Forcing et semantique de Kripke-Joyal (Cahiers du Centre de Logique)

condi-

rr a irn p € G te1 que

PFaoup[-Tç. Le modè1e M (au sens habituel) est engendré p a r L ' e n s e m b L e g é n é r , i q u e G s i srinterprète surjectivement dans M et pour t o u t e s e n t e n c e o de Ko, sril y un p € G tet que p lF ç, alors M F ç. Considérons le foncteur L restreignant

L, d

les préfaisceaux sur (P, ()oP au site

12

(grossier) (c, SoP. de 1a définition

La prernière condition

d'ensemble généri-que fait

de L r"rr

que L respecte CI. foncteut, Logique. Voyonsl par exemple, le fait 'lEns} p € G = avec (P, Lcrn(n) {sous-objets de p : SoP = {sous-objets a" i , (G, SoP -lEns} = na(P). des ensenbles par l'égalité La seconde êga].rtê se justifie {q I qe p et f(q) I O} et iq I q € G et ;(q) I 0} dans 1e cas oùp € G. Le foncteur L permet donc de restreindre f interprétation K, décri-te plus haut.

On pose K, = L Kr.

On a 1e résultat

suivant

:

Tout ensembLegénértque G engendre un modèLe. Cela signi-fie qu'il y a un modèle canonique l'l tel par un quelconque é1érnent de G soit

vraie

que toute sentence forcée M avec Kt On pose tU(ft1(p) =

dans Ir4. Ûn identifie

des symboles relationnels. sauf pour f interprétation = {d, ... En I it existe c, € E, .n € E, et q € G tels que a I

n(cr ...

crr)].

f"ï(t)

M ts ,Q

ssi ssi

donc constant. 11 est bien clair alors que "rt (par définition) p lF tpt$l Vp € G (carMestconstant) p l F ç t Ô l æ€G

ssi L'interprétationM

construite

3p€G

plFa.

est donc bien un modèle au sens annoncé.

2. 4. Forcing ensernbliste. Dans ce point, fut

introduit

nous considérerons brièvement le forcing ensembliste te1 qu'i1 Pour plus de détai1s, par Cohen et repris par Shoenfield.

voir par exemple [9J. 2.4.1. RapPels. Soit M un rnodèle de ZF. ûn se donne gn ensemble C de M ordonné avec plus grand élément et on définit € b, trois formules du langage de ZF : on écrit a €o b pour 1q.2 p = c) et p lF a € b pour 3c(c €O b n P lF u vdt(d€o u-lr(q(r lF d€b)) n (d€qb-3r(q p lF a=bpourvq

en P, c'est-à-dire

q (p

= b entraînent p lF "

et

q [- a = b'

coflllneun préordre muni c1ela topologie grossièconrne r"ne sérnantique r€, le forcing ensernbliste peut également se décrire S du interprétation une définir I1 suffit pour cela de de Kripke-Joyal. lieu donne Lrunique sorte langage de zF dans les préfaisceaux sur (c, s. res= ont pour interprétation au préfaisceau constant M' Les s1'mboles€ et 2.4.2.

Si on regarde (c, s

pective

au niveau P sie)(p) = {ab I p lF a € b}

3. Le forcing

et

s(=)(p) = {ab I p lF a = b}'

faj-ble de Robinson'

une notion t13l déjà cité plus haut, A. Robinson introduit notion que cette Nous a11ons voir atténuée de forcing : le forcing faible. est liée à la topologie de la double négation'

Dans son article

3.1. RapPels. Considérons un langage L et une classe I de stmctures

pour L conrne au

point 2.2.1, Soient Q une sentence de L et N{ une structure de I' ssi i1 n'y a pas ûn dit que I{ fo,ce faibLement Q, ce qui se note M Ë t, sachant que 1e syrnbole lid,extension M' de M dans I te11e que M' ll-lç, estceluiduforcinginfinideRobinsondéfinien2.Z.1. I{' de d'avantage, on voit que frl fl1 O ssi pour toute extension En explicitant 11,y a une extension M" de l,'t' dans I telle

M dans I;

autrement dit on voit

ssi I{ lt--1-1ç. naturellement

donc apparaître

que M' fl- to,

ia double négation

dans 1a définition

or i1 est bien cormu (voir t6l) que 1a double négation que 1a sémantique de est une. topologie dans uu.rtopos. Nous allons voir faible' Kripke-Joyal associée à cette topologie permet de retrouver 1e forcing la topoloà relatifs faits quelques Mais avant ce1a, rappellons rapidement du forcing

faible.

gie de 1a double négation. si G est un préfaisceau sous-objet faisceatx sur une catégorie C, la -11G, se définit point tion, notée -l -lG(A) = tx € FA ] pour tout g :

de F dans la catégorie Préf(Q

des pré-

fermeture de G dans F pour la double négaconrnesuit : existe r.rnh : C - B tel

par point B - A il

que

(x) € GC). " tr) - Sh(c'-l-l) ûn sait qu'il y a un foncteur "faisceai.r assocj.é" a : Préf(c) F(g

14

exact à gauche. voir que aG n'est

Si G est un sous-objet d'wr faisceau F, i1 est facile -l -lG. autre que

3.2. soit r 1a catégorie de préordre associée à r (cfr. allons définir

une interprétationR*

f interprétation

Nous

en prolongeant

lR de L dans Préf(I)

si ç est trne sentence, on sait final

z.z.?.).

de I dans Fais(l,ff),

de

par le foncteur "faisceau associé". que JRç est un sous-objet du préfaisceau

qui est en fait

ci-dessurs, on sait ivlais alors fournit

trn faisceau. Or conne 1R*9 vaut a lRp, par 1a remarque que IR*tpnrest autre que -l-llRç.

la sémantique de Kripke-Joyal

1a suite

I{ ll- el$l

d'équivalence que voici

associée à f interprétation

ssi

n*(,p) (M) est non vide,

ssi

r lR(ç) (M) est non vide,

ssi pour toute extension M' de M dans I, M' de M' dans I telle

lR*

:

i1 y a une extension

que IR(tp)g{") soit

ssi pour toute extension Mt de M dans I, M" de Mr dans I te11e que Ir{" [- e

il

non vide, y a une extension

ssiMËr. Le résultat

annoncé est donc établi.

4. Topos des ensembles valués par r:ne algèbre de Hevting conplète H. Pour pouvoir étudier conrnent 1e forcing booléo-valué (voir [5], par exemple) peut rentrer

dans le cadre d'une sémantique de Kripke-Joya1 associée à une topologie non triviale, il nous semble nécessaire de faire quelques rappels

concernant les catégories

de faisceaux

sur une algèbre de Heyting complète.

'l 4. . Théoràne de Higgs. Fixons wre fois

pour toute une a1gèbre de Heyting complète H. Cette algèbre de Heyting donne lieu à un préordre H sur 1equel on peut définir 1a topologie canoniquement associée à 1a structure complète en disant qurune fanille (hi)iet couvre h€H ssi v h. - h. Les axiomes de topologies étant triviI i€I alement vérifiés, on obtient Ie topos Sh( H). Le théorèrne de Higgs fournit rme autre description de cette catégorie de faisceaux. 0n appelle ensembLeH-uaLué 1es couples (x,ô ) où x est un ensemble et ô : x x x + H une application ensembliste sor.-unisearx conditions

15

- ô (xx') = ô (x' ,x) (s1rnétrie) - ô(xx') n ô(x',x") (ô(x,x") (transitivité). H tJn morphismede (X,ô) uers (Y,e) est décrit par rne application f:

XxY-Hvérifiant - f (xl) n ô (xx'; ( f (x',y) H - f (x,v) ^ e (W') ( f (x,y') H - f(xy) n f(xy') (e[y-v') H - ô(rx) = u f(x.v) y€Y

Intuitivement, té.

lrapplication

(substitutivité

en x)

(substitutivité

en y)

ensembliste

(fonctionalité) (caractère partout

défini) .

ô peut se comprendre corrne 1e domaine d'égali-

est 1e plus grand é1émentde H où x et x' sont égaux.

Ainsi ô(x,x')

ô (xx) est 1e plus grand élérnent de H sur lequel x soit

En particulier

Semblablement, f(x,y)

défini.

se comprend alors cornnele plus grand é1érnent de H

sur 1eque1 y est f image de x par f. Si g est un morphisne de (Y,e) vers (Z,B), 1a composéeg o f de (X,ô) vers (Z,B) est définie par g o f (x,z) = V tf ({r) n g(y,z)). La composition y€Y H ainsi définie admet ô commeneutre, ce qui fait de 1a collection des ensembles H-valués r.me catégorie notée JEnsrr. Le théorèrne suivant est un important résultat,

dû à D. Higgs.

&Éelème. Toc nqt6o^.ies IEns' et Sh( II) sont équivalentes. Voici trre courte esquisse de la démonstration. \

l ^ 1

I

(Pour plus de détai1s,

se

r . 1 \

r e t e r e r a L / . Jo u L r r j J . Au faisceau .

F, on associe

v

Ll

= V { h I 'pni (. x- ) = p i ( x ' ) i , n de H où les restrictions

1e couple

(X,ô) où X =

c'est-à-dire

LL F(h) h€H

et ô(xx')

=

que ô (xx'l est le plus grand élérnent

de x et x' coîncident.

Dans l'autre

sens, on fait

correspondre au H-ensemble (X,ô) le faisceau associé au préfaiscear.r séparé par P(h) = {Ïh € X I ô (xx) ) }r} sachant que Ïh = iy € X | ô (x,y) ) ) h] est 1'ensemble des éléments qui sont égar-x à x au moins sur h. P défini

Ceci décrit

1'éouivalence annoncée.

11 s'ensuit 1e

tr

16

Corollaire. htH Pour plus de clarté,

est un topos.

rendons explicite

la structure

de topos dont JBnsnest

munie. a. les produits

fibrés.

soient f : (x,6) - (Y,e) et g : (z,g) Leur produit

fibré

a((xz),(x'z'))

[y,e) der.rxmorphismesde lEnsn. est 1e couple (X x Z,c) où

= ô(xx')

V I B(zz,) | H Hy€y

(f(Ir)

n g(zy)) n V H Hy€y

(f(x,y) n H

^ g(z',I)). H Les projections de (x x Z,o) sur (X,ô) et (z,g) sont claires. b. la notion de sous-objet. Le morphisme f est nonomorphiquessi f(xy) n f(x',y) < ô(xx'). De plus, on a la proposition suivante, dont 1a démonstrHtion sera esquissée : Proposition. 17 y a bijection entre 1es sous-objets de (Y,e) et les aoplications ensemblistes s : Y - H satisfaisant les deux inégalités s(y) I e(11r') ( s(y') et s(y) < e(yy) dans H. H Esquisse de la dénpnstration. * soit f : (x,ô) - (y,e) un nonomorphisme de lEnsr. ûn lui associe s, : y - H en posant sr(f)

=

Y- f(4r). x€X

* Soit s : Y - H une te1le application. f,

: (X,e) -

(Y,e) où e(yy') = e(y."')

1a bijection

rttl

correspondre

définie par

â

f , ( r , r ' ) = e( y , y ' ). Ceci fournit

Oir 1ui. fait

prérme.

E

c. 1'objet Q du topos lEnsn. I1 n'est pas difficile d a n sI E n s , e s t , t , ; Si f : (X,ô) -

de vérifier

que 1'objet classifiant 1es soris-obiets n' = h - n' n' * h. ;> û

), sachant que n

(Y,e) est un mono, i1 est classifié

ef ' (Y,e)- (H, *),

os(y,h) =

X

t,xr,

= sç(V) * ^HH

î

n û

par

e(y,y)

h n e(y,y).

17

4.2. Les obiets cornplets de ]Ensn. Noris a11ons considérer une certaine

sous-catégorie

encore équivalente

: cel1e des objets complets.

4.?..1. Définitions

et propriétés.

de JEnsnqui lui

sera

IJn singLeton de (X,ô) est une application s : X - H répondant aux conditions - s(x) (injectivité) t(*') <ô(xx') t - s(x)

U(t*') (s(x')

(substitutivité).

û

I1 est évident que tout élément a de X donne lieu (X,ô); il suffit de poser â1x; = ô (x,a). La réciproque n'est

pas en général satisfaite.

H-valué (X,ô) est cornplet stIIy

a bijection

à un singleton â de

On dira qu'wl ensemble entre ses éléments et ses

singletons. Prooosition. Tout ensernble H-ualué sentble H-ualué

(X,ô)

peut

être

cornpLété et est

isomorphe

cotmne en-

à son cornpLété.

la construction de 1a complétion (X,ô ) de (X,ô ) . ô(s,t) = V (s(x) I on définit i = {s I s : X - H singleton de (x,ô)} "t H x€X t(x)) ; i1 est clair que fÎ,Âl est un H-ensemble. Voyons sa structure

Voici

= V â(x) a. s(x) = H x€X ( s(a) et s(a) = s(a) n ô(aa) ( = s(a) car ô(xa) = V ô(x,a) A s(x) ^ s(x) x€XHHH

complète.

Pour ce1a, calculons d'abord ôG,t)

< V s(x) n ô(x,a). H x€X Si o : Î - H est un singleton sur (X,ô), il s'agit naintenant de lui associer ce un élément so € Î t"f que Ço = o. On pose tout simplement so(x) = ofi;, qui fournit

le résultat

attendu.

nous a1lons exhiber un isomorphisme i de lEnsn entre (X,ô ) et û,ôl . En tant qu'applicati-on ensenblj.ste i a pour domaine X x X et pour codomaine H. Onpose i(x,s) = s(x). Enfin,

Cette défj.nition

satisfait

1es conditions

imposées aux morphismes :

18

- i(x,s) n ô(nc') < i(x',s) H - i(x,s) I t(r,t) H

= s ( x -) H I

=

(s(x) A s(x') A t(x)) V H H x'€X

l-l

x,€X - i(x,s) 1i(x,t) H

(s(x') | t(x')) V H x'€X

= s(x) A t ( x ) < V s ("xH) I t ( x ) = ô ( s , t ) H x€X

- ô(x,x) = V i(x,s) s€X

en effet

V i ( x , s ) = V s ( x )= V S ( s , i )= ô G , T )= T ( x )= ô ( x , x ) .

s€Î

De plt-rs, i vérifie

s€X

s€X

1es propriétés

de mono et épimorphisme, à savoir

i(x,s) 4 i(x',s) = s(x) A s(x') (ô(x,x') HH r/

V i(x,s)= x€X

et

f /

V s(x)=ô(s,s). x€X

I

Soient (X,ô) et (Y,e) deux objets de JEnsr. (resp. (6,e)-totaLe) ensenbliste f : X - Y est (ô, e)-stticte si e(f (x), f (x)) < ô (x,x) (resp. e(f (x), f (x)) = ô (x,x)). Cette application ( e s t ( ô , e ) - e æ t e n s i o n n e L Lsei ô ( x , x ' ) e(f(x), f(x')). N o u sn o t e r o n s

Une application

Homr^ c\ (X,Y) 1'ensemble des applications c-l Lv

(ô,e)-totales

et extensionnelles

r

de X vers Y qui vérifie

la

Proposition. ((X,ô) , [y,e)) = Ho*1ô,e; (X,y) . Sl [y,e) est complet, Hom Ensn Démonstration. 1. Soit f : (X,O) - (Y,e) m morphisme de lEnsr. indexée par X de singletons A chaque singleton conplet.

f*

On lui

associe une famille = f(x,y).

: Y - H en posant simplement f"(I)

f* correspond un unique é1ément f* de Y puisque Y est

I1 yadonct-rre application f : X-Yqui

facilernent que f est bien un é1ément d" *to*(U,.) 2. Si g est une application

(ô,e)-totale

associef*àx.

Onvoit

(X,Y).

et extensionnelle,

on 1ui associe

Q : X x Y - H; (x,y) ^ e(f(x), g). Les correspondances ainsi

établies

sont bien inverses lfune de ltautre.

E

19

4.2.2. Nouvelle descriptj-on des faisceaux sur H. Nous a11ons associer à chaque faisceau r.rnH-ensemble complet.

Soit F wr

faisceau. Notons IF I'ensemble l1 F(h) et définissons E : tr -+ II en posant = E(x) h ssi x € F(h); l'applicâ€lorl e décrit le domaine d'existence de que lron note chaque éIément de tr. On construit aussi une restriction 1 : IF x H -+IF et qui associe à un cotrple (x,h) 1'élément *ih = Ff(x) orl f est 1'unique morphismedu préordre H décrit par f inéga1ité h n E(x) < E(x). Les propriétés de préfaiscealD( de F impliquent que (1) *181*; = * (x16)15'= *1 (h ^ h') H

Q)

elxrn) = Ex n h

(3).

Soient a, b deux éléments de IF. On dit que b est une eætension de a si u = blE(a). lJne partie fait

X de IF est cornpatible si tout couple d'éléments x, x' de X satis-

1'éga1ité *1E*,= *'1E*.

L'union d'une partie petite

X de tr (si el1e existe) est, par définition,

extension UX de tous les élérnents de X. Vx€X si

Si F est r:n faisceau,

Vx € X

UX vérifie

1a plus

donc

UX.,U*=x b1E* = *

alors

btf

lrX;

( tr, E, 1) possède la propriété

= UX.

que tout sous-ensemble

compatible de IF a une r.:nion unique. Ceci nous permet d'avancer une nouvelle définition surHestuntriple

( X , E , 1 )o ù E :

X-Het

de faisceau : un faisceau

1 : XxH*Hsont

desapplica-

(1),

(2) et (3) et te1 eue toute Daïtie cornpatible cle X tions vérifiant admet une wrion unioue. Cette nouvelle définition

est bien équivalente à 1'ancierme.

nous allons associer à tout faisceau (fonctoriel)wr tout ensernble complet un tripte

satisfaisant

Pour le voir,

H-ensemble complet et à

1a nouvelle définiti"on.

L'équivalence se dédui-t alors du théorèrne de Higgs. 1 . ( t r , E , 1 ) d o n n e l i e u a u l l - e n s e m b l ec o m p l e t ( t r , ô ) o ù ô ( x , x ' ) =

=V{h I = *'1h}. "-,r, ( F,ô)

est complet car si s est wr singleton,

la partie

20

X = {*1r(*) n'est

| * € tri est compatible et admet donc wre union tnique qui autre que l'élénent wrique associé à s.

2. Si (X,ô) est un ensemble complet, on définit

E(x) = ô(x,x) et x.,h cormne l'unique élément associé au singleton s : X -+ H; x' ^ ô(x,x') n. Le û (X,8,1) ainsi défini est bien un faisceau. triple

5. Forcing Heytingo-valué. Dans ce paragraphe, nous a11ons étudier

ce que devient la sénantique de associée à Sh( H) dans le topos lEnsn. Or dans ce dernier topos, y a trne notion de forcing valué par H qui apparaît naturellenent.

Kripke-Joyal il

Notts verrons que ces deux définitions

coincident. L'application de ce résulaux modèles booléo-va1ués du paragraphe 6 permettra alors de prouver que la sémantique de Kripke-Joyal rend également compte des langages de tat

forcing tels qu'introduits

par Jech, par exemple (voir

t5l).

5.1. Traduction danslEns, de la sémantique de Kripke-Joval sur Sh(H). Soient L r.rn langage multisorte du 1er ordre et M une interprétation de L dans Sh(H). Nous allons opérer 1a traduction dans lEnsn de 1a sémantique de Kripke-Joyal

associée à cette situation.

Grâce au théorème de Hi-ggs, f interprétation Continuons de lrappeler

M se transporte

dans 1Ensr.

M.

Dans 1e point

4 .2.2. , or a rennrqué que le H-ensemble associé à r.n faisceau est automatiquement complet.

L'interprétation

M est donc cornpLète, c'est-à-dire

catégorie pleine de lEnsn constituée

à valeur dans la sous-

des objets complets.

Considérons 1'é-

noncé p h- tptal. Nous supposerons - et ceci sans perte de généra1ité encore un sens s'i1 à la situation

- que cet énoncé a

y a irn q ) p tel que â.I"k-(q).

décrite

antérieurenent

En effet,

en restreignant

on se ramène

â à p.

En conséquence, si I'on note 0I1,ô) l,interprétation de 1a suite x dans EnsH' l'énoncé p lF çtâl aura un sens à 1a condition que la suite â d'éléments de lvlx-soit définie au moins au-dessus de p, c'est-à-dire p (ô (â e) = E;(â) (domaine d'existence de ta suite â). Dire que p lF n(x) [aJ signifie que la restriction de a à p est un élément de MR. si on regarde MR et l'lx conrnedes H-ensembles, soit le monomorphismed' inclusion.

i : (MRre) -

[rtr,ô)

,

21

de a à p soit

que la restriction

Le fait

un élément de MR se traduit

alors par I'existence dans MR d'un é1ément b 1ui aussi défini au moins sur p (e(b,b) = EOO) > n) et dont f image par i coincide avec a au-dessus d " p , a u t r e m e n dt i t V c x € I ' T x 6 ( a , o ) ^ p = i ( b , o ) ^ p c a r ô ( a , - ) n p HHH est 1e singleton associé à a restreint à p et i(b,-) | p est le singleton H associé à f image de b restreinte à p. La traduction

de la conjonction est claire.

L'énoncé p lF a v Utal signifie

qu'il

Voyons la disjonction.

y a un recouvrement

(n1)1., de n (i.e. .!_ n1 = n) tel quen' lptâl ou pi lF Vtat.

La traduction

i€I se fait tout aussj- facilement pour 1es autres connecteurs;

ceci nous amène à la définition

de

5.2. Sémantique de Kripke-Joya1 pourlEnsn. complète de L dans JEnsn. Nous allons définir

Soit M une inteqnrétation

K] p ll _ p[â] avec â e lfi et \(a) x - formule atomique :

2 p par induction

sur la longueur de ç.

K] p

il y a un b € M, tel que l|;. e[â] ssi x - E , ^ ( b )> p a' - vcr € ]r{x ô-(â,cr) ^ p = i(b,o) n p. ..HH

- conjonction

:

KJ

KJ

KI

p lÊ e ^ Vtâl ssi p ll_- çtâl et p ll_ qrtâ1. X

- disjonction

:

K] p ll= a v {jtâl ssi il xKlKl

y a un recouvrement (n1)1a, de p pour lequel ç[â] ou pi ||;- !.,tal.

Pi lÊ XX

- implication

:

KI p lÊQ-!;[â]

K] o l[-otâl

ssivq(p

X

- quantificateur K] p lÊ 3x ç(x)[â] x

existentiel

KJ i m p l i q u eq l l - U t â ] .

:

ssi i1 y a un recouvrement (p,).,-, .1-1el

de p , et pour chaque

22

i de I *

bi € lvtotel que E*(b1) ) p. et K] Pi F

o[â'bti'

X,X

- quantificateur universel : KI p l- Vx A(x) [â] ssi pour tout q < p et tour b € l,tx te1 que KI E x G) ) q o n a q l ts a [a ,b ]. XrX

5.3. Forcing Heytingo-valué. considérons toujours

une interprétation

premier ordre dans 1Ensr.

complète M d'wr langage L du

Nor.rsa11ons associer

une notion de forci.ng et dans un stade ultérieur, cide avec 1a sémantique de Kripke-Joyal A tout couple (o,Ï; un sous-objet

}tf

où Ï contient

suivante

1es variables

interprétation

constater qurelle

coîn-

en S.2. de g, M associe

libres

de Ivlx et donc une unique application

Iufi - H qui classifie classifiant

définie

à cette

notée llqll, :

ce sous-objet dans lEnsn, puisque (H,

les sous-objets.

est l'objet î) aisément la suite-d'égalités

On vérifie

:

ilenpllr(a)

= t l e l l n ( a )n l l r p l l n ( a )

llç v tilH(a) = llelln(a) v llpllr(a) ||e - rplr(a) = lltollH(u) nrpiln(a) il -l ll lelln(a) = tt,pttr(a) = llolln(a) Og ; llrxtp(x)ll (a) = V ilçllrr(a,b) bo,{x llvx e(x)ll (a) = A (E_(b) + llçlln(a,b)) t1a). ^ ; H b€l\,k On définit

alors

plËçtâl

où âe rfi et \(â)>n

le forcing

Heytingo-valué

comrnesuit

:

ssi p ( llellHG). 5.4. Théorème de correspondance. La sémantique de Kripke-Joyal La démonstration

se fait

et 1e forcing Heytingo-valué coîncident.

par induction

sur 1a longueur de e.

z3

Nous en indiquerons trois

étapes essentielles.

1. Le cas des formules atomiques. Pour fixer

KI

1es idées, montrons que

R(x)[a] ssi n fi- n(x1131 .

P l-

K] 1.a. Si p ll- R(x)tal, on sait qu'i1 y a wr b € Mx tel que Ex(b) > p e t V c r€ h , 6 ( o , a ) ^ p = i [ b , o ) n p . M a i s a l o r s HH p = p,r ô (a,a) = p ^ i(b,a) < i(b,a) (Y i(g,.) = tlR(x)||r(a) HHB si on se souvient que le morphisme classifiant un nono i est donné par

i(8,-) )-/H

(cfr. s.1.c.)

1.b. Si p lF R(x)[a], on sait que p ( llR(x)lln(a). 11 s'agit de trouver un b € M dont f image par i soit a au moins au-dessus de p. Puisque i est un mono, I'application tm singleton.

t : MR- H qui associe i(B,a) à B est

La complétude de MR assure alors

tmique élément représentant ce singleton

t,

ltexistence

c'est

d'un

1e point b cherché.

En effet (*) Eo&) = âit,t;

=V i(B,a) = l|R(x)iln(a) 2 p par hypothèse. p

De plus, conneMRet tr4xsont complets, i1s sont isomorphesà leur conpléti-on et le diagranrne , 0À ,;) [MR ,e )

ïl ti

lî

tl

Qtlx,ô) i

t û

-

, trtî*,ôl conrrute, sachant que

- ûc est 1'application

1â,ô1-totale et extensionnelle (3.2.1.) s sur (MR,e) associe 1e singleton î(s) sur (rvlx,ô) défini par î(s) (o) = V (i(B,cr) ^ s(g)). BH La condition i(b,cl) ^ p = ô(a,cl) ^ p pourtout cr revient donc HH î(t)[cx) ^ p = ô(a,a) n p pui-sque b est déterminée entièrement par le HH singleton t. qui au singleton

or

V Y

(i (B,a)

H

,,(B,cr) H

i [B,a)) < ô (a,o) et donc i(B,a))

p(ô(a,o) H

np. H

24

De plus ô (a,o) ^ p < ô (a,cr) ,. V i(B,a) H HB

(par (*) (hypothèse)

=V (o(a,a) n i(B,a))
attendue est donc vérifiée

tt(B,a) n i(B,a)).

et les notions coincident

au

niveau atomique. 2. Le cas des form:les

disjonctives.

K] 2.a. Strpposonsp e v Utâ]. [-on sait donc qu'il y a un recouvrernent (n1)1a1 de p tel

que

KI KI pi [- p[â] ou pi [- ûtâ]. En conséquence, par l'hlpothèse d' j-nduction, pour ce recouvrernent HH on a pi [- qlât ou pi [- q,fât, crest-à-dire pi ( llollr@) ou

p1< lrPtlrG). I1 est donc clair

que pour tout i de I = llro v rptln(â). En passant au supremum, on < llplln(â) llUllHG) Pi .1 tr H

obtient

la thèse à savoir

p=Vpi([evifilHG). i^H 2.b. Supposonsp ll- e v Utel. 0n sait donc que p ( llgllH(â) (p ^ ilallrr6),

llvllH(â). It est bien clair alors que ,y H p A llpllH(e)) constitue un recouvrement de p pour 1eque1,

HHII

par induction,

la condition

cherchée est satisfaite.

3. Le cas des forrmrles tmiverselles. KI 3.a. Sr.pposonsp ll- vx tp(x)[â]. On sait, pâr définition, eu€ pour tout q ( p et tout b € I\,k K] tel que Exft) ) q on a q lF q[â,b] ou encore, par induction q ( [eltH(â,b). Pour un b € l\tx quelconque, prenons q = O On a donc O

U*(b) < ExG) . û

u * ( b ) < l l t o l l n ( â , b )d ' o ù â llelln(â,b).

p(Ex(b): n

25

Cette inégalité à E*G), x',-

il

étant valable pour tout b € Mx et p étant inférieur que

est clair

(Ex(b) + llellH(â,b)l n E-t'â) = llvx e(x)llH(e), p - <, A ^ n x'' bêl,Ix H H ce qu'i1 fallait

démontrer.

H 3.b. Sr-rpposons p lF v* e(x)tal. ûn sait, conrneon vient ( -' p (E*(b) llpllr_,(â,b))et donc pour tout b A b€l\h

que

de le voir,

rr

H

p A E*(b) < llqll,_,(a,b)ce qui entraîne par induction À.H''

H

Ki p n E-(b) h- çtâ,b1. H

Mais alors pour tout q ( p et tout b € l.4x te1 que q < Exft), clair que q * p Ex(b); donc par fonctorialité du forcing I Kln q lF ç[â,b]. Ceci achève 1a démonstration.

i1 est

E

6. Les modèles booléo-valués de ZF et la sémantique de Kripke-Joyal. 6.'l . Rappel (voir par exemple Jech I5l). Considérons un ensemble M, modèle transitif

de ZF.

on peut considérer

M conrneun r.rrivers au sens de Bourbaki [4, annexe à l'exposé I].

Nous

noterons lEns(M) 1a catégorie des ensembles engendrée par lrunivers Cette catégorie applications

a pour objet

M.

les ensembles de M et pour rnorphismes les

ensemblistes décrites

à f intérleur

de M. (P, $ pour M. L'ensemble p engendre une algèbre de Boole B de M dont les éléments sont les ouverts réguliers de P. cette argèbre de Boole est complète et p s'y plonge par

considérons de plus une notion de forcing

trte application on définit

de M notée e et définie

par e(n) = {q I q < p}.

alors M(B), classe des ensemblesbooléens, de lananière

vante : = {x 'M(B) = ô. M(B) € M I x^ est t" v J L une ulv rvrru fonction Llvll V f "g+ b 1 et à valeurs dans B), M et finalement M(B) = u lt^[B). o€lul

. . . M^(B)-

u 4ul v B€cr

sui-

de domaine uvllr4lllg inclus IIf\-ILfJ à C f MtB) uç

si cr est un ordinal

0

limite

de

11 es-t-clair que M(B) n'est plus r-m ensemble de M - bien qu'à chaque niveau rp\ o, MJ"' le soit. Cependant, l'axiome des univers nous permet de considérer

/^

un Lmivers U qui contienne tous 1es éléments de M et U(B) .on*e é1éments. p(x) - 1e rang de x - conrne étant te plus petit ordinal o de M te1 que lt . tj:]. si x est un é1ément de rv(B), on définit Par induction

sur 1e rang, on peut alors définir I'interprétation booléenne des formules atomiques a € b et a = b où a et b sont des éléments

a eu ( B ) . V

[a€bn=

b(z)n[a=zn,

z€dom b [ac51

=

B -r[z=b]) ( a ( z ) ^ z€dom a B

,

[a=bn=[acbnn[bcan. On vérifie

alors que

[a = an = 18 [a=b]=[b=al

[ a = b n n [ [ = c n< [ a = c n B

[a € bnn [a = a'l

â

n O= b ' n < [ a ' € b ' n .

Lrinterprétation booléenne[-n s'étend naturellement à 1a collection de toutes les formules. On procède comrne suit : ar r ) n= [p (a , fi ton i p ( a, u .,)n [û (a i a r r)n , â ar r ) n= [ ç (a r fl tpv û (ar a n )n v [û (a , a rr)n , [ ç - V ( a r . . . u . , ) n= [ ç ( a r .1 arr)n = [e(ar [-1,9(ar [=x ç[x ) ( a,

a r r ) n,

lrqr(ar

"n)n i arr)n ,

ar r ) n= Y .r* ., [tp (a , a r rr \"/

a rr)n ,

ad\{

fivx o(x) (a,

arr)n =

[ e ( a , a r . . . a r r ) n. ;$tn)

Ceci étant fait,

on associe à lrinterprétation p h- a(ar

6.2. On sait par ailleurs Ens (M)u est équivalente

ur,)

ssi

[-n le forcing défini

e(p) < l[ç(ar ...

par

arr)n.

(voir [1]) que

à lEnsftG) ) .

Malheureusement, M(B) ne peut être considéré conrneun "ensemb1e,,B-va1ué pour cela, prenons delEns(M)g. I1 faut donc élargir cette catégorie.

Ens(u)u.

)'i

Nous a11ons montrer que f interprétati-on interprétation

booléennc [-l

donne 1i.eu l) une

catégorique dans llns(u)gr ce qui permet de décrire 1e

forcing a-.socié à ll-11 comneun forcing he,vti-ngo-r.a1lrésur B alr sens clc ( 5 . - 1 " ) e t d o n c c o n r n eu n e s é m a n t i q u ed e K r i p k e - , J o v a 1p e r ( , q . 4 . 1 . 'Iout doabord. dôcrivons f interpréttion du langage de ZF associi:e à t ll dans IEns(Ul ^. ' tJ L'r'rrique sorte

aura poul

/F., r { ' ' ' 1 u i - - m ê m ea l . e l - l a v a l u a t i ' r n

réalisation

rléfini"e par ô qa.b) = [3 = bl " Les prcl.riôtôs einoncôes pius bien de g.1(B),0) un ensemble B-valué iians 1'unrtrers u. conrne le sous-objet

s'interprète

L'égalité

1a proposition

4.1.b.

par le sous-objet

De même, f

que E(a,b)

= [a € bl .

Le forcing

heytingo

H h lF x = y[a,bJ

valué

sur B associô

haut {'lnt

" 11(ts) associé t')ô par du symbole € est donnée

Ae lt(B)

interprétation

t , ' u ( B ) , J , 1 ( t s -)

par l'application

décrit

é

à cette

Il tclle

interprétation

:

est

h ( [a = bl

ssi

t !

h < [a € bl]

ssi h lF * € yla,bJ II it lF ç ^ ùlar ... "n] et alnsr H

lF r*

de suite

pour

ssi

a n )i l n [ , J(, a ,

l l t o f aI

1es connecteut's

rr,]

ç(x) lar

h (

v, -,

B,

l,

an)n,

h

ssi

a n )n

a€N{'"'

H

arrl ssi

II- VX ç i x l [ a ,

h

lr€lt{ \"

-+ [ç[a"

'

a,

. a,_,) 11)

B a ) l l c a r f l a = a l=l 1 , , . n-t)

r rÉ - \ l\ ' - ' II Fn

n r r f - çi eI Ur u' l^i rov rr

f

' P | | * ' * . * n ,

ll-- tOfa

a

Le cas des modèles booléo-valués quatement logie

décrite

non tri-vi-alc

des recouvrcments

)

ssi cipi lF,ptr, cle -|

founrit

donc ure situat.ion

par une sémantiqr-rc cle Kriphe-.Ioval * . ; r r r1 ' a l g è b r e par union

ie llooie il choisie,

quel.conque.

a l. nadô-

assc-rciée à unc topoa savoir'la

topologic

I l8

Bi b l i o g r a p h i e . t1 I

Boileau A. , l,es mirltiples splendeurs clu forcing

(mémoire, Univei-sité

d e l ' t o n t r ô a t1 1 g 7 3 . i-l -'. ill

t.;l [t ] i-l

F o u r n r a n ] 1 . P . c t S c o t t D . S . , S h e a v e sa n d l o g i c , L e c t u r e s N o t e s i n ) l a t h e r n a t i c s7 5 3 , S p r i n g e r - V e r l a q l g 7 7 . ( ' o u e m e n ,t ! . , T o p o l o q i c a l e é b r i q u e e t t h é o r - i e c i e s faisceaux, Actualitôs Scienti f iclues et Inclustriel les j2SZ, Hermanrr1973. G r o t h e n d i e c kA . e t V e r c l i e r J . L . , T h é o r i e c . l e st o p o s e t c o h o m o l o g i e étale des schénas, Lecture Notes in lvlathemaTics269, Springer-Verlag 1972. J e c h T . , S e t t h e o r y , A c a d e m i cp r e s s 1 g 7 g . Jolnstone P.T. , Topos theory, Academic press 1977. Keisler H.,J., Forcing and omitting types theorem dans Ir4AA studies in l l a t h e r n a t i c s , v o l . B , M . D . l { o r 1 e y E d i t o r , T h e l r { a t h .A s s . o f .funcrica, 197-<, pp. 9ô- i 3j .

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