une fonction est un progratnme- modulo une relation dtQuiralence - on poura le faire agir sur n'importe quel autrc prograrnme,quitte à ce qu'aucune valeur déterminéen'en résulte. Lorsqu'ondéfinit la fonction commeétant son graphe, on se donne deux ensembleeet on construit la fonction à partir d'eux. It n'est donc pas possible,se"s introduire un élémentimprédicatif, d'appliquer la fonctiou à elle-même.Quand, par coutre,on abordele conceptde fonction par la voie intensionnellec'est la fonction qui est donnéed'abord et le domaine deg arguments-et donc aussiI'ensembledesvaleurs- en est déduit commeétant I'ensembledes entités qui donnent une naleur lorsque Ia fonction 8'y applique. Ireefonctions à plueieursargumentspeuvent se rrmener à des fonctions à un argumentmoyennantI'introduction de la notion de n-uple. Ainsi I'addition peut être envisagéenon comme une fonction à deux argumentsmais comme uue fonction à un argumentdont le domaineest constituéde couples.Toutefoie dans le calcul À un autre procédéde réductiou lui est préféré. Il s'agit de I'astucede Schônfinkelqui utilise l'élargissementde la notion de fonction tel qu'il eat pratiqué du point de vue naîf. La fonction d'addition sera à nouveau coneidéréecomme une fonction à un argument. Mais cette fois I'argument n'est plus nécessaircmentun couple. Par contre la valeur de la fonction est une autrefonction. A I'argumentr, on associelafonctiony r+ r*y qui àyfait corresPondrer*y. Cette méthodeest bien counuedangle contexteensembliste - ou catégorique- où elle indigue qu'une fonction de â x B à valeursdans C n'est autre qu'une fonction de .A à rraleursdans CB : çAxB = (CB)^. Lz fonction xt! è î + y sera,dans I'esprit du calcul ), remplacéepar la fonction ,*(y''r*g). La distinction fonction-objet est suppriméedane le calcul À. Tout y est fonction. Elle est cependantremplacéepar une autre distinction, celle de la fonction et de sa valeur pour ur argument, valeur qui est elle-mêmeune fonction. Ceci rejoint à nouveau le point de vue intuitif qui conduit à faire Ia différenceentre la fonction qui à s associezz * r, à eavoir x ,- u2 f r, et sa valeur pour I'argument x : n2 + t. Le principe d'abstraction, corrélatif du principe de compréhensionen théorie des eneembles,permettra d'extraire de

65

chaqueexpression ... t...u. .. la fouctionr r+ eat notée À2.

L'opération u H

D'autre part, chaquefonction peut stappliquer à ntimporte quelle autre fouction. L'abgtraction et l'application sont dea opérationgqui s'annihilent. La fonction Àr...r...u... appliquéeà I'argumentz donne commevaleur . , .2 . . .2 . .. . Ce phéuomèneappelép-conversionest l'exempleprivilégiéd'une relation d'quiyalence déterminaut un concept d'intenaion, du moins si I'on cousidèreles ocpressions,ou termes, du calcul À com-e dee prograulmeE.

2. Formalisation

du calcul À.

Iæ langage du calcul À est coustitué d'un alphabet et d'une syntarce. L'alphabet comprend une infinité de variables, les symbolesÀ et : ainsi que des parenthèses.La syntarceénonceles règlesqui permettent de construireles terues --+ensésdésignerdeafonctionr et les formules. Ces rdles syntalciquæsont : o toute variable est un teme; o ei M et ff sont deetermes,alors (MN) est un terme; o ei M est un terme et r une variable, alorg \r M est un terme; o si M et ff sont des termes, alonsM - ff est une formule. ûmmeataire : M : JYsigniûe que les termes M et ff désignentla mêmefonction au sensintensionnel.(MN) est eensédésignerle résultat de I'application de (la fonction) M à (l'argument) /Y. \r M est le pendant de la fonction z r- M qui à r fait correspondreM. Dans Às,M lee occun€ncesde la vzriable u sont liées (on dit aussi apparentes,muettesou locales).Oo identiûera,courlnectest l'usage,des termesqui ne diffèrent que par les variableeliéee. Par exemple Àr(cy) et Àz(zy). On aurait pu utiliser les carrésde Bourbaki et concevoirÀr(zy) comTe une écriture populaire pour y) . M - J[ signiûera que M et ff eont identiques aruc àlF vzriableg liees près --ou que M et JV sont des écritureg pour un même terme aveccarrés de Bourbaki.

66

Si M, ff sont des termes et r une rrariable, M[, :: ffl est le réaultat de Ia grubstitutiou de /V au:Koccurrenceslibres de s dans M, ou dane un terme = M, gi une nariablelibre de JV risquait d€tre liée. Ày(yx)lx:- zlæt donc Ày(yr), mais )r,y(yx)lx::9J æt \z(zy) et non )y(vy) (lltrr)[r:: y] est Moyennantcesconventionsusuelles,on pourra traiter Ia euHitution 1!!V)). commes'il n'y anait pas de variablealiéea (voir I'ocerciceci-degsous).

A:ciomes et règles du ealcul À Un terme de la forme (ÀxM N) est une eoupure et le teme Mtr:- ffl eat earéduite. Leg arciomeaet règlesdu calcul À exprimercnt que M - JYest vrai si et seulementsi ff peut s'obtenir à partir de M en remplaçant successivement certaineg(occurences de) coupurespar leurs réduites ou certaineeréduiteepar leecoupunescorrespondantes : o (Àc MN) :

MIx::

ff],

o M -JV, o M =/V==+ff-M, o M -ff,

N--P+M-P,

o M - M',lV : lV' + o M:M'

(MN) : (J|/'ff'),

-+ÀrM-\xM'.

En vue de clarifier les écritures, ou admettra les notations suivaDtes: o M1M2...Mo pour (...(Mt Mz)...M") -associationdeeparenthèses à gauche; o À z r. . . r , ' . . M N r . . . f f - p o u rÀ z r. . . À r n ( . . .( M / y r ). . . / V - ) ; o (Àc M) pour \x M; o MIQ pour M et MIlq pour Mlz :: JV],s'il n'y a pas d'ambiguiréà craindre.

67

&ercice Corriger la "démonstrationDsuivante : (Àz((Àyz.y)zy))x = =

(\Yz.Y)xY (\2.2,)y

=8.

()z((Àyz.s)zù)s = (\z((\z.z)Y))" = (Àz.y)x =y. Donc,x = 9,

3. Noug dounougmaintenant un premier aperçu de Ia puissancedtexpression du calcul l en répertoriant quelquestemes importauts. Iæ terme \r r - ou à_-tl - est noté f et représentel'identité. On a IM = M pour tout terme M, en particulier II - I. Iæ terme \xg.r -ou

est noté K et repÉsentele producteur de àl!fonctions congtantes.KM reprâente la fonction constanteassociéeà M, cat KMN _ M.

- est noté 5. Il permetde

Iæ terme\xyz.xz(yz) - * +ïàEE-ç-D)

distribuer I par rapport à I'application : ,5(ÀzM)(^" iV): \z.MN. si P, M et JVeont des termes, le teræe PMN s'écrit egcore : M si P et iV sinon. Pour rendre cette notation efrcace, on convient que le teme K représente égalemeutle vrai et que le terme \ry.y -ou Àà!f- qui est noté F représente le faux. On a douc : M eiP et lV sinon - M, M si P et ff sinon - ff,

si P = Ki si P : -F.

Lee n-uples(n > 0) peuveutêtre codéscommesuit : (Mt,...,Mo) æt le terme \x.xM1 ...Mo -ou à_nrtrt ...Mo- la variablez n'étant pas libre

68

dans l'un des M (l < r < n). Cette déûnition est acceptable,c:rr on peut coder les projections correspondantee.En effet, ei I < d ( n, soit pf le terme À z r . . . r , . . r i - o u À . . . à . . . À Ç , l e l i e n é t a n t i s s ud u d è m e1 . O n c o n s t a t e que :

( M t , .. . , M " I P ?- M ; .

Par conséguent, (Mt,...,Mo): r
(Jyl

JY-) entraîneque M;:

N; (t S

Uu teme de Ia forme MNt... ff" peut être compriscommele résultat de l'applicationde la fonction M auixargumentsJYr,...,lYo. Le teme (Ir4 ot, plus ou moins, le représentantde la fouction n-aire au senshabituel : ( M ) ( / V t , . .. , f f " ) : M N r . . . J V " . En général, ( M r , . . . , M ^ ) ( / Y t , . . . , J Y " )- M 1 i l r . . . N o M z. . . M ^ . Notonsque 0=/:pl,

K:p?,

f : KI:pZ

et MeiPetiVsinon :(M,Jv)p.

En utilisant les relations suivantes: e Àsx:f -SKK, e Às M - KM, gi r n'egt pas libre dans M, o Àx.MN: S(Àz M)(Àn N), on peut montrer que tout terme cloo (sansvariable libre) se ramène à un terne qui est unejuxtaposition de ,S,de K et de parenthèse8.Soit alors 6 : (S, K). Ona GG= SSKK: I G(GG): GI : ISK= r,

G(G(GG)):Gr-K, et c(G(G(Gc))): GK = S. Tout terme clos se ramènedonc à une juxtaposition de G et de parentbèsea. - où r est Si .[f est un terme, uy' est le terme \x.M(xx) lgç$) uon libre daus M. On rcmarqueeue û/yûlu = M(wuwu). Cda montre le Théorème du poiat 0xe Pour tout terme M, il e:
69

1. La réduction et les concePts apparentés Un terme est dit normal s'il ne contient pas de coupures. Autrement dit, dans un terme normal il n'y a pas de eoue-termesde Ia forme (ÀrM)il. Il eet aieéde montrer par induction eur Ia structure des termes que tout terme du calcul À est de la forme: Àrr. ..uî.MMt...M^,

n,m ) 0,

où M est soit une variable, eoit une coupune. flonc, les termes notmaux eont ceux où M est une variable et où les M; (0 < , < m) sont nomaux. Eremplea Iæs variables, lea termes I, K, F, \z.xxxr gII sont nornaux. Par contre, lee termes yln et (Àz.raz,)()tx.nrr) ne sont pas norlnau:x. Remarquonsque Vgn : yI et que yf est normal. Par contre, il ne semble pas y avoir de terme normal /V tel que OO - JV,où O est le terme \x.rxr. On constateen effet que OO - OOO: ... : OO . .. O etc. Ceci conduit à la définition sui\rante:un terme M a une forme nornale s'il e:dste un teme normal /Y tel que M - JY. En ce cas, JY est une forme u,ormde de M. Dans un terme normal, il nl a pas de coupures. On peut donc espérer obtenir une forne normale dtun terme en y remplaçant les coupurespar leurs Éduites. Cependant,ainai quten témoignent les exemplesci-dessus,de nouvelles coupurespeuvent apparaître au cours de cette opération. Et il peut en être de même ei on poursuit le processusde normalisation. D'ailleurs daus certaing cas la tentative échoue. Aucune forme nornale de OO, par ocemple, ne peut en réeulter. Défrnition de Ia rclation de r&uction à ff, en abrégé M L JV, si /Y eet le M sa réduit irnrn{diltement résultat de l'élimination d'exactementune (occurencede) couPunede M. 1ff, s'il existeune suite finie de termes M se redult à ff, en abrégéM I,Io,...rM* telle gue Mo = M, Mt, ff et M; L M*u ai 0 < t < fr.

70

(Àc.IIr)((Àv."y)4

( À x . Ih ) ( x l )

()z.Ir)(zI)

II(xI)

I((Ày.ry)I)

I("4

.ry)I (Àv ,/ \ \ t

I

Figure I

- JV. Réciproquement,on vériûe que Il est clair gue s\ M -- lv alors M M - JV si et seulementei il existe une suite ûnie de termes l[or...,M* telle que Me = M, Mrr: IY et M, L M;+r ou Mr L U, (OS i < h)' Si M A JY,alors M n'est p:rsun terme normal. En particulier la relation -L, u'est pas réflexive. Mais il y a des termes qui se réduisent immédiatement à eux-mêmes.(Àz.xn)(\z.rz) en est un exemple' La relatioo -L n'est pas transitive bieu qu'il y ait des termes M, N, P, p. L'exemple précédent en fourait. tels que M L fl, I l* p gt M \ -L z' PIus simplement:(Ày.u)(If I 1fv.")I Une réductioa de M est une suite de termesMorMt,... telle que Me = M et M L M;+r, si 0 S d et M; n'est pas normal. Uu même terme peut donnernaiesanceà des réductionsdistinctes(voir Figure 1). Un terme est normalisable s'il se réduit à un terne normal. Cela revient

7t

nno \

It".vxoooo)

(À".vX nnooo

Figtrc 2 à dire qu'il a une réduction finie. Signalons,pour mémoirre,qu'un terme absolument normalisable est un terme dont toutes les réductiong eont finies. La Figure 2 montre qutun terme normalisablentest pasnéceesairement abeolument normalieable. Tout tenne normalisable a une forme normale. La question de savoir si tout terme ayant une forme normale est nomalisable gera tranchée dans le paragrapheeuivant. Noueconcluonsce paragraphepar une proposition, démontrablesanspeine, qui sera utilisée tacitement dans la suite. hopoeition

O

l. Si M M.

+ ff, alors toute rrariablelibre de ff est une variable libre de

2. M [r:=JV][y::P] : n'est pas libre dans P.

Mly::Pl

[z::

jY[y::P]l,si x*y

3. Si M

+M', alorsMlx:= JVI--+ M'Ir::.rYl.

{. Si JV+

JV', alorsMlx:: JYI+ MI, t- /Y']. 1 M' et JV---- ff', alorsMlx:: /Vl -+ M'Ir::

5. Si M

72

ff'].

etsis

5. Le théorème de Church et Rosser L'auto-référenceeet gouventsourcede contradiction. Dang le calcul À, il eat permis d'appliquernn terme à ntimporte guel terme y compris à lui-même. Ne peut-onpas dèslors par un argumenthabile montrer que M - JVquelsque eoientM et ff ? It gufrrait pour celade prouver, p:u exemple,que X = F, car alorsM-KMN:FMN-lV. Si M et /V se réduisent à un même terme, alors M : N. Donc, pour montrer que M - J\r,il sufrt de trouver un terme auquel M et ff se réduisent. Or K et F sont destermesnormauKdistincts. On ne peut pas par conséquent dftuire K - F par cette méthode. Iæ théorèmede Church et RoeEeraffirme qu'il n'y en a paswaimeut d'autre. Autrement dit, ei M - JY,alorgM et /Y se réduisentà un même terme. On pourra en concluregue K +.t' et en général que M I /Y si M et JVsont deux termesnormaux distincts. Il est remarquableque les démonstrationshabituelleede ce théorèmegont combinatoires,en ce sensgutaucuneréférencen'est faite à une représentation intuitive du concept de fonction tel qu'il est manipulé dans le calcul À. Les fameuxmodèlesde Scott, qui sont de tellesreprésentations,ont été découvertg bien aprèsque la cohérencedu calcul À ait été établie par la voie du théorème de Church et Rosser. En vue de donner une démonstratiousimplifiéede ce théorème,uous aseocieronsà chaqueterme M un terme nofé g(M). Si nous compreuonsune Éduction commeun (essaide) calcul de la valeur d'un terme, eQuOpeut-être compris coulme étant une première naleur approchéede M obtenue en éliminant progressivement les coupuresà partir de I'intérieur. Déûnition de p . p(r) est r, . gfQ) est p(P)p(Q), ri PQ n'eet pzx une coupure, o p(ÀrP) est Às p(P), o p((ÀrP)Q)est p(P)lr:: €(Q)1. Lemme I

t . Qe) p@)- p(PQ). 2. QW) [r := p(/Y)]- e(Mlz:: JV1y. T3

Dé:r,onstration 1. Si PQ n'est Pasune couPure,alors p(Pq = eV)p(Q). Si PQ egt une coupure: (\xP')Q, alors

e!)e@) = (lrs(P'))p(Q)-L p(P')[r:: p(A)]= eVQ). 2. Par induction sur la structure de M, On supposeque r n'est pas liée dans M. (r) M eet une rrariable i. M:

u i en ce cast elrQ[r :: p(/Y)l =

p(JY)

= e(Mlx:-i\rl).

ii. M*x,

alors QW)[z:= p(il)]

=

Q@[)

= p(Mlr:- /YJ).

(b) M = PQ n'egt Pasune couPurre. Par hypothèsed'induction et 1 : g[M)[r := p(Jv)] =

p(P)[z :: pff)] p(Q)Is:- s(Jv)l

'+ eVI" ': rYl)P(Q\E::Jvl) --+ e(MIz:: ivl).

(") M: ÀyP. d'induction: Par hypothèee QW)[r:: p(ff)] + =

Àyp(Pfu:- ffl) eM(Is '- ffl).

(d) M = (ÀyP)Q. On suppæequey estnonlibre danslY. De plua,r n'étantpas d'induction: liéedansM, r # y. Par hypothèse

e!r[ [x :-- p(/Y)] = eV) ly:- p(Q)l[r :: p(lY)] = Qe)lx :: e(Iv)l[y '= eQ)|, '-- s(rv)]l --+ eFb '= fll)[y,- p(Qlx'- ffl)] = e (Mlx:: ffl).

n hoposition

I

L. M - p(1"{). 2. SiMLlV,alorsff+

eQY1. 3. Si M + /Y, alors p(M) -- e(lY). Démonstration 1. Par induction gur M. (a) s+u=p(r). (b) Par hypothèsed'inductiou et Ie lemme 1.1 :

PQ-ef)e@)-p(PQ). (.) Par hypothèaed'induction : Àn P * lr s(P) = s(Àr P). 2. Si M L N, M contient une coupure. On procèdepar induction gur M en tenant comptedes cas guivants: (^) M : (Àr P)Q eat Ia coupureéIiminée(basede I'induction). Donc, JY: P[s t: Q]. Eu vertu de 1, JY--+a(P) [r := p(A)] = p(Iu{). (b) M = PQ n'est pas la coupureéliminée. Alors JV = PtQ avecP g P' ou ff = PQ' avæ,Q L Par I'hypothèsed'induction, le lemme 1.1 et le point I : JV--+ p(P) e@) *

QQu{).

q'.

(") M = \x P. Douc N = ÀxP', où P L

P'. Par I'hypothèsed'induction :

\x P' -+ Às P(P) = PQ'q. JVentraîne p(Iun * p(lY). Les cas de 3. n gufrt de montrer que M \ peu de choseePês, semblâblesà ceru( à I'induction à euvisagersont, du poiut précédent. (") M = (Àz P)Q et ff : P[r ,- Ql. Par le lemme 1.2 :

s(M) : +

p(P)lx :- s(q)l ells': Ql)

=

p(ty). P', ou 1y - (ÀzP)Q'

(b) M = (ÀrP)Q et lY : (ÀzP')Q avecP L avecQ L Q'' Par hypothèsed'induction : -

e$u|

P(P)[" :: P(Q)]

--+ 1{f')[r :: p(e)l ou e(P)[o :- p(Q')] :

p(ff).

(") M = PQn'est p:rsune coupure. Donc, N = P'Q avecP \ ou JY= PQ' avecQ L Q'. Par hypothèsed'induction et le lemme 1.1 : eW)

+

eV')p(Q)

-+

p(ff)

e(P)e(Q')

=+

e(/v).

ou {

(d) M : \xP,iV=ÀsP' el P Par hypothèsed'induction :

L,

Pt.

pt

BW): \ns(P) -

Àxp(P')= p(JY).

n Théorème de Cburch et Rosser Si M - ff, il exigte un terne P tel que M + P et /Y + P. Démonetration Nous montrons que pour toute nrite de termee Mo, . . . , M* (k > 0) telle que M, L M;+t ou M;.'1 L M;, loreque0 S d I k, on a M* déeigne ici le terme Le théorèmeen découlera ù(Mo). û(M) ryW. i",médiatementen vertu de la proporitfofotî.r. Nous raisonnonspar récurrencesur tc. 1. Si rt : o, Mo - eo(Mo)= Mv 2. k > 0. Examinonsles derr:(situationspoesibles. (a) Si Mxq \ Mr, on a My - p(Mr-r) (proposition1.2). pâr hypothèse,Mr-r -* d-l(Mr). En outrer Donc, par la proposition1.3, e(M*-) - Qk(Mù. D'où Ia conclusion. (b) Si MË ! Uo-r, alors par hypothèeeet la proposition 1.1, -* M*_r d-l (Mo) - ph(M). Et donc,M* - ah(Mo).

il Corollaire 1. Si M et lV sont uormauKet distincts, alors M + lV. En particulier, le calcul À est cohérent. 2. Un terme a au plus une forme normale. On peut donc parler de l,a forme normale stil en existe. 3. Tout terme ayant une forme normale eet normalieable. 4. M a une forme normale si et eeulementsi il ociste un nombrc naturel ft tel que d(M) est normal. Il y a donc une stratégie pou coustruhe une réduction débouchantsur la fome normale, si elle oriste.

77

Bemarques 8ur la démonstration

de Tait et Marti!-Iôf

La démonstrationdu théorèmede Church et Rosser,réalieéepar MartinLôf selon une idée de Tbit, consiEteà définir une relatiou de réduction quasi immédiate que nous noterons S te[e que : L. M 3lV

entraîneM - N,

2. Mlf

e n t r a î nM e

g. Si M L lY et M L etlY,\p1

qrN,

lY', alora il eniste un terme B tel que /V L

n

M /\

/\ lv'

il

\/ q \

R

/

(La propriété B est appeléepropriété du losange.)On en déduit la propriétédu losangepour la réduction ordiuaire et, de là, le théorèmede Church et Rosser. o et de règles. La définition de Ia relatioo , egt donnéeà I'aide d'arciomee partir de la à directement s'obtient résultat que même le Nous montrons ici -+ P(I'{)' -L + JV et lY M ff M pour cela proposition l. DéfinissonE Par: Cette relation vérifie les propriétés I et 2 (proposition 1.2). EIle vérifie lY, alors JV + p(tV) et égalemeutIa propriété du losange. En effet, el M I : lors Dès eW) - p(iY) (proposition1.3).

7E

M ,/\' /\ ffN'

\/ q\/ e$Y{)

6. Une dee réuggiteales plus fameusesde la logique contemporaineest la caractérisationde la notion de calculabilitéindépendammentde tout système formel. La notiou de calculabilité acquiert par là un caractère absolu. Ceci signifie que lea diversegdéfinitione exigtantes de la calculabilité sont touteg équivalenteseu ce qu'elles décrivent la même classede fonctions, du moins au point de vue extensionnel.Dans ce paragraphe,nous montreronsune partie de ce rémltat, à savoir que les fonctions calculablessont repréaentablesdans le calcul À. Nous prendrons coyrlmedéfinition de référencede la calculabilité la déûnition particulièrementéclairante,dounéepar Cutland (dane Computabitity, Cambridge University Press,1980). Cette définition présenteles fonctions calculablescomrneétant cellesqui sont prcgrammablessur un ordinateur théorique apPeléURM (Unlimited RegisterMachine). Cesfonctious sont exactement leafonctiongrécursivespartielleaou programmablesEurune machinede 1\rring. Pour repréaentercesfonctions dans Ie calcul À, il est indispensableavant tout de coder les nombres natul€ls de manière à pouvoir représenterle successeur et la fonction caractéristiquede l'égalité. Nous poumons enauite, aprèe avoir rappeléIa définition de Cutland -en la manipulant quelquepeu -, représenter l'eneembledes fonctions récursivespartiellea. Pour cela, nous utiliEerons un théorèmedu point fixe. Codage des naturelr Lee nombres naturels sont codésdans le calcul À par dee temes appelés

79

uumêraux. Il exigte différeuts systèmeade numéraux. Celui que nous utiliserone est singulièrementindiqué pour Ia démongtration du théorèmede Kleeue et T\rring qui suivra. Défrnition des numéraux A

=

n*1

= (tr''a).

(\qz . xyzK, Àz.F),

le uuméraux sont de8 termes normaux distincts. Donc, par Ie corollaire au théorèmede Church et Rogser,si n * m, alors g# m. Lcnme 2 (représentation de ltégalité) Si n et m gont des naturels, alora ILm: K ei n = m et n I&.: -F'gin I m. Pour la démonstrationde ce lemme, on commencepar vérifier, par un - F, et n* 1m* I :mn' c a l c udl i r e c tq, u e0 0 : K , n * 1 0 = f , q n + I Ensuite, par récurrence8ur nr on obtient nn:K

et gn*m:M.n:F,

eim>0.

tr Déûaitioa

de la calculabilté

selon Cutland

où Ii un programmeURM est une suitefinie d'instructione: \,...,1, a donc < U y 2 , m , 9 € N ) . ( 1 d e , S e a ts o i t Z ( n ) , s o i t S ( n ) , s o i t J ( n , m , q ) annuler trois types d'iustructiong dont les siguiûcationssont, reepectivement, le coutenu du registre n, remplacerle contenudu registre n par son successeur, compa3erles couteuus des registres n et m et sauter (Jump) à I'instructiou g, s'ils sont égaux. Pour la comnodité, Cutland introduit un quatrièmetype Ie transfert. Celui-ci n'egt pas théoriquementnécessaire-Nous à'i*t*.tion, De nouSen occuPelonsPils. Un progrirmmeagit aur dessuitesde naturelsnr, .. . r Rr,0,0. . .r 8eterminant pig une infrnité de zérrce,placésdans les différentsregistresde la machine.

EO

On applique succeseivementles instructions dang ltordre sauf lorEqu'uneinstnrction J(n,m,g) enjoint de sauter à I'ingtmction g. Lors du déroulementdu pllgamme, il n'y a qu'un nombre fini de registreemoditables. Ce nombre est déterminépar Ia eituation des registresau départ (l'entrée) et par lee nombres apparaiasantdane les instructions. On peut donc décrirc le déroulementd'un programmeen ne considérantque l'évolution d'une suite initiale de registres, de longueursuffsante. Plus précisément,nous dirons gue I eat (un nombre) sufrsaat pour Ie progremme P si I ) au numéro maximum des registrcs mentionnéadans les instructionsde P. s o i t u n p r o g m m m eP : L r . . . r r , e t u n e s u i t eR l r . . . , n 1 d e n a t u r e l s( l sufrsantpour P). Le déroulemeat de P, appliqué à tâ flrite zr t...tntr eet la guited'étapes eotê;,. .. définieainsi : o c ae s t I , ( o t , . . . , n t ) i o si ei est I; (rr,. . .,4) et d ( s, alors - e i + r e s tI ; + r ( t t , . . . , 0 , . . . , r r ) g i I ; e e tZ ( o ) , - c i + r e s tI ; . . 1( t r , . . . r r a * 1 , . . . , 4 ) s i I i e s t , 9 ( t ) , - e i + t e s tI o ( " r , . . . , 4 ) s i I ; e s tJ ( n , m , q ) e t n , - = r m t - e i + t e s t I ; . ' 1 ( " t , . . . , 4 ) e i . I i e s tJ ( n , m r q ) e t î o * r ^ . Dans cette déûnition, nous BupposonE gue I (r, a) désigpe11 Ei t ) s. f)onc, si le déroulement est ûni, Ia deraière étape est un nombre naturel (le résultat du calcul). Déûnition de la ealculabillté Une fonction de Nt -r N est caleulable g'il existe un prograrnme P : 1 r , . . . , I , t e l q u ep o u r t o u t I e u f r s a npt o u r p e t 2 l c : o gi lr (or,...,nÊ) - m alors le déroulementappliquéà la suite (de longueurl) rt,...,n&r0r...,0 est ûni et sa dernièreétapeeatm; o si lù (rt,. . . , nr) J alors le déroulementde P appliqué à la suite (de longueurl) *r, . . ., 1160r.. .,0 eat inûni. bcemplæ Le progr"-me : J(1, 2,4), s(1), J(1,1, L), z(l) calculeLafonctiot f b,y)

81

définie par :

. f ( r , y ) : 0 , e ix 1 Y , f @,ù 1, sinou.

Ce programme egt schématisépar I'organigramme : départ

4:rz?

t1 i=11 *1

Appliqué à la guite 5, 6, le déroulementegt : eO C1

ez ?3 Ca C5

11(5,6) 12(5,6) 13(6,6) Ir (6,6) I{(6,6) 0.

Appliqué à la suite 6, 5, le déroulementeet inûni' Tous Iæ prograrnne: J(2,3,5), s(1), s((3), J(1, 1,1) calculeI'additionsesdéroulementseont finis. des proNous nous proposonede mimer dang le calcul l les déroulements grammes URM: Pour celq nous définissonsici un concept de représentation intensionnelle. - Irr...,Ir) et x un terme du calcul À' A chaque soit un programme(P '81,' ' '' où déroulementde P : eotêrt,. . nout associonela suite de termee &, que xptrr...rt Ei eat xpirr...rr lorsqueei e8t I;("r,...,û) (il eat entendu n'egt autneque IL si t > s).

E2

l{oue dirons que X représenteP jusqu'à | (l sufisant pour P) ai pour tout :érculementde P (appliquéà une suite de longueurl) : eorêt,..., oD a : 1.Eo-Er+"' 2. Eo n'a pas forme nomale si le déroulementest infini. La premièrecondition aurait $rffi si nous nouEétions limités aux fonctions ; c: alee. l{ous dirons que P est repréeentable si pour tout l, nrfrgant Pour P, il :; a un terme X qui représnteP jusqu'à l. Le théorème du point ûxe suivant aura pour fonction essentiellementde Égier le cas des programmesayant des déroulementsinfinis. Théorème du point fl:re ftis) Si M[c] est un terme normal, il existe un terme ff tel que g(/V) = MIl{1. DÉ-monetration Mlrl étant normal, Mlxrl l,est également. I)ès lora, p(Mlxxl) = Mlxrl. a donc bien Ia propriété requise. i,e terme N = (\nMlnxl)(\xM[rr])

! 1Aéorème Tout progranme URM eat représentable. Démonstration un programmeP : hr. .. ,1, et un nombrel, sufrsantpour Coneidérons P. A chaqueinstruction 16 (t S i S s) nous a€socionsun terme P.["] ayant au plus t comme va,riablelibre : . P ; [ t ] = À z r . . . î n . ' . u t ' x P ' i + r z 1" ' 0 " ' s t r

s i I ; e s tZ ( " ) ;

. P i [ s ]= À r r . . . t î . . . e t . x P l + f 1 . . . ( 4 r ' ) . . . t t t s i I i e t S ( t ) ; . Pi["]: Àrr ...\.bplrt...rt est J(2, m,q).

a i x o n ^ e t r p t * r r 1 . . . 2 s s i n o n) , s i I ' .

(L'expressionrpf tr1...r1 désiguet1 Bi t > t.) Les termes Pi[r] étant normarxx,Ie terme (Pt [t], . .. , Pr[r]) eet également normal.

E3

Par Ie théorèmedu point ûxe (bis) il ociste un terme Iræ tel que :

.. ., P,tI*l). e!ræ)= (Pt[Ins], Nols montronsque IræreprésenteP juequ'àl. Soit êotêr,. . . le déroulement de P appliqué à une suite de longueur l. Par constmction, le lemme 2 et Ia proposition 1.1, on congtateque : n.

= -{ : +

Irupil. . .n e@i) p(Ins)piu. ..\ ) l a. . . r t ( & [ I * ] , . . . , P , l l n s lP PdtI*lIr...t, Ei*t, 8il
Il ne reste donc qutà montrer que Es n'a pas de forme normale gi le déroulementest inûni. Er11 (si Remarquonsd'abord que nousvenonsde montrer que g@l);' Ei g el eylsont dansle déroulementde P). Donc, parrécurence, d@o) (si er.est une étape du déroulementde P). Eu effet, go(Eo)= Eo + ft et si p(Ei Ei*t (proposition1.3)' d(E ) * Ei alorgd+t(Eo) g " a E, L ' a Si le déroulementest inûni, Ia r&uction Es Ei L. . . est infinie. Dès lors, ei Eo arrait une forme normale , d @o) par y'(Ee) Ei Ie corollairc du théorèmede Church et Roeeer- on aurait que est. guod absurdun nomal, que serait E; donc et

tr Coroll,aire (Kleene et lbring) Si tr est une fonction calculablede Nft - N, il existeun terme .tr du calcul ) tet que, pour toute suite r1r . . . r 7lË| o si lr(n1'. . . ' ot) : m, aloraEg. . .& -- mi o si h(n1r..., nr) 1, alorsEu. . . nE n'a pasde fome normale' Autrement dit lea fonctione récursivespartielles sont repréaentableadang le calcul À.

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Démonstrztion soit un progra'nmeURM pour h et I un uombre ) È et eufrsant _ pour p. Par le théorème,il y a un terrte InareprésentantP jusqu'à t. E sera donc le terae lrr . . .xl.hu plq ... rr . \1! f-È foir

E} Annexe : les numérarD( de Church La codiûcatioudesnaturelsque nou8avonsutiliséeest peu naturelle. Sou avautageest de menerrapidementà une repréaentation de iégalité, néceasaire pour reproduire les instructious de saut daus le calcul À. Ll prenière codiÊcationdea naturels a été proposéepar Church. Elle est baséegur la notiou intuitive d'itération d'une fouction. Au naturel n correspond I'opérationqui consigteà itérer n fois une fonction. La déûuition des uumérauxde Churchest donc la guivante: ,n,=Àry.xoy, z"y étznt déûni, par récurrence,commesuit : soy=get a*+ty={xhy). Donc, . U= Àsy.y=F, 'l'= . \xy.xy,

. ? = \ry.z(xy), .

'g':

\ry.z(z(ry)),

etc. L'intéÉt de ces numéraux, outre l.u, ."r"ctère uaturel, est qurila permettent de donneruDereprésentationfidèledes fonctionsrécursivesprimitives s:ursemployer de pointa ûxea. on aurait pu égalemeut lea utilieer daas la démonstrationdu théorèmede Kleeneet ltriing qu. oou, avonsdonnée.pour le montrer, il sufrra de repréeenterla fonctiooiu..oreur et l,égalitédans ce systèmepar des termesnormalieables.

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'C"y ,hV -quel En ce gui conceraele succeseeur,oD remarque qu. = x('rt zy\' Il s'eusuit que soit ls- et donc que h + l'ty : 3n*l 9 = x(xîy) que ai DouEdéfinis8onsSucc coulme étant le terme Lzxy.x(zay), on a bien Stcc'11': h + t'. Par ailleurs,ei z estle terme (À"(4r),q, alors z',n' : u(Àz(F, r))Q =

(1"(4 z))'0 : a. Par conséquent,en Potiult EgaJ= \ty,Zr(Zy)' tltf4 : K, si n = met .t' ai n { m.

on vérifreque Egal n"m' =

de Louvain UniucrsitéCatholique de Philosophie Départemcnt Chemind'Aristote1 $1348 Louyain-la-Neuve

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