Mathematik fur Bauingenieure: Grundlagen, Anwendungen und MAPLE-Losungen

Ziya

~ana l

Mathematik fU r Ingenieure

Meinen Kind em l iilide Fehime und Tarik Ulvi

Ziya Sana t

Mathematik fur Ingenieure Grundlagen, Anwendungen in Map le und C++ 2., aktua lisierte und erweiterte Auf lage

STUD IUM

II VIEWEG + TEUBNER

Biblicgratische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Natic nalbiblio thek verzeichnet diese Publikation in der Deutscnen National bibliogralie; oetaunerte bibliografische Daten sind im Internet uber abrulbar.

Prof. Dr.-Ing . Ziya Sanallehrt Mathema tik, FEM, Baudynam ik, Bauinformatik und Behalterbau an der Fakultat Bauingenieurwesen der Hochschul e Miinchen. Email: [email protected] Intern et: www.stahlbaustu dium .de/02Isanaa .htm

1. Auflage 2004 2.,aktualisierte und erweiterte Auflage 2009 Aile Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat : DipL-lng. Rail Harms

I Sabine Koch

Vieweg+Teubner rst Teil der Fachverlagsgrup pe Springer Science-Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschl ieBlich aller seiner rene lst urhe berrechtlich geschiitzt. lede Verwertun g auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzufassig und strafbae. Das gilt insbesondere liir v ervieltattigungen, Dbersetrungen, Mi kroverfilmungen uno die Emspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen , Hendelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass sclche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Mar kenschutz-Gesetzgebung ats frei zu betrachlen waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umscblaggestaltung: Kii nkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck uno buchbindensche verarbeitung: STRAUSS GMBH, M6rl enbach Gedruckt auf sauretreiern und chlorfrei gebleichlem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0748-9

Vorwort Gegcn ubcr der 1. Aufl agc hal das S uch suhstanzicl lc Andcrungen crfahrcn. Ocr bishcrigc lnhalt wurdc vollstandig ubcrarbcitet und hinsichtlich seiner Eignu ng zum Sclbst studium noch weber verbesse n. Zum eincn hat die Anzahl der durchgercchnc ten Beispiele und dcr Aufgabcn mit Lcsungcn ganz stark zuge nommen , ebcnso die Anzah l der Bilder und Skizzen. die Studierendcn hel fen sollen, Aufga bcnslel1ungen und ihrc Losun gcn auch visuell zu verarbeitc n - ganz nach der a1tbekannte n Weishei t »ein Bild sagt mehr als tau send w orte« (hier eher: tau send Formeln!), Z UlU anderen sind neue Themen aufgcnom men worden. lim den Bed Urfnissen der Master Studicngang e Rcchnung zu tragcn. Auch Anrcgungc n und konstrukuve Kritik zur J. Au llagc aus Kollc gcnkrciscn und aus den Rei hcn der Studicrcndcn wurdcn sowc it wie mogli ch bcrilcksichtigt und cingcarbcitct. Nicht zulc tzt sind bcka nnt gcwordc nc Tipp - und Rechcnfehlcr korrigi ert worde n. Dcr Kcrngcda nkc dcr Abhundlu ngsmcthodik hat sich nicht gcsndcrt. Nac h wie vor stcht im Vord ergrund die Zielse tzung. den Stoff mcg tichst nnschaulich und vcrstandlic h zu venn itteln und wo cs nur gcht auf Bcweisfuhrun gen zu vcrzichtcn - cs sci denn. der Bewei s bcsitzt einen hohcn didaktischcn Nutzen fur die Studierenden. Die blsbcrigcn sehr positivcn Reaktionen seitens dcr Studiercnd cn bestiitigen diesen Ansatz. Die Reihen folge der behandelten Th emen ist so aufgebaur. dass jedes Kapitcl-i m Rahmen des Mogfichen- das n6tige Riistzeug fur das nnchste darauf fclgcnd c Kapitel bcreit stellt. lnsofcrn kann von ci ncrn gm sichtbaren roten Faden gcs prochcn werde n. Fo igende Kapitel sollien den Math cmuti kbcdarf ci nes Ilache lor-Stud iums decken: Grund wissen - Eleme ntare Funkt ionen - Matrizen und linea re Gleiehun gssysteme - ve ktorrechnung - Elementare analyti sche Geometric - Differe ntialreehnun g - Differeruialrechnu ng fbr multivariable Funktionen - Integralrcchnung - Gcwohnlichc Ditfcrcntialg lcic hungcn ~ Stochastik . Filr cin M aster-Studiu m sind folgcndc Kapitcl vorgeschcn: Eigenwenaufgab en - Losun g von nichtlincaren Glcichungcn - Losu ngsvcrfuhrcn fur linear e Glci ch ungssystcmc - Numerisch e Losun g von Differentialgleichun gen - Fouricr-Rcihcn - Pani elle Diffe rent ialgleichu ngen - Kornple xc Zahl en - Math ematik mit Map le. Mil dcm nunmch r vorliege nden Inhalt sollte d ieses Buch d ie Matbem ank -A usblldun g in Ingenteurstudie ngangen der Fac hhoch schulen sowohl im BacheJor-Studi eng ang als auch im MusterStudi engang wei tgchcnd abdc cke n. Zweifelsohne sind verschledene Verbcsserungen und weitere Ergan zun gcn ntoglich und wohl auch wu nschcn swcrt . FUrj edc Anre gun g und Kritik . die einen Beitrag dazu leistct.fuhu sich der Autor zu Dank vcrprlic btct. Mu nchen. April 2009

Ziya $mwl

Inhaltsverzeichnis 1

2

3

Grundwissen 1.1 Absolutwen 1.2 Potenzen und wurzet n . 1.3 Summation . Produkt und Fakultar 1.4 Miuelwert einer Zahlcnreihc . 1.5 Logari th mus . 1.6 Absolutcr und Rc lativcr Fchlcr . 1.7 WinkclmaBc: Grad lind Rad iant 1.8 Zu satzlich c Bcispiclc 1.9 Aufgabcn . Eleme nta re Funktione n 2.1 Polynomfunkt ionen . 2.2 Potenz - und Wurzelfunktionen 2.3 Exponcntialfu nktion . 2.4 Logari th rnus-Funktionc n . 2.5 Trigouornctr ische Funktionen . 2.6 Hyperbclfunktionen . 2.7 Arku sfunkt ioncn .. 2.8 Kegclschnill-Funktionen 2.9 Explizitc und implizitc Funktionen 2.10 Funkti onen in Pararnet erdarstel1ung 2. 11 Wcitcrc Funktionen . 2.12 Symmetric und Srct igkcit vo n Funktio ncn 2.13 Zusatzlichc Bcispiclc 2.14 Aufgabcn . l\Ia trizen und Iinea re Gtekhungssyste me 3.1 EinlUhrun g . 3.2 Definit ionen fur Matrizcn . 3.3 Addition und Subtraktion von Mat rizen 3.4 Transposition von Matriz en . 3.5 Matrix-M ultiplikat ion .. . 3.6 Lincarc Gleichungssyteme 3.7 Lincarc Abhangigkcit . 3.8 Dctcrmi nanrcn . 3.9 Invcrucrung von Matrizcn 3.10 Zusatzlichc Bcispiclc 3.11 Aufgabcn . . .

I I I 3 8

9 II 12 13 IS

23 23 26 27

29 35 39

40 42 45 46

48 49 51

52 55 55 57

62 63 65 72 83 85

95

10(J

1119

VIII

4

lnhahsverzeic hnis

Vektorrechnung 4. 1 4 .2 4.3 4.4 4.5 4.6 4 .7 4.8 4.9 4. JO 4 . 11

Einfuhrung . Lincarc Oper ationcn von Vektoren . Lineare Ab hangi gkcit von Vektore n 3D- Vektor in Matrixsch rcib wcis c . 3D- Vektor in dcr Schreibweise mit Basisvektc ren Skalarprodu kt . Kreuzprodukt .. A nwcndungcn in dcr Mecha nik . Anwendu ngcn dcr Vcktorrcchnung in dcr analytischcn Geometric Zu satzfic hc Beis picle Au fgabcn .

5

Etem entare ane tyttsch e Oeo metrle 5. 1 Koordinatensystcmc . 5.2 Koo rdiuatemransformauon in der xy-Ebene 5.3 Abstand zwischen zwei Punkten 5.4 Gerade n in der .rj-Ebcne 5.5 Zusatzlichc Bcispiclc 5.6 Au fgahcn . . . . .

6

I>ifTerentia lrechnllng 6. 1 Definition de r Ablcitung 6.2 Ableitungsregeln . 6.3 Hoherc Ableit ungen . 6.4 Ablcitung im pliz itc r Funktionen 6.5 Ablcitung lc gurithmischcr Funktioncn 6.6 Ablcitung von Parumctcrfunk tioncn . 6.7 Entw icklung von Funktio ncn in Potenzreihcn 6.8 Li nearisicrung einer Funktio n 6.9 Regel von I' Hospital 6.10 Krumm ungsradiu s eincr Kurvc 6.1 1 Lokale Ext rcrnwcrtc eincr Funktion 6.12 Newton-Ve rfuhren fur Nutls retle nbe stimmung 6. 13 Z usatzlichc Bcispielc 6. 14 Tcch nische Anwe ndu nge n 6.15 Aufgabcn .

7

Ditferentiatrechnung fiir mu h ivariable Funktlonen 7. 1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Einleitung . Panielle Abtcitung einer Funktio n von zwei Variablen . Part icllc Ablc uung ciner Funktion von II unab ha ngigc n Variablcn Das totalc Differen tial . lmp lizite Ablei tung . Ska larfelder , Skala rfunk tioncn

II "

119 121 123 124 127 129 133 137 140 152 171

175 175 180 185 186 198 203

20S .205

209 2 16 2 16 2 17 2 18 2 19 222 224

225 227 230

235 245 256

263 263 266 27 1 274

281

285

lnhultsverzeich nis

7.7 G rad ient 7.8 Richtungsab leitu ng 7.9 7. 10 7. 11 7. 12 7. 13

8

Nivcuuli nien und Nivc uuflachc n Extrcmwcrtc vo n Funktion cn mchrcrcr Variablcn Z usatzlichc Bcispiclc . Techn ischc An wendungsbci spiele Aufgabcn . . .. ..

. 286 .29 1 . 294

. 300 · 305 . 324 . 329

Int cgra trechn ung 8. 1

8.2 8.3 8,4 8.5 8.6

8.7 9

. .

IX

Unbcs tim mtes Integral Bcsummtcs Integra l . Numer ische Integration Geometrische Auwen duuge n der Intcgralrechnung Techn ische Anwc nd unge n de r Integra lrccbnung Zusatzlichc Bcispiclc Aufgabc n .

335

. 336 · 342 · 347

.356 . 369 · 378

· 398

Oe wohntlche Dtn er ennatgfetchungen 9. 1 9.2 9.3 9,4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9. 10 9. 11 9 . 12

Einfuhru ng . Definitio nen fur Differentialgleich ungen Lc sung cincr Di lTerent ialglcich ung . Allgeme ine. spcz icllc und parnkularc Losung Losungsstrarcg ie flir ein ph ysik alis chc s Problem . Diffcrcnnalgfcichungcn I. Ord nung . Z usatzlichc Bcis piclc fur lineare DGLn I. Ord nung Lineare Dtfferenrlalgleichungen 2. Ordnung . . . . Z usatzlichc Bcispicl c fur lincarc DG Ln 2. Ord nung Anwcnd ungsbeispielc aus dcr Stru kturdyna mik weitere technisch e Auwendun gsbeis piele Aufgabc n .

10 Stucha stik 10. 1 Deskriptive Statistik . 10.2 Ele menrare Wahrschcinlich keirsthcoric . 10.3 ZufaJlsvar iabJc . . . 10,4 Verteilungsfu nktion F (x) 10.5 Dic htcfunktion J (x ) . 10.6 Mabzahlc n eincr stctig vertetltcn Zufallsvariab le . 10.7 Normalvcrtcilung . . 10.8 Weitere Verteilungen 10.9 Zu sarzliche Beispicl c 10.10 Au fgabc n .

II Elgenwer ta ufgaben I J.I EinfLihrun g

403

. 403 . 406 . . · .

409 41 I 413 41 4

· 433 . . . · .

453 466 47 0 482 489

49 3 . 49 4 . 504 · 5 13

· 5 15 .5 16 · 5 18 .520 · 525 . 527 · 53 1 533

· 533

X

lnhahsverzeic hnis

1.2 Spe zicllc und allgeme ine Eigc nwcrtaufgabc 1.3 Los ung dcr spcz icllc n Eigcnwc rtaufgubc . . 1.4 Los ung dcr allg cmci ncn Eigc nwcrtaufgabc 1.5 Z usiitzliche Bcispielc 1.6 Au fgabcn . 1.7 Ken ngrouen eincr Matri x und Eigenwert e . 1.8 Nu merische Methoden fiir Eigenwert au fgabc n . 1.9 M ises-lt eration sverfa hren (Power-Methode ) . . 1.10 Inverse Iteratio n (Modifizien es Mises-Iteration sverfahren] 1.11 Inverse Iter ation bei Schw ing ungspro ble men 1. 12 Inverse Iteration bci Sta bilitat saufga bcu 1.13 Zusat zlich c Bci spic !c . 1.14 A ufgabcn .

· · . · · · · · . .

· 57 1 · 573 · 576

12 Losun g von nic htlinearen Gleichungen 12.1 12.2 12.3 12.4

Regu la Fal si Fixpunkt-lteratio u . . Z usatzfiche Beispiele Aufgabc n .

13 Losungsverta hren fU r ttnea re Gl d chungssyst eme 13. 1 Ltl -Paktonsieru ng . 13.2 13.3 13.4 13.5

C ho lesky-Verfahren . Ga uss-Scidcl-vcrfahrcn . Z usatzlic hc Beis piclc Aufgabcn .

14 Numeri sche Los u ng von Dtnerent tat glei chungen 14.1 Diffcrent ialgleich ungen 1. Ord nung 14.2 Z usatzfic he Beispiefe 14.3 Au fgaben .

579 . 579 · 583 · 58 7

.590 59 1 · 59 1 · 597

. 599 . 603 . 604

605 .605 .609 . 6 12

15 Fourier-Reihen 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

EinfLi hrun g Fo urier-Rei hcn . Fou rier-Rci hen gerade r und ungcrudc r Funktioncn . Fouri er-Rei he einer bcrc ichsweisc dc finicrtc n Funktion Au fgabcn .

16 Pa rfielle DiITerentialgleichungen 16.1 Einfuhrung . 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

Bicgcschwi ngungcn c ines Balkens Axialschwi ngungen eincs Sta bs . Sch wi ngu ngcn cines Seils od cr ciner Su ite Plune nbicgu ng Au fgabcn .

534 53 6 540 543 545 547 55 2 553 560 564-

· · · · ·

6 13 6 13 6 15 625 628 632

635 · 635 · 635 .644 . 649 · 65 3 .654

lnhultsverzeichnis

XI

17 Kom plexe Za hlen 17.1 Einfll hrung 17.2 Algebraische Oper attonen mit komplexen Zah len: . 17.3 Aufgabcn .

657 . 657 . 66 1 . 663

18 Ma thematik mit Mapl e 18.1 EinlUhrung in Maple 18.2 Elemcmar-Mathc matik . 18.3 Lincarc Algebra . . 18.4 Vcktorrech nung . . . . . 18.5 Differe ntiulrechnu ng . . 18.6 DifTerentialrcchnung fur multivariable Funktionen 18.7 Intcgrulrcchnung . 18.8 Gcwohnlic hc Diffcrcntiulglci ch ungen 18.9 Eigenwerte . . . . . . . 18.10 Nichtlinearc Glc ichungen . 18.1 1 Linearc G fcichun gssystcrnc 18.12 0 ifTerentialglcichungen . . 18.13 Four ier-Reih en . . . . . . . 18.14 Pani elle Differcntialglcichungen .

. . . . . . . . . . . . . .

665 666 673 676 679 68 1 685 688 690 692 699 700 702 704 705

19 Ma the matik mit C++ 19.1 EinlUhrung . . . . 19.2 Dcr C++ Co mpiler 19.3 Ableitung ei ner Funktion 19.4 Newto n-Verfahrcn . 19.5 Lincare Algebra . . 19.6 lmcgrelrcchnung . 19.7 Fuute-Elc rnen te-M cthodc - FEM

. . . . . . .

707 707 708 709 710 710 7 12 712

Anha ng

717

A Ausgewahlte Fnrm eln und Beziehungen A. I Trigono metrische Funktio ncn . A.2 Arkusfunktio ncn A.3 Hypcrbclfunktionen . AA Ablcitu ngcn clc mentarcr Funkt ioncn A.5 Unbestimmte Integrale . . A.6 Einigc bcstimmte Integrale . A.7 vcrschtcdcnc Ausdruc ke A.S Vcrtcilungsfunktion dcr Normalvertcilung A.9 Verschicdc ne Kc nstanren und Syrnbole .

Literatu rverzeichnis

. . . . . . . . .

719 7 19 721 721 722 723 731 732 733 738 739

XII

Inhall ~\'t'rzt'ichn i s

Stfchwortverzeicbnis

I

Grundwissen

In dic scm Kapitcl werdcn cinigc Th cmcn dcr Schulrnathcm atik aufgcfrischt sowic c inigc Gru ndformcln dcr Algebra , d ie in clef Ingcnic urpruxis haufig bcnotig t wcrdcn, zusam mcn gcstcllt .

1.1

Absolutwert

Ocr Absolur wen Ixl eincr reel/ell Zahl .r is! ihr Be/rag. d.h . ihr pos iuver Wert ohne Rllcksicht auf das Vorzeichcn (der Betrag ciner kornplexen Zahl wird enders bcrechncn .

Ixl ~

X

{

-x

fUr x 2:0

( I. I )

fur r c O

lJeispiel 1.1:

151 ~ 5 Tabelle 1.1 : Regeln fur Absolutwert

Ixl

~

[x- .1'1

I;I

~

Ixl + 1."1 2: Ix ±yl ~

1.2

0

I-xl

[r ]

1·, 1· 1,.1 Ixl

1,.1 I·t ± yl

11.<1-1,.11

Potenzen und \Vurzeln

Potenzen

Die /I-Ie Porenz einer reellcn Zahl .r is! fur cine nattirlichc Zahl " wic folgt dcfiniert (naturliche Paw n ). _I"

= x· x · x " ,x

'--".----'

n-mal .r

fur n = 1,2,3, · · .

.r: Basis

/I :

Exponent

2

I Gru ndwis sen

Tabellc 1.2: Potenzregeln Regel

0'

=

I'

=

Beispiel

o

flir x >O

2.S0 = I

d'

= = = r

,

cr

s. Puunorc

=

=

2.S1 = 2.S ') _I _ I _.s - 2.R

.r .r

,

"_.S - 2 .~ =

x - ."

2 82.~ 1 • - 2.S- 2.5

=x

2 .82 . ~

=

.':1+11

=

.r,, - II

2.82.5 . 2.81.2 = 2.83.7 25 28 . . _ " 812.5- 1.2)_ 2 81.3 2.81.2 - - , - ,

(xII)" = :1." 11

( 2 , 82.~) 1.2

.I' I .,~I

(2,8 · 1.6f 5 = 2,8 2.5 . 1.6 2.5

= (2,81.2 )2.5 = 2,8"

.r"

.,
8eisp iel 1.2: xl

I

.r .

.~= X ' X

,

.r- = x ,x · x

Wen n die Basis .r c ine positive rcelle Zah l ist, darf dcr Exponent II auch ci ne bcliebigc reetle Zahl sct n (reelfe Po/eIl Z). Fur zwei positive reelle Zahlen .r und y sowic zwe i beliebigc reelIe Zahlen 1I und b gclte n die Porenzrcgcln der Tabelle 1.2 (wenn {/ und h naturltchc Zahlen sind. gelten d ie Rechcnrcgeln auch IUrnegati ve Werte von x und y ) l, Au fgab e. Ko ntrollieren Sic mit Hilfe cines Taschc nrcchners die Zah lenbc ispicle in Tabelle 1.2.

1 Die Regel rJ' _ I dc r Tabclle 1.2 ist in der Litcrmur nicht cinhchlich. Wahrend vielc Mathcnuniker rJ' als mule· j illi erl slehen lassen (womit ma n in der Praxis lcider niehl viet anfange n l ann ). delini crcn wiedcrum ande re MuIhemaliler. wic l .B. diejeni gen, die das fiir ,cine hoh e Lchtung, rahi gkcit llckannte Malhemati lprogra mrn M APLE entwic kclt hnbcn. rJ' = I. Dcr verfusscr hal :IUS prugmauschcn Erwagungcn die zwcitc Option gewah tt.

1.3 Summatio n. Produk t und Fakuhat

3

Wurzel n Das Symbo l ;:IX wird als d ie e- te Wurzel der Zahl .r bezcichnct ( a ci ne belic bige rcelle Zahl und .r ei ne belie bige positive reelle Zahl) und ist gleic h dcr Zahl y, deren a- te Potenz gleich x ist2 .

l' =xl Fur die Q ua dratwurzel

.yx

( 1.2)

wird in dcr Regel die verein facbtc Sc hrcibwcisc

IX

verwcndet .

Potcnz- und w urzctausdrucke lassen sich jewcils in die andere umw andcl n. z.B .: -Yd/-:;: ; = .r - bl" X"

uejsplel 1.3: Kontrollic ren Sic mit Hilfe cines Tasc hcnrechners d ie Glcichwcrtigkcit folgender Ausdruckc. a)

2;;Yf6 J: 16 1/ 2.5 Taschcnrcchncr :

h)

-Y'262 J: 2{)l/5 Taschcnrech ner :

c)

d)

2iff6 = 3.03 14 3

m

16 1/25 = 16°.4 = 3 .03 143

2(>2/ 5 = 2(j1.4 = 3.3 1445 /

= ";;400 = 3.3 144 5

'{Y62 J: 6- 2/ 11 Taschcnrcchncr : -{Y62 = -{Y36 = 0 .63894

-vg J: 8- 1/.' J: -vg = 0.5

8 11/ 3

J:

If ~

~ ~ ~ ~ 0,5

6 - 21H= 6 - 0 .25 = 0 .63894 /

ls J: If J:
8 -1 / 3 = 8- 0 .3333 = 05

{la, 125 ~ 0,5

/

_1_ ~_1_ ~ ~ ~ 0 5 81/3

8°·3333

\Ylf=T =

0.5

2

.

/

S pezia lfa ll fur Wurzel n Untcr der vo raussctz ung, dass x « 1 ist. kann fur den Ausdr uck VI I +x folgcnd e Naherungsfor mel vcrwcnd ct werdc n (s. auch Aufgabe 13 auf Scitc 259). fu r

1.3

x«

I

( 1.3)

Sum mation, Produkt und Fakultlit

In viclc n technischcn Anwc ndungcn und dcr Sratist ik worden cine bclicbigc Anzah l von GriiBcn bzw. Variablen uddic n cdcr muhipli ziert. Ais kompakt e Sc hreib weisc rur solchc O perationen werden das Summensvmhol und des Produktsymhol verwe nde t. 2 Fur cine

wig,'''''''' nntllrlichc Zah l
4

I Grundwissen

1.3. 1

Summa tion

Fiir die aus den reellen Zahlen .rr , X2, X3. · ' · gebildete Summe Xl + X2 + X3 + , .. kann man beisplels weise auch schreibe n: [ X; = XI + X2 + X3 + ' " j ",1

Das Summensymbo l [ ist also eine Abkiirzung fur die Addition de r Summenglieder. Falls die Summation eine begrenzte Anzahl von Gliedern e nrhalt. wird das durch die Angahe einer Obergrenze zum Ausdruck gebracht:

"

( 1.4)

[ X; = XI + X2+ X3 + " ' + X,,_ 1+ x" j ", J

Die Summationsuntergrenze kann naliirlich auch bc i cincr belicbigen Zahl

III

beginncn:

"

[ Xi = X", +Xm +l +X,.,+2 + ... +X,,_I + X" i='"

Die Summcngliedcr miisscn nicht zwingend Zahlcn scin, sic konncn L B. auch Funktione n scin : [" cos in = cos n + cos 2n + cos 3n + .. . + cos nn ;,=1

, ;=1 ,

Betspfel 1.4: a)

[ x; = ?

m it x l = 7 , X2 = - 3 , x., = - 2 , x~ = 6

l:

X; ~ 7+ ( - 3)+ ( - 2 ) + 6 ~ ;= 1

8

J

h) [ sin in =sin O+sin n +sin2 n +sin3 n = O+ O+ O+ O= O ;=0

.. in c) [ cos ;",,0 2

,

e

n 3n cos u -i-cos -+ cos n + cos - + cos 2n = 1+ 0 + (- 1) + 0+ 1 = I 2 2

d) [ Xi = .\') + X4 + X5 + X6 ;=3

~

5

[ i = 0 + 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15

;=0 J

f) [ P = 12 + 2 2 + 3 2 =1 + 4 + 9 =1 4 ;", 1

.1

J

l: (12 - 1) ~ ( 1' - 1) + (2' - 1) + (32 - 1) ~ 0 + 3+ 8 ~ 11

;", 1

1.3 Summation. Produkt und Fakuhat

5

Geometrfscbe Summe In dcr Finanzmat henunik wird fo tgendc Summe hclli)ligt:

"

L Xi i= (j

= I + .~ + .,.2+ x' + ...+ .r"

Die Bcrechnung dcr Summc kann auch geschlossen crfolgen:

'- I "'L." .e.= l + x +.\-"+x + . . .+.-t'= {.11,,'+ + 1 x- I

~o

falls .r falls

f- I

( 1.5)

x= I

Regeln fur die Summa tion I . Addi tionsrege1.

" X " " L '+ L .' , ~ L(x,+y,) .=m .=m

( 1.6)

1= ",

2. Das Sym bol fur den Summationsindcx dnrf beliebig gewahlr werde n. ( 1.7 )

3. Der Summationsindex darf um cin cn bcl iebigen Betrag k verschcbcn werden .

LX,~ L x,_,

LX,~ L x,_, "

n+k

i= l

i= k+l

11

,,+k

1= 0

I"' k

( 1.8)

uelspiel 1.5: Die Regel ( 1.8) soil fUr II = 3 und k = 4 ubcrprutt werden. 3

.,

3+4

L

L Xi .; Xi _ 4 i= l i=4 + 1

,

.\ +4

L Xi = X l + X2 + X 3 i=l

1.3.2

L 1= 4 + 1

7

Xi - 4

= L Xi - 4 = X5_ 4 + Xb_ 4 + X7_ 4 = X l + X2 + X., i= 5

I"rodukt und Fakultiit

Mit dcm Produk tsymbol drtickt.

" I = X l ' X2 " OX

1= 1

n wird die Multipli kation einer beliebigen Anzah l von Termen ausge-

' X"

( 1.9)

/

I Grundwis sen

Hd spid 1.6:

,

,

b) 0 ;2 = 02 . [2 . 22 . 32. 42. 52 = 0

a) O i =I . 2 · 3 · 4 · 5 = 120 ;= 1

;==0

Fakultat Die Faku jtat n ! (ges proc hen als »n- Fa kultat«} eln cr natUrlichen Za hl

I

n ! = O" i = I .2 .3 "'1l

Spczialfall: O! = I

;=1

/I

iSI wic folgt definic rt :

I

( 1.10 )

Hcispiel 1.7: I! = I

3! = 1 · 2 · 3 =6

2! = 1·2 =2

1.3.3

w ettere Elementa rfunktlenen

1.3.3. 1

Slgnum-Funktlon

5! = 120

12! = 479rKlI 600

Die Sig nu m- Fun klion eiuer Zahl .r (auch \.h r: eichen-Funktion gc nannt) ist wic folg t dctinicrt .

Isignr = I~I•

( 1.1 1)

Die Vorzc ichc nfunktion karin also nur zwe i Wcrt c annchmc nt :

signx = {

wenn .r -?: 0 1 - 1 wcnnr c u

Eine Zuhl .r und ihr Absolutwert knupft.

( 1.12)

Ixl

sind uber die sigll- Fun ktio n rniteiua nder wie folg t ver-

Ix= lxl ·signxl

( 1.13 )

Hcispid 1.8: sign (-3) =- 1

sign 4,6 = I

signJt = 1

sign (- Jt) = - I

J In deT Lileralur ist milunlcr aU~'h die Fe' llegung anlulTefTen. da" sign (0 ) nicht dd iniclt 'Ci. Dic'l' Ddinilion winl hier nicht ubcrnommeu. we il man damit bci lugeuicuraufga bcn wcnig anfungcn knnn.

1.3 Summation. Produk t und Fakuhat

1.3.3.2

7

l\Indu lll-Funktio n

Die Modll fo-Funktion bercchnet den gamzaldigen Rest der Division von zwe i ganzen Za hlen k und III (sic wird hauptscchlic h in der Co mputcrprogram mierung verwcndct):

,

mod - = r m

m il

r =k - ;'//1

i E Z. d.h . i ist cine ganze Zahl

(1.14)

Die Zahl i ist so zu wnhlen. dass 0 :::; r < m gilt.

Beispiel 1.9:

mOO (7/ 3) = ? FUr i = 2 ergibt sich: r = 7 ~ 2 ·3 = I. Der Module-Wen von 7/3 ist also gfcich I. weil mit i = 2 die Bedingung 0 < r < 2 erfultr ist. 1.3.4

Losun~

etn er q uadratlschen O felch u ng

Pur die Losung cin cr quadratischen Gleichung lassen sich zwci Losungsfcrmcln angcbcn: Normalfonu

( 1.15)

x 2+px +q = O

Allgemeine Form ( 1.16)

{/.~ +bx+c = O

1.3.5

Binomische For meln und Pa.~ calsc hes Dreieck

Ocr Porenzausdruck (a + b )2 wird durch Ausmultiplikation von (ll + b ) ((I + b ) bcrec hnct. Auf die g teichc An konncn hohcrc Potc nzcn von andcrcn Ausdriickcn crrruuch worden. Die in dcr Praxis am haufigstcn bcnotigtcn Porcnzausdrncke sind:

(a + b)2 = a 2 +2ab+b2 (a - b )2 = (12 _ 2ah + b2

(J .17a) (1. 17b)

(u + b)J = {/ J + 3u2b + ) ub 2 + b J 3

3

~

~

'I

(I . 17l')

(a - b) = a - 3a· b+ 3/1b- - b(a + by' = (I" + 4a3b + 6u 2b 2 + 4ah J + h"

( 1.I7d)

(a - b) " = a" - 4cr1 b + 6a·~~ b· - 4alJ"1 +b"

(1.1 70

a 2 _ b 2 = (/I+ b )(a - b)

(1.17l' )

( 1.I7g)

I Grundwissen

Einc sorgfaltige lnspektion dcr konstar uen Kocffizientcn in dell obigcn Potenzausdruckcn zeigt . dass ihre A nord nung durc h das xog. Pas calscne IJreieck bcschricbcn wird: O. Porcnz

2

3 4

3 6

5

10

4 5

10

I. Porcnz 2. Potcnz 3. Porcn z 4. Porenz 5. Porenz

( 1.18)

Das Pascalsche Dreicck hat auch in der Technik A nwendungsgc bicrc. Bcispicls weisc wcrdcn in der Finite Ele mentc Methode (FE M) sog , votlstandi ge A/lS(llifllnkr;o/len Iilr das Vcrschicbun gsfc ld eincr Bicgcplattc mit Hilfc des Pascalschcn Drciccks aufgcstcllt.

Mittelwert einer Zahlen reihe

1.4

Fiir die Definition des Mittelwerte s eine r Zahlenreihe .r r, X2 ,X) , ' " gibt cs vcrsc hiedcne Moglichkcitc n. Es cxisticrt nicht die heste Mittciw ertdc finition, jc nach Einsatzzwcck kann sich die cin e oder ander e als die bcsscrc Wahl hcraus stollen. In dcr Ingenic urpraxis worde n das cr ithme tische M ittel und dax quc dratische Mittel urn haufigstcn vcrw cndct. A ritlnnetisches Mitte f x",: X",

I I = - (XI + X2+" '+ X,, ) = II

II

Qua dratisches Mittel

" r-

( 1.19)

;= 1

.rj.

- [" xi

( 1.20 )

II j = 1

Geame tr isches Mittel

XII "

( 1.2 1)

Harmanisches Mille! Xh =

I

1

XI

x2

XII :

"

n 1 = - '-' - 1 -

- +-+".+Xn

/: 1 X /

Fur cine uus positivcn rcclle n Zah len ziehung: Xh $ X.~ $ Xm $ X\

( 1.22)

I: -

Xl , X2.·· . • Xn

bcstchcnde Zahlc nmc nge gilt folge ndc Be-

( 1.23)

1.5 Logarithmus

9

Heispi d 1.10: Fur die Za hlc nmcngc XI = 3. X2 = 5, X 3 = 7. .1:4 ".." 9 sollcn die vcrschicdcnc n Mittelwcrtc bcrcchnct und die untcr ihnen bcstchcnde Bczichung ( 1.23) ubcrpruft werden. a) Arithmctischcs Mittel

=

X",

1

4'

LXi= 4'1 -I

=

1= 1

b) Quadratischcs Mittel

x.• =

(Xl + .f2+ X3+ X4)

4l L' xl = ,=1

1

4 (3+ 5+ 7+ 9) = 6

P4'

c) Geometrischcs Mittel

XII

=

in Xi

;=01

= \'13 · 5 · 7 · 9 = 5544

d ) Harmonischcs Milici

4

xh = - ' - I = I

L -

I

4

I

i=1 Xi

3

5

7

e) Komrollc dcr Bezichung ( 1.23) : 5 '{)8 1 < 5.544

1.5

1 = 5,081

~ +~+~+ ~

< 6 < 6 .403

9

X"

S XII

::; Xiii ::;

.r.•

/

Logarithmus

Ocr Logarithm us spielt in Ingenieurwissenschaften c ine gro l3c Rolle. Wir betrachten die Gleich ung

a und b : po sitive reclle Za hlen, .r : bclicbigc recllc Zahl, wobci a und h vorgcgcbcn und X hingcgcn unbckannt sind. Die Losung wird als Lagarithmus von b zur Basis a bezeic hnct:

X

dic ser Glcichung

IX- logu hl Betspl el 1.11: a ) lOt = 100

'*

X

= log ]() IO(}

b) et = I {Xl

'*

x = log., l {X)

I Grundwissen

J[}

Bezelc hn ung des Logarlthmus Flir die Basis {/ = 10 wird vom dekadischen Loga r ith mus und fur d ie Basis {/ = 2.7 1828 .. . (s. Seite 738) vom uaturllchen Logartthmus gesp roch en . Unabhangig von der gcwahlte n Basis Cl gelten die Regeln dcr Tabelle 1.3. Einc negat ive rcclle Zahl hat keinen reelle n Logcrithmus, z.B. fllr log ( - I ) existicrt kein rce llcs Ergcbnis (dcr Taschcnrechncr wilrde cine Feh lcrmel dun g licfcrn).

Deka disch er- I.oga ri thmus Ig Beim dekadischen Logarithm us (auch Hrigg-Lo garithmu s genan nt) ist die Basis a gleich 10. A nstcllc vo n loglO schrcibt ma n ubkur zcnd auch Ig als Symbol flir den dck adis chcn Logarithmus.

x = 19 b

( 1.24 )

(lg b = log IO b) 1

Dek ad isch er Logartthmus Heispi el 1.12: 10< = I x =? tsg: x = lg 1 = 0 In< = 10 x =? LIR: x = lg lO = 1 10< = 100 x =? Lsg: x = lg 100 = 2 In< = 1000 x =? Lsg: x = lg lOOO =3 In< = 24,5 x=? L sg: x = Ig 24,5 = 1,389 1n< = 0 .1 x =? L sg: x = lg O, I = - 1 tO' = 0.01 .r = ? Lsg: .r = IgO.OI =- 2 LIp,: x = lg O.()()1 = - 3 10< = 0. 00 1 x =?

Natiirlicher Logaruhmus In Die Basis des natiirlichen Logar ithmu s ist die Euterscne Zahl e (e = 2.7 1828 1828459). Die abgeklirzte Schreibwcise fur den natiirlic hen Logarithmus ist In anstelle von logex- Inb Beispiel 1.13: {~t = 1 f'T

= e

[In e ss Iog..

b)1

*

x= ln l = O

{~\

*

x = lne = I

f'T

( 1.25)

= 375 I

=_ e

*

,

x = In 375 = 5 .9269 26

* x = ln - =ln0,367 879 = -1

e

Einige wic hng c Regeln fllr den natiiriichen Lagarithmus sind:

=x

In I = 0

Ine = I

ln e"

Inxy = ln x +ln y

x""="

e 1n .< = X

e1n f (.T)

= J (x )

'" U (x )' I" ) ~ g (x) '" f (x )

c

In :'"

tn.c -cl n v . e-"Inx ec1n x =x" e

In.r' = y In x In e',r = {'X

( 1.26 )

1.6 Absoluter und Relativ er Fc hlcr

II

Tabclle 1.3: Log urith m us-Regeln Iiir bc liebige Basis (/

Beis piel log lo 1 _l g 1 _ 0

Regel

I. 2. 3. 4.

5.

log" I log" a log" a' log" a"x lu&, a f (x )

6.

log"

7.

I Ct

f ix )

10&, .t + log" y 10&, XI + log" _Q

.o

10&,

9.

.r

Il. 13.

ln r

al"!\. x [( x ) xy

14.

log" .1'-"

lS.

10&, (f(x)~ (" ) log" xY log,,(x + y)

16. 17. 18.

log" f (x)

=

Ig(3 ·4) = [g 3 +lg4 Ig(3 ·4 · 5) = Ig 3 + Ig 4 + Ig 5 5 Ig = lg 5 - [g 2 2

In 5 In 10 bzw, e lo,, = .>:

'""

lug w 5 = Ig 5 =

.r"

ro' Igx =.r'

f ix )

/'10 , io.h = si n 3x

(I .l' I" R, "

.1'-" = e_" lo" bzw. 2'\ = /'310 2

.r

({ 1,,0;. x (l1(>gu

+ .. .+ 10&, x"

10&, .r - log" y

y

lu&, x

10. II .

10g I0 10 =lg lO = I Ig 102.5 = 2.5 Ig 101< = 3x Ig In, io 2x = sin 2x

.r

log" (.\' l · -Q · · - x,,)

8.

1.6

o

Y 10&, .t g(.\') log" f (x) (log" _tV log" x + 10&, Y 10gb f (x ) log" b

IOlgx = x

bz w .

e3

Inx

=.r'

Ig .r' = 3 Igx Ig (.J

+ I )" = x

Ig (.J

+ l}

Ig 2" #- (lg 2).1 Ig(2 + 3) #- lg 2+ lg 3 Ig 8 = In 8 lg e = 0 .903 '-v-' '-v-' 2.079oW OAJ4 :N

Absoluter und Relat iver Fehler

Jedes mathematische Naherungsver fahren bringt unvermeidlic herweise einen gewissc n Fehler mit sich. Diescr Fehle r kann fll r ingeneu rtechnische Auwendungen vollig unbedeut end scin. ode r uber auch so gmB. dass d ie ganze Losung in Fruge gestellt worde n muss. Dcshalb wird in die sem S uch bci viclc n Aufgabenlosungcn auch der relative Fehler angege ben. wclchcr infolge ciner Nahcrungsmcthod c enstcht. Natilrlich kann dcr Fehlcr nur dann crrcchnct wcrden, wcnn die cxakte Losung bckannt ist (cs gibt zwar auch furtgcschriucnc Peht crubschmzungsmcthod cn. die oh ne Kcnr ur us dcr exakren Losung uuskom mcn: sic worden bier jcdoc h nich t bchandch) . Ocr absolute Fehler- E"I,_ , (E fur »crror«) einc r Nnhcrungs tosung entspric ht dem Betrag dcr Differ enz zwischen dcr exa kten und dcr Naherungs- Los ung.

E",. = If - 1,,1

f : exaktcr Losungswcrt

[" : Nahcru ngslosung

Dcr relative Feh ler E ,-t'i dcr Nahcrungslosung ergibt sich aus folgender Bcziehung:

( 1.27)

12

I Grundwis sen

Hd spid 1.14: D ie Que rschnitts ftikhe d e s Sta hl. Walx p ro tils IP E 200 bc tragt exu kt A = 2&,5 c",2 . Ei,

ne von Hand durchgcfuhrtc vcrcinfachtc Flachenbcrcchnung umcr Vcmachlassigung dcr Ausrundungsradic n licfcrt den Nahcrungswe rt A " = 27.3 c/II2 . Wie gro13 ist dcr relative Feh ler dcr Handreeh nung ?

E~ rel

1.7

~

28 IA-A, - 27.3 1= 0 ,042=: 4 ,2% A II~ 1 .528,5

\Vin kelmaBe: Grad und Radiant

In dcr Geometric wird als Winkelma13 in dcr Regel des Gradll/ap (Sym bol 0) verwcndct: L B. sagt man »90 Grad isl ein rcchter Winkel" usw. In physikalisehen Anwendu ngcn (Stati k. Dynamik. Elektrotechnik usw.] wird dagcgcn IUr Winkel das Bogenmaj.J verwendcr. Die MaBeinheil fur Bogenma13 ist der Radium (Symbol: tad ). s

,

a ~l

r

s=r

r

rad

a: Definition von I Rad i-

"

b: Belie bige Bogenlfinge s

ant

Bill! 1.1: Beziehung zwischen BogcnmaB und Bogcnumgc

Wie in Bild 1.1 a dargcs reltt. cntspric bt I Radiant dcmjenigen Winkel a . dcr au f der Umfangslinic cines Kreiscs vom Radius r eincn Bogen von der Lange s = r definiert (Bogenlange s gleich dem Radius r) . Zw ischen der Bogcn tange s, dem Rad ius r und dem elngcschlosse ncn Winkel a des Kreisbogens in Bild 1.1 b besteht folgende Beziehung (s. auch Kapitel 8 uber Integrulrechnung]: (a in Bogcnma13)

( 1.28)

Dcr Vollwinkel cines Krciscs bctragt 3600 in Gradma13 bzw. 211" rad in Bogenmau. woraus folgr: I rad = 3600 = 180° = 57.295779513082309° ~ 57.3° 2

•

•

Fur Ingenieuranwendungen ist die Wahl des Winkclmalles von groBer Bedeutung. Sorgfoscr Umgang kann schr tclc ht. insbesondere in der Mcchanik (Statik und Dynamik). zu falschcn Ergebnis-

I.R Zusarzfiche Bcispicle

13

sen fuhrcn . Bcispic lsweisc liefern Form cl sammlungcn der Stati k den Dreh wi nkel cines bcidsctig gclc nkig gelagcrtc n Balk cns imrn cr in Bog cnrnab . Auf dcr and cren Sc itc will man sic h moistens in gcw ohntcr Weis e, d.h. in G rad mug, vors tcllc n kon ncn . wie stark xich dcr Balk cn verdreht: in sotche n Fallen muss dcr Drehwinkcl vom BogenmaB in Ora dmaB umgcrechncr werde n. Fanstregel: Falls cine tcchnischc Form er mil Zeit. Gcschwindigkcit od cr Beschlcu nigung zu tun hat ode r cl n rnathcmatischer Ausdru ck di fferen zien wi rd (s . Absc hnitl6) muss in der Regel mit BogenmaB gearbeitet werde n. In anderen EHlen ist d ie Ent sch cidung tibe r d ie Verwendu ng von G radm au ode r Bogenma13 an ha nd der Aufgaben art zu treffen . Es wird em pfohlen. Grad nur dort zu verwen den. wo es urn rein geomctrische Gr c aen ge ht: in alle n anderen Fallen so llte dem Boge nma13 de r Vorz ug gegebc n werden. Au f Taschenrechnern wird das G rad ma13 i.a. mit der Kurzfo nn deg (e ngL degree ) kenntlich ge mach t. das Bogcnma13 mit rad (Rad iant). Die Umr echnung zwische n de n heid en Winkelmubeu erfolg t mit folgend en Formeln: Um rechnu ng vom Bogen maB in Orad:

( 1.29 )

Umrechnung vom Orad in Bogcnmab: Einige haufig verw en de te wiukel wene in Or ad - und BogenmaB sind :

1.8

Or admaB:

00

BogenmaB:

0

10

:mo

45"

60 0

90 0

120

135

180

•

x

•4

n 3

x

2•

3.

2

3

4

•

180

6

0

0

0

270

0

3600

3.

2.

2

Zusa tzliche Beispiele

Heispiel 1,15: Es so li der Ausdru ck ( 1.5) auf Seite 5 fllr die gco mctrischc Summe hergcleitet worde n. Wir schrcibcn fur dell A usdr uc k I + x+ x2+ ).3 + .. · +.e' abkti rzen d s (Summe ):

1 +x +r + x' + .. . + .r' = s

(a)

Die Mu ltiplik ation des ob igen Au sdru ck s mit x auf he iden Seite nliefe rt:

x + .~ +x3 +x'* + ·· · + .e' +1 = xs

(bl

Die Subtraktio n dcr 0 1. (a) von dcr 0 1. (b) lic fcrt :

x',+1 - I = s(x- I )

s=

x',+1 - 1

-t-r-rx

d.h .

" .e'+1 - I L X' ~

;= (J

x

/

Die obigc Fonncl licfcrt allcrdings I'til' .r = 1 in ( 1.5 ) cincn unbcsumnucn Ausdruck. nam lich n/o. was nich t bcsondcrs ntitzlich ist. Dfcses Unbcs timmrheitsproblem kann

14

I Grundwis sen

mit Hilfe dcr Regel von L'Hospital (s. Scire 224 und die Aufgabc aufSei te 262), gclost wcrdc n.

nei spi el 1.16: Ahsolut wert Die Regeln in Tabclle 1. 1 auf Seite I sind fur .r = 4 und y = - 6 zu uberprufe n.

a!

14[ ~ 4

Ixl~l- xl

1- 41

~

4

=>

141~ 1- 41 /

14 · ( -6 ) 1 ~ 1 -24 1 ~24 1 4 1 ·1- 6 1~ 4 · 6~ 24 / Ix·yl ~ Ixl ·ly[ Ixl -6 1 ~ 1 _ 2[ ~ 2 1- 61 ~ ~ ~ 2 / c) x - I- ~ 3 ~I 3 Iy - Iyl 141 + 1 - 6 1 ~4+6 ~ 10 1 4+ ( - 6 ) 1 ~ 1 - 2 1 ~2 / d ) [x] + I.\"I ?: Ix+yl 141+ 1- 61~ 4 + 6~ 10 14 - (- 6)1~ I I OI~ 10 / e) Ixl + Iyl?: [r - yl n Ixl- I.\"I ": 1 Ixl- I.\"I 1 h)

1

- 2<2/

1 4 1-1- 6 1~ 4- 6~- 2

gl

Ix+yl ?: 1 [xl-lyl 1 14 + (-6)1

hi

~

1- 21

2 =2 /

~2

Ix- yl ?: 1 Ixl- Iyl 1 14- (- 6)1

~

1101~ 10

10 > 2 /

Beispiel 1,17: Einige Log arithmcnregcln in Tab. 1.3 fllr den dck adis chcn Logarithmus, d.h . Basis (/ = 10, worden zahlcnmallig vcritlzicn. a)

Regel: Ig xy = Ig x + lg y

Beispiel : Ig(5 · 8) J: Ig 5 + Ig 8

Ig(5 · 8) ~ Ig40 ~ 1.60206

Ig 5 + lg 8 = 0.69897 + 0,90309 = 1.60206 16 Beispiel : Ig = lg I6 -lg 5

/

IgI 6 - lg 5 = 1,204 12 - 0,69897 = 05 05 15

/

.r b) Regel: Ig - = Igx - Igy Y

'J

5

16 = lg 3.2= 0,505 15 5

Ig ~

Beispiel : lg 53 J: 3 Ig 5

c) Regel: lgc'' = y Ig x lg 5" = Ig 125 = 2.0969 1

d ) Regel: Ig(x + y) f-l g x + lg y Ig(80 + 40) = lg 120 = 2.079

3 Ig 5 = 3· 0.69897 = 2.0969 1

/

Beispiel: Ig(80 + 40) f- Ig 80 + lg 40 abcr: Ig 80 +lg 40 = 1,903 + 1,602 = 35 05

neispiel 1.18: Die angcgebcnen Ausdrticke sollen sowcit wie mogltch vereinfacht werden. a)

I g x l h' +l g [ I I.~'

I I LI'g: Ig x l /y + Ig x- 1/." = - lgr - - lg.r = 0

Y

Y

/

I.R Zusarzfiche Bcispicle b)

10' IgJ 10" Ig J = 3'

Lsg: Mit Hilfe dcr Regel (fr 10£,, ' · = c' auf Scite I I erhalt man:

lleisp id 1.19: Losen Sic folgende Gle ichungcn nach .r. a)

,

Ig r + 3Ig x + 2Ig V20 =lgr - lg x

,

2 Igx+3 Igx +2 '2 Ig20 = 5 Igx - lgx Ig x =lg 20 - 1

lg .e = - lg 20

,

5 Igx + lg 20 =4 Ig x

x =20 - 1 = 20 = 0.05

b) 8 lg ,JTO + I gx -I g '~ + "3 Igx J = I gx~ , 3 8 ' "2 lg 1O + lg x - 2Ig x + 3" Ig x = 4lg x

"*

Ig lO = lgx

"*

4lg lO=4 lg x

x = 10

c) 2 In .~ - lnx6 + ln x = l n I 0

4In x -6 Inx + lnx = lnlO [ 1 = 10

=>

,

Inx- 1 = In 10

- lnx= ln IO

~ = IO

x = IO =O. 1

x

Beispiel 1.20: Vereinfachcn Sic folgcndcn Ausdruck sovie t wic moglich (und sinn vcll).

,

,

,

Ig r llY -tlg x l /." + In x - 2 Umcr Bcachu m g der Potcn z- und Logaru hmen rcgctn crban man:

-

lee .cl - ' /)' - + 'g -xl/.' '-· -l- In -x-'-2 = Ig x 1Jy + lg x- 1Jy + In .~ = I"e

, ,

(x .x1h

I Jy

)

= Ig {r ,,- .', ) + 2 ln r = Ig I + 2 Inx = 2 Inx

~ =1

=0

lIeispiel 1.21: Vcreinfnc hcn Sie folgenden Ausdruck soviel wie mogflch (und sinnvoll).

In

«(.~ _ y2)2 _ ~ ln(x _ .r)

Dcr crste Term laBt sich wic folgt umformen:

+ 2 ln r

15

J6

I Grundwis sen

~

2 , , 10 [(x+ y) (x - y)J~ } [In(x + y) + h,(x - y)J

-

-

Dcr gcsam tc Ausdruc k licfc rt:

2 2 2 2 3" ln(x+ y) + 3" ln(x - y ) - 3" In(x - y ) = 3" In{x + y)

-

-

-

-

neispiel 1.22: Loscn Sic fclgcndc Glcic hung. e1n (.r H -I )

= .~_ x + l n e3

x ='?

Gernuf Logari thmenrege ln ge lten folgendc Beziehungen: e 1n (.r +x - l )

::::}

= .~ + x- I

.~+x - I =~ -x +3 ::::}

2r =4

::::}

x =2

Beispiel 1.23: Lc sen Sie folgc ndc Gleichung.

x =?

(c : Konstanre)

Die Ausdriicke links und rechts vom Glcichheitszeichen ergeben:

::::} IJeispiel 1.24:

Bcstirnmen Sic den Well der Variablen x und y. wobci d ie Bcdingung y = ..,!X gcltc n sell.

Inx + 2 Iny = 1.5.

lnx + 21n ..,!X = 1.5 In(x · x) = 1,5 ::::}

x = 2. 1170

Inx + ln(..,!X)2 = 1.5

Inx2 = 1,5

In x + [n x = 1.5

.~ = e l.5 = 4 ,48 1689

y = ) 2. 1170 = 1.4550

Kon trollc:

In 2. 11 70 + 2 In 1.4550 = O.75{X)+ 0.750 = 1,5

/

x=o

I.R Zusarzfiche Bcispicle

17

Heispi d 1.25: Einige lcgurithmischc Regel n der Tabellc 1.3 werde n naehfolgend hcrgelc itel.

,

a)

log"xy == log" x +log"y Die Multipli kation dcr Beziehungen x = ergibt :

xY

=0

=0

Y

=0

(s.Tabelle 1.3)

a lng,. J'

a lug,. x . a lo&, ... =0 alug" x + lug" Y

Aufgrund dcr Regel

xy

(l lol:" .t,

(lIng" J (x )

=0

(aJ

j (x ) in Tabcllc 1.3 gilt auacrdcm:

alng" .no

(bJ

Die linkcn Sciten in (a) und (b) sind glcich. so daB daraus folgt: (01

Die Ex pon enten auf beid en Seit cn in (c) mn ssen gle ich sein. wei l die Ausdriicke auf der linken und rechten Seite die gleiche Basis (I habc n: log" x + log" Y =0 log" xy x ,

h ) log" - == log" x -log"

y

./

y

Aus den Regeln .r =0 al"&, x und J

=0

a log" .I"

crhalt man:


-

j {x ) in Tabcllc 1.3 gilt augcrdcm folg cnd c Be-

.r

log,. -

X

Y

=0

=0

(I

Y

(mit j {x ) =0 xly )

(bJ

Die linken Seiten in (a) und (b) sind glcic h. so daB daraus folgt: .c

(l Ing" x - log".I"

c) log"

lug" =0

,

==}

log" x - log" Y =0 log" y

/

lOR,

Xl

+ log" X 2 + log" X3 +... + log" x"

(lIng" J (x )

=:;

j (x ) in 'Iubcllc 1.3 gilt folgc nde Beziehung:

(X I 'X2 'X3 •• . XII ) e,

Aufg rund der Regel

.r

J

(I


J8

I Grundwissen

Mit Hilfe dcr Regel (/ I "~,, -' = x in Tabclle 1.3 15Bt sich fcm cr folgendc Bezichung aufschrc ihen:

Die rech tcn Seiten in (a) und (b) sind identisch. so daB auc h d ie linken Seiten gleich se in mu sscn:

'* d l log" .r"

,

log" (X I ' X2"' X,,) = log"

== II

XI

+ log" x2+ · · ,+ log" x"

,;

10&, x

Die Substitutio n de s Ausdruck s

x' = '------v------' x ·x ·x · · ·x

in die Aufgabe nstcl lung licfert:

,, - mal

log" .e ' = 10&, (x' x X 0

000

.r] = log" x + log" x + · ·

---....-..-

'

+ log" x = Il

log" x

/

'

,, -mal. (_. Tahdlc 1.3)

of"

1.9

0

V'

Aufga ben

I. v erei nfuchen Sie folgende Za hlenausdriicke soweit wie moglic h (ohne Taschenre chne r). a)

6- 7 61\

0)

2 · g- ln

e)

vTO + v'i4

~)

W

L~K :

b) Jij

6

Lsg: I L~K :

[sg :

vTO + v'i4

49

ifY!

d)

Ji m

t)

ij64

b) ( I / W

LW 9 isg : 9

Lsg: 2 J

L sg: 8.

2. Vcrcinfu chcn Sic folgcndc A usdrucke. a ) (.r~)2

h)

(x3)- 2

.r~ 06

0) - 301 x

d)

V'XJ

e)

(V'X)3

t)

- o\ ~

3. Geben Sic das Ergebni s fol gende Ausdriicke an. oh ne den Taschen rechner zu verwcnde n. Isin 90" ! 4. Die angege benen Ausdriicke sind als Potenzen oder Prod ukte darzustell en. a)

x2 _ &x + 16

h] 9r - 30x + 25 c)

9x4

_

6x2 + I

dj X"~ +o~ -x - I

Lsg: (x _ 4)2

isg: (3x - 5)2 L~g : (3.? _

1)2

Lsg: (x + I)(.~- I )

1.9 Aufgaben

19

5. Geben Sie das Ergebni s folgende r Sig nur n-Funkticnen an (ohne Taschenrcch ner). a)

sign x l

+I

LIK '

sign (sin 90" )

b ) sign ( - 2 sin(-90" ))

Lsg:

+I

L\'X:

+I

sign (5 cos 180° )

. [si stgn Sin 2 x )

c ) sign (- sin 270°)

LsK: + 1

= 5, Y = 7.

6. Ver ifizie ren Sie die Absolutwert-Regel n der Tabelle 1. 1 fLi r x

7. Ubcrprufen Sic Sic die Bczich ung (1.23) fur die Zahlcnr cihc 2. 4 . 6. 8 , 10 ,

8. Lnscn Sic fo lgende Glcic hun gen nach .r . a) lOt = O. b) 10 f = 50 , c) 10' = 785 6 , d ) eX = O. e) e f = 50 , J) e T = 7856, J..jj,I'II11X: a ) keine Losu ng, b ) 1.699. c) 3.8 95. il) kL . e) 3.9 12, J) 8.969 9. Gebcn Sic das Ergcbnis folge ndc r Ausdr iickc ohne Benutzung cines Taschcnrcchn ers an. a) 2-Y64

WX: 8

cj sin 4 ll'

L5g: 0

c)

5,

"2

S ill

6 i' [ cos ;= 1 2 i ) Ig 400 - lg 4

k ) ta n

n

'2

ves

m ) In

Lsg: - I

I>

i ll'

-

2

Lsg : 3 L 5g: 0

[ sin "2

;= 1

LI'g:

UK)

L \'X: - I

h ) Ig 1000

2

L 5g:

tsg :

1/ 4

0

L5g: [

~)

, d ) cot -

b) 9 . 8 1-

j ) cos 6ll' I)

Ig ~

n)

isg : I

L W: I

!2

LIS:

In .J7!

- 0.5

Lsg: 3/2

10. Bcrcchnen Sic folgendc Summ on und Prod ukre. a)

c) 0)

, . -, , l: j(j + I) , . l:",

;= 1 j=l

[

, 2 I ll'

Sin

;=1 5

-

2

0) OU- I) ;)

;= 2 2

3

n ( l: j) J= I ;: 1

L5g:

20

LI"~ :

w 'X: LIK'

b)

5

l: Vi<

k=l

Lsg: 8.3823 i ll'

f>

40

d ) [ sin ;= 1 2

2

0

24

Lsg: 18

6 [ cos i -'

,

;

;= 1

j= l

;= 1

2

L5g.' L I'g: - I

n

LV~:

33

j ) [ ; + [ ;2

L I'g:

70

h)

l: ( 0

5

5

;= 1

;: 1

II . Vcri fizic rcn Sic den zwcitc n Ausdruc k in 1.8 auf Sc ire 5 fur " = 5 und k = 2, 12. Ubcrzcugc n Sic sich. dass folgcndc Beziehu ngen rich tig sind.

20

I Grundwissen

13. v crei nfuchc n Sic folgcndc Au sdriicke mil Hilfc von Wurzelrcgeln . a)I + v'a~

2a+ '

LTx:a

14. Kon trollicrcn Sic mit Hilfc cines Taschenrcchncrs d ie Potcnz-Regeln dcr Tabc llc 1.2 filr

(1 =1 ,2.

h =I ,5.

x = 2.3.

y = I.3.

IS. Fol gcndc Ausdruckc sind mit Hilfc von Poicnzregel n zu vercinfuchen. a) XI>II- .' x - ·l n+ J

bl c)

LI'g:

2 . (52 )3 . 8 2 4 3 . 55 2 2- . (62)() ·42 4 - 4 . 43

X lII

Lsg: 10

tsg: 16

dl

(1,,-1 (cd +!'e )// +2 {('(ld+ eac)n r

e)

b :- 2y- \ P x 2y 5(/ ' xl'

LW c3(d +e )3 Lsg:

2a 2y2

~

16. Zeigen Sie die Rich tigkcit fclgender w urzelbe ziehungcn. inde nt Sic sic als Potenzausdrucke forrnulle ren und die Potcnzregcln anwendcn . KontrolJicren Sic d ie Beziehungen zusatzlich mil eincm Tasche nrechn cr fur die Zah lcnwcrtc .r = 2.8 . y = 1.6 . r = 2.5 und p = 1,2 . bj

\Ix= ~ ' -c yry

y

e) q':jxq ' l' =

(/Xii

f) :j.r" . Y = x

IY

17. Bcsummcn Sic d ir Wurzel .r folgcndcr Glcichungc n. a) e2'

- e' - e' +1 = 0

LIR: x = ln(e + l )

18. Uberprttfcn Sic mil einem Taschenrechner fur a = e = 2.7 1828. .r = 10. Y = 15 die Loga rithmc nregeln der Tabc llc 1.3 . 19. Bcrec hncn bzw. vcreinfuchen Sic folgc ndc A usdrilckc (ohnc Taschcnr echner). a) 19 10.1 L\'K: 3 h) In e 2 LTg: 2 4 c) ln x LW 4 1nx d ) Ig xy Lsg: Ig x + [gy xJ x\.4 e) Ig x2 Lsg: Ig x f) In ---j-- Lsg: 3 Inx+ 4 In y - 2 In : g) lg (/10" i ) In

jx7+ y

"

Lsg: 11 +lg(/ Lsg :

2:I ln(x + y) -

h) IgJ(Yl ln z

Lsg: - 11+ lg (/

1.9 A ufgaben

21

20. Bcrcchncn S ie .r mit Hilfc von Logarithmusrcgeln (ohnc Taschcnrcchncr). I

L I'g: x = 1

a) x = Z lg 25 + 1g-/4

LW: x = 2

b ) x = 2([g 50 - lg 5) c)

I

x = lg v'80 - Z 1g 8

LW x = O.5

d ) Ig(3x + 5) -[g(x - 3 ) = 1 e) I06x 10- 1< - WOO = 0

n Ig x = (I/ +l ) [g a g ) ln v'!=X h)

Lsg: x = 5 L sg : .r = 1

lg (l"

Lsg: x = a

I ( l + x ) = ln IO Zln

Ls g: x = - 99/ 101

ln x = ~ [n ((I - h) +ln -/1I + h - ~ [n ({/~ - b2 )

LW

x = ~u2 _ h2

21. Bestimmen Sle d ie Wurzel .r (Nullslellc) folgender Glcichu ngen. a)

[g(ln x) = Il. I

L I'g: x = 3.52 16

h ) [n(lg x) = 0 ,1

oj

d)

In(2\' +2 ) ~ In S

LI'g: .r = 12.74 Lsg: x = 2047

4

In(x + 3) + II1 (x - 3)

LI'g: x = 5

~ 2

tn4

2 . ) In - + 2 In x = 0

LI'g: x= 0.5

.r

0

In(x + 2) In(x - 2) + = 2 In4 In 4

LI'g: .r = 4.472

22. Bcstimmen Sic die Wurzeln (Nullstellcn) folgcnder Gleichungen von Hand (bei den trigonometrischen Glcichungen ist BogenmaB zu verwendc n). a) x4 - I6.r = O LI'g: XI = X2 = 0 x3 = +4 x3 = - 4 h) 102< . 10- 5< = 1000

L sg; .r = - I

c) nr1 - x +2 = 8x2 +x - 2 d) x~ 6 =J8 - x

Lsg: x l =4

\l' J 4x - 3 - x - .;x=T

g) sin3x - 1 = 0 h) sin2x - cos x = O

i) l - tan2 x = 1

x2 = -2

x2 =7

LI'g: x I = - 4

e) v'X+8 = (X+ 20 )1/4

n

Lsg: xl = 1

x2 = - 11

L I'g: x = I

L I-g: x = 1r/ 6

LIg: x = 1r/ 6 Lsg: Xl = O

X2 = 1r

j) cos 2 x - sin2 .r = sin2 .r cos' x + cos4 X

n = 0. 1.2" ..

22

I Grundwissen

23. Gebc n Sic folgende Winkel -ohnc Benutzung cines Taschcnrcchncrs- im Bogcnmuf an. a)

1 8{)~

d ) 45°

b ) 270"

LW · 3,,/2

13SO

Lsg: 3" / 4

e)

Lsg: 7 Jr / 4 Lsg: 5Jt/4

24. Einc Kugel. cin Krciszyli ndcr und cin Kegel habcn den gleichcn Radius r, Bcsummcn Sie die Hohe h ~ von Zylinder und Ilk von Kegel so. dass d ie drci Ke rper das glcichc Volumen V habcn.

Lsg:

Vkug

4

,

4 3

h, = - r

= :3 Jrr

.

25. Wclche Masse bcsitzt cine Bctonkonstruktion . d ie sich uus cincm hohlcn zyli ndrischcn Tcil und cincr darauf aufgcsetzrcn. ebcnfalls hohlc n Halbkugel zusammcnsctzt.

Aufcurudius des Zylinders : r« = 3 m Aulknradius der Kugel : rk" = 3 m Lange de s Zyli ndcrs :L = 6 m Los ung:

/Ill

= 25650 kg

lnnenradius de s Zyli ndcrs : r; = 2.7 m lr mcnradiu s dcr Kugel : rn = 2.85 m Bctondich te : p = 25no kg/ m3

/Ilk = 20 163 kg

/11M

= 458 13 kg

2

Elementare Funkt ionen

In dicsem Abschnitt worden die wic htigs tcn muthcrnat ischcn Funktioncn fllr die Ingcn icurpraxis vorgcs tel lt und ihrc Eigcns chaftcn sowic Darstctlu ngstormcn bchandclt.

2.1

Polynomfunktionen

Ein Po tynom u-tcn Grades ist cine ganz e rationale Flink/ion von dcr Gestalt

y = f (x ) = ao +

U IX + 1l2x2

+ "3x3 + ...+ a"x" ,

(2. 1)

wobci ao. al , .. . . all ko nstantc Koeffuienten sind und all ¥- 0 seiu muss (wenn (/" = 0 und =t 0 warcn. wtlrde cs sic h urn ein Polynom vom Gra d 11 - J handcln ), D ie hoch stc in dc r Polynom funktion vorkornmende Pote nz bcstim mt den Polvnomgrad . Hilder 2. 1 bis 2. 1d zcigcn beispiel haft d ie Schaubi ldcr vcrschicd encr Polynomc .

a'I_1

Konstante Funktion Ein Polynom ve rn O-Ien Grad isl cine konstnntc Funkt ion: )' = ao

Bild 2. 1a zeigt bei spie lhaft die kon stan le Funktion y

=:

1.

Lineare Funktion

Ein Polynom I . G rades wird linearc Funktion genan nt: (2.2) Die Gerad c schneider d ie v-Achse bci a o. die x-Achse bci - a o/ a l und bcsit zr die Sreigung {I I. Die in Bild 2. 1 b dargesrclltc Ger ade wird durch die lineare Funktion y =: x+ I ausgcdruckt. Quadratische Funktlon (Pa rahel] Einc q uadratische Funktion (Parubelj ist ein Polynom 2. G rades: (2.3) In S ild 2. 1 c iSI di e Polynornfunktion r

=: r

+ 2r -

I dargeste tu.

Polynome hoheren Grades In Bild 2. 1d ist exe mplarisc h das Scha ubild ci ner Polynornfunktion 5 . Cru des dargestellt.

24

2 Elcmenta re Funktionen

,

a

,

, -3

-2

~

,

_1

-, -, -,

, ,

o

x

-,

a: y = I

,

r

b:.I' = x + I

;0'

' 00

,, c:y = _?+ 2r- l

,

4 X

,

d: y = :r-~ _ x4 - 27r1 + 4 1'? + 106x - 120

Bild 2.1: Beispielc filr Polynomfunktionen

Betsplel z.t :

'Iemp eratu rvertetluna im Stab

Dcr dargcstclltc Kupfcrstab wird tiber seine Lange vollko mmcn so iso liert. dass durch die Manteul uchc scitlich kein Warmctrunsfer mbglich ist: lediglich an den he iden Srirnflachcn ist cin w armczu- und ab lluB moglich. Die vordcrc Stirnfl achc wird bci konstantcr Tem peratur Tt = I CK) <>C (kochendes Wasser ). d ie himcrc Sttrnrtachc bci T2 = 5 <> C (flieliendes Kaltwasser) gehalten. Die Ven eilung der Temperntur tiber die Stablange ist c ine Iincare Funktion der .r-Koordina te (s. auch des Beispiel au f Seite 373),

T2 - TJ 5 - 100 x = 100 + - x

T (x) = T1+ -

L

T (x ~ 0 ) ~ lOO°C

L

T (x ~ L) ~ SoC

,.

L

, ~

JI

2. 1 Polyn ornfunknon en

Heispid 2.2:

25

Freier Fall nhne Luftreibung

Einc Stahl kugcl win! von 100 m 1J6hc -a us Ruhc hcr aus- Iallengclassen. Dcr Ei nfluu des Luftwidcrstandcs wird vcm uchlassigt (fur cine Stahlk ugel und Pallhohc 100 m ist dic sc Vcreinfuchung sic hcrl tch zulassig). D ie augcnblicklichc Hebe h dcr Kugel ubcr dcrn Erdboden wird dUTCh folgcndc quadratischc Glcichung (Polynom 2. Grades) bcsch riebcn :

I , " (t ) = 100- 2: 9. 8 11-

G -,j

hit)

r t Zeitin s

Die Hohc betriigt z.B. nach t = 3 sec Falldaucr:

" (t = 3) = 100 uetspiel 2.3:

I

,

2 9,81· 3+= 55,855 III

Durchbiegung etnes Kragbalkens unter Elnzellast

Die Bicgclinic y(x) des durch die Einzcllas t F bclustctcn Kragbalkcns isl cin Polynom 3. Grades. (0)

r: I ~t--~

I

E : Elastizitatsrnod ul

EI

L

·iyi'l

I

~F

'

I : Traghci tsmom cnt des Qucrschnitts

A ls konkrctes Bei spie l bctrachtcn w ir cin co cin seitig cingcsp anntcn Holz balkcn (Krag balkcn) mit Rcchtcckq ucrsch nitt (Breitc h. Hohc h ) aus Nadc1 holz dcr G utcklassc II.

F = 3 kN

L = 400 crn

bxh = IO x 20 crn

E = I IOOkN/ cm2

Das Tnt ghcits morncn t I bctragt nach Regel n dcr Statik (s. Beispiel 8.29 auf Sc ire 37 1):

Dic gro13le Durchbicgu ng {, an der Balkcnspitzc crgtbt sich nach Au swen ung dcr Durchbicgungsfonnel (a ) fur .r = L :

{, = Y(L) = _ ~~3 ( 2~2 -6L:3 ) = _F~3 ( ~ _~ ) = _ ;~; = -

3 . 400 3 = - 8 73cm 3· 1100 · 6666.7 .

26

2 Elcmentare Funktionen

Hd spi d 2.4:

Kragbalken unt er Stre ckenlast

Die Biegeli nie )I(.l.) des durch die konstantc Sue ckeula st 'I belasteten Kragbalkcn s ist ei n Polynorn 4 . Grade s. y'

~. , ~--,

E : Elasrizitatsrnodul I : Traghciumomcnt des Qucrschnitts

Hd spi el 2.5:

~ ~q~

EI

I

L

y(x)

S pa nnungs-Dehnungsllnle von Beton

Ein Beto nbautei l wird gest auc ht. wenn er einer Druckspannung ausgcsct zt ist. d. h. er verkurzr sich. Die Beziehu ng zwischen der Stauchung e und der Druckspannung a (in N/ mm1) fllr dic Betonsorte C25130 z.B. wird durch folgcndc Bezichung bcsc hricbcn . as

a = 25 _3".',£,,-,,4,7c7-c;£c-' OJl0 23 + e

000'

2.2

~1

Pct enz- und Wurzelfunktionen

Eine I'otenzfu nk ti on mil der Basis .r und dem Expon enten a isl ci ne Funkt ion der Form

y = .>1'

(Ftlr .r

< 0, muss a cine ganze Zahl scin .]

(2.4)

Eincn Sondcrfall der Potcnzfunktion stcllt die Wurzelfunktion dar (s. auch Scitc I): (Fiir a ungeradc, darf .r auch negativ sein.)

(2.5)

Eine Potcnzfunktion karin also als Wurzcl funktion - und natiirlich auc h umgckchn - ausgedru ckt worden. Bild 2.2 zcig t bcispiclhaft ei nige Sc haubilder von Potcnz- und Wurzclfunktio ncn .

Betspi el 2.6 :

O ptimale Wa hl des zuschlaggemtsches be l Betcnherstellung

Fiir die Hcrstcllung von qualitativ hochwcrtig cm Beto n wird vo m Zusch laggemi sch getordc rt. dass dcsscn Komdurchm esscrubstufung einer besttrmnt cn sog. Sieblinte entsprechcn muss. Eine in der Bctonpraxls gcbrauchlic hc ldenlsicbli nic ist z.B.:

2.3 Exponentialfunktion

27

3

e

,

e a :)

n:2

-

a:2 a=l

o a: Potcnzfunktion

,

y == x"

b: w urzclfu nktion y ==

\Ix

Bild 2.2: Beis piclc Iur Potcnz- und wu rvelrunkrinncn ' 00

so

A = j (x) =I00 (

i

"5 )

Ix

== 1 {)() V ~

-c

eo

eo o '-- ~--;·

"

20

_ _ ·30

.r : Bclic biger Komdurchmcsser zwi schen 0 und [) J) : Gril!3tkomdu rch messer de s Z uschlaggem ischcs. z.B. J) == 3 1,5 m m A : A ntel l dcr Kom gruppc mil Durch mcsscr zw ischen 0 und .r (in Prozcnr)

2.3

Exponentialfunktion

Einc Funktion Va ll der Art y = J.:ilX, wobci k; und a konstante Skafure ' sind, hciflt Expone ntialfunktion . In viclen Gcbictcn dcr Physik und runurwis scnschaftlichcn v orgungcn spic lt die in Bild 2.3 dargcstclltc spcztettc Expun en tialfunktion mit de r Basis e (e-Funktion)

cine schr grundlcgc ndc Rolle. Die Zahl e (auch Eul ers che Zahl gc nannt) ist dcfinicn uls

,,_00

e == lim

(1+ -1)" n

= 2.7 1828 182845904523536 :::: 2.7 183

Viele Phanom enc und vorgan ge in dcr Natur linden in Form der e- Funktion stau. z.B.: • Schwingu ngsamplitudc cines hohen Turm s in e m, L B.: lI(t ) = 15 e- O.05/ Be~ jjgti l' h

wird.

der

Vllr~eithen

vun k und (1 exi, tiercn ei n i ~e

E insch riinkun~cn.

auf die hier nichl niih"f cin~<,~angcn

28

2 Elc me ntare Fu nktionen

e

e

e

, "

,

, ,

-s

-, -,

0

,

, ,

b: y = e-J:

a: y =r

Bild 2.3: Beis piele Iiir Exponentialfu nktion r"

Masse von 5 g

r adio aktivem

Stoff wahre nd Zerfa lls: m(t } = 5 e -

IA . IO- l l

Ungcsto rtes Wachstu m von Tiere n (ohnc Sc lbstregulierung): lI(r) = k

r

e

UeispieI 2.7: F re ier Fa ll mit Lunrelbung In Beispiel 2.2 auf Sene 25 wurde die Punkrion 1I{t) fur d ie augcnbtic kfic hc Hohe ci ncr Stahlkugel m il dcr Masse m angcgcbcn. die aus der Hohc H rumc rfallt . Dort war die Luftreibung vcrnachlnss lgr wor de n. Wenn cs sich bci der Kugel jcdoc h nic bt urn Stahl. so ndc rn urn ein Material von gc ringer Dich te handetr. z.B. urn Balsaholz. darf die Luftre ibung nichtmehr vcm achlusslg r werde n. Die Funktio n der auge nblic klic bcn Hohe 11 (/) uber de m Boden lautet da nn nach Geserze n der Dynamik: h(t ) =

H _ 8m r

+8

'-v-' li"~a", Funkl;" "

'

c

,

m-

(.2

( l _ e- cfj m) ,

EXP""~"li"lfunkli,,"

c : Luftwid erstundsbciw crt,

g =9,81 m/ sec 2

Ueispiel 2.8: Abhangi ~keit der Beton festigkeh "om w asserz ementwert Der w asserzememwert w ist in dcr Bctomcchnot oglc ci ne grun dlegen de EinflubgruBe fur d ie erz ielbure Druck festigkei t des Bere ns: w ist deflniert als das Vcrhal mis der w assermcngc zur Zemc ntmcngc (in Gewichtsanteile n, also z.B. jewcils in kg ). Zuviel Wasser bei dcr Bctonhcrstellung ist hinsich tl ich de r Druckfestigkcit nachte ilig. Die mittlc re Druckfestigkcit {3/> c iner bes timmten Bcton sort e hangt vom Wasscrzcmcnt wert w gClllaB folgcndcr Bczichung ab (idca lisic rtc Bczichung ):

2.4 Lugurithmus-Funktionen

FUr

IV

29

= 0.5 z.B. laBt sich c ine Bcto ndruckfcsugk cit von

f3t, = 385· 0 ,5 · e - 35 ' 0,5 = 33.45 N/ mm 2 crziclcn. Wiirdc man mchr wasser zugeben. so daB IV = 0,7 ware . konnte dic Betondruckfestigke it nur noc h folgcnden Wcrt crrcic hen:

f3t, = 385· 0.7 · e-:U ' 0.7 = 23.25 N/ mm 2

UeispieI 2.9: Silod ruck Ein Silo wird zur Lagerung von staubfortn igcm bzw. korntgcm Schuu gur. z.B. Ze menl bzw. Betouk ies, verwendet. Das Schung ut iibt auf die Silowand einen Druck (Belastung) aus. Nach DIN 1055 gilt folgende Beziehu ng fllr den radialen Silodruck I' auf die Wand cines Zemc ntsilos aus Stahlbcton: J)

I' = f (z) = 17.8 r ( I _

(kNlm2]

e -0.5H5 ::/ r )

I' : Silodruck in kN/m 2

r ; Siloradius in m

z : Schiittguu iefe in 111 (z = 0 : trete Schungutobcrflachc )

2.4

Logarithmus-Funktionen

Die in Tcchnik und Wisscnschaft am haufigstcn vcrwcndctcn Logarirbmusfunktioncn

y = 19 x y = Inx

dekadischcr Logarithm us

(2.6)

naturhchcr Logarithmus

(2 .7)

sind -im reellen Definiuonsbereich - nur fur positive Argument e. d.h. nur fur x > O. dcfiniert . Bild 2.4 zeig r die Schauhilder von 19 x und lnr. Die allgemeine Logadtbrnu sfunkticn Y = log"x dcr Basis a ist die inverse Funk/ion (auch Umkehrfunktion gcnannt) zur Exponemialfunktion y = ttl. Zwci Funktionc n f (x ) und g (x) ncnnt mall invers. wenn sic spicgclbild lich um d ic Winkelhalbicronde de s crsten Quad rantcn ir n.ry-Koordinutcnsystcm vertaufcn . Bild 2.5 zcig j die zucin undcr invcrscn Funktioncn In' und Ig x sowic e< und lnr. Reispiel 2.11I: Schallpegel Der Schall cnsteht. wenn
30

2 Elcm entare Fu nktionen

, , ,

, ,

,

,

,

-,

, ,

o

s

a

-,

a: Dckadischer Logari thm us y "" 19 .1

b: Naturfiche r Logarirhmu s y "" lnr

BiM 2.4 : Lugurithmus-Fu nktinnen 19 und In -u

"'

, • •

,

4

-,

'" •

w,

•

, • • ,

-,

..

,

e

,

•

,

'Il (' )

rc

4

-,

4

-,

2

•

,

6

8

10

4

a: Ig x und

'0'

b: lnr und eX

Bild 2.5: Exponential- und Logarith musfun ktion sind inverse Funktionen

ist schr gering; ste lieg t La. im Bereich von 10- 10 :5 P :5 10- 3 bar. Dcr Sch all wird nicht durch d ie Oruckschwankung p setbs t. sondcrn durch den Sc hallpege l qua ntifiziert. Dcr Sclwllpe!:eI L is! definiert durch fclgcndc logar ithmische G leichung:

L ",, 20 Ig .E..

Ein hcit von L: Dczihcl (d B)

1'0

Po = 2 · 10- 10 bar

('10m Menschen geradc noc h horbarc Luftdruckschwankung )

Fur die beiden Extrem wene von I' erhalt man:

IO- IU L = 20 19 2. 10- 10 = - 6,02 dB

(abso lute Stille)

10- 3 L = 20 19 2.10- 10 = 133,98 d B

(Schmc rzsc hwelle)

2.4 Lugurithmus-Funk tionen

Heispi d 2.11: Raketen a ntrieh Wir bcrrac htcn c ine in dcr Leere des Wehulls ruhcnde Reke tc (Gravitationscffcktc dcr Erdc odor andcr cr Himmctskorpc r sollc n vernachlass igt worden). Zum Zeitpunkt f = 0 hal die Raketc also die Gcschwind igkcit Nu ll und besitzt d ie Masse /110. Nun sel l die Raket c fur Weitcrfl ug im Weltall wicdc r in Bewegun g vcrscrzt worden . Die zur Beschleun igung der Rakcte bcnodgtc Kraft stammt aus der Impulsanderung de s ges amtcn Flugkcrpers. Die Impulsandcrung ensteht dutch die Ausstrorngesch windigkeit \'" der v erbrennungsgase aus der Rakc re und die stetige Abnahme des Treib sto ffs. Die Geschwi ndlg keit \.(, ) der Raket e zu e inern bellebtgen Zeitpunkt f > 0 wird durch die sag. Ziolko wski-Formel errnittelt: 1'(1) = I'u In /110

/110: Anfang sma sse der Rakete zum Zeitpu nkt r = 0 11/ (/ ): Masse der Raketc zum Zci tpun kt r

/II(t )

Bs soli nun die Geschwindigkeit d ieser Raket e nach 20 Sek unden A ug berechn et werdcn. wenn sich die Trcib stoftmasse zu dies em Zeitpunkt um 10% verri ngert hat und die Au sstrom gcschwindigkcit v" = 4 krn / s betragt. 1

111 (20 ) =

= 20 s

/Ill) -

0. 1 111(} = 0 ,9111n

l 'U

= 4 km/ s

Nac h 20 Sek undcn crre ich t die Rake te die Geschwindigkeit /III)

\'(20 ) = 4 In - 0 .9/110

Betsplel

z. tzr

=4

I In 0,9

= 0,42 144 km / s = 1517.2 km / b.

Magnitude und Ener gle von Er d hehe n

Die Magnitude M cines Erdbebcns ist ein Mall fur die vom Erdbcbe n freig eserzt e Ene rgie E. Eine gcbrauchfiche Beziehu ng fur M ist die in Bild 2.6 a darg estellte als Ridner-Ska la bekan nte logarittunische Skala:

M

~

2

- (lg E - 11.8) 3

(E in erg)

Nach Umfonn ung crhan man daraus : IgE = 11,8 + 1.5M

Die Erhohung dcr Magnit ude z.B. von 6 auf 7 bewirkt eincn Z uwachs dcr freigesct ztcn Encrgic ur nden Faktor :::::: 3 1.6 1( !). wie man nachfolgcnd sche rr ka rin.

1

= 10 1.11101.5' 7 _ 101.5 _ 1 1 61 7 Et> 1011.8 101.5' 6 - - . -

£7

Ein Erdbcbc n von dcr Magn itude M = R wurde gcgenubcr einem Enlbcben mil M = 5 ga r die I<XXJ-fache Energie freisetzen (3 1.627 2 = I(X}()!

3J

32

2 Elcm entare Funktionen

so

so

• • > ,

•r • > ,

, ,

, ,

•

•

' ':-- - 5-" ,iY3:;-- - o E {ergJ

a : linenre Durstellung

I " lei"

+-+-

'/

.~

.+-~ T'

'1~{uVHh 10"

10' 5

lO"

'o'~

Iff'

E{erg]

b: halb-logurirh r nische Darstellung

Bild 2.6; Bezjehung zwischen Energie E und Magnitud e M cines Erdbe bcns

Logarithmlsche Ac hsen fur Fun ktlonsgraph en Die in Bild 2.6 a dargestelltc Kurve besitzt etne n entscheidendcn Nachteil: FUr geringere Erdbebcncnc rglen. z.B. fur E = JO l U, ist es kau rn mogfic h. die Magn itude M zuvertassig abzu lesen - die Energie E = IOlu c ntspricht imm crhi n e iner nieht vernachlilssigbarcn Magnitude von M = 2/ 3 · (lg 1020 - l 1,8) :::::: 5 .5! Einc solchc Funktion mil eincm sc hr breucm Definition sinter val l E = [i OD; ION] kann in dcr linea ren Eintrag ungswei se nicht graphisch vemu nftig dargestellt werden. Die Auftragun g technischer Funktioncn in ei nem 2-d ime nsionalen Aehse nkre uz in liuea rer Skalierung flihrt in der Pra xis nicht selten zu schwer ablcsbaren . fehleranftilligen G raphen. Deutlich besscrc Resultarc fll r derurtige Funktionenl iefern d ie uachfclgcnd beschriebenen Darstellu ngstechniken mit Hilfe von logurithmis ch unterte ilten Achscn. FUr die Darstellun g mit logurithmischcn Achscn karin man im Handel crhahlichc logu rithmischc Funk uo nspap ierc verwenden. odcr auch spcxicllc Computcrsoftwarc. z.B. das publicdomain Plntprogram m GIlIlPlo/ l . a) Hal b loga r ithmische Da rs tettu ng In der halh -logarittunlsche n Oarstellung wird ei ne Achse (x- ode r y-Achse ) logarithmisch skaliert und die andere Achse in llnea rer Skalierung bela sscn . FUr das obige Bei spiel dcr Erdbe benmagnitude heil3t dies, duss der Abstand des Wertes £ = lol° vom Koordinatenursp rung nicht proportional 7.U die scr Za hl sclbst ist. sondcrn proportional zu ihrern Logarithrnus, d.h. proportional 7.U 19 ]0 2U= 20. So lassen sich auch zwei stark diffcric rendc w crtc. z.B. £1 = ]0 13 und £ 1 = ]0 24 tiber ihrc Logar ithmcn problem los cimrugcn : Dcr Abstand yon EI = ]0 13 vom Koordin utcnursprung ist dann pro port ional zum Wert Ig ]Ol3 = 13 und dcr Abstand Iiir £ 1 = 10 24 ist proporti onal zu 19 1024 = 24. also Zahlen, die au f dcr .r-Achsc bcqucm cing ctragcn werdcn ke nnen. Das Rcsultut zcigt Bild 2.6 b: es handclt sich j ctzt um cine Gerade im .rv-Koordimuc nsystc m. auf dcr auch tur et ne klcin c Erdbcbenenergie d ie zugc hongc Magnitude M prazisc abgelescn werden kann. Anmerkullg : In der beschricbcnen logarithmischcn Darsrctlu ngsan kann die x-Achse nalUrlich nieht bci 0 bcglnncn. wei! Logarithrnus yon 0 nicht dcli niert ist. Stattdcsscn konnte .r 2 Gnul'Iot fllr windows oder Linux kann linter h t t p : / /s our c e f orge . net hcruntc rgcladen worden.

2.4 Lugurithmus-Funk tionen

w'

.: ~

"i'

"y

I

---+--/~

I I

a: Iineare Durstcllu ng

~

33

"I w' w' w'

/

,", w ,r!'

w· , /0 -2

7

0, 1

0.5 I

,

5 10

50 100

"'''''

b: dop pclt logarirhrnische Darstcllun g

Bild 2.7 : Funktinn y = r 1 in linearer und logari thmischer Darstellun g

z.B. bci I bcgtnnen (lg I = 0) : diose Position die m als cine An Refercnzposilion. Danach wirdjcdcr in Fruge kom mcndc .r- w ert tiber seinen Logar ithmus emgctragcn. ebhnn gig VOIll Vorzeichc n des logurithmischcn wcn cs. cntwcder rcchts OUCT links von dcr Position x = 1 ein . Sclbstvcrstlindlich kann auch jcdc andere Zah l aug er I cbcnfalls uls Refcrcnzposition ver wend ct worden. di e zwcckm aatgc Wahl hangt von dcr Proble mstcllung abo

h) Doppelt logartthmlsc he Darstellung Ein ahnlic hes Ableseproblem ist in BHd 2.7 zu sehcn . 1m linken 'Icilbild 2.7a ist die Funktion y = .r3 in Iinearer Darste l1 ung dargestcl lt. Fur kleine .e-w erte ist es unmoglich, die zugehori gcn v-wcrte Ubcrhaupt -geschweig e den n prazise- abzutesen. Zur Ldsun g des Problems wird die Funktion logarithrnie rt:

y = ......'

lseoJv = Ig ••...1 = •1 ["eoX

Die Darstel1 ung dcr Funktion Ig y = 3 1g x unrer Verwendung von zwei loga rithm ischen Ach sen (doppdl Ioga rithmische DarsrellulIX) fuhrt auf eine se hr leich t able sbare Gcrade in Bild 2.7 b.

c) Logar tthmtscbe Da rstellun g der na turll chcn Exponentialfunktlon e<

Wie im Abschniu 2.3 au f Scire 27 eroncn. diem die Exponcmialfunktion e< dcr Bcschrcib ung vic lcr Vorgan gc in Natur und Tcchn ik. FUr die grafischc Darstellung dcr nat tlrlichc n Expo nentialfun ktion kunn das obcn bcschricbcnc logurithmischc Darstcl lungskon zept smngcmuu verwendct worden, wobci dic sma l anstcl le des dckudischcn Lo garithm us Ig dcr naturlichc Logarithmus In hera ngezogen wird. Bcispt cts wetse kann die Zc rfallfunktion III = f( t) einer radioaktivcn Substanz von der Masse Ig (s. Seitc 28 ) durch Logarithmieren von der Expo nent ialform in die lineare

34

2 Elcmenta re Funktionen

'.00

'~ 1 1 ---+--j---+---1

"

E O,SO

2.5 ~ 10" 5 . 10"

2,5 ~ 10"

7,5 . 10" l ' 10'2

1 ( sec]

a: Hncare Darstellun g

5 . l O" 7,5 _ 10" I _ 10'2

r ( sec]

b: hulb logarirhnuschc Da rstellung

Bild 2.8: Ze rfallfu nktion 1/1(1) = e - IA· 10 ' " I e incr radioa ktiven Su bstunz

Form ubcrfuhrt werden:

m = f (l ) = e- IA 'IO- l l l

=}

In m = _ 1 , 4 . 1O~ l l r = _ 1,4 . 10- 111

Die Zcrfallfunktion II/(() knnn jedoch so transforrnic n worde n. dass sic -anstcllc dcr natllrlichcn Logarithmenskala- auch in der gcb rauchlichcren dckad ischcn Logurithmenskala aufgctragen wcrden kann. Diese Transformation erfo lgt mit Hilfe dcr Regel log" f (x ) = [ogh f (x ) log, b in Tabelle 1.3 auf Seite I I : 1 Ig m =lg e- 1.4' IO- l ' = _ I ,4 . IO- l l r

---

Ig e =-0,608 . 10- 11 1

O A ~4 2'l

Das Ergebn is ist die Gleichung ei ner Geruden. wobei zu beachten ist. dass auf der Vcrtikalachsc d ie Substanzmcngc III in logarithmischer Skala c ingetragen ist (s. Bild 2.8),

2.5 Trigonnrnetrischc Punktionen

35

Trigonometrische Funktione n

2.5

Die tngoncmcrrischcn Funktio nen sind cin bcsondcrs haufig benotigtc s rnathcmatisch cs w crkzeug in lngcnle urwissenschanen. Sie dicne n vor allern zur Beschreibung von Schw ingungen dynarnisch errcgter Systcmc Ipcriodis che Vorgange) sowie von Knickligu rcn druckbelusteter Stabe. Die wichtigste n Beziehungen zwischen de n trigo nornetrischcn Funkticncn sind auf Scitc 7 19 zusammcngcste llt. Gr admaR ode r IJogen maR? Dus Argu ment .r cinc r rrigonomctr ischcn Funktion. L B . von sinr, muss in physikalischcn Anwcndungcn (L B . Sehw ingung) o ft in BogcnmaB, d.h . Radiant (radj . verwc ndcr werdcn . Die Vcrwend ung von Grad (0) wurdc in dcr Physik lcich t zu ungcwo llten Fehlcrn fuhrcn. z.B. bel dcr Bcstimmung dcr Gesc hwindigkeit aus dcr Ablcitung emc r wcggroae (s. auch Abschn itt 1.7 auf Seitc 12). Daher wird em pfohlen , bel technisc hen Anwendunge n allgemcin Radiant zu verwenden . Sci rein geo mctrtschcn Anwendung en sollte natUrlich nach wie vor fur die Winkelan gabc die kla ssischc Definition in Grad Verwendung linden. Sinus J Bild 2.9 ze igt einen Einheitskre is vo rn Radius r = I. Ein Zeiger, der im Kreismittelpun kt befcsrigt ist, soli mit der kon stanten Winkelgeschwindigkcit w roticren. Der ve rn Ze iger nach Ablauf dcr Ze it I ubcrsmchcnc Winkel sci a; es gilt also d ie Bczichung a = un. wobei a in 80 gcnmaB zu vcrstchcn ist. Nach dcr klussischcn Definitio n von Sinus (e Ankathct c/ Hypothcnuse) crhalt man:

.

.

u

,

Mit r = I folgt daraus: sin a = sin W I =

sm Cl =Slll w t = -

a

Ftlr den Einheitskrcis cntspricht dcr Sinus offensi chtlich der horizon tal projczicrtcn Lange a des y=sin u JlI2

r~ ; -

JI ·" ~~··2';

.i:

1

7~·~ :

Jt!2

~

Jt

~ •• • • •~<'•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• "

3,,/2

Y:

;3Jt!2

2,

a

, . _,-~

Periode = 2"

Bi ld 2.9: Sinusfunktion Rad ius r. Da cs uncnd lich viele Werte fur den Winkel u gtbt. cxisnc rcn auch uncndlich vicle Sinuswerte. die in eincm rcchtwinkligcn .ry-Achscnkrcuz cingctragcn werdcn konncn. Die du rch diesc Punktc gclcgtc Kurvc cntxpricht dcm Graph dcr Sinusfunkt io n (rcchtc Scitc in Bild 2.9). 3 [)as lal~i ni S(:h~ W" rt 5i1ll/_' be
36

2 Elcmentare Funktionen

Wen n nu n unstcllc dcr Variable a fur die Winkcl angabc die tlhlic he Variable .r verwen dc t wird. ergibt sic h die ein fuchste Form dcr Sinus funktion: y = sinr

In der Technik komnu die Sin usfun ktio n hautig in einer etwas erw eiterten Form vor :

y = sin(rox + cp )

tro : Winkelgcschwindigkeit.

cp : Phascnwi nkcl)

(2 .8 )

Oil' ein fachc Si nus fun ktion y = sin r erg ibt sich aus dicscr uttgemct ncn Sinusfunktion als Sondcr fall. we nn to = l und cp = 0 gcsc rzt worde n. Bild 2. 10 zeig t versc hiedc ne Sinusfu nktione n. Je groacr die Winkelgeschwindigkeit ro. UIllSO schnetle r verln un die St nuskurve. s. Bi lder 2. 10 b.2. 10c und 2. 10 d. Ei n positiver Phusenwi nkel cp wic in Bild 2. 101.' bedeute t eiuc Verschiebung der Siuu skurve nac h links. ein negativer Phasen winkel wie in BiJd 2. 10 f versc hiebt d ie Kurve nach reclus.

Ueispiel 2. 13:

Ungeda mpfte Schwmgu ng

Der Schwingweg .r cines frci schw ingenden ungcd nmpnen Feder-Masse-Systems ist ci ne pc riod ische Funkt ion der Zeit I (vgl. Abs. 9. 10.2 au f Seite 47 I):

z.B.: .r = 4 .25 sin 1.57/

x =f{t ) = Asin wt A : Am plitude

""

. . freq uenl Bigcnk reis

[,"d] --;z-

t:

Ze il [s]

Das Argument W t crgibt sic h, wic in physik alis chcn Anwc ndungc n ste ts dcr Fall isr. rad in Bogcnmau. wei I rot = - s = rad. s Kos inus Der Kosinus (vo m lat. complemeuti sinus stammend) ist in Bild 2.9 dcfinicrt als cos a = b/r und bild et das erg nnze nde Gegenstuck zum Sinus. Der Funktions wert von Kosinus en tspncht dcr vcrtikal proiezicrtcn La nge b des Radius r im Einh eitsk rcis des Hildcs 2.9. Bild 2. 11 ze igt be ispicJhaft d ie cinfachc Kosin usfunktion y = cox.r . Ta nge ns uud Kota nge ns Oil' Tangcn s- und Korangcnsfun kt ion sind dcfi nicrt als: sin x tan x = - cos x

cos x co t r = - . sin r

1

co t x = - -

tanr

(2.9 )

Bcide Funktion cn bcsitzcn Unstetigkeitsstetlen (s . Bild 2.1 1): die Tangcn sfunk tion hat cine Unstctigkeit an den Position cn n/ 2 + i ' 1r (i = 1,2.· .. I, wabrcnd die Kotangen sfunktion an den Ste llen 1t + i ' 1r unstet ig iSI (ko nnc n Sie bcgr undcn. warum an dic scn Stollen cine Unsret igkcit und ein Vorzeichenwech sel auftritt" ).

2.5 Trigonnrnetrischc Punktionen

:>. 0.5

:>.

'"'

- ,",

\j

-s

o.~

, , 4

-,

a: sin .r

:>.

-.

~

",oov

-r

~

" [degJ

,

e

-, (x in 0 )

b: sin .r

(x in radl

o.~

, • • " [tad]

-,

,

-.

,

-a

/C [rad]

,

•

V ,

c: sin Zr

(w

='"

"

2)

~ [radj

•

. -.

,

sin 3x

:>.

(w

='"

3)

o.~

-

,

~,,,,j (

-, c: sin(x + H/ 3)

f: sin(x - H/ 3)

Bil d 2.10: v erschlcdcn c Sinusfunktioncn

37

38

2 Elc menta re Funktionen

>

,

.~

>

,

ro

., (.t in 0)

b: cosr

s

>

-,/ -r /-,r )

•

,x [fad]

., a: cos .r

,

r

~

iC(deg)

rc

(x

in fl lll )

,

,/ /. f' x {fad]

,

-,

-,

-"

-"

c: tan r

d: co t .\"

• •

d}

Bild 2.1 1: Kovinus-. Tangcns- und Kotung cnsfun ktion

Sekans und Koseku ns Die Scka ns- bzw, Kosckansfunktion erhlilt man als reziprokc Ausdruckc von Kosinus bzw. Sinus: Sekans:

I

sec x = - cos ..

Kosekans:

UcispicI 2. 14: Die Bcsch rcibung von Schwingungcn realer Baukonstruktionen crfolgt mittcls cincr multiplikativen Kombination dcr Exponentialfunktion mit eincr trigoncmctrischcn Punktton. Wird L B. eine Feder. an dcren Ende einc Masse befestigt ist (s. Bild 9.5 b auf Scite 470). ausgelen kt und dann plotzhch losgelassen. entsteht ein Schw ingungsvorgang, der ullmahlich abklingt. Die rnathcmatischc Besch reibung dieser Schwingungsfunktion besitzt folgende Form: y = f {t) =

e -
cos

WI

1 csc .. = - . sin..

,., 0.5

(2.10)

2.6 Hypcrbclfunktionen

39

Periodizitat von trlgonometrtschen Funktionen Tri gonomcmschcn Funktioncn sind periodisch, d.h . ihr Schaubild wiederho lt sich in rcgclmiiBi. gcn Absrandcn. Die Pcriodcn divcrscr trigonomctrischer Funktion sind in Tabcllc 2.1 angcgcbc n. Die Period izitiit wird mathcmatisch durch fclgcndc Ausdriicke bcschricbcn. sinx "'" sin(n · 2x + x)

cos x = cns(/I ' 2x+x )

tan.r = tan(n · x +x)

cot.r = cot(n · x + x)

11= 1.2.3" "

(2. 11)

Tabcllc 2.1: Periode trigonometrischcr Punktionen Punkno n

Symbol

Period c

Sinus Knsinus

sin cos tan

2. 2.

Tangcns

Kntangcns Sekans Kosckans

• • 2.

Co l

sec esc

2.

UeispieI 2.1S: Per indi zita t Die Period izhat trigonom etds chcr Funktionen ist anhnnd f olg ender Beispielc mit dem Taschcnrechner zu ubcrp rufc n (Taschcnrcchncr in raJ-Moo us umschaltcn l). Sill ( l,3 ) = sin(2x+ 1,3) = sin(4x+ 1,3) =

.

cos(2.5) = cos(2x + 2,5) = cos(4x + 2,5) = tao(3,7) = lan(x + 3,7) = tan(2;rr + 3.7) =

2.6

. .

Hyperbelfunktionen

Hypcr bclfunk tioncn worden durch Kornbinution dcr Exponcntialfu nktionc n e' und e- x definicrt :

Sinus hyperboltcus Kosinus hyperbolicus 'Iangens hyperbollcus

sinhx e-' _e- x tanh x = - - ~ ':;--,-':=-; cos h x eX + e x

Kotang ens hyperbolicus

cosh x cothx = - sinhr

~

(2. 12)

e' + e- x e' r x

'-;--'-'=

Auf Scire 72 1 sind ei nige wicht ige Beziehungen zwisc hen Hypcr bclfu nkttonen angegebc n.

40

2 Elcm enta re Funktione n

,

, ,

a

,

-, -, -, -,

,

, -, -, -,

,

,

~

a: y = sinhr

b.ye cosh.r

c.ve tanh r

Bild 2. 12: Hypcrbcl-Funkrionen

Allme rkllllK:T rot z ihrcr Namcnsahnlichkeit m it Sinus, Kosm us usw. sind Hypc rbelfunktion en keinc trigo nometrischcn Funktionen. Das Arg ument x der Hyperbelfunktionen ist immer ill 8 0KellllwjJ zu verstc hen. Deshalb macht es z.B. keinen Sinn, sinh 60 Q be rechnen zu wollc n. inden t in dc r Definitionsfor rncl (2. 12) x = 60 ei ngesetzt wird (es kommt cin e ex trent grolk Za hl heraus, probiere n Sie aus!).

lIeispieI 2.16: Die Sei ldurch han gskurve cines biegsamcn Se ils unrcr seine m Eigen gewicht q wird durch die Kosinus hypc rbo licu s Fun kt ion bcscb ricbcn (xy-Koo rd inatensystem in Sc iI· mille am ticfstcn Scilpunkt, H die waagcr cchtc Auflagc rkra ft) :

2.7

Arkusfunktionen

Bei ei ner normalc n trlgonom etrischen Funktio n, z.B. bei Sinus. wird ein Win kel vorgegcben una der Funktionswert ges uc ht, z.B. sin 90°. Bei eine r Arkusfunkt ion hingegen suc ht man denjenige n Winkel y, dc sscn trigonornetrischcr Fun ktion swe rt vorgcg ebc n ist. Man s ucht z.B. den Winkel y, fllr den der Sinus-Wert g lcich list. Eine Arkusfunktio n isl inso fern die inverse Fun ktion (Umkelllfullktion ) zu dc r korrcspondicrcnd cn trigon omc trischcn Funktion . Die Definition dcr Arkusfu nktioncn ist wic fclgt :

.r = .r = .r =

arcs in r arcco s .r arctan .r y = arccot .r

wenn wenn wenn wenn

.r =

siny

.r = cosy .r = lan y x = arccot y

(2 . 13)

2.7 Arkusfunktionen

41

'. "•

b: arccos .r

a: arcsinr

c : arct an .r

Bild 2. 13: Arkusfunktioncn lIeispieI 2.17 : Arkusrunktlon Von welchem Wink el a iSI dic Sinusfunktion gleich I (mit Taschcnrechner)?

Grad-Mo du s (deg):

a = arcsin I a = arcsin I = 90"

Rad-Modus (ra d):

a = arcsin I = 1.570796 2327 ss ~ rad

sin a = 1

a =?

==>

Bild 2. 13 ze igt diverse Arkusfu nktionc n. Ei nige wichtigc Bezie hun gen zwi schen Arkus-Fu nktioncn sind au f Sci re 721 zusammcn gcs tcllt. A llmerkllllX: In dcr Litcrutur bcgcgnct man aueh fclgcndcn Schreibwciscn flj r Arkusfunktioncn : asm. aco s. ala n, sin -I, cos: ", ren" . Die lctztcrc Schreibweisc mit hochgcstclltcm - I, die man vor alt ern auf Taschen rcchncm find er, isl nieht unproblc rnarisch, wcil sic zur Miudcuru ngcn tuhren kann: z.8 . ware es vollkommen falsch, Arkussinus folgcndcrm abcn bcreehn en zu wo llen:

Arku ssin us vo n y :

1

sin - I j- = siny

falsch !

Das Symbol sin - 1.r auf einc m 'Iaschcnrechn cr bcdcutct A rkussinus und hat nich ts mil dem A us-

1_ zu IU n! dru ck _._ s tnj-

42

2 Elcmenta re Funktionen

2.8

Kegelschni tt-Funktionen

Kcgclschnittfunktionen sind Gleich ungen 2. Grades. d.h. quadrat ische Funktlonen. und beschreiben die Sehnittk urven einer 3D-Ehe nl' mit einem 3D-Korper. der aus lwei Kreiskegein besteht (Bild 2. 14). Kegelschnittfunktio nen haben folgenden allgemeinen Aufbau:

a: Kreis

b: Ellipse

d : Hyperbcl

c: Pnrabcl

Bild 2. 14 : Kcgelschmu-Punknon en

F (x . y ) = Ax 2 + B/ +Cx + Dy + E = 0

(2. 14)

Die Konstanten A , B. C, D . E entscheiden tiber die Art der Schnittkurve:

Schn ittkurve =

Kreis,

wenn A = B

Slttpse.

wcnn AB > 0

Hvoeri et,

wenn AB < 0

Pumbel,

wenn cruwc dcr A = 0 , B of; 0

1

odc r

A

oF 0 , B =

0

Anme rkung : In Wirklichkeit ist die Schnitrkurvc naturtich eine raumlichc Kurve, die allerdings in der Schnittebcne licgt. Wen n man nun ein ncucs kartesischcs Koordinatensystcrn definiert, dessen xy-Achsen in der Schnittebcnc liegen , kann die Sch nitrkurve auch als 2D- Kurve der Form F (x. y ) = 0 interpretiert werdc n.

Wcnn man sich die Kegelschnittcbcnc in Bild 2.14 als d ie .rj'-Ebcne vorstelu. ergeben sich d ie nach folgcnd bctrachtcten Kurvcntypcn.

Kreis Die Gleic hung eiues Kreises (Bild 2.15) mil Mittel punkt im Koordinatenursprung lautet: r : Krcisradiu s

2.R Kcgelschniu-Punknonen

43

Falls der Krcismittclpunkt vom Koordi na tcnu rsprun g vcrs ctzt ist (in .r-Richtung urn .ro. in yRichtung urn )'0). lautct die Krcisglcichung:

>

,

,

,

, ,,

-, -,

,,

a: Kreis mit .to = O. Yo = 0

b: Kreis mit Xo = 2. Yo = 1

Bild2. IS: Kreis

E llipse Die Gleich ung einer Ellipse (BUd 2. 16) mit Mittelpunkt im Koo rdin aten ursprung lautet:

II :

grouc Halbachsc

b : k1cine Halbachse

Fall s der Ellipsenrniuelpun kt vom Koo rdinatenur spru ng versetzt ist, gi lt:

, ,

,

a: Ellipse mil .eo = O. Yo = 0

,,

•

h: Ellipse miuo = 2. Yo = 1 Bild 2.16: Ellipse

44

2 Elc me ntare Funktionen

Die Glcic hung cin cr Hyperbc l (Bild 2. J 7) mit Mittclpunkt im Koordi natenurspru ng lautct:

a. b ; Achsc upam mcter Falls dcr Hypcr bclmiuelp unkt vo m Koo rdin atcnursprung vcrsctzt iSI, gilt;

, ,

\

,

a: Hypcrbcl mit x () = O. Yo = ()

\ b : Hyperbcl mil X() = 2. Yo = I

Bild 2.17: Hypcrbc l

Pe rabel Die Gleichung ci ncr Par abcl (Bild 2. 18) mit Schei tcl punkt im Koordinatenurs prung tauter:

1/

= 2px l

y = ±j2px

p : Parameter

Fulls dcr Schcuclpunkt ve r n Koordimuc nursprun g vcrsctzt ist , gilt:

I(y - YO)2 = 2p(x - xo) I Eine andere Form der Parabel ist die urn die y-Achse sy mmctrische Parabel:

y = ax2 + yo

2.9 Explizite und irnpliz.itc Funktionen

,

,

a

,

,

,

o

-.

a

•

•

45

, , •

-.

x

-z

b: Parahcl (y _ I)2 = .t _ 2

a: Parabcl y1 = .t Bild 2. 18: Hypcrbcl

2.9

Explizite und implizite Funktionen

Einc expliiite Funktion besitzt die Form y = f (x ). d.h. y ist cine Funktion dcr unabha ngigc n Variable .r. Die Funktionsvariublc y ist die ahlui ngige Variable. weiI sic esplinte von .r abhangt {ecxplizi te« I'll. ausdrUcklich).

1,-/(x)1

(2. 15)

expltztre Funktion

Aber nich t lmmer liegt einc Funktion in der expli ziten Fonn y ;;;: f (x ) VOL Bel der Losung einer mathema tischen oder physikalischen Aufgabe kann es vcrko mmcn. dass das Ergebn is als sag . itnplizite Funktion F(x, y ) ;;;: 0 vorliegt. Z war hnngt die Variable y prinzipiell auch hier von der Variable x 'lb. abcr dic se Abhnngig keit ist nur implizite (vimpllz itc« lat. inbcgriffen) Eine implizitc Funktion kann jc nach Fall in die explizit e Form gebrucht werde n. odcr auch nicht.

IF(x. y ) - 0 I

bzw.

F(x, y) ;;;: c

impli zite Funkticn

(2. 16)

ReispieI2.18: Nachfolge nd sind Bclsplcle fur explizite und implizi te Funkt ioncn gege ben. a) ...-2 +

i ; ;: 25

b) y ;;;: "'25 _ x 2 c) d)

implizite Funktion (Gleich ung emcs Krcises mit Radiu s 5) explizite Funktion (Gleichung cines Kreises mit Radius 5)

3 ...-2 + 5 x+ 9 = () implizite Punktlon Sic lliBt sich in cxplizite Form rransformicrcn: y ;;;: \Y3x 2

},4 _

5 0l

9

l - y3 + xl + x + I = ()

implizite Funktion Sic lliBt sich nicht in explizite Form transformic rcn.

e) x -siny ;;;: 0 implizite Funkt ion Sic laBt sich in explizite Form tran sformic rcn : y ;;;: arcsin x I') y +siny -ol = 0

implizite Funktion (lassl sich nicht in expllzite Form rransfc rrnie ren)

46

2 Elcm entare Funktione n

Hdspid 2.19:

Ellipse

Durch Umfonnun g lass! sic h die imp lizite Ellipsengleich ung in die exptlzue For m bringen: (implizil)

2.10

v=

Umformung

.

± a~ ';(/2 _ x 2

(explizn )

Funktionen in Parameterdarstellun g

In einer Parameterfunlaion werde n beide Variablen x und y als Funktion einer dritten Variable des sogcnu nnte n Parameters, ausgedruckt :

1.

x = 1'(/ )

y = q(t )

(2.17)

t : Para meter

Die Bedeutung des Parameters t hnngt von der j eweiligen Aufgabe aboz.B. Zei t. Winkel usw. Als Parametersymbol kcn nen auch andere Symbole uls 1 verwendet werden. z.B. qJ usw.

e,

Heispiel 2.20:

Krejsgleichun g in Param eterform

Ocr in B ild 2. 19 dar gcsrel ltc Kreis mit dcm Rad ius r wird in dcr imp lizucn Standardform durch die Glcichung

beschrieben . In der Parameterform lautct d ie Krcis glcichung (Bild 2. 19): x = rcos t

y =r sin l

t ; Paramet er (Winkel)

Anmerkung; Die Aqu ivalcnz dcr bciden Darstcllu ngsformcn wird sofo n crsichtlich, y

y

r

"" rcos t

.Frsin I

Bild 2.19: Kreis uls Param cterfunknnn

wenn die bcid cn Ten ne der Parameterform quadriert und dann addiert werden:

.~

+i

=?

(eos 2 r + sin 2 r) =

=, ---------------

r

l ,I O Funktinncn in Parumetcrdarstellung

Heispi d 2.21:

47

Ellipse in Pa r am eterform

FUrdie Beschreibung einer Ellips e (8ild 2. 16 ) sind folgende Darsteltu ngsartcn moglich:

l - J -x(/ 2 +b2 2

implizite Form:

"

~,

expli zite Fonn:

}' = ± -V (l~ -X-

Pa ram eterfo rm :

.r = a cost

a

y =b siu r

0 :S: t :S:2Jr

Der Parameter t entsprieht dcm von der x-Aehse aus gemesse nen Umfangswin keJ im Gege nuhrzeigersinn. Fur jede n bcliebig en Wen von I aus dem Dclinitionsbcre ieh ergibt sich ein xy- wertepaar, das einem Punkt auf der Ellipse entspricht. Au f~a be :

Wenen Sic die Paramcterform dcr Ellipse fur a = 5; b = 3 und fiir

n 2lt" 3 lt"

t = 20 ' 20 ' 20 ' . . .

Heispi eJ 2.22:

. n aus und stollen Sic Ihre Ergebnisse grafisch dar.

w aagerechter Wun in Para meterfur m

Die Flughah n bcim waagercehten Wurf mit der Anfang sgeschwindigkeit 1'0 kann mit Hilfe ciner Parameterfunktion fur Positio nskoo rdinaten .r und y beschriebcn werden (s. auch Seite 2 18):

y =y(t ) =YO -

X = X(I ) = 1'01

Be jspl el 2.23:

I

,

2gr

(g : Erdbcschlcunigung, t : Zeit)

Schraube ngewinde

Die Ganglinie eines Sehraubcngewindes lassl sieh auf clegante Art in Parameterfonn angebcn. Wenn .r und y die zur Schraubcnuchsc scnkrechren Koordinatcnachscn bedcutcn und z der Schraubc nmiuclachsc cotspric ht. Jassr sich die Funktion der aul3cren Gewindckurvc in folgender Form ausdruckc n:

.r e v cos c r :

y =rsin q>

Gewinderadius

"

z = - q>

2K

II : Ganghch c

q> : Parameter (=Umfangswinkcl), q> 2: 0

.

"

, ," -,

~,

y

,""'''---:o.~ ns

, ,

-, ~.

0

x

Der Parameter q> hat hicr die Bedeutung des rnomcntanen Umfungswinkcls. bczogen auf cine festgelcgte Ausgangsposition mit q> = O.

4'

2 Elcmenta re Funktionen

2.11

\Veitere Fun ktionen

2.11.1

Ge unsc he Glockenkurve 0.4

Die Fu nktio n dcr Gau ftsche n Gtockenkurve iSI dcfinicrt uls :

.3

:::';' 0,2

Fur die spczicllen w erte a = J/ .,f[ii und b = 1/ v'2 wird sic uls wahrschetnu chkeltsdlchtcfunktion ctncr normal-vcrtcincn statistischcn

0.1

Variable bczeic hnct: ~,

,

2

~2

X

I e- r ' J'r = __

. 2.11.2

(2. 18)

v'2ii

Klot hoide

Ocr Krummungsradius ctncr Klothoid c linden sich auf .He/iKe Weise. d.h. ohnc Sprt mgc. Aufgrund dicscr gunsrigcn Eigcnschaft wird sic bci Trussicrunguufgabcn im vcrkchrswcscn verwcndct. Die K/or/w ide (a uch Spinnk urve gcnannt) is! cine kunstlich dcfi nicrtc Para mctcrfun ktion gc maB folgendcr G lci ch ung.

,

X=A.j1i

Jo

K ul

Jo

1W2

cos Tdll

,

y = A.jii

- 00 < 1< 00

sin T

du

" "

,.

" Q.l

0.'

05

05

Ocr Krummungsradius r dcr Klothoidc ist in jcdcm bclicbigcn Kurvcnpunkt P umgckchrt proportional zur Lange s des Kurvcn bogcns zwischen dem Koordinurcnursprung und P:

".,

r = -

A ist dcr Proponionalitiusfoktor und hat die Dimension ctncr Lange. Dcr Krummungsradius r wird also mit zunchmcnder Bogenlnngc kleiner, dcshalb vcrlauft die Klorhoidc wic cine zusammcnlaufendc Spirale. Die dimcnsionslose Intcgrauonsgreoze I und die Bcgcnlange .~ sind uber

2.12 Symmetric und Stctigkeit Yo n Punktionen

49

folgende Bczieh ung miteinander verknupft : I

s = A"fii

Die .ej-Koordin atcn des Punktcs P werdcn mit Hilfe dcr obi gcn Integrate (sog . Fre.me/-Inlegra lc) numcnsch bcrechncr. Einc gcsc htosscne Integration ist nicht mog lich. Mathcmanschc Tabellensamrnlungen cmba ltcn zahtcnmautge Auswe rtungen der Fresnel-Integrate.

2.12

Symmetrie und Stetigkeit von Funktionen

Symmet rte und Antimetrie Die Symmetric eincr Funktion y = f (x ) wird mit Bczug auf d ie y-Achse dcfinicrt . Einc symme trisch e Funktion (auch gerad e Funktion gcnannt j ist bczuglich der y-Achsc spicgclsymrnctrisch (Bild 2.20). Mathemati sch wi rd die Symmetric cine r Funktion durch folgcndc Bcdingung uusgcdruckt:

f e-x ) ~ f(x)

(2.19)

Eine antimelri...r he Funktion (auch ungerade Funktion bzw. punktsymmet rlsch e gcmmnt) ist

'"

, x {rad/

~ .

-, a: y = x2 (xymmetrisch j

-,

,,

-. c:.r = .\3 (antimctrisch)

b: .r = cos.r [syr umetrisch)

,

,

x [nV1J

-, d: .r = vin.r (anrimetrischj

Bild 2.20: Bcispiclc fur symmetrischc und untimctrischc Funktinncn

50

2 Elcmentare Funktionen

bzgl. der y-Ac hse schiefsymmetrisch (Bild 2.20) . Die A ntimetrie wird mat hematisch du rch folgende Bcd ingung ausgcdnjc kt: (2.20)

f( -x ) ~ -f(x)

Stetlgkeit und Glattheit Urn den Stct igke itsbcgriffi ngenie urrna llig korrckt zu vers tcbcn. braucht man keine mathematisc h strcnge FonnuJierung. Unter Stetigkeit e iner Funkti on verste ht man. dass ci ne cxtrcm kleinc (d.h. infinitc simale) Posirions anderung auf dcr .r-Achsc c ine endliche Andcrun g des Funktion swcrtcs in j-Richtung zur Folgc hal. Man kan n sich die Stct igkcit auch so vors tcttcn. dass das Scha ubild emcr stctigc n Funk tion nicht ll b.WJIIIt parallel zur y-Ac hse ist und auf Papier gczcichnct wcrdcn karin. ohnc den Stift abzusctzcn . Eine andere dem Alltag entlehnte vo rsteltungsmoghchkcn ist. dass man bci e iner ntcht-stertgcn Funktion irgend wann »springcn« m uss, wenn man entlang dcr Funktionskurve von einem Endc zum anderen Ende wenden. Hilder 2.20 und 2,20 zeige n stetige und glatte Funktio nen . Eine nicht-stetige Funktion ist automatisch nicht-g latt. Umge kehrt gilt es nicht! Eine nic ht-gla tte Funkt ion kann durchaus stctig sein. Die Funktion in Bild 2,21 a ist nicht-stetig (und demit auromatisch auch nicht-glatt), hingegen ist d ie Funktion in Bild 2.2 1 b zwar nicht-glutt aber trotzdcrn stetig. Eine an der Ste lle Xo unstetige

,

"

"

----.t--_J ,

,

a: nicht stcrige Funktion

,

, b: nicht glattc Funkt ion

BilJ 2.2 1: Beispieje fur nicht-stetige und nicht-glutre Punktione n

Funktion besitzt unrerschied lichc Gren zwcn e an dcr Stelle xo, je nac hdcm ob man sich ocr Stelle xo von links odcr von rec tus nahcn. Tangens- und Kotangens-Funktionen (s. Bild 2. 11 auf Sci tc 38) z.B. sind unste tigc Funkt ionen . Die Unstetigkeitsslelle der Tangcns-Funkt ion liegt Z.B. bel 90" und d ie der Kotangens-P unktlo n bei 180",

2. 13 Zusarzfiche Bcispicle

2.13

Zusatzl iche Beispiele

lJeispie l 2,24:

Windprofil

Die Windwirkung auf hohe und schla nke Bauwerke ist ein wichtiger Lastfall . Die Wlnd gescbwindigkeit ist in Bod enn ahe ge ringer, mil zunehme nder Hohe tiber dem Boden wird sic grcaer. Die Ursache dieser ung le ichmaBigen veneilung de r Strom ungsgeschwindigkeit ist die mak roskopische Boden rauhig keit (W alder, Srruucher. Buume. Woh nhuuscr, Hoc hhauser. Industrieanlagen ctc.). Des dabci cnststchend c -mittlcrcWindgesch windigkcirsprofil IliBt sic h nab cru ngswcisc mil folgc ndcr Potcnzfunkt ion bcschrcibcn: z.B. II g :

Gradic ntwind gcschwindigkcit

U = 90 ( 4~ )()· 1~ HI! : Gradic mhohc

a : Prortlc xponcm

100 ',.

" n

:00 " .

... · 0. 2 1

" "

lJeispiel 2.25:

Hyperbelfunktion

Es sol! d ie Rich tig kcit dcr Bczich ung sinh Zr = 2 smbr cos h.c gczcig t werden. Ldsung: Wir sctzcn folgcndc Dcfinitionen fur Hypcrbclfun ktioncn. s. Gl. (2. 12) auf Scitc 39. in die rcchtc Scire dcr zu bcwetscndcn Bczichung cin und crhaltc n: I sinhr ee 2 ( e\

- e -~ )

/

51

52

2 Elcmentare Funktionen

2.14

Aufgaben

I . Stollen Sie (aus dem Gcdachtnis) folgende Funktioncn grafisch fiir x 2: 0 qualitativ korrekt dar (ohne Tasc hcnrec hncrbe nutzung) . Wo schneide r die Funktlo nskurve d ie .e-Achse ?

a ) sin x

b ) cos r

e) e' i)

y = e- x cos x

c) sinh .r

d ) cos hx

~) -

h ) ln x

1

k)

.r

y =e' cos r

J)

y =e< sin.r

2. Ersrctlcn Sic die Scbaubildc r folgender Funktioncn ohnc Tascbenrcchner,

aj ) ~ "o (, + ~) c) ve sm

(2r+ ~)

3. Berechnen Sic die griiBte Durchbiegung des Kragba tkens in Beispiel 2.4 au f Scire 26 fiir die Streckcnlast q = 0,75 kN/m, d ie ubngcn Grb Bcn (L. E, /) sind idcntisch mit dcncn des Beispiel - 2.3 auf Scire 25. LIX: Yma~ = 3.27 em 4. Srelle n Sie die ideale Sicb linie fur das Berc nzuschlaggemisch grafisc h dar (s. Beispiel 2.6

auf Seitc 26) . Bestimm en Sie auae rdem den maximal zulasslgeu Anteil A von Kcrn ern mit Durchmcsscrn von 0 bis 8 mm am Gesamtgemisc h mil Grout korndu rchmcsser von 3 1,5 mm . L sg: A = 50.4% S. Ubcrprilfen Sic mil Hilfe cines Taschcn rcchncrs d ie Beziehun gen I bis 3 fur Sinus- und Kosinusfunkti on in Abschnitt A. I auf Seite 7 19 fur den Winkel x = x / 6 rad = 30° und flir /I = 1,2.3. 6. Ubcrprufc n Sie mit Hilfc cines Taschenrechners die ubd gcn Reche nregcl n fur die trigon e metrische Funktioncn im Absc hnitt A. I fur x = lC/ 3, Y = lC/6 . A = 3, 8 = 2. 7. Ubcrprufcn Sic folgendc Bcispicl c fur Arkus- Funktioncn mil Hilfc cines Taschcnrcch ncrs tvergcssen Sie niche Jhren Taschcnrechncr in den jewei ls richrigcn Grad -lRadiant -MoJus umzuschalten! ).

aj

sin 30° = 0.5

hi cos 6W = 0 .5

cl tan 45° = 1,0 dl sin x/6 = 0.5 e] cos lC 13 = 0.5 n Ian x /4 = 1.0

...

.... .. ..

arcsin 0.5 = 30° arccos 0.5 = 60° arctan 1.0 = 45 ° arcs in 0.5 = x /6 arccos 0.5 = x / 3 arctan 1.0 = lC/4

2. 14 Aufgaben

53

8. Ubcrprufcn Sic mit Hilfe cines Taschcnrcchucrs die Rcchenregeln fur fol gende Funktionen Illr den Wert x = lC/ 4. a) Rechenregeln fu r die Arkus- Funktione n auf Scite 72 1. b) Rechenregeln fur die Hyperbel -F unktionen auf Seitc 72 1.

9. Transfonn iercn Sic folgcndc Funktioncn in cine cinfachcrc Fonn . a) v e cosh .e-l- sinb.r

ts g: y =e-'

b) y

Lsg: y =e -·t

ccs h.e -c sinh .r c) y =cosh 2x -sinh 2x e

d) cosx -

r ' (sir r' x +sinx

e) y =sec 2x +csc 2x

Lsg: y = I

cos 2.r] = 0

L I'g:

j- w

tan .r

I

Lsg: y = -,.-"':'---"2si n- .r cos x

10. Zeigen Sic die Richtigkeit folg ender Beziehungen. a) sin2 x + cos2 .r = 1 7i/P: Rechtwinkligcs Drcicck und Pyt ugoras-Bczichung. h ) sin3x =3sinx - 4sin3 x

c) sinh(x +y) = sinhx coshv-r-cosh.e sinhy Tipp; Beginnen Sie mit dem rechten Ausdruck. d)

sin2~ =~ ( I -COSX)

Tipp: Beziehungen l8und l9 auf Seite 7 19.

II. Versuchen Sie c ine mathematische Erk li irung dufur zu findcn . warum das Schaubild von tanh (Tangc ns hypcrbolicus. s. Abschnitt 2.6) Illr ± oo usy mp tonsch gegc n ± 1 strcbt.

12. Bestimmen Sie die erste von Null verschiedenc positive Wurzel. folge nder Gleichungen. a ) sin r c-cosr ee D b ) tanx - 2 sinr ee I) c ) 1 - sin2 x + cos 3 .r = 0

X = lC/ 4 L I'g: .r = lC/ 3

LW LW

x = lC/2

13. Einc Hypcrbel mit dcm hyperbelmittelpunkt im Kcordi natenursprung hat ihrcn Scheitelpunkt in (2; 0) und geht durch den Punkt P = (3; 5). Stellen Sie die Hypergleichung auf. x2

y2

Lsg : - - - = I 4 20

3

Matrizen und Iineare Gleichungssysteme

3.1

Einflihr ung

Die Gru ndlage dcr linearen Algebra is! dcr BegriiT einer Matrix (Mehrzah l: M at r iZt>Il ). Unter eincr !\latrix versteht man ein Sys tem von Gr6Bcll. die in eincm rechteckige n Sch ema ungeordnet sind. In dic sem Schema worde n d ie horizon talen Reihen uls Zeilen, und d ie vertik ulen Reihen als Spa/ tell Je T Matrix bczeic hnet. Bci den als Matrix angcordncte n Gri.ilkn kann es sich um Zahlcn. Variablcn od cr auch Funk tionc n handcl n. Jcdcr Eintrag in JeT Matrix is! cin Matrixetemel/' , wobci das cine Element cine Zahl, wuhre nd cin andcrcs Element cine Var iable. soga r cin Funktionsausdruck. scin kann. Die rechtcckformigc Anordnung JeT Elemc nte (l ij ( i = I . . . 111 , j = I . . . 11) in cin cr 111 x n Matrix crfolgj nach folgcndcm Schema:

Sp. I

1 Zcile I Zeile 2 Zci lem

- [ all --.>

a 21

--.>

al:'1

Sp. 2 j

Sp. II

I

all

a" odcr

(121

( a,:11

",,,

(l ZII

)

a':/11

In d iescm Buch wird die Schreibweisc mit eckigen Klammern verwc ndc t. Die Nummerieru ng dcr Zcilen erfolgt von obc n nach untcn (bcgin ncnd mit I), d ie dcr Spaltcn von links nach rcc hts (cbcnfulls mit I bcginncnd). Die Gcsanuzahl von Elcmcntcn c incr Matrix ergibt sich aus A nmhl der Elemente = A II:;ahl der Zeilen x A Il::.ah/ der Spa /tell

Eine Matrix mit III Zeilen und /I Spalte n hat also III x " Ele menre. Man spricht des halb auch von e iner 111 x a -Mat rix. Mit dcm Symbol ail wird dasjenige Matrixele ment bczeic hnct. das sich in dcr i-ten Zeil e und der j-ten Spane der Matri x befindet. Die Zah lvariablcu i und j worde n als lndes variablen des Elcmc ntcs bczcichnct. Der crstc Index i gibt die Zeilennummcr und der zwcite Index j d ie Spaltcnnummcr des Ele mentos innerhalb dcr Matrix an. Matrizen worde n sy mbolisc h mit fetten Groabuchstabcn gckennze ichnct. z.B. A. R, X usw. Anstelle cines feucn Buchstabcns kann auch ein untcrstrichcncr Buch stabc verwendct wcrdcn. z.B. d. Ii. K . Nicht scltcn ist aueh die Schreibwcisc [A]. [R]. [X] . Ebcnfall s sicht man in der math cmau scbcn Literatur folgcndc Schrcibweis cn fur cine III x n Matrix :

[u')J·,= ,... m. J.= ,...11

(a IJ j1=· , ...m. J.= , ... /1

56

3 Matr izen und lineare (Ileich ungssystemc

Hdspid 3.1: Nach folgon d "inti c inigl.' Re ispi t'le fiir- Mnrri ve n geg(' hl' n.

]~ [; ~ ] ]~ [ - 2 b22

~ d~ [

(Ill

(1 12

a ll

{ll 2

B ~ li ~ [

b"

bl2

A

b 21

c"

[

Czl

cu en

C31

e32

D = !.2 =

[

3 -x

x 6

E =~=

[

C ~ (>

sin c

-2 -x

4

b" bn

] [-; ~

5

X 5

] 8

I 6

n

3 5

]

X

z-M ardx

2 x 3-Matrix

3 x 2-Malrix

2 x 3-Malrix

x cos .\:

2

Y]

cos ~

3 x 3- Malrix

Bedeutung der l\Ia tr izen in de r Physik Matriz en crlaubc n cine au Berordentlich ko mpaktc symbolischc Darstctl ungswcis c und ges talte n auf diesc Weise . ko mpl izicrtc Bezieh ungen zw ische n rnchrc rcn grilBcn (m ituntcr soga r zw ischen

mehrcrcn Millioncn Griilk n) in symboliscbcr Schrcibwcisc auszudnjckcn. Sclbst verwickclte Zusa mmc nhangc lind Opera tioncn lassen sic h mil Hilfe dcr Matrixrcch nung ubcrsic htlich darstcllc n. Einc Matrix bcstcht zwar aus vielcn (sogar schr viclcn) Elcrncntcn. dcnnoc b liisst sic sich in rnuthcrnat ischcn Bcrcch nu ngcn trutzdc rn als cine eigenstiindige Binhcit bchandc ln . Matrizen bcsitzen auch bcsondcrc Kenngroaen und Mc rkm ale (z.B . Dcrcrmtnar uc, Spur, Eigc nwe rt und Eig envektor). welchc wic htig sind bel der Aufslellu ng und Losung technisch wisse nschaftliche r Problem e. Ohne Matrizen ware n d ie rnod ernen , heute als selbs tvers tan dllc h betrachreren . Berechn ungsmethod en der Physik und Mech anik {Sta tik. Dynarnik, Stu bilit at. Strcm ungsrncchanik. Warm elcit ung, etektrisc he und magn erisch e Felder usw) ga r nicht mogfich ge wese n. Matrjzen bilden das Kernsruck dcr Finite Elemente M ethode FEJ\.1. Die FEM ist cine universelIe Method e fiir die Com puter-basic rtc numerische Losu ng von ph ysik alis cbcn Problcmcn und ist auc h im Buuwcscn das alltaglichc Rccb cnwcrkzcug des Bcrcchn ungsingenicu rs.

3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen

3.2

57

Definitionen Illr l\latrizen

Dimen sion eine r Matrix Bci einer Matrix mit m Zeilen und II Spalten ist III die Zeil en dimen sion und 11 die Spaltendim en ston dcr Matrix. Das Merkmal 11/ x /I ka nn deshalb als Dimen sion d er M atri x angcsehc n werdcu. Die Re ihenfo lge in 111 x II ist wicbtig: Eine //I x /I Matri x undeinc II x 111 Mat rix bcsitzen nicln d ie gleic hc Dimen sion ! Q uadra tische !\-lat ri x Einc Matrix wird quadratisch genanr u, wenn sic die gleic hc An zahl von Zei len und Spalten ha t, d .h. die Dimen sion 1/ x /I besitzt.

A=

[ a" a 21 .

a ln a2/1

a l2

an

a,,1 a,,2

a""

]

Zetle nve ktor Eine Matrix mit der Dimension I x Spahcn. X = [ XI

Hlp:

II

- 1 5 4 1 2 3

]

heiBt Zeilenvektor, den n sic bcsteht nus I Zeilc und

H.lP:

x" ]

X2

A ~[

2 - 1 1

x~ [ 2

II

I x 4-Matrix

-3 5 4 ]

Oft worde n Vcktorcn in tenon Klcinhuchstabcn angcgcben. z.B. x odcr y . Ansreuc des Fet tbuchstabcns kann auch cin Buch stabc m it Untcrstrich vcrwendct worde n. L B. .r, v. ~

S pa ltenve klor Ei nc Matrix mit der Dimen sion

II

x I heiBt Spaltenvektor, sic bestc ht au s

11

Zcilen und I Spulte .

y, Y2 .

y=

4 x I-Matri x

8 .1"1':

[ )'"

Hauptdia gonale einer l\latrix Die Blem cr ue a l l , ti n , ' .. • ti m' (d .h. a U m il i = I . . . 1/ ) einer quad nuisch cn /I x 11 Ma trix A bild cn die Hauptdiagonale von A. Die Hauptdia gon alc bcgi nnt m il dcm crstc n Eleme nt obe n links und verlauft diagon al zu m lctzrcn Elem ent umen reclus. Die Elem eme der Haup tdiagonale konncn auch als ein Vektor (entwe dcr als Sp alte nvektoroder als Zeilenvektor ) darge ste llt werden. BW

A

~ [rp ciJ ~ ] 6

2

[II

dl'g A

~[~] 3

bzw, diag A

~[2

4

3 ]

58

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

Dta gon a lma t rl x Einc Diagonalmatri x ist cine Matrix mit dor Dimension /I x 11. wobci ihrc Btcmcmc auBerhalh dcr Hauptdi ugonulcn aile glcieh Nu ll sind (ein zel ne Elcmc ntc auf dcr Hauptdia gon ulc d urfcn abcr nattlrlich chenfalls Null sein).

a~ , A ~

[

o

.

o

Ssp:

o

~ ~:: ~ ] B~ [ (~

[o

0 00

8 0

0 -4

0 0

o - I

o o

Anme rkung : Diagonalmatrix und »Dt agon alc einer Matrix« sind verschiedene Bcgriffc ! Eine Diagonalmatrix bcsitzt die Dimensio n /I x II, wnhrend die Diago nalc einer Matrix ein Vek tor ist. d .h. die Dimension 11 x I (bzw. I x n] hat. Ei nheitsmat rfx 1 Eine spezielle Dia gonalmat rix ist die Einhei tsmat rix I . Sie hat die Dimension II x n. ihre Hauptdi ago nalelemente haben den Zahlenwert I. alle andere n Elemcntc sind Null (aii = I fur i = j und aii = 0 fur i t j). Fur di e Ei nheitsmatrix werden anstetle von 1 au ch die Sy mbo le E oder

I verwcndct.

Nu llm a trix 0 In einer m x II Nultmat rix 0 sind aile Elem entc gleic h Null.

o ~

o o

0 0

o

0

Ssp:

Das Ergebn is der Ma tri xopcration

B- B

ist die Nullrnatrix 0 : B -B ~ O

Symmet r tsche J\.latrix Eine Matrix lst dann symm errisch, wenn sie die Dimension n x II fu r alle Matrixele mente d ie Beziehung "ii = aii gilt. Bei e iner d ie Hauptdiagonale eine Sy mmetr ielinie dar, Als Merkregel ka nn sich die Hauptd iagonale wie cine Spiegelfldche vor und pru n. oh ide ntisch sind.

svmmet riscn

hat (also quadratisch ist) IIIIlI sy m metrtschcn Matrix ste llt folgc nde s d iene n: Man ste llt Originalbild und Spiegelhild

unsvmmetnsch 3

5 - I

-!J

3 5 [

-!J

3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen

59

Antlmetr tsche l\.latrix Eine quadru tischc Matrix wird amimetrisch bzw. schiefsymme trisch gcrum rn. wenn fur ihrc Elcmente g ilt: tlii = 0 (d.h. Hauptdiagonate ist Null) und tli) = - a ji fur i -::j:. j .

o -3

s

3

-8 ]

o

- I

o

I

Nega tive Matrix Die negative Matri x - A cntstcht aus dcr Matrix A , indcm otle Elc mcmc von A mit - I multipliziert werdcn.

A~ [

a"

(1 12

a lII

(/ 11

«n

tl l lI

a mi

a-a

(I" ",

] -A~ [

- ti l l

- (112

- a I"

- (/21

- a 12

- a l II

- {/ m l

- ova

- a.""

]

S pur elner Ma tri x Die Spur emer 11 x Il Matrix A , bczeic hnct als tr A « (Englisch tra ce ), ist die algeb raische Sum me dcr Hauptdiagonalclcmente von A. Die Spur ste ht mit de ll Eigcnwertcn einer Ma trix in ei nem bestimmten Zusammcnhang. s. Formel ( 11. 14) auf Seite 550.

a"

{/21

A ~

a" I

«ra

(I I"

ti n

{/2"

A~ [

2 - I 6

5

tI""

1I"2

5 7 3 4 9

8 1 2

-q - I

Ir A = 2 + 3+ 8 - 1 = 12

tr A = a ll + 1I22 + . . . + alll,

Obere I>reiecksm at ri x Ei nc quadranschc Matrix w ird obere Dreiccksrnatrix gcnannt. wenn aile Elcmcntc untcr halb dcrcn Hauptdia gon ufc Nu t! sind ( a ij = 0 fljr allc i > j).

A

~ [ a~, o o

au a22 0 0

a l3 al ~

(/33

0

(11"\

aa"" ] (/ 4..\

A ~[ o~

3

o

5 ()

- I 6

()

()

60

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

Untere Dreiecksmatrix Einc quadratis che Mat rix wird untere Dreieck sm atrix ge nanut. wcnn ail e Elcmcnte oberhalb dcrcn Hauptdiagonale Null sind ( " U = 0 fllr allc ; < j) .

0 A =

[ " II a21 a 31

(141

Einheit svektor

tl 22

0 0

tin tI·u

(143

0 0 0

a 3.l

a"

e;

In ci ncm Ein hcitsvcktor e , sind aile Etemcnrc glcich Nu ll bis auf das gleich 1 iSI (e j = 1 fur j = i. ej e Ofur j of. i ).

i~te

Element, welch es

Spalteneinhei I.B -e ktor:

Zeileneinhei(.1'\-et aor:

8 .1'1':

Ssp :

t! 1 =

I 0 0 0 0

0 I 0 0 0

e2 =

0

e3 =

0

0 0 I 0 0

" ~[

0

" ~ [ ()

' 3~ [ 0

0

0

0

0

0

()

0

0

0

0

0

0

0

Gleichheit vun Matrizen Zwei Matrizen A = [aij] und B = [bij ] sind gleich, d.h. A = B , wc nn sic heide vo n der gleichc n Dimension /1/ x n sind (d. h. ihrc Ze ilcnunzahl /1/ und Spaltenanza hl 11 jcwcils ubcrein stirnm cn) und d ie korrespondicrcndcn M atrixclcr ncntc glcich sind.

A =B

wenn

tli }

=

bi}

I1ir ; = 1,2 . . . . , /1/

und

j = 1.2. . . .. n

Heis p iel 3.2: a) Folgcndc M atrizcn sind gle ich.

A =B b) Folgendc Ma trizen sind nictu gleich, we il ihrc Dim en sion nicht gleic h is!.

B~

[ 2 3

3

5

weil A : (3 x 2)

B , (2 x 3)

c) Eine Zc ilenma rrix und cine Spalten matrix sind grundsmzllc b ungtclche Matrizcn ,

3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen

6J

sclbst wcnn ihre Elem ente identi schc Za hlenwe rte en thaltcn. Grund : lh rc Dim onsio nc n stim men nich t ubc rcin (Zcilcnmutrix: I X " , Spa ltcnmatrix: " X I ).

Zerl egung von Matrlzen in Zeilen· und Spelte nvektore n Eine 111 x II Matri x kann in III Ze ilenvektore n bz w. in II Spalte nvckroren zerlegt werde n {welche Ze rleg ungsvariante gewahlt wi rd. hnngr von der An wendun g ab): Ze rlegung in Spoltenvektoren: Zerle gun g in Zeitenvektoren: all al 2 lIl ; li l t! :Z: l A = [ Sl s2 s, S" a 21 A ~

lI 2;

lI 22

"

a:!t! ~

(1;1

(1;2

(Iii

a i"

amI

{1m2

a mi

(I", ,,

a I; au

z; Si =

:z:; = [

ail

«n

(Iii

Z"

an (lmi

"i"

Bets pt el 3.3 : Die Mat rix A so li in Zei lenvcktoren und Spaltenvcktoren zerleg t we rden .

A ~

[:; ] ZJ

zs

A~ [ "

"

z: ~ [ 2 3 8

za >

4

5

- I ]

z-' ~ [ 9

,, ~ [ 7

2

15 ]

'J ]

3

Sl

=

6

[n

s2

[

=

[n

s3

=

[~;]

62

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

3.3

Addition und Subtraktion von l\latrizen

Addition Die Addition von zwe i III x II Matri zen liefert cine neue Matri x von glcieher Dimension:

B ~ [I>;il Die Elemc nre den Elemente

Cjj " ij

c~

[eiil

i = 1.2. ...

, Ill

j = I ,2..... 11

der Matrix C ergebcn sieh dureh algebraisehe Addit ion dcr korrespondierenund bi j : i = 1.2, .. . . m

(3. 1)

j = 1,2. . . .. 11

Z wei Matrizen A und B konncn dann und nurdann addicrt worden . wenn sic g lcichc Dimension besitzen. Wenn also A cine III x /I Matri x ist, rnuf aueh B cin e III x II Matrix scin. Folg lieh kann z.B. cine III x II Matri x kann nictn mit einer /I x III Matrix addiert worden! Regeln der Matrixaddition sind in Tabelle 3.1 zusammen ges tellt.

Suht rak tion Die Subtraktion der Matri x B von der Matrix A erfo lgt analog zur Add ition:

C =A - B

mit

Cjj

=

(lij -

(3.2)

bij

lIt'isp id 3.4: Einige Bcispic lc fur die Addition und Subtruktion vo n Matrizcn sind nachfolgend gegcbcn. a) A

~

[

-4 6

o

- I

B ~

I

1

~]

A +B = [ I 3

5 2

B ~

A + B ist nieht definiert , weil umcrschicdliche Dtmensionen! c)

x=

[

2; ]

2 ]

x +y ist nicht detinien. we il unterschicd lichc Dimcnsioucn ! 6 1

~]

B= [

~

- I

1

~]

A -B ~

[

-9 7 -3

o

3.4 Transposition vnn Matrizen

63

Tabelle 3.1: Regeln fiir Addition und Subuuktinn von Matrizcn =

A -A

=

o

A +B

=

B +A

A -B

=

- B+ A

(A+ B} + C

=

A + (B + C )

(A+ B} - C

=

A + (B - C )

A +B

=

o A +A

A -B

3.4

A

A +" H (- A ) A - (-A )

o o

-:?

A= -B

-:?

A=B

Transposition von Matrizen

Transposition eines Vekters Falls cin Zeile nvekt or als Spaltcnvektor (und umgckehrt) gcschriebcn wird, rcdct man von Tra nsposition. Die Tran sponicrtc des Vektors x wird mit dcm Symbol x T gckcrmzcichnct. Trunsposition macht aus cinc m Zcilcnvektor cinen Spattc nvcktor. und
x=

y ~

[ Xl

x,

X"

]

xT = [

Xl

x" ]T ~

x,

x, x, x"

[

)'1

)' Y2,

yT

=

)'2

]

(3.3)

T ~ [ .1',

)' 2

...

YII

YII

YII

Die noch maligc Transposition cines bcrcits truns ponicrtcn Vc ktors licfcrt den ursprttnglich cn vcktor: (XT)T = x

(yT)T = Y

UeispieJ 3.5 : x~ [ 2

3

- I

I

xT =

U] [i] y ~

yT ~ [ 1 2

3

I

3 Matr izen und Iincare (Ileic hungssystemc

Knm pakte Sc hrefbwelse fUr einen Spa ttenvektor; Gelegentlich w ird. urn Platz zu sparen. ein Spa ltcnvcktor auch als Transpunicrte des Zcilcnvcktors gcschricbc n. Bc ispic lswcisc sind folg cnde Vcktorangabcn von ihre m mathcmatischen ln halt her ubsol ut idcnti sch :

Transposition einer Matdx Wenn cin e III x " Matri x A trunsponicrt wird. cmstcht die n x III Matr ix A T . Die Tran spo sit ion crfclgt in der Wei se. dass man die Zcilc n von A als Spa lten schrcibt (bzw. die Spalten als Ze ilen).

::::; ]

u" A ~

1I21

[

.,

( 3.4)

a",,,

Sci quadratischen Mat rizcn kan n man sich die Transposition auch so vorsretlcn. dass die ur ue re und obcre Drciecksmatrix von A jeweils urn die Hauptdiago nale gesplege u wer den . Betsple l 3.6 : a] A

~[

3

2 3 5

;]

(2 x 3)-Matrix

- I

BT ~ [ a

c ,]

h d f

c)

Q~

[

cos s sin 0

e]

cos 0 si n - sin O cos 0

- cos 'i"e] 0

Tabclle 3.2: Rcgcln flir Marrixrrnnsposition (A T) T

A

A T + BT

(A + B) T (A + B + ... + Z )T

AT

Z T · · ·B1'A T

(A B · ·· Z )T AT

+ ... + Z T

BrA T

(A B) T

Wenn A syrnmcrrisch :

+ BT

~

A

(3 x 2)-Matrix

3.5 Matrix-Multiplikation

3.5

Matrix-l\lu ltiplikation

3.5. 1

Mu ttiplikatton einer Matrix mit el nem Skalar

65

Eine III x /I Matrix A wird mil ei nem Skalar k multipli ziert, inde m alle Elemente von A mit k: multiplizi ert werdcn (vgl. Tabelle 3.3) : a ll

lI

.. lI l (/2"

(/ 21

A ~

[

am'

(1m 2

]

kA = A k =

(3 .5)

k (/", 1

k (/", 2

k (I" ",

IJeispieI3.7:

2.7 [ 0 .9

2.7 0.9

- 1.8 ]

3.6

- 1.8

5.4

3.6

1.8

- 3.6 ] 7.2

Tabelle 3.3: Rcgeln Iilr Mntrix-Skalur-Mulriplikation IA (- I )A c( A+ B) (c+ k) A l' (kA)

3.5.2

= = = = =

A -A r A +r B l·A + k A (ck) A

I>imen sion skompatibilitiit fur Matrix-Matrix-Multiplikation

Die Gru nd voraussetzung fur die Muluplikation einer Matrix mit einer andercn Matrix isr. dass dercn Dtmenslonen komp atibel bzgl. der Multiplikation sind . lsi die sc Kornpatibilitat nicht gegeben. so ist ci ne Multiplikation prinzip iell nicht mogllch. A sei ei ne /11 x /I Matrix und B cine II x I' Matrix. dann liefert die Multiplikation A B als Ergcbn is ei ne 11/ x P Matri x C:

-- --A

", XII

B = C

/l XP

IlI Xp

Die Dimension dcr Matrix C crg ibt sich nach folgcndcm Schema: (m x ll) (/l X p) _ 'B

(m x p)

(3 .6)

C

Die Voraussetzung fur die Durchfu hrbarkcit dcr Matrixmultiplikation AB ist. dass die heiden inncrstcn Dim cnsionsznhlcn irn ob igcn Schema (links vom Pfeil) identisch sind (11 und II ). Dicsc Voraussetzung wird als lJim en sion skompatibilitiit fur die Matrixmultiplikation bcze ichner.

M

3 M atrizen und Iincare (Ileic hungssystemc

Als vis ucllc Hilfe fur die Bcstimmu ng de r Dime nsio n vo n C werden d ie bcidc n innc rstc n Dimcnsionszuhlcn - abcr nur da nn. wenn sic idcmisch s ind- gcstrichcn. und die bcidcn ve rble ibcndcn aussc rc n Zahlcn gc bc n dann die Dime nsio n des Rcsultats an:

(mx ti )(ti xp )

->

(m x p)

Zwei Matrizc n s ind IIlIrdann miteinander multiplizierbar, wen n sie dimensionsk omputibel sind. Folg e nde s Bei spiel wa re desh alb falsc h:

(IIIX ti )(4 xp )

->

(mx p)

falsch . we il 11

-# q

lIeispiei 3.8: Es soli mit Hilfe des Dlmcn slonskom patibillt cts iiberpriift werdcn, o b mit fo1gendcn Matrize n die a nge gebencn Multipl ikatione n mogl ich s ind,

A = (III X II)

C = (p x m)

D = (n x p )

nichtmoglich. wei! (1/1 x I/ )(m x 1')

AB AC

AD BC CB BD CD DC A TB D TC BCA

ADC ADB

3.5.3

B = (m x /' }

nic ht mng fich, we i! (m x n)(/) x fII) mo gflch. weil pnx ti )(ti xp ) ........ m x/, Ma tri x mo gflc h. wei l (m x p )(j' x fII) -> m x m Ma trix mo gflch. wel l (t) X !fl)( pl x p) -> I' x I' Matrix nic ht mogfich. we i! (111 x 1')(1/ X p ) nicht mogtich. wei! (p x 11I )(11 X p) mogfich. weil (11 x jJ){ P X Ill ) II X 111 Matrix mogfich. wcil (n x pl )( pI Xp ) II x p Ma trix nicht mogl ich . we i! (p x 11 )(1' x III) mo glich. weil ((m x p )( ft xm )) (III X II) (IIIX pl){ pI Xll ) m x n Matrix mogfich. wcilI ferx ti Hti xp)) (p X Ill ) (m x p )(jJ XIII) lII xm Ma trix nich t mogli ch. wei ! ((mx ti )(ti x p )) (Ill X 1') ........ (III x p HIII X p )

Ska larprodukt von zwel Vekto ren

Ei n Ze ilc nvektor x mit II Elemcntcn ist gleic hbc deute nd mit eincr I x Jl Matrix. Ei n Spaltenvekto r y m it 11 Ele mcn tcn ist glcic hbcde ute nd mil ci net Jl x I Matrix. Die Multiplikat ion des Zeiienvektars x m it dc m Spaltenvetaor y licfc rt als Ergeb nis ein Skalar und wi rd dahe r als SkaIarprodukt vo n zwc i Vck to rcn bczcichnct. Fiir zwe i Vek tore n

Zeilenvek tor

.r =

[ XI

X2

x" ]

Spalte nve kto r

y =

YI Y2

y"

3.5 Matrix-Multiplikation

67

ist das Ska tarprod ukt xy defin iert als

xy =

[Xl

X~

(3.7)

Dimcnsionskompatibilitat: ( I x ,Ii)(,Ii x I ) -. I x I Matrix (das ist cin Skalar !).

Heispid 3.9:

x ~ [ x,

3.5.4

X,

x, ]

~ [ 2

3

I ]

Matrlxprodukt von zwei Vektore n

Die Mu ltiplikation eincs Spaltenvektors y m il n-E lcmcntc n (11 x I Matrix) und cin es Zeilcnvektors x mit u-Ele mcnt cn ( I x /l Matrix) licfcrt als crgcbnis kein Skalar sond cr n ei nc Matrix! Die se Mult iplikat ion wird als Mcurixprod uir bczc ichoct und ist definicrt als :

yx =

v' ] [ y,

' .~

( XI X,

.\"

[ y,x, x"

]

=

Y2

Xl

.

.,

)"IX2

Y1 X n

Y2 X2

Y2 X n

Y "X2

y"x"

(3.8)

Mit dem Dlmenslonscheck sle ht man sofon . dass das Ergebn ts cine Matrix ist: y : (n x l )

x : ( l x lI)

=> y x : (IIX ,l )() x II) -. (II XII )

Beispiel 3. 10:

2 4 -6

4 ]

3.5.5

I 2

-3

-In

Multiplikation einer I\latrix mit einem Spa ltenvektor

Die Mu ltiplikat ion eioer III x " Matrix A m il eincm Vek tor y vo n der Dimensio n III x I :

y = Ax

Dimensionskompatibilit1it : ( /fi X

II

x 1 Vckt or x liefcrt als Ergc bnis cinen

t!)(t! x

I) -.

(III X

I)

68

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

{I l l

x,

a,,, ]

{I21

A ~

x,

t/ 2"

x.\

.:

[

am'

y ~

[

.\, )'2

.

]

Y",

x"

Das i-te Element von y ist gcgcbcn durch Skalurprod ukt des /-ten Zcilcnvcktors von A mit dcm Spaltcnvcktor .r:

Yi = J

{I II

{I~ " ' lli" J,

;-le zc ne von A

7

X, ]

[

= ai l x ,+ lli2 X2 + - · · + a i" X"

( 3.9)

x"

Ocr Multiplikationsvorgang kann durch Zerlegung der Matrix A in Ze ile nvekto ren bcsondcrs ubcrslchtllch dargestel1t werde n: .\,

Zl

[

mit

:::

Zi = [ lli l

••.

Zl X ] Z2 X (IiI! ]

.vm

(3. 10 )

,,,:X

Zuniichsl wird al so dcr erste Zc ilenvektor Z I dcr Matrix m it dem Spahc nvckror x muhlpllzlcrt . das Ergebn is ist ein Skala r, Danach win! die zweite Zeile Z2 dcr Matrix mit .r m ultip liziert usw. Ueispiel 3. 11: a)

[ I 3 ] [ x] y =

] ' x + 3 -" = x+ 3,, -

Dimensionskompatibilitlit: ( I x

J )(J x

I)

--<0

( I x I)

hi [ 53] ( 4 2 ] ~ [ 3 . 4 3 .2 ] ~ [ '2 6 ] 5·4

3 2] <1 [ 5- ] [ 4, 8

5 ·2

20

(2x ! )() x2)-(2x 2)

10

nicht definiert. weil inkompat ihle Dimensionen!

Dimcn sionskom pati bilitat: (2 x 1)( 2 x 2)

"

d ) [ 4 2 ] [ 3 ] = [ 4 · 3+ 2 ·5 ] = [ 22 ] ] 8 5 1· 3 + 8 ' 5 43 Dimcnsionskompanbiliun: (2x J, )( J, x I) e)

[~

:

~]

I 0 9

[ ; ]

0

--<0

(2 x I)

~ [ ~:~ ::: : : ~ :~ ] ~ :~ ] [

1-3 + 0 - 1+ 9 -0

Dimensionskompatibilitlit: (3 x

pHp x

I)

--<0

3

(3 x I)

3.5 Matrix-Multiplikation

3.5.6

69

Multiplikation von zwei Mat rizen

Die Mult iplikation einer m x

f1

" 21

",,,

" ml

{llIiI '

"II A ~

Matrix A mit einer II x p Matrix B liefert d ie m x p Matrix C :

]

[

(",x n) Cil

C21

C =AB =

.;

[

(III X ,n)(,n x I' )

--+

(III X p )

e", 2 (m)< /,)

Ein belie biges Element Cjj von C ergibt sic h als das Skalarprodukt der i-te n Ze ile von A und dcr )-Ien Spa lte von B:

Clj

=

+ {/;2 b 2j + ...+ {I i" h " j

blj

{Iii

=

L" {lik bkj

k= l j

= 1.2. · · . . 11I

(3. 11)

) = 1.2.· · · ,1'

f olk-Sch ema Ein leicht zu merkendcs visuclles Mu ltiplika tionsschc ma IUr zwci Matrizen A und B isl das f olkSchema in Bild 3.1. 1 Das Eleme nt ei j dcr Matrix C (in Bild gckcnnzeic hnet mit dem Sy mbo l 0 ) crg ibt sich aus dcm Skalo rprodukt des a-ten Zcilcnvcktors dcr Matrix A mit dem j-ten Spaltcnvcktor dcr Matrix B. Die »Koord inatcn- des Elem ents C;j cmsprcc hcn dcm Kreuz ungspunta dcr i-ten Zcilc von A mit dcr j -ten Spano von B. Beispiel 3.12: a) A

~

[

2 3

AB = [

b)

A= [

~

4

7

19

I

2

] 5 11

]

B= [

]

SA

B~ [

~

;]

~[ - I I

8 7

14 ] 10

.:]

Der Begriff Mmrix hier siehl sownhl fii r ein e »Matrix« als aurh einen Vcklor. d .h. fltr die Anwendung des FalkSchem as isl kein e Einschrankungcn h/.gl. der Dimension ntilig. Erfnrdcrlil'h isl n"liirlil'h ll'Ich wie vor die Dimensi~ onskompatihilitat.

70

3 Matr izen und Iincare (Ileichungssystemc

x x x

B

x x x

x

x

... ... ...

x

0

x

C

A

Bild 3. 1: Falk-Schema rur Matrixmuhip likation AB = C

AB = [ ~ ~ ) c) A =

[2 3 1] 045

AB = [ 4 1 12 ] 59 49

d) A ~

[~

AI =IA =

BA =

[ 16

24

12 22

~

1 ] 14 57 52

n n [~ n

2 5

1 = [ ()1 0I

8

0

o

2

5 8

e ) Beispiel zur Regel in Tabclle 3.4. dass aus AC = BC nicht zwa ngslaufig A = B folgt.

A=[ ~ ~ ]

B~

[40] o 2

c~ [ ; ]

3.5 Matrix-M ultiplikation

71

A f= B abcr AC =BC Anmerk ung: Wenn wir die Matri x A als ei ne Menge von Ze ilenvektorc n Zi und die Matrix B als ein e Menge von Spaltenvektore n s ; auffa sscn . kann die Multiplikution AB auch in folgender Form ausgcdriickt werden:

"I I

«n

~ ~; [

]

]

B

h il i

C21

C,~,

cm"

C", 2

hll "

SI

:;; ]~ [~;::

en [

[ : ;:

= [

Z",

C =AB =

~

~;:; ] ZItI ' S2

ZItI ' SI

ZItI

(3. 12)

·s"

Es wurdc sich Z. E. auf dtese Weise crge bcn: CI I = Z I · S I. C21' = Z2 , s l" usw. Einige Regeln fur die Matrixmauh iplikation sind in Tabclle 3.4 zusammcn gestettr. Ein simpler, nicht optimierter Algorith mus fur die Computerprograrnrn ierun g de r Matri x-Multiplikation ist in Tabcllc 3.5 wicd crgcgeben. Tabe l1 e 3.4: Regcln de r Mmri xmu hiplikarion

"

BA

I.

AB

2. 3.

AI

4.

II

5.

(kA )B

~

k (A B ) = A {kB ) = kAB

6.

A (BC )

~

(AB IC

tx

Izufullig kann AB = BA scin ]

JA = A

x

(1 : d ie Einhcitsm atrix. vgl. Scire 58 ) (x :

12 = J

7.

(A + B) C

~

AC +BC

8.

C (A + B )

~

CA + CB

9.

M

Spaltenvektor j

~

k : bcliebiger Ska lar

A' A'

10.

AM

II .

aus AB

0

rolgl nicht zwungxluufig, dass A = 0 oder B = 0 ist.

12.

aus AB

0

Iolg t nicht zwa ngxhiufig. dass BA = 0 ist.

13.

aus AC

Be Iolgt nichr zwangxlaufig , dass A = B ist.

72

3 Matr izen und Iincare (Ileic hungssystemc

Tabelle 3.5: Algorithrnus fiir Matrix-Matrix-Multiplikauon

Fiihn die Marrix-Muhiplik ation C = A B durch. Dimension von A : /11 x 11 Dimension von B : II x p EINGA BE (I NPUT ): Ill, AUSGA BE (OUTPUT):

II . //1

p, A . B x tr M atri x C

A LGORIT HM US: for ; = 1.2. · .. . //1 do f or j = 1.2. · ·· . f! d o

lnitialisieru ng

Cij = ()

for

k = 1.2.··· .11 d o Cij

= "ij + (/ik b kj

end do end d o end do

C uusdruc ken.

3.6

Linea re Gleichu ngssyteme

Einc lineare Gleichung mit 11 Unbckunntcn ist durch folgcndc Glcic hung definiert: '"I 'XI +C2' X2 +

... +c" ' x,, = b

CI , C2 . · · · , C" sind die skalaren Kocl'fizicntcn dcr Gleic hung. b is! ebenfalls ein Skalar (ein Skalar ist ist eruweder cine Za hl oder ein Sym bol, dcm ein skalarer Wcrt zugeordnet ist. z.B. .t). Die Variablcn XI . X2 • • • • , X" sind d ie Unbekannten, Ein Hneares Gleic hungs.'iysl em mit n Unbckanmcn bcstcht aus II linearcn Glcic hungcn: all 'XI

+ U12 ' X2 +

a21 'XI + U22 ' X2 a,,1 ' XI

+

+ a t" · x" = h i + a 2" · .\",, = b2

+ a,,2 ' X2 + ... + al/" · x" =

(3.13)

b"

Die Z ahlen all , a12, . . . • a"" hcibcn die Koe.lli:ielllel1 des Gleichungssystcm s. Xl ,X2 , ' .. ,X" sind d ie Unbe kannten. Die Zahlen b l. h 2, ' .. , b" bildcn die rechte Seite des Glcic hungssystcm s. Die Besnmmung allcr unbckanntcn Variablen X I , X2 ,' " .x" wird als die Lii.Hlllg des Glcichungssys tems bczeich net.

3.6 Lincere Glcichungssytemc

73

Hom ogen es linea res Glelehungs..sys tem Falls die rechte Seite in (3 . 13) aussc hlieBlich aus Nullen bcsteht (hi = O. ; = 1.2, ... , II). wird dax Gleich ungssystern als homogen bczeichnct . a l l · X I + (/ 12 " X2 + .. ... + (11" . XI/ a 21 · X I + (/ 22 'X2 + • . . + (12" • X"

aliI ·XI + (1,,2 · X2

+... + (1,," · X

'l

= 0 = 0

(3 . 14 )

= 0

lnhomogen es linea res Gleichu ngssystem Das Glcic hungssystem heillt inhomogen, wcn n mindestens ein Element dcr rechtcn Seite verschicdcn von Null ist (d.h . cs gilt mindestens einmal h i '" 0 , fiir i = 1,2, . . . , II). a l l · X I + (/ 12 'X2 +

+ (11'1. XI/ =

a 21 · X I + (122 · X2 +

+ (12'1 • XI/ = b 2

a, , 1 ' XI + (1,,2 ·X2

+...+a I/II ·x" =

bl (3 . 15)

bl/

lleispiel 3.13: H omogenes Gleichungssystem:

+ +

+ 3.6.1

lnhcnnogenes Gle ichungssystcm :

+ + +

.\"3 = 0 0 ' X3 =0 X3 = 0

x2 X2

!x2

+ + +

X3 = I O·x, = 4 X3 = 0

Gauss-Elimination

Die Gauss-E limi nation (auch Gauss-Algoru hmus oder Gauss-Jordan-Atgoru bmu s genannt) zur Losung von lincarcn Glcichungssystcmc n ist c in altcs und haufig vcrwcndctcs Verfahrcn. Die Vorgchcnswe isc bci dcr Gaus s-Eliminat ion soli unhand des folgcndcn Glcichungvsystcms erlautcrt werdcn. Fur d ie Brluutcrung dcr Met hod e soli zunachst auf Mat rixsch reibwcise verzjchtct worden.

Z u loscn ist das folgc ndc lineare Glcichungssy stem: = hi • XI/ = b 2

all · X I + (112 , x 2 +

+ (11 " • XI/

a 21 · X I + (122 · X2 +

+ (I ~"

a lll · x l + (1" 2 · X2

+... + (1,," • XI/ =

b tl

Die Gru ndidee des Gauss-verfahre ns ist die fortwahrcnde Elimination von Variablen aus den Glcic hungcn. so dass man am Ende an ci ner Gleichung mit nur eincr Unbekanntcn ankomnu. Dicscx Ziel lasst sich mit folgendc n Schrin cn erre ichc n: 1. Die I. Gleichung wird (links und

rectus

vom Gleic hhcitszeic hen) mit der Zahl

- (121/ (111

74

3 Matr izen und Iincare (Ileichungssystemc

multiplizjcrt und zur 2. Glcic hun g hinzu addic rt. Nac h d ieser Operation crbatr d ie 2. Gleichung folgcnd c Gestalt:

Der Hochindcx in Klamm ern ( I) informiert ubcr den aktuellen Eliminatio nsschritt. Der neue Koeffiztcn t a i ll ) wird bei die sem Vorgang zu Null: ( I) = a 21+ a l l " a 21

(

a'l)

- - --

a l)

= a 21- a 21= 0

Die ande ren Koeffiziemen crgeben sic h zu: a "( "

--

( "J( )

21) = (/n + a 12' ( -( (/1 1

a II

In kom pakter Form lassl sic h die scr Sc hritt wie folgt angeben: j = I ,2, .... f1 Das Element b 2 auf dcr rcchtcn Scitc muss hicrbci wic folgt modifizicn worden:

Die 2. G leichung sicht nach d ieser O peration fo lgendennalkn aus: ( I)

( I)

(I)

O' XI + {/22 ' X2+"'+ (/2" · x,,= b2

Die Variable XI ist jew faktisch nich t mehr in dcr 2. Glcichung cm haltc n. wei l dcr zugchori gc Koc ffizicnt a i ll) gleich Null ist . Man kan n auch sagc n, dass die Variable Xl aus der 2. G tcic hung clirninicn wurdc (dahcr komrn t dcr Name Gauss· £ limill(/Iioll). Das linca re G lcich ungssystem hat j ctzt folgc ndc Gestalt: (/ 11 ' X l +(/ 12 ' X2 + " ' + (/ I,, ' X,, = b l ( 1)

( 1)

(I )

+ a n · X2+···+ a2" ' x ,, = b 2 (/31 , xl + an , x2 + ... + (/ .~" . x" = b 3 O ' Xl

(/" 1 , xl + a,,2 ' X2 + .. . + am, . x" = b tl

2. N un wird die Var iab le X I aus der 3. Glcichung climinicn. Hicrzu wird die I. G leichung mit dcr Zahl - a 31/ a ll multiplizicn und zur 3. Glci chung hinzu addicn. Die Kocfflzicn tcn der

3.6 Lincere Glcichungssytemc

75

3. Zcile ergcbcn sic h auf di ose Wei se zu:

Das Glcic hun gssystcm sie ht da naeh wie folgt aus:

tI" I 'XI + tl II2 ·.r2 +...+ tl lIII ' X" =

b tl

3. Der obige Rcchcngan g wird sinngc maf so lange wicdcrhoh. his die Variable XI aus alle n Glcichungcn (aulier dcr 1. Glcichung) verschwundcn ist und folg cndc Gestalt bcs itzt:

{l ' X t

( I) ( I) (J ) + tI ,,2 , x2+ ···+ tlII" · xlI = b"

Dabei wird folgend e Eli mination sformc1 verwe ndc t:

; =2,3, .. . , 11 j = J.2, . . . , 1l Damit ware der erste Elimination sschriu bee nde t. Das ursp riiglic he Gleichu ngssystem ( 1/ G leich ungen m it den n Unbekannten X J,X2, X3 , .. • ,x,, ) wurde auf ein ncues Sys tem mit (11 - I ) G leichun gen und de n (11 - I ) Unbekannten X2 ,X) , ••• • x" transforrn iert . Zwar ist die I. Glcichung auch noc h da, aber vc rlautig wird sic nicht benot lgt. Alllllerk lillg : Das Matrixclcmcnr til l wird al s das Pl vot elemen t des crsrcn Elimi nations-

sc hriucs bczeichnct (Fra nzos isch »Pivot « : Ange lpunkt. Zapfen ) . 4. Jctzt kom mt dcr zweite Eliminationsschriu. Z unac hst wi rd d ie -ncuc- zwcite Glcic hung m it

-aii)

dcr Zahl la~i) muluplizicrt und zur dritte n Gleichung hinzu addiert . Das Resultut dic scr Rcchcnopcranon ist, dass d ie Variable X2 aus dcr drittcn Glcic hun g verschwin dc t: (l J

(2) l/ ) 2

=

an + (/ 22

( I)

(2) l/ 3 j

=

( I) a'j

•

+a2j( I) •

j =3 .4. . ..• n

76

3 Matr izen und Iincare (Ileic hungssystemc

Das Element (1~i) ist dus Pivotclcmcm dic scs Eliminutionsschrinc s. Dlcsc Pruzed ur wird sirmgc lllaB auf die res tlichcn Gleichuugeu, d.h. viene. funft c usw.• angewa ndt. Am Ende ent steht folgendcs Gleic hungssysrcm: (l 11 ' X I + (1 12'.\'"2 + a U , x3+"'+ (l III ' X'1 (I) ( l) ( I)

=

hi ( I)

O ' XI + a 22 ' X2+ a23 ,x., + · · · + (1211 ' x ,, = h 2 (2) (2) ( 2) O ' X I + 0 ' X2 + (133 'X3 +" ' + (1311 ,xl/ = h 3 O ' XI

+

(2)

(2)

(2)

D ' X2 + (1,,3 ' ·\) + " ' + (1",1 ' x " = b,,

Demit ware der zwei/e Elim inationsschritt beendet. S. Es fclgc n wei tere Eliminationssch ritte nach obig em Muster. Am Ende des (II - I)-ten Eliminatlonsschrtue s entsteht folgendcs Gfclchung ssystem. = hl

= h~l) = h\2)

... ....... ....... .......... ....... ..... ......... O ' XI

O ' XI

+ +

0 X2 0

X,

+ +

(,,- 2)

("- 2)

(,,-2)

0

XJ

+ " '+ O(n_ l)(n _ l) ' X'I _ I + U(,, _ I) 1I . XII = h n _ 1

0

XJ

+ ...+

O ' XI/ _ I

(n-I)

+ (1",1

'X'I

(II- I) = I)1/

Um die Ubersichtlic hkeit zu erhohen. crsetzen wir im ob igen Ausdruck die Hochindizes zur Kennzeich nung der Eliminutionsschritte durch ei nfaches Hoc hkomm u und erhaltcn auf dic se Weise das au f Dreiccksform red uzterte System: (II I ' XI

-reu . X2 + lI l3 ·X.l + . ..+

(11(1/- 1) ' X,I _I

0

+ 1l22 ' .1'2 + 0 23 'X3 + . .. +

(l 2(n_ l ) . XII _I

0

+

(13(11 -1 ) · ·~ n - I

o + o +

0

+ a~3 · X.1 +

+ 0 0 + 0 0

.

..+

, '

.

+ + + '

" 11I ' X"

= bl

a l II . XII

= bl

a :111 ' Xn

= b~

+

1 + u(,,_ I}(II _ I) ' X,,_ I + 1l(1/ _ 1)1I

+

+

0

+

(3.16)

·x" = I) '11 _1

a ;III ' x"

= b:1

Die Namcn sgcbung redurienes System geht darauf zuruck . dass die Anzahl dcr Unbckannten in dcr letzten Zelle von n auf I red uziert wurde. Dicser beschricbc nc Vorgang dcr Elimination dcr Variablen XI , X2, . . . , XII_ I aus den Glci chungen wird vorwaruselim ination gc nannt. Oft spricht man auch von Dreteckszerfegung. weil am Ende cin Gleic hungssysrcm ubrig bleibt. dessert Kocffizic ntenschcma ci ncr oberen Dreiecksmatr ix cmspr icht (vgl. Seite 59 ). 6. R uck wa rtssu bstl tutlon . Zur Besttmmung dcr Unbekanntcn bcwegt man sich jc tzt im red uzicrtcn Gleichungsssystem (3.16) riickwdrts vo n dcr letztcn zur erstcn Glcichung : dcshalb

3.6 Lincere Glcichungssytemc

77

wird d icser Vorgang auch als Ruckwanssubsm ution bczcic hncr. Best immu ng d er Unhe ka n nten x" Dic Glcichung in dcr lctztcn Ze ilc von (3. 16) enthlllt nur noch cine Unbc ka nnte:

b;,

a:", ' X" = h~

=> x" = - ,«;

Bestl mm ung d er Unbe ka nn ten X,, _I Jc1Z1 kann ma n die Variable X,,_I leicht aus dcr vorterzren Gleichung in (3.16 ) ermiuctn . wei! XII ja inzwi schen bekannt ist und in die vorlctzre Gleichung ci ngesctzt werden kann.

1

a'

X,,_ I =

( b,,, l-

,

a (tI _ l)n

' X"

)

(,, - 1j{ ,,- 1)

Auf ahnliche Weise werden die iibrigc n Unbcka nmcn X,, _ 2 . X,, _ 3 . · ' · , XI usw. bcrec hnct . Die allgemeine Besrlmm ungsformel fur die Ruc kwnrt ssubstttutlo n lautct:

0 .17) 1m lctzten Substitutio nsschritt zur Bestimrnung vo n XI gilt naturltch a'1j = Zei lc (j = 1,2.. .. , II ).

{/ l j

in der erstcn

Beispiel 3,14: Das to tgende Glclchungssystem isl nach dem Gauss-Verfahren zu losen.

2, 4x

- 2,

+ + +

y y 2)'

+ z= 1 + (I ~ - 2 + z= 7

Zunachst w ird die 1. Glcic hung m il - a 21/ a l l = - 4/ 2 = - 2 multipliz iert und zu dcr 2. Glcic hung uddie rt: dann wird die 1. Glcic hung m il - (/ .' 1/ (111 = I multiplizic rt und zur 3. Glcic hun g addi ert:

2, (I (I

+

y

+

+

Y 3)'

+

1 2;: = - 4 2: = 8 z ~

78

3 Matr izen und Iincare (Ileichungssystemc

Jetzt muss J aus dcr 3. Glcichung climinicrt werdcn. Deshalb w ird die 2. G le ichung mit - aW /a~~) - - 3/ {- 1) - 3 mu ltipliz iert und xur 3. Gleichung addicrt:

2x 0 0

+

)'

+

)'

+

0

:: = I 2:: = - 4 4:: = - 4

Dam it ist die Dreiecks zerlegung beendet.

Riickwdnssuhstitution. Die lct zte G leichung lautet - 4;: = - 4 . Daraus fa lgt unmittelbar z = J. Nac h Einsctzc n (Substitution) von z = I in die 2. G leic hung des reduzierte n Syste ms cr halt man y = 2. Die 1. G leichu ng licfc rt schhealich .r = - I . Gauss-Elimination in Matrtxscbretbwelse Das linearc Gleichun gssystem (3. 13) kann in Matrixschrcibw eisc wie folg t angegebcn werden:

Ax =b

(3 . 1S)

Dcr im Ahschnitt 3.6 .1 bcs r hricbcnc Gauss-Al gor ithmus kann sinnge ma13 auf Glcichung (3. 18) angewandt worden. Durch Zcttcnopcruuon cn wird d ie Matrix A in die ohe re Oretecksfonn transformicrt (Drelecks zerlegun g). Glcichzeitig wird der Vektor b de n gle iche n Opcra noncn untcrworfen. Das lineare Glc ichungssystem sich r am Endc des Dretcckszcrtcgungsprozesscs schematisch wie Iolg t aus:

I A' X ~ b'l

,

(/ I I

1I12

lI l(n- I )

a l"

0

a~2

(/ 2(11 - 1)

a~"

0

0

(/ 3(11 - 1)

a3"

0

0

{/(1I - 1)(tl- l )

a i " _ I )II

0

,

0

0

,

(/;",

x,

h,

X2

b~ b')'

X3

(3. 19)

X,, _I

b ;l _ l

x"

b;,

'-v--' )'

A'

'-v--'

"

Ans chl icBend wird mittcl s Riick'tl'i i r/.l'.l'IIhsl i tutio /l ouch (3.17) de r Unhcka nntenvektor x erm utclt: X,, - 2

= ..

usw.

3.6 Lincere Glcichungssytemc

79

Er wetter te Matri x Wie ohc n crwahnt. werdcn d ie zur Dreieckszerlcgung notwcndigen Oper utioncn nicht nur auf d ie Kocffi zicntcnm urrix A sclbst angcwandt, sondcrn auch auf d ie rcchtc Scitc b . Bei Handrcchnunge n kann es dahcr crwas ubcrsichtlichcr scm. wenn A und b in ciner crweitencn Matrix zusa rnmengerasst werden. Aile Eliminaticnsoperario ncn worde n jctzt unmittelbar auf d ie crweitcrte Matrix angcwandt (die erwetrertc Matrix ist nur eine c puschc Erlcichterung. inhaltlich andert sich nlchts).

"" (/22

a l"

b,

(/21

" 2(,, _ 1)

" 2"

1>2

"JI

(/J 2

" J (,, - I )

" J"

b.~

a ll

a l (" ~ I J

tl n(" _ l )

all"

b"

(I

II

(1 12

,

(/ I ( " ~I )

(I

III

b,

22

(/2(11 - 1)

(/2" b2

0

0

(I .~ ( ,, ~ I )

a~II

0

0

0

0

tl

,

,

b')

(/;", b;,

Trtv laler Losungsvekt or Fur jc dcs lineare homogene Glcieh ungssystem ist dcr Nullvektor 0 ein sog. trivialcr Losungsvektor (in rechnis chen Anwcndunge n ist cln trivialer Losnngsvektor narurlich nicht bcsondcrs nutzhch l).

Ueisp ieI 3.1S: Das Glcichungssystcm des Beis piel» 3.14 auf Scitc 77 lautct in Matrixschrcibweisc (die Richtigkcit dieser Matrixgleichung lasst sich lc icht llbcrpr llfen . indem die Matrixmultiplikation Ax auf der linken Seite ausgefuhrt wird j:

symbollsch: A x = b

RO

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

Hd spid 3.16: Z l1 1ils('n ist da s

[ :~ - I

1

rnl g{'n cl~~

-~6 ]

lineare G lei e h llng ss ys telTI .

[;;]~ [ :~ ] 7.4

X;

Die Gauss-Elimination (Dreieck szctlcgungj Iiefert in der Schreib weise der erweiterten Matrix:

,

[l, , 6 7"2,4] J > 2 4

-

- 2

[~, 5, 2

1.0

,

4 6

12] 7,4

8.4

IS

2 I 120] 2 I "20] 4 5 4 5 8,40 J -1;' - [g 0 5,1 25 8.40 [g 1.25 6.'25 7.55 5.45 +

Das Glcic hungssystem in Drciccksform lautct somit:

[~

2 5 4I][ X' 0 5.125 {;

{2

]=

[120] S.40 5.45

Die Unbekann tcn werden durch Ruckwartssubsthuuo n nach (3. 17) enuiuclt:

_ 5.45 _

1

x; - 5.125 - 1.06. 4 X2

= 8.40 - 4 · 1.0634 = 0 8291

Xl =

5

.

.

1.20 - 2 · 0.8293 - 1·1 ,0634 8

0' 1

= -. I ~O.

X, ] [ x2 '3

3.6 Lincere Glc ichun gssytemc

Heispid 3.17:

1:1 I

Stabkra rte in emern Fachwerk

Des abgcbildcte Fach werk wird durch die Horizon tnlkraft H und die Vcrtlknlkra fr V belaster. Die Berechnung der Stabkraft c karin nach de rn Gtelchgcwichrsprt nzip der Statik erfolge n. wei! das Fachwerk statisch hestimmt lsr. Zu diesem Zweck werden die Stabe lund 2 unmitt el bar am Kraftangr iffspunkl -gedanklic h- dur chtrennt und an den Schnitten werden die Stabkrti fte NI und N2 angcbracht (rcc htes Teilb ild).

Y L,

V

: NI~

H

~r/ -1.

'"'a = 450

~ ~ 70o H = 20 kN V =lOkN Das Glcichgewicht des Kraftangriffsp unktcs verlang t. dass d ie Summc alte r Kra fte in horizon talc r und vcrti kalcr Richtung jcwcils Null scin muss. Dic se Ford crung lic fert zwc i Glci chun gen:

L. F1,= - V - N I sin a - N2 sin {3 = O

In Mat rixschrci bwcise konncn diesc belden Glei chungen gesc hrtcben werde n als

- c~ s a [ - Sill a

cos S - sin {3

] [

N'N2 ] = [ -H] V

(0)

Die Gau ss-Elimination des obigcn Glcic hungssysrcms licfert: cos {3

- H

sin-a J -+ cos a

_

[ - cos a

V ]

- sin {3

0

cos{3 - sin {3- lan a cos{3

A us dcr zwe itcn Zeilc dcr rcduzicrtcn Matri x crhalt ma n die Stnbkraft N2:

V + Ht ana

sin f3

Ian a cos {3

Die crstc Zcilc licfcrt dann die Stabkraft N I: - H- N 2 cos{3 N . = ---='-:;-'~ cos a

Mit de n angegebcncn Zahlenwen cn ergeben sic h die Stubkrafte zu:

. 10+20 tan 45°

Sill 70°

ta1145° cos

70~

= - 23.406 kN ,

(Druckkraft)

- H

V +Htana

]

&2

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc Q

Nl = - 20- (- 23 ,406) cos 70 = 16 .963 kN tZugkraft) eos 45° All/II .: Oil' Gauss-Elimi nation wurde naturflch wese nrlich schncllcr erfolgen , wenn wir die Za hlenwerte schon fru hzeitig in d ie Beziehu ng (a ) ein gesct zt hanen. Anmerkungen zur G
2 Die, e »exal le« Bc' limmung i' l naliirli<;h nur im Rahmen der Glcill ommagenauigl e il de' Co mpulcrJCumpilers III vcrs tchcn - nicht im absolurcn Si nne !

3.7 Lincare Abhangjgkeit

3.7

83

Linea re Abha ngigkeit

Einc linear unablulngige Matrix wird auc h als regulure Matrix und ei ne linear abluingige Matrix auch al s si ng ulare Ma trix bezeichn er. Zur Definition der Iinearcn Abhangigkei t (bzw, Unab hangigkcit) betrach te n wir cine 11/ x II Matrix A, die in 11/ Zeile nvektorc n Zi bzw. /I Spaltenvektore n Si zerlegt ist:

" " A ~

Zj _1

z

~

[s

"

Sj _ 1

'i

Sj+ l

Zj+1

'" I

Z'"

Die Ma trix A wird lin ea r- ah hangig genannt, wc nn zumin dcst einer folgender Faile vorlicgt: a) Irgendcino Zcilc Zi von A kan n aus den rcstlic hcn (111 - 1) Zcilcn durch c ine bclie bigc Linearkombination mit den skularen Koe ffizienten Ci zusammcngcscrzr wcrd en:

'"

Zi = L Ck Zk

k= t

d .h. Zi = CI ZI + C2Z 2 + · · · + Ci- IZi- 1 + Ci+ I Zi+ 1 +· · · + C", z", (3.20)

k#i

b) Irgendei ne Spalte S j von A kann aus den restlic hen (II - I ) Spalten durch eine bclie bige Line -

arkom bination mit den skala re n Kocffizienten di zusammengesc tzt werden: Sj =

"

L dks k k=l k#j

Falls keine r der obigcn bctden Faile zutrifft, wird A linea r una bh an gig genannt. Tabclle 3.6 zcigt die Elge nsc haftcn ei ner linear abhangigen Matri x. Tabcllc 3.6: Eigcnschaftcn einer linear ahhiinxigel1 Matrix A I.

Mindes lens eine Zei le (Spuhe j von A lassl sich als Linearkombinutio u der ilbrige n Zeilen (Spallen) ausdruckcn.

2.

Sci der Dreieekszerlegung einer linear abhangigen Matrix ents tcht mindcstcns einc Nullzei le.

3.

Die Dcrc rmin anrc von A iSI Null:

4.

A bcsnzi keille inverse A - I

IAI = 0

(s. Regel 7 auf Sette 90).

(s. Abschnitt3.9).

&4

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

Alter na tive ljefinit hm der linea re n Abha ngigkeit Durch gccig nctc Umformungc n konnc n die Beziehungen (3.20 ) und (3.21) auch in folgcnd c Form gcbrac ht worden :

(3.22a )

(3.22bl Die Matrix A hcilh dann und nur dann linear unabhangig , wenn zur ErfUlIung der Gleichu ngen (3.22a) und (3.22b) aile Koeffizienten t; und J; zwangs lau fig Null sein miissen, d.h . wenn cs gelten muss: '~1 = C2= · · ·= Cm= 0

Wenn mmdestcns ein Kocffizicm c ; bzw. d ; ung leich Null ist und die Glcichungen (3.22a) und (3.22 b) trotzdem erfililt sind, hei131die Matrix A linea r abhiingig , Ueispid 3.18:

~ -~15 ]

a)

II

Die Matrix A linear ahhiillgig, weil die 3. Zcilc durch Lincarkom bination der I. und 2. ai le ausgcdruckt wcrdcn kann. In dcr Formulierung von (3.20) crg ibt sich:

[7

II

1 51 ~ 2 [2

3 81 + [3 5

- IJ

In dcr alternativcn Darstellung von (3.22a) nimmt die Abhangigkc usbcdingung folgendc Gestalt an:

Die Linearkombination auf dcr linkcn Scitc liefert als Ergcbnis Null, obwohl kein cinz igcr Kocffizicnt glcic h Null ist: dcshalb istA linear abha ngig. Dagegen ist die Matrix B ist linear IIl1ahhii/lgig, weil keinc Zelle (bzw. Spa lte ) in B d urch irgendeine Linearkom bination andcrcr Zc ilcn (bzw. Spalten) ausgednlckt wcrden kann (probiercn Sie es aus!).

b)

C= [ <'

c:

CJ

1= [~

~ l~ ]

D= [ d, d, d,] =

[~ ~

In

C ist ei ne linear unubhdngige Matri x, weil keinc Zeile (bzw. Spalte) in C durch Linearkombination andcrer Ze ilen (bzw, Spalte n) ausged rUckt werdcn kann. Dagegcn ist die Matrix D linear ahhangig , wei I sich die 3. Spalte als Lincarkombination dcr I. und 2. Spaltc dargestcllt werdcn kann:

3.8 Dctcrmmanren

85

Heispid 3.19 : Der H;m g eirrer- l\hltrix A (gckermzcichne t durr-h rgA l i". g leich der Anva hl ihrer linear unabhangigcn Zcilcn. Die Matri x A unten hat den Rang 3, weil cine Ze ile als Lincarkom bination dcr ubrigcn Zcilc n ausgedruckt worden kan n, d.h . A hat lcdiglic h 3 unabhangigc Zcilcn.

[

~ ~9 4;

6 4

6

5

:]

Die 4. Zeile ist von andcrcn abhangig:

10 6

Anzahl hncar unabhangigcr Zcilcn = 4 - 1 = 3

rgA = 3

=0>

Folgende Matrix hat den Rang 2. wetl d ie I. Zeile slch aus der 2. und 3. Ze ile durch Linearkom bination zusa mmcnse tzc n fusst. Die 3 x 3 Matrix A hat also nicht drei, sondcm nur zwei unabhnnglgc Zeile n, ist deshalb linear abhnnglg. I

- 32 ] -3 7 2

3.8

=0>

rg A = 2

Deter minanten

Die Dctcrminanre einer quadratiscnen Matrix ist cine Zahl, die nach cincr exakt vorgcgcbcncn Rcchcnvorschrif aus dicscr Matrix bcrcchnct wird. Die Determinante der Matrix A wird cruwcdcr durch das Symbol lAi oder du rch ••dct A « gckc nnzcichnct. AnmerkllllK: Dus Zcic hcn I von IAI darf nicht mit dem Absolu twertzcichcn I vcrwcc hsclt werdcn. Gclegc ntlich wird das Detcrminantcnsym bol nic ht au f das Matrixsym bol sondcm unmitte tbar auf die Matrix sclhsr angcwandt. Somit ergcbcn sich insgcsamt vier Darstellu ngsmogfichkci tcn fur die Detcrminuntc ciner Matri x A : (/ 12

IA I == detA == de t

3.8.1

[ "21 " II

" 22

a,,1

(/112

:

"I" tl2"

a"'l

]

-

"II

" 12

(/ I"

(/21

a 22

(/2"

(/'11

a.a

(/""

Determfnante etner II x " Matrix

Fur d ie Bcrcchnung dcr Detenninantc e incr bclicbigcn (/1 1

(112

{I21

(/22

(/1 11 ]

(/ 211

.:

11

x

II

Matrix A

R6

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

w ird der Entwicklungssatz "on La place verwcnde t. der in zwei Forrncn vorlicgt:

" I ~ ["

(- 1)'+) aU "

i=1

ul

" I ~ [ " (-I Y+) a,) " ,)1

Etuwlcklung nacn tier i-ten Ze ile

(3.23)

Emwick lung nach der j-te n Spalte

(3.24 )

i", 1

Die Un terdeter m ina n te lAijl ist die Dctcr minantc dc rjc nigcn (11 - I) X (/1 - I ) Matrix A ij , we lchc nus A durch Streic hung dcr a-ten Zelle und j -ten Spalte hervor gcht. Ocr Term (- I )I+i licfert das jewcils korrc kte Vorzcichen der ci nze lncn Summa tionsglicdcr. Ocr Term (- I )I+i in (3 .23) bzw. (3.24) liefen das korre kte Vorzeichen fur d ie cinzelncn Unterde ter minanten lAul und ka nn in einem Sc hachbrettmuste r wie folg t visu allsl ert werde n:

+

A= + 3.8,2

+ +

+

+

+

+

+

+

Determinante einer 2 x 2 Matrtx

Die Dctcrminar ne einer 2 x 2 Matrix ist gcge bcn durch

IdctA = lA l = ti l l ·

A ~ [ lI l l

tl21

tl 22

- a 12 ' a21

I

(3.25)

Die obige Formettasst sich unmittclba r aus (3.23) ublcitc n: mit

A I I = {/22

A1 2 =

1I21

neispiel 3,20:

A=[ ~ ~ ] 3.83

deIA =IA I = 1

~ ~

1 = 4. 8 - 2 . 1 = 30

Determinante einer 3 x 3 Matrix

Die Anwen du ng der Lapla ce-En twicklu ng nach der I. Zc ilc gemii B (3.23) auf die Dctcrtn inantc ei ner 3 x 3 Matri x A Iiefen :

A=

[

a"

(/21 (/31

a" ]

(/13 (/ 3.'

A us (3.23) fclgt ftir i = I:

" - I) I+i IA I = 1> i"' l

{IIi

IAli l

3.8 Dctcrm manren

1:1 7

IAI = ( _ 1)1 + 1 (/11 IAl l 1+ ( - I ) I+ 2 (/12 1.4 121 + ( - 1)1 +3 (/ u 1.4 131 ~ ", I

~ ",- I

Mil den Untcrrruurizcn A II

an, A l2, A u

an ]

tI 22

= [ tI 23

~ ", I

an ]

A l2 = [

(l JJ

AI3. = [ "21 aJ I

erhalt man aus obige r Beziehu ng:

[ "'I tI .'I Das ist die Form cl fur die Bcrcchnung der Dercrmt name ei ncr 3 x 3 Matrix. wi r wiirde n cine andere Beziehung erhaltcn, wenn die Lapla ee-Ent wick lung nach dcr I. Spalte erfo lgt ware. Die verschledene n -z uein ander natiirlich uquivalenten- Detcnn inantenformeln sind nachfolgend angegcbcn.

Entwickt ung na ch der I. Zelle: IAI = a ll

I

«n (l J2

trn a.u

I I - a 12

I I

(/23 +au "21 tI .U (/31

(3.26a )

oder (nach Vert auschung der beiden Spaite n in der mitt leren Determ inante)

1A 1 =" 11

I

(02

-

un

aD a)J

l+

a 121

(/23 " 21 (/ ) )

")1

I I'''I + "13

a 22

w

(lJ I

a '\2

" 12 {/22

" 23

I

(3.26b)

I

(3.27a)

Entwicklung na ch der I. Spatter 1A 1 =" 11

I"" --

an

(/2)

a 3.'

l-

a 2l1

(/12

aU

an

( 3)

I I + " 31

aU

oder (nach Vert auschung der bcidcn Zeilen in der mittleren Detenni nante )

1A1 =" 11

I

(02

-

U)2

a 2J

a)3

I I + a2 1

" 32

(/12

au

aU

I I + " 31

(3.27 b)

a l2 (/22

Die Aus wcrtung der obigen Beziehungen ergibt die nachfolgende Form cl. die jedoc h nicht so ganz lcicht zu mcrkcn ist. 1.4 I -

(I

II (/22 (133

+(/ 12 (/23 (/31 + tlu tl 21 tl32 ~ (/ II (/ 2) (/)2 -

" 22 a u a 31 -

tI ) )

tlI 2 tl 21

(3.28)

Einc we it verbrene res Hilfs mitrc l fiir d ie Berechnun g dcr Derermtnantc ein cr 3 x 3 Matrix ist

RR

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

die sog. Sarrus- Regel, d ie zurn SchluB auf d ie in Gl. (3.28) nngegcbcnc Bczichung fllhrt. Die Sarrus-Rcgcl gilt nur fur cine 3 x 3 Matrix.

Ueispi eI 3.21:

A~ [ ; ~ 4

;]

14

Mit Hilfe der Gl. (3.26a) crhaltc n wir:

Dic Vcrwcndung von (3.26b) lic fcrt naturlich das gleichc Ergcbnis:

3.8.4

Regeln ftir Derermlnanten

FUr Dcternun anten geltcn bcstimmte Rcgcln und Eigcnschaftcn, die z.B. bei dcr Klassifikation von Mutrizen und der Losung von Hnearen Gleichungssystcmcn bzw, Eigenwertaufgabcn (s. Kapitcl I I ) nnuhch sind:

I. Determinanten sind nur fur quadratische Matrizcu dcfiniert. 2. Die Detcrminantc etner Matrix A und diejenige ihrer Transpo nicrtcn AT sind idcntisch. (}.29 )

Beispiel 3.22: ~I ~

1 3 0 2 6 4 - I

~T I ~

I 2 3 6 o 4

0

~ 1 ( 6 · 2- 4 · 0 )- 3 ( 2 · 2 + 4 · 1 ) + O ( 2 · 0 +6 · I )~- 1 2

2

- I 0 2

~ 1(6· 2 - 4· 0) - 2(3 · 2 - 0· 0) - 1 ( 3 · 4 - 6 · 0) ~ - 1 2

3. Wcnn zwei belicbige Zeilen (oder zwei Spaltcn) einer Matrix miteinandcr vertausc tn werden. andert die Determinante ihr vor zeichen (der Betrag dcr Dctcrminunte bleibt unverundcrt).

3.8 Dctcrmmanren

1:19

Belsple l 3.23 : ;1. Matri x R emsteht durr-h Vertausc hung der I . lind 2 . Zeile von A

264

1 3 0 2 - I

~I ~

6 0

4 2

~

- 12

IBI ~

1 3 0 - I 0 2

~

12

b. Matrix C cntstcht durch vc rtauschong dcr I. und 2. Spaltc von A . 1 3 2 6

~I ~

- I

0 4 2

0

~

- 12

ICI ~

3 6

o

1 0 2 4 - I 2

~

12

4. Die Determinante blcibr unvcrandcn. wenn cine Zc ile (Spalte) mit einem beliebigen Ska lar multiplizien und dann zu c iner andcrcn Ze lle (Spalte ) addic rt wird. Beispiel 3.24 : a. Die Matrix B en tsteht aus der Matr ix A . indent die l . Zeile von A mit 2 multipliziert und zur 3. Zc ile add iert wird.

A ~

[

21 63 04] - I

0

6

3 12

2

1~

]

b. Die Matrix C entsteht aus der Matrix A , inde m d ie 2. Spalte von A mit - 2 multiplizi ert und zur 3. Spalte uddiert wird.

A

4] c ~ [ ~ 3 0 ~[ ~ 6 - 1

o

2

- 1

6-8] 3

o

-6 2

5, Die Dctcrrninantc cincr Diago nalmatrix ist das Produkt ihrcr Hauprdiagonalcle mcnte . a ll

0

0

(/22

A ~

0 0 !A ! =OI I '0 22 "

0

0

'(/1/1I

(3.30)

{II/II

Es folg t daruus. dass die Determinantc dcr Einhcitsmatrix J stcts l ist: (3.31)

9(}

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

Beispiel 3.25:

A~ [ ~ ~ ~ ]

B ~ [ ~ ~ ~: ] o o

004

Die Matrix 8 wird sing ular genannt. wei l

181=

4

0 ist.

6. Die Deter minante eincr obcrcn (unte ren) Dreiccksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonaletemente.

onere Oreiecksmamx 0 0

a 12 an 0

0

0

al l A ~

I~ I = a ll

Imlen' D reiecksnuurix

a I"

bll

0

a 3.l

a2" a.,,,

h ZI

bn b .12

b.n

0 0 0

0

a""

b,,1 b.a

b".l

bill,

' {/ n

~~

' {/.1 , .• . a

.

B ~

"" I

h,' l

1181=

0 0

b l l · b22 · h.13 · ·· h""

I

(3.321

AII/IIerkll/lX: Durch Ko mbination dicscr und dcr Regel Nr. 4 kann die Dercrminantc cincr 11 x /I Matrix recht elegant auf die Weise berec hnet worden. dass man sie zunnchst mit Hilfe der Ga uss-Elimination (s. Abschnitt 3.6. 1 auf Scire 78) in die Dreiecksform transformien und dan n (3.32) anwcndct. Insbesondere fur Matr izen mit /l > 3 ist diescr Weg schncllcr als die Laplacc-Br nwickluug. In Beispiel 3.38 auf Seitc 100 wird dicse r Wcg bcschriuen.

Beispi el 3.26 :

A ~

[~

3

5 0 0

0 - I 6 0

;]

"' I ~ 2 · 5 + 4~ 240

B ~

[~

IBI ~ 2 +

0 4

-9 0

0 0 7 1

~]

7 · 6 ~ 336

7. Die Dctcr minantc elner linear ahhiingigen (sillgllliirell ) Matrix ist = O. Die Dctcrmmante einer linear unab hdng igen (re!{lIliiml ) Matrix lst i- () (s. uuch Abschnitt 3.7). Beispiel 3.27:

3

a. A =

6 1 - I 6 12

-4 3

-8

Z3 = 2z l , d.h. A ist linear abha ng ig.

3.8 Dctcrmmanren

91

Nach (3.26b) crhalr ma n d ie Detcrminantc ~ I :

"'I

~ 3 (8 - 36) + 6 (18+ 8) - 4 ( 12+ 6) ~ 0

b. B =

23 54 - 3] I

[1

3

2:.1 = 2z 1 - Z2, d.h . B ist linea r abhnng jg.

7

Nach (3.26b) crhdlt ma n die Dctcrrninante

IBI:

18 1~ 2 (35+ 3) +4 (- I - 21) + 3 (9 - 5) ~ 0 c. C

~ [;

5

; 8

-~ ] 6

C ist linear unab hang lg, wei! - I" 0

ICI =

2 (30 + 8) +3 (~ 5 - 18) + 8 (24 - 25) =

8. Die Dcrcrmin antc cines Matri xproduk tcs ist g leich dcm Produk t dcr Dctcr minantcn dcr ct nzct ncn Matrizcn.

(3.33) Beispid 3.28 : A= [

~

"'I ~ 2 1 - 20~ 1 9.

8 ~

[

-2

~1

6

AB = [ 18 15 ]

=>

32

"' 8 1 ~468 -480 ~ - 12

1 8 1 ~ - 6 - 6 ~ - 12

wcnn cine Zelle (Spalte) ei ncr Matrix A cin Nuttve ktor isr. gilt ~ I =

26

"' 1 '1 8 1 ~ - 1 2

O. Einc solchc Matrix

wird singuliir genennt.

Beispiel 3.29 :

"' I ~

0 0 0 1 - I 3 6 12 - 8

18 1~

~ O

0 0 0

-4 3 8 12 6

- I

~ O

10. Die Dctcr minante ci nes Matrixprod uktes von zwe i quadratischen Matrizen A und B lst unabhnnglg davo n, ob die Matrizen von rectus oder von links multipliziert werdcn.

(A und B sind

11

x

II

Matrizen]

(3.34 )

Beispie l 3.30:

A~ [ ; ; ]

8~ [

-2 6

AB = [ 18 32

15 ] 26

- I

33

- I ]

45

92

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

,,8 1~ 46 8- 4 80~ - 12

II. Die Multiplikation cin cr /I Faktor r,

(/21

«u an

(lnl

tI"2

(/11 A ~

X"

(HA l ~

- 45+ 3J~

- 12

Matrix A mit dcr nSkalar k ltndcrt die Dctcrminantc um den

(/ I"

ka l l

(/211

ka zi

ka l2 ka Z2

kal" ka zlI

ka" l

ka"2

ka ll "

kA =

a""

IllAl~ ,,, "II

(3.35)

Beispiel 3.31: A

~[ ~ ~ ~] - I

,, 1 ~1 2

k= 2

kA = 2A = [

() 2

~ I~ ~ ]

--2

12A 1~ 4(24- 0) + 1 2 (0- 8 )+ 8(0+ 1 2 )~ 8

() 4

. 12 ~ " "I

"' 2.1

"' JA I

12. Multip likation cincr Zeilc (bzw, Spaltc ) cin er Matrix A mit cin cm Skala r k. ,

A ~

18 1~ ,

a ll

tll 2

(l In

ka ll

(121

(/ 2 11

(121

ka l2 (/22

ka l ll

(121

(/11 1

l/1I2

(/ 111'

(/,, 1

(/" Z

{/""

8 ~

(12"

"I

Beispiel 3.32: Die letzte Zeilc von A wird mit k: = 2 multipliz icrt und erglbr die Matrix B:

A

4] 3 0 ~[ ~ 6 - I

o

2

B=

2I 63 4] 0

[- 2

0 4

(8 1~ 2( 12-0) +6(0 - 4) + 4(0 +6) ~ 24 ~ 2 · 12 ~ ' ''I

3.8 Dctcrmmanren

3.8.5

93

C remer-Regel

u n so il in der Praxis ein kJeines lmcare s tnefcnungssystem von Hand geto st werden. In so lchen Hillen ist die Cmmer-Regel vorteilhaft. Bet rachtct wird das folgendc lineare Gleic hungssystem: {/ 12

[ "a 21 II

A ·x =b

a ,d

a III

a lj

-,

uv.

{/22

{/" 2

{/ 2"

lI""

a"j v

A

""

] '"

[ 1>b2, ~

,

'~

h"

~

b

Ein bclicbigcs Eleme nt xi des Losungsvckrors x crgibt sich aus folgcndcr Cromer-Regel: mil

lAd=

IAI =

dCIA ;

dCIA

i = 1,2. · · ·

(3 .36 )

. 11

Die Matrix Ai cnrsteht aus der Matrix A . wcnn die i-te Spalte von A durch den Vcktor b dcr rcchten Seite ersetzt wird. z.B.:

A I

=

Aj =

,,'

1>, 1>,

{/ 12

(Il j

(I I"

"II

a Ij

a 1"

{/22

a 2j

{/ 2"

{/ 21

b,

a 2j

{/ 2"

hll

a.a

(IIIj

{/ II I1

(I"

I

b"

a ll j

(1 " 11

{/ I"

"II

a ll

{/ lj

{/ 21

{l 22

'".,

1> , 1>2

{/" I

a.a

a" j

lJ"

[ {l " 21 II

"" {/ 22

1> , 1>2

a :' 1

{/,,2

b"

{/ 2"

{/""

A2 =

]

A ,, =

[

]

Cre mer- Regel fllr ein 2 x 2 G fetchungssystem Die Anwcnd ung dcr Cram er-Regel auf das 2 x 2 Glcic hungssystem filhrt zu folgcndc n Bcstimrnungsfor mcln :

[

"II

x=

" 21

a l l a 22 -

«ra a 21

a l l b2 - a 2l b l l' = . a l la22 - a l 2 a11

Beispiel 3.33 : Polg cndcs Glcichungssystem soil mil Hilfc der Cra mer-Regel getost worden.

-6

s

(3.37)

94

3 Matr izen und lineare (Ileic hungssystemc

~I ~ I .r

4

-2

-~

1=20 ~ d ~ 1

~ ~ 1 1 ~ ~~ 5 4 ~I

20

.

6

10

~, I

-~ 1=108 ~'I ~ 1

4

6

-2

10

I~ 52

52

W ~ 20 ~ 2 . 6

y~

A lll/lerkuIl X: Die Cre mer-Rege l ist nur fur klei ne G leichungssystcme mil hoch stcns 3 Unbe kann-

ten zu empfehlen . we i! der Rechcnaufwand mil der A nzah l von Unbek unntcn rapide ans tcigt. FUr grcaere G leichungssysteme ist der Ga uss-Algorith mus geeigneter.

3.8.6

Losba rkel tsbedtngun gen fur un eare Glelchungssysteme

Ein lincarcs Glcichungssys tcm bcsitzt our in folgc ndcn Fallen c ine Losu ng: 1. Das ln ho mo gene Oleich u ngssyste m A x = b (mit b -I- 0 ) kann nur dann ci ndcutig gelos t werde n. wenn die Dcterminante IAI -I- 0 ist. Fur den Fall lAl = 0 exis tiert entwcdcr iiberhaupt kein e odcr zumind est keinc eindeutige Losung. 2. Das homogene Gleic hu ngssyste m Ax = 0 bcsitz t nur dann ei ne nicht-triviale Losung. wenn die Determinante IAI = 0 ist (wenn x = 0 ist, spricht man von einer trivialcn Losung. s. Se ite 79). Fur den Fall IAI 1:- 0 ist dcr Nullvcktcr 0 der einzige Losungsvektor «las G leichungssyste m hat also nur eine Triviallosung).

lIeispiel 3.34 :

3 5 ] [Xy ] ~ [15 ] [ 610 60 Die Ga uss-E limination wird auf die crweitcrtc Matr ix angcwan dt:

[~

5 10

15] J -2 •

60

'*

3 5 [0 0

15]

30

Aus der zwe iten Zci le der crwcitc rte n Matri x fol gt:

0 ' x + 0 ' y =30

0 =30 7

Das G lcichungssystem fiihn also zu einem Widcrspruch und ist somit nicht losbar. Die Matrix A ist linear abhang ig. weil die 2. Zei le ci n Vielfac hes der I. Zeile ist: Z2 = 2zl . Foiglich muss auch d ie Determinante IAI gleich Nu ll sciu:

3.9 lnvertierung von Matrizen

3.9

95

Invertierung von Matrizen

Einc quadrarischc Matrix B wird die inverse Matrix (auch Kehnnatrix genannt) zur quadrati schcn Matrix A gc nannt. wenn zwischen A und B folgcndc Bezichung cxisticrt:

AB =BA = 1 Die Inve rse der Matrix A wird mit A- 1 bezeichnet und ergibt slch aus folgender Definition : (3.38) Die Inverse ist nur fur quadratischc Matrizen definiert . Aber nicht jc dc quadrauschc Matrix besitzt unbcdingt cine Inverse . Wenn die Inverse einer Matri x A exisricrt. wird A als reg utare Matrix bczcichnct. andcrcn falls ist A cine singutare (d.h. linear ahhiingige ) Matrix, s. aueh Tabellc 3.6 auf Sene 83. Berechnung der Inverse mit Hilfe der Gauss-Elimina tion Die Inverse e iner Matrix kann mit Hilfc des Gauss -Algori thmus bcreehnet werdcn . Hicrzu werden folgende II lincarc Glcic hungs systcmc bctrachtct: {Ill

{l12

a 21

{l22

,

x,I"

a I" a 2"

' x (I 2

Axl = e t

~

a" I

{I""

(/,,2 A

"-

'" -"..--'

,

(2)

(11"

x,

(121

""

a :!J1

~{ 2 l

Ax2 = e 2

-,

<,

" 12

.

0

,

~

(I"

I

a.a

(III/I

12)

{Ill

(112

(11'1

XI

(121

a 22

(1 2"

x,

Ax" = e ,,

0 0

(II ) ~

(/" I

a.a

(I"" A

(Ill

X"

''-v-'

<"

-

(b'

-,

<,

(/Il

0 0

XII

''-v-' A

-

(fur e I s. Seitc 60) (a)

0

x,

(I l l

0 0

0 1

"

(el

96

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

Dicsc

Glcic hungssystcm c lassen sich auch in einem System zusam me nfussen:

Jl

(II I

a 12

(lI n

(12 1

(/22

(1 2"

x,In x ,

Il )

(I)

x2

xI"' , x,I"'

(2)

x2

]

0

0

]

0 0

0 0 (d ]

~

(1,,1

(/,,2

(I""

,

( ']

x" "

0 0

II

(",

Il )

XII

0

X"

]

0

II

I

x

Die Losung allcr II Glcichungssystemc in (a), (b ) und (c) nac heina ndc r liefert also d ie Lo sungsmatri x X ind (d). In sy mbolischer Schrcib weisc tasst sich des obige G leichungssystem auch wie folgt angeben:

X = ~I

X2 '

·· x,,]

(I ; Ein heits matri x]

Wcgen dcr grundlege nden Definition AA - I = 1 muss also d ie Losungsmatrix X des II x Jl Glei ch ungssystems mit " Rcchte-Scitc-Vektorcn dcr invcrscn Matrix A- 1 cnt sprcchen. d.h. es muss gotten X = A - I . Dass dies tat sachlic h so ist, kann man sofort crkcnncn. indcm da s obigc Glc ichungssystem mit A - I von links muluplizi crt wird: -II AIA X = A __ '--v-' 1

A-I

Die Inverse ein cr Matrix A kann also mit Hilfe der Gau ss-Eliminat ion bcsturnn t worden durc h d ie Los ung de s lincaren G leichungssystem s AX = I . Enthltlt cine quadrati schc Matr ix c ine Nulleei le bzw, cine Nnltspolte. so ist sic stcts sing ular, d .h . ihre Inverse ist nicht dcfinicrt . Eine Matrix, dcrcn Dctcrmi nantc g1cich Null ist, bcsnzt kcinc Inverse. Wenn cine Matrix cine Inverse besitzt, wird sic auch als invenierbar bezcichn er. D ie Regel n fli r d ie Matrixinvertierung sind in Tabelle 3.7 zusammenges tel lt.

3.9.1

Sonderfatle Ilir die Matrtx-lnvertierung

In folgenden So ndcrflillcn kann die Inverse c incr Matri x unmittcl har angcgc bcn worden.

Inverse einer 2 x 2 I\latrix: A=

[ (I I I

112 1

GJ2 ]

A-I =

an

[ "I

J....

a22 - 1l2 1

- (1 [2 all

]

\A I =

mit

(111(1 22 ~ tl 12 "2 1

13.39)

Inverse einer Iliagonalm atrix:

D ~ [d{

dn

0

0 0

II

,i""

]

D- 1=

[

Il dll

0

0

I / d 22

0 0

0

0

1/,/""

(3.40)

3.9 lnvertierung von Matrizen

97

Tabelle 3.7: Rechenregeln fiir inverse Matrizen

"'-, (A- I)- I

A

(AT) - I

(A- I f I A- I

(kA)- 1

k

I

W 'I

"I

(A - I) "

i-

(A+ B) - I

A-I

11

(ABC · ·· Z) -l

Z~l

=>

w enn A singu lar

I

del A

positiv und ganzzuhfig

+ B-I

B- IA - 1

(AB) - I

del (A - I ) =

d.h.

aber : (AB) -I i- A - IB - I

.. . C- 1B- 1A - 1

A - I exisriert nicht!

Bedingung: d; ; ::j:. 0 llei spid 3.35: A

~[

2

-2 8

-4

]

" 1 ~ 16 - 8 ~ 8

A-I = ~ [ :

2 2

]~ [

1,0 0,5

0.25 0 ,25

]

Beispi el 3.36:

D~ [

4,6 0 {I

0

0 12 0 0

0 0 5, 8 0

0 0 {I

24,3

]

D-1=

[

02 1~

0

0

O,n83

{I

0 {I

{I

{I

{I

0

0

0 , 172 0

{),04 1

]

Inver tler ung von Hand Fur dte Inver tierun g von Hand sc hreibt man die zu invert ierende Matrix A und d ie Einheitsmat rix I in erwei terter Form ncbcnel nander auf: (II I

(112

(/ I"

(/21

(122

(/ 211

I 0

°I

anI

o.a

a""

0

0

A

°0

I''''~ ;".I

Durch gee ignete Zeilenumfonn unge n (d .h. durch wiederholtes Hinzufiigen cines gccignetcn Vielfache n etner Zcilc zu eincr andcren Zeile) wird die Matrix A in ci ne Einheitsmat rix I trans-

98

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

forrnicrt . Die Tra nsformat io nsopc rutioncn, di e man auf d ie links stchc ndc Mat rix A anwendct . werden gleichieitig auf die rec hts stehcnde Ei nhcitsmatrix I " ril' inal ungcwcndc t. Am Endc dcr Tra nsfor mutio nsproz cdur, wenn nnmhch uus A d ie Einhcitsmatrix I hcrvorgcgangcn isr. steht auf dcr rccb tcn Scire anstcllc dcr urspru ng jtchcn Ei nhcitsmamx I"ri~; nal d ie Inverse A - I von A:

[ a" a 21

a lZ

a,"

a 22

a ZII

0

I 0

0 0

I

I 0

0 I

0

0

a,;

0 0

(l~ 2

a;"

(/2 1

(/2Z

a~ 1

(/;,2

a;/It

I

(/2"

~

1I:'1 a.a

0

lim'

•

0 J.>ti ~;rul

. -1

r,>ti~ i ".I ~A - '

(3.4 I )

UeispieI 3.37: Ge sucht ist die Inver se folgender Matri x.

A

~ [ - :I - 6i =~3 ]

Nec h dem vo rgc hcnsschema der G I. (3.4 1) crgibt sic h folgende Prozedur:

[

1 3

- I

2 - I -2 -6 3

1 0 0 I 0 0

8

•

~ ] a ;k"opeml;o",". [ ~ I

0

'~

0 I 0

0 0 I

dll

~'

(/; 2

, a• ll 1I22 , o,• I "a

.-.

1

I,ori~ ;".,

]

dl "

•

a,,,,,

(/2"

Additi on von (- 3) x ( I. Zeile) zur 2. Zeile sowie der I. Zeile zur 3. Zeile:

[;

2 8

- I

- 6

- I

~] ~.

0 I 0

I

- 2 0 3 0

[~

2 2 - 4

- I I

2

0

I

- 3 I I

0

0

~]

~]

Add ition von 2x (2. Zeile) ::.ur 3. Zeile:

2 2 - 4

[~

- I I

2

I

~] J~

0

- 3 I I

0

[~

2 2 0

- I I

- 3 I

I

4

- 5 2

Addit ion von - I j 4 x (3. Zeile) znr 2. Zeile sowic von 1j 4 x(3. 7..eile) zur I. 7..eile:

[~

2 2 0

- I I

4

I

0

- 3 I - 5 2

~] J:

I/4 f/4

[~

2 0 2 0 0 4

- 1/ 4 - 7/ 4

- 5

1/ 2 1/ 2 2

1/4 ] - :/4

3.9 lnvertierung von Matrizen

99

Add ition von ( - l ) x (2. Zeife) zur I . Zeife:

[~

2 0 2 0 0 4

- 1/ 4 - 7/ 4 - 5

1/ 2 1/ 2 2

1/ 4 ] - :/ 4

.r.

[~

0

0

2 0 0 4

3/ 2 - 7/ 4 - 5

0

1/ 2 ] - :/4

1/2 2

Division dcr 2. Zcilc dureh 2 und dcr 3. Zcilc durch 4 :

3/2 - 7/ 4

- 5

o 1/ 2 2

o

1/ 2 ] 1/4 - 1/ 8 1/ 4 1/ 2

1/ 2 ] - 1/ 4 1· 1/ 2 I 1 · 1/ 4

Die inverse Matrix A - I lautet:

A- ' ~

3/ 2 - 7/ 8 [ - 5/ 4

o 1/ 2 ] 1/ 4 - 1/ 8 1/ 2 1/ 4

Aufgabe: [Iberprii fen Sse. ob die errni uehe inverse Matri x A- I im obige n Beispiel die Beziehung AA - I = J crnnn. indcrn Sic die Matrixmultiplikation AA - I zahlcnmabig durchfuhrcn.

3.9.2

Bedeut ung der Inverse in der Statik

In der Theone dcr Computer orientiertcn Stan k (z.B . FEM - Finite Bteme nte Methode) werde n die mccbanischcn Grundglcichungen haufig in symboltschcr Matrixform autgestefu. Bcispicl sweisc wird das Gleichgewicht cine s Tragwerks nach der tlneare n Stank durc h folgendes Iineares Gleic hungssystem formuliert: Kx ~ f

K : Stcifigkcitsmatrix .

x : Vcrschicbungsvcktor. f : Lastvektor

(3.42)

Dicses Glcichu ngssystcm wird symbc lisch dadu reh gelost. indcm bcidc Seitcn mit K-I muftiplizicn worden:

Anmerkung: Die obi gc Losungsmeth od c fur den Vcrschicbu ngsvcktor x bcsitzt nur thcoretischc Bedeutung. In kom mcrziellen FEM-System en worden ander e Losunsgmcthodcn vcrwcndct , die viel effizic nter sind . Dcnnocb ist diesc symbolischc Schrcibwcisc aus Siehl dcr hohcrcn Mechanik schr wertvoll, wcil sic ertaubr. mcchunischc Zusam mcn hangc in iiuBcrst kompaktcr Fonn darzustellcn.

J [Kl

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

3.10

Zusatzliche Beispiele

IJeispieI3.38:

Bestimmung der Determinant e mit Hilfe von Gauss-E limination

In dicscm Beispiel wird die Dctcrmi naute dcr Matrix A mit tcls Tra nsformat ion in die Drciccksrorm bcrcchnct ,

A

~

[

:

o

o

-4

5

I 6 9

2

-4 8

Die Rcgel 4 au f Sene 89 bcsagt, dass d ie Dctcrrninantc ciner Matrix unvcrnndcn blc ibt, wenn cine beliebigc Zelle dcr Matrix mit einem bclic bigcn Skalnr multiplizicrt und zu einer andc ren Zcilc hinzu add icrt wird. wl r kormcn von die ser Eigenschaft Gcbrauch mechen . lndem die Matrix A mittels sukzess iver Zcilcn operat lonen in cine obcre Dreic ksnunri x Ao trunsformie rt wird . Zunlichst wird das Element all = 4 al s Pivotelemcnt verw ende t und die rcstlichcn Elcm cmc dcr 1. Spa hc werde n elirnin icrt. Hicrzu wird d ie 1. Zc ilc zunachst mit - 2 mu ltipliziert und dann zur 2. Zcile hinzu addiert . Pur die 3. Zeile ist kein c O peration notwendig, weil dort ja ohnehin bere its 0 stcht. Zum schluB wird die I. Zelle (mit 1 mullipliziert und dann ) zur 4 . Zeile hinz u addiert .

[L

0 5 2

- 4

~,] ~.

I

6 9

8

[~

'*

0 5 2

- 4 9 6 5

8

_6,,] - I 8

Weitere Zeilcnoperationen sind nachfo lgend angegcben.

[ [~

0 5 2 8

0 5 0 0

- 4 9 6 5

_6,,] - I 8

J ~2/'

- 4 9

12/ 5 - 47/ 5

- 612 ] 19/ 5 136/ 5

C'

J:

7 12 /

'* '*

0 5 0 0 0

[~ Ao =

[~

- 4 9 " /5 - 47/ 5 0 5 0 0

- 612 ] 19/ 5 136/ 5

- 4 - 612 ] 9 12/ 5 19/ 5 0 2525/ 60

Die Determinunte dcr zuletzt aufgestel1ten Drciecksmarri x A" ist dUTCh das Produkt ihrer Hauptdiagonalelc mente gege ben (vgl. Regel 6) und liefert so nut die Detenui nante von A :

3. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 3.39:

Linea res Glelchungssyste m

Folgendes Gle ichungssystem ist zu loscn . .r

3x x Ldsung :

.r

0 0

+ +

+

y 3y

+

)'

- 2 :.: = 6 2, ~- I , ~

Die ersten beiden Elimi nutionssch ritte fur d ie 2. und 3. Zeile fuhren auf

+ +

y 0

+

2y

+

z= - 2 4::= 12 z= I

Das Pivote lement in der 2. Zei le ist Null! Du rch v ertau schung der 2. und 3. Zeile kan n das Problem umgangcn werden : x

o

+

o +

y 2}

0

+ +

z» - 2 I

z ~

4:.: = 12

Die Ruck wnrrssubstluulon flefert die Unbe kannten: z = - 3, y = - 2. x = 3

Heispid 3.40: 3 [ 9

Lineares G leichungssyste m - nicht eindeutlge U isun g 5 ] [ .r ] 15 y

~

[ 15 ]

45

Die Gau ss-Elimination liefert

[~

5 15

I I

15] 45

J-J +

'*

3 5 [0 0

Aus der zwe iten Ze ile folgt jctzt

Diese Glcichung ist fur bclie bigc werte von x und y er fullt. Man kan n deshal b fur x (ode r y ) einen beliebigen Wen wlihlen und die andere Unbeka nnte y (ode r x ) aus der I. Glci chung bcst immcn. Auf dic se Weise ergebcn sich unendlich vielc Losungen. d.h. das Glcichungssystcm ist nicht cindcutig losbar.

wahlt ma n z.B. .r = 3 - 1+ 5y = 15

I. ergibt sich aus der erstc n Zei le: =?

y =2,4

FUr andere gewahlrc Wene von .r crhnh man ebenfalls andere v-wene. Die Dcterm i-

101

J 02

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

nante von A ist. wie zu crwa rtcn. gleic h Null:

5 1= 45 _ 45 = 0

15

'* A lsr Hncar abhnngtg: Z2 = 3z 1

lIeispieI3.41: Stngulare J\.latrix lind Ga uss-Elimina tion Mit Hilfc dcr Guub-Elim inarion soli gczcig t werdcn. dass fclgcndc lineare Glcichungssys tcmc nicht bzw, nieht cind cntig losbar sind. 6 - I 12 U j.mllg:

A

.r:. 8

3

.q

Die Dreieckszerlegung fllhrt auf

~[~

o

6

- 13

o

Die lctztc Zeile fuhrt zur nich t crfullharcn Glcichung O ·x.~ = I , d.h. das Glcichungs systcm iSI nicht losbar. Die Dctcrminantc A ist aufgrund dcr Singularitat glcich Null:

U j.mng :

A isl c ine singul urc Matrix, wcil sic linear abhangigc Spa ltcn cnthilh:

SJ =S t - 3 S1

Die Detcrrnin ante A ist aufgrund der Si ngula ritat gleich Null: ~ I ~ 4 ( 8 - 8) + 2 ( - 8 + 8)

Beispiel 3.42:

- 2(2- 2) ~ O

Llneares Otetchungssystem

Loscn Sic folgcn dc Glcichungssystemc nach dem GauB-Verfuhrc n. Wenn ein NullPivot auftritt, vcrsuchcn Sic durch Zcilcnvcrtauschung das Problem zu umgchcn.

a1 2<

3y

4.r 2<

5)'

UjSlIflg:

y

+ 0=3 + z~7 3, ~

5

Die Losung ergibt sich mit folgcnden Eliminutionsschritten:

3. 10 Zusarzfiche Bcispicle

(-2) x I . Ze ile zur 2. Zeile hinzu addiere n (- I) x I. Zeilc zur 3. Zcile hinzu addicrc n (-2) x neue 2. Zcilc zur 3. Zcilc hinzu addicrcn Ruckwnrtssubsuruttc n licfcrt x = 3, y = I , z = 0

a. b. c. d.

+ + + + 2x, +

2x, hi

x, 2"

- x, x,

<j

103

+ + +

3xI

2" 6x ,

2~1 Xl

2~1

+ + +

x,

~

XJ XJ

~

4 10

~

L sg: xl = - I,X2 = I,xJ =7

8

XJ =3 X3 = 0 4 X3

= 6

Ldsung: Die Drcic kszcrtcgung fuhrt auf das System

3Xl

+

o + o +

2\"1 + xJ = 3 - 0.333x2 + 0.333xJ = - 2 0

+

0 = 12

Die lctzte Glcichung fuhrt zur Au ssagc. dasx 0 = 12 sci, was o ffenxichtlich ein Widcrspruch ist. Dus Glcic hungssystcm ist dahcr nictn losb ar. Ueispi el 3,43 :

lnst abiler Hal ken

Ein waagcrechtcr Biegebalkcn , dcr in der .rr-Ebcne licgt. ist an setncm linken Ende an ci nem Pestta gcr gcle nkig gclagen: scin rechtcs Ende ist vollig frei . Ein dcra n gelagcrtcr Balken wird in dcr Sta tik kinr matisch instabil bczeichnet, er kan n keinerlei Lasten aufnehmen und wUrde nach unten kippen . Einfachheit halber soli der Balken die Lange L = I, d ie Biegesteifigkeit £ 1 = 1 und die Last F = 10 besitz en. Die Steifigkeiwl1atrix K des Balke ns und der Lastvektor F sind nachstehend angege bcn. Ocr Vektor U der Knotenverschiebungen cnrhalt die Versch iebu ng und die Verdrehungen dcr Knotcnpunktc 1 und 2. Wir vcrsuchen , das G leichungssystcm K U = F zu loscn.

...... ......

4

-6

-6

12

2

-6

- "'-

... ........ Verdreh ung des Knotens I Verschicbun g des Knoten s 2 Verdrc hung des Knotens 2

-~4 ] p ~ [ - 10~ ]

Die Gauss-Elimination liefert:

- 6

- 6

12

3

- 6

- 3

- 6 3

o

J U4

3 Matrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

Die let ztc Ze ile der reduzicrtcn Steifigkei tsmat rix ist cine Nulleeile, d.h . die Matri x K singuldr, das Gleic hung ssystcm K U = F ist nicht losbar. Einc dcrart igc Stcifigkcitsmatrix K ncnm man auch positiv semidefinit, ihrc Dctcrminamc ist glcich Nu ll. vg l. Abschniu 11.7.1 auf Scire 547 . Die Versehiebung 112 und die Verdrehungen Bl , B:? stetlen sich als unendl ich grouc Werte heruus. d.h . dcr Balken wird zu et ner ktnemanschcn Kene und dam it instabil:

3 · //2 +{ -3 ) · (-00) = - 10

=>

4 · BI -6 · ( -00) +2 · (-00} =0

112 = - 00/ 3 = - 00

=>

112 = -400/4 = -00

Das verschiebungsm uster des Balkens ist im Bild gcs trichelt dargestetlt: ein solc hcs Must er wird auch als Starrkorpe rve rschiebung bezeichnct . Die Stngutartun von K kann man auch tiber ihrc Dctcrmtnamc zcige n. Aus (3.26a ) erhal ten wir: IK I = 4 (48 - 36 ) - ( - 6) (- 24 + 12 ) + 2 (36 - 24) = 48 - 72 + 24 = 0

=> K singular.

Die Erkcnn mis aus dicscm Bcispicllasst sich vcrullgc mc incm :

Die Stciti gkcitsmatrix K cines Trugwcrks. das instabil ist bzw. cine Starrkorpcrbcwegun g erfahren kann , ist singular: ihre Determinante ist gleich Null, [K [ = O.

Determtnante nach Laplace-Forme!

Beispiel 3.44:

I 2

-2

-5

I

Die Dctcrm inunte dcr Matri x A ist mit Hilfc von LaplaceEntwicklung sowoh l nach der I. Zeile als auch nac h dcr I. Spufte zu bcrcchncn.

4

Entwickl ung nach dcr J. Zeile gemiiB (3.23): 3

IA I ~ [ ( - I )I+i " li lAli l ) "d

= {_ 1) I+l llll lAl tl+ ( _1)1 +2 ll12 IA i2I + (- I) I+3 1113 1A1 31 = a l l !A It!- a I2 1A 12I + a u !A u l All =

[~ ~ ]

1A 11 1 ~ 1 2 - 6 ~ 6

1.4 1~

AI2 =

[ _~ ~ ]

A l3 =

1A 12 1 ~ 6 - ( - 3 0) ~ 3 6

1 ·6 - ( -2 ) · 36 + ( - 3 ) ·2 2 ~

12

[ _~ ~ ] 1A 13 1 ~2 - ( -20 ) ~22

3. 10 Zusarzfiche Bcispicle

105

Entw ickl ung nach der I. Spalte ge mii13 (3.24):

IAI =

,

[ ( _ 1);+ 1 a il ;", 1

~ 1 ·1 4

I

~

lAill = a ll

]A 11 1- ll21 1A2i1 + a.~ 1 1A .~ d

2 6 1_ 2 . 1 - 31 + (_ 5) .1-2 - 3 1 3 I 3 4 6

( 12 - 6) - 2(- 6+ 3) - 5(- 12 + 12) ~ 6 + 6 - 0~ 12

Determlnante

Betsplel 3.45:

Bereehnen Sic die Dcterrniuant e der angegebenen Matri ze n.

6 12 5 -7 1 13 4 5 3 6 -

a) A =

2 4 2 5 -5 9 2 3 -4 8 1 3 1 2 1

IAI = O. weil die I. und 5. Zcile linear abhangig sind : au = 2a5;

b) H =

[

2 0

-4

0

- 12 6] 2.4 3.8 0 47.2 5

o o

5

0 0

(i = 1.2... . .5)

9

Die Detcrrnin ante einer Dreiecksmatrix ist gleich dent Produkt der Dia gonalelemcnre :

L jjSlI llg :

[8 1~

c)

c =

2

·5 · 2.4- 47,25 = 1134

4 1 1 2 -2 1 3 -4 -5 1

Ldsung:

2 3

3 -5 9 2 1 6 4 - 1

Die Dcterm inuntc

ICI

ist nicht dcfiniert , weil C cin e 6 x 5 Matrix isl

(Dc termi nantcn sind nur fur quadrauscbe Marrizcn definic rt},

J 06

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc

Hd spid 3.46:

Determlnante

Bcrcchnen Sic mit den gcgc benen Mutrizc n A und v d ie ge fordc rtcn Opcr ationen.

1 - I 1

-2 a) A v T

c)

IAI

Ldsnng: a ) A vT ist nict ude finiert, wei! inkompatible Dimensionen.

b ) AT = [ - : 2 1

-

~

1

1

2

3

:

Iv = v

c) Nac h Transfor mat ion der Matrix in die oberc Dreiecksfonn er halten wir die Deter minante als Produk t dcr Hauptdingc nalcle me nte, wei l die Addi tion cines vietfachen ciner Zcile 7.U cin cr andcre n Zc ile die Dctenninan te nich t verandc rt.

1

- I

o 2 o o o o

Beispiel 3.47:

2

7 - 4

0

-j]

Invernerung efner Matrix

Gcsucht ist die Inver se dcr folg cnd cn Matrix.

1 2]

- I A ~

[

3

- I

1

3 4

- I

Mit Hilfe dcr erweiterten Matrix liiuf d ie lnverticrung folg cndcrmabc n abo

[

- I

1 2

-I

3

-I

•

3

o1 o

0 0 ] 1 0 4 0 I " - --.----' 1

I

"

[

~I

- I

1

- I 3

2

I 4

I 0 0

~ ~] ~-1

o

1

•

-

[ - 1

0 0

1 2 7

2 2

2

1 3

- I

0 1 0

~]

3. 10 Zusarzfiche Bcispicle

~I

[

2 7 2

I

2 2

I

o

3

I

~]

J~'

~]

I I I

o

- I

-

[

~I

2 7 - 5

I

2

o

I

0

3

I - I

- 4

107

~]

Nun werden die Zcilcn mit gee igneten Skalaren multiplizien, um die Hauptdiagonalclemen te der links stehenden Matrix (dus ist die ursprUngliche Matrix A) g leich I zu machen :

[

~I

2 7

I

2 0

- 5

I

0

3 - 4

I - I

(- I)

(0.5) ( - 0.2)

- [~

- I I

- 2 3.5

0

I

- I

0 0.5 0.2

1.5 0.8

-u

Es folgen noch ei nigc wcitcrc Zeilenopcrationen und d ie ursprunglic he Matrix A verwandelt sich in die Einheitsrnatrix:

[~

- 2 3.5 I

- I I

0

[:,o

- I I

o

- I

0 0 ,5 0.2

1.5 0.8

0

0.6

I

- 1,3 0.8

o

-u

0 ,4 - 0.2 0.2

T ,; 1: - [~ J> - [~

- I I

0 0

0

I

0

- 0.4] 0.7 ~ 0 ,2

I

0 0

\}

I

0.6 - 1,3 0.8

0.4 - 0.2 0.2

- 0 ,7 - 1.3 0.8

0.2 - 0 ,2 0.2

- 0.4] 0.7 - 0.2 0.3 ] 0.7 - 0, 2

Die linke Halne der er welterte n Matrix ist je tzt volls tandig in die Einheitsmatrix I transforrniert. Die rechre Hulfte enrspricht sornit der ges uchten Inverse von A :

~

A- I

- 0,7

0.2 - 0 ,2 0 ,2

[ - 1,3

0.8

Hdspid 3,48:

03 ] 0.7 - 0 ,2

lnvertlerung ejner- I\lat r ix

Gcsucht ist die Inverse A - 1 folgender Matrix A .

A

[

~2

[~

2 4 0

4 2 [ 2

~

6

2 3

- I

I

4 6 2 I

I

-!J

I

0

0 0

I

2 3

0

I

0

0.5 - 0.5

I

0

IO .5

~] '" [~ ~] J >, L '" [~ ? ~.5

6

2 4 0

2 I

2 0 0

4 0

I

I 0 0.5 I - 0.5 0

4 0 I 1.5 - 0.5 o

~]

-6 - 2] I

3 Matr izen und Iincare (Ileic hungssystemc

][)I!

[~ [~

2 0 4 0 0 1

4 0 I 1.5 - 0.5 0

0 0 4 0 0 1

3,25 1.5 - 0.5

-6] J~O.5 [~ - 2 1

- 0,5 I

0

=>

1( 1/ 4) -- 5] 2 1( 1/ 4) 1

0 0 4 0 0 1

~[~

3.25 1.5 - 0.5

- 0.5 1 0

0,8125 0 0 1 0 0.3750 0 1 - 0.5000

-- 5] 2 1 - 0. 125 0.250 0

- 1.25 ] - 0.50

Nac h dicse n Ze ilc ncpcrutioncn cntspric ht d ie linke Halftc dcr crwe iterte n Matri x dcr Einhcitsmatrix / . Die rce hte Halltc erg ibt som n d ie gcsuc hte Inverse von A .

0.8 125 - 0. 125 - 1.25 ] 0.3750 0.250 - 0,50 [ - O.5()(X) o 1

A- I =

Ucispiel 3.49;

Symbollsche Mat r txalgebra

Es so il die Richtigkcit de r Bezich ung (AB) - I = B - 1 A ~ I auf Set te 97 bewic sen werden. Ldsung:

-

W ir gehen von de r Idcn titat (All) (AU)- I = I au s und mu ltiplizieren Sic auf bc idc n Scitcn mil A - I vo n links und formc n das Ergeb nis urn :

'*

-

/B (AB)- ' ~ A - '

=>

A - I AB (AB) - I =A - I/

~ f

A. - 1

B (AB)- ' ~ A - '

B

Der lct zte Ausdruc k wird jc tzt mit B- 1 vo n links muhipliziert .

B - IB (AB) - I = B- IA- 1 ~

=>

J (AB) -l = B - I A- I ~

I

(A.B) - I

Damit ware die Bczichung (AB) - l = B - IA- l bcwicsen. llcisp iel 3.50:

Zwei dimensionaler Spa nnungszusta nd

1m 2-dime nsio nale n ebencn Spannu ngsz ustand dcr Elasti zitat sthcorie existieren zw iund de n S pan nungcn a . f ,y folgende Zusarnsc he n den Dehn ungcn cx, E " menhnngc. mit deren Hilfc man bei bekunnten Spannungc n die un bekan nten Dchnunge n bercc hnc n ka nn:

y. r,y

Ex

=

I

E (0:, -

P 0:,')

E : Elastiz itatsmodul.

1 E,,. = -E (a'" - P 0:, ) G : Sc hubmod ul

a,.

Y<,I'

=

f Al ,

G=

2( I + p ) E

"t:<."

p : O ucrkcn tmktlo nszaht

I

3. 11 Aufgaben

109

Die obigcn Beziehungen solle n so umgcformt werdc n. dass man aus -bckunntcn- Dchnungcn d ie -unbckanntcn- Spunnungcn bcrcchncn kann.

Lnsung: Die obigcn Elastizittitsgleichu ngen werde n zunuchsr in Matri xform gebrac ht:

-

[U ~~[

1 -~

o

o o

-~

1

o

2( 1 + ~)

][ ~:. ]

----~---_.a F

,

y

Das obig c Glcichungssystem wird von links mit F - l mulnp hzi crt:

F -le =F - IFa

mitE =F - 1

Nach Inverti erung von F erhal ten wir die gesuchtc Lcsung:

[~;'n ]

-

-

3.11

1

I - Jl 2

a

[~ . ~

E

0

E

Aufgaben

I. Puhrcn Sie fur die heiden nachfolgenden Matrizen die angege benen Matri xoperationcn dur ch.

2]

d) ab e) ba bTa ~) b TaT

a) aT + b h) n -i-b c) aTh

o

Ldsung :

a1 aT + b = /I.d . ( 1 x 3) +( 3 x 1)

hi a+h ~ [~] c) aTb =

0

d)ah = n.d . (3 x l )(3 x l) e) ba = lI.d . (3 x 1)(3 x I ) b Ta = 0 g) bTa T = Il.d . ( I x 3)( 1 x3)

o

J 10

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

2. Fuhrcn Sic filr d ie nachfolgcndcu Matrizcn d ie angcgcbcn cn Matrixopc rationc n durch. - 1

A=

[

- 11 21 ] - 1 3 4 3

A +8 = ? A8 = ? 8A = ? bA = ?

n=

A +a = ? Aa = ? aA = ? bll = ?

~]

1 [ - 1 3 - 1 A +b = ? Ab = ? a U = '? ba e. ?

a~ [ - 1

2 )

aT + b = '? Bb = ,? BaT = ? bTa T = ?

a +b = ? Ba = '? ab = ? aTb = '?

Lasung:

[-n

A + Il = nicht definiert

A + a = nicht de finiert

A + b = nicht definien

a + b = nich t dcfinicrt

aT + b ~

All = nicht dcfiniert

Aa = nicht dettr ucn

Ab ~ [

Ub ~ [ _; ]

UA = [

all = nicht dcfinicrt

ab ~

bA = nicht dcfinicrt

bH = nicht dcfinicrt

aTb = nicht dcfinicrt

-n 2

4

-7 7

Ba = nic ht dcfiniert

~]

[21

hTa T = [21 = 2

aA ~ [ 2 4 7 J

HaT = [ _~ ] ha

~

[

-i

- 1

3 - 1

-q -2

3. Puhrcn Sic fur die nachfolgcndcn Matrizcn die ungegcbc ncn Matrixopcrationen durch.

a1 [ 2 lnsung: Nicht dcti nicrt . weil inkomp atible Dimension: ( I x 3)( 2 x I )

b)

[~ ] [ Lasung :

c)

3 ]

X 3X] [ y 3.1'

[ 2 1] [

(2 x 1)( 1 x 2) ~ (2 x 2)

~]

LiislIl1g: Nicht definiert. weil inkom patible Dimension: ( I x 2)(3 x I)

3.1 1 Aufgaben

III

4, Mit folgendc n Matrizcn sind die angegcbcncn O pcraticncn durchzufuhrcn.

a) 3A - 2A h) AB

n

[~

l.sg

nicht dcfinicrt

L~K:

L~K '

.

[4 6 51] 37 23

d) Av

e) A 2

LIX: A 2 = AA nicht de finiert (DimensiollSunvertraglichkeit).

5. Gcge bcn sind fclgcndc Matrizcn mit den angcgcbcncn Dim cnsionen. wohei III A : (m x ll )

1J : (m x p )

-# " # p.

c : (px m)

Bestimmen Slc die Dimension folgender Matrixmulti plikationcn. Zc ichncn Sie zusa tzlic h zu jcdcr Aufgabe das zugeborige Ftllk-Schcma (Sic konncn fur diesen Zweck Zahlenwcrte fur 11I.11 , p verwendcn , z.B. m = 4. II = 6, P = 3). a) A IJ

U i .I·IIIlX:

Nicht dcfinicrt.

h ) A TB

t.osung:

(II x p )

c) IJTA

Ui.~1II1K:

(I' x 11 )

d) A IJT

UiSlfllg :

Nicht de finien .

e) A TB T

o AC g) A Te

h) A Te T

Nicht dctin icrt .

Ui.I·WIX:

Lasung:

Nicht dcflniert. Nicht de tinicrt.

Ui.mIlK: Ui.wl/g:

(II x p )

i) CA

Vi.wllg:

(p x II )

nc en

Ui.I·UIIX:

(Ill

U iSlIlIg:

(p x p )

j) k)

x Ill )

I ) HTe T

Ui.I·WIX:

(p

m ) CTS T

UiSlIlIg:

(1/1 x 1ft)

X

p)

J 12

3 Matr izen und Iincare (Ileichungssystemc

6. Ze igc n Sic. dass die II x n Ei nhcitsmatrix I aus Spa ltencinhcitsvek to rcn (odcr Zc ilcnci nhcit svcktorcn ) ei wic fclgt zusammcngcsc tzt worden kann.

7. Vcrifiziercn Sic die Rcgcln (3 .2 ) auf Scitc 64 fur fo lgcnde Matrizen.

-:]

A= [ ~

B ~ [ 3[

2] 4

UiSIIIl?, :

A+B =[5+1 4+ 3 AT ~ [

5

-8

- 8 + 2 ]~ [ 6 1+4

7

]

(A+ B)T ~ [

6 -6

~]

6 ~ ] BT = [ ~ ; ] AT+BT=[ - 6 ~ ] - 19 7

-8

AB =[ ~

-~

I

(AB)T ~ [

- 19

- 22

l~ ]

8. Sind die folgcndcn Spa lte nmatrizc n (Vcktorcn) linear abhangig odcr unabhnngig?

Lsg: unabh tingig

9. Bcrechncn Sic die Dctcrminamen folgcnd cr Matrizcn .

A ~

[-~ - I

Ldsung:

0 4

2

n

11 =

[ -~ - I

IAI ~ - 3 · 4 · 5 ~ - 60

I - [ 3

nC ~ [

1"1~ 10

Iq ~

2 0 -4 4 5 I 0 2 6 -3 8 9 11 34

-n

3. 11 Aufgabe n

113

10. Bcrcchncn S ie den Ausdruc k IA I· IrA fur folgc ndc Mat rizcn .

a)

A=

[~ -~ ~ _~ ]

Lw : IA I = 1096.

_

4

2

- 5

tr A = O

*

IAI · tr A = O.

4

All/II.: Die -rec henintcnsive- Bcrcchnung von IA I= 1096 ha uen w ir uns sparen kormen . wenn wir vor her tr A enn ittelt hnucn ! Man so llte dcshal b bei Aufgabe nstellu nge n zunuchst die ei nfacher zu bercchncndcn Teiluusdruckc auswertcn. um zu sc he n, cb darau s vicllci cht nicht nG tzlichc Sch lullfo lgcr ungcn fur dic Los ung gcz ogc n werden konntcn.

h] A

~

2

[~

~]

3 2 - I 0

-4 2 0

- 5 0

Lsg : 1A 1· lr A =O.weil lA l =O. tr A = -4

II . Bcrechncn S ic dic Dctc rm inante dcr angcgcbcncn Mutrizen.

al

A ~

-4 0

1

3 0.5 - I

o o

])

4

o 4

1 0

1

1 2 3 2 6

])

])

bl

5

0

"~

0

3 1 - I 0 4

1 0 0 0 0

-4 0 1 3 4 - 2 0 ])

o

2 2

1 1

])

])

Lasung:

a)

IAI =

O. wei l die 2. und 5. Zcilc linea r abha ng ig sind.

h) Dic Laplacc-Entwic klung der Dctcrm inuntc nach dcr 5. Zei le liefert sotort IB I = O. 12. Berec hncn Sie die Detcr minante dcr Matrix A. indent A in die obere Drciccksmatrix A" tra nsformi crt wird . t.asun g:

[

~ -: ~ : ] I

2 2

2

- I

I

t 2

AO= [ ])I

-])~

o

])

=>

~

- 0.2

])

", I ~W I ~ 1 · 5 · ( - ]) . 2 ) · 4 ~ - 4

13. Ubcr prttfcn Sic mil den angegcbcncn Matrizcn die nac hfolgcude n Determin untenrege ln.

al IA"I'" IAI·I" I bl IA"I

,

e,

I" AI 4

A~ [ - I

2 1

1 - I

]

"~ [

- I - I -I 1 - I - I 1 - I - I

]

J 14

3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc

Losung:

[

a) A U =

-7 -3 -5 - 1 1 1 - 1 -3 1

]

IAIlI ~ - 48

-2 -3 - 6 0 - 1 -2 -4 - 1

]

IIlAI ~ - 48

[ -4

b) HA =

I AI ~

12

14. Bcrcchnen Sic die Dctc rmina ntc des Matrixprodukts AB. a)

A= [ -

~ ~ -~ ]

3 4

n = [ ~ -~ ~ ]

2

6

3

4

Wir bcrechncn d ie Dctcmuname unrcr Bcachtung dcr Regel

lii slIlI g :

"' I ~ 2(4 +

!ABI =

!Al iB I.

16) + 1(-1 2 + 2) +3 (- 4- 6) ~ 40 - 10 - 30 ~ 0

WeillA l = 0, eriibrigt cs sich IB I zu bcrcchncn und wir haben : ", BI ~ O ' I B I ~ 0

~ ~ ~

0] o 3 2 3 o - 2 - I 0 - 1

b) A = [ -

B = [ 010 4 0 0

0 0

-94-6 12] 2 2

0

L sg: IAB j = 4 8

- I

IS. Ubcrprttfe n Sie d ie Regeln 11 und 12 auf Seitc 92 fur folgcnde Werte .

16. Fur wclchc wenc von (I ist das nachfolgcndc Glcichungssystem nicht oder nicht cin dcutig losbar? Loscn S ic Glcichungssystcm fllr (I = I.

[ -~ ~~ -~ ] [ ;; ] ~ [ -;] o

-5

1

x~

4

L~K :

(I

=

±4

x=

0,2 ]

[

- 0,6

1,0

17. A sci eine Il x Il Matrix. wobci cine Ze ilc. sagen wir die r-tc Zeile, cine Nullzeile iSI (aile Elem ente in diescr Zcilc sind Null). Zcigen Sie mit Hilfe ocr Defi nition (3.22a) auf Scire 84. dass A ci ne linear abhangigc Matrix ist.

3.11 Aufgaben

115

18. Bcsti rnmc n Sie mit Hilfe von Dctcrrni nantcn. oh folgendc Matrizc n linear abhangig oder unabhlingig sind.

a)

A

h) B

c)

d)

C

3

~[~

5 8

-;] II]

~ ~

3 5

~[~

3 5 12 8 20

[

8

3 5

D~ [ ~

8

LI'g: Linear unab ha nglg . wei! IAI f- 0

-!J

LW Linear abhiingig. wcil IBj = 0

LW Linear unab hang ig, wei!

ICl f- 0

Lsg: Linear abha nglg. wei! IDI = 0

11 ] 12 23

19. Loscn Sic Iclgcndc Hncare Gleichungssystcmc mit Hilfc dcr GauB-Elimination.

a)

[ -

~

;

1 - 1

9. 1 3.4 [

4.8

2.5

2.2

1.3

9. 1 LW [

c)

[ - :

- I I

~

]

[

]

1

tl

LW [ ~ I~ h)

[ ~; ~ -~

: ]

1

'2~ ][;i] ~ [ - I~~ ] 0.8 ]

- 1.3 II 3.4

=> x =

[

0.75]

- 0,75 - 0.50

[ :: ] ~ [ ;~ ] 50

X3

0.8 ]

0.7 1 - 1,72 o 2.07

[ X2 X' ] = [ ~ 0 .04 38 ] X3

=> x=

4 0 .8 4

- 15.49 ] 47 .99 [ 19 .72

-~ =: : ] [ :; ] -[ -~]

- I - I

1 1 - I 2

1 2

.t)

x -\

-: =~ ~ ] [:; ]~ [.:] o o

-4 0

6

X3

0

1

X-\

1

=>

x ~ I~] [

1.5

1

J 16

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

20. Loscn Sie das folgcndc linearc Gleichu ngssystem mit Hilfe dcr Cra mer-Rege l.

[ :~ - I

-~6 ]

1

[;;]~ [~ ] XJ

x=

LW:

[ -~,~~ ] 0 ,37

3

21. Kormcn Sic die Glcic hung (3.37) au f Seitc 93 aus dcr Crumcr-Reget hcrlcitc n?

22. Berechnen Sie die Transpomerte und Inverse der Matrix A. A

~[

1 2] 1

- ;

- I 3

- I - I

L~?,: AT =

~

[

4 - 0.70

3 - I

- 1.30

1

0. 80

0. 20 - 0.20 0. 20

0.30 ]

0.70 - 0.20

23. Gegeben sind die Matrizen

A=

4

[

- I

o

- I 8 - I

0 ] - 1 4

U=

0.258 0.033 0.008 ] 0.033 0,1 33 0.033 [ 0.008 0.033 0.258

a ) Zc igen Sic. dass n die Inverse von A ist. indem Sic des Matrixprodukt A n bildcn. b) Welches Resultat Iiefert die Matrixmultiplikation B A ?

24. Inveru crcn Sic fblgcndc Marnzcn mit Hilfc dcr GauB-Eliminat ion. L I'g: A - I =

L \'?':

n- I =

0.667

- 3,333 [ 2,333

[

0.676 - 0.206

0. 147

0.333 0,333 - 0.333 - 0.206 0.324 - 0.088

- 0.500 ] 1.000

- 0.500 0. 147 ] - 0.088 0.206

3. 11 Aufgabe n

117

25. Ubcrprufcn Sic d ic Rcgcln dcr Tabc1Jc 3.7 auf Sene 97 mit folgcndcn Wertcn.

A= [

-2]

_~

8

B

~

[

2-2]

- I

k =3

4

LiislIllg :

kA =

[ 6-6] - 12

6

- 16

24

- 12 ]

40

26. Bcrcchncn Sic die Inverse der angegcbencn Matri x A. Kontrollic rcn Sic Ihr Brgcbms .

A ~

[r

1 0 0

n

Koutrolle: AA ~ I

L sg: A ~ I =

1 0 0

[r ~ ]

1 0 0

[r ~ ][ r

J. I

1 0 0

n n ~

[~

0 1 0

/

27. Ze igen Sic. dass die angegebcncn Matrizen orthogonal sind.

aJ

A~ [ ~

hi 11 =

0

o - sinx sinx cosx sinx - s i n ~ cosx 0 cos r

[ "'"

]

n

01 C

28. Ermiutel n das Ergebnis folgcndcr Matrix-Au sdriickc . a] AA - 1A - 1(A - 1j - 1 = ?

L I'!:: I

b) ( B B I B ~I B - I B) - 1 = '!

LI'g:

B~ l

~

[

- I

13

2

2

13

1

2

2

j

J l!l

3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc

29. Loscn Sic folgcnde Gleichungcn zunuchst in symbolischcr Schrcibweisc nach A auf. Berechncn Sic unschlicgcnd die Matrix A mit den angegcbencn Zahlcnmatrizc n: und tiberprufcn Sic dann d ie Richti gkcit lhrcr Bcrccbnung. indcm Sic die Zahlcnmarrizcn in die jcweiligc Gle iehung e tnsctzcn (das Ergebnis muss immcr d ie Nullmatrix 0 sein). a)

Lsg: A = C

A +AB - CB -C =O

B~

[

2 51]

- I

c~ [

1 3]

-2 4

Einsetzcn von A , B . C in d ie obigc Glc ichung licfert die Nullmatrix O. / h) (A + AB )T - J _ B T = 0 L\"K: A = I

B ~ [ 21 ] - I

5

,* A~ /~ [ I O ] 0

I

Binsetzen von A , B in d ie obige Gle ichung licfert die Nullmarrix O. / c) (A - 1)T B _ CT = O Lsg: A = C -IBT

B~ [

2 5I]

- I

C~ [ i ~l ] ,* A~ [ _~ ~ ]

Einsctzcn von A , B . C in d ie obige Glcichu ng licfert d ie Nullmatrix O. /

4

Vektorrechnung

4.1

Einfiihrung

Ei nc Gro Be. die durch cine rccllc Zahl ausgcdruckt worden kann. hci sst Skalar. Zahlrcichc physikalischc Groucn sind nur durch ihrcn skoiaren Wen dc fi niert, d.h. sic bcstrzen kcinc Richtung. Bclsptcls wctse sind Ze it, Masse, Lange. Flllcheni nhalt , Tcmpcratur, Encrgic aile ei ndc utig beschriebcn, so fem ihr Zahlcnwert bckannt ist, cine Richtungsinformat ion ist nicht er fordc rlich. Ein Vektor bestcht aus einer skala ren GroGe II l1d ciner Rich tungsinfor mation; oder andcr s ausgedruckt. ei n Vck tor ist d o ge rades Llnlensegmenr mit fe stgelegter Lange und Rlc hrung. Ein Vektor lst erst dUTCh Angabe ihrer Lange und ihrer Richtuog vollsta ndig dcfinicrt. 1m Buch werdcn nur Vcktorcn im 2-d imensionalen bzw. 3-d imc nsionalen Rau m (2D- bzw. 31J-Raum) bchandclt (es gibt aueh Vektorcn im u-dim cnsionulcn Raum. di csc kan n ma n sich allc rdin gs nich t raumlich vorstclfc n). Zur Kcnn zcichnung cines Vck tors wird Ijblichcrwci sc cines folg ender rnathcrnarischcr Sym bolc vcrwcudct. Fcub uchstubc, z.B. a , v . x - Buchstabc mit Pfeil. Z.B. "j7 , - Buchstabc mit untcrc r Tild e. Z.B. ~, l.' .~-

a, x

In dtesem Buch werdcn v cktoren mit Fcnbuchstabcn angegebe n. Mci stens werdcn flir Vektoren Klci nbuchstabcn verwcndct. des ist jcdoc h nicht zwingcnd . In Bild 4. 1 ist dcr Vckto r a vom (dcr Pfeil gibt die Riehtun g des Vekto rs an, niimlic h Punkt P zum Punkt Q defin iert als a = vom Startpunkt P zurn Endpunkt Q ). Die La nge cines v cktors a entspricht der Lange I des

PO

-

Q

a=PQ /r Bild 4. 1: Vcktor a als Liuienscgmcm mit Richrung

znge horigcn Liniensegment s und wird dureh das Symbol ma n o ft auch vom Bet rag cines Vektors):

lal

ausgcd ruckr (srnu Lange sprtcht

I- I ~ IPQI ~ I ~

Frele, gleitende und gebundene vektoren Ein rreter Vektor darf in jcdc gew unschte Rieh tung bclic big pa rallel vcrschobcn werden. und zwar ohnc Vcrfal sehung des mit dcm v cktor verbunde nen physikalischen Prob lems. Die Par-

J 20

4 Vektorrechnung

)'

p 'Q

F -

-

Q

-

-,·.r

Bild 4.2: On svektoreu fur Punktc P und Q

allelverschiebuug wird aueh Translation genannt. Ei n Beispiel fur einen frcicn Vektor ist der momc utan e Rictuungsvektor c ines sich im Raum bewegend en Korpcrs. we il ein solcher Vektor nur die Bcwcgu ngsrichtung bcschreibt , anso nstcn abc r kcin c weit ere physikalisch c Bedeutung bcsitzt. Ein gteue nder vektor ist cine Art freier Vektor, der emlang se iner Wirkung sli nie vcrsc hobcu werden da rf aber ohne Scitwurtsbcwegun g. In der Meeh anik starte r Korpe r diirfen Kraftvektorcn entlang ihrer Wir kungslinic bclic big vcrschobcn we rdcn. Aueh d ie sog , Stabstatik im Bau inge nicurwcscn rnacht von g lcitcndc n Vcktorcn imc nsiven Gcbrauch. wci l da s Glcichgcwicht des sog. statise h bestimmten Sys tems sich nic ht and ert , wenn ein Kraftvektor cntlang seiner Wirkungslinie verschobe n wird . Ein geh un de ner Vektor ist vollko mmen fixicrt und darf ube rhaupt nicb t vcr schob cn werden . Die Fruge. ob ein Vcktor als Freier od cr al s gcbundc nc r Vektor angcsc hc n werden soli. ist cigcmlic h kcinc rnathcmutischc Fra gc im cngc rcn Sin nc. son dc rn hangt von dcr physik alischcn Aufgabe nstcllung ab. lleis piel 4. 1: Beispiele fur ge bundene Vektore n: Or tsvek tor (d.h. Position svektor) ci nes raumlichcn Punktcs in Bczug auf den Urspru ng des Koordi narensysrcm s. vg l. Bild 4.2. Kr a ftv ekt or, dcr au f einen elastisch de for mierbarcn Festkorper (elastisch es Kon tinuum) einwirkt. Der auf eiucn deformierbare n Kerper einwirkcnde Kraft vektor darf nicht ohne weite res ver schobcn worden. weiI so nst die Span nungsve rteilung im Kerpe r sic h under n wurdc. Bc ispicl sweis c ist es von erhehliche r Bedeutung. ob cine hohc Einzcllast (=Kraftvektor) von oben oder von untcn her in eine Dcckcn platt c cin gcle itet wi rd. Es ist cin groBcr Untcrsct ncd. ob cin schwcrcr Panz crschrunk einfuch au f der Dcck c aufgcstcllt od cr von untcn m tuels Ankcrdu bcl an dcr Dcckc hangcnd bcfcsug t wird. 1m lctztcrcn Fa ll warcn sich crlich Detailu bc rlcgun gcn ubcr d ie kcnstruktivc Ausbildun g dcr Verankerun g notwen dig. 1m crs terc n Fall braucht man i.d.R. nicht s wcitcr zu tun.

4.2 Lineare Opcrarioncu von vekroren

121

Nullvekter O. Jeder Vektor m it dcr La nge 0 ist em Nullvektor. Die Rich tung cines N ullvck tors kan n willklirlic h gcwa hlt wcrdc n. G lcich heit von ve ktoren. Wen n zwei Vektoren a und b be ide die gleic hc Lange und Rich tung haben (be i gcbu ndenen Vektoren musscn zusatzlic h die A nfangs - bzw . Endpunkte bc idcr Vektorc n ideruisch scin). dan n sind sie g leich. Die Glcichhci t wi rd forma l durch die Bezichung a = b uusged rtlckt. Einheitsvektor e. Ei n Vektor m it der Lunge l ist eiu Einheitsve ktor (naturlich handel t cs sic h be i lwei Einhe itsvc ktoren e r und e: mit glcichcr Lange aber urucrschicdlichcr Rich tung urn zwei vcrschiedc nc Vektorc n). Die Rolle von Vektoren in de r M echan ik Die klussischc Newtonsche Mechanik: ist ci ne vektorieile Mechanik, d.h. einwirkcndc Krane auf eine n Kerper und dessert Bcwegungsgrobcn (verschicbung. Gcschwin di gkc u. Beschlcunigu ng) sind allc samt vc krcrcn. Man spricht dcsbalb vom Kraftvektor, vcrsc hicb ungsvc ktor. Gcschwind igkeitsvektor usw. Ocr Vektorrec hnung kom mt dahcr in dcr Mechan ik cine bcdcutendc Roll e zu. Ei ncs der drc i Ncwtonschcn Gesctze pos rutic rt. dass zwischen dc tn einwi rkcndcn Kraf'tvektor F und und dem resuhierendc n Bescbleunlgungsvektor a cines Korpers folgendc Beziehung bestcht:

F a= -

m

bzw.

F = ma

m : Masse des K orpers (S kalar)

Anmerkung: Die se New tonsche Bezieh ung kann mit mathcm atischen Mct hod en oder m it Logik alleine nicht hergeleitet werden. Wir ko rmcn als o nicht wissenschaftlic h luckenlos »e rkllircn« warum di e New tonschcn Gcsctze gilltig sind. Langzeit erfahrun g und sorg faltig d urchgefuhrtc versuc hc bcstatigcn abe r ihre Gultigkcit: Mit Hilfe dieser »Gcsctzc- ktin ncn w ir (rnakrojmccha nisc hc Vorgange quulitat iv und quuntituuv widcrspruch sfrci und im Einklang m it Mcssungc n bcschreihcn.

4.2

Linea re Ope rationen von Vektoren

l\1ultiplikation cines Vektors mit einem Skalar vc rschiedc nc Bcispicl c fur die Skalar-Vektor-Mu ltiplikatio n sind in Bi ld 4.3 gcze igt. Die Mulliplikation ci nes Vektors a mit dem Skalar c dehn t (oder staucht) den Vektor a um den Faktor c. Ocr Vektor dehnt sich . wenn r- > l ist; flir c < I wi rd er ges tauc ht. Dus vorzetchcn von c bcsnmnu die Ric htung des ncucn Vcktors: Ftlr c > 0 wird d ie aile Rich rung bc ibe halte n. fur c < 0 kch rt sic h die Zc ige rich tung des Vcktors urn. Fur c = - I nndert sich die Lange vo n a zwa r nicht. dcr neue vc ktor zeig t aber ge nau in die entgegengesetzte Rich tung (Ric htungsurnkehr). Durch M ulti plik atio n c ines gc bu ndcnc n Vcktor s (z .B. des O rtsvcktor s r mit Anfangspunkt P, Endpunk t Q und der La nge L) mil dcr n Ska lar c cntstcht etn ncu cr vcktor cr. dcr den gre tche n Anfangsp unkt P wie dcr Vektor r abc r cinc n andc ren Endpunkt tL bcs itzt. weil sic h sei ne Lange auf den Wert cL gea nclen hal.

J 22

4 Vektorrechnung

II_ I b:. 2 a

a: 2a

c: - a

Bild 4 .3: MultipJikatiun ci nes Vekrors mit em ern S kalar

Addition un d Subtraktion \'0 11 Vektoren Die Addition von zwe i Vektorcn a und b licfcrt als Ergcbnis cincn neucn Vcktor c , dcr • gcomc trisch bctruchtct- dcm Diagonulcn des Parallclogramms cntspricht. welch es von den Vekrorcn a und b aufgespan nt wird.

c

-e a

-s b

Anschaulicher uls d ie Parallelo grammkonstruktiou ist das sequentiette Aneinanderfugen der zu addierenden v ckroren. vgl. Bild 4.4 a. FUr die Addition a + b wird hierbei der Anfangspunkt Ph de s zwciten Vektors b auf den Endp unkt Q" des ers ren v ekto rs a gesetzt. Dcr sich vom Punkt P" zurn Punkt QI) erstreckende Vektor ist der resuhiercnde Vektor c. Auf die se Weise kunn man sehr leicht auch rnehr als zwei v ckroren addiere n. Die Re ihenfo lge der Addition spielt hierbei keine Rolle, d .h. es ist gleichgtiltig. ob man den Vektor b zum Vektor a hinzu addiert ( = a + b), oder den Vektor 0 xum Vektor b (= b + 0 ). vgl. Bild 4.4 b. Die Subtraktlon vo n zwci Vektoren kann als ci ne Addit ion mit Richlungsumkehr aufgefasst werden. Beispiclswcise lasst sich die Subtruktion 0 - b als Add ition de s Vektors 0 mit dcm Vektor - b interp reueren. vgl. Bild 4.4 c:

c = a - b = a + (- b )

Q"~Q" V

b +O

P,

a: c = a + b

b:c =b + a Hild 4.4 : A ddition und Subteuktion

c: c = a - b VO Il

Vck tnrcn

43 Lincare Abhangigkeit von vekroren

Linearkombinatam

H ill

123

Vektoren

Die Linearkombination von mehreren Vek toren a I, a r. as. . . . .a; ist wicderurn ei n Vek tor und du rch folgcndc Addition dcfinic rt: ( C I ' C 2 , C) •.• . :

skalare Koeffizient en )

(4. 1)

FUr lineare Vektorope rationc n gelten die Rechenregeln der Tabelle 4 .1. Tabcllc 4. J: Regeln fur d ie Lincarkomhinano n von vcktorcn

a+b (a + b)+ c (q + ('2) a

(' (a + b) CI

(C2 a)

a +" (- I) ' a a + (-a )

4.3

= = = = = = =

b +a a + (b +c ) cl a +C2a c a +c b (C I

'(2)a

a -a

o

Lineare Ahha ngigkeit von Vektoren

Die Hncare Abhnng lgkeit von Vektorc n kann analog zu de n Ausflihru ngen in Absc hnitt 3.7 auf Seite 83 beh andelt werde n. Die Vek torcn al , a2. · ' , an heiacn linear ebha n glg. wenn irgend ein belieb iger Vektor a; unter Ihnen aus de n rcstlichen (n - I ) Vektore n du rch c ine beheblge Li ncarkornhlnat ion mit den skala rcn Koeffizien ten c, zusammengesetzt werden kann: d.h . a; = qa l + c2 a 2+ " ' + Cj_1Q;_I + Ci+la;+I + " , + c"a"

(4 .2)

Falls kci n cin ziger untcr den /I v ckrorcn durch cine Lincarkom bination aus den iibrigen zusam mcngesctzt werden kunn. heisson di e vc krore n al . a2, · · ·a" linea r un a bh a ngig . Eine andere -g tcic hwertige- Definition der linearen Unabhangi gkeit ist folgende: Die v ektorcn a l .a2. · · ' a" hcibcn dan n, und nur dann. linea r una bh angig. wenn zur ErfLi llung dcr G lcic hung

aile Koe ffizicntcn cr , C2, . . . ,C" zwan gslauf ig glcicb Null scin miissen. Wird dagcgcn dicsc Glci chung crfullr. obwo hl nich t aile Koe f fi zicnt cn c; Nu ll sind, werdcn die Vcktorc n a l . a2. . . . all als lin ea r a bhangig bczeichn cr. Aus dic scr Definition folgt . dass wcnn in der Menge der Vektoren a t ,a2. ·· ·a" der Nu llvcktor o cnrha ucn ist. diose Vektoren zwa ngslau fig linear abhangig se in musscn. Man stcht das deutlieh

J 24

4 Vektorrechnung

an folge ndcr Lincurkom bin ation:

Cl a l + q a2+·· ·+ Ci O+ · · ·+ c" an = 0

(0 )

Dam it die G lcichung (a) crfullt ist. mussc n alle Koeffizicnten (mit Aus nahme von t'; ) glcich Null sci n. FUr Ci = k i- 0 ware abcr d ie G leic hung im mer noc h crfullt. weiI c, mit dem Nullvektor 0 multipliziert wird:

Da zur ErfLi llung diese r G leich ung nicht aile Koeffizienten gleich Null sein musscn . ist die Vck rormenge al ,a2,' .. . 0 · . . ,an linear abhnnglg . FUr d ie Iineare Abba ngigkeit vo n Vektore n ge lte n fo lgen dc Sonderfalle: Zwei parattete Vcktoren im 2D- bz w. 3D- Ra um sind stcts linear abhang ig . Drei Vcktoren in ei ner Ebeue sind immcr da nn li near abhnng ig, wen n sic aile drei durch de n selbe n Punkt gehen . wei! sich ein er von ihnen stcts als Li nearkom bination der beiden ande ren Vektore n ausdrucken lasst, z.B. 0 3 = ('I 0 1 + C2 0 2.

4.4

0, OJ

3D-Vekto r in Matrixschreibweise

In Bild 4 .5 ist c in Vcktor a irn 3 0~ Ra um dargestel lt, dcr ve rn A nfangs pun kt P = (x p; y p; zp) zu m End punkt Q = (x Q: YQ;zQ) vcrlauft. Die zu r .r-Achsc parallele Komp oncntc des Vektors a so li mit a t . die zur y-Ac hse parullclc Kom poncntc mil ll y und d ie zur z-Achsc paralle1c Kom poncnte mit u~ bczeichnet werdcn . )

Q

a

Bild 4.5: Kc mponenten c ines 3D-Vcktors

4.4 JD-Vektnr in Matrixschreibweisc

125

In M arrixsch rcib weis c lautet der Vektor a :

a,, = xQ -Xp

Qy =YQ - YP

(4.3 )

a : = ZQ - Zp

lJeis pi el 4.2: Ge geben sind im 3D- Ra um d ie beiden Punkte P = (4: - 3: - 2) und Q = (6 : 2: I ). Gesucht ist der Vektor a vom Pu nkt P zum Punkt Q in Matri xschreibweis e .

6- 4 2 - (-3 ) 1- (- 2) Anmerkungen: 1. Bs ist nieht zwi ngcnd. eine n Vektor unbcdingt in Spaltc nform. d .h. uls Spaltc nvektor, anzugcbcn. Man kann aue h eine n Zei lenvektor verwe nden . Prinzipiell spiel t es ketne Roll e, ob die v ekrorkom pon emen in Spaltcn- odcr Zeilenfor m angcgcbcn sind . Dcr obigc Vektor a kann dah er aueh als Zeilenvektor deli nien werden:

a= [ (/x (/." {/: ] =

[ (X2- XI) (Y2- Yl)

(Z2-Z I) ]

2. Nac h den Regeln der Matrixrechnung ware cine solche grouzugige Betrachtungsweise an sic h nieht mi.igli ch gewcscn. Die vcktorrechn ung crla ubt dies, weil Vcktorproduktc (Skala rprod ukt, Krcu zprod ukt usw.] nach eigc ne n Rcgcln definiert wer dcn. Ei nc strcngc Oricnticru ng nac h dcr Regcln dcr Matri xrcchn ung ist dcshalb nicht zw ingc nd.

Sond erfall: vektor in der .ev-Ebene A ile Beziehun gen Iiir 3D-Vektorcn ge lte n sirmgcmnt; auc h fur Vek toren in dcr .rv-Ebe nc. wenn d ie z-Kompo ncmc gleich Null gcsc tzt wi rd. d.h.

4.4, I

Lan~e

Q:

= O.

does Vektors

Die Lange a cines Vektors a (auc h Betrag des Vcktor s gcnannt) im 3D-Raum lasst sic h m il Hilfe des Pythagor as-Satzcs bc rcchncn: (4.4)

Falls der vc ktor in dcr .rj-Ebe ne liegt {lm 2D- Ra um ist (/: = 0), ergibt sic h die Lange zu: (4.5)

J 26

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.3: Ein vcktor a vc r tau n vo m Sranpunk t P = ( - I; 1; 4 ) LU IIl End punkr Q = ( I; 5; 3 ). Gcsucht ist der Vektor in Matrixschrcib wcisc und se ine Lange a,

Reispiel 4.4 : Von cincm in dcr .rj-Ebcnc licgcndcn Vcktor a sci seine Lange a und der Winkel a zwisc hen dcr .r-Achsc und a bckannt : {/ = 3. a = 30". Gesucht ist d ie Matri xsch reibweise von a. Die Kompone nten des Vektors a ergeben sich uus elcmcmercr Trigo nom etric :

y

a.I = a - cos 30 = 2.6

a

(/" = a ' sin30 = 1,5 :=';>

a-

[(I,.a,- ]-

[2,6]

a = 30

1,5

'"

.r

.I\I ulti plikat ion eines vektors mit eine m Ska la" Ein Vcktor in Matri xsch reibweise gema13 (4 .3) wird mit cinem Skalar c wic folgt multiplizien:

a ~ [ :: ] ll~

,'a ~ c [:: ] ~ [ : :: ] u:

c ":

Rd spiel 4.5: Dcr Vektor a des Beispiels 4 .3 wird mit c = 2 muhipliziert. Gcsucht ist die Lange des neuen v ckto rs b = 2a.

Ibl ~ 4.58

Ibl ~ / 4' +8' + (- 2)' ~ 9 , 1 6

(4,6 )

4.5 3D-Vektor in dcr Schreibweise mit Basisvektoren

127

G leic h heit von zwei Vekfuren Zwei vekrorcn a und b sind gleich, wc nn aile ihre Kompo nent en gleich sind:

Add it ion Win zwei v ektoren Zwei Vek toren werden addic rt, indcm ihre Kompo ncntcn alge braisc h add iert werde n.

(4 .7 )

Heisp ieJ 4,6: Mit den Vektor en a = [

~

] und b

~[~]

crhalt ma n fclgc ndc Opemtioncn

n -a ~ [ ~n 7a ~ [2 a+b ~ 4.5

[n

3 D ~ Vektor

2(a - b )

~ 2 =~ ] [ -~~ ] [

in de r Schreibweise mit Bas isvekto ren

Bei der Bchandlu ng mcchanischcr Aufgabe n crweist sic h die in diesem Abschniu vorgcs tel lte Darstcllungsart cines Vektors mit Hilfc dcr Baxisvektoren des kartcsischcn 31J-Koord inatcnsyste ms als sc hr vortcilhaft. weiI sic es ges tattct. mit den Vck tor kcmponcmcn so umzugehcn als warc n sic gcwoh nlichc mathcrnatischc Sy mbole . Ba stsv ek to ren i, j , k Das rechtshamligc kartcsischc Koordi natc nsystcm im 3D-Raum bcstefu aus drc i zueinundc r or tbogonalcn (scnkrccht srchcndcn) Basisve ktoren i , j , k: (s. Bild 4.6). Dcr Basisvcktor i licgt auf dcr .r-Ac hsc und zcigt in positive .r-Richtu ng, j und k: licgcn j cwc ils auf dcr y- bzw. z-Achsc und zc igcn in dcrcn po sitive Richtungen. Jcdcr dic scr Basisvektorcn ist ein Ein hcits vektor, d .h. bcsitzt die Lange I. In Ma trix schrcib wcisc lauren d ie Basisvcktorcn:

(4 .8 )

J 2M

4 Vektorrechnung

)'

Ii i = a

Ij l ~ I

Ikl =

j

I

I

.r

k

Bild 4.6: Basisvektoren t, i .k

Zeilenfor m:

i= [ I

0

0

oI

1

vektordarstellung mit den Bastsvektoren i, i , k Ein Vektor

0

kann auc h als Linearkombinauo n von Basisvckto ren dargcstcllt wer dcn: (4 .9 )

o = aJ;i + a\,j + a~k

Ueispie I4.7: Gege ben sind zwci vektcrc n in Matri xschreib weise:

Die Darstellung dieser Vektoren mit Busisvektorcn i, i - k lautct:

a = 4i + Oj +lk = 4i +k

b = 2 i + 5 j + 3k

Einige exemplarischc Lincarkombinationcn von 0 und b sind :

- 0 = - (4 i + k ) = - 4i- k 70 = 7 · (4 i + k) = 28 i + 7k a +b = (4 i + k) + (2 i+ 5 j + 3 k) = 6 i +5 j +4 k ~

'--------v-----

"

b

2(a - b ) = 2[(4 1+ k ) - (21+ S j+ 3kl j = 2(21- Sj - 21) = 4 1- IOj - 4 k

4.6 Skulurprodukt

4.6

129

Skalarpred ukt

Das Stularprodula von zwci Vektoren 0 und b wird durch » 0' b« gekcnnzcichnct: wic dcr Name bcrcits Z UlU Ausdruck bringt. ist es cin Skalar (d.h . cinc Zahl) und dcfinicrt als:

z-dt mensloneler Fall o = a~i + a).j

bzw.

b = b,i + h.l,j

10' b = a~ h. + a)' by I

Skatorproduk t flir 2D· Vektoren a und b

1

(4.10)

3-dimensiunaler Fall

a, ] a = [ ~~.

b=

b., ]

[

a = axi + a_,.j + a~k

bzw,

by

b = b.,i + b).j + b;:;k

b~

Ska/arpmdukl flir 3D-Vektoren a und b

(4. 11)

In Tabellc 4.2 sind einigc Rechcnegeln fur das Skalarprodukt angegebcn, Tabelle 4.2; Regel" fur Skalarprodukr von l wei Vcktoren =

b.a

a · (b + c )

=

a -b s:a .c

(a + b) ·c

=

o ·c + b·c

(I.: o s-b

=

I.:(a ·bj

a- b

(k a}·(b+ c)

(Disrriburivitatj

I.:(o ·b )+k(a ·c ) (k l 0 ) ·c+ (k2b)· C = k l (0 .c) +k2 (b ' c )

(kl a + k2 b) ·C (a + b)·(c+ d) (a + b + c ) · (d + e + f)

(Komnunarivirarj

o ·c + o ·d +b ·c +b ·d

=

Schreibwelse ohne Sk alarpu nkt

o ·d + o· e + 0' / + b ·d + b· e + b -j + c· d + c ' e+ c -j

».'l<

Das Skalarpr odukt von lw ei Vcktorcn wird durch d ie Angabc c ines Punktes ».« kcnntlich gemacht. Dcsbalb darf man auch d ie belden Spa{lenveklorcn a und b mucinandcr mulup lizicrcn. was nach den Rcgeln der Matri xrcchn ung cigcmlich nicht gchcn wiirde (d ie Dimcnsioncn von a und b warcn fu r cine Matri xmultiplikation inko mpatibcl gewcscnj. Gru ndsatzlic h kann das Ska larprodukt abcr auch ohne Angabc des Skalarpunktes » . « formuliert worden . cs 11111.1".1" aber da nn

J 30

4 Vektorrechnung

dcr Spaltcnvektor a (bzw. b ) als Zeilenvekto r geschricben, d.h. transponicn. werden:

a · b := aTb =

[ (1..

In dcr Sehreibweise ohne den Punkl » .« ist die Rcihcnfclgc dcr multiplizierten Vektoren und ihrcr Transponterrcn wichtig. \Venn man anstcllc von aT b {oder b T a ) den Ausdruck ab T (oder ba T) verwendcn wtlrde, ware das Ergebnis kein Skular, sondcrn eine 3 x 3 Matrix scin! Geo mctr ische Int erpretati on des Skala rp rod ukts In Bild 4.7 sind zwei in der xy-Ebene Iiegende Vektoren a und b dargestettr. die miteinander den Winkel a einschliellcn. Der Vektor a besitzt die Lange (/ und schliel3t mil der x-Achse den Winkel rein. der Vektor b bcsitzt bcsitzt die Lange b und schliel3t den Winkel f3 ein. Mit den

y

x BiM 4.7: Vektoren a und b in der .ry-Ebene

Angaben in Bild 4.7 lassen sich fclgcndc c temcnrare Beziehungen anschrcibcn: b)' sin J3 = h

cos/3 =b, h

.

II,.

Slllr = ---'-a

a, a

eosr = -

(4.12)

Mil Hilfe des Addiuon stheorcms flir die Kosinu sfunktion (s. Nr. 25 auf Scitc 720) und dcrobigcn Formcln lasst sich da nn folgender Ausdruek herleiten: . b.. a " b l , a )' cos a = cos(J3 - r ) = cos f3 cos r + sin f3 sllly = - - + --'- --'- = b a b a

Unter Beachtung von (4.10) sowie (/ =

(/. bx

+ a .I ' b.l ,

(I /J

lal, h = Ihl ist die obige Bcziehung idcntisch mit (4.13)

4.6 Skulurprodukt

13J

Nac h Umformung rcsul ticrt da ruus d ie bekannte Defi nition fur das Skalar prod ukt:

la.b= [al ibi cos a I

(4.14)

Skalorprodukt

Dcr von den Vcktorcn a und b ci ngcsc hlovsenc Winkel

a ·b

a = arccos Dcr Au sdruck

a crgibt sic h aus (4. 13);1 (4. 15)

~

Ibl cos a

auf dcr rcchtcn Scitc von (4.14) cntspricht dcr Projcktion des Vcktors

b auf dcm Vcktor a (gcnauso gut kon ntc man narurl ich auc h den Ausdruck lal cos a wiihlen , dcr nicht s andc rcs ist als die Proj cktion des vcktors a auf dcm Vektor b). Dcsbalb kann das Skalarprod ukt auch intcrpretiert werdcn als die Mu ltiplikation dcr Langen von zwei v cktorcn . von dene n der cine auf dem ande re n proj eziert wird. Das Vorzeichen des Skala rproduktes bangr vo n dcr relativcn O rientierung der be ide n ve ktorcn zueinand er ab (s. Bild 4. 8);

i-. l'\z>.,

b a < 'iU"

a a; o· b >O

a

a

b; o ·b = O

c;o· b < O

•

Bild 4.8: Skalarprodu kt

>0 a -b =

{

: die Projcktion von b au f a zcig t in die gleiche Richt ung wic a

= 0 : b sreht senkrecln zu a (a .l b )

<0

: die Proj ektio n von b au f a zcig t in die entgegeng esetr je Richtung wie a

UeispieJ 4,8 : Fur die Lange des Vck tors a kann ci ne Bezich ung hcrgclcitct worde n. die auf dcm Skularprodukt hc ruht. Zu di csem Z wcck wird a mit sic h sclbst skala r-multipliz iert : a -a =

2 1al lal -.cos O = lal

=,

Lange des Vektors a (4.16)

Der aus (4. 15) berechnete Winkel a: ivt leider nicht lmmer eindcutig :
J 32

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.9; Gc suclu sind folgende Skala rprodukte der kartcsischcn Basis vektorcn j,) und k.

i-i = ? j -L = ? k -L = ?

j .) = ? ii =? k: «] = ?

t.k: = ?

j -k: = ? k ·k = ?

j .j = I - I + ()· O+ O· O= I j ·k = I -O+ O· O+ O· I = O ) -) = O· ()+I - I + ()- O= I k ·j = O. I + 0 · 0 + l · () = k -k = O· O+ O· ()+ 1 · 1 = I

t -L » 1· 0 + 0 · 1+ 0 -0 = 0 ) . t = (). I + I · ()+ O-{) = ()

°

j ·k = oo -i- 1 - () + ()- I = k ·j = {) · ()+ {) · I + I -() = O

°

Hd spi d 4. 10:

--

Gesu cht ist das Skalarprodu kt der Vektorcn a = ; + 2)

-

+ 5k

und b = 3; - 2) + k .

a ·b = 3 t -t - 4 j .j + 5 k ·k = 4 =1

=1

= 1

Betspl el 4.11:

a·b ~

Ibl ~ Heispi eI 4. 12:

] · 3+ 2 · (- 2) + 5 · ] ~ 4

J3' +

(_ 2)2 + I'

~ vT4

lal ~ ; 1'+ 2' + 5' ~ J30 cos n

e

4

J30 vT4

= 0. 195

::0}

a = 78.75°

Mec ha nische Arbeit

Einc weitcrc Interpretation des Skalarprodukls is! insbesondere bcim Begriff »Arbcit« in der Mechanik nurzlich. In Physik is! die r ncchanische Arbeit bekanntlich dcfinicrt als Kraf t x Weg. Wir nehme n an, dass F der Kmftvektor auf einen Massen puntk set. und s die Bewegung dic ses Massenpunkte s. Dann is! die von dcr Kraft F auf dem Weg s gcleist etc Arheit W :

W =F -s

4.7 Kreuzprodukt

4.7

133

Kreuzprodukt

Einleitende Hetracbtung in der .ry-Ehene Fur die in Bild 4 .7 auf Sene 130 dargestel lten Vektore n a und b in dcr xy- Ebene kann m il Hilfe der Bezieh ungen (4 .12) und des Additio nstheore ms fu r die Sinusfunktion (s. Nr, 24 auf Se tte 720) fclg cn de r Ausd ruck hergeleitet werde n: . . sm a = sm(JJ ~

=>

y)

. . = sm JJ eosy -smy cos

ax by - a,,·1Jx = a b sin a

d.h .

f

hI' ax a\, h x (lX1J\· - a\.hx = --'--- - - ---'--- - = . . b a a b ah

ax " ." - (/." b,( = lal lb l sin a

Dcr Ausdru ek a , by - ay b< kann m il Hilfe folgen der Oetenn inante aueh als die Lange eines in Rich tung des Bastsvekrors k geriehteten Vektors c aufgefass t werden :

j c=

(1 ,<

a\.

k 0

= Oi+ Oj+ (a ( hy- ay bx) k= (ax b.., - a". b.() k

b.. b" 0 Naeh Zusa mmenfassen der obigen Ergebnisse erhalle n wir: lei = lal lb l sin ex Ocr vckt or c stcht sc nkrec ht sowohl au f dcm Vek tor a als aueh auf b. Das konncn wir so fort ersehen dureh Bildung dcr Skalarproduk te:

a = a ( i+ ay j+ Ok

b = b"i +b.d + Ok

c = OJ +OJ + (ax hy - ay b.•) k:

a -c = a , ·0+ ",_· 0+ 0· (a
d.h. a L c

b . c = b x ' 0 + hy ' 0 + 0 · (a. hy - (lyb,. ) = 0

d.h. b 1. c

Attgemet nc Definition des Kreuzprodukles Die ob ige fur den 2D-Raum gliltige Hcrlcuu ng kan n auc h auf den 3D-Raum vcrallgerncincrt

werdcn. Das Kreuzprodukt (odcr Vektorprod ukt) dcr Vekto rcn a und b isl cin Vcktor c, dcr scnkrccht auf dcr von a und b aufgcspanntcn Ebe ne stcht. Symbolisch wi rd das K rcuzprodukt gcschricbcn als

c=a xb

(4. 17)

Das Bild 4.9 zeig t das Kreu zprod ukt c = a x bin zwei Variante n. In beiden Teilbildcm stc br de r Vek tor c sc nkrccht zu der von Vcktore n a und b aufgcs panntcn Ebc nc (s. aue h das Beispiel 4.36 auf Scitc 154 ), aber die Richtu ng von c ist jcwcils cntgcg cngesc tzt. Mit Hilfc dcr Sc hraubenrege t kunn man sic h die positive Richtung des Krcuzprod uktcs c lcicht bildh aft mechen: Wenn cine rcctusgnngige Schru ubc so gcdreht wird wic die Drch ung des Vcktors a zum Vektor b au f dem kurzcsrmoghch cn Winkel ex , bcwegt sich die Schraubc stcts in die positive Richtung des Krcuzprodukts c.

J 34

4 Vektorrechnung

z

• y

•

• a: c in posinvcrz-Richtung

A.

y

b: c in uegnriver z-Ric htung

Bil d 4.9: Kreuzprod ukt c = a x b

1m 3D-Raum Iasst sich das Krcuzprod ukt c = a x b aus folgender For mel berechn en:

a~

c=a xb=

[ :: ]

[

(/ :

c =a x b =

i j k a,- a,_ a, b.. by b,

odcr

c ~

Cc', ]

c,

i

a,

b,

j k

av

b.,.

ll:

b,

(4.18)

cdcr nach Aus rech nen dcr Dcrcrminantc:

c = (ll,_b: -

tl: b,.) ~

i + (a: b, - a
----...-...c,_

"

+ (a. br -

ti l' b<) ~

k

(4. 19)

Die Komponenten von c cmsprcc hcn also folgcndcn 2-rcihigen Dctcrm inantcn:

ex =

l

a , u, 1 . b,. b:

_ _ I a, {.,. ~ .

b,

a, 1 b:

c: = 1 '" -

b,

"'·1 by

Die Lange (Uelrag) des Krcuzprod ukls c ist glcic h dem Flach eninha lt A des von Vektore n a und b aufgespanntcn Perallelogramms: (4.20)

Fur d ie Berechnung der Lange des Krcuzprod ukts kormcn auc h folgende Beziehungen verwcndct worde n: (4.2 1)

4.7 Kreuzprodukt

Ilel ~ la x b l ~

Jla. allb. b) -

la·b )' I

135

(4.22)

In Tabcl1e 4 .3 sind die wichtig sten Regeln fu r das Kre uzprodukt zusammengestellt. Tabe lle 4.3 : Regeln fii r dus Kreuzprodukt von lwei ve kroren

o <=> allb

a xb axb

- (b x a ) (a x b }+ (ax c )

a x {b + c ) (a + b ) x c

IJeispieI4.13:

(ax c ) + (bx c )

0:

k(a x b )

0:

(ka)x b = a x( kb)

a x {b x c )

0#

(a x b ) x c

(von Sondcrfblfcn ubgesehenj

Kreuzprodukte der Baslsvektoren

Nachfolgcnd sind vcrschicdcne Krcuzprod uktc dcr Basisvektorcn i. j und k: im kurtcsischcn .ryz-Koordinatensystcm angegeben . Das Vorzeichen des j cwciligcn Krcuzproduktes liisSI sich mil Hilfe dcr Schruubenrcgel anschuulich festlege ' j ;,

i xi =O j x i = -k k xi = j

i xj =k j x j =O k xj = - i

i xk = -j j xk =i k xk=O

. k

I

IJeispieI4.14: Gcsucht ist der Flachcuinha h des von den Vcktorcn a und b aufgcspan mcn Parullclogramms.

i

c=a xb=

a.t

bt

j

k:

a." b"

a,

b,

i ~

j

4 0 -2 I

~ i - IOj+4b [ - I~ ] A

~ lei ~

/ " +1- '0)'+4' ~ 10,817

k - I

3

~ i I0 + 1 ) + j ( 2- 1 2 ) +k ( 4 + 0 )

136

4 Vektorrechnung

Hd spid 4.15: Es soli dc r FHicheninhal t des vo n den vektoren a lind b aufg espanntcu Parallelogram ms berechnct worden .

Der Fliicheninhalt A ist g leich dem Bcttug (Lan ge) de s Kre uzprodukts dc r Vektoren a und b : a ) Berechnung nach OJ. (4.2 1)

Der Wink el tcln :

a zwischen a und b HisSI sich m il Hilfe des Skal arp rod uktes crmit-

a -b = 2 ·5 +3 · (- 9) + 4 · 12 = 3 1

cos c

~

a- b

31

lal lbl ~ v'29 . v'23O ~ 0.364 1

=> a = 68,65°

sin a = 0 ,93 14

Dcr Flachcn inhalt A crgibr sich damit zu:

b) Berechnung nach 01. (4.22)

a 'a = 29 A~

4.7. 1

la x bl ~

j(a · a)( b · b) - (a · b)'

~

/ 29. 250

31'

~ 79.30

Kreuzprodukt und Line-a re- A b ha ngi ~kdt von Vektoren

Zw ei v ckrcrcn a und b sind linear aMal/gig . wcnn ibr Krcuzprodukt dcr Nullvcktor 0 ist:

axb= 0

{;}

a und b linear abhnngig

(4.23)

Aus dic scr Definitio n folgt, clas s zwei parallele Vekroren linea r abhiil/gig sind. we iI ihr Kreu zprod ukt wegen a = 0" glcich Null ist.

4.8 Anwendungen in dcr Mcchanik

137

Heispid 4.16: Es ist zu bcstimmcn, ob die folg endc n zwoi Vck toren a und b lin ear abh ilngig sind.

Zwe i Vekto ren sind nur dannlincar abhan gig. wenn ihr Krcuzprodukt gleich dem Nullvekt or 0 ist. Das Kreuzprod ukt von a und b lautet:

a xb =

j k a, a... a z b, by h:

~

i j k 2 3 4 4 6 8

~ ( 24- 24 ) i + ( 1 6- 1 6 ) j + ( 1 2- 1 2 ) k~ O

::} a und b sind linear abhangig.

4.8

Anwendungen in der l\lechanik

In dicscm Abschnitt worden zwe i A nwc ndungsbcispielc des Krcuzproduktcs in dcr tcchnischcn Mcchanik vorgcstcllt.

4.8.1

Moment eln er Kraft

Bild 4.10 zcig t ci ncn Kraftvcktor F . dcr in dcr Blattcbcnc licgt und irn Punkt A angrc ift (dc r Bctrag von F . d.h. die Kraftintenxitllt, ist F ). Das vom Kraftvektor F im Punkt P crze ugte Moment M ist nach Cesctzcn dcr Stan k Moment = Kraf t

x Hebela rm

::} M =F · d

Wcn n dcr Kraftvektor F nicht in der Blattebene licgt. sondcm im 3D-Raum in cine bclicbigc Rich tung zcig t, ist d ie Ermitt lung des Hcbclann s d schon etwas aufwandigcr. In solc hcn Fallen. insbesondere in Cc mpurcrprogrammcn. bictct sich die Bcrcchnung des Moment s mit Hilfe des Krcuzprodu ktcs an. Dcr von eincrn im 3D-Raum licgcndcn Kruftvcktor F in Bczug auf einen

F L r

A

d

Bild 4. 10: Moment der Kraft F urn de n Punkt P

J 31l

4 Vektorrechnung

-

bc licb igen Punkt P erzeugte Mom cntc nvek ror M entspricht dem Kreuzp rodukt de s Streckenve ktors , = PA mit dcm Kraft vektor F • wobc i A dc r Angr iffspunkt von F ist: (4.24)

In der Dcternu nantenschreib weixc des Kreuzp rod ukts ergibt sich :

j M ~

t-

F,

' .\-

k r

F.I"

F;

M=

mit

[,, ]

M.,]

" l:

[ ~:

F=

[

F, ] ~

(4.25)

Fiir die Definition de s Streckcnvektors r ka nn an stel le des Punkts A uuch jedcr andere beliebigc Punkt. dcr auf de r Wirkungslinie vo n F liegt . gewahlt werden. Der Strecken vektor r erstrec kt sich vom Pu nkt P zum Punkt A und hat die La nge L. Dcr Betra g de s Momcnten vektors M entspricht dcm ges uchte n Momcnt M dcr Kraft F in Bezug auf den Pun kt P. IJcispiel 4. 17: Fu r das Moment von F im Punkt P (s. Bi ld 4. 10) crhnh man aus (4.24) und (4.21):

M = IM I = lr xF I =

-- --Irl IFI L

sin a = F Lsin a = Fd

F

d

IJcispiel 4. 18: Das in Bild 4. 10 skizzie rtc Sys tem sc i in de r .ry-E bc nc ci nes rechrsha ndigc n kart esisc hen x)' z-KS gegeben. M it Hilfe des Kreuzprod uktes soli das Moment im Punkt P fiir folge nde Zah lenwcrt e bcrechnet worde n.

707. I N ] F ~ [ 707 .~ ~

A ~ (3.2; 0; 0)

p~

(2; 0; 0)

(Koord inaten in m)

Dcr Srreckcnvektor r erg ibt slch ge maB (4.3 ) au s den Punktkoordinaten :

[

, ~ [3 ~ = ~ ] ~ l.~] 0 -0

F

()

Der Momentenvcktnr crgibt sic h lIUS (4 .24 ): j

M =r xF =

1.2 o 707, 1 707 . 1

z

~p ,·f

k

o

o

~ i ( O- O ) + j

(0 - 0) + k( 1.2 · 707,1 - 0)

x'

4.8 Anwendungen in dcr Mcchanik

M = 848,5 k

(M zeigt aux dcr Blattcbenc bcr aus. wcil in posiuv cr k-Richtung)

Der Betrag des Mom ents ist:

4.8.2

139

M = IMI = 848,5 Nm

Oeschwt nd lgkeusvektor a uf elner rotierenden Scheibe

Das Bild 4. 11 zcig t cine rot icrendc Scheibe. d ie um cine bclicbigc Acb sc im 3 0 ~ Ra u m m il dcr Winkclgcschwin dig kci t to rot icn. Ocr vektor Winkcl gesehwindigk eit se i mi t co bczcic hnct. Mi t r wird de r Strcckenvek tor vo n eine m bclicbigcn Punkt A auf der Linie des Rotarionsvcktor s eo zum Pun kt P bcz eichucr. Der Geschwindi gkeitsvektor v des Punkts P ist tangent ial, d.h. er stcht senkrec ht auf der vo n den Vcktorcn ll) und r au fgespa nnren Ebcne. Es so il bcstimrnt werdcn . wel chc Beziehu ng zw isc he n dem tran slctortsch en Geschwlndigk e trsvektor v eines bcllebigcn Punktes P auf der Scheibe und dem Win kelge schwindigkeitsvektor ll) exis tie rt. Aus der Sch uly

v A

x

z Bild 4. 11 : Bahngcschwindigkcit cines roticrcndcn Punktcs physik ist bcka nnt. class di e Bahngeschwind igkcit cines um cine Drcbachsc ro tic rcnde n Punktcs P glcich ist dem Prod ukt der Winkelgeschwindigkeit to und des Abs tands zwischen de m Punkt P und der Drehachse:

Die Substitution dcr Beziehungen

d = Ir ls in a in die ob ige Bezieh ung licfcrt unrcr Bcrucksic hrigung von (4 .2 1):

lv] = lcol lr l sin a = leo x r l

=> v =co x r

Der tmn slatori schc Geschwin digkeit svektor v cines bclicbigcn Punktes P auf der Sc he ibe entspric ht also de m Kreuzprod ukt von ll) und r :

J40

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.19: Gesuchr ist d ie Buhngcschwindig kcjt \. des Punktes P - (20 ; 50 ; 20 ) em in e inem Kerper. dcr mit der Winkelgeschwindigk eit w = 3 1.42 rud]s um die y-Achse rot iert. Ocr Rotationsgcschwindigk eitsvcktor und der Ortsvekt or lauren:

Ocr Geschwindigkeitsvektor des Punkts P ergibt sich nach (4.26):

i v =lI) xr =

0 20

j k 3 1,42 0 50 20

= 628.4 ;+ Oj - 628.4 k= 628.4 (i - k)

Die Bahngeschwind igkcit v entspricht dem Berrag von v :

\' = [v] = J 628.42 + ( - 628.4)2 = 888,7 em/ see == 8.887 m/ see 4.9

Anwendunge n de r Vektor rech nung in de r ana lytischen Geometrie

Die v ektoralgebra bietet ei nen eleganten w eg. Aufgaben aus dcr analytischen Geometric wesentlic h kompakter und ubersichtlicher zu behande1n als d ies in der klassischcn analytische n Geometric mogllch ist. Nachfolgend werden einige Mcgllchkeiten vorgestellt .

4.9.1

Normfer ung eines Vektors

In tcchnischcn Anwendungen muss immcr wieder cine Norm terung cin es Vektors vorgcnommen worden (man rcdct auc h vorn Normalisierem. Ein Vekto r a wird normicrt. indcm seine Kom ponenten du rch sei ne Lange lal geteilt werden: a,

a' ~ [ a :~' 1~

lal (1.1'

lal a~

lal Der nonnierte Vektor c " ist cin Einhe itsvektor, d.h. seine Lange ist gleich Eins:

(4.27)

4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric

141

Heispi d 4.20: Der Vcktor a

=

[ I: I: 01 so il norm iert wer den.

Lange von a :

(1

=

lal =

Dcr norrniertc Vcktor a' lautet:

I 1.4 14 I 1.4 14

CI,<

a a* =

fly

a

o

{/z

a

4.9.2

=

[

0.7071 ] O,7g 71

la"1 ~ /

0.70712 + 0.70712 + 02 ~ I

1.4 14

Rlcht ungs vektor

Ein Richtungsvektor v kann ein Einhcitsvektor scin odcr abcr auch von beliebiger Lange. Meis tens wird er in Form eines Einheitsve ktors vcrwendct (s. auch Abschnitt 4.9.1 auf Scitc 140) . 1st v kcin Einhcitsv ektor, karin man ihn in cinen solc hcn vcrwandcl n, indcm v norm icrt wird. d.h. indcm man v durch seine Lange Ivl dividicrt.

(4.28)

1'1 Heispi eI4.21: Es soil dcr non n ierte Rich rungsvcktor bestimmt werdcn. der in Richtung des Vekt ors v zeig t.

Der norrnicrte Richtungsvekt or v' erg ibt sich nus GI. (4.28) :

1'1 ~ J( 2)2 + (4)2 + (1'"1 ~

I)'

~ 4.5826

v· =

,

1'1

J 0.43642 + 0.8729' + (- 0.2 182)2 ~ I

=

I

45 826

U]

=

00..48729 364 ]

[ - 0.2182

14 2

4 Vektorrechnung

4.9.3

Veklorgleichung einer Geraden

4.9.3.1

Pun kt r tchtungstor m

Dicse Darsrellungsmogfichkc ir eine r Geraden cntspricht sl nngemau der klussischcn Pu nkrsteig ungsform. Die Steigung wird hier durch einen Richtungsvekt or erfass t.

PI = Cl:l.Yl .z d

a p = (.I'.)"z) y

G

Bild 4 .12: Punktric htungsforrnder Geraden G Gcgcbc n sind in Bild 4 . 12 m it Bczug au f den Koord imucn ursprung O ein Pun kt PI = (XI :.\"1: ZI) und ein Rich tu ngsvektor 0 (0 muss hicr nich t zw angslauflg ein Einhcusvcktor scin). Die Gcradc G ist so dcfinicrt . da ss sic durch den Punk t PI geht und de n Vcktor a cnthalt. G ist volls tand ig bestimmr. wenn man den Ortsvekto r r jedes beliebigen Punktes P auf der Geraden mht els fclgendcr Vektorg tcic hung angcbcn kann:

G: Dcr Vektor

r = rl + &

&

wird durch Skalicru ng des Vcktors a gcwonnc n:

Die Gcradcn glcic bung in Vcktorfo rm lautct:

(4.29 )

,

"

a

Die Posuionskoordin aren des Pun ktes P = (x:)";z) hau gen in die ser Darstellu ngsform sowohl vom Skalieru ngsfaktor A als au ch von de r La nge de s Vektors a abo Der Faktor A Hisst sic h anschaulich al s All zlIhl der Schriue in Rich tung von 0 de uton. we nn lal als Schrittweite verstandc n wird. Dcshulb konntc man a sowohl als Richnmgsvcktor al s auch als Schri ttvektor verstchcn. Hinweis. Man solltc dam n denken. dass in technischcn A nwe ndunge n dcr Mulnplikator A eng mit dcr physikalischcn Bedeutung des Rich tungsvektor s a zus am mc nhangt. Zu rn Beispiel konn tc 0 de r Oesch wl ndl gkeltsvckrcr cine s Ka rpen; scm und A die Ze it ausdrucken. Die in A

4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric

143

Se kunden zurtick gelegte Strec ke wtlrdc dann s = 1). -e ] sein . Wenn man dabei den Vektor a vorhcr normicrt. lasst sich das physikalischc Problem nicht mchr korr ekt erfasxcn. we i I a dann nicht rnchr die tarsachlichc, so ndc m cine verze rrtc Gesch windigkcit bcd cutcn wllrde. Belsplel 4.22: Gcsucht ist d ie Vcktorg teic hung dcr Ocradcn. die durch den Punkt PJ = (3: - 2 : I) gc ht und dcr n Vektor a = [5 2 31parallel ist. Gcsuc ht sind auc h die xyz-Koordinaten des Pun kts P fur A. = 2, wenn lal als Schrittwe ite ge wiihlt wird. Vck torgleic hung dcr Ocradcn:

r~

[ ; ]

~

[ :: ]

+< [:: ]

~ [ -~ ] +< [ ~ ]

Koord inaten des Punkts P fur A. = 2 :

4.9.3.2

Z weip u nkte fo rm

Oegeben sind in Bild 4 .13 mit Bezug auf den Koo rdin atenurspru ng 0 lwei Pu nkte PI = (XI ;Yl; ZI) und P2 = (X2:n :Z2). Durch d ie bc ide n Punkte soll die Gerade G gc he n. Diesc Gerade ist vollstandig hestimmt, wenn der Onsvcktor r = [x y Z1cines bc liebige n Pu nktcs P auf dcr Ocradcn mittel» ciner Vck torgtcic hung ungcgc bcn werdcn karm. FUr den Ort svcktor r sowic den Vektor ?;p;; crhalt man:

~

~

Dcr Vektor PIP kan n aus dem Vektor PI!']. durch Skalierun g gew on ncn werden :

Das Einset zcn die ser Bez ieh ung in den Ausdru ck fur r liefert die Vektorgleichung vo n G:

c , Ir - rl+« r2- rl)1 oder

[:] ~[;:

----Z r

-

ZI rl

] +<

[;;=;:] Z2

(4.30)

- z.

----------r! - r l

Dcr Vektor r: - r l spic lt hicrbci offc nsic htlich die Roll e cines Sc hr iuvc ktors und bestirnrnt die Sch rittweitc . Die Positionskoo rdi natcn des Pu nktcs P = (x:y;;::) hangc n dcsbalb sowohl vom Skulicrungsfakror A. (A nzah l dcr Sc hrine) als auch von dcr Schri u weit c Ir 2 - Ti l abo

144

4 Vektorrechnung

P,

p : (x.y.::)

G

Bild 4.I 3: Zwcipunktefonn dCTGcradcn G

Ueispid 4.23 : Gc suclu ist d ie Vcktorgleichung dcr Geraden G. d ie du rch d ie Punkte PI : ( I; L I) und Pz : (2; 0 ;4) gcht, sowie die Scbriuweite auf dcr Gc radcn . Bestim mcn Sic rem er den normicrten Richt ungsvckto r r i - r l.

r 2 -rl =

[

2- I 0- 1

4- 1

Gcrad cngleich ung:

Schnttweire:

Norrnic rter Richrungsvekror:

[

03015 ]

- 0 ,30 15 0.9045

Ueispi el 4.24: Stellen Sic die Vektorgleichu ng einer Gera den G in der .ry-Ebene auf. die durch die klassischc Bezichung xl 3 + y/ 4 = I gegebe n ist. Zunachst worden zwe i bcliebigc Punktc PI und Pz auf dcr Gcradcn crmiuch. Fur

XI

= 0

erhalt man

YI : 4

d.h .

P, ~ (0 : 4 )

4 .9 Anw endun gen der Vektorrcchnung in dcr analytischen Geometri c

Fur n = 0 crhalt man Xz = 3

d .h.

145

P, ~ (3; 0 )

Die Onskoordlnatcn dcr Punkte PI und Pz sind: r z - rl = [

3- 0 0 -4

Aus (4.30) ergibt sich die ges uchte Vektorform der Gcradcn G zu:

4.9.3.3

Abstand zwischen einem I'unkt und etner Geraden

Wir bcuuchtcn cine Ocrudc G in der Punktriehtungsfonn (Bi ld 4. 14). G:

r =rl + ).a

Gesucht ist dcr Abstand d cines Punktes Q von der Geraden t d entspricht dcr Lange der Lotgcrudcn vom Punkt Q zur Geraden G) . c

Q

G

z OJ/- - - - xc Bi d 4.14 : Absnmd eines Punktes von ciner Gcruden

Der v cktor c =

M

lasst sich nach Regeln der Vektoraddition bestimm en:

rQ =rl + C

Da die Lange des Vektors a bcliebig sein kann. wird er normicrt: a

o

a

~ jQj

=>

laol ~

I

Die H ache A de s von den Vektoren a * und c aufg espa rmtc n Paraltet ograrnms karin mit Hilfe

146

4 Vektorrechnung

de s Krcuzprod ukts bcstinur uwcrdcn:

(, ) Die Fliichc A cines Parallclograrruns ist rem er nach den Regcln der ete mcntarcn Geo metric

glcich dcm Produkr dcr Scitcnlangc 10*1 mit dcr Hohc d des Parallc logramms:

A = lo' ld = I ' li =d

(b)

Gleic hsetzen der heiden Fluchcnfc rmeln (a) und (h) ergibt den gesuchten Abstand d : (4.3 1)

Heispiel 4.25: Gc sucht ist dcr Abstand des Punktes Q = (5; 3: - 2) von dcr Gcradcn G. die durch folgendc Punkrichtungsfon n gcgcben lst.

G

' ~" +Aa ~ [ ~ ]+A [n

'Q ~ U] " ~ [~ ] a ~ [n a x (rQ-r il =

la x (' Q- ' ,)1~

i j 2 5 4 3

J(

k 2 -3

_ 2 1)2 + 14' + ( - 14 )2 ~ 28.86

10 1= / 22 + 52 + 22 = 5 .745

4.9.3.4

= - 2 li + 14 j - 14 k

28.86 ::::} d =5 .745 = 5 .02

Schnitt pnnkl und Schntttwlnkel zweier- Gerade n

Bctrachtet worden lwe i Gcrudcn G l und Gz in dc r Punktrichtungsform W ild 4.15):

4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric

G,

a, s

z

'I

0

a

147

r

P,

" .r

'G,

a, G,

Bild 4.15: Schnittpunkt zweier Geradcn

Dcr Sc hnittpunkt S lasst sich durch Glcichsctzcn dcr Ortsvektorcn

TG I

und

TG 2

bcs tinunc n:

Wenn die O rtsve ktore n r l. r : sowie die Ric htungsve ktoren a l . a : als Spa ltenvektore n versta nde n wer dcn, lusst sich diesc Bestim mungsgleichung uuch in folgender Matrixfonn schreibcn: (4.32 )

oder in ausfuhrlichcr Sc hrc ibweise: (4 .33)

Dicscs lincarc Gleichungsvystc m bcstcht aus 3 Glcic hungcn und 2 Unbekar mtcn. Es worden daraus zwe i Glcichungcn uusgcwahn und mil cincrn vertahrcn. L B. Cremer-Regel. nach AI und Al gclost (zur Hervorhebung des Schniltp unktes S werde n sic als All' und A2\ bczeichnct). A nsch liellend muss noc h gep rutt werdc n. ob die bcrcchncte n Parameter AI., und A1.,- die nod nicht verar beucre drittc Zei le in (4.33) crfuttcn. wird diesc dritte Glcic hung auc h erfullt. licgt tatsachlich ein Schnl up unkt vor, ansons te n schnei den sich die Geredcn G 1 und Gl nichl. DUTCh Einsetzen des Par ameters All' in die G leichung fur G 1 (ode r des Parameters A1.\' in die Glcic hung fLi r Gl ) worden d ie .eyz-Koordina ten des Sc hnin punktes S berechnet . (4 .34)

Der Sctmiuwinkel a zwischen den Gcred cn G I und Gl liisst sich aus dcm Skalarprndukt dcr Rich rungsvckt orcn a l und a 1 bcsu mmcn: a l ' al

cos c e ladlall

a = arccos

,) lall (lada,.a

(4.3 5)

J4!l

4 Vektorrechnung

Hd spid 4,26:

Schnlttpunkt, Schnittwmkel

G e sur-ht ist dc r Sc hn iu pllnkl nnd Sch niu winkel der nachfnlg('nd lmgpgd w llI' n l.prl1-

den.

[:J

C,

rG, ~r, + A,a, ~ [l] + A,

C,

rGFr, + A,a2 ~ [~] +A2 [ - ; ]

FUr den Schniupunkt gilt die Bedi ngung

r CI

=

r C 2'

Daraus ergibt sich nach Umfor-

mung folgen de Beslimmungsgle ichung :

2 - 1] 1 1 [ 1 -2

[ ~: ] ~

[ 2- 1 ] 0- 1 2- 0

(a)

Zur Bcsu mmu ng von AI und ).2 wcrdc n die heiden crstc n Zcilen vcrwendct :

Daraus folgt mit Hilfe dcr Cre mer-Rege l (oJer Gnuti-Elimination):

Korurollc mit Hilfc dcr 3. Gl. in (a ): I . O- 2(- I) J: 2 / Die Kco rdi natcn des Schntupunkres ergebcn sich zu:

Au, C,

rs

~[

Au, C2

rs

~[

l] :J ~ [!J n ~ l] +0 [

- 1 [ - ;]

Sc hnittwinkcl a dcr Ge ruden GI und G2: Q , 'Q 2

= 2 , ] + 1· (- 1)+ 1· 2 = 3

[

s~

(1; 1; 0 )

s~

(1; 1;0)

4.9 Anwendungen der Vektorrcchnung in dcr analytischen Geometric

4.9.3.5

149

Vektorgleichuog emer- Ebe ne

Di e v ckt oratg cbra bietct ci ne schr clegante und kompaktc M oghchkcu. ci ne Ebc nc im 3D -Raum

zu dc finicr en (Bild 4. 16). Zur Defi nition dcr Ebcnc E worde n lcdig lich zwc i Groacn bcnotigr : ci n bclicbigcr Punkt PI = (XI :)"1: zd in dc r Ebcnc E - ctn belicbigcr Normalenvektor n zur Ebcn c E (n ste ht senkrecht auf E )

"

p = (x. y.:;)

P, Ebelle E

'I

P' -----; Bild 4. 16: vektorgjeichung cincr Ebene Der Nonnalenvektor n m uss nicht un bed ingt im Punkt PI dcfinicrt sciru jcdcr andere zur Ebene E senkreeht stchcndc Vektor ist als Normalcnvck ror auch gce tgnc r. Die Ebene E iSI ein deutig besnmmt. wenn dcr Orts vektor r ein es bcliebigen Punktes P, ocr in der Eben e Iiegt. angegcbcn werden kann. Der Vektor P;P = r ri fiegt in de r Ebene E , folgfic h er ist orthogonal zorn No rmalenvektor n . Ihr Skalarprodukt ist dah cr gleich Null : r

n· (r - r d = O

od cr nach Umforrnung: n· T = n· r l

Dicsc G leichung reprnsen tiert di e Veklor/:leidlllll/: cia Ehene :

n · (r -rd = O oder n ·r =n ·r]

(4.36 )

Man crhalt die kla ssische Form emer Ebenen gleichung durch Einsetzen dcr Vektoren

in (4 .36 ) und A usfuhrung der Ska larprod uktc : II x X +Il,. Y

+ II : Z -

I1x X I + 11, _Yl + 11: ZI

(4.37)

150

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.27: Ges ucht ist die Glc ich ung dcr Ebcnc. d ie den Punkt PI = (2; - 5; 3) enthiilt und de n Normatcnvcktor n = [ 4 2 5 ) bcsitzt.

Die Glcichung dcr Ellene erhalt man aus (4.36):

n ·r =4x + 2y + 5Z

'* £: 4.9.3.6

n 'n = 4 · 2+ 2 · (- 5)+ 5·3= 13

Gleichung der Ebenc £

4x + 2y +5z = 13

Abstand cines Punktes "o n eln er Ebene

Eine Ebene sci durch den Punkt PI = (X I; .\'1; zr) und den Normatenvcuor n gcgcben (Bild 4. 17). Dcr Abstand des Punkts Q = (Xu· YO' ZU) von dcr Ebcnc entspricht der Lange ,1 der Lotgera den QQ' vom Punkt Q zur Ebene E. Dns Skala rprodukt zwisc hen a und n ist gegebe n durch

Q b

._----------_.

n

a

"P,

d

Q' ,

,

£I>t-/lf?E

Bild 4. 17: Vektorgle ichung ciner Ebcne

a ·n = lal lnl cos a , wobei a den Winkel zw ischen a und n bczcichnct. Durch UmsteJlung crhalt man aus diescr Beziehung den Ausdruc k

a ,n

IRI = ~ ~J

a ·n ,, =[nf '

4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric

151

we il la l cos a gc miill ete memarcr Trigono metric nichts ande res ist als dcr ges uchtc Abstand d (Lillie d ist parallel zu 11). Aus r l + a = rQ folgt a = rQ - ' 1. Ein sct zen dic scs Ausdr ucks in die Bezich ung (a) licfe rt:

In A bhangig kcit von der relativen Orient ieru ng dcr Vektoren a und 11 zucina ndcr kann dcr bcrcc hnctc Absta nd ncgntiv sc tn: dcshalb sol ltc das Ergebnis imm er al s Abso lutwe rt bcrechnct werde n:

lIeispiel 4.28: Gcsucht ist dcr Absland d des Punktes Q von dcr Ebcnc. die du rch den Punkt PI und den Normatcnvekt or 11 dcfinicrt ist.

[

Q = ( ~2 ; 1 ; 3 )

rQ =

11 '

~n

(rQ- r Jl =

P, = ( 1;0;9)

rl =

[i]

U] 'Q ~" ~

[i] [~n

In· (' Q ~ 'Jl I = I ~ 301 = 30 Abstand d nach G I. (4 .38):

4.9.4

n=

[

~ 2~

1

' ~O

3 -9

[

] ~n ~

= - 3 + 3- 30= - 30

Inl = v' 12+ 32 + 52 = J3s = 5.9 16

d = 30/5 ,9 16 = 5.07

vek torglelchun gen einer Ku rv e

Die Paramctcrdarstc llung e iner Kurvc K im 2D- odcr 3D- Raum erfo lgt mil Hilfc cines gccignctcn Param eter s t wie folgt (s. auch Se ite 46): • 2D-Rau m: .r = x(t ) y = y(t ) • 3D-Raum: x =x(t ) y =y(t ) : =:(1) .r.y.z sind die Koo rdinutcn cines zum Parameter f korr cspondi crcndcn Punk tcs auf dcr Kur vc K. vc rschicdcncn w crtcn von t cntsp rcchcn vcr schicdcnc Pos uion cn auf dcr Kurvc. Einc Kurvc im 2D· bzw. 3D-Raum ist volls tandig bcschricbcn. wcnn d ie raurnlic hc Position j cdcs cinern bcliebigcn Parameter t zugcc rdnctc n Kurvcn punktes P angcgcbcn worden kann. Die Positicnsanga bc erfo lgt zwcc kmauigcrweisc durch die Aufstellung ciner Funkti on fur de n Ortsvekt or r (t ). Die Vekt(l~ /e idlUrI!< eincr Kurve ist daher du reh folgc ndc O n svektor funktion

J 52

4 Vektorrechnung

gegcbcn:

I, ~ ' (I) ~ X(I ) i + y(t ) j +Z( I) k I

(4.39)

lleispi el 4.29: Nachfolgcnd sind d ie v cktorgfeichungcn fur zwci Kurvcn angcgcbcn.

---

a) Kreis in dcr .ry-Ebcnc (s. auch

Sene 46).

r (a ) = r cos c i + r sin e j '-. x -'

y

r : Kreisradi us, a : Umfangs winkel, bczog en auf die x-Ach se.

h) Schraubcnlinic im .ryz-Raum [s. auch Seitc 47). .

ti o: k

F( a ) = 'r -cos . -a' i+ r stn a j+ - K y

.~

2

~

r : Sc hrau bcnrud ius. a : Umtaufwinkcl, II : Ganghohc.

4.10

Zusa tzliche Beispiele

lIeispiel 4.30: Gc suclu sind die Koordinaten des Endpunktes Q = (X2: )'2 ;Z2) und die Lange a de s Vcktors a = [a'Ta" (/~ I T = [2 3 OIT mit dcm Anfangsp unkt P = (XI;)'1;Zl) = (4; 9; 0). Losung: a ,< =X2 -XI

X2 =Xl+ (/,< = 4+2 =6

(/." = )'2 - YI

n =)'I+ (/), = 9 +3 = 12

a~ = Z2 - ZI

Z2 =Z I+ tI~ = O + O = O

Betsple l 4.3 1:

Es soli dcr Vekt or a mit dcm Anfang spunkt P = (- I: - 4 ; 2) und dcrn End punkt Q = (5; 3; 7) in der Glcichu ugsform mit Basisvektorcn i.] . k bestirn mt werdcn. Ldsung:

= 5 - (- 1)= 6 } (/)' = )'2 - .1'1 = 3 -( - 4) = 7 (/~ = Z2 - Z I = 7- 2= 5

(/,< = X2 - X I

-:=}

a = (/xi + ayj + a~ k = 6 i + 7 j + 5 k

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 4.32:

Skata rprod ukt

G e such t s inlt die Koordinate n de.. Rnd pnn kte.. Q = ( 1'2;Y2;Z2) lind d ie l .iing e (/ lit·.. Vcktors a = [ax (I " ad T = [2 3 0IT mit dc rn An fangspunkt P = (XI;.Vi ;ZI) = (4: 9; 0 ). UjSIIlI /? :

x2 = x,+ (1.< = 4 + 2 = 6 )'2=)'1+ (1,·= 9+3= 12 Z2=Z I+ ":= 0+ 0= 0

a. = X2 ~ XI

(/... =)'2 -Y I a: = Z2 - ZI

Beispiel 4.33:

Skala rprod ukt

Gcgcbcn sind im kartcsischen Koord inatcn systcm lwei Punkte P und Q :

r . (- 2. 4. 8)

Q ' (6. - 2. 4)

Gesuc ht sind die Winkel zwischen de m Vektor v =PQ und de n Koordmatenachsen x,Y. z. Ui,\'Wl/?: ' ~ [6 - ( - 2 ) ,

- 2- 4:

4 -8] ~ 8i - 6j -4k

v -i 8 cos a,- = -Ivi -11-1= 10,77 · 1 = 0.743

cos a.,. =

v -]

Ivl lil =

- 6 10.77 . I = - 0,557

v -k -4 cos a -- = 1'kl I= v i 10,77 · I = - 0.37 1

=}

ax = 42 ~

=}

lX:>. = 123 .8°

=}

a: = 111 .80

Vekto rp roduk l Die Regel a x (bx c ) -I- (ax b) x c in Tabelle4.3aufSeite 135 soil fur a =i. b v- i , c = i uberpruft werden.

Betspiel 4.34 :

Nach Subst itution de r v ektorcn i. j und k: anstcllc von a. b und c in die angcgc bcne Regel crhan man:

Uj.\·WI/?:

i x (i x j ) =i xk = -j

•

'---,.--'

abc r

-

(ix i) x j = Ox j = O

o

=}

-j

-1- 0

,f

153

J 54

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.35:

Vektorprodukt

Res tim rne n S ie da s F rge hn is fn lg('nde r A uxdr i c ke ti , I .Ie sind die Rasi sve ktorcn II('s

-

3D kartcsischcn Koordinutcnsystcms).

a ) (i x j ) x j =?

tsg: (i x j ) x j = k x j = - i

b ) i x (j xj) = ?

L~R :

c) i x j x i x j = ?

•

i x (j xj) = i xO =O

o ------

(Opcrutioncn von Jinks nach rcchts)

tsg: i xj xi xj =k xi xj =j xj =O '-.-'

'-.-'

•

j

d ) ((i x j ) . k ) j x k = ? (Opcrationc n von links nach rcchts) LW ((i x j ) ·k ) j x k = (k· k ) j x k = j x k = i (vonlinks nach r.) '-.-' I

•

lJeispi eI4.36: Vektorprodukt steht senkrecht a uf der a ufgespan nten Ebe ne Es ist zu zcigen. dass das nach (4.19) auf Sette 134 bcrechnetc Kreuzprodukt c tatsachlich senkrccht auf dcr Ebene steht. die vo n dcn Vcktorcn a und b aufgcspannt wird. Lii.\·/Il1g:

Wenn dcr Vektor c senkrecht auf dcr aufgespan nten Ebcne stcht. dann muss er senkrccht sein sowohl zu a als auch zu b. d.h. die Skalarproduktc musscn verschwind en:

,

,

c ·a = 0 c :a = [(a" b: -

c· b = O

U:

= a , (a" b: -

by) i + (a: b. U:

Ux

bJ j

+ (a r b,. -

a,. b r ) k] . (a, i +a" j + a: k)

hy ) + {/y (a: b t - a , b: l + a: (at by - a... b x )

= ~ ~ ~- ~ ~ ~+ ~ ~ ~- ~ ~ ~ + ~ ~ ~- ~ ~ ~ = 0/

c -b = [(u." h: - u: b.,.)i + (u: bc -: a, bJ j

+ (ar hy -

u,. b., ) k] . (b, i + b... j + b: k )

= b , (a" b: - (/: hy) + b,. (a: b , - a t b: l + b: (a, h, - a), b , ) = ~ ~ ~- ~ ~ ~+ ~ ~ ~- ~ ~ ~ + ~ ~ ~- ~ ~ ~

= 0/

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Ueispid 4.37: Winkd zwischen zwe! Vektoren OhPr 7w" i Vektoren a lind h isr nut hek nnnt , ,la ss s ip eli" R"l lin gllllg la x h i = a . h crfhllcn. Es is! zu bcstimmcn. welchcn Winkel a die Vcktorcn a und h cinschlieg cn. U jSIIlI/? :

[ax hi = lallbl sin a =>

lallbl sin a

=> tan c

e

=

lallhl cos a

=> sin c e cos «

l

Ueispiel 4.38: Hertenung der a nerna ttven Kreuzprodukttorruel Die Krcuzproduktformel (4.22) auf Scire 135 ist schr rulrzfich, wenn cs nur um die Berechnung des Bet rags des Vektorprodukts gcht und nicht urn das Vcktorprodukt (also urn die Kc mponcnren des vektors c ) selbsl. Die Herleitung von (4.22) ist relntiv einfach. Ausgangspunkr ist die Gleichung (4.2 1):

Quadricrcn bcidcr Seiten licfcrt:

Das Einsetzen folgcndcr Beziehungen. die aus (4.14) auf Scire 13 1 sowie (4. 16) auf Scire 131 folgen. in den obigen Ausdruck liefert die gcsuchre Fonncl (4.22):

Ibl' lei'

~ (a · a) (b ·b ) - (a ·b )'

lei ~

~b·b

J (a ·a ) (b · b ) - (a -b )'

Ueisp id 4.39: Ska ter- und Vektorprodukt Dcr Ausdruek (a- b )2 + {la x bl)2 soil so wei! wic moglich vcrcinfacht worden. U j slllI/?:

Skalarprodukr:

a · b = la llh[cos a

lallbl sin a (Ial lbl cos a )2 + (Ial lbl sin a )2 = (lallbl)2 (cos2a

Vektorprodukt:

[a x h] =

+ sin2a ) =

=,

~

{lal lbl)2

155

156

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.40:

Vektu ren pa ra llel od er orthogo na l? Es soli untcrsuc ht werden . o b die vekto ren a lind b pa rall e l odcr o rthogo na l si nd.

Die Fruge, ob die Vektoren parallel sind. kan n mit Hilfe des Kreuzprodukts odcr dcs Ska larprodukts bean twort et worden . Wenn zwci Vektore n parall e l, d.h . linear abhan gig, sind, muss ihr Krcuzprod ukt gleieh Null sein.

Losung:

a x b = a, h,

::::}

i

j

k

a.l , h)'

ll Z

k:

j

1 2 - 1 0

~

hz

~ 2 i + 2 j- 2k " 0

a und b sind nicht parallel.

Ein e Aussage tiber die Onhogon alitat ist tiber das Skalarprod ukt mogflch . Wenn

zwei Vektoren ortho go nal sind. ist der Winkel a zw ischen ihnen gleich 90 cos a = O = a · b = 1· 1 + 1· ( - 1) + 2 · 0 = 0

-4~2]

3 b ~ - 28 [

8 14

0

•

::::} Sic sind ort hogo nal.

- ~] 10

Sic sind para llel . wcil a x b = O. Altcm utiv laBt sic h die A ufgabc auch tiber die Bcsumm ung des Win kels a zwischen den vcktorc n a und b m il Hilfe des Skalarprodukts loscn:

Lij SlIl1g:

101=

Ibl ~

9.33394

a -b

cos a =

c) a

[al ibi =

~ [ ~;~; ]

1.33342

a ·b = - 12.44607

- 12.44607 9 .33394 . 1.3334 2 = - I.OI.XI()(J

b=

4,2

a · h = -1 57.78 # O

::::}

a = 180 0

[ -28] 11.2 - 33.6

::::}

a und b sind nicht orth ogonul

Wenn zwei v ekto rcn parallel, d.h . linear abha ngig . sind, muss ihr Krcuzproduk t gleic b Null sein.

axh=

a"

j

k

(/)'

{/z

~

b, b,. h,

= Oi + Oj + Ok= O

0 ,35 - 2.8

'*

j - 1,4 11.2

k 4.2 - 33.6

a und b sind parallel

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

157

lIeispieI4.41: Flachenlnhalt eines Dreiecks Ein Drcieck ist dcfiniert durch seine Eckpunktc A = ( I; 0; 0), B = (0: I; 0). C = (0: 0: 1). Die Drcicckstlachc A soil mil Hilfe des K rcuzprod ukts bcrcchnet worden. Ldsung:

Die Dretecksftncbc A entspricht der halben Flachc des zugehortgen Parallelogramms, welches von den ve kroren a = AS und b = AC gcbildcr wird.

a=

-1] [-I]~ [0 ~=~

axb=

=

j

k

(/,<

(/)"

a,

b,

b). b:

b=

- I - I

~

[0 -1] [-I]~ ~=~ =

j I

k

0

1

= i + j+ k

0

Heispie I4.42: lnnenwlnkel elnes Dreleck s Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts die inncren Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkte n A ~ ( - 3: 0: 3 )

B ~ (5:

4: - 2)

C~

(4: - I: 3)

Ldsung :

a

=L( AB, AC)

~ e,

a -b

a = arccos la! lbl

f3

= arccos

( - a), c d 3

a ,b ~ 5 2

la l~ vT05~ 10.247

a = arccos

(- a) ·c

-2 7.07 1·7 .14 1

r = arccos

lallel

( - b)'( - c)

Iblle!

( - b ) ·(- c)~ - 2

Ib l ~ v'50 ~ 7 ,07 1

52 ~ 44 1 40 10.247 .7 ,07 1 '

a = arccos

r=L(CA , CB)

L( BA, BC)

= 92 27 0

.

n o

Ic l ~ v5T ~ 7, 1 4 1 e

53 urccos 10.247 .7. 141 = 43.59

0

J 51!

4 Vektorrechnung

Hdspid 4.43:

Flacheninhalt

M it Hilfc d es K rouzprod ukrcs soli d ie Fltlc hc d es vo n d en Vcktorcn a und h aufgesp ann rcn Para llelogra mms bcrcchn ct worden.

UiSlIllg:

Die gcs uchte Flachc ist g leich dcm Bcrrag des Krcuzprod uktcs:

A = [a x h i

axh=

j

k

af

{I,.

1I:

b,

by

b,

k 2 1 2

j

~

o

=- 2i + Oj + l k

HeispieI4.44: Fhtcheninhalt Gegebcn sind im 3D-Raum die Punkrc A = ( I: 2: 3 ). B = (- I: 4: - 5 ). C = (0 .1. - 6). Gcsucht ist dcr Plachen inhalt A des Paruuclogr amms. das von den Vektore n a =AB

-, und h =AC aufgespannt wird.

U iSlIlIg : Die Flnchc des Para llclogram ms cms prtcht dcm Bcrrag des K rcuzprod ukres der Vektoren a und b. vgl. 01. (4.20). Die Auswertung von (4.20) w ird sowohl nach 0 1. (4. 18) als auch nach 01. (4.22) durchgefuhrt.

a) Losun g nach (4.18)

a ~ [ -~ = ~ ] ~ [ -~ ] - 5- 3

a x b ee

- 2

j 2

-8

- I

- I

- 9

-8

h ~ - 6~=~3 ] ~ [= :] -9 [

k

= - 26 i - IOj+ 4 k

A ~ l a x h l ~ J I 26)' + 1 1 0)' +4' ~ 2 8 . 14

h) Losung nach (4.22) A

~ ) (a . a) . [ h . h ) - (a - h )2

3 '3 = 4 + 4 +64 = 72

h ·h = I + I + 8 1 = 83

a . h ~ - 21- I ) + 2( - I ) - 8(- 9) ~ 72

A ~ ","' 72:;-·"' 8.:,;-- :7;:2'" - 28.14

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 4,45:

Mnmentenvektor-

F.i n Kraftv e kto r F m il lief Kraffi nten vitiit F = 1000 N licgl in (IN ~y~ F.l}('nc , gr" in im Punkt A = (0 : 1.5: 0 ) an und bildct mil dcr .r-Achsc ctncn Winkel von a = 300. Gcsucht ist das Moment dcr Kraft um den Punkt P = (0 : 0: 0). Aile Posuionsangabcn sind in Mctcm .

,

F

.,

u

A

M

, F ~

[~ ] [

P

I000· cos 30° I(X)(). sin 30"

[

o

866 ] 5~)()

0 -0 ]

1,5 - 0

0 -0

M =r xF =

r» F,

j

k

r.l'

"

F.,.

j

~

F,

0

866

k 0 500 0 1,5

= O·; + O· j- 1299 · k = - 1299 k =

Dcr Morncntenvckror M vcrlauft also para llel zur z-Achsc und bcsitzt kcinc Komponcnt cn in .r- und j- Richtungen. Das negative vorzcichcn bcsagt. das s die z-Ko mponcnrc M~ des Momcntcnvekrors Min Rich tung ncgadver z-Achsc zcigt. Das Mo ment M crgibt sich aus dcru Bcrrag von M :

M = 1MI =

JM; +M} +M} =

Jo~ + 02 + (-

1299)2 = 1299 Nm

159

J 60

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4,46:

Mnmentenvektnr

Rl·im ;lhg l' hiJde lc n Mnhilk rn n grt' ift a m I .;l...thak en A der Kraftve ktm- F an . Bc rechnen

S ic das von dcr Bclauu ng crzcugtc Momen t M im Kranschwcrpunkt S. Die Koordinaten dcr Positionen A und S sowic dcr Kruftvcktor F sind nachfolg cnd angcgcbcn.

A ~ ( - 4:

I: 13) m

S ~ ( I O : 3 : 2 )m

F ~ [6: - 5: _ I (J0I T kN

"

-

Lnsung: Dcr Momentcnvekto r M am Punkt S ist gcgcbcn durch da s Kreuzprod ukt M = SA x F .

i M = r xF =

r

F,

j ry

r.

k r F,

~

- 14 6

j k -2 II - 5 - 100

M = ; (200 + 55) - j ( 1400 - 66) + k (70 + 12) = 255; - 1334j

+ 82k

Das Moment M ergibt sich aus dem Betrag des Mornentenvektors M :

M = IMI = J Mf + M} + M} = J 2552+( - 1334 )2 + ~Q2 = 1360 .63 kN m

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 4,47:

Gesehw lndlg keltsvektor

Oi l.' in Ilarg estd lle kmisrumle Sc-heibe steh r se n krer-ht

71 1

de r z· Ac hsl' (Ilie z-A chce

gcht durch den Miuclpunkt dcr Scheibe) und drcht sich mit dcr Winkelgcsch windigkeit i» = 2Jt radis urn die z-Achsc. Ein Punkt P am Schcibcn rand hut die Kcordinatcn P = (0,5. 10) (allc Koordinatcn sind in 1/1) . Ges ucht ist d ie momcntanc Bahngcschwindigkeit I ' des Punkrcs P und ihre Richtung.

z

,

y

Lasung: Dcr Geschwind igkcit svcktor v cines bcliebigcn Punktcs auf dcr Krcisscheibc ergibt sich aus dcr Bezichung (4.26) :

v =ro xr

2~ ] = - IOn ;

(v zeigt in negati ve x-Richtung)

10

Die Bahngeschwindigkcit

I'

ist g leieh dem Betrag von v :

\' = [v] = IOn = 31.4 /Ill s

161

J 62

4 Vektorrechnung

Hd spid 4.48:

Lineare Abhangigkeit

Es soli uberprun werdcn, ob folgende Vektoren linear abhangig sind.

Fur linear abhunglge Vektoren ist d ie Determinante der Komponentenmatrix gleich Null. Es spielt keine Ro lle. ob die Vektorkomponenten als Zeilen- oder Spaltenvektoren in der Matrix angeordnet werden (moistens ist je doch zweckmajliger, sie als Spaltenvektoren zu schreibe n).

I V l v, v-, l~

"*

1 0 2 2 0 4 1 3 0

~ 1 · ( O- 1 2 )- 2 · ( O- 6 ) + I · ( O- O )~ O

Sie sind linear abhangig.

HeispieI4.49:

Llneu re Abhangigkeit

Es soli bestimmt worden . fur we1chen Wert des Parameters A die folgcndcn Vcktorcn linear ahhiing ig sind.

Ljjsun g : Fur Iineare Abbangigkeit muss det[v, : vr: v21 = 0 sein:

2 -A -7

-A

2 2 2 5 2

=-2).2+ 4). + 16= 0

:o} ).1=- 2

Kontmlie:

2 2 2 2 2 2 -7 5 2

=- 12- 36+ 48= 0

/

2 -4 2 -4 2 2 =- 12 + 24- 12= 0 / -7 5 2

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 4.50:

Line are Ahhangigkeit

FUr welchc n Wert des Parameters )' sind d ie folgenden Vektoren linear abhiillgig?

/.iisUllg :

FUr lincare Abhangigkcit muss del [vr: va: V2] = 0 sein.

3 3 3

-A -6 ). =-3).2+ 18), + 216= 0 6 15 21

HeispieI4.51:

:::} AI = - 6 ).2 = 12

Punkr auf einer Geraden

Prufen Sic. ob tier Punkt Q auf dcr Gcradcn G licgt.

Q ~ ( -2;4 ; - I )

Ui. HlIIg :

Wenn dcr Punkt Q au f dcr Geradcn licgt. da nn muss scin Ortsvck tor TQ die Ocradcngleichung erfLi llcn:

Aus der I. Zeile dieser Gle ich ung folgt:

- 2 = 4 + 2).

"* ). = - 3

Durch Einsetzen von). in die 2. und 3. Zcile wird ubcrpruft. ob evtl. ein Widerspruch auftriu:

2.Zc;'e;

4 ~ - 2+ ( - 2 ) · ( - 3 ) ~4 /

3. Zeilc:

- I = 2 + 1· (- 3) =- 1 '/

Der Punkt Q liegt also auf der Gereden G.

163

J 64

4 Vektorrechnung

Hd spid 4.52:

Fliic he

Die vc krcrcn vr und vz spa nnen em Parallelogra mm im 3D-RaUln auf. FUr wclchcn Wert des Parameters A bctragt die H ache dlc ses Parallclo gram ms genau A 20?

=

Ldsung:

j I

-A

I

5

~ ] ~- 10 1 + (-A + 5) j+(5 + A} k

-5

A ~ Ivl ~ [10' + (- A + 5)2+ (5 + A)') '/2 ~ 20 A 2 = 150 + 2A2 = 400

Heispid 4.53:

::0}

A = ± 11. 18

Ko erdtnaten elnes Punktes a uf einer Oe ra den

Zwe i Punkte PI = (2; 3: 4) und Pz = (-4; 4; 2 ) im 3D-Raum worden gerad lioig mitci nandcr vcrbunden. Auf dieser Verbindungslinie von der Lange L bcfindet sich ein Punkt Q. der vom Punkt PI den Abstand O.3L hal. Gcsucht sind d ie Koo rdinatcn des Punktes Q. l iislIlIg:

M =a= [

- 4- 2 ] _ [ - 6 ] 4- 3 1 2- 4 -2

-

~ Durch Skalicrung des Vektors P 1Pz mit dcm Faktor 0.3 erhiilt man den Vektor PI Q:

M ~ 0,3 ' M ~ 0,3 ' [ -~ ] ~ [ -~ : ] - 2

- 0.6

Die Koo rdinaten des Punktes Q lassen sich mit Hilfe seines Ortsvektors ro bcstim men:

~ [ ~.~ ] 3.4

=}

Q ~ (0.2: 3,3: 3,4)

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 4.54:

Keordinaten elnes Pu nktes auf einer Oeraden

Gesucht ist die vektorglcich ung der Geraden . d ie durch den Punkt PI geht lind dem

Vektor a parallel ist. We1che .eyz-Koordinaten hal dcr Punkt Q auf dc r Geradcn fur die Parameter AI = 2 und A2 = - 2?

P,

~

(4; 0; 3)

LiiSIIJlg:

r

~ ~ ~ ~:

A,

[

]

[

+A [ :: ]

]

~ ~ [

~ 2 rQ,~ [ ~ ] +2 [ ~: ] ~ [

A2 ~ -2 rQ, ~ [ ~ ] -2 [ ~: ]

] +A [

n

~:

]

[-n

fUr <2 ~ - 2 ;

Q2 ~ (6; - 2.5)

HeispieI4.55: Absta nd von einer Oe raden 1m 3D-Raum sind der Punkt Q = (4; 4; 4) die folgcndc G gegeben:

Gesuc ht ist der Abstand d zwisc hen dem Punkt Q und der Gera deu G.

a x (rQ- r l ) =

[a x (rQ- r ,) 1~

I 3

j I 4

J8+ 2

k - I 4

= 8i - 7j + k

(_ 7)2 + 12 ~

lal ~ J I' + 1' + (_ 1)2 ~ v3

d

~

vTf4

Jli473 ~ 6.16

165

J 66

4 Vektorrechnung

Hdspid 4.56:

Absta nd

\'IJn

einer Geraden

Ge sucht ist der Abstand d des Punkt es Q von de r Ge ruden, d ie dureh den Punkl PI geh t und den Richtungsvektor a besuzr.

P,

~ (- 4 ; 4 ; O )

( 1;2; 3)

Q ~

Lii.\·/II1X:

j

k

a x (rQ - r l ) =

1 - I 5 -2

2 3

[a x (rQ - r d l =

\11 2 + 72+ 32 = 7.68

la l = / 12 + (- I)2 + 22 = 2,45

Heispi eI4.57:

= i + 7j + 3 k

,1=7 ,68=3, 13 2.45

Abstand "on einer Geraden

Ge sucht ist die Vekto rgleic hung der Geradcn G. d ie durch d ie Punk te PI = (2: 3; - 4) und P2. = (7; 9: 5) geht. wie gro B ist der Absrand d zwisc hen dem Punkt PI und demj enigen Punkt Q auf der Geraden . der sich fur A = 4 erg ibt? Ldsung :

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

167

Ahsta nd von einer Oeraden

Heispid 4.58 :

Eine Gcrade G ist gegeben durc h de n Punkt PI und de n Richtu ngsve ktor a . wie groG ist der Abstan d zwisc hen dem Punkt Q und dcmjenigcn Punkt P2 au f der Gc rade n G. dcr sich fur A = 3 aus dcr Gcradcnglcichung crgibt?

P,

~ (- 4 ; 4 ; O )

a

~

[

-i]

Q ~ (1;2;3 )

Lij.\"IIIlX:

C ' ~" +Aa ~ [ -n +A [ -i ] '2

~ -~

Hcispi el 4.59 :

[

]

+3

[ -

i]~ [-l]

'Q

~

[

n

Schnitt punkt "on zwei Geraden

Bestlm mcn Sic. sofcrn vorhandcn. den Schn iu punkt dcr Ocradcn G 1 und G2.

C,

C2 L~X :

[-n ~ '2 + A2 aF [n U]

'GI ~ ,, + Al al ~ [i] +A I ' G2

+A2

Ge mliB (4.32) muss im Schuiupunkt d ie Bedingung

r GI

=

r G2

geltcn. Daraus

folgt:

[-: =~ ] [~; ]~ [~ ]

(a)

Zur Bestimmung von AI und A2 werdc n die heide n crstc n Zcilcn vcrwc ndct: - I ] [

- 2

AI]~ [3]

A2

3

J 61l

4 Vektorrechnung

Oaraus folg t mit Hilfe dcr Cra mer-Rege l (od cr GauB-Eliminat ion):

Zur Kontrolle werden d ie berec hnctc n Parameter ).1." ).2., in die 3. Gleichung von (£I) ei ngese tzt:

I · (- (L6) + 2· (- 1.8 ~J, 6

- 4.' '' 6 \

Ocr res ultiere nde Widcrspruch zeigt . doss die Geraden G ] und G2 sich niclu schneiden!

uetspiel 4.60:

Winkel zwischen Vektoren

Von dr ei -nic bt nahcr spczifizicrtcn - Vcktore n a .b;c ist nur bcka nm. dass sie fo lgcnde Bedin gu ng crfullc n. Bcsummcn Sic de n Wink el a zwisc hen a und c.

a x (b x c ) =O Ldsung: Die angcgcbcnc Bcd ingun g bcdcutct. dass dcr Vckto r a und das Krcu zprodukt b x c (dcr cbcnfalls cin Vcktor ist) parallel sind. Des Krczprodu kt b x c steht scukrec ht zu der Ebcne. die von b und c au fgcs pannl wi rd. d.h. b x c schlicfh mit dcm Vckto r c cinen Win kel von 900 cin . Dcshalh ist dcr gcs uc btc Win kel a zwisc hen a und c : a = 90°

UeispieI4.61:

Vektor und Ebene

Gcgcbcn sind folg cndc vck rcrcn.

a = - i- 2j + 3k.

b = 4i + 2j + 4k

c = 2i +4j - 6k

Jemand bchauptc t, class der Vektor c zu dcr von de n Vcktore n 0 und b aufgcs pan nte n Ebcnc E parallel sci. Ubcrprufcn Sic, ob diese Bchaupumg richtig ist. liislIll g:

Dus Krcuzprodu kt 0 x b stcht senkrech t auf dcr aufges pann ten Ebene. Wenn der Vekto r c tatslichlich parallel zur Ebc nc E ist, dan n muB zwangslautig die Bcdin gung (a x b ) ·c = 0 gehc n. j

k ] = - 14; + 16j +6k

-2 3 2 4

(0 x b )· c = (- 14; + 16j + 6k) . (2; + 4j - 6k ) = - 28 + 64 - 36 = 0

::}

Dcr Vcktor c ist para llel zur Ebcnc E

4. 10 Zusarzfiche Bcispicle

Heisp id 4,62:

169

Ahstand von del" Ebe ne

Ein Parullelogranuu £ ge hr durc h dell Puuk t P und isl paralle l I:U dell be iden Vekuxen

a und b. Ferner ist ein Punkt Q auBerhalb dcr Paral1elogrammebcn e gegebcn. Berechncn Sie den Abstand des Punktes Q von der Ebcne E. a = 3i + 2j + Ik

b = 4i - 3j - 2k

Q ~ IO :O:O )

Ldsung:

Die Ebene E cmhnlt den Punkt P. Zu r Aufstellung der Ebenengleichung bcnotlgen wir noch zusdtzfich einen Vektor n, der zur dleser Ebene senkrecht stehcn soil. Dieser Vektor n cntspricht dem Krcuzprod ukt von a und b:

n =a xb =

3

j 2

4

-3

k 1 =-i + lO j - 17k= [ - 2 - 17

~~ ]

Dcn Abstand d des Punktcs Q von dcr Ehene E crbalten wir uus der Formel d = In·-1 Ir Q - rill "-[-- , wobe.1 r l und r Q die Onsvcktore n der Punkte P und Q sind:

n· (rQ -r.} = 40 [n[ ~ VI - 1)2 + 10'

]n·(rQ- r d l = 40

+ (-

17)'

~

19.748

d = 40/ 19 ,748 = 2.02

vektoren in emer Ebene

Heispiel 4.63:

Zcigcn Sic, dass folgende drei Vcktorc u in eincr Ebcne licgcn.

Ldsung: Wenn aile drei Vektoren in dcr selben Ebene hegcn. muss z.B. die Bedingung (a x b) · c = Ogelten.

a xb =

~ -~ I

I

= 6i- 3j- 3k= [

-~ ]

- 3

Die Vektorcn a . b und c Iiegen also tutsachlich in e iner Ebene.

J 70

4 Vektorrechnung

Hd spi d 4.64:

Zusa mment reffe n von Fah r zeugen

Ein Fahrzeug A fahn zum Zcitp unkt f = 0 vom Onspunkt PI = (1000; 2000 ; 0) los und hat cine Geschwind igkcit von VA = 72 kill / ii . Scmc Fahrtrichumg ist parallel xum Vcktor a = [I - 2 0 J. Ein andcrcs Fahrzcug B fiihrt zum Zcitp unkt I = 0 vorn Ortspunkt P2 = (- 1208; - 5038; 0) los und bcsitzt cine Geschwi ndigkeit von 1'8 = 108 kill /ii in Richtung des vektors b = {I I 0]. Mit Hilfe der Vektorreehn ung sol! bcrecbnct werde n. nach wieviel Sekunden die Fahrzeuge zusammenrreffen. Ldsung:

Die augenblicklichen Positioncn. d.h. die Ortsvektoren. der Fahrzeuge lassen slch mit Hilfe dcr Gcschwindig keiten und der ncrrnicrten Richtuugsvekto rcn bcrechncn. Die normicrtcn Richtungsvcktcrc n 0 * und b* lauten:

:::} a* =

a; ] [ 0,4472] [ ~i = - 0. 894~

._[ b;b.,. ] -_[ 00.7071 ,7071 ]

b _

b;

0

Die momcnrancn Ortsvcktorc n dcr Fahrzcugc bcsrir nmt man mit Hilfc der Vektorglcichung cincr Geraden in Punktrichtun gsform gcmaB Gl. (4.29). Aus dcr fllr cine kenstante Geschwind igkcit gultigcn Kinerruuikbezichung

Wegstrecke = Geschwindigkeu x Zeit

ergibt sich der On svektcr des Pahrzcugs A zu:

[

:fa; ]

I=

[ 1000 ] 72000 [ 0,4472] 2~

+ 1 36m

- 0.89~

Der Ortsvektor des Fahrzeugs B luutct:

- 1208 ] - 503 8

O

+I

I08eX)(} [ 0.7071 ] 1600 0,707 1

'

0

Bcim Zusammentreffen der Fahrzeugc g ilt fur Ortsvektcrc n die Bedingung

FA

=

FB :

llXIO] 72000 [ 0,4472] [ - 1208] 108000 [ 0,7071] [ 2000o + 1 '3600 - 0,89440 = - 50380 +t 36m 0,70701

4.1 1 Aufgabe n

171

Daraus folgt folgcndc Bcstimmungsgleich ung:

22OR ] [ 12.269/]

[ 703 ~

=

39 . 10 1 ~

Aus der ersten (bzw. dcr zweiten} Gleic hung ergibt sich die Zeitdauer bis mentreffc n dcr Fahrzeuge:

ZUIll

Z usam-

1 = 2208/ 12.269= 180 s

4.11

Aufga ben

I. Bcsnm mcn Sie die Koc rdinatcn des Anfangspunktes P = (Xl : YI ;:: 1) und d ie Lange v des = [13 8 mit dem Endpu nkt Q = (X2; )'2 ; ::2) = ( - 2; 5; 4 ). Vektors v = V = [v, v)'

\'zf

sf

Ldsung:

a., = X2 - XI (/,· = .\'2 - YI

(/z = Z2 - ZI p~

= - 2- 13 = - 15 )'1 = Y2- ay= 5- 8=-3 ::1 = z2- (/z= 4- (- 5 )= 9 Xl = X2 -

(I,

(- 15: - 3:9)

2. Fuhrcn Sic die angcben cn Vcktoropc ratione n mit nachfolgendc n Vcktoren durch .

a ) a -l-b

LW

[

~ :;] ~ [ ;1 ]

- 3+ 4 b) (a + h) + c

tsg:

[ - 3] ~ ~~ ~ [3+0] =

c) - 4a + 8c

d)

[ac- e]

I a -
J 72

4 Vektorrechnung

e) 131 - lel 3. Bcrechnen Sie die Lange L des Seils, d;IS zw ischen den Punkren P und Q stra ff, d.h. ohne Durchhang. ges panm wird .

Q ~ (96; - 54; II )

p ~ (92; - 50; 9)

Losung:

L= 6

4. Bcrcchncn Sie dcn Winkel zwischen den angcgc bcncn Vcktc rcn r und s

a) b)

r = [- 6 101 r = [2 - I 3]

' ~ 15 , ~ [I

3]

L\"K:

2 - I]

L \"K:

a= a=

9()O

lO9 ,1°

5. Ze igen Sie, dass das Skalarprodukt e . b dcr vektore n a = a, i + tI.l'j + u~ k und b = b. i + by j + b~ k d urch fclge nde Bezlehung gegeben ist. Tipp: Machcn Sie Gebrauch von den Regeln in Tabelle 4.2 au f Seite 129 .

6. Fuhrcn S ic mil den folgcndcn drci Vektorc n die angcgcbcn cn Vcktoropera tionc n durch.

b) h x a e) [b x cj h) (3 -C) x (2h) k) a x (h -c)

a) a x h d) h . a

g) (c - 3) x (2h) j ) a xc -c x h m) (ab)c

c) a h f) lc x hl i) (a + h) x c i) h x a + a x c

nj fu x h jv e

Losung:

a) [

-~ ]

03

h) [

g)

-~

]

[ - 12 6]

-6

k) [

=n

I) [

-n

d) 5

c) 5

h) [

m)

~n

[-n

I)

e) 3

[n [n

n) - 9

j)

4.1 1 Aufgaben

173

7. Welchen Wert muss die unbckanntc vcktorkomponcnre o, habc n, darnit die Vcktoren a und b scnkrecht zuci nandcr stehcn?

8. Zc igcn Sic , daxs fllr l wei bclicbigc Vcktorcn a und b fclg cndc Sc hwara'sche Ungtetchung gi lt.

9. Ein Dreick Pd1!') hat die Eckpunkte PI = (2; 2; 5 ) . f':2 = (4; 2; 3) und !') = (2; 4; 3). Ze igen Sic mit Hilfe dcr Vektorrechnu ng, dass cs ein glcichschcnkligcs Drcicck ist. 10. Mit de n angegcbc ncn vier Punkten wird ein Viereck gebildel. cine s Vierecks besitzen 1'01gende Koordi naten irn kartesischc n Koordinarensysrem . Die Punkte PI und !') sind gegenuber liegend . a) Zeige n Sic, dass es sich bei die sem Viereck urn etn Parallelograrnrn handel!.

III Berechne n Sic den Flnchent nhalt A des vierccks.

P, = (3; 3; 3) U i.I"lIllg: a)

P, = (5; 4; 4) ---+

---+

P, = (7; 7; 8) ---+

---+

Parallelogramm, weil PI 1'21 If ' P4 und P2P311PIP4.

b) A = 7.28

II. Ze igen Sic , dass die folgenden vier Punkte im 3D-kartcs ischcn Koordinatcnsystcm allc in cincr Ebcne liegcn. Bercch ncn Sic auch die Inncnwinkel dcr vo n den vier Punktcn gcbildeten Vicrccks.

P, = (2; I; 2)

P2 = ( I: 5: 3)

P, = (- 3; 3; 5) aJ =

95.52°

P, = (- 2; - I ; 4) <X.t = 84 ,48°

12. Gcgcbcn sind folgcndc drci Kraft vcktorcn. die an cincm Rahmenpunkt angreifcn. Ermiuc ln Sie den rcsulttcrendcn Kraftvektor und seine Lastintcnsitat. Ubcrp rurcn Sic , ob d ie Kraftvektoren aile in ei ner Ebene liegen.

FJ =

10] [ - 20 40

Sic liegen in einer Ebcne, weil die Dcrcnmnamc dcr Mat rix A = IF I F J F 3Jglcich Null ist bzw. das Produkt (F I x F2) · F 3 = () ergibt. Die Lastintcnsirat betragt F = 4 1,7 1.

Losung:

174

4 Vektorrechnung

13. Ein Punkt P bcfi ndct sic h an dc r Position (r, 0:) = (5 ; 135° ) cines Krei sc s in de r .ry- Ebcne mil dcrn Radi us 5 em. Besummcn Sic den Ortsvektor des Punktcs P in dcr Form e inc r Vck torg lcic hung nac h 4 .39 in Absc hnitt 4 .9.4 .

Losung: r = 5 co s 135° i + 5 sin 135° j = - 3.53i + 3.53j 14. Untcrsuc hcn Sie, ob sic h die beiden Gcradcn g l und g2 schncidcn.

g2 : Tipp; g2 JaB! sich auch schrcibc n als r = [

X

\'

-+'--= 1 4 6

~ ] + A [ _~

]

LW Kein Schnittpunkt!

w .I'lIng:

Kein Sc hnittpunkt (di e Bestimmungsgleich ung ist nicht losbar ).

15. Einc Ebcne cnthalt den Punk! PI und den Ncrrnalc nvckt or n. Besttm men Sic die Gleichung

dcr Ebcnc in dcr klussischcn Form f (x.y. z) = O.

P,

~

(2; 5 ; 8)

LbslfIlg: x+3y -2z = 1

5

Elementare analytische Geometrie

5.1

Keordinatensysteme

Der Standort cines Punktes im 3-dimensionalen Raum (3D-Rauml wird dUTCh seine relative Lage zu ci nem Bezugspunkt best immt. Die relative Lage wird in einem Koordinate nsvstem (KS) detiniert. Es gibt drei Koordinatensysteme im 3D-Rau m: Kartesische s Koordinatcnsystc m Zylill drisches Koo rdi natcnsystem Sptuirisches Koord tnatcnsystcm 5.1.1

Kartesisches Koordinatensystem

Das kurtesische , d.h. rechtwin klige. Koordinatensystem bcsteht aus drei zuei nander senkrecht stehenden Achsen. In diesem Syste m wird ein Punkt P durch Angabe seine r Koordinaten .r. y und z e ntlang die ser drei Achsen e indcutig festgelegr ( Bild 5. 1). Man schreibt symbo lisch p = (x, y, z]. Haufi g wird auch von eine m .rj'z-Koordinate nsystcm gcs proc ben. Im meistcn Hillen dcr lngcnicurpraxis hal man mit ci ncm kartesischen Recluss yste m zu tun (auch rechtshandigcs Sys tem genanr n) . Das rcc btshftndigc Sys tem liisst sich mil drci Finger n der rcchtcn Hand gut vis ualisic ren (8i ld 5.2). Den drei Fingern worde n dabei die drei Koordinatenachsen xyz zugeor dnel. 1m Gru nde ist cs gleichgliltig, welchem Finger die .r-Ac hse zugcordnet wird. Wichtig ist lcdig lich. dass der Zyklus »Daume n-Zeigcfinger-Mittelfinger « als gcsc hlossc nc Schleife du rchlaufen wird. Daraus rcsuhicren d ie folgcndcn drci Mog fichkciten: Daumcn : Richtung dcr .r-Achsc ==

Zc igefinger :

Mittelfinger :

v-Achsc zcigt in Richtung des Zcigcfingers z-Achsc zcigt in Richtung des Miuc lfi ugers j-Achsc zeigt in Richtung des MiueHingers s-Achse ze igt in Richtung des Daum cus y-Achsc zeigt in Richt ung des Daumens z-Achse zeigr in Rlchrung des Ze igefingers

Als schr nutzfich Illr die Komrolle cines rcc htshdndigc n Koordin utensystcm s hal sich auc h d ie Scnraubenregel crwicsc n. Z ur Veranschaul ichung soll das Koordinatcnsystcm so festgcleg t scin, dass die .r-Achsc dem Daumcn, d ie v-Achsc dem Zcigc fingcr und die z-Achsc dcm Mittclfingcr cntspricht. Wenn j etzt cine rcchrsgang igc Schrau bc z.8 . in Richtung des Mittclfingers gchaltc n und so gcdreht wird. wic cs dcrn Drchsirm vom Daumcn zum Zcigc finger hin cntspricht. dann bcwcgt sich d ie Schruubc in Ricbumg des Miuelfingers, d.h . in Richtu ng po sitiver z-Achse. weil cs sich hicrbei um ein rechtsbandtges Kc ordtnatcnsystcm handc u.

176

5 Elcm entare analy tische Geom etric

,

, S ild 5. 1; Kurtesisc hcs .rvz-Koo rdinatcnsystem

S iM 5.2 : Pmgersysrem als Hilfe fur das pos itive kan csische K$

Bewcgt sich d ie Sc hraubc dagcgcn in die cntgcgc n gcscrztc Richt ung des driue n Fingers, handelt es sich heim unrcrsuch ren Koordi nateusystcm urn e in Linkssystetn, Einc marhcmausch positive Drehrichtnng licgt vor, wcnn bci dcr Drchun g in ctncm Rcchtssyste m die Rechtshandregcl einge halten wird. In dcr .ej-Ebcne bcd cutct die s, dass die Drehung im Gege nuhr zeig ersln n mathematisch eine positive Dre hrich tung ist.

5. ).2

Zylind rlsches Koordtna tensystem

Bci dtesem System wird die Vcrbindungsgcrudc vern Koordi natcnursprung 0 zum Punkt P auf d ie xy- Ebcne projezien. Die Proj ektion sger ade in der .o-Ebcnc soil die Lang e r und den von der positivcn x-Achse aus gerne ssc ncn Winkel (I) besitzen. Durch die Angabe der drei geometrischen Oroaen r, (I) und z ist die Position des Punktes P im 3D- Raum ei nde utig bcstimmt. Man schre ibt dafUr P = (r, (I), z}. Die Umrcch nung dcr Koo rdin aten vo n c incm Koordin atcnsystcm in ein ander e» wird auch Koordinatentransfonnation gc nan nt. Zwischen de n kartesischen Koord inate n (x, y, ::) und zylindrischcn Koordi nate n (r, (I), z} bestchcn folgende Transformation she ziehungen :

Zylindrische Koordinaten

.e e r cos o y = r sin (l)

: =:

zu transfomlicrcn in

kanesische Koordinaten: (5. 1)

5.1 Koordinatcnvystcmc

177

z

p

y

, Bild 5.3: Zylindrisc hes rrp;:.- Koor dinOltcnsystcm

Kanesische Koordinaten

zu transformieren in

zylindrische Koord incuen:

r = ) X2 + y2

v r

.r COs ({) = - = ,~~,

,

si n({) = :.- = ,~~

r

tan ({) = :... .r

(5.2)

z =z Bei der ei ndeutlgen Bestimmung des Winkels ({) aus (5.2) swBt man nicht sehe n auf Schwie rigkeiten. In je dem bcliebigen xy-Wertepaar ist wege n der Vorzeichen von x . y automausc h die Quad rant cninform atio n cmhaltcn. d.h . man weif sofort. in welchcm Qu adramc n des Koord inutensystem s man vich befindct. Bei dcr Bcsummung des Winkels ({) in (5.2) ubcr die Arkusfunktioncn gchr diose Information verlorcn. Das hat zur Folgc. dass man vcrschicd cne Winkelwerte fur ({) crhalt. abhangig davon, ob man zur Bestimmung von ({) den Arkussinus, den A rkuskosi nus odcr den Arkustangens bcnutzt.

Elndeutlge Besnmmung von ({) Mit ({),. sci dcr Winkel ({) bczcic hnct, den man aus dcm Arkuskosinus crmincn: und mit ({), der Winkel, dcr sich aus dcm Arku ssinu s crgibr. Der Winkel ({) lasst sieh auf folgcndc Weise etndcuug bcstimmen: ~ ~

{ 360 - cp"

~,.

wenn sig n ({)" = sign cp, wcnn sign f(J,

:f:. sign f(J,

(5.3 )

odcr wenn Bogcnm aa vcrwcndct wird:

~ -

{ 27r -

~,.

wenn sign ({)t" = sign f(J., f(J,'

wenn sign ({)c :f:. sign f(J"

(5 .4 )

J71l

5 Elc ment are analytische Geometric

Hdspid 5.1: Die Koordinntcn des Punktes P sind im ka rteslsche m Koordinatcnsystem gegc be n. Ge sucht sind seine zylindrischcn Koordin atcn. P(x . y. z) ~ ( I; I ; 1)

P(r, cp , z} = ?

r=1x2 + ."2 =

~ = /2

cp" = arccos

1x2 +y 2

x

= arccos _ ,_ = arccos 0,707 1 = 4 5°

fIJ, = arcsin

.,j.i' +y2

J

= arcsin _ ,- = arcsin 0 ,707 1 = 45 °

.

sign cp" = sign cp"

"*

v'2

v!2

z= 1

cp = CPc = 45 °

Pola rk oordlnaten in der .o -Ebene Polar koordi naten r und cp stellen e inen So nderfall dcr zylin drisc hc n Koordi naten dar und crgcbcn sich. wenn ma n nur d ie .rj-Ebcne bctrac hret. d.h . dic z-Koordinatc nich t bcruck sichtigt. 5.1.3

Sphiir ischcs Koordinat cnsystcm

Bcim spharisc hcn Koo rdin atcnsystcm (auch Kugelkoord inatensystem gc nannt) wird cine Kugcl dc fuuert. dcrcn Radius r gleich dem Ab sum d des Punktcs P vom Ursprun gspunk t 0 ist (r = OP). Die Position von P wird du rch die Anga hc des Radiu s r und von zwe i Winkel n hcschricbcn. Ocr Winkel cp hat dabci die glcichc Bedeut ung wic bcim zylin drischc n KS (also dcr von dcr positivcn .c-Achsc aus gcrncsscnc Winkel in dcr .ev-Ebcnc). Ocr Winkel e wird vo n der positivcn z-A chsc aus gemc ssen .

, p

y

, BiJd 5.4: S pharisc hcs Koordirnuensysrcm

K ugel koordin atcn habcn also cine cnge Vcrwandschaft mit gcogruphisc hcn Posirionsangabcn auf dcr Erdobcrfluche. Ocr Punk t P hat dabci vom Erdmirtclpunkt den Abstand r (Erdradjus}, vom Grcenwich-Nu llmcridian den Win kel cpovom Nor dpo l den Win kel e (Aquator cmspn chr dcm Winkel fj = 9(jO).

5.1 Koordinatcnvystcmc

179

Transform ationsbezichungcn zwische n kartcsischcn und spharischcn Koordinutcn:

zu transronn iercn in

Kug etkoordinasen

Kartesische Koordinaten:

.r e r sin e cos c

(5 .5)

y =rsin 9 sin cp z = r cos 9 zu trunsformicren in

KIIXelkoordincaen:

y tancp = .r

z

z

r

} x2 +."2 +z2

(5.6)

cos 9 = - = /T~fC''''' Die cindeutigc Bcstimmung des Winkels cp crfolgt ganz analog zur Glcichung (5.3). lIeispi el 5.2: Yom Punk! P sind seine kancstschc n Koordinaten Gcsucht sind seine Kugelkoordinaten P(r, cpo6 ).

cp, = arccos cp, = arcsin

x

~

v x-+r Y

}x2 + y 2

= arccos

\

r,:;

v2

2

. .-I

(x Y'

= arcsin _'_ = arcsin 0.707 1 = 450

cos 9 = ; = .,/6 = 0.8 16

J2

::::} 6 = 35.26

p ~ ( " ~' e ) ~ (2.45; 45' ; 35.26' )

~

= arccos 0,707 \ = 45

sign cp,_= sign cp, ::::} cp = cp,_= 45 0

,

p ~

0

0

~

( 1'. \ ,' 21 bckannt.

IXO

5 Elcm entare analy tisc he Geom etric

5.2

Keordinatent ransfermatien in der xy-Ebene

5.2.1

Globa les und lokales Koord inat ensystem

1m AIlIag den ken wir bewuar oder unbe wullt permane nt in lokalen Koordinatensysteme n. Die Position cines Grundstucks bcschreibcn wir bcvorzugt in Bezug auf cine Suuueneckc (»biegen Sic an der Arnpcl reclus abodann 100 III geradcaus«). Die genaue Lage des Gcbuudcs auf dicsem Grund srack wird in Bezug auf eincn Eckpunkt des Gru ndstilcks gcmcsscn. Und der Standort des Fernsch ers lasst sich wiederu m am bcstcn in cincm »Wohnzimmcr-K{Xlrdinatensystem« beschreibc n. Ein ncucs Koordtnatcnsystcm cntsteht aus cincm Bczugskoordi natensystcm entwcdc r durch Parallelvcrschicbcng oder durch D rchung odcr durch bcid cs g leichzeitig. 1m fulg cndcn gchcn wir von einem urspru ngtfc hen .o- Koordl nnrensystcm aus und bezcic hncn das neue aus dcm .rySystem hcrvorgehc nde Koordinaten syste m als des xy-Koord inatensystem.

y

y y

ji

_

--_. ,

::: - ~ p

a oL-_~-----;------;;>

x

x

Bill! 5.5 : Koonfimuentransformarion in dcr . ry-Ebcne

In Bild 5.5 sind zwei kartcsische cbcne Koordi natensystcm e dargeste llt. Das xy-Systcm ist dux urspriinglichc Koordinatcnsystcm. Das xy-K{Xlrdinatcnsystcm gcht aus dcrn .ej-Systcm durch vcrschicbung des Koordi nutcnursprungs 0 urn die Bctra gc a bzw. b crulang dcr .r- und yAchsen und Drchung um den Winkel cp urn den ncuc n Ursprung 0 hervor. In dcr Mechanik wilrde man bcim .ej- Systcm von cincm globalcn und bcirn xy-System von etnem Jokal en Koordina rcnsystern sprechen. In der Tcchnik werden lokalc Koord inatensysteme hautig vcrwendet. Das ertetchten die Darencrtassung und verringcn d ie Fchle ranfalligken. Ein beltebiger Punkt P sci im .rv-Koordlnaten system durch seine Koordinaten P "", (r.v) ausgedrnckt . 1m xy-Systcm harte P dan n die Koord inaten P = (i,.P. Dlescn (Ibc rgang vom xySystem in das xy-System nenn t man Koordina tentran sform a tion. Einc Koord inatc nra nsfo rmat ion zwischen dcm urspru nglichcn und dcm ncucn KS bestehr also aus Vcrschiebun gs- und Drchungsvorgangcn dcr Koordinarcnachscn.

5.2 Koordinarenrransform anon in der .rj--Ebcne

ll:lJ

y

p

-

y

,

..............)L:-r'------,---". a r v b

,

,

Bild 5.6: Parallel verschiebung des Koordinatensysterns

Sp ezifikation etn es Punktes durch seine n Ortsvektor Ein Punkt P kann symbolisch sowohl in dcr Srandardnorauon P = (x . y) dcfinicrt worden als auch durch Angabe seines On svcktors r . Der Ortsvcktor r crsrrcckt sich vom Koord inurcnursprung 0 zum Punkt P. In v cktorschrcib weisc liisst sich dcr Punkt P also auch dutc h folgendc Ortsvcktoren eindcuttg bcstimmen (Bild 5.6):

r = [ :::] 5.2.2

sta t!

P = (x,y)

, ~

[ ,y ]

statt

P = (1', y)

Tra nslation des Koordinatensystems

Die Translation ist cine Parallclvcrschicbung des .ey-Koordinutcnsystcms. Nach dcr Translation blcibcn die .r- und j-Achscn sowie d ie y- und y.Achsen wcitcrhin zueinandcr para llel, vgl. Bild 5.6. Die .t-Achsc wird gcgcnubcr dcm Ursprung 0 urn den Bctrag a vcrschobcn. Die Verschiebung der y-Achse bctragt h. Die Umrcchnung der Koordinatcn des Punktes P = (x, y) von cincm System ins andere erfolgt da nn mit Hilfe fo lgender Beziehungen: I X - X - 11

y- y- b

(5.7)

X - X +11

Wen n man den Punkr P durch seinen Onsvcktor r und die Parallclverschiebungen a und h als Vektor v ausdruckt. ergcben sich folgende Beziehungen:

r =r - v

r = v +r

(5.8)

folgt daraus

[ ,] y -_[ )x] _[ a] b

IX2

5 Elcmentare analytische Geometric

Hd spid 5.3:

Neue Pun ktkoordinate n

Fi n Punkt P bcsit zt irn xy- Konrdinate nsy"te lll die Koordinaten P = (-2; 3). Gesuch t sind die Koordin atcn von P in cincm xy- Koord inate nsy"te m. das gege nilbcr dem .rvKS urn a = l und h = - 2 parallel vcrschobcn ist.

x = x - o = - 2- 1 = - 3 Bcrechnun g in ve kto rschreibwelse:

P(i .; )

--

, ~, -v ~ [

-;]-[ _~ ] ~ [-; ] ,

HeispieI 5.4:

"

Transfor ma tion der Kreisgleich ung

1m xy- Koordinate nsystem sci ct n Kreis mit dcr Glcic hung f+y2 = 16 gcgc bcn. Wier lamer di e Gleichu ng die ses Kreises in eine m III'-Koordinate nsys tem dcssen Urspr ung im .ry-system die Koordinaten 0' = ( - 2; - I) besitzt? Oas « v-Koordinarensystem ist gege ntibcr dem xy-Sys tem um a = - 2 und b = - I parallel verschobe n. Demus folgt mit (5.7)

x = U+ O= 11 + (-2) = 11 - 2

Y = \' + !J = \' + {- l ) = \' -1

Binsctzen dlc scr Ausdruckc in die Krcisglc ichung .r + y2 = 16 licfcrt :

::::}

5.2.3

1/2+ 1,2 _411 _ 2v = 11

Rotation des Koordinatensystems

Bei dc r Rotation (Drehung) wird der Koo rdinaten urspr ung 0 fixiert und nur die .ry-Achsen werden ge mei nsam um gleichen Drchwin kel rp um den Urspru ng gcdreht, s. Bild 5.7. Eine Drchung entgegen dem Uhrze igersinn wird mit einem positivcn e -wert. d.h . rp > 0, ausgedrtickt. Ei n negativer Drehw inkel rp < 0 bcde utet Rotation nn Uhrzeigc rslnn.

y

y

9 ~

:\ x

x

x

Hild 5.7: Drchung des Koordmaicnsystems

5.2 Koordinarenrransformanon in der .rj--Ebcne

183

Die Beziehun gen fllr die Rotat ion des Koordinatcnsystem s laure n: ..1' = x · eos cp +y' sin cp

.r = - x '

x =..1'· eos cp - y· sin cp

)' =..1'. sin cp + y · eos cp

sin cp +y · eos cp

(5.9)

In dcr Mutrix schr cibw cisc gemaB Ab schnitt 3 lassen sich d iesc Tra nsforrnationbczichungcn bese nders kompu kt angcbcn. Mit dcr Rotanonsmatrtx R und den Orrsvckt orc n r, r

R~ [

cos e - sm cp

,;n ~ ]

cos cp

r=

[ x]

r=

y

[I]y

(5. 10)

crhalt man folgendc Transformat ion zwischen dem glob alcn und lokulc n Koor dinarcnsystcrn: (5.11)

Die Rotatio nsrnatrix R ist cine sog . orthogonale Matrix. Die Inverse und die Transponierte e incr orthogonalcn Matri x sind g leich. d.h. es g ilt stets R - J = RT . (5. 12)

Die Transforma tion zwischen dem globalcn und lokalcn Koordi natensystem lautet somit:

Ueispi eI5.5:

Punktkoordinat en im gedrehten System Ge sueht sind d ie Koordinaten des Punkts P(x. y ) = (3; 2 ) im .ey-Koordi narensystem , das gege niiber dem xy-KS um tp = 135 0 gcdrcht wird. x = x ' eos cp +y ' sin tp = 3 · cos 135 + 2 · sin 135" = - 0.707 0

.r = - x · sin tp+ y '

cos cp = - 3 · sin 135 0 + 2 · cos 135" = - 3.535

P(I . y) ~ (- 0.7071: - 3.5355) Bercchnun g in Matrix schreibweise:

r =Rr

r~

[

R~ [

- 0,707 1 - 3,5355

]

- 0.707 1 0.707 1 ] - 0.707 1 - 0.707 1 0=}

,

~

[;]

P(i .Y) = (- 0.707 1; - 3 .5355)

184

5 Elcmenta re analytische Geometric

Hd spi d 5.6: Gerace im gedrehten System 1m ry-K()(mli n<1lensystern isl erne r. ermle dn n-h die r.l t'ichllng y = 2x - I gege h!·n. Wier lautet die Glcic hung dic ser Gcradcn in ci nem «v-Koordinatcnsystcrn. das gcgc nijbcr dcm .ry-Systcm urn 30" gcdrcht ist? Mit Hilfe dcr Rotanon sformct (5.9) crhalt man:

y. sin qJ =."t. cos 30" - y. sin 30" = si n qJ + y . cos qJ = ."t. sin 30" + y. cos 30" =

.r =.t· cos qJ -

0 ,866.t - 0.5Y

y =.t·

0 .5."t + 0.866Y

Nach ci nserzen die ser Ausd rilckc in die Gerad engle ich ung y = 2x - I er hult ma n:

0 .51'+0.8665' = 2 (0 ,866t - 0 .5y ) - I

5.2.4

=>

5' = 0 .66 .\' - 0 .536

Tra nslation und Rotation

Bci dicscr Koordmarcm ranstormauo n ist das .t y-KS gcgenubcr dcrn .rj-Sys tcm sowohl paral lel vcrschobc n ats auch gedrcht. Hicrbci spic lt cs kcine Rolle. ob zunachst verschobcn und dan n gcdreht wird Oller zunac hst gedreht und dann verschobcn wird . Die Transform at ion zwischen dem globalc n und lokalcn KS tauter in klassischcr Schreibweise:

x = (x - a) · cos qJ +(y - b) · sin qJ

5'= - (x- a ) · sin qJ + (y -h)· cos qJ

15. 14)

R gCOltiB (5.10), v gemliB (5.8)

15.15)

In Matrix schreibweise erhalt man:

r = R (r -v ) Heispi eI S.7:

Gcsucht sind d ie Kcordi naten des Punkts P(x. y ) = (4 ;4) im 1'Y-Koordiniltensystem. das gegenUbcr de m xy-KS um a = I, h = 2 parallel verschobc n und um qJ = 60" gcdreht wird. Die Losung wird mil Hilfe der Matrixbc ziehung (5. 15) du rchgefuhrt .

,~ [

:]

v

r =R (r - v ) = [

~[~] 0 .500

- 0 .866

P(I .r ) ~ (3.232: - 1.598)

R

~

0 .866 0 .500

[

0 .500 - 0 .866

0 .866 ] 0 .500

] ( [ :] - [ ~ ])~ [

3.232 ] - 1.598

S.J Abstand zwischen lwei Punkten

185

,

" y

.--.---.-1, l(

"2 --

ri "-

Bud 5.8: Abstand zwischen lwei Punktcn

5.3

Abstand zwischen zwei Punkten

Dcr Abstand L zwisc hen zwe i Punkten P = (Xl; YI; ::'1 ) und Q = (X2; vz: ::2) im kartcsischcn Koord inatcnsystem ist die Lan ge der Gcradc. di e die beide n Punkte miteinander verbindct (vgl. Bild 5.8), und karin m it Hilfc des Pythagoras-Sav es bercch nct we rdc n: (5. 16)

(im xy::.- Rawn)

Fall s die Punkte P und Q in dc r xy-Ebene Hcgcn. en tfallt die z-Koo rdin ute, und d ie G leich ung verein fucht slch wic fo lgt:

1L ~

! (X2 - .q )'

+ (n -

.\"

)2 1

(ill der xy-Ebene )

(5. 17)

Der Abs tand L zw isc hen de n Punkten P und Q ist e ine skalare Grote, d.h . vom verwe nde tcn Koo rdin atensystem unabluingig, Der Ab stand zw isc hen zwc i Punkten bleibt unvernndert. wenn anstelle kartcsischer Koord inaten zy lind risc he ode r sphnrisc he Koordinaten verwendct werden.

Ueispi el 5.8:

Absta nd zwischen zwei Punkten

Bcstim mcn Sic den Abs tand zwische n dcn Punktcn P = (- 3; I ; 7) und Q = ( - 1; 5; 2) . dcrcn Koordin utcn im kartcsisc hc n xy::.- Koord inatc nsys lc lll definiert sind. A bstand L gcmna Gl. (5. 16):

L" Ueispi el 5.9:

~ !1- 3 -

(- ()J' + ( 1- 5)2+(7 - 2)'

~ J4+ 16+25 ~

v45

~ 6.708

Abstand ist unabh angfg von KS-Transformation

Ein kartcsischcs xy· Koord inalcnsyslcm wird gcgcnubc r dcm xy· Koord ina tensys le m parallel vcrschobcn . Ferner sind im .rv-Systcm zwc i Punktc P = urn v = [I ; ( - 2 ; I) und Q = (2; 3 ) dcfin icrt . Es soli gczcigt we rden. dass sic h dcr Absumd L zwische n P und Q nicht andc n. wenn die Koord inatcn dcr Pu nkte P und Q irn x y-Koordi nalensys tem uusge druckt werde n.

- 2J

186

5 Elcmenta re analytis che Geomet ric

Abs tand L gc mii13 GL (5.17) im .rj- Kcordi narcn systcm:

Lry

~ ) 12 - (_ 2))2 + (3 - 1)2 ~ J20 ~ 4,472

Koordinaten dc r Punkte P und Q im i)'-KS:

P(x.)') ~ (- 2 - 1;

Q(x,y)

1 - ( - 2) ) ~

~ ( 2- 1 : 3 - ( -2 )) ~

(- 3: 3)

(I: 5)

Abstu nd L gema B G I. (5. 17) im xy- KS:

t.; ~

) (i - (_ 3))2 + (5 - 3)' ~ J20 ~ 4 .472

Der Abs tand L =0 L" . ;0::; L..., bleibt also in heiden Koo rdm atcn systcmcn glcic h.

5.4

Geraden in der .ry-Ebene

Die kurzcs tc Verbindungs linie zwc icr Punkte hcitlt Gcmdc. Einc Gerudc. d ie sy mbolis ch m il G bezeichnct wird, iSI durch zwc i bcliebigc auf ihr licgcndc Punktc cindeutig bcstimnu.

5.4.1

For me" der Geradengtetchungen

Eine Gcr adc in dcr .ej- Ebcnc lass t sich in mehreren G tetch ungsform cn darstcltcn. wobci jedc von ihnen sic h du rch Umfo nnung in einc ande re Darstellungsfortn ubcrfu hren lasst.

Nor malfor m (Ha uptfor m) Falls die Ge radc d urch den Punk t P =0 (XI ,Yl ) =0 (0 . k) geh t. dcr sich auf der y-Achsc bei dcr Ordina te l: befi ndct. erhalt man aus (5.20 ) die Nannalform [auc h Haupt fo rm gcnannu eincr Gcraden:

Iy=o mx+kl

(5.18)

Die Stc igung dcr Gc radc n ist Ill; die Konstantc k ist de r Ordin atenabs chnin auf dcr v-Achse. y m=/an 'l'l

•• G

Hild 5.9: Normalform cinc r Gcradcn

5 .4 Geradcn in der .rj--Ebcne

Il:l7

Punktsteigungsfurm Dcr Tenn (Y2 - .n )/(.~2 - Xl ) in (5.22) gibt den Tangens des Winkels qI zwischen der positiven x-Achse und der Geraden wieder. Der Tangens des Winkels qI wird auch Steigullg III der

Geraden gcua nnt. Y2 - y ]

lIl = tan cp = -

X2

-

(5.19 )

- x]

Die Gerade ngleichung eincr Gcradcn. die durch den Punkt P = (x ], Yt ) geht und d ie Steigung besltz r, lautet in der Punlasteigungsfortn:

!II

Iy - m (x - x il + .n

I

(5.20 )

y

P=(x" y J m=tan ",

p

:m ........,

G

Bild 5. 10: Punktstclgu ngsform etnc r Gcraden

Zweipunktdurm Falls die Gerade durch zwei Punkte P = (XI, .n) und Q = de ngleichung in der Zl rei flllllktefol7 l1:

( X2'

.)"2 ) definiert ist. tauter die Gcra-

(5.2 1)

Die Umfonnung liefert folgende Gerade ngleichu ng: \' 2 - V ]

y = '-.- "- (x - X]) +y]

(5.22)

-' 2 - X ]

Achsena bschmus rorm Bild 5. 12 zeigt eine Gerade, die durch d ie heiden Punkte P = (0, Yo), Q = (xo. 0 ) gehl und die .r-Achse bei xo, die y-Achse be! Yo schneider. Ausgehe nd von der Zweipunkteform einer Geraden gemlilJ(5.2 1) erhlllt man zunachst y - Yo

x-o

O- Yo xo - O

'*

Y - Yo - Yo

x x (}

IXX

5 Elcmentare analy tische Geometric

Y

P =(X1'YI) O='(x2-Y~

Q

p

G

Hild 5. I I: Zwcip unktcfurm cine r Geradcn

y G

'0

x

Bild 5. 12: Achsenubschmnsforrn einer Gcraden

und daraus d ie Achsenabsctmiusjorm eincr Geradcn:

x )' -+- = 1 XI) Yo

(5.23)

Hinweis: Die Ach senabsch niusform gilt nicht fiir Geraden . die durch den Koord inatenursprung gehen, wei! dan n Xo = Yo = 0 ware. AI/merkt/IIX: Die Achscnabschntusforrn ci ncr Ocra dcn wird in dcr Pcstigkcitslchrc Ilir das Sachgcbict »Erm udungsfcstigkcit von w crk stoffcn« bcsondcrs hauflg vcrwendct. AIIJ.:emeine Linearform Die allgemeine Linea/form (A L F) ist die allgcmeins tc Glcic hungsform cinc r Gcradc n:

l ax + by + c - O]

(5.24)

wobci a . b . c kons tantc Koe ffizicrucn und x ,y d ie Koo rdinutcn c ines bclicbigcn Punktcs au f dcr Ocrad cn sind . Ein Punkt P = (Xl . )' 1) bctindct sich dunn und nur da nn auf dcr Geradc n. wenn seine Koordin aten die Gleichung crfullcn. d.h. wcnn d ie Glcichung a X I + bYI + C = 0 erfullt ist. Andcrcnfalls licgt dcr Punkt nicht auf diescr Ge radcn.

5 .4 Geradcn in der .rj--Ebcne

Il:l9

Ilesse-Nor rnal for rn Die Hes se-Narmalfor m (HNF) einer Gerade G wird durch folgencte Gleichung ausgedrtlckt:

Ixcos r +y sin r -I' - 01

(5.25)

r : Winkel zwischen der positiven

.e-Achse und der Geradennor male

p : Abstand zwischen dcm Koordinat enursprung und dcr Geraden G

Die Hcsse-Normalform crgibt sich aus der allgemeinen Linearform

(/X

+ hy + c =

0, indcm die

y G

p

,

,

Bild 5.13: Hesseforrn einer Oeradcn

Ocradcnglcicbu ng der allgcmcinen Lincarform mit eincm Normierungsfaktor k multiplizicrt wird:

k ' (ax +hy+c ) = O

mit

sign : Signumfunktion

(5.26)

Ocr Kocffizicnt p in OJ. (5.25) ergiht sich aus c -srgnrp = - k - c = .:.",~"

va'+b'

(5.27)

Die beschrtebc ne Umfo rmung kann symbolisch ausgedrtickt werden ols: GUNF

= k · CAI.F

wobei das Symbol G U NF die Geradenglcichung in Hesse-Ncrmatform und G ALl' die Geradengleichung in allgemeiner Linearfonn bedeuten. Falls die in der Aufgabenstellung enthaltene Geradengleichung nicht dcr allgemeinen Linearform CALF) e ntsprlcht. muss sic vorher du rch geeignete Umformungen in die ALF gebracht werden. Die Hessesche Nonnalform (HNF) iSI bcso nders nutzfich bci der Bcrechnu ng de s Abstands cines beliebigen Punkres der xy-Ebene von der Geraden G. Die Hesseschc Normalform gilt nicht fur Geraden , die durch den Koordinatenursprung gehen. wei! fur solche Gcr aden c = 0 gilt.

190

5 Elcmenta re analytische Geometric

Hdspid 5.10: Die Gc radc , die durch die Punkt e P = ( - 2; I) und Q = (2: 3) ge ht. sol l in versc hiedenen Gl eich ungsform en besch rieben worde n.

Es ist zwec kma uig, zunac hst m it dc r Zwei punkteform zu sta rte n. Zw eipunktefo rm: Aus (5.2 1) crgibt sich:

y- I x+ 2

~

3- I

y- I

2 +2

x +2

- = 0.5

y = 0.sx +2

Pun ktstejgun gstomn Aus G I. (5. 19) crg ibt sich die Steigung zu III

Y2 - YI

etan e = - - XZ - X l

~

3- I

-- = 0 5 2 +2 .

M it den Koo rdi natcn des Pu nktcs P crhalt man die Gcradcn glcic hu ng

y = O.5 (x - (-2 )) + 1 = 0,5x+ 2 Mit den Koo rd inaten de s Pun ktes Q erg ibt sic h d ie gleic he Geradcngleichung:

y = 0.5 (x - 2) + 3 = O.5:r+2 Nor ma lfllrm: Die Koordi naten de s Pun ktes Q konnen zur Bcsrimmung des Ord inarenubschnitts k in G I. (5. 18) verwe ndet worde n. Die Steigu ng III wurdc bereits wahrcnd der Herleitung dcr Punktsteigungsfonn bestirnmt (111 = 0.5). Die Geraden gleich ung y = lII x+ k licfcrt flir dcn Punkt Q = (2: 3):

3 = 0.5 ·2 +k

=;. k = 2

Die Nor ma lform dcr Gemdcngleic hung lautct somit:

y = m x + k = 0,5x + 2

5.4 Geradcn in der .rj--Ebcne Ac hsena bsc hn ittsform: Aus dcr Nc rmalform dcr Geradcn gfcichun g y = mung zunachst

O.5.~

+ 2 cr halt

m all durch Um for-

y - 05x =2 und da nn durch Divisio n bcider Sei ten dieser Beziehung du rch 2: => -

.r

Y - +-= 1

(- 4)

2

Die Gerade schncidet also die .r-Achse bci .rn = - 4 und d ie v-Achsc bci Yo = 2. Allgemeine Lin ea rfo rm : Die allgemeine Lincarform erg ibt sich du rch Vcrschic bung alter Grieder in dcr Glcicbung y = O,5x + 2 auf cine Scitc (nach links odc r nach rcc hts) :

05x -y +2 = 0

oder

2 ·(05x - y+2 ) = x - 2y+ 4= 0

Hessesch e Normalform: Aus der allg emei nen Linearform a.5x - y + 2 = 0 von G erhult man gemaB (5.26) : signc =sign2 = + 1

k= -

I

1 0.52 + ( 1)2

= - 0.89443

Die Multiplikation k . (ax + by + c) lic fcrt: (- 0 ,89443)· O,5x - (- 0,89443)· y + (- 0, 89443) . 2 = () Die Ausmultiplikatio n licfcrt die Hessc-Normal torm der Gcrudcn: HNF:

- 0 ,4472 1x + O.89443 y- 1.78886 = 0 --...-"-...--'. "-...--'

,,"y

, ;n y

p

Der Abstand der Ge raden ve rn Ursprung bctragt also p

r

<:::::

1,79 Llingencinheitcn.

Besu mmu ng d es Winkels Aus cos y = - 0 ,44 72 1 folgt Y= 116 ,56° == y,: und der Ter m sin y = 0 ,89443 liefen y = 63,44° == y" Welcher Winkel isl nun richtig? Diese Problematik bet der Bestirnmung des Winkels ist nicht scltc n (s. auch Seite 177 ), d ie Ursac he liegt im Veriusl von Phaseninfonnation . Der korrektc Winkel y (positiv im Gegenuhrzeige rsinn von der .r-Achsc aus gcmesscn) crgi bt sich nach (5.3) zu: signy,_ = signy,

=>

y =y,- = 116.55°

191

192

5 Elcmenta re analytische Geo metric

5.4.2

Steigung ejner- Gerade n

Die Steigung III der Gcradcn C in Bild 5. 10 entspricht dem Tangcns des Winkels qJ zwischen der positivcn .r-Achsc und C. Die Bcstimmung der Stcig ung hangt von der Form der Gcradcnglcichung abo Gerade in der atlgemeinen ilneorfonn: Aus der Gcradeng telch ung (5.24 ) ergibt sich durch Umformung:

c b

(I

y = - -x - -

b

Die erste Ableitung dieser Funktion liefert die Steigung de r Gcraden : II/ = "

.

,

"b

(5.28)

= - ~

Geraae ill Zweipunktefonn: Die Steigung crgibt sich aus dcr crstcn Ablcitu ng dcr Gl. (5.22): - Yl 11/ = •\.I = )'X2 -2 -- Xl

(5.29)

Oerade in Achse nabschnittsform: Glcic hung (5.23) win! nach y aufgc lost und dann diffcrc nzicrt:

Yo

-X .\' =\'o . - Xo

m = y' =

Yo Xo

(530)

Gerade in He.u e-Norma/form: G1cichung (5.25) wird nach y aufgctost und dann differenziert: \' =

.

I cos r 111 =), =- - .- = - cot r

p -X cos r sin r

Sill

r

IJeispiel 5.11: Die Stcig ung dcr Geradcn in Beispiel 5. 10 soil bestimmt werde n.

AllgemeineLinearfa nn: a 0 .5 111 = - - = - - =0.5 b - I

Zweipunlaefonn: )'2 -)'1

11/ = - - X2 - X I

~

3- 1 - - = 0.5 2 +2

(53 1)

5.4 Geradcn in der .rj--Ebcne

193

Achsenabschniusfonn:

ro

2

11I = - '-- = - - = 0 .5 xo -4

Hesse-Normatfonn: cos Y - 0 ,44 7 11I = - - - ~ - - - - = 0 5 sin Y 0 .894 .

5.4.3

Ahstand cines l'unktes von einer Gerad en

Den Abstand d cines Punktes P = (XI: )'1 ) von cincr in Hesse-Normalfo rm gcgcbcncn Gcradcn G (Bild 5. 14) kan n man bcrcc bnen. indcm die Koor dinatcn des Punkrcs P in die Geradcngfei ch ung (5.25) eingesetzt werdcn:

(5.32 )

d = XI COSY +Y I siny -p

Anmerk ung : 0 1. (5.32) Heron cinc n positiven Wert fur d . falls dcr Punkt P und dcr Koor dinurcnursprung 0 sich auf cntgcgcn gcsctztcn Scitcn dcr Gcrudcn befindcn, andercnfulls wird (I

ncgauv, Y

,

P

•

,

o

G

Bild 5.14: Absrand cines Puuktcs von cincr Gcradcn

lIeispieI S.12: Gcsucht ist dcr Ahstand d des Punktcs M = (- 2: 3 ) von dcr Gcradcn des Beispiel 5. 10 auf Seilc 190. Die Hcssc-Nor mulform dcr Gcradcn lautet: - 0 .44 72 1x + O.89443 y - 1,78886 = 0 Das Einse tze n der Koordi naten von M in diese Gleichun g licfcrt den Abstand (d wird positiv, weil 0 und M sich auf entgegcngeset ztcn Scitcn der Gcraden befinden ):

d = - 0 .4472 1 · (- 2 )+ 0 .89443 · 3- 1,78886 = 1,79

194

5 Elcmentare analytische Geometric y

"

s

G,

.

"

v,

"',

" Bild 5.15: Schniu punkt. Scbninwin kcl und Richtungsvektor

5.4.4

Schnitl punkl zweler Geraden

Ocr Schnitt punkt 5 zwcicr Gcrudcn G l und G2 (Bild 5 .15) kann auf vcrschicdcnc Weise bercchnct werden . Falls die Gcradc n bcispiclsweisc in dcr allgemeinen Lineorfo rm gegebcn sind, ergeben sich die Koordinaten x." )' , des Schnittpun ktes aus der Losung folgenden linearen Gleichungssystems. Gerade G] : Gerade G2:

tltx + btY + Ct = 0 d2X+ b2Y +C2=0

In Matrizcnschreib weise lautet das zu losende lineare Gleichungssyslem: U )sung des Gleichungsystcms

s~

(x" y,) (5.33)

Falls d ie Gcradcn in dcr Normatform gege ben sind (mit Steigun gcn "' l und "'2), lassl sich ihr Schni upun kt S = (.1.",,, Ys ) dureh Gleichsetzung beider Ge raden glciehungen ermitteln:

..,.' --

(5.34)

lIeispieIS.1 3: Ge suchr ist der Schnittpunkt P = (x, ; y., ) der Gc radeu G I : Y = 2\' - lund G2 : y = - x/ 3 + 5. Des Glcic hsctzcn dcr Gcra dcngleichungcn crgibt: 2 \' - 1 = - x/ 3 + 5

.:=}

.r, = 2,57

Das Einsctzc n von .r, in d ie erste (odcr zweite ) Ge radcn gleichung licfcrt: y, :

r, = 2 · 2,57- 1 = 4,14

=>

P, ~ (2.57: 4,(4)

5.4 Geradcn in der .rj--Ebcne

5.4.5

195

Winkel zwischen zwei Geraden

Der W inkel rp zw ischen den Gcruden G 1 un d G2 mit den Steigungen Hissl sich durch fo lge nde Berrachtuug bestimmen:

Ill]

und /Il2 ( Bild 5. 15)

Ocr W inkel zwisc he n der x-Achse und der Gern den G l wird mil qJ l bezeichnet und derj enige zwischen der x-Achse und G2 mit (j>J. • Dcr Winkel qJl (oder (j>J.) wird als poshiv angeschen, we nn er im Gegenuh rzei gersinn zelgr. und ncgativ im Uhrze ige rsinn . Der ge suc hte Schn ittwi nkel rp entsprich t de r Differcn z dcr belden Wink el (qJ wird von der Geraden G l aus im posinven Drchsinn. d.h . im Gegeuu hrzeigersinn. gcmcsscn j: qJ = (j>J. - rpl

Aus dcm Tangen s der linkcn und rectuen Seitc er ha lten wir

=>

ta n qJ = tan( (j>J. - qJ!l

Ian rp =

Ian (j>J. - Ian qJ l I + tan rpl tan (j>J.

Umcr Bcrucksichngung dcr Dcfinitioncn tanrp] = 111 1

tan (j>J. = fIl 2

erg jbt sich d ie Beziehung fur de n Schnittwinkel rp schlie sslich zu tan rp =

11/2 - 111 1

1112 -111 1 )

rp = arctan ( 1

1 + m 11ll2

+ 111 ] 11/2

(5.35)

Sonderfalle Zwei Gc raden G l und G2 sind parallel. wen n ihrc S teig ungen gleich sind: 1/11

=

1/12

Wenn zwci Gcradcn G 1 und G2 onhogonol sind (d.h. zuet nandcr senkrccbr. G 1-lG2), gel len folgendc Bezieh ungen: 1/1]"'2

=- 1

IIl I

=- -

I

(5.36)

fIl 2

8eispieI S.14: Gcsucht ist dcr Wi nkel zwische n den Gcradcn G ] und G 2: Gl : Y = 1.5x - 1

G2: )' = - 4x - 12

Die Gcradcn ha ben d ie S teigung cn

G,

",, = .r'G2 = - 4

196

5 Elcmentare analytische Geometric Ocr ci ngeschlosscnc Winkel rp crgibt sich zu tan rp =

5.4.6

1112 -111 1

1 + /II IJIl2

=

- 4- 1,5 = 1 1 1+ 1.5· ( 4) ,

Winkelhalh ierende zweier Geraden

Bild 5. 16 zeigt zwei sich schncidcnde Gcrudcn G t und G2 sowic ihre Winkel halbicrc ndcn H I und H2. Wen n die Gcmdcn G I und G2 in dcr Hess e-Nonnalfonn vorhcgcn, crgebcn sich die

Gcrad cnglcich ungcn von H I und H 2 aus folgcndcr Bczichu ng:

(5.37)

Anmerkungen: Oil' Winkelhalbierenden HI und H 2 srchen senkrecht zuei nander (H I l- H2) . H 2 bcfindct sich im denj enig en Winkel raurn der sich schneidcndcn Geraden. in dem sich auch der Koord inatenursprung befinder. y

G,

H,

.n.l..

", G, 0

H,

,

Bild 5.16: Winkelhalbierende zweier Geraden

Ud spi d S.IS: Gegebcn sind drei Punktc PI = ( - 2; - 4). F'2 = (2; 2) und ~ = ( - 4; 4). Durch die Punkte P1J'2 geht die Gerad e G I. und durc h die Punktc PI,P3 d ie Gc rade G2. Gcsuch t sind die Gleichungen der heiden Winkel halbiercnde n der Gc rade n G I und G2. Ausgchcnd von dcr Zwcip unktcfo rm crgcbcn stch fclg cndc Geradenglcichungen in dcr allgemei nen Linearform :

2 - (- 4) ( 2 ) (X - ( -2 )) - 4 ~ 1. 5x - l

Y ~2

y=

4 - (- 4) 4 ( 2 ) (X - ( -2 )) - 4 ~ -4X - 12

=> 1.5x - y - I =O => 4x + y + 12 = {)

5.4 Geradcn in der .rj--Ebcne

197

Daraus erhuh man folgcndc Gcradcngleichungcn in Hesse-Norrnalto rm: - I .1.:1 - -~~co=~'" = 0 ,555 - ) 1.5' + ( I )'

.1.: 2 = -

G2 :

1

- I

/ 4' + 1'

v'T7

=?

=?

OJl33x - 0.555y - 0.555 = 0

- 0.970.'1'- 0.243)'- 2.9 10 = 0

Die Gleich ungen der Winkelhalbierenden lauten nach Gl. (5.37):

504.7

HI :

- O. 137x- 0.798y- 3A65= 0

H2:

1.803x - 0 ,3 12y + 2.355 = 0

odcr ), = - 0.172\ - 4.3 4 odcr y =5.779x +7 .548

Rlchtungsvektor eine r Ge ra den

Der Rlchtungsvekror v einer Gcradcn in der xy-Ebene zeigt die Bewegungsrichtung auf der Oeraden. wenn slch d ie .r-Koordinate um einen posltiven Berrag anden. FUr cine Gemde mit dcr Stcig ung '" (vgl. Bild 5.15) ergibt slch ihr Richtungsveklor zu:

15.38) Ocr Winkel qJ zwisc hen den Geradcn Gl und G2 mit den Steigungen "' I und 11/2 in Bild 5. 15 lassl sich auch ubcr ihrc Richtungsvcktorcn V I und 1'2 bcxtirnmcn. Aus dcm Skala rprod ukt dcr bcidcn Rich tungsvcktorcn erhlllt man den Winkel tp zwischen V I und V2 : V I ' V2

cos rp = [vI I [1'21

rp = arccos

( v,.v, ) [1'1 111'21

(5.39)

Heispi eI5. 16: Gcsucht ist dcr Winkel zwischen den Richrungswinkcln dcr Gcradcn GI und G2 (s. auch Bcispiel 5.l 4 ). GI :

y = 1.5x - 1

G2 :

y = - 4x - 12

Mit den Steigungcn JIll = 1.5 und 11/2 = - 4 crhalt man aus (5.38) d ie Richtungsvektorc n:

Ocr Winkel rp zwischen 1'1 '1'2

vI

und

1'2

ergibt sich aus (5.39 ):

= 1 ·1 + 1.5 - (- 4 ) = - 5

J91l

5 Elcmentare analytische Geometric

cos ({' =

VI 'V2

~~-

Iv,lIv, l

- 5 = - 0 .6727 } 3.25 · 17

=

({' = arccos ]- 0 .6727)

({' =

132Y

A nme rk ung : Ocr Wen 132,30 entspricht dcm Winkel zw ischen VI und v2: der Wen

47.70 in Beispiel 5.14 entspricht dcm Winkel zw ischen G l und G2. der von der .rAchsc aus im Gegenuhrzeigersinn posittv dcfinicrt wurde .

5.5

Zusa tzliche Reispiele

Heispi eI 5.17: Die Koordinaten des Punktes P sind im kartcsischcm Koordtnatcnsystcm gcge bcn. Ge sucht sind seine zylindrischen Koordinaten.

P(x.)'. z) ~ (- 1;- 1; I )

P(r, ({' . ::) = ?

U)SUIlX :

r=Vx2 + y2 =

z= 1 ({',-= arccos ({', = arcs in

x

- I

v x2+ l

v2

~ = arccos

b

V X2 +y2

sign ({',- -I- sign cp,

=>

} (- 1)2 + (- 1)2 = 1,4 14

.;=}

M

= arccos] - 0 .707 1) = 135

0

= arcsin - ~ = arcs in( - 0 ,707 1) = _ 45 0 v2 ({'

= 360 - ({'C = 360 - 135 = 225 0

PV, ~ . , ) ~ (1,4 14; 225' ;

I)

Heispi d 5.18 : lm .ej- System ist ein Kreis durch die Glcic hung .~ + y2 = 16 bcschriebcn . Wie lautet dic sc Krcisg lcic hung im j y·S ystc m, das gcgcnubcr dcm .ev-Systcm urn v = [2: - 31 vcrschobcn wurde?

Zunachst worden die .ry-Koo rdinatcn als Funktio n dcr j y-Koord inaten ausgcdruc kt: (/ = 2

1> = -3

.;=}

x = j +2

y = .r - 3

Die Subst itution dcr ob igen Ausdrtlcke in die gcgc bcnc Glcichung des gcs uchte Ergcbnis:

(:<+ 2)'+(y - 3)' ~ 16

bzw,

x2 +.v2 +4 x - 6Y= 3

.r+i

= 16 licfert

5.5 Zusarzfiche Bcispicle

Heispi d 5.19: Pl.'g~ twn i", der- Punk , P( r, y ) = (4:2) im ry_Knn rd inale n"y "le m , Rerechnen Sil.' die Punkt koordin utcn P(xy) im dargcsrelltc n -1)' Koordinutcnsystc rn. wobci cp = 30 0 ist.

,

•

.P x

Ldsung:

Es handclt sich beim .rj- Koordinatcnsystem um ein verschobenes und gedrehtes KS.

r = R(r - v)

R~ [ r

,I" ~ ] - [ - 0.866 0.500

0,500 ]

r -v ~ [ _~]

r

cos e - sm cp

~[~]

cos If>

0,866

~

[

4,70 ] - 3,87

=> P(x,y ) ~ (4,70: - 3,87) Betspl el 5.20: Vom Punkt P sind seine kartcsischcn Koordinatcn P = (x, Y. z) = (- I; - I: 1) bekannt. Gesucht sind seine Kugclkoordinaten. /.,jjsullg :

rp" = arccos / x_ = arccos - /1 = arccos] - 0,707 1) = 135 y x 2 +y2 v2

0

rp, =arcsin / Y = arcsin - /1 = arcsin(- O.707 1)=-45° y.r2 +y2 vz sign rp"

-I- sign rp"

• cos s e ~ =

=}

If> = 360 ~ rp" = 360 - 135 = 2250

1

J3 = 0 .577

P ~ ( r, ~ , 9 ) ~ ( ,,13: 225": 54,7°)

199

2(K)

5 Elcmentare analytische Geometric

Hd spid 5.21:

1m .rj-Koordl natcnsystcm ist die G tcichu ng x- y = c gcge bcn. Wie lautct utesc G lcichung im xy~ K{)o rd i n atcnsy ste m . das gcgc nubcr dcm .rj-Systcm um cp = 45 gcdrcht 0

wurdc?

x =x· cos 45 - Y· sin 45= O.707X - O.707.\· y = .\" sin 45 + y- cos 45 = 0.707 :\'+ 0 ,707 Y Das Einsetzcn dteser Beziehungen in die Gleichung .r . y = c liefert: (O.707.r - 0. 707.n · (0.707.\'+ 0.707y ) = ('

,

"

v

,

v

"

y

Die U mform ung und Vcrcinfuchu ng dicscs A usdruck s l icfcrt : -2

-,2

x

J

2

2

- -- = c

(Glcic hung einer Hypcrbcl. s. Scire 44 )

Die Funktio n .r .v = c entspricht also im .\'}·, Sysle m einer Hyperbcl. Hd spiel 5.22:

Gcsucht ist dcr Abstand d des Punktes Q = (- 3; 4) von dcr Gcraden G I, die durch die Punkte PI = (- I : - 3) und P2 = (2: 2) verla uft. Die Steigung der Geraden lnssr slch aus Koord inate n dc r Punkte PI, P2 berechnen: //I

" 2 - )' 1

= -

-

X2 - X I

= 1.667

Fur die Ermittlung der Punktstcig ungsform der Geraden wird der Punkt PI zugrunde gclc gt (Bc zug auf den Punkr P2 wurdc naturlich das glc ichc Ergcbnis liefern]:

y = 1,667(x - (- I )) + (-3 ) = 1,667x - 1,333

Y = I1I(X - XI ) + )' 1

Aile Terme werden je tzt auf cine Scite gcbracht, so dass die allgemeine Linearfonn der Geradengleichung lautet: 1,667x - y - 1,333 = 0 Fur die Abstand sberechnung bcnotigt man die Hesse-Normatfc rm dcr Gcrudcn: k= =}

- I

) 1.6672 + 12

= 0.5 15

::::} 0.5 15( 1.667x - y - I,333) = 0

0.857x - 0.515y - 0.686 = 0

Der Abstand d ergibt sich durch Einsetzen dcr Kc ordinatcn des Punktes Q in d iese

5.5 Zusarzfiche Bcispicle

Geradengleich ung: d ~ 10.857 · (- 3) - 0.5 15 ·4 - 0.6861 ~

1- 5,321~ 5.32

Das Vorzei chen des Abstands ist negetlv, wei! der Koordi natenurspru ng 0 und der

Punkt Q sich auf der gleichen Seite der Geraden befindcn. Beispiel 5.23: Gcgcbcn sind drei Punkte PI = ( - I : - 3). 1':2 = (2: 2 ), p:. = (- 3: 4 ). Durch die Punkte PI,1':2 gcht die Oerade G l. und durch d ie Punkte PI ,P3 d ie Ocradc G2. Ge sucht sind die Gleic hungen der bcidcn Winkelhalbicrenden H I , H2. Losung:

Gcrad cngleich ungcn in allgcmcincr Lincarfortn : G I : 5x -3y - 4 = O

G2 : 7x + 2y + I3 = O

Geradengleich ungen in Hesse-Normclforr n: G I : 0,857x -0.514."-0,686 = 0

G2 : - 0.962\'"- 0.275."- 1.786= 0

Gleichungen dcr Winkclhalbierendcn:

lJeispiel 5.24: Ge sucht ist die Gleic hung der Gerade n G2 , die durch den Punkt P = (XI: YI) = ( - 2; I ) gcht und senkrecht zur folgenden Ge rudcn Gl licgt. GI :

4x - 6y - IO = 0

Losung:

Die Steigu ng

III

2

5

3

3

I der Gcradcn G I : Y = - x--

11/ 1

2

= 3

Die gcsuc htc Gerade G2 ergibt sich aus dcr Puuk tsteigungsform mit P als Punkt und Steigun g 1112 von G2: 1/11

~

= - -

G2 :

I

1/1 1

3

=- -

2

- 3

."= m2(x -x !l + .n = T

(x + 2) + I = - 1,5x - 2

201

202

5 Elcmentare analy tische Geometne

Hd spi d 5.25: Wie grog ist der Abstand zwischen der Gcra dc n G 2 des Bei spiels 5.24 und dem Punk t Q ~ ( 1: 2 ) ?

Ldsung:

Zur Abstandsberechnung wird d ie Hessesehe Nor malform (HNF) dcr Geraden G2 bcnctigt. zu dercn Emuulung man wiederum d ie allgemeine Llnearform (ALF ) bruucht. Die ALF crgibt sich aus dcr Punkt stcigu ngsforrn von G2:

G2.AtF:

1,5x + )' + 2 = 0

Bestlmmun g dcr HNF:

k ~ _ 1/ 1 1.5'

+ I'

~ - 0.5547

=> (- 0,5547) 1,5x+ (- 0,5547) y + (- 0.5547) 2 ~ 0 G2.HNF :

- 0.8320x- 0.5547y- I.I 094= 0

Ocr Abstand des Punktcs Q vo n dcr Gemdcn G2 erg ibt sich durch Einsetzen seiner Koordin atcn in die HNF vo n G2 : d

~

1- 0,8320 ,1 -

0.5547 , 2 - I, 10941~ 3,05

Ueispiel 5.26: Gcgebcn ist ci n Drcicck durch seine Eckpunkte PI = (2; 2), ~ = (- 3: 4) und?, = ( - I : - 3), a) Gesucht ist die Gc radc nglcichung des Lots vom Punkt F'2 zur Scitc PIP3. b) Es ist der Sehnittpunkl der Lotgeraden mit der x-Aehse zu bestimme n. Ldsung:

a ) Stcigu ng

"' I

dcr Scitc PI?,:

Stcigu ng /112 des Lots:

y-, - YI /II I

1112 = -

=

- I

1111

-- ~

X-, -XI

- 3- 2 - 1- 2

--- ~

5 3

-

3

= - -

5

Die Gera dengleiehung des Lois ergibt sich aus dcr Puntrsteigungsform mit und 1112 :

b) Dcr Schniupunkt mil dcr .r- Achsc crgibt sich aus y = 0: 3

11

O= - -x + 5 5

=> x, = 3,67

~

5.6 Aufgaben

203

Heispi d 5.27: Mit Hi lfe vo n Richtungs vcktoren sol! dc r vo n den Gcrudcn G J und G 2 e i n ge ~C' h l m ~c ne Winkel qJ bcrcchnct worde n. G[ :

- 2\: + y + 2 = 0

G2 : x +y -2= 0

Lasung: Ric htungsvektoren (nicht norm tert ):

5.6

VI

= [

~

]

V2

= [ _: ]

Aufgaben

I. Von einem Punkt P sind die kartesischcn Koord inuten P = (x. y, a) beka nnt. Bestim men Sie sei ne Koordi naten P = (r, qJ, a) im zylindrischcn Koordinute nsystcm.

v'2 v'2

a) P ~ (x, y, z ) ~ ( -LI ; 2 )

L 5g: r =

h ) P ~ (x, y, , ) ~ (L - I ;2 )

LIg: r =

c) P ~ (x, y, z ) ~ ( - 3; -4; - 2 )

L Ig: r = 5

qJ = 135°

z= 2

~ ~ 315 '

z~2

qJ = 233,1°

;: = - 2

2. JeW wird die Aufgabe I urngeke hrt : Yom Punkr P sind die zylindrische n Koordinaten P = (r. qJ. a) bek an nt. Gesuch t sind sei ne kartcsischen Koo rdinaten P = (x.y, z}.

r = }5.

qJ =1 35°

;: = 2

LW

hi ' ~V2

~ ~ 3 15 °

,~2

Lsg: P ~ (x , y ) ~ ( I ; - 1 ; 2 )

a)

c)

1' = 5

cp = 233, lo z = - 2

P = (x ,y) = (- I; 1; 2)

Lsg: P = (x, y) = (- 3; - 4; - 2)

3. Der Punkt P hal im x)'· Koord inatensystem, des gegeniibcr dem xy-KS urn qJ = 135° gcdrch t ist, die Koord inutcn P(x y) = (- 1,4 14; - 7,07 1). wctchc Koordi naren bcsitzt P im .rj-System? Losang: RT = [ - 0.707 1 0 ,707 1

- 0,707 1 ] - 0,707 1

r~

[-1,414] - 7.07 1

=> r ~

[6] 4

4. Geg eben sind zwei Punkte P = (5; 9 ) und Q = ( 12; 18) im xy-Koordinatensy stem. Ze igen Sic, dass sich der Ab sta nd L zwischen den Punkten P und Q nicht andcrt . we nn P und Q im x y· KS ausgcdruckt werdcn . a) Das x y. KS wird gcgcnubcr dcm .rj-Koordinutcnsystem urn v = (- 5; 41 vcrschohcn. h ) Das j

y.KS wird gegcnubcr dcm .ry- Koordinatcnsystem ur n qJ = 45° gcdrcht.

2U4

5 Elcmentare analytische Geometric

5. Ein kartcsisches xy z-Koo rd inatensystem sci gcge niibcr dem xyz-KS urn v = [I; - 2;41 parallel verschobc n. Ferner sind im .rvz-Systcrn zwe i Punkt e P = (- 2: I : 2) und Q = (2: 3: 6 ) dcfin icrt. Zcigcn Sic, dass sich dcr Abstand L zw ischen I' und Q nicht andcrt. wcnn die Koordin atcn dcr Punkre I' und Q im xy z-KS uusgcdruckt worden.

Lasung: Lxyz =6

P(x . y) = (- 3: 3: - 2)

Q(x..n = ( 1: 5: 2)

Lxyz =6

6. 1m xy-Koo rdinaten system iSI die Gleichung .rv = 2 gegebcn. Welche Form nimrnt die sc Gleichung im xy-Sys tem an. das gegenu ber dem .ry-System um _ 90 0 gedreht wird? L sg: i )' = - 2

7. Wic lautet die Gleichung dcr Gcradc n, die durch den Punkt I' = (2: - I) geht und mit dcr .r-Achsc ei ncn Winkel von r.p = 150 0 bildct?

Lsg:

//I

= tan cp = tan 150 0 = - 0 .577

y = - 0.577(x- 2) - I = - 0 .577x + 0 . 154

8. Gcgebcn ist cine Gerade in dcr allgemeinen Linearform 3x - 2y + 2 = O. Gcsucht ist die Gcrad cnglcich ung in folgendcn Formen: a ) Nonn alform

h ) Achsenubschnins form c) Hesseschc Ncrmalforrn [iisung: a)

Norma lform :y = 1.5x + I

x h) Achscnabschntustorm ( 0 .667 )

Y

+1 =

I

c) Hcsscschc Norm ulform - 0.832x + 0,554y - 0 .554 = 0

9. Stollen Sic die Gleichung der Gerad en G] auf. die durch den Punkt P = (- 2; I) gchr und parallel zur Geraden G2 : 2x - 3y - 5 -= 0 verlauft.

Lsg: Stcigung

III

von G2:

11/ =

2

'3

Punktstcig ungsfonn von GI : Y =

2

7

'3 .r + :3

10. Bercchnen Sic umc r Verwe nd ung der Hcssc-Normalfc rm den Abstand des Punktes P = ( I ; - I ) von derGera den G .die durchdic Punkte PI = (- 2: I ) und f1 = (2; 3) geht.

Lsg: Allgemeine Lincarfonn: n.5x - y + 2 = 0 Hcsscschc Nonnalfonn G : - 0.447x + 0 .894y - 1.789 = O. Abstand : d

= 1- 0 .447 · I + 0,894· ( -

I) - 1.789] = )- 3, 131

= 3. 13.

11. Berec hncn Sie fllr das Bcispiel 5. 15 den Winkel zw ischen G I und G2. 12. Bcrcchncn Sic fur das Beispiel 5. 14 die Winkclhalbicrcmlcn von G I und G2. 13. Berechnen Sie fur das Beispie l 5. 13 den Winkel sowie die Winkelhalbierenden von G t und G2.

6

Differentialrechnung

Die Diffcrentialrcchnung gehort eincm Gebler der Mathematik. das als Inftnltestmetrechnung ' bekanm isl. w ortltch besuz t »infinitesirnal« die Bedeutung »ins unendlich Kleine gehend«. In der Inftniteslmalrechnung stellt man die Gcsetzmnuigkencu zwischen den betcilig jen GrOl3ell c ines mathernatische n Problems also in eiucm unendlich kle inen lutervall her (sozusage n unter e incr star k vergroacmd cn Lupc) und ubcrtragr sic da nn zu m rcalen Delinition sraum. In dic seru Absc hnitt wi rd d ie Diffcrcntialrechnung n UT fur Funktioncn mit einer unabh nngigen Variable bcha nde lt (fur Funktioncn mit meh reren unabhiingigcn Variab len sie hc Absc hnitt 7).

6.1

Definition der Ableitung

Gcgcbcn sci cine in ihrcm gcsarrucn Den nino nsbercich stetig verlaufende Funktion y = [ (x ) de r unabhangigen Variable x . Eine solchc Funktion ist in ihrem gcsarmcn Dcfinitionsbereich d ifferenzierbar , d.h . ableitbar. Aus einer sehr grolkn Zahl von Funktio nen . d ie stetig sind, scion beispielhaft genannt:

y =X

j-ee

sinr

y = cos r

y = sinhx

Wen n im fo tgcndcn von eine r Funkt ion gcsprochcn wird. ist imrncr cine stctigc Fun ktion gcmcint. wcnn nieht ausdrucklich ctwas andcrcs gcsagt wird. 6. 1.1

Dnreren zenquotien t

Bifd 6 ,1 zcigr eiuen Ausschnitt eine r stetigen Funktio n y = [ (xl. welche an dcr Stelle .rn den Funktio nswert Yo = [ (xo) und an einer benachbarten Positio n XI den Wert YI = [ (XI ) haben soil. Die zugchongcn Punktc auf dcr Funktio nskurvc sind fb = (xo,Yo) und PI = (XI. YI) , Aus Bild 6. 1 lassen sich folge ude Dlfferen zen definieren: Al" = XI - XO

ilY = Yl - YO

Anmerkung: Die Differenzen ax und L\y sind endliche, d.h. nicht infinitesima1c. Grouen. Sic werden auch als ln k rem ente bezeichnet. Die Steigung der Sekante fbPI in Bezug auf d ie xAchse isl gegeben durch die folgende, aus der elemcntaren Trigono metric bekannte. Beziehung: <.", lx"o-,-+-=":;:,< ) -.- '.. / "Ix, ,,,o) tan I/' = L\y = ._" '_-_,'_'0 = 1 L\x XI - Xu ax Die von COl/fried Wilhelm l.Ri/mi~ ( 1646 17 16) eingefllhne Bezeichnung IlIjil1ileJima/redllHIII/I isl dcr SammelbegrilT fUr Dill"erenlial- und Inlegm lreehnung. Allerd inp heansprul'lue aueh N eWlOn die Urheberschafl fUrSil'h. Ml dass die belden Gclchncn in cincn verbittert cn Streitgericrcn.

206

6 Diffcremialrechnu ng

y

P,

y=f(x)

--.

,,0, . '

cp{" YL ---- --- --------- -/ '.

Yo

x,

Xo

X

Bild 6. 1: Tangente als Grenzfall dcr Sekanre fllr ,~X --+ 0

Die Position .rn kann bclicbig gcwahlt worden. Um dic sc Bcliebigkcit hcrvorzuhcbcn. wird im fclgcndcn anstcllc von Xu die Variable x verwendct {es g ilt dann XI = X + 6.x). Ocr Dnte renzenq uo n en t dcr Funktion f (x ) an dcr Stelle .r isl dcfinicrt als:

6)'

J (x + 6,) - J (x)

6.x

6.x

(6. 1)

IJeispiel 6. 1: Ge sucht ist dcr Differenzenquot ient 6.y/6.x folgender Funktioncn. a) y

= f (x ) = c

(c- : bcliebige Konstante ).

f (x +6.x ) = c

.6.\" c -c 0 .....:.. = =- = 0

ilx

at

ilx

b) y =x J(x ) ~x

f (x + at) = x + Ar

.6.y

- = .6.t

(x+ Ar) - x ;1...

.6.x = -= 1 .6.r

f (x + .6.x ) = (x + ilxf =.~ + 2 r a.. + ilx 2

6. 1.2

DifTeren lialqu oti ent

Die Differenz a r in Bild 6.1 soli jetzi immcr wcitc r verklcincrt wcrden. so dass cr im Grenzfall gegcn Null gcht. d.h. at --> O. Die Position X l ruck t also unend lich dicht an Xu heran und

6. 1 Definition dcr Ableitung

207

d ie Punkte A) und PI kom mcn in iufiuuesimale Nach barschaft. Die unendlich kleine DilTerenz limA, _ o 6x im G renz fal1 bezcichnct ma n als Differential d r : d t _ lim L\x A<- .O

Die zum Different ial dr zugeho rigc Gro Be ist da nn sinnge maB das Differential dy dcr ab hang ige n Variable y. Der Dlffere ntl al q uotlen t dy/ dr ist derGrcnzwert des Differenzenq uotie nten l:!.yjl:!.xfur l:!.x -. 0; dy = lim l:!.y = lim f (x + l:!.x) - f(x ) M~O l:!.x A , -I) dx

(6.2)

dr

Wie obe n bcrci ts ausgefuhrt . bezeichnet ma n die G rouen d r und dv als Different iale. Das Different ia l ist cine infinitesimale GroHe, d.h . nicht exakt Null aber unendlich nah bel Null liegen d. Deshalb spriclu man unstclle von infinitesimalen Groacu aueh von differentietten Gro Bell.

Anmerkung : Auc h wenn die D iffcrentialc dr und dy se hr kleinc Groftcn sind. kann dcr Differentialq uot ient dy/ dr dcn noc h gro B werden: L B . sin d d r = 10- 9 und dy = 10- 6 offe nbar infin itesir na !e Groaen . ihr Q uot ient dy j dr = 10- 6 / 10- 9 = I(X)(} ist hingegen cine doc h recht groBe Za hl! Fur den Grcn zful l A t --. 0 gc hr d ie Se ka nrc in cine T angent e ubcr und aus dem Se kante nwinkel cp wird dcr Tangenteuwinkel a . Die Stei~un~ der Tangente erg ibt sich aus: tana = dj- = I.1m f (x +

dr

A<~O

'''I- f (x ) = l:!.x

I·IIn "y -

A, -O

l:!.x

(6.3 )

Ueisp ieJ 6.2: Gesucht ist dcr Diffcrcn tialqu oticm dy jdt dc r Pu nktio ncn in Beispiel 6. 1 (die bcnotig ten Differen zc nquotienten l:!.yjl:!.x werde n unminelbar den Ergebnissen in Beispiel

6. 1 entnommc n). a)

y=c dy

d,

(c : bc licbigc Knnstante] .

l:!.r lim ......:.- = lim 0 = 0

A, _ O A\"

A, _ O

b) y = .r

dy = I'Im l:!.r """:'- = I·1m 1 = 1 d r M _I) ...1.\' At -I)

dy

dr

l:!.y = lim - = lim (2 \" + h.x ) = 2t+ O= 2x At _ I)

A\"

A , _ I)

201l

6 Diffcremialrechnu ng

6.1.3

Erste Ableltung

Den Differcntialquotientcn dyj d l dcr Funktio n y = [ (x ) bczcic hnct man als d ie erst e Ahleitung von y und schreibt sic als y': dr tw y' = ....:... = lim --=- = tan a

dr

(6.4)

Ar~(J ~x

Die crste Ablcitung dcr Funktion y = f (x ) cntspricht also dcr Stcigung der Tangcnrc an d ie Funktionskur vc. Eine andere gcbrauchlich c Bezcichn ung fur Ablciumg ist l>il1'erenliation. Den Vorgang des Ablcitens ncnnt man Oifferenrieren. In der Auffa ssung der rnodcmcn Mathe matik laBt sich die Differentiation auch bcsondc rs e infach formulieren : Differentiation hedeutet Linearisie rung. Unter Bcruckstchtt gung dcr Beziehung y = f (x ) kc nnen fur die erstc Ableitung y' auch andere Bezeichnungen verwendet werden . Folgende Ausdrticke sind aile aquivaleu t:

y' = / (x ) = df (x ) = lim ~f{x) dr AT- 'O ~X Die Ablcitunge n der wichtigsten e leme ntaren Funktionen sind im Anhang A.4 zusamme ngcs rellt.

Beziehung zwischen Ableitung und Stelgung. Die ersrc Ablcitu ng cin er Funkt ion y = f (x ) cntspricht dcr Steigung der Tangentc an die Funktionskurv e.

Steig uug

Itan a = y' = / (x )1

(6.5)

Ueisp iel 6.3: Gegcbcu sci die Funktio n y = 3,yr. Berechnen Sic den Steigungswt nkcl a der Kurventangentc am Punkt P mit Xp = 0,4 . Den Steigungswinkel a der Tangente am Punkt P erhalt man aus der I. Ableitung der Funktion:

!

,f-,.., , ,.----, s

y' = (3 .y.t)' '. = 1 . 3 [ 2/3 = -x2f3 , I arctan a = y (0 .4) = - /'3 = 1.8420 O.4 ~ .

::::} a = 61.5

0

Ptu nktionszu wa chs auf de r Tangente Das Differential dy ist die Andcrun g dcr Funktion y = f (x ) bc i cincr infinitc simalc n Anderung dr dcr Variable x . Es lasst sich daher auch als die Anderun g dcr Tangcnrenordi nate (also als

6.2 Ableitungxregcln

209

diffcnticllcr v-Zuwac hs au f dcr Tangent c) deu tcn und crgibt sich uus G l. (6.4): dy = ldt:

(6.6 )

Falls in der letzren Beziehu ng unstcllc von dr dcr Inkremc nt Ax vcrwe ndet wird, erhalt man den endlic hen Zuwachs Ay, (ln krement) auf der Tangentengera de: Ay,

=/

Ar

(6.7 )

Flir klein c w ertc von Ax, d .h. fur .6..r :::: d r , gill Ay :::: dy . Mil wac hsendcm .6..t: wi rd d ie Abweichung zwische n Ay und dy auc h groae r (Ausnahme: y = ex, we i! sic cine Gcradc iSI).

Dttteren tfulopera tor Die Ablcitu ngsdctiniuo n (6.4) kann auc h untcr Vcr wcndung des sog . Differenttotoperotors dj dx ausgcdruckt werdcn : dv

d

r' = dx ---'. . = -v dr '

.

d

-

bzw.

d,

=: Differenti alopcrator (6 .8)

Ocr Differentialoperator d/dr ist keine neue mathem atische Grone. sondem leJi glich cine andere -in manchen Fallen allerdin gs sehr zwec kmnulge- Darstcllu ngsan flir den Ab leitungsvorgang.

6.2

Ableitu ngsregeln

6.2,1

Faktorregel

Ein konstanter Faktor c blcibt bel der Ableitung unverundert und bcei nflusst den Ablei tungsvorgang nicht. (6.9 )

Iy = e / (x ) Ueisp iel 6,4:

l

a) y =5x~

6.2.2

= ( 5 x~)' = 5 (xl)' = 5 (3.r2) = 15 x 2

h) y = - 3 ln x

l

c) y =Jr sinx

. X)' = Jr {sinx}' .'' = (Jr S1l1 S1l1X

I

3

.r

.r

= (-3 ln x)' = - 3 (In x)' = - 3 · - = - se

x cosr

Sum menregel

Die Ab leitu ng cin er Funktion I (x ), die uls cine Lincarkornbination von bclicbigcn Funktioncn II (x), h (x) usw. zusammcngcsc tzt ist, crgibt sich als d ie Summc dcr Ablcitungc n dcr ci nzclncn Funk tioncn:

y = I (x ) = ctll {x] + c2f2(x)

y' = I (x ) =

+ + c"j,, (x )

CI"" (x) +(' 2/2(X) +

+ cnt, (x )

(6. 10)

210

6 Diffcremialrechnung

Hd spi d 6.5: :1) y:= 5.r~ - Rr2

b ) y:= 2 sinx - 5 cos x

l c)

:= (h inx - 5 cos x )' := (2 sin x )' - (5 cos .e)' := 2 cosx + 5 sin .c

y:= 3e".t - 4 Inx + 6 tanhx l := (3e".t)' - (4 Inx)' + (6 umh.c}' := 3ae
6.2.3

-

~ + 6( I -

.r

tanh2.r]

Produktrege l

FUr eine Funktion f (x ), die als Produkt von zwei Funktionen u(x ) unrJ I'(X) detinien ist. gill fol gende Ableit ungsregel:

=>

y := //(x) I'(X)

y' := U'(X) I'(X) + u(x) I/ (X)

In Kurzschrcibwcise luutet die Produktregel:

1)' := //1'

l := 1/' 1'+111" 1

(6. 11)

Die Produktregettasst sich mit Hilfe des Ditfcrentialopcrators auch folgendermaaen schreibcn: d dll - (1Il') := dr dr

Hd spi d 6,6: a) )'~

dv II dr

(6, 12)

1' + -

-(x - I ) (x' - 2)

"

--

.'

y' ~ ( I) (x' - 2)+(x - I)( 2,) ~ 3x' - 2, - 2 '-,.."~

u'

h)

r := x .

"

~'-,.."

,.

"

sinx

,.

--

l := 1 · sinx +x cos.r

c)

"

w

sinx +x cosr

r := e3.< cosx .

"

,.

.v := 3e3.t

cosx _ e3.[ sin x := e1 [ (3 cosr - sin x )

6.2 Ableitungxregcln

2 1J

Produktregel ftlr- Funktionen mit meh r als zwei G ueder n Die Prod uktrcae t kanu aueh auf Produ ktc mit mohr als Lwe i Termen ungcwand t worden:

Y = U(x) ,\'(x)· w(x)

Iy' = (I/I'w)' =

11' 1'

odcr kurzcr : y = III'\{'

1\' +

III .'

W+ III'W'

I

(6.13)

ReispieI6.7:

Y=~~e , "

.l = 2x sinx

6.2.4

I n x + .~

cosx In x +x 2 sinx ~x = 2x si n x In x + x2 cos x In x + x sinx

Quetientenrege!

Die Quot ientcnregcl wird bci dcr Ableitung von Funktioncn bcnctig t. die als Quotient Lwei untcrschiedlichcr Funktioncn dcfinicrt sind . Die Ablcitu ng dcr Funktion II (x)

",.

y= -

odcr in abgckilrztcr Schrcibwcisc: .r = -

I{r)

ist gege ben durch folgende Quotientenrcgel: (6. 14 )

Reisp id 6.8: ,I

x'

,.

,-"'-... ,-"'-...

r= - • sinr

1' = sinr

::::} y' =

2x sin x -

" ,I ,-"'-...---.

2

x 2 cos x

sin .r --.-

" Reisp ieI6.9: In dicsem Beispiel worden sowoh l d ie Q uoticntcn- als auch die Produ ktrcgel bcnotigt.

x lnx

\' = - - -

.

e-'sin x

lI = x lnx

y' = '? I' =e'si nx

I

::::} 11' = 1 lnr -j-r - = In x + I .r

212

6 Diffcremialrechnung

(In x + l )sinx - x ln x (sin x + cosx) ~

6.2.5

e-' sin2 .r

Ketten regel

Sc hon bei rclat iv einfachen Funktio ncn kan n es vorko mmcn. dass die bishcrigen Differ entiationsregcln nich t ausrcichcn. Folgcnd c Funktionc n konnc n bcis pielsweisc mit den bishcrigcn Regeln nicht ohnc weitercs differ en zicrt worde n. y = sin(3x )

y =sin (x -3 )

y = I n (~ - 2t)

Die gru ndlege nde Idee zur Losung des Pro blems liegt im sog . Lf.'ibniz-Kalkiil.2 Leiblliz-Kalkiil. In dcr ln finitcsimalrccbnung gcsraucr das sog . Leilmiz- Kalktil m it Ditfcrcutialen so umzugehen als waren sic ganz gewd hnliche mat hematis che Variablen . Differenti elle Ausd riicke kormen in diesem Kalkiil nach Bedarf umge formt werdcn. So kunn man z.B. fur c ine Funktio n y = [ (x ) schreiben: dy

dj - dll

dr

dn d r

u ist cine neu cingefuhrtc Variable. die cine Funktion der unab hangigcn Variable x ist, d.h. = X(x). Die Defini tion der Ablcitung nach GJ. (6.4 ) laBI sich dah er wie folgt erwe itcrn:

If

I dv dy dll df (lI ) dg(x ) \. = - = - - = - - - . dr dll dr dll dr

Die Anwen dung des Leibuis- Kalkuls erlaubt also cine Differentiation mit Hilfe von v ariabten -

substitution (j ist jetzt cine Funkt ion von u stall .r). Fur die Funktionen f (lI ) und g(x) hubcn sich folgc ndc Bczcic hnun gcn ci ngcburgcrt :

[ (II) : uufJere Funk tion

x (x ) : itinere Funlainn

Dem entsprechend wird der Ausd ruck d[ (u )jdu als a ufte re A bleitung und der Ausdruck dg (x) jdt als in nere A bleit u n~ (auch Nacbdlfferennerung ge nan nt) bezcichnct. Die Keuenregcl ist cine unrniue lbare Umse tzung des Leibniz-Kalkul s und gestattet. die Ableitung einc r Funk tion )' = f (x). welche nach Einfllhrung ci ner ncucn Variable /I = g(x) in d ie Form y = f (u) transformicrt w ird. als Prod ukt ihrer iiujJerell und inneren Ableitu ng anzugcbcn: I dj- dy d/l v -- --' - rlx - dll d t

Keuenregel

(6.15)

Ueispiel 6. 10: Gesucht ist die erste Ab lcitu ng der Funktion y = sin(x - 3). 2 Unlcr ei n ~ m Kalkiil WiTt! ein logischcs Syslem von Rcgeln verslande n. mil <.le ren Hilfe aus grun<.l lcgen<.len Bel iehungcn dutch Umforruungcn weitcre Beziehungen gc wc oncn we rdcn konncn.

6.2 Ableitungxregcln

= g(x ) = .r - 3

innere Funktion

y = 1 (11 ) = sin 1/

aua crc Funktion

dr

-'- = cos It

auacre Ableitung

dll = 1 dr

innerc Ablcitung (Nachdiffercnzierung)

1/

d"

dr dll = dll dr

,/ = -'- -

.

COS II .

I = cos 1/

2 13

v erkcnung der beiden Ablcitungen

-" = cos(x -3)

nuch RUcksuhstitution von

U

= x- 3

uejsplel 6. 11: y = 2sin3x

y' =?

1I = 3x

y = 2sinll

=}

dj- d(2 sin u) - = = 2 cos lI du dll

dll = d{3x) = 3 dr dr

, dy du y = - - = 2 cos II ' (3) = 6cos /I = 6 cos 3x dll d r

Beispi el 6.12: )' =5 In 1+x 1

y' =? y =5 ln ll

=}

dj-

dll

d(5 Inll ) dll

5 II

r, = dy du = ~ 3x2= 1 5.~ = 1 5.~ . du d \" II It l + xJ IJeispieI 6.13:

y = V (x 2 +2x -3 )3

y' =? =}

dY =d( v9) = ~ .,jii

dlt

du

2

y = v9

dll =d(.~ + 2x - 3) = 2x + 2

dr

d \"

, dv d" 3 co 3 .; z y = d;f d\" =2v lI (2\" + 2) = 2 x + 2\"

';" ' '''-;; --;; 3 (2\" + 2) =3(x + l ) x + 2x 3

Keuenregel hei mehrfach versc hachtelten Funktionen. Wic bereits oben erlhutert, gclangt man bci dcr Anwendung dcr Kcttcnrcgcl mil Hilfc dcr Substitution 11 = g(x) von dcr Funktion y = I (x) zur Funktion y = 1 (11 ). Falls die Ableitung von

214

6 Diffcremialrechnung

11 = g(x) irgendwo tabell iert ist (wie z.B. im Anhang A,4), kann d ie im vorigen Abschniu beschricbcnc cinfache Kcttcnrcgcl ungcwandt worde n.

In vielen Hillen ist d ie Sac he abe r e in wenig komp liziertcr und man muss dann die Subst itutio n zwei mal (ggf. noch meh r) durchfuhren. Mit folgender zweifucher Sub stitution fur y = f (x ) I'

I/(x) soil elemcntar diffcrcnzicrbar scin !

= " (x )

Hisst sich die Funktion y = f (x ) ausdrucken als

y

~

f (u(,'(x )))

Die Ablcitung y' lusst sich dann durch folgcnd c zwcifuc hc Kcttcnrcgcl bcstim mcn:

, dj- dy dll dv v = - = - - -

.

dr

(6. 16)

dll dl' d r

Heispi eI 6. 14:

y' = '?

y = si n(1 n (.~ - 3x ) ) I'

= " (x ) := x 2 - 3x

::}

1I = 1:(1') =l n v

y = sin(l n ,,) ::}

(y noch nicht clc mcr uar dilTercnzierbar) (J clcm cntar diffcrcnzierbur]

y =Slll ll

I dy dy du diy = - = - - d e du d r- d r

dy d (sin u) -= = cos u dll dll

,

dll dl'

d (ln I') dv

1

1

I'

I'

Y = cos lI·-·( 2x - 3) = cos( ln l')-(2 r- 3

2

v

dl' _ d(x - 3x ) _ 1 _ " _ _~r .' dr dr

)

I ) I 2 2r -3 y = cos{ln(r - 3x)) - ,- - (2 r - 3) = cos (ln(x - 3x)) -.,- .r - 3x .r - 3x

Heispiel 6. 15:

Alt ernative 2. Able ltun gsfor mel (Leihniz. Ka lki.il)

Mit Hilfe des Leibniz-Kalkul s lusst sich eine Forme1 fur die 2. Ab1citu ng eine r Funktion y = [ (x ) nach .r hcrleit en, die auf crstcn Blick vcrwundcrlich erschcint: (6. 17)

Diesc Forme1 besagr. dass die 2. Ableitung y" auch gewonnen werden kann, wenn ma n die I. Ableitun g y' zunnchst quadriert und dann das Ergcbnis nach y (nicht nach x!) differenziert und schliel llich durch 2 divid iert .

Beweis: Wir gchcn von der untcn links stehcndcn Beziehung (*) aus. dcrcn Richtig-

6.2 Ableitungxregcln

kcit sic h reclu s m it Hilfc der Kettenregel schncll ze ige n JaB\. " It

.

= _1_

~ (y'f

( 0)

2/ dr

Komrolle :

1 d ( / 2

1

, ,,

2/ d r -"J = -2/ 2" · ·"

="-

It

Wir sctzcn j ctzi in dcr obig cn Beziehung (*) anst cnc von y' den glcichwc rt igc n Ausdru ck dy/dr e in und crhahcn nach Vcrcin fachung glcic hcr Tenne die Formcl (6. 17):

Fall s es sich urn ein zeitabhnngige s Problem hande lt, z.B. Bewegun g von Ko rpem . kann die Beziehung (6 .17 ) sinngemtiBangcpasst werd cn. Bczeichnc n wir mit s = f( t ) die vo n dcr Ze it ' abhang jgc Wegstrccke , so lautct die 2. ze itliche Ab leitu ng von s :

d2 s dr 2

..

\ ~-

.

HeispieI6.16:

1 d(52) 2 ds

~-

(6 . 18)

--

Alternative Ahleitungsforme l (Leib niz-Kalkul)

Die Richtigkcit dcr Fnr mel (6 .17 ) sol! j ctzt an cmcr n konk retcn Beisp iel jjbcrprtlft werde n. D ie von ei ncrn sich ge rad linig bcwcgcn dcn Ke rper zuruc kgclcg tc Streckc sc i durch d ie Bezieh ung s = 2 12 gegeben. Die Bcschleunigung a des Kdrpe rs fur 1 = 5 s ist sowohl klassisch minels zwe itcr Zcitablciumg von s(r) al s auch nach Formel (6 . 18) bc rechnet werden . a) Klassischc Ermiulung der Bcschleunigung iiber zwcim aligc Ableitu ng vo n s(t } naeh 1 : d~

-

d'

= .1'= 4 1

d 2s dr

..

- 2 = .1'= 4

1l=4 m/ s 2

h) Berechn uog nach G1. (6. 18):

ds

.1'= - = 41 d'

.. 1 d{1(12) s= - - - 2 dx

Der Ausdruck 1612 kan n nicht un miuelbar nac h s abgel eitet we rde n. Dazu wi rd 12 als Fu nktion von .I' uufgestefu. Die durch die A ufgab enstcllung vorgcgcbenc Bezichung .1' = 212 lie fcrt , 2 = s/2. Wir erhahc n som it: j' = ! d (16· s/ 2) = 4 ds = 4 . 1 = 4 2 ds ds

2 15

2 16

6 Diffcremialrechnung

6.3

Hbhere Ableitungen

Die Ableitung der ersten Able itung hei13t die ;,: weile Ableitung, die Ablei tung der zweite n Ableitung hei13t d ie dritte Ableitung usw. Folgende Bezeichnungen konncu fur d ie formale Angabc vcrschiedencr Ablcitu ngcn ei ner Funktion y = f (x ) verwende t worde n: I . A blcuung

2. Ableitung 3. A blcuung

usw.

Ueispi eI6. 17: FUrdie nachfolgcnden Funktionen worden vcrsct ucdc nc Ablcitungcn bcrcch nct. a)

y =x

b)

y = x2

y' = 1 l = 2x

c) y = 5.r1 - 8.~

d)

y = -3 1nx

e)

y=

3 (",,\'

)JI

= (l), = (1)'= 0

l' = 2

/ = 15r - 16x

/ "=0 / ' = 30x - 16

)'111 = 30

/3// 3 6 \ = - ) = ..1 \,/11 = _ - 3 ' x x-. x

y' =

3m'
.v" = 3(/21''''<

s" =

3(/\'''x

f) y =sin(x -3)

J,/=cos{x - 3) g) y = 2 sin(3x) y' = 6cos{3x)

6.4

y"= - sin(x -3 )

v" =

- 18 sin(3x )

ylll = - cos(x - 3)

v" =

- 54 cos(3x)

Ableitu ng impliziter Fun ktionen

Wie aufSeite 45 bere its erorte rt. kann es vorkomm cn. dass ci ne Funktio n mit eincr unabha ngigcn Variablen nicht in der explizite n Form y = f (x ) sondern in dcr implizi ten Form F (x, y ) = 0 vorhcg t. Die Bestimm ung der Ableitung l = dy /dr aus der impliziten Form F (x , y ) = 0 bedurf besond erer Oberlegungen. Hierbei existiere n prinzipicll zwei Moglichkeiten: - Entweder bringt man die Funktion von dcr impli ziten Fonn F (x, y ) = 0 in die cxplizite Form y = f (x ) und diffe renzicrt f (x ) mit Hilfe allgemei n bckannrcr Ableu ungsregetn vora ngega ngencr Abschni tte , d .h. l = I' (x). Allerdings fu hrt diescr nahe licgende w eg nicht immer ZUIll Ziel, z.B. laGI sich d ie Funktion F (x. y ) =.~ + 2 r ~ y sin y = 0 nicht in die explizi te Form y = ... Iransform ieren. - Oder man ditTerenziert d ie Funktion mit Hilfe des imp liziten Ableitungskon zepte s, we lches in Abschnitt 7.5 au f Seite 28 1 vorgestcl lt wird.

6.5 Ableitung logurithmischer Funkuoncn

6.5

217

Ableitung logartthmischer Funktio nen

Fiir die Ab1citung einer logarittunischen Funktion y = In(J(x )) wird die Keuenregel angewa ndt. Mit der Substitut ion If:= [ (x ) erg ibt sich:

y = In(J(x)) = ln n I \'

-

:=

dj- dy du ~ := - dr dll dr

Mit den Able itunge n

dy dll

d (lnl/) dll

~

If

I [ (x )

du ~ f (x) d<

crhalt man dic Ablcitung dcr lo gurirhmischcn Funktion (auch als logaritlnnische Ahleilllllg be-

kan nu : (6. 19)

lJeispi eI 6.18 :

y = In(sin x )

y' = '?

[ (x) := sinx

\' -

,

['(x )

(sin x )' sinx

cos .r sinx

:= -- ~ -- ~ --:= c o t x

[(x )

IJeispi el 6.19:

y = x'

y' =,?

Die gegebenc G1cichung wird zunachst logarithmicn : Iny =ln x ' = xl n .r

(vgJ. (1.26) auf S. 10)

S eide Sci ten werdc n jctzt d iffercnzien: Die linkc Scire mit dcr logarithmisehen Ablcitun gsregel d ieses Absc hniu s (unter Bcrucksichtig ung der Tarsachc. dass y cine Funk lio n von .r iSI: y = [ (x)) und die rcchtc Scire nach Produk trcgcl: dfln y)

dr

~

d(x In x)

d (l" y ) djdy d r

Des Gleichsetzen bcidcr Ab leitunge n ergibt:

,

L y

= 1+lnx

::}

I

'""'i--= = I - In x + x · .r- = dr

-- -~

y' =y ( I + lnx) = x' ( I + ln x )

1+ ln x

2 1!l

6 Diffcremialrechnung

6.6

Ableitung von Parameterfunktionen

Funk tionen in Parumcrcrform sind in Absc hniu 2. 10 bchandclt. In cinc r Parameterfunkt ion werden bcidc Variablc n .r und y ats Funktion cincr dritten Variable, des sog . Param eters, ausgcdrtickt : I : Parameter (z. B. Ze it. Winkel etc .)

X =I'(/ )

Anmerkung: Dcr Parameter muss nicht unbedingt mit dcm Symbo l t ausg cdruckt wcrdcn : cs kan n jcdes bclicbigc gccig nctc Symbo l verwcndct worden. z.B. a . q> etc. Die Ableitu ng eincr Parameterfun ktion er folgt nach dcr Kettenregei : dy d r

dy

dt

~

bzw.

d r dl

i =y' i

Daraus fo lgt durch Umfo rmung die gcsuchtc Ablei tung

l :

Ahleitung einer Parameterfunt aion .r = I'(f ). Y = q(f )

dj- j' = dr i

l = -

.

(6.20)

dy

v= . dl

wobci

Ucispiel 6,20: Die A ugbahn beim waagcrcchtcn Wurf mit der Anfangsgesc hw indigkci t 1'0 liisst sich am bcs tcn mit Hilfe ciner Paramct crfunktion fur Positio nskoordinatcn .r und y bcsc hreibc n (8 ; Erdbcschlcunigung, r : Zeit) : X=X(/ ) =

Y = Y(I ) = Yo

l'O f

Gesucht ist der Bahnwink el

I

- "2 g t 2

a des H ugkorpe rs. we nn er den Boden beriihn . y Yor'-~.,,_-',

yf --

-

--",

,

\" x

Steigu ng y' dcr Flugbahn :

y'

i =dr = I'o ill

.

r

s: » dy

y'=

- gl

ro

6,7 Entwicklung von Funktionen in Porcnzreihen

219

Der Zcitpunkt t = T , xu dem der Korpcr den Boden bcruhrt. ergibt sich aus:

I , •, (T ) = 0 = .\'0 - -2 /?T·

::::}

T = J2

YO

g

Bahuwinkel a bel Bodenberuhrung: - g

to -

- ,(2g)'0

a = arctan -Co.:'','"

g

lan a = y' (T) =

"0

Zahlenheispiel; FUr 1'0 = 100 m/ s,

a = arctan

Yo

"0

"0

= 40m. g = 9,8 1 m/ s2 ergibt sich der Bahnwinkcl zu:

- ,,12 · 9.8 1 , 40 100 = _ 15.60

(a zcigt im Uhrzcigcrstnn)

Die Flugdauer und Flugstrecke sind: T ~

6.7

r;E .40

- - = 2 86 s 9.8 1 . '

xo =I'o · T = 100· 2.86 = 286 m

Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen

Eine Potenneine ist e in Polyno rn von der Form

P(x) = ao + a l x + (/2 ,,,2 + . . . + a" x ' Jcde bcliebige Funktio n y = [ (xl liisst sich als cine Potcnzrcihc ausdrucken, sotem sic genugend oft differenzierbar lsr. Es gibt zwe i cng vcrwandtc Arten dcr Potcnzreihcn von Funktioncn : Mac Laurill- Reihe und die Tay!or-Reihe.

6.7.1

Mac La urin-Reihe

Einc bclicb igc Funktion [ (x ) kann durch folgcndc Mac Lauri n-Rettie exakt wicdergegcbcn werden. wenn an dcr Stelle x = 0 dcr Funktio nswert und die w ertc aller nongcn Ableitungen bercchncr werdcn kcn ncn:

f(x) ~f(O) +f' (O) x +[" (O) -<, +["'(0) x 3 + .. I!

2!

3!

(6.2 1)

Die Transformation der Funktion [ (x ) in cine Potenzreihe bczcic hnet man auch als Entwickl ung der gegebc nen Funktion [ (x ). Die Position Xo ist der Entwicklungspunkt, NatUrlich ist die Mac Laurinschc Rcihc nur dann ein korrekter Ersatz fUrdie Funktion [ (x). wen n sic konvergiert. Eine Reihe ist konve rgent, wenn die Reiheng lieder immcr kleiner werden,

220

6 Diffcremialrechnung

so dass ein Grcnzwen fllr die Potcnzrc ihc existic n (die sc Definition ist crwas uuscharf formuliert zugu nsten dcr Anschaulichkcit). Bczcich nct man d ie Summe alter Glicder, d ie nach dcm Term mit dcr u-tcn Ablcitung vorkomme n, mil R, lassl sich die Mae Laurin-Rcihc auch schrcibe n als:

In dcr Inge nieurpraxis wird (odcr muss) man die Porenzrcihe naturlich nach dcrn a-ten Glicd abbrechen (man kann nich t mit uncndlich viclcn Gliedem arbcitcn'). Durch den Reihenabbruch erusteht cin Fchlc r von dcr GrilBe R gcgcnubcr dem exa ktcn Wert. Dicscr Rcstfchlc r R ist jedoc h vcrnuchlassigbar klein, wcnn man gcnugcnd viclc Tcrrnc rnitnirnmt. Wann es »gcrutgcnd viclc Tcrrnc« sind, kann streng nur mit Hilfc von marhcmau schcn Fchlc rabschatzungsmcthodcn bcrcchnct werdcn . In dcr Praxis wird man jedoch pragmat isch vorgchen: Man nimmt halt so viele Glieder mit, wie es sinnvoll crsc hctnt. Dadurch cnsrcht folgcnde Mac Laurin-Rcihc u-tcr Ordnung:

/, (0) J" (O) ["' (0) , f ("' (O) " [ (xl ~ f,,(x) = [ (0) + - 11- x + ----z! .~+ ~ x + . . . + - ,,-1- .r

(6.22)

Beispiel 6,21: Die Funktion f (x) = sinx so li in cine Porcnzreihc 8-ter ordnung cntwi ckelt worden . Mit den crstcn 8 Ablcitu ngcn

r

I' = cosr f 5l = cosx

= f (6 )

.

1''' =

S ill X

= - sinx

-c

f (7 }

cosr

= _ cos x

f4)

= sin x f 8)

= sinx

erhalt man an dcr Entwicklun gspos ition x = 0 :

[/11 (0) = - 1

f (ll) ~ 0 1" ' (0) ~ 1

1"'( 0) ~- I

Die Mac Laurin-Rcibc 8-ter Ordnung fur sinx ergibt sich gcmall GI. (6.22) zu:

I 0 2 - I 1 0 4 1 ~ 0 b - 1 7 0 H h (x) = 0+ - x + - r+ - .r + - x + - r + - x + - x + - x I!

.

2!

3!

.r '

_~

x7

3!

5!

7!

4!

5!

6!

::::} S IllX ~X - - + - - ­

Kom m lle: Fur .r = 1r / 2 ergibt die obige Rcihc:

.'

Slll -

2

,

::::: -

2

~

- -(' /2)' - + -(' /2)' - - -(' /2)' 3!

5!

71

1,57079 - 0,64596 + 0,08969 - OJXl468 = 0,9998

7!

8!

6.7 Entwicklung von Funktionen in Porcnzreihen

221

Der exaktc Wcrt ist bekanntlich sin(n"/2 ) = 1 . Som it ergibt sich dcr relative Fehler nach GI. 0 .27) zu:

E rel

If-I.'I 1'-0,99981

e.; = - f6.7.2

=

1

= 0 ,0002 == 0.02%

Tayter-Rel he

Die Taylor -Reihe stellt cine Verallgemcinerung der Mac Lauri n-Rei he dar. Als Bntwlckluug spunkt muss nicht mehr x = 0 ge nommen werden , sondern je de beliebige Stelle .ro dient als Entwicklungspunkt. Die sinnvollc Fest legung von .ro erfolgt natiirl ich naeh den Gegebcnhcitcn dcr zu ldscndcn Aufgube. Wenn mit j (" )(xo) die II-te Ablcitu ng an dcr Stelle x = .ro bczcic hnct wird, lesst sich d ie Funktion j (x ) in cine Tavlor-Relhe cntwickcl n:

j' (xn}

j" (xo)

2

j/ll (xu)

1

j (x} =[(xO) + - , I- (x - xo)+ - 21- (x - xo) +~ (x - xu)' + .

(6,23)

= [ (Xu ) + -I' (x,,) - (x -xu ) + -J"(x,, - -) (x -xu )' + . . . + f '''' (x,,) (X -Xo )" + R 1! 2! I/! Mit ahnttchc n Ubcrlc gungcn wie bei den Mac Laurin-Rei hen kom mt man auc h hier L U eincr abgebroc henen Potenzrelhe u-tcr Ord nung, die eine naherungsweise Wiedergabc dcr gegcbcncn Funktion j (x ) gcs tauc t:

j (x } ~ j,, (x ) = / (xo ) +

j'(~o) I.

(x - .'(0) + /"2(X'0 ) (x - xO)2+ . . . + F " )(xo) (x - .'(0)" (6.24) . n!

Die Anzahl der Rei hcnglieder betragr fl + I, d .h. ist endlic h: daher ist die abgebrochenc TaylorReihe nur ci ne Naherung fiir die tatsachliche Funktion [ (x ) und besitzt stets cinen Rcstfehler R, der allerdings umso klcincr wird, je mehr Gliedcr betrachtc t werde n. Ocr Rcstfehle r R hangt sowohl von dcr hoch stcu in dcr Taylorrcihe vorkornmenden Ablcitung fl . aber auc h von dcr Stelle .ru. an dcr die Entwick lung stall finder. ab. In allgcmcincn Anwe ndungen. z.B. numerische Mccha nik naeh dcr Finite Eleme nt Methode. lasst R sich mit vcrtrctharcm Aufwa nd nicht bcrechncn . FUr ingcnicunc chnischc Anwcndungcn ist dahcr dcr zwec kmntligste Weg zur Bcsu mmung dcr crforderlichcn Anza hl von Reihcngliedcrn cine Vcrfo lgung des Abfalls dcr Rci hcnglicdcr mit zunch mcndcm n, wobei die Rcihc beim u-ten Glied abgebroc hen wird , wenn die rcstlichcn Glieder jc nscits von II untcrhalb cines -zweckmauig L U wnhtcndcn- Sehwcl lenwertcs liegen.

HeispieJ 6,22: Gcsuc ht ist d ie Entwicklung der Funktion y = e' in ci ne Taylor-Reihc an der Stelle Xu = 0 mit 1/ = 3. Wie groBist relative Fchlcr dcr Taylor-Rcihe an dcr Stelle x = 0 .2? f" (x ) ~ e'

222

6 Diffcremialrechnung

Die Taylorreihe mill! = 3 ergibt sich zu: I I I 1 ~ I f,, (x ) = 1 + 1! (x - D) + 2! (x _ O)2 + 3! (x - D)" = 1 + x + 2. .r- + (; X'

I ~ I 3 e-'::,: I + x + - x· + - x 2 6 Funkriouswen der Taylor-Re ihe (Nahcrungswert) an der Stelle .r = 0.2:

Exuktcr Funktionswcrt:

/(0.2 ) = en.2 = L2 2 140 Rclutiver Fchlcr: Erel

6.8

~

If-1,'1~ 1 f

L2 2 14O - 1.22 133 1= s 7 · 0 - 5 0=::00057% 1.22 140 -, I .

Linearisi erung eine r Funktion

Fur jcd e differenzicrbarc Funktion y = f (x ) lasst sich dcr Funktio nswert in der nicht al1zufeme n Umgebung einer als Ausgangposition .n, fes tgclegten Ste lle mil Hilfe des Differel/liafs nahcrungsweise berechnen (Bild 6.2 ). Einc solche Ntiherungsberechnung kann in technischen Anwe ndungen. je nach Situatio n, entweder sinnvoll oder sogar notwendig sein. Wen n dx dem Abstand zwischen der Ausgangsposition xo und cincr benachbarten Position XI enlspricht , errechnet sich d ie linearisierte DijJeren: d)'L mit Hilfe der Definition des Differentials dy als: dYl. = tan a - 6..1: = / (xo) . 6..1:

mit 6..1: =

XI - Xo

Durch Substitution des end lichen Abstand s 6..1: unstcllc des dilTerentiellen Absrands dr wird also die Bcschrankung auf inflnncstrnalc Abstande aufgchoben. Die lincarisi ertc Differenz dYL gibt die Andcru ng des Funktions wertes auf dcr Tangeme fur eincn cndlichcn Absland 6..1: wicdcr. Dcr lincarisicrtc Funktionswcrt YL an jcdcr bclicbigcn .r-Position in dcr Nachbarscha ft von Xo erg ibt sich zu:

YL = }'o + dYL = Yo + y'(xo ) .6..1:

oder YL = Yo

+ y'(xo) ' (X I -

xo)

Dicscr Vorgang wird uls die Lmearfsl enmg dcr Punktion y = f (x ) an dcr Stelle .ro (Linea risie rungspunkri bezcich nct. Die Position Xl ist. abgcschcn von dcr Einschrllnkung, dass sic in dcr Nachbarsc hafl von xo scin sollte, belicbig wahtbar. Daher wird anstctte der Positionsangube X I die allgemeine Variable X in die obige Glcichung cingefbhrt und man crbatr dadurch die

6,8 Lincarisierung ciner Funktion

223

y'

y =f(.t )

Tangen te

Xo

Bild 6.2: Lincarisierung einer Funktion

llnea risler te Fun ktlon YL = g(x ) : IYL = -,"o + y' (xn) · (x - xo)

I

(6.25)

Es sollte hervorgc hoben werde n. dass ~x nicht ci ne infinitexirnale, sondc m ci ne endlie he Gr()Be darsrcllt. d.h. sic kon nte im Gru nde genommcn bcliebig gro f gewahlt werde n. Je klein er abcr ~x gcwahlt wi rd. urnso bcsser wi rd naturtich d ie Gcna uigkcit dcr Lincarisicrung sein. 1m Grenzfall gcfu der Hneartsicrtc Funktionswen (Punkt Pd in den cxa krcn Wert (Punkt PI) ubc r:

IJeispi el 6.23 : Es soli die Funktion y = e- X an dcr Stelle P = (xo.Yo) = (- I: 2.7 183) lincarisicrt werdc n. Ansc hlieBend ist dcr Hneartsicn e Funktion swen an dcr Stelle XI = - 0.8 zu bcrechncn und dcr rel ative Fehlcr gegc nubc r dem exa kren Wen zu crtn inel n.

,

Die Ltnea rislcr ung erfolgt mil H ilfe dcr G l. (6.25):

YL = Yo + ·/ (xo ) · {r - xo) Yo

=y(xo) = e - ( -I j = 2.7 183

y' = _ e- x

y' (xo) =

- e -( - I)

2

= - 2.7 183

YL = 2,7 183 - 2.7 183 (x - (- I)) = - 2,7 183x Iinearisiel1

A n dcr Stel le .rr = - 0.8 ergibt sich der linearisjerte Funktionswcrt zu:

ydxtl =

- 2.7 183 · (- 0.8) = 2. 1746

Der exa ktc Funktion swert betragt:

)" 1 =

Y(XI ) =

e - (-O .8)

= 2,2255.

,

,

224

6 Diffcremialrechn ung

,

In-yl

Relativer Fehler : £,.,,1= - .\-,-

=

12, 1746 - 2.22551 = 0,023 == 23% 2,2255

Mit w nehmendcm Absta nd von der Lincurisicrungsposition vergrtillcrt sich uuch dcr Fchl cr: z.B. crgeben sich fur Xl = a vollig untcr schicdlichc w crtc :

In-"I

£,.,,1= ~ = 1 -0-, - ' 1= I = I(X)%

n (XI ) = - 2,7 183 · 0 = 0

6.9

Regel von I'Hospi tal

Die Auswertung einer Funktion f (x) fur be!ieb ige x-Werte bereitet normaler weise keine Sc hwierigkeiten. Bei bes tim mtc n Funktione n kann es jedoc h an ein er bes timmtc n Stelle Xo zu Schwierigkeitcn kommen . Einige Bei spiele zeigt d ie Tabelle 6.1. So1che Ausdrlicke heil3en unbestimnne Ausdriicke, we i! sie kei nen eindcutigen Zahlenwe rt besitzcn: lsi L B. des Erge bnis der Division 0/0 g leich 0 odcr I oder gar cine ganz andere Zahl? Es gibt noc h wencrc Formen unbcsumm rcr Ausdriicke, L B. (0' 00), (00 _ 00), (00 0) usw. Dicsc werden in die scm Buch nicht welter uruersucht. Tabelle 6.1: Beispiele fllr unbestimmre Ausdrucke.

f ix )

xo

sinx

o

.r I

_ l ,T

o

X

o

u n

o

-

r

~

.r

Unb estimmt er Ausdruck de r For m

/ (xo)

Q oder

a

::' 00

Die Regel von tHospital dicnt zur ci ndc utigen Bcstimmung ci nes unbcsnrnrmcn Ausdrueks dcr

Form

a/a odcr 00/ 00 :

lim f (x) = lim j'(x) X-,
g(x)

'<- XIl

g'{x )

(6.26)

Dic Funktionen im Za hler und Ncnner werden also vonei nandc r getrcnnt nach x abgele itet. Anschlicllcnd wird der Grcnzwert gebildet . Wcnn der neue Grcnzwert wicdcr cin unbcsummtcr Ausdruck ist, ist die Regel von l' Hospita l emc ut anzuwendc n, d.h. d iesmal wird dcr Grcnzwcrt

.

j" (x)

.

hm <_ .
6 ,I0 Krumrnungsradiu s einer Kurve

225

Heisp id 6,24: sin x 11 m - - ='!

Nonnales Vorgehen:

x

.r ~ O

Mit f (x ) = sin x und g(x ) = x licfcrt (6.26): sin x (sin x ) ' . cosx lim - - = lim - (- -),- = lim - - = Hm cos.r

.r

.r~O

6.10

.r~O

.e- o

X

I

,t~O

e

co s O e I

Kriimmungsradiu s einer Kurve

Der Krumm ungsredt us p dcr Kurve y = f (x ) im Punkt P cntspricht de m Radiu s cines sich an d ie Kurve unschrniegenden Krci ses mit dem Mittelpunkt M . der die glclchc Tangentc und gleiche KrUm mung im Beruhrungspunkr P hal wie die Kurve selbst (Bild 6.3). Die Funk tion y = f (x ) und die Krei sgleichung YK = g(x ) habe n also im BerUhrungsp unkt d ie gleichen Ableitungen I. und 2. Drdn ung, d.h . es gelten Y' = l Kund /' = y~ . Ohne deta illierte Hcrleitung scie n hier die progressiv

Y

-- -

,,

~

M

,,

r :» 0

,,

, , ,,

y=f(x)

p

~ ~

-- -

'--'

p

,,, (

Normale

~

,

Tangente

,

f "< 0

degressiv

Y

y=f(x)

,,

• M

,, , ~

--

, ,

,, , , ,

,, ~

x a: Links gekrurnnuc Kurve

x b: Rcc hrs gckrurnmte Kurve

Bild 6 .3: Kriimr nungsradiu s undl.ink s-Zkechtsknimmung von Kurven

rclcvantcn Formeln fur Krum mungs radius und Krum mung mitg ctcilt:

Kriimm un gsradi us p

P=

[, +(lI'J' /2 I.r"l

Kriimm ung

(6.27)

I(

y"

K

(p ist immer posiuv, p : Rho)

~ :-['-+- ('-"--=)2"1'''' 1'

(I(

kann positiv oder negativ sein.

I( :

Kappa)

(6.28)

226

6 Diffcremialrechnung

Zwisc hen dcr Krumm un gsradiu s und Kriimmu ng existiert also folg cndc Bczichu ng (6.29)

Recht s- und Linkskrummung einer Kurve Das Vorzcic hcn von y" in G l. (6.28) bcst im mt das Krilmmungsverhaltcn cincr Fu nktio n. wc il dcr Ausdruck im Nenncr stcts posuiv ist: )''' > 0 )''' < 0

{;} {;}

Link skriim mu ng Rechtskrumm ung

(6.30 )

FUr y" > 0 licgt ci ne Ltnkskrummung vor, d .h. die Kur vc kriimm t sieh im Gcgenuhr zcigcrsi nn (Bitd 6.3). Bci cincr links gc kru mmten Kurvo wird die Stcigung dcr Tangcn tc mi t zunchmc ndc m x -ulgebruisch- im mer groucr (bis zum Hoc hsu tcigungswinkel a = 90°) . Wenn .'i " < () isr, wird von einer Rechtskrummung gcs proc hen. wei l sich die Fu nktion skurve im Uhrzei gers inn krlimrnt. Die S teigung der Tangente ei ner reeh ts gekrumrruen Kurve wi rd mi t zu nehrnende m .r -alge braisch- im mer kleiner (z. B. is! die Steigung 1//2 = - t .O ulgebralsch kleiner als die Steigung 111 1 = - 0.5).

Ht'ispiel 6.25:

Krummungsradlus

Bercchncn Sic die Krummun g und dcr Krurnmungsrudiu s der Funktion y = xe- x an der Ste lle .r = O.

y' = ( I - x)e- x y'{O) = I

y" (O) = - 2

-2

1( = [1+ 12] 3/ 2 = - 0.707 P~

1

I

N ~ 1- 0.7071 ~ 1.4 14 1

1

-1

x -1

2

6. 11 Lo kalc Extremwene ciner Funktion

6.11

227

Loka le Extremwerte einer Funktion

Bild 6 .4 zcigt mchrcrc H oc hpunktc und Ticfpunk tc cincr Funktions kurvc. Sok-he Hoc h- und Tic fpunktc werdc n {oka/e E xtrema gc nanm. Ein lokalc s Extremum (au ch relatives Extrem um ge nannn ist cntwcdcr ein tokate s Max im um t Hoc hpun kn odc r ein lokalcs Minimum (Tic fpunkt) . Eine Funktion y = f (x) kann (muss abcr nicht zwangsliiufig) eincn oder mch rerc lokalc Extrem punkte (Hoc h- bzw. Tiefpunk te) in eine m lntcrval l a :::; .r ::; b aufweisen. D ie Gesamtheit d ieser Extre mpunkte wird unter de m SammelbegrilT lok ale Extrema zus amme n gefasst. A1/l11erkuIlK: Die hier bcha ndclte lokale Extremwertbcrcchnung erfassr nictu di e Rand punkte ein cr Kurve . Der Punkt H in Bild 6.4 z.B. kann mit de n Mitteln dcr hicr vorgestclltcn Extremwert bcrcc hnung nich t idcn tifixiert wcrden. ob wohl er e indeut ig eincn Maximu lwcrt darstellt - er liegt sogar hoher als aile undcrcn lokulcn Maximalpun ktc und ist somit cin g lobules Maximum . Deshalb rn usscn die Rundpunk tc eincr Funktin n zusatzlich zur nonnalen Extr emwertbcrcchnung daraufh in ubcrp run worde n. ob dort evtl. ein globales Maximu m bzw. Minimum vorliegt.

D

,

"

B,OY: lob i"" M a~ i mum C, E.G; lokab Mill;mum

c e

G

e Bild 6 .4: Lokalc Extrcmwcn c eincr Puuktion y = f (x )

Man spricht von cincm lokalcn M aximum an dcr Stelle Xo, wenn in dcr cngcre n Umge bung von Xo der Funktionswert srcts kleincr isl als dcrj enigc bc i xo. 1st dagcgcn in dcr Umgebung von Xu dcr Punktionswcn stcts groucr als derjen ige bei xo, dann licgt ein lokalcs Mi nimum an dcr Ste lle Xo vcr, d.h.

, I { tokales Maximum. Loka es E xtremum = lokules Minimum.

we nn f (x ) < f (xo )

IUr aile .r "I- Xo

wenn [ (x ) > [ (xu)

fur aile .r

"I- Xo

Die notwendige Beding nng fur ei n Extre mum an de r Stelle Xu ist cine waagerechte Tangeme , d.h . es muss gelten :

( (xo) = 0

notwendige Beding ung f iir loka/es E xtremum

(6.3 1)

Wen n cine Funkuon die norwcndigc Bcdi ngung (6 .31 ) nich t er fllllt, bcsitzt sic kcin lokalcs Extrem um. Auf der andcrcn Scitc ist die ErfU llung von (6.3 1) abc r auch keinc Ga ranue fur die Existcnz cines lokalen Extrcmurns. Damit cine Fun ktion tatsnchlich em Extremum hal, muss stc auch noch d ie hinreichenden Bed ingu ngcn erfulle n.

22M

6 Diffcremialrechn ung

Not we ndlge und hln re ichende Hed inJ=:un gen fur ein Extre mum Die Art des lokules Extrcrnums an dcr Stelle Xo hhngt vom vorzctchcn dcr Funktionkriimmung aboEin Maximum licgt VOf, wenn die Funktionskur ve in dcr Umgebung von Xo rectus gckrummr ist. Fiir cin e links gc krumm te Kurve Hegt da rt ein Minimum vor. Notwendige lind hinreichende Beding ungenfur lokale Extrema:

Extremum =

{

Maximum,

wenn I' (xo) = 0 und I"(xo) < 0

Minimum ,

wenn f' (xo) = 0 IIl1d f" (xo) > 0

(6.32)

kein Extremum , wenn !'(xo) =I- 0

Wend epu nk t und Sattelpunkt Man spricht von einem Wendepu nkt an der Stelle xo, wenn die Krumm ung links und rechts von .rn untersehiedliches Vorzeichen besltzt . d.h . wen n d ie Kurve z.B. von Rechts- auf Lin kskrilrn mun g wechse lt odc r umgckehrt. Weil des vorzeichcn der Krummung von f" ubhnngt. bedeutet der Vorzeichcnwechscl, dass I"(xo) = 0 scin muss. An eincrn Wendepllllkt licgt kein loka1cs Extrem um vor. Von einem Sauetpunkt wird ges prochen. wenn die Tangente im Wend epunkt waagerccht vcrlaun . Notwendige und hinreichende Bedingungenfiir Went/e- lind Sattelpunkte:

Wcnn

j"(XO) = 0 und fll/ (xo) =I- 0 { j"(xo) = 0 und fll/ (xo ) =I- 0

wendepunkt. wenn f' (xo ) =I- 0

Sauetpunta.

In'fIIl

(6.33)

/' (xo) = ()

S pez ialfa ll Es kann gelegentlich vorkommcn. dass sowohl die 2. wic auch 3. Ableitung g lcich Null sind, d.h . f" (xo ) = 0 als auch f"' (xo) = O. Wie lasst sich dann bcstimmcn, ob c in Extremalpunkt odc r cin Wcndcp unkt vorhcgt? Wen n dcr Fall mit j" (xo) = 0 und fll/(xo) = 0 eint rin, differenziert man d ie Funktion f (x) so lange welter, bis die momentane Ablcitung an der Stelle Xo ci nen von Null versc hiedene n Wert annimmt (naHirlich vorausges etzt. dass die Funktio n so oft dilTeren zierbar ist). Wenn die erste von Null verschiedc ne Ablei tung allgemei n mit j (n j bezeic hnet wird. kann eine Aussage iiber lokale Extrema wie folgt gctroffe n werdc n: n ist

Art des Extrem ums

<0

gerade

tokales Maximum

[' (xol ~ O nnd I'"' (xo) > 0 [' (xol ,' O und I'''' (xol ,' 0 f' (xo) = 0 //I 1l1 fn l (xo) =I- ()

gcradc

lokalcs Minimum

ungerade

Wendepunkt

ungcrad c

Sanelp unkt

Fall /' (xo) =0

//I1l1

j!'J)(xo)

6. 11 Lokalc Extremwene ciner Funktion

Heispid 6,26:

v" =

y' =3.~ -3

::}

/ =0

,

6x

xo = =F 1

::} Minirnum bei r

y"( I ) = 6 > 0

e

, ,

1

•

Funktionswcrt: y{ I ) = - 2

)''' (- 1) = - 6 < 0

::} Maximumbci x = -l

Funkrionswert: y( - I) = 2 Es cxisticrt zusutzlich auch cin Wcndcpunkt :

y" = 6x = 0

::} xo= O

/ (0) = - 3 t 0 und /" (0) = 6 ¥ 0: Sci .r = 0 licgt ein wendepunla

VOr.

Betspiel 6,27:

y =re- ·'

\: ~

-,

,

•

,

y" = e- ·'(r - 4x + 2 ) )'''(xo) = / \ 0) = 2e- o = 2 > 0 ::} Minimum y" (XI ) = y" (2 ) = e - 2(22- 4 ·2 + 2) = _ 2e- 2 < 0 Funktionswerte: y(O) = 0

::} Maximum

.1'(2) ~ 0.54 1

Aufgabe: Bcstir nmcn Sic die Position des Wcndcpunkts irn Bereich 0 < .r < 2.

L5g: .r = 0,586

229

2.'0

6 Diffcremialrechnung

6.12

Newton-Ver fahren fU r Nullstellenbestimmung

Einflihr ung In anspruchsvollen technischen Anwe ndu ngen trctcn meis t nichtlineare Gleichungen au f. die in gcsc blosscncr Form nicht kisbar sind. Unter dcr Losu ng e incr Funktion verstcht man die Bcstimmung ihrer Nullstcnen. In dic scm Absc hnitt werdcn nur Funktio ncn mit nur einer unabhangigcn Variable betrachtct. Die Losu ng dcr Funk tion

If (x ) ~ o l licfc n also den Wert (oder die wcrtc) der Variab le .r . IUr den/die diose Gleichung erfilllt ist. AuBersl wichng c ingcnicurtcch nischc Fragestcllu ngcn. z.B. Tragfahigkc it von Bauwcrkcn im cla sto-plastischcn Bere ich odcr Stabilitutssichcrhcir von Tragwcrkcn. konn cn nur mit Hilfe von Com putcrmcrbodcn. L B. Finite Elemente Methode. bcan rwonct werdc n. Des fundamentale Mcrkmal aller Computcrmethoden ist, dass sic numcrisch arbciten - im Gegensatz zu analytischen Losungen. Eine numerische Losung lie fert stets die Losung nur des konkreten Problems: ma n operiert nur mit Zahlen. nicht mit Variablen. Am Ende erhalt man also als Ergebni s cine (ode r mehrerc) Zahlen. keine Forrnel n! y Yo .••••.••••.••••..••..•••••.•••.••••..••••

Y,

Bild 6.5: Newton-v crtahrcu

Ba sis des Newton- Verfa h re ns

Bild 6 .5 ze igt ci ne nichui ncare Funktion f (x ). welche d ie .r-Achsc bci x., schneide r. Die Funktionswcrtc werdcn auf der v-Achse aufgctragcn. Die Position X.I ist also d ie Nullstelle von f (x). Die Losung dcr Gleic hung f (x) bcdcutct. die Variable .r so zu bestimmcn. dass f (x) glcicb Null wird:

f (x) = 0 - . x ='?

6,12 Ncwton-Verfuhreu fur Nullstellcnbcxtimrn ung

231

Das Newion-verfanren' ist ein nerauves verfa tiren. d.h . die Los ung wird durch sich wieder holcndc Schrittc nac h ci ncm vorgcsc hricbcncn Muster erreicht. wobci sich die Gu te dcr Los ung bei jcdcm ltcrationsschritt verbcssc rt. Wic be l allen numer isch-iterat iven Losungsverfuhren . muss aueh beim Newton -Verfahren ein Startwert Xo gewahlt werden . Diese r Startwert entspricht bes itzt die Bedeutu ng eines allc rerstcn Schiltzwertes fur d ie Nullstel1e. Von der Gcschicklichkeit bci der Wahl des Sturtwe rtcs hangt die ltcrationsgcschwindig kcit und u.U. soga r der Erfol g od cr MiBerfol g de s Newto n-Verfahrens abo Einset zen des Schat zwerte s Xo in die Funkt ion [ (xl liefert den zugehorigen Punktionswert /0. Auf der Funktions kurve liegt also dcr Punkt P =- (xo. Yolo Die Steigung der Tangente am Punkt P ergibt sich aus der erste n Ableitung der Funktion , ndmlich als J' (xo ). JeW kann man die Gleichung der Tangcnte To entsprcc hend dcr Punktstei gun gsforrn ciner Geraden aufsle llen (vg l. Seitc 187): tan a = - /<, - - == XO -XI

To :

r:xu)

y =[(xo ) +f(xo) · (x -xo)

Der Sc hnitrpunkt der Geradcn To mit der .r-Achse. d.h . die Koordinate .rr. wird :IUS dcr Bedin gu ng

y = 0 bes timrn t: XI

=

f (xo)

Xu -

P (xo )

Mit cincr abgckurztcn Schreibweisc fur Funktionswcrtc crgibt sich folgcnd c For m dcr ob igcn Bczichung: XI

= Xo-

fo

mit [0 == f (xol

[~

to " f

(xo )

Jetzt kann man in analoge r Weise die Koordi nutc X2 bcstimmcn. danach X3 usw. Fur den i-ten ltcrationsschritt crgibt sich die verbcsse rtc Nullstcllc aus folgcndcr Bczichung: Xi = Xi _ l -

/; - 1

- ,-

!;-I

i = 1,2,3. . . .

mit f i-I ::::: f (xi -d

fl-, "

f( x,_ ,) (6.34)

Ahhruc h krite r fum fur die Iteration Die Newton-Iterat ion wird bei m Untc rschreitcn cine r vorher festgetegtcn Gcnauigkeits schra nke abge broc hen. In diese m Fall spricht man von der Konvergenz der Iterati on. Beim Vorli egen der Konvergenz ist d ie Funkt ion f (x ) an der zuletzl errcichten Position XII (nac h der It-ten Iteration ) nuhcrungsweise glcic h N ull: f (x,, ) ~ 0 3 1",,,,<, Nell'um ( 1M 2 1727) : Univcrsal-Celchrtcr. 7..cilgcno"c oml K" nlmhcnl von G.I¥. Leih"i.., NeWlOn cnldel'klC die nm:h ihm bcuanmcu Gescrzc dcr Mcchauik .

232

6 Diffcremialrechn ung

Die zurn Abbru ch der Iteration verwe ndete Genauigkcitsschrankc (sog. Toleranz TOL) ist cine schr klcinc Zahl. z.B. TOL= 10- 5. Urn tiber cincn cvtl. Ab bruch dcr Iteration emschcidc n zu konncn. muss die aktucllc Gcnauigkcit mil dcr Tolc runz vcrglichcn werdcn. Es gibt mchrcre Mog lichkcitcn. den erre ichtcn Genauigkcitsgrad zu dcfinicrcn. H icr wird das cin fachstc Kntcriurn vorgcsretlt:

Dicscs Kritcrium bcsagt. dass der aktuclle Abso lutwert der Funktion unterhalb dcr Tolc ranzschwelle Hegt, d .h. praktisch Null iSI (konncn Sic sagc n. warum der Abso lutwen geno mmen wird'!). In der Spc zialliteratur gibt es noch sc harfere (und fort geschrittencre ) Kritericn IUr die Feststellu ng der Konvergenz, deren Erorterun g tiber die Zielsc rzung d ieses Buches jedoch hi nausgc hcn wtlrde .

ltera tlons-Algon thm us heim Newton-verfe bre n Fur die Bcstimmung dcr Nulls tcllc x.< einer bc lieb igen Gleichung f( x) = 0 nach dcrn NewtonVcrfahrcn wird der in Tabcllc 6.2 bcschriebcnc lterations-Algorithmus angcwandt: Tabclle 6.2: New tonsc hcr lteratiu ns-Algorithmus

I. 2.

Tolc ranz TOL (Genauig keitsschranke) festlegcn.cz.B. TOL= IO- 5

3.

Die erste Ab leitu ng f'( x ) der Funktion I (x ) aufstelle n.

Stanwen

.\)l

grub schatzen.

f!J

4.

Punkrionswert io und Ableitungswert

5.

ltertuion xindcx i = I scrzc n.

6.

Verbesscrung der Nullstcllcnabschatzung : x; = x; _ I -

7.

R.

I

/; und If an der ncucn Position Uberprufung der Kon vergenz : Wenn Wenn

9.

i... fi- I

bcrcchncn.

1/;1 < TOL 1/;1 > TOL

Xi

bc rech nen .

Konvergcnz erreich: zurn Sehritt 9 ge hen

:

i um I erhohen und zum Sch rit t 6 ge hen

Nullsrelle isr naheru ngsweise : Iteration bee ndc n.

X , "" _f i

w eltere numer ische Verfahren Es gibt cine bctrachtlich c Anza hl voo weitcre numerischen Mcthodcn zur Nul lstellc nsbcs timmung von bcliebigen Funkt ionen . Beispie1 haft seicn erwn hnt:

ReMI//a falsi tnte rvallhalbierung Sekaruenverfahren

Modifu ienes Newton-Raphsan-Vert ahren Z ur Nullstellc nbcs timmung von Polynomcn cxisticrcn spczic llc Verfuhren. z.B. das H om er Sc hema.

6 ,12 Ncwton -Verfuhreu fur Nullstellcnbcxtimrn ung

Heispid 6,28:

Beha lterv olu men

F.i n Re hiilter tw sl...ht nus einem 7y lind ris('hen Tejlund einer Halh kngel. D ie Zyli nde r,

hohc II ist mit dcm Rad ius r tiber die Bcdin gung II = .;r verknilpft. Wie gro B muss r scin. damit dcr Behalter dus Volumen V = 1000 ", 3 hat? Die Losung isl mil dcrn Ncwrc n-v crfahrcn und dcr Tolc runz TOL= 10 - 3 durchzufllhrcn.

h[

-' - - -_

/: _

---.J

Des Volumen des Behalters ergibt slch aus:

-~ 1Cr'

+

3

Volumen de, Kugclteils

--H '"

2 3

1

~S

=- 1C r+ 1C r· ··

Ii

Volume n de' Zylin
Die Funktion f (r), dcren Nullstellc ges ucfu wird. Iautct mil V = 1000 :

1 000 = ~ 1r r"' + 1r ?·5 3

Die Ablcitu ng dcr Funktion f (r) ist: /, (r) = 21C? + 2.5 1Cr I. 5 Den Sta rtwert ru fu r den Radiu s kann man auf vielfllltige Weise ebschnzen. Hier basiert unscre Schctzung darauf dass nur dcr Halbkugcltei l des Behnltcrs betruchtet wird:

2

,

1000 = 1" 1rro

"*

ro = 7.8 159

Die Newton-Iteration in tubcllarischer Perm lautct:

;

';

0 1 2 3

7,8 159 6 ,8500 6.7 146 6,7 120

Ii

536.5240 58.9759 1,06 53 O.<XX>4

ff

Bmrkg.

555,4453 4 35,6262 4 19,934 1

-

lli l < TOL

Dcr gcs uchtc Radi us ist also r = 6.7 12 III. Daraus folgt die Hohc des Zy lindertcils mit Ii = j6,7 f2 = 2.5908 m. Zur Kontroltc sctzcn wir dic sc Wcrtc in die Volumen formel und crhaltcn V = 999 ,98 rr r' ~ 1000 rr r'.

233

234

6 Diffcremialrechnung

Hdspid 6.29: O il.' N ullcrelle Il..r Punk non f(l: } = x 2 - p < snll m it Hilfe Il.,s Newton, Vcrfah re ns mil dcr Tolc runz TOL= 10- 4 bcsu mmt worde n. Die Ablcuu ng dcr Fu nktion ist j' (x ) = 2x - e' . Die Iter atio n wird zwcckmatiigc rwcisc tabella risc h aufbc rc uc t. Als Startwert wird Xo = 0 gcw ahtr.

I I 0 1 2 3 4

6.12.1

111;1~ TOL

, 0,0000

-r.oooo -0,7330 -0,7038 -0,7035

- 1 , ‫סס‬OO

- 1 ,‫סס‬OO

nein

0,6321 0,0568

-2,3679 - 1,9465 - 1,9023 - 1,90 18

ncm

OJ)(X16 0,‫סס‬OO6

I

z

,

ncm ncm

J"

vor- und Nachteite des Newton-vertehre ns

Wic jcde nume risc he Method e hal auch das Ncw ron-vcrfahren Starken und Sc hwiichcn.

Vort eile 1. Es kon vergiert sc hr sc hne ll (quad ratischc Konvergcnz). 2. Es ist in ei nfuchcr Weise auf simultanc nic htlineare G leich ungssysteme anwen dba r und bietet som it in dcr FEM (Fi nite Elemente l\t ethod e) grcae Vorteile. Nachteile 1. Ncbcn dcm Funktio nswen f (x ) wird auc h d ie crstc A blcinmg j' (x ) bcnbtigt. 2. Bei nfcht-mon otcn cn Funktionen kann es divergieren bzw. auc h total vers age n ! Beisp iele fur so lche Hill e sind: a. Wenn in eine m ltcrutio nsschritt die Tangente waagereclu verliiuft, d.h . die crstc Ableitung 1 = 0 wird. tritt Division durch Null auf:

f:_

f ;-1

Xi =Xi-I - O

=oo

b. Bci c iner aruimetrischen und gleic hze itig rectus gekrumnuen Funktion im positiven .r-Bc rcic h tritt z.yklische.\' Vcrhulte n. d.h. unc ndlic hc Sc hlci fc. auf. HeispicI 6.311:

Dtvergenz des Newton-verfehre ns

Bci der Losung der Gleichung f (x ) = ."( - ta n x = 0 nach dem New ton-Vcrfahren wird als Stanwe rt Xo = Jr gewh hlt. Sc hon im ers te n lter ation sschritt trit t Divergenz auf!

fo = f (Jr ) =

Jr -

tan x =

lC

- 0= n

/ = 1_ _ 1_

cos 2x

XI = Xo -

10

Jij =

Jr -

K

0=

-

00

(!)

w citc rrccbncn ist nic ht mohr mog hc h !

6. 13 Zusarzfiche Bcispicle

6.13

Zusatzl iche Beispiele

Beispiel 6.31:

Dtnerenzenquotlem Bcstim men Sie den Differentialquouentcn dy/dr der Funktion y = .r' .

f(x ) = x 3 f (x + .1.x) = (x + .1.x )3 = .r' + 3x 2.1.x + 3x (ar)2+ (.1.x)3 .1.y x' + 3x2 ar + 3x (ar)2+ (a r)3 - x3 _ " 2 1 . ( )' = - "" + . x a >; + a r ar at dy = lim .1.y = dr 'l..t_ O a r

lim [3x2 + 3x at + (at)2] = 3.~ + O +O = 3.~

Ar_ O

Ueispiel 6.32: I. Ablettung Fur vcrs chiedcnc Funkt ionc n soli d ie I. Ablcitung a) y = 2 sin2 (Sx + 3)

l

bcrcchnct werden.

l = 2 .2sin(5x + 3) cos(5x + 3) · 5 =20 sin(5x +3 ) cos(5x + 3 y' = 10 sin( IOx + 6) b)

.v =

(, - 4x

y' = c)

sinx ~ 4 (, - 4x

sinx+e- 4., cose e

(,- 4.\ (-

4 sinx+ cosx)

y =s.-2ln x Anweudun g dcr Kettcnregel mit dcr Substitution 11 = x2 10 x liefert:

y= S"

dr

""":'- = S" InS

d"

du 1 -I = 2t l n x + .~ - = x ( 2 1 n x + [) as

.r

, dy du > v = - - = 5" InS ·x (2 10 x + 1) = 5 r lnx InS· x (2 10x + I) . du dx d) y = .r lnr - In(5.r-' ) , 1 15x 2 3 )" = 1· Inx +x - - - -3 = I + lnx- ~ . .r 5x x

6 .~ COI(X' )

235

236

6 Diffcremialrechnung

Hd spid 6.33:

3. A b ld t u n ~

Bcsummcn Si c die 3. Ab lcitun g folgc ndc r F unktion cn.

a) y = 5 In( I + ..,3 ) }/ =

v" = 30x - 1 5x~

15.>?

I + x3

.

3 0( 1 - 7.r~ + x6 )

In

(I +x-')3

Y =

( I + x-')2

b) y = tanh .r

}/ = (tanh x)' = I - tanh2 x (s. Able itungstabclle auf S. 722) }I' = ( I _ tanh2 x )' = - 2 tanh.r (tanh.e)' = - 2 tanh .r ( I _ tanh2 x) y l/l = - 2[ (tanh x)' ( I - lanh 2x )

+ tanhr ( I -

tanh2 x)'j

= - 2( I - tanh 2x)( 1 - 3 tanh2 x) c)

y = .r' yJl = x' (In x+ 1)2 + X, -I

}/ = x' (ln x + I)

l Jl = x' (In x+ 1)-' + 3x, - 1 (l n x + I ) _ .t"'- 2

Betsptel 6.34:

Logaru bm fsche Abteu ung

.r' = ?

y = x,in,T

Nach Lo garithmieren bcide r Seite n der Gleichung erhalt man: Iny = Inx,;nx = sin r In x

(vgl. ( 1.26) aufS . 10)

Analogcs Vorgchcn wie in Beispiel 6.19 auf Scitc 2 17 licfert: d (ln y) =

dr ~

l y

d (sin x In x) _ . I sinx - co"x nx + - dt X

, inx sin x ) y' =y ( cos x In.\'+ - =x .r

Betsplel 6.35:

X cosr

In x + sin x .r

sint-l (

=x '

.\' cos x ln.c -j-sinx

waagerec hte 'Iangen te

In welchem Punkt P = {r . y ) besitzt d ie Funktion y = ( I - e - x+ 2) 2 cine waagcrcchtc Tangentc? / = 2 ( I - e - x+2 ) ( -( - I ) · e - x+2 ) = 2e - .r+2( I _ e - x +2 )

/ = 0

~ ( I_ e - x+ 2 )= O ,

y ~( I _ , - 2+ 2) 2 ~ 1 _ I ~ O

l = e - ·<+2,

In l = -x + 2,

=> p ,(Z,O)

0 = - x +2,

x= 2

)

6. 13 Zusarzfiche Bcispicle

Heisp id 6.36:

237

Al:tleitu nJ.: etner Pa ra meter fun kt jon

Gcgcbcn ist ein Kreis mit dem Radius r = 5 in Parametcrform (s . Scite 46 ): x = rcosl

y =rsinl

Ge sucht sind fur den Para meter t = 13SO die Steigung m und dcr Steig ungswinkel a der Krelsrangente. Lasung: Mit Hilfe dcr Ableitungsfor me11Ur Parameterfunk tionen (6.20 ) erhtilt ma n:

)' = 5 cos t

I \; Scos r \' = :. = - - - = - cot t . x - 5 sin t

.i: = - 5 sin l

w egcn m = tan a = y' ergibt sich fur / = 135° : III

= tan a = - cot( 135° ) =

+I

=}

a = arctan I = 45°

Au/ gahe: Loscn Sic d icse A ufgabc auch umcr Vcrw cndung dcr klassischcn Krcis gleichung x 2 + y2 = ,-2 . HeispieI 6.37:

Besch leu nlgung (alterna tive Ableitungs forme l, Leil:tniz-Kalki.il)

Ein K erper bcwcgt sich gcrudli nig . Die zuruckgclegte Strcckc sc i durch die Bezichung = OA / 3 gcgc bcn. Die Bcschleunigung (I des Kcrpc rs zum Ze itpunkt / = 5 s ist scwoh l klassisch mind s zweiter Zcitnblen ung von s(t ) als auch nach Fonnel (6. 18) auf Seite 2 15 zu bcrcchncn. .1'

a ) Klassischc Ermittlung der Besehleunigung tiber zweimalige Ableitung von .1'(1) nach I :

a =2 ,4 ·5 = 12m/ s 2 b) Berechnung nach OJ. (6. 18):

ds ~ .i = d1 = 1.2r

(a)

Dcr Term t ~ im lctzt cn Ausdruck in (a) konntc, analog zur v orgchcnswetse in Bcispic16 .16 auf Scitc 2 15. als Funktion von s aufgcstcl} t und dann nach s di ffcrc nzicrt worde n (fLi hrc n Sie dies als Hausaufgahe d urchl ). Es soil hier j edoch ein andcrer Weg cingeschlagen worden . d d dl . Gemuu Keuenregel gilt d ie Beziehung - = - - . Daraus ensteht durch algcbratds d1 ds se he Umfo rmung folgende Beziehung :

0 ~

0'

0 ill ds 0/

~

d I 0/ i

(b )

231l

6 Diffcremialrechn ung

Die Beschleunigung if Hisst sich jet zt aus (a) . unter Bcrucksichrigung von (b). wie folgt crmittcln :

.f=! d ( 1.44(4) ! =! . 5.76(3 ! =! · 5 .76(3 - 21 2 =2.4( 2

dr

s

2

s

2

1. 1

a =2.4 ·5 = 12 m/ s2

UeispieI 6.38:

Norma le a n eine Kurve Gegeben se i die Funktion )' = 3 .yx. Es wird am Punkt P der Kurve, der zur Koordiuatc .r = 0.4 korrespondiert . die Normale an d ie Kurve gebildet. Gesucht ist der

Sc hnittpun kt S der Normalgera den mit der .r-Ac hsc.

/

,

TanIJente

2

,

,

s

,

U i.l"lI/lg :

Die Koordinaten des Punktes P sind:

)'p=30lA = 2.2104

xp = 0 .4

Die Srcigung III dcr Tangcntc am Punkt P ergibt sich L U:

, 1 \' = . x 2/3

111

1 =)', (0.4) = 0,4 '/ 3 = 1,8420 .

Die Steigung m" dcr Nc rmalc am Punkt P ist (s. Seite 195): III

"

1 1 = - - = - - - = - 0 5429 111 1,8420 .

Punkrsrcig ungsfcrm der Nonnalgerade n (s. Seite 187):

y,,(x) =

111"

(x - Xl' ) + YI' = - 0,5429 (x - 0.4) + 2.2104

Ocr Schnittpunkt P, mit dcr .r-Achsc ergibt sich aus dcr Bcdin gung y,,(xs) = 0:

- 0,5429 (xs - 0.4) + 2 ,2 104 = 0

:;.

Xs = 4.47

s~

(4 ,47; 0)

Aufgabe: Bestimmen Sic den Sc hnittpuukt Q dCTTangcnte mit der .r-Achse.

6. 13 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 6.39:

NOTmaie an eine Kurve l,£'gdlf'n sci d ie Funktinn y = r~ . Am Punkr P = (2; R) der Funk tinn skurve w ird die Normate dcr Kurv c gc bildct. Gcsuch t wird dcr Schniupunkt P, dcr Normalgeradcn mit dcr .r-Ac hsc.

Die Tangcmcnsteigung am Punkt P crgibt sich zu: l r"' Y, = ..

Die Steigung

/ (2 ) =3 . 22 = 12 111'1

=}

III

= 12

der Normale am Punkt P ist (s. Seite 195):

1

I

= -- = - 11/ 12

111"

Punkt steigu ngsform dcr Nor matgcradc n (s. Seite 187):

)'lI (X ) =

III"

(x - xo) + )' 0 = -

I

T2

(x - 2) + }\

Ocr Schruupunkt p., mit der .r-Achsc ergibt sich aus dcr Bedingung YII (X) = 0: I 12

- -

(x - 2) +8~ O

=}

x" = 98

Heispiel 6.411: Lokales Extremum und Norma fe an eine Kurve Geg ebc n ist die Kurvc y = Jr2 + lC 11l (lC - x) + 1.

a) Berechnen Sic de n Extrcmwert der Funktion im Interval! 0 :5 .r S 1. b) An dcr Position Xl) = 1 winl die Nonnale n-Geradc an die Kurvc y gc bildct. Ermittcln Sic den Schniupunk t dicscr Gerace mit dcr .r-Achsc. U j,\'W1K :

a) )" = 6x _

0.176

~

lC - X

=

6.r2 -

;r

6lCX + ;r x

~0

=}

6.r2 -6lCX+lC =0

=}

Xo =

Extrcmwcrt: y(xo) = 4.51 )'" = 6 - (;r -K x)2

bl y(l ) = 6.39

K y " ( Xo) = 6 - (;r - O.l 76)2 = 564 . >0

~ M,' "",' m"m -."

.\' ( 1) = 4.53

Steigung dcr Normalen: /1/ " = - 1/ ),' = - 1/ 4.53 = - 0.22 Glcichu ng dcr Norrnalcn ( PlIl1kweigll l1gS!Ol"III): )' = - 0.22 (x - I) + 6.39 Schnittpuukt mit der .r-Achsc ergibt sich aus )' = 0:

=}

X,I =

30.0

239

240

6 Diffcremialrechnung

Hdspid 6,41:

Taylor-Reihe

Die Funkt ion Y = e" CO~A sol! a ll dcr Stelle .\0 = 0 ill c ine Taylor -Rc ihc mit /1 = 3 entwickelt und der relative Pchlcr dcr Taylor-Reihe an der Stelle x = 0.2 berechnet

worden.

Ldsnng:

r = - e-X(cos x + sin x)

(x) = e - x cos x

1"

= 2e - x sinx

f3 ) = 2l' -'\ (CO~ x - sinx) Die Taylorreihc fur II = 3 ergibt sich zu:

- I 0 2 2 1 .~ f, ,(x ) = 1+ - , (x - O) + I(X- 0) + I(X- O)' = 1 - x+ -

I.

2.

3.

3

0,2 3 f, ,(O,2 ) = 1- 0,2 + - 3- = 0.8027

I II

Exakter Funktionswert: 1 (0.2) = e ~O, 2 cos(0.2) = 0.8024 Rclutivcr Fehler: E re! =

HeispieI 6.42:

In;

= 0 ,0004 == 0.04 %

Taylor-Reine

Gesucht ist die Entwick lung der Funktion y = In( 1 + x) in eine Taylor-Reihe an dcr Stelle x = 0 mil 1/ = 2. Wie groa ist der relative Fehler der Taylor-Reihe an der Stelle x = 0.2 ?

f (x) ~ 10( 1 + x) xo = {)

1' (x) = 1

~x

I

"; ) - I x = ( l+ x)2

=}1(O)= ln( I+ O)= O

Die Taylor-Reihc ergibt sich zu:

NiiherungsweJ1 der Funktion: f, ,(0.2 ) ~ 0.2 -

() 22 T ~ O. I8000

Exaktcr Funk tionswcrt: 1 (0.2 ) = In( 1+ 0.2) = 0 ,18232 Rclat ivcr Fch ler: Erd =

II ~In I

= 0 .0 127 == 1.27%

6. 13 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 6,43: 'Iayler-Rethe Entwickcln Sie die Funktion j (x ) = e t - xl an dcr Stelle .r = 0 in ci ne TayJo r-Re ihe 3. Ord nung (Il = 3) und bcsummcn Sic den rclarivcn Fchlc r d icscr Rcihc an dcr Stelle x =0.7.

!",(x ) ~ [- 6( \ - 2, ) + {I - 2x ).'V - ,'

1 (0) ~ \

1' (0) ~ \ 1"(0) ~ - \

.

u ly!or-Relhe:

!",(O) ~

-5

\ 5 f,,(x) = 1 + x - 2 '~ - 6 x3

Fu nktio nswcrtc an dcr Stelle .r = 0 ,7:

j (0 ,7) = 1.2337

Exak t:

u ly!o r-Reih e:

1,,(0 .7 ) = 1, 1692

Rclativer Feh lcr:

E

rei

~

If-f

Heispiel 6,44:

1,' 1 ~ 11.2337 - 1.1 1.2337

692

1 = 0 .OS -' =5 .2%

Regel "on I' Hospital

Bercchncn Sie den Grenzwcrt des fclgc ndc n Au sdrucks .

v ee Iim .r _--,\-.:+-.:c:":-"-,x · x_ (J x +sinx c-

Lasung: \' =

·

li x - l + cosx 0 -1 +1 1m = x_ (J x +sinx 0 +0

~

o

o

un bcsu mmtcr Ausdru ck !

Regel von r Hos pital licfe rt:

.

v = \1m

•

X_ U

(x - l + cosx)' \' I - slnx 1- 0 . = 1m = -(x+ Slnx)' x_ o I -e cos.c I+ I

~

05 .

241

242

6 Diffcremialrechnung

Hdspid 6.45:

Krummungsradlus

,

Gcsucht ist dcr Krtlmm ungsradiu s p dcr sng . Ga/ljJ-FII/l kti o/l Y = e - ·r an dcr Stelle

x =O.

I~

--""=---~O

-2

2

x

Losung:

:::> y'(0) = 0

1( =

- 2

y"(O) =- 2

-2

[I +0' 1' /2

Heispi el 6.46:

Krummungsrad tus Bercchncn Sie die Krummung und der Krttrnmungsrudius dcr Funktion y = sin2.r an dcr Stelle .r = n12.

•

,

-. y' = 2 sin x cosr 1( =

' x -csm. ,.x ) y" = 2 ( cos-

y"(rr/2 ) ~

-2

-2 = - 2 [1+ 0'1'/2

Hdsp id 6.47: Lokales Extrem um Gcsuclu ist dcr Extremwert der Funktion y = (7x - 1je- 1•. Position des Bxtrcmums: y' = (9 ~ 1 4x ) e - 1t = 0

:::> xo = 0.6429

Art des Extrcmums: )' 1/

,.,

= (- 32+ 2&x) e- z..-

)'I/(xo ) = - 3.87

< U :::> Maximum

Extrcmalcr Punkuo nswcn: )''''", = 0.9676

c 1+-

-.

,,

-.,------02

6. 13 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 6.48: Lnkales Extrem um Restirnmcn Si,. ein Inkale" Extrem um fn1e cJl(lcr Funktirmen . a)

y = 4(x -2 )2+3 y' = 8(x - 2) = 0

x" =

8

=> xo =2

'* Minimum

y" (xo) = 8 > 0

Punkrio nswert : Ymin = 3

b) y = (x - 2)3 / =3 (x -2 )2 = 0

=> xo = 2

y" = 6(x - 2) )''' (2 ) = y'" = 6 '# 0 c) Y =(L'~

°'*

keine Aussage tiber Extre ma mogfich!

=> Sartclpunkt bc i .r = 2

mit C/ ,#O

)" =5C/x4 = 0

,* xo = O

y" =20C/.,3 )""(0) = 0 y(4) = 120(lx

y"' = 6011r

yt//(O) = O

.",(5) = 120(/ ,# 0

y(4)(0) = 0

Es is! II = 5. d.h. ungerade; dcshalb licgt bc i x = 0 c in Sauclpu nkt vor und zwar unabhangig vern vorzcichcn von a. d ) Y= (X _2 )4 _3

y' = 4(x - 2)3 = O y" = 12(x _ 2)2 )'(4 )

=> xo = 2

y"( 2 ) = 0

y"' =24(x -2 )

)'''' (2) = 0

= 24 > 0

II = 4 ( II ge rcde v und 1 (4) > 0, licgt bci .r = 2 cin Minimum Funktiunswcrt: Ymin =- 3

Weil

VOL

e) y = x e- x

v" =

_ (,- X( I_ x ) _ e- x =

e - X (x ~2 )

y"( J) = e- l ( I - 2 ) = - e - I = - 0.3678 < 0 Funktionswcn :

Ym~ ~

= 0 .368

=> M axi mum

243

244

6 Diffcremialrechnung

Hd spid 6.49:

Newton-Verfahre n

Ausgehcod von dc r St
;

f;

If

0.0 0,143 0, 194 0.2

- 0,2 14 - 0,020

7 4, 185 3.433

,

0

I = (5x - l )e- 2x

r = (7 -

f;

X; =X;- I - 7!

2

IOx )e- 2r

3

=>

,

~ O. O

x, = 0.2

HeispieI 6.50: Implizite Ableit un~ Fur verschiedcne Funktionen soli d ie I. Ablcitung l imp/h it ermittelt werden. a ) yJ +y2 _ e' /J + e- x/ 3 = 8 Implizite Differentiation licfert (s. Absch. 6.4): 2' , 1,/, __' e- x/3 = 0 3\' . .\' + 2n . . --e-" 3 3

1?/3 + e-·' /3

=> .v = "",-;,..:...,, , 3(3)"2 + 2)")

b) sin y + J l" - 3.~ = 0

Ir nplizite Differentiation liefert:

,

cosv- y' + y' e' + yet - fix = 0

=> v = .

6x - ye'

---"-'-0

cos y + e-'

Heisp ieI 6.51: Steig ung einer Kurve (imp lizite Ablcitung) Gesucht ist die Stcigung der durch d ie Gleic hung Y - .~ ..jY - 5x - 4 = 0 beschriebenen Kurve am Schniupunkr x" dicser Kurve mit der .r-Achse. Losang: Unter Verwendung dcr implizitcn Differentiation (s. Abs. 6.4 ) crhah man: ,

,

Y - 2t ..jY- r -

I

2JY

,

y - 5=0

,

4xy + 10..jY 2..jY x

=>y = ~~-T 2

Die Schniupunktkoordinatc .r, crgibt sich aus dcr Bcdingung y = 0 : O ~ X2 v'o - 5x - 4 = 0

=}

0 +0 ( 0.8)2

Sch nittpunkt: x" = - 0.8

o

Die Kurve besitzt also an der Stelle x" = - 0,8 cine waagcrcchte Tangcnte.

6. 14 Technische Anwendungen

6.14

Technische Anwendungen

lJeispieI 6.52: Balken unt er Einzellast Ein bcidseitig gelenkig gelagerter Biegebalken von der Lange L wird in dcr Mitte durch eine senkrecht stehende Einzella st F auf Biegung belastet. Die Durchbiegungskurvc y des Balkens unter dieser Belastung ist durch folgcnde Gleichung gegcben

(KOO,d;:": ~:r(It:~~"I;~r"d' ""~ :'~:';::

a) An welcher .r-Pc sition des Balkens tri ll die grourc Durchbiegung auf? b) w etchcn Wert besuzt die gr()fite Durchbicgung y",,,x? c ) Wie groB ist da s Bicgemoment M an dcr .r-Position von Y"'''T? Lii.\'II/1K:

a) Die Position der groarcn Durchbiegung ergibt sich aus y' = 0:

=> xo = L/ 2

x)

b) Y" = FL' EI ( - 20

FL r"(L/2 ) = - 4EI

<0

=> Maximu m

FL J

Maximale Durchbicgung: V"u" = r (L/2 ) ~ - - ~ . . 48E I c) Bicgcmomcnt in Balkcnmitte: Das Bicgcmo ment M und die Bicgclinic cines Balkcns sind mircinundcr durch die Beziehung M = - EI )'" vcrknupft (wg. Einzelheiten dicscr Bcziehung kann ein Bueh dcr Pcstigkcitslehrc konsutue n werden). II

FL

Y (L/ 2) ~ - 4£1

/I

=> M(L/ 2) ~ - £ 1-)'

FL

~ -.

245

246

6 Diffcremialrechnung

Hd spid 6.53:

Balken unter Streckenfast

Fin e infel(lrige r Riegeh;t lkell aus dem SlHhlpro lil IPF. 200 ist a n se inem lin ken Fnde gclc nkig gclagcrt und am rcch tcn End c ein gespunnt. Die Bclasrung ist di e kon stantc Strcckcntast q . Der Verla uf dcr Durchbiegun g II' ubcr die Balkcnlangc ist durch folgcndc Glcichung gcgcbcn:

qi' w(x) = 48EI

(xf - r3.r' +f4 2,')

wobei E : Ela stizitatsmodu l. 1 : Traghcit smcm em des Batkcnqucr sch nltts. 1 die Balkcnlange sind. Das Biegerno ment M(x) und die Durchbiegung w(x) hnngcn tiber die Momcntcn-Krtlmrnu ng-Beziehun g miteinander zusammen :

M = -EI ·"

o

Gc suclu ist dcr Kriimmungsrad ius

0.3751 fur folgcnde Wcrtc:

1 = 600 elll

q = 0,05 kN / em

und das Biegemoment M an de r Stelle Xo =

E = 2 1000 kN / cm 2

1 = 1940 n

J.ji ol"lIl1g :

ql3 w/(x) = - 48£1 .II H

_

qf

3

(xl - 48£1

I

(_ ~

2 24X )

fl + J3

w/(xo ) = 8.63 . 10- 4 I((XO) =

ql3

w (xo) = 37.4634EI

I/' (XO ) = - 3.107 . 10- 5 cm- 1

- 3. 107 . 10- 5

1('

[1+ (8.63 . 10-' )2]' I

2 II qf w (XO) = - 14.2222£ 1

P = fKf = 1 3. 107 . 10- 51

= - 3. 107 · 10- 5 em"

1

3 2 185clII ~322m

M(xo) = - EI· I((XO) = - 2 1000 · 1940 · (- 3. 107 · 1O ~ 5 ) = 1265.8 kNelll

il

4

6. 14 Technische Anwe ndungen

Heispid 6,54:

247

Balken un ter Dreieckslast

F.in hl.'illsl' ilig gdl' n kig gd agl' rt/' r Ralk en wi rd dum h nin e Iinear ve rfindcrfic-he SIr/,.

ckenlast q(x ) = qo (xI L) hclastct. Ocr Verlauf dcr Durchbiegung w(x) libcr die Balkcnlan gc ist durch folgcndc Glcichung gcgcbcn : \I' X

_

.s: (7.1: _ lOx' + 3.r') I~

( ) - 360£ 1

/

{-I

wobei £ : Elastizitdtsmodul. I : Traghensmomenr des Balkenquerschnitts. / d ie Balkentange sind. Es soli die maximalc Durchbiegung des Balkens besrimmt worden .

( =2 m

q = 100kN/ m

Ldsung: Die Position dcr maximalen Durchbicgu ng wird ubcr die crstc Ablcitung bcs timm t. \1"

_

~

(x) - 360£ 1

4

2

( 7 _ 30x (2

+

15X )

4

3o.r2 15X ) ::::;. I (x ) = ( 7 - [ 2 + 7 = 0

_

- 0

(4

Die Nullstellc x/I der Funktio n I (x) wird mit dem Newton- Verfahren bestirnmt. Als Startposition winl gcwa hlr: x ]! = 0,5

i 0 I I

xi/I 0,5000 0,5194 0,5195

Ii

0,4375 0,00 16

-

If

-22,500/1 -22,757/1

=> Nullstelle:

x

7 ~ O , 5 1 95

-

Die maximulc Durchbicgung ergibt sich dann zu: ~4

~

max w> 360£ 1 (7. 0,5 195 - lO. 0.5 195·' + 3. 0,5 1955 ) = 0,00652 £ 1 Mit den vorlicgendcn Za hlenwerten crhalt man: max w = OJ Xl652

100 . 2,04 H

2,1· lO ·1 ,71·10 -

()

= 0.029 m :::: 2,9 em

24!l

6 Diffcremialrechnung

Hd spid 6.55: Die theoretisch erz ielbare dcr fclg enden Fonne l.

Lei.\·IIIIl~

einer

Willde/l(' rxie -Allla~e

(WEA) ergibt sic h aus

(1- '~) (1 +.:.) 1'0

P

p D V I)

V

1'0

Nm

,

Lcistung dcr WEA in = Walt 3 Luftdichte in k/:/m ~ 1,25 k/:/m 3) Rorordurcbm esscr in III Unges torte Windgeschwindigkeit in m/.\" (vor dem Rotor) Gesch windigkeit dcr austrctendcn Luft in mj.f (hinter dcrn Rotor)

co

Die Grob cn p, 1'1), D sind fur den gcwa hnc n Standort und das lnvcstitic nsvolumen fest stehendc wcrte. d.h. Konstante n. Die Luftsrro mungsgeschwlndtgkeit I' hinter dem Rotor hingegen ist cine durch Rotorblatt-Anstellwinkel steue rbare GroGe. d .h. eine Variable. Die Lcistung P der WE A ist daher ci ne Funktion der Variable I '. Es soli bestimmt werden. wic groG d ie maximalc Encrgicuusbcutc dcr WEA aus dem Wind ist. Ldsung :

Die muxirnale Leisu mg stellt sich fur die Bed ingung dP/ d l' = 0 ei n. wei! P = i (v)

isr:

~ O

- 31,2-

21'1'0

Die U isungen diescr quadrauschcn Gleichung sind

+ 1'5 = 0

1'1

=

I~l

und

\' 2

=

- 1'0 ,

Die zwe itc

Losung macht physikalisch keine n Sinn, we il die Luft nieht gcgc n den Wind (wcgcn des ncgarivcn v orzcich cns) zurnc k stromc n kann! Die ric htigc Losung tauter also \' = \'0/3 , d.h. wenn die ungesto rtc Windgeschwindigkeit auf ein Driucl reduziert wird,

6. 14 Technische A nwendungen

249

crrcicht die WEA ihrc maximale Leistung P,,,,,••

(\' O/~3)2)

' z

P,mu = fl (I _

3

( I + 1'0/ ) = 0 .592

1'6

fl.)

1'0

fl.) entspricht physikalis ch dcr im Wind insgesam t vorhandc ncn kincti schc n Encrgie. Man kann also mil eine r idealc n reib ungsfreic n WEA (d.h. m il einem tra umhaft hohcn Wirkungsgrad 11 = I !) bestcnfalls 59% der im Wind vorha nde nen Energ ie nutzbar meche n.

Anmerkung: Aufgrund unverrncidha rcr Reibungsverluste und ande rer Ursac hen erre ichcn moderne Windkraftan lagen in Wirklichkcit ca. 40 - 50% Energ jeausbcute.

Baumtran sport im Wasserkana l

HeispieJ 6.56:

Ein Porstbct ricb transporticrt Baum smmm e zum Urnschlagplatz durch eiu en Wasserkanal von dcr Breitc b. Diesel' Kanal m iindct in ein cn undc rcn scnkrecht zu ihm oricntiertcn Kanul von del' Brcite c (Flic bnc hnmg in Kanalc n durch gestrich chc Pfeilc angcdc utct). Die Baurnstarnmc dtlrfcn cine bcsu mnu c Lange nicht ubc rschreitcn. da mit sic nich t an del' Eck e E fcstsitzcn. Bcsum mcn Sic die zulussigc Lange L des Baurnsta mrus (E inlluB des Baumstammdu rchmcsscr s wird vcrnac hlasvigt. d.h . del' Baumstamm wird marhematisch wie ci ne Lin ie behan den). Tipp: Drucken Sie d ie Bau mstammln nge als Funk rion des Winke ls a . Die kritische Uin ge ergibr sich als Extremum diesel' e -Funktlon.

e c= 6m

b =3 m

, L =LI +L2 =

dL

aa

b

C

-. - +-sm c ccs c

- b cos a ., sm- a

c sin a cos- a

+ --,-~

- b cos 3 a + c sin 3 a

,

sin-

a cos 2 a ,

aL ~ O

aa

Ian a =

b c

ta n a =

tan' a = -

if[

=> a =

38.43 9"

L=

3

6

+ = sin 38.43 9" co s 38 .439"

_IrE

V~

12.48m

250

6 Diffcremialrechnung

Hd spi d 6.57:

Auto in der KUI"\'e Rin AllIn (M ;l ""~ 1/1) fiihrt mil kon xta ntc r G c"e hw indi gk e jt \' in ei ne Slra""cn ku rve . d ie durch die Funktion y = 100 In x (x in Mctcrn und x > 0 ) beschric bcn wird. Die auf das Auto wirkendc Zcntrifu galkraft kann nach der Formc1 F = m v2/ p bcrcchncr worde n. Diose Kraft F ist rucht konstaru. weir der Kri.i mmunsradius p der Kurve vo n dcr momenrantcn Position des Wagens abhangt . Dcr Reibungsbciwen zwischen den Reifen und der Strasse bctragt u. Die Reibungskraft FR zwischen den Autorcifc n und dem Asphalt (Ri.ickhaltekraft l liissl sich nach der Pormcl FR P G P mg berechnen (g : Erdbcschleunigung).

=

m = 1500 kg

1' = 162 km/ h

p =O.7

=

g = 9.8 I m/s 2

Bleibt des Auto auf dcr Suussc oder kom mt es ins Schlcudem ?

Ldsung: Der Krumm ungsradtus p wird bcrcchncr OlUS

[I + l,.')2) ' / 2 p ~

- bJlf-

100

I

.r = - x

2] '-' [I+ (1.~Xl) , 100

~

(x2 + 1002) l.5 IOOx

\' = [62 kill /it = 45 m/s

Die groOte Zcntrifugalkraft F,,,,,t c rusteht fur F' = dF / d J; = 0:

F' = 3.0375· lOX(r + 1002) 1.5 - 3.0375 · lOX.r - 1.5 (x2 + 100 2)0.5 . 2x = 0 (x' + 100' 1' , 3.0375 · lOX(r + J( xY )O.5 (r + J()()Z - 3r ) F = (x2 + 1()()2)3 = 0

,

F -

-

3.0375 · IO" (x' + loo' j" ' (HXl' - 2" ) --- 0 (x2 + 1002)3 -

6. 14 Technische A nwendungen

Dcr Ausdruck C r + 100 2)0.5 in dcr lctztc n Glcichung ist stcts t 0, weil gc miiB aufgubc nstc ltung .r ~ gilt. Daher muss fo tge ndc Bedingun g gc lte n. da r nit F' = 0 er fllllt isr:

°

ICHi - 2 r = O

o:=> xl/I =J5(XXI = 70, 7 1 m

Die groBte Ze ntr ifuga lkraft tritt also an der Stelle x", = 70 .7 1 III auf. Nach Einsctzen dic ses Wert es in die G lcich ung flir F ergibt sich die Zcn trifuga lkra ft F,"'l< zu:

Die au f des Auto wirk en dc RUckha ltekraft aufgru nd dcr Reibung zwi schen Rcifen und Strate bctragt : FR=0.7 · 1500 ·9,81 = 10300 N

Das Auto kom mt in dcr Kurvc ins Schlcudcm . weiI F,"'l<

> FR.

lIeispieI6.58: Arbeit elnes Moments Die Biegehnie y des ei nseitig eingespanmcn Balken s unter der Ei nwi rkun g des auaere n Btcgemomcntes Mist gegcbcn durch M 2£ 1

\' ~f(x) ~- x'

.

y: verti kale Durchbiegung des Balken s

cp : Vcrd rchu ng des Balk cncndcs (rud] £ = 2, I . 1011 N /m2 (Elustizitlltsmodul]

1 = 1 ' 10 - 7 mot (Trngheitsmome nt) L = 6 m (Balkcnldngc )

Des iiulkre Bicgcrnomcnt lcistct wah rend dcr Vcrformu ng die Arbcit W = 1Mcp. Wic groGmuG das Mom ent M sein. damit die gcleistete Arbcit gc na u W = 3600N m bc tragt? Losung:

,

M

, i .ro». 10- 7 =

36(Xl

Drchwinkel cp am Bulkenen de:

I

W = 2M rp = 2 ,2

6M 2

.r = £1 .r

, 6M tn - r (x -- L ) -- 2, 1 . 1011 , 10'1' - . 7

o:=> M= 5020 Nm

251

252

6 Diffcremialrechn ung

Hd spi d 6.59:

Balken auf elastfscber Bettung Rin ela..tlsc h W' hl"ft l"h' r Iblk('o i..t ein sr-hlanke r Ralk pn auf eln ..tier-he r tlnlerl;lge (z.B . cin Strcifenfundarncnt auf Erdrcich. cine Bi..cnbahnschicnc auf Travcrsen). Wir bcuuc htcn cmcn solchcn lungcn Balken, dcr in dcr Mitte dutch ein Einzcl mom cnt Mu bctasrct wird, Nach den Gcscrzmsuigkchc n dcr tcchni schcn Mccbanik ist die Bicgclinie w(x) des Balkens durch folgcndc Beziehun g gegcbc n:

A2MO

w(x) = - k- e- AX sin Ax

L , "

W O Ll'I:l I\.

=

.IT V ill

E und 1 sind dcr Elastizu dtsrnod ul sowie das Traghe trsmomerudes Batkens: k ist die ela stische Bettungskonstanre. Ge sucht ist d ie maximale Durchb iegung des Balkens IUr die WertcMo = 3 · 106 Nrnrn. £ 1 = 1 . 10 11 Nm m", k = O.2 N/ mm 2 • Mit den Za hlcnwerten ergeben sich: A = OJXlO84 I und w(x) = 10.61 e- AX sin Ax (wege n Ubcrsichtlichkeit wird der Wert von A teilwcisc erst zum SchluB cin gcsctzr). Die maximale Durchbicgung crhah man wic fclgt: w' = 10.61 A e- A( (cos Ax- sin AX) = 0

,

::=> cos

,

(Position ucr maxirnalcn Durchbicgungj

Xo = 4A = 4 .0,(10084 1 = 933,9 mm \I '",,,x

= 10.6 1 e -

.\.X(l

Ax = sin AX

sin AX(J = 10 ,61 · 0.4559 · 0.707 1 = 3.42 mm

,

o

2000

4000 - 6600

x

8000

f 0000

6. 14 Technische Anwendungen

Heispi d 6.60:

253

Sch wlng ungen

Gcsucht is! die mcmenrune Gcschwindigkeit cines Einmasscnschwingcrs. desscn Schwingweg durch folgende Funktion gegebe n lst. .r = f(t ) = A sin(wl + ¢ )

momcntaner Sch wingweg Amplitude dcr Schwingung (Skalar) Eigenschwingungsfreque nz des Schwingers (Skalar) Phasenvcrsch tcbung der Schwingu ng (Skalar) Zeit

.r

A W

¢

Die rnomcntanc Geschwindigkeit wegcs f(t ) nach dcr Zeit I :

I'

cntspncht dcr crs ren Ableitung des Schwing-

. dr I' = X= -

dl

Substitution:

II

=

WI

+¢

::::}

x = f (u) =

A

sin II

dr d (A sin u) du d(wl + ¢ ) - = = A cos lI - = = W du dll dt dt dr dr du I' = :i" = - = - - e x cos« . W = A w cos(Wt + ¢ ) dt dll dl Heispi eI 6.61:

Sch wlng unge n

Die Schwingung cines Fcmschturms ist durch die Glcic hung .r = 0.2 e- 0 .11 sin 21 bcschric ben (x ist der momcntanc Sch wingwcg der Turmspitzc in Mctcrn und t die Ze it in Sck undcn) . Zu welchem Ze itpunkt to wird die Gcschwiudigk eit der Turmspitze zum ers ten Mal nach Eiusetzen der Schwingung gleich Null? Ldsung :

Die Geschwindigkcit entsprict udcr erst rn Able itung des Schwingweges nach der Zeit: .i' = _ 0.02e - O.11 sin 2t + 0.4e - O.11 cos 2t

:i" =

1' -0.11(-

0.02 sin 2t + 0.4 cos 2t )

Die Gcschwindigkcit ist Null, wenn

----"

e-O,I I (- 0. 02 sin 21 + O.4 cos 21 ) = 0

::::} tan 2t = 20

::::} 2t = arctan 20

::::} - 0.02 sin 21 + 0.4 cos 21 = 0

2t = I ,52

to = 0,76 s

254

6 Diffcremialrechnung

Hd spid 6,62:

Balken - ~d enk ig gelag ert bzw, elngespannt

Fi n e infd d rige r Riege halk pn i...l lin ...eiu e m linken F nlle gelp nkig gd llgpl1 lind a m rech -

ten Endc cingespannt. Die Bela...tung ist die konstantc Streckcnlast q . Ocr Verlauf des Bic gcm omcntcs M und dcr Durchbiegung II' uhcr d ie Balkenlangc ist durch folgcndc Glcieh ungen gcgcbcn. Gcsucht ist dcr Grearwcn des Bicgcmomcms und dcr Durchbiegung.

f.ji.I'UIlK:

Die Position .1.'M des greaten Moments M","-, lasst sich aus der I. Ableitung bestimme n:

, 912(3 - - 2,) f2

M (x ) ~ -

2

4{

=> .1.'M = 0,375 1

~ O

Das maximalc Bicgcmomcm bctragt dann:

_ £1/2 ( 3 '0 ,3751 2 4/

M

",,,r -

(0.3751)' ) _ -"- 12 f2 - 12S Q

Die Position der groute n Durchbiegung lassr sich aus folgender Bcdinguug bcrechuen:

,

ql' (1- f2 9.-' 8X' ) + J3 = 0

11' (.1.' ) = 48£ 1

Die Nullstelle diese r Funktion so li hier nicht analytisch, sondcrn numerisch bestimm r werdc n. Hierfur soil des Newton-Verfahren bcnutzt werdcn. Die Funktiou, dcren Nullstelle gesucht wird. lautet:

/ = (9. .-' + J38X') = 0 1- f2

I (x ) = "' (x)

r(x) = w"(x) = (1& , -24.,-,2) - - ,-+ I-

Die Newton-Iteration wird tabellarisch durchgeflihrt: i

0

1 2 3

.1.'; /1 0.200 0,467 0,420 0,422

1;-11'; If - w;' 0.704 -0. 147 0.005

-

-2.640 -3.173 -3.333

-

::::} Nullstcllc: x , = 0,422 /

I-

6. 14 Technische A nwendungen

Die groGle Durch bicgu ng des Balkens bctragt:

. _ . _ ",~ (0 ,4221 3(0,422 )3 2 (0,422 l)~) 2 ",~ u"uu - u (x,) - 48£/ - 1- /3 + I~ = 369 £ /

lJeispieI 6.63: Llnea rfsler ung in der Mechanlk In vielen Gcbic tcn der Physik, z.B. in der Meehanik (niehtlineures Tragverhalten, Optimierung), Steuerungs- und Regelungstechnik. Flugmechanik spielt die Linearisierung einer Funktion eine wichrigc Rolle. Of! iSI die Losung des Problems in geschlossener Form nicht erreichbar. Eine Nnhcrungs losung lasst sich ober meistens iterativ erreichcn. indem die unabhnngjge Variable, z.B. die statischc Belastung F, in kleinc Tc ilbctragc tlnkremente ] unterteilt und die endguhige Tragwerksaruwort (abhiingige Variable y ) als Summe von entsprcchcnd vielen Verformungsinkremelllen bercchnet wi rd:

Y = 6.YI + 6.Y2 + . . - + 6..\'"

255

256

6 Diffcremialrechnung

6.15

Aufgaben

I. Gesucht is! die I. Ablcitungv' folgender Funktioncn (u isl cine Konsrante). a)

~ 1 4 2 sin .r Lsg: y' = 4 · 5x - 2 Ianx - - = 20x - - cos! .r cos! X

y = 4.r'i _ 1an2x

/ _ 5 - 10x 2 Lsg: -' - (2x2 + 1)2

5x h ) y =2\,2+ 1

LI'g: y' =2 cos (5x + 3) · 5 = lOcos (5x+ 3)

c) y = 2s in (5x +3 ) d)

2 .If'! 41'l v = - - 3 +3vx 2 + 4vx3 . x

e) y = ln2 x

g)

y = In(lunx)

h)

Y~ . -

.

Lsg: y' =2 1nx

n y = In(cos x)

6

2

.0

"iYX

L I'g: \,' = -+ -

LI-g: y' =

1

2 1nx

x

x

_-:,:'"in",(x) =- Ianx cos(x)f 1

----=

cos .r SHU :

bzw.

k)

y = ';sinx

I)

y= e'u2<

L\X: l =e'

m)

y= 2\'e' cosx

n)

y = .t?l"sinx

0)

y =.r' e-'" y=

e 21u 21

LI'g:

(a2' + 2a21 Ina )

l

L~R :

= 2l,r(COSx+x cos x -x sinx)

y' =2x ("sinx+x 2('lsinx +x 2e1cos x

)1 = .I"' - le,( X+ (/)

Lsg: LW:

y' =e'(l2< +2 ln u u2,

q ) y=~(,x cosx

L sg:

r) y = e.l ~5x e5x

L I'g :

l l

= el[x2 (cosx -si nx) + 2x cos c] = 0 L sg:

y =2( I +c o sx)e ~C"'-'

I) y = 2 ( 1 - cos x) e ~ 2 +C", x

y' =si n 2re ~co,-<

Lsg : y' = sin 2r

e ~ 2 +Co,-,

2. Gcsucht is! die 2. Ablcitu ngv" folgendc r Funktioncn. a)

y=

3 e ~ 4"

h) y =2r' e ~ " C) v = lnx .

x

d ) y =r cos f

0.7358 e2<

Lsg: / = (sinx+xcos x)er'in x cosx Lsg: ,/ = ,...:::;:;::~ . 2 ';sinx

j) y = e"in x

s)

3

~

. ~ = --

i ) y =e ~l e2r

p)

+-

L sg: y" =

48 e ~ 4,r

Lsg: y" = ( 12r - 12~ + 2r' ) e ~ ,(

L~g: l, = - 3 + ; ln x x'

L I'g:

S= -

2 (1

sin r

6. 15 Aufgaben

e)

" 12 2 (3x' - 2)' L sg: y = x- , - 2 - (.r-' 2 ri)'

y = 2 In();.J - 2t )

n y =~ -2t+ 1

257

L I"g:

y" = (4x 2 _ 8x + 6)~ - 2t+1

3. Bcsum mcn Sic die 3. Ab lcitung y" dcr Funk tion y = .r ln r an dcr Stel le .r = I.

Lsg: y'1I = _ I/ x 2

y/l/(I) = - I

4. Die Schwingung cines gedam pften Schwingers wird durch d ie Gle ichung x = e- 2t sin(4! +5 ) bcschriebcn (Ein hcitcn in III und .1'). wobei .r d ie Position der Schwinger masse und t die Zeit bcdeuten . Wie grof ist die Beschleuni gung des Sc hwingc rs zum Zeitpunkt! = 0 '1 Hinweis : Die Beschleunigung entspricht der 2. Ab lcitun g der .r-Position nach dcr Ze it I. tasung: i = _ 2e - 21 sin(4t + 5) + 4e - 2I cos (4t + 5)

.\'= _ 12e - 2I sin(4r + 5 ) - 16e- 21 cos(41 + 5) Bcschlcunigung zum Zc itpunkt t = 0 :

(/ = _\'(0) = 6,97 m/ s 2

5. Bilden Sic d ie 1. Ablcitu ng y' mit Hilfc implizitcr Differenti ation . .2

2

~

I ..\ +)' =r

.

3. .r2y+ .'.2 = I

.r2 + )'3 - 3xy =

)'

Jr2 _ x 2

3,'

lsg: y'= ~.c-c-'c-cSll1 y + y cosy

2. ysiny -.r' = O

4.

- X-X

Uig : \" = -

LI'g:

I

2xy + .r2. I . y' +2yy' = 0 LI'g:

5. xJ~' -3xi + .r2 = 0

"* .\1 = x-2 +2x)'2y_

3y -2t y' = "",-"'3y 2 3x

- 3i + 2x 6xy

L sg: v' = --''7---,c

.

u(x)

1/' V - II I"

6. Die Q uot ientenregel bei der Ableitung dcr Funkt ion y = - ( ) lautet: y = .., . Ko nr\' x ncn Sic dics c Regel hcr lcitcn? Tipn: Schrcibc n Sic die Funktion nicht als Q uot ient, sondcrn al s Produk t y = II v-' auf und wenden Sic dann dara uf die Produ krrcgcl. 7. In dcr Lis tc auf Scire 723 sind die unbcstimmtcn lntcgralc (Stanun funkrio ncn) fur versc hiedcnc Funk rioncn {lnt cgrandcn ) ungcgcbc n. (Jbcrzcugc n Sic sich, dass die crstc Ab lcitung dcr jcwciligcn Stam mfunk tio n tat shchlich den lntcgrandcn licfcrt (auf d iose Weise habcn Sie einc groue Sam mlung von Ubungsaufgabe n fur die Differcnt iationlj. 8. Bcrcchncn Sie fur folgende Funkt ionen ihre Taylor-Reihen 4. Ord nung (n = 4) am Eruwicklungspunkt Xo = O. a) f (x) = sinr

b ) [ (x ) ~

vT+X

c) [ (x ) ~

1

"..,..,

vl

+x

251!

6 Diffcremialrechnung

Losung: .r '

a)

h (x) = x- (;

e)

fr(x ) = [ -

3.r2

.r

5.r~

2 + ""8 - 1"6 +

h (x ) =

xl

.r

.\3

5x4

- - +- - 2 8 16 128 , x~ d j h (x ) = I + x- + 2" b)

3 5x~

128

I +~

9. Entw iekcln Sic folg cndc Pun ktionc n in cine Taylor-Rcihc (II = 6) bc i Xo = O.

a) f (x ) = cos.r

b)

f (x) = tan.r

c) f(x ) = cotr

d ) f (x ) = sinhx

Ui.l'II/1g: a) c)

.i! x4 cosx = 1- - + - 2! 4! I x x' CO l.t = - - - - - x 345

/'

6! 2.,-' ~ 945

10. Bcrechnen Sie fbr folge nde Funktionen die enrsprcc he nde Taylor-Reihe an der Stelle .r = Xo bis zur angegeb cnen Ordnung II. Stelle n Sie die usprii ng liche Funktion und ihre Rei henen twicklung in dcr nah cre n Um geb ung de s Entwic klungspu nkte s .ro grafisch dar.

3) y =l / x h)

xo = I

d ) y = sin(xl )

b g: y = I _ (x _ I) + (x _ I)2 _ (x _1)3

xo = O 11 =2

I lse : y = l -x + x 3

xn = 1 11 = 3

I I L~g : ." = x -I - 2 (x -l ) 2 + 3 (x -I ) 3

y =e - xcosx

c) y =ln x

II = 3

xo = III = 3

3

LW y =O.8415 + I,08 1(x - l ) - 1, 143(x -I )3

I I . Zc igcn Sic m il Hi lfe dcr Taylor-Rcihc bci Xo = 0 die Richngkcit fclgendcr Bezieh ungen.

(flir n = 7)

a) (sin x)'= cos x b) coshr e I

x' + 2"

{fllr klei ne Werte von x)

12. Bcrcctmcn Sic fur fclgcndc Fu nkt ioncn d ie cn tspr cchc ndc MacL aurin-R eihc his zur an gcgcbcncn Ordnung /I . 11 = 3

h ) y =et sin x

/1 =3

11 = 3

cjv e tanx

11 = 2

UiSIIIIX :

.r2

a) y =l - x + -

r'

2

.r~

- -

6

(') y = x + "3 e) y = 2.952 + 9.342(x - I}+ 12.060 (x - 1)2

d) y = l + xl

11 = 3

6.15 Aufgaben

259

13. In dcr lincarcn Statik von Konstruktion cn trctc n Ausdrtlckc auf wie z.B. &'1 +e. Dabci wird voru usgcsctzt. dass die Dehn ung de s Wcrkstoffs e schr klein ist. z.B. e = 0 .001. Bci so lchcn Wurzclausdruckcn. in dcncn e « list. wi rd anstcllc des Ausdrucks &'1 + e dcr wescntlich cinfachc re Nnherungsausdruck 1 + e/2 vcrwcndct (s. uuch Penn el ( 1.3) auf Scire 3). Zeigen Sie m it Hilfe de r Macl.aurtn-Rethe . da ss dic sc Nnhcrungsbcz tehung rich tig ist. 14. Die von dc r harmonisch sc hwingc ndc n Masse ci nes rncc hanis c hcn Fcdcr-Massc- Da mpfer Systems bcschncbcnc wcgstrcckc .r, d.h. d ie von dcr Masse momcntan cingcnommc nc Position .r, ist uls Funktion dcr Zeit t gcgcbcn gemiiB dcr Bcwcgungsgfc tchung x(l ) = e : ' sin 1CI (t in Sek unden).

a) Bcsnm mcn Sic di e Position .r , Geschwin digk eit \' und Beschlcunigun g a dcr Masse zu m Zcitpunkt f = 0, 3.1". b) Bcsummcn Sic die Position .r der Masse zum Zeitpu nkt t = OA .I" mit Hilfe cmc r a. cxaktcn Bcrcch nun g. b. Nah crungbcrechn ung. indcrn die Bcwegu ngsglcichung x{t ) zum Zeit punkt t = 0 .3.1" lincarisiert wird? UjslI/lg : a) x(O.3) = 0 ,599 III

1'(0 .3) = 0 .769111/ .1"

h)

x(O,4 ) = 0 .637 /11

a. Exaktc Losung: b. Nah cr ungs los ung:

a(0.3) = - 8.052 111/.1"2

x(OA) = 0 .676/1/

15. Berechnen Sie die Extrema folgender Funk tionen (Sie sollten d ic Wurzeln der entstehenden G lcichungcn nac h Mog lichkeit aualytisch bercchnen]. Zur visuellen Kontrolle Ihrer Berechnu ng wi rd cmpfohlcn . d ie Funkt ion en mit Hi tfe cines Kurve nplotprogranun s (ode r anderer Corn putcrsonwarc ) zusatzlich gra fisch darzustellcn. a)

y

= I + 5x -

4...-2

L 5g: Maxi mum be i

h) Y = I + 5x+ ...-2 _ 4.l3

Y=

14 (.< + I)

= 0 ,625.

d) Y = 1+ sin.r cos 3x

= 2,562 5. Ymin = - 0 .7844 .

Yma x = 3.62 70.

Lsg: Minimum be l Xo = I.

"rx

Ymax

LW Mi nim um bei -ro = ~ 0. 5 675 ,

Maximum bci Xo = 0 .7342 , c)

XQ

Ymin

= 28.

Ocsucht sind nur d ie Extrcmwene im .c-Intcrvall [0: 2].

L5g: Maximum bci Xo = 0 ,52 36. Ynm = 1,3248. Sauclpun kt bc i Xo = 1,570 8. yo = 1.0000. e) Y = 3 e -

L51:: Max imu m bei Xo

(-< - lr j 2

3 4 o .\' = -sinr - + -cos x LI'/;: Mi nimum bei g)

e" r= - -

.

co sx

= 71:.

YIll"~

= J.

Ge sucb r ist der er ste Extremwert en llang der positiven .r-Ac hse . XQ

= 0 .7375.

Ymin

= 9 .866.

L5g: M inim um bei Xo = 0 ,7854.

Ymin

= 0 .6448.

260

6 Diffcremialrechnu ng

,-<

h) )' = - -

Gesu cht ist das Extrem um auf dcr positiv cn .r-Achsc.

SInX

Ttpp: Um die Extre malposition auf dcr posinven .r-Ac hse lcicht aufzufindcn, kon nen Sic Geb rauch mechen von der Per iod c dcr zu resultiercnd cn trigonomctrischcn Funk tion (s . Scitc 39). Lsg: Minimum bei Xo = 2.356.

Ymin = 0 .134 .

LI'g: Maximum bei x() = - I ,

i ) y = 5e- (x+ I )2

Yma , = 5 .

16. Bcrcchncn Sie das loknlc Extremum folgcndcr Funktion cn im angcgcbcncn Intcrvull. Hlr die Bcstim mun g dcr Extrcmwcrtpcsuton soluc cin numcrt schc s Verfahre n, z.B. RegulaFal si ode r Newton-verfahre n. angewend cr werden. Stelle n Sic zusatz fich mit Hilfe cines Kurvcn plotprogranuus den jeweiligen Funktionsverlauf im angcgebencn lmcrvall grafisch dar.

[0: 2].

a) Y = (1 + x) cos r

tsg:

Maximum bel xo = 0.5678,

tsg: Minimum bei Xo = 0 .2693, c) Y = e-

L I'g: Maximum bei Xo = 0.7854,

L sg: Minimum bc i

Y=

= 0 .352 2.

X (J

I) y = ln x, in..

,. ~ -

Ymax = 1.89.

[1.5; 2.5J.

L sg: Ma ximu m bel .

Ymin = - 0.36 .

[0: 3].

e,in _T/{x + ~<" x)

Lsg: Maximu m bel Xo = 1C/ 2.

oj

)'ma' = 0 .3224.

[0.2: 0.6].

d) Y = In x, inx e)

Ymin = - 0 . 1777.

[0.5: 1.2].

sinr

X

Yma' = 1.32 18.

[0: 0.41.

b) Y = (7T - e - x - s in 3x

"

XI)

= 2. 1276,

Jm ax = 0 .64 1.

[1.2: 2.5].

l nr

LI'g: Minimum bei Xo = 1,76 32.

Ymin = 10 .28.

17, Bcrechncn S ie die Wendepunkte folgc ndcr Funktioncn.

a)

I

\' = - - - e

.

I ( X-- ~) ' --

(1 . j f i

2

(1

(Gauss-Kurve )

Lsg : Aus j" (x ) = 0 folgt die Position dcr Wcn dc punktc: .r = 11

°/

h)

°/

1' (~ ± <7) " und ["' (~ ± <7 ) " Y = sin2 .r (nur der erstc Wendcpu nkt fur .r > 0 ges ucht) Lsg: Position des w endcpunkts: x = 1C/4

1'« / 4) " 0 /

und

["' « / 4 " 0 /

± a.

6, 15 Aufgaben

261

18. Bcstir nmcn Sic d ie rnaximulc Druckfcstigkeit a ma, des Bctons C25/J0, dcsscn SpannungsDchnun gshnic (o-e-Linic) in Beispicl 2.5 auf Scitc 26 angcgcbcn ist. LV:: a ll m = 25 N / mm 2 bci Eo = 0,0022.

2 19. Dic Druck-Zei t-Funkt ion cines cxplo siven Stoffes ist durch die Funktion 1'(1) = 1l,- t gegcben. Besrimmen Sie den hoch stcn Druck Pma, und stellcn Sic die Funktion skurve fur o :::; 1 :::; 3 gra nsc h dar, Lasung: /) = dp = ( I _ 2/ 2)e- 12 = 0 dJ

10 = 0,707 1

20. Ein Kind wirft cinco Ste in vertikal nach obcn mit der An fangsgeschwin digkcit 1'0 . Dcr Lu f'twi dcrstand wird vern uch lassigt. Die vom Stein zuruc kgclcg tc Srreckc .I' (vo n dcr wurfpos ition aus gc rnesscn) als Funktion dcr Zeit lautet .~ (/ ) = \'01 - R/2/ 2. Bcsu mmcn Sic d ie maxima lc Steighohc des Stei ns.

Lsg: Sma, = 1'5 / 2g 21. Bcstlmmen Sic d ie I. Ableitungy' folgend cr Funktionen mit Hilfe des Differentialq uotienten Tlpp: v erwenden Sic die Relh ene nrwicklung der Si nus- und Kosinusfunktion.. a) y = e"

bt v e sin.r 22. Bcsummcn Sic die Steigung dcr Kurve, d ie in Paramct crdarstcllun g definiert ist. fur t =

. /2.

-"= - 6 cos t - 8cosJ t

x = 6si n/ +4si n 2t U islt/lg:

l =~ .r

6

3

-8

4

milX =dx dr

dl'

s> ---'-dt

23. Best im men Sic die Geradenglelchung dc r Tangente dcr Funk tion .v = e- :
24. Gegebcn ist die Funktion y = In 6 ~ x . Errnitteln Sic die Gle ichung der Normalc n an d ie Funkt ionskurve bci x = - 3,

.r

tsg: y = - 1.Rr - 5 ,4

25. Gegcbcn ist c inc Kurvc y = sin 2x . Berechn en Sic de n Schn iu punkt der Normalc nge radc n dcr Kurvc. d ic an dcr Abszissexo = 2 gebildet wird. mit dcr .r-Achse. yo = y(2 ) = 0,8 268 Ill"

y' = 2 sinx cosr

= - 1/ )"(2) = 1,32 13

y' (2 ) = - 0 ,7568

Normate: y = m (x - xu) + ju

G leichung dcr Normalcngeradcn : y = 1,32 13 (x - 2 ) + 0 ,8268 = 1,3213 x - 1,8 159 Dcr Schni up unkr crgibt sich aus y, = 0 :

1.32 13 .t"

-

1,8 159 = 0

'*

.t"

= 1.374

262

6 Diffcremialrechnung

26. Gegcbcn ist die Kurvcnfu nktion y = 2si11 2X. Bcrcchnc n Sic die Koo rdinatcn des Schnittpunktes dcr Normulc dcr Kur vc .v filr .ro = 0 .9 mit dc r .r-Acbsc . 27. Berechncn Sic folgendc unbestirnmte Ausdruc ke mil Hilfc dcr Regel von l 'Haspital. [ _ eT

.'

L W: - I

a) li mr_ u - .r

b) limr_ oo .r

L sg;

e' - I

c) limr_ o - . sm r

dl lim<_ ""

L~X:

In(x -I )

LI'g: 0

.r

el limx_ "" x e 1j x - x

0

li mr_ 1

tsg:

x"+I - 1

b g: 11 + 1

x- I

AI liIln,<_ "" lnr x h) li m",_ "

00

tsg: 0

sin(ll - m)1t ~ n m

.

LsX:

•

.1 . ( COS( I -Il )it COS2 ( I - II)1t) 1 ' lun,,_ 1 1 11 II

~0

28. Lcscn Sic fo lgcndc Glcichungen im angegcbenc n Bereich mit Hilfe des Newton-vcrfuhrens . a) x - Ianx = O

4.4 :::;x :::; 4 ,6

LbslI/lg: x = 4.493

bjx -t tanr e O

1,7 :::; x :::; 25

f..ji,m llg :

1.4 :::; x :::; 3.0

f.jjSlIllg: .\" = 1,7632

1

c ) - - In.\" = O .r

d) e 2T _sinx _ 4 = O

D.5 :::; .\" :::; 1.2

x =2.029

Ldsnng:

e) .~ - 1 200 x2 + 4 . 72 5 · 105 x - 6.077 5 · I 07 = O

x = O.7736 350 :::; x:::; 450

LW x = 436.465

7

DilTerentialrechnung fiir multivariable Fun ktionen

7. 1

Einleitung

1m Abs chnitt 6 is! d ie Diffcrcmialrcchnung von Funkt ioncn mir nU T einer unabhangigen Variable von dcr Fonn y = [ (x ) bchandcl t worde n. In dic scrn Abschnitt sollc n die gru ndlcgc ndc n ldccn dcr Diffcrentialrcchnung auf muttivanoble Funk/ionen (das sind Funktio nen mit mindcstens zwci unabhn nglgen Variablen) uusgeweue r werde n. Z unac hst wird die cinfachs te multivariable Funktion mit zwei unabhnngigen Variablen .r und y betrachtet:

z e f (x.y) Die Funktion z = f (x,y) rcprascnncrt cine Flachc im xyz-Raum (3D-Raum) . Dicsc Flache kann gckriimmt oder abet auch eben sctn. dies hangt allein von dcr Gestalt dcr Punkuon f (x . y ) abo Jedcm konkretcn Wencpaa r (xu. yo) ge hort cin zo-Wen : ZO = j (XO ,yo ). Die Koo rdinatcn (XO, YO,zo) reprasentieren ein cn Punkt Po im kartesischen 3D- Koordi natensys tem. Tragi man nun fur (unendlich) viele .rj-Koo rdinatenwerte die dazu gehc rigen z-werte in dieses Kco rdinatcnsystem ein, crhalt man eine di skreusicrte. d.h. aus (u nendlic h) viclen Punkren bestehende. Flliche im 3D-Raum. Das Au sschen die ser Fllichc hiingt nattirlich von dcr Funktion f (x, y ) ab und reichr von ei ncr Ebene bis hin zu sehr kom plex gc kru mmtcn riiumlic hcn Fliichcn. Bild 7. 1 zeigt d ie Rau mflachc der Funk tion z = f (x.y) =- xy sin x stn y . die m it dem ComputerAlge brasys tcm M APLE gc plo ttet wurde. Falls d ie Anzahl n der unab hungt gen Variablen grouer

Bild 7. 1: 3D-Darslcllung dcr Funkfion z = _t.l' sin.r vinj-

> 2). ist es zweckmatlgcr, die unabha ngigcn Variablen in lndexschreibwei se anzug ebe n, d .h. als XI , X2 , • •. , XII ' Die dazu gehortge Funkt ion

als zwei ist (II

lassl s jch jctzt ullcrdin gv nic bt mehr gco metrisc h anscha ulic h darstcllc n. weil das mcnschlic hc Gehim einen 4D -Raum nicht mehr bildb aft crfusscn kann. w cgcn dicscr fehlcnd en plastischcn Darsrellungsmogflchketr wird cine solc hc H ache -etwas abstrakt- cine Hype rftiiche gena nr u.

264

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuon cn

Die Ab leitung einer Funkt ion von mchrercn (rnindcstcns zwci] unab hfingigen Variablen nach e incr dicscr Variablen, z.B . nach x;, wird als partielle Ableilll/lR (odc r partielle Differentiatiom bczcic hnct. Ableilll/lg "aell

7.1.1

Z.t i = I .tl = 1,'(X I .X2, . •• • Xi ••• .• x,, )

Xi

Helsp iele fU r multivarlahle Funktione n in der Technik

Au s unzahlig vielen Ingenieuranwend ungen. in dcn cn Funktionen von mebreren Variab len vorkornrnen sollen nachfolgenJ einigc wenige Beispielc betrachtet werden. Beispiel 7.1: Balkenblegung Die maximale Dun 'hbiegulIg des ci nseitig cingcspunntc n und durch cine Ein zella st belasteten Balkens in Bild 7.2 (sa g. Kragbalken) wird durch folgcndc Forme! bcrcchncu

FLo' 3£ /

w= - -

"' ~f(F, L ,£ , 1)

wobei F die Einzelkraftintensitat. L die Balkenlnnge. £ de n Elastizitutsmodul de s Werksloffs und / das Tragheitsmom enr des Balke nque rsehnitts bcdeu ten . Die Durchbiegung ist e ine Funktion dics er vier unabhdngigen va riablc n. d .h. eine multivariable Funk tion.

j

FI . .... ,

.

,

,

_

_ "On

..

•

Bill! 7.2: Kragbalkcn untcr Einzellast

Heispiel 7.2: Stabknlcken Dcr in Bild 7.3a dargcstclltc Stab sei an scincm untcren Endcn fest cingespanru und am obe ren EnJe frei. Es wird angenommen , das s dcr Slab absolut homogen ist, c ine absolut gcmd tinig verlaufende Ac hse sowi c ei nen absolut konst ant verlaufenden Querschnin besitzt. Dieser Stab sei am seinem oberen Ende durc h ci ne axiale Druckkraft N belustet, deren lntensitat lang sam ges teigert wird. Unter die scn Umstnnden wurde der Stab zunnchsr kei nerlei seitliche Verformungen zeigen . Beim Erre ichen einer ganz bcstimmten Lastintensits t. die mit Nk bezeiehnel werden soli. wird der Slab schlagartig 7.U Seite uusweic hen. d.h. ausknickcn . Dicse Knicuast Nk ist cine Funkt ion der drei unabhangigcn Variablc n £ , / und L (sic habc n die glcichc Bedeut ung wie im vorhcrig cn Beispiel ):

7.1 Einleitung EI

~I _ " " _ -"-_ _._ ~ -_

.

ausgeknld<.ler Stab

N

L

a: Stabknicken

- - ¥-p

m F

'-

A

b: Rucksrollkraf

c: Kiuctischc Encrgie

Bild 7.3: Multivuriuble Phanornene in der Technik

neispiel 7.3:

Riicksto8krart

SUd 7.3 b zeigt einen Behnlter. in dem sich cine Fliissigkeit befinder. Die Flttssigkeit stro mt d urch eine an dcr Behalterwand ange brachte Oftnun g hinaus. Die Ruckstoakraft des aus trctendcn Flussigkeitssrrah ts ist cine Funktio n der drei Variablcn p . A , H : F,

~

2XpAH

~

[( p, A. H )

Mit P Ftusslgkeh sdichte. A Querschnit tsflache der O ffuung, H Flusslgkeirshohe tiber der Offn ung bedcutcn (die Erdbesch 1eunigu ng Kist ei ne konstanre G roBe).

Betsplel 7.4:

Kinetische Energl e

Bild 7.3 c zeigt einen KOJ1lCr mit der Masse 111 , der sich mil der Gcschwindig keit \' bcwcgt. Die kinetische Energie des K6 J1lCrs ist c ine Funktion von zwei Variable n:

265

266

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

7.2

Partielle Ableitung einer Funktion von zwei Variablen

Wie in Kapitel 6 erlautert, wird die Ableitung einer Funktion mit nur eine r unabhnnglgen Varia= dy/d~ bezclchncr. bien, y = j (x ), als gewdhnliche Ableitung Die Ablcitu ng einer Funkt ion von mchrcrcn (mindcstens zwei) unabhnng jgen Variablen nach einer dieser Variablen wird als panielle Ableitung (oder paniclle Differellliati oll) bezeichncr.

r

Definition pa rttelter Abten ung I. O rd n ung

7.2.1

Die partielle Ablcitun g 1. Ord nung einer Funktion cntspricht sinngemaB der gcwohnlichen Ablcitun g I. Ord nung. Die methcmans chc Bczetchnung der partiellen Ableitung von z = f (x ,y) kann auf verscbtedenc Weise erfolgen. Die gebrnuchfichstcn -formalen- Bezclctmu ngen sind:

a,

a/

a/ lx,y)

z.<= ax = f .\ = ax = '-"-a*x~·"-'.

a,

Z \' = -

",

ay

a/

a/lx,y)

= f \' = - = '-"-~"-'. '. ay ay

(7 . 1)

a

Die partielle Ahleitung (Differentiation) wird durch des Symbol (Delta) ausgcdntckt (zur Erinnerung: bci gewdhnliche r Differentiation wird der Buchstabe d verwendct}. Die konkrete mathc matischc Definition der partiellen Ahlcitung 1. Ordnung erg ibt sich aus der Grcnzwcrtbctrachnm g des Diffcrenzenquoticntcn dcr Funktion an eincrn bclicbigen Punkr P = (x , y) in zwci Koordinutcnri chtungcn: Z.x =

1_, =

lim f (x + Ax ,y) - f (x ,y) Ax

.:\.<-0

Z.I' = .

7.2,2

(7 .2)

f " = lim f (x ,y + Ay ) - f (x , y ) . .:\.1'-0 Ay

Definition partieller Abteuung 2. und 3. Ordnung

Pa rt lelle Ableitung 2. Ordnung cntspricht sinngcmau dcr i weiten Abfeitll ll g einer Punktion . Fur ihre for mal-muthcmatischc Bezeichnung srchcn ebenfalls mehrere Mogttchkcltcn zur Vertug ung. Nachfolgend sind cinige Altema tiven aufgczeigt - welche von ihnen man wahlr hangt hauptsachllch vom person lichen Gcschmack und vom zu bchandclnden Aufgabc ngebiet ab.

(

a/ (x. y») ax

(7.3)

7.2 Paniclle Ahleitung ciner Funktion von zwei Variablcn

267

Die beiden let zten Ableitungcn 2. Ordn ung , d.h . z"",'- und z.y..- in G I. (7.3). werden als gemisclue partielle Abteitungen 2. O rdnung bczeichnct. Die A nord nung der Indlz es fu r Ableitungsvarlablen erfolgt nach de r Reihenfolge der Ab lei tung. Beis picls weise besngt d ie partielle Ableitung 1.\)" dass 1 zunnchst nach .r abgele itct wird. Das Resulta t die scr Ableitung, also 1"" wird anschlieBend nach y abgeteitet. woraus dann 1",y ent steht. Anma kullX: Zur Verdeut lichung der part iellen Ablcitung wird ein Kom ma vor die Differe ntiationsvariable ges etzt. Z.B. 1.• odcr I..-.\·. In vielen mathemntischcn Lehrbuchem wird aus Gru nde n einer mogfichst kompakten Schrcib we ise auf das Komm a verzic htet. d.h . es lautct einfach f . ode r f •.,·. Lctzten dlic h ist cs von untcrgcord neter Bedeutung, ob mit ode r oh ne Komm a. 1m Hinblick auf des fur Ingcnicure wic htigc A nwendungsge biel Kontinuumsmeclumik; wo part iellc Ablcitu ngcn bcvo rzug t mil Kom ma hcrvorgehob cn worde n (urn die Ablcitu ng nach x nicht m it ctncm normalcn Richtungsindcx .r zu vcrw cchsctn). wird die Vcrwcndung von Komma cmpfohlen. Pur Funkt ione n. die glatt sind. d.h. uetige Ahieitungen bcsitzen (des isl fllr Ingenieuranwe nd ungen in dcr Regel der Fall), spiclt die Reihen folge der gcmisc htcn partielien Ableitu nge n keine Ro lle, d.h. es gill

bzw.

(7.4)

Particlle Abtciruugcu 2. O rdnung sind durch folg cndc G rcnzwert bczichun gcn dcfinicrt :

, f .~. = I1m

Ux+ ~ x, y)

f .n' = I1m -

= lim f.,.(x , ,r+ .1,r) - h(x,,r) 11," -0 .1,r . f ,.(x+ .1x.)') - / I' (x ,y ) = lim . , 11 <_ 0 .1x

L1 x

LI.< ~O

,

- f , (x, y)

Ux, )'+ ~y)

- f .,(x , y)

L1y

1I _,· ~0

(7 .5)

Definition pa rti eller Ahleitun gen 3. Ordnung In tcchnischcn Anwc ndungc n kom mcn durchaus auch part iellc Ablcitungcn hrihcrer Ordnung vor. Dcr Ubcrsichtlic hkcit hulbcr soil hicr cine Funktio n 1 (x ,)' ) mit nur Lwei unabhangigen Variablen bctrachret worde n. Nac hfolgc nd ist dcr forrnalc Aulba u dcr Ablcitu ngcn an cinigcn

Fallen dernonstriert.

d"!

f .n.t = -a 3 x·

0 f.u

d

=~ a ~ a In x .r

d J! iJ f.),J d i.; = a aX f "",· -J"'a.r ~ -a.r ~ usw.

1.ul'- =

d"!

01.u

ax-oy 'a ~ -ay

~

0

-ay f n

261l

7 Diffcrentiulrechnung fur multiva riuble Punkuonc n

7.2.3

Praktische Durc hfdhrung der pa rtiellen Ableltung

Das Vorgehen bci dcr Bcrechn ung partictlcr Ablcitungen ist rclauv ein fach. 1st beispiclsweise d ie Ableium g f ., gesuchr. wird die Variable x der Funktio n J (x,y) als cine echte Variable berrachtet: die Variable y wird dagegen vonibergehend wie ci ne Konstante bchandclr. Alles andere im Ableitungsvorgang vertnun wie gewohnt. Bei der Berechnung von f.." kehrt sich das ganze Spiel urn, d.h. y wird jetzt als echte Variable betrachtet - .r nimmt vonibergehend d ie Rolle e incr K OII .l'1a/1te. Ansonstcn beha lten aile Regeln dcr normalen Diffe rentiatio n ihre Giiltigkeit. Beispiel 7.5:

z = /(x, y) = x+y

i!:.,

z... = /_,= 1+ 0= 1

z.u =/.u = -

~

a(l) al -- = - = 0

Z.""

Z",,· = /.n = -

~

a(l) al -- = - = 0

Z.I'.1

ax

.

a,.

.

ay

ax

ax

aJ

,

f.)' =

0 + 1= 1

az", ~ a l l) -=

al - = 0

az,,. ~ a l l) -=

al - = 0

-- = }. --",. = -aJ'

ay

= 1.,·x = . ax

ax

.

ay

Z,I' =

ay

ax

Ueispi el 7.6 :

: ': ...

z = /(x. y) = x y z.x.< = /.~,. =

Z.\".T

.

a z... ax

~

a z.\. ax

= / ... = l · y + x ·O= y

a(y) aJ -- = - = 0 ax ax a(x ) ax

az., ~ -au'} ay - = - =

Z_H" = f.n = . . ay

ax = I ax

= 1.u = - " = - - = -

.

Z.)' = 1.)' = O· y+ x · [ =x

..

ay

a)'

ay

aJ

IJeispi eI 7.7:

Z = f (x.y) = x2 y +3 x y2 - 4 x y + x + )'- 4

z.e = 2x ·.v + 3 · 1.y2 - 4 · I 'J + I + 0 - 0 = 2ry +3,rl - 4y + 1 z'-"

=.>?

I + 3.v 2y - 4 x · I + 0 + 1- 0 =r +6xy - 4x + 1

z,« = 2 · I 'J + O- 0 + 0 = 2y

z..,).= O+ 6x · 1-

0 + 0 = fir

z.<.'" = 2r · 1+ 6y - 4+ 0 = 2 r + 6y - 4 :.Y<

= 2x + 6· l ' y - 4 + 0 = 2x+ 6y - 4

Ueispi el 7.8: z = / (x,y) = sin.r sin j Z.u =

a

-ax z ... =

a

z., = cosr siny

-a (cnsx sinj-] = - sinr siny

x

a ' =-aa(Sill. Xcos y)= z...'·I·=a-z'' y ' y

,

,

- slllx smy

I

a,s ~ -a(x) ax -= - = 0

z.n= !n·= -

..

ay

z., = sin r cos y

7.2 Paniclle Ahleitung ciner Funktion von zwei Variablcn

a

a

v}'

ay

: ..fl'

= -=;- Z.... = -=;- (cos x siny) = cos x cosy

Z.",<

=

-

.

!

ux

z., = '

!

uX

269

(sin x cosy) = cos .r cosy

Anmerkung: Bei allen vorangchc ndcn Bei spicl en ko nnte die Gultigkcit dcr Regel f..f)" = 1.)".< nach GJ. (7,4) bcstlitigt worden.

7.2.4

Beispiel fur partielle Abteitung in de r J\.lccha nik

Nachfolgcnd worde n einige Beispielc aus technischen Anwe ndunge n gezeigt. in dcn en part ielle A blcitu ngen vorko mmen. Anmerkung: Die vorgestel lten G leichun gen bes chreiben da s jc wciligc physikali schc Problem in de r Spruchc tier Mathematik. Wie d ie Gleichungen selbs t getost we rden ko nncn. d.h . wic man ci ne Losu ng des ph ysikalisehen Problems gew innt, ist ein andc res Tei lgeb iet dc r Mathematik, nnmltch der Differe nualgleichu nge n (Diffcrentialrechnung und OilTeren tialgleichu ngen si nd verschiede ne Dinge und diirfen nicht verwec hselt werden). n eis pi d 7.9: Eine rcchteckige Stahl platt e mit konstanter Dicke t, die in de r xy-Ebene Iicgt und durch ci ne konst umc Plachcnlast P in z-Richiung bcla stet wird, er fhhrt cla stisc hc Verformung. Die Dur chbicgun g w (Vcrform ung) tier Platte in z-Ric htung ist cine Funktio n vo n Variablen .r untl y . d .h. w = f (x . y ). Das Durchbic gun gsproblcm dcr Platt e wird du rch fol ge nde Gleichun g. in dcr partielle Ableitunge n 4 . Grdnung vorkommen . bcsch riebcn: ~~·_uu

+ 2w.xx,.,' + W .,' ...I" ·I· =

I' -D

Et 3 12( 1 ~ 2 )

E : Ela suzltatsm odul, 11 : Querkontraktion szahl (z.B. 11 = 0 ,3 fur Stahl). Zurn Verglcich: Das verg fcic hbare Problem der eb enen Balke nbiegung (mit konstame r O uer schntu srlache ) wi rd durch ei ne G leichung beschrieben. in dcr nur die gewiHmliche Ableitu ng 4. Ord nung vorkomnu:

"" = P

II'

7.2.5

Balkenb iegu ng

EI

Numerische partlelle Ableitung

Ausgc hc nd vo n dcr Definitio n dcr particllcn Ablcitung nach GI. (7.2) kann an cinz cln cn Posiuoncn des Funkrionsdcfinitionsraums die part icllc Ablcitu ng I . Ortlnu ng auf numcrischcm Wege nahcrungsweis c bcrcc hnct worde n. Die Nahcru ng bcstcht durin. da ss dcr Grcnzw cn lim.
<- <= 1.<::::: •

•

lim

f (x + .1x ,y ) - f(x ,y)

.1x _ ",h, klein

,1x

270

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

Z,I'

.

=

1.1' :::::

.

J( x.y +"Y ) - J(x.,. )

.

11 m

Ay~'Chr

.1 }'

kkin

Anmerkungen: 1. Es giht keine »cxakte« Definition. fur wc lchc n Wert d.r und .1)' als »sc hr klcin« anzu sehcn sind . Die Wah l d.r = .1)' = 10 - 5 ist fur Inge nieuranwendungen cin e sinnvo llc Wahl. 2. Eine solche Berech nung liefert natUrlich den Zahlcnwen dcr Ablcitu ng an nur ct ncm ganz konk reten Rau rnpunkt und keine allgemein gunlge Ableitun gsfunktion . ln sofem lsr die se Vorgehensweise nur in jenen Hille n nutzlich. in denen die Ableitung nur schwer aufzu stellen ist und ma n vicllcicht sow ieso nur einen c inzelnen Za hlenwert bcnorigt bzw, in EH len . wo man mi t num crischcn w erk ze ugen . L.B. mit Tabcllenkulk ulutio nssoft ware, arbeitc t.

Heispi el 7.10: Gcsu cht ist d ie particllc Ablcitung I. Ordn ung fllr die Fun ktion z = [ (x,y ) = sin .r siny am Pun kt P = (xo. Yo) = (tr/4 . tr/ 4) aufnumeri schem w eg e (s. auch Be ispiel 7.8) . Am Auswertungspunkt P ergeben sich die Funktion sw erte zu: H H [ (xo.Yo) = sin xo sin yo = sin '4 sin '4 = 0,5000

Ais Absta udsdiffcrcnzcn worden -sinnvoll ubcr zicmlic h willkurlich- gcwahlt:

.1x = .1y = O.IXll

Jc klcincr dicsc Diffcrcnzcn gewiihlt worden. umso grijBer wi rd die Gcnauigkcit ". In in flnitcsimalcr Enrfernung zu P crgebcn sich folgende Punkrtonswerte (in e-sretlig er Genauigkeh):

i i i

[ (xo + .1x, )'o) = Sill(

+ 0. 00 1) sin

[ (xo .yO + .1y ) = sin

sin(

i

= 0 ,707814· 0 .707 107 = 0 .500500

+ 0.001 ) = 0 .70 7107 ·0.7078 14 = 0.500500

Die partiellen Ablcitungen I . Ordn ung am Punkt P lauren :

J...-

(4' 4

~ ~)

I.y

(4' 4

_

-

[ (xo + .1x•.\'o ) - [ (xo•.\'o ) _ O,50050() -O,50IXl(}O _ .1x 0 ,00 1 - 0.5

~ ~) _ [ (xo, )'o + .1)') - [ (xo, yo) _ 0 .500 500 - O,50lXlOll _ .1)' 0,001 - 0.5

v ergte icli cia nunierischen Ablehung mil cia exak ien tasung: Die cxakte n Ablcitu ngsfunktioncn sind hcrcits in Beispiel 7.8 ermittel t wo rden: [...- = cosx siny

1..1'=

sinr cos y

Diese Aussage gill aber nur hi, fur Genauig keitsgrenze der Zahle ndarstellung im Taschenrechner hIll.'. Computer. O<:r Bereich hi, I· 10 S durfle La. viillig unbedenklid l ",in ~ man mu" abe, dann auch rechl \'iek N"chkllmm",tellen. I .B. 8. nurfljhrc n!

7.3 Partielle Ableitung eine r Funktion von

/I

unubhangjgcn variablen

27 J

Die zugchorigcn Ableitungswert e am Pun kt P sind

I.(~ , ~) =cos ~ sin~ = O.5

" " ) = sin 4" n cos 4" n = 0 .5 s, ( 4"'4"

Zwischen dcr cxaktc n und dcr numcnschcn Losung dic scs Bcispicl s gibt cs also kcincn Unrcrscfued.

7.3

Partielle Ableitung einer Funktion von

11

una bha nglgen Variab len

Das pri nzipiclJc Vorgchen hierbei ist nich t viel ende rs als bei Funktionen von zwe i Vari abJcn . Hier zu wird cine Fun ktion von II unabhangige n Variablen bctracht ct :

Oesuchr sind ihre partielle n Ablcitungen J. und 2. Ord nung. Zunach st worde n die formalen mathemat ischen Ableitungsa usdrUcke angegeb en (a us Platzgr Unden sind dicsma l nur ei nige au sgewahlt e Ahe rnativen angegcben) und danach wird d ie marbem at tsche Definitio n erlauten .

7.3.1

I>efinition partieller Ableit ung I. Ordnung

Es ex isticrc n n crsre part icllc Ablcitu nge n. wei! n unabha ngigc Variublcn vor handc n sind.

_ I - iJl _ iJ/C" ,·" ,·· · ,x,, )

"-'I -

-'I ~

a.q ~ iJI

aXI

"I iJ ,-("x-,-'',x,aC-',,''c.',,',,x,,,," ,,)

" -,·> - =f:n- = aX2 = -

.\"2

(7.6)

Bei der Bestim mung dcr partiellcn Diff ere ntiat ion f .x; (i = 1.2.... , II) werdcn aile unabhang ige n Variablen aulicr Xi (d .h. aile Xk IUr k = 1.2... . , ,, m it k f- i) voridvergehend (II.\" Kons tanten beh andcl t. Die Funktion f (xl ,X2, . . . ,x,,) wird also auge nblic klich so berrachrct . als ob sie nur c ine gew ohnliche Funktion dcr einzigc n Variable Xj wa re. Die Definition der pa rtiellcu Ablci tung I. Ordnung IUr die Funktion f (X J,X2, ' " ,x,,) crfolgt du rch folgcnd c Gren zwertbctrachnmg. (7 .7)

Aus dic scr Definition crgeb cn sich z.B. folg cndc Ahlcitungc n I. Ordn ung:

272

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

I _I~ = 7.3.2

, f (XI ,X2, . . . , X,,+ L1 x,,) - f (XI, X2, . . . , X,,) 1lin Ll .
Defin itio n parttener Ableitung 2. Ordnung

Fur ci ne Funktinn von

/I

unabhangigcn Variablen existieren

/I

x

= ,,2 particllc Ab lcitungcn 2.

II

Ordnung.

a

f J I <1

= a fJ I

1.<2'<1

= a x, 1.<2

1.<. <1

= a X, I.In

x,

a

f JI '<2

= a fJI

f J 2'<2

= dX2f J2

a

x,

a

a f "<2'< . = ~ f"<2

a

a

a f JI

= a

f .I I .<.

x"

."

(7 .8 )

a f .
r:

f .'.'< 2 = a X2

Z ur [ormalen Bczcic hnung part ic llcr Ablcitung 2. O rdnung cxistiercn folgcndc Altcrnat ivcn:

d ::'..<;.<j = f ..<;.<j = a f Ji =dal. <; =a a'al Xj Xj Xi Xj

~ aa (d J(Xh ·\a·2, , " Xj

Xi

' X,,) )

Aus dic scr Definition crg ibt sich bcispie lswcisc :

(

aI (x"x" ...,x,,) ) dX2

Die Glcichhcit von gcmischtcn particllcn A blcitungcn ist auch fur -stcrig di ffcrcnzjcrbarc- Funktioncn von II Variablen gegebcn: bzw.

(7 .9 )

Die part ielle Ablei tung 2. O rdnung geht aus fclgender G renzwertbctrachtun g hcrvor :

. f . <;(.'(I ,X2•.. .. Xj + .1Xj , ...• x,, ) f " iX!- = !l_<j 11m ~1l .1Xj

1.,;(XI , X2• . . .• Xj , ...• x,,)

IJcispiel 7.11:

y = f (XI , X2. X.,) = Y.
XI

+ X2

= I + 0+ 0 = I

+ X.' Y.<2 = ()+ I+ O= I Y·' 1'<2

=

a

-ax, 1= 0

Y J~ = 0 +0 + I = I

.v J)"'J

al=0

= a

XJ

(7. 10)

7.3 Partielle Ableitung eine r Funktion von

a

=

a

-ax, I =

unubhangjgcn variablen

273

a

Y-'Hl. = -a X.1 I = 0

Y-'H~ = aX2 1=0 ~ ~ Y.l 1_' 1

/I

~

0

Y-' -I-'l- =

a

-aX )

1= 0

Beispi el 7.12: y = J(XI , X2' X)) = XIX2X)

a

)'-'1-'1 =

-ax, (X2.1:)) =

0

=

-ax, ( X IX) ) =

X)

)'-':-'1

)" ' _1-'1 =

a a

-ax, (.1:1 .1:2)

=.1:2

)'-"n ~

a

-aX2 (X2X ,1) =

=

Y -' I -"!

~

X3

a

= -a X2 (XI X3) = 0

a

)" ' _IX2 = aX2 (.1:1.1:2 ) =.1:1

a

-aX3 (X2X ,1) = X2

Y-' 1"_1 =

a (XIX.1) = x l

Y-'2-'_1 = -a Y,' IXI = - -

lIeispiei 7.13: )' = f (xi ,X2,X) . X4) = x1 + h lX2 - x~.~ + 4X4

Y .l !

= 0 + hi . I - 2r2.r:i + 0 = 2 XI

-

h 2.t1

Y" .1 = 0 + 0- x~ ' 3x3 + 0= - 3~x3 )' .14

= 0 + 0 - 0+ 4 · 1= 4

Y.l! -'! Y " 3-' 1

= {)

Y.l~-' I = ()

= -2r~

Y .13.1! =

- 6.r2x~

Y.l 1-'3

= - 6.t2X~

Y_1J-13 =

- 6.~X3

Y-'F~ = () )'.lF~

=

0

XJ

a

-ax 3 (.1:1.1:2 ) =

()

274

7 Diffcr entiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

7.4

Das tctale Differential

7.4.1

Oeometrlsche Bedeutung der pertfellen Able it ung

Einc gcomcmsch anschaulichc Interpretation der partiellen Ableitung ist nur fLi r Funkuon cn mit

zwl'i unabhangfgen Variablen moglich. Bild 7.4 zeigt schemansc h die 3D- Darste llung ei ner belicbigcn Funktion z > f (x. y ), die einer Ha che lm 3D- Raulll entspdchr. Zusa tzlich werden noc h zwel Ebcnen betrachtet, die den Punkt P enthalte n (nich t im Bild dargestellt): Eine zur .rz -Ebcnc parallel e Ebene £1 (fur die se Ebe ne gilt y :::: consl .) und eine zur vz -Ebcne paral1ele Ebene £ 2 (fur diesc Ebene gi lt x :::: COI/Sl .) Nu n werden die Tangentengeraden an d ie Sc hnittkurve n zwischen der rfi umlichcn Flllche und de n be ide n Ebenen £ 1 und £ 2 gebildet. Der Winke l zwischen der Tangcnte. d ie in der Ebene £ t licgt , und der .r- Achsc bctragt ax und der Winkel zwischen der Tangente in der Ebc ne £ 2 und dcr j-Achsc ist c,.. Die particllc Ablcnu ng Z.K cntspricht der Ste igung dcr Tange ntc in der Ebe ne £ 1. Die particlle Ablcitu ng z.y cntspricht der Steigung dcr Tangcntc in der Ebcnc £ 2 :

IZ.K -

Ian ex"

Die partie lle Ableitung der Funktion we iligen Koord inatenachse .r und y.

f

e ntsprichl der AllderullKsrale von

z;f(x.y)

f

in Richtung der je-

,, ,

------------------ - - - -I

tan a., = z... tan a." = z ...

p=(x,y,zf----- "-...-- ilx

,

Bild 7.4 : Geomctrisch c Bedeutung dcr particllcn Ab leitun g

Tan geutlafebene Die Tangcntialc bcnc ei ncr raum lich gckrummten H ache z = f (x ,y) an eincm bclie bigcn Punkt p :::: (xo, Yo, z o) ist diejenige ehene H ache. welche die raum liche Flachc gellilU in diescm Punkt p beru hrt. siehe Bild 7.5. Die Tangemialebene wird durch folgende Gleichung besch ricbcn :

z, = j, (x.y) :::: z(xO. YO) +z... (xo.)'o) . (x - xo) + Z.y(XO. yo) ·lv- YO )

(7. 11)

Es wird aus Bild 7.5 dcutlich. dass die Abwcich ung dcr Tange mialcbcnc von dcr Funkrionstlachc umso groae r wird. je mehr man sich vom Punkt P entfernt. Die Orienticrung der Tange ntialebene im 3D-Raum hnngt mit den partie lien Ableitungen I. O rdnung folgc ndcrtnaaen zusa mmen :

7.4 Das rotale Differential

275

~ .

'/

",

------- -- --- ----

·0 p

••••

:1.".. .. .

,

Bild 7.5: Tangemiule bcuc irn Punkt P

z.... : Stc igung dcr Tangcnttatcbenc in .r-Ric humg tz., = Ian a x) z., : Stcigung der Tangcrnialcbcnc in j-Richumg (z.y = tan a y)

7.4.2

Tota les l>ifTerentia l \ '011 Fu nk tionen mit zwei unabba ngige n Variablen

Zunachst wird einc Punkrion z = [ (x ,y) mit zwei unab hnngtgen Variab1cn betrachtct. Wie bcre its auf Sci tc 263 ertautert . reprnsenttcrt dle se Funktion cine FHiche im 3D-Raum. Ferner wird angeno mmcn. dass diesc Flacbe gek rtirnrnt sc i - also wie die Oberttache etnes LufthalIons. Ferner wird ciu -will kurlich gewdhlte r- Punkt P auf die ser Flache mit den Koordinaten P = (xo. Yo. zo) bctrachtct. vgl. Bild 7.5. Es soil bcrechn ct werdcn, wie sich die z-Koordinate andcrt. wcnn sich die aktuclle Position auf dcr gckrtl mrntcn Flllchc vom Punkt P 7U einern infinitesimal bcnach bnrte n Punkt Q bewegt. Die .ej-Kocrdi natcn des Punktes Q unterscheiden sich VOIl dcnen des Punktes P nur um differenzielle. d.h . infinitesimal kleine , Bet rage dv und dy. Es gilt also xQ = Xo + dt und YQ = yo + dy. Hinweis: Die infinitesimale Nac hba rschaft von P und Q ist nur in der .ry-Ebene definie rt. In Richtung dcr z-Achsc brauchen sic nicht infinitesimal henachbnrt zu set n. Die z-Koo rdinatc des Punktes P erg ibt sich aus ze = [ (xo .Yo ) . Wegen der infinitesimale n Nachbarscha ft zwischen P und Q befind ct sich dcr Punkt Q auf dcr Tangcntialcbcne des Punktcs P. Mit Hilfc dcr GI. (7. J I) kann d ie ::-K(xlrdin
= [ (xu,J'o)

::0 = Zp

--

+ ::....(xo.yo) . (XO -

--

xo) + ::.~,(xo. Yo)· (YO - yo)

= Zp + ::.,(xo,)'o) . (10 + dr - t o) + z.d xo. yo}· (10 + dy - lo ) . XQ Yo

Die Hohendiffe renz dz zwischen dcn Punktcn P und Q wird als tcnales Differentia l hczcichnet und crg ibt sich zu

Aus Gru nde n der (Iberslchtlic hkeit werden die Positio nsanga ben Xo ,Yo in den Klamm ern wegge-

276

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn

lassen, so da ss sic b folgcn dcr Ausdru ck IUr da s tot al e Di fferen ti al dz (ode r dj) ergibt:

Id;; = c., · dr+ z.. - dj-

(7 . 12)

I,

Das totale Diffe rential (auc h vallstdndiges Di.fferell1iaJ genannt) ist also ein Mall fur die Anderung de s Funktionswert es cntla ng dcr Tangenriatcbc ne. Es isr insofern cng verwandt mit dem gcwohnlichc n Different ial dj- eine r Funktion m it nur c inc r Var iablen y = [ (x ) . vg l. Seite 206 . Daraus wird au ch klar woh er das Au rihut »total« komrru: W ahrcnd bcim gcwohnlichcn Different ial d ie A ndc ru ng nur cincr einz ige n unabh angigcn Variable .r , namlich d e. be trnchtct wird, mu ss bcim tota tcn Di ffere ntial di e Anderungen von x und y g leichze itig bctrach tcr wcrdcn. Man interessiert sich fur die »rotalc« Ande ru ng d[ des Fu nkuo nswertcs [ (x, y ) be i Ande rung beider una bhangige r v ariabl cn. Die Tatsacbe, dass das totalc Differential d[ den Funktionszu wach s auf der Tangent ialeben e ausdrtl ckt , kann auch so interpretiert werdcn . dass cs sich beim totalcn Differential urn eine Unearisieruug der Fu nktion [ (x ,y). doh. Approximation der gekrumm te n Raumrl ache durch cin e Ebene, handeh . Wen n nun die Eln sch rnnkun g. da ss es sich bei rn Ab stand zw ische n den Pu nkten P und Q urn infinitesimal kleine Betrage d r und dy handeln soli. fallengelusscn wi rd. kann die Hoh enander ung dz a uf der Tangential eben e auch fur gro (kre Abstandc 8..r,.6y berechn et wcrden:

Idz -

Z.f

· Ar + z.y · ily

I

(7 . 13)

Die tatsachlic hc Hoh enandcrung ~ auf tier getrumnue n Hache , d.h . dcr Funk tionsinkrcm cnt , fur groac re Ab stnndc Ar,.6y kan n ndherungsweise :I US de m totalcn Differe ntial bcrechnct werden:

IL\.::::::::

Z,..- · A r + z..I" -.6.1'

I

(7 . 14 )

lIeispieI 7.14 : Das rotate Different ial dcr Funk tio n

z., = 2r + 0 = 2x

Z=

[ (x ,y) = x 2 + i

erg ibt sich zu:

Z..\' = 2y + 0 = 2y

de = Z,..- -dr -l-z..I" -dj- = 2r- d \" +2y·dy An vcrsc hlede nen raum lichcn Pun kten nimm t da s torale Differential versc hicdcnc wcrte an, z.B. : am Punk t PI = (.r.y) = (0: 0) : de = 2 -0 ·d\" + 2 ·O -dy = 0 dz = 2 -0. 5 · d \" + 2 · I -dy = d r +2dy am Pun kt Pz = (.r.y) = (0 .5: I) Rdspiel 7. 1S: Dic Funkt ion z = )3x2 + y 2 sin I x 2 + y 2 stcltr ci ne Raumflachc im kurtesischcn 3DKoordi natcn system dar (Bild 7.6 ). Die Fu nktion besitzt am Punkt P = (x, y) = ( I; J) die Hohcnkoordinatc Zp = / 3. 12 + 12 sin / 12 + 12 = 1.975

7.4 Das rotale Differential Der Winkel dcr Sinus-Funktion muss in BogemnaB einges ctzt worden! Nun wird ein zu P bcnachbartcr Punkt Q = ( 1,2; I + dv) bctrachtct. d.h . cs ist d r = 0 ,2. Es soli bcrechnct worden. fur wclchcn Wen von dj- der Fun ktionswcrt unvcrandcrt blcibt . d.h. die Bedingung ZP = zQ gilt.

,

,

,

,

Bild 7.6: 3lJ-Bild der Funktion z = j 3x2 + .1'2 sin j x2+ y2

Btnsctzcn dcr Koordinatc n des Punktcs Q in die Funktionsgleiehung licfert

Die Bestim mung von dv aus dicscr Glcichung ist kclncswcgs trivial. Von Hand lasst cs sich nicht loscn und erfordcrt numerische Mcthodcn (z.B. Ncwton-vcrta hrcn). Wenn stall eincr exakten Losung dcr Aufgabe auch cine Nahcrungslosun g in Fruge kame, wtirde eine -Iinearisierte- Losung mit Hilfe des totalen Differentials auch von Hand gelingen (s. uuchstes Beispiel).

Reisp iel 7,16: Jctzt so il die Aufgabe des Beispiel» 7.15 mil Hilfc des tota len Differentials nahcrungswcisc gclos t werdcn . Zunachst worde n d ie particllc n Ablcitu ngcn aufgestellt:

Z\ = 6x sin ';x2 + r 2+ \/3x2 + y2 cos ';x2 + r2 2r . 2 /3x 2 + y2 ' . 2).0;2+y2 = 3x si n ~ + x / 3x 2 + y2 cos ~ / 3.0;2 + .1'2

/ x2 + y2

2y . ~, j " ~, 2v Z, = S tn vx~ + y~ + 3x-+y- cosvx+r . 2 / 3x2+ y2 . 2 / x 2+ y2 = y sin ~ + y ';3x 2+ .1'2 cos ~ /3x2 + y2

/ x2 + y2

277

271l

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn

Nac h Einsetzcn dcr Koordi naten des Pun ktes P = ( 1; I ) in di e vorstchc ndc n Glcichunge n ergcbcn sic h die particllcn Ab leitungen zu: ZA I; 1) ~ 1,?022

:::.)'(1: I) = 0 ,7 144

Einxetzen die ser Zahlenwe rte in den Ausdru ck IUr das totale DilTerent ial licfert:

dz = z.e ' d r -l- z.y · dy = 1,7022 · 0 ,2 + 0 .7 144 -djDas IOtale Different ial ent spri ch t de m -li ncar isierten- Hohcn untcrschicd der Punkte P und Q (d.h. Hohenuntcrschicd in der Tangentialebene). Wei! diese Punkte sic h auf gleicher Hohc belinden so llen (zp = zO)' muss das totale Differen tial ident isch Null sei n:

dz = 0 =?

= 1,7022 ·0.2 + 0 ,7 144 , dv =>

dv = - 0 ,4765

YO = yp + dy = 1- 0,4765 = 0 .5235

Ocr Punkt Q muss also die Koordinutcn Q = ( 1.2: 0. 5235) habcn. damit dcr Funktionswc rt {d.h. die Hohcnkoordi nate) unvcrand crt bleibt. Kontro llc : Ein sctzcn der Koordinaten Q = ( 1,2: 0 .5235) in die Funktionsglc ichung f (x,y ) liefcrt zQ = 2.070 . Es sollte abcr laut Probl cm stellung zQ = 1,975 sci n. Das bcdc utct. dass dcr Los ungswcg mit Hilfe des totalen Different ials folgcnd cn relativcn Fehlcr hat: Z=

E rd

2 ,070 - 1,975 1 1,975 = 0 .048 :::: 4 ,8%

= 1

Diescr relati ve Fehl er von 4 ,8% erschci m im Hinblic k auf reine Mathematik rclat iv hoch. ingcnieurtechnisch diirfte er j edoc h im gcradc noch to lerablen Bereich bleib cn.

\Vozu br au cht man das totaJe Differential? Das totale Different ial dz der Funktion z = f (x, y ) gibt die Andc rung des Funktionswen cs auf de r Ta ngenlialeben e w ieder (Linearisierung), unter scheidct sich daher von der wahren A nde ru ng des Funktio nswertes. Solange man sic h nicht allzu welt vo m BerUhrungspunkt zwischen der Funktionsflachc und ihrer Tangentialebene befinde r. kunn das IOtale Differential als bra uchbare Nliherun g fur den wahren Fun ktionszuw ach s bctrachtet worden . Der wahre Funk tionszu wachs d:: (Inkrerncnt] kann mit Hilfe der Beziehung (7. 14 ) nuhcrungswcisc berechnet werden:

d:: ::::: z.... · dx+ z.1, · d Y

~ t"t alc, Ditfcr cll1i al

Diose Nahcrung ist umso gcna ucr, je klcincr die Absta ndc dx und d y sind, wcil dad urch dcr Abstund zwische n der Tangcntialcbcnc und dcr Funktion sflache j a cbenfulls klci ncr wird. In zwe i Situationen ist des totale Differe ntial besonders nurzfich: I. Man will wisscn. wie sic h die A ndc rung einzc lncr una bhlingiger Variablen au f den Fun kti-

7.4 Das rotale Differential

279

onswert auswi rkt. 2. In dcr lngenicurpruxis sind d ie Problcmstcllungcn mitu nter sehr ko mplex . z.B. es kan n scin . dass kein c cinzelnc Glcichung vorlicgt. sondc rn cin sim ulta ncs nich t-Iincures Glcichung«system. In einem solc hc n Fa ll ware cs ziem lieh hoffnungstos. naeh cinc r exakten Losu ng zu suchc n. Der einzig ga ngbarc Weg ware dann d ie Linearisieru ng de s Prob lem s. d.h. die Bild ung des tora lcn Differe ntials. Anwe ndungsgcbletc des totalcn Differentials sind viclse itig und reichen von der Flugsteuerung von Raketen und Flugzeugen . uber Compute rsimulatione n von Cra sh-Problernen im Au tomo bilbuu bis hin zu e1asto-plastisch en Bauteil berech nungen . z.B. Si mulati on von Blechumformprc zesscn. sowie zu r Berechnung der Tragfhhigkeit von Bauwerkcn.

7.4.3

Dus totale Ditfere ntial von f unktionen mit /I un ab ha nglgen Variablen

Die Idee des toralc n Differentials Iasst sich ohne wciteres auf Fun ktio nen m it mchr als zwei unabh an gigcn Varia blen anwende n. Allerdings lassr sich die Tangcntialeben e dann nicht mehr gra fisch bzw . ansc hau lich dar stcllen. Die raumlic he Vorstcllung gelu also verlore n. Es han de ll sic h dann bci dcr »Tangentiatebe ne« lediglich urn einen abstruk ten Begriff, der rnathematlsch gesehen d ie Linearisieru ng der Fu nktion zu m Ausdruck bringe n soil.

7.4.3.1

Fu nktlo nen mit drei un abh an glgen Va r iablen

Das rotate Diffe rential du ei ner Funktion ist deti niert du rch

Idu -

1/ ... '

dr + u,.\' · dy + If.~ · dz

I

/I

= j (x, y, z) mit drei unabhanglgen Variab len x. y, Z

Oller

dj = !., · d r + !.y · dY+ !.z · dz

(7.15)

Dicsc Glcichung bcsag t. urn wetc hcn Bctrug dl/ sic h dcr Fun ktionswcrt II auf dcr Tangentialehene nndcrt. wenn man sich vern Punkt P = (x, y , z) zum Punkt Q = (x + dr, y + dy, z + dz) bcwcgt. Die abhangige Variable II kann hierbei ga nz ver schicdcnc physikalischc Bcdcutungcn habcn, z.B.: Tempcr aturverteilung in ci ncm K erper. Verteilung dcr Massend ichte in ei nem inho moge nen Kerper. Mechanisches oder elektrisches Poten tialfeld. lJeispieI 7. 17: Ge sucht ist da s tota le Differential der Funkt ion 1I...

= 2r + O= 2x

dll =

II... '

lI .y

= j (x,y, z} = x 2 + )'2+ Z2 .

/I

= 2y + O= 2y

lI . z =

2z + 0 = 2z

d r + lI.y · dy + lI.z · dz = 2 r· dr +2y· dy + 2z · dz

lJeispieJ 7. 18: Gegeb en ist d ie Fun ktio n Differen tial du.

1/

= j(x, y, z ) = sin (..? ,

,

+ y2 + Z2 ). Gcsucht 2

u..I'= cos(.r + y- + z )· 2)'

ist das totulc

II .~ = co1'(x2 + y2 + Z2). 2z

280

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

dll =

I/ ..\" '

d \'" +

lI .y ·

dy + lI .z • dz

~~

= 2 1 co.~ (.t- + Y-+ l 2 ) ' u l+ 2y

co~ ( .t

22

22 + y +z2 ) · dy+ 2;; co~ (.t ' - + y +<: ) · d;;:

= 2 cos (~ + l + z.2 )· (x d r + y dy-l-z dz]

Ht'ispiel 7.19: In cincm Kerper ist die stationa re -d.h. zculicb konstamc - raumlichc Tcmpcraturvcrtcitu ng durch folgcndc Funktion bcschricben: Tin oC Die Tempcratu r am Punkt Q = (0.05:0. 10: - 0. 10) soli nahcrungsweise berechnet werde n. indent die Funktion T (x. y. 2) am Punkt P = (0 ; 0 : 0 ) linearisiert wird. Die angcstrc bte Linearisierung der Tcm pcraturunderung ist nichts anderes als die Bercchnung des totalen Differe ntials dcr Tempcraturvcrteilu ngsfunkt ion T (x, y. 2).

Am Punkt P = (0; 0: 0) erhalt man die Te mpcratur Tp und die particllcn Ablcitungen: Tp = IOO eoe - oe - o = HX)

T..\" = 100 t,ue- oe- o = 100 T.» = _ 100 / l e- Oe- O = - 100

Ts: = _ 200 eu{,- ue - o = - 2{Xl

Mit der Pormet fur das totale Differential

und den d iffcrcnziellcn Andcrungcn dcr Ortskoo rdinatcn d \'" = xQ- xP = 0 ,05 - 0 = 0.05

dy = YQ - y p = 0. 1-0 = 0. 10

erhuh ma n die Tempcrat urdilferenz zwischen P und Q ;

dT

~

100 · 0.05 - 100 · 0, 10 - ZOO · ( - 0.10)

~

we

Die nahcrungswetse bercchnctc Tcrnpcratur im Punk! Q bctragt somit:

TQ = Tp+ dT = 100 + 15 = 115°C Der exakte Wert dcr Tcmpc ratu r in Punkt Q bctragt:

TO = HX)eO.05e -O·JO e - 2 · (- O. I) = 11 6.2°

7.5 lmplizue Ablcitung

281

Relat iver Fehler der Nahcrungs rcchnung : E rel

7.4.3.2

"",

1

1 1 6. 2 ~ 11 5 1 116 .2 = ().OlO 0::: 1%

Fun ktlon en mit meh r als drei unabhan glgen Variablen

Das totale Differential einer Funk tion /I = !(XI, X2, ... ,x,,) mit fol gt analog 7.U den bisher igen Fallen und erg ibt sic h zu:

11

unab htingigen Variab1en er-

(7.16 ) Ueispiel 7.20: Gesuchr ist das totale Diffe renti al der Funkt ion

/I = X t

If. T•

7.5

+ x~

,

+ .rj + x1 .

= 4x4

Implizite Ableitung

Bci ci ncr cxplizitcn Funktio n y = f (x) ist cs im allge meinen kcin Problem. die Ab lcitu ng

y' = !,(x) zu errniucl n. Immer wieder liegen d ie Funktio ncn abcr in der sog. impliziten Form F(x.y) = 0 vor (sichc auch Abschnit t 2.9). D ie implizite Differenuationsmogl ich kcit (vg l. Scire 2 16) ist bcso ndc rs in jcncn Fallen ntltzlich , wo die ab zulcitcndc Funkuon nicht mittc ls Umfor mungcn in cx plizitc Form gc brac ht worden kann odcr ubcr die crzicltc cxpliz itc Form dcra rt komplex geworde n ist. dass die Differe ntiation gro ucn Aufwand crfc rdc m wurdc . In dics cm Absc hnin wird gezc tgt, wic die Ablcitung l = dy/ d r ci ncr impliz itcn Punkt ion m il Wi fe dcs toratcn Diffe renti als auf elcga ntc Wei se crfolgcn karin. 7.5.1

lmpllaue Ableitung \'(111 Funktlonen mit einer un a bhanuigen Variablen

Fur einc implizite Funktion F (x. y ) = 0 so il die Ableitung j '' = dyl dx bcs timrm werde n. Wei! Funktion F von allen erdenkliche n Werten x und y. die sich in ihrem Dcfi nitionsbereic h betinden, erfU lh wird. gi lt fur ci ne infinites imal bcnachbart c Position folgende G1cichun g:

F(x + dr,y + dy) = 0 Die Differcnz beider Funktionswerte cntsprich t dem totalcn Differential:

dF 0::: F (x +dr, y +dy) - F(x, y ) = 0 -0 = 0 Das totalc Diffe rent ial ist forrn al dcfi nicrt als dF = F.;< dr + F'.y dy. Daraus folgt die Bcdi ngung

F.T·dr + F'.,I" · dy = O

282

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn

Die Umform ung diescs Ausd ruck s licfcrt schlieBlich d ie gcs uc htc Ablcitu ngsformcl:

Implizile Ableitung

\ '0//

F(x , y) = 0

(7. 17)

Hinweis: Es ware abc r unzutrcffcnd. aus F{x , y) = 0 zu folgcm . dass uutomatisch auc h F_, = 0 od cr

F..I' = 0 sci n mu sstcn (s ic ko nnc n im Einzclfallzufiillig naturlich Null scin) .

lJeispieI 7.21:

Gcsucht ist die Ablcitu ng y' der Fu nktion x 2 + eo" = O.

Die Funktion liegt in dcr implizitcn For m vor. namlic h F (x,y ) = x 2 + e.l' = O. Die Anwen dung dcr Gleichung (7. 17) liefert:

F..I' = e"

F... = 2r

I F... 2x Y =- - = - F.." e.l'

1m Ergebr usa usdruc k stchr nod die Variab le y, die eliminiert worden karin. Aus der gege be ne n Funk tion xl -t e' = 0 folgt nach Um form ung, dass el" = _ x2 ist. Substitutio n dic ses A usdruc ks in d ie Losu ng lic fcrt sc hlieBlieh

2r

I

J = - - -, =

- x-

2

~

x

lJeispid 7,22 : Gcsuclu ist die Ableitung l dcr impl iziten Funktion e'

F{x, y) = e" + y - x

Fx = - I

+y -

x= 0,

F'.,. = e-" + I

G leich ung (7, 17) liefert : I

)'

.

- I e.'" + 1

=- --~

I e·\' +l

--

Anmerkung: Aueh wenn die erste Ab leitu ng l vorlieg t, hat sic eine n Schonhe itsfehler: Die Varia ble y srcht ouch im Ergcb nlsau sdruck und lusst sic h leider nicht eliminieren. Des bedeutet, dass die Gewi nnung ci nes Ausdrucks fur die Ableitung in der klussischen Form .'/ = lI(x) nieht mog fich ist. IJcispiel 7.23: Berechnen Sie die Ableitu ng y' dcr Funktion y4 - xy - I = O.

F{x , y) = i - xy - I

Fx = - y

:::} y' -

,.

•

- 4 y3 - x

7.5 lmplizue Ablcitung

7.5.2

283

Implizlte Able ltung vnn Fu nkthmen mit lwei un abhangigen Variah len

Falls cine Funktion nic ht in dcr expliziten For m z = ! (x,y ). sondcrn in dcr implizitcn Form F(x ,y, z} = {) vorlicgt. konncn die particlle n Ablcit ungc n c., und z.y d urch cine ahnlichc v ergehenswetse wte im obigcn Absc hnitt bcstimmt worden. Das totalc Diffe rential dF dcr Funkt ion F(x,y, z) is!. aus dcnsefbcn Grunden wie in Abschnitt 7.5. I crtnutcrt . gleich Null: dF = F., d r +

Fy dv + F: dz = O

Die Umrormung diescr Bezichung liefcrt:

Th corctisch konr uc ja die gcgc bcnc imp lizitc Funk tion F(x,y, e) = {) auch in die cx pliz itc Fonn Z = ! (x,y ) gebracht werdcn . Das totale Differential dz wurdc dann fclg cndcrmabcn ausschcn:

dz =

Z.l

d r + z.y dy

Das Glcichsctzcn dcr bcidcn lct zrcn Ausdrtlcke fur das rota te Differential dz fljhrt zu folgc ndcn Beziehungen Ilir die particllcn Ablcirungcn:

F,

- F.z d r =

z., d e

F )'

- ...c.... dv= z . d ) ' F.: ' ..1

z.y = - F Fe.,

I

(7, 18)

"

Ueispi eI 7,24: Mit Hilfc dcr implizi tcn Different iation sotte n die particllcn Ablci tungcn I. Ordnung Z.r und z.." fur die Funktion Z - x 2y sin rj- = () bcrcch ncr werden. Die Losung crfolgt mit Hilfc dcr Gl. (7.18 ): l mpl tzirc Funktion : F(x. y. a) = z - .~y sinxy

F» = O- by sinxy - .~y cos(xy) 'y = - 2 ry sin xy - ~l cosxy F.I' =

{) - ~ sinxy - .~y cos(xy) 'x = _ x 2 sinxy - x\ cos rj-

F : = l -{) =I Z

.x

Z ,. =

'.

F.x

- 2 fT

F.l

-r

= - -~ = -----'-- = -

F.:

.

sin .n· - x 2 v2 . I

.

COS X\'

sinxy - x\ cos .ry I

.

J

~

. = 2xr sm. rv -t. -r-v- cos X) ' .

= .~

.

Sin X)'

+ X3 ) , cosxv.

AI/Illt'rkull g: Fur dieses einfache Beispiel harte man die Losung natiirlich auch auf

ublichem Wege sehr leicht linden konnen.

284

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Hd spi d 7,25: Mit Hilfe der impJiziten Differentiation sollc n d ie partiellen Able itungen z... und c., filr d ie Funk tion sin z - r y sin ry = 0 bcstimrm werdcn. . F (x ,J . z) = sin z- x 2y sinxy =}

F.\ = - Zrvsi Y sm xy - .r" y- cosxy

F.x

Z.x = - -

F.~

=

F. y = -.~

-

lm Ergebn is stcht noc h d ie abhangigc Variable hungen climi nicrcn ltisst.

s i n z -.~y sin xy = O

F.~

= cos z

z,. = _ F,,' = ~x_2C'"·in::::x,,:·=+:,·o,3:,'c·O c,:":x",, '. F.~ cos z

2xy sinxy +,r}.2 cosxy cos z

sin xy -x'y cosxy

z; die

sich m it Hilfc folgc nder Bezie-

sin2 z = x\). sin2 xy .

=}

t -c,,'~ ~

Sub stituti on von cos z =

VI

.~.-ly2 sin2 xy in die Losung lic fcrt : l .y

x2 sinxy +x3y cosxy = 2 sin:!.ry

Vi_r y

Betspf el 7.26: Jetzt soli die Losung des Beispiels 7.25 an der Position P = (.r.y) = ( I; I) mit Hilfe der numerischen Ableitu ng ubcrpraft werden. F (x ,y , z) = sin z - r y sinxy = 0

=}

z = arcsin (r y sin xy)

FUr die numerische Ablei tun g werdc n als infin itesimale Abstandc d r = dy = 10- 3 gcwahlt (natiirlich sind auch andere sinnvolle w ene mogfich), so dass sic h fo lgende benachbarte Punkt e ergeben:

Q,

~

( I -l- dr ; I )

~

( 1.001; I )

Die Funkt ionswerte an den Punkten e. Q t. Q2 sind: z1' = 1.00000

Z1'I

= 1,004 13

z1'2 = 1,00256

Die partic llcn Ablcitunge n am Punk t P erhlilt man wie folg t: P= l.r ()

I ,IX)4 13- I ,()IXX)O :l 10- 3 = 4 . 1. 09

l,y () P =

1.{X)256 - 1.{XXXX) 10 - 3 = 2.5628

Die cxakten Ablcitungswcrte crgcbcn sic h du rch Substitu tion der Koordinaten von P in d ie Ablcitungsausdrttckc in Aufgabc 7.25;

z.,·(?)

~

2.5574

7.6 Skalarfclder, Skalarfunknonen

7.6

285

Skularfelder, Skalarfunkticnen

Einc muthcmat ischc odcr physikalischc GrilBe. d ie durch cine Zahl vollstandig bcschricbc n wcrden kunn. wird Skalar ge nanm. z.B. Lufucm pcratur. Ein Gebic t. in dcm zu jcdcm Punk t cine skalare Gri'lBe zugcordnct is!, wird Sku/wield genannt. Die Tcm pcraturvertcilu ng im 3D-Raum bildct z.B. ein Skalarfeld. Ein andcres Skala rfeld ist das Gruvitatio nsfckl der Erde , we lches die Ursache der Erdbeschleu nigung ist. Auch in der Stru ktur- und Strcmungsmccharuk kommcn Skalarfelder vor. Bcispiel swci se bildct d ie vcrteilung der Form nnderungsenergle in etn em ela stischen Kerper ein Skala rfeld . Die Veneilung der ki netisc hen Energie in einem stro menden Flu id stellt ebe nfalls ein skalurcs Feld dar. Ein Skalarfel d der skalaren Groac 1/ im kartcsischcn .rj'z-Raum ist ci ne Funktion von dre i unabhanglgen Variablen. Falls das Skala r If noch zusdtzfich von dcr Zeit t abhu ngt. komml cine viertc unabha ngige Variable hin zu: /I

= f (x.y, z)

(zeium ubhangigj

/I

= f (x. y, Z. f )

(zeitabhangig)

Eine Funktion /I, wclchc ein Ska larfcld bcschreibt. wird e infach auc h als Ska/urfllllktioll bezeichnet. Wie eben schon erwnhnt. spiele n Skalarfelder in der Physik cine bcdeu tende Rolle. D ie physikalischc Bedeutung dcr skala ren Variable /I hangt narurllch von der je weiligen Aufgabe nstellu ng abo Ueispi eI 7.27: Stationa re 'Ie mperatur vert ellu ng Es wird et n PKW-Motor bctracluct . Nach dem Sian stcllt sich nach einer Weile cin Bcharrungszustand dcr 'Iem pcr aturvertcilung im Motorblock cin. Die Tcmpcrat uranzcig c blcibt kon stanl (srationarer Zustand). Die Tcmpcrutu r im Motorbloc k ist zwar zeitlich stationar; raumlich allerdings nicht gleichmiiBig vcrtcilt. In der Nahc der Verhren nungska mmcr ist die Tempcraurr schr hoch, nach auBen hin nimmt die Temperatur ab. wei l dutch das zirkuliercnde Kuhlwasscr Wnrme abgc fuhrt wird. 1mstatio narcn Zustand sind die w nrmeerzeugung und die Warmeabfuhr mcngenmatlg g leich . Die stationarc Temperarurvcrtctlung im Motorblock ist cine Skalu rfun ktion dcr drei Raumkoordin atcn x , y, Z : T ~ f(x , )', z )

Dicsc Funkuon lasst sich durch farhige Darstcllu ng im 3D-Raum mit Hilfc cines gccig nctc n Compurcrprog ramms g UI sichtbar mechen (sog. Konturp/or).

HeispieI 7.28: Instauona re Temperaturve rt etlung Eine Stahl kugel bci Ruurntempcratur (d.h. 20°) wird in he iBes Wassereingeta ucht. Die Tcm pcr aiurvertcilun g in dcr Kugel ist raum lich und zcitlich vcra ndcrlic h. d.h. cs licgt ein sog. instario niircs Tcmpcrut urfcld vor (anfanglich auBen hcitl , inncn kalt: allmahlich crfclgt ilbcrull ein Tcmpcraturausglcich). Die Tcmp cruturvcrtcil ung in dcr Kugel ist dicsmal cine Skalarfu nktion von vier unabh angi gcn Variablen (Raumkoor di natcn x ,y. z und Ze it t ): T ~ f(x , y, z ,t )

286

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

Aueh dic ses Skalarfeld Hisst sieh mittcls Komurptct. welc hes dic sm al ze itlieh veran dcrlic hc Farbvcr laufc vcrw cndct . z.B . Co mpu terani nuuio n. sc hr gut visuulisicrc n.

Skalarfeld im nD-Ra u m Del' Begriff des Ska larfeldes lassr sic h problemlos auf mehr als drei Dimensionen erwei tern. Dann ordnet die Skalurfunktion jcde m Punkt des n- dimc nsio nalc n Raums einen ei ndeut igcn Skalarwert zu. Die Gesermh cit alle r Skalarw crte bildet so mit cin Skalarfeld : bzw.

1I = [ (Xl . X2.·· · . X" .1 )

lnvarlanz etnes Skala rfeld es gegenuber Koordinatentransformation lnvari an z bcdeutct Unvcrandcrlichkeit. »invariunt« ist »unvcrdndc rt blcibcnd «. Ein Ska larfcld ist invari ant gcgcniibe r dcr Wahl des Kcordmatcn systcms. d.h. die Wert c del' Ska larfunktion sind unabhangig ve rn gewahucn Kco rdt natcn sy scm.

Beispiclsweise ist die Tempcr atur an einem bcstimmten Punkt P eines Gebnudes eine skalare Gr()Ge und hnngt nicht da von abo ob bei del' rcchncrischcn Bestimmung (oder Messung) de l' Temperatu r an diesel' Position kartesis che. zylin drisc hc odcr sphurisc he Koordi naten verwe ndet werde n. Es gilt srers Tp = f (xp •.\'p. zp) = g(rp, ep. ::.p) = h(rl" ep. ({'p). Ein Tcm pcruturfc ld ist also in Bezug au f das vcrwe ndc tc Koord inatensystem stets invar iant. Ein c Skalar funktion kann fur zwc i untcrschic c li chc Koordm arensy stcme (KS) allerdings von untcrschtcdlichcr Gestalt scin: z.B. konncn d ie Glek hungen f . M und h des Tempc raturfeldcs gunz unterschicdlich aussc hc n. S ic aile licfcrn ab el' -unubhangig vorn verwc ndc tcn KS- imm er das g lcichc skulurc Ergcb nis.

Die llll'llriall z-Eigen sehafl ist cine notwendige Beding ung f iir die Existen: eines Skalorfeldes. Wenn eine Funktion f in un terschiedlichen Kocrdinarcnsystcmcn unterschicd liche Za hlenwerte liefe rt. stellt sic kcin Skalarfeld dar.

7.7

G radient

In Physik und lngcnic urwi sscn sch aftcn spiclt del' Gradient cine wichtigc Roll e. Er gibt A llf~ch/IIP daruhe r; in welche r Richtung sich ein Ska /w f eld mil suirksten anden,

ve r wendung des O ra dtente n in del' l\.lec ha nik In de l' Strukturmcchanik (e in Z weig del' Mechanik. del' sic h mit de forrnic rburcn Tr agwcrken. Kon stru ktion cn und Buuclcmcnten bcfassu w ird das Kraftcglcichgcwic ht durch d iskrcns icrte r nathcmat ischc Modcllc bcschric bcn. Ein dcranigcs Modell bcsitzt 1/ Freiheitsgrade Xl . X2, . . .• X". d ie man sich als unabhangigc Variablcn vorzuste llcn hat. Umcr auBcrcn Lastcn verform t sich d ie Struktur und in Fo lge da von andcrt sich ihrc potcnt icllc Energie. Die potcmicllc Encrgic del' vcrforrmen Strukt ur ist cine Skala rfunktio n dCI' II Frc iheit sgrad e. M il Hil fe des Gmd icntcn del' potenticllcn Energie lasst sich die Gle lchgewichtslagc de s Tra gwerks bcstim mcn.

7.7 Gradient

287

G ra dient einer Ska larfunktinn

7.7.1

Es wird eine Skalu rfunktion /I = f (x .y, z ) im 3-d imensio nalen Raum odcr II = f (x ,y) in dcr 2D-Ebcne bcrrachtet. Diese Skalarfunktion konn tc z.B. beschrei bcn: Ternpcralurvertei lung in einem Kerper Luftdruckverteilu ng in der Aunos phare Hydrod ynam ische Druckvcrteilu ng in cincr stromc ndc n Flu ssigkci t Formandcr ungscncrgic in c tncr nc lastischen Ke rper In einem Punkt P = (x. y, ;:) des 3D- RaUlns bcsitzt d ie Skularfunktion den Wert /I f' . Nun wird cin andcrer Punkt Q in infiuitc simale r Nae hbarschaft von P bctrachtct. d.h. Q besitzt die Koordinatcn Q = (x + d e y + dv. z + dz). Dcr Wert dcr Skalu rfun ktion im Punkt Q bcrragt I/Q. Die Differcnz zwischen den belde n Ska larwertcn cntspricht dcm rotule n Differential (s. Scire 276): IIQ - u p

=

dll

=

II _T

dr +u.y d j - +

II .~

(7.19)

d;:

Dicser Ausdru ck. dessc n Gl ieder aile skulurc GroGen sind, wird jew in cinen neuen Ausdruck mit skalarc n lind vektoricllc n Termon umge formt. Zu dic sem Zwcc k worden folgcndc Skularpro... d uktc der Basisvcktorcn i .j.k des kartesischcn 3D"Koordinalcnsys tcms vcrwcndct. vgl. Sette 127: t .t = 1

j .j = 1

k -k: = I

Glcichung (7. 19) llissl sich jew auch in folgcndcr Form schrcibc n: du =

11, \

(i . i) d r +

II .,. (j

. j ) dj- +

1I .~

(k · k ) dz

= (II..>: i) . (i d r] + (II.,. j ) . (j dv) + ( 1I. ~ k)· (k dz]

(7.20)

In die se m Ausd ruck ent spri cht jcder Term von dcr Gestalt (u.. T i) und (i dr) usw. ci nem Vcktor. Unter Beriicksichtigung der Tatsache, dass das Skalarprodukt von orthogonalen Vekto ren gleich Null ist, d.h . wegen

t! =

0

j ·k = O

j -Ic = 0

Iussr sich die let zte Beziehung in der obigen Glcic hung auch wic folgt schreibcn: d U = ,( II ..>:i + II ..,.j + II . ~k )· (d d+ , , v

Vekl<>r

(7.2 1)

dy j+ dz k), v

Vekto,

Den ersten Klammcrausdruck in G I. (7.2 1) bczeic hnct man nls Gradient der Skulurfunktion u : Gradi ent einer Skalarfunkticm grad ll = lI ..>: i + lI .y j + II . ~ k =

[ ] ".' II., u ~

= (

(7.22) 11, ,-

u'."

288

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

Gradient iS1 a/so ein

veuor'

Ocr zwci tc Ausdruck in G I. (7.2 1) ist der Vektor der infinitcsi malc n Posiuonsand cru ng vom Punkt P zu m Punkt Q. de n man cin fach auc h als diffcrcnticllcn Abstandsvektor ds bezcichncn ka nn:

ds =dfi + dy j +dZk = [ d e dv dz

1

Das totale Differential du kan n dahe r als Skalarprod ukt des Gra dien ten und de s diffe rent ielle n Abstan dsve ktors aufgefasst worde n: Idu - grad u '

ds l

(7.23 )

G leic hung (7.21) kann altc mativ auch als Skularproduk t von zwei Spaltcnvektorcn angebcnen worden (Der Pun kt ». « zwi sc he n de n he ide n Spa ltenvektoren soli dabci das Skalarprod ukt zu m Ausdruc k bnngcn):

[" , ] [ ~ ] II ,{

du =

=

II..

d.r-l- /1-.1' dv + I/ .z dz

II ,Z

~

'-----.---'

Gr-~<.lj ell1

Ah,t~n<.l , \'Ckl<>r

Anmerkung: Nac h den Regel n der Matrix rechnung ware d ie obige Multiplika tion von zwei Spaltcnvcktorc n mitcinandcr nicht mog lich (wegen Dim cns ionsink om patib jlita t). Wen n mit dem Punkt " . " jcdoc h unmissvcr stan dlic h gcrnacht wird. dass cs sich ur n cin Skalarprodukt vo n zwci Vcktorcn handelt. da nn kann die Regel der Dim ension skom patibilitnt ignoriert werden.

lleispiel 7.29: Fur vcrscfucdcnc Skalu rfunktio ncn so il dcr Grad ient bcrcchnct werdc n. a) Tcm pcraturfeld: u =!(x. y. z ) = r + y2+ z2 am Punkt P = (xo. yo. zo) = (-1:2: 0).

gmd" ~ [:: : ] ~[ }:]

oder:

grad ll = 2xi + 2yj +2zk

A m Punkt P ergibt sich de r Gradient zu:

1 2 2 . (.-2 ) ] __ [ - 4 ] grad II(P) = 2 [ 2 ·0 o

odcr:

grad II(P) = - 2 i + 4 j

h) Flach c im Raum: 1I = !(x. y ) = _~ + y2. grad II = [

::~

] = [

~]

odcr: gradll =2x i + 2y j

7.7 Gradient c) Fluchc im Raum:

1/

= j (x. y )

289

=.r_ y2 am Punkr P = (xo.Yo) =(- I; I). oder:

grad /I = Zxi - 2y j

Am Punkt P crgibt sich dcr Gradient zu:

gmd.,(p)=[2(--(-1)]=[-2] 2) - 1 -2 7.7.2

odc r:

gradl/ (P ) = - 2 i - 2 j

Rlchtung des Orad fenten

Dcr Gradient ist ein \.H for. IUr den folgcndc fundumc ntalc Eigenschaft gilt: Der Gradient einer Skulu rfunktion zrigt immer ill Riclunng der griifJtell Funlaionsumahmc; odcr andcrs ausgcdrttckt : die Richntng ties Grudieuten jiiJIt mit der Richtung der griiJ.ltel1 Steigung der Stularfunkticm znsammen.

Die Richtigkeit diescr Aussage kann man sich mit Hilfe folgender Dberlegung plausibc l machen: Es wird dcr Gradient an cine m bclieb igen Punkt P bct rachtet. Ferner wird am P ein Abstand svek tor ds mit dcr Lange I
e e

Das totale Diffe rential du ist ein Ma ximum, wenn = 0 ist. d.h. wenn dcr Gradient parallel zum Vektor ds ist und in die g leiche Richtung wie ds zeigt . Da dcr Vektor ds so gewahlt wurde, dass er in Rlchtung der maximalen Funktionszunahme zeigt. folgt daraus die obig e A ussage .

7.7.3

Grad ient im IID-Ra um

Ocr Bcgriff des G radicntcn lasst sich ohnc Schwicrigkc itcn auf lID-Raum (n-dirncnsionalcr Raum) crwcitcm . Zwa r ist dan n cine visucllc Deutung des Grudicntcn nicht mchr mogtich. die math ernatische Behandl ung und die daraus folgcndc n Sch lussfolgcru ngcn crfolge n abc r analog dcm 3D-Fall. Die Skala rfunktion 1/

= j (XI ,X2, .. . ,XII)

mit Jl unabhangigcn Variablen lasst sich durch Einfuhrung des Vektors x = (XI , X2••.• bolis ch auch in folgendcr For m sc hrcibcn: /I

= j (x )

,X'I ] sym-

290

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

Ocr Gradient von 1/ ist gege ben durch folgc ndc Beziehung:

a"

ax , a f (x ) grad ue - ax

a"

~

clt 2

~[

(7.24)

Hejsplel 7.311:

Gesucht ist de r Gradient de r Funktion u = Variublcn am Punkt P = (2; I: 3; - I).

7.7.4

Xl

- X~ + X~ - X~ von vier unabhangigcn

Ocr Nabla-Opera tor

Der sog . Nahto-Operator '\7 (gesprochcn als »del «) ist einc Alternative zu dcr Tcxtform »graddes Grad icmc n. Abgeschen von dcr ko mpaktercn Schreib wei se, bietet V noch den vcrtett. dass er auch wic ein algebraischer Operator verwe ndet werde n kann und dadurch bei Umfonn ungcn VOIl G feichungen . in denen Orad tenren vorkonuncn. auc h seh r nutztlc h se in kann. Dcr Nabla-Operator im 30-Raum kaon in vcrschicdcncn Pormcn angcgcben wcrdcn:

na.a.a k " = - 1+ - ) + ax oy oz

oder

'\7 =

ode r

a ax

(7.25)

Man kann den Nabla-Ope rator wic cin algcbr uischcr O perato r auf cine Skalarfunktioo u = II = ! (x ,y. z) mit Hilfe des Nabla-Ope rators wie folgt bcrcchncn:

! (x,y, z) anwendcn. Bcispicl swcisc Iasst sich dcr Grad ient von grad 1/ = VI/ =

o. o . a- k) 1/ = -all.1+ -all.) + -all k ( -ax 1+ay- ) +oz ax oy az

cder:

7.R Richtungsahlcit ung

iJ iJx iJ ay iJ iJ,

grade =

u=

iJ" ax iJ" ay iJ" iJ,

bzw,

gradu = [

iJ" iJ" iJ" ax ay iJ,

291

]

Totales Differential im I1lJ· Ra um

7.7.5

Die Bestimrn ung des totalcn Differentials erfolgt ana log dem 3D- Fall auf Seite 288 . FUr eine Fu nktion m il II unabhangigcn Variablcn 11 = / (.>::1, .>::2, · · · •.>::,, )

crg ibt sich des totalc Differential fU r den Absta ndsvektor dr aus dem folgenden Skularprodu kt:

ds e grad u . dx =

(7.26)

ode r m il Hilfe des Nab/a·Ope rators:

(7.27)

Richtungsableitung

7.8

Wen n die Ableitung eine r Funktio n mi t mindcsten s zwe i unab ha ngigc n Varia blen in ci ner ga nz be lieb igen Ra umrichtu ng bcrec hne t werden so li, leistet der G radient schr nutzlich c Dic nste. In Bild 7.7 isl beis piclsweis e im Punkt P die Steig ung dcr Plnchentangent e in Richtung des vekrors m ges ucht. Es ist also erforderlich, die ers te Ableitu ng der Fu nktio n z = / (x,y) in Rich tung von m zu berechne n. Dieser vorgang w ird Richumgsahleitung gcuannt:

iJl

-

dill

(A bleitung vo n / in Richtung von m )

Die Richtungsableitung ist also ein Mall fllr d ie Anderungs rate ei ncr Fu nktion in ci ncr vorgcgcbcne n Richtung.

a) Rlchtun gsab leitun g fur den Fall lm i = I Die Richtung, in der w ir d ie Ablchu ng dcr Skalarfunkuon bcrechncn wolle n, sci durch den Ei nhcitsvcktor m, d.h. Lange Iml = I, gcgebcn:

m ~ [ m, ] Ill,

lm l ~

m,<2 + m."2 = 1

292

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

Die Kom po nenten

111,<

bzw. my des Vckt ors m entspriche n dcrn Kosin us de s Winkels y zwischc n

m und den positivcn Koo rdin atenuchscn .r bzw. v:

y" = L(m, x)

"'-t = cos Y,

Yv = L(m, y )

m,. = cos y,o

Die Able itung dcr Funktion f in Rich tun g des Einheits vektors mist ei ne skalarc Gr oBe und ergibt sic h uus de m Skalarprodukt

IiJm iJf

ee

grad j" > m

(7.28)

b) Rlchtungsablelt ung fur den Fa ll jml -:f:. I Es kann mituntcr vorkommcn, dass dcr Rich tungsvckto r m kcin Einhcitsvcktor isr. d.h. Iml =f. I. In die scm Fall muss m zunachst norm icrt (odcr »normalisic rt«) worden (vgl. Abs. 4.9.1. Scitc 140 ). Der nornuc rtc Vek tor m* ergibt sich aus:

• m m ~ Iml

mit

Im' l =

I

Die Richtungsablcitu ng im Richtung von m* (und folglich m ) wi rd dann bcrcchnct aus: -Jj = grad j ·m' = gradf · -m

am

1m!

of

om

gradJ · m ~

fur Iml =f. 1

Iml

Z- f(K.y)

-- I

, Bild 7.7: Zur Ablcitung in Richtung des vektors m

(7.29 )

7.R Richtungsahlcitung

Heisp id 7.31: Fiirdie darg(,sl('l1te Phir-he Z = j ( x, y ) =

a

? + y2

293

[Parahnlnid) sn ll de r Sl l.'ig u ngswinkd

dcr Tangcntc am Punkt P = (1: I: 2). dcrcn Projcktion in der .ry-Flllche para llel zum Vektor m = i + j ver lduft, bcrcchnct worden.

z

y

p,

'I

y

x

m=i+j

m=i+j

x Dcr Gradi ent dcr Funktion tauter (vgl. Beispiel 7.29 ):

Eine Normierung des Richtung svektors mist erford erlic h, weil Im [ i- I.

m = i +j

J , ~g"d, . m ~ _ ' Iml .,fi

a",

[2,]. (i + j)~ _.,fil [ Ix] 2y

2)

[ ] ~ v'2(x +y)

Am Punkt P = ( I ; I; 2) ergibt sich der Ste igungswinkel a der Flache in Richtung von m zu:

tan a =

a=

aIII'i/'

-a""

= v'2 (xp +yp ) = h ( I + I) =2,8284

arcta n 2 ,8284 = 70,5 0

Rtchtungsableltung im IID-Ra u m Es muss sich nicht zwangslaufig immer urn ei nen 3D-Raum handcln. d ie Richtungsab leitung lasst sich auch in cincm bclicbigen IID-Raum fur die Skalarfunktio n /I = j {XI ,X2, . . . , x,,) definicrcn . In dic scm Fall ist cine raumlichc Vorste llung dcr Ablcitungsrichnmg allcrding-, nicht rnchr rnoglich , man muss sich dan n die Funktion im Sir mc cincr Hypcrfl achc vorstcllcn. s. Scire 263 . m = [1111,1112" , . •"'II ]

Iml =

"'i +III~ + .. . + III~ = 1

294

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

Das wc itcre Vorgehcn crfolgt ge mab Glcichung 0 .28).

Nivcaulinicn und Nivea uffac hen

7.9

Nivea ulinicn und Niveuuflac hcn c iner Ska larfunk tion gcbcn di e Gesamthcit dcr Pun kte wicdc r. an dencn die sc Skalarfunkt ion ctncn kon stant cn Wen annimmr.

7.9.1

Nivea ul tnle n

Die Funktion z = f (x,y) beschrcibt cine bclicbig gekrunur ue H ache irn 3D-Raum. Bild 7.8 zeigt als einfachcs Beis piel cin e solc he Fllichc in Form eincs Paraboloids. Die sc Flfichc soli nun du rch ei ne zweite zur xy-Ebene parallcle ebe ne Flflche ::: = c geschniucn sein (c ist ein skatarcr Wert). Entlang der Vcrsch ncidungslinic ble ibt die Hohcnordinate dcr gekr iimmten Flachc konstant. Die vcr sch ncidu ugskurvc wird durch die Glci ch ung f(x,y ) = c bcschricbcn und wird als Niveaulillie {auch Hohcnlinic bzw. lso linic gc nannt) bczcichnct. Niveaul inic n im 3/J -Raum sind auf

o

-z

o

,

Hild 7.S: Sc hniuk urvc cines Paraboloids als Niveaulin ic

Skalarfunk tionen mil 2 unabhan gigcn Variablcn bcsch rankt. Sie sind Linicn . auf der aile Punk te mit dcm g leiehen Wert de r Skalarfunktion liegen. Es ist zwec kmul lig, sic h die Niveaulinic dc r Funkt ion z = f (x .y) auf die xy- Ebcne proj cziert vorzustcllc n. Die Bcsch reibung d iescr Linic kan n ex pliz it odcr implizi t erfolgen:

If (x ,y) - c I

bzw,

IF(x ,y) -

f (x ,y) - c - ()

I

Niveoulinie

(7.30 )

Niveaulinien kennt man im Alha g z.B. in Form von Hohenlinien in tcpografi schen Landkarten lsob urcn in w enerkarten (Linic n g leichcn Drucks) lsoth crmcn in dcr Buuphysik (Li nien gleicher Tempcratur) Ueispiel 7.32 : In Bild 7.9 ist ein elliptisches Paraboloid da rgestellt , das math cmatisch durch die G leichung z =.~ + y2 gege bcn ist. Dic ses Parabo loid cnrsteht durch 360 "- Drchung der

7.9 Nivcuulinicn und Niveaufl uchen

Kurvc z = .,..1 urn die z-Acbse und wird aJlgemein auch als mtationssymmetriscne Fluchc bczcic hnct. Die Nivcaulinicn dicscs Paraboloids ergcbc n sich aus dcr Bedin gung, dass dcr Funktionswcrt konstant blcibt:

f (x. y ) = .r +y2 = c Der Wert der Konstunte c hdngt vom aktuelle n Problem aboDie ob ige Gleichung der Niveaulinie n bcsitzt die Form einer Kreisgleichu ng. d.h. jede Nivcaulinic e ntspricht einem in dcr .rj- Ebcne liegenden Kreis vom Radi us r = .jC. r

,

" c

-,

"

,

-,

~~~
c,

, , , -, , b: Nivcaulinicn

a: Flachcnvcrlauf

Bild 7.9: Elliptischcs Paraboloid z = t '»..1' ) = .>? +/

Heispie I7.33: Nlvea ulinie n Bild 7. 10 zcigt d ie Raurnflbchc und d ie Niveaulinicn cines hvperbolischen Parabol oid s (Saltelj iiiche) mil dcr Gleicbu ng z = f (x,y) = xy. Die Niveau linien cntsprechcn dcr Kurvengleichung xy = c (bzw. Y = cl x ) und besc brcibcn Hypcrbcln in dcr xy-Ebcne .

~/ ./

-a

, -, a: 3D-Flache

a

a

,,

-, -,

-,

-, -,

,

I~

b: Niveuulinien

Bild 7. 10: Hypcrbolischcs Paraboloid z = f (x.y) = .rv

, ,

295

296

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

7.9.2

Orthogonalitat des G rad ienten zu Niveaullnle n

Zw ischen cmc r Nivcaulirue und dcm an dic scr Niveuuhnic bcrcch nctcn Gradicntcn (s oBild 7. 11) cxistiert folg cndc allgcrncin guttigc O rthogonnfttat :

Der Gradient eine r Skulurfunlaion If = f (x ,y) WI eine m bellebigen PI/Ilk, P = (ro. ro) stetu senkreciu, d.h. ist orthogonal . ;::11 der durch diesen Punta gehenden Niveaulinie diese r Funkuon. y

~V /···· ---------( '".'"

grad !

" ,!

.,

- ." -- . N; v eaUl i ~;~~" ;···, • •• --~-

'"

"0

grad f

BiM 7. 11; Urthu gonalitat zwisc hen Gradient und Niveaulinie

Wenn mit I der Tangentenvektor an ci ne Nivenulinie [ (x ,y) = c beze ichnet wird. so ergibt sich die Ableitu ng dcr Funktion f (x,y) in Rich tung der Tangente ge mlill GL (7.28) zu:

at at = gradf ·' Emsprechend der Definitio n eincr Niveaulinie linden sich dcr Funkrionswert entlang der Niveaulinie nlcht, folglic h muss die Ablei tung der Funk tio n in Richtung der Tangente Null sein:

af

a,

= grad f ., = 0

Das Skalarp rod ukt gradf ' l ist abcr dann und nur dann Null . wenn dcr Winkel zwisc hen dcm Oradientcn und dcm Tangcntialvektor 90° ist (zurn Ausschluss des Trivialfalls wird vorausgcsetz r. dass Igrad fl -l- 0, und 1/1-1- 0 sind).

Ueispiel 7.34:

Gradient

Ocr G radie nt der Funk tion f (x,y) = .\2 +

g,"dt~ 1i ]~ [~: ] [

i

lautet:

7.9 Nivcuulinicn und Niveaufluchen

297

=.r

Bild 7.9 zcigt die Nivcaulinicn der Funktion j (x,y) + y2, welchc Kreise mit + y2 = c sind. Wenn man de n Gradicnten filr vcrsc hicdc nc Punktc dcr Glcich ung auf c tncm dcr Kreisc bcrechnct und als Richumgsvcktor am jcweiligcn Punkt cintra gt. stellt sich hcruu s. dass dcr Gradi ent stcts senkrechr zur Niveaulinic gcrichtct ist (Bild 7. 11). Beispielsweise ergibt sich der Gradient fu r c = I (Rad ius g leich I) und P = (0 .707; 0 ,707 ) zu:

.r

, ,,, ,,

1.414 ] 1.414

y

-~::Z5 ·

-

,, ,1,, ,414 ,, , , ,: ,

,

..

.',-- ."

Niveaulinien <,'

Diescr Gradi ent am Punkt P zcigt also in Richtung dcr Winkclhalbicrcndcn zw ischen der positivcn .r- und j-- A chse.

Beispi el 7.35: G r adient steht senkrecht zur Niveaulin ie Fur das Beispiel 7.34 soli ubcrprutt werden, ob dcr Gradient uu suchttch orthogonal zur Niveaulinic ist, die durc h den Punkt P = (0.707; 0.707) gcht. Die Aussage »der Gradient ist orthogo nal zur Niveaulinic« bedeu tet, dass der Gradient ort hogo nal ist zur Tangente der Niveaulinie . Die Orie ntierung der Tangenre in der .ry-Ebcne IaBt slch tiber den Richrungsvektor v im Punkt P bestinuu en. s. (5.38) auf Seite 197.

mit Aus dcr Krcisgl cich ung _~ +/ = I , IIl(P ) = Y (P) =

- 0,707 1

) 1

0 ,707 12

III

= y' (P)

fclgt :

y=

, y =

vi I _ x 2

-x

~

= - I

Die Vektoren grad [ und v kon ncn nur dann ortho gonal scin. wcnn ihr Skalarprodukt verschwi ndet:

(grad j, V) p =[ : :: :: ] . [ . : ] = 1,4 14 - 1.4 14 = 0

./

291l

7 Diffcrentiulrechnung fur multiva riuble Punkuonc n

7.9.3

Niveauflachen

In stronger Analog ie 7.U Niveauhnien extsuc rcn im } IJ-Raum sog. Ni\'eal!!fiichen (Isoflachen). auf dcncn d ie Skalarfunktion 1/ = f (x.y, z) cincn konstantcn w ert bcibchah. Fur cine Nivea utliiche im 3 D~ Ra um gilt also d ie Bcdingung:

1[ lx" ,:) - cl

odcr

1[ lx" ,:I- <,- ol

Niveauftdche

Zw ischen dem G r adtente n und der Nivea utlache existicrt folgc ndc Orthogonatttat:

Der Gradient einer Ska larfullk/ion II = f (x ,y. a) WI eincm beiiebigen Punkt P = (xo, Yo. zo) stetusenirecht zu der (1IIn:1I diesen Punk t gehenden Nil'(,(lIIjfiiche dieser Funk/ion. Ueispi el 7.36: Die Tcmpe raturverteilung in ei ner Stahlk ugel, die in siedendcs Wasser eiuget aucbt wird, ste1lt beispiels weise ein Skalarfeld dar. Die Tem pcratur T undert sich in radia ler Richrung von Kugelobertlachc zum Kugelkern nach besnrn mten physikalischen Gcsetzmuaig keuen . isl abe r kugelsymmetnsch, d.h . hangt nicht vo m Umfangs- oder Azimutwinkcl aboDie verschiedenen Temperatursc hichten bildcn Nivcauftachcn (ma n kann sich lias als konzcntr isch angcord nctc Kugclschalcn vorstellen). Die Nivcauflilchc des Tcm pcruturfcldes ergibt sich uus:

T = f {x , y. e) = konst

7.9.4

Hestimmung de r Fhichennor male aus dem G ra d iente n

Fur die Bcstim rnun g der Normale einer H ache im 3D-RaUln wird die FHichengleieh ung in der impliziten Form bctruchtet (falls sic in der ex pliziten Form Z = f (x ,y) gege ben ist. rnuf sic zunuchst in d ie implizite Fonn Iransformiert werde n):

I F (x , y, Z} - c !

oder

IFlx" ,:I - c- o!

Dlese Fluchcngleichung cmsprich t in ihrem Aufbau exukt derje nigen ei ncr Nivea utlnche. Da dcr Gradient einer Nivcaul luchc stcts senkrecht auf d ieser steht. kann daraus gefolgert werde n. dass dc r Nor malc nvektor einer bcliebigcn Hache mit Hilfc des G rudie ntc n bcrcchnct wcrdcn kann. Voraussetzun g dafu r is! die Transformation dcr gcgc bcncn Flac hc in die Form ein cr Niveuutlac hc. so dass dcr Gra dient crm ittelt worden kann. Die Lang e (der Bel rag) des Grudieme n hnngr vorn jeweiligen Skalarfeld ab und wird im allgemcincn belicbig sein. Auf der anderen Seite ist es in der Ingenieurpraxis ublic h. die Fhtche nnormale durch cinco Einheitsvektor zu besc hreiben. Dcshalb ist cine Normierung des Gradic nten. der ja cin Vekto r ist, crfordcrlich. Die Beziehung zwischen dem Vcktor de r Plachcnnormalc n II und dcm Gradicntcn ergibt sich dunn zu:

n ~

gradF Igrad F I

Normalenvektor aufeiner Fldcite

(7,3 1)

7.9 Nivcuulinicn und Niveaufluchen

299

Anme rkung: Falls die raumliche Hache in expliziter Form dcfinie rt ist, z.B. z = j (x ,)') , wird sic zunac hst in d ie implixitc Form F (x , )'. ;') ="- j (x ,y) = 0 geb racht. UeispieI 7.37: Nermalenvektor Bild 7. 12 zeig t cine Kugel vo m Radi us R , dcren Gleic hung wic folgtlautet:

Mit H ilfc der G leichung (7.3 1) so li dcr Nonnalcnvekto r n auf dcr K ugclo bcrtfnchc

I'

n

y

Bild 7.12: Normnlcnvcktorcn auf ctncr Kugclobcrtlftchc ( 7 U Beispie l 7.37 )

bcrcchnct werden.

Die Kugelobcrfl achc ist cine Niveauflachc. wei! aufi hr die Skalarfu nktio n F(x,y, z} = j x2 + y 2 + Z2 einen kon srante n Wen . namhch den Radiu s R , bes itzr. Dcr Grad ient vo n F(x ,y, z) auf der Kugelober flache ergibt sich zu:

grad F =

JF ax aF ay aF a,

x

.r

j x2 + )'2 + :::2 y j x2 + y2 +:::2

R

r

z

z

j x2 +y2 + :::2

Die Lan ge des Grad ientc n bctrttgt:

Igrad FI = Der Nor rnalenvektor n erg ibt sich somit zu: gradF 1 n = Igrad FI = R

X]

[ .~

R R

-

I

R

[~ ]

3lKl

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

7.9.5

Niveauflachen im IlIJ-Ra um

Nivca utfachen sind nich t unbcdin gt auf den 3 1J~ Rau lll bcsch ran kt. Auch tur cine Skalartunktion mit n unabhangig cn Variab lcn. 11 = f (XI ,X2, .. . ,XII ) ist cine Nivcauflitchc dcfinicrt . Ma n kann sic sich jcdoch nic ht mohr als raumlic hc Flachc vorstcllc n, muss sic viclmchr als c ine Hypcr flachc dc urcn (siehe auch Scire 263) . Ueispiel 7,38: In dcr Fini te Elem cntc Methode dcr Strukturmcchanik (FE M ) wird das Tragwerk m it Hilfe von Knoren in zusam mcnhcngc ndc Eleme nte unterteilr. Dad urch cmstehen " Preihcitsgrnde, von de nen jcder die Bedeutu ng eincr unab hanglgcn Variab le bcsitzt. Des Potent ial n de r uuserc n Lasten ist eine skala re Funktion, die vo n de n Freiheitsgruden. d.h. von den Verfor mu ngen des Tragwerks, abhangt.

Aile moglichcn Kombi nat ioncn von /I Fret hcitsgradcn . in dcncn d ie Pot cmi alfu nktion n de n gleichcn Wen annimmt. bilde n zusamm cn cine hyp ergeometrlsch e Niveauflaehe.

7. 10

Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen

7. 10. 1

Funklionen mit zwel unabhangfgen Variablen

1m Abschnitt 6 .11 wurdc geze igt. dass die lokalen Extremwerte einer Funktion mit nur e incr und f" beunab hangigcn Variablen y = f (x } mit Hilfe der crstcn und zwcitc n Ableitung stimm t werden konncn. Die Bcstim mung dcr lok alcn Extrcmwcrte ci ncr Funkt ion mit zwei unabhangigcn Variahlen z = f (x ,y ) crfclgt prinzipiell zwar ahnlic h. im Detail gibt cs j edoc h ci nigc

r

bcdeutendc U mcrschicdc .

Damit einc Funktio n z = f (x,y} lokalc Extremwerte bcsitzt. musscn zwei notwendlge Hedtngungen cr fllllt werden . (7.32 ) Dicse heiden Bedingungen Herem zwel Gleichunge n mit zwei Unbekannte n. Die Losung dieses Glelc hungssysrem s (welches aber keine swegs linear sein muss) liefert d ie Posit ion(en) dcr lokalen Extrem werte P = (xo.yo), Je nach Aufgabcnstellun g kann die Anzahl die ser Positionen zw ischen Null (kcin Extrcm wcrt ] odcr uncnd lich (z.B. bci tng o nomc trischcn Funktio nen ) licgcn . Nachdcm man aus G leichung (7.32 ) die Position dcr Extrcmwcrtc crmitt clr hat, wird die sog . Hesse-Matrix H auf'gestcllt: (7.33 ) Die Elc r ncme von H sind Zahlcnwertc dcr zwcitcn particllcn Able itun gen der Funktion z =

f (x,y) an der Stelle P = (xo, Yo ), Die Hesse-Matrix H ist synenetrisch, d.h. cs gilt 11 12 =

112 1,

7.10 Extremwcrt e von Funktinncn mchrerer vari ablen

}Ol

Die Dctcrm inuntc IJ dcr Hesse-Matrix H ist:

D = det H =

IHI =

hi ] . tvn - " ]2 ' " 21 = f .x.r{xO ,YO) .!. yy(XO.YO) - f ';.J l"o .yu )

Ocr Typ des lokalen Extremums. d.h. Maximum oder Minimum, wird schlicBlich mit Hilfe folgcnder Kriterien besti mr nt.

l

/J > 0

Wenn

und !-u (xo.)' o) > 0

: Minimum

D >O und !-,.,(xo.)'o) < 0

: Maximum

/J
Sauelpunkt

D= O

::'1I.~iit:.lidu'

(7.34)

Analysennotwendig

Betsplel 7.39: FU r die in Bild 7.13 dargestellte Funktion z = sinx + siny soil das lokale Extrem um im Bereich 0 ::; x :::; lC und 0 :::; )' ::; lC bestimrru werde n.

_~

_5

Bild 7. 13: Funktion == sin x + sin y Zunachst wcrdcn d ie particllcn Ableitungc n I. Ordnung gcbildct.

!.,I' = cos )'

!-r = cosr

Aus den notwe ndigen Bcd ingungen f .x = 0 und die Extrema lposition:

cosr = 0

n

=> xn = 2

cos y =O

1..,-= 0

de r Gleichung (7.32) folgl

•

=> Yo= '2

AlIll1erkllng; Von den uncndlic h viclcn pcriod ischcn Extremal-Positioncn (wcgcn Ko-

sinus) wird in die scrn Beispiel nur d ie ullcrcrstc Position beriicksichtigt. Die Hesse-Matrix H ergibt sich zu: !-u = - si n .c

f .ry = f _,y = 0

1..')' =

- siny

!. ..,.,.(xo.)··o) = - sin!!.2 = - I

302

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuon cn

H ~

- I [

o

Der Typ des Extremums ergibt sich aus G l. (7.34) : D= I > 0

==> Ma xim um

Die Fun ktion L » smr q-xinj- besitzt also an dcr Stel le P = (ltI2. lt/ 2) ein Maximum mit folgendcm Wert:

Zmax= [(Xo, y())= si n ~ + si n ~= 7. 10.2

1+1 = 2

Extrem wer te von Funktionen mit Nebenbedtngun gen

Die im vorigc n Ah schnitt bchandclt e Losu ng dcr Extrcmwertu ufgube Iilr dic Funktion Z = [ (.r.y) cnthalt w crtcpaarc in dcr Form (xo. yo): d ies sind Punkte in dcr .rj-Ebcnc. an dcncn die Funktion

z = [ (x,y ) ci nen Extrcm wen bes itzt. Falls zusatz lich noc h gcfordert wird. dass d icsc Losu ngspunkte auf einer Kurvc Iicgc n musscn, die durch die Glcichung cp(.r ,y) = 0 gegebcn ist. spricht ma n VOIl ei ncr Extremwertaufgabc mit Nebenbcdingungen . Zur Lo sung einer Extrem wertaufgabe mit Ncbc nbedin gu nge n kc nnte man d ie Glcichung dcr Nebcnbcdin gung tp (x. y) = 0 nach eincr dcr bcidcn Var iuhlcn auflbse n und in d ie G lcich ung z = [ (x,y) ci nsetzcn. so das s cine Glcichung m it nur noc h c tncr Variable vort icgt. dcrcn Extremwcrt nach Abschnitt 6 bcstim mt wcrdcn kunn.

La grange-M ultiplikat or.1\t eth ode Eine clcgarn crc Methode als dcr oben bcschricbcnc Weg bict et die Muttiplikator-Methode von Lagrange. Bel diescm Verfahrcn wird durch L tncarkombtnauon der Funktionen [ (x ,y ) und cp(x,y ) cin e neue kunstlic be Funktion L(x,y, A) , die La grange-Funktlon dcfinicrt:

L(x,y, !. ) ~ ! (x,y) - !.

~ (x, y )

Dcr Parameter A ist der unbckunntc La grange-Multlpllkater . Die Ext rcrnwcrtc dcr ursprunglichen Funktion [ (x, y) und dcr Lagrungc-Funktion L(x,y, A) sind idcn tisch. wei! j a dcfinious gcmall stets cp (x,y) = 0 gilt. Die notwendfgen Bed in gunge n fur die Existcn z cines Extrcmwcrtcs der Lagrangc-Funktion crgcbc n sich zu:

L.1 = [ ., - O· cp (x, y) - ). tp., = f., - ). CP., = 0 Ls = / .1" - 0 · cp (x. y) - A CPs = [s - ). cp..\" = 0 L.A = 0 - 1 . cp(x,y ) - ). · 0 = - cp(x ,y ) = 0 ta uromansch crfullt)

(7.35)

Die Aurlos nng dicscs Glcicbungssystcm s liefe n die Positioncn dcr Extrcm wcrt e von [ (x ,y ). wobci d ie Nebcnbcdi ngun g cp (x, y ) = () dabci uuromatisch crfUllt wird .

7. J 0 Extremwcrte von Funktinncn mchrerer varia blen

303

Aus den bcidcn crstc n Beziehunge n in (7.35) erhalt man :

f .r - A cp... =

"0"

{)

I.." - A CP.y =

()

Glcichset zen der A-Au sdriick e liefert eine Best immu ngsgleichu ng: (7.36) Das Lagran ge-Multiplikato r-Verfahren Iasst sich w ie folg t zu sammenfassen :

La grunge-Multiplikator-Methode fur z = f (x. y )

z ~ i (x..")

Funkriou . dcren Extremum ges uc ht is!

Nebenbedingung

Bcstinun ungsgleich ungcn:

f ...

= f .'"

!P.t

CP.)"

(7.3 7)

~ (x ..") ~

0

bzw. f..,, ~A

CP..'"= o

Beispiel 7...111: Mit Hilfe dcr Lagran geschen Muhiplikarorruethod e so li dcr Radius r und die Hohc II einc s zylindrisch en Behal ters (z.B. einer Konservendose) berechnet werden . damit cr bci gcgcbenem Volumcn Vo die klein stmogliche Obcrt tnch e A besitzr. Die

7U

- -

minimicrcndc Fu nktion dcr Obcrtlhchc lautet:

21C,.1l

+

Mamel tlik he

21Cll

o.,~keln ikhen

Die Nebc nbedin gu ng liegt in Perm des gcgcbcnc n Vol umens "ll

VOT:

Die Anw endu ng dcr Glcichung (7.3 7) liefcrt :

I r =21rh + 41rr 21Ch +41Cr 21rrll

21Cr 1Cr2

fI, = 21rr =}

rp,r = 21rrll

1I =2r

Die Hohc des Behaners muss also gleich dem doppelten Radiu s sci n. Nach Substituti-

3U4

7 Diffcrentiulrechnung fur multiva riuble Punkuonc n

on von h = 2r in dcr Nebcnbcd ingung erhalt man:

1C? 2r - Vo = 0

;=}

h= 2

Jrv;;

V2ii

Ftir ein Vo lumen von L B. \t() = 1000 m- ergebcn sich: r = 5,4 19 m und h = 10.838 m. Die Obcrflachc bctragt A = 21Crh+2 ' 1Cr z = 21C ' 5,4 19 · 10 .838 + 21C' 5,4 19z = 553.5 mZ. FUrjedc andere zulassigc Kombi nation von r und II ergibt sich eine groBere Obcrtlachc. Bci gleichcm Volumen Vo = 1000 m3 und vorgcgcbcncm Radius r = 8 m wurdc sich z.B. die Ohcrfl achc An = 652 . 1 mZ crgcbcn.

7.10.3

Extremwerte von Funk tionen von

/I

uneb ha ngfgen Va ri ab len

Die Krite ricn in GI. (7.34) zur Bestimmung der Art des Extrem um» lassen sich nicht auf Funkuon en mit mehr als zwei unab hangigen va riablc n anwcndcn. Daher benot igen wir cine andere Methode, die fllr jede bel iebige Anzahl von v ariable n funktioniert . Die natwendige Beding ung fur die Existcnz von Extrema dcr Funktion

mit

/I

unabhangigen Variab len ist dus Verschwinden des Gradiemen :

Igrad ll - grad f _ 0 1

(7.38)

notwcndigc Bedingung

Dtesc Bedingung ist gleichbcdcutcnd mit der Forder ung, dass snmutche part icllen Ablcitu ngcn ersrer Ord nung vcrscbwindcn mussc n: 11. 1"

(7.39)

= f ..t" = 0 1

Hinwe is. Diesc Bcd ingungcn sind zwa r notw cnd ig, abcr noch nicht hinrcichcnd fur die Exis tenz von Extrema. Die Losu ng der Gleichung (7.39) liefert die Position XU = [xV, ii, ... , .\~I lm n-dimensio nalcn Raum, an der die Funktion ihr Extremum hat (nararllch so fem dies ubcrhaupt existiert ). Stall nur e iner Position XU kann es naturlich problernabhungig uuch rnchrerc Positionen X O,x l ,x Z•• • • gcbcn. wo die Funkt io n zum Extremum wird. Als nachsrcs muss die Hesse-Matrix H an der Position Xl aufges tc1lt worden (vgt. auch Abschnitt 7.10.1): hi] H ~

li z]

h Il l

"12

hl /l

"22

h Z/I

h.a

s;

mit

"ij =

;:P f f .I,:<j(x o) = ~

I

x, xJ i l

(7.40)

1m nnchstcn Rcchcn schriu muss die Defi nisbe it vo n H bestim mt werden (fur Dclinitheit von Matr izen vgl. Absc hnitt 11.7.1 auf Seite 547) .

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

Dcr Typ des Extremw crtcs dcr Funktion tcrie n bcstimmt:

Wcnn

1/

= / (XI , .1:2, ... ,X,,) wird mit Hilfe fol gcndcr Kri-

H posittv detinit

: Minimum

H ncganv dcfinit

: Maximum

H iudefinit

: Sattelpunkr

H semi-definit

: zII su1zliche Unters uchungen notwendig

l

}05

(7.4 1)

Falls H posinv semi-defmit odcr negotiv semi-defmit lst. kann kcinc Aussage ubcr die Art des Extremu ms gemncht werd en. In solchen Fallen sind we itergehende Untersuchungen mil Hilfe von Taylor-Reihen not wendig .

7.11

Zuslitzllche Beispiele Partielle Ableitungen

lIeispiel7A I :

' ~ f(x. ,.) ~ x' +y' + 10

:_t= 2x : _~T = 2 Z .)'X

eo

:,y = 2 y z...y = 0 z,))' = 2

=0

" '"o • lIeispie l 7.42:

Partielle Ahleitungen Z ...

= (1-

2J:2 ) (' _ x 2_ y 2 , ,

z \' = - 2f \' e -~- -"-

z:u = ( _ ~r+ 4.rl) e-·r -.

I .2

., y

c

,,

o

,

.,

.,

Z_w = (4.~ y - 2y) e _-,2_ y2 z..\.,.\ = (4.~.\' - 2\') . e - ·.-2 - .l'2 :'.1'.1'

,

= (4xr - 2f ) e - ·r - .I ~

.2

306

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Hdspid 7.43: Partielle Ahleltungen z., = _ 4x 3y2 z = f (x, y ) = - x'" y2 + no

= _ 12x2y 2 f yx = - 8x\

Z.u

\ c

y

c

, ,

HeispieI7.44:

z., = _ 2x 4)' . Z .I 'I' =

- 8..\

1. .1'.1' ,;" _ 2 \,4

-a

x

Partielle Ableitungen

Ze igen Sic. dass d ie Funktion z = f (x,y) = In(x + }') die Gleic hung .r l .t + Y l.y = I er fiilh . Zunach st werde n die partiel len Ableitungen dcr gege benen Funktion gebilde t: I

l r = -

.

l,· = -

-

x +y

"

-

x+y

Das Einsctzcn d iescr Ausdruckc in d ie Glci chung .r l ..l" +Y

x

r

x+y

x+y

x +y

x+y

- +--- ~- = I

Hc-ispieI 7.4S:

l .y

lic fert:

/

Llneartslerte Hohenanderung

Die Hohcnkoor dinate dcr untcn dargstellten gekrurn ntten 3D· FHiche lst durch d ic O ld chung z = f (x , y ) = e-xy' geg cben. Die momcntanc Position auf dcr Flache sc i P = (4: 8; ;:1' ). Nun wird ein undcrcr Punkt Q = (4, I; 8 + L1y ; l P) betracht et (Q besit zt also die gieiche Hohcnkoordi natc wic Pl. Es soli mit Hilfc des totalcn Diffc renzials der erfordcrlic hc Bctrag.1y bcrcchnet worden . danut Q tatsachlic h die sclbc Hohc bcsitzt wie ? 0.' OA <

0

- 0.4 ."

o

,,

,e

,w

e

, "

0

,' ,

Die Iincar iscn c Hohcuandcrung dz crgibt sich aus dcrn tota lcn Diffcrenzial:

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

}07

vo ruussetzungsge ma u soil die Hohcnandcrung glcich Null sci n:

=> 0 = _ e - 4 . gJ .O.l + 3e - 4 . g2 .1y

d::: = O

=> .1y = 0 .2667

Wenn d ie aktuelle Position slch um den Betrag .1x = 0 .1 in .r-Richtung ande rt. muss man glelchzeitlg eine Posltto nsanderu ng in y-Richtung um den Betrag .1y = 0 .266 7 vomc hmc n. darnit d ie Hohc nord inutc z unverandert bleibt. Die cxaktcn Hohcnordinatcn an beidcn Postnonen sind :p ~ f (4; 8) ~ 9.3 776

' Q ~ f (4 . 1; 8.2667) ~ 9 .3624

Dcr relative Fehler der lincurisiertcn Bcrcch nung bctragt :

Erel =

lIeispi eI 7..a6:

9.3776 ~ 9 .3624 1 ·:\ = 0 .00 16= 0. 16% 9 .• 776 1 Totales DilTeren tial ( vol ume nanderung)

Ein zyli ndrischer Behlilter bcsitz r den Radius r = 3 m und die Hohc 11 = 8 m . Bercc hncn S ic mit Hilfc des totalcn Differentials die v otumenanderung des Bchaltc rs, wenn man d ie Hohc O.IOm vcrringcrt und glcic hzcitig den Radius urn 0. 3 m crhoht. Bcrcchnen Sic den rc lativen Fchlc r Ihrcr Losung gcgc nubcr dcm oxakten Wert dcr Vofu memtndcru ng.

Ldsung: Dus Volumen cines krcis zylindrischcn Bchahc rs bctragt V = 1Trli . Das totnlc Different ial des Volumens lautct:

av

av

dV = Jr dr + 7ih dh =21rrll dr + 1r?dh Mit den gcgcbcncn Za hJcnwcrten ergibt sich die lincarisic rtc Volu mcn andcrung zu:

,

,

dV = 21r ' 3 ·8 · 0.3 0 + x - 3- . (-0. 10) = 42.4 12 '11"

Die exuktc Volumcnandcrung crgibt sich aus dcr Diffcrcnz dcr Volumina vor und nach dcr Andcrung der gcomct rischcn Abmcssungcn: Volumen vor Andcrung dcr MaBe

VI = 1r(r +dr)2(h + dll) = 1r{3 + 0 .3)2(8 - 0 . 1) = 270.274 rrr' .6.V = VI - Y{) = 270 .274 - 226. 195 = 44 .079 rrr'

Relativcr Fehler:

£

r

~

Id V - 6 V 6V

I~

Vol. na ch Mullanderu ng

vclumcnandcrung

142.4 12 - 44 .0791 = 0 0378 = 3 78% 44 .079 . .

30!!

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Hdspid 7.47: 'Ietales Differentia! (Bewegung) Einc raumlich gc kriirnrn te Ftacbc im 3 D kart cvischen Koo rd inutc nsycte rn ist du rch d ie Glcichung :(x , y) = 5 In{2.t.2+ l ) gcgcbc n. Am Punkt P = (5; 6; 22.27) auf dicscr Flachc bcfindet sich cin Kerpe r. Nun bcwegt sich dcr Kerper urn 0.7 Langcneinhcitcn in x-Richtung (d.h . dr = 0,7). Bcrecbncn S ic mit Hilfe des totulcn Differentials. um wicvic l Einhciten sic h dcr Ke rper in y- Richt ung bcwcgcn m ussrc (dj- = ?). damit seine Hohc z unvcrandcrt blcib t. Losung:

=> dz= 2 ~

5

~(4x d\' + 2.\' dy )

\'~ + y ~

20

d: =O = 2 5~

. - + 6~. (4 . 5 .0 . 7 + 2 . 6 . dy)

=> 4· 5· 0.7 +2 · 6 ·dy = O

dy = -l,l 7

Beispiel 7.48:

In var iant. des hydrostatt scher Druckes Hvdrostanscner D ruck. In cincm kreiszylindnschcn Schaller bcfindct sich cine Flussig kcu. Die bydrostatischc Druck vcrtcihmg kann im kartcsischcn .eyz-Kooordinatcnsystem odcr im zylindrischen r tp: -Koord inatcnsystclll bcscbricbcn werdcn: p = g(r. tp. z),

p ~ f(x, J, ' )

Mcssungen zeigen. dass dcr hydrostaus che Druck an eincr bclicbigen Behalterposinon nur von dcr Ftusslgkeirshohc abhangt und nicht von dcm verwcndctcn Koordinatcnsystem. Deshalb liefem die beiden Gle ichungen obc n stcts den gleichen Druck. Oil.' hydrostatische Druckfunktion p ste1 lt also ein Skularfeld dar. das invariant gege nuber einer KS-Transformation bleibt.

Hdspid 7.49: Invarianz des Ahsta nds zwischen zwei Punkten Es werde n zwei Punkte P = ( X l . )' l. zr) und Q = (.\'2 •.\'2 , .:':2 ) im karteslschcn Koordinatcns ystcm bctruchtct. z

, Q

t,

,

,

, Der Abstand L zwischen ihnen wird durch folgende Skalarfunktion bes tirnrnt.

7. 11 Zusarzfiche Bcispicle

}09

Ocr Abstand L musstc nach Erfahrungcn des Alltags vollig unabhangig davon sein. in welchcm Koordina tcnsystcm die Punktc P und Q dcfinicrt sind. Es soil in dicse m Beispiel ubcrprtlft worden. ob L tatsachlic h invariant gcgcnuber cmcr Koordinatcntra nslation. d.h. Parullelvcrschicbung des Koordtmucnsystcms. ist. In einern neuen kartesischen .t y I- Koordina tensystcru. des gegenubcr dem .evz-System um die Betrnge d . b und c parallel verschoben ist (jcweils in positiver Richtung der Achsen .r. y und z), besitzen die Punkte P und Q folgende Koo rd inaten:

Ocr Abstand L im .t YZ- Koordinatensystcm crgibt sich zu (s. Scitc 185):

L = V (X2 - XI )2+ (Y2 - YI)2 + (Z2 - zd 2

= / [(X2 ~ ,,) = V (X2 -

~ IXI ~,, )J' + IIY, ~ b) ~ (YI ~ b)J' + [I" ~c) ~ III ~ c)J'

xil 2 + (n - yd 2 + (Z2 - zd 2

Ocr Abstand L im .ty ::-KS ist also identisch mit de m Abstand cr ist invariant gegcniiber Koo rdinatcntranslation .

Bejspl el 7.50:

L im .rj'z-Sys tem. d.h .

Gesc hw indigkeitsfdd ist kein Ska la rfeld

In dicscm Beispi el wird gczcig t. dass d ie Geschwindigkeit c ines sich bcwcgcndcn Korpcrs kein Skalarfeld durstellt (s. Bild 7.( 4 ), Es wird cine kreisfc rmige Scheibe vom

z

,

y

Bild 7.14: Gexchwindigkeit einer rorierenden Scheibe

Radius (/ betrachtet, deren Mittelp unkt auf der z-Achse liegt tz-Achse steht senkrecht zur Scheibe), Die Scheibe rotiert mit konstcnuer Winkelgeschwindigkeit w urn d ie zAchse (in positiver z-Riclu ung gcse hcn erfolgt d ie Rotation irn Uhrzeigersinn), Es soli untcrsucht worden. ob die Geschwin digkcit eines Masscnpunktcs P am Scheibc nrand invariant gcgcnubcr dcr Wahl des Kcordinatensystcms ist. Die Umfangspos ition von P isl d urch den Winkel f/l. der von der .r-Achsc aus gemessen wird. eindeutig bestimnu. Der Winkel f/l ergibt sich aus dem Prod ukt der

3 10

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuon cn

Winkclgcschwindigkcit

W

und dcr verstrichenen Zeit t:

cp = W I 1m zylindrischen r cpz-Koo rdinatensystem ist die tangentlale Bahngcschwindigkc it de s Punktes P in Umfangsrichtu ng unabhan gig vo m zurilckgelegten Winkcl cp und ergibt sich aus folgender Formcl: 1'/ =a W

(\'/ : tangcntialc Bahngeschw indigkcit in e -Ric bum g)

1m kartcsischcn .rj-z-Koordinatcnsystcm sind die Gcschwi ndigkenskomponcn ren \'.. und \'y durch folgendc Beziehungen gegeben: I'.T = - 1'/

\'.1'

=

1'/

sin cp =

cos cp =

- (/ 00

(/00

sin cp = - aw sin Wt

cos cp =

(/00

cos Wt

(Gcschwi ndigkcit in x-Richtung) (Geschwindigkeit in y-Richtung)

Aufgrund dcr Ausdru cke sin Wt und cos Wt boxitzcn die Gcschwind igkcitcn I'.T und l'y zu vcrschicdcncn Zcitpunktcn vcrschiedcn c Zahlenwcnc. d.h. die Geschwindigkcit des Punktes P stcllr kcin Skalarfeld dar. Auch aus dcr Kinematik (ein Tcilgcbiet der Meehanik) ist wohl bekann t, dass Geschwindigkeit kein Skalar sondcrn ein Vektor ist (man spricht vom Geschwindigk eitsvektor s, folglich kann auch kcin Skalarfeld vorliegen.

Heispi eI 7.51:

Ort hogo nau tat zwischen G ra dient und Nina ulinie

Die Funktion .~ + )'2 = e stell!einen Kreis in der xy-Ebcne dar. Es sel l gczeigt werden, dass dcr Gradient d iescr Funktion stets orthogonal. d.h. senkrecht. zum Kreis gerichtet ist (vgl. auch Beispiel 7.34). Ocr Gradie nt dcr Funktion f (x.y ) = x 2 + l

lautct:

g"df ~ [ ~ ] Ocr Tangcntcnvektor 1 dcs Krcises lautet

. /

~x

. = c~~ ";e _ x2

nut \'

Oer Gradi ent steht nur und nur dann orthogonal Win Kre is. wenn dus Skularproduk t des Gradientcn und des Tangentenvektors an den Kreis fur jcdcn bclicbigen Punkt des Krcises glcich Null ist. gradf · ' = 2r · I + 2),' ( - x/ V e - x 2 ) = 2 r · I + 2),' (- x/)') = 2x -2r = 0 /

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

Heisp id 7.52:

31 J

Rlcht ung sab leit ung

=.r

=

FUr das dargestellte H ache z + i (Paraboloid) soil am Punkt P ( I; I ; 2) die Steigung der Flache in Richtung des Vektors m = i - j berech net wcrden. Der Gradient dcr Funktion z = f (x.y) = .?

+/

lamer (vgl. Beispiel 7.29 ):

z

J

y p

grud z ee

,

[::, ] ~ [ ~] y

, Eine Norm ierung des Riehtungsvektors

m isl crfordcrlich. weil Iml -#

I.

Die Ric htungsableitung von z in Richtung vo n m ergibt sich zu:

a, _gmdImlz,m -_ _'J2 am -

[2x2y ] , (i - j') -_ _'J2 [2 ,], [- 'I ]~ J22 (.< - )') 2)'

Am Punkt P bcrrngt die Steig ung in Richtung von m :

a = arctan 0 = 0" a = 0 0 besagt. dass am Punkt P die Fluche in Richtung des Vektors m Null Stcigu ng besitzt.

uetsplel 7.53:

Richtun gsa bleit u ng

Die Funktion z = [ (x . y ) = IOOO e - (·r +.,.1 l/ 20000 soil das Hchenprofll cin es Berges beschreiben. wobci .r die Koordinate in w cst-Ost-Ric htung und y die Koordinate in SUdNord-Richtung und z d ie Hohcnordi nate bedeuten sollen. Die r noruentane Position sci P = (x, y ) = (50,50 ) . die Hohcnord inatc am P helragt also z = 1 ()(X) e -( 5(~ + 5()2 )/2(Km = 778 .8//1 .

Gcsuch t ist die Stcigung des Bergs am Punkt P in zwc i vcrschicdcncn Hirn mclsrichtungcn :

3 12

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

, a) Ric htung We.f t-Os/ hj Richtu ng Siidwest-Nordast

Zur Bcrcchnung des Gradicntcn worden die partiellen Ableitungen gcbildct:

Daraus ergibt sich dcr Gradient zu: grud z = Z.x i + z.).j = - 0,1 e- (r +.l,2 l/ 2(KIW(x, i + v' j )

Am Punkt P = (50; 50) lautct dcr Gradient: l

grad f (P) = - 0.1 e - (5(j2+50 l /2IKKKl (50 , i + 50· j ) = - 0,0778 (50 · i + 50 , j ) = - 3.894 (i + j )

a ) Richtung West-OH: Dicser Himmcls richtung entspricht folgendcr Richtungsvektor m :

m = l · i + O· j = i Die Steigun g und der Sieigungswinkcl am Punkt P in w est-Ost-Rich tung ergeben sich zu:

~f

0 111

(P) = gradf (P) , m = - 3.894 (j +

n-! =

- 3.894 + 0 = - 3.894

::::} a = arctan( - 3,894) = _ 75.6° h ) Richtung Siidwest-Nord ost:

Dcr dic scr Himmc lsrichtung cntsprcchcndc Richtun gsvcktor lautct :

m = l ·i + l ·j =i +j Der Vcktor m ist kein Binheitsve ktor, so dass eine Normier ung erforderlich ist:

m'

~ 1: 1~

::z ~ 0,707 (i +j )

Die Steigung und der Steigu ngswinkel am Punkt P in Sudwest-Nordost-Rlchumg

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

sind da nn:

J

amJ (P) ~ gmdJ (P) ·m' ~ - 3.894 (I + j l ·0.707 (I + j l ~ =}

- 3.894 ·0.707 (i + j ) . (I + j ) ~ - 3.894 ·0.707 · 2 ~ - 5.51

a =arctan (-5.5 1) = -79,T'

Allmerklmg: Die Sudwcst-Nordost- Richtung ist also mit cincr gcringfUg ig groBcren Stcigung vcrbundcn als d ie w cst-Ost-Richumg . Die ncgativcn Vorzciche n dcr Stcigu ngen ruhre n aus dcr Tatsac he, dass dcr Richtun gsvektor m j ewcils in positive Koordinatcnric htun gcn zcig t und bci Bewcgung in dicscn Richtun gen die Hohcnc rdinatc des Berges abni mm r. Heispi d 7,54:

Rlch tungsableltung

1m 3D-Raum ist cine Flilche durch d ie Glci ch ung z = [ (.r.y) = x 3 - .~y +xi + xy gcgcb cn. Wir bcfindcn uns auf dcr Flachc am Punkt P = (2: 3: 20 ). I. Berechnen Sle den Steigungswink el dcr Flachc z = [ (x. y ) in R ichtung des vektors m = - 3i + 4/ Lasung:

grad[· m

(J[ ~

(Jm

Iml

,

!.,. = - x-+ 2ry+x

f.r =3~ -2ry +y2 +y

f ,x{P) = 3 ·4 - 2 · 2· 3 + 9 +3 = 12

gradf =

f.y(P ) = - 4 + 2 · 2 · 3 +29 = 10

2 [f'] ~ [ 3X - 2\"y+ i +y] h - .r+ 2ry+ x 1

gradf (p ) =[J,, ]

t,

p

~ [ 12 ]

I ml~ V/( _3)2 +42~ 5

gradf. m = 12. (-3 }+ 1O .4 = 4

10

aJJ ~ 4/5~ 0.8 11/

Ste igun gswink el der H ache in Richtung von P :

Heispi el 7.55:

a = arctan 0 .8 = 38.66°

Rich tungsableitung

1m 3/J- Raum ist cin e Fliiche durch d ie Glci chung z = f (x.y) geg chcn. Ermittcln Sic am Punkt P den Stci gungswi nkel a dcr Flachc in Richt ung des Vcktors m.

z= f( x. y)= x sin(2r+2y)

p = (xu:Yo: :'0) = ( 1C / 2: 1C / 2: 0)

m = 3i + 4j

313

3 14

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

Losung:

af

alii

gradf · m ~

gradf = f .1i +/.\.j

1m]

/. ,. = 2x cos (2 \" + 2y)

/.[ = sin(2\' + 2)') + 2 \" cos (2\"+ 2y )

f ., lp = sin(1t+

Jr)

+

Jr

cos(1t+ 1t) = 0 +

gradf lp = Jr i +1t j

1t

/.yIp = 1t cos(7t+

= Jr

Jr)

= n

gradf · m = Jr · 3 +1t ·4 = 71t

af

ex = arctan 4.39823 = 77. 19

0

.,~ 7 " / 5~ 4 .3982 3

am

IJeispieI7.56: Nermalenvektor zur Ntveaulinle bzw, Nivea utta che Mit Hilfe des Gradienten soli der nonnierte Normatenveuor n am Punkt P zur je weiligen Niveuulinie in dcr xy-Ebcne bzw. Nivcuuflllchc im .ryz-Raum bcstim mt worden . a) ...-2 +y1 = 25

P = (3;4) Gesucht: Normalcnvcktor auf dcr Niveaulinie am Punkt P. f (x . y ) = .\1

+i - 25 = 0 grad f {P) = 6 i+ 8 i

gradf =2x i +2y j

Igmd f (P)I ~ } 6' +8' ~ 10

Ncrmulc nvcktor am Punkt P: grad f

6i+ 8j

Igmd fl

10

n ~ -- =

O.6 i +O.8 j

b) ...-2 +)'1 +:::2 =32 P = (4;4 ;O) Gcsuch t: Normalcnvektor auf dcr Nivcauflttchc am Punkt P.

gradf = 2x i + 2)' j + 2;:: k

gradf(P) = 8 i + 8 j + O·k = 8 i + 8 j

Igmd f (P)1 ~ } 8' + 8' ~ Vl2S

:::} n =

8i+ 8 . ..jli8J = O.707i + O.707 j 128

IJeispieI7.57: Normalenvektor Bereehncn Sie mil Hilfe des Oradtcntcn den normierten Normalc nvcktor. dcr scnkrccht sreht zur Kurve y = f (x ) in dcr xy-Ebene bzw. zur Flachc z = f (x, y ) an dem angegebe nen Punkt P. a] Y ~f(x) ~ Jx'

f (x,y) = H

P ~ (l ; I )

- y=o

gradf =

~0 i - j

gradf (P) = l,5i - j

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

1.5 i - j

Normalenvektor: n =

0.832 i - 0.555 j

.,13 ,25

h ) z =[(x ,y ) = x 2 +y2

P = ( 1: 2:5 )

[ (x.y) =.~ +y2 _ Z = O

Normalcnvektor: n =

grad[ = 2d + 2y j - k

2 i +4 j - k "" v 21

grad[(P) = 2 i + 4 j - k

0,4 36 i + 0,873 j - 0.2 18 k

Extremum Beispiel 7.58: Zcigcn S ic. dass d ie Funktion z = [ (x. v) = _r' + )'3 - 6.Ty ein Extremum an dcr Position P = (xo.Yo) = (2,2) bcsuzr. Um wclc hc Art von Extremum handclt cs sich dabei? Ldsung: Wenn die Funktion em Extremum an dcr Stelle P bcsuzcn soli. dann muB sic d ie dafur notwcndigcn Bedingungen (7.32) crfullcn:

I., ~ 3..-' -

6,.

[.x(P) = 3.~ - 6yo = 3.2 2 - 6 .2 = 12 - 12 = 0./

h =3/ - 6x

f ,·(P) = 3Yl - 6.To = 3 . 22 - 6 · 2 = 12 - 12 = 0./

Es Iiegt also am Punkt P tatsdchlich ein Extremum vor. Die Art des Extremums laBt sich mit Hilfe des Entscheid ungs krite riums (7.34) bestirnme n: I n = 6x

[oX)' = - 6

1-1'.'" = 6y " 12 = [ ....,·11') =-6

12 - 6

- 6 1= 108 12

/) > 0.

hl l

>0

I

=> Minimum bei

pi

IJeisp ieI7.59: Extremum Bestimmen Sic d ie Extrcmwcrtc der Funktion z = [ (x ,y ) = .f~ + )'4 - 4xy an allen in Frage kommenden Stcllc n. Lii.\·/IIl X:

I» =

4r - 4y

/..,. = 4l -4x

I o:y =-4

[.A,( = 1 2~

Die ErfU llung dcr notw cndigcn Bedingungcn (7.32) fllr cin Extremum licfcrt: Ir = 4x~ - 4y = O

=}

y= x3

Substitution diescs Ausdrucks in I.,. licfcn:

1.,-= 4y3 - 4x = 4{x 1)3 - 4x = 4x\l- 4x = 4x(x H Aus x a = I folgen: Substitution vo n XI ,

X2

= I

X2 , X3

X3

= - I

I) = 0

=> XI = O und x H = I

(d ie anderen Wurzcln sind nicht rccll)

in y = ).3 liefert : )'1 = {)

Y2 = 1

Y3

= - I

315

3 16

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn

Als mog hc hc Position en fur Extrcm wertc kommen also 3 Stellen in Frage:

P., =

(X3,Y3) = ( - I ; - I )

An die sen Stellen worden die Entscheidu ngskdterten nach (7.34) uberp run. Position PI : f..u (O;O) = 12 · 0 = 0

f. )y{O;O) = 12 · 0 = 0

D = I _~ -~ 1= - 16 Position

Sci PI liegt ein Sauelpunkt vor :

y(PI) = 0

~:

f.,,( L I ) ~ 12 ·1' ~ 12

D = I ~; ~~

Bei ~ liegt cin Minimum vor :

1= 128

Y(I'2 ) = - 2

p:,:

Position

1....\"( 1; I ) =-4

f".( - I ; - I ) ~ 1 2 . ( -1 ) ' ~ 12

D ~ 11- 42 Bdspiel 7.60:

- 4 1= 128

y(P., ) =-2

Bei P:; licgt cin Minimum vor :

[2

Extremu m

Bcsumm cn Sic das Extrem um dcr Fu nktion z = f (x,y) = 21;2 - xy - 2)' + )'2 . U JSlIllg :

Die Extremu mpositio n erhalt man mit Hilfe von (7.32) wic fclgt:

z.y= - x - 2+ 2)' z...... = 4

: ...y

z., = 0 = 4x - )'

=-1 =}

z..1'." = 2 y = 4x

o

Z.y = O= - x - 2+2y =}

- x- 2 + 2 ·4x = O

,

2

xo =:;

8 Die Substitution von Xl) = 2/7 in .,, = 4x licfert : .1'0 = -7 Es liegt also an dcr Position i ll =

(~ , ~) ein Extremum

vcr,

'

,

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

Die Art des Extremu m» wird nach (7.34) bcsrim r nt:

D=

4

I- I

- I

2

I= 7 > 0

z...... = 4 > 0

und

::::}

Es licg t etn Minimum vor.

Das Funktionsminimum Zmin bctragt: Zmin = [ (xo. )'o) = 2rij - XoYo - 2)'0 + )'ij = 2 ·

~ ~ _ 2 . ~ + ( 8 ) 2 = - 1 143 ( 72 ) 2 _ 77 7 7 '

lleispi eI 7.61 : Extre m u m Bcsum mcn Sic die Lege (xo. ,ro). de n Wert zo und die Art des Extremums dcr Funktion

Z= xl _ xy+ )'2 + 9x - 6)'+ 20 U j SlIlIg :

z_, = 2 r - y + 9 = 0

z.'" = ~x+ 2y- 6= O

::::} Xo =-4

zo = (_ 4)2 - ( - 4). I + 12 + 9 · (- 4) - 6 · I + 20 = - I Hesse-Matrix:

o

H ~ I _2,

-2'

I

Yo = 1

{Extremalwert]

D = 2 ·2 - (- I )( -I } = 3

::::} Minimum am Punkt P = (xo. ,ro) = ( - 4; I)

Zmin

li ll = 2 >

=- 1

Ueispid 7.62: La grangesche Multiplikatermethode Das Volumen V und die Obcr tlache 0 ci nes O uaders mit de n Kamc nlangeo u, h und c sind dUTCh folgende Formcln gege ben.

V = (/b c

0 = 2(ab + llc+ bc)

~: ,

Unte r der voraussetzu ng. dass b = (I ist. sollc n die Kantcnlangen a und c mil Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatorrnethod e so erm ittelt werden. dass bel vorgegebenc r Obertlnche 0 = 100 cm 2 das Volumen des Q uaders zum Maximum wird. wie groG ist Vmax'! Ldsung: A us b = (I folgt:

0 = 2(aa + ac + ac ) = 2a2 + 4(1(' Die Funkt ion

f . dercn Extremu m gesuc ht w ird. und di e Nebe nbc ndingung cp cp((I . c) =

211 2 + 4(/(' - 100 = 0

lauren:

317

3 1!l

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Die Anwendu ng dcr Lo sun gsformcln in G I, 0.37) licfcn :

I"

=

me

rp,
a lc

(/ 2

4(/ + 4e

4(/

rp,<_= 4a

(/ = 0

a(a -c) = 0

"od

(j

= c

Die Wurzel a = 0 is! unbruuchbar, wei! damit autom atis ch auch die Obcrtl uch c 0 Null scin wurdc. Die zwc itc Wurzel a = c. cin gcsctzt in die Nc bc nbed ing ung rp, licfcrt :

'*

e = 4.0825 cm 2

Volume n V = (/2(' = 4,0825 2. 4.0825 = 68.04

a = 4.0825 er n-

ern'

S ci vorgcgcbe ncr O bcrflachc cines O uadcrs win l also dcsscn Volumen zum Maxim um , we nn der Q uader ein Wu rfel mit identlsch en KantenHingen a = h = c lsr.

Beispiel 7.63:

Lagra ngesche l\.l ultiplika tormethode

Die Flachc A und dcr Umfang U de s ahge hilde ten Kreis segm ents sind gcge be n du rch

U =r(a +2 )

a

r

Bestimm en Sic m it Hilfe dcr Lagrangcscbcn Mult iplikatormethod e den Winkel a und de n Radiu s r so, dass bet vorgege bener H ache Au = 49 cm 2 der Um fang des Kre issegm ents ZUIll Min imu m wird. Wie groa isl Umin?

liisllng : Die zu r ninimicre nde Fu nktion f und die zu erfulle ndc Ne be nbe ndin gu ng qJ lauten: qJ(a ,r) =

~? -

Ao = 0

Die Anwendung der Losun gsformeln in G I, (7.3 7) liefert:

Ia =r r r 2/ 2

f. , = a +2 a +2

= ~

'*

qJ.a

=

1

2 ,2

w, » a r

a = 2 rad

Nach Einsetzen von a = 2 in die Ne ben bed ingung qJ erg ibt sic h der Rad ius r zu:

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

319

30

2

- ,J - Ao= O 2

~29

=}

2B

Der rninimale Umfang bet ragt

= 7 · (2 + 2) = 28

Umill

\

/

~

27 L,_~_~_2 3 Il/ nhll

Fur jcdc n andc rcn Winkel a

::fi

2 rud ist U

>

28. wic di e obcn stchcndc Orattk

zcigr. lleispiel 7.64:

Lagrangesche Multiplikutormethode

Jetzt so li die Aufgabc in Beispiel 7.63 mit etwas gcandcrtc r Fonn uHcrung getost werde n. Der Fluchcninhalt des abgebildcte n Kreissektors ist mit Ao = 49 em! vorgege ben. Als For me! fur den FJachen inhalt ist die Beziehung A = br/2 zu verwe nden . Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrangeschcn Mult iplikatorm eth ode den klei nstmrlglichen Sek toru mfang Umill _

Die zu maxim ierende Funktion ist der Umfang U:

l iiS/lfl g :

U =f(b.r ) =b +2r Die Nebe nbcding ung ergibt sic h aus dcm vorgcge bene n Flac henin halt:

Ao =

hr

2

=>

hr

cp(b. r) = 2 - Ao= O

Die Bcstimmungsg lcic hungcn der Lagrungeschcn M ultiplikatormcthode ergebcn:

!.h = !.h CP.b

=

f r= 2

I

f, CP.r

r

b

cp.r = 2

CP.b = 2

' · 2 2 ·2 = r b

=}

b =2r

Aus dem vorgegc benc n Flacheninhalt Au folg t: Ao =

2r ·, 2

=}

Dcr rninimalc Umfang U lautct:

Umill = b + 2r = 2 J Au + 2~A o = 4JAo = 4 - 7 = 28

b = 2 ~Ao = 2 ~49 = 14

320

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn

La gra ngesche 1\1ultipli ka torm ethod e

Hd spi d 7.65:

Die Hache A des scn ramc rtcn Kreis scgmen ts tsr gege be n d urch die

~ (R2 - ? ). Die

Bezich ung A =

Um fungslangc U des Krcis scg-

mcnts crgibt sich aus U = a (R + r ) + 2(R - r ) . Dcr inncrc Radi us r und dcr Winkel a sind unbckanru. wahrc nd dcr uuucrc Radius R vorgege bc n ist. d .h. R = Ro. Mi t Hilfc dcr l.agrangescnen Mulup likatonncthodc sollcn folgcnde Aufgabcn gcliist worde n. a ) Plnch e A ist vorgege be n mit dem Wert Ao. FUr we lche Wert e vo n a und r wire! die Umfangsktnge U zum Extremum? b) Umfang U ist vorgegeben mit dem Wert Uo. FUr we lchc w erte von a und r wird die Flachc A zu m Extremu m? Iii.I·Wlg :

a) Die Funktion lang e U :

f . deren Extre mu m ges ucht wire! (vg l. Se ite 3(3). ist d ie Umfangs-

Die Neb enbcdi ngung '1'. dcr die Losung gc nuge n mus s isl durch d ie vorg egcbc nc

Flilchc Ao dcfiniert :

rp(a .r) = a2 (R-, -

A(a . r) =Ao

?)-

Au = O

Untcr Vcrwen dun g dcr 0 1. 7.3 6 au f Sene 303 erhalt mom :

1.a = R + r 1.a rp,a

~

f r= a - 2

t,

2(R +r)

rp,r

R2 ~,-2 -

I

,

,

~ a ~ 2 (R- - r" )

a- 2 - a ;:

D ie Aurlos ung der lctzten O leichung nach

0>

2 R- r

cp.r = - a r a- 2 - ar

a liefert :

Dcr unbc kan ntc Radi us r wird durch Ein setzen de s obigcn a -A usdrucks in die Plnchenbezlchun g bc rec hnct:

:=}

j Ao= R - r

:=}

r = R - j Ao

7. 11 Zusarzfiche Bcispicle

321

Der Winkel a kann jctzt aus der Beziehung (a) bcrech nct werden:

a ~ 2(R - r } ~ 2 [R - (R - vA;;)] ~ ;;-;;2vA;; ,--A-'i";=

R+ r

JAO

R +R

2R

JAO

Das Extremum dcr Umfangslangc U bctriigt somit:

U=

2 vA;;

2R

IT

v An

rr

rr

rr

(R + R - v An) +2 [R - (R - VAo}J = 4 v An

h) Die Funkt ion f . deren Extremum ges ucht wird (vgl. Seite 303 ). ist die Fliichc A :

Die Nebc nbcd ingu ng cpodcr die Losung gcnugcn muss. ist durch den vorgcge bcnen Um fung Un dcfini cn :

U(a , r ) = Uo I

==}

a

,

f a =2: (R - , ) fa fr = CP.a CP.r

cp(a . r ) = a (R + r) + 2(R - r ) - Uo =O f r = - ar

CP.a =R + r

CP.r =a - 2

R2 - ,.2 - ar = 2(R +r) a -2

R- ,

- a,

2

a- 2

Die Au flo sung der lct ztcn Gleichung nach a liefe rt:

a ~ ", 2 (i;R c- -, d

(a)

R+,

Ocr unbekannte Radius r wird d urch Einsetz cn des c -A usdruck s in den Volfangsausdruck bcrechnet:

Vo ~ a (R +,) + 2(R -d

~

2(R - , )

RH

(R + ,) + 2(R -

Vo r = R- -

' I ~ 4 ( R- d

4 Der Winkel a kann jetzt aus der Beziehung (a) bercchnet werden:

a -

2(R - d

-

R+r -

2 [R - (R -

Vo

4 1] =

R +R - Un 4

Das Extremum dcr H ache A bctragt:

2Vo 8R -Un

322

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Hd spi d 7,66:

Lagrangesche 1\1ultiplikat o rm ethod e

-<.'

Ein Stahlrahmcn mit dcr abgebildcte n Kontur (untcn Rechteck, obcn Halbkrcis] soli genau den vorgegebcncn Fltichcninhalt Ao = 1,711/ 2 bcsnzcn. Umcr Verwendung dcr Lagrangcschcn Multiplikatorcnrncthodc sollen die Kar ucnlan gcn a und b so bcrcchnct wcrdcn. dass der Urnfang V des Rahmens mi;glichst klei n wird.

ro'" 'r

!

....; ..-.. b

~

Losung: Die zu rninimicrendc Funktion isr dcr Urnfung V = f( a. h) = a + 2b + lral 2. Die Nebc nbcd ingung ergibt sich aus dcm vorgege benen Fluchcninhalt: I

A = (/h +

2

lr

lr

(/2

4

J.,, ~ 1 + 2 ~

I."

=

CP."

IW 2

2 + lr

2

I»

2 + lr

CP.i>

2

sa 4b + JW cp.,, = b + 4 = 4

J.b ~2

4

4h + lrO

=

lr0 2 cp (a.b) = (/h + 8 - Ao= O

=>

= ah + 8 = Ao

2 (/

=>

CP.i> = a

(/ = 2h

Die Kantent nnge b wird durch Einsctzen dcr Bczichung a = 2h in die Nebenbcd . cP berec hnet: 2b·h +

;r4h 2

8

b=

- Ao = 0

/ 2A o

V4+ ;r

Fur Au = 1,7 crgcbc n sich die Kantenlungcn als : 0 = 1,38 //1. Dic klci nstc Umfangstange Villi" bctragt:

a ~2

/ 2A o

V4 + lr

h = 0.69 //1

V"'i" = a + 2b + ;ra12 = 1,38 + 2 · 0.69 + I ,38lr/2 = 4.93 m

Hdspi el 7.67:

Lagra ngesche l\Iultiplika tormet hod e

Das Extre mum der Funktion z = f( x ,y) = .~ + y2 soli mit Hilfe der Lagrungeschcn Mutupli katorm cthodc bcrcch nct worde n. wobc i d ie Variahlcn x und y Ilber d ie Bcd ingung .r + y = 2 miteinan dcr verk nupft sind. l ij slI/l !!,: Die Ncbc nbcding ung in impli ziter Form lautet:

cp(x ,y ) = x + y - 2 = O

f oX = 2x

I» _ rp.<

r,· rp.y

2r

rp.... = y

rp.<= I

r,· = 2y 2y

x =y

I

Einsctzcn von x = y in die Nebe nbcd ingu ng cp (x. y ) crgibt: y+y = 2

=>

y=

I.n

=>

x = I,O

7. 1J Zusarzfiche Bcispicle

Das Extremum ergibt sich zu: <:em = I , O~ + I , O~ = 2.0

Au/ gab£': Uberzeugcn Sic sich, dass es sich bei diesem Extremum urn ein Minimum handelt . indem Sie fur versehiede ne x - und y-Werte den Funktionswert z bereehncn .

Heisp id 7.68: Lagrangesch e M ultiplikatormet hod e Die Funktion z = !(x, y ) = xy soli untcr Einhalt ung dcr Nebcnbedingung cp (x . y ) = .~ +y2_ I = 0 mit Hilfc dcr Lagrangeschcn Multiplikuto rcn-Mcthodc zurn Extremum gcmucbt worden.

Die Funktion t: = xy .~ t e ll l ein Hyperbol oid (Suttelflachc ) im 3D-Raum dar. Die Nebenbedin gu ng .~ + ,,,.2 - I = 0 beschreibt einen Kreis vom Radius I. Die gestc1 lte Aufgabc besagt also. dass auf der Sattelffachc derje nige Extremumpunkt P zu findcn ist, dessen Projektion P' auf der xy-Ebene sich auf dcm gegebcncn Kreis befindct. Mit den Ablc itungen

rl'= x

I. , = y

CP., = 2r

CPs = 2y

erhuh man aus (7.37);

y 2r

.r ~

2y

::::} y =x

Die Substitution von y = x in d ie Nebenbcdingung liefen die .ry-Positionc n. an denen die Sau elflache ein Extremum hat

Es handelt sich also urn die Eckpu nkte cines Quadrats in der .rj -Ebene. an dcne n die Sanelfktche ihre Extrema hat. Die Zahle nwen e der Extrema sind:

+vo.sl ~ vo.s, vo.s ~ +0,5 z( -vo.s,+vo.sJ -vo.s,vo.s -0 ,5

z(+ vo.s,

~

~

323

324

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn

JO,5, - JO,5) ~ - JO,5, (- JO,5) ~ + 0,5

z I-

,(+v'03, - v'03J~ v'o3 + v'031~ - O,S 7. 12

Techni sche Anwendungsbeispiele

Ud spid 7,69: Tragheitsmument eines Querschnitts (totales Differenti al) Dcr abgcbildctc Kreisscgmcm (z.B. aus cincm Baumstam m hcruux gcschnittc n) bc sirzt das Traghcitsmomcnt 1.1' urn die y-Achsc :

,

'"

•

4 (a - sm a eos a)

/ \' = -

.

,

,I Um die Tragfuhigkeu zu erhohen, sollr, vergrctert werden. Mil Hilfe des totulen LJifferell/ial.s ist nanerungsweise (Iinearisie rt) zu enn iueln. um wieviel Grad der Winkel a erhiiht werden muss, damit das Traghcits moment um 20% zunimmt. In dic scm Beispiel ist das Trughcusmomcm 1.1' cine Funktion nur ciner cin zigcn Variab len. niimlich des Winkels a . Deshalb entspricht das rotate Different ial dcr gewohnlic hen Linearisierung cincr Funkti on gemiiB Abschnitt 6.8. Des totale Differential bctragt:

Iv.a = 0.25Jr [I - (cos2 a _ sin 2 a )] = 0.5Jr sin2 a dl y = O.5Jr sin2 a da

(a )

Gcman Aufgabenstellung soli der Zuwachs von I y

20% betragen :

d/,. . = 20% /\". = 0.2/,.. = 0.2 If 4 (a - sin a cos a) "-v-"

,

(b l

,

Vo~,,1:>c

Aus den Glcichu ngcn (a) und (b ) folgt die Bcstimmungsbcdi ngung filr da : O.5Wsin2 a d a =

0~2

Jr (a - sina cosa)

:;. da =

a - sina cosa

=-",,::.c:T-.= 10 sin2 a

Za hlenbeispiel: Fur a = 30° = lC / 6 rad ergibt sich: da =

lC/ 6 - sin lC I 6 cos lC/ 6 ~

10 sin· (lCI 6 )

Der Winkel a muss also um 2.0r

0.0362 rad = 2.0r auf insgesamt 32.07° vergroac n worden .

7. 12 Technische Anwendungsbcispiclc

Heispid 7.70:

G ravitationspotentia l cines Kbrpers

Das Gre vitutionspot en tiul cines kugelformigcn Korpers mil dcr Ma sse //I ist ci ne Skalarfunktio n. die kugclsymmctrisch verlauft und im 3D- Raum durch folge nde Glcich ung gcgegeben ist.

G = 6 .672 6 · 10- 11 kg -I J - 2 ist die univcrsclle Gravinuionskon staruc . Dcr Absrand der akrucllen Raumpcstnon. an dcr das Potential berech net werden soll. vern Miuel punkt des Kc rpcrs bc tragt r . Gcsucht ist der Grad ient von U im Pun kt P = (x,)'.z) = (lI. O.O). In Bezu g auf e in kartesis chcs Koordi natcn sysrcm . dcsscn Urspru ng sic h im Mittelpunkt des Kor pcrs befindct . crg ibt sic h dcr Abs tand r cines bcliebigcn Punktcs p = (x.v;z) im 3D-Raum aus der bckunmen Bczichung:

Das Porc mialfeld isl jctzt gcgc bc n du rch

G '/1/ U ~ f (,j ~ ---,=i==~~ 2

";x + y 2 + Z2

Die partielle n Ab lcitungen lauten

- Gmy

~ Gmy

-;:J

Ocr G radient des Gra vitation spotcntials, grad U , crgibr sich dar au s zu:

gradU =

[

U., ] U,\

U,

1m Punkt P bcrragt dcr Gradient:

- Gm gradU = - ,-

a

[

~o' ] ~ -;T - Gm

[~ ]

325

326

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

Hd spid 7.71:

Masse der Er dkugel

In dic scm Beispiel soli mi t Hil fe des Gradicnten. dcr in Beispicl 7.70 bcrechnct wurde. die Masse dcr Erde besu mnu worden. Nac h den Gesctzmaaigkclten dcr Physik ist llbcrull don ei n G ravitat iousfeld vorhunden, wo ein Gr avitarionspot ent ial U exi sticrt - und umgekeh n (p hysika lische Detail s solle n nicht welter betrachtet werden). Da jede M asse ein G ravitationspotential besitzr (s. Bei sp iel 7.70). heiBt das. dass jede Masse auch ein Gra vitatio nsfeld besit zr. Ferner w ird auf j eden Masscnpunk r. dcr sich in eiuem Gravitation sfeld bcfindet. eine Anzie hun gsskraft ili a ausge tlbt. Ocr Vektor a ist dcr Bescblcunigungsvek tor, dc r mit dcm G ravitat ionspot cntiul Uber folgcnd c Bczichung vcrknilpft ist:

a = - gmd U De r Ausd ruck fur den Gra dienten grad U erg ibt sich aus Beisp iel 7.70:

Gm

c'

a ~ -

[X] y z

Dcr skalnre Beschlcun igungswert ergibt sic h aus dem Bctrag des Beschleunlg ungsvek tors a :

Gm J ,) ') 2 a = I0 I = 7 X" + .\'.. -i- z

Gill

Gill

=-;3 '=7 '

Jx2 + )'2 + ::2 = ,

weil fllr jeden Punkt im 3D- Raum die Bezieh ung

g ilt.

Auf dc r Erdobc rflachc cntsp rich t d ie Gravitatio nsbcschleu rugu ng a der Fallbeschlcunigung g «(I = g = 9.8 1 m ;'~2) . Es gilt ferncr r = R (Erdradius R = 6 .378 · 106 m ). Die Ent massc ergibt sich mil dic scn w crtcn zu: 9 .8 1 = Gm R2

9 .81 =

6 .6726 · 10 - 11 m (6 .378 . 1C1' )2

::::;. 111 = 5 ,98 .

10

24

kg

Aus diese m Erge bnis kann die mitt lere Mussend ichtc PI:: dcr Erde berechuet we rde n. Dazu braucht ma n led iglich d ie Erd musse durch das Erdvo1ume n V zu tei1en :

5.98 . 1024 3 PI:: = 1.0 868. 1021 = 55(}(lkg j m 1m Mitt el weis t die Erdc also cin e rccht hohe Masscn dicbte auf, mehr als doppc lt so hoch wie der Beron!

7. 12 Technische Anwendungsbcispiclc

Heispid 7.72:

Dru ckand erung eine s idealen Gases (toteles Differen tial)

Fur den Zusam mcnhang von Druck, Volumen und Ternpcnnur cines idcalcn Gases gilt das Gcsctz vo n Ga y-Lussac :

mRT MV

p ~ --

P R T

V III

M

Gasdru ck in aim (Atmosphere) Oaskonstanrc R = 0.08206 (L ·alm )/ (K· mol ) abso lute Tcmpcrutur des Gas es in K (Kel vin) Gasvol umen in L (Liter) Masse des Gases in g (G ramm) mo lare Masse des Gases in g / mol (fllr jc dcs Gas untcrsch icdlich )

Mit Hilfc des totaten Different ials so il nahcru ngswcisc bcrcchnct wcrdcn. um wicvie! Pro zcnt sich dcr Dru ck cines Gases andcrt. wenn sei ne Tcmpcr atur um 25% und sein Vol umen um 10% g leichzci tig unsreig en. Das Ergebnis so il mit dcm exakten Resuluu verglic hcn werde n. Das rotate Different ial des Druckcs ergibt sich zu (Tempc ratur T und Volurnen V sind hier d ie unabh anglgen Variab len):

uP

", R

aT ~ M V

sr mRT u V = - MV ~

uP uP mR mRT dP = uT dT + u V dV = MV dT - MV 2 d V

Die Andcrung dcr Tcrnpcratur und des Volumens ist:

dV = IO% · V =O,l V

dT = 25% ·T = 0.25T

--

Die lincarisic rtc Druc kandc ru ng ist somit :

mR mRT mRT mRT dP = MV O.25T - MV 2 0,l V = MV (0,25 - 0, 1) = MV O,15 = O.15P ; /'

Ocr Dru ck wurdc sic h also um 15% crhohcn.

Exa k les E rgeb nls : Der Druck nach dcr Erhohung dcr Tem pcratur und des Vo lumens bctragt:

IIIR(T + 0.25T)

P',eu= M(V + O.I V )

", RT 1.25

= MV

Die cxaktc Druckandcrung bctragt:

dP = p',c" - P = O.136P

"i.i" =

1,136P

327

32M

7 Diffcrentiulrechn ung fur multiv ariuble Punkuoncn

Der rel ative Fehler der Reehn ung mit dem totalc n D ifferential bctra gt: £ ' <,1 =

O, IS - O.l 36 1 = 0, 103 == !O,3% 0,1 36 I

Minim al e Benetzungsftach e in einem Ka nalq uersc bnttt Ucispiel 7.73: Die Scitenwandc des dargestellt en w asserkanals sind urn den Win kel a gege ntiber der Waagercehten gc ncigt. D ie Stra mungsflac hc A ist vorgcgcbc n. d.h . bckannt. Die Bodcnbrcitc des Kanals ist a und d ie Lan ge jcdcr gcncigtcn Wand bctragt h. Die Bcnctzun gsfl achc ist proport ional zur Umfangsldngc L == a + 2h des Boden» und dcr Wande. Die gco mctrischcn MaBc a , b und dcr Winkel a dcr Wando solle n so festgclcgt werdcn. dass die Benctzungsftncbc des Wassers (wo Wasser die Kanalwand bcruhrt). und fo lglic h die UmfangsHinge L. m inim al wird .

v A

a Aus der Kanalgeometrie erhdlt man de n StrOmungsquerschnitt A :

Losung:

=> a ==

A == ah sin a +b 2 sin a cosa Nac h Einsctzen des Ausdrucks fur L ~

A

II

A - - - - b cos a b sina

in die Beziehung fur L crhalt man:

A

- . - - h cos a+ 2h== - . - + h (2 - cos a) b sm a bsm a

Die notw endigen Bedi ngun gen fur Extrem um sind:

L.a ==

O-Ab cosa ~

.

h~ sm 2

a

+ b sin a== {)

-A

~

A cos e sin) a

=> lr == - - -

-A

Lh = ~ +( 2 - cos a) = A + 2 -cos a = O . b- sin a cos a . - - - sm a sin) a

- sin2 a + 2 - cos a = O cos a

=>

=> sin 2 a+ cos 2 a= 2 cos a

=,

'--.---'

=> != 2 cos a

Durch Einsctzc n von a = 60" erhalt man: h=

JA

cos a . ~ = sm- a

A cos 60 r: 3 = 0 .87738 v A sin 6{)

=> a =60"

7,13 A ufgaben

a=

329

_ 0,87738 VA . cos 60 = 0,87738 VA

A

0,87738 vA · sin 60

Fur II = b ist der Kanalum fang L also Extremum. Die A rt des Extremums wird wie folgt bcstimmt:

A sina (l + cos2 a )

L.aa =

.

o

L.aa (a = 60 ) =

L,hh =

4

bs m a

1

2A .

/J- stn c

L,al> = L,l> a =

+ !J cos a

A sin60 ( I + cos260) (7 ,4 + b cos 60 = 2,632 15 v A b sm 60 3.4 1929 L.1,I> (b = 0,87738 VA) = . vA A

.

A cos a ~ ,., b ~ sm- a

+ Sill a

L,ah(a = 60° , b = 0,87738 VA) = 1,73206 Dctcrminantc dcr Hcsscschcn Matrix : 2 (7 3,4 1929 2 D =L,aa , L.bh - I.ah = 2,632 15 v A vA - 1,73206 = 6

::::;.. List Minimum

D > 0 uno t-oo > 0

Die Bcnctzungsrtachc ist also am klcins tcn. wenn a = 60° und a = h.

7.13 I,

Aufgaben Bcstimmcn Sic die particllen Ablcitungcn erster uno »ve ner Ordnung fur fotgcndc Funktioncn . Die Losungcn sind jcwcils darunt cr angcgcbc n. x a) ... _ y

1

•
h)

I.u =

0

I.,.. =

-x

-y,

I.c...,. =

. =

Z.rl'

= e'

- I -vy-

':.n = O

- I .:.u . = 1.1"' . ; = -y,

z.Y'·. =

Z.r)'

=

z..'"" = e-'-

1.)_-. =

Z.y.'" = .r e·"

z = - x y 2+ 3 x y3 _ 4 xy Z,l= 3J3 _y2 ~ 4y

Z.n = O d)

=

z = x e'Z.l

c)

=

Z,,' .

z = y er

Z-,, = 9x y2 _ 2xy- 4x

Z,l.,. =z,yx = 9y2 - 2y - 4

Z,yy = l &ry -2r

2,

""1 J'

DO

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

Z.." = e< e)

Z.xy

y et

l ..u =

=

l.yx =

l.)","= O

( >'

z={ 2t-+ 2)')2

z., =

8(x + y)

8(x + .\" )

ZI'. =

Z.xy = z.yx = 8 Z.y.l" = 8 2).2 )3 z., = 48(x 2 - i f .r z, = _ 48(x 2 _ /)2 Y Z..U' = 192(.\2 - y2 l .~ + 48(x 2 _ y2 )2 8

Z..l:.T =

o Z = (2r2-

Z..I :I' = Z.y,<= - 192(r - /) xy Z."I' = 1 92 (.~

_ y2) y2 - 48 (.~ _ ).2)2

Z"U' = e - x... )'2

h)

Z..n' = Z'-"<= e - xy(x)' - I) 2+ z = e-'<:>·+ xy - x .,v2 xy Z..I' = Y ( I - e- ) - 2t Z.I· = X ( I - e- -"' ) + 2y Z.n =y2 e- xY - 2

• .....I'y

Z.." ,= Z,,,,,= e -x."(xy _ I) + 1

- x 2 ,,,- xY+ 2 ~

i) z = xy e <

z..t = e' y(x+ 1)

Zy = e' x

Z..n = e
Z.." ,= Z.n = e« x+ l )

Z....,·

=0

j) z ={x - e' i

z.., = 2 (x - (~") z.o = 2 k ] Z = .rj-

z.., =

Zy = - 2 (x- e,") eY

z..ty = Z,yx = - 2 ('01'

z,.I)' = 2 e 2y - 2 (x -

, ,

e -r -.'~

2

(- 2x2y + y) ('_x _.,.2

Zy = (_ 2t-y2 + x) e- ·r -...2

Z..,X = (4x3)' - 6x )') e- ·r - .I.2 Z"'J' =Z,n = (4.r-' y·" ~ 2. -2y 2 +

Z,yy = (4.\"')·, - 6xy ) e - ·r' - }.a

1) e-·r" - .1

('01' )

e,"

7.13 Aufgaben

I)

331

.r

l.= II1Y Zy= - I/y

Z.~= I/x

z.o = - 1 1-~

l..xy

a

= : .y_~ =

:.»' =

I/i

m) : = In(x + )')

1

z.e = - x +y

I

:,. = - . x+y

- I

z.o = (x + y)2

Z...y = z ,y.r

- I = {x + y )2

- I Z'-".\" = (x+ y)2

0 ) z = ln(x 2 - / )

2,

z... = x- ,- -, - y

- z,

= ,------..:...--, -

z\,

x~

-y

2. Bcsummcn Sic a) nume risch und b) exakt d ie particllcn Ablcitungc n I. Ordnung am Punkt P mit den vorgcgebcncn Wenen .<1x = ~ y = 0 ,00 1. Gcsucht ist auBcrdem der relat ive Fehler dcr numerischen Berechn ung.

P ~ (" / 4,./ 6)

a) z =/(x.y) ee sin.r sin y

li;,nmg:

numerisch : exakt: relativer Feh tcr in % :

bl z = _ x y 2+ 3 x y3 - 4 x y

f A P) ~ 0,353377 f A P) ~ 0,353553 E~

= 0.05% P ~

f y(P ) = 0,6[ 2 196 [ , (Pi ~ (). 6 1 2 3 72 e; = 0.03 %

( 1;2)

Ldsung:

nurnerisch : exakt: relativer Fehter in %: c) z = (2~.2 _ 2y 2)3

P~

U P) ~ 12.00<X1OO f A P) ~ 12.(}()()(1OO

[ ,.(P) ~ 28.017<XKI [ , (Pi ~ 28.<X1OOOO

E,, =O%

E... = 0.06 %

( 1.5; 1,1)

li;,mllg:

numcrisc h: exakt: relativcr Fehle r in %:

f A P) ~ 78 , 1 26 1 64 U P) ~ 77,875200

[ , (Pi ~ - 57.0 13607 !..,( P) ~ - 57, 108480

Ex = 0 ,32%

E... = 0. 17%

3. En nitteln Sic das totale Differential dcr angegcbc ncn Fu nktion.

xv

I. Z= - ' -

x -y

332

7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n

z _~ =

y(x -y ) - .\y

(x

) ,)2

-i

= (x

z,·= .

y )2

x (x - )') - xy (- I) (x y )2

x2

=-(x - y )2

Zusalifrage: Wie groa ist nnhcru ngsw cise d ie Hohenandcrung. wenn wir uns yon der Position P = ( I; - I ) in x-Richtung urn +0, 1 und in y-Riehtung um +0. 1 Einheiten bewege n? Lsg: dz = 0

4. Bercchncn Sic d ie Hohcnnndcrun g nahcr ungswe ise mit Hilfc des torulcn Different ial s. wenn man sich in Bei spiel 7.14 auf Seitc 276 vom Punkt p:!. um dr = - 0. 1 und dy = 0 ,05 entfernt .

Lsg:

ec ss dz e

O

5. Die Hohcnkoordtnatc z e tncr gckr ummtcn 3D-Fliichc ist durch d ie G le ichung ' ~ f(.'-') ~

•

1+ C'~;"~3~x'::Csi~"~2"y 2 + x +y

gcgcbcn. Auf dcr Fliiche befindct sich dcr Punkt P = ( 1.3; 1,4; zp). a) Berechnen Sic d ie neue Hohcnordinete nach eincr Positionsanderung in der xy-Ebcne um ..1x = 0.05 und L1y = 0 . 1 (auf der Flache bcwegt man sich vom Punkt P zum Punkt Q) mit Hilfe einer a. Hncan stertcn Berechnung. b. cxuktcn Bcrcchnung

sow ie den zugc hcngen Re lativfehlcr zw ischen Nahcr ung und exa ktcm Ergcbnis. h) Wie groB ist der Rel ativfehler fur c .r = 0 .2 und L1 y = 0.4? Lnsung:

Hohenordinare am Punkt P : Zp = f (P) = f ( 1,3; 1.4 ) = 0.95098

! _

(3 cos 3x sin 2y )(2 +x +y) -sin 3x sin 2y

.x -

(2+ x + y)2

~)(~2~+~.~.~ +~.'~)_-~'~;~ " =3~.~,~;"~2",y ! . I' = -(, 2::.:::Si~"~3~x~'~O~'~2~y(2+ x + y)2 Partielle Ableitu nge n am Punkt P : f.,,(P) = - 0 .14479 a) FUr ..1x = 0 .05 und

av e

a. Nahcrungsfosung:

ul :

zQ

Q = (1,35: 1.50; ZQ)

= 0 ,97236

b. Exakte L osung : zQ = 0 ,97706

c. Relativfchlcr: E, = 0 ,(X)48 ~ 05 %

f. •.{P) = 0 .286 19

7,13 Aufgaben

b) Fiir,1x =O.2 und,1y =0.4 :

333

Q = (J.5: 1.8: :::Q)

a. Nahcrun gslosung: zQ = 1,03650 b. Exakte L osung: zQ = 1.08162 e. Relativfehler: E, = 0 ,04 17 ;:::::: 4,2%

6. Bcrcchncn Sic nahcrun gswcis c [d.h. mit Hilfc cincr Lincari sienmg ) die Anderung des Trag. hcnsmcmcnrs 1,1" im Beispiel 7.69 auf Scire 324, wenn R sich urn 10% crholu und a sich urn 5% vcrrtngcrt (R = 0 3 m, a = 30° ), 7. Bcrcchncn Sie den Gradienten grad f folgendcr Funktio nen . a)

j (x,y) = v x2+ )'2

b)

f (x,)' ) ~ ," (,-2 + )" )

c) j (x,y ) = sin .r coshjd) j(x,y ) = e" sinh y e) f (x. y ) = sin(x 2 + l

)

Ldsung:

a) gmdj =

I

~

v r +r

b) gmd f = -,-

1

(x i+ y j)

-, (2 d + 2y j)

x +r

c) gradf =cos x cosh y i + sinx sinh y j d) gmd j = - e - "sinh y i +e-"cosh y j e) gradf = 2 cos (.~ + y2 ) . (x i +y j )

8. Bcsumm cn Sic die Skalarfunklionen j (x .y. a) . dcrcn Gradient die nachfolgcndcn Vektoren sind. a) grad [ = i + j + k h) grad j = 2x i + 3l j +k c) gmd j = - y;:i- xzj- xy k /..ii,I'IIIlK:

a ) f (x. y ) = x + y + z

b ) [ (x. y) = x 2 + / + z

c)

[ (x. y ) = - xyz

9. Bereehnen Sic de n Stcigungswinkcl a der Flachc z =.~+ 3 /y am Punkr P = ( I; 2; 5.24 ) in Rictuun g des Vektors m = 2 i + 3 j. Lsg: a = 633 4° 10. Von dem in Beispiel 7.63 auf Scitc 3 18 bchandchcn Kreisscgmcnt ist dcr Umfang verge gcbcn: U = 100. Bcrcchncn Sic mit Hilfc dcr Lagrangcschen Multiplikatormethode den Winkel a und den Radius r so, dass die Flnchc A Krcissegmcnrs zum Maximum wird. Wie grof ist Amax'!

334

7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n

U i.lllfl g :

a =2

r = 25

Anm = 625

,

11. Bcrechnen Sie mil Hilfe der Lagrangeschcn Muhi plikatormethode, wie grou der Radi us r und die Hohc II cines Zylinders sein mussen. darnit er bei gegebeuer Oberftache Au das groGte Volumen V besltzt. Htnweis: Volumen und Obcrttachc c ines Zylindcrs: V = trr 2h A = 2trrh + 2trr2

V(:i:(; 6Jt

r=

Ldsung :

II =

) 2A.3tro

12. Bcstirnmen S ic mit Hilfe dcr irnpliziten Differentiation d ie partiellen Ableitungen z., und :.y fur die Funktion cos : = xly sin .ev. Ldsung: Funktion in impliziter Form: F(x, y, z} = cos z - xl )' sin .ry = 0 F.• = - 2 ~y

z., =

, ,

·

S1I1xy - .r'" y.

F... = - ..? s i n xJ - .~J cosxy

cos xy

2 \)' sin xy + .\.2y2 cosxy sin Z ~

cos z e

r-j-

.

xl

z., =

~

4

~

·

2

::::} cos· z =x y sin xy

sm.rv

Z.y =

F.: =

-c

siu z

sin xy +x'y co s xy sin z 2

::::} sin z = l -x y sin·.\)' 4~~

.r2 sinxy +x\ ' cos xy

VI _ .>:"y2 sin::! xy

13. Ubcrprufcn Sic Ihre Losung dcr Aufgabe 12 mit Hilfe der numcrischcn Ableitung an dcr Position P = (x, y) = ( I: I ) fur diffcrentiellc Abstundc d r = dv = 10 - 3 . I ii.I'IIIl K: ::::} Z =

arccos(x 2y sin xy)

Infinitesimal benachbane Punktc: QI ZP

~

( I + dx ; I )

= 0 ,57080

~

( 1.00 1; I)

:::01 = 0 ,56667

z O!

• ( ) _ 0 ,56667 - 0 ,57080 _ 10 3 - - 4. 1300

........ p -

Exukte Ablcitungswenc:

Z,,(P) ~ - 4 ,1148

z.,·(P) ~ - 2.5574

= 0 ,56823 ~ ( ) " .J P

_ 0.56823 - 0 ,57080 _ 1O ~ 3 - - 2.5700

8

Inte gral rechn ung

Die lnteg ralrechnung is!
Gcgcbcn

O peration

Ergeb nis

F (x)

Different iution

[ (x )

[ (x )

Integration

F (x )

Forma lausdruck

Bcdin gun g

F' (x) ~ [ (x)

F'(x ) ~ [ (x )

J[ (x ) de ~ F(x )

Sta mmfu nktton Ei ne Funktion F (x) ist d ie Stamm fu nktion von / (x ) . we nn fol ge nde Bedingun g gilt: d

- F(x ) ~ [ (x ) de U

e is p i d

8

.1

F (x) : Starnrnfunkt ion

(8. 1)

:

Nac hfolgc nd siud jeweils lwei Funktic ncn. / (x) und F (x). gcgeben. Die Ablcitu ng von F (x ) licfcrt / (x) , d.h. F (x) is! die Sta mm funktion vo n /(x ). a] [ (x) ~ [

h) [ (x ) ~ Zr c)

F(x ) ~.r

[ (x ) ~ e'

d) / (x) =

c

o s

I

e) [ (x ) ~ x

'* F' (x ) ~ (x)' ~ I ~ [(x) ./ '* F' (x ) ~ (.r)' ~ 2x ~ [ (x ) '* F'(x ) ~ (e-'}' ~ r ~ [ (x )

F (x) ~ x

F(x ) ~ r

r

F (x) =

s

F(x ) ~ lnr

i

=> F' (x) =

n x

'*

(

s

i

n

x ) '

=

c o s

./ ./ r

I F' (x ) ~ (In.e)' ~ - ~ [ (x )

x

= / (x)

./

,;

336

8 lntegralrechnung

8.1

Unbestimmtes Integr al

Durch Hinzufu gcn cin cr beliehigen Kc nstamc C zur Stammfunktion F(x) kann die Menge der Stammfunktionen unbcgrcnzr erweuc rt worden, weil die Ablcit ung von C stets Null ist:

[F ix ) +CJ' ~ F'(x ) + (e)' ~ F'(x ) + 0 ~ F' lx ) ~ f ix ) Sowo hl F(x) als auch F(x ) + C sind also Stam mfunktionen von [ (x ). Weil C bclie big ist, crgibt sich cine uncndl ich grebe Schar von Stamm funktioncn. Die Addition von C zu F (x ) kann man sich bild lich auch so vorsrctlc n. daf die Funktionskurve y = F(x) im .ey-Koo rdinatcnsys rcm in y-Richtung urn den Betrag C parallel verschobcn wird. Die in Bild 8.1 dargestclltcn Sinusfunktionen F (x) = sin (x) + e mit vcrschicdc ncn Werten fur C sind aile gleichwcrt tgc Stamm funktionen von [ (x ) = cos r , weil C sich auf die Ablcitu ng von F(x ) nicht ausw irkt.

Bild R.l: Schar von Stammfunktionen

.r =

sinx +C

Das unbesti mnue Integral ist die Gcsamtm cnge 'Iller Starnrnfunktionen dcr Fun ktion [ (x ):

If

f (X)d, = FIX)+c l

(8.2 )

Ocr Ausdruck [ (x ) i nncrhalb des j-Symbols wird Integrand gcnannt. Die fur die Ingcntcurpraxts wichtigsten lntegrale sind auf Sci re 723 zusammenges tellt. IJcispiel 8,2: Einige Beispiele fur das unbcstimmtc Integral der Funktion [ (x) sind nachfolgend angegeben (man kann die Richtigke it der Ergebnisse leicht kontrolllc ren . indcm die angcgc bcnc n Integrale einmal differenzjert werden) , a ) [ (x ) = 4x 3

b)

[ (x) = - sin .r

c)

[ (x ) = _ e- x

I f lx ) d, ~ I 4x3 d , ~ x' + c

I [ (x ) ill =

.r(- sinx) d r = cos x + C

I f ix ) dr = I (- , - ' ) d r = e- <-t- C ,XH

If lx ) d' = I (.<' ) d'· = ~ + I

+c

k: : Skalar

IU Unbe stimmics lntegrul

337

Differentiation nn d In tegratio n als invers e Operat ionen Die Integration ist die Umke hrun g der Diffe rentiation. Aus d iesc r A usv age folgt . dasv di e Ablei -

tung ci nes Integrals wicdcr de n lntegrandcn licfcm muss. Duss dies tutxlichlich auch dcr Fall ist. sicht ma n sofort. wenn bcidc Scitcn der GL (8.2) nach .r d iffcrenzicrt wcrdcn:

(J f lx )dx)

-d dr

d I Flx) + C)~d Flx) +d C~ flx)+ O~ flx) ~-

dr

dr

dr

Zwische n Different iation und Integration geltc n folgcndc forma le Beziehungen:

-"-

d'

J

Jflx) d' ~f(x)

(8 .3)

:/IX) d' ~ J !'Ix) d' ~flx)

(8.4)

Beispiel 8.3: Fur die Funkt ion f (x ) = .\~ erh lilt man mit Hilfe dcr Beziehunge n (8.3) und (8.4):

:rl/»: ~ (": +c)

=

4:

3

+O=x'

-I

Aufgahe : Die Ableitung de r Funkti on F (x ) = sin.r isl [ (x ) = cosr ( Bijd 8.2). Gema(\ GI. (8.1) exis tiert zwisc hen de n Funktioncn F(x ) und [ (x ) d ie Bezichung elF / d r = f (x ). Die Ableitung eincr Funktion wiederum entspric ht der Stcigun g ihrer Tungente. Zeichncn Sic fur die Posirion en xo = It/ 4 , It/ 2. 3lt /4 in Bild 8.2 mit einem Line al die Tangente an die Kurve F(.r) . und mcssen Sie den Tangcnte nwink cl a ab (der Winkel a ist uls poslnv unzusehen. wenn er VOII der .rAchs e aus im Gc gen uhrzeig ersinn zelgt . andcre nfalls uls ncgr uiv). Ubcrp rufcn Sic dann. ob die Bedin gung Ian a = f (xo) an den angegcbencn Postnon cn tarsachlic h erfulh ist.

F(.) :sin.

..

",

" f(. ):ros •

Bild 8.2: F (.r ) = sinr ist die Stammfunknnn von f (.r) = cosr

331l

8 lntegralrechnung

8. 1.1

Regetn fiir da s unbestlmmte Integral

Hir unbestimmte Integrate gellen folgende Rccnenregern. I. Fa ktor regel. Ein konstarucr Faktor k darf vor d;IS Integral verschobcn werden. ( 8.5)

2. Summe nre gel. Eine Hneare Kombination von Funktionen dan gliedweise imegriert werden.

I (x) ~ ,",II (x) +c2h(x) +...+ c"f,,(x ) .f f (x ) dr = CI .f fl {x ) dr + c2.f h (x ) dr + "' +Cn .f fn (x ) dr

( 8.6)

3. Pot enzregel. Die Potenzrcgc l gchr auf die Kcu cnregcl der Differentiation zurtick.

J

I (x)" f( x) dr

~ _ 1- I (X)"+I + C

Hinweis: f (x )"+1 :=0 (j(x)r +

a+ 1

1

(8 .7)

4. Logartthmu sregel. Die Logarithmusregcl gelu auf die Ablcitung cincr logurithmischcn Funktion zuruck. (8.8 )

lIeispiei 8.4: Rechen regefn fUr unbestimmle Integrate I. Faktcrrcgcl

.f 4 sinx d r =4 .f sinx dr = 4(- cosx) + C = - 4 cos x + C 2. Summenrege l a. I (cos x - sinx) dr = cosx + C b. f( 3e' - 2 r ) d r=

J sinx dr = sinx -

(- cos x) + C = sinx +

I 3e
2 f .rdr = 3e\ _ x 2 + C

f

cos .r dr

c-

3. Potenzreget

4. Lo garithmusregcl 3,2 a. - I dr = In(x3 + I) + C, .r- +

.r -,_.

weil

(x' + I)' =

3xl

IU Unbestimmics lntegrul

8.1.2

2,

b.

I

c.

J 10.r 2X -

x2

_

5

weiI

d r = ln(xl - 5) + C.

339

(x2 - 5) /= 2 r

( ' 20x ' ( 2 ) 5 d r = . 20 1Ox2 _ 5 d r = 20 In lOx - 5 + C

Partielle Integration

Das Ziel der part ielle n Integration besteht darin. de n Integranden f (x) im Integralausdr uck I I (x ) d e sowcit zu vereinfuchen. dass zum SchluB cin Gru ndintegral entsrcht (etwas vereinfacht ausgedruckt versteht man unter Grundi ntegral ein bcsonders einfaches Integral, das man pruktisch auswendig kennt, od cr zumindcst mil ein wenig Uberlegung leicht von Hand aufstcllcn karin, ohnc in cinc r Intcgrulsarnmlung nachzuschau cn). Zur Hcrlcitung dcr particllcn lmcgrationsforrnc l bctrachtcn wir das Produkt II (X) I'(X) von l wei Funktionen II (X) und I{r) . Die Ablc itung des Prod ukts III' licfert gcmaf dcr Prcd uktregcl (6. 11 ): (II Vr = I1' ~'+ /I ~,' Die for male Integratio n bcidcr Seitcn licfert d ie bekannte particile lntcgrationsformcl: I (II V)' dx =

I ll/I'dr + j ll ~ldr

=}

jll~/ dr = /I \' - III' ~'dr

~ = /Il'

h'gl. (8.4ll

.r

Bci dcr Bcsnmm ung von f (x) d r nach dcr particllc n lntegrationsrcgel wird dcr Integrand f (x) zunachst uls Produkt von lwe i -sinnvo ll zu wahlcndcn- Punktioncn [I (x) und 12(x) ausgcdruckt. Danach wird unsrcllc dcr Bczeichnung fl das Symbol II und unstcllc von h das Symbol \,' vcrwcndct:

j [ (x ) d r =

J~ @ dr = ,,(.t )

Das Integral nen:

f [ (x ) dr

J

1/ 1/

dr =

jll (X) I/ (x )dr

I/ (x) I,I (X) == f (x)

,I(X)

lassl sich jetzt mit Hilfe folgender panieller lntegrationsfonnel bcrcch-

111 ' -

J

II' vdr

oder etwas nusfubrlichcr:

J

Anmerk:

u(x ) · ,/ (x ) d r = II(X ) 'I'(X)

-.f

(8 .9)

u' (x ) ' II(X) d r

Ocr Term I'{x) ist die Srarnmfunktion des Ausdrucks ~,1 {x ) .

340

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.5:

j

x sinx dr = j

x sinx dx =

--...----...-It ,I

= - x cos x -l-

I

x (- cos x) - j

--...--"---v----' It

I

--...--

,.

. (- cosx ) d r "---v----'

It'

,.

cos.r dr e - x cos.r -l- sin.e-t-C

Betspfel 8.6:

f

.

f~

I dx = Inx· x --...-- --...---...-- --...-- .

lnx dr = j Inx ·

I t ,'

"

.r

.r

--...--

--...--

,.

,I

dr

= In x . x - .! d r = Inx · x - x = x (lnx - I ) +C

Hd spi eI 8.7:

j

x ln x dr = j

x

Inx dx = Inx · .; -

y ,;;, 2

x ~ In x 2

f

.;

';;' --...-. ~ --...-,. ,.

dr

jX- d r = x2~ lnv -. x~2+ C = .~~ ( 2 I n x- I ) + C 2

2

4

4

Hcispi d 8.8:

Ixer' I ~~ dr = £¥' ~ r'·; dr =

- .!

"

de

"

Der Integrand ist nach panicller Integration kampli zierter geworden als des Ausgangsproblem! Die Wahl von /I und \" war also ungeeignet. Die Integration gclingt jc doch prob lcmlos durch Vcrtau schu ng von /I und Vi :

l-: I ~~ dr =

"

.'

dr w.r e-' -

I

I · e' d r = e' (x - I ) +C

IU Unbe stimmics lntegrul

341

Htnwelse I. Particlle Integr ation ist cin lci stungsfahigcs Wcrkzcug, m it dcm sich viclc lntcgrution saufgube n loscn lassen . Ferner ist cs bci dcr Formulieru ng und Bchandlung vo n Aufgab cn dcr K O/l · tinuumsmechanik (Mcchanik dcfor micrbarcr Ke rper) von ubcrrugendcr Bedeutung. Den noch ist d ie pan ielle Integration kein Universalwerkzeug . das fllr aile Intcgration saufgubcn gceigner ware . Es gibr noch we iter e spc zielle Intcgrano nsmcthod en. die in wei tcrfuhrendcr Fachl iteratur ausflihrlich behandelt werden. 2. Die particllc Integration ist nur da nn sinnvoll. wenn

/1' \,

ein fuch cr zu integr ieren ist als

[ (x). 3. Erfahrun g und Intuition - und manc hrnal ei nfach auch Glu ckt - spic1en be l der rich tigen Wah l vo n II und \ ,1 ci ne groBe Rolle. 4 . Fur die Wahl von /I und 1'/ ex istieren kein c al!gemei n gultigcn Rcgcln. Moistens ist cs sinnvoll, Potenzfunktionen mit pos itiver Potent. (L B. .r, x 2 usw.) als If zu wahlcn. weil sich dadurch der Potenzgr ad bci der Bildung vo n II ' vcrrt ngert. 5. Fall s dcr neu e Ausdruck I II' \' d r auf dcr reeh ten Se ite in (8 .9) zwa r einfacher als der Origmalausdru ck .f II \ ,1 dr geworden isr, abc r trotzdem noc h nicht elc rncntar intcgr ierbar. muss die particllc Integration wicdcrholt werdcn. 6. Die urspriingl iche Wahl von II und I,' kann sich als ungeei gnet herausstellen . Das merkt man daru n, dass der neue Integrand noch ko mplizierte r ge worden ist als dcr urspriingliche Integrand. In die sc m Fallmussc n /I und \,1 verta uscbt werden. vg l. Bei spiel 8.8. Falls auc h die vcrtau schung nicht weiter hilft. iSI d ie pa rtiellc Integrat ion fur den vorliegenden Fall ungcetgnet. 7. Falls wahrend der partiel lcn Integratio n di e Ausdruc ke I /I und .f 11' \' d r (auf der rcchtcn Scite) idcmisch wcrden. wird gc bracht. vg l. Beispiel 8.36.

1'/

dr (auf der linkcn Sei te)

f II' \' d r

auf die linke Sette

8. Manch mal fiihrt d ie partielle Integr ation zu einem Tr ivialergebnls. wie z.B. 0 =: O. mit dem man we nig anfa nge n ka nn. In solc hcn Fallen sollte geprun we rden. ob die Ausnutzung gee igneter mathemarlscher Gc scrzrnaaig keiren. z.B. Substitution von ( I - sin2 x) anstel le von cos 2.r , welter hilft. vg l. Beispiel 8.38. 9. Stan dcr Schreibweisc .f 11\,1 d r fur die pa n ielle Integrat ion ka nn narurtich auch j cd c andere bclieb ige Schreib weisc verwendct werden. z.B. f g h' d r =: g Ii - f g/ h d r od cr f p c/ d r = p q - J p' q dr.

342

8 lntegralrechnung

8.2

Restimmt es Integra l

Die H ache untcrhalb der Kurve y = f {x) in Bild 8.3 karin nnhcr ungsweise dadurch bestimmt worden. dass man das Intervall la, b] in II Teilintervalle von gleicher Breite 6.x untcrteilt. Jedem Teil intervall entspricht cine Teilflache, d ie sich zwischen der Kurve f (x ) und der x-Achse bcfindct. Die Tcilflache M; kann bei genugend schmaler lntc rvallbreitc dt als ci n Trapcz betrachtet worden (das cms pricht der Lincarisicrung der gekrtnnmtcn Rundkurve im Interval! dt cntsprcc hcnd Abschnitt 6.8) und besitzt den Flachcninh alt:

M ~

f Ix;) + f Ix, +tu )

2

" f (x,)" , + ~

& ~

f Ix, ) + [fI x,) + f' (x, )

'h]

2

r (x;) (" ,)2

~

Die Gcsamtflache I untcrhalb dcr Kurvc ergibt sich durch Summation allcr Tcilftachcn: I

~ L,v, ~ L [f IX, ) ", +- 1' (x;) (" ')' ] ""

1= 1

I

;= 1

2

Die Anzahl 1/ dcr Teilintervalle kann bclicbig groB gcwa hlt werdcn. Wen n II irn Grenzfall gege n uncndlich gcht, wird die lntcrvallbrcitc dt infinites imal. und geht in d e ubcr: lim 6.x = dr

(dx)' «

lim M ; = dl

dr

,, ~ oo

I

~

'" '" 1 L,v, ~ L [f Ix, ) dr + 21' (x,)(d,)2] " L f ix,) d r 00

.= 1

.= 1

;=1

In der letzten Gleichung wurde dcr zwcitc Term mit (d t)2 vernach lllxsigt, wcil er sehr vie! kleincr als der crstc Term mit dr ist. y ((Xj )

y=f(x)

,('V

f(xn)

r- "'1 1

"' Ii

" a:x,

ax -

"

r- "'I

n

ex

'" b

,

Bild 8.3: Zur Definition des bcstimnuen Integrals

8.2 Bestimmtcs Integ...al

343

Die uncndlic he Summe wird als das hest immte Integeal dcr Funktio n y = f (x) im Interval!

la, h] bczcichn ct und ist dcfiniert uls: b

I

1 = / dJ

" 8.2.1

J b

~

[ (x ) dr

(8 . 10)

"

Berechn ung des bestimmten Integ ra ls

Das bcstimrntc lntcgral lasst sich mit Hilfc dcr Sturnmfunktion F(x ) von f (x ) bcrcchnen (Bild 8.4). Zu dicscm Zwcck bcrruchtcn wir cin infi nitesimal schmalcs Trapcz zwischen dcr Kurve f (x) und dcr .r-Achsc (im Bild stark vcrgroucrt dargcstclh) . Wcgcn seiner in fi nitc sim alc n Breitc kann man das Trapcz uuch als Rcchteck betrachten, dessert Hohc f (x) is!. Die differcnncllc H ache des Rechtecks ist dl = f (x) d r . ,(x)

Fib)

F(x) F(xl

,

1M

•

,

x

Bill! 8.4: Bcsnmrntcs Integral und Sram mfunknon

Zwischen f {x ) und ihrer Starnrnfunktion F{x ) existiert ge rnaB(8. 1) folgendc Beziehung: dF

-

=>

~ [(x )

d,

dF = f (x) dr

Integration bcider Scitcn dicscr Bezieh ung im Intervall [ll. hI liefcrt :

J[ (x) d' b

----

~

"

=F(b )- F (a )

J[ (x)d' b

F(b ) - F(a) ~

"

"

Nach Einfiihrung des Ausdr ucks F (x) I~; als Abkurzung fur die A nderung F (h ) - F {a) der Stammfunktion crhalt man die wohlbckannte Bczichung fur das bcsttmmtc Integral:

J b

[(x ) d r

"

~ F(b ) -

F(a ) ~ F(X)!:

(8. 11 )

344

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8,9; Nach folg ond worden rneb rere hestimmte Inll'g nlle ber echnet .

a df = [ 4x~ ' ] '0 ="4 16 - 0 = 4 a) l",..J b)

, j et dx =

- I

c) .rsin.r d r

o

,

[_' ] - = e2 _ e- 1 = 7.02 - I

e,

[_ cosx]1I: =

(- COS.1t') -( - cos O) = 1- ( - 1) = 2

0

d) rSinXdX = [- cos xJ : 1I: =( - cos 2.1t') -( - cos O)= - I -( - I)= 0 e ) lCOSXdf = [sin x] : =(sin .1t') -(sin O)= O- O= O I) Jl!co"Xdx = [sin n

g)

311:/2

J

11:/2

[

x]211: =

(sin 2.1t') -( sin O) = O- O= 0

0

COS Xd f = sin x

] 311: / 2 11:/2

= sin(3JI'j 2 ) - sin(JI'j 2 ) = - I - I =- 2

Besn mmtes Integr al = Fliichen inha lt? Das bcstirnmtc Integral L~ f (x )dr wird oft mil dent Fltichcninhalt unterhalb dcr Kurve gleich gese tzt. Des ist nur in Sonderftillen richtig. Das Integral J;~ f (x) dx entsprichr der Sum me von uncndlich viclcn infinitcsimalcn Tcilflachcn im Intcgrationsbcrcich [o, hI. Dicsc Tcilflachcn sind allcrdings mit Vorzeich cn behuftct, wcil dcr Funktions wcn f {x ) positiv odcr ncgariv scin kunn. Das heiGt. dass posit ive und negative Tcilflachcn zu addicrcn sind. 1m Extrcm fall konncn sich d iesc Tcilflachcn vollstundig ausloschcn und das bcsu mrmc Integral wird zu Null. Daher darf das bcstmume Integral nicht generell als Plachcn inha lt zwischen dcr Funktion f (x) und der xAchsc interpretiert worde n. Die Gleichsetzun g des bcst immten Integrals als Flachcninhalt ist nur in solch en Hillen korrekt. in denen die Kurve f (x) im Integrationsintervall [a. hI die x -Ac hse nicht kreuzt. Die Berechnu ng von Flachcn mit Hilfe des besttm mten Integrals wird lm Abschnitt 8.4. 1 bchundelt .

8.2 Bestimmtcs Integ...al

8.2.2

345

EiJ.:enschaften des hest imm ten Integ rals

Fur das bcsum nu c Integral gc ucn prin zipicll die glcichcn Regctn wic IUr J us unbcsum mtc lntcgra l (vgl. Abschniu 8. 1. 1) und dartjbcr binaus cinigc zusatzlichc:

I. Fa ktorregel

I k ' f(x) d, ~k I b

b

"

(8.12)

f (x ) d ,

"

Belsptel 8.10: rrl2

rrj 2

2 ! 4sinx dr =4! sinx dx = 4(- COsx) l: j = 4 (- 0- (- 1)) = 4

,

"

2. Summenregel b

b

b

! (Cd l(X ) + c2h {x ) + . . . ) dr = Cl ! f l(X ) dr +c2 ! h (x) d t+ · · ·

"

"

(8.13)

"

Beisp iel 8.11: I

I

I

()

()

a· I (3e ' - 2x)df = I3e'dx - I2fdf ()

~ 3 [e'I&- [xl] ; ~ 3(, - I ) - ( I - 0) ~ 4 , 15

2

b. f (x - 2t2 +.r1 ) d t =

o

[rl

2r~

f4] 2= 0.667 -

~ --+~

2

3

4 ()

0= 0.667

3. Ver ta uschen von Int egr ati onsgrenzen. Das Venauschen der oberen und unrercn lntegrationsgre nze bewirkt eine n vorzeichenwecnsel des Integrals.

I f(x) d, ~ I "

b

-

I,

f (x ) d'

"

,

Beispiel 8.12:

!,

sinr dr J:

,

-

!,

sinr dr

o ! sinr d r e ,

,

( -

cosx] : = (- cos O-i- cos 1l' ) = ( - 1 - I) =- 2

(8, 14)

346

8 lntegralrechnung

,

-Jo

sinx d\' = - (

-COSXI:) = cos !r- cos O= - 1- 1 =- 2

4. ldentische ln tegrationsgren zen. Bei identischen Intcgrauonsgrenzen lsr das bcstlmmte Integral gleich Null.

1l(x) dl ~ O bzw. .! dr 0 b

"

"

(8.15)

=

f (x )

b

BeispiellU3:

l'

.r d r

[I_2x 2]' = -2I (32_ 32)= 0

e,

J

.1

5. Unter teifung des Integratinnsinter valls. Das lntcgrationsintcrvall (I S .r S h darf in zwei (odcr auch bcliebig viclc) Tcilin tervallc umc rtcih werdcn. ,

b

b

11(x) d r ~ 11(x) dr + 1 1(x) d r

"

fur (l S c S h

(8. 16)

c

"

Beispiel 8. 14:

12x 2

o

.!

dx ~ x21 :

I

.! 2

Zr d r -].

o

,

~ (2'

_ 0' ) ~ 4

2... d... = ....zl~ +x2 1~ = (12 - 0) + (22 - I) = 1+ 3 = 4

6. Partielle Integra tion b

.!

lr»: b

f (x ) dt =

a

b

[l/ V]: -

a

.!1I'v dt

mit f (x ) = l/(x ) . v'(x )

a

Beispiel 8.15:

.! ~~ d ~/2

r = - x cosxl:/

(}

u

"

2

.!

~/2

+

cosrd...

,/2 1'/2 (J

= - x cos x

o

1

+sinx

0

=[- 0 + 0]+ [1 - 0] = 1

(8.17)

8.3 Numerische Integration

347

Die Integrationsgrenzen konnten auch ganz zum SchluBausgewertet werden:

,"

I o

.

8.3

.r sin.'O d,, = [-.'Ocos.'O +sin.'O]1f/2 = I- O+ I + O- OJ = I

........................

"

0

,J

Numerische Integration

Falls die Stammfunktio n F(.'O ) des Integranden 1 (.'0) ge funden werde n kann, wird von gesctuosseller Integration gesprochcn. Existiert dagegcn kcinc Stammfunktion, muss das bcstimmte In-

tegral minds numeriscner lntegratiun bestim mt werde n. Numerische Integration liefert immer cin skalares Einzclc rgcbnis . welches nur fur das geradc untcrsuchtc Problem gbltig ist. Dagcgen licfcrt d ie gcsc hlossc nc Integration cin generisches Resultar. d .h. das Ergcbnis bcsitzt allgemeine Outrigk eu.

Bcls piclc fur bcsummt e Imegratc. die nicht in gcschlosscncr Form ausgewcrtcr werdcn ke nnen, weil fur die lntcgranden keinc Stamrnfunktionen existtcrc n. sind in nachfclgendcn Bildcrn angcgebcn.

,

f! lx ) d, ~ ?

2

J f ix ) d r ee?

f (.'O ) = e- '.-2 In x

o

I

o.

"

~ 0 02

o

OA

0.'

J(

o.

o

J f ix ) d,· ~ ?

----------- -2 1.2 lA 16 '.8

flx) ~

2

" "

r

J(

2

I

(f Ix) d, ~?

- ..'OSln.'O

I

s:

~ 14

",

I

3

e' f (.'O ) = In x

"

0.6

~ 0.8

"

x 2,6

"

s

,

" Numerische Integration ist naturlich nur fur das bcstim mtc Integral dcfinicrt . Unbcsu mmrc Intc2A

"

IA

J(

1.6

grate lassen sich nicht numcrtsch ermitteln. Das Ergebnis dcr numcrischcn Integration ist (von Einzclfallc n abgcsehenj ein Nnhcrungswert. dessert GUte vom verwendetcn lntegrationsverfahren abha ngt. Nachfolgend werden einige Sta ndardverfahre n fur numerisc he Integration erortert.

34!l

8 lntegralrechnung

8.3.1

Tra pez-Verfahren

Das Trapcz-Verfahrc n (a uch Trapez-Regel genannt) ist ci ne bcso nders ein fache Meth ode und lasst sich schr gut anschaulich herleitc n. Die gekrummte Funktionskurve zw ischen zwei Stutzstclle u wird durc h ein Trapcz nnheru ngsweise erse tzt (B ild 8.5). Der Intcgrationsbereich [a, bI wird in /I Telfiutervallc gleicher Brei te untcrtci lt (iicillidiswllle lntervalle], was insgesamt 11 + I Sunmetten ergibt: Intcgrationsbcreich

a :5x :5b

Anzahl dcr Tcilin tcrvallc

n

Sttitzstcllcn

.vo. .rr,

Schrittwe ite

!I = -

X2 , . • •

,x"

b -a n

y

Y,,/"

Y,

Y~ l

~) 11

Yol

1''-'"

II,

I,

I,

,

Bild 8.5: Trapc z-Ver fahrcn

Die x- und v-Koordin uten der i-ten Stiitzste lle erglben sich dann aus:

Xj =a +; ·11

Yj = f (x;)

i = 0.1.2. ... . /I

In tabe llarischcr Form erhan man: Stiitzstelle i

0

X;

u

a +1I

Yo

)' 1

.v,,

2 a +211 Y2

n

b

Die Trapczflachc 1; des i-ten Teifintcrvalls Hisst sich auf clc men tare Weise bercch ncn:

I, =

+ Yi 2 II

Y; - I

i = 1,2.3. · · ·

, /I

Hinweis: Die Trapczfl achc I; besitzt vorzclchc n. d .h. kann posiriv oder ncgauv sein!

8.3 Numerische Integration Das bcsum rnre Integral 1 ergibt sic h aus de r Summe der

,

1=

Il

349

Trape zflachen :

J

f (x) dx::::: /l +h + · · · + I"

"

j" f (x ) dl" ::::: )'O+ )'1 h + )'I +)'2 h + Y2 + J J h + . . . +)'n-l+Jn h

"

-..2-- -..2-- -..2-II

~ In

1.\

/1

Nach dem Z usumm cnfasscn gleicher Tenne ergibt sich die Trapez-Reget zu:

,

""+' j f (x) d r ::::: h · (T

+.n + n + )'3 + " ' + )'n - l

)

(8.18)

"

Die Genauigkci t des Trapc z-Vcrfuhrens isr, wie bci allen numerischcn Method en, umso bcsscr . jc mchr Teilimcrvullc bcnurzt werdcn.

Sond erfall :

11

,

= 2

j f (x ) dl" ::::: 11 · (2"OH' + )'1)

"

HeispieI8.16: Bs so il das bcsumnuc Integr al J = be rechnc t werden.

I

I

°

,

e- ·r dr nach de m Trapc z-Vcrfuhrcn mit

II

= 2

Anmerkung : Dicses Integral ist nich t gcsc hlosscn bcs tirnmbur. dahcr bcs itzt cs auch kcin cxuktcs Ergebn is. Als qu asi-c xuktcs Brgcbnis soil hic r dcr mi t Maple bcrc chnctc Wen J = 0,7468 zu Gru nde geleg t werden .

11 - 2

,

)' = f (x)e- ·r

11 = b : a = 1; 0 = 0.5

° I 2

l::

0 ,0 0,5 1,0

)'i

i.oooo

)'i

0,7788 0.3679 1,3679

0,7788

Y2+Y 1) = 0.5 · ( -1,3679 22- + 0.7788) = 0.73 14 j e _'·r d l" = h · (''''- + I

J=

Xi

u

350

8 lntegralrechnung

Relat ivcr Fehlcr des numcrischcn Integrals gcg cnube r dcm »cxa kte n« Wert:

0,73 14 - 0 ,7468 0 ,7468 = 0,02 1 = 2, 1% 1

£ ,t" = 1

8.3,2

Simpson-Verfa hren

Das Simpson- Vcrfahrcn nutzt den Sachverhuh aus, dass drei Punktc in dcr .ej-Ebc nc mit cm cr allgc mcincn quadratischen Purabc l y = Co + CI.'O + C2X2 vcrbundcn worden konuc n. Bcispic lswcis c vcrllluft durch die folg cndcn d rci Punk tc j cwcils cin e quadratisc hc Parabcl (Bild 8.6): Parubct I : Parabcl i :

Ib = [(xo,Yo) I'n-a = [ (.'02i-2,)'2i .-2 )

PI = [(x t . .n ) P2i - 1=[(X2i -I ,Y2i-tl

F1 = P2i

=

(X2 ,Y2 ) (X2i,)"2;)

Dcr ln tcgrationsbcrcic h wird d icsmal in 2/1 aquidistante Tcilint crvallc umcneilt. Dcr Gru nd fu r d ie Wahl von 2/1 Intervallen Iicgt durin. dass die Stmpson-Rcgct c ine gerade A nzahl von 'Icilin tcr vallcn bcnotigt (21/ isl imrncr cine gcradc Zahl).

Die quadratische Par abel, die sich jeweils tiber drei Sttuzstellen erstreckt. karin el nen bellebig gekrummtc n Kurvenverlauf natiirlich nur nahcrun gsweise decken. Dcr Feh ler dieser Nnherung ist abcr dcutlich gcr inge r als d ie geradl inige Nuhcru ng des Trapezver ta hrens. Daher da rf man bcim Simpsonvcrfahren im allgc mc inen cine spurbar hohere Gcnauigkcit crwartcn als bcim Trapezvcrfehren.

lmcgrationsbcrci ch

a :=:; .e S b

Anzuhl dcr Tci lintcr vallc

2"

Stlitzstel len

XO·

Schrittwei te

.rr , X2 , ' " , .'02" _ 1• .'02,,

It =h -a

2"

8.3 Numerische Integration

351

Die .r- und y-Koo rd inaten de r f-ten Sturzstcllc crgibcn sic h dan n 'I US: Xi

= a+ i · 1I

i = 0. 1.2, . . . ,211

vt = f (x;)

In tabellu rischer For m erhalt man: Stutzstelle ;

()

I

2

2"

Xi

a

a +1I

(/ +211

Yo

)',

vz

b )"2n

.v,, Der Fllicheni nhalt

!J dcr

erst I' ll DOI'p eiteiljfi iche

zw ischen den Stutzs tclle n Xo und X2 betragt:

Anmerkung: Die obige Forrnel zur Berechnung des Flacheninhalts ei nes O uasi-Rechtecks. de sse n vierte Randli nic durch eine quad ratische Par abcl bcsch rtebcn wird (sc hra tliertc Fltiche in Bild 8.6). kan n ublic hcn Form clsammlu ngcn cmnommcn werdcn und so li hier nieht im Detail hcrgcleitct wcrdcn. Der Flacheninhult h der eweitcn Doppelteilflachc zwischen den Sunzsrellen X2 und sich in analoge r Weise zu:

FUr di e f-re Doppelteilflache

"

X.,J

ergibt

t, zw ischen den Sunzstetlcn X21- 2 und X2i gi lt:

l ,, = -3 (1' ' 1-,'_2 + 4\,1'_, - -, + " 2') ,

i = 1.2.3. ···

. 11

Die Gesarrutt acbe unterhalb de r Funktionskurve crgibt sich aus dcr Summe aller tlachcn :

II

Doppclte il-

b

1= /

,

f(x) d\" ~ /I + J2 + · · · + Jn

Nach dem Zus ammcnfassen gleichcr Tennc ergibt sich di e Simpson-Regel zu:

J" b

" f(x ) d, ~ ­

3

[YO+ n Il + 4(YI + Y3 + .. . + ),2,,- 1) + 2(Y2 + )'4+ . . . + n ,,-2) ]

(8.19)

352

8 lntegralrechnung

Scnderfall : 211 = 2 (cine Tcilfl ache) h

f"

f {x) dr:::::

"3 lv

o + Y2 + 4n l

(8.20)

Sonder fa ll : 211 = 4 (z wei Tcilflachcn ) (,

f"

"

(8.2 1)

f{x ) dr :::::3 l\'o +y~ + 4 ln +Y3 ) + 2Y2 1

Die Simpson-Regel bcsitzt eine deurlich schncllc re Kon vergen z als die Trape zregel. d.h. ci ne Erhohung der Intervallanzahl verbessert die Genauigkeit der Si mpson regel in vie I starkerem Mark als diejcnige der Tr apc zrcgel. lIe ispieI8.17: Das bestlrn mte Integral 1 =

,

f e- r

o

,

d r de s Belspicls 8.16 soil jetzt nach dem Simpson -

Verfah ren mit 2/1 = 2 und 2n = 4 bcrcchnct wc rdcn (exuktcs Ergcbnis: I = 0,7468). Snn pson- Regel mit 2/1 = 2

211 _ 2 h = b -a = 1- 0 = 0.5 2n 2

I

~

n

0.0 0,5

1,0000

I

2

1,0

0.3679 1.3679

l:

,

f e-~

°

1

0,7472 - 0,7468 1 0.7468 = 0.0005 = 0,05%

,.

.'

0,7788

dr = 0,5 (1.3679 + 4 ·0.7788) = 0.7472 3

Relutivcr Fehlcr de s num eri schen Integrals: Erel =

.V·,

Xi

0,7788

8.3 Numerische Integration

8.3.3

353

Ga uss-Quadratur

Die numerische Integration nach Ga uss wird Oauss-Quaaratur ge nannt. Ihrc Herleitung ist rclativ aufwandig und soli hier nicht wiederholt werdc n. Nac hfolgend werden nur d ie wese ntlichen Teile des Verfahrens vorgestellt. Bci dcr Guuss-Quadr atur wird die Funktion f(x ) an ci nigc n genau fcstgclc gtcn Stollen innerhalb des lntcgrutic nsintcr valls [a . h] uusgcwcrtct und mit tubc llicrtcn Gcwic htungsfaktorcn \V; muluplizicrt. An sehliellcnd worde n die e inze lnen Tenne addic rt. Man crhan dadu reh folgc ndc numeri sche Inregrauo nsformc t:

Jf(x) d, ~ b

"

"

[ f; lV, ;=1

Die Rcchcnp rozedur der Gauss-Qu adratur ist nachfolg cnd zusa nuucngcfass t:

Gouss-Quodratur

.I b

f ix) d r

"

~ ,~ f; lV,

n

Anzahl der Stiilzstellen (iiblicherweise 1 bis 4)

/;

Funktion swcrt an der Stelle Xi

.

f; =f(x;)

nut

a +b

(8.22)

b -a

Xi = 2 - + ~i 2-

\Vi : Gewicht ungsfaktor

b -a

\V; = a ; - 2-

Die Kocffizicmcn ~i und

ai

sind der Tabellc 8.1 zu crunchmcn.

Die Gauss-Quadratur ist die in dcr hohcren numerischen Mechan ik wohl am hauflgsten verwcndctc numerische Integrationsmethode. Ocr G rund fur se ine Beliebthci t liegt in der hohcn Cenauigkcit bei dcr Integration vo n Pol ynomfunkticn en . d ie schon mit sc hr wenigcn Srutzstellen errcic hbar ist. Ein Pol ynom (211 - I j-rcn Grad es liisst sich bcrc us mil 11 Srutzstcllcn exakt, d.h . ohnc Nahcrungsfc hlcr. integrieren.

Ueispic18.18: Oas bestim mte Integral 1=

,

.r e- x"l d r des Beispiel s 8.16 soil nach dcr Gauss-Ouadrarur

o

mit 2 Stuzstellcn berechnet werdc n (exaktes Ergebnis: 1 = 0.7468), a +b

- 2- = 0.5

b- a

- 2- = 0.5

354

8 lntegralrechnung

Tabclle H. I: Koetfizieruen der Gauss-Quadratur n

o 2

- 0.5773502692 + 0.577). .)02692

I

2 I

3

2 3

4

2 3

2

I

4

- 0.7745966692 0 + 0.7745966692

0.5555555556 O.888R888889 0.5555555556

- 0.86 11]63116 - 0.3399810436 + 0.3399810436 + 0.86 11]63 116

0.347854845 1 0.6521451549 0.6521451549 0.3478548451

11 _ 2

1 2

~,

Xi

j,

·0,57735 +0,57735

0,2 113

0,9563 0,5368

0,78 87

a,

Wi

0,5 0,5

J I

1=

{,- xl dr = 0,5 · 0.9563 + 0,5 ·0.5368 = 0.7466

n

Rclutivcr Fchlcr: Erel

=

I

0.746 6 - 0.7468 [ . 0.7468 = 0,0003 = 0.03%

Ilie Bedeutung des Koeffizieuten

~

in der Ga uss-Ouadra tur

Die Bedeutung des Koeflizienten ~; wird dcuutc h, wenn d ie dirnc nsio nsbcha fterc On skoordin atc .r m it Hilfe folgender Iinearer Transform ation du rch d ie dtm ensionstose Variable ~ ausgedruckt wird: ' )

x = g(~

o -s-b

J:

h- u

= - 2- + ' - 2-

Die Richtigkcit dic scr Tran sform ation sicht man sofort, wcnn d ie End punkte dcr ncucn Variab le ~ cin gcsctzt worden: x = a + b + (- 1) b -a = a

2

2

8.3 Numerische Integration

a-s-Ir

(

) h - ll

x = -2- + + 1 Die Stlitzstelle n Xi =

Xi

355

2- ~ h

lassen sich also aus den dim cnsionslosen Stutzstellc n ~; bcsu mrnen:

a + /J J: h -a - 2- + "'; '-

Das urspru nglichc Integral karin als Funktion von ~ gcsc hricbcn worden :

jf(x)d, ~

" ;"

"

J'f(g(~)) d~ - I

Das Integral f~i J(g {~ )) d~ ergibt sich mit Hilfe tier Gauss-Quadratur zu:

,

"

j f( ~ )d~ ~ L adi

_I

1= 1

Das gcs uchtc Integral ./: J (x) d r lautet somit: h

j f (x) dr ~ - , -

"

,

h -aj - 1

n b >.«

"

f(g(~ )) d~ ~ L - , - a;[(x;) ~ L Wd i I= l " - v - '

1= 1

W,

Anmer kll l1gel/

FUr Po lynomfunktionen liefem die Simpson- und Gau ss-Regel La. gena uere Ergeb nisse als die Trapc zregcl . FUr Exponential- odcr Transzendcntalfunktionen gilt dies nicht unbcdin gt. In der Finite-Eleme nt-Methode (FEM). die einen Zweig der computcrges tutzten Mechanik (compuunionalmectumicsi bildct, wird die Guuss-Quadrutur in dcr dimcnsionsloscn Form mit dcr Variable ~ durchgcfu hrt.

356

8 lntegralrechnung

8.4

Geometr ische Anwendungen der In tegral rechnung

In dic scm Abschnitt werden ci nigc gco mctrischc An wendungsbcisp iclc dcr Integralrechnu ng vorgcs tcllr.

8.4.1

Ftachenberec hn ung

Das bcsum nuc Integral I cntspricht dcm Plnchcninhalt A zwischen der Punkricnskurvc y = f (x) und der x-Achse im Intervall .r = [a , hJ. sofcm die Funktio nskurvc d ie x-Achse 11 ;("111 schneider. Das bestlm mte Integral I wird negativ, wenn die Kurve dcr Funktio n f (x) unterhalb der x-Ac hse verlauft. Da aber nur ein positives Fltichenrnaf geome trisch Sinn macht, sollie genere ll als Hache A der Absoiutwert des Integrals I verwendct worde n. d.h . A = III;

A

~ 1/1 ~

,

If ! (X)d, 1

(8.23 )

" Heispi el 8.19: Gcsucht ist die von dcr Si nusfunktion y = sinx im Interval! 0 sene Flache A .

~

x :S x ci ngcsch lc s-

YO:~ a

1

•

2

3

J x

A=

sln .ed e e - cos xl: = - cos tt- ( - cos O) = I + I = 2

"

vorzeichenwechel der Funktionswer te Wenn d ie Funktio nswerte von f (x) im lntegrutionsintervall [a,h) ihr Vorzcichen wechscln . muss die Fluchcnbcrcchnung mit Hilfe des bcstimmtcn Integrals ctwas modifiziert worden. In d icscm Fall wird das Interval! [(I , h) in II Teilintcrvallc untcrtcilt. Die Anzahl dcr Teilintervalle /I ist so zu wahlcn. dass das Vorzeichen vo n f (x) sich innerhalb cines Imcrvatls nicht undcrt . Die Gcsamrnucb c A ergibt sich dann aus der Additio n dcr einze lnen Fluchcn Ai : A~

/I

/I

j=<1

i=< l

L A; ~ L 1/;1

Anme rkung: Le ider sicht man dcr Funkrionsglcichung f (x) oft nicht ohnc wcitcrcs an, ob sic im Integrationsbcreich eincn vorzcichcnwcchsct crfbhrt odcr nicht. lm Zweifelsfall solltc man dahcr cine Skizze des Funktionsverlaufes anfertigen - in vielc n Hillen wird cine von Hand nur qualitativ geze ichnete Funktionskurve ausreichend scin.

X.4 Geomerrischc Anwcndungcn J eT Intcgralrech nung

357

Heispi d 8.20: Oil.' von Ilf'f S inucfunkrion y = "in r nnd dc r r-Ach ce einge
a ) Ohnc Untertcilun g des lntcgrationsbcreic hcs crhalt man au f jcdcn Fall cuvfalsches Ergcbnis.

A=

!" sinXdr = - cosxl~1I' =- cos 2JT- (- cos O) =- I +

l= O "

u

h) Mit Unrcrtcilu ng des lntcgrutionsbcreic hcs. aber ohne Vcrwcndung dcr Abso lutwertc dcr Tcili ntcgralc , crhalt man w icdcr eui foisches Ergebnis.

J 211'

Jr

A = ! sin x d r + n

sin r dr

,

=- cos x

Io, - cos xI": =- (- 1- 1)- ( 1- (- 1))= 2- 2= 0

\

c) Untcrteilu ng des Integrationsberciches und Vcrwendung dcr Absolutwerte der Teilintegralc licfert das karrekte Ergebnis.

,

z

A = ! sinx dr + ! sinx dr

"

=

1[- cos x]~ 1 +

,

1[- cos x]; 1I'1 = 121 + 1- 21= 4

/

F1iich enberechnung bet berelchswelse d efiniert en Fun k tlnnen Ge legentlich kommt es vor. dass die Funktion f (x ) die .r-Achse zwa r nic ht schneider. aber aus nur bcreichsweisc definicrten Teilfunktionen bestclu (Bild 8.7). Auch in solchcn Patten ist d ie Unterte ilung des Integratio nsintervalls in geeignete Te ilbereiche notwendig:

fl (x ) fU r xO:SX :S Xl

[ (x) ~

12 (x)

fu r

Xl

S XS .Q

351l

8 lntegralrechnung

,,: ~ ,

o

,

•

Bild 8.7: Bcreichswcisc deliniene Funktionen .r und cosfr - 1)

=> A = A 1 + A2+· ··+ AIl

A ~ lZ [,(X) d'

+ lh (X)d' + .. + ,Tf,'(X)d'

'-..---'

'-v-'

AI

A2

UeispieI8.21: Die Hac he unterhalb der bereichsweise definierten Kurve in Bild 8.7 soli berechnet werde n.

[ (x) =

f,( X) ~ .r

fU r O $ x $ 1

{ h (x ) = cos(x - I)

-

,

A = A I + A2 =

J

J,

- 2

+

1 1(x) d r

, JX dr+ J cos(x , It/ 2+ I

It/2 + 1

11

8.4.2

•

fur l <x < - + I

h (x) dr

~

I) dr

11

Flac he zwisc hen zwe i Ku r ven

Die in Bild 8.8 a dargesrellte Flache A zwischen den Kurven 1 1(x) und h (x) crgibr sich aus dcr nachfo lgenden Beziehung (die Kurven schneid cn sich nicln im tnne nbereicli des Integration sintervalls [a. bl ).

A

~

"

,

.r" V, (x) - 12(.1 )1d r ~ J[ ,(.1 ) dr - .r 12(.1 ) d r "

"

(8.24)

"

Wenn sich die Kurven 1 1(x) und h (x) an 11 Zwischenpunkten inncrhalb des Inrcgrauonsm tcrvatls [a.h] krcuzen (mit den Kreuzungspc sftlonen Xt ,X2 . · · · .x,, ). I11IIS.\· die gesuchtc Flachc A als

X.4 Geomerrischc Anwcndungcn der Intcgralrech nung

359

y

y

A

,

,

•

a: ohnc Zwischcnschniupu nkt

,

",

,

b: mil einem Zwischcnschniup unkt

Bild 8.8: Hache zwischen lwei Kurven

Summc dcr Tcilflachcn Ai bcrcchnct werdcn. 11 + 1

A ~ ~> ; ~ ;= 1

I,

~

J"

11, 1+ 11,1+ " ,+1/.+01

(8.25)

121.<)1d r

I,

"

odc r in vcrullgcmcincrtcr Fonn:

J V, Ix) - h lx)1

-
-<1

lfJ(., ) -

~ J [/ il x) - h lx)] d r "

1«+,

~

de

"

';

I, ~ J [/, Ix) -h lx)] d,

i = 1.2. · · · .n + 1 wobci xo =a. x'I+I =b

Xi _ l

Hinwe is: Wenn die bcid en Kurvcn sich nur an den Endpunktcn des lntcgrationsbcreichcs schnciden. d.h. nur an den x-Positio nen a und b , gilt GL (8.24) . lIeispiel 8.22: Gcsucht isl d ie zwisc hen den Kurvcn Plachc im lntcrvall 0 .:5 x .:5 21l" .

It (x) =

2 +sinx und h (x) = 2 - sinx licgcndc

1m Intcgrationsbcreich schneiden sich die Kurven von I I (x) und sehenpunkt (n = I) und zwar an der Stelle Xl = x : II =

l. UI- "

h ) d e = 1 [2+sinx - (2 - sin

12 (x) an einem Zw i-

,

x)] d~ = I Zsin.r d r

0 0 0

ee

- 2 cos.{ = 4

300

8 lntegralrechnung

lUI 2n:

12 =

8.4.3

•

l

2n:

12 ) dr ee

•

2si nxdx = - 2 COSXe = - 2[ 1- (- I)] =- 4

Ftachenber echnung in Poterkoord tnaten

Ocr in Bild 8.9 abgebildctc Kreis vo m Rad ius r wird durch d ie Glcichun g x 2 + y2 = r 2 bcschricben. Die Krcis flachc A konruc nach dcr Fonncl (8.23) wie folgt bcrcch nct worden :

y =!(x ) = ± vr 2 -x2

A=4

Jo'

! (x) dr = 4

J' ' ------'

vr'l. -x2 dr =4

[x~" 2 + "2

arc tan

0

r'; ;'~~] , ";r~ - .0;2 (}

~ 4 [O +;}] - 4 [O + OI ~ K" y

x

Bild 11.9: Kreisflachc in Polarkoordinatcn

Die Berechnung dcr Krcis flach c gcs talte t sich abcr wesentlich elc gamer, we nn man anstelle der kartcsischcn .ry-Koordin utcn di e Polarkoord inaten r und a verwende t (Defin ition von Polarkoo rdinatcn vg l. Sei te 178). Die Lan ge eincs infinitesimalen KurvensHickes auf dem Kreisumfa ng sc i mit ds beze ichnet (Bild 8.9) . Nac h Regeln eleme ntarer Geometrie gil t: d.~ = r· d a

Das dunkel schraffienc drcieckformig c injin itesi male Krcls scgm cm mit dcrn Scg mcruwin kel da bcsit zt die Form ci nes Drciecks. Sci n Flachcn inhal t bctragt: WI. = -1 r · ds = -1 r· (r da ) = -" da

2

2

2

X.4 Geomerrischc Anwcndungcn der Intcgralrechnung

36 J

Die Integration tiber den gesamte n Umfang licfert d ie bckann te Formcl fur die Kreistlache: 2n:

A

=

J

dA. = "21

0

8.4.4

J' 2n:

r: da

= "2 J 22 n:

r

de

) r- a 10"

= 2"

~

r- (211' - 0) = 11'r·, = 2"

00

Bogenlange einer Kur ve

Die Bogcntangc cincr Kurvc spielt in lngenicuranwcndungcn c ine wic htige Rolle (z.B. Scillangc cincr Hangescilbruckc. Tragerldngc cincr Bogcnbruckc. Bahnlan gc cines Flugkorp crs). Zur Herlcitung dcr Formel dcr Bogenlangc wird in dcr .ev-Ebcnc cine bclicbigc Kurvc y = [ (x ) bctrachrct (Bild 8.10 ). y

a

o

,

Bild 8. 10: Bogcnungc r ctncr Kurvc

An ei nem differentidlen Bogcnclcm cnt mit der infi nitcsirnalcn Lange ds ergeben sich folgende Bezieh ungen nus der PJ/!lagoms-Beziehung:

=> d~ = J l + ) J2 df

(8.26)

Die ges amte BogenHinge s ergibt sich aus der Integration der diffcrenticllcn Bogenliinge dv tiber dcm Integrationsintervall [a. h]:

(8.27)

"

362

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.23: 7.11 berechnen ist IIiI.' Rngenliinge der KlIrV(' y =

R

im lnn-rvall 0 ::::; r ::::; 2 .

"

" ,'---- - -,, - - -, 2

' ~Io 8.4.5

Bogenlangenberechnu ng in I'olarkoord inat en

Die Bogenlilngen berechnung nach GJ. (8.27) kann sich in Einzelfallen wesen tlich veretnfachen . falls d ie Kurve in Polarkoord inaten (vgl. Seite 178) besch riebe n werdcn kann. Als Demonstrationsbe ispiel wird die Umfungslange U eines Kreises berechnet ( Bild 8. 11). Die Berechnung erfo lgt zunachst im kartesischc n xj-Koordinatensystcrn und dann ansc hlieBend im Polark oordtn atensystcm .

y

x

Bild Roll: Polarkoordinaten zur Berec hnung des Kreisumfangs

X.4 Geomerrischc Anwcndungcn der Intcgralrech nung

363

Heisp id 8.24: Berechnu ng im tcartesischen KS: Die Bcrcchnung de s Kreis umfangs nach Gl. (8.27 ) lautct:

Y=V

r 2 _ X2

=>

v r2 _ x 2

, , U=4J V I+yl.!dt =4J n

,

-x

o

'

vr2 _ x 2

l + yr.2 = ~ r- - x·

dr

= 41' [arcsin ~ ]: = 41' (arcsin I - arcs in 0) = 4r( ~ - 0) = 21t"r

Dic scr Rechengang isl zwar nich t bcsondcrs schwic rig, aber au ch nicht ge radc sehreinfach. Dcurlich ein facher w ird er untcr Verwendu ng vo n Polarkoordi nuten. wie nac hfolge nd gezcig r wird. Die Lange dr cines inlinitesimalen Kurven stuckes auf dcrn Kreisum fan g crgibr sich zu: d.\· = r· d a Integration ubcr 360<> in Um fangsrichtung l icf ert : 211

211

U = ! ds = ! r da = ra l: 11 = r(2Jr- 0 ) = 21t"r

"

,

Dic scs Bei spiel zcigt eindrucksvoll. das s es sich sehr lohnen ka nn, darubcr nach zudenken. ob ein gegebenes mathemu tisches Pro blem durch Transformati on in ci nen andcr en Variablenraum (hier: vom kartc sischc n xy-Raurn in de n polaren r a- Raum) mogfic herweise ei nfacher gclos r werden kan n.

8.4.6

:\l3 ntclniiche cines Rotatlon skc rper s

Es Rccuionskorpcr entsteht, wenn cine in der xy-Ebene liegende K urvc um ci ne der beiden Koordinarcnuchscn um 360<> gecrct u wird. Bild 8. 12 a zcigt cinc n Rotntionskdrpcr bei Drehung um d ie x- Achse. Die Mantelftiiche cntspricht der ge kriimmten Obcrflachc, die unrniuclbar dcr Kurvc y = f (x) zugeordnet ist (s ie eruhalt also niclu die beiden krei sformigen Snm rluchen).

8.4.6. 1

Rota tlons flac he urn di e .r-Achse

Wen n d ie Kurve y = f (x) cinmal vollstandig urn die .r-Achsc gcdrc ht wird. cntsrcht cine Rota rionsflachc. dcren Lan gsach-,c d ie x-Achse ist. Pur d ie Bcrcchn ung dcr Memc lnnch e wird der dijferentielle Kegelstump] in Bild 8. 12b mit folg cndcn gco mctrischc K cnngroucn bctrachtet:

364

8 lntegralrechnung

., \

y= f()()

y

, )(=a

)(=b

U: Rounionskbrpcr

b: Kegelstumpf

Bild 8.12: Rotationskdrper bei Drehung von f (x ) urn die .r-Achse

II = dr L = dr Radius am linken Ende ' 1= Y Radius am rcchte n Ende ' 2 = y + dy Die Manrelfluche des Kcgclstumpfs crgibt sic h nus elcmcruarcr Geomet ric: Hohc

Mantettange

-- ---

Nach Ei nsctzcn ohi gc r diffcrc nticllcr Gr(jBen in dies c Forme ! crhalt man: d4. M = 1C ( Y + y+ dy) ds = 21C y ds+ 1C dy d.f FI

'1

~

Die Groucn ds und dv sind infinucsim al: daruus folgt. das s (ds · dy)« dx . Polglicb kann in obigcr Bezichung dcr zwcitc Term vcrnachlass igt worden. Sctzt man noch die Bczichu ng ds = J l +y12 d r ge mna (8 .26 ) ci n. crgibt sich die Man rclflachc des diffcr ent icllcn Kcgcl stumpfs zu:

d4.M = 21C y ds= 21C y J I + yf2 dr

Die gcs amtc Mantcltfachc Aw des Rorat ionskorpers crgibt sich schlic gfich durch Integration von dAM im Interval! {/ S.r S b :

! h

AM =

"

h

d4.M

AM = 211" ! y ) l + yf2dr

"

(8.28)

X.4 Geomerrisc hc Anwcndungcn der Intcgralrech nung

365

y

»> y=f(x)

-" ="==t::1

,., ,• -

~

I

~l::>":>

{:

a xi

b

x

x+dx

Bild X.13: Rotationskurper be i Drehun g von f (.1;} urn die y-Achse

Beispiel 8.25: Es soli die Maruclflache des Rotationskc rpers berechnet werden. der durch volls tandigc Drehung der Kurve y = coshx um die x-Achse entsreht (0 :5 x :5 2).

y' = sinhr

y = cosh .r

z

AM =2Jr

J

cosh x

o

~ dx = Cllshx

a

2Jr

J

cosh 2x d r

0

I'

= 2Jr -I (x + sinhx cosh x ) = 49.15 2 o

8.4.6.2

RotationsfHiehe um di e j-Achse

Wen n die Kurve y = / (x ) um die y-Achse gedreht wird. entstcht der in Bild 8.13 dargestctne Rouuion skorpcr. Seine Mamel flachc wird durch ahnlich c Betrachumgen wie im Falle der Rotation urn die x-Achse bercchnet. Die belden Radien des Kegelstumpfes sind d iesmal rl = .r und ri = x + dr. Die Mantelflache des diffcrentiellen Kegelstumpfes ergibt sich aus: dA.\1 = Jr (x+ x + dr] ds = 2Jr X de+ Jrdr dr

'---v---'

."

Die Mantelftiic he AM erglbr sich durch Integration von dAM im Intervall e :5 .r :5 b : b

A M = 2Jr Jx V I + y f.! dt

"

(8.29)

3M

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.26: Gesueht ist die Mamcl ff ttchc des Rotartonskorpcrs, der durch Drehung dcr Kurvc y cosh r um die y-Aehse cntstehr (0 :::::; x : : :; 2).

y' = sinh x

y = cosh x

I ~ d~ = 2Jr Ix ,

AM = 2Jr

=

2

.r

o

c,,,h..

cosh.r d r

0

= 2Jr (x sinhx - coshxll: = 28.22

8.4.7

Volumen cines Rota uo nskorpe rs

Die Berech nung des Volumcns eines Rotation sk6rpcrs basiert prinzipiell auf der g1eichen Gr undl uge wie die Berechn ung dcr Mamel tlachc. Zunnchsr wird das Volumen eines differentiellcn Kegelstumpfcs ermittclt und darau s wird das Gesamtvolum en du rch Integration berechnet.

8.4.7. 1

Rora tionskbrper um di e .r-Achse

Ocr bci der Drcbung um die x-Achsc cnrsrehcndc Rorauo nskropcr ist in Bild 8.12 a dargcsrctlt. Das Volumen cines Kegelstumpfes mit dcr Hohc h bctragt nach clc mentarer Mathematik:

Mil den gcomctrischcn Grosen des diffcrcmicllc n Kcgclstumpfcs erhalt man: dV = Jrt

~

=

.

--

[/+ y . (y+ dy )+ (y+ dy)2] [3/ d r + 3Y dr dY+d~ (dy)2] ",,0

:=

Jr/ d r

~

In dcr obigen Oleichung sind Terme. in dencn Prod uktc von dr und dv vorkommcn, vemachIasstgbar klein gcgc nuber dem ersten Glicd mit d r, so dass sic weggelassen werdcn kcnn cn. Das Volumcnt V crgibt sich aus der Integration von dV im Integrationsintcrvall a :::::; x ::; b :

I

b

V=

"

b

dV

V =Jr I .\). d r

"

(8.30)

X.4 Geomerrischc Anwcndungcn der Intcgralrech nung

367

x Bild X.14: vctum cn bci bci Drchung vo n I (x) um die j-Achsc

UeispieI8.27: Es soli das Volurnen des Rc tat tonskorpc rs bcrcchn ct werdcn. der durch Drehung dcr Kurve y = sinh x urn die .r-Acbse entstcht ( 0 .:5 x .:5 2).

V= n

J 2

2 sinh .r d r =

I

2

n 2 (sinh cos h .r - x)lo = 18.29

o

8.4.7.2

Roratton skorper um d ie y-Achse

Fur die Besdm mung des Volumens. welches durch Drehung dcr Kurvc y = f (x) urn die v-Achsc entst eht (Bild 8.14), stchen zwe i Moglich keiren zur VerlUgun g. Bei bcidcn Altcmativen is! dcr Ausgang spu nkt das infinitesimale Volumen dV des Kegel stumpfes mit dcr Hohe dy :

.? dy

dV =

l! .

Meth od e A Sci dieser Methode wird die Funk tion y = f (x) zunuch st nach .r au fgelos t, d .h. ma n berechnct die Umkehrfunktion .r = g(y ). A nschliefcnd wird dV in Richt ung der v-Acbsc intcgricrt.

V

=,.1 "

J

Yb

I·h

\'~

dV = n

,.•

i (y ) dy

V =

1rJx2(y) dy

(8.3 1)

\'~

Hinwe is: Es ist zu bcacht en. dass die Var iable .r im obi gen Integral cin e Funktion von )' ist. d.h. cs isl .r = g(y ). Die Funktion x = g(y ) wird gewonnen. indcm die Funk tion y = f (x) nach x aufgclosr wird.

3till

8 lntegralrechnung

Methode B Bci dicser Methode wird das Integral in (8.3 1) so umgcformt. dass die Integration vo n dV In Richtung dcr .r-Achsc crfolgt. Aus dcr allgcmcincn Ablcitu ngsdcfinition y' = dy/d~ folg t dj-= )" dx. Das infinitesimale Volurnen dV crgibt sich dadurch zu:

dV = Jl" .~ dy = 1C .\.2 l d~ JeW kann die Integration ubcr die unabhiing ige Variable x erfolgen, vgl. Bild 8. 14:

,

V=

,

J

V = Jl" J x2 l d~

dV

"

(8.32 )

"

Anme rkungen: Falls das Volumen gemaB OJ. (8.32) negau v wird, ist einfach dcr Absolutwert zu neh men. Es ist keine allgemcin gUltige Aussage mogfich. welche Methode d ie schnellere bzw. ubcrslchtlichere ist: cs kommt auf den Einzelfull an. uetsplel 8.28:

•

Es soli das Volumen des Rotationskorpcrs berechnct werdcn. dcr durch Drehung der Kurve y = sinhx um die y-Achse cntstcht (0 S x S 2).

"" "

...'

•

• __ -2

.,---.

...---::,

'---", -',--;--- _,...--,

a) Losung mit Hilfe der G1cich ung (8.3 1):

y = sinh x .1'1>

x = g(y) = arcsinh y

=}

V = Jl" J -~

.'"1>

dY = 1C J

.'"a

2y

arcsinh

dy

.l"a

Die lntcgrationsgrenzcn in j-Richtung sind:

y" = f (x = 0 ) = sinh O= 0

Yb = f( x = 2) = sinh 2 = 3.63

J

J.6J =}

V = Jr

arcsin h2y dy = 2 1,13

o

Anme rkung: FUr den Integranden existiert keinc Stam mfunktion. Das obige Integral wurde numerisch uusgewcrtct. b) Losung mit Hilfe dcr Gle ichung (8.32): ,

y = sinh x

=}

yl =cosh x

V =1C Jx2 ld~ = "

2

1C Jrcos h x d~ 0

&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrechnung

v=

Jr

369

(x2 sinh x - 2t cos hx + 2 Sinh X) I: = 2 1,(}9

Technische Anwendungen der Integralrechnun g

8.5

In Tech nik und Wisscnschaft cxisticn fur lntcgralrcch nung cin brcitcs Spc ktrum von Einsatzmnglichkeitcn. In nachfolg cndcn Ahsch nittcn sollc n cxcmplarisch nur cinig c wenigc A nwcndung«bcispielc vorgestellt worden .

8.5.1

Biegelinie eines eingespannten Balkens

Ein an sci ncm li nkcn Endc fest eingespannter Halken w ird an scinc m rcchtcn Endc durch die Ein zcll ust F bcla stct. Gcsucht ist die grimte Durchbicgung des Balkcns. Das Bicgeproblem des Balkens wird durch die folgenden Beziehu ngen der Fcstigkcits lchrc

bcschriebcn: Biegemo ment M als Funktion der Position : M = - F (L - x) Kri.i mm ung der Biegeli nie il ls Funktio n des Blegemomcnts :

v" =

M / EI

E ist dcr Elust izitatsmodul, I das Tragheitsmomcnt des Bulke nquersch nitts. y'

I

@

1_-----=--__

Aus den gegc bcncn Beziehun gen erhalt man durch Einset zen:

F (L - x ) Y" = - EI Mil Hilfc der grundlcgende n d iffcrentiellen Beziehungen /I

dl

.r = -d r

=>

,

dy' = ylf d r

dy

.r = -dr

=>

dy = y'dt

er hdlt man die Biege1inie durch zweima1ige Integration : d.)." = y" d t :

dy = y'dt

-l»:" Jy' dx

J dy' ~JY"d'

,.

'*

I Y' ~ JY" dx l

'* I ' ~ Ji d' ~ J(j y" dxH

370

8 lntegralrechnung

Fur das vorlic gcnde Beispiel crhuh man :

'J"

FJ

v dx = - . EI

y =

)

F

( L - x dr = - -

EI

Die unbckanntcn Konstunrcn C I und Cz wcrden aus den Randbcdingungen am linkcn Rand. d.h. fur x = O. bcstimmt:

0 / (0) = 0 y(O)

~

Durchbiegung am linkcn Rand ist gleich Null. Drchwinkel q> am linkcn Rand ist gleich Null.

O+ O+Cz = 0

Die Bicgcl inic als Funktion der Ortskoo rdinate .r lautet somit:

F(L, - 2- X -') 2 6

r (x ) ~ - -

.

EI

Die gro13te D urch biegung

8.5.2

»'

tritt am rcchte n Ende des Bulkcn s fur .r = L auf:

Tragheitsmo ment eines Que rscbnttts

Die Durchbicgung des Balke ns im Abschnitt 8.5.1 ha ngr unter anderem auch vom Tn igheltsmal ab. Das Tragheit smomen t ist d ie relevante Kermgro ae ci nes Balkenquerschnittes hinsichtlich dcr Biegebeanspruchung und bczieht sich um ein e in dcr Q uerschnitssebcne Iicgende Bezugsachse (B ild 8.15). Man unterschc idet zwischen zwei Traghcitsmomcntcn eines Q ucrschnitts:

lI1e lll

I:>;

1.1'

Tntghcits morncnt um die .r-Achse Traghcitsmom cnt um die v-Achsc

Bild 8.15 zeig t ei nen beliebige n Qu erschnitt, in dcssen Schwerpu nkt S das xy-Koo rdinate nsystem platziert ist. Be i Querschnitten nus hamag enem Werksto ff fallt dcr Schwe rpun kt mit dc m sog . Neutralpunkt des Qu crschnitts zusammcn. Dcr Neutralpunkt ist de rjenige Punkr. an dcm Biegespannunge n glcich Null sind. Die Trughci tsmomentc If und 1.1' crgeben sich gema13 Regel n der Technischcn Mechanik aus

&.5 Tec hnischc Anwcndungcn der Intcgralre ch nung

37 1

, A

Bild 8.15: Traghcitsmomem cines bclicbigcn Qucrschntns

y

I

i

--. I

h(x}

I

A

,

"1mn Ym'n

Bild 8. 16: Querschnin ohne Hohlflac hen

den nachfolgc ndcn bcstimmtcn Integralcn:

A : gesa rnre Qucrschnittsfl achc

(8.33)

Fur Vollquersc hnitte nach Bild 8. 161asst sich die lntcgrutionsfonn cl (8.33) wcitcr vcrcinfachcn:

,-

.I'm...

r.=.f /

d4 y

dA,.

.1'""...

t, =

.f/ b(y)dj-

I.,. =

~ b (y ) d.l'

.f ~ d4 ,.

.f ~ h(x) d r

d4 x = h{x) d r

X"""

t, =

(8.34)

Heispid 8.29 : Gcsucht sind die auf den Schwcrpun kt S bezogenen Traghcusmcm cnrc l , und l.\, cine s Rccheeckqucrschnitts mit der Hohc h und Brcite b .

372

8 lntegralrechnung

y

.

, <>A,

,I

I

,

s

,

,

'- ,- -

Aus Gleichung (8.34) crbult man mit h(y ) = h und I,(x ) = ,, : h/2

J

1= ,r

)" 1,,/2

"[(")' 2

( --h)' ] ~ 1010'

1'/2 = -103 [(")' 2

( -- ") '] ~ 10' " -

v2 b dv= b = . 3 - "/ 2 3

.

2

12

- h/ 2

11/2

f

J..= '

.

- bj 2

.r-3 " dr = h .0' 3

- bj 2

2

12

Ueisp id 8.30: Die Traghcitsmc menre Ix lind ~,. cines Kreisri ngs sind identisch. d.h. I , = I" = I . Gcsuclu ist das Triighcitsmomcnt I fllr eiuen dtinncn Kreisring mit der Wanddicke t und mittlerem Radius r

Die lntcgrution wird in dicscm Fall zweckrnaliigerweise im ebc ncn Polarkoord inatcnsystem durchgcfllhrt. Aus Glcichung (8.33) crhiilt man: I = I, =

J

i dA

y = r sin a

dA = t · ds= t · (r da ) = (t r) da

A

2Jr

1 = j (r sin a )2 (I r) da = r' t

o

J

[¥- ~

2Jr

sin2 a da =r3 t

0

'

Jr

sin 2a J: , = lC?1 ....

&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrech nung

373

Heispi d 8.31: Gesucht ist des auf den Sch werp unkt S bezoge ne Tragheitsmoment I ,. ein es gleichschenkligen Dreieckquerschnins mit Kantenlnngc (/ und Hohc h. y

x

Der Schwerpun kt S is! glcic hzeitig der Ne utralp unkt des Drcleckqucrschntus und besitzt von der umeren Gru ndkante den Abstand y" = h13. Die verandcrlichc Breitc b ist cine Funktion dcr j-Koordinate :

b(y ) = (/ (

y)

'32 - 'h

Des Trugheitsm om cnr um die .r-Achse erhult man ge maBGl. (8.34) wie folgt:

I

.,

~

J

-,"""",

) ,2 b(,-) d v =

"m in

8.5.3

J

2h/3

..

\'2 (/

.

(~3 - h~)

211/3

[~9 (/)'3 - ~)-,] ' 411 - h/

d )' =

.

-h/3

l

.

Tempe rat urfeld in einem Stab

Gcsucht isl die 'Iem pcraiurven cilung T (x ) in cincm Warmc lcitcndcn Stab dcr Lange L. wobc i ubcr d ie Tcm pcrutur d ie nachfolgcndcn Informationen bckannt sind: T (x = 0 ) = T] Tempc rat ur am linken Srabcnde hal den konstan ten Wert T1 T (x = L) = T2 Temp eratur am rechten Stabc ndc hat den konsramen w ert T2 T" (x ) = 0 die 2. Ableit ung von T versc hwindet uberall enllang des Stabcs T, • L

Einma lige Integration von T" (x ) liefert T' (x } :

T' (x ) =

!

T"(x) dx = ! Odr = C 1

I

1i

x

374

8 lntegralrechnung

t-or

------- ~es

5(1)

Bild 8.17: Gcradlinigc Bcwegung

Erneutc Integr ation VOn T' (x) liefcrt T (x ):

T (x ) =

J

T' (x) d r =

J

CI dr = C,X+C2

Die unbekan nrcn Konstan ten C 1 und C2 werden aus de n Randbeding ungen bestimmt: T (O ) ~ T,

T (L ) ~ T, Mit den nunmchr bckanntcn Konstumcn Cl und C2 crgibt sic h die ges uchtc Funkt ion der Temperaturvcrtcilu ng als cine lincarc Funktion dcr Lan gskoordi nate .r:

8.5.4

Geradllntge Bewegung

Entlag eincr ge radlinigen Bahn im 3D-Raum bcwcgc sich eine Masse (8i ld 8. 17). Die von dcr Masse mil Bezug auf einen Ausga ngsp unkt zuruckgctcgtc Wegstrecke s sci als Funktions der Zeit I bckannt. d.h. .I" = ,\·(t). Die mOllle1llal/(' Geschwindigk eu \'(1) cntspricht dcr crsten Ab lei tung der Wegstrccke s(r ) nach der Zeit t . Die IIIm l1 ellt(ll1e Beschleunigung a(l ) wiederu rn ist du rch die erste Ableitung dcr Geschwindigkei t nach der Zeit definicrt:

dol' \'(1) = ~ = ,\' ill

1.1 1' = 1'= 1.11

a(I ) = -

d 2s 2 = f.' dt

(8.35 )

Die Fragestcll ung kann auch ur ngckchrt scin : Bei bcku nntcr Bcschlcu nigun g a = a(t ) sotlc n Gcschwindigkcit \' = \'(1) und w egstrccke s = s(t ) bcrechn ct werden. A us G I. (8.35) Iolgcn d ie Beziehun gen: d ~' =

(1 (1) dr

dl =I'{t) dr

Integration dicscr Bezie hun gen licfcn di e Gcschwindigkcit und Wegstrcckc : 1'(1 )

=.! =.! 1.11'

a(t ) 1.11

(8.36)

&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrech nung

Heispi d 8.32:

Beschleunlgte Hewegun g

Ein Korper befind er slch vum Zeitpunkt I = 0 an dcr Position .~ = 0 II n(1 be xitz t die Gcschwindigkcit 1'0 (Anfungsbcdingun gcn ). Fur t ~ 0 crfahn er die konstante Bcschlcunigung a . Ges ucht isl se ine Gcschwindigkcit \' und Wcgstrcckc s zu j cdcm bclicbigcn Zcitpunkt t > O.

_

~n",",.

- ",

s(l)

Die Geschwindigkcit lasst sich aus (8.36) bcrcchncn :

I'(t ) =

.!

Die Kc nstanre

(l dl = (I( + CI wird aus der An fangsbed ingung bestirn mt:

Cl

I'(t = 0 ) = I'D

Die w cgstrcckc

.~

CI = 1'0

=>

1'( r ) =I'o +(//

crgibt sic h aus dcr lntegrutio n von I':

s(r) = [ I.(t ) dl = [ . .

(1'0

+(/() dt =

1'01 + .!.

2

al 2 + C2

Zur Bestimmung dcr Kon stan tc C2 dienl di e Anfangsbcdingu ng s(O) = O: O+O +C2 ={)

Beispi el 8.33:

=>

C2 =0

=>

I

,

* ) = 1'0 1+ 2" (1(-

Mecha ntsche Ar beit

Ein Kerper mil dcr Masse 111 = 200 kg, dcr sic h auf ci ncr rcib ungsfreicn Umcrlagc hcfindct . wird aus dcrn Ruh cstand herau s du rch die Einwi rku ng dcr Kraft F = 1000 N bcschlcun igt. Bercchncn Sie die in ]() Sck undcn gclc istctc Arbon W . Die allge meine Bezich ung fur die gclcistctc Arbcit W lau tct nach den Gcsctzcn dcr Physik:

W=

J

Fds

(Int egral dcr Kra ft cntlang dcr zuriickgclegte n Strccke )

Umer Bcr uckstch ttgung der Bezieh ungen dv = I'dl und I' = ru + at crhan man m il = () (Kerper beti ndet sich fur ( = () im Ruhezustaud] aus dcr obige n Beziehung:

l in

W = .! Fd.\' = .! FI' dt =.! Faldt Das Einsetze n der bckan ntcn Newto nschen Bezieh ung a = F / m fUTcine konstante

375

376

8 lntegralrechnung

Kraft in das letzte Integral liefcrt in eincm bclicbigcn Zeitintervall [to, II!:

Mit den vorlicgc ndcn Za hlcnwc rtcn crgibt sich die gclc istetc Arbeit zu

w = lOOO~ ,{ ~~ -O)

Ucispicl 8.34:

= 250000Nm = 250{X)01 = 250 kl

Flughohe

Einc Rakctc bcfindct sich auf dcr Erdobc rflachc und sctzt sich vom Ruhczustund aus in vcrtikalc Bewegung, d.h. ihrc Anfungsgcschwindigkci t isl Null: \'0 = O. Die Bcschtcunigung dcr Rakctc in Bezug auf die Erdobc rflachc ist durch die Funktion a(t ) = 10( I _ l,- O.II) (in m/ s2) gege bcn. Gesucht sind die Geschwind igkeit und Flughohe nach 20 s Flugzeit . Die Ge schwindigkeit

v(r ) =

J

I'

ergibt sich aus Gl. (8.36):

a(/ ) dr = / IO (I _ e - O. II ) dl = 10 / + HX)e - O,11 + c l

---

Aus dcr Anfangsbed ingung 1'(0) = 0 folg t: O+IOO e- O,I ' () +C I = 0

CI = - 100

I

\'(r ) = JO t + lOO e - O,11- 100

::::}

1'{20) = 113,5 IIIl s

Auch die Flughohe s ldsst sich mit Hilfe von Gl. (8.36) berechnen: s(r ) = / I'{t ) dt = / ( 10 / + HX) e - 1U I - 100 ) dt = 5/ 2 - looo e - O. l l - 1001 + C2

Da sich d ie Rakctc zur nZcitpunkt

I

= 0 auf dcm Boden bcfund . crgibt sich: ::::}

::::}

C2 = 1000

s{20 ) = 864,7111

Das folgende Schaubil d zeig t die Hohc der Rakctc als Funkt iun dcr Zeit.

&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrechnung

377

eoo ~

i 400

"" o

8.5.5

so t

Lamin are Rehrstromung

Wen n ein Kreisrohr von einer Flusslgkeit mit geringer bis mnalgc r Geschwindigkeit du rchstromt wird. sprcchcn wir von e iner laminarer Strii lllll J1K (Schichrcnstromungj. Einc solche Srromung hesitzt ein parabc lformiges Gcschwind igkcitsprofi l tiber dcm Rohrqucrschnitt:

" (r ) Strom ungsgeschwlndigkeit an der momcntancn Radialpositio n r, Jif'/ti s Druckgrad ie nt (d.h. Druckabfall Jif' uber dcr Lange ti s), ,., dynamlsche Zahigkeit. R RohrraJ ius. Dicsc Beziehung ist als das Gese tz von Hagen-Poiseullle bekannt. Das Geschwindigkeitsprofil besitzt die Fonn cines Rotationsparaholoids (bzw. Parubcl, wenn nur d ie Bbcnc bctrachtct wird).

Die maximoie Striinmngsgeschwindigkeit \'",,,, trtu in der Rohrrruuc (d.h. r = 0 ) auf:

Ocr \,hll/mells/rom (das Flussigkcit svolumcn. welches pro Zcitcinhcit durch das Rohr nicGt) erg ibt sic h aus dcr Integration dcr Gcschwindigkcit ubcr dcm Stromungsqucrschnitt A :

v ~ J \'( r) dA = .(I'(r ) "-v-" 21tr dr = A

Ji .f

Ji fl ~- -

-J

1 Ji 1 f' -4 (R - r ) 21tr dr Jis ,.,

1 1 s. (\R r _ r ' ) tl r = _ ti fl s. (R,-2 _ r )I' 211 . ti.\· 211 2 4 A

= _ Ji fl

,


0

4

o

1tW

--

Ji.\' 811

II

371l

8 lntegralrechnung

Anmerkung: Da die Druckandcrung in Strdrnun gsrichtung stcts ncgativ ist. d.h. ,11'/ fIlS < 0, crgibt sich dcr Volumcnstrom V mit posiuv cm Wert (V > 0). Die mill/ere Stntmungsgeschwindigkeit \'m im Kreisrohr kann wie folgt bcrechnct werdcn:

V

I

\'", = - = - - -, A lrR·

,11' R2 ,1s 811

,11' lr~ ,1 .1' 811

--- ~

\ '",ut

--- ~

2

Beispiel 8.35: In cincm Krcisrohr mit 10 em Durch mcsser l1ieBt Wasser bet Raunuc mpcrarur inlaminarcr Stromung. Die dynarnische Viskosirat des w asscrs bctragt 11 = 1,79 · 10- 3 Ns / m 2. Der gcmesse nc Druckabfall ist ,1p = - 15.0 N /1I1 2/ m. Gcsucht sind die maximaic und mittlere Strornungsgeschwindigkeit sowie dcr Volumenstrom pro Sckunde.

R =O, IO/ 2 = O,05m l'I1I...,

= I·(r = O) = - ·

- 15

4 ·1 ,

2

'

7910 - 1 (0.05 - O- )= 5 , 24 m f.~ . .

lr·0,054 1 V = - (- 15) 8 . 1,79 . 10 3 = Ot 0206 "'-/.I'= 2 0. 6 It f.~ I'm

8.6

=

V

A=

0,0206 7.85 .10

J

= 2.62 II/ f.\'

Zusatzliehe Beispiele

uetspl el 8.36:

Pa r tielle Int egration

j e' cosx dr= j

_____ '-v-'

e' cosx dr =?sinx - j e' _____ sin r d r u

= i{

stn .r -.

I

~

[ e' (- cosx) - j

h'

e' ( - cos x) "

----- --....-.... ----- -....-.--I

II

I'

II

= e' (sinx + cosx)- / e'cos x dr Dcr lctztc Ausdruck auf der rechten Se ite wird nach links gebrachr:

2/

e' cos .r d e e e' {sin r -t-cos.e)

=>

fe

.

T

cosx dr =

~(sin x + cos x) 2

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 8.37:

Pa rt ielle Integration

1

e - w l cos rot dt = '!

f

.

379

ta : Konsrantc

. rot e" WI cos rot dl = e : WI -I sm 00

'-..-' "-v-'"

"

,J

JI .,)

sin m r ",

- roe-

- OJ

OJ e - wl sin rot+ Je_ _ = ..!.. - wI sin rot dJ II

h'

. rot -(' - WI -I cos Wt = -I e - WI sm OJ

=

OJ

~ e - Io/

(sin w/ -cosw t ) -

l-:

JI "") ( - we

- -I cos er r ) dt OJ

cos er r dt

2Je- W l cos wt dt = ~e-WI (si n Wt -cos W/ )

=}

2~

J e - WI cos rot dt =

=}

Heispid 8.38:

('- WI (sin W t - cos W I )

Purt ielle Int egration

J

sin2.r d r =

f~~ "

dr = sinx ( - cos x) -

J

cosr ( - cos x) d r

,J

= - sinx cos x + !

~ ~ dr ,

h'

= - sinr cos .r -r-cose sinx - ! ( - sin x) sin.r ill

.I

sin2.r d r = - sin.r cos r -r- cosv

-r-!

sin2.r d r

Die rcsufncrcndc trivialc Gleichung 0 = 0 ist nurztos! Sctzt man dagcgcn nach dcr ersten partiellen Integration unstellc des Ausdrucks cos:! .r den gleichwertigen Ausdruck I - sin:! .c ein, gelingt die partielle Integration problcmlos:

f

sin2.r d r = - sinr cos x +

f

cos:! .r dr = - sinx cosx +

1(1-

sin2.r] d r

= - sinx cos x+ x - ISin2x dr Jetzt wird das Integral

.r sin:! x ill auf der rcchten Scitc nach links gcbracht und man

crhatt dann:

21

sin2.r d r >

-c

sin.r cos .r t- .r

=}

1

sin:! x dr =

~

(x - sin x cos x)

3XO

8 lntegralrechnung

Hd spid 8.39: Oa s Inleg rlll

f

I

Partielle Integration ('x

s ill r d r so li mil Hi lfe dr-r parriellen In[('grlllinn besfim m t wo rde n.

e'sillx dr =e'si nx -

f

e'cosxdr =e<sinx -e'cosx -

f

e'si nx dr

Jetzt wird dcr letzte Term auf der rechten Seite auf die linke Sc itc gcbracht:

2

I J l"

=>

sinx ill = t! sinx -e' cosx

e' sillx dr =

~e«si nx -cosx) +c

Hcispiel 8.40: Partielle Integration Das Integral I .r Sill2 .r d r soil mil Hilfe der partiel1en Integration bestimmt werden.

Ix

sin2x dr =

I~~dr = x si ll X ( - COS X) " -x I Ix

j (SillX+X cos.e) (- cos x) dr

\~

=

sin .r cos.r -i-

cos2.r d r

sin r cos .c dr -l-

= - x sin.r cosx +

~

sin2 x +

= - x sinx cosx +

~

sin2 x +

. X cos x + 2 I Sill . -' x + = - x Sill

I I

x ( l - sin2 x) d r x de -.

x' 2"

j .r sin2.r d r

J .a

.r Sill .r d r

Jetzt wird der tetzre Tcrm auf dcr rcchtcn Sette auf die linke Scitc gcbracht:

I

.r

sin2.r dr q-

Ix

sin2.r d r ee

-x

sinx cosx +

2I x sin2 x dr = -x sin x cosx + ~ sin2x + "~

j x sin2.r dr = ~ ( - 2r sin x cosx +sin2x + ~ )

~

2

2"

" 2 X SIl1 x +

R.6 Zusarzfiche Bcispicle

Heisp id 8,41:

3RJ

Tra pez-Rege!

Bercchnen Sie das Integral 1 =

2

,

J f , - A"

o

dr numerisch nach dcr Trapczregel mit

f1

= 2

und n = 5. Wie groB ist dcr relative Fchlcr gcgc nubcr dcm mit MAPLE bcrcchnctcn Ergcbnis 1 = 0,882 ? 2 -0 11 = - 2- = 1,0

a) Trapczrcgel mil II = 2 11 -2

Yi 1,0000

Xi

0 1 2

0,0

0,3679

I,D

2,0

1:

Yi

0,0 183 1,0183

1 = 1.0 .0,3679 +

\,0

2

. 1.0183 =0.877

0,3679

Re lativer Fchlcr E gcgcnttbcr dcm mil MAPLE bcrechnctcn Ergebnis: E

~

1

0.877 - 0.882 2 = 0,0057 = 0.57% 0,88

1

2 -0 11 = - 5- = 0.4

b) Trapczregel mit II = 5 1I ~ 5

Xi

o

0,0

I

0,4

2

0,8 1,2 1,6 2,0

3 4

5

Yi 1,0000

Yi 0,8521 0,5273 0,2369 0,0773

0,0 183 1,0183

Rclat iver Fehlcr:

0,4 1 = 0.4 · 1,6936 + 2 1.0 183 = 0.88 1

1,69 36 E=

1 0.H8~.;8~,8821 = 0.001 1 = 0,11%

382

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.42 :

Trapez-Verfahren

Das bestimmte Integral 1 =

1

f e- r

,

d ... ist nach dem Trape z-Regel mit n = 4

n

7.U

be-

rechnen. wie groa ist der relative Fehler gegc nuber dem mit MAP LE bcrcch ncten Ergebnis 1 = 0 ,746 8 '?

11 _4

o 1- 0 h = - 4- = 0.25

Jr 1

1=

e-

d r = 0 ,25 (

o

1 2 3 4

,

Xi

,v,

0,0 0.25 0.50 0.75 1.00

I.OO()()

1 ,3~79 + 2.2880)

Ji 0 ,9394 0.7788 0,569 8

0.3679 1,3679

2,2880

= 0.7430

Rclativcr Fchlcr des numcrt schcn Integral s:

£

rei

~

74681 1°. 7430 - 0. = 0 005= 0 5% 0.7468 . ,

Hcispi el 8.43 :

Sfm pso n-ve r fubre n 1

f (, - r

,

d r ist nach Simpson- Verfahren mit 211 = 4 7.U n bcrechnen. Wie groa is! der relative Feh ler gcgc nubcr dem mil MAPLE bercch nctcn Ergebni s 1= 0 ,7468 '?

Des bestirmnte Integral 1 =

211 - 4 Xi

h -ll h = -2/1

1

1=

J o

'

~

e- r d r =

1- 0 - - = 0.25 4

0 1 2 3 4

1:

0,0 0,25 0 ,50 0.75 1,00

»

)"i

)"i

I ,{XX)()

0.9394 0.7788 0.5698 0,3679 1.3679

1,5092

0 25 T ( L3679 + 4· 1,509 2 + 2 · 0,7788) = 0 ,7469

0.7788

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

3&3

Relat iver Fehler de s num erischcn Integrals: E rel

==

0,7469 ~ 0,7468 1 0,7468 = 0,000 I = 0,0 I % 1

lIeispieI8,44:

Trupez-Regel, Simpson -Verfahren und Oauss-Quadratur

Es so li das besnmmte Integra l 1 ==

.r.\ e - ~ d~

o

nach folge nde n Vcrfuhren bcrechncr we r-

den . Wic groB ist dcr relative Fehl cr gcgcnubc r dcm mit MAPL E bercchn ctcn Brgcbnis 1 = 0,8862? a ) Tr ape z-Ver fahren ( n == 2 und n == 4) b) Simp son-Verfa hren (2n == 2, 2/1 == 4 ) c) Gau ss-Quadrat ur (/1 == 3)

a) Tr apez-verfahren mit /1 == 2

3- 0

f3 e- xl dr e. -1,5 · 1,000 1 + 1.5 ·0,J054

11 == - 2- == 1,5

o

11 -2

° 1 2

XI

}'i

0.0 1,5 3,0

I.()()()()

}'i

0,0001 1.0001

N

IC

0,1 054 1/

== 4

3,

3- 0

o

0.0 0,75 1,50 2,25 3,0

)'i I ,{)()()()

)'i

0,5698 0, I054 0,0063 O,{)()() I 1,000 1

2

~

11 - 4 Xi

0,75

J e- xl dr == - - , 1,0001 + 0,75 · 0,68 15

11 == -4- == 0 .75

l:

_1 ° ,9082- 0,8862 1_ 0 0 2 - 2 0,8862 -, 5 - S

E rel -

b) Trapez-verfabren mit

2 3 4

Rcl ativer Feh ler :

0,1054

l:

°1

2 == 0,9082

0,6815

<) Simpson -Verfahren mit 2/1 == 2

0.8862

Rcl ativer Pchlcr:

£ .

rtf

~ 1° ·8862 -

0.8862 1 ~ ° 0 ~ 0%

0,8862

'

384

8 lntegralrechnung

3- 0 11 = - 2- =1 ,5

J

I

"

211 - 2 0 I 2

Xi

)'i

0,0 1,5 3,0

1,0000

e-·~ d e =

E'd = 0,1054

1:

.

= 0,7109

Rcl ativer Fehlc r:

)'i

0,000 1 1,000 1

I5 -t ( 1.000 1+ 4 · 0, 1054)

1

° ,7 109 - 0.8862 1 0.8862 = 0. 198= 19.8%

0,1054

d ) Simpson-Verfahren m it 2/1 = 4

2/1 - 4

h=

3- 0

"T" =

0 1 2 3

0.75

4

)'i

I.llOOO

1:

,

1=

Xi

0,0 0,75 1,50 2,25 3,0

f e ~·~

)'i

0,5698 0, 1054 0.0063 0.000 1 1,000 1

0,576 1

0, 1054

d r = 0; 5 ( 1.000 1+ 4 · 0.576 1+ 2· 0, 1054) = 0,879

o

Re lariver Fch1er:

£ ,.../ =

0,879 - 0,8862 1 . 0.8862 = 0,008 = 0,8%

1

e) Gaull-Q uadratur mit

II

= 3

a+h =O + 3 = 3

h - a =3 - 0 = 3 11 _ 3

1 2 3

'i

Xi

-0.77459 +0 +0,77459

0,338 1 1,5 2,66 19

f

Ii

0,8920 0.1054 0,0008

a,

Wi

0.55556 0,88889 0,55556

0,83334 1,33334 0,83334

3

1=

u

t2

e- _ d e = 0.83334 (0,8920+ 0.0(08) + 1,33334 · 0, 1054 = 0,885

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

3&5

Rel ativcr Fchlcr :

0,~8621~ o oo ~ O " £ ,..,/ ~l tUHS50.8862 . I . 1 ro

ReispieI8.45:

Oauss-Quedrarur

Bcrcchncn Sic das Integral 1 = l.iiSIIJ1g :

I , Ix'e-·r /2 dr

"

nach dcr Gauss-Quadratur mit

11 =

2.

11 -2 Xi

1 2

-0.5 7735 +05 7735

0.21 13 0.7887

W, 0. 5 0. 5

j, 0.009 19 0.35947

1 = 0.5 ·0.00919 + 0 5 · 0.35947 = 0 , I843

Ueispiel 8.46 :

Fhicheninhalt

Nachfolgcnd sind vcrsc hicdc nc Funktio nen y = f (x) gcgc bcn. Es soli die Flachc berechnct werden . die im jcweils angege benen lnterval l X = [a, b] zwischen der Funkt ionskurve und der .r-Achse licgt.

a) y = 1+ 2 r + 2x s i n .~

x~

[0; 31

.L_, __:,

,

Ldsung: Dic Funktion f (x) wechsclt irn Intcgrationsbcreich das Vorzcichcn nicht, deshalb ist einc Intcrvalluntcrte ilung nicht erfordcrJich.

A= / =

J'

( I + 2 f + 2x sinr 2 ) d r = (x + ,....."

"

x~

[0;41

-c

I)

cos r- } 0 = 13,91

386

8 lntegralrechnung

UjSlIllg :

,

I'

A =I = {e -xdr = - e- x = 0.98 17

o

c) y= x sinx

0

x = [- ][; ][ I

r.s

•

,

\\?5

-,

\

a

0

Die Hachcnbcrcchn ung mil einem Interval! ist mog ttch. weil [ (x ) kcinen Vorzeichenwechscl crfuhn .

U j SlIllg:

,

A= I =

! .r

-,

d ) y =x cos r

sinx dr = (sin x - x cos x) I: : = 6.283

x~

[O;<J .,

a

-, -a

Der Nulldurchgan g der Funktionskurvc erfolgt bci .r = ][/ 2. Die Flachenberechuung muss uber zwei Te ilbcreiche erfolgen:

UjSlIllg:

' /2

II

=

J

X

o

, /2 cos x dr = (cos.r t -rsln .e) 0 = 0.5708 1

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

,

h=

J

tr

.r cosr dr = (Cos x + x sin x)l

Il j !

= - 2.5708

lrj 2

ReispieI8.47: Flac hen inhnlt Gcsucht ist die Flhche, die zwischen dcr stiickweise dc finicrtcn Funktion und dcr .rAchsc Iicgt.

f(x ) = { :in x

fur 0 :5 .r

:5 ni 2

fur 1t/ 2 :5 x :51t

YM

Lnsung:

J trj2

A = A 1 + A2 =

sin.r d r }

(}

= - cosx

J lr

Jrj 2

I dr

1(} +xI'«n = (O+ I) +( 1t- 1t/ 2 )= 2 .57 1 , (2

3&7

3XX

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.48:

Flachenin halt

I I ( f) = em f lind h (x ) = si n f (' i ng('~(' h l ll~_ wobci x , d ie .r-Koordin utc des Schnittpunktcs von

G e sur-ht ist Ilie zwisc he n de n Fnnktion e n

sene Flacho im Interval! 0 S X S

X" ,

II und h ist.

YO.5

Ocr Schmn punkt dcr heiden Kurvcn crgibt sich aus dcr Bcdinguug I I =

=> 1 = tan r

cosx = sin r

J

J

•

0

~/4

A= ~

h:

=> x., = 71:/ 4

~/4

(II - h ) ill =

(cosx -. sinx) dr = (sin x+ cos x] ; /4

[(0,7071 + 0,7071) - (0+ I)] ~ 0,4142

Beisp iel 8.49: Flac heninha lt Es soli die zwisc hen den Kurven II (x) und h (x) Hegende Flache A berechncr wcrden, wobei dcr Integrationsbereich durch die beidcn Sch nittp unktc der heiden Kurven bestimm t wird. a)

II (.r) = .\.1 + 2

h (x) = -x2 +2r + 2

Die Schnittp unktc der heiden Kurven erg ibt sich aus dcr Bedingung II =

=>

A

~

b ) 11 (x) =

2r (x - l ) = 0

=>

XI

= 0

X2

Iii ~ 0 ,333

- x+6

h (x) = x 2

Die Schnittpu nkte der he iden Kurven ergibt stch aus der Bedin gung II =

-x + 6= .~ => K+ x - 6 = O

J

J

-3

-3

2

1=

12:

(/1- h ) dr =

=> .r1=-3

.1:2

= 2

2

(- X+ 6- K) dr = 20,83

A = 20.83

h.

= I

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 8.50: Flacheninhalt Gesucht i"t die zwische n den Funktirmen f( r) = r-oc h r 11m] g( r) = 2r einge"ch]n". sene Flllchc im lntcr vall 0 ~ x ::; .r,. wobc i .r" die noch zu bcstim mcndc .r-Koordin utc des Schn ittpunktcs dcr Kurvcn f (.r ) und g(x ) ist.

" ,

.,

..,

c.s

•

o. z

i'

••

Ldsung: Der Sehn ittpunkt .v. dcr heiden Kurven ergibt sic h aus dc r Bedingung f( x) = g(x):

cosh .r = 2r

I

Los ung nac h dcrn Newron-vcrtahrcn : .r, = 0 .58939

1(/ 4

A=

I {cosh .r _ 2x) dr=(sin h x + .r ) I ~·5X939 = (),27673 1(/4

(J - g) d r=

()

()

Beispiel 8.51: Bogentange Bercchncn Sic die Bogenlangc dcr Kurvc y = cos h r im lmcrvall () ~ .r

~ If.

Ldsung: y = cosb .c

::0}

y' = sinhx

.1'" =

l" ~ dr = sinhx lo" = ()

11,549

('t" h ..

Beispiel 8.52: Selltange Wenn cin bicgcwcic hcs Scil odcr Kcttc zwischen zwc i sich auf tier glcic hcn Hohc befindlic hcn Punkten schtaff aufgehagt wird. hangt sich das SciI durch. Dcr Vcrlauf des Seils crgibt sich aus dcr folgcndcn Beztchung. dcren Herlei tung auf dte Fcstigkcits lchre zuruckgctu.

AL - Ax) - cosh y = II [cosh (T

~L]

A ist cine von den Gegcbc nhc itcn des uktuelle n Problems abhungigc Konstamc. Gcsucht ist die Lange des Seils fur A = 0 .3, L = 10 m. )" = - sinh ( AL - Ax)

2

3&9

390

8 lntegralrechnung

l

L

- r

L

j

/ 1+ yl2 d r -=

u

j l +Sinh 2 ( AL _ AX) 2

() ,

-= ~ ± sinh ( A L - Ax) l ~

2

"

'

-±

c,,,h (ALj 2-.h} =0

[sinh ( - A ) - sinh ( AL )] =

2

2L

~

sinh A

2L

Die Scillangc crgibt sic h schliclilic h zu:

2 . h 0.3 " 10 14 19\ 2- = , ./11 s =O.3 Sin - -

Beispiel 8.53:

Boge nlange

Gc suchr is! die Bogenlnnge dcr Kurve y = cos h x irn Interval! 0 ::; x :::; 2, wobei des Integral numcrisch nac h der Ga uss -Q ua dra tur mit /I = 2 zu bercchncn ist.

fo

f ~ d\"

1

y' = sinh .r

a -s- h

2

2

2

s=

1

2

/ 1+ y' d \" =

0

/J - a 2 -- = - = 1

- - =- = 1

2

f (.t )

Xi =

2

I + ri

I¥," = ai

11 -2 1 2

2

.\"=

';

Xi

-0,57735 +0,577 35

0,4227 1.5773

Ii

1,0906 2,5242

a;

Wi

1 1

1

j f(x) dr ~ L w. i» 1- 1.0906 + [ · 2,5242 = 3.6 15 ,"' )

()

Anmerkung: MAPLE licfcrt die Bogcnlan gc

Beispiel 8.54:

.I"

= 3.627.

Bo~e nlii nJ.:e

Bcrcchnen Sic die BogenHlnge der Kurve J = cosx im Inter vall () :::; x :5 11:/ 2 . wobei als Integrationsrnethodc die Gauss-O ua d ratu r mit II = 2 verwendet werdcn soll . Lij·\" /IIlX :

f

Jr. / 2

y = cos .c

=>

y' =o - sin x

.1' =

n

/ 1+sin2 x dr

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

391

GauB-Qu adratur:

,

s=

.

fV+ I

o

+ W2 ·12

f( x )

u=O

b-s a

b =lt/2

b -sa Xl = - 2X2

sin2 x d r ~ W I . fl

~

h -u

+ SI-2-

=

b s- o b - (/ = - 2- + ~22- =

I I ~ I (x') ~ 1.0518

It

4-

b -: «

It

2

4

0.57735

It

= 4

4=

0.3320

It

It

4 + 05 7735 4 = h

~

It

2

W, = lt/ 4

1.2388

I (x, ) ~ 1.376 1

rr S = WI · fl + W2 ·h = 4 ( 1.05 18 + 1.376 1) = 1,9068 Das mit MAPLE bcrcchn ctc Ergcbnis ist s = 1,9 101. Dcr relati ve Fchlc r dcr GauBIntegration mit 2 Srurzsrcllcn bctragt £ "" 1 = I( I ,9 10 1 - 1,9068)/ 1,9 10 11= OJ)()I7 = 0. 17%.

Beispiel 8.55: Bogentange Die Bogenlange der Kurve y = sinx im lntervall 0 ::; x ::;

,

-isszo

ist zu bereeh nen .

'O: ~

.r' = cosr

y = sinx

It

o

1

f (x }

x

2

3

Dicscs Integral lasst sich in gcsc hlossc ncr Form nieht bcrec hncn (cs cxisticrt keine Stammfunktion des Imcgrandcn f (x) und soli desbalb numen sch mit Hilfe dcr Simpson-Regel mit 2" = 4 bercehnet werde n. 2/1 _ 4 Xi

f (x) =

Vi + eos2 x

b -u h= -2n

~

11" - 0 - - = 11"/4 4

0 1 2 3 4

I:

0 rr/ 4 rr/ 2 3rr/4 rr

II 1,4 1421

f;

f;

1,22474 1•()()()()()

1,22474 1,41421 2.82842

2,44948

r.ooooo

x

.~ = 4 . 3 (2, 82842 + 4 · 2.44948 + 2· 1.00000) = 3.83

Das mit MAPLE bercehnete Ergebnis ist s = 3,82. Der relative Fehler der Si mpson-

392

8 lntegralrechnung

Integration bctragt Ert'l = (3,83 - 3,82)j3,82 = 0.0026 :::::: 0.3%.

Ucispi el 8.56:

Bo~e nlan~e

Bcrechncn Sic d ie Bogen tange dcr Kurve im Beispiel 8.55 mit Hilfe der Gauss-Q uad rat u r mit 2 Stt uzstelle n.

,

11 =2

s=

J~ o

h +l/

f (x )

!J -(/

z

2

,

z

b-s a

h -(/ n XI = - , - + ;1 - ,- = "2 b + l/

dr ::::::WI · f l + W2·h

1t

- 0.57735 2 =

n

0.6639

n

.\'2 = - , - +

h -(/ ';2 ,-

= "2 + 0.57735 2 = 2,4777

I I ~ I (x')

1,' 729

Jz ~ I (x, ) ~ t ,' 729

~

.~ = WI ' II + W2 · h =

n

2 ( 1.2729 + 1.2729) = 3.99

Der relative Fch lcr der GauB-lntegrat ion betrtlgt Ert'l = (3,99 - 3,82)/ 3.82 = 0 .044 = 4,4%. Eine deutliche ve rbesserung dcr Gcnau igkeit wurde die GauB-Qua dratur mit 3 SHitzstellen bringen. Beispiel 8.57:

l\l asse cin es Seils

Ein Scil ist mit scincn beide n Endpunktcn jewcils an den Pun ktcn PI = (0 ; 0 ) und Pz = (50 ; 117.85) aufgchangt (a ile Angaben in In). Der Scilvcrlauf ist durch die Kurvc y = X .;xj3 gegcbcn. Die Masse des Seils bctragt pro laufcnden Meter Sc illangc 111 = 30 kRl m . Gcsucht ist die Gcsamtma ssc M des Seils.

J

J

-'I

0

50

~

L=

/ 1+.\ J2 d r =

'O M

~f . o

/ 1 + .\J2 dr

X 2 x 50 1+ _ ctx = _ .4 [1 + _ )J/2] = 129,6 /11 4 3 4 ()

Die Gesamtmassc des Sei ls ergjbt sich zu:

M = m ·L = 30 · 129,6 = 3888 kg

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 8.58:

H(I~enlan~e

Da s
,

.

,

Bcsrimmung dor Xo- K{Xlrdillulc :

y(xo ) = 500 = 500 sin2 I ~)(}

.r = 1570 ,8

Berechnun g dcr w cgsuccke L tB ogcn lange): I

•

X .r - cos - I 000 I ()()(}

J = sm -

.fo

I570.X

L=

.j 1+}.r2 d~ =

J / 1 +[Si n{xl l {)(X))Cos(X/ I (}OOlF, d~

1570.11

0

•

1 (.1" )

Fur de n lntcgrandcn I (x ) cxis ticrt kcine Stam m funktion. d.h . das Integral ist nicht gcschlosscn bcstimmbar, Daher wird mit Hilfc dcr Simpson-Regel nurncrisc h imcgricrt (gewahlt 211 = 2):

; 0 I

2 L~

Xi

sin(x;j IOOO)

cos(x;/ IOOO)

f;

0 785,4 1570,8

0 0 ,707 1

1.0 0,707 1 0

1.0 1, 118 1.0

1.0

785.4

- 3-[ 1+ I + 4 · 1,1 18] = 1694 rn

Der mit MAI'LE bcrcchnctc Wert bctragt L = 1665 m. Fiir ein gcnaucrcs Rcsu ftat m il

dcr Si mpso n-Regel mus stc man also 211 crbohcn.

393

394

8 lntegralrechnung

Hdspid 8.59:

Man telflache eines Rotattonskor per s

D urc h Orehllng de r Kurve )' = ~ ( De finitirm sbercir-h - r :::; f :::; r ) urn d ie f· Achsc enstcht einc Kugel. Es sell d ie Formel fur die Mantcliluchc dicscr Kugel hergeleiter worden.

-x

AM

= 21l" j Y V 1+ .\J2 dr =21l" - r

!

-,

Vr2 _x2

- r

,

= 21l"

j

.j

r2 :x2dr

r dr = 2Jl"r [x[ r = 4Jl"r

Reispiel H.611: Volumen elnes Rota tionskorpers Eine Ellipse in der xy-Ebene mit der .r-Halbachsc {/ und der y- Halbachse b win! einma l vollstandig um die x-Achse rotiert. Das Volumen des enststchcndcn Rotations4K ellipsoids bcrragt V = - ab 2. Dicsc Formel soli mit Hilfe der Gl. (8.30) hcrgeleitct 3 worden.

Gleiehung dcr Ellipse:

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

Hcispid 8.61:

Volumen cincs Rotatjenskdrpers

Eine Ellipse in dcr .ry-Ebe ne mit de r .r-Halbachse a und dcr y- Halbac hse b wire! einrna l vollstandig urn die y-Achse rolien. Des Volumen des enststehende n Rotations-

4,

ellipsoids bctragt V = worden.

3

(l2/) .

Dicsc Fon n el soli mit Hilfc dcr Gl. (8.3 1) hcrgelcitet

Gleichu ng der Ellipse:

,,'/)2 [(1/ - -/>33) = nHeisp id 8.62:

( - I? + -/>33)]

Volumcn cines Rotatlonskorpers

Gesuc ht ist das Vo lumen des Rotationskc rpcr s. der d UTCh Drehung der bereichsweise dcfiniertcn Kurven f (x) = cos h x und g(x ) = 2x im lntervall 0 :::; x :5 2) um die yAchse emstch r. DeTPunkt P (Schnittpunkt dcr heide n Kurven) besitzt die Koord inate n p = (x, ;y,) = (0 ,58939; 1,17878),

'I , '1 ./

,,,

,,'

- - --,----,.-----,

Ldsung:

l' =

sinh .r

l =2

"

z

V=n J .~ .2dr + n J :r2 sinh .r d r ()

x.,

'-.".-' '--'---'0-VI

V2

°·58939 -- 0 .43 V 1 -- 2n x~ 1O 3

V2

2

= n (x cosh c >- 2r sinh x +2

cosh x) I~.5H939 = 18 .96

'* V =

19.39

395

396

8 lntegralrechnung

Hdspi d 8.63: Volumen eines Rota tionskdrp ers Es soli das volumen des Rorationckorpe rs bcrechnet werden . dcr durch Drchung der Kurve y =.r2 (Dcfinitionsbcreich 0 :$ x :$ 3) urn die y-Achse entsteht und zwar sowohl nach G!eichung (8.3 1) als ouch nach (8.32). a) Losung nach Gl. (8.3 1) : \ 'b

V = 11" j .~

dY

.1'"

V =1r

Jo' ~(y) dy = 1r J'

b ) Losung nach Gl. (8.3 2) :

/ = 2t

,

::::} V =11" j .~ y'dt =211" "

"'1'

y dY = 11"2

0

0 =

127 .23

,

l -».. = ~ x41 := 1 27.23 0

Heispi eI8.64: Volumen etnes Rota tionskorpers Die Kurvc y = .? + I. wclch c im lntcrvall 1 ::; .rS 2 dctin icrt sci. wird urn die y-Achsc ci nma l vollstdndig rotie rt. Bcrechne n Sic das Volumen des Rotauonskorpe rs. a) Losun g nach Gl. (8.3 1) : Umstcllung der Funktion y = J (x) liefert: ~ = y - 1 Integrat ionsgrenzen:

y,, = 12 + 1 = 2

y/> = 22 + 1 = 5

."b 5 2 2 V = 11" jx (y ) dY =11" j (y - I ) dy = 11" [.; v,

2

b ) Losung nach Gl. (8.32) :

l = 2t

,

,

2

V =1r j x y' dr = 11"

"

-yL 5

= 11" ( 12.5 - 5 - 2+ 2)= 23.56

lr>»: ,

, ~x4 1 : =

23.56

Heispi eI8.65: Volume n elnes Rota tionskorpers Die Kurve y = 2e - xl/ 2 im Intervall 0 ::; .e S 1 wird urn die v-Achsc cinmal vo llstlindig rot ictt . Berechnen Sic das Volumen des Roratlonskorpcrs.

&.6 Zusarzfiche Bcispicle

397

a) Losung nach GL (8.3 1) :

x2 =

Umste tlung licfcrt : Imegratlonsgrcnze n:

Ya = 1.2 13

.l' b

"* V = lC !

2 1n 2 - 2 1n)' = In 4 - 2 1n )'

Yh = 2

J ( I n 4 - 2 I n y) dY= lC [l n 4 . y - 2y( l n y - i) 1 ~-2 13= 1 , 1 34 2

:? (y)dy = lC

1.21 3

Yd

b) Losung nach G1. (8.32 ) :

,

,

V =lC! x2y'dr = - 2lC! x3 e- x2 /2 dx "

0

Die ses Integr al wird mil Hilfe dcr Gauss-Qu adratur Integ riert.

0 -2 1 2

~; -05 7735 +0 ,577 35

Xj

j;

0, 2 113 0 ,7887

0,00919 0.35947

1= - 2lC(0.5 · 0 ,fX)9 19+0.5 · 0 .35947) = - 1. 158

lJeispiel 8.66 :

U;

Wi 0 .5 0 .5

V ~ I - 1. 1 5 8 1 ~1 , 1 5 8

Volumen (ro t ierte «' Iache)

Die schraffierte Flache zw ischen dcr Kurve y = 2e- x2 / 2 (im Interva11 11 5 .r 5 I ) und doc .r- Achsc wird urn die j-Achsc einmul vo11sutndtg rotiert. Bcrcchnen Sic das Volumen de s Rotationskorpc rs.

-I') 1

Ldsnng: Das Volumen des Rotation skorpcrs bcstcht aus dcr Su mme des Teil volumens Vi . welches von dcr gc krum rr ucn Kurvc crzcugt wird. und des Tcilvo lumcns V~ des umeren Krci szylindcr s.

Volumen V:: 11 = )' ( 1) = 1.213 Das du rch die Drc hung dcr gc kru mmtcn Kurvc ur nd ie j-Achse cnstchcndc Vol umen VI wird aus Beispiel 8.65 ubcmommcn: Vi = 1,134 Ge samtvolumen:

V = Vk + V: = 3.8 10 + 1.134 = 4 .944

,

391l

8 lntegralrechnung

Hd spi d 8.67:

Volumen

Zw isc he n zwei glcic h ho he n Pun klen PI und flJ. hdngr ei n Sell. dessen Verlauf d urch die Funktion y = cos h .r irn Intervall - I :::; x :::; I beschrieben wird. Wenn man das Seil _ . ~ ::: ~ _ . -" wie ein Sprungseil schte udcrt (die Aufha ngepunk te blciben dab ei fest), urn schreibt cs einen Rouni onskorpcr. Bercchncn Sic das Volumcn. -1 1 Ldsung: Die Volumen for mel (8.30) auf Scite 366 gilt nur fur dcn Fall, dass die Kurve um die x-Ac hse rotiert wird. Das ist hier aber nicht der Fall (dus Seil wird urn ci ne zur .r-Achse zwar parallele aber versctzte Achse roticrt: dcshulb muss die Scilk urve parallel zur v-Achsc so vcrsc hobcn worden. dass die Kurve let ztendlich urn die .r- Achsc rotic n . Erfordcrliche vcrtikale Vcrschicbun g bctragt: y{ I ) = cosh I = 1.54 3 Die zur x-Ac hse vcrscho bene Scilk urve ergibt sich somit zu : y' = cos b.r - 1.54 3 Vol umen des Rotatio nskorpc rs bei Drchung der Seilkurve y' um die .r-Achse :

,.

•

+1

V=

If /

+1

b ··)2 d r =

- I

If /

(cosb.r -, 1,543 )2 d r

- I

+1

=

If /

= Jt"

=

8.7

(cosh- x - 3.086 cos h x + 2.38 08 ) dr

-, [2[(s inhxcoshx + x) -3 .086sillh x +2,3808x]+' _I

n . 2( I ,4067 - 3,6267 + 2.38(8 ) = 1.0 1

Aufga ben

I. Bestimmen Sie folgende Integrale mit Hilfe von lrucgrultabcllcn (bci den Losungcn wurde die Integrattonskonstante weggel assen ).

J 5a d r

b)

J _ 3e2 .4 dr

c) J 2T d r

d)

I 2T2 dr

a)

Lsg: - 3eH x 2 Lsg : 3.,1

tsg: 2

~ ) J 3 d\'

h)

X

i)

J{ _ 2r+ 5)·1 dr

- t_ 2T+ 5)4

LW - -8-·· L IR: ln x -

x' 2

.2 J x-5 dr

r

j)

8 dr . x

I)

J - 5e' d e

Lsg:

_ x- O.6 0 .6

x' 3

Lsg: 8 1nx

t.sg: - 5e'

8.7 A ufgaben

01)

f

e- 3.2r d r Lsg: - x (ln 5x- l )

0 ) f - In 5x dx

4 - cos 3x

q ) f - 4sin3x dr s)

f cos ( -

u ) J sin2 (2r) d r w)

f

I

- a stn- x ,

sin2r 2 .r sin 4x

"l

'2 -

LW:

p)

/ 2.5' d r

t)

Lsg: LW

2,6x - I 2 n e. , 6, 76

2,5-' 0 ,9 163

J sin 5x

cos 5x d r .r

sin 4x

-+-2 8

- S-

cot .r

dr

( xe 2.n" dx

r) J - 4sin3 , x d r

3

2x ) dx

n)

399

x)

L I'g.' -4-

J tanh 5x d r

LI'1~ :

In (cosh 5x )

2. Bcsumm cn Sic folgende Integrate. ggf. untcr Verei nfachung dcr Intcgrandcn und Vcrw endung von Intcgraltabellen. -c

b) f ( - cosx -3sinx) dr

L \'g : 3cosx +sin3x +c

d ) J (sin2 4x +cos 2(- 4x )) d r

Lsg: x + c

IVsin2x +3 +cosx .cosx d r

o I (2sinh x -3coshx) dt oj

cos .r

LI'g: - sin x + 3 cos x + c

c) J ( -3sinx +3cos3x) dx

e)

cos Sv

----'ii'''+10 2 +c

a) J sin 2x cos 3x d r

/(2+,-,,) de cos 2 .r

Lsg : = 2 t+ c

LI'g: 2coshx -3sinhx +c

L sg: - 2 tan .t

e- 2f

-

-2- +c·

3. Bcsnmmen Sic folgcndc Integrale . a) fVcosh2x -sinh2xdx LW : sinh x 4. Bcrcc hnen Sic fol gcndc Integrale mit Hilfe dcr partiellc n Integration (lntcgratlo nskonsrante c wurdc weggelassen ). _ 1'- 2,

aj

Ixe-2r dr

L I'g: ~(x + 0 .5)

hi

f .r 1'- "" dr

Lsg:

d J -~ e - 'U d r dj

.r .r cos r d r

e)

Ix

sin e.r d r

n Jcos2x d r

( ~ ~ _ ~ ) e -
L sg: -

a-

( 1l2.~ + 211X + 2 )

a'

e

- 'u

LI'g: .r sin r q-cosr [

L sg: ....,,(sin ax - ax COSllX)

a-

Lsg:

I

'2 (x + sin x

cos .r}

4(Kl

8 lntegralrechnung

~)

. , sm- x

J sinx cosr dr

-2

e2' dr = e2'

J.~

"

i ) J.~ e4.\

j) k]

J.t?

dr

"

--

lsg: J x 2 sin .e dr =

sinr d r

J.t? cos r dr 2 sin x

L 5g:

.r

"

(~ - H)

- .t?

co s x + 2x sinx +2 cos .r

,J

sin x +2x

COSX -

I) J eCO-; x sin 2r d r L 5g: 2 ecn, x ( I - cos .e} Tipp: Mach en Sle zunachst Gebrauch von der Beziehung sin 2 r = .. " dan n wahlen Sic /I == cosx fur den I . partiel len lnregratlonsschrtn. 1m ansc hliel3cnden 2. Integratio nsschdn n == I wahlen. , I e - ~ C(l,,< ( _

m) J sin 2x e - 2 C'''.Tdr

2

+ cos. .r]

s. Tipp in dcr vorhcrige n

Aufgabe.

5. Bcrechcn Sic d ie angcgebc ncn Inrcgralc mit fo lgenden numcrischcn Intcgrarionsvcrfuhren. Die in Klarnmcrn angegebencn Losungen wurden mit Mtlf)le ermluelt. Ihre Resultate kormten aufgrund von Abrundungsfehlcrn moghcherweise von die scn Wcrten etwas abweic hcn. - Trapez-Regel (11 = 4 ) Simpson-Regel (2" = 4 ) Gauu-lntegration (/1 = 2 ) , a) .r~ dx ( 1,46265)

,

c)

o a

I e-X

,

a

ln.r dr

3

2. In x

(0. 0326 1)

I

I

e] i - d, 2. In x

g)

i)

k)

x(J

( 1,92242 )

I .j 1

,

sin2 .r d r

rr j3

1

o

/ 1 - sin2 x

r

z

1

I - . - dx 1 X

smr

dr

('I

hi i dl

0

(0. 86603)

hi

( 1.3 1696)

j)

(0. 73039)

,

( 13 ,68173)

,

.r e-.r d r

",

(0 .88208)

.

j SlllX

o

- - d,

rr j 3

o

( 1,6054 1)

.c

I .j I

0.2 5 sin2 .r d r

rr j 3

I

o

V 1 - O,25 sin2x

r

3

I)

d,

I .r 2

sinr cosr d r

( 1.00756 )

dr

( 1.( 8955 )

( - 2.44 346 )

8.7 A ufgaben

40 1

6. A uf Sc itc 526 sind in (10 .52) drei Wahrschcinlichkeitsimcgrale angcgebc n. deren Wert glcich 1 ist. Berechncn Sie aile drei lntcgrutioucn numcrisch mit Hilfc dcr Gauss -Ouadra tur mit 11 = 4 fllr d ie Wcrtc J1 = 0; o = 0,5; k = 1,5. 7. Berechnen Sie die zwischen dcr Kurve f (x ) und der x-Achse Iicgcnde H ache im angegebcnen lntervall.

a) f (x ) = 4x sin r

L sg: A = 81[ = 25 .13

b ) f (x ) = sin x

L~K:

c) y s- cos .r cosh .r

d)

f (x )

L sg: A = I .255

O :5x :5 1[/2

~ { \~."

A = 1- 21= 2

Lsg: A = 1,590 1 furl :5 x :5 5

2<

8. Berechnen Sle die von den Funktionen fl (x) und h (x ) ei ngesc hlosse ne H ache. wobei der Integrat ionsbereich zwischen den beiden Sch nittpunkte der heiden Kurven licgcn soil. a) fl (X) =x2 - 2 h (x ) = -x 2 + 2t + 2 l.sg: A = I -9 1= 9 b ) fl (X) = 3x - 1 c) f l (X) = 5 - x

h (x ) = xl - 2 r - 1 h (x ) = 5 cos

L I'g: A = 20,83

~;

LI"[!,: A = 3.4 15

9. Bcrechnen Sic die zwischen den Kurven )'1 = cos- .r und )'2 = sin2 .r licg cndc H ache im Inter val! 0 :5 .r :5 .r.•• wobei x" die .r-Koo rdina te des Schnittpunktes vonj'r und Y2 ist.

Lsg: A = 0 ,5 10. Bercchnen Sie die zwischen dcn Kurven ,vI = cosr und Y2 = sin r Iiegende H ache im Inte rval! 0 :5 .r :5 21[. Eincr dcr heide n Sc hnittpunktc der Kurvcn isr X.•2 =

~ 1[.

L sg: A = 5 .6568 I I . Bcrcchnen Sic dic Bogcnlan ge dcr Funktion )' = sinx im Intervall 0 :5 .r :5 1[ mit Hilfe dcr numerischen Integration nach dcr Simpso n-Regel (211 = 6). Lsg;

J

= 3,82.

12. Bercchcn Sic d ie Bogenlangc fo lgender Funk tionskurve n y = f (x ) zwischen dcn angegebenc n An fangs- und Endpunkten Xo und Xl. Die Intcgrale sind eruwcdcr in gesehlossencr Fonn od cr, falls kcine Stammfunktion cxisricn. mil eincm numerischen ln tcgrarionsvcrfahren durchzufuhrc n. Die Los ungcn sind in Klam mcrn angegcbe n.

1

a) J ~ -

xo ~ 1. 6

ln r

h ) y = e'

xo = O

c) y = e - x d ) y = e' sin2 x

XI

xo = O

( 1,95)

xl ~3

= 5

Xl

xo = O

= 5 XI

( 147.88) (5 ,226 ) = 1[/ 2

(5. 23 1)

402

8 lntegralrechnung

e) v e cos h.r

.ro = 0

XI

= 1

( 1, 175)

13. Bcrechnen Sic die Bogcntange der Funktion y = sin x (0 :5 .r :5 Jr) des Bcispiels 8.55 auf Sci te 39 1 mit 3 und 4 Sttitzstellen nach der Oaua-Ouadrarur. 14. Zwischen lwei sich auf dcr gleic hcn Hohc befindlichc n Punktcn PI , ~ , d ie voneinundcr cinc n Abstand von 2 m habcn. soli e in Seil schlaff ci ngchangt werden. Der Scilvcrluuf sci durch die Funkuon y = cosh2 x gcgcbcn. wobci das xy-Koordinatensystem im ticfstcn Punkt 7in dcr Scilmiuc posittonic rt is!. Bcrechncn Sic die Scillan gc s. L~X :

l

= 2 cosh.r sinhx

.1'

=

I

.r VI + (2 ccs h.c sinhx )2

-,

Die Integration wird numerisch durchgefuhrt und liefert:

s = 3,627 !II

15, Bcrechncn Sic die Muntclflllchc des Rota tionskorpcrs. dcr durch Drchung dcr Funktion y = xl (Dctinitionsbcreich 0 :5 x :5 ,;2) um die j-Achsc cntstcht. Lsg:

l =2\"

16. Durch Drchung dcr Kurve y = sin .r (Dcfinitionsbcrcich 0 :5 x :5 n ) um d ie .r-Achxc cnstchr cin Rotationskorpcr, Bcrcchncn Sic das Volumen dicscs Ke rpcrs.

,

x

LW: v =n £ sin2 x d t = 2" (x - sin x cos x) lg = 4,93

17. Bcrcchncn Sic dax Vo lumen des Roiationskorpc rs. dcr durch Drchung dcr Kurvc y = x 2 (Dcfinitionsbcrcich 0 :5 .r :5 5) um die j-Achsc cntstchr. Iii.l· ull/?:

V = 98 1.75

18. Einc Ellipse in dcr .rj-E bcne mil dcr x-Halbachse (/ und dcr j- Halbuchsc h wird cinmal volls tandig um die y-Achse rotiert. Das Volumen des enststehendcn Rotationsellipsoids be4x

tragt V = 3"" a2b . Konncn Sic diose Forme! mil Hilfc dc r Gleichung (8.3 1) auf Se ite 367 herlcitc n? .

9

Gewohnllche Differentialgleichungen

9.1

Einflihr ung

Nachfolgcnd werde n zu nnchst cinfache Beispi elc au s der Physik und Mechanik vorges rctlt. wic ein Phanomcn m il Hilfe doer Dttteren tlal gfeichung (abgc kurzt: DG L ) heschrieben werde n b on. Es geht also zunachst lcdiglich um die nuuhematische Beschreibung eines Prob lems nicht urn die Losu ng. der Losu ngsschriu ko rnmt spa rer.

Ueisp ieI9. 1: Blegung cines Ha lkens Dcr in Mi ld 9 .1 a dargcstellt e Balken mit dem Blastizhatsmodul E und dcm Triigheitsmoment I sc i an scincm linken Ende fest cingcs pannt und durc h die konst antc Strcckenlast q scnkrecht zu seiner Langsachsc bclustct. Die Blegettnte des Balkcns isl ci ne Funkti on de Ortskoord inatc .r, d.h. )' = f (x ). und wird durch folgcndc D i ff ercruialgleichung bcschricbcn:

k

lll

= E/ q

I

y(x) = ?

wobci

y'

i~ :--~

I~ ' a: Bicgung cines Balkcns

(9. 1)

~ j

l_--,__ b: Kmckcn cines Balkens

Bild 9.1: Bi cgung und Knit-ken cines Balkcns

lIeispieI 9.2:

Knicken etnes Belkens

Das Bi ld 9. 1b zeig t einc n an se ine m linken Ende fest e ingespannte n Bulken (E Blustizitat smodul de s w crkstotts, I Tragheitsmomcm des Balk enquer schnittx), de r du rch ci ne an seinc m rccht c Ende angreifcndc Einzcilast N in Richtu ng sei ner Ldngsachsc bclastct wird. Die Druckkraft N wird von Null aus langsam gcstcigc rt. W ahrc nd des Bclustu ngsvorgangs srcllt sich zunachs t kein er lci scitlichc Vcr schicbung ein (in axiu lcr Richtung verktirzt sic h dcr Stab natu rlich em wcnig , m it bloBem Augc kann man dies jcdoc h i.d.R. nicht erkennen). Bcim Errei chen cines kruischcn w enes Nk weich t der Stab plot zlic h seitlich au s. Dic scs kla ssischc Problem der Fest igkeit sleh re ist als

4U4

9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleich ungen

Stabknicken ci nes Stab es bck annt und wu rde bc reits im Jah re 1744 von Euler ] mathc-

matisch ur nersucht . Die kr itischc Last Nkhcillt die Knic klast des Stabcs. Das Problem des S tubknickens wird du rch folg cndc Dilfcrcn tialg lc ichu ng 4 . Ordnung bcsc hricbc n:

IEI / "'+ Nk/ '= ol

(9 .2)

Anmerkung: Die se DGL gilt nic ht nu r fur den ei ngesp an nten Balken des Bildes 9. 1 b. soudem uuabh angtg von Au l1agerbeding ungen fur jede n Balken - dcr Einfl ull dcr j ewei lige n Autl agerbc dingu ng a uf die Knicklast wird erst bci der Bcstlmmung de r lutegrationskonstantcn be ruc ksic htig t, vg l. uuch Abschniu 9. 11. 1.

lIeispi eI 9.3:

Ffusstgkeltspege t in einem Behulter

Ein Behntrer mit ei ner AustrittsOffnung untcn sci mit Wasser gefLillt (Bild 9.2) . Ocr Pegets tan d im Bch altc r verrtngc n sich kont inui erl ich, wei l das Wasserdurc h die O ffn ung an der Wand uustritt. Die rnornen ranc Pegelh oh c II ist ci ne Funktion der Ze it I . d.h. II = f( r). Dern em s prechend sind de r hyd rostat ische Druck und die vo n die sem Druck ab ha ngigc A usrrittsgcsc hwin dig kcit e bcnfalls Funkt ioncn dcr Ze it. Die Pcgclb c hc im Beha hcr wird du rch folg cndc DGL bcschric ben : .

dh

11 = -

lI(t ) = ?

dl

(9.3)

A ist di e -ubcr die Hohc kon staruc- Qu crschniusftachc des Bchancrs. A" d ie Qu crschuiusfl ac he der Austrt nsoffnuug . Experimente ze lgen . da ss der uustretendc FIUssigkc itss rrahl e inen klein crcn O ucr schniu hal als de r Offnun gsq uc rsch nin A": mit dc m Ausfl uss kocffiziem k wird dic scr Effck t berilcksich tigt (kA" gibt d ie Strahlquerschnit tsflac he wiedcr). FUr kre isrund e O ffnungcn kan n k :::::: 0 .6 angcsctzt worden .

,-

,,I I '-

t"'O - -¥---

' >0- -¥ -

(I') I

p

A~Slml>
.- -

D

-- .

Bild 9.2: Fllissigkeilspcgel in cmcm Bchulter

u,mlw rr! EIlI" r ( 17()7 ]710 ), SdlWeil/.cr Malhcmalih r. E,,/{!r """ rue s<:h"n mil :W Jahren l urn Prufe" " r fUr Physik umd sparer fbr Mathcnuuik j bcrufcn.

9.1 Einfuhrung

Heispid 9.4:

Freier Fall nhn e wtderstand

BUd 9.3 a zetg t den freien Fall etnes Korp ers mil der Masse

III

(in kg ) von clncr Bczugs-

hohe aus. z.B. vo n el ncm Pernsctnurm. Auf die Masse wirkt die Schwerkraft F = IIIX infolge der Erdbcschleunlgung X (g = 9 .8 1 m/s2 ). Der Luftwiderstand soli vemach-

lassigl werdc n. D ie momc nraue vertiknle O rtskoordinate .1'(1 ) als Funktio n der Zei t bescnrieteu, welc he auf dus bckannte Newto nschc Gesctz Beschleunigung = Kr a f t / Mas se zuruckgeht:

r wird durch folgend e DilTerentialgleichung ..

/I1X

.1'(1 ) = ?

.1' = -

'"

(9.4)

Dcr Ausdruck .i' = X bcsagt. dass d ie Bcschlcu nigung des Korpcrs zu jcdcm bcliebigcn Zc irpunkt 1 dcr Erdbcschlcunigung g glcic h iSI. d.h . cr crfahrt cine kon stunte Besc hleunigung und wird dadurch immer schnctler, Wir wissen abcr noch nicht, wekhe Geschwin dig kcir der Ke rper z.B. nach 2 Se kunde n freien Falls crrc icht bzw. wclchc Strecke er dabc i zuriickge legt hal. Erst die Losung der DOL wird diesc Frage bcan tworten konnen. Anmerkung: Die DOL (9.4) stcllt ci ne bcsonders einfac hc DO L dar. Man konntc sic unmittclb ar nach Rcgcln dcr ln tcgrulrcchnung zwc irnal intcgricrcn und so d ie ges uchtc w cgstrcckc .~( t) bcst immcn. Deren ein fachc DGL n kom mcn in dcr tcchnischcn Real itiit abe r -lcide r- nic ht bcso ndcrs hautlg vor.

"":'" p sit)

sit)

a: ohnc Widcrxtaml

b: mil Widcrxtand

Bild 9.3: Fre ier Fa ll ohne lind mil Widcrstand

HeispieI9.5:

Freier Fall mit Widerstand

Nun bctrac hten wir einen komp lizierteren Fall. Bild 9.3 b zeigt den freien Fall c ines Korpc rs in ei nem viskase n Fluid - we nn z.B. der Ke rper frei im Mee r sinkt. Aufgrund des Stromungs wide rstandcs cntsrcht jctzt cine nicht mehr vcmachlassigbarc und von dcr Gcsc hwindigkcit abhangigc Widcrstands kraft R = d (c ist dcr viskosc Widcrstandshcir wert in Ns / rn, .~ ist d ie mom cntanc Fallgcschwindig kcit in m/ s). Die Widcrstandskraft R wir kt auf den Ke rper ubbremscnd. d.h. in crugcgcngcsctzt zur Fallnchnmg. Die nac h untc n gcrich tctc Ncuo kraft auf den Ke rper bctragt F = /IIX - d. Die Bewegung des Korpcrs wird auf der Grund lage des NewlolIschen Gesetzes durch

405

406

9 Gewohnlic hc Diffcrent ialgleichun gen

folgcnde Ditfcrcntialgl cic hung bcschricbcn: ( /Ilg -

0')

/ 11/ = j:

=>

~

!ms+d _ lIl g I

s(t ) = ?

(9.5 )

Ncu"krati

Anm erkllnx : Diose DG L ist schon dcutlich unspruchxvoller als die DGL (9 .4). Die

ges uct ue w cgsrrcckc .~(/) lasst sich nicht mehr durc h zwci rnaligc Integration bcst immen.

9.2

Definitionen fllr Differenti algleichungen

Definition eme r gewohnttchen Dnrerenuatgtetchung Eine gewdhnllche Dlnerenttalglelchung (abgekurzt: DGL) iSI cine Glcichung, in der die Funklion y = f (x ) und ihre Ab lcitungen y' , l' , ) / /1 , . . . sowie d ie unab ha ngi gc Variable .r in einer bel iebigen Ko rnbination vor kommen: d" v wobei "(111 = _· .' - dr"

usw.

Foigende DilTerentialgleich ung bestcht z.B. aus dcr Funktion y = f (x) und ihren Ableitungen bis zur 2. O rdnung (Anmer kIl IlX: Dlcse DGL ist frci crfu ndc n. sic entspric ht nicht ei ncm konk retcn physikal ischen Phnncmcn'):

x\ /I + sin(2 t) y' - .~y + 5x- 4 = 0 Es ist nicht zwi nge nd. dass wir die unabhnngige Variable mit .r . die ubha ngigc Variable mit y und die Funktion mit f (x) bczeichnen. Je nach physikalischer Aufgabcn stellung kor mcn andere Bezeichnungen zweckmaliigcr sein. Nac hfo lgend werden einige Beispiele vorgestellt, wo die unabhangigc Variable die Zeit ist.

Diffcr cnual gfcichungen habcn in dcr Tcchnik cine hcrausragc ndc Bedeutung. wei! physikalische Vorgiinge sich muthcmausch als Diffcrcmialgtcichungcn in sc br kompaktcr For m formu licren lassen. Eine Different ialgleichung tst ein matnemattsches Mod ell jiir ein phvsikalisches Prohlem . Immer dann wenn cin physikalischcs Phanomcn d ie Allderllng .mlle cinc r Funktion f bezugfich ei ner Position skoordinate bzw. dcr Zeit beinhaltet. L B. df / d t bzw. df / dl, bietet sich an, d icses Problem durch eine DO L zu bcschreibcn.

lmpllzlte und explizite Dlffer entlalglejchungen Falls die unabbangigc Variable .r und die abhiingigc Variable y sowie slimtlic he Ab1citungen von y auf eincr Seite des Glcichhcitszcichcns stchcn. liegt ei ne implizitc Djfferential gfeichung vor;

F(x. y, y' . y" . . . . •y(Il )) = 0

impIizite DGL

(9.6)

9.2 Dctinuionen fur Differcnt ialg feich ungen

40 7

Falls der ho chs te Ab lcitu ngstcrm der ah hling jgen Variable y auf der linkcn bzw. rechte n Se ite dcr DG L steht. licgt cine exp lizite Differentialuleichung vor: y (lI )

= G(x,y,l , y" ... .

,y(II-I ) )

exp lizite l)G L

(9.7 )

Die Bcschreibung physikalischer Probleme fiihrt meistens zunnchst auf d ie implizite Form. Durch Umformu ng kan n da raus evil. explizite Form der DGL gewonnen werden.

lIeispieI 9.6: Durch Umformung so li folge nde DGL in impli ziter Form in explizi te Form transfe rmicrt werdcn.

:?l' +

sin(lr) y' - x 2y+ 5x- 4 = 0

Nac h Umfo nn ung erhan man die DG L in explizitcr For m : " sin 2t , I 5 4 Y = - ~ y + ~ y - x2 + x3

D rdnung eine r Djfferentlalglelch ung Die Ordnung dcr hochstcn in cincr DG L vorkommendcn Ablciumg wird die Ordnung der DifJerentiaigleichung genannt .

lIeispieI9.7: Diffcrcn rialg lcic hun g

Funktion

Ordnung dcr DGL

)/+hy+ I~ O

Y - I (x)

2.,/ - sinx = 0 Ii = - kll h = - kVh

Y~

1 1 1 1

El y" +N y =O

)' ~ I (x)

m.f mf

=

IIIg

+d

= mg

y"+y' -xy =X y'" -t- v" + y'y- 2t+ 4 = 0 xl" ~ 2e ry" + y = 2r2 )/111 =

q

I (x)

lI = f (l ) " ~/ (I )

s ~ 1( 1)

·'~/(t ) y~/ (x )

y ~ I (x) )' ~ I (x) y ~ I (x)

2 2 2 2 3 3 4

Llnee re und nichtlineare Dlfferenttal gfelchungen Einc DG L wird als lineare Ditfere ntialgtelchung bczcichnct, wenn sic in fclgcnde Form gebracht werdcn ka nn:

bll (x )y(lI ) + h"_1(x) )'(11 -1) + . . . + h2(X) y" + b l (x) )" + bo(x) )' = r(x)

(9 .8 )

4()!l

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

h;(x ). und r(x ) : belic bigc Funktioncn von .r

wobci

(i = (U , ...• II)

Ein Sonderfall dicsc r DOL ist die lineare lJifferelllia fgfeiclulIIg mit konstonten Koeffi sienten: (9 .9 )

Au s der obigcn Definition folg t. dass cine linearc DO L folgc nde Eigenschaftcn aufweixt: Die Fu nktion y und ihre Ablci tu ngen )/ .v".... . y (lI ) treren in Hnearer Form . d.h. nur in dcr erste n Potenz, au f. ", sin y, cos y' usw. Die DOL enthal t keine nichtlinearen Termc wie z.B. y2. .j5', (y') 2, (A Die DOL en thlllt keine gemischtcn Prod ukte w ie z.B. .\:\" . .\:\'" . y'y" usw, IJeispieI9.8: Nac hfolgcn d sind cinigc Bcispiel c fur lincarc und nichtlincarc DOLn angegeben . Diffcreruialg leichu ng / + 3x - 5 4y'" + (sin x) y" - 3xy = 4.t v" - 2t'~ y" +.~ y' - (cos x ) y = sin2 .r - 5x (/)2 _ 2y= 3

/' + )'y' = 0

y" + / - / = O

Linear oder nichtlin ear ? lin ear linear linear nich tlinear nich tlinear nic htlineur

y' + lny = 2 t -3

nichtlineur

y" + 2y'+e-" = O

nieh tlinear

G ewii hn liche und pa rtlelle Differen tlalgleichung Eine gew oh nlich e Differentialgleichung liegt vcr, wen n d ie Funktion 1 von einc r Variablen abhang t, z. B. I (x ). Dagegen ha ndelt es sic h urn cine partlelle Dliferentlalgleichung, wenn 1 von mebr als cincr Variablc n abhangt. Bcispicle :

[ (I )

1 ist ci ne gewiihil/iche DOL (j 1 ist ci ne gewdhniiche DOL (j

[ (x.)")

J ist cine portielle DO L (J hangt von .r und y ab)

[ (x ) [ ~

hnngt nur vo n .r ab) hangt nur vo n 1 ab )

1 ist cine panielte DO L (I ha ngt von .r , y und z ub) [ (x.y. , . I... · ) 1 lsr cine par/idle DO L (j hangt von rnehrerc n Variab len ab ) [ (x. y.z)

Wahl von varta blensymbolen Die Bezci chnungcn fur d ie unabhangig c Variable und die hic rv on abha ngigc Punktion so liten so gcwahlt worden. class sic das phy sik alischc Problem au f moglic hst lcicht vcrsta ndlichc Art wicdcrgcben. Die Differcntialgl cich ung des freien Fa lls c ines Korpcrs im Mcer nach Bild 9.3 b konrue z.B. au ch m il dcrn Positicnssym bc l .c und de nt Zc itsym bol 1 wie folg t bcsch rtcbcn werden:

9.3 Losung eine r Differentialgfeirhu ng

/fir

+ ex -

C

impJizite Fonn

IIlK = 0

.r - g- - x

explizite Form

m

9.3

409

Lbsung einer Differentialgleichung

Einc Diffcrcntialg lcich ung F(x,Y.l ,Y",· · · , y (1I J ) = 0 zu tosen hcib t, cine Funaion Y = [ (x) zu finden . welche die gcgebcne DOL erflilit. d.h . F(x , [ (x ),['(x), [" (x), .. . ,[(II)(X)) = 0 ergjbt. Anstctte von Losung spricht man auch von dcr Integra t ion et ner Dttferenrialgtetch ung. d.h . bei DOLn sind die Bcgriffc - Losung« und »ln tegration- g leichbcdcutend. Sci tech nisehen Anwendun gen kom mt fast immer cine weitere Forderung hinzu: Die Losungsfunktion muss nicht nur d ie DOL erflllle n. sondern muss auc h bestimm te Bedi ngungen. die sog. Aufangsbedlngungen bzw. Randbedlngu nge n bcfriedige n. Einc Punknon dcr Fonn y = [ (x ), wclchc die DOL crfllllt, heiBt expllzlte Lo sung dcr DOL. Ebcn falls mogttch ist et ne implizite Losung dcr Form g(x,y) = O. Ferner hangt die Losung cin er DOL nicht devon ab, ob die DOL in cxplizitcr Form nach (9.7) odcr imp liziter Pe rm naeh (9 .6) vortiegt. Heide DOL-Fomlen fuhren auf die gleiche Losung. Die Losung cin cr DOL wird i.a. sys tematisch mit Hille von gccig nctcn Methode gcwon ncn. die in nachfclgcndcn Ahschniucn dic scs Kapitcls vorgcstcllt werdcn. 1m Prinzip isl cs an sieh g leichgulrig, wtc eine Losung gc fundcn wird : sic konr ne uuch cinfach durch Ausprohieren gefundcn werde n. wenngleich dies in der Regel ci ne ziemlich muhsamc und in allcrmcistcn Fallen wenig Erfolg versprechende Met hode sein durfte! UeispieI9.9: In folgcndc n Bcis piclcn ist jcw eils die DOL und rechts devo n die -allge mcine- Losung angcgcbcn (wie diose Losung gewonne u wurdc. soli uns vorlaufi g nicht interessieren). Es soil jcwcils du rch Subst itution dcr ungcblich cn Losun g in die DOL gczcig t worden. dass sic auch unsachlich die jcwcilig c DOL erfullt (die DOL isl crfullt. wcnn die linke und rcchtc Sene dcr DOL nach Einsetzen der Uisu ngsfunktio n idcrui sch sind). a) x y' = y

Lsg: y

.,

=ex

e : beliebige Konstante ::::}

Aus dcr Losungsfu nknon crhalt ma n dureh Ablciumg: (y)' = (ex)' c

--

Einsctzcn in die DOL crgibr: x c = ex -
::::}

y' =

ex =ex /

Y

Die Funktion y = ex ist also tatshchlic h die Losung der DOL x l = y, wei! die Substitu tion von y = ex in die DOL zu ein cr ldcntitut fbhrt (Iinke Seite ist g leich reehte Scitc) . h)

x y' = 2+ y

,

LIg: y= - 2+ ex

Aus der Losungsfunktion crhdlr ma n: (v)' = (- 2 + ex )' Einsctzcn in die DGL licfcrt : xc = 2 + (- 2 + ex) - X.lJ

' - - 2+. v1" - - '

::::}

=>

l

= c

c:t= ex /

410

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

c)

x)" -2y = 0

'!

LIg: y = cr

=>

A us ocr Losu ngsrunkrton crnan man: (y)' = (ex:!)' Einsctzcn in die DGL licfert:

2 _ _-_ _ ) .r (2ex) 2 (ex .n J

d)

l -y = O

=

)" = 2ex

'2cx - .20 -' = - 2c.~

2.1J

0

/

", 0

,

tsg: y e, ce'

Aus dcr Losungsfunktlon erhalt man: (y)' = (toe' )' Einsetzen in die DGL liefert : cr' - cr" = 0

=> l = ce'

/

'----v---'

o

e) Ii I =

- k 11/

Aus der Losungsfunktion erhalt ma n:

~ III = ~ (a

dl h Einsctzcn in die DGL liefe rt: - kce - =

O n J + .'1'= 0

dl

-s

- h)

k . ce: "

/

LW " ' + Y"", +(' =' O

Die in der implizi ten Form angcgebcne Losungsfunktio n x2 + y2 + c = 0 wire! zunnchst nach y aufgelost und nach x d iffcre nziert :

(y )'= {V- x 2- e )'=

y = V -x2 - e

- 2r

-x

2J .r2 c ~ -.;r""x'j'2~c

Einsctze n der Losungsfunktion und ihrer Able itun g in die DGL erg ibt:

-x

v - x 2 - c --,=~~ +x = O 2

,

J

x

c,

=}

- x+ x= o ./

Alternatives Vorgel,en: Es iSI nicht zwingend notwendig, die Losung in die cxpliznc Form zu rransformicren . Man kann direkt auch mit dcr impli ziten Losungsfunktion arbeitcn. Sci der impliziten Ablcitung (vgl. auch Abschnitt 6.4 ) ist zu beachten. dass y von .r abhangig is! und die Ketlenregel angewendet werden muss:

d v"' ) --'-dv +d e=O => -d .r, + ( -t-t de dv' d r dr =}

2r +2y./ + 0 = 0

--

yy' =-x

Binsctzen in die DG L liefert : - x+ x = 0 ' I'

/

9.4 Allgemeine. speziel!c und partikulare Losung

9.4

4 1J

Allgemeine, spezielle und partikula re Losung

Allgemeine Liisung etner DGL Wen n d ie Losung einer DOL noch unbekann te Konstanten cnthalt. nennt man sic d ie allgemeine tosung dicscr DOL. Aile Losungcn in Beispiel 9.9 sind z.B. allgemeine Ldsungen. wei! sic die unbekannrc Kon stuntc c enthalte n. Aufgrund dcr Konsta nte c bcsteht die allge meine Losung y = f (x ) e iner DOL aus eincr unendlichcn Schar von gleichartigcn Losungen. von dcncn jcdc sich gcgc nuber andcrcn Losungcn d urch cine Parallel verschiehuug in Riehtung del' j -Achsc untcrschcidct. Anmerkllng : Die Anzahl del' Kon stuntcn dcr allgcmcincn Losung crgibt sich aus dcr Ordnung del' DOL. Die allgemeine Losung ctncr DGL I. Ordnung z.B . cruhalt nul' cine Konstantc cr . d icjcnigc cincr DOL 2. Ordnung cmhan zwci Konsmnrcn CI und cr , Anfangsbedingungen un d Ra nd bedlngungen Wen n die Losung f (x ) del' DOL die zusatzlichcn Bedingungen nur an eine r Stelle. z.B. x = u, erfLillen muB. spricht man von Anfangsbedlngungen. Die DOL wird in diesem Fall auch Anfa ngsw ertaufgabe ge nannt. Wenn die zusmzllchen Bedingungen an mindestens zwei Stellcn. z.B. X I = u und .rz = b. vorgegebcn sind. handelt es sich um Ra nd bedt ngungen und d ie DOL ist eine Ra nd wer ta ufuebe. Bei diese n zwei Stellen kann es sich uuch um zwe i Zeitpunktc tl und t 2 handeln (z.B. bei dynami schcn Vorgungen). Hinweis: Zur Bestirnrnung von II Kon stamen eincr DOL II-ter Ordnung werden II Zusatzbed ingungcn (Anfungs- bzw. Randbcdingun gcn t bcnongt . Eruhalt die allgemeine Losung L B. die Konstanten Cl und C2, sind zu dcrcn Bcstimmung zwci Zusatzbcdingungcn erfordcrlich. Anfangsbcdi ngungcn kornmcn in dcr Regel bci Aufgaben dcr Starrkorpcrdynamik vor. Randbcdingungcn trcten chcr in del' Statik von Stab cn und Ftachcntr agwcrkcn auf. Anfangs- und Randbcdingungcn kormcn abel' auch glcichzcitig auftrctcn, wic L B. in del' Dynamik dcformierbarer Kerper (Stabc und Flnchcntragwcrkc).

Spezielle Liisung etner DG L Falls d ie allgemeine Losung dcr DOL neben der DOL selbst noch bestirnmte vorgegebene Zusatzbedingungen erfullen muss. ergibt sich die spenette Lij.wllg dcr DOL. Bei dcr spczicllcn Losung handelt cs sich also um cine ganz bcstirr untc Losung aus eincr uncndlichcn Schar von dcnkbarcn Losungcn. In der spcz icllcn Losung kommcn deshalh kcinc unbcstimmtcn Kcn stantcn rnchr vor, sondc rn diose Konstantcn crhaltc n ganz koukrct e Zahlc nwerte . Die spczicllc Losun g wird aus del' allgcmcincn Losung durch EriUllung von Anfallg.~hedillgullgell bzw. Randheding ungen gcwcnncn.

UeispieI 9. 1O: Fur das Beispiel 9.9a soli die spcztctlc Losung fUr die Anfangsbed ingung y(2 ) = 6 besrimmt werden . Die allgemeine Losung y = ex bcstcht aus eincr unendlic hcn grouc n Schar von Gcradcn. die durch den Ursprung des .o- Koordtnatc nsystcm gchcn (die Steigung del' Geradcn wird dUTCh d ie Konstanle c bcstim mt). Aber nur cine einzige von ihncn geht

41 2

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

auch durch den Punkt P = (2; 6) . Dic sc wird w ic folgt bcst im mt : 6

c= - = 3 2 Einsctzen von c = 3 in die allge meine L e-ung licfert die spezielle L osung:

y = 3x Dicsc Losung crfullt sowohl die DOL wic auch die A nfangsbcd ingung (ubc rzeugc n Sic sichtj. lleispieI 9. 11: Fur die in Abschnitt 9 vorges tellte n Beisp ic le ge lte n folgen de A nfangs- bzw, Randbcdingunge n (ihre Her lcitung lst Ccgen srand dcr Mechanlk . cs so li hier nich t naher da rauf eingegangen werdcn): Problem

Knicken eincs Kragbal kcn s

Anfangsbcd ingu nge n Randb edingungen 1'(0) - 0 y'( 0) ~ 0 y"( L) 0 l l/(L) = 0 y( O) _ 0

(Randwertproblem)

y'( O) ~ O

Bicgung c ines Kragb alken s unter Strcckc nlast (Randwertproblem )

= =

y"( L) 0 Ely''' (L ) ~ - NJ' (L ) Wasserpe gel (A nfangsw ertproblem) Freier Fall (Anfangswertproblem)

h(O } - 110

s(O) - So .i(O) = 1'0

Erlautcru ng Du rchb iegu ng Verdreh ung

«Blegemoment « Oucrkran D urchbicgung Verdrehu ng ex Biegemcment

Que rkraft An fungshohc

Stan position A nfangsgcschw ind igkc it

Par tlkulare Losun g einer DG L Fa lls bel der Ermiulung dcr allge mein en Losun g die Integrationskonstante (" nicht berucks lchrigr w ird. liegt ci ne partikuldre Liislfllg vor. Sci der partikularen Losu ng ha ndelt es sic h also um einc heliebige Losu ng au s eincr uncn dlic hcn Anza hl von moglic hen Losun gen . Zur AufstclJun g der partikula rcn Losun g werden ke ine Anf angsbedingunge n bzw. Randhedingungen beuotigt . Alllllerkllng: Meisten s werdc n in dcr Litcrutur spcz icllc und partikutarc Losungcn als sy nony· me Bcgriffe vcrwe ndc t. Zur besscren begri fflichcn Trcnn ung und Vcnncidung von Migvcrstand nissen wurdc hier die obigc Diffcrcn zierun g vorgcnom rncn. Aurtinde n der Lnsu ng Z ur Los ung eine r DOL sind irn allg cmcincn spcz icllc Mcthodcn erfor de rlich, wei! die DGLja sowohl die unbek anm e Fu nkt ion y als auc h ihre Ablciru ngcn y', }'' '",. in bc liebiger Kombina tion

9.5 Lusungsstratcgie IUr cin physiknlischcs Problem

413

enthalt . In Ausnah mcflillc n kann cs jcdoch mog lich scin. cine DilTerentialgleichung au f e infachc Weise zu ldscn. Bci m Bicgungsproblcm des glc ichmaBig bclastctcn Bulkens auf Sc itc 403 z.B. lasst sich die DG L (9. 1) am einfu chs ten dad urch loscn . indem man die DOL 4~mal himcrein undcr nach ljblichcr Integralrech nung nu egnen und d ie unbck unntcn Kostamcn CI. Q , C) , C4 aus den Randbcdingu ngen bcstimnu. Hinweise I. Nicht j cdc DO L besitzt ci ne Losung. D ie DOL yr2 + I =: O z.B. bcsltz r keine reelle Losung, weil fu r jeden beliebigen reellcn Wert von y' der Ausdruc k l 2+ I positiv lst. d.h. es gilt stets yl1. + I > 0, und folglich kan n die DOL nicht erfullt werden. 2. Eine DOL kann mehr als cine Losung habcn. Die DOL }/2 - xl + y =: O bcispiclsweise besitzt ncbcn dcr al lgeme inen Losu ng v =: ex > c 2 noch die sog. singuldre Lcsuug y =: .~ / 4 .

9.5

Ltisungs strategie Itlr ein physikalisches Problem

Die Behandlung cines physikalischcn Problem s crfolg t i.a. in lwei Arbeitssc hrittcn:

I. Fermulieru ng des physikalis chcn Problem s mit Hilfe cmc r Diffcrentialgleichung. Die A ufstcltu ng dcr zugehortgcn DOL erfolgt untcr Bcachumg physikalischer Gcscrzm abigkcitcn und Zuhilfenahmc speziellc n Fachwissens. Die O rdnung der cntstehc nde n DOL hang r vom aktue llen physikalischen Problem abo Des von der DOL besch ricbcne Problem wird -jc nac h Ordnung dcr DOL - Anfang swertau f gabe oder Randwe nauf gahe ge nan nt. 2. Los u ng der An fungswert - bzw. Randwertaufgabe a. Ermi ttlung dcr an gememen Liisung dcr DOL. b. Oewinnung einer spezlellen Los ung aus der allge meinen Losuug durch ErfUlIung von Anfangs- bzw. Randbedi ngungen . lIeispieI9.1 2: Die Masse des radioaktivcn Elem ents Radi um ist ci ne Funktion dcr Zei t; sic wird mit zuneh me nder Zeit weniger. weil Rad ium aufgrun d seiner radioakriven Strah lung zerfallt. Dicscr Zusa mmenhang wird durch folgende DilTere ntialgleichung beschriebcn (dus ist d ie Pormu ticru ng des physlkalischen Prob lems): Iii =: - 11.1/1

odcr:

dill =: - k ill 01

-

II. =: 1,4 . 10- 11

(Zc rfullsc xponcnt)

Es ist zu bestimrnen, nach wieviel Jahren vo n ursprUnglich 1110 =: 5 g Radi um noch 2 g iibrig bleibt. Man kan n slch durch Einset zcn uberzeugen. dass die DOL Iii = - km folge nde allgemein e Uj.I'IIIlK besitzt: 11/

=: lII (t ) =: ce - kl

Kontrolle: m =: - eke- kl

-

Iii =: - kill ./

Die speelette Uj.l'Ifllg wird aus der Anfang sbedi ngung m(t ge der radiouktiven Substa nz) bcstimnu : 111 (0 ) =: mo =: 5 =: ce- k ' () =: C eO =: C

.,

= 0) = 5

=> c =: 5

(an fangfic he Men-

414

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

Jetzt wi rd die Ze it to bestimmt. nach dercn Ab lau f einc Restrncngc von 2 g Rad ium ubr ig blci bt: ::0}

In(e- 1 10 ) = InO.4 '-v-'

- klo = - 0 ,9 162907 32

- k lO

10 32 = 6 ,-544933 · 24 ·3600) = 2075 Jah re ! Io = 0 ,9 1,4162907 . 10 - 11 - - · 10 .s = - 6 ,544933 · 101()/ (365 -

9.6

DitTerentialgleichu ngen l. Ordn ung

In die sem Absc hnitt werden einige grundlegcndc Losungsvcrfuh ren fllr Diffcrcntiulgleichungcn I. Ordnung vorgestellt.

9.6.1

Trennung der Variablen

Falls cine Differen tialgleichung I . Ord nung in der Form

Ig(y) y' ~ f (' ) I

(9.10)

vc rlicg t bzw. stch mincl s algc bra ischcr Um for mun gen in dicsc Fonn tran sform icren lasst, crgibt sich cine ei nfachc Losungsm crhodc. Untcr Verw endu ng der Beziehung l = dy/dr ka nn man d ie DGL wic folg t utnformcn: dr

g(y ) ~ d,

~

f (x)

Auf bcidcn Sc iten des Glcichhcit szc ich cns licgt j etzt j ew cils cine Funk tion mit a ngteichen Variabien vor. d.h. auf dcr l inkcn Scite cine Funktion von nur y und au f dcr rcchtcn Scitccinc Funktion von nur .r. Dicscr Vorgang wi rd als Trennung der variabten beze ichn et, wei I die .r-Tcr mc und y-Tenne voncina ndcr vollko mme n gctrcnnt sind . Deshalb konncn bcidc Sci tcn vone inande r unabhangig int cgri crt werdc n. Diesc Method e wird Trennung cia variabien ge nannt: DilTerent ialgleich ung : Losung :

.I

g(y ) dj- =

g(y ) l = f (x)

.I

f (x) d r + c

Nach DurchfU hrung dcr lmcgrunon ist dcr Ausdruck nach y aufzuloscn.

(9. 11 )

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnu ng

Heispid 9.13: )/ _),2= 0

Trennung der Vartablen A nfa ngsbcdfngu ng: y( I ) = I 1

,

-v v =

r

............. g(y )

'

4 15

y=? - I

'* -y

1

............. f (·T}

= x+c

- I Umformung des lctzrcn Ausdrucks liefert die allgem ei ne Losung: y = - -

x+c

Kont rolle durch Einsetzcn dcr allgemein en Losung in die DGL: - I ) '

y' = ( x + c

1 (x +cI)' ,

1 = (x+ c)2

::::} (.\"+ c )2 -

0=0

=0

./

~~

, .1

.1'

Spczielle Losung ergibt sic h aus dcr Erfiillung dcr Anfangsbed ingung: - I I +c

I + c = -I

,' ( I ) ~ I ~ ­

.

"-

c= - 2

• $ -

- I x -2

Kont rollc dcr spczicllcn Lo sung:

1

(.v.)' ~ ( x-_ I2 )' ~ '(x--'-,C; 2)'

o ~o

.(

HeispieI9.14: Trennung der Variablen Die DGL 2))" - 4x = 0 ist unter ErlUlIung der Anfangsbedingung y(O) = 0 zu losen. Die allgemeine L osung erhun man dUTCh Tren nung dcr va riab lcn :

-' 2," v' = 4x

/( )")

\' =

::::} j2Yd.r = j4xdr + c

f (x }

±/ 2x2 + c

Kontrolle dcr allgemeinen Lo sung (Einfuchhcit hulbcr nur die positive Wurzel uberpruft):

Diffcrcnziercn dcr allgemeinen Losung: Einsctzcn in die DGL :

~

"

(y), ~ (V~ " " +c) , ~ ~;;=='= J 2x2 + c

2r

2 V 2x2 + c J'2Xf+C - 4x

--....--.'"

--........--2r~ + c

;'

.,

=0

416

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

,

4x ~ 4x =0

0= 0

/

Die spczicllc Losung y" ergibt sich aus der atlg cmct ncn Losung durch Einarbc itung der Anfangsbcdingung:

y{O) = 0 =

"*

± V2 . 0 2 + c ~ ±JC

"*

c= O

y., = ± @

= ± V2x

Kontrolle dcr spcziellc n Losu ng (nur die Losung mit positivcm vcrzeichcn wird uberpruft) :

(y,)' ~ (v'2x)' ~

v'2

--

2 v'2 x

, .'

v'2

- 4x :!, 0

,

4x -4x =0

0 =0

/

Hinw eise: 1. Es ist wichtig. die unbcstim mte Integrationskonstante unm iuelbar nach dcr Integration des Ausdru cks [ (x ) einzufuhren. Eine spntere HinzufU gung kann zu falscher allgcmeincr Losung fuhre n. 1m obigen Beispiel 9 .14 ware z.B. folgende Vorgehenswei se [ufsch gewesen:

2)'y ' - 4x = 0

! 2ydy = !4xd,"

Dass diose Los ung falsch isr. erkennt man beim Einsctzcn in die DGL 2yy' - 4x = 0 :

y' = (V2x+ c)' =

V2 "* 2· (v'2x +c) · V2 -

4x = 4x +2V2 c - 4x =

2V2 c :f o !

Das Brgcb nts isl :f O. d.h . die DGL wird nicht erfllllt. Zwar konntc die Erfullung der DGL erz wungen wcrdcn. wenn (' = 0 ei ngesetzt wird: dann harte ma n aber nicht die allgemei ne Le-ung so ndem nur cine beliebigc Losung gewonnen. 2. Es wird allge mei n emp fohlen. nach Bestimmung dcr speziellen Losuug einer DGL dere n Richt igkeit mtuels Substitution in die urspriingliche DGL und Obcrprufung der Zusatz bediu gungen (Anfangs-/Randbcdingungen) zu kont rollie ren . Die Losung ist richtig, wen n die Substitut ion zu keinem Wider spruch in der urspriinglichen DGL fuhrt und gleichz eitig die Zusatzbedin gungcn erfilllt.

9.6.2

Transformation der Varia bien

Es kann vorkomm en. das s sich cine Differc nrialglcich ung I. Ordnung nicht unmit uc lbar. sondem erst nac h ei ner variubtentransfonnatiou in die Form mit getrennten Variablen bringen Iasst. Beispiclsweise ist cs mit algebraischen Umfo rmungen nicht mogl ich. folgende DGL in die Fonn g(y ) )" = j {x ) zu bringen :

y' = x +y

lasst sich nicht in d ie Form glv ) y' = j (x ) bringen!

Die in Abs. 9.6 .1 bcschricbcnc Met hode Trennung der variabten ist also auf d tcsc DGL nicht unmittclbar anwendbar. In bes tim mte n Fallen lassen sich solc hc Differenti algleichungen jcdoc h mit

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

4 17

Hilfc eincr Variablentra nsformat ion in die Fonn mit getre nnten Variablen bringe n. Nachfolgc nd worden cinigc ausgewahlte Typcn von DGLn bctra chtct. die mittel s Variablc ntrans formation gclost w erdcn kon nen. DGLn vom TJp .\/ =

9.6.2. 1

f (Ax + By + C)

Die rcchtc Sei tc etncr solc hcn DGL bcsteht aus cincr bclicbigcn Funktion des Ausdrucks Ax + By + C, wobci A.B. C skalare Koefftzicnteu sind. Eine DGL dle ses Typs liisst sich mittels dcr varteblensubstit ut ion II

= Ax + 8y + C

in cine neue DGL ubcrfuhrcn: wird

"/ = f{ Ax+ By + C)

lr~n,f"nnien

in die !'<mn

y' = f( l1)

Naeh dcr Ubcrfuhrung dcr DGL in die Form y' = f (lI) wird noch dcr Ter m l aus dcr DGL climi nicrt. Hier zu wcrdcn bcidc Scitcn des Subsututionsausdrucks 11 = Ax + 8y + C nach .r d if· fcrenzicrt {untcr Bcachtung der Tatsuchc. dass sowoh l y als auch II von x abha ngigc Variahlen sind und dcsbalb nach dcr Keue nrcgcl d ifferenziert werd cn mlissen):

d dr

/I

d = - (Ax+ By+ C) dr

/I

, = -d (Ax ) + -d (By ) +d C= A+ By , + 0 dr

dr

dr

=> "/ = u' - A B

Einsctzcn des letztcn Ausd rucks fur y' in d ie urs prunglichc DG L licfcrt die transformic rtc DGL : II' -A - = f (II ) B

=>

1I' = B f (u)+ A

c-,""",Ic..",..., ,

A +B f (lI) 11 = 1

'-.--' g( u )

Es handelt sich bcim letzten Ausdruck o tfensichtlich urn eine DGL mit getrennten Variablen, welc hc dire kt integricrt werde n kunn: I -;-ci"7CC'C dll = dr A +B f (u )

Die Integration der linke n Scire ist von der Funktion f (u ) abhangtg. das Integral der rcchten Scire kann hlngegen allgeruein gu ltig angegeben werde n:

J

I ( ) dll = x +c A + B f ll

(9 . 12)

Nach dcr Bcsnm mu ng von /I uus (9 .12) muss anschheucnd noch dcr A usdruck (Ax+ By+ C) anstelle von II zuruck subst ituticrt worde n. Die Auflos ung des cns tcbcndcn Ausdrucks nac h y

41!l

9 Gewohnlic hc Diffcrent ialgleic hungen

licfc rt schlic blich die ges uchtc Losun g y = p(x ). Ucispi eI 9. 1S: Nachfolgend sind einig e DGL n vom Typ l = [ (Ax + By + C) vor und nach der EinlUhrung der Substitutionsvariable II = Ax + By + C angegeben:

DGL

Substitutio nsvariable

l -2t -3y + 4 y' =v x + 2y

11 _ 2x _ 3y + 4 II = - x + 2)'- I

y' =sin (x +y)

II = X+ Y

Tra nsformicrtc DGL y' - II

u

y' = .,fii y' =sin ll

sin II

f lu)

;U

Ueispi eI9.16:

y' _y = X

.1'(0) ~ 0

y =?

Liisungsweg J:

Bci dic scm Losungswcg wird (9.12) direk t angewan dt. Zu nachst wird die DGL in die Fonn y' = x + y gc bracht. Aus dcm Verglcich von (Ax + By + C) mit dcr rcchtcn Seite (x + y) erkennt man. class A = B = 1 und C = 0 sind. Mit der Sub stitutio n lI = x + y cr nstchr dte Dqt. y' = II.

y' =

'* [ (11) =11

II

nun kann (9.12) unm itte lbar angewand t wer den:

J

I

A + B [ (II )

:::}

J

dll = x + c

In( 1 + /1) = X+ C

1

1+ 1' 11

I' )

dll = X+ C T

= e- +"

e

'* 1+ 1I = e-'

l +u

Nach Rtlcksu bstitution von I +(x+ y) = Cl eT

11 =

~ = Cl e<
x + y erhalt man die allgemei ne Losung :

:::} y =cle' -x - I

Die Erfulju ng der An fangsbedi ngung licfcrt die spczietle Losu ng:

y(O) = 0= ('1 eO - O- 1 = ('1- 1

:::} ("I = I

Lii.\·W11P II"eg 2: Schrinw eisc Bcrcchnung .

In dic scr Vorgchenswcise werde n aile Sc hritte . d ie in der theoret ischcn Her leitung obc n zu (9. 12) gelUhrt babcn. nachvo llzogen (dcshalb ist dic scr Weg auch ctwas langwieriger). Die Umform ung der gegebenen DG L Iicfert y' = x + y. Mil der Substitution /I = x + y ergibt sich:

(II)' = (x+ y)' = 1 + y'

:=}-

y'= u' - I

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnu ug

--

Das Einsetzcn des Ausdrucks fur liefcrt:

11' - 1 = ."

It

1/

und dcr Ableitung y' in d ie DGL I

1/' = 1+11

~

- - II

,

1+ 1/

X+.'·

l

= x +y

= I

Der letzte Ausdruck ist cin e OGL mit getrenn tcn v arlablcn und lusst sich leich t integrieren:

I

.

_ I I + 1/

d" ~ / ( I ) dx

In(1 + 11) = X+C

~

.

idcntisc h mit der Losung (*)

Der Rest der Berechnung vertauft wie beim Losungsweg 2.

Heispi eI 9. 17:

y =1 Auch bel dle sem Beispiel wird die Losung sowohl mit Hilfc der Gleichung (9. 12) ummnelbar als ouch durch detail1ierte Ausfiihrung aller Schritte der v arlable ntransformarion erm itte lt.

Losungsweg I : Anwcndung der 0 1.(9 .12). Vergleich vo n (Ax + By + C) mit dcr rec hten Seite (x + y) der DGL crgib t. dass A = B = 1 und C = 0 sind. Mil [ (u ) = 11 2 folgt aus (9.12):

I

J+

1[ ( ) du = x + c . A + B /I

1

arctan II = x + c

~

Nach Riicksubsitution von

Ii 1/

1 dll = x + c l ' u2

= tan (x + c)

= x + y in die obig e Losung erh alt man die allgemeine

Lo sung:

x +y = tan(x +c )

=}

y = - x + tan(x + c)

Die Beriicksichtigung dcr Anfangsbcdingung y (O) = 0 liefcrt die spcztcllc Losung: y(O) = O =-O+ lan(O+c) = tanc

~c = arc t an O = O

~

y, =-x + tanx

Lii.I·WIg.I'II'eK 2: Schrittwcisc Bcrechnung:

Mit dcr Variablensubstitutio n II'

= (x+ y)' = 1+/

1/

= x + y erhuh man =}

/ = 11' - 1

Einsctzen der Substitutionsausdriicke in die urspriingliche DGL ergibt cine neue DGL

4 19

420

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

--

'*

DG Ln vum Typ

l

mit gctrcnntcn Variablen: 11' _ 1 = "

'*

9.6.2.2

//2

11' = 1+ //2

I

,

=>

-~ //= I

I+ w

fI -~ dll = f 1 + 11-

( l )dr

(x +y )2

=

Der Rest verliiuft wie obcn .

u =tall(X+ C)

urctane ex -l- c

[(~ )

DiiTere ntialgleichungen der Form y' = f (yl x ) werden als euierhomogene DGL bcze ichnet. Bei ihne n bestcht die rechte Set te aus einer beliebigen Funktion von yl x. Die DitTerentialgleichung y' = f (yl x ) fusst sich mit Hilfe ciucr Variablcntransformation in eine DGL mit getrennten Variabten ubcrfuh ren. Hierzu wird eine neue Variablc II definiert und die ursprlingliche DGL in einc neue Form lransfonniert: win! lwn,formic" in die Fonn

\'

11 = '-

.1"

X

= [ (II)

Aus der Substitution If = yl x folgt y = x II. Able itung beidcr Seiten der Gleichung y = x II nach .r flefert unrer Beachtung der Ketlenregel: d

d

=> .i ~

- (y) = - (XII ) dr dr

(~ d r x)

I/ =II+XI/'I

(9.13)

Substitution der Variable II unstcllc von .vl x und des Ausdrucks 1/ + X 1/ anstelle von l in dcr urspriinglichen DGL licfert eine trunsfurmicrtc DilTerent ialgleichung mit getrc nnten Variablen :

-II + Xu' = f( lI) .,'

=>

XI/'

= [ (11 )- 11

=>

fl" /x)

I

I t")

Integration dicscr DGL ergibt:

u

du = ln x + c

(9.14)

Nach Bcsnmmung von II mil Hille von (9. 14) win! zuruck substitutiert, d.h. .1'l x anstcllc von in die Ergcbnisglcichung cingcsctzt. und anschlicBcnd nach y aufgclost.

II

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

Heispid 9.18: Nac hfolgend sind ei nige DGLn vom Typ l - f (yl x ) vor und nac h der Ei nflihru ng der Subs titutions variable /I = yl x angcgebc n:

DGL

Transformicrtc DGL

! t,,)

v ,' = '- -2 · x

y' = u - 2

1/ -2

X , 1 = Y- - -

,,' =11- -

1

1 u- -

y' = sin(2u + I )

sin(211 + I )

·

/ =sin( ....:.... + I)

.r

·

"

.

y 2,-

.r

Hinweis

"

Beispiel 9.19:

/ ( 1) = -3

x/ =x + y

y =?

Die Division beider Scitcn durc h x licfcrt:

,J= 1 + ::x

. Lii.\·lIl1g.l'weg I : Anwe ndung der GI.(9.14).

Nach der Substitution von 1/

y

=X

-

in die DGL

l

= 1

+::.r

),' = 1+ 11

erhalt man die transformic n e DGL

=}

f (/I) -I/ = ( I +II ) -u = 1

fl u)

und aus (9. 14) d ie Losu ng fur

u

dll = Inx + c

1/ ;

=}

Rilcksubstitution von )'Ix anstcllc von mei ne Losung y dc r DOL:

,-

dll = Inx + c

/

II

=}

1I =l nx + c

in d ie Losung crgibt schliclilich die allge-

=> y =x (Inx+ c)

'-= Inx + c .r

Die spczicllc Losung erhalt man aus der Anfangsbeding ung: y' = I · (Inx+ c) + x( ~ + 0) = In x + c + 1 .r

c = -4

=}

y_. = x (lnx - 4)

y'( I) = -3 = ln l +c + 1

421

422

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

Losungsweg 2: Schrittwciscs Vorgehen . Mit del" Su bst itutionsvaria b!e 11 =

rX

und dcr Beziehu ng y' =U +XII'

gcma13 (9.13) wird die DOL in folgende Form transformicrt: ::::} XII' = I

II +Xu' = 1+ 11

::::}

II

,

I = -

X

Diesc DOL hat die Gestalt dcr getrennten Variablen und lnsst slch leicht integrieren: I dll = -dr x

::::} 1I =ln x + ("

Der Rest dcr Losung vcrlauft wic obcn .

A"merkung: Wic bcrcits in Abschnitt 9.6.1 crluutcrt. ist cs in dcr Regel notwcndig , die Integrations. knnstantc c unmiuclbar nach dcr crsrcn Integration dcr tran sformicrtcn DGL einzutragen. Wie nach folgcnd gezcigr wird. ware cs in die scm Beispiel fatsch. die Konstante c erst zum Schluf zur Losungsfunktion y hinzuzuftlgcn, d.h. die allgemeine Liisung folgcndcrmauen hcrzulcitcn: 11 =

)'

::::} - = ln x

lnr

::::} y = x lnr -t- c

.r

~

Dass dtcsc angebliche Losung falsch ist. stcht man sofort, wenn sic in die DGL + y cingesetzt wird:

xl =

X

(y)' = (x lnx -l-c}'

, I ::::} v = I' ln x +x - + O= ln x + 1 . x

::::} x (In x+ I) = x + x lnx + c '-.".-' "

'-.".-'

::::}

0 = ("

.I"

Die DGL wird also nicht ident isch erfullt. sondcm nur fur eme n spczlelle n WeI1 von

c. nnrnllch fLi r c = O! Deshalb kunn y = .r lnr-t- c nidi die allge meine Losung der DGL sci n.

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

9.6.2.3

I>GLn "om Typ y' =

423

f (x,~)

Das Vorgehe n zur Losung von Differentialglcichungen dcr Gestalt .v' = f (x.y/x ) vcrlau n in engcr Anleh nung an das Vorgehen bei der Losu ng der DGL vo m Typ )/ = f (y/x ) in Abschnitt 9.6.2.2. A uch bier wird die g leiche Variab lensubstitution vorgenomrnen : 11 =

v

=> y = XII

:'"

X

Wie bcrei ts fur GJ. (9. 13) gczeigt wurde, gilt fllr die sc Art vo n Variablentran sformati on folgende Bczichung:

y' = II + XII' Die Sub stitut ion vo n u fur y/x und von II +XII' fur )/ in der urspriinglich en DGL liefert die rransfcrmiert e DiITerentialgleichun g:

u'

II +X II' = [ (X, /I )

f (..., II) - U X '-v--' g{x.It)

Das ist e ine DGL der Form /I ' = g(x. u), die mtnels einer geeig neten Methode zu lc scn ist. Wenn ma n GlUck hat handelt cs sich Ulll eine DGL mit getre nnten Variable n. An son sten muss eine andere gee ignete lntcgrationsmet hod e zur Bcstim mung von II gewiihlt werdcn .

1m letzten Schritt wird wiedcr eine Rucksubsrituno n vorgenommcn, d.h . cs wird in der Los ung der Ausdruck y/x anstelle von II ein gcsctzt und ansc hliel3end nach y aufgclost.

lIeispieI9.211:

x .\/ = .,,2 + Y

y =?

y(I ) = O

Division beider Seitcn durch .r liefert eine DGL vom Typ .'/ =

,-

,,' =x + :'" x

---

Substitution von y/ x = 1I

II + XI/' = X+ II

und y' =u +xu' liefcrt:

=>

11' =

1

II =X +C

."

y - =x+c => y =x (x +c ) x Bestimmung der spcziellen Losung:

=>

y( I ) ~ O ~

1( I + c)

=>

c= - I

=> y.• = x(x- I )

f (x.~)

:

424

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

9.6.2•4

. I) GI .n vnm r J P J = f(AX + Br) Cx + Dr

Einc solc hc DGL Iasst sich in die Fonn l = f (y/x ) (e ulerhomoge ne DGL. s. Abs. 9.6.2.2) ubcrfuhrcn . wcnn der Zahler und Ncnnc r der rechten Seite durch .r dividicrt werden.

Y' =I

(

A + B~

·r·

)

C +D'x

Einfuhrung der Substit utionsvariab le u = y/ x und der A usdruc ks y' = transformiert die se DGL in die Fonn mit getrennten Variab len:

II +XII

,=1 (A-C +DII + -BU) -

Jf (A + ~) II ---

C + DII

- u

=> XII

,=1 (AC +lJII +BU) - II

II

+ XII' gemna (9. 13)

f ( A + BII ) C +DII

11 _ 11

=

du ~J~ d'

(9.15)

X

lIeisp ieI 9.2 I :

i ditc Losung dcr er Anf Anlangswertau fga he rJ = x-+- r' Gcsuc htt 1St , x

y ( l)

~

L

Die Division des Za hlcrs und Nco ncr s ocr rechten Scire durc h .r licfcrt: ,,' = I +:: • x Nach Substitution vo n 1/ = y/ x und y' = 1/ +.ru' in dcr DG L crhalt ma n:

u+u'.\" = 1+ 1/ II

= ln.r q-c

, 1 => //=X

y x

=> - = In.r + c

1 dll = -dr

x

y = .r (ln x +c)

al lgemeine Losung

Die Einarbc itung dcr Randbed ingung y( I) = I licfert die speziclle Lcsung: 1 = 1· (lnl + c)

=> ('= 1

.\"

y, = .r (In .r + I)

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

9.6.3

425

Lineare Djfferentlulglelchungen I. O rdnung

Eine Differcmial glcichung I . Ordnung wird als linear bczcichnct. wenn sic fclgcndc Ges talt bcs itzt:

IY'+ q( x) y = r(x ) I

Uneare inhomogene Differmtialgleichung /. Ordnung

(9. 16)

Die Bezeichnung linear kommt da her, dass y und .'/ in linearer Form vorliege n. Hingegen sind q (x ) und r(x l beiiebige Funk tionen von .r. d.h. sic kc nnen z.B. Po lyno me, trigonometrische bzw. exponentielle Funktionen sein . Die Funkt ion r(x ) auf der rechten Seite wird Slijrfimklioll gena llnL Eine Iineare DOL ist ent weder homogen oder inhmnogen, jc nac hdem ob auf der rechtcn Scire ci ne Null oder die Storfunk tion r(x l steh r:

y' + q (x ) Y = 0

linearc homogene DOL

(9 .17a)

y' + q (x ) Y = r (x )

lincare Inhomogene DOL

(9. l7 b)

Die allgemeine Los ung der hom ogcnen DOL (9.17a) wird mit Hilfe von »Trcnn ung dcr Variablcn« bcsrimrnt (s. Abs. 9 .6.3.1). Die allgemeine Lc sung der inho mogenen DOL (9. 17b) ergibt sich als Summe von zwe i Teillosungen: Allgemei lle Liisung einer tineare n inhomogenen DGL / . Ordnung:

DO L: Losung : Y y" y"

y' + q (x ) y = r(x l y = YII + y" Aligemeine Losun g dcr inhomogenen DO L Allgemeine Losun g der homogeneu DO L Ponikuta re Losung der inhomogenen DOL

19. 18)

y' + q (x ) y = r(x ) J' + q (x ) y = O J' + q (x ) y = r(x )

Hinweise: I. Von den Iur die Bestimmung der panikuidren Uisung y" dcr inhomoge nen DOL zur VerfUgung stc hcndc n Vcrfahrcn werden hier folgcndc zwe i bchandclt: a. Fur cine lincarc inhom ogcnc DOL mit knnstontem KOl!jJi:.il!nt q (x ) = k wird die par· tikularc Losu ng mit Losungsansatzcn bcsumnu . sofe m die Storfu nktion r(x ) cinen bcstirnmrcn Aufbau hal (Abschnill 9.6.3.2) . b. Fur cine lincarc inhomoge ne DOL mit heliebigem Koeffn ient q (x ) wird die partik ula re Losun g mit Hilfe von " Variation der Konstantc« crm tuct t (Abschnin 9.6.3.3) . 2. Die spe zielle lii.nmg Y., der Inhomogencn DOL (9.17b) wird d urch Erfullung der Anfangsbcding ung y(xol = Yo aus der allgemeinen Losung (9. 18) der inhomoge nen DO L bestimnu .

426

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

9.6.3 . 1

Lineare homogen e Differ ential gleiehung I. Ordnu ng

Ute Iineare homo gene UUL ("). 17a) (9 .17a)

Hissl sich beso nders ein fach loscn , wei l cs sich dabci cigcmlich urn c ine DGL mit gct rcnrucn Variablen handclt. Die Division bcidcr Seiten durch y licfcrt:

y'

-+ q (x) ~ O

y

i

~ ~

y

oy

- q(x)

~ ~

y

- q(xl ox

/

~ dj- =

- / 4(X) dr

Nach Integration der lctzten G leichung auf beiden Seite n (unter Einbezie hung der Integratio nskonstunte c) erhalt man die allgemeine Lnsung dcr lincaren homogenen DG L I . Ord nung :

ln y = -

J

=}

'1(x ) d r +c l

elnl'

= e:

f q(.\ ) d T+ CI

= e:

f q(.\ ) d.t

y

eel c

Allgemeine Liisung einer tinearen hamogenen DG L J. Ordnung:

DGL,

y/+ q{x)y = O

Losu ng :

y = c e-" J q( .o:) d '

(9.19)

Hinweise:

I. Falls cine An fangsbedi ngung fur die homogene DOL vorgege ben ist. lasst sich aus der allgemeinen Losung (9. 19) die speziclle Losung dcr hom ogenen DG L gew innen. 2. Falls es sich bci der zu losendcn Anfangswe rtau fgabe um cine lnhomogene DGL nac h (9.17b ) handelt und GI. (9. 19) led iglich d ie zugehor tge homogene DGL darsrcllt. gilt folgendes: a. Die allge meine Los ung der zugehi.irigen homoge nen DGL wird zur Vermeidu ng von Verwech slu ng mit dcr allgcmeincn Los ung der inhcmogcncn DOL mil Yh bezcichnet. b. Die allgeme ine L osung (9 . 19) der homogencn DOL stellt nur die Teillosung Yh dar. In dic sem Fall muss die Anfungsbcdingu ng von dcr allgc rncincn Los ung dcr inhc mogcncn DOL crfu llt worden. Es ware falsch. zur Erftillung dcr An fangsbcding ung die Tcillo sung Yh allci ne hcranzuziehcn. Ueispi eI 9.22: Gcsucht ist die Losung dcr Anfa ngswertuufgabc l + (3.~ - 2r)y = O. y(O) = 1. Da cs sich von Haus nux urn cine homogenc DGL handelt. braucht man kcine partikularc Ldsung. Mit Hilfc von (9. 19 ) crhalt man die allgeme ine Los ung dcr homo genen DOL: =}

=}

J

'1(x)dr = 1

y = ce- I q(.\ jdt = ce- (.\"- r

,

)

J'

"

(3x~ - 2x) dr = X" - x~ ,

= ce- ·r-+r

'

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

427

Die Einarbeitung dcr Anfangsbe dingung licfcrt die spczicllc Losung:

,

,

, (0) = I = c e ~o- + (Y = c

,

'-.-'

,

9.6.3.2

Line are Dlfferentlelgletchun g 1. Ordnung mit konsta ntem Koeffizlenten

Ein Sondcrfal l der DOL (9. 16) ist die lincarc DOL mit konstantcm Koc ffizicnt. In dicsc m Fall ist dcr Koeffiziem q(x) cinfac h ein skalarcr Koc ffizie nt k , d.h. es ist q(x) = k :

Il+ k y - r(x)1

(9.20 )

Die allge meine Losung dicser lnh omogen en DGL setzt sich entsprechend GI. (9. 18) aus zwei Teiltosungcn zusamrne n:

Y =Yh +Yp

+ ky = r(x ) l + ky = 0 Partikuliire Losung der inhomogenen DOL y' + ky = r(x )

Y : Allgemeine Losung der inhomogencn DOL l Yh : Allg emeine Losung dcr homogenen DOL )",, :

Die a llgemeine Losung Yh der homogen en DOL ergibt sich geman (9. 19) zu:

IYII= <' e

.rkd'= <·e-hl

(9.2 1)

Zur Bestimmung der partikuldren l ii.l'l IllK YI' cia DGL (9.20) konnte auch die irn nachstcn Abschnitt besproc henc Methode der Variation der Kons tanren angewandt werden. FUr die meisten tech nischen Anwendungen geht es jedoch auch wesentlich einfacher: Falls die Stitrfunktion r(x ) in (9.20) cine Gestalt gemtilJTabcllc 9.1 besitzt. kann d ie partikularc Losung mit Hilfc vo n lii.l'ung.WlII.WlI::jimktionell diescr Tabelle bcstirnrnr worden. Die Wahl dcr Ansatzfunktion crfolgt auf dcr Basis der Storfunktion r(x) : Durch Vergleich dcr aktucllcn Storfunktion mit dcr linken Spalte der Tabcllc 9. 1 stcllt man fest. wclchcr Tabcllcn zeile d ie Ansatzfunktion zu cnrnchmcn ist und wahlt dann d ie in dcr rcchtcn Spal tc stchcndc Funk tion als Losungsansatz. In dcr Tabelle 9.1 sind Losungsansmzc fur im Ingcnieurwesen bcsondcrs hnufig auftretcnde Storfunkrioncn angegebcn.

42R

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen Tabelle 9. 1: Ansatzfunktionen fiir die partikulare Losung der DGL (9.20 )

Losun gsan sarzfun ktion )',,(x)

Srcrtu nkuon r (x)

(odcr cinfach A )

""

falls A = - k

(au + ,,[ x + . . . + ClII.i' )eA., {

falls A oj - k

(Au + A[.t + · · · + A".tlJ)e'....

(au + II[X+ .. .+ lI"x" ) sin a x

(Ao + A [x+··· +A".t" ) sin a x

(an + IIIX + . . . + 1I".i' ) cos a x

(Ao + A [x+· · · + A"x") sin ax

+ (Bo+ B1x+ .. ·+ B".i' )c os a x (Ao + A [x+· · · + A".i') eA.' sin a x

+ (Bo + B[x + · · · + B".t" ) eA., cos a x (au + II[X+ ' "

+lIlIx" )e h

cos as

(Ao + A [x + · · · +A".i' ) /,A.. sin a x

+ (Bo + B [x+··· + B"x" ) e A,' cos a x Erfii Uf'fllIIg: C/O. 'I [, 111,·

sowic A. und a sind vorgcgcbc nc Skalarc ; k gc milll (9.20).

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung Heispid 9.23: Gcsuclu ist die Losung dcr Anfa ngswerta ufgabe

l + 2y = I +x,

Allgemeine Lcsung dcr zugehorigcn ho mogenen DGL mit Hilfe von (9.2 1):

y' + 2y = 0

d.h. k =2

Parti kultire Losung dcr inhomo genen DGL mit Hilfe ei ner Ansatzfun ktion: Ansatz funktion gemtiB Tabelle 9. 1: YI' = An + AIX

:::} r' = AI .

"

Nach Binsctzcn dcr Ansatzfunktion und ihrcr Ablei tung in d ie inhomogene DGL crh.tlr man:

Al + 2(Ao+ ____ ' - vA]x) -' J

.I p

= I+ x

Yp

Zusammenfassen der konstanten und linearen Termc in Gruppen Iiefert:

(AI + 240) + 24 lx = I +x Der Koentzlen te nvergletch zwisc hen linker und rechtcr Sci re licfcrt: :::}

AJ = 1/ 2

An = 1/4

Mit den bekannten Koeflizienten Au und A I crgibt sich die partikulare Lc sung zu:

Die allgemein e Losung dcr inhomogcnen DGL ergibt sich durch Add ition bcidcr Tcillosungen:

==> y = c e

y =YII + YI'

_

1

2'+ 4"

( 1+ 2 r)

Bestinun ung dcr unbekannten Konstante durch ErfU llung der Anfangsbed ingu ng: I

ao

2

-.....--

)' ( O ) =~ = c e ~

01

[

I

4

4

+ - (1+ 2· 0) =c + -

1 2

Die spezielle Losung dcr Anfangswe rtaufgabe lautet schlieBlich: I

~,

I

I

y" = 4" e- -' + 4" ( I + 2x) = 4" (e-

2x

+ 1+ 2x)

1 4

1 4

c =- - - = -

429

430

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Hd spid 9.24 : Nach folg on d s ind noch e inige Rei "piel e fiir Ilie Wahl vo n A nsatzfunk tione n ge mim Tabellc 9.1 zur Bcstirnmung dcr part ikularcn Los ung fur lincarc DGLn mit kon stantcn Kocffizicntcn gcgcbcn. Differcntialg lcich ung

Ansatzfunktion )'" gc maBTab. 9. 1

}/ -2)'=5 l + 2)'= 5 - 3x

Ao

l -y =."J l -y = I -.0

l + 2y =( 1 - 4x) e- l r y' + 2y = ( 1 _ 4x+."J) e l r l - 2y =sin 2\' y' - 2)' = s in ax l +y = e- 4 , sin2.\:

Ao + A I X Ao + A Ix + A2.r2 + A3r1 Ao + A Ix + A2.r2 + A.,r' + A 4X-l x (Ao + At x)e - l' (Au + A Ix + A2.r2 + A3X3) el ' Ao sin 2 r + Bo co s 2 r Ao sin ax + Bo cos ax

Aoe - -1 r sin2x + Boe- -1.\ cos Zr

Regetn filr die Anwendung der Tabe lle 9.1:

1. Wenn die Storfunktiou die »r-tc Potenz von .r cnthdlt (111 :5: II). d .h. .r'", mu ss dcr L6s ungsansatz hickenios allc Tcrrnc mit dcr Ord nung :5: m cnthaltc n (d. h. allc Termc m it Ao, A I• . .. , A", und gg f. na turlich auch mil Bo, B I , . . . , Bm ). Dies gilt auch fur den Fall, dass e inzcl ne Zwi schcnkoe ffizicrucn aiJ (i < m) in der Storfunktion fehlen suilien (vgl. Beispiel 9.24),

2. Fall s die Storfunkuo n r(x ) dureh cine Summe dcr in der linken Tabellenspalte angegebcnen Funktionen dargestcllr werde n kan n. dann bcstcht der Losu ngsansarz y,,(x) au s dcr Su mme dcr korrespon die rc ndcn Ansat zfunkt ionen der rechten Spa lte.

9.6..3.3

Variation d er Konstante n

Die Losungsmcthodc »Van atio n der Konstanrcn « wird ungcwend ct, um die partikulnrc Losu ng der mhcm ogcnen Iinearen Di t fcrcnrialgl cichung 1. Ordn ung (9. 16) mil var iabl em Koeffii iente n q(x ) zu bcstimmcn: (9.22)

Die allge meine Losung dcr inhom ogcnen DO L sc tzt sic h aus zwci Tcillosu ngcn zu sam mcn. vg l. (9. 18)'

Y = )'ir +)'" Die allgeme ine ljj.mng YII der mgetiarigen homogenen DC L y' + q(x )Y = 0 lautct nach O l. (9. 19) ,

9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung

431

Die Methode Va riation der Konstanten wird angcwaudt . um die partlkulare U isung Yp dcr inhomogcncn DGL mit variohlem Kocffizicutcn q(x ) zu bcstimmcn. Sic basicrt au f dcr Idee. Iiir d ie Bcstimmung der partikulurcn Losung )"1' dcr inhomogcncn DGL die allgemeine Losung )"I! dcr homogcncn DGL als Ausgangspun kt (als Ansatzfunkrion) zu verwe nden. Hicrbci wird allerd ings die Kc nstantc c in YI! durch d ie -zunachst unbckann tc- Funktion C(x ) ersetzt (d.h . die Konstantc c bckommr die Freiheit zu varicren. dahcr komrnt dcr Name" Variation der Konstantcn«). Dadurch crgibt sich fur die Bestimrnung der pani kularen Losung der inhornogenen DGL fol gender Losungse nsa tz: Y"

= C(x ) e- [ q(x) d,

(9.23)

.v"

Die crste Ablcitu ng d ieser Ansatzfunktion I ll r .\~,

= c' (x ) e- [ q{x) d < _ C(x ) q(x ) e- f q(·<)

d<

mit Hilfe dcr Produkt- und Kcnc nregcl ergibt: Anmcrk ung:

:~

(.f q(x ) d~) = q(x )

Falls die Ansatzfunktion (9.23) tatsachlich cine Losung der inhornogenen DGL (9.22 ) sein soli, muss sic selbstvcrsmndllch diese DGL erfullen. Einsetzen der Ansatzfunktion .vI' in (9.23 ) und ihrer Ableitung in d ie DGL (9.22) ergibt:

y;,

Y~ + q(x ) YI' = r(x )

'* c'(x ) e: [ q(x l dt ,- C(x ) q(x ) e- J q(x l d<+ q(x) C(x ) e - I,,(x } d: = r(x ) . 0

=>

c' (x ) e" Iq(x } dl = r(x )

'* c'(x ) = r (x ) e f q{x)

c (x) f - I

q(.t ) <1<ei ,,(x ) dt,

= r (x ) eJ q{x ) dt

d<

Die Integration dcr lctztcn Gleich ung liefen die unbckannte Funktion C(x ): C(x ) =

J

(" (x ) d r ee

.f r(x )

eI,,(.rjd, d r

Die partikularc Losuug der inhomogenen DGL lautct jetzt: Y"

= C(x ) e : I q(x) dr =

[.f r(x ) ei

,,(x)dr d r] e : f q(x) d,

Nach Einfuhrung der Abkurzung " (x ) =

.r q(x ) dr crhalt man folgende Tctttosungen: (Partikularc Losung dcr inhomogcncn DGL)

I.n,=

ce - I!(x j

I

(Allgeme ine Losung der homogcnen DGL)

432

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Hinweis: Die Hilfsfunktion Ii(x) ist ohne Konstante c anzusctze n. Die allgemeine Losung y der tnhomogenen DGL ergibt sich somit folgendermalkn:

* )' = ~ +

Y =)'Ir +)'"

e- Ir(x)

f

r(x ) e" (x) d~ = e - h(x )

[f

r(x ) e" {x ) dr+c]

.\"h

Yp

Die allgemeine Losung einer inhomogenen linearen DGL I. Ordnung mit variablem Koeffizient

q(x ) ergibt sicb mit Hilfe dcr v ariation der Konstanten also zusammenfass end zu: Variatio" der Konstonten fllr c ine inhomogene lineare DOL I. Ordn ung Inho rnogene Diff erentialgleichung :

)"

Zugehorige homogene DiiTerent ialglcichung : )"

+ q(x) y = r(x ) + q(x) y = ()

Abkurzung (lI (x ) ohne Konstante c):

" (x ) =

Allgemei ne Lc sung der ho rnogenen DGL :

y" =

(9.24)

ce - II(x)

[f r(x ) d r] y = e-h(.~) [f r(x)

Partikularc Losu ng dcr inhc mogcncn DOL :

Y" =

Allgemeine Llisung der inhomogenen DGL :

Ucisp ieJ 9,25:

J q(x ) dr e" (x )

e - h(x)

e" (x}

d r + c]

Varia t ion der Kunst ante

Gcsuclu ist die Losung der Anfa ngswertau fgabe y' - x y = 2r, Aus )/ + (- xLr =2r folgt: q(x ) = - x

y(O) = 0,

r(x ) = Zr

Aus (9.24) crhlllt man die allgemein e Losung dcr inhomogcncn DOL:

y = e- h(x)

[f

r(x ) e"(x) dx +C] = e- {- xlf2j

[f

2r e- x1/ 2 dr +c]

= tT /2 [2fxe --,.1 /2 d r + c ] = e,.1 /2 [_ 2 t,- xl/2+ ('] = - 2 e-rl / 2 e- xl/ 2 +c e,.1/2 = ce-rl / 2 - 2 '--v--'

"" =t

Die spezielle Losung ergibt sich aus der ErfLi llung der Anfangsbedingung:

--U2 2 /

\'(0) = Il = c e .

I

_2

*

c= 2

* .v' = 2 erl / 2 _ 2

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

9.7

433

Zusatzl iche Beispiele fiir linea re DGLn I, Ord nu ng

Beispiel 9.26:

Losungsfunktion Ubcrprutcn Sic, ob die angegebcn Funktionen y = f (x) bzw, X = g(l ) Losungcn dcr angcgcbcncn Differentialglcichungcn sind. a)

y' tan .r = Ui.~ullg:

y J: f (x) = c sin .r Die Ablc itung dcr -vcrmci nthchen- Losungsfunkrion f (x liefert:

)'

)" = f (x ) = c cosr

Einsctzcn dcr Losungsfunktion und ihrer Ablcitu ng in dcr DOL licfert:

,

sin .... cos r

c cos .r tan.r == c sin r

?

•

c cosX - -=CSlnX

c stn.r e c sinx

Die -vermeintliche- Losungsfunktion y = f (x) fuhrt zu ketnem Widerspruch in der DOL , fol glich muss sic cine Losung scin.

x :J: x(t ) =ce - 4l Uinmg: .r = _ 4ce- 41 =} _ 4ce- 41 = _ 4ce- 41

b ) i = - 4x

,f

Heispiel 9,27: Losung sfunktion Ze igen Sic, da ss die angegebene n Funktionen y = f (x ) Losungen dcr jeweiligen DilTerentialgleic hung si nd. Zusatz lich soli die spezielle Losung der DOL bestlrnmt werden. a)

y' -)' + 4 = 0

)' =f(x) =ce' + 4

y(0 ) = 6

Ldsung: Einsctzcn der Losungsfunktion f (x) und ihrcr Ableitung in dcr DOL Iiefcrt: C('"' -

of' - 4 + 4 = 0

0=0

,f

Erfullung dcr Anfangsbcdingung licfert:

6 = c etl + 4

=}

c=2

y = f (x) = ce

b ) y' ~2~y = O

,

spezielle Losung:

)'( I) =2e

Ldsung:

2c.r~ - 2x u~ = 0

,f

Spezielle Lcsung: I2

y( I) =f{1) =ce = 2e y = f (x) =

ce 1,..l

ce = 2e

:::;.

c=2

y" =

2et

+4

,f

434

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

LHmn g:

Spe zie lle Losun g: y ( l ) = e2 = c e)'I " =

ce

=> 1 = ce

c = I/e

y , = -I e3...' = r "·r - I e

Trenn ung d er vart eblen

IJcispiel 9.28:

l =xy

Lesen Sie die Anfang swertau fgabe Ldsung :

y(O)

I

Umfo rmung der DGL liefert:

4

l ='-....-' .r

\'

f(·~)

--:..,.....g()' )

Allgem eine Losu ng:

~

-

,

.r-

;2 +" eIn .,' = eT

=> In .\' = -2 + c

y = e rl / 2 e"

: .1'

Kontrolle dcr altgemei nen Losung :

l

= ( e rl / 2

e'y

=

(.~ /2)'

er:'! / 2

e C

+ er:'! / 2

tX

= X e .(1 / 2 eC

=0

.,

/ =x-,"

x e ' 12 e'. =" x,e'.21'· e'· /

-- --

Die spezielle Losung wird durch ErlU llung der An fangsbedingung bcstim nu :

y(O) = 4 =

r» e" =

eO e" =

e"

=> In 4 = ln e" = (' ln e =c

(4 e r'I'• ) ' =

1.38629

=.

Kon trollc dcr spcz teucn Losung:

(Ys)' =

C=

'I'

4x e r •

4x e r:'! / 2 ~ x 4 er:'! / 2 .1"

Alternative Definit ion der Konstante: Durch Einfiihrung eincr neue n Konstantc

CI

/

)'

= e" lasst sich die allgemein e Losu ng

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

auch wic folgt angcbcn: )' =Cl ~j2

Aus dcr Anfangsbcdi ngung folgt dan n die spezicllc Losung:

'"I'- = Cl ('" = CI

y(O) = 4 = CI e

CI = 4

=}

y ,, = 4 e.,2 j2

=}

lIeispieI9.29: Tre nnung der v arfablen Loscn Sic die angcgcbc ncn Diffcrcnual gleichungcn nach Abschnitt 9.6.1 . 3) / + 2\)' =0 [);,n lllg:

r'

-

:.... = - 2 \

y 2 In)' = _ x + c

el ny

b ) y' - ay = O

y' y Iny = ax + c c)

rI

-

I

..

-y d .r= a d t

Ldsung: - = a e lny

y'y - J'? = O [);,nmg: y'y = 3x 2

=

-

I

.

- dy = - 2t d t , -y d\' . = - J Zr d r y = e- x2 +c v = (,- ..,2 eC = C l e- ·,1

e«H"

<'

I

J - dy =J a dt y y = e" e" = C] e"x

y dy = J~ dt

J .r dy =J 3.~ dt

)'2

=-2- - =x' +C d)

y' sin.r = y cosr

r'

Ldsung: :.... = corv

y lny = [n(sinx) + c

(-l ny

e) y' cos.r = y sinr y' tosung: - = tan .r y Iny = -In (cosx) + c e"

-;;;;;=

, ~ e1n(c,,,x )

•

. I

.I - dy =J cot x d t y

=

e1n(, inx)+ c

rI

, -y d-\' = ,[ tan.e dr e lny

=

e -I n(co" f }+ ,'

e -I,, (cosx )

e'

Cl

cosr

O/ - l = l Ldsung: Um rormcn dcr DOL licfcrt:

arclany = x + c

=

=}

y'

--~ = [

I+y

y = tan(x + c)

g) xy' -y = O

[); ,nlfl g: Umfonnc n dcr DOL licfc rt:

y' y

x

I

( -, + y.~ dy =.r df

435

436

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

In y = ln x + CI h)

=>

y = elnx+cl = eln.1e'·1 = c x

x + yy' = O

-

=>

y)/ = - x

LiislIl1g:

i)

l

y =~

=>

V2 = - x2+ 2ct = c - i!

.

f y dy = - Jx d t

c

= _ xy 3

Lij.\"lIflg :

J' -

-

)'3 -

-

f

\"

.

,

, dy =

y.'

- " = .r - 2el = x·, + e y2 --..,.......

l

r: -

2y2

v= .

-,

j)

- , = - -x'+ ("1

.

- .I .r dr

= 2 ty 2

2

x2 + c

,

Lii.\"lIll g :

J J

dy dv -dX = 2r/ => ---:, y. = Lxdx Ild spi el 9.30:

-s dY y.

Zx dx

>

=> .r =( ' _ X2

Anfungswe rt aufgabe I, O rdnung

Losen Sie folgende DGL n I. Ordnung. 3 y(Oj ='2

a ) 4l +4x -8xy =O . Lij.ml1g:

Nach Umformung und Vercinfachung crhan ma n:

l = -x + 2ry

y' --= x 2y - I

y' = x (2y- I )

Integration beider Scitc u liefert:

.I 2Y~ ldy =/xdt

1 x2 - ' 0(2v -1 ) = - + CI

2

·

=> eln(2y -

2

t)

-

= e .-2+2q = e2q e.-2 2,

2y - 1 = 2c e

tZ

Anme rkung : Das Integral

=>y =C lT

,

J- dy 2\'- 1

l

+ -2

,

,

2

2

kann auch uls - In(y - -) angesc hrie-

hen worden . Die allgemeine Losung sicht dann ctwas andcrs aus al s dcr obige Ausdruc k. Die spczic llc Losung fur gegc bcne Anfangsbedingung wurde j edoch in bcidc n Fallen iden tisch sein .

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I, Drdnung

Spcz ielle Losung:

=> b) -

y'

cos x

=>

c =1

y',= e.,l+ ~

= l- y

U;SlIl1g:

i

_ . - ee

I- y

I

cosr

f - - dy =f cos x d r I- y

- In( l- y)= sinx + c

=>

In{l - y} = - sillX- C

y = l _ e ~,;n '<e - c

odcr : y = I _ Ce ~ 'in ,<

od cr : y = I +Ce ~ 'i n "

Anfangsbcdingung (fur die Form y = I - c r : ,in,,):

=>

C = -2

Spczielle Losung:

y =y = 1+ 2e - ,in.<

v'

c) _.-+ \' = 0 sinhx . U ;SlIflg:

Umformung der DGL Iicfert:

/ ~ dY = -!

sinh x dx

Iny = - cosh x + c l

Anfangsbcdingung: y(O) = 1 => 1 = Spczielle Lcsung: y = el - e<"h ., d ) y' _ y +y tallh2x = 0

I

-y .\" = - Sillh x

ce"!

=> c = e

y{l ) = 4.2834

U ;.t/lIIg:

Allgemeine Losung:

l =y( l - tanh2x )

y'

- = l -tanh2 x y

lnv = tan h.r -r-C

Spcziellc Losun g:

y( I ) = 4,2834 = c e{~ nh 1 = c- 2. 14 17

=>

(' =2

=>

Y. = 2 e{~nh.,

437

431l

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Hd spi d 9.31:

Transformation der Varta blen

Loscn Sic die ungcgcbencn Difforenualgl eich ungun nach Ah schnitt 9.6 .2. a)

")/ - y =x - I

(Beispiel zu Abs chnitt 9.6.2. 1)

Die Umfo rmu ng der DOL liefert : Das ist c ine DOL in dcr Fonn y' = [ (Ax + By +C )

y' = x + y- I

lij,mflg,\'\reg J: Anwendu ng der 01. (9. 12).

[ (u ) = 11

u =x + y - l

-1+ 1

I

1 ' 11

e1n (u+ l j

A = B = I,

'*

dlf = X+ Cl

= r+c1 =

eC!

et

C= - I

In(II+I ) = x + Cl

u + 1 = ce t

'-.-' C

u+ l

'* ~ x + \, - I + I =ce

t

'* y = _ x + ce

t

"

Nach Erfiillung der Anfa ngshedingung crhalt man die spe zielle Losung:

'* c = 1

y(O) = I = - O+ceo =c

y, = _ x + e t

l ijsllflg.m·eg 2: Schrittweis c Bercch nung.

Die Able itun g der Sub stitution u = x + y - 1 liefcrt:

'* /

(u)' = (x+ y - I)' = 1 +/

= 11' - 1

Nach dcm Einsetzcn dcr Substitution und des lct ztcn Ausdrucks in die DO L erhtilt man:

'*

u' - I =II

,

,

-- u = 1 1+ 11

u' = I +u

Die Integration liefert die allgemei ne Losung:

1_, d,, ~ 1+ /1

b)

f ( l)d' .

)/ = 2\'-y + 1 Die Substitution

2 -1/'

=

//

'*

In (II + I) = X+ CI

Ocr Rest vcrlauft wie obc n.

(Beispiel zu Abschnitt 9 .6.2. 1) /I

= 2x - y + 1 liefert:

11' =2 - 11

- In(2- u) = x + CI

,

II'

= 2 - y'

- - dll = d t

2 - 11

y' = 2 - u'

1_, d" ~ l dx 2 - 1/

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

1I =2 -c e- x

=> 2\"- y+ 1 = 2- c e- x

Allgemein e Losung: y = c e Aus y{O) = I folgt c = 2

+ 2r -

x

(Bcis piclzu Absc bnin v.o.z. I)

Substitution : lI = x + y + 1 Allgemeine Losuug:

f

I,

=> spcz icllc Losung: y. = 2 e" + 2\" - 1

y(O) = 0

c ) y' = (x +y + 1)2

y =ce - x + 2x - 1

A = I , B = I, C = I , ! (II) =//2

A +B

I ( ) ,/II = X+ C, II

I

j' - - 2 du = x + c 1+ 11

=> tan (arctan II) = tan(x + c)

arctan u = x +c

x + y + l =tan (x+ c)

II = tan(x + c )

y = tan(x +e) -x - I

Spez ielle Lcsung:

y(O) = 0 = tan(O+ c ) - 0 - I

tan c =1

,

=> c= Jr/4

y = tan{x +'4) - x - 1 d) y'{x + )' ) 2 - I = 0

(Beispiel zu Absc hnitt 9.6 .2.1)

Die Umfonnung dcr DGL liefcrt: Substitution : II = x + Y , I 11 - 1 = 2 u /I -

=>

=> U

,

/I '

= (

= 1+ l

1+ 11 2 = -,u-

arc tan II = x + C

I

)2

x + )'

=> y' = II' - 1

'*

~2 du = J,lx +C 1+ 11

J

x + y - arclan{x+ y ) = x + C

=>x + y= tan(y- C) e)

l

arcta n(x + y ) = y - C

=> y= tan(y- C)- x

y' = 2 \" + y + 3 y(O) = - 4 (Beisp iel zu Abschnitt 9.6 .2.1) U isullX: Subst itution: 11 = 2x+ y + 3 Allgemeine Lc sung: )' = c (~' - 2r - 5

I) y'x2 = .r2 + xy + y2

Speziel le L osung: }'.. = c' - 2r - 5

(Beispie l zu Abschnitt 9.6.2. 1)

y'..? =~ + xy +/

=> y'= I+ y/x + (y/x )2 [ (u) = I + u + //2

y' =[(II ) mit dcr Substitution lI = y/ x

J!

du () /I

II

= In x+ ln c

arc tan II = In ex x +r

g,) y' = - - '

x- y

1/

'*

J + u-

= tan(ln ce }

du

--~

1

= In cx

y/ x = tan(ln ex)

(Beispiel zu Absc hniu 9.6.2.2)

y = .r tan(ln ex )

439

440

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Division des Zahlers und Nenncrs dcr rechtcn Scire dcr DGL durch .r und anschlic llende Subst itutio n u = y jx licfcrt :

1+~ _ _x

y'

II + XII

y I- x

1-

1/

,

-~ u

I + u-

J

1 =I

'2

1+ /1 = - I -u

::=} X II

I - --~ " } d ll = ( --,

.r

arc tanu ~

,

I + u-

I + u~

,

,

1 + u· = - 1 - /1

J

I dr .r -c

, In( 1+ /1.) = In x + c

Daruus crgibt sich die allge me ine Los ung in implizjt cr For m (cxplizi tc Angabc von y ist nicht mogfich):

" 1 .~ +\.2 arct an :"" =f - In - -2-·- = Inx + c .r 2 .r

(Beispiel zu Abschniu 9 .6.2.2) Division des Zahlcrs und Nenners auf der rechten Sette durc h x 2 licfcrt cine DGL vo n dcr Gestalt y' = J (y jx):

y

I- x

Mit Hilfe der Substitu tion II = yJx erhan man : 1+ 11 _ 2,,2

u +X II = - '.,---I " J

,,'

J

+ 11

X

1_ 1/2 I -II

,

::=} xu = - - =

f _lI +_11 d" ~ J ~ d'

.

X

(J + u)( 1 - u)

1

/I

= I+ u

In( 1+ 11) = InX+ Cl

Die Rucksub sntuuon von II = y j x licfer t die allgemei ne Losung :

,

y = cr - x Die spezicllc Losu ng wird aus der A nfungsbcdingung y( I) = 1 bcstim nu: ::=} c= 2

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung (Be ispiel zu Abschnitt 9.6 .2.2)

i) xy' = 4x +y

Umformung dcr DG L: Division bcider Se iten

-

.r liefert : y' = 4 + ~

d UTCh

.r

Uj,nmgs\\'eg J: D icscr Wcg basicrt auf d CT unnuuclbarcn Anwcndung von (9. 14): /I

=y/x

r' = 4 + u

::=}

.

[(II) -

U

= 4 + u -1l = 4

[ ( If )

Aus (9 . 14 ) erhalt man :

! ~ du = ln x + c

u 4

- = Inx + c

Nach dcr Riicksub stit uion vo n allgeme ine Lcsung:

,.

:... = 4 In x +4c x

1/ = 4 In x + 4c

= y/x in den let zten Ausdr uck erhnlt ma n die

/I

y =x (4 1n x + 4(')

Die BerUcksichtigu ng dcr Anfangs bcdi ngung licfen die spcxiclle Losun g:

y ( I ) = O= 1 · (4 Inl + 4(') = 4 · 0 + 4('

(' = 0

::=}

::=}

yo' = 4x In .r

Uh/II/g.nreg 2: Sc hrittwe iscs vo rgehen . undv' = II + x u' in d ie DGL licfen :

Su bst itution von y/x = 1/

lI+ x u' =4 + 1/ 1I =4 1nx +('

::=}

,

4

1/ = -

::=}

X

v :...= 4 In x + ('

::=}

::=}

.r

)' =x (4 1n x +(' )

D ie Bcruckstchngu ng der Anfangsbed ingu ng licfert die spezfelle Losung :

y( I) = O= 1 (4 In l + c) = 0 + c

j) )" =

x~ + 2r ' .2'

y( 1) = I

X}

::=}

c= o

::=}

Y.• = 4x ln x

(Beispiel zu Abschniu 9.6 .2.2)

Mit Hilfe de r Sub stit ution y =

X II

erhalt man:

1 + 2/1"'

X I/

,

1+ 2113 = - -, II

-

II

1+ 1/3 = --,II ~

J- ,""~ J 11 2

.r

1+ /1"

1

.r dr -c

I

,

- In( I+ /f) = lnx+ c l 3

44 1

44 2

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

Die Riicksub stitution von

/I

= y/ x liefert die allge meine Losung :

y = X( CX' - I ) l j 3

Aus dcr crfullu ng dcr Anfangsbcdin gung folg t die spcz icllc Losun g:

c= 2 k] _ 2\.4 sin .r2 - xn / + y2 = 0 y( ,ji) = 0 (Beispiel zu Absc hnitt 9.6.2.3) Division der G leichu ng durch xy und Umform ung liefert:

. (') . ( ') y, = -)' - x,., - L\- sm r = -)' - - ' 2 rl smcx y x y .r

Das ist eine DGL von der Gestalt

l

= f(x .y/ x ). Mit dcr Subs titutio n

1/

= y/x

erhnlt man:

u + u'x =

II -

1

~ 2~ sin (.~ )

"

=} 111/' = - 2t sin xl

,

1

u du = -

2\' sinxZdx

u2 = cos.~+ c

Die Riicksub stitution von 1/ = y/ x liefert d ie allgeme ine Ldsung :

Die speztetle Losung wird O = 2;rr (cosJt + c)

I)

l

, = y-

~ xy x·


dcr A nfangsbedi ngung y( .Jii) = 0 bes tim mt:

=}c = 1

=}}'., = x j2 (cos xZ+ I)

(Beispiel zu Absc hnitt 9.6.2.3)

),(2) = I

Mit Hilfc dcr Subst itution y = x u crbult man;

xu' = u2 - 21/

,,'

-,-- ~-

/I- - 2u

"

.r

1 ,

- 2 - - dll = 11 - 2/1

I'

In - - = - 2 (Inx +cl ) = In(x- 2 ) -

11 -2

-c

X

dr

2 Cl

,

"

- - In - - = In x + c t 2 u- 2

u (' => __ = c x- 2 = 11 -2 x2

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

443

Die Ruck substituuon von // = y/ x liefen d ie allge me ine Losung:

2u:

v= - - 2 c -x

.

Die spczicllc Losung wird aus dcr A nfan gshc d ingung bcs timmt:

)'(2) ~ -

4,-

~

c~4

I

""

c' ~

8x r =---

- 4/3

."

3.r2 + 4

( Be ispiel zu Abs chnitt 9.6 .2.3) I

\'

2

X

D ivision der Oleich ung dUTCh xy Iiefert: v = ;:.. + - 2r cos . .r y

~

x~

Das ist cine DOL von dcr Gesta lt y' = f (x.y/x ), die mit Hilfc dcr Su bsti tut ion // = ylx in d ie For m mi t gctrc nntcn Vari ab len ge bracht worden kann. M an crh.tlr m it dcr Subs titution .vl x = u;

,

11 +// X

f

= 11 +

u du =

f

I

~

- 2 l-

"

~

cos (.r )

2r cos.'? dr

,

::=} 111I

= 2x cos x

2

,'

2 =sin :? + <'

Die Rucksubsrituuo n vo n u = yl x licfert die allgemeine L osung:

y =x J 2( sin x 2+c) Die spe ziel1e Losung wird aus der A nfan gsbedingu ng y (.Jii = 0 bestinuru: O = 2Jr (sinJr + c )

::=} c = O

=}

r =x .'

v2sinx

2

lleispid 9,32: Beispiel zu A bschnitt 9.6 .2.2: Gcsucht ist die L osung de s A nfungswcrt problcrns cv ( x

'+'0Y) -x .

l

=

y ( I ) ~ 1. Maple-Losung s. Seite 690 . liislIJ1gsweg I: Die ser Weg basiert auf der unmittcl baren Anw end ung von (9. 14):

// = ylx

=}

/ = u( I + ln u)

1 (11 ) - II = 11( 1-l-In n] - II =

/I

lnn

~

f lu )

Aus (9.14 ) crhun man :

f -'u ln u

dll = lnx + c

lnt tn« } = In x + c

--- -eln (lnu ) Inu

=

e 1n .r+ c

=

e1n.r

eC

.r

<'I

444

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

In II = Ct X Die Su bstitut ion von

"

= y/ x licfcrt schlie blich d ie allgemei ne Losung :

/I

Bestim rnung der speziellen Losung durch Erftillung der An fangsbedingung:

)'( 1) = I = l ' e"l ' 1= e'" l

Y<= x

CI = 0

Ldsungsweg 2: Sc hrittweiscs vorgehcn.

--

Mit dcr Bezichung

:1 =1/ + X II '

U+ XI/' =u { I + lnll )

nach (9 . 13) crhalt man aux dcr Aufgabc nstcllu ng: :} xlI ' =lI lnu

=,.J

I

,

= > - - 1/ = 1/ In 1/ x

Das ist cin e DO L mit gelrnmlen v ariabten, dcren Losu ng wie folg t Iau tct: In(ln u) = In x + c Dcr rcstlichc Lo sungwcg vcrtauft wic obcn.

Heispid 9.33:

Ansa tzfunktinn

L oscn Sic die angcgcbc ncn D i ff crcnnalglcichungcn nach Abs chnitt 9.6 .3.2.

a) y' - y = x sinx

y lO)

~ -I

A llge meine Losung dcr homogcnc n DOL : Yh = c eo' Part ik ularcr Losungsunsatz: Yp = (Ao + A IX) sin x + (B o + Blx ) cosc y~ = Ao cosx +A ] sin X+ A1X cosr - Bo sinx + B I cosx - B ]x sin x

Einsetzcn in die DOL und Gru ppicru ng lic fcrt: ( - Au+ A t - Bo ) sin x + (Au - Bo+ B d cosx + (-A I - B d x sin x + (A ]- B I)x cos x =x sin x Der Koeffizientenvergleich linker und rechte r Se ite Iiefert:

- Ao + A I- Bu= O

Ao - Bu + B ] = 0

Die Le- ung die scs Glcichungssystems m it vier Unbekanntcn licfert: Ao = O

A I = - 1/ 2

Bo = - 1/ 2

B I = - 1/ 2

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

445

Allgemeine Lcs ung der inhomogenen DGL:

Y =Yh+Yp

Y = c e( -

I

2:

cosx -

I

2" .r (sin x + cos x)

Die Anfungsbcding ung y(O) = - I licfc rt c = - 1/2 und d ie spcziclle Los ung: j',

=

I

I

- 2" (eos x+ e') - 2" .r (sin x+ cos .r ) y(O) = O

b ) y' - 6y -sin 2x = 0

Die Umfonnun g dcr DGL crgibt : .\"- 6y = sin 2x Allgemeine Lo sung dcr ho mogcnen DGL : yl, = c e6.\ Partik ultlrcr Losungsansatz: y/, = A sin2t+ B cos zr

=»~

= 24. cos 2x -

2B sin 2x

Nach Einsetzcn von YI' in d ie DGL und Umformcn :

( - 6A - 2B) sin2t + (24. - 6B) cos2x =si n2x Der Koeffizientenvergleich auf bciden Sei ten liefert:

2A - 6B = 0

=> A = 3B

- 6A- 2B= 1

=> - 18B- 2B= I

JJ = - -

I

20

3 A= - -

20

Allgemein e LOsung der inhomogenen DGL: Y =YI, +y/, =ce

(u

3 1 - 20 sin 2x- 20 cos 2\"

Aus dcr Anfangsbcding ung crhatt man : I ,-(O) = c - O- - = O . 20

I =>c=-

20

I Spczielle Losung: r, = 20 (eM - 3 sin 2\" - cos 2\") c) y' _2y + l +x2 = 0,

y ( I) =7/ 4.

Umformung dcr DGL licfert: y' - 2y = - 1 _ x 2 Allgemeine Los ung dcr homogcnen DGL )/ - 2y = 0 : YI, = ce 2x

- 2) Parti kulare Losun g dcr inhomogcncn DGL:

Ansatzfunktion nach Tabclle 9. I: )'/' = Ao+A ]x + A2r

(gcmiil3 (9.2 1) mil k =

446

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

Nac h Einsetzcn dcr Ansatzfunktion und ihrer Ableitung in die DGL cr hiilt ma n:

A l + 2A.2-\: - 2{A n + A Ix +A 2.~ ) = - I _ x 2 "--v-"

'

.' -;'

,

IIp

Zusa rnmcnfassc n dcr konstanten. lincuren und quadnuischcn Tcrmc in Gruppcn:

Der Koeffiz ienteuvergleich auf beiden Sc iten licfert: A I -2A. n = -1 Ao = 3/ 4

Mit den nunmchr bckanntcn Kocffizicntcn An, AI, A 2 crgibt sich die Partikulartosung zu:

Allgemeine Losun g dcr inhomogenen DGL:

3 + _1 => y =c e2t+ _ 4

1 ~

r + - x~

2'

2

Die spczic lle Losu ng Hisst sich mit Hilfc dcr Anfangsbedin gung bestim mcn:

,

7

7

("('- = - - - = 0 4 4

=>

c= o

d) }/ + y = sin x.

y(O) = 3/2.

Allgemei ne Losu ng dcr homogcncn DGL y' +)' = 0 :

)'1,

= ce"

Partikulare Losung der inhom ogenen DGL : Ansatzfunktion nach Tabelle 9.1:

y{' = A sin x + lJ cos r

=> y;, = A cosx - B sin r

Das Bmsctzcn der A nsatzfunktion und ihrer Ablcitung in die DGL licfcrt: A cosr - B sin .r + A sin x + B cosr = sin r Nac h G ruppicrung dcr Sinus- und Kosinusterm e erhdlt man mit Hilfe des Koeffiaien tenver gfeichs bcidcr Scitcn : : (A - B) sin x+ (A + B) cosr = sinr -r- n - cosx

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

=> A- B= \ Yp =

A +B =O

[j ~ - 1 / 2

. '21 [sinr c-cos.e}

A llgemeine Losu ng der inhomogenen DOL :

1

Y =Y" +Yp =e e ~x+ '2 (sin x - cos x)

D ie Einarbcitu ng dcr A nfungsbc ding ung liefc rt die unbekanntc Konstantc :

y(O) =

~ = c e- o + ~ (sin O-

cos O) = c -

~

4

=> e = - = 2 2

Spezielle Lcsung der inhomogenen DOL (Losung der Anfangswenau fgabc) : Y., = 2 e - x +

~

(sin x - cos .r }

,.(0) ~ 0

e) y' -y =xsin h

Allgemeine Losun g der ho mogenen DOL: YI> = e el Part ikularer Losungsansatz: yp = (Ao + A IX) sin 2 {+ (Bo + Blx ) cos h Allgemeine Losung der inhomogenen DOL:

2 1 Y = c e ' - 25 (2+ 5x) cos2t + 25 (3 - 5x ) si n Zr Spezielle Losung: )'~

·

4 = _ et

25

2 _

_

25

1

(2+ 5x) cos2r + - (3 - 5x ) sinh 25

.' (0)

~

I

Allge meine Losun g dcr ho mogcnen DOL : y" = ee 2' Partikula rer Losungsansatz : yp = Ax 1'2<, wcil A = - {/ A llgemeine Losung der inhomogenen DOL: y = (x + c)e2t • Speziel1e Los ung: y, = (x + 1)e2[ g) /

= 3y + 1'- 2,

y(O) = 4/5

Allgemeine Lcs ung dcr homogencn DOL : Partik ulllrcr Losungsansatz : yp = A 1'- 2,

n

A llge meine Losun g dcr inhomogcncn DOL: Spezielle Losun g: y., = e3.t

1

- "5 e- 2t

= eel ,

447

44!l

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Hd spi d 9.34: Ansa tzfunktjo n y' - 2y = ,, - 2< y (O) = I y =? MOJl/e-1ii<,; lIng auf Se jte nQO Allgemeine Losu ng dcr ho mogencn DG L: Yil = c e 2' Pan ikula rc Los ung dcr inhomogcncn DGL mit Hilfe dcr Tahcllc 9.1 :

k = -2

'* A = -

- 4A = I

'* A nsatz funktio n: YI' =Aoe ~ 2t =A e ~ 2<

d .h. es ist A f- -k

1/4

I _ '* YI' = -- e 2\ 4

Allgemeine Losu ng der inhom ogencn DG L:

Y =YIJ +YP

I _ ,* y = c e1' _ _ e 2< 4

Die Kon stante c wi rd aus der Anfangsbcdingung bcstimmt:

5

=> c = 4" Spezielle Los ung:

HeispieI 9.35: Variation der Kon sta nten Lesen Sic die angegchcnen Diffe rcrnialgleichungcn nach Absc hnitt 9.6.3.3. a)

xy' + y =x cosx,

Y(Jr ) = 0.

Die Division belder Sciten durch .r liefert: ,

I

r+r = cosx .r "

.

1

=> q(x) = -

.r

r (x ) = cosx

h(x ) =

J~ .r

d r = Inx

Allgemeine Losung dcr inhomogc ncn DGL nac h Gl. (9.24 ):

y ~ ,-'" ' [Jco'-"yd'+C] ~ ,- ' "' (co,-,+x,;o.<+,) ~ e_,1_ (cos r -r- ,e Si llX+ C) = ~ (cos x + x sinx +c) n, x Einarbeitung ocr A nfangsbed ingung: I

1

y(Jr) = O= li (cos Jr+ Jr .sin 1r+ c) = li ( - I + O+ c) Spezielle Losung dcr Anfa ngswc rtaufgabe:

Y=

~ (cos .r t.r sinx+ I )

.r

'* c =

1

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DG Ln I. Drdnung

b)

2 x

r

:I

l + '- = l + -

y( I ) = -2- -

,

x

2 r(x) = 1+ -

q(x) = -

x

h(x ) =

.r

!

;dt = lnx

Allgeme ine L osung dcr inhomogcncn DGL nach Gl. (9.24):

y ~ ,- I" < [J(l +~)~ d<+'] ~ ~

[j(X +2 ) d< +C]

2

=-, [X - + 2t+ c] =-x+ 2+-C .r

2

2

x

Einarbcitung dcr Anfangsbcdingung:

1 = -32 = -2' + 2 + -C, -r ()

=>

c= - 1

Spczielle U isung der Anfangswe rtaufgabc: .r

,

.r" = -2 + 2- -x c) xy' +y = .r2 ,

y(3) = 4.

,

Die Division bcidcr Scircn dcr DGL durch

v l + '- = x

=> q(x) = -

X

r(x) = x

X

X

liefen:

h(x) =!q(x )d t =! ;dt =l n x

Gleich ung (9.24) liefert d ie allgemeine Losung dcr inhomoge nen DGL:

Einarbeitung dcr Anfangsbedingung: 32

c

c

3

3

3

, ( 3 ) ~ 4 ~ - + - ~3+ ­

.

=}

Spcziellc Losung dcr inhomogcncn DGL :

x'

3

r = -3 + -.r

.

c=3

449

450

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

Hdspid 9.36:

Vartahlentrennung, Ansatzfunktion

Die Difforemialglcichung .~J +x2 y = .~ ist xu los en a ) nac h Methode dcr Trennung tier var iab ten und b) Methode der AI1.WI1::.fllllktiollen. U jSlIlll!,: a) Tre1l/1I/IIl!, der variablen

Umformung dcr DGL crgrbt: l = .~ ( I - )' )

y' - y

~ ! _I_dy=

-I _ ~ x2

.

I- y

K'

- K'

e

\" =

h)

. = e - -,--'0

dx

-

- X'

In( 1- y) = - - 3

- In( I - )') = 3" + CI '" ( 1- \"

f..?

.

1 _ \' = e ~ '"I

.

xl

,.

CI

e - x' j3

l j3

l _ c e- / 3 (oder auch y = I + c e- x·

Spezietle Ansattfunlaion A llgemei ne Losung dcr homogcncn DG L

)

l +.r y =

Partikularcr Losungsansatz: y" = Au + A Ix + A 2x2

0 : Yh = ('e~..-\j3

=> Y;, =

A I + 24 2X

Nach Einsetzen vonv» in die DG L erhalt ma n:

Dcr Koeffizlente nverglelc h auf bcidcn Se itcn liefert: Ao = I

Al = 0

=>YI' = I

Allgcmei ne Losung de r inhomogenen DGL: y = y,,+ YI' = I + c e- xl j.l

HeispieI9.37:

va rlablentre r mung, Variation der Kenstante und Ansalzfunktion

Die Differc ntialgl cic hung y' - 2 t)' = .r ist zu loscn a ) nac h Methode der Trennung der variabl en, b) Methode de r Variation der Konstanten, und c) Methode der A I/.m t:.-

[unk uonen, a)

Trennung <JeI' variabieu y' ~ x ( 1 + 2y)

1 I + 2)'

,

- - y= --........--g(\')

x ""--' [(xl

f

_ 1_

d,· ~

1+ 2), .

f..

In( I + 2Y) = X-, + C 2" = '" + Cl

dr

9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung

h ) Losung mit Hil fe dcr Variatio/l cia Konstanten

r(x) = x

q(x) = - 2 r

c) Losung mit Hi lfe der AIlS(llifu llktiollen

A llgemeine Los ung dcr homogcncn DGL y' - 2 ry = 0: Yll = c('.-2 Partikulllrcr Losungsan satz : Y" = A o + A IX

~ Y~ = A l

Einsctzcn in die DGL Iicfcrt: AI - 2 r (Ao + A lx) = x Der Kaeffizientenverglelch beidcr Sci ten liefert: - 2An = I

~ YI' = - 1/ 2

A llgemeine Losung der inhomogenen DGL : .2

I

_,,=rh . +" " = ce - -2 8eispieI 9.38:

Varia blentransf., Variat ion der Konstant e und Ansat zfunkfion

Die Diffcrcntialgl eic hung xl = 4.r2 + y iSI zu Iosen a) nach Method e dcr v ariablentransformation, b) Method e der V"r;m ;ol1 de r Konstunten, und c) Method e dcr All.l'tltz[unktionen, a) v ariabtentransfonnouon

Nac h Division der Gleieh ung durc h x und Umformung crhdlt ma n:

y

,,' = 4x + -

-

DGL dcr Forrn

x

Die Su bstitut ion von II +XI/' = 4x + 1I

11 =

y/x liefert: :::} II'

= 4

Die Ruck substitution von y/x fur

,-

:" = 4x + c

.r

y' = [ (x. y/x )

:::} y =4x 2+cx

/I

:::} 1l =4x +c liefert :

(s. Abs. 9.6.2.3)

451

452

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

III v ariation der Konstanten Nach Division dcr Gle ichu ng durch x und Um fo rm ung ergib t sich

,.

)" - :. :::: 4x x

h (x ) "'" -

1

d .h.

q(x ) ~ - x

J~ dx "", x

)' "'" e" u ( [ 4x ·

C

- ln r

dx + c ) ""' x

r (x ) "'" 4x

(14

dx + c) "", 4~ + cx

'I' c) Ansatifunktion

D ie Methode dcr spcz icllcn A nsatzfu nktioncn nach Abs. 9.6.3.2 gilt nur Ilir linearc DO Ln m it konstaruc m Koc ffizicr uen. d. h. Ilir q(x ) = canst, Zwar fu nktio nicrt sic gclcgentlic h auc h fur q(x ) i- COII.\·I , abcr nicht immcr. Fiir des vorl icgendc Beisp iel allerd ings vcrsagt sic, wie nac hfolgend geze lgr wird.

1 - 'r = 4x .\" - .r Allge meine Losung dcr homogen cn DGL y' - .. .[x = 0: Die Umfor mu ng dcr DGL liefert:

Partikularcr Losungsansatz: )"" = An + A lx Nach Einsetzen in die DGL erhalt man:

=> )~, =

.v" = ex Al

1

d.h. (A I - Ad - - Au ""' 4x "-.-' x

o

Multipl ikation beidcr Seiten mit x in der lctzten O leichung licfert :

==:- Ao = - 4.-.-2 Es g ibt kcinc Mogficbkeit. den Koc ffi zicrncn A I zu bcsum mcn. d.h . die A nsatzmethod e vcrsagt in diesc m Fall .

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

9.8

453

Linea re Dlfferentialgleichu ngen 2. Ord nung

In diesem Absc hniu werden aussc hlicBtich linearc DilTerentialgleichungen 2. Ordnung mit konstan te n Ke effizienten bchandelt. Diese DGLn komm en in technischen A nwendunge n, insbesondere in dcr Mcchanik und Elektrotec hnik (mcchan ischc und elcktro magnetische Sc hwingu ngen ), sehr hauflg vor. Man untersc heidct zwische n homogener und inliamagener DG L: (/ z )'''

+ (1 1)" + (10 )' = 0

lincarc homogene DGL in allgemei ner Form

(9 .25a)

Hneare innomogene DGL in allgemeiner Form

(9.25b)

Die Funktio n r{x) auf dcr rec htcn Sc itc dcr inhomogcncn DG L win! al s Storfuntaion bczeichn ct. Dicsc DG I 2. O rdnung dcr sog . allgemeinen Fo rm lass! sich in cine DGL in dc r Norma!Jorm ubcrtuhrcn. mdcm ihrc linke und rcchtc Scire durch az div id icrt werden: 1/

y

---(I I

+ a:

,

Y

au

+ - y=O a:

'>

yl/+

,

", y' + az "0

"2

,

p

, (xl

.v = - -

Mil den Abkurz ungc n p = dcr Normalform zu:

"2

d·' )

(li / (I Z

Iyl/+ p y'+ q y = ol Iyl/+ I' /+ q y = r(x)

I

und 4 = au/az und r(x) = r{x )/ az erg ibt sich d ie DG L in

linearc homogene DGL in Norma!Jorm

(9 .26a)

lincarc inhomogene DGL in Nonnalfonu

(9.26b)

Die Bcstimmung dcr ullgc mcmcn L osung )'" dcr hc mogencn DGL (9.26a) mit Hilfc cines Exponcntialansatzcs wird im Absc hnill 9.8. 1 crtaurcrt . Die allgeme ine Losung y dcr inhom ogcn cn DGL (9.26b) ergibt slch. wic bcrc its schon im Absc hnin 9 .6.3 fur Differcnt inlgleichungcn I. O rdnung crfuutert. als Summe von zwei Tcillosungcn: Allgemeine

£ijS/lllg

einer Iineuren inhumagenen DGL 2. Ordnung:

Y" +l' y' +q y =r(x ) DGL: Losung : y = Yh +Y" Y YII YI'

Allgemeine Losung der inhonutgenen DGL Allgemei ne Losung der hcnnogenen DGL Partlkuldre Losuug der intmmagenen DGL

(9.27)

l' +l'y' +q =r(x) )/' +I'/ +q y =O y" + I'Y' + 4 Y = r(x)

Fur d ie Ermin lung dcr partik ulnrcn Losung dcr inhomogcnen DGL werden Ansatzfunktionen verwendc t, vgl. Absschnitt 9 .8.2.

454

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

Allmerkung: Falls die zu losendc Anfangs- bzw. Randwcrtuufgabc keinc Stor funktion r(x ) bcsitzt. d.h . wcnn d ie das Proble m bcschreihendc DGL von Haus aus homogcn ist. kann die Untcrschcidung zwischen y und .vii entfallcn. wei! sic in dicscm So ndc rfull idcntisch sind. In nachfo lgcnden Abschmu cn wird daher auf die Angabc des Index Ii verzichrct. wenn es keine Verwcehslungsgefahr zwischen y und YI! bcstcht.

9.8. 1

An gemetn e

Liisu n~

der hom ogenen Differ entialgfeichung 2. Ordn ung

Fur die Bcsrimmung dcr allgemeine u U i.fllllg dcr lincaren homogcncn DOL 2. Ordnung mit konstanten Koc ffizicntcn p und q

1/ ' +P.r'+ qy= O)

(9.28)

wird folgender t.osungsansac: ge macht: A : Parameter (zunachst unbckanntj Die Losungsnnsatzfunktion sowie ihre I. und 2. Ableitung werden in d ie DOL eingcsetzt:

::::} (.l2+p.l+ q)

-

eh = 0

'"

Es gilt stcts i- O. so class der eingeklammcrte Ausdruck zwingend gleich Null sein muss, darnit die Gleichung crfullt ist. Diese Bcstimmungsgle ichung wird charuktcristisc he Gleic hung dcr homogcncn DGL genaont:

eh

tcharak teris tische Gleichung]

(9.29)

Die LOSUllg dieser quadratischen Gle ichung licfert zwei Wurzeln fur de n Parameter A : P± A, ~ = - ~

.•

2

~ ,2 o -r 4 r

(9.30)

Der Parameter .l ka nn in Abhiingigkeit von der I>isk riminante

r::-7I

~

reell oder komplex sei n. Das Vorzeichen von D enrscheidct wesen tlich daruber, wit' die Losung der DGL aussieht. Iosgesanu lassen sich d rei Fa ile unrerschcidcn:

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

.'

455

1. D = 4' -q >O In diese m Fall sind beide Wurzeln AI und A2 reel! und verschieden:

A~· = - !!.2 _ J,,24 - q Die homo gene DG L besitzt also zwei EiJl :.ellii.l'un gen (panikulure Lc sun gen):

Die Lincarkombination der Einzetlo sungen .n und Y2 Iiefert die allgemeine U j.mn g der homagenen DGL: Y = Cl ')"1 +C2' )'2

2.

(9.31)

.'

D= -

4

-q =O

In dicscm Fall sind beide Wurzcln Al und A2 ree l! und identisch: A, = A~ = A =_ !!.

•

2

Man bekommt desha lb zunach st zwei ident ischc Teilt csungen:

Es Hiss! sich jcdoc h zcigc n. dass mil dcrn Losungsansatz Y =C(X )l, - /lf!2

und Anwendung dcr »Variation der Konstame n« (vgl. Abschniu 9.6.3.3) die allgem eine Losung der homogenenDili, wic fo lgt lautct:

(9 .32)

3.

.'

D = - - q
I)" = e I1 t (A cos rox +B sin rox) 1

(9.33 )

456

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

wobei

~ ~

(9.34)

Diescr Fall mit D < 0 ist fur tcchnischc Anwendun gen . insbesondere Schwingungen (Erdbcbcn. windlastc n. Maschinen. Elektrotcchnik). von bcsondcrer Bedeutung. 1m Abschnitt 9. 10 ab Sc ire 470 wi rd dicscs Thcma unhand mchrcrcr Beispiclc aus dcr Dynamik ausfljhrlich bchandc lt. Herleimng der Form e! (9.33) : Zunachst ist cs zwcc kmaaig. in dcr Bestimrnungsformcl (9.30 ) fur den Parameter A. den Ausdruck in dcr Quadratwurzcl ctwas umzufo rmcn:

( - I).

(«:xp')

'-,,--'

>0

Wenn

p2

4" - q < 0

ist (Fall 3). muss zwangslaufig D = q -

~

4" > 0

sein. Jew wird - I im

letzten Ausdruck durch ;2 crsc tzt (i ist die imaginarc Einheit und ;2 = - 1. vgl. Scitc 658) und man crhan den Para meter A. schlieBlich in kornplcxcr Form:

Zwec ks abkurzender Schreibweise werden zwei neue Symbole eingefuhrt:

Die bciden komplexcn Wurzeln lassen sich jcrzt in folgender kompakter Form anschre ibcn:

A2 = - 1J - iW Die bciden Ein zcllo su ngcn dcr homogcncn DGL lautcn so mit :

Die allgemeine Losung der homc gencn DG L (9. 28) ergibt sic h als Linearkombination dcr Einzcllo sungen Yl und Y2 : Y

= CI ' )' 1 + C2')'2 = CI =

e - tj-l

(cl

e

iCtl ' + C2

e ( -Ij + ;Ctlj ,t

e- i Ctl'

)

+ "2 e ( -Ij -iW ).t = Cl

e -lj .TeiCtl,l

+ "2 e -lj·le - i Ctl'

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

457

Mit Hil le der Eulerschen Formeln fur kom plc xc Zahlcn (s. aueh Se ite 660)

Ie

ito .,

= cos wx +isin lOx

I

Ie;to' =cos lOx - isin wx l

(9..15 )

crhalt ma n als allg emeine Losung folg endcn komplexwertigcn Ausdruck:

y = e: '1-' [c l (cos wx + isin £ox) + C2 (cos eir - i sin £ox )] = e- Ij" [(c l +q ) cos wx +i (c l - q ) sin rur ] '-v-'

'-v-'

CI

C2

= CI ~ + i C2 ~ IId -
111 (-<)

Es lasst sich zcigcn. dass bci cin cr ko mplcxwcrtigcn Losu ng y = C I 8 1(x) + i C282(X) dcr homogcncn DGL sowohl dcr Rea ltci l KI(X ) als au ch dcr lmagmartcil K2(x). jewe ils fur sich allei ne bctra ch tct. cbcnfalls Losu ngcn der Differcnt ialgl cichung sind (auf forma lcn Bewcis wird hier verzichtct und au f Spc ziullitcratur verw iese n). Des bedcutct , dass im obigen kompl ex wertigen A usdruck jcder dcr Terme yr = e-Ij" cos

£ox

cine cin zeln c Losun g dcr homog cncn DGL darstellt. Durch crncutc lincar e Ubcrlugcru ng dicscr Losu ngcn crhalt man schlicglich die Formcl (9.33): y =e-IjX (A cos wx +B sin wx)

wobei in A nlchnung an die ublichc Schrcib wcisc d iesmal nicht Integration skonstanten verwcndct wurden. so ndern A und B.

llei spieI9.39 :

C lo

C2 als Symbole fur die

Schwingungsfunktion in der Dynamlk

DYI1(/lIIi k ist ein wicht iges Teil gebie r de r Mechanik . ihre n Kernpunkt bilden di e Scnwingungen von Strukture n. Die unabhan gigc Variable dcr Dynam ik ist die Zeit t . Die abhangigc Variable , die wir allgemein m it dem Symbol /I kcnnzcichnen konn cn. ka rin viclfahiger Natu r sci n. z.B. die Auslc nkung c ines bcs timmtcn Tragwerk spu nktes, das Btcgcrno mcnr an der Ein spann stcllc ere. Die Anpassung dcr Uisungsfunk tion (9.33) an die Variablcnbezeichnungcn der Dynamik licfcrt als Uisun gsfunktion: II

= e-I'/I (A cos Wl+ B sin WI )

(9..16)

Diose Funktion wird in der Dynamik als gedampne Sc hw ing ungsfunktion bezeichnet. Der Param eter wist die Kre lsfrequenz dcr Schwingung. Die Ei nheit von wist rud / s. In Bild 9.4 ist di e Sc hwin gungsfunktion Iijr folgend c Wertc gra fisch dargcstcllt. A= I

B= I

00 =5

451l

9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleichun gen t] = 0.6 : T] = 0.0 :

t] = - 0.6

I[seel

u(t ) = e - O.6r (cos 51 + sin 5t )

lI(t ) = cos 51 + sin 5f lI(t ) = eO.61 (cos 51 + sin 51)

Am pl itude von U(I ) klingt a bo Am pl itude von 1/ (1) bleiht kcnstan t. Amplitude von U(I) wi rd groucr,

r{.ec1:'~'

, 1++++1-+.4-+-1•

•

_ro

-,

a: Tj = 0 .6

c: '1 =

b: Tj = O

~ () . 6

Bild 9.4: Schwing ungsfu nktion des Bcispicls 9.39

Der Parameter T] drti ck t d ie Dampfung der Sc hwingung aus. Des Vorze ichcn von T] bcs rimrm di e Art der Schwin gun g. s. a uc h Tabclle 9 .2; a) Wenn T] > 0 iSI, liegt ci ne geda mp tte Schwingung vor. we i! der Term e -Ij l und da rnit die Schw ingungsamplitud e II mit wach scndcm 1 ir nmer klein cr we rden , s. Bild 9.4 a.

b) Wcnn T/ = 0 isr. licgt c ine un geddmpft e Schwlngung vc r, wcil e - r/t = l ist und damit die Schwingun gsamplitudc U una bhiing ig von f konsta nt blcibt. s. Bild 9.4 b. Es ist anz umc rkcn. duss bci rcalcn Buuwcrkcn T/ = 0 nicht vorko mmt!

c) Wcn n T/ < 0 ist. handclt es sich urn cine angefac hte Schwingung. bci dcr die Schwingu ngsamplitudcn ir nmcr griiBer werdc n. wei l mit wac hsc nde m t dcr Term e -Ijl immer griilkr w ird. Tabclle 9.2: Auswlrk ungen dcr Dampfu ng auf die Schwing uug. Dampfun gskonstame '1

Schwingung ist

Schwingungsamp litudc

0> 0

gcd ttmpft ungcdamp ft ncgutiv gedampft

blcibt konstant

tj =O tj < 0

klingt ab wird grtil..lcr

•

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung Die Pcriod e ei ner vollst andigc n Kosinus-/Si nuswelle bctragt 2Jr (s. Tabelle 2.1 auf Scite 39 ). Die fur cinen solchcn vollc n Sc hwing ungszy klus bcno ng tc Zei t T wird uls Perjode der Sc hwtng ung bczcich nct und ergibt sic h aus

wT = 2Jr

T = 2;rr OJ

Einhci t von T : s

Die Sch wingu ngsfrequen z kann anste llc der Krcisfrequenz w auc h durch cine andere Einheit. die Hertz (abge kiirzt Hz) mit dem Symbol [ , ausgcdr uckt wcrdcn:

I Hertz = I Hz = I Schwiugungszyklus I Sckundc Man bczcichnct j" als Zyklusfrcquenz, od cr cinfach auch uls Frequenz . Ei ne Frcq ucnz von 2 Hz bcispiclswcisc bcdeu tct. dass in jcdcr Sekunde 2 votte Schw ingungszyklcn durch laufen werd en. Dcr Kehrwert dcr Freq uen z ! ist d ie Periode T. Zw ische n dcr Kre isfrequen z cr , der Frcq ucn z fu nd dcr Pcriodc T bestchen fclg cnd c Bezieh unge n:

lIeispieI9.40: Einstu rz d er Tacoma-Bru cke Ein bcrijhmt cs Beispiel fur angcfac htc Sc hw ingunge n cincs Bauwerks ist dcr Einxturz dcr 7(/cOIlla· Hiingeb rucke im US- Bundesstatt Washington am 7. Nove mber 1940 . Aufgru nd ihrer Konstru ktionsart konn te bei de r Taco maBrtlckc c ine sog.1Wkol'peite Bicgc-Torsio ns-Schwin gung auftreten, welc hc imsta ndc iSI. auc h dcm gleic hmauig wehcndc n Wind Encrgic zu cntz ichcn. Ein solc hcr Sc hwin gu ngs mcc banis mus ist scho n scit I920·er Jahrcn nus dcm Flugzeu gbau untcr dem Name n F/a1tern von Flugeln bekan nt und fuhrtc in de r Luftfahrt zu za hlreiche n Absrurze n von Fl ugzeugen. Bci solchcn sich scl bst an fachcnden Schwingungen spricht man aue h von selbst crregtell Schwingungcn, Au fgrund ihrer aeroc last ischen Eigensc hafte n kon nte die Brtlcke de m mittel starkcn Wind mit lediglieh 67 kmlh Stro mungsgcschwiudigkcit an dauern d kinetisehe Energie entzie hen - muthemausch bede utet dies, dass der Dampfungsrcrm '1 in (9.36) negalil ' wird. Die Bruckcnschwingungcn wurdcn aufg rund dcr ncgat ivcn Diimpfung immcr sta rker, bis das Materi al d ie cx trc m hohcn Bcenspruch ungcn nicht mch r ert ragc n kcnme und die Bruckc schliel3lich ctnsturzre . Dicscs Ung tuck ist von Passan tcn auf Filmkamera aufgenom rnen worden und ist im Intern et als Videodatei verfllg bar.

459

460

9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleich ungen

Hdspid 9.4 1: Loscn Sic das Anfu ngs wc n prob tcm y" - 2y' - 3)' = 0

D=

/(_~)2 + 3 = 2 > 0 (- 2)

Al = - - 2- +

~ Y-"4+ 3 =

y( O) = I

y' (O) = 0

(Fall !)

(- 2) A2 = ~ --

I +2 =3

2

~' - + 1= 1- 2= 4

-

1

Einarbeitung der Anfangsbeding ungen:

),(0) = I

= CI

e3 ' 0 +c2 e- o

y'( 0) = 0 = 3c l e3' O- c2 e- o =}

C2 =

3

4"

Cj

=

=} CI =}

+ c2 = I

CI =

I - C]

3( 1- C2 ) -C2 = 0

3Ct -C2 =0

4C2 = 3

1

4"

Die Losung dcr Anfangswertaufgabc (spczictte Losung j tauter: 1 3x 3 e +_ e-x

y= _ 4

IJeispici 9.42:

4

Homogene Randwertaufgabe

Lescn Sic die Randwcrtuufgabc y" + 4), = 0

,, = 0

.\"(0 ) = 0 , I

,,2

D = '4 - 4 = -4 <0

4=4

)"'(0) = O.

(FaIl 3. s.Seile455)

ro = / q _ : 2 = / 4_ <:2 = 2

Aus (9.34) crhalt man : Die allgem eine Losung ergibt sich aus (9 .33):

y = e-'1·' (A cos rox+ 8 sin civ) =

(' -o ·x

(Acos 2~ + 8 sin 2~) = A cos 2~ + 8 sin 2~

--

Die unbc kanntcn Kons tantcn A und 8 worden nus den Lwei Randbedin gungcn be-

sunmu:

'*

A cos O+B sin O= O. \ =1

)" = - 1.4 sin 2t+ 2B cos 2t

'*

A =O,1

=0

'*

8 = ()

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

461

Die -s pezicllc - Los ung dcr Randw ertuufgabc ist so mit: )',, = 0. 1 cos Zr Ein physikali scher Dcmonstrationsfull fu r die ses Beispiel ist der in BHd 9.5 a auf Seite 47 0 abge bilde te unged nmpnc Binmassensch winger. Wird die Masse ZUIll Zeitpukt t = 0 um den Betrag y( O). d.h. um 0. 1 rn , statisc h uusg ele nkt. in de r ausgelenkten Position ruhi g festgehalte n und da nn plotzlich tosgelassen. wird sic Se hwingu ngen au sfubrcn. d ie zeitlich ciner Kosinu s-Funkt ion cntsprcchcn (vgl. auc h Be isp iel 9.5 1 au f Scit e 47 1).

9.8.2

Partikulare LiisunJ.: der lnhom ogencn DifTerentialJ.:leiehunJ.: 2. Ordnung

Die partikulfire Losung )' der lincaren inhomog cncn DGL 2. Ordnung mi t koustantc n Koc ffizicntc n

IY//+ PY' + lfy = r(x)

I

(9 .37 )

erfolgt mit Hi lfe dcr spczicllcn Ansarzfun ktionc n in Tabellc 9.3. Die Tabcllc enthiilt Lo sungsansmz e fur einigc in technischcn A nwe ndungen bcscndcrs hau fig vorko mrnende Sto rfunktio nen. Die Wah l dcr gccignctcn A nsatzfu nktion hangr vom Typ dcr Storfun ktion r(x ) abo

Regeln fiir d ie Auwe ndung der Tabelle 9.3: Bei der Anwend ung de r Tabelle 9 .3 sind zusdt zfich fo lgende Regeln zu beachtc n: 1. Grundregel. Falls d ie Srorfunktio n r(x ) einc de r in der Iinken Tab ellenspalte cntha ltenc n Funktionen ist, wird als Losungsan satz y,,(x ) d ie korres pondierende Funkti on in de r rech ten Spal te gewahu. Dieser Losungsansatz und se ine Ablei tungen we rdcn in die mhomogeoe DGL eingesctzt und da ra us die unbcsrimmren Koe ffizien tcn An. A I. A2 etc . bestim rnt.

2. Modijikatiollsregel. a. Falls die Stcrfunkuon r(x ) und cine Ei nzellosung dcr hom ogcncn DGL (9.28) (L B . JI odcr Y2 au f Sc ire 455 ) idcmisch sind, dan n wird die Ansatzfu nktion y,,(x ) m il x

multiplizicrt. b. Wen n die Einze 1l6sunge n )'1.)'2 der DGL (9.28) idc ntisch sind . d.h. wenn YI = )'2 (das ist dann der Fall . wen n D = () ist. s. Seite 455). wird die Ansatz funktion y,,(x ) mit xl multipliziert.

3. Additiansregel. Fa1Js die Stor funktion r(x ) durch cine Su mmc dcr in der lin kcn Tab clle nspaltc angcgcbcncn Funkticncn dargcstcllt worden kann. dan n bcstchr dcr Losu ngsunsatz

)',, (x) aus dcr Summe dcr korrcspon die rendcn Ansa tzfunktio ncn dcr rcchrcn Spa ltc.

462

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen Tabelle 9.3: Ansatzfunktionen fiir die partikula re Losung der DGL (9.37 )

Srorfu nknon r {x)

Losu ngsansarzfunktion .\",, (x )

"", · #0, (10

+ (l I X + {/1 '~

+ ... + (1".1"

1

falls (, :j:- O. '1 =0 : x (Ao +AI X+·· · + A".I"') .~ (Ao+ A lx+ ,· · +Allx" )

falls (' =q =O

+.. + A".1." ) e

(ao + (lIX + (/ 2.~ + . .. + 1/".1." ) e'"'

(Ao + A I x + A 2 '~

lin sin a x

A sin ax + B cos a x

cos a x

A sin ax + B cos a x

lIO

(ao + (l I X+ {/ 2'~

+ ...+ 0".1") sin a .r

U

s. Modihkanonsrcgcl

(A o+ A l x+ A 2 K!+ ·· ·+ A ".~") sina.(

+ (Ao+ BI.r+ R1x2 + . . ·+ BII .r") cos c,r (ao+ a lx+ ap l+ . .. + a"x" ) cos ax

(A ()+ A l x+ A 2 .~+ ···+ A ".>!') sin as

+ (Ro +HI X +H1.~2 + .. . + B".\ Jl) cos a x AIIIIl",kulIg: au. at- a2. · . . sowie .~ und a sind vorgcgebene Skalare: p und q gema B (9.28).

Ueispi el 9A3: A nsatzfu nk tio ne n Nachfolgend sind cinigc Bcisptctc fllr d ie Wahl von Ansatzfu nktioncn fur die partiku larc Losu ng angegeb en.

Stor funktion r (x )

1 + 2r 1- 4x + 2.5.r2 ~ 9.".J

A nsatzfu nkuo n )',, (x) Ao +A lx

4xJ

Ao + A Ix + A2.r2 + Al.\.J 3 Ao + A Ix + A2.r2+ Al X

2e5x _ 2e- 7<

Ae - 7<

sin 2x 3sin{-2r) 5 cos 2r 2e 1r + sin 2x e-';x +

4e - 1, + sin 2r

Ae5x

A sin 2 r +B cos 2 r A sin( - 2r) + Bcos( - 2x) A sin2r +8 cos2r AIel.. + A 2 sin 2r + 8 1cos 2 r A le5.. + A 2e - 1x + A 3 sin 2 r +A.t cos 2 r

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

Heispi d 9.44:

463

Pa rt ikulare l.iisun g

Gcsucht ist die partikularc Losung dcr inhomogencn DGL / ' + 4)' = 16x 2. Mi t dcr A nsatzf unktion )'" = An + A Jx + A2 .1.2 aus Tabclle 9.3 ( p = 0,4 ::f; 0) crhalt man:

Das Ei nsctze n in die DGL Iicfert :

Dcr Koeefizten tenvergleich zwischen dcr linken und rcchtcn Sc ite licfert : 2A2 + 4Ao = 0 Die partik uldre Losung lau tet :

)'" = -2 + 0 · x + 4.~ = - 2 + 4.~

Betspl el 9.45 :

Demo nstration del' Mod fftkatlonsregel

Gcsucht ist die spczicllc Losung dcr fotgc ndc n Randwertaufgabc.

.i(0) ~ O

y" - 3y' - 4)" = e ~'"

Der Ansatz y =

e ).x

flir die Losung der homogenen DO L )"" - 3/ - 4,\" = 0 liefcrt:

Die Tcillosungcn und die Losung der homogcncn DOL lauren: ,\"2

=

x e -l

Fur die Storfunkt ion r(x)

= e-·

T

(m it s

=-

I) bictc t sich d ie A nsatzfunktion )""

=

An e- · an (s. Tahcll c 9.3). Die crstc und zwc itc Ablcitung dcr A nsatzfunktio n lau ren: T

Y,,, =- A o e - -'

--

Des Ei nsetzcn der A nsatzfunktion und ihrer Ahleitungcn in die inhcmogenc DGL liefert :

---

Aoe - x - 3 (- Ao e - X ) - 4 (Ao e - X ) = e- ·T =.1""

'-. --' =\~

""J"r

464

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen

Dcr obige Ausdruc k rec hts ist c in Widcrspru ch. unxcr Losungsansatz ist also nich t korrckt . Die Ursacb c des Probl ems liegt dar in, dass die Storfunkuon r(x ) = e - ~ und die Tcillosun g j't = e ~x idcnrisch sind. Gemiil3 dcr Modifik ationsrcgcl 2 auf Scitc 46 1 muss dcshulb
Nac h Einsctzc n der Ansatz funktion und ihrcr Ableitunge n

" =o A ( - 2e -' YI'

+x e -') :

in d ie lnhom ogenc DGL erhult man:

1 5

Ao = - Die parti kuldre Losung lautet somu:

Die allge meine LOSUllg de r lnhcmogenen DG L ergibt sic h aus der Ubertegerung der hom ogencn Losung m it der Partik ularlosu ng:

Die unbckannten Konstantcn cr. C2 crge bcn sich aus den Randbcd ingun gen. A us y{O) =

o folg t:

1 CI· I + C2· 1 - -· 0· [ = 0

5

lui

Die Erfiillung dcr Bedingung )/( 0) = () liefert :

, 1 1 y (0) = -cl · I +4c2 · 1 -5 ( 1 - 0) = - CI + 4C2 - 5 = 0 Die Auflosung des Glcichungssystcms (a) und (h ) licfcrt : CI = - -

1

25

1 c? = - 25

(h i

9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung

465

Die speziclte Ldsung des Randwertproblcm s kann jctzt angegcben worde n:

9.8.3

AlI~emcin e

Losung d er lnh omogenen lufferenttalnl eichung 2. O rdn ung

Wie bereits in Abs. 9. 8 erltlutert. sctzt slch d ie allgemei ne Losung y der linearen inbomogencn DGL 2. Ord nung mit konstanreu Koeffizienteu

I)'' + P )" + q y = r(x) I

(9.38)

aus den Tcillosungcn }'I, und .vP zusummcn: Y = YI, + Y,>

Die allgemeine Losung y" dcr zugchorigcn homogcnen DGL wird ge mtiB Abschnitt 9.8. 1 bestimmt. Die Bcstimmung dcr partikulnrcn Losun g y" dcr inhomogcncn DGL wurdc in Abs. 9.8.2 crluutert. Nuch Aufstcllung dcr allgcmeincn Losun g y kur m durch crfullung dcr Randbcdingungen die spcztctle Losuog J . besttmrru werden . uetspl el 9.46: Randwertautgabe 2. O rd nung Gesucht ist die Losung dcr DGL )/1 + 4y = [&2.

)'(0 ) = I,

y' (O) = ().

Fur diesc DGL sind die allgemeine Ldsung der hom ogene n DGL und die partikuldre Ldsung der inhomogeneu DGL bereits enn ittelt (s. Bcispiclc 9.4 2 und 9.44): YI, = A cos 2x+ B sin Zr

Die allge me ine l.i isun g dcr inhomogen en DGL crgibt sich aus der Addition bcidcr Tcillosungcn: Y = Yh + )"p = A cos 2t + 8 sin2r -2 + 4x 2

Die Beruckslchug ung der Anfangsbedingungen licfen die Losung dcr Anfungswertaufgabe: y (O) = I = A cos (2· 0 ) + B sin(2· 0 ) _ 2+ 4 . 0 2 = A- 2

y' = - 2A sin 2x + 2B cos 2 t + 8x / (0) = 0 = - 2A sin(2 · 0 ) +2B cos (2 · 0 ) +8 · 0 = 28

J., = 3 c o s 2r - 2 + 4.~

::::} B =O

466

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

9.9

Zusiitzliche Beispiele flir- llnea re DGLn 2. O rd nu ng

Ueisp ieI9 .47:

Losungsfunktlon emer ll GL

Uberprttfen Sie, ob d ie angege bcnc Funktion y = [ (x ) die Losung der jcweiligen DG L ist. a) )1'+ 4y = 0

Y= J(x).:::: A sin2:r:+ Bcos 2t U j.mng : Die Ablcitu ng dcr -venneintlichen- Losungsfunktion J (x licfcrt : /' = 1" (x ) = - 4A sin 2:r: - 4B cos 2:r:

y' =1' (x ) =2A cos2t -2Bsin2t

Einsctz cn von Y = J (x ) und ihrc r 2-ten Ablcitu ng [" (x ) in die DGL Iicfcrt:

,

- 4A sin 2:r: - 4B cos 2:r: + 4 (A sin 2:r: + B cos 2 t ) e, ()

.

,- 4A sin 2 t + 4A sin 2~,- 4B cos 2 t + 4B cos ~O

,

2~ e, ()

O ~O

/

= (1

Die -vcrmcirulic hc- Losun gsfunktion [ (x ) cr filllt a lso die DGL (dus Einsctzcn von [ (x ) in d ie OGL fljhrte zu kein em Widcrspruch) und ist deshalb cine Lasung. h) l' - 9y = 0

U jslIng :

Einsctzcn der -ver meintlic hcn- Losungsfunktion J (x ) und ihrer 2. Ab leitung in die DGL liefert :

A ufgrund des wldcrspruchs im Ergcbnis (e ll" ist nicht gleich 0 - cs sci denn fu r .r = _00. was abcr hier unlnteressant ware ) ist die angcgebene Funktion [ (x ) keine L osung der OGL. e) )1' =

2r-

U jSlIllg: d)

)/1I = 4e-<

l' =

y = J (x ) = 2e t + CIX+ C2 2t,t + C l I" 2e- t =} 2e-<= 2('"'

=

,f

J (x ) ist cine Losung

y =[ (x ) = 4e< +cl .~ + C2X+C3

U jslIng : J' = 4e t +2clx +C2 4e t ,f

II/ =4e' +2cl

JIII = 4e<

=}

4e t =

9.9 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn 2. Drdnung

Heispid 9.48: Homog ene DGLn 2. Ordnung Loscn Sic die angcgche nen 11OJ1J08",IIen Diffcrcntialglcichungcn 2. Ordnung. a)

y" - 5y' = 0

y(O) = O y'( 0) = 5

Der Losungsansatz y = e Ax liefc rt die charakter istische Glcic hung

Allgeme ine Losung dcr hom ogcncn OGL : = c1.V) + C2J2 = CI + C2 e5x Aus den Anfa ngsbedingu ngen ergibt sich: Y

y(0) = CI + C2, 1 = 0

b)

y'( 0) = 5C2, 1 = 5

+ e5-<

Spez ielle Losung:

.r._ =

y" - 2y' ~ 3J = 0

)'(0) = 4 y'(0) = 0

- I

=> c2= 1 cI = - 1

Dcr Losun gsansatz y = e Ax licfc rt die charaktcristischc Gleichung

Allgeme ine Losung:

y=

('I YI

+ ('2J2 = ('Ie - ·< + C2 e 1<

Mit den Anfungsbc dingungcn erg ibt sich: }(O) =

ci

+ ('2 = 4

)"(0) = - (" 1+ 3("2 = 0

=> c l= 3

('2 = 1

Spez jelle Le-u ng: Y., = 3e- x + e-1.< c)

y"- 4y = O Mit dem Losungsansatz y = el.x erhah man:

=> .1. 1 = + 2

Allgemeine Losung: y = d)

y"- 8y'+ 16y = 0

('IYI

,.(0)

+ C2Y2 =

~- I

2 cl e <

+ C2 e - 2<

)"(0) = - 2

U i.nlllg: Die allgemeine Losung erhalt man gcmaa Abschnt u 9 .8. 1 auf Scitc 454: p= - 8

q = 16

D=

r;l V4 -q = 0

467

4fill

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

Glcichung (9.32) liefen: Yh = (c l + C2X) e 4x Erfullung der Anfangs bedingungen:

=>

)'(0) = (CI + C2 ·O)eo =- 1 y' =

4 c ze '1 +

cI = - 1

4(c l + C2X )e4x

l (O) = Cleo + 4(c l + C2 ·0) . eO = C2 + 4c l = - 2 Spc zielle Losung: e)

y" = (- I

=> ez = 2

+ lx )e

4t

y" + 6y' + IOy = 0 Zweckmallig ist d ie Losu ng mit Hilfe tier unmtuelbarcn Anw endu ng von (9 .33). Hicr wird jedoch 'IU S didakt ischcn Grunden der -um stdndlic here- dcraillierte Weg gezeigt.

-

Der Losungsansatz y = e"-·t licfcn:

AI 2 = - 3 ~ R .

=> Al = - 3+ i

Mit Hilfe der Euler-Beziehun gen e- it = cos x -i sinx e'-t =eos x + i sinx crhalt man die allgemeine Losung:

y = ClY I +

QY2

= e- J ,' (CI cos.r + it'l sinx+ Q cos r - ic2 sinx )

y = e- 3t[(cl +C2) cos x + i (ci - CZ ) sinx) = e- 3.t (Cl COSX +C2 sinx) '---' --.".-...-

c,

C2

Inhomogene DG Ln 2. Ordnung Lescn Sic die angeg cbencn inhcnuogenen Differentiulgleic hungcn 2. O rdnung .

Rdspiel 9,49: a)

}/' - 8y' + 25y =x Iii,mllK: Allgcmeine Losung der homogenen DOL:

Partikulurc Los ung dcr inhom ogcncn DGL :

y/, = A+ Bx

.,\-/ = B

\-,1/= 0

.

"

9.9 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn 2. Drdnung

0 - 88 +25(A + /lx) = x ==>

B = 1/ 25

(- 8/l + 25A) + 25/lx = x

A = 8( 625

Allgemeine Losung: Y

=

YII

+y" =

Cl

4

R

4r

1

e < sin3x + cl e cos3x + 625 + 25 .r

UeispieJ 9.50: Anfan~swe ... taufaaben 2. O ...dnung Loscn Sie fo lgende Anfangswenaufgaben 2. Ordn ung. a ) y" - y = 5 eos 2x

y(O) = - I .

y'(O) = -2

Lb.n Ill N:

Allgemei ne Losung dcr homogcnen DGL y" - y = 0 :

Ein scrzcn des Ansat zes j-, = A si n 2x + B cos 2x fur die Paru kufurtosung in die inhomogene DGL liefert:

- 5A sin 2 r - 58 cos 2x = 5 cos 2r

==>

A= O 8= - 1

==> y" = - cos 2 r Allgemei ne Lo sung dcr inhcmogcncn DGL :

Erfiillung dcr Anfungsbcdi ngungcn:

- 2 =- 2c2 ==>

c2 = 1

t'l = - 1

Spcz ielle Losun g dcr Anfangswc rtaufgube :

)'., =

-e<+ e- < ~ cos 2t

h) y" +l -2y =20cos2x

y(O) = 0

y'(O) = 2

U ;.nmN:

Allgemeine Losung dcr inhomogcncn DGL: v = " I e - l~ + "2 e'~ - 3 co s 2x + sin 2t

469

470

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

Anfangsbe di ngungen:

=> ('1 + c2 -3 = 0

=>

Cl

= 1

C2

= 2

Spczielle Losung:

Y. = e- 2, + 2 e' - 3 cos 2\" + sin 2x

9. 10

Anwendungsbeispiele aus der Strukturdyna mik

Bines de r Hauptanwendungsgebiete fur Differem ialgleich ungen 2. Ordnung mit kon sta ntcu Koeffizienten sind d ie mechani schen Schwiugungsprobleme vo n Ingenie urkons tru ktioncn und Ballwerken {Stru kturdynumik). In die sem Abschnitt wi rd der cinfache Schwi nger mit nur eine m Freiheitsgrad beha nde lt.

9. 10. 1

Freie Schwlngung emes Schwmgers m il etne m Frethensg rad

Der in Bild 9.5 a dargestc1lte Binmassc nschwinger ist der einfu ch ste Schwingert yp und beste ht aus cincr Feder und eincr Masse. Dcr Schw inger in Bild 9 .5 b cmhalt zu satzlich cincn Dumpfcr. Falls kcine Storfunktio n F(r) vor handcn isr, d.h . wc nn F(t ) = 0 (fllr f ? 0) . wird scin Schwingun gsvorgung alsfreie Schwingung bc zc ich nct. Es wird anstcllc vo n Fre ier Schwingun g auch von Elgensc hwtngu ng gc sproc hcn. we il dcr zculichc Ab lauf des Schwingu ngsvc rgangcs nicht durch au ac re Einwi rku nge n. so ndc rn durch de n Schwinge r sel bst bcstimmt wird.

a: ungcdampft

b: gedampft

Bild 9.5: Ungcdiimpftcr und gcdampftcr Emma sscnschwin gcr

9. 10 Anwendungsbeispiele uus dcr Strukturdynumik

9.10.2

47 J

Ungedampfte freie Schwlngung

Die frcic Sc hwingung des ungcdarnpftcn Schwin gers in Bild 9.5 a mit F (t ) = 0 wird durch folgeode hncarc hom ogcnc Diffcrcnrialgleic hung 2. Ordn ung bcschrieben :

d'

x{t) + k x{t} = 0

m- ~

dt -

hzw. m .\'(t }+kx(t ) = O

I : Ze it

Ocr Eiufachh cit halber kan n die Anga be dcr unabhanglge n Zeit variuble I wegfalle n:

11II 3.'+ kx -

ol

k 3.' + - x =O m

bzw.

(9.3 9 )

Diesc DGL entspricht dcm Fall 3 auf Seite 455, wei! p~

k m

p =O

D = - -q
q= -

4

Die Parameter T] und W crgebcn sich aus 9 .34 auf Sci re 456 7.0 : «i : Eigcnkreisfrequ cn z

Die Los ung dicser DG L ergibt sich uus (9 .33 ) auf Scite 455 . wobci d ie unabhmgrgc Variable .r in (9.33) jew durch I und die abhnngigc Variable y durcb .r crsctzt wcrdcn muss: .r = e - o "(A cos WI + 8 sin WI ) = A cos WI + 8 sin W I

(9.40 )

Die Integrationskonstanten A und 8 werdcn aus bckanmen A nfangsbcdingungen bcsti mmt. All/lIerkllllxell :

1. 1m nachstcn Abschnitt wird be i dcr Bchand lung cines gcdam pften Sch wingcrs fur den Au sdru ck J k/1Il anstcllc von W das Symbo l ~ . vcrwcndct. um die Eigcnkrc isfrcqucnz cines ungediimpften Systems von dcr des gcdampfrcn System s bcsscr umerscheidcn zu konn cn. 2. Die L osung (9 .40 ) karm man auch di rckt nus (9.46) cmnchmc n. indc m das Dampfungsma u ~ glcich Nu ll gcsctzt wird .

Ueispi eI 9.51: Ein ungediimp fter Fede r-Masse-Schwinger nach Bild 9.5 a wird sratisch urn 0,02 III ausgele nkt und dann zum Zcitpunkt 1 = 0 plotzfic h los gclassen. d.h . es Hogen die Anfangsbedingungen x (O ) = 0 ,02 (An!a ng.m ll.\1enkll ng) und i tO ) = 1'0 = () (Anj{.lIl!;sgt'.vdlll'ind igkeil) vor. Gesucht ist die Schwi ngung sfunk tion X(/ ).

k: = 30,(00 N/ m

w=

if·

- =

III

III

= 70 kg

f!!: OOOO - = 2{),70 rad/s 70

c = 0 Ns/m (weil ungedampftj (Eige nkrcisfrequcnz)

472

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

f

w

20. 70

...

= - = - - = 3,295 H z (Eigcnfrc ucnz III Hertz) 2lt" 2lt"

Die DGL der Schwingung und ihre Losung lauten gelllliLl (9 .42) und (9.40):

mJ + kx =O :;;.

p2

k :;;. X+ - .\"=O

Diskriminante : D = -

4

m

x = Acos wt + B sin wt

k - q = - -
i = - Aw sin wt + Bw cos w t

Die spcz ielle Ui sung folgt aus den Anfangsbcd ingunge n:

.t(O) = A · I + B· O= 0.02

:;;. A = 0 .0 2

.((0) = - Aw ·O+ Bw · 1= 0

:;;. X(I) = 0.02 cos(20,7 t ) Die Schwi ngungsamplitude ist nachfolge nd als Funktion x(t ) der Zeit t dargesteln. 0 .02

.' _O.Gl

9.10.3

Oeda mptte frele Sch wi ngung

Oer in BUd 9.5 b dargestellte Einma ssen-Peder-Dampfersyste m ist der allgcm eine re Fall. Seine Bcwegungsditfcrentialg leic hung lautet:

d2

d

m - , x(t )+c -x(t )+kx(t ) = 0 dt d1-

bzw.

lII.r(t )+ci(I) +k x(l ) = 0

(9,4 1)

odcr in vcrcinfuchtcr Schrcib wcisc :

Im X+ cX+ k x - ol

bzw,

c k X+ - i + -x = O 11/

III

(9.42)

Hinweis: Es ist unbcdi ngt darauf zu achtcn, dass d ie Koe ffizicmen m; c. k in Einhcitcn ungcgcben werdcn. die zucinandcr physikalisch kons istent sind . Fur praktischc Anwendun gen werden folge nde Einhei tcn empfohlen:

9.10 Anwend ungsbeispiele uus dcr Strukturdynumik

Grij!k

Symbol

FedersteifigkeiI

k

Mau e

m

viskose Diillllifilllg.\·koll.\·IClllte

c

473

Einhcit N

m kg

N

m/s

Die frcic Sc hwingung des gcdam pftcn Schwin ger» in Bild 9 .5 b mit F (t ) = 0 wird durch fclgcndc lincare hom ogene Diffcr cntialgleichu ng 2. Ord nung bcschricbcn:

c k X+ - i + -x = O

1/I .~ + c .~ + k x =O

III

(9.43)

III

Die iiblichen Bauw erkc des Bauingcnicurwcscns habcn in der Regel cine gcringc Diimpfu ng. abcr hohc Fcdcrstcifigkcit und grolle Masse. Dcshalb licgt in aller Regel dcr Fall 3 auf Scire 455 vor. Mit den Parumctcrn

k q= -

C'

p= -

m

m

=}

P c '1 = - = 2 2m

k

m

(C)' 2m

erg ibt sich die Los ung die scr DGL aus (9.33 ), wobei die unabh iingige Variable x in (9.33) j etzt du rch t und die abhangige Variable y durch .c crsctzt werden muss:

x (t ) = 1'-11 1 (A cos wt+ B sin WI)

(9 .44)

w ist die Eigenkreisfrcquenz des gediimpften Syste ms. Ftlr die Behandlung gcdampner mechanischcr Schwingungen ist es zwcc kmauig. neue Paramete r em zufuh rcn:

c.. =

2/11 ~)

~ ~

-- = -

ikrltische Diimp[llllg )

c

c

2111 ~ 1

cc

~l = J k/ 111

tkritischer Diimpfi m gsgrad) (Eigenkreisfrequen; des ungeddmpften Svstemsi

(9.45a) (9.45 b) (9.45c)

Das Produkt 2m Wn wird krinsche Diim pfi mg genannt und mit dem Symbol c.. ausgedrtickt. Ein kritisch gediimpft er Schwin ger kann kci ne Sc hw ingungszy klen mehr aus fubrc n. sondcm ledig lich cin e kricchcnd c Bewegun g. Das wird dcutlich , wcnn man die Eigcn kreisfrcquc nz so ci nes kritisch gcdttmpftcn Systems bcrcchnct: c = c,. =

211l ~ 1

(fllr kritisch gedump ftes Syste m)

474

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

-

k ( C)' k (2"' ' '')' -_V/2 ,_{) m2m Wi)- WOm2m = ('\;

Das Ergcbni s 00 = () bedeure t, dass die Eigenkrcisfrequenz des gcdam pftcn Sc hwingers Null ist, d.h. keine Sch wingu ng srau ttndcn kann. sondem nur cine kriechende Bewegun g. Pur ei n krt u sch geda mpftes Syst em ist dah er ~ = I: keinc Schwingung moglich !

c = c,. = 2m £l.\1

Anmerkung: Dcr kruischc Dnmprungsgrad ~ wi rd in ocr Srrukturdynamik gclegcntlich auch als iehrs ches-Dompfungsmoft bczcichnct und gibt das Vcrhaltnis der aktucJlen Bauwcrksdamp fung zur kritis chcn Dampfung wicde r. Mil dem Damptungspammcrcr ~ lautct die Schwingu ngsfunktion (9 .44) des frei schw inge nden gedampftcn Einmassensch win gcrs: ~ ~

-

c I ,., - - ~2m £1.\) £1.\)

"

Ix (t ) = e- ~ /!.l ,r (A co s

WI

+ lJ sin WT) I

(9.46)

Zw ischen dcr Bigcnkrcisfrcqucnz (r) des gcdampncn und dcr Bigcnkrcisfrcqucnz lUJ ungcdnmpnen Syste ms besteht folgend e Beziehung:

(9.47) llei spieI9.52: Ein gcda mpfter Pedcr-Massc-Sch wm ger nach Bild 9.5 b wird statisch um 2 0 11 ausgclcnkt und zu m Zeupu nkt 1 = () plotzlich los gclasscn.

k = 30 .000 N /111

m = 70kg

c = 120 N/ ms- 1

Gcsucht sind : I . Eigenfrcqucnzc n OJ und f . 2. Zcitfunkt ion x(l ) dcr Schw ingung. Zum Zc itpunkt 1 = () hcfind ct sic h dcr Sc hwinge r im ausgclenktc n Zus tand in Rubeste llung. Die Anfangsb edin gu ngcnlautcn da her:

x(O) = 2 em = 0.02 11/

.~ ( O)

= () 111/.\'

Die Sch wingu ngs-DGL des gcdampft cn Sc hwingcrs lautet:

120

.\'+ m '~ +

aocoo x ---=m= ()

=> .\'+ 1.7 14 i + 428,57I x = O

9. III Anwendungsbeispiele uus dcr Strukturdynumik Der Dumpfungsgr ad (9.4h 1'4) =

~ .

-= III

~

und die Eigenkreisfrcqucnz

.j300(Kl - - = 20 ,70 m dls 70

w ergebcn sic h aus (9.45 b) und c

120

2/111'41

2 · 70 ·20 .70

S ~ -- ~

W= lO:l ~ = 20 ,70 ) 1- 0,04 12 = 20 ,68

~ O , 04 1 4

~ lO:l = 0 ,04 14 . 20,70 = 0,857

Die Eigenkreisfreq ucnz co des gcdampfte n Sc hwiugcrs verringc rt sic h also gcgcnubc r dcr Eigcnkreisfrcqucnz lO:) des ungcdam pftcn Sc hwinger» nur unbcdcu tcnd . Das ist typisch Iljr Tragw erkc des Buuingcnicu rwescns. Fur ubttc hc Ingcnicurbuuwerko ist dcr Dampfungscin tluu auf di e Eigcnfrcqucnz in dcr Regel stets vcmachlassigbar klei n.

Die Eigcnfrcq uenz

f

w

= 2iZ" =

20,68

f

21r =

ergibt sic h zu: 3.29 Hz

(d.h. 3,2 9 Schw ingungszyklen pro Se kunde)

Mit den gcgcbcncn w crten liegt dcr Fall 3 auf Scite 455 vor. Die Seh wingungsfunktion kuuct ge maB 0 1. (9.46): x(I ) =e - ~~) I ( ACOS WI + B sin on ]

Die unbcka nnten Konstantcn A und B lassen sich aus Anfangsbcdi ngu ngen bcstimmen: ==}

A = 0 .02

:i: = - ~ lO:J e - ~~) I (A cos wl+ B si n wt ) + t' - ~"\) t ( ~A w sin wt+ Bw cos er r)

' (0 ) ~ 0 ~

- Is "',) , 1 (A , 1 + Bw ,O) + I ( - A w ,O+ Bw , 1) ~ - A (S "',) + Bw

'* B ~ A (S 0,\, ) ~ 0,02 ' 0,857 ~ O"J1IOS3 w

20 .68

Die Schwingungs funktion des geda mpfte n Sc hwingers lautet:

X(I) = e -O.857t (0 .02 cos 20.68t + 0.00083 sin 20 .681 ) Der Sc hwing ungszcitvcrlauf isl in Bild 9,6 grafiseh dargestcllt.

Anmerkung: Dcr Einll uBdcr Dam pfun g auf die Eige nfrequenz ist zwar IUr norm ulc Baukonsrrukt ioncn von untergcord ncter Bedeu tu ng. Wie man auch in Bild 9.6 sieht. habcn sclbst ge ringc Dampfungxwcrte allc rdings ctncn bcdc utcndc n Eintluu au f den Sch wingungsvcrlauf. Berci ts nach 3 Schwingungszyklcn vcrringe rt sic h d ie Sc hwingu ngsa mplitude die scs Beispicl s auf den hal bert Wert des Anfangsauslenkung.

475

476

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen 0.0 2

~ 0.01

"rt-t+t+t \f+t+t", -0 .0'

BiM 9.6: Zeitve rlauf ocr Schwingung des Bcispie!s 9.52

9.10.4

Eraw ungene Schwt ngun g

Wenn em Schwt ngungssystem d urch cine dynamischc auac re Last F(I) zu Schwingu ngen angereg t wird. spricht man von erzwnngenrr Schwingung . Das Bild 9.5 b zeigt eincn gcdnmpftcn Binmassenschwi nger. dessert Sch wingun g durch fol ge nde inhom oge ne Differen tialgleichung 2. Ordn ung beschriebcn w ird :

-

m .\'+ ci + k x =

F(I)

mil

. dr x= dl

(9 .48 )

SllIrfunkli ,m

.r : Schwingw eg, m : Masse, k : Pederkonstanre, r : Dnrnpfu ngskonstan re Die Division beider Seitc n durch III licfcrt die Normalform der Sch wiu guu gs-Ixlt. :

.. ,.. k F (I ) x+ - x+ - x = - III m m Es gibt verschicdc nc Arte n von crzw ungc ncn Sch wingungen. d ie sowohl von der System kontt guration als auch von dcr A n dcr dynamisc hen Bcla stung abhangen. Einige Faile werden nachfclgend untersuct u.

9. 10.4.1 Harmnnisch er regter Sch winger und Resnn an z Das Fcdcr -Massc-Damp fcr-Systcm in Bild 9.5 b sci durch die in Bild 9.7 a dargestcll tc zcitubhangigc Kraft F(I) = F sin W I bclastct. Eine solc hc sinusfiirmigc Bclastungsfunktio n wird tumnonis che ErreXlIlIg gc nanm. Die Bewegun g des Schw inger s wird du rch folge nde inhomogcnc DGL 2. Ordnung bcschricben: 1II .\' + c .~ + k x =

F sill W I

Die allge meine Los ung dcr zugc horigc n hom ogcncn DGL lautet (vg l. Absc hnitt 9. 10.3):

m .\'+ ci + k x = O

(9 .49 )

9. 10 Anwendungsbeis piele uus dCTStruk turdynumik

477

10

s 8

7 Q

F(I)

e s

, 3

F

,,

,

2,

"

3,

-F

2 (lIt

G

a: Hnrmon ischc Last F(t ) = F sin rot

G.'

,

ts

2

bela

b: Dynumisch e VergroBerungsfu nklion D

Bild 9 .7: Dyn umischc Ant wort cines gcdttmpftcn System s

mit

ft\l =

If

~ = 2"~~)

w=

ft\l /1 -~2

Z ur Bcstimm ung der partik uluren Losung der Inhomogencn Gleichung wird gema13 Tabe lle 9.3 auf Scire 462 folgc ndcr Ansa tz gcm acht:

x,, =Ao sin w t + Bu cosw r Daraus er hlilt man die Ableitungcn nach dcr Zeitvariablc I:

i " = Ao W cos WI - Bo ro sin wt

.'i t, = - An w2 sin ro l - Bo ro2 cos W t

Nach Subst itutio n diese r Ab lcitungen in die Gteichung (9 .49 ) und Zu sam me nfassung der Sillusund Kosinus-Terme erhalt man:

[( k - m( 2)Ao - w eBu] sin W I + [w eAn + (k - m(2)Bol cos rot = F sin WI

( a)

Ocr Koe fftzientcnvergtcich auf dcr linkcn und rcc htcn Scire von (a) licfcrt:

[(k -

m(

2

)Ao - w eHu] = F

[WeAn + (k - mw 2 )/Jul = 0

(Sinus-Term) (Kosin us-Tcrm ]

Das ist e in lineares G leichungssystem mit zwei Unbe kanntcn Ao und Bo. Mit Hille der Gau13Eliminat ion bzw. der Crumc rschcn Regel (vgl. Scitc 73 bzw, 93 ) ergcbe n sic sich zu: (b)

471l

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

Es ist zwec kmatiig, an dic ser Stelle e inige Ahktlrzungc n einzufuh ren, urn sowohl d ie Ubcrs ich tlichkcit zu crhohc n als auch den Formeln cine leicht crc physik alischc lntcrp rcticrbarkcit zu vcrlei hcn. In Anlc hnung an d ie gangigc Fac hlitcrutur dcr Stru kturdynamik worden die in dcr Tabclle 9.4 angcg cbcncn Symbclc dcfiniert .

Tabe lle 9.4 : Spczielle Symbole fur gcda mpfte Schwin ger

Symbol

Bedeutung

"',

=

Eigcnk reisfrcqucnz des ungediimpften Schwmgcrs

c,_

If

=

2111 ~)

kritischc Diimpfung

, ~

m

c

kritisches Dampfungxmaf [Lehr schcs Dumpfungsmub]

c,.

=

ill

"',

Frcqucnzvcrhalmis der Errcgcrkraft

Die 0 1cieh ung (b) lassl sich mit Hilfe dic ser Abk urzungc n auch schrcibc n uls - 2~ ~

~ ' ) ' + ( 2 ~ P)2

Das Binsetzco dcr nunmehr bcka mucn Kcnstantc n An und Bo in die partikulnrc Losung dcr inhoroos enco DOL licfcrt: I - P' PO )' + ( 2 ~ P)'

=> X" =

F

I

- 2~ P

P' )2 + ( 2 ~ P)2

k ( I _ P')2 +(2~ P)2 [( 1_ p 2 ) '; " ill l_ 2~ p

CO,WI ]

(9.50)

Der Ausdru ck in cekigc n Klam mem dcr 01. (9.50) lasst sich auch wie fo lgt schreibcn (vg l. Regel 33 auf Seite 720):

mit ¢ = arctan - ( - 2';

P) = ar ctan I2';- {3P-~

I - P-

Die partikuldre Losung der inhomogencn DO L (9 .49 ) crgib t slc h demit wie fclgt: (c )

9. 10 Anwend ungsbeispiele uus dcr Strukturdynumik

479

Die verschicdcncn Terme dicscr Losung hahcn folgcndc Bedeutung:

FI' ]

v (]

P' )' + (2; P)' ¢

=

statische A II.~le"kll n!: .r,

=

dynamische r Ver!:riJjJerulJ!:.Vaklor D

=

Phas enwinkei (Nache ihmgswinkel]

Die hamogene L osung der DGL (9.49) ist bereits in (9.46) angegeben: Xh

= e - ~ wu r (A cos wt+ B sin W I )

(d )

Die Superposition dcr parnk ularcn Losung (c) und dcr homogcncn Losung (d) licfcrt die allge meine L e-ung dcr inhomogcnen DifferemialgJcichungJcichung (9.49):

Die noch unbekannten Konstunten A und B in (9.5 1) konnen aus Anfangsbcdingungen bestimmt werde n. Allcrd ings ist das in dcr Praxis moistens nicht notwcndig. Der XII -Term geht nach cinigcn Schwingungszyklcn au fgrund des Dampfungstcrms e - ~ % / gege n Null und wird somit fur praktischc Zwccke bcdcutungstos. Ocr partikulnrc Losung's rcil is! dagcgcn rucht abklingcnd und wird dcsbatb als stationdrer Scnwingungsmstand bczcichncr (nicht zu vcrwcchscln mit dcm statischc n Zusrand cines Systems). Die starionnre schwing ung des harmonisch angeregten Systems lhsst sich somit wic folgt angebcn:

sin(wt -iP ) = x.,IJ sin(wr -¢ )

Xs

= F/k

(stat ische Auslenkung des Systems )

Ocr Maximalwcrt

x"'"... = .r,_ . IJ

X m
D : Dynamischer VergroBerungsfa ktor

dcr dynamischcn Auslcnkung stellt sich fbr sin(rot - iP ) = 1 ctn: d.h.

D=

X "'
X"

Die rnaxirnale dynamische Auslenk ung X"'U.T ergibt sich also als Produkt der statischen Auslenkung X s und des dynamisc hcn Vergrofe rungsfaktors D. Das Bild 9.7 b zeigt die Kurven des dynamischcn v crgroucru ngsfukror D aIs Funktion des Frequcnzvcrhah nisses f3 fbr drei verschicdcne Werte des kritischcn Damp fungsgradcs c .

4XO

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

9.10.4.2 Pliitzliehe Betastun g eines masselosen Systems Das in Bild 9.8 a abgcbildctc massclosc Fcdcr-Dampfcr-Systcm wird zum Zcitpu nkt t = 0 durch die Kraft F(t ) = Fo plotxlich bctastcr (die Platte. an dcr dic Kraft angrcift . wird als starr und mussolos angcnommcn, d.h . IIJ = 0 ). Die in Bild 9.8 b dargestcllte Bclastungsfunkt ion F (I ). welche fur t 2:: 0 kon stnnt bleib t. wird als Sprungfunk tion bezeichnct.

F (l )

~ {o Ii,

tur r c O fur t ;::: 0

Es so ll die dynamis chc Auslenkung X(I) des Kraftangriffspunktes als Funktion dcr Zcit bestimmt worden.

Jf-

k

b: Belastung F(t )

a: Sys tem

Bild 9.8 : Phn zliche Belastung cines musselosen Syste ms

Die DOL der dynamischen Bewegu ng ergibt sich aus (9 .48) durch Weglassen des MasseTerms.

c .i"+ k x = Fo Die Anfangshcd ingung lautet x(O ) = 0 , weil das System sich fur t = 0 in Ruhc bcfindct. Die allgemeine Losung X I, der zugc horigcn homo gcn cn DOL c i + k x = 0 ergibt sich mil Hilfe des Losungsansarzcs .r = eM wic fo lgt:

i = Ae A/

'*

(Ac + k)

eAt = 0

---'"

'*

A = - klc

Die parti kulnrc Losung x" der in homo gcnc n DOL c i +kx = fil wird mil Hilfe des Losungsansarzes xI' = A gcwablt. wcil die rcchte Scitc lcdi glich aus dem konstanten O lied fi) bcstcht:

'* c · O+ k A = fi ) '* A = Fol k

Fo xl' =T

Die allg emei ne Losung der inhomogenen DOL ergibt sich aus der Addit ion der partikularcn und

9. 10 Anwendungsbeispiele uus dcr Strukt urdynumik

4l:1 J

homogcncn Losungen: _ _ Fo - krf" x -x,, +x" - T + C e

Die Bcrucksichtigung dcr Anfangsbedingung liefert :

x(O) = 0 = Fo + C e- H 1fc = Fo + C eo = Fo + C k

k

k

=> C = - -'0 k

Die dynam lschc Aus lenkungsfunktion des Fcder-Dampfcr-System s lautet somir: (9.52)

lleispiel 9.53 : Gcsucht ist dcr Zc uverlauf der dynamis chcn Auslc nkung des Pcdcr-Dam pfcr-Systems in Bild 9.8 urucr dcr Einwirkung dcr Sprungfunkt ion F(/ ) = Fo. Gcgebcn : Fo =I OOO N

k =WfN /m

c =2 . 104Ns /m

Mit diesc n Zah lenwerte n liefert G1. (9.52):

Dcr zeulicbc Verlaur der dynamis chcn Auslc nku ng ist nachfolg cnd grafisch dargcstellt. 01

o

2

4

t[s/6

8

10

Anmerkung : Das System filhrt cine aperiod ischc Bcwcgung nus. ohne Schwing ungszykle n. Ocr Hoch srwcrt dcr Auslenk ung strcbt asymprousc h gegen die statisc hc Auslenkung X, :

lim x (/ ) = x,

, ~-

mit x , =

F

To =

1000 1 ‫סס‬oo = 0. 1

4M2

9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen

9.11

\Veitere technische Anwendungsbeispiele

In dtesem Abschniu worde n einige weuere An wen dun gsbeispie le aus dcr rechnischcn Mechanik vorgcsrellt. die mit Hilfe von lincaren Differcnualgle ichungcn mit konsranten Kocftizientcn beschrieben worde n. 9.11.1

Knicken eines a xial bclasteten Stahl' s

Es wird cin Stab bctrachtct. dcr an scinen heiden Endcn gelenkig ge1age rt ist und durch eine konstante Dru ckkraft N ax ial gcdruckt wi rd (Bild 9 ,9). Die Knicklast des Stabcs ist derjenige kritis chc Wert Nk dcr Axial kraft. ur ncr dcrn dcr Stab plotzlich scnlich ausweic ht, d.h . ausknic kt. Das Knickproblcm des Stabcs wird du rch die homogene Oiffcrcnt ialgleichu ng

E / /' + N y =

a

bzw.

besch rieben (y ist die seitlichc Ourch biegung des Stabes an einer bcllebigen Position .r, d.h . es ist y = f (x ) . Die Nonnalform di esc r DGL lautet:

I.\'"+ -£N1'\' = 0 I

(9.53)

VergJeicht man diese DGL mit (9.26a), so ste llt man fest:

~

"

I

. '

aUSgeknickler Slab

L

......

£1

Bild 9.9: Knicklast cines Stabes

p=o

N

p2 4

=> - - q=--< O £1

=>

Fall 3, vgL Scitc 455

Mit de n Parametem p

~ ~ - ~ O

2

lautet ge mdf (9.33) d ie allge me ine Losung dcr hornogcnen DGL (9.53):

y = e-Ij,< (A cos wx + B sin wx ) = e- o , -< (A cos Wx + B sin ere } = A cos wx + B sin WX

--..01

Aufg rund dcr gele nkigen Lager ung des Stabs an semen belden Enden ist cine sculichc Vcrsc hiebung an den Lagerp unkten nicht mogfi ch. Zur Bestimmung dcr spez ielle n Losung musscn daher

9.11 w eitere rechnischc Anwendungsbeispicle

4l:13

folgcndc Randbcd ingungcn crftlllt werden: y(x = O) = O

y(x = L ) = O

{seitliche v crscht cbungcn am Stabanfang und -cndc )

Man erhalt darau s d ie unbekannten Konsrantcn: y (O) = 0 = A cos (w·O) + 8 sin(w· O) = A · 1+ 8 ·0 = A y( L) = O= O' cosroL +B sin roL

=> A = 0

=> B sin roL = O

Die Ictzte Gleichung wird sowohl durch B = 0 als auch durch sin rot = 0 crfullt. Es macht allcrdings physikalis ch wenig Sinn. B = 0 zu sctzcn. wcil man dann (wcgc n A = 0) nur das triviale Ergcbnis y = 0 crhalrcn wilrde. Daher muss d ie Bed ingung sin roL = 0 nahcr untcrsucht worden.

Die Bcd ingu ng sin roL = 0 wird fur folgcndc w crte crflllh: roL =

(U ~ 1.2.3, . .. )

lilt

Substitution von

I N/El

UK

ro = -

L

fllr ro in dcr obigc n Bcztch ung roL =

lilt

licfcn die Knick last:

~ L =lIlt Die G1c ichung dcr Kn ic ktigu r la utc t aufgrund vo n A = 0 und to = II lt / L : y= B

• 111t

Sl n T X

(Ocr Stab knickt also wie eine Sinuskurve ausj.

Da " verschicdcnc Werte annimmt, ex tsticrcn verschicd cnc Knicklasten. In dcr Praxis intcrc ssicrt jcdoch moistens nur d ie Knicklast fur /I = I. wcil diesc die kleinste Last ist, umcr der die Tragfahigkcit des Stabes bercits crsc hopft wird (d ie hoheren Knickla stcn des beid seitig gcle nkig gelagerten Slabs fu r II > I haben ab o nur theoretische Bedeutung). Die Knicklast N k fur II = I wird kri tische Knick/list des Stebes ge nannt (ElIlersche Knickiust )

und bctrngr:

2 E/I

IN- 1t k -

L2

tEulersdie Knicklast des beid seitig gelc nkigcu Stabes)

484

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

9. 11.2

Abkbhlung ejner- Sta hlk ugel

Eine kleine Stahlk ugel (Radius r, Kugelvolu mcn V , Kugelob crflache A, Materialdichtc p, spczifische w armekapaztun c) wird auf die Tem pcratur To erhitzt und zurn Zei tpunkt t = 0 in cine srrom cnde Flussigkeit. dere n Ternpcratur T" betragt. eingetaucht. Die in der Kugel gespcic hene wnrmee ncrglc wird bel die sem Vorgang mittcls Kanvelaion an d ie Fli.issigkeit abgeg eben (Konvektionsbeiw crt h). Oesucht ist d ie Zcitfunktion der mittler en Kugeltempcratur. Die Diffcrcnzia lg tcichung fur dic scs sog. instationdre (d.h. zcitabhungigc) Warmclcitungsproblem ist cine inhc mogcnc DOL I. Ordn ung und lamer gcmau Wnrmcgesctze dcr Physik:

cPV

uT =

df

T : momentane Tem pcrat ur, d.h. T = I (r)

- hA(T- T,J

Die DOL wird zunachst umgcformt:

uT

=>

cp V - + hAT = hAT" dr dT dl

=> - + AT = A T"

dT

hA

hA

dr

cp V

cp V

-+-- T ~-- T"

oder :

t +A T = AT"

. IrA mit A = - -

cp V

Die allgemeine Los ung 1j, dcr zugchong cn homogcncn DOL

(9.2 11 ' Kontro lle :

.

7j,

, + A7j, e, 0

'* O+AAo = AT"

crhalt man nach

0 =0 /

Fur die Bestirnmung der parti kula ren Losung von Seite 462 der Losungsansatz TI' = An gcwahlt:

T' = 0

r + AT = 0

r + AT = ATu

wird ge miiB Tabclle 9.3 auf

Ao = T"

" Die allgemeine Losu ng dcr inhc mogcncn DOL crgibt sich als Surnmc von T

h und TI,:

T = 1j, + 7" = ce - A/ + T" Die spczielle Losung der inhomogenen DO L erh alt man durc h ErfLillung dcr Anfa ngsbc dingung :

T (O ) = To = ce - A'() + T" =

'*

('+ T"

'* c = To -

T"

T (t ) = ( 7() - T,, ) e- A/ + T"

Zahlcnbc ispiel: r = I

('III

= 0.01 III

(' = 460 J j kg

'C

9 .11 w eitere rech nisc hc Anw endungsbeispicle

=> A = hA = cpV

10· 1,2566 · 10 -

3

460 .7800 .4,19 . 10 n

4l:15

8.359 . 10- 4

=> T (I ) = 280 e - 8.359 ' 10- 4 I + 20 300

Miu lcre Kugclte mpcrutur nach I Srundc:

T ( l lI) = T (360(h ) = (300 -

' 00 ~

20) e- 8 .359 ·

4

1O ' ' 3noo +20

100

= 33,8 "C

o

9.11.3

1000

I

2000

lsj

3000

Ahsinken d oes Korpers im Meer

Von eincm Schiff auf hobcm O zca n wird eine Mcs ssn nde ins Wasser gcla sscn. Die So nde bcgi nnt ihren Sinkvorgang bei m Eintauchen ins Wasser mil der Anfang sgesc hwin digk eil 1'(( = 0 ) = OI/I/ s, d.h. aus dem Ruhezusland hera us. Auf den Kerper wirkt als treibendc Kraft die nach unten gerichrcre Gra vilationsk raft F = /Ilg (wobci m die Masse der So nde und g = 9.8 1 1/1/52 die Erdbeschleunigung sind ). Die Re ibungskraft R, die vom Wasser auf die Son de uusgcu bt wird und entgegen der Gru vitut ions kra ft wirkt, soli propomonal der Sinkgeschwindigkeit angenommen werd cn. d.h. R = h (k : Widcrstandsbeiwcrt). Gcsucbr ist d ie die Sinkgcschwindigkcit dcr Sond e I ' = f (t) uls Funktion dcr Zeit .

C; --(IE x(t)

- P

a: Angrcifc ndc Kran e

,I

,

Ifsj

b: Absin kgeschwindigkcn

Bild 9 .10: Absinken cines Korpers irn Meer

Das Absinken der Sonde wird mit Hilfe des sog. dyncunisctien Kriiftegleichgewichts durch

486

9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleichun gen

folgcndc inhomoge ne Oiffcrcntialglcich ung 2. Ordnung besc bricbcn: d.h.

m i =F -R

mi ex mg s- k v

.r : Abstand von der wasseroberttnche.

v: Sinkgesc hwindigkeit k : Widerstandsbeiwert

Die Stnkgeschwindigkcit v = / (t ) iSI cine Funktion dcr Zei t l und entspricht dcr erstcn Ab1citung dcr w cgsrrccke .r. Mil den Beziehungen

d,

1' = -

ill

liisst sich die obige OGL 2. Ordnun g auf eine OGL I. Ordnung zurlickfllhre n:

mv

'-.--'

= /IIg - kv

It.,'

Die Umformung dieser DGL Iiefert eine neue DG L mit getren r ue n Variablcn :

/118

Nach Integratio n bcider Seitc n er halt man: I

~-

k

In(lIIg - kl') =

t

- + CI

In(lII!; -h) =

III

kt

--~ k q

m

kt e1n(mll -h j

= e- m ~kCJ = e- kl / m e ~ k'"l

----

mg _ h' =ce- kl / m

<

I.(t ) = /11K k

c (, -kl /m k

Die Integration skonstame r- wird aus dcr Anfangsbedi ngun g bes timmt: III!; (' 0 /Ilg c I,(O) = O= - - -e = - - k

k

k

k

:::} C

=

IIIg

Ocr Zc itverlauf des Absinkens lautct:

Zahlenbeispiel :

m = I kg

g = 9.81 m/ s2

k = 2 Ns/ m

(grafischc Darstcllun g von I'(t ) sichc Bild 9.10 ) Die Son de errc icht also bcrcirs nach ca. 2 .~· cine srarlonnre Sinkgeschwindigkei r von 4. 9 m/s.

9.11 w eitere rechnischc A nwendungsbeispicle

9.11.4

Vert ikah~

4l:17

Schwlngung eines schwimmenden Korpers

Bild 9. 1I zeig t einen krcis zylindrischcn Kerpe r, dcr in einc r Flussigkcit schwimrn t, 1m Ruhczustand (stat isches Glcichgcwichn scion d ie Tauchticfe des Kerpe r» " und die ubcr den Flussigkcitsspiegcl hinausragcnde Hohc s. Es gcltc n folgcndc Kcnnwcrtc :

p : Plusslgkcltsdlc fue

r : Zylinderradiu s

H : Z y linderhohc

/II :

Zylind erma ssc

statischcs Glcic hgcwicht

"

h

BUd 9.1 1: Schwirnmcndcr K erper

1m statiscnen Gfeichgewichtszusta nd kan n die Eintauc htiefe h aus dcm Arcmmedes-Prinzip bereehnet werde n: Korpergewicht = Gewidus des verdriingten

mg = rr r2 ltp g

m ::::} h = rr,-2p

W(/.I'.I'er.~

s= H - h

Wen n der Kerper in seiner Gleichgewichtslage gestort wird, z.B. durch einen Ham mersehlag in vertikaler Richtung. wird er auf und ab sehwingen. w ahrend der Seh wingung bcfindet sich die Traghcit skruft III.\' mit dem zusatzlichc n Auftrieb rrr x p ge mliBdem d 'Aiemhenschen Prinzip im dyna mischcn Gleichgewic ht. Die dynam isehe Gleiehgewiehtsbedi ngung lasst sich. mit .r als Schwin gwcg gcgc nubcr der statischcn Ruhcla gc. durch folgcndc Diff erent ialgleic hung ausdruckcn:

rrR 2p

=> x..+ -m

x~

0

Bci dieser Betraehtun g wurde Einfachhcit halbcr der Effekt der Flussigkeitsreibung (Viskositat) nicht bcrucksichngt. Naeh der Einfiihrung der Abkiirzung ro2 = rrR 2p lm tauter die DGLder Vcrt ikalschwingung: to : Eigen kreisfrequen z der Sehwin gung [m d lsl

und ihrc Losun g ist gemiiBGI. (9.40)

x =Acos ro t +B sin rot

(9 .54)

4XX

9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleichun gen

Die Konstantcn A und B sind aus Anfangsbedingungen zu emuucl n.

Schwhnmender Kerper

Ueispi cI 9.54:

Ein kreiszylindrischer Kerper schwirmm im Wasser, wobci ein Teil aus dcrn Wasser hinau sragt (Bird 9. ( 1). Wir drucken mil eincr Hand von eben gege n den Kerper. so dass seine Oberselte sich gerade noch auf der Hohc des w assersptegels bcftndcr. Plotzlich wird der Ke rper losgelassen. so dass er zu schwi ngen anfangt. Gesucht ist der Sehwingungszeit verlauf fur folgende Zahlcnwerte:

Pk = 800 kg/m ~ (Dichtc des Zyli ndcrs )

H =0,2 m

R = 0.2 /11

Masse des Zylindcrs: 111

= Jt R2 H Pk = Jt · 0.22 · 0 ,2· 800 = 20. 1 kg

Fur den Ruhczustand (statischcn Glcic hgewicht szustand ) crhfllt man: 11/ 20. 1 h= - - = JtR2P n . 0 ,22 . 10m

O,I6m

s = 0 ,2 - 0. 16 = 0 ,04 III

Die Eigenkreisfrcquenz der vertikale n freien Sch wingung berragt:

Jt R2p Jt ·0,2 2 ·1000 - = 2 = 6.25 (rtulls )2 III 0. 1

~

or = -

ro = / 6 ,25 = 2.5 n ull s

Die Prcqucnz f und Periode T der freien Sehwingung sind:

f

=

~

2Jt

= 2.5 = 0 4 H ' . ~ 2Jt

Der Zylinder wird von Hand 0.04 11I ins Wasser gedrnckt. ruhig gc haltcn und plotzlich losgelasscn. Dcshalb lauren die Anfa ngsbedingungcn wie folgt:

x(O) =

S

= 0.04 11/

.\'( 0) =

nIIl/S

Das Einsctzcn dicscr Anfangsbcdingungc n in (9.54) licfcrt: x = Ac os rot + B sin rot

.\' = - roA sin rot +ro B cos Wt

O,04 =Acos(ro ·O) +B sin(ro · {))

=> A = 0.04

O= -w A sin(w ' O}+wB cos(ro ·O)

=> B = O

Die Schwin gungsfunkno n des Zylinders lautet: .r = 0.04 cos(2,5r)

9. 12 A ufgaben

4l:19

f\

,f+-i,-t-'+---1. -0.02

9.12

Aufgaben

1. Zeigen Sic, daxs d ie nngcgcbcncn Losungsfunktlcn cn auch tatsuchlich Losungcn dcr angege bcncn Differen ual glcichungen sind. L osung: x =ce - 2t

a) .t= - 2r

.r = _ 2ee- 21

=}

b) y" + 9y = 0

_ 2("(,- 21

= _ 2("(,- 21

Lcsung: y = A sin3x + 8 cos3x

/1 =

)" = 3A cos 3x - 38 sin 3x =}

/

- 9A sin 3x - 98 cos 3x

- 9A sin3x - 98cos3x + 9 (A sin3x + 8cos3x) = 0

/

2. Lcscn Sic folgcnde Anfangswertaufgabcn I. Ordn ung.

b) y' - AY = O

e)

y' = y e<

LI"!;: y,, = c e- .l.·,

y( I) = 1

c » )" - 2xy + .~y =O d ) y' = e ~.I"e' 1.7 1828)

L~"K: )',, = ("e2- /2 _ 1

y(O) = 1

a ) )" -x)' --I" = O

y( I) = 1

y(O) = 1

L~K:

y(O) = e

O y' = 3.r2y - y sin x

)'£ =2 ,1 /2 _ 1

y.,= e.l. (I-x )

L~g :y,, =cer;2 - x'\ /3

y,, = 1,94773e\1- ..--1/ 3

)'.. = In(e\ + e- I ) = In(e ' +

v« = In(e' + c) Y. = ef"'

Ll"K: y" = e el"

y(O) = 1

y" = c e "'+.ellS.\ )'( 0) = 3 h)

y' - y2

cosree I)

y(O)

~

1

Ll"K: Y" = ("erl - Ian x

L~K: y"

=

I

.

c -l- sm .r

r, - I + sin x

3, Lc scn Sic folge ndc Anfangswertaufga ben mit Hilfe der Methode Variation der Konstanten (falls kcinc lntcgrahabcllcn fbr die anfallc ndc n Integrate zur Hand sind. konncn Sic mit Hilfc dcr particllc n Integration arbc iten). a)

y' - (cos x) y = - cosr

h) y'+(sinx) y = sinx

y(O) = 1

y( I ) = 1

y" . = 1 + e,in .\ y" = I + c e,in .\ y.• = I - 0.6923 eCo, x L sg: y,, = l + c ecos x

L~K :

490

9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen

4. Zeigen Sic dUTCh Substitut ion. dass die Funktioncn

Y2 = e

(-h f?=; )

Losungcn JeT hc moge ncn Differentialgleichung 454).

<

s" + P y' + q Y =

0 sind (vgl.auch Seite

5. Besnm mcn Sie die allgemeine Losung folgender DilTerentialgleichungen 2. Ordnung. a)

.'1' +y = O

y =CI sinx +c2coSX 4x Uisung : y = Cl + C2 e

h)

y" - 4l =

c)

s" -

4y = 0

Losung:

d)

)1'+ 4y = 0

U;oI"lIllg:

Ui.wlIg:

0

y = CI e- l ,' + C2el '

y = CI s i n 2~ +c2 cos zr

Loseng: y =e' (c1 sinx +c2 cosx)

e) )''' - 2)'' + 2)' = 0 f)

l' = 0

Ldsung: J = CI + C2X

~)

l' + 2l +2y = 0

Ui,I'lIl1g:

y =e -x {cl sinx + C2cos X)

h)

y" + 4l + 4y = 0

Lasung:

y =e - 2' (cl+ C2 X)

i)

)/' + 6l + 9y = 0

y = e- JX(cl+C2X) Ui.l'lI llg : y = Cl e- 4.,' + ("2 e5,r

j) l' - y' - 20y =

Ldsung:

0

k) l' + 2l - 3y = 0

y=

UJSlIllg :

Cl

e- J ·1 + C2 e'

6. Bcsum mcn Sic die allgemeine Losung fclgcnder Differcruialglcichungcn 2. Ordnung. a)

)''' -3l + 2y = e4.{

U ;.nmg:

b) l' + 25y = 75 sin lOx c) .'/' +y =x + 5r d)

l' +y = 2 vinr

e) l ' + y = 2 cos x

U;,mng:

)' =C I sin5x + c2cOs5x - sin lOx

y =C I sinx + c2 cosx - 10 + x + 5r

Uiol"lIl1g: U JSllng:

I

y = c1e' +C2e 2.1 + '6e4-<

)' =CI sinx +c2 cos x - x cosx

Ldsung: ."=Cl sin .r -l-cj cosr -i-x sin .r

7. Loscn Sie folgende Anfungswcrtaufga bcn 2. Ord nung. a) l' +." = I

)'(0) =)-/ (0) = 0

U i.w IIg:

h) l ' +y =x

)"(0) =y' (0 ) = 0

Ldsung: y =x -SlnX

c)

l' +25y = 25x

d)

l' + 2y' + 26y = 26 U;SlIflg:

J = _e- x

y(0 ) =5

(i

y'( 0) = -5

y(O ) = l {O ) =O sin 5x + cos 5X)

+I

y = l -cos x 6 .

Lsg: r = - - sln5x +5 cos 5x + x

.

5

9, 12 Aufgaben

491

8. Loscn Sic folgcndc Anfangswcrtaufgabcn 2. Ordnung.

ltD) = 0

a ) y" -.r = 5 ~ i Il 2r

Ldsung: y,, =C]r+ c2e- x - sin 2x b ) y" -y = 10 sin3.r

)" (0 ) ~ O

tosung: y" = Cl e' + C2 e- x - sin 3x c)

y" +y =sin 2r

,,(0) ~ a

l (O) = 0

d)

y"+y= cos x

y(O)= O

y'{O) = 0

LI g :

2 .

Y"="3

. I I . L I'8: y,, =Cl Sln X+C2 cosx + '2 c os x +'2 x SIIlX

I

, 2

SlnX -:3 Sin r

I . ) ' , = -2 X Sln X

9. Loscn Sic folgcndc Anfangswcrtaufgabcn 2. Ordnung. a)

y" - 2y' + y = cosx

y(O) = 0

y'(O) = 0

1 . L sg: y,, =C] e' +c2x e' - '2 sm r h)

y" - 2y' + y =sinx

I

y'(0) = 0

y(O) = O

1

LI g: y,, =C] e' +C2x eT+'2 cosr

Lsg:

)'U = Cl

e'

+ (' 2 .r e'

+~

1

'2 e

y., =

)'(0) = 0

c) y"- 2y' + )' = sinx- cos x

I

y' = '2 x e' - '2 smr

T

1 (x - l ) + '2 cos r

)"(0) = 0

(sin x + cos .r]

)', =

~ ( - e' +

sin.r -i- cos.e)

10. Losen Sic folgende Anfangswertaufgabcn 2. Ordnung. a)

/ (0) ~ 0

y" -5y' +6y =2e'

y., = _ 2e 2T + e l ' h)

y" + 2y' + y = 4 e'

c)

y"+ 2y' +y = g e2>:

/ (0) =

d)

y" - 2)/ +y = 2e'

y'(0) = 0

e)

y" - 3y' + 2)'=2e' sin x y" - 2y' - 8)' = 72 .r l"

,,(0)

~

0

a

y' (0 ) = 5

)'(0) =5

Lsg: y" = Cl e' + C2 (,2>: + e' (cos x - sin .e} f)

-re'

v.• = 3 e'

+ eh + e'

/ (0) ~ 0 4 2 4 4 .r ., =- -3 e- ' + -3 e '- 8x e'

(cos x - sin x )

492

9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen

I J. Bcstimmcn Sie die Sehw ingu ngsfunktion des Einmasscnschwingers in Beispiel 9 .5 1 auf Seitc 47 1 fur d ie Anfangsbe dingu ngen x(O ) = 0 und .';(0 ) = I'll = 1m/ s (da s bcdcutct. dass. die Masse zum Zcirpunkt 1 = 0 zwar nicht ausgcle nkt ist. abc r cine Anfungsgcschwin digkcit bcsitzt. L B. durch Einwirkung c ines impulsartigen Kraflei nwirkung). Lasung: X(I) = 0 .0483 sin(20 .7t )

10

Stochastik

Stochastik spiel t in de n Ingcn icur- und Narurwis senschaftc n sowic in der Wirtschaft (ge ratic dort !) cine wicht ige Ro lle. Ihrc Anw cndun gsmogfichkcit cn sind se hr breit gcs trcut . Einigc Bcispielc sind :

lngenieurwissenschafte nund Physik: Ouallrur ssichcrung rFert tgung. Warcnei ngang)

Metedalforschung (Festigkeit von w erk stoffen, ErmUdung ) Erdbcbcnfo rsch ung (Auftretenswahrsc heinlichkeit. Wiederkehrpcriode) Winde inwirkun gcn auf Bauwcrke (Hochsgcschwi ndig kcit ) Klirnafor schun g, Wcttcrv orhcrsagc Stochustischc Mcchanik (chaoti schc Sys rcme ) Kcrnp hysik alischc Bcrcchnungen

winschaf tswissenschaft en Vcrsichcrungcn (Risikoanalyse) Mark lana lyscn (Konsumverhalte n. A bsalzchancen) Wirtschaftliche w achstumsp rogn oscn Borscnkursc (Charncchnikj

Sozia/II-issenschaften Hocbrcchn ungcn am Wahlabc nd Demografischc Prognoscn (Bcvolke rungswisse nschaft) Melfi ;;;11

Wirk samkeit cines ncucn Mcdi kamentes Kreb srisik o von best tmmten Substanzen Stoc ha st ik ist dcr O berbcgriff fur die desk riptive Staunn; die Wahr.w·hein fichkeiw heorie und die mathematische Staustik. Die d eskri ptl ve Sta tisti k (auch besch reibend e ode r em pl rfscbe Sta tistik genannt) hilft. beso ndere Mcrkrnatc vo n versuchsmauig oder cmpiri sch gewonnenen Daten {z.B. durch Mcssungen. Umfra gcn, Bcoba cht ungeu) zu crkennen. Zu die sem Zwec k werden die Daten gcordnct. ausgcwc rtct. tabcllari sch verarbcitet und visualisicrt. Dabci bcdic nt sich die dcskriptive Statistik bcsummtcr MajJ::ah'en (Kcnnza hlcn) fur Datcnreih en, mit dcrcn Hilfc cine extrcm kompu ktc Bcsch rcibung von gro ac n (u nd mcist cns unubcrsichtl ichcn) Datcnmcngcn moglich wird. Stuustischc Ma6 zah1cn reduzfcren die in dcrZah lcnm cngc enrhane nen lnformationcn auf cinigc wcnige skalare Kenngrouen.

494

10 Srochasnk

Die w ahrsch einli chkeitsth eorie bcschdftigt sich mit Zufa llsexpertmenten. z.B. Wtlrfelwcrfen. Lo ttozichung od cr Glucksspiclcn. und stcJlt Gcsctzmabigkcitcn auf, die in dicscn Zufallscxpcrimc ntcn enthaltc n sind. I Es hrirt sich sc hon paradox an, dass in zufallig cnt stchcn dcn Ercignissen Ccsctzmaatgkeuc n vorha nden scin sollen. Erfahrungsgemiill cxisticrcn sic aber uu sachlich -. zumindest in guter Naherung. Ein Beispiel so li dies vcrdcutlichcn: Wenn wir cine M unze werfen, hnngt cs absolut vom Zufall ab, ob d ie oben licgcndc Scire der Munze »Kopf« oder »Zahl« ist. Sowohl Kopf als auch Zahl haben die glcichc Eintrittswahrscheinl ichkeit. nnmllch jcweils 50% oder 0,5. Beim zweiten Wurf der MUnze kc nnte die smal Zahl uuftreten, aber evil. doch wiedcr Kopf Und beim dritten Versuch? Wenn wir dieses Experim ent 1000-mal werfen. so ze igt die Erfuhrung, wird II l1gefiihr in 500-mal Kopf und 500 -mal Zahl auftreten. Vielleicht konntcn es uuch 520-mal Kopf bzw. Zahl sci n: cs sind abcr bishcr keine Munzencxpcdmc nte bckannt gewordcn, bci dcncn Kop f odcr Zahl z.B. 400-mal odor 600-mal vorgc kom mcn wiircn. Diescs Experiment bcstntigt also, das s an dcr wahrscheinlichkc itsthcorctischen Gcsctzmauigkcit des Milnzcnwurfs " die Wahrschcinlichkcit fllr Kopf bzw, Zahl isI 50 %« ctwas dran scin muss! Die ma themat ische Statist ik stellt mathematische Modelfe auf, mit deren Hilfe die Gesetzma alg ketren zufallige r vc rgnnge (Prozesse) umfassend beschrieben werden. Mit Hilfe solcher Modelle gelingt cs. kompl exe Vorgilnge und Ereignisse hinsichtlich ihrer Eintrittswahrscheinlichkeitc n zu analysieren. Die Wahrscheinlichkeitstheorie bildct die Gru ndlage der marhcmatischen Statistik. Mit Hilfe dcr rnuthem atischcn Statistik kann man z.B. folgende Fragestellungen beautworton: Welche Hochstwindgeschwindigkcit au f ein Gcbaudc ist wahrcnd seiner Lebcnsdaucr zu crwarren" Wie groB ist die maxir nalc Brdbcbcnbcschlcunlgung. d ie inncrhalb von 50 Jahrcn mit eincr Wahrschcinhchkci t von 10% auftritt? wtc hoch sollen die v crkchr sfustcn ciner GeschoBdecke engesc tzt werden ? Was ist als Min dcstdruckfcstig kcit fur Beton C25 festzulcgen? Wie hoc h ist das Ermtidungsbruchrisiko cines wcchsetnd. d.h. zyklisch. bcansp ruchten Bauteils? Wie hoch isl die Wahrscheinlichkeit eines GAU (grolller anzuneh mender Vnfall) innerhalb von 25 Juhren in einem Kernkraftwerk?

10.1

Deskriptive Statistik

Die desknp tivc (besc hreihendev Statistik bcschaftigt sich mil Datcnrcihcn. die cmpirischcn Ursprungs sind: Pcstigkcit von Bctonteilen, Durchrncsscr von Schraubcn. Arbeits marktzahlcn. KorpergriiBcund Gcwicht dcr Bcvo lkerung, Durchr ncsscr von Bliumcn cines bcsum nuc n Allers, w ettcrtcmpcrarur in einem bcstimmtcn Zcitraum, Btutdruck von Pauentcn e iner Klinik usw, Die Enl, wllung dcr w ahrschcinhc hkenstheon c gehl auf das 17. Juhrhundcrt zurijck, wo man versucht hitl, mit Hilfe von mathcmnrbchcn Il bcrlegungen eschlellni gte die Emwieklllng der Stoeha,ti k.

to. 1 Deskriptiv e Srarisrik

495

Tabelle 10. 1: Stich probe der Bctond ruckfestigkeite n [c in N/ mrn2. WUrfe t-Nr. 1

3 5 7 9 11

1.1 15 17

I'

Festigkcit X [N/ mm2] 25.5 26,0 26.5 25.0 26,5 27,0 26.0 26.0 26,5 27.5

WUrfel-Nr. 2 4 6 8 10

12 14 16 18

211

Festigkeitr [N/ mm2] 26.0 27,0 26.5 26.5 28.0 26.5 25.5 27.0 27,5 26.5

Grundgesemtheu und Snchprobe Bctrachtcn wit ein Beispiel aus dcr Praxis: Ein Hcrstellcr von Bctonfertigt eilen will im Rahme n sei ner Q ualitatskontrolle die Festigkeitseigcnsch aft sein es Prod uktes uberwach cn. Aus KostengrUnden kontrolliert er allerdm gs nicht jede cinzelnc Bctonmischung , d ie das Werk verlalit, so ndern nur stichprobenartig. In einem bestim mte n Ze itraum -sagen wir an 20 Tagen- werdc n insgesamt 20 Proben zufallsartig dcm Frischbe ton ent nommcn und darau s Beronwurfel hergcstclh. Tabcllc 10.1 ent hlllt d ie gemess enen Druckfestigkeitcn dicscr 20 Beton wiirfel nach 28 Tagcn Erh urtun gszeft. Die Anzahl (Iller Bcton misch ungcn des Beto nwerks bczcichncr man als die Orunrtgesemtheu. Theoretisch wird die Orundgesamrheit durch alle Betonmisch ungen wahrend der gesamte n Berriebsduuer des Beton werks (also mchrere Jahrzehntc) reprnsentiert. Aus praktische n Erwagungen bctrachtet man jedoch auc h einen kiirzercn Zej traum (z.B. ein Jahr, ei ncn Monat cd cr halt was als sinnvoll crschei nt) als ausrciche nd fUr die Definition dcr Gr undgesarruhcit . Beruc ksichtigt man. dass des Bctonwerk jahrlich Tausendc von Bctonmisch ungcn tarigt. handelt cs sich bc i den 20 Messwe rten um cine klcine Tcilrncngc. die sog . Suchprobe-. aus dcr Grundgcsa mthcit. Eine Stich probe bcstcht also aus cincm ubcrschauburcn Zah lenhaufen. Die Anzahl dcr Wcrtc in dcr Tcilmcngc heiBt Suchprobenumrang II (im vorlicgcndcn Beispiel ist II = 20). Die cmzctncn Za hlcnw crtc heiBen die Stlchprobenwerte'. Die Stic hprobc nwcrtc in Tabcllc 10. 1 sind ungeord ncr. sic wurden ein fach in der zeitlichcn Rcihcn folgc dcr durch gelUhrten Messungen elngerragen. Aus der urspriinglichen Stic hprobe entstefu die geordnete Sti chprobe. falls die Zahlenwerte arithmetisch aufsteig end geordnet werden :

c"

ungeordnete (urspriing liche) Stichpro be geordnete Stichprobc mit .t(l > :::; x (2) :::; X(J )

US W .

2 Bei einer Stichprobe handelt e' vich nicht immer um eine 7..rhlenmenge. til anderen Statistikberelc hen. l .B. Merktf"Tlic hu llg. o<:'lchl d i<: Slichpmhc au , a u,!!<:wiih llell PeTlinl1<:1leiller gnille rell Z ielgrupp<:. 3 Die Begriffe Slichl'mf,,,, u!1l11h/t" IIf1'i1I<' wcrdcu ill dicscm Ka pitc l S)'llo nym vcrwcndct .

496

10 Srochasnk Tabelle 10.2: Hauligkei tsverteilling der Stichprobe in Tabe l1e 10. 1. Fcsti gkeu Xi [N/ mm 2]

Absolute Haufi gkcir /Ii

Re lative Hdufigkcir II(Xi )

25.0 255 26,0 265 27,0 27,5 28,0

I

0.05 0, 10 0,20 0,35 0, 15 0, 10 0,05 I,00

2 4 7 3

2 I

2])

Summ e

10.1.1

Absolute un d rela tive Hauftgkelt

In Tabclle 10.2 sind die Bctonfestigkcitcn dcr Tahcllc 10.1 dcr art zusammc ngcst cllt. dass jcdcr Wen nur cinmal vorkommt (a nstcllc des Sym bols [c fllr die Dru ckfcstigkcit vcrwcndc n wir in dc r Tabelle das marbcmansch ncuuulcrc Sy mbol x;). Dam it keine Infonnationen verlore n ge hen muss nat urlich auch die Anza hl nngcgcbcn worde n. mit dc r jeder Wen in dcr Stic hprobe vorko mnu . Bcis picl sweisc kommt die Druckfestigkcit 26 N/m m 2 genau 4-mal in dcr Stichprobe 'lor. Dic se Zahl wird als absolu te H aufi~kcit diescs w ertes bezeich net. Falls e in beliebiger Stich probcnwert Xi Insgesam r Il;-m
x,

X2

'"

"2

Il l / II

11 2 / 11

X3

... " -' /1-'/ 11 ...

Xt lit

lit /II

Die Sum rne
L

/I i

=

li t

+ 112 + . . '+ Ilt = II

i= t

Die relative Haufigkeit des Stichprobcnwcrtc s Xi ist dcfinicrt als der Quotient se iner absolurc n Hautigkeit IIi und des Stlchprobcnumfung s II. Komm t also ein MeBwert Xi genau /Ii-mal in der Stichprobe 'lor. so ist sei ne relative Haufigkeit h(Xi) gegebcn durch .) _ Anza hl cler Versuche m it Xi als Ergebllis IIX, ( Stichprobcnumfang II

( 10. 1)

to.! Deskriptive Srarisrik

497

04

0.3 0.2

o., 25

26

27

28

29

Bild 1O.!: Relative Hfufigkcitsfunktion (als Balkcndiagramml fur die Stichprobe in Tahclle to.2

In dcr Tabcllc 10.2 bcsitzt bcis picl swci sc die Bcton festigkc it 26 N/ mm 2 die relative Haufigkcit h(26 ) = 4/20 = 0.20. B ild 10. 1 zeigt als Balkcndiagr amm die rcl utivcn Haufigkeucn dcr Stichpr obcnwcrtc. Die re lative Hautigkeit 1I(Xi) lsr eine positive reel le Zuhl. d ie hochstens gleic h I sein karin: (10 .2)

10 < h{xi)< 1 1 Die Surnmc der rehuiv en Haufigkeite n einer St lcbpro be ist gleich I :

,

\"'"

L,. h(Xi) = h(x d+ h(x2l+ · · ·+ h(xkJ

i= l

II I 112 Il k = -+-+ ...+= -" = 1 11

II

II

1/

, [ " (Xi ) ~ I

(10 .3)

i=l

Haufigkeit sfun ktion Aus den rclativen Haufigkeitcn. mit dcncn d ie einzclnen Zahlc nwc rtc in der St icbprobc vor kornmen. lasst sic h folge ndc lIaufi ~keitsrunktion 1I(xl dcfinicrcn:

" (x)

~ { ~(Xi)

falls

.r = Xi

falls

.r

f;

( 10.4)

Xi

S um men hiiufigkcilsfunktion Die in (10.4) dc tiniertc Haufigkcitsfunktion gibt d ie relative Haufigkeit an. mit der einzclnc Zahlcn wcrtc in dcr Stichprobc vorkommc n. Die Bctonfestigkcit 27 N/ m m 2 in dcr St ich probc dcr Tabcllc 10. 1 bcis picl swci sc hat die rel ative Heufigkcit h(27) = 0 . 15 w ic man aus dc r Tabellc 10.2 so fort sic ht. Irucrcssicrt ma n sic h nun L B. fllr die relative Haufigkcit aller Beronfcsug kcitcn zwische n 0 und {einschlic lilich ) 27 N/ mm 2, kann man die Antwo rt durch Add ition dcr rclatt vcn Haufigkcitc n h(Xi ) fur die wcrte x = 0 bis x = 27 gc wm nen. Das so gewo nnene Ergebni s hd 13t

491l

10 Srochasnk

Su mmen ha utigkeitsfu nk t lon (oder Verteilungsfunktion) H (x ) und ist dcfinicrt als H (x) ~

L " (Xi)

(10.5)

SUl11l11t'llhiil/figkeit.~rullkl ion

Xi ::::X

UeispielIO.t : FUr die Stichpro be in Tabelle 10 .2 ergibt slch z.B. die Sum rnc nhaufigkeits funktio n H (27 ) zu

L

H (27) =

" (Xi) = 0 ,05 + 0 , 10 + 0 ,20 + 0 ,35 + 0 ,15 = 0 ,85

,ti 'S27

Das bcdcutet. dass 85 % aller vc rsuchswurfel dcr Suchprobc die Bctcnfestigke it :::; 27 N/ mm 2 habcn . 15% dcr Bctonwurfe l habcn dagegen die Fcstigkeit > 27 N/ mm 2. Fur- die gcsumtc Snchprobc crgebcn sic h die in folgc ndc r Tabcllc zusammcn gcs telltcn Summcnhaufi gkeit cn:

Xi H(Xi) 10, 1.2

25.0 0,05

25,5 0, 15

26.0 0,35

26,5 0 ,70

27,0 0,85

27.5 0,95

28.0 1.00

Stat tsttsche Ma nzahfen

Ma azahlcn einer Datcnrcthc dienen dazu. ci ne umtangsrcic he Datcnsammlu ng m it Hilfc von wenig cn Kcnngro fe n in extre m kompakter Form sta ustisch zu bcschreibc n. Sie sind we rtvotle Kennwerte eincr Stichprobe, d ie vcrhind cm , dass man » VOT lauter Baurncn den Wald nich t meh r sicht«

Mittelwert Ocr Miuclwcne ci ncr Stiehprobc (Datcnrc ihe) XI , x2 , . . . , x" vom Umfang sche Mittcl dcr Stichprob enwerte :

.f = XI +X2+ " '+ X" = ! E Xi n

Mittelwe rt einer Stichprobe

II

ist das arithmc ti-

(10.6)

11 i= l

Der Mit rclw crt g ibt die durchschniultchc Gri'lGe dcr Stich probenwerte an . Er iSI e in sog . LagemujJ, weil durch den Mittel wert die Positionierung dc r Stichprobe auf der Zahlengeraden angcgcben wird. Oer Stichprobenm ittelwert i is! eine -in viclen Fallen schr gute- Nnheru ng fb r de n Mlttelwert

1J der Gr undgesamt heit: (10.7)

to. 1 Deskriptiv e Srarisrik

499

Berechnung des Miue lwertes mit Hifje der Hdu figkeitsfunktion: Fa lls d ie rdal ive Hiillfiekeil r-inc r Sl ic hprnhc hck ann t icr, kann d ie Rc rc chnllnr, til'S Mi nd wl' r1 l's

auch in andc rcr Wei se gesc hehcn. Ocr A usgan gspunkt ist die Forme! (10 .1). woraus fulgr:

". ~ II ; = h(x;) " Wir bctrachtcn cine Sttchprobc vom Umfa ng h(x;) = ....!.

(10.8)

1/

11 mit k vcrschicdc ncn wcnen (k :$; /I ). Die Formel zur Berechnung des Miuelwcrtcs laBt stch nun durch Tra nsformati on del' Porme l (10.6) uuch in folgcndc Form bringen:

k II i k 1I(Xi ) II k I " I k j ' = - L Xi = - L Xi II i = E Xi - = L Xi - - - = L Xi h(Xi) 11 ; = 1

.i ~

,

"

;= 1

L X'''(x,)

i= 1

II

;= 1

II

;= 1

Mine twertherechnung ails der Hiillfigkeit:'ifimkrioll

(10 .9)

;= 1

Moda lwert Unter Modalw ert X""", wird del' elIll hiiuJigstell auftretende Wert del' Stie hprobe versta nden . FUr die Stichprobe del' Tabcl1e 10.2 betrilgt del' Mod alwert 26 (komrn t 7-ma l vor).

Media n (Zentralwert} In del' O rigi nalform eincr Stichprobe sind d ie Werte nieht geordnet. ihrc Platzterung folg t ei nfuch del' Versuchschro nologie. Ord net ma n d ie Stic hpro bcnwerte XI,X2, ' " . X" ihrer GroBe nach neu , entstcht daraus die neue Datcnreih e x (I ) ,x(2)"" . x( lt ) tgeord nete Sttchprobe). flir wclch c strikt die Relation x U) :$; x (;+ I ) gi lt. Wenn del' Stichpro bcnumfang 1/ cine ungcr adc Zahl ist. stcht cin Suchprobcnwcrt gc nau an del' mittleren Position diesel' ncucn Datcnrcihc. Dicscn Wert bezcichnct ma n als Median (uuch Zentra lwert genannt). Die links vom Median i licgcndc Halftc del' Stichprob e ist also kleiner als i ; und d ie rectus davon licgcndc Half'tc groucr ats .r. Falls II cine gcradc Zahl iSI, wird del' Median ublic hcrwcisc dcfinic n als um hmctiscbcs Mittel del' belden am wet rcsren in del' Mine liegenden Stichprobc nwerte . Ocr Median .i ist. wie del' Mittclwert , ein Lagem aB und dctin icrt dureh die Forme!

falls 11 uugerade Median

( 10.10)

falls II ge rade

Anmerkung: Von den drci Lagem aBen Min clw crt. Modul wert und Median wird del' Minelw ert in del' Praxis am haufigstcn verw cndct. Sei n Nac htei l bcstcht darin. dass cr cmpfindlic h gcgcn ubcr Ausrciu crn in del' Srichprob c ist. Ein AusreiBer ist ein von den ubrigcn w cncn stark abwcich cndel' Wert und cnstcht mc tsrcns d urch MeBfehler. Ocr Modalwcrt wird von AusreiBcrn Uberhaupt nicht und del' Median nul' gcring fug'ig bccin fl ubt ts. auch Aufgabe 2 auf Scire 53 1).

5(Kl

10 Sr ochasnk

Quantil und Perzentll Wie eben erlnurcrt. unterteih der Med ian eine Sttchorobe we rtemhllig in zwei Halften. Mi t Hilfe des Quantils kann dies e Unterte ilung noch feiner differe nziert werden . Fu r c ine geordnete Stichpro be vom Umfa ng II kcnnzeichnct da s p -Q ua ntil e inc n Wert 4p aus der Sticbprobc . der dicse in zwe i Teilc untcneilt: ein Teil cnthalt d ie /I '!' wertc, die klcincr od er glcich ql' sind; dcr andere Tcil cmhatr die ubrigcn /I ' ( I - 1') Werre. d ie groBcr als 4" sind. Dcr Qu antil paramcter I' ist cine rccnc Zah l zwischen 0 und I. Dns p- Quantilteilt die Srichprobc also im Vcrhaltnis I' : ( 1 - 1') auf. lsi L B . /I = 100 und I' = 0 .25. entspricht das O,25-Quantil 40.25 demjcnigen Za hlenwert, dcr die Stic hprobc dcrart in zwe i Tcilc untcrtei lt, dass 25 Werte kle incr odcr gleic h dem Wert 40.25 und die rcstlichcn 75 wcrte gro ac r als 40.25 si nd. Das Quantil ci ncr geordneten Stichprobe ist dc finicr t durch: falls Il l' ga nzza hlig sonst

110.11)

Quantil

(Il l' + 0 ,5 auf ganzc Za hl rundcn)

Das p -Q uant il und da s (I" ]{X»)-Pl.'rzentil driieken die glciche sunistischc groBe aus. d.h . be im 0 ,3-Quantil und 30- Perzentil handelt es sich um d ie sclbc Gro se. Das Quantil qU.5 entspric ht dcm Median i . weil 40.5 die Stichprobe in zwei g lciche Teilc unrencilt. Va rianz Die Lagem aBc einer Stichprobc. also der M ittelw ert und Mcdiunwert, habcn insofe m ci ne begrc nxrc Aussagck raft als sic keinerlei lnformationcn da riiber preis gcbcn . ob die St ichprobcnwcr tc sic h vonci nande r wen ig ode r viel unte rscheiden. Beispicl sweise haben folge nde Stichproben zwar de n selbcn Mittelwert (= 4) ; die w erte der zweiten Reihe liegen aber vic! weiter uuseinander als di e Werte der crs ten Re ihe.

3.8

4.0

3,9

4.1

4.2

2

3

4

5

6

Man erkennt sc forr. das s di e ers te Stic hp robe statistisc h »zuvertassigcr« ist. wei! weni ger schwankend. wahren d bei der zweiten Reihe starke Ausschfuge um de n Miuelwert auftreten. Es wird also ci ne wei tere MaBzah l benotigt. d ie die ser Bcso nderhcit der Stichprobe Rechnung tragt. Die benetigte MaBzah l wird Stre o u ngs ma f genan ru. weil sic die Streuung der Suchprobcnwerte um den Miuelwcn quantitativ beschreibt. Das in der Praxis am hdufigstcn verwe ndcte Streuungsmaa' ist di e tem plrlsche ) Va ria n l .~2 . welche durch fo lgende Forme! definicrt ist 5; .\.2= _I_

,

[(x, - .<)'

/I - I i",l

(Empiri.\·che) VtlriallZ einer Stichprobe

(10 . 12)

4 E, eSlslleren we llere Slrcuungsma Be. I..B. dIe 5"'''''''' '('i//'oder die ", i/lI,'I"(' /lhm/1II1:' Ah"·l:'id"",x . II - I in de r Penne l ( 10. 121 ansrelle von II wird die Varianl 0"1 dcr Grun dges annheit. fU r die man sid \ ja Icld endlich inlerc'siert. lle,se r ang~nahe rt _ Das h'ingt mil der '''g. Erwartunp trclle e iller Sc h atl~ fllnklion dcr analyti, ehcn Slali,tik zusummen . In dcr Slalislik versuc ht man i.d.R. Aus,agcll uber die Grundgesarmhch zu mechen - werm nuch filr Auswc rnmgcn ledigfic h Stichprobc n mit bcgrcnz tcm Um fung zur verfugu ng srchcn. Au, diesem Grund hal sich (11 - 1) als Divisor elngebhrgert. w erdc man sich hingegen nur fur die varia nz der Slichp rnl1t' selh,' inl<.'re,sierc n, mlillie ~ ige n l l ich II ~i n ge ....tl t werden. Bei groBt'm Slichprollenumrang i'l die Differenzz wischcn belden Formcn aher scwicso vernachlasvigbar klein.

5 Durch die Verwen chmg von

to.1 Deskriptive Srarisrik

501

Das Q uadrieren der Diffcrcn zcn (Xi - .\') in dcr Fonnel ( 10. 12) hat weniger mit exakter Herleitung dcr Formel zu tun als vicl mchr mit prugmatischcn Grunden. Wilrde ma n namlic h das Q uadrat weg jassen, so wurdc untcr Bcac htung von ( 10.6 ) das Streu ungs maB immcr Nul l(!) und damit als Kennzahl unbra uchbar scm : "

I

Dx; - .') ~ /I - I ;=1 n- I

" I L X ;;= 1 /I - I

---

"

II I

II I

L ·' ~ - - - ~ O ;=1 II - I n- I

"',,_, -----

=,,_i'

DUTCh das Quadriercn wird das gcsc hildc rtc Problem bcscingt. we i! da nn dcr Term (Xi _ I)2 immcr posiuv ist. FUr Varianz gi lt stcts: .f 2 2:: o. Falls aile wcrtc in dcr Snc hprobc zahknmiiBig glctch sind ( X I = X2 = . . . = X" = .f ). isl die Var ianz glcich Null. weil in dtcscm Fal l (x; - If =

(I-if = o.

Durch Umformung lasst sich die Varianz forme l (10. 12) ouch in folge ndc Form bdngcn. wetche bel der Arbcit mit dem Taschenrechner bcquemcr ist (s. Beispiel 10.14 auf Seitc 527) : 05 2

E xl - III 2)

= __ 1 ( " /1 - I j= l

Alternativformei fiir (fie Y(-,r;df1 Z

(10. 13)

Die Formcl in ( 10.13) crmoglicht zwar bci Handrcchnung weniger Rcchcnarbcit. lhr Nachtci l gcgc ndbcr (10.12 ) ist abc r, dass aufgrund des Quudricrcns von Stichprobc nwertcn groue Zahlc n auftreten konncn und daraus d ie in dcr numeri schcn Mathem atik ge furchtetc Problematik »D iffercnz groBer Zahlcn« cnts tcht. AuBerdem kormte ein mdglichcr Abrundungsfehler von f den Wert II.f 2. und damit das Rcsultut. auch ungun stig beein flusscn . Die Suchprobcnvarianz

05 2

ist e inc Nahcru ng fllr de n Va rt anz 0"2 der G r u ndgesamtheit : (10. 14)

Die Varianz s2 ist an slch kein direkt verwertbares Streuu ngsmat: sic laBt sich nicht uum ittelbar in Relat ion sctzcn mit dem Mittelwcrt . Dieser Nachrei l wird vermicde n. wenn als Streu ungsmaB nicht die Varianz sclbst. so ndcm ihre Quadratwurzel. die sog , -und in der Statistik sehr nurzhcbc- Stundardahwe ichung vcrwendc t wird.

8('1"e('l1l11l11g der Y(-Ir;all':: mit 1I;lfe der !/iiujigkei1.'ijllllkt;oll: Wie bcrcits auf Scitc 499 bci dcr Bercchnung des Miuelwcrts gezeigt. kann die Haufigkcusfunklion auc h fur die Varianzberechnung hcrangezogcn werde n. FUr ci ne Stichprobe vom Umfang » mit k verschiedencn Wenen (k :5 11) erhalt man mit Hilfe von (10.8) ilU S (10 . 12): 1

" 1 .\.2 = _ _ Dx; - ., ) 2 ~ ­ /I - I

i= 1

1/ -

, --. - /I - I Dx;- .<)' hlx;)

I

I

E (xi -

j "' l

If

" i

l 1 = - -I [ (Xi _ .\')2 h(Xi ) II /1 -

;", 1

l

2

"

i= J

( 10.15)

502

10 Srochasnk

odc r ausgehcnd von (10.13) folgend c Bez ieh ung:

L Xi, h(x;l - x-' )

(10.16)

J ,~ = -n- ( ' II -

1

;= 1

Standa rdahwefchung Einc wcitau s nu tzl ichcrc MaBzah l als die Varianz ist die Sta nd ard a bw elc hu ng drutwurzcl dcr Varia nz .\.2 dcfinicrt ist:

.\' =

,(ii .I"~ = \ l - l - t I

II -

.I" =

\

1

-II - I

)'

i= l

("~ XJ

.1",

Standurdabwelchung eine r Stichprobe

( Xi - .f ~

Stundardabweichung (Aile marilior", )

- n:, ' )

die uls Qua-

(10.17)

(i 0. 18)

Dcr Nutzc n dcr Standarda bweichung wird insbesondere bc i dcr Untcr such ung normalveneil-

ter stuus tisc hc r Ercignissc dcu tlich (s. Absc hniu 10.7). Belsplel 10.2: Fur die in Tabelle 10.1 au f Scire 495 angcgeb cne Stichprobe der Bcton festigk citcn

sollcn die vcrschicdcncn statlstischcn Madzablcn ermittelt worden. a ] Relative Haufigkcitcn " (Xi) : (s. auch Tabcllc 10.2 au f Scire 496). Xi

IIi

Ii(Xi)

25.0 I 0,05

25,S 2 0, 10

26.0 4

0.20

26.5 7 0.35

27.0 3 0.15

27,S 2 0,10

28.0 1 0,05

b j Mittclw en .e

I

"

I

.t = - L Xi = - (25.5 + 26+ 26,5+ · · · + 27 + 27.5 + 26.5) n ;= 1 20 I = ., 529.5 = 26.475 _0 Mittcl wcrtbcrcchnung aus dcr Hliufigkcitsfunktion gc miiB (10.9): 7

.t =

L Xi " (X i 1

i=1

= 25 · 0,05 + 25.5 ·0. 10 + 26·0,20 + 26,5 · 0.35 + 27 ·0. 15+

+ 27,5· 0, 10+ 28 ·0.05 = 26,475

to.1 Deskriptive Srarisrik

503

c) Medianwcrtf Zunac hst wird d ie St ichprobe in d ie gcordnete Form gebracht :

25 25.5 255

26 26 26 26 26.5 26.5

26.5

'-/

,,' w....

26.5

'-/

26.5

26.5

26.5 27 27 27 27.5 27.5 28

I I."'"

Gema13 (10.10) mit /I = 20 crgibt sich dcr Medi anwert zu:

(X(IOJ+ X{ II} ) = d)

,

'2

(26.5 + 26.5) = 26.5

Quanti l qO.3 Es soli das 0.3-Quanlil qn.3 bcrcc hnct worden. d.h. cs isl dcrjcni gc Wert in dcr Stic hprobc zu bcsum mcn. untcrh alb dessert 30% allcr Werle licgcn . Mil /I = 20 crhalt man II ' P = 20 · 0,3 = 6. Das e- tc Elem ent x (6 ) dcr gcor dnc ten Srichprob c emsprict nalso dcrn 0.3-Quantil.

25 25.5 25.5 26 26

26

'-/

26 26.5

26.5 26.5

-l:16j "" '10 ..1

26.5 26.5

26.5 26.5 27 27 27 27.5 27,5 28

Das 0.3-Quantil betrilgt qn.3 = 26. e) Varianz .1'2

Bcrcchnung mit Hilfc von ( 10. 12):

,, '

~ 20 ~ , [(25.5 - 26.475)' + (26 - 26,475)' + (26.5 - 26.475)' +" ,+ ,,,+ (27 - 26,475)' + (27.5 - 26.475)' + (26.5 - 26.475)' 1 ~ 0.5388

Bcrcchnung mit Hilfc von ( 10. 13): ,\" 2 = .1'2

20 ~

I (25.52 + 262+ 26.52 +". + 272+ 27.52 + 2652 - 20 . 26.4752)

= -2 -' - ( 14028.75 - 14018.51 ) = 0.5388

0- '

I) Sum durdabweic hung s

Die Standurdabweichung der Stich probe e ntxpricht der Qu adratwurzel der Vananz. s = / 0.5388 = 0.7340

504

10 Srochasnk

10.2

Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie

Die im Abs. 10.1 bchandclte dcskriptive Stutistik liefert d ie MaGzahlen einer St ich probe. mit dere n Hille d ie statistischen Eigenschaften dcr Grundgesanuhei t abgescharzr werden konnen. Dabei handel t es sich um blol3e Beschreibung des vorhandenen statistischen Daten bcstands. Die ndchste Abstraktionsstufe ware die Se haffung von rnathcm arischen Model1en zur Besehreibung dcr suuis rischcn Eige nse haften von Grun dgcsam theit en. Die Grundlage der met hcmatisc hcn Statistik ist die Wahrschcinlic hkci tsthcori c. welche in d iescm Absc bmu bchandclt wcrde n soil. Dcr clc mcnmrstc Baustein dcr Wahrscheinlichk eitstheorie ist das Z ufa llsexperime nt. Ein Z ufallsexpe rime nt (Z ufallsversuc h ] ist ein bclie big oft wicdcrholb ares Experiment . dcssen Au sgang nicht vorausgesegr werden kann: es ist also ei n nicht -dc terministischer Vorgang. Beis plete sind Werfi'll einer Miillze (Kopf oder Zahl'!) oder Welji:'11 cines Wiirj el.l' (Aug enzahle"). Das Ergebnis des Wurfs liegt auacrhalb unseres Einllujibcreiches und hangt uusschlielllich vom Z ufall ab." Ein Bei spiel fUr cincn dctcrnunistischcn Vorgan g ware d ie wee hse lndc Folgc von Tag und Nacht.

10.2.1 Elementares Erelgnls. Beim Werfen ei ner MUnze unterseheid et man zwischen zwei Ergebnissen: »Kopf« odcr »Za hl«. Beim Werfen ei nes w urfels sind 6 Ergebnisse mogl ich: irgend eine der Za hlen 1,2. · · · .6. Bei de r Ge burt ei nes Kindes sind zwei Ergebnisse miiglieh: »Madchen- ode r »Jungc«. Der Ausgang cine s Experiments wird als elementares Sreignis bczcic hnct und karin sy mbolisc b mit e; gekcr mzcichncr worden . Bci rn Miinzcnwurf kon ntc z.B. dcfinicrt werdcn. dass et = KOlif und ez = Zahl lst. Die Elementarereignisse des Wurfe lwer fens sind: cr = I , e: = 2. · · · . e6 = 6. Die Menge aller mdghchen elemc nturen Ereignisse eines Experiments wird E rgeb ms me nge E ge nan nt. Bcim MU nzen wurf haben wir also die Erge bnisme nge E = {KOlif,Zahl}, bci m Wtirfelexpcriment d ie Ergcb rusmcngc E = {ehe2.eJ ,e4,es ,es} = {1.2.J .4.5.6}. Wenn bcim Mtlnzcnwcrfcn »Kopf auftritt. kan n nicht glciehzcitig auch »Zahlauf'trctc n. Wenn bcim Wurfe lversuch die Augc nza hl 2 uuftritt. sind die andcrcn Zahlcn bci die sem Versuch ausgesc hlossen . Unter elementare n Ereignissen vcrsrchcn wir also a ile moghchen. nich t welter zerleg bare n Rcsultatc (Ausgange) eines Experiment s. die sich gegenseitig ausschlie ]Jell. Das Ergebnis eincr Messung oder Beobachtung ist ebenfa lls cin elcm cnrares Ereignis. z.B.: Kbrpcrgroue bzw, Korpe rgewicht e iner Person Wanddicke eincr Stahlrohrc Durch mcsscr ci ncr Ma schincnschraubc Druckfcstigkci t cines Betonwiirfcls Lcbcnsdaucr eines Lk w -Stoudamp tcrs Ein Ereignls (Z ufetlserelgnts) wird aus den eleme ntare n Ereignissen des Expe riments detiniert (die De finition erfolgt emsprechend dcr Z ielsetz ung der 7.U loseude u Aufgabe). Symbo lisch wird cin Ercignis mit e inem kur siven Grou buchstaben gckennze ichnct, z.B. A ode r H. Beim Einrretcn ci nes Breignisses spricht man davon. dass das Ereignis realisien wurde.

f> Wir seuen einen perfellen Wtirfe] ..." raus. Aufgrund le<;hnisc h unvenneidhare r T,,1eran; en wird der Wtirfel in de r

Reulitiit nicht ahso llll sondcrn lcdighch »nahczu« perfckt sein. Dies hndcrt ubcr die Grundaussagen nichl.

10.2 Elementere w ahrschcinfichkcitstheoric

Heispid 10.3:

505

Erelgnis

flir die De fin it ion vo n F.r(" ig n i~~('n heirn Werfe n e im' r W iirfel • A = »die Allgenzahl iS1 5«, odcr A = {es} = { 5} • A = »die AI/gel/zahl iS1eine ge rude 21./1If«, cde r A = {e 2,e4 , en} = {2.4.6}

:.I) R{" i ~r i d e

h) Bcispiclc fur die Definition von Ercignisscn hc im glc ichzci tigc n Werfe n vo n 2 Wurfeln.

• A = »die AlIgensllmme iS1 R« • A = »heim I. Wiir}el ist die Allgell::.uhl 3, beim 2. Wiiifel eine 5« • A = »bei heiden wiirfetn ist die Allgellzuhl etne ung erade 21./1I{«

Un mog lfchcs Erei gnls 0 . Beim Werfen ei ncs wurfels kan n die Zahl 7 grundsat zlich nicht ein treffcn. Wenn mit A das Ercignis »Eintre ffen der Zahl 7« bczeichnet wird. ist es ein unmog lichcs Ereig nis. Slc h eres E re tguls E. WiT bctruchtcn das Expe riment »wer fcn cincr Mu nze«. A so11 das Ercignis »Kop f odcr Zahl- bcdcutcn . Weil auf jcdcn Fall Kopf odcr Za hl cintr cffcn 1Il1l.H, ist A ein sichcres Ereignis (wir sc rzcn voraus. dass die Miinze nicht hochkant srchcn blci bcn kann! ). Bcim Wiirfelwu rf ist das Ereignis »cinc Zahl zwi schen l und 6 L U erhauc n- ein sichcrcs Erei gnis. Die Ergebn ismenge E cines Experime nts stellt ei n sicheres Erei gnis dar. Komplementarerehmls. Oas zum Ereign is A komp lemetudre Ercignis wird symbollsc h mit A bczelc hncr. Das komplementure Ereignis A tritt dann und nur da nn ei n. wenn A nicht ei ntritt (das Nichteintrcten von A garantiert. dass A e intritt).

Heispiel 10.4:

Komplementererelgnl s

a) Fur die Stichprobe der Betonfestigke iten in Tabc11e 10.2 sei das Ereignis A definiert uls »Bctonfestigken j; 26 N/mm 2 « . Des Kom plementtirer eignis A ist dann des Ercignis »Bctonfestigkeit > 26 N/ mm2 « . b ) Beim Wurf cin er Munzc sc i A = {Kopf}. Das zu A komplcmcntare Ercignis iSI dann A = {bhl} .

c) Be im Wurf cines wurfels sci A = {3,4} (»A uge nza hl ist entwedcr 3 oder 4«). Das zu A komplcmcntare Ercignis ist A = { I,2's.6 }.

Beim Mun zen wurf isl »Za hl« da s Kompt emcn rarcret gnis zu »Kopf- und umgckehrt. wcil wenn Kopf ei ntnu, nicht glcichzcit ig auch Zahl eintrete n kann. Komplementiire Ere igniss e schlieflen slch ill/mer gegenseing aus, veremigung von Erehm lsse n tunien], Das Ereignis A U B (Vereinigung von A und 8) tritt da nn eiu, wenn entweder nur A eint ritt ode r nur B e intritt oder A und B g leichzeitig eintreten (s. Bild 10.2) . Einc andere gcbra uchlic hc Bezcichnung fllr die Vereinigung ist Su mme vun Erefgnissen mit der sym bolischen Sc hrcibwcisc A + B (glcic hbcdcutcnd mit A U 8). Du rchsc h nltt von Erelgntssen (intersection] , Dus Ercigni sA n lJ [Durchschnitt von A und It) tritt dunn em. wennA und B be ide g leichzeilig cmrrctcn (s. Bild 10.3). Eine andere gcbrauchlic hc Bczcichn ung fur den Durchschnut ist Prod ukt von Erelgn fssen mil dcr symbohschcn Schrcihwc tse AB (glcichbcdeutcnd mil A n B) . Dcr D urcbschniu cines Ercignisses A und ihrcs komplc menltiren Ereignisses ist ci n unrnogliches Ere igni s. d.h. A n A = 0

506

10 Srochasnk

Bild 10.2: Vcrcinigun g A U R von Ercignisscn

A lB

B IA

Bild 10.3: Durc hschmn A n B sow ic Diffcrcnzen A \ lJ und lJ \A von Ereignisscn

Dtttere nz von Erefg ntsse n. Das Ercignis A \ B (Differenz von A und 8) cmhalt aile Elemente von A, d ie nicbt zu B gehoren (s. Bild 10.3). Analog enrhalt das Ereignis B \ A aile Elcmcn te von B, die keinc Etcmentc von A sind. Ueispiel 10.5: veretnfgu ng un d Durch schnitt von Ere lgnlsse n Zwei Munzcn werden gleichzeitig geworfen. Mit A wird das Ercignis »Kopf bci der 1. Munze«, mil B das Ercignis »Kopf bci der 2. Munze« bczcichncr. A ist des zu A koruplem entare Erelgnis . d.h . »Zahl bci der I. Munze«; B lst das zu B komplcmenntre Ereignis. d.h. »Zehl bci dcr 2. Munze«. a) Das Ereignis »mindeste ns einen Kopf« zu erhalte n kann durch die Vereinigung A U B (oder A + 8) erfasst werden .

A U B= {(Kopf. Zahl). (Zahl. Kopf). [Kopf Kopf) , } = (( A. B). (A. 8) , (A. B)} b) Das Ereignis »zweirna l Kopf« zu erhalten wird mil Hilfe des Ourch schn itts A n B (oder des Produkts A B) ausgcdruckt. A

n B~

{( Kopr, Kopf), } ~ { (A . B )}

c) Es ist ein slcheres Ereignis, bcijeder MUnze entwcde r »Kopf« oder »Za hl« zu crhahc n. Oagegen ist es ein unmog fiches Ereigois, bei eincr MUon wcder »Kopf« noch »Za hl« zu crhaltc n. A nA = 0

BUB = E

Unverei n hare und verembare Ereignlsse. Zwci Ercignissc A und B, die nicht glcichzcit ig auftrctcn konncn. hcige n unvereinhare Ereignisse, wcil sic sich gcgc nscitig ausschlicgcn. Wenn L.B. in Bild 10.4 das crcig nis A c intritt, kann B nicht zum selbcn Zc itpunkt cintrctcn und umgekchrt. Beispiclswcise sind Kopf und Zahl beim Wurf ciner Munzc Lwei sich gegenscitig aussc hlicbcnde Ercignisse. wei! sic beim ein und selbcn Wurf nicht gleichzeitig auftretcn konncn. Falls cs

10.2 Elementere w ahrschcinfichkcitstheoric

507

AllB"O

Bild 10 .4: Zwei unvereinbnre Ereig nisse gru ndsutz fich nicht au sgcsch losscn ist. dass A und H gleichzeitig eintreten kormcn . heiben sic vereinbare Ereignisse, Beispiel 10.6: verelnbare und unveretnbare Erchm tssc (be im wurfel) a ) Es sc i da s Ercign isA dcfinicrt uls »die Augcnzahl ist ci ne gerade Zah l« (d.h. cine Za hl au s dcr Menge 2.4.6 ) und des Ercig nis B als »die A ugenzahl ist ci ne ungerade Zah l« (d.h. ci ne au s 1.3.5 ). A und B sil1ll lllll'ere i"bare Ercignissc (schlielkn sich gegenscitlg aus ), wei! sic nich t gleichzeit ig auftrctcu ko nnc n. Es gi ll also A n B= 0 . h ) Nun sci da s Eretgrus A dcrtr uert ats " die Augenzahl isl ci ne ge rude Zah l« ( bestchc nd aus 2.4. 6) und das Erc ignis B als »cine durch 3 teilhare gerude Zah l« (d .h. die 6). A und B sind vereinhare Erelgnlsse. wei! sic bei m Wurf vo n 6 bei de reaflsiert werden (das Ei ntretc u von A schlie llt da s Eintreten vo n B nicht au s).

10.2.2

Defin ition der Wahrscheinlichkeit

Wen n z.B. bc im Zu falbcx pcri mcm »M unzcnwur f« mit A das Ercignis »Kop f« bczcichnct w ird . bctra gt d ie Wahrscheinliehkeit P fu r de ssert Eintrcffen

P(A) ~ P (Kop f)

~

50%

~

0 .5 .

we il nur zwci Ergebnisse bci dicscm Ex periment ei ntrcffen konncn (Ko pf oder Za hl). die bcidc hinsichtlich ihrcr Auftretcnswahrscheinlich kcit glcichbcrcchtigt (g leich wahrscheinlichv sind," Man s pricht von einem gu ns ti ge n E relg nis (des ka nn auc h ei n Elementarereign is sei n). we nn dessen Eintreten zu m Eintrete n des Ereignisses A fuhrt. Beispiel: In ei ner Urne beflndcn sich 4 wcife und 6 sc hwa rze Kugclu. Das Ereign is A ist dc finicrt als »dic Wahrschein lich keit . bel einma lige m Zic hcn cine weiBc Kugel zu crbaltc n«. Jede wciflc Kugel in der Urnc fuhrt zu cinom gbnstigc n elc mcntar cn Ercignis fu r A. jedc schwa rzc Kugel da gcgcn zu ci ncm ungunsngcn crcig nis. Die klassische Defin ition der w ahrschetnlfcbkelt flir das Eintretcn des Ere ignisses A (be i g/deh wahrscheinlichen Ereignissens lautet nach Laplace.

P(A ) =:

/l g =:

"

,A:"~'="chc,1"d:',; ' ;:f'""cA':CgS":::"c,stci,g'c """E,,,,: ;,g,,"cisc's:, Anzahl aller mogfichcn Ereignissc

( 10.19)

7 O,e Wahrschelnt,,: hkcll JOCk h/w. U,5 be
50!!

10 Srochasnk

Bei dcm in ( 10. 19) Bezug gc nommcncn »g unsugc n Ercignis« ka nn cs sich auch urn ein Elem cnturcrcignis handcln . falls das Ercig nis nu r aus cincm solc hc n bcstcht. Betsptel 10.7:

\Va hrsc hein lichkeit

a) w urf etner M un ze. Ftir des Ercignis A = »die oben liegende Seue der Miin:.e ist KOl'f« bctrsgr d ie w ahrscheinhc hkeh P(A ) = 1/ 2 = 0.5 = 50%. weil nur cines von zwe i mcglichcn Ercignisse n gti nstig fur A ist. Das Brgcbnis P(A ) = 1/ 2 bedcutct nicht. dass bci jcdcm 2. Wurf A garanticrt cin trctcn wird. Es bcdcutct uuch nichr. class bci 10 Wtirfen ge na u 5- mal Kopf vor-

kom men wird (es konncn auch 4 odcr 6 Faile scin) . P(A ) = 1/ 2 besugt nur, dass

bci sell' viele n wurfcn (sagen wir mal 1000 ) lI/1gefiihr in 500 Fallen (es ko nnen ubcr z.B . auch 480 odcr 520 sein) Kopf uuftreten wird . WeB das Ergebn is jedes

einze lne n Mtinzen wurfs vom Zu fall abha ngt, kan n d ie w ah rschc inlic hkeit srechnung auc h nur ungefuhre Vorhersage n mac hen , d ie in der Praxis aber von gro Bem Nutze n sind. b) Wu rf el nes wurfels. Fur da s Ereignis A = »Augel/zalll 5« bc tragt die w ahrsche inlichke it PtA ) 1/ 6 ~ 0. 167 16.7%. wei! nu r I Elemcmarereignls ( namlic h dcr Zug ei ner 5) gunsttg fur A lsr. die Anzahl aller rnogflc hen Elementarcreignisse ist 6.

=

=

Das Ergcb nis P(A) = 1/ 6 bcdcutct. dass be i gcnugcnd viclcn w urtcn. sagcn wir 600. in ca . 100 Fallen die Augenzah l 5 vor kornme n w ird. c) Wu rf von zwei w ur feln. Rei dics crn Experiment sind insgcsanu 36 Fallc me glich (die ersrc Za hl bcdeu tet die Auge nza hl des I . w urfets. d ie zwelte diejenige des 2. w urfels):

(1.1). ( 1.2) ... · (1.6 ). (2. 1). (2.2)... · (2.6). · .. .. · (6. 1). (6.2)... · (6.6) FUr das Eintre ten des Ercigni sscs A = »5 1111I11I1' der he ide n Augenrahien ist 10 « sind nurdie drci Elcmer narcrcignissc (4 .6). (5 .5). (6 .4) gunsttg . Die Wah rscheinlichke it fur A ist dann :

3 1 P(A ) = 36 = T2 = 0.083 = 8,3% d) Kugeln in etner Ur ne. In eincr Ume bclinden sich 4 weige und 6 schwarzc Kugel n. Wie groB ist die Wahrsc hcinlic hkcit. bci ci nmaligcm Z ichc n cine wciBe Kugel zu crbatrcn? Das Erei gnis A lautet »ein c wei Be Kugel bei ein maligem Zug«. Die Anzahl dcr fur A gtinstige n Elementarcrcignisse ist 4. weil 4 weiBe Kugcln vor ha nden sind. Die A nzahl aller mdghchcn Elententarercig nisse ist 10. weil we iBc und schwarze Kugeln beim Zug »g leic hbcrechtig t« sind (kcinc Farbe ist gege nilbcr dcr andcTen bcvorzugt od cr bc nac htciligt). D ie Wahrschcinlichkeit fur A lautct gemiil3

110.19),

P(A ) =

4

10 =

0.4= 40 %

[0.2 Elementere w ahrschcinfichkcits theoric

509

e) Gehu rt efnes Kin d es. Langzcitzahl ungcn zeigcn. dass bc i Ncugc borencn auf 100 Mad chcn 106 Jungen kommcn. Wenn wir da s Ereig nis »Gcburt ci nes Mad chcns« mi t A und »Gcburt ci nes Jungcn« m it B bczcic hncn. crhaltcn wir cine Suc hprobc mit insgcsamt 206 w ertcn. wobci j eder Wert cntwcdc r A od er B ist. Die Wahrseh ein liehk eiten fur d ie Gebert ci nes Mnd chens. P(A ), oder fur di e cines Jungen. P(B ). cnts prcc hen den rel ativen Hauftgkeit en dcr Madch cn- bzw. Jungengeburten: /l A

P(A ) = h(A) = - IlA

+" R

~

IIR

100 = 0,4 85 = 48.5% 206

106

P(B ) = h (B) = -- ~ 20 I/A + /18

6

= 0 ,5 15= 5 1.5%

(Madchenj

(Junge)

Unter 100() Gebu rten konnen wir also 48 5 Mddchcn und 5 15 Jungen crwarten. Die enge Verwandse ha ft zwischen der rclativcn Haufi gkcit und der Wahr seheinliehkeit 1aBt sich empirisch schr anschaulic h ubcrpru fen . Bei Munzcnwurfcn fand man folg cndc Ergebni sse fijr das Ercignis »Kopf« (s. [9 ]):

I

Anzahl dcr W ur fc

I Anzahl dcr Pnttc

4040 12000 24000

10.2.3

Ei ~e nscha ften

mit »Kopf«

Relati ve Hiiufigkc it

thcorcrisch zu crwa rtcndc Anzah l dcr Fallc »K opf«

204 8 60 19 120 12

0.5069 0.50 16 0,5005

20 20 6000 12000

der Wahrseheinlichkeit

Die gru ndlcgc ndcn Regeln dcr w ahrschcinlichkcit hei sscn Kalm agorowsche Axiome und luutcn:

I. Jcdes zutulligc Ercig nis A bcsitzt cine Wah rschcin hchke it P(A ). d ie cine reelle Za hl zwisc hen 0 und 1 is!. O :S;: P(A ) :S;: I

( 10 .20 )

2. Das sichere Ereignis E hat die w ahrscheinlich keit PtE ) = I. 3. Fur die Vereinig ung von lwei unvereinbaren Ereigni ssen gilt der Addi tionssat z

P(A UB ) ~ PIA ) + P(B)

fur A n B = 0

(10. 2 1)

Das 3. Ax iom (\0.21) JaBt sic h auch auf cndhc h od cr uncndlich viele paarweise unvereinhare Ercignissc vcrallgcmc inc m : (10 .22)

S IO

10 Srochasnk

(\0.23)

P(UA ;) ~ [ P(A;) ,"' I

/"'1

Paarwetse unvere inbar bcdcutct Ai n Aj = 0 fur i i- j . Fur cl n sicheres Erc ignis E bzw. ei n unmog flchcs Erc ignis 0 gelten folgend e wahrscheinlichkciten: Sichcrcs Ercig nis E : Unmoglic hcs Ereig nis 0 : Die Wahrscheinlichkeit fur das Eintretcn des Durch schnitt s von zwei unvereinbaren Ereigni ssen ist gleich Null : falls

A n B =0

Die Vercin igung cin es Ercign isses A mit ihrcm Kom plement A ist ci n sicheres Ercign is (entweder trill A ein, ode r wenn sie nich t cint rttt. muss dettnlttonsgemua zwangs laufig A eintrcten) . Dagegen ist deren Durchschnitt ein unm ogllches Ercigni s (das Erci gnis A Iritt detinnionsgem aa nur dann ein , wenn A nicht e intritt; folglich konne n A und A nicht gleichzeitig eintr eten): A UA = E

An A = 0

Die Surnm e dcr Wahrschei nlichkeiten flirdas Erei gnis A und fur ihr komple mcruures Ereign is Ere ignis.

A ist irruncr I, d .h. das Ereign is A UA ist cin sichercs

(\0.24) lleispi el 10.8: a ) D ie Wahrschcinlichkeit, dass die Bctondruckfcst igkcit j.. dcr Prod uktc cines Fertigtcilherstcllc rs gcringer als ode r g leich 27 N/ mm 2 sind bctragt 85%, d .h. P{[.. :$ 27 ) = 0 ,85. Wie grob ist die Wahrscheinlichkeil fur [.. > 27 N/ mm 2?

P(j;.> 27) ~ I - P(!< ,; 27)

~

I - 0,85 ~ 0,15 = 15%

b) Wie grou ist die wahrscheinlichkeit. beim Werfen ei nes w urfels ent wcdcr eine 3 oder eine 4 zu er hulten? Wenn A das Ercignis »eine 3« und B das Ere ignis »eiue 4 « bcdeuten. wird des Ereign is »eine 3 odereine 4 « dur ch die Vereiuigun g von A und B wiede rgege ben. Ereignis »cine 3 odcr eine 4« = A u S

A nB =O

Die Wahrschcinlichkeit de s Ercignisses A US wird bcrcchn et nach ( 10.2 1):

P(A UB ) ~ P(A )+P(B) ~

I

I

I

-+ - ~ - = 33.3% 6 6 3

c ) Wie groB iSI d ie Wahrschcinlichkeit. bcim Werfen cines w urfcls gleichze itig c ine 3 und eine 4 zu erhalten ?

10.2 Elementere w ahrschcinfichkcitstheoric

51 J

Die Wahrsch einlichkcit muss au s nahelie gen dcn Grunden zwa ngsla ufig Null scin. wcil es unrnogli ch ist, bci m Wurf cines Wtlrfcls cine 3 und cine 4 glc ichzcitig zu crhaltcn. ~

P(3 n 4 ) ~ 0

d) Bcim Wurf einer Milnze sci das Ercig nis A = « Kopf« dcfinicrt . Das zu A ko rnplcmc ntarc Ercignis ist da nn A eo-Z ahl«. Ubc r die scs Exper imen t sind dan n folgende Au ssagcn mogl ich: wahrschciulichke it. da ss »Kopf« ei ntritr: P(A) = 0 .5 wahrschcinlichkcit dass »Zahl« eintritt: P(A) = I - P(A) = 1 - 0 .5 = 0 .5

P(A UA) = I

(Es ist siche r, da ss cntwedcr Kopf ode r Za hl eintritt.)

P(A nA) = () (Kopf und Zah l konncn nicht glcichzeit ig cimrctcn.) e) Wie gro f ist die Wah rscheinliehkeit, beirn Wurf cines wurfcls nictu cine 3 zu crziclc n? Wenn wi r mit A das Ercignis »ctnc 3 zu crzic lcn« bczcic t mcn. bcdeute t A das Ercignis »einc 3 nicht zu crziclcn«.

PtA ) ~

10.2.4

_

~

I

5

P (A ) ~ l - P (A ) ~ 1 - 6 ~ 6 = 8 3 . 3 %

Add itions- un d Muul pllka tfonssatze de.. w ahrsc helnttchkett

Der Ausga ng cines Z ufallsexperimc nts kan n zwa r nich t vo rhergcsagt worden . doch cxis tic rcn gew isse Gesct zm ab igkeitcn zwisc he n den vcrschicd cncn Ereignisscn: l\I ult iplikationssa tz ru r zwei unabhimgige Er eignisse . Zwci Ercignissc A und B worden als vone inander unabhiingig bczcic hnc t. wenn da s Ei ntrcten von A vcllig unabbangig vom Eintrctcn (ode r Nic htcintrctcn] von B ist. d .h. da ss cs auf das EreignisA kcin crlci EinlluBhat. oh B bcrc its cin getretcn ist od cr nicht (und naturlich umgek ehrt) . Bcls ptcle: Bcim zwei malige n w erfen eincr Mu nze ist, wic ma n stch das leicht plausibc l mechen kann . da s Ergeb nis de s zweitc n wurfs vom Ergebni s des ers ten Wurfs unab ha ngig - und umgekehrt. Bcim gleichzeitige n Wurf von zwci Mun zcn ist das Ergebni s dcr ers te n Mttnzen vo llig unabhangig vom Ergebnis de r zweitc n Mu nzc - und umgck ehrt. An eincr Verkeh rsampcl dcr Inncn stadt worde n vorb ei fahrcnd e Autos beobaehtet. Die Marko des f-tcn Wagen s ist unabhangig von dcr Marke des (i - I Hen Wagon s. Die Wahrs chcinlichkeit fur das Kfeiclizei/iKe Eimretcn von zwci unabhang igen Ercignissc A und B ist gcgc bc n du rch folgende M ultiplikat ion sformcl :

IPtA n B) -

P(A) · P(B)

I

(10 .25)

5 12

10 Srochasnk

Multlpllkationssatz

Hd spid 10.9:

Wie groB ist d ie Wahrscheinlichkeit , beim g lcichzci tigcn w crfcn vo n l wei w urfctn eine 3 beim ersten wurfet und einc 4 bei m zweite n w urfel zu erhalte n? Die Wahrschcinlichkci t bc im crstcn Wa rfel cine 3 zu crz iclcn (Ercignis A) bc trag t 1/ 6. Die Wahrschcinlichkcit bci rn zw citcn Wiirfcl cine 4 zu crzic len (Ercig nis 8) he-

tragt cbc nfalls 1/ 6. Die Ercignissc A und B sind vonci nandc r unabhangig (die wurtcl wissc n nich ts vo neinande r !). Sci belden W ur fcln cine 3 zu erzielcn. cr uspricbt dcm Ereignis A n B und wi re rhalte n 'I US ( 10 .25 ):

PIA

n B )~ PIA ) · P ( B ) ~

I

I

I

_ . -~­ 6 6 36

Al1merkullg: Die ses Experiment lasst sich auc h mit ei ncm W arfe l realisieren. inde m dieser zwe imal ge worfe n wi rd. Die sc beiden W iirfe sind voneina ndcr unabhung lg, wei l dcr W urfel »nicht weill«, was bc im crsten Wurf herausgekom men ist !

Addit ionssatz fur l wei beliebige Ereignisse. Fu r lwei Ereignissc, die sic h gcgcnsc itig nicht ausschlictcn. gi lt:

IPIA UBI -

PIA) + P(B) - PIA nB)

I

(10.26)

Add itionssat l flir lwei sich gegenseitig ausschiiefiende Erelgnisse. Ftlr zwe i sic h au sschlie bcn dc. d.h. un vereinbarc. Ereignissc ist P(A n B ) = 0, we il A und B per Definition ja niemals glcic bzc uig eintretcn kcnncn . Nuch dcm 3. Kolmogorow-Ax iom ( 10.2 1) gi lt dcr Add ition ssatz

IPIA UBI -

PIA) + P(B)

Multlpttkatl onssatz Illr

/I

I

( 10.27)

una bhii ngige Ereignisse.

Ereignisse A I, A2' . .. , All werden als unabhiingig voncinundc r bcz cic hnct. wenn das Eintre ten von Ai (i bc liebig ) vollig unabhangtg vom Wert aller andc rc n Ercignissc Aj (j = 1,2 .· · · , 11 abcr j :f:. i) ist. Fu r" voncinandcr unabhangig e Ercignissc gilt die Bczic hung (10.28)

Heispiel 10.10:

Wiirfeln

wle groB ist die Wah rschci nlichk eit. bei zweimalige m w urfeln mi nde stens ci ne Drei zu erzielen? Mit den Ereignissen

A : Drei beim I. Wurj

B : Drei heim 2. Will!

cnrspricht da s Ergcbnis »min dcs tc ns cine Drci zu crbaue n« dcr Vereinigung dcr Ereig nissc A und B, d.h. A U B, die sich nicht gcgcnsc itig aussehl iclkn. Die gcsu chtc

10.3 Zufallsvariable

513

Wah rschcinlichkcit bctriigt dc shalb :

PIA U Bi

~

P(A) +P(B) - PIA n B)

A n H : Drei sowohl heim J. als uucn beun 2. Wltr!

1 1 6 6

PIA) ~ 1/6 PtA UB) =

10.3

1 36

P IA nB) ~ - · - ~ ­

I

I

I

II

-6 + -::;-= ::;- = 0.306 = 6 .,6 .,6

30.6%

Zufa llsvariable

Wcn n alle mogfichcn (dcn kharen] Ereigni ssc cines Zufallscxpcrimcntcs durch Zahlenwerte ausgcdruc kt wcrdc n. kan n man den da raus resuhie rc ndc n w crrcbcrcic h emcr Variublc n X zuord nen. Dicsc Variable X wird als Zufallsvar table (od cr Zufalls~rone ) dieses Expc rtmcnt cs bczcichnct. Man untcrschcidct zwischen disk ret und ste tig vcrt ciltcn Zufalls variablcn . Ei nc Zu fulls variabte ist diskret vertellt, wcnn cs sich um ein Zu fallsex periment handclr. bci dem das Ergcbnis ge:iihl t w ird: das Rcsuluu des Experiment s gc hort also ei ner (Jh~iihlh(/rell Menge von Werten an. Hingcgen wird bcim Zufallscxperimcnt einer stetig vcrteiltcn Z ufall svariable gemesse/!: dcr Meawert kann jeden heiiebigen reellen Wim auf der Zahlenaehse armehme n. 1m Ingenicurwesen tme rcssicr en meist cns srctig verande rlichc Grc acn tSpannung, vcrtcrmung. ci nwirkendc Bc lastungsintcnsitut. zulassigc Lastamplit udc usw.] . Ur nden Thcmcnumfang kom pakt zu haltcn . werdcn im Folgcndcn nur stctig vcrtcihe Zufallsvariublcn bctrachtct,

Ucispiel 10.1 I: Zufall.war iabl e/ZufallsgrOBe a) Beim Wer fen cines wnrfels kann die die Anzahl dcr Augen ( 1.2, . .. .6 ) der Zufa l1svariable X zuge ordncr werden . Wenn die beobacht ete Augen zah l beim Wurf z.B. 5 ist. so sagt man. dass X dell Wert 5 an gcnommcn hat. Bci diescm Experiment ist X cine disk rete Variable. weiI sie nur ganz ahligc WcJ1c aus dcr Zahtcnmcngc I bis 6 annchmcn kann. b ) Beim wcrfen von fu nf Miinzen interessicren wir uns fur die Anzahl dcr Kopfe. Die diskrete Zufal1svariable X nimrnt also einen dcr Werle 0 bis 5 an. Welchen Wert X unnim mt. hangt vom Zufall abo Auch in dics e m Expe riment ist X c ine d iskrete Variab le. c) Die Quu luat skcmrollc cines A uroherstettc rs macht Suc hprobenkonrrollcn und sort icrt diejcn igc n Schraubcn nus. dcr cn Schaftdurc hmesser die vorgegebcne sirenge To leran z nich t ei nhalten . Die A nzahl aussonierter Schrau ben in ei nem Los wird der Zufallsva riable X zugeo rdnel. X kunn nur die Werle 0, I, 2, . . . armehmen, sic ist also ci ne diskrete Z ufallsvariable. d) Bet cincr Priifung wcrdc n die Noten 1.0: 1,3: 1,7 :· · · : 3,7: 4.0; 5.0 vergebcn. Die Anzahl dcr Studierenden fur j cdc dics cr Nore n wird ermtuch und dcr diskrele n Zufullsvariable X zuge ordnet.

5 14

10 Srochasnk

e) Die Druckfestig keit e ine r Betonprobe ka nn -inn crhalb cines zu erwartcndcs Bereic hcsjcdcn bclic bigcn reellen Wert au fdcr recllc n Zahlc nachsc unnchmcn . z.B. 25 .86 N/m m2 odcr 25,87 N/m m2 (die Zahl dcr Nac hkommustcltc n hangt lediglich von dcr Messgenauigkeit ab). Dcshalb ist X in d iese m Experimen t ci ne stetige Variab le. I) Die Dauerf estigkeit cincr .....echselnd bcanspruchtcn Sch rauhc wird als dicj enigc

Spannungsamplitudc in dcr Schrau bc dcfinicrt . hoi dcr di e Schrauhc mind cstcn s 2· 10 6 Lastwcchscl n crtrag t o hne ubzubrcchcn . Die Zu fullsvariable X ist cin e stetige Grollc, weiI sic -inncrhalb cines zu crwa rte ndcs Bcrcich cs- jedcn bclic bigcn Spannungsw ert unnc hmc n kan n. Trim bei cmcm Zufallscxpcrimcnt ein bcsumrrues Ercignis ci n. da s ci ncm Zah lcnwcrt u cutspricht. so rcd cn wi r davon , da ss di e Zufallsvariablc X den Wert a an gel/oil/m e" hat . Die Wahrsche inlichkeit, da ss die Zufallsvari able X ge nau den Wert a annlmrm. wird durch fclg cnd cn Au sdruck definicrt:

P(X = a) In dcr Praxis kom mt cs oft vor, dass man sich nicht fur die A ufuetcnswa hrscheinlic hkcit cincs ci nzctnc n w cnes. sondc rn fur die cines Wer lehereiche.i intcrcssicrt . L B. fur die wahrschcinlichkcit. dass die Bctc ndruckfcstig kcir zwisch en 26 N/ m m 2 und 27 N/ m m 2 liegt. D ie w ahrschcinhc hkeit. dass die Zufall svunahlc X einen bcs timmten Wert od cr w crt ebcretch an nlmmt bzw. untcrhalb od cr obc rhalb cines bcsttmmrcn wertes licgt. wird wie folgt ausgcdruckt : Die Wahrscheiulichkeit . da ss die Zufallsvariable X cxakt den Wert a annimmt irgcndeincn Wert im Interval! [a.h] annimmt ei ncnwcrt enn tmnu. dcr hoch sten s glcic h a ist clncnwcn anni mrnt , der mmdestcn s gleich a ist

wird ausge d rUckt du rch P(X ~ a j P(a 5,X 5,b ) P(X ::; a) P(X ;?: a)

Das Erci gni s - 00 5, X 5, 00 ist e in sic hcrcs Ereignis. weil die Z ufallsvariable X ja irgcnd eincn Wert au f dcr (zu bciden Sciten unc ndlichem rccucn Zahlcnac hsc an nehmc n muss:

P(- oo ::;X ::; oo ) = 1 FUr einen beli ebigen reell en Wert (/ gilt:

P(X 5, a)+ P(X> a) = P( _ oo 5, X 5, 00) = I Daraus folgt folgende Bczich ung :

I P(X> a) = I - P(X5, a) 1

(10.29)

Die mathemat ische Bcschrci bung dcr Verteilu ng cin cr Zufallsvariab lcn crfolg t durch ihrc Vcrtei lungsfunktion (s. Absch niu 10.4) od er ibrc wahrschcinlichkcirsdichtcfunknon (s. AbschniH 10.5).

10.4 ve rtcilungsfunktion F (x)

5 [5

I,D FiX)••••••••••·••••••••

....

./

"

.,/

"

•.........

. . . .. ..r. . 1 ....

e

fix)

P(u <X<=b)

b

,

Bild 10.5: Vertcilung sfunktio n F(x ) und wahrsc hein hch kcirsdic hrc f( x)

10.4

Verteilungsfunktion F (x)

1m Abschnitt 10.1 war unscr Augenm erk auf die Bcrechnung staristischcr Merkmale c incr jc we ils konkrctcn Suchprobc gcrichic t. Dort wcndctcn wir ein bcstimmtcs Rcchcnvcrfuhren au f cine vorficgcndc Datcnreih c an; aus dem Resulta t abcr kcinc allgcmeincn Schjuufolgc rungcn gezogen werden. In lngcntcurwisscnschaftcn ist man aber aueh andcrcn sunisnschcn Aussagcn interessiert : Das Ausfalldsiko eines Kernkruftwerks, die Wahrscheinlichkeit der Ubcrschreit ung eincr bcstimmten Windstllrke odcr cines Erdbcbcns in den nachsten 50 Jahrcn. die Lebcnsdaucr ein cr Brticke usw. So lche Fragen konncn bcamwort er werden. wenn geeignete rnathcma tischc Mod ellc fiir die staus rischcn Merkmal e dcr bctrcffcndcn Grund gcsamthcit aufgcstcllt worden konncn.

Wir betrachtcn ci ne Zufallsvariable X tes spielt keine Rolle. ob sie d iskret ist oder sretlg) und inrcrcssicren uns fur die Wah rschcinlichkcit P, dasx X kleiner oder hoc hstens gleic h einc r reellen Zahl .r ist, d.h . fur den Fall X ::; .r. Die Wahrschcinlichkeit P hungt nattirlich vo n .r ab, d.h. sic ist cine Funktion von .r .

Vene tIlInxsfimktio"

(10 .30)

F(x) wird als die (Wa h rscheinlichkeits- )Verteilungsfu nkt ion der Zufallsvaria blen X bezeichnet. Sie is! ci ne SlIlIImenflmktion und eng vcrwandt mit dcr Summc nha ufigkc u. d ie auf Scire 497 defini ert wurde. Der Ausdruc k P(X ::; .e) is! gleic hbcde utend mit P( - co ::; X ::; .r]. Bild 10.5 zeigt sc bemausc b c ine Verteilungsfunktion (gestrichelte Linic). Die Wahrscheinlich keit . dass X klciucr odcr glcieh dem Wen a ist. ist gcgc bcn du rch

IP(X ::; a) -

F (a)

I

(10, 3 1)

Die Wahrschei nlichkeit. dass die Zu fullsvariablc X irge nde inen Wen im halb o ffcacn Interval!

]a: h ] (a usschlicblic h a, einschlicblich h. wobci (/ < h) annimmt. IaBt sich aus folgender Bezie-

5 16

10 Srochasnk

hung ermiuclnl( (s. auch das Beispiel 10.18 auf Scire 529):

I P(a < X ~ h) = P(X ~ h) - P(X < a) = F (b) - F (a)

I

(10.32)

Dichtefun ktion f (x )

10.5

In Abschnitt 10.4 wurdc die Ven eilungsfu nklion einer Zufallsvariable X dcfiniert als

Wic in Bild 10.5 zu schen. ist F(x) cine stctigc Funktio n. wcil X cine stctig vertciltc Zu fallsvariabtc ist. Die Differentiation von F (x) nach .r licfcrt c ine neue Funktion f (x), d ie uls wahrschetnlichkeitsdi cht efunktlon oJer kurz Dlchtefunktlon dcr Zu fallsvariablc X bczcic hnct wird: dF (x ) ~ f ix ) d,

.

Aus der letzten Beziehung folgt durch Integration zwischen

J

dF (S) ~

(10.33)

Diclnefunkt ion _ 00

und x:

9

,

,

J

F (x ) ~

f (S ) dS

J

(10.34)

f (s ) dS

Mil Hilfc der Beziehungen ( 10 .3 1) und ( 10.34) Hiss\ sich die Wahrschei nlichkeit. da ss X kleiner oder gleich dem Wert t t (bzw. b) lst. ermittcln durch Integration der Dichtefunktion f (x) in de n G renzen _ 00 und a (bzw. _ 00 und b). Weil hier als Integrationsgrenze a (bzw. b) start x verwendet wi rd. kann auch die formale Variable ~ du rch .r ersetzt werden .

.

P(X :5 a) = F (ll ) =

.r f (x )

J b

dr

PIX S b ) ~ F(b ) ~

(10.35)

f ix ) d r

Die Wahrschcin lichkeit , dass die Zu fallsvariab le X irgendeinen Wert im Imcrvatl ]c : (s. d ie Fuunote auf Sci te S IS), 1ti131mit Hilfe von (10. 32) und ( 10.35) ange ben als

J b

P(" <X S b) ~ P(X Sb) -P(X <" ) ~F(b) -F(" ) ~

f (x ) d<-

bl annimmt

J ..

f (x ) d< (10 .36)

II Bci ,tet ig vertciften Zutallsvariablen knnn ans tclle des offencn tmervatls auch d
10.5 Dichrefunkuon f (x)

517

Aufgrund dcr Relation a < b ll isst sich die rcchte Sene von ( 10.36) auch schreibc n als

J b

Jf(xl dx ~ J a


f (x) d, -

J

f (x) d, +

Jf(x) d, ~ J u

b

f (xl d, -

b

f (x) d,

"

"

so dass ( 10.36) schliclilich auf fo lgende Beziehung fiihrt:

P(a

<X

::; b ) = P(X :::; h) - P(X

< a ) = F (b ) -

F (a )

=

J h

[ (x ) dr

(10.37)

" Die Wahrschcinlichkcit, dass die Zufullsvariahlc X irgcndcincn Wert zwischen a und h anntmrru. isl also glcich dcm Inhalt dcr Ruche, die von der Dichtcfunktion [ (x ) und dcr .r-Achsc und den heiden vertikalen Bcgrenzungsgcrudcn be i x = a und .r = b etngcschlosscn wird. Ocr Fliicheninhalt unterhalb dcr Dichtcfunktion [ (x ) in Bild 10.5 iSI exakt glcich I. Diese Eigenschaft ist sofort ersichtlich. wenn wir die Wahrschcinlichkeit cines siche ren Erclgnfsscs fur cine sretlg verte ilte ZufaJlsvariable X betruchten. Das Ereignis _ 00 ::; X S + 00 ist eiu slcheres Ereignis. weil ja X irgendcinen Wert zwischen - 00 und + 00 annehmen IIII/H . Daher gilt:

Jf(x) dx ~ 1

(I0.3S)

Die Wahrscbcinlichkcit. dass X gr6 Ber als cin vorgcgcbcncr Wert a ist, ergibt sich unmittclb ar aus der Beziehungen (10.29) und (10.35):

P(X > a) ~ 1-

J"

f (xl d e

(10.39)

In der Technik, Wirtscha ft. Mcdizin. Sozialforschu ng untcrliegc n die zu unrersuchenden vorgangc und Phanomcnc viclfutrigcn zufaJlsbedingten Einflullgrolkn. w ahrend z.B. die Druckfe stigkeit cines Bcronpfeilers von den Zuschlagstoffen, dem Wasserzemcnt wert. Mischbedi ngungen des Prischbctons, dcr Nacbbeband lung des Betons und noch viclcn Faktoren abhlingt, wird die Geburtenrate in einem Land vicllcicht vom Sozialfricdcn. Einkom mcnscntwicklung, Psychologic und uktucllen gcscltschaftlicbcn Trends usw. becintlubt. Es ist dcshalb unmogfich. all dicsc statistischcn Prozesse mit cincr cinzigen, sozuxagcn unive rsalen, Dichtcfunktion f (x ) zu bcschrcihcn. In der Statistik existicren folglich vcrschicdc nc muthematischc Madelle dcr Dichtcfunktion, von dcncn die wichtigste und am hiiufigsten verwendctc die im Abschnitt 10.7 hehandelte Norma lVer/e UI/IlK odc r Gauss-veneilung ist.

5 1!l

10 Srochasnk

10.6

Maffzahlen einer stetig verteilten Zufallsvariable

Mil Hilfe dc r Wahr scheinlichkeitsdichtcfunkt ion f (x) ei ner stetig veneilten Zufallsvariab le X konn en die wichtigs ten MaBzahlen dcr Gru ndge samtheit dieser Zu fallsvariable auf mat hern atisch e legante Art berec hnet werdc n.

Mtt telwert etner Zufallsvariable X Der Mittel wcn der Gru ndgesamthe it wird mit 1.J bezeic hnct und ist dcfi nicn durch:

J

xf(x) dr

p =

A lll/le ,.k lm~ :

Mine lwert

(10.40)

D iese For me! ist analog zur Schwerpunktfonnel dcr Mecha nik .

ve rtanz und Sta nda r dabwcichung eine r Z u fa lls va r ia hle X

Die Varianz dcr Grundgcsamt heit wird mit 0 2 bezcichne t und ist definiert d urch:

0

2

=

J• -.

(x - p )2 f (x) d r

(10.4 1)

l-'cI r iaIl Z

Anmerkung: Diese For me! ist analog zur Forme ! fur das Traghcitsmoment der Mecha nik. Die Standarda bwelchu ng der Gru ndgesamt heit wird mit 0 bczeic hnct und ist durc h di e positive Quudratwurzel der vartanz gegebcn: Standa rdabv:-eichnng

( 10.42)

Ueispiel 10.12: Ocr woc hentlic hc Zementbcdar f cines Bctonwerk s ist cine Zufallsv ariablc X mit dcr Dichtcfunktion

fx () =

{

30< (x - 350 ) (450 - x) 5· lw

fur

()

fur aile ubrtgen x

350 :S; x S 450

(x in Ton nen )

a ) Wie groB ist der mitt lere Ze mentbedarf pro Woche ? b) Wie groB ist di e w ah rscheinlic hkeit . dass dcr Zc men tbcda rf hochstcns 380 I betragt? c) Wie groB is! die wahrschcinlichkcit. dass dcr Zcmc nrbcdarf 380 bis 420 I betragt ? d ) wctchc Zcm cnrmcngc miisstc das Werk bcvo rraren, da mit die Wahrschcinlichkcit. dass dcr vorrat in cincr Woche crsc bbpft wird. nur 5% bctr agt.

10.6 Matlzuhlen einer sictig verteiltcn Zufallsvariuble

519

Losung: a) Dc r mitt1cre Ze mc ntbedarf lasst slch gemal\ ( lOAD) berec hnen.

J

J 5 .~05

..

J1 =

450

xf(x) d r =

x

(x - 350) (450 - x) d r = 400 1

.'50

h) Die wahrscheinlichkeit, da ss dcr Ze rnentbedarf hochstens 380 I betrttgt, lasst sich ge rnal\ ( 10.35) bcrechncn .

PIX $ 3 80) ~

.1XO

j

., Xl)

flx) d, ~ 5 .~0' j lX -350)(450 - X) d' ~ 0.2 16 ~ 2 L6% 350

c) Die Wahrscheinlichkeit. dass dcr Zementbcdarf 380 bis 420 I bctrtigt. wird mil Hilfc vo n (10.37) bcrcchnct. 420

P(380 $X $ 420) ~ j

f(x) dx ~ 5 . ~(}'

.1XO

420

j 1x - 350) (450 -x) d, ~ 0.568 ~ 56.8% 31': 0

d) Di e zu bcvorratcndc Zcmemmcngc sci mil a bczcichnct. Di e Wahrschcinlichken. class mehr uls d iose Menge II verbruucht wird, ergibt sich uus dcr Bczich ung

110.39): P(X > a) = 1 -

1-

~ 5· In:

J"

f (x) dr = 0.05

"

j (x - 350 ) (450 - x) d r = 0 ,05 .150

=>

a = 436.47 I

Des Betonwerk musste also ~ 437 t Ze menl bevc rraten. damit es mil 95% Wahrschcinlichkcit fur cine Woc he reic ht (die w ahrschetnflchkeit. dass mchr als 437 t Zement benorigr wird, berragt 5%).

520

10 Srochasnk

10.7

Normal verteilung

In der Technik und Nat urwisse nschaft spielt die Nor mal ver teit uu g (auch Gau ss-verteftung ge nannt) eine besondere Ro lle. In Messungen von physika lischen Orc aen sind Messfeh ler praktisch nicht vermcidbar. Schon kleinc Storungen des Messu mfelds . Mcssstnbilitat des Messgeruts und zufallsbcdingte Schwankungcn in den Eigcnsc haftcn des Mcssobj ckts bringen Streuungen der Messwerte mit sich. Bcispiclsweisc worde n Bctonprobcn. d ie der sclbcn Misch ung entnornmen und untcr idcmischcn Bcd ingungcn gclagcrt wurden . nicht cxukt die sctbc Druckfcstigkcit aufweiscn. Bbcnso wird cs in dcr Praxis nicht zu vcrmc tdcn scin. dass Stahlsc hraubc n dcssc lben Hcrstcllcrs gcringfbgig voneinander ubwcichc ndc Schaftdurchmcssc r aufwcise n (die cine Scbraubc isl vielleicht an eincr nageln euen Werkz eugmaschine bergestcltt worden. die andere dagegen an ei ner flinf Jahre allen Maschine). Die Wah rscheinli chkeit sdil:'htel'unktion J (x) der Normalverteilung ist cine Expo nentialfunk tion und detiniert als: I

J (x ) = _ I _ e- '2

a .,fiit

(X -P)' ----a-

Diclnefun ktion de r Normaiveneilung

( 10A3)

Ihre Funktionskurve ist dargestellt in Bild 10.6 fur J1 = 0 und fur vier verschiedene c -werte = 0 .25; D,50 ; D,75; I.D). Sie ahne u der Form ei ner Glocke, weshalb sic ouch als Gtockenkurve bezeic hnet wird.

(.I'

1.6 1.4

1.

5=0,25

f(x) o.

o

-4

-3

-2

5=0,50

2 x

3

4

Bild 10.6: verschicdcne Dichrcfunktioncn f (x ) dcr Normalvcrtci lung.

Das Integral der Dichtcfunktion J (x) liefert die Ver te ilu ngsfun ktio n F(x):

( 10 .44)

10.7 Norr nalverteilung

521

F(x}

0.8

((x)

-4

-3

-2

f(x)

,2

-1

3

•

-4

-3

-2

,2

-1

b:/l ""O

3

•

0 ",, 1.0

Bild 10.7: Dichtcfunktion f (x) und Verteilungsfunktion F (x ) der Normalvencilung.

Bild 10.7 zeigt exem pladscb zwei Dichtef unktio ncn f (x) und die zuge horigc n Verteilu ngsfu nktionen F(x ) eiuer Nonnalverteilung. Die Verteilungsfunktio n (10.44) ei nen Nachteil; sie hangt nnmllcb sowohl vom jeweiligen Mittel wert p als auc h von der jeweiligen Standa rdabweichung a abo Gliick licherweise ist es moglich. sic mit Hilfe einer Variablentransform ation in cine von u und a unebhangigc Form zu bringen. Zu d iesem Zwec k wird ci ne neue Variable II dcflnicrt und in LIas Integral (10.44) eln geserzr:

s-p

d"

11 = - -

=>

o

d'; = a dll

Die Integration sgrenzen _ 00 bis x fur .; in ( 10.44 ) andcm sich durch die Variablentransformation in _ 00 his (x - p )/ a fur II. Das Wahrscheinlichkeitsintegral ( 10 .44) lautet somit :

F (x) ~

I

= a v 21t"

(x- jJl/ G

-.J

e ~"

,

I

12 a du = - -

J21i

J -.

(x- jJl/ G

e~ ,,2/2 dll

Jetzt wird d ie obcrc lmcgrationsgrenzc d urch ein ncucs Symbol crscrzt : ( 10.45) Die Vene ilungsfunktion F(x ) bckom mt dadurch folgcndc Form:

522

10 Srochasnk

Es hat sich e ingc bilrgcrt, die rechte Sei te mit dcm Symbol

,Ifii

J' e- u',/ 2 dll

( 10.46)

Das Integral

IF (x ) -


I

( 10.47)

bzw,

Die Wahr scheinlichkeit. dass die Zufallsvariable X hoch stcns g leich einem Wert x ist. lautet also :

Fur spcxifische w erte von .r. z.B. x = a bzw. .r = h . crgibt sich dan n:

(/ -p

mit

z,,=- a-

mit

Zh = - -

(10.49)

b- p

a

Dcr Zusarnmcnhang zwischen den bciden Formen dcr Vcrtcilungsfunktion in ( 10.47 ) wird trans pare mer, wenn wir x vcrschicdc nc Well e zuwetsen, LB .

~ P(X "; ~ + cr) ~

x= p+a

z» L

F (x )

x =p -a

z= - I,

F(x) ~ P(X < ~ + cr ) ~
x =p + 2cr

zw

F(x ) ~ P(X ,,; u

+ zo ) ~
x =p - 2cr

c v- - 2.

F (x ) ~ P(X ,,; ~

+ 2cr) ~
j1 - cr -p

x =p + 3cr

z > 3.

F (x ) ~ P(X ,,; ~

+ So ) ~
j1 +cr -p

x =p - 3cr

, ~

2,

- 3,

-

~ -cr - ~

cr j1 + cr -p o o o

p - cr -p o

~

~


~


~


Aus den Beziehungen ( 10.37 ) und (10 .49 ) crgebcn stch folgcndc Formel n fur d ie wahrschcin lichkeir. doss die normal verteiuc Zu fallsvariable X im Interval! [a: h] liegt (a lle Formeln sind

IO,? Norrnalverteilung

523

gleichwcrtig):

IP(a < X :::; h) = P(X :::; h) - P(X < a) = F (h) - F (a) I

( 10.50a)

Ip(,,< X'; h)~

( 10.50b)

< o < x ,; P + u ) ~ ( - 1,96 ) = 0.9500 PIP - 2u < X ,; P + 2u ) ~ ( - 2,58) = 0 ,990 1 PIP - So < X ,; P + 3u) ~
= 68.3% = 95%

= 95,51ff = 99%

(10.51)

= 99 .7% = 99 .9%

Die obigcn Wahrscheinl ichkeite n lassen sich auc h so imerpreticren, dass sich die gcmcsscnc n bzw. bcobachrctcn w ertc eincr normal vcrteiltc n Zufallsvariablc X wic folgt vertcilcn: a ) 68% allcr wcn c licgcn im Interval! [J1 - a : J1

+ a)

b) 95% alter werte liegen im lnrcrvall [J1 - 2a ; J1 + 2a ] c) 99 % allcr Werte licgcn

im lntcrvall [J1 - 2.6a: J1

d ) 99 .9% allcr w crtc licgcn im Interval! [J1 - 3,3a:

+ 2,6a ] J1 + 3.3a]

Die Normalvc rtcilu ng ist zwar nicht die ci nzigc Vcrtc ilung. die in dcr Praxis cin gcsctzt wird: doch ist sic wohl die bclicbtcstc. Ihrcn starken Vcrbrcuungsgrad verdankt sic nicht nur ihrcm bohen Alter lO sondem aueh ihrer Handlichkei t und dcr Symmetric ihrcr Punktion skurvc. u etsplel 10.13: Wir nchmcn an. dass die in Beispiel 10 .2 auf Seite 502 auf dcr Basis eln er Stichprobe statisrisc h untersuc hte n Betondruckfestigkeiten normal vertellt sind und Minelwert J1 sowie Standardabweic hung a dcr Grundgesamtheit durch den Stic hprobe nrnittclwert x sow ic d ie empirische Stunda rdabweichu ng s dcr Stichprobe ausreic hcnd gc nuu wiedcrgegcbcn sind . Die Z ufullsva riahlc X cntspricht dcr Bctondruckfestigkcit . J1 = x = 26A 75 N / mm2 a = s = O,734 Njm m2 10 Die Nonnalverteilung war "on worde n.

c.F. Gauss (1777- 1855) fUr die slalislisl'he Beurteilung von

Me"fehlern einge rtihrt

524

10 Sroc hasnk a) Wicvicl Prozcnt der Betonwiirfe l habc n eine Druckfesugkcir c 25 N/ m m 2? h] Wic vic l Pro zc nt dcr Bcron wurfcl hube rt cine D ruc kfcs ugkci t :::: 27 N/ m m2? c) Wicvicl Prozcr udcr Bcro nwurfel habc n cine Druckfcstigkcit

> 28 N/ mm 2?

d ) Wieviel Prozent der Bctonwur ret habcn cine Druck festigkeit im Bereich [25: 27] N / mm 2?

e ) In welch cm (um den Mit tc lwcrt sy mmetn sch liegenden ) Festigkeitsinter vall liege n 99% alt er Welte.

n Wie hoch ist die Festigkeit, die von 1% der Belon wiirfel w l/en chrillen wird ?

g ) Wie hoch ist die Festigkelt . d ie von 1% der Bctonwurfe l unerschriuen w ird ?

Liisung : a ) Die dimension slose GroBe z ergibt sich aus ( 10.45):

z e x -J1 = 25 - 26.475 = - 2.0 a 0,734 Die Wahrschcinlic hkcit. class d ie Druckfcstigkeit (10.48) mit Hilfe dcr Tabcllc A.8 auf Scire 733:

P(X

:5 25) =
:5 25 N/ m m2 ist ergibt sich aus

I -
( *)

Die Festigkei t 25 N/ mm 2 wird also bei nur 2.3% uller Bcronwilrfcl untersch ritten. h)

z=

x - p 27 -26,475 =0,7 1 ----a= 0.734 P(X :::: 27) =
76, I % aller Beronwurfel habc n also eine Festigk eit c)

x- p

?= -- =

~

a

(* *)

:5 27 N/ m m2.

28 -26.475 = 2 08 0.734 .

M it Hilfe dcr Beziehu ng P(X erg ibt sic h:

> a) =

1 - P(X:::: a ) (s . (10.29) auf Scitc 5 14)

P(X > 28) = 1- P(X :5 28) = I -

P(25 S X S 27)

4>(Z21 ) - 4> (z,, ) ~ 4>(0.7 1) - 4> ( - 2) = 0,761 15 - (l,{l2275 = 0,7384 = 73,8% ~

73,8% aller Beton wiirfcl habcn also cine Fcstigkcit zwischen 25 und 27 N/ mm 2. e ) Zur Bestimmung von Bcreic hcn (I ntcrvallcn). in den cn cine Zufallsvar iablc licgt. wird dc r intcgrale Flachen lnhalt .Q (z) aus Tabcll c A.S bc no rigt. .Q (z) ist g teich

IOJl weirere Vcrteilungcn

525

de m zw ischen - z und +z liegend en Fliicbcninh ult. Gem tiB AufgabenstelJung solle n 99% allcr Werte im gcs uchtcn Interval! licgcn. Aus Tabellc A.8 ist .o (z) = 0,99 fur z = ± 2.58. Ocr gcsuchtc Fcstigkcits bcreich lautct dunn ge mtiB (10.45 ):

- 2 58 = {/ -26,475 .

0.734 28 _ h - 26,475 + .5 - 0.734

=}

a = 24,5 8 N/1l1l1l

"*

b = 28,37 N/mm

2

99% de r Betouwurfel haben also einc Druck festigkei t zwisc he n 24.58 und 28.37 N/ m m2. I) Die Situati on, class ein bcst immtcr Wert x von 1% dc r Bctonw ilrfcl untcr schrit-

len w ird. triu cin fur F {x ) = 0.0 1. d.h. 4>(z) = 0,01 . Nach Tab clle A.8 crhalr man den zuge hodgcn z-w ert m il z = - 2.33. Die Druckfestigk eir. wek he von nur noch 1% der BelOnwurfel lllller.l'chr;lIen wird. ergibt sic h so mit zu:

"*

_ 2 :B= {/- 26,475 ,- 0,734

a = 24,76 N/ m rn2

g) Wen n l o/c dcr Bcton wurfcl cine n bcsummtcn Wert uhcrschrcitc n. bcdc utct dies.

dass 99 % dcr Bctonwurfcl untcr halb odcr hoch stcns gk ich di cscm Wert sind. Wir suchcn also nach dem Pcstigkcits wcrt .r , fur den F (x) = 0 .99 gilt. Aus Tabelle A.8 crhaltc n wir fur 4>(z) = 0 ,99 de n Wert z;:::; 2,33 . Die Dru ckfestigke u. welchc von nur noch 1% der Bctonwur fc l idierschrinen wird, betragt: 2.33 =

10.8

u -26,475 0,734

=}

a = 28. I8 N/ m m2

weltere Verteilungen

Ausser der Normal verteilu ng gibt es noch wenere starlsttsc he Veneilungen (w ahrscheinfichkeitsdichtefunktionen ), die in Spczialgebieten de r Tech nik genauerc starisusc he Aussagcn erlaube n. Bei die sc n Gebicren hande1t es sic h im Buuwesen z.B. urn d ie Lebcn sd auc rberechnuug von Bau tei len untcr w echsclbcenspru chu ng (Materiale rmiidlmg ) und urn ge naue Vorhersagcn von wtndfasten auf Bau wcrke . Nachfolgcnd wer dcn sic kurz vorges tclh. Rayleigh-Ver teilun g Die Raylei gh-vertci lung cig net sich gut zu r Besch reibung von Windh iiuligkeiten an etnem Stand ort . Sie ist e inc unsymmetrische Vertei lung und dcfin iert fur x > 0:

fur

x ;:: 0

526

10 Srochasnk

1.4

Weibull k=1.5

1.2

f(x) 0.8

06 0.4 02 0

,

15

05

2

25

a

Bild 10.8: Wahrschcinlichkeit sdictue i (.>;) nucf verschiedcncn Verteilungen

Weihull - ve..tel lu ng Die weibull-vencih m g wird baufig eingcsctzt auf den Gebict cn der Materi alcrmiidung sowic der Bcstirnm ung von Windlastcn auf Bauwerke. Sic ist c ine unsymmetrisehe Vertei lung und dcfinicrt rlir x >O :

, (Xl'·' e.("-)' a-

[ (x ) = u

u

fur

k: : Formkon stantc

x ~ O

Die Verallge mci nerung der Wcibull-verteilung fiihrt zur Gumbel-Verteilung . In Bild 10.8 sind d ie Dichtefunktionc n nach Ga uss, Rayleigh und Weibull (Parameter 1.1 = 0, a- = 0 ,5, k = 1,5 ) gcgc nubcr ges tc llt. Es sollto dabc i beaehtet worden. dass nur die rechtc Halftc der No rmalvcrtcilung dargcstcll t ist. Die urucrhalb dcr Dichtckurve jed er Vertei lung liegeode Gcsarm fl l lchc ist immer glcic h I (bci Nor malvcrtcilu ng glcich 0,5, wcil ihrc linkc Hiilftc fur x < 0 im Bild nicht dargcstcllt ist).

Gauss:

_ -P)' 1-' -e-2'(X----a-

2

o

Rayleigh :

dt: = 1,0

_X- j1 e~ 2'(X -P )' ----a- dr = La

I

u·

o

Wt'ibull:

a- J2i

_

I;;' (;;X)'.' u

o

v

(X)' . r a dx =

I,O

( 10,52)

10.9 Zusarzfiche Bcispicle

10.9

Zusatzli che Beispiele

IJeispiel 10.14:

Herl eitung der altem ativen VariamJorm el

Nachfolgcn d wird gc zc igt. w ie die Form el ( 10 . 13) auf Scitc 50 1 filr d ie Varianz eincr Stichprobc aus Glci ch ung ( 10. 12) hcrgelcit ct worden kann . Des Ausmu ltiplizieren de s Klam rncrausdruck s in ( 10. 12) liefert :

_,2 ~ ,, _I I

" ,__ Dx 'i 2 ~ - 1

;", 1

--

1:>7 - 2' [" '>+ [" x' )

( "

II - I

i =1

;", 1

no,

~

1 (" -L .-.:1- 211.;;2 +11.;;2 ) II -

Bejsplel 10.15:

I

;= 1

= - 11/ - 1

j ", 1

lI.i~

Milnzenwurf

Wie groGist di e wahrschcinlicbkeu , bci zweim alige m Werfen cincr Munze mindestens einmal Kopf zu erhaltc n? Iij.I·llllg ! : M it Hilfe des Additionssatzes. A : Kopf bei m 1. Wurf

B : Kopf beim 2. Wurf

Das Ercignis C=»m indcs len s ci nmul Kop f« cntspricht dcr Verei/ligung (union) dcr Ereignlsse A und 8 . Der Additionssatz liefert :

C = A UB P (A ) ~1 /2

pte ) ~ PIA U BI ~ PtA ) + P(B) - PIA n B) P(B) ~ 1/ 2

PIA

1 1

1

n B ) ~ - -- ~­

224

I I I 3 ::} P(C) = 2 + 2 - 4 = 4 = 0, 75 = 75% U JSU/lg 2: Mit Hi lfe des Muhiplikation ssatzes.

B : Zah l beim 2. Wurf

A : Zahl beim I. Wurf

Die Wahrs cheinlic hkeit . das s Erc igni s D= «zwei mal hintcreina ndcr Zahl« eintrifft. betrttgt:

P(O) ~

1 1 22

1 4

P(A n B ) ~ - -- ~­

Das Ereignis C (mindcstcns einma l Kopf) tritt dann cin , wenn D (zweirna l Zah l) nich ci mrin:

PIC) ~ 1 - prO) ~ 1-

1

3

4 ~ 4 ~ O, 7 5 ~

75%

527

52R

10 Srochasnk

Hd spi d 10.16:

Miinzenwurf

Wie groa ist die wahrschetnnchkeu. bet dreima ligem w erfe n eincr MUnze zunacbst einmal Kopf und dann ::.\reimal Zahl zu erhalten'? Ldsung:

Es handelt sieh bel die sem Expe rime nt um drei voneinander /IIwhhiingige Ereigni ssc A I. A2. A3. Das gefrngte Ereignis A (ei nrnal Kopf. zweim al Zahl) cnt spri clu der Vereinigung die ser Ereignisse:

prAll =

1/ 2

PtA, ) = 1/ 2

1 1 1 P(A) = "2 ' "2 ' "2= 0, 125 Heispi ellO.17:

PtA; ) = 1/ 2

= 12,5%

Einwa ndfreie Fla nsche

Das Rohrtcit ungssystcm cinc r Erdolraffinicric bcsitzc 500 Flansc bvcrbindungc n. von dcncn jcdc aus zwci Einzclflan schcn ve rn Typ F I und vom Typ F2 sow ie e tncm Dic htu ngsrin g zwischen ihnen bcsteht . Bs ist bckannt, dass 1% dcr Flanschc vern Typ F I und 1.5% dcrjcnigcn vom Typ F2 ungenugen de O uallt ar habe n sowic bci 2% dcr Diehlringe mangetn dc Dicb tungsei gcnschaft zu erwarten ist. Wieviele absalut einwandfrcie (d.h . ohnc j cgllchcn Mangel ) Flan schvcrblndun gcn im Robrlch ungssystem kon ncn wir crwartc n? Losung:

Damit cine Flunschvcr bindu ng als ubsolut ci nwa ndfrci (Ercig nis A) bczc ichnct werd cn karin, musscn sowohl Einzclflanschc als auch dcr Dichnm gsring dic scr Verbindung mangcl frei scin . Al : Ereigni s, dass der Flansch vom Typ F I ei nwandfrei ist. A2 : Erei gnis, class der Flansch vom Typ F2 ei nwan dfrei ist .

A) : Ereign is. daxs dcr Dichtungsring ei nwa ndfrei ist. Das Ereignis A. class cine Flanschverbi ndung kom pleu einwandfrei lsr. emspricht dem Durchschnitt aller drei Ereignisse:

Die w ahrschcinlichkcit fur das Eintretcn des Ere tgnt sses A ist nach ( 10.28 ):

Wahr schcinlichkcit fur cin wandfrcien Flunxch F I :

P(AJ) = I -P(A;") = 1 - 0 .0 1 = 0.99

10.9 Zusarzfiche Bcispicle

529

Wahrschcinlichkcit fur einwandfrc icn Flunsch F2:

P(A2) = I - P(A2} = 1-0.0 15 = 0.985 Wahrscheinlichkeit fur einwandfreicn Dichtungsring: PIA, ) ~ 1- P(A, ) ~ 1- 0.02 ~ 0.98 Wahrschei nlichkcit eincr ei nwandfrcicn Flanscbverbindung bctragt somit:

P(A) = 0.99 ·0.985 ·0.98 = 0,95565 ~ 955 % lnsgcsarnt konncn wir N = 0 .95565 · 500 = 477 cinwandfrcie Flunschverbindungcn crwanc n.

lIeispiel 10.18: Zufallsvariab le X im Interval! a his b Die Bezichung ( 10 .32) auf Scitc 5 16 soli umer dcr Annahme a < h hcrgcleitet werden. Wie es einlcuchten durft e, schlielk:n sich da s Ereign is A = ( X ::; a) und B = (a < X ::; b ) gegcnseitig aus. Die Vereini gung dieser beide n Ercignissc isl das Ereignis A U B = X ::; b. Naeh dcm Addltlon ssatz ( 10 .27) fur zwei sich gege nseit ig ausschlieBende Ereignisse gill: PIA

d.h .

U B) ~ P(A)+ P( B)

P( X ~ b) ~P (X ~a ) +P (a <X ~ b )

Die Umstellung der Gleichung liefert P(X ::; b ) - P(X ::; a) = P(a

<X

::; h)

Unter Bcruck sichttgung dcr Beziehung en

PIX

~

b) ~ F (b)

P(X ::; a ) = F (a )

folg t aus (a) d ie Bezichung (10 .32): P ((I

<X

::; b ) = F (b ) - F (a )

( a)

530

10 Srochasnk

Hd spid 10.19:

Norm alvertellung

Fiir nine nornml vertei lte Zufullxvariuhle X m it de rn Minelwert II = 0 lind dr-r Sia n. dardabwcichung C1 = 1 sollc n folgcndc Wahrschcinlic hkeitcn bcstirnrm worden. a) P(X ~ 1,6) h) P(X > 1,96) c ) P(X ~ - 0,9) d ) P(X > - U ) c ) P( I ~X ~ 2 ) np ( - I < x ~ O )

liisullg:

a l P(X

~

1,6) ~ 4> (1,6 - 0 ) 1

hi P(X > 1,96) c) P(X

~

I - P(X

P( I < X

n P( -

1,96) ~ I - 4>( 1,96) ~ I - 0,975 ~ 0,025 ~ 2,5%

~ - 0,9) ~ 4> ( -O,~ -

d) P(X > - 1.2) = I - P(X e)

~

~

I<X

~

~ 4>(1,6) ~ 0,94520 ~ 94,5% 0)

~ 4>(- 0,9) ~ 0, 18406 ~

18,4%

- 1.2) = 1- 0. 11507 = 0.88493 ::::0: 88.5%

2) = 4> (2) - 4> ( 1) = 0.97725 - 0.84 134 = 0.1 359 1::::0: 13.6% ~

0) ~ 4>(0) - 4>(-1 ) ~ 0,5 - 15866 ~ 0,34 134 " 34,1%

HU O Aufgaben

10.10

531

Aufgaben

I. Berechnen Sie die statistisc hen Kenn zahlen de r Stichprobe in Be isp iel 10.2 auf Seite 502 unter Verwendu ng der Formeln ( 10.9), ( 10. [3), ( 10. 15) und ( 10. 16).

2. Es so il untersucht werde n wie stark die in Bei spiel 10.2 auf Seite 502 berec hnete n LagemaHeverfalscht werde n. wenn in der Tabe l1e 10. 1 auf Seitc 495 der Festigke itswert 25 N/ m m2 du rch e inen Lese- bzw. Sc hrei bfehler m it 75 N/ mm 2 angegc bcn ist. Lasung: M iuel wen : i = 28, 975

Median: i = 26,5

M odalwert : x""," = 26 .5

Stondardabweichung: s = 10.85

\k"ia/l Z: s2 = 117.78

Wtihrend der Mittclw ert sic h sparbar llndcrt. blcibcn Modatwert und Med ian uncmpfi ndlic h. Einc ga nz krasse VerZCITUllg erg ibt sich bci Varian z (und fo lglich bci Standa nl ahwcichung]. 3. In eln cr Schachtel bcfind cn sich 2 Sc hraubcn . Die Wahrschei nlich keit dufur, dass jede Sc hra ube den richtigcn Durchmcsscr bcsitzt. bctragt jcwcils 50%. Wic graB ist di e Wahrsc hcin lichkcit. dass sic h in dcr Sc hachtel mindestens eine Sch raubc m it nchngcm Durchmcsscr hcti ndet? U j.l'I IIlK: 75 %

4. Fur cine normal verteiite Zufallsvariablc X mit dcrn Mit tcl wcrt 11 = lund dcr Stan da rdabweic hung a = 2 sollcn fclgend c Wahrschcinlic hkcitc n bcstim rnt worden .

P(X :5 1,8) d l P(X > - 0,8)

b ) P(X > 1,6)

a)

e)

P(O '; X '; 4 )

c)

n

P(X '; - 1,5) P(-I < X,; I )

Ldsung: a) 0,6554 d ) 0.8 [59

b ) 0,382 1 e) 0,6247

c) 0. 1056

n 0.34 13

S. X ist cine nannulverteilte Zufallsvariable mit dem Mittelwert 11 = 0 und der Standa rdabwcic hung a = l . Wie groa muss die Konstante r- seln . demit folgend e Wahrschein lichk eiten gege ben sind. a) c) e)

P(X :5 c) = 90% P(X > c) = 5% P(- c <X S O) = 20%

P(X S; c) = 3% P(0 < X :O=:; c) = 35% f) P(- c < X S; c) = 99% h)

d)

Ldsung : a) ~ 1,28

d)

~

1,04

b ) '"

- 1.88

e)

0 .52

~

c) ~ 1.64

n '" 2,58

6. X ist ci ne narmulveneilte Zufallsvar iable mit dem Mittelwert 11 = 2 und der Stan da rdabweic hung a = 0 .5. wic graB muss die Konstant e c seiu . damit folgend e Wahrscheinlichkcitcu gcge bcn sind. a)

P(X > c) = 30%

11) P(2 - c < X S; 2 +c ) = 90%

U i.I·III/K: a ) ~ 2.26

b)

~

0 .825

11

Eigenwertaufgaben

11.1

Einftihrung

In JeT Ingcnicurpraxis kornrncn Eigcnwcrt aufgabcn haufig vor: 7.. 8. die klci nstc Knick/as, cincr Stutzc in ci ncm Hoc hhuus. cines Druckstabes in cincr Pachwcrkkonstruktion. J eT kritischc Beuldruck: cines lj-Boots. die Eigell! requell:; cmcr Hangcbrnckc odcr cines Funkm astes sind A ufgabc nstcllungcn. dcren Losung auf cine Eigenwe noufgabe fubrt. Fo lgcndc Mutrixglcich ung wird als Etgen wertgfelchu ng und das dUTCh dic sc Glci chung beschricbcnc mathcm arischc Problem als spez ielte Elgen werta ufga be bczcic bnct. ( 11.1)

Das Skalar A is! dcr Ejgenwert und x is! J eT Eigenvektor J eT quadratischen Matrix A . Die Matrix A is! vorgcgc bcn. A und x sind unbckanru. Die Eigcnwcrtaufgabc gilt uls gclost. wenn es gclingt. cin (A,x) -Paar zu linden. das die Glcic hung (1 1.1 ) erfllllt. Auf wclchcm Wcgc ). und x gc fundcn werdcn (durc h Au sprobiercn odcr durch ein rrunhemauschcs Verfah ren ). spiclt im Prinzip keine Rolle. Berens schon fur einfac he Eigenwen prob leme wird cs abcr ziemlich muhsam sci n. durch A usprobicrcn zum Z iel zu komm cn.

Elgenwer ta utga be

Heispi el 11.1:

Es kann lcic ht iiberpriift werdcn . dass die untcn angcbcncn Wcrtc fbr A und x tatsachlich dem Eigenwen und Eigenvektor dcr Matri x A enrsprcchcn.

A ~ [ ~ -~ - : ] ()

0

4

A und x sind nur dann ein Eigenwe rt bzw, Eigenvektor von A. wenn sie die Eigcnwertglcichung Ax = AX idcntisch crfulle n. Dus Einsetz cn vo n A und x in diese Gleic hung liefert:

Ax ~ [ ~

o

- I 3

o

O ffensichrli ch ist das gebebe ne ). -x-Paar eine Losung de s Eigenwcrtproblems. weil die Eigen wertgleich ung identis ch crfllllt wird.

534

I I Eigenwerta ufguben

Hd spi d 11.2: Elge nwert Gcgebcn ist e ine Matrix A und ihr Eigenvektor x . Berechnen Sic den zugc horigc n Eigenw ert A.

A

~ [ -~ -~ =~ ] - 2

- 2

2

- 0.707 1 ] x=

[

- 0.707 :

Der Eigcnwert karin aus dcr grundlcgcndcn Definition AI" = AX besti mmt werdcn .

-2

Ax ~ [ -~

4

-2 -2

- 2 2

- 0,707 1 1,0

- 3,4142 ]

AI" = AX

11.2

- 2 ] [ -0.7071]

=

[ - 3,4142 ] - 3.4 142 4,8284

- 0,7071 ]

- 3.4 142 [ 4,8284

[

- 0,707 1

Ie

~ 4.828

\,0

Spezielle und allgemeine Eigenwer ta ufga be

Die Eigcnwertglcichung ( 11 I) liisst sich auch in folgender Form schrc ibcn. AX - A X =O

Aufg rund der Beztehung I x = x crhalt man darau s d ie spezlelle Elgenwe rte ufg abe :

A X - A lx = O

spetielle Eigenwertaufgube

( 11.2)

In dcr Ingenieurpraxis fu hrcn die Losungsvcrfahren in aller Regel auf einen etwas enders au fgeb.unc n Ausdruck als derjenige in ( 11.2). Dieser als a llgemeine Btge nwert a utgebe bczeichnct c Ausd ruck lautet: allgemeine Eigenwertaufgabe

( 11 .3)

Transformat ion d er allgemei nen Elgenwert e ufga be in cine speielle Elge nwe r ta utga be Die allgemei ne Eigenwcrtuufgabc (11.3) kann in cine spezicllc Eigc nwcnaufgahc ubcrfuhrt werden. Htcrrur cxls ncrcn lwei Moghc hkc trcn . 1. Falls d ie Matrix B invcnicrbar ist, wird die Gleichung (1 1.3) auf belden Sci tcn mit B - 1 1inksmuIIipli lien :

-- --

(B- 1A - A B - 1B )x = B - 10 C

I

*

I (C - le I) x - OI

( 11.4 )

11.2 Speziclle und allgemeine Eigcnwertaufgube

535

2. Falls d ie Matr ix A invertic rba r ist. wird die G lc ichung ( 11.3) auf bcidcn Se iten mit A Iinksmu hipli zic rt:

(Q -?. D )x=A-10 '* ,

(1 - )' D) x= O

'*

l

( D - I- 1) X = O

D

Durch Einfiihru ng cines neuen Sy mbols be in der ubllchcn Sc hreibwe ise: mit

I?. =

I

~

= I I ). erhau man d ie spczielle Eigenwen au fga-

l und

D =A - 1B

( 11 .5)

Es ist nicht immer gleichgUltig, we lche n dcr obigcn beiden Transform utions wege wir einschlagen. Folgcnd c Fa ile sind dcn kbar : 1. Die Losu ngsm ethod e fUrd ie Eigenwenau fga bc liefcrt aile Eigenwerte, In dl esem Fall ke nnen wir zwische n de n Tran sforma tionsvari an tcn ( 11.4) und ( 11.5) - falls kelne besond crcn GrUnde fur cine bestim mte Wah l vo rliege n- frei wnhlen. Ein bcsonderer Grund, der unsere Wahl unmltt elbar beein flusscn wurde. lnge z.B. vor. we nn di e Inver se B - 1 bzw. A - I nicht existieren wUrde. 2. Die Losungsntethode IUr die Eigcnwerta ufgabc licfert nur {len kleinsten Eigenwe rt (di e Iterutionsve rfa hrc n in Absch nitt I 1.8 licfcm z.B. nur cincn einzigen Eigenwcrt). Nehmcn wir an , da ss wir uns fur den kleinstcn Eigenwcrt An,in int cressicrc n (w as in der Ingcnleurpraxls meis ten s auch der Fa ll ist). Ferner nehm en wir an. dass da s ge wa hlte lterutions verfah ren den kleinsten Eigenwert Amin liefert. In diesem Fall wa re die Transfor mation ge ma13 (1 1.4 ) ge nau die rich tige Wahl. Fall s das gcwahltc ltcration svcrfahrcn jcdoc h den griij//ell Eigenwcrt A,ll.~ liefcrt, wa re die Transform ation gc ma13 ( 11.4) ungccignct. In dic scm Fa ll kunn die Transformation nach ( I 1.5) du rchgcfuhrt worde n. so dass al s Ergcbnis Ima~ hcr aus komm t. Den gcs uchtcn klci nstcn Eigenwert Amin erhaltc n w ir dann ge maB (1 1.5) aus dcr Beziehu ng A,llin = I IIma ~ .

Ueispiel 11.3: Bci Sc hwing ungs- od cr Stabilitatproblcmc n von Tragwcrkcn hat man cs mit der allgcmeincn Ei gcnwcrt aufgabc zu tun. Die Bcrcchnung dcr Eig cnfrcqucnz Oller K nicklast cines Tragwcrks flihrt L.B. auf folgcndc allgemeine Eigenwertau j gc ben: Eige nfr eq ucnze n

Kn ick- ode r Heullast en

I (K - w2 M )x = O I Die Matrix K wi rd uls St cili gke itsmat rix des Tragwerks bc zeichnet. M ist die Massen matrix. W die Eigenkr eisfrequenz. Rei dcr Knicklastuufgabc bcdc utcn ). die kritischc Lasrimensitar. KG die geome lr ise he Steifigke its m at r ix des Tragwerks.

536

I I Eigenwertaufguben

11.3

Ltlsung der speziellen Eigenwerta ufgahe

Die spczicllc Eigcnw crtaufgabc nach (1 1.2) AX - A lx =O

lautet in zunachst uusgcsc hricbcnc r und dunn wiedcr zusamrnen gefLi hrter Form: all -A

a 12

a21

a22 -A

o o

( 11.6)

o

a"" - A

~

o

A - ,u

Besnmmung der Eigenwer te

(1 1.6) ist e in 1101II()gelle,~ lincarcs Oteich ungssystcm. weil die rcchtc Se ite aus dem Nullve ktcr bcstc ht. Es besitzt nur dann cine nichuriviale Losung, wcnn die Dctcrrninantc dcr Kocffi xicn tenmatrix (A - AI) gleich Null ist (vgl. die Losbarkeitsbcdingung 2 fur homogcnc Glcic hungssysteme im Absehniu 3.8.6. Set te 94 ). Diesc Dctcrminantc wird uls Elgenwer tdete r mma nte bczeichncr:

o

Eigenwertdeterminatue

( 11 .7)

oder in uusfuhrlicher Schrcibweisc:

A

a 21

tl22 - A

a 1" a2"

a,,1

0,,2

a,m - A

a ll -

a l2

~ O

( 11.8)

Die Eigcnw crtdcterminantc fllhrt auf die sog . charakterlst ische Olelchung, welche ein Polynom n-tcn Grades in A ist:

IA" A"+ A"_I A" 1+ . .. + AI A1+Ao = ol

( 11 .9)

Die Losung von (1 1.9) licfert d ie Eigenwerte AI , A2' .. . A". d.h. sic sind die Nullstellcn der charakteristischen G teichung. Einc ree lle und symmcrrische II x II Matri x A besitzt genau II reellc Eigenw erte ( Ai . i = 1.2.. . . , 11 ). Zwe i oder mchr Eigenwcrtc konncn allc rdings g leich sein.

Hestimmung der Etgenvektoren Nach dcr Bcstimm ung dcr Eigcnwc rtc worden die zugchorigcn Eigenvekto ren bcstimmt. Zu jcdcm Eigcnwcrt korrcspondicrt cin Eigcnvektor. Wenn z.B. der i-u: Eigenvcktor X i gcsucht ist. wird der Eigcnwcrt Ai in das Glcic hungssysre m ( 11.2) etngcscta und das daraus rcsulucrendc homogcne lineare Gleichungssytc m gelos t. z.B. mit Hilfe des Gaull-Verfahrens.

I J.3 Losung dcr speziellc n Eigcnwertaufgube

537

Dcr Eige nvektor Xi ist allc rdi ngs kein eindcutiger Losungsvekror. so ndcrn nur ein rclutivcr. d.h. se ine Elcm cn te sind nur in relativcm Vcrhalmis zucinundc r aussagcnihig und nicht ctwa in ubsolu tcm Sinne. Vorausscrzun gsgemati ist d ie Dctcrrnin antc dcr Eigcnwertglcich ung gc maB ( 11.7) glc ich Nu ll. d .h. IA - A II = O. Ein Glcic hun gssysrern mit Null- Detcrmin ame isl abcr nicht ci ndeurig losbar, Am Ende dcr Gau13-El iminat ion stellt sic h die Situation ein. dass ein Element des Losu ngsvck rors willkurlich gewahlt wcrdc n kann und di e ubngen Elemcn te ein Vielfaches dleses gewahltc n w ertcs sind. Wah rcnd des GauB-Algorithm us entstc ht cine Oleichung dcr Form » 0 ' Xi = 0«. Daraus folg t. dass Xi einen bclic bigcn Skalarwcrt annchmc n durf d.h . X i = k. Es ergibt sich also ein Eige nvektor, in dcm cin Elem ent den Wert k hat. D ie rcstlic hcn Elcmcnt c des Eigcnvcktors sind dann Viclfuchc odcr Bruchtcilc des Skalars k:

(/i_1k Xi =

k

+-

Zc ile i

tl j

:

Skalarfakto ren

j = 1,2. · · · . i - I. i + I , .. .• 11

(/i+lk

(I"k Anmerkung: Die Wahl des Sk ulurs k ist gru ndsatz lich bclic big . man kan n also stc rs k = I wahlen. In dcr Ingcnicurpraxis wird in der Regel der Eigenvcktor W ill Schluf so moditi v-icn . dass de s berrags mnaig grtiBle Element des Eigenvekt ors + 1 wird. wei! dadurch praktische Sc hlussfolge rungen aus dem Eigcn vekt or leic hter mogllch sind.

Heispiel 11.4: Die Eig enwerte und Eigenvckt ore n der nachfolgc nden Matrix A aus Beisp iel 11.1 sollcu mit H ilfe der Eige nwert dctcrrni nante nach 01. ( 11.7) bes rirr um werde n.

- I

3

o

-l]

A=?

x =?

(oj

(A - AI) X ~ O

Die Eigcnwcrtdetcrmi nante und charuktcristisc hc Glei chung lautcn:

I- A

o o

- I

I

3-1

- I

o

4- A

0> ( I - A)( 3 - A)( 4 - A)~ O

~ O

53!!

I I Eigenwertaufguben

Das Polynom der charaktcristischen Gleichung liegt als Produkt von drei Linearfuktore n vor, so dass sich dic gcs uchtcn Eige nwerte unmittelb ar crgcbcn :

E rs ter Eigenw ktol" X I . Nach Einsctzen des ewen Eige nwertes AI = I in die Eigenwertaufgabe (a) erhlilt man ein lineures homogenes G leichungssystcm : - I

2

o

u

Die Matrix A liegt -zufallig - bcrcus in dcr obcre n Dreiccksform vor. d.h. c ine Gault- Elimination ist nicht notwc ndig. Sic ist linear abhungtg. d .h. singular, wei! cine Nullspa lte vorhandcn ist . Die Dctcrrnin ante ist folglich Nu ll OA - H I = 0) . Trotzdcm ist eine, we nn auch nicht eindeu rige. Losung des Iincarcn Gleichungssystems moghch, weil cs sich um ei n homogenes G leich ungssys tern handel t {rechte Seite ist der Nullvektor). Aus dcr J . Zei le ergibt sich: J 'XJ = 0 ~ XJ = 0 Die Substitut ion von

X3

= 0 in die 2. Ze ilc liefert: ~

2 ·X2 - 1 · 0 = 0

Die 1. Ze ile erg ibtjetzt: ~

O· x l - I ·() +I · {) =O

Der I . Eigenvekto r luutct also (k kann bcliebig gewtthlt werde n):

Die Richtigkci r dcr Losung lassr slch leicht ubcrprufen: - I

3

o d.h .

Ax l

=

Al X I /

I J.3 Losung der speziellc n Eigcnwertaufgube

Zwetter Ejgenvektor X2 . Das Einsctzcn von ergibt: - I

3 -3

o

- : ] [ :; ]

4- 3

f3

~ [ 0~ ]

A~

= 3 in die Eigcn wcrtgleic hung (a)

=> [

-~0

- I

o o

Wieder liegt die Matrix A - Al in der obcre n Dreiccksform vor, d.h. die Ruckwanssubstitution kann unmittclbar beginnen :

Zcile3 :

I ' X3 = 0

=> X3 = 0

Zeile2 : O· _Q -I ·.\'3 = O Zcilc I :

- 2 ,x l- l · I.: + I · 0= 0

- 2 , x I- I · x~ + [ · .\')= 0

=> xI = - 1.:/2

Dcr 2. Eigcnvekto r lautet:

] [T] Kontml/e:

Drill er E igenvektor x) . Anulogcs Vorgchcn mit AJ = 4 liefcrt folgcndc Resultate:

[

l -~ 3 ::~ o

_ : ] [ :; ] 0 4 -4 Xl

Aus3 .Zcile: O,x3 = O

~ [ ~] 0

=> [

-3 - I

o o

- I

o

=> X3 =1.:

Aus2 .Zeile: - 1· X2- 1·.f.; = 0 Aus I. Zcilc : - 3 ' XI- 1' X2+ I ' X3= 0

- I ' .\'"2 - 1. k = 0

=> X2 = - k

- 3 ,x l- I · (- k) + 1·1.:=0 ::::} XI = 2k/ 3

539

540

I I Eigenwertaufguben

Dcr 3. Eigcnvektor lautct somit:

Kantrolle:

-i -~ ][ 06~n ~ [ 2~:n

Ax, ~ [~ <' x,

~

4[0 6~: ]~ [2~:: ]

~ Ax , ~
Lbsung de r all gemeinen Eigenwerta ufgabe

11.4

Die allgeme ine Eigcnwcrtau fgabc naeh GJ. ( 11.3)

(A - < B) x = O lautet in ausgcsch riebcn er Fonn: [ ull -Abll U21 - Ab21

a'll

- :Ab,1I

a12~ A b12 (/22 -

(/,,2

Ab22

- Ab.a

-

bl" Ab2"

al,, ~A "2" -

(/'111 -

Ah,m

A. -AS

][tJ ,

~

--

[r]

(1 1.10)

0

Besnmmung der Eigen wer te Aueh hicr handelt cs sich. wic schon in Abschnitt 11.3. um em homogenes lineares Glcic hungssystem. Aile in Abschnitt 11.3 angcstc lltcn Ubcrlcgu ngcn gcltc n uuch hicr. Die Eige nwertdetermina n le lautct:

1A - <81-

0

Eigenwe rtdete munume

(1 1.1 1)

Die cha r ak teristlsche Cl efchung dcr Eigcnwcndctcrrninnnto ist cin Polynom u-tcn Grades in

<'

IK

II

A" + K,'- l A" 1+ .. . + KI AI + Ko = ol

Die Losung von ( 11.12) licfert d ie Eigenwerte AI. A2 .... A." .

(1 1.12)

11.4 Losung der ullgemcincn Eigcnwertuufgubc

541

Hestimmung der Eigenwerte Zur Bcstimmun g dcr Eigcnvektorcn wird gcnausc vorgegangcn wie auf Scitc 536 fur die spc aie llc Eigcnwertaufgabc bcreits crla utcrt - allcrdi ngs m uss hicr nat llrlich unstcllc dcr Einhcitsmutrix J die Matrix B verw cndct werdcn. 11.4.1

Anwendungsbelsplel: Eigen schwlngung eln es Zwelmass en schwlngers

Eigenwertaufgabe n kom rncn in dcr Tech nik sehr huuttg vor - Sdlll"i llRuliRsp rohle me von Bauwcrken und Masch incn unter dy namischcn Lasten sowic Stabilitdtsprobleme von Tra gwerkcn (Knicken . Bcul cn) untc r Druckbclastung fuhren auf Eigcnwertaufgahcn. In Bild ILl sind lwei vcrschicdcnc mcchanischc Sc hwing ungss ystc mc mit 2 bzw. 3 Frei hcnsgrudcn dargestcln. Untcr Freiheitsgrad (FHG) cines mcchan tschcn Systems versrcht man die Ausie nkung , d.h. die v crschtcbun g. cines charaktcristischcn Punktcs dicscs Systems rctati v zu ein cr Nullposition. D ie Eig en[r equ eJlzen und Eigenschwingungsformen solcher Sys temc lassen sich durch Losu ng der zugchorige n Eigenw crtaufgabe best immen .

••

..- .,

".

••

a: Schwinger mil 2 FHG

b: Schwinger mit 3 FHG

Bild 11.1: Schwing ungssys tcme mil 2 und 3 Freiheitsgraden

Beispiel 11.5: Zwetmassen-Schwinger Fur das Schwin gungssystcm mit 2 Frcih cits gradcn in Bild 11 .1 a licfcrn die NewtonGcscrzc dcr Mccbanik folgcndc Eigenwenglei chung (K Stciligke ilsmatrix. M Massonmatrix ): (K - w'M) x~ O

mit K =

]

M ~

m l [

o

o ]

od cr in ausgcschricbc ncr Form :

[

k1 + k2 - C0 2 /1l 1 - k2

co ist die Eigenkreisfrequenr des Schwingu ngssystcm s in rud / s. Zw ischen co und der Eigen[ requ e1IZ f (Einhcit von [isl Hem. [Hz]) existiert die Beziehung co = 2x[.

542

I I Eigenwertaufguben

Diesc Eigcnwe rtaufgabe ist fur folgcndc Kennwerte zu Ibsen. k l = lOOOO N/ m

kz = 2oooN/ m

fil l

= 80kg

11/2 = 40 kg

Wir fuhren ci ne neues Symbol). = WZ ein (d ieser Sehri u ist aber nicht zwingend). Die Eige nwertdetcrmi nante und die charukte ristisc hc Gleichu ng lauren dunn:

1

kl + k2- ). m l - ka

- ka 1 1 12000 - 80). k2- A 11I2 = - 2000

2~~~OA I= A2-

200). + 6250 = 0

Die Lc sung der charuktcristischen Gleichu ng liefen die Eigenwerte:

AI = wr= 38,76276 ).2 =

wi =

WI = ) 38,76276

16 1,23724

II = 6.23/2 K = 0 ,99 Hz

6.23 rud/s

~ = ) 16 1,23724 - 12,7 rad / s

h

= 12,7/2K = 2,02 Hz

Ers ter Ei ~e nw kt o r. Den I. Eigc nvektor Xl crhiilt man durch Einsctzc n von AI = 38,76 in die Eigcnwcrtaufgabc und Loscn des lincuren Glcichu ngssystcms.

[

12000 - 80 · 38.76276 - 2000

::}

[ 8899 -20()() ][ XzX' ] [0 ] - 2000

- 2000 ] 2000 - 40 ·38.76276

=

449 .49

[ x, ] ~ X2

[ 0] 0

0

Die Drcieckszerlcgung ftlhrt auf:

Die 2. Zeile des reduzierten Glcichu ngssystem s ergibt:

Aus der ersten Zeile erhiilt man: 8899, xl -2000 ·k = O

::} XI = O.2247 k

Ocr I. Eigcnvckto r erg ibt sich mit -dcr willk urlichen Wahl- k = 1 zu: Xl

= [

;~

] = [

0.2~47

]

Physikalische Interpre tation: Dus Sys tem fuhrt freie Schwing ungcn (Eigc n-c hwingu ng) dcrurt nus. dass in dem Augcnblic k. wo der Masscnpunkt 11/1 die Auslenkung Xl = 0.2247 hat. die Auslcnkung des Massenpunktcs fIl z genau X2 = I bctragt.

I l.S Zusarzfiche Bcispicle

543

Zwelt er Elgenvek tor; Dcr 2. Eigcnvcktor .(2 erg jbt sich durch analoges Vorgchcn wic bcirn I. Eigcnvcktor, Nach Einsetzen von A2 = 161 .23724 in die Eigcnwertaufgube. dcr Drc icckszcrtcg ung und Loscn des linearen Glcic hungssystcms erhalt man:

XI

= - 2,225k

FUr k = 1 ergib t sich:

- 2.225

oder

I

11.5

X2

= [

-O.~94

]

Zusa tzliche Beispi ele

Beispiel 11.6: Das Sch win gun gsystem in Bild I 1.1 (b) mit den Wcrtcn k = 1 und fuhrt auf folgcndcs Eigcnwcrtproblcrn :

I- A ( K - AI) x~

- I

[

o

- I 2 - 1. - I

-~ ]

I- A

~ [ ::]

[ :: ] .\']

0

mit

1111

= 11/2 =

K~

I I [

o

= 1

Ill ]

0]

- I

2 - I - I

I

Bestimmung dcr Eigenwcne aus dcr Eigenwcrtdctcr mi nunte:

o

I- A

- I

- I

2 -1.

- I

- I

I- A

o

~

( I - A) [(2- 1.) (I - A) - IJ- I( I - A)

=> ( I - A)( A2 - 3A + I) -( I - A) ~ O => ( I - A)( A2 - 3 A) ~ O

=> ( I _ A)( A 2 _ 3A + I _ I) ~ O

=> A · (I -A ) · (A - 3 ) ~O

Die Eigenwcrte ergeben sich zu: I - A = O ::::} A2 =1

Ersler Elge nvektor .rr . Mit AI = 0 crhun man da s Glcic hungssystcm

[-l

- I

2 - I

~O

544

I I Eigenwertaufguben

Nac h Drcicckszcrlc gun g crgibt sich

Kantrolle:

1 - I 2

- I

o

- I

Z welt er Elgenvektor

X2 .

Mil A2 = 1 crhan man das Glcichu ngssystcm

[-~o -: -~ ] [;:] [ ~] - I

0

x~

0

Urn cine Drcicckszcrlc gun g du rchflihren zu kon nen . bcnotigt man in dcr crstcn Zelle ei n Pivotelement, da s -I- 0 ist. Urn die s zu errcic hcn wird die 2. Zcilc zur I. Zeilc hi nzu addicrt :

[

- I - I

o

0 1 - 1

Darau s erhalt ma n nac h Drcicckszcr lcgung und Ruckwartssubstitutio n:

Kom m lle:

Dritter Etgenvek to r

- 2 [

- I

o

- I - I

- I

X3 .

Mit AJ = 3 er batr man das G leichungssystem

11.6 Aufgaben

545

Nach Dreieckszcrlcgung und Ruckwartssubstituuo n ergibt sich:

- I - 0] ~ - O.~ ~ [X' ::~ ] = [0~ ] [ -2

[ ~~X' ] = [ - 2~'] = [ - ~' ]

=* x.. =

Kommlle:

11.6

Aufgaben

I. Ze igen Sie , dass der angegebe ne A-Wert und x -Vektor die Eigenw ertaufgahe A x = A Bx erfulleu. d.h. dass sic e in Eigenwcrt und ein Eigenvektor sind. a)

b)

A = [(I) - :

o

0

A ~ -~ ~~ [

c) A =

~]

- I

-:J

[ -~ -~ -~ ] o

- 2

2

B

~ [~ ~ ~] 0

0

I

B~ U~ B

n

A= _ I

~ [ ~ ~ ~] 0

0

I

2. Bercc hnen Sic die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. a) A =

[~ ~]

Losung:

1. 1 = 3,45 42 = - 1,45

XI = [ O,~1 6 ]

X2 = [ _ 0,1816 ]

b) n = [ -~ ~ ] Lih/lng:

J., ~ -2J.2 ~4 ,, _ [ - 0,167 1 ] '2 ~ [ 0, ] . -

x=

X=

I.omo]

[ - 0.8019 0 .4450

1.0]

[ - 1.0

0 .0

546

I I Eigenwertaufguben

f.jj SIIIIX:

Al = 7.65 A2 = 2.35

Xl

1 ] = [ - 0.823

3. Ldscn Sic folgcndc Eigcn wertuufgabcn (A - A B ) x = O.

A ~ [ ; ~~ ]

aJ

- I

I

B

1

~[

-! -O ~ ~ ]

Xl = [

-~:~~ ]

X2

=

0,389

-2 0] 4 -2 -2 2

B=

[ o3 0

2

()

- 0.286 ] - 0,429 [ I .ooo

0~ ]

0

f.jj SlIflX :

Al = 0 ,367

A) = 3.633

0.333 ]

Xl =

0,8 16 [ 1,000

X2

=

1,0]

0.0 [ - 1,0

X3 =

0.333 ]

- 0 .8 16 [ 1,000

4. Bestmun cn Sic in der Eigenwertaufgabc (A - A B ) x = 0 den jeweils unbekannten Paramc ter.

aJ

A ~

[-~

A=? b)

h

[

-~

a =?

-2 4

-2

-~ ] B ~

L~K :

-2 4

-2

1 - I [ - I 0

2 0

A = 3,4 142

-~ ]

LW: a = 1,0

B~ [

- 1 . : 0

2 ()

~]

~]

x=

[ - 0IlKXK)] . 1820 0.964 5

). = 0.5858

X

=

[ 0, 1244 ] 0.7(~93

11.7 Kenngruben einer Matrix und Eigenwcrte

11.7

Kenngrtillen einer Man-ix und Eigenwert e

11.7.1

Ucfinith cit eme r Matrix

547

Die Definitheit einer Matri x wird mil Hilfe des folge ndc n Kriteriums festgetcgt . Hierbei ist A e ine befiebigc symm etrische II x 11 Matrix und x e in belic biger II x I Vektor nur mit der Einschnl nkung, dass x t- O scin muss.

A

.

1St

I'OSiri\, definn,

wennxTAx > 0

posniv semidefi nu,

wenn x T Ax 2: 0

negat iv definit,

wenn x " Ax < 0

nenaiiv semidefi nit,

wennx TAx :::; 0

!

(1 1.13)

Positiv d efinite ~1 at ri x Es ist pra ktisc h aussichtslos. d ie positive Dcfinithcit ei ner Matrix dadu rch beweisen 7.U wollen . in dem man unendlich viele vcrschicdcnc Pormcn des Vektors x in die Beziehung x TAx cin sctzt und ubcrprun. oh das Ergebnis positi v ist. Es gibt g lucklic herwcisc andere clegantcrc Wegc. die nachfclgcnd crlautcrt sind. Einc sy mmctrischc II x II Matrix A ist positiv dcfinit , wcnn folgcndc Kritcricn crfullt sind (d ie Erflillung eines Kriteri ums ist ausreichcnd und stellt sichcr. dass die undcrc n aueh erfilllt sind ): I. Aile Eigenwen e von (A - Al) x = 0 sind positiv: A; >O

(i = 1,2, · · · . 1I )

2. Aile Haupt -Unterdetermin anten von A sind positiv:

" II

> 0,

I

" 11 {/ 21

a l2

" 22

I> O.

" II

(/ 12

ti D

tl 21

a 22

tin

(/31

(/32

tI .13

>0

usw.

3. Aile Hauptdiagonalc lcmcnte nach dc r Drcieckszerlegung von A sind positiv (A kann mittcls Zc ilcnopcra ncncn. z.B. rniucls Guug-Elim ination, in die obcrc odcr umcrc Dreiccksform trunsform icrt werdcn].

Ueispi eJ 11.7: Die positive Dcfinitheit dcr Matrix K in Beispiel 11.5 soli ilbcrp riift werde n.

K~ [

12000 - 2000

- 2000 ] 2(XX)

Al = 1614 .83

A2 = 12385. 16

I . K lst positiv dc finit, we i! bcide Eigc nwerte poshiv sind. 2. K ist posuiv dc finit. weiI bcidc Hauptu nrcrdcterm tnanrcn positiv sind: k i t = 12000 > 0

k" k 22

I~ I

12{X)() - 2{X)()

54!!

I I Eigenwertaufguben

3. K ist positiv dc finit. wc il nach der Dreicckszcrlcgu ng (GauB-Elimi nation) alle Hauptdia gonalelcrncntc positiv sind.

-~:

12000 [ - 2000

]

Drcic,<:kvcrlcgun g , [

120m

o

- 2{X){) ] 1667

12(X){) > 0

1667 > 0

I'ositiv se m idefinite Metrtx Fiir c ine posi tiv semidefinite Matri x A geltc n folgend e Regehr (die Er ftillun g ei nes Kriterium s ist aus reic bend und stel lt sic hcr, da ss d ie an deren auch erfullt sind ); I. Kein Eigenwert von (A - Al) x = 0 ist ncgnuv, d.h. es ist A; =?: O. 2. Kcinc (Ha upt-Il.Intcrdc tcrminuntc vo n A ist ncgat iv, 3. Kcin Hauptdiugon alclcment nach dcr Drcicck szcrlcgu ng von A ist ncgutiv. Betsplel 11.8 : Die positive Dcfinithe it der Matrix K in Beispie l 11.6 kan n w ie folg t bestimmt werden:

1 - I - I 2 o -I

-:]

I . K iSI positiv semfdetln u. wei! ein Eig en wert Null und die beid en ande ren posil iv sind. 2. Kist positiv se midc finit. wei! zwa r d ie erste n zwci Hau pruntcrdctcrnun antc n positiv, abc r die drittc glcich Null sind .

1

kll = I > 0 1 - I

- I

o

2 - I

- I

- 2 I

I=2 -

1= 1 > 0

o - I 1

~ 1 ( 2- 1 )- I ( O + I )+ O ( I- O )~ O

3. K ist positiv se midcfinit. wcil nacb dcr Drcic ckvzcrlc gung ein Hauprdiugc naletcmcm g tctch Nu ll und die anderen posutv sind.

[-l

- I

2 - I

- I Drcieckszerl egung,

[ 7,

1

o

11.7 Kenngruben einer Matrix und Eigenwcrte

549

Nega ttv d efinite J\lat..Ix Einc symmctrischc 1/ x II Matrix A ist ncgativ dc fi nit, wcnn folgcndc Krircricn crfullt sind (die Erfullung eines Kritcri ums ist ausrcichcnd und stcllt sichcr. dass d ie undcren auch crfllllt sind) : I. Aile Eigenwenc von (A - Al) X = 0 sind negativ:

Ai >O (i = I, 2. ·· ·. II) 2. Allc (Haupt-)Unterdetcrminantcn von A sind negat iv:

ti ll

< O.

I

a II "21

(J12

an

I< O.

"II

(/ 12

" 21

(/22

" 31

(1.~2

aD an a33

<0

usw,

3. Aile Hauptdiagonalelc mcntc nucb dcr Drcicckszertcgung von A sind negauv (A kann miltels Zeilenopcranoncn. z.B. mitrcls Gaull-Elimination, in die obe re oder untere Dretccksform transformie rt werden). Nege ttv sem idefinite :\.Iatrix Hter gilt das Gegenteil von dem was fur cine positiv semidefinite Mat rix gilt (das Wort »neganv« in den Kriterien dort ist also dutch »positiv« zu crserzen). Ind efinite !\l atrix Einc sym mcrriscbe 1/ x 1/ Matrix A ist indcfinit. wcnn die Eigenwertc von A sowohl posiuv wie auch ncgativ bzw. Null sind. Bedeutung d er Ilefin itheit in der M ecbantk Die Art der Definitheit von Matrizen spiclt in der Strukturmechan ik ein e grobc Rolle : Ein Trugwerk ist statlsch stabil aufge baut bzw. gelagert. wenn die elus rischc Stei figkeitsmatrix K des Tragwcrks positiv de finit ist. Ein Tragwerk. das c inc Starrkorperverschiebung erfahrcn kann, z.B. aufgrund ungcnugendcr Auflagcrbed ingungcn. bcsitzt cine posinv semidefinite Stcitig kcits matrix K (auc h cin llicgendcs odcr frei stchcndes Flugzcug hal ci ne positiv semide fi nite Stcifigkcitsn uur ix). Ein Tragwerk ist kincnuui sch vcrschic hlich, wenn die clas tisehe Stcitigkcitsmatrix K des Tragwerks nieht posiuv dcflnit ist. Ein sotc hes Tragwerk ist ur ner keinen Umstiinden akzeptabel. Eigenfreq uenzen ci nes Tragwerks sind nur dann groae r als Null. wenn d ie elustische Steifigkeitsmatrix K des Tragwerks positiv definit ist. Die Stabilitlit cin es durc h Druckkrafte belusteten Tragwc rks ist erscho pft. d.h . das Tragwerk stiirzt in slch zusam men. wenn d ie Add ition der elastt schen Steifigkeitsmat rix K und dcr sog . gco mcmschcn Stc ilig keitsma trix K G . d .h. K + K G. ci nc pasinv semidefinite Mat rix crgibt.

550

I I Eigenwertaufguben

11,7.2

Beziehungen zwischen Kenn grtllten und Ei/.:enwerten einer l\latrix

Zwischen den Eigcnwerten und ander en Kenngrouen einer Matri x existieren bestimmte GesetzmtiGigkei lell. Die wichtigste n devon sind : I . Die Spur cincr Matri x A (s. Seite 59) ist g lc ich dcr Summc der Eigenwerte de r dazugehor igc n spez icllc n Eigenwc rtaufgabc: (A - A l)x ~ O

'*

"

rr A = [ Ai =AI + A2+ · · · + A..,

(1 1.14)

i= 1

2. Die Detcrrninant e einer Matrix A ist gleic h dem Prod ukt ihrer Eigenw erte der da zugehori ge n spexiellc n Eigenwertaufgabe:

(A - A l)x ~ O

3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10.

I I.

'*

dn A =

n" Ai = AI . A2.. ... A"

(1 1.15)

i =l

Daraus folgt. dass filr cin e singula rc Matri x (d .h. linear abha ngigc Matrix) mindcstcns ein Eigenwert gleich Null setn muss. A ile Eigenwerte einc r rcclle n synunetrischen Matrix sind reett. d .h. nicht-komplcx. Aile Eigenwerte einer reellen symmetrischen posinv definiten Matrix sind red! /11/(1 positlv.' Aile Eigenw erte einer reellen synnuetrlschen posuiv semidefiniten Matrix A sind nidu negativ. Die Anzuhl dcr von N ull vcrschiedc nen Eigen werte ist gleic h dc m Rang von A. Falls aile Eigen wcn e Ai einer Matrix voneinandcr verschicden sind, sind aile Eigenvektorcn X j voncinan dc r verschiedc n und lineur unahhdngig , w enn x , ein Eig envektor von ist. da nn ist auch dcr bclcbig sknlierte vektor eXi ein Eigcnvek tor (c- darf alle rd ings nic ht Null setnj. Die Eigen vektore n Xi einer rcelle n sveunenisdien Matrix sind orthogonal, d.h. slc erfullc n die Bezieh ung xi X j = 0 fll r f t- j . A und B scion zwei II x 1/ Matrizcn (B sci fcmcr nicht-singular). Die Eigcnwcrte der Matrix C , d ie ma n aus cin cr sog. Ahnlichkeitstmnsformati on C = B - IAB, crhalt. sind idensisch mil dcncn dcr Matrix A. Bczcich ncn wir die Eigcnvcktorcn von C mit xc' so crgcbcn sic h d ie Eigcnvcktorc n X vo n A
A~

I:" ,,"x;xi

i= l

A- I =

"

I

,=1

'

.

[ AX;X!

P ie Slcifigkeihmalri, K cinc' Bauwcrh iSl 'ym m"lrisc h und I'''''iliv dcfinu. wenn es ein 'Iahi l"" [ilcichgewichl aufwei,t (wa, auch lw ingend d"r Fall 'e in ,,,Ille. we il ,,,n,t da' Bauwer k ja in"la hil und ,,,, n il unhrau"hhar 'e in wurdc) .

11.7 Kenngruben einer Matrix und Eigenwcrte

Heispid 11.9: Oi l.' Re7iehllngen ( 11. 14 ) li nd ( 11. 15) zwi schen den Rigenw r-nen und M mri xkenngri'l.

Ben cincr Matrix sullen fljr fclg cndc Mutr izen Ilbcrprilft worden. a)

K=

1 - I

- I

[

o

0 ]

2

- 1

- I

I

A., = 3

Dem Beispiel 11.6 auf Scitc 543 enmo mmcn.

Ldsung:

trK = 1 + 2+ 1= 4

3

[ J., ~ O +I + 3 ~ 4 j: 1

dotK ~ I · (2 - I) - 1(0 + 1)+ 0( 1- 0) ~ 0

3

n J., ~ 0 . 1 . 3 ~ 0 ;= 1

-2 0] 4 -2 -2 2

tr A = 6 +4 +2 = 12

3

[ J., ~ 0 . 5 3 59 + 4 .0 + 7 .464 1 ~ 12

;= 1

=> trA= L A; ,/ dct A

~ 6 ( 8- 4 ) + 2 (- 4+ 0 ) + 0~

3

16

n J., ~ (0.5359)-(4.0) · (7,464 1) ~ 16

;=1

=> dct A ~

nJ.,

/

551

552

I I Eigenwertaufguben

11 .8

Numerische Methoden ftir Eigenwerta ufgaben

In die sem Kap itel werden nur svuunetrische Matrizen mit reellen Elcment en bctruchtet . Aile Eigcnwerte eincr rcell-sy mmctrisehe n Matrix sind reell. Sowohl die speuette als aueh die allgemeine Eigcnwert au fgabc nac h Abs . 11.2 wcrden anwendungsbe-ogen bc hundclt:

Ax = Ax

bzw.

Ax = ABx

bzw.

(A - AI) X = 0

(A - AB )x = 0

sper ielle Eigenwert aufgabc

allgemeine Eigenwert au fgabc

Fur die numerische Losung von Eigcnwertuufgab cn steht c ine schr groBc Bandbrcite an cffizic nten und stabilen Losungsver tahren zur v crtugung. Ncbcn zahlre iche n kommcrzicll erhaltlic hc n So ftwarc- Pakete n (z .B. IMSL und NAG ) existiercn aueh kostenlose pab lic domain Bibliothcken O.d.R. in Programm ierspraehen FOR TRAN, C, C++) , wie z.B. das Software paket EISPAC K.2 1m folgenden solle n nur solc he Verfa hre n bcsproc hen werden , die cine gcwlsse Anschaulichkeit bieten und so als Einfiihru ng in die Thematik gee ignet sind. FUr eftizientere v erfa hren sol1 te im Bcdarfsfall die Speziulliterutur kon su ltiert werden .

11,8.1

Vekl ornorm

Einc Veklornorm driiekt die vcrultgemci nertc Lange cines Vektors (sic ist nicht zwinge nd mit dem geo metrise he n Langenbcgriff glcic hzusctze n tj. Die am meis ten gc brauc hlic hen Vektomo rmen sind nachfolgcnd det mten .

IIxll1

~

IIx ll2 =

Ixd +lx21+ ---+lx"1 (.tT +x§+ ... +.t7, )1(2

l!xll"" = max , Ix;! Ht.'ispid 11.10:

II· Nor m 12-Norm (Eu k/id -Norm ) I~ - Norm

vektornormen

Nac hfolgc nd sind d ie versc hiodcncn Vcktom ormcn des Vcktor s a angcgebcu.

I xll,

~lx d+ lx21+l x,I~ 5+ 2+ 3~

10

I xll2~ J5' + ( -2)2+3 ' ~ 6_ 1 64 Ilx ll ~ = .lIIax

1=] ···3

Ilxll,

Ix;l = max{5; 2:3} = 5

~l x d + l x21+l xJI~ 5+ 2+ 3~

IIxll2 ~

J(- 5)' + 2'+3' ~ 6,164

Ilx ll ~ = .lIIax

1= ] -·-3

IXi l = max{5: 2;3} =5

2 crhahlich l ,B, bei http : I /'.r.lw . ne t li b. o rg/eispack

10

(1 1.16)

JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn [Power-Methode]

11.9

553

Mises- Iteratiensve rfa hren (Power-Methode)

Oas lterationsverfuhren nach VO/l Miscs ist ei ne einfache Siandardmethode fur d ie Bcsrtmmung des griij3/en Eigenwen cs und des zugehorige n Eigenvektors e incr qu adratische n n x 11 Matrix A. Es handel! also um die Losung der spcziel1en Eigenwertaufgabe

(1 1.17)

Ilie Ide e hinter der Mlses-lteratfon Die Eigenwerte der Matrix A scicn bezcichnct als A, . ).2• . . . ,A" (die Eigenwerte seien so geordnet. dass AI < A2 < .. . < A,,_ I < A,,») und ihre Eigenvektoren als XI.X2. · .. •X". Jeder beliebige vektor u(O) mil n Ele menten (egal wie dieser Vektor aussehen mag) kann als Unearkombination der n Elgenvektorc n der Matri x A ausgcdruckr werden ":

( 11 .18) Wen n nun die ob ige Beziehung auf beiden Sellen mil der Matrix A multiplizicrt wird. cntstcht ein neuer v cktor u ( I ) . Unter Bcrucksichtigung von ( 11.17) erhan man: U( I )

= Au(O)

-- -

= A (CIXI + C2X2 + = CI Ax l + c2 Axl AI~I

.l.!~!

+ c,,x,, )

+

+ c" Ax" ;.,...."

Die nochm alige Multipli kation der letzten Zeile in der obige n Beziehung mit A liefert einen neuen Vektor u (2 ) . Unter cmeuter Berticksichtigung von ( 11.17) ergibt slch: U (2 )

= Au(l)

+ C2 A2X2 + + c"A,,x,,) CI AI AxI + C2A2Ax 2 + + c"A,,Ax,, ClAfxl + C2Afx 2 + + c"A';x"

=A = =

(CI A IX I

3 Der Einfachht'il halbcr nchmcn wir an. das~ A posiliv <.lcfinil iSI. d.h. allc Eil!cnwcnc po, itiv sind - fur negative Eigcnwcrtc gehc n gTllnd~,ill lich die glcic hcn Ubertegungen. 4 Voraus.....tzung : die Maln \ der Eigenvektoren X = ~,. X! .·· · .x"]darf mcht singul:ir sein: das i'l dann der Fall. wenn die Maln \ A "idl/-d~f~klil' i, 1(defeklivt' ~I alri ,e n kiinnen h

554

I I Eigenwertaufguben

Naeh der k-ten Multiplikalion mit dcr Matrix A erhiilt man: u (k ) = A Ulk -l)

=

l k-I , k -l ) AI('1 11.,k-I X2 + ' · · + ('" II." X" 1 Xl +C2 ""2 :l k -1 A _

, k -1 A_

= C l 1I. 1

=

,k CllI.l X l

.tU; 1 + C2' ''2

1k-I A_

"-" 2 + · · · + C" II."

.tU;"

+ C2"2 X2 + .. . + c" II." X" 1k

1k

Fur groBe k-Werte folg t aus der Relation ,1.1 < ,1.2 <

... < A"- 1 < A.,."
Bei sehr groGen Werten von k dorniniert deshalb der Term A,~ aile anderen und es gilt naherungswer se

"

(k ) ~ ,. 1 kx ~

" 11.",,

Dieses Resultat bringt zum Ausdruck. da ss dcr vektor u (k ) gege n den Etgenvcktor X" konverglcrt (c"A,~ ist ein ProportionaliUitsfaktor).

Der Algorit h mus d er Mis es-I terutinn Den Ausgangspunkt bildet em bclicbigcr nich ttrivialcr Srartvcktor u (O) mit /I Blcm crucn [nich ttrivial bcdeutct. dass u (O) -:f; 0 scin muss)5. 1m I. Itcrauon sschrin wird ctn ncucr Vektor u (1) bereehnet:

Zwcckm adig erweise sollte in je dem Iterationsschritt i der lterat ionsvektor u ti } normalisie rt wcrdent>. Die Norm alisieru ng wird ljblichcrweisc mit dcr [",-Norm dic scs Schrtucs. also mit I~} , vorgenommen. d .h. wir erhalten den norm ierten Vektor x (i ) wic folgt:

II II"UIII _

(i ) = _"_ '_

x

(1 1.19)

1m I. Iterationsschritt erhalt ma n nach die ser Vorschrift folgendes Ergebnis: (1) _

x

-

U( l )

1 ""'11 _

5 Die Konvcrgenl de r Miscs· 1teration ist umsc schnelfe r, je almhchcr dcr Stan vcktor u fO) dem Eigenvektor r.,
JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn (Power-Methode)

555

1m 2. ltcrarionsscbritt wird x (l) vcrwendcr. um ein cn verbcssc rtcn Eigcnvektor zu errnittcl n:

Mit Hilfe von (1 1.1 9) kann jetzt u l2l crne ut normi ert werde n. 1m k-len lterationsschritt wird zuntichst der nicht-normulisi erte lterution svektor u (k ) berechn et:

Zwischen dem ve ktor u (k} und dcm daraus durch Normierung zu gew innende n Vekt or x (k) cxls tiert formal folgende Bcziehung:

wobc i a

(k)

nichts andcrcs ist als dcr Ncnncr von ( I I 19 ). Es gilt also irn aktucllc n ltcrationsschriu

k:

1a '" ~ lI u(" I _1 Einsctzcn von (11.2 1) in (\ 1.20) lic fcrt: a ( k} x (k )

= Ax(.l:- I)

Unter voraussetzung dcr Konvcrgenz der Mises-Ileration kann angen ommen werde n. dass nach ausrcichcnd viclen ltcrutio nssch nucn dcr Umcrschicd zwischen den gcsc hnzrcn Eigcnvektorcn x (.l:) und x (.l: - I) vemachlassig bar klein gewordcn isr. so dass man schreibcn kann:

Ocr lctztc Ausdruck ist abcr nicht s andcrcs als ( 11.17), d.h. dcr Faktor a ist der gcs uchtc dominame (bctrags mauig dcr gro Bte) Eigcnwert :

Die Vektornorm I!!) im k - ten Iteration ssch ritt entspricht also dem ges uchten Eigenwert. Der lterationsalgorithmus nach von Mises ist in Tabelle 11.1 angegcbe n.

556

I I Eige nwe rtaufg uben

Tubelle 11. 1: Algori thmus fiir die

Mi.n".~-lterat i on

(Power- Methode)

LOSI die speziclle Eigenwen aufgabe Ax = AX rur e tnc fl x n- Mntrix A . EING A BE (I NPUT ): Mat rix A, Sta n vck tor u(oJ. Tcleranz E (Gcn auig kcitssch runkej. ma ximale An zahl N dcr Iterauonc n. AUSGA BE (OUTPUT): Der ~ro B l e Eigenwert A und der zugehorige Eigenvektcr x: ggf. cine Wam meldun g, wen n Konvergenz nichr errcie ht wird. ALGORIT HM US: (0) x (O) = _ " _ _

[Norrnicru ng des Startvcktors )

Ilu(Olll""

A(0) = lIu(O)II"" for

k =L2 ' · · ' .N do (U i k )

bercc hne n)

x(kl =

ll l_ IIU(l ) II""

(nonniener Eigenvcktor)

A(k) =

Ilulk)II""

(Eigenwcrt]

.

U

_I Alkl_ A(k- lll

ERR -

Wenn ERR $

A(k)

(Rckniver Fehler)

e : Iteration ab breche n.

end d o

(Ra yletgh-Q uutlem j.

11 =

mi n(k. N )

Ausgabe von A undx (Bildsc hirm. Drucker crc.) Wen n ERR > E : Wam mcki ung, dass Kurrvergcn z nic ht erreicht wird .

JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn (Power-Methode)

557

AlIl11erkungell: 1. Die Mi scs-ltcrationsmcthodc liefcrt den betra gsmaBig xrijfltell Eigenwert (domi nantcr Eigcnwc rt) eincr Mat rix. In lngcnicuranwendungcn ist in dcr Regel jc doch dcr niedrigstc Eigenwert von Interesse. wie L B. d ie ntcdngstc Eigcn frcqucnz bzw. die klcin ste Knicklast ei ncr Konstruktion. Die Mises-Itcruno nsmethcdc in ihrer hicr vorgestcttrcn Standardform ist ill solchen Fallen nict u besonders nutzfic h. Durch cine Modifi kation dcr Eigcnw crt uufgabc kann man die Methode abcr auch fur solche Aufgabenstellungen ei nsc rzen. 2. Mit Hilfe des Ravie igli-Quotienten kan n nach Beend igung der Iteration der Eigenwert ncchmals verbesse rt werden. s. den Algorn hm us in Tobclle 11.1. 3. Bei der Mises-Iteration konvergiert der Eigenwe rt wescntllch sc hneller als der Eigenvektor. Bere its nach wenigen ltcrarionsschritten kann oft eine schr g ute Nahcrung IUr den Eigenwert erre icht worde n. obwoh l d ie Nahcrungsgfnc des Eigc nvcktors noc h nicht besondcrs gut ist. Soli dcr Eige nvcktor mil hohe r Gcnau igkeit bcsrimrnt werdcn , musscn mchr Itcrationcn durchgcfuhrt worden.

4. Die Mises-Iter ation konvergiert sehr langsum. wenn dcrdom inante Eigenwert 1" dcr Matrix A und dcr nachst kleincr c Eigcn wcrt 1,' - 1 annahcrnd glcich sind, d .h. wenn ?." :::::< ;"'-1. In solchen Fallen sollie ei nem andere n Verfahren der vorzug gcgc bcn werden. 5. Die Mises-Iteration ist selbst-kcnrigierend, d.h. ein Rechenfehler bel der Ertuiulung des verbcsse rten Eigenvektors wurde zwa r die Konvergenz verzc gcr n. sie abcr nicht unmogllch mechen (dic se gutmutige Eigenscha ft ist leicht r mchvollziehbar, wenn man den fehlerhaft bcrechncte n Vektor cinfuch als Startvektor der Iteration betruchtet]. 6. Bei dcr Wahl des Startvck tors u (O) isl darauf 7.U achten. dass dcr Koeffizient CII in ( 11.18 ) nic ht cxakt g lcic h Null ist, d.h. dcr groute Eigcnvektor XII in u (O) -zumindcst tcil wei se- emhalte n ist. c" = 0 wurdc bedeuten. dass dcr Eigenvektor X II lm Stanvektor u (O) llberhaup t nicht enthalte n lst. fo lg lich kann die Iter ation auch nicht gege n den grob ten Eigenwert ?." konvergieren. Fur c" f- 0 ruckr die Power-Iteration den Eintluss des gr6 13ten Eigenvektors X" vo n Iteration 7.U Iteration irnr ncr starker in Vord ergr und (dubei hel fen auch d ie Rundungsfchlcr dcr G lcitk ommaopc ration em und konvergicrt so gege n dell grobtc n Eigen wert A." . In Com putcrprog rummcn wird hau fig em Zufullsvcktor gc nc riert. dessen Elcmcnte irn Intervall [- I : +1] licgc n und dic scr uls u !O) vcrwc ndcr (in der Ingen icurpraxis funktio nicrt dic sc Vorgehensweise mcisrcns ganz gut).

55!!

I I Eigenwertaufguben

Hdspid 11.11 :

Gro llter Eigenwert

Mil H ilfe de r Power-Methode ist der g r;iflTP Fi genwe rt A",u, und de r 711gehiirige Ri, gcnvcktor dcr folgcndcn Matrix A zu bcstimmcn (Maple· u)sung auf Sc ire 693).

A ~[ ~~ ~~ -~ ]

Ax = AX

-8

1

8

Die I",-Norm des Srartve ktors is! Ilu (O) II"" = 2.

Ao ~ IlulOIIl_ ~ 2 I. Itcrationsschriu: u ( l ) = Ax(O) =

[

10 - I - I 0.4 - 8

I

.r 2. ltcrationsschriu: u 121

x

~Ax"l ~ [

(2) _

U 121

- -II (2) 11 u ""

_

-

12.8 ] - 1.3867 - 10.8

[

I ]

- O. I OS)

- 0.8437

3. Itcrationsschrin:

16.8583 ] - 1.8871 - 14.8583

x

(3) _

131 - -11 13111 U

u

_

..

[

I ] - 0. 1119 - 0 ,88 14

I]

111_ ull l _ [ - Ilulll ll_ - 0.1333 - 0.3333

Ilu13l l1 _ ~ .\ 131 ~ 16 .8583

JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn (Power-Methode)

559

4. Iter ation ssch riu: u (4 ) = Ax( 3)

=

[

17"629]

- 1.926 1 - 15, 1629

x

(4) _

-

U

_

141 -141 I 11 I-

[

'"

u

1 ] - 0 , 1122

- 0,8835

5. Itcrutionsschritt: u (5) = Ax( 4)

=

[

17,1800 ]

- 1.9284 - 15, 1800

x

(5) _

_

U (51

_

II 1" 11 U

00

[

1 ]

- 0 , 1122

- 0,8836

Die Kc nvcrgcnz nac h dem 5. ltcrationsschritt ist ingenicurmauig uusrcichcnd (die bciden lctztcn Bigcnwertc ). (4 ) = 17,1629 und ). (5) = 17, 18 untcrschcidcu sich nur unwesentl ich voneinandcr). Die relat ive Differenz zwischen ihnen isl vcrnachlusstgbar klein: ). (5) _ ). (4 )

£=

). (5 )

=

17.18 - 17,1629 17, 18 = o,exlI = 0.1%

Einc zusatzlichc Vcr bcsscru ng lal3t sich hbcr den Rayleigh-Quotienten nach dcr 5. iterat ion crrc ichcn: 0=}

), = 30.8 11/1.793 = 17, 18 1

Dcr ges uchtc rnaxirnalc Eigenw ert bctragt som it

An,ux =

17,181

Auch wenn der Vcrbcsscru ngsc ffckt des Raylcigh-Quc ricmcn in dicscm Beisp iel nach dcr 5. Iteration aul3ersl ge ring uusfallt (wci l die crreic hte Gc nau igkcit fur k = 5 schon sc hr hoch ist], solltc cr trotz dcm nich t umcrschm zt worde n. Sc hon nach wenigen Irerutioncn karin cr erheblic hc v crbc sserungcn nach sich zie hcn. Foigende Tabclle zeig r die Eigcnwert-vo rhersage n in j edem Iteration sschhritt, wenn dcr Rayleigh-Quot ient in jeweiligen Schritt berechnet werden wurde: Iteration k 1 2

3 4 5

x (k)TA x (k)

x l k )Tx l k )

Ie

16.585 29.600 30.742 30.807 30.8 11

1,129 1,724 1,789 1,793 1,793

14.69 1 17, 172 17. 181 17, 18 1 17, 18 1

560

I I Eigenwertaufguben

11.to

Inverse Iteration (Modifizier tes l\1ises-lterationsverfahre n)

Die im Absc hn itt 11.9 vorgestellte Stunda rd-Mises- lte ration konve rgiert geg en den g riijJtell Eige nwert, s. auc h d ie Anmerku nge n auf Sei te 557. In Ingen ieu ranw endungen ist abc r normale rwcise nicht dcr grbBte, sondcrn dcr tdeinste Eigcnwcrt von praktischcr Bedeut ung, 1.. B. die klcin stc Knicklu st ein er Rah mcnkonstru ktio n. die nicdrigste Eigenfrcq uc nz cincr Bruck e usw. DUTCh cine Moditikation dcr Eigcnwertaufgabe kann die Miscs-ltcration auch zur Bcrcchn ung des klci nstcn Eigcnwcrt cs hcr angezogcn worde n. Die in ( 11. 17) gcgcbcnc spcziclle Eige nwe rta ufgabc Hisst sich durch Muhiplikation der gcsamten Gleichung mit der Inverse A - I von A und durch Division mit dcm Eigc nwert A in folgc ndc Form bringe n:

Die ursprunglic hc Eigenwcrt aufga bc w urdc also in cine neu e Eigc nwcrtaufgabc transformicrt : (\ 1.22 ) DUTCh Einfb hrung cines ncucn Symbo ls

I<

(\ 1.23) laBt sic h ( 11.22 ) au ch schrcibc n als (1 1.24)

Die Eige nwc rte 1<, der inversen Matrix A - I in (11.24)7 scien dcr Gro Be nach gcord net, d.h. "I < "2 < "3 < .. . < "". Die Anwcnd ung der M iscs-Itcration gc maB Abschniu 11.9 au f ( 11.24) lic fert den grtiBte n Eige nwert "max (= 1(",,). dcr aufg rund dcr Bczich ung (11.23) wiedc ru m dcm -eigc r nlich gcs uchten- tdeinsten Eigcnwert Amin (=AI) cntspricht (wcg cn dcr rezip rokcn Bozic hung zwische n " und A):

d.h.

1(""

I = ie,

( 11 .25)

Die Bestimmung der Inver se A - 1 in (1 1.24) ist cine rechenime nsive Au fgabe, insbesonde re bel grouere n Bauwerken wie Hochhauser odcr Bri.icken. Glu cklichcrw eise brauc ht A - I auc h nicht zwingend ermitteh 7.U worde n. Urn d ies zu erken nen. betruchten wir cincn bclic bigen Iteration sschr itt k: Die A nwc ndung der Stan da rd-Mises- Itcrution auf die in ( 11.24) gege bene Eigcnwertaufga be licfcrt folgc ndc n Ausdruck:

7 Ocr Name »invcrse lrcration« knmmr dahcr, dass wir an dcrinvcrsen Matrix A I hcricren.

11 .10 Inverse Iteration (Modifiziertes Mises-Iterarionsverfuhrenj

56 J

Der Vcktor X (k- l ) ist dcr zulctzt gcsc hatztc Eigcnvcktor und bcrcits bekannt aus dent Iteratio nsschritt k - I. Ocr obigc Ausdr uck kann auch gesc hricbcn werdcn als (1 1.26)

Wir habc n also ein Hncares Glefch ungssystem mit dcm Unbckanruenvektor u l k ), welc hes mit Hilfe der LU-Faktorisierun g auch ohne Kenntnis von A- I gelos t werde n kann (s. Sci te 59 1, Ab schnitt 13.1): (11.27)

Durch Einfuhrung des Hilfsvektors yv' = U u ik ) er folgt die Ermittlung von u lk ) in zwel Schritten : I. L yik) = x( k- I ) (vorwurtssubstituticn zum Besummcn von y (kl ) 2. U u tkl = y lk) (Ruckwartss ubstitution zum Bcsummcn von u (k) Ocr -gcsuchte- klcin stc Eigcnwcrt A(k) im k-tcn Ircr auonsscbrtu crgibt sich als Rcziprokc von 1\(1) :

Am Ende der Iteration kann das Ergebnis -falls gewunscht- nochrnals mit Hilfc des RaJ leiJ.:hQuotienten nuch Tabelle 11.2 verbessen werden.

Ueispiell I.l 2:

Kleinster Elgenwerr

Mit Hilfe dcr Power-Methode ist der uetnste Eigenwert und zuge hcrige Eigenvektor der in Beispiel 11. 11 angegebencn Eigenwe rtaufgabe in 3 lterarionsschrittcn zu besum mon. Ocr mit Maple bcrcc bnctc kle instc Eige nwert ist A = 0 ,269 8, s. Sette 694.

Ax = AX

X=?

A ~ [ -~~8 ~~I

• 8

Die W -Zcr lcgung dcr Matrix A nach dcm Algorithm us in ( 13.6 ) auf Scire 593 licfcrt :

A =W

L~ [

-0.: - 0.8

o () ]

I 0 .666 7

0 I

Die 1",,-Noflll des Startvektors ist lIu(O) II... = 2.

- 8 ] 0.2 1,467

562

I I Eigenwertaufguben

1.ltcration ssch riu:Aul l) = X(O) Die Losu ng von L y (l ) = x (O) licfcrt :

y (l) = [

_~ :=

2,4{XIO

Die Losung von U u (1 ) = yl I) licfcrt :

Ilull ) 11- ~ 4,0909

A(II = _ '_

IluI1)1I_

u ( II

=

[

]

l,OOOO]

- 4.0909 1.6364

( 1)_

= 0.2444

X

-

u II)

lIu(l)II ~

_ [ -

0,2444 ]

-~:~~

2. Iteral ionssehriu: A u ( 2) = X(I) Die Losung von L y (2 ) = x( l) liefert :

Die Losung von U u,(2) = y (2) liefe rt :

Ilu(2)11- ~ 3,8182

=

u (2) =

1

•, (2) -_ Ilu(2 )II_ -- 0 ,-' 619

3. ltcrationsschriu: A u (3 ) =

0,2444 ]

- 0.9756 [ 1.2459

[

03222]

- 3.8 182 0.8495 x

( 2)_

-

II

_ [

u (2)

(2)11 u ~

0,0844 ] - I, ()()[)()

0.2225

X (2)

Die Losung von L y (3 ) =

Die Losu ng von U u,(3) =

Ilu" )11- ~ 3,7375

y (2 )

X( 2)

y (3 )

liefert :

licfcrt :

y (3 )

=

u (3 )

=

A(3}= _ , - = 0 2676

Ilu"' lI _

'

0,0844 ]

- 0,99 16 [ 0,95 10

0, 1534]

- 3,7375 [ 0.6484

(3 1

x(3) = 1 1 ~3) 11 = u

~

[

0,04 11 ]

- ] ,()(XIO

0,1735

Das Ergcbnis wird zum Schlull mit Hilfc des Ray lcigh-Q uoticntcn noc hmals vcrbcs-

sen: 1.0318 A ~ 3,8226 ~ 0.1698

11. 10 Invers e ltcratic n (M odifiziertes Mis es-Iter arionsverfuhren j

Tabelle 11.2: Algorirh mus filr die Il1l"erse-lt er at ion

Lost die spe xictlc Eigc nwcrta ufgabc Ax = Ax fllr cine II x e- Marr ix A .

E1NGA BE (INPUT): Ma tri x A , Sta rtvcktor u {O) Toler anz E (Gena uig keitsschran ke ). rnaxima lc Anza hl N dcr herationcn .

AUSGA BE (OUT PUT): Ocr klci nste Ei genwert it und de r zugehori ge Eigenvek eor x A LGOR1THM US: x (O) =

u (OJ

_

HufO) 1100

(Normicnmg des Startvcktors)

A(0) = lIu(OJ 1100 A =W for

(W -Zc rlegung von A)

lc = 1.2.· · · .N do (u (k)

bcrec hne n)

(no nn ierter Eigenvektcr) ( Eig enwc rt]

[Relntive r Fehlerl Wcnn ERR :::; £ : Iteration abb rec he n. end do X 1n )T A x (lI )

A -:""'~-

x (n )T x (n )

(Ra)'lcigh- Q UOl il.'llt l

n = min(k. N)

Ausgubc von A und x (Bild schirrn. Druck er ctc.) Wen n ERR > E: Wam meldun g. dnss Konvergen z nicht crreichr wi rd.

563

564

I I Eigenwertaufguben

11.11

Inverse Iteration bel Schwingungsproblemen

Bet Bauwerken uno sc nsngcn Konstrukuc nen trill die Eigenwertaufgabc besonders hautig flir die Untersuc hung ihrer Eigenschwingungen (Eigenfrequen zen und Schwingungsfor men). In solchen Fallen ist folge nde allgem eine Eigenwenaufgabe zu losen : (1 1.28)

K : Stcitig keitsmatrix. M : Masscnmatrtx. ro2 : Eigcnkreisfrequcnz. Ole Umformung von (1 1.28) liefe rt die fur Iteration gccig nctc For m:

(1 1.29)

11.11.1 Bestlmmung de r kleinsten Eigenrrequenz In dcr lngcnie urpraxis iSI normatc rweis c d ie kleinste Eigcn frcqucnz von Bedeutung. Daher soli zunachst untcrsucht werdcn. ob die Iteration tatsuchlich gcgcn den klcm stcn Eigenwert konvergicrt. Ole Gleich ung ( 11.29) wird auf beiden Scitc n mil K - 1 mulripliz icrt und durch ro2 dividicrt: I ' _ K - 1Kx= ro~ K - IMx w2

002

=>

I -~ Ix =K- IMx

w·

(11.30)

Durch Einfllhrun g des ncucn Symbo ls A = l /ro 2 erhnh man daraus das Eigen wertproblem in dcr ublichcn Schrcibwcisc : (l U I)

Wenn wir das Matri xprodukt K - IM als eine neue Matrix A bctrachtcn. schcn wir, dass es sich bei dcr obigcn Beziehung urn d ie spczic1 lc Eigenwertaufgabc von ( 11.17) in dcr Form Ax = AX handel! und die Iteration nach Absehnitt 11.9 de n grol3ten Eigenwert A,n a~ liefert. Aufgrund dcr reziproken Beziehung A = 1l ro 2 kann man sofort ersehcn. dass die Iteration in wirklichkeit den kleinsten Eigenwert oo;lin liefe rt.

Die SchluBfolgerung aus den obigen Bctrucluu ngcn ist. dass d ie Anwcnd ung dcr Itcrationsmethode au f die Bczichung (1 1.29) den klcinstcn Eigenwert licfert. Es ist hicrbe i darauf zu ucbtcn . dass dcr ZUlclZI bckanntc Schatzvcktor x (k- l ) auf dcr rccht cn Selle einzusctzcn ist. d .h. zunachsr wird das Produkt Mx(t - t ) gebildct. das Ergeb nis dicn t dann OIls bcka nnrc rcc htc Scitc Z(k) bel dcr Losung des Gfeic hungssystems Kx(k) = Z(k). Die Anwendu ng der Mises-Iteration auf d ie Eige nwertaufgabc Kx = (J)2M x liefert den klein sten Eigenwe rt ro'~'in '

11. 11 Inverse Iteration bei Sc hwing ungxproblc men

Tabcllc 11.3: h ll'erse-ll eration

rur Eigcnfrequcnz- Bercc hnung

Uist d ie allge mei ne Eigenwertaufgabc Kx = w~ Mx.

EINGA BE (IN PUT): Miuri zen K . M . Stanvektor u(uJ. Tole ranz I: (Genauig kcitsschranke). rnaximalc Anzahl N dcr ltenuionen . AUSGA BE (OUT PUT): Die klefn ste Eigenkrcisfrequenz w und de r zugch orige Eigc nvektor .r: ggf. c ine rncldung . we nn Konvcrgcnz nicht crrcichr wird. A LGORIT HM US:

(0'

x (Oj = _ " _ _

Ilu(Oll l..

K =W for

tNormieru ng des Suntv cktorsj

(W -Ze rlcgung von K )

k =1.2.·· · .N do Z(A) = M x (A- l )

K u (AI = z(l l x l' ) =

(ull) berech nem

u (l )

(normiertcr Eigenvektcr)

ltu(A) II..

(Eigcnwen )

(Rcla tivcr Fch ler) Wenn ERR ::;

I: :

Iteration abbrcchcn.

e nd do

). =

T XI" J Kx l" ) T

x ln) Mu (n)

(Rayleigh-Quotient)

11 =

mi n(k.N)

Ausgabc von). und x (Bildschirm . Dru cker ctc.) Wen n E RR > 1: : w arn meld un g. duss Konvergen z nic ht erre icht wird.

warn-

565

566

I I Eigenwertaufguben

Das Vor gehen so li fu r ei ncn belicbigcn c-ren Iterationsschntt erklart worden. Au sgungspunkt ist d ie Bczich ung Kx = w2Mx in ( 11.29). Zunachst w ird das Produkt dcr Matrix M m it dcm norrnicrtcn Eigcnvcktor X(k- Ij des letzten Itcrationssch rittes gc brldct und cincm ternporiircn Vcktor Z(k ) zugewicsc n:

gebil det. A nschlieBend wird das G leicb ungssystcm

nach u lkj gclos r". Fur di e Errmulung von u 1k) brauch t man nicht unbcdingt die rechc nlnten slve Errnittlung der Inverse n Matrix K -l . Mit Hilfe der LU-Faktorisieru ng der Matri x K ist es maglich , u 1k ) uuch ohne Kenrnnis von K - l zu berechnen - vgl. Absch nitte 13. 1 und 11.10 sowie Gl. ( 11.26 ) und (1 1.27): K = W

=>

-

L U u 1k } = Z(kj

=>

L y (k j

=

Zl k}

=>

y (k j = L - 1z (kj

y lk l

U u (k} = y (k)

=>

u (kj

=

cmstc E'rgcnwcrt Dor -gcsuc htc- klci Norm von u (k ) :

U - 1y (k j

or~Ik )

. d im Jc . dem Itcrancnssc . hn.it k bcrcchnet aus dcr 100 wrr

Dcr RayleiKh-Quot icnt kann nach Endc dcr Iterat ion das Ergcb nis noch r nals vcrbcsscrn:

IIdspid 11.1 3:

Kleinste Eige nfreq uenz

Fiir cin 3-geschossige s Tragwcrk (Stahlbe to nruhmenkonstruktio n mit srarrcn Gcs ch obdcckc n und flex iblen Stiitzcn ) ist cin dyna mtschcr Nachweis gege n Erdbebcnlasten gcForden. wes halb die kleinste Eige nkrei sfreq ucn z £On,in und der zugehorige Eige nvek tor ber ec tmct werde n sollen. Die Steifig keits- und die Massenmatrix des Bauw erk s sind unten angegebcn, ebcnso der Stan vektor fur die Itera tio n. Die Anzahl der maximalen Iterutionsschritte betrdgt N = 4. die Toleranz £ = 0 ,0 1. Die Mapl e-Lasung ist aufSei te 694 . - 0 ,4 15 0.8 10' [ ] M = IO" [ 0 - 0 ,4 0,4 o

K~

-o ~

-o ~

I~ 7 ~ ]

l': D<'r G rund fUr di.:- W rwend ung d" , Symhol, u lt l: Pe r U;,u ngsv.:-khITu ll l i' l niehl nonn i.:-rt. erst durc h desse n Nonnie rung winl darau,x'kl scwonn cn.

I Ll 1 Inverse Iteration bei Schwingungxproblcmen

567

Die 1",·No rm des Startvektors ist lIu(O)lI oo = 2.

(0)

, [ I] _ [0.5] o.~

_ _

u_

x (Oj _ _

- lI ulO)lI _ - 2

;

-

Die W · Zc rlcgu ng dcr Matrix K nac h dc m Alg o rirhmus in ( 13.6 ) auf Scire 593 licfc n :

° °°]

K =W

I - 0,625

U ~ )07 [ ~

I

- 0.4 0.64

o

°]

- 0.4 0 , 15

I. ltcratioussc hriu: , ( 1) = M x (O) =

10 3 [

15~

I~o 7.5~ ] [~.~1 ~ 7500 ;~~ ]

D ie Lo su ng vo n L y ( l ) = , (I) tiefert :

Die Losun g vo n U u ( l }

I l u (I ) II _ ~ 0 .0094

ERR

=

0)

1

to

2(11

-

0)

= y (l ) licfert :

2( 1)

~ lIu

y(l)

=

[

7500 ] 105(X)

[

1406 2 0 .0037 ]

u(l) =

[

0.0075

0.0094

1 lll ll_ ~ 106.6667

( I)_

X

-

u (')

u

0.5 = 0 995] 106.6667 ' -

2, Itcrationsschritt:

t~o 7.5~ ] ~:: ~ I~: ] 7500 [

]

[

t

L y (2)

=

Die Losu ng vo n Uu (2) =

Z(2)

6000 ]

liefe rt :

y (2)

lic fert :

)4400 16500 u (2)

=

0 .0043 ]

[

0 .009 1 O,{) I IO

_

-"I'III -

I

2(01 1= 1106.6667 -

W 2 ( 1)

D ie Losu ng vo n

]

""

[ 0.4000 ] O.ROOO 1,()(XXI

56!!

I I Eigenwe rtaufguben

, (2)

lI u l 2)lI ~ ~ 0,0 110

_I oo ERR -

1

or

I

(2) _

= lIuj2)lI°o = 90.9091

-

X

U 121 _ [ 0.3864 ] lIu(2) II ", ~:~:

1_

00 2(1 ) 1_ 190.909 1- 106.6667 00 2(2) ~ 90.9091 - 0. 1733

(2) -

3. Itcrutionsschriu:

I~a 7,5~] [ ~::~~~ ] ~ [ I~~~:7500~~ ] [,0000 Di e Lo sung von L y (J ) = z(J) l iefcrt :

y (3 )

I~;:~:~~ ]

= [

16725.85 Di e Losung von U u (J) =

y (J)

1(3)

lIu 13111 _ ~ 0,0112

w

l icfcrt :

u (J )

=

0 ,0043 ]

[

I ~lI u(3ll1 _ ~ 8 9 ,6 8 1 5

O.{X}93

0,01 12 (J)_ -

X

u 131

_ [ 0, 3847 ]

lIu 13l ll_ -

~:~

_l oo 00- ro (1 ) 1_ 189.6815 - 90,9{)9 [ 1_ 89.68 15 - 0.0 137

ERR _

2 (3 )

2

(3 )

-

2

4. Iterationsschriu:

Die Losung von L y (4) = Z(4J licfcrt :

y (4 )

I~;~~:~~ ]

= [

16741.24 Die Losung von U

lI uI4l1l _~ 0 , 0 1l 2

U(4 )

=

y (4 )

licfert :

U(4 )

=

[

0 ,0043 ] 0.0093

0.0112 u 141 _ [ 0, 3845 ] - lIu(4) II ", ~:~~~

(4)_

X

11. 11

ERR =

2 002(4 ) - 00 (3 ) W (4 ) 2

I

I

=

Inverse Iteration bei Schwingungxproblcmen

569

189 .599 1- 89.68 15 1 89.599 1 = O.()(){)9

Das -ohnehin sehr genaue- Ergebnis kann zum SchluBmit Hilfe des Rayleigh-Quo tienten ncchmals vcrbcsse rt we rden :

2

_ 1,80097 . 1(f'

oomin -

20 101

= 89.5 96

~ni n = J 89,596 = 9 ,466

11.11.2 Bestimmung del' gr iillten Elgent requeuz Soli aus irgcnd ein cm G runde nicht die kleinste sondern die griifJre Bigenfrequenz bestimmt worden, wird die Eigen wertau fgabc nach ( 11.29 ) zunachst umgeformt. Die Multiplikation von ( 11.29 ) auf bciden Sei ten mit M - I Iiefert das Eigenwc rtproblem in der Sta ndardform: (1 1.32)

Die ob igc Bcziehung ist idcmis ch mit de nt Eigenwertproblem von ( 11.17). wenn wir dus Matri xprod ukt M - 1K als A und ool~'U \ als A. bctrac hten. Die Anwcndung dcr Mises-lt crution nach Abs. 11.9 auf ( 11.32) wurdc also die Eigc nfrcqucnz ool~,ax licfcm.

Ucispi d 11.14: G r iil\te Eigenfn."qucn z Fur das Beispiel 11.13 auf Scitc 566 ist d ie griifJle Eige nkreisfrcq uenz ~nu \ in 4 Iterationsschrittcn lU bcrcc hncn . Das Ergcbnis ist nach dcr 4. Iteration mit Hilfe de s Raylcigh-Quotientcn zu verbcssc rn. U j SlII lg :

Die Inverse der Massenmatr ix M ist bcso ndcrs cin fuch. weil sie cine Diagonalmatrix

isr: 0.6667

M - I = 10 -4

o

0 0.6667

[

o [

0

',333n

666,667

- 266,667

- 2 66 . 66~

533.333 - 533.333

o - 266,667 533.333

Die 1",,·Norm des Startve ktors ist lIu (O) II... = 2.

X(O ) = ~ lI u '" 11_ = Z' [Z'] ~ [ ~:~,] l

]

u{Oj =

[

', ] Z

570

I I Eigenwertaufguben

1. Itcration sschriu:

u(l) = Ax(oJ =

lI u( lIll.

666.667 - 266.667 0 ] - 266.667 533,333 - 266.667 [ o - 533,333 533,333

[

00.5.5] = [ - 200. (X) ] 133.33 I

266.67

x (l ) _

~ 266.67

_ [

u (I )

- lI u( lIl1. -

0.75 ]

-~ ~

2. Iterationsschriu:

666.667 u(2j = Ax( I) =

[

- 266.667 0 ] [ 0.75 ] [ 633,33] 533.333 - 266.667 - 0.50 = - 733.33 - 533.333 533.333 I.DO 800,00

- 266 . 66~

Ilu(2) II. ~ 800.00

(2)_

, (21 ~ lIu(2111 . ~ 800.00

-

X

u(2)

_ [

Ilu(2) lI ... -

0,79 17 ]

- ~:~~

3. Itcration sschriu:

666.667 u(Jj = At-(2) =

Ilu'" II.

[

- 266 , 66~

- 266.667 0 ] [ 0,7917 ] [ 772.22] 533.333 -266,667 - 0,9 167 = - 966,67 - 533,333 533.333 1.0000 1022.22 (3)_

~ 1022.22

-

X

u(3)

_ [

lIuO) II~ -

0.7554 ]

- ~:~~

4. Iterationsschriu:

666.667 U(4j = Ax(J) =

Ilu(4) II.

[

- 266 . 66~

~ 1037.68

- 266.667 0] [ 0.7554 ] [ 755.80 ] 533.333 - 266,667 - 0,9457 = - 972,46 - 533.333 533,333 1.0000 1037.68

, (41 ~

IIU( IIII.

~ 1037.68

(4)_

-

X

u141 _ [

Ilu14 ll1 _ -

0.7284 ]

- ~:~,:

Die griljJfe Eigcn frequenz bctntgt nach 4 Itcmtioncn ro2 = 1037,68. Der RayleighQuotient bringt cine spurbarc Steigcrung dcr Genauigkeit: X (4 )T K X (4 )

= 2469. 16

X (4 )T M X (4 )

= 2.41

~

w;nax=

2469, 16 2.41 = 1024.5

11.12 Inverse Iteration bei Stabilitatxa ufgabe n ~

w;.ax=

2469 . 16 . = 1024 .5 2.4 1

571

ro.na, = ) 1024 .5 = 32. 0 rad /s

Die mit Maple crm itte ltc grobte Eigenfrequenz bctrtigt oo'~l " X = 1023. 16.

11.12

Inverse Iterati on bei Sta bilitatsaufgaben

Sc hlanke Bauwerke bzw. dere n Tragele rnenre (z. B. Snnzen von Hoc hbausern. Stabc von Fachwerk en) kon ncn unter Druckbeanspruchung instabil werden. d .h. ihre Tragflihigkeit schlagartig verliere n. Diescr Verlust der Tragfahigkei t tritt umcr Druckspa nnungcn auf, die bct rags muuig weit urucr dcr Srrcckgrcnzc des Wcrksto ffcs liegen , z.B. lcdiglic h 10% dcr Strec kgrcnzc . Das lnstabilwcrdcn von Trugwerkcn bczcichnct man al s Kntcken . wcnn cs sich urn Stabtragwc rkc handelt : bet Platten und Sc halc n spricht man vom Beulen dcr Stru ktur. Mathem atisch wcrdcn all d iose Phunomcnc durch folgen de all gemeine Eigcnwcrtaufgabc bcsch ricbcn: hzw.

(11.33)

K : Stcifi gkeitsmatrix. KII : gcomc tdsc hc Stcifigkclt smarrtx. A : kritische Lastamplitude .

Der Vergleich von (1 1.33) m it (1 1.29) zeigt. dass beidc Eigenwertaufguben gleiche Struktur auf weiscn. Deshalb ko nncn d ie Losungsalgorithmcn des Absc hnitts 11.11. 1. insbesondere der Tabcllc 11.3 vinngcmal; auf d ie Stabilitat saufgab c angcwandt werden. wc nn d ie Masscnmatrix M in Tabcllc 11.3 durch die gcomctrischc Stcifigkcitsnunrix K g von ( 11.33) und 002 durch A

ersetzt werden. Ueispiel 11.15:

Knick last eines Ualkens

Ein Balken ist an sci ncm Ende sta rr e inges pan nt und am ande ren Endc du rch e ine ax iale Dru ckkraft bctastct. Die FEM -Mode llieru ng des Balkcns mit I Element licfert die umcn angcbcnc Eige nwertaufgab e. Es soli die tdeinste Knicklast mit Hilfc dcr invcrsc n Iterat ion bcrcc hnct worde n (Anzuhl dcr ltcrationsschritte N = 3). Die MapleLos ung ist auf Sc ire 697.

J

1_-'_ -----'--o 1.2

0]

-0 1

- 0 . 1 0 . 1333 Die I",,-Norm des Start vektors ist lIu (O) II... = I.

u (O) = [

I: ]

Amin

=?

572

I I Eigenwertaufguben

I. Itcrationsschriu:

0][' ] [ 0]

o

- 0. 1 1.2 - 0.1 0.1333 D ie Losu ng von K u ( I )

= ;::(1)

1 1

liefcrt :

U( I )

=

= [

1.\{){Xl 0.0333

0.383~ ]

0.5833

Ilu(l lll_ ~ 0.5833

A(l ) = _ , _ = I 7143

Ilu(llll_

( 1)_

'

-

x

U (I I

_

[

_

[

Ilu(l)II.. -

0 ]

~::X~

-I A( I) _ A(O) 1_1 1,7 143- 1.01_ ERR ' ( 1) - OA I7 I\, I. 7 14_~" 2. Itcrationsschriu:

o - 0.01 ] [ 0,6571 0] = [ 0.6886 0] - 0. 1 0. 1333 1.0000 0.0676 1.2

D ie Losu ng von K u (2) =

;::( 2)

licfert :

U(2} =

[

0.263~ ]

0.41 19

1 . 12111_ ~ 0.4119

Ie

( 1)_

-

I

_

lI u(l lll_ -

(2) _

2,4278

x

-

u (2)

lI u(2)II_ -

_I A(2J - A( I}I_1 2,4278 - 1,7 1431_ . ERR A(2) 2,4278 - 0.294 3. Itcration sschriu:

o

D ie Losu ng von K u (3 ) =

;::(3 )

[

-o.~ ] 0.639~ ] ~ [ 0.667~ ]

1.2 - 0. 1 0. 1333

liefe rt :

0.0694

1,0000

u (3)

= [ 0.257

~]

0.4030

0 ]

~:~

I L13 Zusarzfiche Bcispicle

Ilu''' II_ ~ OA030

I

1 (0 _ _ '_

,

ER = A() ) - A(2j R

A(3)

- 2 482

- lI u"' II_ - .

I~ 2 1

X (3 )

=

u (3 )

11"(3)II""

=

[

573

0 ]

0.6380

i.oooo

,48 15 - 2,4278 1 = 0 022

2,4815

.

Die Anwe ndu ng des Raylcig b-Quc tientcn nochm als verbcsscrt werden :

1,228

A.,nin = 0,494 = 2,48 6

Das exak te Maple-E rgebni s bctragt ebe nfalls ?.min = 2,486, d.h . die Konvergenz der Iterat ion nach Au fste llung des Rayleigh-Q uotienten ist cxzellent. Anme rkung : 1m vorliegenden Beispiel ist der Balken ist ledi glich mit einem fi niten Element diskrensien worden . Die Finite Eleme nt Methode (FE M) selbst ist ein Nabcrungsverfuh ren. welches urnsc gcna uere Resultate licfen. j e mehr Elemcn te vcrwendet worden. Daher ist bci dcr ob igcn Los ung cin gcwisse r Fchler gcgc nubcr der exakten Knicklast nicht zu vcrmc idcn - auf dicscn strukturelien Fchlcr hat die numerisc he Eigcnwcrt- Itcration keinen Ein fl utl. Die cxakte Lustumplitudc, d ie sog. Eulersche Knicklast, fur den obigen Balken bctrngt A = 1C 2EI /( 2L)2 = 2,467. Bcm crkcnswcrt iSI. dass die rccht grobc Diskretisic rung mil emcm cinzige n finircn Element cin durc haus brauchb arc s Resultat (=2,486) gclic fert hal. der relat ive Fehler bctragt lcdiglich 0.77%.

11.13

Zusatzliche Beispiele

u etsplel 11.16 : Fur das Eigenschwingun gsprobl em in Bei spiel 11.5 auf Seite 54 1 soli die kleinste Eigen kreisfrequcnz cound der zuge horige Eigenvektor nac h der Iterationsmethodc unter Verwendung des angege bcnen Startve ktors u (Oj bcrechnet werde n. Einzuhalte nde Iterations tolera nz fur co2 isl e = 0 .0 I.

K ~ [ 120m - 2000

- 2/X)() ]

2000

M ~ [ 80

o

0]

40

Die kleinste Eige nfrcquenz wird mit Hilfe dcr inversen Iteration nach Tab, 11. 1 er mittell. I. ltcr ation sschriu:

Losu ng von Ku (l ) = z(O :

lI u"' II_ ~ 0.0320

574

I I Eigenwerta ufguben

2(1 )

W

1

x (J) _ ~

= 11 11(1 )11_ = 31.25

~

_

11 11(1 )11_ -

0,3750 ] Lonon

[

2. Itcratic nsschriu: U ( 2)

~ ( 2)

Ilu(2) 1I _~ 0 ,0 27 0 ERR =

ro-

2 2 W (2) - W (2)

I

~

(1)1

w2

=

1 Ilu121 11-_ ~ 3 7 , 03 7

= [ 0,0070 ]

0,0270

x (2 )

137,037 - 3 1,25 1 37.037

= ~ = [ 0,2593 ]

Ilu(2) lI _

1,0000

'

= 0.156_ > £

3. ltcration sschritt: Z(3)

Ilu( 3)

=

Mx(2 )

= [

II"" = 0.0261

20,74~~ 2(3 )

w

2 W 2(3 ) - 00 (2) 1

ERR =

w 2(3)

1

]

= _ ' _ = 38 3523

lI u(3)II _ " '"

=

1 38

= [ O,lX161 ]

U( 3 )

x

(3)

0.0261

=

037 1 .3523 , - 17 . . = 0 0343 38.3523

.

~= lI u(3)II_

[ 0,2330 ] 1,0000

>£

4. Itcrationsschriu:

18.6364 ] 40 1' 1

Ilu 1I_~ (J,O'59

W 2(4) _

-lIul"II_ ~ 38 ,6643

2

002(4) - 00 (3) 1

ERR = 1

Ueispiell1.l 7:

W2(4)

=

U(4 )

= [ 0.0059 ]

x (4) _

0.0259

~

_

-lIul"II_ -

138.6643 - 38.3523 1 38.6643 = 0,{X)8 1

[

0,2267 ] 1,0000

< e ,f

Kleinste Eigenfrequenz

Das Eigcnschwingungsprohlem ci ncr Hocbbaur ahmenkonstruktion wird du rch des Ei· gcnwcn problc m Kx = 00 2 M x bcschr icbcn . wohc i K die Steifigkcitsmarrix und M die Massenmatrix . 00 d ie Eigcnkrcisfrcqucnz und x den Eigcnvekt or bcdcutcn. Die fur den Nachweis der Erdbebc nsicherheit bcnorigtc niedrigste Eigenfrequenz 00 2 so li mit Hilfe dcr Power-Iteration, ausgchcnd vom angcgc bcncn Start vektor x (O). bcrcchncr werde n (d ie zugchorigen invcrsc n Matri zen K - 1 und M - 1 sind zwec ks Arbcit serlcic h-

I L13 Zusarzfiche Bcispicle terung angcgcbc n).

5

K = 10

K- 1

[

- OA 67 0 ,933 - OA 67

1.027

- OA6~

~ 10- 5 [

1.786 1,786 1,786

-OA6~ ]

1.786 3,929 3.929

OA 67

1,786 ] 3,929 6.07 1

1

n

0 2 0

4[ 3 M = 10 ~

M - = 10-

4

x {Ol =

[ 0.333 0 0,5 ~ 0

575

[~ ]

n

Das allge mei ne Eigcnwertp roble m Kx = w 2 M x wird zunnchsr in ein spezielles Eigenwertpro blem At" = AX uberfuhrt :

Ldsung:

=> At" = AX

_ [ 05 357 0.5357 0 5 357

A-

mit dcr Abk ilrzu ng

0.357 1 0 , 1786 ]

0,7857 0.3928 0.7857

0 ,607 1

Die Anwe ndung der Mises-Iteratio n licfert den grc btcn Eigenwert A,m" 'I US de m dann die kleinste Eigen frequenz w'~' i n besttrnmt werden kann. Berens nach 3 Iterationen stellt sich befriedige udc Konvergenz ein und man er halt folgendes Ergebnls (aufgru nd dcr starkcn Konvergenz kunn sogar auf die Berechnung des Rayleigh-Q uotienten verzic htct wcrde n):

x (3 )

=

OA833 ] 0 ,8610 [ 1,0000

Betsplel 11.18 :

2 I I 2 Wmin = ~ = 1 <42 = 0 ,648 rad / s "fila,

,.1

O rthogon a litiit von Elgenvektoren

In Beispielen 11.13 und 11 .14 wurdcn jcweils d ie kleinste und die grilj3re EigenkreisIrcqucnz, ro.nin = W I bzw. ro.nax = w... bcrcchnct. Untcrsuchcn Sic . ob die zugchorigcn Eigc nvck torc n XI und XJ die Orthogonalitaubeding uneen crfljllcn.

[ 0.384' ] ' 10' x [ Kx ., = 0. 8320 1.0000

[ 0 384' ] ' IOJ x [Mx J = 0.8320 I .OO(XJ

[

I - OA

[

0

- OA

0,8

- OA

IS

0

(]

IS

(]

0

-O ~ ]

0 ]

7,~

[ - 07284 0 ,9372 ] = 793 I.O(x)O

OA

[ - 00 ,9372 7284 ] = 4.8 1,0000

576

I I Eigenwertaufguben

Das Resultat konn tc zunncbst ubc rrascbcn . weil es -entgege n dcr Erwartung- nicht N ull ist! Das licgt darun. dass die Gcnaui gkcit dcr Eigcn vck torcn noc h nich t cxtre m hoch ist (obwohl di e Eigcnwcrtc sc hr gut kon vcrgicrt habcn). Tmtzdcm karin ingenic urma uig von dcr Erfiillung dcr Orthogo nalitatsbcdingung ges prcchcn werden - zur Rcch rferti gun g bcrrachten wir folg cndc (sog . generolisierte'i Grotlcn :

xfMx l = 20 100

xrMx~ = 28633

Der Vergleich dic scr Zahlen wcrte m it dcnen obcn (d.h. mit xf Kx.~ und xfMx.~ ) zcig t, dass di e Zahlcnwcrtc in den Ort hogonaliuns bczichu ngcn vcrschw indc nd klei n sind im Verglei ch zu den ge nera lisierten Groton. Z.B. bctragt der Quotie nt xf Kx.l / xi KXI = 793/ 1.8 · 10(, = 4.4 · 10 - 4 ::: O. Man kann also - tngcnteurmeutg- die Ort hogcnulitatsbcd ingu ngen als erfu tn bctrachrcn. Die Ubcrpru fung dcr Onhogonalitat mit Hilfe von dt rckt cn MlIl"e-Pro zed urcn zc igt. dass dic sc tatsachlich crfullt sind. s. Beispiel auf Scire 698: xfMx~ = - 0.77 . 10- 6

xf KX3 = - O.(}(){)82 :::::: 0

Aufgaben

11.14

I. Mit Hilfe de r power me/hod bzw. der inversen ttenuion sind der grofire bzw. dcr kleinste Eigenwert und d ie zugcho ngcn Eigcnvcktorcn dcr Eigenwcrtaufgabe (A - A..! )x = 0 zu berechnen (Startve ktor u (Oj . Anzah l dcr Iterationsschritte N) . Ubc rprilfcn Sie femer, ob die berechnct en Eigen vcktor cn di e Orthogonaliunseig enschaften erfilllc n.

a)

A

~

- I 0.5 [ - 0.5 0.5 4 - )

-05 ] 0.5 2

U(O)

=

[=n

N ~5

f.jj,nm g: Zu nachst wird die Inverse von A gc bildc t: A-I =

[

0.5455

1.2727 - 0.18 18

1.2727 5. 6364 - 1.0909

- 0,18 18 - 1,0909 0.7273

]

Allm.: Stan dcr Bcrcchnung dcr InverseA - I ware die Losung auch m it der LU-Zerlegung von A rnogfich . s. Absc hnitt 11. 10 und Bcispiclc 11. 12 und 11 . 13. I. Eigenwert und Eigcn vcktor : Al

= 0. 1623

- 0.2334 ] Xl =

[

- I.{){){){)

Ort hogonalitntspr ufung :

0.2085 xix, = 0 .2 · 10 - 5 /

3. Eigenwert und Eigenvektor:

A 3

= 4,42 18

X3 = [

-~:~){9~:~ ]

- 0. 2754

xi Al) = 0.9 · 10- 5 /

11.14 Aufgabe n

h[

h)

6 3

-3

3 -3 ] 10 3 8 3

W"',,", A-I ~ [ Al = 1,709

x (O}

0.3381 - 0. 157 1 0. 1857

[

XJ =

xiX 3 = O,{)() 15

=

[]

- 0,157 1 0, 1857 - 0,\ 286

577

N =4

0. 1857 ]

- 0. 1286 0.2429

1.0000 ]

A.l = 12,282

- 0.6445 0.7847

X.l

=

0.2636 ] I ,CK)(x)

[ 0,4873

xiAt"3 = 0,0 150

Mit rnchr Iterationen wurdc die Genauigkcit insbesondere dcr Eigcnvcktorcn steigcn und auch folglich ware die Onh ogonalitatsbcdingung noch bcsscr erfLi lit wcrden ; L B . nach 6 Itcrutionen (N = 6) licfert der Onhogonahtarschcck (aile BcrcchnunAt"3 = O,{KKl3. gen mil 10 Dezimalstelle n durch gefuhrt): Xl = 0.00003,

AIIII I.."

xi

<)

A ~

-2

[ - 42 0,5

U i.\·UIIR: A - I

3

05 ]

-2

-2

=

Al = 0.8238

x (O)

=

4

xi

[]

N =3

[ 0.4 156 0,3636 0.1299 ] 0,3636 0,818 2 0,3636 0. 1299 0.3636 0.4 156

XI

= [

~:~){~ ]

A.l = 6.676

x, = .

0,5447

0.9307 ]

[

- I (){){){)

0:9307

xiAt"3 = 0.0185

xi x _\ = 0 .0 139

2. Fur das Eigcnschwingun gsproblem in Beispiel 11.5 auf Scitc 54 1 so il die Rri~f3le Eigenkrcisfrcqucnz w und dcr zugchongc Eigcnvcktor nach Miscs-ltcration (vgl. Scitc 569) untcr Verwend ung des angcgcbcncn Sturtvektors u fO}. Einzuhah cndc Itcrationsto lcranz fur WZ ist e = 0.0 1. K _ [ 12000 - 2000

-2000 ] 2{){){}

M_[ 80 0] () 40

L sg : Die Iterat ion ahnlich wie in Bcipicl 11.1 4 licfert die gcfordcrtc Genauigkcitstolcrunz nach 5 ltcrationcn (ohnc Bildung des Rayleigh-Quot ienten): W

ZI

"

= 16 1.06

w = 12,7

x, ~

~ [

I.(XlO ]

- 0.448

ER R = 0.003 < 0.0 1 ,(

578

I I Eigenwertaufguben

3. Die Eigcnschwingung cines 3-Masse n-Schwingcrs wird durch folgcndcs Eigcuwcrtproblem bcschricbcn.

-'2

m, o M "",

1.1+1.3 - 1.3

0

[ o

~

1//3

]

Fcdcrstcifigkcitcn und Masscn: kl

"'"

12

20 - 8 - 8 16 o -8

1113 := 4

-~ ]

M=

8

[ I~ ~ ~ ] 0

K- I

0 4

"",

0 .08333 0 .08333 [ 0 .08333

0.08333 0 .20833 0,20833

0 ,08333 ] 0 ,20833 0 .33333

a) Erm itteln Sie die MatrixA , wenn diese allgemein e Eigenwertaufgabe in cine spezielle Eigcnwcrtaufgabe der Form Ax "'" w1 x (zwcc ks Bercchnung des grilBten Eigcnwertes) iibcrfllhrt wird.

L5g:

A "'"

[

2.00 - 1,00

a

- 0.80 2,00 - 2,00

0 ] - 1,00 2.00

b) Ermittel n Sie die Matrix A . wenn diese allgemeine Eigenwertaufgabe in cine spedelle Eigenwertau fgabe der Form Ax "'" ( l/w1)x (zwecks Bcrechnung des klein stcn Eigen wertes) uberfbhrt wird. 0 ,83333 A "'" 0 ,83333 [ 0 ,83333

0 .66667 1.66667 1,66667

0 .33333 ] 0 ,83333 1.33333

c) Losen Sic mit Hilfc dcr Miscs-Itcration d ie Eigcnwen aufgabc nach dcr kle inste u und der griifJlnl Eigenkreisfrequenz w1 unrer Verwendu ng des Startvektors

Die Anzahl dcr ltcnnionsschriuc bctragt N "'" 3. U i,mllg :

I. Eigenw ert und Eigenvektor:

0040 18 ]

X I "'"

[

Onhogon alitlltspriifung:

0. 8336

1,()(XX)

x fKxJ "",O,I O

3. Eige nwert und Eigenvekror:

12

Liisung von nichtli nearen Gleichungen

Eine nichtline are Gleichung [ (xl zu tosen heiiit, d ie Nu llstelle r zu ftndcn. wo I {r ) = 0 ist. Wird die Funktionskurve y = f (x) im .ej- Koo rdt narensysrern wic in Bild 12.1 grafisch da rgestellt , entspricht d ie N ullstelle dem Schnittpunkt zwisch en de r Kurve und dcr x-Achse . In el nfac hen Fal len IaBI sich cine nichtl inearc Gleic hung (Nl.- Gleic hung l auch mit Hilfe von Formclsamm lungcn {z.B. qu adrati sche odc r kubischc Polynome ) odc r auf Erfahrun gsgrund lage losc n. Beispicls weise weig man i.d.R . auch oh ne lange Rechnung dass x = I die Losung von f (x ) = In x isr. 1m allgcm cincn wird cs ubcr nich t moglic h sci n, cine Nl.-Glcichung solc hcrmafjcn cinfach zu losen. In solc hcn Falle n ist dcr Einsatz nurncrischer Los ungsvcrfahrcn sinnvo ll bzw. notwcnd ig. Naehfolgend wird eine EinfUhrung in dic sc Mctbodcn gegebcn.

pf(x)

Bild 12.1: Nullstelle einer nichtlinearen Punkuon

12.1

Regula Falsi

Die Methode reg ula fa lsi (s.Mcthodc dcr fulschcn Position«, au ch Ei nge be lu ngsverfuh re n gcnannt) ist ci ne bclicbtc lteratiansmethode zur Bcstimm ung dcr Nullstcllc r c incr bclicbigen Fun ktion [ (x ) = 0 (Bild 12.2). Zum Startcn dcr Itera tion werd en ::'l I'ei .r-wcrtc tI und b bcnorigt. die so zu wahlen (zu schntzc n) sind, dass d ie zugehorigc n Punktion swcrtc [" = f (a) und f b = f (b ) verschiedene Vorzeichen haben (der ci ne Funktion swert positiv. der andere negativ). Die sc unters chicd lichcn Vor zeiehen stel len slc her, dass irn Interval! [tI, hI ci ne Nul1 stelle r der Funktion vorliegt, d.h. di e Funktionsk urve f (x ) die x-Achse bei r schneider.' Zu den Startwerten a und h ge horen die Punkte A = (a, f,, ) und B = (h ,fb) auf der Funk tionsku rve . Die Ver bindun gsgerade L de r Punkte A und B schneider die .r-Achse an dcr Position x = c (Bild 12.2). wclche c ine cine vcrbcsscne Schtitzu ng fur d ie ges uchte Nullstelle durstellt (verbcssert dcswegen. weil c nahcr an s licgt als a odcr h). Dcr Wert vo n c JaBt sich m it Hilfc der Steigung 111 dcr Vcrbin dun gsgcrad c bestimmcn. I Das is! einc Folgc des Mill<'l",enml : e.\ dcr lnfuutc simalrccbuung.

5XO

12 Losu ng von nichtlincare n Gleichu ngen

y f,

..-;.

L ......

B

y=f(x)

. .....

bi

c'

A'- -=/

.•.. .;.

'c' ............." ,

A-.---------········

x

:p

Bild 12.2: Regula Falsi (Ei ngabclungsverfahren)

Bcsnm mung von III aus dent Drcicck ABP : Bcstlm mung von III aus dcm Drcicck eBh :

111 =

I»-

j"

---

h- a

m=-hJ,-e -

Gleichsetzeu der heiden Beziehungen und Auflosen nach III liefert d ie erste Schatzung fur c ; c= b-

~(""-_,,,,,l'fh.!?' fh

t,

( 12. 1)

Im 2. ltcrationsschritt wird die nachstc -noch genuucrc- Nullpcs ition c' bestimmt und diose neue Position dcr Variable c zugcwicsc n. Nach dcm crstcn ltcrationsschritt ruusscn abet auch d ie Wcrte von a und h ncu ungcpasst wcrdcn. um korrckt wcitcr itcricrcn zu konncn. Es muB namhc h festgcstellt werden, in wclchem Intervall sich d ie Nullstclle augenblicklich hcfindet. Es extstlcrcn hicrfur drci Moglichkcitcn: a ) sign L = sign j,. (j" und j" habcn glelches Vorzeic hen). Die Nullstelle r befindet sich offensic htlich im Intervall [c. hI. Ocr alte Wert der Variable a wird durch de n aktucllc n Wert von c crscrzt (b blcibt unvcrandcrt). Auch dcr alto Funktionswcrt f u muss jctzt durch cinc n ncuen ersctzt worden.

a := c.

dannf (a ) ncu bcrechnen

Die verbcsse rte Nullstelle r ergibt slch nunrnehr durch sinngemase Anwendung von ( 12.1) auf das neue Intervall [a.b]. b) sign Ib = sign [c (fb und Ie habcn glcichcs Vorzcichcn). Die Nullslclle r bcfindct sich im Intervall [a.e]. In der Formel (12.1) wird dicsmal die

12. J Regula F
51:1 J

Variable b du rch c ersct zt (a bleibt unvcrandcn ). Oer Funktionswert II> wird neu bcrechnct. b := c,

da nnf (b ) ncu bcrcc hne n

Die verbessc n e Nu llstelle r ergibt sich wiedcr aus ( 12. 1).

'I f (e) ~ O Die Nullstcllc r ist schon gcfundcn und kcinc wcitc rc Iteration crfordcrhch. In dcr Praxis wird di e Bcdi ngung f (c ) = 0 nur in Ausnahmcfallc n exakt errutn worden konn en . wcil auf der rccllcn Zahlcnac hsc uncndlic h vielc Glcitkomrn azuhlcn existicrcn (ein Taschcnr ccb ncr odcr ein Co mputer kann Zah len nur mit endlic hc r Gcnauigke tr darstel1en). Deshalb verwcndet man in dcr Pra xis die Bedingung f (c) : : : : o. Bei m Programmferen wird d ies ausgedriickt durch

e wird als 'Ioleranz bzw. Gena ulgkeitsschra nke bezeichnct: sie lsr elnc kleinc posit ive Zahl, 1..B. e = 0 .001 , die vom Anwen der zu wahlen ist.

Ocr ltcrutionsalgorithmus fur regula [als i ist in Tabcllc 12.1 zusummcn gcs tcllt.

lleispiel 12.1:

Regu la Fa lsi

Mit Hilfe von regula fa lsi soli die nich tlineare Gleichung

,

getost werdcn. Die au f Nullstellen zu umersuche nde n Intervalle sind [0. J] sowie [2, 5]. Ais Konvergenzkrtrcdum wird die Ge nauigke itsschranke (Toleranz) e = 0 .00 1 gew ahlt. Die ma ximale Anza hl de r Itcmtionssch ritte ist

2

,

3

N ~6.

Losung mit Regula Falsi im Intervall (0 . I]

k a 0 0

b 1

fo 1

fh 2.1

I

I 0 .397

0 .258

- 2.1 - 0 .0326

2

0 .323 0 .323

0.258

c

f,

0 .3 23 0 .397

0 .258 - 0 .0326 0 .0009 < e

0.389

r = 0 ,389

Lo sung mit Regula Fal si im Interval! [2. 5]

a 2.000 I 2.000 2 2.000 3 2.000 4 2.000 k 0

b 5.000

f"

3.574 2 .798 2.6 18

-

2.599

f, 1.46 1.46 1.46 1.46 1.46

1.32 1.42 0.426

0.0452 0 .00 336

c 3.57 2.S 2.62 2.6 2.6

f, 1.42 r = 2.6

0 .426

0.0452 0.00 336 0 .000239

<e

4

5

5X2

12 Losung von nichtlincaren Gleichungen Tabelle 12.1: Algo rithmu s Rl'gli la Fals i Bestimmt die N ullstclle einer nichtlinearcn Gleichung f (x) = O. EINGA BE (IN PUT) : - E:: : Tolcranz tGc nauig keitsschra nkc j

rur den Punk tion swcn

- N : ma ximalc An zah l der Itcrarionc n. - a.b : Intcrvaltg renzc n beim Start der Iteration

AUSGA BE (OUTPUT): Ndhc rungslosung ft ir die Nullstellc von f ix ) und cine Erfolgsrneldung (bzw, Wamrneldung, wenn Konvcrgenz nicht erre ic hr wird ). ALGORITHM US: f ,, = f (a ). Ib =f(b ) f o r k: = 1.2.· · · .N do

c = b - (h - a ) * fb /(fb - fr, ),

t- = I lc) if

I/cl < E:: : Iteration abbrcehen (Ko nvergcnz erreieht).

if sign I« = sign

a = c, else b = c, end i f end d o

t.

fr, = f ,. fI, = [' ·

(" und fr-a usd ruc ken, i f Ifel < E:: : Erfolgsmeldung uusdrucken : unso nsten Wammeldung. doss Ke evergenz nic ht erreicht wurde.

Anmerkungrn: I . Regula Falsi ist de utlich sc hneller als das Blseknonsverfuhren . Dus Bisektions verfahren basicrt auf verkctte ter Halbierung des die Nullstel1e c nthaltendcn Intcrvalls: es isr zwar hcsondc rs ei nfuch 1.U bandbubcn. ko nverg iert jcdoc h langsamer. 2. In seltcne n Fa lle n. z.B. bel e iucr cxtrcm Ilach vcrlaufcndcn Funktionskurve. kann es in Kombination mi t cin er ublichen To lcran zvorgabc (z.B. £ = 10- 3 bis f = 10- 2) vorkonune n. dass dcr konvcrgicrt c Funktion swcrt j,. die Tolc ranz zwar umcrschrcu ct. die Genauigkcit dcr gc fundc nc n Nullstellc j cdoc h noch cine gc wissc Unscharfc bcsitzt . Zur Sic hcrs rcllu ng ei ncr votlstimdigen Konvcrgcnz wird dahcr fur reulc Anwendungen cmpfohlen. nicht nur die Bedin gung If (c)1< £ zu abcrprafen. sondc m auch d ie A ndcrungsrare der Nu llstelle c zw ische n zwei aufeina nder fol gend en Iter ationssch ritten zu uberwachen. Eine volls tandigc Konvergcnz ist ga ramiert. wenn d ie Bed ingung (I({'k - Ck _l )/ ol) < e cbcn falls erfiillt lst.

12.2 Fixpunkt-Ite ration

12.2

51:13

Fixpunkt-Iteratio n

Die Fixpunkt-lte ration ist ein cin tachcs Verfahren zur nahc rungswcis en Bcst inu u ung der Nullstellc n ei ncr niehtlinearcn Glcichung f (x) = O. Dabei wird d ie Ausgangsgleichung f (x) = 0 zun achst mit Hil fe gccignctcr Umform ungcn in die Form

If( X) - 0

UlIlf orlllllllX

" (x ) - 8(X)

I

(12.21

gebracht. Anschlicfc nd wi rd fur die unbekannte N ullstcllc x· ein Srartwert XI) gc wa hlt und in d ie rectne Sc itc X(x) von (12 .2) ci ngcsc tzr. Dcr au s dcr Auswc n ung von g(x) mit XI) rcsulticrcndc Zahlcnw ert go licfcrt cine neu e Glcichung "(x ) = go, dcrcn Wurzel Xl zu bcsummcn ist. Die gcgc nnbcr dcm Startwert x() ver bcsscrtc Nulls tcllc nsc hatz ung Xl wird dan ach cmc ur in d ie rechte Sci tc X(x ) eingesetzt . dabei ei n ncuer Zahlcnwcrt Xl = X(XI) bcrcch nct und anschlieBcnd aus h(x ) = Xl wicdc r ci n wel ter verbesse rtc r Schm zwen X2 er mftte u. Diese Irer adonsfolge liefcrt cine Zahlcnfolgc xo, .rr, X2 , X) . ' . '. welche gegc n die ges uchte exakte Nullstelle x· kon vergiert:

g(xo ) ...... XI)

Lo sung von

h(x) = Xo

liefert .q

8 (XI ) ...... ,III

Losung von

" (x) = 81

liefert X2

8(X2) - ,112

Losung von

" (x) = 82

Jiefert x)

Die Verall gcm eine rung dicscr Ar bcitssehritte Iiefen d ie Rechcnvorschn ft dcr Ftxpunkt-Iteretlon- :

Fixpunkt-lseration

(12.31

Sonderfall h(x) ss r 1st h(x ) = .r , dan n lautet die zu losend e G leich ung

(12.41 Die obc n bescbric be nc ltcratio nsfolgc licfert : Xl = g(xo ) Die lteratio nsformellautct fur die sen So nde rfull:

( 12.51 Die Umform ung von f (x) = 0 in die G1cichungsfor m h(x) = g(x) kann au f victfaltigc Weise er fo lgen - mit je weils untcrschicdlichcm Ergebnis fllr h(x) und g(x ). Dcshal b kann die Za hlcn folgc dcr ltcratio nswertc XI , X2 , X) , ••• jewci ls auch uruc rschiedlich sci n. Ebcn so hangt die Konvergen zrare vom jeweiligen h(x)/ g (x)- Paar abo 2 lNr Name h
584

12 Losung von nichtlincaren Gleichungen

Abhruch d er Iteration. Die Iter ation kann als konvergiert bctruchtct werden. wenn die relative Differcn z dcr lctztcn zwe i au fcinundcr Iolgcnd cn Nullstcllc n cine vorgegc bcnc Taleran: urucrsch reitct:

I

Xk+.1 - Xk -' H I

1<e

Konvergenzbedtn gung. Einc eusge pragte Sc hwachc der Fixpunkt-Iteration ist. dass die Funktionen II(xl und g(x) in der Nahe der Nul1 stelle x· bcstimmre Bedin gun gen erfullen mussen . da rnit das Verfahre n uberh aupr ko nvergiert. Diese Bed ingun gcn sind:

Il (xll < 11,'(xll Ig'(xll < I

Illr die Glcichungsform (1 2.2)

( 12.6)

fur die G leichungsform (1 2.4)

Falls die Bcd ingung ( 12.6) nicht erfiillt wird. ([;11 e ruwedcr Divergcnz auf ode r die Nullstelle oszi llicrt zwisc hen zwci w crtcn (Pingpo ng-Effckr). Ein c Abh ilfe konnrc die Modifi kation dcr Teilfunktionen g(x) und h{x) sc haffen. wenn dadurch die Bedingung (12.6) doch noch erfullt werden kan n. IJeispieI1 2.2: Fix punkt-Iteration Mit Hilfe von Fixpunkt-lteration so li d ie nichtlincarc Glc ichung

f (x) = 1- lo.U,- ,f sin x gelost werden. Als Konvergenzkriter ium wird die Gena ulgkcit sschranke (Tolera nz) s = O,{XH , Die ma ximalc Anzahl der ltcrauon sschritte ist N = 6. 2

3

4

5

-2

a) U jsllllx sweX I

Wir wahle n folgende Umformung fur f (x):

f ix) ~ h(x )g(x)

mil

lI(x ) = x

e'

X(x ) = IOsinx

Die nichtlin car e G leichu ng licgt in der Form von ( 12.4) vor. d .h. x = X(x ).

12.2 Fixpunkt-Iteration

Itcration nach (12.5) licfert : k 0 I 2 3 4 5 6

x,

X(Xk )

Xk+l

ERR

0 ,3(XX) 0,4568 0,3580 0,4082 0,3789 0 ,3949 0 ,3858

0.4568 0 .3580 0,4082 0.3789 0.3949 D,3858 0.3909

0,4568 0 ,3580 0,4 082 0,3789 0,3949 0,3858 0,3909

0,343 0.276 0,123 D.078 D,04D D.D24 D.OJ3

Die Konvcrgcnz wird in 6 Itcrauo nsschrinen nicht erreicht. dcr rclauvc Fchlcr im lctztcn Irerauonsschriu ist 1,3% (licgt also ubcr dc m vorgegchenen zulassigen Feh ler £ = O,lXl l ). Die bcim Ab bruch der Iteration bcrcc bnctc Nullstelle iSI r = D.3909 . Die Losungsfolgc ist abc r offcnsichtlich doc h konvcrgent. Die 10- .1 wurde tatsachlicb nach N I I ltcrationsschritvorgegebcne Toleranz e ten erreic ht (in der Tabelle nicht gezelgr . fuhre n Sie diese Iteratio nssch ritte als Hausaufgabe aus !).

=

=

Konve rgenzbedingung nach ( 12.6) wird im Bereich der Nullstelle .r" = 0 .4 crfullt:

'( l

Kx =

lOe' (sinx -cosx) 100 sin 2 .r

h' (x ) = I h ) Lij,nlllg.nre g

/,'(x' ) = I

,'(x' ) ~ - 0.523

., Ix'V )I < Ih'V l l

0 .523


2

Wir wahlen folgen de Umformung fur f (x):

f (x ) ~ h(x) g(x)

mit

h(x) = sin x

g (x) ~

-

e'

lOx

Dicse Wahl c ntspricht der Form h(x ) = g (x ) der Gleichung ( 12.2). Iteration nach ( 12.3) licfert: k

x,

X(Xk )

0 0.30DO 0 .4500 0,4 667 2 0 .3487 3 0,4 185 4 0 ,37 16 5 0,4009 6 0 .38 17 I

0 .34 17 0,4064 0.363 1 0.3902 0 .3725 0 .3838

Xk+l

ERR

0,4667 0,3487 0 ,4 185 0 .37 16 0,4 009 0 ,3817 0 ,3939

0,357 D,338 D, 167 0, 126 D.073 0 .050 0 .03 1

Auc h hic r wird die Konvergc nz in 6 Itcrationsschrltten nicht crrelc ht. dcr reta-

51:15

586

12 Losung von nichtlincaren Gleichungen tive Fehler im letztcn ltcrarionsscbriu ist 3 ,1%; die nlihcrungsweisc bcrechnctc Nullstellc ist r = 0.3939. Die Losungsfolgc ist abcr offcns ichtlich konvcrgcnt. Die vorgegcbcnc Tolcrunz £ = 10- 3 HiBt sich unsachlich nach N = 15 ltcrariousschrittcn crretchcn (in der Tabcllc nicht gcze igt). Konvergen-bedingung nach (12.6) wird im Bereich dcr Nullstcl1c x' = 0,4 crHillt:

'( ) _ IOe'(x - l)

g .r -

h'(x) = cos x

I 2 3 4 5 6

.,

1, '(x' )1< 1/,'(x' )1

h'(x' ) = 0.92 10


k 0

g' (x") ~ - 0 5 594

lOO x2

mit

0.5594

< 0.9 2 10 .j

g(x) = lOx sinr

h(x) = e'

Xk

g(x,)

xH I

0.3000 - 0 ,1204 - 1,9336 2.8947 1,9566 2.8975 1,9465

0.8866 0. 1446 18.07 74 7.0754 18. 1279 7.0038 18. 1072

- 0.1204 - 1,9336 2.8947 1,9566 2.8 975 1.9465 2.8963

ERR 3,492 0 ,938 1.668 0,479 0.325 0 ,489 0.328

Bei dicscm h-g-Paar stc llt sich kcin konvcrgicrcndcs. sondcrn cin altcrniercndcs Vcrhalten hci dcr Folgc von .r-Wcrtcn cin. Dcr relative Fehler im lemon ltcranonssc hritt ist 32,8 %. Konvergen-beding ung nach (12.6) wird im Bereich dcr Nullstcllc x' = 0 ,4 nicht erfullr: g' (x ) = 10 sinx + lOx cosr

II'(x ) = e-'

h'(x' ) = 1,492

g' (x' ) = 7.578

18'(x')I

~ 1/,'(x' )1

7.578

> 1.492 ?

12.3 Zusarzfiche Bcispicle

12.3

51:17

Zusatzl iche Beispiele

lJeispiel 12.3:

Regu la Falsi Mit Hilfe von regulafotsi soli die nicht lincarc Glcichung

,

f (x) = 1 - IOxe- -' cos x gelost wcrdc n. Die auf Nullstcllcn zu untersuchc nden Intcrvalle sind [0. I] sowie {I, 2]. Die Oenauigkeitsschranken (Toleranz) ist e = 0.001. Die maxim ale A nzahl dcr Itcrution sschrittc betrilgt N = 6.

,, ,

-,

Nullstellensuche im I nt e r va l l [a ,b]=IO .OOOOOO , 1.000000) k a b fa fb c fc o 0 .000 1 . 000 1 - 0 . 98 8 0 .503 - 1. 66 1 0 .000 0 .189 0 .503 1 - 1 . 66 - 0 . 53 5 0 .189 1 -0 .535 - 0 . 07 91 2 0 .000 0 .123 0 .114 3 0 .000 0 .123 1 - 0 . 07 91 - 0 . 0 10 1 4 0 .00 0 0 .113 - 0 . 00 12 8 0 .114 1 - 0 . 0 101 0 .113 1 - 0 . 00 12 8 5 0 .000 0 .113 - 0 . 000 1 6 Die Nu11 s t e 11 e ist : r "O . 11 2 65 7 (Konve r ge n z e r re i c ht) Nu11 s t e 11e ns u c he im Interva11 [a , b ] = [ 1 . 0 00000 , 5 . 00000 0) k a b fa fb c fc o 1 .000 5 .000 - 0 . 98 8 0 .904 3 .09 2 . 41 1. 000 3 .088 - 0 .988 2 .4 1 1 .6 1 1.12 1 2 1 . 000 1 . 608 - 0 . 98 8 1 .12 1 .28 - 0 . 0024 8 1. 28 5 1. 608 - 0 . 0024 8 1 .12 1 .29 0 .000114 3 Die Nu1 1 s t e 11e ist : r=1 .28564 (Konve r ge nz erreicht )

s

SXI!

12 Losung von nichtlinc aren Glcichungcn

Hd spid 12.4:

Flxpunkt-Ite ratlon

Mil Hilfe von Fil1Jlm kt. l rf> m film sell IIiI' nich tli nea re G le;ch llng

f (x) = 5 Inx - x gelost werden . Einzuhulte nde Toleranz betrngr e = 0 ,00 1 . 4

o

2

4

6

,8

10 12 14

-2

Liisllllg: a ) Losungsweg

I mil

h(x ) = x

g(x) = 5 lnr

Iteration naeh (12.5) mit Stanposuion Xo = 2 licfert d ie Nullste lle r = 12.7063: g (x_k ) x _k 2 .0000 3 .4657 1 3 .4657 6 .2146 2 6 .2146 9 .1345 3 9 .1345 11.0603 12 .0168 4 11.0603 5 12 .0168 12 .4315 12 .4315 12 .6012 6 7 12 .6012 12 .6690 8 12 .6690 12 .6958 12 .7063 9 12 .6958 Konvergenz erreicht k

0

x_( k+ll 3 .4657 6 .2146 9 .1345 1 1.0603 12 .0168 12 .4315 12 .6012 12 .6690 12 .6958 12 .7063

SRR 0 .4229 0 .4423 0 .3197 0 .174 1 0 .0796 0 .0334 0 .0135 0 .0053 0 .002 1 0 .0008

Es ist auffalle nd. dass die Itera tion - trotz der in der Nahe der ersten Nullslelle gewahlten Startposiuon- gegen die zweite Nullstelle konvergiert. Die Ursachc hicrfllr ist die Konvcrgcnzbedin gung (12.6). welc he fur x = 12.7 erfilllt wi rd. nicht abcr fu r die crstc Nullstclle .r = 1,3:

l (x) =

~x

h' (x ) ~ I

l(l 2,7) = 0.3937 l ( 1.3 ) ~3, 846

h' { 12,7) = I h' (1.3 ) ~

I

18'1~ WI 0.3937 < , Ill':: [iiI 3,846 < I ;

I/

12.3 Zusarzfiche Bcispicle

Der Trick. die Konvcrgenz gcgen d ie crstc Nullstclle x' = 1.3 z.B. dadurch zu crzwingcn. indcm die Startposition klcincr als 1.3 gewahlt wird, z.B. .rn = 1.2 . funktioniert nicht: die Iteration hricht ab wcgcn Lognrithm us mit ncgat ivcm Argument (probicrcn Sic cs aus!). h ) Li;.tl/IIK.Hl'eK 2

f (x } ~ h(x }g(x )

lI (x ) = 5 l n.r

mit

1,'(x ) = x

Dlesmal gc lingt es. die crste Nullstelle zu ermineln. Iteration nach ( 12.5) mit Startpositiou Xo = 2 liefert die Nullstelle r = 1,296 1: x _k g l x_k ) 2 .0000 2 .0000 1 .4918 1 .4918 1 .3477 1 .3477 2 1 .3093 1. 3093 3 4 1 .2994 1 .2994 5 1 .2968 1 .2968 Konvergenz erreicht

x_ lk+ll 1.4918 1 .3 477 1 .3093 1 .2994 1 .2968 1 .2961

k 0 1

ERR

0 .3406 0 .1070 0 .0293 0 .0077 0 .0020 0 .0005

Konvcrgcnzbcdingung nach (12.6) wird im Bereich dcr Nullstclle x· = 1,3 crftlllt:

g'(x) = I

II' (x ) =-5

i ( I,3) ~ 1

11' (1,3) = 3.846

.r

, Ii i < 1111

1 < 3.846 ./

51:1 9

590

12 Losung von nichtlincaren Glcichungcn

12.4

Aufgaben

I. Bestim men Sic cine Nulls telle r der angege bencn Funktion mit reg u la falsi im angcgcbc n Interval]. Toleranz E = 10- 3. a)

f (x ) = x sinx - 2

[4.0: 8.01

b) f (x) = x + 2 -e' e)

LI'g:

[1.0: 1.51

f (x) = x- I- sin x

r = 659

Lsg: r =I ,15

[1.0: 3.01

Lsg: r = 1,93

2. Bestlmm cn Sic eine Nullstelle r dcr angegebenen Funktion mit der Ftxpunkt-Iteretlon [Stnrtposition Xo angegeben). Toleranz E = 10 - 3. Uberprufcn Sic die Konvergenzbedingung ( 12.6) fur jede Aufgabe . a)

f (x ) = tanh x - In x

b)

f (x) ~ x - J X+ 5 I

c) f (x) ~x - .­

SInX

xu = 2

L \"g:

r = 2.6936

xo = 2

LW

r =2 ,791 1

Xo = 1.5

Ls g:

r = I .1 139

3. Die Fixpunkt-ltcration konvergiert nictu fur folgcnde Gleichungen (Startwcrt xu). Ze igen Sic m il Hilfe der Konvergcnzhedingung (12.6). dass das auc h zu crwarten ware.

a) f (x ) = x - 3 sin x

mit

h(x ) =x

g(x ) = 3si nx

b ) f (x) =x - 2cosx

mil

h(x ) = x

g(x) = 2cosx

."

el f () x = x -"3

( =x mit hx)

(=." gX) "3cosx

xo =2

xn = 1 .\:0

=2

13

Llisungsverfahren fiir Iineare Gleichungssysteme

Wir bc trac htcn ein Jincares G lcichun gssystcm mit {/ 12 Ax ~b

A ~

[ all all

a:,

I

{/ll

(/,,2

1/

Unbcka nnten

a:

lII

,xz.x-,.· · . , Xtl :

h,

a ,,, ] (/2"

Xl

b ~

x, ]

h2

Xl x ~

b"

( 13.1)

.:~"

Es wird vorausgesetzt. dass in A aile Hauprdiagon alelemcn re von Null versc hie dc n sind (a i; f-() fur i = 1.2 , · · . . 11); ggf. mu ll das durch Verta usch cn dcr Zeilen des G leichun gssystem s sic hcrgestcllt sc in. Fu r die Losu ng von (13. 1) ste he n sowo hl direkte und als auch iterative Losungsvcrfahrcn zur Vcrfligung, d ie nachfolgcnd bcsproc hcn we nle n. Bci di rckrcn Vcrfahrcn kan n d ie maxima l crfordc rlichc Anzahl von Rcchcnop eratio ncn a pri ori angegcbc n. zumindest schr gut ab gcschntzt. worde n. Sc i itcrurivcn vcrtahrcn iSI cine solc hc Absc hatzung nich t mo gfic h: di e Anzahl der Itcrat ioncn hang! von Eigcnschaftcn dcr Koc ffizien tcnmntrlx A ub, z. B. vo n ihrer Kondition szahl. sowic von dcr Wah l des Stanvektors Xu.

13.1

LU-Faktorisierung

Die LU- Faktor isicrung ist cin di rektes und mit dcr G auss-E limination s mcth ode verwa ndtes Verfahr cn. Dessert Ausga ngsp unk t ist die grunds atzlichc Moghchkeit . d ie Koe ffizier nenrnatrix A in ( 13. 1) als Prod ukt vo n zwe i Dreic cksm atrizcn dnrzustcllcn.

A =LU

( 13.2)

L ist cine IlIllere (lowe r ) und U einc onere (upper) Drciccks rnatrix. Je nach ihrer Stru ktur untcrsc heidct man zwischen den v crfuhren vo n Doolittle, Crout und Chatesky, die nachfolgend bcs proc hc n werdc n. In j cdcm d icser Vcrfahrc n we rdc n d ie Elemcntc vo n L und U zeilenweise (von dcr crs tc n zur lct zten Ze ilc) und in jcdc r Zcilc von dcr crs tcn zu r letztcn Sp alte hin ermit telt.

13. 1.1

[)oolitt le-v ertah ren

Bcim Doofittle-verfahren besteht d ie Ha uptd iagon alc dcr un tcren Dreiccks matrix L au s lautcr " I «, Die Zc rlcg ung von A sic ht dunn wie folg t au s:

A = LU

592

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleich ungssysteme

[""

{I21

a l2

a In

(/ 22

(/2"

][

I"

~

a" I

(I""

" 112

0 1

1" 1

0 0

1112

,

11 11

][

/il l

II I"

0

1122

112"

0

0

L

II""

]

( 13.3)

U

Fur die Bcsnmmung dcr Btcmenre von Lu nd U werde n d ie Marrizcn L und U in (13.3) rniteinandcr m ultipliziert. Auf dtcse Weise erhalt man zunnchsr: (111 = 11 11

a1 2 = 1I12

(I I"

=

(121 = /2111 11

a 22 = /2111 12 + 1122

1I2"

= /21111 11 + 112"

ll ,, 1 = /"1 11 11

a,, 2

Ill "

( 13.4 )

,, -I

= /,, 111 12 + '''21122

ll""

=

L ' lIkllkll + II" "

k= 1

Die Um stcnung dcr Beziehun gen nach den unbckan nten I· und n-Tcrrncn licfcrt: 11 11 = al l

11 ]2

= (/ 12

1122 =

/21 = a 21/1I11

(/n

La =

- /2111 12

( a ,,2 - 1,, 111 12)/ 11 22

Ill "

=

112"

= (/2/1 - /2 111 1"

11,,"

=

(1111

a"" -

"-, L IlIk l/kll k= 1

Mil Hilfe dcr Faktorisier ung in (1 3.2) Iiil3t sic h das lineare Gleic hungssyslem (13.1 ) schreibcn als ( 13.5)

Ax =b

Die Losung dieses G lcichungssystcm s er folgt in Lwe i Schritten: I . Durch Einfuhrung eines neuen Vektors y anstelle des Produ ktes U .r , d.h. y = U x. Iiil3t sich (1 3.5) in cin ncucs lincurcs G lcichu ngssystem rransformic ren :

-

LUx = b

L y =b

1

0

I"

1

y

/ 11 1

/,,2

~]

)'1

Y2

Y"

h, h,

[

h"

Die Losu ng des Glcichungssyucms L y = b nachy iSI ei nfach . wei l L cine Drciccksnunrix ist. Die Abar bcitung dcr Glcichun gen von oben nach unrcn Iicfcrt : I ' YI = b l

121 YI

+ 1' Y2 =

"* b2

.n =h l

"*

1.; 1 )'I +/J2 ' Y 2 + I ' YJ= h 3

Y2 = b 2- /2IYI

"*

.n= b J - /J IY I - /J2Y2

usw.

13.1 Llj -Fakrorisieruug

593

2. Nac hde m y bcstimmt wurde, karin U x = y nachx gelost worden . Auch dicser Sc hriu ist cinfach . weil U cine Drciccksmatri x ist. Die Abarbc itung der Glcic hungcn in U X = Y von untcn nach obc n licfcrt: 11 11

[

Ux = y

111 2

11 1/1

0

1122

U2"

0

0

1111 "

[ 'II

:; ] ~ [ ;; ] y" .\'1 -

V"

x,, = _· -

L"

k-2

Il lk X k

/1,,/1

Die Vcrallgcmci nerung dcr obigcn Losungsschrittc licfcrt die fclgcndcn Pormct n fur das D oolill l e+

verfahren.

Voolillie-Verfah ren fu r A x = b

Lu -Faktorlsierun g A ist cine (II x ur-Matrtx

A=W

; = 1.2"

j = l ,2, · · · , /l

. 11

~

1 aU if Iii: IIki) lu = " ii ( k= l

fi.ir j < ;

;- 1 lIi j

=

" ij -

L lik IIkj

( 13.6 )

fiir j ;::: i

k= l

Besummung von x und y

Ly =b

Ux =y i- I

)' i

= hi -

L 'ikYk

i = 1,2, " ' ,fI

k= l

X; = -

I

IIi;

(.vi-

t UiP')

k= ,+1

; = 11,"

,2,1

594

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleichungssysteme

Hd spid 13.1: Mil Hil re dc r I J I.Ffl k'nrisien mg nac b notJ/if//" is' das rn lg(" ntle r.l(';chllngssysl em

7.11

losen. 2

[

[X'X2 ] = [ 42 ]

- 0.2 0.2 ]

- 0.2 0.2

I 0.4

0.4 2

X3

6

Die Lu-Pakrortsieru ng der Kocffizientenmatrix nach Doolittle A gema13 (13.6) liefert: 11 ) 1 121

=

= (1 11 = 2 (/ 2 1

/Ull

U )2

= - 0.2/ 2 = - 0. 1

1/23 = (12.1 - 12111 13 13 )

=

( 3 ) / 11 ) 1 =

= (11 2 = - 0.2

- 1.1 11/13 -

' 321l2."

=

I-

(- 0. 1) (- 0.2) = 0.98

(0.4 - (0.1) (-0. 2))/0.98 = 0.4 286

= 2 - (0.1)(0. 2) - (0,4286 )(0.42) = 1.8

- 0.2 0,98

o

0.1

v

v

L

U

[-0: [~

~ :~ ]

0. 1 0.4286

Ux =y :

(/ 22 - hl l/1 2

( U32 - / 3111 12 ) / 1122 =

[-0: Ly = b :

=

= 0,4- (- 0. 1)(0.2) = 0.42

0.2/ 2 = 0. 1 132 =

1/3.1 = (/ .13

1/22

1/ 13 = (1 13 = 0.2

- 0.2 0.98

o

I

0.2 ] 0.42

1.8

,

[ ~:J ~[ n ['' ] [ 4]

=>

.rX3

=

2.4 45714

y, ] [ 4 ] [ y; = 4,572{44 y~

X' ] = [ 1.882 1] '* [ X2 1.3605 X.l

25 397

13.1 Llj -Fakrorisieruug

13.1.2

595

C rnut-Verfahren

Einc mit dcrn Doohulc-v crfuhrcn eng vcrwand tc Variat ion ocr Llj-Paktonsieru ng isl das Crou tverfuhren . Das Crout-vcrtahrcn umcrschcidct sich vom Dootuuc-vcnuhrcn lediglieh dad urch. dass die Hauptdiagonale dcr obe ren Drcic cksmatri x U (anstcllc von L ) du rehgehend aus » 1« bcstch t.

A =L U

a 11

(/ 12

(/ I"

(/ 21

(/ 22

(/ 2"

lI" 1

(/,,2

a""

• A

III

~[

/"

0 In

0 0

1" 1 1,,2 v

L

I""

[I

1/12

II I "

112"

( 13.7)

0 v

U

Die Wie dcrholu ng dcr Arbeitsschriue, d ie zur Glci chun g ( 13.6 ) gefuhn habcn, licfcrt sc hlicglich d ie nachfolgenden Form cln des C rout-Verfahrcns. Crou t-Ver fa h re n flir A x = b LU- Faktorlsierung

A = W A ist cine (II x II)-Matrix

; = 1.2, · · · , 1l

j = 1.2' · " , 11

j- l I; j

=

tlij -

L I;k

fi.ir j ~;

IIkj

b :l

llii = I/ ij

I

I = -

tu

(

lIi j -

,-, L I;k II kj

)

( 13.8) fU r j >;

k=l

Besttmmung von x un d y .v-= 1

I ( ,- , ) -J.. b I - 't"' J.., J., I .v,.

Xi =Yi -

i = 1.2... ·, ,,

k= l

/I

L"

k= i+ l

Uik Xk

; =11, ' " .2, 1

596

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleichungssysteme

Hd spid 13.2: Mil Hilfe de r ' I J. Fa klnr is ienmg nach e m U! isl

d ;IS

f/lige nlll'

Gl e i l~ h ll n g s s y slem 7.11

losen.

[

2 - 0.2 0.2

[ X2 X']

- 0.2 0.2 ] I 0.4 0.4 2

[ 42 ]

=

X3

6

Die LU-Faktorisierung der Kocffizientenmatrix nach Crout A gemal3 ( 13.8) Iiefert: 11 12

= a ldll l = - 0.2/ 2 = - 0, I

121 = (121 = - 0,2

11 13 = a D /I l l = 0,2/ 2 = 0, I

122 = (/22 - /2111 12 = 1- (- 0,2)( - 0.1) = 0,98

1/23 = ((/2.1 - 12111 13 )/ In = (0.4 - (- 0.2) (O,I))/0.98 = 0.4286 131 = (/31 = 0.2

132 = " 32 - 1311/12 = 0.4 - (0.2)(- 0,I) = 0.42

1.13 = (lD - 1.1 1111 3 - /321123 = 2 - (0,2)(0.1) - (0.42)(0.4286) = 1.8

[

2

0

- 0.2 0.98 0.2 0.42 v

v

L

L y =b :

U

[-0; 0.'

=>

o 0.98 0.42

o() ] 1,8

[y,)'2 ] = .V3

[4] 2

6

[";] ~[ 2,5397 ',44~] )' 3

° I

Ux = y :

:;;.

[

X' ] = X2 [ X3

o

- 0. 1

0. 1 ]

I 0.4286 0

[ 1.3605 1.8821] 2.5397

I

[~; ]~ [ 2.44~] XJ

2.5397

13.2 Cholcsky-Verfahren

13.2

597

Cholesky-Verfahre n

Fu r symmetrische und posuiv dejillir(,1 Matnzc n kann die Ll.l-Faktori sierung des Absc hnius 13. [ in ci ne noch ci nfuchcrc Variuntc um gcwandclt worden. d ie als Cholesky-verfahre n bcka nnt ist. Bcim Cholc sky-Vcrfahrcn JaBI sic h di e Koeffizicn tenmatrix A faktor isicrcn als

A = L LT

aI I

(/ 12

(/ I 1/

a 21

a Z2

a 21/

an]

a 1/2

alP"

III

0

/"

In

In l

t.a

~[

A

0 0

• L

I"It

III

121

I",

0

In

11 '12

0

0

I"It

[

]

( 13.9 )

"

Analogcs Vorgchen wic bci Do olittle und Crout licfen die folge nde n Formel n des CholcskyVerfa hrens:

Clw lesky-Verfahren fur Ax = b

A ist cine (11 x »j -Ma trix

; = 1.2"

, II

i- I

tu »

aii -

[ I,i

k= 1

flir j < i

Best tm m u ng von

I

.,r ' -- /-:: "

Xi= -

hi - [

I

Iii

x und y

I- I

(

( YI -

(13.10)

)

likYk

; =1 ,2, · · · . 11

k= 1

t /"x,)

i=IL ' "

.2, 1

k= i-J- I

Anm erkulIg: Rei de r Computer-Impleme ntation des Chole sky-Verfa hrcns kann auf die Speicherung vo n LT im RAM-Spei cher verzichtet we rde n. Wo imme r e in Elem en t von L T benotigt wird . kann nach v ertau schun g des Ze ileninde x und Spalteni ndex des aktuellcn Feldelcmentes au f die Matrix L zugcgriffcn worden (dus ist in der letzten Ze ile von (13.[0) bei der Bcstim mu ng des Vckto rs x gcschc bcn - stall lik wird don h i verwcndc t).

Bei sr id fur cine _synnnclrischlr ,,-,iliv-<1d inile M a lri ~ ; Sle ir. ~ kcilsm alri x K ei nes stanilen Tra~",erkes (Briide , Hochh aus usw.]. dessen SI"lTkorperocwe~ lln~ mitl hlfc j!ecij!n eler A ll/ hlj!croc<1 inj! ll nj!en urucrbundcn isl.

59!!

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleichungssysteme

Hd spid 13.3: Mit Hilfe de r Ll.l-Fuktor isic rung nuch Clw lesky iSId us folgende Gle ic hun gssysrcm zu

losen (Maple- LOsung auf Seite 7(0 ).

2

[

[X'] X2

- 0.2 0.2 ] I 0.4 0.4 2

- 0.2 0.2

X~

=

[ 42 ] 6

Die LL1".Faktorisieru ng der Kocftizientenmatrix A nach Cholcsky gcmaB (1 3.10) liefcrt:

III =

vati" = J2 =

/33 =

Ja33 - (IiI + li 2) = J2- (0, 14 142 + 0,42432) = 1,34 16

1,4 142

1.4142 0 - 0,14 14 0,9899 [ 0.1414 0,4243

.

0 ] [ 1,4142 0 0 1.J4 16 0

- 0. 14 14 0.1414 ] 0,98991 0,4243 0 1,3416

.

L'

L

Die Losung der Glcic hungssystemc L y = b und LT .r = y licfcn :

1.4 142 0 Ly = b : - 0, 14 14 0,9899 [ 0. 14 14 0,4243

0;

[~; ~ ]

y~

LTx = y :

=}

[

X' ] = X2 [ X~

[

0] o [ Y1\', ] = [ 4] 2 1.341 6

y~

6

; :: ; : ]

3,4073

1,4 142 0

o

0.,414] [X'x, ] ~ [~::~::

- 0.14 14 0.98991 0 ,4243 0 1.3416

[ 1.1,3605 8821] 2.5397

x~

3,4073

]

13.3 Gauss-Seidel-verfahren

13.3

599

Gauss-Seidel-Verfahren

Die Gauss-Seidel-Methode ist cin iteratives Verfahren. Zu ihrcr Herleitung wird in ( 13.1) die Matrix A als Sum me von drci Matrizcn darg estel ll: A = D + L+ U

(13.11)

D ist erne Diago nalma trix. d ie aus de n Diagon alclcrncn tcn von A gcbildc t wird : Li st die cine ulllere Dreiecksmatrix , d ie nur aus den untcrcn Autlcrdiagonalcl cmcntcn von A bcstcht: auf ahnlichc Weise ist U cin e obere Dreiecksmatrix, d ie nur die obcr cn AuBerdiagonalelemente von A ent halt:

D ~

D

aI I 0

0 " 22

0 0

0

0

a""

0 L ~

= dia g (a l l. an , . . . •a",,)

Einsctzcn von A

= D + L+ U

(D + L + U) x = b

L=

{/21

0 0

a" I

a,,2

{~ij

fUr fUr

I] i

>i

iS j

U ~

0 a 12 0 0 0

U

= {~ij

a l II

a2"

0

0 fU r fU r

]


in 0 3.1) und anschlicjcndc Umformung licfcrt :

Ds e- b s-Lx-s Ux

x =D - l (b -Lx -Ux )

Aus dcr lctzrcn Bcztchung folgt die nachfclgcndc lt erotionsfonne l des Ga uss-Seidel -v crtab rcns - :

IX(k+l) = D -

1 (b

_ Lx(k+l ) _ Ux (k))

I

k = O. 1.2.3. · · ·

(13.12)

z.B.: x (l ) =D - 1(b _Lx(I) _Ux(O)) Weil D cin e Diagonalmatrix ist. gilt IUr die Inverse D - I = diag ( l/a ll . l/a 22.- · · , I/ a ",,)_ Bel der Au fstellung von (13.12) ist vom Umstand Gebrauch gemacht worde n. dos s fur die Matri x L . deren Elernente ja 'IIII.' unterhalb der Hauptdiagonalcn plntzicrt sind. die im aktue llen Iteration sschrin k + I berei ts ermittelten Naherung swerte der Vektors x (k+ l) verwendcr werden kon nen . Fiir die Multiplikation mit U stehen led iglich die Unbckannte n x (k) aus dem vorausgehendcn ltcrutionsschritt k zur vertugung.

Alterna tives vorgehen fiir Hendrecbnu ngen Fiir Handrechn ungen ist eln dereigent liche n Iteration vorausgehender Zwis chen schritt zwec kmaBi ger. Dabe i werden alle Zcile n des lineuren Gleic hungssystcm s nacheinander durch das Hauptdia gonal der jeweili gcn Zcile dividi ert. z. B. wird die i-te Zei le durch das Element aii di vidie rt: ail xl + ai2x2 + .. -+Oiixi

+-_.+ ai"x" =

hi

! ' a,~l

2 Verfahrcn wie die Gauss-Seidel-hennlon, bei denen stets die brandak euellen werte der Unbekanme n im nachcren Arbeit"dlrill ,,,fort wieder \'erwemlel werde n. heillen £i,,~d\'{"hr;t/I"('rfi"mm. im Gegen>.alJ.I u <.le n weniger empfchlcnswenc u G<',\wlII,,.,.hr;IIl,,-rji,lm',,. I. B. das Jaco bi-Vcrfahren.

6CKl

13 Losu ngsverfahren fur Iineare fIleic hungssysteme (Iii

~

~

~

(Iii

(Iii

(Iii

(Iii

- XI+- X2+···+ I • x,,+ · ··+- x,,= ......."."

......."."

......."."

......."."

~

~

~

~

( 13. 13)

Die se als Normalisierung bezeichne te Division allerZeilen vo n A durch das Diagonalelemen t dcr jcweili gen Zeile liefert einc neue Matri x A". deren snrmllcbe Diagonalelemente aus I bestebcn . An die Stelle des G leichungssystems Ax = b trill somit das gleichwe rtigc normalisierte Sys tem ein :

__

Ax =b

A ' x =b'

Die Koeffizient enma trix A ' wird wicde r als Surnme von dr ei 1/ x u- Matrizen darges tellt:

A " =I + L" + U' wobci I d ie Einhcitsnunrix ist. Umcr Beachtung dcr allg crnci cn gtlltigc n Beziehungen I - I = I und 1M = M (M bcliebige q uadratischc Matri x) cr halt man in Anlchnung an ( 13. 12) folgc ndc lterationsformcl: (13.14 )

k = 0 . 1,2.3 . · · ·

Es bleibt noch die Frage zu klaren . wie der Stnrt vektor x (Oj zu wnhten lst. dam it die Iteration mog llc bsr rusc h kon vergiert . Darauf gibt cs leider keine ei ndeutigc A ntwo rt. cs hangr ein fach von der Problemstellu ng aboAls pragmatischcs Vorgehen wird fo lgender Weg empfo hlen: I. Wenn iiberhaupt nicht s bckannt ist. kann x (O) = 0 gewahn werden. 2. Bei A ufgabc n c c r Strukt urmec hanik, z.B. dc r Buustatik, kann x (Oj du rch cine zwar grobc abcr Inge nleu rmnuig loglsche Skizzierung dc r zu erwartende n Verformungen des Bau werks ebgeschnrzt werde n.

Co mputer-Implementation Die flir Programm ierung benorigte Komponcnrensch rcib wci sc dcr ltcr ation sformcl ( 13. 12) lautet: (HI )

Xi

= -

I

(I ii

i = 1.2, · · ·

, II

k = 0. 1.2. · · · ( 13.15 )

Dtcse Porme t beinhaltet bereits die Zusa mmense tzung dcr Matrix A entspreche nd (13. 11) aus dr ei Matri zen. Ein IUr die Compu terimplc mema tion gcc lgneter Algo rithm us is in Tabelle 13. 1 wle de rgcgc bcn.

13.3 Ga uss-Seidel -v erfahr en

60 1

Tubelle 13. 1: Algorith mu s fiir das Gauss -Seidel- Verfah ren Lost das nn carc Gleichungssysrcm Ax = b fur cin e

x u- Mntrix A .

II

EING ABE (IN PUT): A. b. Stan vck tor x(O). Gcnauigkcit ssch rankc e (Tolc ra nz). ma ximalc Anzahl N der ltcranoncn. AUSGABE (OUT PUT): Nah crun gslo sung x (k ) cd cr cine Fehle rmcldun g, duss Konvergcnz nicht erre icht wurJe. ALGO RITHM US : for k = O.1.2. ··· . N - l

do i =1.2. · · · ./I do

for

(H I)

.t i

= -

1

(I ii

[

bi -

end do

ERR = m~t

('+ '1

Xi

1

w en » ERR <

i- I

1:

j= I

(k + t) lI i j-lj -

(" I

x~k+~ ;I;

1:"

j =r+ I

(k 1] {/ i j X j

; = 1.2. · · · ./1

e : ltcratto n uhbrcc hc n.

e n d do x (k ) ausdruckc n.

Wenn ERR :::; e : ErfolgsmcJdung ausdruckcn : an sonstcn Wammeldung. da ss Kon vcrge nz nicht errcic hr wurde.

lIeispiel 13.4: Das nachfclg cndc lineare Glcichungssystcm A x = b ist nach Gauss-Seidel-Verfah ren zu loscn (zum Verg lcich ist die cxakrc Losung angcgebcn : (Mapl e-u.'lsung auf Scire 701 ).

[

2 - 0.2 0. 2

- 0.2 I 0.4

0 2 ] [ X2 " ] 0.4 2

x,

~

[n

x(O) ~o ~ [ ~ ]

x C\ akl

=

[ 18R21 ] 1,3605 2,5397

Das Gleich ungssystem wird gemiiB (13.13) normalisicn und da nn mit dcr Iterationsforme I ( J 3. 14) gelc st. I

A'

~ [ - 0.2 0 ,1

l~ [

()

0 I

0

()

I

0 0 I

- 0 ,1 0. 1 I 0.4 0.2 I

]

]

L' ~[

b' =

0 0 - 0.2 0 0.[ 0.2

[n ~] ()

U'

x (OJ

=

~[

() ()

0

[~ ] - 0.1 0 , 1 0 0,4 0 0

]

602

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleichungssysteme

k: = I :

; ] _ 3

[

[~O'2'2'OO8

0. 1· 2,008 +0.2 · 1,4736

~

..

h'

k ~

2, - D.2 · 1.8969

-0, 1 . 2,4 + ~:~ ~:~~] ~ [~:~~~]

°

.

'

h"

'-v---' .1'121

] - [-0.,.1.4736+0.1 .2.5045] [11,3776 .8969] 0,4 ·2 .5045 =

0, 1· 1.8969 + 0.2 ·1 .3776

~

2.5045

~---~--~ U 'xl l l

L'xI2J

2] [0 2 -

[3

] _ [

2.5348

0

"

,,

L ' x l3l

U ' x I2J

'

'-...,.-.'

xl l l

k = 3:

[

[~O'2 ' L8969

; ] _ 3

~

0, I . 1.8843 + 0.2 · 1.3654

'

] _

[ -0. 1 '1.3776 +~:~ :~:~~::] ~ [ ::~:~~] 0

y

h'

y

L ' x 141

E

RR

=

111

=

III11X

ax

2.5390

'

'-...,.-.'

.1'141

U ' xl ~ )

{II,88431.8843 - 1,8969 1_11,3629 - ,3776 1_12.5390 - 2.5348 I} . 1.3629 " J

2,539D

{0.006686; 0.0 108; 0.(Xl J7} =0.OJ08 .= 1,08%

13.4 Zusarzfiche Bcispicle

13.4

603

Zusatzl iche Beispiele

Losen Sie das folge nde linea re Gleichungssystem nach Gauss-Se idel-Verfahrcn in 3 Iteration sschritten mit dern angegebcnen Startvektor x (Oj und mit 4 Nachkorn mastelte n.

0,1667 0,1667] I - 0.2226 - 0, 125

I

[ X' ] _ [ X2

-

1,0,4 7833] 1.5 125

X3

U ;.WlIg:

o o - 0. 125

~]

U~ [ ~

o

0, 167

0, 167 ]

o o

- 0,222

o

ltcrationsschritt 1: 11/ = 0

x (l ) :=

1,7 833] - [ 0. 1611 0 ] - [0'3 333 ] [1,4500] 0,4 - 0.2222 0046 11 [ 1.5125 0.3049 0 1,2076 :=

ltcrationsscbritt 2: 11/ = I

x (2) :=

81] [1'0,505 5051] 1,7 833] - [ 0, 1672 0 ] - [0,27 0,4 - 0,2683 1 [ 1.5125 0.3 136 0 1, 1989 :=

ltcrationsschritt 3:

x (3 ) :=

In :=

2

,2833 ] [I,S lXlO] 1,7 833] - [ 0.1667 0 ] - [ -00.2664 0,4 0,4997

[ 1,5 125

0.3 125

o

:=

1,2000

604

13 Losungsverfahren fur Iineare fIleichungssysteme

13.5

Aufgaben

I . Foigende Iineare Gleichungssystem e stem mcn aus der FEM-Modc llierung eines Fachwcrks. Der x - Vektor enthalt die unbckan nten Knotenverschie bungcn des Fachwcrk s. Bestimmen S ie x nach de n Lc sungsmcthoden von Doolittle. Crout. Clw fesky und Gauss-Seidel (fur die Gau ss-Seidel- Iteratio n ist der angegebcnc Startvektor x (O) 7.U verwendcn).

al [

3.8285

- I

- I

3.8285 0 0

~ 2 . 8285

0

- 2.8285 0 3.8285 I

x(Oj = [ 05 0.2 ]

bl

x (Oj =

3.828:

L~K:

0.3 0.1

1 - 0.26 12 - 0.26 12 I - 0,7388 0 0 0 - 0.26 12 0.26 12

0 ][

x=

L~K :

-2 I

x=

~

::

[~ ]

[ 0598 0.1 56 ] 0,401 0,156

- 0.7388 0 0 0 1 0.26 12 0.2612 I 0 0

3 I 4

x, ]

- 0.26 12 0.2612 0 0

X3

0 0 1

.q

- I

.rr X2

I

0

'"

3.268 0,677 3,945 - 2,030 0,677

2. Losen Sie folgende lineare Gleichungsxystemc nach Gaus s-Seidcl -Verfahre n in 3 Iteratio nsschritten und unter Verwendung des angegebe nen Startvekto rs x lO).

al

bl

[ [

1 D.1O 0.05 ] - 0,12 I 0 , 10 0.15 - 0.20 I

2 - 0.20 0.20

[ ]~ [H] r r

'J

- 0.20 0.20 ] [ x, 1 0.40 x, 0,40 2 x.,

] ~[ m

x lO)

~[

xIO) ~

]

[n

L~K:

x=

[ 2.7572 ] 1,3D59 2.2476

Lsg:

x=

[ 1.8922 ] 1.3720 2.5364

14

Numerische Liisung von Different ialgleichungen

14.1

Differentialgleichungen I. Ordnung

Wir bctrachtcn cine DGL I. Ordnung in dcr exptir iten Form )" = [ (x ,y). Falls d ie DGL zunachst in der imptieiten Form F(x, y.l ) = 0 vorlicgt. kann sic -in viclc n Falle n- durch gccig nctc Tran sformation in die ex pliz ite Perm gcbrac bt gebracht werden. Fern er wird cine A nfangsbcdingung y(xu ) = Yo vorgcgcbcn. Die zu toscndc Anfangswertaufgahe tauter so mit:

)'(xo) = Yo

I

(14 . 1)

Falls fur d ie obi gc DGL cine gcsc hlossc nc, d.h . analytische. Losung gc fundc n worden kann, is! d ie Auswcrtung dcr Losun g fLi r jedcn gcwunschtcn Wert von .r cine cinfuch c Routincau fgabe. Es gcl ingt allcrdings nicht imm cr, ci ne ges cblossc nc Losung zu linden. In solehcn Fallen isl die numerische Losung der DOL der ci nzig mogfic hc Weg. Nachfolgend werden einige grund1egende Methoden vorges tellt. In all d icscn verfahren wird die DOL ( 14 .1) diskretisien, d.h. man starter vom Anfangswert los und geht Schritt rur Schritt vorwarts. Zu jedcm bctra ehteten Sehritt Xk wird tier zugchorigc Ordinatcnwert Jk bestimmt . Deshalb werdcn diose Verfahre n auch Sc hr-ittverfahren (step -by-step method s) genannt. Man untcrschcidct zwischen Einschrittverfahren und Mehrschrittverfahre n, Wir wcrdcn nur die Einschrit tverfahrcn bctruchtcn .

14.1.1

Eu ler-Verfa hren

FUr die Diskret isierun g dcr DOL wird die unbekunnte Funktion y(x) formal in eine ul ylor-Reihe (s. S. 22 1) an dcr Stelle .r entwic kelt:

Fur kleine Schrittwcitc 1/ werde n d ie hohcrcn Porcnzcn 11 2• 1t3, .. . im Verg leich zu II sc br klein, so dass sic vernachlassigt werden kbnncn. Die auf diese Wei se lincari sicrte Diskretisier ung lautet dann:

y(x +h ) ~y (x )+h.r' (x )

Aufgrund dcr DOL ( 14. 1), wo die Punkt ion f (x,y) idemisch mit dcr Stcigun g obigc Beziehung auch gcsc hricbcn werdc n als

Iy(x + It ) ~ y(x) + It f (x,y) I

( 14.2 )

.r'

ist. kann d ie

606

14 Numerische Loxung von Differcntielgfeichungen

Ausgc hcnd von dcr S tartpo sition .rn fuhrt dicse Bczichun g auf folg end c ltcrutionsfolgc

y(xo + h ) = y(xo) + h [ (xu . Yo)

mi l

y(xo+ h) = y(x l) = .1' 1 m il Y(XI + h ) = )'(X2) = .1'2

.1'(XI + h ) = .1'(XI) + h [ (XI•.1'I) .1'(X2+ h ) = .1'(X2) + h [ (X2. )'2 )

m it

Y(X2+ h ) =Y(X3) = .n

und auf d ie als Euler-Methode bczcichnete allgemei ne ltcrationsformel:

k _ 1.2.3.. .

I

( 14.3)

Die gc ometrischc Interp retation von (14. 3) cr uspricht einem vo n link s nach rectus fortschrcitenden Po lygo nzug • desscn erstc Kam e mit der Tan gen te an die wa hre Funktion [ (x ,y ) an der Position Xu idcnt isch lsr. Die Euler-Met hod e ist ci ne Met hode I. Ordnu ng. we il in der Dis kreusieru ng (14. 2) hochstens dcr lincare Tenn vorkom ml. Die Konsequ enz dcr Li neari sieru ng ist, da ss mil zu nehmendem Iterationsschritt k irnmer mehr von der wahren Funktion abweicht , d.h . der Feh ler anwachst. s. a uch Bil d 14.1 au f Seitc 607. Z ur Erz ielung eine r ukzeptable n Genauigkeit muss di e Schrinweitc verkleinert , d.h . die Anzahl dcr Iterationsschritte crholu . we rde n.

lleispiel 14.1:

Euler-verfahren

Mit Hilfc dcr Eu ler-Method e soil folgendcs Anfun gswcrtproblcm im Inte rval! 0 :-:; x :-:; 3 in 5 Schriucn gctost werden (Maple-Lasung auf Scire 702 ).

)" - .1' =x- 1 Fur die An we ndun g der Eule r-Metho de wir die obi ge DGL zunnchst in die expliz itc Per m ) J = [ (x,)' ) ge bracht:

)" = x - I + .1'

d.h . [ (x ,)') =x - I +y

3- 0

Schrirtwcitc: II = - 5- = 0 .6 Die gcschlossene. d.h. exakte. Losung dteser DG L lautet y = - x + e" vgl. Se ite 438. Beide Lo sunge n. d.h . die numer isch e und die exaktc. sind in Bild 14.1 gratisc h dargcstcllt. Wic ma n crkcr mt. ist mit der gcwahltcn Sch rittweitc die Eu ler-Methode bc i dics cr Aufgabcnstcllu ng kaum brau chba r. Bi ld 14. 2 zcigt die Losung mil 20 bzw. ](X) Los ungssc hn uc n. Es wird dcutlich. da ss das EulerVer fah ren erst bci cin cr sc br hc hcn Za h1von Intcgratlonssch ritte n ak zeptnble Ergebnisse liefert .

Losung nac h dem Euler-Verfahren k Xk [ (xb yd )'k Yexakt

r.oooo

t.oeoo

0.‫סס‬OO

i.oooo

1 0.60 2

1,3600 2.2960 4 . 1536 7,4 858

0.6000 1.5600 3. 09 60 5 .5536 9.4 858

1.2221 2. 120 1 4 .2496 8,6232 17.086

0

3 4 5

0 1.20 L80 2,40 3.00

14.1 Differentiulgleichungen I. Ordnung

607

RUnge-Kul t ~ e.a...r ~o

Euler

a

s

Bild 14. l: Losung dcr DGL in Beispiel 14.1 mit 5 Imegrutionsschnne n

"

, a: 20 lnregnuio nsschrin e

b: 100 lnregrarionsschriue

Bild [4.2: Losung des Bcispiels [4. 1 mit verschiede nen Integration sschritten

14.1.2

Heun -verfab ren

Das Heun- ve rrah ren basicrt auf dcm Euler-Vcrfuhren, vcrs ucbt jcdoc h die Steig ung dcr Funktio n durc h Miuclung bcssc r anzunahern. A ndere Bezcic hnungcn fur dic scs Verfahrc n sind verbesser tes E uler-Ver fa h re n odc r verbessertes Euler-Cauchy-vertahren. Die Integrationsfor meln des Heun-Verfahrens fur d ie DGL y' = [ (x ,y) lauren:

IYk - Yk- l+ h [(Xk- 1,Yk - I) Yk = Yk -I

+~

mil Yo - YOI

[J(Xt- 1, Yk~ l) + [ (Xt 'Yk )]

(erste Ntiherung)

k = 1,2,3" . .

(14.4) (vc rbesscrungj

( 14 .5) In dcr Forme! (14.4 ) wird mit Hilfc des klassischcn Euler-Verfahrens nach (14 .3) cin crstc r Nahcrungswert jj fur die Funk tion an dcr Position k ermittelt. A nschliellcnd wird in (14 .5) dcr Mittel wert dcr belden Funkt ionssteigungen an den Stollen k - l und k gcbildc t.

6(l!!

14 Numerische Loxung von Differcntielgfeichungen

Hd spi d 14.2: nas Anr:mgswer1 prnhlelTI des Rei spids 14.1 isl nach dem Heun -Verfahren

k 0 I

Losung nach dent HeuII-Verfahren y' f (x" y' ) ! (Xb)"l ) )'1 r.oooo 0 .‫סס‬OO 1,0000 0.‫סס‬OO r.oooo 0 .6000 1.1800 0.7800 1,9684 2, 1684 1.6480 1.8480 4 .0694 3.2694 3.8398 4.6398 6.6236 8.02 36 7,6388 9 .0388 13.062 15 .062 14 ,869 16.869

x, 0 0.60

2 1.20 3 1.80 4 2,40 5 3.00

7 11

lriseu.

Y",xak l

r.oooo 1.222 1 2, 120 1 4 .2496 8.6232

17.086

Die Losung ist in Bild 14.1 grafisch dargesrettr. Die Ocnautgkeit dcr Losung ist in dcr ersten Halfte des Integrationsintervalls befriedigend. in der zweiten Halftc steig t der Fehler spurbar an. Mit 20 Integrationsschritten, s. Bild 14 .2, erreicht man dagegcn ei nc scbr gute Gcnau igke it.

14.1.3

Ru nge-Kutt a-verfah re n

Die Runge-Kutt a-Methodc ist ei n hochprazises Verfahrcn von grolkr praktischer Bedeutung. An jedem ltcrutionsschritt wer dcn vier Hilfswertc K I , ... , K4 bercchnct, die geometrisch dcr Steig ung der Funktion an versc hicdcucn Positicncn im augenblicklichcn Inter val! entsprechcn . Ansc hlicBcnd wird cin gcwichtetcr Miucl wcrt der vier Steigunge n gcbildct. Ocr restlichc vorgang i SI identisch mit dcm Euler -Verfahren.

k = 1,2.3 ...

K 1 = ! (Xk_l ,

Yk - d

11 11 K2 = ! (Xl _1 +'2' Yk - I +'2 K t) K3 = ! (Xl -1

11

+ '2 '

II Yk - l + '2 K2)

K4 = ! (Xk_ 1+ 11 . Yk-I + II K., )

·1

( 14.6)

14,2 Zusarzfiche Bcispicle

Heisp id 14.3: D;IS Anfangswcrtproble m des Bcis picl s 14.1 auf Set te 606 lst nach de m Run gc-Ku na-

Verfahren zu tosen. Losung nach dcrn

k

xk

0

0

I

0.60 1.20 1.80 2.40 3.00

2 3 4 5

K,

K,

-

RII II~e-Kutf{j - Ve rfa hren

K,

-

K,

O.O()()() 0.3()()() 0.39{)() 0.8340 0.82 14 1.3678 1.5317 2.3404 2.3 175 3.3 127 3.6 113 5.0843 5.0425 6.8552 7.399 1 10.082 1O,()()6 13,308 14.298 19.185

Yk

Yexal t

1J)()(}() 1.2214 2.1 175 4.2425 8.6058 17.046

I J)( )(}()

1.222 1 2, 120 1 4.2496 8.6232 17 ,086

Die in Bild 14.1 grafisch dargestclue Losung zeigt cine uusretchende Genauigkeit. Mil 20 lntegrationsschritten ist die Ge nauigkcit sogar ats cxzelle nt zu bezeichn en. s. Bild 14. 2.

14.2

Zusatzliche Beisp iele

Beispi el 14.4: FolgenJ e DifTerentialgleichunge n sind nuch Verfahren von Euler, Heun und RungeKutta zu ldscn (Schrittwc ite h. Anzahl dcr Intcgrauon sschritte N ). a) y' =x+Y

n 0 I 2 3 4 5

y( 0)-:= 2

x" 0.0 0.6 1.2 1.8 2.4 3,0

N -:=5

fl :::: 0.6

Funkt ionswcrtcy, nach Euler H cun Rungc-K . cxakt 2,0000 2.0000 2.0000 2 . ‫סס‬OO 3, 8642 3.8664 3.8000 3 ,7400 6.68{)() 7.3052 7 ,7525 7.7604 11.288 14.119 15.327 15.349 18 ,660 26.7 16 29.6 17 29.669 30.457 49.607 56. 138 56.256

" Euler

,

a

609

610

14 Numerische Loxung von Differcntielgfeichungen

III

l =x- y

"

°

y (o)

x"

0 ,0 1 0.4 2 0 ,8 3 1.2 4 1.6 5 2,0

~

1

Euler 1.0000 0 ,6000 0,5200 0 .6320 0,8592 1.1555

,=

N =5

0.4

Funktio nswerte y" nach Heun Runge-K. exakt 1,0000 1.0000 1.0000 0 ,7600 0 .7408 0 .7406 0 ,69 89 0 ,6987 0 .7248 0 ,8289 0 ,8026 0 ,8024 1.0276 1.0047 1.003 8 1,2908 1.2708 1,2707

Euler se.

"

o '------,------~ 2

II = 0,4

"

° 1 2 3 4 5

x" 1.0 1.4 1.8 2,2 2,6 3.0

Euler 2.0000 3.6000 4 .6496 5.2874 5.6846 5.9434

Funktio nswerte Yn nach Heun Runge-K. exakt 2,0000 2 ,0000 2,0000 3,3248 3.2642 3.2640 4 ,1040 3.9934 3.9928 4.5 608 4 .4224 4.4 2 18 4 .84 37 4 .6898 4 .6890 4 .8657 4 .8649 5.0289

e

E~le ( _

Heuf!.---.--:

,

~'KUlta

, o,

,

14,2 Zusarzfiche Bcispicle

Heispid 14.5:

Oil.' Oifff'rf'niialglf'ichling l = x.jY mit lj,'r Anf;mgs hf'lling ung y( I ) = 2 isl nacb den Vcrfa hrcn von Euler und Hcun zu loscn (Anz ahl dcr Intc grationssch rittc N = 5 . Schriuwcitc 11 = 0, 1).

Sta ndard Eli ler-Verfahren n

0 I

2 3 4 5

k

0 I

2 3 4 5

x" 1,0 1, 1 1.2 1.3 1,4 1.5

x,

""

,

2.00<X>0 2,14 142 2,30239 2.48447 2.68938 2.9 1897

" III

0 . 14142 0 . 16097 0 . 18208 0 .2049 1 0 .22959

--

Losung nach dcm Heun- Vcrfahrc n

y'

f(x"y' )

) '1

1 (-'"1,."1)

)'e u kl

2 ,‫סס‬OO

2 ,‫סס‬OO

1.4 14 2 1.6 134 1.8290

2 ,‫סס‬OO

2. 14 14 2.3 125 2.5060 2.723 7

1.4142 1.609 7 1.8248 2.0579 2.3 105

1.50 2,9677

2,5840

I.()() 1,10 1.20

1.30 1,40

2.1512 2.323 1 2.5 175 2.736 1 2.98 11

a

2.3 158

2. 1512 2.3232 2.5 177 2.7364

2.5899

2,98 15

2,0626

exakl Runge -Kulla

"eo

Euler 1.5

, ':',"----

- - - ,,- - - - -,.,-- -

"

61J

612

14 Numerische Loxung von Differcntielgfeichungen

14.3

Aufgaben

I. Losen Sie folgend e Anfangswenaufgaben nach Vcrfahren von Euler. Hew ! und RungeKUI/a lm angegcbe n Interval1 in N Integrationsschrinen. Stellen Sie Ihre Ergebnisse grafisch dar und dis kutiere n Sie Ihre Resultate.

a) J/+y = sin x

.1'(0 ) ~ 1/ 2

Integrationsinterval1 [0;

" " "

21

N= 5

,

o' - - - - - - -. , - - - - - - -, h ) l - 2y = - I - x 2

.1'( 1) ~ 1,75

w

_w

lmcgrationsintervall [I: 5]

N= 5

15

Fourier-Reihen

15.1

Elnflihrung

Perlodl sche Fu nktfon. Bild 15.1 zeigt J us Beispiel cincr pcnodi schcn Funktion mit willkurlichern Vcrlau f. Eine Punkuon [ (x ) wird pe riodisch gcnannt. wenn fur cine po sitive reel le Z1hl /J folgcnde Bcdingung erfllllt ist:

I[ (x +n . ,, ) ~ [ (xl I

11=

1.2,3" "

p : Perfod e der Funktion

( IS. I )

((xJ

,

,

,

,, .'

Bild 15.1: Periodische Funktion mit der Period c f!

Ha rmon lsch el'unkncn. Eine Funktion f (x ) wird hannonisch ge nannt. we nn sic cine Sinusoder Kosinus-Funktiou ist. Bild 15.2 zeigt harmo nische Funkt ionen mil versc hiedc nen Pcrioden.

Sc hwingung unter perio discher Belastun gsfunktlon . A uf Scire 476 wurdc die Schwi ngung des gcdampftcn Schwingers i n Bild 9.5 b unter dcr dynamisch ei nwirkcndcn Last F (r ) gernaf Bild 9.7 a untersucht. Aufgrund des sinusformigcn Verlaufs

der Belastung F (t ) mit der Zeit (ci ne sog . harmonischc Belastungj konn te d ie Partikularlosung der Differentialgle ichung mit Hilfe einer trigonometrischen Ansatzfunktion errn ittelt werden: F (I ) = F sinwf

x p = Ao sin WI + 8 0 cos 00 1

Harrno nischc Belastungsfunktion Ansatzfunktion

In dcr Technik sind Zcitverla ufc von Lastcn in viclcn Pallen zwar pcriodisch abcr nicht unbcdi ngt harmonisch. Beispiclswcisc bcsitzcn die von Turmglockcn. Kolbcnm aschincn. Schiffspropclle rn. Hubschr uubcrrotcrcn ausgc hcndcn dynamis chcn Erregungskriifte cin rncht-harmonischcs Ze itvcrlaufsmuste r, wobei ein cr Grunderregungsfrequenz (Grundton) hohere Errcgungsfrequenzen (Obc rtone ) Ubcrlage n sind. In Bild 15.3 isl dcr Ver lauf ciner pcnodischcn Bclastung dargcstcllt, dcrcn ssg czn hnnhnttchcr Veriauf mathemati sch nicht als cine kornpaktc Gleichung fur die gcsamtc I-Ac hse, sondcm nur

614

15 Fouricr-Rcih cn

,

,

o

,

e

I

o

,

,

.,

., a: f (x ) = cosc

(p = 2Jl')

,

e

., I

.,

b: f {x} = cos 2r 2tr/2 = trl

,'

,

,

,

s

(/' = 2rr)

CIJS

3x

,r ,- ,

(/' =

,

e

.,

.,

d: J (x ) = sin .r

f

c: f (x ) = 2tr/3l

(p =

,

,

O · •..-

e: J (.r) = sin 2r

(/I = trl

f: J {x )

= sin

3x

2rr/3 )

Bild 15.2: Harmonis che Punknonen cos In und sin /I X (Pcriode /' =

(/' =

2rr /")

dureh rnc hrcre abschniuswcis c zu dcfin icrcndc Funktione n bcschri cbcn wc rdc n ka nn, L B.:

21

fur

K

F (t ) ~

2(K - I )

<= "/2

fUr t <= 31C /2

K

2(-2K + l ) K

t

fUr t <= 51C / 2

usw.

Fit) k

3.

4.

Bild 15.3: Pcriodische Bela stungsfunktion (I' = 2rr)

Fu r dic ses Zcitvcrluufsmustcr dcr Bclastung ist cs dcu rlich sc hwic rige r -cwc nn ga r unrnbgl ich-, cine gccignctc Ansatzfunktion fur die Losung dcr Schwingungs-Dtll, (9.48) auf Scire 476 zu li nden . Eine n Au sw eg bictct die Entw ick lung dtc scr pcriodixche n Fu nkt ion in cine sog. Four ierRcihc.

15.2 Fouricr-Rcihen

6 15

Four'ier-Reihen

15.2

Jede pcnodische Funkti on ! f (x ) mit der Perfode 21.kann als c ine Linearkombi nation von uncndlicb viele n ha rmonischcn Sinu s- und Cos inus-Funkuoncn ausgcdrtlckt wcrdcn : •

f (x ) = [

" ",,(I

(

I/1tx

an cos - L

+ hi, sin Il- 1tX)

Pertode :

L

II) - 2L I

Fur n = 0 wird dcr Kosinus-Tcrm gleich l und dcr Sinus-Term glcich 0 (dcr Kocffizicru hn spic lr also kein c Ro lle). So ltiBt sich di e Reih e in dcr nachfo lgenden Form schrci bcn. die als Fourter-Rel he bckannt ist:2 •

(

f (x ) = ao + [

I/1tX

a" eos T

.. = J

.

IIJfX)

( 15.2)

+ h" .S ill -L-

Die Kocffizicnt en ao, a" und b" worde n Fourier-Koeffineiuen gcnanr u und ko nncn durc h folgc ndc Formcl n bcst immt worden.

(/ 0

=

2~

.f I.

I11tX

f (x ) dr

cos T

dr

b" ~

- I.

±JI (x ) I.

.

fIlfX

slll T

dr

( 15.3)

- I.

Die Bestimmun gsgleichungen ( 15.3) flit Fouri cr-Kocffizienten lassen sich w ie folg t herleiten. Besnmmung von an:

Glci chun g ( 15.2) wird auf beiden Scherr im Bereich

.f L

- L

J L

f (x ) dr =au

d 1: +

- L

'"

~ a"

.. _ I

f

- I.

f (x ) dr = au2L

L

I11fX

cos T

00

d1: +

~ btl

II_ I

- L

'---------.---' = (}

= 2L

I.

J

[- I., LJintcgriert:

=}

an =

2~

f

f

L

n1fX

sin T

dr

- L

~ =0

I.

f (x) dr

- I.

Wie man lcicht erkcnncn karm, cntspricht dcr Koeffizicnt (In dcm m ittlere n Wert dcr pcriodischcn Funktion f (x) ubcr dcm Interval! [- I..I.].

I Slre ng mathemal isch gesehe n. ",G"e n d ie"," Funkl i" nen h<-stim mlc Knnve rge nzkri lcrie n e rHille n. 2 Jell ll B. J. Fourier (17611 ·1113Ilj wa r e in Irunzosisc her Marhcrnauker u nd Physiker. Wiihrend se ine r rheoreusc hen Un tcrsuchungcn tiber die inslalinnarc w armcleuu ng ka m Fourier 1.Or Uberzcugung. das s allc pen odisch en Funkrionen at- cin e tri gonomeirbche Reihe (f"ollri.-r·H" ih" j da rgestellt we rden kttnne n. Damalige Mmhematike r wuren allerdin gs mit t.I ieS<'r AulTassun g von Fo urie r nidll ga nl einversla nden . so 0.1 "-,, d ie Abdem ie der Wisse nsc ha ne n die vemffcmlichung sei ner Arbcit suga r nblchntc. Erst in folge udc n Jahrzchntcn wu rdc sein e Id ee allgemcin akzcpric rt.

616

15 Fouricr-Rcihcn

Bestjmmung von (I,,:

IIIJr.1:

L

Glcichung ( 15.2) wird auf heide n Scirc n mit cos

muhiplizicrt und unschhe llcnd im Bc -

reich [- L. LI integriert . Mit Hilfe dcr lntegraltabelle n im An hang crhalt ma n dara us folgen de Resultate.

J L

- L

IIIJrX

[ (x ) cos - - d v = L

L

1I1 JrX

..

d~ + [ (ltl

cos - -

(10 [

L

:"L

",,, I

'-.".-' =0

_

+

•

L

l1JrX

IIIJrX

cos - - cos - L

L

- L

dr

-=-:-c:-~--:-::-~

_ I- fal h "I _II ;

I.

r. b" [

J

I1JrX

_ 0 . rail.

"'i'''

mJrx

dr :" L "-----~~

,,=1

cos T

slIJ T

= 0 t"iirall" ", und ll

I.

J

[ (x ) cos

II JrX

T

dr =

{I "

L

{I "

=

LJ I.

1

- I.

[ (x ) cos L

II JrX

dr

- I.

Hcst imm ung " lin h,,: . m Jrx Glcichung (15.2 ) wird auf bcidcn Scitc n mil SlIJ . - L- muhiplizicrt und anschlicl3cnd im Bereich

[- L, L] trucgrtert :

J L

mJrx

o

[(xl slIJ T

d

[L

': » .

0

m Jrx

slIJ T

d( +

-L ~

- I.

+ [ b"

-

[

11 = 1

- 1.

;

..

[ (ltl 11=1

Jlo

IIJr.1:

cos T

.

= 0 Hir:tn" ", uml tl

IlJrX

Sln T

.

J

.

I1JrX

III JrX

Slll T

[ (xl slIJ T

- I.

I.

d( = b"L

d(

1 [ . IlJrX h" = [ (x ) Sln dr L. L - I.

d

r -L -:"'_.,--~.,---~

~-~-I.

mJrx

Sln T

15.2 Fouricr-Rcihen

6 17

Wahl der Startposition bei der In tegration Bci der Bcstimmung der Founcr-Kocffizicntcn karin d ie Stanposuion ties Integrationshere ichs [ rei gell'iihlt werden; cinzigc Bcdingun g isr, dass sich die Integration libcr cine volle Pcriodc 2L crsrreckt. Fo igende Ausdruckc sind dcshalb aile gleichwcrtig (r ist die frci wahlbarc Sturtposition fur die Integration): a(J =

1 2L

J L

2~

f (x) d r =

- L

a"

= L1 = L1 I

J 2L

(J

L

f (x) cos T

Jl1CX

dr

-L

h"

I

f (x ) d r =

1 2L

= L1 = L "!/ (.\") I

J

r+2L

f (x) d r

r

2L

f (x ) cos L

Il1CX

(}

L

/ (x) sin T

II1CX

dr

-L

I

1 =L 1

dr =

I

r+2L

L

f (x ) cos T

Il 1CX

dr

r

2L

sin T

I11CX

dr

()

I

r+2L

II1CX

/ (x) sin L

ill

r

Z usummcnfasscnd crhan man folgcndc Fourier-Reihe und Fourier-Koeeffu iemen:

Fourier-Reine einer betiebige n periodischen Funktio n f {x)

L.

l/1Cx f( x) = a(J + - ( (( 1/ cos - + btl sin -1I1C.>.: ) n= J

ao =

L

L

J LI I " , 2~

r+2L

/ (x ) ill

r+2L

(I"

=

( 15.4)

II1U d r j (.>.: ) cOS T

1

r+2L

h" = -I

L

,

lI1Cx / (x) sin - dr L

2L: Pcriod c I' der Funktion / (x )

r : Startpositlon fur Integration. meistens r = - L oder r = 0

(p = 2L)

Mil

15 Fouricr-Rcihcn

Hd spid 15.1: Fur die in Bild J 5.4 oargestente pcnodrscne Funktion mil der Periode p = 21r

{O smx

I (x) ~

- lC :5 x:5 0

fur

Iur 0 :5.r :5 x

isl die Fourier-Reihe zu bcsnmmcn (Mapfe-Lih ung auf Seile 7(4).

"

""" 0.5

Bild 15.4: Funktion zu Bcispicl l5. J (Periode fJ =

2m

Fur die Bcsummung der Pouricr-Kocffizicntcn nach (15.4) wird r = - L gcwa hu. Mit P = 21- = 2lC erhaltcn wir: u " . !J(X)dt=-2lCI JOdx+ Jsm xdt)

I t. llO= 2L .

(

- L - lC

I a" = L

(}

J' J{x)cos "XX . .r cos ue dr) L dt = iI (J"c. cosuc d c-l- J" sm ----.-----... . 0

- L

2

o~ = - -

-

3x t.

h"

I I I = - (- cos x) IIT=-( I+ I)=21r 21r n

~ -L .!

-,

- lC

(/ 4

fur

,, = 2.4,6,8 , . . .

fur

,, = L3.5,7 .. . . 2 15x

= - - -

"XXd r

I (x) sin L

(/6

es

iI

2 35x

= - - -

0

(s. Integral Nr. 25 auf Scilc 732)

usw.

(/ 1

= ll.'l =

Os

(JO0 , vi n nr drq- J"sinx sin e.r d r )

-------

- lC

= ()

()

= . . . = ()

15.2 Fouricr-Rcihen

fur

n= 1

fur

II

~

(s. Integra l Nr. 18 auf Scire 73 1)

2

I h I =2 Die Fouricr-R cih c fur d ie angcgcbcnc Funk tio n luutct:

I 2 (C OS2t cos 4x cos ce ) f (x ) = - - - - - + - - +--+ ...

n

lC

3

15

35

+-I S.ln X 2

FUr die vis ucllc Unrcrsuchun g dcr Konvergen z dcr Fo uricr-Rcihc ist cs stnnvoll. die

Partialsurnmen mit zunchmcndcr G Jieder zah l zu bilden : I

I

5 1 = - + -sinx K 2

2 ('"' '' ) 5l =n:I -n: - 3-

I 2 (COS2\: COS4X) 54 =- - - - -+ - n n 3 15

+ '2I sin x

I . +-SIOX

2

I 2 (COS2\" cos 4x cos 6x cos Sr coslftr cos t2\" ) 5 1" = - - - - - + - - + - - + - - + - - - + - - lC n 3 15 35 63 99 143

I .

+-2 SIO X

In Bild 15.5 sind die Fun ktio nskurven der Partiulsummc n darges tellt. Wie intuiuv zu erwartcn, stcigt die Gut c dcr Fou rier-Approximation fur die vorgcgcbc nc Punktion [ (x ) mit zunc hmcndcr Anzab l der 'Ienne in der Part ial-Sum me. Heispid 15.2: FUr d ie in Bild 15.6 dargestclltc pc riodi schc sagezahnformige Funktion mit der Peri ode p = 2L =2lr

f (x) = X+ lr

- lrS xS lr

fur

Pcriodizitat : f (x + 2lr) = f (x )

ist die Fouri cr-Rcih c zu bcstirnmc n (Map le· Lilsung auf Scitc 704 ). I (/0 = 2L

J

J

-L

- l{

L

J L

U,, = -I

L

-L

I f (x) dr = 2Jr

"

I (x + Jr) d r = 2Jr

J K

f {x) cos -IIlrX d\"= -1

L

"

(x + Jr) cos nr d r

- l{

= -!. (C Os IIX + IlX sinllx +Jr sinllx) ll{ = 0 x III " _l{

6 19

620

15 Fouricr-Rcihcn

,I

-, -,

-s

a: Panta tsummc 51

b: Pan ials umme 52

. 1 Q '----"- 1 ,- ,- ,

-- -,- -,

~,

d : P an iulsumme Sl2

c : Partialsummc 54

Bild 15.5 : Paniuls umrncn fur die Funktion in Hild 15.4 Inur cine Pcriod c da rgcstellt]

Bild 15 .6 : Funktion

III

Beis piel 15.2 (Pen odc p = 21t)

L

,

- L

- ](

f J(x ) sJn- -"nx )sin nr d r b,, = - dt = -1 f ( L L n -1

=.!. n

=

X +1r

(Sin llx - nx cosnx

n2

211 ft

COS 11ft 1m 2

=

_ 1t

2 cos nft

COS IIX) I' 11

_](

11

2

- = -3

h~

2

h4 =--

4

2 - = 5-

h~

2

h", =--

6

15.2 Fouricr-Rcihen

62 1

Die Fourier-Reihc fur d ie angegcbcnc Funktion lautct:

I (.r) = 11"+

2( .

sin Zr sin3x sin 4x sin 5x sin 6x ) SlllX- -- + - - - - - + - - - - - + · · · 2 3 4 5 6

Bild 15.7 zcig t fclgendc Partials um mcn mit 3, 4, 5 und 100 Termen dcr obigcn FourierReihc (d ie Partiulsu mmc mit 100 Term on ist aus Platzgrundcn nicht ausgcschricbcn ):

S, = 11" + ·

2( .

sin2x sin3X) S1l1 X- - - + - -

S~ =11" + 2

.

2

3

S-t = 11" +

2( .

sin Zr sin3x SiI14X ) S1l1X - - - + - - - - 2 3 4

. sin 2\" sin 3x sin 4x sin 5X) ( s1l1X - - 2- + - 3- - - 4- + - 5-

Anmerkung: Die Funktion in BUd 15.6 ist o tfensichtlich ei n schwieriger FaJl fur die Fou rier-Entwic klung. Bild 15.7 d ze igt. dass die sc harfen Ecken sogar mit 100 Fouri erTermon nic ht ei nwand frci dargestcJlt werde n konncn .

.,y, a

! a"

/

~

I

;,.

~

~

../

~

a: Partialsumrnc S3

b: Pantatwmmc S-t

, c: Partialsummc S~

e

e

d: Purtialsumme 5 lm

Bild 15.7: Partialsurnmcn fllr die Funktion in Bild 15.6

Heispiel 15.3: Die in Bild 15.8 dargcstcllt c pcriod ischc cagcz uhnform igc Funkuo n mit der Periodc

p = 2L = 2Jr -x I (x ) ~ { x

tnr - Jr :S" X :S" 0 fii r

O$ x $ 11"

ist in cine Fo uricr-Reihe z u e ntwickcln .

622

15 Fouricr-Rcihcn

" Bild 15.&: Punktion zu Bcispicl l5.3 (Penode p =

(/0 =

2~ .IL f(x) d~ = 2~ - L

(

1 ' ) .I0 (-x) d~ + .I(x)d~ = 4 lr

( -·~ I~)f +·rl~) = ~

0

- Jr

2 1t)

L ll lrX ll,, = ': r [ (xl cos d r =..!. ( rO(- X COSllX) d.r + r1r X COSllx dr) L.

L

- L

= a" =

It

.

.

- Jr

()

~ [- (COSIlX+ IIX sin /IX)e)f + [(cos/IX + nx sin IIx)l~ = - 2~ ( I lr ll lt n-4

-~

lCW

fbr

11

= 1,3.5, · · ·

a" = 0

b,, =~J [ (xl sin l ~x d~ = i ( ]

II

= 2,4.6. .

(- XSin nX) d r + j x sinllXdr)

- 1r

~L

filr

COS li lt)

(I

1 ~ --~ [- (sin IIX - /IX cos/IX)e 1r + [(sin nx - /IX cos ILtl l~ lCW

~ O

Die Four icr-Rcihc fur d ie angcgcbcnc Funktion lautct:

'() , 4( cos 3x cos 5x cos 7x cos 9x ) J .~ = -2 - -lr cos..r + - 3-2 + - 5-2 + - P- + - ~- + '" Bild 15.9 zcigt zwei Purtialsu mrncn: gut zu crkcnncn isr. dass sogar die bcsondcrs cinfuchc Parti alsummc 5 1 mit ctncm cinzigcn Kosinus-Term e in ingcnicurm ftuig brauchbares Rcsulun licfctt . Heispi el 15.4: FUrdie in Bild 15.10 dargestellte pcriod ische rechtcckformige Funktion mit der Periode P = 2L =2;rr

f (x) ~

- I { +1

fU r

- lr $ X$ O

fUr

O ::=; X ::=;lC

15.2 Fouricr-Rcihen

( _1'

_'"

--11

0 -

.

'0

,.

a: Punialsummc 51

b: Partiulsumm c 59

Bild 15.9: Partialsummcn fu r die Funktion in Bild 15.8

is! di e Fourier- Rcih c zu bc stimrnc n.

e

,

rs

Hild 15.10: Punktion lU Beispiel 15.4 (Periode 1' -

(/() =

(I"

=

(

2~l f (x) dr = 2~ L (- I) dr+ ! (+l ) dr t.

0

J

1 11K.\" 1 L z. f (x ) cos T d r = i (

-

)

.f

0 ( - COS IlX)

dr }

- 11

-L ~

,

' ( - sm. llxI"_11 + sm. llXO I' ) = 0

K"

b,, =~ J f (x) sin l ~x dr = ~ ( ]

- 11

- L

2K )

=

2~ ( -XI~I1 +xIJ) = 0

.f

cosue d e)

'

0

fur

/l

= 1.2.3.4. · .

(- Sin nX) dx + j Sinlndr) ()

~ -Jr'-II (cosllxl~l1 - cosllxl~) = ~ ( I -cos mr) Jr II 4 h,, = K"

fur 11 = 1,3.5,7"

h,, = O filr

11 = 2.4.6.8, ·

623

624

15 Fouricr-Rcihcn Die Fo uricr-Rcihc fur die angegebe ne Fu nktion lau tct (Bild 15 . 11 zcig t einige Partialsum men): 4 ( . SlOX + -sin3x -+ -sin5x -+ -sin7x It 3 5 7

f (x ) = -

+ -sin9-9x +'"

)

o

s

a: Panials ummc 55

'-I

/f-;

-,

'-I

1 ~1

s

->

I--

b: Partialsummc 59

V<-',

I--

c: Partialsummc 513

, -

f--

o '"

d : Partialsurnmc 5lOn

Bild 15. 11: Punialsummen fiir die Funktion in Bild 15. 10

Anme rkungen: Fouri er-Rei hcn sind cin gnm dlcg cndes math ernati sch es Hilfsmittcl in der Mechanik. Die Entw icklung ciner period ischcn Fu nktion in cine Fouri cr-Rcih c wird auch als hannanische Analyse bczcichnct. Jcdcm Term dcr Fou ricr-Reih c m il II 2': 1 ist einc Kc stnus- und cine Si nus-Schwingung zugeordnct , dcren Sc hwing ungspcriode 2It / II bctragt (Beispiclc fur Kosmu s- und Sinu sFunkti o nen mit vcrsc hfede ne n Period en sind in Bild 15.2 angegeben ). Voter alle n Fouricr-Kocffi zicntcn an' btl do mini eren insbesondere diejenigen Terme. deren Kosi nus- bzw. Sinus- Funktion in der anzu ndhcrnde n Funkt ion [ (x l am ehes ren entha lten sind. In dcr Praxis wird d ie Auzahl der Tenne in der Fourier-Reihe auf cine praktikab le A nzah l bcgre nzt. Einc solc hc abgcsc hniuc ne Reihe wird als Partialsumme 5 bc zeichnct.

J 5.3 Fou ner-Rcihen ge radcr und ungerudcr Punkuonen

15.3

625

Fou r'ier-Reihen ge rader und ungerader Funktionen

Ftlr cine bclicbig c gcradc bzw. ungcradc Funktion nach Bild [5. 12 gclten folgcndc allgcmcin guhigcn lntcgrationsbczichungen: Ceradc Funktion 8(X);

J L

J

g(x) dr =

-L

J

J

0

0

L

U

g(x) d r q-

-L

L

g(x ) d r w 2

g(x) d r

Ungerade Funktio n «(x):

J L

lIt- x ) =

- u(x )

II (X) d r =

- L

J 0

L

II (X) d t + .f II(X) dr =

- L

0

.I L

.I L

(- u(x)) d t +

()

II (X) d r = 0

o

-c

a: Gerade Funktion g (.t )

b: Ungerude Funktion II (X)

Bild 15. 12: Gerude und ungeru de Funktioncn

FUr das Prod ukt einer bclicbigcn geradcu und ungeruden Funktion, g(x) bzw, II(X ), geltcn fclgendc Eigenschanen : Elgcn schaften dcr Produkte von g(x) und /I(x) . 8(X ) . /I(x) gerade ungerade six) II (X) ung erade ge mde Wie Bilder 2. 10 und 2. [ I zeigc n. ist d ie Kosiuusfunktion geratic, die Sinusfunktion dagegcn ungerade, Mu ltiplizicrt man sic mit eincr geruden bzw. ungeradcn Funktion , g(x) bzw. I/ (x). besitzen die resultierenden Funktionen folgcnde Eigenschaften: Eigen schaften der Produktc von g(x) und II(X ) cos IIltxlL . sin IIltxl L gerade ungerade II (X) ungerade gerade

626

15 Fouricr -Rcihcn

Darau s folgt un ter Bcrucksic ht igung vorangc hc ndcr lntcgrat ionsbczic hungen:

r 1

.

J 1

Il JrX

1: (x ) cos -

- L

de= 2

L

g (x ) cos -

II (X )

cos T

I/(x)

- I.

dr e- U

-I

1

dr = 0

Il JrX

g(x ) sln T

J .T

I.

J

J

dr

L

(J

IlJrX

.

1

I1JrX

IllrX

Sin

J .T 1

dr = 2

- I.

II (X ) Sin

IIJU

dr

0

Fiir eine ge rade Funktlon g (x ) sind attc Fouricr-Kocffi zicn tcn b" also ide ntisch Null. Und in ana loger Weis e sind aile Fourier-Koe ffizien ten a" fur cine ungera de Funktion I/(x) auch identi scb Null . Als Beis piele fllr die Fourier-Reihen gerude r bzw. ungerader Fu nkt ionen kormcn Hilder 15.8 und [5.10 nahcr betrachtet werden. In Bild 15.8 ist die Funktion gerade; die zugc hor igc Fouricr-Reih c auf Sene 622 cmhalt au ssc bliculich Kosinus-Term c. In Bild 15. 10 ist di e Funk tion ungerade, die zngcho rigc Fou rier-Rei he auf Scire 624 cmhuu aussc hI'rcfirrch S'In US- ~crm c.

Fourier-R eihe fiir eine gerade Funktion [ (x ) = tlo +

(10

=

~

-

L

ll lrX T

co s

tI"

,,=J

J

Per iode = 2L

1

( 15.5)

J 1

2 a,, = T.

[ (x ) d r

n

IIJU [ (x ) cos T d~

b" = 0

u

Fouri er-R eine fiir eine ungera de Funktion

-

L b" sin -

[ (x ) =

II JrX

"''' J

b"

~~

JJ (x)

Periade = 2L

L

( 15.6)

1

•

lI lr X

Sln T

d

r

lIo =a,, = O

n

Ueispiel 15.5: Fu r die in Beisp iel 15.3 bc hundclte ge rade Fun ktio n dc r Abbildung 15.8 soli die Fou ncr-Rcihc untcr Vcr wcndung der Po rmcl ( 15.5) ermittc lt werdcn.

J

J

o

0

I

2L = 2Jr

ao = T.1

[ (x ) dr = Jr1

"

( 'I")

,

1 .r- 0 = """"'2Jr n- - 0 = "2 n x d r = 2Jr

J 5.3 Founer-Rcihen geradcr und ungerudcr Punkuonen

,

2J

a" = -

L

o

627

,

2(. x cos

f {x) cos -mt'x - ill = L x

~ -22 (cos IIX + I1X K II

-4 a" = --2

fll r

X"

I'

sin nr ]

IIX

dx

0

- 2~ ( I - cos llJr ) = --

o

Jt w

11 = 1.3.5, · · ·

Ilir

a'l = 0

II

= 2,4.6.. ..

Die Fourier-Reihe is! idcntisc h. wie es natu rlich sein muss. mit derjenigen in Beispiel 15.3:

x 4( cos3x cos5x cos7x cos 9x ) fx + - - + · .. ( ) =- - - cosx+ - -2 + - - + - 2 2 Jt 3 52 7 ~ IJeispieI1 5.6:

Fur die in Beispiel 15.4 behandeltc ungerade Funktion der Abbildung 15.10 soil die Fou ner-Rci he unter Verwendung der Fennel (15.6) er mittelt we rde n. t.

h"

- d1: = ~ ~L.( f(x) sin -"XX L o

b'l = -

4

X"

fur

Fourier-Reihe:

11 =

-2

1l"

J,

,

sinl1xd ,( = -2( -cos llX) 1l" n

o

1.3.5.7. · · ·

b" = 0

fur

11 =

I = -2 ( I - cos IIJt) o

]0 1

2.4. 6,8. ...

4 ( .. . sin3x sin5x sin7x sin 9x ) fx () = - sm.1:+ - - + - - + - - + - - +" · Jt

3

5

7

9

62R

15 Fouricr-Rcihcn

15.4

Fe urfer- Reihe einer hereichsweise definierten Funktion

Wic in vora ngegangenen Abschnitten erlnut ert ist die Ent wic khmg elner belieb igen Fun ktion in ei ne Fourier-Rci he nur mogflch. wen n d ie Funktion pe riodi sc h ist. In lech nischen Aufgabcnstellungen existicren ubcr Situation en , wo d ie Funkt ion f (x ) lediglich in ei nern begrenzte n (finite n) lntervall gcg ebcu ist (finite Fu nkthm): auBerhalb dies es Bcrcic hcs ist die Funktion physikalisch gar nicht vorhandcn . Bcis piel swci se ist die dynamischc Belaxtung, die beim Aufp rall cines Ga bclsraplcrs auf c ine Hallc nstiltzc cntstcht. physikalisch nur fur wcnigc Sckundenbruchtcilc vorhandcn. Vor dcm Aufprall und danach w irkt kcin c Srogkra ft rnchr au f die Stlj tzc. Gen auso ist di e Bicgelinic c ines bclusrctcn Bicgcbalkcns nur inncrhalh dcr Balkcnl angc dcfi niert, auticrhalb des Balkcns ist kcinc Durcbbicgungvlinic vorhandcn. Bild 15. 13 zcigt schcm.nisch cine finite Funkt ion f (x). die nur im Interval! 0 :5 x :5 s defin icrt ist. d.h. sic ist in Wirklich keit ganz und gar nicht pcriodi sch.

(IXJk ]

s,.--

-

-

--;;-

x

Bild 15.1 3: Finite Funknon im Definiuonsbercich 0 ::;x ::; s

Es ist dennoc h mogtich . auc h fur sclche nicht -periodischcn Punknon cn pas scndc Fourtcr-Rcrhcn aufzusrellc n. Man untcrstcllr einfach. dass sich die Funktion pcriodisch wicderholcn wurdc. Diese Pertodizitat ist ruuurtic h nur fiktiv : in de r physikalischen Wirklichk eit sind diesc erw etrerten periodis cheu Tcilc de r Funktion ohne Bedeutung. Folgende Mog flchkeit en fur die periodi sche Erweiterung dcr finiten Funktion bictcn sic h hierbei an: Ei nfache Erwei te ru ng. Man ka nn die Funktion gemau Bild 15.14 a ganz einfach periodisch mit der Pcr iod c 21. = s tort sctzcn und auf iibliche Art die Pouricr-Kocffizicntcn aus (15.4) auf Se ite 6 17 crrnitteln . Die Fou ricr-Rcihc bcsteht i.a. sowohl aus Kosinus- wie auch Sinus-Tcrmen . d.h . dcr Rcchcnaufwand ist hohcr. Oe r ade Erwenerung. Die Funktio n kan n du rch Spicgclung um die y-Achsc nach Bild 15. 14 b so crw cucn werdc n. dass cine gerade Funk/ion cmstcht mit dcr verdoppelten Pcriodc 2L = 2.1". Die Fouricr-Rcihe bcstcht nur aus KO.l'illlls-Tennen und liissl sich nach (15 .7) er mhtcl n. Un ge rade E r wetter u ng. Die Spieg e lung um die y-Achse nach Bild 15.14 c kann so erfolg en , dass cin e ungerude Funktion enlsteht mit dcr verdoppehen Pcriode 2L = 2.~·. Die Fourier-Reihe beste ht nur aus Silllls-Termen und wir d bestlmmt nac h ( 15.8) . In dcr augclsachsischcn Fachliteratur wcrdcn d ie lctztcn beiden Moglichkeit en als half-range expansions bczcic hnct . Sowo hl di e gcradc als auch d ie ungera dc pcriod ischc Erw eiterung sind prinzipiell gteichwcrtig . Es kan n abc r sci n. dass d ie cine odcr die ande re Variante sich in ci ncm konkreten Fall als zwcc kmauigc r erwe ist - was oft auch dcr Fall ist.

1SA Fouricr-Rcihe eine r bcrcichsweise definic rtcn Funktirm

629

• a: Einfuche penodische Fortsetzung mit unveramjen er Period e 2L = s

~' .~(:}~ .,

•

s

c: Ungcradc Erwcitcru ng mit vcrdoppcltcr Pcriod c 2L = 2.1' Bild 15.14 : vcrsc hiedene Erweirerung smog fichkeircn fur die Funktion ill Bild 15.13

Gerade Erwe iterung einerfi nite n Funk tion:

f (x ) =

(/0

=

(10

'"

+[ " ""I ,

I/ X X

Periode : 2L = 2.~

cos -

(I"

.I'

~s I f(x ) d r

(/" =

n

( 15.7)

,

nm:

~., I f(x ) cos -s- d r

IJ II = 0

"

Unge rade Erwe iternng einer finiten Funk tion: '"

f (x ) = [

.

,,"" I

h"

Il XX

" " sm -

,

- dr ~ ~s I f(x ) sin -" XX s

o

Periode : 2L = 2.1'

S

( 15.8 ) (I"

= 0

6}O

15 Fouricr-Rcihcn

Hd spid 15.7: Die in Rild 15. 15 a dargt';;ld he finite Funk finn [ (x ) = r mil dern Definition sbc reirh

a s; x S; Jt" soli nach eerader sowic ungerader Erweiterung in cine Fouricr-Rcihc cr uwickett worden. f(x)

a: Funktion f (x ) = .r

b: Gerud e Erwciterung

c: Ungerude Erweitc rung

Bild 15.15: Funktion und Panialsumrnen 59 fur das Beispiel 15.7

Gerade Erweite r umn

IJ

1J

o

0

,

2L = 2.f = 2Jt"

a () = -

of

J

.I"

s

0

Jt" W

-4

-~

Jt" W

fur

I'

nx sin nr] 11 =

0

2

Jt" -a -2Jt"

Jt" 2

~ -

J

1f

f (x ) cos -liJt"X - dr = -2

2 ~ (cos nx + ~ --

a" =

[ (x) dr = Jt"

K= xdr = - 1 J.21 o 2Jt"

J n

s

ll,, = -2

,

1f

x cos -nxx -dr = -2 .r cos nr d r Jt" n 0 0

- 2~ ( 1 - cos Il7r) = -Jt" W

1.3.5. · · .

a'i =

a

fU r " = 2.4.6. .

Die Fou rier-Reihe tauter:

" 4( cos3x cos5x cos7x cos 9x ) [x () = - - - cosx + - + - - + - - + - - + .. · 2 Jt" 32 ~ ~ 52 Die in Bild 15.15 b dargestellte Partials umm c 59 gibt die Funk tion mil hoher Gena uigkcit wicdcr.

I SA Fouricr-Rcihe einer bcrcichsweise definicrtcn Funktirm

Ungerade Erweiterung:

J

".,

.<

h,, = -2 .S

~

S

n

-r-v 2 (sin !lX -IlX cos IIX) lI: 11-

2 h,, = n

J ,," n I"

fur

Il

x sin - - dr = -2 lI:

n

2

(J

== 1,}.5, . . .

n

J 11

11:

[ (x ) sin - - dr = -2

lI:

x sinur dr

n

COSl/lI:

2

b,, = - n

fur

Jl

= 2.4.6. · . .

Die Fouricr-Rcihc luutct: . sin Zr sin 3x sin4x sin fir sin6x .) () = 2 ( s mx - [x 2- + ~ - 4- + 5- - 6- + · · Die in Bild 15.15 C dargestetltc Partialsummc 59 kann die Funktion nur in groher Nahcrung wiedergebcn: IUr cine ausreichende Gena uigkeil mussten viel mehr Tenne heriicksichtigt werden.

63 J

632

15 Fouricr-Rcihcn

15.5

Aufgaben

I. Stellen Sie die angegebcnen periodischen Funktionen grafisch dar und bestimmen Sie ihre

Fourier-Reihe. Bilden Sie verschiedene Teilsumrnen der Reihen und vergleichen Sie die Ergebnisse grattsc h. a) j (x ) =x

- It :5 x :5 lt

fur

Pcriodc P = 2lt

Isg:

j(x) =2sinx -si n 2t+~ sin3x - ~ sin 4x +~ h)

sin 5x - · · ·

O :5x :5 2lt

j (x ) = x

fur

L I"g:

Period e p = 2lt

j(X) = lt - 2(Sinx +~ Sin2x +~ sin3x + ~ Sin 4x +~ c) j (x ) = x 2

Sin5X+ . . . )

- It:5 x :5 lt

fur

Pcriodc P = 2lt

L5g:

f (x ) = d ) j (x ) =

~2 -

4 ( cos x -

{o

~2

cos 2x + 312 cos 3x -

~2

cos 4x + 512 COS5X-" , )

fur - It/ 2 '5: .r '5: 0 fur 0 '5:x '5:lt/2

cosr

Pcriode p = tr 1 2 4 . f (x ) = - + -3 cos 2x+ -3 Sill

L fg:

x

It

2 +35tr e)

f () x

=

It

cos

,

12 H+ -35tr

ze -. -I 52tr

8 cos 4x + - 5

I tr

. Sill 4x+

. 6 Sill x - ' "

o fur O < x
tsg:

Periode p = 2tr 1 I. 2 2 2 f (x ) = - - - SlllX - - cos 2x - cos 4x - cos 6x - · · · tr 2 3tr 15tr 35tr

o j (x ) = sinr

Periodc p = x

L Ig:

j () x =

fur 0 '5: .r '5: n

2

4 ( COS2t cos 4x cos 6x cos8x .) ~ +""""):"5 +~ +""""7:"9 + "

i -i

~ ) f (x ) = sin2x

Lsg:

filr 0 '5: x '5: n

Periode II = 2tr

15.5 Aufgaben

633

2. Die Funktion f (x) = .r is! nur im finiten lntervall 0 :5 .r :5 2n dcfiniert. Sic soli nach Ramle r sowie ungerader Erweitcr ung in cine Fouricr-Reihc entwickclt worden. a) Gcrade Erweiterung, ::::}

L =s =2n (I ll

-8 x 1/2

Pcriodc

fur

= - -

II

x

= 1.3,5, . . .

8 9,

c os~ ~ ­

2

2L = 2s = 4n

3x

II"

= 0

(In =

n

fur

11 =

2,4.6. · · ·

8 5x cos - _ · · · 25n 2

c o s - ~ --

2

b) Ungerade Erweitcrung.

L = s = 2n bo = O

f () .r =

::::}

Pcriod c

hz = -2

b l =4 4

, x 2

Slll - -

2L = 2s = 4n

2 '

h3 = 4/3

h4 = - 1

b5 =4/ 5

4 . 3x . 4 .5x -s1ll2r+ - Slll - - '" 3 2 5 2

SlllX+ - s1ll -

:5 .r :5 n dcfi nicrr. Srellc n Sic zunachst d ie Funktion gcmlill germier sowie uugerade r Erweiterung grafisch dar und entwickeln Sie sic in d ie jeweilige Fouricr-Rcihe.

3. Die Funktion f (x ) = x (n - .r] is! nur im finiten tntervolt 0

a) Gcradc Erwcitcrung.

f (x ) =

nl

cos 4x

cos 6x

6" - cos 2r - """"22 - ----y- _...

b) Ungeradc Erweiterung. sin 3x sin 5x ,, ) 8 (. SIll X+ - -3 + - - + ' 3 53

fx ( )= -

n

16

Pa rti elle Differentialgleichungen

t6.t

Einflihr ung

Einc r nultivarinblc Funktion II = ! (x, J , .. . ) bildet den Ausgangs punkt ei ncr pnrticllcn Diffcrcmialglcichung (P DG L) : DUTch ci ne PDGL werden die unb ekannte Funktio n II , ihre pani ellc n Ableitu ngen U ", . II.y, lI ..u , lI . n,. · · · sowie die unabh nnglgen Variablen X,Y•.. . in Bezieh ung gesetzt. Beisplelsweise lautcn die part iellen Diffe renti alg jeichungen aster bzw. Z\I'eil er Ordnu ng fur cine Funkuon 1/ = ! (x, y ) mit lwe i unabhiingigen Var iable n in allge meincr Darstcllung: PDGL I. Ord nung :

F(x, y, U ,II.x , lI .y ) = 0

PDGL 2. Ord nung :

F (x , y. 1I,1I ,x , II.),. 11....\, 11.») ., " ,<:1') = 0

Flir den lcichtercn Einsticg in das Thcma bctrachtcn wir folgend c Bcisptctc aus physikalischcn Anwe ndungsgcbieten. die mathematisch mit Hilfe von pani ellen Differ ent ialglcichungcn bcschr ieben werde n.

Statlonares Tempera tu rfeld. Das starlonare ! Tem peratu rfeld in einer dunn cn Metallp lattc ist ci ne Funktion von zwe i unabhangigen Ort svadablen. d.h. T = f (x. y ). Die Veneilu ng der Tcmperatur in der Platte wird durch fclgcnd c PDO L. die sog. La pta ce-Gl efchung. bcsc hriebcn:

Laptace-Gleicnung

16.2

( 16. 1)

Biegeschwingun gen eines Balk ens

Es wird ein Biegebal kcn bet rachtct . der zum Zeitpunkt I = 0 eincr statischcn oder dynami schcn Glcich gcwi chtsstorun g unterworfen werden solI. Eine statische G leichgcwicht sslOrung konn te z.B. sc in, dass der Balken ausgelenk t und dann plot zlich tosgela sscn wird. Einc dynamischc Glcic hgcwichtsstorun g liegt z.B. vor, wcnn auf dcrn Bulken ci n Kerper mit der Geschwind igkcit \'0 aufschl agt. FUr t > 0 sollen auf den Balkcn keine auBeren Lastcn mohr e inwirkcn. In all die scn Fallen fuhrt dcr Bulkcn filt' t > 0 freie Scnwing unge n aus. Die frcic Schwin gun g crfolgt scnk rcchr zur Balkcna chsc und wird durch folgcndc homo gcnc particllc DitTerentialg1cichung beschrieben: (16 .2) von lat. stauo: Sullsrehe n; .1'(' I/IOI I
zen.

636

16 Panielle Diff erentiulgleichungen

1

4;

EJ.m

- - - - -, - - - - - ,

x

a: Gelenkig gclugcrtcr Bnlkcn

b: Die ers tcn 3 Eigenforrnen

BiM 16. 1: Biege-Eigenschwingungen cines Balkens

Die Variable y ist d ie von dcr Ortsvariublc .r und dcr Zeit t abhangigc Dureh biegung dcr Balkcnachse. d.h. y = y(x , t ). E ist dcr Elastizitatsrnod ut des w crkstoffs in N/ m 2, I da s Traghcitsmoment des Balkenquerseh nin s in m" . 11/ d ie Masse pro Langenci nhcit des Balkcns in kg/ m. Es wird vorausgesetzt. dass der Balken homogen ist. d .h. E , t .in sind tiber die gesamte Bal kenlangc konstant verlaufe ndc G robe n. In eluem realcn Sehw ingungsp rob lem mussen nebe n de r partiellcn DGL (16.2) selbst noch zusmzliche Bed ingungen tRandhedingungen und Anfang sbedingungen), d ie vom kcnkreten Prob lem abhan gen, erfullt werden . Z ur Los ung von ( 16.2) wird ein Produaansat: 2 gc mac ht:

Iyl x ,t ) -

F ix ) G(t)

I

Ansatzfunktio n

( 16.3)

Die in ( 16 .2) bcnotigtcn particllcn Ablcitu ngc n dcr Ansatzfunktion lauren:

~;. = s" = F""{x)G(t ) Nach Einsetzcn die ser Au sdrUeke in ( 16.2) und anschlleaende r Um formung erhalt man:

FG + c 2F""G = O

F ill!

F

In dcr lctztcn Bczichung bcstcht die linkc Sc ire aus den Funktion cn F und F"", wclchc aussehlielllieh von dcr O rtsvariable .r ab hangc n. weil F = F(x ) isr. Die rcc hte Scire enrhau die Konstante c sowie Punkrioncn G und G, di e ausse hlieBlieh von dcr Zei tvariable t abh angcn. Das bedcut et. dass die linkc Seite vollig unabhdngig von dcr rech tcn Sc ite ist - und naturlic h aueh umgekehrt. Die obige Beziehung bringt zum Ausdru ck, dass fur eine n bclic big gewa hlte n Wert der Variable .r die Funktion F",I/F stets das gleiche (Zahlen-jlirgebnis liefert wle die Funktion G/G fbr eine n beli ebigen Wert de r Variable t , Diesc pcrm ane nte G leichheir kan n aber bei bellebigem .r und I log ischcrweisc nur dunn ci ntrctcn. wenn die Ausdriicke auf dc r linkcn und rcchten Seitc des G leichhcits zeichens jeweils gleich sind einer -vo rlautig noch nicht beka nntcn- Kon stantc .(A (man harte anstcllc von k4 natu rlich auch cinfuch k verwe ndc n kon ncn: d ies harte jcd oc h zu -optisch storcndc n- W urzclausdruckcn bci dcr Losung gcfb hrt . dahcr ist cs zwcc krnabigcr, k4 2 Auch S,·"amtiOI1.",II.wt: genanm. ..... eil F (x ) und G (t } voncinandcr getrcnnte (separat e ) Funktioncn sind.

16.2 Bicgeschwingungcn cines Balkens

637

als Konstantc zu verwcndcn).

F""

_ = k4 F

Anstclte cincr gckoppcltcn part iellcn DOL crhatr man auf diesc Weise zwc i gctrcnntc gewdhnlicite Dijferell1ia!xfeicllllll,;en: (16.4)

Besnmm ung von F {x ) :

Fur die Losung dcr DOL F'" - k4F = 0 in (16.4) wird die Ansatzfunktio n F {x ) = eAx verwendet.

-

F"" _ k4 F = A4eA..T _ k4eh = (A4 _ k4) e A.T = 0 #'

Aus A2 = + k 2 folgen zwe i wurzeln :

AI = k

A2 = - k

Aus A2 = _ k2 folgcn untcr Vcrwcndun g dcr tma gfna ren Einhe it i zwci wcitcrc Wurzeln : A2 = _k2 = i 2 k2

mit

IP= - I I

==}

A3 = ik

A.t = - u;

Die Substitut ion der berech neten A-Werte in den Losungsansatz F (x ) = e Ax liefe rt vier Einzellosungen fur die Funktion F (x ):

F4 (X ) = e- ih Die Gcsanulosung fur F (x ) ergibt sich durch linearc Supe rposition dcr Tcillosungcn : F (X ) = Cl F1+C2 F2 +q F3+ C4 F4 =Cl('u + C2 e -

k.I

it<

+ cJ (' - +q('

- ih

-

Zur Elimination der Expcne ruialausdriicke werden folgende allgemeine Beziehungen vcrwcndet:

e".T= (' - 1.:(

ei k.l

cosh kx + sinh kx

= cosh kx _ sinh kx = cos k.t + i sin kx

( 16.5)

e- ib : = cos kx - i sin kx Das Einsctzcn diescr Beziehungen in dcr Gesamrlosung und das anschlicbc ndc Um rormcn des Rcsuna rs. auf analoge Art wie auf Seite 457 crlllutert, licfcrn folgcndcn rcllcn Ausdruck:

IF (x ) _ A eosk.r:+ B sinkx+C coshkx + D sinhkx l

(16.6)

631l

16 Panielle Differentiulgleichun gen

nt'Tiicks ichti ~un g

der Randhedln gun gen (beidseitig gelenk lger Balken)

Die -noc h unbckanntcn- Konsta nten A. B. C, IJ und k in (16 .6) werde n aus vorgegebenen Randbe ding unge n (Auflagerbedingungen des Bal kcnsj best imm t. lm vorl icgcn dcn Fall wird e in an scincn bcidcn Endcn gclcnkig gclagcrtcr Balken bctrachtct (natiirlich kann man aueh andere Rand bed ingu ngen ebcnsc bchandeln . die cr fcrdcm jcdoch rnchr Detaila rbeit ). Die Randbedingungen d icscs Balkenproh lems sind die zu jc dcm Zcitpunkt 1 ;::: 0 vcrschwin deride Durchbiegung y sowic das vcrschwindcndc Bicgcmomcru M an bcidcn Batkcncndcn. Mit Hille dcr kla ssischcn Moment-Kriimm ungsbczieh ung der Balkenstatik (M = £ 1 y ) crhalt ma n folgcndc Rand bcdingun gen: (Durchbicgung bei x = 0 und x = L)

M(O,/ ) = £ 1y"(O, f ) = 0

M(L, f ) = £ 1y"( L. I ) = 0

(M bei x = 0 und x = L )

Aus der Durchbiegungshedingung cr halt man dutc h Einxet zen der Ort skoord inaten x = 0 und .r = L im Prod uktans atz y = F(x ) G(/ ) in (16 .3):

y(O,' ) ~ F(O )G(, ) ~

°

y(L,' 1 ~ F (L)G(' ) ~

°

Die se belden Bezieh ungen konnen nur da nn erfllllt wcrden . wenn cntweder F(O) = F(L) = 0 odcr G (J) = 0 ist. Der Fall G(f ) = 0 mach t physikali sch keinen Sinn . wei l cs dann zwangslau fig bcdc uten wurdc. dass dcr Balkcn sich standig in Ruhc bcfindct. d.h. gar nich t schwingt. Dcshalh ist nur dcr Fall G(/ ) -# 0 yon physikalischcr Bedeutun g. Daraus folg r. dass zur Erflillung dcr Bed ingungen in (a) F(O ) = F(L ) = 0 sein muss. Die Momentenbedingung an den Au flagem licfcrt mit dcr sct bcn Arg ume ntation wic obc n:

£ 1)'1/ (0, I) = El F/I (O)G(r) = 0

)'I/ (X. / ) = FI/ (x )G(/ )

Ely" (L. t ) = El FI/ (L)G(r) = 0

=> FI/(O) = FI/(L) = 0 Aus (16.6) erhalt man durch zwe imalige Differe ntiat ion:

F"(x ) = _ Ak2 cos kx - Bk2 sin kx + Ck 2 cos h kx + Dk 2 sinh kx Einsctzen dcr Koordin ate n x = 0 und x = L in F(x ) und F I/(x ) licfert untcr Ber iicksichtigun g dcr vc rgcge bcnen Ran dbe din gun gcn:

-..=1

--...-=0

-....--

F (O ) = A cos O+ B sin O+ C cos h 0 + [) sinh O = A + C = 0 =1

'-..,..--'

= ()

F(L) = A cos kL + B sin kL + C cosh kL + D sinhkL = 0 F " (Oj = _ Ak2 cos O- Bk 2 sin 0 + Ck 2 cos h 0 + Dk 2 sinh O = _ Ak 2 + Ck 2 = 0 F"(L ) = _ Ak 2 coskL - Bk 2 sin kL +Ck 2 cosh kL + Dk 2 sinh kL = 0

16.2 Bicgeschwingungcn cines Balkens

639

Diose vie r Bcstimrn ungsgleich ungcn worden zwec kmatlig in Matrizenform gesc hricben:

° ° u.

c", I L [

I'

_ k 2 cos u.

sin kL

°u. ] [ A] [ 0]

cos h kL

sinh

k2

_ k 2 sin

k 2 cos hkL

s]~ hkL

k2

B

0

~

~

(1 6.7)

Das obige nomogene lineare Gleichungssystem bcsim nur und nur dann c ine nichttriviulc L6sung. wenn d ie Detcrmi nante der Kocffizicntenrn atrix gleich Null ist (s. die Losbarkeitsbcdin gunge n auf Scitc 94 ). Die Dctcrmin anrc JaBt sich cruweder mit Hilfe des Lapluceschcn Entwicklungssatzes auf Scitc 86 odor mittels Transformation in die Drciccksform (s. Scire 100) ermit tcln: Detenninante = 4k 4 sin kl, sinh kl. = 0

,,, ------

Wegen L -I- 0 und k -I- 0 kann dlese Bcdin gung nur erfu llt worden, wcr m sin kL = () ist. Daraus folgt die unbekannte Kcn stantc k: kL =

EIJ" k= -

11ft

/I

L

(16.8)

= 1.2 .3.. . .

Jetzt kc nnen d ie Kc nstanten A . B. C, 0 aus (16 .7) bcs timm t werden. Mit k =

--()

COS 11ft

_k2 _ k2 cos 11 ft

~O

sinh 11ft

k2

()

~

L erhalten wir:

()

cos h 11 ft

si ll 11 ft

_ k2 sin fl ft

IIft /

k2

()

cos h nn

2

k sinh nzr

= (}

Aus dcr I. und 3. Zelle folg t:

A + C =O

und

- A+C = O

0:=}

A = C =O

Aus dcr 2. Zeilc crh alt man (untcr Berticksichtigun g, dass A = C = 0 ):

,,,

D sinh rm = 0 '-----.--'

Einsetzen von A = C = [) = 0 in dcr 4 . Zcile liefen die Bedi ngung B · O = 0 , d.h. B isr beliebig frci wtihlbar. Mit der Wahl B = I licfert 06.6) d ie gesuchte Funktion F(x) J: F (X ) =

.

".,

0,(x ) = Sll1 T

/I

= 1.2,3•.. .

(1 6.9 )

3 Mil rin/ ipietl lann B aUl·h jcder bcliebigcr Zahlenwert zugcordnct werden .

MO

16 Panielle Diff erentiulgleic hungen

Die Funk tion F,,(x) wird als Eigensch wing ungs for m des Bulkcns bczcicbn ct. Ocr Balken bcsirzt uncndlich viclc si nusformigc Eigcnschwi ngungsforrncn. wcil n = 1. 1.2.3 . . . .. In Bild 16.1 sind die crstcn drci Eigcnschwingungsformcn des Balkens dargcstcllt.

Bestunmung Hill G(I ):

Die zu losende gewoh uliche DGL G + c 2k 4 G = 0 in ( 16.4) wird zunachst durch EinfLi hrung c ines ncucn Sy mbo ls 00" in leich t modifizicrter Form gcsc hdcbcn: f)~f· I ' 00" = c ··

11

(16.10)

= 1.2.3 . . . .

Die Auswertung des Terms ck2 mit de n aktuellen Werten des beid seitig gele nklgen Balkens liefert: 00" = ck 2 =

(Ei (U K) ' V-;;; L

Mil dem Losungsansatz G(I ) =

s. (16.2) und (16. 8) {'(31

crhalt man aus (16.10):

(/32+ 0),;) ~ = O

,0

Durch analoge s Vorgchcn wie obcn bc i der Bestimmung von F (x) erhlllt man:

GI,,(I) = ei1o)" , = cos 00,,1+ ; sin 00,,1

G2" (1) -_ e -

i lA, l _

• . . .' - cos 00,,1- I S1l1 0),,1

Die Lincarkom binanon dcr cinzctncn Losungstcilc (Sinus- und Kosin us-Terme) liefcrt:

IG,,(t ) -

H" cos W,,1+ K" sin 00,,1

I

/I

(16.11)

= 1.2.3. · · .

Die noc h unbckanmcn Kon stuntcn H" und KII worden aus den AllfilllxshedillKlIl1Kell des Bulkcns zum Zcitpunkt I = O besu mmr. vgl. Beispiel 16.1. Elgenpertode und Eige nfre q ue nz Ocr volle Schwingungszyklus des Balkens win! volle ndet. wcnn in (16. 11) 0),,1 = 2Jr erre icht wird. In d iescm Augenblick wird I = T", wobci T" die Pcriod c dcr Si nus- bzw. Kosinusschwingung bcdcutct. Die Eigenschwingungsperiode TTl des heidseitig KelellkiK gelageneu Balkens in dcr n-tcn Eigensch wingungsform crgibt sich som it zu:

oo" T" = 2Jr

=>

- Jr /f!;1(U K) ' T" -2 III

Die Eixenj requel1Z[, und die Eigenkreisfrequesr;

f,, ,--

..!.. -T"

2

n Jr 2 2L

/f!;1 11/

11 =

L

1/

= 1,2.3, . ..

(I)"

1.2.3. . . . ( 16.12)

dcr u-tcn Eigcnfonn crge bcn sich zu: ( 16.13)

16.2 Bicgeschwingungcn eines Balkens

fI

= 1.2.3....

64 1

(16 . 14)

Allgemeine Los ung y(x ./ ) Wie aus den Lz sungen (16 .9) und ( 16. 14 ) crsic htlic h. bcsitz t dcr Balkcn unendlich vicle Eige nschwing ungs formcn und Eigcn frequ cnzcn (wcgcn n :::: 1.2,3. . . .). Die allgeme ine Schwingungslosung y(x,t ) des beidseitig getenkig gelagenen Balkens crgibt sich dahcr nach dcm Supcrpositio nsprinzip durch lincarc Komb ination dcr Btnzctlosungcn ge maB dcm Prod uktunsatz (16.3 ) umcr Ver wend ung von ( 16.9) und ( 16.1 1):

y(x. t)::::

f: F,,(x )C,,(J ) = E

sin

,, "']

" ", I

I/~X (H" cos

OJ"/+K,, sin OJ"/ )

1/ = 1.2,3 .... (16 .15)

Bcr uckslch n gung der Anfangs bedi ng ung en Die Balkcn schwingun g fur t > 0 ha ngt von dcr Anfangsauslc nkung y(x,O) und dcr Aufangsgcschw indig ke it .\·(x,O) des Balkcns zurn Zeitpu nkt t = 0 aboWenn di e Anfungsa uslc nkung du rch di e Funkt ion fo (x) und die Anfangsgcschwi ndigkc it durch d ie Fun ktion \'o(.r) gcgcbc n sind, lautcn die An rangsbed tngungen

Iy(x .O) -

l o(x )

.\'(.r ,O) - \'o{x )

I

(16. 16)

Fur die Erfullun g der Anfa ngsbc dingu ng \'o(x ) wird noch :~·(x. t) bcnotigt. Die Different iation von (16. 15) nach t licferr: . • y(x, /) = 'L" F,,(x )G,,(t ) = 'L"

,,: 1

Nach Einsctzcn von

y(x,O) =

L

. UKX S1l1

(- H" ro"

. ro, ,1 Sill

+ K"OJ"

cos ro" l )

(16 . 17)

" "' I I :::: 0

in (16.1 5) und (16 .17) und Bcrucksichtigung von (16. 16) er hiilt man:

L"" H" sin LIInx :::: ji)(x)

(16. 18)

L K"ro" sin -

(16 .19)

" ", I

);(x.O) =

""

Il1tX

" ", I

L

= \'o{x)

Noch sind die Konstantcn H" . K" nich t bck ann t. Zu ihrer Bestim mung wird Gebrauch von Fou rier-Rcihcn gc macht. Ocr Vcrglcich dcr Glcichung ( 16. 18) mit 0 5.6) zcigt. dass d ie A nfungsuuslcnkung ji)(x.O) offensichtli ch dcr Founer-Rci hc ci ner ungcradcn Funktion cntspnchr (wcgcn dcr Sinusfunkt ion). A uf gleic hc Weise stcllt man aus (16 . 19) fest, da ss die Anfangsgcschwind igkeit V{) (x.O) durch die Fourier-Reihe einer cbcnfa lls ungcr adcn Fu nktion bcsch rtcbcn wi rd . M it Hi lfe von ( 15.6), ( 16. 18) und ( 16. 19) erhalt man Iclgcnd c Besnmmungsgfcich ungcn

64 2

16 Panielle Diff erentiulgleichungen

fur H", K,,:

H" =

,

.f

~

t.

K" = _ 2_

fo (x ) sin nzx d r

L ro"

o

j I'O (X) sur L ,

IIICX

d

116.20)

r

o

Nach Bcsrimmung dcr Konstantcn HI! und Kif mi t Hilfc dcr obigcn Bezieh ungen karin die dynumischc Antwort des Balk cns, d .h. die spczicllc Losung dcr part icllcn DGL . aus (16. 15 ) cm uucn worden.

Heispid 16.1:

Schwmg unge n efnes gelenklg getagerten Balkens

Es so il d ie freie Sc hwing ung eines beid sehig ge lenkig gelagerte n Balkens unter such t werde n, der wie in Bild 16.2 dargestel lt, ausge lenkt und dann losgelasscu wird. Das rechte Ende des Balken s trifft zum Ze itpunkt 1 = 0 am rechtcn Aullage r mi t de r Gcsc hwin dig keit I'e auf (eme utes Abbe bc n vern Aullage r wird urucrdrtlckt ).

,

................................................................

~ . !

E.I.A

t:

;;;"' J

Bild 16.2: Ausgelc nkrcr Balken in Beispie l 16. 1

Die Anfangsbedingu ngen zum Ze itpunkt 1= 0 (wcnn dcr ausgclc nktc Bulkcn nach dem Loslusscn gcradc das Auflagcr bcruhrt) lauren (das Vorzeichen von VI) ist ncgauv, wei l die A nfangsgeschwi ndig keit in ncgauver j- Richtung cr folg t):

.r I'o(.r) = - L I'e

Jo(.<) ~ 0

Die Auswert ung der Fo rmeln in ( 16.20 ) mit die scn Funktionc n licfert: HI! = 0

K,, = -

2

L

-

L ro"

.

j (- "C')

o

21'e

[

L2

~ -, - -- ( - lI1t caslI lC) L~ (01f ,, 2;r2 "-v-'

II ;rX

Sill -

L

-

"trx

--

L

/l trx ]L

cos - -

L

0

21'.. (- I)"

= --(()"

Il;r

( - I)"

Einsetzen der Konsrantcn H" , K" in ( 16. 15) liefert die dyna mtsche Biegelin ie (dy nami-

16.2 Bicgeschwingungcn cines Balken s

643

be ix~ U2

~ 0.5

~ 0.5

o k-----c;!----;-'c--~L

a: Biegeli nie

lU

verschiedcnen Zeitpunkten

b: Zeitverlauf dcr dy numischen Durchbiegung

Bild 16.3: Frc ic Sehw ingungcn des Balkcns in Bild 16.2

sche Amwort] des Balkens:

y(x. ,) ~

f:

. n1CX 2,·, (- I )" Sill . - L- sin m it ,,=1 m, II1C

/I

= ] ,2.3. . . .

( 16.2 1)

Za hlen beis picl: Fur d ie Balkenaufg abc in Bild 16.2 mit fo lgenden Kcnnwcrten ist die dynam ische Antwort fur die Anfa ngsgesc hwiudigke it I'~ = 2,0 m/ s zu umersuchen. L =lOm

E =2 . 1. 1O" N/ m2

1= 8 ·1O- 9m 4 A = ] ·1O- J m 2

p = 7850 kg/ mJ

Die Eigcnfrcqucnzcn und die dynamis chc Bicgcli nic crge bcn sich aus (16.14) und ( 16.2 1),

2,1. 1011.8 . 10- 9

I ::.'--'c::,oi'--"' '--- = 7.85

m =p A = 7.85 fl = (()1/ 21C = 0. 23 Hz

TI = I If I = 4.35 S ~

Y(x, l ) = t:

12 =

O>! j 21C = 0,92 H z

T2 =

1/12 =

Is =

1,09 s

WJ1 21C =

T.~ =

1.44381/2

2.07 Hz

I/h = 0,48 s

2 ·2 ,0 (- I)" . n 1CX . 1) -,- Sill - 0 slll( I,4438wl .8· 1C 11" ]

441

,,=1 I ,

In Bild 16.3 sind die Biegelin ie des Bal kens zu verschicdencn Zeitpun kten sowie der Ze itver tauf dcr Durchbiegung an verschiedcncn Balkenpunkten dargeslellt (Auswertung mit Hilfe von MAPL E, II = 1 · · · 100) .

16 Panielle Differentiulgleichungen

16.3

Axialschwingungen eines Sta bs

Die freie axiale Sc hwingung etncs Stabs er folgt parallel zu seiner Lnngsachse. s. Bild 16.4 a. und wird durch fo lgende POOL bcsch rieben : ,

EA

c- = -

(16 .22 )

m

Dicse DOL ist die sog . eindime nsiona le w etlenglelchung. Die Variable If lst die ax iale vcrschiebung de s Stabquerschnitts an der Position .e: A ist die Querschnit tsflache des Stabs; E und /11 haben die selbe Bedeutung wie in (16 .2) auf Seite 635 . Auch hier wird homogcner Stab mit konsrantcm Oucrschni u angcnommcn.

EArn

- - - -, - - - a: Einscuig einge spanntcr Stub

b: Die ersten 3 Eigcnfonncn [axial)

Bild 16.4: Axialc Schwin gungen cine s Stabs

Fur die Losun g von ( 16.22 ) w ird wicdcr ci n Prod ukransatz ahnlic h wic in ( 16.3 ) gc mac ht:

u(x.r ) = F (x) G(t )

a2 a/ "'-

1f

••

= ii= F(x) G(t)

a211

ax 2 =

II

"

/I

= F (x) G(r )

(16.23)

Das Einse tzcn der obigen Beziehunge n in ( 16.22) fuhn . unter Verwendung de r Propc rtionalidtskonstante _ k2 • auf zwc i gcwoh nlichc Diffcren tialglc ichungcn" : (16.24) (16.25) Besnmmung von F (x ): Mil de m Los ungsansatz F(x ) = e'\,t crhalt man aus (16.25) link s:

(A2 + k 2)

-

eA. ,< = ()

=}

A2 = _k 2

=>

Al =ik

A2= -ik

mit

i= J=I

P= - 1

'"

Durch Einsctzcn von AI und ).,2 im Los ungsan satz F (x) = eh crhalt man zwci Einzcllo sungcn. F t (x) und F2(x). Die Gcsam uo sung Iilr F (x) crg ibt sic h dann durch Lincarkombin ation de r Teil 4 In ( 16.24) hallCa i, Prnpm1i"nalilalsknn'lanIC prin;.ipicli allch + k Z vc,,",'emkt weRlen kiinnen ; allerding, wiirde cs

dann auf ci ne trivialc lihllug F (x) '" () flthrcn. welche physiknhsch uninrcrcssum ware.

16.3 Axialschwingungen cines Stabs

645

losu ngen:

Der letzt e Ausdruck wird m it Hilfc der Bezieh ungen in (16.5) von der Ex po ne ntialform in die trigonometrische Fuuk tio nsform tran sfo rmie rt und liefert fo lgen des Ergebnis:

IF (x) = A cos kx + B sin kx I

(16.26)

Die beiden Ko nstamcn A und B sowic der unbck annte Proport ion alitmsfuktor k in ( 16.26) werde n aus vorgegebe ne n Randbe dingunge n (Auflagerbcdingungcn des Stabs) bcsti mrm. Nachfolgend wird der Fall des el nseitlg elngespannte n Stabs bch andelt.

Beriicksichtigung der Rand bedin gungen (eiuseitig elngespa nnter Stab)

Es wird gemna Bild 16.4 a eiu Stab beuuch tet . der an seinem Iinken Ende fest ei nges pann t, am reeh ten Ende frei ist. Die Randhedingungen fur 1 2: 0 lauten: 11(0./) = 0 N (L. I ) = EA u' (L ./ ) = 0

Ax ialversehiebu ng am linken Ende Axialkraft am reehten Ende (N = EA e = EAu ' )

M il uhnlichcn Betrach tunge n wie auf Scire 6381 iefert die Erflillung der obigcn Randbedi ngun gcn unter Vcrwcnd ung von (16.26) folgende Ergebnisse :

=>

F (O ) = A eo sO +B stnu

e

O

Die Erfullu ng dcr Axial kraf tbedingung N (L, I ) = 0 am rechtc n Stahcndc Iilhrt auf folgcndcs: A us(16.23) und (16.26) folgr :

1I' (X, t ) = F' (x )G(t ) = (- Ak sin kx + Bk eosh) G(t ) '--------v----' ", 0

=>

EAu'(L.t } =EAkG(t ) B co s kL = O

,0

B cos kL =O

~

Die lctzte Gl eichu ng in der zweite n Ze ile kan n sowohl d UTCh B = 0 als auc h du rch eoskL = 0 er fullt werden. Ocr Fall B = 0 ist allerdi ngs physi kalisc h nicht relevant. we il darau s das rnviate Ergcb nis F (x) = 0 folgcn wiirdc. d.h . der Slab wurdc ga r kein c Sc hwing ungc n aus fuhrcn. was abcr dcr Aufga be nstcllung wid crsprach c. Ocr ander e Fa ll, namlich cos kL = O. wird fur kL = (211 - I )Jr/ 2 s tcts crfulh. Daraus folgt die unbc kunnt c Proportionalitatskonstuntc k:

u. =

~(2_"~-,, ' )_ "

k=

2

2_"",-,'-,-)"_

.c(

2L

" = 1.2,3, . ..

(16.27)

Zur Nor rmc rung dcr Eigenschwin gu ngsamplitude wi rd B = I gcwahlt und die Eigenschwin gungsfor m des Stabs in Axi alricht ung crg ibr sich zu:

F (.t ) = 0 ,(X) =

. (2/1 - I)1l' x

Sill

2L

/l

= 1.2.3, .. .

(16.28)

646

16 Panielle Differentiulgleic hungen

In Bild 16.4 b d ie crste n d rci Eigcnsch wingungsfcrtnc n dargestellt.

n esnmmung von G(t ): Die zu toscndc gcwohnlic hc DOL G+ c2k"G = 0 in ( 16.25 ) wird zunachst durch Auswertu ng des Terms c 2k 2 mit den uktucllc n Rcsutrarcn des cin sct ig cinges panntcn Stab s neu aufgcstcllt . Glcic hzeiti g wird ci ne neue Variable ~, definicr t:

ck =

JEA(2/1 2L~ 1)11" ::=:: ~,

s. OJ. (16 .22) und (16.27)

//I

,

.. G + (I),;G = 0

Aus ( 16.25) wird dann:

11

= 1.2,3. . . .

( 16.29)

Dcr Losungsansatz G(I ) = c pt fUr die obigc DOL liefcrt die Losun g (vg l. auc h Scitc 640):

I G,,(t ) =H" cos

OJIlI

+ K" sin

(1)" , 1

( 16.30 )

Die Konstantcn H" und K" werden aus de n An fangsbcding unge n bestimmr .

Elgenperfode un d Eige nfreq ue nz Ein ganzer Schwin gungszyk lus wird vcllzogen, wenn ( 16.30) ~t l = 211" ist (we il 211" d ie Periodc eiu cr vollcn Sinus-/ Kosinuswclle is\) . Die Eigenschwingungsperiode T" des Sta bs crgibt sich wie folgt: ~tT" =

211"

'* f§ -A III

(2n - I )11" 2 T,t = 11" 2L

Die Elgenfrequen: I II und die Eigenk reisfre quent:

f,, =~ = 2n - 1 (£A T"

4L

V-;;;

11

,, - ,-1,,),, 11" _ 211" _ 2 , _ ,,(2",, - 11"; ,, -

~, -

Til

2L

j

4L

(iii

T,' = ~ V EA OJ"

fl =

1.2,3, ... ( 16.3 1)

dcr u-teri Eigenform tauten:

(16.32)

= 1,2 .3.. ..

EA 111

/I

(\ 6.33)

= 1.2.3 . .. .

Allge mei ne Los u ng 1I (.t . t ) Die allge meine uxialc Schwingungsfunktion II (X,1) des cinscuig cinges pannten Stabs ergibt sich d urch Supe rpos ition allc r Tcillo sun gcn gemaB( 16.28 ) und ( 16.30 ):

'" . (2,,- I) < x

II (X.I ) = tf::'1SIO

2L

.

( HII COS ro" I + Ktt S IO ~, I)

f1

= 1.2 .3....

(16.34)

16.3 Axialschwingungen eines Stabs

647

Herucksichtigun g der Anfa ngsbedingungen

Die Stub schwingung Iilr f > () hiingt von dcr Anfangsauslcnkung u(x.O) und dcr Anfangsgc schw indig kc it li (x.O) zum Zcitpun kt t = 0 abo Wenn d ie A nfungsauslcnkung durch cin e vorgcgcbcnc Funkt ion jil(X) und die Anfangsgesehwind igkeit dureh eine ebcnfalls vorgegebcne Fun ktion l'o(X) bcschrieben sind. lauren die Anrangsbed lngungen:

Iu(x ,O ) ~ fo (.< )

«(r.O) = \'o(x)

I

( 16,35 )

Zur Erfti llun g dic ser Anfangsbcdingun ge n wird wic auf Seitc 64 1 vorgegange n. Ma n crhatr auf d iesc Wei se die folgenden Beslimm ungsgleichungen fur die Ko nstant en H" und K,,:

H" =

2 /

,

L

. (2/1 - I) 1rx jil(X ) SIR 2L dr

t.

2 / . (211 - 1)1rx K" = - I'o(.r) sin dr Lw" 2L

(16.36)

"

0

Nac h Besrimm ung dc r Kon stanten H" und K" mit Hilfc de r ob lgen Bezieh ungen karin d ie nxial c Sc hwingung de s Stabs aus (16 .34) ermittelt werden.

Heispiel 16.2:

Axi:dlschwingungen des einseitig etngespan nten Stabs

Es soli die frcie Sch win gu ng cines an scincm linken Ende ein gcspunntcn Stabs (s. Bild 16.4) untersucht wcrdcn . dcr an sein cm rechten Endc axial urn den Bctrag u~ au sgelc nkt und dann plotzlich losgc lasxcn wird . Die Anfangsbedi ngun gen zum Zcitpunkt I = 0 sind :

.c

1iJ(x) = lie I

I'O(X} = ()

Die Ausw en ung von ( 16.36) m it den obigcn Funkt io nen licfcn:

'!

H"= I .

x . (2n - I )1rx II" I SIR 2L dr

= 211e

4L

L2 {2/1

2

1)21r2

811"

~ ( 211 -1 )2x'

[ Sin (211 - 1)1rX _ (2n - I) 1rX cos (211 - 1)1rxj ' 2L 2L 2L 0

( .. (2n - I) 1r _ (211- 1)1r _ SIR

2

'-",--'

2

0

0 +0

) __ 8u,, {-I )" x-, (2/1 -1 )2

- (- 1)"

K,, ={) Das Binsetzen dcr Konsrunten H" , K" in ( 16,34 ) liefert die Schwingungsg leichung des Slabs:

II(X ,I ) = [ '1=1

8u, (- I)"

. (2/1 - I )1rX 2L cos ro,,1 , ( 2n - l )'- sm

1r~

/I

= L2.3, . . . (16.37)

Mil

16 Panielle Differentiulgleichungen

Illr

Za hlen beis pleb Pur den Stab mit folgc ndcn Kcnnwertcn ist die axiulc Schwi ngung II~ = 0.0 1 m zu untersuchcn.

L =lOm

E = 2. 1.10 1I N / m 2

1 = 8 · 1O - 9 m4 A = I · IO- 3 m 2 p =7850 kg/m 3

Die Eigen frequenzen und d ie dyna misehe Axialverschic bung erge ben stch aus ( 16.33) und (16.37): ro" = 2lt'f" =

m = p A = 7.85

II = WI/ 2lt' = 129.3 Hz II(.U ) =

L'"

(2n - I) lt' J EA 2 - = 258. 6 1 (2/1 - I )lt' L m

h = OJ). / 2lt' = 387 ,9 Hz

13 = WJ /2 lt' = 646.5 Hz

- 0.08 (- 1)" . (2n - I )lt'x ~ )2 sm cos (258.6 1 (2n - l )lt'I) 2/1 1 2L

11 = 1 It'.

(

..

0.01 ~

~

,

~,

~

a: Axlalvcrsc hiebung 1I(L.t ) bc i .r = L

~

•

- T , ~ ~-.LU. l Il J

b: Axialverschicbung u (L /2 . / ) bci .r = L/ 2

~

~

f------"

e : Axialv erschiebu ng I Uverschiedenen Zeitpu nk-

1.1 : Axialkraft N zu verschiedcucn Zeitp unkten

<e o

Bild 16.5: Dyuamischc Antwortgrtibcn fur de n Slab in Bild 16.4

In Bildem 16.5 a und 16.5 b sind dcr Zcitve rlauf dcr Axialverschicbung am Stabcndc und an der Stabmittc dargcstcllt. Bild 16.5 c zcigt die Verteilung dcr Axialvcrschicbung libcr den Stab. Man sieht. dass die Axialverschic bung fur t > 0 uus zwc i Mustcrn bcstchr: aus cincm linear verandcrlichcn Tcil und cincm ken-tu m vcrlaufcnden Tcil. Nach den Grundregcln der Pcstigkcitslchrc ergibt stch die Axialkraft im Slab aus dcr Beziehung N = EAt: = EA(dll/ d r). 1m linear vcrandcrlichcn Tcil der Axi-

J 6.4 Schwingungc n eines Seils oder einer Suite

649

alvcrschtcbung. d.h . im linken Tcil in Bild 16.5 c, bcsitz t die Ableitu ng dlldt cinen konsta ntcn Wert; das bcdcutct . da ss dort die Axialkraft kon stant vcrlauft. Mit den Vorgabon dcr Au fgab enstcll ung crhalt man die Ax ialkraft N im linkcn Tcil des Stab s wic folgt: du

dr

=

d

U..X

dr L

=

II..

L

dll de

EAu..

N =EA - = -- ~

L

:2",1_',1:"0 '_ '"0:;;,,00 ,, ,,1'-,0::: ,0::,: 1 ~ 2 1 ()()()() N 10

1m rcchrcn Teil des Sta bs, wo dcr VerlaufAxialverschiebun g cl ncn konsranten Wert I. bcstta. ergibt sich die A xialk ruft zu:

du =dk =O dt dr

N = EA du = 2, 1· lOti ·0 .001 ·0 = ON d,

In Bild 16.5 d ist dcr Verlauf dcr Axialkraft ubcr den Stab zu vcrschiedencn Zeitpunkten dargestellL Wie man gut erkennen kann, bewegt sich d ie Axia lkraft front wie einc steile Wellenfront entla ng des Slabs; und zwar zunnchsr ausgehend vom rechten Stabend e nach links. dann ansc hlieBend vom eingespannten linken Ende nach rechts dan n von dort aus wieder nach links usw, Dicses Ausb reit ungsmuster dcr Axial kraft ist idcmisc h mil der Ausbreitung e iner Welle . dah er der Name Wellengleid llmg fur die

PDGL (16,22),

16.4

Scbwinguugen eines Seils oder einer Saite

Die freic transve rsale Schwingun g cines l'o rges!J(IIlI1fen Seils - bzw. auch ci ncr Git arrcnsaitc-. gemiiB Bild 16.6 nach ei ncr anfllnglichcn suuischcn odcr dyna mischen Glcichgewicb tsstoru ng (L B. WindstoB auf das SciI odcr Anzup fen dcr Suite) wird durch folgcndc PDG L bcsc hricbc n:

(16.38) Dcr A ulb au dtcser particllcn DGL ist idcmis ch mit dem von ( 16.22), dcshalb handelt cs sich auc h hier urn ci ne eindimenslonale weltengtetchung. Die Variable y ist die zur Seita chse transversale Verschiebung des Seils an der Position x ; 5 ist die Vorspan nkraft des Seil s. Iff ist die Seilrna sse pro Lnngeneinh eit (S und 111 werde n als uber die Seill ange koustanr verlaufend voraus gcsc tzu . Der Produktansat: fu r die Lc sung von ( 16.38) und d ie nachfolge nden Arbeitsschritte erfolgen exakt nach dem gleichen Schem a wie in Ab sehnitt 16.3 (fur die Wahl von _ 1. 2 als Propo rtionalinnskonsumrc in (16.24 ) gilt die g leiehe Begrundu ng wic auf Sci re 644):

aa2.~. = /' =

y(x, J) ~ Fix ) Gil )

x'

FI/(x) G(t )

(16.39)

FG - c 2F"G = O

F" _ _ G __1. 2 _

(16,40)

IFI/ +k2F= ol

!G+ c2k 2G= ol

(16 .4 1)

F - c2G -

650

16 Panielle Differentiulgleic hungen

,\

4;

-

.

..

- 'J ;;

x

E,A.rn

S

L

a: Ausgele nkres Seil

b: Die ers ten 3 Eigenformcn

Bild 16.6: Schwingungcn cines vorgespa nmen Seils

Besnmmung von F (x ): Mit dcm Losu ngsansatz F (x) = eA.< crhalt man aus ( 16.4 1) links:

Die Losungsfunktio n F(x ) erhiilt man aus den Btnzcnosungen F1(x) und F2(X) (vgl. Set te 645):

F1(x) = e'l.;x

F(x ) =

CI F 1

+ C2 F2 =

Cl

e'h + C2e- iJ. ,<

IF (x) _ A cosh+ B sinh l

(16.42)

Bernckslchngung der Randbedtngungen Fur da s an beld en Enden festgehaltcne Sci! (Satre) geltcn folgende Randbcd ingungen: (fur r ;::: 0 )

-- -

Die Erfllllung dcr obi gcn Randbedin gungcn in ( 16.42) fljhrt auf folgcndc Rcsu luue: ~

F(O. / ) = A cos O+ B sin ()= O =1

;;;>

;;;>

A= O

=0

F (Lt ) =A cos kL +B sinkL =O

B sillk L = O

=0

Die letz te Glcichung in der zweiten Zeilc kann sowohl du rch B = 0 als auch du rch sin kL = 0 erfU llt worden . Ocr Fall B = 0 ist allerdin gs physikalisch nicht re levant. weil da nn das Seil wegen F(x) =: 0 ubcrh uupt nicht schwingcn kon nte (vgl. auch Scire 645): folglich muB sink L = 0 gchcn: sin kL = O

~

kL =//1C

// =

1.2.3. . . .

(16.43)

J 6.4 Schwingungcn eines Seils od er einer Saite

65 J

Die mit B = 1 nonnierte Eigenschwin gungsform des Seils ergibt sich aus ( 16.42): n try;

F (x) = 0 ,(X) = sin L

(16 .44)

n = I,2.3,.

In Bild 16.6 b sind die crstcn drci Eigcnschwingungsformcn des Seils dargcstcllt. Bcst tm mung von C(t ): Die zu loscnde gewc hnliche DOL Symbols 00" neu aufgestel1 t.

ck: =

fI nLtr = 00 V;;

G+c2k 2C

= 0 in ( 16.38 ) wird du rch Einflihrung cines neuen

s. ( 16.38) und ( 16.43)

11

( a)

Die daraus resultiercnde DOL und dere n Losung sind (vg l. ( 16.30) auf Seite 646 ): /I

IC,,(t ) -

= 1.2.3, . ..

H" cos

0),,1+ K" sin 0),,/ 1

(16.45)

Die Konstanten H" und K" werde n aus den Anfangsbed ingungen (Se ilauslenkung und Seilgeschwintigkei t ZUIll Zeitpunkt 1 = 0 ) bcstimmt.

Elgenper fode un d Eigenfreq ue nz Filr cinen komplcucn Schwingungszyklus gilt 00,,1 = 2n . Die Pcriodc 7;, und d ie Eigcnfrcqucnzen III sowic 00" crgebcn sich urner Bcrucksich tigung dcr Definition (a) zu: 00,,7;, = 2tr

~ ''"

0.

7;, = 2L n

- - 7;, = 2tr m L

Vs

Die Eigenfrequenc f" und die Eigenkreisfrequenz 00" in der II-ten Eigcnform lauren: £0" = -2tr = 2nl ll = -IItr

T"

L

~ 111

II = 1,2.3 , .

(16.46)

Allgemeine U isu ng y{ x . /) Die allgem eine Sch wmgungstosung y( x. 1} des Seils crgibt sich. wie auf Seite 646 fur axiale Stabschwingunge n bcschrieben. zu:

y (X, 1) =

", . ,.. x (

J.., S1l1

L

H II cos 00,,1 + K"

.

Sin

00,,'

)

11

= 1,2.3. . ..

( 16.47)

11= 1

Bernckslchttgun g d er Anfangsbedi ng u nge n Die Scilschwingung fljr t > 0 hnngt von dcr Anfangsaus1cnkung y( x .O) und dcr Anfa ngsgcschwindig kcit .''(.t .O) zorn Zcit punkt t = 0 aboWenn die Anfangsauslcnkung durch die Funktion lo (x) und die Anfangsgeschwindig keu durch die Funkt ion l'o(X) gege ben sind. lauren d ie

652

16 Panielle Diff erentiulgleichungen

Antangsbedlngungen

IY(X,O) = .lilt")

)"(x,O) = I'() (X)

I

(16.4 8)

Die Erfullung der Anfangsbcdi ngungcn crfolgt wie auf Scitc 647 crlautert und man crhalt die fo lgenden Bcsnm mun gsgfcicbungen f ur die Konsrarnen H" und K,,: I.

2 ·l11rx dr H, =T. !ftO(X) sm .

K" = -2-

L

o

Betsplel 16.3:

L ~,

J . I.

I'o(.r) Sin -I11rx dr

o

( 16.49 )

L

Schwmgungen elnes vorges pa nnte n Seils

Die Schwing ungc n des an bcidcn Endc n fcsrgchaltcncn Se ils in Bild 16.6 sind zu untcrsuchcn. Das Sci l wi rd mil dcr Kraft S vorgcs par mt. Als Anfangsbed ingung ist cine sin usformigc Auslcn kung vorgcgc ben. Die Mapfe-L6su ng ist auf Scire 705 . Anfa ngsbcdingungen zum Zcitpunkt

f o(.r) = a sin

~

I

= 0;

'I

I'o{x) = 0

,;:;;

.

. ................"."." ...... .) ;';;:

x

Die Konstante HI! erhult man aus ( 16.49) fbr Il = I mit Hilfe des Integra ls 72 auf Scitc 727 und fur 11 -I- I m it der Integral formel 82 auf Se tte 727 :

lllJ ' t.

II

H 1 ="L

= I:

II> I :

o

, J' H"="L Slll T lil

. JrX

2(1

JrX sln "L d r = L SIn "L

It"X

•

I1lt"X

sln T

[x'2 - 4lt"L slllT . 2JrX] ' 0= 0

aL d t = 2lt"

o

KII =O

. Sin

rr(n +

L----,.'C

I)X ]'

11 +1

~ 1\

o

fur 11 = 1.2,3, · · .

Das Bmscrzcn der Konstenrcn H" . K" in ( 16 .47) liefert die Seh wingungsglc ichu ng des Seils; If

( .r,) I =

. rrx

1I Sill

L

cos

( 16.50 )

Wl i

Za hlenbeispiel: FUr folgcndc Kennwcrtc wird (1 6.50 ) zahtcnmauig ausgcwcrtct. L = 10m

m = pA = 7 .85

0 = 0.0 1 III ~,

,. If

= -

L

p = 785 0 kg/m-'

5 = IOOOON

- = 3.569 m r m

w l = 3 .569JT

ro:: = 7, 138JT

W:l = 1O,707 JT

16.5 Pluttcnhicgung

653

",'

r+--+...-+-+.-t, 1---+-, -<1.01

a: Seilverschiebung zu verschiedene n Zeitpunk-

b: Zeitve rlauf von y(LI 2. t)

ten Bild 16.7: Schwingungendes Seils in Bild 16.6

11 = WI/ 2lC= 1,78 Hz

fz = ~ /2 lC =3.57 Hz

Is = WJ/2lC =

5.35 Hz

I/(X ./ ) = 0,01 sin 7~ cos (3.5 69 1t"/ ) In Bild 16.7 sind die Scils chwingun gen dargesteJlt.

16.5

Ptattenbtegung

Das Problem der Plattenbiegung unter auuerer Belastun g gchort zu wichtigen Aufgabenstellungen der Statik . Beispielswei se mussen Geschoadecken von Wohn- und Burohauseru sowie Fahrbahn plattcn von Brtlcken unter Eigcnlast und Verkeh rslasten auf Plattenbiegu ng urucrsucht und hcm essen wcrden . Bei Glasfassaden von modcmcn Burohoc hhausern werden die groBflachig cn Fcnstcrschcibcn durch Wind- und Enlcbcb cnla stcn cbenfalls auf Pluttcnbicgung beanspruc ht. Die Bclastung wirkt stcts normal zur Plauc nmiuc lflachc (Platten. die durch parallel zur Plattcnflachc wirkcndc Lastkcm poncntcn beansprucht sind. werdc n in dcr Mechan ik als Schciben hezeichnet). Die Durchbicgung dcr Plattcnmittclflachc. w = w(x, y ). isl cine Funktion dcr Ortskoordinatcn .r und y . Marhem ausch wird die Plattenbicgung untcr cincr belieb ig vcn ciltcn Flacbcnlast q(x . y ) durch folgendc part ielle Differcntialgleich ung (DGL) beschrieben: E Il"~

o ~ ""12'"'("'1_'-~--C2") Beispiel 16.4: Rechteckpkme mit gelenkiger [agenmg der Pluurnrdnder: Eine Rechteckplaue ist durch etne Flachen last beansprucht , die sinu sformig in beld en Koordlnatendc htungen verte ilt sci. Die DGL dcr Plattenb iegung unter die scr spezieJlen Last luutet:

n,.

sin ....:.. h

(o j

654

16 Panielle Differentiulgleic hungen

Die Randbcdingungen fur die gcle nkige Lagcrung der Riindcr sind:

a2wjih? = 0 a2w /al = 0

" ' =0

11' = 0

Folgcnd c Funktion

II'

ftlr r

U und x = a

(b 1)

furj- e- O und y = b

(b2)

e

eigne! sic h als Losu ngsa nsatz, wcil sic die Rand bcd ingun gcn in

(b ) crfullt. • 11"x

W = C SIn -

a

K,·

.

Kx

Sin -

-l

=

-":0O

a2

a2

=

.

a .

()

11' ~-, 1

ax- X=
. xr

Jt)"

Sin -

S in -

h

-l

wi-":0<1 = 0/

wI -v-s-

ax·

(e)

sin .....:... h

.\' :0 0

a

. Jty

SIl1 -

h

=11'1 =0/ .\':0 1,

a2 11' 1

a2

w -, I

= 0/

~-,

ar y=o ar \,=1>

= 0/

Einsctzcn von (c) in (a) licfc rt die unbc kannre Konsta nte c:

Die Durehbiegu ng de r Platte ergibt slc h sc hlieBlich dur ch Einsetzen von (' in (c ): qu

1 + --:; 1) ,rD ( ....,,

a-

16.6

. xx a

S in -

b·

'

. Sin

Jry

b

Aufga ben

I. Ze igcn Sic. dass die Vcrwcndu ng von k 2 als Proportionalita tskonstantc in (16.24) tatsachlich zu ci ncr Triviallosung F(x ) == 0 fii r den ax ial schwi ngcndcn Stab fil hrt.

2. Ein vorgcs panntcs SciI hal zum Zcitpunkt t = 0 die unten nahcr spcz iflzicrtcn Anfangsbcd ingu ngcn JiI(X ) (Au slcnkung) und I'O (X) (Gcsc hw ind igkcit) . L ist die Lnnge. N di e v orsp ar mkra n und m die Massc nveneilung des Sei ls. Bcsrimm en Sie die Funktion dcr Seilsc hwingung (es is! uusreic hend . wenn Sic hoch srens 3 Harrnon ische bctrachten). a)

io (x ) = 0.01 sin2x

L =11" m

N= IN

111

= I kg/ m

Hilfsfonneln:

!

sin nr sin hx dt =

~

Sin(a - b )X _ Sill(Q +b)x j [

"

h

a+ h

sin(2 -n )11" 2(2

1/)

11" 2

fur 11 = 2

16.6 A ufgaben

655

Ldsung:

K; =O

y(x . t ) = 0 .0 1 sin 2{ cos 21

Schwingun gsgleic hung:

'"

i = I.2.3

0.5

o ( - - - ----,- - )r:----cc-- - -7) - 0,5

-,

Schwin gungsfigur fur Zcitp unktc t = 0; 'tiI 2: x /6 : x /4 : n13: 5x / 12; nl 2 s

h)

Ji) (x) =

Om , ~L

L

fur

0<x 5 2

fur

2 <x < L

L- '

{ 002 - -" , L

L=nm

\'o(x ) = 0

L

N= IN

111 =

I kg/m

Lihlfllg:

H I = OJX)8 1

H2 = 0

y(x. l ) = 0.008 1 sinr

H.~

= - 0.0009

COS! - (J.{XX)<)

H4 = 0

K; = O i = 1.2.3"

sin3x cos 31

U,UI

'" 0.005

,

o iE----,----~---+ e -1),005

-1),0 1

Schw ingu ngsfigur zu Zc itpunktc n t = 0: n16: n13: n12; 2n13: 5n16: n s c)

10(.\') = 0.0 1 (sin x + sin 3x)

L= n m

N=lN

m = I kg/m

Ldsung:

K; =O

y(x. r) = 0.0 1 sin x cosr +O.OI sin3x cos 3r

i = 1.2.3, · ··

656

16 Panielle Differentiulgleichun gen

Schwin gungsligur fur Zeitpunktc t = 0; ]ti I2; K/6; ,, /4; ,, / 3; 5K/ 12: ,, /2 s d)

l o(x) = 0

1'0{x) =0,6si n 2x

L = Jr m

m =O,lkg/ m

N = ION

Hilflf onlld n:

J. .

:I':"'+ :..,:-bcc. )X] smaxsm bx d,, = -I [ Sin(a - b)X - -cSico" 2

a

b

a -s- b

. sin(2 - /I)1t" 11m == 1t" (2 11 )

,, ~2

Lsg :

Snitenauslcnkung zu Zeitpunktcn r = 0.0; 0,02: 0.()4; 0.06; 0,08 s.

17

Komplexe Za hlen

17.1

Einftihrung

1m Atltag haben Wi T norrualcrweise mit reellen Zahlen zu tun - vom Einkauf im Supermarkt bis hin zum Tilgungsplan cines Darlchcns. Eine reelle Zahl bildet den Obc rbegriff fur nachfolgend ertauterte Zahlentypcn. Ganze Za hle n erstrecken sich wie folgt vom negativen Uncnd lichcn Z UlU posuiven Uncndlichc n: _ 00

- 3

- 2

- I

2

0

3

Natiirliche Za hlen bestehcn nus nicht negativen ganzen Zahfen": 0 Ra tionale Zahlen (Briichl' ) kennen W i T als Oenmatzanlen. I..B.

- 4.8

- 2,4

- 0.5

0

0.5

2

3

00 .

4.8

2.4

Einc rationale Zahl ist als Quotient von zwei gaozen Zahlcn definiert ; die obigen Dezimalzahlcn lassen sich auch schreibcn als:

- 24 5

- 12 5

- I

2

o

1

12

24

2

5

5

Einc Dczimalzahl isl cruwcdcr obhrechend odcr periodisch, Die Rationalzahl 1/4 = 0.25 cndct mit dcr letzten Ziffer 5, bci dcr Ratio nalzahl 1/ 7 = 0. 142857 142857 . . . hingegen wicdcrholt sich die Ziffcrn folgc 14 2857 standig. Irrationale Za hlen sind nicht-rarionalc Dezimalzahlcn: sle sind wcdcr abbrcchc nd noch periodisch. Eine irrationale Zahl lasst sich nicht als Quotient zwcier ganzer Za hlen darstel1en. Beispielsweise ist d ie Zahl /2 = 1.4 142 1356237309504880 168872420969807856967 1875 3769 · .. irrational. Reelle Za hlen bcsrehcn aus dcr Gesamtmcnge dcr ganzen sowie der rationalen und irratio nalen Zahlcn . Stell! man sich aile dcnkbarcn Zahlen grafiscb auf einc r Linic angcordn et vor. so bildcn d ie rcellen Za hlen cine uncndlich dichtc Abfolgc von Punktcn dar, d.h. emhaltcn aile Punkte zwischen _00 und +00 au f dcr Zahlcngcrudcn . Urn den Typ cincr Zahl symbolisc h hcrvorhcbcn zu konncn worde n Symbo le vcrwcndct. L B. Z . 1m Anhang A.9 auf Seite 738 sind die wichtigsten von ihnc n zusammcngefasst.

I Ein Tcil dc r mathcnuuischcu Litcnnur zfihlt

(J

nichr LU den nmtirlichcn Zahlcn.

o51!

17 Kornplexe Zahlcn

Elnhett Wir bctrachtcn folgendc quad runsc ho G lcichung unJ ihrc Losung. I m a ~i n a re

,

x ='?

Lsg.: .r = - l

(\Ii"

liefe" der TJ",henreehner fUr N ?)

Es gibt bckunnt lich kei ne ree lle Zahl .r, dcren Quadrat - I ist. Folgl ich ist d ie Gleichung ...-2 + 1 = 0 mit reellen Zah len nicht losbar. Mit dcr Idee dcr imag jnlircn Einhcit wird der Zahlcnbcgriff ubcr d ie recllc n Zahlen hinaus erwcitc rt. Die imagmare E inheit wird durch das Symbol i (Oller j ) gekcnnzcicbnct und ist wie folgt dcfinicrt: ( 17.1)

imagindre Einheit

Die irnagi nttre Einheit i ist. wie schon der Name sagt. cine sc hr abstrak te Zuhl. d ie man sich im ublichcn Sinne r ucht vorstellen k arin. Die Glcic hung ...-2 + 1 = 0 ltisst sich j ctzt mit Hilfc dcr imaginnrcn Einhcit i wic folg t loscn:

x2 = _ I = i2

'*

x = ±vf2 = ± i

Nauir lich kon ncn wir mit dicscm Rcsulta t in dcr rcalcn Welt des Alltags recht wenig anfangen! Die Erweitcrung des Zah lcnbcgriffs auf komptc xe Zah lcn zcigt ihren wahre n Nutzcn erst bet dcr Losung bcsu r nmrcr physikalischcr Problcme. Die BehanJ lung gcdnmpne r Schwin gungcn in dcr Mechanik Oller Elektrotech nik bespic lsweisc wird erst mogtich. wenn man mit der imagmarc n Einheil i arbeitet. IJeisp iel 17. t : Fur folgende G leichungen exis tiere n keinc recl len Losungen . Mit Hilfe der imaginurcn Einheit lassen sic sich dcnnoch fimllal oh nc Schw ierigkeit loscn - das Ergebnis hei Bt dann komplexe U;SIIIIK. a)

x2 +4 =O x2 = - 4

d.h.

XI

= + 2i

X2

= - 2i

hj x2+2x +5 ~ O

Mit Hilfe der Fennel ( 1.16) auf Seitc 7 erhalt man:

x = - 1± J=4 = - 1± J4'i2 = - I ± 2i

d.h .

Xl

= - 1+ 2;

x2 = - 1- 2i

Komplexe Zahl Eine komplexe Zahl besteht aus ei ner reellen Zahl und ei ner ima glnaren Za hl, z.B.: 1 + R ~ I + J4 . (

17.1 Einfuhrung

659

Eine komplexe Zahl z bcstcbt aus ein cr spezielle n Lincarkombi natio n zwei cr reetter Zahlen .r und y sowie dcr imuginarcn Einheit i .

z = x+ i y welchen Nutzen hahen komplexe Zahlen in der Praxis? Kom plcxc Zahlen sind insbesondere niltzlich bci dcr Bchandlu ng von gediimpftcn Schwing ungsproblcmcn in dcr Mcchanik , in dcr Stabiluatsthcoric von Buuwcrkcn und in dcr Bicgcthcoric von gckrummtcn Schalcmragwcrkcn (z.B. ein an seinc m untcrcn FuBcnd e im Fundament cin bctcnicrtc r krciszylin drischer Fliiss igkensbchaucr aus Sta hl). In dcr Elektrotccbnik sind sic unverzichtbar bc i dcr Behandl ung von Ladu ngs- und Entlad ungsprobl cme n sowie w ech set srrcm vorgnngen. Kom ponentenrorm einer- kom ple xen Za hl z

Iz - .<+ ;)' I

(17.2)

x e Re :

(x ist der Realteil von z )

y = 1m z

(y ist dcr l maginiirteil von z )

Gaul\sc he Za h lenehene Die GauBsche Zablcnebcnc dient zur gratlschcn Darxtelfun g einer kornplexen Zahl z , wohei als Darstel1ungsform entwcdcr ein Pfe il ode r e infach ein Punkt verwe ndet worden kann . Bild 17.1 zeigt die komplexc Zah l z = 4 + 2i in Pfeil- und Punktdarstcllun g.

/11/

: = 4 + 2;

2

/ o

2

p

.

1m

4

2

-2 -1

a: Zeigcrdurstcllung

R,

4

b: Punktdurstellung

Bild J 7. 1: Komplexe Za hl z in der Ga ugschen Zahlenebene.

n ctr ag und Argument ei ne r kom ple xen Zahl Ocr Betrag (M od ul) und das Argument ciner komplcxen Zahl z sind dclin ien als

Ir

=

Izi =

P+'?"I

Iq> =arg z =arcta n ~ I

Betrag Argumn ll

( 17.3) ( 17.4)

000

17 Kornplexe Zahlcn

Eulersche Beziehung fUr komplexe Zahlen Zwischen dcr Exponentialfu nktlon elner rein irnng inttren Zahl i x und den trigon o metrischen Funktionen bestehr folgende Iiuierscne Beziehung 2: l i ' = cos x+ i sin x

ix

e-

= cos x - i si n .e

I

( 17.5)

Pota r for m el ner kom ptexen Zahl Man kann ci ne kom ptexe Zahl c als einen bcstirn mten Punkt P mit den Koard inaten .r und )' in eine m kartesisch cn .cv-Koordmare nsys tem mit Ursp rung 0 intcrpretieren. Die Gerade OP wird als komotexer Zahlenvelaor beze lchner. Auf der waagerechten Achse treeile Ad ,se) wird dcr Realtci l x aufgetragc n. Die vert ikalc Achsc (imaginare Achse} enthiilt den Imaginiirtei l y. Ocr Betrag r entsprich t der Lange der Geradeu OP und das Argument q> enrsprtcht dem Winkel zw ischen der reeltcn Achse und der Gcraden OP. Durch Einsetzen dcr geo rnetrische n Beziehungen .r = r cas q> und y = r sin q> in (17.2) und Verwend ung de r Eulerschen Beziehung ( 17.5) crhalt die komplexe Zahl z d ie sog . Polarf orm Iz = r(co s q>+ i sin q» = r eilp l

( 17.6)

G leic h heit von komp texen Zahlen Zwei ko mple xc Za hlcn Zl = X l + (Vi = rl (cos q>1+ i sin q>1) und isin lJ'2 ) sind dunn und nur dann idcntisch. wenn entwedcr

Xl

=

X2

oder

rl

=

r2

und Yl = Y2 und q>1 = lJ'2 + 1/ ' 211"

Z2

=

X2

+ ( \'2 =

ri

(cos lJ'2

+

(II = 0, 1,2•. . . )

Einc komplcxc Zahl z isl nur dann Nu ll, wcnn sowo hl der Rcaltci l als uuch der lmaginaneil Nu ll sind odcr -wcnn Z in Po larform ausgcd ruckt iSI- dcr Bctrag (Mod ul] r Nu ll ist:

Z= x + iy= O z = r eilp = O

=* =*

.r

c

Il und yc U

r =O

( q> ist unbcstirnmrl )

Konjugfert kom ptexe Zahl Die zu eincr komplexen Za hl Z konjugiert komplexe Zahl Vorzcic hen ihres lrnagin artcils . Konju gien kom plexe lahl in Komponentenfo n n:

z = x + iy

z = x - iy

z untcrschcidct sich

von z nur rm

( 17.7)

Konj ugien komplexe Za hl in Pola rforrn: z = r (cos q> + i sin q» 2 Leonhard Eu1cr. 1707-17K3

( 17.8)

17.2 Algc hraisc he Opcrarionen mil komplc xen Zahlen:

ti6J

Die komplcxe Zahl z und ihrc konjugicrt ko mple xc Zahl Z licgcn spiegc lsymrnetrisch zur reellc n Achse. Bild 17.2 zeigt die kom plcxc Zahl : = .r + iy und ihre konj ugicrt Ko mple xc l = .r - iy,

Beispiel:

: = 4 + 2i

1m

:: = 4 ~ 2 i

p

2

2

z 1m

,

R, 2

2

P

-2

R,

-2 a: Zeigcrda rxtellung

b: Punk rdarsrellun g

Bild 17.2: Korn plexe und kunjug iert komp texe Zahlen r , ;:.

17.2

Aigeb raische Op erationen mit komplexen Za hlen:

Potenzen von

j:

j2 = - 1 j3 = j _i 2 = - i

r = i 2 ·i2 = (- 1)·( - 1) = + 1 j5 =j . ,4 =i

usw ,

Addition und Subtraktion:

+ Z2 = zr - Z2 = Zl

(X l (X l

( 17.9)

+ x2)+ i(XI -eyz} - X2) + iCn - )'2 )

(17.10)

Beeplel 17.2: zl = IO+ 20j

z2 = 3 + 7;

ZI +Z2 =

13 + 27i

662

17 Kornplexe Zahlcn

'\l l1ltipfikatioll :

Zl . ZZ = (XI + i:Y1 )(xz + in )

ZI •

za =

X 1XZ +

.

.

.,

1Xl)'z + 'YI XZ +rYI}'z = ( X 1X2 - YIn ) + i ( X l n + XZYI) =

' 1 (cos qll +

(17 .11)

; sin qll ) . rz(cns f/)z + i sin f/)z )

= ' IrZ[cost CJ'I + f/)z ) + i sin(qll + f/)z )] = ' I'Z e;('PI +'I'l

(17.12)

)

Multiplikation eincr komp lexen Zah l Z mit dcr imaginnre n Einheit i emspricht in der Gauaschen Zah lenebene der Dreh ung des Zahlen vektors urn 900 im Gegc nuhrzet gerslnn: die Muhiplikation mit ;2 bedeu tet ei nc Drehung um 180" im Gegenuhrzeigersinn.

Ueispi eI1 7.3: ZI= 4 + 5;

zz = 6 + 7;

ZI -zz = - I I + 58;

Division:

(17 .13)

ZI za

~

' 1(cos qll + ; Sill qld ' 2(COSf/)z + ; Si ll(,02 )

=

~ [cost CJ'I - (,02 ) + i sin(CJ'1 - (,02 )]

(17.14)

'2

= ~ ei('PI - 'f>! ) '2

IJeispi el 17.4:

ZI = 4- 4; zz = 4 + 3;

Satz \'on Moine (cos cp + ; sin cp )'1- cos nql + i sin nql

I

"Z2

- = 0,16 - 1.1 21.

fl E IQ I

(17.15)

17.3 Aufgaben

titi3

Potenz einer kom plexen Za hl Mit Hilfe des Satzcs von Moivrc Jiisst sich schr lcicht zcigcn. dasx die n-te ganrzuhlige Potenz eincr komple xcn Zahl z = r (cos cp + j sin cp ) gcgc bcn ist durch

Iz"= ,J' (cos IIlp + i sin IIlp) = ,J'

ei"'f'

1/

lleispiel 17.5: z = 3(cos lp+ i sin lp)

Z2

(17. 16)

EZ1

= 9 {cos 2lp+isin 2lp)

Quadrat wurz el d oer komplexen Za hl

z = x ~ jy lIeispie1 l U i:

. ( j x2 +y2_ x ~I 2

V

2

/Z =

z = 2+ 4i

17.3

j.oJ+y2+ x

/Z =

1,799 + 1, I I Ii

Aufgahen

I. Zeigcn Sic, doss (/) ;3 =

- r. b);1 =

-si, c) I"" = i.

2. Zeigcn Sic, dass (/) I/ i = - i, b) 1/ ;2 = - I , c) l / i3 = i, d ) 1/ 1-4 = 1. 3. Gcgebcn sind die komptcxen Zahlcn Zl = 3 + 3i, Z2 = 3 - 3;. Z3 = - 3 + 3i.

u

= - 3 - 3;.

a) Stellcn Sic die Zahlcn ZI, ' .. , Z4 in dcr GauBschen Zahlcn ebcnc grufisc h dar. b) Bercchncn Sic jcwcils den Betrag und das Argument. e) Berechnen Sic i - ::1. i2 . ZI , i3 ' ::1, i~ · ZI und tragcn Sic d ie Rcsultatc in die bereits erzeugte Gauaschen Zahlenebenc ein. d ) Berechnen Sic die jewcils konjugiert komplexe Zahl Zi . e) Stcllen Sic ":1,'"

. 4 in der Polarform dar.

4. Fuhren Sic die Operation Zl +22 mil den angegebcn komplcxen Zahlen 21 und 22 durch. a)

21 = 4- 4i

22 = - 11+6i

b)

21 = 10 + 20i

c)

21 = - 9+ 17i

Lsg: - 7 + 2;

22 = - 10 - 8; Z2

lsg: 12i

LW 34;

= 9 + 17;

5. Fiihrcn Sic die Operat ion ZI - ":2 mil den angcgcben komplc xcn Zahlcn 21 und :::2 durch.

I.

ZI

= - 1O + 3 Ii

Z2 =

10 - 28;

Lsg : - 20 + 59i

6. Puhrcn Sic die Operatio n :::1''':2 mil den angcgcbcn ko mplcxen Zahlcn :::1 und Z2 durch. a) zl = I3 - 4; b ) ::1 = 7+ 2i

z2 = 12+ 11; ::2 = 8 + 3i

b g: 200 +95; L I'g: 50 + 37i

664

17 Kornplexe Zahlcn

c) 21 = 1+ 4i

22 = 1 - 2 Ii

LW85 - 17i

7. Hlhreu Sic die ge fordertcn Opcratio ncn durch. a) ( 100 + 7i)2=?

Lsg: 995 1+ 14{Xl

h) ( IOO - 7i)2 = ?

LW995 1 - 1400

8. Fuhrcn Sic die Operation 21 / 22 mit den angcgcben komplcxcn Zahlc n 21 und 22 durc h.

a) : 1 = 3 +IOi h) 21 = 4 + 2i c) 21 = 4 - i

d ) 21 = 3 + 4i

LW - OA23 + 1.385i

Z2 =6 - 4i 22 = 2- 2i

L~K :

22 = 2 + i

0.5 + 1.5i

isg: 1,4 -1.2i

22 = 4 - 3i

Ls X:

O+ i = ;

9. Stollen S ic folgcndc komplc xcn Zuhlcn in dcr Gaufjschcn Zah lcncbcnc in Zcigcrform dar tHinweis: Eutcrsche Forme!').

al 2 = bl

e i311 / 2

:::: = e

tsg: 2 = i

L\OK: 2 = - 1

2 = e ;11

cl 2 = d)

e ill / 2

i211

tsg: 2 = - i

L sg;

z~

I

10. Schrcibcn Sie folgcndc komp texe Zah lcn in Komponcmenform und stellen Sic sic in dcr

Gauusche n Zahlenebcne grafisch dar,

LW 7.07 +7 .07i

a) 2 = lO ( coos ~ + i osi/l ~ )

b)

z=

8 e - ;l1 /2

Lsg: - 8i

I I. Gcgcbcn sind die kom plexcn Za hlcn 21 = 1+ i und 22 = 2 + 2i. Berechnen Sie folgenden Ausdruck. 12 12 :::: 1 Z2

z= - °

Zl

+ Z2

L\og: z = -+ i 18

18

12. Wielauret 1/ 2 , wenn z = r eifP lsrt Stelle n Sle Z und I/ z fur r = I , q:J =60° inder I . Gauuschen Zahlencbcnc grufisch dar. L,;, g: 1/ ::: = - e-'
,

13. Kounen Sie die Glc ichungen ( 17. 12) und (17.14 ) hcrleiten'! 14. Leiten Sic. indem Sie den Satz von Moivre fur bcka nnten trigo nomctrischc n Formeln abo cos 28 = cos2 0 - sin 2 8

f1

= 2 auswcrten. die folgcnde n wohl

sin 2 0 = 2cos O sin O

Tipp: Betrachtcn Sic nach der Auswertu ng des Sarzes von Moivre die links und rechts vom Glcic hheitszeichcn stehcndcn AusdrUckc als zwei vcrschlcdcne komplexc Zahlcn Zl und Z2 und macheu Sie dann Gebrauch von der Defin ition dcr Gleichheit zweie r kornplexer Zahlcllo

18

Mathematik mit Maple

Maple ist e in Computer-Algebra-System (CAS) und lost muthematischc Aufgabc n mit Hilfc eincs digitulcn Com puters und karin sowohl mit Zahlcn als auch mit mathcmnti schcn Syrnbolc n umgchcn. Ein CAS· Prog ramm arbcitet also cincrscit s wic cin hoch intcllig cnter Taschcnrcc hncr (naturtich sind die Rcchcnfahigkcitc n cines CAS urn Groacnordnungcn bcsscr als cines Ta-

schcnrcchncrs). andcrcrscits bcsitzt stctlt cs die Expertise und das Wisscn von Hundcrten von Mathcmatikem , d ie an dcr Entwick lung cines solchcn Programms mitarbc itcn . Die Fahig kcit von CAS-Programmen, symbolischc Bcrcchnu ngcn durchfuhrcn zu konncn. is! auch das wescntlichstc Untcrschcid ungsmcrkmul zu sonstigcn Com putcrp rogram mcn. Ein NichtCAS-Progmmm (L B. ein Finitc-E lerncnt-Programm zur statis chcn Bcrcchn ung von Tragwcrkcn bzw. Maschinen) benutzt nur numerisc he Losu ngsmcrhodcn und kan n deshalb als Ergebnis lcd iglich Zahlen bzw. bcstenfalls Far bplots bzw. Animationen zu deren visuallsieru ng licfcm . Dagege n kann ein C AS- Prog ramm das Integral eine r kompHzierten mathemutischen Funktion wieder in Form einer mat hemauschen Formel. also als algcbraischer Ausdruck , zurnckgebe n. D ies wird uls Ccnnputeralgebru beze ichnet - man nennt es auch als symbalisches Rechnen (symho!i{' compurillg) . Aufg rund diescr Pahigkeit sind C AS- Program me hcutzutage unverzichtbare Werk zeuge in hoch komp lexcn Forsc hungsg ebictcn wic die Kcrnphysik und Astrophys ik. Aber auch in Entwicklungsabtcilungc n dcr lnd ustric sowie in akad emischcr Forschung wird in zunehmc ndem MaBe C AS-Software fur d ie Losu ng technischer Au fgabenstellungen cingese tzt (Technical COll1pllliIlR)·

CAS -Programme stellen Zahlen mit se hr hoher Genauigkeit dar und behcrrschen sogar ihre exa kte Darstellung. 1m Gegensatz zu ei nem normalen Rechen programm . de s d ie Zahl 1/ 3 als cine sog . Ffi ejJkoll1/f/azahl 0 ,33333 .. . (Ld .R. mit hochstens 15 Dczimalstelten im Computerspeicher) verarbeitct, bchandelt ein CAS-Programm sie exakt als d ie Bruchzahl 1/ 3. Es geht also kei nc Information verlore n. Fur d ie allermeiste n technischen A nwend unge n ist die ser Vorteil c ines CAS-Programms j edoch nicht Ausschlag gebend fur ihren Einsa tz; in lngen icuranwendungen ist einc 15-stcll ige Gcnau igkeit auch hoc h genug. AuBerdem stcht dcm exakten Rcchcnergcbnis c ines CAS-Programmes cin nicht unwic hriger Nachtcil gcgcnubcr, namlich d ie langerc Rcchcnzcit im Vcrglc ich zu den anwc ndungss pczifischcn Rcchcn programrncn. Au f dem Mar kt sind verschicdcnc CAS -Programme erhaltti ch. manchc von ihncn sogar kostcnlo s (freeware ). Die bckanntcsten Vertretcr von CAS -So ftwa re sind: Mapl e, Mathematica, Axi0 111, Macsvma, M uPAD. Reduce. Malh CA/) . Die Schwache von CAS-Programmcn ist ihre rela riv geringe Gesch wind igkeit im Vergleich zu so nstigcn spczicllcn Rechc nprogramm cn. wei l sic die Benutzercingaben nicht Masch inensprachc uberseuen sondcm wlihrend dcr Laufzcit nachci nandcr imerpre iieren. In diesc m Buch wird dcr Einsatz von CAS -So ftware bei der Losung von mathemat ischen Aufgaben am Beispiel vo n MA PL E 1 erlautcrt. Maple isl ein kmnm cuiell cs Prugmmm; fur Slu
666

IS Mathematik mit MOI pk Tabellc 18. 1: Spe zielle Maple-Symbole

Symhol

#

'k

.,

Bedell lllllK

Anweisu ngsende tErge bnis wird auf dem Bildschirm angczeig t) Anweisungsende (Erge bnis wird auf dem Bildschirm nicht ungezeigt) Kom mema rzeic hen (alles was rechrs von # steht wird ignorierr ) Platzhaltc r fiir den zuletz r bercc hneren Wen rufr Map le-Hilfc auf. z.B. ? s i n zelgt Infonn arioncn iiber Si nus -Fu nktion

Tabellc 18.2: Maplc-Kon stante n Kanstantc

Pi e xp(k} I

H

"

(, ~ 2.7 18 .. . )

i (irnuginare Einhci l)

in f ini t y

18.1

Einftlhrung in Ma ple

Einc vollstnndigc Ein fiihrung in Maple ist im bcgrcnztcn Rahmen c ines Buchahschnittc s nicht moglich. Es gibt abcr zahlrcichc und umfungreichc Literatur, die den Leser sc hr fundicrt in Maple cinwcisen. Das Z iel dicscs Abscbniucs ist cs, die Maple-Syntax anhan d dcr Beispielc deutlich zu machen und die Einsatzmogl ichkcitcn von Maple anhand vo n Anwendungshe ispielen zu demo nsrrierc n. Das Semikolon ; (s. Tabellc 18.1) bcend et die Bcu urzereingabc (End c der A nweisung) und vcra ntasst Maple die gefordc rte Bcrechnung sofort durchzufuh ren. Der Doppclp unkt : ist cbcnfalls cin Anwcisu ngscndczcichcn und mit dem Scmik olon verwandt. Dcr Umcrschicd zwisc hen den heiden Zeic hcn isl, dass beim Scmik o lon die Anweis ung von Maple ausgcfuhrt. d.h. bcrcchnct. und das Ergcbnis so fort ausgcdru ckt wird, Bcim Doppclpunkt wird die Anwcis ung zwar ausgc fuhn. das Ergebnis wird aber nich t ausgcdruckr. d.h. blcibt im Htnrergrund : das ist o ft fur Zw ische nrechnungen ein durc haus gewunschter Etfekr . 2 Maple ken nt zahlreic he Konstanten aus der Mathem at ik und Naturwissenschafte n. Die fur Ingenieure wlc htigs ten Konsumten sind in Tabelle 18.2 zusammenges telft . Die Einga be des Bcnutzcrs wurde im Bueh dUTCh Verwendu ng des Zeic hcnsa tzcs »Couricr« kenntlic h gcm aclu. Das Maplc-Brgcbnis ist in Rom an-Schri ftart zu scherr. Das Zcic hcn > ist das Bcrcit schuftszcichc n (prompt) von Maple (das Ze ichcn > wird nicht ve rn Benutzcr ci ngcgcbcn). 2 Bci den mcistcn Muple-Beis piclcn in dicsem Buch wird ein Maple-Befehl aus Grunden der Platzerxparnis mil dem D oppelpunkt beendet. Dem Leser wird jeooc h empfohle n. bei oc r Ausftrhrung der Bebptele mil Maple anstclle oes D" pP<'l punkls d~n S~mi k"l"n : 1.U verw~ nd~ n. Dadurch w~rd~n auch d i~ ErgchnisSl;' d~r Zw isc h~nschrill~ sictnbnr.

lIt! Einfuhrung in Maple

titi?

Ausftlhr ungsrelhenfolge arit hmetischer Operattonen

18.1.1

Maple wertet arithmcusc he Ausdrucke in de r gleichcn Wei se aus, wie sic bci andcrcn Program rnicrsprachcn uuch uhlich iSI. Bcispiclswcisc wird dcr Ausdruck 2 + 3 *4 intcrprcticrt alx »3 mal 4, dann plus 2" und nicht ctwa als »2 plus 3, dann !I1a/4«. Map le trifft seine Ent schcidu ng aufgrun d intern fest vereinbartcr Regel n ubc r Rang ordnung der Operatoren (operator precedence ): Mu ltiplikationJDivision hat Vorr ang gegenuber Addition/Subtruktio n. - Bet mchrcrcn Opcrattcnen mit Multiplikation bzw. Division crfo lgt die Ausfi.ihrung von links nach rec tus. Das gleiche gilt fur Add ition/Division. Mit Hilfe von Klam mcm Hisst sich cine spezielle Ausfiihrungsrci henfolge erzwi ngcn. die nicht der Rangordnun g entspricht: > (2+3) _4 ;

2ll

14

Elementa res Rechn en mit Maple

18.1.2

Die nachfolgenden Maple-Beispiele rnemarc erldutert.

'I US

der elemenraren Arithmctik sind durch einge fugre Kern -

Beispiel 18,1: D" l~i :

Maple/Grundwissen /elementares -rec:hnen -l . mws

>

2;

>

2+3 ;

>

2+3 *4 ;

>

%;

>

(2+3 ) _4;

> >

12/4 : es wird zwar gerechnet , aber nicht ausgegeben) 'II; j das letz te Rechenergebnis wi r d a us ge geben

,

%-3 ;

,

%+4 ;

,

2 .5 :

j

Ma p l e gibt den Eingabe wert einfaCh wieder eus

2

* entspricht

, 2 +(3 _4 ) 14

, ,

j

gibt das Le t z t.e Maple -E rge bnis a us

*

" 2/3 ;

• • •

* z une ch.s

14 t;

wi r d 2+3 berechnet

20

3 subtra hiert 3 vom letzten Wert 0

a ddiert 4 zum letzten Wert 4

Er geb nis ist 10 . wird .. ber nic ht a ng eze i g t I d as letz te Ergebn is wird a ngezei gt

•

10 e xa kte Berechnung , Ausgabe

.1.

Bruch zahl

I II Mathematik mit MOI pk

Mil

2 3

* exakt e

>

e va k f (2/3) ;

>

2 ./3 ; f EICzwingen e i ner GleltkommabeICechnung ohne eve i r

>

2+3/4 ;

BeICechnung, Ausgabe OIls Gleitkommazahl 0.66667

* aunacns

O.f>M67

wird 3/4 be r ecnne t

t

II >

* eunacnst.

(2+3) 14 ;

4

wiICd 2+3 cerecnnet

s

>

3"'2 ; I Quadrat von 3

>

( -3) "'2 ;

f

>

3"' (-2) ;

*3

4

9

Quadrat von - 3

9 hoch (-2)

I 9 >

3"'1 .5 ; I

3 hoch 1 ,5

>

sqtct (9) ;

* Quadr-atwuICzel

>

2+3"'2 ;

>

sqrt(3"'Z) ; I

II z une ch.s t; 3 zum Quadrat , dann QuadratwuICzel

>

(sqrt (3)) "'Z ;

* aunacbs

>

sqr

5.1%15

3 f zunachst 3 z um Quadrat , dann 2 dazu addieren

3 t

Quadtcatwurzel von 3 , dann Quadrat

3 (3) ;

Maple k e n nt

I

ke i n e Funktion mit namen sq r

Heispiel 18.2: Dale;: Map1e !Grundwissen!element ares-rechnen- 2 ",ws

>

sqr-t (4) ;

>

Pi ;

>

eva lf(Pi) ;

>

e s n (Pi) ;

>

sin (Pi/Z);

>

ar-csin(l/sqtct(Z}} ;

a X

•

3.14159

Sinus

•

V09

180 GeOId 0

Sinus von

so GICad

* Ar ku s s Lnu s X

4

von 0 .7071 (in 6ogemass)

lIt! Einfuhrung in Maple ;. ;.

con v el't {
;.

sign u m (+S } ;

;.

sign u m( -S l ;

• Ar k u s s i nus von 0 .7071

titi9

( in

- I

Utl.3

Var iablen

Mathematische Variablen beginncn in Maple mit etncm Buchstabcn und entha llen -fast- bclic big viele weirerc Buchstabcn bzw. Ziffem. Zwischen Gro13- und Kleinschre tbung win! unterschtedcn . d.h. a und A sind unterschledtich e Variablen. Ge nauso si nd X}' , x Y . X y und XY alle verschicdene Variablen. Wertzuweisun g a n Varia bien Mit Hilfc des Zuwe isungsopcrators : = wird ein Wert an eine Variable zugewiescrr'. 1m folgenden Beispiel bedeutet d ie Anwe isung a : =5 nicht etwa eine muthematische Gleich ung im Sinne von a = 5 . sondem »a besitzt von jetzt an den Wert 5«, Dcr mathematischen Operator = hat cine andere Bedeutung, Reispid 18.3: [)~l~j :

Maple /Grundw i SSe n I ~uw .. is u " g- a " - va r i able" •mwS

>

a : -5 ;

• Ec ho del' Eingabe , we nn Semi kolon als Befehlsen de

>

a;

>

b : -2 : f

>

b;

>

a+ b ;

>

c : -3+4 ;

>

a*2 ;

;.

a+ b ;

,,:=5 f

f

,

z e igt de n Wer t d el' Va riable a a n ke e i n Echo , we n n Doppelpun kt als Befehlsende

zeigt de n wer t. del' va r Leb l e b an

2 7

c: = 7 t a wil'd mi t

2 rnu Lt. Lp Li.z Le r t;

to 7 {l := 10

>

a+ b ;

>

c;

;.

d : "'b! a.;

12

,

3 Maple vcrwcndct fiir die w ertzuweisung nlso die glcic hc Syntax wic die Prograrumicrspmchcn Delphi lind Pascal.

670

IR Math em atik mi t MOI pk

I

cI :"" 5 >

evalf (dl ;

jI

zeigt d in Gleitkomma -Darstellung O.2WI)()

St rlngvariablen Einc Zcichcnkette wird als String-Variable bezeich net: sic wird in Hochkorn rnas ei ngesc hlossc n. >

s : ~ "Maple

ist ein leistungsfahiges CAS" ;

, :=··r.b p1e j, 1ein leistungsfahiges CAS"

18.1.4

Ptott en mit Maple

Maple verfbgt uber vcrschiedcne miichti ge Bcfch lc. mit dencn anspruchsvolle Funktionsplots crze ugt worden konn cn. Nachfolgc nd sind cinig c Mog tichkcitc n cxc mplarisc h aufgczeig t.

Ueispid 18.4:

Polynom

D.lci , Mapl .. /Plot t .. n /polynom- l .mws >

f

:~

x~3

-

20 . x~2

+ 5 0 , ,, + 2 0 0 : • Funktio n

x_ e , - l ? : • Anfangs - und Endpun kt auf de r ,,_ Ac h s e

' w

-eco

Ucispiel 18.5:

Schraubenlinie

I).lei , Mapl e / P l o t t .. n /sch. aub.. n - lini .. . mw s

> > >

with (plots) , spacecurve( [cos(tl ,sin(t) ,t J, t -O .. 6 *Pi , a xes labels " [ x , y , t) , c ol o r - b l a c k ) ;

,,""

, -,o

~ ,

r

o

as

r

r

a,s

o

x

~

FRAME ,

lIt! Einfuhrung in Maple

Heispid 18.6:

Halbkugel

D,.. e i: M apl "/P lo~~"n/halb-J"'g"l . mws

Mit dcm Befehl p lot3d lassen sich 3D-A achen plcne n. >

with (p l o t s ) :

>

setoptions3d (style ·

>

plot 3d (1 , 0 .. 2 *P i, O.. P i/2 , ccords-e pner rce r r ;

Fhic he im 31>· Raum

HeispieI18.7: D,,{ ~i :

patch ,shading -ZGRAYSCALE ,sca l ing -const~ained} :

Maple / P l ot t en /3d-f laeche . mW5

>

with (plots) :

>

z : ·x _y _ s in (x } _s i n( y) : f zu plottende fu n ktion

> >

setoptions3d(sty le - patch , shading-NONE ,scaling-constrained l : plot 3d (z , x·-P i . . Pi , y--P i .. P t , label fo nt - [ HELVETICA , OBLIQUE, 121 , a xes -NO RMAL, labels · (x , y , ' z' ] , a xes -F RAME , o rientat ion- [ 4 5, 3 0 ] ) ;

>

Heispid 18.8: Pa ra meterkur ven 1. Geradc in dcr .rj-Ebcne. (h id : Maple/P lo tt e n/ g e ra d e-l . mW$

>

wi t h( p l o t s ) :

>

p1ot( [4 _t , t -2 , t -O .. 5].

1abe1s_[ Mx " , "y "]) ;

. f-- -7'..,, -- - ,

-,

67 1

672

IR Mathematik mit MOI pk

2. Ellipsc: x(t ) =2si n/ . D~ ICi ,

y(t ) = 3 eost ,

O:::;r :::;21t"

Mapl"/P l ot t .. n/ellip.....- l .m",...

;>

",i th( p l o t s) :

;>

f :-[2 *si n ( t ) , S wcos It.t , t-O . . 2 *Pi) :

;>

plot

ct,

s c a l i ng - c o n s t r a i n e d) ;

2

2

-2

-2

3, Sehrnetterlingflgur: x(t ) = sin 2r. O~ ~; ' Ma p J e / P l o t t e n / ... chmette rl ing

;>

y(t ) = sin 4r,

0 :::; t :::; 21t"

.mw...

wi th( p l o t s):

;>

f : -[si n (2 .t ) , s in (4 *t l , t -O .. 2 *Pi) ;

;>

plot(f , sca l ing - constrai ned ) ;

., 18.1.5

Funkt innen und Hefehle vnn Map le

Maplc vcrftigt fi ber cine ricsige Funktionsbibliothck mit Tausenden von Funktionen, die praktisch jcdcs Gcbict dcr Mathematik abdccken. lngenieurc brauchcn -glucklichcrweisc- nur einen klcincn Teil dicscr Bjbliothck. Einc Funktion uus dcr Maplc-Funktionsbibliorhck ist ein Programmcodc. dcr cine gunz klar dcfinicrtc Aufgabc crtcdigt. Dabci urbcitct die Funktion wie cine blackhox: man funcrt sic mit Eingabcdatcn und erhalt cin fcrtiges Brgcb nis: wic das im Einzelncn gcsehicht und aile Zwtsc henergcbmssc blcibcn dcm Benurzer vcrborgcn (interessie ren ihn in dcr Regel elge nuich aueh nieht). Die Tabcllc 18.3 zeigr einigc ausgewa hlte Maple-Funktionen. Hinweis: Das Argument .r fur trigonometrlsche Funktic nen der Tabelle 18.3 ist stets in Bogenrnau (nul) einzugeben!

18.2 Elc men tar-Mathematik Ta be lle 18.3: Map le-Funknonen (schr klein er Auszugj Funuionsname

Bedeutung

abs (x) arcs in { x ) a rccos {x l arctan (x l convert (x ,fraction ,n) cos (x) cosh (x ) cot (x ) D (f l dif f (f ,x l e xp (x ) e valf( xl fsolve{f ,v ) imp1 icitdiff (f ,y , x ) 1n (x) 10g10( x) restart signum {x l sin (x) sinh (x) solve (f ,v )

Absnlutw ert (Beuug j vo n .r

sqr

t;

(x )

tanh (x)

18.2

A rkussinus A rkus kosi nus A rkustungens Konvertien die G leitkommazahl .r in c ine Bruchzahl

Kosinus Kosinush ypcr bo licu s Kotangcns differcn zic rt den A usd ruc k f dif f cren ziert den A usd ruc k f nach x Eulcrsche Zahl e in dcr .r-tcn Porenz liefert den Gleukommawert von .r lost die G lei ch un g f nach der Variable v numerisch a uf di fferen ziert y nuch x irnplizite ab ( f isl der Ausdruck) narurttcher Logarithm us von .r dekudischcr Logarithmus vo n x initialisien Ma ple vollsta ndig vorzclchcu vo n .r S inus S inus hypcrbolicus lost die Gleich un g f nuch der Variable v auf Q uad ratw urzel von .r

Tangcnshypcrbolicus

Elemen tar-l\lathemat ik

In dic scm Abschniu worden ausgcwahltc Bcis pie!c aus dcm Abschniu I mit Maple ge tost. 18.2.1

we rzeln, Summa tion

Beispiel 1.3 aufSeite 3. WII!7.e lb e rechllllllg. > 1 6 - (1/ 2 . 5 ) ;

3.03 143 3.03143 > 27" ( - 113 . ) ;

n.33333

673

674

IR Mathematik mit MOI pk

l\f'i Sllil'11.4 :m f S l'ifl' 4.

SWllllln / i o ,, _

> s um{ ' i ' ,

' i' - 1.. 5 );

> s um {' i ' ,

' i ' - O.. 5 ) ;

IS IS

> s um ( 'i"2-1 ' ,

' i' - 1. . ) ); II

> e v alf (su m ( 'sq l't (i ) ' ,

' i ' - I . . 5} ) ;

R.3R233 > $ um{'s in ( i .P i ) ' ,

· i' - Q. . ) ;

o I\dspiel 1,10 a uf Seite 9. Mille/wen esner Zahtenmenge, D~c i: M a p l e I G r u n dw i s s e n / mi t t e l we r t . mw s

>

wi t h ( s t a t s) :

>

l'eihe : - {3 ,S ,7 ,9] :

>

ceecr roe [mea n ] ( r e m ej :

>

ev a l f (de s Cl' ibe [geomet ricmea n] (l'e i h e) ) ; t geometdsc hes Mi t te l

>

evalf (d e s c r ibe [quadr a t icmean] ( l'e i he) ) ;

>

e val f (de s cJ:ibe ( h a l'monicmea n] ( l'e ihe ) ) ;

j

liidt Ma p l e ' s Sta tisti k-Paket

• a r Lt hmet a scne s Mittel 6

5.54444 j

quadrat isches Mi t te l

fi.403 12

t hal'mon is che s Mi tte l

5.0ll065

lJeispiel 21 auf Sene 21. Lagarittunische Gleichung. Dolci: MapleIGrundwissen/log -gleichung -l . mw$

>

f : -l n (2 ' x+2 )/ln(8 ) - 4 ;

tv>

solve(f , x ) ;

>

f : - ( ln ( x +3 )+ln (x-3» )lln {4 } -2 ;

In(2 .t + 2 ) In(8 ) = 4 21}4.7

.= In(x+ 3)+ln (x - 3) = 2

t:

In(4 )

>

solve (f , x ) ;

>

f : -l n ( x +2 )lln (4 )+ln( x-2}lln ( 4) -2 ;

5 ._I n(x +2 )

In(x -2) _2

f .- In(4) + In(4) >

fso l ve ( !, x ) ; 4.4 72 14

18.2 Elcmentar-Mathematik

18.2.2

675

Los ung von Gle lchungen

Maple stcllt zur Losung

vo n

lincurcn und nichthncarcn Gtcschungcn und Gtcichungssystcmcn

di e Bcfehlc s ol ve und f s o l ve z u r Vcrfligung .

lJeispiel 18.9: Datei: Maple!Grundwissen /gle ichungs - loesung -l . mws >

f : -4 ~ x~2 -12 ~ x -20 -0 ;

>

fsolve (f, x } ;

* Definition

der Gleichung

f :;; 4.r - lh - 2() ; O

* Numerische

Lceunq von f

- 1.l 92511. 4,192511 >

t Alt ernati v e L6sun g

fsol ve{4 ~ x ~2 - 12 * x -20 -0 ) ;

- 1.l 92511. 4.192511 >

f

:-

x~5

-

2 ~ x~ 4

+ 4 0 *x

A

)

1 0 2~ x~ 2

-

f :;; x'i - 2 f + 40 ., 1 - 102.r >

f s o lve ( f , xl ;

>

f : - t (ln (c o s(x) } ;

>

solve ( ta n (cos( x)) -l. , x ) ;

>

f : - 5- (1 n ( x+

>

fsolve (f, x } ;

+

12 ~ x

+ 12.{-

6.939911

t

> tan(cos(x))

0.66746 (x ~ 2 ~ 1) ~

(1 12) )

- In

f :;; 5 - In(x +

(2+a~

(1/2 }} } ;

.;;r-=1)+ In(2 + )8)

358.30 176

t >

» I - .r = 0

.

I

+ x~

solve(f} ;

- 1. 1

- 20000 ;

201J(J()

676

IR Mathem atik mi t Maple

18.3

Lin eare Algebra

nd spid 3.19 a uf Seite 85. Rang eine r Matrix. Date; , Maple!LinAlgebra/ matr i x -r anq -l .

wit h ( Li n e a r Al g e b r a ) :

>

A: EMatr i x ( I 11, 2 , 1] , [3 , 4 , 2 ] , [6 ,8 ,4 ] , [9 , 12 ,6 1 1 ) ;

>

Ran k ( A ) ;

2

lleispiel 3.6 a ufSeite 64. Matrix -Transposition. Datei: Maple /LinAl gebra/ matr i x- t ransp - l . mws >

with (LinearAlgebra ) :

>

A: mMatri x (!(2 ,3 ,8 1, [3 ,5 , -l J J I ;

,,

~

A := [

:]

~

A T := [

- I

neispid 3.4 a uf Seite 62. Matrix-Addition. Dalei: Maple /LinAl gebra/ marr ix - addlt 10n -l . ".W5 >

wi t h( Li ne a r Al g e br a) :

A: BMa t r i x ( [ [ -4 , 6 , 3 1. [0 , 1 , 2 1 1) ;

A ,~

[

-4

u

6 1

3 2

- I 1

u

B: EMatri x ( { [5 , - 1 , 01 . [3 , 1 , 0 1 J ) ;

H ,~

[

5 3

C : -Add (A ,B j ;

C ,~

[ 1

3

{]

]

, ;] 2

neispid 3.7 a ufSeite 65. Multiplikation einer Matrix mit eine m Skaiar: Date;: Mapl e JLinA lg"bra / matr ix - s ka l ar - mul t -l . "''' S >

wi t h( Li n e a r Al g e br al :

>

A : BMat ri x (l!2 .7 , - 1.6J, IO.9 ,3 .6 ]J ) ;

A ~[ >

k : - 2;

>

C : BMultip ly (A ,k ) ;

:!..700(X)

- 1.8I XXX)

O.'X XXX)

J. 6l XXXl

k := 2

lIU Lincarc Algebra

C: = [ 5A(KK)()

I.I:«KKKI

- 3.6lKKKI 7.2lKKlO

Beispiel 4.32 auf Set te 153. Skulurpmdukt. Dale!: M ap 1 e /L in!'Ilge b n / s k a la ~ - p~odukt - 1 . ...wS

>

wi th( Line3lCAlgeblC3) :

>

v ; ~Vect o);(!2 , 3 ,l )) ;

>

w : ~Vecto );([l , - 1 , 6 )) ;

>

s kalar-p); odu k t : ~Do tP);Oduct(v ,w) ;

" ~[ -;] .,{ ala r.../'mdllkl := 5

Beispiel 3.11 auf Sette 68. Matrix -Vektor-Mu ltiplikal ioll. Dale;: Map 1 e / L i n A lge b ~ a / m a t r ix - v e k t o ~ - m u l t -1 . mws

>

with( Line3rA lgeb ra) :

>

A :~M3tI:i x( {[2 ,4 , 5),

[ 2 , 6 , 8 ), [1 , 0 , 9 ) ]) ;

A := [~~f ] >

v : ~VectoI:([ 3 , 1 ,O )

>

w : ~Mu ltiply( A ,vl ;

;

11" := [

:~ ]

Aufgabe 10 auf Sette l B . Determinante einer Matrix. Dale;: Map 1e / LinA lgebr a /d e t ermi n ant.e - l .mws

>

with( Line3 rA lgeb r3 ) :

>

A: FMat rix ([ [1 , 2 , 3 , 4 ) , [ 2 , - 4 , 2 , 3} , [3 ,2 , - 1 , -5) , [ 4 , 2 , - 5 , 4 ) )) ;

a

-4

,z

>

]

z

-5

-5

4

det ; - De terminant (Al ; dt l: = 10'}6

Aufga be 9 auf Sette 112. Determinante einer Matrix. Dald: Map1 e / LinAlge br a /de te rmi n ant e - 2. mw s >

with(LinearAlgeblCal :

>

A ; ~Matri x

:]

- I

(I (- 3 , 0 , OJ , [ 6 , 4 , OJ , [ - 1 , 2 , 5 ) ) ) ;

677

671l

III Mathematik mit MOI pk >

oe t.e rmi nent

(A ) ; - (,(J

>

B: '"Matl::i x (! (-I , 1,2J , [3 ,-1 , IJ , [-1 ,3 ,4]] ) :

>

oet.ereunene.

>

C :"'Ma tl::i x([!2 ,0 , -4 ,6J , [4 ,5 ,1 ,OJ , [0 ,2 ,6 , -IJ , [-3 ,8 ,9 ,IJJ) :

>

Detel::minant (C ) ;

( B) ;

III

1134 Auf~ah e 18 auf Seite 115. Uneare Abhiillgigkeit eine r Matrix. Dal"i: M"ple /LinA1g.. b~a/"'at~ i,, - l inea~e -"bhaenqiqkeit - l .mw"

Eine Matrix ist linear abhanglg. falls ihre Dercrmtnante gleich Null ist. ansonsten is! sie linear unabhangig. >

wi t h( Li ne a l:: Al g e b r a) :

>

A: '"Ma t l:: i " ( [ ( 2 , 3 , 8J , [3 , 5 , - IJ , [5 ,8 ,6 ] ] ) :

>

Dete ~minant ( A ) ;

• A ist

unabhangig , we i! d et (A} - -I

Ii nea~

- I >

B: "MatI:i x ( [ (2 , 3 , 8J , [3 , 5 , - I J , [5 ,8 ,7]] ) :

>

Detel::minant(B ) ; • B ist

>

C :"Ma.tr i x t I [ 5 , 3 , llJ , [2 , 5 , I2 J , [7 ,8 ,20] ] ) :

>

Detel::minant (C ) ; • C ist li neal:: unabhang ig, we i! det(C} --57

r rneer

abhangig , wei! det(B} -O

o

- 57

Aufgabe 19 auf Seit e 115. l.ineares Gteichungssystem. Dal";: Maple/LinAlgebr a/ 1 i n e a ~ e s - q1 - s y s t em - l . ",ws >

with (LinearAlgebra l :

>

A: "Matri x t r (4 , 2 , IJ , [ -1 , 1 , IJ , [ 1 , - 1 , 1 ] ]) :

>

b : -V ecto r ( [I , -2 ,lJl :

>

x : "'e v a l f ( Li n e a r So l v e (A, b ) }i of:=

O.75IX~ ]

[

- O.750C10 - () . j O(X)()

Aufgabe 3.41 a uf Sett e 1lI2. Nic tn losbares tinea res Gleichungssystem. Dawi, Maple /LinAIgebra / I i ne a r e s - qI - s y s t em- 2 . mws

Das folgcndc lincurc Glcic hungssystem isl nicht losbur. wcil d ie Matrix A singular isr. >

wi t h( Li ne a r Al g e b r al :

>

A:"Matri x (! [3 , 6 , - 4 J . [6 , -1 , 3 J , [6 ,12 , - 8 ] J ) :

>

b : -Vector ( [1 ,2 ,31 ) :

>

x: '"Li ne ar So l v e (A, b }i

Erro r ,

( i n Linea rAl gebra : -LA_ Ma i n: - Li ne a r So l ve l inconsi st en t sys tem

IRA vektorrcchnuug

679

Aufgabe 24 auf Sette 116. Inverse einer Matrix. D. tc':

Maple /LinAlgeb~a /mat ri ,, -inve~se-l

>

. mws

wit h( Li nea rA l geb r a) :

>

A: KMat r i x ( !(l ,2 ,31 ,[ 4 ,5 ,61 ,[2 ,6 ,8 l1 ) :

>

eva lf (Ma t r ixl n v e r s e (A» ;

1l.M667 1l.33333 - 0,500IKl ] 1.()(K)()() - 3.33333 0.33333 [ 2.33333 - 0.33333 - 0.5WIXl B:KMatri x ([ [2 , 1 , -11 , [1 , 4 , ii . [ -1 , 1 , 6 1 l ) : eva lf (Matri xlnverse( B» ;

[

1l.67tH7

- U,2U51111

- U.2U51111

0.32353

0.14706

- 0.011.1\24

0.I ·H Il6

- 0,U8824 0.20588

]

Vektorrechnung

18.4

Ueispid 4.20 a uf Sett e 141. Normierung eines Vek/Ors. Datei: Map1 e /ve kto rRechnllng / normierllng -e in es -ve kto rs -1 . mws

Die zur Normierung cines Vektors bcnorigte Vektorltinge wird mit dem Map le-Be fehl VectorNorm und dcm optionalc n Parameter Euc lidean bcrechnct. >

wi t h( Li ne a r Al gebl:a) :

>

a : "Ve",tol: ( [ l. ,l ,Ol l :

>

L : - Ve "'t o r NOl:m (a , Eu c li de an) ;

>

a : -a / L; t NOl:miel: un g

f be re chnet d ie Ve kto rl a n ge

L := l.4 142]

(, := >

Vec to r No rm (a , Eucli dean) ;

[

0 707 11 ] 0 .70711 U.ot)()(XJ

t La nge des normierten

ve xt o r s

1.( )(K)( )()

Belsplel 4.11 a uf Seite 132. Winke f zwischen ZlI'e i Vekto ren. D. tci: Mapl e /vektorRechnllng / wi nke 1- zwi schen - 2 -vek t oren- I . mws

In dicscm Beispiel so il der Winkel zw ischen zwei vcktorcn bcrcchnct werde n. Die kann er nweder direk t nach Gl. (4. 13) oder mit Hilfe des Maple -Befeh ls Vecto rAngle durchgcfuhrt werdc n. Der Maple-Befe hl conve rt mit dem Para meter degrees wande lt cinen Winkel vom Bogcnmal; in Gra d urn. >

wit h( Li near Al geb l:a} :

>

a : »vect cr ( [1 , 2 , 5J ) : b : -vect o r ([3 , - 2 , Ill :

>

p :-OotProdu",t (a ,b ) ;

>

f

>

La : KVector Norm(a , Euclidea n l :

t S k ala rp rodu kt von a und b

p: =4 Al t e r na t i v e 1 zur Wink e l b ere c h nu ng

>

Lb : KVe c t o r No r m (b , Eu c l i d e an ] :

>

a lpha : -e va lf (con vert (ar c c o s( p /( La _Lbl l ,de gr e e s)) ;

6XO

IX Mathematik mit MOI pk

a := 78.74476<1"/(,,,1',' 2 zu~ Win kelbe~echnung alpha : -evalf(convert ({VectorAngle (a ,b ) ) , degrees)} ; t

> >

Alte~native

a := 78.74476 <1I'/( rt'i!,'

Reispiel 4.15 auf Sette 136. Betrug des Kreurp roduires DOlc;:

\ '011

zwei Vektoren.

Mapl" /V"l
>

wi t h t Lf nee z Al qeor aj

>

a : - Ve c t o r ( (2, 3 , 4] ) : b : - Ve c t o r ( [5 , 9 , 12 ] ) :

>

cr -c eoees e cduce (a.,b ) :

>

t

*

Kreuzprodukt von a. und b ' I c I ': - ve c t.o r Norm tc , Euclidea.n) ; f Betl:
1·1:= 5 Belspiel 4.16 auf Se ite 137. Lineore Ahhdngigkeit

1'0/1

Vektorell IIIIlI Kreuiprodukt.

D01C;: Mapl" IV"k to ~R"chnung1 1 i n"a r-abha"ng ig"-Y"ktol:en - ! .mws >

wi th(LineaI'Algebl:al :

>

a : -VectOI'([2 ,3 ,4]) :b : -Vector«(4 .6 .8] ) :

>

c : -CrossProduct(a ,b) ;

* (a

x b)

ist Null

Reisp id 4.64 auf Sette 170. Zusammemreffen

\ '0 11

zwei Fahrzeugen.

D~c; : M a p l e / Ve k t o r R e c h n u ng / z u s a mm e n t r e f fe n - Y on - f a h r z e ug e n . m w s

>

wi th(Line
>

r[lj : -Vector( [1000 ,2000 ,O ]) : t Startposition Fahr zeug A

>

r[2j :-Vectol:([-1208 , -5038 ,O ]) : t st.e ctpcs i c t cn Fa.hrzeug B

>

v [A] : - 72 00013 600: vlB] :- 106000 / 3600 : t Gesc hw . vo n A und B

>

a : -Vectol:«(1 , -2 ,0]) :

>

a r weva Lf (a/VectorNorm{a , Euclideanl l : t Normier ung von a

>

b r e e 've Lf (b ! Ve c t o I:No rm {b , Euclidean» ) : t NOl'miel:u ng vo n b

* Mome n t a ne r * Momentaner

>

r (A ] : -

>

r[B ] :-r(2]+v IB]_b*t :

>

bedingung : -simplify(I:IA] -rIB j) ;

I:

I I] +v [A ] - a - t :

b : -Vector«(l . I ,O ] ) :

m!
>

" t. ' :

:=

Ol:tsvektol: von A Ortsve ktor von B

t Bedingung des Zusammen treffens

2208.00lXlO - 12.2689J/ ] 7038.00(MMI- 39.101 75/

[

O,O(MJOO

- ec i v e (b e d i n g u n g I I] . t} ; t r.csen del: e r s t en Bedingungsg1eichung := 179,96677

Aufga he 4.43 auf Se ite 158. Fldchenbe rechnung mit Hilfe des Kreutproduk tes. Dald' Maple /ve ktorRe chnung/ flaeche -e ines -para l l e logramm s - ! . m.. s >

with(LineaI:Algebl:a) :

>

a : -Vectol:«(1 ,O ,2 ] ) :b : -Vector([1 .1 ,2] ) :

>

C: -Cl:ossP l:oduct(a ,b) :

>

' A- I c I ': - e v a l f tvecr.ornormrc , Euclidean ) ) ;

* Kreu zprodu kt A=

von

lei:'" 2.2J607


und b

18.5 Differer nialrechnung

68 I

Aufgabe 4.55 a uf Seite 165. Abstand Zll'i.5Chen einem Punk t und einer Geraden. DOle,: Maple /Vekto~Rechnunq /ab5tand -pun kt~ge~ .. de -l . mws

"

wit h ( Lin ea rA l geb r a} :

"

r [0 ] : - Vec t o r( [4 ,4 ,4 1} : • Ortsve ktor d e s Pu nk t e s Q

"

r[l1 : - Ve c t o r( [l , O,O I} : • o r -tsve k t.o r d e s pun kt.e s P I

"

a : -V e cto r ({l ,l ,-ll } :

"

' r[ 0 1 ' - r [ 0 ],

"

' I q I ' : - Ve c t o r No r m(Cro s s Prod uc t ( a , r [01 -r [l I ) , Eu c li d e an ) ;

"

'I a I ': - e v a l ! (Ve c t or Norm {a , Euc lidean ) ) ;

"

d :-e va 1f ( ' lql 'I 'lal '} ;

' ~ [ 1 1' - r[ 1 J.

' a' - a,

' r[ O ] ~ r[ l l' - r[ Q I - r [ l l;

la l := 1.73205 (/ := n.I M4 1

Differen tiaIrechn ung

18.5

Maple ste llt fur die Differe ntiation vo n Funkt ionen und Ausdriicke n zwei Mo gltchkeit en zur VerfLig ung: I. Dcr Bcfchl d iff ist dcr allgcmcinerc Bcfchl und wird fur normulc sowic part icltc Ahlc itu ng von Au sdruckcn vcrwendct. 2. Ocr Operatcr-Bcfchl D differcn zicrt Punkuon en mit nUT cincr unabhiing igen Variab le in Opcrator form. Die o-Pc rm ist insbesondere bci dcr Losung von Ditfcrcntialgleichungcn mil Anfang s- und Randbedi ngu ngen ntnzlicb.

lIeispi el 18.10: b ald, Map le/D i ffRech /ablei tlJngs -befeh le -l . mws

1m folgcndcn Beis pie l wird die Sinus-Funktio n in beidcn Formcn abgeleitet . In dcr lctztcn Zcilc ist dcr Wert der Ableitung an der Stelle tr uusgcwcrtet. "

d i f f ( s i n( x} . x ~ ;

"

D ( s in) ; •

• s t a nde r cme t. h o ce cosf,r }

( Le Lt e t

Op e ca to c ~D - Methode

si n a b)

COs

"

D (sin ) (x ) ; • l eite t s in (x ) ab

"

D ( s in ) (P i} ; • le i t e t s in ab , Ecg e bnis a us wec tu ng b e i Pi

cosf.r }

- I

Beispiel 6.6 a uf Seite 210. Produktregel. Dalci: Maple/Dit fRech/produkt - r ege l -I . rows

"

y : -( x- l ) . ( x~2-2 ) ;

• Fun kt i on y -f ( x )

6X2

IR Mathematik mit MOI pk

)": =: (x - I ) (.~ - 2 ) Jt Ahl .. itll n g vn n y n",,,,h x

".

tHff ( y , x ) ;

".

e xp;,nd (%) ; t

~1 -2 +2 (x - I )~ Aus multipli ~i e t"en

d e s Let. at. en ne s u Lt a t s

3x2 ~2-2x

Ueispid 6.8 a uf Sette 2 11. Quatie ntenregel. Date; , Maple/D i ffRech/quotienten -reg"l -l . m>l"

".

y : - x A 2 / s in ( x l ;

r

y :=: sin(.t } ".

diU

cv. x l ;

t Ableitun g vo n y nach x

zc .r' co, r.t ) , in(x) - ,in (xf ".

fac to r ( %l ; t Fa ktorisieru ng des letzten Ausdruc ks .t

(- 2 ,io (.\ ) + xc o' (x)) , in(x)2

Heispiel 6.14 a u f Se ite 214 . Keuenre gel. Dale;: Mapl,,/Di ffR"ch / ket ten -reg"l -l . m>l"

".

y : - s i n(l n(x A 2 - 3 *x) ;

".

d iU ( y , x l ; t Ableit u n g vo n y n a c h x

y :=: ,in (ln{xl - 3 _t )) co, (ln(xl ~ 3x )) (2 x ~ 3) x2 J x

u etspiel 7.22 a u f Sette 282. Impli zite Abie itung. Dale;: Mapl"/Di f fR"ch/implizi te -ab l"itung -l .mws

".

f : -e xp(Yl+y - x ~ O ;

".

a b l : - i mp l i c i t d iff ( f , y ,x l ;

1 :=: ('-"+ y- x =: O f

implizite Abl eitung von y na c h x

I


~w i s ch e n_a u sd r u ck : - s o lve( f ,exp( y)) ;

t Au fl o s u ng von f na c h

e ~y

: wi schm _
".

subs (e xp (y ) -'I' wisc hen_ausdruc k , ab l ) ;

t Su b s t i t u t i on vo n

e~y

y +x + l

Ueispiel 6.22 a u f Se ite 22 1. "lily/or-Reihl'. Dale;: Mapl"/Di f fR"ch/t;,ylor -re ihe - 1 .mws

In d icscm Beispiel wird die Funktion ('t in eine Tay/o r-Re ihe mit 4 Retheng ttcdcrn cntwickelt. Abweichcnd von den bisherigen Bcis pielen wird hier die Funktion f mil Hilfe des Pf eitoneraio rs " ..... " dcfinicrt: dadurch wird die Funktionsauswertung erlcichtcrt. Ocr MapleBcfchl conve rt konverticrt den Ausdruck fur die Taylor-Rci hc in ci n Polynom mit ctncr endlichen Anzahl von Glicdern. Ocr Bcfehl unapp l y besitz t die selbe Wirkung wie der ..... Pfeilopcrator. 1m Schaubild ist die Kurve dcrTaylor-Reihe (die unterc Kurvc ) mit de r exa kten Funktion e-\ (die cbcrc Kurvc] vcrghc hcn. ".

f : - x - > e x p (x l :

18.5 Differer nialrechnung

>

taylor (f ( x ) , x - O,

4);

* Taylor-Reihe I

.

I

fUr x - O ,

4

l +x +:i A+ ;:; .r + O(x ) >

fT :-unapply (con vert(% ,polynom) , x ) ; fUmwandlun g i n ein Polynom

>

e xa k t : "'f (0 .2 ) ;

>

naehe rung : "'fT (O .2 ) ;

>

E( rel ) : "'abs ( (e xakt - nae h e ru ng)/e xa kt ) ' lOO ; f r e L . oehle r i n %

jT:= x ~ I + .r+ ~.rl + ~ .r' e.mkt := 1.22 140 "IWhl,'rllllg := 1.22 133

E...1 := OJJ0568

e

2

__, _

,,

" L - _---;-_ _,

2

Ueispiel 6.24 auf Sette 225. Unbestinuner Ausdruct: Dald : Maple / Oi f fRech /unbest immte.- - au sd .-uc k - J . mwS

>

l imi t ( s i n (x) l x , X- O) ;

* G.-en zwe rt

v o n 0/0 besti mmen

lleispid 6.25 auf Seite 226. Krununung eine r Kurve, Dale; : Maple/Di ffRech/krue mmunq -einer- kurve- l . mws >

y : - x e e xp

>

abl_l : "'d iff (y , x ) ;

>

abl_2 : "diff(y , x$2 ) ;

>

ka p p a : _u na p p l y (a b l _ 2 / ( 1+a b l _ l A2 ) Al . 5 , x) ;

Lxjj

y := x ".'

t 1. Able itung

* 2.

uhC/ := e' + x e' Ableitung

ahC2 := 2".' + .re' +x e' "-,-i'2;".'--:-"'",,,,,

I( ..- .r --> {I + (e'+ Xl")~} I S

t KrUmmu n g

>

k a p p a : - ka p p a( O) ;

>

rho : " l/abs(ka p p a ) ;

1(; =

0.7071 067812

t Kr limmungsra dius

p := 1.414213562

683

684

IR Mathematik mit MOI pk

Hdspid 5 auf Sette 243. Exuemwertbestimmung . Dalei, Map le/Di ffRech/e xt r e mwe r t - b e s t i rr.mUrlg - l . mw s >

wi t h( St ude nt [ Ca l c u l u s l ] l: f das not Lqe Maple -Paket laden

>

Y :R X~>

>

Ex tremePoints (y (x » ;

>

evalf (y ( %(lj » ; f y-Wert an der Extremwertpo sitio n

>

plot (y ( x l , x--O .2 .. 3 ,

x' e xp ( - x );

y :=.\·---> xe l - . I x- Po s it i o n e n de r Extremwerte

f

ill O.J 6788 labels - [ " x " , "y " ] , vie w-[ -O .2 .. 3 , -0 .3 .. 0 .5 ] ) ;

"

,

Ht'ispiel 6.29 auf Seite 234. Nutstetlenoes timmung mit Newton- verfuhren. Dale;: Maple / Di ffRe ch!newt on-verfahren-l . .. W5

>

wi t h( St ude nt [ Ca l c u l u s l ]) y : _x xp ( x ) :

>

Newto ns Metho d(y , x ~O) ;

>

f Pa ket la den

A2_e

f

x - O g ib t d i e St
Beispiel 6.57 auf Se ite 250. Schleudergefahr jiir ein Auto ill der Kurve. Dalei : Maple / Di f fRech !aut o - i n - d e r - ku r v e . mws

st r ane

>

y : - lOO . ln ( x ) : f Fun ktion de r

>

m: -1500 : v : -162000!3600 , mu : -0 .7 : g : -9 .81 :

>

rho : -abs ( (1 +di f f(y , x ) ~2}~l .5!diff (y , x$2 »

>

F : mm . v~2/ rho :

f

:

f

KrUrnroun g s r a d i u s

Ze nt ri g ual kraft au f d a s Auto

>

wi t h( St u d e nt [ Ca l c u l u s l ]} : f benotigt fUr Extremwertbestirnroung

>

x_ FJll
>

F_ma x : Reva l f (subs( x~ x_F_ma x[2) ,

-z xc e enes o tn t e ( F}

;

f

x - Po s i t i o n de r Extremwerte

xJ-,tUu := [- 70 .7 1068. 70.71068J F » ; f max . Zent rifu galk ra ft

f '_ttlnc = 116'11..142'15 >

> > > >

>

F_R : Rmu·m .g ; f RUck h
f'_R:= I0.1()().50(XI() i f ( F_ma x > F_R ) th e n pr int ( "Das Auto kommt ins Schleude rn " ) ; else pr int ( "Das Auto kommt bleibt in d e r Kurve " ) : fi ;

-nas AU1
IR.6 Diff crentiulrechnung fur multivariahlc Punktionen

8ei spie l 6.62 auf Seite 254. GriijJ/e Dunhhieguug eines Balk ens. DOIC;: Map le /Di f f ll e c:h/ b al k e n-d u ~ c h b i e gu n g -l . mws :>

M: - 1 /2 . q . l A2. (3 * xl {4 * 1 1-x ~2 11 A2) : t 8iege mome nte n -Verlauf

:>

dM: -diff(M , x) : t 1 . Ab1eitung des Biegemomentes

:>

x_M_ma x : ~eva 1f(so 1ve {dM ,

:>

M_max : -convert(subs(x->cM_max , M) , fracti on ) ;

xlI r

t Position des max . Biegemomentes

.<_M-''''Lt:= O.375(KI/ t ma ximales M

9'1 P M_""Lt := 128 t

:>

w :_q '1A4/(48 *E *J ) *l x/ 1 _3 * x~3 /1~3+2 .xA4 / 1A4 ) :

:>

dw : -di ff(w , x ) : t 1 . Ableitung de r Du r c h b i e g u n g

:>

x_w_ma x : -eva 1f(so1ve (dw , xl) ;

f

Du r c hb i e g u ng

Position der ma x . Du r c hb ieg u ng

X_"'-''''Lt := I. 0.421541. - 0.29654 / :>

subs (x -x_ w_ ma x [ 2] ,

:>

w_ma x : -convert (\ ,

w) :

t Be",t immung der maxima1en Du rc hb i e g u ng f Konvertierung in e ine Br uchz a h1

fract ion , 41 ;

~

369£1

18.6

DilTerential rechnung ftlr multivaria ble Fu nktionen

Reispiel 7.42 a uf Sette 305. Par/ielle Ahteuuug 2. OnIIllIl1K. DOICi: Map1e/ Di f f Re chMu1t i Var/pa rti e11e -ab1eitung - l . rnws

f

Fu n kti on

:>

z : - x .e xp( - x~2 -y~2) ;

:>

z_x : -co11ect(di ff(z , x) ,exp) ;

:>

z_y : -collect(d iff(z ,yl ,exp) ;

:>

z_x x : -co11ect(diff(z , xS21 ,expl ; 2 . Ableitung nach x

z := xt'I - x' - J.2 ) f

1 . Abl eitung nach x

L <:= ( 1_ 2.2j t'{-r- .,.2 1 f

1 . Ableitung nach y

z-y:= - 2 x )"t'( _r. , .2)

L U := (_ 6 x + 4.r1}" I- .r' - ,.2 ) :>

z_xy : -co11ect(di ff{z , x ,y) ,exp) ; gemischte Ableitung n a c h x ,y

:>

z_yy: -coll ec t(d iff(z ,yS2 l ,exp) ; 2. Ablei tung nach y

z...xy := ( - 2\' + 4 x~ y) "I_r _."l ) z-v)" := ( - 2x + 4.t y2) e(- r - ,.2 )

Beispiel 7.56 auf Seite 314. Bestil/ll11ll11g der Nonnale ans dent Gradienten. DO'e;: Map l e /D i ff Re c:hMult i Vat I g tadie nt-u nd- no tmale n- ve kto t-t .mws

Anmerk ung : Maple vcrwcndet fur Einhcitsvektorcn i, j und k die Symbolc :>

with(Vect orCalculu$) : f : _x A2+y A2 _2 5 : t Funktion 1

:>

grad : "Gr"dient( f ,

:>

[ x , y]

);

e•.e.,.und ez.

61:15

686

18 Mathematik mit MOI pk

,.

L : "sqrt(grad . grad) : f Lange des Gradienten

,. ,.

n : -qrad/L : t Normalenve ktor evalf(subs( x -3 ,y-4 ,n)} ; f Normalenvektor bei P-{3 ; 4}

,.

f :_x A2 +y A2+z A2 _32 : f fun ktion 2 im 3D-R3um

,.

grad : -Gr
,.

n : -grad I sqrt (grad . grad) :

>

eva lf(subs(x -4 ,y-4 ,z"O ,n}} ;

O. (,(X l(IO ~,

+ uaoooo ~,>

[ x .y . zl ) ;

gm d := 2x f

e, + 2)' ~'\' + 2:~:

Normalenvektor bei P"(4 ;4 ;O)

Ueispiel 7.69 a uf Seite 324. I inearis ierung des Trdgheitsmotnetus. Dalei' Mapl e /D1 f fRechMu l t 1Va r I t r aeghe i tsm-e 1ne,, - k re i "seg
,.

restart :

,.

I_y : -RA4/4 .(alpha -sin(alpha) .cos(alpha)) : t

,.

abl_I_y : ·diff(I_y ,alpha} : f Ableitung von I_y nach alpha

I-y des Kreissegments

,.

d_I_Y:"3bl_I_Y 'd_alpha"O .2 *I_y : f l i ne a l' . Zuwachs von l_y um 20\

,. ,. ,.

d_a : -solve (d_I_y . d_alpha} : f Losung nach d_
,.

d~a : -evalf(sUbs(alpha -alpha ,

d_a)) ;

t

d~a

HiI' alpha -30 Grad

J_u := 0.03623 ,.

d_ a :~evalf(conve rt(% .

deq r eesljr I Konvertierung Radian t au Gr ad

1'-11 := 2 .0760l\tleg rf'('.,

Beispie l 7.73 a uf Seite 328. Henetnmgsfiiiche cines Kanals. n "w;: Maple / D1 f fRechMu 1t 1Va t I b e lle t z u ng s f l a e c h e - e 1 nes~ kana l s •mws >

restart :

,.

flaeche : -A-a ·b .sin(alpha}+bA2 *sin(alpha) ·cos(alpha} :

,.

L : -a+2 .b :

,.

' a': · s o l v e( F l a e c h e, a l : f Auflosung von Flaeche nach a

,.

' L': - s u b s (a - \, L): f das neue a wird in L susbtitutiert

,.

L_a lf3 : -diff(L,3Ipha) : f 1 . Ableitung nach alpha

,.

L_alfa~2 : -diff(L ,alphaS2) :

,.

L_b : -diff(L,b) :

,.

L_b_2 :·diff(L,bS2) : f 2 . Ableitung necn b

,.

~alfa_b : -diff(L ,alpha .b) :

,.

b_temp : -solve (L_alfa . b) : f

,.

' L_ b' : - s u b s (b - b_ t e mp [ l l. L_b) : f Einsetzen von b in L_b

f

2 . Ableitung nach alpha

I 1 . Ableitung nach b f gemischte Ableitung nach a und b

Auflosung von L_alp ha nach b

,.

alpha_O : ·solve(L_b ,alpha 1 : f Extremwert -Position von alpha

,.

alpha_O_deg : -evalf(convert(alpha_O[I] , degICees» ;f alpha_O in Grad

,.

' b': · e v a l f ( s u b s (a l p h a - a l p h a _ O[ l j , b_temp [l lll ;

,.

' a' : - e v a l f ( s u b s (a l p h a - a l p h a_ O[ l j , a)) ;


60.l)(X)()()d,'/:/"l't's

h := O.1l 77311 vA

IR.6 Diff crentiulrechnung fur multivariahlc Punktionen

(I

>

:= O.lI77J!l JA

' L' , .,.,w . l f ( s u b s (" l p h " . " l p h ,, _ O [ l j,

1. ) ) ;

L: =2.6J2 ISJA >

f Berechnung der Hesse- Determinante

> > >

L_alfa_2_xO : ~evalf{subs(alpha -a1pha_O{1] ,

L_b_2_ xO : "eval f (subs{alpha"alpha_O [1] , L_b_2 ) ) :

>

Hesse_Det : - evalf(L_alfa_2_xO • L_b_2_xO -

L_alfa_b_ xO : -evalf (subs(alpha ~alpha_O [l ] ,

L_a1fa_2 }} : L_alfa_b}} : (L_alfa_b_xO)"'2) ;

ff" ,I.•ejh'I: = 6 ,00000

Heisp id 7.3 1 auf Sette 293. Richtung sableitung. Datei: Mapl" ID1 f fR"chMu l t i Var l r ichtunqsab lei tung -l . mw.'l

> >

f Ri c h t u ng s a b l e i t u n g ei ner Skalarfun ktion res tart : with ( LinearAlgebra) ewi t h Iv e c t.o r Ce Lcu l us L: f : - x "'2 +y "'2 ;

> >

m: ·Vector ( [l ,l ] ) ; Di ff ( ' f ' , x ) - d i f f ( f, x } ; f_x : -op (2 , t) : Di f f ( ' f ' , y ) - d i f f ( f , y l ; f_y : - op (2 , t ) : gradient : - Gr
> > > >

> > > >

> > >

x O : ~ l ; y O: ~ l ;

! :=r +\"Z .It) := I

yO := I

m: =n +,'y fJ = 2x

Jy f

= 2s

grudie/II:= 2 x e?x + 2ye ?y ,~rudiem_I> : =

.

III jJOmlwrt : =

2 <,x + 2<,:>'

[ 0.7071 O.7ll7 1

(l := 70.521111

fiR ?

IS Mathematik mit MOI pk

18.7

Integralrechnung

IJeispi el8.7 a ufSeite 340. Unbestinmues iutegral. D~ei : M a p l e / l n t e g Re c h / u n be 5 t i mrnt e 5 - i nt e g t ~ l - 1 . mw 5

>

f : "'x *ln (;'; ) :

>

I n t ( f . x ) "'i nt ( f , x ) ;

J

1 > -~ _t In(x) d x = 2:-r 1n(-t ) -4"

IJeispi el 8.36 a uf Seite 378. Unbestimmtes Integral. DOlei, Ma p l ell nt eg Fech I u " be s t. immt es - i nt. e gt .. 1-2 •mw s >

f :~e x p ( x ) 'cos ( x l :

>

I n t ( f, x ) "'int ( f , x ) ;

Jr

I

I

cos (x) dx = 2: f"' c"'(x ) + '2

f"'

sin(x)

IJeispi el 8.11 a uf Seite 345. b estinuntes Integral. DOlci: Ma p le / l n teg Fe c h / be s t i rnm t e s- i n t e gr a l - 1 . mWS >

f : -3 . e xp (x )- 2 * x :

>

Int ( f , x-O .. l) -eva l f( in t( f , x - O.. l)) ;

,

J

3 f"'

-

2.t dx == 4 . 1548.5

"

>

f :"'x_ 2 . x A 2 +x A3 :

>

Int ( f, x -O .. l ) -evalf(in t{f, x -O . . 2 ) ) ;

,

j.l -2i! +x-' dx = 0.06667 n

Betspl el 8.16 a uf Seite 349. Traper-Regel. DO'ci, Maple/lnteg Fech/ttap ez - [ ege l -1 . mWS >

wit h (S t uden t [ Ca lcu lu s l ]l :

>

f : _e xp ( _ x 2 ) :

>

r ot. r r , x - O. . l )·e v a.l f {App t o x i ma t e l nt ( f , x " O.. 1, me th o d " tta.pez oid ) ) ;

A

,

j r l - r l dx = 0.74621 "

Belsplel 8.17 a uf Sette 352. Simpson-Regel. D01Ci: Ma p l e / l n teg Fe c h / s im p s o n- r e ge l - 1 . mWS >

wit h ( S t uden t [Ca l cu l us l ]l :

>

f :~e x p (- x A2 ) :

>

Int (f , x - O.. l l - e valf {App r o xi ma t e l n t ( f ,

,

lr" "

dx == 0.74682

Beispiel 8.18 a uf Sette 353. GauJJ.Qlladnllll r. DOlei: Ma pl e / l n teg Re c h / g a u s s - q ua dta t. ur - l . mws >

f : "'e xp (- x~2 1 :

x- O.. l , meth od - simpson ) ) ;

18.7 Intcgralrech nung

>

rn t

rr ,

x - O.. Lle e va Lf Lf n t Lf , x - O.. l , metho d - _G q u ad } ) ;

,

J

e1- .-l) J ,( = 0 .74682

o

lleispiel 8.55 auf Seite 391. Bogenldnge. Dalei: Maple/lnt egRech!bogen-la enge -l . mws wit h(S t ude nt [ Ca lc u l us l !} :

> >

f :-s in ( x ) :

>

Boge nlae nge: " eva l f( Ar cLengt h( f , x- O.. Pi ) ) ; nOX,"II/tI",/X,": = 3,H2020

lIeispiel 8.58 auf Sette 393. Bogenliing e be; Herg wande ruug. Dalei: Maple/lntegRech/bogen-laenge -2 . mws

>

wi t h(S t ude n t [ Ca l c u l u s l j } :

>

f : - 5 0 0 * si n(x / 1 0 0 0)~ 2 :

f

Fu n k t ion des Be rgp ro fil s

>

x_ 0 : -fs olve(f- 5 0 0 ,x) ;

f

x_ O pos i t ion b es t irnmen

>

Boge n l ae nge r - e v e i r (Ar cLen g t h ( f , x - O.. x_ Oj ) ;

x_O:= 1570 .7'J633 n"I:""I",',,!:,, := 10fH.7'J 181

Betspl el 8.25 auf Sette 365. Manteljfiiche bei Rotation [)"'~; :

11111

die s-Achse.

Ma ple/lntegRech/mantel - flaeche - x - l . m" s

>

wit h( St ude n t [ Ca l c u lus l j } :

>

i :-cosh ( x ) :

>

A_M: - eve i r (S u r f a c eOfR e vo l ut i o n ( f , x- O.. 2 ) ) ; A_M: =4'J.15()(l')

lleispiel 8.26 auf Selte 366. Mantelj/dd le hei Rota tion

11111

die y-Achse.

Dalei; Maple/ lntegRech/mantel - flaeche -y-l . mws >

.. l t h ( St u d e n t [ Ca l c u l u s l ! } :

>

f : -cosh (x ) :

>

A_M : - e v a l f (S u r f a c eO fRe v o l ut i on ( f , x- O.. 2 , a xis-vertical ) ) ;

llcispiel 8.27 auf Sette 367. v olumcn cines Rotatlonskdrpers bei Dretiung 11m die x -Achse. Dalei: Maple/lntegR",ch!volumen- rotati ons koerpe r - x -l . mws

>

.. it h( St ude nt [ Ca l cu lu s l ! } :

>

f : -s i nh ( x ) :

>

v : - e v a l f (Volu me OfRe v o l ut i o n ( f , x - O.. 2 ) ) ;

V := 18.29186

lleispiel 8.29 auf Sett e 37 1. Trdgheitsmomente eines Rechteckquerschnius. Dalei: Mapl", /Int",gR",ch/tra",gh"'its -mom",nt -1 .mws >

!_x : - int (b .y~2 ,

y - -h / 2 .. h/ 2 ) ;

f T ragh .-Moment urn die x -Acnse

hil I

t:x:» I f >

! _y : - i nt (h . x~2 ,

x - - b / 2 .. b/2 ) ;

f

T r agh .-Mo rnent urn d i e y- Achse

689

690

IR Mathem atik mit MOI pk

18.8

Gewohnliche Different ialgleiehungen

Gewohnliche Differentialgleichungen lassen sich mit dcm Maple-Befehl dso l ve losen. Belspiel 9.13 auf Sette 415. DeL I. Ordnung. DaIC;; Maple/Di f fGl /di f f-g L-l - ord- l . mws

,.

dgl : Kdi ff( y(x) ,x) - y(xl ~ 2 - 0 ;

".

ds olve({dgl, y( l) - l l ,y{x}} ;

I1K/ := (9; y(x) - y(x}2 = () t Lose n del" DGL mi t Anfangsbed ingung

I y(x) =- x- 2

lIt'ispiel 9.17 a uf Scite 419. DeL I. Ord nung . Dalci: Maple / Di ffG I /d i ff - g l- 1- o r d- 2 . mws

".

dg l : -diff(y( x) , x) -(x +y{x}

".

dsolve( {dgl , y (O ) -OI , y {x } } ;

} ~2 ;

IIK! :=

1; y(x) =

(x + y(x))2

t t.o e e n de l" DGL mi t Anf a n g s b e d i ngun g

y(x) = - _t+ l3n(x)

IJcispiel 9.32 auf Se lte 443. DCL I . Ordnung. Dald ' M..p le/DiffGl/diff -g l - l -ord -3 . mwS

,.

dgl : - d i ff (y (x) , x ) - y (x) I x . (1 +1 n cv ( x) Ix) ) :

,.

ds olve({dgl, y(l) - l l ,y{x}} ;

y(x) = x

lIt'isp iel 9.22 auf Scite 426. DCL I. Ord nung . Dalei: Mapl e / Di ffG lld i ff -gl-l-ord-4 . mws

tv (x) , x ) + (3 .x~2~2.x)

,.

dgl : - d i f f

,.

ds olve({dgl , y(O) - lI ,y{x}} ;

. y (x) :

y(x) =

,,(x" l - H l ))

IJt'ispid 9.34 auf Sette +48. /JCL I. Ordnung. D-.1Ie ;'

Ma p l .. /Dif fG lldif f -g l -l -ord -~ . mws

,.

dg l : -di ff( y( x) , x)~ 2 .y(x) -exp( - 2 . x) :

>

ds olve({dgl , y(O) - l l ,y{x}} ;

y(x) = ( _ ~ ,, ( A 4

., )

+ ~ ) " Ih) 4

IJcispiel 9.46 auf Se lte 465. DeL 2. Ordnung. Dale;: Map l e / Di f fGl/d i f f -g l -2 - ord - l . mW $

,.

dg l : -diff( y(x ) ,xS2) +4 .y(x} - 1 6 .x~2 :

,.

ds olve ({dgl , y( O) - l , D{y l< O) - Ol , y ( x ) ) ;

y(x) = - 2 + J cos(2x )+ 4.r2

IS.!l Gewohnliche Differentialgleichungen

69 1

8ei spie l 9.52 auf Seite 474. Freie geddmpfte Schwingung . DOle,: Map le /Di f fG l/ f ~ ei e-ge d a e m pft e - s chwi n gun g-l ,mws

>

dgl : ~m *diff( x(t) ,tS2}+c _diff( x(t)

>

k : - 3 0 0 0 0: m: -70 : c : -120 :

>

anfangsbed : - x(01 -0 .02 , D( x ) (0) -0 : t Anfangsbedin g u ngen

>

lsg : -evalf (dsolve( {dgl ,anfangsbed ) , x (t ) ) ) ;

, t )+ k *x (t ) - O:

I.,x :== X(/ ) == O.()(lOl():1l 7893f>6g e ( _ O. ~51 1 41~ ~7 1 r) ~ i n (2{). 61142 1 462 1 )

+ OJ12()()()()()(XXXle l _O M57 H!K'71, ) c<>-, (20.6842 146 21 ) >

p1ot_funktion : -op(2 , lsgl : t Extraktion der rechte n Seite

>

plot(plot_funktion ,t -0 . ,2) ;

t Schwingung in den e r at.en 2 sec

COl

--C,01

--C.Ol

Heisp iel 18.11: D,lt';: Maple I 01 f fGll s c h lOingung - I'e sonan z - 1 , mlOS

In dicscm Beispiel wird das harmonisch crrcgte Schwingungsproblc m des Abschntns

9. 10.4. 1 [s. Scire 476) untcrsucfu. Die Kenngrouen des Sehwingers sind idcruisch mil dcncn des Bcispicls 9.52 {s. Seilc474). Die Zcitfunktion dcr Erregerkraft lautct F (t ) = 3000 sin 20.7/ . Der Schwinger kormnt also in Resonanz mit dcr Errcgung. wei! die Erregerfrequenz und die Eigenfrequenz zusammenfallen. >

dgl : - 70_ d if f( x( t ) , t$2) + 12 0 _d if f Ix t t } , t ) +30000 _x ( t ) - 3 0 0 0* s i n (2 0. 7 _t) :

>

a.n fa.ng sbed : - x(O) -O . O, D (x ) ( 0) - 0 : t Ruhezusta.nd am Anfang

>

l s g : - ev a l f {d s o l v e ( {d g l, a n f a n g s b e d ),x( t } } ) ; I"i:

:= x{t) = OJl4 7273tJ4 327 /,1_ ll M5714!K'71' ) sin (20 .6 842 1462/ )

+ 1.2U7 723 1(Jt} /,1 -()'571 41 ~511 ,) cus{2U.61l4214(2 / ) - 1.207723 1(l'j c" s(20. 7()(X)(XXlO/ )

+ O.002 771 34529tJ ~i n ( au7l)()()()()()(ll ) >

p l ot_funktio n : -op(2 , 1sg ) :

>

pl o t lp lot_fun ktion ,t-O .,5) ;

j

Extraktion der rechten Seite t Schwingung in der ers ten 5 sec

692

IR Math em atik mi t Maple

18.9

Eigenwerte

Aufgu be 2 auf Sette 545. Eigenwerte lI11d Eigenvektoren einer Matrix. Dale;, Ma ple / LinA1gebr a/ei genwert - 1 . mws

Mit dcrn Muplc-Bcfch l Eigenvectors kon nen die Eigenwert c und Eigcnvektorcn cincr Matrix konncn bcrcchnct werdc n. Ocr Bcfchl Eigenvecto rs gibt auf dcm Bildschirm einen Spaltenvektor und cine Matrix aus. Ocr Vektor v a l emhalr die Eigenwerte. In dcr ausgcgcbcucn Matrix vee sind die Eigenvektoren in Form von Spaltenvektoren angeordnct . Ocr crsrc Spaltcnvcktor cntspricht dem crstcn Eigcnvcktor. dcr zwcite Spaltcnvcktor dcm zwcircn Ei ~c n vcklOr usw. Durch Division cines Eigcnvektors durch c ines seiner Elcmcntc kann der Eigenvektor norm iert werden . :>

r e sta r t :

:>

>

wi t h( Li ne ar Al g ebra) : A: " Ma t r i :« { {l , 3 1, [ 2 , 1 1 1} ;

>

(v a l, ve e) t we va Lf (Ei genv e c t o rs (A)) ;

A :=

",I, >

"'''~ [

[~ ~]

344949

- 1.449..\9

]

[

'

1.(lOOOO

LOO(X)O

0 .81650

- 0.8 1650

l3 : "Miltri :< ( [ [ - 2 , 0 1, [ 1, 4 1 I ) ;

n:= [ -~ >

tv e L ve ct t - e v e i r (E igenvectors (6)) ; mi.

I·t',.: =

- 2.lXXXX) ] 4JKJOIKI

[

[ - 6.(XKXX}

•

I, O(KIOO

> >

J No rm ie r ung des 1 . Ei g e nve k tors vee[1 .. - 1 , 1] : " v e e [ l . . -1 , 11/v e e! 1 .. - 1 , 1] [ 1 ] :

>

ve e ; f Ausgabe der no rmiert en Eigenve ktoren I, ()()(KX) [ - 0. 16667

>

O.OIXXlO 1.f1lK)()()

ueocec ] I.fKXIl.)()

C : " Ma t r i :« [ [ 6 ,-2] ,[-3 , 4]l l ;

c~ [ -3o >

(v al , vee ) : ..eva1f (Ei g en v e ct ors

ml > > >

> >

•

l"t'( . ' =

.

[

( C )) ;

7.lH575] 2.35425

'

[ - 1,2 1525 I Jll:K)()()

J Norm ie rung d e s 1 . Ei ge nve kto rs vee[l .. - 1, 1 ] o- v e c j t .. -1 , l]/ v e e[ l .. - 1 , 1 ] [1 ] : f Normier ung des 2 . Eigenve ktor s vec j i .. - 1 , 2 ] r- v e c t i . . -1 , 2]/ v e e[ 1. .- 1. 2] [1 1 : ve e ; f Ausgabe de r norm ierten Eigenve kt oren

1JX)()(XJ [ - O.822811

1.()(XllJO

t.snsa

l

O,S411S8 I ,(J()(X)( )

8ei spiel 11.11 auf Seite 558. Eigenwertaufgabe nach Powe r-Iteration. DOle,: Map le!Eigenwerte !NumEigenWerte !Be isp /b - Ol . mws >

> > > > >

> > >

t MISES -It.erat.ion (Power -Met.hode) : t Spezielle Eigenwert.aufgabe A x -l.x

restart :with( LinearA lgebra) : NITER : -4 : t Anzahl max I t e r a t i o ne n eps : -1E -3 : i Toleranz A : - Matrix( [[lO , - 1 , - 8 ),[- l , O. 4 , l ], [- 8 , 1 , 81I l : uO: "Vector( {2,-2 ,2 1) : nrm : RNorm(uO) : l a mbd a : - n r m; x I IO: RNo r ma l i z e (u O) : ( 'A ' -A , ' u' A[ OI _ u O, ' I l ui I ' [ i n ti n i t.y ] - n r m, ' x' A[ OI _x I IO);

-,

OAOOO

I > > >

> >

> >

>

> > >

> > >

>

>

>

>

Iterationsalgorithmus mit Normalisierunng f or k fr om 1 to NITER do ullk: -A.xll (k - l) : nrm : "'Norm(ul lk): x l Ik: -Norma l ize(u l I k) : lambda_L: -lambda : Wert der letzten Iteration l a mbd a : - n r m: err : - a b s ( (lambda - lambda_Ll!lambda) : print ( ' k ' -k , ' u' A[ kl - ull k , ' x " A[k] -x l I k) ; pr int ( • I I u I I ' [ i n ti ni t y] -nrm , " La rnb d e "-la.mbd a., ' ERR' » e r r) ; if ( e rr< - eps) then break end if : end do : t Verbesserung mit. Ray leigh-Quotient if k >NIr ER then k : "k- l end i f : zaehler : " Transpose(x l lk} . A. x l l k: nenner : - Tr a n s p o s e (x I I k) . x I I k : l a mbd a :-z a e h l e r / n e n n e r : t Rayl eigh Quotien t. printf( "Rayleigh-Quotient fuer k =%2d : Zaehler=%g Nenner= \g Lambda - \f " ,k ,zaeh ler ,nenner , lambda) ; lambd3 : -lambda. ; t

*

k = 1. IIII! = [ ='0,'.;

] . x[11= [

~O~~~3 ]

- 0.3333

, n ~ n'

1111 11.. = ).lXll)O. ), = 3.(llXlll. ERR = 0 .33 33

k = 2.

III~ I = [ ~~'.~::~

] . x!21 = [

- 1O.8(Xll)

Ilull.. = k

12.11000. ), = 12.11(XIO. ERR =

= J. IP I = [

~~' .~~~~

] .. (1.1 1= [

- 14.8583

Ilull.. =

]

O.76~6

~~)(,~ ~~)9

]

-0,8814

16.11583. ), = 16.11583. ERR = 0.2-«17

k = 4. 11141= [

~~'.~~~~

] .. (!41 = [

- 15.1629

Ilull.. =

~(')~~3

- O.!W37

~~)~~~2

]

- 0.8835

17.1629. ), = 17.1629. ERR = (Wi n

Rayleigh- Quotient f ue r k= 4 : Zaehler=30 .8074 Lambda:17 .180983 .l. := 17. J810

Nenner=1 .79311

> > > >

t E x~ kte Be eechnung s amt l i chee £ i g e nwe e t e / - v e k t o e e n DI M: a Ro wDi me n s i o n (A) : (v a I , v e e) : Re v a l f (Ei qenveetors (A) ) : I ~ mbd a : - v e i , seq (v [ i I - n c r me i t ee (vee [1 .. - 1 , i I ) , i -I " DI M) ; 17. 11110 +0 J)()(lO/ ]

O.'J4'J2 + O,()()()()f O.16'Jll + O,(X)()()/ 0 .024 1 + O.tXXXl {

1' 1

=

[

, "I =

[ - O.'Xl B + OJ)()(X)/ ] 1.()(XlO+O J)()(lO/ ] - O, I I 22+ (l.()()()(} 1 . "2 = - 0 . 1760 +O,()(X X)/ , - 1.(J()(XI + O,tXXXl/ - O,1l1l36 + uoooc I

[

]

- lJ)()()(J + 0.00001

u 1543 + (l.()()(X)/

Ueispiel 11.12 auf Seite 561. Eigenwe rtau f gube n(/c!l Power-tterotion. D.'c;' Mapl e /E igenwe r t e /Num EigenW e rte /Be i sp / b - 0 2, mws >

>

>

> > > >

> >

t t

Inve ese Iteration (I nve rse Powee-lteeatioN) Spezielle Eigenwertaufgabe A x - I.x

restart :wit h( L inearA Igebr~l :

NI TER : -ID : t Anzah l m~ x Lt e r a t.Lonen eps : a lE-2 : t Toleranz 1'. : - Matrix ([ flO , -1 , - 8 ], [-1 , 0 . 4 , 1 ], ( - 8 , 1 , 8 1 1) : uO : -V e c t or({ 2 , -2 ,2 1) : nrm :-Noem (u O) : l a mbd a : - n r m:x I IO: a No r mal i z e (u Ol : ( ' A' a A, ' u ' A[ OI - u O, ' 1l ui I ' [ i n fi ni t y ] - n e m, , x , A[ Ol a x I IO) ; - I OA()() (J

I >

> >

L : -LUDe c o mpos iti o n (A, o u t p u t R' L') : U:"LUDe c o mpos i ti o n {A, o u t p u t .. ' U' ) : ( ' L' -L , ' U' - U ) : 1.(XX)()

L= > >

>

>

>

>

> >

>

>

> > > >

> > > >

>

>

[

- 0.1000 - O.Il(X)()

O.\XXX} 1JXX)() 0.6667

0."'" ] O.l)(XlO I .I)(X )()

,

u=[

1ll.(X)(X} O,{XXXl n.()(XX)

- 1.lXXXI 0.30tX) OJ X)()()

- 1l.tXXX) ] O.20IX) 1,4067

t Itera tionsalgori thmus mit Normalisier unn g DI M: - ncvm me n s r o n (A) : for k from 1 to NI TER d o y I I k : - Li ne a r Solve (L, x I I ( k - l) ) : U I j k : - Li n e a r So l v e (0 , y I I k ) : nrm : -N o rm( u l lk) : x l I k : - No r ma li z e (u l I k ) : l a mbd a _L :- l a mb d a : Wert der letzten I te ra t ion

*

k ~ppa: an em:l a mbda: " l /k app a :

er r : - a b s ( (lambda -lambda_L} /lambda) : print( 'k ' _k , 'u ' A[k l _u l lk , 'x ' A[ kJ _x llk) ; p r int ( , I Iu I I ' ( i n fi ni t y I - n r m, ' k a p p a ' « n r rn , ' l a mbd a' - l a mbd a , ' ERR' - e r r ) : if ( e r r c e eps) then brea k end if : end do : t Verbe sserung mit Rayle ig h - Quotient i f k>NITER t h e n k : -k -l end if : zaeh l er : -Tra n s p o s e (x I I k} . (A . x I I (k) ) : nenner : -Transpose(x l l kj . x l l k : l a rnbd a : - z a e hl e r/ n e n n e r : f Rayl eigh Quo tien t print f ( "Rayle igh -Quo t ient : ZHLR- \g NNR- \ g La mbd a-\ f " , z.aeh I e r , nenne r , l a mbd a ) ; l a mbd a :-l a mbd a ; k =l . ulll =

11/111.. = 4 .0'J0'),

[

I."'" ] ,. l lll = [ -02444 ] I JX)(X)

- 4.(l'Xl'ol 1,6364

J( '"

O.41X)(}

4 .0'J0'). }. = 0 ,2444. ERR '" 7. 111 111

k =2.rP J =

U.1222 ] [ 0.0'" ] - 3.8182 ,x121= - I JX)lIO 0.8495 0.2225

[

lIull.. = 3.8 ],'12. ... = 3.1\111 2. it k =J.ull! =

Ilull.. = 3.7375. k =4.f,!41=

Ilull.. =

3.7152.

= U.261 9. ERR = D.OM7

0.1534 ] [ 0'" " ] - 3.7375 ..ll.1] = - I.WOO

[

O.M84

0 . 1735

= 3.7375. it = 0.2676 . ERR = D.U2 1!

I<

0.1073 ] [ 1I.JJ2" ] - 3.7152 . xf-ll= - I.WOO 0.59 34 0 . 1597

[

= 3.7152.

J(

Rayleigh-Quotient : ZHLR=O.276 94

A=

0.2692. ERR = U.lXJ60

NNR=1 . 02 634

Lambda=O .269832

A := 0.2698

>

> >

Exa kte Berechnung samtlicher Eigenwerte/ -vektoren (val ,vee ) : Ke v a l f (Ei g e n v e c t o r s (A) ) : Lembde : " va l, seq (v I i J " No r mal i z e (v e e [1 .. - 1. iJ ) , Le L .. DI M) ; f

17. 111 10 +() ,OOIXl! ]

0 .024 1 + U,OOIXlI I'J =

[

. \'1 =

0 .9492 +0,00001 t1.2b98 + UJXI(JO I

I .UUOO + O,llOIXl / - (J.9OJ3 + 0 ,(X)OO/ ] - U,1122 + O.{)(X)() I - (1.1 760+ 0 ,0000 / . . " 2 '" ] [ - 0.8836 + OJ)()(Kl I - 1.OO(Xl + 0,0000 f

]

- l .00UO+ O.()"OO I [ 0. 1543 + ll.lX)(Xl!

IJcispi el 11. 13 auf Seite 566. Eigenwenauf gube nach Powe r.tteration. Dalei: Map l .. I Eiq.. n .... r t .. I NumEi g.. n ~ .. rt .. / 8e i s p / b-0 3 . "' .. s

> > > >

> > > >

> > > >

Inve~se Ite~ation fli~ Eigenschwingungen : K x* w ~2 Mx " ls Al lgeme ine Eigen we~t"ufg"be restart : with(LinearAlgebra) : K : * Matri x( [ [le7 , - 4e 6 , OJ , [- 4e 6 , 8e 6 ,- 4e 6] , [ 0 ,- 4e 6 , 4 e 6JJ ) : M : ~Matri x ( [ [ 1 5000 , 0 , a ] , [ 0 ,1 5 0 0 0 , OJ , [0 ,0 ,750 0 ] ]) : uO : -Vector( [1 ,1, 2 . ]) : f sc a r t v ex t.o r NIT£R : - 3 : f Anzahl de ~ Ite rationen eps : - 1£ - 2 : xI I O: ~No r ma li z e ( u O) : n ~m: ~ N o rm( u O ) : o mg 2: - 1 ! n r m: ( ' K' - K, ' H' - H); ( 'u ' ~[OJ - uO , ' I l ui I ' [ i n f i n i t y ] - n r m, ' omq2' - omq 2 , ' x' ~ [ O J -x I I O, ' e p s i l o n ' - e p s );

f f

- O.-\(X)O 10 7

0, WOO I O~

K=

- 0 .4000 107 [ II

,,[01

~[

: 2.lXlIlI)

0 .8000 107 _ 0.4000 107

] , Ilull_ =

U

- 0 .4000 107 7

O.4(XIO 10

]

,

M=

[ IS""0 0

0.50l x) 2.lXXX). "m/l2 = O.50lXI. xlOj = [ 0.500l) I.lXlIX)

U

15000

o

] ,e=

II ]

75(X~

(U )I(X)

IR Mathem atik mi t Maple

696 > > > > > > > >

>

> > > >

,

> > > > >

t Iterationsalgorit hmus mi t Norm
nrm : -Norm(U I I k ) : omg2 : -1/nrm : err : - a b s ( (omg2 -omg2_L) lomg2) : print ( ' k ' -k , ' z '

A

[ k] - zll k , ' u '

A

x l l k t eNo rrna L i z e f ulL k } :

[ kj -u I I k ,

' x'

[ k]- xll k ) :

A

print( ' l lu l l " {Ln f Ln Lt yl wn rm, ' ome g a' A2_o mg 2 , ' ERR' "'e r r ) : if ( err< - eps) then brea k end i f : end do : t Rayleigh Quo t ien t

if k>NI TER t he n k : -k - l end if :

zaeh l el' : -Tr:3nspose( x l lk} , K . x l l k ; nenner : -Transpose(x l lk} . M. x l l k :

omg2 : -zaehle r/ nenner :

printf( "Rayleigh-Quot ient : ZHLR- %g omgZ - %f " . z
I . Zlfl == [

;~:::::::~ ] • "III = [ ::::~~~

7500 .0000

111111_ = k = 2. zl21=

] . ., 111= [

OJI094

~::~ ] I .oooo

OJffl4. w 2 = 106.6667. ERR ", 0 ,9953

"'M'~

[ 120111Ullllll) zseo.eooo

] • ,,121= [ 0",~~3 .0091 ] . xiII = [ ""'" 0.8295 ]

1527~~~~1~4t8

t.oeoo

(UlIIO

11"11_ '" 0 .0 110. w 2 = k = 3. zlJI = [

NNR- %g

90 .9091 . ERR '" 0. 1733

] . ,,lJ1= [

7500 .(l(Klll

~::~

] .. t131= [

0 .0112

~:~~~~ t.om

]

11"11_ '" 0 .0112. w 2 = 89 .6815. ERR ", 0 ,0137 Rayleigh- Quotient : ZHLR=1 .80084e+06 > >

> > >

NNR=20099 .6

omg2=89 .5958 77

w2

= 119 .5959 Exak te Be rechnung der Ei ge n we r te /- v e kto r e n (va l ,vee) : aeva lf (E igenvectors ( K, M) ):

t

D I M :~RowD ime n s i o n ( K ) : ' omeg a A 2 ' ~ v a l, s e q ( v [ i l ~ Mu l t i p l y ( No r m a l i z e ( v e c [ l i ~l

. . DIMl ;

. . -1 , i ll , - 1 1,

1023. 1597 + 0J lllllll / ] [ - O.6870 + 0 J lll(K){ ] 620.5778 + 0JJ( J(1ll/ . 1"1'" O.9184 + 0JJ(1l1l1l . 89 ,5958 + 1l.0IJ(J(J I - 1.(J()()() + O.OIJ(ll) I 0 .9465 + O,(J( J(J(l/ ] , ",' ~ [ O.31145 + O,(J()()(l! ] 0 . 1636 + 0.(l(l(1l1/ 0 .8320 + 0 .(l(l(1l1/ - I rr m -enoooo ( 1.00ll)() + 0 ,(J(1l1l1/

8ei spie l 11.1 5 auf Seite 571. Knick last dues eingespannten Ratk ens. DOle,: Map le!Eigenw.,rte !NumEig.,nW.,rte !B., isp /b- 2 0 . mws

> >

> > > > >

> > > >

> > >

> >

f Mises-Iteration fur Stabilitaet : f Min Knick.last

Kx~lambda

restart :with(LinearA lgebra) : K : " Matr i x( [ [l,O ,0 ].l0 , 12 ,-6 ],[ 0 ,-6 ,4 IJ) : Kg :~Matri x (I [ 0 , 0 , 0 1, [ 0 , 1.2 , - 0 . 1) , [ 0 , - 0 .1 , 0 .13 333 1 1} : uO : -Vector( [l ,l ,l ll : • Startvek.tor NITER : -3 : II Anz.a h I del' Iterati onen eps : - l£ -3 : interface (displayprecisi on -4) : xIIO : -evalf(Normaliz e{uO)) : n rm : ~ No r m ( u O ) : l a mbd a : - l/ n r m: 6 : "'K: C :-Kg : ( 'K ' rK , ' Kg ' RKg ) ; interface (displayprecision-3) : ( 'u ' ''[OJ ~uO , ' I l ull ' [ i n f i n i t y j - n r m, ' l a mb d a' " [ Ol- l a mbd a , ' x ' ''[OJ - x l 10, ' eps i lon' - eps );

o

o

12 -6

] .2 (X)

- 0. 100

1I 1(~ = [ : ] , Ilull_ = I. ;. IOi = I. xlO] = [ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

> > >

Kg x

-O~IlX) ] 0,1 33

I .rKX} ] U KX) • £ = 0.00] 1.000XI

f Bestimmung des k l e Lns t en £ igenwel'tes interface (displayprecisi on -4) : DI M: - Ro wDi me n si o n (B) : l a mbda_L :~ l ambda :

for k. from 1 t o NITER do z ll k. : "C . x l l (k - l) : u ll k : - Linea l'So lve(B ,z l l k) : nrm : -Norm(u l lkl : x l I k :"No r ma li z e (u lI k ) : kappa : -nrm :lambda : -l /kappa : err : - e b e ( (lambda - lambda_L) / l a mbd a ) : print( 'k ' ''k , 'z '~ [k ] -z l l k , ' u' ~[ kJ "u l lk , ' x' ~ [ k ] - x l lk l; pl'int( ' I]ull ' [infinity l -n l'm, 'k a p p a' - n l' m, ' l a mbd a' - l a mbd a, if ( err <- eps) then break end if : lambda_L : ~lambda :

end do : f Vel'bessel'ung mit Rayleigh -Quotient if k >NIT ER then k : -k-l end if : zaehler : - Tr a n s p o s e Lx I I k} • (B . x I I (k) ) : nenner : · Tr a n s p o s e (x I I k} • (C . x I I k I : l <1 mbd a :-z a e h l e l' / n e n n e l' : • Rayleigh Quotient printf( "Rayleigh -Quotient : ZHLR- %g NNR ~ %g Lambda - %f " ,zaeh ler ,nenner , lambda) ; lambd
k = I. c''! =

[

11"11.. = k=

uoco 1 100 O.O.B 0.5R3.

] .11111= [ o.c» 0.31'1 3 ] 0,51'13 k" =

. xIII =

[ 0.000 0 .657 ] I.(IIX)

0 .5R3. it = 1.714. ERR = 0.4 17

2.zlzi= [ :::~R~ ] .,,121= [ :;:~6~~ ] .xlzi = [ ::: : ] 0.(161\

Ilull.. =

00412.

0 ,4 12

k" =

I.(IIX)

00412. it = 2.42l1. ERR = 0.294

' ERR' ~ e l' l' ) :

~:~~

k = 3. :IJ] = [

~:~~K; ].

] . Il ll ] = [

xll ] = [

OJl69

111' 11_ = OAO) .

Ray le igh-Quot ien t

(JAOJ K" =

~:~~1X~ r.ooo

]

(lAO). A = 2.48 1. ERR = 0.022

: ZHLR=1 .2 2841

NNR=O. 4 94 1 3 5

Lambda=2 . 485979

A := 2 ,486

> > > >

t

Oi ~ekte

Maple -ae~ec hnung

der Ei ge n we r t e / - ve k t o r e n

interface (d i s p l a y p r e c i s i on - 3 ) : DI M: g Ro wDl me n s io n (B ) :

>

(v a l , v e e ) : ge v a l f (Ei g e n v e c t o r s( B, C) ): l a mbd a : -ve i , seq (v [ i J -Norma lize (vee [1 .. -1. Ll l , Floal (oo) + (){)(Xl/ ] 32 HH + O O()O/ 24S6 + 0 coo I

{WOO + O.()( KII

- 0 .638 + a .QOO I - 1,OOIl + O.OOO/

11 =

[ 1(0)O + O{)(Xl ! O {)()()+ () O()()f 0 (100 + 0 (OJ{

> >

> > > >

>

].

1'0/1

Eigenvektoren.

mws

*

O.J(I0lXXl [0" [ - 0 .400000 J07 0

M~ [ > > >

~:(I~~~ :~::::::

- 1,OO() + ()'()OOf

. Mx restart :with(LinearA lgebra) : K : - Mat r i x ( [ [ le7 , - 4e 6 , 0 ) , [ -4e6 ,8e6 , -4e6 ) , [0 , -4e6 ,4e6 J )) : M: - Matr ix ( 1 11 5 0 0 0 , 0 , 0 ) , [0 ,15000 ,0] , [0 ,0 ,7500 ) )) : uO : -Vector ( {1 , 1 ,2 . )) : Startvektor interface (d i s p l a y p r e e i s i on - l ) : ( ' K' - K, ' M' - M):

K~ >

= [

*f Orthobonalitaet von Eigenve kto ren Allgemeine Eigenwertaufgabe K x - La mb d a

Ma p le/E: igenwert " /NumE:igen~e rte /Beis p /b - 0 1 .

> >

].\"2

]

Heispiel 11.18 auf Seite 575. Onhogonalitatsbeding ung D"wi:

i-I .. DI M} ;

15lKXl 0 0

0 [5IXX) 0

- O.4UlXX IO 107 0.8(X)OlK ) [()1 - O.4tKKKKI J()7

75(~

0 - O.4tKKKKlJ07 OAlKKKX) lO1

]

]

f Oi r e kt e Maple -Berechnung del' Eigenwerte/ -vek toren

in terface (disp laypr-ee isio n -2) : DI M: - Ro wDi me n s i o n (K) : (v a l , v e e ) r - e v e i r (Eigenvectors (K,M) ) : l a mbd a : - ve i , seq (v [ i I - No r mal i z e (vee 11 . . - 1 , i I ) ,

i -l . . DI M) ;

[023. 159704 +0.00lXX)O/ ] [ O.687(XI7 + 0 .lXXXXX) / ] • \'1 = - O.9 JS424+ 0.lXXXJOO I . 620.57780 1+ O,lXXKXXl / IN.59511211 + O.IXJ(J(lOl l I l .lXJ(XXJ(I + (J.lJ(J( XJ(J(I/ - O.94M lH + O.OlJ(XXJO I ] [ - O.3844 74+ 0.()(KXXXlf ] - 0. 163583 + (l,(X XXXXI t , \'.1 = - O.832(Kl8 + O.(XX XXXI f I.lXX)()(XI + O.lJ(JlXXXl/ - 1.lXlOlXXl+ IUXX)(lOll I > > >

> > >

f Or-thogonalitateskontr olle interface (d i s p l a y p r e e i s i o n - 6 ) : ' x' [1 ] " T . ' K' . ' x" [ 31 - {Tr a n s p o s e (No r ma l i z e (vee [l . . -1 , 11 } ) . K) .N o r ma l i z e tv e clI . . - 1 , 3 ] ) : ' x' [l J "T . ' M'. ' x ' [ 31 " {Tr-a n s p o s e (No r ma l i z e (vec [ l . . - 1, 11 } ) . M) .N o r ma liz e (v ee [1 .. - 1 , 3 ] ) :

18. 10 Nichtlincare Gfeichungen (XI T) . K . (x.J) = - 0 .000 820 + (U)OO()()O/

(" 11') . M . (".J) = - 0 .7694 75 10 -" + o .()O()(X)O/

Nichtlineare Gletchungen

18.10

IJeispiel 12.1 auf Selte 58 1. Niclulineare Gleichung Ill/eli Regula Falsi. Dalei, Mapl e /N umMe t h o d /N i c h t L inG l / Be i s p / b- Ol . mws

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

> > > > >

>

> > > > >

> >

t Nul ls tellenbest immung mit REGULA FALS I rest art ; interface ( latexw idth , s cr eenw i dt b e t 0 0) : RegulaFalsi ; »p r o c (a I , bl , N, EPSY) lo c a l a , b , f a , f b , fc , d c ,c , k , ko nv ; R6

a ; _al ;b ; mbl:konv : _~N I CH T M :

printf( "\nNu llste llensuche im Intervall [ a , b l- [ %f, %fl \ n " , a , b ) ; printf( "N m'd EPSY -'8 . 5g \n M,N ,EPSY) ; f Werte zeige f a : -f ( a ) : f b : - f (b ) : printf( M%3s %8 5 %85 %9s %9s aa s %9s \ n M, Mk M• Ma M, -e-. - re-. - re-. MCM, Mf c M) ; f or k fr om 0 t o N do c : - b - (b - a ) * f b/ ( f b - f a ) : fc : -f (c ) : p r i ntf ( M%3d %8 . 3 f %8. 3f %9 .3g %9 .3g %8. 3g %9 . 3g \ n M, k , a , b , f a , f b , c , f c ) : if (abs(f c) <- EPSY ) then ko nv ; m" " ; b reak end if : i f sign(fa) -sign(fc) then e r e c : fa: - fc : e lse b ; -c : fb ; -fc ; fi ; end d o : printf( MDie Nullstelle ist s -%g (Konvergenz%s e r re icht )\ n M,c , k o n v ) ; end: t Kon kretes Be is p ie l f ; -( x) ->l -l O*x *e xp( - x) *sin( x) ; t niChtlin . Gleich ung N: -6 :EPSY : -IE - 3 : • a :-O. O:b : -1. 0 : j f n t e r va I I [a ,b) mi t Nulls te l le RegulaFal si(a ,b,N ,EPS Y) ; •

a : - 2.0:b : - S. O: j I nt er v all Regu la Falsi(a ,b,N ,EPS Y) ; •

[ a , b ) mit Nu lls te lle

! := .f ..... I - IO x" I-
Nullstellensuche im Intervall [a , b)= [O .OOOOOO , 1 .000000] N=6 EPS¥=

0 .001

fo

k

a

b

fa

fb

o

0 .000

1. 0 0 0

1

~2 .1

0 .323

0 .258

1

0 .323

1. 000

0 .258

-2.1

0 .39 7

- 0 . 032 6

2

0 .32 3

0 .397

0 .258

- 0. 0 3 2 6

0 .389

0.00086

Die Nu11ste11e ist : s zO .388814

(Konvergenz

erreicht)

699

Nullstel lensuche 1m Intervall [a ,b)-[2 .000000 , 5 .000000] 0 .001

N-6 EPSYk

a

b

fa

fb

0

fo

0

2 .000

5 .000

- 1. 4 6

1. 32

3 .57

1. 42

1

2 .000

3 .574

- 1. 4 6

1. 42

2 .8

0 .426

2

2 .000

2 .798

- 1. 4 6

0 . 426

2 .62

0 .0 452

3

2 .000

2 .618

- 1. 4 6

0 .0 452

2 .6

0 .00336

4

2 .000

2 .599

- 1. 4 6

0 .00336

2 .6

0 .000239

Die Nullstelle ist : 5=2 .59812

er reichtl

(Konvergenz

Lineare Gleicb ungssysteme

18.11

Beispiel 13.3 auf Sette 598. Cholescy-verfahren.

Dale;, Maple /NumMethod!L inG1Sys!Beisp!bsp-cho lesky- l . mws > t CHOLESKY-Verfahren flir ein linea res Gleichungssystem

,. ,. ,.

restart :with(LinearAlgebra) : : ~ Matri x (( (2 , -0 .2 , 0 .2) ,[-0 .2 , I , 0 .4], [0 .2 , 0 .4 , 2 1 )) : I 'A - A, ' b ' - b ) ; b ae v e c t.o rtld , 2 , 6]) :

A

A= >

> > > > > > > > > > > > > > >

[

2

- O.20ll0

- U.20()(J

I

0.2(00

> >

> > > > > > > > > >

2

f Aufstellen der Dreiecksmatrix L

DIM: ~Row D i m e n s i o n (A) : L : a Ma t r i x IDIM , DIM I • U: aMatri x DIM,DIM : fo r i from 1 to DI M do f SChleife ueber Zeilen f Bestimmung der Ausser-Diagonal -Elemente in der Zeile i for j f rom 1 to i -I do summe : - 0 . : for k from 1 to j -l do summe : - summe + L [i ,k ] L(j , k ] end do : L[i ,j] : a (A[i ,j] - summe)/L[j ,j ] : end do : f Bestimmung des Diagonalelements L[i ,i] summe : ~ 0 . : for k from 1 to i -I do summe : - summe + L[i,k ]A2 end do : L[i ,i) :- sql't((A (Li] - summe)) : end do : 'L ' -L;

L e=

> >

0 .4000

O.21100 0.4000

1...\ 142

[

- 0 , 14 14 O.14t4

on ]

0 ,911'}9 () 0.4 243 1.3416 [LT] {xl -(y}

f Loesung von [ L ] {y l - { b } und y : - v e c t or (DIM) : x : - Ye c t o l' (DHl) : f Bestimmung des Vektors !y} for i from 1 to DIM do f Schleife ueber summe : - 0. : for k f rom 1 to i -I do summe : - summe + y[ij :- (b!il - su mme)/L[Li j : end do: f Bestimmung des Vektors {x l for i from DIM to 1 by - 1 do f Schleife summe : - 0 . : for k f rom i+l to DI M do summe : - summe x[i) : - (y [il - summel/L[i ,i l : end do : 'y ' ·y , ' x' - x;

Zeilen L [i ,k]

• y[k] : end do :

uebel' Zeilen + L[k ,i ] • x l k ] : end do :

18.11 Lincure Glcichungssystcmc

y=

2.8284 1.88215 ] 2.4244 ] , .1"= [ 1.360 [ 304073 2.,5397

Heispiel 13.4 auf Seite 601 . Gaus s-Seidel-Iteration.

Da'e;, Map1e /NumM.. t hod I Li nGl Sys 16.. i s p/ bs p - se ide 1- 1 , mws

> > >

>

>

> >

> > >

> > > >

> > >

f Gauss - Seidel -Iteratio n restart : wi t h ( Li n e a r Al g e b r al : A : - Matri x ( [[2 , - 0 , 2 , 0 ,2 1, [- 0 , 2 , 1 , 0 ,41, [ 0 , 2 , 0 . 4 , b :-vector l j4 , 2 6J ) : f r ecn t.e se r t. e x: - Ve c t o r 0 tO ,b l 1 : Sta r t ve kto r NITER : ~4 : Anzan l der Iterationen ( ' A' ~ A , ' b ' ~b , ' x_ O' - x ) ;

*

f G1eichungssy5te m 50 normalisieren , dass A[i ,i J - l wird DI M: ~ RowD i me n s i o n (A) : for i from 1 to DI M do ad iag : ~ A[ i,i ] ; fo r j from I to DI M do A[ i , j ] : ~ A[i ,j ] /adiag ; end do : b[ i] : - b [ i ] / a d i a g ; end do : ' A ' ~ A,

' b ' ~b;

I

A = [ - U.2000 O. HXIO >

> >

> >

> >

- U. IOOO I O.2lX)()

f Aufst ell en der un tere n Dr e i e c k s ma t r i x L

L :~Mat r i x (DIM , DI M ) :

f or i from 1 to DI M do fo r j f r o m 1 to i -I do L[ i , j] : - A{ i , j ] ; end d o e nd do : 'L ' ~L ;

o

L = [ - O.20()(1

nmn

> >

>

> >

>

>

0.2000

U : ~Matri x (D IM ,DI M ) :

fo r i f r o m 1 to DI M do f or j fr om i+1 to DI M do U[ i , j ] : ~ A[i , j ] ; end d o end do : 'U ' ~U ;

o ()

> > >

>

o o

t Au fste ll en o be re Dr eieC ksma t r i x U

- 0. rooc

> > > > > >

arn .

f Gauss -Seidel -Ite ratio n (1 , , DI M, 1 . , NI TER) : f for m from to NI TER- l do for j from I to DI M do

X : ~M a t r ix

°

0. 1000 ] 0.4000 ()

fur Zwichenspeicher un g

x [ j] : ~ b[ j l - a dd( A [ j ,k ]*x [k ] ,k -l. , j - ll ;

x [ j] : · x [ j] - add (A [ j , k ] * x [ k] , k - j +l. . DI M) ; X t j , m+l] : - x [ j l ; end do : end d o : pr int t seqt' x " [ k] ~ X[l .. -1 , k J , k -l , ,NI TER » :

jI

Iterat ionsergebnisse

XI=[ 2.53% : : ~ ~2~ ] ' X2 = [ 2.5397 : : ~~2~ ] , .t) = [ 2.5397 ::~~2~ ] ' X4 = [ 2.5397 : :~~~~ ] >

x_ ex ak t : - Li n e a r S o l v e{ A, b } ;

t Exa kte Losung des Gleichungssystems

.(j.m kl :=

1.8821 ] 1.3605 [ 2.5397

70 1

702

III Mathematik mit Maple

18.12

Ditferentialgleichungen

Beispiel 14.1 a uf Seite 606. Lb ,m llg

\'(1/1

Kuna.

DGLII

t, Ordnung

Ill/ell Euler. Heun

uud Rung e-

Date;, Mapl e / NumMe t hod/ OGLI Be i s p / b- 0 1- komp1et t • mwS

". > ". ". > > >

* * *

r e s t art ; pathname : - ~ . \ \ ~ : wi th (S tringTools ) : wi th (p l o t s ) f ; - ( x ,y )-"' x -l +y ; r ec nt e sei te der OGL y '-f( x ,yl a ; -0 .0 :b : -3 .0 :N : -S : Integrationsintervall [a ,bl und Anzahl der Schritte x I IO: - a : y I I O: - l. : Anfangsbedingung y ( xO) -yO h :"evalf « (b-a )!N ) : ( ' a ' - a , ' b ' - b , ' x [ OI ' -x I IO. ' y [ Oj ' - y I IO, ' h' - h ); we cte zeigen

*

Wa rn i n g , the a ssi g n ed n a me Grou p n o w h as a global bi n d ing Warn i n g , the na me cha n g e coords h a s been re de f ined f: = (x.y } ---> x - I + y
". ". > > > > >

>

0 ,0000. h "" 3.(lOOO. Xo = 0 ,0000. yo "" 1.01100 . II '" 0 ,61100

J Exa kte Losung de r DGL dgl : -[diff (y (x ) , x ) -f {x ,y (x)) ,y ( x I IO) -y IIO I : y_e x : -op (2 ,dsolve(dgl ,y{ x })) ; for i from 0 to N do print ( ' i ' - i , 'x' [ i I - x I I i , ' y ' [e xl e e ve Lf (s u b s (x-a+i *h , y_e x) ) ) ; x l l ( i +l ) : - x l l i +h : end d o : seq...e xa kt : <s e q ( [x I I i, e v a Lf (subs ( x" a +i . h , y_e x ) ll , i-O . . N} : .1'~e.t : =

i=

II• .\ 0

- x + r'

= O,(XII)O•.}',~ = J.()()()()

i = 1, XI = O,6(lIlO, YIX = 1.2221

i ",,2. .t~

"" 1 _ 2000. )'.~ = 2 .1201

i = 3• .t .l

""

i

J .l!()(lO• .1'", =

~ . 2·l'}6

=4. _,+= 2,41IlX). YIX =8.6232

i = 5. X~ = J. lXXlO. -",~ = 17.0855

>

> > >

>

>

>

>

>

>

J Standard -Euler -Verfahren K: -f ( xI IO,yIIO ) : p rint ( ' i ' -O , ' x ' [ OI - x I IO, ' y ' [ Oj - y I IO, ' f ' - K} ; for i from 1 to N do x l l i : -x l l( i - l)+h ; yl li : -y l l ( i - I) + h oK; K: -f ( x l li , y l li) ; print ( ' i ' -i , ' x ' [ i l - x l l ( i }, ' y' [ i j - y l l i ' f ' - K) ; end do : seq...eu ler_std : -seq ([ x l li ,Y l lij , i -O .. N) : j Sequenz der Wertepaare (x , y )

i = O. .to ""O.()()()(). YlJ = I .()()()(l . f = O.()()()()

f 2. X~ = 1.201lO. n = I.Jfl()(). f 3• .t3 "" 1.81)()(J , Y.~ "" 2.2l)6(). f 4• .I~ = 2.40(;0. Y+ = 4.1536. f 5• .Is = J.t)(XlO. Y.\ "" 7.4858. f

i = I.

i= i= i=

i=

Xl

= 1I.6lI00 , YI = I .OIX)(),

= O.6(XXl = 1.5(>(Xl

"" 3.11')60 = 5.55.,6 = <J .4858

> > >

>

>

> >

>

>

> > > >

>

f Beun - ve r r ah r en (Ve cbes s er t e s Eu Le r r-Ve r f ah r e n} ' y* 'I 10 : - y l l O: Kl l l ; - f ( x I I O, y lI O) : KI 12 : -f Ixl l 0 , ' y* ' 1 10 ):

p cint ( ' i ' -O , ' x ' I OI - x I I O, ' y *' -' y.'II O, ' K' - K I 11 ) ; f o r i fcom 1 to 1'1 do x l li : - x l l (i - 1 )+h ; ' y ·'l l i: - y l l ( i - 1 ) +h *KI 11; KI1 2 : -f ( x l li , ' y*' l l i ); y l li : -y l l (i - 1 ) +h ! 2 *(K I 11+KI 12) ; Kl l l : -f (x l l i , y l l i) ; pcint ( 'i ' -i , ' x' [ i J - x l l i, ' y . ' -' y *'ll i, ' K' - KI 11 ); e nd d o : seq...heun : - s e q ( [x I I i, y I Ii J , i "'O . . 1'1 ) :

' K. ' - KI 12 ,

' y' I OI - yII O,

' K. ' - KI 12,

' y' [ i ) - y l l i,

i = 0 , .1'(1 = O.(KK)O. y* = 1.()(xK). K * = O.lKKKl . y(I = 1.(K KK). K = O.(KKXl

i = I. X I = 0 .6000 . y* = I.OIXIO. K* = O.f>lXIO. Y I = 1. 1l!11O. K = O.7l!OO i = 2. Xl = 1.2011O. y* = 1.fH!«). K * = l .ll4110 . y~ = 1.961\4. K = 2. loll4

; = 3..q = 1.l!(XKl. y* = 3.2094. K * = 4.(1694. n = 3.1139ll. K = 4.039 11 ; = -f,

X~

= 2.4000 . .1'* = 6.6236. K * = 8.0236 . y~ = 7.6388. K = 9,03 88

i = 5. Xs = 3.lX KK). y . = 13.00 20 . K . = 15.(1620 . Ys = 14,ll690 . K = 16.ll690 > >

> >

> >

> > > >

>

> >

>

Runge - Kutta -Verfah r en print ( 'i ' -O , ' x' [OJ - xIIO , ' K' [ 1) "'0 . , ' K' [ 2J - 0 . , ' y' rO] - y ll a ) ; for i fr om 1 to 1'1 do xl l i : -xll ( i - 1) +h ; Kl : -f ( xl l ( i -1 ) , yll (i-1 } ) ; K2 :·f ( x l l ( i- 1) +h ! 2 , yll ( i - 1 l +h l2 .K l ) ; K3 : - f(xll (i -1)+h !2 , yll l i - 1l+ h ! 2 .K2 ) ; K4 : -f ( xl l ( i - 1) +h , y l l (i - 1 )+h .K 3 l ; yl l i : ·y l l ( i - 1) +h ! 6* ( K1+2* K2 +2 *K3 +K4) ; p rint ( 'i ' - i , ' x' [i) - xlli , ' K' ui - x i . ' K' [ 2 J - K2, ' y' [ i ] - Yl l i ) ; end d o : se
i = 0 ..r" = O.lKXIO. KI = O.OIKXl.

K~

= O.OIXIO. K.1 = O.cXKXl.

' K' [3J- 0 . ,

' K' [4] "' 0 . ,

' K' [ 3) - K3 ,

' K' [4] -K4 ,

K~

= O.OIXKl. yo = IJKKIO

i = I. .<1 = O.6(K IO. KI = O.OIKIO. K~ = 0.3(KK). K.1 = 0.3900 . K~ = 0.8340 . YI = 1.2214

i = 2• .l2 = 1.20llO. KI = 0. 82 14. K2 = 1.3678. K.1 ;- 1.5317 .

K~

;- 2.3404. n = 2.1175

i = 3..<.1 = l .ll(KK). KI = 2.3 175. K~ = 3.3 127. K1 = 3,61 13. K~ = 5.0M3. Y.1 = 4 ,2425

i = 4 . x~ = 2.4WO, K1 = 5,0425 . Kl = 6.8552. K.l = 7.3991.

i = 5. .•s = 3,OIKIO. KI = IO.lX l5ll. >

> > >

>

>

>

> > > > >

> > > >

K~

K~

= 1O.0819. .l'~ = 8.6058

= 13.3075. K1 = 14 .2911 I. K~ = 19 .1ll46 . YS = 17.0460

f Nul' a usfti hren , we n n Bi 1d a1 s Postscr ipt i n Date i gespei che r t we r d e n so l I fil ename : - J oin ( [pat h name , ~ p l o t. e p s" ], no ): p lo tse t up (ps ,plo t outp ut -f i lena me , plotoptio ns - ' width - 10cm, he ight -8 cm,po r t ra i t ,noborder ' } :

pI_sol : - { [ s e q...e u l e r _ s t d J , [ s e
''''

III Mathematik mit Maple

18.13

Fourier-Reihen

Ueispi el 15. t a uf Selte 6 18. Fourier-Reihe.

Dalei , Ma p l el • f fourie r I lle i s p / b s p - fo u . i e r- r e i he - 10 . mot S ;>

r e start. :

;>

f : "'p i e c e wi s e (x <- O,

0,

)(>-0 , sin(x)) ;

t» i

L : "'Pi ;

2L i st d ie Per iod..

L := ;> ;>

x $:()

{~in{X)

o "::; .t

}f

N: -6 : NMAX: '"SO:

i An z a hl del' rou r re e -c re r n e I n t ( ' f ' , x ) - i nt ( f , x ) ;

j f J -t = {O- co, (x)

;>

(min-max}

.( ::; 0

0 < .r l n t ( ' f ' e c o s (o *P i *x / L) , xj e f nt; (f *c o s ( n . .. i . ;.;/L ) , x );

J

f cos(ll x) dx =

{~ ! (;0' ((11+ l )x ) +! (;0' ((11 -

x :5 0 I)x )

2 ,,+ I 2 "I (,,+ 1) (11 l o t t ' f ' <s i.n (o · pi *x/ L) , xl -iot (f'sin (o *Pi* ,, / L) , x l ;

J

> > > >

{1

sin((n- I) x) _! , in(t" + [l x) 2 "I 2 I a : - unapply(l / L. in t( f oc o s(n .P i *x ! L) , x- - L. . L) , 0) ; f sin(n,t )J .t =

,, +

I)

u<x

x ::; o 00

a (O ) : - l i mit (a (n j , n - Oj /2 seq (a [mj -li mi t (a (nj , m- l .. N) ; a t : -seq ( l im it (a (n ) , n - m} , m-l .. NMAX) :

n. ml ,

l + cos(lI:n) a :=" ..... - 11: (,,2 I } a(O}:=

2

" I = 0. (12 = - 3 11: ' > > >

(I .,

=

2

n, " 4 = - fu ' ".\

) . ~11

b, = >

I

2' b2 =

2

= 0, (I~ = - 3SIi:

b : - una p pl y(l / Loi n t(f *s i n{n * P i_ x / L) ,x _ _ L "L ) , s e q (b (m] -li mi t (b (n) , n - m) , m- l .. N) ; b t : - s e q ( l i mit (b (n j, n -m} , m- l. .NMAX) :

1 '-

>

I

1i n) ;

sill(lI:n} 1)

- 11: (,,2

0, h I = 0. 1>4 = 0 , bs = 0,

h~

=0

f : - a (O ) +a d d l at(nl * co s (n *Pi * x/L ) +b t [ n ] , s i n (n ' P i * x / L}1 n - l .. N) ; fg : - a (D) +add (a t ( n I - c o s In _P i _x / L ) +b t [n] _sin (n oP i *x / L , n -l .. NMA X) :

t: » --'- +! sin (x ) _

~ cus(2x ) _ ~ c"s (4 ,t ) _ 2 cus(6x) Ii: 2 3 II: IS n: 35 II: t p lo t ((f , g] , x - - 4 op i . . 4*P i) ; t be i Bedarf ak t i v ier en

Ueispi el 15.2 auf Se lte 619. Fourier -Reihe.

IJalc;; Map le l . I fo u r i e r IBeisp / bsp - f ourier -reihe - l l . mots > r estar t : > f : - x +P i ; - P i <- x <- Pi

!: = X+ II: >

L : -P i ;

t 2L i st d i e Pe r i o d e L := II:

> >

*

N: "6 : NMAX: - SO: Anzahl del' rcur i e r -cr e rne (min - max) ln t ( f, x ) -int( f, x ) ;

I ,

j x+ lf dx = 2" :r+ lf.l >

Int (f ~cos(n *Pi * x/L ) , x ) -int (f *cos (n ~Pi , x/L ) , x ) ;

j (X+ lf ) C\" (II X) dX= ~

'='C'"(':'·:'c':+;:'='"C(:"C""'C"C.'...':"", + If 'm(tI . ""~ x)

>

11

"

Int (f ~sin(n *Pi * x/L ) , x) -int (f ~sin (n ~Pi ~ x/L ) , x ) ;

,i n(Il x) - co, (,t x) 1/ x ! (X+ lf) Sin{ll.t)dx = > >

>

>

Cl"(IlX}lf

11"

a :-unapply (l /L*int ( f* c o s( n * P i~x/ L ) , x - - L .. L) , a(O) : - limit(a(n ) , n -OI!2 ' seq (a [mj -limit(a(n ) , n " ml, m·l .. N) ; a t : -seq(limit(a(n) , n ·ml , m-l . . 50 ) : (/ := 11 .....

n) ;

hi n(It ' t} n

a{ll) :=

If

" I = 0. ''2 = 0 . " J = O. ,,~ = O. ,,~ = 0. ,,~ = () > >

>

b : ·unapply (l/L*int (f *sin (n ~Pi ~ x/L ) , x- - L .. L) , n ) ; seq (b [mj - l imit(b (n) , n -m) , m_ l .. N) ; bt : '"seq ( limit (b(n) , n '"ml , m-l . . 50 ) : h:=I1 .....

2 (- sinOr II) + COS{lf III 11 Jr)

,,,,

hi = 2. b2 = -I ,b.1 =

> >

101

I"I

2

- I

2

- I

3,b4 = T· h~ = 5' b~ = 3"

I"I'

f :
2

I

2

1

3

2

5

3

f := If + 2 sin{x) - sin(2.t }+ - , in(h) - - sin(4x ) + - sin(5.t) - - , in(6x) >

18,14

fplot ( [ f ,g j , x - -4 *Pi .. 4 *Pi} ; f be i Be d a r f ak t i.v Ie r e n

Parti elle DitTerenti aIgleichungen

lIeispiel 16.3 auf Sette 652. Seilschwingung.

Dolei: Mapl e IP a rtD i f fGI/Be i s p /bsp - se i I - 0 1- d y n - resp-map le . mws

>

r e s t a r t: wi t h ( St I"ingTools ) : wi th (pl o t s) : pa t h name

: "~

.\\":

Wa r n i ng , the a s signe d na me Grou p no w h as a g l o b a l b indi n g Wa rni n g , the na me chang ecoords h a s been r e d efi n ed > >

f_O : ..a 'sin (Pi ' x/L) ; v_O : .. O; f Anfangsbed . phi : - ( x , n ) ->sin (n *Pi *x/L) ; t Ei g e n form H

f _O:= n sin(T ) 1'_O:= () 11 If .f

r;J := (.t . II) ..... ' in( T

> >

)

H_integ ran d : - f_O *apply (phi , x ,n) ; K_integrand : "v_O *apply(phi , x ,n) ;

H, Sin . ( IIJrx . (T ' ,-itt/,'grumI := 1Jsm L ,

706

III Mathematik mit Maple

>

>

K_illl /'x mJ"I :;; 0 In t ( ' f~O ' . a p p l y (ph i , x, n) , x - O. . L) - i n t ( H_ i n t e gr a n d , x - O.. L) ; I n t ( 'v_U "app ly l p hl , x , n) , x -U .. L) -in t (K_integr a nd , x -U .. L) ;

,

J o

J/fr.x )

jO sin( - I.

,1.< = -

,

LB sin(fr.1J) ') fr. { l +n-

Jo .

I/fr. ·t ) ,Ix =O 1'_OSln I T

>

L : - 10 ; B: - 0 . 0 1 ; S : - l OOOO; A: - 0 . 0 0 1 ; rho : - 7 8 5 0 ;

L := 10 B :=

n.oroo

s := IOIXX)

A := O.(XIIO >

p := 7850 N: -5 : NMAX: - 2 0 : m: - r h o *A; omeg a _n : - n *P i / L*s q r t( S / m) ;

m := 7.8500 >

> > >

"m"/lIJ-'J := 3.5692 x n s e q( H( n j - 2 / L. i n t( H_ i n t egr an d , x - O.. L) , n -l .. N) ; H_ seq : « s e q ( 2 / Loi n t (H_ in t eg r and , x - O. . L) , n -l . . NMAX) : s e q( K[ nj - 2 / ( L*o me g a _ n } * in t ( K_ i n t e g r a nd ,x- 0 . . L) , n-l . . N}; K_ s eq : - s e q ( 2 / (L *omega_n ) oint ( K_i n t e g r a nd , x - O. . L) , n -l .. NMA X) : II I = 1l.O I01l. If! = O,W(X). H1 =

>

> > > > > > > >

u.oooo. III = O.lJO(XI. II~ ;; O,(XXIO

K I = () . K2 = (). K l = O. Kl = (). K~ = O tKontro l le d er Ric hti g keit der Koe f f izienten H un d K HI : -add (H_seq[n] *phi t x , n ) , n -l .. NMAX) : Kl : «a dd ( K_ seq [ n ] *ome g a _ n* p h i ( x , n ) , n '"'l .. NMAX) : p : »p Lot; ( [ HI ] , x - O• • L, labels - [ " " , "" l , vie w- [ 0 • • L, 0 • • O. 02) , labe ld irect ions - [HORI ZONTAL , VERTICALj , font - [HELVETI CA, OBLIQUE , 14] , label font - [ HELVETI CA, OBLIQUE , 14 J , color-blac k , seal in g -unconstrained , nump oi nt s -l 0 0 , thick ness -2 , t ic kmarks - f 6, 3] ) : d i s p l a y ( [p I ) ; y : - ( x ,t ) ->add(phi (x ,n)* (H_ s e q [ n ] *c o s (o me g a _ n *t ) +K_seq[n ] *s i n (o me g a _ n * t )) , n- l .. NMAX) : y(x , t ) ;

)

O.O IOOsin( ~ot cos (3.5692 fr.1 } > >

> > > > >

> > > > > > > > > > > > >

I'

p_seq : » s e q (p l o t (y (x , O. 05 *k) , x"' O. . L, l a b e l s - [ " t " , ~ y (x , t) " ] , view- Io .. L~ - L!1 000 . . L/IOOO labeldirect ions-jHORI ZONTAL ~ VERTICAL ] , fon t- HELVeTICA,OBLI QUE, 10 , l a b e lf o nt - {HELVE tCA ,OBLIQUt., 10] , color-blac k , scali ng- u nco ns t ra ined , numpoints -500 , thic k ness -2 , ti ck ma r k s - [ 4, 3 \ ) k - O.. 6 } : tl : - t ex t p l o t( { , b . OI OO, ' t - O. OO' ] ) : t2 : -te xtplot ( 15, 0 . 0 07 5, ' t - 0 . 0 5 t 3 : - te xt p l o t ( 5 ,0 .0050 , ' t - O. l O' ) : t4 : -te xtplot 7 , -0 .0018 , ' t - 0. 15 t5 : - t e xt plot ( 5 , - 0 . 00 5 5 , ' t - O. 20 ' ) : t6 : -te xtp lot( 7 , -0 .0095 , ' t - 0 . 2 S' ) : t7 :-te xtp lot ( {5 0. OOB5 , ' t - O. 30 ' J\ ' display (p_s eq,t 1, t 2 , t 3, t 4 , t 5, t 6, t ) ; p2 : -plot (y (0 .S *L ,t ) ,t -O .. 2 , labe ls - ( "t " , " y (L/2 , t) ~] , v iew-IO .. 2 1.- 0. 0 1 .. 0 .01/ , labeldirect ions -/HORlZONTAL VERTICAL] , font - HELVeTICA,OBLI QU , 10 ], l a b e l f o n t - {H LVETIC A,OB LI QUE, lO j , color -black , scaling-unconstrained , numpoints-SOO , thic kness -2 , t ic kmarks - !4 , 31 ) : t2 : -ee xe.plot ( {O. 0115 , 0 . 0 0 8 , ' x - L/ 2 ' J ) : display ( [p 2, t2 ] ) ;

(1

'I"

'I"

19

Ma thematik mit C++

19.1

Einflihr ung

c++ is! cine Programmiersprache ncucrcr Generation und hat cine weite Ver brei tung in JeT Ind ustrie gefunden. C++ ist international genor mt (A NSI/ISO C++ 1998). Dank d icscr Standard isicrung sind in C++ gesch riebc ne Programme portierbar, d.h. ein Ce-e-O uetlp rog rarnm Iassr sich ohne Ander ungcn auf'u nrerschiedlicher Computer-Hardware (PC , Workstation, Mainframe ) und unter verschicdcnen Betriebssystemcn (Windows, Lin ux. Unix) zum Lauren bringcn. C++ emhalt als Untcrmcngc den allergrOBtcn Tel l dcr wcit vcrb rcitc tcn Pr ogram mic rsprachc C (z.B. ist das populurc Bctricb ssystcm Linux im Wcscmlic hcn in C gcschricbcn). Aufgru nd ihres groBcn Sprach umfang s b on C++ in dic scm Buch nicht im Detail bchundclt worde n. lntcrcssicrtc Leser se ton ur ucr zahlrcichcn hcrvorrugcndcn BUcher ubcr C++ L B. auf [8J,[12J, sowic auf [14 J vcrwlcscn. C++ ist cine allge meine Programmi ersprachc (genera l purpose programming lang uuge) und hat insofe rn mit der Mathemat ik an sich wenig zu tun. Es existiert in C++ kc in Befchl. um z.B . ein lineares G leichu ngssystem zu loscn odcr cine Ma trix zu invcnicrcn. C++ unterschcidct sich also grund tcgcnd vom Mathcmatikprogramm Maple, welches in Abschnitt 18 beha ndc1t wird (Maple sclbst ist zum groac n Teil in C und C++ gcsc hricbcnt) . Alles was C++ dcrn Anw cndcr fur die Losung ei nes Prob lems ZUf Verfllgung stelu sind d ie folgende n prinzipiellen Moglicbkehen: Anwcisungen Variable n Fel der (urrays ) Ze iger (po ;mer ) Klassen (Obj cktor icutieru ng) Benutzc rdcfinicrtc Datentypcn Co nratncr (Listen. Vcktorcn)

Schle ifen Verzweigungen Funktioncn (Unterprogramm e ) Bedin gtc A usfuhrung von Anweisunge n Eingabe und Ausgabe von Daten Mathematische Gru ndfu nktionen Funkrionsbibibliothck fur verschicdcnc Zwcc ke (7o.B. Spcic hermanagemem etc.) Es sotne hcr vorgchobcn werden. dass es -von einfach cn Palle n abgcsc hen- kein c simple Aufgabe ist. ei n C++ -Prog ramm fur Ingenieuranwendungen zu schreiben (d iese Aussage gill aber auch fur jede andere Program mlcr sprache. wic z.B. visualbaslc. C#, Java. Pascal, Fortran). Mil C++ lassen sich mil vcrtrctharcm A ufwand nur solc hc Progra mme schreibe n. die IIIllIIe rische Losungen licfcrn (im Gcgcnsatz zu symbolischen Losungcn ). Eine numerische Losu ng bestch t ein fach aus einer belieb igen Menge von Za hlen {im cin fuchstcn Fall cine ein zigc Zahl)

701l

19 Mathematik mit C++

und gi lt nur fur de n untersuchten Fall. Eine symbo lische Lo sung hingegcn bcstelu aus mathcmatischcn Symbolc n und ist allgemein gultig. Ein Cs-s-Progrun un . das vom Mcnsc hcn gclcs cn worden kan n, wird Quellprogromm (odo r Que/lcode) gcnar mt. Auf dcr CD sind aile Programme sowoh l als ausfllhrbarcs Progr am m (Duteicn dung . e x e ) als auch im Qu cllcod c (Date iendung . c p p ) cruhaltcn. llei spid 19. 1: Die Losung dcr quadrat ischcn Gleichung llX

2

+ bx+ c = 0

lautet bekan ntlich: - b ± vb!

4{/ c

20 Die obige Losung ist ci ne symbolische Losung, wei! slc fur aile Werte von a, b und c gultig ist (Ausnahme: a = 0). Die sym boliscbe Losu ng Hisst sic h m it Hilfc von Maple mit eincrn c inzigen Befehl folgcn dcrmabcn bestimmen: >

so l ve

( a.x ~ 2 + b*x + c - O ,

xl ;

- b +~

'"

- b-~

'"

In C++ cxisuc n kein vergleichbarcr Bcfcbl. der die Losu ng sy mbolisch licfem kon ruc. Man kann j cdoc h die obigc Los ungsforrncl in C++ pro grummio rcn (soz usagcn cincn gan z cpczicllcn Taschcnrechn cr zur Losung von quad ratischcn G lcic hungcn schaffen] und fur bcl icbige Werte von a. b. c ein numerische... Rcsulun crziclc n. In nachfolgend en Absch nitte n werdcn Moglicbkeitcn aufgezeigt, wie man mit Hilfe von C++Program mcn Routineaufgaben dcr Ma them atik auf numcr ischcm Weg loscn konnte . Aile verg esrctltcn Program me sind auf dcr Bueh-C D cmhultcn. Anha nd des mu gclic fcrtcn Q uellcodcs (m it Datc icndung . cpp) kan n sich dcr Leser cincn Eindruck ubcr d ie Losungsstrarcgicn verschuffcn.

19.2

Der C++ Compiler

Fur die Obersctzung dcr cpp-Q ucllprogramme in laufflthigc e x e- Prog rammc cnthlllt d ie BuchCD auc h ctncn Cs -c-Co mpilc r, dcr als jreelra re unrcr GNU Gel/emf Publ ic Licellse ! kostcnlos crhnhlich ist. Dieser C++-Compiler ist dtc sog . ming w-Port ieru ng 2 dcr schr leistungsfahigcn GNU -Compiler gee und g++ auf der Windows-P lan fonn . GNU Genera l Pulllic Licen' e. ahgekijr/.l G PL. Die G PL gC'lalle l llie k"'lcnl" , e NUl/ ung. Wei lergalle, Weilerentwicklu ng und Mudili kalion cinc, unrcr G PL frcigcgebcnclI PrtlgTanllnc" und schreiht d ie O ITcnlcgung dc" QuctlcolIc" eines solchcn Pro grammes vor. Dic GP L wurde IW I von Rid w nJ Slullmmlllll,lIcm Grunder dcr Fff'l' So/MUff' f{mmJali,," (FSF). in" Leben gerufen. Unux lst das bekannteae Beis piel von G PL·S"nware. 2 Mi" g\\" i"l ci nc Ahkiir/ ung fUr Mi"i ",,,lj\l GNU fl,r Wi,,31 (h t tp : / /www .m ingw , 01:g ). Die GN U-C" mpi1er gl '(" und g ++ sind im Bctric bssystcm U/II(( Sl
19.3 Ablcitung cincr Funktion

709

Dcr Compi ler mingw enthltlt keinc Bcn urzerobc rflachc. d.h . lasst sich nur im Komm andozei lcumodus aufrufcn. Glu cklic hcrwcisc hat ein Softwareanbictcr 3 ci n Entw icklu ngswcrkzcug emwic kelt (DeI" C++) und mit dcm millx w-COlnpilcr nah tlos intcg ricrt . Das Progrumm Del'· C++ stcht ume r GPL und bcsitzt cine kmnfortuhlc grufixc hc Bcruu zerober fl achc mit Laufzcitfc hlcrsuchc (debl/xxiIl X) und cincn Tcxtcduor. Dev.Cs s arbcitet auf Proj cktbasis, d.h. aile Progranunmodulc werden in eine m Proj ekt zusamm engefasst und auto matisch von DCI'-C+ + verwa ltct. Nach de r Installation von Del'-C++ kann du rch Doppclklick der jeweiligcn Proj ektdatei (Duteie ndung . dev) die Bcn utzero berflachc von Dt'v-C++ gesta rtet werden.

19.3

Ableitung einer Funktion

Beispiel 6.23 a uf Sette 223 . Ableitung de r Funk tion e - x. Das mitgel iefene Programm abLe i t u n q . e x e flir d ie numerische Ab leitung ciner Funktion befindet sich im CO -Verzeichnis Datei: \c ++\prog rarr.rne/ a b l e i t u ng/ . Das Unterprogramm ab le i t u ng (do ub le x ] bcrcchncr die Ab lcitung dcr Funktio n. Ihr Quel leode lautet: double ableitung (double x) I I Berechnet die Ableitung von f Lxl an der Stel le x

I

double d x - le -5 ; r e t ur n ( f( K + d x ) - f( x} } I d x ;

Das Unrerprogramm abl eitung bcnotigt fur die Bcrcchnung dcr A bleitung der Funktion zwei Zahlenwerte: den Funktio nswert f an dcr Stelle .r und cin en wc itcren Funktion swert f an dcr Stelle x + dr. 1m Unt crpro gramm f (d o ub le x ) wird dcr Funktion swert an dcr als Para meter ubcrgebenen Stelle x berechner . double f (double x) II Berechnet den Fun kt ionswert f(x)

I

an der Stelle x

double fk t ; f kt - ( e xp (- x l ) ; I I vom Benutzer anzupassen return fkt ;

Die Eingabe und Au sgabe des Programm es ab l e i t u n g auf dem Bildsch irm lautet: Numeris che Ableitung ei ner Fun ktion Ab leltun9 lst gesucht an der Stel le x Dl-e Abl el-tung d f r s t - ,2. 7 18 2 7

»

-1

Program manp assung Flir die Ablcitung e iner bclic big cn anderen Funktion isr lcdig lic h folgcn dc Zcilc dic scs Untcrprogrurnmcs vom Anwe nder zu modifi eren : fk.t

»

(

exp( -x ) I ;

Ansonsten sind keinerlci Andc rungc n im Progra mm notwcnd ig. Sol1 z.B. die Funk tio n f (x) = x2 - e ' abge leitet worden . muss die se Zeile wie folgt lauten: f kt -

{ x e x - e xp tx

j

) ;

3 Bloodshed Software http : II I www. b l o o d s h e d . n e t

7 10

19 Mathematik mit C++

19.4

Newton-Verfa hren

Heispiel 6.29 auf Sette 234. Nulstellenbestinnnung /i;r die Funktion

.r! _ e

t

.

Dale;; \c+ +\ p r og r .. mme/newton/newton . "xe.

Die Eingabc und A usgabc des Progra mmes lautct: Nullstellenbestirrunung nach dem NEWTON -Verfahren I n t e r v a l l [ x l , x 2 ] , in d e m die Nulls tel le l i e g t xl - 0 x2 -

:

-1

Nul lstel le x - - 0 . 7 0 3 4 6 7

19.5

Lineu re Algebra

Das Programrn

DaIC;; \c++ \ p .og r ....Jne / lin.. lge br.. /li n.. l g .e xe

lost das Iineare Gleichungssyste m

Ax =b Optional ges ta ttet li na l g die Inverticrung eincr quadra tischen Matrix A . Ais Eingabc erwa rtct lina lg die Elcmcn tc der Matrix A und die dcr rcchtcn Sc itc b. Die rcc hte Scitc mu ss nicht unbcdin gt aus einem Spalt cnvcktor zu bcstchcn . so ndc m karin mehrere Spaltcnvcktorcn cnthaltc n. Die Eingabc dcr Matrix A und dcr rcchtcn Scitc b crfolgt bci dic sem Progra mm nicht tiber die Tastatur, sondcm tiber cin e ASCII -Datei. die mil jcdcm bclicbigcn Textcditor crstcllt worden kann (ohne Textfcrmatieru nglj. Auf der Buch-CD sind drei Beispiele enthalten. Oft ist es fur Dokurnentatlo nszwecke wunsc henswe rt. die Ausgabe des Programmes nicht auf dc m Bildschirm zu crhalten . sondern in ein cr Datci zu spcic hern. Dies lasst sich mit dem Programm li nal g . e xe problcmtos erreic hen. indent die Ausgabc in e ine Datci umgelentt wird. Das Programm wird fllr diescn Zw ec k cinfach wie folgt aufgerufcn : l ina lg > dateinume Der Parameter dateiname ist dcr Name der Datei. welchc das Bcrcchn ungsergehn is eruhaltc n soil und wird vom A nwende r bclicbig gewahlt. Falls duteiname Lccrraumc tblankss hat, muss sic in Ga nscfu gchc n ci ngcsc hloss cn werd en, L B. : li n al g > a usgabe .txt odor li n al g > " a u s g a be d a t e i I . t xt " IJeispiel 19.2: Bei der Losung des linca ren G feichungssystem s Ax = b mit der Bcis pictd atei bsp - l . dat lautet die Ein- und Ausgabc des Programm a wie folgt: Lineares Gleichungssystem & Matri xinvertierung Welche Berechnung sol len Sie durchfuehren ? Li nee r e s Gleichungssystem (A] l xlelb l Matri x lnvertierung Ende lhre Eingabe

1

1 2 0

19.5 Linc ar c A lgebra

Na me der Eingabedatei Matri x A 1 .0000e+000 4 .0000e +000 2 . 0000",+000

7 1I

bsp-l .dat

2 .0000e+000 5 .0000e+000 6 .0000e+00 0

3 .0000e+000 6. 0 0 0 0e + 0 0 0 8 .0000",+000

Pechte Seite [b l : 1 . 0 0 0 0e +0 0 0

O.OOOOe+OOO O.OOOOe+OOO

Loesungs vekto r 6 .6667e -001 - 3 . 3 3 3 3e +0 0 0 2 .3333",+000

[ xl :

Betsplel 19.3: Die lnverticrung der Matrix A des Beispiel» 19.2 licfert: Wel c h e Be r e c h n u n g so11en 5 ie durchfuehren? Li nee r e s Gl eic h u n gssys t em (Al [ x l -f b I Matr i x Invertierung Ende Ih re Einga be : 2 Na me der Eingabedat ei

- 1 - 2 - 0

bsp~ l .dat

Matri x A 1 .0000e+000 4 . 0 0 0 0",+0 0 0 2 .0000e+000

2 .0000 e+000 5 .0000e+00 0 6 .0000e+000

3 .0000e+000 6 .0 000 e+000 8 .0000e+000

Inve rs e Matri x 6 .6667e -001 - 3 . 3 3 3 3e +0 0 0 2 .3333e+000 -

v on A : 3 .3333e-00 1 3 .3333e-001 3 . 3 33 3e - 0 0 1

- 5 . 0 0 0 0e- 0 0 1 1 . 0 0 0 0e +0 0 0 -5 .0000e -001

Fur aile Be ispielc im Programm verzeichnis sind auch die enrsprcchcndcn Dateicn vorhandcn.

7 12

19 Mathematik mit C++

19.6

Integralrechnung

,

, IJeispiel 8.18 auf Se ite 353. Berechnung des integrals I = f e - x- d r miuets GaujJ-Quadral/lr.

o

Dalei: \c+ +\p rog ramrne! i nt eg rat ion!'lauaa . exe .

Numer isc he Integra t ion nach Ga uss-Quadrat ur I n t e g r at io n s i nt e r val l [ a , b] : a = 0 b = 1 Anzahl de r Stuetzs tel len (1 . _ . 5) Integral = 0 . 77 8 8 0 1

: 1

Ocr Einflut; del' Anzahl von Stu tzsrellen auf des Intcgratlon scrgebnis ist wic fol gt:

An zahl de r Stuetzs t e ll en (1 . _ . 5) Integral = 0 . 746 59 5

2

Anz ah 1 der Stuetzs t el l en I n t e g r a l = 0 .7 4 68 15

(1. _ .

5)

3

Anz ah l d er Stuetzs t el l en I n t e g r a l = 0 . 746824

(1. _ .

5)

4

Anza hl de r Stuetzs t e l l en Integral = 0 .7 4 6 8 2 4

(1. _ .

5)

5

19.7

Ftntte-Elemente-Met hode - FEM

Die Finite-Elcrnentc-Methodc ( FEM) isr eine Computer gestut zte Bercchnungsmcth ode fur die Losung von Aufgaben del' Mathemat ik und Physik . 1m Bauingen ieurwesen und im Maschin enbau hat sich d ie FEM zu cincm uncntbc hrlichcn Werkzeug des Ingenieurs cntwic kelt. Das wichtigstc Ein sat zgcbict fur die FEM im lngcnic urwescn ist die Strukturmec hanik, d.h. die Bcur tcilun g del' Trag flthigkcit und dcr Lcbcnsdau cr von Tragw erkcn und Bauteilcn . Abcr auch in undcrcn wichtigcn Gcbictcn dcr Physik, L B. Stromu ngsmccha nik. Elckt roma gncusmus. Fcldproblcmc. ist die FEM em uuucro rdcnutch lcistu ngsfllhiges und cxtrcm wichtiges Bcrcchnungvverfuhrcn. Es tasst sich nlcht messerscharf angeben . wann und von wem gena u die FEM erfunde n wurde. Zahl reiehe Wissensehaftler haben schon fruhzeitlg wichtige Bei trt tgc zur Entwickh mg del' Me thode geleistct. In del' FEM -Faeh welt worden im allge me inen die folgend en Meile nstcine in del' Geschichte del' FEM als zut reffend angcschen :

1908 : Rit: veroffemlicht die nuch ihm benannte Methode mit Ansatzfunktionen libel' dem gcsumren LOsungsgeb iet.

o

o

1943 : CO/lrtml 16st auf numcr ischem Wege die S t Ve n a n t~Tors i on . indent er das Losungsgcbie r in Drcicckc urucrtcilt und in jcdcm Drcicck lntcrpolutio nspoly nc mc verw cnd ct. 1956 : Tumer/Ctough/Manin/Iopp sctzcn cbcnc Drciccksclcrnent e fur die Bcrcchnung von Flugzeugstrukturcn cin . 1960 : Cloug h vcrwc ndet zurn crstc n Mal die Bczeichnung Finite -Element-Method fur die neue Bcrech nungsmethcde.

19.7 Finue-Elemcn re-Methodc - FEM

a: FE-Netz

7 13

b: Sp unn ung cn a m

verformtcn Slab Bill! 19. 1: Flachsrab m it Lo c h

unter Zugkraft (Vierte l-Mode ll)

Die Grundidcc dcr FEM ist die Untcrtcilung dcr zu untersuchcndcn Stru ktur (Tragwc rk, Bauteil, Strom ungstcld uxw.) in finite (d.h. endlichev Elcmcnte . Dunn wird mit Hilfc cines geeig neten Mechanikprinzips. z.B. Minimicrung des Gcsamtpo tentials des Tragwerkes, cln Glcfchungssysrem erzeugr, deren Losung die unbekannten Knorcn-Verschiebungen des FE-Netzes liefert. Schlie jllich werde n aus de n Knotenverschiebungcn die Spannungen und Schnlug roseu bcrechnct. Die FEM macht Inrenslven Gcbrauch von folgendcn mathematischen Teilgebieten: Matrixrcchnung Eigen wcrtc und Eigenvektorcn numerische Losung von linearen und nichtlincarcn Glcich ungssystcmcn numerische Differentiation numerische Integratio n DifTerentialgleichungcn Ueispi eI 19.4: In Bild 19.1a ist der Elem enrncrz cines Plachstabs mil cincm krcisformigcn Loc h dargesrctn (nur ein Viertel des Plachstabs gezcigt). Dcr Stab wird in seiner Langsrichtung durch cine Zugkran bclas ter (nicht dargestellt ). FUr die Berechnun g dcr Verformungcn und Spannungen des Zugstabs wurde das kommc rziclle FEM-Programtn A di"d~ . Bild 19.1 b zeigt die vo n-Miscs- Vergleichsspannungen am verformten Stab.

4 ADINA - Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis. ADINA R&D Inc.

714

19 Mathematik mit C++

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1

SUCU SS

Bifd 19.2: Hauptmenii von Sanfex

19.7. 1

Des

F E M-I'ro~ramm

San/ex

Die S uch -CD eruhalt des vom Verfasse r entwickelte FEM -Programm Saofex. we lches fur Lehrzwecke und als Ei nsticg in die FEM gut geeignet ist. Sa nfex leh nt sich in der Befehl ssynlax an das weitverbre itete kommerzielle FEM -Progr am m AIl.l'Y.I', so dass hier -nicht zuletzt uus PlalzgrUndenauf cine aus filhrlichc Benutzeranleitung verztchtet wird. San fex ist in der Lagc. folgc ndc Aufgaben aus der Strukturmechanik zu ldscn:

.. Statisc hc Berechnung von Fachwerken Rahmentragwerken Pla tten in der xy-Ebene Einzelfc de m Eigenfreq uenzen und Eige nschwi ngun gsfonnen Dynami sche Bercchnung vo n Stabtragwcr ken m il Hilfe der moda len Analyse .. Bercchnu ng dcr Knicklasten und Knickfigurc n von Rahmcmragwer ken Auf der CD hcfindc n sich im Untcr verzcichnis Be isp ie le zah lrcic hc Eingubcd utcic n. Sa nfex stellt dc r nanwendcr cine kornforta blc Bcn utzcrobcrflachc zur Vcrfugu ng. Die Bcfchle kon ncn zwar auc h intcraktiv di rck t yon dcr Taslatur ci ngegcbcn worde n. Mcist cns isl cs j cd och bcsscr, mit cincm Tcxtcdi tor cine Eingabcdarci (Datcicndung . da t ) Zll crstettc n. die da nn pcr Mausk lick yon Sa nfex eingelesen wird .

19.7 Finue-Elemcnre-Methodc - FEM

7 15

Kurzbeschreibung des Sanfex-Hauptmenus Anhand ciner Bildschirm-Hardcopy worden naehfolgend die wichtigstcn Bcdicn ungsclcmc nte von Sanfcx crlautcrt (Bild 19.2). Read Data File. Sanfex offnct ein ncucs Fenster, in dcm cine Eingabcdat ci mit der Maus ausgcwahlt worden kann. Die Eingubcdatei bcsitzt die Endung . dat und cmhalt aile Befchlc. die zur Modcllbcschreibung notig sind. Run, Starter den FEM-Kern. Der Kern erzeugt die Elemcmsteifigkeitsmatrizen, die Gesamtsteifigkeitsmatrix und. sofern notwendig, die korrespondierenden Matrizen fur die Massenma trix sowic die gec metrische Steifigkeltsmatrix. Reset. Loscht aile Daten aus dem Sanfcx-Spcichcr, d.h. initialisien Sanfex. Plot Mesh . Plottet das FE-Eleme nlnetz. Edit Data Fi le. Sanfcx lasst den Anwender cine dat -Datei wahlcn und offnct dann dicsc Datci mit dcm Tcxtcditor notepad . e xe. Durch Anpassung dcr Konfiguratio nsdatei _sanfex . ini ist aber die Verwendung cines anderen Texteditors aueh ruoglicb. User Cmd. Dcr Anwender kann Sanfc x-Bcfehle tiber die Taxtatur cingcbcn. Cmd List. Lister aile Sanfex-Befehle auf. Diese Bcfchle sind dem FEM-Programm Ansys naehemp funden. Select Postfile. Der Anwcnde r kann cine Modclldutci (Datciendung . dbm) wahlcn , die von Sa nfex angelegt wurde. Die Model1dalei ist einc Blnardatei und enrhnlt aile Daten tiber das FEM-Modell. Diescr Bcfehl wdhlt zwar die Detci. liest sie aber noch nieht ein. Retrieve Postdata. Dicscr Bcfchl licst aile Dalen aus dcr Postprozcssordutci, die im vorhcrigcn Sch ritt gcwchlt wurde (die Datci mit dcr Endung . d bm undofalls vorhandcn, noeh zusmzlieh die korrcspo ndierende Datei mit der Endung . dbv). Nach Ausftihrung dieses Bcfchls Iiegen alle Informattcncn tiber die Verformungen. Spannungen und Schniugrobcn des Tragwerks im Sa nfex-Speicher. Plot Window. b ffnel dux Plotfenstcr, wo der Anwender das unverforrntc und verformte FEModell ploucn karin. Select Outfile. Der Anwender kann die Ergebnisdatei eines Sanfex-Laufes wnhten (Dateiendung . out ) wahlcn. Die Ergebnisdatei ist eine Textdatei und enthlllt cin Echo der Eingabedaten fur Kontrollzwccke und die Ergebnisse der Sanfex-Bercehnung. Diescr Befehl wahlt zwar die Datci, licst sic aber noc h nicht ein. Edit Outfile. biTnet die Ergebnisdatei. die im vorhergehenden Sehritt gewahlr wurde mil dem Tcxteditor.

Saw Mod el. Diescr Befchl spcichcrt aile Modclldatcn. die sich im Sanfcx-Spcichcr betindcn. in eincr da t -Datci aboDicser Bcfehl ist nur da nn intcrcssant. wenn die Modclldatcn tiber die Tastatur cingcgcbcn wurdcn und nicht vcrloren gchcn sottcn,

716

19 Mathcmatik mit C++

-

..- I -" I

~

t· _ _

-.- -

1

... , ..

.-

__.._---

i ....... I ~

,-," '. ,- ,.-

t 'I

''1'" "\"+

l··l..

·i

L.L.! - . .l

In.! ..

j I

...•...

y....•

........

• Bild 19.3: Vcrformtc Struktur

Anhang

A

Ausgewlihlte Formeln und Beziehungen

In die sem Abschn itt sind baufig bcnotigtc Beziehungen und Fnnnein zu verschtedc ncn Thcmengcbietcn des Buches zusam menges tcllt.

A.I

Trigonometrische Funktionen

1.

sin x =sin (x + 2/llC)

2.

cosx = cos (x + 2ntt )

3.

tan x = tan (x + I11t)

4.

cot x = cot (x+ IlJr)

5.

sin

(x + ~)

= cosr

7.

cos (x +i) =-sinx tan(x+i) =-COLt

8.

cot (x + ~) = - tanx

9.

sin (x+ Jr) = - sin x

10.

cos (x+ lt") = - cos .\"

11.

tan (x+ x) = tanx

12.

cot (X+ lC}= COI X

13.

sin ( - x) = - sin.r

14.

cos (- x) = cosx

15.

Ian (- x) = - Ian x

16.

cot (- x) = - cot x

17.

sin 21: = 2 sin x cosr

IS.

cos 2x = cos- X

6.

19. 20.

-

sin2 .r

n = 0, ± I , ± 2. ± 3, · · ·

720

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

,

I

21.

cos-a = '2 ( I + cos 21:)

22.

· , .r ='2I ( I sm-'2

23.

cos 2 ~ = '2 ( I -l- cos .r]

24.

sin (x ±.v) = sln.r cos y ± cosr siny

25.

cos (x±y) = cos .r cosy =f sinr sin y

26.

· . = 2 Sln ' X- +V SlnX+SlnV -' COS X- -I" -' , 2 2

27.

X -I" , I" = 2 cos X-+I" cos .r -l- Sin , 2- ' COS

28.

· - Sin . v = 2 cos -x +y SIn SIllX , 2- .

29.

. x +J cos x - cos ,\' = - 2 SIll - 2-

30,

sin X tan x = - cosx

31.

cotx = -.- ~ --

r

-c

cosr)

I

2

cosr sm.r

X -\' -'

2

X- v Sill

2

I cot.r

~ --

I

tan .r

32. A sinx + Bcos x = (A2 + B2 ) lf 2 cos{x - ¢ } mit ¢ = arctan(A/ B)

33. A sinx + B cos .r w (A2+ B2) lf2 sin(x - ¢ )

mit ¢ =arclan(-B/A )

A.2 Arkusfunkuonen

A.2

Arkusfunktionen

1.

arcsin( - X)

2.

arccos( - x ) = Jr - arccos x

3.

arctan( - x) = - arctan x

4.

arccou -o) = Jr - arccou

5.

arcsin x+ arccos .r = Jr/ 2

6.

arctan.r + arccot .r = Jr/ 2

A.3

=: -

arcsinx

Hyperbelfunkticnen

1.

sinh (-x) = -sinhx

2.

cosh (- x) = cosh .r

3.

sinh 2\' = 2 sinh x coshx

4.

cosh 2x = sinh 2 .r + cosh2 .r

5.

cosn- X

6.

sinh (x ± y) = sinh .r coshy ± coshx sinh)'

7.

cosh (x±y) = cosh .r coshj- Esi nh.r sinh)'

=:

I + sinh2 x

721

722

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

A.4

Ableitungen elementa rer Fuuktienen

c. a. k sind skulnrc Kon stan ten .

[ (x )

[' (x )

NL

[ (x )

1.

c

0

22.

Ig kx

2.

x

23.

log" .r

3.

x2

SIn X

cosx

3

24.

4.

25.

sin ax

(I

26.

cos x

- sin x

27.

cos en

28.

tan ax

29.

cot ax

- a sin ax a cos 2 x a - sin! x

30.

sin2 ax

2a sin ax cos ax

3 1.

cos- (U"

- 2a sinax cosax

32.

arcs in x

33.

arcc os x

34.

arcta n x

35.

areca! x

36.

sinbr

cos h ....

37.

cosh x

38.

tanhx

sinh x I

39.

cothr

I

40.

urcsinh .r

x [' (x ) [ (x )

41.

arcccsh x

42.

arctan h .r

43.

urccot h x

NL

x

2, 3...'

5.

x"

a x' , - 1

6.

ft

_ ,_ = ~ x- I /2 2 ft 2

7.

x li II

8.

x

I

II ~

=

! x (l - n }/n 11

I - x2

x'

2 - x3

10.

.r"

x' ( I + ln x)

II .

.\"u

ax U ( I + lnx)

12.

e'

e'

13.

e- x

- e- :<

14.

en

ae"x

15.

e/ (x }

eI(>: ) j

16.

a'

at ln a

17.

,l x

k ah ln a

18.

lo x

19.

In kx

9.

20. 2 1.

I

'" [ (x ) 19 x

' (x )

(/ > 0

a>O

I

x

I .r In 10

(s. Abs. 6 .5)

,

['(x )

---.!..-

.r In 10 I .t In a

cos nr

I

v'l=? I

v'T=X' I

I +x 2 I - I +x2

= l -tanhZx cosh- .r I , - - -,- = l c- corb- x sinh- x I

-r-r-s-'

v"f+X! I

~ I

1 _ x2 I

l - x2

A.5 Unbe surn rme Integ rale

A.S

72 3

Unbestimmte Integrate

Die Integruno nskonstarue C wurde zwecks bcsserer Ubc rslc htlic hkeit weggetassen . I. I dr = I I · d r = x

2. I a dr =ax x'HI

(u", - I)

3. {x" dr = - · a+ 1 4.

"

I(ax + h )

~ (ax + b )It+1

dr

e-

a(ll + I )

I

5. I - d r = lnx

s. Fugnotc I

x

6.

.r xI2 d r =- :;I

7.

I

8.

I

9.

J _ 1_ dr =

I

I

x 3 d r ee - 2 r 2 I .\-<1

- (a- I )

X

d r = - (a _ I)

a+x

In(l/ + x )

10.

I .r -dr = a -x

I I.

J~ h dr = a! ax+

2

I . 13.

(" ", - 1)

I

r

I

(llx + h)" .r

In(a- x)

In{ax + b)

d\" = -

- - d\" = · ax -s b

ax + h a(Il - 1)(ax + b )"

ax -b ln{{u +b ) a

2

14. r _X_ dr = ax + b ln~ax - b) , ux r- b w 15.

ax + h d ax he - ad I ( d) - r = - +-- - n cx + · cx -s d c ("2

r

III mathemmiwher Lucraur r iMdas Erge bnis normalerweise a!s IIIIxl 7Ulilldell. III diesem Auch w ird fU r lnregrale in Ankhnung an die Knn"enti" n in (5 1stet, die Fllnn " hne Aetragszeichen \'l;'rwendet; die' i,t auch in allen Cn mputcralgcbr asystemcn implcmcnticnc Vorgchenswcisc.

724

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

, · ax - h

' 2£1

h a2

h' l( (/3

h)

17. { ~ dx = ·r + ~ + - nax -

(

x

18.. (ux + h)2

b + In(ax + b ) a2(ax +h ) (/2

dr =

-h a (a r - b)

19.

.r ~ · (ax - b)-

20.

1 J. lr-a-r-v de= + x·

2 1.

J -a, --x-, d e = -2a

r

dr =2

I a

+

In(ax - b ) ~

a-

.r

- arctan -

I

a

1

x+ a x- a

In -

. 1 1 .r 22. / d r = - ln - · x (ax + h ) h ax +h

23.

r

1 dr = _~ l n _x_ · x(a r - h ) b ax - h

1 I a .r 24. ( 2 dr = - - - - 2 In - · x (ax+ h ) hx h ax-r b 25.

26.

1

I

J ",.,.-:':---,,; dr ~ - r (ax h ) hx

r

I

· (lU + h )(cx + d )

dr

a .r ...., In - hax b s-

= _ 1_ be-s-od

be i- ad

In cx +d

ox -s h

I 2 2{u +b 27. { ~ de = r.~~.2 arctan -ii;;;';~2 · ax- +lJx +e J 4ae b J 4ae b

28.

.1' (ax + b}~ex+ d)dr =

-,- I_/ Je -cu

(~a ln('Lr +h) -'!..c ln(cx+ ll))

2 29. { x d r = ln(lIx +bx + e) _ b 211 av4ac · llx2+bx +e

2 30. Ivax + lJ dr = - (llx+ b)3/2 3a 3 1. Jvax - h dr =

2. (llx _ h)3/2

30

32. J xJax +b dr =

2, (ax+ b)3/2 (3ax - 2h) 15a-

33. J xvax - b dr =

2, (lu _ b)·1 /2 (3ux + 2h) 15a-

2ax + b arctan -7,i"'=~" b'2 V 4(/c b'2

be i- ad

A.5 Unbesurnrme lntegralc

34. I J (l2X 2+ h2 35. IJ(/2X 2

dr ~ (rJ a .r2 + h + ~: In(ax + J a2x2+ h2)) 2

=

h2dr =~ (x J a2x2

'"

l( v'

36.

fv'

wx·+h· dr ='2 x

37.

Iv'

a·x·

,,

2

h2dr = ~ ( r J

39. IxJ(/2X 2 h2 dx =

h2

~:

x

In(ax + J a 2 2 h2 )) 2

"2 + I" a-x ). + -b arctan

a

(/2X 2

h 2 _ _/) 2 arcta n a

3~2 ((l~ _ h2) 3/2

(/2x2 + h2dx = _ ~ ( _(/2.~ +h2 ) 3/2

40. IxJ

»u-

I 2 42. (JiiX"+'h d r = -Jux+ h

'

43.

I

ax+ h

a

I

2

vax - h

a

~ dr =- J(lx - h

ax (/2x 2+ h 2

ax

v'

a 2x 2 + h2

v'

ax 2 a x2

)

",)

725

726

A Ausgewilldte Formeln und Beziehungen

52. JeX d r =r'

53.

J e- J

d r = _ e- J

I 5-$. J~ df = -t"'-l a

55.

1

J xt"'-l dr =.....,, ( ur - I )~

a-

I

~

~ ~

56. J .r e". dr = '" (,r .r - 2lU+ 2) ("U a"

5 7"

J."r 1'".. 2 d r = ...!(",.rl 2n

5H.

J b -c cI e-"

59.

J b-

6(t

J b +""ee"-' dr e

61. J

h

.r

I

b

II

(

d r ee - - - b In b + cc"dt )

I .r I ( e e"-' dr > b - ah In - h + e~ )

""

c e"-'

-I

ac

In(b + ct"'-' )

dr = - - I In (b - e~ ) li e

I

62. J lt1 df = a' Ina 63. J lnx d r = x (lnx - I ) ~.

J ln ax dr = x (ln lu - l )

65. J ln2 lu dr = x (ln2"x -2 Inllx +2 ) 66"

,.2

"Ix Inax d r = :""4 (2 Inax - l)

,

67. J r

In ax dr = ·; (3 1n lu- l)

68. J .r In2 u r d r = .: (2 In2 lu - 2 In u r + I) 69.

~

f .r

70. J -

~ .r' ~ In·urdr = 27 (9 In· ax -6 In ax + 2) 1 -

.r ln a r

d f= ln(ln u f)

A.5 Unbesurnrme lntegralc

71.

.. d J SlntlX r =

72.

" x - -I J S In ~ ax d e =-24a

73.

Jx sin nr d r e ~ (sin ax- w: cos er) a

- -I cost/x a

74. fx 2 xin nr d r

e-

~

a

' 2

sinaxcos ax

ax =- - - -0;-:--2 'UI

Sin

.r

[2ax sinax _ (a2x 2 _ 2 ) cos ax ]

1 75. (x sin(ax 2) dr = - -2 cos(w? )

·

76.

a

. I - dr = J -Sin.ax

I. 77. ( · [ + slll ax

78, ( , I

I

sin ax

cln~(~l_-_,~o~,~a~x~)_-~l~n~ (,~-in~,~,x,,) -

a

dr = - ~

a

tan ( :: _ ax ) 4 2

dx = -I tan ( -lC a 4

ax ) +2

. I I 79. ·, - .-, - d e = - - COl lU· sm- ax a

. 80. ,,

I I " d r = -tal1dX l - stn·ax a .r

'2

8 1. fs in lnx d r =

r .·

82. , sm ar

.'

(sin(l nx) - cos( lnx))

I d _ sin(a- b)x sin(a + b)x r - 2(a b) - 2(a +b )

Sin JX

83.

., 2 . ' . __ eos In J stn iH stn bx dt _ 2b

84.

J co s nr d r =

85.

a

I rCOS2«r dr e .c-2 +4a

J .r

87.

.r x2

88.

JX

sin 2ax

I

.

cos ax d r = 2" (cos ux + a t sin nr] a COS llX

,

dx =

~ a

['Un cos cv-t. (a 2x2 - 2 ) sinax I I

,

COS(llX-) dr = - sin(ax- ) 2a

"I- tJ ) Fur

cos ('UI+ b)x _ cos (2a - h)x ( ) ( ) 42a + b 42a -b

I . - s tn ur

·

86.

+

(a 2

a = b s. Nr. 72

727

7211

89. 90.

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

f

;':.:":.:'-,:)_--,'"' ,(,"::: , ":.:",,-, ') -I- d t = "-' ,,,(,-, -,+-,',, cos ax a I

r

· l + cos ax

I ax d r = - Ian -

a

91.

r · I

92.

__·1 cns 2 ax

93.

.r 1

94 .

I cos In.r d e = ~

cos ax

,

dt = -

,

2

I

dx - - lan ax

- a

cos2 ax dr = - a tan ax

95 , ICOS (H cos . .2

96. ,cos / ax

(sin(lnx) + cos(lnx)) sin{a -b)x sin(a +b)x 2(a -b ) + 2(a+b )

er d .... =

" l: O S

. _ sin bx sin (2a +b)x sin (2a -b)x bx dx - 2b" + 4(2a +b ) + 4(2a h)

~ 2n

97.

·I

98.

f sm

99.

I sin" ax

cos ax d r =

100.

f sinnr

cos" ax d r = -

sin ax cos ax dr = , 2

ax

a tan "2

sin2 ax

, x sin 4(H ax cos- ax d r = - - - 32 8 "

. .

_

I

a(lI+ I )

sin"+l ax

(u;' - I )

I cos,,+l ax a (I/+ I )

(u;' - I)

_ _cos (a + b)x _cos(a -b )x ( 2a +b ) 2( (1 b )

101. / sin ur cos cr d c e ·

,' 2 .. _ sin bx_ sin (2a + b)x_ sin (2a- h)x 102. ,1sm ax cos bxdr - 2b 4(2a + b ) 4(2a b )

103.

1<>4.

. ,2 " . _ J cos ax sm bx dx _

r.

· smaxcosa.....

_

cos bx _ cos (2a + b).r cos (2a - b)x ( ) + ( ) 2b 4 2a +h 4 2a - b

I d e = - In(tan ax ) a

I 2 2 dx = - - cot2a.r sm- a \ cos ax (/

105,

f ',

106 .

f

_,----;,..,=_ I)

sin -ax - dr = cos" ax a (1I

co s''- !

(H

(II # I )

FUr. a = b s. Nr. 97

A.5 Unbesurnrme lntegralc

107.

cOS (H d = _

J Sin. " ax

t

I " (11 - 1) sin"

,..!--" e a-+ r

108. J ebx sin ax d r =

109. Ie".> cos ax dt = 110.

Je

CO U

br

I

ax

(a'; I )

(b sin (Lt- a cos ax )

~ !'x (a sinax +b

u· +b·

cos ax)

sin.r d r e _ {,co, ''

I I I. Ie'in .> coSX dt = e,inx 112. I ax" -l sinr- d r e c- cos.r "

113. ( ".t' -l cose' d r e stn.r" 114. jtan ax dt = I IS.

' J ta n-

-~

lnfcos c.r]

a

Ian ax ax d r = - - - x

,"

.

116. Icot axdx = - In(sln ax) a . , cot ax 11 7. J cot- ax d r = - - - - x a 118. .{ arcsin ax d r = ~a (ax arcsin ax + 119.

J arccos

ax dr =

~ (ax

u

.;",- ::r.:;

arccos ax - ';",- ::;:' I

, ,

120. Jarctan ar d r eer arctan (Lt - - In ( I + (r r ) 2a 12 1.

.. , J sinh ax d e = -a

cosh ax

l . 122. { cosh ax dr = - smh ax .

"

123.

I tanh ax d r =

124. j corb ax dt =

125.

I dt = J -.Sin h (H

126.

I

,

- In (cosh ax ) a

~

a

In (sinh ax )

I ax - ln(tanh - ) a 2

1 2 d r = - arc tan cosh ax a

e'L<

729

730

A A usgewuhlte Pormcln und Beziehungen

127. fs inh2 llX dt =

~ (~ sinhax cosh ax -

128. fcosh2 nr dr ee

~ (~si nhax cosh ax + x )

x)

I 129. ,{ tanh2 axdt = x - -a tanh ax "

I a

130.

.I coth axdt = x - - coth ax

13 1.

J"xsmh ax d t =

I sinhax -I x cosh ax - -."

132.

f .r

I a

133.

f .r "

134.

f x 2 cosh ax dr = ~

a

a-

I a-

inh ax + 2 cosh ax ) smh ax d r _- , I ( a2' .r- cos.h ax - 2nr sm

a

(a 2xl sinhax - 2ax coshax + 2 sinh ax )

a'

135. Is in llx sinh «r dr e

136.

,

cosh ax dr = - .r sinh ax - -." cosh ax

~

[e" X(sinax -cos ax) +e- ax(sinax +cosln )]

4a

rsinax cosh ax d r = 4a ~ [e'''"(sin ax - cos ax ) - e-l'-'(sinax + cos ax )]

.

137. f cos ax sinh ax dr =

~

[e'H(sin ax + cos ax) + e- ,n (- sin ax + cos ax)]

4a

138.

I cos ax cosh ax d r = ~

139.

" f si nh cr

4a

sinh cr d r e

140. {coshaxsinhbx dr =

.

14 1.

f

'

sinh ax cosh hx dr =

(

[e"X(sin lLt+ cos ax ) + e- 'H(sin ax - COS llX)] I

2a +b

) sinh(a+b)x -

2

( I

b

II

) sinh(a -b)x

I

( I ) co s h ( a+b )x - ~ ( -'---~) cosh(a -b)x 2 a-s- h 2a -h I

I

( ) cosh (ll +b)x + ~ 2 '(a-'---,~ )) coshfc - b)x 2 a +b

A.6 Einigc bestimmte lntegrale

Einige bestimmte Integ rale

A.6 Ill, II :

I.

gallze Zah len; r : reelle Zahl

'.rI' sin x d r = ,"

1

7.

11/ 2

,J cos x d r = I

,

2.

,.r sin x dx = 2

8. J cos x d t = O

3.

".ru sin x d r = 0

9.

n

x 4. I sin x d t = O 11/ 2

2x

" , 12. J cos-, x d t = -"

,J

n

6. 0 sm-x r = '2

13.

1112

.r

lr/ 2

14.

15.

16.

lr/ 2

.r()

11

lr/ 2

.r

"

,

1I l

sin- + x d \' = cosx d r =

11/2

J 0

· (211 - 1) lr ·(2n ) 2

2 . 4. 6 .

211

cos + 1x dx = 1 1:;

· . · _· .

.r0 sin x cos.r dr = .r sin.c cos r dr = 0 :'I:

2 11

I

sinr cosxdr = -2

"r

. nx d t = 'J" sm liLt

Sin

0

- II:

, ..

18. ( sm mx stnue d e e

o

{ lr/ 2 0

.

Sin

nx d,t = { " 0

2 1.

J, cos IIIX

cos nx d r =

{ lC/ 2

()

fur ", ¥- 11

ftirlll ",-n

.r, cos mx COSIlX d r = z.r0 cos mx COS IlX d r = { ()"

o

ftirm =n ¥-O

ftirm =n ",-O

- lr

20.

.(2n) "'(2 + 1) .. · n

- :'I:

17. . sm IIlX

19.

2 ·4 · 6 ·

()

J sin x

o

1· 3 · 5·

4

2

n

sin211 x d r = J cos 211 X d r =

()

cos r dr = 0

-, ' I' cos 2 x dr = 11.

lC dr =4"

d.

~ . ,

J

,

f

10.

-,

5. [sin

,"J cosr d r ee U

ftir m =n ¥-O ftirm ",-n

J, sin mx cos ur dr e "J sinun cos llx dr = -, ,

{)

fUr lll =n ¥-O fur

III "'- 11

731

732

22.

23.

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen L ... . mxx fL SIn - L-

t. . II/XX Sin - r -':1. L

L

,

/l XX

Sin -

L

1.

IIlXX

IIXX

- 1.

L

L

24. J cos - - cos -

25.

26.

.r sin IIlX cos II X d r =

o

J e - u-.r 00

,

,

u

f21.sm ' -IIl"...-X

"" COS-II,,,X d r =

dr ee

o

2C J' 0

"" cos -II "X d r =

L

L

.

.

II/XX

IIXX

Sin - - Sin -

21.

L

L

If/XX

II1U

L

L

d \'" = J cos - - cos 0

22m { 11I

0

11 2

d r e,

+ II fLir 11/ + II fur

III

A.7

t

dr =

f ur III -_

0

dr = O

r- 0

/I ...J.

fLirlll :F1I

{ L

0

fLirm = II ::j:.O

fllr III ::j:. II

gc rade

.,j1i

dr = sign (I 2a

.r e- · Inx d r =

o

{L

L

r

nxx

COS T

ungcr adc

29.

30 .

f Sln ' -IIl"""-X

r+2L

r

1 d \'" = ~ o~ 2

- 0 ,5772 16

Verschiedcne Ausdriicke

. I , Ilnl m_

n

(cos k(1l - m )/r _ cos 2k(n - III )X) _ 0 ) k(/l - 1Il k{ll - m)

. sin k(lI - m)/r _ 2. Il nl m_ n k(II - III ) - •

k,

II , 111

gauze Zahlen

k, II.

III ganze Zahlen

A.S Vencilungsfunktinn clef Norrnulverteilu ng

A.S

Verteilungsfunktion der Normalvert eilung

4' (;:) = - I

/' e - u'- / '- du

/2ii , _

IIl (z) ~


Il (z)

z

0.00 0.0 1 0.02 0.03 0.04 0.05 (l.O6 0.07 0.08 0.09 0. 10 0. 11 0. 12 0.13 0. 14 0. 15 0. 16 0. 17 0. 18 0. 19 0.20 0.2 1 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30

0. 50000 0.50399 0.50798 0.5 11 97 0.5 1595 0.5 1994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 0.53983 0.54380 0. 54776 0.55 172 0.55567 0.55962 0. 56356 0. 56749 0.57 142 0. 57535 0.57926 0.583 17 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.6064 2 0.6 1026 0.6 1409 0.6 1791

0.50000 0.4960 1 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.468 12 0.464 14 0.4 60 17 0.45620 0.45 224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43250 0.42858 0.42465 0.42074 0.4 1683 0.4 1294 0.40905 0.405 17 0.40 129 0.39743 0.39358 0. 38974 0.3859 1 0.38209

0.00000 0.007 98 0.01596 0.02393 0.03 191 0.03988 0.(l4784 0.0558 [ 0.06376 0.07 171 0.07966 0.08759 0.09552 0. 10343 0.11 134 0. 11924 0.127 12 0.1 3499 0.14285 0. 15069 0.15852 0. 16633 0.1741 3 0.18 19[ 0.18967 0. 19741 0.205 14 0.21284 0.22052 0.228 18 0.23582

0.3 1 0.32 0. 33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.4 1 0.42 0.4 3

0.6 2 172 0.62552 0.62930 0.63 307 0.63683 0.64058 0.6443 1 0.64803 0.65 173 0.6554 2 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67 364 0.67724 0.68082 0.684 39 0.68793 0.69146 0.694 97 0.69847 0.70 194 0.70540 0.70884 0.7 1226 0.7 1566 0.7 1904 0.72240 0.72575 0.72907

0.44

0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61

Il (z) 0.24344 0.25103 0.25860 0.266 14 0.27366 0.28 115 0.28862 0.29605 0.30346 0.3 1084 0.3 1819 0.3255 1 0.33280 0.34006 0.34729 0.35448 0.36 164 0.36877 0.37587 0.38292 0.38995 0.39694 0.40389 0.4 1080 0.41768 0.42452 0.43 [32 0.4 3809 0.4448 1 0.45149 0.458 14

733

734

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

z 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.7 1 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.8 1 (J.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.9 1 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00

45 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673 0.1 8406 0.1814 1 0.17879 0.176 19 0.1736 1 0.17106 0.16853 0. 16602 0.16354 0.16109 0.15866

<2 (z) 0.46474 0.47 131 0.47783 0.4843 1 0.49075 0.497 14 0.50350 0.5098 1 0.51607 0.52230 0.52848 0.5346 1 0.54070 0.54675 0.55275 0.55870 0.5646 1 0.57047 0.576 29 0.58206 0.58778 0.59346 0.59909 0.60467 0.6 1021 0.6 1570 0.62 114 0.62653 0.63 188 0.637 18 0.64243 0.64763 0.65278 0.65789 0.66294 0.66795 0.6729 1 0.67783 0.68269

z .0 1 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 . 10 . 11 . 12 . 13 1.14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 .20 .2 1 .22 .23 .24 .25 .26 .27 .28 .29 .30 .3 1 .32 .33 .34 .35 .36 .37 .38 .39

<2 (z) 0.68750 0.69227 0.69699 0.70 166 0.70628 0.7 1086 0.7 1538 0.7 1986 0.72429 0.72867 0.73300 0.73729 0.74152 0.7457 1 0.74986 0.75395 0.75800 0.76200 0.76595 0.76986 0.77372 0.77754 0.78 130 0.78502 0.78870 0.79233 0.79592 0.79945 0.80295 0.80640 0.80980 0.8 1316 0.8 1648 0.8 1975 0.82298 0.82617 0.8293 1 0.8324 1 0.83547

A.S Vencilungsfunktinn clef Norrnulverteilu ng

z



<2 (z) 0.83849

0 .07927

0.84 146

0.07780 0 .07636 0 .07493 0 .07353 0.07214 0.07078 0.06 944 0.0681 1 0.0668 1 0.06552 0.064 26 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.0582 1 0.05705 0.05592 0 .05480 0 .05370

0.844 39 0.84728 0.8501 3 0.85294 0.8557 [ 0.85844 0.8611 3 0.86378 0.86639 0.86896 0.87149 0.87398 0.8 7644 0.87886 0.88124 0.88358 0.88589 0.88817 0.89040

0 .05262

0.89477

0 .05 155

0,89690

0.89260

0 .05050

0.89899

O.()4947

0.90 106

0 .04846

0.90309

O.(l4746

0,90508

0 .04648 0.0455 1 0 .04457 0 .04363 0.\)4272 0.04182 0.04093 O.04(X)6 0.03920 0.03836 0.03754

0.90704 0.90897 0.9 1087

0.9[ 273 0.91457 0.9 1637 0.91 814 0.9 1988 0.92159 0.9232 7 0.92492

z .79 .80 .8 1 .82 .83 .84 .85 .86 .87 .88 .89 .90 .9 1 .92 .93 .94 .95 .96 .97 .98 .99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.()4 2.05 2.()6 2.07 2.08 2.09 2. 10 2. 11 2. 12 2. 13 2. 14 2. 15 2. 16 2. 17



<2 (z) 0.92655 0.92814 0.92970 0.93124 0.93275 0.93423 0.93569 0.9371 1 0.93852 0.93989 0.941 24 0.94257 0.94387 0.94514 0.94639 0.94762 0.94882 0.95000 0.9511 6 0.95230 0.95341 0.95450 0.95557 0.95662 0.95764 0.95865 0.95964 0.96060 0.961 55 0.96247 0.96338 0.96427 0.96514 0.96599 0.96683 0.96765 0.96844 0.96923 0.96999

735

736

A Ausgewuhlte Pormcln und Beziehungen

z 2. 18 2. 19 2.20 2.2 1 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.4 1 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.50 2.5 1 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56

<2 (z) 0.97074 0.97 148 0.97219 0.97289 0.97358 0.97425 0.9749 1 0.97555 0.976 18 0.97679 0.97739 0.97798 0.97855 0.97911 0.97966 0.98019 0.980 72 0.98 123 0.98 172 0.9822 1 0.98269 0.983 15 0.98360 0.98405 0.98448 0.98490 0.9853 1 0.9857 1 0.9861 1 0.98649 0.98686 0.98723 0.98758 0.98793 0.98826 0.98859 0.9889 1 0.98923 0.9895 3

z 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.7 1 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.8 1 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.9 [ 2.92 2.93 2.94 2.95

494 0.00480 0.00466 0.1J0453 0.00440 0.00427 0.004 15 0.00402 0.00391 0.(lO379 0.00368 0.00357 0.fX1347 0.00336 0.00326 0.003 17 0.00307 0.002 98 0.002 89 0.(X)280 OJ X)272 0.00264 0.{X)256 OJlO248 O.lX)240 0.00233 OJX)226 0.(X)2 19 0.002 12 0.00205 0.00199 0.00193 0.00[ 87 0.00181 0.IJ0175 0.{)()1 69 OJlO164 0.00[59

<2 (z) 0.98983 0.990[ 2 0.99040 0.99068 0.99095 0.9912 1 0.99146 0.9917 1 0.99195 0.992 [9 0.9924 1 0.99 264 0.99 285 0.99307 0.99327 0.99347 0.99367 0.99386 0.99 404 0.99422 0.99439 0.99 456 0.99473 0.99489 0.99505 0.99520 0.99535 0.99549 0.99563 0.99576 0.99590 0.9960 2 0.99615 0.99627 0.99639 0.99650 0.9966 1 0.99672 0.99682

A.8 Vencilungsfunktinn clef Norrnulverteilu ng

z



2.96 2.97 2.98 2.99 3.00

0 .99846 0 .9985 1 0 .99856 0 .9986 1 0 .99865 0 .99869 0 .99874 0 .9987 8 0.99882 0 .99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900 0 .99903 0.99906 0.99910 0.999 13 0 .999 16 0 .999 18 0 .999 2 1 0.99924 0 .999 26 0 .999 29 0 .9993 1 0 .99934 0 .99936 0 .99938 0 .99940 0 .9994 2 0 .99944 0.99946 0 .9994 8 0 .99950 0 .99952 0.99953 0 .99955

0 .00 154 0 .0014 9 0 .00144 0 .00139 0 .00135 OJ)OI 31 0 .00 126 (W01 22

3.0 1 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.0 8 3.09 3. 10 3. 11 3. 12 3. 13 3. 14 3. 15 3. 16 3. 17 3. 18 3. 19 3.20

3.21 3.2 2 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.3 1 3.3 2

<2 (z)

0.99692 0.99702 0.99712 0.99721 0.99730 0.99739 0.99747 0.9975 5 0.0011 8 0.99763 0 .00 114 0.99771 0.001 [ I 0.99779 0.00107 0.99786 0.00104 0.99793 0.00100 0.99800 0.00097 0.99806 0.00094 0.99813 0.00090 0.99819 0.00087 0.99825 0.00084 0.9983 1 OJ)()()82 0.99837 O.()(Xl7t) 0.99842 0 .00076 0.99848 0 .00074 0.99853 O.(}(X)7 1 0.99858 0.00069 0.99863 0.l)l1066 0.99867 0 .00064 0.99872 O.(XX:162 0,99876 0 .00060 0.99880 0 .00058 0.99885 0 .00056 0.99889 0 .Om54 0.99892 OXH)0 52 0.99896 0 .00050 0.99900 0 .00048 0.99903 0.00047 0.99907 0 .00045 0.99910

z


3.33 3.34 3.35 3.36 3.3 7 3.3 8 3.39 3.40 3.4 1 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48 3.49 3.50 3.5 1 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5 7 3.5 8 3.59 3.60 3.6 1 3.62 3.63 3.64 3.65 3.66 3.67 3.68 3.69

0 .99957 0 .99958 0 .99960 0 .99961 0 .9996 2 0 .99964 0 .99965 0 .99966 0 .9996 8 0 .99969 0 .99970 0 .99971 0 .99972 0 .99973 0 .99974 0 .99975 0 .99976 0 .99977 0.99978 0 .99978 0 .99979 0 .99980 0 .9998 1 0 .9998 1 0 .99982 0 .9998 3 0 .99983 0 .9998 4 0 .99985 0 .99985 0 .99986 0 .99986 0 .99987 0 .99987 0 .99988 0 .99988 0 .99989


z

0 .00043 0 .00042 0 .00040 0 .()()()39 0 .00038 0 .000 36 0 .000 35 0 .000 34 0 .0003 2 0 .000 3 1 0.00030 0 .000 29 0.00028 0 .000 27 0 .000 26 0.00025 0 .000 24 0 .000 23 0.00022 0 .000 22 0 .Om 2 1 0 .000 20 0 .000 19 0 .()()(H9 0 .Om 18 0 .Om 17 0 .000 17 0,()()(l I6 0 .000 15 0 .000 15 0 .000 14 0 .000 14 O,()()() 13 0 .000 13 0 .000 12 O,()()() 12 O,()()() II

<2 (z) 0 .99913 0 .999 16 0 .999 19 0 .999 22 0 .99925 0 .9992 8 0 .99930 0 .9993 3 0.999 35 0 .999 37 0 .99940 0.99942 0 .99944 0.9994 6 0 .99948 0.99950 0.999 52 0.99953 0.99955 0 .99957 0 .99958 0 .99960 0 .9996 1 0 .9996 3 0 .99964 0 .99966 0 .9996 7 0 .99968 0 .99969 0 .9997 1 0 .99972 0 .9997 3 0 .99974 0 .99975 0 .999 76 0 .99977 0 .99978

737

731l

A A usgewuhlte Pormcln und Beziehungen

A.9

Verschiedene Konstanten und Symbcle

Konstanten K

e

J2 I rud , 0

= = = = =

3. 14 15926535 8979323 846 2.7 1828 1828459045 23536 Eulcr -ZlIhl 1,4 142 1356237309504880 57.2957795 130823208768 0 0,0 174532925 1994329555 red

Symbole

l: II

«

.. »

'* II

.L

a v

Su mme Prod ukt ungefuhr gleich nich t g leich nquivalent

dctinltlonsgemas gleic h proportio nal unendlich vie! klcin cr als vie l grober als

daraus folg t isl gleich bedeutend mit parallel senkrecht part iclles Ablcitun gssymbol (Delta) Nabla -Operator

V

fur allc

3

cs cxisticrt

A V

{} E

C

n u

N

Z Q IR

C

"0"

"""

nicht Menge iSI cin Element von ist cine Teilmenge tU rucrmcngc ) von Schnitt menge Vereinigung NatUrliche Zahlen Ganze Zahlen Ration ale Zahlen Reelle Za hlen Komplexe Za hlen

Literaturverzeichnis [ 1] Bartsch. H.· J.: Taschenhuch Ma lll/'IIllIliscllu hirmeln. Fachb uchverlag Leipzig. 200 1. [2] Bronstein. L N. u.a.: Tascl1enlmch elf'( M ll/hemelli /';. Verlag Harri Deutsch. Frankfurt. 2008. 13] C har, B.W. u.u.: Moplc V . A Tutorial t ntroduction, Sp ringe r-Verl ag, 199 2.

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Stichwortverzeichnis S) mbolc

e-Za hl. 27

"

Ableitung. 205 . 20R - J ul\ere. 2 12 - f "ktorregel. 209 - implilile. 2111 - innere, 212 - Kenonregcl, 2 12 - loganthmischc. 2 17 - particllc. 263. 266

- Produ ktrcgel. 210

- Quoricmcnregel. 2 11 - Rcgcln . 209 - Summcnregcl. 209 Ab leitungen - hohere. 2 16 Absolutwert. I Abstand zweie r Punkte . 11:\5 Arkusfunk tion en. 4n. 72 1

•

Balken auf elactischcr Bcnung. 252

Havis, I

Binormsche Pormeln. 7 Bogcnlange. J6 1

c

C ++. 707 - Ableitung. 709 - Integration. 712 -clinea re Alge bra. 710 - Newton-Verfahren. 710 C holesky-Verfahren. 597 Comp uteralgebra . 665 . 707 C ramer-Regel. 9.1 C mu t-Verfabren. 595

n

Detenn inante .85 - Ltphtce-E ntwidlung""Il .11ll Dieh tcf llnktion .5 16 Differential. 207 - tctales . 275 - vollstandlges. 276 Differentialgleichung - 2. Ord nung, 45) - allgemei ne Lo sung, 41 1. 465 - Anfang,,,,ertaufgai>e. 411 - An'atlfunktion. 427 - eharakte ris tisebe Gleic hu ng. 454 - Di, kri minante D. 454 - e"ter Ordnung. 4 14 - cxplizite , 40ll. 409 - gcwohnliche. 403 - homogcnc . 425. 453

- lmplizire, 406. -109 -

inhomngcne. 425. 453 Imcgrancn. -1(1) Knick!..st. 482 linearc. 407. 425

- Tmeurc homogc nc, 426

- LOMl11g. -lUI) - mit ~",n 'tan lc m Koc fli zicnl cn, 427 - nichtl incarc. 407 - O rdnu ng. 407 - part ie lie , -lOS. 635

- partikularc !..tisung. 41 2. 46 1

- Randwertaufgabe. 411 - Schwingung, 470 - spczicllc Ldsung, -I I I - Storfunktiou. 425. 453 - Transformation dcr varlablcn. 4 16 - Trcnnung dcr Variab lcn. 4 14 - Varuuion der Konsunnc n, 4JIl Diffcrcnti alglc ichu ngcn. 60 S

- Euler-Vcrfahren. 60S

- Hcun-v erfahren. 607 - Runge-Ku lla -Verfahrcn. 608

Diffcrcnli '1I uptralor. 209 Diffcrcnt ialquot icnt. 207 Diffcrcnti alrcch nung. 205 - Leibniz- Kalktil, 2 12 - multivariablc , 2ll) Differenti ation. 2011 Diffcrcnzcuqacticut. 20S. 20(, Differenli erbarlei t. 205 Doolittle- Vcrfuhren . 591 E e-funktion .27 Ebene

- Vcktnrglcichu ng. 149 Eige nwertaufgabe. 533 . 55 2 - allgemeine. 534 - chnrakterivtisc he Gleic hun g. 536 - Eigenwertdetermin ame . 536 - speziellc. 534 clastische Betnm g. 252 Ercigr us - unverein hares, 507 Ercign i''''.504 Eu ler-Vcrfabren.605 Eu lers<:he Fonn el n. 457 Eu lers<: hc zanr. 27 Expl il ite Fun klion. 45 Exponent. I Exponentlalfunktion.Z'[ EXlremw<,ne.227 - hinreicbende Bedingung fllr. 2211 - Lagrange-Muhiplikarcr. 302 - mit Nebcnbcdingungcn, 302 - norwcndige Bcdinguug fllr, 2211

742

Suchwortverzcichr ns

,

Fal uhal. 5 Patk-Scfema. f:H FehJer - retanv er, 224 Fl ..punla- lleralion. 583 H ache - rotatitlll~~) mmeli...:he . 294 FJache l:wi...:hen l wei Ku.....: n. 3511 FJachenbef«flnung _ in Pularl,<xn!i n;lIcn•.v.o Fllt:n C"lIlonnale .2911 Fou rier· Reihc: . 6 13. 6 15 - linitc Funkl ion. 6211 - genotle Funll ion. 625 - Koem , icnt. 6lS - nictu -perio•.li...:hc:Funll itlll. 6.211 Freier Fall. 28 Fresnel · lnlegr.ll. 49 Funll iufI. 23 - ;ulIimetri>ot:he. SO _ Arl..... 40 - ExtremwC't1C'. 227 - G;w&che G lot:l.enlu....e. 411 - gl.me . SO

- im eee. 2tJ

-

-

Kegel schnin c. 42 KIt>lhtlitk, 4ll l om.tantC' . 2J linearC'. 23 linea.h ierte. 222 klgarithmi>ot:he. 29 Ma..imum. 227 Minimum, 227 multi\':lIiallle. 2M p.,ar..bel. 2J p...r..mete rdaNelJung• .u:. pencdiscbe. 39 P olync m, 23 Sc hrae benlinie. 47 S kalar. 2115 slelig. 2U5 sld ige. SO symmetrisch, " 'l trigmlomdri>ot:he. 35 Wahr>.t:heinlichl ciht.lil'hle funltiun. "11

G G au~, · Elilllin"liun . 73 Gau ss·Scille!· Verfuhren. 59'1 Gau s, . vertcilung, 520 G aulh chc Gloc ken kurve. 411 Gcra dc. 11I6 - AII' land c inc, l'u nlles. 19., - Hes-c-Nonnalform. 11I9 - Richtungsvektnr, 197 - S"hnillpllnkt. 194 - Stcigung. 1'l 2 - Veklurgici"hllng. 142 - Winkel, 195 - Winl..c1halhiefC'ock. 1% Grad icnl. 2116 - in del' Mcchanik. 2116 - np- Racm , 2119 - Richtung. 2119 GfUndge",mlheil. 495

H lIaufigkcil, 4%

Hauligl cih funl liun . 497 HaJhlogarilhmischC' Dar'olellung. 32 Hes"". Matri... .' ( 1) Heun-Verfah1l'n. 60 7 Hyperbelrunl lioo. 39 H)'perbelrunl liOllen. 72 1 HH l<:T1'lache. 263 I

ImplizitC' AII....itung, 211 1 ImplizilC' Funl lioo..45 Infinite..imalte(' hnung, 20S lekre rre r u.:!O5 Integral - F"J.tl~/. 49 - bel.limm le... 342 - Integ rand. 3J(} - numerh ct.e... 347 - unbel.limmt('<.. 3J(} Inlegralanwendu ngen - Bogen lanllC'. _\6 1 - Flachc:nheret:hnun g. 3S6 - Manh:ln ii<:he, 363 - Volumen. 366 Inlegra.iOfl - paniel le. 33'l I lI\ arianl~ 286 IlI\ffloC' Funllion. 29 Inverse Iterat ion - & hwinllunllsprobleme. SM - Stallilitalsprobleme. 571 lrrarionaIe Zah len. 657

K Kr-gebdmille.42 - ElI i ~. 43

- Hyperbel . 44 - Kreis. 42 - Parabel. 44 Keh rmatri x, 95

Kkxhoide, -III

Koc llil icntcnvcrglck h. 429. ..-16 Kolmognr""'sche A ..inme. 50'l Kom plexe 7.ahlen. 65 7 Kumdin"ten, yslem. 175 - gluha l"" , IIIO - ka rt.. ~i!iChc ,. 175 - rech"halldi gc~ . 175 - ~ph a.ische~. I7I1 - zylindrischcs, 176 Koordin atcmre nsfomuuion - Rotation. 182 - Translation . 111 1 - Tran,l alinll und R"T a1 iun. 111-1 Ko, ekans, 311 Ko, inus. 36 Kotangcns. 36 Krtlrnmung. 225 - Lin ks. 226 - Rect us. 226 Ku....,C' - VC'kltlfglt'il'hung, 151

L " Hos pilal Rege l. 22" L.agrange-M uhi pJikalt.... 302 L.eihniz-Kall iil, 2 12 Lineare A hhangiglC' il.IB. 123 Lineare Abh iingii!lC'il und KreU/ produkl, I J(}

Srichwortverzeichnis urtC'art' Fun~ l illn. 23 U rtC'art' G~un8 ......)" tcme. 55. 5YI Linc:,.rn G"' ichun' My>tc m. - Cremer-Rege l, 93 - Drcicch/ crtq ; ung. 78 - er.....euene Matrix. 78 - G au, , ·EJiminalion. 73, 78 - "'~enC'lO. 73 - in~ellC'>. n - M..tri,,-'Ch~ib .. ebe. 711 - pj' OI. 75 - Rockwan' ",uo-litulilln. 76 - VlIn>. art.'oI;'lim inalion . 76 Linc" ri, icn mlo! . 22 2 Linh krtimmung, 226 Logaritbmi'Cbe Dal'leltung. 32 Logarithmu.... 9

n

- de~i'Cher. I O

- natiirlidler. 10 Logarilhmus· Funktion . :N LU- Fa~lori sie ru n g. 591

"

Mac Laurin-Reibel].,219 Map le. 665 - Bd eh lsende :. 666 - lkfehf-e nde:. 666 - Di rrerentialg leichu n~..., n . 690. 7112 - DilTercnti" lrcchnun g. tiKI . tlII5 - Eige n.....ene. tl92 - founer-Reiben. 7W - Fun~tiontn. 672

- lmegralrecbnuag, 6AA

- Ktltl-unlen. 666 - li rtC'a~ Algebra. 676 - Lineare G le ich ungs, ysleme. 700 - Lihu ng von GJcichunge n. 675 - Nichtlincarc Gleictmngen. 69'J - paIlie lie DGLn. 705 - P1l1ll el1. 670 - Ve~lllfJtthnu ng. 679 Malri" - Add ilion..62 - anumctnscbe. 59 - Dcttnithcit. 547

- Dctcrminamc.By

- Diai!-"nal mal ri" . 57 - Dime nsion... 57 - D imen...ionsLom palil'lililiit. 65 - Dre iechmoltri" . 59 - Eigen \ eLtUf, 533 - Eigen.... en. 533 - Einh e jtxmatri a, 58 - Ein hcitweLttlr, {>o - Haupldiagllna le. 57 - in\el'oe . 95 - In\1:n il"fUng IIal,'"h Gau.....95 - lirtC'art' Abh3ngigLeit. 83 - Malri " pmdu ~l. 67 - MullipliLat illtl. 65, 67, ffl - p" , iliv delini l. 547 - po , iliv wnudc finit. 541\ - '1uad ralische. 57 - Rang. 85 - rq:u la~. 113 - sdlief,)mmetrische, 59 - ,i ngu la~. 83 - SLa larprodu~ l . ()6 - Spa he n ve~ l"r, 57

- Spur. 59 - sp n mctri'C be. 511 - T r.m'P''''inte. (')3 - Unlcrde tc rmi nante. 547 . 549 - 7.... iler"' c ~lor, 57 Malri/ en. 55 Ma"i mulll.227 Median. 499 Minimum. 227 Millelwen. 1I MlIdar.... en . 499 "'".11'10. 7 M u l l i ~ari able Fu n~l i"n. 2M - techrusche Bei, piel e. 2M

,

Na Na-Operall"', 290 NCI'o lon -Verfah re n. 230 ~ i\uufliicbe. 298 - f-la..-n.:noormale,:N1I - nlj- Raum . 30(J Ni ~ eau lin ie. 294 - Orthog onalirat vum Gradie men. 2% l""Imah 'enei lllng,5:!(1 l"u l1"" lIe - l"CI'o ton -Vnfahre n. 23O l"umcriscbe I nl~raI Kltl. 347 - G au,,...Quad ralur, 353 - Simp,on-Rege l, J5 1 - TrapeH erfahre n..149 Nunx:ri!iChc Meth oden. 552 . 59 1, 60S - Einl!ahefungwerfahren. 579 . - Fi"punLHlrnllion , 583

p Paraholoid . 21J4 P-J rarnclerdiLNlellung einer Fun ~ l ioll . ,j.f> Partielle Ahleilung. 203, 266 - DclinililNt. 266 - hOO'-....r omnung . 267 - nu mcri-ebe. 269 Pan ielJe DilTeren lialgJeichulIg, 635 P".mielle lnteg ratioe . 339 P".I--eal"dx:, Dreieck, 1 Periode. 3'.1 Pcriodizimr \'tln Funklion en 3'.1 Plalienhiegung, 26Y . P"larloonli nal~. J 62 PoIynom funkti
743

744

Suchwonverzejchms

- Tayk.... 22 1 Rd ati\ eTFrhler. 11 Richluns.ahlc itung.29 1 - im nD-Raum. 293 Runi:c-KUlla-VcTfahrrn . 608

S

Sandpunlt. 228 Scha llpqJd.3O Schraul'lenlinic. 47 Schraul'len~gd. 175 Sch au ·'oC1!r UnJ!-leichun g. 173 s...' h inJ!-u nJ!- crl...uni:en<:. 476 - Iteie, 47 1 - J!-~'\lamp ne . 472 - l rili-.;he Damp fullJ!-. 473 - Re",manl. 476 - ullgcdiimpfle. 47 1 Scb ns.3 M Sckantcn.... inkc l. 207 sign , 6 SigIlUIll-Fullklioll.6 S i l(Jdru~l, 2',1 SiIlUS, 3~ Skalarfdd.21l5 -c

Invananz, 2116

Skala tfunkno n. 285 Spilllll ur....r, 41l SprunJ!-funltioo. 4W Sta mmfunktion, 335 Slandanlall...eichunl!.502 Stati"'ik . 493 - be...:h~il'lende. 493 - de--lript i\e. 493 . 494 - empirio;c lK'. 493 - Haulil!kcit. 496 - Haufii:kci\sfullktit... 4" 1 - M3BJ.ahk n. 4911 - mathcmalische. 494 - Mal ian. 499 - MOllaI...en. 499 - Pervenul. 500 - Quanli l. 500 - Slandarda b....e ichullJ!-. 502 - Varianl . 500 Stetii:leil. 50 Stichpl'\lbe. 495 Sllll:hastil.493 Summaliun.4 SYlllmclrie und Antimerne. 4"

T

T'lIlgclls, 36 Tangcnl c. 207 - SlcigullJ!-. 201 Tangclllcll.... inkel. 207 Tallj!Clll;a1ehellC. 214 Taylur·Reihe.22 1 Temrcralur'\'er1ei lung - inslatiunat. 285 - SlationiiT. 285 Toeales Di fTe~ntial. 214. 215 - nD-Rallm. 29 1 Trarcl\'cTfah~n.

J.t.8

TriJ!-...nmetrische Funltionen . 35. 719

U Urnldtrfunltion. 29

UnllC'timmlcr Au-drud... 224 UnhNimmlcs lmegral. 336 - RCFd n. 338 Unlfflkterminanlrn. S-I7

v

Varian.!. 500 Variat itXlder Koostanlen. 430 Ve"toren . 119 - Add ition ~on. 122 - An...endunl!en des KtnlIproduh", 137 - Ba.si" eltoren . 127 - K~u/ produ l l. 133 - U nge m n. 125 _ li.....a~ Ahhan i:i8keit. 123 - Lillo;'ar\;.umhina tiun. 123 - Mal ri.\-.;hl\' ib...else , 124 - Nor r uierung, 140 - Skatarp rod ukt. 12',1 Vencilun8sfunkliull. 515 Vnm:ichc n-Funkliu ll.6 W Wabr-.;hein lkbl..cil. ~()4. ~U7 - Definition. 507 - Dichtefun kuon , 5 16 - Eigcn-.;haften. ~(l" - fno ignis'C, 504 Wahrscht'inlichl e ilssjjl/-c. ~ I I weuen- Vene ilunJ!-. 526 Wendepunlt. 221l Winl elma8e.1 2 - BngcnmaB. 12. 35 - G radma3. 12. 3~ - UmrecbnllnJ!-. 13 Wuu d . 3

Z ""'i
- ration.tk. 657 Zufallsgri'l8e.5 13 Zufallwariallk.513 - slelig veneine . 518